/
Author: Коренев Г.В.
Tags: дифференциальная геометрия алгебраические и аналитические методы в геометрии геометрия топология математика механика учебное пособие тензорное исчисление
ISBN: 5-89155-047-4
Year: 2000
Text
Г. В. КОРЕНЕВ
ТЕНЗОРНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Рекомендовано Государственным комитетом Российской Федерации
по высшему образованию в качестве учебного пособия для студентов
высших учебных заведений, обучающихся по направлениям
и специальностям «Математика», «Физика», «Механика»
Москва
Издательство МФТИ
2000
ББК 22.151.5
К 66
УДК 514.743.4
Рецензенты:
кафедра математической теории интеллектуальных систем
механико-математического факультета МГУ
(зав. кафедрой академик АТН В. Б. Кудрявцев),
д.ф.-м.н., проф., академик Академии космонавтики В. В. Величеико,
к.ф.-м.н. А. П. Молчанов
КОРЕНЕВ Г. В. Тензорное исчисление: Учеб. пособие: Для вузов. — М.: Изд-
во МФТИ, 2000. — 240 с, с илл. ISBN 5-89155-047-4.
В книге обобщен опыт автора по нспользованию аппарата тензорного исчисления
при решении различных задач механики и теоретической физики. В доступной фор-
форме введены основные понятия двумерного рнманова н трехмерного евклидова про-
пространства в индексных обозначениях, а также четырехмерные тензоры специальной
и общей теории относительности. Каждый тематический раздел снабжен примерами
н упражнениями. Книга написана на основе лекций, читавшихся студентам МФТИ.
Для студентов и аспирантов, спецнализирующихся в области математики, теоре-
теоретической физики и механики. Благодаря присущей автору наглядности и четкости
изложения материал будет понятен людям с минимальным уровнем предварнтельной
подготовки.
© Издательство МФТИ, 1996
ISBN 5-89155-047-4 © Издательство МФТИ, 2000
ОГЛАВЛЕНИЕ
От издательства 5
Предисловие 6
Ч а с т ь I. Ортогональные тензоры 7
§ 1. Сущность индексных обозначений 7
§2. Векторная алгебра в индексных обозначениях 16
§ 3. Тензоры в ортонормнрованных системах координат 27
§ 4. Ортогональные тензоры в механике и физике 39
§ 5. Главные оси симметричного тензора второго порядка 50
ч а с т ь II. Тензорный анализ в трехмерном евклидовом пространстве . ¦ 57
§ 6. Объекты различного строения 57
§ 7. Метрика в косоугольных координатах. Взаимные системы. Фунда-
Фундаментальный объект 70
§ 8. Метрика в криволинейных координатах 82
§ 9. Тензоры в косоугольных н криволинейных координатах 92
§ 10. Параллельный перенос в криволинейных координатах 101
§ 11. Ковариантное дифференцирование ПО
§ 12. Тензор Рнмана—Кристоффеля. Тождества Ляме 123
§ 13. Применение ковариантного дифференцирования в механике н фи-
физике 132
Часть III. Поверхность как двумерное риманово пространство 141
§ 14. Двумерные объекты. Криволинейные координаты на поверхности . 141
§ 15. Тензоры на поверхности. Метрика на поверхности 151
§ 16. Параллельный перенос на поверхности 164
§ 17. Специальные системы координат на поверхности 175
§18. Поверхность, вложенная в трехмерное пространство 185
Часть IV. Четырехмерные тензоры теории относительности 195
§ 19. Преобразование Лоренца н 4-тензоры специальной теории относи-
относительности 195
§ 20. Инвариантность уравнений электродинамики и релятивистской ме-
механики относительно преобразования Лоренца 203
§21. Рнманово пространство событий общей теории относительности . . 213
§ 22. Уравнения Эйнштейна в неопределенных координатах 221
§ 23. Решение Шварцшильда. Движение планет 228
Предисловие ко второму изданию
Первое издание книги Г. В. Коренева «Тензорное исчисление» вы-
вышло в 1996 году при поддержке Российского фонда фундаменталь-
фундаментальных исследований. Книга разошлась довольно быстро, снискав за-
заслуженную популярность как у студентов, так и у научных работ-
работников. Это неудивительно — ведь данная книга, по-видимому,
является одним из лучших и доступных пониманию учебников по
тензорному анализу. В 1998 году издательством было принято реше-
решение подготовить к выпуску в свет второе издание книги.
Во втором издании учтены и исправлены ряд неточностей и опе-
опечаток, вкравшихся как в авторскую рукопись, так и в корректуру
книги. Издательство выражает глубокую благодарность научному
редактору книги К. А. Сарайкину, взявшему на себя нелегкий труд
тщательной проверки формульного аппарата, а также Н. Н. Небу-
кину (г. Владимир), приславшему в адрес издательства благодарст-
благодарственное письмо с целым рядом полезных и ценных замечаний по
тексту книги.
Издательство МФТИ
От издательства
Известный ученый Георгий Васильевич Коренев A902—1980), чело-
человек трудной судьбы и беззаветного служения науке, более четверти
века посвятил педагогической работе в Московском физико-техни-
физико-техническом институте на кафедре теоретической механики.
В соответствии с кругом своих научных интересов, связанных с ме-
механикой и управлением, он читал студентам лекции по теоретической
механике и тензорному исчислению — математическому аппарату,
необходимому как в области механики и теоретической физики, так и
в области управления, особенно робототехническими системами и си-
системами, включающими человека в контур управления. Именно этим
задачам посвятил последние двадцать лет жизни Г. В. Коренев.
В 1964 г. в издательстве «Наука» вышла его книга «Введение в ме-
механику управляемого тела», посвященная постановке и решению про-
пространственных задач механики и управления твердым телом.
Десятилетний труд по изучению объектов и устройств управления
завершился в 1974 г. книгой «Цель и приспособляемость движения»,
где изложенные в первой книге подходы применены к движению ра-
ракет, городского транспорта, а также к движениям человека, следую-
следующего своей воле. Более подробно результаты работы автора, посвя-
посвященной движению человека, изложены в книге «Введение в механику
человека», выпущенной издательством «Наука» в 1977 г.
В 1979 г. в серии «Научные основы робототехники» вышла книга
Г. В. Коренева «Целенаправленная механика управляемых манипу-
манипуляторов», в которой излагается механика манипуляторов, снабжен-
снабженных элементами «искусственного интеллекта». Вопросам приложе-
приложения механики целенаправленного движения посвящена последняя
книга ученого «Очерки механики целенаправленного движения»,
изданная в 1980 г. (посмертно).
Во всех работах Г. В. Коренева использовался аппарат тензорного
исчисления. Автор активно пропагандировал этот математический
подход. Его лекции по тензорному исчислению вызывали неизменный
интерес слушателей. Простота, четкость и наглядность изложения
трудной математической дисциплины позволяли посещать лекции
студентам любых курсов.
Благодарные слушатели записали, обработали и подготовили к
изданию этот уникальный курс. В работе над книгой принимали уча-
участие Л. Г. Быканова, И. П. Девятериков, С. И. Петрова. Рукопись
предоставил В. Н. Дерябкин.
В математических науках удобные
обозначения важны для мышления в
той же мере, как хорошая классифика-
классификация в науках естественных.
А. Пуанкаре
Предисловие
Положение с тензорным исчислением напоминает мне то, что про-
происходило в начале века, когда у нас только начали развиваться при-
приложения векторного исчисления.
Вероятно, сейчас ни у кого нет сомнений в пользе и удобстве
векторного исчисления. Однако, это не всегда было так. В свое вре-
время у векторного исчисления были весьма авторитетные противники.
Один из них, известный английский физик лорд Кельвин, говорил,
что векторное исчисление сберегает мел и расходует мозг. «Когда вы
выписываете какую-нибудь систему координатных равенств, то, на-
написав первое равенство, остальные вы получаете простыми переста-
перестановками координат; вы расходуете много мела, но ваш мозг в это
время отдыхает. Берегите мозги и расходуйте мел!» — говорил он.
Такой же точки зрения придерживался и наш крупный математик
и инженер, академик А. Н. Крылов, он оставался противником век-
векторного исчисления вплоть до самой своей смерти.
Вследствие существования таких авторитетных противников не-
некоторое время шла борьба между координатными и векторными
обозначениями. Однако, противники векторного исчисления упусти-
упустили из вида, что вместе с мелом мы расходуем неизмеримо более
ценную вещь — время. При современных быстрых темпах развития
науки — это часто решающий фактор. По-видимому именно из-за
экономии времени, которую дает векторное исчисление, оно и полу-
получило столь широкое распространение.
Однако теоретические вопросы все более усложняются, и сущест-
существует много дисциплин, в которых векторные обозначения перестают
служить. Типичным примером является теория относительности, осо-
особенно общая теория относительности, которая, вероятно, вообще не
могла бы быть открыта, если бы уже не существовало более общее ис-
исчисление, чем векторное, именно — тензорное исчисление. Тензор-
Тензорное исчисление в применении к простым вопросам вполне заменяет
векторное; при исследовании более сложных вопросов оно требует
большего расходования мозгов, но зато приводит к колоссальной эко-
экономии времени. Дух нашей эпохи требует строжайшей экономии вре-
времени в научной работе; поэтому можно утверждать, что теперь тен-
тензорное исчисление должно стать в руках инженера-исследователя та-
таким же привычным инструментом, каким с начала этого века стало
векторное исчисление.
Часть I
ОРТОГОНАЛЬНЫЕ ТЕНЗОРЫ
§ 1. Сущность индексных обозначений
В основе тензорного исчисления лежит понятие объекта. Под объек-
объектом мы будем понимать совокупность каких угодно вещей или симво-
символов, которые назовем элементами или составляющими объекта. Та-
Таким образом, единственным важным для нас свойством объекта явля-
является то, что он состоит из чего-то, называемого его элементами, или
может быть разложен на эти элементы. Объект как нечто целое, «сам»
объект независимо от его элементов, мы рассматривать не будем.
Предметом нашего специального изучения будет один очень ча-
частный вид объекта, называемый тензором, определение которого
мы введем лишь в дальнейшем. Так как для людей, не знакомых с
тензорным исчислением, особенно в связи с теорией относительно-
относительности слово «тензор» обычно окутано своеобразной мистической дым-
дымкой, мы в качестве первого примера объекта рассмотрим обыкновен-
обыкновенный компот, состоящий из яблок, изюма и чернослива. Таким обра-
образом, элементами компота являются яблоки, изюм и чернослив. Для
обозначения всего, что связано с компотом, введем букву а и назо-
назовем ее главной буквой компота. Элементы компота всегда будем
обозначать при помощи его главной буквы с индексом, например,
а{ — яблоки, аг — изюм, а3 — чернослив. Так как компот состоит
из этих элементов, то чтобы обозначить «сам» компот как целое,
нам нужно выписать все его элементы, однако это громоздко. Чтобы
помочь делу вспомним, что в алгебре цифры заменяются буквами,
поэтому мы можем обозначить «сам» компот через аг условившись,
что индекс г пробегает значения 1, 2, 3. Таким образом, «сам» ком-
компот и одновременно все его элементы обозначены одной буквой с
индексом; специального обозначения для «самого» компота вводить
не будем. Обозначение объекта в виде главной буквы с индексами
назовем сокращенной записью, в отличие от развернутой, где каж-
каждый элемент объекта записывается отдельно. В развернутой записи
мы можем писать элементы в каком угодно порядке, например, в
виде строки, столбца или как-нибудь иначе. Условимся, что объект,
8
ОРТОГОНАЛЬНЫЕ ТЕНЗОРЫ
Ч. I
записываемый в виде главной буквы с одним индексом, в разверну-
развернутой записи есть столбец:
Га,
Чтобы подчеркнуть, что все элементы столбца образуют один объ-
объект, но ие обязательно матрицу-столбец, мы будем заключать их в
квадратные скобки. Однако мы можем упорядочить запись элемен-
элементов нашего компота в виде квадратной таблицы из девяти элемен-
элементов, каждый из которых равен либо одному из элементов at, либо
нулю. Такие таблицы обозначаются в виде главной буквы с двумя
индексами (матрицы), поэтому мы можем обозначить наш компот
и через atk, где, например,
Чк,
О
-а,
аг
О
-а,
-а,
О
причем мы, конечно, должны условиться о том, что означает изюм,
взятый со знаком минус. Дальше мы можем изучать зависимости
между различными обозначениями компота и различные преобразо-
преобразования компотов, для чего введем некоторые правила и т. д., иначе
говоря, построим из глубины собственного духа некоторое компот-
компотное исчисление.
Но мы, разумеется, собираемся заниматься не компотами, а
объектами, которые являются важными в точных науках; обычно
такие объекты состоят из чисел, функций или математических сим-
символов. Простейшим примером объекта является обыкновенный трех-
трехмерный вектор, который, как и компот, может иметь обе приведен-
приведенные выше развернутые записи.
Итак, всякий объект мы будем записывать в виде главной буквы
с индексами или значками, причем эти два слова считаются абсо-
абсолютными синонимами. Такую систему обозначений объектов назо-
назовем индексной.
Число индексов у главной буквы назовем порядком объекта; мо-
могут существовать объекты любого порядка. Мы будем рассматривать
также объекты, для записи которых достаточно одной буквы без ин-
индекса; их будем считать объектами нулевого порядка. Например, ра-
работа силы есть объект нулевого порядка.
Число значений, которое может пробегать какой-нибудь ин-
индекс объекта, назовем измерением объекта по этому индексу. Напри-
Например, если сила задана тремя своими составляющими по каким-нибудь
трем некомпланарным направлениям, то сила есть трехмерный
объект. Измерение объекта не следует смешивать с его размерно-
размерностью, которая определяется физической природой его элементов.
§1
СУЩНОСТЬ ИНДЕКСНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ
В двух первых частях мы будем рассматривать только трехмерные
объекты и в дальнейшем этого специально оговаривать не будем. Про-
Происходящее отсюда ограничение общности является незначительным.
Опыт показывает, что переход к объектам любого числа измерений не
вызывает принщшиальных трудностей, а усвоить тензорное исчисле-
исчисление на трехмерном примере значительно проще. Кроме того, трехмер-
трехмерные объекты очень распространены в прикладных науках.
Условимся о способах развернутой записи объектов различных
порядков.
Объект нулевого порядка — одна буква без индекса:
а.
Объект первого порядка — столбец:
Объект второго порядка — строка объектов первого порядка
или квадратная таблица:
п
п
\г
агг
азг азз
Объект третьего порядка — столбец объектов второго порядка
или столбец квадратных таблиц:
ha
Объект четвертого порядка ¦
1tktm
«Ill
«211
«311
«112
«212
«312
«ИЗ
«213
«313
«121
«221
«321
«122
«222
«322
«123
«223
«323
«131
«231
«331
«132
«232
«332
«133
«233
«333
строка объектов третьего порядка
«Ш2 «/<
И т.д.
Мнемоническое правило для развернутой записи: объекты нечет-
нечетного порядка — это столбцы объектов порядка на единицу меньше-
меньшего, а объекты четного порядка — строки объектов порядка на еди-
единицу меньшего. Можно пользоваться и любым другим способом раз-
10 ОРТОГОНАЛЬНЫЕ ТЕНЗОРЫ Ч. I
вернутой записи, если он удобен в некоторой конкретной задаче,
важно только, чтобы при решении одной и той же задачи этот спо-
способ оставался неизменным.
Развернутой записью приходится пользоваться сравнительно
редко, главным образом в начале изучения тензорного исчисления,
когда желательно представить себе наглядно структуру объекта, а
также в конце выкладок, когда в приложениях приходится пользо-
пользоваться каждым элементом.
Основные действия над объектами. Рассмотрим два объекта
одного и того же порядка. Элементы этих объектов, обладающие од-
одними и теми же индексами в одном и том же размещении (или, что
то же самое, занимающие одинаковые места в развернутой записи),
назовем соответственными. Например, в объектах а1к и blk эле-
элементы аа и ?>23 будут соответственными; напротив, элементы аа и
Ь32 не будут соответственными.
Назовем равными два объекта одинакового порядка и числа из-
измерений, все соответственные элементы которых попарно равны
друг другу. Объект называется равным нулю, если все его элементы
равны нулю. Это определение дает нам возможность изучать равен-
равенства объектов.
Нам потребуется разбить индексы на классы, приписав каждому
классу индексов различные свойства. Пока введем только два класса:
первый класс — малые латинские индексы от а до h; индексы
первого класса назовем фиксирующими;
второй класс — малые латинские индексы от i до конца алфавита,
исключая букву о; индексы второго класса назовем скользящими.
Индекс первого класса будет обозначать какое-нибудь одно из
чисел 1, 2, 3, т.е. фиксирующий индекс при главной букве будет
иметь какое-нибудь одно значение; например, в объекте первого по-
порядка это будет обозначать один элемент объекта.
Индекс второго класса будет обозначать сразу все числа 1, 2, 3,
т. е. скользящий индекс при главной букве будет считаться пробега-
пробегающим сразу все значения; главная буква со скользящими индексами
означает сразу все элементы объекта.
В соответствии с этим равенство
заменяет сразу три равенства и означает сокращенную запись утвер-
утверждения, что объекты at и bi равны друг другу, в то время как равенство
означает только, что элементы с фиксированным индексом равны
между собой, но «сами» объекты не обязательно равны друг другу.
Необходимо запомнить следующее важное свойство равенства
двух объектов. В обоих частях равенства скользящие индексы дол-
§ 1 СУЩНОСТЬ ИНДЕКСНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ 11
жны быть одинаковы, но совершенно безразлично, какой именно
буквой второго класса мы при этом воспользовались. Равенства
*/"*/. ak!!=bv a,"b,t am-bm, .... az~bz
совершенно равносильны. Поэтому мы условимся, что ап ак, ап
ат, ..., аг обозначают один и тот же объект с главной буквой а;
однако, не имеет смысла равенство at = ak или ai = bk.
Если равны друг другу два объекта второго порядка, т.е. если
aik ~ ьи> т0 совершенно равносильными будут равенства
aik = blV atm~blm' аПр~Ьпр' "•> ayi~byz>
так что ajk, alm и т. д. означают один и тот же объект. Отметим, что
каждое из этих равенств заменяет уже девять обыкновенных равенств.
Однако равенства типа
aik = aim
мы будем считать бессмысленными. В обоих частях равенства обя-
обязательно должны быть одни и те же индексы.
Выражение
аак " Ьак
соответствует записи трех обыкновенных равенств и означает ра-
равенство а-х строк в развернутой записи объектов, а выражение
а1Ь — bib
означает равенство b-х столбцов. Наконец, выражение
ааЬ = ЪаЬ
означает, что объекты имеют по одному равному элементу.
Определим теперь основные действия над объектами.
Сложение. Суммой двух объектов одного и того же порядка называ-
называется объект того же порядка, каждый элемент которого равен сумме
соответственных элементов объектов-слагаемых, например:
Определение сложения распространяется только на объекты одного
и того же числа измерений. Объекты разного числа измерений скла-
складывать нельзя.
Транспонирование. Это действие применяется только к объектам
порядка выше первого.
Пусть есть объект а1к. Как мы уже условились, первый индекс
означает всегда номер строки в развернутой записи, а второй — но-
номер столбца, какой бы буквой они не были обозначены.
12 ОРТОГОНАЛЬНЫЕ ТЕНЗОРЫ Ч. I
Тогда объекты alk и а)к = akl называются транспонированными
друг другу. Транспонированные объекты состоят из одних и тех же
элементов, однако в развернутой записи они не одинаковы: в них
строки заменены столбцами. Вообще транспонированные объекты не
равны друг другу, но могут быть сделаны равными путем переста-
перестановки индексов.
Объекты, состоящие из одинаковых элементов и различающиеся
только порядком индексов, называются изомерами. Транспониро-
Транспонированные объекты являются частным случаем изомеров, когда одина-
одинаковое размещение индексов может быть получено перестановкой
только одного индекса.
Если, в частности,
то такие объекты называются симметричными по индексам i и к, а
если
аи -~aki^ аш = -ак.и и т. д.,
то антисимметричными по этим индексам. Индексы i и к в этих
случаях называются индексами симметрии (соответственно индек-
индексами антисимметрии).
Умножение объекта на число. Умножить объект на число значит
умножить на это число каждый элемент объекта.
Симметрирование и альтернирование. Очевидны следующие ра-
равенства:
aik - \ (aik + aki) + \ ("и -akl),
l "* l
аШ = 2 (аШ + aktt) + 2 (йШ ~ аш)'
Нетрудно показать, что первые члены в правой части симметричны
по индексам / и к, а вторые — антисимметричны по тем же индек-
индексам. Следовательно, всякий объект можно разложить на сумму сим-
симметричного и антисимметричного объектов.
Таким образом, мы из заданных объектов построили новые сим-
симметричные
stk - г (ам + а*<)' Stki = г (аш + akti)
и антисимметричные
Aik - г (aik. ~ а*/)> Лш - г (аш ~ аш)-
Построение указанным способом из данного объекта новых, симмет-
симметричного и антисимметричного, называется соответственно симмет-
симметрированием и альтернированием заданного объекта.
§ 1 СУЩНОСТЬ ИНДЕКСНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ 13
Свертка (условие о суммировании). Это действие было введено
Эйнштейном и является одним из важнейших в тензорном исчис-
исчислении.
Если в одночленном выражении имеются два одинаковых сколь-
скользящих индекса, т. е. скользящий индекс повторяется, то этот индекс
называется немым. Наличие немого индекса означает суммирование
по всем измерениям объекта, т. е. в нашем случае от 1 до 3. Резуль-
Результат этой операции называется сверткой; часто саму эту операцию
называют также сверткой, иногда свертыванием.
Пусть число измерений объекта равно N. Тогда
аи = аи + агг + аъъ + ••• + аию
aikt = аш + aiki + агкг + •••+ aNkN.
Немые индексы можно обозначать как угодно, важно только, чтобы
они находились на соответственных местах, свертка от этого не меня-
меняется, например:
ankn= ¦¦¦ =CLzkz-
Сокращенная запись, когда один и тот же скользящий индекс по-
повторяется больше двух раз, например akkk, считается запрещенной
и мы ею никогда пользоваться не будем. Такая запись ведет к ошибоч-
ошибочным результатам. Немой индекс должен повторяться только два раза.
Записи ааа, аака не означают свертки, так как повторяющиеся
индексы фиксирующие, а не скользящие.
Каждая свертка уменьшает порядок объекта на две единицы, по-
поэтому мы можем написать
all = b> alkl = bV aiklm==bkm ИТ-Д-
Путем последовательной свертки от объекта четного порядка
можно прийти к объекту нулевого порядка, а от объекта нечетного
порядка — к объекту первого порядка.
Обобщенное умножение. При обобщенном умножении каждый
элемент объекта-множимого умножается на каждый элемент объекта-
множителя. В результате оказывается, что порядок объекта-произве-
объекта-произведения равен сумме порядков объектов-сомножителей, например
atbk = Ctk> atbkl = Ctkl> aiklbpqr-Clklpqr ИТ-Д-
Образованные таким образом новые объекты называются мультипли-
мультипликативными. Расположение индексов у сомножителей и произведения
какое угодно, но индексы должны быть одинаковыми.
Рассмотрим два мультипликативных объекта cik и с\к, опреде-
определяемые следующим образом:
cik = а А> c'ik = bkar
14
ОРТОГОНАЛЬНЫЕ ТЕНЗОРЫ
Ч. I
В развернутой записи мы, очевидно, имеем
al
аз
*1
*1
*1
«1
fl2
fl3
*2
*2
*2
fl3
b3
c'ik =
*i
*i
<«i
fl2
fl3
b2a
b2a
b2a
i
2
3
Mi
*3aa
*3fl3
откуда следует, что если произведение элементов объектов at и bk
коммутативно относительно сомножителей, то
Таким образом, обобщенное произведение коммутативно отно-
относительно сомножителей, если произведение их элементов ком-
коммутативно. Это чрезвычайно удобно при практическом проведе-
проведении выкладок. Например, можно писать
^tktmnpqrs = etklamnbpqCrs = в ikibpqamnCrs = eiklCrs^PqUmn-
Рассмотрим два объекта
cik - aibv c'ik = akbv
При помощи развернутой записи нетрудно убедиться, что объекты
си и с'и транспонированы, т.е., вообще говоря, не равны друг другу;
отсюда следует, что обобщенное произведение некоммутативно
относительно индексов сомножителей.
Обобщенное умножение дистрибутивно, т.е., например,
dik = Ct(
bk) = ci
CA-
Обобщенное умножение ассоциативно относительно умножения
на число (объект нулевого порядка)
си =
Правильность этих утверждений очевидна из развернутой записи.
Обобщенное умножение со сверткой. Пусть число измерений
объектов равно N. Тогда
atbt = albl + a2b2 + a3b3 + ... + aNbN,
atat = a] = a\
a\ + a\
a2N.
Сокращенная запись вида а" при п > 2 считается запрещенной,
так как, например, b*t = btbtbt, т.е. индекс повторяется больше
двух раз. Если нам нужно умножить свертку atbt саму на себя,
т.е. возвести ее в квадрат, то написать {afi^1 или aibiaibi —
также нельзя. Нужно воспользоваться тем, что albi = akbk и
написать так: (а/4,)(аА4к).
§ 1 . СУЩНОСТЬ ИНДЕКСНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ 15
Пусть
Clklm ~ а1кЬ1т'
Свернем это обобщенное произведение, положив к = 1 = s,
Это, очевидно, обыкновенное матричное умножение (строка на
столбец). Подобным же образом свертки
означают произведения транспонированных матриц (соответствен-
(соответственно столбец на строку, столбец на столбец, строка на строку).
Упорядочение индексов. Удобно условиться писать индексы в ка-
каком-нибудь определенном порядке, например, по алфавиту или разби-
разбивая их на группы и т. д. Обычно после выкладок получаются выраже-
выражения, в которых индексы расположены самым причудливым образом.
Пусть, например, в результате выкладок мы получили равенство
awskbitl ~ Cwskitf
Сделаем подстановку индексов
(w s k i t Л
\i к I pqry
Мы получим более удобное расположение индексов:
aiklbpqr = Ctktpqr-
Жонглирование. индексами. Пользуясь произволом обозначения
индексов в равенствах и немых индексов, можно, как говорят,
«жонглировать индексами». Это жонглирование индексами позволя-
позволяет совершенно неожиданно приходить к важным результатам и на
начинающих часто производит впечатление простого жульничества.
В качестве примера докажем следующее положение: свертка обоб-
обобщенного произведения симметричного и антисимметричного объектов
по индексам симметрии тождественно равна нулю.
Докажем, что
Имеем
поэтому
1 (
Pi — 2 (сш снк
ciki
с
., _ 1
/ If 1 ^™ О
— ~сНк>
Pi = СШ
i
Ш =~2 \ci
(сшЬи -
ЬРЯ = V
¦ cukbki) =
= 2 (Ciklbki - ciikblk) = 2 (ciklbki - clkibki) s °-
16 ОРТОГОНАЛЬНЫЕ ТЕНЗОРЫ Ч. I
Здесь в первой строке мы воспользовались свойством дистрибутив-
дистрибутивности, во второй — симметрией объекта bki, а также тем правилом,
что немой индекс можно обозначать как угодно. На этом основа-
основании мы во втором члене сделали следующую подстановку немых
индексов
М-
Конечно, можно доказать это предложение и без использования
приведенных выше правил, например, при помощи развернутой за-
записи, однако это заняло бы значительно больше времени и места.
Экономия времени и места есть одно из главных преимуществ ин-
индексных обозначений.
§ 2. Векторная алгебра в индексных обозначениях
Во многих разделах механики, физики и инженерных наук сущест-
существенную роль играют трехмерные объекты, в особенности трехмер-
трехмерные векторы. Кроме того, изучать индексные обозначения особенно
удобно на трехмерном примере. Поэтому рассмотрим специально
трехмерные объекты, имея целью получить формулы векторной ал-
алгебры в индексных обозначениях.
Для иллюстрации иногда будут использоваться матрицы. Пусть
это не смущает тех, кто еще не овладел теорией матриц: для после-
последующего необходимо только понятие матрицы и правило умножения
матриц, которое к тому же почти всегда поясняется развернутой
записью.
Среди трехмерных объектов многими важными свойствами обла-
обладают объекты, состоящие из нулей и единиц; в частности, особенно
интересен объект Ь1к, называемый символом Кронекера и абсолют-
абсолютно антисимметричный объект Леви—Чивита еш.
Символ Кронекера bik. Он определяется так, что все элементы,
для которых i =A к, равны нулю, а элементы, для которых i = к,
равны единице:
[0, 1Фк,
Развернутая запись символа Кронекера будет
1
0
0
0
1
0
О"
0
1
Таким образом, мы видим, что в развернутой записи этот объект
аналогичен единичной матрице.
§2
ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА В ИНДЕКСНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЯХ
17
Символ Кронекера симметричен, т.е. &tk — Ьк1.
Свертка символа Кронекера
6
22
633 =
Очевидно, что если рассматривать символ Кронекера измерения N,
то его свертка всегда будет равна TV, т.е. числу измерений.
Образуем объект четвертого порядка 6^&м и свернем его,
положив k — p — s,
так как сразу видно, что элементы этой свертки равны нулю, если
i^ д, и единице, если / = д. Точно также
Нетрудно видеть, что это свойство не зависит от измерения символа
Кронекера, т.е. остается справедливым для символов Кронекера с
любым числом измерений N.
Символ Леви-Чивита (абсолютно антисимметричный объ-
объект) eikl. Абсолютно антисимметричным объект называется, если
он антисимметричен по любой паре индексов.
Объект еш определяется следующим образом. Его элементы
равны нулю, если хотя бы два индекса одинаковы. Элемент е123
принимается равным +1; далее все элементы, имеющие ком-
комбинацию индексов, получаемую из 1 2 3 четной перестановкой,
равны +1, а получаемые нечетной перестановкой равны — 1. Оче-
Очевидно, что определенный таким образом объект является абсолют-
абсолютно антисимметричным. Кроме того, символ Леви-Чивита N изме-
измерений должен быть обязательно порядка N, т.е. иметь N индексов.
Его развернутая запись имеет следующий вид:
0 0 0'
0 0 1
0-10
0 0-1
0 0 0
1 0 0
0 1 0
-10 0
0 0 0
еш =
-ш
eit3
«111
«311
е112
«212
е312
«113
е213
«313
«121
е\гг
«222
егп
е123
«223
«323
«131
«з"!
е132
«232
е332
«133
еггъ
18 ОРТОГОНАЛЬНЫЕ ТЕНЗОРЫ Ч. I
Образуем объект шестого порядка elkle qr. Тогда имеем тождество
elktepqr
6
*«
B.1)
Это — одно из важнейших тождеств в индексных обозначениях.
Оно почти очевидно, проверим его.
Сравним индексы нулевых элементов в обоих частях равенства.
Всякий раз, как слева два или три индекса какой-нибудь из групп
ikl или рдг равны между собой, слева будет нуль. Это соответствует
тому, что справа будут две (три) равных строки или два (три) рав-
равных столбца, т.е. тоже нуль.
Далее, возьмем следующие комбинации индексов:
В этом случае имеем
612 613
SS
1
0
0
0
1
0
0
0
1
°21 °22
631 632
Таким образом, равенство верно, так как в обеих его частях стоит
единица. Каждая четная перестановка индексов каждой группы не
меняет знака обеих частей, а каждая нечетная — изменяет знак на
обратный. Отсюда следует, что элементы в обоих частях, имеющие
одинаковые наборы индексов, совпадают, т.е. что рассматриваемое
тождество действительно имеет место.
Рассмотрим теперь свертки тождества B.1); очевидно, что они
дают новые тождества. Имеем
eikiePqi
Ь
*/
К
-6,
б,- 6,
+ 3
§ 2 ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА В ИНДЕКСНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЯХ
Сделаем нечетную перестановку немого индекса, например
19
-*«
>кР
+»
*•
ьк
Зкр
кр и,
= Hbtpbkq-bk
Отсюда мы видим, что свертка есть объект четвертого порядка, равный
алгебраическому дополнению элемента 6„ в детерминанте B.1).
Нетрудно найти дальнейшие свертки; получаем
еШерк1 ~
ешеш - «/« = 6 = 3!.
B.2)
Подобным же образом
ешери - ~2bip>
ешеик = -6 - -3!.
Применение объектов bik и еа/. Символы Кронекера и Леви—
Чивита играют важную роль в построении векторной алгебры в ин-
индексных обозначениях.
Замена индексов. Возьмем преобразование объекта хк в объект уп
определяемое равенством
У\
Уг
Уг
=
апх
а2\Х\
a3ix
+ апх2 + а13х3
+ аггхг + апх3
+ апх2 + а33х3
Очевидно, что если а1к = Ь1к, то преобразование будет тождествен-
тождественным, это легко проверяется при помощи развернутой записи. Сле-
Следовательно, равенства
у, = х, и у, = Ь,кхк
совершенно равносильны. Но отсюда сразу следует, что
B.3)
Подобным же образом
= а
и>
blkaklm = a
11т-
20
ОРТОГОНАЛЬНЫЕ ТЕНЗОРЫ
Ч. I
«Разложение на множители» (приведение к виду свертки).
Например
«/*** - */ - «/*** - 6/*** = («« - */*)**•
В развернутой и матричной записи это имеет вид
(«/* -
«11-
«21
«3.
1
«12
«22-
«32
1
«13
«23
«зз-
1
•
*1
*2
*3
Дуальные объекты. Два объекта
(а„-1)дс,+ а,2дс2
«21*1 + («22 ~1)Х2 + «23*3
«31*1 + «32*2+ («33- *)*3
и a/t =
0
-«з
a, —a
«3 ~«2
0 a,
0
B.4)
называются дуальными друг другу, а построение по одному из таких
объектов другого — дуализацией объектов. Легко проверяется, что
дуальные объекты связаны соотношением
а1к = еша,. B.5)
Например, если i = к = 1, то ап = 0; если z = 1, Л = 2, то единст-
единственный отличный от нуля элемент получится при / = 3 и будет ра-
равен а3 и т. д. '
Обратное соотношение будет
Докажем это. Мы имеем согласно B.5), B.2) и B.3)
2 eiklaik = 2eikleikmam = 2'2blmam = «/'
что и доказывает наше утверждение.
Свертки обобщенного произведения объектов первого порядка.
Рассмотрим обобщенное произведение atbv Положив i = k, полу-
получим объект нулевого порядка, который обозначим через р:
р = atbt = а,*, + агЪг + a3b3.
Этот объект называется внутренним произведением объектов at и Ък.
Образуем из ак и Ь1 объект первого порядка St следующим образом
si — etkiakbi-
ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА В ИНДЕКСНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЯХ
21
Этот объект называется внешним произведением объектов ак и bt.
Нетрудно видеть, что в развернутой записи получится
«2*3 ~ «3*2
St = «3*1 ~ «1*3 •
«1*2 - «2*1
Внешнее произведение можно выразить через дуальные объекты
следующим образом:
si =
= bikak.
В развернутой записи, используя матричное умножение, получим
S,=
О Ь3
-Ь, О
*21
*1
0
•
Ч"
«2
«3
Подобным же образом получим
st = eikiakbi = (-
anbi = ~
Укажем удобный для запоминания способ записи:
6;
*
b, b-, bi
Квадрат внешнего произведения. Тождество Эйлера—Лагранжа.
Имеем
2= (a2b3 - a3b2J
т (а?
(а?
Ъ\
-Ц (а,62 -
Ь2) - (а,й
a2b2 + a3b3)\
Это — тождество Эйлера—Лагранжа, легко проверяемое. В ин-
индексных обозначениях, очевидно, получаем
S2 = а}Ъ\ - (atbt)(akbk) = а2Ъ1кЪгЪк - (агак)(ЪгЪк) =
= {а]Ь1к - atak)btbk = {b2bik - btbk)atak. B.7)
Упражнение 1. Показать, что развернутая запись объекта в
скобках формулы B.7) будет
«?6,* -
atak =
2 + а2
~«2«1
~«3«1
~«1а2
«3 + «1
~«3«2
~«1«3
~«2«3
2 1 2
1 ' 2
22
ОРТОГОНАЛЬНЫЕ ТЕНЗОРЫ
Ч. I
Упражнение 2. Воспользовавшись дуальным представлением
объекта at, показать, что
~ atak = "чак,- B-8)
Решение. По B.5) можем написать
Следовательно,
= eispaP>
~ eksqaq-
Jpk v
Предложение доказано. То же самое можно получить, пользуясь
правилом умножения матриц; при этом нужно только заметить, что
в сокращенной записи матричное умножение записывается так:
aisask. Нам же нужно найти atsaks; это означает, что второй сомно-
сомножитель транспонирован: умножается не строка на столбец, как в
матричном умножении, а строка на строку. Пользуясь B.4), мы мо-
можем записать это так:
о
-«з
а, —а
«3
0
«1
~«2
«1
0
О -а.
0 -
«1
"«1
0
a\ + al
~«2«1
~«3«1
"«1«2
«3 + «1
~«3«2
-«1«3
~«2«3
а\ + а\
Вычисление детерминантов. Введем следующее обозначение
для детерминанта, составленного из элементов объекта второго по-
порядка aik:
«И
«21
«31
«12
«22
«32
«13
«23
«33
lik\
: а.
Согласно определению детерминанта как суммы всех произведе-
произведений элементов детерминанта по одному из каждой строки и каждого
столбца, мы можем написать
а = ешапак2а1з B-9)
или
B.10)
0 = epqraipaiqa3r-
§ 2 ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА В ИНДЕКСНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЯХ 23
Первая формула представляет собой способ вычисления детерми-
детерминанта при помощи элементов произвольно выбираемых строк, вто-
вторая — при помощи элементов произвольно выбираемых столбцов.
Рассмотрим объект третьего порядка
Apqr — etklalpakqalr'
Он обладает следующими свойствами: 1) если среди pqr хотя бы два
индекса принимают одинаковые численные значения, то соответст-
соответствующие элементы объекта Apqr равны нулю, так как это — детер-
детерминант с двумя равными столбцами; 2) если pqr образуют четную
перестановку чисел 1, 2, 3, то элементы равны просто а; 3) если
pqr образуют нечетную перестановку тех же чисел, то —а. Но по-
подобный объект можно записать так
Откуда
Совершенно очевидно, что можно также написать
epqratPak4air = аеш- B-12)
Это очень важные тождества.
Упражнение 3. Доказать теорему Бине—Коши: детерминант
произведения двух матриц равен произведению их детерминантов.
Решение. Пусть заданы два объекта aika b . Образуем их мат-
матричное произведение cik = alsbsk. Требуется доказать, что
Введем обозначения
а=\аа\, b=\bpq\, c-|c,t|.
Можем написать, в соответствии с B.10) и B.11),
b = epqrbplbqlbri, ab = aepqrbplbq2brV aepqr = eiklaipakqalr,
ab = eikiaipakqalrbplbq2bri =
= еШСПСк2С13 =
Упражнение 4. Показать, что
\^btk-atak\=0.
Решение. Если aik — объект, дуальный at, очевидно, в силу анти-
антисимметрии аа, \aik\ = 0. Поэтому, пользуясь соотношением B.8) и
теоремой Бине—Коши, имеем
~aiak\ = I <*/»<»*» I = lfl/fl#|e*,l =0-
24 ОРТОГОНАЛЬНЫЕ ТЕНЗОРЫ Ч. I
Алгебраические дополнения. Возьмем равенство B.11) и умно-
умножим его на е t; получим
pqr^pqt ~~ tkl pqt lpkqlr'
Так как по B.2) epqrepqt = 2brt, то можно написать
abn
Введем обозначение
abrt = а,г\ъ i
Элементы этого объекта называются алгебраическими дополнения-
дополнениями элементов детерминанта \alr\. Теперь можно написать
abrt = alrAH. B.14)
Положив здесь r = t = а, получим разложение детерминанта по эле-
элементам а-го столбца. Если г — a, t = b, а ^ Ь, то из B.14) вытекает
аЬаЬ = ° = а1аА1Ь-
Это представляет собой известную теорему из теории детерминан-
детерминантов, согласно которой сумма произведений элементов одного столб-
столбца детерминанта на алгебраические дополнения элементов другого
столбца равна нулю.
Упражнение 5. Найти разложение детерминанта по элемен-
элементам строк.
Решение. Умножим B.12) на eikm. Получим
Введем обозначение
= а1г\Ъ etkmePqr
Anr ~ I elkmepqraipakq'
Тогда можем записать
аЬЫ ~ alrAmr-
Положив здесь 1 = т = а, получим разложение детерминанта по
элементам а-й строки.
Решение систем линейных уравнений. Пусть есть система трех
линейных уравнений
***** = bt-
Умножим это равенство на At ; йолучим aikAt xk = A, bt. В силу
B.14) мы можем написать abkpxk =Atpbt, а так как bkpxk = xp, то
§ 2 ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА В ИНДЕКСНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЯХ
ахр = Aipb,. Поэтому будет
25
Это выражает собою известную теорему Крамера о решении систем
линейных уравнений в индексных обозначениях.
Можно записать решение линейной системы несколько иначе.
Введем в рассмотрение объект А,, определяемый так:
Д1 = epqrbpaq2ar3,
Тогда
Д3 =
Этим способом записи мы воспользуемся в дальнейшем (см. § 7).
Формулы векторной алгебры в индексных обозначениях.
Пусть Oxt (рис. 2.1) ортогональная правая система координат; ус-
условимся, что масштаб измерения
длин вдоль каждой из осей равен
единице. Введем вектор a (av av
а3 — его проекции на оси коорди-
координат). Как известно, эти три проек-
проекции однозначно определяют вектор
а; поэтому мы можем рассматри-
рассматривать вектор как трехмерный объ-
объект первого порядка и применить к
нему введенную в настоящем па-
параграфе индексную алгебру. В ре-
результате мы получим формулы
векторной алгебры в индексных
обозначениях, которые приводятся
ниже; слева написаны обыкновенные векторные формулы, спра-
справа — их индексный эквивалент, причем иногда используется дуа-
лизация объектов.
Векторные обозначения Индексные обозначения
а) Вектор:
Рис. 2.1
|а|=а;
b = c;
б) Модуль вектора:
а =
в) Сумма векторов:
а, + Ь, = с,.
26
ОРТОГОНАЛЬНЫЕ ТЕНЗОРЫ
Ч. I
г) Разложение вектора по трем
некомпланарным направлениям а, Ь, с:
d = /а + mb + nc; dt = lat + mbt + nct.
д) Скалярное произведение:
p = a'b; p = atbt.
е) Косинус угла между векторами:
COS Ф = —г-J COS Ф = ' '.
ж) Ортогональная проекция вектора а
на заданное направление Ь:
b a-b. » аА .
d = a cos (рт = ~г~b; at = —j~ "r
з) Векторное произведение.
(эр э2, э3 — орты системы координат)
= axb =
а, а2 а3
= etkiakbi - btkak - ~aikbk ~
аг аз
и) Условие ортогональности векторов:
ab = 0; atbt = O.
к) Условие коллинеарности векторов:
а х b = 0, а = A.b; ^tkiakbi — 0> at = *-bt.
л) Квадрат векторного произведения:
S2 = (а х ЬJ = агЬг - (a-bJ; S2 = a26j - (atbt)(akbk) =
= (tfbik ~ atak)btbk =
= {b]btk-btbk)atak =
м) Смешанное произведение трех векторов:
А = etkiatbkci ~ aicikPk-
аг аз
с, с2 с3
§ 3 ТЕНЗОРЫ В ОРТОНОРМИРОВАННЫХ СИСТЕМАХ КООРДИНАТ 27
н) Условие компланарности трех векторов'.
а • (Ь х с) = 0; elklaibkcl = 0, otcikbk = 0.
о) Векторное произведение трех векторов:
h = ax(bxc)= ht = bt(akck)—ct(albl) =
= b(ac)-c(ab); = (btak-blalbth)ck =
= (c,a,6a - ctak)bk.
Существенное различие между этими двумя группами формул
состоит в том, что формулы в векторных обозначениях могут быть
написаны без привлечения какой бы то ни было координатной
системы; формулы в индексных обозначениях представляются на-
написанными сразу в некоторой определенной системе координат.
Однако для практических расчетов с использованием векторных
формул обязательно приходится вводить некоторую систему коор-
координат и проецировать векторные равенства на оси этой системы.
Тем самым мы, в сущности, обязаны переходить к индексным
обозначениям.
С другой стороны, векторные равенства остаются справедливыми
в любой системе координат; они, как принято говорить, являются
инвариантными равенствами. Инвариантные равенства играют
большую роль во всех точных науках. Существует даже утвер-
утверждение, что физический смысл имеют только инвариантные равен-
равенства, т.е. равенства, не зависящие от выбранной системы отсчета;
таковы, например, уравнения теории относительности.
На первый взгляд не очевидно, обладают ли свойством инвари-
инвариантности равенства, написанные в индексных обозначениях. Для
выяснения этого вопроса нам необходимо введение специального
вида объектов, называемых тензорами. Понятие тензора мы
введем так, чтобы равенства, написанные в индексных обозначе-
обозначениях, оказались инвариантными относительно преобразования ко-
координат.
§ 3. Тензоры в ортонормированных системах координат
С точки зрения индексных обозначений векторы являются объекта-
объектами первого порядка, из которых по приведенным ниже правилам мы
можем построить объекты любых порядков и писать равенства меж-
между объектами при помощи индексных обозначений. Рассмотрим за-
законы преобразования объектов различных порядков. Оказывается,
что можно найти такой класс объектов, что их равенство, верное в
одной системе координат, верно и во всех остальных, т. е. является
инвариантным.
28
ОРТОГОНАЛЬНЫЕ ТЕНЗОРЫ
Ч. I
Ортогональные преобразования. Пусть (рис. 3.1) Охр и Ayt
будут две ортонормированные системы, т.е. декартовы ортогональ-
ортогональные системы, для которых масштабы длин вдоль осей координат
равны единице длины. Пусть координаты одной и той же точки В
Рис. 3.1
будут соответственно х и yt. Введем матрицу направляющих ко-
косинусов ctp, причем соответствие между индексами осей и элемен-
элементов матрицы устанавливается так:
хр
"I tp'
Если через Хр обозначим координаты точки А в системе Охр, то
преобразование будет иметь вид
Это преобразование состоит из параллельного переноса, при ко-
котором система Ох преобразуется в систему Ах', параллельную
первой, и изменения направления осей координат.
Как известно, условия ортогональности преобразования (т.е.
условия, при которых ортогональная система осей переходит в
ортогональную) будут
или
c,lCsp =
§ 3 ТЕНЗОРЫ В ОРТОНОРМИРОВАННЫХ СИСТЕМАХ КООРДИНАТ 29
Отсюда получаем | ctscps\ = 16,я|, а так как \bip\ = 1, то по теоре-
теореме Бине-Коши | ctscps | = | с,, | • | cps | - с\ откуда с = ± 1.
Преобразования при с = +1 называются поворотами или враще-
вращениями системы Ayt относительно системы Ах'р. При этом система
Ayt поворачивается как твердое тело: правая система координат пе-
переходит в правую, левая — в левую.
Преобразования при с = —1 называются несобственными или
зеркальными поворотами. При этом правая система переходит в ле-
левую и наоборот.
Преобразование системы Охр в Ayt называется движением.
Из преобразований, связанных с изменением направления осей
координат, в механике применяются только повороты. В других раз-
разделах физики, особенно в физике кристаллов, применяются общие
ортогональные преобразования.
Ортогональные тензоры. Пусть есть какой-нибудь радиус-
вектор АВ = а. Назовем систему Охр для краткости старой, Ayt —
новой. Будем обозначать составляющие вектора в старой и_ новой
системах через ар и a~t соответственно. Тогда ар = хр — Xpt at = yt,
и закон преобразования от старой системы к новой будет
«/ = ^Яр-
Обратное преобразование получим, умножая обе части этого равен-
равенства на cts и используя условие ортогональности chcip = bsp:
Итак, мы получили два преобразования — прямое и обратное:
C.1)
at = ct a ,
Р Р
Следует обратить внимание на расположение немых индексов, ко-
которое показывает, что матрицы преобразований транспонированы.
Всякий объект первого порядка Тр, преобразующийся по закону
назовем ортогональным тензором первого порядка или векто-
вектором. Этот объект может уже не быть чисто геометрической при-
природы, как радиус-вектор а, а иметь любой другой физический
смысл.
30 ОРТОГОНАЛЬНЫЕ ТЕНЗОРЫ Ч. I
Пусть два тензора Тр и Sp в старой системе равны друг другу,
Тр = Sp. Покажем, что это равенство сохранится и в новой системе ко-
координат, т. е. что оно инвариантно относительно ортогональных пре-
преобразований. Для этого умножим обе части равенства на с1р; получим:
CtpTp = ctpSp- Но по определению ctpTp = Tt, ctpSp-St, откуда
Tt ш Si.
Рассмотрим теперь обобщенное произведение двух векторов
Ppq = apbq. Примем по определению, что объект Ppq в новой
системе координат будет Pik = atbk и найдем отсюда закон преобра-
преобраб
CtPap> bk = ckqbq>
зования объекта Р .
Так как
то
и поэтому
А
Чтобы получить обратное преобразование, умножим это равенст-
равенство на circks; получим
Prs'
Делая замену индексов V s), получим
Таким образом, мы имеем прямое и обратное преобразования:
Всякий объект второго порядка Tpq, преобразующийся по закону
pq,
Ttk ~
= C
lpCkqTik>
называется ортогональным тензором второго порядка.
Упражнение 1. Показать, что если два каких-нибудь тен-
тензора второго порядка Tpq и Spq равны друг другу в старой
системе координат, то они равны и в новой, т.е. их равенство
инвариантно относительно ортогональных преобразований.
§ 3 ТЕНЗОРЫ В ОРТОНОРМИРОВАННЫХ СИСТЕМАХ КООРДИНАТ 31
Решение. Пусть Tpq = Spq. Умножив это равенство на ctpckq,
получим ctpckqTpq = cipckqSpq. Но, по определению,
откуда мы имеем Та = Stk.
Точно также, рассмотрев преобразование объекта, составленного
из обобщенного произведения трех векторов, мы назовем ортого-
ортогональным тензором третьего порядка всякий объект Тш, преобра-
преобразующийся по закону _
¦^Ш = CtpCkqClr^pqr>
Tpqr = ctpckqclrTtkl'
Равенство двух тензоров третьего порядка тоже инвариантно отно-
относительно ортогональных преобразований.
Подобным же образом мы можем построить обобщенные произ-
произведения любого количества радиус-векторов и получить их законы
преобразования. Как мы увидим в дальнейшем, могут существовать
объекты, обладающие иным смыслом, чем обобщенное произведение
радиус-векторов, но преобразующиеся по тем же законам.
Объекты любого порядка и любой физической природы, преобра-
преобразующиеся по тем же законам, что и обобщенное'произведение ради-
радиус-векторов, взятых в количестве, равном порядку объекта, назовем
ортогональными тензорами.
Чтобы завершить этот ряд, определим тензор нулевого порядка
при помощи равенства _
Т = Т.
Тензор нулевого порядка часто называют скаляром или инвариан-
инвариантом.
В качестве примера скаляра приведем квадрат длины вектора ар.
Пусть агр = a2, af = а2. Возводя первое равенство C.1) в квадрат, по-
получаем а2 = cipapclqaq = bpqapaq = а2р, т. е. а2 = а2, откуда и видно,
что а2 есть скаляр.
Как будет показано ниже, применяя действие свертки, мы всегда
можем построить инварианты из одного или нескольких тензоров.
Итак, ортогональные тензоры разных порядков — это объекты,
преобразующиеся по законам
Т = Т, Т = Т,
Tt = cipTp, Tp = ctpTt,_ C.2)
Ttk = ctpCkqTpq> T pq = CipCkqTik>
ТШ = CtpCkqClrTpqr> Tpqr ~ CtpCkqClrTtkl>
32 ОРТОГОНАЛЬНЫЕ ТЕНЗОРЫ Ч. I
Теперь мы можем сказать, что равенство тензоров любого поряд-
порядка инвариантно относительно ортогональных преобразований. Такие
равенства называют также тензорными равенствами.
Истинные тензоры и псевдотензоры. Существуют объекты, от-
отличные от тензоров, равенства которых также обладают свойством
инвариантности относительно преобразования координат. Рассмот-
Рассмотрим такие объекты.
Возьмем, например, объект еш. Нам было бы удобно, чтобы
его составляющие оставались во всех системах координат неиз-
неизменными. Если мы припишем объекту еш свойства ортогональ-
ортогонального тензора третьего порядка, то его закон преобразования дол-
должен быть
еШ — CtpCkqClrepqr-
Однако, ранее мы установили формулу B.12), в соответствии с ко-
которой
еШ = 7 CipCkqClrepqr
Так как эта формула установлена в одной системе координат, то
etu и ePqr ~~ ЭТО °ДИН и т01" же объект. Следовательно, тензорный
закон преобразования не обеспечивает неизменности составляющих
объекта epqr во всех системах координат и, чтобы достигнуть этого,
необходимо принять закон преобразования в виде
*Ш = 1 CtpCkqClrepqr- C.3)
Этот закон преобразования отличается от тензорного наличием чис-
численного множителя -. Поэтому перед нами две возможности: либо
приписать объекту ет свойства ортогонального тензора, либо при-
приписать ему отличающийся от тензорного закон преобразования,
причем его элементы не будут изменяться при ортогональном пре-
преобразовании. Мы примем вторую альтернативу и припишем объекту
ем закон преобразования C.3).
Всякий объект, закон преобразования которого отличается от
/1\м
тензорного множителем [-] , называется ортогональным псевдо-
псевдотензором, а число М называется весом псевдотензора.
Псевдотензоры нулевого и первого порядка называются также
псевдоскаляром и псевдовектором. Таким образом, еш есть псевдо-
псевдотензор веса +1.
Если нам нужно будет подчеркнуть разницу между тензорами
и псевдотензорами, мы будем называть первые истинными тен-
тензорами.
§3
ТЕНЗОРЫ В ОРТОНОРМИРОВАННЫХ СИСТЕМАХ КООРДИНАТ
33
Итак, псевдотензоры разных порядков — это класс объектов,
преобразующихся по законам
м
Т, Т = смТ,
м
- Т Т = см с Т
ip1 />> Р ip ''
М
C.4)
CipCkqTpq>
= C
М
CtpCkqClrTpqr'
~ c c'lpCkqC'lrT'
-1
0
0
0
1
0
0"
0
1
Так как при ортогональных преобразованиях с — ± 1, то псевдотен-
псевдотензоры четного веса ничем не отличаются от истинных тензоров;
псевдотензоры нечетного веса при поворотах также ничем не
отличаются от истинных, но при несобственных поворотах их
законы преобразования различаются знаком; например, псевдоска-
псевдоскаляр преобразуется по закону Т = —Т, псевдовектор — по закону
Tt — —cipTp и т.д. Чтобы сделать разницу более наглядной, рас-
рассмотрим в качестве примера преобразование псевдовектора веса
2N + 1 при двух типах несобственного поворота:
' 1) ctp = -&ip; 2) cip =
В случае истинного вектора мы имеем
1) Г, = (-6,р)Гр =-7- 2) Tt =
В случае псевдовектора нечетного веса имеем
2ЛГ+1
Tt=\-'
2ЛГ+1
Разница очевидна.
Изотропные тензоры и псевдотензоры. Изотропными или чис-
числовыми тензорами и псевдотензорами называются те из них, эле-
элементы которых не меняются при преобразовании координат.
Нулевой тензор любого порядка изотропен.
Истинный скаляр есть изотропный тензор нулевого порядка.
2 - Г. В. Коренев
¦-1
0
0
0
1
0
о-
0
1
•
Т2
Тг
=
-т:
+тг
+т3
-1
0
0
0
1
0
0'
0
1
•
'т;
Тг
Тг
=
¦+т;
-Т2
-Т3
34 ОРТОГОНАЛЬНЫЕ ТЕНЗОРЫ Ч. I
Изотропных ненулевых вещественных тензоров первого порядка
не существует. Изотропен только нулевой вещественный вектор.
Рассмотрим 6tk как тензор второго порядка, т.е. припишем ему
тензорный закон преобразования. Тогда будет
*/* = CtpCkqbpq = CtPCkp ~ 6<*'
откуда следует, что &1к есть изотропный тензор второго порядка.
Можно показать, что единственным изотропным псевдотензором
третьего порядка является еш.
Изотропных тензоров четвертого порядка существует три:
б,
а*
— 6ji;6
ШердГ
Можно построить изотропные тензоры более высоких порядков.
Тензорные операции. Если при помощи какой-нибудь операции
из одного или нескольких тензоров получаются другие тензоры, то
такие операции называются тензорными.
Почти очевидно, что сложение есть тензорная операция. Доказа-
Доказательство предоставляется читателям в качестве упражнения. Сим-
Симметрирование и альтернирование — тоже тензорные операции.
Поэтому симметрия и антисимметрия тензоров есть свойство, инва-
инвариантное относительно ортогональных преобразований. Таким обра-
образом, равенство
а „ = S „ + А ,
где
S =-( + } А =-(а -а )
остается инвариантом при ортогональных преобразованиях.
В теории упругости часто применяется следующее разложение
тензора второго порядка:
а =(s -i-6 S )+-& S +A
Тензор Spq — ^ 6p<7Srr обладает тем свойством, что его свертка (т. е.
сумма элементов, в развернутой записи стоящих на главной диаго-
диагонали, называемая также следом или шпуром тензора) равна тожде-
тождественно нулю; такой тензор называется иногда девиатором. Тензор
1 bpqSrr называют шаровым. Итак, каждый тензор второго порядка
может быть разложен на сумму девиатора, шарового тензора и ан-
антисимметричного тензора.
Равенство C.5) является инвариантным относительно ортого-
ортогональных преобразований.
§ Э ТЕНЗОРЫ В ОРТОНОРМИРОВАННЫХ СИСТЕМАХ КООРДИНАТ 35
Так как закон преобразования тензоров порядка выше первого
мы определили при помощи обобщенного умножения, то это послед-
последнее есть тензорная операция.
Рассмотрим операцию свертки. Пусть apq тензор. Тогда
Свертка будет
= С1рСкЧаря'
- CipCiqupq " ЬРЯаРЯ " пРР'
Мы видим, что результат свертки есть скаляр, поэтому свертка —
тензорная операция. Далее, пусть apqr — тензор. Тогда
&Ш = CtpCkqClrapqr-
Свертка будет, например,
"Ш " CtpCtqClrapqr - bpqClrapqr " ClrUppr-
Результат свертки в данном случае есть тензор первого порядка, по-
поэтому свертка есть тензорная операция. Подобным же образом это
проверяется для сверток, тензора любого порядка. В частности, внут-
внутреннее произведение есть скаляр, так как это — свертка тензора.
Рассмотрим векторное произведение. Имеем
SP - epqraqbr, St = ёшаЛ-
Но
«Ш = ~С ClpCkqClrepqr> 5* = С*А« */ " Cltbf
Поэтому
^ " 7 CtpCkqClrCksCltepqrasbt -
= 7 Cip\sbrtePqrasbt " 7 C'Pe
Итак, векторное произведение есть псевдовектор веса +1. Поэтому
результат векторного умножения является истинным тензором толь-
только при поворотах; в механике, в частности, векторное произведение
можно считать истинным вектором.
Можно определить векторное умножение несколько иначе, так
чтобы оно было тензорной операцией при любых преобразованиях
координат. Этот вопрос рассмотрим в части II.
Для смешанного произведения А = epqrupvqwr имеем
A = Srwr, A = S[W,, S^^CfrS,, Wt = clsws,
* = 7 C/rclA», - 7 6rsSr«>s " 7 SrWr =\A-
Таким образом, смешанное произведение есть псевдоскаляр веса +1.
2*
36 ОРТОГОНАЛЬНЫЕ ТЕНЗОРЫ Ч. I
Читателям рекомендуется в качестве упражнения доказать, что
тройное векторное произведение есть псевдовектор веса +2, кото-
который в механике можно рассматривать как истинный тензор первого
порядка.
Нетрудно видеть, что дуализация объектов по B.5) и B.6), во-
вообще говоря, не является тензорной операцией; объект, дуальный
истинному тензору, оказывается псевдотензором.
Обратный тензорный признак или правило частного. Тензор-
Тензорную природу (закон преобразования) любого объекта можно обнару-
обнаружить только что указанным способом, т. е. просто найти закон преоб-
преобразования непосредственно из определения объекта. Однако, для
сложных объектов это бывает технически затруднительно. В этих
случаях может оказаться эффективным так называемый обратный
тензорный признак, аналогичный действию деления. Чтобы им вос-
воспользоваться, необходимо ввести понятие произвольного тензора.
Задать тензор — значит определить все его элементы в какой-
нибудь одной системе координат. Для этого необходимо задать до-
достаточное количество чисел или функций, причем это количество не
произвольно: для скаляра должно быть задано одно число или одна
функция, для тензора первого порядка — три, для тензора второго
порядка — девять и т.д.; пять заданных элементов, например, не
определяют никакого трехмерного тензора.
Допустим, что в некоторой определенной системе координат тен-
тензор задан. Тогда в любой другой системе координат его элементы
можно определить при помощи закона преобразования тензоров со-
соответствующего порядка.
Произвольным мы назовем тензор, элементы которого в какой-
нибудь определенной системе координат можно выбирать совершен-
совершенно произвольно, например, положить их все равными нулю за ис-
исключением одного, который считать равным единице; этим произ-
произволом мы можем пользоваться так, как нам будет удобно. В
качестве наглядного примера произвольного тензора первого поряд-
порядка можно привести радиус-вектор какой-либо точки.
Здесь важно обратить внимание, что симметрия или антисим-
антисимметрия тензора ограничивают степень его произвольности. Напри-
Например, если а12 = 1, мы уже не имеем права положить а21 = 0. Сим-
Симметричный или антисимметричный тензор не являются произволь-
произвольными.
Формулировка обратного тензорного признака такова. Пусть да-
дано равенство
atk...mpq...sbtk...m = kpq...s' C-6)
где blk m есть произвольный псевдотензор порядка р и веса В, а
kpq s — псевдотензор порядка х и веса К. Тогда объект aik mpq s есть
псевдотензор порядка а = р + х и веса А = К— В.
§ 3 ТЕНЗОРЫ В ОРТОНОРМИРОВАННЫХ СИСТЕМАХ КООРДИНАТ 37
Обратный тензорный признак удобно записать в виде следующей
таблички:
Важно отметить, что все входящие в C.6) псевдотензоры долж-
должны быть заданы в одной и той же системе координат.
Поясним применение обратного тензорного признака на несколь-
нескольких примерах; после этого он становится просто очевидным и отпа-
отпадает необходимость доказывать его в общем случае.
Пример 1. Закон преобразования объекта первого порядка а
неизвестен, bq есть произвольный вектор; известно, что свертка
Р = йрЪр есть скаляр; найти закон преобразования а . Согласно
обратному тензорному признаку а есть истинный вектор. Прове-
Проверим это непосредственными выкладками.
Мы имеем
р = р, afit = apbp, lt = ctpbp, cipdibp = apbp,
Так как b — произвольный вектор, то отсюда следует, что ар = с1раг
Следовательно а — тензор первого порядка.
Пример 2. В выражении apqbq = kp bq есть произвольный
псевдовектор веса В, кр — псевдовектор веса К. Применяя обрат-
обратный тензорный признак, сразу получаем, что apq есть псевдотензор
второго порядка и веса К — В. Покажем это непосредственными вы-
выкладками.
Мы имеем
()
iА =
Поэтому
<А = [T
Сокращая это на -1 и умножая на с1р, получим
Вычитая это из заданного в условии равенства, получим
йРЧ с cipckqa
38 ОРТОГОНАЛЬНЫЕ ТЕНЗОРЫ Ч. I
откуда, в силу произвольности вектора Ь, следует равенство нулю
выражения в скобках, т. е.
пРЯ = (?
в~к
что и служит проверкой результата, полученного при помощи об-
обратного тензорного признака.
Упомянем теперь об особенности применения обратного тен-
тензорного признака, если псевдотензор bik m в C.6) обладает сим-
симметрией.
Пример 3. Объект gpq имеет неизвестный закон преобразо-
преобразования, Ь — симметричный истинный тензор второго, порядка.
Известно, что свертка / = gpqbpq есть скаляр. Найти природу
объекта gpq.
Мы имеем
/ = /- ~8ikPik = Spqbpq, ^tk=rcipckqbpq, ltkcipckqbpq = gpqbpq,
Разложим объект g на сумму симметричного и антисимметричного
объектов:
8РЯ = S/><7 + ЛРЯ'
Поэтому будет
Объект bpq симметричен, а объект во втором члене в скобках, оче-
очевидно, антисимметричен. Поэтому второй член тождественно равен
нулю и мы имеем
(<V*A* - spq)bpq = о, spq = cipckqsik.
Отсюда следует, что симметричная часть gpq есть истинный
тензор второго порядка. Если g сам симметричен, то он истин-
истинный тензор второго порядка. Относительно антисимметричной час-
части Aik обратный тензорный признак никакой информации дать не
может.
Пример 4. Известно, что объект (bpq — apaq)bpbq есть ис-
истинный скаляр, Ър — произвольный вектор. Показать, что
Ьря — apaq есть истинный тензор второго порядка.
Так как объекты F q — а а ) и b bq симметричны, то на осно-
основании результатов предыдущего примера мы сразу же приходим к
нужному нам выводу.
§ 4 ОРТОГОНАЛЬНЫЕ ТЕНЗОРЫ В МЕХАНИКЕ И ФИЗИКЕ 39
Пример 5. Квадрат векторного произведения Sr = epqrapbq,
равный (a2bpq — apaq)bpbq, есть, очевидно, псевдоскаляр веса +2.
Пусть bt — произвольный истинный вектор. Подтвердить прямыми
вычислениями, что объект a)bpq — apaq есть псевдотензор второго
порядка и веса +2.
Мы имеем
, 2
S] = (a2rbpq - apaq)bpbq, S2 = (a2bik - atak)btbkt S2 = \±j S2r.
Поэтому
Ho bp = Cjpbj, bq = ckqbk, следовательно,
Так как объект а,26^ — atak, очевидно, симметричен, то выражение в
фигурных скобках должно быть равно нулю, откуда получаем
, v 2
(«/2&/t - а,ак) = Щ clpckq(aj6pq - apaq)t
а это и есть закон преобразования псевдотензора второго порядка и
веса +2.
Итак, мы получаем следующее дополнение к сформулированно-
сформулированному выше обратному тензорному признаку.
Если объект btk m симметричен (антисимметричен) по какой-
нибудь паре индексов, а в остальном произволен, то обратный тен-
тензорный признак можно применять лишь к симметричной (антисим-
(антисимметричной) части объекта aik s.
§ 4. Ортогональные тензоры в механике и физике
Приведем примеры ортогональных тензоров, с которыми приходится
иметь дело в механике, теории упругости и теории поля.
Тензор угловой скорости. Пусть Охр — неподвижная система
координат (рис. 4.1), тогда радиус-вектор Хр какой-нибудь точ-
точки А есть, по определению, истинный тензор первого порядка.
Пусть точка А движется, так что Хр являются функциями време-
времени, время мы условимся считать истинным скаляром. Пусть скорость
40
ОРТОГОНАЛЬНЫЕ ТЕНЗОРЫ
Ч. I
точки А есть U р; так как
АХ
то очевидно, что скорость точки есть истинный тензор первого по-
порядка или истинный вектор. Таким же образом получаем, что уско-
ускорение точки есть истинный вектор.
Пусть теперь точка А принадлежит некоторому твердому телу.
Примем ее за начало связанной с телом системы координат Ayt, (рис.
4.1). Если В есть произвольная точка твердого тела, то ее радиус-век-
Рис. 4.1
тор yt относительно точки А есть произвольный истинный вектор.
Обозначив радиус-вектор точки В относительно точки О через хр, а
направляющие косинусы осей Ayt относительно Ох через с, , полу-
получим, очевидно,
Будем считать систему Ох старой, систему Ayt — новой и введем
обозначения
yt = г,, хр - Хр = гр.
Таким образом, черточка над главной буквой будет относиться к
связанной системе. Тогда будет
гр =
D.1)
Так как точки А и В принадлежат твердому телу, то г. = const; с
другой стороны, г 9* const. Действительно, обозначив скорость точ-
точки А через U , а точки В через V , имеем
§ 4 ОРТОГОНАЛЬНЫЕ ТЕНЗОРЫ В МЕХАНИКЕ И ФИЗИКЕ 41
Таким образом, производная гр равна разности скоростей точек
Л и В, причем В — произвольная точка тела. Следовательно, эта
производная равна нулю для каждой точки тела только в том слу-
случае, когда тело движется поступательно. Вообще, она не равна ну-
нулю и мы можем сказать, что производная гр характеризует враща-
вращательное движение тела. Введем обозначение
vp = V
Очевидно, vp есть истинный вектор, так как это — разность двух
истинных векторов:
Дифференцируем второе из равенств D.1); получим (так как
~r i = const)
vp = ciprr D.2)
Важно заметить, что векторы v и rt определены в разных
системах координат. Так как vp — истинный вектор, то мы,
очевидно, имеем
Ч = ckPvP-
Поэтому, умножив D.2) на ск , получим
Ч = CipCk/i-
Во избежание недоразумений напомним, что v и vk — это со-
составляющие одного и того же вектора по двум различным системам
осей; vk не является относительной скоростью в новой (связанной)
системе координат, эта относительная скорость была бы тождествен-
тождественно равна нулю.
Введем обозначение
па = с1рскр.
Тогда будет
vk = ulk7t. D.3)
Так как vk и г. — истинные векторы, причем Ti произволен,
то по обратному тензорному признаку 7И1к есть истинный тензор
второго порядка. Напомним, что vk характеризует вращательное
движение тела, поэтому и тензор 751к также характеризует враща-
вращательное движение тела. Но вектор vk относится к какой-нибудь,
хотя и произвольной, но определенной точке тела, а тензор ~<я1к
не зависит от того, какой именно точкой тела мы пользова-
42 ОРТОГОНАЛЬНЫЕ ТЕНЗОРЫ Ч. I
лись для его получения. Поэтому он характеризует вращательное
движение тела в целом и называется тензором угловой скорости
тела.
Нетрудно показать, что этот тензор антисимметричен. В самом
деле, дифференцируя условие ортогональности преобразования по
времени, получаем:
CipCkp = ^iV cipCkp + Cip'Ckp = О' CipCkp = ~ckpCip
ИЛИ
Свойство антисимметрии инвариантно, т. е. должно сохраняться во
всех системах координат, в том числе и неподвижной.
В механике обычно пользуются не тензором угловой скорости, а
его дуальным объектом, называемым псевдовектором угловой ско-
скорости веса +1:
Ц *5
Его закон преобразования будет
_ _\_
Так как в механике несобственные повороты не рассматрива-
рассматриваются, а при обыкновенных поворотах всякий псевдотензор ведет
себя как истинный тензор, то псевдовектор угловой скорости
может рассматриваться как истинный вектор.
При помощи дуального псевдовектора угловой скорости развер-
развернутая запись тензора угловой скорости будет выглядеть так:
О <п, —<п
—o5j 0 cOi
ш2 —со1 О
Напомним, что обозначение с чертой относится к составляющим
вектора в связанных с телом осях.
Вопрос о том, в какой системе следует первоначально опре-
определить тензор угловой скорости, решается из условий удобства.
В настоящем параграфе принято его определение в связанной
(новой) системе координат; это соответствует тому, что обычно
применяется в кинематике твердого тела. Отметим, что связан-
связанная система координат установлена совершенно произвольным
образом, ее начало ртожет находиться в произвольной точке, а
оси ориентированы произвольным образом. Определение тензора
угловой скорости относится к какой угодно связанной системе
координат.
§ 4 ОРТОГОНАЛЬНЫЕ ТЕНЗОРЫ В МЕХАНИКЕ И ФИЗИКЕ 43
Тензор инерции. Найдем кинетическую энергию твердого тела;
для этого сначала определим кинетическую энергию какой-нибудь
из его материальных точек В. Так как v = Vр — U , то в связанных
осях будет vk = Vk — Uk, откуда
или
Но, согласно D.3), мы имеем
Это векторное произведение; чтобы найти v\, нужно найти квадрат
векторного произведения
v\ = ('fane - ?Л)«> А-
и мы имеем
vl = WkUk -U\ + (j]blk - rtrk)oStoSk. D.4)
Теперь для того, чтобы можно было развивать динамику в ин-
индексных обозначениях, нам нужно ввести два новых класса индек-
индексов, для которых мы используем греческий алфавит:
третий класс — фиксирующие — от а до 9;
четвертый класс — скользящие — от х до конца алфавита.
Греческие индексы будут обозначать номера материальных точек
тела.
Будем рассматривать массу тела М как объект, состоящий из
масс его отдельных материальных точек тх, причем на индексы
четвертого класса распространим условие о суммировании по всем
материальным точкам тела. Тогда, например, выражение m^V^ бу-
будет обозначать количество движения тела; если обозначить скорость
его центра инерции С через Vck, то по известной теореме механики
получим _ _
^xvu = Mvcv D-5)
где М — масса тела, т. е. сумма масс всех его точек. Это равенство
написано в связанных (но.вых) осях. Массу тела мы должны рас-
рассматривать как объект изотропный, т. е. считать, что его элементы
не преобразуются при преобразовании координат, тогда D.5) —
тензорное равенство.
Равенство D.4) справедливо для каждой материальной точки те-
тела; чтобы записать это в явном виде, припишем каждому члену ра-
равенства скользящий греческий индекс; мы будем иметь
(У1)х = 2( Wx - (U\\ + i(rjbtk - гГгк)^к]у
44 ОРТОГОНАЛЬНЫЕ ТЕНЗОРЫ Ч. I
Здесь выписано сразу столько равенств, сколько материальных то-
точек имеется в рассматриваемом твердом теле.
Умножим эти равенства на х т^; тем самым мы просуммируем
результат умножения по всем материальным точкам тела. Это будет
В левой части стоит, очевидно, сумма кинетических энергий всех
материальных точек тела, т. е. просто кинетическая энергия тела.
Так как квадрат скорости есть скаляр, а масса не преобразуется, то
кинетическая энергия есть истинный скаляр; обозначим ее потому
через Т. В правой части скорость Uk, а также объект <3(со^ одинако-
одинаковы для всех точек тела, поэтому их можно вынести за знак сумми-
суммирования по материальным точкам тела. Мы напишем это следую-
следующим образом _ _ _ _
mx(VkUk)x = mkVnUt = MVckUk,
Введем обозначение
Этот симметричный объект называется тензором инерции тела
в точке А. Окончательно мы можем написать
Uk = Vck и мы имеем
причем в последнем равенстве вместо Atk написано Acik, чтобы под-
подчеркнуть, что он взят в центре инерции тела^
Из этих выражений мы видим, что свертка Alk7uto5k есть истинный
скаляр, поэтому на основании обратного тензорного признака мы за-
заключаем, что тензор инерции есть псевдотензор веса —2, так как со.
есть псевдотензор веса +1. Закон его преобразования поэтому будет
Aik = G] CipCkqApq'
Apq = C CipCkqAtk-
T = MVckUk-$-
Если,_в частности, точка А совпадает с центром инерции С, то
,1-т D 6)
§ 4 ОРТОГОНАЛЬНЫЕ ТЕНЗОРЫ В МЕХАНИКЕ И ФИЗИКЕ 45
Следовательно, при всех ортогональных преобразованиях тензор
инерции ведет себя как истинный тензор.
Если мы хотим при вычислении кинетической энергии восполь-
воспользоваться не вектором, а тензором угловой скорости, то мы можем
написать
_ 1 _ _ _ 1 _ _
ш/ = 2 euvi(auv шк = 2 WVv»
где введено обозначение
Х-ё е А =А D-7>
4 uvi wxk ik uvwx'
Так как объект шестого порядка euvjewxk есть, очевидно, псевдотен-
псевдотензор шестого порядка и веса +2, a Ajk есть псевдотензор второго по-
порядка и веса —2, то свертка D.7) дает, очевидно, истинный тензор
четвертого порядка.
Упорядочив индексы при помощи подстановки
(и v w х i к\
[i к р д s ty
мы получим
Объект А.к называется тензором инерции четвертого порядка.
Тензор Ajk имеет, очевидно, следующие свойства симметрии:
п) Aikpq = ~Akipq> б) Aikpq = ~Aikqp'^ в) Aikpq = Apqik'
Эти равенства вытекают непосредственно из свойств псевдо-
псевдотензора ejkl и коммутативности обобщенного произведения.
Тензор деформации и тензор напряжения. Пусть имеется
какая-нибудь сплошная среда, которая может деформироваться.
Будем изучать движение этой среды в неподвижной ортонормиро-
ванной системе координат Ох (рис. 4.2). Пусть какая-нибудь точ-
точка В среды с координатами х переместилась в точку В' с коорди-
координатами хр. Тогда вектор
ир = х'р-хР D.8)
называется вектором смещения. Координаты смещенной точки В,
а следовательно, и составляющие вектора смещения являются функ-
46
ОРТОГОНАЛЬНЫЕ ТЕНЗОРЫ
4.1
циями координат несмещенной точки среды; вектор смещения ир
образует векторное поле.
Найдем изменение элемента длины самой среды в окрестности
рассматриваемой точки среды. Пусть длина элемента среды до
Рис. 4.2
смещения была dl, после смещения стала dl; очевидно, имеем
.
Дифференцируя равенство D.8), получим
Возводя этот результат в квадрат, получаем
К = dXl+2i% dXPd\ +Jfqlfr **<**'
Но, воспользовавшись тем, что немые индексы можно обозначать
как угодно, получим
ди ди
?dd ?dd
ди
Эи Эй
Поэтому
ди ди ди ди
§ 4 ОРТОГОНАЛЬНЫЕ ТЕНЗОРЫ В МЕХАНИКЕ И ФИЗИКЕ 47
В левой части этого равенства, очевидно, стоит истинный скаляр,
a dxp есть совершенно произвольный истинный вектор. Поэтому на
основании обратного тензорного признака заключаем, что симмет-
симметричный объект
иРЧ дхч т дхр т Ьхр dxq
есть истинный тензор второго порядка, он называется тензором де-
ди
формации. Если г-2 есть малое первого порядка, то последний член
тензора будет второго порядка малости; в этом случае тензор деформа-
деформации определяется выражением
дир j_ a"«
и = —е Н .
им дхч т дхр
Напряжение в упругой среде связано с деформацией при помощи
тензорного равенства — обобщенного закона Гука:
где тензор второго порядка apq называется тензором напряжения,
а тензор четвертого порядка hpqrs — тензором модулей упругости.
В таком виде обобщенный закон Гука применяется в кристалло-
кристаллофизике.
Некоторые формулы теории поля. Пусть нам задано скалярное
поле, т. е. некоторая функция /(х ) от координат, значение которой
при преобразовании координат не изменяется. Примером скалярно-
скалярного поля может служить поле температуры какого-нибудь тела.
Найдем полный дифференциал скалярной функции; это будет,
очевидно, тоже скаляр. Мы имеем
В тензорном исчислении дифференцирование по координате обознача-
обозначается индексом координаты; чтобы не смешать индекс, обозначающий
дифференцирование, с обычным индексом, его отделяют запятой:
дхр '.Я'
Так как dxp — произвольный истинный тензор, то в соответствии с
обратным тензорным признаком объект -— = / тоже будет истин-
ным тензором первого порядка, т. е. истинным вектором. Он назы-
называется градиентом функции /.
Дифференцирование по координатам увеличивает порядок тен-
тензора на единицу.
48
ОРТОГОНАЛЬНЫЕ ТЕНЗОРЫ
Ч. I
Пусть нам задано векторное поле, т. е. три функции Ap(xq), ко-
которые при переходе к новой системе координат преобразуются как
элементы тензора первого порядка. Найдем полные дифференциалы
этих функций; совокупность этих полных дифференциалов также
образует тензор первого порядка. Мы имеем
В соответствии с обратным тензорным признаком А есть истин-
истинный тензор второго порядка. Свернем этот тензор; мы получим ис-
истинный скаляр
Р.Р
дх
дх.
Этот скаляр называется дивергенцией векторного поля.
Определим объект S следующим образом:
Р ~ вРЧГ дх ~~ вРЧгАгл'
В развернутой записи это будет
ЭХ,
дА2
7х3
дх2
Этот объект называется вихрем или ротором векторного поля;
он, очевидно, есть псевдовектор веса +1. Введем в рассмотре-
рассмотрение дуальный объект вихря, который обозначим через Stk. По
определению имеем
откуда следует, что
etkpepqr gx
дАк
дА(
Объект Stk есть, очевидно, псевдотензор второго порядка и веса +2;
при ортогональных преобразованиях это истинный тензор. Он при-
применяется в релятивистской теории поля.
Упражнение 1. Если aik есть некоторый тензор второго по-
порядка, то тензор третьего порядка
9%
дх, Э*ь
§ 4 ОРТОГОНАЛЬНЫЕ ТЕНЗОРЫ В МЕХАНИКЕ И ФИЗИКЕ 49
иногда называют циклом тензора aik. Доказать, что цикл дуального
тензора вихря тождественно равен нулю, т. е. что
дх,
Приведем для удобства справок таблицу основных понятий и не-
некоторых соотношений теории поля в векторных и тензорных (ин-
(индексных) обозначениях.
Векторные обозначения Тензорные обозначения
а) Градиент:
б)
г)
Дивергенция:
в) Вихрь:
Лапласиан:
р
дх Р<Р
д) Вторая производная:
дхр
е) Ротор градиента:
rot grad / = 0; epqr -
ж) Дивергенция ротора:
div rot A = 0; е
д2А
з) Ротор ротора:
rot rot A = grad div A — V2A; etkpepqr •
50
ОРТОГОНАЛЬНЫЕ ТЕНЗОРЫ
Ч. I
и) Градиент произведения скалярных функций'.
grad (<p/) = <p grad / + / grad <p; — (<p/) = 4>jx- + ffxl- =
p p p
= <p-/,p + /-9,p.
к) Дивергенция произведения вектора и скаляра:
div(/A)=/divA + Agrad/; ^-(fAp) = f^ + Apjf =
л) Ротор произведения вектора и скаляра:
rot (<рА) = <р rot A + grad 9 х А; <?мг -~- = yepqr -rf + epqr j*-
1 11
м) Дивергенция векторного произведения:
div (А х В) = В rot А - A rot В; rj- epqrAqBr =
р
- BpepqrAr,q - ApepqrBr,q-
Эти результаты почти очевидны; предлагается получить их в по-
порядке упражнения.
§ 5. Главные оси симметричного тензора второго порядка
Пусть мы имеем какой-нибудь симметричный тензор второго поряд-
порядка Spq. Покажем, что существует такое ортогональное преобразова-
преобразование, переводящее старые координаты х в новые х,, что в новой си-,
стеме координат тензор Su принимает диагональный вид. В развер-
развернутой записи это выглядит так:
0
S2l S22 S23
S31 S32 S33
0 s22 о
О О S
зз
В этом случае оси новой системы координат называются главными
осями симметричного тензора S , направления этих осей — главны-
§5
ГЛАВНЫЕ ОСИ СИММЕТРИЧНОГО ТЕНЗОРА ВТОРОГО ПОРЯДКА
51
ми направлениями, а диагональные элементы тензора в новой системе
координат — его главными или собственными значениями.
Характеристическое уравнение. Рассмотрим свертку истинного
тензора Spq с каким-нибудь вектором aq\ эта свертка представляет со-
собою также некоторый вектор; обозначим его через Ьр (рис. 5.1). Мы
имеем
E.1)
Ьр' Spqdq
Будем считать, что вектор aq принимает всевозможные на-
направления с направляющими
косинусами ст., взятыми отно-
относительно старой системы коор-
координат. Будем искать среди
всех возможных направлений
вектора Ьр такое, если оно су-
существует, чтобы векторы а и
Ьр были коллинеарны, т. е.
чтобы имело место равенство
где л — некоторое число. Так Рис. 5.1
как в обеих частях равенства
стоят истинные векторы, то л — скаляр. Равенство E.1) можно пе-
переписать так:
Spqaq = Xap, E.2)
а принимая во внимание, что ар = bpqaq — следующим образом:
или
Пусть направляющие косинусы вектора aq будут aq; тогда
где а — длина вектора aq, поэтому
Рассматривая только такие векторы, длина которых не равна нулю,
после сокращения на а получим
(Sm-a6mK = 0. E.3)
Это — система трех уравнений, служащая для определения направля-
направляющих косинусов aq; так как она однородная, то для того, чтобы суще-
52 ОРТОГОНАЛЬНЫЕ ТЕНЗОРЫ Ч. I
ствовали нетривиальные решения, ее детерминант должен обращаться
в нуль; это дает
|5М— Х6Я9| =0. E.4)
Уравнение E.4) служит для определения скаляра X и называется
характеристическим уравнением для тензора Spq.
Покажем, что корни характеристического уравнения действи-
действительно являются скалярами или инвариантами, т.е. не зависят
от системы координат, в которой написано характеристическое
уравнение. Пусть X = А,, будет один из корней характеристиче-
характеристического уравнения, вычисленный в старой системе координат. Тог-
Тогда должно быть
По законам преобразования тензоров
Spq ~ CtpCkqStk> bPq ~ CipCkqbiV
и поэтому
ISM - X,6M I = I ctpckq(Su - X,6M) I = 0.
Но по теореме Бине—Коши мы можем написать
\ctPck4(Sik ~ W)l = \ctp\' \ckq\ • \Stk - *,6,J = c2\Stk - X,6^|,
и поэтому "
|sm-Mp,I=^2I^-M<J. is^-x^i-o (c2=i),
откуда видно, что X,, является корнем характеристического урав-
уравнения, написанного в новой системе координат, т. е. что Х{ явля-
является скаляром (инвариантом). Кроме того, так как при ортого-
ортогональном преобразовании • с2 = 1, то и само характеристическое
уравнение инвариантно относительно преобразования координат.
Следовательно, коэффициенты характеристического уравнения,
образованные из элементов тензоров S и 6 , являются скаля-
скалярами (инвариантами).
В развернутой записи имеем
^22 "¦ 3
^32 ^33 ""
= 0. E-5)
Преобразуя детерминант в полином, получим уравнение третьей сте-
степени относительно X: (
§5
ГЛАВНЫЕ ОСИ СИММЕТРИЧНОГО ТЕНЗОРА ВТОРОГО ПОРЯДКА
53
где, как можно получить простыми алгебраическими выкладками,
р, — St
->зз»
Pi — 2 etklepqlSipSkq ~
5,, 5,2 5,з
21 2 3
5з1 532 S33
5,, 5,3
5з, S33
,2
,!•
Так как X — скаляр, то коэффициенты р,, рг, р3 — также скаляры;
они называются инвариантами тензора Spq.
Вычисление направляющих косинусов. Из алгебры известно,
что, так как матрица \\Spq\\ симметрична, то все корни характери-
характеристического уравнения действительны. Обозначим каждый из этих
корней через Ха. Каждому корню Ха может соответствовать своя си-
система значений направляющих косинусов, которую мы обозначим
через aaq. Иначе говоря, каждому корню Ха соответствует некото-
некоторое направление. Совокупность значений всех направляющих коси-
косинусов образует квадратную матрицу, элементы которой мы будем
обозначать через а , где г
¦ индекс
(Т,, (Т,2
aU °22
°3, °32
корня.
°*1з"
°*23
°*33
В
развернутой
записи
Здесь строки соответствуют корням. Для вычисления элементов этого
объекта мы имеем три системы уравнений, по одной системе на каждое
значение корня характеристического уравнения. Эти три системы
или кратко
aq
E.6)
Детерминант каждой из этих систем, согласно изложенному вы-
выше, обязательно равен нулю. Поэтому, как известно из алгебры,
уравнение E.6) удовлетворяется, если в качестве aaq взять ал-
алгебраические дополнения какой-нибудь из строк детерминанта
E.4), куда подставлено X = Ха, или величины, пропорциональ-
пропорциональные этим дополнениям. Воспользуемся, например, первой строкой
детерминанта E.4). Обозначим алгебраические дополнения ее
54 ОРТОГОНАЛЬНЫЕ ТЕНЗОРЫ
элементов через Alq; тогда
Ч. I
потому что при А, = Ха определитель обращается в нуль. По извест-
известной теореме алгебры будет также
так как при р *ь 1 это выражение представляет собой сумму произ-
произведений элементов одной строки на алгебраические дополнения дру-
другой. Поэтому, если мы положим
где ha — коэффициент пропорциональности, то в левой части E.6)
получим
Но, по вышеизложенному, это выражение равно нулю, и уравнения
E.6) действительно удовлетворяются.
Сумма квадратов направляющих косинусов должна быть равна
единице; чтобы удовлетворить этому условию, нужно выбрать коэф-
коэффициент Ао следующим образом:
Таким образом, для любого Ха направляющие косинусы главного
направления будут
Jal
'22
S32
S33 —
323
иа2 г
V/
S23
«ЗЗ " К
т
и
2
S21 S
s3l
1
Т
S2i
S31
22"
S,
;
-к
S23
«ЗЗ-
A,-
Придавая здесь а значения 1, 2, 3, получим направляющие косину-
косинусы трех направлений.
Случай различных корней характеристического уравнения. Пусть
есть два различных корня Ха и Хь. Покажем, что определяемые ими на-
направления ортогональны. Из системы E.6) в этом случае имеем
§ 5 ГЛАВНЫЕ ОСИ СИММЕТРИЧНОГО ТЕНЗОРА ВТОРОГО ПОРЯДКА 55
или
Spqaaq ~ Каар> SpqObq ~ КСЬр-
Умножим первую из этих систем на аЬр, а вторую — на аа и вы-
вычтем одну из другой; получим
SpqaaqabP ~ SpqabqaaP " (*« - Xb)aapabp-
В левой части, в силу симметрии Spq, оба члена равны между собой,
как отличающиеся только немыми индексами, поэтому
(*.-**)*.,**, = 0. E.7)
а так как Ха — Хь =*= 0, то получаем
т. е. направления, определяемые косинусами аар и аЬр, ортогональны.
Итак, если характеристическое уравнение имеет два различных
корня, то имеется два взаимно ортогональных направления, для
каждого из которых верно равенство E.2) или E.3).
Приведение тензора к диагональному виду. Будем рассматри-
рассматривать ортогональный трехгранник, определяемый направляющими
косинусами cip, в качестве нового координатного трехгранника.
Найдем вид тензора Sik в этой новой системе координат.
По общему правилу имеем
= °tpa
qSp
tpakqSpq-
Фиксируем индексы ink, положив i = а и к = Ь. Тогда будет
Из E.6) имеем
(
= aap°bqSpq'
Умножая это на а и раскрывая скобки, получим
aap°bqSpq = h^pqaapabq ~ Kaapabp-
Воспользовавшись E.7) и учитывая, что &ар(УЬр = ЬаЬ, можно
написать
Отсюда_видно, что при а ** Ь, т. е. для любого недиагонального эле-
элемента, Sab — 0, а при а = b
0
0
0
0
О"
0
^3
56 ОРТОГОНАЛЬНЫЕ ТЕНЗОРЫ Ч. I
Таким образом, в новой системе координат тензор Stk принимает
диагональный вид. Следовательно, оси нового координатного трех-
трехгранника, по определению, являются главными осями тензора, а
корни характеристического уравнения E.5) — собственными значе-
значениями тензора Spq.
Случай равенства корней. Пусть ка, кь, кс — три корня харак-
характеристического уравнения, причем а, Ь, с — различные числа из
тройки 1, 2, 3. Тогда вместо E.7) можно написать три равенства
типа E.7):
(К
(К
что аЬрасР
-к
-к
-к
)*к
= 0,
)°ЬрасР = °>
)ас аа = 0.
с. Тогда из
acpaap = b
последних двух нера-
т. е. что направления,
Пусть \а = kb,
венств следует,
соответствующие корням ке и kb, а также Хс и ка, попарно ортогональ-
ортогональны. Однако, в первом равенстве ка — \ь = 0, и поэтому может быть
аараьр = Ич где — 1<ц<1. Каждое направление в плоскости, перпен-
перпендикулярной направлению, определенному корнем \с, является глав-
главным направлением тензора. Соответственно этому имеется бесконеч-
бесконечное множество троек главных осей, имеющих одну общую ось.
Подобным же образом, если все три корня равны между собой,
каждое направление является главным направлением тензора. Та-
Такой тензор называют шаровым.
Итак, если все три корня характеристического уравнения раз-
различны, то имеется только один ортогональный трехгранник, оси ко-
которого являются главными осями тензора Spq. Если два корня оди-
одинаковы, то имеется бесконечное множество ортогональных трех-
трехгранников с одной общей осью, оси которых служат главными осями
тензора Spq. Если же все три корня одинаковы, то оси любого орто-
ортогонального трехгранника являются главными осями тензора Spq.
Таким образом, во всех случаях существует по крайней мере
один ортогональный трехгранник, который является трехгранником
главных осей для симметричного тензора.
Часть II
ТЕНЗОРНЫЙ АНАЛИЗ
В ТРЕХМЕРНОМ ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ
§ 6. Объекты различного строения
Пока мы остаемся в области ортогональных тензоров и их примене-
применений, достаточно пользоваться одними нижними индексами. Для
обобщения понятия тензора и применения тензоров в любых систе-
системах координат оказывается необходимым писать индексы не только
снизу главной буквы; мы будем применять также верхние индексы.
Мы будем писать, например,
а„ а1, а1к, а'к, а1к, аш, ак1,...
Условимся: как нижние, так и верхние индексы могут принадле-
принадлежать к первому и эторому классам; индексы первого класса будем
по-прежнему считать фиксирующими, индексы второго класса —
скользящими.
Объекты с нижним, верхним и смешанным расположением ин-
индексов мы будем называть объектами нижнего, верхнего и смешан-
смешанного строения; расположение индексов, следовательно, определяет
строение объекта. Таким образом, объекты могут различаться по их
порядку, числу измерений и строению. Объекты с одинаковым
порядком, числом измерений и строением будем называть однотип-
однотипными.
В частности, тензоры нижнего, верхнего и смешанного строения
будем, называть соответственно ковариантными, контравариант-
ными и смешанными.
О развернутой записи. Развернутую запись нам почти не при-
придется применять, но все же удобно условиться о тех особенностях,
которые приходится вводить для объектов различного строения по
сравнению с развернутой записью объектов нижнего строения, кото-
которой мы пользовались до сих пор.
58
ТЕНЗОРНЫЙ АНАЛИЗ В ТРЕХМЕРНОМ ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ
Ч. II
Условимся, что верхние объекты первого порядка представляют
собой в развернутой записи столбец, а нижние — строку:
= [al аг а3].
Объекты второго порядка верхнего и нижнего строения будем
записывать в виде таблиц с верхними и нижними индексами,
причем, как обычно, первый индекс есть номер строки, второй —
столбца:
а1к =
аи
агх
аъ\
ап
а22
ап
а13
а23
азз
, «'* =
а"
а21
а31
а12
а22
а32
а13
а23
а33
4
4
=
4
а\
4
4
А
41
4
4
Смешанный объект второго порядка можно представить как стол-
столбец строк, строку столбцов, или как прямоугольную таблицу:
= [4 4 41 =
Таким образом, в развернутой записи верхний индекс есть номер
строки, а нижний — столбца.
Основные действия с объектами различного строения. Рас-
Рассмотрим два однотипных объекта. Элементы, имеющие один и тот
же набор индексов в одинаковом размещении, назовем соответ-
соответственными. Например, элементы а2 и b\ — соответственные, эле-
элементы а| и й| — не соответственные.
Равенство двух объектов определяется так же, как и раньше:
равными называются два однотипных объекта, если все соответст-
соответственные элементы попарно равны друг другу.
Если два объекта равны друг другу, например, alk = b[, то же
самое равенство можно записать при помощи любых других сколь-
скользящих индексов, лишь бы они были одинаковы в обеих частях ра-
равенства
Равенства типа а[
bf будем считать не имеющими смысла.
§ 6 ОБЪЕКТЫ РАЗЛИЧНОГО СТРОЕНИЯ 59
Объект называется нулевым, если все его элементы равны нулю.
Поэтому равенство объекта нулю означает, что каждый из его эле-
элементов равен нулю.
Сложение определяется только для однотипных объектов, на-
например:
<* = «* + **•
Симметрия и антисимметрия. Понятие симметрии и антисим-
антисимметрии вводится только для индексов, которые расположены или
оба снизу, или оба сверху. Для индексов смешанного расположения
эти понятия не вводятся.
Рассмотрим, для примера, объекты второго порядка atk и а . Ес-
Если эти объекты таковы, что
то они называются симметричными. Наоборот, если имеют место
равенства
atk = "««. aik = -**'•
то объекты называются антисимметричными.
Подобным же образом можно определить симметрию и антисим-
антисимметрию для объектов любого строения и порядка выше двух; напри-
например, если для объекта ак1 верно равенство akl — altk, то он называ-
называется симметричным по индексам к и I, а если akl = —а\кУ то анти-
антисимметричным по индексам к и I.
Симметрирование и альтернирование. Если объект имеет два
одинаково расположенных индекса (т. е. оба внизу или оба вверху),
то его всегда можно разложить на сумму двух слагаемых, из кото-
которых одно симметрично по рассматриваемым двум индексам, дру-
другое — антисимметрично, например:
а\к = I {а\к + а*') + \ {а\к - ак>).
Введя обозначение
мы можем написать
60 ТЕНЗОРНЫЙ АНАЛИЗ В ТРЕХМЕРНОМ ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ Ч. II
Операция выделения из объекта его части, симметричной по каким-
нибудь двум индексам или антисимметричной по ним, называется
соответственно симметрированием и альтернированием.
Свертка (условие о суммировании). Обычно условие о суммиро-
суммировании вводится в виде, предложенном Эйнштейном: суммирование
производится только в том случае, если одинаковы один верхний и
один нижний скользящий индексы, например:
а\к - а\к + аи + «L-
Однако, мы наравне с этим будем применять условие о суммирова-
суммировании в старой форме, т. е. будем суммировать также и по двум по-
повторяющимся нижним скользящим индексам. Будут встречаться
случаи суммирования и по верхним повторяющимся индексам.
Поэтому мы введем условие о суммировании в следующей фор-
форме: суммирование производится по любым двум повторяющимся
скользящим индексам, независимо от их расположения.
Однако свертки объектов по двум верхним или двум нижним ин-
индексам будут нам встречаться довольно редко; как правило, мы бу-
будем пользоваться сверткой в смысле Эйнштейна.
Отметим сразу же, что введенное таким образом условие о сум-
суммировании по двум верхним или двум нижним индексам есть чисто
вычислительный прием. Как будет показано в дальнейшем, свертка
тензора по двум верхним или двум нижним значкам не приводит к
новому тензору, т. е. не является тензорной операцией. Наоборот,
условие о суммировании в смысле Эйнштейна всегда приводит к но-
новым тензорам.
Разумеется, немой индекс можно по-прежнему обозначать лю-
любой буквой, но так, чтобы избежать его повторения больше чем
два раза.
Обобщенное умножение определим только для объектов одинако-
одинакового числа измерений, порядок и строение которых произвольны.
Мы имеем, например:
«А = /><*- a% = Pv albk~Pik
и т. д., откуда ясно правило индексов для произведения: ему нужно
приписать сверху и снизу индексы, одинаковые в обеих частях ра-
равенства. Таким образом, здесь уже нет полной свободы в размеще-
размещении индексов у обобщенного произведения, которой мы могли поль-
пользоваться, когда рассматривали только одни объекты нижнего строе-
строения.
Обобщенное произведение коммутативно относительно сомножи-
сомножителей, но не коммутативно относительно их индексов, например:
Pik = «Л = bk"t * bta» А - а*ък = **«'•
§6
ОБЪЕКТЫ РАЗЛИЧНОГО СТРОЕНИЯ
61
В последнем примере нельзя написать pk = akbt или pk — atbk, по-
потому что такая запись противоречит только что установленному
правилу о размещении индексов в обобщенном произведении.
Частным случаем обобщенного умножения со сверткой является
матричное умножение:
р =
! - К «2 «з1 •
агЪ2
a3b3 =
4
4
•
ь\
ь\
ь\
ь\
ь\
ь\
ь\'
ь\
ь\
A - a"bsk - ft,*ato.
Объекты, составленные из нулей и единиц. Символ Кронекера
теперь может иметь три различных строения: btk, &'к, б'*. Однако,
чаще всего мы будем пользоваться символом Кронекера смешанного
строения 61. Легко проверяется, что
Мы будем пользоваться абсолютно антисимметричным символом
третьего порядка только двух различных строений: нижнего еш и вер-
верхнего еш. Каждый из этих объектов определяется совершенно так же,
как нижний символ еш, которым мы уже пользовались в теории ор-
ортогональных тензоров.
Таким же образом, как было сделано выше, нетрудно проверить
следующие основные тождества:
еше =
е epqr
еше —
е epkt ~ '
ьр
>.ьР,
РдЯ
Р°Я>
Jkto ^л^
'tkl
= 6 -
62 ТЕНЗОРНЫЙ АНАЛИЗ В ТРЕХМЕРНОМ ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ Ч. II
Удобно ввести обобщенные символы Кронекера, которые опреде-
определяются следующим образом:
X' — I „ЧЧЙ
6Р~2е ерк1'
При помощи этих объектов можно выполнять следующие действия.
Замена индексов
Ь[ак - a1, blkat - aft.
Альтернирование
Вычисление детерминантов. Детерминанты могут быть постро-
построены из нижних, верхних и смешанных матриц.
Нижняя матрица:
F.1)
а= \atp\.
Верхняя матрица:
еша1ракча1г = aepqr, epqraipakqalr = аеш,
а=\а'»\. F>2)
Смешанная матрица:
Алгебраические дополнения. Умножим первое равенство F.1)
на epqt. Так как epqtepqr = 26', то мы можем написать
Введем обозначение
\tpakq = Alt. F.4)
§ 6 ОБЪЕКТЫ РАЗЛИЧНОГО СТРОЕНИЯ 63
Тогда для детерминанта а = \atp\ получим следующее выражение:
Элементы объекта А" называются алгебраическими дополнениями
элементов детерминанта а = | аи\. Если в F.4) положить t = r = а,
то получим
Это — разложение детерминанта по элементам а-го столбца. Чтобы
получить разложение по элементам строки, умножим второе равен-
равенство F.1) на eikm. Получим
Введя обозначение
2 е е atpakq Л >
можем написать
а&? = alrAmr.
Если здесь положить / = т = а, то мы получим разложение детер-
детерминанта по элементам а-й строки:
Упражнение 1. Найти разложение детерминанта \а'р\ по
элементам столбцов и строк.
Решение. Умножаем первое равенство F.3) на epqt. Получаем
аЬ'г = а[А\,
где
Полагая здесь r — t = а, получаем разложение детерминанта по эле-
элементам а-го столбца.
Умножаем второе равенство F.3) на еш. Получаем
где
Полагая здесь 1 — т = а, получаем разложение детерминанта по
элементам а-й строки.
64 ТЕНЗОРНЫЙ АНАЛИЗ В ТРЕХМЕРНОМ ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ Ч. II
Упражнение 2. Найти разложение детерминанта |aip| по
элементам столбцов и строк.
Решение. Умножаем первое равенство F.2) на epqt. Получаем
abrt = al'Alv
где
Полагая здесь r — t — a, получаем разложение детерминанта по эле-
элементам а-го столбца.
Умножаем второе равенство F.2) на eikm. Получаем
где
Полагая здесь 1 = т = а, получаем разложение детерминанта по
элементам а-й строки.
Фундаментальный объект. Если обозначить при помощи одной
и той же главной буквы два объекта, имеющие один и тот же поря-
порядок и одно и то же число измерений, но неодинаковое строение, то
эти объекты являются различными представлениями одного и того
же геометрического или физического объекта; например, записи
а1к, а'к, aik являются различными представлениями одного и того
же объекта. Между этими представлениями должна существовать
некоторая зависимость.
Мы условимся, что эта зависимость линейна, однородна и осуще-
осуществляется при помощи некоторого объекта второго порядка, обозна-
обозначаемого через gik; объект gik называется фундаментальным объек-
объектом. Предполагается, что фундаментальный объект симметричен,
т. е. что glk = gki.
Зависимость между двумя различными представлениями объек-
объектов первого порядка определим следующим образом:
gtpa" = at. F.5)
В силу симметрии фундаментального объекта это равенство можно
записать и в таком виде:
ipiap = at.
Зависимость между тремя различными представлениями объектов
второго порядка будет следующая:
gtpa" = a<\, gkqa<\ = alk, gipgkqa?* = alk,
§ 6 ОБЪЕКТЫ РАЗЛИЧНОГО СТРОЕНИЯ 65
а, в силу симметрии фундаментального объекта,
8р1арч = а], gqka<j = aik, gplgqka™ = alk.
Подобным же образом можно установить зависимости между раз-
различными представлениями объектов любого порядка.
Определенные таким способом различные представления на-
называются ассоциированными относительно фундаментального
объекта gik.
Мы всегда будем предполагать, что детерминант матрицы фун-
фундаментального объекта не равен нулю; этот детерминант будем
обозначать через, g = \gik\. Итак, всегда
\8
В этом случае система F.5) разрешима относительно ар. Обозначив
матрицу, обратную ||?,t||, через ||g's||, так что
мы, очевидно, можем написать
gplat = a".
Нетрудно сделать то же самое и для объектов любого порядка.
Упражнение 3. Разрешить системы F.6) относительно
арч и af.
Решение. Умножим равенства F.6) на g*1, g** и g*V* соответст-
соответственно. Получим
g^^SipS^ - **УЧ*. ЬРКаРЧ = *"«**«,*, а" = gsigtkalk.
Заменив в полученных равенствах индексы, можем написать
а" = в"а«, a] = fkatk, a"" = «*V*a,f F-7)
Из приведенных выше соотношений видно, что самому фунда-
фундаментальному объекту следует приписать два представления: ниж-
нижнее glk и верхнее gik, элементы которых образуют обратные мат-
матрицы. Так как нижнее представление фундаментального объекта
симметрично, то и верхнее также симметрично.
3 — Г. В. Коренев
66 ТЕНЗОРНЫЙ АНАЛИЗ В ТРЕХМЕРНОМ ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ Ч. II
Поднимание и опускание индексов. Пользуясь равенствами
F.5)—F.7), мы можем сказать вообще, что умножение на gik со
сверткой по одному из индексов опускает индекс, а умножение на
glk со сверткой по одному из индексов поднимает индекс (в обоих
случаях свертка понимается в смысле Эйнштейна, т. е. по одному
верхнему и одному нижнему индексу). При поднимании и опуска-
опускании индексов получаются ассоциированные объекты.
Понятие объектов, ассоциированных относительно фундамен-
фундаментального объекта gik, дает возможность сформулировать следующее
правило: если ассоциированные объекты равны в одном из пред-
представлений, то они равны и во всяком другом.
Например, из равенства ар = Ър прямо следует равенство
at = br В самом деле, умножим заданное равенство на glp, получим
glpap = glpbp. Но, по определению, glpap = at, gipbp = bt, откуда и
получаем at = bt. Нетрудно доказать то же самое и для объектов
любого порядка. Таким образом, в равенствах ассоциированных
объектов мы можем просто поднимать или опускать один и тот же
индекс; полученные таким образом равенства называются ассоции-
ассоциированными.
Чтобы запомнить места, с которых были взяты смещаемые ин-
индексы, их отмечают точками; например, из равенства
аш — btki
получаются ассоциированные равенства
а1 —А' п * — h * аш — />ш итп
"¦¦ki— • *(> atl — "i-f> a... — "... и Тф Д«
Такая отметка часто бывает необходима, так как иначе при
повторном перемещении индексов они могут попасть не на ста-
старые места, вследствие чего объекты окажутся транспонированны-
транспонированными; это может привести к ошибкам. Точно также рекомендуется
писать
яг а, • — а • в 'а = а и т. п.
Следует отметить, что в подобных равенствах смещенный индекс
всегда обозначается не прежней, а другой буквой, соответственно
индексу фундаментального объекта.
Неассоциированные объекты. Если фундаментальный объект
установлен, то могут существовать объекты, не ассоциированные от-
относительно выбранного фундаментального объекта. Например, объ-
объекты epqr и еш не ассоциированы относительно gtk, если только
|1
§ 6 ОБЪЕКТЫ РАЗЛИЧНОГО СТРОЕНИЯ 67
Действительно, ассоциированные объекты третьего порядка дол-
должны удовлетворять равенству
аРЧг - 8lp8kq8iraikl.
Теперь вычислим детерминант матрицы фундаментального объекта
по формуле F.1). Мы получим
#W = eiklgipgkqglr, F.8)
откуда видно, что объекты epqr и еш ассоциированы только в том
случае, когда g=l.
Так как равенство F.8) можно переписать в следующем виде:
то, очевидно, что если вместо е и еш ввести новые объекты
то эти новые объекты уже ассоциированы относительно фундамен-
фундаментального объекта gtk.
К тому же самому результату мы придем из рассмотрения верхнего
представления фундаментального объекта; нужно только помнить,
что произведение детерминантов обратных матриц равно единице.
В тензорном исчислении неассоциированные объекты е и в'*'
используются только для вычисления детерминанта; во всех осталь-
остальных случаях применяются ассоциированные Epqr и Еш.
Очевидно равенство
еш _ ЕшЕ
е epqr C *W>
из которого сразу вытекает, что
fi ^pkl * zop>
ЕШЕШ = 6 = 3!.
Дуализация объектов. Для построения дуальных объектов при-
применяются только ассоциированные объекты Epqr и Еш. Дуальные
объекты определяются равенствами
aik — EiUa a
а —с a a
68 ТЕНЗОРНЫЙ АНАЛИЗ В ТРЕХМЕРНОМ ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ Ч. II
Таким образом, для нижних объектов дуальными являются верхние
и наоборот.
Упражнение 4. Доказать, что дуальные объекты ассоцииро-
ассоциированных представлений сами ассоциированы.
Решение. Нужно показать, что, например, из равенства
а1к =в Elklat следует apq = Epqrar. Умножим исходное равенство на
Stp8kq- Заметив, что а, = glrar, получим gtpgkqatk - glpgkqEtklglrar,
откуда и следует сразу наше утверждение.
Физические представления. В механике и физике большую роль
играют особые неассоциированные объекты А1 к А{, определяемые
по а' и at следующим образом:
Объекты А1 и At называются физическими представлениями объек-
объектов первого порядка а1 и at. В F.9) мы применяем фиксирующие
индексы, так как нам нужен только один элемент ah или ghh.
Покажем, что физические представления не ассоциированы от-
относительно фундаментального объекта gik. В самом деле, если бы
они были ассоциированы, то имело бы место равенство
Ан = *аИ* = ghiAl + gh2A2
Однако, по определению физического представления
Ah - 7Г= Ч - 7== ***** - j== (8hial + Sh2a2 +
Различие очевидно.
Подобным же образом определяются физические представления
объектов второго и более высоких порядков. Например, для объекта
второго порядка, заданного в разных представлениях alk, alk, alk
физические будут
1
Внутреннее произведение. Внутренним произведением двух объ-
объектов первого порядка называется объект нулевого порядка
Таким образом, для того, чтобы получить внутреннее произведе-
произведение, необходимо брать сомножители в различных представлениях,
ассоциированных относительно одного и того же фундаментального
§ 6 ОБЪЕКТЫ РАЗЛИЧНОГО СТРОЕНИЯ 69
объекта gik. Пользуясь возможностью перемещения индексов, полу-
получим для внутреннего произведения следующие выражения:
р = aibi = gtkalbk — akbk = atbl = gikatbk.
Внешнее произведение. Внешнее произведение может быть по-
построено как из верхних, так и из нижних представлений. Мы по-
потребуем, чтобы полученные таким образом два представления
внешнего произведения были ассоциированы относительно фунда-
фундаментального объекта gik. С этой целью определим внешнее произ-
произведение так:
а* l~We а* '• F.10)
Упражнение 5. Показать непосредственным вычислением,
что оба представления внешнего произведения ассоциированы отно-
относительно фундаментального объекта.
Решение. Если оба представления ассоциированы, то мы должны
иметь ,
Sp - gtpSl.
Чтобы проверить это, умножим первое равенство F.10) на gt .
Пользуясь равенствами ак = gkqa4, bt = glrbr и F.1), мы получим
- ? gepqra4< -
откуда и следует наше утверждение.
Частный случай, когда gik = blk. В заключение рассмотрим слу-
случай, когда в качестве фундаментального объекта выбран символ
Кронекера blk. Тогда для определения ассоциированного представ-
представления, например объекта первого порядка, служит равенство
а, = btkak.
Положив здесь последовательно i= 1, 2, 3, получим, что в правой
части отличные от нуля члены получаются только при к = 1, 2, 3
соответственно, откуда следует, что
а, = а1, а2 = а2, а3 = а3,
или в сокращенной записи
at = a1.
70
ТЕНЗОРНЫЙ АНАЛИЗ В ТРЕХМЕРНОМ ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ
Ч. II
Следовательно, в рассматриваемом частном случае ассоцииро-
ассоциированные представления совпадают, поэтому нет необходимости раз-
различать верхние и нижние индексы.
Таким образом, все изложенное в первой главе может рассмат-
рассматриваться как частный случай при glk = Ь1к.
Ниже будет показано, что фундаментальный объект gtk мо-
может быть, в частности, выбран таким образом, чтобы при его по-
помощи определялась метрика, т. е. способ вычисления расстояния
между двумя точками по их координатам. Затем будет показано,
что фундаментальный объект, определяющий метрику, является
тензором; в этом случае мы его будем называть метрическим
тензором.
§ 7. Метрика в косоугольных координатах.
Взаимные системы. Фундаментальный объект
Условимся, что мы будем считать совокупность координат точки
объектом верхнего строения, т. е. для координат будем применять
индексы сверху, например х', х". Во избежание недоразумений
показатель степени
будем брать в скоб-
например, а
№
квадрат
ки;
есть просто
числа а.
Пусть Ох1 орто-
нормированная систе-
система координат
(рис. 7.1), a Azk —
косоугольная система
координат с нача-
началом в точке А, коор-
координаты которой обоз-
обозначим X1. Пусть для
измерения длин вдоль
осей Azk установлены
некоторые масштабы;
условимся, что сово-
совокупность масштабов
представляет собою
объект нижнего строения и обозначим его через Вк. Возьмем ка-
какую-нибудь точку '?); ее координаты в системе Ох1 обозначим че-
через х'. Задать положение этой точки в системе Azk можно двумя
способами. Во-первых, можно провести через точку D три плоско-
плоскости, параллельные координатным плоскостям; они пересекут оси
Рис. 7.1
§ 7 МЕТРИКА В КОСОУГОЛЬНЫХ КООРДИНАТАХ 71
косоугольных координат в точках D1. Во-вторых, можно провести
через точку D три плоскости, перпендикулярные осям коорди-
координат. Точка D может быть определена как пересечение одной из
двух троек плоскостей. В ортогональных системах оба способа сов-
совпадают.
Остановимся сначала на первом способе. Разложим вектор
г — AD на составляющие по осям Azk, концы этих составляющих
обозначим через Dk, а длину отрезков АО*, измеренную единицей
длины, обозначим через Z*. Результат измерения длины тех же
отрезков при помощи выбранных масштабов Вк обозначим через
z* и назовем косоугольными координатами точки D. Таким обра-
образом, мы имеем
Za = Bza. G.1)
о
Если мы припишем величинам Z" и Ва физическую размерность
длины, то косоугольные координаты za будут безразмерными ве-
величинами. В ортонормированной системе результаты измерения
при помощи единицы длины и при помощи масштабов, очевидно,
совпадают, и не имеет смысла различать координаты и составля-
составляющие; поэтому условимся, что координаты точек в системе Ох'
имеют размерность длины. Тогда и составляющие вектора г в
системе Ох', равные х' — X', будут иметь размерность длины.
Обозначим направляющие косинусы осей Azk относительно Ох1
через alv причем соответствие индексов установим следующим
образом:
z*
х1 а'к.
Тогда мы можем написать
х' - X* = a[Zk = a[Zl + a[Z2 + ajZ3.
Используя G.1) и применяя развернутую запись, мы получим
х1 - X1 = a^z1 + a\B2z2 + al3B3z3,
х2-Х2= afoz1 + a\B2z2 + a\B3z3,
x3-X3 = afoz1 + a\B2z2 + a33B3z3,
или
x'-X' = а[В^1 + a'2B2z2 + агВ3г3.
72
ТЕНЗОРНЫЙ АНАЛИЗ В ТРЕХМЕРНОМ ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ
Ч. II
Введем в рассмотрение объект
Pi-
?, а? Вга\ B3aj
Вг
или
Pi = <
Если ввести в рассмотрение базисные векторы Bt, как это часто
делают, то г'-я строка объекта р? составлена из проекций базисных
векторов на ось х'. Обозначив совокупность этих проекций через
Вк, можем написать
at — ы _
Р* = В к =
В\ В\ В13
р2 тЛ г>2
в1 вг в3
дЗ дЗ дЗ
°1 Щ "г
Элементы этого объекта имеют размерность длины. При помощи
объекта $[ мы можем написать
Мы допускаем, что направляющие косинусы а[ не зависят от
точки А, т. е. что трехгранник Az' при перемещении точки Л пере-
перемещается поступательно, его оси сохраняют постоянное направле-
направление. Таким образом, элементы объекта fik имеют одинаковое значе-
значение во всем пространстве.
Найдем квадрат длины радиус-вектора г. Это, очевидно, будет
причем здесь мы применяем условие о суммировании по всем трем
парам немых индексов s, i, к.
Введем новый объект второго порядка х
«u^P'Pi- <7'2)
Он, очевидно, симметричен, а его элементы имеют размерность
площади. Тогда для квадрата длины радиус-вектора г имеем
.B) _ t к
г — gikz z .
G.3)
§7
МЕТРИКА В КОСОУГОЛЬНЫХ КООРДИНАТАХ
73
Это и есть искомое правило для измерения длин отрезков какого
угодно направления. Как говорят, это правило определяет собой
метрику косоугольной системы координат.
Представим элементы объекта gtk в наглядном виде. Для его
диагональных элементов мы получаем
8ч = PIPI - PlPi + tftf + №
откуда
Воспользовавшись G.4), вместо G.1) получим
G.4)
G.5)
(ср. с формулой F.9)). Обозначим абсолютную величину углов
между осями z" и zb через ваЬ, причем, очевидно, ваЬ = вЬа. Тогда
получим
cos 612.
cos е2з-
Подобным же образом получим
^ cos
При этом, очевидно;
ftl = «12» «31 = «13» #32 = ^23>
т. е. объект gtk симметричен. В развернутой записи будем иметь
gik=
C0S 9
12
COS в
ц
g22
cos
cos e
31
cos e
32
Если система Azk ортогональна, но не нормирована, то
Sn 0 °
О g22 О
О 0 8зз
74
ТЕНЗОРНЫЙ АНАЛИЗ В ТРЕХМЕРНОМ ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ
Ч. II
Если система Azk нормирована, но не ортогональна, то
1
cos 9
cos 9,2 cos 9,з
21
1 cos 9
23
cos 931 cos 932
Наконец, если система Azk ортонормирована, то
1
0
0
0
1
0
0
0
1
= 6
/it-
При сделанных выше допущениях углы 9eft не зависят от точки
А, т. е. остаются одинаковыми во всем пространстве. Отсюда сле-
следует, что элементы объекта gik также не зависят от точки А и со-
сохраняют одинаковое значение во всем пространстве.
Выясним, что представляет собой детерминант g=\gtk\. На
основании G.2) мы можем написать
откуда
Но по F.3)
Эта формула представляет собой смешанное произведение базисных
векторов, т. е. в векторной записи будет:
Поэтому мы можем написать
Следовательно, детерминант g есть квадрат объема параллепипеда,
построенного на базисных векторах.
Ассоциированное представление радиус-вектора. Итак, мы
имеем верхнее представление zk радиус-вектора точки, а также
объект gik, при помощи которого определяется квадрат расстояния
между двумя точками. Будем считать gik фундаментальным объ-
объектом и введем относительно него ассоциированное представление
радиус-вектора
k
Отметим, что объект zt обладает размерностью площади.
МЕТРИКА В КОСОУГОЛЬНЫХ КООРДИНАТАХ
75
Теперь обратимся ко второму способу задания положения точки
D в системе Az'. Рассмотрим ортогональные проекции вектора г на оси
AzK. Длину этих проекций ADk (изме-
(измеренную единицей длины) мы будем
обозначать через Zt; очевидно, что эле-
элементы объекта Zk имеют размерность
длины. Из рис. 7.2, проецируя ломаную
ADlMD на оси координат, воспользо-
воспользовавшись G.5), получаем
A?>! s Zt m Z1 + Z2 cos 912 +
AD
+ Z3cos 913 =
cos e12 z2 +
Zl cos 92
cos e
13
2sZ2sZ cos 921
+ Z3 cos Ojj =
cos 02i z1 +
+
cos
Рис. 7.2
cos e
32
АОг = Z33sZl cos 931 + Z2 cos 932 + Z3 =
- y/JTi cos e3i zl
Введем таже объект ze:
*a = BaZa=SZZZa. G.6)
Элементы этого объекта, очевидно, имеют размерность площади. В
развернутой записи
VYl = gnzl + VgTiVg^ cos e12 z2 + Vi^Vi^ cos e13 z3 = gliczk,
zl =
H -
2i
931 z1
cos 832 z2
3
откуда видно, что, действительно,
zt = gikzk [площадь].
Кроме того, согласно G.6),
= gnzk,
G.7)
Итак, радиус-вектор г имеет четыре представления:
координатные представления
zl — верхние координаты (безразмерные),
z. — нижние координаты (размерность площади);
76 ТЕНЗОРНЫЙ АНАЛИЗ В ТРЕХМЕРНОМ ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ Ч. II
физические представления
Zh = ^ghhzh — косоугольные составляющие (размерность длины),
Zh = -7=— zh — ортогональные проекции (размерность длины).
Распространим вышесказанное на любой вектор (направленный
отрезок) а; его четыре представления будут а', а,, Ah = ^ghh ah,
Координатные представления не имеют той размерности, кото-
которую мы обычно привыкли приписывать координатам; зато они ассо-
ассоциированы относительно фундаментального объекта gik. Физиче-
Физические представления имеют размерность длины, но они не ассоции-
ассоциированы относительно фундаментального объекта. Как будет видно
из дальнейшего, для вычислений особенно удобны координатные
представления, но в результате получаются размерности, которые
не имеют физического смысла; поэтому в конце выкладок следует
переходить, если необходимо, к физическим представлениям.
Упражнение 1. Показать, что верхнее представление gu
фундаментального объекта (составленного из элементов матрицы,
обратной матрице \\gtk\\) есть
g12 = g21 = \ VI^Vi^S33(cos e,3 cos eM - cos 9i2),
g23 = g32 = j *uVi?V5k (COS 621 C0S 931 - C0S 923).
j
g*1 = g13 = J ViIT«22^ft3 (C0S 932 C0S 912 - C0S 93l)-
Отметим, что размерность элементов этого объекта равна площади
в минус первой степени.
Так как zi и z' ассоциированы относительно объекта gik, то мет-
метрика косоугольной системы координат, определенная по G.3), допу-
допускает ассоциированные представления. В результате опускания и
поднимания индексов в G.3) получаем
.B) _ „ t k _ t _ „Ik. _ -I
г — gikz z — ztz — g ztzk — z zr
Таким образом, объект glk играет у нас двоякую роль: во-пер-
во-первых, он является фундаментальным объектом, при помощи кото-
которого строятся ассоциированные представления других объектов, что
приводит к возможности перемещения индексов в равенствах объек-
объектов; во-вторых, он определяет метрику системы координат, т. е.
§ 7 МЕТРИКА В КОСОУГОЛЬНЫХ КООРДИНАТАХ 77
способ измерения длины по любому направлению. В этом последнем
качестве объект gtk называется метрическим тензором. Точное
определение того, что мы будем называть теперь тензором, будет
дано несколько позднее; пока на слова «метрический тензор» нужно
смотреть как на установившийся термин.
Согласно введенным выше допущениям метрический тензор не
зависит от координат точки D; он одинаков во всем пространстве.
Поэтому говорят, что метрика косоугольной системы координат оди-
одинакова во всем пространстве.
Обратим внимание на то, что в принятой здесь концепции
фундаментальный объект и метрический тензор совпадают. В
других концепциях эти два объекта могут быть различными.
Взаимная или обратная система координат. Возвратимся к
косоугольной системе координат Azk (рис. 7.1). Очевидно, что мы
можем написать следующее векторное равенство:
Будем искать новую систему координат с базисными векторами В ,
выбранными так, чтобы было *
B*
Очевидно, что размерность В* есть длина в минус первой степени
(в кристаллофизике так называемые «обратные сантиметры»). Та-
Таким образом, в новой системе координат объект zk рассматривается
как совокупность составляющих радиус-вектора, измеренных при
помощи новых «масштабов» В*. Отсюда мы можем выразить квад-
квадрат радиус-вектора следующим образом:
С другой стороны,
* = z% = guzkzt = z'zt6*. G.10)
Вычитая, получим
(B/-B*-6*)z'zt = 0.
Этому равенству можно удовлетворить, положив
В,В* = of,
что приводит нас к трем системам уравнений:
1,
BJB1 = О,
V = o, <|в.
*
0,
JtSilS ~* v»
B2B2=1,
В3В2 = 0,
' = 0,
B2B3 = 0,
B,B3=1.
3
78 ТЕНЗОРНЫЙ АНАЛИЗ В ТРЕХМЕРНОМ ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ Ч. II
Отсюда видим, что В1 ±В2,В3, В21В3,В1, В31В1,В2. Поэтому мы
можем положить
В1 = Х(В2ХВ3), В2= ц(В3ХВ,), B3 = v(B1xB2).
Подставляя это в первое, второе и третье равенства соответственно
первой, второй и третьей систем, получим
зХВ,)' В3(В1ХВ2)>
но
- 1-1 " B^Bj X В3) = В2(В3 X Bi) = В3(В, X В2) = Vg,
и поэтому
Таким образом, «масштабы» вдоль осей взаимной системы будут
IBM =^ |B2XB3| =^Vi^V?~sin ем,
|В2| =^|В3ХВ!| =^Vi37Vi^sine3,, G.11)
|В3| =7= |В.ХВ2| =-т-VgZVgZ sin е,2.
Пользуясь G.9) и G.10) для определения квадрата длины радиус-
вектора, получаем
гB) _ gikztzk, г<2) = B'B*z/zt.
Следовательно, во взаимной системе роль метрического тензора
играет объект
П * I* к
Упражнение 2. Воспользовавшись выражениями G.8) для
gik найти углы между осями координат взаимной системы.
Решение. Так как вообще g"* = В"В* cos Qab, где абсолютные ве-
величины углов между осями взаимной системы обозначены через
Qtk, получим следующие выражения для недиагональных элементов
метрического тензора gik:
8 = ~ ^gu^8ri8%-K sin 91Ч sin 97, cos 9.,,
1 гт— г— sin Q sin Q CQS 0
^2j sin u3j wo u^
1 /— — *
~"Sguiiiygvi sin 94, sin 9., cos 9,..
МЕТРИКА В КОСОУГОЛЬНЫХ КООРДИНАТАХ
79
Сравнивая эти выражения с G.8), получаем следующие формулы
для вычисления углов между осями взаимной системы координат:
cos 6
12
COS 6
'23 '
cos Э
'31
Sin 613 Sin 623 '
cos e21 cos 631 - cos $23
sin e21 sin e31 '
COS 632 COS 012 - COS 631
Sin 032 Sin 0<2
G.12)
Таким образом, взаимная система координат определена полностью.
Упражнение 3. Определить взаимную систему координат,
совершенно не прибе-
прибегая к векторным обоз-
обозначениям, а пользуясь
лишь индексными обоз-
обозначениями.
Решение. Определим
две системы косоуголь-
косоугольных координат Аг1 и
Azt (см. рис. 7.3) при
помощи равенств
х1 — xl = 6'z*,
x'-Y'-B'V <7ЛЗ>
Матрица $к предпола-
предполагается известной; для Рис. 7.3
определения взаимной *
системы координат требуется найти матрицу р'* и относительную
ориентацию систем Azk и Azk.
С этой целью введем матрицы направляющих косинусов осей
Azk и Azk, которые обозначим следующим образом:
ik
»
а также масштабы длин вдоль осей: Вк и ВК соответственно. Для си-
системы Azk имеет место следующая зависимость
Pi = Ва<-
80 ТЕНЗОРНЫЙ АНАЛИЗ В ТРЕХМЕРНОМ ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ Ч. II
*
Определим масштабы Вт для системы Azk таким образом, чтобы
имело место аналогичное равенство
Р'а = ha'".
Найдем теперь квадрат длины гB) радиус-вектора AD двумя раз-
различными способами, пользуясь равенствами G.13):
гB) „ pjp.^
Вычитая эти равенства одно из другого получаем, что
Фк = Ьк. GЛ4)
Введем косинусы углов между осями взаимных систем za и гь\ обоз-
обозначим их следующим образом:
Теперь мы можем написать
Таким образом:
если Ь = а, то cos г|> . = —*-,
если Ь* а, то cos г|>а6 = 0, г|)а6 = ^.
Следовательно, каждая ось системы ортогональна двум осям другой
системы.
*
Теперь приступим к определению масштабов В° взаимной систе-
системы. Для этого вместо G.14) напишем три системы уравнений
Детерминант каждой из этих систем есть | CJ |. Его значение
Следовательно г
IP/I=V*- G.16)
С другой стороны, согласно F.3) мы имеем
g 7 МЕТРИКА В КОСОУГОЛЬНЫХ КООРДИНАТАХ 81
причем индексы р, q, r означают номера столбцов детерминанта.
Пользуясь выражениями G.16) и G.17), решаем первую из систем
G.15) по правилу Крамера. Для этого подставляем в G.17) столбец
свободных членов. Имеем
А1 =
А2 =
дз =
Решение:
Введя обозначение
или К" = 4-Д'.
vF
можно записать А' в виде внешнего произведения
д' = ешакЬ1.
Воспользовавшись формулой для квадрата внешнего произведения,
получим
(flu aa)bb
Но
(;п)«=lf flB>=дд=fat
откуда
1B) (^? SS) cosB) Э i 55 sin^2) 6
23
и, окончательно,
Sin 012
[длина],
где последние два равенства получены аналогично (ср. с G.11)).
Итак, взаимная система координат определена полностью.
Чтобы найти углы между осями взаимной системы, которые обо-
*
значим через Qik, используем снова два различных выражения для
квадрата радиус-вектора:
82 ТЕНЗОРНЫЙ АНАЛИЗ В ТРЕХМЕРНОМ ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ Ч. II
Откуда следует, что
gik _ pi'jJJ*
ИЛИ
*
откуда и находим угол Qab
cos ЬаЬ = ^ВЬ.
ab ^
Воспользовавшись G.8) и G.11), получим выражение G.12).
§ 8. Метрика в криволинейных координатах
При установлении метрики косоугольной системы координат мы ис-
исходили из факта существования декартовой ортонормированной си-
системы координат, метрика которой заранее известна. Именно, в де-
декартовой системе координат квадрат длины отрезка любого направ-
направления равен сумме квадратов разностей координат его концов.
Таким образом, мы исходили из справедливости теоремы Пифагора.
В терминах тензорного анализа можно сказать, что метрический
тензор декартовой системы координат есть тензор Кронекера &{к.
Существование декартовой системы координат есть эксперимен-
экспериментальный факт, проверенный деятельностью людей в доступной нам
области пространства. Распространение существования декартовой
системы на все пространство есть некоторый постулат. Если он ве-
верен, то метрика всюду одинакова, вследствие чего метрический
тензор всюду одинаков и равен bjk. Тогда и метрический тензор
косоугольной системы координат gik, полученный в § 7, тоже всю-
всюду одинаков, т. е. его элементы также всюду постоянны. В этом
случае говорят, что метрика нашего пространства евклидова, пото-
потому что она определяется при помощи евклидовой геометрии, рас-
распространяемой при этом на все пространство. Такое пространство
также принято называть евклидовым.
Однако в евклидовом пространстве могут существовать такие си-
системы координат, в которых составляющие метрического тензора не
постоянны во всем пространстве, а зависят от координат точки. При
этом само пространство продолжает оставаться евклидовым и в нем
существует декартова система координат с заранее известной нам
евклидовой метрикой. Поэтому для установления метрики в какой
угодно системе координат мы будем пользоваться постулатом о су-
существовании декартовой системы координат во всем пространстве.
Криволинейные координаты. Предположим, что декартовы ко-
координаты х* выражены в виде функций от трех параметров qk
*' = /'(</><Д<Л (8.1)
§ 8 МЕТРИКА В КРИВОЛИНЕЙНЫХ КООРДИНАТАХ 83
Условимся, что /' однозначны, непрерывны и имеют частные про-
производные всех порядков, которые нам понадобятся. Будем считать,
что уравнения (8.1) разрешимы относительно qk, т.е. что из (8.1)
вытекают равенства
причем функции ip* однозначны, непрерывны и допускают все нуж-
нужные нам частные производные.
При этих условиях каждая точка определяется как тремя числами
х', так и тремя числами qk\ последние называются криволинейными
координатами.
Чтобы пояснить смысл этого термина, фиксируем некоторую
точку А (рис. 8.1). Пусть ее декартовы координаты будут X1, а
криволинейные — Qk, причем Q* = yk(Xl, X2, X3).
Если в уравнениях (8.1) мы зафиксируем какие-нибудь два па-
параметра, то координаты х' станут функциями только одного пара-
параметра; вследствие этого уравнение (8.1) определяет некоторую кри-
кривую. Очевидно, что через точку А проходят три таких кривых
дс'1 = /Ч^1! Q2. Q3) (обозначение: кривая ql),
xt2 = f'(Ql,q2,Q?) (обозначение: кривая а2),
xt3 = f'(Ql,Q2,q3) (обозначение: кривая q3).
В криволинейных координатах уравнения этих кривых будут со-
соответственно
кривая gl: a2 = Q2, q3 = Q3;
кривая q2: q3 = Q3, ql = Q1;
кривая q3: ql = Q1, q2 = Q2.
Эти кривые называются координатными, через каждую точку про-
пространства проходят три координатные кривые (рис. 8.1). Можно
сказать, что точка определяется, как пересечение трех координат-
координатных кривых.
Если в уравнениях (8.1) зафиксировать по одному параметру, то
мы получим уравнения трех поверхностей, проходящих через точку А.
Эти поверхности называются координатными; через каждую точку
пространства проходят три такие поверхности, так что положение точ-
точки определяется как пересечение трех координатных поверхностей.
Метрический тензор криволинейной системы координат.
Проведем касательные к координатным кривым в точке А; получим
некоторый трехгранник Azk, вообще говоря, косоугольный. При пе-
перемещении точки А трехгранник Azk вращается и деформируется.
Таким образом, в противоположность косоугольной системе коорди-
84
ТЕНЗОРНЫЙ АНАЛИЗ В ТРЕХМЕРНОМ ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ
Ч. II
нат, теперь каждая точка А имеет свой трехгранник Azk, который
поэтому называется локальным трехгранником, порождаемым сис-
системой криволинейных координат д1.
Нас интересует метрика в сколь угодно малой окрестности точки
А, т. е. способ измерения длин бесконечно малых отрезков, имею-
Рис. 8.1
щих начало в точке А. Этот способ называется метрикой системы
криволинейных координат.
Возьмем точку D (рис. 8.1), бесконечно близкую к Л, и обозначим
расстояние AD через dr. Соответствующие дифференциалы декарто-
декартовых координат обозначим через dxs. Из (8.1) мы получаем
t
Здесь индекс А у производных означает, что после дифференциро-
дифференцирования нужно подставить #* = Qk. Отсюда имеем
drB) = dxs{?> = $sfil da' da* = gik dq{ df, (8.2)
где положено
$!-«•
§ 8 МЕТРИКА В КРИВОЛИНЕЙНЫХ КООРДИНАТАХ 85
Объект gtk определяет метрику системы криволинейных коорди-
координат, как и в косоугольных координатах. Однако, следует отметить,
что теперь объект gik локален, т. е. зависит от координат точки А,
а не постоянен во всем пространстве, как было в случае косоуголь-
косоугольных координат. Метрика криволинейных координат локальна и от-
относится только к окрестности начала локального координатного
трехгранника.
Метрику систем координат не следует смешивать с метрикой
пространства, которая в нашем случае остается евклидовой.
Определим «масштабы» вдоль осей локального трехгранника. С
этой целью рассмотрим координатную кривую дх. Для нее
<sl = rW, Q\ Q3), dxsl = \^\ dql = ft dq\
Пусть элемент длины этой координатной кривой, измеренный еди-
единицей длины, будет dsl. Тогда, очевидно,
dsl = VdlFW = Vffiff dql =
Пусть косоугольные составляющие вектора AD по осям локаль-
локального трехгранника будут dZ'. Эти составляющие направлены по ка-
касательным к координатным кривым. Так как элемент дуги и эле-
элемент касательной равны друг другу, то мы можем написать
То же самое верно и для остальных координатных кривых
(8.3)
Из (8.3) видно, что «масштабы» для измерения длин бесконечно
малых отрезков вдоль осей локального трехгранника будут
Мы видим, что «масштабы» локальны, т. е. при перемещении
точки А «масштабы» меняются. Заключая слово «масштаб» в
кавычки, мы хотим подчеркнуть, что теперь они не обязательно
имеют размерность длины, их размерность связана с размерно-
размерностью криволинейных координат. «Масштабы» Bh в литературе
часто называют коэффициентами Ляме. Забегая несколько впе-
вперед, объект g'k назовем метрическим тензором системы криво-
криволинейных координат. То, что он действительно является тензо-
тензором, будет показано ниже.
86 ТЕНЗОРНЫЙ АНАЛИЗ В ТРЕХМЕРНОМ ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ Ч. II
Элемент объема в криволинейных координатах. Найдем фор-
формулу для вычисления элемента объема в криволинейных координа-
координатах. Это — объем элементарного параллелепипеда, построенного на
косоугольных составляющих вектора AD = dr по осям локального
трехгранника. Спроецируем эти составляющие на оси Ох' и обозна-
обозначим проекцию а-й составляющей на i-ю ось через dxia. Так как
каждая из этих составляющих получается путем движения вдоль
одной из координатных кривых, вследствие чего изменяется только
одна из криволинейных координат, мы можем написать, как и выше
dxia = Й АД
При помощи этой формулы стороны элементарного паралле-
параллелепипеда заданы своими составляющими dxia по осям декартовой
системы координат. Поэтому, применяя правила алгебры ортого-
ортогональных тензоров, мы можем сказать, что объем dv параллеле-
параллелепипеда, построенного на этих векторах, равен их смешанному
произведению, т. е.
dv = еш dxil dxk2 dx13 = eitfi[ft& dql dq2 dq3,
а так как
то окончательно имеем
dv = Vg dq1 dg2 dq3.
Направляющие косинусы локальных осей. При помощи зако-
закона преобразования (8.1) и используя объект ga можно найти на-
направляющие косинусы а[ осей локального трехгранника. Для всяко-
всякого косоугольного трехгранника мы имеем
откуда
После этого мы можем определить углы между осями локального
трехгранника и по формулам G.8) полностью найти объект gik, ко-
который теперь, однако, также является локальным, т. е. зависит от
координат точки А.
Длина и норма вектора. По (8.2) мы можем определять длины
только бесконечно малых отрезков какого угодно направления. По-
Покажем, что в некоторых случаях эту формулу можно применять и к
конечным величинам. Пусть есть какой-нибудь конечный вектор а,
определенный в точке А. Это означает, что этот вектор зависит от ко-
§ 8 МЕТРИКА В КРИВОЛИНЕЙНЫХ КООРДИНАТАХ 87
ординат точки А. Примером такого вектора может служить скорость
и точки А. Для нее из (8.2), разделив на dt®, получаем
-«
Введя обозначение
т. е. считая производные координат по времени верхним представле-
представлением скорости точки, получим
и<?> = в1ки1ик. (8.4)
Пусть верхнее представление какого угодно конечного вектора
есть а'. Распространим на него выражение (8.2) для квадрата дли-
длины дифференциала радиус-вектора или (8.4) для квадрата скоро-
скорости и назовем квадратом длины или нормой вектора а выражение
glka}ak. Обозначив квадрат длины вектора через сР"\ можем на-
ШСаТЬ aW = g а*ак.
Если мы теперь введем ассоциированное представление вектора а
путем равенств
at = gtkak, a' = gtkav
то квадрат длины вектора можем записать в следующих видах:
аB) = gtka'ak = а*а{ = 8?ка{ак. (8.5)
Упражнение 1. Найти метрический тензор в сферических
координатах, воспользовавшись для этого известным из кинематики
выражением для квадрата скорости точки А.
Решение. Как только что было указано, мы можем написать:
иB) = 21кЯ1<?- (8.6)
Для сферических координат г, <р, г|> преобразование (8.1) имеет вид
х1 = г cos ip, x2 = г sin (p cos г|>, х3 = г sin ip sin г|>.
Квадрат скорости будет
и<2) = j-i.2) + r^yW + (r sin
Положив
мы видим, что метрический тензор будет
10 0
0 г<2> 0 . (8.7)
0 0 (г sin ч>)<2>
88 ТЕНЗОРНЫЙ АНАЛИЗ В ТРЕХМЕРНОМ ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ
Таким образом,
Ч. II
В3
= г sin
т. е. первый «масштаб» безразмерный, остальные имеют размерность
длины.
Упражнение 2. Найти все четыре представления скорости
точки в сферических координатах.
Решение.
Координатные представления. Из (8.6) следует, что верхние
(контдовариантные) координаты скорости — просто обобщенные
скорости, т. е. производные от криволинейных координат по времени.
Отсюда по G.7) получаем и нижние (ковариантные) координаты. Мы
имеем
и1 - г, «! = glkuk = г,
и2 = ф, и2 = g2kuk = гB>ф,
и3 = 1}), и3 = g3kuk = (г sin
Физические представления.
U3 =
гф,
г sin
U2 =
гф,
sin
Упражнение. З Показать, что верхнее представление gik
фундаментального объекта в сферических координатах
1 О
о
-ж О
о о
(г sin «
Упражнение 4. Найти выражение для элемента объема в
сферических координатах.
Решение. Из (8.7) мы сразу получаем
пB) со. Vg =
g =
sin(
sin
Поэтому, опуская для простоты скобки у показателя степени, мо-
можем написать i
dv = № sin ip dr dip dty.
МЕТРИКА В КРИВОЛИНЕЙНЫХ КООРДИНАТАХ
89
Определение угла между двумя векторами а* и ЬК Введем тре-
третий вектор (рис. 8.2)
с'-a'-ft'.
Квадрат длины этого вектора мы можем определить, с одной
стороны, по теореме косинусов из треугольника ABC:
cw = aw + ifW — iab cos ,(>,
а с другой стороны — по формуле (8.5):
сB) = glk(a' - b')(ak - bk) = gtk(a'ak + b'bk - albk - akb{) =
= 8аа*ак + gikblbk - 8аа'Ьк - Еаа*Ь* = a<2> + ft<2> - 2gikalbk.
Сравнивая эти два выражения, получаем ab cos <p = g^'h* или
C0S4> = ?^ = ^ = ^ = ^ (8.8)
IT fibs лл лн лн \ г
Скалярное произведение. Перепишем равенство (8.8) в следую-
следующем виде:
p = ab cos <p = gika'bk = gtkatbk = a*bt = atb'. (8.9)
Величина р = ab cos <p, как известно, есть скалярное произведение
векторов. Поэтому формулы (8.9) определяют скалярное произведе-
произведение векторов в криволинейных координатах.
Условие ортогональности. Очевидно, оно может быть записано
в любом из видов:
'*-0," gaatbk = O, а*Ь{ = 0, а{Ь* = О.
Векторное произведение. Результат векторного умножения двух
векторов ак и Ь1 определим следующим образом:
где S' и Sj — два представ-
представления векторного произведе-
произведения. В порядке упражнения
полезно доказать, что эти
представления ассоциированы
относительно метрического Рис. 8.2
тензора gik.
Покажем, что определенный таким образом вектор не отличает-
отличается от обычно получаемого в векторной алгебре. Для этого достаточ-
90
ТЕНЗОРНЫЙ АНАЛИЗ В ТРЕХМЕРНОМ ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ
ч.п
но показать, что
1) S
2) S =
ab sin *p,
где *p — угол между векторами а1 и bl.
Проверим выполнение условия ортогональности. Имеем
Аналогачно доказывается, что btSl — 0.
Вычислим квадрат длины вектора S*. Имеем
5B) = stSf , Elk%pqak
- (apap)(bqbq) - (akbk)(b,al) - аBN<2)A -cos<2)<p)
S= ±absin *p.
Отсюда, удерживая знак «+», установим положительное направ-
направление вектора 5' относительно плоскости, определяемой вектора-
векторами а' и Ь*.
Смешанное произведение трех векторов. Рассмотрим скалярное
произведение вектора а* на векторное произведение двух векторов
Ьк и с1. Обозначив это смешанное произведение через А, можем на-
написать
А ш fl/s' = Е?иа,Ькс,,
Упражнение 5. Показать, что
ata' atbl atc'
bkak bkbk bkck
ctal c,b' ctcl
и вычислить при помощи этой формулы детерминант матрицы мет-
метрического тензора.
Решение.
А® = afi'
atbkctapb4cr.
§8
МЕТРИКА В КРИВОЛИНЕЙНЫХ КООРДИНАТАХ
91
Умножить детерминант, например, на ар значит умножить на а?
один из столбцов детерминанта, например, первый. Проделав подоб-
подобным же образом умножение на Ьч и сг, мы получим
л<2> =
а*
а*
а1
Ь>
Ък
Ь1
с1
ск
с1
После повторной операции получаем
ata'
Ъкак
С[а'
2,Ь' aiC'
,кЬк bkck
ctbl c[C'
Введем в рассмотрение углы между векторами
Z.(a, b) = ф12 = <p2i> ^-(b, с) = Ф23 = 4*32»
тогда
с№ ab cos <p12 ас cos ip13
АB) = 6а cos f21 6B) be cos f^
са cos <p31 ci cos ф32 с
Пусть теперь в качестве векторов ао bv ct мы берем базисные век-
векторы косоугольной системы; тогда
и мы получаем
cos 9
12
cos 9
cos 9
822
cos 9
cos
1з
cos 9
32
откуда
Рассматривая только правые системы координат, удерживаем перед
корнем знак «+». Окончательно имеем
Таким образом, v^ представляет собой объем параллелепипе-
параллелепипеда, построенного на базисных векторах косоугольной системы ко-
координат. Если, в частности, система координат ортонормирован-
ная, то g= 1.
92 ТЕНЗОРНЫЙ АНАЛИЗ В ТРЕХМЕРНОМ ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ Ч. II
§ 9. Тензоры в косоугольных и криволинейных координатах
Преобразование координат. Для удобства сравнения будем рас-
рассматривать параллельно косоугольные и криволинейные системы
координат.
Пусть есть две системы косоугольных координат zp и I' и две си-
системы криволинейных координат др и q'. Системы без черточек бу-
будем именовать старыми, с черточками — новыми.
Преобразования старых и новых координат в одни и те же декар-
декартовы координаты имеют вид:
для косоугольных координат для криволинейных координат
Эти преобразования для косоугольных координат линейны, для
криволинейных координат нелинейны. Однако дифференциалы
криволинейных координат преобразуются в дифференциалы де-
декартовых координат по линейному однородному закону; это дает
аналогию:
Р?« const, P^-P^tf1.*2.*3), (9.1)
х' = Щг', dxs = fidql.
Для удобства сравнения матрицы преобразования обозначены оди-
одинаково; однако, имеется существенная разница: для косоугольных
координат матрицы преобразования постоянны во всем пространст-
пространстве, в то время как в криволинейных координатах имеем
т. е. матрицы локальны (зависят от координат).
На основании (9.1) можем написать
(9.2)
Эти формулы дают зависимость между старыми и новыми коорди-
координатами для косоугольных систем и дифференциалами старых и но-
новых координат для криволинейных систем.
Отметим, что преобразования (9.2) можно рассматривать с
различных точек зрения. Во-первых, можно считать, что коор-
координаты zp и z', а также qp и q', относятся к одной и той же
точке в двух различных системах координат; в этом случае го-
говорят, что (9.2) определяет преобразование координат. Во-вто-
Во-вторых, можно считать, что координаты zp и I', а также qp и ql
§ 9 ТЕНЗОРЫ В КОСОУГОЛЬНЫХ И КРИВОЛИНЕЙНЫХ КООРДИНАТАХ 93
определяют различные точки в одной и той же системе коорди-
координат, тогда преобразование называется точечным. Мы будем
пользоваться только преобразованиями координат, а не точечны-
точечными преобразованиями.
Введем матрицу bks, обратную Щ, так что
Умножив (9.2) на &*, мы получим
или
I* = ft*p* zp, dq* = ft*0s dqp,
или
1} = bl&W, dq' = b'A
Введя обозначение
I
и матрицу ур, обратную ср, так что
= <
мы можем написать прямое и обратное преобразования в виде
z'^c'z', dq'^c'dq",
причем матрицы с' и у? для косоугольных координат неизменны во
всем пространстве, а для криволинейных — локальны. Таким обра-
образом, полученный нами закон преобразования линеен и однороден.
Ковариантные и контравариантные векторы. Пусть мы имеем
верхний объект первого порядка ар, который преобразуется по зако-
закону, аналогичному (9.3), т. е.
а' = с'раР, а? = у^а*. (9.4)
Всякий объект первого порядка, преобразующийся по закону (9.4),
мы назовем контравариантным вектором (синонимы, которыми
мы также будем пользоваться: вектор в контравариантном пред-
представлении, контравариантный тензор первого порядка, тензор
первого порядка в контравариантном представлении).
Контравариантные тензоры — это объекты верхнего строения.
Поэтому иногда верхние индексы называют контравариантными.
94 ТЕНЗОРНЫЙ АНАЛИЗ В ТРЕХМЕРНОМ ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ Ч. И
Отметим, что в криволинейных координатах только дифферен-
дифференциалы координат dqp образуют вектор, сами криволинейные коор-
координаты qp не образуют вектора, так как для них имеет место сле-
следующий нелинейный закон преобразования:
Покажем теперь, что существуют объекты первого порядка, за-
закон преобразования которых также линеен и однороден, но отлича-
отличается от только что полученного закона преобразования (9.3). Для
этого возьмем скалярную (инвариантную) функцию координат,
определяемую равенством
Найдем полный дифференциал этой скалярной функции, воспользо-
воспользовавшись и старыми, и новыми координатами. Мы получим
ддр дд' ддр
а так как из (9.3) следует равенство — = с', то
dgp р
ее' "дТ)
Но вектор dgp совершенно произволен, поэтому объект в скобках
должен быть равен нулю, и мы имеем
Эф __ t Э«р
ее' " ддг
Объект 2$-, как известно, есть градиент скалярной функции <р; мы
ддр
видим, что его прямой и обратный законы преобразования будут
дГ 7' ее'* ее' " ддг
Введя для градиента, выраженного в старых и новых координатах,
обозначения
dgy r дд
мы получим закон преобразования этого объекта в виде
Ъ = УР <Р ,Р. 9,Р = С'РЪ-
Этот закон отличается от закона преобразования контравариант-
ного вектора. Чтобы отличить такие объекты от контравариант-
ных векторов, назовем их ковариантными векторами или век-
векторами в ковариантном представлении и будем обозначать их
при помощи главной буквы с нижним индексом. Поэтому ниж-
§ 9 ТЕНЗОРЫ В КОСОУГОЛЬНЫХ И КРИВОЛИНЕЙНЫХ КООРДИНАТАХ 95
ние индексы часто называют ковариантными. Итак, ковариант-
ный вектор ар преобразуется по закону, одинаковому с законом
преобразования градиента скалярной функции
а, = уЧар, ар = сра,.
Мы по-прежнему будем считать, что верхние и нижние индексы,
приписанные одной и той же главной букве, означают два различных
представления одного и того же объекта. Например, ар и ар — это ко-
вариантное и контравариантное представления вектора а.
Тензоры. При помощи ко- и контравариантных векторов, ис-
используя их обобщенные произведения, мы можем получить объек-
объекты любого порядка и строения. Такие объекты иногда называют
мультипликативными. Вводя в рассмотрение объекты, закон пре-
преобразования которых совпадает с законом преобразования обоб-
обобщенных произведений, мы получим три типа преобразований:
контравариантные ковариантные
Ъ = а
а' = сраР а, = tfap
-аш =
смешанные
Любой объект, преобразующийся по одному из этих законов, на-
называется тензором или истинным тензором соответствующего по-
порядка и строения.
Важно отметить, что тензорные законы преобразования линейны и
однородны. Поэтому, если тензор равен тождественно нулю в какой-
нибудь одной системе координат, то он равен тождественно нулю и во
всякой другой системе координат.
96 ТЕНЗОРНЫЙ АНАЛИЗ В ТРЕХМЕРНОМ ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ Ч. II
Для дальнейшего важно установить, что симметрия тензора
есть свойство инвариантное, т. е. если имеет место, например, ра-
равенство
арч ~ ачру
то отсюда следует, что будет также
«<* = "кг
Это доказывается следующим образом:
«м = т№м = чЫаРЧ = чЫаЧР = "и-
Читателям предоставляется в порядке упражнения доказать это
предложение для дважды контравариантного тензора и для тензоров
любого порядка.
Метрический тензор. Ассоциированные тензоры. Докажем,
что объект, который был назван метрическим тензором, есть дейст-
действительно ковариантный истинный тензор.
Объект dr^ есть, очевидно, истинный скаляр. Поэтому мы мо-
можем написать
а так как dqp = tf d ql, то
SpqiWl dqidqk = gik dqld qk, (gik - ypy4kgpq) dqldqk=O,
откуда, в силу симметрии объекта g , получим
Это — закон преобразования дважды ковариантного истинного тен-
тензора, и наше предложение доказано.
Ранее мы условились, что объекты, ассоциированные относи-
относительно фундаментального объекта, мы обозначаем одной и той
же главной буквой при помощи расположения значков сверху и
снизу. Однако теперь мы условились при помощи верхних знач-
значков определять контравариантные тензоры, а при помощи ниж-
нижних — ковариантные. Ассоциированность тензоров и их закон
преобразования — это разные вещи. Поэтому необходимо пока-
показать, что эти два .различных смысла одних и тех же обозначений
не противоречат друг другу, если, в частности, в качестве фун-
фундаментального объекта выбран метрический тензор g . Для этого
нужно показать, что объект gpqaq преобразуется как ковариант-
ковариантный вектор а , т. е. по закону
Sikak = ^(gpqa").
§ 9 ТЕНЗОРЫ В КОСОУГОЛЬНЫХ И КРИВОЛИНЕЙНЫХ КООРДИНАТАХ 97
Это почти очевидно. В самом деле, мы имеем
8ik =
Поэтому
Ък"к = Y?YK* . .
В порядке упражнения полезно доказать, что ко- и контравари-
антные тензоры любого порядка ассоциированы относительно мет-
метрического тензора g . Следует отметить, что такой же результат
получится, если в качестве фундаментального объекта выбрать лю-
любой дважды ковариантный тензор.
Псевдотензоры. Псевдотензорами называются объекты, преоб-
преобразующиеся по одному из следующих законов (для краткости об-
обратные преобразования не приводятся):
контравариантные ковариантные
а = ^м)а
а' =
а'* =
сса
pLqLru **/*/" ' Ч'кЧ-pqr
смешанные
L — У <
а/*.
Здесь v= Ivfli а число М, как в случае ортогональных тензоров,
называется весом псевдотензора.
В криволинейных координатах псевдотензоры существенно отли-
отличаются от истинных тензоров, так как детерминант v> вообще
говоря, локален, т. е. зависит от выбранной точки пространства. Это
вносит иногда существенные неудобствами появления псевдотензо-
псевдотензоров следует по возможности избегать.
Однако нетрудно привести примеры псевдотензоров, которых из-
избежать не удается. Например, покажем, что детерминант метриче-
метрического тензора g = \gpq\ есть псевдоскаляр веса +2.
Мы имеем '
Ilk = Vf
4 - Г. В. Коренев
98 ТЕНЗОРНЫЙ АНАЛИЗ В ТРЕХМЕРНОМ ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ Ч. II
Применяя сюда теорему Бине—Коши, сразу получаем
\glk\
и поэтому
Отсюда следует, в частности, что Vg есть псевдоскаляр веса +1.
Применив объекты е и epqr для вычисления детерминантов
матриц ур и с1р, получим для этих объектов (из условия их изотроп-
изотропности) следующие законы преобразования:
ёш = ^НШ'^ ёш - ycpckqclrepqr.
Отсюда следует, что объект epqr есть псевдотензор веса —1, a epqr —
псевдотензор веса +1. Напомним, что эти псевдотензоры не ассоци-
ассоциированы относительно метрического тензора glk, т. е. не могут быть
получены один из другого путем операции поднимания и опускания
индексов.
Из сказанного ясно, что объекты
Е = yfee EPqr = -L epqr
являются истинными тензорами, ассоциированными относительно
объекта gik.
Упражнение 1. Показать, что Ь'р, blkq, 6ркя'г, Epqr = yfgepqr,
Ерчг = -т= epqr являются истинными тензорами.
Тензорные операции и некоторые важные тензоры. Нетрудно
показать, что символы Кронекера Ь'р, 6pkq и blpqlr являются истинны-
истинными тензорами.
Тензор gpq. Из элементов метрического тензора по правилам по-
построения обратной матрицы можно получить новый объект, кото-
который мы ранее обозначили через gpq. Докажем, что объект gpq есть
дважды контравариантный истинный тензор.
Чтобы построить матрицу, обратную ||?р,||, нужно взять алгеб-
алгебраические дополнения элементов gpq и разделить на детерминант g.
По формулам для алгебраических дополнений
РЯ = I (L epikeqlm
1
I (L epik
g 12
Выражение в скобках есть, очевидно, дважды контравариантный
псевдотензор веса +2, а в знаменателе стоит псевдоскаляр веса +2.
Поэтому gpq есть истинный тензор.
§ 9 ТЕНЗОРЫ В КОСОУГОЛЬНЫХ И КРИВОЛИНЕЙНЫХ КООРДИНАТАХ 99
Как и ранее для ортогональных тензоров, назовем тензорными
такие операции, которые, будучи применены к тензорам, приводят
к новым тензорам.
Сложение, определенное для однотипных объектов, есть тензор-
тензорная операция. Доказательство предоставляется читателям.
Поднимание и опускание индексов есть тензорная операция, по-
потому что, по доказанному, при ее помощи получаются ассоцииро-
ассоциированные тензоры.
Транспонирование есть тензорная операция. Например, пусть
арч есть тензор, тогда
а1к = с^У".
Воспользовавшись правом обозначать немые индексы как угодно,
получим
а*' = ckpCy = cfta",
откуда видно, что ачр есть тоже тензор.
Точно также, если apq есть тензор, то ар* — тоже тензор, а так
как мы условились, что верхний индекс всегда означает номер стро-
строки, то apq и ар* — транспонированы; следовательно, транспониро-
транспонирование есть тензорная операция.
Отсюда следует, что симметрирование и альтернирование тоже
тензорные операции. Поэтому разложение тензора на симметрич-
симметричную и антисимметричную часть инвариантно, т. е. сохраняется при
преобразованиях координат.
Обобщенное произведение тензоров. Закон тензорного преобра-
преобразования был установлен нами как закон преобразования обобщен-
обобщенного произведения векторов. Поэтому обобщенное умножение тен-
тензоров есть тензорная операция.
Свертка. Покажем, что свертка в смысле Эйнштейна, т. е. по
одному верхнему и одному нижнему индексам, есть тензорная
операция.
Пусть есть тензор ар; его закон преобразования
Свернем это равенство, положив i = k. Получим
т. е. в результате свертки получается истинный скаляр. Подобным
же образом для тензора третьего порядка имеем
100 ТЕНЗОРНЫЙ АНАЛИЗ В ТРЕХМЕРНОМ ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ Ч. II
т. е. в результате получаем истинный вектор. Отметим, что при
свертке порядок тензора уменьшается на две единицы, одну ковари-
антную и одну контравариантную.
Наоборот, свертка тензоров по одним верхним или одним ниж-
нижним индексам не есть тензорная операция. Например, для тензора
арч закон преобразования есть
а'* - с^а.
Свернув это равенство по индексам i и к, получим
5» - cfta".
Следовательно, а" * арр, т. е. результат свертки не является ска-
скаляром.
Скалярное умножение. В предыдущем параграфе мы определили
скалярное произведение, как свертку обобщенного произведения
двух векторов, взятую в смысле Эйнштейна; например,
Р = atbl.
Так как свертка в смысле Эйнштейна есть тензорная операция, то
скалярное умножение также есть тензорная операция. Скалярное
произведение двух истинных векторов есть истинный скаляр.
Векторное умножение. Векторное умножение определено следу-
следующим образом:
S1 - ЕшакЬ,, St = ЕшакЬ1.
Мы видим, что в правых частях стоят обобщенные произведения
тензоров со сверткой по Эйнштейну. Следовательно, векторное ум-
умножение есть тензорная операция.
Смешанное произведение трех векторов. По определению имеем
А = atSl = EMatbkclt А - a'St = Etkla'bkcl.
Здесь в правых частях стоят обобщенные произведения четырех
тензоров со сверткой по Эйнштейну. Следовательно, смешанное
умножение трех векторов есть тензорная операция, а его резуль-
результат — истинный скаляр.
Упражнение 2. Показать, что если бы векторное умножение
было определено следующим образом:
5' - ешакЬ„ S
то в результате получились бы не истинные тензоры, а псевдотен-
псевдотензоры, т. е. определенное таким образом векторное умножение не яв-
являлось бы тензорной операцией.
§ 10 ПАРАЛЛЕЛЬНЫЙ ПЕРЕНОС В КРИВОЛИНЕЙНЫХ КООРДИНАТАХ 101
Обратный тензорный признак. При практических применениях
тензорного аппарата бывает необходимо делать заключения о тензор-
тензорных свойствах тех или иных объектов весьма сложной структуры, так
что непосредственное установление их законов преобразования за-
затруднительно. В этих случаях часто бывает полезным так называемый
обратный тензорный признак или, как часто говорят, правило част-
частного. Приведем без пояснений общую формулировку Этого признака.
Если в выражении
„l...nt...w up--s fj...n
at...mp...s°t...w * ct...m
bt'.'.'.w есть произвольный псевдотензор веса В, fj раз контравариант-
ный и % раз ковариантный, а с'/?, есть псевдотензор веса С, 7 раз
контравариантный и tj раз ковариантный, то al{"^ws есть псевдо-
псевдотензор веса А= С — В, ос = ? + v раз контравариантный и
е — Р + Л раз ковариантный.
При хорошей зрительной памяти обратный тензорный признак
удобно запомнить в виде следующей таблички:
ct-S + Y
§ 10. Параллельный перенос в криволинейных координатах
Мы ввели ряд алгебраических операций, производимых над тензора-
тензорами в косоугольных и криволинейных координатах, причем в резуль-
результате этих операций также получались тензоры. Теперь мы будем
разыскивать такие дифференциальные операции, в результате кото-
которых из тензоров получались бы также тензоры.
Оказывается, что обыкновенное дифференцирование тензора по
некоторому скалярному параметру не всегда приводит к новому тен-
тензору: в результате получается объект нетензорной природы.
Пусть, например, в каждой точке пространства задан геометри-
геометрический вектор (т. е. отрезок определенного направления) при помо-
помощи своего контравариантного представления ар. Это означает
(рис. 10.1), что в каждой точке пространства А задан локальный
трехгранник Azp и локальные масштабы измерения длин, тогда ар
есть совокупность координат конца вектора в этом локальном трех-
трехграннике. Если система координат косоугольна, то все локальные
трехгранники параллельны друг другу; в случае криволинейной си-
системы локальные трехгранники при переходе из точки в точку по-
поворачиваются и деформируются.
102
ТЕНЗОРНЫЙ АНАЛИЗ В ТРЕХМЕРНОМ ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ
Ч. II
Бели мы переходим от криволинейных координат др к новым
криволинейным координатам q', то локальный трехгранник перей-
перейдет в новый локальный трех-
трехгранник aV.
При этом заданный вектор
преобразуется следующим об-
образом:
5' = су.
Будем теперь перемещать
точку А по некоторой кри-
кривой ВС. Вследствие этого,
вообще говоря, окажется,
что вектор зависит от вре-
времени как от параметра.
р„с. юл Продифференцируем закон
преобразования по времени.
Бели мы имеем дело с косоугольной системой координат, то в
силу того, что локальные трехгранники переносятся параллельно,
все с' постоянны и мы имеем
Отсюда следует, что в косоугольных координатах производная век-
вектора по времени есть вектор, а дифференцирование по времени —
тензорная операция.
Пусть рассматривается криволинейная система координат. Тогда
все с' будут зависеть от времени, и мы получим
¦ срар
срар,
а1
откуда следует, что а1 ^ срар. Следовательно объект ар в криво-
криволинейных координатах не является тензором, а обыкновенное
дифференцирование по времени не есть тензорная операция.
Однако оказывается, что существуют дифференциальные опера-
операции, являющиеся тензорными. Чтобы обнаружить такие операции,
нам необходимо рассмотреть понятие параллельного переноса
вектора.
Параллельный перенос. Пусть точка А (начало вектора) пере-
перемещается вдоль некоторой кривой ВС, а вектор а при этом остается
постоянным по длине и параллельным своему первоначальному на-
направлению. Тогда его составляющие вдоль осей Ох' остаются все
время постоянными; обозначим их через а'х. Для дифференциалов
координат мы имеем закон преобразования
A0Л)
§ 10 ПАРАЛЛЕЛЬНЫЙ ПЕРЕНОС В КРИВОЛИНЕЙНЫХ КООРДИНАТАХ 103
По этому же закону преобразуются и контравариантные векторы
ах=Р*а*- A0.2)
Поставим вопрос: каким образом, не зная составляющих а'х,
можно установить, что вектор переносится параллельно. Элемен-
Элементы его контравариантного представления при этом не остаются
постоянными, но должно существовать какое-то правило, по ко-
которому можно было бы узнать, что происходит именно парал-
параллельный перенос вектора. Найдем это правило. Так как
ах = const, то а'х = 0 и, дифференцируя A0.2) по времени, мы
получим
Если а* удовлетворяет этому условию, то происходит параллельный
перенос вектора. Поэтому уравнение A0.3) называется условием
параллельного переноса. Мы видим, что оно дает возможность уста-
установить факт параллельного переноса, не зная составляющих векто-
вектора по осям декартовой системы координат.
Предстаэим условие параллельного переноса в несколько другом
виде. Из A0.1) следует, что
Поэтому
и условие параллельного переноса принимает вид
—к а* + ^7 ?'а* - 0. A0.4)
ддК дя dq'
Напомним, что метрический тензор определяется следующим об-
образом:
причем предполагается суммирование по верхнему немому индексу s.
Выполним преобразование, которое имеет целью исключить из
условия параллельного переноса декартовы координаты х1. Тогда
наблюдатель, находящийся в локальном трехграннике некоторой
криволинейной системы координат, перемещающийся вместе с
ним и не имеющий возможности измерять х', имел бы средство
установить, что некоторый вектор а* переносится параллельно,
сохраняя при этом постоянную длину.
104 ТЕНЗОРНЫЙ АНАЛИЗ В ТРЕХМЕРНОМ ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ Ч. II
Умножим равенство A0.4) на ffm ^— со сверткой по верхнему
dq
индексу /. Получим
pn
^ h +
дят dq" dqm dqkdq'
Преобразуем коэффициент при ifak. Для этого продифференцируем
по криволинейным координатам q1 равенство
8тк = 9qm dqk>
после чего произведем две круговые подстановки индексов, при этом
равенство не нарушится, так как в обеих его частях будет про-
производиться одна и та же замена. Круговые перестановки определим
так:
(
(Л
3^ '2
В результате получим три равенства:
э*«* _ дх' эУ | дх' эУ
dq' dqm dqkdq' dqk dqmdq''
Пы^о*' aV , ax* эУ
Э«т Э9* Э«'Э0т д«' Э9*Э9т>
°*яс_ ^^ ах ¦ эх д х
bqk dq1 dqmdq" bqm dq'dqk'
Теперь сложим первое и третье равенства, а затем вычтем из ре-
результата^ второе. Получим
дх д х ^_
bqm dqkdq'
причем во втором члене мы воспользовались тем, что метрический
тензор симметричен: glm ¦* gml.
Этот объект третьего порядка называется трехзначковым симво-
символом Кристоффеля первого рода; в отечественной литературе его
принято обозначать через Гт kl. Итак,
§ 10 ПАРАЛЛЕЛЬНЫЙ ПЕРЕНОС В КРИВОЛИНЕЙНЫХ КООРДИНАТАХ 105
Трехзначковый символ Кристоффеля не является тензором, поэтому
часто, особенно в английской литературе, его обозначают через
[1к,т], подчеркивая этим отсутствие у символа тензорных свойств.
Для удобства запоминания упорядочим индексы путем подста-
подстановки:
(imk I
\s i k I
Тогда мы получим
-*'" 77 *W " 2{ эд1 +1? вя1
Следует отметить, что символы Кристоффеля полностью опреде-
определяются метрическим тензором, который сам зависит только от криво-
криволинейных координат; декартовы координаты х' из них исключены.
Символы Кристоффеля первого рода, очевидно, симметричны по
двум последним индексам
Вернемся к A0.5). Мы имеем
„рт ^?1*— аРто — № с°т дх Э х
Поэтому условие параллельного переноса принимает вид
«Р + ^mrm,*,aV = 0.
Обычно вводят трехзначковый символ Кристоффеля второго
рода при помощи равенства
которым устанавливается правило перемещения индексов у симво-
символов Кристоффеля. Тогда получаем условие параллельного переноса
в окончательной форме
а так как
то условие параллельного переноса можно записать также в следу-
следующем виде:
106 ТЕНЗОРНЫЙ АНАЛИЗ В ТРЕХМЕРНОМ ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ Ч. II
Найдем условие параллельного переноса для вектора, заданного
в ковариантном представлении. Mb* имеем в обычных обозначениях
ах - 0* а*
откуда, так как ах = 0, получим
Й1*Ч + №'*, + №'*, - 0.
Но
поэтому условие параллельного переноса примет вид
9jc'
Умножая это на —- со сверткой по верхним индексам, получим
dq
[dqm dqk dq' bqm dqkdq'
Ho
a-m =.„* в as- gmkg~ as - omas - a
m,
dqk bqm
Поэтому будет
Из тождества gmksf' — Ь'т путем дифференцирования получаем
8тк Sq' " Sq' Г '
Подставляя это в условие параллельного переноса, получим
или
После упорядочения ивдексов окончательно получим
§ 10 ПАРАЛЛЕЛЬНЫЙ ПЕРЕНОС В КРИВОЛИНЕЙНЫХ КООРДИНАТАХ 107
ИЛИ
Для удобства запоминания рекомендуется записать вместе усло-
условия параллельного переноса для контравариантного и ковариантного
представлений вектора:
или
Так как кривая, по которой происходит перенос вектора а' или at,
совершенно произвольна, то ^ — произвольный вектор; отсюда следу-
следует, что условия параллельного переноса могут быть записаны в следу-
следующей форме:
Вычисление трехзначковых символов Кристоффеля. Вычисле-
Вычисление символов Кристоффеля непосредственно по формуле A0.6),
служащей их определением, практически неудобно. Самый простой
способ состоит в применении алгоритма, при помощи которого обра-
образуется левая часть уравнений Лагранжа 2-го рода.
Напишем основную метрическую форму в виде
Так как -4 есть скорость, то, обозначив ее через v, можем написать
Введем в рассмотрение скаляр
и образуем ковариантный вектор
Имеем
_
а/
108 ТЕНЗОРНЫЙ АНАЛИЗ В ТРЕХМЕРНОМ ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ Ч. II
откуда
а не 2 StkQ*' как могло показаться с первого взгляда. Далее
Поэтому
^i* • к. • I 1 ^к! • к-1
1 Э«Л .t.
Сделаем в третьем члене подстановку немых индексов
[I к)'
Тогда будет
Следовательно
' '* 2^Эв' Э9*
В выражение для SS t входит квадратичная форма скоростей с эле-
элементами трехзначкового символа Кристоффеля в качестве коэффици-
коэффициентов. Поэтому для вычисления Г, к1 достаточно вычислить &t и най-
найти входящие в него квадратичные формы.
Упражнение 1. Вычислить символы Кристоффеля в цилинд-
цилиндрических координатах.
Решение. Определение цилиндрических координат z, r, t|>:
х1 — z, х2 = г cos г|», хг = r sin г|>,
д1 = z, q2 =¦ г, q3 — ty.
Элемент длины:
Поэтому, отбрасывая для простоты скобки у показателей степени,
§ 10 ПАРАЛЛЕЛЬНЫЙ ПЕРЕНОС В КРИВОЛИНЕЙНЫХ КООРДИНАТАХ 109
откуда имеем
ii — • _rf_ эт _.. il = o
di ~~ ' dt ~di ~ ' дг ~ '
д'г ~ ' dt d'r ~ ' Эг ~~ ™ '
|? = r2t}>, ^|b = r2i|>4-2rnl>, |b = 0.
Вектор &t определяется следующим образом:
9" — 'i
S?3 = r2i(> + 2rrij).
Поэтому будет
2,33 ~Г' Х 3,23 ~ 1 3,32 — "•
Остальные символы Кристоффеля равны нулю.
Упражнение 2. Вычислить символы Кристоффеля в сфериче-
сферических координатах.
Решение. Определение сферических координат г, <р> г|>:
х1 = г cos <р, х2 = г sin <p cos г|», х3 = г sin <p sin гр,
Элемент длины:
ds^ ¦s (dr)^ 4" (г d*p) 4" (/¦ sintp a?\[))'2\
Поэтому, отбрасывая для простоты скобки у показателей
степени,
откуда имеем
Эт _ . d_ Эт
д'г ~ Г' dt д'г
Эт г- d дх
d'r = r' tttr = r> 0 = гф24-г8т29М»2,
. _ ,Z(p 4- 2/гф, -г- = г sin (p cos<p
U = r2Sin2,p^, jL|l = r2sin29i(,+ |I = O
4- 2r sin2 (p rty 4-
4- 2r2 sin (p cos (p ф-ф,
110 ТЕНЗОРНЫЙ АНАЛИЗ В ТРЕХМЕРНОМ ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ Ч. II
Вектор 9? t определяется следующим образом:
Zl = r — гу2 — г sin2 <p гр2,
9S2 = г2ф + 2ггф — г2 sin <p cos <р гр2,
2*3 = г2 s'n2 <р ty + 2r sin2 «р f-ф + 2r2 sin <p cos <p ф^ф.
Поэтому будет
Г 1,22 = ~г> Г 1,33 = ~r sin2 <P>
Г2,12 — Г2,21 = r> rw3 = -r2Sin<pCOS <р,
Г3,13 = Г3,31 = Г Sin2 ft Г3,23 ~ Г3,32 = r2 Sin <P C0S <P-
Остальные символы Кристоффеля равны нулю.
§ 11. Ковариантное дифференцирование
Дифференцирование скаляра. Обыкновенное дифференцирование
истинного скаляра по скалярному аргументу t дает новый скаляр и по-
поэтому является тензорной операцией. Дифференцирование скаляра по
координатам д1 приводит к ковариантному вектору, т. е. также явля-
является тензорной операцией. Чтобы подчеркнуть это обстоятельство,
введем для производных скаляра р новые обозначения
rfp_Bp dp Dp
dt df dQ> dQ> РЛ
и назовем объект -Jfc абсолютной производной скаляра, а объект
—. или р, — ковариантной производной скаляра. Таким образом,
э«'
для истинного скаляра понятия абсолютной и обычной производной,
а также ковариантной и частной — совпадают.
Для векторов и тензоров дифференциальные операции, приводя-
приводящие к новым тензорам, сложнее.
Абсолютная и ковариантная производная вектора. Пусть а' и
at — векторы, заданные в каждой точке пространства. Введем обоз-
обозначения t t
да, „в Da,
- Da' Dat i
и назовем объекты —- и —f или а., и atl ковариантными произ-
производными векторов а1 и аг
§ 11 КОВАРИАНТНОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ 111
Подобным же образом введем обозначения
> Da,
и назовем объекты -^- и -тг абсолютными производными векторов
а' и at по параметру t.
Так как
то можно написать
Покажем, что абсолютная и ковариантная производные вектора
являются тензорами.
Пусть Ь'х — произвольный параллельно переносимый вектор. Про-
Произвол этого вектора состоит в том, что все blx — произвольные числа;
мы всегда можем выбрать их так, чтобы контравариантные координа-
координаты bt этого вектора в данной точке принимали заранее заданные значе-
значения, например, сначала A, 0, 0), затем @, 1, 0) и наконец @, 0, 1).
Пусть at — вектор, от которого мы берем абсолютную производ-
производную. Свертка р = b'at есть скаляр, а его обыкновенная производная
по параметру t — тоже скаляр. Мы имеем
р = Ь'а, + Ь"ар, Ь" + Г^Ь'д1 = 0, Ьр = -
Отсюда
р = Ь'а, - rfifttye, = (а, -
Ь1 — произвольный вектор в данной точке, поэтому, согласно обрат-
обратному тензорному признаку, абсолютная производная —rf- есть в этой
точке ковариантный тензор первого порядка.
Такое же рассуждение мы можем провести для любой точки кри-
кривой переноса, а сама кривая переноса может быть выбрана совер-
совершенно произвольно, следовательно, абсолютная производная явля-
является тензором в любой точке.
112 ТЕНЗОРНЫЙ АНАЛИЗ В ТРЕХМЕРНОМ ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ Ч. II
Далее, по определению ковариантной производной можем напи-
написать, что
Dai Dat ., .,
Так как перенос вектора происходит по совершенно произвольной
кривой, то д1 есть произвольный контравариантный вектор. Но тогда
Da,
по обратному тензорному признаку ковариантная производная —-
dq
или atl есть дважды ковариантный тензор.
Итак, абсолютная и ковариантная производные ковариантного
вектора являются тензорами, и мы имеем теперь способ, дающий
возможность из заданных тензоров получать новые тензоры при по-
помощи дифференциальных операций.
Упражнение 1. Найти закон преобразования трехзначковых
символов Кристоффеля.
Решение. Возьмем какой угодно скаляр <р, тогда -^ есть коварн-
коварней
антный вектор, ковариантная производная которого, как уже дока-
доказано, есть ковариантный тензор второго порядка
_*!$__ г* i?
dq'dq" pq dq1'
Следовательно, закон преобразования этого тензора есть
d\ _ р/ if. _ С Э2<р _ р» Эу\ dqp dqq
'" '* ' [W pq ') ' k
_ р if. С _ р
q'dq" '* dq' [dqW pq dq') dq' dqk'
dq dqk dq' \dqpdqq pq dq') dq' dq
Возьмем в качестве скаляра <р какую-нибудь одну координату <f,
тогда
и мы получаем
dq'dq" lk Sq' "" dq' dqk'
Это и есть искомый закон преобразования. В дальнейшем (см. § 16)
будет приведен вывод этого закона преобразования, не зависящий
от доказательства тензорной природы ковариантной производной.
Упражнение 2. Найти тензорную природу абсолютной про-
производной контравариантного вектора а'.
Решение. Пусть bt есть произвольный параллельно переносимый
вектор. Образуем скаляр р = bta', производная которого по скаляр-
скалярному параметру есть тоже скаляр. Мы имеем
р = btal + bpa", Ьр - Yplbtf = 0, bp = Г'р1Ь^.
§11 КОВАРИАНТНОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ 113
Отсюда
Р = biCL г 1 ibiCt и == bi\CL Ч" Г iCL и) == .. Лл
I pi t * "i\** ¦ p» ч ' dt '
и, следовательно, объект -тг есть контравариантный тензор первого
порядка.
Так как в декартовых и косоугольных координатах все символы
Кристоффеля равны нулю, то в декартовых и косоугольных коорди-
координатах абсолютная производная вектора равна обыкновенной произ-
производной по параметру, ковариантная производная вектора равна ча-
частной производной по координатам.
Условие параллельного переноса. В новых обозначениях усло-
условие параллельного переноса может быть записано в одной из следу-
следующих форм
dt ggi л
Duj Dat
Таким образом, при параллельном переносе абсолютная или кова-
ковариантная производная должна равняться нулю. Так как абсолютная
и ковариантная производная — тензоры, то это условие инвариант-
инвариантно, т. е. если оно выполняется в какой-нибудь одной системе коор-
координат, то оно выполняется и во всякой другой.
Ковариантное дифференцирование тензоров любого порядка.
Определим абсолютную и ковариантную производные тензора второ-
второго порядка. Такой тензор может иметь три представления: stk, s[ и
slk. Рассмотрим сначала дважды ковариантный тензор stk. Возьмем
два произвольных параллельно переносимых вектора а*, Ь11 и образу-
образуем скаляр р = stkalbk, тогда его производная по параметру есть тоже
скаляр. Дифференцируя по параметру, получим
p^s^b' + s^b' + s^b".
Но
S'k ~ dg' ~
Поэтому
114 ТЕНЗОРНЫЙ АНАЛИЗ В ТРЕХМЕРНОМ ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ Ч. II
Введем обозначения
TT - l tl*pk x kl*lp = TT = *tk,r
oq oq
Назовем объект —? абсолютной производной тензора slk, a
объект —* или sikj — его ковариантной производной. Так как
a1, bk, ql — произвольные векторы, то абсолютная производная тен-
тензора sik есть также дважды ковариантный тензор, а его ковариантная
производная — трижды ковариантный тензор.
Теперь введем абсолютную и ковариантную производные сме-
смешанного тензора sk. Для этого возьмем произвольные параллель-
параллельно переносимые векторы at и bk, а затем образуем скаляр
р = s'katbk. Дальнейшие выкладки приводим без пояснений:
b» = -
Вводим обозначения
j
~, т 1 Р1Ч х Ы*р | ч = df>
(П.2)
Ds'
и называем объект —? абсолютной производной тензора sk, a
объект —т или 4, — его ковариантной производной. Абсолютная
dq' *•'
производная от sk еств также смешанный тензор второго порядка, а
ковариантная производная — тензор третьего порядка, один раз
контравариантный и два раза ковариантный.
В качестве примера покажем, что ковариантная производная
изотропного тензора 6^ есть тензорный нуль. Действительно, вое-
§11 КОВАРИАНТНОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ 115
пользовавшись формулой A1.2), мы можем написать
яа' яа'
А' — —? + Г' АР — ГР А' — —?-|-Г' —Г' sO
*•' ~ Яп> Pi * *'°Р ~ 77 + l kl l kl ш и>
э? дд
так как элементы изотропного тензора б? от координат не зависят.
Наконец, введем абсолютную и ковариантную производную
дважды контравариантного тензора «'*. Для этого возьмем про-
произвольные параллельно переносимые векторы а, и Ьк и образуем
скаляр р = slkatbk. Дальнейшие выкладки снова приводим без
пояснений.
р = slkatbk + spkapbk + stpatbp,
Вводим обозначения
и называем объект -^- абсолютной производной тензора s'*, a
объект —^у или «!*, — его ковариантной производной. Абсолютная
дд
производная есть дважды контравариантный тензор, а ковариантная
производная — смешанный тензор третьего порядка, дважды
контравариантный и один раз ковариантный.
Для удобства запоминания приведем вместе ковариантные про-
производные всех трех представлений тензора второго порядка.
il-pk
US __ fa __ dS
dg' "' dg'
116 ТЕНЗОРНЫЙ АНАЛИЗ В ТРЕХМЕРНОМ ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ Ч. II
Правило образования ковариантной производной тензора любо-
любого порядка. Рассматривая таблицу A1.3), мы можем прийти к следу-
следующему правилу образования ковариантной производной тензора лю-
любого порядка. Чтобы получить ковариантную производную тензора
s\'.\ по <г, нужно на каждый ковариантный индекс / (s.t.) добавить к
частной производной член —rpts.'p\, а на каждый контравариантный
индекс i (si!.) добавить член + T'pls'^..
Ковариантная производная есть тензор на единицу более высоко-
высокого порядка.
Таким образом, ковариантная производная тензора имеет вид
ds'*
Sm.'..n,l = "Zf + ^plSm'.'..n + ••• + ^plSm.'.Pn ~ ^mlSp".'..n ~ — ~ ^nlSm.'..p-
(П.4)
Чтобы получить абсолютную производную, нужно свернуть ко-
ковариантную производную с вектором q1.
Ковариантное дифференцирование псевдотензоров. Из псев-
псевдотензоров путем некоторой дифференциальной операции можно
построить другие псевдотензоры. Эта операция называется ковари-
антным дифференцированием псевддтензоров. Приведем без вы-
вывода выражение, которое называется ковариантной производной
псевдотензора.
Пусть s^'*n есть псевдотензор веса М. Его ковариантная производ-
производная есть
aJ~k
sm...n,l — gl MSm...nl pl^ l plSm...n^ ••• ^ l plsm...n
_гр Л-» _ _гр «'-* A1.5)
1 mlsp...n •" l nlSm...p- \ll"}>
Ковариантная производная псевдотензора есть псевдотензор порядка
на единицу более высокого и того же самого веса. Сравнивая A1.5) и
A1.4), мы видим, что в ковариантную производную псевдотензора
входит дополнительный член — Afs^"fnrPl/, который исчезает, если вес
равен нулю, т. е. если мы дифференцируем истинный тензор.
6 частности, ковариантная производная псевдоскаляра есть
/ ^ A1.6)
Упражнение 3. Доказать, что если atk — антисимметричный
тензор, то объект
'*' dq' dg' dq"
есть также тензор. Тензор аш иногда называют циклом тензора alk.
§11 КОВАРИАНТНОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ 117
Решение. Возьмем ковариантную производную от тензора aik и
сделаем в ней две циклических перестановки индексов:
(i к Л
к I i .
Z i к
\ I
В результате получим
Сложив эти равенства и воспользовавшись антисимметрией тензора
atk, получим
dujk Эй^( Эйд
• ' ' dq dq' dq
Но слева в этом равенстве стоит тензор, следовательно, и справа то-
тоже тензор, что и требовалось доказать.
Некоторые свойства ковариантной производной. Как видно
из определения, ковариантное дифференцирование есть линейная
операция, как и обычное дифференцирование. Поэтому очевидно,
что ковариантное дифференцирование обладает следующими свой-
свойствами.
Ковариантная производная произведения тензора на константу
равна произведению константы на ковариантную производную тен-
тензора, например
d , к _ Da1
Ковариантная производная суммы двух тензоров равна сумме
ковариантных производных этих тензоров, например
dq1 dq1 dq1
Покажем на примере, что ковариантная производная обобщенно-
обобщенного произведения двух тензоров может быть взята по правилам обыч-
обычного дифференцирования.
Пусть, например,
118 ТЕНЗОРНЫЙ АНАЛИЗ В ТРЕХМЕРНОМ ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ Ч. II
тогда
а,' у
P j \± - Г fc
и, следовательно,
i 7k iink А /
дд1 дд1 * ' дд' и * ' *•'
Точно также на примере покажем, что имеет место следующее
важное свойство: операция свертки по Эйнштейну и операция ко-
вариантного дифференцирования перестановочны.
Пусть, например, есть тензор slkl и его свертка sltl = ar Тогда, с
одной стороны, имеем
С другой стороны,
kl,m dqm
Свертывая, имеем
ifk-i_r' *р -гр с' -гр с' -^
m + l pmSil l imSpl l lmSip ~ m
откуда и следует наше утверждение.
Существуют тензоры, которые при ковариантном дифференци-
дифференцировании обладают теми же свойствами, как постоянные при
обыкновенном дифференцировании; такие тензоры имеют ковари-
антную производную, тождественно равную нулю, вследствие че-
чего их можно выносить за знак ковариантной производной.
Например, выше было показано, что
Лемма Риччи и следствия из нее. Леммой Риччи называют сле-
следующее утверждение: абсолютная и ковариантная производные
метрического тензора тождественно равны нулю. Покажем это.
Мы имеем
°«ш _ а*л ГР „ ГР „
а?' ~ а?' "8рк ~ kl8ipt
*•" 2I V дд' dg
а/
§11 КОВАРИАНТНОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ 119
следовательно,
Q
dq' dq' dq'
Так как ковариантная производная равна нулю тождественно, то,
очевидно, и абсолютная производная также равна нулю тождест-
тождественно.
Отсюда вытекает, что при абсолютном и ковариантном диф-
дифференцировании метрический тензор qlk можно рассматривать
как константу. Из этого сразу видно, что производные ассоции-
ассоциированных тензоров сами являются ассоциированными тензорами.
6 самом деле, например
Dai _ Д(*а>а*> _ D^_
dq'~ dq1 ~8tk dq1'
откуда и следует наше утверждение.
Упражнение 4. Показать, что
Решение. Так как еш есть псевдотензор веса М = — 1, то по фор-
формуле A1.5) имеем
еШ,т ="ЗГ ~*~ * '^Ppmeikl ~ ^ШерЫ ~ ^kmetpl ~ ^lmetkp'
а так как —— = 0, то
dqm
etkl,m ~ eik.FPpm ~ ^Pimepkl ~ ^kmetpt ~ ^tmetkp'
Вычислим элемент е123 т. Имеем
el23,m = e123^pm ~ ^1те123 ~ ^2те123 ~ ^Зтв123 = е12з(^рт ~ ^рт) ~ ®'
Теперь вычислим элемент e2i3 m* Получим
е213,т = е213Грт ~ Г2тв213 ~ Г1те213 ~ ГЗтв213 = е21з(Грт ~ Грт) Ш ®'
Подобным же образом получим, что и все остальные элементы ко-
вариантной производной равны нулю.
Докажем, что абсолютная и ковариантная производные детерми-
детерминанта g метрического тензора равны тождественно нулю.
Мы имеем, по определению детерминанта,
Sepqr = e'klgipgkqglr.
120 ТЕНЗОРНЫЙ АНАЛИЗ В ТРЕХМЕРНОМ ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ Ч. II
Ковариантные производные псевдотензоров epqr и еш равны тожде-
тождественно нулю. Поэтому мы можем написать
8,mepqr = e \8tp,mf>kqQlr ~*~ 8tpf>kq,ml>lr " f>tpf>kq8lr,m''
Но в правой части — сумма трех детерминантов, у каждого из ко-
которых, по лемме Риччи, имеется один нулевой столбец. Следова-
Следовательно, будет gmepqr = 0. Умножив это на epqr и сократив на 6, по-
получим, что
Упражнение 5. Показать, что
Решение. Еш есть истинный тензор, поэтому пользуемся форму-
формулой A1.4). Имеем
= ~Гт ~
дд
Но
поэтому
Еш =
dqm
е
Детерминант g есть псевдоскаляр веса +2, его ковариантная производ-
производная тождественно равна нулю. Воспользовавшись A1.6), имеем
откуда
гр = 1 д« = ' д 1п« - а 1п ^ - ' ^ ^К = у/^гр A18)
Р<П 2g dqm 2 dQm dQm Vgdqm' bqm B Pm'
Поэтому
Щкш = ^ТРРтеш ~ Я(Т?терЫ + TPkmeipl + T?meikp).
Придавая индексам i, к, I частные значения, как в предыдущем
упражнении, можно показать, что
Подобным же образом Е[к' m в 0.
Формулы A1.8) иногда называют формулами Вейля.
§ 11 КОВАРИАНТНОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ 121
Тензоры, которые при ковариантном дифференцировании мож-
можно считать постоянными. Для удобства запоминания выпишем
тензоры, которые при ковариантном дифференцировании можно
считать постоянными:
q Qik q А' А'* Аш е еш Е Еш
8iv s . 8> ор, opq, opqr, ejkl, e , ьш, г. .
Способ получения инвариантных равенств. Часто бывает удоб-
удобно вывести какое-нибудь тензорное равенства в декартовых коорди-
координатах, так как в криволинейных координатах этот вывод получается
сложнее. Если тем не менее необходимо иметь это равенство в кри-
криволинейных координатах, то можно пользоваться следующим при-
приемом.
Пусть в декартовых координатах получено равенство двух векто-
векторов axt и bXi:
axi = bxv
Так как это равенство — векторное, то оно должно быть справедли-
справедливо и в любой системе координат; но в произвольной криволинейной
системе координат тензор первого порядка имеет два представления;
вектор аХ1 переходит в а1 или at, а вектор ЪХ1 — в i* или br По-
Поэтому мы сразу получаем равенства
Если бы в декартовых координатах мы получили равенство двух
тензоров второго порядка, то при переходе к криволинейной системе
мы получили бы столько форм равенств, сколько различных пред-
представлений имеет тензор второго порядка, т. е. три. Таким образом,
из равенства
aXik =
вытекают сразу три равенства:
Теперь допустим, что в декартовых координатах производная не-
некоторого вектора по параметру равна другому вектору:
daXi
1Г=Ьхг A1.9)
Так как в декартовых координатах дифференцирование по парамет-
параметру — векторная операция, то приведенное только что равенство —
векторное и справедливо в любой системе координат. Но операция
-л не тензорная; тензорной операцией является -тт. Поскольку в де-
D d
картовых координатах тензорная операция -^ совпадает с ^т, то
122 ТЕНЗОРНЫЙ АНАЛИЗ В ТРЕХМЕРНОМ ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ Ч. II
вместо A1.9) следует написать
0av
dt
(НЛО)
Но это равенство, как тензорное, справедливо в любой системе ко-
координат, поэтому аХ1 и bxt можно заменить на а1 и Ъ1 или на at и
Ь(. Поэтому из A1.10) мы получим сразу
Da' _ и Dai _ .
"ЗГ-*' ~dT-br
Подобным же образом, если в декартовых координатах установ-
установлено, что частная производная некоторого вектора по координатам
равна тензору второго порядка, например
daXi _ .
то путем аналогичных рассуждений мы придем к выводу, что в лю-
любой системе координат верны равенства
Da' _ hi Dat
—Г "i> —Г "и-
Это позволяет нам сформулировать следующие два правила.
1. Если в декартовых координатах получено некоторое тензорное
равенство, не содержащее производных, то из него сразу получается
инвариантное равенство, если элементы тензоров в декартовых ко-
координатах заменить их ковариантными или контравариантными
элементами.
2. Если в декартовых координатах получено некоторое тензорное
равенство, содержащее частные производные по координатам или
производные по параметру, то из него сразу получается инвариант-
инвариантное равенство, если частные производные заменить ковариантными
производными, а производные по параметру — абсолютными произ-
производными.
Перестановочность ковариантного дифференцирования. Так
как ковариантное дифференцирование — тензорная операция, то в
результате ковариантного дифференцирования получаются новые
тензоры, от которых можно брать повторные ковариантные произ-
производные. Возникает вопрос, перестановочно ли ковариантное диффе-
дифференцирование.
Воспользуемся только что сформулированными правилами полу-
получения инвариантных равенств. Пусть в декартовой системе коорди-
координат задан некоторый вектор аХт. Его частная производная по коор-
координатам есть тензор второго порядка, а повторная частная произ-
производная — тензор третьего порядка. Но частное дифференцирование
§ 12 ТЕНЗОР РИМАНА-КРИСТОФФЕЛЯ. ТОЖДЕСТВА ЛЯМЕ 123
перестановочно, поэтому в декартовых координатах имеет место ра-
равенство
дх'дх" дх"дхГ
Чтобы получить инвариантное равенство, нужно частные производ-
производные заменить ковариантными; поэтому имеем
;tk — a;ki
и ковариантное дифференцирование перестановочно в любой систе-
системе координат.
Необходимо отметить, что приведенные выше соображения опи-
опираются на существование в нашем пространстве декартовой системы
координат; это следует считать экспериментальным фактом. Рас-
Распространение декартовой системы координат на бесконечное про-
пространство есть некоторый постулат. Напомним, что бесконечное
пространство, в котором установлена декартова система координат,
называется евклидовым. Таким образом, наш вывод базируется на
допущении, что наше пространство евклидово.
В римановой геометрии постулируется существование про-
пространств, в которых нельзя построить декартову систему координат.
В таких пространствах ковариантное дифференцирование не пере-
перестановочно.
§ 12. Тензор Римана-Кристоффеля. Тождества Ляме
Условие перестановочности ковариантного дифференцирования мож-
можно получить другим путем, который оказывается применимым и в том
случае, когда нельзя считать, что декартова система координат суще-
существует во всем пространстве.
Пусть ат есть произвольный контравариантный вектор. Образу-
Образуем его первые ковариантные производные по q* и <7*, а затем найдем
вторые ковариантные производные.
Найдем сначала а™, и amk, a затем amik и а™к1. Для этого
нам нужно сначала сделать в символе Кристоффеля A1.1) две
следующие подстановки индексов:
Тогда получаем
Sam , rm
Чтобы найти вторые ковариантные производные, вспомним,
что первая ковариантная производная есть смешанный тензор
124 ТЕНЗОРНЫЙ АНАЛИЗ В ТРЕХМЕРНОМ ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ Ч. II
второго порядка; для его ковариантной производной мы имели
формулу
е< — ?f* Л. Г ' чР — ГР V1
*•' ~ U Р1 * *'V
Нам нужно найти а™1к и a™t/, поэтому необходимо сделать две за-
замены индексов:
( ' к 1 Р) 2) ( ' к 1 Р)
т i к sy l) \т к i sj'
Индекс р заменяем на s, потому что р уже встречается в пер-
первых производных. Следовательно, вторые ковариантные производ-
производные будут
Напомним, что Г^ = Г*4, т. е. символы Кристоффеля симмет-
симметричны по нижним индексам. Действительно, по определению
1 (Щ , 9*й *
откуда, в силу симметрии g(k, следует симметрия Г*к. Поэтому раз-
разность вторых ковариантных производных будет
_т _ -т _ а.< | гт'з "*-,* ртдд _
•'* •*' a«* ' dq'
4^
ae*ej* ее'
или, окончательно,
Если ковариантное дифференцирование перестановочно, то эта
разность должна тождественно равняться нулю.
§ 12 ТЕНЗОР РИМАНЛ-КРИСТОФФЕЛЯ. ТОЖДЕСТВА ЛЯМЕ 125
Тензор Римана-Кристоффеля. Придадим равенству A2.1) бо-
более удобный вид.
Введем обозначение
вследствие чего равенство A2.1) примет вид
Здесь слева стоит тензор третьего порядка; в правой части есть про-
произвольный вектор. Поэтому, согласно обратному тензорному при-
признаку, объект A2.2) есть тензор четвертого порядка. Он называется
тензором Римана—Кристоффеля.
Условие перестановочности ковариантного дифференцирова-
дифференцирования. Ковариантное дифференцирование перестановочно, если левая
часть в A2.1) тождественно равна нулю. Воспользовавшись A2.3),
получаем, что должно быть
Л-- •тпр — п
а так как ар есть произвольный вектор, то отсюда следует условие
ЩьРп = 0. A2.4)
Выясним, удовлетворяется ли условие A2.4). Тензор Римана—
Кристоффеля зависит только от символов Кристоффеля Г^, а
последние — только от производных метрического тензора gik
по координатам. Но существуют такие системы координат, в
которых метрический тензор постоянен во всем пространстве: это
косоугольная система или ее частный случай — декартова сис-
система координат. Следовательно, в этих системах тензор Рима-
Римана—Кристоффеля равен тождественно нулю. Но если тензор ра-
равен нулю в одной какой-нибудь системе координат, то он равен
нулю и во всякой другой.
Итак, тензор Римана—Кристоффеля во всех системах координат
равен тождественно нулю, а ковариантное дифференцирование во
всех системах координат перестановочно. Так как в трехмерном про-
пространстве тензор четвертого порядка имеет 81 элемент, то A2.4) пред-
представляет собой сокращенную запись 81 тождества.
Отметим, что это утверждение справедливо только в нашем
обычном трехмерном евклидовом пространстве, потому что главная
особенность евклидова пространства состоит в том, что оно допуска-
допускает существование декартовой системы координат.
Мы можем себе представить такие пространства, в которых тен-
тензор Римана—Кристоффеля не равен тождественно нулю. Такие про-
пространства называются неевклидовыми.
126 ТЕНЗОРНЫЙ АНАЛИЗ В ТРЕХМЕРНОМ ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ Ч. II
В частности, можно представить себе пространство с таким
метрическим тензором gtk, который не обращает тензор Римана—
Кристоффеля в тождественный нуль. Такие пространства назы-
называются римановыми. Римановы пространства имеют, как принято
говорить, неевклидову метрику. Например, рассматривая поверх-
поверхность как двумерное пространство, мы придем к выводу, что в
этом двумерном пространстве тензор Римана—Кристоффеля не
равен тождественно нулю. Поверхность, вообще, имеет неевкли-
неевклидову метрику.
Далее, можно представить себе пространства, в которых тензор
Римана—Кристоффеля не равен нулю, и, кроме того, в которых
не существует метрического тензора gik. В самом деле, тензор
Римана—Кристоффеля зависит только от Г^; задав непосредствен-
непосредственно объект Г'к1, мы тем самым определяем некоторый тензор Рима-
Римана—Кристоффеля, не вводя при этом никакой метрики. В этом
случае объект Гк1 называется объектом аффинной связности, а
соответствующее пространство — пространством аффинной связ-
связности. В этом пространстве метрика не определена, однако можно
ввести некоторый фундаментальный объект, служащий для постро-
построения ассоциированных объектов, т. е. для поднимания и опускания
индексов. Этот объект в литературе часто обозначают, как и мет-
метрический тензор, через gik. Нужно помнить при этом, что в про-
пространстве аффинной связности фундаментальный объект gik не
определяет никаких метрических свойств.
Четыре свойства тензора Римана-Кристоффеля. Наряду с
тензором A2.2) мы будем пользоваться его ассоциированным пред-
представлением
Докажем, что тензор R^pq имеет следующие четыре свойства.
1- R.^. — Rktpq,
2- Rtkpq Rfkqp' A2.5)
3. R,ir^ = Rpqtk,
4- Rtkpq + **,„ + Rpikq = 0.
Отметим, что из первого и третьего свойств сразу вытекает второе:
^ikpq = Rpqik = ~Rqptk = ~^tkqp'
Однако ниже, для упражнения, приводится и независимый вывод
второго свойства.
§12 ТЕНЗОР РИМАНА-КРИСТОФФЕЛЯ. ТОЖДЕСТВА ЛЯМЕ 127
Первое свойство. Оно очевидно непосредственно, так как каж-
каждая из двух разностей, входящих в тензор A2.2), изменяет знак
при перемене индексов i и к.
Второе свойство. Для его обнаружения необходимо сделать до-
дополнительные преобразования. Мы, очевидно, имеем
Преобразуем первые два члена. Для этого заметим, что
_ рт _ р _ рт _ р
Вычисляя частные производные по координатам, получаем
ее* ддк дд
2r
= Г
*чт ее' а?' а?' "*•
Далее, докажем, что справедливо тождество
Г^ + Г^-^е. A2.7)
В самом деле, имеем
г + Г = I f^a + f?s* _ ffa*^ + - f^м + На* _ ^ = ??as.
«mt I" m«t 2 ^ дг* ^ Э9т ее» J 2 ^ dtf* dQ" bqm) bqk '
Поэтому
с *" _ g <м>< _ /p _l
*«™ »Л* "" ал* ^ Я,тк ~
g ^к = ^Ж-(г , + Г ЛГ1"
9m аЛ' а ' ^ fl."»' tn,ql> pk
OQ OQ
Подставляя это в A2.6), получим
Л/*р, = ~^Г ~ (Г<?.т* + Гт,,*)Гр< - -?JT +
4- СГ 4- Г ^Гm 4- Г Г5 — Г Г1
^ \l q.mi ^ l m.qt'1 pk~ l q.sk1 pi l q.sl1 pk
ИЛИ
128 ТЕНЗОРНЫЙ АНАЛИЗ В ТРЕХМЕРНОМ ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ Ч. II
Но из тождества A2.7) получим
Гя.р1 -? ГМ<> dq* М dq* >
^ q qq q
Далее,
rm г — amjr г — г1 г — гт
1 рк1 m,qt ~ в J- j.p*1 m,,< — i qf ,,pk — 1 flj1 tn,pk>
1 pi1 m.qk ~ « l s,ptl m.qk, ~ l qkl s,pt ~ *¦ qk1 m,pf
Подставляя это в A2.8), получим окончательно
Rtkpq = - h^f - -*!*¦ + rqkTm,pt ~ rqtrm,pk\ = ~Rtkqp-
Третье свойство. Чтобы его обнаружить, преобразуем первые
два члена тензора A2.8)
дяр дяч) 2\'к
дя' 2 дя' {дя" dqp дяч) 2 \дякдя' дярдя'
Поэтому
'*и 2 la<?V a<?V eeV ae»ee'J "* m-<" "' mi<?*'
A2.9)
Сделаем замену индексов
(i к р q
после чего получим
j? =l fd2g>" d2g» >2g*« i э^) i гт _r«r
""'* 2 \dqidQ4 bq*bq4 dqidQP+ дг*э^ + '91 m.*P «p1 *.*«•
A2.10)
Первый и третий члены тензоров A2.9) и A2.10), очевидно, одина-
одинаковы; остается проверить равенство вторых членов. Мы имеем
1 рк1 m,qt — & l s,pkl m,qt ~ l tql s.kp'
§12
ТЕНЗОР РИМАНА-КРИСТОФФЕЛЯ. ТОЖДЕСТВА ЛЯМЕ
129
Итак, тензоры A2.9) и A2.10) действительно равны, что и доказы-
доказывает третье свойство A2.5).
Четвертое свойство. Сделаем в A2.2) циклическую подстанов-
подстановку индексов
' i к р\
к р i
р i к
и результат сложим. Получим
ар ЯГ
п' "Щ ik ip I pi Г1" rJ f
'*
АР
Q kp
~ ее'
i
Мы видим, что в правой части все члены попарно уничтожаются,
откуда и следует четвертое свойство:
R
tkpq + Rkptq
Rptkq =
Тождества Ляме. Мы установили, что в нашем обычном трех-
трехмерном евклидовом пространстве тензор Римана—Кристоффеля
тождественно равен нулю независимо от того, в каких именно
координатах он задан. Как уже говорилось, это дает 81 тождество;
однако, можно показать, что вследствие существования у тензо-
тензора Римана—Кристоффеля свойств симметрии A2.5) независимых
тождеств получается только шесть. Эти тождества были получены
Ляме за пятьдесят лет до возникновения тензорного анализа и носят
его имя.
Для получения тождеств Ляме образуем тензор второго порядка
A2.11)
причем, как всегда,
Умножим тензор Svw на EvmnEair!i. Получим
1""
ри>РЧр
««&
5 — Г. В. Коренев
130
ТЕНЗОРНЫЙ АНАЛИЗ В ТРЕХМЕРНОМ ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ
Ч. II
Поэтому окончательно будет
— Ri
mnrs vmn. wrs '
mnrs'
A2.12)
Отсюда видно, что для равенства нулю всех элементов тензора
Римана—Кристоффеля необходимо и достаточно, чтобы тензор S"w
был равен нулю. Но тензор S"w, как нетрудно видеть, симметричен.
Действительно, мы имеем
Таким образом, имеется только шесть независимых элементов
тензора A2.11), а следовательно, и шесть независимых элементов
тензора Rlkpq, а остальные 75 элементов тензора Rtkpq выражаются
через эти шесть при помощи A2.12). Поэтому тождественное равен-
равенство нулю тензора Rlkpq Дает всего шесть независимых тождеств;
это и есть тождества Ляме. Тождества Ляме имеют вид
или, выражая через тензор Римана—Кристоффеля,
Вычислим, для примера, элемент S11. Имеем
cll__L
2g
2g
pq
"" ^2332) = J ^
2323-
Остальные элементы тензора Svu> рекомендуется вычислить в поряд-
порядке упражнения. В результате получится
5'*-
7*2323 7*2331 7*2312
л3123
l R
-л
3131
*3112
1 Р Л
g --1223 g 231 g
4 R
1212
и, следовательно, тождества Ляме приобретут вид
\1323
= 0, /?,,,.= 0,
4212'
о,
*2331 ~ 0> *2312 — 0, R3ll2 — 0.
§12 ТЕНЗОР РИМАНА-КРИСТОФФЕЛЯ. ТОЖДЕСТВА ЛЯМЕ 131
Во всех случаях, когда тождества Ляме выполняются, тензор
Римана—Кристоффеля тождественно равен нулю и ковариантное
дифференцирование перестановочно.
Тензор Риччи. Тензором Риччи называется тензор второго по-
порядка
Поднимая значок д, можем представить тензор Риччи в таком
виде:
Тензор Риччи симметричен. Действительно, пользуясь свойствами
симметрии тензора Римана—Кристоффеля, мы получим
Выразим тензор Svw через тензор Риччи. Пользуясь A2.12), мы мо-
можем написать
Заменим здесь тензор Evik ассоциированным тензором Е"* по фор-
формуле
Получим
Но по известной формуле тензорной алгебры
Поэтому
Введя в рассмотрение скаляр
и воспользовавшись симметрией тензора Svw и его ассоциированным
представлением
8vpikwSVW = Spk = Skp>
можем написать
Rkp = Skp-8kpS. A2.13)
132 ТЕНЗОРНЫЙ АНАЛИЗ В ТРЕХМЕРНОМ ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ Ч. II
Образуем скаляр
Тогда из A2.13), умножив это равенство на gfp, мы получим
Но
gk»skp = gkpsk» = s, fUp = б;, gk»gkp = б> = з,
и поэтому
R = S - 3S = -25, S = --R.
Теперь из A2.13) окончательно получим
Таким образом, тождества Ляме при помощи тензора Риччи могут
быть записаны в таком виде:
§ 13. Применение ковариантного дифференцирования
в механике и физике
Скорость точки. Общие выражения для скорости точки в любых
криволинейных координатах были приведены в § 8. Для удобства
выпишем еще раз окончательные выражения.
Координатные представления:
v, = gikvk =
Физические представления:
Ускорение точки. Составляющие ускорения в декартовых коор-
координатах будут
d D
WiX~ dt ~ dt •
Следовательно, в любых криволинейных координатах мы будем
иметь два представления ускорения:
§ 13 КОВАРИАНТНОВ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ В МЕХАНИКЕ И ФИЗИКЕ 133
Физические составляющие ускорения точки будут
Упражнение 1. Показать, что выражение
_Dvt
снова приводит ко второй группе равенств A3.1). При доказатель-
доказательстве не пользоваться тем, что при абсолютном дифференцировании
gtk можно считать постоянным.
Решение. По общим правилам
Но
vt = 8lkvk, vt = gikvk + gikvk = -^qlvk + gikvk,
и поэтому
~df = 8tki>k H—7 vV — F'tiSsk^Q1 = 8tk?k + \~T — ^k,ii\vkql-
В § 12 мы ввели тождество A2.7)
Следовательно,
Dv
' — о ,'¦* -I- /Т J. Г _ Г
Явный вид уравнений Лагранжа 2-го рода для материальной
точки. Известно, что виртуальная работа сил, приложенных к ма-
материальной точке, будет
ЬА = Qfiq1,
где Qt — обобщенные силы. Из того, что ЬА — скаляр, а 6?'о—
контравариантный вектор, следует, что совокупность обобщенных
сил образует ковариантный вектор. Кинетическая энергия матери-
материальной точки, очевидно, есть
134 ТЕНЗОРНЫЙ АНАЛИЗ В ТРЕХМЕРНОМ ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ Ч. II
Мы видим, что этот скаляр отличается от скаляра т, который был вве-
введен в § 10 для вычисления трехзначковых символов Кристоффеля,
только постоянным множителем т. Повторив приведенные там рас-
рассуждения, мы получим
и поэтому уравнения Лагранжа 2-го рода будут
m(gls-Q' + TlMgkgl) = Qt. A3.2)
Сравнивая с A3.1), мы видим, что уравнения Лагранжа могут быть
записаны в форме
mw, = Q,, A3.3)
которая похожа на запись уравнений движения точки в декартовых
координатах.
Таким образом, уравнения Лагранжа ковариантны и не разреше-
разрешены относительно обобщенных ускорений. Чтобы определить из них
обобщенные ускорения, достаточно поднять индекс. В самом деле,
из A3.3) находим
mw1 = gtsQs
или
Таким образом, уравнения Лагранжа, разрешенные относительно
обобщенных ускорений, контравариантны.
В случае движения по инерции Q = О, поэтому уравнения дви-
движения будут
= 0. A3.4)
Но движение по инерции совершается вдоль прямой линии. Поэто-
Поэтому уравнения A3.4) являются уравнениями прямой линии в любой
системе криволинейных координат. Далее, прямая линия является в
евклидовом пространстве кратчайшей линией, соединяющей две
точки, т. е. геодезической линией. В римановой геометрии уста-
устанавливается, что уравнение геодезической линии всегда имеет
вид A3.4). Этот вопрос будет рассмотрен подробнее в части III.
Уравнения Аппеля для материальной точки. Введем в рас-
рассмотрение скаляр
S = ^
называемый энергией ускорений Аппеля (по аналогии с кинетической
энергией). Отсюда
§ 13 КОВАРИАНТНОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ В МЕХАНИКЕ И ФИЗИКЕ 135
Поэтому уравнения движения можно записать в виде
Это — уравнения Аппеля для материальной точки.
Склерономная голономная система с тремя степенями сво-
свободы. К таким системам относится, например, твердое тело с одной
неподвижной точкой, тройной маятник и т. п. Пусть д1 будут обоб-
обобщенные координаты системы; эти координаты не имеют уже ничего
общего с криволинейными координатами точки, они образуют про-
пространство конфигураций системы, в котором каждая точка опреде-
определяет одну определенную конфигурацию системы. Чтобы применять
тензорное исчисление к таким системам, необходимо ввести в про-
пространство конфигураций определенную метрику.
Заметив, что для склерономной голономной системы ее кинети-
кинетическая энергия Т выражается в виде квадратичной формы
мы можем ввести элемент длины ds в пространстве конфигураций сле-
следующим образом:
A3.5)
Теперь метрический тензор gik зависит не только от обоб-
обобщенных координат системы, но и от ее инерционных свойств.
При этом может оказаться, что пространство конфигураций с
введенной таким образом метрикой уже не будет евклидовым и
для него тензор Римана—Кристоффеля не окажется тождественно
равным нулю.
Такой прием сводит задачи динамики к задачам римановой
геометрии. *) Уравнения Лагранжа формально будут иметь вид
A3.2) и, вообще, будут нелинейными. Если их линеаризовать
обычным методом, т. е. при помощи малых отклонений от неко-
некоторого движения, то в линеаризованные уравнения войдет тензор
Римана— Кристоффеля. **) Уравнения движения системы, разре-
разрешенные относительно обобщенных ускорений, будут
В случае движения по инерции Qs = О и мы получим
*) См. Дж. Синдж, Тензорные методы в динамике, М., 1947.
**) См. Дж. Синдж, там же; А. И. Лурье, Аналитическая механика, М., 1962,
стр. 662.
136 ТЕНЗОРНЫЙ АНАЛИЗ В ТРЕХМЕРНОМ ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ Ч. II
Это формально совпадает с A3.4) и, как указывалось выше, явля-
является уравнением геодезической линии риманова пространства кон-
конфигураций системы с метрикой A3.5). Итак, движение системы по
инерции происходит вдоль геодезической линии пространства кон-
конфигураций. Этот результат является очень важным для теории тя-
тяготения Эйнштейна (общей теории относительности).
Градиент скалярной функции. В декартовых координатах, как
указано в § 4, градиент есть вектор, определяемый равенством
(grad f)Xi s /х<1 = — = —
эх'
В криволинейных координатах ковариантная производная скаляра
равна частной производной по координатам; это и есть ковариан-
тное представление градиента. Если обозначить ковариантное
представление градиента функции / через /,, то получим
Контравариантное представление градиента будет
dq
По общим правилам, физические представления градиента будут
Дивергенция вектора. В декартовых координатах дивергенция
вектора а есть свертка частной производной составляющих вектора
а1Х по координатам:
daXi Daxt
div а = —т = —f.
Эх' дх'
Пусть в криволинейных координатах вектор задан одним из своих
представлений а1 или at, тогда для дивергенции будем иметь выра-
выражение:
А. Da* i
dlv a = — = а\л
dq oq
Но так как
dq' dq'
то мы можем написать
dq' Kt dq'
§ 13 КОВАРИАНТНОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ В МЕХАНИКЕ И ФИЗИКЕ 137
Отметим, что если вектор задан своим ковариантным представ-
представлением at, то нельзя определить дивергенцию следующим образом:
dlv а = ~Z?>
ад
так как здесь имеется свертка по двум ковариантным индексам;
как мы знаем, такая свертка не обладает тензорными свойства-
свойствами. Таким образом, в выражение дивергенции входит свертка
символа Кристоффеля Г^.
Значение этой свертки в § 11 было получено при помощи
правила ковариантного дифференцирования псевдоскаляра (см.
A1.8)). Чтобы прийти к тем же самым формулам независимо
от этого правила, вычислим частную производную по координате
от детерминанта.
Имеем
дд' дд1 82д8зг ад' 8lp83r ад' 81р8гч
ад1 ад' ад' дд'
где Gik есть алгебраическое дополнение элемента gik в детерминан-
детерминанте \gik\- Но контравариантный метрический тензор glk, по опреде-
определению, составлен из элементов матрицы, обратной матрице ||g,J|-
Поэтому должно быть
g ~ '
откуда
Gtk = ggtk>
и мы получим
dg tk agik
—— = йя ——.
дд дд
Теперь воспользуемся тождеством A2.7), тогда будет
—;= gg*11^,,,, + Гк ,Л = g(Tkl + Гц) = 2gT,,,
дд' '•*' "•"
откуда мы приходим к искомым формулам для вычисления свертки
символа Кристоффеля:
t м _ 1 а in g _ а in VI __ i аУТ
2g ад> 2 rf sq> Vg дд'
138 ТЕНЗОРНЫЙ АНАЛИЗ В ТРВХМВРНОМ ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ Ч. II
Тот же результат можно получить непосредственно из A1.6). Сле-
Следовательно, дивергенцию можно представить в виде
Если вектор задан своим ковариантным представлением, то для
дивергенции будем иметь
Оператор Лапласа. В векторных обозначениях оператор Лапла-
Лапласа, действующий на функцию /, есть div grad / ш V2/; в декартовых
координатах х, у, z он имеет вид
V2/ s div grad / = ^ + ^ + Ц-
дх2 ду2 dz2
Чтобы получить выражение этого оператора в любых криволи-
криволинейных координатах, нужно лишь воспользоваться выражением
для дивергенции вектора, заданном в ковариантном представле-
представлении, т.е. формулой A3.6). Так как в данном случае а* = -4> то
мы получим
Если, в частности, система координат ортогональна, то метриче-
метрический тензор имеет диагональный вид, следовательно,
Поэтому будет
Итак, в любой ортогональной системе координат оператор Лапласа
имеет вид
div grad
§13 КОВАРИАНТНОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ В МЕХАНИКЕ И ФИЗИКЕ 139
Вихрь (ротор) вектора. В декартовых координатах вихрем мы
называем вектор
(rot a)xi - еш ^-S.
В криволинейных координатах мы должны вместо частной произ-
производной ввести ковариантную и заменить еш либо через Еш, либо
через Еш. Вектор а можем взять в двух представлениях: а1 и ах.
Ковариантная производная от первого будет а[ к; это смешанный
тензор, который нельзя свернуть по двум индексам в смысле Эйнш-
Эйнштейна ни с Elkl, ни с Еш. Ковариантная производная от щ будет
alk; это дважды ковариантный тензор, который можно свернуть по
двум индексам с Еш. Поэтому мы должны положить
)' = ?'*'^f. A3.7)
дд
Это выражение является истинным тензором, а при переходе к де-
декартовым координатам дает верное выражение для вихря.
Преобразуем выражение A3.7) для вихря. Имеем
потому что Еш антисимметричен по индексам kl, а Г|, сим-
симметричен по тем же индексам. Таким образом, имеет место фор-
формула
Если вектор задан своими контравариантными составляющими, то
нужно написать
Теорема Стокса. Как известно, в векторных обозначениях тео-
теорема Стокса состоит в утверждении, что имеет место равенство
a-t ds= \\ n-rota do,
с s
где S — часть поверхности, ограниченная замкнутым контуром С,
t — единичный вектор касательной к контуру С, п — единичный
вектор нормали к поверхности S, ds — дуга, элемент контура С,
da — элемент поверхности S, а — некоторый вектор.
140 ТЕНЗОРНЫЙ АНАЛИЗ В ТРЕХМЕРНОМ ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ Ч. II
Мы немедленно получаем то же самое равенство в тензорной
форме:
Теорема Грина. В векторной форме эта теорема выражается ра-
равенством
Н [ div a dv = J J n-a da,
где V — объем, ограниченный замкнутой поверхностью S, dv —
элемент объема. В тензорной форме она принимает вид
Часть III
ПОВЕРХНОСТЬ
КАК ДВУМЕРНОЕ РИМАНОВО ПРОСТРАНСТВО
§ 14. Двумерные объекты.
Криволинейные координаты на поверхности
Индексы. Мы снова воспользуемся греческими индексами, уже вво-
вводившимися в § 4, но придадим им теперь другой смысл:
индексы третьего класса — от а до в — фиксирующие и могут
принимать значения либо 1, либо 2;
индексы четвертого класса — от х до о — скользящие и про-
пробегают значения 1 и 2.
Таким образом, греческие индексы мы теперь будем применять
для обозначения двумерных объектов, латинские индексы по-преж-
по-прежнему будут использоваться для записи трехмерных объектов.
Двумерные объекты, составленные из нулей и единиц. Дву-
Двумерный символ Кронекера определяется следующим образом:
.„ Г1 0]
^-[oij-
Очевидно, что
Двумерный абсолютно антисимметричный объект должен теперь
иметь только два индекса. Обозначим его через ехХ и определим сле-
следующим образом. Если' х = X. = а, то еаа = 0, еп = +1, е21 = —1.
Поэтому можно написать
0 11
142 ПОВЕРХНОСТЬ КАК ДВУМЕРНОЕ РИМАНОВО ПРОСТРАНСТВО Ч. III
и совершенно также
.л-Г Oil
Имеем основное тождество, правильность которого легко проверить:
р О О
Найдем свертки этих объектов. При А. = а и X. — р будет, соответст-
> венно,
Дальнейшие свертки дают
•"Ча-2, ЛХх = -2.
Удобно ввести обобщенный символ Кронекера:
*S-«..
Очевидно, имеем
Вычисление детерминантов. Пусть есть объект второго порядка
ахХ; детерминант, составленный из матрицы его элементов, обозна-
обозначим через а. Образуем объект второго порядка
Непосредственным вычислением нетрудно показать, что при р =
= а = а будет йаа =0, а затем, что Ъп — а, Ъи = —а. Следователь-
Следовательно, можно написать
и мы находим основную формулу для вычисления детерминантов:
Для объекта а*х получаем
е^а^а** = аера, е ахрак° = аехк.
Для смешанного объекта а? будем иметь
§ 14 КРИВОЛИНЕЙНЫЕ КООРДИНАТЫ НА ПОВЕРХНОСТИ 143
Умножим первое равенство A4.2) на ерх. Так как е „в*" = 6*, то
получим
Введем обозначение
Тогда можно написать
Если придать индексам а и х какие-нибудь равные фиксированные
значения, например, положить а = х = а, то мы получим
а = аха^Ха- A4.4)
Это — разложение детерминанта а по элементам а-го столбца. Сле-
Следовательно, объект A4.3) составлен из алгебраических дополнений
элементов детерминанта.
Упражнение 1. Получить формулу для разложения детерми-
детерминанта по элементам строк.
Решение. Образуем объект
Как и выше, непосредственным вычислением докажем, что
схх " ae*v
и поэтому мы можем написать
ae*x = eP°a*ea>.o- A4.5)
Второе равенство A4.2) и равенство A4.5) идентичны. Умножим
A4.5) на ещ. Так как ен)ещ= 6?, то получим
Введем обозначение
i^-^^V A4.6)
тогда мы можем написать
Если придать индексам X и ц какие-нибудь равные фиксированные
значения, например, положить X. = ц = а, получим
Это — искомое разложение детерминанта по элементам а-й строки,
а объект A4.6) составлен снова из алгебраических дополнений эле-
элементов детерминанта а.
144 ПОВЕРХНОСТЬ КАК ДВУМЕРНОЕ РИМАНОВО ПРОСТРАНСТВО Ч. III
Упражнение 2. Показать, что объекты A4.3) и A4.6) тожде-
тождественны.
Решение. Сделав в A4.6) замену индексов
(! :)¦
мы придем к A4.3).
Упражнение 3. Показать, что для объектов а*х и а* мы по-
получаем алгебраические дополнения, соответственно, в виде
Ах = е*>.еРха*р>
АХ о оРХп-Л
А\ — ек\е Яр-
Фундаментальный объект. Как и в трехмерном случае (см. § 6),
определим некоторый класс объектов следующим образом. Постули-
Постулируем, что между двумя различными представлениями одного и того
же объекта, принадлежащего к рассматриваемому классу и имеющего
главную букву а, существует линейная зависимость
<** = <**>.<**¦> A4.7)
где а^ — некоторый симметричный объект, так что а^ = аХх и ра-
равенство A4.7) можно записать и в таком виде:
Объект ахХ называется фундаментальным объектом. Мы будем рас-
рассматривать только такие фундаментальные объекты, у которых
|ахХ| sa^O. Тогда система A4.7) разрешима относительно а\ и
можно написать
где аХх обладает тем свойством, что аХцацх = 6Х. Очевидно, что аХх
также симметричен. Таким образом, самому фундаментальному
объекту можно приписать два представления: а*х и axV
Найдем явное выражение для а*\ С этой целью мы могли бы
воспользоваться непосредственной формулой A4.4). Однако проде-
проделаем эти простые выкладки еще раз.
Мы имеем
Умножаем это равенство на ерх, получаем
§ 14 КРИВОЛИНЕЙНЫЕ КООРДИНАТЫ НА ПОВЕРХНОСТИ 145
Это равенство можно переписать следующим образом:
Откуда мы сразу видим, что должно быть
или
При помощи фундаментального объекта мы можем сформулиро-
сформулировать правило поднимания и опускания греческих индексов совер-
совершенно таким же образом, как это имело место для латинских ин-
индексов (§ 6). Например
Представления, полученные подниманием или опусканием индек-
индексов, называются ассоциированными относительно фундаментально-
фундаментального объекта.
Отметим, что требование симметрии фундаментального объекта
не является обязательным. Иногда рассматривают антисимметрич-
антисимметричные объекты в качестве фундаментальных.
Нетрудно видеть, что абсолютно антисимметричные объекты екХ
и ехХ не ассоциированы относительно ахХ. Поэтому вместо них вво-
вводят объекты
-1 О]' **
Очевидно, что будет:
Внутреннее и внешнее произведение. Дуальные объекты. Как
и в трехмерном случае, внутренним произведением двух объектов
Ьх называется скаляр
Два объекта первого порядка называются ортогональными, если их
внутреннее произведение равно нулю.
Из объекта первого порядка ах или а* при помощи объектов
?*х или ЕкХ можно образовать другой объект первого порядка Ах или
Нх, называемый дуальным к первому:
146
ПОВЕРХНОСТЬ КАК ДВУМЕРНОЕ РИМАНОВО ПРОСТРАНСТВО
Ч. III
Нетрудно видеть, что дуальные объекты ортогональны друг другу.
Действительно, мы имеем, например,
Объект ?** антисимметричен, а обобщенное произведение аха^
симметрично. Свертка симметричного и антисимметричного объек-
объектов есть тождественный нуль. Следовательно, hx и ах ортогональны.
Из двух объектов первого порядка а„ и Ь^ или а* и й* можно об-
образовать скаляр
Этот скаляр называется внешним произведением.
Объекты смешанного измерения. Нам придется встречаться с
объектами, имеющими по одним индексам два измерения, а по дру-
другим три. Их будем называть объектами смешанного измерения. Ес-
Если у объекта имеются индексы второго и четвертого классов, то он
имеет три измерения по латинским индексам и два — по греческим.
Так, например, объект второго порядка, число измерений которого
по первому индексу равно трем, а по второму — двум, мы будем
записывать следующим образом:
аы =
«11
«21
«31
«U
«22
«32
а\а\
а\а\
а11
а21
а31
«121
а22
а32
а объект, двумерный по первому индексу и трехмерный по второ-
второму, — следующим образом:
а _Г«11«.2«1з1 а„_Г«1«2«з1 , _ Га11 а'2 а13]
""' " [«21 «22 «23J' *' " [а\ а\ а\\' а ~ [а" а22 а23]'
Мы условимся, что в подобных объектах операция свертки приме-
применяется только по отношению к индексам, соответствующим одина-
одинаковому числу измерений.
При помощи объектов смешанного строения устанавливаются за-
зависимости между двумерными и трехмерными объектами.
Криволинейные координаты на поверхности. Пусть введены
трехмерные криволинейные координаты q', которые в частности,
могут быть просто декартовыми координатами х1. Тогда одно урав-
уравнение вида
/(*')= 0, /(<?') = О, A48)
§ 14 КРИВОЛИНЕЙНЫЕ КООРДИНАТЫ НА ПОВЕРХНОСТИ 147
в которое время не входит явно, определяет собой некоторую по-
поверхность, неподвижную в пространстве как целое и не подвер-
подвергающуюся деформации. Можно сказать, что A4.8) представляет со-
собой неподвижную жесткую поверхность.
Мы предположим, что A4.8) разрешимо относительно одной из
координат
Способ задания поверхности в виде A4.8) или A4.9) назовем
явным. При явном способе для того, чтобы определить точку на
поверхности, достаточно задать лишь две из ее трехмерных кри-
криволинейных координат, так как третья может быть получена
по A4.9).
Существует другой способ задания неподвижной жесткой по-
поверхности, введенный Гауссом. Пусть декартовы или криволиней-
криволинейные координаты выражаются в виде функции двух параметров их
х' = х'(ик), ?' = <7'(их). A4.10)
Будем предполагать, что функции х'(их), q'(ux) непрерывны,
однозначны и допускают столько частных производных, сколько
окажется нужным.
Такой способ задания поверхности называется параметриче-
параметрическим. При параметрическом способе трехмерные криволинейные ко-
координаты точки на поверхности определены, если заданы значения
двух параметров г/. Параметры их называются криволинейными ко-
координатами на поверхности; их совокупность является примером
двумерного геометрического объекта.
Очевидно, что если поверхность задана в явном виде, то всегда
можно перейти к параметрическому виду, так как существует
условие разрешимости, проводящее к A4.9). Чтобы от параметри-
параметрического вида перейти к явному, необходимо исключить из уравне-
уравнений A4.10) два параметра гЛ Для того, чтобы исключение было
возможно, на функции х'(их) следует наложить некоторые ограни-
ограничения.
Параметры г/ называются независимыми, если не существует
никакой функции <р(ик), при помощи которой вместо A4.10) можно
было бы записать
Найдем условие независимости параметров гЛ Для краткости
далее не приводим выражения для декартовых координат.
Предположим, что параметры зависимы, тогда имеет место ра-
равенство
V) '[(*)] A4.11)
148
ПОВЕРХНОСТЬ КАК ДВУМЕРНОЕ РИМАНОВО ПРОСТРАНСТВО
Ч. III
Введем обозначение
Э«А
'дя1
ди1
2
Ти1
дя3
ди1
дя1'
ди2
2
'ди1
дя3
ди2
Здесь р[ обозначает совокупность двух трехмерных векторов |3{ и
^2- Таким образом, (учитывая A4.11)),
Умножим первое из этих равенств на —%, второе на —^- и вычтем
ди ди
второе из первого; получим
Это равенство показывает, что трехмерные векторы |3( и $'2 имеют
пропорциональные составляющие, т. е. что они коллинеарны, следо-
следовательно, их векторное произведение должно равняться нулю:
*/*Ж = 0. A4.12)
Таким образом, чтобы имело место A4.11), необходимо выполнение
условия A4.12). Покажем, что этого и достаточно. Если A4.12)
имеет место, то то трехмерные векторы |3( и C? коллинеарны, и их
составляющие пропорциональны. Следовательно, должно удовлетво-
удовлетворяться равенство
0, A4.13)
где а и b в общем случае зависят от их. Рассмотрим дифференци-
дифференциальный двучлен
a du2 + Ь dul.
Всегда можно найти такой интегрирующий множитель со, который
обращал бы этот двучлен в полный дифференциал некоторой функ-
функции <р(ик), поэтому можно написать
d<p = bca du1 + аи> du2,
откуда следует, что
аа> =
ди
2'
ди1
§ 14 КРИВОЛИНЕЙНЫЕ КООРДИНАТЫ НА ПОВЕРХНОСТИ 149
Но тогда, умножая A4.13) на со, мы можем написать
р{аш - Bibca = О,
а учитывая значения р( и $'2,
= О, или p{it_p*it = o,
' ди2 ri ди1
i ¦> ¦> i — "•
du du du du
Для каждой из координат ql выражение слева представляет собой
якобиан этой координаты и функции <р; равенство нулю этого яко-
якобиана показывает, что эти функции зависимы, т. е. существует со-
соотношение вида A4.11). Отсюда следует, что для того, чтобы пара-
параметры и1 и и1 были независимы, необходимо и достаточно, чтобы
выполнялось условие
в *4*4*О. A4Л4)
'*' ди ди2
Те точки поверхности, в которых условие A4.14) удовлетворяется,
называются обыкновенными. В противном случае точки называются
особыми. В дальнейшем мы будем рассматривать только поверх-
поверхности или части поверхностей, не имеющие особых точек. Для та-
таких поверхностей из уравнения вида A4.10) можно получить урав-
уравнение вида A4.8)*) при помощи операции, называемой исключе-
исключением переменных. Эта операция отнюдь не является простой, и
часто ее практическое выполнение очень трудно. Однако, в ряде
случаев она выполняется просто.
Упражнение 4. Уравнение поверхности задано в виде
где а'х — постоянные. Требуется исключить параметры и".
Решение. Дополним объект а1х до а[, трехмерного по обоим индек-
индексам, и притом так, чтобы \а'к\ ^0. Введем третий параметр и3 и на-
напишем систему уравнений
ql = а[ик.
Очевидно, что из этой системы мы получим заданное уравнение по-
поверхности, если положим и3 г 0; но, разрешив систему трех уравне-
уравнений относительно и3, можем написать
РОГ*
*) Э. Гурса, Курс математического анализа, т. 1,ч. 2, стр. 182, М., 1933.
150 ПОВЕРХНОСТЬ КАК ДВУМЕРНОЕ РИМАНОВО ПРОСТРАНСТВО Ч. III
откуда следует, что должно быть
Это и есть результат исключения параметров из заданного уравне-
уравнения поверхности, т.е. ее уравнение в форме A4.8).
Итак, пусть поверхность задана своими параметрическими урав-
уравнениями . '
ql = q\u\ uz).
Пусть один из параметров имеет постоянное значение, например,
пусть будет и1 = а1 ** const. Тогда из уравнения поверхности по-
получаем
Так как теперь координаты ql зависят только от одного параметра,
то мы имеем параметрическое уравнение кривой, которая целиком
лежит на поверхности A4.10); в любой точке этой кривой остается
верным равенство
и1 = а1 = const.
Следовательно, это равенство мы можем считать уравнением кри-
кривой, целиком лежащей на заданной поверхности (рис. 14.1).
Если теперь положить и2 = а2 = const, то мы получим вторую
кривую на поверхности.
Две кривые на поверхности
ul = al = const, иг = а2 = const, A4.5)
вообще говоря, пересекаются в некоторой точке В поверхности,
трехмерные координаты которой будут
Каждой паре значений параметров их соответствует некоторая точка
на поверхности, трехмерные координаты которой определяются од-
однозначно. Поэтому параметры i/ мы можем считать криволинейны-
криволинейными координатами точки на поверхности.
Кривые A4.5) называются координатными линиями на поверх-
поверхности. Совокупность всех координатных линий образует коорди-
координатную сеть, которая состоит из двух различных семейств кривых,
расположенных целиком на поверхности.
Кривые
U'=0, и2 = 0
также относятся к числу координатных. Назовем их начальными
координатными линиями, а точку их пересечения А — началом ко-
координат на поверхности.
§15
ТЕНЗОРЫ НА ПОВЕРХНОСТИ. МЕТРИКА НА ПОВЕРХНОСТИ
151
Область сети, в которой каждые две координатные линии
различных семейств пересекаются только в одной точке, а коор-
координатные линии одного и того же семейства не пересекаются,
назовем правильной. Например, географическая сеть на земном
шаре правильна везде, за
исключением полюсов. В
дальнейшем мы будем поль-
пользоваться только правильны-
правильными сетями.
Бели на заранее заданной
поверхности выбраны пара-
параметры и\ определяющие ко-
координатные линии, и уста-
установлено начало координат А,
мы будем говорить, что на
поверхности установлена си-
система криволинейных коор-
координат At/. Переход от криво- Рис. 14.1
линейных координат на по-
поверхности, установленным каким угодно способом, к трехмерным
координатам совершается при помощи параметрического уравнения
поверхности.
§ 15. Тензоры на поверхности. Метрика на поверхности
Тензоры на поверхности. Пусть на одной и той же поверхности ус-
установлены две системы координат: Аир, которую будем называть
старой, и Лы*, которую будем называть новой. Пусть формулы пре-
преобразования координат будут
**(«>> A5.1)
Дифференциалы координат преобразуются по линейным законам
dH* = — dup.
du? = ^-du*.
Введя обозначения
?al = c* — = v"
a«' p> dH* T*'
A5.2)
152 ПОВЕРХНОСТЬ КАК ДВУМЕРНОЕ РИМАНОВО ПРОСТРАНСТВО Ч. III
мы можем написать закон преобразования дифференциалов коорди-
координат в следующем виде:
Пусть имеется какой-нибудь двумерный объект первого поряд-
порядка ар, который при нелинейном преобразовании координат A5.1)
преобразуется по линейному закону
*-<"¦ (.5.3)
а"-155".
Такой объект мы будем называть контравариантным вектором на
поверхности или контравариантным тензором первого порядка на
поверхности. Отметим, что сами координаты и9 не образуют вектора.
Как и в § 7, введем ковариантные векторы. Для этого зададим
скалярную или инвариантную функцию <р на поверхности, опреде-
определяемую равенством
Отсюда имеем
ди? дп" дир дИ
ИЛИ
диГ ди
,17* Р
Так как dup есть совершенно произвольный вектор, то выражение в
скобках должно быть равным нулю, и мы получаем
аи" р дп*'
Введя обозначения
мы получаем закон преобразования для объекта а :
(.5.4)
Всякий двумерный объект, который при преобразовании координат
A5.1) преобразуется по закону A5.4), называется ковариантным
§ 15 ТЕНЗОРЫ НА ПОВЕРХНОСТИ. МЕТРИКА НА ПОВЕРХНОСТИ 153
вектором на поверхности или ковариантным тензором первого
порядка на поверхности.
Воспользовавшись обобщенным произведением ковариантных и
контравариантных векторов на поверхности, мы назовем истинны-
истинными тензорами на поверхности или просто тензорами на поверх-
поверхности объекты различных порядков, которые преобразуются, как
эти обобщенные произведения. Получим следующие таблицы преоб-
преобразований:
контравариантные тензоры ковариантные тензоры
= а
af>=y$
*
apa
смешанные тензоры
Применив объекты еро и еро к вычислению детерминантов
Ср соответственно и помня, что I Yx I = » получим
i p i
где 7=IySI- Следовательно, если мы хотим, чтобы гро и еро
были изотропными объектами, т. е. чтобы их составляющие были
одинаковы во всех системах криволинейных координат на по-
поверхности, мы должны предположить, что они преобразуются по
закону:
154 ПОВЕРХНОСТЬ КАК ДВУМЕРНОЕ РИМАНОВО ПРОСТРАНСТВО Ч. III
Объекты на поверхности, закон преобразования которых при пере-
переходе от старых координат е?3 к новым ?**• отличается от A5.5) по-
появлением в правой части множителя у^м\ называются псевдотензо-
псевдотензорами на поверхности, а число М — весом псевдотензора. Таким об-
образом, е есть псевдотензор на поверхности веса —1, а ?ро —
псевдотензор на поверхности веса +1.
Метрический тензор на поверхности, вложенной в трехмер-
трехмерное пространство. Пусть уравнение поверхности задано в трехмер-
трехмерных криволинейных координатах:
Возьмем какую-нибудь точку на поверхности Р, имеющую трехмер-
трехмерные координаты qt и двумерные ир, и Q — бесконечно близкую к
ней точку поверхности, имеющую координаты ql + dql и ир + dup.
Тогда
dq1 = ^dup = р? dup = р{ dul + р? du2. A5.6)
Здесь du1 и du2 — бесконечно малые дуги координатных кривых, сов-
совпадающие с отрезками касательных к этим линиям; поэтому du1 и
du2 лежат в плоскости, касательной к поверхности, и сумма в правой
части A5.6) представляет собой отрезок, лежащий в той же плоскости.
Этот отрезок в трехмерном пространстве определяется тремя величи-
величинами dq1. Поэтому мы можем сказать, что dq' есть пространственное
представление двумерного вектора на поверхности dup, причем вектор
на поверхности — это такой вектор, который лежит в плоскости, каса-
касательной к поверхности.
В трехмерных координатах квадрат расстояния между точками
Р и Q будет равен
где glk зависит только от криволинейных координат ql.
Найдем этот же квадрат расстояния ds между точками Р и Q в
двумерных координатах. В силу существования уравнения поверх-
поверхности A4.10)
q^, q fa
и поэтому
Воспользовавшись введенным в предыдущем параграфе обозначением
§ 15 ТЕНЗОРЫ НА ПОВЕРХНОСТИ. МЕТРИКА НА ПОВЕРХНОСТИ 155
получаем
Введя обозначение
ди" ди° °'*п>го'
мы можем написать
ds^ = a dup dua. (\чя\
ро V, i%j.o^
Объект аро, очевидно, симметричен. Выражение для ds называется
линейным элементом поверхности или элементом длины.
Так как расстояние между двумя точками на поверхности, оче-
очевидно, не зависит от системы криволинейных координат Аир, то
ajw —- ц fljyP du° sb a .dud и ,
откуда на основании обратного тензорного признака заключаем, что
аро есть истинный ковариантный тензор второго порядка на поверх-
поверхности, его закон преобразования при переходе от системы Аир к си-
системе Лйх
Этот тензор называется ковариантным метрическим тензором по-
поверхности, а дифференциальная квадратичная форма в правой ча-
части A5.8) — первой основной формой поверхности. Отметим, что
элементы двумерного объекта а
: ПуСТЬ
l
— детерминант матрицы, составленной из элементов ковариантно-
го метрического тензора. Это, очевидно, псевдоскаляр веса +2
(доказательство совершенно аналогично трехмерному случаю). Вве-
Введем в рассмотрение объект
В правой части стоит алгебраическое дополнение элементов мат-
матрицы ||аро||, разделенное на детерминант этой матрицы, следова-
следовательно, объект ахХ составлен из элементов матрицы, обратной
матрице ||аро||. Так как ехр есть псевдотензор веса +1, то ахХ
есть истинный контравариантный тензор второго порядка на по-
поверхности, он называется контравариантным метрическим тен-
тензором поверхности.
156 ПОВЕРХНОСТЬ КАК ДВУМЕРНОЕ РИМЛНОВО ПРОСТРАНСТВО Ч. III
Условимся, что метрический тензор играет роль фундаменталь-
фундаментального объекта для тензоров на поверхности, т. е. при его помощи
можно поднимать и опускать греческие значки, например
ахХах = ах, а**^ = а* и т. д.
Чтобы оправдать такие обозначения, необходимо показать, что тен-
тензор, полученный из контравариантного путем опускания индекса,
становится ковариантным по этому индексу; иначе применение
нижнего индекса носило бы неопределенный характер и порождало
бы путаницу. Это предложение предоставляется доказать читате-
читателям, используя закон преобразования метрического тензора.
Отметим, что, как нетрудно показать, объекты ЕхХ и ЕхХ явля-
являются истинными тензорами на поверхности.
Длина и норма на поверхности. Можно сказать, что A5.8)
определяет квадрат длины или норму вектора dup. По аналогии на-
назовем квадратом длины или нормой любого вектора на поверхности
а* величину а^, определяемую следующим образом
а<2> = ахХаха\ A5.9)
Направление на поверхности. Пусть криволинейные координаты
ир являются функциями от одного параметра t; тогда из A4.10) име-
имеем, что
т. е. трехмерные координаты стали зависеть от одного только пара-
параметра t, следовательно, зависимость криволинейных координат ир от
одного параметра определяет кривую на поверхности.
Положим, что параметр t есть длина дуги кривой s, тогда из
A5.8) мы получаем
1 ~ V» ds ds'
_ du?
Следовательно, квадрат длины вектора —^ равен единице, т. е.
это — единичный вектор. Разделив A5.6) на ds, получаем
os qup as • p as -
tt do1
Но, как известно, в трехмерном пространстве вектор -4- есть еди-
единичный вектор касательной к кривой; из A5.10) видно, что он всег-
всегда определен законом преобразования, как только задан единичный
du9 г-, duf
вектор -JJ- на поверхности. Поэтому мы можем сказать, что —г- есть
§ 15 ТЕНЗОРЫ НА ПОВЕРХНОСТИ. МЕТРИКА НА ПОВЕРХНОСТИ 157
единичный вектор касательной к кривой на поверхности. Иначе го-
- dup
воря, единичный вектор —г- определяет на поверхности некоторое
направление. Обратно, если задан некоторый единичный вектор на
А Р
поверхности Яр, то мы всегда можем выбрать -?- так, чтобы было
Таким образом, всякий единичный вектор на поверхности явля-
является вектором, касательным к поверхности, и определяет на ней не-
некоторое единственное направление.
Пространственный вектор, соответствующий вектору на
поверхности. Трехмерные векторы, в отличие от векторов на по-
поверхности, будем называть пространственными. Если пространст-
пространственный вектор является трехмерной совокупностью составляющих
некоторого вектора на поверхности, назовем его соответствую-
соответствующим последнему. Вектор на поверхности и соответствующий ему
пространственный вектор представляют один и тот же отрезок: од-
одно представление двумерное, другое трехмерное. Из A5.10) имеем
?¦=№¦
ds п>
Таким образом, единичному вектору Х.р на поверхности соответст-
соответствует единичный пространственный вектор ~. Поэтому, введя обоз-
обозначение
А -Г*
мы можем написать
л' = РрЯр. A5.11)
Любой вектор а* на поверхности или а1 в пространстве получается
умножением своего единичного вектора на некоторое число а, назы-
называемое длиной вектора, поэтому можно написать
а" = аХ*, а1 = ак'.
Умножив A5.11) на а, мы получим
<15Л2>
Эта формула связывает любой вектор на поверхности с соответ-
соответственным ему пространственным вектором; отметим, что а1 и ар яв-
являются различными представлениями одного и того же вектора, ка-
касательного к поверхности.
158 ПОВЕРХНОСТЬ КАК ДВУМЕРНОВ РИМАНОВО ПРОСТРАНСТВО Ч. III
Угол между двумя векторами на поверхности. Пусть а* и Ь* —
два вектора на поверхности. Соответствующие им пространствен-
пространственные векторы будут
Угол <р между двумя пространственными векторами определяется
формулой
ab cos <p = а1Ьп
а так как
то
ab cos <p = рУ
Воспользовавшись A5.7), мы отсюда получаем
ab cos <p ¦= apaapba,
откуда
cos<p = -^, A5.13)
где в соответствии с A5.9)
p LO
Если кр = — и \иа = -г- суть единичные векторы направлений ар
и Ьа, то
cos <p = а оХ,р(д.а,
т. е. внутреннее произведение единичных векторов на поверхности
есть косинус угла между ними.
Скалярное произведение. Внутреннее произведение р двух век-
векторов на поверхности, по определению, равно
р - a^aPV = а»аарЬа = а?Ьр = арЬР.
Сравнивая это с A5.13), мы видим, что
р — ab cos <p.
В трехмерном пространстве эта величина называется скалярным
произведением; мы сохраним тот же термин и для векторов на по-
поверхности.
Как и в трехмерном пространстве, условие ортогональности озна-
означает, что два вектора на поверхности перпендикулярны друг другу.
Дуальные векторы на поверхности. Дуальные векторы пр и аа
связаны соотношением
п<> = Е*<>ах. A5.14)
§ 15 ТЕНЗОРЫ НА ПОВЕРХНОСТИ. МЕТРИКА НА ПОВЕРХНОСТИ 159
Как было показано в § 14, дуальные векторы ортогональны друг
другу. Покажем, что, кроме того, их длины одинаковы. Квадрат
вектора пр, по определению, есть
и» - а
Выражение в фигурных скобках представляет собой контраварнант-
ный метрический тензор поверхности, поэтому мы можем написать
^ п=в а.
Таким образом, дуализация вектора на поверхности есть его пово-
поворот на прямой угол в плоскости, касательной к поверхности. Необ-
Необходимо установить положительное направление этого поворота. Так
как
Е ах- -Е" ах,
то знак пх зависит от расположения немых индексов в формуле
A5.14) для определения дуального вектора. Мы условимся, что по-
поворот совершается в положительном направлении, когда немые ин-
индексы расположены так, как указано в формуле A5.14).
Векторное произведение. В трехмерном пространстве векторное
произведение представляет собой вектор, определяемый внешним
произведением двух векторов. Если принять аналогичное опреде-
определение и для векторов на поверхности, то векторное произведение
есть скаляр на поверхности
Вычислим значение этого скаляра. Очевидно, можно написать
S = п\,
где и* — вектор, дуальный аж. Если угол между векторами аж и Ь^
есть <р, то угол между векторами пх и bk равен |— <р (рис. 15.1).
Поэтому
S = пЬ cos (f - <Р)»
а так как длины дуальных векторов одинаковы, то имеем оконча-
окончательно
S=*ab sin <p* A5.15)
Очевидно, что этот скаляр представляет собой площадь параллело-
параллелограмма, построенного на векторах а* и bk.
Элемент площади. Вычислим площадь da элемента поверх-
поверхности, заключенного между координатными кривыми и1, и2,
и1 + dul, и2 + du2 (рис. 15.2). Эту площадь можно рассматривать
160 ПОВЕРХНОСТЬ КАК ДВУМЕРНОЕ РИМАНОВО ПРОСТРАНСТВО Ч. III
как площадь параллелограмма, построенного на векторах
du*^(dul, 0) и dUB)(Q, du2). Обозначив длину этих векторов через
Рис. 15.1
ds^ и ds^ соответственно, из общего выражения для квадрата дли-
длины вектора получим
и, затем,
da = ds^x ds,2\ sin «p.
Теперь найдем угол <р между координатными линиями. Мы имеем
по общей формуле для скалярного произведения
ах^ du*^ du^ = rffy) dSB)cos *P>
причем в левой части только один член из четырех отличен от нуля.
Действительно, мы имеем
°хХ dU(l) duB) ~ Qll du(l) duB) "^ а12 du(l) duB) "^
+ а21 du2(l) du\2) + а22 du2{i) du\2y
откуда, вследствие того, что du\^ = du1, du2y) = 0, du\2) — 0,
du22^t= du2, сразу получаем
axX dufo du^q = a12 du1 du2 — Vai7v'°22 dul du2 cos *P-
Следовательно, для угла <р между координатными кривыми получим
cos ф = if .
Отсюда имеем
"B)
sin2 <p = 1 —
aUa22 aUa22
§ 15 ТЕНЗОРЫ НА ПОВЕРХНОСТИ. МЕТРИКА НА ПОВЕРХНОСТИ 161
ИЛИ
sin <р = , v° .
Теперь воспользуемся формулой A5.15). Обозначив векторное про-
произведение dufa и ddfo через da, причем da есть как раз искомый
элемент площади, мы получим
da — ds^ rfSB) sin <p = Va dul du2.
Обсуждение полученных результатов. Пусть нам задана пер-
первая основная квадратичная форма поверхности ахХ du* rfu\ причем
больше ничего о поверхности неизвестно; неизвестно, в частности,
и ее конечное уравнение в трехмерных координатах, а система кри-
криволинейных координат на поверхности остается произвольной и, с
точки зрения трехмерного наблюдателя, пока совершенно неопреде-
неопределенной. Спрашивается, что мы можем узнать о самой поверхности?
1. Задав произвольную зависимость
u*=u*(t),
мы можем сказать, что таким путем определена произвольная кри-
кривая на поверхности.
2. Мы можем определить элемент длины этой кривой
ds<V = ахХ du* du\
а при помощи интегрирования по параметру t определить расстоя-
расстояние между двумя точками на этой произвольной кривой.
3. Мы можем определить единичный вектор Хр любого направле-
направления поверхности при помощи формулы
а следовательно и любой вектор на поверхности. Применяя тен-
тензорные операции, мы можем получить любые тензоры на поверх-
поверхности.
4. Мы можем определить угол <р между двумя любыми направ-
направлениями на поверхности по формуле
5. Мы можем определить элемент площади на поверхности
da = Va du1 du2,
а путем интегрирования — площадь любой конечной части по-
поверхности.
6 — Г. В. Коренев
162 ПОВЕРХНОСТЬ КАК ДВУМЕРНОЕ РИМАНОВО ПРОСТРАНСТВО Ч. III
Таким образом, пользуясь только одной первой основной квад-
квадратичной формой и неопределенной системой криволинейных
координат на поверхности, мы можем получить о ней самой зна-
значительное количество сведений и построить тензорную алгебру на
поверхности, и притом не прибегая ни к каким трехмерным
образам. Это значит, что подобные сведения о поверхности могло
бы получить двумерное разумное существо, обитающее на этой
поверхности и не имеющее никакого представления о существова-
существовании третьего измерения. Это существо получало бы сведения о
своей поверхности совершенно таким же образом, каким мы, трех-
трехмерные существа, получаем сведения о пространстве, в котором
мы живем.
Геометрические свойства поверхности, которые мы можем изу-
изучать, не прибегая к трехмерному пространству, называются ее
внутренними свойствами, а часть геометрии, занимающаяся изуче-
изучением этих внутренних свойств — внутренней геометрией поверх-
поверхностей.
Однако уже такое понятие, как нормаль к поверхности, не мо-
может быть получено при помощи внутренних методов; для этого не-
необходимо привлечение трехмерных понятий.
Как уже упоминалось, задание первой основной квадратичной
формы поверхности не определяет непосредственно конечного урав-
уравнения поверхности в виде
Чтобы получить это конечное уравйение, необходимо проинтегриро-
проинтегрировать систему трех уравнений в частных производных
gik—-—j — gtbfixfix = °хХ' A5.16)
где gik зависит только от д1, а о,^ — только от ир. Так как вид
gik зависит от выбранных трехмерных криволинейных координат, то
для интегрирования системы A5.16) необходимо выбрать трехмер-
трехмерные криволинейные координаты.
Наиболее простой вид система A5.16) приобретает в декартовых
координатах, так как в этом случае gtk — btk. Тогда получаем
Эй" дих *У
Выбрав систему трехмерных координат и проинтегрировав уравне-
уравнения A5.16), мы найдем конечные уравнения поверхности в выбранной
системе трехмерных координат. Как известно, в решение войдут про-
произвольные функции, так что первая основная форма определяет ко-
конечное уравнение поверхности (или саму поверхность) неоднозначно.
Получив конечные уравнения поверхности и полагая в них сна-
сначала одну, а потом другую из криволинейных координат на поверх-
§ 15 ТЕНЗОРЫ НА ПОВЕРХНОСТИ. МЕТРИКА НА ПОВЕРХНОСТИ 163
ности равными постоянными, и придавая этим постоянным различ-
различные значения, получим координатную сеть на поверхности; тем са-
самым будет установлен и трехмерный геометрический смысл криво-
криволинейных координат на поверхности, который при задании самой
первой квадратичной формы оставался скрытым.
Для приложений в механике особенно важно соответствие между
двумерными векторами на поверхности и их трехмерными представ-
представлениями, определяемыми по A5.12). Эта формула позволяет пере-
переходить от двумерных векторов к трехмерным; необходимо получить
также формулу для перехода от трехмерного представления векто-
векторов на поверхности к их двумерным представлениям. При этом мы
как бы уменьшаем измерение векторов.
Мы имеем
Умножим это равенство на |3Х, получим
или, окончательно,
Рх^/ = ^х*
Эта формула относится к ковариантным представлениям трехмер-
трехмерных и двумерных векторов на поверхности.
Добавление. О другом выборе фундаментального объекта.
Выражение для детерминанта метрического тензора
можно переписать так
Таким образом, поднимание индексов у метрического тензора осу-
осуществлено при помощи объекта Е**-. С другой стороны,
т. е. и здесь ЕхХ играет роль фундаментального объекта. Поэтому в
теории поверхностей в качестве двух представлений фундаменталь-
фундаментального объекта можно применять Е**- и ЕхХ.
Векторы, ассоциированные относительно ЕхХ, будут дуальными
векторами:
Таким образом, в этом случае ассоциированные векторы равны
друг другу по длине, но взаимно перпендикулярны. Переход к
ассоциированному представлению есть операция поворота вектора
на угол ^.
164 ПОВЕРХНОСТЬ КАК ДВУМЕРНОЕ РИМАНОВО ПРОСТРАНСТВО Ч. III
§ 16. Параллельный перенос на поверхности
Как и в трехмерном случае, нам необходимо установить дифферен-
дифференциальные тензорные операции на поверхности. Мы это проделаем
внутренним способом, прибегая к трехмерным понятиям лишь для
пояснений. Прежде всего установим понятие параллельного перено-
переноса вектора на поверхности.
Геометрические - соображения. При формулировке условий,
определяющих параллельный перенос вектора в какой-нибудь си-
системе криволинейных координат трехмерного пространства, мы ис-
исходили из того обстоятельства, что при этом составляющие вектора
по осям декартовой системы, координат остаются постоянными. Па-
Параллельно переносимый вектор оставался пространственным векто-
вектором. Поскольку мы сейчас занимаемся векторами на поверхности,
т. е. векторами, расположенными в касательной плоскости, которая
при переносе сама изменится, то если по-прежнему потребовать по-
постоянства составляющих вектора на поверхности по осям трехмер-
трехмерных декартовых координат, сам вектор при перемещении покинет
касательную плоскость, т. е. перестанет быть вектором на поверх-
поверхности (рис. 16.1).
Например, пусть А и А будут две точки на поверхности. Ри р' —
плоскости, касательные к поверхности в этих точках. Пусть мы хотим
перенести вектор АВ в точку А'. Как и всякий вектор на поверх-
поверхности, вектор АВ лежит в плоско-
плоскости, касательной к поверхности;
именно в плоскости Р. Вектор АВ,
перенесенный параллельно в точ-
точку А в обычном трехмерном смыс-
смысле, выйдет при этом из касатель-
касательной и займет положение А'В', об-
образуя с касательной плоскостью
Р' угол я|>.
Чтобы сделать параллельно
перенесенный вектор снова век-
Рис-16#1 тором на поверхности, необходи-
необходимо его каким-то образом вернуть
в касательную плоскость, но тогда параллельность исходного и пе-
перенесенного векторов, понимаемая в обычном трехмерном смысле,
нарушится.
Таким образом, в определении параллельного переноса вектора
на поверхности может содержаться некоторый произвол, состоя-
состоящий в выборе способа, при помощи которого вектор, перенесенный
параллельно в трехмерном смысле, возвращается в касательную
плоскость.
§ 16 ПАРАЛЛЕЛЬНЫЙ ПЕРЕНОС НА ПОВЕРХНОСТИ 165
Определение параллельного переноса вектора на поверх-
поверхности. Примем за критерий целесообразности следующее соображе-
соображение: условие параллельного переноса для вектора на поверхности
должно иметь тот же вид, что и в криволинейных координатах трех-
трехмерного евклидова пространства и должно получаться путем замены
латинских индексов на греческие, т. е. путем формального перехода
от трехмерных объектов к двумерным.
В соответствии с этим критерием дадим следующее определение
параллельного переноса вектора на поверхности. *)
Пусть дана поверхность с установленной на ней системой произ-
произвольных криволинейных координат Аи* и некоторая кривая на ней,
определенная уравнениями и1 = и'@> и2 — @- Пусть вдоль кри-
кривой С задан вектор на поверхности своим контравариантным
а*(и\ и2) или ковариантным ах(и!, и2) представлением. Тогда усло-
условием того, что при перемещении вдоль заданной кривой вектор пе-
переносится параллельно, будет
а* + Г^ахй* = 0 A6.1)
или
а -Гаи^О, A6.2)
где
Г? = <хх°Г
Эих ди" j
есть двумерный трехзначковый символ Кристоффеля, определяемый
метрическим тензором поверхности акХ. Этот трехзначковый символ
имеет 23 = 8 элементов.
Определенный таким образом параллельный перенос называется
параллелизмом в смысле Леви—Чивита.
Естественно, определение параллельного переноса не должно за-
зависеть от выбора системы координат на поверхности; это условие
будет соблюдено, если равенства A6.1) и A6.2) инвариантны отно-
относительно любых преобразований координат на поверхности. Чтобы
установить эту инвариантность, достаточно доказать, что в левых
частях равенств A6.1) и A6.2) стоят выражения, являющиеся тен-
тензорами на поверхности. По аналогии с трехмерным случаем эти вы-
выражения назовем абсолютными производными векторов на поверх-
поверхности и сохраним для них прежние обозначения
Итак, нам нужно доказать, что абсолютные производные векторов
на поверхности сами являются векторами на поверхности.
*) Ср. Л. П. Эзенхарт, Риманова геометрия, М., 1948, стр. 83.
166 ПОВЕРХНОСТЬ КАК ДВУМЕРНОЕ РИМАНОВО ПРОСТРАНСТВО Ч. III
В трехмерном случае такое доказательство было проведено с по-
помощью произвольного параллельно переносимого вектора и с по-
помощью обратного тензорного признака. То же самое можно сделать
и в настоящем случае. Однако, ниже приводится более сложное пря-
прямое доказательство этого предложения, потому что в его процессе в
качестве промежуточного результата получается очень важный для
дальнейшего изложения закон преобразования символов Кристоф-
феля, который в трехмерном случае было рекомендовано получить
в порядке упражнения (§11).
Инвариантность абсолютной производной вектора на по-
поверхности. Пусть на поверхности заданы две системы криволиней-
криволинейных координат: старая Аи? и новая Аи*. Согласно A5.2) и A5.3)
какой-нибудь контравариантный вектор на поверхности ар будет
иметь следующий закон преобразования
ap = -z^a*- A6.3)
Вдоль кривой переноса up = up(t), поэтому мы можем продиффе-
продифференцировать равенство A6.3) по t. Мы получим
Найдем выражение для а " через символы Кристоффеля. С этой
ди*дих
целью возьмем закон преобразования метрического тензора поверх-
поверхности
— _ ди? ди?
и продифференцируем это равенство по пц. Мы получим
а">й _ at(pg ди? ди? ди1 . | ди? д и" , ди" д i
Эйц ди1 дп* дп*' Эпи ро \дп* дп^дп? Эй* дп*
Сделаем теперь в A6.5) следующую замену индексов: всюду Г ?
(о т\ \ I
р . Получим
' дир эУ , ди" д'
ди? дп* дп*' дп* ра \ дп^ дп дп* дп а~'
Сделаем в A6.5) еще одну замену индексов: всюду [ п, в первом
члене правой части г Л. Получим
[ |
ра\дп* дп^дп* Эй* Эп*дп
| Эи°
+ [ |
ди° дп* Эй* Эйх ра\дп* дп^дп* Эй* Эп*дп
§ 16 ПАРАЛЛЕЛЬНЫЙ ПЕРЕНОС НА ПОВЕРХНОСТИ 167
Сложим равенства A6.7) с A6.6) и вычтем A6.5). Получим
I Эй диж Эй"
ИЛИ
Это равенство определяет закон преобразования символов Кри-
стоффеля первого рода. Умножим теперь обе части равенства A6.8)
на a(tv —. Получим
Эй*
a -ЦУ ЭЦ'<> Эй"
ро ЭЙ*Э^
Н°
поэтому имеем „ ,
fv — = г* диР а I а
хХ Эпу ро Эпх Эпх дпхдпг
Это равенство определяет закон преобразования символов Кристоф-
феля второго рода. Сделав замену индексов V*J°, получим
окончательно , „
^С-^^-ГР,^^. A6.9)
дижд1Г ** Эй" °х ди* дих
Подставив это выражение в A6.4), получим
da?_ _ ди^ da*_ , (W diS_ _ рр аи^ diA _x
dt зй" dt ¦*" ^ хХ а-к с-г а-х a-xj а
или
л ot эй" эйх <" rf' дй" хХ
Но
rfux _ Эйх rf«* Эй" -и _ 0
~dT-~^-dT' дй" '
от дйх эйх <" ot эйх du» dt ax ¦ <" от
Следовательно, будет
168 ПОВЕРХНОСТЬ КАК ДВУМЕРНОЕ РИМАНОВО ПРОСТРАНСТВО Ч. III
а это равенство показывает, что абсолютная производная
dt dt ^ l <"a dt
есть истинный тензор на поверхности. Следовательно, равенство
A6.1) есть тензорное равенство, неизменное в любой системе
координат на поверхности. Таким образом, определение параллель-
параллельного переноса по Леви—Чивита не зависит от выбора криволиней-
криволинейных координат на поверхности.
Отметим, что, так как в закон преобразования символов Кристоф-
феля A6.9) входит вторая частная производная, то эти символы не яв-
являются тензорами. Однако, если преобразование координат линей-
линейно, то вторые производные обращаются в нуль тождественно. Отсюда
видно, что по отношению к линейным преобразованиям координат
символы Кристоффеля ведут себя как тензоры. Это вывод, разумеет-
разумеется, верен и в трехмерном случае.
Абсолютное и ковариантное дифференцирование тензоров
на поверхности. Параллелизм по Леви—Чивита дает возможность
построить аппарат абсолютного и ковариантного дифференцирова-
дифференцирования тензоров на поверхности совершенно таким же способом, как
это было сделано в § 11 для случая трехмерных тензоров в криволи-
криволинейных координатах евклидова пространства. Из этого очевидна це-
целесообразность такого понимания параллельного переноса. Так как
при введении определения параллельного переноса мы применили
лишь аналогию и не пользовались декартовыми координатами трех-
трехмерного пространства и трехмерным пространством вообще, то ап-
аппарат строится внутренними средствами поверхности.
Повторяя рассуждения, приведенные в § 11, мы получим те же
самые формулы, в которых лишь заменены латинские индексы, про-
пробегающие три значения, на греческие индексы, пробегающие два
значения. Напомним важнейшие правила ковариантного дифферен-
дифференцирования в двумерном варианте.
1. Следующие тензоры и псевдотензоры на поверхности при аб-
абсолютном и ковариантном дифференцировании можно рассматри-
рассматривать как постоянные:
ажХ, а , а, ор, орст, ехХ, е , ?.хХ, л .
Иначе говоря, абсолютная и ковариантная производная этих тензо-
тензоров на поверхности есть тождественный нуль.
2. Абсолютная и ковариантная производная сумм и произведе-
произведений тензоров вычисляется по правилам обыкновенного дифференци-
дифференцирования, в которых обыкновенные производные заменены абсолют-
абсолютными или ковариантными.
3. Абсолютные и ковариантные производные ассоциированных
представлений тензоров сами являются ассоциированными тензо-
тензорами.
§16 ПАРАЛЛЕЛЬНЫЙ ПЕРЕНОС НА ПОВЕРХНОСТИ 169
4. Операция свертки перестановочна с операциями абсолютного
и ковариантного дифференцирования.
5. Повторное абсолютное и ковариантное дифференцирова-
дифференцирование перестановочно только в том случае, когда тензор Римана—
Кристоффеля тождественно равен нулю.
Тензор Римана-Кристоффеля и гауссова кривизна поверх-
поверхности. Напомним, что тензор Римана—Кристоффеля имеет вид
Он обладает следующими свойствами симметрии
Из тензора Римана—Кристоффеля можно образовать скаляр
K = LE*bE*°RxXpa. A6.10)
Этот скаляр называется гауссовой кривизной поверхности. Умно-
Умножив равенство A6.10) на Е ^Е и проделав выкладки, аналогич-
аналогичные тем, которые в § 12 привели нас к тождествам Ляме, мы
получим
<1)
Таким образом, все 16 элементов тензора Римана—Кристоффеля
поверхности могут быть выражены через один скаляр — гауссову
кривизну поверхности. В частности, Rl2n — а&- Условием того, что-
чтобы тензор Римана—Кристоффеля обращался в нуль тождественно,
будет
0
т. е. гауссова кривизна поверхности в каждой точке должна быть
равна нулю. Это имеет место на плоскости и на поверхностях, раз-
развертывающихся на плоскость. Существует только три типа развер-
развертывающихся поверхностей: цилиндры, конусы и поверхности, опи-
описанные касательной к пространственной кривой. На остальных по-
поверхностях гауссова кривизна не равна тождественно нулю и,
следовательно, тензор Римана—Кристоффеля также не обращается
тождественно в нуль.
Поэтому мы можем сформулировать следующее предложение:
ковариантное дифференцирование перестановочно только на раз-
развертывающихся поверхностях.
170 ПОВЕРХНОСТЬ КАК ДВУМЕРНОЕ РИМАНОВО ПРОСТРАНСТВО Ч. III
Развертывающаяся поверхность, в том числе и плоскость, моде-
моделирует двумерное евклидово пространство; всякая другая поверх-
поверхность моделирует двумерное пространство с неевклидовой метри-
метрикой — двумерное риманово пространство.
На всех неразвертывающихся поверхностях для повторного диф-
дифференцирования контравариантного вектора на поверхности по ана-
аналогии с A2.3) будем иметь
<xX-<XK = Wap. A6Л2)
Чтобы получить подобное же соотношение для ковариантного век-
вектора на поверхности, опустим в A6.12) индекс \и. Мы получим
А так как
ар = а"°аа,
то окончательно будем иметь
<W-<Vxk = *><xVV A6ЛЗ)
Геодезические линии на поверхности. Геодезической линией в
трехмерном евклидовом пространстве является прямая; ее уравне-
уравнение в любых криволинейных координатах было нами получено
раньше. Продолжая использованную только что аналогию, мы мо-
можем принять, что уравнение геодезической линии на поверхности
получается из уравнения трехмерной прямой переходом к двумер-
двумерным координатам.
Поэтому мы примем, что геодезической линией на поверхности
называется кривая, определяемая системой дифференциальных
уравнений
rfV , гх dt^dt^ = 0 A6.14)
ds2 + l X(i ds ds U> V '
где s — длина дуги кривой.
Если ввести единичный вектор касательной к геодезической ли-
линии
Л* = ^, A6.15)
то из A6.14) получаем
df + T*.tf<!f = o. A6.16)
ds *i* ds
Это есть условие параллельного переноса вектора Xх. Отсюда следу-
следует, что, во-первых, уравнения A6.16), а, следовательно, и A6.14),
§ 16 ПАРАЛЛЕЛЬНЫЙ ПЕРЕНОС НА ПОВЕРХНОСТИ 171
инвариантны относительно выбора системы координат на поверх-
поверхности, и, во-вторых, единичный вектор касательной к геодезической
линии переносится вдоль нее параллельно. Последнее свойство
иногда принимают за определение геодезической линии.
Чаще всего геодезическую линию определяют из условия экстре-
экстремума расстояния между какими-нибудь двумя точками на поверх-
поверхности. Так как
ds = VaxXMxux dt,
то длина кривой на поверхности между точками А и В будет равна
Л, A6.17)
где
и мы можем искать кривую, вдоль которой интеграл A6.17) прини-
принимает стационарное значение. Как известно из вариационного исчис-
исчисления, условие стационарности интеграла A6.17) имеет вид
d дФ дФ _ q
dt дих ди*
Мы имеем
Следовательно, условие стационарности будет
o. ¦ A6.18)
2Ф ди*
Примем теперь в качестве параметра длину дуги s кривой; тогда
ахХл>(лх= 1, Ф= 1,
и уравнения A6.18) примут вид
ds [ хХ ds I 2 дцж ds ds
Но мы имеем
d (_ dux\ _ „ dV , дал dux du» _ _ rfV , 1 дал duk du» ,
ds [a*b dsj ~ a*b dsi ^ du* ds ds a*b ds2 ^ 2 du* ds ds ^
l^rt^rf/_ d2uK 1 Д«хх dux du» , 1 gV di? duK
2 du* ds ds a*b dsi + 2 Эцц ds ds ^ 2 ЭцХ ds ds '
172 ПОВЕРХНОСТЬ КАК ДВУМЕРНОЕ РИМАНОВО ПРОСТРАНСТВО Ч. III
где в последнем члене сделана подстановка индексов f п. Поэтому
уравнения A6.18) принимают вид
или, будучи умноженными на а*р,
rfs2 ^ ds ds
Таким образом, мы пришли к уравнениям геодезической линии
в форме A6.14). Однако, этот результат еще не дает основания го-
говорить о том, что определенная таким образом кривая имеет наи-
наименьшую возможную длину; нельзя утверждать даже, что между
двумя точками проходит только одна геодезическая кривая. Триви-
Тривиальный пример: на круглом цилиндре геодезической является вин-
винтовая линия. Очевидно, что через любые две точки на цилиндре, в
том числе и сколь угодно близкие, вообще говоря, можно провести
бесконечное множество винтовых линий различного шага, но среди
них будет одна, которая имеет наименьшую длину. Поэтому строгая
формулировка экстремальных свойств геодезической линии будет:
если между двумя точками на поверхности существует кривая,
имеющая между этими двумя точками наименьшую длину, то эта
кривая принадлежит к числу геодезических линий.
Отметим без доказательства, что если материальная точка при-
принуждена двигаться по поверхности без трения и при отсутствии дру-
других внешних сил, кроме реакции поверхности, то ее траекторией
будет геодезическая кривая. Это почти очевидно из явного выраже-
выражения уравнений Лагранжа 2-го рода.
Некоторые свойства параллельно переносимых векторов.
Сравним некоторые свойства параллельно переносимых векторов на
поверхности с параллельными векторами трехмерного евклидова
пространства (или с векторами на плоскости).
Покажем, что длина параллельно переносимого вектора на по-
поверхности остается постоянной. Для этого достаточно установить,
что величина
остается постоянной. С этой целью найдем производную по времени
от правой части предыдущего равенства и установим, что она равна
нулю. Мы имеем
§ 16 ПАРАЛЛЕЛЬНЫЙ ПЕРЕНОС НА ПОВЕРХНОСТИ 173
а, так как
(Г** + T^aV = r^oV + Г^Л*
= Г^Л* + I^aV = 2Г ^а*а\
то мы можем написать
{^ ^4?} A6.19)
где в первом члене выражения в фигурных скобках немой индекс
X заменен на р.
Если вектор ар переносится параллельно, то он удовлетворяет
условию A6.1):
Бели умножить это равенство на ая , то получится выражение, сто-
стоящее в скобках в A6.19). Следовательно, оно равно нулю, и наше
предложение доказано.
Следующее свойство состоит в том, что угол между двумя парал-
параллельно переносимыми векторами а* и 6х остается постоянным. Чтобы
установить это, достаточно показать, что скалярное произведение
остается постоянным. Это доказательство совершенно аналогично
предыдущему; читателям рекомендуется выполнить его в порядке
упражнения.
Так как единичный вектор касательной к геодезической кривой
переносится вдоль нее параллельно, то всякий другой вектор, парал-
параллельно переносимый вдоль геодезической кривой, составляет с ней по-
постоянный угол. В евклидовом двумерном пространстве (на плоскости)
геодезическая линия есть прямая; всякий параллельно переносимый в
плоскости вектор составляет с этой прямой постоянный угол.
Таким образом, все три перечисленные свойства параллельно пе-
переносимого вектора на поверхности совпадают со свойствами векто-
вектора, параллельно переносимого в трехмерном евклидовом простран-
пространстве или на плоскости — в двумерном евклидовом пространстве.
Однако, параллельный перенос вектора на поверхности (в дву-
двумерном римановом пространстве) обладает свойствами, существенно
отличающимися от параллельного переноса вектора на плоскости
(в евклидовом пространстве).
Представим себе, что вектор переносится по сколь угодно мало-
малому замкнутому контуру на поверхности. Оказывается, что при воз-
возвращении в начальную точку вектор отклонится от своего началь-
начального направления на угол df, определяемый формулой
dy = К da,
174
ПОВЕРХНОСТЬ КАК ДВУМЕРНОЕ РИМАНОВО ПРОСТРАНСТВО
Ч. III
где К — гауссова кривизна поверхности, da — площадь внутри
контура. Это предложение носит название теоремы Леви—Чивита.
Ее доказательство приводить не будем.
При параллельном переносе вектора вдоль замкнутого контура,
охватывающего конечную площадь на поверхности, угол его
поворота при возвращении в исходную точку выражается формулой
<р= \Kdc + 2nn, A6.20)
где п — целое число, а а0 — площадь поверхности, охватываемой
контуром.
Эта формула разрешает парадоксы, которые могут возникнуть
при параллельном переносе вектора по замкнутой геодезической ли-
Рис. 16.2
нии. Например, рассмотрим параллельный перенос вектора на сфере
вдоль большого круга, который на ней является замкнутой геодези-
геодезической линией. Будем переносить единичный вектор Xх, касатель-
касательный к большому кругу, начиная с точки А (рис. 16.2); как известно,
§ 17 СПЕЦИАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ КООРДИНАТ НА ПОВЕРХНОСТИ 175
он переносится при этом параллельно. Но очевидно из опыта, что
после обхода всего большого круга APBQA этот вектор возвращает-
возвращается в исходное положение с точностью до 2лп.
Применим формулу A6.20). Пусть сфера имеет радиус г. Тогда
можно показать, что К = -^ = const. Площадь полусферы, как изве-
известно, есть 2лг2. Поэтому
<р = \К da + 2пл = \\do + 2лп = 2л + 2лп.
"о °о
При параллельном переносе по большому кругу единичный век-
вектор его касательной поворачивается на 2л. Поясним этот результат
рис. 16.2.
Диаметрально противоположные точки А и В отличаются тем, что
через них проходит не одна, а бесконечное множество больших кру-
кругов, т. е. геодезических линий. Выберем из них один BRA, плоскость
которого составляет с плоскостью круга APBQA угол 6. Перенеся век-
вектор л* вдоль большого круга АРВ, дальше будем переносить его не по
дуге BQA, а по дуге BRA и обозначим его, в отличие от переносимого
по дуге BQA, через Х.Ч Угол, который параллельно переносимый век-
вектор Я,'" составляет с единичным вектором Vх касательной к дуге BRA,
будет всюду постоянен и равен л — 6. Тогда из чертежа (т. е. из мыс-
мысленного эксперимента) ясно, что по приходе в точку А вектор Х.'х ока-
окажется повернутым относительно лх на угол 26.
Устремим теперь дугу BRA к дуге BQA так, чтобы они в пределе
совпали; тогда мы получим нужный нам параллельный перенос по
замкнутой геодезической линии. При этом в пределе будет 6 = л,
вследствие чего вектор X,ж повернется относительно Х* на угол 2л;.
§ 17. Специальные системы координат на поверхности
Постановка задачи. Ранее мы установили криволинейные коорди-
координаты на поверхности одновременно с заданием самой поверхности
при помощи уравнений
«'-«'("*). A7.1)
где д1 — пространственные криволинейные координаты, и* — кри-
криволинейные координаты на поверхности. Если в A7.1) зафиксиро-
зафиксировать сначала и1, а затем и2, мы получим трехмерные уравнения ко-
координатных кривых на поверхности. Таким образом, для установле-
установления системы координат на поверхности мы сошли с поверхности в
пространство. Возникает вопрос: как установить координаты на по-
поверхности, так сказать, внутренним способом, не используя при
этом трехмерного пространства? С подобной постановкой вопроса
мы встретимся в общей теорией относительности.
176 ПОВЕРХНОСТЬ КАК ДВУМЕРНОЕ РИМАНОВО ПРОСТРАНСТВО Ч. III
6 теории поверхностей доказывается следующее предложение:
для всякой наперед заданной положительно определенной квадра-
квадратичной формы ахХ du* du^ от двух каких угодно переменных и1, и1
существует такая поверхность, которая в координатах и1, и2 имеет
форму ахХ du* dux в качестве своей первой основной квадратичной
формы. Однако, задание формы ос^ du* dux определяет поверхность
неоднозначно; существует бесконечное количество поверхностей,
имеющих заданную квадратичную форму в качестве первой основ-
основной. Заданная квадратичная форма не определяет однозначно ко-
конечных уравнений поверхности, а следовательно, не определяет од-
однозначно и координатных кривых на поверхности.
Таким образом, задание первой основной квадратичной формы
определяет поверхность и систему координат на ней с некоторой
степенью произвола. Однако, в этой произвольной системе коорди-
координат мы получили ряд соотношений, верных в любой системе коор-
координат. Эти соотношения составляют содержание внутренней гео-
геометрии поверхности.
Отметим, что эта ситуация совершенно аналогична той, которая
имеется в механике при пользовании уравнениями Лагранжа 2-го
рода. Как известно, эти уравнения справедливы в любой системе ко-
координат; они написаны раз и навсегда, в совершенно произвольных
координатах. Только при решении определенной задачи мы конкре-
конкретизируем эти координаты, отождествляя их с некоторыми парамет-
параметрами изучаемой механической системы, и притом делаем это так,
как удобно в данной задаче. В этом одно из практических преиму-
преимуществ уравнений Лагранжа 2-го рода.
Аналогично мы можем поступить и в теории поверхностей
(имея в виду использовать этот прием в теории относительно-
относительности). Берем неопределенные заранее совершенно произвольные
координаты, которые в дальнейшем будем называть основными
или базисными координатами поверхности, и задаем в этих ко-
координатах первую основную квадратичную форму поверхности,
т. е. ее метрический тензор, и ищем соотношения, верные в лю-
любой другой системе координат, т. е. тензорные соотношения на
поверхности.
При таком способе определения поверхности мы не имеем самого
уравнения поверхности в конечном виде A7.1). Вопрос о нахожде-
нахождении такого уравнения не входит в нашу задачу; он сводится к ин-
интегрированию системы уравнений в частных производных и подроб-
подробно рассматривается в курсах теории поверхностей, причем устанав-
устанавливается, что задание первой основной квадратичной формы в
произвольных базисных координатах определяет класс поверх-
поверхностей, которые могут быть получены одна из другой путем
изгибания, т. е. деформации, при которой длины дуг кривых на по-
поверхности остаются неизменными.
§ 17 СПЕЦИАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ КООРДИНАТ НА ПОВЕРХНОСТИ 177
Нас будут интересовать некоторые специальные виды криволиней-
криволинейных координат на поверхности, выводимые из произвольных базис-
базисных координат путем их преобразования без выхода в трехмерное
пространство и обладающие особенно удобными свойствами для полу-
получения тензорных соотношений, верных в любой системе координат.
Геодезические координаты на поверхности. На плоскости
можно построить координатную сеть из прямых линий, которые яв-
являются геодезическими и образуют декартову систему координат на
поверхности. В произвольной базисной системе координат и* геоде-
геодезическая линия определяется уравнениями A6.14):
Чтобы координатная линия и1 = с[ была геодезической, т. е. чтобы
и1 = с1 было решением системы A7.2), очевидно, необходимо и до-
достаточно, чтобы выполнялось равенство Т\г = О, а чтобы координат-
координатная линия и2 = с2 была геодезической — равенство Г2{ = 0. Чтобы
все координатные линии и1 = с1 и и2 = с2 (при любых с1 и с2) были
геодезическими, необходимо и достаточно, чтобы равенства
Г?2 = °. гп=° A7.3)
удовлетворялись тождественно на всей поверхности.
Если потребовать, чтобы не два, а все шесть символов Кристоф-
феля обращались тождественно в нуль, то этого, очевидно, доста-
достаточно, чтобы удовлетворялись условия A7.3), т.е. достаточно для
того, чтобы координатные линии были геодезическими.
Система координат, в которой все символы Кристоффеля обра-
обращаются в нуль на всей поверхности, называется геодезической.
Оказывается, что на поверхности, имеющей произвольную квад-
квадратичную форму в качестве первой основной, вообще, нельзя постро-
построить геодезическую систему координат. В самом деле, поскольку тен-
тензор Римана—Кристоффеля зависит только от символов Кристоффеля,
которые в геодезической системе координат, по определению, все рав-
равны тождественно нулю, то и сам тензор Римана—Кристоффеля равен
тождественно нулю; следовательно, это имеет место и во всякой сис-
системе координат. Но тогда гауссова кривизна поверхности должна быть
равна нулю в каждой точке, т. е. поверхность должна быть разверты-
развертывающейся на плоскость.
Итак, геодезические координаты могут быть установлены только
на развертывающейся поверхности.
7 - Г. В. Коренев
178 ПОВЕРХНОСТЬ КАК ДВУМЕРНОЕ РИМАНОВО ПРОСТРАНСТВО Ч. III
Координаты, геодезические в данной точке поверхности. По-
Поскольку на произвольной поверхности не может существовать геоде-
геодезическая система координат, вместо нее применяется система коор-
координат, геодезическая в одной произвольной точке поверхности. Та-
Такая система называется геодезической в данной точке или локально
геодезической.
Чтобы система координат была локально геодезической, все сим-
символы Кристоффеля должны обратиться в нуль в одной произвольной
точке поверхности, называемой центром или полюсом локально ге-
геодезической системы.
Покажем, что всегда существует преобразование координат,
определяющее переход от произвольной базисной системы к локаль-
локально геодезической.
В предыдущем параграфе было показано, что символы Кристоф-
Кристоффеля преобразуются по A6.9):
эУ _ рЦ i«l_pp эиа ей1
ди ди ди ди ди
Пусть ир — базисная система координат, Л* — локально геодезиче-
геодезическая, полюс которой находится в точке ug. Значения символов Кри-
Кристоффеля в полюсе обозначим через (rgTH и (Г^)о. Так как система
ы* — локально геодезическая, то (Г?хH == 0, и в полюсе должно быть
эУ _ (Го ч ди° дих
ди ди ди ди
Введем преобразование координат
и покажем, что полученная таким образом новая система пр — ло-
локально геодезическая в точке ир = ug, т. е., что в этой точке соотно-
соотношение A7.4) удовлетворяется. Очевидно, что в полюсе будет
ТР = 0. Вычисляя частную производную по п* от обеих частей ра-
равенства A7.5), получаем
дп*
или, окончательно,
Дифференцируя" по п\ получаем
! (П.7)
§ 17 СПЕЦИАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ КООРДИНАТ НА ПОВЕРХНОСТИ 179
Покажем, что в полюсе то же самое получается из равенства
A7.4), верного в локально геодезических координатах. Действи-
Действительно, из A7.6), так как в полюсе йх = 0, имеем
ди)о
Подставив это в A7.4), получим в полюсе
Это совпадает с A7.7), откуда следует, что новые координаты п*,
введенные при помощи преобразования A7.5), являются локально
геодезическими координатами, полюс которых находится в точке
ир = и% или й* = 0.
Так как в полюсе локально геодезической системы все сим-
символы Кристоффеля равны нулю, то в этой точке первая кова-
риантная производная совпадает с частной производной, а абсо-
абсолютная — с полной производной по параметру. При помощи
локально геодезической системы удобно получать тензорные со-
соотношения, верные в какой-нибудь точке поверхности, в том
числе и в произвольной точке. Установив некоторое тензорное
соотношение в произвольном полюсе при помощи локально гео-
геодезической системы, мы получим то же самое соотношение в той
же самой точке, но в совершенно произвольной системе коорди-
координат, заменив частные производные первого порядка на первые
ковариантные, а полную — на абсолютную.
Следует отметить, что локально геодезические координаты по-
получены исходя из произвольной базисной системы координат.
Нормальные координаты. Решение уравнений геодезической
линии в окрестности какой-нибудь из ее точек и? = ug можно полу-
получить при помощи разложения в рвд Тейлора
Ы
где s — длина дуги геодезической линии, отсчитываемая от
точки ир = ug. Если геодезическая линия проходит через полюс и
отсчет длины ведется от полюса, то ug = 0, и разложение реше-
решения примет вид
180 ПОВЕРХНОСТЬ КАК ДВУМЕРНОЕ РИМАНОВО ПРОСТРАНСТВО Ч. Ш
Бели полюс есть обыкновенная точка поверхности, то ряды сходятся
при s< с, где с — достаточно малое число. Область, где ряд A7.8)
сходится, назовем геодезической окрестностью полюса.
Коэффициенты разложения найдем из уравнения геодезической
линии A6.14). Мы имеем
</У ГР du* dux
ds* хХ ds ds *
Дифференцируя еще раз по s, получим
ds ds ds П «X ds2 ds
Hk 4и sbL ii 7г f-r>< du du)du
Эцц ds ds ds x* у nv ds dsj ds
>< du< du")
j
Сделав в последнем члене перестановку индексов
[аи k j
получим
rfV = _ff?jx_9rP Г)
ds3 (эй* °* x>tJ ds ds ds'
или, введя обозначение
ох Хц
рр хХ орр ро
1 хХц = "^Г Z1 ox1 V
получим
м ^^^^ JL .«ч ¦ t ¦ #
3 хХ(* (/j rfj (/j
u 5
Путем аналогичных выкладок найдем
и т.д. Так как \-т~\ есть единичный вектор, выходящий из полю-
\ds /о
са, введем обозначение
Тогда ряд A7.8) может быть записан в виде
§ 17 СПЕЦИАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ КООРДИНАТ НА ПОВЕРХНОСТИ 181
В полюсе любой локально геодезической системы координат, по
определению, все символы Кристоффеля пропали бы, и в A7.9) от-
отсутствовал бы член второго порядка. Но можно выбрать такие спе-
специальные локально геодезические координаты, что в A7.9) пропа-
пропадают все члены порядка выше первого.
Введем новые координаты пх:
ux = Xxs, A7.10)
(du*\
где к*= -т— задан в старых координатах.
\ /о
Чтобы соотношения A7.10) можно было считать преобразовани-
преобразованием координат, необходимо показать, что существует обратное пре-
преобразование.
Подставив A7.10) в A7.9), получим
и" = W - ± (ГРх)оп*^ -1 (Г^ДЙЧ*^ - ... A7.11)
Эти формулы и можно рассматривать как обращение преобразо-
преобразования A7.10).
Уравнения A7.10) определяют в координатах и* геодезическую
линию, проходящую через полюс. Действительно, A7.10) можно
рассматривать как параметрические уравнения некоторой кривой в
координатах п", но, подставив значения п" в формулы преобразова-
преобразования координат A7.11), мы, очевидно, снова придем к уравнениям
геодезической линии в старых координатах. Следовательно, наше
утверждение справедливо.
Но, вообще, уравнения геодезической линии, в том числе и в
координатах пх, определяются по A6.14), поэтому и в координа-
координатах пх A7.10) должно быть
+ Ъ^?-* <1712>
Выписывая решение этой системы снова в виде ряда, очевидно, по-
получим
Это выражение должно совпадать с A7.10), что возможно толь-
только в том случае, когда все члены, кроме первого, обращаются в
нуль.
Следовательно, координаты Л" являются, во первых, локально
геодезическими, а во-вторых, это — локально геодезические коор-
координаты специального вида, так как в полюсе уничтожается не толь-
только (rjxH, но также (Г?ХAH и все последующие.
182 ПОВЕРХНОСТЬ КАК ДВУМЕРНОЕ РИМАНОВО ПРОСТРАНСТВО Ч. III
Поэтому локально геодезические координаты, определяемые ра-
равенством A7.10), носят название нормальных координат.
Итак, в нормальных координатах все члены разложения A7.9),
кроме первого, обращаются в нуль; решение уравнений геодезиче-
геодезической линии приобретает в нормальных координатах вид A7.10),
причем эта линия проходит через полюс.
Отсюда мы видим, что в нормальных координатах уравнения гео-
геодезических линий приобретают тот же вид, что уравнения прямых на
плоскости, что еще более расширяет нашу исходную аналогию между
прямыми линиями на плоскости (в евклидовом пространстве) и геоде-
геодезическими линиями на поверхности (в римановом пространстве).
При преобразовании базисной системы координат нормальные ко-
координаты преобразуются по линейному закону. Действительно, пусть
есть две базисных системы координат ир и ир, которым соответствуют
нормальные координаты пр и пр, определяемые равенствами
ТР = tfs,
W = hs.
*
Так как А.р и Х.р — контравариантные векторы, то их закон преоб-
* дир
разования есть Хр = — А.°. Поэтому
ди
или
Отсюда следует, что всякое линейное преобразование переводит
нормальные координаты в нормальные же.
Известно, что на плоскости всякое линейное ортогональное
преобразование переводит одну декартову систему координат в
другую. Таким образом, и здесь имеется аналогия между декартовыми
координатами на плоскости и нормальными координатами на по-
поверхности.
Нормальные координаты в частном случае, когда первая основ-
основная метрическая форма выражается в виде суммы квадратов диффе-
дифференциалов, называются римановыми координатами. *)
Приведем некоторые важные соотношения в нормальных коорди-
координатах. Рассмотрим геодезическую линию, идущую из полюса; для
*) Здесь использована терминология, приведенная в книге В. Ф. Каган, «Основы
теории поверхностей в тензорном изложении», ч. 1, ^., 1947, стр. 442. В книге
Л. П. Эйзенхарт, «Риманова геометрия» М. 1948, стр. 70—73, термины «римановы» и
«нормальные» переставлены.
§ 17 СПЕЦИАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ КООРДИНАТ НА ПОВЕРХНОСТИ 183
нее справедливы уравнения A7.10) и A7.12). Сделав подстановку
из первого уравнения во второе, получим
= 0.
Опуская индекс, получим
Умножим оба эти равенства на s^2\ получим
Эти соотношения верны во всей геодезической области.
Пусть квадратичная форма поверхности написана в нормальных
координатах:
Применим ее к длине дуги геодезической линии, проходящей через
полюс. Из A7.10) имеем, что d~H*= \* ds, поэтому
о^Х-Х* - 1.
Так и должно быть для единичного вектора. Умножив это на s(),
йх
пх = s®
ахХйхпх = s
Это соотношение верно во всей геодезической окрестности. Расстоя-
Расстояние s, отсчитываемое по геодезической линии, проходящей через
полюс, называется геодезическим расстоянием.
Пусть метрический тензор принимает в полюсе значение (а^о*
Поскольку составляющие единичного вектора касательной к
геодезической линии остаются неизменными во всех ее точках, в
том числе и в полюсе, то мы имеем
и поэтому
*Ю = (ахХ) оп*пх = алй*йх. A7.13)
Таким образом, для всякой точки геодезической окрестности полю-
полюса, ее геодезическое расстояние от полюса в нормальных координа-
координатах выражается формулой A7.13).
Полугеодезические (полярные) координаты. Проведем через
полюс О всевозможные геодезические линии; одну из них примем за
полярную ось. Тогда положение любой точки В (рис. 17.1) в геодези-
геодезической окрестности полюса можно определить, указав, какая именно
из геодезических линий проходит через нее, и на каком геодезиче-
184
ПОВЕРХНОСТЬ КАК ДВУМЕРНОЕ РИМАНОВО ПРОСТРАНСТВО
Ч. III
ском расстоянии s от полюса она находится. Поэтому за координаты в
геодезической окрестности можно принять геодезическое расстояние
s и угол 6, образуемый геодезической линией ОВ и выбранной поляр-
полярной осью. Итак
Такие координаты называются
полугеодезическими. Здесь одно
семейство координатных линий
представляют собою геодезиче-
геодезические линии, а второе — линии,
пересекающие все геодезические
линии на равном геодезическом
расстоянии от полюса; эти кри-
кривые называются геодезическими
Рис. 17.1 окружностями.
Определим вид первой ос-
основной квадратичной формы в окрестности полюса в полугеодезиче-
полугеодезических координатах. Выпишем первую основную форму в развернутом
виде:
2al2duldu2
A7.14)
где черточки над буквами для простоты опущены. Рассмотрим ее
вдоль одной из геодезических координатных линий; тогда и1 = s,
и2 = const и, следовательно, dul = ds, du2 = 0. Вследствие того, что
du2 = 0, основная форма должна иметь вид ds® = au dul(-2\ a
поскольку du1 = ds — вид ds^ = dul(-2\ Поэтому должно быть
ап = !•
?
.2 2
Кроме того, так как -?- = 0, ^-\
= 0, уравне-
ния геодезической линии A7.2) в рассматриваемом случае дают
r}j = О, Т\х = 0. Поэтому
Поскольку ап = 1, имеем
1 (dC*21 ^**21 ^**11^ ^**21 a
Г2,и = 2 1ТТ + Тд ZJ\ =ТТ==0>
ей1
ей1
ей
а так как а21 = а12, то
еа
^ = 0.
A7.15)
Но в полюсе и1 = 0 и, следовательно, для всех малых перемещений
из полюса du1 = ds, независимо от того, каким выбран du2; поэтому
§ 18 ПОВЕРХНОСТЬ, ВЛОЖЕННАЯ В ТРЕХМЕРНОЕ ПРОСТРАНСТВО 185
при и1 = 0, как видно из развернутой записи A7.14), должно быть
<х12= а22 = 0. Но тогда в силу A7.15) а12 должен исчезать всюду,
т. е. координатные кривые ортогональны. Поэтому первая основная
форма в полугеодезических координатах должна иметь вид
ds® = du1® + а22(и1, и2)
Можно показать, -у-*1 при и1-*•():
и
§ 18. Поверхность, вложенная в трехмерное пространство
В заключение, напомним кратко основные соотношения, получен-
полученные в этой главе.
Вектор на поверхности как пространственный вектор. Всякий
вектор на поверхности можно рассматривать как отрезок, лежащий
в плоскости, касательной к поверхности. Следовательно, его можно
рассматривать также и как пространственный вектор.
Пусть в пространстве введены криволинейные координаты д1, а
на поверхности — криволинейные координаты и*. Уравнение по-
поверхности будет
<?' = ?'(«")•
Дифференциалы координат связаны соотношением
dQl = ^du\ A8.1)
где введено обозначение
Здесь du* характеризует перемещение по поверхности, a dg' то же
самое перемещение, рассматриваемое в пространстве. Трехмерный
объект dq' есть пространственный вектор, но — скаляр на поверх-
поверхности, так как его составляющие не изменяются при любом преоб-
преобразовании криволинейных координат и* на поверхности. Точно так-
также du* есть произвольный вектор на поверхности и произвольный
скаляр в пространстве. Поэтому производная C? = -^ есть контрава-
ди
риантный пространственный вектор и ковариантный вектор на по-
поверхности.
186 ПОВЕРХНОСТЬ КАК ДВУМЕРНОЕ РИМАНОВО ПРОСТРАНСТВО Ч. III
Всякое направление на поверхности определяется единичным
вектором ^* = -^-> где ds — длина дуги кривой, по которой
перемещение происходит. Поэтому, разделив A8.1) на ds, мы
можем написать
Отсюда следует, что всякий вектор на поверхности а* связан со сво-
своим пространственным представлением при помощи равенства
а' = ру.
Рассмотрим теперь линейный элемент поверхности ds, опреде-
определяемый ее первой основной квадратичной формой
Тот же самый линейный элемент, рассматриваемый в простран-
пространстве, будет
ds& = gtk dql dqk = grfffl du* du\
Поэтому получим
axX du* dux = gtkpffl du* dux,
откуда, так как ахХ и glk симметричны, следует
axX = PxPfof A8.2)
Эта формула дает возможность найти метрический тензор по-
поверхности по ее уравнению и метрическому тензору пространствен-
пространственной системы координат.
Бели вектор на поверхности задан в ковариантном представле-
представлении и требуется найти его пространственное ковариантное представ-
представление, это, очевидно, будет
Вектор, нормальный к поверхности. Пусть ах и Ьк — два век-
вектора на поверхности, определенные в одной и той же точке; их про-
пространственные представления будут
ак = р*ах, Ь1 = |J[ft\
Так как ак и Ъ1 лежат оба' в одной и той же касательной плоскости
к поверхности, то их векторное произведение направлено по норма-
нормали к поверхности. Поэтому, обозначив через nt единичный век-
§18 ПОВЕРХНОСТЬ, ВЛОЖЕННАЯ В ТРЕХМЕРНОЕ ПРОСТРАНСТВО 187
тор нормали к поверхности в рассматриваемой точке, мы можем
написать
ntab sin «p - ЕшаЧ1 ±Е1к$%а**,
где <р — угол между векторами. Но по A5.15) мы имеем
ab sin <p = ?хХахА\
Поэтому
Так как это равенство верно для произвольных ах и й\ то выраже-
выражение в скобках должно быть равно нулю, откуда
Умножив это на ЕжХ и воспользовавшись A4.1), получим
ntss2Eti4E РА-
Это — ковариантный пространственный вектор и скаляр на поверх-
поверхности; его контравариантное представление есть
Тензорные производные. Мы видим, что при изучении поверх-
поверхности, вложенной в трехмерное пространство, появляются тензоры
смешанного измерения. Нашей задачей является получение новых
тензоров смешанного измерения путем применения операции диф-
дифференцирования.
Обозначим С совершенно произвольную кривую на поверхности,
а а'я — контравариантный пространственный вектор и ковариант-
ковариантный вектор на поверхности, определенный на кривой С. Возьмем
произвольный ковариантный пространственный вектор bt, парал-
параллельно переносимый вдоль кривой С, и контравариантный вектор на
поверхности с", также параллельно переносимый вдоль кривой С.
Тогда свертка р = а^Ър* является скаляром как в пространстве, так
и на поверхности; поэтому производная этой свертки по скалярному
параметру t есть также скаляр. Мы имеем
а так как из условия параллельного переноса
dt ~ 'b°t dt ' dt l *lc dt
188 ПОВЕРХНОСТЬ КАК ДВУМЕРНОЕ РИМАНОВО ПРОСТРАНСТВО Ч. III
то получаем
dt - [dt +l **a* ЧГ l **-a° dt J °tc •
Следовательно, на основании обратного тензорного признака, выра-
выражение
?<-dA + Tt а'*1-Г° а>*±
dt ~ dt ^1 **а* dt l *Xao dt
является тензором того же типа, что и а1к. Этот тензор называется
абсолютной производной а'х по t.
_ . „ da' да' Лих
Если тензор а„ определен на всей поверхности, то —? = —j -^-.
Кроме того, по A8.1) -4г = Р* -уг- Поэтому будет
dt ~ \дих 'к хРх Л °J dt'
Бесконечно малый тензор
называется абсолютным дифференциалом.
Введем обозначение
El* — п1 — ^-4- Г1 /7Jfl* — Г°
В силу произвольности кривой С, -?- есть совершенно произвольный
вектор, и поэтому выражение A8.3) представляет собой контрава-
риантный пространственный вектор и ковариантный тензор второго
порядка на поверхности. Этот объект назовем тензорной производ-
производной от alK по их. Подобным же образом можем получить, например
°*ЛЛа1Л dqk г„ , rfu" _„ , di?
* **анх it ~1 >Л ЧГ ~у ^ахо ~dT
~dT = ЧГ
и
-Г» л' _го J
Очевидно, что для абсолютного и тензорного дифференцирова-
дифференцирования тензоров смешанного измерения остаются в силе правила, при-
приведенные раньше для абсолютного и ковариантного дифференциро-
18
ПОВЕРХНОСТЬ, ВЛОЖЕННАЯ В ТРЕХМЕРНОЕ ПРОСТРАНСТВО
189
вания; в частности, абсолютные и тензорные производные тензоров
?/*> ?хХ> ^ш> ^хк и их ассоциированных тождественно равны нулю.
Три основные квадратичные формы поверхности. Рассмотрим
поверхность, заданную в каких угодно криволинейных пространст-
пространственных координатах <?' с началом в точке О (рис. 18.1) при помощи
параметрических уравнений
причем координаты на поверхности имеют начало в точке А. Метриче-
Метрический тензор пространствен-
пространственных криволинейных коор-
координат gik считаем задан-
заданным; он связан с метриче-
метрическим тензором поверхности
ах^ при помощи соотноше-
соотношения A8.2), следовательно,
ахХ также задан.
Выберем теперь криво-
криволинейные координаты про-
пространства следующим спе-
специальным образом. Коор-
Координатами любой точки В
пространства будут длина
z нормали ВМ, опущенной
из точки В на поверхность,
и криволинейные коорди-
координаты и" точки М на по-
поверхности. Найдем метрический тензор этой специальной системы
пространственных координат. Пусть радиус-векторы точек В и М
будут R и г соответственно, an — единичный вектор нормали к по-
поверхности в точке М. Тогда
R = г + zn,
что дает следующее соотношение между дифференциалами этих
векторов, верное в любой системе пространственных координат
dR = dr+ zdn + ndz,
причем dr — вектор на поверхности. Линейный элемент простран-
пространства будет
Рис. 18.1
2z dr dn + 2n dr dz + 2zn dn dz.
190 ПОВЕРХНОСТЬ КАК ДВУМЕРНОЕ РИМАНОВО ПРОСТРАНСТВО Ч. III
Но пB) =1, ndr = 0, ndn = 0, и мы имеем
ds™ = </гB> + 2z dr dn + z™ drF> + dzP\ A8.4)
Так как </гB) есть линейный элемент поверхности, то мы сразу
имеем
Напишем теперь векторное равенство A8.4) в индексной форме.
Мы имеем
ди
n)' = Dn1 - n'^du",
и поэтому
= axXdu*dux
Преобразуем второй член в выражении справа этого равенства. Так
как векторы |3^ и пк перпендикулярны друг другу, то
Дифференцируя это равенство, получаем
Введем обозначения
Рхдл< s лл> A8.5)
л*х " vxx- A8.6)
Тогда линейный элемент пространства в наших специальных коор-
координатах примет вид
Очевидно, что л;^ и vx^ — симметричные тензоры на поверхности.
Три квадратичные формы axXdu*dux, nxkdu*duk, vxkdu*dux
называются соответственно первой, второй и третьей основными
квадратичными формами поверхности.
Деривационные формулы Гаусса. Формулы Вейнгартена.
Продифференцируем равенство A5.16) по цц, учитывая, что произ-
§ 18 ПОВЕРХНОСТЬ, ВЛОЖЕННАЯ В ТРЕХМЕРНОЕ ПРОСТРАНСТВО 191
изводная от ахк равна нулю, а затем сделаем дважды круговую
замену индексов
х X \S
X \х х .
ц х X
Получим
Сложим первые два равенства и вычтем третье. Нетрудно видеть,
что тензор р^ симметричен по к и ц. Действительно,
i _ 9 g -per at
Поэтому останется
Вследствие симметрии git и р' будет
Так как р* — вектор и на поверхности, и в пространстве, то отсюда
следует, что пространственный вектор р?ц ортогонален ему, т. е.
коллинеарен нормальному вектору п1. Поэтому должно существо-
существовать равенство
где 8ХЦ — неизвестный пока пространственный скаляр и тензор на
поверхности. Умножим это равенство на gtknk, получим
Сравнивая это с A8.5), видим, что 8ХЦ = лщ, откуда
Рх.ц = :гхУ- A8.7)
Эти равенства называются деривационными формулами Гаусса.
Дифференцируя очевидное равенство giknlnk — 1 по ых, получаем
***<хл* + glkn'nkiK = 0,
192 ПОВЕРХНОСТЬ КАК ДВУМЕРНОЕ РИМАНОВО ПРОСТРАНСТВО Ч. III
откуда, в силу симметрии,
Следовательно, л*х как пространственный вектор ортогонален п',
т. е. параллелен плоскости, касательной к поверхности; поэтому его
можно разложить на составляющие по вектору р**, т. е. должно быть
где т]? — пока неизвестный объект.
Так как fi'x и пк ортогональны в пространстве, то должно быть
'xnk = 0; дифференцируя это равенство по ц\ получаем
Воспользовавшись A8.5) и A8.8), будем иметь
и, в силу A8.2),
Умножив это равенство на а*р, так как а*рахо = 6Р, получим
«"Чх
или
ЧК =
Поэтому из A8.8) получаем
Это — формулы Вейнгартена, которые, в частности, дают возмож-
возможность выразить третью основную квадратичную форму через пер-
первые две.
По определению A8.6), воспользовавшись формулами Вейнгар-
Вейнгартена, получим
или, окончательно,
V-
Основная теорема теории поверхностей. Как уже упоминалось,
всякая положительно определенная квадратичная форма axkduxdux
может служить в качестве первой основной формы некоторой поверх-
§ 18 ПОВЕРХНОСТЬ, ВЛОЖЕННАЯ В ТРЕХМЕРНОЕ ПРОСТРАНСТВО 193
ности. Однако, не всякая квадратичная форма может служить второй
основной формой поверхности; для этого она должна удовлетворять
некоторым условиям. Найдем эти условия.
Дифференцируя деривационные формулы Гаусса A8.7) по ыц,
получаем
а, воспользовавшись формулой Вейнгартена, имеем
PU *^,X-V°Po- A8.9)
Поменяв в A8.9) индексы X и \а местами и вычтя результат из
A8.9), получаем
Здесь левая часть в общем случае не равна нулю, так как ковари-
антное дифференцирование на поверхности в общем случае не пе-
перестановочно. Так как §'х есть ковариантный вектор на поверхности,
то на основании A6.13) можем написать
Pi Ы __ р- -a- at
х.Хц ~ Р - КР
Поэтому
Но п1 — вектор, нормальный к поверхности, а вектор §'а лежит в
касательной плоскости к ней; поэтому полученная нами линейная
зависимость может быть справедливой только в том случае, если ко-
коэффициенты обеих линейных форм равны нулю.
Это дает
V* + v?-vZ=°> A8Л0)
Последние соотношения называются уравнениями Кодацци.
Опустив в A8.10) индекс а, получим
Эти соотношения называются уравнениями Гаусса. На основании
свойств тензора RX\wx мы можем сказать, что существует только од-
одно независимое уравнение Гаусса, именно
(Не смешивать си = 3,14!)
194 ПОВЕРХНОСТЬ КАК ДВУМЕРНОЕ РИМАНОВО ПРОСТРАНСТВО Ч. Ш
Но согласно A6.11) мы имеем Я1212= аК; поэтому
*«?. A8.11)
Это равенство составляет содержание теоремы Гаусса.
Среди уравнений Кодацци имеется только два независимых,
именно
"iu^iv яи,2вяд1' A8.12)
Гауссова кривизна К целиком определяется первой основной
формой; есть три уравнения: A8.11) и A8.12), которым должны
удовлетворять три функции пп, я12 и я21 »= л12.
Итак, мы получили основную теорему теории поверхностей: если
a^du*dux и nxXdu*dux представляют собой основные формы по-
поверхности, то элементы тензоров а^ и л^ должны тождествен-
тождественно удовлетворять уравнению A8.11), выражающему теорему Га-
Гаусса, и двум уравнениям Кодацци A8.12). Это — необходимые ус-
условия; можно доказать и их достаточность.
Приведем без доказательства теорему Бонне: первая и вторая
основные квадратичные формы определяют поверхность с точно-
точностью до положения в пространстве.
Часть IV
ЧЕТЫРЕХМЕРНЫЕ ТЕНЗОРЫ
ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
§ 19. Преобразование Лоренца
и 4-тензоры специальной теории относительности
Содержание последующих параграфов, относящихся к четырехмер-
четырехмерным тензорам, никоим образом нельзя считать изложением специ-
специальной и общей теории относительности, что и не входит в нашу за-
задачу. Понятия, с которыми оперирует теория относительности, при-
привлечены лишь для того, чтобы конкретизировать изложение,
которое остается, в сущности, формально-математическим, а не фи-
физическим.
Литература, посвященная теории относительности, колоссальна.
Известный библиографический справочник Лека *), изданный в
Брюсселе в 1924 г., имел 200 страниц, а ведь это относится только
к работам семидесятилетней и более давности.
Теория относительности — необычайно красивая математиче-
математическая дисциплина. Что же касается ее физической ясности, то можно
привести следующий анекдот.
Известно двустишие Попа, которое на русском языке звучит при-
примерно так:
Вещей порядок мраком был окутан;
Да будет свет! — И появился Ньютон.
(Да будет свет — библейские слова бога.) Мы знаем теперь, что в нью-
ньютоновской механике не все можно отнести к свету, там имеется и мрак.
Тем не менее какой-то шутник предлагает дополнить двустишие еще
одним:
Лет триста дьявол думал о реванше.
Вот вам Эйнштейн! — И стало все как раньше.
*) М. Lecat, Blbllographie de la relativite.
196 ЧЕТЫРЕХМЕРНЫЕ ТЕНЗОРЫ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ Ч. IV
Даже сама возможность появления такой шутки показывает, что
теория относительности Эйнштейна — отнюдь не легка для понима-
понимания. *) Но знакомство с нею, и в особенности с ее математическим
аппаратом, обязательно теперь для каждого физика. Скромной цели
ознакомления с математическим аппаратом специальной и общей
теории относительности и служат эти несколько параграфов.
Условия относительно индексов. Мы условимся, что латинские
индексы относятся к четырем измерениям, а греческие — к трем.
Условие относительно скользящих и фиксирующих индексов остает-
остается прежним. Таким образом, скользящие латинские индексы пробе-
пробегают значения 1, 2, 3, 4, а скользящие греческие — 1, 2, 3.
В специальной и общей теории относительности рассматривается
четырехмерное пространство событий; каждое событие представ-
представляет собой точку в этом пространстве и характеризуется четырьмя
координатами — тремя пространственными и одной временнбй. Мы
припишем индексы 1, 2, 3 пространственным координатам, а индекс
4 — временнбй. Таким образом, греческие индексы будут относить-
относиться к пространственным координатам; однако, мы будем пользовать-
пользоваться греческими индексами только в случае, если пространственные
координаты или пространственные составляющие объектов будет не-
необходимо специально выделить.
Преобразование Лоренца. Мы введем это преобразование поч-
почти чисто формально, так как в нашу задачу не входит изложение
физических оснований теории относительности.
Введем пространство событий, где х{, х2, х3 — обыкновенные
декартовы координаты, а х4 = ict, где с — скорость света в пустоте,
i — мнимая единица. В трехмерном евклидовом пространстве рас-
расстояние dl между двумя близкими точками, как известно, выража-
выражается при помощи формулы
= dx®.
В четырехмерном пространстве событий точками являются события,
а «расстояние» между двумя событиями называется интервалом.
В специальной теории относительности постулируется, что ин-
интервал между двумя бесконечно близкими событиями выражается
формально так же, как элемент длины в трехмерном евклидовом
пространстве:
ds& = - (dx™ + dx<? + dxf + dx^j = -dxf>. A9.1)
Объяснение знака «минус» мы дадим несколько позже.
*) Эта математическая сложность таит в себе ту опасность, что исследования могут
пойти по ложной дороге. По этому поводу Эйнштейну приписывают следующие слова:
«Математика — это 'единственный совершенный метод водить самого себя за нос»
(К. Зелиг, Альберт Эйнштейн, М„ 1964, стр. 196).
§19
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛОРЕНЦА И 4-ТЕНЗОРЫ СТО
197
Первый основной постулат специальной теории относительности
состоит в том, что во всех трехмерных координатных декартовых
трехгранниках, движущихся друг относительно друга поступа-
поступательно, равномерно и прямолинейно, для одной и той же пары
бесконечно близких событий интервал ds остается неизменным,
т. е. является истинным скаляром, в то время как в классической
механике этим свойством обладает элемент длины dl.
Такие координатные трехгранники называются инерциальными.
Поэтому мы можем сформулировать основной постулат специальной
теории относительности следующим образом: во всех инерциальных
системах координат для одной и той же пары бесконечно близких
событий интервал ds остается инвариантным.
Таким образом, если хр — старые координаты, и xt — новые, то
должно быть
ds = ds,
В классической механике элемент длины сохраняется, как изве-
известно, при ортогональных преобразованиях, в частности, при поворо-
поворотах или вращениях. Поворот вокруг оси х2 на угол <р выражается
следующим преобразованием
cos <p 0 —sin <p
О 1 О
sin <p 0 cos <p
Аналогия между выражениями для элемента длины в трехмер-
трехмерном евклидовом пространстве и интервала в пространстве событий
позволяет нам сказать, что метрика пространства событий — евкли-
евклидова, и что поэтому интервал должен сохраняться при повороте ко-
координатного четырехгранника в пространстве событий. По аналогии
примем, что это преобразование будет
cos <р 0 0 —sin <p
0 10 0
0 0 1 0
sin f 0 0 cos <p
A9.2)
Такое преобразование в пространстве событий называется преоб-
преобразованием Лоренца, по имени известного физика, который полу-
получил его еще до возникновения теории относительности из совершен-
совершенно других соображений и в другом виде. *)
¦) Г. А. Лоренц, Теория электронов и ее примеиеиие к явлениям света и теплового
излучения, М., 1953, стр. 267.
198
ЧЕТЫРЕХМЕРНЫЕ ТЕНЗОРЫ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
Ч. IV
На основании A9.2) можно написать
х{ = х{ cos <p — дс4 sin
хг ~ хг
г>
х3,
х4 = х, sin
+ дс4 cos <p.
Вторым основным постулатом специальной теории относительно-
относительности является следующий: скорость света в пустоте одинакова во
всех инерциальных системах.
Тогда хА = id, и мы получим
cos <р — ict sin <p,
A9.3)
ict = *! sin <p -I- ict cos <p.
Пусть новая система отсчета
движется поступательно вдоль ста-
старой оси х{ с постоянной скоростью
v (рис. 19.1), или старая система
движется относительно новой
вдоль оси Зс, поступательно с посто- Рис. 19.1
янной скоростью —V. Тогда в пер- _
вом случае для начала координат новой системы будет х, = О,
хх = vt, и первое уравнение A9.3) дает
J = / tg <p, tg <р * -/ ^.
Таким образом, угол поворота в преобразовании Лоренца — мни-
мнимый. Мы имеем, введя обозначение р = -,
sin <р =
VI—Р
cos <p =
и поэтому преобразование в A9.3) принимает вид
х, —
Vi-p2 Vi-p2
Х2 — Х2,
Х3 ~ X3>
Хл— —¦
§19
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛОРЕНЦА И 4-ТЕНЗОРЫ СТО
199
Следовательно, матрица с, преобразования A9.2) принимает вид
о о
О 10 0
о
• е-?
Такова матрица преобразования Лоренца. Нетрудно проверить, что
преобразование Лоренца ортогонально, т. е. имеет место равенство
CtpCiq = 6М»
а так как метрика пространства событий евклидова, то тензоры в
специальной теории относительности — это ортогональные четы-
четырехмерные тензоры; поэтому в специальной теории относительности
нет смысла делать различие между ковариантностью и контравари-
антностью. И во многах работах специальной теории относительно-
относительности приняты только нижние индексы.
4-тензоры. Итак, координаты пространства событий в инерци-
альных системах имеют следующий закон преобразования:
CipXp>
Хр — С1рХГ
A9.4)
Всякий объект а , преобразующийся по закону
ai = ctpaP>
аР = ctput>
называется четырехмерным вектором в пространстве событий
или, короче, 4-вектором.
Составив из двух, трех и т. д. 4-векторов обобщенные произведе-
произведения, найдем, как и в § 3, законы преобразования этих обобщенных
произведений; тоща объекты, которые преобразуются как обобщен-
обобщенные произведения двух, трех и т. д. 4-векторов, назовем 4-тензора-
ми второго, третьего и т. д. порядков. Например, закон преобразова-
преобразования 4-тензора второго порядка а есть
200 ЧЕТЫРЕХМЕРНЫЕ ТЕНЗОРЫ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ Ч. IV
Очевидно, что на 4-тензоры можно распространить все формулы § 3,
выведенные для ортогональных тензоров за исключением тех, в кото-
которые входит абсолютно антисимметричный тензор третьего порядка,
обозначавшийся там еш. Этим вопросом мы займемся чуть позже, а
сейчас приведем примеры 4-векторов.
Обыкновенная трехмерная скорость материальной точки (части-
(частицы), равная dx
очевидно, не является 4-вектором, потому что имеет всего три со-
составляющих. Но dxt есть 4-вектор, ds — скаляр, поэтому объект
d
есть 4-вектор. Найдем явные выражения для его составляющих.
Если мы откажемся от мнимых координат, то выражение для ин-
интервала A9.1) примет вид
ds2 = с2dt2 — dx\. A9.4)
Третьим постулатом специальной теории относительности явля-
является утверждение, что никакое тело не может двигаться со скоро-
скоростью большей, чем скорость света в пустоте с, которая сама яв-
является мировой константой. Из A9.4) ясно, что знак «минус» у пра-
правой части в A9.1) был поставлен с той целью, чтобы квадрат
интервала был всегда положительным, т. е. чтобы интервал был
всегда действительным.
Из A9.4) получаем ,
ds = c\\-v2lc2 dt, A9.5)
где v — есть скорость некоторой частицы. Поэтому получаем
Этот вектор называется вектором 4-скорости. Нетрудно видеть,
что его составляющие безразмерны, и что квадрат его «длины» ра-
равен и2 = — 1.
На этом примере мы видим, что временная составляющая 4-век-
тора — мнимая.
Вторую производную 2
a Xi «til
называют 4-ускорением. Дифференцируя выражение для квадрата
4-скорости, получаем .
i
т. е. векторы 4-скорости и 4-ускорения взаимно ортогональны.
§19
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛОРЕНЦА И 4-ТЕНЗОРЫ СТО
201
4-тензоры, составленные из нулей и единиц. Тензор Кронекера
bik вводится совершенно также, как в § 3; нужно только принимать
во внимание, что теперь 6^ = 4.
Что же касается абсолютно антисимметричного псевдотензора,
применяемого, в частности, для вычисления детерминантов, то те-
теперь он должен быть четвертого порядка; обозначим его через
еШт. Примем, что el234 = +1. Из 256 элементов этого псевдотензо-
псевдотензора, очевидно, только 24 отличны от нуля.
Аналогично трехмерному случаю, нетрудно проверить следую-
следующее тождество
etklmepqrs
b
iq
ts
Ь
кг
biq blr bls
Kg
A9.6)
Теперь мы можем, аналогично трехмерному случаю, образовать раз-
различные свертки этого тензора восьмого порядка. Легко получается:
'iklmKpqrm
ь
tr
К
etklmepqlm = 2l
eiklmepkim = 3! btp =
Jkq
A9.7)
etklmeiklm = еШт = 4. = 24.
Вычисление детерминантов. Положив | а1к | = а, получим, ана-
аналогично B.11),
aepqrs = eiklmalpakqalrams-
Умножим это равенство на etqrs. Воспользовавшись A9.7), получим
eeaaa
Введя обозначение
можем написать
it — 6 вik.lmetqrsakqalramV
abtp = Altaip-
202 ЧЕТЫРЕХМЕРНЫЕ ТЕНЗОРЫ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ Ч. IV
Следовательно, объект Ан есть алгебраическое дополнение элемента
а1р в детерминанте \alk\. Чтобы получить разложение детерминанта
по элементам а-го столбца, нужно положить t = р = а. Тогда будет
а = Aiaaia.
Подобным же образом получим разложение по элементам а-тл
строки:
а = Аараар-
Дуальные тензоры. В четырехмерном пространстве событий
можно построить две группы дуальных тензоров.
Во-первых, каждому 4-вектору ат соответствует в качестве ду-
дуального антисимметричный 4-тензор третьего порядка Ьш; соотно-
соотношения между ними имеют вид
> A9.8)
ат ~ 6 elklmPtkl'
Вторая из этих формул получается следующим образом. Умножим
обе части первой формулы на еШр. Получаем
еШрЬш = eikipeiklmam-
Воспользовавшись A9.7), можем написать
еШрЬШ = 6Ьртат = 6ар'
откуда и следует искомая формула.
Во-вторых, антисимметричному 4-тензору второго порядка aik
соответствует дуальный 4-тензор Ъа, также антисимметричный; со-
соотношения между этими тензорами имеют вид
_ 1 , _ 1 ,
alm ~ 2 eiklm°tk ~ 2 elmtk°ik-
4-тензор, аналогичный вихрю вектора. Для трехмерного векто-
вектора ах вихрь 5р определяется следующим образом:
—
рах дх°
Мы можем построить дуальный псевдотензор вихря, который обоз-
обозначим через ахХ. Мы получим
а ? а а ав* ^х л л л л даХ -да* да*
§ 20 ИНВАРИАНТНОСТЬ УРАВНЕНИЙ ОТНОСИТЕЛЬНО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛОРЕНЦА 203
По аналогам, в четырехмерном пространстве мы можем построить
из 4-вектора as антисимметричный псевдотензор второго порядка
РЯ P4IS дхг'
Найдем тензор alk, дуальный Spq. Мы имеем
utk ~ 2 еШт'31т ~ 2 etklmelmrs ay
Таким образом, мы можем построить 4-тензор второго порядка, ко-
который вполне аналогачен дуальному тензору трехмерного вихря.
§ 20. Инвариантность уравнений
электродинамики и релятивистской механики
относительно преобразования Лоренца
В предыдущем параграфе были упомянуты основные постулаты, при
помощи которых в специальной теории относительности устанавлива-
устанавливается метрика и вводится понятие 4-тензора. Среди них имеется посту-
постулат о постоянстве скорости распространения света в пустоте во всех
инерциальных системах, т. е. постулат об инвариантности законов
этого физического явления относительно преобразования Лоренца.
Дальнейшее развитие специальной теории относительности осно-
основывается на распространении этого постулата на все физические яв-
явления вообще. Именно, предполагается, что во всех инерциальных
системах все физические явления протекают одинаково, или что
не существует физического явления, при помощи которого можно
было бы отличить одну инерциальную систему от другой.
На языке тензорного анализа это можно выразить следующим
образом: все уравнения, описывающие физические явления, должны
быть инвариантными относительно преобразования Лоренца.
Иначе говоря, математическая формулировка всех законов природы
должна быть Лоренц-инвариантной, т. е. тензорной.
Покажем сначала инвариантность уравнений электродинамики
относительно преобразования Лоренца. Это мы сделаем, так ска-
сказать, косвенным путем. Мы не будем фактически выполнять преоб-
преобразования координат, а покажем, что интересующие нас уравнения
могут быть написаны в форме уравнений, связывающих 4-тензоры.
Так как такие уравнения инвариантны относительно преобразова-
преобразования Лоренца, то отсюда и будет следовать Лоренц-инвариантность
интересующих нас уравнений электромагнитного поля.
204 Четырехмерные тензоры теории относительности Ч. iv
Первая пара уравнений Максвелла. Как известно, напряженно-
напряженности Б и Н электрического и магнитного полей могут быть выражены
при помощи трехмерного вектор-потенциала А и скалярного потен-
потенциала <р. Выражение напряженностей через потенциалы имеет вид
Е= -^-grad<p,
с w B0.1)
Н = rot A,
где с — скорость света в пустоте. Кроме того, потенциалы подчине-
подчинены так называемому условию нормировки
divA + Ii? = 0. B0.2)
С ОТ
Первая пара уравнений Максвелла получается путем исключе-
исключения потенциалов из B0.1). Для этого применим к первому уравне-
уравнению B0.1) операцию rot, а ко второму — операцию div. Очевидно,
получим
«¦--7*
div H = 0.
Это и есть первая пара уравнений Максвелла.
В индексных обозначениях вместо B0.1) можно написать
E' '"./*•' B0.3)
При этом условие нормировки будет
?^ 1 B0.4)
дхк т с dt
Первая пара уравнений Максвелла в индексных обозначениях при-
примет вид
ХХ^ 7af> B0.5)
хх
Чтобы получить первое уравнение Максвелла, продифференцируем
первое уравнение B0.3) по хх и результат умножим на ехХ ; это со-
ответствует векторной операции rot. Так как объект аэ/ симмет-
ричен по А. и и, то е.. . / =0, и мы получаем нужный
ял1* О*\ 14
§ 20 ИНВАРИАНТНОСТЬ УРАВНЕНИЙ ОТНОСИТЕЛЬНО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛОРЕНЦА 205
результат. Затем дифференцируем второе уравнение B0.3) по хх;
д2А
это соответствует векторной операции div. Так как объект -——
дХхдХ\
симметричен по х и Я, то в правой части будет нуль, и мы прихо-
приходим снова к требуемому результату.
Введем в рассмотрение 4-вектор At, у которого три составляю-
составляющие совпадают с составляющими Ах трехмерного вектор-потенциа-
вектор-потенциала, а Л4 = г\р. *) Возможность представления потенциалов в виде
4-вектора, т. е. установления того обстоятельства, что при переходе
о*т одной инерциальной системы к другой потенциалы преобразуют-
преобразуются при помощи преобразования Лоренца, основана на результатах
опыта. **) Это обстоятельство, в сущности, предрешает вопрос об
инвариантности уравнений Максвелла, так что нам остаются лишь
формальные математические соображения. Приведем их.
Прежде всего мы видим, что, так как дс4 = ict, то
Эх; "" дхя с Ы'
Поэтому условие нормировки потенциалов B0.4) можем записать в
виде
дА.
щ=°; B0-6)
Так как это — 4-тензорное равенство, то оно инвариантно относи-
относительно преобразований Лоренца.
Образуем антисимметричный 4-тензор второго порядка
ЬАк ЬА^ дА
Ft'k = Л ~$Г S eiklmelmpq дх •
Этот тензор обладает следующими свойствами. Если мы ограничим-
ограничимся только первыми тремя измерениями, то, очевидно, будем иметь
Покажем, что, кроме того, можно написать
В самом деле, мы имеем
Р
*) Ср. В. А. Фок, Теория пространства, времени и тяготения, М., 1955, стр. 94; Л.
Д. Ландау и Е. М. Лифшиц, Теория поля, М., 1962, стр. 60.
**) Ср. Л. Д, Ландау и Е. М. Лифшиц, Теория поля, М., 1962, стр. 59.
206
ЧЕТЫРЕХМЕРНЫЕ ТЕНЗОРЫ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
Ч. IV
Поэтому FkX есть трехмерный тензор, дуальный вектору Я . В раз-
развернутой записи это будет
о я3 -щ
-я3 о я1
я2 -я, о
Далее,
так как
Поэтому
Но
Подобным же образом
44 Э*4 Э*4
at
t ' ~ 1
причем
Поэтому
0],
as — — ^ = — ^ — •-?$.= —/ (l f^i
дх
Ic
дхх
с1Г+ dx
-1Е2
и, следовательно,
*A
^ = [iEt iE2 iE3 0]
О Я3 -Я2 -i?t'
-Я3 О Я, -i?2
Я2 -Я, 0 -i'JE3
ijEt iJB2 iE3 0
B0.7)
Таким образом, тензор Fik антисимметричен и состоит только из
напряженностей магаитного и электрического полей. Он называется
тензором электромагнитного поля.
§ 20 ИНВАРИАНТНОСТЬ УРАВНЕНИЙ ОТНОСИТЕЛЬНО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛОРЕНЦА 207
Составим цикл тензора Fik (ср. A1.7)). Для этого продиф-
продифференцируем Flk по х,, проциклируем индексы и результат сложим.
Получим
Отсюда видно, что цикл есть 4-тензор третьего порядка. Нетрудно
показать, что этот тензор антисимметричен по любой паре индек-
индексов. Например, переставив индексы i и к, получим
**" дх, + дхк + !Tt [ дх, + дх, ^1
откуда и следует наше утверждение.
Выполним фактически вычисление цикла. Это будет
Jk д*А
дх, дх, [дх, дхА дх,дх, дхкдх,'
dxt дх, \дхк дх,\ дхкдх,
_9_Ч
дхк дхк \дх, Эх,\ dxflxk дх,дхк'
Сложив эти равенства, получим
Ftkl m 0. B0.8)
Таким образом, тензор электромагнитного поля Flk должен
удовлетворять 43 = 64 уравнениям. Однако, нетрудно показать, что
среди них только четыре независимых. Для этого проще всего пе-
перейти к 4-вектору Fm, дуальному тензору Ftkl. Это будет, по вто-
второй формуле A9.8),
С другой стороны, по первой формуле A9.8), имеем
откуда видно, что для того, чтобы удовлетворить 64 уравнениям
B0.8), достаточно удовлетворить четырем уравнениям
Fm = 0 или т etklmFlkl = 0.
B0.9)
208 ЧЕТЫРЕХМЕРНЫЕ ТЕНЗОРЫ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ Ч. IV
Выпишем эти уравнения подробнее
9/?23 dFU а/
дХ4 дх2 д.
= — | 1 — i —I + i —-1 = i \- —l- A 1 11 = 0,
lie dt dx2 dx3j \c dt a" a" '
дг*ъ dF^ji Э/^л1
E" \i j 34 I 41
dt ax, ' ax., и at ax3
J2 I gr24 I ОГ41
x4 axx ax2
и at ' эТ[ ~щ\ ~ l[c~dT~*"dx~l~~dx2~\ ~ '
= el234F123 = /1123=-^- + -^
Пример выкладок
Эти четыре уравнения можно записать в виде
1 дН дЕ
+ ^^ = 0
что совпадает с уравнениями Максвелла B0.5). Таким образом,
если потенциалы поля образуют 4-вектор, то первая пара урав-
уравнений Максвелла может быть записана в виде 4-тензорного урав-
уравнения B0.9), и поэтому инвариантна относительно преобразова-
преобразования Лоренца.
§ 20 ИНВАРИАНТНОСТЬ УРАВНЕНИЙ ОТНОСИТЕЛЬНО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛОРЕНЦА 209
Вторая пара уравнений Максвелла. Как известно, вторая
пара уравнений Максвелла в форме, приданной им Лоренцем,
имеет вид
Н — - — 4-— '
div Е = 4лр,
где р есть плотность заряда, a j = pv — плотность тока, причем v —
трехмерная скорость заряда. Кроме того, имеется условие сохране-
сохранения заряда
|f -+- div j = 0. B0.10)
В индексной форме уравнения Максвелла примут вид
<w i/ = 7 -jr + т Act
х B0.11)
а условие сохранения заряда — вид
На основании физических соображений, оказывается, что таким
же образом, как с потенциалами поля, можно ввести 4-вектор тока,
определяемый следующим образом:
/X = PV /4 = 'CP- B0.12)
Это означает, что предположение о том, что 4-вектор тока преобра-
преобразуется при помощи преобразования Лоренца, находит себе экспери-
экспериментальное подтверждение.
В § 19 были приведены выражения для составляющих 4-вектора
скорости:
i
и =
Сравнивая это с B0.12), видим, что можно написать
j, = ср-у 1 — v2lc2 ut.
Проверим, что вторая пара уравнений Максвелла в 4-тензор-
ной форме записывается так: ,
8 - Г. В. Коренев
210 ЧЕТЫРЕХМЕРНЫЕ ТЕНЗОРЫ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ Ч. IV
Мы имеем, пользуясь B0.7):
!*, li _i J2 I 13_ § м з 2 2. J.
дхк dXt дх2 дх3 дх4 дх2 дх3 с dt '
^^2к ^F2\ ^FT1 ^F23 ^F2A ^^3 дН^ \ дЕ2
дхк ~ дхг дх2 дх3 дх4 ~ дхх дх3 с dt '
dx3
Таким образом, можем написать
!?* =
Теперь, пользуясь B0.11), приходим к B0.13). Следовательно, вторая
пара уравнений Максвелла может быть записана в 4-тензорной форме
и, поэтому, инвариантна относительно преобразований Лоренца.
Подобным же образом легко проверяется, что четырехмерная за-
запись условия сохранения заряда есть
и поэтому это условие также инвариантно относительно преобразо-
преобразования Лоренца.
Волновое уравнение. Электромагнитное поле может существо-
существовать в пустоте в виде колебаний, распространяющихся со скоростью
света. Чтобы получить уравнение, описывающее эти колебания —
волновое уравнение — из уравнений Максвелла, нужно положить в
них р = 0, j = 0. Уравнения B0.5) и B0.11) дают
<W a*. ~ с et ' дх~ и>
" B0.14)
?^=1?5, ^ = 0
сх*И дхх с dt ' дхх
Эти уравнения допускают отличное от нуля решение.
Чтобы получить волновое уравнение, положим, что скалярный
потенциал равен нулю тождественно, тогда условие нормировки
B0.2) дает
<Р = 0, ^ = 0 B0.15)
§ 20 ИНВАРИАНТНОСТЬ УРАВНЕНИЙ ОТНОСИТЕЛЬНО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛОРЕНЦА 211
и, согласно B0.3), будет
Н=е ^ ?=-I^i
Подставляя эти выражения в третье равенство B0.14), получим
Преобразуем член в левой части. Мы имеем
6„„ 6
о о г__ «Р хо
" " К \*
дххдхр -хр^о -хо-Лр/ дХхдХр
л' аЧ а
так как по B0.15) jp = Q- Мы получаем волновое уравнение в
трехмерной записи 2 2
^41--^^41 = 0. B0.16)
Ьх^ с bt
Теперь нетрудно проверить, что четырехмерная запись этого урав-
уравнения есть о.
где At — 4-потенциал с составляющими Ах и А4 = icy s 0 по
B0.15). Подставляя эти значения в B0.17), сразу приходим к
B0.16); четвертое уравнение обращается в тождество. Итак, волно-
волновое уравнение инвариантно относительно преобразования Лоренца.
Уравнения динамики. Пусть т0 — масса частицы, ех — ее им-
импульс, определяемый в классической механике так:
Классические уравнения движения частицы будут
Эти уравнения, очевидно, не инвариантны относительно преобразо-
преобразования Лоренца, так как ех не является 4-вектором. Из этих уравне-
уравнений, как известно, выводится, что
1 о
где Т = т movx есть кинетическая энергия частицы.
212
ЧЕТЫРЕХМЕРНЫЕ ТЕНЗОРЫ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
Ч. IV
По аналогии с трехмерным импульсом можно ввести 4-импульс
при помощи равенства
Pi = mocuit
где
Как всегда, введение 4-вектора должно быть обосновано опытом. В
данном случае это обоснование состоит в пространственных состав-
составляющих 4-импульса. Выделив трехмерные составляющие, получим
Задолго до возникновения теории относительности было обнаруже-
обнаружено, что движение частиц при больших скоростях не подчиняется
уравнениям движения B0.18); согласие с опытом обнаруживалось,
если уравнения движения записать так:
d
dt
dt
= / .
B0.20)
Эти уравнения получаются из ньютоновых заменой ех на рн; при
малой скорости движения частицы, когда -j пренебрежимо мало по
с
сравнению с единицей, уравнения B0.20) переходят в классические.
На этом основании принимают, что четырехмерные уравнения
движения, инвариантные относительно преобразования Лоренца,
следует записать так:
?й = р B0.21)
ds '"
Эти уравнения можно рассматривать как определение 4-силы. Так
как
ds = су 1 — v2/c2 dt
то B0.21) можно переписать так
¦/„.
Но так как и2 = — 1, то uf -^4 = 0, а так как pt = mocut, то и
dp, л
ut -г1 = 0 или utFt = 0,, откуда
§ 21 РИМАНОВО ПРОСТРАНСТВО СОБЫТИЙ ОБЩЕЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ 213
Отсюда
и поэтому
Следовательно, четвертое уравнение B0.21) будет
/ d ( тос \
d_
' dt
'""Л
или
тпс
Сравнивая это с B0.19), видим, что необходимо положить
тпс
Таково выражение для кинетической энергии частицы, вытекающее
из механики, инвариантной относительно преобразования Лоренца.
Итак, инвариантные уравнения движения частицы B0.21) нуж-
нужно записать следующим образом:
= /«««
§ 21. Риманово пространство событий
общей теории относительности
Об установлении системы координат и метрики. Рассмотрим спо-
способы, при помощи которых можно установить систему координат и
метрику в четырехмерном пространстве событий общей теории от-
относительности. Для э^гого вспомним, как мы это делали во всех пре-
предыдущих случаях.
Как известно, в нашем трехмерном пространстве существует де-
декартова система координат, по крайней мере в той области про-
пространства, которая доступна нашему опыту. Таким образом, суще-
существование декартовой системы координат есть результат, обнару-
обнаруженный на опыте. Обычно мы распространяем этот опытный факт
214 ЧЕТЫРЕХМЕРНЫЕ ТЕНЗОРЫ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ Ч. IV
на все трехмерное пространство; в этом случае оно называется евк-
евклидовым. Такое распространение допустимо, пока неизвестны фак-
факты, ему противоречащие.
В декартовых координатах метрический тензор состоит из посто-
постоянных элементов, все трехзначковые символы равны нулю, тензор
Римана—Кристоффеля равен тождественно нулю во всем простран-
пространстве. Любое из этих свойств может быть принято за определение ев-
евклидова пространства. При помощи декартовых координат мы уста-
устанавливаем в пространстве любые криволинейные координаты, в ко-
которых метрический тензор уже локален, т. е. зависит от координат
точки. Трехзначковые символы уже не равны нулю, тем не менее
тензор Римана—Кристоффеля тождественно равен нулю во всем
пространстве. При получении этих выводов мы опирались на факт
существования декартовой системы координат.
При изучении поверхности как двумерного пространства, мы
сначала пользовались тем фактом, что поверхность можно рассмат-
рассматривать как вложенную в трехмерное евклидово пространство, в ко-
котором заранее установлена декартова система координат.
Когда мы стали изучать поверхность внутренними средствами,
т. е. без выхода в трехмерное пространство, мы начали с неопределен-
неопределенной базисной системы координат и поставили вопрос о возможности
установления на всей поверхности такой специальной системы коор-
координат (геодезической системы), в которой все трехзначковые символы
Кристоффеля были бы тождественно равны нулю, вследствие чего и
тензор Римана—Кристоффеля также оказался бы равным нулю. Мы
знаем, что установить такую систему координат можно не на всякой
поверхности, а только на развертывающейся. На других поверхностях
этот аналог декартовой системы координат установить нельзя, а тен-
тензор Римана—Кристоффеля не равен тождественно нулю. Таким обра-
образом, оказалось, что метрика поверхности накладывает некоторые ог-
ограничения на возможность установления на ней системы координат;
не всякая система координат возможна на заранее заданной поверх-
поверхности. Можно сказать также, что метрический тензор поверхности за-
зависит частично от свойств самой поверхности, а частично от выбран-
выбранной на поверхности системы криволинейных координат.
При изучении тензорного аппарата специальной теории относи-
относительности мы допустили, что четырехмерное пространство событий
(с мнимой временной координатой) — евклидово. Такое допущение
оправдано совпадением следствий из него с результатами опытов,
проведенных как до, так и после возникновения теории относитель-
относительности. Это допущение может считаться оправданным до тех пор, по-
пока не обнаружатся факты, ему противоречащие.
В четырехмерном пространстве событий общей теории относи-
относительности назовем системой координат всякое взаимно однознач-
однозначное соответствие между событиями и четырьмя числами ql, q2, q3 и
q4. Предполагается, что способ установления соответствия между
§ 21 РИМАНОВО ПРОСТРАНСТВО СОБЫТИЙ ОБЩЕЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ 215
числами q* и событиями заранее не определен, но для каждого дан-
данного исследования остается неизменным. Таким образом, мы начи-
начинаем исследование с неопределенной заранее базисной системой ко-
координат, как уже делали на поверхности. Например, не обязатель-
обязательно, чтобы первые три числа q* определяли точку в трехмерном
пространстве, a q* — время, хотя так бывает чаще всего. Но можно,
например, определять время при помощи какой-нибудь функции от
ql и q*; важно только, чтобы это делалось на протяжении всего ис-
исследования. В этом смысле базисная система координат в простран-
пространстве событий в значительной мере произвольна, однако, как мы
увидим позже, не вполне произвольна.
Если, кроме системы координат, указан способ, при помощи ко-
которого может быть определена близость между двумя событиями,
так сказать, «расстояние» между двумя событиями, то мы будем го-
говорить, что в пространстве событий определена метрика. Обычно
метрика вводится при помощи двух бесконечно близких событий
путем задания некоторой квадратичной формы, определяющей
квадрат интервала ds® между этими двумя событиями:
dsW = gpqdqPdq4. B1.1)
Задание в некоторой системе координат метрики, т. е. метрического
тензора gpq, определяет риманово пространство. Евклидово про-
пространство есть частный случай риманова, когда метрический тензор
может состоять из постоянных элементов.
Итак, метрика пространства событий нам заранее неизвестна,
так же как и система координат в нем. Такое положение, на первый
взгляд, кажется исключающим возможность развития какой бы то
ни было теории. Однако, нечто подобное мы имеем в лагранжевой
механике, где обобщенные координаты тоже заранее никак не на-
назначены и могут быть выбраны из соображений целесообразности;
это не недостаток, а одно из достоинств механики Лагранжа, прида-
придающее ей значительную гибкость. При решении какой-нибудь кон-
конкретной задачи механики обобщенные координаты должны полу-
получить вполне определенный геометрический смысл; конкретизация
обобщенных координат входит в состав процесса решения задачи.
Этим приемом мы уже пользовались при построении внутренней
геометрии поверхности (см. § 17).
Поскольку общая теория относительности есть теория тяготения,
т. е. физическая теория, мы должны выбрать метрику в неопреде-
неопределенной базисной системе координат, а затем конкретизировать эти
координаты таким образом, чтобы полученные выводы находились в
соответствии с результатами экспериментов и наблюдений. Если бы
мы приняли, что пространство событий евклидово, мы не получили
бы ничего нового по сравнению со специальной теорией относитель-
относительности. Следовательно, мы должны предположить, что пространство
216 ЧЕТЫРЕХМЕРНЫЕ ТЕНЗОРЫ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ Ч. IV
событий неевклидово. Поэтому, прежде всего, нам нужно найти
удобные выражения для необходимых и достаточных условий неев-
клидовости пространства событий. Очевидно, что можно наоборот
установить необходимые и достаточные условия евклидовости про-
пространства событий; тогда их невыполнение будет необходимым и до-
достаточным условием того, что пространство событий неевклидово.
Эти условия в дальнейшем мы используем для построения собствен-
собственно теории тяготения.
Геометрические образы в пространстве событий. Если заданы
определенные значения четырех координат д', то говорят, что в
пространстве событий определена точка. Таким образом, каждому
событию в пространстве событий соответствует точка.
Если координаты д' заданы в виде функций одного параметра
я' = 91(и), B1.2)
то, по аналогии с трехмерной геометрией, соответствующий образ
называют линией или 4-линией. В пространстве событий иногда
применяют термин мировая линия. Если исключить параметр и из
уравнений B1.2), то получится три уравнения, связывающих коор-
координаты кривой. Итак, линия в четырехмерном пространстве опреде-
определяется тремя уравнениями.
Если координаты д* заданы в виде функций от двух параметров
и1, и2
д' = д'(и\ и2),
то говорят, что в четырехмерном пространстве определена двумер-
двумерная поверхность или просто поверхность. Исключая параметры
и1 и и2, мы придем к двум уравнениям. Итак, поверхность в четы-
четырехмерном пространстве определяется двумя уравнениями.
Если координаты заданы в виде функций от трех параметров и1,
и2, и3
д' = д'(и1,и2,и3), B1.3)
то говорят, что задана гиперповерхность или трехмерная поверх-
поверхность. Исключая эти три параметра, придем к одному уравнению;
гиперповерхность определяется одним уравнением.
Если координаты д* заданы в виде функции от четырех парамет-
параметров и*, т. е.
д' = д'(ик),
то мы имеем просто преобразование координат.
Распространение трехмерной символики на четырехмерный
случай. Пусть есть две системы координат: неопределенная базис-
базисная др, в которой установлена метрика B1.1) и какая-нибудь дру-
§ 21 РИМАНОВО ПРОСТРАНСТВО СОБЫТИЙ ОБЩЕЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ 217
гая (новая) ql, так что
Дифференциалы координат преобразуются по формулам
dg'^cldg",
«-на, <2М)
где
Дальше вводим понятия скаляров, векторов и тензоров различного
порядка и строения совершенно так же, как в § 9 и § 15; нужно
только помнить, что скользящие индексы пробегают теперь значе-
значения 1, 2, 3, 4. На этом останавливаться не будем.
Понятие параллельного переноса для векторов вводим так же,
как в § 16 для случая векторов на поверхности. Мы будем считать,
что вектор, заданный одним из своих представлений а1 или at пере-
переносится параллельно, если он удовлетворяет условиям:
dp н * dp '
где р — некоторый параметр. Левая часть этих равенств
Ра1 _ da' , -р j к dq'
dp ~ dp *' dp'
Do. do. W/i
dp ~ dp M * dp
называется абсолютной производной вектора по параметру. Отсюда
получаются выражения
.... —— —I— Т^ * ^>™
называемые ковариантными производными вектора. Дальше снова
вводим абсолютные и ковариантные производные тензоров любого
порядка и строения. В § 16 было приведено доказательство (для дву-
218 ЧЕТЫРЕХМЕРНЫЕ ТЕНЗОРЫ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ Ч. IV
мерного случая), что абсолютные и ковариантные производные яв-
являются истинными тензорами; так как для четырехмерного случая
пришлось бы слово в слово повторить это доказательство, лишь за-
заменив греческие индексы латинскими, то доказательство мы опуска-
опускаем. Совершенно так же, как в двумерном случае, определяется по-
понятие геодезической 4-линии; ее уравнение есть
ds ds ~ '
где s — длина дуги четырехмерной кривой.
Формальные правила ковариантного дифференцирования, данные
в двумерном и трехмерном случаях, распространяются без изменений
и на четырехмерный случай; в частности, абсолютные и ковариантные
производные следующих объектов равны тождественно нулю:
gtk, gik, 8=\gtk\> еШт, еШт,
B1.5)
где смысл знака минус в V^g выяснится в дальнейшем.
Однако нужно помнить, что в пространстве событий повторное ко-
вариантное дифференцирование, вообще говоря, не перестановочно.
Необходимые и достаточные условия неевклидовости про-
пространства. В качестве определения евклидова пространства мы при-
примем следующее: пространство называется евклидовым, если в нем
существует такая особенная координатная система, в которой сим-
символы Кристоффеля равны тождественно нулю во всем пространстве.
Установим сначала закон преобразования символов Кристоффе-
Кристоффеля другим приемом, чем в двумерном случае (см. § 16). Пусть есть
скаляр <р; тогда ав = -^ есть ковариантный вектор. Возьмем от него
р ддр
ковариантную производную; получим выражение
= д1л-Г а -Г а
Как мы знаем, это — тензор второго порядка, дважды ковариант-
ковариантный, поэтому его закон преобразования будет
bq'bq4
Грч дя' [а? V Г'* дя1] дя" дя4'
Но какая-нибудь одна из новых координат есть скаляр, поэтому, по-
—/ да *i да п
лагая здесь <р = а , получим, так как -з = о* и —г—г = О»
д? ' дя дя
о Я гч дя р7 дя дя
дя"дЯч рчдя'~ '* дя" в»«'
§ 21 РИМАНОВО ПРОСТРАНСТВО СОБЫТИЙ ОБЩЕЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ 219
Это и есть, искомый закон преобразования. Наличие второй произ-
производной показывает, что символы Кристоффеля не образуют тензора.
Если же преобразование координат — линейное, то вторая про-
производная пропадает и по отношению к линейным преобразованиям
символы Кристоффеля образуют тензор третьего порядка.
Если новые координаты удовлетворяют уравнениям
B1.6)
д д rs од _л
~^д? рч а/ ~ '
то из предыдущей формулы мы получим
Р if! anil = о
'* дд" дд"
*т дар да4
Умножив это последнее равенство на ——s-, мы получим
а?ш а?"
Итак, если существует система координат д1, удовлетворяющая си-
системе уравнений B1.6), то в этой системе координат символы Кри-
Кристоффеля равны нулю. Чтобы эта система координат существовала,
необходимо, чтобы система уравнений B1.6) была интегрируемой,
т. е. совместной для каждой из координат 7f. Поэтому нам нужно
установить условия совместности системы
Это и будут необходимые условия евклидовости пространства собы-
событий.
Для совместности системы B1.7) необходимо, чтобы значения
для третьих производных, вычисляемые из различных уравнений
системы, совпадали между собой. Мы имеем
~dq"[sqpdq^j ~~п™[ рч'с
а ( ь\ \ =±_[Ts ьЛ
dqq{dqpdqm) dq4{ pm dq5}'
Так как левые части, очевидно, равны, то и правые должны быть
равны. Поэтому должно быть
[ ) \ pm в/
ИЛИ
dqm dq° "" dqsdqm dq" dqs pm dq'dq*
220 ЧЕТЫРЕХМЕРНЫЕ ТЕНЗОРЫ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ Ч. IV
Из B1.7) найдем выражения для вторых производных через пер-
первые; это будет
dq'dqm sm dq''
Э2<Р =Tt i?
S4''
Подставим это в уравнение B1.8) и вынесем -^ за скобку, для чего
dq'
в первом и третьем членах необходимо поменять немые индексы;
получим
[
4- Г1 Г' —Г1 Г' \^- = 0
[ dqm dq" рч sm pm sq) dq'
Произведем здесь упорядочение индексов при помощи подстановки
(qmpts
\i к р т s
Тогда получим
где ф снова заменено какой-нибудь из новых координат, как в B1.6).
Введя обозначение
+ г г г г = я ()
мы можем записать условие B1.9) в виде
»¦•.»»«'_ О B1.11)
Сравнивая выражение B1.10) с приведенным в § 12 выражением
A2.2) для трехмерного тензора Римана—Кристоффеля, мы видим,
что формально они совпадают; только в § 12 мы пришли к этому
тензору, рассматривая условия перестановочности повторного кова-
риантного дифференцирования. Очевидно, что в четырехмерном
пространстве событий мы могли бы повторить все эти рассуждения;
тогда мы пришли бы к выводу, что объект R't'k'™ есть четырехмер-
четырехмерный тензор. Так как при этом мы не получили бы ничего нового, то
эти рассуждения мы опускаем.
Тензор R'l'i™., определяемый выражением B1.10), называется
тензором Римана—Кристоффеля пространства событий.
§ 22 УРАВНЕНИЯ ЭЙНШТЕЙНА В НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ КООРДИНАТАХ 221
Придадим в B1.11) индексам ikp какие-нибудь определенные
значения, тогда это есть линейная однородная система относительно
элементов тензора R\k™. А так как детерминант преобразования ко-
ординат
всегда не равен нулю, то система B1.11) допускает
только тривиальное решение
*;*,"=о.
Это и есть необходимое условие совместности системы B1.6), т.е.
условие евклидовости пространства событий. Можно показать, что
оно и достаточно.
Итак, для того чтобы пространство событий было евклидовым,
необходимо и достаточно, чтобы тензор Римана—Кристоффеля об-
обращался тождественно в нуль, т. е. равнялся нулю в любой точке
пространства событий. А так как в евклидовом пространстве мет-
метрический тензор gtk приводится к тензору btk, то равенство нулю
тензора Римана—Кристоффеля одновременно является необходи-
необходимым и достаточным условием того, чтобы квадратичная форма
gtkdqldqk могла быть приведена во всем пространстве к сумме
квадратов с постоянными коэффициентами.
Выше мы пришли к выводу, что предположение о том, что про-
пространство событий в общей теории относительности евклидово, не
даст нам ничего нового по сравнению со специальной теорией отно-
относительности. Поэтому мы должны считать, что пространство собы-
событий в общей теории относительности неевклидово; необходимым и
достаточным условием этого является, очевидно, неравенство нулю
тензора Римана—Кристоффеля.
Эйнштейн предположил, что неравенство нулю тензора Римана—
Кристоффеля связано с существованием тяжелых масс, и поэтому при
построении теории тяготения необходимо исходить из неравенства ну-
нулю этого тензора. Таким образом, предполагается, что присутствие
тяжелых масс вызывает отклонение физического пространства собы-
событий от евклидова. Этим мы займемся в следующем параграфе.
§ 22. Уравнения Эйнштейна в неопределенных координатах
Эвристические соображения. (Эвристический — значит способст-
способствующий открытию.) Уравнения движения точки в форме Ньютона
выражают, в сущности, его второй закон движения, который ниот-
ниоткуда не выводится. Точно также уравнения Максвелла в электроди-
электродинамике и волновое уравнение Шредингера в квантовой механике
ниоткуда не выводятся. Все это — открытия, догадки, обобщающие
наблюдения и результаты экспериментов. Чтобы сделать такие до-
догадки, мало одной формальной логики, даже усиленной математи-
математическим аппаратом. Необходимо привлекать различные эвристиче-
эвристические соображения, в частности, аналогии.
222 ЧЕТЫРЕХМЕРНЫЕ ТЕНЗОРЫ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ Ч. IV
ход рассуждений самого Эйнштейна, как он изложил его в Прин-
стонских лекциях, прочитанных в 1921 г.*) При этом мы совершен-
совершенно откажемся, следуя Эйнштейну, от вариационных принципов, ко-
которые, по его мнению, представляют интерес главным образом для
математиков (см. предисловие к упомянутым лекциям).
В предыдущем параграфе мы пришли к выводу, что пространство
событий должно быть римановым. Но геометрия располагает очень
наглядной моделью риманова пространства: это — поверхность, не
развертывающаяся на плоскость. В §§15, 16 и 17 была построена
внутренняя геометрия поверхности, т. е. геометрия с точки зрения
двумерного существа, обитающего на этой поверхности и не имею-
имеющего средств ее покинуть, т. е. выйти в третье измерение.
По отношению к пространству событии мы находимся в положе-
положении такого существа. Поэтому и геометрию пространства событий
мы вынуждены строить при помощи методов, аналогичных методам
внутренней теории поверхностей, развитой еще Гауссом (разумеет-
(разумеется, Гаусс не пользовался тензорными методами, которые в то время
были еще неизвестны).
Идеями внутренней геометрии поверхностей мы уже пользовались
в предыдущем параграфе. Вкратце эти идеи состоят в следующем.
Метрика поверхности устанавливается в неопределенной базисной си-
системе координат; однако вид метрического тензора единственным об-
образом связан с этой неопределенной системой координат, так как во
всякой другой системе он будет, согласно тензорным законам преоб-
преобразования, иметь новый вид. В этом смысле система координат одно-
однозначно связана с метрикой. Если же мы хотим найти вид координат-
координатных кривых, то мы должны проинтегрировать систему уравнений
в результате чего получим сразу и конечное уравнение поверх-
поверхности, и уравнения координатных кривых. Кроме того, мы знаем,
что тензор Римана—Кристоффеля для поверхности, вообще говоря,
не равен нулю тождественно, и поэтому на поверхности нельзя вве-
ввести аналога декартовой системы координат нашего трехмерного ев-
евклидова пространства.
Подобным же образом метрику пространства событий мы уста-
устанавливаем в неопределенных координатах. Если мы сделаем так,
чтобы эта метрика была евклидовой, мы придем снова к специаль-
специальной теории относительности. Эйнштейн предположил, что метрика
специальной теории относительности есть лишь первое приближе-
приближение в описании физических явлений, не учитывающее явлений тя-
тяготения. Чтобы изучить гравитационные явления, и в частности,
гравитационное поле, необходимо допустить, что метрика простран-
*) А. Эйнштейн, Основы теории относительности, М., 1935.
§ 22 УРАВНЕНИЯ ЭЙНШТЕЙНА В НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ КООРДИНАТАХ 223
ства событий — неевклидова. Иначе говоря, основная идея общей
теории относительности состоит в том, что гравитационное поле
описывается при помощи отклонений метрики пространства событий
от евклидовой, или, если угодно, это отклонение метрики и есть
гравитационное поле. Таким образом, основное в теории тяготения
Эйнштейна есть выбор метрики пространства событий.
Так как пространство событии должно быть неевклидовым, то
его метрика должна быть установлена таким образом, чтобы выпол-
выполнялось необходимое и достаточное условие неевклидовости — нера-
неравенство нулю тензора Римана—Кристоффеля. Кроме того, новая те-
теория тяготения должна содержать в себе старую ньютонову теорию
как первое приближение.
Основное уравнение в теории тяготения Ньютона есть урав-
уравнение Пуассона, которое в декартовых трехмерных координатах
хх имеет вид
где U — потенциал силы тяготения, р — плотность материи. В тех ча-
частях пространства, где материи нет, р = 0, и это уравнение переходит
в уравнение Лапласа
Ограничимся рассмотрением только тех областей пространства со-
событий, где нет материи, тогда из уравнений, которые мы хотим най-
найти, как приближение должно получаться уравнение Лапласа.
Так как тяготение должно определять метрику, или, наоборот,
метрика должна определять гравитационное поле, то естественно
предположить, что в общей теории относительности роль потенциалов
играют составляющие метрического тензора gik. В силу симметрии
имеется 10 составляющих gtk, которые и должны быть найдены.
Так как уравнение Лапласа для ньютонова потенциала — второго
порядка, то искомые уравнения должны быть порядка не выше второ-
второго относительно gtk. Вторые производные от glk входят в тензор
Римана—Кристоффеля; если мы приравняем составляющие этого тен-
тензора нулю, мы получим уравнения второго порядка. Но, во-первых,
это не подходит уже потому, что тогда пространство событий будет ев-
евклидовым, кроме того, можно показать, что этих уравнений слишком
много. Именно, если п есть число измерений пространства, то число
N независимых элементов тензора Rtkpq равно *)
N =
*) См., напр., В. А. Фок, «Теория пространства, времени и тяготения», М., 1955,
стр. 201 или П. Г. Бергман, «Введение в теорию относительности», М., 1947, стр. 231.
224 ЧЕТЫРЕХМЕРНЫЕ ТЕНЗОРЫ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ Ч. IV
Отсюда видим, что в двумерном пространстве Af = 1, в трехмерном
N = 6, как мы и получали в предыдущих параграфах. Для четырех-
четырехмерного пространства мы имеем N = 20, в то время как тензор gtk име-
имеет всего 10 составляющих. ,
Поэтому в общей теории относительности рассматривается тен-
тензор Риччи
B2.1)
который является сверткой тензора Римана—Кристоффеля, и скаляр
который называется инвариантом кривизны. Важно отметить, что
тензор Rip и скаляр R зависят только от метрического тензора gtk.
Гипотеза Эйнштейна относительно поля тяготения в пустоте со-
состоит в том, что уравнения для определения потенциалов имеют вид
Rlk = 0. B2.2)
Это и есть уравнения Эйнштейна для поля тяготения в пустоте.
Подчеркнем, что они написаны в неопределенных координатах. Вы-
Выводов этих уравнений из некоторой системы аксиом пока не суще-
существует; доказательство их правильности может быть получено лишь
путем сравнения следствий, вытекающих из них, с результатами
экспериментов и наблюдений.
Можно показать, что уравнения Эйнштейна в первом приближе-
приближении превращаются в уравнения Ньютона для потенциала.
Независимость уравнений Эйнштейна. Тензор Риччи, как уже
было показано в трехмерном случае, симметричен. В самом деле,
мы имеем
*,р = R'iKPk. = ^qRtkpq = «*Ч«« = ад. = R-;& = V
Поэтому он имеет 10 элементов, вследствие чего и система уравне-
уравнений Эйнштейна B2.2) состоит из 10 уравнений. Но метрический
тензор также симметричен и также имеет 10 элементов. Поэтому,
если уравнения Эйнштейна все независимы, то метрический тензор
определяется полностью; но это значит, что и система координат
единственна, так как наперед заданный вид метрический тензор мо-
может иметь только в одной какой-нибудь системе координат. Следо-
Следовательно, свобода выбора системы координат исключается, что по
нашим представлениям нелепо. Но оказывается, что среди уравне-
уравнений Эйнштейна только 6 независимых; это как раз и оставляет нам
свободу выбора (отождествления) координат. Именно, тензор Риччи
должен удовлетворять в любой системе координат четырем тождест-
тождествам, выводимым из так называемых тождеств Бианки. К установ-
установлению этих тождеств мы и приступим.
§ 22 УРАВНЕНИЯ ЭЙНШТЕЙНА В НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ КООРДИНАТАХ 225
Тождества Бианки. Ранее мы получили перестановочное соот-
соотношение для повторного ковариантного дифференцирования произ-
произвольного контравариантного вектора:
<1к-<ы = хУкРтаР- B2.3)
Отсюда легко получить перестановочные соотношения для произ-
произвольного ковариантного вектора. Опуская в B2.3) индекс m и поль-
пользуясь равенством ар = ff4aq, получаем
ИЛИ
~ am,kt = RtkpmaP = -
am,tk - am,kt = ~R\'kmap'
Нетрудно показать, что для повторного дифференцирования произ-
произвольного дважды ковариантного тензора будут иметь место следую-
следующие перестановочные соотношения
amn,tk ~ <W/ " -Rtkl-apn ~ RYknP.<*mP> B2-4)
получить которые рекомендуется читателям в порядке упражнения.
Для получения тождеств Бианки будем исходить из B2.3). Возь-
Возьмем ковариантную производную от обеих частей этого равенства по
q1 и циклируем индексы:
i к I
к I i ;
/ i *
получим
am,tkt ~ am,kll = ~Rlkm-,lap ~ R't'km-ap,l>
ат,Ш ~ am,lkl = ~Rklm,tap ~ Rklm-ap,t>
атМк ~ am,tlk - -RUm;kap ~ R\\Zap,k'
Складывая, получаем
(ат,Ш - ат,Пк) + (ат,Ш ~ am,kll> + (am,ltk ~ am,lkt) ~
= -(Rtk?.,l + R'klZ,t + RllmP;kK ~
(КАа + *uZ*p,, + Riimp<*p,k)- B2-5)
Три члена в скобках в левой части можно рассматривать как раз-
разности повторных ковариантных производных тензора второго порядка
(соответственноa t, amk и ат1). Поэтому, воспользовавшись B2.4),
получим
ат,Ш — am,llk = ~Rklmap,l ~ Л*/1'ат,Р'
ат,Ш ~ amMl = ~Rllmap,k ~ R'Uk'P am,p>
ат,Нк ~ ат,1к1 = ~R\'kmap,l ~ КШат,р'
226 ЧЕТЫРЕХМЕРНЫЕ ТЕНЗОРЫ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ Ч. IV
Мы видим, что сумма членов первого столбца в правой части
оказывается равной последней скобке в правой части B2.5); сум-
сумма членов второго столбца оказывается тождественно равной ну-
нулю вследствие четвертого свойства тензора Римана—Кристоффеля
(см. A2.5)). Поэтому, из B2.5) получается
а поскольку ар совершенно произвольный вектор, то выражение в
скобках должно равняться нулю тождественно:
ВД../ + *«„",, + Щ\Хл ¦ 0- B2.6)
Это и есть тождества Бианки.
Свертка тождеств Бианки. Из тождеств Бианки можно
получить другие тождества, в которые вместо тензора Римана—
Кристоффеля входит тензор Риччи и инвариант кривизны.
Опустим в тождествах Бианки B2.6) индекс р; получим
Rtkmp,l + Rklmp,t + Rllmp,k = ^
Переменим во втором члене местами индексы m и р, а в третьем
члене — индексы / и L Получим
Rlkmp,l ~ Rklpm,i ~ Rtlmp,k = О-
Поднимем индексы тир; получим
п- -тр а- -рт п- -тр л
Rik-J Rkl-;t Kil-,k — U-
Наконец, свернем полученное тождество дважды, положив i = р,
к = т. Получим
рт-,1 * Rml-;p Rpl-,m ~ U-
Первый член представляет собой ковариантную производную от инва-
инварианта кривизны R. Два последних члена равны между собой, так как
отличаются только немыми индексами. Поэтому можно написать
Это и есть нужное нам тождество. Ему можно придать несколько
иной вид. Введем тензор
± B2.8)
который часто называют тензором Эйнштейна. Возьмем от равен-
равенства B2.8) ковариантную производную с последующей сверткой;
получим
§ 22 УРАВНЕНИЯ ЭЙНШТЕЙНА В НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ КООРДИНАТАХ 227
Правая часть этого равенства совпадает с левой частью равенства
B2.7), поэтому вместо последнего можно написать
G?, = 0. B2.9)
Тождеств B2.7) или B2.9), очевидно, четыре; они зависят только
от метрического тензора gtk. Эти тождества имеют место всегда, не-
независимо ни от каких физических гипотез, например, выражаемых
уравнениями Эйнштейна.
Свертку Gfp часто называют расходимостью (дивергенцией)
тензора Gf. Поэтому тождество B2.9) можно формулировать так:
расходимость тензора Эйнштейна тождественно равна нулю.
Итак, мы получили четыре тождества, которым должен удовлет-
удовлетворять тензор Риччи в какой угодно системе координат и при какой
угодно метрике пространства событий. Следовательно, из десяти
уравнений Эйнштейна B0.5) имеется только шесть независимых;
для того, чтобы вполне определить систему координат, т. е. отожде-
отождествить координаты с некоторыми величинами, доступными измере-
измерению, мы можем добавить еще четыре произвольных условия. Но
именно столько условий нам должны дать уравнения движения ма-
материальной точки в пространстве событий.
Уравнения движения. Уравнения движения тяжелой точки
в римановом пространстве событий также ниоткуда не выводятся,
а устанавливаются на основании следующих эвристических сооб-
соображений.
Как мы видим, концепция теории тяготения Эйнштейна состоит
в том, что никакой специальной силы тяжести в ньютоновом смысле
не существует. Физические тела вызывают отклонение метрики
пространства событий от евклидовой метрики специальной теории
относительности. Поэтому движение тяжелой точки в гравитацион-
гравитационном поле происходит в отсутствие приложенных к ней сил, т. е. как
бы по инерции.
Теперь привлечем рассуждение по аналогии. Движение по инер-
инерции в ньютоновой механике совершается по прямой линии, которая
в евклидовом пространстве является геодезической линией. В тео-
теории поверхностей мы видели, что в двумерном римановом простран-
пространстве, каким является неразвертывающаяся поверхность, можно по-
построить геодезические линии, свойства которых напоминают свойст-
свойства прямых в евклидовом пространстве. Именно, при известных
условиях они являются кратчайшими между двумя точками на по-
поверхности; вектор, касательный к геодезической линии, переносится
вдоль нее параллельно и т. п.
Геодезические линии могут быть построены и в четырехмер-
четырехмерном пространстве событий. Чтобы рассмотреть их свойства, мы
должны были бы повторить слово в слово то, что было сказано
в предыдущих параграфах, посвященных теории поверхностей,
228 ЧЕТЫРЕХМЕРНЫЕ ТЕНЗОРЫ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ Ч. IV
лишь учитывая, что скользящие индексы пробегают четыре зна-
значения, а не два.
Естественным обобщением закона инерции в форме Ньютона яв-
является теперь следующий: тяжелые точки в гравитационном поле
движутся по геодезическим линиям пространства событий, метрика
которого определяется уравнениями Эйнштейна.
Следовательно, уравнения движения в общей теории относитель-
относительности будут
V VW
Присоединяя их к уравнениям Эйнштейна B2.2), мы можем полу-
получить определенную метрику в системе координат, имеющей опреде-
определенный физический смысл.
Итак, мы должны выбрать метрику и отождествить координаты
при помощи уравнений
Этот последний шаг в теории тяготения Эйнштейна мы для простей-
простейшего случая сделаем в следующем параграфе.
§ 23. Решение Шварцшильда. Движение планет
Постановка задачи. Чтобы получить на основании общей теории
относительности результаты, которые можно проверить на опыте,
необходимо проделать следующее.
1. Решить уравнение гравитационного поля
относительно метрического тензора gtk.
2. Написать уравнения движения тяжелой точки в этом поле
$ + П,?? = «. B3.1)
3. Отождествить неопределенные пока координаты ql простран-
пространства событий с пространственными координатами и временем так,
чтобы уравнения движения относились к какому-нибудь случаю, су-
существующему в природе.
4. Решить уравнения движения B3.1) и сравнить с тем, что долж-
должно получиться в том же самом случае по теории тяготения Ньютона.
В настоящем параграфе мы проделаем все это для одного част-
частного случая — гравитационного поля, обладающего центральной
симметрией. Такое поле порождается одной тяжелой точкой в окру-
окружающем ее пустом пространстве. Для этого случая уравнения Эйн-
§ 23 РЕШЕНИЕ ШВАРЦШИЛЬДА. ДВИЖЕНИЕ ПЛАНЕТ 229
штейна допускают точное решение, которое найдено в 1916 г.
Шварцшильдом и носит его имя.
Отметим, что вообще уравнения Эйнштейна порождают большое
число тонких математических вопросов, которыми мы заниматься
не будем. Но тех сведений, которые могут быть почерпнуты читате-
читателями, достаточно для того, чтобы идти дальше самостоятельно.
Интервал для поля с центральной симметрией. Чтобы попы-
попытаться угадать выражение для интервала поля с центральной сим-
симметрией, воспользуемся аналогией со сферическими координатами в
трехмерном пространстве. Выражение для элемента длины кривой в
сферических координатах, как известно, есть
ds2 = dr2 + r2d92 + г2 sin2 9 d>p2.
Поэтому предположим, что интервал в пространстве событий есть
- (ql sin 7O 7
B3.2)
где
X=\(ql), v = v(ql)
есть функции, которые подлежат определению, а с — скорость све-
света в пустоте.
Координаты ql остаются пока произвольными; после определения
функций \(ql) и v(ql) мы должны попытаться отождествить их с
пространственными координатами и временем таким образом, чтобы
полученное решение имело физический смысл.
Вычисление символов Кристоффеля. Чтобы написать уравне-
уравнения Эйнштейна в явном виде, необходимо прежде всего вычислить
символы Кристоффеля, соответствующие метрике B3.2). Для этого
проще всего пользоваться алгоритмом составления уравнений Лаг-
ранжа 2-го рода, как было объяснено в § 10. Напомним вкратце, в
чем состоит этот способ.
Будем для удобства писать координаты с нижними значками,
чтобы не путать значки с показаниями степени. Из метрики B3.2)
образуем функцию Лагранжа
S-\ (-e^q2- q\q\ - q\ sin2 q2 q\ + c2e*q2),
где qt — «обобщенные скорости», полученные дифференцированием
координат по какому-нибудь параметру t. Составим ковариантный
вектор Лагранжа S?t:
р, _d ьа: ъзе
' dt Oft dqt
230 ЧЕТЫРЕХМЕРНЫЕ ТЕНЗОРЫ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ Ч. IV
и поднимем у него индекс
X — g iC к.
В этом векторе будет содержаться квадратичная форма «обобщен-
«обобщенных скоростей»; коэффициенты этой квадратичной формы и будут
искомыми символами Кристоффеля.
Проделаем подробно все выкладки. Все недиагональные элемен-
элементы ковариантного метрического тензора равны нулю; неравные ну-
нулю элементы будут
Поэтому
8 — si 1*22*33*44 се ?iSin q2, у g — teiK '^sin^j. (li.i)
Элементы контравариантного метрического тензора будут
г11 = -е~х <Р — г33 = - ' . Р44 = — е~ч
а — е) В — 2» в — 2,2> * — 2
«1 «! Sin в2 С
Теперь применяем алгоритм Лагранжа:
2 • d Эй? _ 1 .
— 1q^ sin ^2 q^q3 — 2ql sin ^2 cos Q2 QiQi>
Поэтому
2" i • • i _2 ¦ *2
§ 23 РЕШЕНИЕ ШВАРЦШИЛЬДА. ДВИЖЕНИЕ ПЛАНЕТ 231
2Т3 = -q\ sin2 q2 q3 - 2^ sin2 q2 q^3 - 2q] sin q2 cos q2 q2q3,
Поднимая индекс, получаем
2 B3-4)
Поэтому отличны от нуля только следующие символы Кристоф-
феля:
Г1 — 1.^. г1 =-п р~х
Il~2rf9j' 22 Ч\е >
Г1 --я*.-Ач1п2я Г1 -IrV-x —
1 33 ^le Sin ?2> А 44 — 2 d« '
r?2 = rli=^. r23 = -sin,72cos<72,
Г4 —Г4 — ' dv
1 14-141-2de1-
Вычисление элементов тензора Риччи. Сначала приведем тен-
тензор B2.1) к виду, удобному для вычислений.
Выпишем выражение для тензора Римана—Кристоффеля:
Отсюда по B2.1) тензор Риччи принимает вид
дТт дТт
В § 13 мы имели следующее выражение для свертки символа
Кристоффеля
pm _ I dg
232 ЧЕТЫРЕХМЕРНЫЕ ТЕНЗОРЫ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ Ч. IV
Вывод был сделан для трехмерных объектов; как обычно, он спра-
справедлив и для четырехмерных объектов. Поэтому мы можем
написать
г™ _, ' а* _
рт 2g ддР 2{-g) dqP dqP
Последний член тензора Риччи можно записать так:
1 pml sl^1 pml U^1 ртх 21 ^ 1 рт1 3/ + 1 рт1 4/-
Теперь, принимая во внимание, что символы Кристоффеля зависят
только от qx и д2 и что, следовательно, и производные по цг и qA равны
нулю, можем написать следующее выражение для тензора Риччи:
4 г2
Далее из B3.3) имеем:
In V^g = In с + \ (X + v) + 2 In <7, + In sin <72,
, 2
dqx
_ I f Л. , Л\ _ _2_
2Ц ^j f
г 2
После этой подготовки можем приступить к непосредственным вы-
вычислениям. Приводим их со всей подробностью.
_
§ 23 РЕШЕНИЕ ШВАРЦШИЛЬДА. ДВИЖЕНИЕ ПЛАНЕТ 233
- \Щ + о + о + о
о + Л + о + о
+ О +O+i+ О
+ ° + о + о + *(?)*
ИЛИ
1 dX dv , 1 dX \ d\ 1 /dvx2
Упражнение 1. Показать, что все недиагональные элементы
тензора Риччи тождественно равны нулю.
Решение. Проводим вычисления по той же схеме. Получаем
Rl2 = 0 + 0 + 0 +^-ctg«72- 0 -
-{0 + 0+ 0 +0 +
+ 0 + 0+ 0 +0 +
+ 0 + 0 + -ctg?2 + 0 +
«1
+ 0 + 0+ 0 +0}=0.
Подобным же образом поступаем и для остальных пяти элементов.
Упражнение 2. Вычислить R22, R33 и R^.
Решение. Имеем
*22= т- (-*!«¦*) + о+(-*«-*) h {?¦+р-) + f\ + о+ч—
0 + (-<7i^)^- + 0 + 0 +
-*!«-*) + 0 + 0 + 0 +
0 + 0 + ctg2^2 + 0 +
0 + 0 + 0 +
*-*(?-:5=4+l;
234
ЧЕТЫРЕХМЕРНЫЕ ТЕНЗОРЫ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
Ч. IV
sin2 q2
^l (~sin <?2 cos
^ + ^-j + Aj _ sin ^ cos ^ ctg ^ + 0 -
" I
0
0
+ 0 +
—q.e^sln q~
— sin q2 cos q2 ctg q2 + 0 +
'2 + ' 0 + 0 +
+ о + o] =
'"Ж +1 sin2^2 = /?22sin2?2;
И, наконец,
+ 0 + 0 + iA-lf|^
+ 0 + 0 + 0
+ 0 + 0 + 0
?H + 0 + 0 +
2 -i
Решение уравнений Эйнштейна. Итак, для поля с центральной
симметрией мы имеем следующие уравнения Эйнштейна:
11 ~ 2 dq] 4 rf«l d<?l «i d<?l 4 \d<?lJ ~ '
1 -\(dX dv
2^ ^-^
2 п
44 ~
= 0.
§23
РЕШЕНИЕ ШВАРЦШИЛЬДА. ДВИЖЕНИЕ ПЛАНЕТ
235
Очевидно, что здесь только три независимых уравнения. Поэтому
третье уравнение мы отбросим. Умножая первое уравнение на
c2ev~x и складывая с четвертым, получаем
Этому уравнению можно удовлетворить, если положить
Если подставить это значение во второе уравнение, то получим
Легко проверяется, что этому уравнению можно удовлетворить, по-
положив
«•='-5?
где а — произвольная постоянная. Для дальнейшего нам удобно по-
положить
2хМ
ev=l
2хМ
B3.5)
где и и М — некоторые постоянные. Тогда метрический тензор име-
имеет вид
-1
- 1-
ЪлМ
0 0 0
-я\ о о
0 -q\ sin2 q2 0
0 0 c2!l-2xM
о
о
Это и есть решение Шварцшильда для поля тяготения с централь-
центральной симметрией. Пространство событий с такой метрикой иногда на-
называют пространством Шварцшильда.
Геодезические линии в пространстве Шварцшильда. Уравне-
Уравнения геодезических линий будут
236 ЧЕТЫРЕХМЕРНЫЕ ТЕНЗОРЫ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ Ч. IV
причем дифференцировать координаты нужно по параметру s. По-
Поэтому, воспользовавшись B3.4), имеем
ds2 +2dqx [dsj *le [dsj
Будем интегрировать второе уравнение при начальных условиях
(а\ -1 A11) -о
Подставляя эти значения в уравнение, получим, что в начальный
момент —у = 0. Дифференцируя уравнение последовательно по
\ds /о
s, получим, что —г = —г — ••• — 0- Следовательно, если мы
\ds /о \ds /о
напишем разложение для q2 в ряд Тейлора в окрестности начально-
начального значения (<72H ~ т> т0 все члены разложения, за исключением
первого, окажутся равными нулю, и поэтому
<72 = § = const
при заданных начальных условиях есть решение рассматриваемого
уравнения. Таким образом, геодезическая линия при этих условиях
лежит на гиперповерхности д2 = const.
Подставив решение Я% — \ в остальные три уравнения B3.6),
получим
dv <JQi <*g4 _ »
dgx dS ds ^
§ 23 РЕШЕНИЕ ШВАРЦШИЛЬДА. ДВИЖЕНИЕ ПЛАНЕТ 237
Нетрудно проверить, что уравнение для д3 допускает первый ин-
интеграл
,??-*. B3.8)
В самом деле, дифференцируя B3.8) по s, получаем
dqx dq3 , d дъ
2^-dJ-d7 + ^-Jpr = 0-
Поделив это равенство на q\, приходим к исходному уравнению. Те-
Теперь мы уже можем отметить, что этот первый интеграл похож на
интеграл площадей в ньютоновой теории орбит.
Точно также нетрудно проверить, что уравнение для #4 удовлет-
удовлетворяется, если положить
d-? = fie- B3-9)
где р — произвольная постоянная.
Теперь следовало бы интегрировать уравнение для q{, однако,
мы поступим несколько иначе. В выражение для интервала B3.2)
подставим <72 = f; получим, разделив на ds2,
Отсюда найдем более удобное для нас уравнение для qv которое,
конечно, не противоречит первому уравнению B3.7). Из B3.8)
имеем
Подставляя это в B3.10) и пользуясь B3.9), получаем
(, . 2 ,
h "9 И Л 2о2 -v
—г —— =—-ТТСр? ~~ 1.
Разделив это выражение на h2e~v и пользуясь B3.5), получим
Сделаем здесь подстановку
1 du
238 ЧЕТЫРЕХМЕРНЫЕ ТЕНЗОРЫ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ Ч. IV
Тогда будет
2
[ 2h2 J
Л2^Н 4^c2h2U [х c2h2j'
Дифференцируя еще раз по q3 и сокращая на 2 -р-, получим окон-
окончательно:
с/в* с2Л2 с2
Этим уравнением мы воспользуемся теперь для окончательного
установления координат пространства Шварцшильда, которые до
настоящего момента оставались совершенно произвольными. Этот
выбор мы должны сделать так, чтобы наши рассуждения приобрели
физический смысл.
Для этого сравним B3.11) с уравнениями орбиты планеты, по-
получаемыми при помощи теории Ньютона. Как известно, это будет
d<p h
где и = -, а г и *р — полярные координаты планеты в плоскости ее
орбиты, и — постоянная тяготения, М — масса Солнца, h — посто-
постоянная площадей. Мы видим, что эти уравнения различаются только
малым членом -Аг- и2. Это дает нам возможность сделать следую-
с
щее отождествление:
Механика Ньютона Общая теория относительности
1. Уравнение орбиты. 1. Уравнение геодезической линии.
1. г — расстояние планеты 2. Соответственно — координаты
от Солнца, 0 — координа- пространства событий gl, q2, q3, и
та, определяющая положе- д4.
ние плоскости орбиты, *р —
полярный угол планеты,
t — время.
Теперь необходимо сравнить B3.11) и B3.12) с результатами
астрономических наблюдений. Как известно, B3.12) определяет
эллипс, в одном из фокусов которого находится Солнце; оси этого
эллипса в плоскости орбиты неподвижны. Однако, астрономические
наблюдения обнаружили, что орбита Меркурия медленно вращается
в своей плоскости; этот факт не объяснен теорией Ньютона.
С другой стороны, можно показать (мы этого не будем делать, так
как это уже не имеет никакого отношения к тензорному анализу), что
§ 23 РЕШЕНИЕ ШВАРЦШИЛЬДА. ДВИЖЕНИЕ ПЛАНЕТ 239
из B3.11), благодаря наличию в правой части члена ^- и2, орбита
планеты должна за один оборот поворачиваться на угол
Эта величина находится в соответствии с астрономическими наблю-
наблюдениями. Таким образом, этот вывод из общей теории относительности
находится в соответствии с наблюдениями. Этот факт считается одним
из главных подтверждений общей теории относительности.
Учебное издание
Коренев Георгий Васильевич
ТЕНЗОРНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Набор и верстка выполнены в издательстве
московского физико-технического института
Редакторы Л. Г. Быканова, К. А. Сарайкин
Корректоры О. И. Холодкевич, С. А. Холодкевич
Художник М. В. Ивановский
Верстка С. А. Сапогин, Н. В. Дзюба
ЛР №064290 от 14.11.95
Подписано в печать 21.01.2000. Формат 60x90/16. Бумага офсетная № 1.
Печать офсетная. Усл. печ. л. 15. Уч.-изд. л. 15. Тираж 2500 экз.
Заказ № 1652
Издательство Московского физико-технического института
141700, г. Долгопрудный Московской обл.. Институтский пер., д. 9
Отпечатано в ППП Типография «Наука» АИЦ «Наука» РАН
121099 Москва, Шубннский пер., 6