/
Author: Мёллер К.
Tags: физика теоретическая физика теория относительности общая теория относительности
Year: 1975
Text
The International Series of Monographs on Physics
general editors W. Marshall, D. H. Wilkinson
THE THEORY OF
RELATIVITY
BY
С M0LLER
PROFESSOR OF MATHEMATICAL PHYSICS
IN THE UNIVERSITY OF COPENHAGEN
SECOND EDITION
CLARENDON PRESS OXFORD
1972
К. МЕЛЛЕР
ТЕОРИЯ
ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
ВТОРОЕ ИЗДАНИЕ
Перевод с английского
В. Г. КРЕЧЕТА, В. Г. ЛАПЧИНСКОГО
Под редакцией профессора
Д. ИВАНЕНКО
МОСКВА АТОМИЗДАТ
1975
УДК 530.12
Мёллер К. Теория относительности.
Изд. 2-е. Пер. с англ. Под ред. проф. Д. Иваненко.
М., Атомиздат, 1975, 400 с.
Книга относится к числу фундаментальных трудов по
теоретической физике. В ней содержатся основы специаль-
ной теории относительности и все разделы классической
физики в рамках релятивистской теории: механика точки и
сред, электродинамика, теория волновых полей и термо-
динамика.
Во второй части книги, посвященной общей теории
относительности, излагаются основы римановой геомет-
рии и эйнштейновской теории гравитации. Рассматриваются
лагранжсв формализм, законы сохранения, космологиче-
ские и астрофизические проблемы, экспериментальные обо-
снования общей теории относительности.
Книга написана с большим педагогическим мастерст-
вом. Она без сомнения станет настольной книгой для са-
мого широкого круга читателей.
Рис. 1-9. Библиографии 393.
20402 002
М Q34Y0lt 75~^—^ ® Перевод иа русский язык, Атомиздат, 1975
ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЕРЕВОДУ
Предлагаемая вниманию читателей фундаментальная книга по специаль-
ной и общей теории относительности (СТО и ОТО) написана известным авто-
ритетным датским теоретиком профессором Копенгагенского университета Кри-
стианом Меллером. Меллер воспитывался на знаменитых семинарах и сим-
позиумах Нильса Бора и поныне сохраняет тесную связь с Институтом фи-
зики, носящим имя великого теоретика. В небольшом крыле Института поме-
щается более скромный Северный институт теоретической атомной физики
«Нордита», объединяющий ученых пяти скандинавских стран, директором
которого состоит профессор К- Меллер.
Включившись в разработку приложений только что созданной квантовой
механики, Меллер завоевал в начале 30-х годов широкое признание своей
теорией рассеяния электронов с учетом релятивистских эффектов. Ряд его
работ был посвящен теории 5-мерного пространства. В последние два деся-
тилетия, подобно многим другим теоретикам квантовой и ядерной физики,
Меллер посвящает все свое внимание теории относительности, своевременно
уловив возрастающую актуальность проблем гравитации.
Активный участник международных конференций и симпозиумов (в том
числе 5-й конференции 1968 г. в Тбилиси), проходящих под эгидой Между-
народного гравитационного комитета (МГК), Меллер состоял председателем
оргкомитета очередной, также успешной, 6-й конференции 1971 г. в Копен-
гагене, на которой он был избран председателем МГК еще на три года, а с
1974 г. заместителем председателя. Меллер неоднократно посещал Советский
Союз, выступал с докладами в Московском университете. Он выражает ныне
особое удовлетворение в связи с публикацией русского перевода второго
издания его книги и передает советским читателям, в особенности молодым
физикам, свои лучшие пожелания.
Настоящая книга, являющаяся университетским курсом и вместе с тем
монографией по теории относительности, несомненно вносит вклад в совре-
менную литературу по СТО и ОТО, а публикация ее русского перевода будет
весьма полезна как советским студентам, приступающим к овладению реля-
тивизмом, так и научным работникам, давая им в руки подробные расчеты,
спокойное надежное изложение, толкая мысль вперед обсуждением спорных
вопросов. В ней излагаются с новых точек зрения (например, с ударением на
тетрадный формализм, проектирование на 3-мерное пространство и т. л.)
многие глубокие старые и новые проблемы (измерения в ОТО, энергия поля
и др.). В частности, в параграфе о космологии Меллер весьма разумным обра-
зом рассматривает не только фридмановскую модель, но также предыдущие
статические модели Эйнштейна и де Ситтера, интересные не только с истори-
ческой точки зрения, но и в смысле предельных случаев, конечно учитывая
столь необходимый космологический член.
Как известно, вопросы гравитации вышли ныне на первый план в науке.
Это связано, во-первых, со всесторонним анализом основ теории, в частности,
продолжающимися дискуссиями вокруг толкований и обобщений принципа
эквивалентности (В. А. Фок, Шифф и др.), широким применением топологии
к ОТО и анализу сингулярностей (Хокинг, Пенроуз и др.), успехами алгеб-
раической классификации (А. 3. Петров и др.), отысканием новых точных ре-
шений (Керр и др.), продвижением на трудном пути квантования гравитации.
Во-вторых, усовершенствование экспериментальных средств позволило начать
наблюдение эффектов ОТО как в земных лабораториях, так и в системе планет,
и впервые после стимулирующих работ Вебера начать поиски гравитационных
волн.
Но, конечно, к главным достижениям последних лет относится открытие
реликтового излучения, по всей видимости, космологического происхождения,
в сущности, окончательно подтверждающего картину эволюции ранее «горя-
чей» Вселенной, расширяющейся от Большого взрыва, во многом предсказан-
ную на базе ОТО. Обнаружение предсказанных сверхплотных нейтронных
звезд s виде пульсаров (испускающих, подобно квазарам и многим другим
звездпьаи объектам, в частности, предсказанное нами с И. Я- Померапчуком
п:нхретроЕшое излучение) со свогй стороны дало большой толчок развитию
релятивистской астрофизики.
Оставаясь общепризнанным базисом понимания гравитации и пространст-
ва — времени, эйнштейновская ОТО вместе с тем допускает и, согласно на-
шим и ряда других теоретиков взглядам, даже требует естественных обоб-
щении, притом и в неквантовом своем аспекте, среди которых наибольшее
внимание привлекли ныне скалярно-тензорная теория (Йордан — Бранс —
Дикк?;и развивающая гипотезу Дирака о вековом ослаблении константы тя-
готения }i различные варианты «компенсирующей» трактовки гравитации как
калибровочного поля (Вейль, Фок —- Иваненко, Ути яма,' Салам и др.), любо-
пытным образом подсказывающей наличие картановского кручения, а не толь-
ко искривления пространства — времени. Можно сказать, что наука вступила
ныне б третий, после классического ньютоновского и ортодоксального реляти-
вистского эйнштейновского, период исследования гравитации. Не исключено,
что з условиях сверхплотных состояний, на самых малых расстояниях, про-
странство — время существенно изменяет свой характер, приобретая, напри-
мер, некоторую дискретность (давно предсказывавшуюся в работах В. А. Ам-
барцумяна — Д. Д. Иваненко, Снайдера, И. Е. Тамма, Д. И. Блохинцева,
Финкельстейна и др.), или существенно меняя свои топологические свойства
(Уилер, Тредер и др.). Книга Меллера, посвященная второму периоду грави-
тации, вместе с тем дает в ряде случаев отправной пункт и в направлении изу-
чения упомянутых обобщений и новейших астрономических открытий, части
которых, например в области релятивистского исследования планет (Шапиро
и др.), она уже касается.
Наша рекомендация фундаментальной книги профессора Меллера, ко-
нечно, не означает полного согласия с ним в ряде пунктов: в частности, исто-
рического освещения установления СТО и ОТО, признания необходимости
трактовки гравитации как калибровочного (компенсирующего) поля и не-
которых других вопросов.
Мы ограничимся здесь этими краткими пояснениями, считая, что нарушать
характер книги дополнительными статьями и отдельными примечаниями было
бы нецелесообразно. Однако с согласия автора, мы надеемся оказать содей-
ствие читателям, добавив аннотированный и классифицированный список не
отмеченной автором литературы главным образом последних лет (в частности,
недостаточно учтенной отечественной). Вместе с литературой автора книги,
наш список, дополняя историю вопроса, излагая точки зрения многих
авторов, а также сообщая новейшие эмпирические данные, подводит чита-
теля к актуальным проблемам современной физики.
Д. Иваненко
ПРЕДИСЛОВИЕ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ
К моменту выхода первого издания этой книги в 1952 г. теория относи-
тельности казалась всем законченным разделом физики, в котором уже не было
каких-либо интересных проблем, а потому ведущие физики избегали актив-
ной работы в этой области. Однако исследования последних десяти — пят-
надцати лет принципиально изменили ситуацию. Анализ новых проблем и
сторон теории привел к лучшему пониманию ее математической структуры и
физического содержания. Кроме того, интенсивные эксперименталь-
ные исследования в сотрудничестве с астрофизиками обеспечили более надеж-
ное измерение классических релятивистских эффектов и открыли новые воз-
можности применения теории в космологии. Этот прогресс не удивителен, так
как, в отличие от теории тяготения Ньютона, эйнштейновская теория грави-
тационного поля проявляется во всех физических процессах. И хотя эти эф-
фекты чрезвычайно малы, постоянно увеличивающаяся точность гравитацион-
ных экспериментов переводит общую теорию относительности в разряд все
более и более экспериментально проверяемых.
Естественно поэтому, что в настоящее издание включена часть новых
результатов. Ко общий характер книги как достаточно простого введения
в релятивистскую физику не изменился, так как одна часть нового материала
дана в виде упражнений, другая (ее можно опустить при первом чтении) —
мелким шрифтом. Подготовленному читателю именно эти места покажутся
наиболее интересными, хотя они отражают лишь малую часть достижений пос-
ледних лет. Метод изложения такой же, как и в первом издании: комбиниро-
вание абстрактного четырехмерного формализма с более физичньш трехмерным
описанием явлений.
Перечислим основные изменения текста первого издания. Четвертая
глава содержит новое изложение механики точки переменной собственной
массы. Дополнено изложение механики континуума в шестой главе. Седьмая
глава дополнена новыми параграфами по механике сред с внутренней тепло-
проводностью, а разделы, посвященные термодинамике, написаны заново. Из-
менениям подверглось и изложение электродинамики сплошных сред. В гллве
девятой изложены некоторые новые математические методы, которые исполь-
зуются затем для изложения общерелятивистской механики частиц в следую-
щей главе. Здесь же подробно рассмотрены распространение света и свойства
фотонов в гравитационном поле. В одиннадцатой главе обсуждается проблема
динамических величин изолированной излучающей системы в свете новых
достижений; наконец, в двенадцатой главе дается изложение эксперимен-
тальной проверки специальной и общей теорий относительности по<5осгаяншо
на конец 1970 г.
При подготовке этого нового, пересмотренного издания активную помощь
оказали мне сотрудники секретариата Северного института теоретической атом-
ной физики (Nordita). Я с особой благодарностью отмечаю помощь мисс Хелл-
ман, которая столь же старательно, как и двадцать лет назад, помогала
мне при подготовке рукописи к печати.
Копенгаген
Июль 1971 Кристиан Шеллер
ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ
Настоящая монография является расширенным вариантом курса лекций,
который я читаю в Копенгагенском университете последние двадцать лет.
Следовательно, книга в первую очередь предназначена для читателей, чей
уровень математической и физической культуры достаточно высок. Считается,
что изучающие теорию относительности хорошо владеют методами нерелктн-
вистской механики и электродинамики, а также всеми теми разделами, кото-
рые мы называем классической, неквантовой физикой. Такое последователь-
ное исключение всех квантовых эффектов, на первый взгляд, может показать-
ся существенным недостатком книги. Однако для этого есть веские основания.
Во-первых, законченной, непротиворечивой квантовой теории пока нет. Во-
вторых, классическая релятивистская теория, которая уже сама по себе дос-
таточно надежна как база для описания многих физических явлений, как раз и
является фундаментом для будущей непротиворечивой квантовой теории. Для
изучающих квантовую теорию поля или для тех, кто активно работает в этой
области, хорошее знание релятивистской физики столь же необходимо, как
необходимо знание ньютоновской механики для понимания элементарной кван-
товой механики. Да и вообще классическая теория относительности являет-
ся в настоящее время наиболее совершенным разделом теоретической фи-
зики.
Наше изложение несколько отличается от общепринятого тем, что четы-
рехмерной формулировке отводится несколько меньшая роль. Конечно, че-
тырехмерная формулировка, основанная на лоренцевой симметрии пространст-
ва — времени, является изящным способом выражения принципа относитель-
ности на математическом языке, и, кроме того, она позволяет кратчайшим
путем перейти к формулировке общековариантной теории. В ранних руковод-
ствах по теории относительности естественно было специально подчеркивать
именно эту однородность пространственно-временного многообразия. Я по-
лагаю, однако, что в современных руководствах полезно делать акцент имен-
но на различии между пространственными и временной переменными, которое
так легко теряется в четырехмерном формализме.
В первых трех главах мы избегаем поэтому всякого упоминания о четы-
рехмерной картине и релятивистскую механику точки формулируем исклю-
чительно на языке обыкновенного трехмерного векторного анализа. В после-
дующих главах, где используется уже четырехмерный формализм, время
от времени дается трехмерная картина для лучшего уяснения физики яв-
лений.
В книгу вошли только те результаты, которые считаются в настоящее время
хорошо установлеЕшыми; в частности, все попытки построения единых теорий
электромагнитного и гравитационного взаимодействий места в книге не нашли.
Довольно мало уделено внимания космологии, так как эти вопросы очень
широко обсуждаются в серии монографий Толмана. Несмотря на эти ограниче-
ния мы надеемся, что читатель найдет в нашей книге достаточно полное и
последовательное изложение одной из самых красивых во всей истории науки
теорий, большая часть которой создана только одним человеком — Альбер-
том Эйнштейном.
При написании этой работы и подготовке ее к изданию я пользовался
поддержкой и помощью многих моих коллег. Прежде всего я благодарен про-
фессору Нильсу Бору за его постоянный интерес к работе на протяжении мно-
гих лет, за его многочисленные советы и дискуссии в стенах его института.
Я благодарю также профессоров Мотта и Снеддона, прочитавших мою руко-
пись и устранивших из нее мои даницизмы. Я признателен также за их добро-
желательное отношение ко мне.
Я благодарю также докторов Кона и Святецого, магистра Лшгдхарда за
их помощь в проверке формул. И наконец, я выражаю свою признательность
мисс Хеллман за ее неутомимую и многостороннюю помощь при подготовке
рукописи к изданию.
Копенгаген ^ ,,
Ноябрь. 1951 Кристиан Меллер
Глава
ОСНОВЫ СПЕЦИАЛЬНОЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ.
ИСТОРИЧЕСКИЙ ОБЗОР
§ 1.1. Принцип относительности в механике.
Преобразования Галилея
Специальная теория относительности, созданная в начале XX в. главным
образом благодаря работам Эйнштейна, имеет глубокие корни в прошлом.
Эту теорию можно рассматривать как продолжение и обобщение идей, лежа-
щих в основе описания природы, предложенного еще Галилеем и Ньютоном.
Фундаментальный постулат теории — так называемый принцип относитель-
ности* — уже в работах Галилея и Гюйгенса играл определяющую роль в вы-
боре основных законов природы. Справедливость принципа относительности
в механике является простым следствием уравнений Ньютона. Поскольку
последние представляют собой особенно хороший материал для иллюстрации
принципа относительности, мы начнем с рассмотрения чисто механических
явлений.
В соответствии с первым законом Ньютона, законом инерции, всякая
материальная точка, предоставленная сама себе, будет двигаться равномерно и
прямолинейно. Так как мы не можем определить движение иначе, чем движе-
ние одних тел относительно других, то первый закон Ньютона только тогда
считается сформулированным точно, когда установлена система отсчета,
по отношению к которой можно измерить скорость точки. Именно поэтому
Ньютон ввел понятие «абсолютного пространства», по отношению к которому
можно зарегистрировать движение любых материальных тел в природе. Опыт
показывает, что неподвижные звезды в целом с хорошим приближением можно
считать покоящимися относительно «абсолютного пространства», так как любое
достаточно удаленное от неподвижных звезд тело всегда движется относитель-
но них с постоянной скоростью.
Очевидно, однако, что закон инерции должен быть справедлив и во всех
остальных системах отсчета, равномерно движущихся по отношению к абсо-
лютной системе, поскольку во всех этих системах свободные частицы тоже бу-
дут двигаться равномерно и прямолинейно, Все системы отсчета, в которых
справедлив закон инерции, называются ииерциальными системами. Сово-
купность инерциальных систем — это бесконечность в кубе систем, движущих-
ся относительно друг друга равномерно и прямолинейно. Одна из них, покоя-
щаяся относительно неподвижных звезд, является абсолютной. Но с точки
зрения справедливости закона инерции все инерциальные системы полностью
эквивалентны. Тогда в соответствии с принципом относительности в механике
все инерциальные системы должны быть эквивалентными относительно всех
законов механики. Если это так, то все механические процессы должны выг-
лядеть совершенно одинаково во всех инерциальных системах, так что ника-
кое наблюдение таких явлений не дает возможности обнаружить равномерное
движение системы в целом относительно абсолютной системы. Таким образом,
изучение только механических явлений не позволяет выделить абсолютную
систему отсчета.
* В гл. 1—7 речь идет только о специальном принципе относительности, а не
о принципе, лежащем в основе общей теории относительности (ОТО).
10
Мы увидим, что все фундаментальные уравнения механики Ньютона
подчиняются принципу относительности. Рассмотрим две произвольные ннер-
циальные системы отсчета, / и /'. В каждой из них определим системы коор-
динат S и S' соответственно, например декартовы координаты х - (jc, у, z) и
х' ---- {х , у', z') в/и /'. Тогда, имея в виду наше обычное представление о про-
странстве и времени, найдем для радиус-вектора одной и той же точки в двух
системах S и S'
х' = х — v/, (IJa)
где v — вектор скорости системы отсчета 5' по отношению к S; i—время.
Для простоты принято, что при t = О начала двух координатных систем сов-
падают. К уравнению A.1а) следует прибавить условие
Г = U A.1)
из которого следует, что параметр, описывающий ход времени, один и *гот же
во всех системах, в том числе и в S и S'. Это означает, что в механике Ньютона
время — абсолютное понятие. Уравнения A.1а) и A.1) называют часто пре-
образованиями Галилея.
Если оси двух систем координат выбрать параллельными, a v — шэ на-
правлению оси х, получим специальные преобразования Галилея:
х' = х - vt; у' =у\ г' = г; Г = t. fl.2)
Поскольку 5 и S' полностью эквивалентны E движется относительно S'ea
скоростью—v), то преобразования, обратные A.2), легко получить, заменяя
штрихованные величины нештрихованными и наоборот, и учитывая, что v ме-
няет знак.
Рассмотрим теперь произвольное движение точки. Дифференцируя(IJа),
получим
dx'/dt' = dx/dt — v
или
и' = и — v, A.3)
где и и и' — скорости материальной точки в 5 и 5'-системах. Выражение
A.3) представляет собой обычную теорему о сложении скоростей. В случае
специальных преобразований Галилея A.2) использование A.3) дает
и'х = их — v; и'у = иу\ и'г = иг. A.4)
Когда вектор скорости и, а следовательно, и и' перпендикулярны оси г, рав-
нения A.4) можно записать иначе:
и' cos ¦&' — и cos ¦§ — у;
и' sin Ф' = и sin Ф,
где •& и ¦&' — углы между осью х и направлениями и и и' соответственно.
Обозначив и = | и | и и' = | u' | и объединив два последних уравнения,
получим
tgu' = sin ft/cos ft — v/u, 0.Щ
а суммируя их квадраты, находим
\ и и1
Теперь предположим, что материальная точка с массой т движется под
действием силы F. В абсолютной системе координат S движение точки подчи-
няется второму закону Ньютона:
= F. . ,A,7)
II
Из A.1а) и A.1) следует, что
d*x'/dt'2 = d2xldt\ A.8)
а так как в механике Ньютона принято, что сила и масса являются абсолют-
ными величинами, т. е.
F' = F, от' == т, A.9)
то в результате получим
m'dK/dt'* = F'. A.10)
Следовательно, второй закон Ньютона справедлив в любой инерциальной
системе, как это и должно быть в соответствии с принципом относительности.
Другими словами, фундаментальные уравнения Ньютона инвариантны по от-
ношению к преобразованиям Галилея. Хорошо известно, что эта инвариант-
ность нарушается при более сложных преобразованиях, приводящих к поня-
тию ускоренных систем отсчета, так как возникает необходимость введения
фиктивных центробежных сил и сил Кориолиса, зависящих от ускорения сис-
темы отсчета и не следующих непосредственно из динамических уравнений.
Именно это принципиальное отличие инерциальных и неинерциальных
систем отсчета привело к понятию абсолютного пространства.
§ 1.3. Специальный принцип относительности
Принцип относительности в механике не позволяет однозначно выделить
из множества систем отсчета абсолютную систему, оперируя при этом только
механическими явлениями. Расширяя понятие принципа относительности
приходим к основному постулату специальной теории относительности:
принцип относительности справедлив не только для законов механики, но и для
всех остальных физических законов*. В рамках специальной теории относитель-
ности (СТО) все физические законы должны иметь одинаковый вид во всех
инерциальных системах отсчета, т. е. наблюдатели, находящиеся в различных
инерциальных системах, должны получать совершенно одинаковое динами-
ческое описание одних и тех же физических явлений. Если это так, то понятие
абсолютного пространства полностью теряет смысл, поскольку любую инер-
циальную систему с полным правом можно объявить абсолютной системой
отсчета. Конечно, нам никто не мешает назвать абсолютной системой одну опре-
деленную инерциальную систему, например ту, которая покоится относитель-
но неподвижных звезд, и записать все физические законы в координатах вы-
бранной системы. Однако такая процедура чрезвычайно неудовлетворительна
из-аа произвола в выборе самой системы отсчета. Более того, выбор конкрет-
ной системы вносит усложнения в физические исследования. Обычно экспе-
рименты, из которых выводятся физические законы, выполняются не в системе
отсчета, связанной с неподвижными звездами. Если пренебречь ускорением
Земли при ее движении в течение года вокруг Солнца, то с Землей можно
связать инерциальную систему, переход от которой к системе неподвижных
звезд несколько неудобен.
Справедливость принципа относительности для всех физических законов
устраняет саму необходимость преобразований инерциальных систем вслед-
ствие их полной эквивалентности, чем достигается существенное упрощение
способа описания природы.
Однако, как мы увидим ниже, такое упрощение достигается ценой силь-
ного усложнения наших представлений о пространстве и времени. Распро-
* За исключением законов гравитации, которые рассматриваются в ОТО.
32
странение принципа относительности на теорию электромагнитных явлений
означает, как уже отмечалось, что два экспериментатора, установив аналогич-
ную аппаратуру в двух инерциальных системах отсчета, должны независимо
прийти к уравнениям Максвелла для электромагнитного поля. Эти уравнения
содержат фундаментальную константу с — скорость света, которую можно из-
мерить чисто электродинамическим путем (с = 3 • 108 м/сек [272]). Кроме
того, из уравнений Максвелла следует, что электромагнитные волны в вакууме
распространяются со скоростью с, причем скорость эта не зависит от способа
получения волны. Но поскольку по той же теории Максвелла световые волны
имеют электромагнитную природу, скорость света с в вакууме не должна зави-
сеть от кинематического состояния источника света и потому всегда имеет одно
и то же фиксированное значение. Если уравнения Максвелла подчиняются
принципу относительности, то скорость света должна быть одной и той же во
всех инерциальных системах отсчета, независимо от движения источника
света. Это утверждение находится в противоречии с обычной кинематикой,
по которой скорость света будет меньше в S', если обе системы движутся
в направлении светового луча.
Отсюда следует, что принятие принципа относительности обязательно ведет
к пересмотру всей обычной концепции пространства и времени. Но прежде
чем решиться на такой радикальный шаг, необходимо убедиться в его неизбеж-
ности. А такая уверенность может следовать только из анализа результатов
эксперимента. И наиболее пригодными здесь оказываются оптические экс-
перименты вследствие их высокой точности. В следующих разделах мы дадим
поэтому краткий исторический обзор ряда оптических экспериментов, целью
которых было выяснение эффектов, возникающих из-за движения измери-
тельной аппаратуры относительно абсолютного пространства. Все эти экс-
перименты, как мы увидим, дали отрицательные результаты и окончательно
привели к общему признанию специального принципа относительности.
§ 1.3. Инвариантность фазы плоской волны
В противоположность релятивистской точке зрения, в соответствии
с'которой уравнения Максвелла имеют один и тот же вид во всех инерциаль-
ных системах, сам Максвелл и его современники считали, что основные урав-
нения электродинамики справедливы только в одной инерциальной системе,
в такой, которая покоится относительно так называемого мирового эфира.
Под эфиром понималась такая среда, которой заполнено все пространство
и материя, которая является носителем оптических и электромагнитных
процессов. Более того, мировой эфир считался носителем абсолютной системы
отсчета, придавая смысл ньютонову абсолютному пространству. В дальней-
шем мы детально проанализируем эту точку зрения, и нашей первой задачей
будет попытка рассмотреть все эффекты, которые должны иметь место в
любой инерциальной системе, движущейся относительно эфира.
Пусть S — декартова система координат, неподвижно связанная с эфиром.
Относительно S плоская монохроматическая световая волна в пустом про-
странстве имеет скорость с = 3 • 108 м/сек. Волны такого типа полностью
определяются (нормальной) фазовой скоростью, частотой и направлением рас-
пространения. Прежде всего определим свойства преобразований этих трех
величин к новой системе координат S', движущейся относительно эфира с по-
стоянной скоростью v параллельно оси х.
Для простоты предположим, что нормаль к фронту волны лежит в плоско-
сти х, у. Тогда в системе координат S можно написать
= v [t — (xcosa-j-уsma)/c] = v(t — l/c), J
13
где v — частота; а — угол между осью х и нормалью п; I — x cos a +
+ У sin а — расстояние от начала координат О до точки фронта волны р,
имеющей координаты (х, у) (рис. 1).
Фаза F б A.11) имеет простой физический смысл. Предположим, что гре-
бень волны, которая проходит через начальную точку О при t — 0, снабжен
меткой. Пусть наблюдатель находится в точке р и начинает считать проходя-
щие мимо него волны с того момента,
когда помеченная волна достигла
точки р. Тогда количество прошед-
ших волн к моменту времени t как
раз равно F. Поскольку помеченная
волна проходит расстояние Ор за
Не сек, а количество прибывающих
волн за одну секунду равно v, то
наблюдатель считает волны в тече-
ние t — Не сек.
Пусть теперь система S' движется
относительно S, причем обе системы
совпадают в момент времени t = О,
когда помеченная волна проходит
через их общую начальную точку.
Если р' — точка в S' с координатами
(х\ у') такая, что р и р' совпадают
при t = f, то количество волн, прошедших через точку р' с момента времени,
когда помеченная волна прибыла в точку р', до момента времени t, выражается,
как и ранее, числом F. С другой стороны, это же число, сосчитанное наблю-
дателем в точке р', из тех же соображений равно
Рис. 1.
cos
sing
где штрихованными буквами обозначены соответствующие физические вели-
чины, измеренные в системе S'. Таким образом, фаза F является инвариантом.
§ 1.4. Преобразование характеристик плоской волны
Связь между координатами (х, у, f) в A.11) и координатами- (х', у', t')
в A.12) дается преобразованиями Галилея A.2), поскольку р'совпадает с р при
f — /. Решая A.11) и (Ы2) относительно F и исключая координаты (х, у, t)
с помощью A.2), получаем
{(x'-i-vt')cosa. + y' since] )\ yt (^ W cosct'+y' sin a'} \ ,j jg,
с ) { с' }'
Это уравнение должно удовлетворяться для всех значений независимых
переменных х , у', f, но это возможно только при равенстве коэффициентов
в обеих частях уравнения A.13). Отсюда имеем
v' = v [1 — (vie) cos a],
v' sin a'/c' = v sin <x/c; 1
v' cos a'/c' ~ v cos a/c.l
Из AЛ5) следует:
ig a' ¦= tg a;
a = a;
v'2/c'2 — v2/c2.
A.14)
A.15)
A.16)
A.17)
A.18)
14
Решая последнее уравнение относительно с' с учетом A.14), находим
с' — с— v cos a, A.19)
Уравнения A.14), A.17) и A.19) показывают, как изменяются все
характеристики плоской волны, измеренные в координатной системе, движу-
щейся относительно мирового эфира. Из уравнения A.17) следует, что направ-
ление нормали одинаково в обеих инерциальных системах. С другой сто-
роны, если а Ф л/2, уравнения A.14) и A.19) позволяют при известных час-
тоте и скорости определить в принципе направление движения лабораторной
системы относительно эфира. Обсудим эти два вывода подробнее.
§ 1.5. Эффект Доплера
Уравнение A.14), являющееся, по сути дела, математической формулиров-
кой эффекта Доплера для световых волн, дает связь между частотой v' в дви-
жущейся системе отсчета и абсолютной частотой v, измеренной в системе от-
счета, покоящейся в эфире. Если п — единичный вектор в направлении нор-
мали к фронту волны, a v — вектор скорости S' относительно эфира, то A.14)
можно записать в виде
v' = v (I — nv/c), A.20)
где nv — скалярное произведение двух векторов. Эффект Доплера возникает,
когда наблюдатель движется относительно источника света. Однако формулу
A.20) нельзя использовать непосредственно, так как обычно и наблюдатель и
источник света движутся относительно эфира. Если v° — собственная частота
источника света, т. е. частота, измеренная покоящимся относительно источ-
ника света наблюдателем, то по аналогии с A.20) можно записать
v° =v (I — nv°/c), A.21)
где v° — скорость источника относительно эфира.
Исключив из A.20) и A.21) неизвестную абсолютную частоту v, получим
уравнение
1<"*)/* A.22)
v v .
I— (nv°)/c
Частоты v' и v°, направление движения п и относительная скорость
vr= v—v° наблюдателя относительно источника могут быть измерены не-
посредственно. Тогда из A.22) можно определить в принципе абсолютные ско-
рости источника и наблюдателя v° и v.
Однако v и v° малы по сравнению со скоростью с, поэтому A.22) можно
разложить по vie. Если пренебречь всеми величинами порядка малости
выше у/с и v°/c, то из A.22), вводя относительную скорость vr = v — v°,
можно получить
v' = v°{l — (nvr/c) — (nv°) (nvr)/c2}. A.23)
В первом приближении эффект Доплера зависит только от vr. Абсолют-
ная скорость источника света v° входит только в члены второго порядка
малости.
Эффект Доплера наблюдается в спектрах звезд, линии в которых сдви-
гаются в фиолетовую или красную сторону в зависимости от того, удаляется
от звезды или приближается к ней во время измерения система отсчета, свя-
занная с Землей. Орбитальная скорость Земли равна 3 • 104 м/сек, как и
большинство скоростей в космосе, следовательно, и/с ж 10~4. Эффекты вто-
рого порядка выходят за пределы точности оптических измерений.
Доплер-эффект наблюдается также при быстром движении земных источ-
ников света. Измеряя частоту излучения быстро движущихся ионизнрован-
15
ных молекул водорода, Штарк [241] обнаружил хорошее совпадение резуль-
татов с A.23) в первом приближении по vie. Вэтих экспериментах относитель-
ная скорость vT, а следовательно и, была порядка 108 м/сек, т. е. vie « 1/300.
Однако и в этом случае величины второго порядка малости все еще слишком
малы, чтобы быть измеренными, поэтому опыты Штарка не позволяют опре-
делить абсолютную скорость.
Позднее, уже в тридцатых годах, опыты повторил Айве [120] на улуч-
шенной аппаратуре, что позволило определить величины второго порядкп.
Полученные при этом результаты не согласовались с A.23), но подтвердили
формулу B.90) (см. § .11), полученную в рамках СТО. Величины второго
порядка оказались не зависящими от направления распространения света;
они зависели только от vT. В соответствии со СТО, движение относительно
эфира обнаружено не было.
Эти эксперименты были выполнены гораздо позже, и, конечно, не они
оказали влияния на признание СТО, а из экспериментов Штарка еще
нельзя было сделать выводов в пользу принципа относительности, хотя они
ему и не противоречили.
§ 1.6. Скорость света в вакууме
Вернемся теперь к вопросу, можно ли измерениями скорости света обна-
ружить абсолютное движение Земли. Поскольку в A.19) входит v,
с'=с—(nv), A.24)
отсюда следует, что такая принципиальная возможность существует. Хорошо
известные измерения скорости света, выполненные Физо [91] и Фуко в 1865 г.,
не обнаружили никакого влияния движения Земли на значение с. Как же по-
нять этот фундаментальный факт с точки зрения теории эфира?
Прежде всего, следует заметить, что на самом'деле измерялась не фазовая
скорость волны, а групповая. Например, в опытах Физо световой сигнал по-
сылается вдоль некоторого пути туда и обратно и измеряется промежуток вре-
мени между моментами излучения и приема сигналов. Однако скорость свето-
вого сигнала равна фазовой скорости с только тогда, когда система S покоится
относительно эфира; в системе S' скорость светового сигнала уже не будет
равна фазовой скорости с' A.24). Это легко понять, если учесть, что световой
сигнал — это вполне определенное количество электромагнитной энергии,
а энергия, как и масса, является величиной сохраняющейся, так что световой
сигнал в некотором отношении следует рассматривать здесь как материальную
частицу. Следовательно, мы должны ожидать, что скорость светового сигнала
в S' определяется из A.3), A.5) и A.6), если положить в этих уравне-
ниях и — с, т. е. скорости света в эфире.
Строгие рассуждения на основе волновой теории света подтверждают
этот предварительный вывод. Из волновой теории следует, что эфир в движу-
щейся системе координат ведет себя как анизотропная среда, откуда и следует
различие между фазовой и групповой скоростями, причем последняя, дейст-
вительно, определяется из A.3). Чтобы проиллюстрировать это, используем
принцип Гюйгенса, справедливый в геометрической оптике, как следствие
теории электромагнетизма Максвелла. В соответствии с этим принципом каж-
дая волновая поверхность получается как огибающая элементарных волн,
испущенных из каждой точки?предыдущей волновой поверхности.
Рассмотрим распространение света в системе координат S', движущейся
со скоростью v относительно системы эфира S. В S' мы «ощущаем эфирный
ветер» со скоростью v, переносящий световую волну так же, как звуковую
волну несет атмосферный ветер.
На рис. 2 приведена диаграмма последовательных положений световых
воли в системе 5'. Пусть поверхность о изображает фронт данной световой
16
волны в момент времени t. Чтобы получить фронт этой волны otB момент вре-
мени t + dt, возьмем произвольную точку Р поверхности о, которую считаем
центром испускания элементарной волны. Эта элементарная волна в момент
t -f dt образует сферу Е с центром в точке Q, которая из-за эфирнбго ветра
лежит на расстоянии vdt от точки Р в направлении ветра. Поэтому инфините-
зимальный вектор PQ равен
= —\dt.
A.25)
Поскольку скорость распространения элементарной волны в эфире равна с,
сфера Е имеет радиус QPX —cdt. Волновой фронт ах получается как огибаю-
щая всех элементарных волн; поэтому вектор QPy перпендикулярен ог в точ-
ке Рг и в пределе, когда dt —>-0, перпендикулярен и фронту а.Таким образом,
вектор QP1 лежит в направлении фазовой скорости волны, отсюда
QP1 = cdt = cndt,
A.26)
Рис. 3.
где с = пс — вектор фазовой скорости волны в эфире. В системе S' (нор-
мальная) фазовая скорость определяется соотношением
t, A.27)
где п' — единичный направляющий вектор нормали к волне в системе S'. Из
A.17) имеем
п' = п. A.28)
Из формул A.25) — A.28) снова получаем соотношение A.24) между
с' и с, если учтем, что
РВ = QP1 = cdt,
а ВА — проекция вектора ВРУ — PQ — —\dt на направление п.
Относительное направление луча, т. е. направление распространения све-
товой энергии с точки зрения наблюдателя в 5', определяется вектором РРХ.
Тогда, обозначив и' относительную скорость луча, получим:
P~Px = \x'dt = ti'e;'dt, A.29)
где е' — единичный направляющий вектор скорости. Вектор РРХ равен
сумме векторов PQ и QP^.
$ С1-30)
Отсюда, учитывая A.25), A.26) и A.29), в пределе dt -> 0 получаем
и' - с —v. A.31)
17
В абсолютной системе отсчета групповая скорость (скорость луча) сов-
падает с фазовой скоростью:
и = ие = с = сп, A.32)
т. е.
и = с, е = п — п',
так что A.31) можно представить в виде
u=u— v. A.33)
Таким образом, мы получили теорему сложения для групповых скоростей,
аналогичную теореме сложения скоростей для частиц. Если Ф и Ф' — углы
между вектором v и направлениями абсолютной и относительной скоростей
луча соответственно, то из векторного треугольника (рис. 3), учитывая, что
и — с, имеем
tg ¦&' = sin fl/(cos fl — v!c) A.34)
и
и2 + у2 -f 2 vu' cos 6' = m2 — c\
Решая это уравнение относительно и', получаем
и'=(с* — у2 + у2 cos2 УI/2 — vcos®f = {c*— y2-f(ve'J}1/2 — (ve'). A.35)
Из сравнения A.35) и A.24) следует, что относительная групповая скорость
в общем случае отличается от относительной фазовой скорости на величину
порядка v/c. И только тогда, когда направление луча (направление нормали
к волне) совпадает или противоположно направлению v, обе скорости одина-
ковы и равны с — v и с + v соответственно. Очевидно, что скорость, изме-
ряемая по методу Физо и Фуко, есть групповая скорость, но, поскольку в фор-
муле A.35) содержится v, в принципе с помощью таких измерений можно опре-
делить абсолютную скорость Земли. Однако легко понять, почему в таких
опытах не обнаружено никаких изменений в скорости света. В экспериментах
Фуко и Физо лOч света направлялся по известному замкнутому пути и изме-
рялось время прохождения луча по этому пути. Луч света для увеличения
этого пути многократно отражался соответствующим образом расставленными
зеркалами. Пусть 1г, /2. ••¦> 1п — расстояния между зеркалами, a ei, ег, ..., е,'3 —
соответствующие единичные направляющие векторы луча света; тогда,
очевидно, справедливо соотношение
2^е/ = 0, A.36)
i
поскольку луч описывает замкнутый многоугольник. Время прохождения луча
по этому многоугольнику, согласно A.35), равно
Разлагая это выражение в ряд по малому параметру vie и ограничиваясь ве-
личинами первого порядка малости, получаем
В соответствии с формулой A.36) все величины первого порядка в этом разло-
жении исчезают, и, следовательно, в данном приближении имеем
Таким образом, в первом приближении измеряемое время оказывается
таким, как если бы Земля покоилась относительно эфира. Следовательно, опре-
18
деление абсолютной скорости v требует измерения величин второго порядка
малости. Однако методы Физо и Фуко не обладают такой точностью, и поэтому
даже на основе теории эфира получается, что результаты этих опытов соответ-
ствуют принципу относительности. Гораздо позже Майкельсону удалось
разработать метод, позволяющий измерять величины второго порядка мало-
сти и дать тем самым окончательное доказательство справедливости прин-
ципа относительности. Мы, однако, будем придерживаться исторической после-
довательности событий и вернемся к обсуждению экспериментов Майкельсона
в § 1.12.
§ 1.7. Скорость света в преломляющих средах
До сих пор мы рассматривали распространение света в вакууме. Теперь
предположим, что пространство заполнено изотропным прозрачным веществом
с показателем преломления п. Если эта среда покоится относительно эфира, то
фазовая скорость света в абсолютной системе S, в соответствии с феноменоло-
гической электродинамикой Максвелла, равна
/г-М'/г, A.38)
где е — диэлектрическая постоянная, а \х — магнитная проницаемость. Тогда
фазовая скорость с[ относительно движущейся системы координат по аналогии
с A.24) определяется формулой
с; = С1-(пу). A.39)
Эта формула справедлива, если преломляющая среда покоится в абсолютной
системе S. Теперь предположим, что среда движется относительно S со ско-
ростью v, т. е. покоится относительно S'. Как в этом случае определить фазо-
вую скорость в S'?
Эта проблема обсуждалась неоднократно. Проще всего предположить,
что формула A.39) остается справедливой, т. е. эфир проходит сквозь среду
без возмущений и не увлекается ею. Тогда в системе S' эфирный ветер имеет
скорость—-v, и можно с помощью принципа Гюйгенса тем же способом, что и
в § 1.6, найти групповую скорость. Для этого достаточно в A.35) заменить
с фазовой скоростью сх = с/п:
u' = {c2 —oa + (ve')a}l/2—(ve'). A.40)
По другой гипотезе, впервые выдвинутой Стоксом [244, 245], эфир пол-
ностью увлекается движущейся средой. Тогда, очевидно, имеем
и' = с\ = с/п, A.41)
так как эфирного ветра в системе S' нет.
Возможен третий вариант: эфир лишь частично увлекается движущейся
средой, скажем, со скоростью <xv, где «коэффициент увлечения» а — положи-
тельное число, меньшее единицы и зависящее от показателя преломления п.
Эта гипотеза предложена Френелем [97], который, основываясь на теории
упругого эфира, получил следующее выражение для коэффициента увлечения:
ее = 1—\1пг. A.42)
По этой гипотезе скорость системы S' относительно увлеченного эфира
равна v — av = v/n2. Тогда вместо A.39) получим
с;=с;—(пу)/яя, A.43)
где с* — с/п — фазовая скорость в системе S*, связанной с увлекаемым эфи-
ром. Следовательно, для фазовой скорости в абсолютной системе 5 имеем
формулу
c1 = cj + a(vn)--=c/n4-(vn)(l — l/n2), A.44)
так как система S движется со скоростью — av относительно S*.
19
Чтобы найти относительную групповую скорость и' по методу, изложенно-
му в § 1.6, мы должны вместо системы S использовать систему S*, которая
играет ту же роль, что и система S в предыдущем рассмотрении. Поскольку
эфирный ветер в S' имеет скорость — \п%, то по аналогии с A.31) имеем
и' = с* v/n2, A-45)
где вектор с* с модулем с* = с/п есть фазовая скорость в системе S*. Величину
относительной групповой скорости получим из A.35), заменяя с и ( — v) на
с\ = с/п и ( — v/n2) соответственно, т. е.
В абсолютной системе S имеется эфирный ветер, движущийся со ско-
ростью av = A—Мп1) v. Поэтому формулу для абсолютной групповой скоро-
сти и по аналогии с A.45) и A.46) можно записать в виде
u = c; + av; u = {clz—сад2+a2(veJ}-f a(ve); a=l —1/яа; c[ = cln, A.47)
откуда, пренебрегая величинами второго порядка малости, получаем
и = с/п + a (ve). A*48)
Исключая из A.45) и A.47) скорость с\, снова получаем простую теорему сло-
жения скоростей
и = и' + v. A.49)
При сравнении уравнений A.43), A.46), A.47) и A.44) видно, что груп-
повая скорость совпадает с фазовой, если направление распространения света
совпадает или противоположно направлению скорости v. Без всяких вычисле-
ний это следует из того факта, что в этом случае эфирный ветер несет элемен-
тарные волны в направлении светового луча. Все вышеизложенное справедли-
во и для неоднородных сред с непрерывно изменяющимся коэффициентом пре-
ломления с той лишь разницей, что система отсчета S*, зависящая от вели-
чины п, изменяется при переходе от точки к точке неоднородной среды.
§ 1.8. Эксперименты Хука и Физо
Измерения скорости света в прозрачных средах дают еще один способ оп-
ределения абсолютного движения Земли. Подобный эксперимент выполнен
Хуком [115], который использовал интерферометр, схематически изображен-
ный на рис. 4. Монохроматический луч света из источника L разделялся стек-
лянной (слабо посеребренной) пласти-
t l ной Р, расположенной под углом 45°
5у '* ч5 к направлению луча, на два пучка,
1 ' ? один из которых (луч 1) проходил через
пластину, а другой (луч 2) отражался.
, Луч 1 с помощью зеркал S1( S2, S3 на-
правлялся по периметру прямоугольни-
t a '"* ка PSX S2 S-sP и снова, частично прохо-
дя через пластину Р, попадал на объек-
тив телескопа Т. Луч 2 проходил тот же
Рис 4. самый путь в противоположном направ-
лении и, частично отражаясь от плас-
тины Р также попадал на объектив Т, где интерферировал с лучом 1. Между
So и S3 устанавливалась труба длиной /, заполненная прозрачной средой
с показателем преломления «"(например, водой). Даже если вся аппаратура
покоится в эфире, такое устройство приводит к появлению интерференцион-
20
°
ньи полос в телескопе, поскольку невозможно установить наклон зеркал
с такой точностью, чтобы оба луча проходили пути с одинаковой оптиче-
ской длиной. Но если все устройство движется со скоростью v относительно
эфира, то возникает дополнительный сдвиг фаз AF между лучами 1 и 2, кото-
рый можно вычислить по формулам A.40), A.41) или A.46).
Для простоты предположим, что линии PSx и S*SS параллельны скорости
v движения аппаратуры относительно эфира. Результирующий сдвиг фаз
обусловлен, очевидно, разностью промежутков времени tx и t2, в течение кото-
рых лучи 1 и 2, соответственно, проходят расстояние А В трубы и равное ему
расстояние CD стороны PS1. Оставшиеся отрезки пути DS^^B и AS3PC не
дают никакого вклада в AF, так как на этих участках оба луча совершенно
эквивалентны.
Значения t± и t^ зависят от степени увлечения эфира преломляющей сре-
дой. При отсутствии эффекта увлечения в соответствии с A.40) имеем
UL + L t - ' ¦ 1
с — v (cjn)-\rv " (c/n)—v c-J-o
Здесь значение коэффициента преломления для воздуха мы положили равным
единице. Разность фаз AF, обусловленная лишь абсолютным движением аппа-
ратуры, определяется выражением
AF = v(ts — /,) = 2hv {\l\{clnJ — v2} — 1/(с2 — v2)}.
Отсюда, пренебрегая величинами высшего порядка малости относительно
vie, в первом приближении получим
= — - —(я2— 1). A.50)
с
Когда аппаратура покоится относительно Земли, скорость v совпадает с аб-
солютной скоростью Земли. Поэтому, поворачивая все устройство на угол 180°
вокруг оси, перпендикулярной направлению движения Земли, получаем для
разности фаз величину — AF. Такой поворот вызовет смещение интерферен-
ционных полос, соответствующее сдвигу фаз 2AF, а поскольку ЛР, определяе-
мая по A.50), есть величина порядка vie, то ее легко измерить.
Однако результат эксперимента Хука оказался отрицательным: никакого
смещения интерференционных полос после поворота аппаратуры не наблю-
далось. Этот результат также полностью подтверждает принцип относитель-
ности, в соответствии с которым все эффекты не должны зависеть от движения
измерительных инструментов.
Поскольку точность измерений в эксперименте Хука не превышала vie, от-
рицательный результат этого эксперимента не привел к серьезным трудностям
для эфирной теории; он показал только, что предположение об отсутствии
увлечения эфира преломляющей средой неверно. Аналогично результат экс-
перимента Хука отвергает гипотезу Стокса, так как в'соответствии с этой гипо-
тезой из A.41) получаем следующее значение для AF:
AF = —B/v/c) (vie). A.51)
С другой стороны, формулы A.43) и A.45), соответствующие коэффициен-
ту увлечения A.42), позволяют объяснить результат Хука. В этом случае из
A.45) и A.46) имеем:
= v
с\п—-l'/п2 с+у c/n-i-vfri1 с—v
= 2ivv ( —). A.52)
\ са—(о/л)а с1—о2 ) V '
21
Рис. 5.
И, пренебрегая величинами порядка (vlc)-
и выше, получаем нулевой результат..
Таким образом, только гипотеза Фре-
неля дает в первом приближении ну-
левое значение для А/7. Поэтому опыт
Хука, но крайней мере в первом при-
ближении, можно считать экспери-
ментальным подтверждением формулы
Френеля для скорости света в движу-
щихся средах. Несколько раньше Физо
[91, 92], Майкельсон и Морли [154] по-
лучили такой же результат при измере-
нии скорости света в движущейся воде. Методика эксперимента была во мно-
гом сходна с методом Хука (рис. 5). Различие заключалось лишь в том, что
у Физо лучи 1 и 2 проходили сквозь воду как на участке 52S3, так и на участ-
ке Р8г. Как видно из рисунка, направление движения луча 2 в воде совпадало
с направлением движения воды, а направление луча 1 было противополож-
ным движению воды. Физо сравнивал положения интерференционных полос,
когда вода покоилась в трубе и когда текла с большой скоростью. При этом
результирующий сдвиг полос можно было измерить.
Из эксперимента Хука известно, что движение Земли относительно эфира
дает эффект лишь второго порядка, поэтому при вычислениях можно считать,
что аппаратура покоится в абсолютной системе S. Тогда в A.48) вектор v равен
скорости движения воды в трубе. Поскольку вектор е на участках АВ и CD
параллелен v, из A.48) имеем
Д/7 =/v [{c/n—v A — 1/ге8)}-1—{с/п + v (\ — \/n2)}-1] = Blvv/c2) (/г2—1), A.53)
где / — общее расстояние, которое луч света проходит в воде. Результаты
измерений фазового сдвига в опыте Физо полностью соответствовали формуле
A.53).
§ 1.9. Электронная теория Лоренца
Результаты рассмотренных экспериментов можно считать убедительным
доказательством справедливости формул Френеля A.42)—A.48), по крайней
мере в первом приближении.
Однако вывод этих формул для сред с показателем преломления, завися-
щим от частоты света, на основе примитивной теории эфира встречается с серь-
езными трудностями. Поскольку коэффициент увлечения а в A.42) есть функ-
ция от п, то увлечение эфира зависит не только от свойства движущейся среды,
но также и от частоты. Строго говоря, для каждой длины волны (цвета) све-
тового сигнала нужно рассматривать отдельный эфир, что, конечно, сделать
невозможно.
В этом заключается трудность как для механической теории эфира Фре-
неля, так и для максвелловской феноменологической теории, в которой эфир
является системой отсчета, где справедливы уравнения Максвелла. Факти-
чески, вследствие зависимости эффекта увлечения от частоты, невозможно опре-
делить ту систему отсчета, в которой была бы справедлива электродинамика
Максвелла.
Эта трудность связана с тем, что коэффициент преломления в этой тео-
рии — постоянная величина, равная (e[i)i/2, что никак не объясняет явление
дисперсии. Удовлетворительное объяснение дисперсии и эффекта увлечения
дано Лоренцем в его электронной теории [149] (см. также Розенфельд [2113).
В соответствии с теорией Лоренца, эфир вообще не увлекается преломляющей
средой и всегда покоится в определенной инерциальной системе — абсолют-
ной системе. Предполагается, что материальная среда состоит из атомов, ко-
торые содержат в себе как положительно, так и отрицательно заряженные
22
4 1стицы. Положительные частицы составляют практически всю массу атома,
а отрицательные частицы (электроны) очень легкие по сравнению с положи-
тельными. Под действием электромагнитных полей в световых волнах электроны
совершают вынужденные колебания около положения равновесия. Поэтому
электроны сами испускают электромагнитные волны, интерферирующие с па-
дающими волнами таким образом, что эффективная скорость света в покоящей-
ся среде становится равной с/п вместо с.
Отсюда следует, что коэффициент п в общем случае зависит от соотноше-
ния между частотой падающей волны и собственной частотой электрона. Более
того, Лоренц смог показать, что равномерное движение среды так изменяет
волны, испущенные колеблющимися электронами, что эффективная фазовая
скорость света в движущейся среде определяется в первом приближении
формулами Френеля A.43) и A.44).
Таким образом, при изучении распространения света в преломляющих
веществах электронная теория Лоренца дает, по крайней мере в первом при-
ближении, те же результаты, что и теория Френеля, однако уже без тех серьез-
ных возражений, которые могут возникнуть при выводе формул Френеля.
Она даже допускает более точную формулировку выражения A.44) теории
Френеля, Поскольку показатель преломления п в диспергирующей среде зави-
сит от частоты v, а частоты вследствие доплер-эффекта различны в системах
5 и S', необходимо уточнить то значение для частоты и, тем самым, такое п,
которые следует подставлять в формулу A.44). Лоренц смог показать, что необ-
ходимо подставлять значение п (v'), где v' — частота в системе S', движущей-
ся вместе с преломляющей средой, в то время как я — функция от частоты,
измеренной в преломляющей среде, покоящейся относительно эфира.
Мы не будем углубляться дальше в теорию Лоренца, так как во второй
главе все упомянутые выше результаты получим более просто с помощью СТО.
Отметим только, что в первом приближении формулы Френеля A.42)—A.48)
являются следствием электронной теории. В следующем параграфе мы исполь-
зуем эти формулы, чтобы показать, что для всех оптических эффектов первого
порядка эфирная теория в форме, данной Лоренцем, приводит к результатам,
соответствующим принципу относительности.
§ 1.10. Соответствие между теорией эфира и принципом
относительности для всех эффектов первого порядка.
Принцип Ферма
Согласно принципу относительности путь светового луча, соединяющего
две фиксированные точки на поверхности Земли, совершенно не зависит от
ее абсолютного движения. Это должно быть справедливо по крайней мере при-
ближенно, иначе было бы невозможно получать устойчивые оптические изо-
бражения предметов. Если бы прохождение луча сквозь систему линз оптиче-
ских инструментов заметно зависело от абсолютного движения Земли, то полу-
чаемое при этом изображение изменялось бы во времени. Однако такой эф-
фект никогда не наблюдался.
Лоренц [149] показал, что этот факт можно объяснить, основываясь на
электронной теории, если предположить, что все эффекты второго порядка
слишком малы и Fie поддаются измерению. Этот результат теории Лоренца тем
более удивителен, если учесть, что относительная групповая скорость и' в
первом приближении существенно зависит от абсолютной скорости v. Так, пре-
небрегая в A.46) всеми членами высшего порядка начиная со второго, получаем
и' = cln— (v. е')/н2. A.54)
Чтобы построить путь луча, снова рассмотрим рис. 2 (с. 17). В соответствии
с A.29) имеем
T1 = u't> dt,
23
где и' определяется выражением A.54), а е' —единичный вектор относитель-
ного направления луча, проходящего через точку Р. Теперь вместо A.25)
и A.26) имеем
QP1 = cdtln и PQ = ~ vdt/n*,
где п—показатель преломления среды в рассматриваемой точке, причем
в данном случае система S*, покоящаяся в «увлеченном» эфире, играет
ту же роль, что и «абсолютная» система S в вакууме. Назовем две точки
Р и Рг, лежащие на одном луче и на последовательных волновых поверхнос-
тях о и о±, сопряженными точками. Тогда построение траектории светового
луча сводится, очевидно, к определению сопряженных точек на последова-
тельных волновых поверхностях. Рассмотрим на а л а± две произвольные точки,
определим расстояние между ними ds с направляющим вектором е' и об-
разуем величину ds/u'y где и берется из A.54). Если эти две точки сопряжен-
ные, подобно точкам Р и Р' на рис. 2, то dslu = dt, где dt — время перемеще-
ния фронта из положения а в положение аг. Если же две точки несопряженные,
как, например, точки Р и R (см. рис. 2), то dslu' всегда больше dt. В этом слу-
чае dt — PR'/u', где R' — точка пересечения элементарной волны Е с отрез-
ком PR, и поскольку PR > PR', то ds^> u'dt.
Пусть А и В — две фиксированные точки в преломляющей среде. Рас-
смотрим интеграл
в
(I.55)
вдоль произвольной кривой, соединяющей эти точки, где и — относительная
групповая скорость A.54) в точках кривой АВ. В соответствии с вышесказан-
ным полагаем, что интеграл A.55) принимает минимальное значение, когда
кривая АВ совпадает со световым лучом, проходящим через точки А и В,
так как только в этом случае любой элемент ds кривой соединяет сопряжен-
ные точки.
Таким образом, луч между двумя произвольными точками А и В опре-
деляется из условия минимума интеграла A.55), а поскольку интеграл равен
времени прохождения луча из точки А в точку В, то это условие тождествен-
но принципу Ферма, который, как видим, есть следствие принципа Гюйгенса.
С помощью A.54) в первом приближении получим
1/и'= 1/[б7л—(ve')/n2] = n/c + (ve')ca, A.56)
откуда
в в / в \
{ dslu' = (Цс) \ nds + A/с2) v J ds , A.57)
А А \ А }
где ds = e'ds — инфинитезимальный вектор, соединяющий две сопряженные
точки кривой АВ. Последний член в A.57) равен проекции кривой АВ на на-
правление v, умноженной на vie2, и эта проекция одинакова для всех кривых,
связывающих фиксированные точки А и В.
Следовательно, при варьировании интеграл A.55) можно заменить ин-
тегралом
в в
A.58)
Это выражение равно времени прохождения светового луча из точки А
в точку В преломляющей среды, покоящейся в эфире. Поэтому в первом при-
ближении распространение света одинаково как в движущейся, так и в покоя-
24
щейся среде, что соответствует принципу относительности. Если на пути
луча в покоящейся среде расположить экраны с малыми отверстиями, то луч
пройдет через эти отверстия и в том случае, если вся аппаратура движется
с постоянной скоростью.
Из эксперимента Хука следует, что интерференция света, по крайней
мере в первом приближении, не зависит от абсолютного движения Земли.
В последующих экспериментах также не было обнаружено никакого влияния
абсолютного движения Земли на интерференционную картину. Хотя все эти
результаты согласуются со специальным принципом относительности, Лоренц
показал [149], однако, что их можно легко объяснить также и на основе эфир-
ной теории, если предположить, что эффекты второго порядка малости лежат
за пределами точности измерений.
Рассмотрим произвольный интерференционный эксперимент с аппара-
турой, покоящейся в системе S', которая движется вместе с Землей. В подоб-
ных экспериментах всегда используются два луча, 1 и 2, которые испускаются
из одной точки А и, следуя различными путями, приходят в точку В один поз-
же другого. Время ix прохождения из точки А в точку В луча 1 и время t2 луча
2 согласно A.57) определяется по формулам:
tx = J dslu' = \ (л/с) ds + A/с2) ( v jj ds) ;
t, = \ ds/u' = ) (njc)ds + A/c2) (v) ds],
и и \ п
где интегралы вычисляются по соответствующим траекториям лучей I и II.
Поскольку конечные точки интегрирования для обоих лучей совпадают, по-
следние члены в A.59) равны, а разность tx— tz определяется выражением
М = t1—t.1 =5j (nlc)ds— 5j (n/c)ds. A.60)
i ii
Таким образом, значение At такое же, как и в случае покоящейся отно-
сительно эфира аппаратуры. Отсюда следует, что разность фаз лучей 1 и 2
в точке В, определяемая произведением Д^ на частоту, не изменяется при по-
вороте всей аппаратуры на 180°, приводящем к противоположной ориентации
аппаратуры относительно направления движения Земли. Поэтому такой
поворот (в первом приближении) не вызывает никакого сдвига интерферен-
ционных полос.
§ 1.11. Аберрация света
В предыдущих параграфах мы видели, что направление движения све-
тового луча, по крайней мере в первом приближении, не зависит от абсолют-
ного движения источника света и наблюдателя. Однако направление луча су-
щественно зависит от скорости источника относительно наблюдателя. Это яв-
ление, называемое аберрацией, впервые наблюдал в 1727 г. Брэдли [34], ко-
торый заметил, что все звезды совершают совместное годовое движение по небу.
Это кажущееся движение вызывается тем, что наблюдаемое направление све-
тового луча, испущенного звездой, зависит от скорости Земли относительно
звезды. Чтобы найти величину аберрации, рассмотрим находящуюся вне ат-
мосферы Земли точку Р\ неподвижную относительно системы отсчета S', дви-
жущейся вместе с Землей. Согласно вышеизложенному, аберрация зависит
только от относительной скорости звезды и наблюдателя. Поэтому для прос-
тоты можно предположить, что звезда покоится в абсолютной системе S. Те-
перь рассмотрим луч света, испущенный звездой и проходящий через точку
Р'. Абсолютное направление луча определяется тем направлением, в кото-
ром наблюдалась бы звезда, если бы Земля покоилась относительно эфира,
а относительное направление определяется кажущимся положением звезды.
25
Поскольку для точки Р' показатель преломления равен единице, соотношение
между абсолютным и относительным направлением луча определяется фор-
мулой A.34). Пусть Э и 6'— углы между направлением движения Земли и
действительным и кажущимся направлениями на звезду. Тогда Ь = я + 8-
и ¦б1' = д + 8' и из формулы A.34) получим
tg6' = sin 0/(cos 9 -f- vie). A.61)
Поскольку путь луча от точки Р' к телескопу на Земле в первом прибли-
жении не зависит от движения Земли, то на этом пути свет не подвергается
последующей аберрации. Это верно даже при прохождении луча сквозь сильно
преломляющее вещество, например, даже если телескоп заполнен водой. По-
добный эксперимент выполнил ойри [9, 10, 11], который показал, что абер-
рация не изменяется в присутствии воды.
§ 1.12. Эксперимент Майкельсона
Результаты всех рассмотренных нами экспериментов соответствовали
постулату относительности, однако точность измерений (за исключением экс-
перимента Айвса, выполненного значительно позже) была недостаточна для
учета эффектов второго порядка малости и выше. В таком приближении элект-
ронная теория Лоренца, основанная на концепции абсолютного эфира, со-
гласовывалась с постулатом относительно-
сти. Движение Земли относительно эфира,
в соответствии с теорией Лоренца, приво-
дило к эффектам лишь второго порядка
малости. Поэтому для решающей экспери-
ментальной проверки справедливости
принципа относительности чрезвычайно
важно было найти способ измерения этих
эффектов. Это было сделано в 1881 г. Май-
кельсоном [153, 155], который измерял
(скорость света с помощью интерферомет-
ра, схематически изображенного на рис. 6.
s Полупрозрачной посеребренной пласти-
1 ной Р луч света из источника L разделял-
ся на два перпендикулярных луча 1 и 2.
*~ Первый луч, пройдя сквозь пластину, от-
ражался зеркалом Sx обратно на эту пла-
стину, где опять частично отражался и по-
падал в телескоп Т. Второй луч отражал-
ся зеркалом S2 и также попадал в теле-
скоп Т, где интерферировал с лучом 1. Если даже аппаратура и покоится
относительно эфира, в телескопе и в этом случае должны наблюдаться ин-
терференционные полосы.
Теперь предположим, что отрезок PSt параллелен направлению движе-
ния Земли в эфире и имеет одинаковую с отрезком PS2 длину /. По формуле
A.35) легко вычислить разность фаз AF лучей 1 и 2, обусловленную движе-
нием аппаратуры в эфире. Пусть t1 — время прохождения луча 1 от Р до S2 и
обратно, тогда
I /
Рис. 6.
С — V
c-\-v
1 — v" I с1
так как е' параллелен скорости v. Аналогично находим время t^, необходимое
лучу 2 для прохождения от Р до 52 и обратно, и поскольку в этом случае
вектор е' всегда перпендикулярен вектору v,
*2 = 2J(ca —о2)-1'2. A.63)
26
СКбрасывая величины высшего порядка малости по сравнению со вторым,
получаем искомую разность фаз AF
c3. A.64)
При повороте всего прибора на угол 90° так, чтобы отрезок PS2 стал
параллельным v, разность фаз становится равной — Д/7. Следовательно, такой
поворот вызывает сдвиг интерференционных полос, соответствующий разности
фаз 2AF.
По расчетам сдвиг интерференционных полос, вызванный разностью фаз
2Д/\ ожидался равным одной трети расстояния между полосами, но, не-
смотря на то, что аппаратура позволяла измерить сдвиг в сто раз меньший,
никакого эффекта обнаружено не было. Таким образом, здесь мы впервые
встретились с экспериментом, указывающим на то, что принцип относитель-
ности справедлив по крайней мере с точностью до малых второго порядка*.
§ 1.13. Гипотеза о совращения
Результат эксперимента Майкельсона привел к большим трудностям для
гипотезы эфира. Мапкельсон сам пытался объяснить отсутствие эффекта пол-
ным увлечением эфира Землей в ее движении вокруг Солнца. В этом случае
на поверхности Земли, полагал Майкельсон, не должно быть никакого эфир-
ного ветра, но он может наблюдаться на больших высотах. Поэтому Майкель-
сон повторял эксперимент на вершине горы и опять получил отрицательный
результат. Такое предположение противоречило также всем оптическим опы-
там и электронной теории Лоренца, согласно которым увлечение эфира проис-
ходит лишь частично внутри преломляющей среды.
Чтобы объяснить отсутствие влияния движения Земли на результаты экс-
перимента Майкельсона, Лоренц [146] и Фицджеральд [145] независимо друг
от друга выдвинули гипотезу о сокращении любого твердого тела, движущего-
ся со скоростью v в направлении движения, причем относительное сокращение
равно A — vVc2)^2. Тогда в эксперименте Майкельсона длина отрезка PSX
равна не /, а / A — v2'cl)xl~, в то время как длина отрезка PS.Z остается не-
изменной, поскольку PS.2 составляет прямой угол с направлением движения
аппаратуры. Отсюда вместо A.62) для величины ty получаем формулу
tiT=2l(c*-v2)-l[* = t2, A.65)
так как t2 определяется из A.63). В этом случае разность фаз Д/7 становится
равной нулю, в полном согласии с экспериментом Майкельсона.
Согласно этой странной гипотезе, стержень, имеющий длину 10, если он
перпендикулярен направлению движения Земли, имеет более короткую длину
A.66)
если он параллелен направлению движения Земли. Конечно, на Земле это уко-
рочение измерить невозможно, так как все тела, в том числе и измерительная
линейка, сокращаются в одинаковой степени. Только внеземной наблюдатель,
неподвижный относительно эфира, сможет, в принципе, наблюдать такое уко-
рочение и обнаружить, что сама Земля и все предметы на ней сокращаются
в направлении движения Земли.
Гипотеза о сокращении кажется слишком неправдоподобной с первого
взгляда, но, как подчеркивал Лоренц [149], ее нельзя избежать в рамках
концепции абсолютно неподвижного эфира. С этой точки зрения результат
Майкельсона с таким же основанием может рассматриваться прямым дока-
зательством гипотезы о сокращении, с каким сдвиг интерференционных полос
* Результаты Майкельсона позже были подтверждены несколькими исследовате-
лями [124, 119]. В противоположность этим результатам Миллер [159] обнаружил малый
эффект (опровергнутый позднее — Прим. ред.).
27
при нагревании определенных частей аппаратуры является доказательством
изменения длины ее нагретых частей.
Чтобы сделать гипотезу о сокращении более приемлемой, Лоренц пред-
принял попытку объяснить ее на основе электронной теории. Ему действи-
тельно удалось дать правдоподобное объяснение формулы A.66). Предполагая,
что все материальные тела состоят из электрических заряженных частиц, кото-
рые держатся вместе лишь посредством электростатических сил, он смог по-
казать, что положение равновесия частиц в таких чисто электростатических
системах изменяется в соответствии с A.66) при движении системы как целого
с постоянной скоростью v относительно эфира. Сложность заключалась лишь
в предположении, что частицы удерживаются вместе исключительно электри-
ческими силами, которое вряд ли справедливо для реальных тел. В частности,
трудно объяснить, как удерживается заряд внутри одного электрона, если не
вводить дополнительно силы притяжения неэлектрической природы. Поэтому
предположение о справедливости формулы A.66) для одного электрона, что и
сделал Лоренц, следует рассматривать как новую гипотезу, не являющуюся
следствием самой электронной теории. Таким образом, лоренцево сокращение
следует рассматривать как основное и универсальное явление, лежащее в ос-
нове фундаментальных законов природы.
§ 1.14. Справедливость принципа относительности
для всех физических явлений
Эксперимент Майкельсона был лишь первой из многочисленных попыток
определения движения Земли относительно эфира. Все эти эксперименты,
в которых были использованы как оптические, так и электромагнитные уст-
ройства, дали отрицательный результат. Следовательно, никакое физическое
явление не должно зависеть от движения Земли. В конечном счете, не может
быть сомнений, что принцип относительности справедлив не только для меха-
нических явлений, но и для оптических и электромагнитных явлений.
Мы не будем здесь детально обсуждать все эти эксперименты, ограничив-
шись экспериментом Айвса, упоминавшимся в § 1.5. Айве показал, что доп-
лер-эффект во втором приближении также зависит лишь от скорости источни-
ка света относительно наблюдателя, что соответствует принципу относитель-
ности (см, также более поздние эксперименты, рассмотренные в § 12.1). Этот
факт, а также результаты других упоминавшихся ранее экспериментов не-
возможно объяснить на основе эфирной теории, даже дополнив ее гипотезой
о сокращении; формула A.22) не содержит величин с размерностью длины.
Следовательно, гипотеза о сокращении, имеющая дело с длинами, не может
привести формулу A.22) в соответствие с результатом Айвса.
Позже Лоренц [149] исследовал проблему: какие еще гипотезы, наряду
с гипотезой о сокращении длин, следует добавить к эфирной теории, чтобы все
предсказания этой теории соответствовали принципу относительности, уже
подтвержденному экспериментами. Он нашел, что в каждой инерциальной
системе необходимо использовать специальное время, так называемое мест-
HGe время, отличное от времени в абсолютной системе эфира. Согласно ги-
потезе о сокращении, длина метрической линейки зависит от абсолютной ско-
рости рассматриваемой системы отсчета. Аналогично темп хода часов (а по-
этому и единица времени) зависит, в соответствии с новой гипотезой, от движе-
ния инерциальной системы. Если основные уравнения электронной теории
в каждой движущейся инерциальной системе записать в терминах местного
времени и собственных пространственных переменных, то они будут иметь оди-
наковый вид в любой инерциальной системе. Поэтому все электромагнитные
явления не зависят от движения системы отсчета. С помощью этих новых гипо-
тез удалось на некоторое время сохранить концепцию абсолютного эфира, пока
Эйнштейн [65] не пришел к выводу, что результаты всех рассмотренных выше
экспериментов поколебали сами основы теории эфира.
Глава
2
РЕЛЯТИВИСТСКАЯ КИНЕМАТИКА
§ 2.1 Одновременность событий
Бесплодные попытки обнаружить влияние движения Земли на механи-
ческие, оптические и электромагнитные явления привели физиков к убежде-
нию о справедливости принципа относительности для всех физических про-
цессов. Полностью изменилась сама основа нашего описания природы, ибо
как только была осознана универсальность принципа относительности, упо-
минавшаяся в § 1.2, концепция абсолютной системы отсчета, связанной с не-
подвижным эфиром, потеряла всякое физическое значение. Любые физические
процессы протекают одинаковым образом во всех инерциальных системах и
никаким экспериментом невозможно обнаружить среди них абсолютную
систему отсчета. Все инерциальные системы становятся полностью эквивалент-
ными, и для любой удовлетворительной теории необходимо потребовать, чтобы
она приводила к одинаковым результатам во всех таких системах отсчета.
Эйнштейн [65—68] первый сформулировал эту новую точку зрения в своей
фундаментальной работе 1905 г. [65] и показал ее следствия. (См. о вкла-
де Пуанкаре стр. 392—Прим. ред.)
Поскольку основные уравнения электродинамики — уравнения Макс-
велла — справедливы в любой инерциальной системе, скорость света в ваку-
уме должна иметь одинаковое значение с — 3 • 108 м,'сек во всех инерциаль-
ных системах отсчета. Это, конечно, противоречит той кинематической кон-
цепции, которая вытекает из повседневного опыта и выражается в форме за-
кона сложения скоростей A.3). Новая точка зрения на законы природы, уста-
новившаяся в результате многочисленных прецизионных экспериментов и вы-
раженная в форме принципа относительности, заставляет нас пересмотреть
эту кинематическую концепцию, считавшуюся ранее a priori справедливой.
Эйнштейн смог показать, что более тщательный анализ методов измерения
скорости, т. е. обсуждение методов, при помощи которых можно реально
произвести это измерение, позволяет однозначно, точно и ясно описать все
физические процессы в соответствии с принципом относительности.
Рассмотрим инерциальную систему отсчета, в которой световой сигнал из
точки А передается прямолинейно в точку В. Скорость сигнала определяется
отношением расстояния между точками к времени его прохождения. Измере-
ние расстояний не представляет затруднений, но определение разницы во вре-
мени между моментами испускания сигнала в точке А и его приемом в точке В
при более тщательном размышлении оказывается не столь простой задачей.
В самом деле, если время испускания сигнала tx отсчитывается по часам
в точке Л, а время приема i% — по часам в точке В, то разность t2 — t\ дает
действительное время распространения сигнала из Л в 5 только при одина-
ковом темпе хода обоих часов. Поэтому необходимо, чтобы стрелки обоих ча-
сов начали ход одновременно из одного положения. Но как быть уверенным,
что два события в разных местах происходят одновременно?
Существует несколько способов синхронизации часов в точках А и В.
Можно, например, взять еще одни часы, завести по часам А, перенести из
А в В и по'ним отрегулировать часы В или же использовать временной сигнал,
посылая его из А в В. Рассмотрим сначала последний метод, практически более
29
точный. Предположим, что временной сигнал посылается из А в нулевой момент
времени по часам А. В повседневной жизни часы в В устанавливают на нуль,
когда временной сигнал прибывает в эту точку. При этом допускается неточ-
ность из-за конечности скорости распространения временного сигнала. Для
точности часы В к моменту прибытия сигнала нужно установить в положение
l/и, где / — расстояние АВ, аи — скорость временного сигнала. При выпол-
нении этой коррекции необходимо знать скорость распространения временного
сигнала, но измерение скорости включает в себя, как сказано выше, синхро-
низацию часов в двух различных точках, для чего как раз и предназначался
временной сигнал.
Аналогичная ситуация возникает при установке часов в А и В с помощью
третьих часов, транспортируемых из А в В. В этом случае третьи часы нужно
скорректировать, учитывая влияние их собственного движения, но для экс-
периментального исследования этого влияния нужно заранее синхронизиро-
вать часы в А и В. Опять получается порочный круг.
Таким образом, во всех методах синхронизации часов встречаются одни
и те же трудности. Понятие одновременности двух событий в разных местах не
имеет, очевидно, точного объективного смысла, поскольку не существует
экспериментальных методов, устанавливающих эту одновременность. Это
справедливо и при исследовании понятия скорости. Как подчеркивал Эйн-
штейн, необходимо сначала точно определить понятие одновременности. Но
при этом мы обладаем некоторой свободой, и, как увидим далее, можно вос-
пользоваться таким определением понятия одновременности, чтобы скорость
света равнялась с во всех инерциальных системах отсчета.
§ 2.2. Относительность одновременности
Предположим, что мы находимся в некоторой инерциалыюй системе от-
счета /, и в нашем распоряжении имеется большое количество стандартных
часов, которые отсчитывают одинаковое время, если покоятся в одном и том же
месте. Разместим эти часы в системе / везде, где нужно измерять время. Для
синхронизации часов используем световые сигналы, поскольку законы рас-
пространения света достаточно хорошо известны из экспериментов.
Например, опыт Физо и другие аналогичные эксперименты показали, что
световой луч проходит по периметру замкнутого многоугольника за время,
равное отношению периметра многоугольника к универсальной константе с>
входящей в уравнения Максвелла. Это время, независимо от определения од-
новременности, можно измерить обыкновенными часами, помещенными
в фиксированной точке многоугольника, а периметр — измерительной ли-
нейкой, покоящейся в системе /.
Для синхронизации часов, размещенных в различных точках системы
/, выберегл в качестве центра синхронизации некоторую точку О этой системы,
из которой будем испускать во все стороны световые сигналы. Пусть часы
в точке О в момент испускания сигнала показывают время t0, в момент при-
хода сигнала в некоторую точку Р часы в Р поставим на время t0 + lolc, где
ln — расстояние ОР, измеренное неподвижной измерительной линейкой. При
этом все часы в системе / размещены определенным образом. Говорят, что два
события в точках Р и Рг произошли одновременно, если часы в этих точках
показывают одинаковое время. Такое определение одновременности является
корректным, если можно показать, что в нем нет противоречий, для чего необ-
ходимо выполнение двух условий.
1. Сигнал, испущенный из точки О в момент времени t0 + т (на г сек позже
синхронизирующего сигнала), прибудет в точку Р, когда часы в Р покажут
время ?0 -f IJc + т, т. е. также на т сек позже. Это значит, что метод синхро-
низации часов не зависит от времени регулировки.
2. Способ синхронизации не зависит от выбора точки (центра синхрони-
зации).
30
Первое условие всегда выполняется, поскольку все точки в инерциаль-
ной системе эквивалентны, так что двое стандартных часов, идущих в одном
темпе в точке О, будут идти в том же темпе, если их поместить в разных точках
О и Р. Что касается второго условия, что нужно лишь показать, что световой
сигнал, испущенный из произвольной точки Рг в момент времени tx по часам
в этой точке, прибудет в другую произвольную точку Р, когда часы в этой
точке покажут время
t = ix 4- lie, B.1)
где I — расстояние РгР.
Для доказательства предположим, что время отправления сигнала tx сов-
падает со временем прибытия в Р сигнала синхронизации из точки О, т. е.
tx = to + lx/c. B.2)
Если сигнал, посланный из Рг, по прибы-
тии в точку Р сразу посылается в точку О,
то время его прибытия t2, в соответст-
вии с данными экспериментов (опыт Фи-
зо и др.), определится из выражения
U = U 4- (h + I + h)le, B.3)
поскольку световой сигнал прошел пе-
риметр замкнутого многоугольника (тре-
угольника) 1г + / + 10 (рис. 7). К мо-
менту прихода сигнала из точки Рг
в точку Р часы в Р показывали время t, а когда в точку Р пришел синхрони-
зирующий сигнал из точки О, то эти часы были поставлены на время t0 +
4- lolc. Если этот сигнал отразится и придет обратно в точку О, то, в соответ-
ствии с опытом Физо, часы в О покажут время fc + 2 IJc. Однако сигнал из
точки Р1 в Р придет на т = t — (t0 + lolc) сек позже первоначального сиг-
нала, посланного из точки О, и, в соответствии с первым предположением,
он придет в точку О также на х сек позже, т. е. в момент времени
t2 = t0 4- 2 lolc 4- х = t 4- lolc. B.4)
Данное значение t2 должно совпадать с t2, пол ученным "по формуле B.3).
Тогда из B.3), B.4) и B.2) следует:
t = to 4- (lx + l)lc = tx + lie,
что и требовалось доказать [см. B.1I.
Таким образом, используемый здесь метод синхронизации не зависит от
выбора центра синхронизации. Наряду с этим мы установили определенный
способ регистрации последовательных событий в инерциальной системе /.Мы
говорим, что некоторое событие в точке Р произошло в момент времени t, если
стандартные часы, помещенные в этой точке, в момент наступления данного
события в точке Р показывают время t. Кроме того, мы имеем теперь точный
смысл понятия скорости, и, в частности, скорость света, которая, как оказа-
лось, имеет значение с для любого направления; точно показано, что световой
сигнал, испущенный из точки Рг в момент времени tlt прибывает в другую
произвольную точку Р в момент времени tx 4- Не, где I есть расстояние РгР.
Рассмотрим другую произвольную инерциальную систему /'. Предполо-
жим, что в этой системе также размещено большое количество часов, анало-
гичных часам системы /. Эти часы синхронизируются с помощью световых
сигналов, испускаемых из точки О' системы /', тем же способом, что и часы
в системе /. Все расстояния измеряются покоящейся относительно /' измери-
тельной линейкой того же типа, что и линейка в /. Это означает, что обе ли-
нейки имеют одинаковую длину, когда они покоятся относительно друг друга.
31
Согласно принципу относительности, опыт Физо дает в системе /' тот же ре-
зультат, что и в системе /, откуда следует, что описанный выше метод син-
хронизации часов обеспечивает непротиворечивое определение времени и для
системы /'. Скорость света и в системе /' будет одинаковой во всех направле-
ниях и определяться той же величиной с. Здесь также будем говорить, что
событие в точке Р' системы /' произошло в момент времени t', когда часы
в точке Р' показывают время ?'. В общем случае f отлично от момента вре-
мени t, когда то же самое событие наблюдается в системе /. Два события в двух
разных точках системы /' называются одновременными, если они произошли
в один момент времени V по часам системы /'.
Следовательно, понятие одновременности потеряло свой абсолютный
смысл, поскольку два одновременных события в системе / для наблюдателя
в /' уже не будут одновременными.
Рассмотрим, например, два события в двух точках А и В системы /. По-
скольку скорость света в любом направлении равна с, для одновременности
двух событий достаточно потребовать, чтобы световые сигналы, испущенные из
точек А к В навстречу друг другу в момент наступления этих событий, приш-
ли в среднюю точку С отрезка АВ одновременно. Этот критерий одновремен-
ности двух событий справедлив и для системы/'. Пусть отрезок АВ располо-
жен параллельно вектору скорости v движения системы /' относительно /.
Рассмотрим точки Л' и В', совпадающие с точками Аи В в момент наступления
этих событий. Одновременно (относительно системы /) и центральная точка
С" отрезка А 'В' совпадает с точкой С. Но так как точка С" вместе с системой
/' движется относительно / со скоростью v, то в момент встречи световых сиг-
налов в точке С С уже не будет совпадать с С. Это означает, что световые
сигналы не встретятся в С", и, согласно определенному выше критерию одно-
временности, два события, одновременные в системе /, в системе /' уже не бу-
дут одновременными.
Следовательно, понятие одновременности двух событий в различных
точках пространства имеет точный смысл только в данной инерциальной си-
стеме отсчета. И только приближенно, когда скорость света можно считать
бесконечно большой по сравненню со всеми остальными скоростями, можно го-
ворить об абсолютной одновременности событий, независимо от движения на-
блюдателя. Такая аппроксимация совершенно удовлетворительна как для
повседневной жизни, так и для многих физических процессов. Этим объяс-
няется глубоко укоренившееся убеждение в существовании абсолютного
времени и абсолютной одновременности*
§ 2.3. Специальные преобразования Лоренца
Событие в точке Р инерциальной системы / можно охарактеризовать че-
тырьмя 'величинами: тремя пространственными координатами точки Р и вре-
менем t. Эти четыре величины называются пространственно-временными коор-
динатами события. Если в системе / пользоваться декартовыми координатами,
то пространственно-временные координаты события суть (х, у, z, t), причем
х = (х, у, г) — декартовы координаты точки Р. Координаты (х, у, г) опреде-
ляются путем измерения длин проекций вектора х на декартовы оси с помощью
стандартной измерительной линейки, покоящейся в системе /, а время t от-
считывается по стандартным часам, покоящимся в точке Р.
Именно таким способом с данной инерциальной системой мы связываем
определенную пространственно-временную систему координат S. Когда дана
система S, то система отсчета, т. е. инерциальная система /, полностью опре-
делена.
С другой стороны, для данной системы отсчета / можно использовать раз-
личные системы пространственно-временных координат, например полярные
координаты. Однако в специальной теории относительности обычно исполь-
зуются системы координат лишь упомянутого выше типа, поэтому нет необ-
32
ходимости делать различие между системой отсчета и системой координат.
Совсем иное положение в общей теории относительности, где необходимо
различать систему отсчета и систему координат, используемую для фиксации
событий в данной системе отсчета (рис. 8).
Событие в другой иперциальной системе также можно охарактеризовать
четырьмя координатами (х', у', z', t'), определяющими систему коорди-
нат S'. Эти координаты находятся тем же способом, что и для систе-
мы 5. Наша основная задача — найти соответствие между координатами
(х, у, z, t) системы 5 и координатами (х\ у\ z', t') системы S' данного события,
т. е. найти закон преобразования координат, соответствующий преобразова-
ниям Галилея A.1) в нерелятивистской кине-
матике. Поскольку любое равномерное прямо- 5 s'
линейное движение относительно системы S
остается таковым и для системы 5', то перемен-
ные (х', у', г', i') должны быть линейными функ-
циями от переменных (х, у, z, t). Для удобства
предположим, что декартовы оси в S и S' парал-
лельны, а система S' движется относительно S
соскоростыо v в положительном направлении
оси х. Кроме того, начала координат О в S и
О' в 5' совпадают в момент времени t = f = 0.
Рассмотрим в S' все точки плоскости
У
W
у' = а' = const. B.5) z z'
Эти точки в системе S также принадлежат Рис. 8.
плоскости
у — а = const. B.6)
Постоянные а' и а определяют расстояние между этими плоскостями и пло-
скостью xz, и поскольку эти расстояния находятся с помощью измеритель-
ных линеек, движущихся различным образом, то отношение
k = a! la B.7)
в общем случае не равно единице.
Эта величина может зависеть только от относительной скорости у. Но
простым рассуждением можно показать, что в действительности k — 1. Так,
если изменить направления осей х, г и соответственно х', г' на противополож-
ные, то ни а, ни а' не изменятся, но системы S и S' поменяются ролями. Теперь
система S будет двигаться относительно S' со скоростью v в положительном
направлении оси х'. Отсюда можно, как и ранее, записать, что .
k = a/a'. B.8)
Из B.7) и B.8) следует, что k~ = 1, и поскольку положительные направления
осей у я у' совпадают, то а и а' должны иметь одинаковый знак. Поэтому
k = 1, а' = а. B.9)
Отсюда также следует, что для любого события его координаты у и у' сов-
падают, т. е.
У' -У- B.10)
Аналогично можно показать, что
z'=z. B.11)
Чтобы найти формулы преобразования для остальных координат, вос-
пользуемся постоянством скорости света в системах S и 5'. Если световой
сигнал испускается из общего начала координат О и О' в момент t — f — 0,
2 зак. 1174 33
то распространение сферической световой волны в системе S описывается
уравнением
х2 + у2 + z2 — с2? = 0, B.12)
а в системе S' аналогичным уравнением
у'2_и ц'2 -I- ?'~ г2/'2 — П ^9 19"»
Положим теперь
s2 = х2 + г/2 + 22 — с2/2 B.13)
и
<;'2_T'2_}_ ,,'2_|_ ?'3 Г2 ^'2 /О 1О/\
Для всех значений (х, г/, г, i), при которых s2 = 0, s'~ также обратится
в нуль, и поскольку соотношение между (х', у', z\ t') и (х, у, г, f) линейно,
то s'" пропорционально s2, т. е.
/' = А(о)s2, B.14)
где й — постоянная, зависящая лишь от относительной скорости v. Как и
при выводе B.10) и B.11), можно показать, что k — 1, откуда следует, что
s'~ = s\ B.15)
т. е. величина s2, определяемая по формулам B.13), инвариантна. Используя
B.10), B.11) и B.15), получаем
x2—c42 = x'* — c*t'2, B.16)
причем х' и f — линейные функции от х и t. Поэтому можно записать
B.17)
где постоянные а, р\ у. б определяются так, чтобы условие B.16) удовлетворя-
лось при всех х и t.
Для точки О' имеем х' — 0. Поэтому из первого уравнения B.17) найдем
закон движения О' относительно S:
х = — р//а,
а поскольку скорость этой точки относительно S равна v, то
р = — av. B.18)
Начальная точка О имеет координату х = 0. Тогда из уравнений B.17) после
исключения t получим формулу
х' = р/76,
описывающую движение точки О относительно S'. Из соображений симметрии
следует, что скорость точки 0 относительно S' равняется — v, что с учетом
B.18) дает
Р= — Sv = —av, т. е. б = а. B.19)
С помощью B.18) и B.19) уравнения B.17) можно переписать в виде:
x' = a(x-vt); t' = yx + at. B.20)
Подставив их в B.16), получим
xa—citi = (a*—y*ct)x* — a.2(\—v2fc*)cit2—2a-(yci + w)xt. B.21)
.44
Поскольку уравнение B.21) выполняется при всех значениях х и t, то
коэффициенты при х2, /2 и xt в обеих частях этого уравнения соответственно
равны. Это дает три уравнения для определения двух величин а и у.
Из последних двух сразу получаем
а = A — у2/с2)-^2 B.22)
7 = —avid1 = —(у/с2)//1 —о2/с2. B.23)
Оставшееся уравнение, выражающее равенство коэффициентов при х2 в обеих
частях B.21), выполняется тождественно и показывает, что уравнение B.19),
т. е. предположение, что точка О движется относительно S' со скоростью
— v, согласуется с уравнением B.16).
Из B.10), B.11), B.20), B.22) и B.23) окончательно получим закон пре-
образования для пространственно-временных координат произвольного
события:
— о2/с2.
Обратные преобразования имеют вид
t = (f + vx'Ic1
Эти преобразования можно получить из B.24) переобозначением штрихованных
и нештриховаиных переменных и заменой а на — v. Величина и, определяе-
мая из B.18), представляет собой скорость точки О' относительно 5. Из B.24)
следует, однако, что и любая точка Р' в системе S' с фиксированными коорди-
натами х', у', г' движется относительно 5 в направлении оси х с. той же ско-
ростью. Аналогично из B.24') следует, что любая точка Р в системе S движет-
ся со скоростью — v относительно S в направлении оси х'. Поэтому v пред-
ставляет собой просто относительную скорость двух инерциальных систем.
Впервые преобразования B.24) и B.24') вывел Лоренц, они получили
(по предложению Пуанкаре [198]. — Прим. ред.) название преобразований
Лоренца. Однако вывод этих преобразований из принципа относительности
принадлежит Эйнштейну [75]. Ввиду специального выбора декартовых осей
(см. рис. 8) мы говорим о специальных преобразованиях Лоренца. При таких
преобразованиях величина s2, определяемая из B.13), инвариантна. Устрем-
ляя с к оо, получаем преобразования Галилея A.2). (Лоренцевы вращения
вместе со сдвигами Вигнер назвал преобразованиями Пуанкаре. —Прим. ред.)
§ 2.4. Общие преобразования Лоренца
Преобразования пространственно-временных координат в самом общем
случае, когда относительная скорость 5' и S не параллельна оси х, а прямо-
угольные координаты в S' и S ориентированы по отношению друг к другу
произвольным образом, можно получить, комбинируя пространственные вра-
щения осей в S и S' со специальными преобразованиями Лоренца B.24). По-
скольку при пространственных вращениях s2 не меняется, то величина s3 ин-
вариантна и при самых общих преобразованиях Лоренца.
Для вывода этих преобразований в явном виде удобно воспользоваться
векторным аппаратом. Рассмотрим снова специальные преобразования Ло-
ренца B.24), соответствующие рис. 8. Здесь пространетвенные координаты
события (х, у, z) и (х', у', г') в системах S и Sr можно рассматривать как ком-
2* 35
тоненты векторов х и х' некоторого абстрактного линейного векторного про-
странства, т. е.
х = (х, у, z); х' = (х', у', г').
Аналогично скорость v системы S' относительно системы S можно представить
вектором этого же пространства с компонентами (v, О, 0), т. е. v = (v, О, 0).
Используя эти векторные обозначения, специальные преобразования Лорен-
ца B.24) можно привести к виду
где (vx) = vxx + vyy + vzz — скалярное произведение векторов v и х.
Вектор v' = ( — v, 0, 0) представляет собой скорость системы S отно-
сительно 5', поэтому обратные преобразования Лоренца B.24') можно запи-
сать в форме
J
< = A—oVc3)-1/2^' —(v'x')/ca}. J
Поскольку
v' = — v, B.26)
обратные преобразования B.25') можно получить из B.26) переобозначением
(х'С) и (xt) н заменой v на—v.
Предполагается, что оси пространства векторов х, х', v, v' фиксированы,
поэтому вращение декартовых осей системы S вызывает противоположное
вращение векторов х и v. Аналогичное вращение декартовых осей системы S'
индуцирует противоположное вращение векторов х' и v'.
Рассмотрим сначала случай, когда оси в S и S' подвергнуты одному и тому
же вращению. Векторы х, х\ v, v' также подвергнутся одинаковому (но
противоположному) вращению, и, следовательно, соотношения B.25), B.25') и
B.26) между ними не изменятся. Мы говорим в этом случае о преобразованиях
Лоренца без вращения, поскольку взаимная ориентация декартовых осей
в S и S' не меняется (см., однако, рассуждения в § 2.5).
Если обозначить vx, vy, vz компоненты вектора скорости движения си-
стемы S' относительно S, то векторные уравнения B.25) суть не что иное как
краткая форма записи следующих четырех уравнений:
х' = {1+ (-у— 1) vl/v2} x + (y—\)vxv,j y/v* + (у— 1) vx vz z/v2—vx yt;
B.27)
-{1 + (T—l) Ozlv"} z—vt yt;
f = — yvx x/c2 — yvv y/c2—yvzz/c2 + yt,
представляющих собой общие преобразования Лоренца без вращений. Обрат-
ные преобразования, как и раньше, получаются заменой (х, у, z, t) на
(х',у\ z, t') и vx, vy, иг на— vx, — vy, — vz соответственно.
Рассматривая случай, когда декартовы оси систем S и S' имеют различную
ориентацию, необходимо иметь в виду, что эти оси должны быть уже подверг-
нуты различным вращениям для приведения их к одинаковой ориентации,
соответствующей рис. 8. Тогда последнее уравнение в B.25) остается без из-
менения, а первое нужно заменить на
?)х' = х+ v {(у— 1) (xv)/u2—yt}, B.28a)
где © — оператор вращения, который переводит вектор х' в вектор Ък', со-
ответствующий преобразованиям Лоренца без вращения.
36
Таким образом, оператор Э приводит декартовы оси системы S' к оди-
наковой ориентации с осями системы S. Вместо уравнения B.26) имеем
©v' - —V, B.29)
т.е. компоненты (v'x, v'v> v'2) скорости системы S относительно S' уже не равны
(— vx, —v,n —vz). Умножая B.28а) на оператор ©~1 и используя B.29),
общие преобразования Лоренца запишем в виде:
B.286)
? можно интерпретировать также и как оператор, приводящий оси в S к оди-
наковой ориентации с осями в S'. Поэтому преобразования, обратные B.28),,
имеют вид
x = Sx'-v{(Y-I)(x'v')/y2-^'}; )
^ = Y{/'_(v'x')/c2}; I B.28')
и проверяются непосредственно при их подстановке в правую часть B.285).
Легко видеть, что уравнения B.25) и B.28) удовлетворяют уравнению
B.15), которое, в свою очередь, можно записать в векторном виде
tw\ г~ № !v' v'\ /-2/'a /9 4fU
{XX) С I —(X X) С I . {?.O\J}
Полагая в B.25) с — оо , приходим к общим преобразованиям Галилея
A.1).
До сих пор мы предполагали, что начальные точки О и О' в момент вре-
мени t = i' -= 0 совпадали, и поэтому преобразования Лоренца были одно-
родными преобразованиями пространственно-временных координат. Теперь
откажемся от этого предположения и учтем смещение начала пространствен-
ных и временных координат в S'. Для этого в B.24), B.25) и B.28) следует
заменить (х , у', г', V) на (х' —х'о, у' —у'о, z' —z'q, t' — /о) соответствен-
но, где х'о, у'о, z'o, i'o — постоянные. При неоднородных преобразованиях Ло-
ренца подобного типа величина s2 уже не будет инвариантной. Однако для
двух событий с координатами (хг, уъ zlt tt) и (х2, Уг, z2, ^2) соответственно
выражения
Ах -= хг — х2, Ау = ух —Уг, ¦¦¦
не содержат постоянных ха, г/о, 2о, 1'а и преобразуются согласно уравнениям
B.25). Поэтому величина
As- - Да-2 + Ау- + Аг2 — с2At* B.31)
будет инвариантной при произвольных неоднородных преобразованиях Ло-
ренца.
В соответствии с принципом относительности все физические процессы,
во всех инерциальных системах протекают одинаковым образом, а это требует,
чтобы все фундаментальные уравнения физики во всех инерциальных системах
имели одинаковую форму. Иными словами, фундаментальные уравнения долж-
ны быть форм-ипварнантными, т. е. ковариантпыми при преобразованиях
Лоренца. Это требование, являющееся формальным выражением принципа от-
носительности, оказывается очень полезным при разработке новых теорий.
Мы увидим далее, что оно автоматически выполняется для уравнений
Максвелла в вакууме. С другой стороны, основные уравнения механики
Ньютона не удовлетворяют этому требованию, так как они являются кова-.
рпантными, как показано в § 1.1, относительно преобразований Галилея.
Поэтому механика Ньютона справедлива лишь приблизительно, когда преоб-
разования Лоренца и Галилея можно считать идентичными, т. е. при скоростях,
малых по сравнению со скоростью света. Поэтому для скоростей, сравнимых
37
со скоростью света, уравнения механики Ньютона следует заменить уравне-
ниями релятивистской механики Эйнштейна, являющимися ковариантными
при преобразованиях Лоренца (см. гл. 3).
§ 2.5.Сокращение размеров движущихся тел
С помощью преобразований Лоренца можно произвести сравнительное
описание свойств измерительных линеек и часов в инерциальных системах
5 и S'.
Рассмотрим измерительный стержень, покоящийся в системе S' и распо-
ложенный вдоль оси х' (см. рис. 8). Концы его имеют координаты х[ и х'ч, так
что длина стержня в системе S' (собственная длина) определяется формулой
1° = Х2 ¦— х[. В соответствии с первым уравнением B.24) движение концов
стержня определяется выражениями
Естественно теперь определить длину стержня / в системе S как разность меж-
ду координатами его концов в один и тот же момент времени (в системе S).
Из B.32) получим, что
B.33)
т. е. I не зависит от t. С другой стороны, поскольку системы S и 5' совершенно
эквивалентны, масштабная линейка длиной 1°, покоящаяся на оси х в системе
S, в системе S' имеет длину /, снова определяемую выражением B.33).
Масштабная линейка, расположенная перпендикулярно оси х, будет,
согласно B.24), иметь одинаковую длину в системах S и S'. Поэтому в общем
случае можно сказать, что тело, движущееся со скоростью v относительно инер-
циальной системы 5, сокращается в направлении своего движения в соот-
ветствии с формулой B.33), а его поперечные размеры не зависят от движения.
Если V0 — объем покоящегося тела, т. е. его объем в инерциальной системе,
движущейся вместе с ним, то объем тела в системе S дается выражением
у = \/°(\—~оЧс2у/\ B.34)
Формула B.33) совпадает с формулой A.66) Лоренца, но их физическая
интерпретация принципиально различна. У Лоренца 1° — длина масштабной
линейки, покоящейся относительно эфира, а / — ее длина при движении со
скоростью v относительно эфира. Согласно его точке зрения, метрическая
линейка имеет абсолютную длину, не зависящую от движения наблюдателя.
Иной физический смысл у формулы B.33). Здесь 1° — длина масштабной ли-
нейки в специальной системе, движущейся вместе с пей, т. е. длина в той инер-
циальной системе, относительно которой масштабная линейка покоится (дли-
на покоя), а / — ее длина, измеренная в произвольной системе отсчета, отно-
сительно которой линейка движется со скоростью v. Таким образом, согласно
релятивистским концепциям, понятие длины имеет определенный смысл лишь
з данной системе отсчета и длина линейки в различных инерциальных систе-
мах будет разная. Следовательно, понятие длины потеряло свое абсолютное зна-
чение. Об абсолютной длине можно говорить лишь приближенно, когда ско-
рость света считается бесконечно большой.
При выводе формулы B.33) использовалось понятие одновременности,
но, как указывал еще Эйнштейн, эту формулу можно проверить эксперимен-
тально и без использования часов. Рассмотрим два стержня Мг и М2 с одной
и той же длиной покоя 1°, движущихся в системе 5 относительно оси х со
скоростями v и — v соответственно. Поскольку длина зависит лишь от
квадрата скорости, то стержни Mj и М2 имеют в системе S одинаковую длину
/, поэтому в некоторый момент времени t эти стержни будут совпадать, и сов-
38
падение двух концов стержней в двух системах отсчета — это два одновре-
менных события в данной ииерциальной системе S. Пусть эти два события
произошли в точках А и В. Тогда измеренное стандартной линейкой расстоя-
ние АВ даст искомую величину /.
Хотя такой эксперимент пока невозможно выполнить с достаточной точ-
ностью, данное рассмотрение показывает1, что лоренцево сокращение есть ре-
альный эффект в принципе наблюдаемый. Этот эффект в то же время выражает
не столько свойство движущегося стержня, сколько взаимосвязь движущихся
друг относительно друга измерительных линеек. Возникает вопрос о причине,
вызывающей лоренцево сокращение. Исходя из принципа относительности,
нужно считать саму постановку вопроса совершенно ошибочной. Это все равно
что после открытия закона инерции искать причину равномерного прямоли-
нейного движения тела. Такой вопрос, справедливый в античной физике Арис-
тотеля, становится бессмысленным после открытия Галилея, так как, согласно
механике Галилея и Ньютона, только отклонение от прямолинейного равно-
мерного движения вызывается какой-либо причиной.
Лоренц старался объяснить сокращение движущихся тел с помощью
электронной теории. В то же время Эйнштейн, исходя из принципа относитель-
ности, показал, что данный эффект имеет гораздо более фундаментальный ха-
рактер. Вместо того, чтобы объяснить сокращение на уровне атомной струк-
туры, нужно считать его совершенно элементарным и несводимым к более
простым явлениям. На самом деле этот эффект выражает условие, необходимое
при разработке любой атомной теории, т. е. условие инвариантности теории
относительно преобразований Лоренца. Если это условие выполнено, то со-
кращение макроскопического движущегося тела можно получить с помощью
теории его атомной структуры.
В заключение этого параграфа рассмотрим еще одно свойство преобразо-
ваний Лоренца без вращения. Пусть х{ и х? — координатные векторы точек
Р\ и Р'ч в системе S'.
Отрезок, соединяющий эти точки, определяется вектором г' = х'> — х'и
В момент времени t точки Р\ и Р% в системе S изображаются векторами х2 н
х,, которые определяются из B.25) подстановкой х = хи х' = х[ и х = х2,
х' = х'ч соответственно. Вычитая получившиеся выражения, находим
r' = r + v{(l— у2/с2)-1/2— \}(rv)!v\ B.35)
где г = х2 — х, есть вектор, связывающий Р\ и P'i, одновременные в 5.
Разложив векторы г и г' на параллельные и перпендикулярные составляю-
щие к вектору v, формулы B.35) запишем в виде
Отсюда следует, что преобразуется только параллельная составляющая век-
тора г. Соотношение, обратное B.35), следующее:
r = r'+v^-{(I—у2/с2)'/2—1}. B.35';
1)
Его справедливость проверяется подстановкой B.35') в правую часть B.35).
Из B.35') следует, что в системе S' вектор, параллельный оси х', в об-
щем случае уже не будет параллельным оси х с точки зрения наблюдателя
в 5. Таким образом, даже в случае преобразований Лоренца без вращения для
наблюдателя в системе S декартовы оси системы 5' не параллельны декарто-
вым осям в S. Два вектора г! и г'2 в системе S', удовлетворяющие условию
(г! • гг) = 0, в системе S уже не удовлетворяют этому условию, т, е. (rtr2) Ф
39
Ф 0. Поэтому прямоугольные оси координат в системе S' в общем случае не
прямоугольны с точки зрения наблюдателя в системе 5. Именно по этой при-
чине мы ввели абстрактное векторное пространство для векторов х и х'
(см. стр. 35).
§ 2.6. Запаздывание движущихся часов. Парадокс часов
Рассмотрим в системе S' стандартные часы С", расположенные в точке
х' = х[ оси х (см. рис. 8). Когда часы С" показывают время f = t\, стандарт-
ные часы в S, совпадающие в этот момент с часами С, покажут, согласно
B.24), время
Позднее, когда С" покажут время t' = t'i, их показания будут совпадать
с другими часами в S, показывающими
При вычитании получим
М = tz — tx = y {t'2 — t[) = A — у2/с2)- At, B.36)
т. е. движущиеся относительно системы S часы идут медленнее. Наоборот,
ввиду эквивалентности обеих систем часы, покоящиеся в S, отстают от часов
в S'. Поскольку преобразования Лоренца, с помощью которых получен дан-
ный результат, базируются на методе синхронизации часов в системах S и S',
описанном в § 2.2, можно подумать, что замедление хода движущихся часов
лишь кажущееся.
Однако, как и в случае лоренцева сокращения, существует принципиаль-
ная возможность экспериментальной проверки формулы B.36). Рассмотрим
стандартные часы Сг и С2, помещенные в начале О некоторой системы отсчета
5. Пусть в момент времени t — 0 часы С2 начали двигаться с постоянной ско-
ростью v вдоль оси х. В момент времени t — tp они достигнут точки Р и,
в соответствии с B.36), покажут время tp A — и2/с2I/2. Сразу же по прибы-
тии в точку Р часы С2 начнут обратное движение с той же скоростью и воз-
вратятся в точку О в момент времени t = /х = 2 tp по неподвижным часам
Сх. Темп хода часов, согласно B.36), не зависит от знака скорости о, поэтому
по прибытии в точку 0 часы С2 покажут время t2 — 2 A — v2/c2)l/2 tp,
откуда следует, что возникнет разность отсчетов часов
;а = A—ог/саI/2^. B.37)
Разность t2 — tx в принципе можно измерить по показаниям часов С\ и С2
до и по окончании процесса.
Еще в своей первой статье по теории относительности Эйнштейн указывал,
что данный вывод приводит к парадоксу, который сыграл важную роль при
обсуждении логических основ теории. Предположим, что часы С2 связаны
с движущейся вместе с ними инерциальной системой R. Движение часов Cj от-
носительно R совершенно аналогично движению часов С2 относительно S, и
естественно ожидать, что наблюдатель в R обнаружит замедление хода часов
С1 в противоположность с B.37).
Однако данное рассуждение ошибочно, так как формула B.36) справед-
лива только для инерциалышх систем и совершенно неприменима к системе
R, скорость которой изменяется от у до — v. Поэтому система R обладает
ускорением по отношению к неподвижным звездам. Найти вместо B.36) урав-
нение, справедливое для системы R, в рамках специальной теории относитель-
ности невозможно, так как последняя справедлива лишь для систем отсчета,
движущихся с постоянной скоростью. Из данного рассуждения с очевид-
ностью следует необходимость развития специальной теории относительности
40
д) более общей теории, которая позволит рассматривать произвольно движу-
щиеся системы координат. (Объяснение парадокса часов см. в § 8.17.)
Рассмотрим снова стандартные часы, движущиеся с постоянной скоростью
и относительно инерциальнои системы S. Время т, измеренное движущимися
часами, называется их собственным временем. Из формулы B.36) имеем сле-
дующее соотношение между приращением собственного времени dx и прираще-
нием dt времени в системе S:
B.38)
Можно считать, что эта формула теперь справедлива для произвольно
движущихся часов, аи — их мгновенная скорость. При этом предполагаем,
что ускорение часов относительно инерциальнои системы отсчета не влияет на
темп их хода, а приращение собственного времени часов в любое время то же
самое, что и для стандартных часов в неподвижной системе S0, т. е. в системе,
в которой часы покоятся в данный момент времени.
Эффект замедления хода движущихся часов можно получить из общих
законов механики, определяющих работу часового механизма. Однако, как и
в случае лоренцева сокращения, более логично считать данный эффект эле-
ментарным явлением, представляющим собой прямое следствие принципа
относительности. Рассчитывая работу механизма часов по формулам механики
Ньютона, никакого эффекта замедления не получим, так как время в уравне-
ниях ньютоновской механики есть инвариантный параметр. Отсюда следует,
что уравнения Ньютона несправедливы для скоростей, при которых величина
A — iA'c2I/2 заметно отличается от единицы. Если же рассчитывать работу
механизма часов, пользуясь точными уравнениями релятивистской механики
(см. гл. 3 и 4), то эффект замедления получится как следствие этих уравнений
[168]. Поскольку в качестве часов можно использовать произвольную физи-
ческую систему, то в любой такой системе, движущейся относительно инер-
циальнои системы отсчета, все явления будут протекать медленнее, чем в по-
коящейся физической системе того же типа. Рассмотрим, например, радиоак-
тивный распад. Среднее время жизни х радиоактивного вещества, движущегося
со скоростью v, будет больше времени жизни т° того же вещества в покое. Из
B.36) следует, что
т=A_у2/с2)-1/2т°. B.39)
Обычно v настолько меньше с, что различие между т и т° неощутимо. Од-
нако для радиоактивных систем, движущихся с очень большими скоростями,
множитель A — о2/с2)"'/2 может иметь значение порядка 100 и более. По-
этому формула B.39) важна при расчете распада мезонов.
Радиоактивные атомы также можно рассматривать как часы; темп хода
такпх атомных часов определяется количеством световых волн, испущенных
в единицу времени. Пусть v° —¦ собственная частота атома, т. е. частота ис-
пущенного света, измеренная в инерциальнои системе покоя; тогда количество
световых волн, испущенных в единицу времени, как раз равно v°. В инер-
циальнои системе S, относительно которой атом движется со скоростью v, ко-
личество испущенных волн в единицу времени равно v° A — у2/с2I/2, так как,
согласно B.36), единичный временной интервал в S соответствует временному
интервалу Дт. = A — &2/с2I/2 в системе покоя S0. Если движущийся атом
не имеет радиальной скорости по отношению к наблюдателю b'S, to число
v°(l — v2/c2I'2 равно наблюдаемой частоте v, так как количество испущенных
воли и волн, достигших наблюдателя, одинаково. Следовательно, когда ра-
диальная скорость отсутствует, то
v = A — v~-/<?)v°. B.40)
Это справедливо, например, при круговом движении атомов со скоростью
v относительно наблюдателя, находящегося в центре, или при движении
атомов перпендикулярно лучу зрения.
41
Следовательно, в соответствии с теорией относительности нужно ожидать
сдвига частоты и для перпендикулярно падающего света, т. е. увеличение
частоты будет меньше по сравнению с рассчитанным по нерелятивистской
формуле Доплера A.14). Этот красный сдвиг спектральных линий, т. е. так
называемый «поперечный» доплер-эффект, к которому мы вернемся несколь-
ко позже, является прямым следствием замедления хода движущихся часов,
описываемого формулой B.36), и любое экспериментальное подтверждение
этого эффекта явится одновременно экспериментальным доказательством фор-
мулы B.36).
§ 2.7. Преобразование скоростей частиц
Рассмотрим опять две инерциальные системы S и S' (см. рис. 8), прост-
ранственно-временные координаты которых связаны формулами B.24) и B.24').
Движение произвольной частицы в системе S описывается системой урав-
нений
х = х (/); у = у (t); z = z (t). B.41)
В системе S' это движение описывается уравнениями
х' = х' (Г); у' = у' (/'); z' = z' (С), B.4Г)
отсрые можно получить из B.41) с помощью преобразований Лоренца B.24).
Мгновенная скорость частицы в системе S' определяется выражениями
ix' dif dz'
dt' df dt'
Аналогично в системе 5
, . ( dx du dz
v *' »' z} \ dt dt dt
B.42)
B.43)
Дифференцирование преобразований Лоренца B.24) дает
dx' = y(dx —vdt); dif = dy; dz' = dz, ) /n ,
/ - Л B.44)
откуда сразу получаем
it If
• I
1 V
B.45)
Эти формулы преобразования скорости приводят к обычным формулам
A.4) прис-э- оо .Обратные преобразования находятся, как обычно, переобо-
значением штрихованных и нештрихованных переменных и заменой v на—v.
Выбирая ось z так, чтобы вектор и (и соответственно и') был перпендику-
лярным этой оси, B.45) можно записать в виде
, п, U COS XT V
U COS-О1 =
1 —uo cos iJ/c-
1 —uv cos ¦й/сг
где d ид' — углы между осью х и векторами и и и' соответственно. Из этих
уравнений сразу получаем релятивистские обобщения формул A.5) и A.6):
42
— v/u); B.46)
Формула B.47) после простых вычислений дает
A — vux/c2){l — u'V)I/2 = (l — и2/с2)'/2A— vVc2I'2. B.48)
Если и и, следовательно, и' параллельны оси х, то из B.45) получаем реля-
тивистскую теорему сложения скоростей:
и' = (и — V)i (I— uv/c"); и = (и' + v)I(l + vu'/c2). B.49)
Если и = с, то и — с.
Из преобразований Лоренца непосредственно вытекает невозможность
существования инерциальных систем S', для которых v >¦ с, поскольку при
этом уравнения B.24), так же как и выражения для лоренцева сокращения и
замедления часов, становятся мнимыми. Более того, можно показать, что
частицы (или, в более общем случае, сигналы) не могут двигаться со скоростью,
большей с, ибо это приводит к абсурдным результатам. Предположим против-
ное. Пусть в момент времени t — f = 0, когда обе системы S и S' совпадают
(см. рис. 8), мы посылаем сигнал из общего начала О, 0' в направлении отри-
цательной оси х' с постоянной скоростью и' > с относительно системы S'.
В момент времени t\ > 0 этот сигнал достигнет точки Р, расположенной на
отрицательной половине оси х с координатой х'р — —и'i\. Пространственно-
временные координаты этого события в системе S согласно B.24) следующие:
| B50)
h = У{t'x + cx;/c2) = yt[{l — vu'/c2). j
По прибытии в Р сигнал немедленно посылается обратно в точку О со
скоростью w > с относительно S, Движение этого сигнала описывается урав-
нением
x=w(t — tx) + xp. B.51)
Полагая х — 0, находим время t2 прибытия сигнала в точку 0:
t2 = tx — xplw = yt[{\ — u'v/c2 + (и — v)lw) > tx. B.52)
Выбирая и' и w так, чтобы
и > cVv; w> (и — v)l (u'v/c* — 1), B.53)
получаем, что
^2<0, B.54)
т. е. в момент возвращения сигнала в точку 0 часы в этой точке покажут время
меньшее, чем в момент испускания сигнала. Это, очевидно, невозможно. Сле-
довательно, можно сделать вывод, что ни в какой инерциальной системе не су-
ществует сигналов, способных распространяться быстрее света. Данное ут-
верждение — один из фундаментальных законов природы. В частности, как
мы увидим далее (§ 3.4), материальная частица никогда не может достиг-
нуть скорости выше с. (О сверхсветовых скоростях см. литературу на
стр. 393. — Прим. ред.)
Дифференцируя B.25) и B.25'), получаем формулы преобразования ско-
ростей для случая лоренцевых преобразований без вращения:
1 — (vu)/c2
43
ц_
l+(vu')/c2 "
Если c->- oo , то эти уравнения приводятся к A.3). Из B.55) получим
(l-vu/c2)(l-u'V)I/2 = (l — v*fc*)*'2(l— ua/c8I/2, B.56)
что соответствует B.48). Когда и' перпендикулярна v, т. е. при u'v = 0, урав-
нение B.55') дает
u = v + (l — D2/c2)'/2u'8 B.57)
Когда и параллельна v, опять приходим к формуле B.49)*
§ 2.8. Последовательные преобразования Лоренца. Прецессия Томаса
Рассмотрим три инерциальные системы 5, S' и S". Пусть S' движется от-
носительно S со скоростью v, a S" движется относительно S' со скоростью
и'. Связь между координатами (х, t) системы 5 и (х', t') системы S' дается пре-
образованиями Лоренца (в общем случае неоднородными). То же справедливо
для координат (х\ f) и (х", t") системы S". Исключая переменные (х', f),
получаем соотношения между (х, t) и (х", t"), которые, как это ясно из физи-
ческих соображений, также являются преобразованиями Лоренца. Отсюда
следует, что преобразования Лоренца образуют группу. Если при t — t' — О
начальные точки в S и S' совпадают и если при f = i"= 0 начальные точки
в S' и в S" также совпадают, то при t — t" = 0 совпадают и начальные точки
инерциальных систем S и S". Это значит, что однородные преобразования Ло-
ренца образуют подгруппу группы Лоренца. Очевидно, что и пространственные
вращения декартовых осей без изменения системы отсчета также образуют
подгруппу группы преобразований Лоренца.
В нерелятивистской кинематике преобразования Галилея без вращений
декартовых осей образуют подгруппу группы преобразований Галилея. Это
неверно, однако, для релятивистской кинематики, так как при комбиниро-
вании двух преобразований Лоренца без вращений результирующее преобра-
зование в общем случае приводит к изменению ориентации декартовых осей.
Пусть переход от системы S к системе S' определяется преобразованием B.25),
а переход от системы S' к системе S" уравнениями, полученными из B.25) за-
меной (х, t, v) на (х', /', и') и (х\ t') на (х", t"). Исключение (х', ?) приводит
к преобразованиям Лоренца типа B.28), т. е.
)* А B.58)
где оператор ?) в общем случае отличен от единичного; w — скорость системы
S" относительно S и w" — скорость S относительно S". Преобразования от
S к S' и от S' к S" есть лоренцевы преобразования без вращения, а потому
скорость S' относительно S" равна — и', а скорость S относительно S" рав-
на — v.
Скорость w получаем из B.55), отождествляя ист, т. е.
1]
Из этого же уравнения, заменяя v и и' на — и' и — v соответственно,
находим w"
44
-^- . B.59')
В соответствии с B.29) имеем
=— w. B.60)
Сравнивая B.59) и B.59'), видим, что оператор Ъ, вообще говоря, уже не ра-
вен единичному оператору. И только если скорость и' параллельна v, т. е.
когда и' = kv, формулы B.59) и B.59') дают
w"= — w= —v
т. е. оператор ?> совпадает с единичным, а результирующее преобразование
является преобразованием Лоренца без вращения.
Теперь рассмотрим инфинитезимальное преобразование от S' к S", при
котором скорость и' является бесконечно малой величиной. Пренебрегая
членами высшего порядка малости по сравнению с и', преобразование от
S' к S" приводим к виду
х" = х'—v!t'\ t" = t'—(urx')/c\ B.61)
а для скоростей w и w" из формул B.59) и B.59') получаем выражения
w = у + A — у7с2) '/21 u' + v (vu')Jv2 {A — а2/с2) 1/2 — 1) ]; '
' = — {v + u' — v(vu')/c2}; B.62)
Подставив в B.61) формулы B.25) для х' и f и сравнив с B.58), после
простых, но громоздких вычислений получим
ТТ-{A— У2/с2)-^2 — 1} {(vxdv)xxh
dv — w — v.
Огсюда следует, что
B.63)
где
Q- — (\/v*) {(\ -vVc2)^/2 -1} (vXdv). B.64)
Таким образом, оператор 25 представляет собой бесконечно малый пово-
рот вокруг вектора Q. Угол поворота равен |Q|. Легко показать, что с точ-
ностью до малых высшего порядка формулы B.62) и B.63) для w, w" и ® удов-
летворяют уравнению B.60).
Рассмотрим точечный компас, т. е. материальную частицу, задающую
тем или иным способом определенное направление. Таким точечным компасом
является, например, классический электрон со спином. Если скорость час-
тицы относительно системы S равна v — v (t) и если в B.64) положить dv =
= v dt, то системы S' и S" в рассмотренном выше приближении являются
мгновенными инерциальными системами покоя частицы в моменты t и t + dt
соответственно. Поскольку преобразование от системы S' к системе 5" есть
инфинитезимальное преобразование Лоренца без вращения, естественно пред-
положить, что направление компаса в момент времени t относительно S' сов-
падает с его направлением в момент времени t + dt относительно системы S",
если силы, действующие на компас, не сообщают ему момента вращения.
При подстановке dv = v dt в B.64) вектор Й определяет поворот осей
системы S в момент t-j-dt для приведения их к одинаковой ориентации с осями
S". А так как направление компаса в системе покоя неизменно, то его направ-
ление в системе S изменяется на угол, соответствующий вектору Q. Другими
45
словами, компас прецессирует в системе S со скоростью
со=— A/и2)(A — иа/са)-1/2 — 1} (vxvj, B.65)
где v = dv/dt — ускорение точечного компаса. Когда v <^ с, в первом при-
ближении получим для скорости прецессии
<о=— vxv/2c2. B.66)
Данный эффект впервые был изучен Томасом A927 г.) и назван его именем,
т. е. прецессией Томаса.
§ 2.9. Преобразование параметров волны в теории относительности
Рассмотрим в системе S плоскую волну с единичным вектором п в направ-
лении нормали к фронту волны, расположенным в плоскости х, у. Пусть эта
волна обладает частотой v и фазовой скоростью w относнтельно S. Такая волна
описывается одной или несколькими функциями вида
L J V * /
где а — угол между вектором п и осью х.
В системе S', движущейся вдоль оси х со скоростью v относительно S
(см. рис. 1), волна описывается функциями, которые получаются из B.67)
заменой величин, определяющих фазу волны, соответствующими величинами,
измеренными в системе S'. Исходя из тех же соображений, что и в § 1.3, сле-
дует инвариантность фазы плоской волны, т. е. уравнение
v U — (л; cos a-f- t/sin а)/ггЛ = v' 17'—(х' cos of -\-y' sin <%')/«/] B.68)
должно быть справедливым при всех значениях х, у, t. С помощью преобразо-
ваний Лоренца от системы S к системе S' исключим из этого уравнения пере-
менные х, у, t и получим уравнение
1 — v cos a/w , cos a — vw/c2 vxr v sin а ,
w' w
которое должно выполняться для всех значений х , yr, f. Это возможно, если
коэффициенты при х', у', f в обеих частях B.69) равны. Тогда имеем
V
1 — v cos a/w
A— V1,
v'
v' cos
с у
sin a,'
w'
a'
v 1 — (vn)/»
v sin a
w
v (cos a — vwlc")
B.70)
W' w(\ B2;c2)l/2
Из уравнений B.70) следует, что
,= sin«(l-DV^)^- . BJ1)
cos a — via/с-
W' = w^^cosa _
2^^003 0!. v'-w'- v- sin'2 a \ 1/2
V ~ c- c4 ~~ c2 )
Обратные соотношения можно получить, как обычно, переобозначением
штрихованных и нештрихованных переменных и заменой v на — у. В пределе,
46
когда с-> оо, уравнения B.70), B.71) и B.72) приводят к нерелятивист-
ским формулам A.14), A.16) и A.19).
Сравнение преобразований B.46) и B.47) для скорости и направления
движения частицы с формулами B.71), B.72) показывает, что B.46) и B.47)
переходят в B.71) и B.72) соответственно, если положить и — cz/w, и = c2/w'.
Следовательно, когда w = c2fw, скорость частицы и и направление ее движения
п преобразуются аналогично фазовой скорости w и нормальному вектору
п плоской волны. Используя это обстоятельство, де Бройль [38] в своей волно-
вой теории элементарных частиц с каждой частицей, обладающей скоростью
и и направлением движения п, связал плоскую волну с фазовой скоростью
w = с2/и и нормальным волновым вектором п. Данная процедура, очевидно,
релятивистски инвариантна. Когда скорость частицы и — с, фазовая скорость
соответствующей волны w = с. Следовательно, направление движения и ско-
рость такой частицы преобразуются так же, как направление и скорость плос-
кой световой волны в вакууме.
§ 2.10. Групповая скорость в движущихся средах
Рассмотрим однородную изотропную среду с показателем преломления
п в инерциальной системе покоя S' (см. рис. 8). Относительно системы S среда
движется со скоростью v. В системе покоя S' справедливы феноменологические
максвелловские уравнения для неподвижных диэлектриков и, в соответствии
с принципом относительности, они верны
при любых постоянных скоростях движе-
ния S' относительно неподвижных звезд.
Поэтому в системе 5' фазовая скорость
световой волны к/ = с/п во всех направ-
лениях. В этой системе отсчета группо-
вая скорость должна равняться фазовой
скорости, так как по принципу Гюйген-
са элементарные волны, определяющие
групповую скорость, являются сфериче-
скими волнами с постоянной скоростью
w' = с/п. B.73) Рис. 9.
Это, однако, неверно для системы S. Рассмотрим, например, распространение
элементарной волны, испущенной в момент времени t — ? — 0 из общего на-
чала О, О' систем S и 5'. В системе S' распространение волны описывается
уравнением
l /jrZ>'—w'*t't = §, B.74)
где w' = с/п. С помощью преобразований Лоренца B.24) из B.74) получим
следующее уравнение распространения элементарной волны в системе 5:
a v; b
\ — v*w' /с1 1 —1>2ш'7с*
Следовательно, элементарная волна, испущенная в момент времени t из
точки х0, у0 плоскости х, у системы S, пересекается с этой плоскостью по кри-
вой линии, которая описывается уравнением
f(x, у, х0, y0)^(x-xo-aAty/b + (y-yor-bw'*At* = 0. B.76)
Здесь рассматривается только случай п >> 1, т. е. w' < с. Тогда с >> а >> 0
и 1 > 6 > 0, а линия пересечения является эллипсом с центром в точке
(х0 + а А/, у0) и полуосями bw'Atn bxt2w At соответственно. Таким образом,
47
элементарные волны увлекаются средой со скоростью а и одновременно сжи-
маются в направлении движения пропорционально bl/2.
Снова рассмотрим плоскую волну с нормальным вектором п, лежащим
в плоскости х, у и составляющим угол а с осью х. Соотношение между а и на-
правлением нормали к волне в системе^' определяется B.71) или обратным ему
преобразованием
tga = (l— u2/c2I/2 sin a'!{cosa' + vw'/c2). B.77)
Пусть a (рис. 9) есть плоскость фронта волны, линия пересечения с пло-
скостью х, у которой определяется уравнением
B.78)
Эллипс Е с центром в точке Q (х0 + aAt, y0) представляет собой элемен-
тарную волну к моменту времени / + At, испущенную из точки Р (х0, у0)
в момент времени t, и определяется уравнением B.76). Волновая плоскость
в момент времени t + At изображается линией аг, которая определяется как
огибающая семейства эллипсов B.76) при варьировании параметров х0, у0,
удовлетворяющих условию B.78). Величина и направление скорости луча оп-
ределяются вектором РРХ, где Рг (хг, уг) ¦— точка касания эллипса Е с оги-
бающей аг
~PP1 = uAt. B.79)
Здесь и — скорость луча. Поскольку Рг — предельная точка пересечения
двух соседних эллипсов семейства B.76), ее координаты удовлетворяют как
уравнению B.76), так и уравнению, получающемуся варьированием х0, w0
в B.76) при условии B.78):
(dfjdxo) sin a—{df/dy0) cos a = О
или
(х—х0—aAt) sin a — b (y — y0) cos a. B.80)
Исключив из уравнений B.76), B.78) и B.80) параметры х0, уй, найдем
уравнение огибающей ах:
х cos а + у sin а= С + Га + и»' {b (b + tg2 a)| 1/21 cos aAt. B.81)
Последний член в B.81) определяет расстояние РА между двумя волновы-
ми плоскостями, которое, в свою очередь, должно равняться wkt, где w — фа-
зовая скорость. Следовательно,
. B.82)
Подставив формулы B.75) и B.77), определяющие а, Ь, а, в B.82), полу-
чим выражение, идентичное преобразованию, обратному B.72).
В соответствии с B.79) имеем
ux = (x1—x0)/At; uv = (y1 — y0)IAt. B.83)
Поскольку х — xlt у — y-L — решение уравнений B.76) и B.80), из B.83)
получим
u = a + b^w'[{b+-\g-ayiz- ]
Подставляя сюда значения а, Ъ, а по формулам B.75) и B.76) и учитывая,
что в системе S' групповая скорость и равна фазовой скорости волны w', полу-
чаем, что
u = (u; + t>)/(l|a>/c2); ]
48
Уравнения B.85) совпадают с преобразованиями, обратными преобразо-
ваниям B.45). Следовательно, групповая скорость [как и в теории абсолют-
ного эфира, см. A.33)] преобразуется таким же образом, как и скорость ма-
териальной частицы. Если 0 н О' = а' суть углы между осью х и направле-
нием луча, измеренные в системах 5 и S' соответственно, то для групповых
скоростей имеем уравнения B.46) и B.75), связывающие между собой вели-
чины и, и , # и ¦§' Выражая и из B.47), получаем
и*
/2 f
iB.86)
v2 (J / '2"
1—г+
6'-
где
и' = с/п, B.87)
а е — единичный вектор в направлении луча, т. е.
ve = v cosfl. B.88)
В вакууме, когда п = 1, и' = ш' = с, и, w также равны с, и формулы
B.46) и B.47) для групповой скорости совпадают с формулами B.71) и B.72)
для фазовой скорости. Таким образом, из теории относительности следует, что
для любой инерциальной системы групповая скорость в вакууме совпадает
с фазовой скоростью. В теории абсолютного эфира это справедливо только для
абсолютной системы отсчета. Такое различие обусловлено тем, что, в соответ-
ствии с теорией относительности, элементарные волны в вакууме являются сфе-
рическими волнами с фиксированным центром в любой системе отсчета (когда
w' = с, из B.75) следует а = О, 6 = 1). Мы покажем позже (гл. 5, 7) что
групповая скорость равна скорости распространения энергии электромагнит-
ной волны. Плотность потока энергии определяется вектором Пойнтинга,
и для плоской волны в вакууме этот вектор направлен по нормали к фронту
волны в любой системе отсчета.
Фазовая скорость совпадает с групповой скоростью только в вакууме.
В преломляющей среде мы должны, в общем случае, различать эти две ско-
рости; и только тогда, когда луч параллелен движению среды, обе скорости,
согласно B.85) или B.86) и B.72), совпадают к выражаются одной формулой
u = w = (c/n±v)l(l±v/cn), B.89)
где знак плюс означает, что направление луча совпадает с направлением дви-
жения среды, а знак минус — что направления противоположны.
§ 2.11. Эффект Доплера, аберрация света и эффект увлечения
в теории относительности
Если систему 5 отождествить с системой покоящегося наблюдателя,
а систему S' — с движущимся источником света, то релятивистская формула
для доплер-эффекта определяется выражением B.70). Тогда v — частота, из-
меренная неподвижным наблюдателем, a v' — равна собственной частоте
v° источника. В пустоте w —- с, и единичный направляющий вектор луча
е совпадает с нормалью п к фронту волны. Отсюда получаем, что
vo = v: 1 — (ve)/c)/ ^l — г,-2/с2, B.90)
где v — скорость источника относительно наблюдателя, а вектор е = п и
определяет направление света в системе наблюдателя. Когда направление на-
блюдаемого луча перпендикулярно направлению движения источника, т. е.
при (v • е) = 0, из B.90) получаем формулу для'поперечного доплер-эффекта
49
v = v° A — у2/с2I</2, являющуюся (как говорилось выше в § 2.6) прямым след-
ствием эффекта замедления хода движущихся часов.
Справедливость формулы B.90) была доказана экспериментально с боль-
шой точностью Айвсом и др. [120], которые измеряли частоту света, испус-
каемого быстро движущимися ионами (см. § 1.5).
Релятивистская формула для аберрации света получается из B.46), если
системы отсчета S и 5' рассматривать как системы, связанные с неподвижными
звездами и с Землей соответственно. В любой точке Р' вне атмосферы Земли
и = с, поэтому введя углы 6 = 0 — л, 8' = ¦&' — я между направлением дви-
жения Земли и действительным и кажущимся направлениями на звезду, по-
лучим релятивистскую формулу аберрации
tgO'= [sinG (l—i>2/c2I/2]/(cosG +и/с). B.91)
Эта формула отличается от формулы A.61), теории эфира только величиной
второго порядка малости vVc2t так что при современной точности измерений
iix сравнение невозможно.
Поскольку атмосфера Земли неподвижна относительно системы S',b со-
ответствии с теорией относительности, луч света на пути от точки Р' к теле-
скопу не подвергается в дальнейшем никакой аберрации. В электронной тео-
рии Лоренца этот результат подтверждается лишь в первом приближении
(см. § 3.10).
Еще один релятивистский эффект состоит в том, что аберрация происхо-
дит и в направлении фазовой скорости. В теории абсолютного эфира нор-
маль к волне, согласно A.28), имеет одинаковое направление в обеих си-
стемах S и S', в то время как релятивистская формула B.71) преобразования
нормалей к фронту световой волны в вакууме совпадает с формулой преобра-
зования для групповой скорости в движущейся относительно инерциальной
системы S среде B.46). Пренебрегая величинами порядка с2/с2 и выше, по-
лучаем простое выражение
и = и' + v-е A —и'г /с2) = с]п +а (v-e), B.92)
где а — 1 — lirr — коэффициент увлечения Френеля. Формула B.92) сов-
падает с выражением A.48) для скорости света в абсолютной системе отсчета.
Таким образом, данная формула является прямым следствием принципа от-
носительности и не требует для своего доказательства никаких дополнитель-
ных гипотез о свойствах атомной структуры среды. Следует отметить, что тео-
рия Френеля справедлива в первом приближении лишь для абсолютной
системы отсчета. В любой другой системе уравнения Френеля не выполняются
даже в первом приближении. В теории относительности, например, для сис-
темы покоя среды и = с/п, а в теории Френеля выражение и сложнее.
Уравнение B.92) было проверено экспериментально сначала в опыте Физо
(см. § 1.8), а затем с более высокой точностью Зееманом [284, 285]. Последний
измерял скорость света в быстро движущемся кварцевом стержне. Измерения
Зеемана были настолько точными, что необходимо было учитывать также эф-
фекты, возникающие, в соответствии с электронной теорией Лоренца, в рас-
сеивающей среде. В такой среде п = п (v), а поскольку v из-за доплер-эф-
фекта зависит еще и от системы отсчета, при проверке B.92) необходимо выб-
рать правильное выражение для v и, тем самым, для л. Из формулы B.86) сле-
дует, что в B.92) нужно использовать значение п, соответствующее частоте
v' в системе покоя среды. В первом приближении по vie соотношение между
v' и v согласно B.70) следующее:
v'—v= — vn(v-e)/c, B.93)
так как различие между направлениями светового луча и нормали к фронту
волны порядка v'c. Из B.93) с точностью до vie имеем
с/п (v') = с\п (v) + (c/n2) (dn/dv) nv (ve)/c,
50
где п — п (v) — значение п при частоте v. Подставляя данное выражение
в B.92), получаем
u~cjn-\-(\-е) [1 — l//r2 + (v/n)dn/dv]. B.94)
Эта формула полностью согласуется с измерениями Зеемана.
С помощью теории относительности можно разобрать и другие явления,
например отражение света движущимися зеркалами и преломление света между
движущимися средами. В инерцнальной системе 5', относительно которой
зеркало или среда покоятся, выполняются обычные законы отражения и пре-
ломления света. Соответствующие законы в системе 5 получаются непосред-
ственно из формул преобразования B.46), B.47) для групповой скорости.
Эксперименты по отражению света движущимися зеркалами, проведенные
Саньяком [213, 214] и др., хорошо согласуются с теорией.
Во всех экспериментах измерялись эффекты лишь первого порядка,
поскольку скорости движения зеркал и сред были малы по сравнению со ско-
ростью света, так что величины второго порядка малости и выше в B.86) на-
ходились за пределом точности измерений. В связи с этим поучительно рас-
смотреть несколько расширенный опыт Майкельсона, когда вся аппаратура
находится в преломляющей среде. Из принципа относительности следует,
что при вращении аппаратуры интерференционные полосы не должны сме-
щаться (см. рис. 6). Такой же результат получается при вычислении проме-
жутков времени t{ и t'z, в течение которых два луча пройдут расстояния
PSXP и PS^P в инерциальной системе 5' покоя аппаратуры; в этой системе
скорость света одинакова во всех направлениях и рав-
на с/п и поэтому t[ = t'i.
Теперь необходимо, чтобы получился такой же
нулевой результат с точки зрения неподвижного на-
блюдателя в системе 5, относительно которой вся ап-
паратура движется со скоростью v. Соответствую-
щие временные интервалы tlt *2, измеренные по ча-
сам S, можно вычислить по формуле B.86) и полу-
чить, что tx — t2- Время прохождения луча 2 от
точки Р к точке 52 равно tJ2. За это время аппа-
ратура пройдет расстояние V2 vt2, а длина пробега
луча составит -~- и/2, где скорость луча и опреде-
ляется по формуле B.86) или B.87). На рис. 10 эти
расстояния изображены отрезками РР* и PS*2 (P*
и St —положения точек Р \\ 52 через промежуток
времени tJ2).
Из рисунка видно, что угол § между направ-
лением луча и скоростью v вычисляется по фор-
муле
cos # = via.
I
/Р
vt?
7
Рис. 10.
Подставляя эту формулу в уравнение B.47) и решая его относительно
и% получаем
и2 = и'*A— v2Ic2)-\-v\
По теореме Пифагора из треугольника PP*St имеем
где /0 есть расстояние PS2. Из B.96) и B.95) находим t2
B.95)
B.96)
B.97)
51
При вычислении времени пробега луча 1 из Р в Sx и обратно используем
выражение для и из B.89), так как луч 1 движется параллельно скорости
v аппаратуры. За время t{ пробега луча из точки Р в точку Sx зеркало 5Х прой-
дет расстояние vtt, так что общая длина пробега луча из Р в 5Х составит
I + vtj, где
/ — / П у2/г2\1/2 (О QQ\
есть расстояние PSl5 измеренное в системе отсчета S. Отсюда получим, что
с In -\-v
l+v/cn
пли
it = /0 я A + и/сл)/с A — i>2/c2I/2, B.99)
Время t\ есть время обратного пробега луча из Sy в Р. Оно находится заме-
ной v на — о
ri = /0 п A — vjcn)fc(l — v2/
Общее время
i __/+ i /r—9/ nlr(\ n2'r2W2 ("9 1ПП\
т. e. /j — ^21 что и требовалось доказать.
Данный результат, даже если он указывает лишь на соответствие теории
с экспериментом позволяет сделать выбор между формулой Френеля A.47) и
релятивистской формулой B.86), отличающихся лишь величинами второго
порядка. Используя в предыдущих вычислениях A.47) вместо B.86), для tt и
/2 получаем выражения
* _О„//„/1 .. /.2^. . B.101)
из которых следует, что при п Ф 1 /2 Ф tx даже в предположении, что рас-
стояние PSt сокращается в соответствии с формулой Лоренца.
Следовательно, если отрицательный результат опыта Майкельсона рас-
сматривается как экспериментальное подтверждение формулы Лоренца B.98),
то отрицательный результат соответствующего эксперимента с аппаратурой,
заполненной сильно преломляющей средой, означал бы справедливость реля-
тивистской формулы B.85) также с точностью до членов высшего порядка*.
Аналогично можно рассмотреть эксперимент Хука, который уже обсуждался
в § 1.8.
Таким образом, можно утверждать, что релятивистская кинематика пол-
ностью соответствует экспериментальным результатам. Она дает простое объ-
яснение всем эффектам увлечения без введения каких-либо дополнительных
гипотез и приводит к формуле для доплер-эффекта, которая, в отличие от со-
ответствующей формулы теории эфира, хорошо согласуется с экспериментом.
* Недавно подобный эксперимент был выполнен Шамиром и Фоксом [226] с ожи-
даемым пулевым результатом.
Глава
3
РЕЛЯТИВИСТСКАЯ МЕХАНИКА
§ 3.1. Масса и импульс частицы
Как уже говорилось в заключении § 2.4, основные уравнения механики
Ньютона необходимо изменить так, чтобы они соответствовали принципу от-
носительности. Там, где все скорости малы по сравнению с с, релятивистская
механика должна сводиться к ньютоновской механике. Естественно поэтому
предположить, что такие фундаментальные понятия ньютоновской механики,
как импульс и масса материальной частицы, имеют смысл и в релятивистской
механике.
Таким образом, с каждой материальной частицей, движущейся относи-
тельно инерциальной системы S со скоростью и, свяжем вектор импульса р,
пропорциональный и:
р = тхх. C.1)
Коэффициент пропорциональности т называется массой частицы. Для
общности будем предполагать массу уже не постоянной величиной, как раньше,
а универсальной функцией / (и) от величины вектора скорости частицы
и = | и |:
m = m(u)=f(u). C.2)
Если скорость частицы относительно другой системы S' равна и', то масса и
импульс частицы в системе 5' должны быть связаны уравнением
р' = m'u', C.3)
где
т' =-¦ т' (и') = f (и) C.4)
есть та же функция от и , что и т от и. Это следует из принципа относитель-
ности, по которому все инерциальные системы совершенно равноправны, так
что любое соотношение между физическими величинами должно быть форм-
инвариантным.
Наша первая задача — найти функцию f. Эта функция однозначно опре-
деляется из требования, чтобы теорема о сохранении импульса выполнялась
в любой инерциальной системе (Льюис [144]). Пусть S и S'—две инерциаль-
ные системы с относительной скоростью v. Рассмотрим столкновение двух оди-
наковых частиц 1 и 2, двигавшихся со скоростями их и и2 относительно S до
столкновения. Соответствующие скорости в системе 5'определяются из B.55).
Предположим, что до столкновения скорости частиц удовлетворяли условию
ii2 — Uj. C.5)
Из B.55) и B.55') следует, что
и;-— и,. (з.б)
После столкновения частицы будут иметь скорости их и и2 в системе S и
uj, U2 в системе 5'. Рассмотрим частный случай, когда начальная и конечная
скорости частицы 1 имеют противоположные направления, т. е.
11!=— ащ, C.7)
где а — положительное число.
Из соображений симметрии имеем также
пз=— CCU2 C.8)
с тем же коэффициентом пропорциональности а, так как в соответствии с C.5)
движение частицы 2 относительно наблюдателя в S' должно быть таким же,
как и движение частицы 1 относительно наблюдателя в 5. Из C.5), C.7)
и C.8) следует, что
по = —пи C.9)
откуда согласно B.55) находим, что
Ui = - U2.
Предполагая, что функциональное соотношение C.2) после столкнове-
ния не меняется, из закона сохранения количества движения в системе S имеем
f (и,) u1 + f(u.2) u2 = f [щ) пх + / [щ) щ. C.10)
Предположим далее, что до столкновения скорость частицы 1 перпенди-
кулярна v, т. е.
(UiV) = 0, C.11)
что с учетом C.5), C.7) п C.9) дает
(Uav) = 0, C.12)
{щ v) = (п2' v) = 0. C.13)
Теперь при преобразовании скоростей и2, а2 можно использовать простую
формулу B.57), откуда следует, что
щ = U2 A — v°-lc-)! /2 + v = v - щ A - ог/с2)' /2; C.14)
«§ = (u2-u,) = «!(l— v*!c2) + v\ C.15)
так как перекрестные члены согласно C.11) равны нулю. Аналогично, учи-
тывая C.9), имеем
{L="G2A —oVI/2 + v=—1U1 —u2/cV/2-!-v; I
_ _ C.16)
Подставив C.14), C.15) и C.16) в (ЗЛО), получим следующее векторное
уравнение:
. C.17;
Умножая это уравнение на v и учитывая C.11) и C.13), имеем
Поэтому, если f — монотонная функция от аргумента, то
Ъ± = ии C.18)
т, е. а = 1 в C.7). Отсюда следует, что члены, пропорциональные v в C.17),
сокращаются, а коэффициенты при их и Uj равны.
54
Тогда уравнение C.17) принимает более простой вид:
[f(«i)-f(/{«?(l-i'2/c2) + f2})(l-t;Vc2I/2] k-lO-^O. C.19)
Более того, поскольку из C.7) и C.18) следует, что
коэффициент при их — иг в C.19) должен равняться нулю, т. е.
!(l-uV) + D2}). C.20)
Если потребовать сохранения импульса для любых столкновений (типа
рассмотренного), то функция f должна удовлетворять уравнению C.20) при
всех значениях независимых переменных и и v. Решение этого функцио-
нального уравнения получим, если устремим иг в C.20) к нулю; тогда
f(v) = f(O)/Vl—v*ic*. C.21)
Функция / (и), определяемая из C.21), удовлетворяет уравнению C.20)
при всех значениях и1 и v.
Таким образом, из C.2) и C.21) получаем следующее выражение для реля-
тивистской массы частицы, движущейся со скоростью и:
т = то1У\—иг1сг, C.22)
где мы положили / @) = шп.
Постоянная т0 (так называемая собственная масса или масса покоя час-
тицы) тождественна массе частицы в ньютоновской механике; предположение,
предшествовавшее C.10), очевидно, означает, что масса покоя не меняется при
столкновениях рассмотренного тина.
Для импульса частицы, согласно C.1) п C.2), теперь имеем выражение
р=то\1/У I — и2/с2. C.23)
§ 3.2. Сила, работа, кинетическая энергия
Скорость, а значит и импульс свободной частицы не зависят от времени.
Если импульс частицы изменяется, то говорят, что действует сила F, равная
изменению импульса в единицу времени:
C.24)
Уравнение C.24), совпадающее при малых скоростях частиц со вторым
законом Ньютона нерелятивистской механики, рассматривается как определе-
ние силы в релятивистской механике. Его можно считать уравнением движе-
ния только тогда, когда известно, каким образом сила F зависит от физи-
ческого состояния системы, являющегося причиной изменения импульса
частицы.
Как и в механике Ньютона, работа А, произведенная силой в единицу
времени, равна
i4 = (F-u), C.25)
где и — скорость частицы. Кинетическая энергия Т частицы определяется
уравнением
dT/dt = A = (Fu). C.26)
Иначе говоря, изменение кинетической энергии в единицу времени равно
работе силы.
55
С помощью C.23) и C.24) правую часть уравнения C.26) запишем в виде
A=(u.L
[u
dt (l-u4c*)l/3J A-ы-/^I/2 V dt
m0 и'2 du
U-
dt
или, учитывая, что и ¦ du/dt = и • duldt, получаем
^ ™ои . du __ d I тос- \
A-ыа/сяK/2 dt dt [{1 _Из
C 27)
Подставляя C.27) в правую часть уравнения C.26) и интегрируя его, най-
дем кинетическую энергию частицы в явном виде:
T=--mac2lV\ — u*lc2 + C, C.28)
где С — постоянная интегрирования.
Предполагая, что при и = О кинетическая энергия равна нулю, имеем
/-•
откуда
Т = т°с% тос2. C.29)
Когда скорость частицы и мала по сравнению с с, выражение C.29) можно раз-
ложить в ряд по малому параметру (и/сJ и в первом приближении получить нью-
тоновское выражение для кинетической энергии
Т - A/2) тои*. C.30)
Аналогичным образом все величины релятивистской механики и соотно-
шения между ними при скоростях, малых по сравнению со скоростью света,
совпадают с соответствующими величинами и соотношениями между ними
ньютоновской механики. Интересно отметить, что все отклонения релятиви-
стской механики от механики Ньютона по крайней мере второго порядка по
и/с. Вот почему первоначальная электронная теория, базирующаяся на меха-
нике Ньютона, могла объяснить все эффекты первого порядка. Когда скорость
и имеет величину порядка с, различие между релятивистской и ньютоновской
механиками становится значительным. При и~^с масса C.22) и кинетическая
энергия C.29) становятся бесконечно большими, поэтому в релятивистской
механике скорость света является предельной скоростью.
§ 3.3. Преобразование силы, импульса и энергии
Рассмотрим снова две ннерциальные системы S и S', соответствующие
специальным преобразованиям Лоренца B.24). В обеих системах импульс и
кинетическая энергия частицы задаются формулами вида C.23) и C.29). Урав-
нения для преобразований импульса и кинетической энергии получим с по-
мощью преобразований B.45) скорости частицы.
Введем дополнительно величину Е, определяемую соотношением
Р .... ГГ I гп г'2 — тЬ С И1Г2 1"\ 9 \\
i-t i ~\~ i4q Ь Illb . ^О.О ] )
Поскольку Е отличается от кинетической энергии лишь на постоянную
величину rriffC-, ее также можно рассматривать как меру кинетической энергии
частицы. Эту величину часто называют просто энергией свободной частицы,
пренебрегая при этом на время физическим смыслом постоянной добавки
т0с2. Аналогичная величина Е' = Т + т0с2 вводится и в системе S'.
56
С помощью C.23), C.31) и соотношений, обратных B.45) и B.48), получим:
тоих mo([+vu'x[c°')
У ([ — v'i/ci
V)
У A— u2/
т. е.
/>,.
Аналогичным образом найдем, что
E'+vp'
C.32а)
C.326)
Сравнивая уравнения C.32) с преобразованиями Лоренца B.24), видим,
что четыре величины
рх, р , рг, Е!с2
C.33)
преобразуются подобно пространственно-временным координатам х, у, z, t.
Поэтому по эеилогии с уравнениями B.15), B.13) и B.13') имеем
р2 — Е2/с2 = р'* — Е'*/с2. C.34)
В соответствии с C.23) и C.31) инвариант C.34) имеет постоянное зна-
чение — mlc2. В любой инерциальной системе
—?2/с2=—т02с2,
т. е.
Отсюда скорость частицы
и = рсУЕ = dE/dp.
C.35)
C.36)
Поскольку величины C.33) преобразуются как координаты (х, у, z, t) при
вращениях декартовых осей, формулы преобразования для импульса и энер-
гии в случае общих преобразований Лоренца B.25') можно записать в век-
торной форме
C.37)
Теперь легко видеть, что C.34), которое аналогично B.30), является след-
ствием C.37).
Рассмотрим систему из п свободных частиц. Если импульс и энергию
/-Й частицы обозначить р(/) и ?U) = T{i) + т</> с2 соответственно, где
Л'"' — кинетическая энергия, а т^ —¦ масса покоя t-й частицы, то полный
импульс и энергия системы определяются выражениями
Е =
/= 1
C.38)
57
Поскольку преобразования C.32) или C.37) линейны и справедливы для
каждой частицы, аналогичные преобразования справедливы и для полной
энергии и импульса системы. Таким образом, уравнения C.32) и C.37) можно
использовать и для системы свободных частиц, где р, Е и Т обозначают пол-
ный импульс и энергию системы, ат0, согласно C.38), есть сумма собственных
масс частиц. Из этих же уравнений следует, что если теорема о сохранении
количества движения при столкновении между частицами справедлива в каж-
дой инерцнальной системе, то полная энергия Е также сохраняется в любой
инерциальной системе.
Возвращаясь к системе из одной частицы с постоянной массой покоя,
уравнения C.24) и C.26) записываем в форме
F; C.39а)
?.u). C.396)
Поскольку уравнения C.39) выполняются в любой инерциалыюн системе,
закон преобразования для силы F можно получить из известных преобразо-
ваний для величин в левых частях C.39). Из уравнений B.25)' и B.26) имеем
Поэтому с помощью C.37) окончательно получим
F— iP_ill= П~- i|2/c3I/2F;4-v[(vF'){l —С — v-/c^/2} + (F' и') у2,'с*]1о2
~~ di dt ~ l+(vu')/c2
C.40)
где F' — сила, измеренная в ннерциальной системе 5'. В релятивистской меха-
нике сила уже не является абсолютным понятием, как в механике Ньютона.
Если вместо t ввести собственное время частицы т, а силу Минковского
определить соотношением
FM = F/y 1— и21с-, C.41)
то уравнения C.39) с помощью B.38) можно представить в виде
dp =FM ^-FMu. C.42)
dx dx "
Поскольку т — инвариант, величины {р, Ё/с2} в левых частях C.42)
преобразуются подобно пространственно-временным координатам (х, I). То
же справедливо и для величин {Fm, (Fmu)/c2}. Это можно проверить непо-
средственно с помощью формул C.40), B.55) и B.56).
§ 3.4. Гиперболическое движение. Движение электрически заряженной
частицы в постоянном магнитном поле
Уравнение C.39) можно рассматривать как уравнение движения только
тогда, когда известно, как именно зависит сила F от переменных физической
системы, вызывающих изменение импульса частицы. Когда скорость частицы
мала по сравнению с с, релятивистские уравнения должны совпадать со вторым
законом Ньютона. Поэтому в инерциальной системе S0, относительно которой
частица в рассматриваемый момент имеет нулевую скорость, силу F0 можно
считать тождественной ньютоновой силе. Тогда с помощью C.40) можно вы-
числить силу F в произвольной инерциальной системе S. Пусть скорость час-
тицы относительно S равна и; если S' в C.40) — система покоя S0, то v — и и
и' = 0, и для силы F в системе S получим выражение
F= F°(l — u2/c2)'^ + u ((uF°)/u2) {I —A —uVc2)}, C.43)
58
где F° — ньютонова сила. Разлагая каждую силу на две компоненты, парал-
лельную и перпендикулярную и, т. е.
р р„ I р . ро pn _L F0
получаем вместо C.43) простые уравнения
F|r---F(i; Fj_ = Fl(l—иа/с2I/2. C.43')
Таким образом, зная силу F0, с помощью C.43) или C.43') можно вычис-
лить силу F в любой инерциальиой системе S. Можно показать, например
(см. § 5.7), что сила, действующая на заряженную частицу в электрическом
поле Е и магнитном поле Н, определяется формулой Лоренца
C.44)
где и — скорость частицы; е — ее электрический заряд и и х Н — вектор-
ное произведение векторов и и Н.
Теперь левую часть уравнения движения C.39) с помощью C.1), C.31)
и C.39) можно записать в виде
dp d /mil) du , dm da , 1 dE dn . [T-n\
—— = —;—- = m u — m u = m ¦—- + — u,
dt dt dt dt dt c°- dt dt \ c"- j
где т — релятивистская масса, определяемая формулой C.22). Подставив
данное выражение в уравнение C.39), получим уравнение движения в форме
mdu/dt = F—u(Fu)/c2. C.45)
Итак, направление ускорения в общем случае уже не совпадает с направ-
лением силы, поэтому движение частицы в релятивистской механике является
более сложным, чем в механике Ньютона. И только в том случае, когда сила
параллельна пли перпендикулярна мгновенной скорости и, движение частицы
относительно простое.
Разберем оба случая. Пусть на частицу действует постоянная сила
F = mog, направление которой совпадает с направлением начальной скоро-
сти частицы. В соответствии с C.45) частица будет продолжать двигаться в том
же направлении. Поэтому траекторией частицы будет прямая линия, которую
можно взять в качестве оси х, тогда уравнение C.39а) примет вид
й { и ) F dx
dt \ V(l — иЧ&) ) т0 ь dt
Предполагая, что скорость частицы равна нулю при t = 0, и интегрируя,
получаем, что
или
u = dx/dt = gtf\r I + (gtlcf . C.46)
Если предположить далее, что х ~ 0 при t = 0, то второе интегрирование
ласт
x = (c2lg)[{l+(gi!c)*yi*-l] C.47)
или
(х + c2!gJ — с2 Г- = cVg'. C.48)
Уравнение C.48) в плоскости xt изображается гиперболой, поэтому рас-
смотренное движение называется гиперболическим движением [31, 237].
Если (gl'f <;' с'2, то, пренебрегая членами порядка gtlc и выше, получаем
из C.47) обычное уравнение
х = A/2) gl\
описывающее движение с постоянным ускорением.
59
Для больших значений t, т. е. при больших скоростях, увеличение х с воз-
растанием t происходит медленнее, чем в механике Ньютона. При t ->¦ оо ско-
рость и, определяемая формулой C.46), стремится к конечной величине с не-
зависимо от значения g. Таким образом, даже при действии очень большой
постоянной силы на частицу скорость света никогда не достигается. Это со-
ответствует выводу § 2.7. Движение заряженной частицы в постоянном элект-
рическом поле, направление которого параллельно скорости частицы, как раз
является движением рассмотренного вида.
Пусть теперь частица движется в постоянном магнитном поле Н. Сила,
действующая на частицу со стороны магнитного поля, в соответствии с C.44)
равна
H), C.49)
т. е. сила перпендикулярна скорости u, uL и Н. Поэтому (Fu) = 0, и уравне-
ние движения C.45) принимает тот жэ вид, что и в ньютоновской механике, т. е.
mdufdt = F = (ejс) (ux x Н). C.50)
Здесь т — релятивистская масса, которая в данном случае является по-
стоянной величиной, так как энергия частицы Е в соответствии с C.396) не
меняется со временем, поэтому не меняется и значение вектора скорости и.
Из C.50) следует, что составляющая ускорения в направлении Н равна
нулю, т. е, составляющая скорости в направлении поля иц — величина по-
стоянная, а вместе с ней постоянна и перпендикулярная составляющая и±, так
как величина вектора скорости не меняется со временем. Поэтому траектория
частицы будет винтовой линией с осью, параллельной Н. Ее проекция на
плоскость, перпендикулярную Н, является окружностью с радиусом р, опре-
деляемым из условия, что при круговом движении центростремительная сила
tnuj_!p должна равняться силе C.49). Отсюда следует, что
miij_/p = (el с) u± ¦ Н
или
р± = пш± = (е/с)Нр. C.51)
Если скорость частицы перпендикулярна направлению поля, то
р = {е/с)Нр. C.52)
Это уравнение позволяет с помощью измерений Н и р определить импульс
частицы. Эта формула особенно полезна при исследовании космических лучей,
C-излучения и в масс-спектроскопии.
§ 3.5. Эквивалентность массы п энергии
Рассмотрим снова систему 21? состоящую из свободных частиц. Если
(р, Е) и (р\ Е') — полный импульс и энергия системы в двух инерциальных
системах S и S', то соотношения между ними определяются по формулам
C.37). Для такой системы инвариант C.34) всегда отрицателен. При п — 1
этот инвариант, в соответствии с C.35), равен — mlc2, и, поскольку C.35) вы-
полняется для каждой частицы, вся величина р'г — Ellr при п >¦ 1 должна
быть меньше — 2 (mf/'rJ. Следовательно, всегда можно выбрать систему
I
S', в которой полный импульс р' равен нулю. Поэтому, полагая р' — О
в C.37), получаем следующее выражение для относительной скорости v двух
систем отсчета S и S':
. v = (c2/?)p. C.53)
Поскольку р2—?2/с< 0, то Е > ср, и относительная скорость v всегда
меньше с, что и требовалось доказать.
60
Инерциальная система 5°, в которой р° = 0, называется системой покоя
для2а или системой центра масс, так как система 2Х как целое имеет механи-
ческие свойства, аналогичные свойствам частицы в системе покоя 5°. Пусть
и —скорость системы S0 относительно произвольной инерциальной системы
5, тогда и обозначает также скорость, с которой 2Х как целое движется от-
носительно 5.
Отождествляя в C.37) систему S' с 5°, получаем, что
«2/c2. C.54)
Эти соотношения выражают зависимость полного импульса и полной энер-
гии системы 2Х от скорости системы. Теперь естественно определить полную
массу системы, как и для одной частицы, в виде отношения полного импульса
к скорости [см. уравнение C.1)]. В соответствии с C.54) полная масса М сис-
темы 2Х есть
М = (Е°1с2)! У\—иг1сг = Е/с2 = M0lV\—u2/c2. C.55)
Это соответствует массе покоя Мо — Е°/с2, которую с помощью C.38)
можно представить в виде
М0 = ?°/с2 = т0 + Т°/с2, C.56)
где т0 — сумма масс покоя всех частиц, а Т° — полная кинетическая энер-
гия в системе покоя.
Выражения C.54) для импульса и энергии системы 2Х с учетом C.56) ста-
новятся совершенно аналогичными выражениям C.23) и C.31) для импульса
и энергии одной частицы. Из C.56) видно, что полная масса покоя системы
2j больше суммы масс покоя всех частиц т0 на величину Т°/с-. Таким обра-
зом, внутренняя кинетическая энергия системы 2Х увеличивает инертную массу
системы на Т°/с2.
С помощью C.54) и C.56) инвариант C.34) можно представить в виде
р2 — ЕЧс2 = — М0б2, C.57)
что аналогично выражению C.35) для одной частицы. Формулу C.57) можно
рассматривать как определение массы покоя системы 2 t.
Важный вывод о соответствии кинетической энергии системы свободных
частиц их инертной массе можно распространить на любой вид энергии.
Предполагая справедливыми общие законы сохранения, можно показать,
что
Am = АЕ/с2. C.58)
Для доказательства этой важной теоремы рассмотрим «столкновение»
системы свободных частиц 2Х с другой произвольной физической системой
221 при котором определенное количество энергии и импульса переходит из
системы Si в 22- Частицы в системе 21 до и после столкновения — свобод-
ные, поэтому полная энергия и полный импульс системы до и после столкно-
вения преобразуются в соответствии с C.32) и C.37). Вычитая преобразование
для энергии и импульса системы после столкновения из соответствующего
преобразования для энергии и импульса до столкновения, получаем
C.59)
= [А?'
где (Ар, Д?) и (Ар', А?') — уменьшения полного импульса и энергии системы
в результате столкновения (измеренные в системах 5 и S' соответственно).
Если в течение всего процесса энергия и импульс сохраняются, то соответст-
вующие величины системы 22 возрастут на Ар и Д? в инерциальной системе
61
S и на Ар' и АЕ'— в системе 5'. Тогда из C.59) следует по аналогии с C.34),
что выражение
| Дрр — (Д?J/с2 = |Др']2 — (Д?"J/с2 C.60)
является инвариантом. Когда этот инвариант отрицателен, снова можно най-
ти инерциальную систему S' = S0, в которой Др' = Др° = 0. Тогда из C.59)
получим
C61)
где и — скорость системы S° относительно системы S. Из сравнения этих
уравнений с C.22) и C.29) следует, что энергии Д?°, перешедшей в систему
2 2, нужно сопоставить массу покоя
Ат0 = Д?°/с2 . C.62)
и массу Am, измеренную в S:
Am = Ьта/У\—и*/с* = (Д?°/с2)/ /1—ы*/с3 = ДЯ/с2. C.63)
Изменение импульса системы 22 в течение процесса столкновения соот-
ветствует добавлению к 22 одной частицы с массой покоя Дт0 и скоростью
и относительно S.Теперь инвариант C.60) по аналогии с C.35) можно предста-
вить в форме
|Др|а — (Д?J/с2= — (ДтоJс2. C.64)
Это уравнение дает простое выражение для массы покоя перешедшей
в 2 2 энергии. Поскольку 2, — произвольная физическая система, перешедшая
в нее энергия может быть любого вида, так что формула C.63) справедлива для
всех видов энергии. В качестве 22 можно, например, выбрать электромагнит-
ное поле, тогда полученная энергия имеет форму электромагнитного излу-
чения. Преобразования энергии и импульса электромагнитного излучения
должны определяться уравнениями C.59). Далее, 22 может быть телом, преоб-
разующим полученную энергию АЕ в тепло, и поскольку приращению энер-
гии АЕ соответствует приращение массы Am [см. C.63)], то масса тела уве-
личивается при нагревании. Наконец, 22 может быть системой, переводящей
кинетическую энергию в потенциальную. Это значит, что потенциальной энер-
гии также соответствует определенная инертная масса.
Из предыдущего, в частности из уравнения C.64), следует, что понятие
о массе некоторого количества энергии АЕ имеет определенный смысл только
при известном импульсе Др, соответствующем АЕ. Чтобы эта масса была дей-
ствительной, левая часть в C.64) должна быть отрицательной. Только при
|Д?|>с|Др| C.65)
можно говорить о системе покоя и, следовательно, об определенной массе и
скорости энергии.
АЕ может быть и отрицательной, так что в действительности происходит
переход энергии в систему 2Х. Таким образом, рассматривая процесс, при
котором полный импульс р2 и энергия Е2 системы 23 переходят в систему
2 г, видим, что уравнения C.59) должны выполняться и для полного импульса
и полной энергии произвольной системы. Если, кроме того, выполняется со-
отношение
pi — ?2/с2<0, C.66)
то система имеет действительную массу покоя, определяемую C.64):
-M2oc2 = pl—EVc\ C.67)
62
Когда р\ — Е\/с2 = 0, масса покоя системы также равна нулю.
Если S2 — система полей, где плотность энергии поля есть однородная
положительно определенная функция переменных поля, то C.66) всегда вы-
полняется. Когда ?-<ср2. всегда можно выбрать инерциальную систему
S', в которой Ео = 0, рг Ф 0. Для этого в преобразованиях C.59) достаточно
положить
v = ?2p2/p2, |v|<c. C.68)
Тогда из соотношений, обратных C.59), имеем
В силу сделанного предположения о зависимости плотности энергии от
переменных поля E'i может равняться нулю только в том случае, когда само
поле исчезает, в этом случае импульс р'2 также должен равняться нулю. Поэ-
тому естественно допустить, что соотношение C.66) выполняется для любой
макроскопической физической системы. Простым примером системы, для
которой выполняется знак равенства в C.66), является последовательность
плоских электромагнитных волн. В соответствии с C.67) такая система волн
должна иметь нулевую массу покоя и скорость и = сйр»>'Е2 = с в лю-
бой инерцпальной системе отсчета.
Наоборот, можно показать, что любая материальная частица массы т долж-
на обладать энергией Е=тс2, причем в системе покоя частицы ее энергия есть
Ео = mQc". Это утверждение имеет реальный смысл только тогда, когда энер-
гию, соответствующую массе частицы, можно преобразовать з другие виды
энергии, например в кинетическую энергию других частиц. Мы не можем за-
ранее знать, что такие «аинигилящюнные процессы» действительно сущест-
вуют в природе, но можем показать, что если они при определенных условиях
существуют и для них справедлив принцип относительности и все законы сох-
ранения импульса и энергии, то количество высвободившейся энергии при
аннигиляции массы т0 должно равняться EQ — т0с2.
Для доказательства этого утверждения предположим, что высвободив-
шиеся при аннигиляции энергия и импульс перешли в систему 2Х свобод-
ных частиц. Рассмотрим снова произвольную инерциальную систему «S и си-
стему покоя S0. Если (Ар, Д?) и (Ар0, АЕ°) ¦— количества перешедшей энер-
гии и импульса, измеренные в S и S0 соответственно, то из C.59) имеем
Др-Дро
где и — скорость частицы относительно S.
Поскольку импульс частицы в системе покоя равен нулю и, кроме того,
энергия и импульс частицы после ее аннигиляции равны нулю в любой систе-
ме отсчета, то
Др° = 0; Д?° = ?0, C.70)
где ?0 — неизвестная энергия, содержащаяся в частице до ее аннигиляции.
Кроме того, Ар равна импульсу р частицы относительно S до аннигиляции,
т. е.
Др = р=тои//1— и11с2. C.71)
Подставив C.70) и"C.71) в C.69), получим
mou/j/l— и*!с*^-
или
Ео = т0с2. C.72)
63
Тогда в соответствии с C.22) и C.29) полная энергия частицы, движущейся
со скоростью и, равна
E = E0 + T=m0 c2jV\ —и2/сг = me2. C.73)
Теперь ясен физический смысл величины Е, определяемой формулой C.31).
Энергия Ео в формуле C.72) называется собственной энергией или энергией
покоя частицы.
Таким образом, мы получили общее доказательство знаменитой формулы
Эйнштейна [65, 68, 147, 148]
? = тс2, C.74)
которая утверждает, что любая энергия Е обладает инертностью, соответст-
вующей массе Е/с2, п что любую массу т можно представить в виде энергии
тс2. Эта теорема об эквивалентности массы и энергии является важнейшим
результатом специальной теории относительности. Необходимо заметить, что
масса в этой теореме — инертная масса. Однако, как мы увидим в § 8.2, один
из важнейших постулатов общей теории относительности — эквивалентность
инертной и гравитационной масс. Поэтому энергии Е можно приписать и гра-
витационную массу т, определяемую формулой C.74).
§ 3.6. Неупругие столкновения. Масса замкнутой системы частиц
Прежде чем приступить к обсуждению экспериментальной проверки ре-
лятивистской механики, разберем несколько простых примеров, иллюстрирую-
щих общую теорему об эквивалентности массы и энергии.
Для начала рассмотрим неупругое лобовое столкновение двух глиняных
шаров с одинаковыми массами покоя т0, движущихся в инерциальной систе-
ме S' = S6 по одной линии навстречу друг другу с одинаковой скоростью.
Полные импульс и энергия в системе центра масс S0 до столкновения равны
р =~ у)', tL ^^ ^т^ с ~\~ 1 , (о. /о)
где Т° — полная кинетическая энергия.
В системе S, относительно которой S0 движется со скоростью и, полные
импульс и энергия до столкновения в соответствии с C.37)и C.75) определяют-
ся выражениями
-и2/сг; C.76а)
~ и*/с2. C.766)
При неупругом столкновении оба шара слипаются и образуют один боль-
шой шар; по теореме о сохранении импульса этот шар в системе S имеет нуле-
вой импульс и, следовательно, нулевую скорость. Первоначальная кинети-
ческая зпергия обеих частиц Т° в S0 переходит в тепло, и по закону сохранения
энергии количество образовавшейся тепловой энергии Q0 равно
Q0 = Т°. C.77)
Глиняный шар после столкновения имеет скорость и относительно S и
импулье
р = М0и/Г1-«2/с2, C.78)
где Мо — масса покоя шара после столкновения. По закону сохранения им-
пульса в системе 5 выражения для р в формулах C.76а) и C.78) должны быть
равны. Тогда с учетом C.77) получим
М0 = 2 шо + Qofc\ C.79)
т. е. масса покоя Мо шара после столкновения равна суммарной массе покоя
обоих шаров плюс масса, эквивалентная тепловой энергии. Энергия шара в си-
64
стеме S после столкновения, в соответствии с C.77) и C.79), определяется
выражением
Е = Мог/|Л — и-/с* - Bт0 с*+Т0)/ (Л —u2/c* C.80)
и равна полной энергии шаров до столкновения C.766), что соответствует за-
кону сохранения энергии в S. Для изменения полной кинетической энергии
в процессе столкновения с помощью формул C.76), C.79) и C.77) получим
следующее выражение:
Таким образом, изменение полной кинетической энергии является инва-
риантом, не зависящим от инерциальной системы, в которой вычисляется
кинетическая энергия. Чтобы показать наличие инертности потенциальной
энергии, рассмотрим систему 2, состоящую из некоторого количества частиц,
удерживающихся вместе благодаря силам притяжения.
Предположим, что существует инерциальная система S', в которой ско-
рости всех частиц малы по сравнению со скоростью света, так что в 5' можно
с хорошим приближением пользоваться нерелятивистской механикой Нью-
тона. Пренебрегая типично атомными явлениями, обусловленными сущест-
вованием планковского кванта действия, мы можем в качестве такой механи-
ческой системы рассматривать атомное ядро, поскольку элементарные час-
тицы, из которых построены атомные ядра, нуклоны, настолько тяжелы, что
их скорости в общем случае можно считать малыми по сравнению с с. Данное
предположение означает, что собственные времена отдельных частиц в 2 прак-
тически совпадают и равны времени /' в системе S' и, кроме того, что силы
связи между частицами мгновенны и удовлетворяют третьему закону Нью-
тона. Если эти силы консервативные, то в системе S' они определяются как
градиенты потенциальной функции V, зависящей от расстояния между час-
тицами. В соответствии с механикой Ньютона при движении частиц сумма
полной кинетической и потенциальной энергии не изменяется со временем, т. е.
Т' + V' = Н' --= const. C.82)
Конечно, полная кинетическая энергия в общем случае меняется со временем.
Выберем произвольную постоянную в выражении для потенциальной энер-
гии так, чтобы V = 0, если частицы расположены достаточно далеко друг от
друга и силы взаимодействия между ними отсутствуют. Тогда в любом состоя-
нии, при котором частицы связаны, V <С 0.
Среди всех возможных инерциальных систем 5' выберем такую систему
5". в которой центр тяжести 2 покоится. В S0 суммарный импульс всех частиц
рв равен нулю. В инерциальной системе S, относительно которой S0движется
со скоростью и в направлении оси х, суммарный импульс всех частиц р в со-
ответствии с C.32) определяется выражением
px = (m0+T>/c*)u/Yl-ua/c*, py = pz^O, fC.83)
где снова tn0 — суммарная масса покоя всех частиц. Поскольку собственные
времена всех частиц практически совпадают, р можно считать функцией одной
временной переменной. В противоположность случаю системы свободных час-
тиц р не является постоянным, поскольку кинетическая энергия в выражении
C.83) для р зависит от времени.
Однако суммарный импульс р не является полным импульсом системы
2 в S, так как нужно еще учесть, что потенциальная энергия V0 имеет массу
покоя У%2. Поэтому полный импульс Р в 5 находим по формулам
Р„ = Рг = 0, C.84)
3 Зак. 1 174 65
где Н° = Т° + V0 — полная энергия в системе покоя. ЕГотличие от р полный
импульс Р не изменяется со временем, как и должно быть для замкнутой сис-
темы, не подверженной действию внешних сил. Если частицы находятся так
далеко друг от друга, что их можно считать свободными, должно выполняться
равенство Р — р, которое является единственным условием для определения
постоянной в потенциальной энергии.
Из C.84) видно, что атомное ядро, движущееся как целое со скоростью
и относительно системы S, имеет полный момент
Р =Мои//1— и2/с* C.85)
с массой покоя
УИ0 = ш0 + Я°/с2. C.86)
Для устойчивых ядер Я0 отрицательно, и А?" = — Н° является энергией
связи ядра, т. е. представляет собой количество энергии, которое необходимо'
сообщить ядру, чтобы оно полностью разделилось на составляющие частицы.
Дефект массы ядра Am — т0 — Мо определяется из формулы C.86):
Am - Д?7с2. C.87)
Это фундаментальное соотношение между энергией связи п дефектом массы
ядра, являющееся частным случаем формулы Эйнштейна C.74), было неодно-
кратно подтверждено с большой точностью в экспериментах с ядерными реак-
циями (см. § 3.7)*.
§ 3.7. Экспериментальное подтверждение релятивистской механики
В § 3.1 мы показали, что если при упругом столкновении двух частиц
выполняется закон сохранения импульса, то зависимость массы от скорости
выражается формулой C.22). Возникает вопрос о той или иной справедливости
сохранения импульса и энергии для больших скоростей. Этот вопрос можно
разрешить лишь с помощью эксперимента. Та-
кой эксперимент впервые выполнил Чемпион
[50], который исследовал столкновения бы-
стро движущихся электронов ф-частиц) с
покоящимися электронами в камере Виль-
сона.
^х Рассмотрим подробнее такое столкнове-
* ние между электроном 1, имеющим скорость
Рис. П. их и импульс р1 = топ1 A— ирс2)-1'2,
и неподвижным электроном 2 с импуль-
сом р2 = 0 относительно системы координат S, в которой покоится
камера Вильсона. При столкновении некоторая часть импульса пе-
реходит к электрону 2. Пусть р1 и р2 импульсы обеих частиц после столкно-
вения, а 9 и ф — углы между первоначальным направлением электрона 1 и
векторами рх и р2 соответственно (см. рис. 11). Использование законов сохра-
нения релятивистской механики приводит к простому соотношению между
G и ф.
Для этого удобно использовать тот факт, что теоремы сохранения энергии
и импульса справедливы в любой инерциальной системе (если они вообще
выполняются). Выберем декартовы оси лабораторной системы S так, чтобы
вектор р! был параллелен оси х, а рх лежал в плоскости х, у. Тогда, если
импульс сохраняется, то р2 также должен лежать в плоскости х, у. Теперь
введем систему центра инерции S', в которой полный импульс р' = р^ +
* Возможность такого эффекта впервые обсуждалась Лянжевеном [133].
66
+ pj = O. 5' движется относительно S со скоростью v в направлении оси х.
Из уравнения, обратного к C.32), имеем соотношение
которое выполняется как для каждой частицы, так и для системы двух частиц
•с полным импульсом р и энергией Е.
Учитывая, что р = рг и Е = Et -f- гаос2 ~ т0с2 + т0с2 A — ul'c2)—^2,
получаем следующее выражение для и:
! ^C.88)
0=f!L = _^=== ^l?i = I ..
Е 1/1 — г/|/с2л20с2{1+A— иЦс*)-^2} \+~\/\~ и?/с*
Поскольку рз — — Pi, обе частицы имеют одинаковую начальную скорость
и' относительно S'. Кроме того, частица 2 первоначально покоилась в 5, поэ-
тому скорость и' должна равняться относительной скорости инерциальных
¦систем S'u S, т. е.
vVc2. C.89)
Применяя законы сохранения импульса и энергии в системе центра инер-
ции, получаем импульсы и энергию частиц после столкновения:
р; = -р;; ?; = ?; =-1-!' = тоса/]Л-оа/са; |
Pi = p'i = V Е[г/с2~тос2 = що1\-г\ — ь%1&. J
Следовательно, обе частицы в системе S' имеют одинаковую скорость и
после столкновения. Кроме того, C.&0) дает
o2?;V =p;2. C.91)
.Из рис. 11 видно, что
"; tg ф = — р2У/Р2*.
Используя преобразования C.32) для импульсов частиц после столкнове-
ния, с помощью C.90) и C.91) получаем
tg9tg(p= Р1у(_-Р2У) (!-»'/?*) =
(ри+»Е{/са)(р2*+оЕ|/с2)
y) =i_ ¦>¦ C.92)
с2
Подставляя выражение C.88) для v в C.92), окончательно имеем
tgetg<p = 2/(vi + l), C.93)
где
Vi = (l-«?/c8)-. C.94)
Следовательно, произведение tgG и tgcp не зависит от масс покоя частиц
(пока они равны) и является функцией скорости частицы 1 до столкновения.
В пределе при с -> оо получаем соответствующую формулу ньютоновской
механики:
уг - 1; tgetgcp - 1,
т. е.
tgF + <р) - сю
или
0 + <р = л/2. C.95)
3* 67
Таким образом, в соответствии с механикой Ньютона, направления дви-
жения частиц после столкновения перпендикулярны. Этот хорошо известный
эффект можно наблюдать, например, при столкновении двух биллиардных
шаров. Он также подтвержден экспериментально при столкновениях между
а-частицами и ядрами гелия в камере Вильсона. Такие столкновения с хоро-
шей точностью описываются уравнениями нерелятивистской механики, по-
скольку скорости а-частиц очень малы по сравнению с с. Однако при стрем-
лении скорости первой частицы к скорости света Yi > U поэтому tgGtg(p<c 1,
т. е. угол между направлениями движения частиц после столкновения мень-
ше л/2.
Этот характерный эффект удобно использовать для экспериментальной
проверки релятивистской механики. Картина треков частиц при столкнове-
ниях C-частиц с покоящимися электронами в камере Вильсона позволяет
измерить 0 и ф, сумма которых часто оказывается <С 90°.
Если дополнительно известны скорости р-частиц, а следовательно и Yi,
то можно непосредственно проверить релятивистскую формулу C.93). Измере-
ния подобного рода выполнил Чемпион [50] и получил хорошее соответствие
с формулой C.93). Эти измерения можно считать экспериментальным доказа-
тельством законов сохранения энергии и импульсов при столкновениях элект-
ронов и, следовательно, формулы C.22) зависимости массы от скорости. Точ-
ность измерений была совершенно достаточной для опровержения формулы
Абрагама [1] зависимости массы от скорости, предложенной им до появления
теории относительности.
Уравнения движения C.39) и C.44) можно также проверить непосредст-
венно, измеряя отклонение быстрых электронов в электрическом и магнитном
полях. В случае, когда постоянное магнитное поле перпендикулярно направ-
лению движения электронов, выполняется соотношение C.52), т. е.
mule = Яр/с, C.96)
Когда электрон движется в постоянном электрическом поле, перпендикуляр-
ном к его начальной скорости и, то в соответствии с C.44) и C.45) электрон
имеет постоянное ускорение g = еЕ/т в направлении поля, пока отклонение
то первоначальной траектории мало. Поэтому за время t = Ни, необходимое
для прохождения электроном пути в поле, он отклоняется на расстояние
Ы = (U2)gl* = (Ц2) (еЕ/т) (Р/и2), C.97)
перпендикулярное к начальному направлению его движения.
Следовательно, при движении электрона одновременно в электрическом и
магнитном полях измерения Н, р, Е, I, Д/ с учетом C.96) и C.97) позволяют
определить изменение массы т в зависимости от скорости и. Результаты мно-
гочисленных экспериментов подобного рода [123, 39, 190, 109]* полностью
соответствуют релятивистской формуле C.22). Их можно считать также экс-
периментальной проверкой формулы Лоренца C.44) для силы, действующей
на движущийся заряд.
При известном заряде измерения отклонения движения частицы в изве-
стном электрическом и магнитном полях позволяют определить абсолютную
массу частицы. Этот принцип используется в так называемом масс-спектро-
графе для определения массы атомных ядер с очень большой точностью.
Таким образом, релятивистские уравнения движения быстро заряженных
частиц давно были подтверждены экспериментально, а уравнения C.74) и
C.87), выражающие эквивалентность массы и энергии, невозможно было про-
верить без достаточного развития ядерной физики. Это вполне понятно, если
учесть, что, в соответствии с этими уравнениями, изменение массы тела, обус-
ловленное его потенциальной энергией или его нагреванием, слишком мало по
* См. также исчерпывающий обзор Герлаха [103].
68
сравнению с полной массой тела. В случае отдельных атомных ядер, однако,
ситуация иная.
Из результатов предыдущего параграфа следует, что масса атомного ядра
в основном состоянии всегда меньше суммарной массы составляющих нуклонов.
Этот дефект массы, в соответствии с C.87), больше для ядер с большей энер-
гией связи. Измерения ядерных масс с помощью масс-спектрографа подтвер-
дили этот результат; во многих случаях дефект массы составлял несколько
процентов от полной массы ядра.
Еще одна возможность экспериментальной проверки формулы C.74) по-
явилась с осуществлением ядерных реакций, при которых ядра с известным
дефектом масс переходят в ядра с другим дефектом масс. Рассмотрим несколь-
ко таких реакций. При бомбардировке мишени из лития быстрыми протонами
[52] протоны (}Н) проникали в ядра лития (JLi) и образовывали сложные неу-
стойчивые ядра, которые распадались на две а-частицы (*Не). Этот процесс
можно записать в виде уравнения
73Li+'H = |He + |He. C.98)
Ядерные массы в данной реакции очень точно определены с помощью масс-
спектрографа. Если массу атома кислорода принять равной 16а.е.м.,то масса
jLi равна 7,0166. С той же точностью массы *Н, *Не равны 1,0076 и 4,0028
соответственно [16, 24]. Таким образом, потеря массы в данной реакции равна
га - 7,0166 + 1,0076—2 • 4,0028 = 0,0186
или в граммах
m = 0,309 ¦ Ю-25 г. C.99)
Этой массе по формуле Эйнштейна соответствует энергия
тс2 = 27,7 • Ю-13 дж, C.100)
которая перешла в кинетическую энергию а-частиц. Кинетическую энергию
можно определить, измеряя длины путей сс-частпц. ^
В соответствии с прецизионными измерениями Смита 1235], разница между
полной кинетической энергией а-частнц и кинетической энергией протона сос-
тавляла величину
Е = 17,28 + 0,03 Мэв - B7,6 ± 0,05) 103 дж. C.101)
Соответствие между C.100) и C.101) прекрасное. Отклонение меньше воз-
можной погрешности измерений; погрешность в определении массы ядра лития,
включающая погрешность в тс'г, порядка ± 0,2 • 10~13.
Таким образом, можно считать, что формула Эйнштейна C.74) подтверж-
дена экспериментально с большой точностью —¦ погрешность меньше 1%. В то
время как масса, соответствующая теплу, выделяемому при обычных хими-
ческих реакциях, пренебрежимо мала, тепловая энергия, выделяемая в ядерном
реакторе, настолько велика, что соответствующая масса может достигать
нескольких граммов.
При делении ядра урана масса высвободившейся энергии составляет около
одной тысячной массы ядра. Поэтому при полном распаде одной тонны урана
выделяется энергия, которая соответствует массе порядка 1 кг.
Современная атомная физика позволяет проверить и формулу C.72), в со-
ответствии с которой каждой элементарной' частице массы т0 соответствует
энергия Ео — т0с2. Данное утверждение может быть проверено и поэтому
имеет реальный смысл, если существует процесс, в котором частица полностью
аннигилирует. После открытия положительных! электронов (позитронов)
в 1932 г. [13, 14, 25] стало ясно, что аннигиляционные процессы действи-
тельно существуют в природе, когда положительный и отрицательный элект-
роны (электрон и позитрон) аннигилируют в соответствии с электронной тео-
рией Дирака [62]. Поскольку обе частицы имеют одинаковые массы, то в со-
ответствии с формулой C.72) освобожденная энергия равна 2 т^с2. Эта
энергия выделяется в виде электромагнитного излучения, и измеряя эту энер-
гию, можно проверить уравнение C.72). Можно осуществить и обратный про-
цесс,'когда электромагнитное излучение (световые кванты) превращаются в па-
ру электрон — позитрон. Световые кванты в каждом процессе должны иметь
необходимую энергию 2 т0с2 ([14], см. также [202, 55]).
зё Итак, можно утверждать, что все следствия релятивистской механики
полностью согласуются с экспериментом. Однако все эксперименты проведены
с атомными ядрами, электронами, нуклонами и другими квантовыми объектами,
которые не могут описываться классической механикой. Но поскольку клас-
сическая механика является лишь частным случаем квантовой механики, то
все рассмотренные выше эксперименты просто показывают, что такие выводы
СТО, как теорема об эквивалентности энергии и массы, справедливы и вне об-
ласти применения классической механики.
При доказательстве этой теоремы (см. § 3.5) система 22 являлась физи-
ческой системой самого общего вида без всяких ограничивающих предполо-
жений относительно ее природы. Более того, во всех экспериментах по откло-
нению электронов в макроскопическом электромагнитном поле мы имели слу-
чай перехода квантовой механики в классическую, так что эти эксперименты
можно рассматривать как прямое подтверждение фундаментальных уравнений
классической релятивистской механики точки.
Глава
4
ЧЕТЫРЕХМЕРНАЯ ФОРМУЛИРОВКА ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ:
ТЕНЗОРНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
§ 4.1. Четырехмерное представление преобразований Лоренца
В данной инерциальной системе 5 произвольное событие характеризует-
ся четырьмя пространственно-временными координатами (х, у, г, f). В другой
инерциальной системе S' это же событие характеризуется другими четырьмя
числами (х', у', г', ?). Если предположить, что при t = ? = 0 начала декар-
товых координат в обеих системах 5 и S' совпадают, то соотношения между про-
странственно-временными координатами события в двух системах отсчета
определяются однородными преобразованиями Лоренца, т. е. однородными
линейными преобразованиями, оставляющими величину s2 уравнения B.13)
инвариантной:
s2 = x8 + 02 + 2a—c8*a = *'a + 0#2H-z'a—cY9 = s'\ D.1)
Полагая
*! = *; Xz = y; x3 = z; x4 = ic/l
и D.2)
\
(i = y — 1 — мнимая единица), однородные преобразования Лоренца можно
рассматривать как однородные линейные преобразования
xl= |] aikxh (/ = 1,2,3,4), D.3)
удовлетворяющие условию
ч2—- У г? — "V г'2 м 41
i
Здесь коэффициенты aih зависят только от углов между пространственными ося-
ми в S и S' и относительной скорости двух инерциальных систем. Поскольку
в каждой системе координат хъ хг, х3 — действительные, а х4 — чисто мни-
мая величина, то
auv » а44—действительные числа, .
} (**-о)
t—чисто мнимые числа,
где \i, v = 1, 2, 3.
Если бы переменные {xt) и (x'i) были действительными числами, их можно
было бы интерпретировать как декартовы координаты точки в четырехмерном
евклидовом пространстве. Тогда преобразования D.3) представляли бы собой
обыкновенные вращения декартовых осей в этом пространстве, а расстояние
D.4) от точки наблюдения (хь) до начала координат @, 0, 0, 0) были бы инвариан-
том при таких вращениях.
Вполне естественно, хотя х4 и х\ и не действительные числа, ввести четы-
рехмерное пространство, точки которого определяются координатами (хг).
Поскольку любое событие в физическом пространстве в каждой системе про-
странственно-временных координат характеризуется некоторой совокупно-
71
етыо чисел (Xi), то такое событие изображается точкой в этом абстрактном че-
тырехмерном пространстве. Это пространство, впервые введенное Пуанкаре
[198] иМинковским [161], называется пространственно-временным континуумом
или просто четырехмерным пространством или C+1)-гтространством (послед-
нее название напоминает, что четыре измерения пространства не полностью эк-
вивалентны). Таким образом, однородные преобразования Лоренца D.3) можно
интерпретировать как вращение системы координат в C+1)-пространстве. Ин-
вариантную форму D.4) естественно называть квадратом четырехмерного рас-
стояния между событием (xt) и началом @, 0, 0, 0). Ввиду формальной аналогии
пространственно-временного континуума с евклидовым пространством, все
обычные геометрические построения можно использовать в и C-+- ^-простран-
стве. Геометрия этого пространства называется псевдоевклидовой. Отличие от
евклидовой геометрии состоит в том, что расстояние D.4) может равняться нулю
и при ненулевых значениях (х{). Все точки, расстояния до которых от начала
координат равны нулю, образуют поверхность, удовлетворяющую уравнению
+ z2—cV = 0. D.6)
Эта поверхность называется световым конусом, так как уравнение D.6) описы-
вает распространение сферической световой волны, выходящей из начала коор-
динат
х = у = z = О
в момент времени t ~ 0. Световой конус делит C4-1) -пространство на две от-
дельные инвариантные области, характеризующиеся неравенствами
S2 = хз + уч + 2а _ сНг < 0 D_7а)
и
s2 = х" + у2 + г2 — А2 > 0 D.76)
соответственно. Для любого события в области D.76) можно с помощью преоб-
разований Лоренца найти систему пространственно-временных координат S',
в которой /' = 0, т. е. событие (хь) = (х, у, г, t) одновременно с событием @,0,
0, 0) в системе 5'. Для событий в области D.7а) таких преобразований не су-
ществует.
Движение материальной частицы можно описать уравнениями в форме
^ = ^(*4); ([* =1,2, 3), D.8)
где Хр, (Хц) — определенные функции от временной переменной х4. Эти уравне-
ния представляют собой кривую в C + 1)-пространстве, которую будем назы-
вать мировой линией частицы. При равномерном движении х^(х^ — линейные
функции, а мировая линия частицы — прямая. Если мировая линия проходит
через начало координат, то она целиком лежит в области D.7а), так как ско-
рость частицы не может превысить скорость света. В этом случае всегда можно
найти такую систему S', в которой ось х\ совпадает с мировой линией частицы.
Для обычного трехмерного пространства последнее просто означает, что всегда
можно выбрать инерциальную систему, движущуюся вместе с частицей.
Рассмотрим в системе 5 два произвольных события с координатами (х,)
и (х{). При переходе к другой системе S' координаты обоих событий преобра-
зуются одинаково, т. е. в соответствии с формулами D.3) с одними и теми же
коэффициентами а^. Это значит, что разности (xt —xt) также преобразуются
в соответствии с этими формулами, поэтому выражение
2 (*«-*«)* = 2 (*/'-*')¦ D-9)
i i
является инвариантом. Величина D.9) представляет собой квадрат четырех-
мерного расстояния между точками (х,) и (xL). Поскольку Sjcf и 2дг? инвариант-
I i
72
ны, то в соответствии с D.9) величина
Л1 Л1
2
D.10)
также является инвариантом. Используя D.3), представляем правую часть
D.10) в виде
- V (V г/ г/
I , т\ i
В соответствии с D.10) это выражение должно равняться 2 хгхг при всех
2B
_
значениях независимых переменных (лгг) и {хт). Это возможно, однако, только
при следующих соотношениях между коэффициентами:
где
Л — f ^ ПРИ ^ 7^ Ш
A при / = т
есть символ Кронекера.
Преобразования, обратные D.3), имеют вид
D.11)
D.12)
D.13)
поскольку
2*' а?ь= 2 а'
2
I
Подставляя D.13) в правую часть D.10), получаем
?'
D.14)
Соотношения D.11) и D.14) для коэффициентов aik, так называемые усло-
вия ортогональности, показывают, что однородные преобразования Лоренца
эквивалентны вращению системы координат в C + 1)-пространстве.
Используя D.14), для детерминанта матрицы коэффициентов
а = 1 а
получаем, с учетом правила
«11 «12
а21 а22
а13
«14
ГУ ГУ
U23 ^24
3 J 34
Оь^ 3 «44
умножения детерминантов,
1 0 0
0 1 0
0 0 1
0 0 0
0
0
0
1
следующее
1
D.15)
значение:
D.15')
т. е. a = ±1.
Детерминант матрицы трехмерных поворотов должен равняться плюс
единице, поскольку любой поворот осуществляется непрерывным образом, а де-
терминант матрицы, соответствующей тождественному преобразованию х\ =
= xh равен единице. Однако для пространственных отражений, когда направ-
ления пространственных осей меняют знак, a = —1.
73
Матрица aik специальных преобразований Лоренца B.24) имеет вид
у О 0 ivy/с
a
ih —
1
О
О
О
1
о
о
о
D.16)
где у = A —v2/c2)—1^2. Легко проверить, что D.16) удовлетворяет условиям
ортогональности D.11) и D.14) и что а = +1.
Специальные преобразования Лоренца можно также записать в следую-
щей форме:
[ cos ф + х4 sin tjj;
_ sin "ф + л-й cos о|э; [ D.17)
х[ =
X у,
— у
3'
где
Формально уравнения D.15) описывают вращение в плоскости
мнимым «углом поворота» ty.
D.18)
с чисто
§ 4.2. Лоренцево сокращение и замедление хода движущихся часов
в четырехмерном представлении
Любое событие, происшедшее в некоторой точке оси х системы S, изобра-
жается точкой в плоскости (ххх^ C + 1)-пространства. Рис. 12, где временные
оси хА, xl и угол г|) изображены, как если бы они были действительными, иллю-
трирует и лоренцево сокращение и замедление хода движущихся часов. Пря-
мые Lx и L2, параллельные оси х\, изо-
бражают мировые линии концов измери-
тельной линейки, покоящейся на оси х',
так что ее длина покоя /0 = хдш — хдг
Длина / измерительной линейки,
измеренная в системе 5, равна разности
х-координат двух событий Л2 и А*, яв-
ляющихся одновременными (т. е. имею-
щими одинаковые значения хА) в систе-
ме 5, т. е.
Рис 12. / = Хд, —хА*.
Поскольку здесь справедливы все формальные соотношения евклидовой
геометрии, то, рассматривая треугольник ЛХЛ3Л* и используя D.18), получаем
формулу лоренцева сокращения длины
D.19)
Аналогично мировые линии концов измерительной] линейки, покоящейся
в системе S, изображаются прямыми Мг и М2, параллельными оси х4. Рассмат-
ривая треугольник BXB2B2, снова приходим к формуле D.19).
Тем же способом можно получить геометрическую иллюстрацию эффекта
запаздывания часов. Рассмотрим часы, покоящиеся в системе 5'; их мировая
линия изображается прямой N, параллельной оси х[; длина линии определяет-
ся в единицах собственного времени т часов. Пусть отрезок СХС2 линии N оп-
ределяет некоторое значение собственного времени т. Соответствующее ему
значение времени t в системе 5 определяется проекцией отрезка СХС2 на ось
#4. Рассматривая треугольник С^Сз, получаем
t = х cos ij3 = ту, D.20)
что соответствует формуле B.36) для запаздывания часов.
74
С другой стороны, если часы покоятся в системе S, то рассмотрение тре-
угольника DXDZDS снова дает формулу D.20), связывающую время ? системы
5' с собственным временем часов.
В данном представлении эффекты лоренцева сокращения и запаздывания
часов проявляются в виде проективного укорочения измерительных линеек
и временных интервалов. Однако следует подчеркнуть, что такое представление
чисто формально; это следует хотя бы из того факта, что «угол проектирования»
i|) является мнимой величиной. В общем, не следует преувеличивать эпистемо-
логического значения четырехмерного представления теории относительности.
Несмотря на формальную аналогию в описании пространства и времени в теории
относительности, существует фундаментальное физическое различие между
пространственными и временными переменными. Оно непосредственно связано
с разницей между измерительными инструментами, измерительными линейками
и часами, необходимыми для физического определения этих переменных. По-
этому невозможно с помощью любого допустимого «вращения» D.3), удовлет-
воряющего условию D.5), перевести временную ось в пространственную. Фи-
зический смысл имеют лишь те вращения, которые оставляют временную ось
xt внутри области D.7а), т. е. внутри светового конуса D.6).
§ 4.3. Ковариантность законов природы в четырехмерной формулировке
Несмотря на свой чисто формальный характер, четырехмерное представ-
ление сыграло большую роль в развитии теории относительности, поскольку
оно позволяет выразить ковариантность законов природы при преобразова-
ниях Лоренца как некоторые соотношения между физическими величинами.
Пусть А, В, ... — последовательность физических величин, измеренных
в определенной инерциальной системе S. Среди них могут быть и так называе-
мые полевые переменные, являющиеся функциями пространственно-времен-
ных координат (xt) системы S. Некоторый динамический закон природы всегда
можно выразить одним или несколькими уравнениями вида
F(A, В, ...; дА/дхг, дВ/дхг) = 0, . D.21)
где F — функция величии А, В, ... и, возможно, их производных по координа-
там {х{) любого порядка.
В другой инерциальной системе S' с помощью физических измерений нахо-
дим, в общем случае, уже другие значения А', В', ... вышеупомянутых физи-
ческих величин, и если А — полевая переменная, являющаяся функцией от
(Xt), то А' будет уже другой функцией от пространственно-временных коорди-
нат x'i, т. е. не будет форм-инвариантной.
Однако физический закон, выраженный в системе S уравнением D.21),
можно в системе S' также записать в виде уравнения
F(A',B',...\ dA'fdxl, дВ'/дх!) = 0, D.21')
где, в соответствии с принципом относительности, F должна быть такой же
функцией от переменных А', В', ..., что и функция F от переменных Л, В ...
в D.21) , т. е. любое соотношение между физическими величинами должно вы-
ражаться форм-иивариантными или ковариантными уравнениями.
Когда возникла необходимость выразить фундаментальные уравнения
электродинамики и теории упругости в форме, не зависящей от декартовой си-
стемы координат, были открыты трехмерные векторное и тензорное исчисления.
Поскольку преобразования «Лоренца представляют собой вращения в C+1)-
пространстве, естественно обобщить трехмерные векторы и тензоры на четырех-
мерные и, для удовлетворения требования ковариантности законов природы
при этих преобразованиях, записывать фундаментальные уравнения в форме
четырехмерных тензорных уравнений.
75
Как мы увидим далее, это возможно для всех фундаментальных уравнений
классической макроскопической физики. Поэтому с некоторых пор возникла
уверенность, что все законы природы можно записать в тензорной форме.
Однако с появлением квантовомеханической теории электрона Дирака [62]
стало ясно, что для описания некоторых физических систем кроме тензо-
ров требуются так называемые спиноры с совершенно иным законом пре-
образования, но тем не менее удовлетворяющие ковариантным дифферен-
циальным уравнениям типа D.21), D.21').
§ 4.4. Четырехмерный линейный элемент, или интервал. 4-векторы
Рассмотрим в C -|- 1)-пространстве две близкие точки Р и Р' с координата-
ми (xi) и (xt + dxt) относительно произвольной инерциальной системы S.
Из D.9) найдем квадрат четырехмерного расстояния между этими точками:
ds^^dxf. D.22)
Это выражение для линейного элемента, или интервала, определяет гео-
метрию в C + 1)-пространстве. Инфинитезимальный отрезок, соединяющий
Р с Р', является аналогом соответствующего вектора трехмерного пространства.
Этот вектор в произвольной системе определяется своими четырьмя компонен-
тами (dXj). При вращении системы координат эти компоненты преобразуются как
координаты:
dxi=^athxk. D.23)
к
Теперь определим в общем случае 4-вектор как величину, которая в про-
извольной системе координат имеет четыре компоненты (а(), преобразующиеся
как координаты (х?). Таким образом, вращениям системы координат D.3), D.13)
соответствуют преобразования компонент вектора
al = J[aihah; ah = J^a!aih. D.24)
k i
По аналогии с D.4) отсюда следует, что квадрат длины 4-вектора, или нор-
ма вектора,
2af=2a/2 D.25)
есть инвариант.
В соответствии с тем, что инвариант D.25) может быть меньше нуля, равен
нулю и больше нуля, мы говорим о времениподобном векторе, нулевом векторе
и пространственноподобном векторе.
Для инфинитезимального вектора (dxi), соединяющего два близких собы-
тия Р и Р\ D.25) совпадает с D.22), т. е.
dsl = 2idxf=do*—c2dt*, D.26)
i
где а — пространственное расстояние между двумя точками физического
пространства, в которых произошли два события, а dt — разница во времени
между этими событиями. Световой конус с вершиной в точке Р определяется
уравнением ds2 = 0. Если точка Р' лежит на световом конусе, то два события
можно связать световым сигналом, Если вектор dxt — времениподобный, то он
лежит внутри светового конуса, а если он пространственноподобный, то —
снаружи.
76
Из двух векторов с компонентами (at) и (bt) можно образовать новый вектор
с компонентами (at + &,). Поэтому квадрат величины этого вектора, являю-
щийся инвариантом, можно записать в виде
так что по аналогии с D.10) величина
тоже инвариант. Выражение D.27) называется скалярным произведением двух
векторов. Говорят, что два вектора ортогональны, если их скалярное произве-
дение равно нулю.
Первые три компоненты 4-вектора преобразуются при пространственных
вращениях как компоненты обычного пространственного вектора а. Поэтому
в любой инерциальнои системе 4-вектор можно разложить на пространственную
и временную части:
(а,) = (а, а4). D.28)
Конечно, это разложение не инвариантно относительно преобразований Ло-
ренца, Поскольку величина (a, at) преобразуется как
(х, xit) = (х, i ct),
то в соответствии с B.25') имеем
Если вектор времениподобный, т. е.
2^ = |а|2-|а4|2<0, D.30а)
i
то всегда можно выбрать такую систему 5', в которой пространственный век-
тор а' — 0. Для этого достаточно взять временную ось системы 5' в направле-
нии 4-вектора (at). Если же вектор пространственноподобный, т. е.
2а?На|2-К|2>0, D.306)
i
то всегда можно найти такую систему S', в которой а[ = 0.
Это означает, что новая временная ось перпендикулярна вектору at. По-
этому для вектора Ьи направленного вдоль новой временной оси, Ь'^ — 0, (ц =
- 1, 2, 3), т. е.
аь bj = al Ы — 0.
§ 4.5. 4-скорость и 4-ускорение. Волновой вектор.
Четырехмерная групповая скорость
Рассмотрим движение материальной частицы и соответствующую ей миро-
вую линию D.8) в C+ 1)-пространстве. Воспользуемся параметрическим пред-
ставлением мировой линии
x,=x,(s). /=1,2,3,4, D.31)
где в качестве параметра s выбрана длина мировой линии. Две близкие точки
на этой кривой соединяются инфинитезимальным вектором (dxt) длиной ds,
определяемой формулами D.22) или D.26). Поскольку скорость частицы всегда
меньше с, то, в соответствии с D.26), на всей мировой линии ds2 <C 0. Поэтому
77
удобно вместо мнимой длины s выбрать новый, уже вещественный параметр т по
формуле
s = \сх. D.32)
Подставляя D.32) в D.26), имеем
—сЧ%2 = do2 — сЧР. D.33)
Учитывая, что скорость и частицы равна doldt, получим, что
dt. D.34)
Таким образом, т совпадает с собственным временем частицы, т. е. со вре-
менем, измеряемым стандартными часами, движущимися вместе с частицей.
Собственное время частицы является мерой длины ее мировой линии.
Мировая линия, соответствующая равномерному движению, представ-
ляется прямой линией, например линией Nx на рис. 12, связывающей два со-
бытия А и В. Длина ее определяется из выражения
sl\c = T1 = {tB—tA)(l—u\l<*L\ D.35)
где их — скорость равномерного движения, a (tB — t&) — разница во времени
между двумя событиями А и В. Если взять другую произвольную мировую
линию JV2, соединяющую эти же два события А и В, то она будет соответствовать
уже неравномерному движению. Длина дуги этой кривой в соответствии с D.34)
следующая:
2<#. D.36)
Поскольку выражения D.35) и D.36) справедливы в любой системе координат»
то можно выбрать такую систему, временная ось которой параллельна прямой
мировой линии Nx. Это означает, что данная система движется вместе с частицей.
В этой системе их = 0, однако скорость их неравномерного движения, соответ-
ствующего Nit не может равняться нулю на всей мировой линии.
Поэтому
s2l\c<s1/ic. D.37)
Таким образом, прямолинейное движение характеризуется тем, что длина
мировой линии имеет стационарное значение, точнее, наименьшее по сравнению
со всеми другими мировыми линиями, соединяющими те же два события.
Поскольку инфинитезимальные приращения координат dxt на мировой
линии частицы являются компонентами 4-вектора, a dx — инвариант, то вели-
чины
¦ D.38)
также являются компонентами 4-вектора, который называется 4-скоростью.
Используя D.34) и D.38), компоненты Ut запишем в виде
\ iclO— aVI'2}, D.39>
где
u = dx/dt D.40)
есть обычный трехмерный вектор скорости. 4-Скорость всегда направлена по
касательной к мировой линии частицы, а норма этого вектора имеет постоянное
значение —с2, так как из D.39) видно, что
2?/,2 = u2/(l— и2 If)— c2l{\ — мв/са)=— с2. D.41}
i
78
Следовательно, 4-скорость есть времен и подобный вектор постоянной дли-
ны. Дифференцируя D.41), получаем, что
^iUidUi!dx = 0. D.41')
i
Применив уравнения D.29) к 4-скорости Uu определяемой в D.39), мы снова
получим преобразования B.55') для скоростей и преобразования, обратные
<2.56).
4-Вектор
называется 4-ускорением. С помощью D.39) найдем его компоненты:
, j?!iL\, D.4?|
(с* —и*)* (с2 —и2J) V
где а = du/di = d2xldP есть обычное трехмерное ускорение частицы. В соот-
ветствии с D.4 Г) векторы ?/г- и А% ортогональны. В системе покоя частицы S'
вектор ускорения At имеет компоненты
А1 = {л\ 0). D.42')
Другим примером 4-вектора является вектор волнового числа (at) плоской моно-
хроматической волны. В произвольной системе координат S инвариантную фазу
волны F в соответствии с B.68) можно записать в виде
—Р = 2 or, xu Oi = (nvjw, iv/c) = (er,o4),
i
\'a\ = v/w=l/k. D.43)
Здесь n — единичный направляющий 3-вектор нормали к фронту волны; v —
частота; w — фазовая скорость и % — длина волны. Поскольку фаза инвариант-
на, то в соответствии с D.3) имеем
2 °* х* = 2 °'i x'i = 2 °'1 aihх*'
k i I, k
а так как это уравнение должно выполняться для всех xh, то
D.44)
Следовательно, at есть 4-вектор. Уравнения D.44) или эквивалентные им урав-
нения D.29) непосредственно приводят к формулам B.70)—B.72) преобразо-
ваний параметров плоской волны.
В §2.10 было показано, что групповая скорость в преломляющей среде
с показателем преломления п > 1 преобразуется в системе покоя среды подоб-
но скорости частицы и', если и' = w' — cln. Поэтому аналогично D.39) можно
определить 4-вектор групповой скорости (Ut)
Ut = {ие/ /1 — и2/с2; i с/V1 — «2/с2} , D.45)
где и — величина групповой скорости, а е — единичный направляющий 3-век-
тор луча.
В системе покоя среды S', где е' = п' и w' = и' = cln, получим, что
fj; u{ \ D'46)
В любой другой инерциальной системе S Uh = 2?/faift. Тогда из D.46)
следует, что
2otUt=%olUi = 0t D.47)
79
т. е. 4-векторы аг и Ut ортогональны друг другу. Подставляя D.43) и D.45) в
в D.47), получаем
или
ay=(un). D.47')
Формула D.47) показывает, что в любой инерциальной системе нормальная
фазовая скорость равна проекции групповой скорости на нормаль к фронту
волны, а групповая скорость равна фазовой скорости в направлении луча.
В то время как квадрат величины (Ut) является инвариантом и равен ¦—с1,
для О; имеем
I
Следовательно, волновой 4-вектор световой волны в вакууме является ну-
левым вектором.
§ 4.6. 4-Импульс. 4-Сила. Основные уравнения механики
точки в четырехмерной векторной форме
В § 3.3 было показано [см. C.32) и C.37)], что импульс и энергия (р.
Etc) материальной частицы преобразуются как пространственно-временные
координаты (х, ct). Поэтому величина
Pi = (p, \E/c) D.49)
является 4-вектором и называется 4-импульсом частицы. Подставляя C.23)
и C.33) в D.49), получаем, что
pi = m0Uh D.50)
т. е. 4-импульс частицы пропорционален ее 4-скорости, а коэффициент пропор-
циональности равен массе покоя частицы ти. Из D.41) и D.50) следует, что нор-
ма этого вектора равна
^р* = рг—E2/c2 = ml^Uf = —ml с- D.51)
в соответствии с C.35). Таким образом, 4-импульс является времениподобным
вектором.
Поскольку pi в D.50) и а, в D.43) преобразуются одинаково, плоскую волну
с волновым вектором at можно инвариантным образом связать с частицей с
импульсом pi, так чтобы
Pi=hoi, D.52)
где h — инвариантная постоянная. Если выбрать h равной постоянной Планка,
то получим волну де Бройля частицы [38]. Фазовая скорость w волны де Брой-
ля в соответствии с D.43), D.52) и C.36) связана со скоростью и частицы урав-
нением
1 /w = i | а|/сст4 = i | р|/с/?4 = р/Е = «/с2. D.52')
Теоремы сохранения энергии и импульса при столкновении частиц можно
описать одним уравнением
Pi=--P~i, D.53)
где Pi a Pi — суммарные 4-импульсы частиц до и после столкновения соот-
ветственно. Первые три уравнения в D.53) (i = 1, 2, 3) выражают теорему со-
хранения импульса, а последнее (i = 4) — теорему сохранения энергии. Урав-
80
нение D.53) выражает закон сохранения импульса и энергии в ковариантной
форме относительно преобразований Лоренца, так как 4-векторы с одинаковы-
ми компонентами в одной системе отсчета будут иметь, очевидно, одинаковые
компоненты в любой другой системе.
В заключение § 3.3 было показано, что совокупность величин (Fm
преобразуется как (р, Е), поэтому четыре величины
} «2/c2} D.54)
являются компонентами 4-вектора, который называется 4-силой Минковского
[163], Теперь основные уравнения механики C.42) можно записать в следую-
щей ковариантной форме:
dpu'dx^Fi, D.55)
или, поскольку т0 — постоянная,
moAi = modUiJdT = Fi. D.56)
Первые три уравнения являются уравнениями движения, а четвертое выра-
жает закон сохранения энергии. Из D.55) видно, что Ft является 4-вектором,
поскольку правая и левая части D.55) должны преобразовываться одинаково,
а левая часть есть производная от 4-вектора по инвариантному аргументу т,
т. е. остается 4-вектором.
Из D.4Г) и D.56) следует также, что векторы Ui и Ft ортогональны друг
другу, т. е.
J^FtUt = 0. D.57)
Уравнения D.57) или D.54) для Ft характеризуют истинную механическую
4-силу, т. е. величину, определяющую изменение 4-скорости частицы в соот-
ветствии с уравнениями вида D.56). Силу, определенную таким образом, мож-
но рассматривать как вынуждающую силу. Если собственная масса частицы —
постоянная (как это предполагалось до сих пор), то D.56) совпадает с D.55),
так что в этом случае Ft также равна скорости изменения 4-импульса.
Однако 4-импульс частицы рг- может изменяться только в одном из двух
случаев: либо при изменении 4-скорости частицы, либо при изменении ее соб-
ственной массы т0. Последний случай имеет место, например, когда частица
постоянно теряет массу с определенной скоростью, как маленькая ракета. Как
и при изменении 4-импульса под действием 4-силы Ft, здесь также происходит
изменение 4-импульса, обусловленное потерей массы. Пусть—Яг есть 4-им-
пульс, который частица теряет за единицу собственного времени т. Тогда
вместо D.55) имеем
dpildx = Fi + Ilt. D.58)
Полагая
Лг= {П / j ' 1 — иг!с\ icp/c/l/l— «VJ, D.59)
из D.58) получаем уравнения
cfp/^-F + П; dE/dt = Fti-{-<i>, D.58')
которые в данном случае заменяют C.39). Очевидно, что П и Ф представляют
собой количества энергии и импульса, подводимых к частице конвекцией
в единицу времени t. Из D.58) непосредственно следует, что П,- — 4-вектор, но
уже не ортогональный Ut. Инвариант f/jITj с помощью D.39) и D.59) приво-
дится к виду
и2/с2)= — Ф°, D.60)
81
где Ф° — скорость конвективного подвода энергии в системе покоя частицы,
равная скорости увеличения собственной энергии частицы. Это следует также
из уравнения D.58), которое можно записать как
m0 dUJdx + Ut dmjdx = Ft + П^. D.58")
Умножая D.58") и —Ut и учитывая D.41), D.4Г), D.57) и D.60), получаем
Ф°=— ntUi=d>dm0/dx. D.60')
Когда эта величина отлична от нуля, то полная вынуждающая cunaDi неравна
просто Fj + Hh так как из D.58") и D.60') следует, что
tnodUi/dx = Di, D.61)
где
D.62)
]
Очевидно, что
UiRl = UlDl = Qt D.63)
т. е. Ri аналогична по форме вынуждающей 4-силе, а именно:
Rt = {R/l/1—«2/c2, i (Ru)/c//l— «V} . D.64)
Здесь R — реактивная сила, которая в отсутствие внешней механической силы
является основной действующей силой; Ru — мощность реактивной силы.
Ri = (Tli)j_, т. е. равна составляющей Пь перпендикулярной к 4-скорости.
Соответствующая параллельная составляющая П; имеет вид
D.65)
и равна скорости изменения 4-импульса, обусловленной исключительно измене-
нием собственной массы.
В частном случае немеханическая потеря импульса Пг- может быть вызва-
на излучением или поглощением тепла частицей. Тогда
D.66)
можно интерпретировать как 4-импульс подведенного тепла за промежуток
d% собственного времени. Из D.59) следует, что
и 6Q = Q>dt D.67)
представляют собой импульс и энергию, полученные системой в течение времени
dt вследствие подвода тепла. В этом сугубо частном случае очевидно, что 4-им-
пульс подведенного тепла 5Qj является 4-вектором. В §7.10 мы увидим, что
это общее свойство dQt для любого термодинамического процесса, связываю-
щего термически равновесные состояния произвольной термодинамической
системы.
Иногда удобно два 4-вектора в правой части D.58) объединить в один про-
стой 4-вектор F* и записать
dpildx = FJ, F* = Ft + nt. D.68)
4-Вектор F*, который определяется как скорость изменения 4-импульса, назы-
вается обобщенной 4-силой. Важно проводить четкое различие между силой
подобного типа, для которой
П Ui = UiUi = -(X>0= —с2 dmjdx, D.69)
и истинной механической, или действующей силой, которая всегда удовлет-
воряет соотношению D.57).
S2
В предшествующей литературе и в первом издании этой книги данное различие
не было четко проведено. Вместо D.58) использовалось следующее соотношение:
dp/dt = F*; dE/dt = F*u + O*, (a)
т. е.
f; = {F*/yi-«2/ca; Ь(Г*а + ф*)/сIУ1-и*/с*}. (б)
Обобщеннпя 3-сила F* определялась как временная производная импульса. Тогда Ф*
должна интерпретироваться как скорость изменения той части Е, которая не обусловлена
работой (F*U) этой силы. Обобщенная сила F* уже не преобразуется в соответствии с урав-
нением C.40), которое справедливо лишь для истинной силы. Из C.43) следует, что ком-
поненты истинной механической силы F в любой системе S являются линейными функ-
циями от компонент F* в системе покоя. Поэтому если две механические силы уравнове-
шивают друг друга в системе покоя
^O, (в)
то это выполняется и в любой другой системе
Fx + F2 = 0.
Однако обобщенная сила F* такими свойствами не обладает; F* не является линей-
ной функцией только от F*0; поэтому, если даже F*°+ F|° = 0, соответствующая вели-
чина в другой системе уже не равна нулю.
Что касается определений, то здесь существует некоторая свобода, так что данную
величину можно определять различными способами. Однако, пока не проведено четкое
различие между определениями, существует риск возникновения путаницы. Кроме
того, не все определения одинаково целесообразны. Как впервые указал Отт[1911, старая
формулировка релятивистской термодинамики как раз представляет собой пример такой
путаницы, которая может возникнуть, когда работа, совершенная обобщенной силой F*,
интерпретируется как механическая работа в термодинамическом процессе. Однако при
расчете коэффициента полезного действия тепловой машины, в которой тепловая энергия
превращается в кинетическую энергию (автомобиля или поезда) или в потенциальную
энергию (при подъеме тяжелых предметов краном), нас интересует не обобщенная сила,
а действующая сила и ее работа.
Следующий пример показывает, что не всегда целесообразно и даже неразумно опре-
делять силу как временную производную от импульса. Рассмотрим в пустом пространстве
скопление пыли, покоящееся относительно инерциальной системы S0. Скорости всех
частиц скопления относительно системы S, движущейся со скоростью — v относительно
5°, должны равняться v. Согласно Галилею, для поддержания этой скорости не требуется
иикакой еилы, в противоположность взглядам Аристотеля, которые утверждают, что для
поддержания постоянной скорости требуется сила. Теперь представим, что скопление
с помощью воображаемой поверхности / разделено на две части, 1 и 2, с собственными
массами М\ и М^- Импульсы этих частей относительно системы 5 равны
Pl = M\ v/Vl —и2/с2; р2 =
Если Ml н Ml постоянны, то рх и р2 тоже постоянны. Когда поверхность / перемещается
по скоплению с определенной скоростью, так что
dM°1Jdx = m°; dMl/dx = —m°
скорости изменения собственных масс частей 1 и 2, то н соответствии с (а) для части 1
имеем
dpjdt = m0v/~[/l—v2/c* = Ff;
jdt^m0 cs/Vl — и-jс1 = F? v
FJ v = m°o2/yi— v2/c2; Ф*1 = т°
Аналогичные выражения, но с противоположным знаком получаются для части 2.
В данном случае F*, F*v и Ф* — чисто формальные величины, не имеющие никакого фи-
зического смысла. Сказать (как это делалось в ранних работах), что F\ — реальная физи-
ческая сила, необходимая для поддержания постоянной скорости части 1 скопления,
значит отказаться от самых фундаментальных основ экспериментальной физики Гали-
лея и вернуться к философии Аристотеля.
§ 4.7. Тензоры второго ранга
В предыдущих параграфах мы видели, что ковариантность основных урав-
нений механики при преобразованиях Лоренца выглядит особенно изящно,
когда эти уравнения записаны в четырехмерной векторной форме. Чтобы полу-
83
чить аналогичное геометрическое представление для других разделов физики,
например для электродинамики, необходимо ввести четырехмерные тензоры.
Тензором второго ранга в C + 1)-пространстве называется величина, кото-
рая относительно некоторой системы координат 5 имеет 42 компонент tih, и
при переходе к другой системе координат S' преобразуется по закону:
где а/ft — коэффициенты уравнения D.3), определяющего переход от S к S'.
Для упрощения мы опустили здесь знак суммирования. В дальнейшем
будем пользоваться правилом, в соответствии с которым по всякому индек-
су, повторяющемуся в данном выражении дважды, как, например, / или т
в D.70), подразумевается суммирование от 1 до 4. Свободные индексы, например
i и k в D.70), могут независимо принимать значения 1, 2, 3, 4. Следуя этому
правилу, уравнение D.25) можно записать в форме агаг = а[а[. Когда индекс
может принимать только значения 1,2, 3, мы обозначаем его греческой буквой,
а если он повторяется в данном выражении дважды, суммируем по этому индек-
су от 1 до 3. Следовательно, квадрат длины пространственного вектора можно
записать в форме
\^ = ЧЧ-
Определение D.70) 4-тензора является прямым обобщением определения
пространственного тензора, компоненты которого при вращениях в физическом
пространстве преобразуются по закону
^v = a^avP4p, D.71)
где ctjtv •— коэффициенты ортогонального преобразования, соответствующего
данному вращению.
Сумма диагональных элементов тензора второго ранга является инвариан-
том, так как из D.11) и D.70) имеем
t'u =(<*uaim)tlm = 8lmtlrn = tu. D.72)
вели-
D.73)
= a4v = 0; a44=l, D.74)
Аналогично из условий ортогональности D.11) и D.14) следует, что вели-
чина
есть инвариант.
Если коэффициенты aik соответствуют трехмерному вращению,
то D.70) принимает вид
Формулы D.75),показывают, что при пространственных вращениях простран-
ственная часть 4-тензора преобразуется как обычный трехмерный тензор. Кро-
ме того, числа /^4 и t^ в отдельности соответствуют пространственным векто-
рам, а /44 — инвариант при обычных пространственных вращениях. С помощью
вектора ai и тензора tih можно образовать новый вектор
bi = tihah, D.76)
так как в соответствии с D.24), D.70) и D.11) имеем
b't = tlk a'k = аи ahm tlm ahn an = an (ahm akn) thm an =
= au smn tim an = au (tlm am) = au bt. D.77)
Если aih и bih — компоненты двух тензоров, то aik + btk также являются
компонентами тензора, который называется суммой двух тензоров. Если
84
hk — тензор, то tik =¦¦ thi — тоже тензор, т. е. транспонированный тензор. Если
щ и bi являются компонентами двух векторов и преобразуются по формулам
D.24), величины
tik = aibk D.78)
преобразуются, очевидно, по формулам D.70). Тензор второго ранга, опреде-
ляемый формулой D.78), называется прямым произведением двух векторов
at и Ь(. Величины
tik = aA—akbi=—tki D.79)
также образуют тензор. Такой тензор удовлетворяет соотношениям
ttk=—thi=—it*. D-80)
для всех значений индексов i и k и называется антисимметрическим или косо-
симметрическим тензором. Аналогично тензор, удовлетворяющий соотноше-
ниям
tih = thi=lik, D.81)
называется симметр ическим.
Поскольку левая и правая части уравнений D.80) и D.81) преобразуются
как тензоры, эти уравнения справедливы в любой системе координат. Сле-
довательно, симметричность или антисимметричность тензора являются его
инвариантными свойствами. В антисимметрическом тензоре все диагональные
элементы равны нулю, так как, полагая в D.80) i — k (без суммирования), по-
лучаем, что
tu = -tu = 0 D.82)
для любого i.
Антисимметрический тензор второго ранга Fik — —Fhi имеет только шесть
независимых компонент. Положим
H»v = F»v; EVi = iFVL4^—iFitl. D.83)
#uv и?„в соответствии с D.75) преобразуются при пространственных враще-
ниях D.74) как компоненты антисимметрического пространственного тензора
и обычного пространственного вектора Е. Полагая далее
Нг — Нгз; Я2 = Я31; Н3 = Н12 D.83')
в случае специальных преобразований Лоренца D.16) получим следующие фор-
мулы преобразований для Яд и Еу,:
+ иЕ/с); Н' = у(Н0Е/с); }
где у ~ A — v2/cx)~^'2. Соответствующие формулы обратных преобразований
получаются переобозначением штрихованных и нештрихованных величин и за-
меной v на —и. Для v = (v, 0, 0) эти обратные преобразования можно записать
в векторной форме:
7E' + (v/i;2)(v.E')(lY)(T/c)(vxH'); \ „ м>)
В такой форме эти уравнения справедливы для любых преобразований Лорен-
ца без пространственных вращений.
85
§ 4.8. Угловой момент и момент силы в четырехмерной форме
Пусть Xi — (х, id) — пространственно-временные координаты события на
мировой линии материальной частицы, a (pt) = {р, i {Elс)} — ее 4-импульс.
В соответствии с D.79) из этих двух 4-векторов можно образовать антисим-
метрический тензор
Mth = XiPh—xhpt. D.85)
Пространственная часть этого тензора является антисимметрическим
пространственным тензором, тензором углового момента М^, компоненты ко-
торого связаны с вектором углового момента
М = хХр D.86)
уравнениями
М = (МХ, Му, MZ) = (M23, M31, M12). D.87)
Тем же способом из х-г и 4-силы Минковского (Ft) можно образовать тензор
Dih = xtFh-xhFt. D.88)
Пространственная часть этого тензора соответствует моменту силы Минков-
ского C.41) относительно начала координат.
Используя D.38), с помощью основных уравнений механики D.55) получим
dMik/dx = Ut рк + Xi Fh—Uh pt—xh Fb
или, учитывая D.55) и D.88),
Dik. D.89)
Пространственная часть этого уравнения представляет собой теорему об
изменении углового момента
(xxF). D.89'}
Символ Кронекера D.12) представляет собой тензор второго ранга с особенно
простыми свойствами. Рассмотрим тензор, компоненты которого в системе S
равны бгь. По формулам D.70) и D.14) его компоненты в системе S' примут вид
б/* = «и «ьт $im = an ahl = 6ih. D.90)
Следовательно, этот тензор имеет одинаковые компоненты в любой систе-
ме координат; это единственный тензор, компоненты которого не изменяются
при преобразованиях координат.
§ 4.9. Тензоры произвольного ранга
По аналогии с D.70) тензор третьего ранга в C 4- 1)-пространстве опреде-
лим как величину с 43 компонентами tihl, преобразующимися по формулам:
tiki "=^1такп.а1р(тпр\ tikl~tmnp^miankaT>l- D-91)
Таким образом, каждый индекс в отдельности преобразуется в соответст-
вии с законом преобразования 4-вектора. 4-Вектор можно рассматривать как
тензор первого ранга. В этом смысле инвариант является тензором нулевого
ранга. Тогда тензором ранга п назовем величину tikl ... с п независимыми ин-
дексами, каждый из которых в отдельности преобразуется в соответствии
с формулой D.24) для 4-вектора. Если в тензоре ранга п приравнять два ин-
декса, например k и i, то после суммирования по этим индексам получим тензор
ранга (п — 2). Это является прямым следствием формул преобразования для тен-
зоров и условий ортогональности D.11), D.14). Данная операция называет-
ся сверткой. Уравнения D.72), с помощью которых из тензора второго ранга
образуется тензор нулевого ранга, как раз представляют собой пример такой
свертки.
86
При сложении (или вычитании) соответствующих компонент двух тензоров
ранга п получили новый тензор того же ранга, но операция сложения двух
тензоров различных рангов уже не имеет ковариантного смысла. Однако всегда
можно образовать прямое произведение двух тензоров ранга пате помощью
всех возможных произведений их компонент и получить в результате тензор
ранга (т + «)¦ Формула D.78) представляет собой частный случай этой опе-
рации, поскольку тензор tih = афъ ранга 2 является прямым произведением
двух тензоров первого ранга аг и b\. Последующей сверткой тензора афк по-
лучим тензор нулевого ранга, или инвариант D.27).
Уравнение D.76) является частным случаем комбинации обеих операций:
прямого умножения и свертки. Сначала прямым умножением тензоров tik и
й/ образуем тензор 3-го ранга {U%ai) и затем сверткой получаем тензор первого
ранга bt = tikCth- Аналогично уравнение D.73) можно рассматривать как ре-
зультат прямого умножения tih на самого себя и двух последовательных
сверток.
§ 4.10. Нсевдотензоры
В трехмерном векторном исчислении наряду с обычным (полярным) векто-
ром с законом преобразования
а^ = а^ач D.92)
рассматривается так называемый аксиальный вектор, преобразующийся по
закону
D.93)
где a = |a^v|—определитель матрицы преобразования. При собственных
вращениях а = 1 и аксиальный вектор преобразуется как полярный. Однако
при отражениях, когда одна или три оси меняют знак, а = —1; поэтому при
отражении относительно начала координат, когда
*i=— *ц, D.94)
компоненты аксиального вектора не меняются, а компоненты полярного векто-
ра меняют знак. Примером аксиального вектора является векторное произве-
дение двух полярных векторов а и Ь:
—агЬг, azbL—a1b3, axh^—агЬ^). D.95)
При отражении а'^ = —а^, b[l= —Ьц, поэтому Сд = сй. Другим примером ак-
сиального вектора является вектор напряженности магнитного поля Н. Есте-
ственно обобщение аксиальных векторов на тензоры высшего ранга в четырех-
мерном пространстве, которые называются псевдотензорами. Эти величины
преобразуются как тензоры, но, кроме того, еще умножаются на детерминант
преобразования a == |aift|, т. е.
& = aa« aAjn *im. D.96)
Из этого определения получаем следующие следствия. Сумма двух псев-
дотензоров одинакового ранга является псевдотензором того же ранга. Пря-
мое произведение псевдотензора и тензора — псевдотензор с рангом, равным
сумме рангов сомножителей. Прямое произведение двух псевдотензоров —
есть тензор. Операция свертки применима и к псевдотензору ранга п, в резуль-
тате чего получается псевдотензор ранга п — 2.
§ 4.11. Символ Леви-Чивита
Символ Кронекера — тензор с одинаковыми компонентами в любой системе
координат. Символ Леви-Чивита является псевдотензором с теми же свойст-
вами. В четырехмерном пространстве этот псевдотензор имеет ранг 4. Символ
87
Леви-Чивита определяется как величина егк1т-антисимметричная по всем
четырем индексам. Поэтому из всех компонент не равны нулю лишь компонен-
ты, у которых все индексы различны. Эти компоненты равны+1 или—1, в
зависимости от того, отличается ли система индексов (t, k, I, т) от A, 2, 3, 4)
четным или нечетным числом перестановок соответственно. Теперь рассмотрим
псевдотензор с компонентами ец1/т в системе S. При переходе к другой систе-
ме S' имеем
D.97)
Поскольку свойства симметрии инвариантны, г\ыт. также антисимметричны по
всем индексам. Поэтому достаточно вычислить компоненту с (i, k, I, m) —
= A, 2, 3, 4):
ei234 = ««!„ a2Pa3(]airenPgr. D.98)
Из определения tikim следует, что
Тогда, учитывая D.15) и D.98), получаем
?1234 =СЕ2= 1 — ?1234-
Из свойств симметрии s/Aim и eikim следует, что
D.99)
для всех значений индексов (i, k, I, т).
Таким образом, символ Леви-Чивита является псевдотензором, имеющим
одни и те же компоненты в любой координатной системе.
В трехмерном пространстве символ Леви-Чивита представляется величиной
e(ivX» антисимметричной по всем трем индексам, причем е1аз — 1. Как и раньше,
можно показать, что e^vx — трехмерный псевдотензор.
§ 4.12. Дуальные тензоры
С помощью символа Леви-Чивита можно связать антисимметрический
3-тензор Huv с псевдовектором (аксиальным вектором) Н:
Hil = (l/2)ElxvXHyh, D.100)
т. е.
= \il\i tlf> / =г \** 23' ^31' "ill- yi.i.\ji)
Величины Яд D.83) являются компонентами аксиального вектора, дуального
тензору НцЧ. Ести Н^ имеет вид
/nv = «n^v — flv^.u= , D.102)
av bv
где ац и 6V — два вектора, то соответствующий аксиальный вектор
Ь = е^ьпчЬ>. D.103)
является векторным произведением, f ~ aXb. Этот тензор, или его дуальный
аксиальный вектор, определяют параллелограмм, образованный векторами
а и Ь; компоненты такого дуального вектора равны проекциям этого параллело-
грамма на три координатные плоскости. Площадь параллелограмма опреде-
ляется выражением
Псевдотензор /^ перпендикулярен плоскости параллелограмма, так как
ftlatl = alleJiyXavbx = 0; /ц6й = 0 D.105)
вследствие антисимметричности символа Леви-Чивита.
Аналогично вектор, дуальный тензору
т. е. ротору, является аксиальным вектором.
Три вектора а, Ь, с определяют параллелепипед, который по аналогии
с D.102) представляется антисимметрическим тензором:
D.106)
С помощью символа Леви-Чивита этому тензору можно поставить в соответст-
вие псевдотензор нулевого ранга, т. е. псевдоинвариант
L Ьх сх
= {1 /3!)
a2 b.2 c2
a3 ba cs
D.107)
V определяет объем параллелепипеда. Он не изменяется при собственных вра-
щениях, но меняет знак при отражениях. Кроме того,
V2 = (l/3!)^vxV^- D.108)
Если а, Ь, с — три инфинитезимальных вектора, расположенные вдоль осей
хъ А'3, х3 соответственно, например
а - (dxu 0, 0); b = @, dxit 0); с = @, 0, dx3), D.109)
то соответствующий объем равен
dV = dxidx^lxa D.110)
и является псевдоскаляром.
В C + 1)-пространстве с помощью символа Леви-Чивита eihim антисим-
метрпческий тензор ранга и^4 можно связать с псевдотензором ранга 4 — п.
Следовательно, псевдотензор F*k, дуальный антисимметрическому тензору Fih,
определяется выражением
Frk=(U2i)elklmFlm,
т. е.
-. Fl2 = (in)FM; )
;, F*3i = A/i) F12. J
D.111)
D.112)
Вводя величины Е и Н по формулам D.83), D.83'), видим, что дуальный
псевдотензор F-k получается из Fih подстановкой Е -*- Н, Н -v —Е. Уравнения
D.84) и D.84') не меняются при такой подстановке, поскольку для преобразо-
ваний Лоренца без вращений а = 1, a F*k преобразуется как Fih.
Тензор Gik частного вида
oih^aibh—ahbi, D.113)
где at и Ьк — два вектора, определяет по аналогии с D.102) двухмерный парал-
лелограмм, построенный на векторах ah bt. Дуальный псевдотензор
D.114)
D.115)
89
ортогонален векторам аи bh и тензору Gih:
o*k ak = oh bk = стГй ff.fc = 0.
Аналогично D.104) площадь а параллелограмма равна
Антисимметрическому тензору третьего ранга можно поставить в соответ-
ствие дуальный псевдотензор первого ранга, т. е. псевдовектор. Для тензора
[bhch. D-116>
аг ^ ct
где alt bi, Ci — независимые 4-векторы, дуальный псевдовектор имеет вид
или
S4 = (l/i)SMm, D.118)
где (iklm) — четная перестановка из A, 2, 3, 4). 2г-Лг и 2г определяют трехмер-
ный параллелепипед, образованный векторами ah bi, с-ь. 2,- ортогонален этому
параллелепипеду, так как из D.117) следует
2- й=2- b- — 2-е- = 0 D.119)
Объем V параллелепипеда равен длине псевдовектора 2?-
где б — ±1- Если 2j — пространственноподобный вектор, то 8 = +1, а если
2j — времениподобный вектор, то б = —1.
Наконец, псевдотензор, дуальный антисимметрическому тензору четвер-
того ранга, является псевдоскаляром. Для тензора
it bi Ci dt
6iklm"
ck dk
ci di
Cfj
Til 4-71
D.121)
дуальный псевдоскаляр имеет вид
Q = A/14!) гШт Qiklm =
eiklm at bh ct dm =
d d1
ъ d%
a2 b2 съ d%
a3 b3 c3 d,
D.122)
Q — объем параллелепипеда, определяемого векторами аи bh d, du удов-
летворяющий уравнению
D.123)
Если аи bi, ct, di — инфинитезимальные векторы в направлении координатных
осей длиной dxx, dx2, dx3, dxt соответственно, то элемент четырехмерного объе-
ма
dQ =
D.124)
также псевдоскаляр.
Рассмотрим два трехмерных инфинитезимальных линейных элемента 1Х.
/2, покоящихся в определенной точке р трехмерного пространства ннерциальной
системы 5°. Пусть dx%, — разность между координатами концов элемента 1Х
в 5°. Тогда dxy, — являются компонентами 3-вектора dx°, соответствующего
элементу lv Аналогично бх° с компонентами 8х^ — трехмерный вектор, соот-
ветствующий /2. Тогда параллелограмм, построенный на элементах 1Х и U,
описывается (аксиальным) вектором
= n°dfa, (a)
90
где п° — единичный вектор в направлении df°. Компоненты di° в соответствии
с D.103) следующие:
df^B^dx^xl d/° = (C^I/2- (б)
Пусть 5 — другая инерциальная система, относительно которой 1Ъ /2,
5е, df движутся с определенной скоростью и. Теперь определим два 4-вектора
dxj и 8xt со следующими свойствами: в системе S их временные компоненты рав-
ны нулю, т. е.
dx4 = 6x4 = 0, (в)
а в S0 их пространственные компоненты совпадают с компонентами 3-векторов
dxu и бху, соответствующих элементам 1г и 1г. Этими условиями оба вектора оп-
ределены однозначно. Их пространственные компоненты dx^, 6л:й в системе
S определяют два 3-вектора dx и бх, соединяющих одновременные положения
концов двух движущихся линейных элементов. Параллелограмм, построенный
на этих векторах, определяется аксиальным вектором
= {dfo $„)">, (r)
который, очевидно, описывает мгновенное положение движущегося паралле-
лограмма с точки зрения наблюдателя в S.
Соотношение между df и df° легко получить, если ввести 4-вектор
dFt = Eiklm dxk 6xt UJc, (д)
где Ui — 4-скорость D.39). Поскольку символ Леви-Чивита антисимметричен,
dFt ортогонален к Uh т. е.
Ut dFt = 0; dFt = —dFn UJU^ = UP» uJc. (e)
Кроме того, используя (б), D.39) и учитывая, что е^.4 равен трехмерному
символу Леви-Чивита, получаем
dFy, = в^н dxv Ьхх Ujci = г^х dxv dxx у, (ж)
где
Y = y(«) = A —«V)~1/2.
Таким образом, из уравнений (г), (е) и (ж) имеем
dF^iydf», iy(dfpujlc}. (з)
Сравнивая формулы (з), (е) с формулами D.54), D.57), видим, что 3-вектор
d/n аналогичен истинной механической силе. Поэтому в случае преобразова-
ний Лоренца без вращений из D.29) по аналогии с C.43) получим
— (I— hVI/2}; ndf = udP. (и)
Это общее выражение для лоренцева сокращения движущегося поверхностного
элемента. Если dt° параллелен и, т. е. если поверхностный элемент перпенди-
кулярен движению, из уравнения (и) следует, что df также параллелен и и
df = df°. С другой стороны, когда df° ортогонален и,
Таким же'способом можно получить формулу B.34) для сокращения движу-
щегося объемного элемента, т. е.
dV = dV°(l— и*! с*I'*, (к)
если рассмотреть три инфинитезимальных 4-вектора dxh 8xt, Axit причем
dxi = бх4 = Дл:4, (л)
и образовать инвариант
dxt bxh &xL Ujic = еШт dx? 5x% bxf U%Jc. (м)
91
С учетом (л) и D.39) левую часть в (м) приведем к виду
?ц\к dxn 6xv Ла'я У =
а поскольку C/m/ic -- бга4, правая часть равна
Следовательно, (м) совпадает с (к).
§ 4.13. Инфинитезимальные преобразования Лоренца.
Преобразования без вращения
Инфинитезимальные однородные линейные преобразования (xt) -»- (х\)
имеют вид
х- = хг + sik xk = (8ik + eih) xh, D.125)
где егй — инфинитезимальные величины. В случае преобразований Лоренца,
подставляя D.125) в D.10) и пренебрегая членами второго порядка малости,
получаем
xl xi = (xi + eife xh) \xi + &ih xh) = xi xt "Г xi ?ik xh ~b xi eih Xk-
Поскольку это уравнение должно удовлетворяться при любых значениях
xt и xit то
eift=-e«. D-126)
Это условие для инфинитезимальных преобразований эквивалентно условиям
ортогональности D.11), D.14) для конечных преобразований.
Рассмотрим произвольное преобразование Лоренца D.3), связывающее
пространственно-временные координаты двух систем S и S'. Пусть v = (vx,
иу. vz) — скорость S' относительно S. Тогда соответствующий 4-вектор V;
с учетом D.39) имеет вид
yic); (у = A— о2/с2)/2).
Его компоненты в системе 5' следующие:
V-=@, 0, 0, ic),
поскольку V; — 4-скорость точки, покоящейся в S', а это значит, что вектор
Vt направлен вдоль оси х\. Тогда из формулы преобразования 4-вектора по-
лучим
У к = VI «ift = ica4ft, D.127)
Аналогично, если е-1', е\2), е\3> — единичные направляющие векторы осей х\,
Х2, Хз соответственно, то
ei'1>Vri = e||i)'V/ = 0. D.127')
Для преобразований Лоренца без вращений коэффициенты aih в соответ-
ствии с B.27) имеют вид
D.128)
(VyVjV2)(y~l), 1+(O|/W2)(V—1), (VjjVjV2)^ — I), WjC
(vzux/v2)(y—1), (vz v,j/v2) (y—1), 1 + (o|/o2) (у—1), iV3[c
— WJc, — iVt/c, —iVjc—lVjc
92
В C-f 1)-пространстве преобразование D.128) представляет собой поворот
в двухмерной плоскости, определяемой временными осями S' и S.
Если их, Vy, u2 — бесконечно малые величины, то с точностью до малых вто-
рого порядка
^1 = 0*; V9 = va; V3 = v2; Vt = ic,
а D.328) сводится к
«;/< = 6;ь + e,-fe; euv = 0, Ец4= — 84]Х = iiyc; e44 = 0. D.129)
§ 4.14. Последовательные преобразования Лоренца
Пусть
xl = aikxt\ S-+S' и xi=a'tkx'k; Sr->¦ S" D.130)
два последовательных преобразования Лоренца. Результирующее преобра-
зование
Xi = (a'ualh)xk D.131)
также есть преобразование Лоренца. Поэтому коэффициенты
удовлетворяют тем же условиям ортогональности D.11), D.14), что и коэффи-
циенты aik, a.'ik. Однако D.131), в общем случае, уже не является преобразова-
нием Лоренца без вращения даже в случае преобразований D.130), т. е. a'-k не
выражаются в виде D.128), даже если aik, a'ik и имеют такой вид. Коэффициенты
a"ik можно выразить в виде D.128), только если три временные оси систем S,
S', S" лежат в одной плоскости.
В частном случае бесконечно малого преобразования Лоренца без враще-
ния от 5' к S" в соответствии с D.129) имеем
а« = 6?Л + в;*; б^ = 0; е^= — 84ц= iVjJc; е44=0, DЛ32)
где V't — 4-скорость S" относительно 5'» Следовательно,
a'ik = Фи + 8/() alk = aik + г'ц alk. D.133)
Пусть xt — fi (т) — мировая линия произвольного движения частицы в S,
а т — собственное время частицы. Попытаемся определить последовательные
системы покоя частицы таким образом, чтобы две следующие друг за другом
системы покоя в любое время имели одинаковую ориентацию пространственных
осей. Пусть S' и S" в D.13) — две мгновенные системы покоя частицы в момен-
ты времени т и т + dx, соответственно. Тогда 4-скорость системы S' относи-
тельно S равна
Ut(T) = dxtIdx = ft(T). D.134)
Аналогично 4-скорость S" относительно 5 равна
Vt = Ut (x) + dUt (т) = ?/. (т) + Ut dx = /,- (т) + 'fi (т) dx. D.135)
Компоненты этих двух 4-векторов в системе S' следующие:
U',(x) = aikUk = @, 0, 0, ic); D.136)
VI = VI + dU[ = aih (Uk + dVh) = VI + aih dUh. D.137)
Поскольку предполагается, что переход от системы S' к системе S" осуществ-
ляется бесконечно малыми преобразованиями Лоренца без вращения, то коэф-
фициенты alk преобразования от системы 5 к системе S" получаются из D.133)
и D.132), причем V^ в D.132) определяется выражением D.137). Поэтому
ViUk-V'kUi u'kdUl-U'i dUk .. ,оо,
e» D.138)
что с учетом D.136) совпадает с е/& в D.132).
93
Таким образом, из D.133), D.138) и D.137) имеем
«?*-«« = {Ui dUl-Щ dUi)alklc* = (Uc2) atl (UhdUl-Ul dUb).
Коэффициенты cc;k можно рассматривать как функции aik (т) от т; тогда ajk =
— aih (x + dx). Поэтому из последнего выражения получаем следующие диф-
ференциальные уравнения для функций aih (г):
daik(x)ldT = anllh, D.139)
где
U^iUiUK-UbUM*. D.140)
Для дальнейшего заметим, что с учетом D.14), D.41), D.4Г) и D.13) коэф-
фициенты а; й и lih удовлетворяют соотношениям
а*г In «v? = 0; ofy %u Ut = — ccn U{,
Um)lc2.
D.141)
Уравнения D.139) определяют переход от фиксированной системы S к мгно-
венной системе покоя S' = S' (т) с системой координат х[. Следовательно,
xt = xiaM(x) D.142)
или, осуществив такое непрерывное смещение начала координат в S', чтобы
частица всегда находилась в начале координат системы покоя S' (т), имеем
Теперь присоединим к рассматриваемой частице пространственный еди-
ничный вектор е' (т), такой, чтобы его компоненты относительно пространствен-
ных осей S' (т) не изменялись во времени, например любой направляющий век-
тор пространственных осей в S'. Следовательно, смещение вектора е' происхо-
дит без изменения его ориентации. В {3 + 1)-пространствеэтот вектор является
пространственноподобным вектором с компонентами
е/ = (е', 0) D.144)
¦в системе 5'. Его компоненты в системе S следующие:
et[x) = e'kaht{x) = e(latii(x). D.145)
Учитывая D.136) и D.144), имеем
в|г/{=*/?/;=о, D.146;
т. е. ег ортогонален U^ Из D.145), D.139), D.140) и D.146) получаем
det (т)/с/т-e'k daki (x)Jdx = е'к <хы {UlUi-0t [/,)/c2 =
= [{elUl)ui-Ut(elU{)]lctt
т. е.
dei(x)fdx={elUl)Ui/c\ D.147)
Если S' (т) совпадает с 5 при т = 0, то et ~ el при т = 0 и скорость частицы
в этот момент равна нулю. В последующее время, в общем случаеег- Ф el, и
даже если скорость частицы снова становится равной нулю, то всегда
е, = (е, 0)#е; = (е', 0).
Это значит, что компоненты единичного вектора различны в системах S
и 5' в соответствии с тем фактом, что вектор совершает прецессию Томаса отно-
сительно S (см. § 2.8).
94
g 4.15. Последовательные системы покоя при произвольном
прямолинейном и равномерном вращательном движениях частицы
Пусть частица движется в направлении оси хъ тогда /2 = /3 = 0. т. е.
*/. = (?. 0, 0, Q; 0г={ f[, О, ОД). D.148)
Предположим, также, что скорость частицы равна нулю при т = 0 и что в этот
момент S' (т) совпадает с S. Поэтому, учитывая, что U jUi = V\ -j- Щ = —с2,
4-скорость Ui можно записать в виде
[/j = (csh8(T), 0, 0, icchO(x)), D.149)
где б (т) — произвольная функция т, такая, что 0 = 0 при т = 0. Отсюда
Мт) = (с$ shO<fr, 0, 0, \с Jch9dA D.150)
Если ei^ (т) — единичные направляющие векторы пространственных осей
последовательных систем покоя 5' (т.), то
е^'@) = S№ при т = 0> D.151)
Каждый из этих векторов удовлетворяет уравнениям D.147), поэтому
dei»)ldT=[e\v-)ijl)Uh!c\ D.152)
Учитывая D.148), видим, что
42>=А2; 43)=А3; е^ = ^> = 0 .D.153)
есть решение D.152). Чтобы найти компоненты е^1' и е^1', умножим D.152) на
Uh и еьг\ в результате чего получим следующие интегралы:
е?>ик = 0, <#>#>=!. DЛ54)
Следовательно,
D.155)
DЛ56)
Поэтому из D.127) и D.127') получим
UJ'ic 0 0 it/i/
-»-( о i ? о )• <4Л57)
c 0 0 t/4/ic
что соответствует специальным преобразованиям Лоренца [см. D.116)}. С по-
мощью D.157), D.149) и D.150) преобразования D.143) можно записать в виде
D.158)
jc4 = ic J ch 0dx + jeji sh 8 (r) + x'A ch 9 (x).
95
В частном случае гиперболического движения частицы из C.46) имеем
dx = A — u2/c2I/2 dt = dth/ 1 + (gt/cf,
т. е.
т - (clg) sh-1 (gtlc); i = (dg) sh (gt/c). D.159)
Отсюда с учетом C.47) получим
h (t) = №) (/lT^W-1) = (cVg) (ch gr/c- 1); 1 D
^ = /3 = 0; /4(x)==i(c2/g)shgT./C; I
^« = /i = (c sh gr/c, 0, 0, icchgx/c); ]
J D.161)
Ui = {gchgr/c, 0, 0, igshgt/с). I
Сравнивая с D.149), видим, что в этом частном случае
e(T)=gr/cf D.162)
а преобразования D.158) приводятся к виду
| D.163)
х4 = i (c2/g) shgx/c + x; i sh gx/c + x4 ch gx/c. )
Используя коэффициенты D.157) для компонент (У/ вектора 4-ускорения
частицы в последовательных системах покоя S' (т) и учитывая D.161), получаем
Ol = aihUh=(g, 0, 0, 0), D.164)
откуда следует, что ускорение частицы в последовательных системах покоя по-
стоянно и равно g [ср. с D.42)].
Теперь кратко рассмотрим решение уравнений D.139) в случае движения
частицы в плоскости (хи х2) «по окружности радиуса а с постоянной угловой
скоростью to. В этом случае имеем
fi = (a cos аут, asiruoYt, 0, icyx), D.165)
где у = A — ///с2)-'/2 (и — аи> — постоянная скорость движения частицы по
окружности). Из D.165) следует
Ut = (—а«у sin (соут), acoycos (слух), 0, icy); ) .. .„„.
г \ • ^*э)
Ut = (—aory2cos (соут), —aco2y-sin (слух), 0, 0). J
Легко проверить, что решение уравнений D.139) тогда имеет следую-
щий вид:
cos a cos р-г у sin a sin p, sin a cos p—у cos a sin p, 0, —i(ay/c)sinp
cos a sin p — у sin a cos p, sin a sin p+y cos a cos p, 0, i (uy/'c) cos p
0, 0, 1, 0
i (uylc) sin a, —i(ay/c)cosa, 0, у
D.167)
где а = соут; р — уа = соу2т; w = aco.
Затем из D.142) или D.143) с учетом D.167) находим преобразование от S
к S' (т). При т = 0 имеем
0 0 0
0 у 0 i uylc
0 0 10
_0 — i иу/с 0 у
96
а„,@) =
D.168)
Поэтому, обозначая пространственно-временные координаты системы S' @)
через х1, из D.142) получаем
х3 = х°3;
•( , S 0 , 0 1 D-169)
l — i\uyic) л2 -f- yxi. j
Это специальное преобразование Лоренца от S к системе S' @) , движущей-
ся в направлении оси х.г со скоростью и.
В следующий момент времени т = тх = 2я/сэу, в соответствии с D.167),
имеем
D.170)
где
cos pt —у sin px 0 —i(ay/c)sinpi
sinpL ycosp1 0 i (ыу/c) cos px
0 0 1 0
0 —i иу/с 0 у
2л (у — 1). Коэффициенты a.ik (тх) можно записать также в виде
где
Pi
ifc
5 Pi
lpt
0
0
— i sin |j
cos [\
0
0
(i °
0
1
0
0
0
0
1
D.171)
Если координаты системы S' (тх) обозначить х\, то
х\ = aih (Tj) хк --- ра а№ @) - р
или
\ = cos pj х\
» = sin Э,. х? + cos
х\ — sin
cg;
D.172)
Таким образом, система S' (тх) не совпадает с системой S' @). Чтобы про-
странственные оси в S' (тх) имели одинаковую ориентацию с пространственными
осями в S' @) или в 5, систему 5' (т^ нужно повернуть в плоскости хххг на
угол рх в направлении движения частицы. Другими словами, оси системы S
необходимо повернуть на угол —р\ — —2я (у — 1), чтобы привести их к оди-
наковой ориентации с осями S' (тг). Это обусловлено эффектом Томаса. Инте-
грируя формулу B.65) для скорости прецессии Томаса по всему периоду Т,
т т
получаем f tacit = — ( (у — 1) (v X \lv-)dt. Поскольку в рассматриваемом
о 'о
случае v X v — постоянный вектор, перпендикулярный v и v, и vT — vioT =
= 2nv, полный угол прецессии равен
0 - —2л (у — 1) - —Pj. D.173)
§ 4.16. Тензорные и псевдотензорные поля. Тензорный анализ
Как и в случае обыкновенного пространства, мы говорим о тензорном поле
ранга п в C + 1)-пространстве, если с каждой точкой этого пространства связан
тензор ранга п. В частности, мы имеем дело с тензорным полем нулевого ранга,
или с так называемым скалярным полем, если с каждым точечным событием
связано инвариантное число. Это означает, что в каждой системе S мы имеем
определенную функцию координат ф (х) ~ ф (х{) — ф (хъ х„, х3, хл), такую, что
Ф'(х') = Ф(*), D.174)
4 Зак. 1174
97
если ф' (х') — функция, соответствующая системе 5', а числа (х,-) и (xt) — коор-
динаты одного и того же события в системах S и S' соответственно. В общем
случае ф' выражается через переменные х\ другим способом, нежели ф — че-
рез переменные хх. Следовательно, скалярная функция ф (xt) не форм-инва-
риантна. Скалярная функция является форм-инвариантной, если ф — функ-
ция только от одной величины D.4), которая также форм-инвариантна.
Аналогично имеем тензорное поле ранга 1, если с каждым точечным собы-
тием связан определенный 4-вектор. Компоненты at{x) и a,'(.v') этого 4-вектора
в двух произвольных системах координат 5 и S' являются функциями от коор-
динат точечного события, а
al(x') = aibak{x), D.175)
когда связь между переменными (х') = {х[) и (х) — {xt) определяется формула-
ми D.3) и D.13).
Для тензорных полей высших рангов справедливы уравнения, идентичные
D.174) и D.175).
Из произвольного скалярного поля можно инвариантным способом обра-
зовать векторное поле с компонентами дц>!дхь в произвольной системе коорди-
нат S, поскольку из D.13) имеем, что
(dxk/dxl) = aik dq/dxh, D.176)
где
dxjdx't=alk. D.177)
4-Вектор d(f/dxt называется градиентом ф и обозначается
gradj- ф = дц/dxi, D.178)
как и обычный градиент в трехмерном пространстве.
Аналогично из векторного поля at (x) можно образовать тензорное поле
ранга 2 с компонентами datldxh в произвольной системе координат, поскольку
да11дх'к = aie (dajdxj dxjdx'k = <xie ahm dajdxm. D.179)
Антисимметричная комбинация dajdx-t — даг/дхк также является тензорным
полем второго ранга и называется ротором векторного поля at (x), т. е.
rot;ft a = rotife (a,) = dakldxi—datjdxk. D.180)
(В выражении rot ih (ад, конечно, нет суммирования по 0- Ротор — антисим-
метрический тензор. Поэтому в трехмерном пространстве ему соответствует
аксиальный вектор rot a.
Сверткой тензорного поля dat/dxh получаем тензорное поле нулевого ран-
га. Следовательно, из векторного поля at (x) можно образовать скалярное пол-
dajdx^da'i/dx'i, D.181)
которое называется дивергенцией векторного поля щ, т. е.
diva^div(a(-) — да^дх^ D.182)
и аналогично обычной трехмерной дивергенции div а. Если at — градиент ска-
лярной функции -ф, т. е.
и D.183)
то дивергенция а; имеет вид
dajdxi - дЦ/дхг Ъхх = Q % D.184)
где
? = d2jdxt dx-t = дУдх^ дх„ — A /с2) d2/dt2 = А — A /с2) d2/dt2. D.185)
98
Таким образом, оператор D.185) является ковариантным оператором и на-
зывается оператором Д'Аламбера. (Это четырехмерное обобщение оператора
Лапласа Д = д2 /дх^дхц.)
Тем же способом из тензорного поля ранга п всегда можно дифференци-
рованием образовать тензорное поле ранга п + 1, а последующей сверткой —
тензорное поле ранга п — 1. Как и в только что рассмотренных частных слу-
чаях, этот факт является следствием формул преобразования для тензоров,
уравнения D.176) и условий ортогональности D.11) и D.14). Следовательно, из
тензорного поля второго ранга iik можно построить тензорное поле dttJdxi
ранга 3, а последующей сверткой тензорное поле ранга 1, т. е. векторное поле
div; / = div; (tih) = dtihldxk, D.186)
называемое дивергенцией тензорного поля tik. Если тензорное поле Ftk анти-
симметрично, то из него можно построить полностью антисимметрическое
тензорное поле ранга 3
rotjft, F г rotikl (Fik) = dFih(dxl + dFhlldxt + dFuldxh, D.187)
которое называется ротором тензора Fih.
Перестановка любых двух из трех индексов приводит к перемене знака
в D.187). Поэтому rot iklF = 0, если два индекса равны, и тензор rot ikt
имеет только 4!/3!1! = 4 независимые компоненты.
Если Fih — ротор векторного поля, т. е. если
Fih = rot;fe a = dajdx.-dajdx,, D.188)
то rot Fih тождественно равен нулю
rotjftIF = 0. D.189)
Точно так же мы говорим о псевдотензорном поле, когда с каждой точкой
пространства связан определенный псевдотензор. Следовательно, псевдоска-
лярное поле есть псевдотензорное поле нулевого ранга, псевдовекторное поле—
псевдотензорное поле ранга 1 и т. д. Различным антисимметрическим тензорным
полям можно поставить в соответствие дуальные псевдотензорные поля. Взаимо-
связь между ними такая же, как и между тензорами и их дуальными псевдо-
тензорами, определенными в § 4.12. Псевдовекторное поле, дуальное к rot ih1F,
равно div;F*, где F\k — псевдотензорное поле, дуальное к Fih, так как в соот-
ветствии с D.111) имеем
dF%jdxh = A/2 i) eik[mdFlm/dxk = A/i 3!) еШт {dFlm/dxk -f dFmkldxt +
+ dFkl[dxJ. D.190)
Следовательно, div,-F* и rot ihiF дуальны друг другу.
§ 4.17. Теорема Гаусса для четырехмерного пространства
Если а = а (х) — трехмерное векторное поле, а V — область трехмер-
ного пространства, ограниченная замкнутой поверхностью /, то теорема Гаус-
са для обычного пространства выражается следующим уравнением:
JjdivadK= [aHdf, D.191)
v f
где ап — компонента вектора а в направлении внешней нормали п к элементу
поверхности df. (Элементарное доказательство этой теоремы см. в приложении 1.)
Теорема Гаусса позволяет преобразовать объемный интеграл [левая часть
D.191)] в интеграл по двухмерной границе объема V. Если п — единичный на-
правляющий вектор внешней нормали, то D.191) можно записать в другом виде:
(dajdx») dV= \ a» n» df, D.192)
V V
где dV определяется формулой D.110).
99
Если элемент поверхности df параллелограмм, образованный инфините-
зимальньши векторами dx^, Ьх^, лежащими на поверхности /, то df можно
представить тензором df^v = dxn6xv — dxv5xv, полученным из D.102) заменой
векторов Оц, 6ц на dx^ и 6%. С другой стороны, инфинитезимальный паралле-
лограмм можно представить соответствующим аксиальным вектором df^, опре-
деляемым в D.103). Поскольку этот вектор перпендикулярен элементу поверх-
ности, то D.192) принимает следующий вид:
jj xv дхк. D.193)
v ) f
Здесь уже обеспечен такой выбор последовательности векторов dx^, бх^, чтобы
аксиальный вектор df^ лежал в направлении внешней нормали к области V-
В такой форме теорему Гаусса сразу можно обобщить на четырехмерное
пространство [237, 238]. Если at — четырехвекторное поле и Q — область
в C -f 1)-пространстве, ограниченная замкнутой трехмерной гиперповерх-
ностью 2, то обобщенная теорема Гаусса принимает форму
^ да-JdXidu = \eat d2f = A/i) \ eat siklm dxh bxt Axm. D.194)
Q 2 2
Здесь dQ определяется из D.124), a d2t- — из D.117), где ah bit ct равны dxh
8xh kxt соответственно. Эти величины являются инфинитезимальными векто-
рами, принадлежащими граничному пространству 2 и выбранными так, чтобы
вектор.^2г был направлен вдоль внешней нормали к области Q. И снова г = 1,
когда rf2j — пространственноподобный вектор, и е = —1, если d2; — времени-
подобный.
Если часть границы 2 — гиперплоскость 2 D) с постоянным значением х4
и точки на 2 D) имеют большие значения времени, чем точки в й,то векторы
dxh dxiy Дх; ортогональны временной оси, и их можно выбрать в виде dxt =
= (dxu 0, 0, 0); bxt = @, dxit 0, 0); Axt = @, 0, dx3, 0). Тогда вектор Л2г =
= @, 0, 0, idxxdxtfixz) направлен по внешней нормали к Q. Кроме того, по-
скольку d2j — времениподобный вектор, то для 2 D) имеем
8 dZi = @, 0, 0, — dxx dx.z dxsy D.195)
С другой стороны, если точки в Q имеют большие значения времени, чем
точки в 2 D), то нужно переставить два из трех векторов dxt, 6xh /S.xt так, чтобы
rf2; лежал в направлении внешней нормали к Q, а в выражении D.195) для
ed2j заменить 1/i на ь
Множитель е в D.194) можно опустить, если при этом rf2, в каждой точке 2
выбрать так, чтобы он был направлен наружу или внутрь области Q, когда этот
вектор пространственноподобный или времениподобный соответственно.
Если /цУ — 3-тензор, то по аналогии с D.192) и D.193):
jj dtywldxy) dV = \ t^v nv df = 5 ^v B|1xe dxj,%. D.196)
v f )
Обобщая D.196) на C -f 1)-пространство, имеем
\ (dtihjdxh) dQ = J etik dZh = ^ (e/i) tlk ehlmn dxt bxm Axn. D.197)
Q S
Во многих приложениях, и особенно в релятивистской квантовой теории
используются интегралы от определенных функций в импульсном простран-
стве частицы. Это трехмерное абстрактное пространство, каждая точка которо-
го характеризуется компонентами рх, ру, pz вектора импульса. Связь между
импульсами р и р' в двух различных инерциальных системах с одинаковой
100
ориентацией пространственных осей определяется формулой C.37). Посколь-
ку Е' — с (т\с2 + р'2I/2, то это преобразование нелинейно, и по теореме Якоби
преобразование элемента объема импульсного пространства dpxdpydpz дается
формулой
dpx dp у dpz = Jdp'x dp'y dp'z, (a)
где
J = d{px> pv, pz)/d(p'x, p'y, рг) = \др^/дру\ (б)
- якобиан. Простое вычисление для него дает
y = (l+v-u7c2)(l — yz/c2)-l/2 = (l+v-p7?')(l — v V)~1/2 =E/E', (в)
из которого следует, что
dpxdpydpjE = dp'xdp'ydp'2iE' (г)
— инвариант. IВычисление J наиболее просто в случае специальных преобра-
зований Лоренца C.32 а, б) и, поскольку величины в (г) инвариантны при про-
странственных вращениях, то формула (г) справедлива для любых преобразо-
ваний Лоренца.]
Вводя в импульсном пространстве полярные координаты, формулу (г)
можно представить в виде
p'2dp' dv'lE', (д)
где da н d<x>' — телесные углы в направлениях р и р' соответственно. Эта фор-
мула справедлива н для частиц с нулевой собственной массой (фотон или нейт-
рино), для которых Е = ср. В этом случае
pdpd<i> = p' dp' dm', (e)
В статистической механике вводится еще один тип пространства — фазо-
вое пространство. Для одной частицы это шестимерное пространство, каждая
точка которого характеризуется шестью числами рх, ру, pz, x, у, г. Элемент
объема фазового пространства определяется произведением
dpx dpv dpz dx dy dz = dpx dpy dpz dV, (ж)
т. е. произведением элементов объема импульсного пространства и обычного
пространства. Преобразование элемента объема в импульсном пространстве
дается формулой (г), а в трехмерном пространстве формулой (л) (стр. 91),
dV = dV° (I — «2/c2y/2; dV = dV° A — u12/c2)'/2 или
'*/
dV = dV'(\—u*Jct)lf!if{l—u'*/c*)i'2 = dV'E'IE. (з)
Умножая формулы (а) и (з) и используя (в), получаем
dpx dpy dpz dx dy dz = dp'x dp'y dp'z dx' dy' dz'. (и)
Следовательно, элемент объема фазового пространства — инвариант.
§ 4.18. Основные уравнении механики для не когерентной материи
В качестве первого приложения математических методов, изложенных
в предыдущем параграфе, рассмотрим движение непрерывно распределенной
материи под действием известных внешних сил. Чтобы применить к такой си-
стеме фундаментальные уравнения движения материальных частиц, рассмотрен-
ные в гл. 3, будем считать непрерывное распределение массы предельным слу-
чаем распределения очень большого числа материальных частиц. Если частицы
настолько малы, а их плотность так велика, что макроскопические измери-
тельные приборы не позволяют различать отдельные частицы, то распределе-
ние массы в любой системе отсчета 5 описывается плотностью массы \i (x, t),
101
которую для практических целей можно считать непрерывной функцией про-
странственных и временных переменных, [х (х, t) определяется так, чтобы \idV
равнялось полной массе вещества внутри элемента объема dV в точке х и в мо-
мент времени t. Движение материи в любой точке пространства и в любой мо-
мент времени описывается вектором скорости и = и (х, t), являющимся функ-
цией от х, /. Тогда плотность потока массы равна [ли. В ньютоновской механике
масса — сохраняющаяся величина. Но в теории относительности, в соответст-
вии с формулой C.22), это не так. Когда на материю действуют силы, скорость
данной материальной частицы, а следовательно, и ее релятивистская масса из-
меняется со временем. С другой стороны, собственная масса материи во многих
случаях сохраняется, например, когда 4-сила в любой точке ортогональна
4-скорости материи, т. е. когда уравнение D.57) выполняется везде и всегда.
В произвольной инерциальной системе S плотность собственной массы
\i0, т. е. собственная масса на единицу объема в соответствии с C.22) связана
с ,а формулой
ро = цУ1-и*/с- D.198)
(jx0, как и р, функция х и t).
Теперь в определенной точке внутри материи и в данный момент времени
введем мгновенную инерциальную систему покоя S0. В этой системе D.198)
примет вид
ц° = ц°, D.199)
где все величины относительно 5° отмечены верхним индексом «О».
В системе покоя плотность собственной массы совпадает с релятивистской
плотностью массы. В отличие от \i0, \i°0 — \i°, т. е. является инвариантом. Легко
видеть, что \i0Yl — «2/с2 также инвариант, поскольку небольшое количество
материи, имеющее в 5 объем 6V, в системе 5° имеет объем 6V0, связанный с 6V
в соответствии с B.34) уравнением
бУ=81/°/1 —uV- D.200)
Тогда инвариантная собственная масса материальной частицы в обеих системах
отсчета имеет вид
№ §V = ц° &V» = ii° SV°. D.201)
Учитывая здесь D.200), получаем
—и2/с2 = ц° = invariant D.202)
или в соответствии с D.198)
jiA_m»/?*) = jxo. D.203)
Следовательно, величины в левых частях D.202) и D.203) должны быть инва-
риантны.
Пусть теперь Ф = Ф (я, t) — определенная функция от х и t в системе S.
Здесь нужно различать локальную производную по времени дФ/dt, учитываю-
щую изменение Ф за единицу времени в фиксированной точке пространства,
и субстанциональную (полную) производную йФ/сИ, учитывающую изменение Ф
за единицу времени, когда мы следуем за материей в ее движении. Соотношение
между полной и локальной производной следующее:
). D.204)
Аналогичная формула справедлива и для векторного поля а = а (х, t):
deL/dt = da/dt-{-(u-grad)a, D.205)
поскольку для каждой компоненты а справедливо уравнение D.204).
102
Теперь рассмотрим некоторое количество материи, которая в момент вре-
мени t занимает объем V, ограниченный замкнутой поверхностью /. К моменту
времени t + dt этот объем увеличится на
ndf, D.206)
где интеграл в правой части берется по поверхности f, а ип — компонента и
в направлении внешней нормали к элементу поверхности df; каждый элемент
поверхности df за время dt проходит расстояние udt и заметает объем un~dtdf.
С помощью теоремы Гаусса, D.191), уравнение D.206) можно записать в виде
dV/dt = I div u dV. D.207)
v
Это уравнение должно выполняться для каждой частицы материальной среды.
Рассматривая материю, которая в момент t находится внутри ннфинитезималь-
ного объема 8V, из D.207) получаем
(\/6V)dSV/dt-divu. D.208)
Предположим, что в данной системе собственная масса сохраняется. Тогда
для любой материальной частицы объемом б К в любой момент времени t имеем
А (^ ay) = (duJdt) 5V + [10 dbVldt = 0. D.209)
dt
Отсюда с учетом D.208) получим
, div u = 0. D.210)
Это уравнение, выражающее закон сохранения собственной массы, с по-
мощью D.204) можно привести к виду
dnofdt -f (u«grad |x0) + jx0 div u = 0,
или
xoti) = 0. D.211)
Поскольку [iou — плотность потока собственной массы, D.211) является урав-
нением неразрывности и выражает тот факт, что собственная масса в рассматри-
ваемой системе не имеет ни источников, ни стоков. Теперь с помощью D.39)
можно определить 4-скорость Ut в любой точке среды и в любое время. Посколь-
ку Ut = Ut (x) — функция пространственно-временных координат, в C + 1)-
пространстве мы имеем 4-векторное поле. Аналогично инвариантная плот-
ность массы \i°, определяемая D.199) и D.202), может рассматриваться как ска-
лярное поле в C + 1)-пространстве, при этом \i° в любой инерциальной системе
является функцией от пространственно-временных координат:
ti« = ц0(.v) f\— иЦх)/с2 = ц°(х). D.212)
Умножая скаляр \х.°/с на вектор Ut, получаем новый 4-вектор
ct-=^Ut/c, D.213)
который можно назвать 4-током плотности собственной массы. В соответствии
с D.39) и D.202) для компонент ct имеем
сг- = {[л°и/]/с2— и2, ijA0//l— и*/с2}={[1ои/с, ifi0}, D.2I4)
а уравнение неразрывности D.211) записываем в тензорной форме:
dcjfdxi = {Цс) ди° Ui/dx^O, D.215)
103
Левая часть уравнения D.215) равна четырехмерной дивергенции D.181)
4-тока плотности массы, поэтому ковариантность этого уравнения при враще-
ниях в C + 1)-пространстве очевидна.
Силы, действующие на различные области непрерывно распределенной ма-
терии, являются частично внешними, частично внутренними упругими силами
взаимодействия между соседними частицами среды. В данной главе мы прене-
брегаем упругими силами, отложив их рассмотрение до гл. 6, и имеем дело с ма-
терией в виде некогерентной пыли. Предполагаем, что внешние силы являются
объемными силами, которые в любой инерциальной системе S можно описать
плотностью силы f, определенной так, чтобы сила, действующая на элемен-
тарный объем 6V, равнялась fbV.
Теперь рассмотрим движение малой частицы объемом fiF и с собственной
массой \io6V = fx°6V°. Если Ut — 4-скорость, то 4-импульс частицы в соответ-
ствии с D.50) равен
Pi^\.i4V0Uh D.216)
а 4-сила D.54) с учетом D.200) имеет вид
—«2/c2, i(f.uNV/c/Vrl— u*/c*\--=
= {f, i(f-u)/?r}6V>. D.217)
Поскольку 6V° — инвариант, a Ft 4-вектор, величина
D.218)
т. е. плотность 4-силы тоже 4-вектор.
Пространственные компоненты /; соответствуют обычной плотности силы,
а /4 равна механической работе силы (за единицу времени и над единичным
объемом), умноженной на i/c.
Движение рассматриваемой частицы описывается уравнением D.55). Под-
ставляя D.216), D.217) в D.55), в случае сохранения собственной массы, т.е.
когда (dfdx)(\i°8V°) = 0, имеем
yPdUt/dx^fi. D.219)
Поскольку (х° и dx — инвариантны, обе части в D.219) — 4-векторы. Первые
три уравнения в D.219) — уравнения движения, а четвертое выражает закон
сохранения энергии. В соответствии с D.218) и D.39)
ftUi^O. . D.220)
Эта формула, как уже указывалось в § 4.6, существенна при сохранении соб-
ственной массы. После умножения D.219) на /7г и суммирования по i левая
часть с учетом D.41') обратится в нуль и уравнение D.219) совпадет с D.220).
Фундаментальные уравнения механики в форме D.219) справедливы лишь
в случае сохранения собственной массы (например, если некогерентная пыль
не изменяет собственную массу излучением или поглощением лучистой энергии).
В противном случае движение частицы с 4-импульсом D.216) определяется не
уравнением D.55), а уравнениями типа D.58), D.58'). Тогда обозначая
п^ = (л, icp/c),
получаем
D.222)
или
d (|г° 6V° Ut) dt = (ft + ^) 8V. D.223)
104
Очевидно, что я и <р представляют собой изменения импульса и энергии,
которые не обусловлены действием внешней силы. В соответствии с D.221) и
D.60) они образуют 4-вектор л;, удовлетворяющий соотношению
{/^-(я-и —ср)/A—и2/с2I/2=—<р°, D.224)
где ф°/с — немеханическая энергия на единицу объема, измеренная в мгновен-
ной системе покоя 5°.
Поскольку 6У° — объем частицы, a dx — дифференциал времени в систе-
ме S", уравнение D.208) в этой системе имеет вид
(\/8V°) dWVdx = ди^/дх0» = dU%/dx°k = dUjdxk. D.225)
Здесь использовано выражение D.39) для 4-скорости с учетом того, что дивер-
генция — инвариант, а компоненты и° трехмерной скорости и0 в системе S0
равны нулю. В соответствии с D.225) левую часть в D.222) можно преобразо-
вать к виду
6V° d (\i° Ut)/dx + \i° Ut ddVVdx = 6V°д (yfi Ut Uh)/dxh.
Таким образом, в общем случае имеем следующее фундаментальное урав-
нение механики для некогерентной материи:
dipOUiUJdxb^h + n^fi, D.226)
где по аналогии с D.68) введена плотность обобщенной 4-силы /*:
n = ft + nit D.227)
которая в соответствии с D.220) и D.224) удовлетворяет соотношению
ВД = —Ф°- D.228)
Уравнение D.226) можно записать в другой форме, а именно:
U ¦ д (ц° Uk)jdxk + \i° dU-Jdx = f 1. D.229)
Умножив D.225) на Uh с учетом D.41), D.4Г), D.228), получим
д(у.0ик)/дхк = ч>°[с2 D.230)
или в соответствии с D.213) и D.214)
ivnou = Ф°/с2. D.231)
Эти уравнения являются обобщениями уравнения неразрывности D.211)
или D.215), когда в системе существуют источники собственной массы. Выраже-
ние ф°/с2 для плбтности источника соответствует общей формуле Эйнштейна
C.74). Подставляя D.230) в D.229), получаем обобщение уравнения D.219)
dl, D.232)
где
di^i*i- (<PV) Ut = ft + (ft UJc*) f/(- = /t + ri;
D.233)
r, = щ + (я„ Ujc*) Ut = я,—(q)°/ca) U,,
т. e. di и rt — трансверсальные составляющие 4-векторов /* и лг соответственно.
Полная плотность действующей 4-силы d-t есть сумма плотности внешней меха-
нической 4 силы /* и реактивной 4-силы rt.
Если известна только /*, то в общем случае ее невозможно однозначно раз-
делить на механическую часть ft и немеханическую часть щ. С помощью D.228)
и D.223) можно вычислить лишь полную действующую силу dt = ft + rt и ф°,
т. е. четвертую компоненту я^ в системе покоя. Однако если мы имеем дополни-
105
тельную информацию, что я0 равен нулю, то это разделение однозначно, так
как в этом случае
щ = Ut cpVc2; я = уиф°/с2; ф = уф°; ^ = 0; ) .
причем пространственные компоненты /7 и /г- в системе покоя имеют вид
f*° = f °. (б)
В любой другой системе плотность обобщенной силы f* и ее мощность f*u су-
щественно отличны от f и f-u, так как
f* = f + cpu/c2; !*-п = Ьи + фиа/Л (в;
§ 4.19. Тензор кинетической энергии
Величина, стоящая в левой части D.226)
e,* = |ie */,*/*, D.234)
является симметрическим тензором второго ранга и называется тензором ки-
нетической энергии [160]. Следовательно, уравнение D.226) можно предста-
вить в виде
П = и + щ, D.235)
т. е. плотность обобщенной 4-силы равна дивергенции тензора кинетической
энергии. С помощью D.39), D.202) и D.203) получим следующие выражения
для компонент этого тензора:
644= — |А°с2/A — /ся) = —Цо c*lVl — uVc*= —iic2= —h, D.236)
где h — плотность энергии или, точнее, сумма кинетической энергии и собст-
венной энергии на единицу объема. Умножая D.236) на 6V, в правой части с точ-
ностью до знака получаем энергию малой материальной частицы внутри объема
6V.
Три компоненты 94A, являющиеся компонентами пространственного век-
тора, имеют вид
(Ол, е42, 943) = ±^g-2 и = j- pc* u = -i- ftu. D.237)
Аналогично три компоненты 9^4 можно представить в форме
(9«. 024, 9з4) = fcft,«//1 — иЧс* = leg. D.238)
Учитывая уравнение D.235) [см, далее D.242) и D.244)], величины
(с/1'H4ц = Ы и 9p.4/ic = g
следует интерпретировать как плотность потока энергии и плотность импульса
соответственно. Из симметрии Qih имеем равенство
, D.239)
которое выражает тот факт, что энергия h соответствует массе h/c2. Пространст-
венную часть 9цу тензора энергии можно записать в виде
0uv = |*О «ц thlY 1 — сг = ?u «v, D.240)
где g^ и «v — компоненты пространственных векторов gnu.
Величины D.237) представляют собой плотность потока энергии, поэтому
каждый столбец матрицы — компонент пространственного тензора 8^ в D.240),
т. е.
?ди. D.241)
106
можно интерпретировать как плотность потока компонент импульса g^. Поэтому
()„г. называется также тензором потока импульса. Четвертое уравнение в D.235),
выражающее закон сохранения энергии, теперь с-помощью D.236), D.237) и
D.217), D.221) можно представить в форме
dhfdt + div (hv) = cftli=;(i-и) + у D.242)
или
d\L/dt + div (jiu) = I(f -и) + ф]/с2. D.243)
Это уравнение совершенно аналогично D.231).
Плотность источника собственной массы равна ф°/с2, поэтому плотность источ-
ника релятивистской массы равна [(f-u) + <p]/c2 и также соответствует форму-
ле Эйнштейна C.74).
Тем же способом первые три уравнения в D.235), выражающие закон сохранения
импульса, запишем в виде
dg»Idt -f d%v/dxv = f • = /№ + яй D.244)
или
^/a/ + div(gBu) = fJ. D.245)
Уравнение D.245) для импульса аналогично уравнению D.242) для энер-
гии. Оно описывает перенос импульса в материальной среде, а плотность
обобщенной силы I* = f + я в этом уравнении играет роль источника импуль-
са.
Если умножить D.244) на xv и вычесть соответствующее уравнение, полу-
ченное перестановкой \i, v, получим
¦jr (gjt *v — gv xu) + -?- (e^.v'v—ev^ %) — 6UV + 6V|x = ft xv—fv *u. D.246)
at илк
Учитывая симметричность 6UV, последние два члена в левой части можно со-
кратить. Вводя плотность углового момента и момента плотности силы f*
mliv = xlxgv—xvgix; D.247)
dlxv = xllfZ~xvft D.248)
[см. D.85)—D.89I, уравнение D.246) можем записать в виде
dm^/dt + д (muv Ux)/dx% = d^. D.249)
Здесь использовано выражение D.240) для 6^. Это уравнение можно предста-
вить в форме
dm^Idt + (u grad) т^-\-т^ div и = d^,. D.250)
Умножая D.250) на 5V и учитывая D.204) и D.208), получаем
d (m^v ЩШ =¦¦ d^ 6V, D.251)
Это уравнение выражает теорему об изменении углового момента для малой
частицы материальной среды объемом 6V0.
Таким образом, симметричность тензора энергии играет очень важную роль,
поскольку симметричность его пространственной части существенна для спра-
ведливости теоремы об изменении углового момента в ее обычной форме, а урав-
нение бц.4 = 04щ т- е- D.239), является выражением теоремы Эйнштейна об
инертности энергии.
Тензор энергии удовлетворяет еще одному соотношению
Qih Uh -]l° Ut Uk Uk=-yL° c* Ut = -h° Uh D.252)
где h° — плотность энергии в системе покоя.
107
Глава
5
ЭЛЕКТРОДИНАМИКА В ВАКУУМЕ
§ 5.1. Фундаментальные уравнения электродинамики в вакууме.
4-плотность тока электрического заряда
В гл. 3 мы показали, что фундаментальные уравнения механики необхо-
димо изменить таким образом, чтобы они удовлетворяли специальному принци-
пу относительности. Уравнения электродинамики в вакууме (уравнения Мак-
свелла) не нуждаются в этом, так как, как мы увидим далее, они уже инва-
риантны относительно преобразования Лоренца [197, 198, 65, 160, 162].
Представим себе две группы физиков-экспериментаторов, которые обору-
довали свои лаборатории в двух инерциальных системах S и S' и независимо
проводят электромагнитные эксперименты. Посредством электрически заря-
женных пробных тел и магнитных компасных стрелок физики в системе S
определяют векторы электрического поля Е и магнитного поля Н как функции
координат х и /. Аналогичным способом физики в системе S' определяют век-
торы электрического и магнитного полей Е' и Н' как функции координат х' и /'.
Кроме того, обе группы физиков могут независимо друг от друга измерить плот-
ности заряда р и р' в S и S' соответственно. В данной главе мы рассмотрим толь-
ко электромагнитные явления в вакууме, где существует лишь один тип элект-
рического тока — конвективный, не касаясь электромагнитных явлений ни
в проводящих средах, ни в диэлектриках, ни в магнетиках. Следовательно,
плотности тока в S и S' равны ри и р'и', где и и и' — скорости движения зарядов
в 5 и S' соответственно. Все эти величины — определенные функции от про-
странственных и временных координат в S и S'.
В соответствии с принципом относительности уравнения полей, образую-
щихся при данных распределениях токов и зарядов, должны иметь одинаковый
вид в обеих системах отсчета. Следовательно, обе группы физиков должны в ре-
зультате своих экспериментов прийти к уравнениям поля Максвелла—Лоренца
для пустого пространства.
Таким образом, пользуясь единицами Хевисайда, в системе 5 мы должны
иметь
divH = 0; rotE + (l/<:)dH/ft = 0; E.1а)
divE--=p; rotH — (\fc)dE/dt = pu/c. E.16)
Подставив штрих над всеми величинами в E.1а) и E.16), получим уравне-
ния в системе S'. Уравнения E.1а) и E.16) совпадают с фундаментальными урав-
нениями классической электронной теории Лоренца.
Связь между и и и' дается формулой B.55), но мы ничего не знаем о связи
между р и р' или между Е, Н и Е', Н'. Однако одним из наиболее фундамен-
тальных экспериментальных результатов является тот факт, что электрический
заряд во всех физических процессах сохраняется. Это по аналогии с D.211)
можно выразить уравнением неразрывности
dp/dtf + div(pu) = O. E.2)
Оно является следствием уравнений Максвелла E.16). Очевидно, что
такое же уравнение выполняется и в системе S', т. е.
dp'fdt' + diyr(p'n') = O. E.2')
108
Связь между р ир' должна быть теперь такая, чтобы для произвольного
распределения заряда и тока E.2') было следствием E.2). Определяя в системе
S четыре величины
, ip) E.3)
и аналогичные величины s(- в системе S', уравнения E.2) и E.2') можно запи-
сать в виде
dSi/dXi = 0 E.4)
и
ds;idx'i=0. E.4')
В приложении 2 показано, что если E.4') является следствием E.4) для
всех возможных распределений заряда и тока, то st и s/ связаны соотношением
Si = <xiksk, E-5)
где aih — коэффициенты преобразования координат, связывающего системы
S я S'. Следовательно, st есть 4-вектор, называемый плотностью 4-тока, а
E.4) выражает тот факт, что дивергенция sf, равна нулю [см. D.181)].
Умножая на —1 инвариант
SiSi^s-s-, E.6)
с помощью E.3) получаем другой инвариант
Р2 A — и2/с1) = р'2 A — а'2/с2) = р02, E.7)
где р° — плотность заряда в системе покоя S0. Следовательно,
р = р°/1Л — и4/с*. E.8)
С помощью E.8) формулу E.3) можно представить в форме
si = p°Ui/c, E.9)
где Ui есть 4-скорость из D.39). Выражение E.9) аналогично выражению
D.213) для плотности 4-тока собственной массы.
Теперь рассмотрим заряд p8V элемента объема материальной среды, Если
6У° — соответствующий объем в системе покоя, то 8V = bVu]/ 1 — иУсг, что
вместе с E.8) дает»
pbV = p%V°t E.10)
Следовательно, электрический заряд элемента объема материальной
среды — инвариант. (То же самое справедливо и для полного заряда.) Эта важ-
ная теорема об инвариантности электрического заряда является, таким обра-
зом, следствием справедливости уравнения непрерывности во всех инерциаль-
ных системах. Это можно показать также с помощью следующего рассуждения.
Пусть заряженная частица с зарядом е первоначально покоится в системе S.
Под действием силы частица ускоряется, пока не достигнет той же скорости
v, что и система S' относительно S. Поскольку заряд частицы сохраняется во
время ускорения, то частица пока имеет заряд е относительно S. С другой сто-
роны, частица теперь имеет относительно S' нулевую скорость, и поскольку она
относительно S' находится в том же положении, в каком находилась первона-
чально относительно S, то заряд е' частицы относительно 5' должен равняться
постоянному заряду е относительно S. Следовательно, в любое время е' = е,
что соответствует E.10).
109
-Ну
0
if
ь в
dFt
X
z
виде
i/dxk
-if*
-if!
0
= o.
§ 5.2. Ковариантность уравнений электродинамики
при преобразованиях Лоренца. Тензор электромагнитного поля
В каждой инерциальной системе 5 определим величину Fik с помощью соот-
ношений
т. е.
E.12)
Тогда уравнения E.1а) можно записать в виде
dFih/dXl + dFJdXi + dFu/dxk = 0. E.13)
Левая часть в E.13) антисимметрична по всем трем индексам i, k, I, поэто-
му E.13) содержит лишь четыре независимых уравнения, которые получаются,
если положить (i, k, I) равными, например, A, 2, 3), D, 2,3), D, 3, 1), D, 1, 2)
соответственно. Легко проверить, что получившиеся уравнения совпадают с
четырьмя уравнениями E.1а). Поскольку уравнения E.4) выполняются в лю-
бой инерциальной системе, четыре величины^/ образуют 4-вектор. Аналогично
величины Fih образуют антисимметрический тензор, если уравнения E.13)
справедливы в любой инерциальной системе. Тензор Fth называется тензором
электромагнитного поля, а уравнения E.13) или E.1а) выражают тот факт,что
ротор этого тензора равен нулю [см. D.187)].
С учетом D.190) уравнения E.13) можно представить в форме
<ЦугР* = дР*к/дхк = 0, E.14)
где F'fk — псевдотензор, дуальный Fih. Он получается из Fik заменой в E.12)
Е-+Н, Н->—Е.
Соотношение E.11) между Fik и Е, Н совпадает с D.83), следовательно,
при пространственных вращениях векторы Е и Н преобразуются как полярный
вектор и аксиальный вектор соответственно.
В случае общих преобразований Лоренца без вращения векторов Е и Н
имеем уравнения D.84'). Эти уравнения можно записать также в виде
v 1 \
Е+ —-(v.E){(l — o2/c2I/2 — l}-|-— (vxH)
H + -^r(vH){(l-U2/c2I/2-l}-— (VXE)
w|/ _ V С
1WI/2
Следовательно, разделение поля на электрическое и магнитное, проявляю-
щееся по силам, действующим на измерительные инструменты, не имеет абсо-
лютного значения. Если, например, в системе 5 мы имеем чисто электрическое
поле, т. е. Н = 0, то в системе S', в соответствии с E.15), уже Н' Ф 0. Это ясно
и физически, поскольку существование чисто электрического поля в системе
S означает, что все заряды в 5 покоятся. Относительно системы 5' эти заряды
будут двигаться со скоростью —v. Следовательно, в S' имеет место стационар-
ный ток, образующий магнитное поле в этой инерциальной системе.
С помощью E.3) и E.12) вторую пару уравнений Максвелла E.16) можно
записать в тензорной форме
dFihIdxk = st. E.16)
НО
•Г.звая и правая части в E.16) преобразуются как 4-векторы. Ковариантность
уравнений E.16) является следствием ковариантности уравнений E.1а) и урав-
нения неразрывности E.4). Это сильный аргумент в пользу справедливости
E.16). В частности, мы видим, что член A/с) дй/dt, т. е. ток смещения Максвел-
ла, абсолютно необходим для ковариантности уравнений E.16)-
Дивергенция векторного уравнения E.16) вследствие антисимметричности
тензора электромагнитного поля равна нулю
= d2Fik/dXi dxh = 0. E.17)
Это уравнение неразрывности E.4).
§ 5.3. 4-Потенциал. Калибровочные преобразования
Уравнения E.1а) дают возможность представить векторы Е и Н в форме
H = rotA; Е=—grad<p—A/с)dA/dt, E.18)
где векторный потенциал А и скалярный потенциал ср всегда можно выбрать
так, чтобы они удовлетворяли условию*Лоренца в любой инерциальной систе-
ме:
divA + (l/c)dq>/a* = O. E.19)
Если теперь в каждой инерциальной системе определим четыре величины
А=(А, iq>), E.20)
то E.18) н E.19) примут вид
Fih = dAh/dxi—dAl/dxh; E.21)
dAl/dxi = 0. E.22)
Поскольку Fih— тензор, потенциалы следует выбрать в различных инер-
циальных системах так, чтобы Аг преобразовывался как 4-вектор. В этом слу-
чае Ai есть 4-потенциал. В соответствии с E.21) и E.22) тензор электромагнит-
ного поля равен ротору 4-потенциала, дивергенция которого равна нулю. Более
того, из D.187)—D.189) следует, что первая пара уравнений Максвелла E.13)
является следствием E.21).
При заданном Fik 4-потенциал At определяется из E.21) неоднозначно, так
как если At удовлетворяет E.21), функции
A^Ai + d^jdXi, E.23)
где г]) — произвольный скаляр, также удовлетворяют E.21).
Преобразования E.23) называются калибровочными преобразованиями,
а измеряемые величины Fik — инварианты при таких преобразованиях. Усло-
вие Лоренца ограничивает класс допустимых калибровочных преобразований.
Однако все еще остается большой произвол в выборе потенциалов Ait удовлет-
воряющих этому условию. Подстановка E.23) в E.22) дает условие для я|?
0, E.24)
Таким образом, если \|) — любое решение E.24), то А* удовлетворяет как
E.21), так и E.22), если At удовлетворяет этим уравнениям.
Подставляя E.21) в E.16), с учетом E.22) получаем
dxk=—sit E.25)
или
nAi=—st. E.26)
Любое решение уравнений E.26), удовлетворяющее E.22), дает с помощью
E.23) решение уравнений Максвелла E.13) и E.16).
111
§ 6.4. Интегральное представление 4-потеициала
Уравнение E.25) имеет форму обычных потенциальных уравнений в C+
-Н)-пространстве. Следовательно, их решение можно найти тем же методом,
что и в трехмерном пространстве 1237]. Сначала выпишем решение уравнений
E.25), предполагая, что все четыре координаты xt действительны, т. е. четы-
рехмерное пространство евклидово.
Пусть
R^Xi-x^P) E.27)
есть 4-вектор, соединяющий фиксированную точку Р с координатами xt (P)
и переменную точку с координатами xt. Если R'2 = (RtRi) — квадрат рас-
стояния между этими точками, то в любой точке xt Ф- xt (P)
= 0. E.28)
Кроме того, еслия|? (х) и ср (х) — две произвольные регулярные функции от л;
= (xt), то
Подставим в это уравнение ф = 1/R2 и проинтегрируем его по всему 4-мер-
ному пространству вне сферы C-мерной)
R* = Rt Rt = {х>-xi (P)} {xt-Xi (P)} = a2 E.29)
с центром в точке Р и радиусом а. Если в качестве переменной интегрирования
взять не xif a Rt = x-t — xt (P), то с учетом E.28) получим
где интеграл берется по четырехмерной области
i?2 = i?;^->a2. E.31)
Поскольку подынтегральное выражение в правой части E.30) является суммой
частных производных, а функция ср достаточно быстро убывает на бесконеч-
ности, то четырехмерный интеграл можно преобразовать в трехмерный инте-
грал по сфере E.29). Тогда для первого члена в правой части E.30) получим
со — + ф -М idR.dRndR,, E.32)
dRi R* Я4 dR, ) тГа«1 R* R* dRj j 2 3 4 V '
где интеграл берется по всей сфере E.29); ( )+ и ( )~ означает, что в этих
скобках
R1 = ±{ai-(Rl + R23 + RH)}l/2 = ±(at-pl)l/21 E.33>
а область изменения переменных R2, R3l R4 определяется неравенством
p2 = /?2+/?2 + /?2^fl2. E.34)
Для остальных трех членов, соответствующих k = 2, 3, 4 в правой части
E.30), получим выражения, аналогичные E.32), циклической перестановкой
индексов A, 2, 3, 4) в E.32). (Рассмотренные преобразования соответствуют тео-
реме Грина для трех измерений.) Когда а—>- 0, объем трехмерной области ин-
тегрирования в E.32) стремится к нулю как а3, и поскольку MR2 = I/a2, второй
член внутри скобок ( )± будет стремиться к нулю. Кроме того, поскольку
d(llRs)/dRk=~2Rb/R*, E.35)
используя E.33), в пределе при а ~> 0 из E.32) получаем
2cp(P) {2y а-~р{1а*) dR2dR3dRv E.36)
112
П.! Ф (Р) — значение функции ф в точке Р. Область интегрирования E.34)
является внутренностью сферы р{ = а2. Три других члена, получаемые цикли-
ческой перестановкой индексов, равны, очевидно, первому члену. Поэтому,
вводя полярные координаты, для правой части в E.30) окончательно имеем
16ф (Р)Dя/а4) f Y^Tt Pi dPi =
а уравнение E.30) принимает вид
(Р), E.37)
E.38)
где d*x = dxxdx^dx^ixA. Это уравнение справедливо для любой регулярной
функции ф. В частности, если ц> -— Л;, то, учитывая E.26), получаем формулу
E.39)
4niAl(P)=[(si/R*)dix,
с помощью которой можно вычислить At в
любой точке Р четырехмерного пространства,
когда st задано в каждой точке.
До сих пор мы считали переменные x-L
действительными. Однако в физических зада-
чах плотность 4-тока st задается не для дейст-
вительных, а для чисто мнимых значений х4,
соответствующих t < t (P). Следовательно, в
комплексной плоскости хА (рис. 13) s,- задает-
ся только на выделенном жирной линией уча-
стке мнимой оси. Поэтому, используя анали-
тическое продолжение функции st в подын-
тегральном выражении E.39), мы деформи-
руем первоначальный путь интегрирования
вдоль действительной оси в контур L вок-
руг выделенного участка мнимой оси. Тогда
выражение E.39) будет решением уравнения
E.26).
Поскольку
д A !R2)/dXi (Р) = -д A !R2)/dXi,
Плоскость
LCt(P)
-Loo.
Рис. 13.
E.40)
дивергенция At(P) с использованием формулы интегрирования по частям и с
учетом E.4) равна
4л2
E.41)
Ч(Р) J dxt J dxt R*
Таким образом, решение E.39) удовлетворяет условию Лоренца E.22).
Из E.21), E.39), E.40) и E.35) получаем следующее выражение для тензора
электромагнитного поля:
2л2 Fik (Р) = j № sh~-Rh Si)/R*] d*x. E.42)
§ 5.5. Запаздывающие потенциалы. Потенциалы Льснара—
Вихерта для точечного заряда
В формуле E.39) порядок интегрирования может быть произвольным.
Поэтому сначала будем интегрировать по х4 вдоль контура L (см. рис. 13),
считая (хъ А'.2, х3) постоянными. Если г— |х — х (Р) j — пространственное
расстояние между пространственными точками х и х (Р), соответствующими
событиям xt и Xi(P), то
R2 =-¦ г2 -f {х,-х4 (Р)У = {х,-х, (Р) + ir} {хй-х, (Р)~ir}. E.43)
113
Поэтому в комплексной плоскости х4 величина 1/R2 как функция х4 внутри
контура L имеет полюс первого порядка в точке
х4 = х4 (Р) — [г. E.44)
Поскольку подынтегральное выражение в E.39) не имеет других полюсов
внутри L, то по теореме Коши о вычетах имеем
J(st/R*)dxi=—2msi/(xi—xi(P) — ir)k=*4;(/>)-ir = nst{x,t(P)—r/c}/r. E.45)
Следовательно, потенциалы E.39) можно записать в виде
t (P) = Г (Si {x, * (P) — r/c}/r) dV, E.46)
L
где интегрирование происходит в обычном трехмерном пространстве. Функция
st берется не в момент времени t(P), а в момент t(P)—г/с, в соответствии с ко-
нечной скоростью распространения электромагнитных возмущений. Поэтому
потенциалы E.46) называются запаздывающими потенциалами. Если E.39)
и E.45) интегрировать вдоль кривой, полученной отражением L относительно
точки х4 = let (P), то найдем другое решение уравнения E.26), соответствующее
опережающим потенциалам. Однако такое решение, связывающее поле в опре-
деленной точке и в определенный момент времени с будущим распределением
зарядов и токов, обычно не имеет прямого физического применения.
Теперь рассмотрим произвольное движение точечного заряда е, координа-
ты которого Хц являются заданными функциями от времени t
у у /А /С Л7\
Тогда 4-потенциалы можно получить из E.46). Но поскольку st в E.46) при учете
запаздывания временной переменной довольно сложным образом зависит от
переменных интегрирования, легче вернуться к исходному уравнению E.39).
Сначала будем интегрировать по пространственным переменным. Тогда, учи-
тывая, что Si = 0 везде, кроме точек E.47), в соответствии с E.3) и D.39) имеем
S* 1 / 6U • \ ? / Vp1 \ l/^ {Jт г о
R2 1 1 ' 2 з № \ с ' ¦ с { с- ) R2 '
где u = (dxjdt) — скорость точечного заряда, Ut — соответствующая 4-ско-
рость, а
Все эти величины являются функциями t или чисто мнимой переменной xit
но при аналитическом продолжении их можно определять также и вне мнимой
оси плоскости х4. Поэтому из E.39) получаем
4я2 At (Р) = -у [ (l/l—uV Ui/R2) dxA. E.49)
Подынтегральное выражение опять имеет полюс в точке E.44) комплекс-
ной плоскости, и в окрестности этой точки знаменатель имеет вид R2 =
(dVdlxt — х4 (Р) + ir), где функции
Xt = 2Rh dRuldXt = 2RkUhdx/dx^ = 2Rh Uh Yl—u*lc'/ic E.50)
и r (f) берутся в точке х4 — x4 (P) + ir = 0.
С помощью теоремы о вычетах получим [160, 162]
4nAi(P) = eUt!UkRk. E,51)
Здесь Rk — 4-вектор, проведенный из фиксированной точки Р к точке пересе-
чения Q мировой линии
Xt=xt(x) E.52)
114
точечного зарядами направленного назад светового конуса
F»^RtRt = 0 E.53)
с вершиной в точке Р (Ui), также берется в точке Q.
Если г — пространственная часть 4-зектора Ru то для знаменателя в
D.51) с учетом D.39) и E.44) имеем
Yl — u°-/c- У\ — и*/с* ']/\ — u1/ci
E.55)
В результате формула E.51) примет вид
г,ч еи/с
t {P) — r/c r-j-(u ¦ г)/С
t{P)—r/c
Выражения E.55) представляют собой формулы потенциалов Льенара—
Вихерта движущегося точечного заряда. При вычислении тензора электромаг-
нитного поля Ftk (Р) в точке Р с помощью E.51) следует помнить, что собствен-
ное время т, соответствующее точке Q, является функцией координат точки Р
и определяется формулой E.53) или с учетом E.27) и E.52) формулой
\xt (T)—xt (Р)} \Xi (т)-х,-(Р)} =0. E.56)
Дифференцируя по xk (P), получаем
ИЛИ
дт!дх (Р) — R IR-U- (Ъ Ъ7)
Тогда из E.21) и E.51)
л р jp\ d / eUk \ Ri d I eUt \ Rf,
lh '~~ d-z [ UtRi I UmRm dx { UjRj ) UmRm
или, используя D.41),
dx dx I
RiUh—RkUi)- E.58)
Формулу E.58) можно получить также непосредственно из выражения E.42),
если в E.42) сначала интегрировать по пространственным переменным, а затем
вдоль контура L комплексной плоскости х4, пользуясь теоремой о вычетах и
учитывая, что функция 1/R* в точке E.44) имеет полюс второго порядка.
Поскольку в соответствии с E.58) Fik имеет форму
4я/^ = Я{аь—Я„а„ E.59)
где ui — 4-вектор, с учетом D.113) и D.14) имеем
FikFh = 0, E.60)
где F% — псевдотензор (дуальный Fitl) получается из E.12) заменой (Н, Е) -v
-+• (—Е, Н). Формула E.60) тогда совпадает с формулой
(Е.Н) = 0, E.61)
т. е. во всех ннерциальных системах электрическое и магнитное поля везде пер-
пендикулярны друг другу. Кроме того, используя E.12), E.58) и E.53), после
несложных выкладок получаем
« ^)*. E.62)
115
Следовательно, для поля движущегося точечного заряда инвариант J Н |2—
— j E |2 всегда отрицателен. Этот факт вместе с E.61) означает, что для любого
события Р всегда можно выбрать такую инерциальную систему, относительно
которой вектор магнитного поля в точке Р равен нулю. Чтобы получить Н' = О,
достаточно в E.15) положить
E.63)
E.64)
Это всегда возможно, так как в соответствии с E.61) и E.62)
§ 5.6. Поле равномерно движущегося точечного заряда
Рассмотрим в качестве частного случая поле точечного заряда, движуще-
гося с постоянной скоростью. Мировая линия такого заряда представляет собой
прямую в C + 1)-пространстве с направлением, определенным 4-скоростью
Ui. Поскольку dUikh — 0, E.58) сводится к формуле
4nFiU = (ec2f(Ue Ref) (R, Uh-Rh Ut). E.65)
Соответствующим выбором начала системы 5 можно добиться, чтобы ось
лг4 и мировая линия заряда всегда лежали в одной плоскости. На рис. 14, где
изображена эта плоскость, L — мировая
линия частицы, a Q — точка пересе-
чения направленного назад светового
конуса с вершиной в произвольной точке
Р и мировой линии. Если А — проек-
ция точки Р на L, то вектор АР с компо-
нентами х\1\ равный проекции вектора
—Ri на направление, перпендикулярное
к L, ортогонален 4-скорости Ut, по-
этому
откуда
Рис. 14.
Из E.67) и E.53) имеем
В системе покоя S' точечного заряда ось х\ параллельна
линии L, поэтому
*«U)' = (r', 0),
x\x\ E.66)
). E.67)
E.67)
и мировой
E.68)
где г' — пространственный вектор, который соединяет точечный заряд и про-
странственную точку р', соответствующую событию Р. Учитывая, что U;Ri —
инвариант, с помощью D.39), E.27) и E.44) получаем
Ui Ri = UI Ri = Ш = cr' (г' = 1 r' |) E.69)
E.70)
E.71)
в соответствии с.E.67') и E.68). Кроме того, из E.67) следует, что
— RkUi = —{x\l)Uh — xfyUi), и E.65) можно записать в виде
4nFik = (e/cr'*) (Ut xp — Ukxp).
В этом выражении вектор х\Х) всегда можно заменить вектором
соединяющим произвольную точку прямой L с точкой Р, где а - постоянная.
В произвольной системе 5 выберем теперь такой вектор xf\ чтобы л^2) = 0. На
рис. 14 этот вектор изображается линией ВР. В системе S
jtffV = (r, 0), E.72)
где г—пространственный вектор, соединяющий одновременные положения
точечного заряда и точки наблюдения Р, соответствующей событию Р. (Следо-
вательно, в данном случае вектор г отличен от вектора г в потенциалах
Льенара—Вихерта, являющегося пространственной частью вектора R(.)
Поэтому
4jcFih =-- (filer**) {Ui xp — Uk x)*>), E.73)
что с помощью E.12), E.72) и D.39) приводит к следующим выражениям для
векторов электрического и магнитного полей:
4лЕ = ; 4лН = — . E.74)
Г'3|Л—и*/с- СГ" V \. — и"-!с1
На рис. 14 видно, что оба вектора х\2) и х\1) имеют в системе S' одинаковые
пространственные компоненты г'. Поэтому связь между г' и г получается из
преобразования D.29) для вектора с компонентами х-2>=(г, 0); .tt'l2)^-(r', х\*)Г).
Поскольку скорость S' относительно 5 равна и,
г' = г + (и/и2)(и.г){1 — у \-и*{с2}1У1-и21'с\ E.75)
где
r' = {r* + (u-rJl(c*-u*)}V*. E.7б)
Разлагая векторы г и г' на параллельные и перпендикулярные составляю-
щие к и, из E.75) получаем
/-;,=/• n/Yl-^/c2; r'± = r±. E.77)
Здесь связь между гиг' соответствует лоренцеву сокращению в направлении
и [см. B.35I.
Вектор электрического поля Е параллелен радиусу-вектору г, а Н перпен-
дикулярен г и и. Формулы E.74) соответствуют выражениям E.61) и E.62).
Поверхности с постоянными значениями инварианта Е2 — Я2 являются,
очевидно, эллипсоидами вращения, так называемыми эллипсоидами Хевисай-
да, которые получаются из сфер г' = const путем лоренцева сокращения в на-
правлении движения заряда.
Выражения E.74) можно более просто получить из преобразований D.84')
для вектора электрического поля. В системе покоя точечного заряда S' элект-
рическое поле является сферически симметричным, а вектор магнитного поля
равен нулю, т. е.
АпЕ' = ег'!г'3; Н' = 0. E.78)
Поэтому из D.84') и E.78) следует:
4лЕ - (е/r'3) [г'+-V (и-г') {(l—wV)i/2_ I |
"J E.78')
= (e/c)(uxr')/r'3Vl— и2I c\
Поскольку преобразованием, обратным E.75), является
г = г' + и [(г' .и)/«2] {A —u2/c2)i/2__ 1} E.75')
[см. B.35')], подставляя его в E.78'), снова получаем формулы E.74) для элект-
ромагнитного поля точечного заряда, движущегося с постоянной скоростью.
117
Данное решение показывает, что формулы E.74) справедливы и в случае
движения с постоянной скоростью равномерно заряженной сферы. Это следует
из того факта, что в системе покоя распределение заряда сферически симметрич-
но. В этом случае г — расстояние от центра сферы, а е — полный заряд сферы.
Аналогичным образом можно определить поле «равномерно ускоренного»
точечного заряда, т. е. заряда, совершающего гиперболическое движение
(см. §3.4). При этом снова применимы два различных способа: либо непосред-
ственно использовать выражение E.58), справедливое для произвольно движу-
щегося заряда, либо ввести систему 5*, движущуюся вместе с зарядом, и решать
уравнения Максвелла в этой системе, а затем преобразовать решение к системе S.
Однако S* уже не будет инерциальной системой, и, следовательно, последний
способ требует развития общей теории относительности, позволяющей исполь-
зовать произвольно движущиеся системы отсчета. Необходимый для этого аппа-
рат будет развит в § 8.16 и 10.9.
§ 5.7. Электромагнитные силы, действующие
на заряженную материю
С помощью формул, полученных в предыдущих параграфах, можно вы-
числить поле, создаваемое произвольным распределением зарядов и токов.
Рассмотрим обратную задачу о влиянии данного поля Fik на движение электри-
чески заряженной материи. Сначала определим силу, действующую на заря-
женную частицу с зарядом е, движущуюся в заданном электромагнитном поле
со скоростью и относительно определенной инерциалькой системы S. В соот-
ветствии с методом, изложенным в § 3.4, введем инерциальную систему S0,
в которой частица в данный момент времени покоится. В системе S0 по самому
определению вектора электрического поля Е° в этой системе сила F0 должна
быть равна
F° = eE°. E.79)
Подставляя E.79) в C.43) и учитывая, что скорость 5° относительно S равна
скорости частицы и, с помощью преобразований E.15) для векторов электро-
магнитного поля легко получим лоренцево выражение для силы F в системе 5:
E.80)
Таким образом, это выражение следует непосредственно из принципа относи-
тельности, без привлечения дополнительных гипотез.
Формула E.80) получается более простым способом с помощью четырехмер-
ного представления и определения 4-силы Минковского. В рассматриваемом
случае собственная масса сохраняется, а 4-сила определяется формулой D.54).
Следовательно, в системе покоя
F? = (P, 0). E.81)
Если Ut — 4-скорость частицы, то можно ввести 4-вектор с компонентами
eFikUh!c. E.82)
В системе S0
U? = (Q, 0, 0, ic), E.83)
а компоненты 4-вектора E.82) в соответствии с E.12) равны
(e/c)F&E/2 = (eE°, 0). E.84)
Из E.79), E.84) и E.81) видно, что компоненты 4-векторов Ft и E.82) в системе
покоя равны. Но два 4-вектора, имеющие одинаковые компоненты в какой-ни-
будь системе отсчета, совпадают. Поэтому в любой инерциальной системе
Л- = (е/<0^?/*. E.85)
118
Поскольку Fik = —Fhi, в соответствии с D.57)
FtU^WFibUuUt^O, E.86)
и уравнения движения частицы с учетом D.56) и E.85)"имеют вид
т0 dUildx = (e/c) Fih Uh. E.87)
Вычисляя компоненты Ft в E.85) с помощью E.12) и D.39), получаем вы-
ражение D.54), где F определяется формулой Лоренца E.80).
Рассмотрим в заданном внешнем поле непрерывное.распределение заряжен-
ной среды с плотностью 4-тока E.3), E.9), т. е.
Si = (pu/c, ip)-p°f/,/c2. E.88)
Найдем выражение для плотности электромагнитной 4-силы ft типа D.218).
Рассмотрим в определенный момент времени определенную точку в про-
странстве, в которой заряженная среда движется с некоторой скоростью. Пусть
S" — мгновенная система покоя среды в этой точке. В этой системе s" = @, 0, 0,
гр°), а 4-вектор
Flk Sft E.89)
имеет компоненты
FtkS% = (^E°, 0). E.90)
Эти компоненты равны соответствующим компонентам D.218) плотности
4-силы в S0
f? = (f°, 0). E.91)
По определению вектора электрического поля плотность силы в системе покоя
должна быть равной
Р = (/>&. E.92)
Поэтому в любой системе координат плотность электромагнитной 4-силы долж-
на равняться 4-вектор у E.89), т. е.
fi = FikSk. E.93)
Из D.218), E.93), E.88), и E.12) немедленно получаем лоренцево выражение
для плотности силы
f = p{E + (l/c)(uxH)}. E.94)
Кроме того, вследствие антисимметричности тензора поля
U U г = Fik sk Ut = -^-Ut Fih Uk a 0, E.95)
откуда следует, что f-t имеет характер истинной механической 4-силы. Если
среда состоит из заряженной некогерентной пыли с сохраняющейся собствен-
ной массой, то уравнения движения в соответствии с D.219) и E.93) имеют вид
dT = fi = Fiksh. E.96)
§ 5.8. Вариационный принцип в электродинамике
Уравнения поля Максвелла и уравнения движения E.96) можно получить
из некоторого вариационного принципа, сформулированного Вейлем [274]
и Борном [31]. Если положить
Ftb^dAb/dXi—dAi/дХъ,
119
где Лг- —4-потенциал, то первая пара уравнений Максвелла E.13) тождест-
венно удовлетворяется. Теперь рассмотрим инвариантный интеграл
L=-A XdQ, E.97)
Ь
где
% = {-\lA)FihFik + Aisi-v.uc*^{-\lA){dAh!dxi-dAildxk?+Aisi~v!><?
E.98)
(Q — некоторая область интегрирования в C + 1)-пространстве; st — плот-
ность 4-тока и ^° — инвариантная плотность массы в системе покоя).
Сначала рассмотрим произвольную вариацию 8А( функций As (x), для ко-
торой 8At ~ 0 на границе области Q, a st и ц° остаются неизменными. Для ва-
риации L интегрированием по частям и учитывая, что &dAt/dxh --- ЬА^д
получаем
^^ y ^^ JAidQ. E.99)
Условие
6L - 0 E.100)
для любой вариации рассматриваемого вида приводит к уравнениям —
dFikldxk + Si — 0, т. е. ко второй паре уравнений Максвелла E.16).
Теперь рассмотрим вариацию, в которой Лг постоянны, а мировые линии
материи изменяются. Это значит, что в выражении E.98) изменяются только
последние два члена. Проследим за бесконечно малой частицей материи объемом
dV и рассмотрим бесконечно тонкую трубку мировых линий этой частицы. Если
т — собственное время, a xt = xt (т) — координаты частицы, то
st = р° UJc = ((file) dxjdx.
В качестве Q в E.97) выберем часть этой трубки, для которой rt < т < т2>
и определим вариацию мировой линии, удовлетворяющей условию 8xt = 0 при
т = Tj, т = т2. Поскольку
dQ = (l/i)dKdx4 = cdV°dT; dx = (Hc)(—dxidxifi\
где dP — объем частицы в системе покоя,
= Г (At pO
2
= de С Лг rf^ — dm0 с2 С (—dxf d^I/2. E.101)
l l
Здесь dm0 = ii°dV° н de ~ p°dV° — масса покоя и заряд частицы соответствен-
но — величины, не изменяющиеся вдоль трубки.
Для вариаций интегралов в E.101), вызванных вариацией 6a-j (т) рассмат-
риваемого вида, интегрированием по частям и учитывая, что d&xt = §dxit полу-
чаем
2 2 2
б J At dxt - J FЛ, сГхст-Л, 6dx,-) = 5[(-5Л;/ед бх,ч cixf + At
E.102)
120
J J 2
J J 2 (— dxi dxf) v "***
E.103)
Тогда из E.98), E.101), E.102) и E.103) для вариации L имеем
^- F,fc t/fc —ц° dt/,-/dT^ 6jcj dK0 dx =
= с f (ft — ^° dt/i/dx) бхг dV0 dx. E.104)
Таким образом, условие 6L = 0 приводит к уравнению
т. е. к уравнению движения E.96) заряженной некогерентной материи.
§ 5.9. Электромагнитный тензор энергии
Теперь покажем, что с помощью уравнений Максвелла плотность 4-силы
E.93) можно представить в форме дивергенции симметрического тензора. Под-
ставляя E.16) в E.93), получаем
_ d(FgFih) dFu
fi — Fiisi = FH—— — —i lk.
дх/i oxh дхь.
Используя E.13) и учитывая антисимметричность Fih, имеем
dFu г _ dFhi p _ 1 | dFu | dFM \p =
k "' dxi lk 2 \
dxk dxi 2 V dxh
1 &Fik n 1 tP P \
— „ з flh~ : а У? lh rlh)-
2 дх^ 4 dxi
Таким образом,
/t — *-**-> ik! k' W' ^^^/
Гпр С _ Г /Г Л //Г Е4 \/4 /S 10fi^
Согласно правилам тензорного исчисления, Sjk — симметрический тензор
удовл етвор яющ и й тождеств у
§.. = р р. /р р )^0. E.108)
Учитывая в E.106) формулы E.11), найдем выражения компонент этого
тензора через компоненты векторов электрического и магнитного поля:
SnV=— ^v, E.109)
где
f , = ?¦ Е-^-Н Н 1/2 (Е2 А- Н2) б E 110)
— тензор напряжений Максвелла.
Далее,
Sn4 = S4»i-=(i/c)Sn, E.111)
где вектор S с компонентами S.t представляет собой вектор Пойнтинга:
S = c(ExH), E.112)
121
и, наконец,
S44 = — W, E.113)
где
Г = (?2 + Я2)/2 E.114)
- плотность энергии электромагнитного поля.
Тогда уравнение E.105), где i = 4, можно записать в виде
/4=(i/c)(f-u)=—(i/c)divS + (l/ic)aw/A; (f-u) + divS + dlP/ft = O, E.115)
который выражает закон сохранения энергии, если W и S интерпретировать как
плотность энергии поля и плотность тока соответственно. Интегрируя уравне-
ние E.115) по конечному объему V в пространстве, ограниченном фиксирован-
ной поверхностью, и применяя теорему Гаусса, получаем
—~ f WdV = j Sndf + j(f.u)dV, E.116)
v / v
где 5П — компонента вектора S вдоль внешней нормали элемента поверхности df.
Таким образом, уменьшение энергии поля внутри V за единицу времени равно
выходящему потоку энергии поля через поверхность / плюс полная работа
электромагнитных сил внутри V.
Для i — 1, 2, 3, имеем
U = dt^jdxv—diSiJc^ldt. E.117)
В статическом случае последний член равен нулю и E.117) в точности сов-
падает с максвелловским выражением для плотности силы в веществе се =
Рассмотренный вывод принадлежит Минковскому [160, 1621. Как указы-
вал Абрагам [1, 5], вектор
g-S/c2 E.118)
следует интерпретировать как плотность электромагнитного импульса, если
потребовать сохранение импульса для замкнутой системы. В самом деле, ин-
тегрируя E.117) по внутренности замкнутой поверхности /, в которой содер-
жится вся система, получаем
UdV=—d^gdV[dt, E.119)
поскольку J (dtfi.Jdx^dV можно преобразовать в интеграл по поверхности, где
поле, а следовательно, и /^ равны нулю. Левая часть в E.119) представляет
собой полную силу, действующую на материю, и равна увеличению механи-
ческого импульса за единицу времени, dGm/dx. Таким образом E.119) можно
записать в виде
Поэтому, чтобы получить постоянство полного момента, мы должны величину
J gdV считать электромагнитным импульсом. Отсюда следует, что плотность
электромагнитного импульса равна S/c2 + С, где С—постоянная. Но посколь-
ку g должна исчезать вместе с полем, С = 0.
Теперь, определяя скорость распространения электромагнитной энергии
формулой
E.120)
для плотности механического импульса по аналогии с выражением D.239)
можно записать
E.121)
122
Эта аналогия будет полной, только если скорость w, определяемая E.120),
удовлетворяет условию w ^ с.
Для плоской электромагнитной волны (Е-Н) — 0 и Е — Н; тогда
w = | s \/W = 2cEHJ(E* + Я2) - с,
i.e. энергия в такой волне распространяется со скоростью света.
Для поля произвольно движущегося заряда, учитывая E.61) и E.62),
имеем
(Е.Н) = 0; ?/// = «> 1,
т. е.
w = 2сЕЩ{Е% + Н-) = 2са/( 1 + а2)< с.
§ 5.10. Полный тензор энергии
Если в уравнении движения D.235) некогерентной среды с сохраняющей-
ся собственной массой использовать формулу E.105) для выражения плотности
электромагнитной 4-силы, то законы сохранения энергии и импульса для систе-
мы, состоящей из материи и электромагнитного поля, примут форму
dTik/dxh = 0, E.122)
где
E.123)
полный тензор энергии системы. Компоненты этого тензора получаются из
компонент Qik и Sih (см. § 4.19 и § 5.9). Имеем
«V—*nv E.124)
Здесь /j^v — тензор напряжений Максвелла, и
T4|A = Vc E.125)
где S = uja0c2/yrl—«г/сг + с (Е хН) —плотность потока полной энергии.
Далее
Tw = icg^, E.126)
где
g = Mo u//l - и8/с2+ (Е X Н)/с
— плотность полного импульса системы.
И, наконец,
Г44 = ft, E.I27)
где h = \L0(?/y I — trie" -г (?2 + Н2)!2 — плотность полной энергии.
С учетом E.108) и D.202) сумма диагональных компонент этого тензора
равна
Гг.,.-е„ = —ii0c2/l-w2/c2--A?- E.128)
Глава
6
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ЗАМКНУТЫХ СИСТЕМ.
МЕХАНИКА УПРУГИХ СРЕД. ТЕОРИЯ НОЛЯ.
§ 6.1. Законы сохранения для замкнутых систем
В гл. 5 мы рассматривали движение некогерентной заряженной материи
под действием электромагнитных сил. 4-Вектор /ь описывающий эти силы, мы
представляли в виде дивергенции тензора, который сам являлся функцией пе-
ременных электромагнитного поля. Принцип относительности требует, чтобы
все сигналы распространялись со скоростью, меньшей или равной с. Поэтому
мы не можем принять идею Ньютона о силах, действующих мгновенно на ко-
нечных расстояниях в пространстве. По-видимому, следует предположить, что
все силы взаимодействия между материальными телами, как и электромагнит-
ные силы, передаются посредством промежуточного поля. Таким образом, в
общем случае полагаем по аналогии с E.105), что все виды сил можно описать
плотностью 4-силы fi, являющейся дивергенцией некоторого тензора Sfk, за-
висящего от переменных промежуточных полей. Тогда для замкнутых систем,
состоящих из вещества и полей, способом, описанным в § 5.10, получим законы
сохранения энергии и импульса в форме
dTik/dxk = 0, F.1)
где Tik — полный тензор энергии замкнутой системы. Физический смысл ком-
понент Гц4 и Г4Aтотже, что и в E.125), E.126), E.127), т. е.
r^ = (i/c)S^, F.2)
где S — плотность потока энергии, и
^4 = icg^; 7^=-ft F.3)
(g и h — плотности полного импульса и энергии соответственно). Это спра-
ведливо для любой замкнутой системы, в том числе и для упругих сред.
Уравнения F.1) для i — 1, 2, 3 можно записать в виде
+ dgtL/dt = O, F.4)
представляющем собой закон сохранения импульса в дифференциальной форме.
Г^ называется тензором напряжений или тензором потока импульса (см. § 4.19).
Аналогично уравнение F.1) при i — 4 представляет собой уравнение неразрыв-
ности для энергии (закон сохранения энергии)
divS-i- dhfdt = O. F.5)
Полный тензор энергии для замкнутой системы должен быть симметрическим,
т. е.
Тгь — ТЫш F.6)
Пространственная часть этого равенства существенна для выполнения закона
сохранения углового момента (см. § 4.19 и 6.2), и если этот закон справедлив
в любой инерциальной системе, то F.6) должно выполняться и для пространст-
венно-временных компонент, т. е.
TW4 = T№ F.7)
124
или с учетом F.2) и F.3)
g = S/ca. F.8)
Определяя скорость распространения энергии и* в системе, как и в случае
электромагнитного поля E.120), имеем
u* = S/h. F.9)
Равенства F.7) или F.8) можно записать иначе:
g - u*h/c2. F.10)
Это выражение формально совпадает с уравнением D.239) для плотности меха-
нического импульса и тем самым показывает, что плотность энергии соответст-
вует плотности массы:
\i = h/cK F.11)
Следует заметить, что скорость и*, определяемая в F.9), может быть больше с,
и даже если и* меньше с, то лоренцевы преобразования для и* в общем случае
уже не будут соответствовать преобразованиям B.55) для скорости материаль-
ной частицы. Кроме того, плотность энергии h может быть и отрицательной и
соответствовать, таким образом, отрицательной плотности массы h/c2.
Определяя в каждой системе координат четыре величины S;, где
S? = (S, ich) = cTJ\, F.12)
из F.5) в каждой системе координат имеем
dSi/dXi = 0. F.13)
Однако величины S,- не преобразуются как компоненты 4-вектора. Если пред-
положить, что А >• 0 и и* <С с, то
SiSi^S2—c2h2<0. F.14)
Тогда в каждой системе координат можно определить четыре величины ?/*,
аналогичные 4-скорости частицы:
—ыг/с2}- F.15)
Эти величины преобразуются как компоненты времениподобного 4-вектора
тогда и только тогда, когда скорость и* преобразуется как скорость частицы.
Найдем условие, которому в этом случае должен удовлетворять тензор
Tib.. Поскольку
1/1— и*2/с2 -/1 — S2/h2c* =(
то
I/2' F.16)
Рассмотрим бесконечно малые преобразования Лоренца
связывающие пространственно-временные координаты двух инерциальных
систем S и S'. Из формул преобразования для тензора имеем
Тогда, учитывая F.12), находим, что
5ь + (с/Пе„ь7\.-; 1
F.17')
125
Раскладывая F.16) в ряд по &ih с учетом F.17) и пренебрегая членами по-
рядка выше первого, получаем
Следовательно, для того, чтобы U* преобразовывалась как 4-вектор, тензор
Tik при i — 1, 2, 3 и любых k должен удовлетворять условию
Я*-ГЛ + Г„1/?1да = 0. F.19)
Для i = 4 уравнение F.19) тождественно удовлетворяется. Это условие также
и достаточное. В самом деле, если F.19) выполняется в S, то
Vf = U* + eihUL F.20)
Тогда Rik при переходе от S к S' преобразуется как тензор, и F.19) справедли-
во и в системе S'. Поскольку конечное преобразование Лоренца можно рас-
сматривать как бесконечную последовательность бесконечно малых преобра-
зований Лоренца, то F.19) можно считать общим условием, которому должен
удовлетворять тензор Tik, чтобы скорость энергии и* преобразовывалась как
скорость частицы.
В общем случае тензор энергии физических систем не удовлетворяет усло-
вию F.19). Существует однако, несколько случаев, когда это условие выпол-
няется. Например, для системы, состоящей из некогерентной материи, на кото-
рую не действуют внешние силы, Tih = QUl = \i°UiUhf т. е.
= I ih H ; = M- "i Uк +
В этом случае скорость распространения энергии совпадает со скоростью
среды. Однако для упругой среды, как мы увидим в § 6.4, условие F.19) в об-
щем случае не выполняется. Далее, в § 7.8 мы встретимся с другим важным слу-
чаем, когда по физическим причинам условие F.19) должно выполняться.
§ 6.2. 4-Импулье, 4-тензор углового момента
для замкнутых островных систем
Если
gt = Tw'ic = (g, i Л/с), F.21)
то условие симметрии F.7) можно записать в виде
gi = St/c* F.22)
и из F.13) для замкнутой системы
dgt/dx^O. F.23)
Следует помнить, что величины gt и 5г не являются 4-векторами.
Теперь рассмотрим островные системы, т. е. такие системы, для которых за
пределами некоторой области физического пространства в любой момент вре-
мени Tih = 0. Если умножить F-1) на dxxdx%dx^ и проинтегрировать по всему
физическому пространству при постоянном х4, то первые три члена в F.1),
являющиеся частными производными ГЦу от пространственных координат
хч, обратятся в нуль. Следовательно, получаем уравнение d ] T^dV/dXi = 0,
которое показывает, что четыре величины
idV=(G, Ш/с) F.24)
126
для островных замкнутых систем не изменяются со временем. G и Н представ-
ляют собойТполный импульс и полную энергию системы соответственно. Ве-
личины Gt преобразуются как компоненты 4-вектора (вектора 4-импульса).
Это можно показать следующим образом.
Пусть cti — произвольный постоянный 4-вектор. Тогда 4-вектор
F.25)
в соответствии с F.1) удовлетворяет уравнению
= 0. F.26)
Умножим F.26) на dQ = (l/'^dxidx^ixs/dx^ и проинтегрируем по конечной об-
ласти Q в C + 1)-пространстве, тогда с помощью обобщенной теоремы Гаусса
получим
0 = § (dbk/dxk) dQ = \ ebh d2fc, F.27)
2
где 2 — трехмерная граница области Q.
Поскольку исследуются ограниченные
системы, то в области C + ^-простран-
ства, в которой Т(ъ отличен от нуля,
совокупность мировых линий системы
образует мировую трубку с конечным
поперечным сечением в пространствен-
жшодобных направлениях.
Рассмотрим две произвольные ко-
ординатные системы S и S' в C+1)-
пространстве и две гиперплоскости 2Х
и 22, определяемые условиями д-4 =
= const, x'A = const соответственно, с
произвольными значениями этих по-
стоянных. В качестве Q выберем об-
ласть, ограниченную гиперплоскостями
2Ь 22 и цилиндрической гиперповерх-
ностью 23, ограничивающей мировую
трубку, в которой Tih^0 (рис. 15). Таким образом, трехмерная гиперповерх-
ность 2 состоит из трех частей 2Х, 22 и 2 3. На гиперповерхности J ebkd2h = 0,
так как на ней Tik ~ 0, bh = 0. Следовательно, из F.27) получаем
Рис. 15.
F.28)
Оба интеграла в F.28) инвариантны и могут быть вычислены в любой системе.
Вычислим первый интеграл в системе 5, а второй в S'. Если предположить, что
события в 22 происходят позже, чем события в 2lf то внешняя нормаль к 2Х
ориентирована в отрицательном направлении временной оси, и в соответствии
с D.195) для первого интеграла Ы1,к = @, 0, 0, idx1dx2dxa). Поэтому
bk dSfe =
(xlt л'
„,
dx3
F.29)
(При интегрировании х4 считаем постоянным.)
Для второго интеграла аналогичным образом получаем
;, x't, x's, x't) dx\ dx\ dx's.
F.30)
127
Подставляя F.29) и F.30) в F.28), находим, что f b^dV' = J b'\dV', или с учетом
F.25), F.21) и F.24)
aiGi = a'iGri = invariant. F.31)
Поскольку эти уравнения должны выполняться для любого постоянного векто-
ра <2j, связь между Gt и G/ определяется формулой преобразования для
вектора
Gl = aihGk. F.31')
При доказательстве векторного характера величины Gt было существенно,
что тензор Tih всюду регулярен. Если Tih имеет сингулярность на некоторой
мировой линии, то эту линию можно исключить из области Q с помощью некото-
рой поверхности 24, которая затем даст вклад в интеграл J ebkd1,k в уравне-
нии F.27).
Поскольку Gt — вектор, Gfii — инвариант. Следовательно, теперь по
аналогии с D.51) можно определить полную собственную массу Мо системы
уравнением
«. F.32)
Далее, из F.1) и F.6) имеем
lTil = Tlii-Tik = 0. F.33)
Интегрируя это уравнение по всему физическому пространству с учетом огра-
ниченности системы и используя теорему Гаусса, получаем d j (хгТк4 —
— х-кТи) dV/dx4 -- 0, откуда следует, что шесть величин
V=-Mki F.34)
не изменяются со временем. Этот результат существенно зависит от симметрич-
ности тензора энергии. Методом, аналогичным тому, который применялся при
доказательстве векторного характера G,, можно доказать, что величины Mik
преобразуются как компоненты антисимметрического тензора — 4-тензора угло-
вого момента относительно начала координат.
Пространственная часть этого тензора М^ в соответствии с D.101) дуаль-
на к аксиальному вектору
M=Jj(xxg)dV, F.35)
который представляет собой постоянный вектор полного углового момента
замкнутой островной системы.
§ 6.3. Центр масс*
Можно предположить, что для любой физической системы G,- есть времени-
подобный вектор, так что масса Мо, определяемая формулой F.32), действитель-
ная величина. В этом случае всегда можно найти инерциальную систему S° —
систему покоя, в которой полный импульс G0 = 0. Тогда, учитывая F.32), для
компонент Gt в 5° имеем
С? = @, 0, 0, \Мйс). F.36)
Как и для материальной частицы, скорость и системы покоя S0 относительно
системы S равна
* F.37)
* См. 196, 192, 201, 166, 17].
128
В механике Ньютона центр масс системы с плотностью массы ц = ц (xt)
определяется как точка, радиус-вектор которой равен
x,t)xdV, F.38)
где М — \ \idV — полная масса системы. В релятивистской механике плот-
кость массы связана с плотностью энергии уравнением F.11). Тогда центр масс
системы можно определить уравнениями F.38) и F.11). Точка, определяемая
таким способом, зависит от системы координат, используемой при вычислении
интегралов в F.38), т. е. каждая инерциальная система имеет свой собственный
центр масс С (S). В системе S радиус-вектор этой точки X (C(S)} = X (S)
определяется в соответствии с F.38), F.11) и F.24) формулой
(x,t)xdV. F.39)
Для островной замкнутой системы из F.23) получим, что в каждой системе
координат д (giXk)ldXi—gibih=gh, и при интегрировании по всему физическому
пространству -^ {giXhdV = Gk. Поскольку Я не зависит от времени, при k =
1, 2, 3 это уравнение показывает, что центр масс, определяемый в F.39),
движется относительно 5 с постоянной скоростью c2G/H, т. е. с той же скоростью
и, что и система покоя S°. Следовательно, все центры масс С (S) покоятся в си-
стеме S°. Особую роль играет точка С° — С E°), т. е. центр масс в самой системе
покоя; С (S0) можно назвать собственным центром масс. Если X; = (X, Х4) —
пространственно-временные координаты собственного центра масс С0 в произ-
вольной системе координат, то Х< = Xt (т) — линейные функции от собст-
венного времени т этой точки. Кроме того, если Uг = dXtldx = {u/]/l — иг1с2,
|с/]Л — w4c2} есть 4-скорость С0, то из F.37) имеем
Gt = MbUt. F.40)
Следовательно, зависимость полного импульса системы Gt от скорости
собственного центра масс такая же, как и для материальной частицы.
Теперь, определяя 4-тензор относительного углового момента тгь относи-
тельно собственного центра масс
iUi-Xi)Sk-D-^u)gi}dV=Mik-(XiGh~GiXk) F.41)
и дифференцируя его по х4 и т, с учетом F.40) получаем dmik/dxi = 0;
<fmJft/dT=—?/^ + ?4^ = 0.
Следовательно, два пространственных вектора тип
v , F-42)
mw m3i)
не изменяются при движении. Поэтому в F.41) можно положить х4= Х4 и
с помощью F.42) и F.41) получить
—п/с=
F.43)
Таким образом, m — вектор относительного углового момента относитель-
но центра масс, т. е. внутренний угловой момент, а —п/с — момент массы отно-
сительно той же точки. Решение второго уравнения относительно X дает
F.44)
где X E) и X (S°) = X— одновременные радиусы-векторы центра масс С (S)
и собственного центра масс С (S0) соответственно.
5 Зак. 1174 129
Из F.44) видно, что различные центры масс совпадают только тогда, когда
п, а поэтому и m,-fe равны нулю в любой инерциальной системе, т. е. если рас-
сматриваемая физическая система не имеет внутреннего углового момента. Для
системы S0 уравнение F.44) принимает вид
п° = 0 или /п°4-0, F.45)
так как, по определению Х° = Х° (S0). Это условие эквивалентно ковариант-
ному уравнению
= 0, F.46)
что видно из F.36), если F.46) записать в системе S0. Это уравнение ковариант-
ным образом выражает тот факт, что собственный центр масс является центром
масс в своей собственной системе покоя.
Если пространственные оси в S и S0 имеют одинаковую ориентацию, то
с помощью формулы преобразования D.84) для антисимметрического тензора
и F.45) получаем
W, F.47)
где v = —и — скорость системы S относительно S0 и т° — внутренний угло-
вой момент в системе покоя.
Разница между одновременными положениями центра масс в S и соб-
ственного центра масс определяется в соответствии с F.44) и F.47) не завися-
щим от времени пространственным вектором
a (S) = X (S)—X = —сЩН = (m° x v)/M0 c\ F.48)
где мы использовали соотношение Н — M0c2/Vl — u2Jc2 = M°c2lY *
следующее из F.40). Поскольку переход от S к S0 определяется преобразованием
Лоренца без вращения, а вектор а перпендикулярен относительной скорос-
ти v, расстояние между этими двумя центрами в системе покоя 5° также оп-
ределяется формулой F.48). В системе покоя S0 все центры масс С (S) полу-
чаются при варьировании S или v в F.48) и образуют двухмерный круглый
диск, перпендикулярный вектору углового момента т° с центром в собствен-
ном центре масс С0 и радиусом
p = |m°|/Afoc. F.49)
В нерелятивистском пределе, при с-> оо, радиус диска стремится к нулю
и остается только один центр масс — ньютоновский центр масс. Но в реляти-
вистском случае имеет место не один центр масс, а геометрическое место центров
масс, т. е. вышеупомянутый диск с центром в собственном центре масс. И только
в отсутствие внутреннего углового момента в системе радиус диска F.49) равен
нулю. В действительности для всех макроскопических систем радиус F.49)
очень мал по сравнению с размерами системы. Например, для Земли
» 10 >f. ' F.50)
Для систем с размерами атомного порядка радиус диска центров масс срав-
ним с размерами системы.
Теперь можно сделать определенные выводы о размерах системы с данными
внутренним угловым моментом т° и собственной массой Мо. Рассмотрим про-
извольную физическую систему, которая в системе покоя 5° целиком лежит
внутри сферы с центром в собственном центре масс С0 и радиусом г, т. е. систему,
для которой все компоненты тензора энергии вне сферы равны нулю. Если,
кроме того, плотность энергии h положительна в любой системе отсчета, то
весь диск центров масс должен лежать внутри сферы, так как произвольная
точка С (S) диска, являющаяся центром масс в системе координат S, должна
лежать внутри физической системы, поскольку h положительна. Отсюда
r^p = \tnP\IMoc, F.51)
130
т, е. система с положительной плотеюстью энергии и с данными внутренним
угловым моментом т° и собственной массой покоя Мо, в соответствии с F.51),
всегда имеет конечные размеры. Если размеры системы меньше р, то h не может
быть положительной во всех инерциальных системах.
§ 6.4. Фундаментальные уравнения механики унругих сред
В §4.18 и 4.19 мы исследовали механику некогерентной материи, движу-
щейся под действием данных внешних сил. Теперь рассмотрим механику упру-
гой среды в отсутствие внешних сил. Единственными силами в такой среде
будут силы упругости между соседними частицами, обусловленные деформа-
цией материи. Следовательно, мы имеем дело с замкнутой системой, являющей-
ся частным случаем систем общего вида, рассмотренных в § 6.1. Поэтому пол-
ный тензор энергии Tih исследуемой механической системы должен удовлет-
ворять уравнениям F.1)—F.11). Однако механический тензор энергии, как мы
айчас увидим, имеет в данном случае особенно простые свойства.
Если рассмотренные в § 4.18 силы были объемными, то силы упругости —
поверхностные и имеют поэтому совершенно другую природу. Рассмотрим в оп-
ределенной точке р трехмерного подпространства, пространства Минковского
инфинитезимальный поверхностный элементе!/ с нормалью, определяемой еди-
ничщм вектором п. Каждая сторона этого элемента испытывает действие силы,
пропорциональной dt. Пусть
dt(n) = t(n)d/ F.52)
— сила, действующая на сторону, к которой направлена нормаль. Тогда, по-
скольку действие и противодействие равны, сила t(—n)df, действующая на
другую сторону элемента, должна быть равна —t (n)df.
Компоненты t^ (п) силы t (n) являются линейными функциями компонент
л,,, т. е.
^(п) = ^пу. F.53)
Поскольку ty. (п) и nv — компоненты 3-векторов, величины t^ преобразуются
при вращениях декартовых осей как компоненты 3-тензора. Тензор упругих
напряжений t^ иногда называется относительным тензором напряжений, в про-
тивоположность пространственной части Гцг полного тензора энергии Tih,
которая называется абсолютным тензором напряжений [134, 135].
Полная упругая сила F, действующая на материю, находящуюся внутри
замкнутой поверхности /, равна J t (n)df = Г dt (n), где n — направленная
внутрь нормаль к элементу df.
Компоненты F^ с учетом F.53) и с использованием теоремы Гаусса D.196)
равны
F» = J t»x nv df = — \ (dt^ldxy) dV, F.54)
f v
где интегрирование происходит по внутренней стороне замкнутой поверхности
/. Теперь можно определить плотность f упругой силы так, чтобы выполнялось
условие
ldV. F.55)
v
Сравнение F.54) и F.55) показывает, что
%= ~dtvVIdx4. F.56)
5* 131
Теперь движение инфинитезимальной частицы материи с объемом оУ описы-
вается уравнениями
7 F.57)
где g — плотность импульса, a dldt — субстанциональная производная по вре-
мени. С помощью D.205) и D.208) получаем
d
где uv — компоненты вектора скорости и среды в данной точке и в данный мо-
мент времени. Из F.57) и F.58) находим, что
dg^/dm-d{gViuv + tllv)/dxv = O. F.59)
Закон сохранения импульса выражается также уравнением F.4). Поэтому
имеем следующее соотношение между абсолютным и относительным тензора-
ми напряжений:
v. F-60)
Чтобы найти явное выражение для плотности импульса, воспользуемся соот-
ношением F.8) между g и потоком энергии S:
g = S/c2. F.61)
Полная работа упругих сил, действующих на материю внутри замкнутой по-
верхности / в единицу времени,
А = J t (n) u df = J ^v nv и» df = — J (д (и№ ^v)/^v) dV,
f f к
где интегрирование в последнем выражении происходит по внутреннему объе-
му V поверхности /. Следовательно, работа, произведенная над инфинитези-
мальной частицей материи, заключенной в объеме 8V, равна
6Л = —(а («д t^/dxv) dV. F.62)
Она вызывает увеличение энергии внутри 8V, т. еЛ
d(h8V)fdt = 8A, F.63)
где А — полная плотность энергии, включая и упругую энергию. Левую часть
в F.63) можно преобразовать к виду d {hbV)/dt = (dhldt -f uvdh/dxv)8V -f
+ h6Vduv/dxv = {dh/dt -\- д (huv)/dxv}5V. Тогда с учетом F.62) получаем
уравнение
dh/dt + d{huv + ulltllv)/dxv = 0. F.64)
Сравнивая F.5) и F.64), находим, что
-t), F.65)
где (u-t) — пространственный вектор с компонентами (u-t)v = u^t^. Таким
образом, кроме конвективного потока /ш существует дополнительный перенос
энергии, обусловленный работой упругих сил. Скорость переноса энергии F.9)
равна u* = u + {\x-t)lh Ф и. Из F.61) и F.11) теперь получаем формулу для
плотности полного импульса
-^u + (u-t)/c2, F.66)
132
где ji = hlc2 — плотность полной массы, включая и массу упругой энергии. Из-
за наличия величины (u-t) в F.66) направление вектора плотности импульса
в общем случае уже не совпадает с направлением движения материи. Поэтому
gv«M ф g^Uv- Поскольку для выполнения закона сохранения углового момента
требуется, чтобы Т^, = 7"V(i (см. § 6.2), из F.60) и F.66) следует, что ^v —
-tw ~ —^«v + gv"n = {—(u-t)n«v + (u-t)v«^}/c2=^ 0, т. е. относитель-
ный тензор напряжений несимметричен. Только в системе покоя материи S0
в рассматриваемой точке, где и0 = 0, из F.60), F.65) и F.66) имеем
t }iv = 1 jjiv = 1 vu = fv|i, 'Ьд = Яц~ 1 ц4 — U, 1 44— —«и> @.07)
где А0 — плотность энергии покоя.
Механический тензор энергии удовлетворяет уравнению
TtbU^-hPUi, F.68)
где Ut — 4-скорость материи. Справедливость этого ковариантного уравнения
следует из F.67), если F.68) записать в системе покоя, где Щ ~ @, 0, 0, \с).
Соотношение F.68) является характеристикой чисто механического тензора
энергии. Оно содержит уравнение D.252) как частный случай.
4-Импульс инфинитезимальной частицы материи объемом W = 6Т° A —
— M2/c2I/f2 равен
6Gt = (gn 6V, i hbVIc) = gt 8V. F.69)
В противоположность 4-импульсу некогерентной материи 6G/ упругой среды
уже не будет 4-вектором. Полагая
I
( dxv с dxv
уравнения F.57) и F.63) можно записать в виде одного 4-компонентного
уравнения
d8Gi/dt = fi8V, F.71)
или
ddGi/dx^JidV0. F.71')
Упругие силы — чисто поверхностные силы вида F.52). Как мы увидим далее,
сила dt (п) — истинная механическая сила, преобразующаяся в соответствии
с C.40). С другой стороны, F.71) и F.71') показывают, что действие упругих
сил можно также описать плотностью объемной 4-силы /,-. Однако f не являет-
ся плотностью истинной механической силы, подобной той, что рассматрива-
лась в §4.18. /4 не равна Ни/с, а Д- даже не 4-вектор, в противоположность
плотности обобщенной 4-силы, рассмотренной в §4.18, 4.19.
Из Т^ь можно образовать скаляр
UiTihUhlc' = mToikUllci=-T\A = ho{x), F.72)
где h° (x) — инвариантная плотность энергии покоя, которая считается ска-
лярной функцией координат (xt) в S. Кроме того, с помощью тензора
Д/* = в№+?/,г/А/сг, F.73)
удовлетворяющего соотношению
f/,Alk = Art?/fc = O, F.74)
можно образовать симметрический тензор
Sik — AnTimAmk = Ski, F.75)
133
ортогональный к Ut:
UtSih = SihUh = 0. F.76)
Подставляя F.73) в F.75) и учитывая F.68), F.72), получаем
S^T^-hoUiUJc2. F.77)
В системе покоя 5°, где U\ = ic6i4, а Т% определяется выражением F.67),
компоненты Sik следующие:
5Jiv = T'Jiv — ^Jiv'i 5/4 = S!j/ = 0, F.78)
Выражение F.77) можно представить также в виде
Tth = etk + Sih, F.79)
где
et^hPUtUjc^vbUtUb F.80)
есть тензор кинетической энергии D,234), а
— плотность массы в системе покоя, включающая и массу, соответствующую
упругой энергии. Соотношение F.79) показывает, что механический тензор
энергии состоит из двух частей: кинетического тензора Qik и «потенциальной»
части Sik- Как мы увидим далее, Sik полностью определяется относительным
тензором напряжений t^. Поэтому Sik назовем 4-тензором напряжений. Урав-
нения F.1) можно теперь представить в форме
dQihIdxh^it F.82)
где
F.83)
Следовательно, действие упругих сил описывается 4-вектором /*, определяе-
мым формулой F.83) и являющимся плотностью обобщенной 4-силы, так как
^ + Sihd^ = Sik Uti h ф 0. F.84)
Здесь мы использовали F.76) и ввели обозначение
Aiih = dA(x)/dxk F.85)
для частной производной по координатам от функции А (х). По аналогии
с D.230), D.232) и D.233) фундаментальные уравнения F.82) или F.1) эквива-
лентны уравнениям
(№)„, = фо/с2= -UJ*fc'= -SikUiih/c'- F.86)
l^dUi/dx^di- F.87)
dt = (ri)± = n + (nUh)Ut!c*. F.88)
Поскольку обе части уравнений F.87) при умножении на Ut обращаются в нуль,
они являются системой только трех независимых уравнений. Следовательно,
вместе с F.86) мы имеем четыре независимых уравнения, эквивалентных четы-
рем уравнениям F.82) или F.1).
Вследствие того, что плотность собственной массы включает и плотность
массы упругой энергии, собственная масса fi°6V° не сохраняется. В соответствии
с F.86) скорость изменения упругой энергии на единицу объема в системе S0
равна <р°, которую с помощью F.78) можно записать в виде
t.k=t^ulv. F.89)
134
Теперь в каждой системе S определим величину
f С С II III (P, QfTl
которая согласно F.79) и F.80) равна
11к^=Т1к—Тиик1иА. F.91)
Очевидно, что tih — не 4-тензор. Ее компонента tti в каждой системе коор-
динат тождественно равна нулю, т. е.
tH = 0. F.92)
Кроме того, из F.90) и F.76) следует, что Uitih = 0 или
Пространственные компоненты tik равны компонентам относительного тензора
напряжений t, что можно показать, используя F.91), F.3) и F.60), а именно:
j1 т 4 U /U —Т s и =t F.94)
Из F.92)—F.94) следует, что компоненты tih полностью определяются относи-
тельным тензором напряжений t и скоростью и. Как мы уже упоминали раньше,
это верно и для компонент 4-тензора напряжений S^. Кроме того, из F.90)
и F.76) имеем tihUk = Si4c2/?/4; Su = UJihUJr, поэтому
Sih = tih + Sti UhlUi = ttk + tilUl Vhlc\ F.95)
Используя F.92) и F.93), записываем упругую 4-силу F.70) в виде
Л = —dt[v/dxv = —dtih/dxh, F.96)
откуда с помощью F.95) и F.83) получаем следующее соотношение между fL
и плотностью силы /*:
П- -dSih/dxh = h-d{ttl U, Uh!cz)ldxk. F.97)
Теперь рассмотрим конечное количество материи в момент времени t,
находящееся внутри конечного объема V (t), ограниченного замкнутой поверх-
ностью / @- Поскольку среда движется, то / и V изменяются со временем. Пусть
"<Gi(t) = (G, iHIc) F.98)
есть 4-импульс определенной таким образом системы. Тогда производная по
времени от Gt получается интегрированием уравнений F.71) при постоянном t.
Используя F.96) и теорему Гаусса, получаем
dGj,
dt v\t) ' ™у> по fTo
где п — внутренняя нормаль к поверхностному элемену df и d/м = rindf. Из.
F.52), F.53) и F.93) имеем
tiv dfv = tiv nv df = {t* (n) df, (Me) uiL ^ (n) df] =
= {rft(n), (i/c)udt(n)}, F.100)
где rft(n) — упругая сила, с которой материя вне f(t) действует через поверх-
ностный элемент на материю внутри f. Четыре уравнения F.99) представляют
:обой законы сохранения для импульса G и энергии Н — cGji.
Как мы уже отмечали, поверхностная сила dt (n) — истинная механиче-
:кая сила. Наиболее ясно это можно показать следующим образом. Поскольку
элемент df поверхности f(t) движется со скоростью и среды, величины
<#¦{ = (Y<#h. *Т1-1*~/ил-п| F 101)
135
1 = J иЫ=-\^М= J twniidf= j t^dfr, F.99)
определяемые уравнением (з) (стр. 91), преобразуются как компоненты 4-век-
тора.
Следовательно, величина
dTt^SikdFk F.102)
также 4-вектор, удовлетворяющий в соответствии с F.76) соотношению
UtdTt = Q. F.103)
Компоненты clTt этого 4-вектора с учетом F.101) и F.90) следующие:
dTt = Sik dFk = у (S jV + i Su uvlc) dfv =
= у (SiV—Sti Uy/UJ dfv = ytiV dfv.
Используя F.100), получаем, что
, (i/c)y(udt(n))}. F.104)
Таким образом, dTt имеет форму 4-силы Минковского D.54), удовлетворяющей
соотношению D.57), следовательно, поверхностная сила упругости dt (п) —
истинная механическая сила. Относительный тензор напряжений t^ связан
с внутренней деформацией материи. В системе покоя 5° эта связь определяется
уравнениями обычной теории упругости, а для малых деформаций — законом
Гука. С помощью трансформационных свойств тензора напряжений эту связь
можно определить в любой инерциальной системе [112].
Упражнение
Показать с помощью уравнений F.80), F.82) и D.208), записанных в системе покоя,
что движение малой частицы среды с объемом покоя bV° описывается уравнением
¦¦W, (a)
где
В противоположность 4-импульсу 6Gj в F.69), величина bPi, которая является
4-импульсом, если частица свободная, представляет собой 4-вектор. Поскольку 6F| t/j =
= {[!Ui) 8V° Ф О, 8F* —обобщенная сила, вызывающая изменение собственной массы
6т0 частицы. Уравнение (а), таким образом, является уравнением вида D.68).
§ 6.5. Тензор напряжений и тензор энергии.
Трансформационные свойства
В системе покоя 3-тензор SjW = ^v = T^v определяется действительной
симметричной матрицей. Она имеет три действительных собственных значения
Р(°0), которые мы помечаем индексом о = 1, 2, 3. Соответствующие нормиро-
ванные собственные векторы h°(a) удовлетворяют соотношениям ортогональ-
ности и полноты:
n = о ; «jj. nv =о^. (b.iuo)
(Как всегда, выполняется правило суммирования от 1 до 3 по двум повторяю-
щимся в одном выражении греческим индексам.) Собственные значения р°а) —
главные напряжения — являются корнями алгебраического уравнения третьей
степени относительно неизвестной к:
ТОО Т. & I I/O *\ -R \ С\ /С Л Г\С\
Матрица S?v выражается через собственные векторы и собственные значения
136
Пусть теперь /г, три 4-вектора со следующими компонентами в системе 5°:
/r<oH = (h(<JH, 0). F.108
Они образуют ортогональную триаду пространственноподобных единичных
векторов. Из F.107), F.78) и F.108) непосредственно следует, что 4-тензор на-
пряжений в 5° имеет форму
Sb, = pbWhF9. ' F.109)
Поэтому, определяя р(°а) в любой системе S как скалярные функции координат
(я*),' имеем
. F.110)
Кроме того, из F.79), F.80), F.110) и F.90) имеем
Г?Л = |х0?Л?/Л + р?о)А}о)АЬо); F.111)
Uv = V~ V U4IU4 = р?„> h™ (h[0) + \h\a) «v/c). F.112)
Полагая
|) (ff) Г F.113)
и вводя обозначение a©b, для прямого произведения пространственных векто-
ров а и Ь, являющегося 3-тензором с компонентами афу,, уравнение F.112) для
относительного тензора напряжений t можно записать в виде
t = pfo) {h(ff) О h((T) + (i/c) h{c) (hw G u)}. F.114)
Триада векторов btf* удовлетворяет, очевидно, тензорным соотношениям
А№)А(Р) = бор; СаГ=Д{*. F.115)
где AJfe определено в F.73). В системе покоя эти уравнения совпадают с F.105)
и F.108).
Если система покоя S0 в каждой точке выбирается так, чтобы ее простран-
ственные оси имели одинаковую ориентацию с осями системы S, формулы D.29)
и F.108) npn'v = u дают
Подставляя F.116) в уравнения F.110)—F.112), получаем формулы преобра-
зования для требуемых величин. Например, полагая в F.111) i~k=^4, полу-
чаем
А= -Г44 = -ц.и f/4-P(a) (u-hwuJY2/c2. F.117)
В системе покоя F.114) сводится к выражению
= pla) (n Ki)" )• (b.llo)
Поэтому F.117) дает следующий закон преобразования для плотности энергии:
h = (h» + u.t°-ufc*)/(l-u4c*)-\ FП9)
и плотности массы:
иг/с2)> F.120)
Последнее уравнение является обобщением уравнения D.203), справедливого
лишь для некогерентной материи.
137
Аналогично, полагая i — \а, k = 4, из F.116) и F.111) для плотности им-
пульса g с компонентами g^ = Tm/ic получаем
g = u{/J° + u.t°.u(l-Y-1)/«2}Y2/c2 + (t()-u)Y/c2; \
(t»-n)ll = /Jl,«v. Г ( '
И, наконец, выражения F.116) и F.112) для относительного тензора напряже-
ний дают
— (и © и) (и • t° • и) (y— 1J/Y«*. F.122)
При малых скоростях и все эти выражения можно разложить в ряд по малому
параметру и/с. Пренебрегая величинами второго и высшего порядка малости
относительно и/с и замечая, что |t°| < h° — \i°c2, из F.119) — F.122) имеем
h — h°] \i = [д,0; g = [A°u; t = t°. Таким образом, в данном приближении мы
получили уравнения нерелятивистской механики континуума в полном соот-
ветствии с общим требованием для релятивистского обобщения нерелятивист-
ских теорий.
В частном случае, когда и = (и, О, 0), т. е. когда в каждой рассматриваемой
точке среда движется параллельно оси х, формулы преобразования F.119),
F.122), F.123) сводятся к
'жж = **¦*> *xV = У^ху'у *xz == 4*xz\
yx == ( 1 ' V) *VX\ tyy = tyy, tyz = tyz,
F.123)
Из определения F.108) триады пространственноподобных векторов /i[.a* немедленно сле-
дует, что они ортогональны времениподобному единичному вектору Ui/c. Поэтому, пола-
гая
л5*>=?/,/с; A^'ftJ*' 1, (а)
получаем условия ортогональности:
hPh\r> = esMsrr (r, s=l,2, 3,4), (б)
где еа—индикатор:
+1 при s=a = l,2, 3
(В)
[круглая скобка после индекса, как, например, в уравнении (б), указывает на отсутствие
суммирования по этому индексу, хотя он и появляется дважды]. Учитывая F.73) и урав-
нения (а), (в), вторую группу уравнений F.115) можно теперь записать в виде
е,Л<«>Л?>=вй. (г)
Четыре вектора h\s^ называются (ортогональной) тетрадой, и, поскольку тетраду мож-
но построить в каждой точке 4-пространства, h^ (x) образуют (специальное) тетрадное
поле.
Теперь, полагая
«P?4)=-*Q. (Д)
получаем следующую компактную форму для механического тензора энергии F.111):
Из (б) и (е) далее следует, что
или
Таким образом, h^ является собственным вектором Г^,' соответствующим собственному
значению р\г). При г = 4, уравнение (ж) совпадает с F.68).
§ 6.6. Идеальная жидкость
В случае общей механической системы все три корня X = р\О) алгебраиче-
ского уравнения F.106) различны. Если же они при любой деформации равны
в каждой точке среды, т. е. если
p°(x) при о=1,2, 3, F.124)
то система называется идеальной жидкостью. В этом случае из F.110), F.115)
и F.73) получаем
Sik = р° Аг-Ь = р° (8ik + Ut Uklc% F.125)
а из F.90)
^v = Snv—S^UJU^p0^. F.126)
Следовательно, относительный тензор напряжений во всех инерциальных си-
стемах изображается диагональной матрицей, а упругая сила F.52), действую-
щая на единицу поверхности, представляет собой нормальное давление, т. е.
t(n) = pn, F.127)
где
р = р°(х). F.128)
Последняя формула показывает, что нормальное давление — инвариантный
скаляр [195, 196]. Из F.125), F.126) следует, что
fp = Sij/3 = *l41/3. F.129)
Тензор энергии идеальной жидкости в соответствии с F.79), F.80) и F.120)
имеет вид
Tik = (ц° + Р°/с2) С/, Uh + р° 6ift = (А° + р°) С/, ?/,/с2 + р° 6jft, F.130)
где в силу F.128) вместо р° можно писать р. С учетом F.3) и D.39) получаем
следующие выражения для плотности энергии и импульса в соответствии
с F.66), F.126) и F.127):
Использование Sih из'F.125) в формулах F.83), F.84), F.88) и F.89) дает
ci; F.132)
,0; F.133)
di = (/JU = /* + (ft Uh) иг1с* = (-р1с*) dUt/dx-p.i-iUi/c*)dp/dx. F.134)
Следовательно, фундаментальные уравнения F.86), F.87) для идеальной
жидкости принимают вид
(p°/C2)div0u0; F.135)
(Utlc*)dpld%. F.136)
В системе покоя 5° величина div°u° есть объемное расширение. Поэтому
—p°div°u0 представляет собой увеличение плотности у пругой энергии в единицу
139
времени. Поскольку \i° включает и массу упругой энергии, то—(р°/с2) Xdiv°u°=
= —(pfc2)Uht h есть скорость образования в системе S0 плотности массы,
в соответствии с F.135). Она равна нулю только для несжимаемой жидкости,
где div°u° — 0. Уравнение F.135) можно записать также в виде
dh°ldT + (ho + p°)divauo = O. F.137)
Рассмотрим теперь малую часть жидкости с собственным объемом bVa.
Умножая F.137) на 6У° и учитывая D.225), получаем
d8H°fdi + podbV°/d% = Q, F.138)
где 6Я° = h°6V° — энергия покоя частицы.
До сих пор мы считали нашу систему, упругую среду, чисто механической
системой. Однако в действительности все макроскопические системы являются
термодинамическими системами, свойства которых зависят от немеханических
параметров, например от температуры Г°. Поэтому возникает вопрос, какие
термодинамические процессы'можно описывать тензором энергии со свойствами
F.67), F.68). Во-первых, ясно, что из рассмотрения следует исключить все
процессы, в которых тепловая энергия переходит из одной части системы в дру-
гую, так как в противоположность уравнениям F.67), поток тепла в среде при-
водит к возникновению в системе покоя ненулевого потока энергии. Кроме
того, из первого закона термодинамики, выполняющегося в системе покоя, для
изменения энергии 6Я° малой частицы среды при любом термодинамическом
процессе имеем
d{bH0)^dAu-\-dQ°, F.139)
где dA° — выполненная механическая работа, a dQ° — подведенная в течение
процесса тепловая энергия. Поскольку в нашем случае тепловой поток отсутст-
вует, dQ° == 0 и сравнение F.139) с F.138) показывает, что для жидкости с нор-
мальным давлением *<•&-:;
dAa=— p°d(8V°), F.140)
Однако это выражение справедливо только для обратимых процессов. Таким
образом, тензор энергии вида F.67) и F.68) применим только в случае обрати-
мых процессов без подвода тепла, т. е. для адиабатических процессов. В § 7.9
мы рассмотрим общий случай наличия теплопроводности в среде.
В соответствии со вторым законом термодинамики, применительно к малой
частице материи с объемом 8V0 имеем
d FЯ°) + р° d {8V°) = T°dFS0), F.141)
где Т° — собственная абсолютная температура, а 68° — энтропия покоя части-
цы. Тогда F.138) можно представить в форме
= 0, F.142)
откуда следует, что собственная энтропия частицы не меняется во время движе-
ния, как и ожидалось для адиабатических процессов.
¦'"Ранее мы заметили, что F.135), F.136) эквивалентны лишь четырем неза-
висимым уравнениям. Однако они содержат пять неизвестных функций: р°,
|х° и три компоненты вектора скорости и. Поэтому для определения неизвестных
требуется еще одно уравнение. Ясно и физически, что движение жидкости
не определено, пока не заданы термодинамические свойства системы. Для
жидкости термодинамическое состояние в общем случае определяется двумя
независимыми параметрами, например р°, Т°. Однако для адиабатических про-
цессов, когда энтропия постоянна, Т° и, следовательно, все функции термоди-
намического состояния могут быть выражены через один параметр — давле-
ние. Таким образом, для данной жидкости \х° можно считать известной функцией
от р°, так что в четырех уравнениях F.135), F.136) остаются лишь четыре не-
известные функции.
140
Для того чтобы разъяснить это важное положение, введем плотность чис-
той (голой) массы р°, которая в случае некогерентной материи совпадает
сплотностью собственной массы. Для жидкости с заданным химическим составом
р° равна просто сумме масс покоя всех молекул, содержащихся в единице объе-
ма в системе покоя 5° жидкости. В отличие от полной собственной массы чистая
масса сохраняется. Считая р° скаляром, его сохранение можно выразить в форме
уравнения неразрывности
(р° */,),* = О. F.143)
Теперь плотность энергии А0 равна
A0 = p°c2+p0&0=:p0(c2 + ?0). F.144)
где е° — удельная внутренняя энергия, т. е. сумма тепловой и упругой энергий
приходящихся на единицу чистой массы в системе S0. Пусть v° — удельный
объем, т.е. объем одного грамма чистой массы в S0, тогда
р°о° = I. F.145)
С помощью обыкновенных термодинамических экспериментов с одним граммом
покоящейся жидкости можно определить обычное уравнение состояния
= 0°(р0, 7°), F.146)
калорическое уравнение состояния
&° = &°(р°, Т°) F.147)
и удельную энтропию
S° = S°(p°, T°) F.148)
как функции от р° и Т°. Для адиабатического процесса F.142) S0 (р°, Т°) во
время движения — постоянная величина, и при заданном значении этой по-
стоянной величины температура может быть выражена как функция давления,
т. е. Т° = Г0 (р°). В соответствии с F.144)—F.147) р°, е° можно выразить как
известные функции одной переменной р°. Теперь при заданных начальных усло-
виях четыре независимых уравнения F.135), F.136) дают возможность опреде-
лить движение и давление во всех точках ив любой момент времени; все другие
функции состояния также полностью определяются.
Если жидкость находится в термодинамическом равновесии, то \i°, р° и и
одинаковы во всех^точках среды. Тогда, интегрируя F.131) по всему объему
V = V0 A —иУс2)]/2 жидкости, для полного импульса и энергии получаем
выражения
Н = hV = (H» +p°V° u2fc2)/(l — u2/c2)U2;
u
'—ip°V°(l — м2/саI/2бм/с- F.149)
Из F.149) видно, что в данном случае полный импульс и энергия, т. е. величины
<?j = {G, 0/с)Я} не образуют 4-вектор. Это не противоречит нашему общему ре-
зультату (см. § 6.2), так как данная система не замкнута. Чтобы величины |Л°,
р° и и были везде постоянными в среде, жидкость нужно поместить в сосуд,
стенки которого будут воздействовать на систему с силами, не включенными
в тензор энергии F.130) (см. гл. 7). Однако из F.149) находим, что
^uFi?, F.150)
откуда следует, что система имеет тот же самый импульс, что и частица с энер-
гией Е — Н + pV и энергией покоя Е° — Н° + p°V°. Величины Е и Е° пред-
ставляют собой так называемую энтальпию в системах 5 и S° соответственно.
4-Вектор
Et = (G, IE/с) = (?°/с2) иг F.151)
141
называется 4-вектором энтальпии. Его пространственная часть равна импульсу,
а —ic?4 = Е — энтальпия. Аналогично величина
Pt^UiHVc2 F.147')
является 4-вектором, который называется инклюзивным 4-импульсом системы
[131].
Упражнение
Плотность энтальпии покоя жидкости дается формулой
а0 = h° + p°. (а)
Показать, что фундаментальные уравнения идеальной жидкости можно записать в виде
<OeI/if/ft/C*),ft=-p,, (б)
и что они эквивалентны четырем независимым уравнения
(otUk),k=dp/dx; (в)
(о»/сг) dUt/dx= -р,г-A/с2) (dp/dx) Ui. (г)
Формально оии совпадают с уравнениями для системы с плотностью собственной
массы а°/сг и с плотностью обобщенной 4-силы ¦— pj. Поэтому тензор
играет роль кинетического тензора F.80).
Показать, что 4-энтальпия
б?г ¦-= Ut a° ЙУ°/с2
малой частицы среды с собственным объемом 6V0 удовлетворяет уравнению вида
где
&F* =—PibV0 (з)
имеет характер обобщенной силы.
§ б.1?. Скалярные мезонные поля. Общая теория поля
Если силы взаимодействия между атомными ядрами и электронами в атоме
целиком описываются электромагнитными полями, характерные короткодей-
ствующие силы взаимодействия между составляющими частицами ядра — ядер-
ные силы — имеют неэлектромагнитную природу. Для описания ядерных
сил Юкава [283] ввел так называемые мезонные поля. Простейший тип мезонного
поля — скалярное поле, описываемое инвариантной скалярной полевой функ-
цией Ч? (хг), удовлетворяющей уравнению
t — А2? = 0, или П Y—/fe^F^O. F.152)
Здесь k — постоянная, связанная с радиусом действия ядерных сил. В случае
«нейтрального» мезонного поля W — действительная функция пространствен-
но-временных координат (х,). Вводя обозначение Ч^ = dW/dxi, уравнения поля
представим в виде
d — /c2tP = 0. F.153)
Эти уравнения можно вывести из вариационного принципа
(V,xPl)dQ = 0t F.154)
где
S = —(Ч^ + ^Ч)^. F.155>
142
Если предположить, что вариация 6W — ЬЧ (xi) равна нулю на границе про-
извольной 4-мерной области интегрирования, то, поскольку б1^ = ^— {6W),
OXi
имеем
этг
F.156)
Так как это выражение должно равняться нулю при любой вариации W
рассматриваемого вида, то уравнение
°± 1_(.?Ь)=0 F.157)
представляет собой уравнение Эйлера соответствующего вариационного прин-
ципа F.154). Уравнение F.157) совпадает с уравнениями поля F.163), если ?
определяется формулой F.155).
Тензор энергии скалярного мезонного поля дается формулой
В соответствии с уравнениями поля F.153) этот тензор удовлетворяет урав-
нению
= 0, F.159)
справедливому для замкнутых систем. Скалярное поле является частным слу-
чаем поля общего вида, описываемого совокупностью полевых переменных:
Q;=0е(*,)={<?(*о, <?(*?)...}. F.160)
Предположим, что уравнения поля можно вывести из вариационного принципа
6J?dQ = 0, F.161)
где
Z = Q(Q\Qb F.162)
— некоторая алгебраическая инвариантная функция от полевых переменных
и их первых производных;
F.163)
Это значит, что уравнения поля являются уравнениями Эйлера
&& 0, F.164)
вытекающими из вариационного принципа F.161). Поскольку предполагается,
что g — инвариант, уравнения F.164) имеют одинаковую форму в любой
янерциальной системе.
В силу уравнений поля F.164) величина
а*= -2(dQ/dQ?)Q$ + S6lk F.165)
удовлетворяет дивергентному соотношению
d8|k/dxk = 0. F.166)
В самом деле,
дхк 2idQ\ dxh ^
143
Здесь использовано соотношение dQ^/dxh = dQk/dxit следующее из F.163).
Поэтому величину F.165) можно считать тензором энергии поля.
Если 2 — инвариант, то Qift — тензор. Он называется каноническим тен-
зором энергии; его временная компонента Ты равна-—&, где
Sb = yJKQl — Z = yJK—2i F.167)
есть плотность гамильтониана.
В случае скалярного поля выражение F.165) для bih сводится к F.158) для
Tik. Однако в общем случае тензор 0ih несимметричен и отличается от действи-
тельного тензора энергии произвольным тензором tifi, дивергенция которого
равна нулю, так что
Tih = Qih + tih = Tht. F.168)
где
ttk-tki=-(Qik-QkiY, dtlh/dxh = O. F.169)
Белинфанте [19, 20] и Розенфельд [210] вывели общую формулу для вычисления
В качестве другого примера рассмотрим электромагнитное поле в вакууме
(см. гл. 5). В этом случае полевые переменные Q? совпадают с компонентами
4-потенциала Ah, а функция ? имеет вид
= -(Ai,nAm-AlmAm)/2, F.170)
где
Aln^dAxldxm. F.171)
Тогда уравнения Эйлера F.164) принимают форму максвелловских уравнений
E.16) в вакууме д (Ahi — Aik)ldxk = dFih/dxk = 0, или д {dAkldxh)IdXi —
— d2Ai/dxhdxh = 0. Вместе с условием Лоренца E.22), которое следует рас-
сматривать как дополнительное условие, эти уравнения приводят к волновому
уравнению ПА{ = 0. Теперь канонический тензор энергии F.165)^имеет вид
А*-(Лт^т)8№/4. F.172)
Этот тензор несимметричен и отличается от симметричного электромагнитного
тензора энергии E.106) величиной
tih-=-AaFhl, F.173)
удовлетворяющей с учетом F.171) и антисимметричности тензора Fki уравне-
нию
dtikldxk = O.
Глава
НЕЗАМКНУТЫЕ СИСТЕМЫ. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА ДИЭЛЕКТРИКОВ
И ПАРАМАГНЕТИКОВ. ТЕРМОДИНАМИКА
§ 7.1. Общие свойства незамкнутых систем
Замкнутую систему 2 можно многими способами разделить на две незамк-
нутые системы 2*1) и 2B) с соответствующим разбиением полного тензора энер-
гии на две части:
ik— l ik ~Ы ik ¦ К'-Ч
Например, в случае заряженной материи Т\Ц* может быть механическим тензо-
ром энергии, a Tjp —электромагнитным тензором. Определяя 4-вектор f* как
fmt=—dT\V/dxh,
из G.1) и F.1) получаем
= -dTjP/dxh = fh G.2)
где /* — плотность обобщенной 4-силы, обусловленной системой 2'2> и дейст-
вующей на систему 2A). Таким образом, фундаментальные уравнения для не-
замкнутой системы имеют форму
dTih/dxk = n = -dSih/dx,, G.2')
где /* —сила, действующая на систему с тензором Tik. Сила, действующая на^
систему с тензором Sih, равна—/*. Она имеет характер истинной механической
силы только в частном случае. Физический смысл пространственно-временных,
компонент Ти и T4i тензора энергии незамкнутой системы такой же, как и в слу-
чае замкнутой системы [см F.2), F.3)], т. е.
- (Не) 5^; 7д4 = icg», Т44 - —h; )
I
где h*S и g — плотность энергии, поток энергии и плотность импульса соот-
ветственно, характеризующие незамкнутую систему.
Вместо F.4) и F.5) имеем теперь уравнения
= (c/i)/;, J
которые аналогично D.244) и D.242) являются теоремами об изменении энергии
и импульса незамкнутой системы. Ввиду неоднозначности разбиения G.1)
тензор энергии незамкнутой системы не обязательно симметрический, но в лю-
бом случае должно соблюдаться равенство
Tih-Thi = -(Sih-Ski). G.5)
Полные импульс и энергия конечной незамкнутой системы
НЕ---
в общем случае не постоянны во времени. Интегрируя G.2') по всему физиче-
скому пространству в произвольно инерциальной системе 5, получаем
d j (Tu/ic) dVjdt = dGt!dt = jtf dV. G.6)
Если Gt (t) и Gl {?) — импульс и энергия незамкнутой системы в двух раз-
личных инерциальных системах, то соотношение между ними уже не будет оп-
ределяться формулой F.3Г). Это следует из того, что не существует однознач-
ного соответствия между переменными tut', являющимися аргументами функ-
ций Gt и G,-. Но даже для стационарной системы, когда Gt и G[ не зависят от
времени, они не будут преобразовываться как компоненты 4-вектора (см. § 7.2).
Это непосредственно вытекает из доказательства векторного характера Gj в слу-
чае замкнутой системы, приведенного в § 6.2. Для незамкнутой системы вместо
F.28) имеем
j ebh d2h + j ebk d1h = J щ ffdQ. G.7)
Здесь при произвольной Й правая часть не равна нулю. Углоеой момент, оп-
ределяемый уравнением
xigh—xkgi)dV1 G.8)
будет теперь зависеть от времени. Из G.2') вместо F.33) получаем уравнение
Интегрируя по всему физическому пространству, находим, что
xtft-Xbfi+Tu-TtJdV. G.9)
Следовательно, в этом случае плотность момента сил должна быть опреде-
лена как
dih = xtrk — xhf1 + Thi — Tih. G.10)
Для незамкнутой системы центр масс уже не играет такой большой роли.
Определяя радиус-вектор центра масс в инерциальной системе S уравнением
F.39)
V, G.11)
после простых вычислений, используя G.9) при i = \к, k — 4 и G.6), получаем
dt H d
Следовательно, скорость центра масс уже не равна c2G/H, как это было
в случае замкнутой системы, даже если тензор энергии и симметричен. Это
сильно ограничивает значение центра масс как характерной точки физической
системы.
Для замкнутой системы собственный центр масс является центром масс в ее
собственной системе покоя. Теперь попытаемся для незамкнутой системы оп-
ределить внутри нее такую характерную точку, которая в любой момент вре-
мени является центром масс в своей мгновенной системе покоя. Конечно, все
системы покоя различны в различные моменты времени. Детальное исследова-
ние показывает, что этим условием характерная точка определяется неодно-
значно [167]. Фактически даже в замкнутой системе существует бесконечное
количество точек, являющихся в любой момент времени центрами масс в своих
146
системах покоя. Например, если представить, что диск, описанный в § 6.3,
вращается с постоянной угловой скоростью
со°=— Мос2 m°/|m°|2 G.13)
в системе покоя S0 собственного центра масс, то любая точка диска будет цент-
ром масс в своей мгновенной системе покоя. Рассмотрим, например, точку pt
которая в данный момент времени имеет радиус-вектор а, отсчитываемый от
центра диска. Тогда скорость точки
v = (©» х а) = (—М°с2/\ т° |2) (m° x а), G.14)
откуда следует, что
т° X v/M0 с2= (—1/| т° |г) {т° X (т° х а)} = а. G.15)
Из сравнения G.15) и F.48) видно, что р является центром масс в системе S,.
движущейся относительно 5° с той же скоростью v, что и сама точка р, т. е.
любая точка вращающегося диска является центром масс в своей собственной
системе покоя.
Для замкнутой системы с помощью условия F.40) можно было выделить
одну точку (собственный центр масс), такую, чтобы полный линейный импульс
физической системы равнялся нулю в системе покоя этой точки. В случае не-
замкнутой системы это невозможно, так как если записать уравнение G.12)
в мгновенной системе покоя определенной выше характерной точки, то левая
часть этого уравнения станет равной нулю, а импульс, как это показывает урав-
нение G.12), не будет в общем случае равняться нулю в данной инерциальной
системе. Если даже он равен нулю в рассматриваемый момент времени, то
в последующий момент времени он будет отличен от нуля. Таким образом, од-
нозначное обобщение ньютоновского центра тяжести для незамкнутых систем
возможно только в случае внешних сил самого частного вида (см. § 7.2). Однако
как мы увидим в § 10.8, существует одно важное исключение. Если внешние
силы — гравитационные и если система достаточно мала, то всегда можно од-
нозначно определить собственный центр масс со всеми свойствами ньютонов-
ского центра масс.
§ 7.2. Статические незамкнутые системы
Пусть снова Ttk — тензор энергии рассматриваемой системы, но /г теперь—
плотность 4-силы, обусловленной самой системой; тогда в соответствии с G.2')
в каждой инерциальной системе имеем
U=-dTth/dxh. G.16)
Физическая система называется статической, если существует система коорди-
нат S0, в которой все физические переменные не зависят от времени, и если
G°= j g°dV° = jS°dVo = O. G.17)
Статическая система как целое покоится в S°, и поскольку все физические пере-
менные не зависят от времени в S0, то центр масс в этой инерциальной системе,
определенный формулой G.11), также покоится в S°. Следовательно, в этом слу-
чае для незамкнутой системы возможно однозначное обобщение ньютоновского
центра тяжести.
В качестве примера можно рассмотреть электромагнитное поле заряженной
материи, покоящейся в некоторой системе S0. Тогда тензором Tih является
тензор электромагнитного поля Sih, который при е = ц — 1 определяется
формулой E.106) , а /; — плотность электромагнитной 4-силы, действующей на
заряженную материю.
Другим простым примером статической незамкнутой системы является
жидкость, находящаяся в термодинамическом равновесии и помещенная в со-
147
суд, на которую действует внешнее давление со стороны стенок сосуда. Чтобы
найти полную энергию и импульс статической системы в инерциальнои системе
S, относительно которой S0 движется с постоянной скоростью и, нужно ис-
пользовать формулу преобразования для тензора и выражение D.328) для коэф-
фициентов преобразования aik. Интегрируя формулу
Т^-ПтацаьА G.18)
по всему пространству и используя формулу Лоренца
и G.17) , получаем
"l/l—И2/С2
где Т° — пространственный тензор с компонентами T?v- Хотя G и Я не зави-
сят от времени, они не преобразуются как компоненты 4-вектора. Это может
служить доказательством незамкнутости рассматриваемой системы. Для упру-
гой среды, предполагая, что ее скорость везде постоянна и равна и, формулы
G.19) получаем при интегрировании F.119) и F.121). Очевидно, что такая си-
стема не замкнута, пока во всех точках среды не выполняется условие t°=
= Т° = 0.
Если Т° имеет вид
Т°^ = р8^, G.20)
G.19) совпадает с соответствующим выражением для идеальной жидкости, т. е,
с F.149).
§ 7.3. Электростатические системы.
Классические модели электрона
Рассмотрим более подробно случай заряженной- материи, покоящейся
в системе координат S0. При s = \х = 1 тензор Sih определяется из E.106)—
E.114). Поскольку поле в S0 электростатическое, Н° = 0, а Е° не зависит от
времени, т. е.
Д« = ! Е°|2/2; S° = g° = 0; S?v= — ?»?$+ |?°|26^/2. G.21)
Предположим, что распределение заряда сферически симметричное.
В этом случае поле также является сферически симметричным, а Е° направлен
вдоль радиуса-вектора, соединяющего центр физической системы с точкой на-
блюдения. Тогда
Г??E°vdV°=[\ Е°|2dV°6W3; )
, r , G-22)
j »dV° = j I E° |2 dV° 6^/6 = j h° dV° 6^/3 = H° 6pv/3. j
v
Используя G.19) и G.22), находим электромагнитные импульс и энергию
сферически симметричного распределения заряда:
Я— Н 1 _1_ * i/2/^2 I l\f \ ,,2/^2 \ TJO
148
Такая система представляет собой классическую модель электрона, так как
фундаментальные уравнения лоренцевой электронной теории совпадают с урав-
нениями Максвелла для сред с е = fx = 1. Лоренц выдвинул идею, что
масса, энергия и импульс электрона должны быть чисто электромагнитного
происхождения, но из G.23) мы видим, что это невозможно [1], так как зависи-
мость энергии от скорости отлична от релятивистской формулы C.31) для энер-
гии частицы. Поскольку величины {G3JI, (i/c)Hgn\ не преобразуются как компо-
ненты 4-вектора, мы имеем типичную незамкнутую систему. Чтобы получить
непротиворечивое классическое описание электрона, нам следует предположить
существование внутри электрона неэлектромагнитных импульса и энергии, по
крайней мере до тех пор, пока считаем, что уравнения Максвелла выполняются
во всем пространстве.
Теперь допустим, что заряд е равномерно распределен по поверхности
упругой сферы радиусом а в системе покоя. Если п — единичный вектор в на-
правлении радиуса-вектора, то соответствующее решение уравнений Максвел-
ла имеет вид
Е° = (е/4л/-2)п при г>а; Е° = 0 при г<а; Н° = 0, G.24)
где г — расстояние от центра сферы. Отсюда с учетом G.21) получим
SmV= —rturtvM —SmV, r>a,
ц Dл)" r^ * 2 Dn)V* й
2 J ' ' Dn)a J г* 8ла °
a
Здесь заряд е измеряется в единицах Хевисайда, а тэол—электромагнитный
вклад в массу покоя частицы.
В соответствии с E.109) электростатическая сила, действующая на еди-
ницу поверхности сферы,
должна уравновешиваться упругой силой. Следовательно, тензор упругих
напряжений внутри сферы должен иметь вид
/|iv = p0Snv, G.27)
где
р°=— е*/2 DяJ а4 = — Я»л/4да3. G.28)
Теперь из формул F.149) находим полные механические энергию и импульс
„ _
Складывая G.29) и G.23), получаем полные энергию и импульс:
G = l
(Нмех+Н°зл) Н°
—«а
«а/с8
G.30)
которые мы должны иметь для замкнутой системы. Система такого типа впер-
вые была использована Пуанкаре [198] в качестве модели электрона. В своей мо-
дели Пуанкаре не указывал природу сил, противодействующих электростати-
149
ческим силам в электроне; он просто предполагал существование таких не-
электромагнитных сил и соответствующего тензора энергии, который вместе
с электромагнитным тензором энергии определяет полный тензор энергии Tih,
удовлетворяющий условию dTikldxk = 0, характерному для замкнутых систем.
В противоположность этой дуалистической точке зрения, Ми [156, 157,
158] и Борн [33] отстаивали унитарную концепцию, в соответствии с которой
они вводили только электромагнитные полевые переменные. Внутри элект-
рона, где электромагнитное поле очень сильное, они удовлетворяли уравнениям,
отличающимся от уравнений Максвелла. Эти уравнения были нелинейными,
а соответствующий тензор энергии удовлетворял необходимому условию
dSihldxh = 0, т. е. такому, чтобы собственная сила /; — —dSihldxk равнялась
нулю.
Окончательное решение проблемы электрона и других элементарных
частиц классическая физика, вероятно не даст. Кроме постоянной Планка, по-ви-
димому, необходимо ввести новую фундаментальную константу с размерностью
длины [111]. Но из рассмотренного выше следует, что, до тех пор пока будет
предполагаться существование тензора энергии системы, теория относитель-
ности будет требовать, чтобы собственная сила, т. е. 4-дивергенция этого тен-
зора, равнялась нулю.
§ 7.4. Основные уравнения электродинамики стационарной материн
Как показано Лоренцем [149], феноменологические уравнения электроди-
намики Максвелла для стационарной материи могут быть выведены из фунда-
ментальных уравнений электронной теории путем усреднения их по области
пространства, малой с макроскопической точки зрения, но еще достаточно боль-
шой, чтобы содержать большое число электронов. Поскольку уравнения E.13)
и E.16) электронной теории ковариантны, усредняя их по соответствующим
пространственно-временным областям, можно найти также и «макроскопиче-
ские» уравнения электродинамики в движущихся средах. Это было сделано
Борном [164] (см. также [94, 56, 57]).
Но если феноменологические уравнения Максвелла справедливы для по-
коящейся среды, то соответствующие уравнения для движущейся среды можно
найти просто с помощью преобразования Лоренца. Этот метод впервые исполь-
зовал Минковский [160, 162]. Принцип относительности требует, чтобы урав-
нения Максвелла для стационарной материи выполнялись в той системе коорди-
нат 5°, в которой материя покоится, независимо от скорости этой системы отно-
сительно неподвижных звезд. Следовательно, в S0 имеем
rot»E°+f —)-^- = 0; div°B° = 0;
V 1 dt
с
rot°H°—(-M —=J°/c; div°D°
\ с } dt
где Е°, D0, Н°, В0— напряженность электрического поля, электрическое сме-
щение, напряженность магнитного поля и магнитная индукция соответствен-
но; р° и J0 — макроскопические плотности заряда и тока. Все эти величины,
в принципе, можно определить с помощью макроскопических экспериментов
в iS°. Например, Е° и D0 определяются как силы, действующие на пробный
единичный электрический заряд, помещенный в рассматриваемой точке в па-
раллельный или перпендикулярный к полю малый разрез материи соответст-
венно. Аналогично Н° и В0 соответствует силам, действующим на пробное на-
магниченное тело. %
В изотропных диэлектриках и парамагнетиках кроме полевых уравнений
G.31) мы имеем материальные соотношения, связывающие переменные поля со
структурой материи:
D° = eE°; В° = |Ш°; J° = 0E°, G.32)
150
где е — диэлектрическая постоянная; jj,— магнитная проницаемость, а сг—
электрическая проводимость. Последнее уравнение в G.32) является матема-
тическим выражением закона Ома.
§ 7.5. Уравнения Минковского для равномерно движущихся сред
Рассмотрим два антисимметрических тензора Fik и Hik. В соответствии
сD.83) и D.48') тензор Fik в произвольной системе координат 5 определяет пару
пространственных векторов В и Е:
B = (F23, F31, Fia); iE = 0F41, F43, Fi3), G.33)
где В — аксиальный вектор, а Е —¦ полярный вектор. Аналогично тензор Hik
определяет полярный вектор D и аксиальный вектор Н:
Н = (Я83, Яа> Я13); iD = (tf41, Я42, Я43). G.34)
В системе S рассмотрим 4-вектор с компонентами
Jj = C/c, ip). G.35)
Если компоненты тензоров Fik, Hik, Jj даны в одной системе координат, то их
компоненты в любой другой системе можно вычислить с помощью формул пре-
образования D.84') и D.29) антисимметрических тензоров и векторов. Для ком-
понент Jj имеем
G.36,
где v — скорость S' относительно 5.
Если определить тензоры Fik, Hik, Jt так, чтобы величины Е, D, Н, В, J,
р совпали с макроскопическими электромагнитными переменными Е°, D0, Н°,
В0, J0, р° в системе покоя 5° материи, то электродинамические уравнения в лю-
бой системе координат должны принять вид
+ dFrJdxk = 0; G.37а)
= Jt. G.376)
В системе покоя 5° уравнения G.37) совпадают с уравнениями Максвелла G.31),
и, поскольку это тензорные уравнения, они должны выполняться в любой инер-
циальной системе. Согласно D.190) уравнение G.37а) можно записать также
в форме
dFfkldxk = 0, G.37а')
где F% — псевдотензор, дуальный тензору Fik.
Подставляя формулы G.33), G.34), G.35) в G.37), получаем в любой си-
стеме координат
rotE-b(l/c)dB/d/ = 0; divB = 0; G.38a)
TotH — (lfc)dD/dt = lfc, divD = p. G.386)
Величины Vt — {Me, ip) можно интерпретировать как плотность тока и
плотность заряда в системе 5, так как в соответствии CJ7.376) имеем уравнение
неразрывности
dJi!dxi = d2 Hih/dXidxk^0. G.39)
Если среда^непроводящая, т, е. J0 = 0 в системе покоя 5, то из уравнений
G.36) ^получим
/K^ /K u2/c2 = pu, G.40)
151
где и — скорость материи относительно S. Следовательно,
6ев, G.41)
т. е. заряд инфинитезимальной частицы среды с объемом 61/ = 61/° ]Л—
инвариантен, a J — чисто конвективный ток.
Однако в общем случае бе = рбV — не инвариант. Если в системе 5° при-
сутствует ток проводимости J0, то из G.36) получим
G.42)
где
pc = (uJ°)/cs(l—ы8/^I/8.
Следовательно,
Ье = P6V = р° bV° + рс 6V = &e° + pc 81/ ф 6е°.
Даже если в системе покоя S° плотность заряда равна нулю, то в системе S
плотность заряда равна рс, которая отлична от нуля, когда J0 Ф 0. Эта кон-
дуктивная плотность заряда дает существенную добавку к полному конвек-
тивному току ри.
В системе 5 ток проводимости С определяется из выражения
иг/с2. G.43)
Поверхностный элемент df, движущийся вместе с материей, описывается
3-вектором df = ndf, где п — нормаль к элементу. Тогда заряд, проходящий
через df в направлении п за единицу времени в 5, равен Cdf.
Разделение тока J в G.43) на ток проводимости С и конвективный токрине
является релятивистски инвариантной операцией. Мы получим ковариантное
разделение, если образуем величину
/I = s? + Potfi/C G-44)
где Ut — 4-скорость материи. Из G.42)—G.44) видно, что
s^-(s/c, s4); J (?45)
S = C+pcu; 54 = грс. j
Следовательно, s есть сумма тока проводимости С и конвективного тока
реи, соответствующего кондуктивному заряду рс. Далее, поскольку
JlUi = J?U? = icJl=—cQ°, G.46)
из G.44) и G.45) получаем
s(Ui=0; s4=i(s-u)/c2;
В то время как Jt имеет непосредственный физический смысл, полевые пе-
ременные Е, D, Н, В, входящие в уравнения G.37), не имеют простого физи-
ческого смысла, в отличие от переменных Е°, D0, Н°, В0 в системе покоя, кото-
рые можно найти из простых макроскопических экспериментов. До сих пор они
определялись только формулами преобразований, посредством которых они
могли быть выражены через полевые переменные в системе покоя 5°.
Теперь рассмотрим 4-вектор
Fi = (Hc)FikUk. G.47)
Из G.33) для компонент F,- в S получим
v __(E + (l/c)(uXB) i(E-u)/c )
'i — { , г~' :}¦ G.48)
{ у I —и2/с2 У 1—«2/са I
152
Следовательно, компоненты Fi в системе S° имеют вид
f? = (E°, 0), G.49)
т.е.'Ft есть 4-сила, действующая на единичный заряд, покоящийся относительно
среды и помещенный в продольный разрез в материи. Если положить
Ё = Е + A/с)(ихВ), G.50)
то G.48) примет вид
{ g ifE-u)/c 1 ¦ G.51)
Сравнение с D.54) показывает, что Е — сила, действующая на пробное тело
и измеряемая наблюдателем в S.
Аналогично 4-вектор
> + A/с)(цхН) i (D • и)/с | _ ( D i (D • и)/с
3 1—«2/с2 /l —«2/с* / | |Л— «2/с2 ' Yl — u*/c*
G.52)
с компонентами К? = (D0, 0) в системе покоя есть 4-сила, действующая на еди-
ничный заряд, покоящийся относительно среды и помещенный в поперечный
разрез в материи.
Следовательно, вектор
D-D+(l/c)(u.H) G.53)
также имеет простой физический смысл. Он представляет собой силу, действую-
щую на пробное тело с точки зрения наблюдателя в S.
Кроме того, если F*k и Н% — псевдотензоры, дуальные тензорам Fih
и Hik [см. D.111), D.112I, то мы можем образовать два псевдовектора
1 (В ¦ и)/с 1 _
Y\—и* i с*
_}_ > ,,* г, fH —
с
G.55)
«2/c2 Vl— "Vca J
Здесь F* и /С*, как это сразу видно при рассмотрении компонент этих псевдовек-
торов в системе покоя, суть 4-силы, действующие на единичный магнитный по-
люс, помещаемый в покоящиеся относительно среды поперечный и продольный
разрезы соответственно.
Следовательно,
В = В—(ихЕ)/с G.56)
и
Н = Н — (uxD)/c G.57)
— силы, действующие на этот единичный магнитный полюс, измеренные в
системе S.
Таким образом, векторы Е, D, Н, В (или 4-векторы Fu Ki, Ff, К*), в прин-
ципе, можно найти непосредственно из физических измерений, выполненных
153
наблюдателем в 5. С помощью G.50), G.53), G.56) и G.57) можно также выра-
зить тензоры Fik и Hik через величины Fh Ki, F*, Kf:
где &ihim — символ Леви-Чивита, определенный в § 4.11. Легко видеть, что
формулы G.58) справедливы и для системы покоя S0, а поскольку левые и пра-
вые части в G.58) преобразуются как тензоры, то эти формулы действительны
и в общем случае.
Учитывая, что вектор и — постоянный, имеем
rot (u х В) = — (и grad) B + udivB=— (и grad) В;
rot (и X D) = — (и grad) D + и di v D = — (и grad) D + pu.
Поэтому уравнения поля G.38) можно записать также в виде
= 0; rot Н — A/с) dD/dt^C/c; G.59)
divB = 0; divD = p, G.60)
где
db/dt = dBIdt + (u grad) B;
— субстанциональные производные по времени от В и D, а С —ток проводи-
мости, определяемый формулой G.43).
До сих пор мы рассматривали только одну материальную среду, движущую-
ся с постоянной скоростью и. Но поскольку уравнения поля линейны, поля
аддитивны, и, следовательно, уравнения G.37) должны выполняться также
в случае нескольких тел, разделенных вакуумом, движущихся равномерно
с различными скоростями. Однако уравнения G.37) дают хорошую аппрокси-
мацию для системы движущихся тел только до тех пор, пока ускорения этих
тел, обусловленные электромагнитными силами, достаточно малы.
§ 7.6. Материальные соотношения в четырехмерной формулировке.
Граничные условия
Из первых двух уравнений системы G.32) следует, что силы, действующие
на единичное пробное тело, помещенное в продольный и поперечный разрезы,
пропорциональны. Коэффициенты пропорциональности в зависимости от того,
является ли пробное тело электрическим зарядом или магнитным полюсом,
равны е или |х соответственно. Поэтому
D = eE; B%=|iH G.61)
или
/C, = e/Y, Ft = \xKf. G.62)
Эти уравнения можно также записать в виде
HikUh = eFlkUk; G.63a)
F!kUh^\.iH!hUh. G.636)
Последнее уравнение совпадает с тензорным уравнением
FtM + FnUt+FnU^viWb^ + HMUi+HuUb). G.63в)
В системе покоя уравнения G.61)—G.63) сводятся к первым двум уравне-
ниям системы G.32). Последнее уравнение этой системы, выражающее закон
Ома, можно представить в форме
st = aFi/c, G.64)
154
что следует из выражений G.45) и G.49), если векторное уравнение G.64) за-
писать в системе покоя. Поскольку SiUt = FtUi = О, лишь первые три урав-
нения в G.65) независимы, т. е. G.64) эквивалентно
s = {оЕ/с)/У1 — и*/с*. G.65)
В соответствии с G.46) и G.47) закон Ома можно также представить в виде
Jt + 0t (Jk Uk)fc^(a!c*)Fik Uh. G.66)
Уравнения поля G.37) вместе с материальными соотношениями G.63) и
G.66) позволяют определить поле, когда известно распределение заряда и тока.
На границе между материальной средой и вакуумом тангенциальные компо-
ненты Е и Н должны быть непрерывными. Это можно показать, если проинте-
грировать уравнения G.59) по инфинитезимальной поверхности, ограниченной
малым прямоугольником, две противоположные стороны которого лежат не-
посредственно внутри и снаружи границы среды. При этом предполагается, что
скорость и, входящая в выражение для Е и Н, равна также скорости материи
вне границы. Кроме того, интегрируя G.60) по малому цилиндру, основания ко-
торого находятся непосредственно внутри и снаружи границы, получаем, что
нормальная компонента В должна быть непрерывна на границе, а скачок ADn
нормальной составляющей вектора D равен поверхностной плотности заряда
на границе.
§ 7.7. Электромагнитный тензор энергии и плотность 4-силы
В гл. 5 было установлено, что в электронной теории
где /j — плотность 4-силы, a st — плотность тока. Это выражение следует не-
посредственно из условия, того, что по самому определению напряженности
электрического поля плотность силы в системе покоя заряда равна р°Е°. В ма-
териальной среде с отличными от единицы е и ц не так просто найти однозначное
выражение для плотности силы, действующей на материю. Во-первых, в систе-
ме покоя среды существует, в общем случае, ток проводимости; и даже в случае
изолятора совсем не очевидно, что плотность силы в системе покоя равна р°Е°,
так как напряженность электрического поля определяется как сила, действую-
щая на единичный заряд, помещенный в разрез в среде. Эта неопределенность
в определении понятия плотности силы приводит к соответствующей неопре-
деленности в определении понятия электромагнитного тензора энергии.
Однако если рассмотреть 4-вектор FnJu являющийся аналогом плотности
4-снлы в электронной теории, то из уравнений поля G.37) получим
Fti Ji = Fn dHlk/dxk = д (Fu Hlk)/dxk-Hlk dFn/dxh = -d(Fn Hhl)/dxh-
-A/2) (dFH/dxh + dFhi/dXl) Hlk = -d(Ftl Hhl)/dxk + A/4) д (Flk Hlk)/dxt +
+ (l/4)(HlkdFlk!dxi-F[kdHlk!dxi).
Следовательно,
Ftl Jt = A/4) (FM dHkl/dXi-HkldFkl/dxt) = -dSik/dxh> G.67)
где
Sih = FuHhl-(l!4)(FlmHlmNik. G.68)
Из G.33) и G.34) для компонент этого тензора имеем
Ьц\= ¦—-fftv. G.69)
где тензор
fnv = ?д А, + #ц Bv — A /2) (ED + НВ) б^.
155
в системе покоя материальной средьГсовпадает с максвелловским тензором на-
пряжений.
Кроме того,
E41, S43, S43) = (i/c)S, G.70)
где S — с (Е х Н) — вектор Пойнтинга, а
S44=— h; ft = (ED + HB)/2. G.71)
В системе покоя S и h совпадают с обычными выражениями для электромаг-
нитных потока энергии и плотности энергии в стационарной среде.
И, наконец,
E14, S24, S34) = icg, G.72)
где g = (D X ЪIс.
Из уравнения G.67) следует, что величину
Гц Ji + (Fhl дНы1дхг - Ны dFhl/dx,)/A
можно считать плотностью 4-силы /* и что тензор Sut, определяемый формулой
G.68), представляет собой электромагнитный тензор энергии. Это означает, что
в каждой системе координат величины S, h и g должны интерпретироваться как
электромагнитные поток энергии, плотность энергии и плотность импульса
соответственно.
Приведенные выше выражения для S, h и g были выведены Минковским
[160, 161]; при е = \i = 1 они сводятся к соответствующим выражениям элект-
ронной теории.
Легко видеть, что в частном случае однородной и изотропной среды второй
член в G.67) равен нулю. В самом деле, в системе покоя этот член с учетом G.32)
приводится к виду
A /4) (F%i дНУдх? — H°kl dHtldx?) = A /2) (В0 dWjdx? — Е° дТУ/дх? -
— Н° дЪ°/дх? + D0 дЕУдхЧ) = — A/2) (| Н° |2 d\i/dxf +; Е° |2 дь/dxf).
Следовательно, если 8 и (х — постоянные, то этот член в системе 5° равен нулю.
Но вектор, компоненты которого равны нулю в одной системе координат, бу-
дет равен нулю в любой другой системе. Следовательно, в соответствии
с G.33) и G.35), внутри однородной изотропной среды сила
G.73)
С помощью G.43) и G.50) эту формулу можно представить в виде
В системе покоя S0 выражение для /J совпадает с формулой Джоуля для
тепловой энергии <р°, производимой в единице объема среды за единицу времени.
Фактически в 5° сила
G.75)
Кроме этого немеханического действия электромагнитное поле приводит также
к возникновению механической силы, которая в системе 5° соответствует силе
Лоренца:
G.76)
Таким образом, даже если в S0 поле и стационарно, для того чтобы материя
покоилась в 5°, необходима внешняя механическая сила. Плотность этой силы
в системе S0
•внеш — 1 • \1 •' 11
156
В произвольной инерциальной системе S две величины f*-u и ф* — ЕС
в G.74) ранее интерпретировались как механическая мощность и выделяемая
теплота. Однако необходимо заметить, что лоренцева сила f* в G.74) не имеет
характера истинной механической силы, так как 4-вектор f* не ортогонален U\.
Действительно, из G.73), G.47), G.35) и G.51) имеем
G-78)
или в соответствии с D.228) и законом Джоуля
--Е°С = ф°. G.79)
Как уже говорилось в конце § 4.18, в общем случае невозможно обобщенную силу
ji однозначно разложить на механическую ft и немеханическую Яг части. Однако, когда
в системе покоя немеханический импульс равен нулю, что обычно предполагается для
джоулева тепла, такое разложение однозначно, и мы имеем уравнения [(а), стр. 106], т. е.
ft=fi+UlfiUhlc*=fi-(F1tJh)U
ilc; )
Подставляя выражение G.58) для Fik в G.73) и используя G.46), получаем следую-
щее выражение для лоренцевой 4-силы:
=(Fk/ft) Ui/c + p0 Fi+eikim Jk Ffum/lc F)
Следовательно, механическая 4-сила равна
VftiF??/m/ic = {f, (i/c) (fa)> (в)
и удовлетворяет, очевидно, характеристическому уравнению Uifi = 0. Подставляя вы-
ражения G.35), G.43), G.54) и D.39) для Ji, Ft и Ut в (в), после некоторых выкладок най-
дем механическую 3-силу, с которой поле действует на материю:
(г)
где
В = {В —а(Ви)/с2}/A —г/2/с2). (д)
Именно эту силу, а не лорснцеву силу I* нужно уравновешивать внешней силой fBHetu*
чтобы материя в случае стационарного поля находилась в покое, т. е.
*внеш=— *• (е)
В системе покой S0 сила f° G.76) равна f *° н условие равновесия (е) совпадает с G.77).
Поскольку fEHeiii трансформируется как f, т. е. как истинная механическая сила, то ус-
ловие равновесия (е) справедливо для любой системы отсчета, ио в общем случае fu-веш
уже ие будет совпадать с —I*.
Для величины иемехаиической энергии поля, в соответствии с D.221), (а) и G.79),
имеем
Ф=— icn4 = EC/(l — «2/c2) = E°C°/(l— а2/с2I/2 = Ф°/A — «2/csI/2--. (ж)
В системе S эту формулу можно интерпретировать как выражение для джоулева
тепла, выделяемого в единичном объеме среды в единицу времени. Ранее эта величина
определялась формулой
ф* = ЕС = ф°A — «2/с2I/2- (з)
Уравнение (ж) соответствует новой формулировке термодинамики, начало которой поло-
жено работами Отта [191]. В системе S выделенное тепло соответствует имлульсу
п = ифв/с2A— и2/?2I/2 = фн/сг» (и)
Законы сохранения определяются уравнением G.2'), где Tik — тензор энер-
гии материи, a Sjr — тензор Мин ковского G.66). Последний удовлетворяет тому
же соотношению
Su^FuHu-FuH^O, G.80)
157
по и тензор E.106) электронной теории, но он уже не симметричный:
Sik^Ski. G.81)
В системе покоя S0 пространственная часть G.69) для изотропной среды вслед-
ствие G.32) симметрична, но
В любой другой системе S даже в случае изотропной среды S^ Ф S^.
Если для электромагнитного тензора принять выражение Минковского, то
материальный тензор Tik должен быть также несимметричным, так как сум-
марный тензор Tih -\- Stk, являющийся тензором энергии замкнутой системы,
должен быть симметричным. Это не противоречит выводу § 6.4, поскольку там
мы рассматривали замкнутую механическую систему, а выражение F.66)
для плотности импульса было получено в предположении, что g = S/c2, кото-
рое в данном случае должно быть отброшено. Вместо F.66) теперь имеем
= S^fc* -f- a^ G.82)
где дй — компоненты 3-вектора
а-(ЕхН—DxB)/c. G.83)
Несимметричность тензора энергии Минковского привела к продолжитель-
ной дискуссии [81, 3, 4, 56, 57, 136, 193, 260, 249]. Было ясно, что это свой-
ство является реальной трудностью для теории Минковского. Поэтому Абрагам
13], Абрагам и Беккер [5] пытались сконструировать симметрический электро-
магнитный тензор энергии. В системе покоя 5° тензор Абрагама удовлетворяет
условиям G.69), G.70) и G.71) (по крайней мере для изотропных сред), но вместо
G.72) в системе покоя Абрагам предложил условие
/c3. G.84)
Поскольку тензор Абрагама Sfkbr симметричен в S0, он симметричен и в любой
другой системе отсчета S. Но в любой системе S, отличной от S0, компоненты
Sfkr уже не удовлетворяют G.69)—G.72), так как в выражение для этого тензо-
ра входит скорость и материи. Плотность 4-силы, получаемая из этого тензора
по формуле
tiAbr=-dS&br/dxk, G.85)
также сильно отличается от соответствующего выражения G.73). В системе
покоя
— l)/c*]dSldf, flAbr = fl, G.86)
т. е. в системе покоя VAbr отличается от f* Минковского величиной
{(8ft — l)/<?]dS/dt.
Позднее были предложены другие выражения для электромагнитного тен-
зора энергии [18, 152, 106, 107], причем каждый автор объявлял именно свое
выражение «корректным». Однако, по нашему мнению, одинаково правиль-
ными могут быть многие различные выражения, поскольку разделение полно-
го тензора энергии на связанную с веществом и полевую части является,
в основном, вопросом определения. Это справедливо также для всех выводов,
базирующихся на электронной теории материи, которая может дать однозначное
выражение только для полного тензора энергии.
Если мы определим электромагнитную часть как тензор, зависящий лишь
от полевых переменных Fib, Нм, то получим тензор Минковского [37]. В этом
случае материальный тензор Tik, как это видно из G.82), G.83), также будет
явно зависеть от полевых переменных. С другой стороны, предполагая, что
полевой тензор зависит и от переменных материальной среды, например от
4-скорости материи, получим одинаково корректное выражение для Siht как,
.158
например, предложенное Абрагамом. Какое из возможных определений элект-
ромагнитного тензора следует предпочесть при описании физических явлений—
, в основном вопрос удобства. Можно показать, что многие экспериментальные
результаты более удобно описывать тензором Минковского 137]. Соответствую-
щий пример будет рассмотрен в следующем параграфе.
§ 7.8. Скорость распространения энергии световой волны
в движущейся преломляющей среде
В гл. 1 и 2 мы определили скорость и направление светового луча в про-
зрачной преломляющей среде с помощью принципа Гюйгенса, а в § 2.10 показа-
ли, что определенная таким образом групповая скорость при преобразованиях
Лоренца трансформируется как скорость частицы, т. е. в соответствии с форму-
лами B.45)—B.47). Как следствие этих формул, в § 2.11 мы получили аберра-
ционную формулу B.91) и формулу Френеля B.92), соответствующие экспе-
риментам с точностью до малых второго порядка.
Из максвелловской теории света следует, что оптические явления в пре-
ломляющей среде с показателем преломления п описываются феноменологи-
ческими уравнениями электродинамики Максвелла. Для этой среды диэлектри-
ческая е и магнитная \i постоянные связаны уравнением
G.87}
Это справедливо, по крайней мере, для достаточно длинных волн, когда можно'
пренебречь всеми дисперсионными эффектами. Кроме того, прозрачное тело,
которое совсем не поглощает свет, можно рассматривать как идеальный изоля-
тор, т. е.
а = 0, J = 0, р = 0. G.88)
Тогда групповая скорость должна совпадать со скоростью распростране-
ния энергии волны. Например, в аберрационных экспериментах угол абер-
рации есть угол, на который следует повернуть телескоп, чтобы в него попал
луч, т. е. энергия. Поэтому направление групповой скорости должно совпа-
дать с направлением распространения энергии в волне. При заданном тензоре
энергии электромагнитного поля можно найти скорость распространения энер-
гии по формуле F.9), т. е.
и* = $/п, G.89)
Тогда мы должны потребовать, чтобы и* в случае световой волны при преобра-
зованиях Лоренца трансформировалась как скорость частицы. Это значит, что
величина F.15) должна быть 4-вектором. Как показано в § 6.1, это возможно
только тогда, когда тензор энергии удовлетворяет условию F.119). Покажем
теперь, что этому условию удовлетворяет тензор Минковского, но не тензор Аб-
рагама, т. е. в данном случае теория Минковского приводит к более удобному
описанию явлений.
Как уже упоминалось в §6.1, достаточно доказать справедливость усло-
вия F.19) лишь в одной инерциальной системе. Для этого выберем систему по-
коя преломляющей среды. Очевидно, можно ограничиться случаем плоской вол-
ны, так как в задачах, рассмотренных в гл. 1 и 2, радиусы кривизны волновых
фронтов велики по сравнению с длинами волн (геометрическая оптика), поэто-
му в каждом месте искривленные волновые фронты можно аппроксимировать
плоскими волнами.
В системе покоя наиболее общее решение уравнений поля в случае плоской
волны с нормалью п к фронту волны при р = 0, J = 0 следующее:
; J
Н = g [t-(x-n)/w] e^/KjT + f \t-(x-n)fw\ t^/YV J
159
(см. приложение 3). Здесь e<L> и е<2> —-два фиксированных единичных вектора,
ортогональных друг другу и вектору п:
(e<i) . е<2>) = (е^ • п) = (еB> • п) = 0; (е<х> х е<2>) = п, G.91)
а / и g — произвольные функции от аргумента t — (x-n)/w, где
w = с/Ущ = cln G.92)
— фазовая скорость. Следовательно, из формул Минковского G.68)—G.72)
в системе покоя имеем
+ g2)e, G.93)
где
е = (е<*> х е<2>) = п, G.94)
т. е. направление распространения энергии е совпадает с направлением волно-
вой нормали п в этой системе. Кроме того,
h = (l/2)(BE2 + lxH2)=-f* + g2, G.95)
следовательно,
u* = S/A = (с/Уцг ) е = и* е = (с/п) е = w, G.96)
т. е. в системе покоя скорость энергии равна фазовой скорости. Из G.96) с по-
мощью F.15) и F.12) получим
, 1сУбр/УцГ=г); G.97)
i e\ = (/2 + g2) К^ГГТ^?/ |/ф. G.98)
Кроме того, из G.69) найдем, что
e^v, G.99)
так как с учетом G.91) и G.94) е^1' ev1' +^ц2) ev2> +^n^v = 6№V. Наконец,
G.72) дает
S,i4 = icgul gn = (e^)(ExH)li = (/iiI/c)(/2 + g2)v G.100)
Тогда для величины
a^S^Ut/c^ilJc^iS^Ut + icg^UX) G-101)
с помищью G.97), G.99) и G.100) получим
ян = - К/2 + S2)/c] ViF^e^. G.102)
Таким образом, в соответствии с формулами G.97)—G.102) тензор Rih, опреде-
ленный в F.19,), имеет следующие компоненты:
ngv-(KijT^T/с) х
v гр р 11 си - 1 (V
=1 X \ G.103)
tf 4д = (i/c) EЙ + Se f/* f/*/c2) = 0.
Следовательно, условие F.19) удовлетворяется, и скорость распространения
энергии и* в любой системе координат S совпадает с групповой скоростью, оп-
ределенной из принципа Гюйгенса (см. также [217]).
160
1?сли v' — скорость системы покоя S относительно системы 5' с той же самой
ориентацией пространственных осей, то коэффициенты преобразования euv
в F.17') или F.18) определяются формулой D.129), где v = —v', т. е.
—w^Ic; 844 = 0. G.104)
Поскольку скорость распространения энергии и*' в системе S' равна
ul =S'Jh'= icSplS't = icU*'/Ul't G-105)
то ее можно найти из F.18) или F.17'), учитывая G.104), а именно:
и*'=(с//ф)е + у'— (v'.e)e/eji. G.106)
Эта формула в первом приближении совпадает, естественно, с формулой
B.55), если в последней положить v = —v', u = {c/j/eii} e. Из G.106) находим
величину и*':
«•'=c/n + (e-v')(l — Un2), G.107)
что совпадает с формулой Френеля B.92). С другой стороны, если выбрать для
тензора энергии выражение Абрагама, то формулы G.90)—-G.99) будут еще спра-
ведливы в системе покоя, но вместо G.100) из G.84) получим
gAJr = (l/C)(ExH)=S/C2 = (l/^(/4g2)e-g-(^-l)S/C2. G.108)
Таким образом, в этом случае вместо G.101) имеем %*г — ау1— п/с)(е\л —
— \)(Sfx/c2) U't и тензор Rik уже не равен нулю. Следовательно, U* — не
4-вектор, и и* не преобразуется как скорость частицы. Чтобы получить явное
выражение для вектора и*', снова используем G.104), G.105) и F.17'). Тогда
+ v' —(v'-e)e/8{i + (v/-e)(l —1/E|i)e G.109)
и* =c/n_f-2(e-v')(l — l[n2), G.109')
что соответствует коэффициенту увлечения, равному 2A — 1//г2), где A —
— 1/п2) — коэффициент увлечения, найденный Френелем.
Из G.109) видно, что направление потока энергии в данном случае отли-
вается от направления групповой скорости, определяемой по принципу Гюй-
генса. Это вызывает изменение в аберрационной формуле для среды с показате-
лем преломления п > 1; соответствующее отклонение имеет величину первого
порядка по v'. К сожалению, в движущейся прозрачной среде очень трудно
измерить аберрационные эффекты даже первого порядка.
Кроме того, из G.109) видно, что скорость распространения энергии отлн-
1ается от фазовой скорости даже когда v' ;| e, в то время как групповая скорость
з этом случае совпадает с фазовой скоростью. Этот странный результат вызван
:ледующим обстоятельством.
У Минковского в рассматриваемом случае плотность 4-силы /* = Д = 0.
Зднако теория Абрагама приводит к появлению ненулевой плотности силы.
3 системе покоя в соответствии с G.86) имеем
= [»ц— \)lc Yw]d (P + g-)e,'dt; ftbr = 0t G.110)
\ е. в этой системе электромагнитная энергия сохраняется: но в системе S'
по уже не так. Из G.104) и формул преобразования f\AbT = ffbT -f- Eikf?br
галучим
f )^^(уе)(/+^ GЛ11)
at I с с у' щ dt
Зак. 11 74 161
что с точностью до множителя \1с соответствует механической работе, совершен-
ной над единичным объемом среды r единицу времени. Таким образом, в S'
мы имеем обмен энергией между электромагнитной и механической системами,
т. е. локальное поглощение и излучение средой световой энергии. Это ясно по-
казывает, что разделение полного тензора энергии на электромагнитную и ме-
ханическую части у Минковского более естественно, чем у Абрагама. В теории
Минковского прозрачное тело является системой, которая даже локально не
обменивается энергией с электромагнитным полем.
§ 7.9. Сплошная среда с внутренней теплопроводностью»
В § 6.4—6.6 мы имели дело с адиабатическим процессом в упругой среде,
т. е. исследовали динамику чисто механической системы. Такая система опи-
сывается тензором энергии со свойствами F.67), F.68). Теперь рассмотрим более
общую систему, связанную с непрерывно распределенной реальной мате-
рией, внутри которой может иметь место теплопроводность. Движение материи
описывается полем скоростей и (х, t) или соответствующей 4-скоростыо U, (х).
Тензор энергии Tik этой обобщенной системы все еще симметричен, но для чисто
механической системы уже не удовлетворяет условию F.68). Из Т1^, U i и тен-
зора Sikf определенного в F.73), можно снова образовать скаляр h°(x) и тензор
Sik п0 формулам F.72) и F.75) соответственно. В этом случае эти величины
также будут удовлетворять соотношениям F.70) и F.78). Кроме того, можно
образовать ненулевой вектор
Q.t= -Ь^Тыи^ -TihUh-h°Ult G.112)
который ортогонален Uc.
UtQi^O. G.113)
Следовательно,
Q/ = {Q, i(Q-u)/c}, G.114)
что в системе покоя сводится к
Q?={Q°, 0}. G.115)
Для чисто механической системы, когда справедливо F.68), вектор Qt тождест-
венно равен нулю.
Подставляя выражение F.73) для Дгй в уравнение F.75) для Sift. и исполь-
зуя G.112) и F.72) вместо F.72), получаем"
Stk = Ttk-h? Ut Uhlt*-(Ut Qh + Qt Uk)Jc2. G,116)
Тогда вместо F.79) имеем
Tih = Mih + Hih, G.117)
где
M^-^h^UiUJc' + S^ G.118)
и
Hlk^{UiQk-rQiUh)lc\ G.119)
Вследствие F.76) Мцк удовлетворяет соотношению
MikUk=-h?Uit G.120)
которое в соответствии с F.68) является характеристическим уравнением для
чисто механического тензора. Поэтому Mik называется механической частью
тензора энергии, a Hih — его тепловой частью. Последняя с учетом G.113) и
D.41) удовлетворяет соотношению
HtbU^-Qi. G.121)
162
В системе покоя имеем
ГО СО fO UQ ТО ТО ; ЛО / _ [ V ' /
HV = |Jnv» /44 — —«, У ц4 = -* 4ц = I Уд/С, J
т. е.
Следовательно, в системе покоя, где отсутствует перенос механической
энергии, плотность потока энергии совпадает с плотностью потока тепла, кото-
рый поэтому равен 3-вектору Q0. Разделение тензора Tik на механическую Mih
и тепловую Hik части сделано Экартом [63], который первым провел детальное
исследование систем рассматриваемого типа.
Как и в гл. 6, определим теперь величину
ttk=Sth-SuUhlU€. G.124)
Тогда формулы F.92), F.93), F.95) будут справедливыми, но соотношения
F.91), F.94) выполняются уже не для полного тензора энергии системы Tik,
а лишь для его механической части Mih. Пространственная часть ^v этой ве-
личины имеет все свойства относительного тензора напряжений t, определен-
ного в гл. 6. В системе покоя в соответствии с G.122), G.124) имеем
^0 СО ГРО С7 ] ОЕ\\
" IHV — *^ LLV :— UV \ i ?O f
а также соотношение F.122) между t и t°.
Формулы F.100) и F.104) здесь также справедливы, откуда следует, что
величина
^(п) = /^с(^ G.126)
имеет характер истинной механической силы. Кроме того, остаются неизменны-
ми все рассуждения в § 6.5, приведшие к формулам F.105)—F.110), F.112)—
F.116); но теперь F.111) является выражением лишь для механической части
тензора Т;к, т. е.
ял ц0/7 7/ _!_ г)" М0' h^a^• A 127)
Когда все три корня р?а) уравнения F.106) совпадают, т. е. когда отсутствует
сдвиг, по аналогии с FЛ25), FЛ26), F.128), F.130) имеем:
G.128)
Введем для удобства величину sih, аналогичную t!k в GЛ24), но с заменой S!h
ча тепловой тензор G.119), т. е.
sik = Hih-HuUjUi = Ui{Qh-QiUh!Udlc\ G.129)
Эчевидно, что аналогично F.92)
su = 0, G.130)
io все остальные свойства sik и tik совершенно различны. Наиболее важной
1астью tik является относительный тензор напряжений t^, с помощью которого
чо формулам F.93), F.95) выражаются все остальные компоненты tik, а также
< Slk. Однако наиболее важной частью sin является величина
sh = —icsik = Ui(Qh—QlUkIUt)nc=r-(s, 0), G.131)
Tie
s = y{Q-«(Q-u)H- G132)
5десь мы использовали G.114) и D.39).
У' 163
В системе покоя s° равен плотности потока тепла Q":
s°-Q°. G.I33)
Из G,129) и G.31) видно, что
sik^UiSk/yc\ G.I34)
Решая уравнение G.31) относительно Qh, можно выразить Qk, а следова-
тельно, и Hjfl через Sfc.
В произвольной системе 5 3-вектор s является линейной функцией плот-
ности потока тепла s° в системе покоя S0. Поскольку Q? = 0, из D.29) имеем
Q = Q" т u (Q°-u) (у — 1)/«2, следовательно,
s = у {s°—u (s°.u/c2) [yl(y + 1)]} G.135)
и мы видим, что при малых скоростях s отличается от s° лишь величиной второго
порядка малости по и/с.
Далее, вместо F.91) в рассматриваемом случае из G.117), G.118), G.124),
G.129) и G.134) имеем:
Tth-TiAUk/U4 = tik + Stk = ttk + Utsh/yci. G.136)
Отсюда, учитывая F.2), F.3), F.93), для i = \i, k — v получаем
7Vv = ?n"v-Knv-f «nSv/c2, G.137)
а для i = 4, k = v
Sv = ft«v + «n^v + sv, G.138)
что является обобщением формул F.60) и F.65) для систем с теплопроводно-
стью.
Плотность потока энергии
S = Au + u.t + s G.139)
отличается от соответствующей величины F.65) для чисто механической систе-
мы 3-вектором s, который поэтому следует интерпретировать как плотность
потока тепла в обобщенной системе S. Эта интерпретация соответствует требо-
ванию, сформулированному на стр. 138, поскольку при малой и вектор s ра-
вен нерелятнвистскому потоку тепла s° с точностью до малых второго порядка.
Плотность импульса равна
= uu + u.t/c2 + s/c2. G.I40)
Последняя величина в правой части G.140) представляет собой импульс потока
тепла.
По аналогии с F.102) рассмотрим теперь 4-вектор HikdFk, где dFt — 4-век-
тор F.101). Обозначая HikdFk через dQt (n)/dx и учитывая F.101), получаем
dQJdt = Hik dFk = у (Hiv + iHu ujc) dfv = у (Hiv — Hti UvIUt) dfv
или в соответствии с G.129), G.134):
dQJdx = Hik dFh = ysiv dfv = Ut (sv d/v)/c2 = Ut (sdf)fc\ G.141)
Поскольку HihdFk и U-t — 4-векторы, sdf— инвариант, т. е.
sdf = sodf<>. G.142)
Это соотношение непосредственно следует из формул преобразования
G.135) и (и) на стр. 91, для s и df соответственно.
Рассмотрим снова частицу материи, которая в момент времени t имеет
объем V (/), ограниченный замкнутой поверхностью / (/). Ее 4-импульс F.98)
равен
Gi(t)= I gidV = {\/\c)\TudV = {U, \Hlc). G.143)
V(t) V
164
Поскольку поверхность / движется вместе с материей,
uUvnvdf, G.144)
f
где п — внутренняя нормаль к поверхности /. Когда система замкнута, зако-
ны сохранения имеют форму F.1), следовательно,
дТA/дх^=—дТ^дх^ G.145)
Подставляя G.145) в первый интеграл G.144) и используя теорему Гаусса,
получаем
dGJdt = ^ {Tiv-Tu«v/i с) nvdf=\ (T?v~T:i i/v/?/4) d/v
или, учитывая G.336),
$ Jvi/v. G.146)
f
В соответствии с F.100) и G.134) четыре уравнения G.146) можно записать
в виде
dGjdt = I dt (n) + $ u (s ¦ d-f)/c2; G.147)
f
dHldt = \ u dt (n) + J sdf. G.148)
Первый интеграл в правой части G.147) представляет собой полную механи-
ческую поверхностную силу, с которой наружная материя действует на мате-
рию внутри / (t) (для систем без сдвига сила dt (n) = pndf равна нормальному
давлению; но для вязкой жидкости эта сила кроме давления включает в себя
и силу вязкости); udt (n) — мощность этой силы, так что первый член
в G.148) представляет собой полную работу, совершенную механической по-
верхностной силой за единицу времени t. Следовательно, второй интеграл в
G.148) следует интерпретировать как полную тепловую энергию, втекающую
в систему за единицу времени. (Это соответствует нашей интерпретации s в
G.139) как потока тепловой энергии.) Тогда scff — количество тепловой энер-
гии, протекающей через элемент df в направлении п. Аналогично второй инте-
грал в G.147) представляет собой поток теплового импульса в систему. Тогда
тепловая энергия dQ (n), проходящая через df в течение времени dt, равна
dQ (n) = sdfdt = (s° di°) ydx, G Л 49)
[Здесь мы использовали G.147), a dx = dt/y — собственное время материи
в рассматриваемой точке.] Формулу G.149) можно представить в виде
), G.I50)
где
dQ°(no) = s0df°dT G.151)
— соответствующая тепловая энергия в системе покоя. Это тепло обладает
импульсом dP (u), который в соответствии с G.147) равен
dP (n) = u (sdf) dtfc2 = udQ (n)/c2 - yudQ0 (n°)/r. G.152)
Таким образом, приток тепловой энергии и импульса к телу через поверх-
ность df дает такой же эффект, как если бы к этому телу прибавилась частица с
собственной массой dQ° (n°)/c2 и скоростью и. 4-Импульс подведенного тепла
равен
/c} = iiQ0(u0)f/j/c2. G.153)
165
Он пропорционален 4-скорости материи. Очевидно, что dQt (n) равен 4-вектору
G.141), умноженному на dx:
dQt (n) = Ui (sdf) drjc2 = ysiv dfv dx = Hik dFk dx. G.154)
С помощью теоремы Гаусса G.146) можно записать в виде
dGJdt =—\ {dtiv/dxv) dV— \ (dsiv!dxv) dV. G Л 55)
v v
Для инфинитезимального объема 4-импульс материи внутри 6V (/) опре-
деляется формулой
6Gi=giSV = (g8V, iA6V7c) = FG, i6H/c), G.156)
а скорость изменения 4-импульса равна
d8Gifdt = {Ti + niNV. G.157)
Здесь % — плотность 4-силы F.70), F.96):
~ G.158)
Я; = —dsiwjdxv = [ — (днц Sv/c^ldxy, —(i dsv/dxv)/c] G.159)
есть увеличение 4-импульса в единице объема в единицу времени, обусловлен-
ное притоком тепла через границу объема 8V. Ни fif ни л{ не являются 4-век-
торами. Уравнения G.157) выражают законы сохранения энергии и импульса.
В системе покоя 5° , где и0 = 0, они сводятся к уравнениям:
d6G°Jdx = — tlv.v&V9 — (si и», v/cW°; G.160)
d.6H4dx - (—*»v ul, v—div° s°) 61/°. G.161)
Последнее уравнение является обобщением F.138) для случая материальной сре-
ды с касательными напряжениями и подводом тепла. Величина — $v«n, V6^°—
механическая мощность, а —div° 5°бК° — количество тепловой энергии, втекаю-
щей в объем f)V° за единицу собственного времени. Следовательно, G.161)
содержит в себе первый закон классической термодинамики F.139). Однако
в релятивистской теории этот закон должен быть дополнен соответствующим
уравнением сохранения импульса, так как в соответствии с G.160) подводимое
тепло вызывает немеханическое изменение импульса, представленное послед-
ним членом в правой части G.160). Отсюда можно сделать вывод, что реляти-
вистское обобщение первого закона классической термодинамики описывается
четырьмя уравнениями. Для инфинитезимальной частицы в произвольной систе-
ме S он выражается 4-компонентным уравнением G.157).
Разделение изменения 4-импульса тела на механическую часть, описываю-
щую действие истинной механической силы, и тепловую часть имеет четко вы-
раженный физический смысл. Однако аналогичное разделение самого 4-им-
пульса в общем случае не может быть проведено однозначно. Поэтому разделе-
ние тензора Tik на механическую Mik и тепловую Hih части нельзя, например,
истолковывать в том смысле, что —MiA — h°y2 — 544 — плотность механи-
ческой энергии, а —Нш — плотность тепловой энергии. Необходимо иметь в
виду, что h°, входящее в выражение для —Ми, включает в себя и энергию «теп-
лового движения» молекул в теле. Принятая в данном случае терминология
должна просто напоминать, что Mih имеет те же свойства, что и тензор энергии
чисто механической системы, и что он посредством величины tih, определенной
в G.124), описывает только механическое изменение. 4-импульса. Аналогично
мы видели, что Н^ или величина sih, полученная из Hlk, описывают изменение
4-импульса, обусловленное подводом тепла.
§ 11.10. Первый закон релятивистской термодинамики.
Трансформационные свойства 4-импульса подведенного тепла
Вскоре после появления теории относительности Планк [195, 196], Хазе-
нерль 11101, Эйнштейн [67] и другие независимо друг от друга сформулировали
законы термодинамики в соответствии со специальным принципом относитель-
ности. Эта первоначальная трактовка релятивистской термодинамики вошла без
изменения в многочисленные учебники, включая и первое издание настоящей
монографии. Однако Отт [191] и независимо от него Арзелье [15] показали, что
старая формулировка не совсем удовлетворительна, в частности из-за того, что
при описании термодинамических процессов (см. § 4.6) вместо чисто механи-
ческих сил использовались обобщенные силы.
Работы Отта и Арзелье вызвали бурную дискуссию, в результате чего в
настоящее время нет общепринятого описания релятивистской термодинамики.
Это является следствием того, что возможны различные формулировки термоди-
намических законов, поскольку один принцип относительности не определяет
их однозначно. Фактически, из принципа относительности следует лишь, чтс за-
коны классической термодинамики справедливы в мгновенной системе покоя
5° независимо от ее движения относительно неподвижных звезд. Однако в лю-
бой другой системе 5 существует широкий спектр возможных способов описа-
ния релятивистской термодинамики, поскольку формулировка основных зако-
нов довольно произвольным образом может явно зависеть от скорости материи
относительно 5. В этой ситуации мы должны опираться лишь на требование
простоты и удобства. Принятая нами формулировка соответствует основным
идеям Отта и Арзелье, но в деталях она следует по пути, подсказанному реля-
тивистским обобщением классической статистической механики Гиббса [185].
В соответствии с первым законом классической термодинамики, который
должен оставаться справедливым в системе покоя материи, полная энергия
#°тела в состоянии термодинамического равновесия есть функция переменных,
определяющих это состояние. Кроме того, в термодинамических процессах
перехода системы из одного состояния термодинамического равновесия в дру-
гое изменение энергии Д#° равно
ДЯ° = ДЛ° + Д<20, G.162)
где АЛ0 — механическая работа, произведенная при этом внешней средой над
системой, a AQ0 — количество тепловой энергии, полученной телом во время
"фоцесса. Такое разделение АЯ° в G.162) на две части является однозначным,
)сли мы условимся, в соответствии с духом классической термодинамики, что
L40 включает в себя лишь работу истинных механических сил. Тогда AQ0
жределится как та часть Д#°, которая не обусловлена действием этих сил. Этой
х>чки зрения мы будем придерживаться в любой системе отсчета, в отличие от
:тарой формулировки, когда в АЛ включалась работа некоторых обобщенных
:ил.
Мы уже упоминали, что вследствие теоремы Эйнштейна о наличии инерции
; всех видов энергии, релятивистское обобщение первого закона должно вклю-
[ать аналогичное разделение изменения импульса на две части, обусловленных
действием механических сил и подводом тепла соответственно. Следовательно,
s произвольной системе 5 первый закон термодинамики можно записать в виде
i=l, 2, 3, 4. G.163)
Здесь изменение 4-импульса
\Gi = (AG, i&H/c) G.164)
i 4-импульс внешних механических сил
Д/, = (Д1, iAA/c). G.165)
167
Его пространственная часть AI есть импульс, т. е. интеграл по времени от ре-
зультирующей внешней силы, а АЛ — полная работа этой силы во время про-
цесса.
Наконец, 4-нмпульс подведенного тепла
. G.166)
I
Ни AG;, ни A/j не являются, вообще говоря, 4-векторами, но, как мы увидим,
4-импульс AQ; подведенного во время процесса тепла, соединяющего два тер-
модинамических равновесных состояния, всегда
является 4-вектором.
В начальном и конечном состояниях равнове-
сия скорость материи и везде одинакова в теле, и
поток тепла отсутствует. Однако во время процесса
значение и зависит от пространственных и времен-
ной координат, и существует тепловой поток, за-
висящий от свойств тела и типа рассматриваемого
процесса. В случае, когда внешние силы являют-
ся поверхностными силами, действующими на
поверхность тела, скорость изменения 4-импульса
определяется уравнением G.146), где / (t) — замк-
нутая поверхность, целиком лежащая внутри из-
меняющегося объема тела. Это уравнение можно
записать и в форме G.155). В более общем случае,
когда внешние силы могут быть и объемными,
описываемыми плотностью 4-силы fh типа D.128),
D.220), вместо G.145) имеем
dTih/dxh=h. G.167)
В этом случае в правую часть G.155) следует добавить интеграл j* fidV. Полное
v
изменение 4-импульса получается интегрированием этого нового уравнения по
временному интервалу /х < / < /2> включающему отрезок времени, в течение
которого происходит рассматриваемый процесс. При этом получается уравнение
в форме первого закона G.163), в котором
G.168)
Пространстве
Рис. 15.
$ ftdV= \
v (о а A2)
А/1 = -
OS;.,
г=_ Г
dV= —
dsik
?2A2)
dQ/c.
G.169)
G.170)
G-171)
Здесь Q(i2> — часть мировой трубки системы, заключенной между двумя гипер-
поверхностями 2Х и 2 2, соответствующими t = /a, t — t2 (рис. 16), a dQ опре-
деляется из D.124). Кроме того, мы использовали формулы F.92) и G.130):
tu = *u = 0. G.172)
До и после процесса область 4-пространства, содержащая материю, имеет фор-
му цилиндрических трубок, оси которых параллельны постоянным 4-скоростям
Ь\ и i/j + &Ui материи в начальном и конечном состояниях соответственно.
Поскольку эти состояния равновесные, безразлично, где выбирать такие tx
168
и t2, для которых 2г и 22 не пересекают область ?2(пр), где происходит процесс.
Внутри fi(np) 4-скорость, конечно, не будет постоянной.
С помощью теоремы Гаусса D.194) выражение G.171) для AQt можно
преобразовать в интеграл по трехмерной поверхности 2 области йA2)
$ $ sikd2k. G.173)
S 2A2)
Здесь
dHk = A/г) &klmn dxt Ьхт Axn G.174)
— 4-вектор, ортогональный инфинитезимальным векторам dxh бхт, Ахп, ко-
торые находятся внутри 2 и выбраны так, чтобы d2fe был направлен внутрь
области QA2>. Гиперповерхность 2 состоит из двух концевых поверхностей
21( 22 и «кожуха» 2<15> трубы Q<12>. На 22 и 22 d2, имеет форму D.195). По-
этому с учетом G.172) вклад в G.173) от 2Х и 22 равен нулю. Следовательно, в
G.173) поверхность 2 можно заменить «кожухом» 2A2>, что и сделано в по-
следнем выражении для правой части этого уравнения.
«Кожух» образован мировыми линиями точек поверхности / тела, откуда
следует, что в каждой точке (xt) на 2A2) 4-вектор d2fe ортогонален 4-скорости
Ut {х) в этой точке, поэтому во всех точках 2A2>
UhdZh = Q\ d24=—f^V^i- G.175)
Из G.172), G.129), и G.175) получим
% dZk = S& d2,a = (Н№-Н„ и»/и4) d^ = Hlk <i2A. GЛ76)
Это, очевидно, 4-вектор. Интеграл G.173) является суммой таких 4-векторов,
но этого еще недостаточно для того, чтобы AQj был 4-вектором, так как область
интегрирования 2A2> зависит от системы 5, в которой производится интегри-
рование. Однако, если начальное н конечное состояния являются термодинами-
чески равновесными, как это мы предположили, подынтегральное выражение
в G.173) равно нулю везде вне «кожуха» 2(пр) области й(пр). Тогда
AQt=(l/c) I sikd2h=(l/c) I Hlhd2h G.177)
s(np)] 2
п поскольку 2(пр) — инвариантная область, AQj, определяемый в G.177), —
4-вектор [184,36, 236].
С другой стороны, 4-импульс Д/г, определяемый в G.168)—G.170), в об-
щем случае не 4-вектор, даже если начальное и конечное состояния термодина-
мически равновесны. Д/г является 4-вектором только в том случае, если вне
^(пр) U и U*. отсутствуют, т. е. когда термодинамическая система до и после
процесса является свободной системой. Тогда AG-L также 4-вектор (см. § 6.2).
Когда система представляет собой жидкость, заключенную в сосуд, это условие»
очевидно, не выполняется, поскольку стенки сосуда воздействуют на жидкость
силами нормального давления, даже если она находится в равновесном состоя-
нии.
На 2A2) векторы dxi, 5xm, Ахп, входящие в определение d2jj G.174), можно выб-
рать так, чтобы
dXi — 8xi — 0; &xn=dxUn. (а)
Тогда
lJ F (б)
где dFk — 4-вектор F.101), определяемый формулами (д), (в), (з), стр. 91. С помощью
G.177), (б), G.154) и G.153) для 4-импульса подведенного тепла получим
^Qi= J HikdFkdx~ J dQi{n)= J UtdQ<>(n°)/c*, (в)
2(пр) -(пр) 2(пр)
откуда ясно виден физический смысл выражения 'G.177).
169
§ 7.11. Второй завой релятивистской термодинамики
Переходя к формулировке второго закона термодинамики в произвольной
инерциальной системе, рассмотрим для простоты лишь физические процессы,
т. е. такие процессы, в которых не происходят химические реакции.
В соответствии со вторым законом классической термодинамики, который
всегда выполняется в системе покоя, энтропия 5° тела в тепловом равнове-
сии есть функция от параметров состояния и определяется уравнением
dS° = 6QV^0 = 9°№ip- ...G.178)
Здесь dS° — изменение энтропии между двумя близкими равновесными со-
стояниями, а 6<32бр — тепловая энергия, полученная телом в течение обра-
тимого процесса, связывающего два равновесных состояния. Кроме того, Т° —
собственная абсолютная температура, измеренная неподвижным относительно
тела термометром, а
9° = UT0, G.179)
— величина, обратная температуре, названная Трусделлом [261 ] «холодом».
Для необратимых процессов второй закон утверждает, что
dS° > 8Q°/T° = G°6Q0. G.180)
Из G.178) следует, что для обратимых процессов без подвода тепла, т. е.
для адиабатических процессов, энтропия постоянна. Если мы хотим, чтобы
зто было справедливо для произвольных адиабатических процессов в любой
пнерциальной системе, следует принять, что энтропия — релятивистский
инвариант, т. е.
5 = S0. G.181)
Другими словами, мы должны предположить, что энтропия тела в тепло-
вом равновесии не зависит от скорости тела. Чтобы убедиться в этом, рас-
смотрим адиабатическое ускорение, т. е. бесконечно медленное и плавное ус-
корение без подвода тепла, изменяющее скорость тела без заметного наруше-
ния его внутреннего состояния. Тогда требование постоянства энтропии в те-
чение этого адиабатического процесса приводит к выводу G.181) об инвариант-
ности энтропии (см. аналогичное рассмотрение на стр. 110 для электрического
заряда частицы).
Для покоящегося тела термодинамическое состояние определяется Т° (или
У0) и некоторым числом других параметров состояния (а) = (ах, ..., ат).
(В случае однородного изотропного тела достаточно одного параметра. Напри-
мер, можно выбрать давление р° или объем V0.) Чтобы полностью определить
термодинамическое состояние тела в произвольной инерцнальной системе,
необходимо знать еще три параметра (например, компоненты скорости и). Та-
ким образом, «пространство» термодинамических состояний, описываемое
переменными
(a), 6°, и, G.182)
является (:п -\- 1 -i- Замерным. Переменные (а), 0° определяют внутреннее
состояние, a u описывают кинематику тела.
Такой выбор параметров состояния вполне естествен для нерелятиви-
стской теории, когда внутренние свойства никак не связаны с «внешними»
кинетическими свойствами. Однако в релятивистской теории это не так, по-
скольку инертная масса тела зависит от его внутреннего состояния. Поэтому
более естественно переменные 6°, и заменить 4-компонентной величиной
e;^e°L/;., G.183)
170
где Ui — 4-скорость тела. Поскольку 0° — инвариант, 0; — времен и подобный
4-вектор, который будем называть «вектором холода». [Заметим, что четыре
величины Bj независимы, в отличие от компонент щ, связанных соотношением
D.41).] Затем, выбирая инвариантные (а), получим, что состояние описывает-
ся тензорными величинами
{(а), 91} = {а1, ...,ат, 9J. G.184)
В системе покоя вектор «холода» имеет только одну ненулевую компоненту,
пропорциональную «холоду» 0°, так как в этой системе
0?=iceo6;-4. G.185)
При таком выборе параметров состояния второй закон термодинамики в про-
извольной системе отсчета принимает простую форму
dS> — 8,6Q,., G.186)
где знак равенства выполняется лишь для обратимых процессов. Поскольку
6,- и 69г- — 4-векторы, обе части в G.186) инвариантны, В соответствии с G.185)
и G.166) для правой части G.186) получим
— 0; 8Qt - — 6? 6Q? ----- —icO°6Q2 = eW' О7-187)
Используя G.181), получаем, что G.186) совпадает с выражениями G.178) и
G.180) для обратимых и необратимых процессов соответственно.
В формуле (в) на стр. 169 для 4-импульса подведенного тепла 4-скорость Ui в общс\-
случае является сильно меняющейся функцией от координат внутри области интегриро-
вания S,nр). Так будет в случае необратимого процесса, даже если он «инфинитезк-
мальный», т. е. когда приращения всех величин во время процесса настолько малы, чт<-,
произведениями этих приращений можно пренебречь. Однако для инфнните,зимальногг>
обратимого процесса, протекающего так медленно и плавно, что система проходит через
последовательные равновесные состояния, можно считать, что значения Ui везде в 2^пр)
лелсат в пределах значений Ui в начальном и конечном состояниях. Следовательно, в пер-
вом приближении, для инфинитезимального обратимого процесса из формулы (в) на
стр. 169 получим
Здесь Ui — 4-скорость в начальном состоянии, a 5Q°6p — полное подведенное тепл(;:
измеренное в системе покоя тела в начальном состоянии.
При i=4 выражение (а) дает следующую формулу преобразования для тепловой
энергии, полученной телом во время обратимого процесса:
8Qo6p = 5Qo6p/(i-M2/ciI/2. (б)
Вместе с G.181) это выражение дает возможность записать второй закон G.178) для обра-
тимых процессов в форме
rfS = SQo6p/r, (в)
где
Т^Т°/{1— м2/с2I/2« (г)
Поскольку (в) имеет такую же форму, что н G.178), величину Т, определенную формулой
(г) Отта и Арэелье, можно назвать температурой тела относительно системы S, в которой
тело движется со скоростью и. Однако для общего необратимого процесса второй закон
не будет описываться просто неравенством
dS>8Q/T, (д)
так как его правая часть — не инвариант, за исключением случая нэо5р1тичах процессов
самого частного типа. 6Q/T1 будет инвариантом только тогда, когда 4-импульс подведен-
ного тепла пропорционален 4-скорости, т. е. когда толлозой импульс равен нулю а систе-
ме покоя. По этой причине мы не будем вводить отдельную тэмпературу Т для каждой
инерциалыюй системы, а охарактеризуем термодинамическое (и кинетическое) состояние
171
4-вектором 8j, позволяющим сформулировать второй закон для всех процессов в простой
форме G.186). Температура Т в (д) пропорциональна четвертой компоненте 4-вектора
Тг = T°Ui'i Ti = \сТ. (e)
Tt — температурный вектор, введенный Арзелье [15J. Он связан с вектором «холода» соот-
ношением
6j = б02 Ти (ж)
Чисто механический процесс (т. е. процесс без подвода тепла) в одной ннерциальной си-
стеме является чисто механическим процессом в любой ннерциальной системе, так как
из условия s° = 0, 8Qf = 0, вследствие G.135) и того, что 8Qt — 4-вектор, следует, что
s = 0, bQt = 0.
Обратное утверждение, однако, неверно, т. е. чисто термический процесс в системе
покоя, когда Д/? = 0, в общем случае не будет чнсто тепловым процессом в другой си-
стеме S, поскольку Л/; в S не равен нулю. Исключением является частный случай, ког-
да тело до и после процесса свободно, т. е. когда A/t- — 4-вектор.^Это связано с относи-
тельностью одновременности физических событий [127. 184].
§ 7.12; Термодинамические потенциалы однородных
изотропных сред*
В классической термодинамике (т. е. для покоящегося тела) термодинами-
ческие потенциалы — такие функции, из которых все остальные функции сос-
тояния можно получить простым дифференцированием. Для тела рассматри-
ваемого типа хорошо известным примером термодинамического потенциала яв-
ляется свободная энергия Гиббса G0, которая считается функцией температуры
(или «холода») и давления.
В произвольной системе 5 состояние можно описать давлением р = р°
и вектором «холода» Qt:
(Qh р) G.188)
и любую функцию состояния рассматривать как функцию этих переменных.
Это справедливо, в частности, для инвариантной функции состояния:
i|>(e,, р) = —М,—S. G.189)
Здесь S — энтропия, a Et—4-вектор энтальпии, определенный F.151).
В отличие от Et 4-импульс Gi в F.149) не 4-вектор. Связь между этими вели-
чинами в соответствии с F.149) — F.151) следующая:
G? = ??—ipVSjc. G.190)
Тогда первый закон термодинамики G.163) для инфинитезимальных процессов
можно записать в виде
^ = б/, + б^, G.191)
где
б/, = б/г + 1Й(рУ)бм/с. G.192)
Поскольку dEi и 6Q; —4-векторы, из G.192) следует, что 6/г тоже 4-вектор,
в отличие от 6/;, в общем случае не обладающего этим свойством.Таким обра-
зом, 0j6Vt — инвариант, значение которого равно
* См. [186].
172
1десь мы использовали G.185), G.192) и G.165). Для обратимого процесса
совершенная работа в системе покоя равна
6Л° - — p°dV°. G.194)
Следовательно,
f- —9° Р dp = — 6« V» dp. G.195)
Из второго закона для обратимого процесса G.186) и первого закона в форме
G.191) получим
или, используя G.195):
dS = — 6fd?"f—Q°Vndp. G.196)
Дифференцируя G.189) и учитывая G.196), находим, что
с№ (9г., р) = —?, dQt + В» р dp, G.197)
т. е.
?i=—аЧГ/394; V° = O/9°)№dp. G.198)
Таким образом, если релятивистский термодинамический потенциал
? (9j р) задан как функция параметров состояния G.188), то энтальпию
Ei и объем покоя ]/° можно получить из Ч*" (Qh p) частным дифференцированием
по параметрам состояния. Для энтропии из G.189), G.198) получим
S=-4f + eid4»7d9I. G.199)
Поскольку ?, по определению G.189), —инвариант, он может зависеть лишь
от инвариантной комбинации тензорных величин G.188). Единственной пи-
вариантной комбинацией из 9г- является норма этого времени подобного
вектора:
е = 9(8г) = (—W/2/c. G.200)
В результате
ЧГ(в„ p) = f(9, р), G.201)
где / — форм-инвариантная функция от 9 и р.
Из G.183) следует, что значение инварианта 9 равно «холоду», т, е.
9° = 9. G.202)
Таким образом, в (9г) просто инвариантный холод, выраженный через Вь
а 4-скорость имеет вид
?/г = 6./9. G.203)
В системе покоя инвариант ~Ч? в G.189)'сводится к
Ч^ЧР- — 9??J— 5° = 9°?0—S° = 9°G°, G.204)
где
G° = ?°—T°S° = Я0 + p°V0-~T°S0 G.205)
— свободная энергия Гиббса (включающая в себя и энергию покоя массы
p°V° тела). Здесь мы использовали G.185) и F.151). Величина
4го F°, р°) = f (9°, р°) = 9» G0 (9°, р») G.206)
является функцией параметров состояния 9°, р° в системе покоя, которые
в принципе могут быть определены посредством обычных лабораторных экс-
периментов с покоящимся телом. Тогда потенциал ? (9г, р) в системе S полу-
173
чается из G.201) заменой аргументов 6°, р° в Ч™ F°, р°) = f @°, p°) их выраже-
ниями 9, р через параметры состояния G.188) в 5:
?(8,, р) = ЧГ°(8, р). G-207)
В системе покоя, где 9? = i с 6° бг-4, три уравнения в G.198) выражают
тот факт, что ?? = 0 при i — |Х. Два оставшихся уравнения имеют вид
?о = (ф) Е\ = дЧГ»!дО° = 5 {9" G» (О9, p°)}/fl0°; |
р = {1 /0°) dW°Jdp° = dG° (Q°, р°)/др°, J '
т. е. совпадают с известными формулами классической термодинамики.
Упражнение
Инвариантный потенциал W является релятивистским обобщением свободной энер-
гии Гиббса. Заменив его свободной энергией Гельмгольца в системе покоя
Я@°, V())=H0 — T<>Sf> (av
или соответствующим отрицательным «потенциалом Планка»,
Ф°@°, V°)^Q0fOt (f;l:
можно, как н в G.207), определить инвариантный термодинамический потенциал
ф_Fг У°)=Ф°(8, I/O). (в)
Ф также можно рассматривать как функцию от Oj и объема V з системе S, который с уче-
том G.203) равен
V = V» (\—и-/с2)'Гл = icVyL't = icV''G/O4. (r)
Cлeдoвaтevlьi^o,
Ф Fb Vt ^фл (в, VejicQ). (д)
Показать, что частное дифференцирование Ф @^, V) по аргументам 9;, V дает
4-импульс и давление в форме [187J:
д. = —дФ @,-, V)!o%:, p = — (ic/e4) сФ (9j, F)/dV. (e>
Релятивистские потенциплы Ч1" и © связаны, очевидно, соотношением
(ж',
Показать, исходя из этого соотношения, что выражение G.198) и (е) для E-t н Gj согла-
суются с G.190).
§ 7.13. Идеальный газ. Излучение черного тела
В качестве простого применения развитого в предыдущем параграфе фор-
мализма рассмотрим случай идеального одноатомного газа, состоящего из N не-
взаимодействующих частиц с собственными массами т0. Для умеренных тем-
ператур, когда
kT"/m0 с2 = k/гщ с2 0" << 1 G.200}
системе покоя имеем обычное уравнение сое-
= NkTa = Nk/0°. G.2 i 0}
венной
G.211).
(k — постоянная Больцмана), в системе покоя имеем обычное уравнение сос-
тояния
Кроме того, энергия, включающая в себя и энергию покоя собственной
массы
равна
Н° = Nm0 с2 + 3Mfe/26°. G.212),
174
Из первого и второго законов для обратимых процессов имеем
dS° = — 9° dQ°o6p = №(dH° + pPdV°). G.213)
Дифференцируя G.210), G.212) и исключая Vй, получаем
dS°=— NkdlnipOQ*5'2), G.214)
откуда
S°=— ]Шп(р°ео5/2) + С, G.215)
где С — постоянная интегрирования.
Энтальпия Е" и потенциал W0 G.204) в системе покоя имеют вид
?» = Я0 + P°V° = Mn0c8+E/2) Mfe/8°; G.216)
с2Q° + NkIn(р°0°5/2) + E/2) Nk—С. G.217)
В соответствии с G.207) потенциал *F как функция параметров состояния
в произвольной системе S равен
ЧГ@{, р) = Nm0c2Q + Nkln(pQVZ) + E!2) Nk — C G.218)
Подставив это выражение в G.198), найдем 4-вектор энтальпии и объем
покоя как функции от (8г, р):
Ei (9,-, Р) = —dW/d6t = bVmoc2 + E/2) Mfe/0| 04/8с2; G.219)
у° (9., р) = A /е) {dT/^p) = Лг^/р9. G.220)
Здесь мы использовали соотношен!1е
^=— ег/0с2-— f/j/c2, G.221)
вытекающее из G.200) и G.203). Поскольку 8 и р — инварианты, G.220) пред-
ставляет собой просто другую форму уравнения состояния G.210).
С учетом G.210) и G.221) выражение G.219) для Et можно представить
также в виде
E^&Ui/c*, G.222)
что соответствует определению F.151) 4-вектора энтальпии.
4-Импульс Gi (Of, p) легко получается из соотношений G.190), G.219),
G.221) и (г) на стр. 171. С учетом инвариантности энтропии из формул G.199),
G.200) и G.221) имеем
__c. G.223)
Эту формулу можно получить также из S0 в G.215), положив р° = р, 8° = 6.
В качестве второго примера рассмотрим термически разновесное электро-
магнитное излучение внутри закрытой полости со стенками определенной тем-
пературы. Эту систему можно считать идеальной жидкостью с некоторым свое-
образным уравнением состояния. В системе покоя стенок поток электромаг-
нитного излучения равен нулю в каждой точке, и в соответствии с законом Сте-
фана — Больцмака плотность энергии h° определяется формулой
ДО = аР4 = а/е°*, G.224)
гле а = 7,6237 • 10~16 эрг! (см3 - °К4) = 7,6237 • 10"" дж/ (ms • °К4) —
постоянная Стефана — Больцмана. Излучение обусловливает нормальное
давление
р° = аТ04/3 = а/30« -.-= h°C, G.225)
которое не зависяv от объема V0 полос::!. Следовательно,
Н° = А0 V0 - а\ ""-/^. G.226)
175
Интегрируя уравнение G.123), в данном случае получаем
S° = 4aV°/3Q°\ G.227)
где постоянная интегрирования выбрана так, чтобы 5° = 0 при 8° = оо .
В системе S, относительно которой полость движется со скоростью и, им-
пульс и энергия в соответствии с F.149), G.225) и G.226) имеют вид
G.228)
г __ 4 аУР/В4 _ 4 Я°/с3
Н =
3 __
Зс3 A —• w2/c2) ~ A — и11с''
1 . Л . . _1_
3
Таким образом, соотношения между G, Н, /7° и и такие же, как и для
сферически симметричной электростатической системы [см. G.23)].
Спектральное распределение излучения черного тела описывается формулой План-
ка, в соответствии с которой в системе покоя плотность энергии, приходящаяся на интер-
вал частот между л>° и л>° + dv°, равна
hyo dvo = (.8n/c3)h\^dv!i/{exp(Qohvyk)—l}, G.229)
где h и к — постоянные Планка и Больцмана. Теперь излучение черного тела можно
рассматривать как фотонный газ, т. е. как совокупность частиц с нулевой массой покоя,
скоростью с и 4-импульсом
Pi = hai = (hve/c, ihv/c). G.230)
Здесь Oj — волновой вектор D.43) плоской монохроматической волны частоты v. Следо-
вательно, импульс р и энергия Е фотонов определяются формулами
p = /zve/c; E = cp = fiv. G.231)
В системе покоя Sa, где излучение обладает сферической симметрией, количество фото-
нов на единицу объема с частотами в интервале (vu, v° -f- dv0) и направлением е° внутри
телесного угла cfcou равно
р« = л*0 dy° Ао° = А°„ <Ь° ?to°/4:nAvo = 2vo2dv° rfo)°/c3 {cxp (9° hv°/k) —1|, G.232)
где р° •— искомая плотность фотонов. Плотность тока этих фотонов есть р°се°, а интенсив-
ность излучения
/v» dv° da)(>= ер0 /iv° = c/jv° nv° (iv0 cfto0. G.233)
Из G.232), G.233) для удельной интенсивности получим
У"» = c/i" rtv» = B/iv°3/c3)/{exp F° h\O/k) — 1}. G.23-11
В системе S, относительно которой черное тело движется со скоростью и, плотность фо-
тонов
pzinv(e)dvdui G.235)
равна четвертой компоненте 4-вектора Si, плотности 4-тока, пропорционального р,-
[см. D.214), E.3)]:
5г = (рсе/е, ip) = pcp,-/ftv. G.236)
Поскольку Si n pi — 4-векторы, коэффициент пропорциональности должен быть инва-
риантом, т. е.
p/v = p°/v° G.237)
ипи с учетом G.235), G.232)
nv (e) dv da> п%„ dv° dco° (v/v°), G.238).
176
где (dv, rfo, e) — величины в S, соответствующие величинам (uv°, dal\ eu) в S°. Соотно-
шение между dvda и dvadiiH получается из формулы (с) стр. 101, в соответствии с которой
pdpdu =p° dp^tfcoo G.239)
является инвариантом для любой частицы с нулевой массой покоя. Используя G.238),
формулу G.239) можно представить также в виде
dv° d<d« =rfv da (v/v°), G.240)
что с учетом G.238) приводит к соотношению
nv = <,vVv5. G.241)
Удельная интенсивность /v излучения определяется в S выражением, аналогичным пер-
вому выражению G.234):
/v°3. G.242)
Поскольку в соответствии с G.185) и G.230)
е,р{=е?р?=1с9<>Р4 =—еоьп, G.243)
нз G.242) и G.234) получим следующее выражение для удельной интенсивности /v, как
функции параметров состояния 9j, 4-нмпульса и частоты фотонов:
l}. G.244)
Вследствие G.183) и G.230) скалярное произведение — B-pi имеет вид
— QiPi^lvvQ, G.245)
где
0 = 00A— и.е/с)/A — и'/с2I'2, G.246)
так что G.244) принимает форму
/v = BAv»/cs)/{exp (eAv/ft)—l}. G.247)
Таким образом, распределение интенсивности излучения движущегося черного
тела имеет тот же вид, что и для покоящегося черного тела; только в данном случае вместо
6° используется «эффективный холод» 9, определяемый формулой G.246).
9 может быть больше нлн меньше 6°, в зависимости от направления движения от-
носительно наблюдателя.
Упражнение
Плотность импульса g н энергии h фотонного газа определяются, очевидно, выра-
жениями
g = JJ" (Av/c) env (e) dv d<a = < l/ca)j"J /v (e) e dv До; 1
ft = JJ Avny (e) d4 da = A /c2) ^ Iv(e)dvdw. j
Показать, что формулы для g и А, получаемые из (а) и G.244) интегрированием, соответст-
вуют выражениям G.228) для G и Н.
Вследствие вырожденности уравнения состояния G.225) термодинамическое сос-
тояние излучения черного тела нельзя описать с помощью переменных G.188), так как
собственный объем V0, а следовательно, и Я° не являются функциями р° и 9°. Поэтому
формулы G.198) уже не имеют смысла. Это находит свое выражение также в том, что
41*0 и V, определяемые из G.207), G.204) и G.225) — G.227), равны тождественно нулю.
Однако, потенциал Ф°, определяемый формулами (б), (а) на стр. 174, имеет ясный смысл.
Из G.226) и G.227) получим
3 (б)
откуда с учетом (д) на стр. 174
= — (a/Sic) V94/e4. (в)
Показать, что выражение (е) на стр. 174 для 4-нмпульса G{, получаемого диффе-
ренцированием Ф (9j, V) по 9?-, соответствует G.228). Показать также, что потенциал
фо @о( уо) для идеального газа, удовлетворяющий условию G.209), равен
— С, (г)
177
откуда с учетом (д) на стр. 174
5/2 k — C. (д)
Проверить, что соответствующее выражение для Gj из (е) на стр. 174 соответству-
ет F.149).
Когда температура Г* настолько высока, что условие G.209) не выполняется, фор-
мулу (г) для Ф° следует заменить формулой Джуттнера [122]:
фо(9<\ уо)= — Nk\n{B^ mlckV>/iQo) Н^~> {imoc2&2/k)j, (e)
где #2а> — функция Ханкеля первого рода и второго порядка. Если G.209) выпол-
няется, аргумент функции Ханкеля становится настолько большим, что можно восполь-
зоваться асимптотическим разложением
2. (ж)
Тогда (е) сводятся к (г) с точностью до несущественной аддитивной постоянной.
Глава
8
ОСНОВЫ ОБЩЕЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
§ 8.1. Общий принцип относительности
В соответствии со специальным принципом относительности, являющим-
ся основой СТО, все инерциальные системы, т. е. все жесткие системы отсчета,
движущиеся с постоянной скоростью относительно неподвижных звезд, пол-
ностью эквивалентны в отношении нашего описания природы. Математически
этот принцип выражается в ковариантности фундаментальных уравнений фи-
зики при преобразованиях Лоренца. Несмотря на внутреннюю логичность и
согласованность, которые характеризуют СТО, крайне неудовлетворительно
то обстоятельство, что из всех возможных систем отсчета эта теория выделяет
определенный тип систем отсчета—инерциальные системы. Этот недостаток
особенно сильно проявляется при исследовании так называемого парадокса
часов, уже упоминавшегося в § 2.6. Тогда нам пришлось отказаться от под-
линного решения этой проблемы, сославшись на то, что система S*, движущая-
ся вместе с часами, не является в течение всего промежутка времени инер-
циальной системой, и что поэтому рассмотрение задачи о парадоксе часов
вэтой системе координат выводит нас за рамки СТО.
Однако трудно сразу признать ускоренные системы отсчета эквивалент-
ными ынерциальным системам при списании явлений природы. (Когда в по-
следующих главах мы будем говорить об ускоренных системах отсчета, то
всегда будем иметь в виду системы, ускоренные относительно инерциальных
систем или неподвижных звезд.) Если мы рассмотрим, например, относитель-
но инерциальиой системы отсчета чисто механическую систему под действием
заданных сил, состоящую из совокупности материальных частиц, скорости
которых малы по сравнению со скоростью света, то для описания такой меха-
нической системы с хорошей точностью можно использовать фундаментальные
уравнения механики Ньютона. С другой стороны, если мы захотим описать
данную механическую систему в ускоренной системе отсчета, то нам следует
ввести так называемые фиктивные силы (центробежные силы, силы Кориоли-
са, и т. д.), не имеющие какой-либо связи с физическими свойствами самой
механической системы. В действительности, они зависят лишь от ускорения
введенной системы отсчета относительно инерциальных систем.
Именно по этой причине Ньютон ввел концепцию абсолютного пространст-
ва, представляющего собой такую систему отсчета, где все законы природы
принимают самую простую и естественную форму. Однако, как мы уже упо-
минали в начале гл. 2, понятие абсолютного пространства теряет свой физи-
ческий смысл, как только принят специальный принцип относительности,
поскольку, в соответствии с этим принципом, никаким экспериментом оказа-
лось невозможным выделить абсолютную систему отсчета. Поэтому Эйнштейн
[67, 69 — 71 ] предложил новую интерпретацию фиктивных сил в ускоренных
системах отсчета: вместо того, чтобы рассматривать эти силы как отражение
принципиального различия между фундаментальными уравнениями в рав-
номерно движущихся и ускоренных системах отсчета, считать оба типа сис-
тем отсчета полностью эквивалентными по отношению к форме фундаменталь-
ных уравнений, а «фиктивные» силы рассматривать как реальные силы наряду
с любыми другими силами природы. В соответствии с этой новой идеей появле-
179
ние таких специфических сил в ускоренных системах отсчета должно объяс-
няться тем, что удаленные массы неподвижных звезд ускоряются относитель-
но таких систем. Таким образом, «фиктивные» силы трактуются как вид гра-
витационных сил, т. е. ускорение удаленных масс вызывает появление «гра-
витационного поля» в рассматриваемой системе отсчета.
Мысль о том, что ускорение удаленных масс может создавать гравита-
ционное поле, не наблюдаемое в инерциальной системе, не более искусственна,
чем, например, тот факт, что электростатическая система имеет нулевое маг-
нитное поле в инерцнальной системе покоя зарядов, в то время как в любой
другой инерциальной системе, относительно которой заряд движется с постоян-
ной скоростью, магнитное поле не равно нулю. Причину появления магнитного
поля в «движущейся» инерциальной системе следует искать в перемещении
электрических зарядов относительно такой системы, и наличие магнитного
поля не является указанием на то, что фундаментальные уравнения электро-
магнетизма имеют разную форму в различных инерциальных системах. Един-
ственное существенное различие между двумя рассматриваемыми случаями
состоит лишь в том, что причину появления магнитного поля можно найти при
изучении движения в земных системах (например, изучая движение зарядов),
в то время как источники гравитационных полей в ускоренных системах от-
счета следует искать, изучая движение космических удаленных масс. Ранее
влияние космических масс считалось пренебрежимо малым; однако теперь мы
должны в рассматриваемую физическую систему включить и удаленные массы.
Только тогда, когда мы работаем в специальных системах отсчета, например
в ннерциальных системах, нет необходимости включать в рассмотрение уда-
ленные массы; в этом заключается единственное отличие инерциальных сис-
тем от всех остальных систем отсчета. Однако можно допустить, что при фор-
мулировке фундаментальных физических законов все системы отсчета эквива-
лентны. Это и есть так называемый общий принцип относительности.
§ 8.2. Принцип эквивалентности
Интерпретация фиктивных сил как сил гравитационных решающим об-
разом подтверждается тем, чтскши имеют существенное свойство, общее с обыч-
ным гравитационным полем — их способность всем свободным частицам сооб-
щать одинаковое ускорение независимо от их массы. Первым это свойство для
гравитационного поля Земли доказал Галилей. В качестве результата своих
экспериментов он смог сформулировать утверждение, что в пустом пространст-
ве все тела «падают с одинаковой скоростью». Этот результат выражает просто
тот факт, что сила, с которой гравитационное поле земли действует на частицу,
пропорциональна инертной массе частицы, определяющей инертность части-
цы к изменению состояния ее движения. Когда скорость частицы мала по срав-
нению со скоростью света, ее движение в направлении гравитационного поля
описывается уравнением тх = mg, где т — масса частицы и х — ее ускорение
в направлении гравитационного поля. Величина g есть мера напряженности
гравитационного поля и не зависит от массы частицы. Отсюда утверждается,
что отношение инертной массы частицы к ее гравитационной массе является
универсальной константой, зависящей лишь от единиц измерения. Эта теорема
теперь доказана многочисленными экспериментами [84, 85, 240, 286, 209].
Наиболее точные из них — эксперименты Этвеша, Зеемана и Дикке. В резуль-
тате всех экспериментов были получены одинаковые значения отношений
инертной и гравитационной масс. Особенно интересны эксперименты Саутернса
и Зеемана с ураном, относительно которого в то время уже было известно, что
он обладает большим дефектом массы. В гл. 3 мы видели, что любой энергии
Е соответствует инертная масса т = Е/с2, что подтверждено многочисленными
ядерными экспериментами (см. §3.7). Масса, определяемая при помощи масс-
спектрографа, очевидно, является инертной массой, и результат Зеемана по-
180
изывает, что энергия связи ядра урана, проявляющаяся в дефекте массы,
так соответствует гравитационной массе, что их отношение имеет ту же уни-
версальную величину, как и во всех других экспериментах.
В соответствии со сказанным выше, гравитационное поле можно охарак-
теризовать гравитационным ускорением, не зависящим от массы пробной час-
тицы. Это справедливо как для обычных гравитационных полей, обусловлен-
ных, например, тяготением Земли или Солнца, так и для тех гравитационных
полей, которые появляются в ускоренных системах отсчета и обусловлены
удаленными массами неподвижных звезд. В самом деле, гравитационное поле
на поверхности вращающейся Земли является результирующим этих двух по-
лей разного типа, поскольку центробежная сила, обусловленная вращением
Земли, вообще не пренебрежимо мала по сравнению с силой притяжения Земли.
Поэтому совершенно естественно предположить, что оба вида гравитационного
поля имеют одинаковую природу и подчиняются одним и тем же фундамен-
тальным законам. Это предположение часто называют принципом эквива-
лентности (точная формулировка этого принципа дана в § 9.6). Известно, что
гравитационные поля, обусловленные удаленными массами, исчезают при
соответствующем выборе системы отсчета, например инерциальной системы,
однако гравитационные поля «близких» масс (например, Земли или Солн-
ца) невозможно исключить никаким выбором системы отсчета; последние
мы будем относить поэтому к так называемым неустранимым гравитационным
полям.
Данная ситуация совершенно аналогична случаю с магнитными полями,
с которыми сравнивались гравитационные поля в § 8.1. Если заряды, создаю-
щие электромагнитное поле, имеют одинаковую постоянную скорость относи-
тельно неподвижных звезд, то выбором системы покоя зарядов в качестве сис-
темы отсчета можно полностью исключить магнитное поле; в этой системе
электромагнитное поле будет чисто электростатическим полем. Однако в об-
щем случае невозможно выбрать систему отсчета, в которой магнитное поле
везде отсутствует. Тем не менее и в этом случае мы не считаем электромагнит-
ное поле существенно отличным от поля в системе, где магнитное поле исклю-
чено. Электромагнитное поле во всех случаях описывается одними и теми же
фундаментальными уравнениями — уравнениями Максвелла.
Важнейшая задача теперь — найти общие фундаментальные законы, ко-
торым должны подчиняться все виды гравитационных полей. Сначала необ-
ходимо определить полевые функции, которые могут дать адекватное описание
гравитационных полей. Рассмотрим сначала простой случай, когда отсутст-
вует неустранимое гравитационное поле. Соответствующим выбором системы
отсчета (например, инерциальной системы) можно исключить гравитацион-
ное поле и использовать в этой системе уравнения СТО. Простое преобразо-
вание к ускоренным системам отсчета позволяет определить полевые величины,
описывающие гравитационные поля в ускоренных системах. В соответствии
с принципом эквивалентности можно предположить, что эти величины дают
корректное описание также и более общих неустранимых гравитационных
полей.
Рассматриваемая здесь гравитационная масса есть пассивная гравитационная мас-
са, определяющая величину силы, с которой данное гравитационное поле действует на тело.
Именно эта величина в общей теории относительности (ОТО) предполагается в точности
равной инертной массе, в отличие от теории Ньютона, где это равенство — случайный
факт. Кроме пассивной массы, тело обладает еще и активной гравитационной массой,
определяющей напряженность гравитационного поля, создаваемого телом. В теории
Ньютона обе гравитационные массы равны, так как, в соответствии с третьим законом
Ньютона, гравитационная сила, с которой тело 1 действует на тело 2, в точности равна и
противоположна по направлению гравитационной силе, с которой тело 2 действует на те-
ло 1. Однако в ОТО — настоящей полевой теории гравитационных сил — третий закон
Ньютона теряет свое значение. Тем не менее, в § 11.10 будет показано, что активная гра-
витационная масса островной системы в точности равна ее инертной массе и, вследствие
принципа эквивалентности, равна ее пассивной гравитационной массе.
181
§ 8.3. Равномерно вращающаяся система координат.
Пространство и время в общей теории относительности
Развитие идей общего принципа относительности приводит, как мы увидим,
к еще более радикальному пересмотру понятий пространства и времени, чем
в СТО. Для иллюстрации характера проблем, с которыми нам придется столк-
нуться, рассмотрим самую простую ускоренную систему отсчета — равномерно
вращающуюся жесткую систему.
Пусть / — некоторая инерциальная система, настолько удаленная от всех
масс, что в ней можно пренебречь всеми гравитационными эффектами, и пусть
X, Y, Z, Т — обычные пространственно-временные координаты, определяемые
обычным методом, уже рассмотренным в § 2.2 и 2.3. Для фиксирования точек
в физическом пространстве будем использовать вместо декартовых криволи-
нейные координаты. Ограничиваясь рассмотрением событий в плоскости XY,
введем полярные координаты (R, 9) с помощью соотношений:
X = R cos 9; Y = R sin 9. (8.1)
Теперь можно определить равномерно вращающуюся систему координат
S с пространственными координатами
х = г cos ft; у = г sin ft, (8.2)
где
г - R; ft = G — аТ. (8.3)
Любая фиксированная точка вращающейся системы с постоянными значения-
ми (х, у) или (г, ft) совершает в системе / круговое движение с постоянной угло-
вой скоростью со. При Т = О обе системы совпадают.
Следовательно, для всех точек с
г = Я< с/at (8.4)
вращающуюся систему отсчета можно представить в виде равномерно вра-
щающегося диска. Каждая точка р на этом диске характеризуется двумя числа-
ми (х, у) или (г, ft), которые равны координатам (X, Y) ил я (R, 0) той точки
неподвижной плоскости XY, с которой в момент времени Т — 0 по часам си-
стемы / точка р соЕпадает.
Для измерения расстояний во вращающейся системе используем стандарт-
ную измерительную линейку того же типа, что и в инерциальной системе,
но покоящуюся относительно вращающегося диска. В процессе измерения
расстояний в ускоренных системах отсчета возникают проблемы, не встре-
чающиеся в инерциальных системах. Если измерительная линейка удержи-
вается в некотором фиксированном положении относительно ускоренной сис-
темы, то она в общем случае будет подвергаться действию сил, которые могут
привести к деформации измерительной линейки, так как согласно СТО абсо-
лютно твердые тела не существуют, ибо в противном случае с их помощью
можно было бы передавать сигналы со скоростями, большими скорости света.
Рассмотрим, например, измерительную линейку, расположенную в на-
правлении радиуса на вращающемся диске и прикрепленную в точке (г, ft).
Центробежные силы обязательно вызовут удлинение этой измерительной
линейки. Однако такая деформация зависит от упругих свойств материала
линейки и легко учитывается. Теперь сделаем предположение, что после учета
деформаций измерительные линейки на вращающемся диске имеют такую
же длину относительно системы I, какую имеет стандартная измеритель-
ная линейка в инерциальной системе /°, движущаяся в рассматриваемый момент
времени с той же скоростью, что и измерительная линейка на вращающемся
диске. В общем случае будем предполагать, что (с учетом деформаций) стан-
дартные измерительные линейки в ускоренной системе по отношению к стан-
дартным линейкам в 1 подвергаются лишь лоренцеву сокращению; это означает,
что длина линеек не зависит от их ускорения относительно системы I.
Поэтому, если мы с помощью стандартной линейки измерим расстояние
между двумя точками на диске (г, ft) и (г + dr, ft), то получим
da = dr, (8.5)
182
поскольку скорость линейки относительно / перпендикулярна к направлению
линейки и не приводит к лоренцеву сокращению. Если же мы рассмотрим на
диске две точки с координатами (г, О) и (г, €¦ + dft), то окажется, что изме-
рительная линейка, соединяющая эти две точки, имеет скорость га> относитель-
но /, параллельную направлению линейки. Это приводит к сокращению изме-
рительной линейки относительно системы / в соответствии с формулой Ло-
ренца B.33). Поэтому расстояние между двумя точками, измеренное сократив-
шейся линейкой, будет равно
r2w2/c2. (8.6)
Аналогичным образом, повторяя предыдущие рассуждения и используя теоре-
му Пифагора, найдем расстояние da между двумя соседними точками (г, Ь) и
(г + dr,® + d$), измеренное на диске стандартной линейкой:
7l— rW/c2). (8.7)
Ясно, что геометрические соотношения, полученные с помощью стандарт-
ных измерительных линеек, покоящихся относительно диска, в общем случае
отличаются от соотношений евклидовой геометрии. Рассмотрим, например, кри-
вую, заданную уравнением г = const. Эта кривая в соответствии с (8.5) пред-
ставляет собой окружность радиуса г. Однако длина этой окружности, в со-
ответствии с (8.6), равна
2я
I rdu/V\—r*<iPid* = 2лг//1—гг(о2/с2. (8.8)
о
Поэтому отношение длины окружности к ее радиусу равно не 2я, а
2я/К1 — г2б>2/са > 2я,
Таким образом, общий принцип относительности, в соответствии с которым
при описании природы ускоренные системы координат и инерциальные сис-
темы эквивалентны, заставляет нас в некоторых случаях отказаться от евк-
лидовой геометрии, которая даже в специальной теории относительности
считалась единственным средством описания пространства, что, в частности,
еще отстаивал и Кант. Кроме того, в ускоренных системах отсчета в общем слу-
чае невозможно использовать декартовы координаты (см. § 8.6), и мы вынуж-
дены при определении точек физического пространства пользоваться общими
криволинейными координатами.
Общий принцип относительности требует также нового пересмотра поня-
тия времени. В СТО время в инерциальной системе определялось с помощью
стандартных часов, размещенных в различных точках системы и синхрони-
зированных с помощью световых сигналов методом, рассмотренным в § 2.2.
Двое часов, отрегулированных таким методом, синхронно отсчитывают время.
Аналогично можно определить время во вращающейся системе координат,
используя стандартные часы, закрепленные в различных точках этой системы
и отрегулированные в соответствии со стандартными часами инерциальной
системы /. Такую регулировку можно сделать, например, устанавливая часы
во вращающейся системе на нуль и пуская их в тот момент времени, когда
часы в системе /, с которыми они совпадают, показывают нулевое время. Тогда
во вращающейся системе t ~ 0 при Т — 0. Однако стандартные часы в точке
(г, Щ на диске имеют относительно системы / скорость га и потому, согласно
-(?.36), отстают по сравнению с часами в /, так что в последующее время имеем
гг а>г1(?. (8.9)
Это означает, что, в соответствии с предположением § 2.6, только скорость,
;; не ускорение, влияет на темп хода стандартных часов. На самом деле, до-
статочно сильные ускорения будут, конечно, оказывать влияние на скорость
холп реальных часов > часы, упавшие ка пол), но такой эффект, зависящий лишь
183
от материала часов, может быть легко учтен, как и деформация измеритель-
ной линейки [168, 169].
Описание времени во вращающейся системе, которое получается при
использовании временной переменной t, определяемой формулой (8.9), ока-
зывается, однако, чрезвычайно неудобным (хотя в принципе допустимым).
Представим, например, источник света (атом), расположенный в точке А (г, Щ
и испускающий свет с собственной частотой v0. Число световых волн, испу-
щенных за время 0 ^ t ^ 1, равно, по определению, v0. Тогда количество
волн, испущенных за время 0 ^ Т^ 1, равно, согласно (8.9), vol/"l —г2со2/с2.
Такое же количество волн прибудет в центр 0 (г = 0) в течение интервала вре-
мени 0 ^ Т ^ 1 или, поскольку t — Т при г = 0, в течение времени
0 ^ / ^ 1.
Следовательно, по шкале времени t количество волн, испущенных из точ-
ки А за единицу времени, больше количества волн, прибывших за это же вре-
мя в центр 0. Поэтому использование этой временной переменной приводит
к очень сложному описанию распространения света. Даннсе рассуждение по-
казывает, что в ускоренных системах отсчета неудобно использовать времен-
ную переменную, определяемую стандартными часами, и что значительно про-
ще пользоваться часами с различной скоростью хода. Например, в случае
вращающегося диска удобнее всего использовать координатные часы, скорость
хода которых в любом месте в A — г2ю2/с2)~1/2 выше скорости хода соот-
ветствующих стандартных часов. Тогда временная координата t, определяе-
мая этими координатными часами, совпадает с временной координатой в сис-
теме /, т. е. вместо (8.9) имеем
t = T. (8.10)
В принципе, допустимо использование координатных часов с произволь-
ной скоростью хода, лишь бы временная переменная г, определяемая такими
часами, обеспечивала разумное описание хронологической последовательности
физических событий. Таким образом, в ускоренных системах отсчета прост-
ранственные и временная координаты не имеют прямого физического смысла;
они просто описывают некоторое произвольнее, но однозначное чередование
физических событий.
§ 8.4. Неевклидова геометрия. Метрический тензор
Пространственная геометрия на вращающемся диске, как мы видели,
является неевклидовой. И хотя все геометрические построения в трехмерном
физическом пространстве полностью согласуются с теоремами евклидовой гео-
метрии, представление о неевклидовой геометрии в двух измерениях не яв-
ляется чем-то новым для нас, так как мы встречаемся с примерами таких гео-
метрий на любой кривой поверхности. (Хорошо известен пример сферической
геометрии на поверхности сферы.) В качестве введения к изучению неевкли-
довых геометрий в n-мерном пространстве рассмотрим геометрию произволь-
ной двухмерной поверхности, вложенной в трехмерное евклидово пространство.
Если х, у, z — декартовы координаты в этом пространстве, то двухмерная
поверхность определяется параметрическими уравнениями
х - F {х\ х2); y = G (x\ x% z = Н (х\ х*), (8.11)
где F, G, Н — заданные функции от двух параметров х1 н хг, определенных
в некоторой области. Дифференцируя (8.11), получаем
dx = dF dx1jdx1 -\- dF dx'/дх2;
(8.1 Г)
dy = dG dx^'dx1 + dG dx*!dx2;
dz = дН ЛхЧдх1 + дН dx-jdx2.
181
Расстояние ds между двумя близкими точками поверхности, соответст-
вующими значениям параметров (х\ х2) и (х1 + dx1, х2 + dx2), равно ds% =
= dx" + dy- -j- dz1, где dx, dy, dz определяются линейными относительно
dx1 и dx2 выражениями (8.1 Г). Тогда для ds2 имеем следующую однородную
квадратическую форму относительно dx1 и dx2:
ds* = gu (dx1J + g12 (dx1 dz2) 4- gal (dx2dx1) + ?22 (dx2J, (8.12)
(dF
Угол 6 между двумя линейными элементами ds и As, соответствующими бес-
конечно малым приращениям Eх<) = (дх1, бх2) и (Дх') = (Дх1, Ах2) пара-
метров х1 и х2, дается формулой
cos 0 = (бх Дх + Ьу Ау + & A2)/6s As, (8.13)
где (бх, &у, бг) и (Дх, Дг/, Дг) — бесконечно малые приращения х, у, г, полу-
ченные из (8.11') заменой dx1 — (dx1, dx2) на Ьх1 и Дх' соответственно. С уче-
том (8.1 Г) и (8.12) формула (8.13) принимает вид
Линейные элементы (бх') и (Ах') определяют также инфинитезимальный парал-
лелограмм на поверхности с площадью
da = 6sAssin6. (8.14')
Кривые на поверхности (8.11)
х1 = const (8.15 а)
или
х2 = const
(8.15 б)
называются координатными линиями. Любая точка на поверхности является
точкой пересечения двух координатных линий из семейств (8.15 а) и (8.15 б).
Если линейные элементы (бх') и (Дх') лежат в направлениях этих координат-
ных линий, то Fх'-) = (dx1, 0) и (Дхг') = @, dx2), и из (8.12) и (8.14) имеем
6s=(gllI/2 dx\
где
Sll §12
§21 §22
\gtu
(8-16)
есть определитель матрицы коэффициентов gik.
Следовательно, для площади параллелограмма do из (8.14') получаем
do -
dx2.
(8.17)
Если параметрическое представление поверхности (8.11) имеет то свой-
ство, что любой совокупности значений параметров х1' = (х1, х2) соответствует
одна и только одна точка поверхности, то хг' = (х1, х2) представляет собой
систему общих криволинейных координат на двухмерной поверхности. Тогда
все основные геометрические величины на данной поверхности можно выра-
зить только через эти координаты, не пользуясь переменными трехмерного
пространства, в которое вложена двухмерная поверхность. Если gih —
185
= gih (Л'О ~ заданные функции координат (*<), то линейный элемент опре-
деляется формулой (8.12), т. е.
(8.18)
Здесь по повторяющимся индексам i, k производится суммирование от 1 до 2.
Угол G между линейными элементами фх1) и (Дх*) определяется формулой
(8.14):
tos ° = gih № kxklfUik Ьх> Ьхк
а площадь параллелограмма, определяемая двумя линейными элементами
в направлениях координатных линий, вычисляется по формуле (8.17). Вели-
чины gik являются компонентами так называемого метрического тензора,
который определяет геометрию на поверхности, в общем случае неевклидову.
§ 8.5. Геодезические линии
Прямые линии, определяемые в евклидовой геометрии как линии наи-
меньшей длины между двумя точками, в более общем случае заменяются гео-
дезическими линиями, которые подобным же образом можно определить из
вариационного принципа.
Рассмотрим произвольную кривую, соединяющую две гочки Рх и Р2 двух-
мерной поверхности. В параметрическом представлении этой кривой координа-
ты х1 = (л;1, х-) можно считать некоторыми функциями от произвольного па-
раметра X в интервале Xt < Я< Х2, т. е.
х* = х*(к), i=\, 2. (8.20)
Пусть L — L (х1, х') — заданная функция переменных х1' и хс = dx4dX. Кри-
вая (8.20), соединяющая две фиксированные точки Рг и Р2, которая дает ин-
тегралу J L (х?, х1) dX стационарное значение, определяется условием
L(xl, xi)dX = 0 (8.21)
для всех инфиннтезпмальных вариаций 6х' (Я), удовлетворяющих гранич-
ному условию
бх-j (Хх) = бх'" (Х„) = 0. (8.22)
Следовательно,
б [ LdX = \ {(dL/dx1) Ьх1 (X) + (dLJdx1) бх1 (X)} dX, (8.23)
и, поскольку §xl = d (bxl)ldX, интегрируя последнюю величину в (8.23) по
частям и учитывая (8.22), получаем
b\ LdX= \ {dL/dxi—d(dL/dxi)/dX}6xl(k)dX.
Этот интеграл может равняться нулю при всех возможных вариациях б*1' (X)
только в том случае, когда множитель в фигурных скобках для всех точек
кривой равен нулю. Следовательно, вариационный принцип (8.21),(8.22) экви-
валентен дифференциальным уравнениям Эйлера:
d/dX (дидх1) — д1!дх1 ¦= 0,
x^dx'/dX. (8.24)
186
Если L — однородная функция гс-й степени от переменных х\ то
nL, (8.25)
и легко видеть, что при п Ф 1 функция L (х1, х1) должна быть тогда постоян-
ной вдоль кривой, удовлетворяющей дифференциальным уравнениям (8.24).
В самом деле, из (8.24) и (8.25) имеем
dX дх1 дх' dX V дх1
Следовательно,
(л — 1) dLldX = 0. (8.27)
Если я Ф 1, то
L{xl, л?) = const (8.28)
является интегралом уравнений (8.24). Теперь геодезические линии определим
из вариационного принципа (8.21), где
L {х1, а-') - gik (dx4dX) (dxkfdX) = (ds/dXJ. (8.29)
Соответствующие уравнения Эйлера (8.24)
d (gik dx^/dX)/dX = (dguldxi) (dxk/dX) {dx1/dX)j2 (8.30)
представляют собок два дифференциальных уравнения второго порядка для
двух функций а-'" (>.). Поскольку L в (8.29) — однородная функция второй сте-
пени относительно л",
L = gih (dx'fdl) (dx*[dk) = {dsjdXf = const (8.31)
является интегралом системы (8.30). Соответствующим выбором параметра
). всегда можно добиться, чтобы постоянная в правой части (8.31) равнялась
единице. Это означает, что в качестве параметра X мы выбрали длину дуги
я геодезической линии. Тогда (8.30) и (8.31) примут вид
d (gih dxklds)lds = {dgbitdx1) [dx4ds) (dxlfds)/2,
gih {dx'4ds) (dxk/ds) = 1. (8.32)
Видно, что кривые, определяемые соотношениями (8.30) и (8.31), удовлетво-
ряют также уравнениям Эйлера (8.24), где L — \gth (dx'/dX) (dxil!dX))xl2. Это
означает, что геодезические удовлетворяют также вариационному уравнению
gift {dx4dX) {dxk/d).)]xt2dK = б J ds = 0, (8.33)
т. е. расстояние между двумя точками, измеренное вдоль геодезической, сое-
диняющей эти две точки, имеет стационарное значение. Теперь при заданном
метрическом тензоре gtk как функции от координат хс геодезические и углы
между двугч5я пересекающимися геодезическими, как и расстояние между дву-
мя точками, измеренное вдоль соединяющей их геодезической, полностью опре-
деляются соотношениями (8.32), (8.19) и (8.18). Поэтому мы можем вывести
все геометрические теоремы о треугольниках и других геометрических фигу-
рах, образованных геодезическими на поверхности. Это значит, что геометрия
в двухмерном пространстве полностью определяется величинами gih (x!).
187
§ 8.6. Непосредственное измерение метрики.
Геометрия n-мерного пространства
Выводы предыдущего параграфа совершенно не зависят от используемой
системы координат. Если мы возьмем другую систему криволинейных коорди-
нат х'\ связанных с первоначальными координатами х1 соотношениями
х" = Р(х\ х2), (8.34)
то
dx'1 = (df4dxk) dxk, (8.35)
т. е. дифференциалы координат выражаются друг через друга линейно. Поэ-
тому если с помощью (8.35) исключить dx1 в (8.18), то ds2 также будет являться
однородной квадратической формой от dx4:
ds* = gih dxi dxk = g'k dx>1 dx>kt (836)
где коэффициенты glk считаются функциями от новых переменных х'1.
Поскольку геодезические определяются инвариантным вариационным
принципом (8.21), (8.29), дифференциальные уравнения для геодезических в но-
вых переменных получаются из (8.30) или (8,32) простой заменой gik и х1 на
glk и хч соответственно; другими словами, уравнения (8.30) ковариантны или
форм-инвариантны. То же самое справедливо и для формулы (8.19).
Если преобразованием типа (8.34) можно ввести такие координаты X1 =
= /' (xk), что линейный элемент в новых координатах будет иметь форму
ds* = {dX1J + (dX2J = dih dX* dX*, (8.37)
то геометрия на поверхности — евклидова. В этом случае координаты X1 иг-
рают ту же роль, что и декартовы координаты в евклидовой плоскости. Диф-
ференциальные уравнения геодезических (8.32) в переменных X1 сводятся
к уравнениям
d2X4ds* = 0, (8.38)
совпадающим по форме с уравнениями прямых в декартовых координатах.
Примерами таких поверхностей являются поверхности цилиндра и конуса,
которые могут быть развернуты на плоскости без внутренних деформаций. На
таких поверхностях все геометрические соотношения для треугольников и
других фигур совпадают с соотношениями евклидовой геометрии; и если нас
интересует лишь двухмерная геометрия на поверхности, то такие поверхно-
сти можно считать тождественными. Вообще, на поверхности невозможно ввести
такие (декартовы) координаты, чтобы линейный элемент описывался формулой
(8.37). В этом случае геометрия на поверхности уже не евклидова, а риманова.
Во всяком случае, геометрию на поверхности можно определить с помощью
одних только измерений на ней, т. е. без использования координат евклидова
пространства, в которое вложена данная поверхность. Предположим, что мы
ввели некоторую систему координат х1, т. е. непрерывное взаимно однознач-
ное соответствие системы чисел (х1) и точек на поверхности. С помощью из-
мерительной линейки можно измерить расстояние ds между точками xi и
х1 + dx1. Поскольку ds и dx': известные числа, формула (8.18) дает одно урав-
нение для определения неизвестных gik. Но двухмерный метрический тензор
имеет только три независимые компоненты. Поэтому, измеряя три линейных
элемента по разным направлениям с общим началом в точке х', полностью оп-
ределим значения gik в этой точке. Это можно проделать для любой точки по-
верхности п тем самым экспериментально определить метрический тензор.
Таким образом, геометрия на поверхности становится эмпирической, и ис-
следование ее ограничено лишь точностью измерений. Теперь вообразим, что
мы нагреваем поверхность в окрестности точки, где приложена измерительная
188
линейка, в результате чего она удлиняется. Если не учитывать это удлине-
ние, то с помощью описанного выше метода получаются неточные значения
для компонент метрического тензора. Однако, поскольку термическое расши-
рение зависит от материала измерительных линеек, такую погрешность легко
учесть и получить «реальные» значения для компонент метрического тензора.
С другой стороны, очевидно, что если все измерительные линейки вблизи дан-
ной точки по какой-либо причине удлинились в одинаковой степени, неза-
висимо от материала линеек, то такое удлинение невозможно заметить и
учесть однозначным образом. Поэтому нельзя утверждать, что такое удлине-
ние имеет место, а с физической точки зрения метрический тензор и другие
геометрические величины, полученные с помощью таких измерений, должны
давать «реальную» геометрию на поверхности.
Все рассуждения данного параграфа для случая двух измерений можно
обобщить на пространства 3, 4 и л измерений. Разница лишь в том, что точки
в я-мерном пространстве характеризуются п координатами х1 и все индексы
в предыдущих формулах должны теперь изменяться'от 1 до п. Тогда длина
линейного элемента и угол между двумя линейными элементами снова опреде-
ляются формулами (8.18) и (8.19) соответственно, а геодезические линии —
с помощью п уравнений (8.30) или из вариационного принципа (8.21), (8.22),
(8.29).
§ 8.7. Общие ускоренные системы отсчета.
Наиболее общие допустимые преобразования координат
В § 8.3 мы выяснили, что пространственная геометрия в равномерно вра-
щающейся системе отсчета неевклидова, а описание времени более сложное,
чем в инерциальной системе, что можно объяснить влиянием гравитационного
поля, присутствующего во вращающейся системе отсчета. Поэтому, в соот-
ветствии с принципом эквивалентности, мы должны ожидать, что гравитацион-
ное поле в общем случае будет проявлять себя не только в виде гравитацион-
ных сил (центробежные силы, силы Кориолиса, силы притяжения между мас-
сами и т. д.), но и сказываться на результатах пространственных и временных
измерений.
Рассмотрим снова инерциальную систему / с обычными пространственно-
временными координатами (X, Y, Z, Т). Каждой совокупности значений этих
переменных соответствует определенное событие, представляющее собой точку
в C + 1)-пространстве с координатами
Х' = (Х, У, Z, Т). (8.39)
Лоренцевы координаты (8.39) отличаются от координат, определенных в D.2),
только отсутствием множителя I, в четвертой координате. Следовательно,
четырехмерный линейный элемент D.26) принимает форму
Z*—с" dT2 = r\ihdX!dXk, (8.40)
где
0 при 1Фк;
4ih= 1 при i = k=l,2, 3; (8.41)
— 1 при i — k — A.
Теперь вместо псевдодекартовых координат Лоренца X' введем общие криво-
линейные координаты х' с помощью преобразований
x?=*.v{X% (8.42)
где х1 (Xk) — произвольные непрерывные дифференцируемые функции пере-
менных (X*). Преобразования (8.1), (8.3), (8.10) являются частным случаем
189
(8.42). Дифференцируя^(8.42), получаем
dx^j^dX^AidX". (8.43)
Из соотношений, обратных (8.42), тем же способом получим
dXi = -^- dxk = Alk dxK (8.44)
Подставляя (8.44) в правую часть (8.43), находим, что
Отсюда
\{ Ы \°П^^к (8.45)
[1 при i = k.
Аналогично подставляя (8.43) в (8.44), имеем
А\А1к = Ы. (8.45')
Затем, исключая dXc в (8.40),'_получаем следующее выражение для интервала:
dsz = gik dxl dxk- (8.46)
gtk = g*t = 4im M AT = A) A\- AfA%. (8.47)
(Греческие индексы пробегают значения от 1 до 3, а латинские — от 1 до 4.)
Система S координат (х1) в 4-пространстве, заданная преобразованиями
(8.42), соответствует некоторой системе отсчета R в трехмерном физическом
пространстве. Точка отсчета р в R определяется как точка с постоянными зна-
чениями трех пространственных координат (х*1), а координаты xi = (х^-, ct)
с изменяющимся t описывают последовательные события в р. Тогда система
отсчета R, соответствующая системе координат S, определяется как совокуп-
ность всех точек отсчета р с различными постоянными значениями (х*). В об-
щем случае такая система отсчета уже не будет жесткой, поскольку различ-
ные точки отсчета могут иметь различные скорости относительно /. Поэтому
движение различных точек в системе отсчета будет аналогично движению
жидкости, и мы ограничимся лишь такими преобразованиями (8.42), для ко-
торых соответствующая система отсчета может быть описана реальной жид-
костью. Это значит, что скорости всех точек в системе отсчета относительно
/ должны всегда быть меньше с. Поскольку для любой такой точки dx^ — О,
для компонент ее скорости v* относительно / из (8.44) получим
l- (8.48)
Ксли эта скорость меньше с, то
оа/са = о«1о»*/с2<1, или Л?Д2—AiAi<0. (8.49)
Чтобы система отсчета, описываемая формулами (8.42), могла быть реализо-
вана физически, допустимые пространственно-временные преобразования
должны удовлетворять условию (8.49) или с учетом (8.47) условию
?44 <0. (8.50)
Представим себе, что в каждой точке системы отсчета мы поместим часы,
показывающие время t = xilc. Тогда мы должны потребовать, чтобы введен-
ное таким способом определение времени давало разумное причинное описа-
ние физических явлений.
Следовательно, сигнал, испущенный из точки (х^) в момент времени /,
должен достичь точки дг-и + dx*1 в момент времени t + dt с положительным
d(. Поскольку скорость сигнала относительно / не более с, линейный элемент
rfs4 = dXv- dX^ — c2dT~ для двух соседних точек на мировой линии сигнала
190
должен быть меньше или равен нулю. Это значит, что в системе координат
х1 ds2 = gikdxidxk < 0.
Другими словами, любые два события, одновременные в системе (х1), т. е.
события, для которых dx* = 0, нельзя связать световым сигналом, так что
в этом случае мы должны иметь glhdxldxk > 0, или, поскольку dx* — 0,
dx» dxv > 0, (8.51)
т. е. квадратическая форма g^ dx^dx? — положительно определенная. Необ-
ходимым и достаточным условием для этого является положительность мино-
ров матрицы коэффициентов ^v- Поэтому допустимые преобразования (8.42)
должны быть такими, чтобы компоненты соответствующего метрического
тензора gik удовлетворяли условиям:
ftl §12 ft Я
§
33
g«<0,
где [а и v могут принимать^юбые значения из совокупности 1, 2, 3. (В
суммирования по (д,.)
Из (8.52) следует, что определитель
(8.52)
нет
fti
Вводя с помощью преобразований
Sl3
gli
?
44
(8.53)
dx'1' = 4 dx" = (дх'11дхк) dxk (8.54)
dx1 = ai dx'k = {дхЧдх'к) dxfk
новую систему координат по аналогии с (8.45), (8.45'), имеем
I ~/ 21* ^Л sJ- /о с "¦ ч
^•l Cfe = ОС/ СС.? = О^- ^О.ОО/
Интервал ds в новых" переменных снова будет однородной квадратической
формой:
ds2 = gih dx1 dxk = gik dx'1 dx'*t
(8.56)
где
(8.57)
— новые функции от координат х'К Соотношения, обратные (8.57), следующие
(8.58)
что легко проверяется подстановкой (8.57) в (8.58) с использованием (8.55).
Преобразования (8.54) должны быть такими, чтобы новые функции gU удов-
летворяли условиям (8.52). В общем случае система отсчета R', определяемая
системой координат (хч), отлична от системы отсчета R, определяемой коорди-
натами (*'), но если преобразования (8.54) имеют вид
х'» =
х\ x't = x'*(xi) = f(x% (8.59)
где пространственные координаты х* являются функциями лишь от прост-
ранственных координат xv, то системы отсчета R' и R совпадают, так как в этом
случае мы просто вводим другой метод упорядочивания точек в системе R вмес-
191
ie с произвольным непрерывным изменением скорости хода координатных
часов. В то время как любая система S координат (л;') соответствует одной и
только одной системе отсчета R в физическом пространстве, в данной системе
отсчета всегда можно ввести бесконечное количество пространственно-вре-
менных координатных систем S, связанных между собой преобразованиями
типа (8.59). Очевидно, что в случае специальных преобразований (8.59) соот-
ветствующие коэффициенты а\ и а1к удовлетворяют условиям:
ctf = o# = O. (8.59')
Вообще гравитационные поля в различных системах координат будут
разные, но по физическим причинам во всех системах координат, связанных
преобразованиями (8.59), гравитационные поля удобно считать одинаковыми,
поскольку все такие координатные системы соответствуют одной системе от-
счета. Однако в различных системах отсчета гравитационные поля уже не бу-
дут одинаковыми. Исключение составляют инерцпальные системы отсчета,
в которых отсутствуют гравитационные поля.
§ 8.8. Пространственные измерения и измерения времени
в произвольной системе отсчета.
Экспериментальное определение коэффициентов gik
Рассмотрим произвольную систему отсчета R, соответствующую некото-
рой системе координат (х1), и в ней две точки А и В с пространственными ко-
ординатами (л;^) и (л^1 + dx») соответственно. Пространственное расстояние
do между точками А и В в момент времени t = х*/С можно измерить стандарт-
ной измерительной линейкой, покоящейся относительно А. В пределе, при
очень малом dx^ точка В практически также будет покоиться относительно
измерительной линейки. Чтобы do Еыразить через gik, введем инерциальную
систему /°, относительно которой в момент времени t точка А (а приблизи-
тельно и точка В) покоится. Если X1 — псевдодекартовы пространственно-
временные координаты в /°, то преобразования от /° к R определяются
формулами (8.42) — (8.48). Но поскольку 1° — система покоя для точки А
в рассматриваемый момент времени, из (8.48) имеем
Л!»=0 (8.60)
в точке Айв момент времени t. Разность dX» между одновременными значе-
ниями декартовых координат точек А и В получается из (8.44), если положить
i --- |i и dxl — dt = 0. Тогда
A$dxl. (8.61)
Величина А% dxl в (8.44) согласно (8.60) равна нулю, даже при dxl Ф О,
следовательно, значения dxv- примерно такие же, как и для одновременных
относительно /° положений точек А и В.
В соответствии с общим предположением, сформулированным на стр. 182,
стандартная измерительная линейка в системе R имеет ту же длину, что и из-
з
мерительная линейка в /°, поэтому do2 = 2 (dX^J. Учитывая выражения для
dX&, видим, что do2 представляет собой квадратнческую форму от дифферен-
циалов (dx*1), т. е.
da* = yVLVdx»dxv, (8.62)
где Yuv^mMv.
Теперь из (8.47) и (8.60) получим
192
откуда
где мы положили
Yn = Svnl К(-Ы ¦ (8.63)
Более того, из (8.47) при i = \i, k ~ v следует равенство
что приводит к следующим выражениям для компонент пространственного
метрического тензора:
V (8.64)
Таким образом, метрический тензор у^, определяющий пространст-
венную геометрию в системе отсчета R, в общем случае не равен пространствен-
ной части g^v — 4-тензора gtk. Это будет иметь место только при
gm = 0 или Yn = 0. (8.65)
В системе координат, где в каждой точке выполняются соотношения
(8.65), временная ось везде ортогональна пространственным координатным
кривым. Поэтому такая система называется времениортогональной.
Теперь рассмотрим стандартные часы С, покоящиеся в данной точке А
системы отсчета R. Линейный элемент мировой линии этих часов имеет вид
(8.66)
поскольку для покоящихся часов dxu- = 0. Если t = xifc — время, показы-
ваемое координатными часами в точке А, то приращение с?т0 времени по часам
С определяется выражением ds2 = — c3dr0 (см. § 4.5). Это следует немедленно
из инвариантности ds2, если ввести мгновенно инерциальную систему покоя
/"часов С. Величина ds2, выраженная через пространственно-временные коор-
динаты (XOi) этой системы, имеет вид ds2 = — с1 (dT0J, так как dX°v = 0.
Кроме того, поскольку время Т° само измеряется стандартными часами в сис-
теме покоя /°, то dT° = dx0 и (8.66) можно записать следующим образом:
d*-a = -gudP. [(8.66')
Следовательно, функция j ( — ^44) определяет соотношение между скоростью
хода стандартных часов С и координатных часов в рассматриваемой точке.
Итак, величину gtl можно найти экспериментально, измеряя в каком-либо
месте отношение скорости хода двух часов. Проделав эту процедуру в каждой
точке системы отсчета и во все моменты времени, определим gu(x') KaK функ-
цию от пространственно-временных координат (х1).
Метрический тензор у^у задающий, в соответствии с (8.62), пространствен-
ную геометрию в R, также может быть получен прямыми измерениями с по-
мощью метода, аналогичного рассмотренному в § 8.6, для двухмерного слу-
чая. Чтобы найти шесть независимых компонент y^v, достаточно в каждой
точке и во все моменты времени просто измерить длины шести выбранных
должным образом линейных элементов (dxu).
Если бы мы смогли найти метод измерения величины у^, то тем самым
метрический тензор gih был бы полностью определен. Рассмотрим с этой
целью световой сигнал, испущенный из точки А с координатами (х11) в момент
времени t и прибывающий в соседнюю точку В (х& + dx») в момент времени
/ + dt. Мировая линия этого сигнала описывается уравнением
0, (8.67)
поскольку в инерциальной системе / скорость сигнала равна с. Отсюда сле-
дует, что инвариант ds2 = цш dXldXk - dX2 + dY°- + dZ2 — сЧТ2 =-- 0.
7 Злк. 1174 ЮЗ
Используя (8.63), (8.64) и (8.62), уравнение (8.67) запишем в виде
d dxv + 2 g^i dx»dxi + gu (dxtf = 0. Разделив его на dt2, получим
(8.68)
где w» = dx^/dt — компоненты скорости светового сигнала, а
(8-69)
— величина его скорости. Пусть е»— единичный вектор в направлении рас-
пространения сигнала, т. е.
wv = we»; Vnv e» <*v =1. (8.70)
Тогда в соответствии с (8.64) и (8.52) имеем
(у»е»)* = у„че»е*—е11Че»е?< 1, (8.71)
а из (8.68) для скорости светового сигнала получаем
w(e») = c*/(\ + y)Xe*), (8.72)
где
*. (8.73)
Как видно из (8.72), скорость светового сигнала зависит от направления его
распространения. Теперь измерением скорости светового сигнала в трех раз-
личных направлениях е» с помощью (8.72) можно определить три величины
7ц. В принципе, таким методом можно экспериментально определить все ве-
личины Yiiv, Уц, ga, т. е. компоненты метрического тензора gih в данной
системе пространственно-временных координат.
Величина с* — скорость в направлении, перпендикулярном 3-вектору
7ц, когда у^е» = 0. Время At, необходимое для прохождения светового сиг-
нала из точки р (х») в бесконечно близкую точку х» 4- dx» на расстоянии
da от р и обратно, равно
A^ = (l+Y^e^dc/c*-b(l —Yn e»)dc/c* = I/с*, (8.74)
где / = 2do — полное расстояние, пройденное световым сигналом. Таким
образом, с* равна средней скорости светового сигнала и может быть найдена
из эксперимента типа опыта Физо (см. § 1.6), если время измеряется коорди-
натными часами в р, а обе точки расположены так близко, что у^, с* можно
считать постоянными вдоль пути.Сдругой стороны, если время и расстояние
измеряются с помощью покоящихся стандартных часов и стандартной изме-
рительной линейки, то тот же эксперимент для средней скорости сигнала даст
значение с, поскольку в соответствии с (8.66')
Снова это справедливо лишь в тех случаях, когда с* и уц практически по-
стоянны вдоль пути светового сигнала. На больших расстояниях, когда g4j.
7ц сильно изменяются, опыт Физо дает различные значения для средней ско-
рости света (см. § 12.4). Выраженный через величины Ym.v, Ym- и с*» определен-
ные формулами (8.63), (8.64) и (8.73), линейный элемент ds имеет вид
as2 = gik dxi dxk = y,,v dxv- dxx—(c* dt—yyi dxP)*, (8.76)
или с учетом (8.62)
ds2 = do2—(с* Л—Y» dx»f. (8.76')
194
§ 8.9. Пространственная геометрия во вращающейся системе отсчета
Рассмотрим снова введенную в § 8.3 вращающуюся систему координат. Из
(8.1) — (8.3) и (8.10) получим преобразования (8.42) или соответствующие ям
обратные преобразования в форме
A' = r cos (#4-ov); )' = r sin (fr-f at)', )
z ¦-=-- z; T----V, \ (8./1)
х! — (г, €, z, с/). j
Дифференцируя и подставляя значения (dX, dY, dZ, dT) в выражение для
интервала ds2 = dX~ -f dY'2 -f- <iZ2 — c'dT'2, получаем
Js2 = dr 4- rhW2 -{- с/г2 + 2or2 dftdt — (с2 — л2 со2) dr = g,,, d.v1' rfx«. (8.78)
Таким образом,
Sn = J' ffas -" r"; йГзз = ! ^ ^44 = — A — r2 or/c2); g,4 = gi2 = mVc (8.79)
Все остальные компоненты glh равны нулю. В результате с учетом (8.63) .и
(8.64) находим, что
Y_u - @, сог/Кгг — г2со% 0) = ((о,--2/ Ус1 — гЧт) ё^;
Следовательно, вычислив с помощью (8.62) и (8.80) линейный элемент с/о2,
снова получим выражение (8.7). Кроме того, (8.66') вместе с (8.79) для gi4
опять приводит к (8.9). $ .
Пространственная геометрия, определяемая линейным элементом da2 =
= y^vd^dx", неевклидова. В плоскости z = Z = 0, т. е. на вращающемся дис-
ке, имеем лишь две координаты^1, х2) = (г, Ф), и геодезические определяются
уравнениями (8.39), в которых gik н ds заменяются на у^ и do соответствен-
но, т. е.
— ( Ynv -^~ ^ -= (дум/дх*) (dxv/do) idxxida)t2, (8.81a)
do \ do l
Yftv (dx»fdo) (dxVdo) = 1. (8.816)
В нашем случае из второго уравнения (8.81 а) с учетом (8.80) имеем
а [г2/A —©а—r2/ca) db/da]/da = 0.
Интегрируя, получаем
[гг/A—гаю8/с2)]Ф = а, (8.82)
где а — постоянная интегрирования, а # = dft/do.
Следовательно,
# = аA—гш2/с2)/г2. (8.83)
Далее, из (8.81 б) находим, что
/-2 -I- [г2/( 1 — г2 от/с2)! ti2 = 1,
а2«-/<:3—off?). (8.84)
В результате
dr ' ' ь" г" (8.85)
a('l— —
с2
Если а равна нулю, то из (8.82) Ь = 0, т. е. радиус-вектор с ft-const является
геодезр.ческой. На рис. 17 в евклидовой плоскости изображены некоторые из
195
геодезических на вращающемся диске. Здесь точки на вращающемся диске
с координатами г, О считаются точками с полярными координатами г, О. Поэ-
тому геодезические на вращающемся диске изображаются такими кривыми
в неподвижной плоскости X, У, с которыми в момент времени t — Т —
= п2к/(а они совпадают. Радиус г* диска определяется условием (8.4), т. е.
г* = с/ы. (8.86)
Для геодезических ОВ и О А а = 0. Геодезическая АВ, выходящая из точки
(г0, 0) при г = 0, соответствует а ф 0, что следует из (8.83), (8.84):
,>2/С2. (8.87)
а =
- г\
с2) = r0/
С увеличением О радиус-вектор г также
увеличивается в соответствии с (8.85), при-
чем здесь drldft больше, чем в предельном
случае с -> оо , для которого
drld® = г (г2 — «2)'/2/а. (8.88)
Пунктирная линия на рис. 17 определяет-
ся уравнением (8.88). Если бы геометрия
на вращающемся диске была евклидова,
то эта линия являлась бы геодезической.
Если г-*- г* — с!to, то, согласно (8.83),
О -> 0 и поэтому ОВ является касательной
к геодезической АВ в точке В.
Рассмотрим две геодезические х& =
Рис. 17. =х^ (о), х!? = х^(а), пересекающиеся вод-
ной точке. Угол 0 между этими кривыми
в точке пересечения определяется из (8.19). Следовательно, с учетом (8.80) и
(8.83) имеем
cos 9= ±V(\+al co2/c2 — aj/ra) A + а.% of/ с2— аЦгг) +
+ ^«3A—гюг/с2)/Л (8-89)
где aj и a2 — значения постоянной а для этих двух геодезических. Данное
выражение можно использовать везде, кроме точки О. Рассмотрим теперь тре-
угольник ОАВ. В точке О угол между двумя сторонами треугольника равен
% = Фв< Я(/2, так как в центре диска геометрия евклидова. Угол между гео-
дезическими АО и АВ найдем из (8.89), полагая
^ 2 rl^!c\ тогда cos6^ = —1/{1 -\-a2(io2/c2— l/rg)}= 0,
т. е. ел = я/2.
И наконец, угол 6в между геодезическими В А и ВО найдем из (8.89), полагая
ах = 0, а2 = — «, г = г* = с/to:
coseB
г —со2/са)}=
Следовательно,
я/2
т. е. сумма углов треугольника на вращающемся диске меньше п. И только
если треугольник расположен близко к центру, сумма его углов равна при-
мерно гг. На вращающемся диске существует даже треугольник с суммой уг-
лов, равной нулю, например треугольник CBD, образованный геодезическими
СВ, BD и DC.
Таким образом, для всех треугольников на вращающемся диске сумма их
углов лежит в пределах от 0 до л. Пространственная геометрия, определяемая
наблюдателем на вращающемся диске, соответствует геометрии на поверхно-
сти отрицательной кривизны в трехмерном евклидовом пространстве.
196
Во вращающейся системе иногда удобно использовать другую совокуп-
ность пространственных координат {х, у, z), связанных с цилиндрическими
координатами преобразованиями
х = г cos Ф; у = г sin d; г2 -х2 + у2. (8.90)
В этих координатах линейный элемент (8.79) принимает форму
+ 2a{—ydx+xdy)dt—A — г2со2/с2) с2 <ft2. (8.91)
§ 8.10. Мировые линии свободных частиц и световых лучей
Рассмотрим материальную частицу, движущуюся лишь под действием
гравитационных полей, возникающих в ускоренной системе отсчета с коорди-
натами (х1). Поскольку предполагается, что эти поля устранимые, их можно
исключить преобразованием к псевдодекартовым координатам (X') инерциаль-
ной системы /, с которой мы начали рассмотрение § 8.7. В этой системе дви-
жение частицы равномерное, так что ее мировая линия — прямая, опреде-
ляемая из уравнения
d*X4d№ = 0, (8.92)
где к— произвольный параметр, являющийся линейной функцией от собст-
венного времени т частицы. Другими словами, мировая линия свободно падаю-
щей частицы является геодезической в 4-пространстве. В произвольной сис-
теме криволинейных координат (х') уравнения для геодезической проще всего
получить из вариационного принципа (8.21), (8.29), где теперь индексы i, k про-
бегают значения от 1 до 4, т. е.
blh
dK dl
(8.93)
v
Соответствующие уравнения Эйлера (8.30) следующие:
/=1,2,3,4 (8.94)
(gk)
dk V d% J 2 dxl dX dX
с интегралом (8.31), т. е.
dxl dxk
В отличие от случая, рассмотренного в § 8.5, метрический тензор в 4-про-
странстве не является положительно определенным. Поэтому постоянная
в правой части (8.95) может быть положительной, отрицательной и равной
нулю, и соответствующие геодезические линии будем называть пространствен-
ноподобными, времениподобными и нулевыми. Интеграл в (8.93) не является
инвариантом при произвольных преобразованиях параметра К. Поэтому урав-
нение (8.94) также изменяется при введении нового параметра %' = f (X).
В результате вместо (8.94) будем иметь
! dSkl dxk dxl АгХ, , dl ч2 ^
Sill .л , • \V.O-t )
dl' J 2 dxl dV dV
Таким образом, уравнение (8.94) для геодезических справедливо лишь
для некоторого класса специальных параметров, связанных друг с другом ли-
нейными преобразованиями.
Для пространственноподобных геодезических, когда постоянная в (8.94)
положительна, всегда можно соответствующим выбором параметра сделать ее
равной единице. Это соответствует выбору в качестве параметра длины дуги
геодезической.
197
Мировая линия материальной частицы всегда времениподобна, т. е. вдоль
этой кривой ds- < 0. Поэтому лишь времен и подобные геодезические в 4-про-
странстве могут описывать движение частицы. Когда постоянная в правой
части (8.94) отрицательна, всегда можно выбрать параметр "к так, чтобы эта
постоянная разнялась — с2. Это соответствует выбору в качестве параметра
X собственного времени т частицы, которое можно определять с помощью
движущихся вместе с частицей стандартных часов. В этом случае (8.94) и
(8.95) имеют впд
d ( dxk \ 1
dx V dx j 2 dx1 dx dx
(8.96)
fl Г' П Y."- « '
8ih
dx' dx*
dx
Эти уравнения определяют^мировые линии свободно падающих частиц в уст-
ранимом гравитационном поле системы х1, так как, используя эти уравнения
в системе координат (X'), с которой мы начали данное рассмотрение, получаем
частные релятивистские уравнения (8.92), поскольку в этих координатах мет-
рический тензор постоянен и равен i]ifl.
Для времени подобных геодезических вместо вариационного принципа
(8.93) можно использовать другой:
т. е. тот, который применялся в §^8.5. Соответствующие уравнения Эйлера
имеют вид
dxk ( dx1 dx \- 1/2 I
gik —^г —gim —— ' l —
dh \ dh V d% dh ! )
dx'" dx^\~U2 dghl dxk dx1 ,RQft
бита ,, .. ~1П ji ITT" ' (.О.ЭО,)
<*k dt. I ox' dh dk
Когда ?„ равен одному из частных параметров, для которого справедливы
(8.94) и (8.95), уравнения (8.98) и (8.94) эквивалентны. Однако уравнения
(8.98) справедливы при любом выборе параметра. Это следует также из того,
что подынтегральное выражение в (8.97) — однородная функция первой сте-
пени от йхЧй'К, поэтому интеграл
не изменяется при любом преобразовании параметра. И наконец, нулевые гео-
дезические, для которых
J—(a dxk Ц ' dSki dxk dxl ¦ )
dX (8ik dX j 2 dx' dh dX ' (8.100)
gik {dtfldX) dx4d'K = 0? j
представляют собой мировые линии световых лучей, поскольку в системе ко-
ординат (X1) уравнения (8.100) сводятся к уравнениям
» = 0;
— {dXVdXJ = 0,
которые описывают прямолинейное движение точки со скоростью с в инерциаль-
ной системе.
Как мы выясним позднее (гл. 9, 10), уравнения для мировых линий мате-
риальных частиц и световых лучей, выведенные здесь для случая устранимых
гравитационных полей, справедливы и в более общем случае неустранимых
гравитационных полей.
198
§ 8.11. Динамические гравитационные потенциалы
В § 8.8 и 8.9 мы видели, что гравитационное поле в произвольной уско-
ренной системе координат (х1) влияет на пространственные и временные из-
мерения, производимые с помощью стандартных измерительных линеек и стан-
дартных часов. Пространственная геометрия, например, описывается прост-
ранственным тензором Ynv, определяемым из соотношения (8.64). Теперь вве-
дем величины, описывающие динамическое действие гравитационных полей.
Для этого используем пробное тело с произвольной массой, помещая его в ту
точку нашей системы отсчета, где мы хотим измерить гравитационное поле.
Ускорение, сообщаемое частице гравитационным полем, определяет напряжен-
ность этого поля.
Полагая в (8.96) i = ц = 1, 2, 3, для частицы, покоящейся в некоторый
момент времени, получаем
d2 X , ы / _ ил- \ I икы I их- \- ,<, 1Г1Г)\
Далее, из (8.76) имеем
—с2 d%2 = ds2 = dt2 {и2—(с*—у
т. е.
/7т — At $(t. rf \ 1 /2 я» //Ц//^\2_ уi2 //-i^\ 1У2 f&10^\
Lt I Lit \ \\ S 44/ f |A ' / ' M f С f * f y<J* L\JkJ j
где
x, uiX = dxlxfdt, и = do/dt = (уцу uu uvyi2 (8.104)
— собственное время, компоненты скорости и величина скорости частицы
соответственно. Следовательно,
Vgc ^l^J j (8.10b)
yj,Vg^c
и для частицы, покоящейся в данный момент, из (8.103), (8.105) получаем
(8.106)
В результате, подставляя (8.103) и (8.106) в (8.102), имеем
d*xv д_
YfiV dt- ~ дх»
Левая часть в (8.107) представляет собой гравитационное ускорение проб-
ной частицы, причем
«и = Ynv d-i xv/dt2 (8.108)
— ковариантные компоненты ускорения частицы с нулевой скоростью в кри-
волинейных координатах нашей системы отсчета (см. § 9.2). Таким образом,
динамическое действие гравитационного поля описывается функциями
ёч и Yii-
Если положить
?44=-A+2х/с2), (8-109)
то из (8.107) получим
Яц=—д%1дх&—с* дуц/dt, (8.1I0)
где
у (8.111)
есть средняя скорость света, определяемая соотношением (8.73).
199
Учитывая аналогию (8.110) с силой, действующей на покоящуюся заря-
женную частицу, выраженной через электромагнитные потенциалы, величины
1 и Уц будем называть гравитационными скалярным и векторным потенциа-
лами соответственно. Скалярный потенциал выбран таким образом, чтобы при
X = 0. ёи имело частное релятивистское значение— 1.
Если уц не зависит от времени, то гравитационное ускорение равно гра-
диенту скалярного потенциала:
aVl=—d%/dxK (8.112)
Это имеет место, например, во вращающейся системе координат. В этом случае
из (8.79) и (8.109) имеем
х=_г\0»/2. (8.113)
Следовательно, гравитационное ускорение частицы с нулевой скоростью
направлено от центра вдоль радиуса и равно гсо2, что соответствует обычному
выражению для центробежной силы.
§ 8.12. Скорость хода движущихся стандартных часов
в гравитационном поле
Из формул (8.103) и (8.109) мы имеем следующее выражение для собствен-
ного времени частицы, движущейся в гравитационном поле с гравитацион-
ными потенциалами (у^,, %):
dx = dt[{(l+2x/c2y^~ Yn^/c}2—w2/c2]!/2. (8.114)
Поскольку т — время, измеренное стандартными часами, движущимися вмес-
те с частицей, (8.114) определяет скорость хода движущихся стандартных
часов в сравнении со скоростью хода координатных часов рассматриваемой
системы. Если система координат времениортогональная, то у^, — 0 и
dx = dt{l +2x/c2—«2/с2). (8.115)
Формулы (8.114) и (8.115) обобщают формулу B.38) и выражают замедление
(или ускорение) хода движущихся часов при наличии гравитационного поля.
Для часов, покоящихся в нашей системе отсчета, имеем
dx0 = dt /(l + 2x/c2), (8.116)
что соответствует (8.66') и (8.109). Таким образом, ход стандартных часов
зависит от скалярного потенциала в той точке, где эти часы установлены;
он более замедлен там, где меньше гравитационный потенциал. Следует заме-
тить, что подобное утверждение имеет смысл только тогда, когда задана опре-
деленная система координат, поскольку формулы (8.114) и (8.115) дают лишь
соотношение между ходом стандартных часов и координатных часов в точке
установки стандартных часов. На вращающемся диске в соответствии с (8.116)
и (8.113) имеем
dxo = dtVl+ 2х/с2 = dt V1 - га со2/с2, (8.117)
т. е. стандартные часы, удаленные от центра, идут медленнее стандартных
часов в центре, показывающих время t = Т. Это замедление хода стандартных
часов при г > 0 будет различным образом интерпретироваться наблюдателя-
ми в фиксированной системе / и во вращающейся системе S. Наблюдатель
в / объяснит это запаздывание движением часов. В этой системе гравитацион-
ное поле отсутствует, т. е. % = у^ = 0, но скорость часов и — га>. Поэтому
в системе / соотношение (8.114) приводит к формуле
dxo = dt y\—u2/c2 = dt Yl— r2oJ/c2. (8.118)
200
С другой стороны, в системе S скорость и = 0, но присутствует гравитацион-
ное поле х — —г2со2/2 и (8.114) снова приводит к тем же соотношениям
(8.117) или (8.118). Таким образом, наблюдатель в S запаздывание стандарт-
ных часов объяснит действием гравитационного поля во вращающейся системе.
§ 8.13. Преобразование координат в фиксированной системе 'отсчета
Пусть (л:') — пространственно-временные координаты, соответствующие
некоторой системе отсчета R. С помощью преобразований (8.59) можно внутри
той же системы R ввести новые пространственно-временные координаты. Та-
кие преобразования дают просто другой способ упорядочивания точек в сис-
теме R вместе с произвольным изменением хода и размещения координатных
часов. Это, естественно, не может привести к изменению пространственной
геометрии в R, определенной с помощью стандартных измерительных линеек,
т. е. интервал da, определяемый соотношениями (8.62), (8.64) и (8.63), должен
быть инвариантом при таких преобразованиях. Формальное доказательство
этого утверждения приведено в § 9.16.
Поскольку в данном случае система отсчета не изменяется, гравитацион-
ное поле следует считать неизменным. Однако, в соответствии с (8.57), гравита-
ционные потенциалы (%, -уц)> описываемые формулами (8.109) и (8.63), будут
трансформироваться. Преобразования такого вида аналогичны калибровочным
преобразованиям E.23) для электромагнитных потенциалов, при которых сами
потенциалы изменяются, а электромагнитное поле, определяемое этими по-
тенциалами, остается неизменным. Во многих случаях можно с помощью таких
«калибровочных преобразований» гравитационных потенциалов привести их
к более простому виду. Во-первых, преобразованиями вида
х'* = л41; х'* = х'4 (*') = f (xl) (8.119)
всегда можно добиться того, чтобы в системе (х'1) скалярный потенциал об-
ратился в нуль. Для этого необходимо лишь выбрать новую временную пе-
ременную /' = jc'Vc так, чтобы новые координатные часы имели такую же
скорость хода, что и покоящиеся стандартные часы. С учетом (8.66') и (8.116)
новая временная переменная определяется из соотношения
(8.120)
где интегрирование производится при неизменных значениях пространствен-
ных координат х*1, а я|з (х*) — произвольная функция от *•*. При таком выборе
f, учитывая, что (8.116) справедливо и в новой системе координат, получаем
т. е. х' = 0; g'tA=-l. (8.121)
В качестве примера используем преобразование (8.120), где 1|з = 0 во вра-
щающейся системе отсчета. Поскольку в этой системе t — Т, новая временная
переменная /' в (8.120) будет определяться, очевидно, преобразованием (8.9),
от которого мы отказались из практических соображений (§8.3). Однако
в принципе допустимо и использование временной координаты t из (8.9).
Несложное вычисление показывает, что в этой новой системе координат линей-
ный элемент ds имеет форму
A—r2co2/c2JJ A— r*a*/cYr
T 2 drdt H ЮГ2 2 ==- cf^^ — c2<if2. (8.122)
20!
В новой системе координат мы имеем более сложную зависимость компонент
gih от t, но получаем упрощение в том, что скалярный потенциал исчезает.
Из (8.63), (8.64) и (8.109) получаем в этой системе
0\. у-о-
Г Х '
(8Л23)
= 0 при
Следовательно, пространственный метрический тензор Ym-v остается неиз-
менным, что и должно быть при чисто временных преобразованиях. Однако
векторный потенциал имеет несколько более сложный вид [см. (8.80)], по-
скольку Yi не равен нулю и зависит от времени.
Данный пример показывает, что преобразование (8.120), при котором
скалярный потенциал исчезает, не обладает особыми преимуществами. Более
выгодно было бы преобразованиями вида (8.119) исключить векторный потен-
циал 7ц» поскольку тогда новая система координат будет времениортогональ-
ной и все формулы значительно упростятся. Поэтому попробуем найти такие
преобразования (8.119), чтобы
Yii = 0 (fi= 1,2,3). (8.124)
Для удобства в каждой системе координат введем четырехкомпонентную ве-
личину аг:
а* = {Уц(-Ы-1/2. -l) = gtJ{-gu)- (8.125)
Тогда выражение (8.76') для линейного элемента можно записать в виде
ds2 = do2+gli(oidx^. (8.126)
Поскольку при преобразовании (8.119) ds2 и do2 инвариантны, §44 (dx1*J —
— ga iPidx1)'2' или
dx'* - (df/дх1) dxi = Aot dxl, (8.127)
где
A2 = gWg;4^0. (8.127')
Из (8.127) имеем чегыре уравнения
df!dxl = Aaiu (8.128)
которые после исключения Л приводят к следующим трем уравнениям для
определения функции / (х) в (8.119):
df/dx»+olldfldx* = 0. (8.129)
Система дифференциальных уравнений (8.129) имеет решение при выполнении
некоторых условий совместности. Пусть
др. == д/дх» + оцд/дх* (8.130)
три дифференциальных оператора. Тогда (8.129) запишется в виде
O. (8.131)
Умножая это уравнение на оператор dv и вычитая из него уравнение, полу-
ченное перестановкой индексов ц и v, получаем
(x) = o, (8.132)
202
где [д^, ду] — коммутатор операторов 5Ц и dv. Поскольку дифференциальные
операторы д/дх' в (8.130) коммутируют, (8.132) можно привести к виду
JL(Zav—'dvav) = 0. (8.133)
дх*
Кроме того, учитывая, что df/dx* = — Л ф 0, из (8.125), (8.128) и (8.127')
имеем следующие условия интегрируемости уравнений (8.129):
^(Jv-avo(l=0. (8.134)
Это общие условия, которым должны удовлетворять динамические гравита-
ционные потенциалы, чтобы векторный потенциал с помощью преобразований
(8.119) можно было обратить в нуль [279, 280]. Условия (8.134) можно запи-
сать также в виде
GVv-0, (8.134')
где
соцу = с* (dfl o-v — dv 0ц)/2 (8.135)
является инвариантом относительно всех преобразований типа (8.119) и имеет
простой физический смысл (см. § 9.16 и 9.6).
Для вращающейся системы отсчета с метрическим тензором (8.79), G.80)
или (8.122), (8.123) с помощью (8.135), (8.125) и (8.130) легко показать,
что компонента
<а,2 = — <»21 = ло/A— г2со2/с2K/2 (8.136)
отлична от нуля при г > 0. Таким образом, во вращающейся системе отсчета
условия (8.134) не выполняются, и невозможно ввести времениортогональ-
ную систему координат.
В данной системе отсчета R гравитационное поле называется стацио-
нарным, если соответствующим выбором пространственно-временных коорди-
нат в R можно добиться, чтобы все компоненты^, т. е. у^, х, 7ц, не зависели
от времени. Такая система координат сама называется стационарной. Если
одновременно с этим у^ обратится в нуль, то такое гравитационное поле и со-
ответствующая система координат называются статическими. Следовательно,
гравитационное поле в равномерно вращающейся системе стационарное;
система координат с метрическим тензором (8.78) — стационарная, а система
(8.122) — нестационарная.
§ 8.14. Другие простые примеры ускоренных систем отсчета
Пусть снова X1 — (X, Y, Z, сТ) — пространственно-временные коорди-
наты в инерциальной системе /. Тогда преобразования Галилея A.2)
х = X — vT; у = Y; г = Z; t = Т (8.137)
определяют новую систему отсчета /', являющуюся, очевидно, инерциальной
системой, движущейся относительно / в направлении оси X со скоростью v, по-
скольку каждая точка (х, у, z) = const системы /' движется с той же скоростью
v. Если положить (х1) = (х, у, z, ct), то интервал ds будет иметь вид
ds2 = gik dxl dxk = x\lK йХ* dXk =
- dx2 + dy2 + dz2 + 2vdxdt—c2 dt2{\ — v2jc2), (8.138)
(все остальные компоненты gih равны нулю). Следовательно, система коорди-
нат (х') не времениортогональная и из (8.63), (8.64) и (8.109) имеем
2-v\ 0, 0); х=~с2/2; (8.139}
722 = 7зз= !; 7nv = 0 при \i=f=v.
203
Поскольку гравитационные потенциалы постоянные, гравитационное поле,
определяемое соотношением (8.110), в /' отсутствует и преобразованиями
(8.59) с / в форме (8.120) можно исключить потенциалы. Вводя новые коор-
динаты Xй = (X', Y', Z'', сТ) по формулам
X' = х/ /l —о»/с»; У = У; Z = г;
(8.140)
ds2 = dX1'1 + dY'2 -f dZ'a — c2 dT'\
получаем
g/л ~ ilift! 7ixv = S^v; 7,1 = 0; %' = 0. (8.141)
Координаты (Х'г) являются лоренцевыми координатами в /'; они связаны
с (X1) специальными преобразованиями Лоренца.
В качестве другого примера рассмотрим ускоренную систему, определяе-
мую преобразованиями
X = х + gt*/2; Y = у, Z = г; Т = U (8.142)
Каждая точка в системе отсчета (л;1') имеет постоянное ускорение g относитель-
но системы / в направлении оси X. Простые вычисления дают
ds1 = dx2 + dy* + dz2 -\-2gtdxdt—с2 dt2 A —g2 t*/c2), (8.143)
псе остальные компоненты gik равны нулю. Следовательно,
ylL = {gtlcYl-~gsti/i^, 0, 0), t = —g2fl2; j (8.J44)
7n=l/(l—g2t2jc2); 7г2==Узз=г1; 7j*v = 0 при ^i^=v.)
Эта система координат соответствует физически реализуемой системе отсчета
только при t = Т <С c!g, так как в этом случае скорость gt точек рассматри-
ваемой системы отсчета относительно / меньше с, a g44 < 0. Пространствен-
ная геометрия этой системы определяется пространственным линейным эле-
ментом
do2 = y^dx"* dxii = dx'i/(l—g2i'lic2) -{-dy^-rdz2. (8.145)
Эта геометрия неевклидова вследствие лоренцева сокращения измерительных
линеек в движущейся системе. Поскольку в данном случае co^v = 0 (8.135),
преобразованиями (8.119) можно исключить векторный потенциал. Интегри-
руя уравнения (8.129), находим, что преобразования
х' = х; у' = у\ г' = г; i' = /exp[—g{x +gt*j2)/c2] (8.146)
приводят к желаемому результату, т. е. если ds2 записан в форме (8.126), то
в новых координатах имеем
ds? = dx'2/(\—g*t2/c*) + dy'2 + dz'* + g'iicidt'\ (8.147)
Здесь
7,1 = 0; 7»'iv = X'2( + 1)/2 J
Используя преобразования (8.146), легко проверить, что (8.147) совпадает
с (8.143).
В рассматриваемой ускоренной системе гравитационное поле не стати-
ческое. В соответствии с (8.145) здесь даже пространственная геометрия за-
висит от времени, т. е. расстояние между двумя соседними точками из-
меняется с течением времени. Это очевидно, поскольку измерительные ли-
нейки в ускоренной системе по мере увеличения скорости gt относительно
204
1 будут все в большей степени подвергаться лоренцеву сокращению. Хотя
с точки зрения наблюдателя в / наша система отсчета жесткая, наблюдатель
в самой ускоренной системе обнаружит, что точки этой системы удаляются
друг от друга в направлении оси х.
При малых значениях t и х, т. е. с учетом лишь членов первого порядка
малости по gtlc и gxlc1, имеем
t' = t(\ -gxlc*); g'Ai = - A + 2 gx'lt*)\ x' = gx'
и 113^(8.112) получаем
a;=-d%'ldxflx=~(g, 0, 0), (8.149)
т. е. в данном'приближении гравитационное поле постоянно.
§ 8.15. Жесткие системы отсчета с произвольно движущимся началом
Система отсчета называется жесткой, если расстояние между двумя точ-
ками системы, измеренное покоящейся относительно нее измерительной ли-
нейкой, не меняется со временем. Следовательно, равномерно вращающаяся
система, рассмотренная в § 8.9, жесткая, а система, рассмотренная в конце
§ 8.14, нежесткая. Пусть относительно системы / движется произвольным об-
разом частица с координатами A'j = (X, \\ Z, \сТ). Ее мировая линия может
быть описана уравнениями
Х4 = /?(т), (8Л50)
где т — собственное время частицы. Попытаемся ввести такую систему коор-
динат (х1) — (х, у, z, ct), которая будет релятивистским аналогом классичес-
кой жесткой системы декартовых осей, движущихся вместе с частицей так,
что частица все время находится в начале координат, а пространственные оси
все время имеют одинаковые направления. В § 4.14 мы определили последо-
вательные мгновенно инерциальные системы покоя частицы S' (т), получен-
ные с помощью последовательных инфинитезимальных преобразований Ло-
ренца без вращений пространственных осей. В этом случае преобразования от
фиксированной системы (Xt) к координатам х[ в S' (т) даются формулами
D.143), где коэффициенты aik (т) определяются из дифференциальных урав-
нений D.139), DЛ40).
Теперь, если определим систему (х1), полагая в D.143)
** = *,!; *; = 0; t = rt (8.151)
получим, что одновременные положения точек в системе (х1) в момент времени
t совпадают с одновременными положениями точек в системе S' (т) в момент
времени х{ = 0 и эти совпадающие точки в обеих системах имеют одинаковые
значения пространственных координат. Следовательно, преобразования от
переменных (Х-,) к переменным (х1) имеют вид
^Wa0+*v«v,-@i (8.152)
где коэффициенты aik являются решениями уравнений D.139). Эти уравне-
ния полностью определяются движением (8.150) частицы, которая все время
находится в начале х& — 0 системы (х'). Дифференцируя (8.152) и учитывая
D.139), получаем
dXt = \fi (t) + xv avi (t)\ dt + dxvav/ (t) =
= (U;i-xvavi lu) dt + dxv ov,. (8.153)
Подставляя (8.153) в выражение для интервала и используя D.141), находим,
что
= {хР, ct) = (x, у, z, ct), J
205
где
gv = gv (О = «v/ U i = Ov/ /, (8.155)
зависят только от i и полностью определяются движением начала нашей си-
стемы координат (лг<) относительно системы (Xt). Величины gv равны компо-
нентам ускорения частицы в ее мгновенной системе покоя S' (t) [см. D.42)»
D.42')Ь
Система координат (х1), заданная соотношениями (8.152), времениортсто-
нальна. Соответствующая система отсчета — жесткая, поскольку расстояние
между двумя точками этой системы (х, у, г) и (х + rf.v, у + dy, г ~\- dz) дается
выражен-! ем
da2 = dx2 + dy2 -f dz*. (8.156}
Следовательно, в этой системе пространственная геометрия евклидова,
а (х, у, z) — пространственные декартовы координаты. Здесь векторный по-
тенциал равен нулю, а для скалярного потенциала имеем выражение
Таким образом, очевидно, что зависимость скалярного потенциала от прост-
ранственных переменных всегда одинакова, но коэффициенты g =-¦ g (i) раз-
личны при различных движениях начала. Гравитационное ускорение в этой
системе определяется формулой
а = — grad 1 - —g (I + g-x/c2). (8.158)
Поэтому в окрестности начала координат системы, где (g • х) < с2, гравита-
ционное поле однородно, а гравитационное ускорение а --- — g — — g (t)
есть функция i и однозначно определяется движением начала х = 0 относи-
тельно /. Скорость хода стандартных часов, покоящихся в точке х, опреде-
ляется из (8.116) и (8.157):
dTu-<#(l + g-x/c2). (8.159)
В начале координат х = 0 имеем т0 — t, т. е. координатные часы в этом месе
являются стандартными часами.
Можно показать, что рассмотренный здесь тип ускоренной системы отсче-
та и вращающаяся система (§ 8.9) представляют собой единственно возможные
жесткие системы отсчета для случая устранимых гравитационных полей.
§ 8.16. Жесткие системы отсчета, движущиеся в направлении оси А"
Если начало О системы (л4) движется в направлении оси X системы (Xj),
коэффициенты aik определяются формулами D.157), D.150) и преобразования-
(8.152) сводятся к соотношениям
t \
(8.160)
которые также получаются из D.158) с учетом (8.151). Используя D.157),.
D.149), для вектора (8.155) получаем выражение
g = (g, 0, 0); g(t) = с dQidt. (8.161)
206
Тогда (8.154) примет вид
ds2 = dx2 + dtf -Ь dz2 — (*df* A -+¦ gxlc2J. (8.162)
В исследуемом случае гравитационное поле параллельно оси х. Условия (8.52)
выполняются везде, за исключением плоскости х = — c2/g, где gu — 0.
В дальнейшем будем рассматривать явления лишь в области 1 + gxic2 > 0.
В частности, если движение начала О гиперболическое с постоянным ус-
корением g, то в соответствии с D.162) имеем
Q(t)=gtlc, (8.163)
т. е.
g(t) = с dQ/dt = g = const.
В этом случае гравитационное поле статическое, а гравитационный потен-
циал равен
X = - (с2/2) (gu + 1) = gx (I +gxB с2). (8.164)
Тогда преобразования (8.160) принимают вид
(8.165)
Т = (clg) sh gtlc + х sh (gtlc)! с.
Исключая t, получаем
) (
Y = у; Z = z. J
Отсюда видно, что каждая точка данной системы отсчета с постоянными зна-
чениями х, у, z относительно системы / совершает гиперболическое движение
в направлении оси X, начинающееся из точки А" = х, Y = у, Z = 2, в момент
времени Т — 0 с нулевой скоростью. Ускорение этого движения равно
У = gi(\ + gxlc*) (8.167)
(см. § 3.4), а скорость в момент времени Т определяется с учетом (8.165) фор-
мулой
v=--dXldT-=gTl{(\ +gxic2J + g4i/cyr~ = cth(gt/c). (8.168)
Следовательно, скорость точек отсчета данной системы относительно / зави-
сит от х, и с точки зрения наблюдателя в / система отсчета R, соответствую-
щая системе координат (х'), не будет жесткой. Расстояние между двумя точ-
ками отсчета (х, у, z) и (х -f dx, у, z), измеренное наблюдателем в /, в соответ-
ствии с (8.166) и (8.168) равно
dx
ш-ах= dx, =Vl-vVc2dx, (8.189)
где v — v (T) — скорость системы R относительно / в рассматриваемом месте.
Таким образом, с точки зрения наблюдателя в /, каждый участок системы R со-
кращается в соответствии с формулой Лоренца.
Для малых значений t и х, когда можно пренебречь величинами второго
порядка малости и выше по gx/c2 и gtlc, система отсчета R совпадает с системой
отсчета, рассмотренной в конце § 8.14.
Рассмотрим теперь движение свободной частицы в гравитационном поле
системы (л:'). Мировая линия такой частицы определяется из уравнений (8.96)
cgik в форме (8.162). Тогда при i = 1, 2, 3 из (8.96) имеем
d2 x/dx2 = — A + gxlc2) g (dtldxf; d2 y/dx2 = d2 z/dx2 = 0. (8.170)
Если частица начинает свое движение из точки на оси х с нулевой начальной
скоростью, то последнее уравнение в (8;170) дает у = z — 0.
207
Из (8.115) и (8.164) получаем следующее соотношение между собственным
временем частицы и временной переменной t системы {%'):
gx/c2J — uVc2} , (8.171)
где
и = | dx/dt |
¦—скорость частицы. Соотношение (8.171) эквивалентно последнему уравне-
нию (8.96). Используя в качестве независимой переменной t вместо г, из (8.170)
получаем
dUL2^(P^LV ) = 0. (8.172)
dt
Решение этого уравнения с начальными условиями
х = х0; dx/dt = 0 при t = t0 (8.172')
следующее:
к ^( ??\1Л (8Л73)
g
Скорость частицы в момент времени i равна
С увеличением t скорость сначала тоже увеличивается, достигая максимума
"макс — с О + gxo/c2')/2, а затем снова стремится к нулю при t->¦ оо. Если
х0 > c2lg, скорость частицы больше с. Однако и всегда меньше скорости света,
которая, в соответствии с (8.72) и (8.162), равна w = c* —с A ~\-gx/c2).
Подставляя выражения (8.173) и (8.174) для х и и в уравнение (8.171) и
интегрируя его по координатному времени t, получаем
t
dt f^- + ^-)\hg{t—t0)!c. (8.175)
t
Г
J
Наконец, если начало системы (*') движется с постоянной скоростью v отно-
сительно / в направлении оси X, то /< = 0 и вектор g^ в (8.155) тоже равен
нулю. Таким образом, в системе R гравитационное поле отсутствует, что и
должно быть, поскольку эта система в данном случае является инерциальнои
системой, движущейся с постоянной скоростью v. Кроме того, поскольку Ut по-
стоянная и fi (t) = Ut t, преобразования (8.152) совпадают в рассматриваемом
случае со специальными преобразованиями Лоренца.
§ 8.17. Парадокс часов
Теперь мы в состоянии дать полное решение парадокса часов, уже упо-
минавшегося в § 2.6 и сыгравшего важную роль в первых обсуждениях логи-
ческих основ теории относительности [65, 77, 132, 135, 148, 166].
Рассмотрим два экземпляра стандартных часов Сг и С2, покоящихся в на-
чале О, инерциальнои системы St с пространственно-временными координа-
тами (X, Y, Z, Т) (рис. 18). В момент времени 7 = 0 часы С2 начинают ус-
коряться в направлении оси X под действием постоянной силы F. Когда часы
С2 достигают точки А, они имеют скорость v. После этого действие силы F пре-
кращается, и часы движутся прямолинейно с постоянной скоростью V, пока
не достигнут точки В. Здесь на них опять начинает действовать сила, равная
по величине силе F, но противоположная по направлению, в результате чего
часы С2 прибывают в точку С, обладая нулевой скоростью, и ускоряются об-
208
ратно до точки В, где достигают скорости — v, а действие силы прекращается.
Между точками В и А они движутся с постоянной скоростью — v. В точке А на
часы С2 опять начинает действовать сила F, под действием которой часы С2 сно-
ва прибывают в точку^Ох, обладая нулевой скоростью.
Пусть Д'Т, Л" Т и Ы"Т — отрезки времени, в течение которых часы
С.г проходят расстояния ОгА, А В и ВС соответственно. Из соображений сим-
метрии движение часов от С до Л является обратным движению от Л до С и,
кроме того, Д'" Т — Д'Т. Пусть Дтх и Ат2 — время, измеренное часами Ct и
С2 между двумя встречами; %х и т2 — собственное время часов Сг и С2 соот-
ветственно. Поскольку часы Сх все время покоятся в точке Ои Атх равно пол-
ному приращению AT переменной Т системы Sx между двумя встречами. Сле-
довательно,
j = AT = 2 (Д Т -!- А"Т + А"Т) = 2 BАТ + AT).
(8.176)
в с
Рис. 18.
Аналогично имеем
Дт2 = 2 К
'^) = 2 BТ2
(8 Л 77)
где Т2, t2 и то" — отрезки собственного времени часов С2, в течение которых
они проходят расстояния ОгА, АВ и ВС соответственно. Движение часов С2 на
участке ОгА гиперболическое и описывается уравнением C.47), т. е.
'/* — 1], (8.178)
(8.179)-
(8.180)
(8.181)
где g = F{mQ, a m0 — масса покоя часов С2. Следовательно,
u = dXldT = gT/YT+ШПс?-
Поэтому
или
Теперь, используя (8.179), по формуле B.38) СТО, справедливой в инерциаль-
ной системе St, можно вычислить %'i\
г= \ l/l-w2/c2rfT=
209
В соответствии с (8.181) это выражение можно записать в виде
g А'77 с = v/cYl—v2/c2 = sh (gra/c) = sh (gx";/c) (8.182)
или
с
th H* = sh (gT2/c)/j^l+sh3(gT2/c) = i»/c. (8.183)
Аналогично из B.38) получим
•z'2 = Д'Т 1Л1 — v2/c2. (8.184)
Теперь, если при постоянном значении v все больше и больше увеличивать
силу F, то ускорение g = F/mQ будет также увеличиваться. Если g-> оо при
постоянной v, из формулы (8.182) следует, что ДТ = Д"Т и %'2 = Тг стремят-
ся к нулю. В пределе, когда часам С» мгновенно сообщается скорость v, из
(8.176), (8.177) и (8.184) имеем
Ах1=2А"Т; Дта = 2т2 = 2ДТу1— у2/с2, (8.185)
т. е.
-v2/с2, (8.186)
как это и должно быть. Движущиеся часы С2 отстают от неподвижных часов
С]. Кроме того, в пределе при g -»- оо максимальное расстояние между
часами
/ = уД'Т, (8.187)
Такой же результат получится, если весь процесс рассматривать в жест-
кой системе отсчета S2 с координатами {х, у, z, t), движущейся вместе с часами
С2 так, что часы С\ все время находятся в начале координат системы 52- Когда
52 движется ускоренно относительно Sx или далеких звезд, в S2 возникает
гравитационное поле. В промежуток времени 0< t<Cz<i = Д7поле описы-
вается скалярным потенциалом (8.164). В интервале т? <С t <с х'ч -f т2' вели-
чиной Д'7 =|Т2 скалярный потенциал % = 0 и в интервале х'2 + х'% < ^<
< Т2 + Тг + т2 величиной А"'/ = т2 = т2 = А7 потенциал х = —g^ A—
—gxl2 с2). В течение первого периода A't часы Cj свободно падают в отрицатель-
ном направлении осн х, в соответствии с уравнением движения (8.173). В те-
чение периода А'7 они движутся равномерно со скоростью — и, и, наконец,
в течение периода Д они достигают точки с координатой х0 = — /, обладая
нулевой скоростью. Поскольку в этот момент времени системы St и Sa покоят-
ся относительно друг друга, максимальное расстояние между двумя часами
в'обеих системахГотсчета одинаково. После этого часы Сх совершают обратное
движение к началу координат системы S2. Во время всего процесса часы С2 по-
коятся в начале системы 52, так как гравитационная сила уравновешивается
внешней силой F.
Приращение собственного времени часов С\ можно теперь вычислить с по-
мощью общей формулы (8.115), учитывая приведенное выше выражение для
Х- В (8.172) — (8.175) мы дали решение уравнений движения (8.172) и выраже-
ние для собственного времени. Если т[, х"\х\" —приращения собственного
времени часов Сх в промежутках A't, А'7, А"'t соответственно, то, очевидно,
имеем
Atj = 2 (т! + т" -Ь т'Г).. (8.188)
Аналогично, поскольку С2 покоятся в начале х = 0, где % все время равен
нулю, то
Ат, = 2 (А7 + A"t + A'"t) = 2 BД7 + A"t) = 2 Bт* + т'2). (8.189)
'210
Далее, поскольку часы Су начинают двигаться из начала с нулевой ско-
ростью, мы можем найти %{ из формулы (8.175), полагая в ней х0 ¦----¦ 0 и t — t0 —
= Л'г = %2. В результате с учетом (8.183) получаем
= o/?. (8.190)
В течение промежутка времени Д'7 часы Сг движутся с постоянной скоростью
в пространстве, где гравитационное поле отсутствует. Поэтому, используя
(8.184), имеем
i\ = Д7У1 — w*/c* = T2 У" 1 — у2/с2- Д'ТA —у2/с2). (8.191)
Наконец, из формулы (8.175) находим т.{", полагаяgравным — g, xQ — — /,
t—U = &'"t = т5' = та:
т" = (с/? + //с) thgt;/c = (c/ff + Z/c)y/c. (8.192)
Когда ? ->¦ со при постоянном значении ь\ из (8.190) получим, что т{ -> 0, а так-
же и Д = то" = Т2 -»- 0. Однако т{" имеет конечный предел:
(8.193)
Этот удивительный результат обусловлен влиянием на ход часов Сг гравита-
ционного скалярного потенциала %= —gx (I—gxJ2c2), который при
g->- оо становится бесконечным. Таким образом, в пределе при g-+ oo из
(8.188) —(8.193) и (8.184) — (8.187) получаем
Дтх = 2 {Д'Т A — v2lc2} + ДУ2/с2} = 2Д'Т;
( • )
Дт2 = 2x2 = 2Д'Т /1 — v°-!c2,
т. е. то же, что и в (8.185). Этот результат, представляющий собой решение па-
радокса часов, не удивителен, поскольку собственное время — инвариант,
имеющий одно и то же значение в любой системе координат.
В приведенном здесь решенин парадокса часов содержится еще один парадокс [137].
Рассмотрим скорость часов Ci относительно системы S, в момент времени t = At' ~ т'г.
Полагая в (8.174) хп — 0 и t = /0 + %>2, Для скорости часов d как раз перед этим момен-
том, получаем выражение
= — v A — t/2/c2I/2. (8.195>
С другой стороны, сразу же после этого момента времени система 52 становится инер-
циальной системой, и скорость часов d будет иметь величину
и+ = — -о. (8.196)
Сравнивая (8.195) и (8.196), видим, что в момент исчезновения гравитационного поля
скорость часов Ci относительно S2 резко меняется. Эффект точно такой, как будто часы
Ci получили импульс в направленни отрицательной оси. Полное решение этого пара-
докса дано в § 10.3.
Наконец, рассмотрим более простой пример аналогичного явления, иллю-
стрирующий влияние гравитационного векторного потенциала на ход движу-
щихся часов. Пусть часы С2 под действием центральной силы F совершают
в инерциальной системе St равномерное движение по окружности. Если радиус
окружности R, а постоянная угловая скорость'со, то скорость часов равна /?со,
а приращение их собственного времени т2 за один оборот, в соответствии с фор-
мулой B.38), равно
т2 = 7 у 1 -—#V/c2 = Bя/©) у 1 —№7с2. (8.197)
Соответствующее приращение собственного времени часов Сх, покоящих-
ся на окружности вращения, имеет величину
тл = 7 = 2л/ш. (8.198)
211
Рассмотрим теперь этот же процесс с точки зрения наблюдателя во вращаю-
щейся системе отсчета S2 (§ 8.9). В этой системе часы С2 покоятся в точке
(г— R, $ — 9), а часы d вращаются с угловой скоростью d$/dt = —<о
по окружности радиуса /• = R. Часы Сх свободно падают под действием гра-
витационного поля с потенциалами (8.80) и (8.113):
х = _rV/2; Yw = @, ыг7с/1—г2о>2/с2, О). (8.199)
Легко видеть, что г = const и dbldt = — о> есть решение уравнений движе-
ния (8.96) с gik в форме (8.79). Часы С2 все время остаются в покое, так как
гравитационная сила уравновешивается силой F. За время t = 2я/о> собствен-
ное время покоящихся часов т2 получит в соответствии с формулой (8.116)
приращение
х, = Bя/ш) |/1+2х/с2 = Bя/со) /l—rV/c8, (8.200)
т. е. такое же, как и в (8.197).
Чтобы найти соответствующее приращение собственного времени часов
Cj, воспользуемся общей формулой (8.114). Поскольку и»* = dx^/dt = @,
— со, 0), из (8.80) получим и2 = u&t&P = y^{dx4dt) {d&ldt) = Y22»2 =
= r2co2/ A—r2a>2/c2). Кроме того, с учетом (8.199) имеем -уц"** =
= — rW/c Yl —т*(й*1с2.
В результате из (8.114) находим, что
та = Bл/<о) {(К1 — г8©8/^ + г2со2/с2 V 1 — г2о>2/с2J —
cs(l— rV/c2)}1'2 =2я/о>. (8.201)
Таким образом, эффекты влияния гравитационного поля и скорости часов
Сх на собственное время х1У описываемые формулой (8.114), взаимно компенси-
руются и для хх и т2 получаем те же выражения, что и раньше.
Однако физическая интерпретация этого эффекта для каждого из рассмот-
ренных двух случаев совершенно различна. В системе Sx эффект объясняется
исключительно влиянием скорости частицы, в то время как в системе 52 дан-
ное явление объясняется совместным действием гравитационного поля и дви-
жения.
Вычисление приращений собственного времени х1 и т.2 можно провести
также и во вращающейся системе с метрическим тензором (8.122), (8.123).
Результат, конечно, будет тем же самым, что и в (8.200), (8.201), однако эф-
фекты влияния на величину %г гравитационных потенциалов и движения,
компенсирующих друг друга, уже не такие, как в S2.
Глава
9
НЕУСТРАНИМЫЕ ГРАВИТАЦИОННЫЕ ПОЛЯ.
ТЕНЗОРНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ В РИМАНОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ
ОБЩЕГО ТИПА
§ 9.1. Четырехмерная формулировка общего принципа
относительности и принципа эквивалентности
В предыдущей главе мы рассматривали лишь такие гравитационные поля,
которые можно было исключить преобразованием к лоренцевым координатам
инерциальной системы / (см. § 8.7). Мы выяснили, что в произвольной системе
координат (х[) действие гравитационного поля описывается метрическим тен-
зором gik, определяющим линейный элемент в пространстве — времени:
(9.1)
Таким образом, устранимые гравитационные поля характеризуются тем
свойством, что соответствующим выбором пространственно-временных коорди-
нат интервал во всех точках 4-пространства может быть приведен к виду
* X (9.2)
Другими словами, в этом случае пространство является плоским псевдоевкли-
довым пространством.
Однако, в соответствии с принципом эквивалентности, нет существенной
разницы между устранимыми и неустранимыми полями; оба типа полей должны
подчиняться одинаковым фундаментальным законам. Допустим поэтому, что
поля, обусловленные наличием больших масс (например, Земли или Солн-
ца), описываются в 4-пространстве метрическим тензором gih так же, как
и устранимые искусственно созданные поля. В частности, предположим,
что и мировые линии свободных (т. е. свободно падающих) частиц и свето-
вых лучей, движущихся в неустранимых гравитационных полях, явля-
ются геодезическими в 4-пространстве, которые определяются теми же урав-
нениями (8.96) и (8.100), как и в случае устранимых полей. Единственное
отличие тогда будет в том, что неустранимые поля нельзя полностью исклю-
чить с помощью преобразований пространственно-временных координат, т. е.
ds2 не может быть приведен к виду (9.2) одновременно во всех точках 4-прост-
ранства.
В этом случае 4-пространство является искривленным с произвольной
римановой геометрией.
Однако, как мы увидим в § 9.6, существует бесконечное множество спо-
собов для выбора так называемой геодезической системы координат (,t'), для
которой в данной точке 4-пространства первые производные dgihldxl метри-
ческого тензора равны нулю, а значения gik равны т]^. Геометрически это
означает, что в бесконечно малой окрестности каждой точки пространство
можно считать плоским по аналогии с двухмерным случаем, когда кривую
поверхность в малой окрестности рассматриваемой точки можно замелить каса-
тельной плоскостью. Такие системы пространственно-временных координат
(х1) часто называют локально лоренцевыми, а соответствующие системы отсче-
та — локальными инерциальными системами, так как в случае неустранимых
гравитационных полей они играют в определенных пределах ту же роль, что
и инерциальные системы в случае устранимых полей. Поэтому при любом
выборе пространственно-временных координат (х1), т. е. при любом упорядочи-
213
вании событий в физическом пространстве, величины g^, всегда могут быть
определены экспериментально с помощью методов, рассмотренных в § 8.8.
В соответствии с общим принципом относительности, законы природы
должны быть выражены в виде форм-инвариантных уравнений. Следователь-
но, если какой-либо закон описывается уравнением в форме
F(Л, В,..., dAJdx1, дВ/дх\...) = 0, (9.3)
где А, В,... —физические величины, то в другой произвольной координат-
ной системе (хч) мы имеем такое же функциональное соотношение между фи-
зическими величинами, т. е.
F(A', B't...dA'fdx'i, дВ'1дх'1,...) = Ъ. (9.3')
Единственное отличие от случая, рассмотренного в § 4.3, заключается в том,
что среди физических величин А, В, ..., входящих в это уравнение, теперь
фигурируют и гравитационные величины glk.
В области, где пространство — время почти плоское (если ограничиться
лоренцевой системой координат), метрический тензор g;h представляет собой
постоянный тензор Минковского i\ik, а соотношения (9.3') и (9.3) сводятся
к соотношениям D.21), D.2Г). Следовательно, специальный принцип относи-
тельности является частным случаем общего принципа относительности.
В СТО ковариантность законов природы при преобразованиях Лоренца
очень изящно выражается с помощью четырехмерного тензорного исчисления. ¦
Чтобы получить аналогичное представление законов природы в ОТО, мы долж-
ны сделать обобщение тензорного исчисления, развитого в гл. 4 для псевдоде-
картовых систем координат.
В случае устранимых гравитационных полей такое обобщение представ-
ляет собой довольно тривиальное распространение понятий вектора и тензора
на общие криволинейные системы координат, сама же геометрия пространст-
ва — времени остается такой же, как и в СТО. Однако в общем случае неустра-
нимых полей сама структура пространства — времени уже другая, и необхо-
димо развитие тензорного исчисления уже в римановом пространстве. Фор-
мально различие между этими двумя случаями не очень велико, и, как мы
увидим, большая часть тензорных соотношений, справедливых для криволи-
нейных координат в плоском пространстве, может быть использована и в про-
извольном кривом пространстве.
§ 9.2. Контравариантные и ковариантные компоненты 4-вектора
Пусть (х*) — произвольная система криволинейных координат в 4-про-
странстве. Тогда геометрия этого пространства будет полностью определена,
если заданы компоненты gik метрического тензора как функции пространст-
венно-временных координат. Предположим, что в каждой точке gik удовлет-
воряет соотношениям (8.52). Это означает, что определитель
§11 §12 §13 §14
§21 §22 ?гз ёы
§31 §32 §33 §34
§41 §42 §43 §44
(9.4)
отрицателен. Пусть Aik — алгебраическое дополнение элемента gik i-й строки
и &-го столбца. Тогда по известной формуле теории определителей имеем
(9.5)
214
(нет суммирования по i)
Определяя теперь симметричную матрицу элементов gik условием
gik = Aik/g = gb, (9.6)
в соответствии с (9.6) имеем
где
f{inp"!"t} (9.8)
[0 при i^
Если ввести новую систему координат с помощью преобразования
*'•" = *''(*'). (9-9)
то, как и в случае плоского пространства [см. (8.54) — (8.58)], получим
-I \ (9-10)
dxl = а{ dx'k = (dx4dx'k) dx'*; j
(9.11)
(9.1»
Вследствие соотношений (9.10), (9.12)^выражение для интервала инвариантно:
ds2 = glk dxl dxk = g[k dx'i dx'k. (9.13)
Всегда можно выбрать такие преобразования (9.9), чтобы в данной точке
4-пространства тензор g'ih стал равным тензору r\lk Минковского. Однако в об-
щем случае получить этот результат одновременно во всех точках нельзя,
поскольку коэффициенты txk не могут быть выбраны произвольным образом,
а должны удовлетворять условиям интегрируемости:
daildxl = dai/dxk, (9.14)
вытекающим из определения а* в (9.10). Этого можно добиться лишь для слу-
чая плоского пространства, когда функции gik удовлетворяют специальным
условиям (см. § 9.13).
В некоторой точке (х1) вектор определяется как величина, которая в каж-
дой системе координат имеет четыре компоненты а1 с тем же законом преобра-
зования, что и дифференциалы координат в (9.10), т. е.
(9.15)
Обратные преобразования с учетом (9.11) имеют вид
{'\ (9.15')
Поскольку коэффициенты а* и ajj. являются функциями координат (х'), фор-
мулы преобразований (9.15) и (9.15') имеют определенный смысл лишь в той
точке, где определен вектор а1.
В системах криволинейных координат у одного и того же вектора мы долж-
ны различать контравариантные компоненты а1 с формулой преобразования
(9.15) и ковариантные компоненты, определяемые в каждой системе координат
соотношениями
af = g«ek. (9.16)
В соответствии с (9.7) обратные соотношения имеют вид
al = gikah. (9.17)
215
Операции (9.16) и (9.17) называются опусканием и поднятием индексов. В де-
картовой системе координат евклидова пространства gik = 8ik, и разницы
между ковариантными и контравариантными компонентами нет.
Из (9.12), (9.15) и (9.11) получаем следующие формулы преобразования
для ковариантных компонент:
a'i = ён ak = ai a™ «« gm &n = «/ С ёт an = a! #m °m
или
aj- = a*aft; (9.18)
as = a,*fl*. (9.19)
В плоском (З + 1)-пространстве можно использовать псевдодекартовы
координаты, тогда соотношения между ковариантными и контравариантными
компонентами вектора в этой системе принимают простой вид
ai = r\ika^ = (a\ a\ d\ —а*) (9.20)
или а' = {аг, а2, а3, — ai) — "П**сгft, т. е. в этом случае
r\ik = r\ih (9.21)
в соответствии с (9.7) и (8.41). Если бы в СТО мы использовали вещественное
представление векторов, то в гл. 4 следовало бы различать ковариантные и
контравариантные компоненты. Именно для того, чтобы избежать такого не-
большого усложнения, и была введена мнимая временная компонента, вслед-
ствие чего пространство стало формально евклидовым. В любом случае легко
перейти от мнимого к вещественному представлению. Необходимо лишь пом-
нить, что контравариантные компоненты вектора в вещественном представле-
нии получаются из компонент мнимого представления отбрасыванием множи-
теля i у четвертой компоненты. Тогда ковариантные компоненты определяются
из (9.20).
Если ввести четырехкомпонентную величину ег:
8() = A, 1, 1, -1), (9.22)
то соотношения (9.20) и (9.21) примут вид
"'"""f "Г1"* (9.23).
где круглая скобка после индекса указывает на отсутствие суммирования
по этому повторяющемуся индексу.
В вещественном представлении однородные преобразования Лоренца D.3)
являются линейными преобразованиями вида
x'i = Aikxk; х1 = А[х'к, (9.24)
где коэффициенты А'м удовлетворяют условиям ортогональности:
AiAkmT}ih = 4im, (9.25)
или
&lAliAlk = ei)bih.
Последние уравнения вместе с (9.12) выражают тот факт, что при лоренцевых
преобразованиях метрический тензор gik — т)гл плоского пространства не ме-
няется. Кроме того, Ak и Ak связаны соотношениями (9.11):
A\Al = AltAlk = 6i. (9.1 Г)
Умножая последнее уравнение в (9.25) на Almt с помощью]'(9.1 Г) получаем.
216
т. е.
# = 8i,eh)i4L Ai = et)eh)Al (9.26)
Таким образом, преобразование Лоренца можно определить как линей-
ное преобразование, в котором коэффициенты А% и соответствующие коэф-
фициенты обратного преобразования А% связаны соотношением (9.26).
Как и в § 4.13, введем четыре взаимно ортогональных направляющих
единичных вектора e\k) осей х'к. Три из них, соответствующие k ~ v — 1, 2, 3,
пространственно подобны, а е{4) — времениподобный и равен V4c, где V1 —
4-скорость системы S' относительно S. Тогда
e\k)e(l)i = T\hl; <?<4)=V'/<\ (9.27)
Поскольку б(й) = 6а, из (9.15') имеем
^1 = #<?<'*> = *{«; Л1 = еD)^У'7с. (9.28)
Введем дополнительно векторы
e«o<E=eft)e{*>; eiA) = вА) <?<лн. (9.29)
Тогда (9.27) можно переписать в виде
e\k)e\l) = 6lk. (9.27')
Сравнивая это соотношение с (9.1 Г) и учитывая (9.28), находим, что
4=4°. (9.зо)
В итоге (9.1 Г) можно записать в форме
^Ul'^&l (9.31)
Совокупность векторов e[k) со свойствами (9.31) называется ортогональной
тетрадой.
Из (9.20) видно, что норма вектора, определяемая в мнимом представлении
формулой D.25), в вещественном представлении принимает вид
сР^а^а1, (9.32)
а поскольку данное выражение инвариантно при всех координатных преобра-
зованиях, оно справедливо и в криволинейных координатах. В результате из
(9.18), (9.15) и (9.11) получим
а] а1 = а\ ат at ат = б',„ аг ат = at a1. (9.33)
Следовательно, формулу (9.32) можно принять в качестве определения нор-
мы вектора и в общем римановом пространстве. В соответствии с (9.16) и (9.17)
выражение (9.32) можно представить в различных формах:
а2 = at a1 = gih а' а1'- - g« аг ah. (9.34)
Аналогично скалярное произведение двух векторов а и Ь определяется ин-
вариантом
а,- & - gth а' № = V b.t - gik at bh. (9.35)
§ 9.3. Тензорная алгебра
Теперь обобщение тензорного исчисления, развитого в § 4.7—4.12 для
декартовой системы координат, на общие криволинейные координаты рима-
нова пространства очевидно. Тензором ранга п в 4-пространстве называется
величина с 4" компонентами, преобразующаяся по каждому индексу как век-
217
тор, т. е. в соответствии с (9.15) для контравариантных индексов или по
(9.18) —для ковариантных индексов. Связь между ковариантными и контра-
вариантными компонентами тензора осуществляется с помошью общих правил
(9.10) и (9.17) поднятия и опускания индексов.
Следовательно, формулы преобразования для ковариантных и контрава-
риантных компонент тензора ранга 2 имеют вид
t'ik = afla,kmtlm; (9.36)
4 =«'«?/..«, (9-37)
а связь между ковариантными и контравариантными компонентами в каждой
системе координат определяется соотношениями
tik=gilghmtlm> \ ,Q „„.
Учитывая (9.11) и (9.12), видим, что соотношения (9.30) — (9.38) сов-
местны. Кроме ковариантных и контравариантных компонент тензора, можно
ввести также и смешанные компоненты:
(9.39)
преобразующиеся по формулам
.'k "Z k ,k .
h=Ji#t*l (9'40)
В общем случае t!k отлична от t'k..
Все свойства симметрии, например
jik 1_ fki /Q Л1 \
инвариантны. Вследствие (9.38) и (9.39), соотношения (9.41) эквивалентны
следующим:
/.. —-4-г, • ^ —о-/* ^9 42^
t jk ~~ j_ t- fail t-i> — _¦_ l • ^^ «~i</
Таким образом, смешанные компоненты ^-. и ^.,- симметрического тензора равны
и могут быть обозначены просто через /,*.
Из сравнения (9.12) с (9.37) видно, что величины gik сами являются кова-
риантными компонентами симметрического тензора ранга 2, так называемого
метрического тензора. Кроме того, из (9.7) следует, что смешанные компоненты
этого тензора g\ определяются символом Кронекера of, а его контравариант-
ные компоненты соответствуют величинам gik, определяемым формулой (9.6).
Теперь, как и в случае декартовых координат, рассмотренном § в 4.9,
образуем новые тензоры с помощью операций сложения, прямого умножения и
свертки. При сложении двух тензоров ранга п получим новый тензор того же
ранга, а при умножении тензоров рангов п и т получим тензор ранга (п + т).
Однако следует заметить, что эти операции имеют смысл только в том случае,
если оба тензора берутся в одной точке 4-пространства. Наконец, операция
свертки, которая в случае криволинейных координат заключается в прирав-
нивании верхних и нижних индексов с последующим суммированием, умень-
шает ранг тензора на две единицы. Свертка тензора ранга 2 дает тензор нуле-
вого ранга, т. е. инвариант
ft - at g4 t'i! --= 6l t?. - t\., (9.43)
218
который с помощью (9.39) можно представить в различных формах:
tii-=gthtki = giktlh = &. (9.44)
Пример комбинирования операций прямого умножения и свертки дает соот-
ношение (9.35).
§ 9.4. Псевдотензоры. Дуальные тензоры
Пусть а = [а*! и а —jafj — определители матриц коэффициентов преоб-
разований ccf и а,. Тогда по правилу умножения определителей из (9.11) полу-
чим
aa=l, (9.45)
а из (9.12)
8' = \gik 1 = a • g-a = a2g = g/a2,
т. e.
^=J' = |a|/^ = (l/|a|)l/=J, (9.46)
где |a| и [a | — абсолютные значения определителей a и а.
Теперь псевдотензор определяется как величина, компоненты которой
преобразуются как компоненты тензора и умножаются при этом на знак
a/|aj—a/|a| определителя преобразования. Если а, а следовательно, и
« положительны, то псевдотензор преобразуется как тензор того же ранга. Из
(9.45) следует (см. § 4.11), что величина Aihlm, компоненты которой в каждой
системе координат равны символу Леви-Чивита еШт, преобразуется по фор-
муле
«a; °4 a{ a," Ar%iu. (9.47)
Следовательно, в соответствии с (9.46) величины
Y (9-48)
являются ковариантными компонентами антнсимметрнческого псевдотензора
рангз 4. Поскольку в соответствии с C.7) определитель \gilz\ матрицы gik ра-
вен g-1, для контравариантных компонент псевдотензора (9.48) имеем
grfr gks glt gmu ( —
т. e.
e/«i»=_(_2)-i/2e.Wm. (9.49)
Как и в § 4.12, мы можем теперь, используя псевдотензор (9.48), с каждым
антисимметрическим тензором ранга п ^4 связать дуальный псевдотензор ранга
D — я). Следовательно, если Fik — контравариантные компоненты антисим-
метрического тензора, то ковариантные и контравариантные компоненты ду-
ального псевдотензора определяются соотношениями
(9.50)
т. е.
]a~~ r - 2' Г ~ /- - "' Т г - ,' I (9.50')
Следовательно,
V -g= -eFL/2: |
219
Два инфинитезимальных вектора dx', Ьх' определяют параллелограмм, опи-
сываемый антисимметрическим тензором с контравариантными компонентами
dalk = dx16xk—dxk 6xl. (9.52)
Инвариантная площадь параллелограмма do определяется формулой
da2=l/2dor^dffife. (9.53)
Соответствующий дуальный псевдотензор
(9.54)
ортогонален векторам dx1 и Ьх', т. е.
dOik CiX1 ==r ClOjh OX1 ^^ U. (y.DO)
J*C lie \ f
Три инфинитезимальных вектора dx1, Ьх1, Ах1 определяют трехмерный парал-
лелепипед, описываемый антисимметрическим тензором
dx1 8x! Ах1
dxk 8хк Ахк
dx1 Ьх1
(9.56)
С другой стороны, этот параллелепипед можно описать дуальным псевдо-
вектором
d2j = A/3!) етт d%>llin = V~g dSt; )
dSt = A /31) еШт d^klm = гшт dx* 8xl Ax"\ j
ортогональным векторам dx1, Ьх1, Ах', т. е.
(9.57)
d2t dx* = dZt6xi = dS4 Ax1 = 0.
Объем dl> по аналогии с D.120) равен
(9.58)
= ?^2^24. (9.59)
И наконец, четыре инфинитезимальных вектора dx^l)i, dxW, dxi3)i, dxD)i
определяют четырехмерный параллелепипед с помощью тензора
dB)
did)
xl dltix>n
dl3) xl
(9.60)
который имеет лишь одну не равную нулю независимую компоненту. Соот-
ветствующий дуальный псевдоскаляр
x*dC) x!
= A/4!) еШт
x>
x". (9.61)
Для преобразований с положительным а псевдоскаляр dQ — инвариант
и изменяет знак при преобразованиях с отрицательным а. Если векторы
d<r) xl (г — 1, 2, 3, 4) лежат в положительных направлениях координатных
кривых так, что
a'W *• = (dx1, 0, 0, 0); d<2> х1 = @, dx2, 0, 0) и т. д., (9.62)
то соответствующий четырехмерный объемный элемент сводится к
dx = dx1 dx2 dx3 dxi.
(9.63)
220
Теперь в некоторой области ?2 4-пространства рассмотрим инвариантную
функцию L (х). Это значит, что при произвольных координатных преобразо-
ваниях
X (х) = L' (х'). (9.64)
Тогда интеграл
X = IL (х) Vg dx1 dx2 dx3 dx* (9.65)
h
является инвариантом. В самом деле, по теореме Якоби имеем
X - \L (х) Y~g dx--= J L (x) y=~g (dxldx') dx', (9.66)
h h
где якобиан
dxldx' = || dxtjdx'b || = | a 1. (9.67)
Используя~(9.46) и (9.64), из (9.66) получаем
g' dx', (9.68)
что и требовалось доказать.
Если положить
2 = V-gL(x), (9.69)
то инвариантный интеграл (9.65) примет вид
%=\&(x)dx. (9.70)
а
По этой причине ? (я) называется скалярной плотностью веса 1 или тензорной
плотностью нулевого ранга. В соответствии с (9.46) ее закон преобразования
следующий:
2' (х') = | а! С (х) = A/| а |) й (.v). (9.71)
Тензорная плотность веса /г определяется как величина, для которой в фор-
муле преобразования |а| заменяется на |а|п. Аналогично тензорной плот-
ностью произвольного ранга и веса 1 называется величина, компоненты кото-
рой преобразуются как компоненты тензора и умножаются при этом на |а| =
= 1/|а|. Если a', 'tik и т. д. — тензоры ранга 1, 2 и т. д., то
ai^Y—gai; o^^y^r/tft и т. д. (9.72)
— тензорные плотности ранга 1, 2 и т. д. соответственно. Опускание индек-
сов производится по тем же правилам, что и для тензоров.
Из (9.49) следует, что
является контравариантной псевдотензорной плотностью ранга 4. При ин-
тегрировании по инфинитезимальной области ййв окрестности точки (х1) тен-
зорная плотность дает тензор в этой точке. Например, dAl = \ aldx яв-
ляется вектором. Но интеграл А! = \ a' dx no конечной области, в общем
й
случае, может не быть вектором, поскольку преобразование векторной плот-
ности а1 в различных точках различно. И только в прямоугольных координа-
тах плоского пространства этот интеграл снова представляет собой вектор.
В этом случае А* называется свободным вектором, так как он не связан с ка-
221
кой-либо точкой пространства. Например, полный 4-импульс замкнутой огра-
ниченной системы е СТО (см. § 6.2) является свободным вектором.
В трехмерном пространстве с положительно определенным метрическим
тензором 7UV, когда определитель у -- | y[W | > 0, с помощью трехмерного
псевдотензора с каждым антисимметрическим тензором ранга п ^ 3 можно
связать псевдотензор ранга C — я):
Теперь ковариантные и контравариантные компоненты аксиального век-
гора Н, дуального к антисимметрическому тензору №v, Я[П, равны
Ян ^.. ^va Яа/2 - у-1 Г-
или
(Я,. Я3, Я,) - К^Я23, Я3\
н\ W) = -У у (я23> я31, я12),| {J- >
т. е.-
В частности, если Я^1У имеет форму Н^ = a^-6v — а^м-, где а и b—3-векторы,
то соответствующий дуальный вектор является векторным произведением
а X b с компонентами:
(а х Ь)д = Vyia- If' —a3 b\ a? bl—al b\ a162~a2 61); ]
1 (9 74")
(ах b)»*= —ту (a2b3—a3fe2t —a^ + a^b^ а^Ь^—а^Ь^А
§ 9.5. Геодезические линии. Формулы Кристоффеяя
Как известно, геодезические линии определяются уравнением (8.30):
d
где К —¦ специальный инвариантный параметр. Уравнение (9.75) можно запи-
сать также в виде
d2 xk , dgik 1 dgki \ dxk dxl __ n
Lih d'K"- ¦ \ dxl 2 dx' ) dk d%' '
Умножая это уравнение на gmi и учитывая (9.7), получаем
d2 x»4d%* ¦+- — g'n' (dgtb/dx1 + dgaldtf—dgu/dx1) dx*/dk dx'/dk = 0
или
d'1 x4dX* + Tit (dx*/dX) (dx'ldk) = 0, (9.76)
где
Величины П/, Г;. h, в (9.77) представляют собой шрехиндексные символы
Кристоффеля. Они удовлетворяют, очевидно, соотношениям
Г1,-=Г!Л; ri(hi-rJilfc; ^,л/^ = Гг, hJ + rfei „. (9.78)
222
Связь между Т1Ы и Tit hl такая же, как и между контравариантными и ко-
вариантными компонентами тензора; но, как мы увидим далее, символы Кри-
стоффеля преобразуются не как тензоры. Поскольку уравнения (9.75) или
(9.76) представляют собой уравнения Эйлера, соответствующие инвариантному
вариационному принципу (8.93), они должны выполняться в любой системе
координат. Поэтому, дифференцируя формулы (9.10), получаем
¦ dixi g» d'ix'r Э«г dx'r dx
dk ' dk2 ar dk2 dx's dk dX
Здесь уравнения (9.76) использовались в системе координат (х'(). Подставляя
(9.79) в (9.76), находим, что
Li гт , dak ,ri r~s\dx'kdx'1
ar Lkl-r Г—7 + -1 rs, &k ОС; ] — —- = 0,
dx'1 I dX dk
а поскольку это уравнение должно выполняться при любых значениях пере-
менных dx'kldX, то выражение внутри скобок, симметричное относительно
к и /, должно равняться.нулю. Умножая полученное соотношение на а? и
учитывая (9.11), приходим к формуле Кристоффеля:
T'kl - 4 dalldx'i + a'r a% af TTst. (9.80)
При линейных (аффинных) преобразованиях, когда коэффициенты alk, a& —
постоянные, первый член в правой части (9.80) равен нулю, и символы Кри-
стоффеля преобразуются как компоненты тензора. При более общих преобразо-
ваниях это будет не так, поэтому Г^, Tt hl называются аффинными тензорами.
Если gih — постоянные (например, в случае псевдодекартовых координат
плоского пространства), символы Кристоффеля (9.77) равны нулю.
§ 9.6. Локальные пеевдодекартовы координаты
и локальные инерциааьные системы
В общем случае ввести систему координат, в которой компоненты метри-
ческого тензора были бы везде постоянными, нельзя, но, как мы далее увидим,
такие системы всегда можно получить локально, т. е. в малой окрестности
каждой точки 4-пространства. Выберем произвольную систему S координат
(х1) с метрическим тензором gik (х), и пусть х'р — координаты события Р. Рас-
смотрим совокупность четырех взаимноортогональных единичных векторов
(тетрада) в точке Р. Пусть е\а) (а = 1, 2, 3, 4) — контравариантные компоненты
a-го вектора тетрады. Один из этих векторов е\А) — времениподобный, а ос-
тальные три е\а) — пространственноподобны. Из (9.16) ковариантные компо-
ненты векторов тетрады равно e(rt),- = gihe^a), где gik — g^b (P) — значения
компонент метрического тензора в точке Р. Ортонормированность векторов
тетрады выражается соотношениями
eU) em i = gik e'w ek{b) = цпЬ. (9.81)
Здесь
ЧйЬ = ?а)Кь> (9-82)
а ea — четырех компонентная величина (9.22). Вместе с векторами ег(а)
векторы
()i fl6 kU \) (9.83)
223
помощью которых соотношения (9.81) могут быть представлены в форме
еьце1Ьи-*еЬе\Ь) = Ььа; e^'ep-if*. (9.84)
Пусть
e = \e{a)i\ (9.85)
— детерминант с элементом е^а) г в а-й строке и ?-м столбце. Тогда из первого
уравнения (9.84) при а = Ъ следует, что е^' равно алгебраическому допол-
нению элемента е(о),-, деленному на е [ср. с аналогичными уравнениями
(9.4) — (9.8I. Поэтому
в(в,/е(а)* = б?; ela)ieia)=gih; ella)eWk = g*. (9.86)
Кроме того, поскольку определитель j e\a) \ равен —е, из (9.83) и второго урав-
нения (9.86) получим
-e* = g; e = (-g)V2. (9.87)
Во всех этих соотношениях метрический тензор берется в точке Р.
Данная тетрада е'{а) (или е\а)) «генерирует» в точке Р новую систему S (Р)
координат х' с помощью следующих формул преобразования:
# = elkl)[xk—x$); (9.88)
xi = xiP + e[k)x'k. (9.89)
Коэффициенты этих преобразований постоянные:
<4 = д'х1/дхк = e[i]; ~а[ = дхЧдх* - e(fc). (9.90)
Из первого уравнения (9.12) получаем следующее выражение для метрическо-
го тензора в S:
gth(x) = elll)ewgim(x)t (9.91)
причем в соответствии с (9.81) в точке Р имеем
Р) = e[t) e?k) glm (P) = 4ih. (9.92)
Поэтому система S (Р) координат х (отмеченная знаком ^) прямоугольна
в точке Р, т. е. локально псевдодекартова в этой точке. В общем случае
,gik (x), определяемый формулой (9.91), удовлетворяет условиям (8.52) только
внутри некоторой конечной области в окрестности точки Р. По причинам,
уже упоминавшимся в § 8.7, ограничимся использованием координат х1 лишь
внутри этой области.
Все точки системы отсчета R, соответствующей S (Р), движутся относи-
гельно системы S с одинаковой постоянной скоростью v» — dx^ldt; в резуль-
тате, дифференцируя (9.89) и полагая dx^ = 0, получаем
\ /9 931
Аналогично для 4-скоростн частицы Ln = dx'ldx имеем выражение U' =
= e[k)dxkidx, т. е.
Ui = e\k)Uk\ й1 = е{?ик. (9.94)
С помощью лоренцева вращения первоначальной тетрады получим новую
тетраду %\а), Х\а) в точке Pt:
1 (я) AaJb). \l йь J го ОК\
224
где коэффициенты вращения А%, Аьа удовлетворяют тем же соотношениям
(9.1 Г), (9.26), что и коэффициенты преобразования Лоренца. Легко видеть,
что векторы новой тетрады Я(в) также удовлетворяют тем же соотношениям
(9.81), (9.84) и (9.86), что и векторы первоначальной тетрады.
По аналогии с (9.88) и (9.89) тетрада Х\а) генерирует новую систему ло-
кально псевдоевклидовых координат (у1):
yi=\<P(xk_xkyt х1 = х'Р+Ъ.\к)уК (9.96)
Согласно (9.96), (9.95), (9.89) и (9.84) связь между х1 и у'1 дается преобразо-
ваниями Лоренца:
yi = Я|° [х'-х'р) = Alm e\m) e[k) x» = А1к хК (9.96')
Соответствующим поворотом (9.95) тетрады всегда можно четвертому тетрадно-
му вектору придать любое времен и подобное направление в пространстве —
времени.
Пусть, в частности, е\п) — тетрада в точке Р, у которой вектор е<4) лежит
в направлении временной линии системы S, т. е. е^4, = 0. Тогда из (9.81) —
Q
(9.84) и (9.86) для этой тетрады получим
(9.97)
pW — p =0-
о 4 ,C(H) * '
f (X) Ц f V =
Величины
¦ynv^guv (9.98)
являются контравариантными компонентами пространственного метрического
тензора, удовлетворяющими трехмерному аналогу соотношений (9.7), пос-
кольку в соответствии с (8.64), (8.63) и (9.7) имеем
ИЛИ
Т^ТУя,= ^. (9.98')
Пусть 5 (P): x1 — система координат, образованная тетрадой е\аУ Полагая
в (9.96) "у1 = х4, )}kl) = е{1) и используя (9.97), получаем
x^ = e^)(xv — xvp); х* = еУ}{}<?—хр), (9.99)
о о о о
т. е. линейные калибровочные преобразования (8.59). Таким образом системы
отсчета R и R совпадают. Этот результат согласуется с формулами (9.93) и
о
показывает, что относительная скорость двух систем отсчета равна нулю,
поскольку в данном случае пространственные компоненты тетрадного вектора
е{4, равны нулю.
Если U> — 4-скорость частицы в точке Р, то можно выбрать тетраду
где
e\i} = U4c. (9.100)
Зак. 1174 225
Тогда локальная псевдодекартова система S° (P) с координатами xOi, обра-
зованная этой тетрадой, является мгновенной системой покоя частицы, по-
скольку из (9.94) и (9.100) имеем UOi = ef Uk = с е{Рek(A) = с&\. Преобра-
зование от S (Р) к S° (P) является, очевидно, преобразованием Лоренца с по-
стоянными "коэффициентами:
,ь! , г-ч , • (9.101)
)*) et = 8 8fc) е|0 <, = е е ^.
Теперь пусть 5 : х1 и S' : я''— две системы координат, соответствующие двум
системам отсчета R и R'. В системе S введем локальную псевдодека ртову сис-
тему 5 (Р) с координатами х1, образованную тетрадой е^ (R) в точке Р, удов-
О О О
летворяющей соотношениям (9.97). В системе S' введем другую локальную
псевдодекартову систему S' (Р) с координатами х'', образованную другой тет-
радой eil) (Rr) в точке Р, удовлетворяющей в S' соотношениям типа (9.97).
Тогда система отсчета R', соответствующая S' (Р), будет совпадать с R', т. е.
R' = R', RQ = R. Преобразование xl-*-x'1 в общем случае нелинейно, но
в точке Р коэффициенты преобразования должны удовлетворять соотноше-
ниям (9.25), (9.26). Это непосредственно следует из того, что обе системы S (Р) и
S' (Р) псевдодекартовы в точке Р, т. е. gih (Р) — ц^ = glk (P)- Легко видеть..
о
что коэффициенты преобразования в точке Р имеют вид:
дх'Чдх" = 4 = e\l) (R') е\к) (R);
О О О О
ч*вА~1 = е\к) (R) e\i} (/?') =
(9.102>
В момент времени t = 0 4-скорость начала х' — 0 системы R' относительно
S (Р) равна
У'- = с/' = -се0Л? (9.103)
о
[см. (9.17), (9.28)], а соответствующая 3-скорость определяется выражение»
^ (9.103')
Поскольку система отсчета R' совпадает с R', то V1 можно интерпретировать
также как 4-скорость системы R' относительно 5 (Р) в точке Р.
v о
В системе S (Р) метрический тензор имеет простую псевдодекартову форму
(9.92) только в точке Р. В соответствии с (9.91) метрический тензор gik (x)за-
висит от (х1), поэтому в общем случае даже первые производные dgik (P)ldxl
в точке Р не равны нулю. Следовательно, в S (Р) также присутствует гравита-
ционное поле, и система S не обладает наиболее существенными свойствами
инерциальных систем. Однако преобразования (9.88) представляют собой очень
ограниченный класс преобразований, приводящих к локальным псевдоевкли-
довым системам координат в точке Р. Фактически любое преобразование-
вида
х'= ei!) (xk—xp) + -ф* (х), (9.104)
где -ф1' (х) — произвольные функции, первые производные которых равны
нулю в точке Р, приводит к системе с локальными свойствами (9.92). Таким.
226
образом, бесконечным числом способов можно выбрать функции ojI' (x) так,
чтобы в новой системе первые производные метрического тензора в точке Р рав-
нялись нулю. Это достигается, например, с помощью преобразования
'# = е(Р [х'-х'р) + ^егПг*' (р) [#—&) {х*-хр), (9.105)
которое с учетом (9.86) можно записать в виде
е|г)х' = .г'"-*Ь + Г^(Р) [х*-хР) [х(-х(р)[2. (9.106)
Дифференцируя (9.106) по х1г, получаем
Еще одно дифференцирование по х1 дает
0 = dii/dc? + Tit (P) {dalldxi {x< -х1Р) + а\ а\).
Поэтому в точке Р, где xl = xlP, имеем
^k{P) = e[k)\ d&kld? + Yit{P) а%а*, = 0. (9.107)
Тогда с помощью (9.80) в новой системе для символов Кристоффеля получим
выражения
H = 0; i\hl(P) = 0. (9.108)
Это значит, в соответствии с (9.78), что в точке Р первые производные метри-
ческого тензора равны нулю, Таким образом, в системе 5 (Р) имеем
= 0. (9.109)
Любая геодезическая, проходящая через точку Р, в том числе и мировые ли-
нии свободно падающих частиц и световые лучи, в системе S (Р) описывается
уравнениями (9.76) с символами Кристоффеля (9.109). Следовательно, в точке
Р уравнения геодезических линий cPx4d№= 0 совпадают по форме с (8.92)
для мировых линий свободно падающих частиц в лоренцевой системе ко-
ординат СТО. В малой окрестности точки Р, где можно пренебречь величинами
второго порядка малости по х\ метрический тензор можно считать постоянным.
Гравитационное поле локально отсутствует, а система i называется локальной
инерциальной системой с локальными лоренцевыми координатами. В СТО коор-
динаты Лоренца совпадают с псевдодекартовыми координатами. Однако в ОТО
следует различать локальную псевдодекартову систему S (Р), в которой (9.92)
выполняется лишь в точке Р, и соответствующую локальную лоренцеву систему
¦о (Я), где метрический тензор также «локально постоянный».
Принцип эквивалентности Эйнштейна, изложенный не очень строго
в § 8.2, теперь может быть точно сформулирован следующим образом: в каж-
дой точке Р все законы природы, выраженные через локальные лоренцевы коор-
динаты У, имеют ту же форму, что и в СТО. Тогда простым координатным
преобразованием эти же законы можно выразить и в общей системе координат,
где присутствуют гравитационные поля. (Необходимое для этого развитие тен-
зорного анализа в римановом пространстве будет продолжено в следующих
параграфах.) Лоренцево вращение (9.95) тетрады в (9.105) приводит к новой
локальной лоренцевой системе координат, связанной с первоначальной пре-
образованием Лоренца. Если тетрада удовлетворяет условию (9.100), то для
частицы с 4-скоростью V1 в точке Р преобразование (9.105) приводит к локаль-
ной инерциальной системе покоя S° (P). Если же в (9.105) используем тетраду
:в[1) типа (9.97), то получаем систему S (Р) с локальными лоренцевыми коорди-
с о
3* 227
натами хк Система отсчета R в отличие от системы R0 не совпадает с R, посколь-
о О о
ку преобразование (9.105) с ei ~ elk не является калибровочным преобразо-
ванием. Точки отсчета системы R в общем случае движутся относительно S, но
при t = tp скорость начала О системы R равна нулю. Уравнение движения
точки О относительно S мы получаем из первых трех уравнений (9Л06), пола-
° о о
гая в них е\Г) — е(г) и х^^х^ — 0. С учетом (9.107) это дает:
х»—х%+ — TJi(P) {xs—xsp) (*<—хР) =0. (9.110)
Из уравнения (9.110) следует, что х^ = х? при t = tp = xpic, т. е. О проходит
о
через точку х$ системы R в момент времени tp. Кроме того, дифференцируя
(9.110) дважды по / и полагая в полученных уравнениях х' = х'р, находим
скорость иР — dx^ldt и ускорение а» = d?xNdl2 начала 6 в момент времени tP:
ый = 0; а^=—с2Г«*4(Р). (9.111)
Выражая символы Кристоффеля через потенциалы) (уц, х) и Ynv» полу-
чаем (см. приложение 4)
ТЪ=с-*ч#>(дъ1дх* + с*дуч№). (9.112>
Из сравнения (9.111), (9.112) с формулами (8.108), (8.110) видно, что начала
О свободно падает в гравитационном поле системы R, а в момент времени
tp покоится, т. е. обладает нулевой скоростью. Точки системы R в малой ок-
о °
рестности О представляют собой свободно падающий «лифт Эйнштейна», в ко-
тором отсутствует гравитационное поле. Следует заметить, однако, что этот
лифт как целое в общем случае не будет покоиться при t = tp, а будет подвер-
гаться относительно R деформациям растяжения и кручения. Исследование
этого вопроса оставляем читателю (сравните с упражнением в конце этого
параграфа).
Если в правые части уравнений (9.105) прибавить произвольные функции
ф* (х), удовлетворяющие условиям
df/dxk(P) = Q; d2$l!dx*dxl(P) = 0, (9.113)
то получится дополнительно множество локальныхУлоренцевых. систем ко-
ординат. Вблизи точки Р добавление функции i|/ окажет влияние в метриче-
ском тензоре лишь на величины второго порядка относительно (х1), ответствен-
ные за «приливные эффекты». Соответствующим выбором г|;' (х) (например,
используя нормальные римановы координаты) можно придать этим величи-
нам удобную форму, но в случае неустранимого гравитационного поля их
нельзя исключить полностью. Однако в дальнейшем (§ 9.9) мы увидим, что
всегда можно ввести такую систему координат S, в которой метрический тен-
зор и его первые производные принимают значения (9.109) в каждой точке
Р данной времениподобной кривой в 4-пространстве.
Упражнение
Исследовать в окрестности точки Р движение системы отсчета R относительно си-
стемы R {Р) соответствующих системам координат, связанных преобразованиями (9.105)
с тетрадой е^ = e\k)> удовлетворяющей (9.97). Движение точки {х^) системы R
228
относительно S (Р) получается исключением величины (х4 — х*р) из четырех уравнений
(9.105), что приводит к трем уравнениям в форме °х^ = /•* (xv, °t). Тогда скорость и ускоре-
^ о о
ние точки (х11) относительно 3 будут иметь вид
о
> = d/i* (*v, t)ldt; au = da р (xv
о о о о
Для малых значений (х^ — х%) ускорение а^ в момент времени i — 0 в первом прибли-
¦о о
женик по х^ — х*р равно
>= - ef> ау (<5)/[1 +2Х{Р)/с2], (9.114)
где а? (О) — ускорение (9.111) начала 6 системы 5 (Р) относительно S. Множители e'vu'
и A + 2% (P)/c2)-1 обусловлены, соответственно, различными ориентациями осей и раз-
ностью хода времени в системах S и S, а знак минус означает просто, что ускорение сис-
темы /? относительно /? противоположно по направлению ускорению R относительно R.
Ускорение (9.114) одинаково во всех точках, где (х^ —х$) мало, в отличие от скорости,
которая при t — Отравна
й»=х*%», (9.115)
о о v
где
fcv — ev fcX a '
(9.П5')
Р). )
Выраженный через 7nV> Уц> X пространственный тензор е° принимает следующую форму
(см. приложение 4):
e«=(rfXv + coXv)Yw, (9.116)
где co^v — пространственный антисимметрический тензор (8.135), а
(9.117)
rfj_v и шЯ1у являются пространственными тензорами относительно полной группы калиб-
ровочных преобразований (8.59) (см. § 9.16). Эти тензоры, входящие в выражение.*для
и*1 в (9.115), соответствуют расширению и жесткому вращению системы отсчета R относи-
тельно S.
Следовательно, введенный в § 8.113 пространственный тензор со описывает вра-
щение системы отсчета R относительно локальной инерциальной системы. Как мы увидим
в § 10.2, 10.3, это вращение вызывает в общем выражении для гравитационной силы, дей-
ствующей на свободно падающую частицу, появление члена, аналогичного силе Корио-
лиса.
§ 9.7. Параллельный перенос векторов
Пусть а' — контравариантные компоненты вектора в точке (х1). С помощью
формул Кристоффеля легко показать, что величины а*' = а' + dp alt где
dpal=—ri[dxba>, (9.118)
преобразуются как контравариантные компоненты вектора в точке (х* + dx').
Из (9.80), (9.10)> (9.11) получаем
dp а'1 = — Tki dx'b a'1 = — Г*'/ a*1 aln dx™ а" =
= [ — а'г[даЦдх'1) а1пакт—а1гГтп] dx™a«. (9.119)
Кроме того, дифференцирование (9.11) дает
а? да\\дхп + а\ да[/дхп = 0. (9.120)
229
Отсюда с учетом (9.11) и (9.14) первый член в круглых скобках (9.119) можно
записать в виде
— D дагк1дх'1 дх'Чдх11 акт=—а[ дагк/дхп akm = a) a'k да^/дх" = да!п дхт.
Теперь все выражение (9.119) принимает форму dp а'1 = (да'п/дхт)Х
X dxman-\-alrdpar, так что, пренебрегая величинами второго порядка малости по
dx', получаем следующую формулу преобразования для величин а1 + dp а':
а'< + dp а'1 = К (х) + (daljdx^) dxm] an +
+ а'я dp а* = а'„ (х + dx) (a* + dP а"), (9.121)
где ап (х + dx) — коэффициенты преобразования в точке {xl -f dx'). Из
(9.121) следует, что величины а*1 = а' + dp а1 представляют собой контрава-
риантные компоненты вектора в точке (х1 + dx1).
В плоском|пространстве вектор а*1 совпадает с вектором, полученным
путем параллельного переноса вектора О- из точки (х1) в точку (xl -\- dx1),
поскольку при введении псевдодекартовых координат символы Кристоффеля,
а с ними и величины dp а1 исчезают, и вектор а*' становится равным вектору
а1. При использовании криволинейных координат в плоском пространстве конт-
равариантные компоненты векторов а' и а*' будут отличаться на величину
dp а1, определяемую формулой (9.118). Поэтому в римановом пространстве ес-
тественно определить параллельный перенос вектора также формулой (9.118).
В системе локальных координат Лоренца, как и в псевдодекартовой сис-
теме координат псевдоевклидова пространства, компоненты а1 вектора в рас-
сматриваемой точке при параллельном переносе не изменяются. Из (9.118)
следует, что норма'вектора, в также скалярное произведение двух векторов
а1 и Ь1 в точке (х1) не изменяются при параллельном переносе, поскольку в со-
ответствии с (9.118)
dp (gik a1 bk) = (dgik/dxl) dx1 a1 b*—gih Tl dx1 a* bk—gih a' T?s dx1 &s =
= dx< * № (dgth/d#-grh Trit-gir Trkl) = 0. (9.122)
Здесь мы использовали тождество
dg,kIdxl-gThrru-gtrTrkl = O, (9.123)
вытекающее из (9.77) и (9.78).
Далее, cJIyqeTOM (9.118) имеем другое тождество:
0 = dp (а, Ы) == dp at Ы—аг Т1М dxkbl == (dP at—Т,н dxk at) Ы.
Поскольку вектор Ы произвольный, то отсюда получаем следующую формулу
для изменения ковариантных компонент вектора при параллельном переносе:
dP аг = Г!* dxk ax = Tttih dxk a1. (9.124)
С помощью этой формулы находим, что
0 = dp (g* at bk) = dx1 at bk {dg!4dxl + g- Tklf + gkr Tllf),
и поскольку это равенство должно выполняться при любых dx\ ait blt то
dgik/dxl + g» Г?г + gkr Г1г = 0. (9.125)
Умножая (9.123) на gik и используя (9.7), получаем
Tkik = (U2)g*1 dgklfdxl = -(l/2)ghldg*l/dx'. (9.126)
230
Кроме того, с помощью известной формулы для производной определителя,
используя (9.6) и (9.7), находим, что
dgfdx1 = Ам dgklldxf = gg" dghl/dx^ - —ggkl dg^ldxK (9.127)
Следовательно,
Г?* = (№g) (dg/dv) =д/д* In Y\gJ. (9.128)
Рассмотрим снова геодезическую, определяемую уравнением (9.76). Поскольку
К — инвариантный параметр,
Ul = dx!/dX (9.129)
является вектором, касательным к геодезической. Тогда (9.76) можно перепи-
сать в виде
dU4dX=—Th (dxk!dX) Ul. (9.130)
Сравнивая (9.130) с (9.118), видим, что с помощью параллельного переноса
вдоль геодезической получаются различные векторы U1. Этим свойством гео-
дезические линии напоминают прямые линии в евклидовом пространстве. Та-
ким образом, геодезическая линия, соединяющая две точки, является не только
линией со стационарным значением длины, но и «наипрямейшей» линией.
Поэтому норма вектора U'1 не изменяться вдоль геодезической, т. е. guJJiUk
не зависит от X в соответствии с (8.31).
Если это свойство геодезических записать для ковариантных компонент
i/j вектора dx4dk, то согласно (9.124) и (9.78) получим
dUtJdX^Tlt ik U*Ul = (Тик + Гк, и) U*U\I2 = (dghlldx') U* W/2. (9.131)
Это равенство совпадает с уравнением (9.57).
Формула (9.118) определяет изменение компонент вектора, обусловлен-
ное его инфинитезимальным параллельным переносом вдоль вектора dxl. Тогда
полное изменение вектора а1, обусловленное его параллельным переносом вдоль
конечной кривой, можно получить с помощью интегрирования. В плоском
пространстве полное изменение вектора а' в результате параллельного пере-
носа по замкнутому контуру должно быть равно нулю. Это особенно очевидно
в декартовой или псевдодекартовой системах координат, в которых компоненты
вектора а1 вообще не изменяются при параллельном переносе. Результирую-
щий вектор в этом случае после прохождения по замкнутому контуру должен
просто совпасть с исходным. Этот вывод не должен измениться и тогда, когда
перенос осуществляется в криволинейной системе координат. В искривленном
пространстве результирующий вектор а*\ вообще говоря, будет отличен от
исходного вектора а1, причем разность а*1 — а1 зависит от выбора замкнутой
кривой (см. § 9.13). Таким образом, если данный вектор переносить парал-
лельно из точки PtB точку Р2 вдоль некоторой кривой, соединяющей эти две
точки, то результирующий вектор а*1 зависит от формы этой линии, если
пространство искривленное, и не зависит, если пространство плоское. Факти-
чески это единственное существенное различие между плоским и искривлен-
ным пространствами.
§ 9.8. Абсолютная производная. Перенос Ферми — Уолкера
Рассмотрим в 4-пространстве произвольную кривую С, заданную в пара-
метрическом представлении х' = х1 (X). Если X — инвариантный параметр, то
вектор U'(X) = dxlldX является касательным вектором к кривой. Теперь пред-
положим, что с каждой точкой xl(X) связан некоторый вектор а1 (X), т. е., что
на кривой С определено векторное поле. Тогда обычная производная da1 (X)ldX
в общем случае не будет вектором, поскольку da1 — а1 (X + dX) — а1 (X)
231
является разностью компонент векторов а1 (Р')ча1 (Р) в двух различных точ-
ках Р' и Р кривой С. Однако абсолютная производная, определяемая фор-
мулой
Da1 (X)/dX = da'/dK + Ты Uk a1, (9.132)
является, очевидно, вектором в точке Р с координатами х' (X). В самом деле,
из (9.118) следует, что
а((Р')-ас(Р)-{а*ЧР')-а!(Р)} _ Пт а1 (Р')~а*1 (Р')
/д 132')
dK Р' ~Р АА Р'-*р ДА.
где а* (Р') — вектор, полученный параллельным переносом вектора а' (Р)
в точку Р', с координатами х* (X + ДА). В локальной лоренцевой системе ко-
ординат точки Р абсолютная производная совпадает с обычной производной.
Аналогично в соответствии с (9.124) абсолютные производные от ковариант-
ных компонент щ определяются формулой
Dai (X)/dX г duildl—V^ ik Uk a1 = datldX— rj* Uk at (9.133)
и являются ковариантными компонентами вектора с контравариантными ком-
понентами Dai/dX, т. е.
Dai/dX = gihDak/dl. (9.134)
Это соотношение легко получить с помощью формул (9.16), (9.78) и определе-
ний (9.132), (9.133). Из (9.132) и (9.133) получим также следующее правило
дифференцирования скалярного произведения аф1 двух векторов а1 и Ъ1 на С:
dat blfdX = Ы DaJdX + щ Dbl/dk. (9.135)
Теперь уравнения (9.130), (9.131) для геодезической можно переписать в виде
0, (9.136)
где X — специальный параметр типа, упоминавшегося в § 8.10. Уравнения
(9.136) выполняются также для мировых линий свободно падающих частиц
и световых лучей.
В самом общем случае говорят, что вектор а1 (X) подвергается параллель-
ному переносу вдоль кривой, если
Dai(X)/dX = Dai(X)!dX = 0. (9.137)
Соотношения (9.137) инвариантны при произвольных преобразованиях пара-
метра X. Очевидно, что норма вектора, как и скалярное произведение двух
векторов а1 и Ь\ не изменяется при параллельном переносе, так как из (9.135),
(9.137) и соответствующих формул для Ы имеем
Ы/dX = Da-JdX Ы + at Db!/dX = 0.
Следовательно, в каждой точке Р кривой С тетрада е[а) (Р), удовлетворяю-
щая соотношениям (9.81), (9.84), (9.86), получается параллельным переносом из
точки О на С^вдоль этой кривой тетрады е\п) (О).
Однако Ферми [89] и Уолкер [262] указали, что параллельный перенос не
является единственным переносом, обладающим таким важным свойством. Для
времениподобных кривых (таких, как мировые линии произвольно движущих-
ся частиц) в качестве параметра X можно выбрать собственное время т. Тогда
U1 будет 4-скоростью частицы. В этом случае говорят, что вектор а' (т) под-
вергается переносу Ферми — Уолкера вдоль С, если он удовлетворяет следую-
щим уравнениям:
Dal/dt - Wlk ah; Dalldx = Wik aK (9.138)
232
Здесь Wik — антисимметрический тензор:
— W* = с-2 (Ul Ak—Uf А1);
который полностью определяется формой кривой или движением частицы.
А1 в (9.139) представляет собой 4-ускорение, которое в локальной лоренцевой
системе сводится к соответствующей величине в СТО (§ 4.5).
В соответствии с D.41) 4-скорость удовлетворяет инвариантному соотно-
шению
UiU^—c2, (9.140)
которое после дифференцирования и с использования*(9.134) дает
DUt V4dx = Ul DUi/dT + Ut DU'fdx = W, DU'fdx = 0
или
UiAl = 0. (9.141)
В результате
Wik Uk = c-2 Uk Uk Ai = Al = DU'/dx, (9.142)
т. е, вдоль мировой линии С 4-скорость Ul претерпевает перенос Ферми —
Уолкера. Легко видеть, что этот вид переноса, как и параллельный перенос,
оставляет неизменным скалярное произведение двух векторов а1 (т) и Ы (т),
так как из (9.135), (9.138) и (9.139) следует, что
dat b'ldx = bl Dat/dx + аг Dbl/dx = Wu a1 bl + alWilbl =
Таким образом, из тетрады е\а) (О) в точке О на кривой С с помощью пере-
носа Ферми — Уолкера получим тетраду е[а) (Р) в любой точке Р этой кривой.
Такая процедура на кривой С дает возможность получить частный тип тетрад-
ного поля, обладающего тем свойством, что если вектор e'U) (О) в точке О па-
раллелен 4-скорости, то это будет выполняться и на всей кривой С. Поэтому
для этого тетрадного поля во всех точках на С имеем
W*e{a)k = cU(Aewk). (9Л43)
Следовательно,
De\a
d%
a=I, 2, 3.
(9.144)
Если С — мировая линия свободно падающей частицы, то это геодезическая,
для которой справедливо уравнение (9.136) при "к = т. Тогда в (9.139) тензор
Wik обращается в нуль, а уравнения (9.138) совпадут с (9.137). В этом'случае
перенос Ферми—Уолкера — просто параллельный перенос. Таким образом,
различие между обоими видами переноса проявляется лишь при Ai—DUi/dr,
отличном от нуля, т. е. когда частица подвергается также действию и негра-
витационных сил, например электромагнитных сил.
§ 9.9. Локальные жесткие невращающиеся системы отсчета
с произвольно движущимся началом. Прецессия Фовкера
Теперь попытаемся для общего случая искривленного пространства—вре-
мени найти систему координат (#'), являющихся обобщением координат, вве-
денных в § 8.15. При рассмотрении плоского пространства — времени мы на-
чинали с системы действительных лоренцевых координат (X1). В этих коорди-
233
натах движение частицы описывается ее мировой линией С с параметриче-
ским представлением:
Xl = fl(x); dXitdx^=^{x)^Ul{x); A^DU'/dx, (9.145)
а преобразование к новым координатам х1 — (х, у, z, ct) дается формулами
(8.152), которые в вещественном представлении имеют вид
X^p(x) + Ai(T)lK • (9.146)
Здесь Ak (т) — коэффициенты преобразования Лоренца от системы (X1)
к мгновенной инерциальной системе покоя частицы. Это преобразование опреде-
ляется как результат последовательных инфинитезимальных преобразований
Лоренца без вращения. Следовательно, коэффициенты Лд должны удовлетво-
рять уравнениям D.139), D.140), которые в вещественном представлении
принимают форму
dAi/dx = А{ {0l U1 - О1 U()/c* = Wit A{\ J
Здесь Wik — компоненты тензора (9.139) в лоренцевой системе координат.
Если выразить в соответствии с (9.28) А% через компоненты тетрады e[k) (x) —
— Ai (т), то получаются следующие уравнения для перемещения тетрады
вдоль С:
(9.148)
которые совпадают с уравнениями (9.138), (9.139) для случая плоского про-
странства с лоренцевой системой координат. Следовательно, вдоль С тетрады
e\k) претерпевают перенос Ферми — Уолкера.
В системе S с координатами (х1), определяемыми формулой (9.146), час-
тица все время покоится в начале х* = 0 координат соответствующей системы
отсчета R, а временная координата 1 совпадает с собственным временем т час-
тицы. В S метрика определяется соотношениями (8.154), (8.155). В малой
окрестности начала координат, где можно пренебречь величинами второго по-
рядка относительно (х^), метрика принимает вид
gik-^ik-^^gb {t) хЧс\ (9.149)
где g\ (t) — функции только от t. Они равны пространственным компонентам
4-ускорения At (т) частицы в системе S, которые даются формулами
Ai(r)=AfAk = ek{i)Ak. (9.150)
Чтобы получить g% (t), мы должны в Аг (т) заменить т на t, т. е.
(9Л51)
Рассмотрим движение частицы в неустранимом гравитационном поле, когда на
нее дополнительно действуют негравитационные силы, т. е. случай искривлен-
ного пространства — времени. В произвольной системе 5 координат (х;) ми-
ровая линия С частицы снова описывается уравнениями типа (9.145). Но те-
перь 4-ускорение равно абсолютной производной от скорости U1. Как и в слу-
чае плоского пространства, определим на С поле тетрад, подвергаемых перено-
су Ферми—Уолкера, причем для простоты выберем их в форме (9.143),
так чтобы
eU){T) = Ul{*)lc\ e[t)At = Q; e{v)Ut = 0. (9.152)
234
Тогда формула переноса для e\V) определяется уравнениями (9.144), т. е.
De[v) {x)ldx = Wl eiv), = c~2 Ul (A1 elv) i). (9.153)
Для данной мировой линии величины Ul и А1 можно считать известными функ-
циями от т и при заданных начальных значениях e\V) @) векторы тетрады
ejv) (т) однозначно определять из уравнений (9.153). Тогда величины
UT)Al(T) (9.154)
также можно считать известными функциями.
Теперь выберем систему координат х1 = (х^, с!) со следующими свойст-
вами.
1. Кривая С определяется уравнениями х^ = 0 и t = т, т. е. частица все
время находится в начале О системы отсчета R, а временная переменная^ рав-
на собственному времени частицы.
2. Локально, т. е. в малой пространственной окрестности частицы, где
можно пренебречь величинами второго порядка малости по (хх), метрика при
любом / имеет форму (9.149).
Такая система 5 получается, например, с помощью преобразований
х! = fl (t) + e\K) (t) xx — A/2) Г|ад (i) & xv.t (9.155)
где е\%) (т) —решение уравнений (9.153), а Г(^ц) (т) определяется формулой
(т) = е[п е\т) Т1п (Р) = Г[т1) (т). (9.156)
Здесь Tki (Р) — значение символов Кристоффеля в точке Р на С с коорди-
натами х1 = /' (т), которые также можно считать известными функциями от т.
Система координат (9.155) удовлетворяет, очевидно, условию 1. Кроме
того, с помощью (9.132), (9.154), (9.152) и (9.156) уравнения (9.153) можно за-
писать в виде
de[v) (x)/dr = —Tlrs (P) Urel» + сUlgv = —cT^y» + c~2 V'1 gv. (9.157)
Коэффициенты a\ = дхЧдхк найдем, дифференцируя (9.155) no xk. Таким
способом с помощью (9.157) в первом приближении по х% получим
@x\ . (9.158)
В начале х» = 0 системы R, т. е. на мировой линии частицы при любом t,
al (P) - e[k); ai (P) = дх'1/дхк (Р) = eil). (9.159)
Поэтому с учетом (9.152) и (9.154) компоненты 4-скорости и 4-ускорения час-
тицы в системе S имеют вид
Для точки (jc'), достаточно близкой к С (при малых xw):
gih(x) = H*kgim(x). (9.161)
Здесь а\ определяются из (9.156), а переменные (х) и (х) связаны соотношениями
(9.155).
235
Для любого точечного события Р на С с координатами
*'=ГЙ 1
в системах S и S соответственно из (9.161), (9.159) и (9.81) имеем
gin (Р) = е'о $> ?*т (^ = Ни,. (9.163)
Таким образом, во всех точках кривой С система 5 — локально псевдоевкли-
дова. Если пожелать, чтобы система S обладала лишь этим свойством, то по-
следний член в правой части преобразований (9.155) можно отбросить. Однако,
как мы сейчас увидим, введение последнего члена позволяет в системе S ло-
кально исключить внешнее гравитационное поле.
Для любой точки вблизи точки Р (9.162) на С, используя разложение в ряд
Тэйлора и пренебрегая всеми величинами второго порядка малости по х>\ по-
лучаем
(9.164)
где черточки указывают, что функции берутся в точке (9.162). Подставляя
(9.158) и (9.164) в (9.161), в первом приближении по хх для метрики в S в ок-
рестности О и при любом t получаем выражение
+ c~2 (8/4 ej4) e{kI + 6fe4 e{4) e{{) j) gx x%. (9.165)
С помощью формулы (9.156) для Г(';т) и с учетом (9.78) выражение в скобках
во втором члене правой части (9.165) принимает вид
el%) =0.
Использование тетрадных соотношений (9.81) в результате дает
h KX\ (9.166)
Таким образом, локально, т. е. в окрестности О в R, метрика в 5 имеет ту же
форму (9.149), что и в случае плоского пространства •— времени. Это означает,
что в системе S выполняются оба условия 1 и 2. Пространственная метрика
Tmv = S,j,v —¦ евклидова, а гравитационные силы устранимые и обусловлены
ускорением системы отсчета R. Неустранимое внешнее гравитационное поле
исключено преобразованием (9.155). Его действие описывается лишь величина-
ми второго порядка малости по хК
Система S координат (х1) не является полностью геодезической на кривой
С, поскольку на С не все символы Кристоффеля равны нулю. Однако легко
видеть, что единственные не равные нулю компоненты Ты следующие:
(9.167)
Пусть Р — произвольная точка на мировой линии С с координатами в си-
стеме 5:
хр = &[ст. (9.168)
Тогда с помощью преобразования'вида (9.105) получим систему S{x) коорди-
нат (х{х)), геодезическую в точке Р. Если в (9.105) выбрать elrl) = б?, то коорди-
236
V* •
нат^ые кривые в обеих системах S и $(Х) в точке Р совпадут и преобразование
(9.105) примет вид
#т) =*'—*/.+ fj, (P) (Xs —х%) (хг-х'рI2. (9.169)
Учитывая (9.167) и (9.168), в результате имеем
х (Т) = jc* — сх + gx (г) Xя" (х4 — сх)/с2.
(9Л70)
Система 5 (г) в точке Р — геодезическая. Заменяя в (9.170) т на (т -f dx), по-
лучаем преобразование, приводящее к системе S(t_j_dt) координат (x\x+dx))i
геодезической в точке Р' с координатами хр- = 8{с(т + ch). Вычитая из по-
лученных формул преобразования соотношения (9.170) и пренебрегая величи-
нами второго порядка малости по dx, находим, что
| (
х* (x+dx) — х4 (г) = —cdx—gxdxxk/c -f- g-ц (dxxx/c2) (л;4—ст). j '
Теперь, если рассматривать лишь точки вблизи Р или Р', величины
^г _ xlp = («i*, х4 — ст) (9.172)
можно считать малыми первого порядка. Тогда с помощью (9.170) урав-
нения (9.171) можно записать в виде
т) + О2; 1 73
j
х (т+Л) = -к &, — (у^/Ф?т) + О2;
v
а:*т+it) = — cdx + ХDТ) — о vxv{X)!c + О2. j
Здесь через О2 мы обозначили совокупность членов второго порядка малости и
положили:
^ = % = ?и<^т- (9.174)
С точностью до малых второго порядка соотношения между локальными ло-
ренцевыми системами S^+d%) и S(X) даются инфинитезимальными преоб-
разованиями Лоренца без вращения, причем v& — (инфинитезимальная) ско-
рость начала системы R^+d-z) относительно S(T)Icm. D.128), D.129)]. Постоян-
ная — cdx представляет собой расстояние между началами временных осей си-
стем S(T) и S(x+dr>- Поскольку при любом t — х пространственные коорди-
натные кривые, проходящие через начало О системы R, совпадают с соответ-
ствующими кривыми в S(x), система отсчета R является корректным реляти-
вистским обобщением ньютоновской невращающейся системы отсчета.
Поэтому мы можем предположить, что точечный компас (типа рассмотрен-
ного в § 2.8), расположенный в начале О системы R, все время показывает одно
и то же направление относительно координатных осей в R. Физически такой
компас можно реализовать с помощью гироскопа, помещенного в начале 6 так,
чтобы bS он не подвергался действию крутящего момента. Показываемое ком-
пасом направление описывается пространственноподобным вектором с постоян-
ными компонентами
е' = (еи, 0); ^^ = ^^=1. (9.175)
Компоненты этого вектора в исходной системе S являются функциями от т, оп-
ределяемыми формулами (9.159):
& (т) = а\ ek - e\v) (т) еv; | }
j
237
Их изменение в зависимости от времени определяется уравнениями (9.157),
которые с учетом (9.176) и (9.160) дают
del (x)/dx - —сТ\щ ё*—с-2 V1 (gvev) = —cT\iv) <?/V + с~* Ul At el. (9.177)
Следовательно, единичный вектор е1, описывающий|направление гироскопа,
прецессирует в системе 5. Эта прецессия (9.177) состоит из двух частей. Вто-
рая часть, являющаяся 4-вектором
№/с1т)ттас =с~2 W Аг elt (9.178)
представляет собой общерелятивистскую форму прецессии Томаса D.147).
Первая часть
e\v) el=— сГDг) ev, (9.178')
очевидно, не 4-вектор, но она описывает реальный эффект, присутствующий
даже в случае свободного падения частицы. Впервые этот эффект корректно
рассмотрен Фоккером [95], и поэтому назван прецессией Фоккера. (В § 12.1 мы
дадим детальное исследование этого эффекта для одного частного случая.)
Для свободно падающей частицы, мировая линия С которой является гео-
дезической, 4-ускорение А'1 равно нулю. Тогда и gv — 0, а перенос (9.153),
(9.152) тетрады e\k) является параллельным переносом. В этом случае преобра-
зование (9.155) приводит к системе координат х1— х1, которая для всех точек
кривой С будет локально лоренцевой.
§ 9.10. Тензорный анализ. Ковариантное дифференцирование
Как и в случае плоского псевдоевклидова пространства СТО, мы говорим
о тензорном (псевдотензорном) поле ранга п в общем римановом пространстве,
если с каждой точкой в этом пространстве связан тензор (псевдотензор) ранга
п. Как и в § 4.16, из такого поля дифференцированием можно получить новое
тензорное поле ранга (п + 1). Из тензорного поля нулевого ранга, т. е. из
скалярного поля
Ф'(*') = <р(*), (9.179)
можно таким образом получить векторное поле grad <p с ковариантными ком-
понентами
gradi<p = dy/dxi. (9.180}
Тогда с помощью (9.10) и (9.179) получим
ду'/дх'1 = (дц>/дхк) (dxk[dxn) = «f dyldxk, (9.181)
откуда следует, что dyldx1 — действительно ковариантиые компоненты век-
тора.
Однако если мы попытаемся таким способом из векторного поля а1 обра-
зовать тензорное поле ранга 2 дифференцированием формул преобразования
(9.15), то получим
да'/дх* = а1 да\[дх'к + а\ а?( да1/дх>». (9.182)
Отсюда видно, что даЧдхк являются смешанными компонентами тензора толь-
ко тогда, когда коэффициенты постоянные. С другой стороны, из формулы
Кристоффеля (9.80) и соотношений (9.11), (9.14) и (9.120) следует
T'klr а'г^(—да\/дх'к+ а1г а\ Trsl) а1. (9.183)
Складывая (9.182) и (9.183), находим, что величины
а!к = да1/дхк + Г*, аг (9.184)
238
преобразуются по закону:
а% = da'lldx'k + П1Т a'r = a\ c# a\m.
Таким образом, с помощью операции ковариантного дифференцирования
(9.184) контравариантных компонент вектора мы получаем смешанные ком-
поненты тензорного поля второго ранга.
Эту операцию геометрически можно описать следующим образом. Пусть
ё (Р) и а1 (Р') — два вектора некоторого векторного поля в двух близких
точках Р и Р' с координатами (х1) и (х1 + dxl). Разности da1 = al{P') —
—й' (Р) = dxkda','dxk не могут быть компонентами вектора, поскольку а1 (Р) и
п'(Р ) относятся к двум разным точкам. Однако если ащ (Р') — вектор, полу-
ченный параллельным переносом а' из точки Р в точку Р', то разность al(P') —
- а*1 (Р')=а1(Рг) — а1 (Р) — {а*1 (Р') — а1 (/>)} = {даЧдхк + T'lkrar) dxk = a\kdxk
¦является инфинитезимальным вектором в точке Р'. С точностью до малых вто-
рого порядка по (dxk) величина a\k dxk является также инфинитезимальным
вектором в точке Р, и поскольку это справедливо для любого инфинитезималь-
ного вектора dxl, то величины a\k должны быть смешанными компонентами
тензора ранга 2.
Рассматривая аналогичным образом ковариантные компоненты at век-
торного поля и используя при этом (9.124), вместо (9.118), находим, что ве-
личины
-T-kar (9.185)
¦являются ковариантными компонентами тензора. В геодезической системе и,
в частности, в декартовой системе координат плоского пространства, где сим-
волы Кристоффеля равны нулю, ковариантное дифференцирование (9.184)
и (9.185) совпадает с обычным дифференцированием.
Теперь рассмотрим векторы а1 векторного поля, связанные с точками
кривой С, заданной в параметрическом представлении х1 = х1 (к). Они обра-
зуют векторное поле а1 (X), определенное на С, а абсолютные производные
(9.132), (9.133) можно тогда в соответствии с (9.184), (9.185) представить
в виде
Da1 (k)/dl = dacfdl + Г^ a1 dxk/dX = {dal/dxk + Tii a1) dxk/dl ='
= a\kdxkldX\ (9.186)
1 U
Dalldk = daildk—Yikaxdx idX — cii^kdx jdk.
Операцию ковариантного дифференцирования можно применить также и к тен-
зорным полям более высокого ранга. Рассмотрим, например, тензорное поле
ранга 2 с контравариантными компонентами tik. Поскольку каждый индекс от-
дельно преобразуется по тому же правилу, что и вектор, величины
t\ki - dtikjdxl + T\rfk + Tklrtir (9.187)
с двумя контравариантными индексами и одним ковариантным индексом яв-
ляются смешанными компонентами тензора ранга 3. Это можно проверить
(точно так же, как ив случае векторного поля) с помощью формул преобразо-
вания для тензоров и символов Кристоффеля. Аналогично величины
iik, г == dtihldxl-TrutTk-TTkl ti
(9.188)
являются, соответственно, чисто ковариантными и смешанными компонентами
тензора третьего ранга. Эти правила ковариантного дифференцирования можно
239
распространить и на тензорное поле ранга п. В этом случае количество чле-
нов, содержащих символы Кристоффеля, также равно п. Если же положить
Ф;/ = дф/дл:, (9.189)
то данное правило можно применить и к тензорному полю нулевого ранга.
Поскольку скалярное произведение aft1 двух векторных^полей albl является
скалярным полем, имеем
(щ Ь1)-<к = Ы dat/dxk + at dbl/dxk = (даг/дхк—Гг;к ат) Ы +
1 , b\k, (9.190)
т. е. известное правило дифференцирования произведения выполняется и для
ковариантного дифференцирования. Легко видеть, что это правило применимо
к произведению любых двух тензоров произвольного ранга, например:
(9.191)
Теперь тождества (9.123) и (9.125) можно представить в форме
?tt;(s0; g;* = 0, (9.192)
т. е. ковариантные производные метрического тензора равны нулю. Поэтому
при ковариантном дифференцировании формул (9.16) и (9.17) получим
^¦,i = gik;iak + glhak[ = gihak ; al.. = g'ka*; и (9.193)
т. е. величины ai;k и a\k являются компонентами одного и того же тензора ран-
га 2. Таким же способом можно показать, что величины t'j, tlk\ и Uk-, и оп-
ределяемые в (9.187) и (9.188), являются компонентами одного и того же тен-
зора ранга 3.
Чтобы получить обобщение дифференциальных операторов, введенных
в § 4.16 для частного случая псевдоевклидова пространства, достаточно в со-
ответствующих формулах § 4.16 обычное дифференцирование заменить кова-
риантным дифференцированием. Тогда для ротора векторного поля at полу-
чим
rot;?? {a) = akXi—a,-; k~dahldxl—даг1дхк. (9.194)
Здесь величины, содержащие символы Кристоффеля, сократились. Кова-
риантное выражение для дивергенции вектора получается сверткой тензора
ci;k, т. е.
div {а1} = а\. = даЧдх1 + Г(г аг, (9.195)
что с учетом (9.128) можно представить следующим образом:
да1 а1 д г— 1 д
VI
В C + ^-пространстве^ — отрицательно, т. е. \g\ — — g, а для пространст-
ва с положительно определенной метрикой g >> 0 и \g\ = g. Теперь ковариант-
ное выражение для оператора Д' Аламбера принимает вид
П^- div{grad-ф} = ^= -j- {V\g\eikдтр/дх*). (9.197)
240
Контравариантные компоненты дивергенции тензорного поля Tik имеют вид
div* {Т} == Т\\ = dTikIdxk + Tlkr Trk + Tkkr Tir =
= ^= A(VJg\Tih) + Г'« TA/, (9.198 a)
а ковариантные компоненты
J^([iTr?.)-rr.I-srs. (9.1986)
Для симметрического тензора с учетом (9.78) это выражение сводится к
^-т1г (9Л99>
Для антисимметрического тензора Я* вследствие симметричности Ты послед-
ний член в формуле (9.198й) будет равен нулю, следовательно,
ik)- (9-200)
Далее, для ротора антисимметрического тензора получим следующее выра-
жение:
го!ш {F} = Flkl i + Fki; t + Fit. k = dFih/dxl + dFklfdx* + dFnldxK (9.201)
Здесь величины, содержащие символы Кристоффеля, сократились. Операторы
градиента и ротора увеличивают ранг тензорного поля, а оператор диверген-
ции уменьшает его на единицу. Из формул (9.180), (9.194), (9.196), (9.200) и
(9.201) получаем далее следующие тождества для скалярного, векторного и
антисимметрического тензорного полей соответственно:
rot {grad ф} = rot {rot {a}} = div {div F) = 0. (9.202)
Все рассмотренные здесь ковариантные операции можно применить также
и к псевдотензорным полям. В результате получаются псевдотензорные поля
меньшего или большего ранга. Ротор антисимметрического тензора Fih яв-
ляется тензором, дуальным к дивергенции псевдотензорного поля:
(9.203)
т. е«
r0^A!{^'}=:eifeimdiv'" {F*}, (9.204)
что легко проверяется с помощью формул (9.49), (9.200) и (9.201).
В трехмерном пространстве аналогичным образом с помощью (9.74') на-
ходим следующие соотношения между дивергенцией и ротором антисимметри-
ческого тензора Я^ и его дуальным аксиальным вектором Н:
.(W.I- \ 1п ОО^
HVjl. I" nJu) > | \p.?.\JOy
= е»"* (dHx/dxv—dHv/dxx)j2 = rot11 H.
§ 9.11. Ковариантное дифференцирование тензорных плотностей
Пусть а1 (х) — векторное поле с плотностью а'{х) (степени 1), определяемой
в соответствии с (9.72):
о* (х) = y^g а1 (х). (9.206)
241
Гогда ковариантная производная а' и определяется как плотность ковариант-
ной производной а1, т. е.
Xk^V^gtik- (9-207)
Обозначим обычную частную производную по хк символом ,h в отличие
от ковариантной производной, которая обозначается символом -к.
Тогда из (9.207), (9.184) и (9.206) имеем
или с учетом (9.128)
of* = tt!* + rir<ir-o'a. (9.208)
Данное выражение для ковариантной производной тензорной плотности
ранга 1 легко обобщить на тензорную плотность произвольного ранга. Для
тензорной плотности ранга 2 имеем, например:
-t* г-
I (
Аналогично, если ранг равен 0, т. е. для скалярной плотности
2(x) = Y=gL{x), (9.210)
имеем
V"^ r^(x).t-2(x)rrr. (9.211)
Здесь мы использовали (9.128) и (9.189). В частном случае скаляр L (х) может
быть одинаковым во всем пространстве. Тогда, выбирая L (х) = 1, из (9.210)
находим, что
9/х\ — У гг /9 212^
является скалярной плотностью, что также вытекает из (9.46) и (9.71). В со-
ответствии с (9.212) эта скалярная плотность имеет нулевую ковариантную
производную, т. е.
(—?);1/2 = °- (9.213)
Поэтому все формулы (9.207) — (9.211) для ковариантного дифференцирования
тензорных плотностей можно получить из соотношений (9.69), (9.72), поль-
зуясь обычным правилом дифференцирования произведения.
Дивергенция тензорной плотности определяется как плотность диверген-
ции соответствующего поля. Ротор тензорной плотности определяется анало-
гично. Таким образом, в соответствии с (9.196) или (9.208) дивергенция век-
торной плотности является скалярной плотностью:
т. е. в данном случае ковариантное дифференцирование может быть заменено
обычным дифференцированием. То же самое справедливо и для случая анти-
симметричной тензорной плотности ранга 2, поскольку в соответствии с (9.200)
или (9.209) имеем
div'{ff) ==3^й = (—g)l/2 div [F] =5'Л. (9.215)
В общем случае дивергенция тензорной плотности ранга 2 имеет более сложный
вид. Для симметричной тензорной плотности, например, имеем в соответствии
с (9.199):
242
f:fe t*fft-t"grs>./2. (9.216)
Этот результат легко получить также из (9.209), учитывая (9.78) и симметрич-
ность %ik =
§ 9.12. Интегральные теоремы
Теперь обобщение гауссовых теорем D.191), D.194) очевидно. Если Q —
область в 4-пространстве с трехмерной границей 2, то в соответствии с (9.63)
для любого векторного поля а1 с плотностью а1 имеем
J div (a) dQ = j div {а} dx = j еа< d2; (9.217)
Я Я 2
или, используя (9.57) и (9.214):
= J
&xm. (9.218)
Чтобы знак в правой части уравнения (9.218) был правильным, инфинитези-
мальные векторы dxk, Ьх1, Кхт, лежащие в трехмерном пространстве 2 и
входящие в определение (9.57) dSt и d%i, должны выбираться так, чтобы век-
тор d2j был направлен из области Q.
Теорема Гаусса выражает интеграл в 4-пространстве через интеграл па
области трехмерного пространства. Аналогично обобщенная теорема Стокса
преобразует интеграл по двухмерной поверхности / в интеграл по замкнутой
кривой s, ограничивающей поверхность /. Тогда для любого векторного поля
а1 имеем
J rot?fc {a} do«"* = j a,-dx'. (9.219)
f s
Однако для случая 4-пространства справедлива еще одна теорема, аналогичная
теоремам Гаусса и Стокса, которая преобразует интеграл по трехмерному про-
странству (гиперповерхности) 2 в интеграл по ее двумерной границе а. Так,
например, для произвольного антисимметрического тензорного поля Fik —
= — Fki с плотностью '5'* имеем
A/3!) j rot?fcI {F} dZ m = j Fik da* (9.220)
и
j [дд'к/дхк) dSt = j g« dSU, (9-221)
где dSi, doik, dS% — величины, определяемые формулами (9.57), (9.52) и
(9.54). Как и в (9.218), мы должны в B.219) — B,221) выбрать инфинитези-
мальные векторы, определяющие объемный и пространственные элементы
[247, 248]. Теоремы (9.220) и (9.221), имеющие формы теорем Стокса и Гаусса
соответственно, тесно связаны. Фактически согласно (9.204), (9.54), (9.57) урав-
нение (9.220) в применении к тензорному полю Fik эквивалентно уравнению
(9.221) в применении к дуальному тензору F*ik.
Поскольку а1 и Fih — тензорные поля, интегралы (9.217) — (9.221) ин-
вариантны (или псевдоинвариантны) при произвольных координатных пре-
образованиях. Однако, вследствие того, что эти уравнения получены с помощью
правила интегрирования по частям (см. доказательство теоремы Гаусса в трех-
мерном пространстве в приложении 1), они будут выполняться в любой си-
стеме координат, даже если а1 и Fik = — Fki не имеют тензорных свойств. Ко-
нечно, тогда интегралы (9.217)*— (9.221) уже не будут инвариантными, но
сами уравнения все еще будут выполняться. Поэтому если Т\ — 16 произволь-
243
з ых функций от (х), занумерованных с помощью индексов i и k, то справедли-
вы следующие четыре уравнения, соответствующие (9.218):
^ (9.222)
а 2
Точно так же для совокупности 24 функций tyf (х) = — %A по аналогии
с (9.221) имеем
j4 j4 (9.223)
Поскольку мы ничего не предполагали о трансформационных свойствах функ-
ций Т\ и ty?, интегралы в этих уравнениях преобразуются совершенно про-
\
извольным образом. Однако необходимо заметить, что если даже Т\, г|з/ —
тензорные плотности, так что Т\ dSh и tyfdfti в каждой точке области
интегрирования векторы, то интегралы в правых частях (9.222) и (9.223) в об-
щем случае не будут преобразовываться как векторы. Это будет выполняться
лишь в плоском пространстве с прямоугольными координатами. В общем
случае такие интегралы уже не имеют простого геометрического смысла.
§ 9.13. Тензор кривизны
Пусть ah — произвольное векторное поле, a ak;i — тензор ранга 2, по-
лученный ковариантным дифференцированием ah:
ak;i = dahtdxl — T'kiar = dahldxl — Tr,kiar. (9.224)
Аналогичным образом можно записать и тензор ранга 3, полученный кова-
риантным дифференцированием тензора а^-х-
ak-, i;m = dak,lldxm—Trkman l—Trinak-ir^dak,tldxm—Tr,kma\i—Trlmak;r, (9.225)
где a[i находится из (9.184) или (9.193). Подставляя первое выражение (9.224)
в первое равенство (9.225), получаем выражение для ak:r,m, которое будет
линейной функцией от at и его первых и вторых производных. Однако если из
этого выражения вычесть соответствующее выражение для ak-_mn, полученное
изменением порядка ковариантного дифференцирования, то производные от
at сократятся и будем иметь
Я*; l;m — ak;m;l= —R^klmCti, (9.226)
где коэффициенты при аг следующие:
+ Tirmrrk[ — rlrlrrkm. (9.227)
Теперь, используя в (9.224) и (9.225) вторые равенства, аналогичным образом
получаем
пк; i; m — ak; m; I = —Rihlm <*L, (9.228)
где
Rtkim = dTt, hJdx^-dYi: km/dxl+rritrrt hm-Frim Tr. ы =
(d2 g/dx* dF + d* gkm/dxl dx! - d2 gin/dx^ d*« - d2 gklfdx' dx™) +
(ГР, „ Г., hm-rrt imTs< ы). (9.229)
Поскольку для любого векторного поля at левые части в (9.226) и (9.228) —
тензоры, величины /?'/ifm и Rihim должны быть компонентами одного и того же
тензора четвертого ранга, т. е.
Ri.klm = g"tRnMm- (9-230)
244
Тензор Rihim называется тензором кривизны Римана — Кристоффеля. Ра-
венства (9.226) выражают правило коммутации для ковариантного дифферен-
цирования векторного поля. Соответствующее правило ковариантного диф-
ференцирования тензорного поля tik имеет вид
tkl; т; п — ikl; п; т = —R-kmntil— R-lmn tfo. (9.231)
Геометрический смысл тензора кривизны становится очевидным, если рассмот-
реть параллельный перенос вектора а1 вдоль контура инфинитезимального
параллелограмма, определяемого двумя инфинитезимальными векторами
(dxl) и (бх1). Как уже говорилось в § 9.7, вектор а*1, полученный в результате
этого процесса, в общем случае отличен от вектора а1. С помощью закона па-
раллельного переноса (9.118) и (9.124) простыми вычислениями легко про-
верить, что разности Да' = а*1 — а', Да; = а* — at между компонентами
этих векторов определяются выражениями
2, (9.232)
где dolm — dxl ox—dxm 5xl.
В плоском пространстве, где можно ввести систему координат, в которой
компоненты метрического тензора постоянны, очевидно, имеем
Rikim = 0- (9-233)
Таким образом, это уравнение — необходимое условие, чтобы пространство
было плоским. Это условие является и достаточным; так как если (9.233) вы-
полняется во всех точках, то можно найти такое преобразование (9.9), которое
приводит к компонентам g\h, не зависящим от пространственно-временных
переменных (хч) (см. приложение 5).
Из (9.229) непосредственно следует, что тензор кривизны удовлетворяет
алгебраическим соотношениям
Rililm~ Rihml== °feiZm = Rlmih'y (9.234 a)
Riklm + Rilmb + Rimkt^Q- (9.234 6)
Кроме того, тензор кривизны удовлетворяет ряду дифференциальных тождеств,
которые можно получить следующим образом [21]. Учитывая|рбщее правило
для ковариантного дифференцирования свертки произведения тензоров, из
{9,226) ковариантным дифференцированием получаем
ak; I: т; п — Gk; т; I; п~ —Rl-klm; nO-i — R1. klmdi; n-
Складывая это равенство с двумя другими, полученными из него циклической
перестановкой индексов /, т, п, получаем
k; I; т; л — #*; /; п: т) + {flk\m\ п; I — ak; т; I; п) + iflk; п; I; т —0>k; re; m; /) =
— — (R • klm; п + R . ктп; I "Ь К. knl; m) O-i — (R * klm <*i; n + R- kmn Q-i; I + K- knl O-i\ m) ¦
(9.235)
Каждое выражение в круглых скобках в левой части (9.235) можно преобразо-
вать с помощью формулы (9.231), примененной к тензорам a/i; i, а^ т, а^, п со-
ответственно. При этом получим шесть величин, три из которых взаимно сокра-
щаются с учетом (9.2346), а оставшиеся три сокращаются попарно с вели-
чинами во второй скобке в правой части (9.235). В результате имеем
(R' klm\n-\- R 'kmn: l-\~ R-ktil; m) Ct-i =0.
Поскольку это равенство справедливо для произвольного векторного поля
аи приходим к тождествам Бианки
R'.klm; n + Rt.kmnUJr &Ш; т = 0. (9.236)
С учетом тождеств (9.234) число алгебраических независимых компонент тен-
зора кривизны равно 20 в четырехмерном пространстве, 6 в трехмерном и 1
в двухмерном пространстве. •
245
§ 9.14. Свертки тензора кривизны
Свертка тензора Rl.kim четвертого ранга является тензором второго ранга,
который с учетом (9.234а) может быть записан в нескольких формах:
Rik = Rr. irk = — Rr. ikr == - #J. rk = Rrrk .t = R: ш. (9.237)
Отсюда очевидно, что этот свернутый тензор кривизны симметричен, т. е.
R,h^Rki- (9.238)
Последующей сверткой тензора Rik получим скалярную кривизну
Я = Я{ = $'*/?*• (9.239)
Свертывая тождества Бианки (9.236) по индексам i и / и используя соотноше-
ния (9.237) и (9.234а), имеем Rhm- п + Rl.M , — Rhn, m = 0 или
Rm-, п — Rk-mn; i — Rn; m = 0. Последующее свертывание по k и т дает R;n —
— 2 Rn-.ь — 0. Умножая эту формулу на gin и используя (9.192) и правило ко-
вариантного дифференцирования произведения, получаем
(/?"*—g'*/?/2); л = 0. (9.240)
Это уравнение показывает, что ковариантная дивергенция симметрического'
тензора
Rtk—gikR/2 (9.241).
равна нулю. Этот тензор имеет лишь 10 независимых компонент.
Из (9.237), (9.227) и (9.128) получим следующие явные выражения для Rilti
k —drlik/dtf + Tru Tlbr-Trik rlir ^дЧп VTg~\/d
— дТ1Ыдх1 + TrHTlkr~TrikдIn v'\g~\ldx'. (9.242>
§ 9.15. Специальные системы координат в конечной
области пространства—времени
В § 9.6 было показано, что всегда можно ввести такие локальные системы
координат S (Р) или 5 (Р), в которых метрический тензор в произвольной точ-
ке Р или даже в малой окрестности Р имеет частную релятивистскую форму.
Кроме того, в § 9.9 мы видели, что можно выбрать также систему S, в которой
gik имеет заданную величину в окрестности любой заданной времени подобной
кривой. Исследуем теперь возможность развития этой идеи до глобального
уровня или, по крайней мере, на конечную область пространства — времени.
Поскольку общее координатное преобразование
Х>* = }1(ХЬ) (9.243)
содержит четыре произвольные функции, то интуиция подсказывает, что всегда
можно найти такие системы S', в которых g[k (x') удовлетворяет четырем спе-
циальным независимым условиям. Эти условия могут иметь форму дифферен-
циальных уравнений, первого порядка или же выражать определенные требо-
вания к четырем из десяти функций glk (x').
В § 8.13 мы видели, что некоторые из условий последнего типа наклады-
ваются с помощью обыкновенных калибровочных преобразований. Например,
чисто временное преобразование (8.120), которое означает, что координатные
часы в S' являются стандартными часами, приводит к тому, что
g'tt = -U X' = 0. (9.244)
246
С другой стороны, в § 8.13 было показано также, что в общем случае нельзя
калибровочным преобразованием все компоненты векторного потенциала об-
ратить в нуль. Это возможно только тогда, когда пространственный тензор
вращения са^ везде равен нулю.
Однако в случае общих преобразований (9.243) мы можем определить
бесчисленное множество систем S', в которых
Ям=^ = 0; y't = \, (9.245)
Проще всего это демонстрируется с помощью следующих геометрических рас-
суждений. Заметим прежде всего, что из (9.245) имеем
?'й4 = 0; g'"={g'AA)-\ (9.246)
g'ilgu = g'Ug'4i=b\- (9-247)
Кроме того, вследствие (9.245) и (9.246) система S' времениортогональна;
это означает, что мировые линии точек системы отсчета R', т. е. временные
линии
х'* = const, (9.248)
везде ортогональны гиперповерхностям
/*(*) = х'4.-const. (9.249)
Поэтому любой линейный элемент dxn — (dx'u, 0), лежащий в касательной
плоскости к гиперповерхности (9.249) в точке Р, ортогонален линейному эле-
менту 6У!' = @, 0, 0, 6У4), направленному по касательной к кривой (9.248),
проходящей через точку Р.
Теперь можно следующим образом сконструировать систему S' типа
(9.245), (9.246). Выберем произвольную функцию f* (х) так, чтобы она удов-
летворяла единственному условию
glm (dfVdx1) ¦ (д^/дхт) = (gradj f4) (grad' /4) < 0. (9.250)
Тогда уравнения (9.249) при всех возможных значениях постоянных х'А опре-
деляют в 4-пространстве семейство пространственноподобных поверхностей
2. Теперь построим кривые N, нормальные к этому семейству. Они образуют
трехпараметрическое семейство времен и подобных кривых N, поскольку вектор
dxl, касательный к кривой N, проходящей через некоторую точку (х), про-
порционален grad' / (х), являющемуся в соответствии с (9.250) времениподоб-
ным вектором. Если кривые N не пересекаются, то через каждую точку 4-про-
странства проходят лишь одна поверхность 2 и одна кривая Af. Каждая по-
верхность'2 определяется постоянным значением хг* в (9.249). Аналогично
кривые N, составляющие трехпараметрическое семейство нормальных кривых,
характеризуются тремя произвольными непрерывными параметрами х'^. Сле-
довательно, каждая точка Р в 4-пространстве характеризуется четырьмя чис-
лами {x'v-, xri), соответствующими кривой N и поверхности 2, проходящим
через эту точку. Таким образом, мы получили систему S' координат (х1), ко-
торая является времениортогональной системой типа (9.245). Если несколько
кривых //.пересекаются, то точки пересечения являются сингулярными точ-
ками системы S', но вне конечной окрестности этих точек система S' — регу-
лярная. В.'последующем изложении мы часто будем использовать такие системы
ввиду упрощений, возникающих благодаря отсутствию в них векторного
потенциала.
При заданных функциях f4(x) система координат 5' определяется с точ-
ностью до чисто пространственных преобразований (х'»). Поэтому параметры
(х'р), характеризующие каждую кривую N, могут быть выбраны совер-
шенно произвольно. В качестве таких параметров можно выбрать коорди-
247
наты (х11) точки пересечения кривой N с поверхностью 2 (9.249), соответствую-
щей х'4 = 0, т. е.
х'и = *и при х'4 = 0. (9.251)
В этом случае система S' полностью определяется выбором функции /4 (х). Ш
формулы преобразования (9.36) для тензора имеем
g'« = (d/W) (df*/dx*) g'« = (gradj /*) (grad' f4); (9.252)
g'M = (df»/dxl) (д^/дхт) glm = (df»/dxl) (grad' f4). (9.253)
Таким образом, функции fr (x) являются решением системы линейных диф-
ференциальных уравнений первого порядка с граничными условиями (9.251),
согласно которым
/и (*) = *(* (9.254)
на гиперповерхности
/* (х) = 0. (9.255)
Произвольность в выборе определяющих параметров кривых N и функций
f* (x) показывает, что для данного метрического тензора в S существует бес-
конечное количество времениортогональных систем S'.
Самое простое преобразование S -*¦ S' получается при следующем выборе
функции f4 (x):
f4 (x) = х\ (9.256)
Тогда формула (9.243) при 1 = 4 имеет вид
*'* = х4 (9.257)
и преобразование заключается лишь в изменении системы отсчета; при этом
компонента g4* метрического тензора преобразуется как скаляр. Фактически-
из (9.252) и (9.256) имеем
g'44 = 6?64m|f/'" = ^. (9.258>
Из данного геометрического рассмотрения следует с очевидностью существование^ це-
лого класса систем S'. Однако для определения функций /4 в B.243) или функций /' (х'У
в обратных преобразованиях
х' = /'(х//г) (9.259)-
при заданном gik (x) в 5 более удобно и физически более поучительно рассмотреть движе-
ние точек отсчета системы R' относительно 5 в трехмерном физическом пространстве. Для
случая (9.157), когда временная переменная не изменяется, это движение можно описать
движением (безмассовой) жидкости, которая в любой точке (х1*) в R и в любой момент вре-
мени / движется со скоростью
и»(х*, t) = dx^/dt = cg^/gn- (9.260)
Поскольку правые части в (9.260) — известные функции от л;^ и t, дифференциальные
уравнения (9.260) вместе с начальными условиями полностью определяют движение каж-
дой «частицы» жидкости. Легко видеть, что скорость иУ" всегда меньше скорости света»
поскольку если dxl — линейный элемент мировой линии частицы, т. е.
dxl = (иУ-dt, cdt) = cdtgulgM, то имеем dsz = gihdxldxk = cMfig^g^g^/ig"J =
= c2d^a/g44 < 0, так что dxl — времениподобный вектор. Следовательно, различные час-
тицы жидкости могут быть выбраны в качестве точек отсчета в допустимой системе отсчета
R' (см. § 8.7).
Пусть теперь
t) (9.261)
— решение системы уравнений (9.260) при начальных условиях
}*(хч0,0) = х*. (9.262>
248
Оно описывает движение частицы из начальной точки (хд) при ^=0. Если заменить те-
перь аргументы Жц и t в функциях /^ в (9.261) на х •* и ^' = лг'4/с соответственно, то
уравнения
(9.263)
«будут представлять собой искомые формулы преобразований. В самом деле, во-первых,
(9.263) соответствует (9.257) и начальным условиям (9.251), так как при х'4 = 0 с учетом
(9.262) имеем
vfi ~i\i(v'v (Л „'ц /q ofidi
Во-вторых, с помощью (9.23), (9.261) и (9.260) получим
''g g ' 1 (9.265)
UX*'OX — = U^, J
В результате с учетом (9.7) имеем
?д4 = (дхЧдх'») {дх"г/дх'*) gim = (дхк/дх'») {(g154/^41) ^,_p +^4) =
= (Эал/Эд;'11) (gm4gXm)/g44 = 0. (9.266)
Таким образом, мы получили преобразование, приводящее к времениортогональной
системе координат 5'. Кроме того, система S' обладает тем свойством, что во всех точках
?rii — g4*- С другой стороны, пространственные компоненты метрического тензора имеют
вид
guv = {dx4dxv-){dxmldx'v)glm=[dlK{x», t')/dx'»\ldfa(x'*, t)/dx'v] gXa. (9.267)
Поэтому g' = g лишь при
x4 = x" = 0. (9.268)
В общем случае g|lv — более сложные функции от времени, даже если g^v от времени
й не зависят.
Рассмотренное преобразование не определяет однозначно все свойства
функций ft (x) и f1 (x) в (9.243) и (9.259). Поэтому соответствующим выбором
этих функций можно определить целый класс систем S', в которых скалярный и
векторный потенциалы равны нулю, т. е.
(9.269)
Координаты в таких системах называются гауссовыми координатами.
Упражнение
Показать, что такую систему можно получить:
1) полагая, что точки отсчета х ** в R'—свободно падающие частицы со следую-
щими начальными координатами и скоростями:
х» = х'»\ и»(х'4, 0)=^4/а*4, (9.270)
где t = ? = 0;
2) используя в 5' в качестве координатных часов стандартные часы, движущиеся
вместе с точками отсчета.
Доказательство
Движение точек отсчета (х •*) описывается уравнениями (8.96) или уравнениями
DV'/dt = dVhdx + T1^ Vk Vl = 0, (9.271)
где V1 — dxlld% — 4-скорость, а т — собственное время, т. е. координатное время С
з S'. В соответствии с (9.270) начальная 4-скорость ]/{, равна:
v5=^c[*D/(-g4*)*]o, (9.272)
249
где [ Jo указывает, что функция в скобках берется при х* = 0. Пусть
J- ~ti(Y'v _\ ^'fv-'v f>\ in пул
х —i \х , т}—[ \х ,i ) (.у.z/of
решение системы (9.271) с начальными условиями
(9.274>
0 при i = 4;
Тогда рассматриваемую задачу можно сформулировать следующим образом: показать,
что преобразование
хг = }1(х\ x'Vc) (9.275)
приводит к гауссовой системе координат. По тем же соображениям, что использовались
при выводе (9.266), из (9.274) следует, что при х-'4 = xi — 0
g|l4</v, 0)=0. (9.276)
Кроме того, при всех значениях (х1)
g'a = — \. (9.277)
Это вытекает из формулы (8.66), поскольку t' — время, показываемое стандартными ча-
сами, покоящимися в R'. Наконец, легко видеть, что производная по времени от?ц4 везде
равна нулю, т. е.
dftU/dAr'4=0. (9.278)
Это следует из уравнения (9.271), если его записать в координатах системы S', поскольку
скорость V' покоящейся в S' частицы равна, очевидно, V1 =с?>1, dV'i/dx = 0. Поэто-
му Г44 ~ ^' чт0 вместе с (9-27?) приводит к (9.278). Из (9.276) — (9.278) видно, что
преобразования (9.275) определяют систему (9.269).
Геометрически систему типа (9.269) в 4-пространстве можно представить
следующим образом. Поверхности (9.249) — параллельные, т. е. расстояние
между двумя соседними поверхностями 2, соответствующими значениям х'* и
(л;'4 + dx'4), такое же, что и между всеми соответствующими точками на обеих
поверхностях, и равно i dx'*. Кроме того, кривые Л^, нормальные к семейству
поверхностей 2, т. е. мировые линии точек отсчета х'4 = const — времени-
подобные геодезические.
В соответствии с (9.252) и (9.269) функция /4 (х) в (9.243) является реше-
нием следующего дифференциального уравнения в частных производных:
(gradj fl) (grad; f4) = gik (d/W) (dfW) = — 1. (9.279)
В примере, рассмотренном в упражнении, функция /4 (х) обладала тем спе-
циальным свойством, что при всех х^ она равнялась нулю, когда х* = 0. Од-
нако это не необходимое условие. Любое решение (9.279) можно использовать
для построения гауссовой системы.
Вместо того, чтобы придавать четырем компонентам метрического тен-
зора определенные значения, можно потребовать, чтобы компоненты метри-
ческого тензора удовлетворяли четырем дифференциальным условиям. Важ-
ным примером таких координатных условий являются соотношения де Дондера
{(-g)%gikhk = 0, (9.280)
значительно упрощающие многие вычисления в ОТО. Системы координат
(х1), удовлетворяющие условиям де Дондера, были названы Фоком 193] гар-
моническими координатами. Он утверждал, что такие координаты имеют особое
физическое значение. Мы не присоединяемся к такой точке зрения, выделяю-
щей преимущественный класс координатных систем. В соответствии с общим
принципом относительности, все системы с одинаковым основанием примени-
мы для нашего описания природы. Это дает нам в каждом случае возможность,
выбора такой системы координат, которая обеспечивает наиболее простое опи-
сание рассматриваемого частного физического явления.
250
Упражнение
Показать, что четыре функции /' (хк)в преобразовании (9.243), связывающие произ-
вольную систему S с системой S' гармонических координат, являются решениями урав-
нения
П*(*)=0, (9.281)
где ? —ковариантный оператор Д'Аламбера (9.197).
Другим полезным примером координатных условий являются соотноше-
ния Эйнштейна:
gMdgM/dtf = 0. (9.282)
В соответствии с (9.126) и (9.127) их можно представить в виде Г^ = О,
dgjdx1 = 0, т. е. g — const. Постоянную всегда можно положить равной — 1.
Поэтому условия (9.282) эквивалентны требованию, чтобы определитель g мет-
рического тензора везде был равен—1;
g= —1. (9.282')
§ 9.16. Калибровочяо-инвариаптные величины.
Стандартные 4-тензоры.
В предыдущих параграфах мы рассматривали множество величин, кото-
рые для полной группы общих пространственно-временных преобразований
являлись векторами и тензорами. Однако часто приходится иметь дело с ве-
личинами, которые ведут себя как тензоры при более ограниченной группе пре-
образований. Например, упоминавшиеся в § 9.5 аффинные тензоры являются
тензорами лишь относительно линейных преобразований. Теперь исследуем
подгруппу преобразований (8.59), названных в § 8.13 калибровочными преоб-
разованиями. Чтобы избежать ненужных усложнений, рассмотрим лишь такие
преобразования, для которых а* = дх'Чдх* > 0, т. е. откажемся от исполь-
зования часов, идущих в обратном направлении. Таким образом, рассматри-
ваемые калибровочные преобразования имеют вид
При таких преобразованиях система отсчета R, соответствующая системе ко-
ординат S, не изменяется, так как преобразования (9.283) просто вводят другое
упорядочивание точек отсчета и изменяют скорость и установку хода коорди-
натных часов. Калибровочные преобразования (9.283) могут быть составлены
из чисто пространственного преобразования
х'* = х*, (9.284)
которому предшествовало произвольное изменение масштаба времени
х'» = х»; х'*^х'*(х1). (9.285)
При преобразованиях (9.284) пространственные компоненты А* и А^ 4-век-
тора Ai = gihAk преобразуются как контравариантные и ковариантные ком-
поненты 3-вектора соответственно, но в общем случае они являются компонен-
тами двух различных 3-векторов, поскольку Лд равно у^А* лишь в частном
случае. Наша цель — построить калибровочно-инвариантные величины. Для
этого удобно в каждой системе координат 5 ввести следующие величины:
г^М-^-р, о, о,
251
где уд и х — гравитационные потенциалы (8.63), (8.109). Величины Гг- свя-
заны, очевидно, с величинами <тг, определенными в (8.125), соотношениями
Г* = (-Й4)й^ = -Г4а4; а. = Г*Г, = К.-1)- (9-287)
Закон преобразования для величин (9.286) очень сложен, но для группы ка-
либровочных преобразований Г' и Г; являются контравариантными и кова-
риантными компонентами 4-вектсра. Это легко показать, если вспомнить, что
калибровочные пребразования не изменяют систему отсчета. Каждая система
отсчета R в 4-пространстЕе описывается семейством мировых линий точек от-
счета Xй- = const или соответствующим полем касательных времени подобных
единичных векторов, направленных в будущее. Эти единичные Еекторы равны;
Уд/с, где V'r — 4-скорости точек отсчета системы R. Тогда Р и Г-г- являются
компонентами этих единичных Еекторов в любой внутренней системе координат
S в R, поскольку пространственные компоненты Г^ равны нулю и
Г?Г' = Г4Г*=—1. (9.288)
Поэтому, вследствие того, что мировые линии точек отсчета при калибровоч-
ных преобразованиях не меняются, величины Г,- и Г' должны преобразовы-
ваться в этом случае как компоненты (фиксированного) 4-Еектсрного поля'
УУ с. Это легко показать и непосредственно, пользуясь определениями (9.286)
и формулами преобразования (9.12) для gih в частном случае (9.283). Вели-
чины, подобные Гь которые Еедут себя при калибровочных преобразованиях
как 4-тензоры, будем называть ограниченными 4-тензорами.
Из любого векторного поля с компонентами А1 и At = gikAk можно по-
строить калибровочно-инвариантную величину:
[А] = Л' Г, = Аь Г' = At Г4 = Л4 (—gu)-%. (9.289>
Поскольку Tj — ограниченный 4-вектор, скалярное произведение (9.289) —
инвариант относительно преобразований (9.283). Проектируя вектор Ai на
гиперплоскость, ортогональную к Гг, получим ограниченный 4-вектор с ком-
понентами
А = & + (К г») Г'' = # + К Л (П2; 1 29
Этот спроектированный вектор, естественно, ортогонален Г1':
А1хТ^А^Г1 = А^Г4 = 0. (9.291>
Следовательно,
Ai = Q; (9.292)
^i = ~(r4)-iru^ = av^l. (9.293)
В соответствии с (9.290) пространственные составляющие спроектирован-
ного 4-вектора имеют вид
А^А»; At = AVL+I«rllAt. (9.294)
При калибровочных преобразованиях (9.283), когда а^ = 0, они преобра-
зуются как компоненты 3-вектора, так как с учетом B.292) имеем
(9-295)
Величины, подобные А^ и А^_, которые не изменяются при временных преобра-
зованиях (9.285) и ведут себя как 3-векторы при чисто пространственных пре-
252
образованиях (9.284), будем называть калиброеочно-инвариантными 3-векто-
рами. Из (9.290) и (9.293) имеем далее
А^ = g^k Ai = g^ A\ + iv Yv A\ = y^v Al, (9.296)
где Yuv — пространственный метрический тензор (8.64). Итак, получаем тео-
рему о том, что пространственные компоненты спроектированного 4-вектора
являются компонентами одного и того же калибровочно-инвариантного 3-век-
тора.
Из величин (9.289), (9.284) можно образовать две 4-ксмпонентные величи-
ны А'1 и Л,-:*
J<=Di -М) = (А» -Г^); |
. )
В каждой точке 4-пространства они линейно выражаются друг через друга
с помощью следующих соотношений:
J (9.298)
и gik — симметричные 4 х 4-матрицы с компонентами
^nv = Yuv; &* = i« = — бг4 = т]г4; j
Это непосредственно следует из (9.297), (9.296) и (9.98'). Кроме того,
&lgtti = gllg,k = eif (9-300)
Формально g?fe аналогичны метрике инерциальной системы с криволинейными
пространственными координатами; однако следует помнить, что здесь y»iv мо-
гут зависеть также от времени и описывают в общем случге неевклидово трех-
мерное пространство.
Таким сбразом, любому векторному полю At мы можем сопоставить четы-
рехкомпонентнсе поле Аи которое в любой точке 4-пространства связано с ком-
понентами векторного поля линейными соотношениями
Т'^П^Л*; X^nf.-зЛ*. (9.301)
Сравнивая с (9.297), находим, что
п|ч-»»-»и(^+гл I 30
+Гг)Г'8Л4.|
Из (9.298) и (9.301) непосредственно следует, что эти П-функции удовлет-
воряют соотношениям
nP^iLTugr*; nfo^nK1*"*, (э.зоз)
т. е. индексы в скобках опускаются и поднимаются с помощью матрицы (9.299),
а другие индексы являются тензорными индексами. Кроме того, из (9.302)
имеем
б?. (9.304)
Следовательно, инверсия соотношений (9.301) дает
(I \к1Ак. (9.305)
* Величины At тесно связаны, но не тождественны «физическим» компонентам,
введенным Шмутцером [219, 220].
253
Величины Л', Лj, конечно, не 4-векторы, но, как мы позже увидим, они имеют
во многих случаях более простую физическую интерпретацию, чем соответ-
ствующие 4-векторы. Более того, в некотором смысле их трансформационные
свойства проще. Самое важное, что они инвариантны относительно калибро-
вочных преобразований, т. е. их пространственные компоненты Л»\ А^ пре-
образуются как компоненты 3-вектора, а их временные компоненты Л4 =
= — Л4 при таких преобразованиях не меняются. Следовательно, если
А1 — вектор в точке Р 4-пространства, a S (Р) локальная псевдодекартова
система координат (9.99), то в этой системе компоненты соответствующей ве-
личины А' имеют вид
Xi={4№)[/?]XV, A*}. (9.306)
о о 7
Кроме того, поскольку согласно (9.92) gih (Р) — r\ih,
f»(P) = 6M. (9.307)
Это означает, что в S (Р) величины Л1' совпадают с компонентами соответст-
вующего 4-вектора, т. е.
$ = АК (9.308)
От любой другой системы E' : R') мы также можем перейти к локальной си-
стеме 5' (Р), образованной тетрадой е[1) [R']. В соответствии с рассуждениями
на'стр. 227, преобразования от5 (Р) к S' (Р) являются преобразованиями Ло-
ренца с коэффициентами A'k, Л*, определяемыми формулами (9.102). Поэтому
с учетом (9.308) имеем
J'i = A[Ak. (9.309)
Соотношения между компонентами А1'1 и Л'' в системах S' (Р) и S' выра-
жаются формулами, аналогичными (9.306). Соответствующие обратные соотно-
шения имеют вид
A'l={e{$[R']2'v, Л'*}. (9.310)
о а о
Из (9.310), (9.309) и (9.306) видно, что в любой точке Р преобразования вели-
чин А1 являются преобразованиями (9.309) вместе с пространственными пре-
образованиями (9.306) и (9.310). Формально преобразования А1 такие же, как
и в СТО, когда обычные декартовы координаты заменяются пространствен-
ными криволинейными координатами. Величины Л,- и Л', связанные друг
с другом соотношениями (9.298), будем называть контравариантными и ко-
вариантными компонентами одного и того же стандартного 4-вектора.
Истинный вектор в римановом пространстве преобразуется в соответствии
с формулой (9.15), (9.15'):
А'1 = а[Ак; А1 = а}кА'к, (9.311)
где коэффициенты
а{ = дхп/дхк; alk = dxl/dx'k (9.312)
удовлетворяют соотношениям (9.11). Закон преобразования для соответст-
вующего стандартного вектора можно записать в форме
Л" = 4 Л; Л' = оИ'*, (9.313)
254
где стандартные коэффициенты преобразования удовлетворяют соотношениям
235 = 6?, (9.314)
аналогичным (9.11). В соответствии с (9.301) и (9.305) оба типа коэффициентов
связаны формулами
й-Ц'М^ПГч; al = nF]c4nt'ftf, (9-315)
где Щ['3 и П[г] — функции, полученные из (9.302) заменой Гг и Г/ в системе
5'. С помощью соотношений, обратных (9.11), (9.304) и (9.314), формулы
(9.315) можно переписать в виде
Эти соотношения представляют собой закон преобразования для П-функций.
Для калибровочных преобразований (9.283) выражения (9.315) сводятся к
- ^# = о#; о?=с#; ai = a? = ai = a? = 6a, (9.317)
так как пространственная часть стандартного 4-вектора является калибровоч-
но-инвариантным 3-вектором, а временная часть не меняется при калибро-
вочных преобразованиях. Для общих координатных преобразований а'к, а1к
имеют более сложный вид, хотя и более простой, чем соответствующие коэффи-
циенты aU а'к- Согласно (9.306), (9.309), (9.310) коэффициенты а* составляют-
ся из лоренцевых коэффициентов А\ и коэффициентов вида (9.317), соответ-
ствующих простым калибровочным преобразованиям (см. также упражнение 2
в конце этого параграфа). Однако, в отличие от а{ и а*, определяемых форму-
лами (9.312), стандартные коэффициенты а*, а не имеют вида частных про-
изводных (за исключением тривиального случая чисто пространственных преоб-
разований).
Пусть А1 и В1 — два произвольных вектора. С помощью (9.304), (9.305) и
(9.298) их скалярное произведение можно записать в следующей форме:
Л, В* = U\n U[m] AtW»= 5fm At В"
или
AiBl = AtBl = gthAiBk. (9.318)
Таким образом, скалярное произведение двух векторов равно скалярному про-
изведению соответствующих стандартных векторов. Поскольку эта величи-
на — инвариант из (9.313), имеем
gih & В* = glm Л В» = glm а1, «Г Л" В'* =?* А'1 В'к,
что для произвольных^Л'', B'k приводит к преобразованиям
Й а{аГ^т; (9.319)
aja™g;m. (9.320)
Эти формулы совершенно аналогичны соответствующим формулам (9.12) для
метрического тензора.
Используя (9.305), равенство (9.318) можно переписать как
gih М Вк = ё1тА'В™ = glm П[4-] nfA] А' В\
которое для произвольных A1, Bk дает
гП^ПГч'^т- (9.321)
255
Это соотношение между gik и метрическим тензором легко получается непо-
средственно из (9.286), (9.289) и (9.302). С помощью (9.298), (9.319) и (9.313),
(9.314) получим следующий закон преобразования для ковариантных ком-
понент стандартного вектора:
% = аЧ2к\ Т, = а*Л*. (9.322)
что аналогично (9.18), (9.19).
Величина gik, которую будем называть стандартным метрическим тен-
зором, является частным примером стандартного тензора ранга 2. Стандартный
тензор ранга п определяется как п-индексная величина (с 4п компонентами),
которая по каждому индексу преобразуется как стандартный вектор, т. е.
в соответствии с (9.313) для контравариантных индексов и с (9.322) для ко-
вариантных. Связь между ковариантными и контравариантными компонента-
ми дается с помощью правил (9.298) опускания и поднятия индексов. Таким
образом, по аналогии с (9.36), (9.38) для стандартного тензора ранга 2 имеем
X'«* = a|a*lJ''»; J[ft = a|a?J^; (9.323)
AiK = guShmAtm\ Aik = gi!gkmA~lm, (9.324)
Все правила и соотношения, полученные в § 9.3 для тензорной алгебры, можно
теперь непосредственно перенести в алгебру стандартных тензоров. Для этого
достаточно в формулах в § 9.3 величины gik, a,k, alk заменить на gih а?, ад,,
соответственно. Сложение двух стандартных тензоров ранга п дает новый стан-
дартный тензор того же ранга, а прямое произведение двух стандартных тен-
зоров рангов т и п дает стандартный тензор ранга (т + п). Наконец, свертка
по верхнему и нижнему стандартным индексам уменьшает ранг стандартного
тензора на 2. При этом стандартный тензор нулевого ранга является инва-
риантом и равен соответствующему тензору нулевого ранга, как это мы уже
видели на примере скалярного произведения (9.318) двух векторов.
С помощью П-функций (9.302) любому тензору применительно к каждому
индексу можно сопоставить стандартный тензор этого же ранга. Например,
тензору Aik второго ранга можно сопоставить следующий стандартный тен-
зор ранга 2:
Aih = UlwU^Alm; А* = Т$пп№Аш. (9.325)
Таким образом, (9.321) означает, что gih является соответствующим сопряжен-
ным стандартным тензором для метрического тензора gik- Из (9.316) непосред-
ственно следует, что величины Aih, Aik в (9.325) преобразуются в; оответствии
с формулами (9.323) для ковариантных и контравариантных компонент стан-
дартного тензора. Кроме того, из (9.321) видно, что Aik и Aik связаны друг
с другом соотношениями (9.324). Подставляя (9.299) в (9.324), получаем
= Yv« Ж; J44 = T«. j
Когда координатные преобразования являются калибровочными преобразо-
ваниями, стандартные коэффициенты сводятся к (9.317), а преобразования
(9.323) принимают форму
'4v
.256
Это приводит к следующему обобщению теоремы на стр. 253 для векторов:
пространственные компоненты стандартного тензора, т. е. A^v, А^, яв-
ляются компонентами одного и того же калибровочно-инвариантного З-тензора,
а А,14 и Л^4 являются компонентами калибровочно-инвариантного 3-вектора.
Аналогично А^и А 4Vтакже являются компонентами (в общем случае другого)
калибровочно-инвариантного 3-вектора, а Л44 = Аи — калибровочный ин-
вариант. Применительно к стандартному метрическому тензору (9.299) эта
теорема утверждает, что у^, у^у — калибровочно-инвариантный 3-тензор,
т. е. y,jV — инвариант относительно временных преобразований (9.285). Как
уже упоминалось в § 8.13, это ясно из физических соображений, поскольку
пространственный метрический тензор, в принципе, можно определить с по-
мощью измерений стандартной измерительной линейкой (см. § 8.8) и резуль-
тат таких измерений, естественно, не зависит от регулировки координатных
часов.
В гауссовой системе координат, где gu = — 8N, имеем Г' — — Гг =
— б,-4,П|^ = П[',] = bik и компоненты тензора и соответствующего сопря-
женного стандартного тензора совпадают; но в любой другой системе ко-
ординат оба вида тензоров имеют совершенно различные компоненты. Однако
соотношения между тензорами и их сопряженными стандартными тензорами
|см., например, (9.301), (9.325)] такие, что стандартный тензор, соответст-
вующий тензору, образованному путем сложения, умножения и свертывания
нескольких тензоров, равен стандартному тензору, полученному тем же об-
разом из соответствующих стандартных тензоров. Следовательно, любое
ковариантное соотношение между тензорами справедливо и для соответст-
вующих сопряженных стандартных тензоров. В частности, стандартный тен-
зор должен иметь те же свойства симметрии, что и соответствующий тензор.
Кроме того, поскольку тензор нулевого ранга, т. е. инвариант, равен своему
сопряженному стандартному тензору того же ранга, т. е.
i|j = tjjf (9.328)
линейный элемент ds1, выраженный через стандартные величины, имеет вид
ds% = gih dxl dxk = gih dxl dxk. (9.329)
Здесь
d?" = U[i]dxk = (dx», —rkdxk)=(dx», cdt) (9.330)
— стандартный вектор, соответствующий вектору dxl. Стандартный вре-
менной дифференциал, определяемый формулой
dt = dx*lc=—Thdxklcy (9.331)
в общем случае не полный дифференциал, т. е. он не является дифференциа-
лом глобальной временной переменной i, но линейный элемент, выраженный
через dt, имеет особенно простую форму. В действительности, из (9.229),
(9.329), (9.330) имеем
= dot—c*dP. " (9.332)
Градиент скаляра -ф есть вектор с компонентами
А. = д$/дх*=*д, ф. (9.333)
Сопряженный стандартный вектор в соответствии с (9.301) и (9.328) равен
А1 = дг^ = д^, (9.334)
9 Зак. 1174 257
где dj — дифференциальный оператор:
\ = nfo dk = a,- + (бг4 + г,) г* а4. (9.335)
Его компоненты с учетом (9.287), (9.288) следующие:
{ ). (9.336)
Здесь dfi — оператор (8.130). Из теоремы на стр. 253 следует, что д^ и
Tidldxi — калибровочно-инвариантные операторы.
Если А — ограниченный тензор, то соответствующая сопряженная вели-
чина, получаемая по формулам (9.301) и (9.325), является ограниченным стан-
дартным тензором, т. е. стандартным тензором относительно лишь калибро-
вочных преобразований. Такие величины будем выделять «шляпкой» вместо
черточки, которой обозначаются полные стандартные тензоры. Тривиальный
пример — сопряженный стандартный вектор ограниченного 4-вектора Г1". Он
имеет постоянные компоненты
f'' = П|/] Г* = 6i4; Г' = П|я! Г, = 6i4 = gH. (9.337)
Более важный пример дает ограниченный антиснмметрический тензор
Qih = c(Th<i-rLk)/2 = c(dirk-dhri)/2 (9.338)
и его сопряженный ограниченный стандартный тензор
Qik = П[г] П["ч(с/2) (д, Гт-дт_Гг) = (с/2) (nfo д, Г,-П[ч аь Г,)-=
= (с/2)Г{(^П[ч-алП|д). (9.339)
Последнее равенство следует из (9.337), поскольку обычное правило дифферен-
цирования произведения справедливо и для оператора dt. Кроме того, из
(9.302) имеем
дг П'[Ц --= бг4 Jt oh + 6Л4 6М д, Г4;| з4
5,.пР] = 8,4аггь ]
где о, определяется из (9.287). Следовательно,
Qlh = {с* 12) (д,. а,4-^ o/j + (сТЧ2) (ah4 ^ Г4-б,, 5fe Г4). (9.341)
Здесь мы использовали соотношение
Г4агГ4 + Г4ЭгГ4 = 0, (9.342)
вытекающее из (9.288).
Пространственная часть в (9.341) является, очевидно, тензором прост-
ранственных вращений (9.135), т. е.
Qvy = (av,x. (9.343)
Поэтому, согласно теореме на стр. 257, <a^v должен быть калибровочно-инва-
рнантным 3-тензором в соответствии со своим физическим смыслом (см. упраж-
нение в § 9.6). Оставшиеся ненулевые компоненты Qik равны:
Й,*4=-^ = (сГ</2)(Г4.,х-Гц.4). (9.344)
По той же теореме величина
= c2ri(T4.iX-Tll,4) (9.345)
представляет собой калибровочно-ннвариантный 3-вектор.
Все дифференциальные операторы в §9.10 имеют свои сопряженные ана-
логи в стандартном тензорном анализе. Мы уже рассмотрели сопряженный
258
оператор градиента. Аналогично мы можем определить ковариантное диф-
ференцирование стандартных тензорных полей, дивергенцию и ротор стан-
дартных векторов, параллельный перенос стандартных векторов и т. д. В уп-
ражнении 1 этого параграфа приведены соответствующие формулы. Здесь
мы рассмотрим лишь стандартный аналог абсолютной производной вектора.
Как и в § 9.8, введем векторное поле At (X), определенное на кривой л' =
= xl(X) с инвариантным параметром к. Абсолютная производная от Лг есть
вектор (9.133):
(9.346)
Соответствующий сопряженный стандартный вектор
= П[п (dAr/dl—А* Г,. rs Us) =
-A1 (gtr ds П((] + H[n Г,, TS) U° (9.347)
можно представить в форме
XftTt, ikTJb, (9.348)
где
Г,, ,-fc = glm n^m] П?*, ds U[n -f П[,] nf.-j Uln Tt. rs. (9.349)
В стандартном векторном анализе величины ГУ ik играют ту же роль, что и
символы Кристоффеля в обычном векторном анализе. В соответствии с (9.77)
символы Кристоффеля равны
Гл rs = (да gtr + дг gts - dt grs)/2. (9.350)
Поэтому из (9.335), (9.321) и (9.304) имеем
Г,, in = f/, »-(l/2) [gtrdk {U[n tfm)+giedt {U[n Yilkl)~
-grsdi {UrU]nsM)\-glmUrindhn[m], (9.351)
где
f,f ik = [dkgli + diglh — d,gtb)/2 - Tm (9.352)
получаются из символов Кристоффеля расстановкой черточек над всеми вели-
чинами в (9.350). Кроме того, снова используя (9.321), (9.304) и (9.340), по-
следний член в фигурных скобках формулы (9.351) представим в виде
gndt (и[п пу=grin[n dt nsm + grs u\kl \ и(п =
Аналогичные выражения получаются и для других членов в фигурных скобках
этой формулы. Подставляя эти выражения в (9.351), имеем
f.— ^f^/c, (9.353)
где снова использовали (9.340) и (9.337), (9.339).
Таким образом, величиныTlikl, заменяющие символы Кристоффеля в стан-
дартном тензорном анализе, имеют вид
-, . I (9.354)
Здесь Q,-ft — ограниченный стандартный тензор (9.341) с компонентами
(9.343) — (9.345). По аналогии с последней формулой (9.78)
Г«,^+Гл, „=?,-. ftH-Tft.,., = a, g/fc. (9.355)
9* 259
В то время как Г!;йг и Tiikl симметричны по k и /, &ш и Tiikl — несим-
метричны.
Контравариантные компоненты стандартного вектора (9.348) равны
'~ = П|'] DAk/dk. (9.356)
Используя те же соображения, что и при выводе формул (9.348), (9.354), из
(9.346) легко получаем, что
-А1Т\кТ)к, . (9.357)
где
ni = g!mrm,hl. I
По аналогии с (9.126) — (9.128) имеем
П^^Г^г-?г(Гг,г,4-Гг,гй)/2 = A/2)^^!г;)
п,=(-з-**л-й*- 1 (9-359)
Здесь g = |gife| — определитель матрицы компонент стандартного метри-
ческого тензора, причем из (9.29) следует, что
g= — У, (9.360)
где y— Iyhv| — определитель матрицы компонент пространственного мет-
рического тензора. Далее, из (9.321) находим, что
(9.361)
где
П = |П[*Я| = Г* = (-*„)-*
— определитель матрицы (9.302). Следовательно,
(9.362)
С другой стороны, свертыванием величины Ql.ki в выражении (9.358) для
Т'ы получим ограниченный стандартный вектор с нулевой четвертой компо-
нентой:
й[ м = - B1с) Uhi f' - -{21с) Uki - (flv/c2, 0). (9.363)
С учетом (9.354) и (9.358) стандартные абсолютные производные (9.348) и
(9.357) можно записать также в следующей форме:
AlQl.tkU",\ >
где
DAJdk — dli/to-A'r, tJJ^gikDA4dk\
j '
Выражения (9.365) совершенно аналогичны формулам (9.132), (9.133)
для абсолютных производных вектора. В отличие от стандартных векторов
DAildk, DA'/dX, величины DA4dk, DAild'k являются компонентами лишь
ограниченного стандартного вектора. Это следует из того, что вторые члены
в правых частях формул (9.364) представляют собой ковариантные и контра-
260
вариантные компоненты ограниченного стандартного вектора. Таким образом,
DAildX, DA4d% — стандартные векторы лишь относительно ограниченной
группы преобразований (9.283). Поэтому мы их будем называть калибровочно-
инвариантными производными стандартного вектора. Пространственная часть
ЬАц/dX = yilvDAv/dK _ является калибровочно-инвариантным 3-вектором,
а временная часть DAJdi = — DAVdX — калибровочный инвариант.
Упражнение 1, Стандартный тензорный анализ
С помощью формул, приведенных в тексте, показать, что сопряженная ковариант-
ная производная векторного поля — стандартный тензор.
I _;_ - ~г I (9.366)
Аналогично для тензорного поля ранга 2
Aikt = А* =3, Aik+Amk flml
(9.367)
и т. д.
Очевидно, что
Это формулы, сопряженные с (9.192). Стандартная дивергенция векторного поля яв-
ляется скаляром, который в соответствии с (9.366), (9.358) — (9.360) равен
(9.368)
Аналогичные выражения для стандартных векторов
div' [F! =Щ\ ; Ш1 {Т) =f*, ft (9.369)
соответствуют дивергенции (9.200) и (9.199) антисимметрического и симметрического тен-
зоров, Из (9.357), (9.348) и (9.366) для стандартных векторов At (Я) на данной кривой по
аналогии с (9.186) имеем
DAi/dX=~AiikUk; )
' (9.370)
Параллельный перенос и перенос Ферми—Уолкера для стандартных векторов определя-
ются стандартными уравнениями, сопряженными с уравнениями (9.137) и (9.138) соот-
ветственно.
Упражнение 2. Геометрическая иллюстрация различия между тензорами
и стандартными тензорами
В §9.6 и на стр. 254 е^ представляла собой совокупность тетрадных векторов в фик-
сированной точке Р. Кроме общих тетрадных соотношений (9.81) — (9.86), этн векторы
в точке Р удовлетворяют еще специальным условиям (9.97). Представим теперь, что
с каждой точкой в 4-пространстве мы связали тетраду такого типа. Это семейство тетрад
образует тетрадное поле А.('а) (х). Из сравнения первого уравнения системы (9.97) и (9.286)
находим, что
рде V^ — поле 4-скоростей точек отсчета в системе отсчета R. Поскольку рассматриваемое
тетрадное поле зависит от R, обозначим его Х('а) [/?]. Конечно, этим тетрадное поле не бу-
дет определено однозначно, так как при любом вращении тетрады, оставляющем неиз-
менным X'(i) [/?], оно будет также удовлетворять условию (9.371) и соотношениям (9.84),
(9.86), т. е.
Ц ЦЬ ? 4 4> = «* • (9-372)
261
Для фиксированной системы отсчета R эти векторные соотношения выполняются в любой
точке и в любой системе координат. Следовательно, компоненты Х^ [R] тетрады
в произвольной системе координат S" также будут удовлетворять соотношениям типа
(9.372). Кроме того,
Ki)^ = VRlc' (9-373)
где Vn — компоненты 4-скоростей точек отсчета системы R в координатной системе
S". В общем случае V^ не равна величине Г s в S". Это равенство имеет место лишь
тогда, когда S" является внутренней системой координат в R, т. е. если S" связана с 5
калибровочным преобразованием.
В любой другой системе отсчета R' аналогичным образом можно ввести тетрадное
поле, удовлетворяющее тетрадным соотношениям (9.372) и для которого
^U)[R']=ViRJc, (9.374)
где У1ц, — поле 4-скоростей точек отсчета R'. Во внутренней системе координат S' си-
стемы отсчета R' снова имеем
у?/с = Г'1', (9.375)
но в общей системе S Г' отличается от V1^ 1с. Векторные поля Х|а^ [R'\ и Л,^ [R'\b каж-
дой точке связаны лоренцевым вращением типа (9.95). Следовательно,
b\a)\R')=Aballb)lR], (9.376)
(9.377)
где Ааь и Аа — инвариантные скаляры, определяемые формулами
да
ЬЬ) пЬ •
Применяя к векторам "kl(a, [R] и Ца) [R'] преобразования (9.311) и используя тетрадные
соотношения (9.372), легко находим, что коэффициенты (9.312) можно представить в форме
«ли с учетом (9.376)
Эти формулы показывают, что в любой точке преобразование вектора состоит из преобра-
зования Лоренца, которому предшествует и за которым следует более общее пространст-
венно-временное преобразование. И наоборот, преобразование сопряженного стандарт-
ного вектора состоит, как мы видели на стр. 356, из того же преобразования Лоренца,
заключенного между двумя преобразованиями лишь пространственных компонент.
Это различие между alk в (9.313) и alk в (9.311) проявляется более четко при рас-
смотрении стандартных векторных полей х[а\ [R], Цп) \-R'1> сопряженных к тетрадным
векторам Я.|а) [R], Ца) [/?']. По аналогии с (9.378) и (9.379) легко находим, что
^=^,1/?]^) [/?]=% [/г'пГ1«'];| (938о)
Показать, что в последнем выражении компоненты сопряженных тетрадных векторов
имеют вид _
[R\, 0); Ц*1 [R] = ~ fk = Sfe4- j
И наконец, показать, что П-функции, определенные формулами (9.302), можно пред-
ставить в виде _
ПУ1 = Ца) W Кп) [R]' nf,-j =1}а) [R] %\a) [R], (9.382)
а стандартный метрический тензор имеет форму
gih = rUA ^ (a) [R] l[b) [R\; g:" ~ЦпЬЦа) [R] ЦЬ) [R]. (9.333)
Глава
10
ВЛИЯНИЕ ГРАВИТАЦИОННЫХ ПОЛЕЙ
НА ФИЗИЧЕСКИЕ ЯВЛЕНИЯ
§ 10.1. Фундаментальные уравнения механики точки
Теперь с помощью формализма тензорного исчисления и принципа экви-
валентности, сформулированного в § 9.6, можно однозначно обобщить все физи-
ческие законы СТО. Поскольку мы полагаем, что тензорные уравнения СТО
выполняются в локальной инерциальной системе с локальными лоренцевыми
пространственно-временными координатами, то проблема отыскания фун-
даментальных уравнений физики (например, механики и электродинамики)
в присутствии гравитационных полей сводится к чисто геометрической задаче
в 4-пространстве.
Рассмотрим сначала движение частицы с постоянной собственной массой
т0 в заданном внешнем гравитационном поле под действием негравитацион
ной 4-силы Fi. Это означает, что мы пренебрегаем влиянием (обычно малым
собственного гравитационного поля частицы и что gik можно рассматривать
как известную функцию от координат х'1. Кроме того, поскольку т0 считается
постоянной, Ft удовлетворяет ковариантному уравнению
FiUl = 0, A0.1)
соответствующему соотношению D.57) СТО. Здесь
Ui = dx4dx A0.2)
— 4-скорость частицы, а т — собственное время.
Тогда мировая линия частицы описывается коварнантным уравнением
DP,/dx = Ft. A0.3)
Здесь
Pt = m0Ut; Pl = m0Ul A0.4)
— 4-импульс, a DPi/dx — абсолютная производная (9.133) при at = Pt и
К = т.
Поскольку Р'1 пропорционален Ul, DPJdx с учетом (9.78) приводится
к виду
DP^dx = dPJdx-( U2)Pl(rllih + rh, a) U*1 =
= dPt/dx-(l/2)gM,tU*[». A0.5)
Из A0.4) и (9.40) следует, что Pt удовлетворяет соотношению
Р,Р«'=—/ngc*. ' A0.6)
В локально лоренцевой системе координат уравнение A0.3) совпадает
с частнорелятивистским уравнением D.55) в соответствии с принципом экви-
валентности.
В §9.16 было показано, что любое векторное соотношение эквивалентно
соответствующему соотношению между сопряженными стандартными векто-
263
рами. Следовательно, уравнения A0.1) — A0.6) можно заменить следующими
стандартными векторными уравнениями:
FiUl = 0; A0.7)
Ul = d^ldx\ A0.8)
P,=m0f7- Pt = ik0U't\ A0.9)
P~tF= — mo с2; A0.10)
TJPJdx^fi. A0.11)
Как мы увидим в следующем параграфе, физическая интерпретация этих
уравнений несколько проще, чем интерпретация векторных уравнений A0.1) —
A0.6), с которыми будем иметь дело в дальнейшем.
Удобно ввести следующее обозначение для контр авар иантных компонент
Р1 стандартного 4-импульса:
Р* = (р», Е!с). A0.12)
Тогда из (9.297) имеем
pn = pii = pn; A0.13)
? = сР» = — сГлР* = — сГ4Р4 = #/( —gu)K, A0.14)
где мы положили
#=— СР4 - ?A+2х/с2)'/=. A0.15)
Далее, из (9.297), (9.298), (9.299) получаем
Здесь
y)lvpv, A0.17)
где р** и Pjj, — компоненты калибровочно-инвариантного 3-вектора р, а Е —
калибровочный инвариант, в отличие от Н, зависящего от масштаба времени.
Используя A0.12) и A0.16), соотношение A0.16) приведем к виду
|р|2 — (?/сJ=—/л§са, A0.18)
где
¦— норма 3-вектора р. С учетом A0.15) выражение A0.18) эквивалентно соот-
ношению
|р|2 —(Я/с*J=—шос2. A0.20)
Используя формулу (9.364) при А' — Pt, фундаментальное уравнение A0.11)
запишем в виде
Ki + Fi, A0.21)
где Ki —ограниченный стандартный вектор:
ki=spQlihUk = 2PiUikUk/c. A0.22)
Здесь мы использовали (9.354), (9.337) и A0.4). Очевидно, что по аналогии
с A0.7)
/^?/' = 0. A0.23)
264
Учитывая (9.343) — (9.345), для компонент Кг получаем выражение
k CllUiIc + 2<u]lvU\-avUv/c). A0.24)
Здесь а^ — величина (9.345), которая с помощью (9.236) может быть записана
в виде
)-1^, A0.25)
где
aVL=—dxld&—c*dvVL/dt A0.26)
— гравитационное (координатное) ускорение (8.110) покоящейся частицы.
Калибровочно-инвариантная производная от Р?- в левой части уравнения
A0.21) с учетом (9.365), (9.352) и A0.9) равна
DPt/dT=dPt/dT-{\l2) Й&)Р*(/', A0.27)
по аналогии с A0.5). Поскольку лишь пространственная часть стандартного
метрического тензора (9.299) имеет ненулевые производные, A0.27) можно за-
писать также в виде
v
DP-Jdx = dPJdx—idi Yvb) Pv Uhl2. A0.28)
§ 10.2. Физическая интерпретация уравнении механики точки.
Стандартные уравнения движения. Стандартная одновременность
В предыдущем параграфе мы вывели различные формы уравнений, опи-
сывающих мировую линию движущейся частицы в четырехмерном пространст-
венно-временном континууме. Это пространство является математическим по-
строением. Чтобы дать физическую интерпретацию величин, входящих в эти
уравнения, их необходимо представить в форме обычных уравнений движения
в трехмерном физическом пространстве. В связи с этим напомним, что физи-
ческая величина определяется той инструкцией, в соответствии с которой она
измеряется. В эту инструкцию, наряду с порядком проведения эксперимента,
должно входить описание используемых инструментов и правила пользова-
ния ими. Это фундаментальное положение остается в силе и в теории относи-
тельности. Однако в дорелятивнстской физике считалось само собой разумею-
щимся, что физическое пространство имеет метрику трехмерного евклидова
пространства. В философии Канта даже постулировалось, что это является
априори необходимым предположением, без которого немыслимо разумное
описание природы.
С появлением релятивистской теории ситуация резко изменилась. В этой
теории геометрия математического 4-пространства существенно зависит от рас-
пределения и движения материи в физическом пространстве. Более того, само
физическое пространство вообще не имеет определенной метрики. Геометри-
ческая структура физического пространства может быть задана в определен-
ном смысле лишь относительно определенной системы отсчета. Это так даже
в случае СТО. Однако здесь по крайней мере пространственная геометрия
в любой инерциальной системе /, определенная с помощью стандартной измери-
тельной линейки, покоящейся в /, всегда евклидова. В ОТО, где мы имеем
дело с произвольно движущимися системами отсчета R и произвольными рас-
пределениями масс, пространственная геометрия, установленная с помощью
стандартных измерительных линеек, покоящихся относительно R, в общем
случае неевклидова. Как мы уже видели в гл. 8 и 9, пространственное расстоя-
ние do между двумя близкими точками отсчета в R с координатами (х^) и
(х^ + dxv) определяется квадратической формой
xv, A0.29)
265
где Ynv — калибровочно-инвариантный 3-тензор, обычно зависящий и от
(х11) и от координатного времени t. Таким образом, в общем случае пространст-
венная геометрия в R не только неевклидова, но зависит и от времени. Тем не
менее, в любой системе отчета R с пространственно-временными координатами
(х') уравнения, приведенные в предыдущем параграфе, можно записать в форме
обычных уравнений движения, где изменение импульса частицы равно про-
странственному вектору силы, а изменение кинетической энергии равно работе
этой силы.
Прежде всего мы должны точно определить смысл импульса и кинети-
ческой энергии в присутствии гравитационного поля. Пусть Р— точечное со-
бытие в 4-пространстве, соответствующее прибытию частицы в некоторую
точку отсчета системы R в некоторый момент времени, а х'р — координаты
Р в системе 5. Тогда с помощью преобразований (9.99) можно ввести в точке
Р локальную псевдодекартову систему S (Р). Поскольку системы отсчета R и
R покоятся относительно друг друга (фактически они совпадают, если не счи-
тать, что в них координаты точек отсчета различны), импульс и кинетическая
энергия частицы относительно R и R должны быть равными. Преобразования
(9.99) являются калибровочными преобразованиями. Поэтому калибровочно-
инвариантные пространственные и временные составляющие р и Е/с стандарт-
ного 4-вектора Р1 должны быть равны соответствующим величинам в локаль-
ной системе S {Р). Однако в соответствии с (9.308) стандартные компоненты
Р'1 в системе о (Р) совпадают с компонентами Р1 4-импульса, и, поскольку эта
система псевдодекартова (в Р), пространственная часть 4-импульса равна им-
пульсу, а временная часть (умноженная на с) равна кинетической энергии
(плюс собственная энергия частицы относительно R).
Эти рассуждения приводят нас к выводу, что 3-вектор р, определенный
в A0.13), A0.17), представляет собой импульс частицы в R или S, а величина
Е, определенная в A0.14), должна представлять собой кинетическую энергию
в S (для краткости Е будем называть кинетической энергией, хотя она вклю-
чает в себя и постоянную собственную энергию /л0с2). Вместо локальной псевдо-
декартовой системы 5 (Р) с тем же успехом можно использовать локальную
лоренцеву систему S (Р), определенную преобразованием (9.105), с тетрадой
e*'V удовлетворяющей соотношениям (9.97). В любой точке Р локальная инер-
циальная система R покоится относительно R и R.
т т.
Чтобы найти выражение для гравитационной силы и ее работы, необхо-
димо знать изменение р и Е во времени. Здесь результат зависит от выбора
временного параметра. В первом издании этой книги в качестве такого пара-
метра использовалось координатное время t, что приводило к «координатной»
форме уравнений движения. Эта форма уравнений, которая будет рассматри-
ваться в следующем параграфе, не калибровочно-инвариантна, поскольку пара-
метр t изменяется с изменением масштаба времени. В настоящем параграфе
мы имеем дело с так называемой стандартной формой уравнений движения,
которая была независимо разработана Зельмановым [287] и'Каттанео [42—47].
Формально стандартные уравнения проще координатных уравнений тем, что
они описывают соотношения лишь между калибровочно-инвариантными вели-
чинами.
Узловой момент в стандартном представлении — использование в ка-
честве временного параметра временного дифференциала at (9.331). Поскольку
di—калибровочный инвариант, он равен координатному временному дифферен-
циалу в локальной псевдодекартовой системе 5 (Р), где координатные часы
в Р являются стандартными часами, покоящимися в R и R. Из определения
266
dt ь S следует, что он связан с координатным временем соотношением
di ^dt( — rhdxll/dt)!c = dt(c* — y]XUt1)/c, A0.30)
где
u» = dx*/dt A0.31)
— координатная скорость. В отличие от ?/•*, являющейся 3-вектором лишь
относительно чисто пространственных преобразований, стандартная скорость
с компонентами
u* = dk»ldi = dx*ldi =cu*i(<*—yv) A0.32)
является калибровочно-инвариантным 3-вектором,
Поскольку d$2 = —А?т2, из (9.332) получим
— c-dT-^Cu1—c2)di2, A0.33)
где
ut = yVyii^u'f A0.34)
следовательно,
dt/dr3sV= \/Vl—u2/c2. A0.35)
Формально калибровочно-инвариантная величина Г совпадает с лоренце-
вым множителем в СТО. Поэтому, сравнивая A0.35) с D.34), видим, что di со-
вершенно аналогичен временному дифференциалу dt в инерциальной системе.
С помощью (9.330), A0.8) и A0.35) для стандартной 4-скорости получим вы-
ражение
U1 = d~x4di = {dildx) (dxl!dt) = (Г«>\ Те), A0.36)
которое аналогично формулам D.39) СТО. Умножая (/'на т0, получаем стан-
дартный 4-импульс A0.9), а учитывая A0.12) и A0.36), находим выражения
для импульса р и кинетической энергии Е:
E = mc2, A0.37)
где стандартная масса от определяется формулой
m = m0t = m0/Vl—u2/c2. A0.38)
С помощью A0.7), A0.23) и A0.36) величины Ft и Kt можно записать в виде
?!=??,; $!= (%,-%^/с)-) A
Кг = f t,-; &t - (ft№, —Яц И^/С), 1
где мы положили
§и = ?ц/Г; #Ц-Л:и/Г. A0.40),
Поскольку Ui/c = Г, с учетом A0.24) и A0.38) имеем
, где Сц = а
«; I
ац = с2ац/с*; «nV = c*(^av— ^0^/2. J
Разделив уравнение A0.21) на Г — dtldi, получим
Ь/ §„ A0.42)
267
DPJdi = dPtJdi—idi YvO px u%l2. A0.43)
где в соответствии с A0.28),A0.36) и A0.39)
DPJdi = dPtJd
При i = ц = 1, 2, 3 A0.42) дает
bp^dt^^ + %. A0.44)
Левая часть этого уравнения является калибровочно-инвариантным изме-
нением импульса за единицу стандартного времени. Таким образом, величины
$и и $ц следует интерпретировать как гравитационную и негравитационную
стандартные силы соответственно. Из A0.41) видно, что гравитационная сила
пропорциональна т, в соответствии с равенством (пассивной) гравитацион-
ной массы и инертной массы, определенной в A0.37), A0.38) как отношение
импульса к скорости.
В случае свободного падения мгновенно покоящейся частицы, когда
ди = 0, и?- = 0, уравнение A0.44) принимает вид
dup/dt = Ynv du'ldi = ац. A0.45)
Из A0.45) видно, что % в A0.41) является стандартным гравитационным уско-
рением покоящейся частицы. Вторая величина в выражении A0.41) для&ц име-
ет характер кориолнсовой силы. Формально йц аналогична силе Ло-
ренца E.80), действующей на заряженную частицу. При такой аналогии
т, ац и 2 сойцд, соответствуют электрическому заряду е, вектору электрического
поля ?ц и магнитному тензору поля Н^. В следующем параграфе будет по-
казано, что эта аналогия полна в случае слабого поля.
При i = 4c учетом A0.16), A0.39), A0.43) и (9.336) из уравнения A0.42)
имеем
DPJdt ~ — A (с) dEldt — Г4 7цХ4 Рц их/2 = — (Й№ + %) и11/с,
или
dEldt - — dvb Pv«x+ (Я|1 + §М,)?Л A0.46)
где
A0.47)
— калибровочно-инвариантный тензор растяжения (9.117). Первая величина
в правой части уравнения A0.46) описывает стандартное изменение кинети-
ческой энергии в единицу стандартного времени, обусловленное растяжением
системы отсчета, а оставшаяся величина представляет собой работу гравита-
ционной и негравитационной сил в единицу стандартного времени. Полная
(стандартная) работа, совершенная этими силами за время перемещения час-
тицы от точки 1 до точки 2 ее траектории, равна:
Л A,2) - J (Яц-гЛ) u* dt = I (К + %») dx*- (I0-48)
Все рассматриваемые в этом параграфе величины являются калибровочно-
инвариантными и очень похожи на соответствующие величины СТО. Един-
ственное различие состоит лишь в том, что здесь пространственный метриче-
ский тензор может зависеть от времени и описывает в общем случае неевклидо-
ву геометрию.
В противоположность величине Fu являющейся стандартным 4-вектором,
гравитационная величина Ki является стандартным 4-вектором лишь относи-
тельно калибровочных преобразований. При общих координатных преобразо-
ваниях Ki преобразуется более сложным образом. Наиболее существенное раз-
личие между F; и Kt состоит в том, что гравитационная 4-сила может быть
268
исключена соответствующим преобразованием. Если мы введем гауссовы коор-
динаты (9.269), то в этой системе будем иметь
Г' = б44; di =dt\ и* = и*\
% = 0; Fi^Fu ¦ A0.49)
Dpjdt =DU
где
D<3> pjdt = dpvldt—ysx.iP'9 u42 A0.50)
— пространственный аналог четырехмерной абсолютной производной A0.5).
Геометрически эта величина определяется следующим образом:
A0.51)
где р? — 3-вектор, полученный (мгновенным) параллельным переносом век-
тора рц (t) из точки (х^) в точку (xu- -{¦ dxv-) = (х& -Н uP-At). Следовательно,
в гауссовой системе координат динамическое действие гравитационного поля
можно исключить в конечной области пространства — времени, так что эффект
влияния гравитационного поля чисто геометрический и целиком описывается
пространственным метрическим тензором.
Фактически для свободно падающей частицы, когда ftw — 0, из A0.44),
A0.46) и A0.49) имеем
ОСЗ)Р/Л = 0; |
Следовательно, 3-вектор рц изменяется вдоль траектории в соответствии с пра-
вилом параллельного переноса. Однако норма его Изменяется со вре-
менем, если система отсчета не жесткая. В этом случае, если dvx ~ О,
а 7иЛ не зависит от времени, Е, и и т — постоянные, а уравнения движения
сводятся к
DMupldt^O. A0.53)
Тогда траектория частицы — геодезическая в физическом пространстве,
т. е. частица движется с постоянной скоростью по «прямейшей» для дан-
ной геометрии линии. Такое движение совершенно аналогично движению час-
тицы по фиксированной гладкой двумерной поверхности в инерциальной сис-
теме, где единственной силой, действующей на частицу, является нормальная
реакция поверхности. Единственное существенное отличие состоит в том, что
при нашем рассмотрении частица движется по трехмерной искривленной по-
верхности. Если пространственный метрический тензор зависит от времени,
что обычно имеет место в случае гауссовой системы координат [см. § 9.15],
движение частицы в гравитационном поле аналогично движению частицы
в инерциальной системе по изменяющейся гладкой поверхности. Таким обра-
зом, если динамические потенциалы равны нулю, то действие гравитацион-
ного поля имеет характер «нормальной реакции» искривленного трехмерного
пространства.
Возможность исключения гравитационной силы й хотя и интересна с тео-
ретической точки зрения, но обычно не столь нужна, поскольку соответствую-
щая система отсчета в общем случае не жесткая, что в большинстве случаев
ариводит к большим усложнениям при исследовании физических явлений.
Однако при исследовании космологических проблем (см.§ 12.7 и 12.8) мы
используем эту возможность.
Как мы подчеркивали в § 9.16, стандартный временной дифференциал
(9.331) обычно не является полным дифференциалом глобальной временной
переменной /. Поэтому /, подобно собственному времени т, имеет определенный
269
смысл только по отношению к определенному движению частицы. Однако
т имеет простой операционный смысл, так как определяется по показаниям
стандартных часов, движущихся вместе с частицей. Мы увидим теперь, что
t можно также операционно определить вдоль мировой линии частицы.
Для этого представим, что в каждой точке отсчета системы R расстав-
лены неподвижные относительно этих точек стандартные часы, т. е. так же,
как и в случае инерциальной системы /, который рассматривался в § 2.2. В том
случае все стандартные часы можно было синхронизовать с помощью световых
сигналов, испущенных из произвольно выбранного центра синхронизации.
Было показано, что такая синхронизация часов в / удовлетворяет двум
специальным условиям: она не зависит от времени ее проведения и от выбора
центра синхронизации. Однако если подобный метод применить в произволь-
ной системе отсчета R, то эти условия уже не будут выполняться, т. е. нельзя
найти однозначный способ синхронизации покоящихся в R стандартных часов.
Тем не менее, эти часы можно использовать для измерения стандартных вре-
менных промежутков dt следующим образом.
Пусть pup' — две точки отсчета в R, через которые частица проходит
в моменты координатного времени t и (t + dt) соответственно, и пусть do —
расстояние между ними, измеренное стандартной измерительной линейкой
в момент времени t. В этот момент из точки р в точку р' пошлем световой сиг-
нал. Тогда в соответствии с (8.72) сигнал прибудет в точку р' в момент коорди-
натного времени ( t + 67), где
, A0.54)
а е — единичный 3-вектор, направленный из р в р . С помощью стандартных
часов, помещенных в точке р\ можно измерить промежуток времени d't0 между
моментами прибытия в точку р светового сигнала и частицы. Поскольку соот-
ветствующий координатный временной промежуток равен (dt — Ы), из (8.116)
с учетом A0.30) получаем
A0.55)
При замене в этом выражении значения потенциала в точке р' его зна-
чением в точке р в координатных дифференциалах можно пренебречь величи-
нами второго порядка малости. Из A0.55) получим формулу
dt = d'ro + da/c, A0.56)
которая выражает dt через измеренные величины da и d'r0.
Стандартная скорость частицы и = \и\ согласно A0.32) есть
и = си/(с*—уи). A0.57)
В соответствии с (8.68) координатная скорость светового сигнала
w = c*—yw. A0.58)
Полагая в A0.57) u= w, получаем, что стандартная скорость света Нравна
с везде и во всех направлениях:
w = cw/(c*—yw) = cw/w = c. A0.59)
Следовательно, последний член в правой части A0.56) равен стандартному
промежутку времени, в течение которого световой сигнал проходит расстоя-
ние от р до р', и величина dt в произвольной системе отсчета является наиболее
близким аналогом временного дифференциала dt в уравнениях движения
в инерциальной системе. Для любого точечного события Р dt равен координат-
ным временным дифференциалам в локальных системах отсчета S(P)w°S (Р).
о о
270
Это справедливо для всех других величин, рассматриваемых в настоящем па-
раграфе, за исключением гравитационной силы. В то время как й в точке
Р представляет собой один и тот же 3-вектор для систем S (Р) и 5, в локальной
о
лоренцевой системе S (Р) он равен нулю, поскольку в этой системе производ-
ные от гравитационных потенциалов равны нулю. Следует также помнить, что
локальные системы 5' (Р) и S (Р) изменяются от точки к точке.
В СТО, как это было показано в § 2.2, однозначным образом и глобально
можно в каждой инерциальной системе определить понятие одновременности
двух событий, хотя одновременность имеет различный смысл в разных инер-
циальных системах. Как было указано выше, обычно в произвольной движу-
щейся системе отсчета R это сделать невозможно. Конечно, когда в R мы ввели
внутреннюю систему координат 5, то формально можем назвать два события
одновременными, если они характеризуются одинаковым значением параметра
t. Однако эта «координатная одновременность» — не калибровочно-инварнант-
ное понятие, т. е. она имеет разный смысл в различных внутренних системах
координат (за исключением случая, когда временные масштабы отличаются
лишь постоянным множителем).
Интуитивно ясно, что более удобно так определить понятие одновремен-
ности, чтобы она зависела лишь от системы отсчета. Это можно сделать для
событий в двух близких точках. «Стандартная одновременность» двух событий
Р и Р' с координатами (х'} и (х1 + dxl) определяется условием, чтобы соответ-
ствующий стандартный временной дифференциал (9.331) равнялся нулю, т.е.
cdl=— Thdxk = 0. A0.60)
Поскольку di — калибровочный инвариант, определенная таким образом
одновременность будет зависеть лишь от системы отсчета. Но если мы попы-
таемся распространить это определение на пространственно удаленные собы-
тия, соединяя два события кривой и используя правило A0.60) для каждого
инфинитезимального отрезка этой кривой, то найдем, что полученная таким
путем одновременность зависит от соединяющей кривой. Таким образом, в про-
извольной системе отсчета невозможно глобально определить стандартную
одновременность двух событий.
Однако, если система отсчета R такая, что условие
«^ = 0 A0.61)
выполняется во всех точках, можно ввести внутреннюю времениортогональ-
ную систему координат 5*, для которой Г^ = 0 (см. § 8.13). В этой системе
из условия A0.60) следует, что dt = 0, т. е. стандартная одновременность экви-
валентна координатной одновременности, определенной глобально. Это озна-
чает, что стандартная одновременность также может быть глобально определена
в любой системе отсчета R, где выполняется A0.61). Но даже и в этом случае
координатное время t в S*, имеющее одинаковое значение для двух одновре-
менных событий, не будет являться временем, регистрируемым покоящимися
в R стандартными часами.
Упражнение
Показать, что A0.61) является и необходимым условием возможности глобального
определения в системе отсчета стандартной одновременности [174].
§ 10.3. Координатная форма уравнений движения
В предыдущем параграфе мы выяснили, что уравнения движения частицы
можно записать так, чтобы в них входили лишь калибровочно-инвариантные
величины. Более того, эти стандартные уравнения очень похожи на соответст-
вующие уравнения СТО. Однако стандартный временной дифференциал dt,
271
лграющий существенную роль в таком описании, не является полным диф-
ференциалом. Это приводит к тому, что стандартные уравнения в отличие от
координатных уравнений, которые мы будем рассматривать в данном параг-
рафе, не могут быть записаны в лагранжевой или гамильтоновой формах. Ис-
пользование координатного времени в качестве временного параметра в неко-
тором отношении дает возможность более глубоко понять сложные проблемы
физики.
Хотя координатное время и не имеет обычно простого операционного смыс-
ла, существуют важные случаи, когда t может быть операционно определено.
В качестве примера рассмотрим (практически) статическое гравитационное
поле, когда мы можем ввести систему координат 5, в которой gik не зависит
от времени и g^ = 0. По временной шкале t частота монохроматической вол-
ны одинакова во всем пространстве. Это обстоятельство используется для регу-
лировки хода координатных часов в различных точках системы отсчета 5 пу-
тем наблюдения частоты данной спектральной линии, испущенной из регу-
лировочного центра D. Момент пуска координатных часов в произвольной точке
отсчета р можно определить с помощью светового сигнала, который испускает-
ся из D в точку р и возвращается обратно. В статическом случае оба отрезка
пути светового сигнала равны и не меняются со временем. Поэтому, если tx —
время испускания сигнала, отсчитываемое по координатным часам в D , a t2 —
соответствующее время возвращения сигнала, то часы в р должны быть по-
ставлены на время {tx -\- /а)/2 и пущены в момент прибытия сигнала в точку р.
В таком методе время t определяется, конечно, лишь с точностью до про-
извольного линейного преобразования. Если существуют области пространст-
ва, где R практически можно считать инерциальной системой (например, об-
ласти пустого пространства, достаточно удаленные от всех космических тел),
то центр регулировки D удобно поместить там. Тогда, если в качестве коорди-
натных часов в ?) взять стандартные часы, временная переменная t будет опре-
делена однозначно. Определяемое таким путем время t часто называется ми-
ровым временем.
Возвращаясь к общему случаю, введем координатный множитель Лоренца
Г = dtldx A0.62)
вместо стандартного множителя Лоренца A0.35). Из (8.103) для Г получим
следующее выражение:
•*"¦*; A0.63)
Ul = Tdx'jdt = (Ги", Тс); A0.64)
2Х/С2I'2—7(ги(г/с}-2_ иЧс2]-1'3. A0.65)
Учитывая A0.30), A0.32), A0.35), A0.62), имеем
f\T = dbdt = {c* — yu)\c; и = иГ/Г. A0.66)
Поэтому, введя вместо A0.38) величину
т-тГ/Г = т0Г, A0.67)
из A0.37) получим следующие выражения для импульса и кинетической
энергии:
p = mu; ? = тс (с*—уи). A0.68)
Отношение т между р и координатной скоростью и часто называется ко-
ординатной массой.
272
Теперь, умножая уравнения A0.42), A0.43) на Г/Г, приходим к коорди-
натной форме уравнений движения:
Vfgj; A0.69)
DPi/dt = dPildt— (dt Yv?.) pv u%j2, A0.70)
где
ffs = —5"Г/Г«=?4/Г; »( = Й|Г/Г = ^,/Г. A0.71)
Пространственные части З'д и ^^ этих величин называются координатными
силами, а временные части, в соответствии с A0.39) и A0.71), имеют вид
S^-S^^^-V^. A0.72)
Из A0.71), A0.41) и A0.67) для гравитационной силы получим выражение
в форме
% = mGu, A0.73)
где
бу-=С^Г2/Г2. A0.74)
С учетом A0.66), A0.41), A0.25) последняя величина записывается как
^и*/с, A0.75)
и снова гравитационная сила $ оказывается пропорциональной инертной
массе т.
Пространственная часть уравнений A0.69) имеет вид
Dpjdt = % + $»; A0.76)
—^d*. pvu4c, A0.77)
а для i = 4 получим
d?/d/=—dvxpV+^n + S^u11. A0.78)
В общем случае ^ является более сложной функцией скорости и дина-
мических потенциалов % и уц. Однако в следующих важных случаях уравнения
движения и выражения для ^?й, G^ имеют очень простой вид.
1. Если частица покоится в данный момент и ^ = 0. Тогда уравнения
A0.76) сводятся к
du/dt = a, A0.79)
где а — ускорение покоя с компонентами %, определяемыми формулами
(8.110) или A0.26).
2. Если система координат времениортогональна, когда у^ = 0.
В этом случае G^ и уравнения движения имеют ту же форму, что и в теории
Ньютона:
Л ~ *"'*""' " A0.80)
Это справедливо и в случае сильных гравитационных полей. В § 9.15 было
показано, что всегда можно Евести времениортогональную систему координат.
Необходимо лишь помнить при этом, что пространственная геометрия в выра-
жении для DWp^ldt в общем случае неевклидова.
3. В стационарном случае, когда gih не зависит от времени. Тогда имеем
A0.81)
273
— (c*!2)(doil/dxv—di
Если, кроме того, скорость мала и поле слабое, т. е. если и!с, %1с, у^ яв-
ляются малыми первого порядка, из A0.31) получим
—dyjdx"), т = щ. )
Если эти уравнения применить к частице, движущейся относительно вра-
щающейся системы координат (8.91), то первый член в выражении A0.82) для
Оц будет представлять собой обычное центростремительное ускорение, а вто-
рой член — кориолисово ускорение.
4. В общем случае слабого поля, когда yjc~ < 1 и у^ <^ 1; тогда в первом
приближении имеем
A0.83)
Здесь гравитационная сила аналогична лоренцевой силе, действующей
на частицу с зарядом е — т, которая движется в электромагнитном поле с по-
тенциалами А = с2у, Ф = %¦
Координатная масса A0.67), A0.65) частицы, движущейся так медленно,
что величинами yyi0K!c и и2/с2 можно пренебречь, равна массе покоя:
т0 = т0/ /Н-2х/с2. A0.84)
Она зависит от значения скалярного гравитационного потенциала % в том мес-
те, где частица находится в данный момент. Это особенно интересно, если рас-
сматривать (практически) статическую вселенную, подобную нашей. Тогда ми-
ровое время t имеет тот самый операционный смысл, который обсуждался
в начале этого параграфа. В соответствии с уравнениями A0.80), которые
в этом случае описывают движение по отношению к мировому времени, инер-
тность медленно движущейся частицы, т. е. ее сопротивление действию силы
ft и, определяется массой покоя т0.
Из A0.84) следует, что та увеличивается по мере приближения частицы
к большому телу, подобному нашему Солнцу, так как % при этом принимает
увеличивающиеся отрицательные значения. Это соответствует принципу Маха,
согласно которому инерция частицы обусловлена наличием других тел.
Из этого принципа следует, что собственная масса частицы, т. е. значение
т0, когда частица достаточно удалена от всех звезд, также является резуль-
татом взаимодействия частицы с удаленными звездами нашей Вселенной. Эйн-
штейн надеялся, что применение его теории ко всей Вселенной как к целому
сможет дать основу для понимания природы собственной массы частицы, в со-
ответствии с точкой зрения Маха. Хотя эта надежда не оправдалась, зависи-
мость A0.84) массы т0 от гравитационного поля соседних масс указывает
на то, что в идеях Маха есть некоторая доля истины. В последние годы многие
исследователи пытались эти идеи Маха полностью включить в обобщенные ва-
рианты теории Эйнштейна [108, 35, 58, 281, 282, 104], но содержание всех этих
работ выходит за рамки данной книги.
В предыдущем параграфе мы выразили компоненты Pl, Pt стандартного
4-импульса через физические величины р и Е. Физическая интерпретация кон-
травариантных компонент 4-импульса Р1 вытекает теперь из A0.62),A0.67) и
A0.68):
Р1 = т0 (dt/dx) dxl/dt = mdxl/dt = (рц, тс), A0,85)
274
где т — координатная масса. Ковариантные компоненты Рг находятся с по-
мощью A0.15) и A0.17):
Pll, — H!c); }
д ' A0.86)
J
Физический смысл этих величин станет ясным в следующем параграфе.
Упражнение. Решение парадокса Леффера [172]
При исследовании парадокса часов в § 8.17 было показано, что скорость часов Cj,
относительно системы S2 в момент времени t = т'2 меняется скачком от значения н_ =
= — vY 1 —^2/с2 до значения—v [см. (8.195), (8.196)]. Этот парадокс объясняется,
если рассмотреть импульс и кинетическую энергию часов Q в S2 непосредственно перед
моментом времени т'2; гравитационное поле в 52 описывается с учетом (8.162), (8.173),
(8.183) формулами
V^v = finv; 7ц = 0 и
= A +gx/c*)* = [ch (grs/c)]- 2 = 1 - th2 (gx'2/c) = 1 — u2/c2.
Показать, что координатная масса часов d в S2 в соответствии с A0.65), A0.67)
тогда равна /п_=/по/A— v2jc2). Следовательно, импульс и кинетическая энергия опреде-
ляются как
р_ = т_ w_ =—яг0 и/A — и2/с2)'-;
Непосредственно после т'2, когда S2 является инерциальной систегмой, имеем пи- =
= то/A -Ф1<?){12, и+= -о.
В результате р+ = р_, ?+ = ?_, т. е. при t— т'2> когда потенциал меняется скач-
ком, импульс и кинетическая энергия непрерывны. Следовательно, причиной скачка коор-
динатной скорости является резкое изменение координатной массы от /п_ до т+ при
i = х'2.
В отличие от координатной скорости и, стандартная скорость и A0.32), очевидно,
всегда непрерывна.
§ 10.4. Лаграна^ева и гамильтонова формы уравнений движения
В этом параграфе мы покажем, что уравнения движения A0.76) свободной
частицы можно записать в лагранжевой форме [168]. В гл. 8 мы видели, что
мировая линия свободной частицы может быть получена из вариационных прин-
ципов (8.93) и (8.97). Поскольку в последнем из этих уравнений подынтег-
ральное выражение является однородной функцией первой степени от произ-
водной dx* Idk, вариационный принцип (8.97) выполняется при любом выборе
параметра Я. Если выбрать % равным t и умножить (8.97) на—тос, то прин-
цип Лагранжа примет следующую форму:
jj L(u»,x»,t)dt = O, A0.87)
tx
где
1= —moc[—giuidx1/ldt) dxkI'dt]1 /2 = —m0c2dx/dt, A0.88)
или в соответствии с A0.62) и A0.65)
L=—m9c*/rr=—moc{{c*—yllu»)* — yll,vu»uf}1'2. A0.89)
Здесь с*, 7ц и уцу — известные функции от ур- и t. В A0.87) функции х»- =
== х^- (t), описывающие траекторию в системе отсчета R, варьируются так,
чтобы бх» (t) = 0 при t = tx и t = l2. Соответствующие уравнения Лагранжа
следующие:
A0.90)
275
Канонический импульс получается дифференцированием функции L (Ф, х')
по скоростям Ф, что с учетом A0.67) и A0.65) дает
A0.91)
Кроме того, используя A0.68) и A0.86), видим, что пространственные кова-
риантные компоненты 4-импульса равны компонентам канонического им-
пульса, т. е.
A0.92)
Канонический импульс отличается от импульса р величиной, пропорциональ-
ной гравитационному векторному потенциалу у, что аналогично выражению
из СТО
для канонического импульса частицы с зарядом е в электромагнитном поле
с векторным потенциалом А. В соответствии с A0.92) уравнение Лагранжа
A0.90) можно представить в форме
A0.93)
Лагранжиан A0.89) можно теперь записать в виде
L=— m{(c*—Y"J—»2}. A0.94)
где т — координатная масса. Поэтому соответствующий гамильтониан равен
Н =Р^иУ — L — пги2 + т {с*—yu) (Yu) + т{(с*—YuJ—Ь
или с учетом A0.68) и A0.15)
" =— сР4. A0.95)
Таким образом, величина Н в A0.15) равна гамильтониану и может интерпре-
тироваться как полная энергия частицы в гравитационном поле. В стацио-
нарном случае, когда gih не зависит от времени, L (и^, х&) и Н являются по-
стоянными. В общем случае обычным путем с помощью уравнений Лагранжа
A0.90) получим
dHldt=—dL(tP,x»,f)ldt. A0.96)
Уравнения A0.93) и A0.96) можно объединить в одно четырехкомпонентное
уравнение
<гРь1сИ = дЦи»,х1Iдх, A0.97)
которое с точностью до множителя Г совпадает с уравнением A0.3) при
Ft = 0. Поэтому при наличии негравитационной силы уравнение A0.97) сле-
дует заменить уравнением
dP-Jdt—dL (и», х1Iдх1^Ци A0.98)
где
%=Fjr. A0.99)
Учитывая A0-0* компоненты §^ можно записать в виде
^ = E№, —5дИ№/с),5д = /7д/Г. A0.100)
Таким образом, чтобы описать все аспекты негравитационного действия,
мы ввели три различных 3-вектора: стандартную силу § A0.44), A0.39), ко-
ординатную силу A0.76), A0.71) и вектор <$ A0.100). Стандартная сила опи-
сывает изменение импульса за единицу стандартного времени, обусловленное
276
действием негравитационной силы. Координатная сила описывает соответст-
вующее изменение за единицу координатного времени. Поэтому <$ и § пропор-
циональны друг другу, причем коэффициент пропорциональности равен от-
ношению A0.66) стандартного и координатного временных дифференциалов.
Теперь из уравнений A0.98) при i = jx = 1, 2, 3 видно, что ^ описывает из-
менение канонического импульса Р^ за единицу координатного времени,
обусловленное негравитационным действием. Поэтому <5 будем называть кано-
нической силой. Из определений A0.71) и A0.100) двух сил <$ и $ и соотноше-
ния (9.297) между FlL и Fu получим следующую зависимость между координат-
лой и канонической силами:
A0.101)
откуда
Зи = Eи)A— уи[с*)-1. A0.102)
Из A0.98) при i — 4 получаем закон сохранения энергии Н:
dH/dt = — dL (и11, х[\ t)(dt + §ц и"\ A0.103)
Таким образом, изменение полной энергии Н, обусловленное действием не-
гравитационной силы на отрезке траектории частицы между точками 1 и 2,
равно работе канонической силы:
\ A0.104)
С учетом A0.46) и A0.48) соответствующее изменение кинетической энергии
равно работе стандартной силы
\.r(l,2) = J^d^. A0.105)
i
В общем случае Л„.г A,2)^ Д,.гA,2).
В СТО динамическое воздействие на частицу с постоянной собственной
массой может быть описано одним вектором силы и ее работой. Причиной вве-
дения в СТО нескольких 3-векторов и их соответствующих работ является не-
линейность энергий и сил как функций от гравитационных потенциалов. Од-
нако во времени ортогональной системе координат (или при малых скоростях,
когда можно пренебречь величинами порядка уи/с*), все эти трудности зна-
чительно уменьшаются, поскольку каноническая сила совпадает с координат-
ной силой:
Лн.гA,2) =/1^A,2) = ^^. A0.106)
Для частицы, покоящейся в данной системе отсчета, Н сводится к энергии
покоя #0 частицы в поле, которая с учетом A0.95), A0.69) и A0.84) равна
1/2, A0.107)
где
Ео = т0 ее* = Щ сг = Ё0 A0.108)
— собственная энергия частицы. Если скорость частицы мала, то, разлагая
Н в ряд по и:с и ограничиваясь величинами второго порядка малости, по-
лучаем
Н = Но + тои*/2. A0.109)
Таким образом, при нерелятивистских скоростях Н равна сумме энергии покоя
частицы в поле и нерелятивистской кинетической энергии частицы с массой
277
поьоя m0. В случае слабого поля, когда %/с2 С 1, A0.109) сводится к ньюто-
новскому выражению для энергии частицы в поле плюс собственная энергия,
т. е.
A0.110)
Последняя величина в A0.110) представляет собой ньютоновскую потенциаль-
ную энергию. Соответствующая формула при условии больших скоростей и
сильных полей имеет вид
Я = Е + V, A0.111)
где потенциальная энергия
A0.112)
в общем случае зависит не только от координат, но и от скоростей, но для по-
коящейся частицы уравнение A0.112) принимает вид
Vo = moc2{{\ + 2xlcyi*-\} = Hi)~m0c2i=m0c*2-moc2. A0.113)
В стационарном поле эта потенциальная энергия покоя имеет простой физи-
ческий смысл. Чтобы понять его, вычислим работу, которую необходимо про-
извести против гравитационной силы, при адиабатическом, т. е. бесконечно
медленном перемещении частицы с собственной массой т0 из фиксированного
положения 1 в другое фиксированное положение 2 в жесткой системе отсчета
R, соответствующей стационарной координатной системе S. В соответствии
с уравнениями A0.76) и A0.77) это означает, что мы должны приложить к час-
тице негравитационную силу &, которая в любой момент времени почти урав-
новешивает гравитационную силу & , т. е.
A0.114)
Тогда из A0.78) следует, что кинетическая энергия частицы во всех точках
ее траектории практически равна нулю, т. е. Е = тйс2. Интегрируя A0.13)
и учитывая, что L не зависит от времени, а и « 0, т. е. §ц = Эц, получаем
A0.115)
Таким образом, потенциальная энергия покоя в любой точке стационар-
ного поля равна работе координатной силы на адиабатическом перемещении
частицы из фиксированной точки, где % = 0, в эту точку. Это согласуется
с A0.114) и A0.173), A0.75), A0.84), которые для адиабатического перемеще-
ния дают
A0.116)
Заметим, что работа стандартной силы не равна Лн,г A, 2). Вместо A0.116)
для адиабатического процесса с учетом A0.44), A0.41), A0.38) и A0.25), A0.26)
получаем
A0.117)
В результате
278
что отличается от Лн.г A, 2), за исключением приближения слабого поля, когда
обе эти величины равны т0 (%2 — %:)•
Теперь от лагранжевой формы уравнений движения мы можем обычным
путем перейти к гамильтоновой форме. С помощью A0.91) и A0.92) в выраже-
нии A0.99) можно исключить скорость и* и получить гамильтониан Я =
= Я (Яд, XIх, f) как функцию от сопряженных канонических переменных
(Pji, x&) и t. Тогда уравнения движения можно записать в гамильтоновой
форме dPJdt = -— дН/дх&; dx»/dt — дН/дР» и соответствующим выбором
контактного преобразования использовать метод интегрирования Гамильто-
на —-: Якоби.
До сих пор мы предполагали, что собственная масса т0 постоянна. Однако
все предыдущие рассуждения можно легко распространить и на случай пере-
менной та. Тогда вместо A0.3) имеем
Fl A0.119)
где F* — обобщенная 4-сила вида D.68), для которой F*Ul ф 0.
§ 10.5. Распространение световых сигналов.
Принцип Ферма
В § 8.10 было показано, что мировая линия светового сигнала в вакууме
описывается уравнениями (8.100), где специальный параметр 1 определен лишь
с точностью до произвольного линейного преобразования. Полагая
Pl, A0.120)
уравнения (9.100) можно записать в форме
dPi/dl—A/2) gkl> i(dxkidX)Pl^DPildX^0; A0.121)
g.kpipk = P.pi = o. A0.122)
Сравнение этих уравнений с A0.3), A0.5) и A0.6) показывает, что движение
светового сигнала в гравитационном поле соответствует движению свободно
падающей частицы с 4-импульсом Pt и нулевой собственной массой, которую
можно назвать «световой частицей».
Уравнения A0.121), A0.122) эквивалентны сопряженным стандартным
векторным уравнениям
0; A0.123)
g.^p^p.p^O, A0.124)
которые аналогичны A0.11) и A0.10). Здесь
1 l = (dt/dl) d?Jdt; )
Я, = (Дх, -?/с) )
— стандартный 4-импульс световой частицы. Из (9.330) и A0.30) имеем
i t, cdl/dt)=:{w*, с* — Yn^), A0.126)
где W*1 = dxv-ldt — координатная скорость световой частицы. Подставляя
A0.125) и A0.126) в A0.124) и используя (9.299), получаем
Y^v w* wv—(с*—Yy, wuf = 0
или
V A0.127)
279
в соответствии с (8.68). Положим
m = dildX, A0.I28)
тогда из A0.125)—A0.127) получим следующие выражения для импульса и ки-
нетической энергии световой частицы:
р = mw; Е = mew. A0.129)
Следовательно, т представляет собой (релятивистскую) координатную массу
световой частицы. Аналогично, полагая
m = dt[d%, A0.130)
получаем
p = mw; Е = тс\ A0.131)
где
ш» =dx»Jdt = щд/ (с*—yw)= cw^/w; 1 ПО 132)
w = \ w| — с J
— стандартная скорость, am — стандартная масса световой частицы.
Умножение A0.123) на dX/dl приводит к стандартным уравнениям движения,
соответствующим уравнениям A0.42), A0.43) для частицы с конечной собст-
венной массой. Однако для нас более интересна координатная форма уравне-
ний, получаемая умножением A0.23) на dkldt. Это дает по аналогии с A0.69)
bPildt = 8i, A0.133)
где ®i получается из A0.73), A0.75) и A0.72), если положить: и^ — w^r и&=
— wv, ас* — \и = с* — yw = w- Следовательно,
= — Яц ас»/ш = — Е (ад
Здесь мы использовали также A0.129) и A0.132). По аналогии с A0.76)—A0.78)
четыре уравнения A0.133) можно расписать более подробно:
ОЮррШ^уцЪкрчшЧс + а»;, A0.135)
dEldt= — dvxpvwKj\-E(alxwil)/c*z. A0.136)
Для световой частицы соотношения A0.18) и A0.20) принимают особенно
простой вид, поскольку в этом случае правые части этих соотношений обра-
щаются в нуль. В результате с учетом A0.129) имеем
^^^ A0.137)
р,
с w с с*
где е — единичный направляющий вектор движения, а
1
Н = — сР4 = ?(Ц-2ое/с2) 2 =mc*w A0.138)
— полная энергия A0.15) световой частицы с учетом ее взаимодействия с гра-
витационным полем.
Пусть теперь gik не зависит от времени, d^% = 0. В этом случае Я — по-
стоянная. Это также следует из уравнения A0.136), которое в данном случае
сводится к
dE/dt = —Е (дуЦдх») dx»]dt/c*2=—{E/c*) dc*]dt.
или
dcH/dt = c*dE/dt + Edc*/dt = O. A0.139)
280
Тогда, используя A0.134), A0.138), A0.137) и то обстоятельство, что Я
лостоянная, уравнение A0.135) записываем в виде
D<3> (е|1/с*)/Л= — {wlc*z)dildx^ + 2o\^wxicc*, A0.140)
где в соответствии с (8.135) и (8.130)
2conv/c* = orVi (х—ог,х( v A0.141)
В стационарном случае траектория световой частицы, луча света, является
кривой, не зависящей от времени в R. Как мы теперь увидим, ее можно опре-
делить из вариационного принципа, аналогичного принципу Ферма.
Пусть
х* = х*(\) A0.142)
есть уравнение траектории луча в параметрическом представлении с произ-
вольным параметром Я,, а 1 и 2 — две произвольные точки на луче, соответст-
вующие значениям ?ч и Я,2 этого параметра. Положим и^ — dx^fdX и рассмотрим
следующую функцию F от х* (К) и uf- (X) = dx^ldX:
F(u*, х») = (У Yvji иv "я + Ъ и?) /с*. A0.143)
Тогда можно показать, что функции х^ (к) в A0.142) удовлетворяют следующему
вариационному принципу:
2
A0.144)
Уравнения Эйлера d (dF/duty/dk = dF/dx*, соответствующие этому принципу,
дают, поскольку yjc* = a^lc.
Это можно записать также в виде
@Vj u—ofli> v) wv/c, A0.145)
где
= Yhv uv u»
есть норма 3-вектора и^, а
^ = Vnv«v/" = Ynv^v/da A0.146)
— единичный 3-вектор, касательный к кривой.
Поскольку F (и**, xv-) — однородная функция от дх^/дК первой степени, ва-
риационный принцип A0.144) и уравнения Эйлера A0.145) инвариантны отно-
сительно произвольных преобразований параметра X. Если выбрать X = t, то
A0.145) совпадут с уравнениями A0.140) для светового луча. Таким образом,
траектория луча определяется вариационным принципом A0.144), который
имеет простой физический смысл.
В соответствии с A0.143)
F{u*, xv) dX = {Kym-v dx» dxv + уч dx"\jc* — do A + yv ev)lc*, A0 147)
281
где ev = dxv/da — контравариантные компоненты 3-вектора A0.146). Поэтому,
используя (8.72), видим, что вариационный интеграл
Хг 2
(>(«!», x»)dk=$—=ta—t^At A0.148)
Я, 1
равен (координатному) времени, в течение которого световой сигнал проходит
путь от точки 1 до точки 2. В соответствии с принципом A0.144) для действи-
тельной траектории светового луча это время является экстремальным (обычно
минимальным). Это и есть принцип Ферма. Удивительно, что этот, сформули-
рованный в XVII в. принцип все еще используется, по крайней мере формально,
в наиболее современной теории распространения света. Однако необходимо за-
метить, что имеют место и существенные различия между принципом A0.144)
и классическим принципом Ферма. Во-первых, геометрия физического про-
странства в R в общем случае неевклидова. Во-вторых, временной промежуток
At в A0.144) , A0.148) является промежутком координатного времени, измерен-
ным координатными часами в 5. Если &t заменим промежутком стандартного
времени, то с помощью A0.132) получим
At = ^dofw = [dale, A0.149)
i i
а соответствующий вариационный принцип
Хг
J (yvxUvuxy2dX = 0 A0.150)
приводит к уравнениям геодезической в физическом пространстве
D^elJdK = d{ull/u)/dt—(l/2)yvKt ^и*и^/и = 0. A0.151)
Таким образом, вариационный принцип A0.150), в котором координатное
время заменено стандартным временем, не дает правильного описания распро-
странения светового сигнала, за исключением тех областей, где гравитационные
потенциалы % и уц одинаковы, т. е. когда отсутствует гравитационная сила.
В общем случае луч света не является «наипрямейшей» линией, причем это
отклонение определяется гравитационной силой. Комбинируя A0.144) и A0.147),
принцип Ферма можно представить в форме
^, A0.152)
где
n{xv-, e) = (l+yv^)/(l+25c/c2I/2. A0.153)
Таким образом, распространение света в вакууме при наличии стационарного
гравитационного поля аналогично распространению света в неоднородной не-
изотропной преломляющей среде с показателем преломления A0.153). Эта ана-
логия не всегда является полной, поскольку распространение света в гравита-
ционном поле с 7ц Ф 0 не удовлетворяет оптическому принципу обратимости,
согласно которому луч света в преломляющей среде распространяется по одной
и той же траектории в прямом и обратном направлениях. Такое несоответствие
следует из выражения A0.153) для п, которое меняется при замене е на —е,
в отличие от показателя преломления обычной среды, который даже в неизо-
тропном случае не меняется при замене е —>¦ —е. Однако в статическом грави-
тационном поле, например в поле Солнца (см. § 12.2), у^ = 0, % < 0. Тогда
'2>Q, A0.154)
и аналогия с неоднородной, но изотропной средой без дисперсии будет полной
(см. также § 10.9). Это и есть причина одного из трех эйнштейновских эффектов—
отклонения луча света в гравитационном поле Солнца (см. § 12.3).
282
§ 10,6. Распространение световых волн. Фотоны
В предыдущем параграфе было показано, что распространение световых
сигналов эквивалентно движению световых частиц. Такое описание, которое
похоже на корпускулярную теорию света Ньютона, конечно, не полно, так
как оно не учитывает волновые свойства света. Чтобы объяснить, например,
явление интерференции, необходимо ввести понятие волны, характеризую-
щейся определенной частотой и длиной волны. Вспомним, что в СТО плос-
кая монохроматическая волна в любой инерциальной системе описывается
следующим образом [см. B.67) и D.43)]:
A0.155)
гдет|) может обозначать любую компоненту тензора электромагнитного поля, а
фаза F. является линейной функцией лоренцевых координат X':
—F = #**< +6. A0.156)
Здесь
/Ci=—di7dX' = (nv/o>(n), —v/c) = (nA, —v/c) A0.157)
— постоянный волновой 4-вектор; б — постоянная;
v = —cKi = dF/dT A0.158)
— частота; Я, — длина волны; w (п) — фазовая скорость в направлении п
3-вектора К^- В вакууме, где w = c, 4-вектор Kt, очевидно, является нулевым
вектором, поскольку в этом случае
Кг К1 = 4{kKt Кк = (v/cf\n |2—(v/cJ = 0. A0.159)
Плоская волна A0.155) характеризуется тем, что волновой вектор Ki н
амплитуда А везде одинаковы. Для световой волны в однородной среде формула
A0.155) является решением уравнений, следующих из уравнений Максвел-
ла, но в случае неоднородной среды это не так. Конечно, решение волнового
уравнения всегда можно записать в форме
$ = A(X)cos2nF(X), A0.160)
где амплитуда А (X) в общем случае уже не постоянна, a F (X) не является ли-
нейной функцией X1, т. е. волна уже не плоская. Однако во многих важных
случаях волна A0.160) обладает тем свойством, что А (X) и компоненты отри-
цательного градиента от F (X)
K-i=—dF(X)ldXl A0.161)
практически постоянны в некоторой области Q в окрестности произвольной
точки Р с координатами Хр. Тогда, разлагая функции F и А в ряд Тейлора
по f = X'1 — Хр, получаем, что внутри Q волну -ф можно представить в виде
q.= A(P)cos2x(—/f. (>)?'_6). A0.162)
где А (Р), б = —F (Р) и Кг (Р) — значения величин А, —F и /С; в точке Р.
Сравнение A0.162), с A0.155)—A0.158) показывает, что т|> внутри Q представ-
ляет собой плоскую волну с частотой
v(P)=—c#4(P) = dF(P)/dT, A0.163)
так что величина X (Р) равна длине 3-вектора К^ (Р). Величины А (Р), Kj (P)
являются медленно меняющимися функциями Р, и если размеры области Й,
внутри которой они могут рассматриваться как постоянные величины, доста-
точно большие по сравнению с Я, и civ, то мы находимся в сфере применения
геометрической оптики. Необходимое условие для этого— однородность (прак-
тически) среды внутри области Q. Для данной (сплошной) среды это условие
283
*сегда выполняется при достаточно коротких длинах волн. В геометрической
оптике фазовая функция —2л;/7 (X) называется эйконалом.
Теперь рассмотрим случай плоской монохроматической волны в вакууме.
В лоренцевой системе координат она описывается волновыми функциями
A0.155) — A0.158), где w ~c, n = е и постоянные А,Ь и Ki удовлетворяют
соотношению A0.159). Если с помощью общего преобразования (8.42) ввести
произвольную систему 5 координат (х1), то волновая функция г|> в 5 будет
иметь вид
A0.164)
где F (х) — (нелинейная) функция от х1, полученная из линейной функции
A0.156) заменой лоренцевых координат. Отрицательный градиент скаляра
F (х) с ковариантными компонентами
Ki^ — dF/dx1 A0.165)
является нулевым вектором, поскольку в новой системе S с метрическим тен-
зором gik соотношение A0.159) принимает вид
Kt К1 = gik(dFldxl) dF/dxk = 0. A0.166)
Сравнение A0.164) с A0.160) показывает, что распространение световой
волны в 5, где присутствует устранимое гравитационное поле, аналогично рас-
пространению световой волны в инерциальной системе при наличии неоднород-
ной преломляющей среды. Единственное отличие в том, что пространственная
геометрия в системе отсчета R, соответствующей S, может быть неевклидовой.
Согласно основному постулату ОТО, нет существенной разницы между устра-
нимыми и неустранимыми гравитационными полями. Поэтому A0.164) — A0.166)
можно рассматривать как общие выражения, описывающие распространение
монохроматической волны в гравитационном поле. Во многих важных случаях
и в подходящих системах координат величины A, Ki, gih в областях Q , боль-
ших по сравнению с длиной волны, практически постоянны, и можно приме-
нять приближение геометрической оптики.
Пусть теперь Р и Р' — два близких точечных события с координатами
(х1) и (х1 -j- dx[). Тогда разность фаз в этих точках
cKidt. A0.167)
Для двух событий в фиксированной точке отсчета, т. е, при dx^ — 0, это
дает
dF = —cK«dt. A0.168)
Поскольку dF в этом случае равна количеству волн, прошедших через данную
точку отсчета в течение промежутка координатного времени dt, величину
v = —ск4 = dFldt A0.169)
будем называть координатной частотой. В области применения геометри-
ческой оптики у — медленно меняющаяся функция координат.
Пусть Ki — сопряженный стандартный волновой вектор. Тогда в соот-
ветствии с (9.334) при ij> = —F (х)
K. = ^dtF, A0.170)
где dt — оператор (9.336). Используя (9.138) и (9.299), формулу A0.166) мож-
но привести к виду
KtKt = ^hKiKlt = y^J^Kv-{Ki)t = O. A0.171)
*
Пространственная часть стандартного волнового вектора есть калибро-
вочноинвариантный вектор к с длиной
Pk\ A0.172)
284
и из 00.171) следует, что Л4 ~ k. В результате
«' = <»• k)] 1 A0.173)
Kl=~diF=(kll, -k).\
Используя (9.336) и (8.130), а также A0.165), A0.169) и A0.173), получаем
k = d4 F = Г4 dF/dx* = A /с*) а/7 У Л = vie*; A0.174)
kll = —dF/dx^ — yVidtF = K^—yxlk = KVL — yt,v/(*. A0.175)
Теперь разность фаз A0.167) можно записать с учетом (9.318) и (9.330) в виде
dF=—Ki d? = — Ац dxn + &*#• A0 Л 76)
При dxf* = 0 это дает вместо A0.168)
dF = kcdf, A0.177)
откуда следует, что
A0.178)
есть частота волны в стандартной временной шкале. При dx* = 0 стандартный
дифференциал времени (9.331) сводится к дифференциалу dr0, измеренному
покоящимися стандартными часами, так как
dt= — Г4 dx*lc = dtVl+ 2x/c2 = dx0. A0.179)
Таким образом, стандартная частота A0.178) равна частоте волны, измерен-
ной с помощью стандартных часов.
Фазовая скорость в направлении пространственного вектора dx& находится
из условия dF ~ 0. Если п& — единичный вектор в направлении dx^, то
dxv-^don» A0.180)
и A0.176) принимает вид
A0.181)
Приравнивая это выражение нулю, найдем стандартную фазовую скорость
в направлении л:
ьо(п)*=Aо1Ш = 11С/кцГР. A0,182)
Групповая скорость, которая в вакууме совпадает со скоростью светового сиг-
нала, равна фазовой скорости в направлении луча е. Поэтому если в A0.182)
положить п = е, то w (е) должна совпадать со стандартной скоростью светового
сигнала, которая в соответствии с A0.59) равна с. Отсюда следует, что
или
*и - ke» = (v/c) en = (v/c*) e», A0.183)
т. е. калибровочно-инвариантный 3-вектор к коллннеарен направляющему
вектору е луча. Подставляя A0.183) в A0.182), получаем, что
w(n) = cl(en). A0.184)
Из этого выражения видно, что стандартная фазовая скорость минимальна
в направлении луча. Соответствующую координатную фазовую скорость мож-
но получить с помощью общего соотношения A0.57), связывающего стандарт-
285
ную и координатную скорости, но ее легко определить и из выражения A0.167),
полагая dF = 0.
Теперь рассмотрим два события Р и Р' в двух близких точках отсчета р
и р', для которых разность координат dxv- определяется формулой A0.180).
Если события Р и Р' одновременны в смысле стандартной одновременности
A0.60), то фазовая разность A0.176) в соответствии с A0.183) и A0.184)
dF= — к^йх»=— (v/c)(en)da= —[\i'w{n))da. A0.185)
В «стандартном мгновенном снимке» волны эта величина представляет собой
разность фаз в точках р и р . Для тех значений da, при которых dF — целое
число внутри Q, волновая функция г|) одна и та же в точках р и р'. Наимень-
шее из таких значений do следующее:
X(n) = a»(n)/v = c/v(en). A0.186)
Величина Я (п) имеет минимум при п = е, где е — направление луча, а соот-
ветствующее значение "к (п) представляет собой (стандартную) длину волны
?ssA,(e) = a?(e)/v = c/v. A0.187)
Из A0.173), A0.178), A0.183) и A0.187) получим следующие выражения для
компонент стандартного волнового вектора:
Кй = {е^/с, — v/c) = (e,A —v/c). A0.188)
Это выражение аналогично частно релятивистской формуле A0.157) для
вакуума, в котором w — с, п = е. Величины v, Я, к — калибровочно-инва-
риантны, в отличие от координатной частоты, которая, конечно, зависит от
масштаба времени. I и v являются спектроскопическими длиной волны и
частотой. Они определяются обычным путем с помощью стандартной измери-
тельной линейки и стандартных часов, покоящихся в нашей системе отсчета.
В локальных системах S (P), S (Р) вектор Ki совпадает с волновым 4-векто-
ром /(;.
В § 10.5 распространение света описывалось как движение световых частиц
без учета волновых свойств. Поскольку в определениях A0.120) и A0.123)
4-импульса P-t и массы т специальный параметр "к определяется лишь с точно-
стью до произвольного линейного преобразования, эти формулы содержат про-
извольный постоянный множитель. Учитывая, что Pt и Ki в A0.165)— нулевые
векторы, этот множитель может быть определен с помощью ковариантного
условия
Pi = hKt, A0.189)
где h — универсальная постоянная. Если h — постоянная Планка, то свето-
вая частица с 4-нмпульсом P-t совпадает с фотоном, введенным Эйнштейном
для объяснения фотоэффекта. Это следует из принципа эквивалентности, если
векторное уравнение A0.189) записать в локальной лоренцевой системе i1 (P)
D.52). В области применения геометрической оптики фотоны можно считать
классическими частицами, чего в более общем случае сделать нельзя. Хотя
соотношение A0.189) всегда справедливо, фотоны в общем случае будут иметь
типичные квантовомеханические свойства бозонов.
Полагая в A0.189) i — 4 и используя A0.138), A0.169), получаем следую-
щее выражение для полной энергии Н фотона в гравитационном поле:
Н = hv, A0.190)
где v — координатная частота. В стационарном случае Н — постоянная.
Это согласуется с тем, что в таком случае координатная частота v одинакова
286
во всех точках траектории луча. Сопряженное с A0.189) стандартное век-
горное уравнение следующее:
Pi=hKi. A0.191)
Из этого уравнения с помощью A0.125), A0.173), A0.178), A0.188) получим
следующие выражения для* импульса р и энергии Е фотона:
Здесь v — стандартная частота, а е — направляющий вектор луча. Формулы
A0.190), A0.192) соответствуют соотношениям A0.137) для световой частицы.
§ 10.7. Доплеровский и эйнштейновский сдвиги
спектральных линий
В частно релятивистском рассмотрении эффекта Доплера (§2.9 и 2.11)
мы пользовались лишь инвариантностью фазы волны, не обращая внимания
на реальные процессы испускания света источником. Фактически формулы
B.70)—B.72) являются прямым следствием 4-векторного характера волнового
числа, выраженного соотношением D.44). Аналогично можно рассмотреть
эффект Доплера в ОТО, основываясь на общей инвариантности фазы и на стан-
дартном 4-векторном характере величины Kt в A0.188) (см. уравнение (а)
на стр. 291). Однако в данном разделе мы выведем эффекты Доплера и Эйнштей-
на путем непосредственного анализа процесса испускания фотонов атомом,
а также влияния движения атома и гравитационного поля на этот процесс.
Рассмотрим сначала произвольный процесс взаимодействия частиц, когда
частицы до и после процесса можно считать свободными. Если область Q
в 4-пространстве, где происходит процесс, настолько мала, что гравитационное
поле в Q практически постоянное, то из принципа эквивалентности следует,
что в таком процессе сумма 4-импульсов частиц сохраняется. Это выражается
4-векторньш уравнением
КОн A0.193)
или сопряженным стандартным уравнением
[^Pt)m4=[^Pi)vm. A0.194)
Теперь рассмотрим частный случай испускания фотонов атомом. В соот-
ветствии с основными положениями квантовой механики, атом может сущест-
вовать в серии различных энергетических состояний, а фотоны испускаются
при переходе атома с одного энергетического уровня на другой, более низкий.
Пусть Ео — полная энергия начального состояния, когда атом покоится
в некоторой инерциальной системе, а ?'о — соответствующая энергия ко-
нечного состояния. В соответствии с теоремой Эйнштейна (§ 3.5), собственные
массы атома в этих состояниях имеют значения
т0 = Ё01с*; mn = IJc\ A0.195)
При известных скоростях атома в этих двух состояниях соответствующие им-
пульсы и кинетические энергии получаются из A0.37), A0.38) или из A0.66)—
A0.69). Если (р, ?) и (р, Е) — значения этих величин в начальном и конечном
состояниях соответственно, то четыре закона сохранения A0.194) для рассмат-
риваемого процесса, в соответствии с A0.16) и A0.192), принимают вид
A0.196)
= E+hv. A0.197)
287
Аналогично уравнение A0.193) при i = 4c учетом A0.15) и A0.190) дает
H = H + hv, A0.198)
где Н и Я — соответствующие полные энергии атома в гравитационном поле,
в том месте, где происходит процесс. Из соотношений A0.18) и A0.195) имеем
|р12—(Е/сJ=— т\съ= — (Ё0/сУ. A0.199)
Аналогично в конечном состоянии
|p|2-(!/CJ=-(I0/VJ. A0.200)
Исключая из этого уравнения р и Е, с помощью A0.196), A0.197) получаем
| р—/ive/c|2— (? —Av)V= — (Ё0/с)\
Решая это равенство относительно v и используя A0.199), находим, что
\' = [El—El)/2hE(l~cpt/E). A0.201)
Если и стандартная скорость атома до процесса, то из A0.37), A0.38) и A0.95)
р/Я = и/с2, Е = Я0/к1 — и"/с2. Поэтому A0.201) можно записать в виде
v = vo(l— uVI/2/(l— ue/c). A0.202)
Здесь
2НЁ0 2?й
A0.203)
Очевидно, что v0 — стандартная частота фотонов, испускаемых первоначаль-
но покоящимся атомом. Поскольку стандартная частота есть частота, изме-
ряемая покоящимися стандартными часами, то v и v0 должны совпадать с час-
тотами v и v0 излучающего атома, находящегося в инерциальной системе и об-
ладающего соответствующими начальными скоростями. Поэтому формула
A0.202) для доплер-эффекта в произвольной системе 5 и в присутствии грави-
тационного поля формально совпадает с формулой B.90) СТО.
Величина *v0 в A0.203) определяет стандартные линии спектра испускания
первоначально покоящегося атома. Эта величина не зависит, конечно, от гра-
витационного поля. С учетом отдачи атома в процессе испускания v0 в общем
случае не будет равной kEJh, а несколько меньшей. Однако для оптического
спектра, когда Д?о имеет величину порядка нескольких электрон-вольт и мала
по сравнению с собственной энергией атома, имеющей величину --109 эв, эф-
фектом отдачи можно пренебречь, и A0.203) совпадает с формулой Бора для
частоты испускания
vQ = \Ejh. A0.204)
С другой стороны, в у-волновом диапазоне испускания свободного атомного
ядра эта приближенная формула уже недостаточно точная (см. § 12.1).
В предыдущих рассуждениях мы использовали закон сохранения A0.197)
кинетической энергии. Если мы теперь вместо этого используем выражение
288
A0.198) для полной энергии в гравитационном поле и соотношение A0.20), то
получим формулу эффекта Доплера для координатной частоты:
v = v0 A — uVI/2/(l — ue/c). A0.205)
Здесь
({ )/) HJh = (l-AH0/2H0) AHjk;
= H0—HQ,
a Ho и #0 — энергии покоя A0.107) атома в гравитационном поле для началь-
ного и конечного стационарных состояний соответственно. При пренебрежении
эффектом отдачи A0.206) сводится к
v0 = ДЯ0//г. A0.207)
Формулу A0.205) можно получить также из формулы A0.202), умножая ее на
У l-\-2yJci и учитывая соотношение A0.178) между координатной и стандарт-
ной частотами, где % — гравитационный потенциал в точке испускания.
Стандартная частота A0.202) есть частота, измеренная с помощью спектро-
скопа, помещенного вблизи источника. Однако если измерительный инструмент
размещен на некотором расстоянии от источника, где гравитационный потенциал
X имеет существенно другое значение, то начинает проявляться еще один эф-
фект — эффект Эйнштейна. Мы рассмотрим лишь случай стационарного гра-
витационного поля, когда можно ввести систему координат S, в которой gih не
зависит от времени. Пусть %г — скалярный потенциал в точке излучения, а
7,о — скалярный потенциал в точке наблюдения. Тогда наблюдаемая частота
уже не будет равна частоте A0.202), так как на пути от точки 1 до точки 2
фотон ведет себя как свободно падающая световая частица. В отличие от пол-
ной энергии A0.190) фотона в гравитационном поле, которая в стационарном
случае постоянна
hv = const, A0.208)
кинетическая энергия
A0.209)
изменяется с изменением х- Поэтому если v A,2) —• стандартная частота излу-
чения в точке 1, измеренная в точке 2, то из A0.209) и A0.202) имеем
( l^-ML , A0.210)
V 1+2X./C* )
при и = 0 получим
[]t/2 A0.211)
т. е. формулу, описывающую эффект Эйнштейна. В общем случае, когда дей-
ствуют оба эффекта (эффект Доплера и эффект Эйнштейна), имеем формулу
A0.210).
В то время как стандартная частота v0 A, 2) есть частота света, испущен-
ного покоящимся атомом в точке 1 и измеренная в точке 2, v0 — соответствую-
щая частота, измеренная в точке излучения. Таким образом, эффект Эйнштейна
можно определить экспериментально, сравнивая спектральные линии источни-
ка в точке 1 и аналогичного источника в точке 2. В соответствии с A0.211) от-
носительный сдвиг частот равен
Ауй _. у~оA,2)-у _/l+2xi/c2\1/2 j ПО 212)
10 Зак. 1174 289
Он имеет одинаковую величину для всех линий спектра. Это будет «голубое
смешение», если %i > Х2. и «красное смещение», если ул <. Хг- В дальнейшем
будем считать, что %/с2 <С 1. Тогда из A0.212) получим
«vo/vo = (Xi-Xa)/c8. A0-213)
С помощью A0.107) и A0.115) относительный сдвиг частоты A0.212) можно
также выразить через энергии покоя произвольного тела в точках 1 и 2 или
через негравитационную координатную работу Ак_г B,1) при адиабатическом
перемещении тела из точки 2 в точку 1:
A0.214)
С другой стороны, эту же величину можно выразить через соответствующую
стандартную работу при адиабатическом перемещении, так как из (ЮЛ 18) и
A0.212) имеем
Ду0/уо = ехр(Лн.гB,1)/^ос»)-1, A0.215)
где
Av0
¦vo
#o
(D-
.rB
-Яо B)
B)
0
,dxK
B,1)
B) '
а Мо (произвольная) собственная масса тела. В приближении слабого поля
выражения A0.214) и A0.215) в соответствии с A0.213) имеют вид
(Ю.216)
Из A0.215) с очевидностью следует калибровочная инвариантность величины
Sv0/v0.
В данном случае эффект Эйнштейна объясняется потерей или приобрете-
нием фотоном кинетической энергии при его свободном падении от точки 1 до
точки 2. Другую, по-видимому, более простую интерпретацию эффекта Эйнш-
тейна можно получить, если рассматривать координатную частоту вместо стан-
дартной [168]. Поскольку во время движения hv—постоянная величина A0.208),
на участке движения от точки 1 до точки 2 координатная частота фотона не ме-
няется. Однако согласно A0.206) координатная частота v0 определяется энер-
гией покоя атома в гравитационном поле, в то время как стандартная частота
v0 в A0.203) определяется соответствующей собственной энергией. Поэтому
координатная частота фотонов, испущенных при некотором переходе атома из
одного состояния в другое, зависит от гравитационного поля в точке испуска-
ния. Если v0 (!) и v0 B) — координатные частоты излучения покоящихся
атомов в точках 1 и 2, то с помощью A0.107),A0.108) и A0.203), A0.206) полу-
чим
2. A0.217)
Поскольку в любой точке координатная частота пропорциональна соответст-
вующей стандартной частоте, их относительные сдвиги должны быть равными.
В самом деле, учитывая, что на пути фотона от точки 1 до точки 2 дополнитель-
ного сдвига координатной частоты не происходит, из A0.217) получаем
AV« _ VqA)-Vo B)
что согласуется с A0.212).
290
L соответствии с этой интерпретацией эффект Эйнштейна обусловлен изме-
нением полной энергии покоя Яо при адиабатическом перемещении атома из
одной точки в другую с различными скалярными гравитационными потенциа-
лами. Согласно A0.115) в каждом стационарном энергетическом состоянии из-
менение Яо равно негравитационной (координатной) работе при адиабатиче-
ском перемещении атома в этом состоянии. Поскольку работа зависит от соб-
ственной массы атома, она будет различной для различных состояний атома,что
является причиной зависимости Д//о = Но—#0, а следовательно и v0, от
положения источника в гравитационном поле.
Эффект Доплера определяется как часть полного сдвига частоты, которая
обусловлена движением источника, а эффект Эйнштейна — как часть, обуслов-
ленная разницей гравитационного потенциала в точке испускания и в точке
наблюдения. Следовательно, разделение этих двух эффектов не является реля-
тивистски инвариантным. Может случиться так, что сдвиг частоты в одной си-
стеме координат будет чисто доплеровским, а в другой — чисто эйнштейнов-
ским эффектом.
Рассмотрим, например, источник света, движущийся в инерциальной си-
стеме с постоянной угловой скоростью со по круговой орбите радиуса г. В ло-
ренцевой системе координат % = 0 везде, и сдвиг частоты является чисто до-
плеровским эффектом. Если наблюдатель находится в центре круговой орбиты,
то скорость источника и = и перпендикулярна направлению е светового луча,
и, в соответствии с A0.210), наблюдаемая частота v = v равна
I/2, A0.219)
что представляет собой формулу СТО для поперечного доплер-эффекта (§ 2.11).
С другой стороны, во вращающейся системе координат, соответствующей метри-
ке (8.78) — (8.90), источник все время покоится, но потенциал Xi B точке рас-
положения источника равен —г2со2/2, в то время как потенциал %2 в точке на-
блюдения равен нулю. В этой системе сдвиг частоты — чисто эйнштейновский
эффект, но наблюдаемая частота v, определяемая из A0.210), конечно, снова
равна частоте A0.219).
Рассмотрим две произвольные системы координат S и S' с соответствующими систе-
мами отсчета R и R'. Пусть V* (х) — V [R'] —¦ поле 4-скоростей точек отсчета системы
R' относительно системы S. Сопряженное поле стандартных векторов согласно A0.36)
следующее:
p = (?>/j/ I— w»/c* , c/Vl—v2/c2 ); V'l = c8u> A0.220)
где t<>l — стандартные скорости точек отсчета системы R' относительно S. Если Дг- —
произвольный вектор, то нз (9.227) и A0.220) для инвариантного скалярного произведе-
ния Л;У' имеем
или
~\ ( \ )( 5)й; A0.221а)
( jj \ A0.2216)
При Ai = Ki из A0.188) и A0.221 а) получим следующую формулу преобразования
стандартной частоты:
v' = v(l — ev/c)(l— иа/с2)'/г. (а)
Если система S' — система покоя источника излучения, то v' = t»0 ио^/ —
стандартная скорость источника. Тогда, решая (а) относительно v, снова получаем форму-
лу A0.1202).
Выбирая А1 = dxL, из A0.2216) и (9.330) получаем формулу преобразования стан-
дартного времени частицы
di'=d? (I— uv/c2)/(l— t>/c2)%. (б)
10* 291
При Ai = Pi из A0.2216) и A0.12) или A0.125) получим закон преобразования ки-
нетической энергии частицы
E'--=(?-pv)/(l-S»/c»)%, (в)
что аналогично соотношению C.37) в СТО.
Наконец, полагая А, равным 4-скорости частицы, из A0.36) и A0.221в) получаем
соотношение
(l — vu/c2)(l— и'2/сг)>/* = A — к2/с2)%A — "г/сг)Уа. (г)
которое аналогично формуле B.56) в СТО. Когда скорости и и v в каждой точке парал-
лельны, т. е. при vu = vu, из (г) имеем
(д)
что аналогично B.49).
§ 10.8. Механика сплошных сред
С помощью метода, развитого в § 10.1—10.7, все физические законы СТО
теперь легко записываются в общей ковариантной форме.
В гл. 6 было показано, что в СТО замкнутая система может быть описана
симметрическим тензором энергии Тц,, удовлетворяющим условию F.1), кото-
рое в действительном представлении можно записать в форме
diVi {Tik} = дТ*/дхк = 0. (Г0.222)
Физический смысл различных компонент Tik был объяснен в §6.1. По-
скольку предполагается, что условие A0.222) справедливо в любой локально
ннерцнальной системе, общая коварнантная форма законов сохранения энер-
гии и импульса должна иметь вид 1см. (9.199)]
71;*-
ИЛИ
.!_ — (/ЫГ-1 = — ^ Tkl, A0.223)
У 1 g| дхк - Г 'ё ' 2 дх1 К '
В то время как в инерциальной системе законы сохранения для замкнутых
сметем выражаются уравнениями в форме суммы частных производных, мы
видим, что в общем случае правая часть A0.223) этому не удовлетворяет. Когда
система находится в гравитационном поле, она не замкнута, поскольку грави-
тационное поле само дает вклад в полную энергию и импульс. (В § 11.9 мы еще
вернемся к этому вопросу.)
В произвольной системе координат 5 компоненты тензора Т\ можно по-
лучить из компонент тензора 7\ в локальной инерциальной системе S с по-
мощью формулы преобразования тензоров. Для достаточно малой и легкой
островной части полной системы в S применимы методы, развитые в § 6.2,
6.3. В частности, если эта область настолько мала, что^ может везде в ней
считаться постоянным, собственный центр масс этой части области определяется
однозначно. Относительно S центр масс движется с постоянной скоростью, и,
следовательно, его движение относительно S будет аналогично движению сво-
бодно падающей частицы [96, 167].
Первые три уравнения A0.223) представляют собой закон сохранения
импульса, а четвертое —¦ закон сохранения энергии. В стационарном случае
правая часть в A0.223) при г = 4 равна нулю. Следовательно,
[l/V\g\ }d{V\g\Tkt)/dx" = 0, A0.224)
В соответствии с (9.362) имеем
|g|=-g447 = Y0+25C/C2). A0.225)
292
Тогда уравнение A0.224) можно записать в виде
(l/Y)^{/v(l + 2X/c2)I/27'*}/axft = 0. A0.226)
Теперь, полагая
S»=-c(l + 2x!cy<2T»; A= -(I + 2Х/С8I''2 Т\ A0.227)
и имея в виду, что в стационарном случае )Ау не зависит от времени, A0.226)
можно представить в форме
div S + dhldt = 0,
где &[vS = {\lf^)d{YyS*)ldx» A0.228)
— трехмерная дивергенция пространственного вектора S.
Уравнение A0.228) выражает закон сохранения энергии, если h и S ин-
терпретировать как плотность энергии и плотность тока соответственно. В ло-
кально инерциальной системе уравнения A0.227) эквивалентны уравнениям
F.2) и F.3). Как мы сейчас увидим, (каноническая) плотность импульса
(+Xyn. A0.229)
С помощью сформулированного на стр. 227 принципа эквивалентности обще-
ковариантное выражение для тензора энергии в S можно получить из соответ-
ствующего частно релятивистского выражения, справедливого в S, простым
преобразованием координат. Таким образом, для чисто механической системы
из F.79)—F.81) и F. ПО), F.111) имеем:
7? = e? + S? = fiof/i[/* + #о) h\c) h{a]lk:. A0.230)
Здесь V'1 (x) есть 4-скорость материи, a ц° (x), h° (х), связанные соотношением
{ A0.231)
— инвариантные плотности массы и энергии соответственно, измеренные в ло-
кально инерциальной системе покоя $°. Кроме того, pf0) (x) — собственные зна-
чения относительного тензора напряжений t0^ в S0, рассматриваемые как ска-
лярные функции координат (,v') в S. /г'0) — соответствующие собственные век-
торы, которые вместе с иг1с образуют тетрадное поле со свойствами (9.81), (9.84),
(9.86) [см. уравнения (а), (б), (г) на стр. 138].
Для идеальной жидкости из F.130) имеем
Т1={у.° + р/с*)игиь+°рд1 A0.232)
что можно получить также из A0.230), когда все три собственных значения
/)fO) равны нормальному давлению р (х), измеренному в локально инерциаль-
ной системе. Подставляя A0.232) в A0.223), получаем фундаментальные урав-
нения движения идеальной жидкости, например, в форме общей ковариантной
записи частно релятивистских уравнений F.135), F.130):
[lio + p/c2)DUi/dx=—dpldxi—(Ui/c2)dp/dx, |
где Dlth — абсолютная производная (9.186).
Полагая в A0.232), A0.233) р = 0, получаем тензор энергии и уравнения
движения некогерентной материи
T* = ti = p?UiUk; A0.234)
A0.235)
A0.236)
293
Эти уравнения представляют собой обобщение уравнений D.234), D.215)
и D.219), когда единственными силами, действующими на материю, являются
гравитационные силы. Уравнение A0.235) показывает, что собственная масса
в этом случае сохраняется, а из сравнения A0.236) с (9.136) видно, что каждая
«пылинка» некогерентной материи движется как свободно падающая час-
тица.
Рассмотрим теперь очень малое количество материи объемом 6V0 =
= dx01dx02dx0S в локально инерциальной системе 5°. Поскольку время в 5°
есть собственное время т, учитывая инвариантность четырехмерного объемного
элемента (9.63), имеем: с (—gI ^dx4x2dx4t ~ cdx01 dx0idx03dx. Тогда, ис-
пользуя A0.225) и A0.62), для объема материальной частицы в 5, получаем
или
I/2( A0.237)
где Г — координатный множитель Лоренца A0.65) (см. также упражнение 2
на стр. 297).
Выражение A0.237) представляет собой обобщение формулы B.34) для
лоренцева сокращения при наличии гравитационного поля. При ик = 0 имеем
6У = 61/0, A0.238)
т. е. объем малой частицы среды, покоящейся в S, равен ее объему, измеренному
в S0, в соответствии со свойствами (идеальной) стандартной измерительной
.линейки, сформулированными на стр. 182.
Величина, аналогичная^ в F.21), согласно A0.227) и A0.229) определяет-
ся следующим образом:
A0.239)
В случае некогерентной материи
g, = ц° U-t U4- A +2)С/с2I/2/с = }1°Г A +2)с/с2)!/2 Ut. A0.240)
Умножая A0.240) на объем 8V, получаем величину
8Gi = gi8V=(g,l6V, -hWlc), A0.241)
которая в соответствии с A0.237) равна 4-вектору
V A0.242)
Здесь бог0 = [г°б^° — постоянная и инвариантная собственная масса, а бРг- —
4-импульс частицы. В § 10.4 мы видели, что пространственные ковариантные
компоненты 4-импульса равны компонентам канонического импульса. Поэтому
?и в A0.229) представляет собой плотность канонического импульса. Анало-
гично можно утверждать, что h есть плотность гамильтониана или плотность
энергии материи с учетом и ее взаимодействия с гравитационным полем. По-
скольку 6т0 в данном случае постоянна, при Fj = O A0.236) эквивалентно
A0.3). Следовательно, все рассуждения § 10.1—10.4, в которых использовалось
A0.3), можно применить к каждой инфинитезимальной части некогерентной
материи.
В случае упругой среды 4-импульс малой части равен
bVlc. A0.243)
Эта величина, аналогичная F.69), конечно, не 4-вектор. Однако вклад в вели-
чину gh обусловленный лишь тензором 6?, определяется выражением
6Р; = 9* A + We1I'2 8V/c = !>6f° Ut - &m0 Ut A0.244)
294
типа A0.242), являющимся 4-вектором. 6Pt есть «инклюзивный» 4-импульс,
удовлетворяющий уравнениям (а), (б) на стр. 136, записанным в общекова-
риантной форме
я (Ю.245)
Эти уравнения, являющиеся простым следствием уравнений A0.223) с Tfi
определяемым формулой A0.230), имеют форму уравнений A0.119). Отсюда сле-
дует, что малая часть материи движется подобно частице, на которую кроме
гравитационной силы действует обобщенная сила типа D.68). Наконец, для
материи с внутренней теплопроводностью из G.117), G.118), G.119), G.127)
получим
A0.246)
где М\ определяется формулой A0.230), а
. A0.247)
Здесь Qi — 4-вектор, который в локально инерциальной системе покоя 5°
имеет форму G.115), т. е.
<$? = (Q°,0), A0.248)
о о
где Q0 — вектор потока тепла в S0.
Формулировка основ частно релятивистской термодинамики, данная в
§7.10, 7.11, может быть непосредственно перенесена в ОТО. Первый закон
термодинамики содержится в уравнениях A0.223), где Т\ определяется по
формуле A0.246). Из рассуждений § 7.10 следует, что 4-импульс тепла, подве-
денного к ннфинитезимальной части материи в течение инфинитезимального
процесса, происходящего в области SQ 4-пространства в окрестности точечного
события Р: (#')> есть 4-вектор:
bQi = №», -6Q/c). A0.249)
Что касается энергии и импульса, то подвод тепла создает такой же эффект,
как и добавление к системе новой частицы с собственной массой бф°/с2, канони-
ческим импульсом 6Qn и (гамильтоновой) энергией 6Q = —c6Q4.
Пусть Т° (х), и
&>(x)=l/f*(x) A0.250)
— собственная температура и холод, рассматриваемые как скалярные функции
от (хс). Т°— абсолютная температура Кельвина, измеренная в локально инер-
циальной системе покоя Ь°. По аналогии с G.133) введем 4-векторное поле холо-
да
е'(х) = е°(А (Ю.251)
Тогда если 6S — (инвариантная) энтропия частицы в точке (х{), то второй за-
кон G.186) для инфинитезимального процесса выражается соотношением
A0.252)
где знак равенства применим лишь для обратимых процессов.
При изучении материальных систем часто удобно вводить сопутствующую
систему отсчета R, в которой каждая материальная точка сплошной среды ото-
ждествляется с точкой отсчета системы R. Пусть 5: (л:') — внутренняя система
координат в R (все такие системы связаны калибровочными преобразованиями).
295
Тогда 4-скорость Ul материи в каждой точке (л;') касается мировой линии точ-
ки отсчета. Следовательно,
A0.253)
[см. (9.286), (9.238)], а вектор холода имеет компоненты
(Ю.254)
В сопутствующей системе второй закон A0.252) принимает простой виде? (SS) ^
> 00c6Q4/(—g-44)'4 или в соответствии с A0.249), A0.250)
d FS)> bQ/i°(\ 4- 2Х/С2I/2. A0.255)
Если конечная термодинамическая система не подвергается возмущениям, то она рано
или поздно придет в состояние теплового равновесия. В течение этого процесса
энтропия системы все время увеличивается, пока не достигнет максимального значения
в конечном равновесном состоянии, В соответствии с нерелятивистской термодинамикой
это состояние характеризуется одинаковой температурой во всех точках системы. Одна-
ко, как впервые показал Толман B60, 186], в ОТО это не так; т. е. собственная темпера-
тура в каждой точке среды зависит от гравитационного потенциала % в этой точке.
По определению, тепловое равновесное состояние среды означает, что можно
ввести сопутствующую систему, в которой все физические величины, в том числе и g^,
не зависят от временной переменной. Теперь рассмотрим виртуальный процесс, в котором
от точки А к другой точке В подводится ннфинитезимальное количество тепла | 6Q j. Пусть
(Та, %а) и (Тв, '/В) — собственная температура и гравитационный потенциал
в точках А и В соответственно. Поскольку гравитационное поле стационарно, из.закона
сохранения энергии следует, что
-6<^. A0-256)
[Строго говоря, перенос тепловой энергии изменяет распределение масс, что в соответст-
вии с общими уравнениями поля (см. § 11.1) изменяет метрическое поле. Однако, посколь-
ку 6Q—бесконечно мало, этот эффект приведет к изменению в A0.256) лишь на величину
второго порядка малости.] Кроме того, поскольку энтропия — аддитивная величина,
из A0.255) получим следующее выражение для изменения полной энтропии системы в те-
чение этого процесса:
dS = d(8SA)+dESB) >\SQlll/fOB(l+2lB/cZy2-l!f°A(l+2KA/c'f\. A0.257)
В результате, если
Т°А A +2хл/с2)'/г > Т°в B+2'?в;с*)К, A0.258)
увеличение энтропии положительно. Это означает, что энтропия еще не достигла своего
максимума. Тогда виртуальный процесс будет реальным процессом. Подвод тепла от точ-
ки А в точку В будет происходить до тех пор, пока обе величины в A0.258) не станут рав-
ными. Поэтому необходимым условием термического равновесия является то, чтобы ве-
личина
'/2 A0.259)
была одинаковой зо всех точках среды. Это и есть теорема Толмана.
Упражнение 1
В произвольной системе температурный вектор Арзелье [уравнение (е) на стр. 172]
равен
Т1 = Таи1. A0.260)
Показать, что:
1) величина
T = -Tilc=gikTk/c (I0.26I)
в сопутствующей системе совпадает с величиной A0.259);
2) Т является оищерелятивистской аналогией температуры Отта [уравнение (г)
на стр. 171];
3) второй закон A0.252) для обратимых процессов принимает классическую форму
й FS) = SQoQp/T [заметим, что в соответствии с уравнением (а) на стр. 171 5Q°6p про-
порционально Ui\. Таким образом, в любой системе координат S наиболее естественно
29С
в качестве температуры определить величину A0.261). Однако зто не является необхо-
димостью, а в оОщем случае даже пе совсем удобно. Более простое и более полное описа-
ние термического состояния в 5,дает вектор холода (см. § 7,12).
Упражнение 2
Показать методом, аналогичным использованному на стр. 91, что (псевдо) инва-
риантность величины
— d 2,- Ul/с = etUm dx! bxk Ах1 U'nJc = — d 2 °. t/0l'/c 110.262)
при
0 -10.263)
приводится к формуле преобразования A0.237) для объема
&? = Тг е^Ж^блг* Ахх A0.264)
инфинитезимального параллелепипедп, движущегося со скоростью г/. Показать, исполь-
зуя (9.360), (9.361), что для (псевдо) тензора eikim (9.48) стандартный сопряженный тен-
зор еШт равен:
eikim = УА Sifefm• (.10.265)
Поэтому
— dSjt/Vc= -d!,iVilc='emmdxiTxk~AxrUm!c = — dZ° Uoi, A0.266)
где Dm, dx' и т. д.—определяются формулами A0.36) и (9.330). Полагая в A0.266)
^ = бж4 = Дж4 = 0, A0.267)
получаем
W=8V°ir, A0.268)
где
й & v x A0.269)
a f — стандартный множитель Лоренца A0.35). В соответствии с A0.263) 6V в A0.264)
представляет собой объем мгновенно зафиксированного (в смысле координатной одно-
временности) движущегося параллелепипеда. Аналогично 8V — объем мгновенно зафик-
сированного (в смысле стандартной одновременности) (см. стр. 271) движущегося тела,
Заметим, что в S0 стандартная одновременность совпадает с координатной одновремен-
ностью. Очевидно, что в соответствии с A0.237), A0.268) и A0.66)
6У = б?Г Т (I -г 2-//С2)Vi = 8V (с* — уи)/с*. A0.270)
Показать, что импульс бР и кинетическая энергия б? ияфинатезимальной частицы
определяются формулой
бРг=FРA) —6?/с) = 0/ 6F/C, A0.271)
где "б* — сопряженный стандартный тензор, соответствующий тензору кинетической
энергии б* =yPUiUk.
Упражнение 3
В сопутствующей системе отсчета 4-скорость материи определяется выражением
A0.253). Показать, что в такой системе:
где cLv — тензор растяжения A0.47);
2) DUddx^-a^ О), (б)
где а„ — стандартное ускорение покоя A0.25), A0.26);
297
3) для жидкости с учетом A0.233)
(fI°+p»a(i=a(i°P; (в)
(г)
§ 10.9. Уравнения электромагнитного поля
Для простоты ограничимся рассмотрением электродинамики в вакууме,
так как обобщение макроскопической теории для случая материальной среды
производится по тому же принципу. С помощью общековариантных выраже-
ний (9.200), (9.201) для дивергенции и ротора антисимметрического тензора
уравнения Максвелла E.9), E.13), E.16) в произвольной системе координат S
можно записать следующим образом:
dFik/dxl + dFkl/dx' + dFltldxk = 0; A0.272а)
^^ *': (Ю.2726)
s' = p°?/'/c. A0.273)
Здесь Fi!i = —Fki — тензор электромагнитного поля; s1' — плотность 4-тока;
р° — плотность заряда, измеренная в локальной инерциальной системе; U1 —
•— 4-скорость электрического заряда. В любой локально инерциальной системе
^> уравнения A0.272) сводятся к уравнениям E.13), E.16) или E.1), Учитывая
антисимметричность тензора Fik, из A0.2726) получаем выражение
div{s;}= ' JL{y\a\ яЦ——±——Ji_ [Y|g| Fik) = 0, A0.274)
которое представляет собой общую форму уравнения неразрывности для элект-
рического заряда.
Теперь рассмотрим систему, которая при t = xilc целиком находится внут-
ри конечного трехмерного объема V. Умножая A0.274) на Y\§\ H интегрируя
по пространственным переменным х1, х2, хя, находим, что
А П .
"• I 1/!о| с4 И у1 fit* Wy3 — О /1П О7С,1
Таким образом, величина
е= 5(l + 2x/c2)'/2s4 Yydx1dx2dx3= ^A +2х/с2) sidV A0.276)
v
не изменяется со временем и должна интерпретироваться как полный электри-
ческий заряд системы. Следовательно,
A0.277)
есть плотность заряда в системе 5. Теперь рассмотрим заряд p6V элементарного
объема 6V; если 8V0 — соответствующий объем в локальной системе покоя, то из
A0.277) и A0.273) получим
A0*278)
т. е. электрический заряд малой частицы не зависит от системы координат.
Инвариантность полного заряда следует также непосредственно из урав-
нения неразрывности A0.274). Рассмотрим две произвольные системы коорди-
нат 5 и 5' и интегралы
е= \ Yg s* dxl dx2 dxs; A0.279)
x'~a
e'= J YUTls'^x^dx^dx'3 A0.280)
x'* — b
298
по двум областям пространства при xi = const = а и х'* = const = Ъ соот-
ветственно. Учитывая, что эти интегралы не зависят от времени, не изменяя
значений е и е', b можно выбрать так, чтобы области хп — b и я4 = а не пере-
секались внутри трубки в 4-пространстве, где плотность заряда отлична от
нуля. Тогда можно ввести третью систему координат 5", совпадающую с S
внутри области xi = а и с S' внутри области х'4 = Ь. Поскольку уравнение
A0.275) выполняется и в системе S",
\ YW\ s"* dx'ri dx dx = 5 VW\ s dx dx dx"\ A0.281)
Учитывая, что х"'1 = xl на гиперповерхности „t4 = о, и х"'1 = x'1 в области
x'* = Ь соответственно, из A0.281) получаем
е = е', A0.282)
т. е. инвариантность полного заряда доказана.
Из A0.273), A0.277) и A0.64) имеем
s' = [piPJc Y 1+2х/с2, р / уг1+2х/с2), A0.283)
так что уравнение непрерывности A0.274) можно записать в виде
_1_ J_ 1у^) +#
или
dt
A0.284)
Когда пространственная метрика не зависит от времени, A0.284) представляет
собой трехмерную форму уравнения неразрывности. В жесткой системе отсчета,
где дуШ = 0, из A0.284) получим div pu + dpldt = 0.
Для полного выяснения физического смысла компонент тензора Fik урав-
нения Максвелла A0.272) представим в трехмерной векторной форме. Как и в
случае уравнения движения частицы, уравнения Максвелла можно записать
в двух эквивалентных формах — стандартной и координатной. В данном слу-
чае координатная форма дает самое простое описание, а для дальнейшего упро-
щения предположим, что наша система координат времени ортогональна, т. е.
Yn = ?»« = 0; Ynv^g^; —g«=l+2x/c8, A0.285)
чего, как показано в § 9.15, всегда можно достичь соответствующим выбором
пространственно-временных координат.
Теперь введем два антисимметрических пространственных тензора
и S^v и два вектора D& и Е^:
A0.286)
Эти величины связаны соотношениями
^ • A0.287>
Тогда, используя A0.285) и A0.286), из (9.38) и соответствующих соотношений
для пространственных тензоров получаем
A0.288>
299
В этих обозначениях уравнения A0.272) можно записать в трехмерной тен-
зорной форме:
rot^ {ад = 0; rot^v Е = — A !с) dB^/dt;
где
roti(.v;i. {В^} = дВ^/дх*- + dBvx/дх» -f- dBiJdxv;
rotjiv E = dEvfdx^—дЕ^/дх^';
A0.290)
— трехмерные ковариантные дифференциальные операторы. Определяя в соот-
ветствии с (9.74') аксиальные векторы В, Н, дуальные к антисимметрическим
тензорам В^, №п', получаем
*={1/Уу)В31; B* = (\l\Sy)Bn; J
Учитывая (9.74") и (9.205), уравнения Максвелла A0.289), A0.283) представ-
ляем в обычной форме:
divB-0; ^
где rot E и rot H — векторы, дуальные тензорам rot^v E и rot^v H соответст-
венно. В жесткой системе отсчета, где у не зависит от времени, векторные урав-
нения A0.292) совпадают с феноменологическими уравнениями Максвелла в ма-
териальной среде, а поскольку соотношения A0.287) можно представить в виде
D = eE; В = цН; A0.293)
A0.294)
то мы видим, что гравитационное поле помимо воздействия на пространствен-
ную геометрию дополнительно создает тот же эффект, что и покоящаяся сплош-
ная среда с диэлектрической и магнитной постоянными A0.294).
§ 10.10. Электромагнитные силы и тензор анергии
Электромагнитная 4-сила, действующая на частицу с зарядом е, в соот-
ветствии с E.85) равна
Ft = (e/c)FthUb. A0.295)
Компоненты этого вектора с учетом A0.64) и A0.288) можно записать в виде
Ft = (e/c)(FVLVUv-\-FVLiU*, FiV U*) = eT (E^ + B^uVc —EvuVc). A0.296)
Для рассматриваемого здесь случая, когда у — 0. канонический импульс Р^
A0.92) равен импульсу Р^ в A0.68). Кроме того, из A0.101) видно, что канони-
ческая сила ^ равна координатной силе ;^. Поэтому в соответствии с A0.99)
н A0.100) имеем Ff = Г E^, —^^/с). Сравнение этого выражения с A0.296)
показывает, что электромагнитная сила, действующая на движущуюся заря-
женную частицу, равна
% = e(EiX + BiiVu\!c). A0.297)
Эту формулу с помощью A0.291) можно записать в виде
5-е(Е + ихВ/с), A0.298)
где иХ'В — векторное произведение (9.74").
300
.Лировая линия частицы описывается уравнениями A0.3), которые в дан-
ном случае эквивалентны уравнениям движения A0.80), A0.103), где сила $
определяется в A0.298) и
Когда внешнее гравитационное поле статическое, то уравнение A0.103) упро-
щается:
dH/dt =Ъи = еЕи. A0.299)
В случае непрерывного распределения заряженной материи сила, дейст-
вующая на элемент dV, определяется формулой A0.298), где е — pdV. Поэтому
плотность силы f должна быть равной
f = p(E + uxB/c). A0.300)
Это выражение формально совпадает с выражением для силы G.74), опре-
деленной из тензора энергии Минковского для материальной заряженной среды
в отсутствие тока проводимости.
Соответствующая 4-сила E.93) равна
fi = FtkSk, A0.301)
что с учетом A0.283), A0.288), A0.295) приводит к выражению
_t_
fi = {f/(l+2xfc*)'2 , — (fu)/c*}, A0.302)
которое можно представить в следующем, аналогичном D.218) виде:
fi = {f. — (f«)/c>, A0.303)
где fj = V—gfi', f = y4zf — векторные плотности.
Поскольку в локально инерциальной системе справедливы уравнения
E.105), E.106), в произвольной системе 5 имеем
где
Si = Si = S^ = FuF"l-6UU^(FlmFlm) A0.305)
— электромагнитный тензор энергии. Формула A0.304) является следствием
уравнений поля A0.272) и соотношения A0.301).
Подставляя A0.286), A0.288) и A0.291) в A0.305), получаем выражения
для различных компонент тензора 5г-:
A0.306)
+2Х/са; S* = — (ЕР + НВ)/2/1 +2хса; A0.307)
A0.308)
где ЕхН и DXB — векторные произведения (9.74").
Из A0.227), A0.229) и A0.307) получим следующие выражения для элект-
ромагнитной плотности потока энергии, плотности энергии и плотности импуль-
са:
S = e(ExH); /i = (DE + HB)/2; A0.309)
g=(DxB)/f. A0.310)
301
Эти выражения полностью согласуются с формулами G.70), G.71), G.72),
следующими из формулы для тензора энергии Минковского G.68) материальной
среды.
В случае статического гравитационного поля его влияние на электромаг-
нитное поле эквивалентно влиянию покоящейся среды с е и \i, определяемыми
в A0.294).
Вводя обычным способом скорость распространения электромагнитной,
энергии и*, из A0.309) получим
«•«» = S'l/A = 2c(ExH)(l/(ED + HB). A0.311)
Отсюда скорость электромагнитной волны и* равна
c*, A0.312)
в соответствии с A0.154) п выражением (8.72) для скорости светового сигнала,
когда у = 0.
В глобальном масштабе пространственная геометрия неевклидова, но
в достаточно малой области пространства (но все еще большой по сравнению
с длиной волны) величины 1>цл» и п = A + 2%1с~)~1^ могут считаться постоян-
ными. Поэтому в этой области можно ввести декартову систему координат.
Тогда внутри этой области формулы G.90) будут являться решением уравнений
поля A0.292) и будут справедливы выражения G.93), G.95) и G.96) для S, h,
и и*
,*
Упражнение
Показать, что уравнения поля A0.292) выполняются и вне времени-ортогональнсш
системе координат и что соотношения между (D, В) и (Е, Н) в этом случае будут опреде-
ляться вместо A0.293) и A0.294) следующими выражениями:
В= [Н-(Е
Глава
11
ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ ГРАВИТАЦИИ
В ОБЩБЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
§ 11.1. Уравнения гравитационного доля и законы механики
В предыдущих разделах мы рассмотрели влияние заданного гравитацион-
ного поля на физические явления. Теперь обратимся к более важной проблеме
в гравитационной теории, а именно к нахождению общих уравнений, определяю-
щих переменные гравитационного поля (у^, уц, %) или^ь, создаваемые данным
распределением масс. После ряда попыток эта проблема была окончательно ре-
шена Эйнштейном в 1915 г. [72, 73]. В теории гравитации Ньютона соответст-
вующая задача формулируется в виде уравнения Пуассона
A1.1)
где
/г = 6,664-10-ит3 кг-1 сек~2 (П.2)
есть гравитационная постоянная. Это уравнение дает возможность определить
гравитационный потенциал %, когда плотность массы ^°дана как функция про-
странственных координат.
Учитывая эквивалентность массы и энергии, мы должны предположить, что
любое распределение энергии (например, электромагнитное поле) должно по-
рождать гравитационное поле. Плотность энергии произвольной физической
системы определяется компонентой Ты тензора энергии Tik системы, в то
время как потенциал % = с3 (—1—g^S/2 связан с компонентой gM метричес-
кого тензора. Таким образом, уравнение A1.1) отражает тот факт, что некото-
рый дифференциальный оператор второго порядка, действующий на g4i, дол-
жен быть пропорционален компоненте Ти. Поскольку уравнения грави-
тационного поля должны быть ковариантны, а различные компоненты Tik
перемешиваются координатными преобразованиями, естественно предположить,
что общие полевые уравнения должны иметь вид
Mlh=-xTik, A1.3)
где к — универсальная постоянная, a Mih — тензор второго ранга, зависящий
только от метрического тензора gih и его первых и вторых производных.
Уравнение A1.3) в случае слабого поля должно переходить в уравнение
Пуассона A1.1), поэтому тензор Mih должен быть линейным по вторым про-
изводным gih, а в этом случае единственное возможное выражение для
Mih имеет вид
MtbBsRin + bRgib + Ctgib, A1.4)
где сх и с2 —- константы, a R^ и R — свернутые формы тензора кривизны Ри-
мана—Кристоффеля, определенные выражениями (9.239) и (9.242).
Вследствие симметрии тензоров в A1.3) и A1.4) система A1.3) заключает
в себе десять нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка. Рас-
смотрим сначала частный случай пустого пространства, когда Tik = О, а A1.3)
сводится к
Mik = 0. A1.5)
Простой анализ показывает, что эти десять уравнений не могут быть неза-
висимы [13]. Если бы они были независимы, то в выбранной системе координат
303
(х1) можно было бы определить однозначно функции gih (х1) на всем 4-про-
странстве, если gih и dgih/dxl даны на гиперповерхности
х4 = const = а. (И.6)
Введем новую координатную систему х'1 преобразованием
х'1 = х"(х); xi = xt(xr)\ A1.7)
тогда преобразованные функции
gik = (дхЧдх'') ¦ (дх"/дх'Ь) glm A1.8)
должны удовлетворять уравнениям
М;к = 0, A1.9)
причем, учитывая ковариантность уравнений A1.5), M\k должен так же выра-
жаться через gift, dg[kldx'1, d2g'ik/dx'ldx'm, как Mik выражается через gik,
dgihldx1, d2gih/dxldxm. Следовательно, используя прежние рассуждения, видим,
что уравнения A1.9) позволяют определить однозначно функции g'ik (x1) по
значениям g'ih, dglkldx1' на гиперповерхности х* = х* (хг) = а; и если мы
выберем преобразование A1.7) таким, что х'1 = х' вблизи гиперповерхности
х* — а, но произвольно в остальном, то получим, что на этой гиперповерхности
x'1 = dgihldxl.
Следовательно, gik (xn) должны быть такими же функциями переменных
(х'1), что si gm (х1) от (х1). Однако это противоречит A1.8), откуда видно, что
зависимость g\k от (х'1) в точках, достаточно удаленных от поверхности х4 = а,
будет, вообще говоря, отличаться по виду от зависимости между gih и (х1).
Следовательно, если уравнения поля ковариантны, мы должны принять»
что величины Mih в левой части уравнений A1.5) и A1.3) связаны четырьмя
тождествами. Это значит, что решения gik уравнений поля A1.5) содержат
четыре произвольные функции, соответствующие четырем произвольным функ-
циям в преобразованиях A1.7). Это вносит произвол только в наше описание
пространства — времени, но не в физическую систему, порождающую грави-
тационное поле. В самом деле, как ясно из § 9.15, всегда возможно надлежащим
выбором пространственно-временных координат обратить четыре функции
gu в (—Ьц) во всем пространстве — времени. Шесть независимых уравнений,
остающихся после введения четырех тождеств относительно Mih, оказываются
достаточными для определения остальных шести компонент метрического тен-
зора gih.
Как мы видели в § 10.8, теоремы сохранения энергии и импульса замкну-
той материальной системы в произвольной системе координат имеют вид
T?;/k = div,{T*}=0. A1.10)
Таким образом, если мы примем, что четыре тождества, включающие ком-
поненты тензора Miht должны иметь вид
M?;ft = 0, A1.11)
то теорема сохранения для материальных систем окажется следствием уравне-
ний A1.3) точно так же, как сохранение электрического заряда A0.274) следо-
вало из уравнений Максвелла A0.272 б).
Примем поэтому, что дифференциальные операторы Mih в левой части
уравнений поля удовлетворяют четырем тождествам A1.11). В соответствшв
с (9.192) и (9.240) из A1.4) получим
Положив это выражение тождественно равным нулю, имеем
сх = —1/2.
304
Тогда, считая сг — —X, где X — универсальная постоянная, приходим
к уравнению
Mik = Rik-(\/2)Rgik-Xgih. A1.4')
Уравнения поля A1.3) должны, следовательно, принять вид
Mlk~Rtk-RglhI2-kgtk=-vTik. A1.12)
Это уравнение можно записать в смешанных компонентах:
M?=s??-tffi?/2 —Ь6?=—хТ?. A1.13)
Свертывая A1.13) и замечая, что RJ = R, 6* = 4, получаем
#-!-4А = к7\ A1.14)
где
Т^Т\ A1.15)
есть инвариант, полученный свертыванием тензора энергии—импульса Tih.
Исключая с помощью A1.14) R, уравнения поля A1.12) запишем в новой
форме:
Rih + igib=-*(Tih-Tgtk/2). A1.16)
Дивергенция тензора в левой части уравнения A1.13) тождественно рав-
на нулю, поэтому законы сохранения A0.223) оказываются следствиями
уравнений гравитационного поля. Это замечательная особенность теории
Эйнштейна. Как было показано в § 10.8, законы сохранения A0.223) со-
держат в себе и уравнения движения материи. В простейшем случае некогерент-
ной материи тензор Т\ определяется A0.234), а уравнения A0.223) переходят
в A0.235) и A0.236). Эти последние уравнения являются уравнениями движе-
ния свободно падающих частиц, выведенными с помощью принципа эквивалент-
ности. Однако теперь мы видим, что эти уравнения являются следствием урав-
нений гравитационного поля, откуда следует, что эйнштейновские полевые
уравнения совместимы с принципом эквивалентности.
Аналогично для упругих тел, Т\ которых определяется в A0.230), законы
сохранения A0.223) приводят к уравнениям движения A0.245) для произвольно
малой части вещества, для которой, помимо гравитационной силы, следует
учитывать еще упругую 4-силу ?>Ff. Уравнения движения для упругих тел
оказываются следствием уравнений гравитационного поля. Можно ожидать, что
это будет справедливо и при наличии других сил. Как было подчеркнуто в на-
чале §6.1, конечная скорость распространения любых взаимодействий приво-
дит к необходимости рассмотрения промежуточного поля для описания взаи-
модействия двух разделенных тел. Возникающая при этом соответствующая
4-сила должна быть равна дивергенции тензора энергии — импульса промежу-
точного поля. С другой стороны, этот тензор вносит вклад в полный тензор
Т*, стоящий в правой части уравнения гравитационного поля. Например, в слу-
чае электромагнитных сил, действующих на заряженное упругое тело, тензор
Г* должен быть суммой выражений A0.230) и A0.305). Тогда закон сохранения
A0.223), вытекающий из A1.13), снова приведет к уравнению движения для
малой части тела в форме выражения A0.245). Однако теперь, как видим,
в правой части уравнения должна стоять сумма упругой силы fi6V° и электро-
магнитной силы fibV0 из A0.304).
В теории гравитации Ньютона законы движения источников гравитацион-
ного поля не зависят от уравнений, определяющих само поле. Фактически дви-
жение источников произвольно в этой теории. Но в общей теории относитель-
ности уравнения гравитационного поля определяют как само поле, так и дви-
жение источников этого поля, если даны, конечно, начальные условия. Это
305
зойство гравитационных уравнений, связывающих неразделимо законы меха-
ники и законы гравитации, является самой замечательной особенностью теории
Эйнштейна, которая, в силу ее внутренней непротиворечивости и убедитель-
ности, вызывает высокую степень уверенности в справедливости физических
следствий, вытекающих из формализма теории.
Вместе с уравнениями состояния материи десять уравнений A1.12) доста-
точны для определения всех неизвестных (при заданном начальном состоянии).
В простейшем случае идеальной жидкости Tik дается выражением A0.232),
тогда уравнения решаются относительно неизвестных gik, Ul, [i° и р. Уравне-
ние состояния связывает |л°ир (см. § 6.6) так, что на самом деле только одна из
этих переменных оказывается неизвестной. Далее, поскольку все V1 являются
функциями компонент скорости и, лишь три компоненты из U'1 независимы.
Наконец, как было сказано ранее, четыре компоненты gih могут быть заданы
надлежащим выбором системы координат, например, гауссовой системы,
в которой gu =—6;4. В результате общее число независимых неизвестных
величин в десяти уравнениях A1.12) оказывается равным 1+3+6 = 10.
Уравнения поля A1.12) достаточны для полного описания физической
системы (при заданных начальных условиях). Это легко можно видеть на при-
мере сопутствующей системы координат, в которой и = 0. В этом случае правая
часть A1.12) содержит только одну независимую переменную, скажем р. Вы-
бором соответствующей временной координаты, не нарушающим сопутствующий
характер системы отсчета, компоненту gu можно фиксировать произвольно.
Например, можно положить gu = —1 преобразованием типа (8.120). Девять
оставшихся gik совместно с р (или |х°) полностью определяются затем из десяти
уравнений A1.12), если заданы начальные условия.
§ 11.2. Линейное приближение слабого поля
Уравнения поля A1.12) и A1.16) являются нелинейными уравнениями
в частных производных относительно gik. В случае слабых гравитационных
полей уравнения можно аппроксимировать линейными дифференциальными
уравнениями [74]. В этом случае можно ввести такую систему пространствен-
но-временных координат, в которой метрический тензор имеет вид
где i]ik есть постоянный метрический тензор (8.41) или (9.23) в специальной
теории относительности, а /г,ь и их первые и вторые производные являются ма-
лыми величинами первого порядка.
В нулевом приближении, когда все htk исчезают, система координат ло-
ренцева. Произвольное преобразование Лоренца приводит к новой координат-
ной системе типа A1.17). Символы Кристоффеля (9.77), соответствующие A1.17),
являются малыми величинами первого порядка, поэтому в тензоре кривизны
(9.227), (9.242) можем пренебречь членами, содержащими квадраты компонент
символов Кристоффеля. В результате получим
T)rs J(dhsi , ^hr_ _^Л ~^L JL
s j 2 dr { dk dl
2 dxk \ dxr dxl dxs ) 2 dxr \ dxk dxl dxs !
A1.18)
2 dxrdxs 2 \дх'дхк dxrdxk dx* dxrj
где мы положили
hri = ^his- h = hrr = ^hrB. A1.19)
306
Рассмотрим теперь случай статического распределения материи. Это зна-
чит, что среди систем координат типа A1.17) найдется такая, в которой все
hik и компоненты тензора энергии-импульса не зависят от t. Для компоненты
#44 из AЫ8) имеем
#44 = D^12) ¦ дг hjdxv- dxv = — Лх/с2, A1:20)
где х — скалярный гравитационный потенциал, определенный в (8.109), а
Д — декартова форма оператора Лапласа. Если материя покоится, можно
пренебречь малыми добавками упругих напряжений в тензоре энергии — им-
пульса, и в первом приближении получим
Т;к = Чи %m |1° Ul U» = Ьн bhi fl° с2;
A1.21)
-1/2^ Г ^jlV/2.
Для i = k = 4 из A1.16) находим
Ь%-Ул*§ы = ух*ро12. A1.22)
Поскольку уравнение Пуассона является хорошей аппроксимацией в слу-
чае статических и квазистатических гравитационных полей в пределах Сол-
нечной системы, мы можем заключить, что постоянная к мала, так что в A1.22)
член с к должен исчезать при исследовании всех гравитационных явлений в пре-
делах нашей планетной системы. Член с А, имеет значение лишь при исследо-
вании космологических проблем, во всех же остальных случаях его можно по-
лагать равным нулю. Тогда уравнения поля A1.12) принимают вид ;
Rik-gtb№ = -*Tik. A1.23)
Из уравнений A1.22) и A1.1) видно, что константа v, должна быть связана
с гравитационной постоянной k соотношением
2е/п, кг-К A1.24)
Возвращаясь к случаю произвольного слабого поля, прежде всего заме-
чаем, что система координат, соответствующая A1.17) с малыми /гг^, все еще
имеет большую степень произвола. Кроме преобразований Лоренца возможны
еще преобразования
A1.25)
где !' (х1) — функции первого порядка малости. Эти преобразования приводят
к новому метрическому тензору, но сохраняющему вид A1.17). Поскольку
левая часть A1.23) составлена из величин первого порядка малости, то же долж-
но быть справедливо и для правой части, а это значит, что в приближении сла-
бого поля величины Rih и Tih можно рассматривать как инварианты относи-
тельно преобразований A1.25). Следовательно, компоненты Tih можно при-
равнять соответствующим компонентам fih в лоренцевой метрике y]ik [в
A1.21) мы это фактически и сделали].
Выражение A1.18) для Rih можно переписать в форме
Rih- D /zib/2 —0/2) [д.{ду!к!дх1Iд*]-{\12)[д.{д%\1дх1)!дхк], A1.26)
где
Х?=Л?-б?А/2; bk-hik-t]ihhf2; h = h\. A1.27)
Величины %ik, %ki преобразуются как компоненты тензора при линейных
преобразованиях пространственно-временных координат. С другой стороны,
307
зсегда возможно с помощью преобразования типа A1.25) убедиться, что х*
удовлетворяет четырем уравнениям [14]
dx*/dxft = 0, A1.28)
которые в случае слабого поля тождественны условиям де Дондера (9.280).
Тогда для Rih и R имеем
A1.29)
и уравнения поля A1.23) сводим к виду
U%ik = —2itfih, A1.30)
где ? — релятивистский оператор Д'Аламбера (СТО).
Эти уравнения совпадают по форме с уравнениями E.26) для электромагнит-
ных потенциалов, поэтому и решения A1.30), исчезающие на бесконечности,
должны быть аналогичны «запаздывающим» потенциалам E.46)
$ {tik (*Ч t—rlc)lr) dx'idx'*dx'*, A1.31)
где г = |/{ ^ (х»-х'»Г } ¦
Ц= 1, 2, 3
Если теперь мы сможем убедиться, что функции, определенные в A1.31),
удовлетворяют также условиям A1.28), то их можно считать приближенным
решением уравнений поля A1.23). Но такая проверка должна быть совершенно
аналогична проверке справедливости калибровки Лоренца для электромагнит-
ных потенциалов. А эта последняя основана на законе сохранения электриче-
ского заряда [см. E.41)]. В нашем случае справедливость A1.28) следует из за-
кона сохранения энергии и импульса, который в приближении слабого поля
имеет вид
dfkiIdx^ = 0. ¦ A1.32)
Из A1.31) можно найти также явный вид величины h^. Сначала из A1.27)
находим
х{==А/'-2А=—A; Aift = x,fc + T|lfcA/2 = Xifc —4,fcxi/2, (П-33)
а затем с учетом A1.31) получим
', A1.34)
где штрих в t'ik и Т' означает, что эти величины определены в точке [x'v) эле-
мента объема д? х' = ёх'Ых'Ых'3 в запаздывающее время {t — г Id).
Запаздывающие потенциалы A1.31), исчезающие на бесконечности, не единствен-
ные решения уравнений A1.30). Опережающие потенциалы или комбинация тех и других,
например
%ik = (y-'4™§{[fik(x'», t-rlc) + fth(x'^t t + nc)]/r)d>x'f A1.31')
также являются приемлемыми решениями A1.30), по крайней мере с математической
точки зрения. Соответствующие решения (см. § 5.5) обычно в электродинамике отбрасы-
ваются из соображений причинности. В самом деле, хорошо известно, что электромаг-
нитные сигналы распространяются с конечной скоростью с, и в заданной точке пространст-
ва в данный момент времени поле может определяться только тем источником, который
излучил его в момент времени (t — г/с). В случае гравитационного поля не так очевидно,
.что опережающие потенциалы или смешанные потенциалы типа A1.31) должны быть авто-
матически отброшены. В этом отношении положение станет более ясным лишь тогда, ког-
303
да будут экспериментально обнаружены переносящие энергию гравитационные волны,
испускаемые и поглощаемые материальными системами. Во всяком случае, для стацио-
нарных систем гравитационное поле не зависит от того, вычислено ли оно по формуле
A1.31) или по формуле A1.31')-
§ 11.3. Простейшие случаи применения линейных
уравнений слабого поля
Рассмотрим сначала статическое распределение материи, когда плотность
массы \л° = \i° (х, у, г) является заданной функцией пространственных коор-
динат х» = (х, у, г). В этом случае в соответствии с A1.21) и A1.34) имеем
7" Л /ч . мО г%- Т — и О г2'
хс2 f ^(x'tf'z')dx'dy'dz' . /u
A° (x'y'z1) dx'dy'dz' b^l( \ х—х' |) = /г
44
и для гравитационного потенциала, принимая во внимание A1.24), получаем
обычное выражение ньютоновской теории
X = —(с2/2) Л44- — х$ ц° (х') dV'/\ х—х'|. A1.36)
Следовательно, линейный элемент имеет вид
ds" - {h;h + Агй) dx' dx" = A — 2х/са) (rfx2 - ^г/2 + rfza)—
-A+2х/с2)с2^2, A1.37)
где х дано в A1.36).
Пространственная часть линейного элемента
do8 = A — 2х/с2) (dx2 -f oft/2 + d^2) A1.38)
показывает, что геометрия лишь приближается к евклидовой, т. е. координаты
(х у z) здесь не точно совпадают с декартовыми. Никаким преобразованием
пространственных координат их нельзя свести к декартовым точно. Но откло-
нения от евклидовой геометрии в большинстве случаев слишком малы, чтобы
их можно было измерить. На поверхности Земли, например, И%!с2 = 10~9.
Для системы материальных частиц с массами М°, Ml, -.., находящихся
в точках Xlt X2, ... соответственно, из A1.36) имеем
X (х) - -k \МЦ\ x-Xl \ + M°J\ х-Х21 + •••]. A1.39)
Гравитационный потенциал и линейный элемент в случае единичной час-
тицы, как легко видеть, обладают сферической симметрией, а именно:
r){dx2 + dy2 + dr) — A— 2Ш°/с2г)с2Л2; A1.40)
г=\х — \\.
Аналогично можно рассмотреть с помощью решений линеаризованных
уравнений Эйнштейна A1.34) случай стационарного движения материи.
Тирринг и Ленз [2571 подсчитали, например, влияние вращения астрономиче-
ского тела на создаваемое ими гравитационное поле, а следовательно, и на
движение спутников данного тела. Эффекты оказались, однако, слишком малы-
ми 1233], и мы не рассматриваем их здесь.
Но есть один эффект подобного типа, который хотя и мал, однако имеет
большое теоретическое значение, поскольку он проливает свет на природу
и происхождение центробежных и кориолисовых сил, возникающих во вра-
щающихся системах отсчета S. В соответствии с идеей Эйнштейна, лежащей
в основе общей теории относительности (ср. с § 8.1), эти силы являются гравита-
ционными силами, обязанными вращению'удаленных небесных тел относитель-
309
¦ю S, и эти устранимые гравитационные поля должны удовлетворять тем же
общим полевым уравнениям, каким удовлетворяют поля неустранимые. При-
ближенное решение A1.34) для слабых полей не позволяет непосредственно
изучить эффекты от удаленных небесных масс, но можно ожидать, что вращаю-
щийся сферический слой однородно распределенной материи даст тот же эффект
внутри слоя, что и удаленные небесные тела.
Если слой покоится, потенциал %, определяемый выражением A1.36), по-
стоянен внутри слоя и равен х = —kMJR, т. е.
2ф2 = —(ухЩл)(М°т), A1.41)
где М° — полная масса, a R — радиус слоя.
Не считая констант A — 2%/с2) и A + 2%/с2), которые можно устранить
простым изменением масштаба пространственной и временной координат, ли-
нейный элемент A1.37) имеет внутри слоя ту же форму, что и в СТО. Если слой
движется с постоянной скоростью, то надлежащим преобразованием Лоренца
линейный элемент внутри слоя снова можно свести к релятивистскому. Это не-
посредственно вытекает из A1.34), если использовать выражение T-tk для рав-
номерно и прямолинейно движущейся материи. Ясно, что в этом случае уда-
ленные небесные тела не создают в инерциальных системах никаких гравита-
ционных сил.
В случае вращающегося слоя материи, как показал Тиррииг Г255, 2561,
поле внутри слоя 1см. A1.30)] подобно полю во вращающейся системе коорди-
нат, следовательно, создаваемые гравитационные силы подобны силам центро-
бежным и кориолисовым.
Интересно, что зависимость от угловой скорости гравитационной силы,
действующей на пробную частицу внутри слоя, точно такая же, как и во вра-
щающейся системе, но движущейся в противоположном направлении относи-
тельно системы инерциальной. Векторные потенциалы yit, приводящие к силам
типа кориолисовых, даже зависят от координат обычным образом. С другой
стороны, скалярный потенциал имеет такую форму, что приводит, помимо
обычных центробежных сил, к неисчезающей компоненте силы вдоль оси вра-
щения. Чисто радиальный характер центробежной силы означает, что прибли-
женные уравнения A1.30), для единственности решения которых требуется
точная формулировка граничных условий на бесконечности, не в состоянии
адекватно описать динамику мира в целом. Это и не удивительно, поскольку
некоторые из наиболее характерных особенностей точных уравнений A1.12)
теряются в их приближенном варианте; например, существенно нелинейный
характер уравнений исчезает в случае слабого поля. Кроме того, уравнения
A1.12) содержат Л-член, важный в космологических задачах. Указанные об-
стоятельства существенно меняют проблему постановки граничных условий
(см. § 12.6). В любом случае, однако, силы, действующие на пробную частицу
внутри слоя, слишком малы, чтобы быть измеренными. Это и объясняет отри-
цательный результат эксперимента, выполненного Фридлендером в 1896.
Упражнение
Рассмотреть массивное кольцо с массой М и радиусом R, вращающееся по часовой
стрелке в плоскости х, у с постоянной угловой скоростью со. Используя A1.34), вычис-
лить гравитационный потенциал hik в точке (х, у, г) на расстоянии г от центра, где г < R.
Показать, что зависящие от со части векторного и скалярного потенциалов опреде-
ляются формулами
7=(Мис2/4лЯ)(<й/с){--г/, х, 0}; \
w (П.42)
Х = — {M.W2} ШН) (С02/2) (х2+у2—2г2). J
За исключением члена (—2г2) в последнем выражении, зависимость у^ и % от коор-
динат оказывается такой же, как и в системе координат, вращающейся относительно оси г
против часовой стрелки, когда линейный элемент дается формулой (8-91). Это выражение
310
наводит на мысль о связи констант х, с2, массы Вселенной М и среднего расстояния R
до космических тел, выражаемой соотношением
Mw2i4nR ж 1 A1.43)
(ср. с § 12.6).
Наконец, если рассмотреть с помощью A1.30) и A1.34) нестационарное
движение материи, то возникает тесная аналогия с волновыми уравнениями
теории электромагнетизма, из которой, вообще говоря, следует, что произволь-
но флуктуирующая материя генерирует переносящие энергию гравитационные
волны, распространяющиеся со скоростью света [77]. Вопрос о том, насколько
этот строгий результат, полученный, однако, в рамках приближенной линейной
теории, будет справедлив в полной нелинейной теории A1.23), не выяснен и
в последние годы очень широко обсуждается в литературе. Мы вернемся
к нему в § 11.11.
Упражнение
Рассмотреть произвольно флуктуирующую островную материальную систему.
Вычислить функцию Улк (хР, t) на большом расстоянии R ¦= {х^х^){/2 от системы. Для
точки (#) в направлении п^ ~ Xll/R имеем
r = R — n-x'+Oi, A1.44)
где п-х' = rCx v = nvx v, a On есть член, содержащий я-ю степень отношения средних
размеров системы I к расстоянию до нее R. Следовательно,
Xifc(*№. t)={K/2nR)aik(u, n)-fOs, A1.45)
где
A1.46)
u = ct — R.
Вычислим щ^ (и, п) в «волновой зоне» системы, если /?>Я>1 и к~Тik(dTi^ lx'ht и)[ди)~ 1
есть величина порядка «длины волны» излучения.
Используя A1.32), получаем
Л 7*^ / v'V /Л /Я v'V _1_ ЯТ^ tvtyJ ii\ Irlii П /11/17»
откуда следует, что 4-импульс нулевого порядка для системы
не Зс1виеит от времени, т. е. dPildu — 0. Соответствующим преобразованием Лоренца
можно перейти к такой системе, в которой Pt имеет вид
jP? = — m0c6j4; m<>=—Р4/с=Я«/с A1.48)
Пусть
D (и) = A/с*) f Ты (х'? и) x'»dW x'; )
1 * } A1.49)
' J
есть моменты первого и второго порядка нашей системы. Тогда, учитывая A1.47), пока-
жем, что в системе A1.48)
В волновой зоне интеграл A1.46) может быть выражен через п-х'. Показать, что
в первом приближении величины а^ (и) определяются формулами
XVn|X«v/2s J
где точки означают дифференцирование
dt = cd/du.
311
§ 11.4. Эквивалентные системы координат.
Сферическая симметрия
Рассмотрим произвольную систему координат (х1) и метрику gjfe = gik(xl).
Введем новую систему координат преобразованием
хч = х'1{х1), A1.51)
тогда преобразованные компоненты метрического тензора
gk (x/r) = (дхЧдх'Ч • (дхп/дх'Ь) glm (a") A1.52)
уже не будут теми же функциями (х'г), что и gih от переменных (х1), т. е. мет-
рический тензор не является форм-инвариантной функцией координат.
Системы координат (х') и (х'1), в которых метрический тензор является
форм-инвариантной функцией пространственно-временных координат при пре-
образованиях A1.51), можно назвать эквивалентными, поскольку все физиче-
ские процессы будут протекать в них совершенно одинаково. Существование
эквивалентных систем координат налагает определенные условия на гравита-
ционное поле, так как функции gih (х1) должны, очевидно, удовлетворять функ-
циональным уравнениям
gih {x'r №)) = (dx'/dx'f) (дхгЧдх'Ь) glm (.rs). A1.53)
В некоторых случаях gik оказываются инвариантными относительно целой
группы преобразований. Это имеет место, например, для всех устранимых
гравитационных полей. Введем псевдодекартовы координаты X' преобразо-
ваниями
*<=/'(*'). (П.54)
тогда
ds2 = gih dxl dxk = т)№ dXl dXK A1.55)
Далее, выполняя преобразование Лоренца
Xri = AiXk A1.56)
и вводя новые пространственно-временные координаты (хч), преобразованием
X'V)=fi(x'1) A1.57)
с теми же функциями, что и в A1.54), получаем
gih dxl dxk = r\ih dXl dX* = r\ih dXfi dX'k = g'ik dx'* dx'k,
a поскольку r\ih являются постоянными, то gih должны быть теми же функция-
ми от (хп), что и gih от (х1). Преобразование х'1 = х'': (х!), определенное в
A1.54), A1.56) и A1.57), которое может быть названо обобщенным преобразо-
ванием Лоренца, связывает, следовательно, две эквивалентные системы коор-
динат, и компоненты gih метрического тензора устранимого гравитационного
поля оказываются форм-инвариантными относительно группы обобщенных
преобразований Лоренца.
В случае неустранимого гравитационного поля, вообще говоря, невозможно
ввести такие пространственно-временные координаты х1, чтобы gih оказались
форм-инвариантными относительно группы четырехмерных ортогональных
преобразований,11 однако в некоторых частных, но важных случаях гравита-
ционные потенциалы оказываются форм-инвариантными относительно подгруп-
пы пространственных ортогональных преобразований. Такие системы можно
совершенно естественно назвать сферически симметричными. Положив х1 =
— (х, ct) = (x,y,z,ct), получим, чтоgih инвариантны относительно произволь-
ных ортогональных преобразований трех переменных (х, у, г) при постоянном t.
Вообще координаты (х, у, г) не будут декартовы, пространственная геометрия
не будет евклидовой, тем не менее линейный элемент ds2 = gUtdx'dxk может
312
быть в этом случае функцией только от хорошо установленных форм-инвари-
антов группы трехмерных вращений евклидова пространства. Эти инварианты
таковы:
2, dr, |
dx2 + dif + dz* = dr2 + г2 d%2 + r2 sin2 6 dy\ A1.58)
x dx-\- у dy-{-z dz = rdr, dt и t. J
Поскольку линейный элемент есть квадратичная форма в дифференциалах,
то наиболее общее выражение для ds2 в системе со сферической симметрией имеет
вид
ds* = F (r, t) dr2 + G (r, t) (r2 d№ + г2 sin2 9 dq>2) +
+ 2H{r,t)drdt-\-L{r,t)dtt, A1.59)
где F, G, H, L являются функциями только от г и t. ¦
Это выражение может быть далее упрощено при надлежащем выборе коор-
динат. Вводя новую переменную г' преобразованием
г'2 = гЮ (г, t), A1.60)
получаем следующее выражение линейного элемента в новых переменных:
ds2 = M(r', t)dr'2 + г'2(d82 + sin28dcp2) + 2/V(/¦', t)dr'dt + O{r', t)dt2. A1.61)
Величины couv из (8.135) в нашем случае, очевидно, равны нулю. Следова-
тельно, простым преобразованием координатного времени можно обратить
в нуль векторные потенциалы, и, поскольку N (rr, t) не зависит от 8 и ф, этого
можно достигнуть преобразованием вида
Г = f{r\ t), A1.62)
которое не действует на остальные члены в A1.61). Опуская штрихи, запишем
теперь линейный элемент в новой, стандартной форме:
rf.s2 = adr + r2(c?e2 + sin29Ap2) — bc2dt2, A1.63)
где
a = a(r,t); b = b(i%t)=l + 2yjc2 A1.64)
являются функциями /• и / такими, что с учетом (8.52) они остаются положи-
тельными при всех г и t.
§ 11.5. Статические системы со сферической симметрией
Если система статическая и сферически симметричная, то функции а и b
не зависят от /. В этом случае компоненты тензора Mik, определяемые A1.4),
легко вычисляются. Полагая х' = (г, 8, ф, cf), имеем
8u = o(r); g22 = r2; g33 = r2sin2G; ?44=— b. A1.65)
Остальные компоненты равны нулю. Координатная система ортогональна;
неисчезающие компоненты gik следующие:
а символы Кристоффеля (9.77) вычисляются по формуле
Ты = A /2gu) (8ik dgii/dxi + 6„ dgtt!dx* - Ьы dgkkldxl) A1.67)
(по i и k суммирования нет!).
313
Поскольку gik не зависит от ф и х4, то не равны нулю лишь символы
Г'2 = —г/а; Г'я= —rsin29/a; Г'4 = 6'/2а
-5з=— sin 6 cos 6;
A1.68)
(штрихи означают дифференцирование по г).
Используя A1.68) в (9.242), вычислим величины Rih н R— Rlt. И наконец,
тензор Mih, а также М* получаем из A1.4). Непосредственные выкладки пока-
зывают, что все недиагональные элементы этого тензора равны нулю, а четыре
диагональные компоненты М\, М\, М% и М\ являются функциями только от
г. Из трансформационных свойств компонент тензора относительно вращений
следует, что Ml и Ml равны. Однако согласно тождеству A1.11) даже три ве-
личины М}, Ml = М% и М\ не являются независимыми. Как легко видеть,
в случае статической системы со сферической симметрией система уравнений
A1.11) сводится к одному уравнению, с помощью которого компонента М\ =
= М\ может быть выражена через компоненты М], Mi и через dM\fdr. Непо-
средственные вычисления дают
М\ = —b'/abr+(\!r2)(\ — l/a) — l; A1.69а)
— 1/а) — X; A1.696)
)'— a'b'/2ab +
%. A1.69b)
Эти явные выражения для компонент тензора Mt согласуются с тождест-
вами A1.11).
§ 11.6. Внешнее решение Шварцшильда
В пустом пространстве, окружающем материальную частицу с массой М,
Т* = 0, следовательно, уравнения поля A1.13) должны иметь вид
— b'/abr—< 1 /г2) A —¦ 1/Q) —1 = 0; A1.70а)
—А. = 0; A1.706)
'1Ъг—a'far} — A, = 0, A1.70в)
причем последнее уравнение должно быть следствием первых двух. Из A1.70а)
и A1.706) легко получаем
(a b -г ab')/a2br = 0,
{ab)' = 0 A1.71)
или
ab = const. A1.72)
Полагая
у = 1/а, (П.73)
из A1.706) находим после умножения на (—г2)
гу' + у— 1 +Хг2- 0 A1.74)
или
(уг)' = \~%г\ A1.75)
После интегрирования имеем
гу = г - а,гУЗ _ «, A1.76)
(а — постоянная интегрирования) или
у= 1 —afr — Xr2/3. A1.77)
314
Из A1.73) и A1.77) получаем следующее решение уравнения A3.706):
а = A —се/г—Л^/З)-1. A1.78)
Пространственный линейный элемент, который в нашем случае равен
пространственной части A1.63), имеет вид
da2 = dr2(\ — а/г — Т^/З)-1 + г* (d^-}-sin* Q dip2). (I1.79)
Если пренебречь малым Л-членом, то da2 в пределе больших г будет стремить-
ся к обычному линейному элементу евклидова пространства в полярных коорди-
натах. Интересно, что условие сферической симметрии оказывается достаточ-
ным для получения предельного перехода к евклидову пространству без ис-
пользования явных граничных условий на бесконечности. Этот результат, ко-
нечно, отчасти связан с нормировкой A1.60) переменной г, которая уже выбра-
на такой, что геометрия наг = const, такая же, как и на сфере евклидова про-
странства радиусом г. В истинном пространстве A1.79) переменная г уже не
является радиальным расстоянием, так как расстояние между точками (rlt
6, ф) и (г2, 6, ф) теперь определяется по формуле
_ «/г—^/-2/3)-]/2 dr. A1.80)
Наблюдатель, находящийся на большом расстоянии от центрального тела,
будет пытаться построить картину поля в евклидовом пространстве. В этой
картине г играет роль расстояния от центра, а расстояние /, измеряемое стан-
дартными измерительными стержнями, уже не представляет ценности для астро-
номии. Поэтому координаты (г, 9, ф) можно считать обычными полярными коор-
динатами, которые используются в небесной механике. В соответствии с A1.72)
имеем
b = const/a = const .(l_a/r—Л/*/3). A1.81)
Простым изменением масштаба времени можно выбрать константу равной
единице и получить в окончательной форме внешнее решение Шварцшильда
[221]:
ds2 = dr2/( I — а/г—ar2/3) -f r2 (d92 + sin2 6 dif) —
— (I— a/r—M43)c4t\ A1.82)
или, если пренебречь ^-членом, который становится существенным лишь при
очень больших г,
e^2) — (I— a/r)c2dt2. A1.83)
Это выражение справедливо вне сферргческого распределения материи, при-
чем, поскольку при г = г0 имеет место сингулярность, определяемая уравне-
нием
1— a/r0 = 0, A1.84)
сама материя должна быть распределена в области с радиусом, большим по
сравнению с критическим A1.84). Только в этом случае координаты Шварц-
шильда удовлетворяют условиям (8.52). Сингулярность при г = г0 не может
быть полностью устранена выбором других «статических» координат. Линей-
ный элемент можно записать в другой форме, если выбрать, например, «изо-
тропные» координаты г', в, ф, t с помощью преобразования
г = г'A+а/4г')а; г' = — {(г2—агУ'2 + г— а/2}. A1.85)
В этом случае линейный элемент принимает вид
1CC/4>'')V A1.86)
315
Сингулярная точка г0 = а имеет теперь новую координату г' = а/4, и видно,
что в A1.86) сингулярность в пространственной части элемента отсутствует, но
имеет место в gu. Как было показано Серини [225], Эйнштейном [80] и Паули
[82], несингулярных решений уравнений гравитационного поля для пустого
пространства, которые были бы стационарны и имели бы на бесконечности giA =
= —1 -j- const/r, не существует. Как мы сейчас увидим, требуемая форма gu
просто означает, что мы имеем дело с полем вне массового источника. Скалярный
потенциал, который, разумеется, является инвариантом относительно Преоб-
разований A1.85), имеет следующий вид в двух системах координат A1.83)
и A1.86) соответственно:
= (-&-1)са/2=-сес8/2г; ) (l
На больших расстояниях, когда поле слабое, оба эти выражения сводятся
к ньютоновской форме (—ас212г = асг/2г'), которая показывает, что константа
а может быть связана с активной гравитационной массой М, генерирующей
поле, соотношением
а = 2кМ/с2 = хс2М/4п. A1.88)
Все известные системы в природе имеют положительную активную гра-
витационную массу М, поэтому наложим условие
а>0, A1.89)
хотя, как легко видеть, уравнениям поля не противоречит и отрицательный
знак перед а.
В области, где поле уже слабое, метрику A1.86) можно представить в виде
ds2 = (I f air') (dx2-rdif + dz1) — {\ —air') г dp, A1.90)
где мы положили
х — г' sin8 coscp; y= r' sin 0 sin ф; z=r'cosG, A1.91)
Принимая во внимание A1.88), видим, что выражение A1.91) тождественно ста-
тическому решению A1.40) линейно аппроксимированных уравнений поля
A1.30).
Как было впервые замечено Леметром [140], сингулярность в линейном
элементе может быть устранена, если ввести нестатическую систему координат
г', 9, rp, f преобразованием
cdt' =cdt + (a/r)Vu drl(\ — аг). A1.92)
В этом случае линейный элемент A1.83) принимает вид
ds2 - a dr'2lr + r (dQ" + sin2 В dq?) — с2 di '3, (II .93)
где зависимость г от г' и f определяется A1.92). Сравнение A1.93) с (9.269)
показывает, что новая система координат является гауссовой, т. е. динами-
ческое действие гравитационного поля в ней устранено, а динамические по-
тенциалы (Yy,, x) равны нулю. Движение какой-либо планеты в этой системе
описывается уравнением A0.52), т. е. ковариантные компоненты вектора им-
пульса частицы в момент (f -f dt') получаются из соответствующих значений
в момент t' параллельным сдвигом в пространстве с линейным элементом:
Учитывая, что г зависит от времени, мы не получаем при этом жесткой си-
стемы отсчета, и движение планет в этой координатной системе выглядит очень
сложно.
316
Упражнение 1
Проверить, что мировые линии пробных частиц в системе координат Леметра S'
A1.92), т. е. точки с постоянными значениями (/, Э, q>), удовлетворяют уравнениям (9.271)
с т= t'. Хотя начальные условия при t' = 0 отличаются от (9.270), этот факт означает,
что система отсчета R', соответствующая S', состоит из свободно падающих пробных час-
тиц, и что координатные часы в 5' являются стандартными часами, покоящимися в R'.
Проверить, что функция ct' = f* (х) в A1.92) с производными
= {(a/r)i/2/(i_a/r), 0,0, 1}
удовлетворяет уравнению (9.279).
Упражнение 2
Показать,- что преобразованием
р = г—a/2; *u = (psin6 cos ер, р sin 6 sin ф, р cos 6)
можно получить «гармоническую» систему координат х* = (л;^, cl), соответствующую
решению Шварцшильда A1.83).
Проверку можно выполнить в такой последовательности.
1) метрика в новых координатах имеет вид
?uv = (l +a/2pJ 6|iV + [P + a/2)/(p-a/2)](a3/4pa) xn лЛ\
tti = -8*4(p-«/2)(P+a/2); (б)
2)*=-A+а/2р)*; (в)
3) (-?I/2?^ = 6^-а"-*^/4р*,
(-ЯI/2Я'4 = -6г-,A+а/2рK/A~а/2р); (г)
4) {(-?I/2 &% * = 0. (д)
Последнее ураввение показывает, что условия де Дондера (9.280) удовлетворяются,
так что система координат, определяемая уравнением (а), гармоническая.
Упражнение 3
Показать, что преобразования
приводят к системе координат х l = {x *l, ct) типа (9.282), (9.282'). Метрический тензор
в такой системе будет иметь вид
§ 11.7. Внутреннее решение Шварцшильда
для идеальной жидкости
Тензор энергии — импульса идеальной жидкости дан в A0.232) и имеет вид
Tki = (.[I° + p/c2! Ut U* + рб?. A1.94)
Исходя из уравнений поля A1.13)
МЧ=— лТ1 A1.95)
и выражения A1.69) для тензора М\, получаем, что статическое сферически
симметричное поле типа A1.63) возможно, только если скорость и* материи
равна нулю и если собственная плотность массы ^.° и давление р являются функ-
317
днями только от г. Поскольку мы используем сопутствующую систему коорди-
нат, то в соответствии с A0.253) имеем
?/' = (О, О, О,
7^=_(l>+p/c2)c26i46fe4-bp6?; A1.96)
О О О о
|л° = jx°(r); p = p(r).
Используя теперь закон сохранения
для i — 1 получаем
или, принимая во внимание A1.68) и (9.128),
)r = 0. A1.98)
Это уравнение, тождественное уравнению (в), с. 298 дает зависимость дав-
ления от скалярного гравитационного потенциала в равновесной жидкости,
находящейся в собственном гравитационном поле (жидкость удерживается в
равновесии собственным гравитационным полем).
Уравнения поля A1.95) снова сводятся лишь к двум независимым уравне-
ниям, из которых мы можем выбрать
М\ = — %Т[; М\=—уТ\. A1.99)
Остальные уразнения из A1.95) оказываются следствиями A1.99), если учесть
A1.98). Из A1.69а,б), A1.96) и A1.99) имеем
= xp; A1.100a)
а'/а2г-ЬA — 1/а)/г2— l^xftc2. A1.1006)
Уравнения A1.98), A1.100) совместно с уравнением состояния материи,
связывающим р и \l°, определяют внутреннее состояние материи и гравитацион-
ное поле жидкости.
Для простоты примем, что жидкость практически несжимаема. Тогда соб-
ственная плотность массы остается постоянной, и решение A1.1006) можно по-
лучить из решения A1.78) уравнения A1.706) заменой X ->- Я. + %[х°с2. По-
скольку наше решение должно быть регулярно при г-*- 0, константа интегри-
рования а в A1.78) должна быть приравнена нулю. Тогда
а=[1 — (^-fx^c2)r2/3]-1-(l — rW)"\ A1.101)
где
Я» = (А, + зф°сг)/3. A1.102)
Учитывая, что jx° = const, интегрируем A1.98) и сразу же получаем, что
([1° с2 -+- р) У6 = const.
Складывая уравнения A1.100а) , A1.1006) и умножая на УЪ, имеем
b'l а УТг + а! уь/а*г = const.
Подставляя в это выражение A1.101), получаем
где А = const. Если положить у = УЬ и ввести вместо г новую переменную
318
x = A — r2tR-yit, то A1.103) можно преобразовать в уравнение
y — xdy/dx = A, A1.104)
решая которое, получаем
у = А — Вх,
где В — константа интегрирования. Следовательно,
Ь = ф=\А~ В У\ — r2/R2 !"• A1.105)
Наконец, используя A1.101) и A1.105) совместно с A1.100а), получаем
следующее выражение для р, измеряемого в локально инерциальной системе:
хр - \ЗВ fl—rVR2 -~A\iR2 \A—BV~l—r/R2 } + K. A1.106)
Линейный элемент в случае внутреннего решения Шварцшильда имеет
вид [222]
r2 (dQ2 + sin2 6 d<p) —
— {Л—В ]/1 — /W \*c2dt2. A1,107)
Пространственная геометрия определяется линейным элементом
do2 = dr2l(l — r2/R2) + г2 (с?92+ sin2 В Ар2). (П. 108)
Следовательно, геометрия на поверхности г = гг — const такая же, как
и на сфере радиуса тх в евклидовом пространстве, но г, не есть расстояние до
г = 0, измеряемое стандартным стержнем, так как расстояние теперь опреде-
ляется по формуле
?1
— \ — ¦ —
J у\~rz/R~
Объем этой сферы есть
И In
JJJ
т. e.
= Г Г Г rasin9 • drde^ = 4it(' f2dr , A1.110)
V1{arcsin]/} ji+
1 2 I R R V R\\ 3 \ ^ 10 V R
Рассмотрим заполненное жидкостью пространство внутри сферы г = гг
c[i° = const. Для r< rj имеем тогда решение A1.107), в то время как для
г> г1 должно быть справедливо внешнее решение Шварцшильда A1.82). Учи-
тывая это, можно определить константы А и В, так как на г = г± решения
A1.107) и A1.82) должны совпадать. Далее, р на поверхности сферы должно
быть равно нулю. Пренебрежем Я.-членом, который внутри Солнечной системы
приводит к пренебрежимо малым эффектам, и условие сшивания запишем
в виде системы уравнений
1-— = 1 - ? = \А~в ]/r=7f7Fj2;
ЗВ y\—r\IR*—A -¦= 0; R2 = 3/x+i° с2;
решение которой есть
Л=— У\ — r\lR2', В =1/2;
2
а = rllR2 = w2n° r\lZ = B^jx°/c2) • 4яг?/3.
A1.111)
319
Сравнение с A1.88) показывает, что гравитационное поле, создаваемое
сферическим распределением жидкости, на больших расстояниях такое же, как
и поле источника с массой
М = Dя/3)гз?°, A1.112)
т. е. на больших расстояниях совпадает с полем ньютоновской жидкости, за-
полняющей с постоянной плотностью сферу радиуса гх в евклидовом прост-
ранстве.
В соответствии с A1.110) действительный объем сферы больше, чем 4я/^/3;
с другой стороны, j-i0 есть плотность массы, измеренная в локально инерциаль-
ной системе, и отличается от плотности, измеренной в используемой здесь си-
стеме координат. В § 11.11 мы покажем, что величина М точно равна полной
энергии системы, деленной на с2. Во всяком случае, различие между действи-
тельным Vx из A1.110) и 4лг^/3 мало, и во всех астрономических расчетах не
учитывается. Для Солнца, например,
j> = 1,4-103 кгж; гх = 6,95- 10s м, A1.113)
следовательно,
rJRtt 2-Ю; A1.114)
(Vr — 4яг»/3)/Dяг|/3) « 10-s.
Это значит, что различие между /х из A1.109) и радиальной координатой
гг слишком мало, чтобы быть обнаруженным в астрономических измерениях.
Видно также, что условие гг > г0 = а (условие применимости внешнего ре-
шения Шварцшильда) заведомо выполняется. Из A1.111) имеем а/гг = r\lR2?^
та 10~6 <С 1. Как и в случае пустого пространства, можно ввести изотропные
координаты. Для произвольных функций а (г), b (r) из A1.63) введем преобра-
зование г' — г' (г), удовлетворяющее дифференциальному уравнению
dr'lr' = Y'a{fjdr/r, A1.115)
общее решение которого есть
гЩг) dr/r)\,
A1.116)
где С — произвольная константа. Тогда линейный элемент приобретает вид
ds2=-^r {dr'z + г'2 (сЮг +sin2 Qdcf2)} —be*dt2 =
г'
' J A1.117)
где (х, у, z) взяты из A1.91).
В случае а (г) из A1.101) получаем
'*), A1.118)
и линейный элемент внутри несжимаемой жидкости приводится к виду
ds2 = 4С2 R2 (dx2 + dif + dz2)l(C2 + г' 2)а—
— [А-В(С*—r'2y(C2 + r'2)]*c2di2. A1.119)
Константу С можно определить из условий сшивки A1.118) и A1.85) на
границе жидкости.
Решение Шварцшильда является одним из немногих точных решений урав-
нений гравитационного поля, нашедших широкое применение в астрономии.
320
Рейсснер [203] и Вейль [273, 276] решили задачу нахождения гравита-
ционного поля, порождаемого электромагнитной энергией заряженной части-
цы. Они получили линейный элемент в виде
ds8 = A —а/г + кеЧг*)-1 dr2 + r2 (d92 + sin2 0 Жр2) —
—A— a/r-hne2lr2)c2dt\ A1.120)
Отношение двух величин, зависящих от заряда и массы соответственно, с уче-
том A1.88) есть
--¦= 4ле2[гМс\" A1.121)
В случае электрона эти два члена становятся одинаковыми по порядку
величины на расстояниях, соответствующих классическому радиусу электрона
а = е2/Мс2. Однако оба эти члена дают пренебрежимо малый вклад во взаимо-
действие электронов по сравнению с кулоновскими силами.
Другие точные решения уравнений поля для случая произвольного цилинд-
рически симметричного распределения материи были получены Вейлем [273,
2751 и Леви-Чивита [141—143]. В последнее время целый класс точных реше-
ний уравнений Эйнштейна был получен А. 3. Петровым [194], Элерсом и Кунд-
том [64], Таубом [250—253] и другими.
§ 11.8. Вариационный принцип для гравитационного поля
Пусть Q — произвольная область 4-пространства. Рассмотрим четырех-
мерный инвариантный интеграл
J RdQ = J Rik gik Y{^g) dx1 dx* dxsdx4, A1.122)
я h
где R~Rihgik есть скаляр кривизны и
ll ?^, A1.123)
есть свернутый тензор кривизны. Подынтегральное выражение в A1.122) есть
алгебраическая функция g^ и их производных. Поскольку контравариантные
компоненты gik однозначно определяются через gih, подынтегральное выражение
можно представить и как функцию gik и их производных. Рассмотрим вариацию
Ьцл и предположим, что она произвольна внутри области Q, но исчезает вместе
со своими производными на границе Q. Тогда соответствующая вариация Jt
будет
S1^ Mik) dx. A1.124)
Варьируя A1.123), получаем
ir-6T[ftr^-rUr^ A1.125)
В то время как символы Кристоффеля П/ преобразуются по закону
(9.80), который отличается от закона преобразования тензоров, вариация
ЬГ'ы, которая является не чем иным, как разностью между двумя символами
Кристоффеля в одной и той же точке, преобразуется как тензор. Следователь-
но, ковариантная произвольная
FTL):« = д6Г'к1/дхт + rL 6Г^ t - Гкп ЬГ'п - Trlm 8Г1к, A1.126)
также будет тензором. Это дает возможность записать тензор 6#;й в простой
форме
6Я<Л-FГ|,Ь-(8Г,'Й);,. A1.127)
И Зак. 1174 321
Это тензорное соотношение можно легко проверить, если ввести геодези-
ческую систему координат, в которой f^i — О, так как в этой системе правые
части выражений A1.125) и A1.127) становятся тождественными.
Умножив A1.127) на У(—g)gik, получим с помощью (9.191), (9.192) и
(9.196)
Y(=gjgikbRik = УГЧ) \(gik6Г,',); k~{gik6Г,'А):;} =
= V(^g) {gil bTik-g'4Tlik\ i = ~- {/(=§) (gil6l1k-g'4Tlk)\ .
ox
Следовательно, подынтегральное выражение в первом интеграле A1.124)
имеет форму обычной дивергенции, и интеграл можно преобразовать к поверх-
ностному по Q. Поскольку на поверхности Q вариации &g'k и их первые про-
изводные исчезают, первый интеграл в A1.124) также равен нулю.
Далее, из (9.127) имеем
_ ^ A1.128)
S {YiS) Sik\ =V(-g) (Sglk-~gikgimbglm/2), A1.129)
и подынтегральное выражение второго интеграла в A1.124) принимает вид
Следовательно, вариация интеграла Jx
Y{=g~)dx. A1.130}
Аналогично, принимая во внимание A1.128), получаем, что
gik8g^Y(^)dx. A1.131)
Складывая A1.130) и A1.131), видим, что вариация инварианта
J^{R + 2l)V{=rg)dx A1.132)
равна
\VT~= A1.133)
где Mik есть тензор, стоящий в левой части A1.12). Таким образом, уравнения
гравитационного поля для пустого пространства
Л*,-Л=0 A1.134)
эквивалентны вариационному принципу
8J = 0 A1.135)
при любых вариациях &gik, лишь бы они вместе со своими первыми производ-
ными обращались в нуль на границе ?2.
Ясно, что A1.130) и A1.133) будут справедливы и в случае, если из Jt и J
вычесть любой интеграл, подынтегральное выражение которого имеет форму
обычной дивергенции. Такие выражения всегда можно преобразовать в ин-
тегралы по поверхности Q, которые, как мы видели, не дают вклада в б/х и 6V.
Теперь вклад в R У(—g) = Rihg'kV(—g), вносимый первыми двумя членами
A1.123), может быть записан в виде
)Tlc^ A1.136).
322
где первые два члена, как обычные дивергенции, исчезают. Далее, подставив
вместо dgik/dxl выражение (9.125), содержащее символы Кристоффеля, и ис-
ттл чт гчхггт ЛЛПТПЛ1ПЛ1ГТГЛ
пользуя соотношение
получим, что последние два члена в A1.136) сводятся к 2 ?, где
С= Y(=Ig)gik(TrikTlri-Trur'kr). A1.137)
Поскольку вклад в RY(—g) от последних двух членов A1.123) есть—2, из
A1.130) и A1.133) можно получить
dx A1.138)
fi (J Л dx = $ VU^I) Mih fig'* dx, A1.139)
где
$ = e+2A.yT-g). A1.140)
Интегралы J2dx и J§dx не инвариантны. Тем не менее, поскольку они
определяются выражениями A1.137) и A1.140), одинаковыми во всех системах
координат, соотношения A1.138) и A1.139) имеют ковариантный смысл.
В отличие от /а и J выражения У и § не содержат вторых производных от
метрического тензора, они являются функциями лишь gik и их первых произ-
водных
A1.141)
Так как 8gikl^d8gikldxl, то очевидно, что
б J « dx = J (8gik д *idgik + 6g«* д ^ /eg1*) dx =
- J {dZldgik— д(д? Idg") dx1} 8g*dx. A1.142)
Аналогично
SS A1.143)
Поскольку выражения A1.338) и A1.142) дляб J 2 dx должны быть равны
при любой 8gik внутри]произвольпой области Q , в каждой точке мы должны
иметь
УХ11!) [Ял —j Rgih)=d?/dg"'-d(du/dgt*)fdx'. A1.144)
Аналогично, сравнивая A1.139) и A1.143), получаем
A1.145)
Используя этот метод, рассматривали gtk, g\\ как независимые, прене-
брегая, таким образом, соотношениями симметрии glk ~ gkl, g\kt = gk,\.
Такая процедура допустима, лишь бы только в результате дифференцирования
правых частей A1.144) и A1.145) получались величины, симметричные по индек-
сам in k. Хотя й и § имеют, вообще говоря, сложные законы преобразования
(они являются аффинными тензорными плотностями), ковариантные производ-
ные от правых частей A1.144) и A1.145) преобразуются как тензорные плотности.
Если при постоянных gj все переменные gllc умножить на Я, то величины
gut, Y(—g) и ГЦ./, как легко видеть из (9.7), (9.4) и (9.77), умножатся на К'1,
д~2 н Х~г соответственно. Следовательно, величина У будет умножена на Х~3,
11* 323
т. е. 2 есть однородная функция gik степени (—3). Из теоремы Эйлера следует
уравнение
(dW*)g* = 3?. A1.146)
Кроме того, У является однородной функцией glf степени 2, поэтому
§ 11.9. Комплекс энергии — импульса и законы сохранения
энергии и импульса для изолированных систем
В § 10.9 было показано, что сохранение электрического заряда есть след-
ствие ковариантного соотношения div {s1} — 0. Это связано с тем обстоятель-
ством, что равенство нулю ковариантной дивергенции 4-вектора эквивалентно
исчезновению обычной дивергенции от векторной плотности. Последовательно
интегрируя по пространственным координатам, приходим к заключению, что
полный заряд системы постоянен во времени.
Закон сохранения энергии и импульса в виде A0.223) или в виде
^)Tkl/2 = ki A1.148)
в общем случае не эквивалентен, однако, исчезновению обычной дивергенции,
и интегрирование по пространственным координатам не приводит в этом случае
к сохранению соответствующих величин. Только в случае стационарной систе-
мы, рассмотренной в§ 10.8, правая часть A1.148) исчезает при i =4, и интегри-
рование по пространственным координатам приводит к интегралу движения,
который может быть интерпретирован как полная энергия. Неисчезающий член
в A1.148) свидетельствует, что система не является вполне замкнутой. Этот
член аналогичен плотности внешней 4-силы, действующей на незамкнутую си-
стему специальной теории относительности (гл.7). В случае электромагнитных
сил с помощью уравнений Максвелла можно записать плотность 4-силы в виде
дивергенции тензора энергии — импульса электромагнитного поля. Аналогич-
но, используя уравнения поля A1.12), член
g)Tkll2 A1.149)
в правой части A1.148) можно записать в ковариаитной форме
?)/*, A1.150)
где tf, есть комбинация 42 величин, зависящих от компонент метрического
тензора и их первых производных. Величины kt и tf. не преобразуются, конечно,
как тензоры, но уравнения A1.148), A1.149) и A1.150) интегрированием по
пространственным переменным будут, как мы увидим позже, приводить к со-
хранению величин с простыми законами преобразования и имеющих ясный
физический смысл [72, 73, 78, 128].
Чтобы проверить A1.150), запишем сначала A1.149) в виде
kx = - (dg"/dxi) VJ^S) Tkl/2, A1.149')
используя правило опускания индексов и соотношение (9.7). Принимая во вни-
мание A1.12), A1.149) и A1.145), получаем
Чт
2 ад:' 2х °' '" дх'
1 f d? dglm д ( д% \ dglm
2х | дцт дх' дхк \ dgl™ ) дх1
1 f щ__ д81т ] а|, а2^от а_ Г/ ag, \ (д_1т
2х \ dg7 йл;' dglmk дх1 дхи дхк \ \ dgl"l ) \ дх'
324
Поскольку § есть функция только glm и g!™, а
l дхк = dg
сумма первых двух членов в скобках есть просто д$$/дх1.
Следовательно, k( имеет вид, как в A1.150), где
Используя A1.150) и A1.148), получаем закон сохранения энергии и им-
пульса в виде
dT?./dxfc = 0, A1.152)
где
Т?. = 3:? + т?., S?=/F^)T?- A1.153)
Если пренебречь малым членом %, как мы это будем делать впоследствии,
ТО Т;. СВОДИТСЯ К
A1.154)
Эта величина исчезает в локально инерциальной системе отсчета, т. е.
гравитационное поле локально уничтожается. Закон сохранения в форме
A1.152) и A1.153) предполагает, следовательно, что плотность энергии, им-
пульса и потока энергии полной материальной системы плюс гравитационное
поле могут быть записаны соответственно в виде
A1.155)
Однако такая интерпретация t-t с физической точки зрения встречает затруд-
нения, так как ft не есть тензор, т. е. g^ и S& не будут преобразовываться как
3-векторы при нелинейном преобразовании пространственных координат, a h
не будет инвариантом относительно этих преобразований. Следовательно, рас-
пределение гравитационной энергии в данной системе отсчета зависит от вы-
бора (*') в данной точке, а это значит, что искомые величины не имеют опреде-
ленного физического смысла.
Тем не менее, можно показать, что интегралы от g^ и h по физическому
пространству, по крайней мере, для островных систем обладают всеми физи-
ческими свойствами полных энергии и импульса системы.
Для доказательства этой очень важной теоремы существенно, что:
1) т? и Т* суть аффинные тензорные плотности веса 1, т. е. они преобра-
зуются как тензорные плотности при линейных координатных преобра-
зованиях;
2) т? есть однородная квадратическая функция частных производных
g\i или gihl метрического тензора.
Теперь рассмотрим островную систему, т. е. систему, тензор энергии —
импульса Тi в которой исчезает всюду вне мировой трубки с конечными про-
странственными размерами в 4-пространстве. В этом случае мы можем предпо-
ложить, что пространство — время асимптотически плоское на большом про-
странственном удалении от трубки. Это значит, что возможно введение системы
координат
х' = (х, у, z, ct), r = (x2+t/ +z2)l/2, (П.156)
в которой
gik-^^ik ПРИ г-+оо. A1.157)
325
Такая система называется асимптотически лоренцевой, (Бесконечность
в A1.157) означает область, где г велико по сравнению с пространственными раз-
мерами материальной системы, но мало по сравнению с космологическими рас-
стояниями, где может уже играть существенную роль А,-член.)
Островная система не обязательно должна быть изолированной. Хотя,
по определению, материальная система в нашем случае не может испускать ма-
териальных сигналов типа электромагнитного излучения, тем не менее она может
быть связана с внешним миром испусканием гравитационного излучения,
зависящим от способа устремления gik к плоской метрике r\ih при г^-оо.
Островная система считается изолированной, если можно ввести такую ко-
ординатную систему A1.156), в которой метрика
gik=T\tk + hlh A1.158)
имеет асимптотические свойства
hih = 0lt gih,i = hih,i = O2. A1.159)
Здесь Оп с положительным п означает член, в котором гп0п остается конеч-
ным при г -+¦ оо; член Оп может быть также равным нулю. В отличие от величин
hik в A1.17) htk в A1.158) не обязательно должны быть малыми.
Пусть 2 — произвольная пространственноподобная трехмерная беско-
нечная гиперповерхность и пусть $; B) суть следующие интегралы по 2:
$?dSft. A1.160)
Здесь
есть величина (9.57), ортогональная к dxl, 6хт, Ах11 на 2. Чтобы фиксировать
знак dSk, условимся, что dSk направлен в будущее, т. е.
dS* = g*kdSk>0. A1.161)
Пусть далее Q есть область 4-пространства, ограниченная двумя простран-
ственноподобными гиперповерхностями 2Х и 2а и «гиперцилиндром» С, со-
стоящим из точек с большим значением R = const переменной г = (х2 + Уг +
+ z2)'/2 (см. рис. 15, с23 = С). Интегрируя уравнение A1.152) по Q и ис-
пользуя теорему Гаусса (9.222), получаем
T?rfSft-(l/c)(j TUsk + (l/c)\TUSh = 0. A1.162)
22 с-
Здесь dSk направлено из области Q.
Если радиус R цилиндра С устремить к бесконечности, то последний ин-
теграл в A1.162), как легко видеть, исчезает. Это следует из того, что %i = О
и т/ = О4 на С, согласно A1.159) и условию 2 в начале доказательства. Следо-
вательно, Тг = О4 на С, и, поскольку область интегрирования в последнем
интеграле A1.162) по крайней мере порядка О3, этот интеграл исчезает при
R —>- оо. Далее, так как dSk направлен из Q, т. е. на 2Х и 22 в противополож-
ные стороны, то из A1.162) вытекает, что
3l-(S1) = Si(s2), (п. 163)
откуда следует, что величины A1.160) не зависят от выбора 2.
Если 2 в A1.160) — гиперповерхность с t = const, то можно выбрать
что дает
dSh = ?hv23 dx1 dx- dx3 = — 6,;4 dx1 dx2 dx
dSA = gik dSh = — g44 dx1 dx*dx3>0. f
325
Следовательно, интегралы A1.160) сводятся к
3.-B)=Р4, A1.165)
где Pi — пространственные интегралы
Рй = (Me) Jj Tf. dx1 dxzdx3 = (PM> — H/c), A1.166)
причем согласно A1.155)
PVL^(l/c)[T^dx1dx2dx3 = [gikdV; }
J д A1.167)
\ 4 \ u I
В отличие от g^ и h, которые, как мы видели, не имеют физического смыс-
ла, выражения A1.166) и A1.167) могут быть интерпретированы как полные
импульс и энергия системы, так как совершенно очевидно, что они удовлетво-
ряют следующим условиям:
1) величины Pi не зависят от времени;
2) они преобразуются как ковариантные компоненты 4-вектора при произ-
вольных линейных преобразованиях координат;
3) они инвариантны относительно всех тех преобразований координат, которые
не изменяют значений координат на пространственной бесконечности.
В частности, условие 2 справедливо для преобразований Лоренца. Усло-
вие 1 следует непосредственно из A1.165) и A1.163), если 2г и 22 выбраны как
гиперповерхности / = t± и t = t2 соответственно, причем постоянные /х и 12
произвольны.
Далее, учитывая условие 1 на стр. 325, находим, что величина Tf dSh
преобразуется как 4-вектор относительно линейных преобразований
т. е.
TildS'i=--AtTLdSh A1.168)
а интеграл по гиперповерхности 2 дает
A1.169)
Следовательно, если 2Х и Е2 — Две гиперповерхности с (' = const и
t = const соответственно, то из A1.165), A1.169) и A1.163) получаем условие
Р/= 3/(SO = ^? Зл B0 = ^^B2) = Л? РА, A1.170)
т. е. условие 2 на стр. 327. Наконец, при преобразовании
** = /(*').
р(х)-+х1; g'ik-^gih; glk.i-+gih,i для r->oo A1.171)
гиперповерхность 2а с постоянной х* ~ а совпадает на пространственной бес-
конечности с поверхностью 22 с постоянной х'4 = а. Мы можем поэтому ввес-
ти третью систему координат х"\ которая на поверхности 2]. и в ее окрест-
ности совпадает с первоначальной системой (х1), а на поверхности 22 и в ее
окрестности совпадает с {хп). Поскольку соотношения A1.163) и A1.165)
справедливы в любой из введенных систем координат, получаем
Pi = Si (s,)=s; (so=s; (зу = s/ (s,)=pi ,
что является условием 3 на стр. 327.
В следующем параграфе мы увидим, что лоренцев 4-вектор Pt, опреде-
ленный в A1.166), является времениподобным, а это значит, что Рг обладает
всеми свойствами полного 4-импульса замкнутой островной системы специ-
327
альной теории относительности. Хотя мы не можем в общем случае дать вполне
определенную физическую интерпретацию распределению гравитационной
части энергии и импульса, все же следует подчеркнуть, что эти величины вно-
сят значительный вкладе подынтегральное выражение Tf в интегралах A1.166).
Если в этих интегралах пренебречь величинами т*, то результирующее выра-
жение не будет удовлетворять свойствам 1—3. Следовательно, т,- играют су-
щественную роль. Мы будем называть эту систему величин комплексом энер-
гии— импульса гравитационного поля. По аналогии аффинная тензорная плот-
ность Т* носит название комплекса энергии — импульса полной системы.
Может показаться удивительной невозможность непротиворечивого определения
количества гравитационной энергии, заключенной в малом объеме. Однако эта трудность
идет, прежде всего, от невозможности измерения гравитационной энергии. В случае ли-
нейных полей специальной теории относительности энергия, содержащаяся в малом объе-
ме V, может быть измерена введением в эту область такого прибора, который уничто-
жает поле внутри V без какого бы то ни было влияния на поле вне V. Тогда энергия, не-
обходимая для уничтожения поля внутри V, приравнивается к собственной энергии са-
мого поля. Например, в случае электрического поля мы можем внести в малую область
V конденсатор, который, будучи предварительно заряженным до определенного потен-
циала, может уничтожить поле между обкладками, в то время как поле вне конденсатора
никаких изменений не претерпевает. Работа, затраченная на предварительную зарядку
конденсатора, дает представление об энергии исследуемого электрического поля. Этот
метод основан на том факте, что уравнение поля линейно, и всякая суперпозиция полей
снова приводит к новому решению уравнений Максвелла. В случае гравитационного по-
ля эта процедура неприменима, так как мы имеем дело с зарядами только одного знака,
а уравнения гравитационного поля существенно нелинейны.
§ 11.10. Суперпотенциал:. Полные энергия и импульс
изолированной системы
В приложении 6 (уравнение 15) точное выражение для комплекса энер-
гии— импульса гравитационного поля A1.154) дано в виде
^)rt, — 6*2) • A1.172)
Там также показано (уравнения 16 и 18), что т* могут быть выведены
из 2 в другой форме
т* = A /н) (g^ д С Idg^ + g*? д e/dg*»). A1. 173)
В отличие от т|., которые являются функцией только метрического тензо-
ра, полный комплекс энергии — импульса Т;. зависит также и от тензора
\
энергии — импульса Т\. Но, учитывая уравнения поля A1.23), мы можем пред-
ставить 7^ так, чтобы он тоже зависел только от метрического тензора. Исполь-
зуя A1.153), A1.144) и A1.173), получаем
Следовательно, Tft приобретает вид обычной дивергенции
T?. = 4> A1.174)
где
skl=(gkm/K).dH/dg[mr A1.175)
Выражение для Tf, полученное Толменом [259], можно привести к более
удобному виду. В самом деле, sf,i есть функция метрического тензора и его
328
производных и тождественно удовлетворяет условию
(s*'./b = 0' (П-176)
вытекающему из A1.174) и A1.152). Следовательно, Т8- можно записать теперь
в виде
Т?. = #,> A1.177)
где суперпотенциал
^ы=_цк A1.178)
антисимметричен по индексам k и /. Эта возможность впервые была замечена
Фрейдом [98]. Точное выражение для супер потенциала дано в приложении 6
(уравнение 22) и имеет вид
4l = (gin/^VT^)) ?т% - A1 • 179)
где
Qlklm = (_ g) (g« g**_ gun g*/) A1.180)
есть истинная тензорная плотность веса 2, удовлетворяющая тем же услови-
ям симметрии (9.234), которым удовлетворяет тензор кривизны, а именно:
~ S ~ S ~S ' A1.181)
Суперпотенциал является поэтому только аффинной тензорной плотностью
веса 1. Вводя A1.177) в A1.160) с помощью (9.223), получаем
tfdSl* A1.182)
где Ф (J?) есть двумерное пересечение 2 и цилиндра С с постоянным г = R.
Поскольку Ф (/?) лежит на пространственной бесконечности, то выражение
A1.182) для %г B) инвариантно относительно группы преобразований A1.171).
Для 4-импульса A1.166) получим по аналогии, если учесть, что т})*4 = 0,
р. = A (с) J т? dx1 dx* dx* = A /с) J \tf\ dx1 dx*dx*. A1.183)
На основании теоремы Гаусса, справедливой в случае трехмерного про-
странства, можем записать
A1.183')
где интегрирование выполняется на «сфере» /с большим «радиусом» /?. Здесь
dxv и dxv есть 3-векторы, лежащие на сфере; п\ = x%lr\ df = гЫы —
= rzsin ЫЫц>, а Э, ф — полярные координаты, связанные с (х, у, z) обычными
соотношениями A1.191). Выражение A1.183) следует также из A1.182), если
считать 2 гиперповерхностью с t = const.
Рассмотрим снова изолированную островную физическую систему. Из
систем координат A1.156)—A1.359) выберем такую, чтобы тело покоилось
в ней как целое. Для большинства изолированных систем (хотя и не для всех,
см. § 11.11) такая «глобально покоящаяся система» обладает тем свойством,
что метрика в ней на больших расстояниях сферически симметрична и статична.
Более точно, метрика сферически симметрична с точностью до Ох и не за-
висит от времени сточностью до 02. Согласно A1.90) это значит, что координа-
329
гы в глобально покоящейся системе могут быть выбраны с асимптотическими
свойствами типа
gm = (s,-) + a/r) 8Ul -f O2 + O3;
A1.184)
Здесь не зависящие от времени члены 02 и их производные (О2),г имеют
вид
О., = /(9, ф)/г2; (О2),; = О3.
(С другой стороны, мы могли бы выбрать такие координаты, в которых мет-
рика на больших расстояниях имела бы вид (е), стр. 317).
Глобально покоящаяся система, конечно, не является системой покоя
для каждой частицы системы в отдельности, т. е. она не является сопутствую-
щей системой типа рассмотренной в § 10.8. Очевидно, существует целый класс
таких систем координат, поскольку любые преобразования вида A1.171) и лю-
бые ортогональные преобразования пространственных координат (х, у, z)
дают новый экземпляр глобально покоящейся системы. Члены О3 и высшие
степени Mr не обязательно должны быть не зависящими от времени.
Вводя A1.184) в A1.179) и A1.180), легко находим следующие асимпто-
тические свойства суперпотенциала:
ф" = — (а/2иг2) A — в0) F* п!—&. ак) + 03, A1.185)
Следовательно, 4-импульс A1.183) тела в глобально покоящейся системе
есть
Р? = 1 im A /с) Г ( — — 8и + О3 V2 da = — 4na6i4/xc. A1. 186)
г-юс J \ ХГ2 /
Сравнение с A1.166) показывает, что полный импульс равен нулю, оправ-
дывая название этой системы, а полная энергия в соответствии с A1.89)
Я°-4лй/к>0. A1.187)
Из свойства 2, на стр. 327, замечаем, что лоренцевы преобразования
с относительной скоростью t>i дают новую систему координат, в которой им-
пульс и энергия равны соответственно
—v2/c2) . A1.188)
Отношение импульса к скорости дает выражение для инертной массы М:
M=Malfl— v2/c2; M0 = H°/c2; H = Mc2. A1.189)
Эти формулы находятся в полном соответствии с соотношениями СТО
C.55), C.58). Они возникают как следствие законов сохранения, которые,
в свою очередь, являются следствиями уравнений гравитационного поля Эйн-
штейна. С учетом A1.177) подынтегральное выражение Т*/с в A1.166) можно
выразить только через переменные гравитационного поля. В некотором
смысле полный 4-импульс изолированной системы может быть интерпрети-
рован, как собственная гравитационная энергия и импульс, а законы преоб-
разования A1.188) и A1.189) для импульса, энергии и массы — как следствия
трансформационных свойств переменных гравитационного поля относительно
преобразований Лоренца. Это обстоятельство лишний раз подчеркивает
тесную связь между гравитационными и механическими свойствами материи.
330
Активная гравитационная масса Mfs изолированной системы в глобаль-
но покоящейся системе координат связана с константой а в A1.184) уравне-
нием A1.88). Далее, используя A1.187) и A1.189), получаем
=М0. A1.190)
Следовательно, активная гравитационная масса равна инертной массе и
равна пассивной гравитационной массе, что и должно быть, если справедлив
принцип эквивалентности. Тождество этих трех типов масс является фунда-
ментальной отличительной чертой теории гравитации Эйнштейна.
§ 11.11. Неизолированные островные системы.
Гравитационное излучение
В предыдущем параграфе свойства 1-—3 4-импульса изолированной сис-
темы были выведены как следствие асимптотической формы A1.159) метрики,
в которой последний интеграл A1.162) исчезает при R —>¦ оо. Мы рассмотрим
теперь систему, в которой hik и gihrl имеют порядок Ох при больших г, т. е.
Л1Л = О1; ftft.^Oj. A1.191)
В этом случае последний интеграл A1.162) остается конечным, и 4-импульс
не будет не зависящим от времени лоренцевым 4-вектором, а это значит, что
система не является полностью изолированной.
Пусть 2г и 22 — гиперповерхности t ~ t± и t = /2 соответственно, при-
чем
/а>*1, A1.192)
а С — гиперцилиндр радиуса г = R с Т\ = 0, т. е. находящийся вне мате-
риальной трубки. В этом случае из A1.162) получаем
Pt(Vt tJ—PtiV, *i)= —(!/*)$•*? dSft. A1.193)
Здесь
^i ^ixdfx A1.194)
есть 4-импульс, определенный в области V внутри сферы / радиуса R в момент
времени t, a
в соответствии с (9.57). На С мы можем выбрать
dxl = (dx\ 0); bxm = (bx», 0); Дх« = @, 0, 0, cdt),
где 3-векторы dx%, 8х» определены на поверхности f. Следовательно,
dSh = Ekxm dx% 6xf* cdt = {cdtdfv, 0);
A1.195)
Приращение 4-импульса Pt (V, t) за промежуток времени (tlt U), со-
гласно A1.193), равно
t* f
Если промежуток времени бесконечно мал, т. е. tj. = t, f2 = t + dt, то
— dPt (V, t)ldt = I t,-v d/v. A1.197)
i
331
Таким образом, интеграл в правой части дает гравитационный 4-импульс,
покидающий сферу в единицу времени. Поскольку Н = —cPiy то A1.197)
при i — 4 дает
A1.198)
f
т. е. величину
©v=_ctv A1.199)
следует интерпретировать как плотность потока гравитационной энергии на
больших расстояниях от материальной системы. Если мы сможем сконструи-
ровать приемник гравитационного излучения, то для него @v будет вполне из-
меримой физической величиной. Аналогично т^, следует интерпретировать
как плотность потока гравитационного импульса. На больших расстояниях
A1.199) согласуется с A1.155), так как
©v = Yi/2 5v. A1.200)
С помощью A1.194) и A1.197) мы можем вычислить потерю 4-импульса
в результате гравитационного излучения, если нам известна метрика на боль-
шом удалении от островной системы.
Первое определение потери гравитационной энергии, выполненное Эйнштейном
[77], было основано на приближении слабого поля A1.13) (см. упражнение в конце на-
стоящего параграфа). Полученная таким путем величина оказывается очень малой для
всех реальных астрономических объектов даже за космологические промежутки времени.
Хотя подобные вычисления и дают разумное по порядку значение энергии, неясно, мож-
но ли вообще применять линеаризованную теорию Эйнштейна к исследованию проблемы
гравитационного излучения. Ведь хорошо известно, что решения нелинейной системы
уравнений не могут быть аппроксимированы линейными решениями в больших областях
пространства — времени. Исходя из этого, Бонди, Ван-дер-Бург и Метцнер {29] попытались
установить точную форму метрики на больших расстояниях от осесимметричной системы
без падающего излучения. Их исследование было затем обобщено Саксом [212] на слу-
чай произвольной островной системы. Мы рассмотрим для простоты только аксиальную
симметрию. (За подробностями рассуждений мы отсылаем читателей к оригинальным
работам этих авторов.)
В пустом пространстве, вне материи, уравнения поля A1.23) имеют вид
Rik = 0. A1.20L)
Хотя в общей теории относительности, как хорошо известно, все системы координат
равноправны, существует, тем не менее, особый класс систем, в которых граничные усло-
вия имеют особенно простой вид. Бонди и др. вводят координатную систему
? = (г, е,ф, и), A1.202)
удовлетворяющую следующим свойствам.
1. Преобразование ср ->¦ ф 4" а описывает вращение на угол а относительно оси сим-
метрии, т. е. gift не зависит от ф.
2. Поверхность du = dr = 0 имеет площадь 4яг2.
3. Кр ивая du = <20 = dtp = 0 представляет выходящий световой луч.
Поскольку для света ds1 = giudxldxk = 0, из свойства 3 получаем
In-0, A1.203)
т. е. система координат A1.202) не удовлетворяет условиям (8.52) и A1.158). Поэтому нуж-
но использовать асимптотическую лоренцову систему координат
х1 = (х,у,г,а), A1.204)
полученную из A1.202) преобразованием
x = r sin 6 cos ф; y = r sin 6 sin ф; z = r cos 0; ) ,„, „„_
(и-205)
x* = ct = u-\-r; ы = х*— r = ct — r. i
Соответствующие преобразования коэффициентов есть
A1.206)
332
где зведены величины
Лг = /гг = (sin 8 cos ф, sin 0 sin ф, cos 0, 0) = (хд/г, 0);
mi — т' = (cos 9 cos ф, cos 0 sin ф, —sin0, 1);
n n A1.207)
/; = /< = ( —sin ф, cos ф, 0, 0);
(хг- = е,-) ji' = { — sin 6 cos ф, —sinB sin cp, — cos 0, 1) = —(<Пг«+гег).
удовлетворяющие соотношениям
щ п1 — mjm' = /
A1.208)
m v l%> "V =¦= <
Кроме условии 1—3, мы должны еще потребовать, чтобы решение A1.201) не содер-
жало входящих гравитационных волн. Если мы положим
ft* = i1tA + Aifc. A1.209)
то это последнее условие можно сформулировать так: 4. Для больших г, hik есть разло-
жение в ряд по степеням 1/г вида
hik = *iklr + fchlr'+--., A1.210)
где коэффициенты а.ци Ргь и т. д. являются функциями только 0, <р и и.
Условие 4 эквивалентно условию излучения Зоммерфельда:
d(rhik)/dr(ViiQi9)=con5t — 0 для г-^оз. A1.211)
В дальнейшем нам ие потребуется точный вид gik, достаточно будет знать их до
второго порядка по 1/л. Полагая
ytk = aikJr = Ol; zik = ?Hk!^ = Oi, A1.212)
имеем с учетом A1.209) и A1.210)
A1.213)
Как показали Бонди и др. [29, 178], наиболее общая форма (Xjk и [};& в случае ак-
сиальной симметрии такова:
f>ih(u, 6, qO-2/V2(^mft + i^ft)+—
A1.214)
Здесь N (и, Э), А (и, 9) и В (и, Э) — функции от и и Q, зависящие от типа рассмат-
риваемой материальной системы, а Ве и Nq — частные производные по 9. Величины N,
А а В можно назвать функциями интегрирования по аналогии с постоянной интегриро-
вания в решении Шварцшильда а A1.83). Однако они ие являются иезависимыми. Чтобы
удовлетворить всем уравнениям A1.201), их нужно связать уравнениями
/ Л7 ) <П-215)
i it /V л« ]
Mr tj ' /
-3SU = AQ /2 -f 3NNuQ -MMVtt ctg 6 -f Nu
где
C = NQB+3NQ ctg 8 —2.V = (/Vesi
= {(JVsm30)e/sin9}e/sin9, A1.216)
а каждый индекс (и, бит. д.) означает частную производную по соответствующей пере-
менной.
Если дана W (и, 0), то функции А и В можно получить, интегрируя A1.215), и вся
информация о системе, следовательно, определяется только W, которую Бонди и др.
назвали функцией информации. При больших г скалярный потенциал, вытекающий
из A1.212) и A1.214), есть
(Ц.217)
Сравнение с A1.87) показывает, что функция А @, и) играет ту же роль, что и кон-
станта а в A1.83), связанная с массой (или энергией) уравнением A1.88). Как мы увидим,
333
1еличина
it
а (и) -=A/4я) J Л (и, 0) d(f>^ \ A(u, Q) sinQdG/2 A1.218;-
о
связана с полной энергией (или массой) в общем случае. Поэтому мы будем называть
А (и, 8) массовой функцией.
Легко проверить, что метрика A1.212)—A1.214) удовлетворяет требованиям 1—4,
т. е. уравнения (и, 6, ф) = const или х^ = cn^t + jtft с постоянными пУ/=х>х/г я jc|J описы-
вают движение выходящего светового сигнала в соответствии с (8.100). Далее, площадь
параллелограмма на сфере г = const, t = const, натянутого на два бесконечно малых
вектора, соответствующих приращениям dQ и dcp переменных 0 и гр, равна r2sin SiiOdrp.
А теперь убедимся в том, что эта метрика удовлетворяет уравнениям поля A1.201) с точ-
ностью до необходимого нам порядка.
Для произвольных функций гр (г, G, ф, и) переменных хь имеем, учитывая A1.206),
В частности,
" Ф ' ' \ (П.220)
Чтобы убедиться в регулярности метрики на оси симметрии, удостоверимся в том,
что gik не зависят от ф, когда sin 0 стремится к нулю. Из уравнений A1.213) и A1.214)
видно, что для этого необходимо, чтобы A7sin2G оставалось конечным, т. е. чтобы
JV^/(«)sin2G при sin8->0. (I1.22I).
Как и в A1.207) мы поднимаем индексы в ytk, zik, ос^ и [3;& с помощью постоянной
матрицы т)'й. Тогда легко видеть, что контравариантные компоненты метрики glli, опре-
деляемые (9.7), можно разложить в ряд
gik _ rfk__yik^_zik _уу\т уЬ-\-ой, A1.222)
а детерминант g равен
V{-g)=\~N{u, 0J/2/-2 + О3. (П.223}
Далее, из A1.214) и A1.208) следует, что
Ik 2 ' " ' ' A1.224)
Кроме того, из A1.207) следует, что
(«i)e=—Оч)е = тм («0ф = — (\i.i)9 = hs\nd;
(пц)е——п(; (т;)ф = 2гсо5 0; > A1.224')
(/j)e = 0; (/,-)ф= — (Щ cos9-f«jSinO).
С помощью этих соотношений можно определить асимптотические выражения для
г*, ty*1 и Т* = ipj, с точностью до членов порядка О2 [178]. При вычислении т'г.
с этой точностью нам потребуются выражения g^, ; только с точностью до первого по-
рядка, так как они входят в т^ во второй степени. Следовательно,
A1.225)
) { Н)и
=-{alnt)tt рЦ
Здесь мы использовали A1.213), A1.220) и A1.222) — A1.224). Далее, "подставляя
A1.225) в A1.137) и A1.172) и используя A1.224), получаем
С = О3, т* = A/2я) Г*, (УГТ) glm),i +0, =
(щт)и (а1"),, ц? ц*Н-Оа,
334
а следует, снова с учетом A1.224), что
xt=2N2aiit\i.k/xr2 + O3. A1.226)
При достаточно больших г мы можем пренебречь членом 03, тогда согласно A1.207)
для плотности потока гравитационной энергии A1.199) получим
6V=— CT^ = 2Nicnv/xr2. A1.227)
Обозначим теперь через dx^ и 6V- два бесконечно малых 3-вектора, касательных
-к сфере радиуса R и направленных в сторону увеличения в и ср соответственно. Тогда из
A1.205), A1.207), A1.208) и A1.195) получим, что
dx}'=RmJ'dQ; бх^ = R sin б-/" dep; |
dlv = avhldxxdxil = nvRismQdQd(p=snvRi da, j ( ' '
и поток гравитационной энергии через натянутую на эти векторы площадку оказывается
равным
Sdcu = 2Nlcdu)/x=2Nu c-siaQйц>[к. A1.229)
Полная энергия, покидающая сферу в единицу времени, есть интеграл по всем нап-
равлениям
я
— dH/dt = f S dto = Dяс/х) \ NusinQdQ. A1.230)
о
Правая часть этого выражения полностью определяется функцией информации
и, как видно, никогда не должна быть отрицательной. Как следует из решения Бонди
и др., система непрерывно теряет энергию в результате гравитационного излучения,
если только jV зависит от времени. Если же N не зависит от времени, то и А также ие за-
висит от времени, т. е. (ссгь)и =~- 0, а из A1.220) следует, что gih, i = 02, и мы, очевидно,
приходим к случаю A1.159) замкнутой системы.
По аналогии получим, что поток гравитационного импульса через dfv есть
xl d[v=nflS daJc=\nti{2Nl/x) sin 6 dQ d(p, A1.231)
-откуда видно, что гравитационное излучение вызывает механическую отдачу системы
точно так же, как и электромагнитное излучение. Из A1.197) и A1.231) находим, что
— dP^fct = B/к) ^ Nl n^ sir; QdQdq. A1.232)
Так как в случае аксиальной симметрии Nu не зависит от ср, то из A1.207), A1.230)
и A1.232) получаем, что
— dPi/dt = (O; 0; Dя/х) ['#« cos 6 sin 9 dQ; — Dл/х) j* Nlsin 9 dtp). A1.233)
b b
Аналогичным образом можно вывести асимптотическое выражение для ijr иГ* =
г
f, для этого нужно рассмс
длинных вычислений получаем
= 11),- {', для этого нужно рассмотреть члены второго порядка в A1.220). После довольно
A1.234)
ctge)mjiJ,ft}+03. A1.235)
Из первого уравнения следует, что метрика A1.212) — A1.214) удовлетворяет урав-
нениям поля A1.201) с точностью до членов О2, а из A1.23), A1.153), A1.226) и A1.234)
следует, что
>/(^?)(/?f-l/25f/?) = -x"|/(2)-f=-x(r*-^)=0, A1.236)
если пренебречь членами порядка О3.
Далее, из A1.235), A1.194) и A1.228) получаем следующее выражение для 4-импуль-
са внутри большой сферы:
t )
) J яр« щ R* Ав = A/2ис) JJ {(C-2A) ^ -
(NQ+2Nctg Q)tni} sinQ dQdy+OL A1.237)
335
При достаточно больших R (например, когда сфера находился в волновой зоне) мож-
но пренебречь CV, 4-импульс Pt(u) системы в этом случае определяется только оставшими-
ся членами. Как и в предыдущем случае, аксиальная симметрия порождает условие
?i = P2^0, A1.238)
а компонента импульса, параллельная оси симметрии, оказывается равной
V л I я
Р3= Bя/яс) J A cos 0 sin 0 d0 — Г {(Ne sin 0 -\-2N cos ()H cos 0 —
[ 0 2 о
~ {NQ sin Q + 2N cos 0) sin Q}dQ
где использовано A1.216).
Последний интеграл в этом выражении равен нулю, поскольку с учетом (П.221)
J {(NQ sin 0-|- 2N cos 0) cos 9}0 dO = (NQ sin 9 -|- 2A/ cos 6) cos 9
0
= 0.
0
Следовательно,
я
P3 (ы) = Bя/хс) J Л cos 9 sin 0 d0. (II .2391
о
Для полной энергии Н— —сР4
л
Н {и) = Bя/х) j Л sin0d9 = Dn/>c)Gc(u), A1.240)
о
причем а (и) определено в A1.218). Сравнивая A1.240) и A1.187), видим, что усредненное
по всем направлениям значение массовой функции А (и, 6) играет ту же роль, что и
константа а в случае изолированных систем. Дифференцируя A1.238) — A1.240) по и
и используя A1.215), мы снова возвращаемся к A1.233), поскольку d/du = c~1 (d/dt) и
л я
j CsinOd0= JCcos0sinGde = O. A1.241)
о о
Если информационная функция симметрична относительно хг/-плоскости 9= л/2,
т. е. если
N(u, Q) = N{u, я— 0), A1.242)
то из A1.233) следует, что
dP^dt^O. A1.243)
Если такой симметрией обладает и массовая функция
• А (и, в) = А(и, я—0), A1.244)
то из A1.238) и A1.239) получаем, что
Р^О. A1.245)
А это означает, что система глобально покоится. Однако из этого вовсе не следует, что она
изолирована, поскольку а (и) и И (и) в A1.240) могут быть убывающими функциями пе-
ременной и = ct — R. Как известно, необходимым и достаточным условием изолирован-
ности системы является временная независимость функции информации.
Из A1.215) видно, что Л7 и Л являются функциями только 9, т. е.
N = N(9), Л=Л(9). A1.246)
Если А удовлетворяет, кроме того, и A1.244), т. е.
Л (G) = Л (.ч - 9), A1.247)
то получаем A1.245), систему, глобально покоящуюся и изолированную. Однако метрика
A1.212) — A1.214) с A1.246) и A1.247) не эквивалентна в общем случае метрике A1.184).
Они будут эквивалентны только тогда, когда
А = а. A1.248)
В этом случае из A1.215) следует, что В, сс;ь и ргь также пе зависят от времени, т. е.
метрика A1.213) стационарна с точностью до О2. Далее, легко видеть, что надлежащим
преобразованием координат, которое асимптотически есть калибровка (9.283), метрика
336
A1.213) приводится к A1.184). Прежде всего, мы можем обратить N в нуль без изме-
нения А так называемым чистым «.-преобразованием типа рассмотренного Бонди и др.
[29]; после чего применим
v", t' = t+a\nrjc. A1.249)
В частности, отсюда следует, что Рг- — инвариантны не только относительно преоб-
разований A1.171), но также и относительно а-преобразований или же всех тех преобра-
зований, которые имеют асимптотический вид A1.249). Это можно показать и непосредст-
венно, исследуя трансформационные свойства tyktl. Кроме того, если в A1.246) и
A1.247) массовая функция зависит только от 8, то из A1.215) следует, что В есть линей-
ная функция и, с коэффициентами, зависящими от 6. Следовательно, метрика A1.212) —
A1.213) зависит от времени с точностью до О2, а члены порядка О\ не удовлетворяют тре-
бованиям сферической симметрии. Это значит, что в природе могут существовать изо-
лированные, неизлучающие системы, метрика которых в глобально покоящейся системе
координат не сводится к A1.184).
Для изолированных систем Nu = 0 и Рг-, как было показано, удовлетворяют свой-
ствам 1—3 на стр. 327, т. е. Pi есть Лоренцев 4-вектор относительно асимптотически
лореицевых преобразований. В общем случае излучающей системы трансформационные
свойства оказываются более сложными [178]. Однако, если гравитационное излучение су-
ществует вообще, энергия излучения во всех практически реализуемых случаях будет
очень малой, так что 4-импульс любой островной системы можно считать с высокой точ-
ностью лоренцевым 4-вектором (см. упражнение ниже).
Предыдущий анализ осесимметричных систем может быть обобщен на случай ост-
ровных систем общего вида, рассмотренных Саксом [179]. В этом случае возникают уже
две информационные функции или одна комплексная функция N (и, 8, <р), а потеря 4-им-
пульса определяется формулой A1.233), в которой Nl следует заменить на | Nu |2 — квад-
рат модуля производной от комплексной функции N по и.
Хотя из исследований Бонди н др., Сакса и др. и вытекает, что гравитационное из-
лучение существует, полной уверенности в этом еще нет. Никому еще не удалось про-
должить асимптотическое решение A1.213), справедливое для пустого пространства,
внутрь флуктуирующей материальной системы, которая генерирует это асимптотическое
поле. В отличие от статистического сферически симметричного случая, где возможно сши-
вание внешнего и внутреннего решений Шварцшильда, для реальной жидкости нет уве-
ренности в том, что решение A1.213) является асимптотическим для любой реальной
островной системы. Кроме того, необходимо иметь в виду, что решения Бонди и Сакса
не общие, поскольку они исключают поступающее извне гравитационное излучение. До
тех пор пока не будет установлено экспериментально существование гравитационных
волн, нельзя использовать принцип причинности и отбрасывать решения типа A1.31),
состоящие из смеси входящих и исходящих волн. Поэтому важные работы Вебера
[264, 265] по конструированию генераторов и приемников гравитационного излучения
имеют принципиальное значение. Вебер уже показал, что существуют флуктуации
гравитационного поля на расстояниях порядка длины волны [266—268], однако этого
все еще недостаточно для нас, так как в этой зоне эффекты запаздывания исчезающе
малы. Тем не менее, существуют указания на то (хотя также не очень убедительные),
что эффекты гравитационного излучения в волновой зоне имеют космическое .проис-
хождение [266, 269, 270].
Без продолжения асимптотического решения A1.213) внутрь реальной материальной
системы нельзя вычислить информационную функцию N и зависимость интенсивности
гравитационного излучения от конкретных свойств системы. Однако мы можем допу-
стить, что вычисления, выполненные в рамках линейного приближения A1.45), дают, по^
крайней мере, правильный порядок интенсивности излучения. Если это верно, то она во
всех практических случаях будет исчезающе малой.
Упражнение
В приближении слабого поля A1.45) на больших расстояниях г от островной си-
стемы имеем
X№ = (x/2nr)aifc(«, в, ф)+О2, u = ct—r, A1.250)
где щи в волновой зоне вычисляется по A1.50). Далее, из A1.33)
j = a\ A1.251)
и в том же приближении
gik=zX\ik_flikt (I1.252)
где подъем индексов у hm, сць. и Xift выполнен с помощью r\lk. Здесь 1ци и Xih — функ-
ции от (г, 0, ф, и) порядка О\ по 1/г. Следовательно,
1
A1.253)
337
Поскольку %kk= О в соответствии с A1.28), то (а,-)ц|Чь = 0, что согласуется
с A1.50) для aik- Показать, что 2 и TkL имеют асимптотический вид
й = О3; т* = (Х/8Л. 2ягЗ) J(a{m)B (a^)u _ -1 (дя)а J
* 8лг2) {(ОХ|1)а-2 E^ я**
^ (D-Dh]1 пк п»1J} № |i*/2 +О3, A1.254)
где D|jV определяется по A1.49), а D= D[\
Далее, вводя понятие квадрупольного момента
0^ = 30^-8^0; ?5Ц = 0, A1.255)
можно показать, что
* " * й A1.256)
где k — гравитационная постоянная Ньютона.
Показать, используя A1.197), A1.228) и A1.256), что полный импульс в этом приб-
лижении постоянен, в то время как потеря энергии равна
-dH/dt = (k/45c*) (Q^Qj^). A1.257)
Заметим, что среднее по направлениям произведение компонент единичного век-
тора п^ равно нулю для любого нечетного числа сомножителей и что
n^ n — 6^/3;
A1.258)
Рассмотреть двойную звезду с массами mi и т2, вращающимися со скоростью со
Г) плоскости ху под действием ньютоновского притяжения. Вычислить ее квадруполышй
момент как функцию времени и показать, что потеря энергии за оборот согласно A1.257)
равна
— ЛЯ =F4jt/5)fen2r«cos/c6, A1.259)
где г — расстояние между массами системы, а |х = т1т2/{т1 + тг) — приведенная мас-
са. В ньютоновском приближении энергия связи системы равна
E = k(ml+m2)ii/2r. A1.260)
Следовательно,
— Д///Я = A28л/5) fn/(/Mi+m2)I(o/c)s, (П.261)
где v — г© — относительная скорость. Эта величина оказывается чрезвычайно малой
для всех известных двойных звезд и существенно возрастает лишь в исключительных
случаях.
§ 11.12. Другие формы комплекса анергин—импульса
Подняв индекс I в A1.153) и A1.177), получим
pimTk — Qik _i_ „ШГЬ — pimtykl ~(nim^il\ —„im ^kl
° m ~ l о lm S Tm, / \& Tm), i & , i Vm'
Это выражение можно переписать в виде
T'fe = %ik + xtk = ij?'*^ , A1.262)
где введены определения
Т* = g'«T* . + ^**(. =г« + г**; |
> A1. zoo)
= A /2x (— g)! /2) g'm« . A1.264)
338
Урав гение
Т'Д = О, A1.265)
вытекающее из A1.262) и A1.264), есть не что иное, как закон сохранения
в форме, предложенной Бергманом и Томсоном [22]. Уравнения A1.263), A1.264)
можно рассматривать как правила подъема индексов у комплексов
Т* и т*_ и у супер потенциала if)f. Очевидно, что Т'/{ и xik удовлетворяют
условиям 1—2 на стр. 325. Следовательно, величины %' B) и Р1, получаемые
из A1.160) и A1.166) заменой Tife на Т*, удовлетворяют свойствам A1.163),
A1.165) н 1—3 (см. стр. 327), A1.183), т. е. величины
р. = A1с) С Т<« йхУ dx2 dx3 = lim A/c) С ^iAX nxdf A1. 266)
J R-ъоо f
представляют собой контравариантные компоненты свободного 4-вектора
относительно произвольных линейных преобразований.
В глобально покоящейся системе координат с метрикой A1.184) асимпто-
тическая форма я|эш проста:
= (а/2хг2) A — ег>) (б'*п!~б'7 пк) + О3. A1.267)
Следовательно, в этой системе величины из A1.266), по аналогии с A1.186),
имеют вид
/30>-D«a/wNi = ei)P?,
а это означает, что Р'1 и Pt являются соответственно контравар иантными и ко-
вариантными компонентами вектора 4-импульса в произвольной системе ко-
ординат, если эта последняя получена из глобально покоящейся асимптоти-
чески линейным преобразованием. В частности, в асимптотически плоской ло-
ренцевой системе типа A1.156)—A1.159)
pi = r]ikpk = (piL) Hid), P» = P. A1.268)
Если умножить A1.262) на У(—g) и переставить члены, то можно по-
лучить комплекс энергии — импульса Ландау — Лифшица [130], а именно:
(Ц, 269)
A1.270)
]
Qik удовлетворяют условиям 1 и 2 на стр. 325.
Из A1.269) и A1.270) можно снова получить закон сохранения в виде
в% = 0. A1.271)
Из A1.269) видно, что Qik—аффинная тензорная плотность веса 2
и
Р[ L= (llc)\ B^dx1dxidxi = lim A/c) U'^d/ A1.272)
являются контравариантными компонентами векторной плотности веса 1
относительно линейных преобразований, и Pi.L есть 4-вектор относительна
только лоренцевых вращений. Это — недостаток такой формы комплекса
энергии — импульса. При использовании же асимптотически лоренцевой
339
) = ф f
где
:истемы координат уравнения A1.272) дают правильное значение 4-импульса
системы:
Pl.l =Pl- A1.273)
В этом можно убедиться, например, вычисляя Pl.l в системе с метрикой
A1.184) [суперпотенциал <рш здесь асимптотически тождествен г|)ш из
A1.267)]. Более того, 6'* имеет в этом случае преимущество в симметрии по i
и k, т. е. мы имеем, учитывая A1.269), A1.270) и A1.181),
6* = A/2*с) Q(,t!i = (l/2x) Q%mt = 6«. A1.274)
Остановимся теперь на трех различных интегральных выражениях A1.183),
A1.266) и A1.272) — A1.273) для полного 4-импульса изолированной системы.
Они различаются только распределением энергии и импульса по прост-
ранству— времени, которое, вообще говоря, не поддается даже точному опре-
делению. Однако, если рассматривать только распределение энергии, гло-
бально покоящаяся система уже является некоторым исключением. Как пока-
зано в приложении 6 [уравнение B7)], супер потенциал можно записать в виде
4>? = x"-i". A1.275)
Б глобально покоящейся системе типа A1.184) получаем следующее
асимптотическое выражение для ?*' из A1.185):
т. е.
Следовательно, |*' не дает какого-либо вклада в Pt системы, поэтому при
вычислении Pt можно заменить Т? комплексом
Т* = х*/ь A1.278)
т. е. величины
Р- = (\1с) \ Т*dx1 dx2 dx2 = lim —— I у- т df A1.279)
равны Pt
Pi = Pi A1.280)
в любой глобальной системе координат с асимптотической метрикой A1.184).
Комплекс f,fe., определенный в A1.278) и A1.276), обладает тем замеча-
тельным свойством, что Т^ преобразуется как векторная плотность при ка-
либровочных преобразованиях
„., ,1/„\. ч A1.281)
которые не меняют темпа хода координатных часов.
С помощью A1.281), где дхЧдх'* = 8Ш величина an^ginfK преобра-
зуется как 4-вектор, а из (9.194) и (9.200) видно, что f \ есть плотность дивер-
генции от ротора этого вектора:
*
f* .-|/(^)divMrot{a}}. A1.282)
340
Следовательно,
dH =3 — f 1 dx1 dx2 dx* = hy' /« dx1 dx2 dx3 = ЫК A1.283)
есть инвариант относительно произвольных чисто пространственных преобра-
зований, и dH можно интерпретировать как энергию, содержащуюся в беско-
нечно малом объеме dV. Это утверждение справедливо в любой системе, свя-
занной с исходной A1.171), а полная энергия
A1.284)
может быть вычислена даже в такой системе координат, которая не является
асимптотически прямолинейной, например в полярной системе.
Комплекс Tf. можно записать и в другой форме, особенно удобной для ста-
ционарных систем. Из A1.275), A1.276) и A1.278) получаем
где
Здесь мы использовали A1.153), A1.154) и A1.147). Следовательно,
/. A1.285)
Когда материальная система стационарна (например, в случае осесиммет-
ричного тела, вращающегося относительно оси симметрии), можно пользо-
ваться стационарной системой координат, в которой все gik не зависят от вре-
мени. В этом случае плотность энергии
ft=— HJy'f» * A1.286)
в соответствии с A1.285) имеет следующий вид:
^ )'/.(ГЙ-:П). A1.287)
Эта плотность энергии равна нулю вне материи, и полная энергия A1.284)
выражается интегралом, взятым только по пространству, занятому материей.
Для покоящейся несжимаемой жидкости, рассмотренной в § 11.7, из
A1.96), A1.107) и A1.108) получим
Используя A1.111), A1.106) и A1.287), имеем
^={Л-ДA-г8//?)|/.|(Зр/с8+^) = A0A-га/ЛаI/а, A1.289)
а интегрируя по пространству, занятому материей из A1.112), находим полную
гравитационную массу М, равную
J jxdV = 4л \ A° г2 dr = 4лг] [х'/З - М,
о
откуда следует, что ц можно интерпретировать как плотность гравитационной
массы. В соответствии с A1.289) \i уменьшается с ростом г, в отличие от собст-
венной массы |х°, которая в случае несжимаемой жидкости остается постоян-
ной. Поскольку (я и h инвариантны относительно чисто пространственных пре-
образований, мы нашли бы для них те же самые значения, пожелай мы вос-
341
пользоваться изотропной системой A1.119), гармонической системой или
любой другой системой пространственных координат.
Учитывая эти удовлетворительные свойства комплекса Tf и суперпо-
тенциала %с!, хотелось бы вообще, заменить Tf. на Т*. и считать послед-
ний истинным комплексом энергии -— импульса [171, 172, 185]. Но это было бы
не верно. Дело в том, что Тг изолированного тела в асимптотически лорен-
цевой системе A1.158), A1.159) является асимптотически порядка 03 вместо
04. Следовательно, величины A1.279) не преобразуются как 4-вектор относи-
тельно линейных преобразований, т. е. Pi совпадает с 4-импульсом только
в глобально покоящейся системе [175].
Мы видели, что полный 4-импульс любой асимптотически лоренцсвой системы опре-
деляется одним из интегралов A1.183), A1.266) или A1.272), а его распределение по
пространству — времени однозначно не определено. С точки зрения общего принципа
относительности не совсем удовлетворительно, что величины, определяющие Pi или Р\
являются 4-векторами только относительно асимптотически линейных преобразований.
Ранее мы установили, что 4-импульс частицы, которую можно рассматривать как ост-
ровную систему малой пространственной протяженности, является 4-вектором в произ-
вольной системе пространственно-временных координат. Поскольку различие между
«малой» и «большой» системами — понятие трудноопределимое, естественно было бы пот-
ребовать, чтобы удовлетворительная теория давала выражение для 4-импульса любой
изолированной системы, который являлся бы свободным 4-вектором относительно про-
извольных пространственно-временных преобразований. Можно показать, что для удов-
летворения этого требования необходимо, чтобы суперпотенциал был истинной (не только
аффинной) тензорной плотностью ранга 3 [182]. Ясно, однако, что такой объект невоз-
можно сконструировать из метрического тензора gth и его первых производных gik, if
а следовательно, нельзя удовлетворить указанным требованиям. В ряде статей автора
настоящей монографии [176, 178 — 181] был указан путь преодоления этих трудностей,
а именно: описывать гравитационное поле не метрическим тензором g^ (х), а тетрадным
полем А|о» (х). Связь между ними в каждой точке дается формулами (9.81) и (9.86)
h(a)ihka) = gik-
В этих статьях было показано, что возможно так определить суперпотенциал
И*' = — И;* через Л('а) и их первые производные hl(a-. k, чтобы он являлся тензорной
плотностью, а соответствующий комплекс энергии — импульса Т* = uf^ и интегралы.
Pi = A/c) \ Ttldx1dx2dx3 удовлетворяли бы всем необходимым физическим требованиям.
Далее, было показано, что Pi в асимптотически лоренцевых системах координат типа
рассмотренных в A1.158), A1.159) и A1.212) — A1.214) равны Pi, вытекающим из эйнш-
тейновских выражений A1.183) и A1.183')- После того как общековариантиые выражения
Pi получены с помощью тетрадного формализма, можно забыть о тетрадах вовсе и перейти
к вычислению Pi в системах координат, в которых справедливы комплексы A1.183),
A i.266) и A1.272), зависящие только от метрики. Таким путем можно прийти к компонен-
там 4-импульса изолированной системы, используя закон преобразования 4-вектора.
§ 11.13. Угловой момент изолированных систем
Полный угловой момент материальной системы плюс ее гравитационное
поле удобнее всего описывать комплексом A1.269), имея в виду свойства сим-
метрии Qik. Из A1.271) и A1.274) следует, что величина
Mlkl=xl9Kt—xkQLI A1.290)
удовлетворяет закону сохранения
М[к! = 0. A1.291)
Вводя A1.269) в A1.290), получаем
ММ = х' «pf'm — х* q>n™ = (х1 ер*"»—a* 9"«)t w—ф
Далее, из A1.270), используя A1.181), находим
342
] 1так, Мш имеет вид обычной дивергенции суперпотенциала, т. е.
M«w = /Cf, A1.292)
где
ftiklm _ Xi (рЫт__хк qllm j_ ( jy2x) Q''*"». A 1-293)
Супер потенциал A1.293) обладает свойствами симметрии
= _ ftkml = _ /(Н/м = ftkiml , A1.294 )
откуда видно, что закон сохранения A1.291) тождественно следует из A1.292).
По аналогии с A1.160) определим теперь интегралы на бесконечной прост-
ранственноподобной гиперповерхности
[lt A1.295)
с I
X
где dSt удовлетворяет условиям A1.161). Если 2 —'поверхность t ~ const,
то по аналогии с A1.165), A1.166), A1.183) и A1.183') имеем
A1.296)
где
М[к = A/с) С (л' 8'<4 —х* ?п) dx1 dx2 dx\ C1.297)
или, если учесть A1.292) и A1.294),
М'к = A/с) ^ Miki dx1 dx2 dx3 = A1с) \ К!Ц% dx1 dx2 dx3 =
dfx = lim A/с)\К'ш- nKR2da. A1.298)
Если й обозначает снова область 4-пространства, ограниченную двумя
пространственноподобными гиперповерхностями St и S2 и гиперцилиндром С
с радиусом R—>-оо, то, интегрируя A1.291) по й, получаем по аналогии
с A1.162)
S'7; B2) -З''г Bц.) + lim — Г M'kt dSt = 0. A1.299)
С
В послгднем интеграле d5j определяется в A1.195). Следовательно,
,Х«= lim A /с)С Al'"wdS; = lim С Al'w- d/>, ^ = lim С М'^ пл #2 dadt. A1.300;
Рассмотрим снова изолированную материальную систему в асимптоти-
чески лоренцевой системе координат типа A1.158), A1.159). Если метрика на
пространственной бесконечности такова, что предел интеграла A1.300) равен
нулю, т. е.
Х'* = 0, A1.301)
то из A1.299) по аналогии с A1.163) получим
З'*B^) = 3'*Bа). A1.302)
По тем же соображениям, что приведены на стр. 327, из A1.302) следу-
ет, что величина A1.297) удовлетворяет свойствам, аналогичным 1—3 (стр. 327),
а именно свойству 4: Mih не зависит от времени. Эта величина преобразуется
как свободный контравариантныи 4-тензор относительно лоренцевых преобра-
зований и инвариантна относительно преобразований A1.171), не меняющих
метрику на пространственной бесконечности.
343
Эти свойства и сама форма интеграла A1.297) показывают, что Mik яв-
ляется 4-тензором полного момента материи и гравитационного поля.
Учитывая A1.269), Mik можно разбить на две части
Mik = A/с) J (х< %ki—xk%") V(~g) dx1 dx2dx* +
+ {lie) J (*fflfe4—xfe#w) у (~-g)dx1dxidjfi1 A1,303)
которые можно было бы интерпретировать как описывающие материю и гра-
витационное поле соответственно. К сожалению, такая интерпретация не име-
ет ясного физического смысла, поскольку оба интеграла в A1.303) сильно
зависят от выбора координат внутри системы. Только сумма Mik удовлетво-
ряет всем свойствам 4 при условии выполнения A1.301), что следует прове-
рять каждый раз. Это обстоятельство — еще одна иллюстрация тесной связи
материи и гравитационного поля в теории Эйнштейна.
В качестве примера рассмотрим решение уравнений поля, найденное Керром [125,
126], которое описывает метрику пространства — времени вне вращающейся массы. В оп-
ределенной асимптотически лоренцевой системе координат
х1 = (х, у, г, ct) = (r sin 0 cos cp, r sin 6 sin ф, г cos 9, ct) A1.304)
линейный элемент Керра имеет вид
ds2 = dxu+dy2+dz2~-c'i dt2 -f [ap3/(p4 -f a2 z3)] (d<DK; ]
d(D = p (xdx-\-у dy)](p'i-\-al) -\-a (xdy — у dx)j{p'1J\-ar)Jr \ A1.305)
+ zdz/p — cdt, J
где a и a — постоянные интегрирования, а р связано с г = (х2 + у8 + z2I''2 алгебраи-
ческим уравнением
р4—(/•* —a«)p« —a2z2 = 0. A1.306)
Форма dO и ds2 говорит о том, что метрика Керра обладает аксиальной симметрией,
но не обладает симметрией отражения.
Непосредственное вычисление R^ в этой метрике показывает, что уравнения поля
A1.201) удовлетворяются, однако решение до сих пор еще не продолжено внутрь материи,
порождающей это поле. Полагая, что такое продолжение возможно, т. е., что решение Кер-
ра описывает метрику вне реальной системы, вычислим 4-импульс Р' и угловой 4-момент
Mlk источника метрики Керра по уравнениям A1.272), A1.266) И A1.298). Для этого
нам необходимо знать только асимптотическую форму метрики A1.305).
Для больших г, малых а/r из A1.306) и A1.305) получим
A1.307)
d<D=— щ dx1 + (a sin вfr) Itd
где [ii и /j — величины, определенные в A1.207).
Из A1.307) и A1.305) находим компоненты метрического тензора
= —aa sin в
A1.308)
Выражение для a^ есть частный случай A1.214) при ]V= Ои.Д=сх= const. Сле-
довательно, рассматриваемая метрика аксиально симметрична и симметрична относи-
тельно отражений с точностью до Oj. Поскольку массовая функция постоянна, из сооб-
ражений, изложенных на стр. 336,
бг4, A1.309)
что и следовало ожидать. С другой стороны, член zi% порядка О2 аксиально симметричен,
но не симметричен относительно отражений. По этой причине члены такого типа не со-
держатся в A1.214) (конечно, это лишь частный случай общей метрики, рассмотренной
Саксом [212]).
344
Производные величин щ-^ и zih в A1.308) можно получить из A1.220), а прямыми
вычислениями — асимптотические выражения для <p!kl A1.270) и }{iklm A1.293), соот-
ветствующие метрике Керра A1.308). Находим
? ) A1.310)
Поскольку среднее значение п1 по всем направлениям равно нулю, выражение
A1.272) сводится к A1.309) для Р'. Далее, среднее по всем направлениям значение
подынтегрального выражения в A1.298) равно
Kiki%пк = (Зсш/2к/~2) sinQ (пЧк — nkll)
и
Mik = Caa/2w) ^(пЧк — пк11) sin Q dm. A1.311)
Следовательно,
Mu=M*k = 0, A1.312)
и для вектора углового момента получаем выражение
Ми = env3i MV%I2 = (Заа/2хс) J е^ nv /я s in в Ло =
= (Зао/2хс) |j ( — т ) sin2 в d6 ^ф --= б^д (Заа/2хс) 2л | sin2 6 йв,
о
или
Жц = бц34лаа/>сс = Мса^з, A1.313)
где /И — полная масса A1.88). Итак, вектор углового момента материальной системы,
порождающей внешнюю метрику A1.305), направлен по оси симметрии, а его модуль
|М|=Мс|а|. A1.314)
Покажем, наконец, что условие A1.301) удовлетворяется в нашем случае- Во-пер-
вых, легко видеть, что 6'vnv есть величина порядка Оъ при больших г. Запишем
0ivnv = (Oby. A1.315)
Поскольку хс=гп1-{-х*&[, на цилиндре С A1.300) имеем
где мы положили
Следовательно,
Х1к= lim f {п1 (Ог)к — пк (О2у\ dcodt-{-
Д->оо ?
+ ПтA/с) Г <6l(O3)fe—6f (Os)'}d(o**dx*. A1.316)
Поскольку протяженность цилиндра С в пространственноподобном направлении воз-
растает не быстрее г, интегралы в A1.316) будут порядка Oj. Поэтому условие A1,301)
удовлетворяется, и М имеет все свойства типа 4 на стр. 343.
4-Тензор углового момента М удовлетворяет и соотношению
MttPk = 0. A1.317)
В глобально покоящейся системе координат условие A1.317) есть просто следствие
< 11.309) и A1.312). Поэтому, учитывая трансформационные свойства 1—4, видим, что
A1.317) должно иметь место в произвольной асимптотически лоренцевой системе коорди-
нат.
Глава
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ ПРОВЕРКА
ОБЩЕЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ.
КОСМОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ
§ 12Л. Эйнштейновское, или гравитационное, смещение
спектральных линии
В то время как следствия СТО проверены с высокой степенью точности
в многочисленных экспериментах, экспериментальное подтверждение общей
теории относительности на протяжении полувека ограничивалось всего лишь
тремя классическими эйнштейновскими эффектами: красное смещение спект-
ральных линий излучения небесных тел, сдвиг перигелия Меркурия и откло-
нение света гравитационным полем Солнца. Учитывая трудность точного ис-
следования физических условий на небесных телах, эти подтверждения тео-
рии можно считать до некоторой степени неопределенными, и долгое время
казалось невероятным, чтобы стала возможной какая бы то ни была проверка
общей теории относительности в земных или околоземных условиях. Однако
во второй половине пятидесятых годов ситуация в этом отношении резко изме-
нилась. Огромный прогресс экспериментальной техники и запуск космических
аппаратов открыли совершенно новые, неожиданные возможности проверки
общей теории относительности.
Наиболее простой из трех классических эффектов — эйнштейновское
смещение спектральных линий излучения атомов в стационарном гравита-
ционном поле, наблюдаемое в точке с гравитационным потенциалом, отличным
от потенциала в месте излучения. Теоретически этот эффект был детально
рассмотрен в § 10.7. Его можно рассматривать как смещение либо спектроско-
пической стандартной частоты v0, либо координатной частоты v0. В любом слу-
чае относительное смещение выражается формулами A0.212), A0.218):
--l. A2.1)
Излучающие атомы, как это легко показать [168], обладают свойствами
идеальных стандартных часов высокой точности. Следовательно, уравнение
A2.1) можно рассматривать также и как следствие формулы (8.116)*
A2.2)
из которой следует связь хода покоящихся в гравитационном поле стандарт-
ных часов с ходом координатных часов в стационарной системе координат..
В гравитационном поле Солнца в соответствии с A1.83) и A1.88) имеем
=— alr=~ 2Ш/с2г» A2.3)
где масса Солнца
М - 1,983-1033 г. A2.4)
Если положить г равным обычному астрономическому значению радиуса
Солнца г, т. е.
г1 = 6,95-1010 см, A2.5)
* Эта формула, являющаяся следствием принципа эквивалентности, служила
важным предметом обсуждения в дискуссии Эйнштейна и Бора по принципам квантовоме-
ханического описания [27].
346
то для A2.3) получим значение
2ъ1сп- =-- — 4,24. Ю-6. A2.6)
Координата г оказывается не равной точно расстоянию, вычисленному
стандартными астрономическими методами в предположении, что пространство
евклидово, а свет распространяется прямолинейно. Разница, однако, полу-
чается очень маленькой, а поскольку 2%/с2 — величина малая, ошибка, возни-
кающая при замене г на гъ оказывается величиной высшего порядка малости.
Рассматривая A2.1) в терминах малых величин ^/с2 и y^fc*", для смещения спект-
ральных линий излучения с поверхности Солнца, регистрируемого на Земле,
получаем величину
Avo/vo = Avo/vo = (x1-X4)/c2=-2,12.10-». A2.7)
Здесь мы воспользовались формулой A2.6) и пренебрегли величиной Хг> ко"
торая примерно в сто раз меньше %t.
В соответствии с A2.7) спектральные линии, излученные атомами у поверх-
ности Солнца, должны слегка сместиться в красную сторону по сравнению
<с тем же спектром, но излученным «земными» атомами. Этот интересный эф-
фект, предсказанный Эйнштейном 169], качественно согласовался с наблюде-
ниями излучения Солнца и тяжелого спутника Сириуса, где эффект оказался
в тридцать раз больше [8, 100, 216]. Однако количественное соответствие было
не совсем хорошее. Нужно принять во внимание, что формула A2.7) выведена
для случая излучающих атомов, находящихся в покое. Чтобы учесть движе-
ние атомов, нужно A2.7) заменить формулой, вытекающей из A0.210), которая
содержит комбинацию эффектов Доплера и Эйнштейна. Действительное сме-
щение спектральных линий, как было показано, содержит суперпозицию обоих
этих эффектов. В то время как излучение края солнечного диска хорошо опи-
сывается формулой A2.7), свет от центра диска смещен в красную сторону на
величину, равную одной трети значения A2.7) [6, 7, 23, 26, 90, 99, 150]. Этот
краевой эффект легко объяснить, если предположить, что излучающие атомы
принадлежат к той части фотосферы Солнца, которая совершает радиальное
движение от центра. С другой стороны, ясно, что количественная проверка
формулы красного смещения будет оставаться неточной до тех пор, пока мы не
разберемся детально в кинематике фотосферы.
Как уже было сказано выше, эффект смещений линий есть не что иное,
как подтверждение зависимости хода стандартных часов от гравитационного
поля и скорости, выраженной формулой A2.2) или, в более общем виде, форму-
лой (8.114). Поэтому запуск космических аппаратов и конструирование точ-
ных атомных часов открыли новые возможности измерения этого эффекта
путем сравнения хода часов, находящихся на спутнике, с ходом идентичных
земных часов. Эта возможность обсуждалась в ряде статей [105, 170, 230]
в тот самый период, когда был запущен первый в мире советский искусствен-
ный спутник. Однако прежде чем стала возможной реализация подобного экс-
перимента, Мёссбауэр в 1958 г. сделал открытие, позволившее более точно про-
верить теорию Эйнштейна в земных условиях.
Смещение спектральных линий в гравитационном поле Земли, конечно,
гораздо меньше, чем в поле Солнца. Если источник света помещен на высоте
22,5 м над наблюдателем (как это и было в реализованном эксперименте), то
вместо A2.7) можно записать
AVvo = (Xi-X2)/c2 = 22,5(a/c2) = 2,47.l0-15. A2.8)
Здесь а — 9,81 м-сек — гравитационное ускорение на поверхности Земли
Icp. с (8.110)].
Чтобы проверить эту формулу, необходимо с высокой степенью точности
измерять частоту (или энергию) фотонов. Один из методов — регистрирова-
ние резонансного поглощения фотонов от источника 1 в поглотителе 2, состоя-
347
щем из того же материала, что и источник. Другой метод — использование
фотонов с хорошо определенной энергией. Для этого целесообразно использо-
вать источник у-излучения, так как у-линии обычно более узки, чем в оптиче-
ском диапазоне. Однако спектральные линии нормального у-излучения сво-
бодных ядер все еще относительно широкие вследствие теплового доплер-
эффекта. Более того, отдача ядер, описываемая формулами A0.203) и
A0.206), вызывает смещение линий много больше их ширины, так что
никакого резонансного поглощения не возникает. Как было показано
Мёссбауэром [188], оба эти эффекта могут быть нейтрализованы, если исполь-
зовать ядра в больших кристаллах, поглощающих импульс отдачи. В таких
условиях ширина линий практически равна «естественной» ширине, а центр
линии вычисляется по формуле A0.207).
Используя эффект Мёссбауэра в источнике излучения и его приемнике,
заставляя источник двигаться так, чтобы компенсировать гравитационное
смещение эффектом Доплера, Паунд с сотрудниками проверили формулу
A2.8) с погрешностью 1% [199, 200]. Формула A0.213) для эйнштейновского
смещения оказалась в очень хорошем согласии с экспериментом. Нужно пом-
нить, однако, что эта формула справедлива с точностью до %/с2. Чтобы прове-
рить точную формулу A1.218), нужно уметь измерять относительное смещение
частоты с точностью до {%1с2)%. На поверхности Земли (%/с2J?^ 108, а мы не
располагаем способами измерения таких величин, по крайней мере в настоя-
щее время.
Эйнштейновское смещение можно проверить и в непостоянных гравита-
ционных полях. Крэншоу, Шиффер и Уайтхед [53, 54] выполнили эксперимент,
в котором источник и поглотитель были укреплены на быстро вращающемся
роторе на расстояниях от центра rs несоответственно. Во вращающейся с по-
стоянной скоростью системе координат S*, определяемой формулой (8.77),
скалярный гравитационный потенциал в соответствии с (8.79) и (8.109) есть
% = —rW/2, A2.9)
где « — угловая частота диска. Смещение частоты в устранимом гравита-
ционном поле в соответствии с A0.213) равно
Avo/vo = w2(^-r25)/2c2. A2.10)
Для га > г8 смещение происходит в сторону больших частот. Поглощение или,
вернее, преобразование у-квантов регистрировалось на шести фиксированных
скоростях: 100, 200, 300, 400, 450 и 500 об/сек с погрешностью 0,1%. Соответ-
ствующее экспериментальное смещение частоты, как было показано, подчиня-
лось формуле
Av0/v0=/od2 {rl — rfyZ?, A2.11)
где
k = 1,001 ± 0,002, A2.12)
причем теоретическое значение k = 1. Этот эксперимент совместно с экспе-
риментами Паунда можно рассматривать как точное доказательство эквива-
лентности устранимого и неустранимого гравитационных полей.
Вычисление смещения частоты по формуле A2.10) производилось во вра-
щающейся системе координат 5*. Мы можем конечно, вычислить это смещение
и в лабораторной системе, которую в данном случае можно рассматривать как
инерциальную систему без гравитационного поля. С этой точки зрения смеще-
ние частоты есть чисто релятивистский эффект Доплера (СТО). Обозначим
va и va частоты излучения, измеренные в инерциальных системах отсчета, по-
коящихся вместе с источником и поглотителем соответственно. Тогда, если
us ии,- векторы скорости по отношению к системе S, из B.90) для частоты
v в S мы получим
v = ve(l—«IW/d—e-ue/c) = vo(l — «5/caVW(l—e-ua/c), A2.13)
348
где е определяет направление луча относительно S. Поскольку векторы ско-
рости и^ и иа касательные к круговым траекториям и
us = rsa, ua = ra(a, A2.14)
простой геометрический анализ показывает, что направление е ортогонально
направлению относительной скорости u = us — иа. Следовательно,
e-us = e-ua, A2.15)
и из A2.13) получаем
[u2a/c2)}4\ A2.16)
Здесь va и vs — частоты излучения, измеряемые стандартными часами, движу-
щимися совместно с поглотителем и источником соответственно, т. е. они тож-
дественны стандартной частоте v0 во вращающейся системе S* в месте на-
хождения источника и поглотителя. Следовательно,
A2.17)
Используя A2.14), видим, что A2.17) тождественно A2.10).
С этой точки зрения рассмотренные эксперименты могут служить еще
одним подтверждением релятивистского эффекта Доплера B.90). Уже в трид-
цатых годах Айвсу удалось проверить формулу B.90) в оптических экспери-
ментах (см. стр. 16, 49). Мандельберг и Виттен [151] повторили эксперимент
Айвса, но уже с более высокой точностью. Для эффекта второго порядка они
нашли эмпирическую формулу
Av/v = —kvVc2, A2.18)
где
k = 0,498 ± 0,025, A2.19)
причем теоретическое значение k ~ 1/2. Сравнение A2.18) и A2.19) с A2.11),
A2.12) и A2.17) показывает, что эксперименты Крэншоу и др., в которых
был использован эффект Мёссбауэра, обладают значительно более высокой
точностью.
Эти эксперименты ни в коем случае не обнаруживают какого бы то ни было эфир-
ного ветра, поэтому их можно рассматривать как новую проверку специальной теории
относительности. В соответствии с теорией мирового эфира, формула A2.17) для сме-
щения частоты должна содержать член, зависящий от абсолютной скорости лабораторной
системы. Пусть Se — абсолютная ннерциальная система, в которой эфир покоится, а S,
как и прежде, лабораторная система, движущаяся относительно Se с абсолютной ско-
ростью v. Рассмотрим плоскую монохроматическую световую волну, характеризующую-
ся нормально п, частотами v и ve относительно S и Se соответственно. Тогда согласно
A.20) имеем
v = ve(\ — n-v/c). A2.20)
Обозначим через Ss ннерциальную систему, в которой источник излучения покоит-
ся. Применяя к ней A2.20), получаем
vs = ve(l — n-vjc), A2.21)
где vs — собственная частота, а \s — абсолютная скорость источника. Тогда
v=Vs(l — n-v/c)/(l — n-vs/c). A2.22)
Разлагая по vie и vslc, получаем с точностью до величин второго порядка
v = vs{H-(n-ue)/c4-(n-usJ/c2+(n-v)(n.us)/c3}) A2.23)
где
Ujs = vs — v A2.24)
есть скорость источника относительно лабораторной системы S. Формула A2.23) с точ-
ностью до обозначений совпадает с A.23).
34 &¦
В нерелятивистской теории направление нормали п инвариантно; однако в экспе-
риментах более подходящей величиной является вектор направления потока энергии е.
Как показано в § 1.6, скорость луча w = wt в S связана со скоростью we = en в Se обыч-
ной теоремой сложения скоростей частицы. Следовательно,
A2.25)
— v-c A2.26)
[ср. с A.32) —A.35)];
n=a>e/e + v/c = (l — v-e/c) e+v/c+O {v^/c2). A2.27)
Подставив о A2.23) уравнение A2.27), получим формулу Доплера, следующую
из теории эфира, по крайней мере, с точностью до членов второго порядка:
v = vs {l+e-us/c-f(e-usJ/c4-v-us/c2}. A2.28)
По аналогии с A2.13) получим
v=vn{l+e-ua/c-H(e-uaJ/c3-|-v-ua/c3}, A2.29)
где va — частота, измеренная в системе покоя поглотителя, а аа — скорость последнего
в S. Исключая v из A2.28) и A2.29) и используя A2.15), для величин второго порядка
находим
va = v* {1+v-u/c2}, u = us —ua, A2.30)
или (vo— Vj!)/vs = v-u/c2, A2.31)
что заменяет A2.17) в абсолютной теории. Это смещение частоты зависит линейно от аб-
солютной скорости лаборатории v, а также от us и ua. Однако такая зависимость в экспе-
риментах Крэншоу н др. не была обнаружена. Более того, наблюдался совсем другой тип
зависимости от us и иа, а именно тот, который следует из релятивистской теории A2.17).
Имея в виду далеко идущие следствия специального принципа относительности, чрез-
вычайно важно проанализировать в деталях те немногие эксперименты, которые были
выполнены с целью его подтверждения. Классический ннтерферометрический экспери-
мент Майкельсона, на котором основывалась специальная теория относительности, был
выполнен в конце прошлого века. Его результаты оспаривались Миллером, но даже
более поздние измерения Иосса [121] позволили указать лишь верхний предел эфир-
ного ветра, равный 1,5 км/сек, т.е. не более 1/20 орбитальной скорости Земли. В 1955 г.
Эссен 187, 88] выполнил эксперимент, который можно трактовать как микроволновый
аналог эксперимента Майкельсона. Эссен пришел к ожидаемому нулевому результату,
причем с точностью более высокой, чем в оптических измерениях.
Тем не менее, очень желательно обратиться к другим прямым проверкам принципа
относительности с тем, чтобы получить ясный и прямой ответ на вопрос: существует
эфир или нет? На Международном конгрессе по фундаментальным константам (Турин,
1956 г.) было заявлено, что эксперимент такого рода можно выполнить с помощью двух
мазеров с противоположно направленными молекулярными пучками [170]. Например,
пучок возбужденных молекул аммиака направляется в резонатор. При достаточно высо-
кой интенсивности пучка можно получить очень высокую монохроматичность излучения
в резонаторе, обязанную вынужденным микроволновым переходам в молекулах. По-
скольку молекулы входят в резонатор с конечной скоростью, частота испускаемого ими
излучения, в соответствии с эффектом Доплера, зависит от направления излучения.
Из теории мазеров следует, что характеристическая частота мазерных колебаний vni
определяется доплеровской частотой излучения, испущенного перпендикулярно к мо-
лекулярному пучку [129, 177].
Для той же частоты из теории мирового эфира следует формула A2.28), и если по-
ложить в ней e-us = 0, то
vm = vs<l-f-v-us/c2h A2.32)
где vs — собственная частота, а us — скорость молекул в пучке. Если теперь взять два
тождественных мазера с противоположно направленными пучками, то из теории эфира
следует величина относительной разности частот, равная 2|v-us|/c3. Ее можно изме-
рить рассматривая интерференцию характеристических частот мазера. Поворот мазеров
па 180° приведет к разности в частоте биений Avs | v-us |/са. С другой стороны, совер-
шенно ясно, что из релятивистской формулы Доплера A2.13) при e-us=0 такой эффект
вообще не следует. Такой эксперимент был выполнен Седерхолмом, Блендом, Хейвенсом
и Таунсом [23G1 и, как ожидалось, дал нулевой результат. Имея в виду высокую точно-
сть измерений A0~12), экспериментаторы заявили, что скорость эфира не может превы-
шать 1/30 км/сек, т. е. они в 45 раз снизили верхний предел скорости эфира, указанный
до этого в оптических экспериментах. Заметим, что теперь скорость эфира не может
превышать 0,001 орбитальной скорости Земли.
Уже было указано, что эксперимент Крэншоу и др. находится в явном несоответст-
вии с формулой A2.30) абсолютной теории. Небольшое изменение оборудования позво-
ляет превратить этот эксперимент в нулевой, что гораздо удобнее для указания верхнего
•350
Упражнение
Показать, что четыре функции f {к )в преобразовании (9.243), связывающие произ-
вольную систему S с системой S' гармонических координат, являются решениями урав-
нения
П Ч> <*) = 0. (9.281)
где ? —ковариантный оператор Д'Аламбера (9.197).
Другим полезным примером координатных условий являются соотноше-
ния Эйнштейна:
gkldgkl/dtf = 0. (9.282)
В соответствии с (9.126) и (9.127) их можно представить в виде Г^ = О,
dgjdx1 — 0, т. е. g = const. Постоянную всегда можно положить равной — 1.
Поэтому условия (9.282) эквивалентны требованию, чтобы определитель g мет-
рического тензора везде был равен—1;
g = —1. (9.282')
§ 9.16. Калибровочно-инвариантные величины.
Стандартные 4-тензоры.
В предыдущих параграфах мы рассматривали множество величин, кото-
рые для полной группы общих пространственно-временных преобразований
являлись векторами и тензорами. Однако часто приходится иметь дело с ве-
личинами, которые ведут себя как тензоры при более ограниченной группе пре-
образований. Например, упоминавшиеся в § 9.5 аффинные тензоры являются
тензорами лишь относительно линейных преобразований. Теперь исследуем
подгруппу преобразований (8.59), названных в §8.13 калибровочными преоб-
разованиями. Чтобы избежать ненужных усложнений, рассмотрим лишь такие
преобразования, для которых а* = дх'Удх4 > 0, т. е. откажемся от исполь-
зования часов, идущих в обратном направлении. Таким образом, рассматри-
ваемые калибровочные преобразования имеют вид
* = а!( = 0; а$>0.
При таких преобразованиях система отсчета R, соответствующая системе ко-
ординат S, не изменяется, так как преобразования (9.283) просто вводят другое
упорядочивание точек отсчета и изменяют скорость и установку хода коорди-
натных часов. Калибровочные преобразования (9.283) могут быть составлены
из чисто пространственного преобразования
х'» = х'*(&)\ х'* = х*, (9.284)
которому предшествовало произвольное изменение масштаба времени
(9.285)
При преобразованиях (9.284) пространственные компоненты А* и А^ 4-век-
тора Аг = gihAk преобразуются как контравариантные и ковариантные ком-
поненты 3-вектора соответственно, но в общем случае они являются компонен-
тами двух различных 3-векторов, поскольку А^ равно yu,vAv лишь в частном
случае. Наша цель — построить калибровочно-инвариантные величины. Для
этого удобно в каждой системе координат S ввести следующие величины:
0,
\
251
Поскольку гравитационное поле статично, энергия частицы Я, определяе-
мая формулой A0.95), постоянна. Следовательно,
2^ Г A+2х/с2) = Г A-«//¦)==?> A2.43)
есть первый интеграл уравнения движения, где D ¦— постоянная интегриро-
вания, равная энергии системы, деленной на т0с2.
Из A2.42 б) видим, что
G = эх/2 A2.44)
есть второй интеграл уравнения движения.
Учитывая сферическую симметрию задачи, можем рассматривать любую
плоскость как 6 = л/2, т. е. орбита частицы может лежать в любой плоско-
сти, проходящей через центр. Используя A2.44) и A2.42 в), получаем еще
один интеграл
1>2ф = СД A2.45)
где С — другая постоянная интегрирования. Это уравнение, если учесть
A2.43), можно переписать в виде
— а/г) = С. A2.46)
Даже для Меркурия — планеты, ближайшей к Солнцу, отношение а/г
является очень малой величиной порядка
tt5*l0-8, A2.47)
а для других планет а/г еще меньше. Следовательно, во всех реальных рас-
четах гравитационное поле можно считать слабым, а поскольку и2/с2 <^ 1»
то в качестве первого приближения для Н в A2.43) можно использовать
A0.110). Далее, используя A2.39), A2.37) и A2.44) для A2.43) получим в этом
приближении
(;а + гаф2)/2—Ш//- = const, A2.48)
т. е. обычный интеграл энергии в теории Ньютона. В этом же приближении
A2.46) сводится к
г2ф-С, A2.49)
г. е. к закону сохранения углового момента. Орбиты, следующие из A2.48)
и A2.49), представляют собой эллипсы
-cp,,)}-1, р = аA-е2), A2.50)
где е — эксцентриситет, a
/i=p/(l—е) = аA+в), rs = p/(l+e) = a(l~e), A2.51)
причем гх и г2 соответствуют афелию и перигелию планеты. Для Меркурия
имеем
е - 0,2056, р = 5,786-10 10 ж. A2.52)
В случае сильных полей уравнение A2.48) должно быть заменено уравнением
энергии A2.43), и вместо A2.49) мы получим интеграл A2.46).
Чтобы определить орбиту в общем случае, введем величину р = 1/г вмес-
то г. Из A2.46) имеем
г = (dr/dq>) ф = (dr/dp) (dp/dif) (C/r2) A — air) = — (dp/dq>) С A —ар). A2.53)
С помощью формул A2.39), A2.44), A2.46) и A2.53) для скорости частицы по-
лучим формулу
«2 = С2A— ар) {(ф/^фJ + р2—ар3). A2.54)
352
На ользование выражения A2.38) для Г и возведение в квадрат уравнения
гергии A2.43) дает
A —apJ = D2(l —ар—ма/с2). A2.55)
[одставляя выражение A2.54) вместо и2 и решая относительно (ф/dq)J, по-
учаем дифференциальное уравнение для орбиты частицы
(dp/dcpJ= Л + ?р —р2 + ар3, A2.56)
де А и В — константы. С учетом A2.47) последний член в этом уравнении
казывается малым по сравнению с р3, и, если пренебречь им, уравнение A2.56)
водится к уравнению, которое можно получить из ньютоновских уравнений
12.48) и A2.49), а именно:
(dp/d<pJ = A + 5p—p2. A2.57)
Легко видеть, что A2.50) есть решение этого приближенного уравнения.
Максимальное и минимальное значения р, соответствующие перигелию и афе-
[ию, просто корни квадратного уравнения
А + Вр—р2-0. A2.58)
Пусть Pi и р2 — два корня, которые должны быть вещественными и по-
гожительными в случае, если орбита находится целиком внутри конечной
>бласти пространства. Тогда в соответствии с A2.51) имеем
Pi = A — е)/р, ра = A + гIр. A2.59)
А уравнение A2.57) можно теперь переписать в форме
A2.60)
интеграл
a—4>i = [ dpi V {(р—pt)(p2—p)} =
эткуда для <р2 — фх при изменении р от р1 до р2 получим интеграл
Р
(Pl + P2)j^(pe Pl)Jp n A2.61)
в соответствии с решением A2.50).
Возвращаясь к точному уравнению A2.56), видим, что правая часть его —
полином третьей степени, и уравнение, получаемое при условии dp/dq — 0,
имеет три корня рь р2, р3. При малых значениях а два из них, например рх
и р2, можно примерно приравнять двум корням A2.59) уравнения A2.58), и
поскольку
Pi + Р2 + Рз = 1/«, A2.62)
то рз должен быть очень большим при малом а. Корни pt и р2 поэтому снова
дают минимальный и максимальный параметры орбиты планеты. Вместо A2.60)
имеем теперь
dp/dq>=± {a(p — рг)(р — Р2)(р—Рз)}1/1 =
[ ]}], A2.63)
где использовано уравнение
«Рз = 1 — а (р! + р2).
вытекающее из A2.62). Поскольку ар и а (рх + Рг) — малые величины, в пер-
вом приближении по а получим
^Ф = ± fdp/{(p-Pi) (Ра-Р)}1/2] |1 +a(Pl + p2)/2) {I + ap/2},
а для ф2 — Ф1 ПРИ изменении р от рх до р2 имеем
Рг
JJ
'+ар/2
X
p—V(P1+P^
arcsm"
— (Р2—Pl)
Pi
Следовательно, различие в ср между двумя последовательными перигелиями
составляет
2 <<*-<*) = 2A+ К
^ | A2.64)
т. е. отличается от величины 2л, полученной из A2.61), на разность
Aq> = Cna/2)(px + p2). A2.65)
Этот результат можно интерпретировать как смещение перигелия орбиты
при каждом последовательном обороте планеты. Поскольку A2.65) дает очень
малое значение смещения, то вместо рк и р2 можно рассматривать их прибли-
женные значения A2.59). Тогда, используя A2.52), для Меркурия получим
смещение перигелия, равное 42,9" за столетие. Это значение хорошо согласуется
с данными наблюдений, если из них вычесть эффект, обязанный влиянию на
орбиту Меркурия других планет [51]. Смещения перигелиев Венеры и Земли
еще меньше, так что различие между экспериментальным и теоретическим зна-
чениями лежит в пределах экспериментальной погрешности [231. Сравнитель-
но недавно наблюдения астероида Икар показали, что его движение подчи-
няется предсказаниям общей теории относительности с погрешностью 20%
[228]. В литературе обсуждалась также возможная роль гравитационного квад-
рупольного момента Солнца, вывод о существовании которого следовал иэ
наблюдений видимой сплюснутости Солнца [59, 61]. Видимо, запуск искусст-
венных планет (спутников Солнца) позволит в будущем провести решающие
измерения этих эффектов.
Вместо формы Шварцшильда линейного элемента A1.83) мы могли бы ис-
пользовать метрику A1.86), соответствующую изотропным координатам A1.85),
или любую другую, например метрику Леметра A1.93), В этих координатах
уравнения движения будут выглядеть несколько сложнее, но конечный резуль-
тат — значение для смещения перигелия, естественно, будет то же, что к
в A2.65).
§ 12.3. Гравитационное отклонение света
Третий классический эйнштейновский эффект — отклонение луча света
гравитационным полем Солнца. Поскольку это поле статично, траектория лу-
ча, в соответствии с выводами § 10.5, определяется принципом Ферма, т. е.
уравнениями A0.145) и A0.146), которые в частном случае A2.36) принимают
вид
do da 2 dxv c*3
*3 dvu
где
x№ = dx^/da; c* = c(l —a//-I'*; da = g^dx» dxv. A2.67)
354
Как л в предыдущем параграфе, найдем, что
6 = я/2; г2ф/с* = С A2.68)
являются интегралами уравнения A2.66) при ц = 2,3. Далее, из A2.67),
A2.36) и A2.68) получим
У = г7A — a/r)+CV(l— a/r)/r2-!. A2.69)
Вводя р = 1/г в качестве новой переменной в A2.69), имеем
г = dr/da = (drfdy) (dylda) = — A/р2) (dp/^Ф) Сс* р2 = —Сс A — apI/2(rfp/dq>),
(ф/Лр)"= 1/с2С2—р2 + ар3^1/А2—р2 + ар3, A2.70)
где положили А = сС.
Теперь рассмотрим луч света, движущийся из бесконечности (р = 0)
вдоль направления ср = 0. Пренебрегая в A2.70) малой величиной ар3, легко
интегрируем это уравнение. Получаем
0
т. е.
p = (l/A)sin<p, r = A/sin9. A2.71)
Если изобразить полученную траекторию на евклидовой плоскости, где коор-
динаты риф имеют смысл обычных полярных координат, то A2.71) будет пред-
ставлять собой прямую линию, отстоящую от центра г = 0 на расстояние Д
при ср = л/2 и уходящую на бесконечность при ф ->¦ л.
Точное уравнение A2.70) может быть записано в виде
о2)'/2) A2.72)
где вместо р мы ввели новую переменную
а = Др A — арI/2. A2.73)
Поскольку ар — малая величина, можно записать
а = Др A — ар/2); Др = а A + ар/2) =v A + аа/2Д). A2.74)
Следовательно, Adp = do (I 4- сса/Д), и из A2.72)
р с
Ф= ^7Г^ w -arcsing— -— (i_gs)i/a + —¦-. A2.75)
В соответствии с A2.72) максимальное значение рт, т. е. наибольшее при-
ближение к Солнцу, соответствует а= I. Соответствующее значение ф при
этом равно
/Д. A2.76)
Следовательно, в изображении на евклидовой плоскости траектория бу-
дет представлять теперь слегка искривленную линию с отклонением:
1э = 2(фт—я/2) = 2а/Д. A2.77)
Это — отклонение луча света, наблюдаемое с [Земли, которая считается
бесконечно далекой от Солнца. Из A2.74) находим соответствующее макси-
мальное значение рто
12* 35С
Пренебрегая членами второго порядка малости по а, из A2.77) имеем
гт. A2.78)
Для луча света, касающегося края солнечного диска, из A2.4), A2.5) и
A2.78) получим значение отклонения, равное 1,75. Этот эффект, предсказан-
ный Эйнштейном, был проверен экспериментально во время наблюдения пол-
ного солнечного затмения по отклонению от звезд света, идущего вблизи Солн-
ца. Соответствие между формулой Эйнштейна A2.77) и данными наблюдений
казалось удовлетворительным [40, 41], но поскольку лишь небольшое число
наблюдений указывают на эффект, лежащий как раз в границах экспери-
ментальных погрешностей, то нельзя придавать слишком большое значение
количественному согласию. В частности, нельзя проверить A/г)-зависимость
эффекта отклонения. С другой стороны, можно с определенностью утверж-
дать, что отклонение света не равно минимальному значению 0,87", которое
получается, если пренебречь искривлением физического пространства вблизи
Солнца.
Отклонение света A2.77) частично обязано изменению скорости света с*,
а частично — искривлению физического пространства — времени. Если счи-
тать пространственную геометрию евклидовой, то уравнение A2.69) необходи-
мо заменить уравнением
>a + rV=l. (I2.79)
И тогда вместо A2.70) мы получим уравнение
=, 1/Да A — ар) — р2,
интегрирование которого с точностью до первого порядка по а дает откло-
нение
ф = а/Д, A2.80)
т. е. только половину значения A2.77).
С другой стороны, если скорость света считать постоянной и равной с,
а для описания пространственной геометрии взять метрический тензор у^ из
A2.36) и A2.37), то траектория светового луча будет «прямейшей» линией.
В этом случае уравнения A2.68) и A2.70) заменяются уравнениями
r2y = Cc; (dp/d«p)a = (l— ар)A/Д2-р2)
соответственно. Интегрирование этих уравнений дает тогда значение отклоне-
ния
¦ф = а/Д A2.81)
в первом порядке по а. Складывая оба эффекта A2.80) и A2.81), вновь воз-
вращаемся к формуле Эйнштейна A2.77).
§ 12.4. Дальнейшие проверки общей теории относительности
В гл. 10 мы видели, что гравитационное поле в рамках общей теории от-
носительности, в отличие от теории тяготения Ньютона, должно влиять на
характер любых физических процессов. Поэтому в принципе должно существо-
вать бесконечное число явлений, по которым можно проверить утверждение
ОТО. Практически, однако, влияние гравитационного поля оказывается в боль-
шинстве случаев пренебрежимо малым.
Шапиро [2271 предложил новый способ проверки ОТО, основанный на из-
мерении запаздывания радарных сигналов в пределах Солнечной системы,
вызванного изменением скорости распространения радиолокационного
сигнала
)И A2.82)
356
и неевклидовостью пространства в пределах Солнечной системы. Была пред-
ложена идея произвести радиолокацию Меркурия и Венеры и измерить время
задержки эхосигнала при различных положениях планет. Если положение
планет таково, что сигнал будет проходить вблизи Солнца, то задержка его ока-
жется, в соответствии с выводами ОТО, настолько большой, что измерение ее
становится вполне доступным для современной техники.
Расчет этого эффекта наиболее удобно проводить в гармонических коорди-
натах (уравнения а, б на стр. 317). Записывая г вместо р, в первом порядке по
air имеем
J
При подсчете времени запаздывания искривлением траектории можно прене-
бречь, так как этот эффект дает вклад лишь второго порядка по а/г. При
надлежащем выборе осей координат траекторию сигнала от Земли до планеты
можно записать в виде
у = Д = const, 2 = 0, г=(х2 + уг)К, A2.84)
где Д — наименьшее расстояние от луча до Солнца. (Это Д отличается от Д
в § 12.3 на а/2 = 1,5-103 м вследствие отличия г в координатах Шварцшильда
от г в гармонических координатах). В соответствии с A2.83) для бесконечно
малого участка траектории A2.84) имеем
da = (yuv dx»- dx*)* = A + а/г)'Л dx = dx A + a/2r) A2.85)
и для соответствующего координатного времени пролета этого участка
dt = dale* = dx(l+ aj2r)!c A — а/г)У> = (dx/c) A + a/r). A2.86)
Обозначим через (хе, te) координаты (х, t) сигнала, испускаемого с Земли,
а через (хр, tp) — координаты принимаемого сигнала. Если пренебречь дви-
жением Земли за время от испускания до приема сигнала, то для полной за-
держки сигнала [хв < хр) получим значение
dt = 2(xp—xe)/c-\-Bafс)
х„
Следовательно,
t = tN + {2а!с) In {[хр + (х| + &)*]1[хе + (*j + А2)-'2]}, A2.87)
где
tN = 2(xp-xe)lc A2.88)
есть время запаздывания в инерциальной системе с лоренцевыми координа-
тами (х, у, г, ct). Если пренебречь неевклидовостью пространства и учесть
только изменение с*, можно получить «избыточную задержку»
At ==t—tN = (а/с) In {[jcp + (xl + &*)*]f[xe + (xl + Д2)"л]}, A2.89)
т. е. только половину значения A2.87), требуемого общей теорией относитель-
ности.
В нашем случае координатное время t равно мировому времени (см.
§ 10.3), которое можно отождествить с сидерическим временем Солнечной си-
стемы. Экспериментально время измеряется с помощью атомных часов, которые
считаются стандартными вследствие их высокой точности [168J. В соответствии
с (8.115) отсчет по часам, находящимся на Земле в состоянии покоя, равен
а/2ге — и!/2с*)У; A2.90)
357
; де. ге = {хе + Д )i/2, а и8« 3-Ю1 м/сек — орбитальная скорость Земли
(влиянием гравитационного поля Земли пренебрегаем.) Из A2 87) и A2 90)
с точностью до величин;первого порядка по air и иУ<? получаем
Дт = т—*w = Ba/c) In {{хр + (л? + Д8)»!/^ + {х\ + А2)%]} -
-(а/с) (хр—хв)/(*2 +Д«)% —(и*/с*) [хр—хвIс A2.91)
Если планета находится вблизи верхнего соединения, то
**=-К|. ^ = U-P|, Л2«(*?, *!), A2.92)
и A2.91) сводится к уравнению
A2.93)
20 30 10 2L
Апрель A967) Mad
10 20 .30 10 20
Август? A957) Сентябрь
Рис. 19.
Чтобы получить порядок величины запаздывания, можно в A2.93) положить
\хе\ я \хр\ равными обычным астрономическим радиусам орбит Земли и пла-
неты соответственно. В случае Меркурия находим, что последние два члена
в правой части A2.93) имеют порядок 10~5, а поскольку Д2 < 4 \хе хр\, ими
можно пренебречь по сравнению с первым членом. Например, если А — двой-
ной радиус Солнца A2.5), то для запаздывания получим
Дт = 1,6-10-* сек.
A2.94)
Для всех других положений, удовлетворяющих A2.92), At значительно
меньше A2.94).
Запаздывание времени t можно вычислить, используя гармонические
координаты. Если вычисления выполняются в первоначальных координатах
Щварцшильда, то для t получается выражение, отличающееся от A2.87)
[227, 228], однако лишь потому, что координаты г и х в двух координатных
системах отличаются друг от друга в соответствии с уравнением (а) на стр. 317
на величину порядка а. Но основной логарифмический член одинаков в обо-
их выражениях, а остальные члены в выражении для Дт в координатах Шварц-
шпльда того же типа и того же порядка, что и два других члена в правой части
A2.93). Следовательно, полагая новые \хе\ и \хр\ равными астрономическим
358
оператор градиента. Аналогично мы можем определить ковариантное диф-
ференцирование стандартных тензорных полей, дивергенцию и ротор стан-
дартных векторов, параллельный перенос стандартных векторов и т. д. В уп-
ражнении 1 этого параграфа приведены соответствующие формулы. Здесь
мы рассмотрим лишь стандартный аналог абсолютной производной вектора.
Как и в § 9.8, введем векторное поле At (Ц, определенное на кривой х1 *=*
= xl(K) с инвариантным параметром X. Абсолютная производная от A t есть
вектор (9.133):
(9.346)
Соответствующий сопряженный стандартный вектор
K = li{i] (dAjdb—A* Г,. rs Us) =
—A' [gtr ds П[п + П[п Ttt „) U* (9.347)
можно представить в форме
DAi!dX = dA~i!dl —AlTuikTJk, (9.348)
где
?i. iK = Sim ПР Usm ds WU] + ПЬ] П[п П5Ш Г,, rs. (9.349)
В стандартном векторном анализе величины f/. ik играют ту же роль, что и
символы Кристоффеля в обычном векторном анализе. В соответствии с (9.77)
символы Кристоффеля равны
ts-dtgrs)/2. (9.350)
Поэтому из (9.335), (9.321) и (9.304) имеем
Г/, ik - Г/, «л — A/2) \gtrdk [Tltu ПУ + gud, (nfo П^) -
-grsdl (nfon^JJ-g^nfo^n^, (9.351)
где
f,, ,h = (А ?л + <?, ~glh-~~digik)l2 = f[ki (9.352)
получаются из символов Кристоффеля расстановкой черточек над всеми вели-
чинами в (9.350). Кроме того, снова используя (9.321), (9.304) и (9.340), по-
следний член в фигурных скобках формулы (9.351) представим в виде
grsjl _
= gim Шт] dt Щц -{-ghm П[гт] dt nf(]_= - {g^ H[k] + gkm Щч) dt U['"] =
= (§иП[гц+гй,П[/])аггг.
Аналогичные выражения получаются и для других членов в фигурных скобках
этой формулы. Подставляя эти выражения в (9.351), имеем
(9.353)
где снова использовали (9.340) и (9.337), (9.339).
Таким образом, величины Г1>м, заменяющие символы Кристоффеля в стан-
дартном тензорном анализе, имеют вид
Здесь ?lik — ограниченный стандартный тензор (9.341) с компонентами
(9.343) — (9.345). По аналогии с последней формулой (9.78)
'fj.w + rft.ji^ri.^+T,,,,^^^. (9.355)
9* 259
При т = 0 пространственные части е§ @) всех тетрад ejv) @) A2.99) являются
тремя 3-векторами, лежащими вдоль направлений трех пространственных координат-
ных осей. Однако спустя один оборот, т. е. при t = 2л/со и % = 2л/Гсо, .величины
eYv\ Bя/Г«) уже не тождественны трем векторам е[^ @), что и является физическим
содержанием эффекта, открытого Фоккером.
Введем систему координат S, определенную в (9.155), которая в нашем случае яв-
ляется свободно падающей локально лоренцевой системой S : (х^, cl) с гироскопом, поме-
щенным в начале координат х^ =0, соответствующей локально инерциальиой системе R.
Последняя может быть реализована с помощью спутника, несущего гироскоп по кру-
говой орбите вокруг центрального тела. Ориентация гироскопа постоянна по отношению
к пространственным координатным осям R, которые, однако, прецессируют по отноше-
нию к внешнему миру. Иначе говоря, направления к «неподвижным» звездам должны пре-
цессировать по отношению к осям R.
В системе отсчета R, соответствующей шварцшильдовым координатам S, гироскоп
описывает круговую орбиту. Обозначим через р0 точку на орбите, которую гироскоп про-
ходит в момент t = т = 0. Световой луч от определенных фиксированных звезд, прихо-
дящий в Ро. описывается волновым 4-вектором A0.165) с компонентами К* (р0) = Кг @)
в S. В момент времени t = Гт гироскоп проходит через точку р, в которой тот же волновой
вектор имеет компоненты Ki (р) — Ki (т), в общем случае отличные от Кг @). Однако
в моменты времени
t — tn = «2л/ю, т = т„ Z2 /г2л/Га, A2.100)
соответствующие л полным оборотам гироскопа, когда он снова оказывается в р0) в ста-
тической системе S
К;(тп) = К"г@). A2.101)
С другой стороны, компоненты Кг- (т.) волнового вектора в системе S уже не прини-
мают первоначальных значений после п оборотов. В соответствии с (9.159) имеем для
них
Kft (т) = Ц Кг (т)=е\к) (т) Kt (т.). A2.102)
Подставляя выражение A2.99) для el,k) (т) при т = т„ и т = 0 в формуле A2.102)
и используя A2.101), легко получаем соотношения между Kfc (тп) и К& @):
Ki (тп) = Ki @) cos п Ъ + Кз @) sin nfl;
К3 (%п) = — Кг @) sin nd + K3 @) cos n$; A2.103)
о о о
¦& = 2яA—Г-*) > 0. A2.104)
Мы использовали при этом A2.100), из которого следуют выражения
сот» = л2л/Г = п 2л — п$;
A2.105)
cos сотп = cos nth smcoTn = —sin n$.
Поскольку система S лоренцева в точке, где помещен гироскоп, Кг тождествен вол-
новому вектору К(, а из A0.188) находнм выражение для единичного вектора е, опреде-
ляющего направление луча в S:
«V W=-KA(t)/K4. A2.106)
Итак, формулы A2.103) ведут к следующим соотношениям между направлением
луча света е (тп) и первоначальным направлением ед @):
sin
ез (in) = — ег @) sin n# + 4 cos
A2.107)
Следовательно, после п оборотов гироскопа внешний мир (направление на «не-
подвижные» звезды) кажется повернутым на угол п$ относительно оси °х2. Направление
прецессии идет от оси хг к оси jq. Конечно, этот эффект можно выразить как прецессию
360
гироскопа в противоположном направлении, т. е. в направлении вращения по орбите.
Эта прецессия Фоккера, таким образом, имеет направление, противоположное прецессии
Томаса [см. B.66)].
Угол прецессии за один оборот есть величина первого порядка по а/г,
§ = 2л{1 —A—За/2гI/2} = Зла/2г. A2.108)
Если гироскоп укреплен на искусственном спутнике, не слишком удаленном от
Земли, то величина прецессии Томаса будет порядка
ty = пЪ^7"/год. A2.109)
Начиная с момента опубликования статьи Шиффа [218], в США была развернута
интенсивная программа исследований с целью обнаружения этого эффекта в недалеком
будущем.
Вопреки значительному прогрессу в экспериментальных исследованиях,
достигнутому в последнее десятилетие, прямых проверок ОТО все еще очень
мало. Здесь уместно напомнить, что общая теория относительности является
не только естественным, но и убедительным обобщением хорошо подтверж-
денной экспериментально специальной теории относительности. Кроме того,
поскольку теория Эйнштейна содержит теорию тяготения Ньютона в качест-
ве первого приближения, все многочисленные астрономические наблюдения,
согласующиеся, конечно, с теорией Ньютона, в некотором смысле мы можем
рассматривать уже как косвенное доказательство справедливости общей тео-
рии относительности. Тот факт, что различия между этими двумя теориями
выступают лишь как малые поправки в физике Солнечной системы, говорит
о хорошей применимости теории Ньютона в этой области. Однако в космоло-
гических вопросах, когда рассматривается структура и движение больших
частей Вселенной, мы встретимся уже со значительными расхождениями меж-
ду ними и выбор между теориями станет более необходимым. Учитывая, од-
нако, внутреннюю согласованность и общность исходных постулатов теории
Эйнштейна, следует ожидать, что она является более надежной базой в решении
трудных космологических проблем.
§ 12.5. Космологические модели
Давно известно [189, 223, 224], что теория гравитации Ньютона
встречается с принципиальными трудностями при попытках объяснения струк-
туры Вселенной в целом. Поскольку общая теория относительности, как ожи-
далось, должна приводить к результатам, существенно отличающимся от вы-
водов теории Ньютона именно на космологических расстояниях, то совер-
шенно естественно исследовать все новые возможности, которые открывает
в космологии общерелятивистская теория. Эта сторона теории впервые была
исследована Эйнштейном [76,79] сразу же после установления основных
уравнений теории, и с тех пор релятивистская космология стала предметом
исследования многих авторов. Мы не будем пытаться дать детальный обзор
этих исследований, а сосредоточим внимание на анализе классических космо-
логических моделей, предложенных Эйнштейном [76], де Ситтером [233,
234] и А. А. Фридманом [102].
Все эти модели основаны на предположении, что пространство—время
Вселенной с глобальной точки зрения однородно и изотропно. Конечно, материя
распределена не однородно: она в основном заключена в звездах, которые
имеют тенденцию образовывать галактики. Однако во всей области прост-
ранства, которая доступна наблюдениям в современные телескопы, все эти
скопления материи распределены по пространству довольно равномерно,
поэтому самое простое предположение о материи Вселенной как об од-
нородно распределенной идеальной жидкости оказывается в то же время и
хорошим отправным пунктом для приближения к действительности. В моде-
лях Эйнштейна и де Ситтера Вселенная, кроме того, считается статической
системой, т. е. возможно введение сопутствующей системы координат
361
; '¦ = (r, 9, ф, cf), в которой линейный элемент имеет статическую и сферически
симметричную форму A1.63)
ds2 = a (r) dr2 + r3 {dQ2 + sin2 G Лр2) — b (r) с2 dt\ A2.110)
где а и Ь — функции только от г. С учетом принятой однородности Вселенной
можно говорить, что любая точка пространства может быть взята в качестве
начала г = 0 пространственной системы координат.
Функции а (г) и Ъ (г) связаны с собственной плотностью массы A° и собст-
венным давлением °р уравнениями A1.100) и A1.98) для идеальной жидкости
dp/dr +((I°с2 +°р) 6726 = 0; A2.111)
b'labr—A/г2)A — \1а) + % = кр\ A2.112а)
)(\ — I/a) — Я = х[1/са. A2.1126)
Здесь р и ?i° — постоянные величины вследствие предположения об однород-
ности пространства. Будем искать возможные регулярные решения уравнений.
Поскольку dp/dr = 0, A2.111) сводится к уравнению
(А°с2 + р)б'=0, A2.113)
из которого следует, что либо
V =0, A2.114)
либо
р>с2 + р = 0. A2.115)
Эти альтернативные условия приводят соответственно к решениям Эйн-
штейна и де Ситтера [258].
§ 12.6. Вселенная Эйнштейна
Условие A2.114) требует, чтобы величина b была постоянной и при над-
лежащем выборе временной координаты t была равна
b=l. A2.116)
Подставляя A2.114) в A2.112 а) и решая это уравнение относительно
а, получаем
а = 1/[1 — [X —%р) г2] = 1/A —л2//?2), A2.117)
где введена новая константа R с помощью соотношения
1/#» = ?и—ир. A2.118)
Далее, учитывая A2.117) и A2.112 6), получаем
A2.119)
откуда следует соотношение
1//? = х(Д°сг + р)/2. A2.120)
Плотность ja° существенно положительна, и даже допуская, что силы на-
тяжения в жидкости стремятся к отрицательному значению р, при разумных
свойствах материи модуль р не должен превышать [х°с2. Следовательно, кон-
станты % и I//?2 должны быть также положительны, a R будет реальной
длиной.
362
Глава
10
ВЛИЯНИЕ ГРАВИТАЦИОННЫХ ПОЛЕЙ
НА ФИЗИЧЕСКИЕ ЯВЛЕНИЯ
§ 10.1. Фундаментальные уравнения механики точки
Теперь с помощью формализма тензорного исчисления и принципа экви-
валентности, сформулированного в § 9.6, можно однозначно обобщить все физи-
ческие законы СТО. Поскольку мы полагаем, что тензорные уравнения СТО
выполняются в локальной инерциальной системе с локальными лоренцевыми
пространственно-временными координатами, то проблема отыскания фун-
даментальных уравнений физики (например, механики и электродинамики)
в присутствии гравитационных полей сводится к чисто геометрической задаче
в 4-пространстве.
Рассмотрим сначала движение частицы с постоянной собственной массой
т0 в заданном внешнем гравитационном поле под действием негравитацион
ной 4-силы Ft. Это означает, что мы пренебрегаем влиянием (обычно малым
собственного гравитационного поля частицы и что gih можно рассматривать
о
как известную функцию от координат х1. Кроме того, поскольку т0 считается
постоянной, Fi удовлетворяет ковариантному уравнению
FiUl = 0, A0.1)
соответствующему соотношению D.57) СТО. Здесь
Ui = dxi/dx A0.2)
— 4-скорость частицы, а т — собственное время.
Тогда мировая линия частицы описывается ковариантным уравнением
DP,/dx = Ft. A0.3)
Здесь
Pi = m0Ui; Pl = m0Ul (-10.4)
— 4-импульс, a DPJdx— абсолютная производная (9.133) при я; = Pt и
К = т.
Поскольку Р1 пропорционален U!, DPJdx с учетом (9.78) приводится
к виду
A0.5)
Из A0.4) н (9.40) следует, что Pt удовлетворяет соотношению
PtPi=—mbc*. A0.6)
В локально лоренцевой системе координат уравнение A0.3) совпадает
с частнорелятивистским уравнением D.55) в соответствии с принципом экви-
валентности.
В §9.16 было показано, что любое векторное соотношение эквивалентно
соответствующему соотношению между сопряженными стандартными векто-
263
евклидовом пространстве (которое, конечно, не имеет ничего общего с четы-
рехмерным пространственно-временным континуумом). В самом деле, положив
A2.130)
х1 = х = г sin 6 cos ф; j
A2.131)
получим
(jc0J + (x1J -b (x2J -f- (*3J = R\ A2.132)
и линейный элемент A2.129) в этом случае принимает вид
do2 = (dx0J + (dx1J + {dx2f + (d*8J. A2.133)
Форм-инвариантность A2.132) и A2.133) относительно произвольных
вращений в #4 иллюстрирует однородный и изотропный характер трехмерно-
го пространства A2.132) постоянной кривизны К = 1/R2. Следовательно,
физическое пространство в рамках модели Эйнштейна является замкнутым и
конечным, но не ограниченным.
Вводя полярные координаты \|з, 9, ср на сфере A2.132)
Xй — Rcosг|>; /*--/? sin *)•; ]
x1 = /?sinij3sin0cos9; x2 = /?sinij)sin0sin(p; \ A2.134)
xz = R sin гр cos 0, J
линейный элемент A2.129) или A2.193) с A2.132) преобразуем к виду
do2 = R2 (d\f + sin2 гр d02 -f- sin2 ^ sin2 6 d<p2). A2.135)
Каждой точке на гиперсфере соответствует свой набор (i|5, 0, <р) в интервале
0 < гр < зх, О<0<л,, 0<ф<2зг. A2.136)
Рассмотрим сферу г = R sin tJ; = const с центром в 3-пространстве
A2.129), A2.135). Если в A2.135) положим d9 = d<p = 0 и проинтегрируем,
получим стандартную длину а ее радиуса. Итак,
а = #ф. A2.137)
Расстояние до противоположной точки г|? = л равно
L = nR, A2.138)
а полное расстояние по большому кругу замкнутой модели Эйнштейна есть
2nR. Детерминант у = |урл>|. соответствующий линейному элементу A2.135),
равен у = /?° sin4 ipsin2 0, а полный объем и собственная масса Вселенной,
если учесть A0.238), соответственно равны
Я Я 2л;
A2.139)
M0 = ]i»V = 2n2R3$P. A2.140)
Из оценки величины левой части A1.43), принимая во внимание среднее
значение L/2 = nR/2, получим
Мхс7Dл!/2) - R*'4i°c2 « 1, A2.141)
если, кроме того, учтем A2.121) и A2.123). Соотношение A2.141) согласуется
с A1.43), т. е. тем самым подтверждаются рассуждения § 11.3 о природе цент-
робежных и кориолисовых сил.
364
Поскольку система координат S, соответствующая линейному элементу
A2.125), есть статическая сопутствующая гауссова система, в которой
Y^=X = 0, A2.142)
для частоты света, излученного источником, неподвижным относительно 5,
из A0.209), A0.212) и A0.220) получим
v = v, Avo/vo = Avo/vo = 0. A2.143)
Таким образом, кроме малого эффекта Доплера, обязанного собственным
движениям удаленных небесных тел, мы не должны ожидать какого-либо
иного систематического сдвига спектральных линий от этих тел. В действи-
тельности же, из работ Хаббла [116], Хаббла и Хьюмасона [118] следует нали-
чие вполне определенного красного смещения спектральных линий, причем
оно возрастает линейно с расстоянием. Это значит, что космологическая
модель Эйнштейна, несмотря на ряд ее положительных особенностей, дает
лишь приближенное описание реальной Вселенной.
Введем новую переменную г' преобразованием
г = г'{1+г'2/4Л8}-1, A2.144)
тогда линейный элемент A2.129) можно привести к изотропному виду, соот-
ветствующему A1.86) решению Шварцшильда. Опуская штрихи, т. е. подстав-
ляя в- A2.129) выражение
' e->9, Ф->ф, A2.145)
получаем
л„ч. -. dr* + r2 (dQi +sin' 9[*Фг) = dx'2 + № + dz* A2 146)
A+г2/4Я2)а A+г2/4Я2J '
где (х, у, z) связаны с новыми переменными (г, 0, <р) уравнениями вида A2.131).
Далее, подставляя r->Rr, x-^-Rx, y-*-Ry, z-*- Rz, приводим линейный
элемент к виду
6 dq>g)
_ pa dxz+dy*+dz* A2 147)
A+^3/4J '
Уравнения A2.129) и A2.133) вместе с A2.132), A2.135) и A2.146) явля-
ются различными формами линейного элемента в пространстве постоянной кри-
визны I//?2. Для R -*- оо они включают и случай евклидова пространства.
Однако они не исчерпывают возможности описания однородной и изотропной
Вселенной. Она может быть описана также пространством постоянной от-
рицательной кривизны К — —1/R2. Метрику такого пространства можно
получить из A2.129) и A2.146) заменой R2 -*¦ —R2, а из A2.135) — заменой
тригонометрических функций cos г|э, sin ч|) соответствующими гиперболиче-
скими функциями. В этом случае переменная гр пробегает все значения
в интервале 0 ^ о|э < оо, т. е. пространство постоянной отрицательной кри-
визны является открытым, в противоположность закрытому сферическому
пространству.
Линейный элемент пространства постоянной кривизны можно записать
в обобщенном виде для A2.146) и A2.147) соответственно
8 dcp*) __ d# +dy* +dz* . A2 148)
K (i+Er*/4«*)a ' '
6^ф») ^jpdx'+d!/2 +<fea A2H9)
« (l+?r*/4)a * \ ¦ >
где
? = (+1,0,-1). A2.150)
365
Кривизна пространства
х = UR2 A2.151)
может быть положительной, отрицательной или равной нулю в зависимости
от значения ? в A2.150). Но только значение ?= -\-1 совместимо с уравнениями
поля в статическом случае. Это соответствует космологической модели Эйн-
штейна, для которой R2 определяется формулой A2.120).
§ 12.7. Вселенная де Ситтера
Кроме решения, соответствующего модели Эйнштейна [условие A2.114I,
имеется другое статическое, однородное и изотропное решение общих уравне-
ний поля, подчиняющееся условию A2.115), т. е.
?ос2 + р=0. A2.152)
Суммируя уравнения A2.112 а) и A2.112 6), получаем
2br = 0, или ab — const-
Тривиальным изменением масштаба временной координаты эта константа
всегда может быть сведена к единице, т. е,
аЬ = 1. A2.153)
Вводя у — I/a, уравнение A2.1126) перепишем в виде {уг}' = у'г + у —
= -fl — (Л + х ц° с2) г- и, интегрируя его, получаем
уг = г—((Я4-х|>с2)/3) г3 + const. A2.154)
Поскольку у регулярно при г — 0, константа в правой части A2.154)
должна быть равна нулю. Тогда из A2.153) имеем
Ь = 1/а = у=1 — rVR\ A2.155)
где мы положили
l/^ = (X+xfI»c2)/3. A2.156)
Используя A2.155) в A2.110), получаем затем линейный элемент де Сит-
тера
ds2 = dr{l—/У R2)-1-^ r2 {d&2 +sin2 Q dtp2) —{I—r2/R2) с2 dt2. A2.157)
Компоненты пространственного метрического тензора такие же, как и
в модели Эйнштейна A2.127), по крайней мере в том случае, когда Я положи-
телен. Однако динамические потенциалы теперь не все равны нулю, и мы имеем
уй = 0, х = — r2c*/2R2. A2.158)
Следовательно, свободная частица испытывает действие гравитационной
силы центробежного типа
К=— mgvad%^m(rc2[R2, 0, 0), A2.159)
а это значит, что закон инерции не выполняется для больших пространствен-
ных областей модели де Ситтера. Только в областях, где r'z/R2 <^ 1 линейный
элемент A2.157) сводится к линейному элементу специальной теории относи-
тельности, закон инерции будет приближенно выполняться.
Уравнение движения свободной частицы можно теперь получить из A0.76)
и A0.77), используя выражение для гравитационной силы из A2.159). Более
удобно, однако, использовать возможность, рассмотренную в § 9.15 и состоя-
щую в исключении динамических потенциалов введением гауссовых коорди-
366
на'. Это возможно, если ввести новые переменные г', б', <р', f с помощью пре-
образования
г' = г A _г2/^2)-^ е-с'/я, 9' =0, ф' = «р,
<'=^ + (J?/2c)ln(l —г*//?). A2.160)
Как было показано Леметром [1381 и независимо от него Робертсоном
1206], это преобразование ведет к новой записи линейного элемента:
ds2 = e2rt'/^(^r'a + r'2d0'2 + r'2sin2G'^'*J—<*dt'\ A2.161)
которая легко проверяется непосредственными вычислениями. Наконец, оп-
ределяя новые пространственные координаты {x'ty't г'), связанные с (г', 0',
ф', /') обычными формулами перехода от сферической системы координат к де-
картовой, линейный элемент A2.161) можно записать по-иному, т. е.
ds* = e2ct'IR (dx'' -f dy ' + dz^) — ca dt'*. A2.162)
Новые координаты (х', у', z'', f) принимают все значения в интервале от —оо
до + оо. В отличие от первоначальной системы координат S: {г, 0, ф, f), новая
система (S') не является сопутствующей материи |х°, рождающей гравитаци-
онное поле в мире де Ситтера.
В системе 5' мы имеем
7ii = Y22 = Y33=l/Yn=l/722=l/V33 = e^v*;
^ = 7^ = ° ПРИ ^^v» A2.163)
а пространственные символы Кристоффеля все равны нулю.
Таким образом, временная переменная f указывает время, отсчитывае-
мое стандартными часами, покоящимися относительно S'. В любое фиксиро-
ванное f пространственная геометрия евклидова, координаты (х1, у', г') яв-
ляются обычными декартовыми координатами, если не считать общего мно-
жителя е2с/'/й, а расстояние от начала г' = 0 до точки (г', 0', <р'), измеряемое
стандартными масштабными стержнями, есть
о = ес''/*г'. A2.164)
Гравитационная сила равна нулю, и уравнения движения свободной час-
тицы даются формулами A0.52)
pjdt' =dpii/dt' = dme2ct'№x'»!dt' = 0. A2.165)
Это значит, что
х* = 0, х'»=х'0*=const
есть решение этих уравнений, т. е. свободная частица, первоначально нахо-
дившаяся в покое, будет продолжать покоиться в системе $'. В момент V стан-
дартное расстояние о A,2) между двумя частицами с постоянными координа-
тами x[v- и х?- есть
оA, 2) = е"'/Я[(х^—x>)(x'S—x't»)]\ A2.166)
а относительное изменение этого расстояния подчиняется условию
(do/dt')/o = c/R. A2.167)
Если мы предположим, что галактики покоятся в системе S' (не принимая
во внимание их малые индивидуальные скорости), т. е. примем известную
в свое время гипотезу Вейля [277, 278], то получим описание, близкое к дейст-
вительному поведению систем галактик в реальной Вселенной, которая,
согласно законам Хаббла, расширяется однородно и изотропно.
367
В первоначальной сопутствующей системе координат S движение галакти-
ки определяется из A2.160) решением первого уравнения относительно г
г2 = г'а{е-2с'/« + /"а/^?а}-1, A2.168)
где г' — величина, постоянная для любой галактики. Тогда, в соответствии
с гипотезой Вейля, галактики являются свободно падающими частицами, причем
их движение начинается из точки г = 0 в момент времени t ~ —оо и стремит-
ся к экватору гр = я/2 гиперсферы A2.132) с г = R и t-> оо.
Распространение световых сигналов в S' описывается формулами A0.135),
A0.137), где 7ц = Э1ц — 0. С учетом изотропии модели находим, что любой
радиус-вектор F\ ср') = const есть возможная траектория светового луча.
Его скорость A0.127) в S' есть
-(dx'vfdt')}V*=c. A2.169)
Следовательно, движение луча вдоль радиуса-вектора определяется уравне-
нием erf/' lRdr'Idt' = ± с, т. е.
dr'fdt' = ±ee-el'?R. A2.170)
Интегрируя его, найдем для светового луча, испущенного галактикой
в точке Рх '¦ (/"i'', б\, <p'j), в момент времени t\ в направлении к началу
A2.171)
До тех пор, пока
г1</?е-с'1/«, A2.172)
сигнал не достигнет начала. Таким образом, хотя мир, описываемый линей-
ным элементом A2.162), явно бесконечен, наблюдатель, находящийся внача-
ле, никогда не сможет получить какую-либо информацию из области, лежащей
вне горизонта A2.172). В момент времени t\ наибольшее расстояние внутри
наблюдаемого мира, доступное наблюдателю, есть, в соответствии с A2.164)
и A2.172)
0/i = erti/«e-rfJ/«# = #, A2.173)
и оно не зависит от времени. Далее, поскольку A2.162) — инвариант относи-
тельно смещения начала, то утверждение становится справедливым для лю-
бого наблюдателя, покоящегося в S'; положение горизонта будет, конечно,
разным для различных наблюдателей.
В S' кинетическая энергия световой частицы меняется в соответствии
с A0.136), где Яц = 0, а тензор A0.47) определяется формулой
' =(c[R)yvX. A2.174)
Используя A0.137) и A2.169), получаем
dEjdt' = —(cfR) (?/ca) yvx ^ оА = —с?/#, A2.175)
решение которого есть
?(/') = ? (/{) е-с U'-ti)/R . A2.176)
Когда галактика испускает сигнал, находясь внутри'области, очерченной
горизонтом A2.172), световой луч достигнет начала за время to, которое сле-
дует из A2.171), где нужно положить г' — 0. Умножая последнее уравнение
на ecti/R/jR и используя A2.164), имеем
е-*('о-'О/к=1_а/#, A2.177)
где
a = ri.ecti/R A2.178)
368
есть расстояние до галактики в момент излучения сигнала, кинетическая энер-
гия которого в момент прихода в начало равна
E(to)=E(tl)(l—a/R), A2.179)
что меньше его начальной энергии.
Будем считать, что световая частица—фотон. Тогда из A0.192) следует,
что его энергия равна произведению постоянной Планка на стандартную час-
тоту (равную координатной частоте в S'). Поделив A2.179) на h, получим соот-
ношение, связывающее частоту v0 сигнала, испущенного галактикой, покоя-
щейся в 5', и частоту v сигнала, наблюдаемого в начале:
v = vo(l—о/#). A2.180)
Следовательно, спектральные линии галактики оказываются сдвинуты-
ми в красную сторону на величину
Avo/vo=(v—vo)/vo=— o/R. A2.181)
С точки зрения наблюдателя, находящегося в S', этот космологический
эффект не является ни эффектом Доплера, ни эффектом Эйнштейна согласно
рассуждениям § 10.7, так как в S' источники покоятся, а гравитационный по-
тенциал всюду исчезает. Для него это скорее эффект разбегания, обязанный
изменению во времени пространственной части метрического тензора, который
приводит к изменению кинетической энергии частицы точно так же, как если
бы частица двигалась в инерциальной системе, но по поверхности переменной
формы. Но формулу красного смещения A2.181) можно переписать в виде, на-
поминающем нерелятивистскую формулу Доплера. Хотя в рамках гипотезы
Вейля скорость источника относительно S' равна нулю, его расстояние а
до наблюдателя увеличивается с течением времени в соответствии с A2.178).
Определим скорость v галактики относительно наблюдателя как производную
по времени от а:
v = da/dt[=calR. A2.182
Из A2.173) видно, что эта скорость меньше с для всех галактик, лежащих
в пределах горизонта. Учитывая A2.181) и A2.182), для космологического крас-
ного смещения получаем формулу
Avo/vo=—и/с. A2.183)
Это выражение формально тождественно нерелятивистской формуле Доплера
B.90) в инерциальной системе.
Модель Вселенной де Ситтера совместно с гипотезой Вейля соответствует
наблюдаемым данным, если для постоянной Хаббла Н принять величину
cIR, или
R = c/H. A2.184)
Тогда A2.182) и A2.183) будут представлять собой точные записи законов
Хаббла для расширения Вселенной и наблюдаемого красного смещения в спект-
рах удаленных галактик.
В 1929 г. Хаббл получил значение
Я = 540 кмеек-1 Мпс~\ A2.185)
которое позже неоднократно пересматривалось в связи с изменением шкалы
космологических расстояний. Не так давно Сэндейдж [215] предложил новое
значение для постоянной Хаббла
Н = 75,3 кмсек~1 Мпс~х « 2,4-10~18 сек-1. A2.185')
13 Зак. 1174 369
С этим новым значением из модели де Ситтера можно найти радиус наблюда-
емого мира A2.173)
# = с/#~ — »1027 л*~1О10 св. год, A2.184')
8
который по порядку величины совпадает с радиусом, следующим из модели
Эйнштейна A2.124).
Хотя модель де Ситтера приводит к естественному и правильному объяс-
нению наблюдаемого красного смещения спектральных линий, ее трудно при-
знать реалистической моделью по ряду соображений. В соответствии с A2.152)
плотность и давление классической материи, как это следует из A2.157), долж-
ны удовлетворять уравнению
|1ос2 + р = О. A2.186)
Поскольку 11°с2 > 0, из A2.186) следует, что р отрицательно и очень велико.
Даже если принять существование сил натяжения в идеальной жидкости, за-
полняющей модель де Ситтера, то и в этом случае величина их порядка (—[ioc-)
была бы совершенно неприемлемой для любого из известных нам видов мате-
рии. Следовательно, A2.186) будет справедливо только в случае, если мы примем
плотность материи равной нулю или, во всяком случае, такой, которая зна-
чительно меньше наблюдаемой плотности материи во Вселенной. Таким
образом, модель де Ситтера соответствует пустой Вселенной, не содержащей
заметного количества материи, а звезды и галактики в такой модели сле-
дует рассматривать как пробные тела, не дающие вклад в космологическое
гравитационное поле. Эта точка зрения противоречит основным постулатам
ОТО, в соответствии с которыми, например, центробежные силы и силы
Кориолиса обязаны движению удаленных небесных тел относительно вращаю-
щейся системы. В то время как устранимые гравитационные поля находят
свое естественное объяснение в модели Эйнштейна, модель де Ситтера
не дает такого объяснения. Поля в ней должны быть признаны фиктивными
точно так же, как фиктивные силы в теории Ньютона.
Эти соображения позволяют предположить, что модель Эйнштейна явля-
ется лучшим приближением к действительности, чем модель де Ситтера, даже-
несмотря на ее неспособность объяснить красное смещение. Если мы хотим
сконструировать модель, обладающую всеми достоинствами моделей Эйнштей-
на и де Ситтера и не имеющую их недостатков, то вынуждены будем прийти
к тому, что метрический тензор в ней должен существенно зависеть от вре-
мени. Такие модели в настоящее время очень интенсивно исследуются, а пер-
вая нестатичеекая модель Вселенной была предложена А. А. Фридманом
в 1922 г.
§ 12.8. Нестатические модели однородной изотропной Вселенной
Как было показано в § 12.6, линейный элемент
ds2 = do*—c2dt\ A2.187)
где
da2 = R2 (t) {dr2 + г2 (d№ + sin2 9 dcp2)}/( 1 + ?гг/4J =
= Я2@(^2 + Ф/2 + ^г2)/A + ?г2/4J . A2.188)
и R (f) — произвольная функция t, описывает нестатическую однородную изо-
тропную Вселенную. В каждый фиксированный момент времени физическое
пространство является пространством постоянной кривизны
K^VR2(t). A2.189)
В то же время Робертсоном [207, 208] и Уолкером [263] с помощью методов
теории групп было показано, что во Вселенной такого типа всегда возможна'
370
ввести сопутствующую систему координат S, в которой линейный элемент
принимает вид A2.187), A2.188). Координатные часы в этой системе совпадают
со стандартными. При ? ~ ~-1 физическое пространство замкнуто и сфери-
ческое, при ? — 0 оно евклидово, а при ? = —I является открытым гипербо-
лическим пространством.
Введем новую переменную ф вместо г преобразованием
2arctg(r/2) для g=l, 0<1|><я
г ?=-0, 0<tj3<oo
2arcth(r/2) ?= — 1, 0<г|з< оо
тогда линейный элемент A2.188) примет следующий вид:
dot^Rz{t){dil-{-iJ{dQt-\-&m2Qdi^)), A2.191)
где мы положили
dr
A2.190)
|
р= i|), ? = 0 . A2.191')
В момент t стандартное расстояние от начала г|> = 0 до точки (ф, 0, ф), изме-
ряемое с помощью стандартных измерительных стержней вдоль геодезической
(9, ф) = const, в соответствии с A2.191) будет равно
o(t) = R(t)x\>. A2.192)
Следовательно, для частицы^(галактики), находящейся на определенном
расстоянии, имеем
{t), A2.193)
где
A2.194)
есть показатель расширения Вселенной, описываемой линейным элементом
Робертсона—Уолкера A2.187), A2.188). Функция Н (t) является постоянной
Хаббла, которая, однако, может быть функцией времени. Поэтому впредь мы
будем называть ее просто коэффициентом Хаббла. Из A2.193) получаем стан-
дартную скорость галактики, движущейся относительно наблюдателя
v(t)=zdo/dt = H(t)o{t), A2.195)
т. е. приходим непосредственно к закону Хаббла.
Учитывая изотропию, принятую для данной модели, находим, что, как
и в случае модели де Ситтера, любой радиус-вектор есть возможная траекто-
рия световой частицы, т. е. @, <р) — const являются решениями уравнений дви-
жения A0.135). Далее, поскольку w = (y^w^n^y^2 —ев нашем случае, из
A2.191) для световой частицы получаем R (t) dty/dt = —с, т. е.
t
A2.196)
где tx — момент излучения частицы галактикой при г|э — ч]^. Далее, по ана-
логии с A2.175) из A0.136) находим кинетическую энергию этой частицы Е:
(l/E)<dE[dt=*—R/R. A2.197)
Здесь мы использовали выражение для тензора расширения dx\, вытекающее
из A2.187), A2.188) и A2.191):
dvx = (dYvx/dO/2 --= (R/R) yvx- A2.198)
13* 371
Интегрируя A2.197), получаем
Е (t) R(t) = E ft) R ft) = const. A2Л 99)
Если световой частицей является фотон, испущенный в момент tx галактикой,
покоящейся в S, то A2.199), деленное на постоянную Планка, дает связь между
стандартными частотами v (/) и v ft) в моменты времени t и tx соответственно
v(t)R(t) = v{tl)R(t1). A2.200)
Соответствующее соотношение A0.187) для стандартных длин волн имеет
вид
% . A2.201)
Следовательно, в момент приема t0 в точке if = 0 мы должны наблюдать
относительный сдвиг спектральных линий
z~(i(t0)-i(tl))ti(tl) = (R(t0)-R(!l))IR(tl) = (o(t0)-cAl))le(il), A2.202)
где a ft) и а (t0) — стандартные расстояния от наблюдателя до галактики
в моменты излучения и приема соответственно. Время t0 получается из A2.196)
при г|з = 0, т. е.
fa
]'<#/#(*)¦ A2.203)
t
= с
В расширяющейся Вселенной, где R (/0) > R ft), z положительно, и
наблюдаемое смещение линий должно быть красным.
Если положить
R(to) = Ro, J?ft) = J?i, R0 — R1 = A, A2.204)
то A2.202) можно переписать в виде
R1 = R0(\^zyi. A2.205)
Для большинства наблюдаемых галактик (но не для недавно открытых
квазаров) смещение очень мало, так что A2.205) можно разложить в ряд:
A2.206)
где Ro — современное значение функции расширения R (t). Теперь A2.203)
можно также переписать в виде
% = с fdR/RRssf (RJ, A2.207)
причем при фиксированном Ro интеграл A2.207) можно рассматривать как
функцию Rt. Значения интеграла / (Rx) и первых его двух производных при
Ri — Rq следующие:
A2.208)
Для малых z отношение A/jR0 также мало, так что с учетом A2.206)
можно записать в виде ряда Тэйлора
Следовательно, из A2.207) и A2.209) для стандартного расстояния до
галактики в настоящее время
oQ = R0^1 A2.210)
372
Г ^о) = ^7 (^о + Ro dRJdR0) - с (Rl + R0R0)/Rl Rl.
получаем
R) &+¦¦•¦ A2.211)
Вводя A2.206) в A2.211), находим выражение
fg c<^i?^)z2+--., A2.212)
связывающее расстояние, смещение z и величины R, R и R в данный момент
времени. Решая A2.212) относительно z, получаем
z = (R0lcR0)o0-[(R0R0-R20)l2c2Rl]o% + .... A2.213)
Коэффициент Хаббла A2.194) и его производная в настоящее время равны
H0 = RJR0- H0 = (R0R0-R20)lRl A2.214)
следовательно, формула A2.213) для смещения может быть переписана в виде
+ .... A2.215)
Первый член в этом выражении соответствует закону Хаббла, так как скорость
A2.195) в данный момент равна v0 = Н0о0.
Для большинства наблюдаемых галактик z — малая величина, поэтому
для них справедливы приближенные выражения A2.212) и A2.215). Тогда
смещение z можно трактовать для них как меру их удаленности от наблюдате-
ля. Сдругой стороны, для ряда открытых уже в шестидесятые годы пекулярных
объектов (квазаров) смещение z оказывается достаточно большим. Действи-
тельно, для многих из них смещения имеют тенденцию группироваться около
значения 2. Из формулы типа A2.212) можно заключить, что все эти объекты
находятся на невероятно больших расстояниях от нас. Однако из точных фор-
мул A2.201) и A2.202), которые должны в этом случае применяться, уже нель-
зя сделать такого заключения. В самом деле, как заметил И. С. Шкловский
в 1967 г., можно найти достаточно простое объяснение этому явлению, если
предположить, что R (/) в период излучения света квазаром была стационарна
и равнялась примерно одной трети от современного значения Ro.
Как мы заметили в начале этого параграфа, всегда можно в однородной
изотропной модели ввести сопутствующую систему координат S, в которой
линейный элемент принимает вид A2.187), A2.188). Поскольку R (/) может
быть произвольной функцией t, эти формулы на самом деле удовлетворяют
большому числу различных космологических моделей. При R = const, и
? = +1, например, мы получаем линейный элемент A2.125), A2.147) модели
Эйнштейна. Формально элемент де Ситтера A2.161), A2.162) в системе коор-
динат S' также можно получить из A2.187) и A2.188), полагая
R (/) = е"<; ? = 0;
= const. A2.216)
Однако нужно помнить, что система S', определенная в A2.160), не яв-
ляется сопутствующей фоновой материи модели де Ситтера, поскольку послед-
няя, как показано выше, практически пуста. Если предположить, что R (t) и
? удовлетворяют A2.216) в сопутствующей системе с реальной материей, то
можно получить линейный элемент
dy* + dz*)—c2dt2 A2.216')
теории Бонди—Гоулда [30]. Эта модель привлекательна тем, что Вселенная
в ней оказывается однородной не только по пространству, но и по времени.
Однако формула A2.216) не является решением уравнений Эйнштейна ни при
каком физически разумном уравнении состояния вещества, как мы увидим
в следующем параграфе, где наложим ограничения на R (/), вытекающие из
уравнений ОТО.
373
§ 12.3. Модели Вселенной, совместимые с ОТО. Вселенная Фридмана
Метрический тензор линейного элемента Робертсона—Уолкера A2.187),
A2.188) имеет вид
0. A2.217)
Вычисление левой части уравнений поля A1.25) и A2.217) элементарно,
но несколько длинно. Читателю предоставляется возможность проверить са-
мому, что
—gw R/2 — Kg,iy = BR/Rc2
A2.218)
В сопутствующей системе координат с метрикой A2.217) тензор энергии—
импульса идеальной жидкости сводится к
Tik = (|1° + р7с2) сЧц 8ki + °pgih, A2.219)
т. е.
Гм = 0, Ты = \х*с\ A2.220)
где р и и0 — функции только от t, если мир однороден. Вводя A2.218) и A2.220)
в уравнения поля A1.12), получаем соотношения
°а; A2.221)
A2.222)
которые совместно с уравнением состояния идеальной жидкости позволяют
определить R, р и \i° как функции t.
Умножив A2.222) на R3, продифференцировав его, вычтя из него A2.221),
умноженное на RR2, найдем уравнение
d (uLoc2Rs)/dt = — °pdR6idt. A2.223)
Это уравнение, являющееся следствием уравнений A2.221) и A2.222),
тождественно закону сохранения A0.233), который в сопутствующей системе
координат имеет вид уравнений (в) и (г) на стр. 298. В нашем случае уравне-
ние (в) удовлетворяется тождественно, а поскольку
) vu/^ = ЗЙ//?; 1 A2224)
V1/2 = /?"/(!+^V4)8 j
уравнение (г) принимает вид
= — pdyl/2ldt, A2.225)
т. е. тождественно A2.223).
Рассмотрим теперь фиксированную область в сопутствующей системе от-
счета с соответствующими дифференциалами пространственных координат
dx1, dx2 и dx3. Ее объем есть 6V = yxl4x'dx4x'6 = 8V°. Тогда уравнение
A2.225) после умножения на dx4x2dx3 перепишем в виде
d (h° 6V)/dt = —pdWldt, A2.226)
где ti° — °\i°c- ~h— плотность энергии в S. Сравнение с F.138) и F.141)
показывает, что мы имеем дело с адиабатическим изменением, при котором
энтропия сохраняется.
374
Функция R (t) в линейном элементе A2.216') имеет вид A2.216). Вводя
A2.216) в уравнения поля A2.221), A2.222), получаем Я2 = R4R* = (X +
+ xfi°c2) с2/3 = (X — ир) с2/3, или р = —[д.0 с2. Такое большое отрицательное
значение давления материи во Вселенной совершенно нереально, и это гово-
рит о том, что теория стационарной Вселенной требует принципиального, хотя
количественно и незначительного изменения уравнений поля Эйнштейна.
Решение уравнений A2.221), A2.222) или эквивалентных им уравнений
A2.222) и A2.223) зависит от принятого уравнения состояния материи, т. е.
от соотношения между р и \к°. Мы не будем обсуждать все возможные решения,
а остановимся опять только на тех предположениях, на которых основаны
классические модели Эйнштейна — де Ситтера [83] и Фридмана [102]. Эти ав-
торы ввели несколько упрощающих предположений.
Вначале было предположено, что космологическая постоянная X, в любом
случае являющаяся малой величиной, вообще равна нулю. Основанием для
такого предположения послужило то обстоятельство, что нестатическая кос-
мологическая модель с конечной плотностью материи во всем физическом
пространстве реализуется в теории и без А,-члена, в отличие от статической мо-
дели Эйнштейна, не существующей без Я-члена. В самом деле, если бы хабблов-
ское разбегание галактик было открыто в момент создания общей теории от-
носительности, то во введении Я-члена вообще не было бы необходимости. За-
тем было принято допущение, что давление р настолько мало по сравнению
с цос2, что им вообще можно пренебречь в формуле A2.219), а следовательно,
и в уравнениях A2.221)—A2.223). Во всяком случае, в нашу эпоху это усло-
вие выполняется. Тогда уравнения A2.223) и A2.226) выражают не что иное,
как сохранение энергии, или массы, в заданной области физического прост-
ранства. Интегрируя A2.223), получаем
(хса/3)|10/?в = Л1, A2.227)
где М ~ константа, а A2.222) сводится к выражению
R/c=±(M/R— tI'2. A2.228)
В случае расширяющейся Вселенной (знак плюс) имеем решение
я
l)u\ A2.229)
В A2.229) за начало отсчета переменной t выбраи момент времени, когда
R = 0. Если бы мы выбрали в A2.228) знак минус, то получили бы сжимаю-
щуюся Вселенную.
Рассмотрим сначала случай ? = 0, когда физическое пространство в лю-
бой момент времени евклидово. Интегрируя A2.229), получаем
3(ctJ/\ A2.230)
Следовательно,
Я (/) = ?/# = 2/3*, Я@=— 2/3^2=— C/2) Н2. A2.231)
Это решение, в котором коэффициент Хаббла непрерывно уменьшается
со временем, является космологической моделью Эйнштейна — де Ситтера.
Такая Вселенная начинает свою эволюцию с «Большого взрыва» в t — 0,
когда R = 0, а /? = оо.В настоящее время ta коэффициент Яо = Н (Q мо-
жет быть найден из наблюдений, поэтому, используя A2.231) и A2.186), можно
указать «возраст» Вселенной:
t0 = 2/ЗЯ0 с* 2,7-1017 сек ~ 9- 10е лет. A2.232)
375
Далее, из A2.227), A2.230) и A2.232) следует значение средней плот-
ности материи в нашу эпоху
R30 = 4/Зис2 (ct0J,
или
Ю-26 кг/м-3. A2.233)
Физическое пространство Вселенной Эйнштейна — де Ситтера бесконечно
и не имеет горизонта, аналогичного рассмотренному в § 12.7. Горизонт прост-
ранства де Ситтера, представленный в A2.172) и A2.173), был определен как
наиболее удаленное место, из которого находящийся в начальной точке наблю-
датель может принять еще информацию через какой угодно промежуток вре-
мени в будущем. Поэтому его можно назвать горизонтом будущего. Во Все-
ленной, начавшейся с Большого взрыва, можно установить уже несколько ти-
пов горизонтов, в частности горизонт прошлого [204]. В случае Вселенной
Эйнштейна — де Ситтера A2.196) принимает вид
t
т=гх—сD/9МI/3 Г ^/(rtJ/3 = r1—3D/9M)I/3{(rfI/3—(c^I/3}. A2.234)
h
Здесь мы использовали A2.230) и A2.190), mety = г при ? = 0. Следовательно,
полагая в A2.234) tt — 0, мы видим, что никакая информация не достигнет на-
блюдателя в точке г = 0 за любое время от прошлого до настоящего момента
t0, если только
r1<3D/9M)I/3(CgI/3 = rhor. A2.235)
Галактики с г > aw просто не будут наблюдаться в телескопы, уста-
новленные в точке г = 0. В нашу эпоху расстояние до горизонта прошлого
составляет в соответствии с A2.192), A2.230) и A2.235) величину
3ct0. A2.236)
Относительно наблюдателя горизонт раздвигается со скоростью Зс, следова-
тельно, в бесконечном будущем мы можем, в принципе, получить информацию
от всех галактик Вселенной. (Обратите внимание, что скорость Зс не является
скоростью переноса информации, так как последняя всегда должна быть
меньше или равна с в любой системе координат). Один из двух типов горизон-
тов имеет место в большинстве моделей Вселенной, совместимых с ОТО, а
в некоторых из них содержатся оба типа горизонтов одновременно.
Рассмотрим теперь кратко случай ? = ±1. При ? = +1 физическое
пространство в любой момент времени t является замкнутым сферическим про-
странством с линейным элементом A2.191). Из A2.229) получим в этом случае
d = M{arcsm (R/MY/2—(R/M—R2/M2)i/2}. A2.237)
Кривая, построенная по A2.237), есть циклоида с параметрическим пред-
ставлением
costi), ct = (M!2)(T\ — siriTi). A2.238)
Здесь R растет от нуля при т] = t — 0 до максимального значения М при
т] = п, ct = Мл/2. Затем кривая падает до нуля, и при т] = 2я, ct = Mn
возникает снова ситуация Большого взрыва.
Аналогично при ? = —1 получаем, что физическое пространство являет-
ся открытым гиперболическим пространством
ct=M {(R/M + RVM2I/2 — arcth (R/M)l/2} A2.239)
с параметрическим представлением
R = (M/2)(chi\—l), cf = (M/2)(shri — ц). A2.240)
376
Здесь коэффициент Хаббла
A2.241)
непрерывно уменьшается со временем.
Ни одна из функций R (t), полученных при рассмотренных нами предпо-
ложениях, не удовлетворяет требованиям И. С. Шкловского (см. стр. 373),
выдвинутым для объяснения аномально больших z для квазаров. Од-
нако некоторые из более общих космологических моделей с Я, Ф О удовлетво-
ряют этим требованиям [28, 205].
§ 12Л0. Соотношения между наблюдаемыми
астрономическими величинами
Стандартное расстояние о (t) A2.192) от Земли до небесного тела являет-
ся сугубо теоретической величиной. Оно определяется как длина, измеренная
набором измерительных стержней, которые в один и тот же момент времени t
укладываются вдоль пространственной геодезической тела. Ясно, что астро-
номы используют несколько иные способы измерения расстояний. Для не
слишком удаленных объектов они могут зарегистрировать оптический парал-
лакс, а в наше время становится возможным измерение расстояний радиоло-
кационными методами (по крайней мере, в пределах Солнечной системы).
Расстояния до более удаленных объектов определяются с помощью наблюде-
ний видимых величин и светимостей объектов. В случае галактик этот метод
дает наиболее надежные результаты.
Пусть В — абсолютная, или собственная, светимость излучающего объек-
та. Она определяется как количество энергии, прошедшей через единичную
площадку сферы единичного радиуса в единицу времени. Видимая светимость
Ь есть та же величина, но зарегистрированная в месте наблюдения. Она свя-
зана с видимой звездной величиной т соотношением
т = — 2,51п Ъ -+¦ const. A2.242)
Теперь рассмотрим сферу
ijj = const = ф, A2.243)
в пространстве с метрикой A2.191). Астрономическое расстояние L, измеренное
по видимой светимости, равно
L = E/6)»/2. A2.244)
Это и есть стандартное расстояние, если, конечно, объект покоится относи-
тельно инерциальной системы наблюдателя. В момент времени t площадь
сферы есть
/=4яЯ@2Р?, A2.245)
где рх связано с^ уравнением A2.191')- В соответствии с (9.74), (9.74"), парал-
лелограмм, построенный на инфинитезимальных 3-векторах
d& = @, dd, 0), 6xi* = @, 0, dip),
описывается вектором
d^ = е^хdx*dx* = (v'/2dO d<p, 0, 0), A2.246)
где
Yt = #* pj sin2 В A2.247)
есть детерминант |y^v| метрического тензора в A2.191). Площадь df элемента
есть
или
A2.248)
377
откуда после интегрирования по всем направлениям следует A2.245). Для
сферы единичного радиуса о — Щх = \,^г — Я чрезвычайно мало и грх = pJt
если учесть A2.191). Следовательно, Rpt ~ R^x = 1, и площадь единичной
сферы A2.245) в соответствии с утверждением, что в достаточно малой об-
ласти физического пространства справедлива евклидова геометрия, есть
/ A) - 4я. A2.249)
Рассмотрим теперь источник в начале координат, излучающий п A) фото-
нов частоты v A) = v A) в единицу времени. Энергия, которая уносится фото-
нами в единицу времени, составляет
Е (]) = п A) Av A), A2.250)
т. е. равна потоку энергии через единичную сферу, окружающую источник.
Фотоны, излученные в t = tlt достигнут сферы A2.243) в момент времени
t0, определяемый уравнением A2.203). Поскольку я|)х — константа, диф-
ференцируя это уравнение, получаем
dto/Ro — dt1/R1 = O. A2.251)
Если п @) обозначить число фотонов, проходящих сквозь сферу в единицу
времени, то
л (l)d/j = n@)d/o, A2.252)
так как число фотонов п A) dtu излученных в интервале (tx, tx + dt±), равно
числу фотонов п @) dt0, пересекающих сферу в интервале (^0, /0 -f dt0). Из
A2.251) и A2.252) следует уравнение
n(O) = n{\)dt1/dto = n(l)R1/Ro. A2.253)
Согласно A2.200) для энергии фотонов, достигающих сферы в момент t0:
hv@) = fw(l)Rl/Ro. A2.254)
Таким образом, из A2.253), A2.254) и A2.250) получаем поток энергии
через сферу
Е @) - п @) Av @) = п A) /zv A) (^г/^0J, или
E@)^E(l)(RJR0J. A2.255)
Поскольку соотношение между Е @) и ? A) не зависит от частоты, оно
справедливо и для полного потока энергии от источника с произвольным спект-
ром излучения. Таким образом", из A2.245), A2.249) и A2.255) следует, что
видимая и абсолютная светимость источника связаны между собой
b = E@)!f@) = (E(l)/4*).Rl/P*1R* = BRl/plRt. A2.256)
Вселенная однородна и изотропна, поэтому соотношение A2.256) будет
справедливым и тогда, когда излучающая галактика находится в точке (tyx,
6, ф), а наблюдатель помещен в начало системы отсчета. Тогда расстояние до
галактики, определенное по видимой светимости, можно найти по формуле
L=(B/b)l/2=p1Rt/R1 = a0(p1/^l)R0/Rl^a0(pi/^l)(l + z). A2.257)
Здесь мы использовали A2.210) и A2.202). Из A2.191), A2.212) и из формул
разложения sin г|з и sh ij; в ряд получаем
Р^= у (-Вп^12"^1_1,г|?2+,,.^1_1.4^г2+-.. A2.258)
ip! ^ B«+1)! 6 Tl 6 «§ V ;
Сравнивая A2.257) и A2.258), находим связь между L — расстоянием до
галактики, полученным по видимой светимости, и стандартным расстоянием
а0. При малых г L и а0 совпадают. Используя разложение а0 в ряд A2.212) и
пренебрегая членами порядка г3, получаем
378
ад + /?02)/2^)г2-г..., A2.259)
или обращая,
+ ... . A2.260)
Индекс кривизны ?, имеющий место в A2.258), в A2.260) появится только
в члене третьего порядка по г.
Непосредственно измеряемыми астрофизическими величинами являются
видимая звездная величина т и видимая светимость Ь. Если допустить, что
абсолютная светимость В примерно одинакова для всех галактик на протя-
жении всей истории наблюдений, то L = (В/bI'2 можно рассматривать как
наблюдаемую величину, и соотношения A2.259) и A2.260) проверить при из-
мерении величин Ъ и z. В принципе, такие наблюдения позволяют найти Но
и Яо и даже сделать некоторые выводы о кривизне физического пространства
реальной Вселенной, беря разложение до третьего порядка. Однако в дей-
ствительности возможно было только определить Яо с достаточной степенью
точности. Даже знак Яо еще не был экспериментально установлен. (См. ли-
тературу на стр. 394. — Прим. ред.)
Астрономы имеют еще одну возможность проверки теории, заключающую-
ся в подсчете числа галактик с красным смещением, меньшим данного г в за-
данном телесном угле со. Это число N является функцией z (или i^), т. е. про-
порционально со, но не зависит от направления, что следует из предположения
об изотропии Вселенной. В соответствии с A2.247) элемент объема простран-
ства равен
dV ^ v[ /2 dxpdBdy = R3 p2 d \pda>, A2.261)
где
du> = sin ЭсШф A2.262)
— бесконечно малый угол. Интегрируя по 0 и ф внутри о) и по i|? от 0 до-ф^ по-
лучаем для конечного объема в момент наблюдения
ф«
y A2.263)
Умножая Fo на нынешнюю плотность галактик п0, одинаковую по всему
пространству (однородность), для искомого числа галактик находим
Фх
A2.264)
Интегрирование в A2.264) легко выполнить, если использовать разложение
A2.258)
0
Следовательно,
-f ...). A2.266)
Наконец, с помощью A2.212) получим функцию N (z) в виде ряда по степе-
ням г:
N (z) = п0 ас3 (Z3/3H3O + Но гУ2Н1 + ...), A2.267)
которая может быть, в принципе, использована для независимого определе-
ния //0 и Йо. Чтобы получить информацию о I, нужно использовать высшие
члены этого разложения.
ПРИЛОЖЕНИЕ
1. Теорема Гаусса
Пусть V—конечная область, ограниченная замкнутой поверхностью / в трехмерном
евклидовом пространстве, a f {XiX^Xs) — заданная функция декартовых координат хъ
xt, x3, определенная на этой области. Рассмотрим объемный интеграл Пд[/д^^^
V
на V. Полагая поверхность / выпуклой, так что прямая, параллельная оси хх (при пос-
тоянных х2 и х3), пересекает ее только в двух точках, этот интеграл можно, интегрируя
по *], привести к виду
' (df/dxi) dxj_ dx% dx3 = j (/+ —/-) dx2 dx3, A)
где интегрирование в правой части выполнено по проекции fx поверхности / на плоскость
(хг, х3), а /+ и /- — значения / в точках р+ и р~. Пусть, далее, df+ и df~ ~ поверхностные
элементы / в точках р+ и р~ соответственно, проекции которых на плоскость (х2, Ха) рав-
ны элементу (dx2dx3). Если п+ = (п?, п?, п?) и n~ = (ftf, п% , п$) — единичные векторы
в направлении внешних нормалей к df+ и df~ и если х? > х~, то очевидно
п+ df+ = — rii d}~=dx2dx3. B)
Следовательно, A) можно переписать в виде
§fnidf, C)
где интегрирование справа распространено на всю поверхность f, а п± есть ^-компонента
вектора внешней нормали п. Легко видеть, что C) справедливо и в том случае, когда огра-
ничивающая поверхность f невыпуклая, т. е. когда соответствующая прямая пересекает
поверхность в большем числе точек. Аналогично если g (хи х2, х3) и h (xv x2, xz) — две
другие заданные в области функции пространственных координат, то
C')
\{dhjdxs)dV =\h -nzdf. '
Если, в частности, /, g и h являются компонентами с2 (х), а2 (х), а3 (х) векторного поля
а = (с ), то в дополнение к условиям C) и C') имеем
Г (да Jpx ) dV = J (a n ) df D)
или
fdivadV =f(a- п) df = $and?, D')
и / f
где ап — компонента вектора а в направлении внешней нормали. Уравнение D') дает
возможность преобразовывать объемные интегралы в поверхностные; оно выражает тео-
рему Гаусса D.191). Из вывода ясно, что D) справедливо для любых трех функций а^ (х),
которые не обязательно должны быть компонентами вектора.
Далее, если t (х) — трехмерное тензорное поле ранга 2, то, полагая ^„ j = /,
I 2 = g и t з = h, получаем из C) и C')
E)
т. е. уравнение D.196). И снова ясно, что E) будет справедливо, даже если девять
функций t (x) не будут компонентами какого-либо тензора.
380
2. Преобразование 4-плотности тока
В соответствии с уравнениями E.4) и E.4') формулы преобразования, связанные
с плотностями 4-тоха si и s/ в двух инерциальных системах отсчета S и S' должны быть
такими, чтобы условие
ds!/dxf = 0 A)
немедленно следовало из условия
dsi/dxi = Q (Г)
для всех возможных распределений заряда и тока.
Преобразование, следовательно, должно иметь вид
s/ = /j(s1; s2, s3, s4), B)
где функции fi удовлетворяют условиям
= (dft (sm)/dsk) sk, г = 0 C)
при всех изменениях двенадцати переменных sj и s^,i се ds^/dxi, что дает
st, ? = 0. D)
Умножая D) на лагранжев множитель X, который может быть функцией переменных
(sj), и вычитая полученное уравнение из C), приходим к уравнению
[{dfi/dsk)au-K6k,i]skll=Q, E)
которое должно оставаться справедливым при произвольных вариациях sj и s^j.
Варьируя переменные Sk,i, получаем
(dh)Jdsh)au^l(sr)8kl F)
или, используя соотношения ортогональности D.14),
\(sr)aih. ¦ F')
Из уравнений (G), дифференцируя по sm, находим (d2 f-Jds^ dsm) ац = (dX/dsm) S^i, а по-
скольку левая часть симметрична по индексам k и т, то (d%/dsm) бд; = (dA,/Sss) ^mi-
Полагая m = l^k в этом уравнении, получаем
dl/dsh==O, G)
т. е. \ не должно зависеть от sj. Интегрирование F) дает ft (s&) = Xai^sh + Pj;?, где
PiVi и Я — константы. Если плотность электрического заряда в S равна нулю (т. е. st = 0),
то она должна быть равна нулю и в S'. Следовательно, 0;^ — 0, и преобразования B)
примут вид
. (8)
Из D.11), E.3) и уравнений (8) теперь следует sist = T^s^s^, или
p'2(l— a'V2) = A,2p2(l~ u2/c*). (9)
Используя те же аргументы, что и при выводе B.8) и B.14), найдем, что квадрат %
должен быть равен единице, т. е.
А*= 1, Я= ±1. A0)
В классической формулировке электродинамики плотность заряда является скаляром от-
носительно отражений D.94), а это значит, что в A0) мы должны выбрать верхний знак.
Тогда (8) ведут к преобразованию E.5), показывающему, что плотность 4-тока является
4-БСКтором. Как было показано ранее в книге, заряд является инвариантом, a F^ преоб-
разуется как тензор при преобразованиях Лоренца.
Однако в соответствии с A0) можно было бы положить Я равным детерминанту пре-
образования D.15), т. е.
К=а. A1)
Тогда в соответствии с уравнениями (8) Sj оказалась бы псевдотензором ранга 1 (см.
§ 4.10), а заряд частицы изменял бы знак при пространственных отражениях D.94).
Кроме того, из E.16) следует, что Рхъ теперь есть псевдотензор, а это значит, что Н ста-
новится полярным вектором, в то время как Е — вектор аксиальный. Хотя этот вывод
и кажется странным с точки зрения общепринятых соглашений, на самом деле мы не мо-
жем сейчас еще экспериментально определить, какая из двух возможностей соответст-
вует действительности. В самом деле, действие поля на заряженную пробную частицу
381
одинаково в обоих случаях, что видно из выражения для 4-силы /г- = ^ift^ft. которая
остается истинным 4-вектором в обоих вариантах описания заряда. Тензор энергии
E.106) также остается тензором ранга 2. Тем не менее, возможность A1) следует учиты-
вать, имея в виду последние результаты по несохранению четкости.
3. Плоские волны в однородной изотропной <'реде
В покоящейся системе однородная изотропная среда, характеризующаяся элект-
рической и магнитной константами s и ц соответственно, удовлетворяющая условию
р = j = о, описывается уравнениями Максвелла G.31) и G.32), которые можно пред-
ставить в виде
div H = div E = 0; A;
sE — crotH, [iH = —crotE; B)
D=eE, В = цН. (З)
В случае плоских волн, когда плоскость волны перпендикулярна оси х в декар-
товой системе координат (х, у, г), векторы поля являются функциями только х и t. Из A).
и B) в этом случае имеем
дЕх/дх = дНх/дх = Ёх =-/4 = 0,
а поскольку постоянные поля несущественны в оптике, можно положить
Ех=Нх = 0. D)
Компоненты по у и г уравнения B) имеют вид
гдЕу/dt = — сдНг/дх; ?.dEz/dt = сдНу!дх; E>
цдИу/dt = cdEjdx; \idHz/dt = — cdEyJdx. F)-
Дифференцируя одно из этих уравнений по t и используя оставшиеся, видим, что функции.
Еу, Ег, Ну, Hz удовлетворяют волновому уравнению
, G)
где
— постоянная величина.
Общее решение G) имеет вид i|> ¦¦-¦= [t (t — x!w) + /2 (t — x'v), где /t и /v, — произ-
вольные функции. Две составляющие в этом решении соответствуют распространению
волны вдоль х в противоположных направлениях. Рассматривая нолцу, распространяю-
щуюся в сторону увеличения оси х, допустим, что
где fug— произвольные функции аргумента (t — x/w). Интегрируя затем F), находим
H 1'2(t ) H xl2i A0)
Уравнения D), (9) и A0) представляют собой наиболее общие выражения для волны, дви-
жущейся в положительную сторону х. Вводя три единичных вектора n ~ A,00), еA) -
= @, 1, 0) и е1"' — @, 0, 1), можем далее записать
— (х • п)/и)еA)+ ?-I/2 g(t—(x ¦ п)/ш)е
2);
и эта форма остается справедливой, если система координат вращается так, что п уже не
лежит на повой оси х. Векторы еA) и е<2> тогда являются произвольными, но постоян-
ными единичными векторами, перпендикулярными друг другу и вектору п.
4. Символы Криетоффеля в терминах Ynv> Уц, X п их производных
Легко проверить, что метрический тензор щ^ можно записать в виде
8ik=eik~\-&i4 ^й4— Г, Гд, A)
где gik — стандартный тензор (9.299), а Гг- — 4-вектор (9.286), являющийся функцией
У^' Тц»%- ^ соответствии с (9.98), пространственная часть g!k равна контравариантному
пространственному метрическому тензору
§ ~ У B)
382
Тс да, положив в (9.7) I = 4, k = v., найдем, что
g»x4=7liv^/A +2X/?'-)I/2 = T'lV Г4 rv. C)
По аналогии кз (9.7) с условием i ¦— k = 4 получим
з из A)
#*.г = (вмЪ-Г«Ты—Г* Гм. E)
Первый член в правой части E) исчезает, если одни из двух индексов I и k равен 4.
Подставляя E) в (9.77), находим следующую формулу для символов Кристоффеля:
,(Г4,Л-ГЛ,|), F)
где
Ttkt - A/2) {(&Л),, + (*н),*-(&«),*} G)
(8)
Здесь Г^.Аг — символы, полученные со стандартной метрикой g;fe; они исчезают,
если два из трех индексов i, k, I равны 4. Поскольку Гм' = 0, из (8) при I = ц, k = i =4
находим
г^4 = - г4^"г (Гж.4 -r4,m)= -v^r, (rVD_ r4iV) =
(9)
где использованы выражения (9.286) для Fv. Формула (9) тождественна (9.112).
Далее, из C), (9.288) и (8) при I = \х, к ¦— v, I — 4 находим
. 4 -d/2) У^{ТЛ (ГК v
И наконец, из (9), A0) и (9.115') получаем
Г?4 Г4 rv) =v^(c/2c*MY^/5H'-(T^/2) {(ГХг v_rv> x) +
+ Г*ГЯ(Г4( v_rVi 4) + (Гх, 4-ritX) T*rv}. A1)
Первый член в этом выражении есть y^'d^, где d^v — тензор (9.117), а оставшиеся
члены равны Y^^vA,1 гдс wvX ^ '\г. — тензор пространственных вращений (8.135),
(9.343). Легче всего в этом убедиться, используя связь (9.339) между Qv^ и Qim и выра-
жение
n[v] = 5v; + rvr«5D, A2)
вытекающие из (9.302). Следовательно, A1) тождественно (9.116).
5. Условия для плоского пространства
Плоское пространство — это пространство, в каждой точке которого можно ввести
геодезическую систему координат. Если это условие выполнено, то
%т = 0 A)
справедливо во всех точках, причем Rihim — тензор кривизны (9.229). Теперь пока-
жем, что A) является и достаточным условием.
Если тензор кривизны исчезает всюду, то из (9.232) следует, что результат парал-
лельного переноса некоторого вектора не зависит от пути переноса. В этом случае можно
построить единое тетрадное поле hr-a' (x), h1^ (x) во всем пространстве по данной тет-
383
раде A|'oj @), А^й* @) e точке 0 параллельным переносом векторов тетрады в произвольную
точку (х). Это поле удовлетворяет условиям (9.81), (9.84) и (9.86), всюду, т. е.
{e) J fe) j C)
Далее, из уравнений (9.137) и (9.186) следует, что А[-а) (х) и Л' (х) должны
быть решениями дифференциальных уравнений
Из последних уравнений получаем
ЙА|.а)/<5х* = Г^А<а) = dhika)/dxi, E)
где учтена симметрия Г'й по нижним индексам.
Легко видеть, что преобразование хп = хп (хк) приводит к геодезической системе
координат (хп), если коэффициенты преобразования положим равными
а? =/#>(*), &k = h\k){x). F)
Эти коэффициенты удовлетворяют условиям (9.11) вследствие тетрадных уравнении
C). Такой выбор возможен, поскольку из E) следует, что условия интегрируемости (9.14)
при a'k = AJ^ удовлетворяются. Для метрического тензора g';k в системе (х") из (9.12),
F) и B) получим
g'ik = «' «A glm=h(l) Kk) Slm^ik, G>
т. е. компоненты тензора постоянные, а сама система (х'') — лоренцева.
6. Производные от функции ? через g, lkm и glm и выражения
для суперпотенциала
В соответствии с A1.137) функцию 2 можно записать в виде
2=У{^)(А-~В), A)
где
А nik yt ys о „tr pfe pm /n\
Поскольку glk и gik считаются постоянными при дифференцировании по gl™, то
^); о)
Л= g'y 4 ar*s/ag'™+ r;s d (g('' vrit)idglmk. D>
Из (9.126) получаем^
Tsis = -(\/2)glmglmt, E)
т. е.
аг-^/а^™ = — (i/2) gIin б*. (б>
Далее, свертывая (9.125) по индексам k и I, имеем
g" Г;, = - d^Idx*- grk T[t = - (g™ + g^)/2 + g^^/m g'™/2. G)
Следовательно, выражение
=-(«/ ^' 8Гт sf)/2 + ^й glmf2 (8).
симметрично по i и яг [см. текст после A1.145)]. Используя D)—(8), получаем
дЛ/дёшк= - A/2) g" Г*8 ^гт+ Г»8{ —A/2) (Sf 6^,4-S^ б*) 4- С/2) /ft^ra )• (9)
Чтобы найти соответствующую производную от В, рассмотрим вариацию пеоеменных
gl™ при постоянных glfi. Соответствующая вариация В равна
384
Если в последнем члене вариации В сделать циклическую перестановку индексов k, l, г,.
т, то это выражение с учетом (9.125) можно привести к виду
Следовательно,
dBldgl$=-T4m, (Ю)
откуда, используя C) и (9), находим искомую формулу
вС/с)г:'2 = У(=ёГ{Г*т-(б*Г^ + 6* 17г)/2-(й» Г^/2- grk Т%) glm\. (И)
Аналогичным образом можно найти производную от й по g "г. Однако гораздо
удобнее исходить из A1.144), в соответствии с которым
k A^. A2)
Последний член можно получить из A1) дифференцированием по лс*, в то время как пер-
вый член можно взять из (9.242), (9.239). Кроме компонент метрического тензора и сим-
волов Кристоффеля, эти выражеиия содержат также производные от символов Кристоф-
феля. Поскольку ? и левая часть A2) не содержат последних, все члены справа, содер-
жащие производные от символов Кристоффеля, нужно вычеркнуть. Дифференцируя A1)
по хк, получаем выражение, содержащее только У (—g), grs, gim. Следовательно, правая
часть A2) должна зависеть только от компонент метрического тензора и символов Крис-
тоффеля. После длительных выкладок приходим к результату
— V У 8) \L Is l mr l lr L ms
( , ;)} L'. A3)
Выражения A1) и A3) для производных от й по gl™ и glm, как легко видеть, со-
гласуются с A1.146) и A1.147).
Если теперь подставить A1) и A3) в A1.154) и использовать соотношение
\?
g glmg\?= (l/2)V=I glm gtm, t =/=7r;,, A4)
вытекающее из (9.126) и (9.128), то можно получить явный вид формулы для т^
Вычислим теперь величину
А* -. A/х) {(d?[dg[?) gkf + gkm dWgim\ ¦ A6)
Используя (9.125), A1) и A3), после длинных выкладок получим
а\ = iV—g/2*) \-rtm(elrr?r+ emrr'ir) + Trmr(gks гЦ + g"" г*) +
+ ЦМШ Г?т-в*т Г^)}-в*е/2х. A7)
Если снова учесть (9.125) и A4), станет ясным, что полученное выражение тождественно
правой части A5), поэтому
Л*=т* . A8)
Рассмотрим теперь величину sf из A1.175). Подставляя A1) в A1.175), находим
sk! = (g';f>) д W'? = (g»'»/»c) { Т\т~ (б{ Г» „ ^ Ь1т Г»„)/2-
A9)
Чтобы выразить s*' через метрический тензор и первые производные от его компо-
нент, подставим в A9) выражения A4) и (9.77). Далее, используя (9.7) и уравнение
eil>ngtk=-gug%, B0)
385
вытекающее из (9.7), после длительных, хотя и не слишком трудных вычислений нахо-
дим выражение
],«• B1)
где
Подробные вычнсления можно найти в приложении к статье [171]. Поскольку выражение
внутри квадратных скобок в B1) антисимметрично по / и т, то послединн член B1) не дает
вклада в s*\. Следовательно,
что тождественно A1.177).
С помощью B0) уравнение B2) для 1р*г можно переписать также в виде
B3)
)ilV=i\, B4)
где мы положили
X»' = (/P7)/t) gin, то (^ g'n-gfe"8lm) =
= (l/=:i/>«) (ftn, m - ?*m. n) gfem <?'"• B5)
Далее, сворачивая эту величину н используя B0) и A4), получаем
*? = -Х? = A/х) (-«""). m/V^i, B6)
з результате чего B4) можно переписать в виде
б{^*. B7)
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Abraham M. Ann. Physik, 1903, Bd 10, S. 105.
2. Abraham M. Phys. Z., 1904, Bd 5, S. 576.
3. Abraham M. Rend. Circolo mat. Palermo. 1909, v. 28.
4. Abraham M. Ann. Physik, 1914, Bd 44, S. 537.
5. Abraham M., Fecker R. Theorie der Elektrizitat. Leipzig, G Aufl. Teubner, 1933, Bd 2,
6. Adam M. G. Monthly Notices Roy. Astron. Soc, 1958, Vol. 118, p. 61.
7. Ibid., 1959, Vol. 119, p. 460.
8. Adams W. Proc. Nat. Acad. Sci. U. S. A. 1925, Vol. Ill, p. 382.
9. Airy G. B. Proc. Roy. Soc, 1871, Vol. A20, p. 35.
10. AiryG. B. Philos. Mag., 1872, Vol. 43, p. 310.
11. AiryG. B. Proc. Roy. Soc, 1873, A21, p. 121.
12. Anderson С D. Science, N. Y., 1932, Vol. 16, p. 238.
13. Anderson С D. Phys. Rev., 1933, Vol. 43, p. 491.
14. Anderson С D., Nedermayer S. H. Phys. Rev., 1933, Vol. 43, p. 1034.
15. Arzelies H. Nuovo Cimento, 1965, Vol. 35, p. 792.
16. Baiabridge К. Т., Jordan E. B. Phys. Rev., 1937, Vol. 51, p. 384.
17. Beauregard О. С de. Relativite restreinte. Paris, Gauthier—Villars, 1949.
18. Beck F. Z. Phys., 1953, Bd 134, S. 136.
19. Belinfante F. G. Physica's Grav, 1939, Vol. 6, p. 887.
20. Ibid., 1940, Vol. 7, p. 305.
21. Bergmann P. G. Introduction to the theory of relativity. N. Y., Prentice Hail, 1942,
p. 169. [См. Бергман П. Г. Введение в теорию относительности. Пер. с англ. Под
ред. В. Л. Гинзбурга. М., Изд-во иностр. лит-ры, 1947.]
22. Bergmann P. G., Thomson R. Phys. Rev., 1953, Vol. 89, p. 400.
23. Bertotti В., Brill D., Krotkov R. Gravitation. N. Y., Wiley and Sons, 1962, p. 1.
24. Bethe H., Livingston M. S. Revs. Mod. Phys., 1937, Vol. 9, p. 370.
25. Blackett P. JV1. S., Occhialini G. P. S. Proc. Roy. Soc, 1933, Vol. A139, p. G99.
26. Blamont J. E., Roddier F. Phys. Rev. Lett., 1961, Vol. 7, p. 437.
27. Bohr N. In: A. Einstein: philosopher-scientist. Library of living philosophers, Illi-
nois, Edvanston, 1949, Vol. 5, p. 201.
28. Bond! H. Cosmology. Cambridge University Press, 1961.
29. Bondi H., van der Burg M. G. J., Metzner A. W. K- Proc. Roy. Soc, 1962, Vo!. A269.
p. 21.
30. Bondi H., Gold T. Monthly Notices Roy. Astron. Soc, 1948, Vol. 108, p. 252.
3!. Born M. Ann. Physik, 1909a, Bd 28, S. 571.
32. Ibid., 1909b, Bd 30, S. 1.
33. Born M. Proc. Roy. Soc, 1934, Vol. A143, p. 410.
34. Bradley J. Philos. Trans. Roy. Soc. London A, 1728, Vol. 35, p. 637.
35. Brans G., Dicke R. H. Phys. "Rev., 1961, Vol. 124, p. 925.
36. Brevik J. Mat. Fys. Medd. Dan. Vid. Selsk., 1967, Vol. 36, N 3.
37. Ibid., 1970a, Vol. 37, N 11; 1970b, Vol. 37, N 13.
38. Broglie L. de. These. Paris, 1924.
39. Bucherer A. H. Verhandl. dt. phys. Ges., 1908, Bd 6, S. 688.
40. Campbell W. W., Trumpler R. Univ. Calif. Publs. Astr. Lick Obs. Bull., 1923, Vol. 11.
p. 41.
41. Ibid., 1928, Vol. 13, p. 130.
42. Cattaneo С Nuovo cimento, 1958, Vol. 10, p. 318.
43. Ibid., 1959a, Vol. 11, p. 733.
44. Ibid., 1959b, Vol. 13, p. 237.
45. Cattaneo С Atti Accad. naz. Lincei Rend, 1959c, Vol. 27, p. 54.
46. Cattaneo С Ann. mat. pura ed appl., 1959d, Vol. 48, p. 361.
47. Cattaneo С. С. r. Acad. sci., Paris, 1963, Vol. 256, p. 3974.
48. Gedarholm С J., BlandG. F., Havens B. L. e. a. Phys. Rev. Lett., 1958, Vol. 1, p. 342,
49. Champeny D. C, Isak G. R., Khan A. M. Phys. Rev. Lett., 1963, Vol. 7, p. 241.
38T
50. Champion F. С. Proc. Roy. Soc, 1932, Vol. A136, p. 630.
51. Chazy J. С. г. Acad. sci., Paris, 1926, Vol. 182, p. 1134.
52. Cockroft J. D., Walton G. T. S. Proc. Roy. Soc, 1932, Vol. A137, p. 229.
53. Cranshaw Т. Е. Proceedings of the International School of Physics, Varenna, London.
Academic Press, 1961, p. 208.
54. Cranshaw Т. Е-, Schiffer S. P., Whitehead A. N. Phys. Rev. Lett., 1960, Vail. 4, p. 163.
55. Curie J., Joliot F. С. г. Acad. sci., Paris, 1933, Vol. 196, p. 1581.
56. Diillenbach W. Dissertation, Zurich, 1918.
57. Dallenbach W- Ann. Physik, 1919, Bd 58, S. 523.
58. Dicke R. H. Mach's principle and equivalence. Proceedings of the International School
of Physics, Varenna, London, Academic Press, 1961.
59. Dicke R. H. Nature, 1964, Vol. 202, p. 432.
60. Dicke R. H. A Rev. Astr. Astrophys., 1970, Vol. 8, p. 297.
61. Dicke R. H., Goldenberg, Mark H. Phys. Rev. Lett., 1967, Vol. 18, p. 313.
62. Dirac P. A. M. The principles of quantum mechanics. Oxford, Clarendon Press, 1947 ,
63. Eckart С Phys. Rev., 1940, Vol. 58, p. 919.
64. Ehlers J., Kudt W. Gravitation. N. Y., Wiley and Sons, 1962.
65. Einstein A. Ann. Physik, 1905a, Bd. 17, S. 891.
66. Ibid., 1905b, Bd 18, S. 639.
67. Einstein A. Jb Radioakt. Elektronik, 1970a, Bd 4, S. 41 J.
68. Einstein A. Ann. Physik, 1907b, Bd 23, S. 37.
69. Ibid., 1911, Bd 35, S- 898.
70. Ibid., 1912, Bd 38, S. 355, 443.
71. Einstein A. Phys. Z., 1913, Bd 14, S. 1249.
72. Einstein A. Sber. preuss. Akad. Wiss., 1915, S. 788, 799, 831, 844.
73. Einstein A. Ann. Physik, 1916a, Bd 49, S. 769.
74. Einstein A. Sber. preuss. Akad, Wiss., 1916b, S. 688.
75. Einstein A. Ober die spezielle und die allgemeine Relativitatstheorie. Braunschweig,
Vieweg und Sohn, 1917a.
76. Einstein A. Sber. preuss. Akad. Wiss., 1917b, S. 142.
77. Einstein A. Naturwissenschaften, 1918a, Bd 6, S. 697.
78. Einstein A Sber. preuss. Akad. Wiss., 1918b, S. 448.
79. Einstein A. Ann. Physik, 1918c, Bd 55, S. 241.
80. Einstein A. Revta Inst. Fis. Univ. пае. Tucuman, 1941, Vol. A2, p. 11.
8!. Einstein A., Lamb J. Ann. Physik, 1908, Bd 26, S. 541.
82. Einstein A., Pauli W. Ann. Math., 1943, Vol. 44, p. 131.
83. Einstein A., de. Sitter W. Proc. Nat. Acad. Sci. U. S. A., 1932, Vol. 18, p. 213.
84. Eotvos R. von Math, naturw. Ber. Ung., 1890, Bd 8, S. 65.
85. Eotvos R. von. Ann. Physik, 1896, Bd 59, S. 354.
86. Eotvos R. von., Pekar D., Fekete E. Ann. Physik, 1922, Bd 68, S. 11.
87. Essen L. Nature, 1955, Vol. 175, p. 793.
88. Ibid., 1957, Vol. 180, p. 1061.
89. Fermi E. Atti Accad. naz. Lincei Rend., 31, 1922, N 1, 21, 51.
90. Finlay-Freundlich E. Philos. Mag., 1954, Vol. 45, p. 303.
91. Fizeau H. C. r. Acad. sci., Paris, 1851, Vol. 33, p. 349.
92. Fizeau H. Ann. Phys. Chem., 1853, Vol. 3, p. 457.
93. Fock V. The theory of space, time and gravitation. London, Pergamon Press, 1959.
[См. Фок В. А. Теория пространства, времени я тяготения. Изд. 2-е. М., Физмат-
гиз, 1961.]
94. Fokker A. D. Philos. Mag., 1920a, Vol. 39, p. 404.
95. Fokker A. D. Proc. Sect. Sci. K- ned. Akad. Wet., 1920b, Bd 23, S. 729.
96. Fokker A. D. Relativitatstheorie. Groningen, Noordhoff, 1929, S. 170.
97. Fresnel A. J. Ann. Chim. Phys., 1818, Vol. 9, p. 57.
98. Freud Ph. von. Amer. J. Math., 1939, Vol. 40, p. 417.
99. Freundlich E., Brunn A. V., Briick H. Z. Astrophys., 1950, Vol. 1, p. 43.
100. Freundlich E., Ledermann W. Monthly Notices Roy. Astron. Soc, 1944, Vol. 104,
1944, Vol. 104, p. 1, 40.
101. Friedlander B. J. Absolute and relative Bewegung, Berlin, Simion, 1896.
102. Friedman A. Z. Phys., 1922, Bd. 10, S. 377; 1924, Bd 21, S.326. [См. Фридман А. А.
УФН, 1967, т. 93, N 2, с 280.]
103. Gerlach W. Handb. Phys., 1926, Vol. 22, p. 61.
104. Oilman R. C. A completely covariant integral theory of inertia and gravitation and
its Machian implications. Thesis, Palmer Physical Laboratory, Princeton Univer-
sity, 1969.
!05. Ginsburg V. L. Fortschr. Phys., 1957, Bd 4, S. 16.
106. Groot S. R. de., Suttorp L. G. Physica's Grav., 1967, Vol. 37, p. 284, 297.
107. Groot S. R. de. Physica's Grav., 1968, Vol. 39, p. 28, 41, 67, 77.
108. Giirsey F. Ann. Phys., 1959, Vol. 24, p. 211.
109. GuyeCh. E., Lavanchy Ch. Archs Sci. phys. nat., 1916, Vol. 41, p. 286, 353, 441.
110. Haseno'hr! F. Sber. Akad. Wiss. Wien, 1907, Bd 116, S. 1391.
111. Heisenberg W. Ann. Physik, 1938, Bd 32, S. 20.
-388
112. F^rglotzG. Ann. Physik, 1911, Bd. 36, S. 493.
113. Hilbert D. Nachr. Ges. Wiss. Gottingen, 1915, S. 395.
114. Ibid., 1917, S. 53.
115. Hoek M. Arehs neerl. Sci., 1868, Vol. 3, p. 180.
116. Hubble E. Proc. Nat. Acad. Sci. U. S. A., 1929, Vol. 15, p. 168.
117. Hubble E. Astrophys. J., 1934, Vol. 79, p. 8.
118. Hubble E., Humason M. L. Astrophys. J., 1931, Vol. 74, p. 43.
119. Illingworth К. К. Phys. Rev., 1927, Vol. 30, p. 692.
120. [ves H. E., StilwellG. R. J. Opt. Soc. America, 3938, Vol. 28, p. 215.
121. Joss G. Ann. Physik, 1930, Bd 7, S. 385.
322. Juttner F. Ann.' Physik, 1911, Bd 34, S. 856.
123. Kaufmann W. Nachr. Ges. Wiss. Goitingen, 1901, S. 143.
124. Kennedy R. J. Proc. Nat. Acad. Sci. U. S. A., 1926, Vol. 12, p. 621.
125. Kerr R. P. Phys. Rev. Lett., 1963, Vol. 11, p. 237.
126. Kerr R. P., Schild A. Atti Conv. Rclativita gen., 1965, p. 222.
127. Kibble T. W. Nuovo cimento, 1966, Vol. B41, p. 72.
128. Klein F. Nachr. Ges. Wiss. Gottingen, 1918, S. 394.
129. КгоП N. M.( Lamb W. E., Carnahaw С W. Proc. 1. R. E., 1962, Vol. 50, p. 1694.
130. Landau L., Lifshitz E. The classical theory of fields. Reading, Mass. Addison-Wesley,
1951. (См. Ландау Л. Д., Лифшнц Е. М. Теория пэля. Изд. 6-е, М., «Наука», 1973.j
131. Landsberg Р. Т. Proc. Roy. Soc, 1966, Vol. 89, p. 1007.
132. Langevin P. Scientia, Paris, 1911, Vol. 10, p. 31.
133. Langevin P. J. phys. theor. appl., 1913, Vol. 3, p. 553.
134. Laue M. von. Ann. Physik, 1911, Bd 35, S. 524.
135. Laue M. von. Phys. Z., 1912, Bd 13, S. 118.
136. Laue M. von. Die Relativitatstheoric, Braunschweig, Vieweg und Sohn, 3 Aufl.,
Bd 1, S. 29.
137. Leffert С. В., Donahue Т. М. Ann. J. Phys., 1958, Vol. 26, p. 514.
138. Lemailre G. J. Ma1h. and Phys., 1925, Vol. 4, p. 188.
139. LamaitreG. Ann. Soc. roy. Sci. med. nat. Brux., 1927, Vol. A47, p. 49.
140. Ibid., 1933, Voi. A53, p.'51.
141. Levi-Civita T. Atti Accad. Naz. Lincei Rend., 1917, Vol. 5, N 26.
142. Ibid., 1918, Vol. 5, N 27.
143. Ibid., 1919, Vol. 5, N 28.
144. Lewis G. N.. Tolman R. С Philos. Mag., 1909, Vol. J8, p. 510.
145. Lodge 0. Philos. Trans. Roy. Soc, London A, 1893, Vol. 184, p. 727.
146. Lorentz H. A. Verh. K. Akad. Wet., 1892, Bel 1, S. 74.
147. Lorentz H. A. Vcrsi. gewone Vergad. Vis. — en natuurk. Afd. K. Akad. Wet. Amst.,
1911, Vol. 20, p. 87.
148. Lorentz H. A. Das Relativitatsprinzip. Leipzig, Teubner, 1914.
149. Lorentz H. A. The theory of electrons. Leipzig, Teubner, 1916. [См. Лоренц Г. А. Тео-
рия электронов. Пер. с англ. Под ред. Т. П. Кравца. Изд. 2-е. М., Гостехиздат, 1956.
150. Me VHtieG. С. General relativity and cosmology. N. Y., Wiley and Sons, 1956. [См.
Max Витти Г. Общая теория относительности и космология. Пер. с англ, Под ред.
В. В. Судакова. М., Изд-во иностр. лит-ры, 1961.]
J51. Mandelberg H. J., Witten L. J. Opt. Soc. America, 1962, Vol. 52, p. 529.
152. Marx G., Gyorgoi. Ann. Physik, 1955, Bd 16, S. 211.
153. Michelson A. A. Amer. J. Sci., 1881, Vol. 22, p. 20.
154. Michelson A. A., Morley E. W. Amer. J. Sci., 3886, Vol. 31, p. 377.
155. Michelson A. A. Amer. J. Sci., 1887, Vol. 34, p. 333.
156. Mie G. Ann. Physik, 1912a, Bd 37, S. 511.
157. Ibid., 1912b, Bd 39, S. 1.
158. ibid., 1913, Bd 40, S. 1.
159. Miller D. С Revs Mod. Phys., 1933, Vol. 5, p. 203.
160. Minkowski H. Nachr. Ges. Wiss. Gottingen, 1908, S. 53.
161. Minkowski H. Raum und Zeit. —Phys. Z., 1909, Bd 10, S. 104.
162. Minkowski H. Math. Ann., 1910, Bd 68, S. 472.
163. Minkowski H. Das Relativitatsprinzip. — Ann. Physik, 1915, Bd 47, S. 927.
164. Minkowski H., Born M. Math. Ann., 1910, Bd 68, S. 526.
165. Mitskevic N. V. Ann. Physik, 1961, Bd 12, S. 118.
166. МфМегС. Mat. Fys. Medd. Dan. Vid. Selsk., 1943, Vol. 20, N 19.
Юба. МФПег С. Communs Dublin Inst. Advanced Stud. A, 1949, Vol. A, N 5.
167. МфПег С. Ann. Inst. Henri Poincare, 1950, Vol. 11, fasc 5, p. 251.
168. МфПег С Mat. Fys. Medd. Dan. Vid. Selsk., 1955, Vol. 30, N 10.
169. МфПег С. Helv. phys. acta, 1956, p. 9, 54.
170. МфПег C. Nuovo cimento, 1957, Vol. 6, p. 381.
171. МфПег С. Ann. Physik, 1958, Bd 4, S. 347.
172. МфНег С. Amer. J. Phys., 1959a, Vol. 27, p. 491.
173. МфИег С. Mat. Fys. Medd. Dan. Vid. Selsk., 1959b, Vol. 31, N 14.
174. МфПег С. Selected problems in general relativity. Lecture notes. Brandeis Univer-
sity, Waltham, Mass. ed. Stachel and L. Pande, 1960.
389
175. МфПег С. Ann. Physik, 19Gla, Bd 12, S. 118.
176. МфПег С Mat. Fys. Skr. Dan. Vid. Selsk., 1961b, Vol. I, N 10.
177. МфПег С. Proc. Roy. Soc, 1962, Vol. A270, p. 306.
178. МфПег С. Mat. Fys." Medd. Dan. Vid. Selsk., 1964a, Vol. 34, N 3.
179. МфПег С. Conservation laws in the tetrad theory of gravitation. Proceedings of the
Conference on the Theory of Gravitation. Warszawa and Jablonna. Paris, Gauthier-
Villars, 1964b, p. 31.
180. МфПег С. Nucl. Phys., 1964c, Vol. 57, p. 330.
181. МфПег С. Energy and momentum carried by gravitational waves. Proceedings if
Galilei Conference, Firenze, 1965a.
182. МфПег С. Proc. lnternat. Conf. Elem. Particles, Kyoto, 1965, 1965b, p. 213.
183. МфПег С. Mat. Fys. Medd. Dan. Vid. Selsk., 1966, Vol. 35, N 3.
184. [bid., 1967, Vol. 36, N 1.
185. Ibid., 1968a, Vol. 36, N 16.
186. МфПег С. Thermodynamics in the special and general theory of relativity. Old and;
new problems in elementary particle physics. London, Academic Press, 1968b.
187. МфПег С. Mat. Fys. Medd. Dan. Vid. Selsk., 1969, Vol. 37, N 4.
188. Mossbauer R. L. Z. Phys., 1958, Bd 151, S. 124.
189. Neumann С. К- sachs. Ges. Wiss. Leipzig, 1874, Bd 26, S. 97.
190. Neumann G. Ann. Physik, 1914, Bd 45, S. 529.
191. Ott H. Z. Phys., 1963, Bd 175, S. 70.
192. Papapetrou A. Praktika Acad. Athenon, 1939, Vol. 14, p. 540.
193. Pauli W. Encyklopadie der mathemalischen Wissenschaften, 1920, Bd 2, S. :66~
[см. Паули В. Теория относительности. Пер. с нем. М—Л., Гостсхиздат, 1947,]
194. Petrov A. S. Einstein-Raume. Berlin, Akademie-Verlag, 1964. [См. Петров А. 3.
Пространства Эйнштейна. М., Физматгиз, 1961,]
195. Planck M. Sber. preuss. Akad. Wiss., 1907, S. 542.
196. Planck M. Ann. Physik, 1908, Bd 76, S. 1.
197. Poincare H. С. г. Acad. sci., Paris, 1905, Vol. 140, p. 1504.
198. Poincare H. Rend. Circ. do mat. Palermo, 1906, Vol. 21, p. 129.
199. Pound R. V., Rebka G. A. Phys. Rev. Lett., 1960, Vol. 4, p. 337.
200. Pound R. V., Snider J. L. Phys. Rev. Lett., 1964, Vol. 13, p. 539.
201. Pryce M. H. L. Proc. Soc, 1948, Vol. A195, p. 62.
202. Rasetti F., Meitner L., Philipp K- Naturwissenschaften, 1933, Bd 21, S. 286.
203. Reissner H. Ann. Physik, 1916, Bd 50, S. 106.
204. Rindler W. Monthly Notices Roy. Astron. Soc, 1956, Vol. 116, p. 662.
205. Rindier W. Essential relativity. N. Y., Van Nostrand—Reinhold Co., 1969.
206. Robertson H. P. Philos. Mag., 1928, Vol. 5, p. 839.
207. Robertson H. P. Proc. Nat. Acad. sci. U. S. A., 1929, Vol. 15, p. 822.
208. Robertson H. P. Revs. mod. Phys., 1933, Vol. 5, p. 62.
209. Roll P. C, Krotkov R., Dicke R. H. Ann. Physik, l"9G9. Bd 26, S. 442.
210. Rosenfeld L. Mem. Acad. roy. Belgique Cl. sci., 1940, Vol. 6, p. 30.
211. Rosenfeld L. Theory of Electrons. Amsterdam, North-Holland, 1951.
212. Sachs R. K. Proc.'Roy. Soc, 1962, Vol. A270, p. 103.
213. SagnacG. С R. Acad. sci., Paris, 1913, Vol. 157, p. 708, 1410.
214. SagnacG. J. phys. theor. appl. E), 1914, Vol. 4, p. 177.
215. Sandage A. Astrophys. J., 1968, Vol. 152, p. L149.
216. St. John. Astrophys. J., 1928, Vol. 67, p. 195.
217. Scheye A. Ann. Physik D), 1909, Bd 30, S. 805.
218. Schiff L. J. Proc. Nat. Acad. Sci. U. S. A., 1960, Vol. 46, p. 871.
219. Schmutzer E. Z. Naturforsch., 1964, Bd A19, S. 665.
220. Schmutzer E. Relativistische Physik. Leipzig, Tcubncr, 1968.
221. Schwarzchild K- Sber. preuss. Akad. Wiss., 1916a, S. 189.
222. Ibid., 1916b, S. 424.
223. Seeliger H. von. Astron. Nachr., 1895, Bd 137, S. 129.
224. Seeliger H. von. Sber. bayer. Akad. Wiss., 1896, Bd 26, S. 373.
225. Serini R. Atti Accad. naz. Lincei Rend. E), 1918, Vol. 27, p. 235.
226. Shamir J., Fox R. Nuovo cimenio, 1969, Vol. 82B, p. 258.
227. Shapiro I. 1. Phys. Rev. Lett., 1964, Vol. 13, p. 789.
228. Shapiro !. I., Ash M. E., Smith W. B. Phys. Rev. Lett., 1968, Vol. 20, p. 1517.
229. Shapiro F. I., PetfengillG. H., Ash M. E. e. a. Phys. Rev. Lett., 1968, Vol. 20, p. 1265.
230. Singer S. F. Phys. Rev., 1S56, Vol. 104, p. 11.
231. Sitter W. de. .Monthly Notices Roy. Astron. Soc, 1916a, Vol. 76, p. G99.
232. Ibid., 1916b, Vol. 77, p. 155.
233. Sitter W. de. Proc. Sect. Sci. K. ned. Akad. Wet., 1917a, Vol. 19, p. 1217.
234. Ibid., 1917b, Vol. 20, p. 229.
235. Smith N. M., jr. Phys. Rev., 1939, Vol. 56, p. 548.
236. Soderholm L. Nuovo cimento, 1968, Vol. B57, p. 173.
237. Sommerfeld A. Ann. Physik, 1910a, Bd 32, S. 749.
238. Ibid., 1910b, Bd 33, S. 649.
239. Ibid., 1910c, Bd 33, S. 670.
390
i40. Southerns L. Proc. Roy. Soc, 1910, Vol. A84, p. 325.
241. Stark J. Ann. Physik, 1906, Bd 21, S. 40.
242. Stark J., Hermann W., Kinoshita S. Ann. Physik, 1906, Bd 21, S. 462.
243. Stark J., Siegel K. Ann. Physik, 1906, Bd 21, S. 457.
244. Stokes С G. Philos. Mag., 1845, Vol. 27, p. 9.
245. Stokes C. G. Math. phys. Pap., 1880, Vol. 1, p. 134.
246. Synge J. L, Proc. Roy. Irish Acad. A, 1950, Vol. 53, N 6, 83.
247. Synge J. L. Relativity: the general theory. Amsterdam, North-Holland, 1960, § 10.
[См. Синг Дж. Л. Общая теория относительности. Пер. с англ. Под ред. А. 3. Петро-
ва. М., Изд-во иностр. лит-ры, 1963.]
248. Synge J. L., Schild A. Tensor calculus. University of Toronto Press, 1956, p. 274.
249. Tamm !g. Journal of Physics (Moscow), 1939, Vol. 1, p. 439.
250. Taub A. H. Ann. Math., 1959, Vol. 53, p. 472.
251. Taub A. H. Phys. Rev., 1956, Vol. 103, p. 454.
252. Ibid., 1957, Vol. 107, p. 884.
253. Taub A. H. Ann. Inst. Henri Poincare, 1968, Vol. 9, p. 153.
254. Thomas L. W. Philos. Mag., 1927, Vol. 3, p. 1.
255. Thirring H. Phys. Z., 1918, Bd 19, S. 33.
256. Ibid., 1921, Bd 22, S. 29.
257. Thirring H., Lense J. Phys. Z., 1918, Bd 19, S. 156.
258. Tolman R. С Proc. Nat. Acad. Sci. U. S. A., 1929, Vol. 15, p. 297.
259. Tolman R. C. Phys. Rev., 1930, Vol. 35, p. 875.
260. Tolman R. C. Relativity, thermodynamics and cosmology. Oxford, Clarendon Press,
1934. [См. Тол-иеп Р. Относительность, термодинамика и космология. Пер. с англ.
Под ред. Я. А. Смородинекого. М., «Наука», 1971.j
26!. Truesdei С. Six lectures on modern natural philosophy. N. Y., Springer, 1966, p. 72.
262. Walker A. G. Proc. Roy. Soc. Edinb., 1932, Vol. 52, p. 345.
263. Walker A. G. Monthly Notices Roy. Astron. Soc, 1933, Vol. 94, p. 159.
264. Weber J. Phys. Rev., 1960, Vol. 117, p. 306.
265. Weber J. Relativity, groups and topology. N. Y., Gordon and Breach, 1964, p. 875.
266. Weber J. Phys. Rev. Lett., 1966, Vol. 17, p. 1228.
267. Weber J. Physics of the moon. American Astronautical Society. California, Haw-
thorne, 1967.
268. Weber J. Phys. Rev. Lett., 1968, Vol. 21, p. 395.
269. Ibid., 1969, Voi. 22, p. 1320.
270. Ibid., 1970, Vol. 24, p. 276.
271. Weber J., Larson J. V. J. Geophys. Res., 1966, Vol. 71, p. 6005.
272. Weber W.. Kohlrausch R. Ostwalds Klass. cxakt. Wiss., 1856, N 142.
273. Weyl H. Ana. Physik, 1917, Bd 54, S. 117.
274. Weyl H. Raum — Zeit— Materie. Berlin, Springer, 1918.
275. Weyl H. Ann. Physik, 1919, Bd 59, S. 185.
276. Weyl. H. Raum—Zeit—Materie. Berlin, Springer, 3 AufI, 1920.
277. Weyl H. Phys. Z., 1923, Bd 24, S. 230.
278. Weyl H. Philos. Mag. 1930, Vol. 9, p. 936.
279. Weysenhoff J. von. 2. Phys., 1935, Bd 95, S. 391.
280. Ibid., 1937, Bd 107, S. 64.
28!.. Wheeler J. Gravitation and relativity. N. Y., Benjamin, 1964a.
282. Wheeler J. Relativity, groups and topology. N. Y.. Gordon and Breach, 1964b.
283. Yukawa H. Proc. Math. Phys. Soc. Japan., 1935, Vol. 17, p. 48.
284. Zeeman P. Vers!. genowe Vergad. wis. en naturk. Afd. K. Akad. Wet. Amst., 1914,
Bd 23, S. 245.
285. Ibid., 1915, Bd 24, S. 18.
286. Zeeman P. Proc. Sect. Sci. K. ned. Akad. Wet., 1917, Bd 20, S. 542.
287. Zelmanof A. L. Dokl. Akad. Nauk SSSR, 1956, Vol. 107, p. 815. [См. «Докл. АН
СССР», 1956, т. 107, с. 815.]
ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЙ СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
(составлен научным редактором перевода)
ИСТОРИЯ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
1. Лауэ Макс. Статьи и речи. Сб. Составитель У. И. Франкфурт. Ред. Л. С. Фрейдман.
М., «Наука», 1969.
2. Франкфурт У. И. Специальная и общая теория относительности, М., «Наука», 19C8.
(Большой список литературы).
3. Франкфурт У. И., Френк А. М. Оптика движущихся тел. М., «Наука», 1972.
4. Визгни В. П. Развитие взаимосвязи принципов инвариантности с законами сохране-
ния в классической физике. М., «Наука», 1972. (Большой список литературы).
5. Иваненко Д. 50 лет советских работ по гравитации. — «Изв. вузов. Физика». Изд-во
Томского ун-та, 1967, № 10, с. 30.
6. Иваненко Д. Главные периоды истории исследования гравитации. — «Вопросы исто-
рии естествознания и техники». М., «Наука», 1974, № 2—3, с. 42—48.
7. Tonnelat M. A. Histoire du Principe de Relativile. Paris, Flammarion, 1971. (Большой
список литературы).
8. Harvey A. L. Amer. J. Phys., 1965, Vol. 33, p. 449. (Работы Абрагама, Нордстрема и др.
предшественников ОТО).
9. McCormmach R. Einstein, Loreniz and the electron theory. In: Historical Studies in the
Physical Sciences. Ed. R. McCormmach, University of Pennsylvania Press, Philadelphia,
1970, Vol. 2, p. 41.
1 0. Кудрявцев П. С. Курс истории физики. М., «Просвещение», 1974.
КЛАССИКИ РЕЛЯТИВИЗМА
1. Принцип относительности. Сборник работ классиков релятивизма. (Г. А. Лоренц,
А. Пуанкаре, А. Эйнштейн, Г. Минковский,) Ред. и примеч. В. К- Фредернкса и
Д. Иваненко. М.—Л., ОНТИ, 1935. (Установление СТО и ОТО).
2. Принцип относительности. М., Атомиздат, 1973. (Кроме предшественников и классиков
СТО, комментариев нз сборника 1935 г., здесь опубликованы статьи В. Паули,
Эд. Уиттекера, М. Борна, Д. Холтона, Дж. К.есуани н составителя сборника А. А. Тяп-
кила по истории установления специальной теории относительности.)
3. Пуанкаре А. Научные труды. М., «Наука», 1973, т. 3. (Основные статьи по СТО и реля-
тивизации гравитации с комментариями.)
4. Эйнштейн А. Собр. научн. трудов. В 4-х т. Пер. с нем. Под ред. И. Е. Тамма, А.Я. Смо-
родинского, Б. Г. Кузнецова. М., «Наука». (Т. 1- Работы по СТО и ОТО, 1965; Т. 2.
Единая теория поля, 1966. Работы Эйнштейна, цитируемые в книге Меллера, опубли-
кованы в сборниках «Принцип относительности», 1935 г. и 1973 г. и переизданы в^Т.[.
собр. научн. трудов.)
5. Hilbert D. Gott. Nachr., 1915, S. 395; 1917, S. 53.
МОНОГРАФИИ
1. Петров А. 3. Новые методы в общей теории относительности. М., «Наука», 1966.
2. Уилер Дж. А. Гравитация, нейтрино и Вселенная. Пер. с англ. Под ред. Д. Иваненко.
М., Изд-во иностр. лит., 1962. (С доп. статьями Дж. Мак Витти и Ф. Хойля.)
3. Эддингтон А. С. Теория относительности. Пер. с англ. Под ред. Д. Иваненко. М.—Л.,
ГТТИ, 1934. (Основы ОТО; единые теории Вейля, Эддиигтона.)
4. Скобельцын Д. В. Парадокс близнецов. М., «Наука», 1966.
5. Тредер Г. Ю. Теория гравитации и принцип эквивалентности. Пер. с нем. Под ред.
Д. Иваненко. М., Атомнздат, 1973. (Принципы ОТО в историческом аспекте; новая
теория Тредера.)
6. Иваницкая О. С. Обобщенные преобразования Лоренца и их применение. Минск,
«Наука и техника», 1969.
7. Швингер Ю. Частицы, источники, поля. Пер. с англ. Под ред. А. М. Бродского. М.,
«Мир», 1973.
392
8. Б >умберг В. А. Релятивистская небесная механика. М., «Наука», 1972.
9. Тредер Г. Ю. Относительность инерции. Пер. с англ. Под ред. К- П.Станюковича,
М., Атомиздат, 1975.
30. Lichnerowicz A. Theories relativistes dc la Gravitation et de I'electromagnetisme. Mas-
son, Paris, 1955. ¦
31. Weinberg S. Gravitation and Cosmology. John Wiley, N. Y., 1972. (Готовится рус-
ский перевод. М., «Мир».)
СБОРНИКИ
1. Новейшие проблемы гравитации. Сб. переводов с англ. Под ред. Д. Иваненко. М.,
Изд-во иностр. лит., 1963. (Статьи Меллера, Инфельда, Дирака, Пирани, Гупта, Бонди
и др. Большой список литературы.)
2. Гравитация и относительность. Ред. X. Цзю и В. Гоффман. Пер. с англ. Под ред.
А. 3. Петрова. М., «Мир», 1965. (Статьи Дикке, Вебера, Уилера и др.)
3. Теория групп и элементарные частицы. Пер. с англ. Под ред. Д. Иваненко. М., «Мир»,
1967. (Статьи Гюрши, Фронсдел и др.)
4. Гравитация и теория относительности. Вып. 9. Под ред. А. П. Широкова. Изд. Казан-
ского ун-та, 1973. (Авт.: В. И. Башков, В. Р. Кайгородов, Н. М. Петрова, Т. М. Кучина,
Р. С. Сингатуллин, В. И. Голиков и др.).
5. Эйнштейновские сборники. Серия сборников, нумеруемых по годам. Составитель
У. И. Франкфурт. М., «Наука». (Обзорные статьи по СТО, ОТО; переписка, дискуссии
на конференциях и т. д.).
1966. Эйнштейновский сборник. Под ред. И. Е. Тамма, Б. Г. Кузнецова. (Холтон: к ге-
незису специальной теории относительности и др.).
1967. Под ред. И. Е. Тамма, Г. И. Наана. (Коэн: беседа с Эйнштейном; Наан: типы
бесконечного и др.).
1968. Под ред. И. Е. Тамма, Г. И. Наана. (Хенль: к истории принципа Маха н др.)
1969 —1970. Под ред. И. Е. Тамма, Г. И. Наана. (Меллер: релятивистская термодина-
мика; Дикке: теория гравитации и наблюдения и др.)
1971. Под ред. И. Е. Тамма, Г. И. Наана. (Переписка Эйнштейна и Борна; В. И. Ро-
дичев: системы отсчета; Я- А. Смородинский: геометрия Лобачевского и кинематика
Эйнштейна и др.)
1972. Под ред. В. Л. Гинзбурга, Г. И. Наана. М-, «Наука», 1974. (Тер-Хаар, Верге-
ланд: термодинамика и статистическая механика в СТО; Гольдберг: к истории СТО.
и др.)
1973. Отв. ред. В. Л. Гинзбург. (Статьи по тахионам Сударшана и др.; Чандрасекар:
об ОТО; Арзелье: история ОТО и др.). М., «Наука», 1974.
Ь. Wheeler J. A. Magic without magic. Ed. J. R. Klauder, W. H. Freeman Co. St. Francis-
co, 1972 . (Сб. статей в честь 60 летия Дж. А. Уилера. Авт.: Вебер, Фейнман, Ди-
ке, Пенроуз, де Витт, Я- Б. Зельдович, И. М. Халатников, Торн, Бергман и др.).
7. Gravitation. Ed. L. Witten. N. Y., John Wiley, 1962. (Фундаментальные обзоры главных
проблем классической и квантовой ОТО: Бертотти, Брилл, Траутман, Пирани,
Элерс и др.)
ТАХИОНЫ — ЧАСТИЦЫ СВЕРХСВЕТОВЫХ СКОРОСТЕЙ
1. Терлецкий Я- П. Парадоксы теории относительности. М., «Наука», 1966.
2. Юдин В. В. «Изв. вузов. Физика», Изд-во Томского ун-та, 1970, № 11, с. 131.
3. Sudarshan В. С, Dhar J. Phys. Rev., 1968, Vol. 174, p. 1808.
4. Magnani R., Recami F. Nuovo cimento Rivista, 1974, Vol. 4, N 2.
НОВЫЕ РЕШЕНИЯ И ПРОБЛЕМЫ КЛАССИЧЕСКОЙ ОТО
1. Дозморов И. И., Родичев В. И. «Изв. вузов СССР. Физика», Изд-во Томского ун-та,
1970, № 10, с. 32 (Метрика Керра и геоны.)
2. Бурннскнй А. Я. ЖЭТФ, 1974, т. 66, с. 406.
3. Родичев В. И. Теория тяготения в ортогональном репере. М., «Наука», 1974.
4. Newman E. J., Winicour J. Math. Phys., 1974, Vol. 15, p. 426. (Метрика Керра.)
5. Plebanski J. Centro d. Investigation d. Inst. Politechnico Nac. Mexico. M. D. F., 1973.
(Большая серия новых решений.)
ГРАВИТАЦИОННЫЕ ВОЛНЫ
1. Вебер Дж. Общая теория относительности и гравитационные волны. Пер. с англ. Под
ред. Д. Иваненко. М., Изд-во иностр. лит., 1962.
2. Захаров В. Д. Гравитационные волны в теории тяготения Эйнштейна. М., «Наука»,
1972.
393
3. Weber J. GRG (General Relativity and Gravitation), 1972, Vol. 3, p. 59; Phys. Rev. Lett,
1970, Vol. 25, p. 180.
4. Bertotti В., Trevese D. Nuovo c.imcnto, 1972, Vol. 7B, p. 240; Astrophys. Lett., 1973,
Vol. 14, p. 51.
ТОПОЛОГИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
1. Гравитация и топология. Сб. статей. Пер. с англ. Под ред. Д. Иваненко. М., «Мир»,
1966.
2. Пенроуз Р. Структура пространства—времени. Пер. с англ. Под ред. Я. Б. Зельдовича
и И. Д. Новикова. М., «Мир», 1972.
3. Доклады на гравитационно-топологическом симпозиуме п Берне, 1970. GRG (Genera!
Relativity and Gravitation), Bern, 1971, Vol. 1. Lichnerowicz A., Carter В.,
Hawking S. W., Schmidt В., Kronheimer E. H., Seifert H. J.
4. Hawking S. W., Penrose R. Singularities, Causality and Cosmology. Cambridge Univer-
sity Press, 1972.
5. Hawking S. W., Ellis С F. R. The Large scale structure of spacetime (Cambridge Uni-
versity Press, London, 1973).
МЕТОДОЛОГИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ
1. Мос7епаяенко А. М. Проблема универсальности основных свойств пространства и вре-
мени. Л., «Наука», 1969.
2. Вяльцев А. Н. Дискретное пространство — время. М., «Наука», 1966.
3. Молчанов 10., Турсунов А. Проблемы пространства и времени в свете философских
идей В. И. Ленина. М., «Коммунист», 1974, № 6, с. 163.
4. Мостепаненко А. М., Мостепаненко М. В. Четырехмерность пространства и времени.
М. — Л., «Наука», 1966.
5. Мостепаненко А. М. Пространство и время в макро-, мега- и микромире. М., Изд-во
полит, лит., 1974.
6. Рейхенбах Т. Направление времени. Пер. с англ. Под ред. М. Э. Омельяиовского. М.„
Изд-во иностр. лит., 1962.
7. Грюнбаум А. Философские проблемы пространства к времени. Пер. с англ. Под ред.
Ю. Б. Молчанова. М., «Прогресс», 1969.
8. Свиридонов М. Н. Необратимость времени. Канд. дис. М., Изд-во МГУ, 1974.
9. Кузнецов Б. Г. Принцип относительности в античной, классической и квантовой физи-
ке. М., Изд-во АН СССР, 1959 г.
10. Havas P. Rev. Mod. Phys., 1964, Vol. 36, p. 938.
11. Albert Einstein. Philosopher-Scientist. P. A. Schilpp, Ed., Edvanston — N. Y., Tu-
dor, 1951. (Сб. статей. Авторы: Рейхенбах, Франк, Бриджмен, Лемэтр и др.)
НОВЫЕ ЭКСПЕРИМЕНТЫ В ОТО
1. Брагинский В. Б. Физические эксперименты с пробными телами. М., «Наука», 1970-
2. Брагинский В. Б., Руденко В. Н. Релятивистские гравитационные эксперименты. УФН,.
1970, т. 100, с. 395.
3. Сагитов М. У. Постоянная тяготения и масса Земли. М., «Наука», 1969.
4. Shapiro I. Phys. Rev. Lett., 1971, Vol. 26, p. 27; GRG, 1972, Vol. 3, p. 135.
5. Eotvos R. Gesammeite Arbeiien (Herausg. P. Selenyi), Budapest, 1953 (Собрание тру
дов Р. Этвеша. Под ред. П. Шелени. Изд-во Венгерской Академии Наук.)
РЕЛЯТИВИСТСКАЯ АСТРОФИЗИКА II КОСМОЛОГИЯ
Основные вопросы
1. Зельдович Я. Б., Новиков И. Д. Релятивистская астрофизика. М., «Наука»; 196Т
2. Зельдович Я- Б., Новиков И. Д. Теория тяготения и эволюция звезд. М., «Н аука&-
1971. (Основы ОТО, пульсары и т. д.)
3. Озерной Л. М., Прилуцкнй О. Ф., Розенталь И. Л. Астрофизика высоких энергий.
М., Атомиздат, 1973. (Проблемы астрофизики в связи с новейшей физикой элементар-
ных частиц; электроны в Галактике; синхротронное излучение и т. д.)
4. Пахольчик А. Радиоастрофизика. Пер. с англ. Под ред. В. В. Виткевича. М., «Мир»,
1973.
5. Соколов А. А., Тернов И. М. Синхротронное излучение. М., «Наука», 1971. (См. так-
же «Изв. вузов СССР. Физика». Изд-во Томского ун-та, 1974, ,\в 12, с. 5, 42.)
6. Бербидж М., Бербидж Дж. Квазары. Пер. с англ. Под ред. Н. С. Кардашева. М., «Мир»,,
1968.
7. Пульсары. Сб. статей (Хыоиш, Голд и др.) Пер. с англ. Под ред. В. В. Виткевича..
М., «Мир», 1971.
394
з. II 1ма Д. Современная космология. Пер. с англ. Под ред. Н. С. Кардашева. М., «Мир»,
1973.
Ь. Зельманов А. Л. Космология. — В сб.: Развитие астрономии в СССР. М., «Наука»,
1967.
JO. Rees M., Ruffini R., Wheeler J. A. Black holes, gravitational waves and Cosmology.
N. Y., Gordon—Breach, 1972. (Готовится русский перевод. М., «Мир».), 1975.)
11. Press W. H., Eardley D. M. Ann. Rev. Astron" and Astropliys., 1975, Vol. 13. (Черные
дыры).
Гг. Thorne К. S. Astrophys. J., 1969, Vol. 158, p. 997; 1969, 1968, Vol. 148, p. 51.
13- Gravitational Radiation and Gravitational Collapse. Ed. C. Dewitt—Morette (J. B. Bar-
deen, Я- Б. Зельдович и др. Доклады Коперииканского юбилейного конгресса, Вар-
шава, 1973.)
14. Mavrides S. L'univers relativiste. Masson, Paris, 1973.
(Согласно последнему анализу Сэндэйджа, лучшее значение постоянной Хаббла лежит
Р!близи 50 км/(мпс-сек), а не очень точные определения ее производной указывают
ну замедление расширения Вселенной.)
Уравнение состояния сверхплотной материи и астрофизика
1. Проблемы современной космогонии. Изд. 2. М., «Наука», 1972, Сб. под ред. В. А. Амбар-
цумяиа. (Саакян Г. С. Теория сверхплотных небесных тел и др.)
2. Уилер Дж. А. и др. Теория гравитации и гравитационный коллапс. Пер. с англ.
М, «Мир», 1972.
3. Максюков Н. И. «Изв. вузов СССР. Физика». Изд-во Томского ун-та, 1974, № 2, с. 41.
4. Hagedom A. Nuovo Cimento A, 1968, Vol. 56, p. 1027.
Кварки в звездах
3. Иваненко Д., Курдгелаидзе Д. Ф. «Астрофизика», Ереван, 1965, т. I, с. 479. Nuovo Ci-
mento, 1969, Vol. 2, p. 13.
2. De Sabbata V. Nuovo cimento, 1966, Vol. 45, p. 513.
3. Dashen R. Astrophys. J., 1971, Vol. 9, p. 163.
КВАНТОВАЯ ГРАВИТАЦИЯ И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ЧАСТИЦЫ
1. Салам А. Вычисление перенормировочных констант. — В сб.: Квантовая гравитация
и топология. Пер. с англ. Под ред. Д. Иваненко. М., «Мир», 1973.
2. Блохинцев Д. И. Пространство и время в микромире. М., «Наука», 1970.
3. Гейзенберг В. Введение в единую полевую теорию элементарных частиц. Пер. с англ.
Под ред. Д. Иваненко. М., «Мир», 1959.
4. Иваненко Д. Acta Phys. Acad. Sci. (Budapest), 1972, Vol. 32, p. 341; Tensor, 1972, Vol.
25, p. 16! (Japan); «Изв. вузов СССР. Физика». Изд-во Томского ун-та, 1974, N 12,
с. 35; А. Соколов, Д. Иваненко. «Квантовая теория поля», ч. 2. ГТТИ, 1952.
5. Марков М. А. ЖЭТФ, 1966, т. 48, с. 9.
'"!. Брилл Д., Гоуди Р. Квантование общей теории относительности. — В сб.: Квантовая
гравитация и топология. Пер. с англ. Под ред. Д. Иваненко. М., «Мир», 1973. (Фунда-
ментальный обзор. Канонический формализм, суперпространство и др.)
7. Wheeler J. A. Summary and perspectives, is physics, legislated by cosmogony. In: Quan-
tum Gravity. Eds R. Penrose, C. Isham, D. Sciama. Clarendon Press, Oxford, 1975.
Ь. Понтекорво Б. М. «Изв. вузов СССР. Физика». Изд-во Томского ун-та, 1974, № 12,
с. 18.
ОБОБЩЕНИЯ ОТО
Компенсационная трактовка гравитации как калибровочного поля
I. Элементарные частицы и компенсирующие поля. Пер.сангл. Под ред. Д. Иваненко.
М., «Мир», 3964. (Авт.: Янг — Миллс, Утияма, Киббл, Сакураи.)
2. Фролов Б. Н. «Вестн. Моск. ун-та», 1963, № 5, с. 48; 1964, № 2, с. 56.
3. Сарданашвили Г. А. «Изв. вузов СССР. Физика», Изд-во Томского ун-та, 1974, № 12,
с. 128
4. Коноплева Н. П.; Попов В. Н. Калибровочные поля. М., Атомиздат, 1972.
5. Fock V. A., Ivanenko D. Comptes Rendues Acad. Sci., Paris, 1929, Vol. 188, p. 1480.
6. Bade W. L., Jehle H. Rev. Mod. Phys., 3953, Vol. 25, p. 714. (Спиноры в риманоьой
геометрии, обзор.)
Ослабление константы тяготения а скалярно-тензорная теория
1. Горелик Г. Е. «Изв. вузов СССР. Физика». Изд-во Томского уи-та, 1973, № 1, с. 56-
2. Dirac P. A. M. Proc. Roy. Soc. London A, 3938, Vol. 165, p. 199.
3. Ibid, 3974, Vol. 338, p. 466.
395
Jordan P. Schwerkraft und Weltall B Aufl. Vieweg. Braunschweig, 1955); Z. Phys., I960,
Bd 157, S. 112.
5. Jordan P. Die Expansion der Erde. Vieweg, Braunschweig, 1966.
Кручение
1. Пономарев В. Н. Bull. Acad. Pol. Sci., 1971, Vol. 19, p. 545; Канд. дисс. М., Вести.
Моск. ун-та, 1974, № 5.
2. Родичев В. И. ЖЭТФ, 1961, т. 40, с. 1469.
3. Cartan E. Comptes Rendues, Paris, 1922, Vol. 174, p. 593; Ann. Ecole. Norm. Super, 1923,.
Vol. 40, p. 325. Oeuvres. Paris, Vol. 1, 2.
4. Ivanenko D. Gravitation and unified picture of matter. Alti d. Convegno s. Relativita
Generale. Firenze 1964 (Barbera Ed. 1965.)
5. Trautman A. Bull. Acad. Polon. Sci. (math., astr., phys.), 1972, Vol. 20, p. 185, p. 103,
p. 895.
6. Hehl F. W. GRG (General Relativity and Gravitation) Bern, 1973, Vol. 4, p. 333; Abhandl.
d. Braunsch. Wiss. Ges., 1966, Bd 18, S. 98; Z. Phys., 1965, Bd 187, S. 478.
Геометризоваыные „единые" теории
1. Эйнштейн А. Собр. научн. тр. М., «Наука», 1966, т. 2.
2. Rosen N. Ann. der Phys., 1940, Bd 57, S. 147; GRG, 1974, Vol.5, p. 49 (би-метризм).
Пугачев Я- И. «Изв. вузов СССР. Физика». Изд-вс* Томского ун-та, 1961, № 1, с. 31
(би-метризм).
3. Kaluza T. Berlin Ber., 1921, S. 966. (Пятимерие.)
Матричная линейная геометрия
1. Фок В. А., Иваненко Д. 2. Phys., 1929, Bd 54, S. 798.
2. Mimura Y., Takeno H. Wave geometry I, II. Sci. Reports № 4, 1962; 1967. (Hiroshima
University, Japan.)
Каталсг „жизнеспособных" в кост-пъкпгсксвсксм приближении тесрий
1. Ивакскко Д. «Каталог теорий гравитации». Доп. статья в книге Г.-Ю. Тредера. Теория
гравитации и принцип эквивалентности. Пер. с нем. М., Атомиздат, 1973.
2. Sexl R. Fortschritte d. Phys., 1957, Bd 15, S. 269.
3. Will С. М. Astrophys. J., 1971, Vol. 169, p. 141; Proc. 56th Course School «Enrico Fermi»,
B. Bertotti, Ed., 1972. (Обзор новейших обобщений ОТО, сравнение с экспериментом.)
4. ОАР — 289 A972) (Orange aid preprint series in nuclear, atomic and relativistic astro-
physics (California Institute of Technology, Pasadena, USA). (Выпуск № 289 важ-
ной серии препринтов работ по современной астрофизике.)*
ТРУДЫ КОНФЕРЕНЦИЙ
1. Тезисы докладов и программа 1-й советской гравитационной конференции. Под ред.
Д. Иваненко. М., Изд-во МГУ, 1961.
2. Тезисы докладов 2-й советской гравитационной конференции. Под ред. М. М. Мириана-
швили. Изд-во Тбилисского ун-та, 1965.
3. Современные проблемы гравитации. Сб. трудов 2-й советской гравитационной конфе-
ренции. Под ред. Д. Иваненко. Изд-во Тбилисского ун-та, 1968.
4. Тезисы докладов 3-й советской гравитационной конференции. Изд-во Ереванского
ун-та, 1972.
5. Тезисы докладов 5-й Международной конференции по гравитации и общей теории
относительности ГР5 (GR-5), русское и англ. изд. Тбилисского ун-та, 1968. Ред.
В. А. Фок.
6. АШ d. Convegno S. Relativita Generale. Barbera Ed. Firenze, 1965. Доклады юбилейной
Галилеевской конференции 1964 г. (Авт.: Меллер, Тоннела, Розен, Жехеньо,
В. А. Фок, Боннор, Бонди Лихнерович, Мерсье, Д. Д. Иваненко, Керр и Шильд,
Тредер и др.)
7. Proc. Conference on Experimental tests of Gravitation Theories (Nasa—JPL Technical
Memorandum 33—499. Ed. R. W. Davies, 1971).
8. Relativity Conference in the Midwest, Cincinnati, Ohio, 1969. Plenum Publ. L. Witten,
Ed., 1970. Статьи Э. Гута по истории эйнштейновской ОТО, Фкшсра и де Витта
о суперпространстве и др.
9. Доклады 6-й Международной гравитационной конференции. GR-6. Копенгаген, 1971.
Опубликованы в журн. GRG т. 2 и 3 A972); М. Camesind GRG, 1971, Vol. 2, p. 387.
(Общий обзор); A. Trautman. GRG, 1972, Vol. 3, p. 167 (резюме).
10. Доклады 7-й Международной |равитационной конференции. GR-7, Tel Aviv, 1974.
(Auth.: M. Rees, W. H. Press, P. Chrzanowski, L. L. Smarr, F. Hchl, R. Utiyama e. a.).
Публикация в журн. GRG 1975, Vol. 6, № 1.
396
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие к переводу 5
Предисловие ко второму изданию 7
Из предислввия к первому изданию 8
Глава 1. Основы специальной теории относительности. Исторический обзор 10
§ 1.1. Принцип относительности в механике. Преобразования Галилея . 10
§ 1.2. Специальный принцип относительности 12
§ 1.3. Инвариантность фазы плоской волны 13
§ 1.4. Преобразование характеристик плоской волны 14
§ 1.5. Эффект Доплера 15
§ 1.6. Скорость света в вакууме 16
§ 1.7. Скорость света в преломляющих средах 19
§ 1.8. Эксперименты Хука и Физо 20
§ 1.9. Электронная теория Лоренца 22
§ 1.10. Соответствие между теорией эфира и принципом относительности
для всех эффектов первого порядка. Принцип Ферма 23
§ 1.11. Аберрация света 25
§ 1.12. Эксперимент Майкельсона 26
§ 1.13. Гипотеза о сокращении 27
§ 1.14. Справедливость принципа относительности для всех физических яв-
лений 28
Г л а в а 2. Релятивистская кинематика 29
§ 2.1. Одновременность событий .' 29
§ 2.2. Относительность одновременности 30
§ 2.3. Специальные преобразования Лоренца 32
§ 2.4. Общие преобразования Лоренца 35
§ 2.5. Сокращение размеров движущихся тел 38
§ 2.6. Запаздывание движущихся часов. Парадокс часов 40
§ 2.7. Преобразование скоростей частиц 42
§ 2.8. Последовательные преобразования Лоренца. Прецессия Томаса. . 44
§ 2.9. Преобразование параметров волны в теории относительности. . . 46
§ 2.10. Групповая скорость в движущихся средах 47
§ 2.11. Эффект Доплера, аберрация света и эффект уолечения в теории от-
носительности 49
Глава 3. Релятивистская механика 53
§ 3.1. Масса и импульс частицы 53
§ 3.2. Сила, работа, кинетическая энергия 55
§ 3.3. Преобразование силы, импульса и энергии 56-
§ 3.4. Гиперболическое движение. Движение электрически заряженной
частицы в постоянном магнитном поле 58
§ 3.5. Эквивалентность массы и энергии 60
§ 3.6. Неупругие столкновения. Масса замкнутой системы частиц. ... 64
§ 3.7. Экспериментальное подтверждение релятивистской механики . - 66
Глава 4. Четырехмерная формулировка теории относительности: тензорное
исчисление 71
§ 4.1. Четырехмерное представление преобразований Лоренца 71
§ 4.2. Лоренцево сокращение и замедление хода движущихся часов в че-
тырехмерном представлении 74
§ 4.3. Ковариантность законов природы в четырехмерной формулировке . 75
§ 4.4. Четырехмерный линейный элемент, или интервал. 4-векторы. . . 76
397
Глав
§
§
§
§
§
§
§
§
§
Глав
а
5.
5.
г;
5
5.
5
с.
5.
5
5.
а
5
1.
9
3.
.4.
5.
6.
7.
8.
.9.
10
6
§ 4.5. 4-скорость. 4-ускорсине. Волновой вектор. Четырехмерная группо-
вая скорость 77
§ 4.6. 4-импульс и 4-сила. Основные уравнения механики точки в четырех-
мерной векторной форме 80
§ 4.7. Тензоры второго ранга 83
§ 4.8. Угловой момент и момент силы ъ четырехмерной форме 86
§ 4.Э. Тензоры произвольного ранга 86
S 4.10. Псевдотензоры 87
§ 4.11- Символ Леви-Чивита 87
§ 4.12. Дуальные тензоры 88
§ 4.13. Инфинитезимальные преобразования Лоренца. Преобразования без
вращения 92
§ 4.]4. Последовательные преобразования Лоренца 93
§ 4.15. Последовательные системы покоя при произвольном прямолиней-
ном и равномерном вращательном движениях частицы. . . .... 95
§ 4.16. Тензорные и псевдотензорные поля. Тензорный анализ У7
§ 4.i7. Теорема Гаусса для четерехмерного пространства 99
§ 4.18. Основные уравнения механики для некогерентной материн. . . . 101
§ 4.19. Тензор кинетической энергии 106
Электродинамика в вакууме 108
Фундаментальные уравнения электродинамики в вакууме. 4-плот-
ность тока электрического заряда . 108
Ковариантность уравнений электродинамики прн преобразованиях
Лоренца. Тензор электромагнитного поля ПО
4-Потенциал. Калибровочные преобразования lil
Интегральное представление 4-потенциала 112
Запаздывающие потенциалы. Потенциалы Льенара -- Вихсрта для
точечного заряда 113
Поле равномерно движущегося точечного заряда 116
Электромагнитные силы, действующие на заряженную материю. . 118
Вариационный принцип в электродинамике 119
Электромагнитный тензор энергии 121
Полный тензор энергии 123
Общая теория замкнутых систем. Механика упругих сред. Теория
поля 124
§6.1. Законы сохранения для замкнутых систем 124
§ С.2. 4-Импульс, 4-тензор углового момента для замкнутых островных
систем 126
§ 6.3. Центр масс. . 128
§ 6.4. Фундаментальные уравнения механики упругих сред 131
§ 6.5. Тензор напряжений и тензор энергии. Трансформационные свойства 136
§ G.б. Идеальная жидкость 139
§ f:.7. Скалярные мезонные поля. Общая теория поля 142
Глава 7. Незамкнутые системы. Электродинамика диэлектриков и парамагне-
тиков. Термодинамика 145
§ 7.1. Общие свойства незамкнутых систем 145
§ 7.2. Статические незамкнутые системы 147
§ 7.3. Электростатические системы. Классические модели электрона. . ¦. 148
§ 7.4. Основные уравнения электродинамики стационарной материи. . 150
§ 7.5. Уравнения Мннковского для равномерно движущихся сред 151
§ 7.6. Материальные соотношения в четырехмерной формулировке. Гра-
ничные условия 154
§ 7.7. Электромагнитный тензор энергии и плотность 4-силы 155
§ 7.8. Скорость распространения энергии световой волны в движущейся
преломляющей среде 159
§ 7.9. Сплошная среда с внутренней теплопроводностью 362
§ 7.10. Первый закон релятивистской термодинамики. Трансформационные
свойства 4-импульса подведенного тепла 167
§ 7.11. Второй закон релятивистской термодинамики 170
§ 7.12. Термодинамические потенциалы однородных изотропных сред. . . 172
§ 7.13. Идеальный газ. Излучение черного тела 174
Глава 8. Основы общей теории относительности 179
§ 8.1. Общий принцип относительности 179
§ 8.2. Принцип эквивалентности 180
§ 8.3. Равномерно вращающаяся система координат. Пространство и время
в общей теории относительности 182
§ 8.4. Неевклидова геометрия. Метрический тензор 184
398
§ 8.5. Геодезические линии 186
§ 8.6. Непосредственное измерение метрики. Геометрия я-мерного простран-
ства 188
§ 8.7. Общие ускоренные системы отсчета. Наиболее общие допустимые пре-
образования координат 189
§ 8.8. Пространственные измерения и измерения времени в произвольной
системе отсчета. Экспериментальное определение коэффициентов g^ 192
§ 8.9. Пространственная геометрия во вращающейся системе отсчета. . 195
§ 8.10. Мировые линии свободных частиц и световых лучен 197
§ 8.11. Динамические гравитационные потенциалы 199
§ 8.12. Скорость хода движущихся стандартных часов в гравитационном
поле 200
§ 8.13. Преобразование координат в фиксированной системе отсчета - . . 201
§ 8.14. Другие простые примеры ускоренных систем отсчета 203
§ 8.15. Жесткие системы отсчета с произвольно движущимся началом. . 205
§ 8.16. Жесткие системы отсчета, движущиеся в направлении оси X. . . . 206
§ 8.J7. Парадокс часов 208
Глава 9. Неустранимые гравитационные поля. Тензорное исчисление в рима-
новом пространстве общего типа 213
§9.1. Четырехмерная формулировка общего принципа относительности
и принципа эквивалентности 213
§ 9.2. Коктравариантные и ковариантные компоненты 4-вектора . . •. - - 214
§ 9.3. Тензорная алгебра ¦ . 217
§ 9.4. Псевдотензоры. Дуальные тензоры 219
§ 9.5. Геодезические линии. Формулы Кристоффеля 222
§ 9.6- Локальные псевдодекартовы координаты и локальные инерциальпые
системы 223
§ 9.7. Параллельный перенос векторов . • 229
§ 9.8. Абсолютная производная. Перенос Ферми—Уолкера 231
§ 9.9. Локальные жесткие невращающиеся системы отсчета с произвольно
движущимся началом. Прецессия Фоккера 223
§ 9.10. Тензорный анализ. Ковариантное дифференцирование 238
§ 9.11- Ковариантное дифференцирование тензорных плотностей 24!
§ 9.12. Интегральные теоремы 243
§ 9.13. Тензор кривизны 244
§ 9.14. Свертки тензора кривизны 246
§ 9.15. Специальные системы координат в конечной области пространства-
времени 246
§ 9.10. Кялибровочно-инвариантные величины. Стандартные 4-тепзоры. . 251
Глава 10. Влияние гравитационных полей на физические явления 263
§ 10.1. Фундаментальные уравнения механики точки 263
§ 10.2. Физическая интерпретация уравнений механики точки. Стандартные
уравнения движения. Стандартная одновременность 265
§ 10.3. Координатная форма уравнений движения 273
§ 10.4. Лагранжева и гамильтонова формы уравнений движения 275
§ 10.5. Распространение световых сигналов. Принцип Ферма 279
§ 10.6. Распространение световых волн. Фотоны 283
§ 10.7. Доплеровский и эйнштейновский сдвиги спектральных линяй . . 287
§ 10.8. Механика сплошных сред 292
§ 10.9. Уравнения электромагнитного поля 298
§ 10.10. Электромагнитные силы и тензор энергии 300
Глава 11. Основные законы гравитации в общей теория относительности. . 303
§ 11.1. Уравнения гравитационного поля и законы механики 303
§ 11.2. Линейное приближение слабого поля 306
§ 11.3. Простейшие случаи применения линейных уравнений слабого
поля . 309
§ 11.4. Эквивалентные системы координат. Сферическая симметрия. . . 312
§ 11.5. Статические системы со сферической симметрией 313
§ 11.6. Внешнее решение Шварцшильда 314
§ 11.7. Внутреннее решение Шварцшильда для идеальной жидкости. . . 317
§ 11.8. Вариационный принцип для гравитационного поля 321
§ 11.9. Комплекс энергии—импульса и законы сохранения энергии и импуль-
са для изолированных систем 324
§ 11.10. Суперпотенциал. Полные энергия и импульс изолированной систе-
мы 328
§ 11.11. Неизолированные островные системы. Гравитационное излучение. 331
| 11.12. Другие формы комплекса энергии—импульса 338
§ 11.13. Угловой момент изолированных систем 342
399
Глава 12. Экспериментальная проверка общей теории относительности. Космо-
логические проблемы 346
§ 12.1. Эйнштейновское, или гравитационное, смещение спектральных ли-
ний 346
§ 12.2. Смещение перигелия Меркурия 351
§ 12.3. Гравитационное отклонение света 354
§ 12.4. Дальнейшие проверки общей теории относительности 356
§ 12.5. Космологические модели 361
§ 12.6. Вселенная Эйнштейна 362
§ 12.7. Вселенная де Ситтера 366
§ 12.8. Нестатические модели однородной изотропной Вселенной 370
§ 12.9. Модели Вселенной, совместимые с ОТО. Вселенная Фридмана . . . 374
§ 12.10. Соотношения между наблюдаемыми астрономическими величинами. 377
Приложение 380
1. Теорема Гаусса 380
2. Преобразование 4-плотности тока 381
3. Плоские волны в однородной изотропной среде 382
4. Символы Кристоффеля в терминах у , у , % и их производных . 382
5. Условия для плоского пространства . 383
6. Производные от функции 2 через g1"^ и glm и выражения для супер-
потенциала 384
Список литературы 387
Дополнительный список литературы (составлен научным редактором перевода) 392
Кристиан Мёллер
ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
Редактор Г. П. Паршина
Художественный редактор А. Т. Кирьянов
Технический редактор И. Н. Подшебякин
Корректор Е. Д. Рагулина
Сдано в набор S/X 1974 г. Подписано к печати I8/IV 1975 г. Формат 70Х1087и-
Бумага типографская № 2. Усл. печ. л. 35. Уч.-чад. л. 31,88. Тираж 11000 экз.
Зак. изд. 72110. Зак. тип. 1174. Цена 3 р. 54 к.
Атомиздат 103031 Москва, К-3 1, ул. Жданова, 5
Московская типография № 4 Союзполиграфпрома а ри Государственном комитете
Совета Министров СССР по делам издательств, пол играфин н книжной торговли
Москва, И-4 1, Б. Переяславская ул., дом 46