Федеральное агентство по образованию
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Тверской государственный университет»
Д. Е. Кумпяк
Векторный и тензорный анализ
Учебное пособие
ТВЕРЬ 2007

УДК 514.74@75.8)
ББК В 151.51я73-1
К 90
Рецензенты:
Доктор физико-математических наук, профессор
Российского университета дружбы народов
Л.А. Севастьянов
Доктор физико-математических наук, профессор
Тверского государственного университета
В.П. Цветков
Кумпяк Д.Е.
К 90 Векторный и тензорный анализ: Учеб. пособие. - Тверь: Твер. гос.
ун-т, 2007. - 160 с. Библ.: 18 назв. Ил.: 4.
Учебное пособие содержит сведения о тензорах и операциях тензорной алгебры,
криволинейных координатах, внешнем дифференцировании и интегрировании
дифференциальных форм, векторном анализе. Операторы векторного анализа
определяются с помощью внешнего дифференцирования, что позволяет легко вывести их
свойства из свойств внешнего дифференциала.
Основную концепцию пособия можно кратко сформулировать так: векторный
анализ с точки зрения исчисления дифференциальных форм. Характерный стиль
изложения — бескоординатный.
Пособие содержит материал, посвященный приложениям излагаемого аппарата
к физике: тензор инерции абсолютно твёрдого тела, уравнения динамики точки в
криволинейных координатах (уравнения Лагранжа), уравнения электродинамики на
языке дифференциальных форм, интенсивность источников и завихренность
векторного поля, теорема о скорости изменения фазового объёма.
Пособие предназначено для студентов физических специальностей
университетов, но может быть полезно и студентам-математикам.
УДК 514.74@75.8)
ББК В 151.51я73-1
Печатается по решению учебно-методического совета Тверского
государственного университета.
© Кумпяк Д.Е., 2007
© Тверской государственный университет, 2007

Краткая информация о тексте
Это
ЭЛЕКТРОННАЯ ВЕРСИЯ
учебного пособия " Векторный и тензорный анализ", изданного в 2007
году Тверским государственным университетом.
Учебное пособие написано на основе лекций, читавшихся автором в
течение ряда лет студентам физико-технического факультета Тверского
государственного университета.
Автор: Кумпяк Дмитрий Евгеньевич, доцент кафедры математических
методов современного естествознания ТвГУ.
Критические замечания автор просит присылать на адрес: td_k @ inbox.ru
Автор выражает искреннюю признательность Леониду Антоновичу
Севастьянову (Российский университет дружбы народов), Виктору
Павловичу Цветкову, Александру Николаевичу Цирулёву, Владимиру
Николаевичу Рыжикову (Тверской государственный университет) и Эдику
Арташовичу Айряну (Объединённый институт ядерных исследований)
за доброжелательные отзывы и поддержку в работе над данным
учебным пособием.
Коммерческое использование этого текста без согласования с автором
ЗАПРЕЩЕНО.
3

ОГЛАВЛЕНИЕ
Постоянно используемые обозначения 8
1 Элементы тензорной алгебры 10
1.1 Сопряжённое пространство 10
1.1.1 Определения 10
1.1.2 Канонический изоморфизм конечномерного
векторного пространства и его второго сопряжённого ... 11
1.1.3 Трансформационные свойства векторов и ковекторов 12
1.2 Тензоры на линейном пространстве. Операции над
тензорами 14
1.2.1 Определение тензора 14
1.2.2 Операция тензорного произведения 15
1.2.3 Компоненты тензора в базисе 16
1.2.4 Трансформационные свойства тензоров 18
1.2.5 Операция свёртки 19
1.2.6 Свёртка тензора по мультииндексам 20
1.2.7 Операции тензорной алгебры в координатах .... 20
1.3 Тензоры на линейном пространстве со скалярным
произведением 21
1.3.1 Отождествление векторов и ковекторов в (псевдо)-
евклидовом пространстве 22
1.3.2 Контравариантный метрический тензор 23
1.3.3 Подъём и спуск индексов 24
1.4 Внешние формы. Внешнее умножение 25
1.4.1 Действие группы перестановок на пространстве
fc-линейных форм 25
1.4.2 Внешние формы и оператор альтернирования ... 26
1.4.3 Операция внешнего произведения 29
4

1.4.4 Базис линейного пространства внешних /с-форм . . 31
1.5 Ориентация. Форма объёма. Оператор Ходжа 35
1.5.1 Ориентация линейного пространства. Форма объёма 35
1.5.2 Метрическая форма объёма 36
1.5.3 Дуальная форма объёма 37
1.5.4 Оператор Ходжа 38
1.5.5 Векторное произведение 41
1.6 Приложение 1. Тензор инерции 42
1.6.1 Тензор инерции абсолютно твёрдого тела 42
1.6.2 Вычисление тензора инерции в координатах .... 44
2 Векторные и тензорные поля в аффинном пространстве 45
2.1 Экскурс в анализ 45
2.1.1 Дифференцируемость, дифференциал 46
2.1.2 Геометрический смысл дифференциала.
Производная по направлению 47
2.2 Регулярные системы координат 48
2.2.1 Аффинные (прямолинейные) координаты 49
2.2.2 Регулярные системы координат 49
2.2.3 Криволинейные координаты. Координатные
линии. Локальный базис 53
2.2.4 Матрица Якоби как матрица дифференциала .... 59
2.2.5 Ориентация регулярной системы координат 60
2.3 Векторные и тензорные поля 62
2.3.1 Векторные поля 62
2.3.2 Тензорные поля произвольной структуры 64
2.3.3 Дифференциальные формы 67
2.3.4 Метрический тензор и форма объёма в
криволинейных координатах 68
2.3.5 Градиент гладкой функции 69
2.4 Приложение 2. Уравнение динамики точки в
криволинейных координатах 70
5

2.4.1 Скорость и ускорение точки в криволинейных
координатах 70
2.4.2 Уравнение Ньютона в криволинейных координатах
(уравнения Лагранжа) 72
3 Внешнее дифференцирование 74
3.1 Определение и свойства внешнего дифференциала 74
3.1.1 Пример: условия Коши-Римана на языке внешнего
дифференцирования 81
3.2 Операторы векторного анализа на языке внешнего
дифференцирования 82
3.2.1 Дивергенция векторного поля 82
3.2.2 Оператор Лапласа 85
3.2.3 Ротор векторного поля 86
3.2.4 Некоторые тождества векторного анализа
как следствия свойств внешней производной .... 88
3.3 Лемма Пуанкаре и её приложения к векторному анализу . 89
3.3.1 Замкнутые и точные дифференциальные
формы. Лемма Пуанкаре 89
3.3.2 Некоторые приложения леммы Пуанкаре:
скалярный и векторный потенциал 95
3.4 Антиувлечение дифференциальных форм гладким
отображением 99
3.5 Приложение 3. Уравнения электродинамики на языке
дифференциальных форм 106
3.5.1 Классическая форма уравнений электромагнитного
поля 106
3.5.2 Пространство Минковского и тензор
электромагнитного поля 107
3.5.3 Уравнения Максвелла на языке дифференциальных
форм 109
6

4 Интегрирование дифференциальных форм 112
4.1 Интеграл от дифференциальной формы 112
4.1.1 Экскурс в анализ: замена переменных в кратном
интеграле 112
4.1.2 Интегрирование дифференциальных форм в
ориентированном аффинном пространстве 113
4.1.3 Интегрирование дифференциальных форм по цепям 117
4.2 Общая интегральная формула Стокса 133
4.3 Некоторые частные случаи общей формулы Стокса .... 139
4.3.1 Теорема Гаусса о дивергенции 139
4.3.2 Первая и вторая формулы Грина 140
4.3.3 Формула Остроградского — Гаусса 141
4.3.4 Классическая формула Стокса 142
4.3.5 Формула Грина на плоскости 144
4.3.6 Теорема Коши о вычетах 145
4.3.7 Формула Ньютона - Лейбница 147
4.4 Приложение 4. Физическая интерпретация div и rot . . 147
4.4.1 Физическая интерпретация поверхностного
интеграла II рода 147
4.4.2 Физическая интерпретация div 150
4.4.3 Теорема о скорости изменения фазового объёма . . 152
4.4.4 Физическая интерпретация rot 156
Список литературы 157
7

ПОСТОЯННО ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ
Соглашение о суммировании. В тензорном исчислении является
общепринятым следующее соглашение. Если в каком-либо одночленном
выражении дважды встречается один и тот же буквенный индекс, один
раз сверху, а другой раз снизу, то по этому индексу предполагается
суммирование. Знак же суммирования ^ при этом не пишется. Пределы
суммирования, как правило, от 1 до некоторого п ? N. Чему равно
п, всегда ясно из контекста. Обычно п равно размерности векторного
(аффинного) пространства, на котором заданы рассматриваемые
объекты (тензоры или тензорные поля).
п
Например, запись Xi Yl следует понимать как ^ Xi Yг = Х\ Y1 +
п
... + Хп Уп, а запись у1 = Аг- xj — как уг = ^ Аг- xj = А\ х1 +
... + Агп хп. Если встречается несколько пар повторяющихся индексов,
то суммирование производится по каждой из них. Например, Xi Аг- Y^
п п
следует понимать как ^ ^ Xi Аг YK
i=ij=i
Замечание: по индексам, нумерующим другие индексы, суммирование
77
никогда не производится. Например, Хч е^ означает ^ Х1к е^ . а не
п
Е & ^ •
к=1
Матрицы. Знаком (АгЛ. . обозначается n x n-матрица А с
элементами А1-. Верхние индексы нумеруют строки, нижние — столбцы.
Если оба индекса — верхние (нижние), то левые индексы нумеруют
строки, правые индексы — столбцы. В частности, например, правило
умножения матриц записывается как (А • В)г- = Агк • Вк- .
Векторы. Для обозначения векторов мы используем полужирные
прямые латинские буквы, чаще заглавные: X, Y, r, F, е,... Номера
координат вектора в базисе пишутся сверху. Например, X = X1 е\ +
+ ... + Хп еп, где е^ — базисные векторы, Хг — координаты вектора
X в базисе {ei,..., еп}.
Номера координат у элементов пространства Rn мы тоже пишем
сверху, т. е., например, запись a G W1 означает, что a = (а1 а*7),
где a1 e R.
Значения всех остальных математических символов, кроме общепри-
8

нятых, разъясняются в тексте.
Мы также находим уместным напомнить здесь значения некоторых
общепринятых математических обозначений.
= — "равно по определению".
/ : А —> В — функция (= отображение), заданная на множестве
А и принимающая значения во множестве В.
а \—> b функция (какая ясно из контекста) переводит точку а
в точку Ь. Запись а \—> Ъ равносильна записи f(a) = b.
fog — композиция (= произведение) отображений /ид. По
определению, (/ о д)(а) = f{g(a)).
Условные знаки в тексте
М и > — начало и конец доказательства,
¦ — конец определения,
? — конец примера,
упражнение, отмеченное знаком *, не обязательно для понимания
следующего за ним текста.
9

1 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕНЗОРНОЙ АЛГЕБРЫ
1.1 Сопряжённое пространство
Пусть V — вещественное векторное пространство.
1.1.1 Определения
Определение. 1-форма на пространстве V — это линейная функция
на V, т. е. такое отображение и : V —> R, для которого выполнены
условия:
V X, Y G V cj(X + Y) = cj(X) + cj(Y) (аддитивность),
VXgVh VAel a;(A • X) = A ¦ cj(X) (однородность).
Синонимичные термины: линейная форма, ковектор. ¦
Пример. Работа u;(r) = (F5r) постоянной силы F на перемещении
г есть, очевидно, 1-форма от г: здесь (.,.) — стандартное скалярное
произведение в трехмерном пространстве. ?
Множество всевозможных 1-форм на пространстве V принято
обозначать через V*. Это множество само является вещественным линейным
пространством относительно естественных (поточечных) операций
сложения 1-форм и умножения их на числа:
V и, г] е V* (и + т?)(Х) d= o;(X) + т?(Х)ч
VcjgV* и VAgR (A-u;)(X) d= A-u;(X), X e V.
Упражнение. Докажите это.
Определение. Линейное пространство V* называется
пространством, сопряжённым, (а также дуальным, двойственным или взаимным)
к исходному пространству V. ¦
Пусть теперь рассматриваемое пространство V конечномерно,
размерности dimV = п. Покажем, что в этом случае dimV* = п. Для
этого зафиксируем в V какой-либо базис {ei,... ,еп} и рассмотрим
1-формы ej G V*, j = l,n, которые определим так:
V X е V, X = X1 ei + ... + Хп еп , ej(X) = Xj. A.1)
Другими словами, значение е3 на векторе X это j-я координата X в
базисе {ei,..., еп}. Частным случаем формулы A.1) является
следующая:
*(*) = % = \yCJlRiZJ- A-2)
v ; г \ О, если г ^ j. y J
10

Оказывается, что система 1-форм {е1,..., еп} является базисом
пространства V*.
^ Эта система полна, ибо
\/и е V* uj = uji e\ где uoi = cj(e^), г = 1, п, A.3)
в чем легко убедиться с помощью тривиальной выкладки: VX ? V
о;(Х) = и(Хг ei) = Хгufa) = X*и{ = ш{ е\Х) = (ш{ ег) (X).
Далее, эта система линейно независима, ибо из условия Л^ ег = О, Л^ G R,
которое буквально означает, что VX ? V (Л?-ег)(Х) = 0, следует, что
VJ = Т^ 0 = (Л,е')(е,) = Лге'(е,-) = \5} = А,. >
Определение. Если (е^}^=1 — некоторый базис пространства V, то
базис {е?}^=1 пространства V*, построенный с помощью соотношений
A.1), называется сопряжённым (а также дуальным, двойственным или
взаимным) базисом по отношению к исходному базису {е^}^=1. ¦
1.1.2 Канонический изоморфизм конечномерного
векторного пространства и его второго сопряжённого
Для каждого вектора X G V корректно определена следующая
1-форма X : V* —> R на пространстве V* (т. е. X G V**):
VcjG V* X(oj)=oj(X). A.4)
Оказывается, что в случае, когда V конечномерно, отображение
Xi— X
пространства V на пространство V** является изоморфизмом.
М Линейность проверяется легко: для любых X,YG V и uj ? V*
(X + Y)(w) = ш(Х + Y) = ш(Х) + u(Y) = ±{со) + Y(w) = (X + Y)(w),
поскольку это верно для любого cj ? V*, to X + Y = X+Y.
Аналогичная выкладка показывает, что для всех X ? V и Л ? R выполняется
равенство Л • X = Л • X.
Докажем, что отображение X i—> X биективно. Так как dimV =
dim V**, то для этого достаточно доказать, что оно инъективно, т. е. его
ядро вырождено. Пусть X = 0 для некоторого X ? V. Это буквально
11

означает, что о;(Х) = 0 для всех uj G V*. Если {е?}™=1 — базис V, а
{ег}^=1 — его сопряжённый, то мы, в частности, имеем Хг = ег(Х.) = О,
г = 1,п, т. е. X = 0. >
Упражнение. Пусть {е^}^=1 — некоторый базис пространства V, а
{ег}^=1 — сопряжённый к нему базис. Докажите, что {ёг}™=1 есть базис,
сопряжённый к {ег}™=1.
Определение. Указанный выше изоморфизм X i—> X называется
каноническим. Ш
Далее мы всюду будем отождествлять векторные пространства V и
V**, т. е. будем отождествлять векторы X ? V с соответствующими
им, по формуле A.4), 1-формами X G V**. Целесообразность такого
отождествления станет ясна позже. Для упрощения записей знак " "
мы будем опускать.
В приведённых выше выкладках (найдите их!) мы фактически
доказали, что VXeV и VcjgV*
(хх
Х(Ш) = Ш(Х) =XkUJk= (Cjb . . . ,aJn)\ !
\хп
где X = Хг ег, uj = ujj eJ, a {е^}™=1 и {eJ}™=1 — любая пара взаимно
сопряжённых базисов.
Упражнение 1*. Докажите, что если {ег}™=1 — некоторый базис V*,
то обязательно найдётся базис {е^}^=1 пространства V, для которого
{ег}™=1 будет сопряжённым.
Упражнение 2*. Пусть 1-формы uj1 ujk G V*7 1 < k < п =
dimV, линейно независимы. Докажите, что множество
JXGV I Vz = l.fc а/(Х) = 0}
есть линейное подпространство пространства V размерности (п — к).
Подсказка: можно, например, воспользоваться результатом предыдущего
упражнения.
1.1.3 Трансформационные свойства векторов и ковекторов
Пусть {е^}™=1 и {е^}]=1 — некоторые базисы пространства V.
Обозначим через
Л=D)«=1. ^ = А'е,, j = M, A.5)
12

матрицу перехода от первого базиса ко второму. Пусть {eJ}^=1 и {е г}™=1
— соответствующие двойственные базисы. Легко доказать, что
еч = (А'1)) е>. г = Гп. A.6)
^ В самом деле, V X ? V. X = X к е'к . имеем
[{А-1)) е*] (X) = (А-1)) е*(Х) = (A);. e^'(X'fc e'fc) =
= (Л);- Х'к е>(е'к) = (А-1)) Х'к е\А{ щ) = (Л);. Х'к А{ е>"(е<) =
= (А-1)) Х'к А{ б( = {А-1)) Х'к А{ = 4 Х'к = Хч = е'*(Х). >
Координаты одного и того же вектора X = Хг е^ = XJ e'-
пространства V в базисах {е^}"=1 и {е'}"=1 связаны между собой
соотношениями:
Х^ = (А-г){Х\ j = M, A.7)
или, в матричной записи,
X7 = А'1 • X,
где Х' = (Х'\...,Х'п)т, Х= (Х\...,Хп)т.
Координаты одной и той же 1-формы и = Ui ег = ujf, eJ в базисах
{ег}Г=1 и {eJ}?=i связаны между собой равенством
J3 = A)u%, з=Хп, A.8)
или, в матричной записи, (и[ cjfn) = {uj\,..., ип) • A.
< Для доказательства A.7) достаточно вычислить значение обеих
частей A.6) на произвольном векторе X, аналогично, для доказательства
A.8) достаточно вычислить значение обеих частей A.5) на произвольном
ковекторе и:
Х'1 = е'(Х) = (А)] е*(Х) = (Л)] Х\
J. = ^(е^.) = е^(о;) = А} е*(о;) = Л} о;(е*) = А) ил . >
Подведём некоторые итоги. В этом параграфе мы, на самом деле, уже
изучили наиболее простые частные случаи тензоров: 1 раз ковариапт-
ные тензоры, т. е. ковекторы, и 1 раз контравариантные тензоры, т. е.
векторы.
По определению, компоненты 1 раз контравариантного тензора
(вектора) X в базисе {е^}™=1 пространства V — это просто его координаты
X1,..., Хп в этом базисе: X = Хг е^.
13

По определению, компоненты 1 раз ковариантного тензора (ковекто-
ра) и в базисе {е^}^=1 — это координаты cj1, ... ,cjn разложения uj
по базису {ег}™=1, сопряженному к {е^}™=1: uj = uj{ e\
" Ковариантный" буквально переводится как "сопреобразующийся",
"контравариантный" — как ппротивопреобразующийсяп. Итак, мы
видим, что при замене A.5) базиса пространства V
— компоненты 1 раз ковариантного тензора преобразуются "по той же
формуле", что и базисные векторы, т. е. если в формулу A.8) подставить
е'- вместо uj, и е^ вместо щ. то получится формула A.5);
— компоненты 1 раз контравариантного тензора преобразуются "с
помощью" матрицы, обратной к той, которая "участвует" в преобразовании
базиса: сравните формулы A.7) и A.5).
Более общее определение тензора мы рассмотрим в следующем
параграфе.
1.2 Тензоры на линейном
пространстве. Операции над тензорами
1.2.1 Определение тензора
Определение. Тензор Т, к раз ковариантный и t раз
контравариантный, на векторном пространстве V это полилинейная функция
Т : V х ... х V х V* х ... х V* —> М,
4 v / V v /
к ?
(Хь ... ,Xfc ; uj\ ... ,<У) ^ Т(ХЬ ... ,Xfc ; uj\ ... ,o/). ¦
Полилинейность означает линейность по каждому аргументу. Например,
линейность по первому векторному аргументу означает, что VX. Y G V
и VA, II еМ
Т(А-X + /X-Y,... ;...) = A-T(X,...;...)+M.T(Y,...;...),
где многоточие означает любой фиксированный набор недостающих
аргументов. То же должно выполняться и для всех остальных аргументов.
Число к + ? называется валентностью (или рангом) тензора Т.
Выражение "к раз ковариантный и ? раз контравариантный тензор" часто
сокращают до выражения "I к 1 — тензор" или "(А;,^)-тензор".
Множество всех к раз ковариантных и ? раз контравариантных
тензоров на векторном пространстве V обозначим через Tf(V). Это
множество является линейным пространством относительно естественных
14

(поточечных) операций сложения и умножения на число:
VT, R e Tek{Y) (T + Д)(...;...) d= Т(...;...) + Д(...;...),
VT g Tlt(V) и VA G М (Л • Т)(...;...) d= A • Т(...;.. .)•
Упражнение. Докажите это.
Тензоры, А; раз ковариантные ранга к, т. е. (к, 0)-тензоры, это,
согласно общему определению, полилинейные функции
Т : Ух...хУ — R, (Xi Xfc) ^ Т(ХЬ .... X,).
к
Тензоры с такой структурой часто называют к-линейными формами, при
к = 1 принято говорить -форма", при к = 2 принято говорить
"билинейная форма". Очевидно, что Tj(V) = V*.
Тензоры, ? раз контравариантные ранга ?, т. е. (О, ^-тензоры, это,
согласно общему определению, полилинейные функции
Т : V* х х V* —> М, (cj1 J) h^U T(o;1 с/).
Очевидно, что Tj(V) = V** = V, где знак " = " означает
канонический изоморфизм A.4). Таким образом, мы будем интерпретировать,
когда нам это будет удобно. 1 раз контравариантные тензоры как векторы
пространства V.
Удобно считать по определению, что Tq(V) = R.
1.2.2 Операция тензорного произведения
Определение. Тензорным произведением тензоров
TGT|(V) и ДеВД
называется тензор Т (^) R G Tj^(V), значение которого на
произвольном наборе аргументов (Хь ..., Х^+г ; о;1,..., иш) е V^+r x (V*)?+s
вычисляется по следующему правилу:
(Т0 i?)(Xi,..., Xfe,Xfe+i,..., Xfe+r ;cj,...,cj,cj ,...,cj s) =
= T(Xi5... ,X/e; uj 5... 5u; ) • i?(Xfe+i5... ?X^+r ; u; 5... 5u; s). ¦
A.9)
Упражнение. Убедитесь в корректности этого определения, т. е. в
том, что функция Т (??) R линейна по каждому аргументу. Для упрощения
15

записей рассмотрите какой-нибудь частный случай, например, когда к =
1, f = 0 и г = 0, s = 1. В общем случае выкладки будут совершенно
аналогичными.
Из ассоциативности умножения действительных чисел и
дистрибутивности умножения относительно сложения немедленно вытекают
аналогичные свойства тензорного произведения:
(Т®Д)®Р = Т®(Д®Р),
Т®(Д+Р) = Т®Д + Т®Р и (Д + Р)®Т = Я®Т + Р®Т,
здесь Т, R и Р — произвольные тензоры (во втором и третьем равенствах
тензоры R и Р имеют, конечно же, одинаковую структуру).
Ассоциативность тензорного произведения означает, что в
выражениях вида
нет необходимости расставлять скобки.
Следует иметь в виду, что тензорное произведение, вообще говоря,
некоммутативно: Г® R ф Я® Т.
1.2.3 Компоненты тензора в базисе
Мы уже в состоянии вычислить размерность линейного пространства
T((V) и указать некоторые его базисы.
Теорема 1.1 Пусть {ej}™=1 некоторый базис пространства V. а
{eJ}r-=1 — дуальный к нему базис.
1. Набор тензоров
Л ^ /<?\ Лк
eJL (X) • • • (X) eJK (X) eh (X) • • • Q9 еч
ji,---,jk,h,---,ie = l,n
A.10)
является базисом пространства Tj^(V). В частности, размерность
этого пространства равна пк+ .
2. VTeT[(?)
Т = Ttt eJl ® • ¦ ¦ ® е-** ® е^ <g) ... ®ei,,
A.11)
16

М Система тензоров A.10) линейно независима. Действительно, если
некоторая линейная комбинация этих тензоров равна нулю (т. е.
нулевому тензору):
дн-i ел 0 0 е* (g) eil (g) ... 0 ег? = 0, где Л;;; G М,
то все коэффициенты Л'" равны нулю, ибо заведомо нулевое значение
этой линейной комбинации на наборе (ejl5..., eJfc ; eZl,..., ег€) равно
ji-jk'
К1.'.:*? eSl 0 • • • 0eSfe (8)eTOl (8) ... 0ет<(е, ejk; e*1 ег0 =
= ^Si...Sfe e lejJ • • • e Vej*J emi(e / • • • етДе ) =
_ \mi...me rsi rsfc rit ri^ _ лЛ-..^
Далее, для произвольного набора аргументов (Х]_..... Х& ; и/. ..., u/) G
V^ х V*^, с учётом формул A.1), A.3) и A.4), получим
T(X1,...,Xfr;^...V)=T(^eil,...,X?eJ-fc;a;?1eil,...,^ei') =
= Xf...Xf 4...^Г(ел,...,еЛ;е^ е*') =
= e*(Xx).. .e>*(Xfc) ^(e.J .. .c/(ej 7]^ =
= T}l;;;? e*(Xi)... е^(Х*) en(^)... e4{J) =
= Ttt eh ® • • • ® eJk ® ^ ® • • • ® е^(Хь ¦ • ¦ ,Xfc ; иЛ ... ,J),
что доказывает полноту системы A.10) и равенство A.11). >
Определение. Числа
T?:? = T(ejl,...<ejk;e* е"), ji....,jk,4 г* = 1,п,
называются компонентами тензора Т в базисе {е2}™=1 пространства
V. ¦ Эти числа в то же время являются координатами Т в базисе
A.10) пространства T|(V), который определяется базисом {е2}™=1
однозначно.
Пример. Каждый линейный оператор В : V —> V определяет
ассоциированный с ним тензор В G T];(V), значение которого на
произвольном наборе аргументов (X; ui) G V х V* вычисляется по формуле
В(Х;ш) = cj(B(X)). A.12)
17

Если зафиксировать в V базис {е^}™=1, то оператор В однозначно
определяется своей матрицей в этом базисе, а ассоциированный с ним
тензор В — своими компонентами в этом базисе:
B(ej) = Btjei, J = l,n; В = Це?®ъ, В) = B{ej; ег).
Замечательно то, что в обоих разложениях коэффициенты Вг- — одни и
те же. Докажите это!
Матрица тождественного оператора Id : V —> V. Id(X) = X. в
любом базисе является единичной матрицей (#•) . . Таким образом,
^-символы Кронекера являются компонентами 1 раз ковариантного и 1
раз контравариантного тензора, обычно называемого единичным. ?
1.2.4 Трансформационные свойства тензоров
Разложим один и тот же тензор Т G TT|.(V) по двум разным базисам
вида A.10):
т = Tt:?еП ® • • • ®е3к ®е^ ® • • • ® ^ =
= Tma\:Tk e'ai ® • • • ® e°" ® e'mx ® ... ® е^ .
Тогда компоненты тензора Т в базисах {е'-}!?=1 и {е^}^=1 связаны
между собой равенством
fX:% = К• • • • • А%• (А'Т1 ¦••¦¦ (Л~Х • Tth - (L13)
где Л = (А*-). ._ — матрица перехода от базиса {e^}f=1 к базису
М С помощью A.6) находим
фт1...т? _ rp( / / . 'ш! ,Ч\ _
± ах...ак ± V^V • • • ч *>ак , с ,...,? ;
= Т (Ai\ еА ,.... Л* еА ; (Л)™- е*- (Л)? е*<) =
= А{\... К\ ¦ (А-Х ¦ ¦ ¦ (А-Х ¦ П*к,.-, еА ; е1- ,...,«*) =
= /&... ах ¦ (а~х ... (а~х ¦ П:2 ¦ "••** >
Отметим следующий очевидный факт. Для того чтобы задать тензор
Т ? T^(V), достаточно задать его компоненты Т" в каком-либо
базисе {в^}^=1 пространства V, т. е. задать координаты разложения Т
по базису A.10) пространства T|(V), порождённому базисом {e^}f=1.
В приложениях тензорного исчисления (таких, как механика сплошной
среды, электродинамика, ОТО и пр.) тензоры обычно и задают таким
образом. Зная компоненты Т в одном базисе, можно легко вычислить
его компоненты в любом другом базисе с помощью формулы A.13).
18

1.2.5 Операция свёртки
Определение. Пусть Т G T|(V), причём к > 0 и t > 0. Свёрткой
тензора Т по а-му векторному и 6-му ковекторному аргументам (а =
1, А;. Ъ=1Л) называется тензор tibaT G T^~\(V), значение которого на
произвольном наборе аргументов (Xi,..., X^_i; о;1, ..., u/_1) G V^_1 x
(V*) вычисляется по следующему правилу:
trjT(Xi,...,Xfc_i;a;1,...,^-1) =
= T(Xi,..., Xa_i, e^, Xa,..., X&_i; uj ,..., uj , ег, cj ,..., л ),
A.14)
где {e^}^=1 — некоторый базис пространства V, а {ег}™=1 — его
сопряженный. ¦
Необходимо убедиться в корректности данного определения, т. е. в
том, что правая часть A.14) но зависит от выбора базиса {е^}^=1. Но
это легко. Пусть {е'}^=1 и {eJ}^=1 — другая пара дуальных базисов и
ej = А) щ . Тогда ej = {A'1)J e^ и
Т(..., ej ,...;..., е ,...)= Т(..., Aj е^,...;..., (Л )^ е ,...) =
= 4 • (A) j • Г(..., е,,...;..., е", ...) = ^ • Г(..., е,,...;..., е", ...) =
= Г(....еь...;...,ег,...), ч.т.д.
Пример. Свёрткой A,1)-тензора Т будет, согласно определению,
число
ti\T = T(ei;e%
которое, как мы только что выяснили, не зависит от выбора базиса
{е^}^=1. Этот факт оправдывает наше соглашение о том, что Tq(V) = R.
Проверьте, что tr}T есть след trT линейного оператора Т7
ассоциированного с Т (след линейного оператора — это сумма диагональных
элементов его матрицы в каком-либо базисе, от выбора базиса это число
не зависит). Обычно пишут trT вместо tr{T. ?
Упражнение. Докажите, что V X ? V и VcjGV*
a;(X) = X(a;) = tr (X® a;) = tr (a; <g) X).
Терминологическое замечание. Операцию свертки тензора по а-
му векторному и 6-му ковекторному аргументам называют также
операцией свёртки по а-му нижнему и Ъ-му верхнему индексам. Эта
терминология объясняется правилом вычисления свёртки в координатах (см.
равенство A.18) ниже). ¦
19

1.2.6 Свёртка тензора по мультииндексам
Тензор можно сворачивать не только по паре индексов (т. е. по паре
аргументов), но и по паре мультииндексов (т. е. по нескольким парам
аргументов). Чтобы избежать громоздких записей, поясним это на
примере.
Пусть, например, дан 3 раза ковариантный и 2 раза контравариант-
ный тензор Т. Свёрткой тензора Т по мультииндексам A.3) и B,1)
будет один раз ковариантный тензор trL'J T, определяемый равенством
11 A,3) 1
(X)=T(ei,X,ej;^,e<),
т. е. мы "сворачиваем" первый векторный аргумент со вторым ковектор-
ным и третий векторный с первым ковекторным.
Аналогично проверяется, что операция свёртки по мультииндексам
корректна, т. е. не зависит от выбора базиса {е^}^=1. Разумеется, свёртка
tr^T имеет смысл только тогда, когда мультииндексы а и /3 состоят
из одинакового числа индексов.
1.2.7 Операции тензорной алгебры в координатах
Пусть тензоры Т, Р G T|(V), R G Т? (V) заданы своими
компонентами в некотором базисе {е^}™=1 пространства V:
т =
р =
R =
ч.
-ч
¦Зк
-к
-Зк
-jr
eJ1 ® ..
ejl ® .
ejl ® .
. 0елОег1О .
¦• ®eJ'fc®eil® .
• • ®ejV®eil® .
• Q9 ^ig 1
.. Q9 Qi?,
•• ®е^.
Тогда компоненты тензоров Т + Р, Л • Т (где Аб1), Т (^) Р, tr^ Т в
этом же базисе определяются равенствами:
(t + p)^z = t;i;:- + p;i:;^ A.15)
(A.T)j:J; = A.7^-v, A.16)
(т® л)*ь"!'*€+1-^ = Tj1-,?' • в?Г'"Та, A.17)
V О ' 3\-3k3k+\-3k+r 3i-3k Зк+1-Зк+г^ \ I
U-r-b/т\г1—Ч-1 грЧ-Ч-\ ц ib—k-г (Л 1Q\
vtr«7; Л...Л_а -7 ii...j„_i a* j„...jfc-i • U-18)
20

М Равенства A.15) и A.16) очевидны. Для доказательства A.17)
достаточно вспомнить определение тензорного произведения A.9) и
определение A.11) компонент тензора в базисе:
V ^^ /.71 ..Л
ji-jk jk+i—jk+r
- \J- у9 Щ leji 5 • • • 1 ejk •> ejfc+i 5 • • • 5 ejfc+r; e ,..., e , e ,..., e aJ =
= i (e^,..., ejk; e e ) • H[ejk+l ejfc+r 5 e + e +f7J =
rpl\...l? ^ r>l?+l...l?+a
~ jl—jk ' jk+1—jk+r
Аналогично доказывается A.18):
KTtr, = (^Т)(еЛ,....еА.,; e'- <*-¦)
1 [ej1,...,^ja_!5e^ ,е^а,...,^jfc_!; e ,..., e ,e ,e
¦гь-1 PV> p4 p4-\s
, О , О 5 ... 5 О
_ rpll...lb-l V Ц-Ч-l ^
~~ jl—ja-1 /i ja-jk-l *
Аналогично A.18) записывается в компонентах операция свертки по
паре мультииндексов. Например, если
Т g T|(V), Т = Т^ е* (8) ет ® е*
-^ш 1
ТО
frB,l)T
11 A,3) ^
= rp3i т
imj
1.3 Тензоры на линейном пространстве
со скалярным произведением
Вспомним, что скалярным произведением на линейном пространстве
V называется билинейная форма (т. е. дважды ковариантный тензор)
g : V х V —> R, удовлетворяющая дополнительным условиям
симметричности и невырожденности:
1) VX, Y е V g(X, Y) = g(Y,X) (симметричность),
2) V Y G V р(Х, Y) = 0 => X = 0 (невырожденность).
Определение. Скалярное произведение g называют также (ковари-
антным) метрическим тензором. Пара (V, д) называется (псевдо)евк-
лидовым пространством. Если квадратичная форма метрического
тензора g положительно определена, т. е.
з) vxev\{0} <?(х,х) >о,
21

то приставка ппсевдо" опускается. ¦
Как известно из курса линейной алгебры, матрица (pij)™7=1,
составленная из компонент д^ метрического тензора д в каком-либо базисе
{е^}Г=1 пространства V, называется матрицей Грама этого базиса:
911' • • 9ln \ где gij = д(е{, е,),
матрица Грама
9ni-..9nnJ T'e- 9 = 9це*®е1.
Матрица Грама всегда симметрична (в силу условия 1) и невырождена
(в силу условия 2).
В (псевдо)евклидовом пространстве всегда существует базис, в
котором матрица Грама диагональна:
(9ij)u=i = diag(+l,..., +1, -1,..., -1), п+ + п_ = п = dim V.
,J v v ' v v '
Такой базис называется (псевдо)ортонормированным (при п_ = 0
приставка ппсевдоп опускается). Пара чисел (п+, п_) определяет сигнатуру
метрического тензора.
Евклидово пространство имеет сигнатуру (п. 0) = (+....,+).
Важным примером неевклидова пространства является пространство Мин-
ковского, т. е. четырёхмерное вещественное линейное пространство с
метрическим тензором лоренцевой сигнатуры: A. 3) = (+. —. —. —).
Как легко проверить, скалярное произведение векторов X = Хг е^ и
Y = У-7 ej выражается через их координаты в некотором базисе {е^}™=1
и матрицу Грама в этом же базисе следующим образом:
g(X,Y)=giJX*Y\ A.19)
где X = Хг е;, Y = Y3 ej , дц = д{еи е,).
Действительно, д(Хг е^, У-7 е^-) = Хг Y3 д(е^, е^-) = Хг Y3 дц .
1.3.1 Отождествление векторов и ковекторов
в (псевдо)евклидовом пространстве
Метрический тензор д на конечномерном пространстве V
порождает канонический изоморфизм пространств V и V*:
G : V —> V*, VX G V G(X) d= g(X, •), A.20)
т. е. VY g V G(X)(Y) = р(Х, Y).
Ч Отображение G определено корректно: VX ? V G(X) есть 1-форма
22

на V, так как д линейно по второму аргументу. Далее, G линейно,
так как д линейно по первому аргументу. Докажем, что G биективно.
Так как dimV = dimV*, то для этого достаточно доказать, что G
инъективно, т. е. кегС = {0}. Но последнее очевидно. Если X G kerG,
т.е. G(X) = 0, то VYGV G(X)(Y) =p(X, Y) = 0. В силу условия
невырожденности отсюда следует, что X = 0. >
Говорят, что вектор X и 1-форма G(X) ассоциированы.
1.3.2 Контравариантный метрический тензор
Канонический изоморфизм G порождает метрический тензор д*
на пространстве V*, д* : V* х V* —> R,
g*(u,V) d=f g(G-1(u),G-1(V))=u(G-1(V)) = G^MM- A-21)
Другими словами, скалярное произведение двух 1-форм это, по
определению, скалярное произведение ассоциированных с ними векторов.
Упражнение. Проверьте, что д* — действительно билинейная форма
на V*, т. е.
р* GT?(V*) = Tj(V),
удовлетворяющая условиям симметричности и невырожденности.
Определение. Тензор д* называется контравариантным
метрическим тензором (по отношению к исходному — ковариантному
метрическому тензору д). Ш
Зафиксируем пару дуальных базисов {е^}™=1 и {е?}™=1 пространств
V и V* соответственно. Оказывается, что матрицы Грама
ШЬ=1 * 9ij = 9^h еД и (^)^=1 < 9%3 = 9*(е\ е3),
метрических тензоров д и д* взаимно обратны:
glk-gkj = 6i. A.22)
М В самом деле, мы замечаем, что
G(ei)=9ije> и G-1(ei)=giieJ
(это легко проверяется прямыми выкладками, обязательно проведите
их!). Следовательно, указанные матрицы взаимно обратны как
матрицы взаимно обратных линейных операторов. >
23

1.3.3 Подъём и спуск индексов
Если вектор X = Хг е^ ? V и ковектор uj = Xi ег G V*
ассоциированы, то их компоненты (в базисе {^}^=1) связаны равенствами
Х{ = gij X3 и Хг = дгз Xh г = Т^п. A.23)
Л Это легко проверить прямыми выкладками, см. A.1), A.3) и A.21):
Xi = a;(ei) = G(X)(ei)=^(X,ei) =
= g(XJ ej, e») = XJ р(е^, ej = XJ gjh
Хг = Х(е') = С-\и){ег) = д*(си,е1) =
= д*{Х, еК е*) = Xj д*(еК е1) = X, gji. >
Терминология. Говорят, что ковектор и получен из вектора X
операцией спуска индекса, а вектор X получен из ковектора и
операцией подъёма индекса. Числа Xl,... .Хп называют при этом ковари-
антными компонентами вектора X в базисе {е^}™=1 (в отличие от его
контравариантных компонент X1,..., Хп). ¦
Геометрическая интерпретация ковариантных компонент вектора:
Xi =0(e;,X),
М Xi = gij X3 = gfe, ej) X3 = g{eh ej X3) = д{е^ X). >
В частности, если (V, д) — евклидово пространство и базисный вектор е^
имеет единичную длину, то Xi есть величина ортогональной проекции
вектора X на вектор е?-.
Если {е^}™=1 — ортонормированный базис евклидова пространства,
то матрица Грама этого базиса — единичная: д^ = Sij , и, как это видно
из A.23),
Xi = 5ijX3 =X\ г = Т?а.
т. е. в указанном случае ковариантные компоненты векторов совпадают
с их контравариантными компонентами. Именно по этой причине в курсе
аналитической геометрии контравариантные и ковариантные
компоненты векторов не различают, ибо, в силу установившейся традиции,
используют только ортонормированные базисы.
Скалярное произведение векторов можно выразить как через
контравариантные, так и через ковариантные их компоненты:
</(Х, Y) = дцХ*У* = Хг?1 = Х1?г = д^ XtYj .
24

Операции спуска и подъема индекса определены также для тензоров
с более сложной структурой. Например, подняв первый нижний индекс
тензора
на "второе место сверху", мы получим тензор
с компонентами
^=5*T't,=[tr?(T(gM*)];v
Мы вернемся к исходному тензору Т. опустив второй верхний индекс
тензора Р на "первое место снизу":
1.4 Внешние формы. Внешнее умножение
1.4.1 Действие группы перестановок
на пространстве А;-линейных форм
Знаком Sk, A; G N, мы будем обозначать множество всех к-
перестановок, т. е. множество всевозможных биекций
<r:{l,....fc} —{l,....fc}.
Мы пишем signer = 1, если а — чётная перестановка, и signer = — 1,
если а — нечётная перестановка.
Если а ? Sk и Р — /с-линейная форма на линейном пространстве V,
т.е. Р G T^(V), то определена fc-линейная форма сгР, значение которой
на произвольном наборе аргументов (Xi,..., Х&) G Yk вычисляется по
следующему правилу:
аР(Хъ Xfe) = Р(ХаA), Х^)).
Например, если Р — 3-линейная форма и <тA) = 2, <тB) = 3, <тC) = 1,
то aP(X,Y,Z) = P(Y,Z,X).
Легко проверить, что \/р, a е Sk, VP, Q G T°(V) и VAel
(роа)Р = р(аР), A.24)
(t(P + Q) = (tP + GQ, A.25)
25

а{\- Р) = \-{аР). A.26)
•< Докажем A.24), остальные свойства проверяются еще проще.
Пусть Xi,..., Х^ G V, обозначим Y^ = Х^), ? = 1,к. Тогда
(р о o-)P(Xi,..., Хк) = Р(Х/9(GA)),..., Xp((T(fc))) = PfY^x),..., Y^)) =
= <xP(Yb..., Yfc) = ^P(XPA),... ,Xp(fc)) = р(<тР)(Хь ... ,Xfc). >
1.4.2 Внешние формы и оператор альтернирования
Определение, fc-линейная форма Р G TT^(V) называется внешней
(а также ко со симметрической или антисимметрической), если
Va G 5fc аР = signa • P. A.27)
Другими словами, Р антисимметрична, если Р меняет знак при
перестановке двух любых своих аргументов. ¦
Например, билинейная форма Р антисимметрична, если
VX, Y G V Р(Х, Y) = -P(Y,X).
Трилинейная форма Р антисимметрична, если
VX, Y, Z G V Р(Х, Y. Z) = -Р(Х, Z, Y) = -P(Y, X, Z) =
= P(Y, Z, X) = P(Z, X, Y) = -P(Z, Y, X).
Число k называется степенью внешней формы Р и обозначается
знаком degP. Внешние fc-линейные формы, как правило, сокращённо
называют внешними к-формами или даже просто к-формами.
Пример. Смешанное произведение векторов трёхмерного евклидова
пространства есть, очевидно, внешняя 3-форма:
P(X,Y,Z) = p(X,[YxZ]);
здесь д — евклидов метрический тензор. ?
Упражнение 1. Докажите, что если Р —внешняя fc-форма и векторы
Xi,..., Х/е линейно зависимы, то Р(Хь ..., Х&) = 0.
Подсказка: если среди Xi,...,Xfe хотя бы два вектора совпадают, то
P(Xi,...,X&) = 0. Общий случай легко свести к этому. Полезно также
вспомнить, что линейное отображение всегда переводит ноль в ноль.
Упражнение 2. Докажите, что билинейная форма Р является
внешней в том и только в том случае, если VX G V Р(Х, X) = 0.
26

Подсказка: разверните выражение Р(Х +Y,X +Y).
Множество всех внешних fc-форм на линейном пространстве V
обозначают знаком ЛЛ(У). Причём Ai(V) =fTj(V) =V*.
Упразднение 3. Докажите, что A&(V) есть линейное
подпространство пространства T^(V). Подсказка: это легко, см. A.27) и свойства A-25),
A.26).
Определение. Отображение Alt : T^(V) —> Afc(V),
Alt p = h Yl si§na •aP^ p G T2(v)' (L28)
аеЬк
называется оператором альтернирования (антисимметризации). ¦ В
координатах равенство A.28) записывают обычно так:
Alt (Ph...ik ¦ е*1 <g> ... 0 е*) = i^...ifc] eh ® ... 0 е*, A.29)
используя при этом общепринятое обозначение:
' o-eSk
Например, если Р — билинейная форма, то
(AltP)(X, Y) = - [Р(Х, Y) - P(Y,X)], или, в координатах,
Alt (Pi3 e* ® е>') = ± (P{j - Pj{) e* ® e? .
Если P — 3-линейная форма, то
(Alt P) (X, Y, Z) = 1 [ P(X, Y, Z) - P(X, Z, Y) - P(Y, X, Z)+
о
+P(Y, Z, X) + P(Z, X, Y) - P(Z, Y, X) ], или, в координатах,
Alt (Я,-Ле*®е>®е*) =
= 77 \-Lijk ~ -tikj ~ -ijik ~r ^j&? ~r P^r? — *kji) e Qy e Qy e •
Лемма 1.1 (свойства оператора Alt)
1. Alt есть линейный оператор,
2. \/aeSk и VPG TJJ(V) aAlt P = AltaP = signa • AltP.
27

3. PeA^(V) ^^ AltP = P.
4. VPeTg(V) и vgeTj(V)
Alt (Alt P <g) Q) = Alt (P <g) Alt Q) = Alt (P <g) Q).
^ 1. Сразу же следует из определения A.27) и свойств A.25), A.26).
2. Учитывая, что sign (р о а) = signp- signer и (signerJ = 1, а
также принимая во внимание формулы A.24)-A.26), получим
a Alt Р = а — ^2 signP ' Р^ = т^ Yl signp ' а(рР") =
к\
P^Sk
к\
P^Sk
1
= sign a • — у. sign (<т о р) - (<т о р)Р = sign a • Alt P.
P^Sk
ибо {сгор|р g ?&} = ?&. Равенство AltaP = sign <т- Alt P доказывается
аналогично.
3. Если Р — внешняя форма, то Va G S& signer • <тР = Р и
Alt
creSt
creSk
Обратная импликация легко следует из пункта 2.
4. Для каждой ^-перестановки а обозначим через а' следующую
(к + ^-перестановку:
</A) = аA),.... а'(к) = а{к): а\к + 1) = к + 1 </(*; + -Q = А; +1
Легко видеть, что signer' = signer и aP^Q = a'(P^Q). Теперь, с
учётом пунктов 1 и 2, будем иметь
Alt (Alt P®Q) = Alt
fi^Bign^aPJ ®Q
= Alt
i ^ signer • (crP® Q) = i Yl s[%na • Alt(/(P®g) =
= ^ E (sisn ^J •Alt (p ® <э) = Alt (p ® o) •
C^Sfc
Равенство Alt (P (??) Alt Q) = Alt (P 0 Q) доказывается аналогично. >
28

1.4.3 Операция внешнего произведения
Определение. Внешним произведением полилинейных форм Р G
T/!(V) и Q ^ T^(V) называется внешняя форма Р Л Q G Afc+^(V),
которая определяется по правилу
^Ag = ^pAit(p®g). ¦ A.30)
Лемма 1.2 (свойства внешнего произведения)
1. Отображение А : T°k{V) x T?(V) —> Ak+((V) билинейно, т. е.
внешнее умножение дистрибутивно относительно сложения:
RA{P + Q) = RAP + RaQ и (P + Q)aR = PAR + QaR.
2. РAQ= {A\tP)AQ = PA{A\tQ).
3. PAQ=(-l)k-?QAP, где к = degP, ? = degQ.
4. PA{QAR) = {PAQ)AR= ^ [+ ^ Alt (P(g)Q(g) Д),
/CI t! 772!
где A; = deg P, ? = deg Q, m = deg P.
^ 1. Очевидно, так как отображение (g) : TJJ(V) x Tj(V) —> Tfc+*(V)
билинейно и отображение Alt : Т^+^(?) —> А^+ДУ) линейно.
2. Немедленно следует из пункта 4 леммы 1.1.
3. Рассмотрим следующую (к + ^-перестановку <т:
аA) = к + 1,..., а(?) = к + ?, a{i + 1) = 1,..., a[i + к) = к .
Мы замечаем, что P&)Q = cr(Q^)P) и signer = (—1)^. В силу
пункта 2 предыдущей леммы
Alt(P®Q) = Alt a(Q®P) = sign a-Alt (Q®P) = (-1)^ Alt (Q(g) P),
а равенство Alt (P (g) Q) = (—1)^ Alt (Q (g) P) равносильно
доказываемому.
4. Используя определение внешнего произведения, пункты 1, 4 леммы
1.1 и ассоциативность тензорного произведения, получим
Р Л (Q Л Д) = (^/++^j! Alt [P 0 (О Л Я)] =
29

_ (к + ? + т)\
к\ (? + т)\
(к + ? + т)\
Alt
Р
Alt (Q <g) R)
Alt[P(g)Alt(Q®P)] = (fc7t!,t.?)! Alt [Р®3®Д].
/c! ?! m!
Аналогично проверяется равенство
/с! f! m!
(P*Q)AR={k + l+J)l Alt(P®Q®R). >
Поскольку внешнее произведение ассоциативно (пункт 4 леммы 1.2),
в выражениях вида Р1 Л.. .APS скобки расставлять нет необходимости.
По индукции легко заключить, что
Р1 Л ... Л Ps = (fcl7+/--|,fcs)! Alt (Р1
fci!... ks\
Ps),
где ki = deg P\ г = 1, s.
Примеры
1. Для любых и1 ^eV* и Xi, Xfc G V
(^A...A^)(Xb...,Xfc)
«^(Xx) ...^(Xfc)
wfc(Xi) ...o;fc(Xfc)
u; ) = ^^ signcr-cr^1
<4 ио1/\.../\и!к = k\-Alt (и1
Ho
<j(ool (g) ... ® w*)(X1} ..., Xfc) = ^(X^)) • ... • сок(Ха(к))
A.31)
J).
и нам остаётся лишь вспомнить определение детерминанта. >
Упражнение*. С помощью формулы A.31) легко доказать следующее
утверждение: 1-формы о;1, ..., лк ? V* линейно зависимы в том и только
в том случае, если uj1 Л ... Л ик = 0.
2. Если {е^}™=1 и {ег}^=1 — пара дуальных базисов, то
(е1Л...Ле*)(еь....еЛ) = 1,
A.32)
ибо el(ej) = #•.
3. В силу пункта 3 леммы 1.2 V ио.г] G V* и Л г] = —г] Л о;. В
частности, и Л и = 0. ?
30

1.4.4 Базис линейного пространства внешних ?>форм
Теорема 1.2 Пусть {е^}^=1 — некоторый базис пространства V, а
{eJ}j=1 — дуальный к нему базис.
1. При 1 < к < п набор внешних к-форм
l<zi<...<zfc<nl A.33)
г1 Л Л югк
еп Л ... Л е
является базисом пространства Л& (V). В частности.
dimAfc(V) = C*
>fe n!
(n-k)\k\'
2. Для любой внешней к-формы Р {1 < к < п)
Р= Yl ph...h-eu Л...Ле\ где Ph..Ak = P(eil,... ,eife).
ii<...<ik
A.34)
3. Яря /с > n Afc(V) = {0}.
•^ Пусть P G Л^(У). Применяя операцию альтернирования к обеим
частям равенства
Р = Рк„Лк • eh (g) ... ®eik, где Р^..л, = P(eil5... ,ej,
получим (см. пункты 1. 3 леммы 1.1):
Р = Alt Р = Рк..Лк ¦ Alt (еч <g) ... <g) e*fe) =
= ~JPil...ifc-^-Alt(eil(8)...®eifc).
Ho A;! • Alt (e*1 (g) ... ® eife) = e*1 Л ... Л eife и, значит,
Р=^Рч...гке^Л...Ае1>. A.35)
Проанализируем сумму в правой части A.35). Во-первых, слагаемые,
у которых среди индексов Zi,...,Zfc есть совпадающие, равны нулю
(см. пункт 3 последнего примера). Поэтому мы не будем их учитывать в
наших рассуждениях. Далее, при перестановке двух соседних индексов,
скажем гш и гш+ь каждый коэффициент Ргг..лк изменит знак (ибо
31

Р — внешняя форма). Кроме того, при перестановке двух соседних
сомножителей, скажем егш и eZm+1, произведение еч Л ... Л еч тоже
изменит знак (см. пункт 3 последнего примера). Итак, каждое слагаемое
в A.35) не изменится при перестановке любых двух соседних индексов,
а следовательно, и при любой перестановке индексов zi,... ,г&. Таким
образом, слагаемые в сумме A.35), которые отличаются только порядком
расположения индексов Zi,..., г&, совпадают. Каждая группа заведомо
одинаковых слагаемых состоит ровно из к\ членов. Приведём в A.35)
подобные члены, взяв от каждой группы одинаковых слагаемых по
одному представителю, а именно такое слагаемое, у которого %\ < ... < г&.
Тогда равенство A.35) примет вид A.34).
Если к > п, то в силу A.35) любая внешняя fc-форма является
нулевой, ибо среди индексов zi,..., г& обязательно найдутся одинаковые.
Поэтому далее рассматриваем только случай к < п.
Докажем линейную независимость системы A.33). Пусть некоторая
линейная комбинация этих внешних форм обращается в нуль:
Y^ К...гк-екЛ...Ле1к = 0, A..GI. A.36)
ii<...<ik
Согласно A.31), значение fc-формы еч Л ... Л еч на наборе векторов
(е^,..., eJfc), где j\ < ... < jk , равно детерминанту матрицы
/е*(е*) ••• eHejk)
\е^(ея) ... eHejk)
Если (ii,..., ifc) = (ji,..., jk): то детерминант этой матрицы равен 1
(так как матрица — единичная). Если (ii,..., г&) ^ С?ъ ¦ ¦ ¦ ijk)-, то среди
индексов (ii,..., г&) найдётся хотя бы один индекс гто, которого нет в
наборе (ji,..., jk). Но тогда т-я строка указанной матрицы состоит из
нулей, и её детерминант равен нулю. Из сказанного следует, что значение
левой части A.36) на наборе векторов (е^ eJfe) равно Xj1...jk, т. е.
Следствие Если dimV = п, то dimAn(V) = 1 и всякая внешняя
п-форма О яа V имеет вид
О = и • е1 Л ... Л еп, где си = 0(ei en). A-37)
При замене базиса е'- = Щ щ пространства Y коэффициент со
преобразуется по закону
co' = detA-co, где А= (А))п. .=1. A.38)
«
«
31
*?
32

Ч Согласно A.13) J = tt(e[:... ,е^) = Л^1 . ..А^-П(еи ein). Так как
Q — внешняя форма, то слагаемые из последней суммы, у которых среди
индексов Zi,...,zn есть совпадающие, равны нулю. Поэтому данная
сумма равна
J2Aa1il)...A^.n(eailb...,ea{n)) =
<jeSn
= ^ ^ТA) • • • А<тпп) • sign a • ^(ei, • • •, en) = det A ¦ uj. >
aeSn
Формула A.37) показывает, что если Q — ненулевая внешняя п-форма
на V и {е^}™=1 — какой-либо базис V, то Q(e\<..., еп) Ф 0.
Введём удобные обозначения — т.н. символы Леви-Чивиты1:
0, если среди индексов %\ гп есть одинаковые.
?.
_ ( 1 . . .п \
п-гп л g^gn [ zi... гп 1 , в противном случае.
Ясно, см. A.31), что если {е^}™=1 и {ег}™=1 — пара дуальных базисов,
то
ег1...гп = (е1 Л ... Л еп)(еп,..., ej. A.39)
М В самом деле. Если (zi?.... гп) = A гг), то левая часть A.39)
равна 1 по определению символов Леви-Чивиты, а правая часть равна
детерминанту единичной матрицы. Если набор (ii,...,in)
получается из A п) перестановкой, то левая часть A.39) равна знаку этой
перестановки, а правая часть равна детерминанту матрицы, которая
получается из единичной такой же перестановкой столбцов. Наконец, если
среди индексов (zi,.... гп) есть одинаковые, то левая часть A.39) равна
0 по определению символов Леви-Чивиты, а правая часть равна
детерминанту матрицы, у которой есть совпадающие столбцы. >
Из A.37) и A.39) следует, что
П(ек,... че*п) = и; • (е1 Л ... Л е")^,... че*п) = и; • eilmmmin ,
где и = fi(ei,... ,еп). Следовательно, разложение внешней п-формы
Q по базисным n-линейным формам еч (??) ... (??) еЪп имеет вид
^ = и • eilmmAn • еч <g) ... <g) ein . uj = П(ег...., еп). A.40)
1Tullio Levi-Civita A873 - 1941) — итальянский математик и механик.
33

Замечание. Совершенно аналогично тому, как мы определили
линейное подпространство
A,(V)cT°(V);
можно определить линейное подпространство
Ak(V) cTg(V),
элементы которого называются к-векторами (на V) и
представляют собой антисимметричные тензоры из пространства Tq(V).
Оператор альтернирования и внешнее умножение для тензоров пространства
TTq(V) определяются в точности так же, как для тензоров пространства
T^(V). Все выкладки и рассуждения совершенно аналогичны.
Единственное отличие в формулах: все верхние индексы заменяются на нижние,
и наоборот.
Легко видеть, что
A^(V) = A^(V*).
Если {е^}™=1 — некоторый базис пространства V, то набор fc-векторов
eh А ... Л eik
l<ii<...<ik<n} A.41)
образует базис пространства Afe(V). Разложение fc-вектора Т G Afe(V)
по этому базису имеет вид
Т= Y^ Th"Ak • eix Л ... Л е^, где Th"Ak = Т(е\ ..., eik), A.42)
ii<...<ik
здесь {е1,..., еп} — базис, сопряженный к {ei,..., еп}.
Всякий n-вектор Ф на V имеет вид (п = dim V)
ф = <ф . ei Л ... Л еп, где ф = Ф(е\ ..., еп). A.43)
При замене базиса е^- = Аг- е?; пространства V коэффициент ф
преобразуется по закону
Ф' = Жа-^ где A=Wu-i- (L44>
34

1.5 Ориентация. Форма объёма. Оператор Ходжа
1.5.1 Ориентация линейного пространства. Форма объёма
Всякая ненулевая внешняя n-форма Q на n-мерном линейном
пространстве V разбивает множество всех базисов пространства V на два
класса:
— базисы {e^}f=1, для которых Q(ei,..., еп) > 0;
— базисы {е^}^=1, для которых fi(ei,..., еп) < 0.
На самом деле эти классы не зависят от конкретного выбора формы
Q: если П, Q' G An(V) \ {0}, то, в силу одномерности пространства
An(V), существует число А ^ 0, такое, что Q' = А • Q. Значит, если
Q принимает на каких-то двух базисах значения одного знака, то и Qf
будет иметь на этих базисах один и тот же знак, и оба базиса опять-таки
окажутся в одном классе.
Определение. Задать на линейном пространстве V ориентацию
— значит выбрать один из двух указанных классов базисов. При этом
базисы выбранного класса называют положительно ориентированными
или ориент.ируюи^ими, базисы оставшегося класса называют
отрицательно ориентированными. О базисах из одного класса говорят как об
одинаково ориентированных.
Пространство V называется ориентированным, если в нем
зафиксирована одна из двух возможных ориентации. Ненулевая n-форма Q
называется ориентирующей, если fi(ei,..., еп) > 0 для любого
ориентирующего базиса {е^}^=1. ¦
Аффинное пространство называется ориентированным, если
ориентация зафиксирована в ассоциированном с ним векторном пространстве.
Упражнение. Пусть базис {е'ь ... , е^} получен перенумерацией
векторов из базиса {ei,..., еп}, т. е. найдётся такая n-перестановка <т, что
е- = ea(i), г = 1,п.
Докажите, что эти базисы задают одинаковую ориентацию в том и
только в том случае, если signer = 1.
Подсказка: если Q — n-форма, то Q(e'v ..., е'п) = (a Q)(e\<..., еп);
см. также A-27).
Определение. Формой объёма на n-мерном линейном пространстве
V называется любая ненулевая форма Q G An(V). При этом число
fi(Xi,..., Xn), Xi,..., Х^ G V, называется ориентированным объёмом
n-мерного параллелепипеда, натянутого на векторы Xi,..., Хп. ¦
35

Если {е^}™=1 — базис V и Xj = Хг- е^, j = l,n, то, в силу A.37) и
A.31),
xl... xl
Q(Xi,..., Xn) = Q(ei,..., е„)
Xf
п
A.45)
(ср. с формулой для смешанного произведения векторов из курса
аналитической геометрии). Из этой формулы следует, что если векторы
Xij-.-jX^ ? V линейно зависимы, то ориентированный объём равен
нулю (что вполне естественно). В случае же, когда эти векторы
линейно независимы, ориентированный объём положителен, если форма Q и
базис {Х^}™=1 задают одинаковую ориентацию, и отрицателен в
противном случае.
Упражнение. Докажите с помощью формулы A.45) следующее
утверждение.
Два базиса линейного пространства одинаково ориентированы в том
и только в том случае, если матрица перехода от одного из этих базисов
к другому имеет положительный детерминант.
Замечание. Для того чтобы задать ориентацию на конечномерном
векторном пространстве V. достаточно задать на V какую-либо форму
объёма Q. По этой причине ориентированным векторным
пространством часто называют пару объектов: (V, Q).
1.5.2 Метрическая форма объёма
На n-мерном линейном пространстве V существует бесконечно
много форм объёма. Однако если на V зафиксирована ориентация и
задан некоторый метрический тензор д, то среди всех форм объёма
выделяется т. н. метрическая форма объёма Qg. Она определяется так:
Ц/ = \^-е1Л...Легг ^^ ЦДеь...,еп) = ^/М,
A.46)
где {ег}^=1 — базис V*, сопряжённый к некоторому ориентирующему
базису {е^}™=1 пространства V, а
7 =
011 ••• 9ъ
9ni •.. 9
пп
•> 9ij 9\^гч ^j)-
Убедимся в независимости этого определения от выбора
ориентирующего базиса.
36

Ч В силу A.13) при замене ориентирующего базиса е^- = Аг- • е^
компоненты метрического тензора д преобразуются по закону:
9km = ^к Ат 9ij <^=^ G = А • G • А,
где G' = {g'kJlm=v G = (9ij)"j=v A = D)L=r °ТСК)Да слеДУет. ™
У = (det АJ • 7 ^^ л/М = | det A\ • д/М - A-47)
Но поскольку базисы {е^}™=1 и {е'}^=1 ориентированы одинаково, то
det Л>0, см. A.45),и последнее равенство записывается как
у/М = det Л • д/М.
С другой стороны, в силу A.38)
Пд(е[,... ,eJJ = det A • Ц,(еь ... ,еп) = det Л • д/М = VlTf,
т.е. Ц,= ^т1 -еаА...Ает. >
Для метрической формы объёма разложение A.40) переписывается в
виде
Пд = VH ' eii-in е'1 <g) ... <g) е1" , 7 = det
(д^е^.Л. A.48)
Замечание. Если базис {ei,..., еп} ориентирован отрицательно,
то тогда базис {—ei, в2,..., еп} ориентирован положительно (ибо
определитель матрицы перехода равен — 1) . Отсюда легко заключить, что
в случае отрицательно ориентированного базиса формулы A.46) и A.48)
принимают вид
Пд= -\/Ы-е1А-..Аеп= - д/М • ек..Лп е* ® ... ®е*» . A.49)
1.5.3 Дуальная форма объёма
Пусть V — вещественное линейное пространство размерности п и
^ G An(V) — форма объёма на V.
Рассмотрим форму объёма Q* G An(V*) = An(V) на пространстве
V*, которую определим следующим образом.
Если {е?}™=1 — некоторый базис V, {ег}™=1 — его сопряженный и
П = и.е1Л...Леп = и- eilmmmin eZl ® ... ® е\
то
ft* = - • ei Л ... Л еп = - • е*1'"*" еч <g) ... <g) е*п A.50)
37

(символы Леви-Чивиты с верхними индексами е11"Лп определяются
точно так же, как символы Леви-Чивиты с нижними индексами).
Упражнение. Докажите с помощью формул A.38) и A.44), что это
определение корректно, т. е. не зависит от выбора базиса {е?;}™=1.
Если Qg — метрическая форма объёма на V (соответствующая
метрическому тензору д : V х V —> R), то, как легко заметить,
а 9* ч
т. е. дуальная к Qg форма объёма это ни что иное, как метрическая
форма объёма на V*. порождённая контравариантным метрическим
тензором д* : V* х V* —> R. Для этого случая A.50) переписывается в
виде, см. A.46) и A.48),
П*д = —^= ¦ ei Л ... Л еп = —^= ¦ е*1-** еч ® ... ® е*п , A.51)
где 7 = det
(9(^е^=1
1.5.4 Оператор Ходжа
Пусть V — вещественное линейное пространство размерности п и
Г? G An(V) — форма объёма на V.
Зафиксируем к G {1,..., п} и рассмотрим отображение
* : Afc(V) — An_fc(V), T Д+ *Т, A.52)
переводящее fc-векторы в (п — А;)-формы. А именно для любого ?;-
вектора Т G Afc(V) внешняя {п — А;)-форма *Т определяется
равенством
*T = itr2(fi®T), A.53)
где а= (l,...,fc).
Определение. Отображение A.53) называется оператором Ходэюа
формы объёма Q или оператором дуализации. ¦
Запишем A.53) в координатах. Если {е^}™=1 — базис V и {ег}™=1 —
его сопряжённый.
Г = Г*1-* -eh® ...®eik, П = си- еч..Лп е*1 (g) ... <g) ег" ,
то тогда
*Т = (*T)jWn_fc • е^'1 ® ... ® е
38
Зп—к

(*Р)г1"гк = z-^т • - • е*-^1-** Ph...jn_k . A.57)
где (*T)il...in_fc = ~w ^...ikJ1...Jn.k Тг-Лк . A.54)
Из A.54) и антисимметричности ?i1...ikj1...jn-k относительно
перестановок любых двух индексов следует, что *Т — антисимметричная (п — к)-
форма.
Совершенно аналогично мы можем рассмотреть операторы Ходэюа
формы объёма ГГ; дуальной к Q. Они тоже обозначаются знаком * (в
силу сложившейся традиции) и переводят (п — А;)-формы в fc-векторы:
* : A„_t(V) —> Al(V), P ^ *Р. A.55)
*p=iwhy.tre(n'®p)> (L56)
где /? = A,..., п — к). В координатах A.56) записывается так:
1 1
(п — к)\ и
Операторы Ходжа — линейные отображения, поскольку операция
билинейна и операция tr""" линейна.
Докажем, что для операторов Ходжа A.52) и A.55) выполняется
соотношение
*о* = {-\)Нп-к) Id? (L58)
где Id — тождественный оператор. Более подробно,
VT g Ak(Y) * * Т = (-1)к<п-к) . Тщ ^щ
VP е Лп_^(?) * *Р = (-1)^-*0 -P. A.60)
М Докажем A.60), равенство A.59) доказывается аналогично.
Вычисления удобнее всего проводить в координатах. Пусть
Pj,..jn-k е* ® ... <g> е*-* = P€ An.k(V).
Зафиксируем набор индексов (ji,... ,jn-fc) так? чтобы среди них не
было совпадающих. С помощью A.57) и A.54) запишем

Последнее равенство в этой цепочке получается так: надо переставить
каждый из к индексов г1,...,г& с каждым из [п — к) индексов
mi,..., mn-ki чт0 и даст к множителей (—\}п~к .
Итак,
В сумме из правой части A.61) надо оставить лишь те слагаемые, для
которых
1) Ч,--.,ik €{!,...,n}\{ji,...Jn-k} ,
2) среди индексов zi,..., г& нет одинаковых
(остальные слагаемые — заведомо нулевые). Слагаемых,
удовлетворяющих условиям 1 и 2, ровно к\ штук, и все они равны друг другу (ибо при
перестановке любых двух индексов из набора (zi,..., г&) сомножители
^i...zfe... и ?Zl-Zfe- просто меняют знак).
Зафиксируем набор индексов (zi,..., г&), удовлетворяющий условиям
1 и 2, и запишем A.61) в виде
V* * *)ji-jn-k = / _ тл| " sh-ikji-3n-k ' Е П *т1...тп_к (l.Oz)
(здесь суммирование производится только по индексам mi,..., mn_/e). В
сумме из правой части A.62) отличны от нуля те и только те слагаемые,
для которых
3) ть ..., mn_& G {1,..., n}\{zb ..., ik} ,
4) среди индексов mi,.... mn_/e нет одинаковых.
Слагаемых, удовлетворяющих условиям 3 и 4, ровно {п — к)\ штук, и все
они равны друг другу. В качестве (mi,..., mn_&), удовлетворяющего
условиям 3 и 4, возьмём набор (ji,... ,jn-fc) и запишем A.62) в виде
(* * P)n...jn-k = {-l)Hn~k) ¦ еч...1кП...3п_к ¦ ?*ь..*Л...*._* р^.^ (L63)
(здесь вообще нет суммирования по повторяющимся индексам). Но, как
легко заметить, для любой перестановки (аь ..., ап) индексов A,..., п)
?ал...ап ' sai'"an = 1 (по индексам ai,..., ап нет суммирования).
С учётом последнего замечания A.63) переписывается в виде
(* * р)л...*.., = (-l)**-*» • Pn...Jn_k,
а это и требовалось доказать. >
40

Замечание. Из A.58) следует, что операторы Ходжа —
изоморфизмы. Заметим, что при нечётных п множитель (—1)И™-&) всегда равен
+1, поэтому, при нечётных п операторы Ходжа A.52) и A.55) взаимно
обратны.
Упражнение. Пусть (V, д) — n-мерное ориентированное (псевдо)евк-
лидово пространство, G : V —> V* — канонический изоморфизм A.20),
Qg — метрическая форма объёма (метрического тензора д), * — оператор
Ходжа формы объема fL. Докажите, что для любых X, Y ? V
(*Х) Л G(Y) = (-l)" • р(Х, Y) • Пд . A.64)
1.5.5 Векторное произведение
Для векторов трёхмерного ориентированного евклидова
пространства (V, д) определена операция [• х •] : V х V —> V векторного
произведения:
[X х Y] = * (G(X) Л G(Y)), X, Y е V, A.65)
здесь * : Л2 (V) —> Л1 (V) = V — оператор Ходжа формы объема И*.
G : V —> V* — канонический изоморфизм A.20).
Выберем произвольный базис {е1,в2,ез} пространства V и выразим
компоненты произведения [X х Y] через компоненты сомножителей
X, Y в этом базисе. Пусть X = Хг е^, Y = У-7 е^ , тогда
G{X) = Xte\ Xi = gieXe, G(Y) = YJ-e>', Yj = gjtYe,
и
G(X) Л G(Y) = 2! Alt (G(X) ® G(Y)) = 2! Alt (X( Yj el ®ej) =
= 2! i (Х{ Yj-Xj Я)е'® e>' = (Xt Yj - X, YJ e' ® e? ,
*(G(X)AG(Y)) = -— {XiYj-XjYJe*.
Заметим, что
eijk(Xi Yj - Xj Yi) = sijk Xi Yj - sijk X5 Y{ = sijk X{ Yj + sjik X5 Y{
= sij k XiYj + sij k Х{ Yj = 2 • sij k Х{ Yj , поэтому
* (G(X) Л G(Y)) = ±y= &k Хг Yj ek .
41

Итак, разложение векторного произведения по базису {е1,е2,ез}
имеет вид
[X х Y] = ±Ц= Хг Yj ek = ±4=
y/l у/1
ei e2 е3
Х\ Х<± Х%
Yi Y2 У3
A.66)
где Xi и Yj — ковариантные компоненты векторов X и Y в базисе
{ei, в2, ез}, 7 — определитель матрицы Грама базиса {еь в2, ез}, знак
п + п соответствует положительно ориентированному базису, а знак " —"
— отрицательно ориентированному.
Если {е1,е2,ез} — ориентирующий ортонормированный базис, то
7=1, выбирается знак " + ", и формула A.66) приобретает хорошо
знакомый из курса аналитической геометрии вид.
Замечание. Мы сейчас всюду писали ^/7 вместо \ZJtL поскольку
д — евклидов метрический тензор: в ортонормированном базисе 7 = 1<
а, как это видно из A.47), знак 7 от выбора базиса не зависит.
Упражнение.
1. Выведите из A-66) формулу
[X х Y] = ±,/7 9Ы Sijt X* Y* ек A.67)
(выражение векторного произведения через контравариантные компоненты
векторов).
2. Проверьте прямыми вычислениями в координатах, что
VX, Y е V G-1 ( *(Х Л Y)) = ±^7 9Ы eij? Xi Y3 ek .
Таким образом, с учётом A.67), у нас есть два равносильных определения
векторного произведения:
[X х Y] = * (G(X) Л G(Y)) = G~l (*(X AY)). A.68)
1.6 Прилож:ение 1. Тензор инерции
1.6.1 Тензор инерции абсолютно твёрдого тела
Рассмотрим абсолютно твёрдое тело, которое вращается вокруг
некоторой своей точки О и занимает объём D в системе отсчёта V,
жёстко связанной с телом. С формально-математической точки зрения
система отсчёта V — это просто некоторое ориентированное трёхмерное
евклидово пространство. Наглядно, пространство V содержит
отложенные от точки О радиус-векторы г всевозможных точек твёрдого тела.
42

Пусть в рассматриваемый фиксированный момент времени t наше
твёрдое тело имеет угловую скорость ш. Подчеркнём, что weV, т. е.
мы рассматриваем угловую скорость пв телеп, а не во внешней инерци-
альной системе отсчёта.
Рассмотрим " бесконечно малый" элемент твёрдого тела с массой dm
и радиус-вектором г. Его линейная скорость v и количество движения
(импульс) р равны:
v = [ш х г], р = dm v = [ш х г] dm.
Следовательно, кинетический момент (момент импульса)
рассматриваемого элемента твёрдого тела равен
[г х р] = [г х [и х г]] dm.
Кинетический момент J = J (о;) всего тела получается
суммированием кинетических моментов всех его бесконечно малых элементов, т. е.
J(lj) = / [г х [ш х г]] dm. A.69)
D
Здесь
dm = р(г) • (элемент объёма),
а функция р : D —> R — это плотность распределения массы. Мы
сознательно не записываем подробно элемент объёма, так как в разных
координатах он записывается по-разному. Например, в декартовых
координатах ж1, ж2, х3 элемент объёма имеет вид d3r = dx1 dx2 dx3.
Разумеется, если твёрдое тело заполняет собой только лишь
поверхность или даже линию, то элемент объёма следует заменить
соответственно на элемент площади поверхности и дифференциал длины дуги.
Если тело состоит из конечного числа точек (дискретная модель) с
массами m(i),..., т(дг), то A.69) заменяется на
N
J(u)) = ^2m{k) • [r(jfe) x [ш х r(jfe)]], A.70)
k=i
где Г(?) — радиус-вектор к-й точки тела.
Из A.69), A.70) видно, что J зависит от и) линейно. Другими
словами, мы определили линейный оператор
J:V—>V, u>\—>J(u>),
43

задающий кинетический момент твёрдого тела как функцию его угловой
скорости. Этот линейный оператор называется оператором (или
тензором) инерции рассматриваемого абсолютно твёрдого тела. Под тензором
инерции понимается A,1)-тензор, ассоциированный с оператором
инерции, см. A.12).
1.6.2 Вычисление тензора инерции в координатах
Используя известное тождество
[а х [Ь х с]] = b ¦ (а. с) — с • (а. Ь)
(через (•, •) обозначаем скалярное произведение), запишем A.69) в виде
J{fjj) = I (ш-г2 - (о;, г) -r)dm = Ipoi • ш - А{ш), A.71)
D
где обозначено
г2 = (г, г),
Ipoi = JD г2 dm — полярный момент инерции тела (относительно точки
О),
А(и>) = fD(ui г) • г dm.
Пусть х = (хг.х2.х3) — декартовы координаты в V, базисные орты
{в1,е2,ез} которых будем считать отложенными от точки О. Тогда
г = х1 ei + х2 е2 + х3 ез, г2 = (х1J + (х2J + (х3J, dm = р(х) dx1 dx2 dx3.
Вычислим компоненты J^ матрицы оператора инерции в базисе
{е1,е2,ез}ч или, что то же самое, компоненты тензора инерции в этом
базисе, см. A.12):
J(eb) = </? еа.
С помощью A.71) находим
J(eb) = Iporeb-A(eb) = IpoiSbea- / (eb,r)-rdm = IpoiS^ea- / xb-rdm =
D D
= Ipoi $ьеа- хъ- %a ea dm = [Ipoi 6% - xb - xa dm J ea .
D D
44

Итак, искомое выражение для Зъа:
31 = Щ> \ г2(х) • Р(х) • dx1 dx2 dx3 - / xb • xa • p(x) • dx1 dx2 dxd. A.72)
D D
где r2(ir) = (x1J + (a:2J + (x3J. Заметим также, что xb = 5ъаха = xb,
b = 1,3, ибо базис {ei, в2, ез} — декартов.
Для случая дискретной модели, см. A.70), формула A-72) принимает
вид
N
Jb = Z) E * rU ~ x(k)b • rfk)) • Щк)- A-73)
к=1
Заметим, что при а ^ Ъ
N
Jb = - xbxa dm, 31 = - ^ х(к) ъ х\к) Щк) ¦
Ъ к=1
В этом случае величина — Зьа называется центробежным моментом
инерции тела относительно оси Охс: где с^ а, с^Ъ.
При а = Ъ имеем
(хьJ + (xcJ) dm, 3aa = ? (D)J + D)J) т(^
D к=1
где b ^ а, с ^ а. Эта величина называется осевым моментом инерции
тела (относительно оси Ох").
2 ВЕКТОРНЫЕ И ТЕНЗОРНЫЕ ПОЛЯ
В АФФИННОМ ПРОСТРАНСТВЕ
2.1 Экскурс в анализ
Напомним (и частично докажем) некоторые, необходимые для
дальнейшего изложения, факты из курса математического анализа.
Подробности см., например, в [3; 5].
Прежде всего, введём удобные
Обозначения. Пусть V — аффинное пространство,
ассоциированное с векторным пространством V. Тогда
• если p,gG?, то через q — р обозначается вектор pq G V;
45

• если р G V, а г G V, то через р + г обозначается точка q G V,
такая, что г = pq (т. е. р + г это конец вектора г, отложенного
от точки р).
2.1.1 Дифференцируемость, дифференциал
Пусть V\ и V<i конечномерные вещественные аффинные
пространства, ассоциированные с векторными пространствами Vi и V2
соответственно, U С V\ — открытое множество.
Отображение F : U —> V<i называется дифференцируемым в точке
р ? U, если существует линейный оператор
(dF)p : Vi — V2,
(называемый дифференциалом F в точке р), такой, что
F(p + г) - F(p) = {dF)p (r) + o(r), r -> 0. B.1)
Здесь, как обычно, o(r) = /i(r)-||r||, где h(r) —> 0 при г —> 0 (от выбора
нормы || • || на V2 это условие не зависит). Наряду с обозначением (dF)p
употребляется также обозначение dF\p.
Для случая V\ = R условие дифференцируемости функции F в
точке (GR равносильно существованию предела
Fit + At) -Fit) • _
lim —^ -^ ^ = F(t) G V2,
At^o At v ;
а дифференциал F в точке t определяется формулой
(dF)t (At) = F{t) • At, At e R.
В указанном случае V\ = Ж часто употребляется следующая
терминология: F — (параметризованная) кривая, F[t) — касательный вектор
к кривой F в точке t (или в точке F(t)).
Если {ei,..., еп} — базис V2, Ро ^ ^2 и
F = p0 + F1e1 + ... + Fne
ТЫ
то дифференцируемость F равносильна дифференцируемости всех
координатных функций Fl : U —> R.
46

2.1.2 Геометрический смысл дифференциала. Производная по
направлению
Пусть функция F : U —> Vi, U С V\, дифференцируема в точке
р ? U. Проведём через точку р кривую с : R —> V\, выходящую из
р со скоростью v:
c@)=p, c@)=v. B.2)
Оказывается, что образ кривой с при отображении F, т. е. кривая
Foe, выходит из точки F(p) со скоростью (dF)p(v):
d
It
F(c(t)) = (dF)c{0)
t=o
d
It
c(t)
B.3)
t=o
•< В самом деле, так как с проходит при t = 0 через точку р со
скоростью v, то
c(t)=p + t-v + o(t), ?->0.
Подставляя в B.1) t\ + о(?) вместо г, получим
F(c(t)) = F{p) + (dF)p(tv + o(t)) + o(tv + o(t)) =
= F(c@)) + t-(dF)c{0)(v) + o(t)
F(c(t)) - F(c@))
или, что равносильно.
(dF)c@)(v) +
o(t)
что и даёт B.3) в пределе при t —> 0. >
Определение. Предел (если он существует)
п. F(p + t-v + o(t)) -F(p) rf
lim — = —
t^o t dt
F(p + t-v + o{t))
t=o
называется производной функции F no направлению вектора v в точке
р и обозначается одним из следующих способов:
vp(F), v(F)(p),
dF(p) OF
<9v ' <9v
or
dv
Как мы только что выяснили, дифференцируемость функции F в
точке р является достаточным условием существования у функции F
в этой точке производной по любому направлению v, при этом
vp(F) = (dF)p(v).
B.4)
47

Вспомним основные свойства производной по направлению:
(v + w)„(F) = v„(F)+wp(F), B.5)
(const • v)p (F) = const • vp (F), B.6)
ур(^ + Ф) = ур(^) + ур(Ф), B.7)
vp (const • F) = const • vp (F), B.8)
vP (/ • y>) = vp (/) • y>(p) + f(p) • vp (y>). B.9)
Здесь v, w — векторы, F, Ф — функции, /,(/? — функции, принимающие
значения в R.
^ Справедливость B.5) и B.6) для случая, когда F
дифференцируема в точке р, сразу следует из B.4) и из того, что (dF)p — линейное
отображение. Доказательство в более общем случае см.. например, в [3.
с. 314-315].
Свойства B.7), B.8), B.9) — прямые следствия свойств производной
функций одного переменного:
(а + ру = а' + /?'. (const • а)' = const -с/, (а • E)' = а' • E + а • /?'.
ибо vp (F) определяется как производная функции одного переменного
t^ F(p + t-v + o(t))
в точке t = 0. >
Вычисление дифференциала сложной функции подчиняется т. н.
цепному правилу:
d Ф о F\p = {d<S>)F{p) о (dF)p . B.10)
М Этот факт — простое следствие B.3). В самом деле, пусть v —
произвольный вектор векторного пространства, ассоциированного с
аффинным пространством, содержащим область определения функции F.
Пусть с — кривая в этом аффинном пространстве, удовлетворяющая
условиям B.2). Используя B.3), найдём
<**oFUv)=!
t=o az
чтщ
t=o
F(c(t)))=(d<P)F{p)((dF)p(v)).
t=o J
2.2 Регулярные системы координат
Пусть V — аффинное пространство, ассоциированное с
конечномерным вещественным векторным пространством V, dim V = п.
48

2.2.1 Аффинные (прямолинейные) координаты
Пусть {о, ei,... ,еп} — репер аффинного пространства V, т. е.
базис {ei,..., еп} пространства V вместе с точкой oG?- "началом
отсчёта".
Определение. Аффинная (или прямолинейная) система координат,
соответствующая реперу (о, ei,..., еп}, это набор функций
х = (ж\...,жп), х*:Р—>R,
определяемых как
х\р) = ег(ор), i = hn. B.11)
Здесь {е1, еп} — базис V*, дуальный к базису {ei, en}
пространства V.
Функции хг называются координатными функциями репера. Для
точки р е Р набор чисел х(р) = (х1(р),.. . <хп(р)) называется
координатами точки р в системе координат х = (х1,... ,хп). ¦
Заметим, что B.11) равносильно
ор = х\р) -еь
т. е. координаты точки р это координаты радиус-вектора ор точки р
в базисе {ei,..., е^}.
Упражнение. Докажите, что координатные функции хг,...,хп и
хх,...,хп любых двух реперов {о, ei еп} и {о/,е/1 е^} связаны
между собой равенствами
х
'к { л-1\к
(А'1). хг+х0\ к = 1,п, B.12)
где А = (^Alk)ik_1 — матрица перехода от "нештрихованного" базиса к
11 штрихован ному", т. е. efk = А\ е^7 и о'о = Xq efk.
2.2.2 Регулярные системы координат
Определение. Отображение
F:U—>V
открытых множеств U и V конечномерных аффинных пространств
называется Сг-диффеоморфизмом (или диффеоморфизмом класса Сг),
где г е N или г = оо, если
a) F биективно,
49

б) F г раз непрерывно-дифференцируемо,
в) F-1 г раз непрерывно-дифференцируемо. ¦
Замечание. В традиционных курсах анализа понятие г раз
непрерывно-дифференцируемого отображения определяют несколькими
эквивалентными способами. Одно из возможных (и равносильных
остальным) определений такое. Пусть х = {х1,... ,хп) — аффинные
координаты на G, у = (у1,... ,уш) — аффинные координаты на V.
Отображение F называется г раз непрерывно-дифференцируемым (или
гладким, класса гладкости Сг), если отображение у о F о х~г имеет
все непрерывные частные производные до порядка г включительно.
Проще говоря, отображение г раз непрерывно-дифференцируемо, если,
будучи выражено через координаты, оно имеет все непрерывные частные
производные до порядка г включительно. Это определение не зависит
от выбора координат х и у, поскольку, как это видно из B.12),
разные аффинные координаты выражаются друг через друга посредством
бесконечно дифференцируемых функций.
Ясно, что композиция Сг-диффеоморфизмов есть
Сг-диффеоморфизм, и отображение, обратное к Ст-диффеоморфизму, — снова Сг-
диффеоморфизм.
Определение. Система координат на открытом множестве U
n-мерного вещественного аффинного пространства V это отображение
х= (х1 хп) :U—>Rn.
удовлетворяющее условиям
1с.) х инъективно.
11с.) множество x(U) С W1 открыто.
При этом функции хг называются координатными функциями
рассматриваемой системы координат. Для точки р G U набор чисел
х{р) = (х1^),... ,хп{р)) называется координатами точки р в системе
координат х = (х1,..., хп).
Система координат называется глобальной, если U = V, и локальной
в противном случае.
Система координат х называется регулярной (класса Сг), если
Шс.) х есть Сг-диффеоморфизм открытых множеств U и x(U). Ш
50

Далее, для упрощения записей, элементы пространства Rn и наборы
координатных функций мы часто будем обозначать одним и тем же знаком:
х = (х1 хп).
Определение. Пусть на открытом множестве U заданы две
системы координат х : U —> W1 и х' : U —> MJ1. Отображение (очевидно,
биективное)
х' ox~l :x(U) —>x\U)
называется отображением перехода от системы координат х к системе
координат xf.
Для упрощения обозначений отображения перехода х'ох~х и хох'~х
часто записывают в виде
х1 = х\х\...,хп) и хг = х\х\...,хп), i = TJi, B.13)
(поднип координаты как функции пдругихп). Функции B.13)
называются функциями перехода от одних координат к другим. ¦
Замечание. Условие Шс. равносильно тому, что функции перехода
B.13) от координат х = (х1,..., хп) к каким-либо аффинным
координатам х' = [х х,..., х п) и обратно г раз непрерывно-дифференцируемы
(см. предыдущее замечание).
Пусть х и х' — две регулярные системы координат на открытом
множестве U. В согласии с обозначениями B.13), договоримся
обозначать матрицу Якоби отображения перехода хг ох~1 в точке х = х(р) G
x(U), p G ?/, как
? )= ••• Ь B-14)
(дх'Л def д(х{ох~1){х)
т. е. -7—^ = —: . Это обозначение удобно и легко запо-
\охЗ )v дх.3
минается.
Поскольку отображения перехода х'ох~1 и хох'~1 взаимно обратны.
то их матрицы Якоби тоже взаимно обратны:
дхг дхк _ ¦ дх' дх _
дхк dx'J J дх дх'
(I — единичная п х n-матрица). В частности, эти матрицы Якоби
невырождены.
51

Рис. 1. Полярные координаты (г. ф) на евклидовой плоскости
Примеры
1. Простейший пример регулярных координат — аффинные
координаты, класс гладкости этих координат — С°°. Соотношения B.12)
задают функции перехода от одних аффинных координат к другим.
2. Рассмотрим евклидову плоскость Е2 с декартовыми координатами
(х, у). Полярные координаты
г : Е2 \ L —> @, +оо), if : Е2 \ L —> @, 2тг),
где L = {р G Е2 | х{р) > 0 и у(р) = 0 } — полярная полуось.
биективно отображают плоскость с разрезом по полярной полуоси, т. е.
множество Е2 \ L, на открытую полосу @, +оо) х @, 2тг) С М2 и
связаны с декартовыми координатами функциями перехода
X = Г COS (/9, у = Г S1I1 (р.
Функции перехода от полярных координат к декартовым
класса С°°. Легкие вычисления дают
гладкие
дх/дг dx/dip
ду/дг ду/д(р
= г>0 при (г, ip) G @, +оо) х @, 27г).
В силу теоремы об обратном отображении функции перехода от
декартовых координат к полярным тоже являются бесконечно
дифференцируемыми при (г, if) G @, +оо) х @, 27г). Поэтому полярные координаты
являются регулярными класса гладкости С°° на открытом множестве
E2\L.
Луч L выброшен из области определения полярных координат не
случайно. Дело в том, что функцию (р невозможно продолжить на всю
плоскость с сохранением гладкости (т. е. с сохранением гладкой
зависимости (р от х и у), ибо (р терпит неустранимый разрыв первого рода
на луче L:
52

Рис. 2. Цилиндрические и сферические координаты
при х > 0 Kin ср(х, у) = 0, lim ср(х, у) = 27г,
lim <р@, у) = - , lim <р@,2/) = — .
Точки луча L — т. н. особые точки полярной системы координат. ?
Упражнение. Найдите области определения цилиндрических (p,(p,z)
и сферических (г, 0, (/9) координат в трёхмерном евклидовом пространстве:
X = р COS (/9, у = р Sin (/9, Z = Z,
X = Г Sin 0 • COS (/9, Z/ = Г Sin в • Sin (/9, X = Г COS 0,
x,y,z — декартовы координаты, см. рис. 2.
2.2.3 Криволинейные координаты. Координатные
линии. Локальный базис
Определение. Пусть х : U —> Rn — система координат на
открытом множестве U. Через каждую точку р G U проходит п штук т. н.
координатных линий: г-я координатная линия это кривая с
параметризацией
ф) = х-1(х\р),.. .,хг-1(р),хг(р)+1,хг+1(р),.. .,хп(р)).
53

Другими словами, вдоль г-й координатной линии координатные
функции хк, к 7^ г^ данной системы координат постоянны, а приращение t
i-й координаты служит параметром вдоль q. ¦
Примеры
1. Координатные линии любой аффинной системы координат —
прямые линии.
2. Координатными линиями полярной системы координат (г, ф) на
евклидовой плоскости являются окружности с центром в полюсе (когда
г = const, a if меняется) и лучи с началом в полюсе (когда г меняется,
а <р = const). ?
Терминология. Регулярные координаты, не являющиеся
аффинными, принято называть криволинейными. Ш
Если х : U —> Rn — регулярная система координат, то q —
гладкое отображение (того же класса гладкости, что и гя), как композиция
таковых. В этом случае проходящая через точку р G U координатная
линия q имеет в этой точке касательный вектор, который обозначается
через (д/дхг)р:
д
дхг
= Q@) =
d
~dt
(k(t) =
t=o
d_
~dt
x-1(x\pI... .xi-\pIxi(p) + t.xi+1(p),... .xn(p)).
t=0
Очевидно (по самому определению частной производной), что для
любой дифференцируемой в точке р функции F
д
дх1
(F) =
дх1
d
~dt
НФ)).
B.15)
t=0
\p \ /p
Зафиксируем произвольно точку о G V — "начало отсчёта" и
рассмотрим вектор-функцию
r:V—>V, r(p) = op, B.16)
т. е. г(р) это радиус-вектор точки р относительно точки о.
Оказывается, что
д
дх1
дг
дх1
B.17)
< Производная (д/дхг)р = q@) совпадает с производной радиус-
вектора pci(t) при t = 0:
с,@) = lim C'W " ^@) = Вт Ф) ~ Р = Вт Р-^ = ?
t^o t *->o t t^o t dt
РФ).
t=0
54

В силу B.15) и определения B.16) производная (дг/дхг)р совпадает с
>
производной радиус-вектора oCi(t) при t = 0. Но эти радиус-векторы
отличаются друг от друга на независящее от t слагаемое:
Op+pCi(t) = OCi(t),
поэтому, их производные при t = 0 совпадают. >
Пример. Пусть х = (х1,... ,хп) — система аффинных координат,
соответствующая аффинному реперу {о, ei,.. ., е^}, тогда
г = х е& (г откладывается от точки о), следовательно.
д
дхг
дг
р дх1
^гч
г =1,п. П B.18)
р
Пусть х = (гя1,... 5 хп) и хг = (х 2,..., х п) — регулярные системы
координат на открытом множестве U, тогда для каждой точки р G U
справедливо равенство
д
дх'к
дхг
д
р
рх'к) дх1
к = 1,п.
B.19)
Р
Ч Это следствие B.17) и правила дифференцирования сложной
функции:
дг
дг дхг
дх'к дх1 дх'к
Пусть теперь х = (гг1,... ,хп) — совершенно произвольные
регулярные координаты, а х' = (х 1...., хп) — аффинные координаты,
соответствующие аффинному реперу {о7, e'l5..., е^}. В силу B.19) и примера
B.18)
д
дх1
' дх1
д
р
дх{ Jp дхк
р
f дхк
дх1
Таким образом, i-й столбец матрицы {дх'/дх)р представляет собой
набор коэффициентов разложения вектора [д/дхг)р по базису {е^.}^=1.
Поскольку det(dx'/dx)p ^ 0, то векторы
д
дхА
д
дхт
р
линейно независимы, а значит, сами образуют базис векторного
пространства V.
55

Определение. Пусть х = {х1,... ,хп) : U
система координат. Базис
_д_
дх1
д
4 дхт
регулярная
B.20)
называется локальным базисом системы координат х = (х1,... ,хп) в
точке р G U. Аналогично, репер
Р,
д
дхА
д
1 дх
п
р
называется локальным репером системы координат х = (гя1,... ,хп) в
точке р. Ш
Оказывается, что набор дифференциалов координатных функций
{(dx1)p,...,(dxn)p}
B.21)
является базисом пространства V*, двойственным к базису B.20)
пространства V.
Ч Достаточно заметить, что в силу B.4) и B.15)
(dxi)
_д_
р| дх1
Pj
_д_
дх{
И - (ш\ - *
С помощью B.4) и B.15) также легко доказать, что разложение
дифференциала дифференцируемой в точке р G U функции / : U —> R
по базисным 1-формам (dx1)p ,..., (dxn)p имеет вид
(df)P =
дх1
(dx%
B.22)
(df)
_д_
д
дх1
ш =
дх1
Отметим также следующую простую формулу для вычисления
производной по направлению в координатах, а именно, для дифференцируемой
в точке р функции F справедливо
•- д
v
dxi
* vP(F) =
дх1
B.23)
\р \ /р
Ч Это прямое следствие свойств B.5), B.6) и B.15). >
56

Соотношение B.19) говорит о том, что матрицей перехода от
локального базиса
{(д/дхг)р (д/дхп)р} системы координат (х1 , хп)
к локальному базису
{(д/дх г)р ,..., (д/дх п)р} системы координат {х 1,..., х п)
служит матрица Якоби (дх/дх')р .
Соотношения B.19) удобно запоминать и записывать в виде одного
матричного равенства (мнемоническое правило):
д д дх , Л.
B.24)
дх' дх дх''
в котором
д = (д/дх'1,..., д/дх'% ^- = (д/дх1,..., д/дхп),
дх' ' дх
дх
дх1 /дх 1 ... дх1 /дх п
Г/Т* 1 / /
дхп/дх г ... дхп/дх7
Из B.19) немедленно следует закон преобразования двойственных
базисов:
(дтк\
Я^Г )¦(<**%- к = 1,п, B.25)
который можно записать в матричном виде как
дх
dx' = — • dx, B.26)
ox
где
dx' =
( dx'1 \ / dxx\ / dx'l/dxl ... dx'l/dxn
: , dx = I : I , —— = I
у dxn J \dxn J \ dx'n/dxl ... dx'n/dxn
Примеры
1. Локальным базисом аффинной системы координат (х1,..., х71),
определяемой репером {о, ei,..., еп}, в любой точке является один и
тот же базис {ei,..., еп}, см. B.18) (напротив, локальный базис
криволинейной системы координат меняется, вообще говоря, от точки к точке).
57

Следовательно, для любой точки р G V
(dxl)p = е\ г = 1,п,
где {е1 еп} — базис, дуальный к {ei,.... еп}.
2. Для полярных координат (г, р) (радиус-вектор г откладываем
от полюса)
г (г, р) = х{г, р) • ei + у (г, р) • е2 = г cos ср • e\-\-r simp • в2,
где ei = <9/<9i? и е2 = д/ду — единичные орты декартовой системы
координат (х,у). Локальный базис полярных координат в произвольной
точке с координатами (г. р) таков:
д дг . х • д/дх + у • <9/<9у . л. ч
_ = _ = COS(,.ei + smV-e2 = ^_ . B.27)
^ = ? = r'(-SinV'ei+COS^'e2) = -J/'^ + 3;'|- B'28)
Рис. 3. Локальный репер {р, {д/дг)р. (д/др)р} полярной
системы координат
Заметим, что скалярное произведение векторов д/дт и д/др всюду
равно нулю. т. е. локальный базис полярных координат является
ортогональным в каждой точке (хотя и не ортонормированным).
Разложим теперь двойственный базис {dr.dp} по базису {dx,dy}.
г. х2 = р) и (х1 = х.х2 = у),
_ / дх/дг дх/др \ f dx\ _
\ ду/дт ду/др ) \ dy J
_ ( cos p sin p \ ( dx\
\ — sin p/r cos p/r J \ dy J
С помощью B.26), в котором {х 1
находим
( dr \ _ f дг/дх дг/ду \ / dx
\dp ) \ др/дх др/ду ) \ dy
( cos p —r sin p \ / (irr
I sin (/9 г cos (/9 у I dy
58

Таким образом,
dr = cos ip dx + sin ip dy
xdx + ydy
dip =
л/х2 + у2
— sin ip dx + cos ip dy —y dx + xdy
r
x2 + yJ
B.29)
B.30)
Обратим внимание на следующий интересный факт: несмотря на то
что полярные координаты определены на всей плоскости за исключением
полярной полуоси, векторы д/дг, д/д<р и 1-формы dr, dip определены,
как это видно из B.27) - B.30), на более широком множестве — на
плоскости без полюса. ?
Определение. Регулярные координаты в евклидовом пространстве
называются ортогональными, если локальный базис этих координат
является ортогональным в каждой точке их области определения. ¦
Простейший пример ортогональных криволинейных координат —
полярные координаты, см. предыдущий пример и рис. 3. Сферические и
цилиндрические координаты также являются ортогональными
(проверку оставляем читателю в качестве упражнения).
2.2.4 Матрица Якоби как матрица дифференциала
Пусть V\ и V<i конечномерные вещественные аффинные
пространства, U С V\ — открытое множество.
Рассмотрим дифференцируемое в точке р G U отображение
F.U
v2.
Пусть х = (ж1 /) — регулярные координаты на множестве ?Л
у = (у1,..., ут) — регулярные координаты на некотором открытом
множестве V D F(U).
Оказывается, что матрица линейного оператора (dF)p в базисах
д
дх1
д
1 дх71
д
и
р
ду1
д
F(p)
4 • • • ' Qym
F(p)
это якобиева матрица
( ду о F
\ дх
dyxoF
дх}
dyrnoF
дх1
dyxoF
дхп
dymoF
дхп ' р
59

т. е.
т
к=\
'дук oF\ д
ч <9хг' )р dyh
1,71.
B.31)
F(p)
-4 В самом деле. С одной стороны, в силу B.4) и B.15)
(dF\
д
дх1
д
дх1
(F)
Р
дх1
С другой стороны, в силу B.15) и B.3)
'dykoF^
дх1
d_
~dt
t=o
(ykoF)(Cl(t))
d_
~dt
idyk)F(p)
d_
~dt
t=o
ук(г(Ф))) =
F(c, (*)))=№/%„) (g
где q — i-я координатная кривая системы координат (гя1,..., ггп),
проходящая через точку р.
Таким образом, (дук о F/dxl)p есть fc-я координата вектора
(dF/dxl)p в локальном базисе {{д/ду^р^,..., {d/dym)F^}. >
2.2.5 Ориентация регулярной системы координат
Пусть V — ориентированное вещественное n-мерное аффинное
пространство. Ориентированность V означает, что в ассоциированном с V
векторном пространстве V зафиксирована некоторая ориентация О.
Определение. Ориентирующей или положительно
ориентированной системой координат в ориентированном аффинном пространстве V
называется такая регулярная система координат х : U —>
для которой выполняется следующее условие: ориентация
ассоциированного с V векторного пространства V, задаваемая локальным базисом
д
дхА
д
щ дх
п
р.
в каждой точке р G U совпадает с D.
Если же наоборот, ориентация, задаваемая локальным базисом в
каждой точке p^U противоположна D, то система координат называется
отрицательно ориентированной. ¦
Несложно доказывается следующее
60

Предложение 2.1 Если область определения U регулярной,
класса гладкости С1, системы координат х = (х1,..., xn) : U —> MJ1
связна, то эта система координат либо положительно ориентирована, либо
отрицательно ориентирована.
Ч Пусть у = (у1...., уп) — аффинная система координат,
соответствующая реперу {о, ei,..., еп} с положительно ориентированным базисом
{ei,..., еп}. Рассмотрим непрерывную функцию
J : U —> R, J{p) = det (p-J .
Эта функция нигде не обращается в ноль, так как матрица перехода от
одного базиса к другому всегда невырождена.
Зафиксируем точку ро G U произвольно. Мы знаем, что два базиса
задают одинаковую ориентацию, если и только если определитель
матрицы перехода от одного из этих базисов к другому положителен. Поэтому,
J(Po) > 0, если базис {(д/дх1)^}'^ положительно ориентирован, и
J(po) < 0, если базис {(д/дхг)Ро}™=1 отрицательно ориентирован.
Рассмотрим любую точку р G U. Так как U связно, то точки р$ и
р можно соединить непрерывной кривой, целиком лежащей в U, т. е.
существует непрерывная функция с : [а, Ь] —> V\ такая, что
c{t) G U при a <t <Ъ и с(а) = ро, с{Ь) = р.
Теперь ясно, что знак J(p) совпадает со знаком J(po). В самом деле,
если бы это было не так, то непрерывная функция Joe принимала бы
на концах отрезка [а, Ь] значения разных знаков. Согласно известной
теореме анализа отсюда следовало бы, что J(c(t*)) = 0 в некоторой
точке а < ?* < Ь. Но последнее противоречит тому, что c(t*) ? U и
J^O на [/.
Таким образом, функция J сохраняет знак на множестве G, т. е.
локальный базис {(д/дхг)р}^=1 задаёт в каждой точке р G U одну и
ту же ориентацию. >
Примеры. Во всех примерах считаем, что декартовы координаты
задают положительную ориентацию.
1. Полярные координаты {х1 = г, х2 = ф) (связанные с декартовыми
обычными соотношениями) являются ориентирующими. Это ясно и
геометрически, см. рис. 3: кратчайший поворот от д/дт к д/др
осуществляется в том же направлении что и кратчайший поворот от д/дх к
61

д/ду. Аналитическое доказательство тоже элементарно:
= г > 0.
дх/дг dx/dip
ду/дг ду/д(р
2. Сферические координаты (х = г, х = 0, х6 = if),
х = г • sin в • cos (/?, у = г • sin в • sin (р, х = г • cos 0,
Г > 0, 0 < в < 7Г, 0 < (/? < 27Г,
являются ориентирующими, ибо
дх/дг дх/дв дх/д(р
ду/дг ду/дв ду/д(р
dz/dr dz/дв dz/d(p
г2 sin в > 0.
Подчеркнем лишний раз, что свойство системы координат быть
ориентирующей зависит от порядка нумерации координат: если
перенумеровать координаты с помощью нечетной перестановки, то эти координаты
станут задавать противоположную к исходной ориентацию. Так,
например, системы координат {х1 = г, х2 = в. х3 = (р) и {х1 = г, х2 = (р. х3 =
в) задают противоположные ориентации, хотя геометрический смысл
величин г,6,(р — один и тот же в обоих случаях. ?
2.3 Векторные и тензорные поля
Пусть V — вещественное аффинное пространство размерности п,
ассоциированное с векторным пространством V.
2.3.1 Векторные поля
Определение. Векторное поле v на на множестве U С V это
отображение
U
V, р
<Р 5
сопоставляющее каждой точке р G U некоторый вектор vp G V.
Наряду с обозначением vp для значения векторного поля v в точке р
употребляют также обозначения v|p, (v)p и v(p). ¦
Векторные поля можно складывать и умножать их на R-значные
функции. Эти операции совершаются поточечно, т. е.
(v + w)p = vp + wp,
(/•v)p = /(p)-vp.
62

Простейший пример векторного поля — поле д/дхг г-го базисного
вектора, г = 1,п, какой-либо регулярной системы координат
х= (х1 хп) :U —>Rn:
д д
U —> V, р ^
dxi дх1
Всякое векторное поле v на U можно разложить по этим базисным
векторным полям:
V = V
дхг
с коэффициентами разложения v\ зависящими (вообще говоря) от
точки р G U:
дх{
1
р
peU.
Определение. Функции уг,...,уп : U —> R называются
компонентами (или координатами) векторного поля, v в системе координат
(я1,... ,хп). Ш
Если на открытом множестве U заданы две регулярные системы
координат х = (гг1,..., хп) и х' = (х х,... , х п), то всякое векторное
поле v можно разложить как по векторным полям {д/дх1,..., д/дхп}
так и по векторным полям {д/дх \..., д/дх "}:
д ,к д
V1 -г— = V
дхг дх'к
Поскольку матрица перехода от базиса {д/дхг}™=1 к базису {д/дхк}^=1
есть матрица Якоби дх/дх1\ см. B.19), то коэффициенты разложения
V1 и v к связаны между собой равенствами
vk = -^r-v\ fc = M, B.32)
выполняющимися в каждой точке р ? U.
Определение. Векторное поле v на открытом множестве U
называется гладким, класса гладкости Сг, если найдётся регулярная,
класса гладкости С^1* система координат х : U —> Мп. такая, что
компоненты vl поля v в этой системе координат являются г раз
непрерывно-дифференцируемыми функциями. ¦ В силу соотношения
B.32) это определение корректно, т. е. не зависит от выбора регулярных
координат указанного класса гладкости.
63

Множество всех гладких, класса гладкости Сг', векторных полей на
открытом множестве U аффинного пространства V принято
обозначать знаком Xr(U). Вместо X°°(U) обычно пишут X(U). Часто
бывает удобно понимать под X(V) множество всех гладких векторных
полей, заданных на всевозможных открытых подмножествах U С V (из
контекста всегда будет ясно, что имеется в виду).
Определение. Пусть F — дифференцируемая в окрестности точки
р функция, v — векторное поле, заданное в некоторой окрестности
точки р. Производная функции F по направлению векторного поля
v — это функция, обозначаемая через v(F) и определяемая формулой
v(F)(p) = vp(F). ¦
Из B.23) следует, что производная по направлению вычисляется в
произвольных регулярных координатах х = (х1 хп) по формуле
BF г)
v(F) = ^>. rflev = ,'^-. B.33)
2.3.2 Тензорные поля произвольной структуры
Определение. Тензорное поле Т, к раз ковариантное и ? раз
контравариантное (или, короче, (?;, ^)-тензорное поле) на множестве
U С V — это отображение
Г : Е/— T?(V), p^Tp,
сопоставляющее каждой точке р G U некоторый (?;, ?)-тензор
Тр е T|(V). Наряду с обозначением Тр употребляют также
обозначения Т\р и (Т)р. ¦
Операции тензорной алгебры совершаются над тензорными полями
поточечно. Например,
(Т + R)p =
(T®S)P =
(trjT)p
К Л rj)p -
1р -\- ftp ,
¦Lp уу Ьр *
— trb T
= ?рЛГ]р,
\*А)р = *Ар,
(/ • т)р =
f(p) • Тр,
и т. п. Здесь Т, R и S — тензорные поля (разумеется, тензорные
поля Т и R имеют одинаковую структуру), ? и г] — ковариантные
64

тензорные поля, А — поле внешних ^-форм или ^-векторов, / —
Позначная функция (т. е. (О, 0)-тензорное поле).
Простейший пример поля 1-форм, т. е. A, 0)-тензорного поля, — поле
i-ro базисного ковектора dx1 регулярной системы координат
х = (х\...,хп) :U—>Rn:
dx1 :U —> V* = T?(V), p ^ (dx% .
Другим примером тензорных полей служат базисные (к, ^)-тензорные
поля:
dxjl (g) ... (g) dxjk
д
д
дхч "су "су дхч
Всякое (А;, ?)-тензорное поле Т на U можно разложить по этим
базисным тензорным полям:
д Л Л д
. rtr,-n (V) (V) ri.TJk (V) -
'31—Зк
Т = TlH1 - dxh <g) ... <g)dxjk
dxix
dx1*
с коэффициентами разложения Т?1'"?*, зависящими (вообще говоря) от
точки р ? U:
тР = ^>) ¦ №% ® • • • ® (d*J% ®
Определение. Функции Т^'"^ : U
д
dxLl
д
дх1*
тЫ(р) = тр
д
дх^1
д
р
дх3к
;(dx% (dx%
р
называются компонентами тензорного поля Т в регулярной системе
координат х = (х1,..., хп) : U
-+W1.
При замене регулярных координат х3' = х3{х1 хп). j = l.n.
компоненты тензорного поля
д
преобразуются по закону
fmi...me = &??_ . dxh dx'mi
Sl-Sfe
д
дх{*
д
Qx'me
dx'Sl
dx'Sk dx{l
ft 'mi
Q%ie h—jk
B.34)
65

ибо матрица перехода от базиса { д/дхг }f=1 к базису { д/дхJ }™=1 есть
матрица Якоби дх/дх'.
Частными случаями формулы B.34) являются закон преобразования
компонент векторного поля B.32) и закон преобразования компонент ко-
векторного поля (т. е. поля 1-форм):
uj = Ui • dx1 = u'k- dxk =^> urk = —^ • Ui. B.35)
Определение. Тензорное поле Т на открытом множестве U
называется гладким, класса гладкости Ст', если найдётся регулярная,
класса гладкости Cr+1, система координат х : U —> Rn, такая, что
компоненты Т" поля Т в этой системе координат являются г раз
непрерывно-дифференцируемыми функциями. ¦ В силу соотношения
B.34) это определение корректно, т. е. не зависит от выбора регулярных
координат указанного класса гладкости.
Множество всех гладких, к раз ковариантных и ? раз контра-
вариантных, тензорных полей на открытом множестве U аффинного
пространства V принято обозначать знаком T|(J7). Класс гладкости
Сг в этом обозначении не учтён, но он, как правило, бывает ясен из
контекста. Часто бывает удобно обозначать через T^iV) множество
всех гладких векторных полей, заданных на всевозможных открытых
подмножествах U С V (из контекста всегда будет ясно, что имеется в
виду).
Для множеств T\{U) и T^(J7) есть особенные обозначения:
X(U) = %(и) (ибо Tj(V) ^ V), X\U) = T?(U).
Всякое поле 1-форм и естественно интерпретировать как
отображение, переводящее векторные поля v в R-значные функции cj(v),
определяемые правилом
a;(v)(p) =up(vp).
Ясно, что это отображение обладает свойствами (v и w — векторные
поля / — R-значная функция):
uj{y + w) = cj(v) + cj(w), B.36)
w(/-v) = /-w(v). B.37)
Аналогично, мы будем интерпретировать [к, ?)-тензорное поле Т как
отображение, переводящее наборы (vi,..., V&; cj1, ..., о/) из к
векторных и ? ковекторных полей в R-значные функции
66

T(vi,..., V&; о;1, ..., u/), определяемые правилом
T(vb ..., vk; a;1, ..., a/)(p) = Tp(vi\p ,..., vk\p ; uj\ ,..., o/|p).
Ясно, что такие отображения удовлетворяют условиям B.36) и B.37) по
каждому своему аргументу.
Важным примером поля 1-форм является дифференциал df гладкой
R-значной функции /: р и (df)p. Разложение df по базисным 1-
формам dx1 dxn регулярных координат (х1 хп) имеет вид,
см. B.22),
df = ^--dx\ B.38)
Упражнение. Проверьте следующие свойства дифференциала:
d{f + cp) = df + dcp, B.39)
(f-<p) = df.<p + f.dtp, B.40)
d(uof) = (u'of)-df. B.41)
Здесь / : U —> R и tp : U —> R — произвольные гладкие функции,
и : J —> R — гладкая функция, где J С R — открытое множество,
содержащее в себе множество f(U), и' — производная функции и.
2.3.3 Дифференциальные формы
Определение. Дифференциальной к-формой на открытом
множестве U называется тензорное поле A ? T^(J7), удовлетворяющее
условию
У peU Ape Ak(V). Ш
Проще говоря, чтобы задать дифференциальную fc-форму на U надо
для каждой точки р ? U задать внешнюю fc-форму на векторном
пространстве V так, чтобы форма гладко зависела от точки.
Множество всех дифференциальных fc-форм на открытом множестве
U принято обозначать знаком Ak(U). В частности, Ai(J7) = T^(J7) =
?*(?/).
Если х = (х1,..., хп) : U —> М71 — регулярная система координат на
G, то любую дифференциальную fc-форму А ? Л&({7) на множестве
U можно представить в виде
А = ^ Aii...ik dxh Л ... Л dxh,
Zi<...<Zfe
67

где дифференциальная 1-форма dxl — это дифференциал координатной
функции хг, и
д_ _д_
дхч ' ' дхч
^il...i/е — А [ ^ . 5 • • ' 5 0_„\ 1 5 1Ъ ' ' ' 5 Ък ~ 1? П*
2.3.4 Метрический тензор и форма объёма
в криволинейных координатах
Пусть Р — вещественное аффинное пространство размерности п,
ассоциированное с векторным пространством V, g — метрический тензор
на V, Q — форма объёма на V. Мы можем рассматривать g и Q
как тензорные поля на ?: в каждой точке они принимают одно и то
же значение. Если х = (гя1,..., хп) — регулярная система координат на
G, то тензорные поля g и Q можно разложить на U по базисным
тензорным полям этих координат:
g = gik dx1 (g) dxk4 где gik = д(д/дх\ д/дхк),
VL = ujdxl Л ... Л dxn, где u = П(д/дх\ ..., д/дхп).
В частности, если V ориентировано и Q = Qg — метрическая форма
обьёма, то
Qg = ±^\dxx Л ... Л dxn, где 7 = det [fe)^=i]
(знак " + " соответствует положительно ориентированным координатам,
знак " —" — отрицательно ориентированным).
Если система координат (гя1,..., хп) криволинейна, то, несмотря на
то что тензорные поля g и Q постоянны, их компоненты разложения
gik и uj будут меняться (вообще говоря) от точки к точке, как и сам
локальный базис {д/дхг}™=1, т. е. будут функциями точки (или, если
угодно, координат точки).
Пример. Пусть g =(•„•) — евклидов метрический тензор на
двумерном аффинном пространстве (плоскости), Q = Qy — метрическая
форма объёма, (х1,х2) = {г,ф) — полярные координаты. Используя
полученные ранее формулы B.27), B.28) находим
0п = /- -\ = i
\дг ' дт J
/д д\ п
9i2 = 92i = {^- ,^-) =0.
\ог д(р/
68

Таким образом,
Далее,
ио
д = dr &)dr + r2 dp® dip.
011 012
021 022
= Г
Qg = г dr Л dip. ?
2.3.5 Градиент гладкой функции
Пусть Р — вещественное аффинное пространство размерности п,
ассоциированное с векторным пространством V, д — метрический тензор
на V, U С V — открытое множество.
Определение. Градиент гладкой функции / : U —> R это
векторное поле grad/, ассоциированное с её дифференциалом df. Ш
Из B.38) следует, что разложение векторного поля grad/ по
базисным векторным полям {д/дхг}?=1 регулярных координат [х1 хп)
имеет вид
'* 9f\ д
grad/
9
дхк) дх1
B.43)
Лк
где g"v — элементы матрицы, обратной к матрице Грама (ргй)Гй=1 •
Пример. Продолжим предыдущий пример с полярными
координатами, см. B.42). Имеем
011 912
921 922
Д1
12
9 9
21 22
9 9
1 О
О г~'
Поэтому разложение градиента произвольной гладкой функции / по
локальному базису {д/дг, д/д<р} полярных координат имеет вид
grad/ = ^ —+ -^ —
дг дг г2 д(р д(р
П
Упражнение. Проверьте следующие свойства градиента:
grad (/ + (/?)= grad / + grad (/?,
grad (/•</?) = grad / • (p + f • grad (p,
(grad/)(</?) = (grad(p){f) = #(grad/, grade/?),
grad (uof) = (и' о f) • grad /.
R и <p : U
R
B.44)
B.45)
B.46)
B.47)
произвольные гладкие функции,
Здесь f : U -
и : J —> R — гладкая функция, где J С R — открытое множество,
содержащее в себе множество f(U), и' — производная функции и.
69

2.4 Приложение 2. Уравнение динамики точки
в криволинейных координатах
2.4.1 Скорость и ускорение точки
в криволинейных координатах
Пусть Еп — евклидово (точечное) пространство размерности п
(п = 2 или 3), метрический тензор будем обозначать угловыми
скобками: (•,•).
Пусть с : R i—> Еп — гладкая (класса гладкости С/', г > 2)
параметризованная кривая, ? = (гя1,... щхп) : G —> R77 — регулярная
(класса гладкости Cr\ r > 2) система координат на открытом
множестве U С Еп, содержащем носитель кривой с, т. е. { c{t) | ? G М} С G.
Через г(р) обозначаем радиус-вектор точки р G Еп, см. B.16).
Мы будем интерпретировать кривую с как закон движения точки
в пространстве En, c{t) — положение точки в момент времени ?, и
использовать принятые в механике обозначения и терминологию:
• производную по t обозначаем точкой сверху,
• v(t) = г(?) = — [ г(с(?)) ] — вектор скорости в момент времени ?,
• w(t) = r(?) = -—^ [ r(c(t)) ] — вектор ускорения в момент времени
« | [ A*»} и #w а |2
• ±г(?) = — [ xl(c(t)) ] и йг(?) = —^ [ 1?г(с(?)) ] — обобщённые
скорости и ускорения в момент времени ?,
• Т(ж, ?) = Т^1,..., хп, х1,..., i:n) = - gik{x) x1 x — кинетическая
энергия,
здесь gik = (^, ^) и все 2п аргументов (ж1 ^i1 i")
функции Т считаются независимыми переменными.
Разложим по векторам локального базиса рассматриваемой системы
координат (х1 хп) вектор скорости точки, движущейся по кривой
с. Для этого продифференцируем r(c(?)) no t как сложную функцию:
дг dxl
~ dxj ' dt
и запишем результат с учётом B.17) и с помощью введённых
обозначений:
• д
v = хг • —- . B.48)
дхг v ;
70

Поясним теперь, почему функция Т называется "кинетической
энергией". В точке c(t) кривой с с учётом B.48) имеем
T(x(t),x(t)) = \ gik(x(t)) ¦ x'(t) ¦ xk(i) = \ <v(t), v(t)) = [^f-
(v2 — скалярный квадрат v).
Таким образом, T = T(x,x) — кинетическая энергия материальной
точки массы m = 1, представленная как функция координат точки и
скоростей их изменения.
Обозначим через Wk{t) ковариантные компоненты вектора ускорения
w(?) в локальном базисе { (д/дхг)с^ }™=1 . Оказывается, что Wk можно
вычислить по формуле
•< Доказательство заключается в прямой проверке:
1 , , 1 / дг .; дг
Т = - (v. V) = - ( —- х\ —— х3).
2х'' 2 \дх1 ' дхз
дТ д 1 / дг . • дг .л 1 / дг дг -\ 1 / дг . • <9г
- ж , т^- а: ) = - ( тг~г , тт— ^ ) + - ( тг~ х
дхк дхк 2 \дх1 ' cte-?' / 2 \ctefc ' сЫ / 2 \ctez ' ftr^
\&Efe ' сЫ / \дхк ' /
d <9Т d / дг \ I д2г ui \ I дг \
Jt^ = Jt\d^' / = \дх*дхкХ ' / + \&Ё*' / =
9г
~?
X ,V)-\-Wk,
дТ _ д 1 / дг . • <9г .д _ 1 / <92r #i <9г
дхк дхк 2 \<9:сг ' dxi I 2 \дхкдхг ' <9з^
1 / <9г .¦ д2г .д _ / <92г . • <9г .д _ / <92r #i \
2 \9жг dxkdxi I \дхкдхг dxi I \дхкдхг I
d дТ дТ _ i д2г . ¦ \ / <92г .,¦ \_
dt дхк дхк \дх1дхк ' / \дхкдхг ' /
Мы воспользовались здесь разложением B.48) вектора скорости,
правилом Лейбница для дифференцирования скалярного произведения,
симметричностью скалярного произведения и независимостью от
порядка дифференцирования смешанных частных производных. >
71

Пример. Рассмотрим полярные координаты на плоскости: х1 = г,
9
X = if.
Разложение вектора скорости B.48) по локальному базису полярных
координат {д/дт, д/д(р} имеет вид
_ .д_ . д_
дг dip
Используя B.42), записываем кинетическую энергию в полярных
координатах:
T(r,<p)r,V) = -^-r + — V) = -(r + r V).
По формуле B.49) вычисляем ковариантные компоненты ускорения
W\ = wr и W2 = w^:
d дТ дТ d , ч о о
d дТ дТ d
Wu
= — (г2ф) = г2 ф -\-2rr ф.
Контравариантные компоненты ускорения можно получить из кова-
риантных операцией поднятия индекса:
WJ " V s21 s22 Д «* J '
\ r
так что
•2ч ^ Л. 2 . Л 0
w=(r-r^)-+ ^ + -ry,j_. D
2.4.2 Уравнение Ньютона в криволинейных координатах
(уравнения Лагранжа)
В рамках классической механики движение материальной точки
массы m в евклидовом пространстве Еп размерности п (п = 1,2,3)
описывается следующим векторным дифференциальным уравнением
И. Ньютона:
rar = F, B.50)
72

где г — радиус-вектор точки, г — ее ускорение, F = F(r, r, t) — внешнее
силовое поле.
Пусть [х1 хп) — регулярная система координат на открытом
множестве U С Еп , {д/дх1,..., д/дхп} — локальный базис этой системы
координат, Т — кинетическая энергия,
Т{х,х) = -дгк{х)х х , где p<fc = ^—,—^,
F1,..., Fn и F\,..., Fn — соответственно контравариантные и ковари-
антные компоненты F в базисе {д/дх1,..., д/дхп}, т. е.
* д _ Ы д , , ™ д
F = FK -— = FL —- + ... + Fr
дхк дх1 дхп '
(в механике Fk называют обобщёнными силами).
Из B.49) следует, что проекция mwk вектора mw = mr на
базисный вектор д/дхк вычисляется по формуле
_ d дТ дТ
dt дхк дхк
(ибо m = const выносится за знак производных). Поэтому уравнение
Ньютона B.50) в ковариантных компонентах записывается следующим
образом:
В механике уравнения B.51) принято называть уравнениями Лаг-
ранэюа второго рода.
В значительной части механических задач силовое поле F является
потенциальным, т. е.
а) F не зависит от времени и скорости точки:
F = F(r) или, что то же самое, F = F^1,..., хп);
б) существует гладкая R-значная функция V (называемая
потенциальной энергией), такая, что
дУ
F = -gradV ^=> irfc = _ к = 1,п.
73

В этом случае система уравнений B.51) может быть представлена в виде
d dL 3L ,
= 0, к = 1,п, B.52)
dt дхк дхк
где L — т. н. функция Лагранжа: L{x,x) = Т(х,х) — V{x).
d dL dl±_ d дТ дТ_ dV _ d дТ дТ
dt dxk dxk dt dxk dxk dxk dt dxk dxk
В механике уравнения B.52) принято называть уравнениями
Лагранжа первого рода.
Упражнение. Запишите уравнения Лагранжа B.51) и B.52) в
полярных координатах на плоскости для случая, когда
F(r) = — -р-рт- г, 7 = const
(ньютоновское гравитационное поле).
3 ВНЕШНЕЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ
В этой главе все системы координат предполагаются регулярными
класса гладкости по-крайней мере С2. Функции и тензорные поля также
предполагаются гладкими класса гладкости по-крайней мере С2.
3.1 Определение и свойства внешнего дифференциала
Пусть U — открытое множество в n-мерном вещественном
аффинном пространстве, Р G Л&({7) — дифференциальная fc-форма на U.
Пусть, далее, х = (х1,..., хп) — регулярная в U система координат
и
р= Y1 р^-**dxilЛ• • •лdxik на и-
ii<...<ik
Определение. Внешним дифференциалом (или внешней
производной) дифференциальной fc-формы Р называется дифференциальная
(к + 1)-форма dP, определяемая равенством
dP = dl Y^ Ph..Akdxh A...Adxik\ =
\ii<...<ik /
= Y {dPi^ijAdx*1 A...Adxik = C.1)
ii<...<ik
BP
= V '1"л* dxa Adxh A...Adxik.
дха
11<...<гк
74

Замечание. Удобно определить внешний дифференциал 0-формы, т. е.
гладкой функции / : U —> R, как дифференциальную 1-форму
df
Определение C.1), как мы скоро убедимся, не зависит, на самом деле,
от выбора координат (х1 хп).
Отображение d, переводящее согласно C.1) дифференциальные
формы в дифференциальные формы на единицу большей степени,
называется оператором внешнего дифференцирования.
Нетрудно проверить, что оператор внешнего дифференцирования
линеен, т. е.
d(P + Q)=dP + dQ, C.2)
d(c-P) = c-dP C.3)
для любых дифференциальных fc-форм Р и Q и для любого cGl.
М В самом деле,
(Р + Q)h...ik = Ph...ik + Qh...ik, поэтому
d[(P + Q)i1..Ak] = dPil..Ak+dQilm„
ч
и
d{P + Q)= Yl (dPi1^k^dQilmmAk)AdxilA...Adxik =
ii<...<ik
= ^ [(dPilmmmik) A dxh A ... Л dxik + (dQilmmmik) A dxh A ... Л dxik] =
ii<...<ik
= Y (dP4..Ak)AdxilA...Adxik+ ^ (dQh...ik) ^dxh A ... Adxh =
ii<...<ik ii<...<ik
= dP + dQ.
Свойство C.3) проверяется аналогично. >
Теорема 3.1 Существует единственный линейный оператор d7
переводящий дифференциальные формы в дифференциальные формы на
единицу большей степени, для которого выполняются следующие
тождества:
d (P A Q) = dP A Q + (-l)desp • Р A dQ, C.4)
d(dP) = 0. C.5)
При этом для любых регулярных координат х = (х1,..., хп)
справедливо равенство C.1).
75

Ч Докажем существование оператора d, обладающего свойствами C.2),
C.3) и C.4), C.5). Для этого зафиксируем регулярную систему
координат х = (х1 хп) и определим d формулой C.1).
Линейность, т. е. свойства C.2) и C.3), уже доказана. Докажем
"правило Лейбница" C.4).
Пусть degP = к, degQ = L Рассмотрим сначала частный случай,
когда формы Р и Q имеют следующий простейший вид:
Р = f . dxh A ... Л dxlK Q = (p- dxjl Л ... Л dxJ?.
где f,ip:U —> R — гладкие функции.
Если среди индексов %\,..., i]^, ji ,..., ji есть хотя бы один
повторяющийся (обозначим его, скажем, через а), то множитель dxa
встречается, по крайней мере, дважды, как в произведении Р A Q, так и в
произведениях dP A Q и Р A dQ. Следовательно, в этом случае обе
части равенства C.4) равны нулю и доказывать нечего.
Поэтому, считаем далее, что среди индексов %\,..., г^ ,ji,..., ji нет
одинаковых. Упорядочим эти индексы по возрастанию и обозначим
результат упорядочивания через (а\,..., otk+i)- Тогда мы можем записать
Рлд = /-ip-dx4 Л.. .Adx4 AdxJ1 Л.. .Adxj? = s-f'ip-dxai Л.. .Adxak+?,
где
( к ••• ч h • • • Ji \
s = sign
V^l • • • ак ®к+1 • • • OLk+l J
Используя формулу C.1), а также формулу Лейбница для вычисления
дифференциала произведения двух функций, получим
d(PAQ) = s-d(f-(p)A dxai A ... Л dxak+l =
= s-(df чр + f -dip) A dxa' Л ... Л dxak+? =
= s • (df • ф) A dxai A ... Л dxak+? + s • (/ • dip) A dxai A ... Л dxak+? =
= (df A dxh A ... Л dxik) A (ip • dxjl A ... Л dxk) +
+ / • dip A dxlA A ... Л dxik A dxjl A ... Л dxJ? = dP A Q +
+ (-1)* ¦ / • dxh A ... Л dxik A dip A dxjl A ... Л dxJ? =
= dPAQ + (-lf.PAdQ
(множитель (—1)к появился из-за того, что мы переставили множитель
dip с к множителями dx4,..., dxlk).
Итак, свойство C.4) доказано для дифференциальных форм
указанного выше простейшего вида. Рассмотрим теперь общий случай.
76

Пусть дифференциальные формы Р G Л^(С7) и Q ? Л/>([/) имеют
вид
Р = ^ Дь..4 cte*1 Л ... Л dxik. Q = ^2 Qh-н dxh Л ... Л dxk.
H<...<ik ji<-<je
Введём для простоты записей следующие обозначения:
/ = (ii,..., ik), 1 < %х < ... < ik < п ,
J=(h,---,3e), l<ji<---<jt<n,
Pi = Рч..лк dxh Л ... Л dxik, Qj = Qh...jt dxjl Л ... Л d^
(здесь по повторяющимся индексам суммирования нет), с помощью
которых запишем
1 j
(суммирование производится по всевозможным наборам индексов /, J
указанного вида).
Благодаря свойству дистрибутивности внешнего умножения
относительно сложения, мы вправе раскрыть скобки в произведении Р A Q:
PAQ = (Е pi) Л (Е Qj) = ЕЕ pi^Qj-
\ I ' \ 3 ' I J
Продифференцируем последнее равенство и воспользуемся свойством
C.2), а также справедливостью свойства C.4) для произведений PiAQj :
d(PAQ) = d(j2J2piAQj) =EEd(p*A(w =
V 7 J / 7 J
= EE (dpiAQj + (-i)k-PiAdQj) =
1 j
7 J 7 J
= (E ^) д (E <ь) + (-Dfc(E ^) л (Е *ь) =
= dPAQ + (-lfPAdQ.
Перейдём к доказательству свойства C.5). Для 0-форм, т. е. гладких
77

функций / : U —> R, оно проверяется легко:
df - /df\ ¦ d2f
df = 7—- dxJ, ddf = d 7—- Л dx3 = . dx1 A dxJ =
oxJ \oxJ J дхгдх3
= V —-^— dx7 A dxj + V -—I— dxj A dx* =
^-^ oxloxJ ^-^ oxWx1
Kj Kj
= У f^- - -М-)** Л dxJ = °-
*-^ \охгохэ oxWx1 J
Kj
Общий случай легко сводится к этому. В самом деле, согласно
определению C.1) и в силу свойства аддитивности C.2),
ddl ^ ph...ik dxh Л ... Л dxh J =
Vi<...<zfe /
dl Y^ (dPi1...ih)hdxilA.
Vi<...<ifc
= ^2 A (dPilmmm ik) A dx4 A ... Л dx
ii<...<ik
Применяя последовательно "правило Лейбница" C.4) к выражению
d\{dPh„Ak) A dxh А ... Л dxik
получим сумму из (?; +1) слагаемых, каждое из которых содержит либо
множитель ddPilmmmik, либо множитель вида ddx1.
Свойство C.5) полностью доказано.
Докажем теперь единственность оператора <i, обладающего
свойствами C.2) - C.5).
Пусть d — некоторый такой оператор. Пусть (х1,... ,хп) —
произвольная регулярная система координат и
Р = ^ РкяяЛк dxh А ... Л dxik.
гг<...<гк
В силу свойства C.2)
dP= ^2 d(PilmmAkdxh A...Adxik) .
ii<...<ik
а в силу свойства C.4)
d (Pix...ik dxh A ... Л dxik) = (dPh„Ak) A dxh A ... Л dxh +
+ слагаемые с множителями вида ddx1,
78

которые равны нулю в силу свойства C.5).
Таким образом, следствием свойств C.2) - C.5) является формула
C.1).
Заметим, что мы попутно доказали независимость правой части C.1)
от выбора координат гг1,... ,хп. В самом деле, если бы вычисления в
разных координатах приводили к разным результатам, то мы имели бы
два разных оператора <i, удовлетворяющих условиям C.2) - C.5). Но,
как мы только что выяснили, такой оператор единствен. >
Замечание. Для случая, когда Р = f — 0-форма, формула C.4)
принимает вид
d{f-Q) = dfAQ + f- dQ. C.6)
Строго говоря, для этого случая доказательство формулы C.4) нужно
проводить отдельно. Но это легко.
Упражнение 1. Выведите C.6) из C.1) и правила Лейбница
вычисления дифференциала произведения двух функций: d(f • tp) = df • ц>-\- f -dip,
(/,p: E/ — R).
Упражнение 2. Проверьте справедливость следующего обобщения
формулы C.4):
d(P1A...APm) =
= dP1 А Р2 А .. . Л Рт +
+ (-l)fcl • Р1 A dP2 А Р3 А ... Л Рт + C.7)
+ (_l)*i+*2 . pi д р2 д dp3 д р4 д д рт + +
+ (_1)fci+...+fcm-i . pi д д ргп-1 д dpm
где ki = degP\ г = l,m. Подсказка: наверное, легче всего провести
доказательство индукцией по т.
Теперь мы запишем правую часть C.1) в виде стандартного
разложения по базисным (к + 1)-формам dx^1 A ... Л dx^k+^. Это разложение
имеет вид
dP=dl Y, p4^kdx1'
Vti<...<afe
Л ... Л dxik =
fk+l dP \
= H [H (-1)m_1 J1-Jmd1^+l-Jk+1 dxh Л ... Л dx^\ C.8)
ji<-<jk+i \m=l /
•< Временно обозначим правую часть C.8) через 5Р и докажем, что
5Р = dP.
79

Рассмотрим сначала частный случай, когда дифференциальная к-
форма Р имеет вид
Р = f-dxai A...Adxa\ C.9)
где / : U —> R — гладкая функция и 1 < а\ < ... < а& < п. Иначе
говоря,
Р= Z) P^kdx4A...Adxl\
й<...<гк
где
| /, если (zi,..., ik) = (ai,..., afe),
О, в противном случае.
Проанализируем сумму в правой части равенства C.8). Те слагаемые,
для которых (ji:.... jm-ijm+u • • - jfe+i) 7^ (<*i а*), заведомо
равны нулю. Остальные слагаемые имеют вид
(-I)™ —— dxa' Л ... Л dxa™~' Л do*» Л dxa™ Л ... Л dxafc =
df
J dxJrn A dxa' Л ... Л dxak
дхэ*
(для того чтобы получить правую часть последнего равенства из левой,
мы переставили множитель dxJrn с каждым из т — 1 множителей
dxa\ ... ,dxCLm-1, что и дало (—IO77-1).
Далее, если jm G {ai,..., а&}3 то произведение dx^m AdxaiЛ.. .Adxak
равно нулю. Поэтому
5Р = Y^ -J- dxJ A dxai A ... Л dxak, Л = {1,..., n}\{^i,..., ак} .
Впрочем, последнее равенство останется верным, если к его правой части
прибавить заведомо нулевые слагаемые, так что
5Р = V -i d^' Л dxa' A ... Л 6feafc =
= ( V ^ ^ I Л dxai A ... Л rfrrafc =
= df A dxai A ... Л 6toafc = dP
(мы воспользовались дистрибутивностью внешнего умножения
относительно сложения).
80

Итак, равенство 5Р = dP доказано для дифференциальных форм
вида C.9). Общий случай легко свести к рассмотренному, если учесть
следующие два замечания. Во-первых, правая часть C.8) аддитивна по
Р: 5(P+Q) = 5(P)-\-5(Q) (ибо частная производная суммы равна сумме
частных производных, и внешнее умножение дистрибутивно
относительно сложения). Во-вторых, всякая дифференциальная форма является
суммой дифференциальных форм вида C.9). Таким образом,
5Р = б1 Y^ pii-kdxh A...Adxik
\ii<...<ik
= ^2 S (pii...ik dxh Л ... Л dxih) =
= Y d(Pil^ikdxil A...Adxik) =dP. >
ii<...<ik
ii<...<ik
Запишем некоторые частные случаи формулы C.8) (для
дифференциальных 1-форм и 2-форм):
d(P, da?) = Y, (Ш ~ Ш) ** Л Лг*. C.10)
i<3
\ дхг дхз
d I Y^ Рц dx% Л dxj
i<j<k x '
3.1.1 Пример: условия Коши-Римана
на языке внешнего дифференцирования
Рассмотрим плоскость С комплексного переменного z = х + гу как
двумерное вещественное аффинное пространство с координатами (х,у).
Комплексную дифференциальную fc-форму (к = 1,2) на С определим
как сумму
А + гВ,
в которой А и В — обычные вещественнозначные дифференциальные
fc-формы на С. Положим по определению
d(A + iB) = dA + idB.
81

Каждой функции / = и + iv комплексного переменного z = х + гу
(и = Re/, v = Im/) сопоставим дифференциальную 1-форму
/ • dz = (и + iv) • (dx + idy).
Вычислим внешний дифференциал этой дифференциальной формы
(разумеется, функцию / мы считаем R-дифференцируемой, т. е.
функции и(х,у) и v(x,y) предполагаются дифференцируемыми в смысле
вещественного анализа). Используя формулу C.6) и свойство C.5),
найдём
d(f dz) = d(u + iv) Л (dx + idy) + [и + iv) Л d(dx + idy) =
= (du + idv) Л {dx + idy) =
(du du dv dv \
= [ — dx + ^— dy + i^— dx + i — dy ) A (dx + idy) =
\ox oy ox oy J
du dv .(du dv^
dy dx \dx dy) \
dx Л dy.
Дифференциальная 2-форма в правой части последнего равенства
обращается в нуль в тех и только тех точках, в которых выполняются
условия
du dv du dv
dx dy ч dy dx
Но это известные из курса теории функций комплексного переменного
условия Коши-Римана (иногда их называют условиями Даламбера-Эй-
лера).
Вывод: функция f комплексного переменного z = x-\-iy аналитична
в том и только в том случае, если она Ж-дифференцируема и d(f dz) = 0.
3.2 Операторы векторного анализа
на языке внешнего дифференцирования
3.2.1 Дивергенция векторного поля
Пусть V — n-мерное вещественное аффинное пространство,
ассоциированное с векторным пространством V, Q G An(V) — форма объёма
на V.
Для заданного на открытом подмножестве пространства V гладкого
векторного поля Y рассмотрим дифференциальную п-форму
82

где * : X(V) = AX(V) —> An_i(V) — оператор Ходжа формы объёма Q,
d — оператор внешнего дифференцирования.
Поскольку линейное пространство An(V) одномерно, то п-формы
(d * Y)p и Q пропорциональны в каждой точке р области оределения
векторного поля Y.
Определение. Коэффициент пропорциональности (записанный как
множитель при Q) называется дивергенцией векторного поля Y и
обозначается div Y. Таким образом, по определению,
d*Y= (divY)-a C.12)
Функция divY, p \—> (divY)(p), зависит не только от
векторного поля Y, но, разумеется, и от формы объёма Q. Если хотят это
подчеркнуть, то пишут div^Y или (div Y)^. ¦
Запишем выражение для дивергенции в произвольных регулярных
координатах (гя1,... ,#п), область определения которых содержит
область определения поля Y. Пусть
Q = uj dx1 Л ... Л dxn, Y = Yk —^ ,
дхк
тогда
< Для доказательства C.13) запишем равенство C.12) в координатах
х1 хи. Имеем
*Y = ш ек{1шшш{п_г Yk dx1^ ® ... ® dx^ =
= Y^ u eki!...in-i yk dxh Л ... Л dxin~\
zi<...<zn_i
Если A;, zi,..., zn_i ? {1,..., п} и %\ < ... < гп_1, то множитель
ekH...in-г отличен от нуля только при
(гь ..., in-i) = A,.... к - 1, к + 1,.... п),
т. е. отличными от нуля символами Леви-Чивиты будут только
?fci,„(fc-i)(fc+i),„n = (—1)
Поэтому
п
Y = Y^ (-l)fc_1 coYk dx1 Л...Л dxh~l A dxk+1 A...Adxn.
*
fc=i
83

Дифференцируя последнее равенство с помощью C.1) и используя тот
факт, что dxl A dxl = 0, найдём
d * Y = Y^ ("l)* d^ Yk)Adxx A...A dxk~x A dx^1 A ... Л dxn =
k=i
n
= ?(-*)
fc=i
fc_i д(и Y') dxkAdxiA^^A dxk-i Л dxk+i AmmmAdxn =
k=l
= ?
dxk
^ -L Л Л щГъ
k = l
n
дхк
dxl A ... Л dxK l A dx* A dx^1 A ... Л dxn =
fe+i
\ *-^ oxK I axK
4 fe=i 7
Л ... Л dxr
Сопоставляя равенства
^Y= \ , ' dx1 Л...Л cte" и
охк
d * Y = (div Y) cj rfrr1 Л ... Л cten,
см. C.12), заключаем, что
.. 1 0(о; yfe)
dlvY = я"!-'
CJ ОХК
т. е. мы получили первое равенство из C.13). Далее,
1 3{uj Ук) _ 1 г ^к
и дхк
дУк , ди
дхк
дхк
_дУк ^ук ^_дУк_ 1_
дхк и дхк дхк и
I улл = - Ук — = Ук - — = Ук д1пИ
и и дхк и дхк дхк
Y(lnM),
что и завершает доказательство C.13). >
Пусть теперь на V зафиксирована ориентация и Qg — метрическая
форма объёма, порождённая метрическим тензором g = g^ dxl^)dxJ.
Тогда
Qg = ±у/Уу\ dx1 A ... Л dxn, где 7 =
9п... gin
9ni • • • 9пп
84

т. е. uj = iVTtT (" + "• если координаты х1 х11 положительно
ориентированы, " —" — если отрицательно) и формулы C.13)
переписываются для этого случая в виде
divY =
! д ( л/Ы У
|7| дхк
cfYk 1 / \ r)Yk 1
Упражнение. Проверьте следующие свойства дивергенции:
div (X + Y) = divX + div Y, C.15)
div(/-Y)=Y(/) + /.divY. C.16)
Здесь X, Y — векторные поля, / — вещественнозначная функция.
3.2.2 Оператор Лапласа
Пусть V — n-мерное вещественное аффинное пространство,
ассоциированное с ориентированным векторным пространством V, g —
метрический тензор на V. Qg — форма объёма метрического тензора д.
Определение. Отображение А, переводящее гладкую R-значную
функцию / в функцию А/ по правилу
A/ = divfiff(grad/), C.17)
называется оператором Лапласа или лапласианом. ¦ Подчеркнём, что
оператор Лапласа существенно зависит от выбора метрического тензора
д (ибо д определяет как оператор grad, так и форму объёма Qg).
Запишем C.17) в произвольных регулярных координатах {х1 хп).
Полагая в первом из равенств C.14)
ук = gkj ^j_
где gki — компоненты контравариантного метрического тензора в этих
координатах, получим
85

Используя оставшиеся два равенства в C.14), можно получить другие
выражения для А/ в координатах. Читатель легко справится с этим
сам.
Упражнение. Проверьте следующие свойства лапласиана:
Л(/ + if) = Л/ + А<р, C.19)
A(f-<p) = Af-<p + f-A<p + 2g (grad /, grad y>), C.20)
А(и о /) = (и' о /) • Д/ + (и" о /) • (grad/)(/). C.21)
Здесь f,(p:U —> R — гладкие функции, и : J —> R — гладкая функция,
где Jcl- открытое множество, содержащее в себе множество f(U),
и' и и" — первая и вторая производные функции и.
3.2.3 Ротор векторного поля
Пусть Е3 — трёхмерное ориентированное евклидово пространство,
Qg — форма объёма евклидова метрического тензора д.
Определение. Ротором (или вихрем2) векторного поля Y G Х(Е3)
называется векторное поле
rotY = *dy, C.22)
где Y — дифференциальная 1-форма, ассоциированная с векторным
полем Y, d — оператор внешнего дифференцирования и * — оператор
Ходжа формы объёма Q* (переводящий 2-формы в векторы). ¦
Запишем C.22) в произвольных регулярных координатах (хг,х2,х3),
область определения которых содержит область определения поля Y.
Мы предполагаем, что эти координаты на всей своей области
определения U являются либо положительно ориентированными либо
отрицательно ориентированными (это заведомо так, если U связно).
Пусть
Y = Yk — .
дхк
9 = 9ij dxl (^) dxJ,
Yj = gjkYk (т.е. Y = Yj(lx^,
7 =
0ii 912 9i3
921 922 023
031 032 033
2В настоящее время термин "вихрь" употребляется редко. В англоязычной литературе наряду с
обозначением rot употребляется также обозначение curl.
86

Тогда
^ , eijk dYj д
rot Y = ± J
= ±-
Vf
y/7 дхг дхк
<9У3 dY2\ д
+
+
дх2
дх2,
rm
\ дх1 дх2 ) дх3
дх3 J дх1
m\_d_
дх1J дх2
дУЛ д
+
+
C.23)
Здесь знак " + " соответствует положительно ориентированным
координатам, знак " —" — отрицательно ориентированным.
М С помощью C.10) находим
^ \ дхг дхз
г<3 ч
Далее, поскольку
J dx% Л dxj = Y^ (
' г,7=1 ^
(dYj dYj
дх1 dxi
dx1 6ddxj.
Qg = ±д/7 dx1 Л dx2 Л dx3, то
П*д = ±A/^7) д/дх1 Л д/дх2 Л д/дх3 и
2 A.2) V g чу ) 2 х[Ы\дхг дхЧ дхк
= ±
~Y &? + Т~ ЪхЧ ~дхк
sijk dYj д
= ±-
дхг дхк ч
ч.т.д.
Определение. Векторным лапласианом называется отображение
А, переводящее векторное поле Y в 3-мерном ориентированном
евклидовом пространстве в векторное поле AY по следующему правилу:
AY = grad div Y — rot rot Y.
C.24)
Упражнение. Проверьте, что в декартовых координатах (x<y,z)
справедливо следующее тождество:
f д д д \ д д д
МР7Г + ^Г + Я7Г =ЛР-7Г + Л^7Г + ЛЯ-7Г- C-25)
\ ox oy ozj ox oy oz
87

3.2.4 Некоторые тождества векторного анализа
как следствия свойств внешней производной
В традиционных курсах векторного анализа доказываются тождества
div о rot = 0, C.26)
rot о grad = 0. C.27)
Мы сейчас покажем, что эти тождества — простые следствия тождества
C.5): d о d = 0. Разумеется, речь здесь идет от 3-мерном евклидовом
пространстве. Евклидов метрический тензор мы будем здесь обозначать
угловыми скобками — (•,•), метрическую форму объема — через Q.
Через G(Y) будет обозначаться, как обычно, 1-форма, ассоциированная
с вектором Y. Напомним, что отображение G линейно.
Ч Докажем C.26). В силу определения дивергенции C.12),
определения ротора C.22) и тождества C.5) для любого векторного поля Y
имеем
(divrotY) . ft = d * rot Y = d * *dG{Y) = ddG(Y) = 0,
следовательно, div rot Y = 0. Мы здесь воспользовались ещё тем
фактом, что в трёхмерном пространстве (нечётная размерность) оператор
Ходжа, переводящий 2-формы в векторы, и оператор Ходжа,
переводящий векторы в 2-формы, взаимно обратны.
Докажем C.27). В силу C.22) и C.5), для любой гладкой функции /
rot (grad f) = *dG(grad/) = *ddf = 0. >
Продемонстрируем ещё раз элегантность аппарата внешнего
дифференцирования, доказав с помощью свойства C.4) следующие два
тождества:
rot (/ • Y) = / • rot Y + [grad/ x Y], C.28)
div [X x Y] = (rot X, Y) - (X, rot Y). C.29)
^ Докажем C.28). Используя определение ротора C.22), тождество
C.6) и определение векторного произведения, находим:
rot (/ • Y) = * d G{f • Y) = * d (/ • G(Y)) = * (df Л G(Y) + f-d G(Y)) =
= * (df Л G(Y)) + / • *d<3(Y) = * (G(grad/) Л G(Y)) + / • *d<3(Y) =
= [grad/ x Y] + / • rot Y.
88

Докажем C.29). При этом мы воспользуемся следующим легко
проверяемым тождеством:
(*Х) Л G(Y) = (X. Y) • ft, C.30)
в котором * — оператор Ходжа формы объёма Q, переводящий векторы
в 2-формы. Здесь существенно, что размерность равна трём, в случае
произвольной размерности п формула C.30) имеет вид
(*Х) Л G(Y) = (-1Г • (X, Y) • ft.
На основании C.12) и определения векторного произведения запишем
(div [X х Y]) • ft = d* [X х Y] = d** (G(X) Л G(Y)) = d (G(X) Л G(Y)).
Далее используем свойства C.4), C.30) и определение C.22):
(div [X х Y]) • ft = d (G(X) Л G(Y)) =
= dG(X) A G(Y) - G(X) AdG(Y) =
= (* rot X) Л G(Y) - (* rot Y) Л G(X) =
= (rotX,Y)-ft - (rotY,X)-ft =
= ((rotX4Y) - (X4rotY>) -ft. >
3.3 Лемма Пуанкаре и её приложения к векторному анализу
3.3.1 Замкнутые и точные дифференциальные
формы. Лемма Пуанкаре
Определение. Дифференциальная форма Р называется
замкнутой, если её внешний дифференциал равен нулю: dP = 0.
Дифференциальная форма Р называется точной, если найдётся
дифференциальная форма Q, такая, что
dQ = Р. C.31)
При этом дифференциальная форма Q называется потенциалом
дифференциальной формы Р. Ш
Потенциал точной формы не единствен. Например, если форма Q —
потенциал формы Р, а Я — замкнутая форма и degP = degQ, то
Q + Я — тоже потенциал формы Р, ибо
d(Q + R) = dQ + dR = dQ + 0 = P.
89

Пример. Пусть х,у, z — некоторые гладкие функции.
Потенциалами 3-формы dx A dy A dz являются (как легко проверить), например,
следующие 2-формы:
х dy A dz, —у dx A dz, z dx A dy, - (xdyAdz — ydxAdz-\-zdxA dy),
{x + у + z) dy A dz, (z2 + arctg x — y) dx A dz. [z + xy) dx A dy.
и т.д. ?
В силу свойства C.5) [d о d = 0) всякая точная форма является
замкнутой,
м p = dQ => dP = ddQ = 0. >
Обратное утверждение (т. е. "всякая замкнутая форма является точ-
нойп), вообще говоря, неверно. Точнее говоря, справедливость обратного
утверждения существенно зависит от того, какое множество является
областью определения дифференциальных форм.
Определение. Подмножество S конечномерного аффинного
пространства называется звёздным, если найдётся точка ро G S, такая,
что \/ р G S отрезок [р(ьР]> соединяющий точки ро и р, целиком
содержится в S. Говорят также, что S является звёздным
относительно точки ро . ¦ Например, любое выпуклое множество является
звёздным относительно любой своей точки.
Следующее утверждение чаще всего называют леммой Пуанкаре3.
Теорема 3.2 На открытом звёздном подмножестве
конечномерного вещественного аффинного пространства всякая замкнутая
дифференциальная форма является точной.
М Пусть V — n-мерное вещественное аффинное пространство и
х : V —> MJ1 — какая-либо аффинная система координат на V.
Заметим, что такая система координат — глобальная и, введя её на V, мы
фактически отождествляем V с W1. Поэтому мы дальше для простоты
записей не будем различать точки из V и наборы их координат.
Пусть U С V — открытое звёздное подмножество (относительно
некоторой точки Хо ? U). Без ограничения общности можно считать, что
Xq = @,..., 0), ибо этого всегда можно добиться простейшим
преобразованием координат — сдвигом на постоянный вектор. Поскольку U —
звёздное относительно х$ множество, то
Ух е U [х0,х] = {(l-t)'Xo+t-x | 0 <t < 1 } = {t-x | 0 <t < 1 } С U.
3Jules Henri Poincare A854 - 1912) — французский математик и астроном.
90

Пусть дифференциальная форма Р G Л^(G),
Р = 5Z Ph-..ik dxk Л ... Л dxik,
ii<...<ik
является замкнутой, т. е. dP = О на U.
В координатах условие dP = 0 записывается, см. C.8), так:
(ЛТЭ\ \ ^ /_i\m-l O^jl — jm-l jm+1 — Jfc+1 p|
m=l
Переобозначим индексы (?, zi,..., г&) = (ji,..., jk+i) и запишем это
условие в виде
urii...ik _ V^ (_Л\т-1 {г1...1ш-11ш+1...гк ,~ ~~ч
га=1
(все слагаемые, кроме первого, мы перенесли в правую часть).
Определим дифференциальную форму Q G A^_i(G),
Q = ^ Qh...ik-i dxh Л ... Л dxik~' =^ Qidxk Л ... Л dxik~x
ii<...<ifc_i J
(/ = (zi,.... ife_i) — набор индексов) следующим образом: для любой
точки х ? G и любого набора индексов 7
1
фДя) = / г* P?I(t -x)-x? dt. C.33)
о
В случае, если xq ^ @,..., 0), выражение C.33) следует заменить чуть
более громоздким:
1
Qj(x) = / tk~l Pei((l -t)-x0 + t-x) -(xl - 4) dt C.34)
о
(в любом случае интегрирование ведётся по отрезку [гео5#])-
Проверим прямыми вычислениями, что дифференциальная форма Q,
заданная выражением C.33), удовлетворяет соотношению C.31).
Частные производные от Qj вычисляются легко:
о
1 1
tk mfxiX) ^ dt + /V1 PtI(t ¦ х) dt.
91

Далее, используя C.8) и C.32), находим
дх{
т=1
-1 V*Zii..Arn-1irn+1...ik\t ' х)
х dt +
= M?(-i)
О \т=1
+ Jtk~l (Е^1O71-1 ^...^wi...^-*) J d« =
q \ 771=1 /
1 1
= Jtk dPi1"^ ' X) ^ dt + J к th~l Ph...lk(t -x)dt =
0 0
1
= Jjt{tk Pll-ikit' x))dt = рь~ь№ ¦ *
0
Упражнение. Пусть /— R-дифференцируемая функция
комплексного переменного z = х + гу. Как мы видели в пункте 3.1.1, аналитичность
функции / равносильна замкнутости дифференциальной формы f dz.
Если область определения функции / — звёздное множество (относительно
точки zq), to замкнутая дифференциальна форма f dz имеет потенциал
h: dh = f dz. Докажите, см. C.34), что потенциал можно вычислить по
формуле
1
h(z) = f(tz-\-(l — t)z$) • (z — zq) dt + const.
о
В частности, h — первообразная (в смысле ТФКП) для /.
Пример. Рассмотрим пример открытого множества, на котором не
всякая замкнутая дифференциальная форма является точной.
Пусть W = Ж2\{ро} — это евклидова плоскость Е2 с "выколотой"
точкой pq. Пусть х, у — декартовы координаты на Е2, начало которых
находится в точке ро .
Дифференциальная 1-форма Р G Ai(W),
х dy — у dx
Р =
Л I п,2
xz + у
как нетрудно убедиться, замкнута:
(xz + yl)z
92

Рассмотрим открытое подмножество U С W,
U = E2\L, L = {р е Е2 | х(р) > 0, у(р) = 0}.
Заметим, что U — не что иное, как область определения полярных
координат (г, (/9), связанных с рассматриваемыми декартовыми
координатами функциями перехода
X = Г COS if , у = Г Sin (/9
(в точках луча L полярные координаты имеют особенность).
Легко проверить прямым вычислением, что на множестве U
выполняется равенство Р = dip:
г cos ср d(r sin if) — г sin (p d(r cos (p)
P = = ... = dip.
Таким образом, 1-форма Р, рассматриваемая как дифференциальная
1-форма на U". является точной.
Примем от противного, что Р является точной на W\ т. е.
существует гладкая функция / : W —> R такая, что Р = df на W.
Поскольку dip = df на U и U связно, то ip = f + const на U.
Итак, гладкая функция ip : U —> R может быть продолжена до гладкой
функции на W (до / + const). Но последнее противоречит тому, что
ip терпит неустранимый разрыв первого рода в точках множества L.
Таким образом, Р является замкнутой на VI/, но не является точной
на W. ?
Замечание. Лемму Пуанкаре часто формулируют следующим
образом: всякая замкнутая дифференциальная форма локально является
точной.
Это означает, что если Р — замкнутая fc-форма, то у каждой точки
из области определения дифференциальной формы Р найдётся такая
её окрестность U (её всегда можно выбрать выпуклой!) и такая форма
QeAk-i(U), что dQ = Р на U.
Замечание. Условие звёздности множества является достаточным,
но не необходимым условием того, чтобы заданная на этом множестве
замкнутая дифференциальная форма имела на нём потенциал.
Например, дифференциальная 1-форма
х1 dx1 + ... + хп dxn
uj = 5 * где г = \/(хгJ + ... + (хпJ,
грк^
93

определена на открытом множестве U = MJ1 \ {@,..., 0)} и имеет на
этом множестве потенциал 1/г. Множество U при этом не является
звёздным относительно ни одной из своих точек.
Несложным следствием леммы Пуанкаре является пункт 2
нижеследующего утверждения о наиболее общем решении дифференциального
уравнения C.31). Мы рассматриваем это уравнение на некотором
фиксированном открытом подмножестве U конечномерного аффинного
пространства, т. е. дифференциальные формы Р и Q считаются
заданными на множестве U. Неизвестным в этом уравнении является
дифференциальная форма Q, форма Р — задана. Для простоты считаем,
что все рассматриваемые дифференциальные формы принадлежат
классу гладкости С°°. решения ищутся в том же классе гладкости.
Теорема 3.3 Пусть на открытом множестве U задана замкнутая
дифференциальная форма Р.
1. Если форма Р точна, то общее решение дифференциального
уравнения C.31) имеет вид
Q = Qo + R,
гДе Qo ~ некоторое частное решение, a R — произвольная
замкнутая дифференциальная форма.
2. Если множество U звёздно, то общее решение
дифференциального уравнения C.31) имеет вид
Q = Qo + dF,
гДе Qo ~ некоторое частное решение, a F — произвольная
дифференциальная форма.
Разумеется, deg R = deg Q = deg P — 1. deg F = deg P — 2.
M 1. Если Qq — решение C.31), a R — замкнута, то Q = Qo + R —
тоже решение C.31), что проверяется без труда (мы уже это проверили
в начале параграфа 3.3). Обратно, если Q — какое-то решение C.31),
то форма R = Q — Qo замкнута, ибо dR = dQ — dQo = Р — Р = 0, ч.т.д.
2. Немедленно следует из п. 1 и леммы Пуанкаре. >
94

3.3.2 Некоторые приложения леммы Пуанкаре:
скалярный и векторный потенциал
В стандартных курсах векторного анализа доказываются следующие
утверждения.
В трёхмерном евклидовом пространстве Е3 векторное поле с нулевой
дивергенцией есть ротор, а векторное поле с нулевым ротором есть
градиент:
div Y = 0 => Y = rot X, C.35)
rot Y = 0 => Y = grad /, C.36)
сравните с C.26) и C.27). Мы сейчас покажем, что C.35) и C.36) —
простые следствия леммы Пуанкаре.
Ч Докажем C.35). Если div Y = 0, то, в силу определения C.12),
d * Y = 0, т. е. дифференциальная форма *Y G Л2(Е3) замкнута.
По лемме Пуанкаре найдётся дифференциальная 1-форма X G Лх(Е3),
такая, что dX = * Y. Но тогда * dX = Y, или, что то же самое,
rotX = Y, где X — ассоциированное с X векторное поле, см.
определение C.22). Наши рассуждения можно кратко записать так:
divY = 0 ^^ d*Y = 0 ^^ *Y = dX ^^
^^ Y = *dX ^^ Y = rotX. C.37)
Докажем C.36). Условие rot Y = 0, в силу определения C.22),
равносильно условию dY = 0. где Y — ассоциированная с Y
дифференциальная 1-форма. По лемме Пуанкаре найдётся гладкая функция
@-форма) / : Е3 —> R, такая, что df = У, или, что то же самое,
grad/ = Y (ибо градиент — это ассоциированное с дифференциалом
векторное поле). Наши рассуждения можно кратко записать так:
rotY = 0 «=> dy = 0 «=> У = d/ «=>> Y = grad/. > C.38)
Разумеется, утверждения C.35) и C.36) останутся верными, если
вместо Е3 взять любое открытое звёздное подмножество из Е3.
Определение. Векторное поле Y, заданное на открытом
подмножестве U (псевдо)евклидова пространства, называется
потенциальным^ если существует гладкая функция / : U —> М, такая, что на U
выполняется равенство
grad/ = Y. C.39)
Всякая функция /, удовлетворяющая указанному условию, называется
(скалярным) потенциалом векторного поля Y. ¦
95

Ясно, что потенциал потенциального векторного поля определён
неоднозначно: если / — потенциал Y, то / + const — тоже потенциал
поля Y.
В трёхмерном евклидовом пространстве для потенциальности
векторного поля Y необходимо выполнение условия:
rotY = 0, C.4U)
см. C.27). В случае, когда область определения векторного поля Y —
звёздное множество, условие C.40) является также и достаточным для
потенциальности поля Y, см. C.36).
Пример. Векторное поле F в евклидовом пространстве называется
центральным относительно точки о, если оно определено в некоторой
проколотой окрестности точки о и
F|@+r) = Ф(г) • г. где г = |г| = л/(г.г).
функция Ф принимает значения в R, через о + г обозначен конец
вектора г, приложенного в точке о, а через (-, •) — скалярное
произведение.
Центральное векторное поле является потенциальным в проколотой
окрестности точки о (при условии, что функция Ф хотя бы
непрерывна), а его потенциал и даётся формулой
г
и(о + г) = / а • Ф(а) da, где г о = const > 0.
го
В самом деле, в декартовых координатах (гя1,... ,хп) с центром в
точке о
д
г = Jix1J + ... + (xnJ, F = F*— ч где FHx) = Ф(г) • х\
ох1
Элементарные вычисления дают
ди ди дг т , х дг т , х х
гФ(г) —- = гФ(г) — = F\ ч.т.д. ?
дхг дг дхг дхг
Определение. Векторное поле X в трёхмерном евклидовом
пространстве называется векторным потенциалом векторного поля Y, если
rotX = Y C.41)
(равенство выполняется в каждой точке открытого множества,
являющегося областью определения обоих векторных полей). ¦
96

Ясно, что векторный потенциал, если он существует, определён
неоднозначно: если X — векторный потенциал поля Y, то (X + grad /) —
тоже векторный потенциал Y, ибо rot grad/ = 0, см. C.27).
Для того чтобы векторное поле Y обладало векторнвш потенциалом,
необходимо ввтолнение условия
divY = 0, C.42)
см. C.26). В случае, когда области определения векторного поля Y —
звёздное множество, условие C.42) является также и достаточнвш для
наличия у Y векторного потенциала, см. C.35).
Терминология. Векторные поля с нулевой дивергенцией
называются соленоидалъными. Ш
Один из возможных способов вычисления скалярного или векторного
потенциала векторного поля на звёздном множестве — использование
формулы C.34), см. доказательство леммы Пуанкаре.
Пусть, например, нам нужно вычислить векторный потенциал X
векторного поля Y. Рассуждения C.37) подсказывают следующий
алгоритм:
1) вычисляем *Y;
2) вычисляем потенциал X 2-формы *Y по формуле C.34):
1
Xi(x)= t-(*Y)?i((l-t)-x0+t-x)-(xe-x?0) dt, г = 1ДЗ; C.43)
о
3) находим ассоциированное к 1-форме X векторное поле X.
Аналогично, рассуждения C.38) подсказывают следующий алгоритм
вычисления скалярного потенциала / векторного поля Y:
1) находим 1-форму У, ассоциированную с векторным полем Y:
2) вычисляем потенциал / 1-формы Y (или, что то же самое,
скалярный потенциал векторного поля Y) по формуле C.34):
1
f{x) = lYi((l-t)'Xo + t'x)- {x? - х?0) dt. C.44)
о
97

Сформулируем теперь теорему об общем решении дифференциальных
уравнений C.39) и C.41). Мы рассматриваем каждое из этих уравнений
на некотором фиксированном открытом множестве U, т. е. векторные
поля Y, X и гладкая R-значная функция / считаются заданными
на множестве U. Неизвестным в уравнении C.39) является функция
/, а в уравнении C.41) — векторное поле X; векторное поле Y —
задано. Для простоты считаем, что все рассматриваемые поля и функции
принадлежат классу гладкости С°°, решения ищутся в том же классе
гладкости.
Теорема 3.4 Пусть на открытом множестве U заданы векторное
поле Y и вещественнозначная функция /.
1. Если множество U связно и векторное поле Y потенциально, то
общее решение дифференциального уравнения C.39) имеет вид
/ = /о + const,
гДе /о ~~ некоторое частное решение C.39).
2. Если множество U звёздно и векторное поле Y соленойдально,
то общее решение дифференциального уравнения C.41) имеет вид
X = X0 + grad/,
где Xq — некоторое частное решение, a f — произвольная гладкая
функция.
М 1. Оставляется читателю в качестве несложного упражнения.
2. Если Xq — решение C.41), то X = Xq + grad/ — тоже решение,
ибо rotgrad/ = 0, см. C.27). Обратно, если X — какое-то решение
C.41), то
rot (X - Х0) = 0 ^^ *d(X -Х0) = 0 ^=> d(X - Х0) = О,
где X и Xq — дифференциальные 1-формы, ассоциированные с
векторными полями X и Xq соответственно. В силу леммы Пуанкаре
существует гладкая функция / (нуль-форма), такая, что
X-X0 = df ^^ X = X0 + df ^^ X = Xo + grad/. >
98

3.4 Антиувлечение дифференциальных форм
гладким отображением
Пусть V\ и Т>2 — аффинные пространства, ассоциированные с
конечномерными вещественными пространствами Vi и V2
соответственно, Ui С Pi, [/2 С ?2 ~ открытые множества, (р : U\ —> V2 —
гладкое отображение, (p{U\) С U<i-
Пусть А е Afe(J72) дифференциальная fc-формана U<i- Тогда на JJ\
возникает дифференциальная fc-форма (/?* А определяемая следующим
образом: для любой точки р G JJ\ и любого набора векторов Xi,..., Х&
пространства Vi
((р*А)р (Xi Xfe) = Аф) ((<H>Xi №)PXfc). C.45)
Определение. Форма <?>М называется обратным образом формы
А при отображении (/?, а также результатом антиувлечения формы А
отображением (р.
Отображение
ч>* ¦¦ ЫЩ —> Afc(^i), л ^ <^л
называется оператором антиувлечения дифференциальных fc-форм
отображением (р. Ш
Замечание. Удобно определить операцию антиувлечения
дифференциальных нуль-форм. т. е. гладких функций / : U<i —> К. как
<P*f = f° Ч>- C-46)
Теорема 3.5 (свойства оператора антиувлечения).
1. Оператор <р* линеен и сохраняет внешнее произведение, т. е. для
любых двух дифференциальных форм А и В
<р*(А ЛВ) = (<р*А) Л (<р*В). C.47)
2. Оператор антиувлечения (р* перестановочен с оператором d
внешнего дифференцирования:
<p*od = do<p*. C.48)
3. Если (риф— гладкие отображения и определена композиция
гр о (р7 то
(<фо<р)* = <р*о<ф*. C.49)
99

4. Если (х1,..., хп) — координаты на V\, (у1,..., у771) — координаты
на V% (р3 = у3 о (р, j = 1, m,
А= Yl Ajl...jkdyilA...Adyi\
jl<-<jk
ip*A= ^ (v*A)h..Akdxh A...Adxik,
гг<...<гк
TO,
№)ь...Ь = ^-----%?-(Аь...Ь°Ч>)- C-50)
Другое, более легко запоминающееся выражение (р* в координатах:
VM Е Ah...hdyj^A.
\jl<-<jk
= Е (A3l...jko^.(^dy^)A...A(^dy^), C.51)
ji<-<jk
где
<p*dy3 = d(y* o^) = ^ dx\ C.52)
< 1. Линейность оператора (/9* очевидна из его определения C.45).
Докажем свойство C.47). Первое наше наблюдение состоит в том, что
оператор (р* сохраняет тензорное произведение. Это проверяется
простым сопоставлением соответствующих определений:
<р*(А <g) В) \р (v,..., w,...) = {A <g) В)ф){d(p\pv,..., d<p|pw,...) =
= \(p)(MpV, • •.) • ^(p)(d^|pw4...) = (<P*^)p (v,...) ' (^*#)p (w,...) =
= [(<p*A)p®{<p*B)p](v,..., w,...) = [(^M) (8) (p*S)]p (v,..., w,...).
Далее, сопоставляя соответствующие определения, легко проверить,
что (/9* коммутирует с операторами перенумерации аргументов, т. е.
если А — fc-форма, а а- ^-перестановка, то (р*аА = а<р*А. Отсюда
и из линейности (р* следует, что (р* коммутирует с оператором
альтернирования: (/9* Alt A = Alt (/9* А.
Ну а из того, что (/9* сохраняет тензорное произведение, линеен и
перестановочен с оператором альтернирования, следует, что (/9*
сохраняет внешнее произведение.
2. Свойство C.48) проще всего доказывать по индукции. Докажем
его сначала для дифференциальных нуль-форм: пусть / : U<i —> К —
100

гладкая функция, проверим, что
<p*df = <bp*f.
Для произвольной точки р ? U\ и произвольного вектора X G Vi
имеем, см. C.45) и C.46),
(<p*df)pX= (Ау,(р)((Их) = (d(/ ° ^))рх = №*ЯрХ, ч.т.д.
Теперь рассмотрим случай дифференциальных 1-форм. В силу
линейности ср* достаточно проверить C.48) для 1-форм вида uj = udv. где
и и v — нуль-формы, но это легко:
cp*duj = ip*d(udv) = ip*(du Л dv) = (ip*du) Л (ip*dv) = (dip*и) Л (dip*v),
dip*и; = dip*(udv) = d(ip*u • ip*dv) = d(ip*u • dcp*v) = (dip*u) Л (dip*v).
Рассмотрим теперь произвольную дифференциальную fc-форму А
(к > 1). Форму А можно представить (во всяком случае локально) в
виде А = В Л С, где deg В = ? < к, deg С < к. По предположению
индукции равенство C.48) верно для форм степени, меньшей к. Поэтому
ip*dA = ip*d(B AC) = ip*(dBAC+ (-1)? BAdC) = (ip*dB) Л (<р*С)+
+ (-l)e (ip*B) Л (ip*dC) = (dip*B) Л (ip*С) + (-l)e (<р*В) Л (dip*С) =
= d[(ip*B) Л (ip*C)} = dip*(B Л С) = dip*A.
3. Свойство C.49) легко вывести из определения оператора
антиувлечения, см. C.45) и C.46).
Докажем C.49) для нуль-форм:
(фо(р)*/ = /о(фо(р) = (/оф)о(р=(ф*/)о(р = (р*(ф*/) = ((р*оф*)/
для любой гладкой функции / : С/г —> К, ч.т.д.
Докажем теперь C.49) для дифференциальных форм
положительной степени. Пусть А ? Л/^С/г), возьмём точку р ? U\ и векторы
Xi,..., Х& G Vi произвольно. Имеем
(<р*ф*А)р (Xi,..., Xfc) = ty^A)^) ((dyj)p Xi,..., {d(p)p Xfc) =
= A%(p)) (W)v(p) №)pxi ' • • • 5 {Щф) {d(p)pXk
= А[фо(р](р) [{d[ip o^])j,Xi,..., (й[ф о ^DpXfc
101

= (№o^(X!,..MXfc),
т. е. (р*ф*А = (ф о <р)*Д ч.т.д.
4. Зафиксируем р ? U\. Мы знаем, что матрица линейного оператора
(d(p)p в базисах {{д/дхг)р}™=1 и {(д/ду^)^^}^=1 — это матрица Якоби
(д(р/дх)р, т. е.
№)j
<9
<9з^
d(pJ
д
р>
дхг J dyi
/р
<р(р)
Используя C.45) и последнее соотношение, находим
(<P*A)ilmmmik(p) = (<P*A)
д
р
дхч
д
дх%к
— Аф)
<УЛ д
К дх^ )р ду^1
fd(pjk\
д(р^к\ д
ч>{р)
дх^ )р дуй
ч>{р).
дх%к
А
д
<р(р)
ду
'Л
д
v(p)
ду*
<Jk
ч>(р),
'diph_
дхч
Wk)P'^J1'"Jk
A31...jk(<p(p)I
что и доказывает C.50).
Далее, справедливость C.51), C.52) сразу же следует из линейности
<р* и свойств C.47), C.48). >
Примеры
1. Пусть с : R —> V — гладкая кривая в n-мерном вещественном
аффинном пространстве V, А — дифференциальная 1-форма в V.
Найдём с*А.
Обозначим через t стандартную координату на прямой R. Для
любых Z5? ? R, согласно определению C.45),
(<?АШ) = Ac{t)((dc)t?) = Аф) (Ш д) = С Ac(t) (^) ,
{c*A)t = (c*A)t{l) • dt = Ac{t) (c(t)) • dt, c(t) =
dc(t)
dt
Если (ж1,..., xn) — регулярные координаты на V и А = А^ dxz, то
dxj(c(t))
Ac{t)(c(t)) = Аг(Щ • x\t), x\i) =
102
dt

Итак,
г А = Ас(с) • dt = (Ai о с) • хг • dt. C.53)
Впрочем, то же самое можно получить, воспользовавшись формулой
C.50).
2. Рассмотрим гладкое отображение
г : W —> Е3, (и. и) I—> т{и, и),
открытого множества И7 С R2 в ориентированное трёхмерное
евклидово пространство Е3. Вектор-функция г задаёт параметризацию
некоторой двумерной поверхности S С Е3 в том случае, если векторы
дг/ди и dr/dv линейно независимы в каждой точке (и, и) ? W.
Рассмотрим в Е3 дифференциальную 2-форму
А = Rdx A dy — Q dx A dz + Р dy Adz,
(гя, у, z) — ориентирующие декартовы координаты, определённую в
некоторой окрестности множества г(И/), и вычислим г* А
Координаты вектора т{и, v) в базисе {d/dx, д/ду, d/dz} для
простоты записи будем обозначать через (х(и,и),у(и,и), z(u,u)).
Поскольку матрица Якоби
/ дх/ди дх/дг
ду/ди dy/dv
\ dz/ди dz/dv /(uv)
является матрицей дифференциала (dr)(u^ в базисах
{д/ди = A,0)т, d/dv = @,1)т} и {д/дх, д/ду, d/dz},
и
/ дх/ди дх/dv \ / 1 \ / дх/ди
ду/ди ду/dv \ (\ = I ду/д
\ dz/du dz/ди J \ dz/д'
и
]и
/ дх/ди дх/ди \ / n \ / дх/ди
ду/ди ду/ди ( ] = ду/ди
\ dz/du dz/ди J \ dz/ди
то
/ 9\ <9r / d' \ dr
\du/ du \du/ du
Для 2-формы г*А справедливо представление
r*A = b • du Adu,
103

где
д д
д
д
Ъ{и. v) = (т*А)м(_._)= ArM ((dr)M (—) , {dv)M(^
dr(u,v) dr(u,v)
А
'(ил)
du dv
Для того чтобы вычислить A(dr/du,dr/dv), введём в рассмотрение
векторное поле
д д д
ох оу oz
где * — оператор Ходжа метрической формы объёма dx A dy A dz,
переводящий 2-формы в векторы. Имеем
А
/ дг дг
V ди ' дг
Р
дг дг \
дг дг
дг дг
7 / от от \ / от от \ / от от
dy Adzi — , — - Q dx Adz[ — , — J + Я 6te Л си/ ( т^ тг"
\ ои ov J \ ои ov J \ ди dv
ду/ди dy/dv
dz/ди dz/dv
+Q-(-i)-
+Д-
дх/ди дх/dv
ду/ди dy/dv
дг дг
5 <9г? <9г
дх/ди dx/dv
dz/ди dz/dv
Р dx/du dx/dv
Q dy/du dy/dv
R dz/du dz/dv
(угловыми скобками (•, •) обозначено скалярное произведение).
Итак,
/ dr <9r \
Г*Л = ( * А — х — ) • du A dv, C.54)
\ ди dv I
В случае, если векторы дх/ди и dr/dv линейно независимы в
каждой точке (u,v) ? W, т. е. вектор-функция г задаёт
параметризацию некоторой двумерной поверхности 5 С Е3, мы можем ввести в
рассмотрение вектор единичной нормали к поверхности:
п
дг дг
ди dv
dr дг\
du dv\
dr dr
du dv
VfEG - F2
104

4
где4
/ дг дг\ / дх \2 ( ду\2 / dz \2
\ди' ди/ \ ди J \ ди ) \ ди /
/<9г <9г\ дх дх ду ду dz dz
\ди dv I ди dv ди dv ди dv
I дг дг \ / дх \2 / ду \2 / dz \ 2
\dvdv/ V dv ) V dv J V dv J
Тогда C.54) переписывается в виде
Г*Л = (*Д п) • у/EG - F2 • du Л dv. C.55)
3. Пусть ?i и ?2~ аффинные пространства, одной и той же
размерности n, Gi С Pi, U2 С V2 — открытые множества, (/9 : JJ\ —> V2
— гладкое отображение, <?>(?/i) С ?/- ^ ? Лп(?/). Вычислим <^*fi в
координатах.
Пусть (гг1,..., хп) — координаты на Gi, (у1,..., уп) — координаты
на G2,
ft = а • dy1 Л ... Л dyn, ip*tt = b • dx1 Л ... Л dxn,
срЗ = уЭ о ср^ j = l,n. Выразим Ъ через а и ср. В силу C.50)
ь = (v^)i...n = -^г • • • -^г • (п<1-<« ° й-
Так как Q — внешняя форма, то слагаемые из последней суммы,
у которых среди индексов ii,...,in есть совпадающие, равны нулю.
Поэтому данная сумма равна
<J<ESn
aeSn
= det I — I • (а о ip) = (det dip) • (a о ф).
Итак,
(p*(a • dy1 Л ... Л dyn) = (det dip) • (а о ip) . dx1 A ... A dxn. C.56)
4Здесь используется, возможно, подзабытое читателем тождество из аналитической геометрии:
|а х Ь|2 = |а|2 ¦ |Ь|2 • sin2 в = |а|2 • |Ь|2 - |а|2 • |Ь|2 • cos2 в = (а, а) • (Ь, Ь) - (а, ЬJ, где в = Z(a, b) -
угол между векторами а и Ь.
105

4. Формулы C.51), C.52) фактически дают способ вычисления
обратного образа в координатах: выражаем координаты точки-образа
через координаты точки-прообраза, вставляем эти выражения в
разложение дифференциальной формы по базисным формам в пространстве-
образе и выполняем (совершенно не задумываясь!) обычные
манипуляции с дифференциалами.
Поясним сказанное на конкретном примере. Найдём обратный образ
дифференциальной 2-формы
А = 2х dx Л dy + dx Л dz C.57)
при отображении F : R2 —> IR3, F{u*v) = (ucosv,usinv*2u — 1). Мы
просто подставляем в C.57) ucosv вместо гя, usinv вместо у, 2и—1
вместо z и получаем
F*A = 2ucosv • d(u cos v) Л d(u sin v) + d(u cos v) Л d{2u — 1) =
= 2u cos v • (cos v du — и sin v dv) Л (sin v du + и cos v dv) +
+2(cos v du — и sin v dv) Л du = 2u (u cos v + sin v) du Л dv. ?
3.5 Приложение З. Уравнения электродинамики
на языке дифференциальных форм
3.5.1 Классическая форма уравнений электромагнитного поля
В основе классической теории электромагнетизма лежит следующая
система дифференциальных уравнений Дж. К. Максвелла:
divB = 0 (отсутствие магнитных источников), C.58)
rot Е + —— = 0 (закон индукции Фарадея), C.59)
Су L
divE = Атгр (закон Гаусса), C.60)
дЕ
rot В—— = 47rJ (закон Ампера). C.61)
Здесь Е — вектор напряжённости электрического поля, В — вектор
напряжённости магнитного поля, р — объёмная плотность
электрического заряда, J — вектор плотности электрического тока. Уравнения
C.58) - C.61) записаны в системе единиц, в которой с = во = ро; с
— скорость света в вакууме, €q — диэлектрическая постоянная, [1$ —
магнитная проницаемость.
106

Величины Е, В, J представляют собой зависящие от времени t
векторные поля в ориентированном трёхмерном евклидовом
пространстве Е3, р -R- значная функция на RxE3:
Е = Е(?,а), В = В(?,а), J = J(?,a), p = p(t,a), «Gl, a G Е3.
Дифференциальные операторы div и rot вычисляются "по
пространственным переменным", т. е. действуют на Е(?,а) и В(?, а) при
фиксированном значении t.
3.5.2 Пространство Минковского
и тензор электромагнитного поля
Вспомним, что пространством Минковского называется любое
четырёхмерное псевдоевклидово пространство, метрический тензор которого
имеет сигнатуру A,3) (или C,1)). Для наших целей достаточно
следующей модели пространства Минковского (М, т])\
М
RxE3, »7((«,Х),(г,У))=*г-(Х,У>,
гДе (',') = 9 ~ метрический тензор евклидова пространства Е3.
Если {x,y,z) — ориентирующие декартовы координаты в Е3, a t —
стандартная координата на прямой R, то функции
(ге°, х1, х1, х3) = (?, х, у, z)
образуют псевдоортонормированную систему координат в пространстве
Минковского М. В этих координатах, как нетрудно проверить прямыми
вычислениями,
V = Vfiiy dx*1 (??) dxv = dt(?)dt — dx(?)dx — dy(?)dy — dz(?) dz,
/10 0 0 \
0 -1
0 0
{о о
0
-1
0
0
0
-4
Заметим, что матрица Грама (т/^) контравариантного
метрического тензора rf в базисе {dx^}3 0 совпадает с матрицей Грама (г)^)
ковариантного метрического тензора г] в базисе {д/дх^}3^=0 (другими
словами, матрица (т]^) совпадает со своей обратной, что легко
проверить непосредственным перемножением):
rfv = %„, V,v = 0, 3.
107

Поскольку нам придётся преобразовывать как трёхмерные величины
так и четырёхмерные, полезно будет договориться об обозначениях.
Обозначения
• Если А — вектор трёхмерного евклидова пространства, то через А
обозначается ассоциированная с А (посредством евклидова
метрического тензора (•,•)= д) 1-форма:
А = Ах^- + Ау^- + Az^- => A = Axdx + Aydy + Az dz.
ox oy oz
• Через *з обозначается оператор Ходжа метрической формы объёма
Qg = dx A dy A dz
в Е3 (мы будем действовать им на векторы, переводя их в 2-
формы):
*з (ах— + Ау— + Az—) = Az dx A dy - Ау dx A dz + Ax dy A dz.
V ox oy oz/
• Через * обозначается оператор Ходжа метрической формы объёма
Qrj = dt A dx A dy A dz
в пространстве Минковского М.
Определение. Тензором электромагнитного поля (или формой
Максвелла-Фарадея) называется следующая дифференциальная 2-фор-
ма на М:
F = -dt А Е + *3В = -Ех dtAdx- Ey dtAdy- Ez dtAdz +
+BZ dxAdy- By dx A dz + Bx dy A dz = Y^ F^ dx^ Л dxb\ C.62)
[i<V
(F„) =
( 0 -Ex -ЕУ -Ez \
Ex 0 Bz -ВУ
Ey -Bz 0 Bx
у Ez ВУ -Bx 0 /
Четырёхмерным вектором плотности электрического тока
называется следующий вектор в пространстве Минковского:
- д д д д д
dt dt dx dy dz '
108

Введём ещё в рассмотрение четырёхмерный 2-вектор F,
ассоциированный (посредством метрического тензора rf) с 2-формой F:
F = tr<$ D'®4'®fl = EFiA^ г* F"" = *Г V Fa,,,
( О Ех ЕУ Ez \
-Ех О Bz -ВУ
-ЕУ -Bz О Вх
\ -Ez ВУ -Вх О /
(F^) =
3.5.3 Уравнения Максвелла
на языке дифференциальных форм
Теорема 3.6 Система уравнений Максвелла C.58) - C.61)
равносильна следующей системе уравнений:
dF = 0, C.63)
d * F = 4тг * J. C.64)
Более подробно: уравнение C.63) равносильно уравнениям C.58) и
C.59), а уравнение C.64) равносильно уравнениям C.60) и C.61).
•< Доказательство сводится к прямым вычислениям в координатах
(t,x,y,z). Начнём с первой пары уравнений Максвелла.
dF = dE A dt + d *3 В =
(dEx dEx 7 7 дЕх 7
= —— ay A ax Л—-— dz /\dx -\—-— dt A dx+
\ ду oz at
дЕУ , дЕУ , 7 дЕУ ,
dx Ady -\—-— dz Ady -\—— dt A dy+
дх dz dt
dEz , dEz 7 dEz , , \ 7
аж Л аг; + —— dy Adz Л—— dt Adz \ A dt+
дх ду dt
(dBx dBy dBz\ ,
+ -^ h -7; h т^— \dx Ady A dz+
\ ox ay oz J
oBz , ч дВУ 1 1 dBx'
dt Adx Ady — dt Adx Adz -\—— dt Ady A dz.
dt dt dt
109

После раскрытия скобок и приведения подобных членов получим:
7r, (dBz дЕУ дЕх\ 7
dF = — h -7: 77— \dt A dx A dy—
\ ot ox oy J
[дВУ дЕх dEz\ ,
- — h -x 7— )dt Adx A dz+
\ ot oz ox J
(dBx dEz дЕУ\ ,
H"eT + "ЙГ " "^"Г A ^ Л &+
/dB* дВУ dBz\ ,
+ -7; Н т; Н "тт- «ж л «2/ л «*>
\ ox oy oz J
или, вспоминая формулы для вычисления ротора и дивергенции в
декартовых координатах,
dF =
—— + (rotE)z )dtAdxAdy-l -7— + (rotE)y \dtAdxAdz+ C.65)
+ f — h (rot F,)x )dt Ady Adz-\- div В dx A dy A dz.
Отсюда ясно, что dF = 0 в том и только в том случае, если верны
соотношения C.58) и C.59).
Перейдём ко второй паре уравнений Максвелла. Вычислим сначала
компоненты 2-формы *F: (*ir)/il/ = 1/2 sOL^vFCL^\ откуда
(*FHl = ^2301 ВХ + ?3201 (~ВХ)) = ВХ\
(*^H2 = \ (^1302 (-^) + ?3102 ВУ) = В»,
¦л
(*^H3 = 2 (^ШЗ В* + ?2103 (-#*)) = Я\
(*^)l2 = \ (^0312 ^ + ?3012 (~Ezfj = EZ,
(*^)l3 = ^ (^0213 ^ + ^2013 (~ЕУ)) = -ЕУ.
¦л
(*FJ3 = - (еош Ех + ?102з (~ЕХ)) = Ех.
Итак,
*F = Вх dt A dx + Ву dtAdy + Bz dtAdz +
+EZ dxAdy-EydxAdz + ExdyAdz = dtAB + *3E. C.66)
110

Сравнивая C.62) и C.66), мы видим, что при формальной замене
переменных
В ь-> Е, Е ь-> -В
правая часть C.62) превращается в правую часть C.66). Поэтому нет
необходимости проводить подробные выкладки для вычисления d * F.
Достаточно заменить ВнаЕиЕна—Вв выражении для dF,
см. C.65):
d*F =
— (rotB)z )dtAdxAdy-l — (rotВ)* Idt AdxAdz+ C.67)
/дЕх \
+1 — (rot B)x \dt Ady Adz + div E dx A dy A dz.
Нам остаётся вычислить 3-форму * J, дуальную к четырёхмерному
вектору плотности тока J = рд/dt + J: (*J)a/37 = s^ap^y J^, откуда
гЗ _ 73
(*«/)oi2 — ?/i012 J** — ^3012 J — —J — —JZ,
(* JH13 = ^013 J* = ^2013 J2 = J2 = JV,
(*«/)o23 = ^023 J^ = ^1023 J = —J = —JX\
(* J) 123 = ^123 J* = ^0123 J° = J° = p.
Итак,
*J = -Jz dtAdxAdy+Jy dtAdxAdz-Jx dtAdyAdz+pdxAdyAdz. C.68)
Сравнение правых частей C.67) и C.68) показывает, что d*F = 47Г* J
в том и только в том случае, если верны соотношения C.60) и C.61). >
Отметим одно простое следствие уравнения C.64). Вычисляя внешний
дифференциал обеих частей C.64), найдём
7-сГ /- —-^ dJ^ дЛ dJ^_dp_
71 дх^ dt дх ду dz dt g
Таким образом, скорость изменения во времени объёмной
плотности электрического заряда равна минус дивергенции вектора плотности
электрического тока:
дР л- т
^=-divj-
ш

4 ИНТЕГРИРОВАНИЕ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ФОРМ
4.1 Интеграл от дифференциальной формы
4.1.1 Экскурс в анализ: замена переменных
в кратном интеграле
Вспомним известную из курса анализа теорему о замене переменных
под знаком кратного интеграла Римана. Нам будет вполне достаточно
следующего (не самого общего) варианта этой теоремы.
Пусть даны: замкнутое измеримое по Жордану множество S С MJ1
и диффеоморфизм ("замена переменных")
г] : X —>Y, у = ф),
некоторой окрестности X D S множества S на открытое множество
Y = V(X).
Тогда для любой непрерывной функции / : rj(S) —> R справедливо
равенство
J f(y)dy1...dyn =J
или, в бескоординатной записи,
J f = J\detdri\-(fori). D.2)
v(s) s
Замечание. Сформулированная теорема остаётся верной, если её
условия нарушаются на множестве меры нуль5. Например, где-то может
нарушаться взаимная однозначность или обращаться в нуль якобиан.
Вот одна из точных формулировок: пусть множества меры нуль L С S
и М С T](S) таковы, что rj(L) = М, множества X\L и Y\M открыты,
г] диффеоморфно отображает X \ L на Y \ М и якобиан | det drj\
ограничен на S. Тогда для любой непрерывной функции / : rj{S) —> Ж
справедливо равенство D.2).
5Напомним, что множество L С Ш11 имеет n-мерную (лебегову) меру нуль, если для любого
г > 0 найдётся конечная или бесконечная последовательность n-мерных параллелепипедов {Д},
такая, что L С \JPi и J^vol(P^) < ? (здесь vol(P) — объём Р).
det
ду_
дх
/(ф)) dx1... dxn, D.1)
112

Этим фактом часто пользуются, например, когда при вычислении
кратного интеграла переходят к криволинейным координатам,
множество особых точек которых имеет меру нуль (такие, как полярные,
цилиндрические, сферические).
Подробно вопрос о пренебрежимых множествах при замене
переменных под знаком кратного интеграла разобран, например, в учебнике [5,
с. 174-177].
4.1.2 Интегрирование дифференциальных форм
в ориентированном аффинном пространстве
Пусть V — ориентированное вещественное n-мерное аффинное
пространство, ассоциированное с векторным пространством V. Пусть
D С V — замкнутое измеримое по Жордану множество, а И —
дифференциальная n-форма, определённая в некоторой окрестности
множества D. Рассмотрим некоторую ориентирующую систему координат
X
(х\...,хп) :U—>Rn, DC U.
На множестве U дифференциальную n-форму Q можно представить
в виде
Q = и dx1 Л ... Л dxn,
где ио : U —> R — гладкая функция, ио = С1\тттП = ?1(д/дх1 д/дх11).
Определим интеграл от n-формы Q по множеству D как п-кратный
интеграл Римана от функции ииох~г : x(U) —> R по множеству x(D),
т. е.
Q = / и о х
1 = f (ojox-1)(x\...,xn)dx1...dxn. D.3)
D x(D) x(D)
Часто (в силу сложившейся традиции) пишут
j и**...*» вместо /(..rV Х»)^....х»,
x(D) x(D)
что не совсем правильно, ибо функция и определена на DC?, а не
на x(D) С W1, но зато позволяет записать определение D.3) в легко
запоминаемом виде:
(и dx1 Л ... Л dx11 d= J udx1... dxn. D.4)
D X(D)
113

Необходимо проверить независимость определения D.3) от выбора
системы координат х = (гя1,... ,хп). Другими словами, нужно доказать,
что для любой другой ориентирующей системы координат
х' = (х\ ... ,ж'п) : U' —> Rn, D С СЛ
выполняется равенство
а/ о ж'
шох
ar'(D)
ar(?>)
где
tt = cu' dx'1 Л ... Л da/" на U'.
Но это нетрудно. Заметим, прежде всего, что на U ПС/'
дж
/ л (ох
w = det fe
(J
и
det
cb\
>0.
D.5)
В самом деле. Для каждой точки р G U П U' матрица Якоби (дх/дх')р
есть матрица перехода от базиса {(д/дхг)р}™=1 к базису {(д/дхг)р}™=1.
Ну а поскольку оба этих базиса задают одну и ту же ориентацию
пространства V, то определитель матрицы перехода положителен.
Используя формулу D.2) (в которой S = x'(D)* г] = х о х'~1*
/ = и о х~г) и формулу D.5), найдём
UJ О X
x(D)
det
x'(D)
дх
дх1
det
/ дх\
\дх')
{и о х г) о (х о х 1) =
• UJ О X
/-1
ш'ох'-\
ч.т.д.
x'(D) x'(D)
Упражнение. Докажите, что при изменении ориентации интеграл от
дифференциальной формы меняет знак.
Замечание. Для существования интеграла JD uj dx1... dxn
вовсе не обязательно, чтобы подынтегральная n-форма была гладкой (т.
е. чтобы uj была гладкой функцией). Вполне достаточно потребовать
непрерывности.
Пример. Если на векторном пространстве V задан метрический
тензор дщ то можно интегрировать метрическую форму объёма Qg. В
ориентирующих координатах х
— {х1,... ,хп)
Vtg= ^/Щ-dx1/\. ../\dxn, где 7 =
011 • • • 9\ n
9ni • • • 9пп
д д
13 V дх1 ' dxi
114

поэтому
Qg = VtTI ^1 • • • dxn {объём множества D).
D X(D)
Пусть, например, размерность п = 3, метрический тензор д —
евклидов, D — шар радиуса R,
D = {peV\ х\р) + у\р) + z\p) < Я2},
(х, у, z) — декартовы координаты, а (х1, х2, х3) = (г, 0, ф) — сферические
координаты. Тогда
0п 012 913 \ ( 1 О О
021 022 023 = 0 г2 0 | , Пд = т1 sin# dr Ad6 Л dip,
03i 032 0зз / \ 0 0 r2 sin2 в
K
ж(?) = { (?\ 0Ч <р) G М^ | 0 < г < Д, 0 < в < тг, 0 < <р < 2тг}
и
R тг 2тг
/ Ц, = /// г2 Sin# • drdOdip = r2dr sin<9 d6 d(p = -7rR3. П
L> x(L>) 0 0 0
Замечание. Мы выяснили как проинтегрировать
дифференциальную n-форму по "достаточно хорошему множеству" D в вещественном
n-мерном ориентированном аффинном пространстве V. Определить
аналогичным образом интеграл от функции / : V —> R нельзя, так как
результат интегрирования будет зависеть, очевидно, от выбора системы
координат.
Для того чтобы проинтегрировать функцию, надо знать, по какому
"элементу объёма" ведётся интегрирование, т. е. предварительно
зафиксировать на V некоторую форму объёма Q. После этого интеграл от
функции / по множеству D определяется как интеграл от п-формы
/ • О по множеству D:
D D
Результат интегрирования теперь не зависит от выбора координат, но,
разумеется, зависит от выбора формы объёма.
Следующее утверждение равносильно теореме о замене переменных
под знаком кратного интеграла.
115

Теорема 4.1 Пусть V — п-мерное ориентированное аффинное
пространство, D С V — замкнутое измеримое по Жордану множество,
U, V С V — открытые множества, D С U, h : U —> V —
диффеоморфизм, удовлетворяющий условию
det dh > 0 на U,
Q — дифференциальная n-форма, заданная в окрестности множества
h(D). Тогда
J h*il = [ П. D.6)
D h(D)
М Пусть у = (у1 уп) — ориентирующая система координат в
окрестности h{D), х = (х1,..., хп) — ориентирующая система координат
в окрестности D. Тогда, если
Q = uj dy1 Л ... Л dyn,
то
h*tt = (det dh) • (ш о К) dx1 Л ... Л dxn.
По сути дела, доказательство сводится к применению формулы D.2),
в которой: S = x(D): f = л о у~г и г] = у о h о х~1. В этом случае:
det drj = (det dh) о х~г > О,
V(S) = {yohox-1) (x(D)) = y{h{D)),
f о г] = uj о у~х о у oho х~х = {uj oh) о x~l.
С помощью определения D.3) и формулы D.2) последовательно
находим
Jq= J шоу-1 = Jf =J(detdV)-{fori) =
h(D) y(h(D)) V(S) S
= / [(det dh) о x~l] ¦ [(си о h) о x~l] = / [(det dh) ¦ {и о h)] о x~l =
x(D) x(D)
= / h*Q, ч.т.д. >
D
Замечание. Теорема 4.1 остаётся верной, если её условия
нарушаются на множестве меры нуль, см. замечание после формулы D.2). Точную
формулировку оставляем читателю.
116

Замечание. Из доказательства теоремы 4.1 ясно, что если условие
det dh > 0 на U заменить условием
det dh < 0 на G,
то вместо D.6) будет справедливо равенство
[ h*Q =- f Q.
D h(D)
4.1.3 Интегрирование дифференциальных форм по цепям
Мы определим интеграл от дифференциальной fc-формы по
ориентированной "fc-мерной поверхностим, которая распадается на
несколько "элементарных" кусков, представляющих собой образы "достаточно
простых областей" в WLk при дифференцируемых отображениях. С
точки зрения простоты определений и доказательств (и без сильной потери
общности) удобно считать, что область изменения параметров каждого
такого элементарного fc-мерного куска есть замкнутый единичный куб
1к в пространстве Жк:
Г = {(Г Г) GT | 0<f < 1, г = 1.&}=|0Л] х ... х [0Л\.
к раз
Такие элементарные куски мы будем называть ориентированными
сингулярными кубами, их строгое определение приводится чуть ниже.
Для простоты мы будем обозначать стандартные координатные
функции в Жк и точки пространства Жк (т. е. упорядоченные наборы из к
чисел) одинаково: [t11..., tk).
Через D(+} мы будем обозначать ориентацию пространства Rfe.
задаваемую базисом
{д/т1 д/тк}, д/дё = (о ол, о о),
г
или, что то же самое, ориентацию, задаваемую формой объёма
dt1 A...Adtk.
Противоположную к О^ ориентацию будем обозначать через Ок_у Мы
будем использовать обозначение — О для ориентации, противоположной
к D.
Под гладким отображением, заданным на множестве Л С Шк (не
обязательно открытом), будем понимать отображение, заданное в
некоторой окрестности U множества Л, т. е. в открытом множестве U D Л.
117

Сингулярные кубы. Интеграл от дифференциальной
формы по сингулярному кубу. Независимость от выбора
параметризации
Прежде чем сформулировать строгое определение ориентированного
сингулярного куба, рассмотрим некоторые наводящие соображения.
Одномерный сингулярный ориентированный куб — это
ориентированная кривая. Задание ориентации кривой означает выбор направления
движения вдоль кривой при возрастании параметра. Если мы совершаем
замену параметра на кривой с помощью функции, производная которой
всюду положительна, то направление движения вдоль кривой не
меняется. Если же мы совершаем замену параметра с помощью функции,
производная которой всюду отрицательна, то направление движения
меняется на противоположное. Замену параметра г = a{t) можно
интерпретировать как переход от координаты t на R к координате т.
При этом:
— если а > 0 всюду, то координаты t и г задают одинаковую
ориентацию пространства R;
- если а < 0 всюду, то координаты t и г задают противоположные
ориентации пространства R.
Таким образом, задать ориентацию кривой — всё равно, что задать
ориентацию в пространстве R изменения параметра кривой.
Двумерный сингулярный ориентированный куб в трёхмерном
пространстве — это ориентированная поверхность. Ориентация поверхности
фиксируется выбором направления нормали к поверхности в каждой
точке (наглядно, выбором одной из двух псторонп поверхности). Если
г = г(и,у) — параметрическое уравнение поверхности и координаты
(tl = и, t2 = v) — ориентирующие, то вектор
дг дг
задаёт положительное направление нормали (из конца вектора N видна
"положительнаяп, т. е. выбранная сторона поверхности). Если мы всего
лишь перенумеруем координаты (t1 = v, t2 = и), то вектор N изменит
знак (известное свойство векторного произведения). Но системы
координат (и. v) и {v,u) задают в R2 противоположные ориентации
(ибо определитель матрицы перехода от базиса {д/ди, d/dv} к базису
{d/dv^d/du} равен —1). Таким образом, задать ориентацию
поверхности — всё равно, что задать ориентацию в пространстве R2 изменения
параметров поверхности.
118

Вывод: ориентацию параметрически заданной /с-мерной
поверхности (fc-мерного сингулярного куба) естественно задавать как ориентацию
пространства R*\ в котором находится область изменения параметров.
Перейдём теперь к строгому определению ориентированного
сингулярного куба.
Пусть V — некоторое вещественное аффинное пространство
размерности п.
Определение. Сингулярным fc-мерным [ориентированным) кубом
в пространстве V (dim V = п > к) называется пара
состоящая из гладкого отображения
<р : 1к —> V
и некоторой ориентации Ок пространства R*\ о которой говорят также
как об ориентации сингулярного куба. Отображение (р называется
параметризацией сингулярного куба С. Носитель сингулярного куба С
— это множество (рAк) С V.
Сингулярный куб, отличающийся от заданного сингулярного куба С
только выбором ориентации в пространстве параметров, обозначается
через -С. т.е. — (Ок.ср) = (—Ок.ср). ¦
Прилагательное "ориентированный" мы, как правило, будем
опускать, поскольку неориентированные сингулярные кубы рассматриваться
вообще не будут. Если ориентация fc-мерного сингулярного куба не
указана, то будем считать (ппо умолчанию"), что имеется в виду ориентация
Ок
Мы часто будем пользоваться упрощёнными обозначениями: говоря
о сингулярном кубе мы будем указывать только его носитель, если из
контекста ясно, какие именно параметризация и ориентация имеются в
виду.
Определение. Пусть С = (Dk, ф) — сингулярный fc-мерный куб, Q
— дифференциальная fc-форма, определённая в некоторой окрестности
множества (f(Ik). Интеграл формы Q по кубу С определим
равенством
[ft d= f <р*П =± ju) dt1... dtk, D.7)
С Ik Ik
где (p*Q = uj dt1 Л ... Л dtk,
119

ср. с формулой D.6). Интеграл от ip*Q вычисляется, конечно же, с
учётом заданной ориентации Ок пространства Rfe, т. е. знак п + п
в правой части D.7) соответствует случаю Ок = 0(^v а знак " —" —
случаю Ок = D(ky Ш
Из определения D.7) ясно, что при изменении ориентации
сингулярного куба интеграл от дифференциальной формы по кубу меняет знак:
D.8)
Для практических вычислений совершенно необязательно, чтобы
область определения параметризации сингулярного куба была замкнутым
единичным кубом Ik. Характерной ситуацией является следующая.
Пусть заданы: fc-мерный сингулярный куб С = (Ок, (р : 1к —> V\
замкнутое измеримое множество D С Шк и гладкие отображения
ф : D —> V\ h : Ik —> Rfe, удовлетворяющие условиям
1) h(Ik) = D,
2) h удовлетворяет условиям теоремы 4.1 о замене переменных
(которые, впрочем, могут нарушаться на множестве меры нуль),
3) ср = ф о h.
Другими словами, ф фактически есть другая параметризация С, но
область D изменения параметров не обязательно единичный куб. а
отображение h указывает соответствие между старыми параметрами и
новыми (взаимная однозначность этого соответствия может нарушаться
на множестве меры нуль).
В этом случае для вычисления интеграла от О по С мы можем
использовать параметризацию ф, если она более удобна, ибо
(интеграл в правой части вычисляется с учётом заданной ориентации
Ок).
Ч В самом деле, используя свойство (ф о h)* = /г* о ф* и теорему
4.1, получим
fn = f <р*п = [(фонуп = f н*ф*п = f ф*п = [<ф*п. >
С Ik jfc jk h(jk) D
120

Пример. Проинтегрируем дифференциальную 2-форму
Q = dx A dy + z dx A dz
по 2-мерному сингулярному кубу (ОДM^K
if : I2 —> R3, <р(ищ v) = (и cos 2ttv . и sin27rv. и), и = t1. v = t2.
Первый способ. Находим обратный образ (p*Q:
(p*(dx A dy) = d(u cos 2nv) A d(u sin 2nv) = 2nu du A dv,
(p*(z dx A dz) = и d{u cos 2ttv) A du = 2im2 sin 2ttv du A dv,
cp*Q = 2тги A + и sin 2ttv) du A dv
и вычисляем интеграл по единичному квадрату:
11 11
/ ip*Q = 2тг udu / dv + 2тг и2 du / sin 2ttv dv = тт.
p oo oo
Второй способ. Рассмотрим множество (единичный круг)
D = { (х, у) е R2 | х2 + у2 < 1 } и отображения
h : /2 —> D, h{u,v) = (ucos27rv,usm27rv),
ф : D —> М3. ф(х, у) = {х, У* \/%2 + У2)-
Нетрудно видеть, что мы находимся в условиях описанной выше
ситуации:
д(х< у) ( Кр0М6
h(I2) = D, ф о h = (/?, -^—^—- = 27га > 0 на I2 множества
o{u,v) \
4 7 у меры нуль
Находим обратный образ ф*П:
ф*^х A dy) = dx A dy,
ф*(г dx A dz) = ух2 + у2 dx A d(\/x2 + у2) = у dx A dy,
ф*П = A + у) dx A dy
и вычисляем интеграл по единичному кругу:
D D D
121

Первый из двойных интегралов равен площади единичного круга,
второй — нулю, что ясно и без вычислений, ибо подынтегральная функция
нечётна на каждой прямой х = const относительно точки (const, 0), а
ось абсцисс является осью зеркальной симметрии для области
интегрирования.
Геометрический смысл параметризации ф: носитель
рассматриваемого сингулярного куба — боковая поверхность конуса, ограниченного
поверхностями
x2 + y1 = z1. z = 0. z = l.
за параметры (#, у) произвольной точки этой поверхности принимаются
декартовы координаты проекции точки на плоскость Оху. ?
Примеры
1. Пусть С = (О^^с : [0,1] —> V) — 1-мерный сингулярный куб
(кривая) в n-мерном аффинном пространстве Р. А
дифференциальная 1-форма в V.
Если (гя1,..., хп) — регулярные координаты в окрестности носителя
С и А = Ai dx\ то. как нетрудно подсчитать,
drUcti))
с"А = Ас(с) • dt = {Аг о с) • х2 • dt где x\t) = 'у" .
По определению, интеграл от 1-формы А по 1-мерному сингулярному
кубу С равен
Ja=J A,(c(t)) ^ Л = / Аст {*$±)Л. D.9)
со о
Мы пришли к знакомой формуле для криволинейного интеграла II рода.
В традиционных курсах математического анализа криволинейный
интеграл II рода обычно трактуют как интеграл от векторного поля вдоль
кривой, точнее, от скалярного произведения векторного поля и
касательного вектора к кривой (работа силы на перемещении). Мы же
интегрируем не вектор, а 1-форму. Недоразумение проясняется очень просто. Если
на нашем аффинном пространстве задан метрический тензор
д = gij dxl^dxJ,
то векторные и ковекторные поля можно не различать: векторное поле
A = Ah
ik d
dxk
122

отождествляется с дифференциальной 1-формой
А = Ai ax , Ai = g<ik A .
В этом случае мы можем определить интеграл от А как интеграл от
ассоциированной с А 1-формы А:
i.i .1
hitdt =I^Akdidt =/5(A*>-^r)dt-
0 0 0
Если путь с замкнут, т. е. с@) = сA), то этот интеграл называется
циркуляцией векторного поля А по с.
2. Если Q — комплексная fc-форма на вещественном аффинном
пространстве, т. е. выражение вида Ф + гФ, где Ф и Ф — обычные веще-
ственнозначные fc-формы на том же пространстве, то, по определению,
Пусть / = u + iv — непрерывная функция комплексного переменного
z = х + гг/, 7 — гладкая кривая (т. е. 1-мерный сингулярный куб) в
комплексной плоскости С, которую мы рассматриваем как двумерное
вещественное аффинное пространство с координатами (х,у). Интеграл
от функции / по 7, как нетрудно видеть, это то же самое, что интеграл
по 7 от комплексной 1-формы / dz = (и + iv)(dx + idy):
f dz = (udx — v dy) + г I {v dx + и dy).
7 7 7
Это непосредственно следует из соответствующих определений.
3. Пусть С = (?)ДMг : I2 —> Е3) — 2-мерный сингулярный куб в
3-мерном ориентированном евклидовом пространстве Е3.
Рассмотрим в Е3 дифференциальную 2-форму
А = R dx A dy — Q dx A dz + P dy A dz.
где (ж, у, z) — ориентирующие декартовы координаты, определённую в
некоторой окрестности множества г(/2).
Несложные вычисления дают
г*Л = /* Л. -^ х -^ \ • du A di\ и = t1. v = t2.
\ ои ov I
Здесь угловыми скобками обозначено скалярное произведение, а * —
оператор Ходжа метрической формы объёма dx A dy A dz^ переводящий
123

2-формы в векторы, так что
д д д
ох оу иг
В случае, если векторы дг/ди и dr/dv линейно независимы в
каждой точке (u*v) G /2, т. е. вектор-функция г задаёт
параметризацию некоторой двумерной поверхности (с краем), мы можем ввести в
рассмотрение (задающий ориентацию) вектор единичной нормали к
поверхности:
п =
дг дг дг дг
du dv _ du dv
дг дг
ди dv
л/EG - F2
где
, дг дг\ /9г 9г\ /9г 9г\
^ди1 диГ \ди' dv Г \ dv ' dv I
Тогда выражение для г* Л переписывается в виде
Г*Л = (*Д п) • у/EG - F2 • du A dv.
Согласно определению интеграл от 2-формы А по 2-мерному кубу
С равен
Г А = [[ (*Дп) • у/EG - F2 du dv. D.10)
с р
Мы пришли к хорошо знакомой формуле для поверхностного интеграла
II рода (поток векторного поля *Л через поверхность С). ?
Цепи. Интеграл от дифференциальной формы по цепи
Даже в одномерном случае ясно, что неудобно ограничиваться
контурами интегрирования, состоящими из одного параметризованного куска.
Необходимы также контуры, составленные из нескольких кусков,
которые могут проходиться в ту или иную сторону по несколько раз.
Аналогичное понятие в случае произвольной размерности называется цепью.
Определение, к-мерпой цепью называется набор
С = {t\ tm\ C\, — Ст },
в котором d — сингулярные ориентированные fc-мерные кубы, а ^
— целые числа, называемые кратностями. Цепь принято записывать в
виде формальной линейной комбинации:
т
С = ?\ С\ + ... + ?т Ст = 2_^ h Ci •
124

Носителем цепи называется объединение носителей составляющих цепь
сингулярных кубов.
Интеграл от дифференциальной fc-формы Q по цепи С = YlT=i ^ ^
определяется по линейности:
/т „
П d^f ^ 4 / П. ¦ D.11)
с г=1 d
Замечание. Удобно определить 0-мерную цепь в аффинном
пространстве V как набор точек из V вместе с их кратностями:
С = {h С; Рь----Рш}- где рг eV. ^ е Z.
Интеграл от 0-формы, т. е. функции, / по 0-мерной цепи С
определяется как сумма
Jf = tl-f(pi) + ... + em-f(Prn).
С
В связи с последним примером, см. D.10), полезно будет дать ещё
одно
Определение. Пусть С — [п — 1)-мерная цепь ("поверхность") в
n-мерном аффинном пространстве Р, Q — форма объёма на
ассоциированном с V векторном пространстве, А — векторное поле, определённое
в некоторой окрестности носителя С. Потоком векторного поля А
через поверхность С называется величина
/*а-
с
где * — оператор Ходжа формы объёма И, переводящий векторы в
(п — 1)-формы.
Разумеется, поток А через С зависит не только от А и G, но
также и от выбора формы объёма Q. Ш
Граница сингулярного куба и цепи
Понятие границы сингулярного куба и цепи является удобной
формализацией и обобщением таких "интуитивно ясных" понятий, как,
например, (топологическая) граница6 множества на плоскости (и, вообще,
6Напомним, что топологическая граница множества М — это совокупность всех граничных
точек множества М. Точка р называется граничной точкой множества М, если любая окрестность
точки р содержит точки как принадлежащие М, так и не принадлежащие М.
125

в аффинном пространстве произвольной размерности), край 2-мерной
поверхности в 3-мерном пространстве.
Граница сингулярного ориентированного fc-мерного куба является
[к — 1)-мерной цепью. В частности, понятие границы сингулярного куба
включает в себя правило её ориентации.
Начнём с определения цепи-границы замкнутого единичного куба
1к С Rfe, который мы будем рассматривать как сингулярный куб
(D(^},Id) в Жк с ориентацией Q^ и параметризованный тождественным
отображением Id : Ik —> Rk, Id(t) = t.
Топологическая граница dlk куба Ik представляет собой
объединение 2к его [к — 1)-мерных граней:
к 1
dIk = \J\JlknRks-\
i=l s=0
Каждая [к — 1)-мерная грань Ik P\Ris г есть пересечение куба с
гиперплоскостью Kis с
R*-1 = { (t\ ..., tk) e Rk | t = s }, г = 1, к, s = 0,1.
Грань 1к П Щ~г естественно рассматривать как (к — 1)-мерный
сингулярный куб в Жк с инъективной параметризацией
<рь : Шк~' —> Ш\ ^(/*-1) = /* П Шк~\
^1,..,0 = (*1 ^.М* ^ D-12)
Проще говоря, (fis действует так: Шк~г отождествляется с
гиперплоскостью IRfo С КЛ,
(t\...,tk-l)^(t\...,f-\o,t\...,tk-1),
а затем гиперплоскость Щ^1 сдвигается на постоянный вектор
s-д/дё = (а...,(и,оч...чо).
г
Далее, грань 1к П Щ~г снабдим ориентацией (—lJ+s ?*(±^\ т. е.
выбираем ориентацию (—l)z+s Q+^i если ориентация куба 1к есть
D(^}, и выбираем (—l)z+s ^j-1 в ПР0ТИВН0М случае.
Определение. Границей fc-мерного единичного куба 1к С Mfc,
рассматриваемого как сингулярный куб (D(^}, Id), называется следующая
126

(к — 1)-мерная цепь:
к 1
d(o(k±v и) = y, E(-^+s (^r1' ^ D-13)
г=1 «s=0
где ^s определяются формулой D.12). Менее формальной, но часто
употребляемой в литературе формой записи определения D.13)
является следующая:
а(±/*) = ±^^(-1)'«(/{-ПК*-1) D.14)
2 = 1 S=0
(здесь, в соответствии с нашим соглашением об упрощённых
обозначениях, под 1к мы понимаем сингулярный куб (?)(+M Id), а под 1к ПМ^-1 —
сингулярный куб {O/ly1, Vis)] разумеется, смена знака означает переход
к сингулярному кубу с противоположной ориентацией). ¦
Замечание. Формулы D.13), D.14) — это просто краткая запись
хорошо известного правила согласования ориентации области и её
границы, которое, применительно к нашему случаю, формулируется так.
Рассмотрим произвольную грань куба 1к. Пусть п — внешняя
(по отношению к кубу) нормаль рассматриваемой грани. Базис грани
{vi,.... v&_i} считается ориентирующим в том и только в том случае,
если базис {n, vi,..., v&_i} является ориентирующим в R^ (рис. 4).
е
1
п
""
VI
0
*
1
i
Vl
ql,
I2
*tt>
vi*
1
n
31:
Vl
1
n
R2
D2
n
Рис. 4. Ориентация границы квадрата. Если ориентация R2 задаётся
2-формой dt1 Л dt2, то обход границы в положительном направлении
происходит против часовой стрелки
127

Замечание. При к = 1, если понимать под I1 ПМ^ одноточечное
множество {s} С R, формула D.14) принимает вид
0(±[О,1]) = ±A-О)
(граница положительно ориентированного отрезка — 0-мерная цепь:
точка t = 1 берётся с кратностью +1, точка t = 0 — с кратностью —1).
Далее, пусть С = (D(^},(/?) — fc-мерный сингулярный
ориентированный куб в аффинном пространстве V.
Образ (^(/^ПМ^Г1) каждой грани куба 1к естественно рассматривать
как (к — 1)-мерный сингулярный куб в V с параметризацией
<po<pi8: 1к~г > V
и ориентацией (—l)z+s tyt^1-
Определение. Границей fc-мерного сингулярного ориентированного
куба С = (?^M V9) называется следующая [к — 1)-мерная цепь:
к 1
0(?&, у>) = ? E(-!)Z+S (^Л *> ° Ы- D-15)
г=1 s=0
Менее формальной, но часто употребляемой в литературе формой
записи определения D.15) является следующая:
д{ ± rtik)) = ± ? ?(-i)i+e ^7*п ^_1) D-16)
г=1 s=0
(здесь, в соответствии с нашим соглашением об упрощённых
обозначениях, под (f{Ik) мы понимаем сингулярный куб (ОД, (/?), а под
(рAк ПМ!?'1) — сингулярный куб {О^1, (po(pis); разумеется, смена знака
означает переход к сингулярному кубу с противоположной ориентацией).
Граница цепи определяется по линейности, т. е.
/ ТП \ 777
д[Т,^СЧ =Y,*idCi. ¦ D.17)
\г=1 / г=1
Замечание. При к = 1, если понимать под /1ПМ^ одноточечное
множество {5} С 1. формула D.16) принимает вид
д(±<р([0Л]))=±(<рA)-<р@)) D.18)
(граница положительно ориентированной кривой — 0-мерная цепь: точка
р = (/9A) берётся с кратностью +1, точка р = (/9@) — с кратностью
128

Из D.15) ясно, что для любой цепи С
д(-С) = -дС. D.19)
Примеры
1. Рассмотрим в R2 2-мерный сингулярный куб С = (?)(+M<?>) с
параметризацией (р : I2 —> R2,
^(t1^2) = (r + a-t1) cos2tt?2, ^{t1^2) = (r + a-t1) sin27r?2,
где г и а — положительные постоянные. Носителем этого сингулярного
куба является, очевидно, круговое кольцо, ограниченное окружностями
Sr = { (я, у) G М2 | х2+у2 = г2 }, Sr+a = { (х, y)eR2\ х2+у2 = {г+аJ }.
Найдём дС по определению:
v?(/2fmi0) = {v?(o,?2) \o<t2< i} = sr:
(f{I2 П Мп) = { <P(L t2) | 0 < t2 < 1 } = SV+a <
v?(/2 n m20) = {v?(?\0) 10 < t1 < 1} = a,
c/?(/2 П K2i) = { Ф\ 1) I 0 < t1 < 1 } = a,
где <7 — отрезок, соединяющий точки (г. 0) и (r + a. 0). Таким образом.
дС = 5r+a + а — Sr — a.
2. Рассмотрим в R3 2-мерный сингулярный куб С = (D?s, F) с
параметризацией F : I2 —> R3,
Fl(tl.t2) = В, • smut1 • cos27rt2.
F2{t1,t2) = R- sinirt1 ¦ sin27rt2,
F3^1^2) = Д-совтгё1,
где R = const > 0. Носителем этого сингулярного куба является,
очевидно, сфера 5д радиуса R (в = nt1 — "широта", ip = 27it2 —
"долгота"):
^ = {(гс,г/,^) Gl3 \x2 + y2 + z2 = R2}.
Найдём границу этого сингулярного куба по определению:
F(/2nRio) = {F{0,t2) \0<t2<l} = N,
129

F(I2 П Мп) = { F(l, t2) | 0 < t2 < 1} = S.
F(I2nm20) = {F(t\0) \0<tl<l} = HR,
F(I2 П R21) = { F(t\ 1) | 0 < t1 < 1 } = HR ,
где N = @, 0, R) — "северный полюс" сферы, S = @, 0, —R) — "южный
полюс" сферы, а Н\ — полуокружность, по которой сфера S\
пересекает полуплоскость Oxz. х > 0. т. е.
H1R = { О, 0, z) е М3 | х2 + z2 = R2, х>0 }.
Таким образом,
dS2R = S-N + HR-HR.
3. Рассмотрим в Ш3 3-мерный сингулярный куб С = (?)A,.F) с
параметризацией F : /3 —> R3,
Fl(tl,t2,t3) = Rt1 -smut2 -cos2тг?3,
F2(tl,t2,t3) = Rt1 -siriTrt2 -sin2ivt3,
F3{tl,t2,t3) = Rt1 -cosirt2,
где Я = const > 0. Носителем этого сингулярного куба является,
очевидно, шар BR радиуса R (фактически, (г = Rt1, в = 7г?2, </? = 27г?3)
— сферические координаты):
?д = { (я, у, г) е R3 | ж2 + у2 + z2 < R2 }.
Найдём границу этого сингулярного куба по определению:
F{I3 Г)Ш210) = {F@,?2,?3) | 0 < t2,t3 < 1} = О = @,0,0),
F(I3 П R2X) = { F(l, ?2, ?3) | 0 < t2, t3 < 1} = S2R ,
F(/3 П R220) = { F(t\ 0, t3) | 0 < t\t3 < 1} = <tn ,
F(/3 П M^i) = { F(*\ 1, ?3) | 0 < t1. t3 < 1 } = as ,
F(I3 ПМ20) = {F(^,t2,0) | 0 < t\t2 <1} = KR,
f(i3rm2i) = {^(ЛЛi) | о < t\t2 < i} = кВч
где 5^ = { (ж, г/, 2;) € Ш3 | ж2 + ?/2 + z2 = R2 } — сфера радиуса R (т. е.
топологическая граница шара BR), <jn и as — отрезки, соединяющие
начало координат О соответственно с северным и южным полюсами
сферы SR, т. е.
aN = { @, 0, Rt) | 0 < t < 1}, as = { @,0, -Rt) | 0 < t < 1},
130

К л — полукруг, по которому шар В л пересекает полуплоскость Oxz,
х > 0, т. е.
KR = { О, 0, z) е М3 | х2 + z2 < R2. х > 0 }.
Таким образом,
dBR = s2R-o + (jN-(js + KR-KR. и
Рассмотренные примеры могут вызвать недоумение читателя тем, что
результаты вычисления границ сингулярных кубов по формуле D.16) не
вполне согласуются с наглядными представлениями о границе открытой
области или о крае 2-мерной поверхности в 3-мерном пространстве, а
именно: в каждом примере граница fc-мерного сингулярного куба С
оказывается [к — 1)-мерной цепью дС\ состоящей как из "вполне
ожидаемых" слагаемых (составляющих топологическую границу или край),
так и из плишнихп слагаемых (в примере 2 все слагаемые — лишние, так
как сфера не имеет края).
Наше основное наблюдение состоит в том, что "лишние" слагаемые
либо входят в цепь парами с противоположными знаками (а значит, не
дают никакого вклада при интегрировании по дС любой
дифференциальной [к — 1)-формы), либо являются "поверхностями" меньшего, чем
[к — 1), числа измерений (а значит, как мы увидим дальше, интеграл по
ним от любой дифференциальной {к — 1)-формы равен нулю).
В нижеследующих определениях мы формулируем понятие
вырожденного fc-мерного сингулярного куба, т. е. такого куба, чья
"фактическая" размерность < к.
Определение. Гладкое отображение (р : 1к —> V (к < п = dimP)
называется регулярным в точке t = (t1,..., tk) ? /fe, если
mnk(d(p)t = к.
и вырожденным в точке t G Ik, если
rank(rf^)^ < к. Ш
Примеры
1. Постоянное отображение (р : 1к —> V\ cp(t) = const, вырождено
в каждой точке t G Ik'.
2. Образом квадрата I2 при отображении
if : I2 —> R3, (p(u,v) = (иcos2ttv,и8ш2тгу,и), и = t1, v = t21
131

является боковая поверхность конуса, ограниченного поверхностями
Вычисление ранга якобиевой матрицы даёт
rank ( (*?.? (^)Т ) =
V \ди) \dv) J
2, если и 7^ О,
1, если и = 0.
cos 2ttv —2тги sin 2ttv
rank I sin 2ttv 2ttu cos 2ttv
1 0
Поэтому (p вырождено только в точках отрезка { (O.v) | 0 < v < 1 },
которые переходят при этом отображении в вершину конуса. ?
Предложение 4.1 Пусть ср : 1к —> V гладкое отображение
(к < п = dimPJ, Q — дифференциальная к-форма, определённая в
некоторой окрестности множества (f(Ik).
Если (р вырождено в точке to G Ik. то (<p*Q)to = 0.
М Действительно,
(<р*П)ь = (<р*П)ь (^ ,..., ^) • ^ Л ... Л dt\
Поскольку rank(d(p)t0 = dim{ (d<p)t0(v) | v G Rfc } < fc, то векторы
(dv4w) {dMw)
линейно зависимы. А так как fc-линейная форма ^cp(t0)
антисимметрична, то её значение на этом наборе векторов равно нулю. >
Определение. Сингулярный fc-мерный куб С = (Dk,(p : Ik —> V)
называется вырожденным, если его параметризация <р вырождена в
каждой точке t G Ik. Ш
Предложение 4.2 Если k-мерный сингулярный куб С
вырожден, то для любой дифференциальной k-формы Q (определённой в
некоторой окрестности носителя куба С)
С
132

Ч Это немедленно следует из определения вырожденного сингулярного
куба и предложения 4.1. >
Определение. Две fc-мерные цепи:
С = {?\, ?т; С\. — Ст } и 5 = {/ii, /ip; 5i: — 5Р } —
назовём равными {С = S). если их записи в виде формальных линейных
комбинаций
т р
^2?iQ И У^ flj Si
г=1 г=1
совпадают как линейные формы от "переменных" С\,..., Cm, Si,..., Sp
(т. е. если одну цепь можно получить из другой путём "привидения
подобных членов") с точностью до слагаемых, кратных вырожденным
fc-мерным сингулярным кубам. ¦
Так, в рассмотренных выше примерах:
— граница кругового кольца: Sr+a + а — Sr — а = Sr+a — Sr;
— граница шара Br: S\ — О + on — &s + Kr — Kr = S\
(осталось только слагаемое, представляющее топологическую границу);
— граница сферы Sr. S — N + Нд — Н^ = О, т. е. после привидения
подобных членов и отбрасывания вырожденных слагаемых не осталось
ничего (у сферы нет края). Такие цепи называют нулевыми.
Определение. Цепь с нулевой границей называется циклом. Ш
Ясно, что интегралы по равным k-мерным цепям от одной п той же
к-формы совпадают. Интеграл по нулевой цепи от любой формы равен
нулю.
4.2 Общая интегральная формула Стокса
Из курса анализа известно о связи между интегрированием по
поверхности (или трёхмерной области) и по её границе: формулы Грина,
Гаусса-Остроградского и Стокса. Все эти результаты являются частными
случаями одной элегантной формулы, которую теперь принято называть
общей (или обобщённой) формулой Стокса (см. формулу D.20) ниже).
Эта формула была открыта и доказана А. Пуанкаре ("Новые методы
небесной механики", 1899 г.), который назвал свой результат
"обобщением теоремы Стокса".
Теорема 4.2 Пусть С — k-мерная цепь в вещественном аффинном
пространстве V,
m
i=\
133

Q — дифференциальная (к—1)-форма в пространстве V, определённая
по крайней мере в некоторой окрестности носителя цепи С. Тогда
fn = J dQ. D.20)
дС С
-4 Мы начнём с того, что докажем следующий частный случай формулы
D.20):
J П = J ctn, D.21)
QJk Jk
а затем сведём общий случай к этому. Здесь, для краткости, через /
обозначен сингулярный куб с ориентацией DA и параметризацией
Id : Ik —> Wlk: Id(t) = t.
Пусть re1,..., xk — стандартные координаты в M.k и
Q = ui dx2 Л ... Л dxk - си2 dx1 A dx3 Л ... Л dxk + ...
+(-l)fc+1 uk dxl Л ... Л dxk~l =
к
= J2 (~1У+1 Uidx1 Л...Л dxl~l A dxi+1 Л ... Л dxk. D.22)
г=1
Нам здесь просто удобно обозначить через (—1)г+1 Ui коэффициент при
dx1 А ... A dx1'1 A dxl+l Л ... Л dxk, т. е.
^г = (-1)' ^1...(г-1)(г+1)...Л =
= {-l)i+1 Q{d/dx\ ..., d/dx{-\ d/dxi+\ ..., d/dxk).
Тогда, как легко подсчитать,
dQ= lj2^) dx1 A...A dxk. D.23)
Левая часть равенства D.21) равна, см. D.13) и D.14),
к 1 к 1
dIk i=l *=0 IkfMk-i *=1 «=0 /fc_!
где (pis : 1к~1 —> 1к П М^-1 — параметризация грани 1к П М^-1 куба
1к, определяемая формулой D.12).
134

Вычислим [к — 1)-форму ip*sil. С помощью D.22) находим
(^ft = (р*1^Г {-l)e+1 ле dx1 А ... A dx*-1 A dxe+1 A...Adxk) =
к
= Е (-Х)т (^°^«) (^АХ)Л. • .A{ipldx"-l)A{^isdx"+l)A.. .АШ*к),
?=1
D.24)
b=l
где t1,..., tk~x — стандартные координаты в R^_1.
С помощью D.12) несложно подсчитать:
15?;, если а < г,
О, если а = г,
5%+v если а > i,
поэтому
й_! f бЙа, если а < г,
^sdxa = ^ ^et dfb = \ °- если а = *¦
6=1 [dta_1, если а > i.
Отсюда ясно, что в правой части D.24) слагаемые при ? ^ г -
заведомо нулевые (ибо каждое такое слагаемое содержит сомножитель
ip\sdxl = 0), а D.24) переписывается в виде
1р*8П = (-1)ш (ел о <pi3) dt1 A ... Л dtk~\ D.25)
Продолжим вычисление левой части D.21):
/ГЬ 1 л
п = J2 Е(-1)г+5(-1)'+1 у и ° ы ^ л... л d**-1 =
QJk *=1 S=0 jfc-1
к 1 „
= Е E(-X)S+1 / ^ ° ^ dtXA...A dtk~l =
г=1 s=0 J
135

Е
г=1
,к-Ъ
1 1
у,...у,[^1,...,*,-м,л...,*й-1)-
о о
1 j.z—1 п ^ j.fc—1>
dt1... dtk~\
-wi(t1,...,*,-i,o,*,,---)**)
Далее, с помощью формулы Ньютона - Лейбница, преобразуем
подынтегральное выражение в правой части последнего равенства:
uj.it1 tl~\ 1, t tk~x) - uj.it1 tl~\ 0Лг J*) =
l
^(t1 tl~\sAl tk~l)
dxl
ds.
о
Используя это, получим
1 1
J...J [u>i(t\...J-\\,t\...,1*-1)-
о о
Л 4-i—1 n ^ -i.k—1
Lk-ly
1 dui{t\...,ti-\s,t\...,tk-1)
dxl
dt1 ... dtk~x =
dsdt1... dtk~l =
0 0 0
1 1
duj^x1,..., xk) г
J J dxl
о о
Таким образом, окончательно получаем
i i
KAJtXJ ... KAJtXJ .
" = ?/•
duj.
dIk
i=l
дхг
KAJtXJ ... KAJtXJ
к
0 0
1 1
0 0
J2^\dx1...dxk
1=1
дхг
duj,
Y^ -A ) dx1 A . .. A dxk = / dft4 ч.т.д.
i=l
Jk \ °—± ' Jk
Доказательство формулы D.20) в общем случае сводится теперь к
разворачиванию соответствующих определений.
136

Для fc-мерного сингулярного куба С с ориентацией Dk+) и
параметризацией Lp : Ik —> V имеем, см. D.15) и D.16),
к 1 к 1
/п = ЕЕ*-1)"" / п = ЕЕ*-1)""/(v°w»r« =
о/-< ''=1 s=0 , , ь 1, г=1 s=0 rfc i
= ED-1)*" / ^?>*n = ЕЕ'-1)'^ / v*0 = yVn =
= /d^ft = /V^ = /da
jk jk с
Пояснение. Первое равенство — это определение интеграла по цепи.
Во втором равенстве используется определение интеграла по
сингулярному кубу и тот факт, что (р о (pis есть параметризация
сингулярного куба (рAк П R?:sГ1). Третье равенство справедливо в силу свойства
(а о ft)* = C* о а* оператора антиувлечения. Четвёртое равенство — это
определение интеграла по сингулярному кубу 1кГ\Жк~г от формы tp*Q.
Пятое равенство — это определение интеграла от формы tp*Q по цепи
д1к. В шестом равенстве используется тот факт, что формула Стокса
уже доказана для куба 1к. В седьмом равенстве используется свойство
перестановочности операторов антиувлечения и внешнего
дифференцирования. И наконец, последнее равенство — это определение интеграла
от формы dQ по сингулярному кубу С.
Поскольку обе части равенства D.20) меняют знак при замене С на
—С, см. D.8) и D.19), то формула D.20) доказана также и для случая
ориентации ОД сингулярного куба С.
Доказательство формулы D.20) для цепи
т
г=1
теперь тривиально:
/lit /» iii /» /»
ft = J2?i / П = J2?i dQ = dQ. >
ОС i=1 dCt i=l Q С
Следствие 1 Интеграл от точной дифференциальной формы по
циклу равен нулю:
/dft = 0, если дС = 0. D.26)
с
137

Следствие 2 Интеграл от замкнутой дифференциальной формы
по границе цепи равен нулю:
/ П = О, если dVt = 0. D.27)
дС
Примеры
1. Рассмотрим в ориентированном Е3 с ориентирующими
декартовыми координатами (х, у, z) дифференциальную 2-форму
z dx Л dy — у dx Л dz + х dy Л dz A
П = (д.2 + yi + ^2K/2 = -^ где обозначено
А = z dx Л dy — у dx Л dz -\- х dy Л dz, г = ух2 -\- у2 -\- z2 .
Заметим, что
„ / г \ д д д
S 2 = * — L гдег = з:—+?/—+z — .
уг5/ от оу oz
Непосредственный подсчёт показывает, что форма Q замкнута:
d(r~3) = —3r~5 [xdx + ydy + z dz),
dA = 3dxAdyA dz,
dQ = d(r~3A) = d(r~3) Ai + r3rfi=... = 0.
Докажем, что тем не менее Q не является точной.
Если бы Q была точной, то, в силу следствия 1 теоремы 4.2, интеграл
от неё по любому циклу (носитель которого расположен в области
определения формы Q. т. е. в Е3 \ {О}) равнялся бы нулю. В качестве
такого цикла возьмём сферу радиуса 1 с центром в начале координат:
Si = {р е Е3 | х2{р) + у2{р) + z2{p) = 1} = дВ1,
где Вг = { Р е Е3 | х2(р) + у2(р) + z2(p) < 1 }
(шар В\ рассматриваем как 3-мерный сингулярный куб с ориентацией
DC}, см. один из предыдущих примеров).
Предварительно заметим, что интеграл от дифференциальной формы
по сингулярному кубу (цепи) зависит только от значений этой формы в
точках носителя куба (цепи). Это очевидно из соответствующих
определений.
138

Поскольку Q = А на S\, то
Q = А = А = dA =3 dx A dy Adz = 4:7г.
Si ft дВг Bx Вх
Мы воспользовались здесь формулой D.20) и тем, что последний
интеграл равен объёму единичного шара.
2. Формулу D.20) чаще всего используют "слева направо", т. е.
вместо того, чтобы вычислять J^fi, вычисляют fcdQ. Мы именно так
и поступили в предыдущем примере.
Иногда бывает целесообразно применять формулу D.20) в "обратную
сторону", т. е. вместо того, чтобы вычислять fcQ, где Q ~ точная
форма, вычислить Jgc П, где Q — некоторый потенциал формы Q.
Вычислим, например, интеграл от дифференциальной 2-формы Q,
Q = у dz A dx + х dz A dy,
по поверхности 5 С R3, край OS которой имеет параметризацию
7 : [0. 2тг] —> R3.
7(?) = (cost, sin t, sin 2t).
Непосредственным вычислением убеждаемся, что dQ = 0.
следовательно, по лемме Пуанкаре форма Q точна. С помощью описанного в
предыдущей главе алгоритма находим потенциал Q:
dA = Q, А = - I yz dx + xz dy — 2xy dz 1.
Непосредственное вычисление даёт 7*А = 0, поэтому
[ Q = I dA = f A = t 7*A =0. ?
S S dS [0,2тг]
4.3 Некоторые частные случаи общей формулы Стокса
4.3.1 Теорема Гаусса о дивергенции
Пусть V — n-мерное аффинное пространство, ассоциированное с
вещественным векторным пространством V, Q — форма объёма на V,
а * : V = AX(V) —> An_i(V) — оператор Ходжа формы объёма Q.
Пусть, далее, С — n-мерная цепь в V (область), a Y — гладкое
векторное поле, определённое в некоторой окрестности носителя цепи С.
139

В силу теоремы 4.2
[ d*Y = /*Y,
С дС
а поскольку d * Y = (div Y) • И, то мы приходим к теореме Гаусса о
дивергенции:
/(divY)-ft = /*Y. D.28)
Словами: интеграл от дивергенции векторного поля по области равен
потоку этого векторного поля через границу области.
4.3.2 Первая и вторая формулы Грина
Пусть теперь на V задан метрический тензор д, ориентация, и
пусть Qg — соответствующая метрическая форма объёма.
Полагая в D.28)
Q = Qg и Y = grad /5
где / — гладкая функция, получим т. н. первую формулу Грина:
jAf-Пд = У* grad/. D.29)
с дс
Полагая в D.28) последовательно
Y = и • grad v и Y = v • grad и
и используя тождество
div (/ X) = / divX + Х(/) = / divX + <?(grad /, X),
получим
/ и Av Qg-\- I g(gradu,gradv) Qg = I *(^grad^), D.30)
с с дс
I v Au Qg + / g^gradi^gradiz) Qg = * (v grad^x), D-31)
С С дС
Вычитая D.31) из D.30), приходим к т. н. второй формуле Грина:
\ {и Av — v Au) Qg = *(u grad г; — v grad^x). D.32)
С дС
140

4.3.3 Формула Остроградского — Гаусса
Рассмотрим частный случай теоремы Гаусса о дивергенции D.28),
когда V — трёхмерное ориентированное евклидово пространство, a Q
метрическая форма объёма.
Пусть (#, у, z) — ориентирующие декартовы координаты,
д д д
их By Bz
тогда
Q = dx A dy A dz,
* Y = R dx A dy — Q dx A dz + P dy A dz,
n. _ OP dQ OR
div Y = —- + —- + —-,
ote ay az
и D.28) переписывается в виде
ВР ВО BR\ Г
——\-——Ь^— I dx Ady Adz = / R dx Ady — Q dx Adz-\- P dy Adz.
ox By Bz I J
с x 7 dc
D.33)
Это классическая формула Остроградского - Гаусса. В более привычных
для курса анализа обозначениях D.33) записывается как
ВР ВО BR\ С С
——\- ——\- -7-- I dxdydz = R dx dy — Q dx dz + P dy dz
Bx By Bz I J J
с x 7 dc
(слева — поверхностный интеграл II рода).
Пример. Пусть р — объёмная плотность электрического заряда7,
распределённого в трёхмерном евклидовом пространстве Е3. Мы
предполагаем, что в Е3 фиксирована ориентация, через {х, у, z) обозначаем
ориентирующие декартовы координаты.
Пусть СсЕ3 — некоторый ограниченный объём. Величина
/ р dx A dy A dz
с
называется зарядом, объёма С.
Два из четырёх уравнений Максвелла гласят:
div В = 0 (отсутствие магнитных источников),
div Е = Атгр (закон Гаусса),
7См. приложение к главе 3 "Уравнения электродинамики на языке дифференциальных форм".
141

где Е — вектор напряжённости электрического поля, В — вектор
напряжённости магнитного поля.
Используя эти уравнения и теорему Гаусса, получим
47Г / р dx Л dy Л dz = / div E dx Л dy Л dz = / *Е5
ее дс
т. е. ноток электрического ноля через замкнутую поверхность
пропорционален заряду объёма, ограниченного этой поверхностью; далее
О = / div В dx Л dy Л dz = / *В.
с дс
т. е. поток магнитного ноля через любую замкнутую поверхность равен
нулю.
В приложении к главе 3 мы получили, как следствие уравнений
Максвелла, следующее соотношение:
где J — вектор плотности электрического тока. Интегрируя это
равенство по объёму С и используя теорему Гаусса, получим
С С дС
Величина Js * J называется полным электрическим током через
поверхность S. Таким образом, скорость изменения заряда объёма равна
минус полному электрическому току через поверхность,
ограничивающую объём. ?
4.3.4 Классическая формула Стокса
Пусть С — 2-мерная цепь в трёхмерном ориентированном
евклидовом пространстве ("поверхность с краем"), А — векторное поле,
определённое в некоторой окрестности носителя цепи G, А — ассоциированная
с А дифференциальная 1-форма.
Мы знаем, что поле ротора векторного поля А дуально (по Ходжу)
дифференциальной 2-форме dA, т. е.
*rot A = gL4,
142

где * — опрератор Ходжа метрической формы объёма, переводящий
векторы в 2-формы.
По теореме 4.2
/ *rot A = dA = A.
с с дс
и мы приходим к классической теореме Стокса:
I *rotA = A. D.34)
С дС
Словами: поток ротора векторного поля через поверхность равен
циркуляции этого векторного поля по краю поверхности.
Пусть (#, у, z) — ориентирующие декартовы координаты,
д д д
А = Р— + Q- + .R —,
ох оу oz
тогда
А = Р dx + Q dy + R dz,
dA = dP Adx + dQ f\dy + dRAdz =
dP 7 7 dP 7 7 dQ 7
-7—- ay A ax + -^— dz Л ax + ^— arr Л да/+
ay oz ox
dQ 7 7 <9i? 7 7 <9i? 7
dz Л ay + ^— dx Adz + -7— dy Adz =
dz dx dy
(dQ dP\ 1 1 (dR dP\ 1 1 (dR dQ\ 1
= ^ — )dxAdy+[- — )dxAdz+ [- —)dy Adz
\ox oy J \ox oz J \oy oz J
и в координатной записи формула Стокса D.34) принимает вид
/ Р dx + Q dy + R dz =
дС
f (dQ dP\ 7 7 (dR dP\ 7 7 (dR dQ\ 7 7
= / IT" IT ^Л^+ я л" ^Л^+ я -ir)dyAdz, 4.35
J \ох оу J \ох oz J \oy oz J
с
или, как это принято записывать в курсе анализа,
ас
— )dx dy + — cte dz + - — \dydz.
Kox oy J \ox oz J \oy oz J
с
143

Замечание. Несмотря на то что формула D.35) есть координатная
запись (в декартовых координатах) формулы D.34), мы получили D.35)
непосредственно из формулы D.20), применяя её к дифференциальной 1-
форме Q = Р dx + Q dy + R dz. При этом мы никак не использовали тот
факт, что координаты — декартовы, поскольку внешний дифференциал
вычисляется одинаково в любых координатах. Отсюда вывод: формула
D.35) справедлива и в том случае, если (#, у, z) — криволинейные
координаты.
Пример. Два из четырёх уравнений Максвелла гласят:
rot E + —— = 0 (закон индукции Фарадея),
<9Е
rot В —— = 47Г J (закон Ампера),
где Е — вектор напряжённости электрического поля, В — вектор
напряжённости магнитного поля, J — вектор плотности электрического
тока.
Пусть S С Е3 — произвольная 2-мерная поверхность с краем dS.
Используя эти уравнения и теорему Стокса, получим (Е и В —
дифференциальные 1-формы, ассоциированные соответственно с Е и
В):
Е = *rotE = -— / *В,
OS S S
т. е. циркуляция электрического ноля по краю поверхности равна минус
скорости изменения потока магнитного поля через эту поверхность;
далее
В = *rot В = — / *Е + 4тг / *J,
OS S S S
т. е. циркуляция магнитного поля (её называют также разностью
магнитного потенциала) по краю поверхности равна скорости изменения
потока электрического поля через эту поверхность плюс (с точностью
до постоянного множителя) полный электрический ток через
поверхность. ?
4.3.5 Формула Грина на плоскости
Рассмотрим в плоскости (двумерном аффинном пространстве)
2-мерную цепь С. Пусть {х,у) — аффинные координаты и О, = Р dx + Q dy
— дифференциальная 1-форма на плоскости.
144

Непосредственное применение общей формулы Стокса D.20) к il,
Р dx + Q dy = / d(P dx + Q dy) =
дС С
ff dQ dP\
dP A dx + dQ A dy = / I — — I dx A dy,
с с
даёт классическую формулу Грина
дх ду
Pdx + Qdy = / (-^--—)dxAdy, D.36)
ИЛИ,
как это
дС
принято записывать
дС
Р dx
+ Qdy =
с
в
1
С
курсе анализа
Kir-
J \ох
дР^
\dxdy.
Замечание. Трактовка (ж, у) в D.36) как прямолинейных
координат традиционна для курсов анализа, но совершенно необязательна. В
самом деле, при выводе этой формулы мы никак не использовали тот
факт, что координаты — прямолинейные, поскольку внешний
дифференциал вычисляется одинаково в любых координатах. Отсюда вывод:
формула D.36) справедлива и в том случае, если (#, у) — криволинейные
координаты.
4.3.6 Теорема Коши о вычетах
Пусть функция / комплексного переменного z = х + гу аналитична
в некоторой проколотой окрестности точки a G С. Тогда, как известно
из курса ТФКП, в достаточно малой проколотой окрестности Ur точки
a, Ur = { z G С | 0 < \z — а\ < г }, функцию / можно представить
рядом Лорана:
/И = ?>'(*- а)п.
п=—оо
Коэффициент c_i при [z — а)-1 называется вычетом функции / в
точке а:
c_i = Res (/, а).
Далее мы рассматриваем С как двумерное вещественное аффинное
пространство, наделённое ориентацией, задаваемой 2-формой dx A dy.
145

Пусть 'у С С — замкнутый кусочно-гладкий контур без
самопересечений (в нашей терминологии 7 ~~ 1-мерная цепь в С). Пусть D —
ограниченная замкнутая область, границей которой служит контур 7:
dD = 7- Считаем, что D наделена ориентацией пространства С, а
контур 7 наделён ориентацией, согласованной с ориентацией D, т. е.
при обходе 7 в положительном направлении область D " остаётся
слевап.
Рассмотрим функцию /, аналитичную в некоторой окрестности
области D, за исключением конечного числа внутренних точек а\ ct?
области D (особые точки функции /).
Окружим каждую точку а& достаточно малым открытым кругом
Вк с центром в точке а& так, чтобы все эти круги не пересекались и
лежали во внутренности области D. Обозначим через Sk окружность,
являющуюся границей круга ?>&: Sk = dBk- Считаем, что ориентация
окружностей Sk соответствует их обходу "против часовой стрелки" (т. е.
при обходе Sk в положительном направлении Bk "остаётся слева").
?
Функция / аналитична в области V = D\ |J ?>&. Границей области
к=1
V является следующая 1-мерная цепь: 8V = 7 — Si — ... — Si.
В силу теоремы 4.2
р.
Jd(fdz) = Jfdz =Jfdz-^2 Jfdz-
v dv 7 k=1 sk
Но, как мы видели в пункте 3.1.1 предыдущей главы, аналитичность
функции / равносильна условию d(f dz) = 0. Поэтому
?
J fdz =^2 J fdz.
7 k=1 Sk
Вычислим интеграл в правой части последнего равенства. Поскольку
ряды Лорана можно интегрировать почленно, то достаточно вычислить
интеграл вида
I (z — а)пdz, где Kr{a) = {z € С | \z — а\ = г} =
Кг(а)
= {а + ге11 I 0<?< 2тг}.
146

Но это легко:
2тг
[ (z- a)n dz = irn+l f e*(n+1)* dt =
Kr(a) 0
Таким образом, мы приходим к теореме Коши о вычетах:
ffdz =27rz^Res(/,afc), D.37)
т. е. интеграл по простому кусочно-гладкому замкнутому контуру от
функции, аналитической на контуре и в области, охватываемой
контуром, за исключением конечного числа особых точек внутри контура,
равен сумме вычетов этой функции во всех особых точках^ умноженной на
2т.
4.3.7 Формула Ньютона - Лейбница
При доказательстве общей формулы Стокса D.20) мы не рассмотрели
случай к = 1.
Пусть С — 1-мерный сингулярный куб в аффинном пространстве
V (произвольной размерности) с ориентацией D(|} и
параметризацией с : [0,1] —> V. В соответствии с определением границы 1-мерного
сингулярного куба D.18)
ОС = Ъ — а, где а = с@), Ь = сA).
Пусть / — гладкая функция, определённая в некоторой окрестности
множества с([0,1]). Записывая общую формулу Стокса для 1-формы df
и цепи С получаем хорошо известную формулу Ньютона Лейбница:
J df = Jf = /(b)-/(a). D.38)
с ос
Случай произвольной 1-мерной цепи легко сводится к рассмотренному
(упражнение).
4.4 Приложение 4. Физическая интерпретация div и rot
4.4.1 Физическая интерпретация
поверхностного интеграла II рода
Расмотрим течение жидкости в трёхмерном ориентированном
евклидовом пространстве Е3.
147
2тщ при п = — 1,
О, При П 7^ —1-

Сначала для простоты считаем, что все частицы жидкости движутся
с одной и той же постоянной скоростью v.
Пусть а и b — два линейно независимых вектора, Р —
параллелограмм, натянутый на эти векторы. Ориентируем площадку Р выбором
одной из двух нормалей к ней, а именно в качестве ориентирующей
нормали возьмём
а х b
п= , а = а х b ,
а
т. е. если векторы a, b, n отложены от одной точки, то из конца вектора
п видна "положительная" сторона Р.
Подсчитаем объём жидкости, протекающей за единицу времени через
площадку Р с отрицательной её стороны на положительную. Фраза "с
отрицательной стороны на положительную" означает, что мы считаем
объём положительным, если жидкость "течёт в направлении вектора"
п, т. е. угол между v и п — острый. Если угол между v и п — тупой,
то объём засчитывается с отрицательным знаком. Определённую таким
образом величину называют объёмным расходом жидкости.
За единицу времени частицы жидкости, находящиеся на площадке Р,
сместятся на вектор v. В результате через Р вытеснится жидкость,
заключённая в параллелепипеде с основанием Р и образующей v.
Ориентированный объём этого параллелепипеда равен
(v, а х b) = (v, n) • а.
Знак этого числа определяется знаком (v,n), т. е. мы как раз и
получили искомый объёмный расход.
Если р — плотность жидкости (пока считаем её постоянной), то
величина
Р ' (v, n) • а
равна, очевидно, массе жидкости, протекающий за единицу времени
через площадку Р с отрицательной её стороны на положительную
(берётся со знаком " + ", если жидкость течёт в направлении вектора п, и
со знаком " — " в противном случае). Эту величину естественно назвать
расходом, массы жидкости.
Пусть теперь v — векторное поле, которое мы интерпретируем как
поле скоростей движущейся жидкости: мгновенная скорость частицы
жидкости, находящейся в данный момент времени в точке ?>, равна vp .
Рассмотрим регулярную ориентированную двумерную поверхность
S С Е3 и подсчитаем объёмный расход жидкости, протекающей через
неё.
148

Пусть г = r(u,v), (u,v) ? D- параметрическое уравнение
поверхности Sj причём координаты (гх, v) — ориентирующие, т. е. единичный
вектор нормали
дг дг дг дг
du dv _ du dv
п
дг дг
ди dv
VEG - F2
\du' dui \du'dv i \ dv ' dv I'
задаёт ориентацию (если п отложен от точки поверхности, то из конца
этого вектора видна положительная сторона поверхности).
Возьмём произвольную точку поверхности р. Объёмный расход
жидкости, протекающей через " бесконечно малую" площадку поверхности
dS с центром в точке р и сторонами du,dv, равен
{vp , пр) • dS = (vp , пр) • (у/EG — F2)p du dv.
Суммирование всех таких элементарных объёмных расходов (т. е.
интегрирование по поверхности) даст общий объёмный расход жидкости,
протекающей через поверхность S:
И (v, n) • dS = И (v, n) • \/EG - F2 du dv. D.39)
S D
Этим объясняется происхождение термина поток векторного поля
через поверхность.
Аналогично, интеграл
р • (v. n) • dS = Up- (v, n) • VEG - F2 du dv D.40)
S D
равен расходу массы жидкости, протекающей через поверхность S.
Здесь плотность жидкости р уже не обязана быть постоянной
величиной.
Пример (уравнение неразрывности). Рассмотрим в области
течения жидкости произвольный объём U (с "достаточно гладкой"
границей, чтобы можно было применять теорему Гаусса о дивергенции).
Если внутри U нет источников и стоков, то изменение массы жидкости
внутри U происходит исключительно за счёт притока извне, т. е.
— р dx Л dy Л dz = — / *(р v)
U dU
149

(dU ориентирована внешней нормалью, (#, у, z) — декартовы
координаты). Преобразовав правую часть по формуле Остроградского - Гаусса,
перенеся всё в левую часть и произведя дифференцирование под знаком
интеграла, получим
/ (я + ^iv (р v)) dx Ady Adz = 0.
и
Поскольку объём U в последнем равенстве произволен, то оно
равносильно
^+div(,,v)=0.
Последнее уравнение называется уравнением неразрывности, оно
выражает собой закон сохранения массы. ?
Рассмотренная нами интерпретация поверхностного интеграла II рода
не единственна. Например, если векторное поле v есть плотность
теплового потока, то интеграл D.39) равен количеству теплоты, проходящей
за единицу времени через поверхность S с отрицательной её стороны
на положительную.
4.4.2 Физическая интерпретация div
Рассмотрим поток векторного поля v через замкнутую поверхность
S. Если интерпретировать v как поле скоростей жидкости, то знак
потока v через S приобретает следующую трактовку.
Если интеграл D.39) положителен, то из области U* ограниченной
поверхностью S, вытекает жидкости больше, чем в неё втекает. Это
говорит о наличии в области U точек, в которых жидкость образуется
(например, тает лёд). Такие точки называются источниками.
Наоборот, если интеграл D.39) отрицателен, то в область U жидкости
втекает больше, чем из неё вытекает. Это говорит о наличии в области
U точек, в которых жидкость исчезает (например, замерзает). Такие
точки называются стоками.
Источники и стоки для удобства называют одним термином —
источники, считая интенсивность источника положительной, а интенсивность
стока — отрицательной.
Содержательно, интенсивность это объём жидкости, возникающей
(исчезающей) в единице объёма за единицу времени (берётся с
положительным знаком в случае возникновения и с отрицательным — в случае
исчезновения). Перейдём к строгому определению.
150

Пусть Up — некоторая ограниченная окрестность (например,
шаровая) точки р. В силу теоремы Гаусса о дивергенции и теоремы о среднем
для кратного интеграла
divv(p;) • vol(C/p) = / *v <^> divvQ/)
dup
vo\(Up)
(через vol(C7) обозначаем объём G), где p' G Up — некоторая точка.
Дробь в правой части последнего равенства есть средняя
интенсивность источников в области Up , т. е. возникающий за единицу времени
в области Up объём жидкости, делённый на объём области Up.
Будем теперь стягивать область Up к точке р. т. е. устремим к нулю
диаметр
dmm(Up) = sup{ \a — Ъ\ | а, Ъ G Up }
этой области. Поскольку при этом р' —> р, то мы получаем
/
*v
dU
diw(^)= lim P . D.41)
diam(Up)->0 VOl(t/p)
Предел отношения общего количества некоторой величины в
окрестности Up точки р к объёму этой окрестности, когда diam(Gp) —> О,
принято называть, как известно, (объёмной) плотностью этой
величины в точке р. Плотность как функция точки обычно называется
плотностью распределения. Таким образом, соотношение D.41) позволяет
интерпретировать divv как плотность распределения интенсивности
источников жидкости, поле скоростей которой есть v.
По этой причине векторные поля с нулевой дивергенцией иногда
называют полями без источников.
Понятия источника (стока) и его интенсивности имеют разное
содержание в разных разделах физики. Так, например, в случае векторного
поля электрической напряжённости роль источников (стоков) играют
положительные (отрицательные) заряды, а их интенсивность определяется
величиной этих зарядов. Если векторное поле описывает тепловой поток,
то источники и стоки характеризуют выделение и поглощение теплоты,
а интенсивность источника (стока) есть количество тепла, выделяемого
(поглощаемого) в единицу времени.
151

4.4.3 Теорема о скорости изменения фазового объёма
Напомним, что гладкая кривая с : (а, Ъ) —> V в аффинном
пространстве V называется интегральной кривой векторного поля v G Х(Р),
если
Vte(a,b) c{t)=vc{t). D.42)
В регулярных координатах (х1,..., хп) на V дифференциальное
уравнение D.42) записывается в виде системы автономных обыкновенных
дифференциальных уравнений:
— xl{c{t)) = vl(c(t)), или, короче, хг = уг(хг,..., хп), г = 1, п ,
,¦ $
где v = v
дх1
Обозначим через vt оператор сдвига вдоль интегральных кривых
векторного поля v на параметрическое расстояние t, или, как ещё
говорят, оператор фазового потока векторного поля v:
vt(p) = p + t-vp + o(t), t -> 0. D.43)
Другими словами, для каждой фиксированной точки р отображение
t I—> Vt(p) является решением задачи Коши
jj.vt(p) =v|Ut(pL v0(p) =р.
В курсе обыкновенных дифференциальных уравнений доказывается,
что для любой точки р (из области определения поля v) найдётся
ее окрестность U и число е > 0 (зависящее, вообще говоря, от р),
такие, что \/t ? (—?,?) отображения vt определены и гладки на всем
множестве U.
Пример. Пусть V = Rn, (х1 хп) — стандартные линейные
координаты в Жп и векторное поле v ? X(IRn) имеет вид
д
v = (Alj • х^ • ^— , где А = (А2,) — постоянная п х п-матрица .
Су «лу
Система дифференциальных уравнений, которой удовлетворяют
интегральные кривые этого поля, — линейная с постоянными
коэффициентами:
х == а • х. где х == i х ,..., х )
Поэтому оператор Vt фазового потока поля v действует по формуле
vt(x) = еА* • х, xeRn, teR. D
152

Следующие свойства отображений vt фактически доказываются в
курсе ОДУ:
v0 = Id, т. е. v0(p) = р, D.44)
v-t = v^\ D.45)
vtovs = vt+s D.46)
(равенства считаются справедливыми для всех t и s. для которых обе
его части имеют смысл). Напомним идею доказательства.
М Как легко проверить, для произвольной точки р обе кривые
t I—> Vt(vs{p)) и t i—^ Vt+S(p) удовлетворяют уравнению D.42) (при
фиксированном s). Вдобавок, при t = 0 они проходят через одну и
ту же точку vs(p). Поэтому свойство D.46) доказано. Свойство D.45)
легко вывести из D.46) и D.44):
Id = v0 = v-t+t = v-t о vt => v-t = v^1. >
Пусть на векторном пространстве, ассоциированном с аффиннным
пространством V, фиксированы ориентация и форма объёма О. Тогда
мы можем говорить об объёме vol(D) измеримого множества D С V:
vol(D)= ftt.
D
Рассмотрим измеримое множество D С V в области определения
векторного поля v. Через Dt обозначим образ множества D при
действии на него оператора сдвига вдоль интегральных кривых
векторного поля v на параметрическое расстояние t:
Dt = vt(D), D0 = D.
Следующее утверждение принадлежит Лиувиллю8:
d
dt
vol(A) = / divv-O. D.47)
t=t0
A0
•< Заметим прежде всего, что D.47) достаточно доказать при to = О
d
dt
vol(A) = / divvfi. D.48)
D
8Liouville Joseph A809 - 1882) — французский математик, иностранный чл.-корр. Петербургской
АН A840). Основные труды по математическому анализу и дифференциальным уравнениям.
153

В самом деле, в силу свойства D.46) D?+to = v?+to(D) = v?(vto(D)) =
v?(Dto), и если D.48) доказано, то
d
~dt
t=t0
voKA) = |
?=0
vol(OE+@) = |
e=0
vo\{v?{Dj) = /divv-a
Д
*o
Для доказательства D.48) нам понадобится одно вспомогательное
утверждение.
Пусть имеется семейство невырожденных п х n-матриц {A(t)\t,
гладко зависящих от числового параметра /. Тогда производную
функции
t^a{t) = det A(t)
можно вычислить по формуле
da ( л -, dA\
— = а • tr Л-1 • —- .
dt V dt J
Докажем D.49). Рассмотрим функцию
det : Rnxn —> М, (Л},..., Апп) А
D.49)
Л1 Л1
лг . .. лп
дп дп
/±г ... лп
и вычислим её частные производные. Имеем
п
det A = J2AikD
г
к >
к=1
где D\ — алгебраическое дополнение к Агк (разложение определителя
по i-й строке). Поскольку Dlk не зависят от А1-, то
d det
щ
щ-
Заметим, что если det Л ^ 0, то Dl- = (A )j • det Л. Дифференцируя
сложную функцию t I—> det A(t) no t, получим
U^m) = ±dM Щ
dt
дА\ dt
n
dA%
Y^ det A • (A~l){ ¦ -r1 = det A • tr [ A~
dt
i cL4/
dt,
154

что и требовалось доказать.
Перейдём к доказательству равенства D.48).
vol(A)
Q
Q
v*tQ
vt(D)
d
It
D
v*tQ.
t=0
v% ft = (det dvt) cj dx1 Л ... Л dxn = det
uj dx1 Л ... Л dx
Пусть {x1 xn) — какие-нибудь аффинные координаты в V и
Vi = uj dx1 Л ... Л dxn (заметим, что и = const). Тогда
где v\ = хг о vt — координатные функции отображения vt.
Дифференцируя координатную запись соотношения D.43) по
координатам, найдём элементы матрицы Якоби9:
dvl
dvl
a? = 4+'-?*+ow>
t^O.
D.50)
где vl — компоненты векторного поля v в координатах [х1,..., хп).
Отсюда, с помощью правила D.49) дифференцирования
определителя, получаем
dvl \n
d_
~dt
det
dv\
\t=o
Таким образом,
У
к=\
tr
,fc=l
dv
дхк
divv.
d_
~dt
v*tn
divv • О, ч.т.д.
t=o
Гидродинамическая интерпретация: если v — поле скоростей
жидкости, то частицы жидкости, заполняющие в момент времени t = 0
множество D, в момент времени t заполняют множество Dt. Если
divv = 0, то объём одного и того же множества частиц жидкости не
меняется с течением времени (хотя сама геометрическая фигура,
которую заполняют эти частицы, может деформироваться). Такая жидкость
называется несжимаемой.
По этой причине, векторные поля с нулевой дивергенцией иногда
называют несжимаемыми.
9Более подробно D.43) означает, что vt(p) = р + t • vp + t • a(t,p), где a(t,p) —> 0 при t —>
0 и при каждом фиксированном р. Предполагая v достаточно гладким, мы можем записать
a(t,p)=t-C(t,p), где P(t,p) = f0 ^(t-T,p)dr. Тогда vt(p) = p + t• vp + t2 -fi(t,p), и оценка D.50)
становится очевидной.
155

4.4.4 Физическая интерпретация rot
Расмотрим в трёхмерном ориентированном евклидовом пространстве
Е3 векторное поле В. Если интерпретировать В как силовое поле, то
интеграл
J В = J 2 Bl{t)(j(t)) dt
7
от дифференциальной 1-формы ?>, ассоциированной с В, по гладкому
(или даже кусочно-гладкому) пути 7 : [^o5^i] —* ^3 выражает собой,
как известно, работу, которую совершает В при перемещении
материальной точки вдоль 7 из положения 7(^1) в положение 7(^2)- Впрочем,
термин "работа" иногда употребляют и в том случае, если векторное поле
не имеет физического смысла поля силы.
Если кривая замкнута, т. е. 7(^1) = 7(^2^ то этот интеграл называют
циркуляцией векторного поля В по контуру 7-
Ненулевое значение циркуляции векторного поля означает, что это
поле совершает работу при перемещении материальной точки,
возвращающейся в исходное положение. В этом случае говорят о вихревом
характере векторного поля.
Пусть р — точка из области определения векторного поля В, п
— единичный вектор, Sp — содержащая точку р 2-мерная область
в плоскости, ортогональной вектору п. и ограниченная простым
замкнутым кусочно-гладким контуром dSp (например, Sp — круг с
центром в точке р). Будем также считать, что поверхность Sp ориентирована
нормалью п.
В силу классической теоремы Стокса и теоремы о среднем для
поверхностных интегралов
(rotB,n)(p') • площадьEр) = В 4=
dSp
I в
<^=^ (rot В, п) (У) =
dSp
площадь (Sp)
где р' ? Sp — некоторая точка.
Будем теперь стягивать поверхность Sp к точке р, т. е. перейдём
к пределу при diam(S'p) —> 0. Поскольку при этом pf —> р, то мы
156

получаем
dS
(rot В, nH) = lim P /o. . D.51)
сИат^-Ю ПЛОЩадЦОр)
Предел в правой части D.51) называется завихренностью векторного
поля В в точке р в направлении вектора п. Таким образом, (rotB)p
это вектор, в направлении которого завихренность поля В в точке р
максимальна, причём его длина | (rot B)p| и равна этому максимальному
значению завихренности.
Пример. Рассмотрим течение жидкости в Е3, при котором все
частицы жидкости вращаются вокруг одной и той же оси с одной и той
же угловой скоростью ш = const (если угодно, это можно
интерпретировать как вращение твёрдого тела вокруг фиксированной оси с постоянной
угловой скоростью).
Тогда, как известно из курса механики, линейная скорость v частицы
с радиус-вектором г равна
v = [ш х г]
(радиус-векторы всех частиц считаем отложенными от одной и той же
точки на оси вращения). Непосредственным вычислением в координатах
проверяем, что
rot v = 2ал
Вычисления тривиальны и мы их опускаем. Заметим только, что
наиболее удобно использовать цилиндрические координаты (р, (/?, z) ось Oz
которых совпадает с осью вращения, а начало координат с точкой, от
которой откладываются радиус-векторы частиц, ибо
д д
и; = и • — , v = и • -7— , о; = о; .
oz д(р
Таким образом, ротор поля скоростей равномерно вращающейся
жидкости — это удвоенная угловая скорость вращения. ?
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Акивис М.А., Гольдберг В.В. Тензорное исчисление. М.: Наука. 1969.
352 с.
2. Арнольд В.И. Математические методы классической механики. М.:
Наука, 1989. 472 с.
157

3. Дорогощев А.Я. Математический анализ. Киев: Вища Школа, 1985.
528 с.
4. Дубровин Б.А., Новиков С.П., Фоменко А.Т. Современная
геометрия: В 3 т. М.: Эдиториал УРСС, 2001. Т. 1. 336 с.
5. Зорин В.А. Математический анализ: В 2 ч. М.: МЦНМО, 2002. Ч.
2, 794 с.
6. Коренев Г.В. Тензорное исчисление. М.: Изд-во МФТИ, 1996. 240 с.
7. Мак-Коннел А.Дэю. Введение в тензорный анализ с приложениями
к геометрии, механике и физике. М.: Физматлит, 1963. 412 с.
8. Новиков СП., Фоменко А. Т. Элементы дифференциальной
геометрии и топологии. М.: Наука, 1987. 432 с.
9. Победря Б.Е. Лекции по тензорному анализу. М.: Изд-во МГУ, 1986.
264 с.
10. Позняк Э.Г., Шикин Е.В. Дифференциальная геометрия: первое
знакомство. М.: УРСС, 2003. 408 с.
11. Рашевский П.К. Риманова геометрия и тензорный анализ. М.:
Наука, 1967. 664 с.
12. Седов Л.И. Механика сплошной среды: В 2 т. М.: Наука, 1984. Т.1.
492 с.
13. Сокольников И.С. Тензорный анализ: теория и применения в
геометрии и механике сплошных сред. М.: Наука. 1971. 376 с.
14. Спивак М. Математический анализ на многообразиях. М.: Мир.
1968. 164 с.
15. Френкель Я. И. Курс теоретической механики на основе векторного
и тензорного анализа. М.: ГИТТЛ, 1940. 436 с.
16. Шутц Б. Геометрические методы математической физики. М.: Мир,
1984. 304 с.
17. Flanders H. Differential forms with applications to the physical sciences.
New York: Dover Publications, 1989. 208 p.
18. Weintraub S.H. Differential forms: a complement to vector calculus. S.I.:
Academic Press, 1997. 256 p.
158