ГОСУДАРСТВЕННЫЙ КОМИТЕТ РС9СР ПО ДЕЛАМ НАУКИ И В
МОСКОВСКИЙ ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЭНА
«ИЗИЮ-ТЕХНИЧЕСКИЯ ИНСТИТУТ
Г.В.КОРЕНЕВ
ТЕНЗОРНОЕ
ИСЧИСЛЕНИЕ
УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ
МОСКВА 1990

^дарственный комитет РСФСР по делам науки и высшей,школы
Московский ордена Тр/доЕого Красного Знамени
физико-технический институт
ë»Коренев
ТЕНЗОРНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Учебное пособие
Москва" 1990

УДК 514.743.4
Тензорное исчисление: Учеб. пособие/ Г.В.Коренев; МФТИ. М«,
1990. 136 с.
В доступней форме изложены основы тензорного исчисления:
тензорная алгебра, геометрия и тензорный аналлз в трехмерном
евклидовом пространстве.
Учебное пособие предназначено для студентов МОТИ всех факуль-
факультетов*
Ил. II.
Печатается по решению редакционно-издателъекого совета Московского
ордена Трудового Красного Знамени физико-технического института
Рецензенты: кафедра физики Московского технологического
института
В.В.Величенко
is»n 5-230-10783-8 (с) Московский физико-техничес-
физико-технический институтf I990

ПРЕДИСЛОВИЕ
Предлагаемое питателям учебное пособие базируется на прочи-
прочитанных в Московском физико-техническом институте двух курсах тен-
тензорного исчисления: двухсеместровом факультативном курсе, предназ-
предназначенном для всех желающих, и семестровом обязательным курсом для
студентов второго курса факультета молекулярной и химической физики.
Обязательные лекции для второго курса были прочитаны ц поряд-
порядке эксперимента и включали в себя элементы тензорной алгебры и
тензорного анализа. Они имели сзоей целью облегчить студентам изу-
изучение различных слецкурсоз, механики сплошных сред и теоретической
физшси. Результаты зачетной сессии показали е что студенты второго
курса МФТИ вполне усвоили прочитанный курс.
Факультативный курс тензорного исчисления читался автором
много лет.
Настоящее учебное пособие объединяет оба прочитанных курса,
его изложение приближается к обязательному курсу, местами значи-
значительно отличаясь от факультативного.
Опыт показывает, что студенты очень интересуются тензорным
исчислением и что принятый метод изложения обеспечивает усвоение
этого материала студентами всех курсов. Было достаточно много слу-
случаев, когда тензорное исчисление успешно сдавали студенты первого
курса. Можно надеяться, что главная цель настоящего учебного по.-
собия - усвоение студентами МФТИ первоначальной тензорной грамот-
грамотности - в первом приближении будет достигнута.

Глава I
§ I» Индексные обозначение
В математических науках удобные
обозначена важны для мышления в той же мере,
как хорошая классификация в науках естествен-
естественных
А,Пуанкаре
Положение с тензорным исчислением напоминает мне то, что
происходило 40 лет назад» когда у нао только начали развиваться
приложения ведтррнфур исчисления»
Вероятно, сейчас ни у кого из присутствующих нет сомнений в
пользе и удобстве векторного исчисления* Однако это не всегда,
было так. В свое время у векторного исчисления были весьма автори-
авторитетные противники* Один из них, известный английский физик лорд
Кельвин»¦говорил, что векторное исчисление оберегает мел и расхо -
дуэт мозг-„Когда - говорил он - вы выписываете какую-нибудь сис-
систему координатных равенств, то, написав первое равенство,осталь-
равенство,остальные вы получаете простыми перестановками координат; вы расходу-
расходуете много мола, но ваш мозг4 за это время отдыхает. Берегите мозги
и расходуйте мел!" * Такой же точки зрешя придержи -
вался и наш крупный математик и инженер, академик А.Н.Крылов; он
оставался противником векторного исчисления вплоть до рамой своей
смерти.
Вследствие существования таких авторитетных противников не-
некоторое время шла борьба между координатными и векторными обозна-
обозначениями. Однако противники векторного исчисления упустили из
вида, что вместе с мелом мы расходуем неизмеримо лЗолее ценную
вещь, именно время; при современных быстрых темпах развития науки
время - это часто решающий фактор.По-видимому,именно из-за зконо-
шш времени, которую дает векторное исчисление, оно и'получило
столь широкое распространение.
Однако теоретические вопросы всё более усложняются и сущеот-
- вует много дисциплин, в которых векторные обозначения перестают
служить. Типичным примером является теория относительности, осо-
особенно общая теория относительности, которая, вероятно, вообще де
Ъюгла бы быть открыта, если бы уже не существовало более общее ис-
исчисление, чем векторное, именно тензорное исчисление* Тензорное
исчисление в применении к простым вопросам вполне заменяет вектор-
векторное исчисление; при исследовании более сложных вопросов оно требу-
требует еще большего расходования мовгов, чем векторное исчисление, но
зато приводит и z колоссальной вкономии времени. Дух «нашей эпохи

-5 -
требует строжайшей экономии времени в,научной работе, поэтому , „
кюжно утверждать, что теперь тензорное исчисление должно стать в
руках инженера-исследователя таким же привычным инструментом, ка-
каким с начала этого века стало векторное исчисление»
В основе тензорного исчисления лежит понятие объекта. Под
ббъектом мы будем понимать совокупность каких угодно веядей или
символов, которые назовем рлемеруамц или срсрвляющими объекта.
Таким образом, единственным важным дая нас свойством^объекта явля-
является то, что он сосгоит из чего-то, называемого его элементами,или
может быть разложен на эти элементы. Мы будем изучать обт>ектн,как
нечто, разложенное на элемента. Объект как нечто целое, "сам" объ-
объект независимо от его элементов, мы рассматривать не. будем.
Предметом нашего специального изучения будет один очень част-'
ный вид объекта, называемый тензором, определение кбторого мы вве-
введем лишь в дальнейшем» Так как для начинающих, особенно в связи с
теорией относительности, слово * тензор " обычно окутано своеобраз-
своеобразной мистической дымкой, мы в качестве первого примера объекта рас-
рассмотрим обыкновенный компот, состоящий из яблок , изюма и черно -
слива. Таким образом, элементами компота являются яблоки, изюм и
чернослив. Для обозначения всего, что связано с компотом» введем
букву си и назовем ее улавн^ буквой компота. Элементы компота
всегда будем обозначать при помощи его главной букгы с индексом,
например, <Lf- яблоки, сг^- игюмг, (Zj- чернослив. Так как ком-
компот состоит из этих элементов, то чтобы обозначить "дам" компот
как целое, нам нужно выписать все его элсшепты; однако это громозд-
громоздко. Чтобы помочь делу вспомним, что в алгебре* ци$ры заменяются бук-
буквами; поэтому мы можем обозначить "сам" компот через CZc f услс -
вившись, что индекс с -пробегает значения I, 2, 3. Таким образом
"сам" компот и одновременно все его элементы обозначены одной бук-
буквой с индексом; специального обозначения для "самого" камлота вво-
вводить на-будем. Обозначение объекта в виде главной буквы с индеяса-
шг назовем сокращенно;! записью, в отличие ют развернуто^» где каж-
дкй элемент объекта записывается отдельно* Но в развернутой записи
мы можем писать элементы в каком угодно порядке, например, в виде
строки, столбца или как-нибудь иначе. Мы можем, например, условить-
условиться, что объект, записываемый в виде главной буквы с одним индексом,
в развернутой записи есть столбец: Г <2/
*? s / &~
Чтобы подчеркнуть, что все элементы столбца образуют один объект,
но не обязательно матрицу-столбец, мы будем заключат* их в кводр&т-

- о -
ные скобки. Однако мы можем упорядочить запись элементов нашего
компота в вадо квадратной таблицы из девяти элементов, каждый из
которых ровен либо одному из элементрз &i , либо кулю. Такие
таблицы обозначаются в, ввдо главной буквы с двумя индексами (нап-
(например, матрицы); поэтому мы можем обозначить наш компот и черезQ
где, например, Г о
а3 - в Л
о а< \
-а< о л*
причем мы, конечно, долчны условиться.о том, что означает,напри-
означает,например, изюгл, взятый со знаком минус. Дальше мы можем изучать зави -
симости между различными обозначениями хошота и различные преоб-
преобразования компотов, для чего введем некоторые правила и т.д.,ииаче
говоря, построим лз глубины собственного духа некоторое компотное
исчисление.
Но, мы, конечно, собираемся заниматься не компотами, а объек-
объектами, которые являются важными в точных науках; обычно такие объек-
объекты состоят из чисел, функций или математических символов.Простей-
шим примером объекта является обыкновенный трехмерный вектор,кото-
вектор,который, как и компот, может иметь обе приведенные выше развернутые за-
записи.
Итак, всякий объект мы будем записывать в виде главной буквы
с индексами или значками* причем эти два слова считаются абсолют-
абсолютными синонимами. Такую систем обозначений объектов назовем ишгек-
рноД.
Число индексов у главной буквы назовем порядком объекта;могут
существовать объекты любого порядка. Мы будем рассматривать такие
объекты, для записи которых достаточно одной буквы без индекса;их
будем считать объектами нулевого порядка. Например, работа силы
есть объект нулевого порядка.
Число значений, которое может пробегать какой-нибудь индекс
объекта, назовем измерением объекта по этому индексу. Например,
если сила задана тремя своими составляющими по каким-нибудь трем
некомпланарным направлениям, то сила есть трехмерный объект.Изме-
рение объекта не следует смешивать с его - размерностью, которая оп-
определяется физической природой его элементов.
ГЛы будем рассматривать только трехмерные объекты и в дальней- ¦
шем нигде этого специально оговаривать не будем.
Происходящее отсвда ограничение общности является незначитель-
незначительным.

- 7 -
Опыт показывает, что студент легко переходит самостоятельно к
объектам любого числа измерений, а усвоить тензорное исчисление на
трехмерном примере значительно проще. Кроме того, трехмерные объек-
объекты очень распространены в прикладных науках.
Условимся о способах развернутой записи объектов различных по-
порядков.
QfoeKT нулевого порядка - одна буква без индекса: ее .
Объект первого порядка - столбец:
[4
Объегст второго поряжа - строка объектов первого порядка (строка
столбцов или столбэц строк, или квадратная таблица:
ГА /-> г> 7 Г син О-гг а
1
Объект третьего порядка - столбец объектов второго порядка или
столбец квадратных таблиц:
GLO/1
Объект чеуреруого порядка - строка объектов третьего порадка
[ и Т.Д.
Мнемоническое праёило для развернутой записи: объекты нечет-
нечетного порядка - это столбцы объвктов порядка на единицу меньше, а
объекты четного порядка - строки объектов порядка4 на единицу меньше.
Можно пользоваться и любым другим способом развернутой записи, если
он удобен в некоторой конкретной задаче.
Развернутой записью приходится пользоваться сравнительно редко,
главным образом в начале изучения тензорного исчисления, когда же-
желательно представить себе наглядно структуру объекта, а тэкже в
конце выкладок, когда- в приложениях приходится пользоваться каздьдо
элементом. . .
Рассмотрим два объекта, одного и того же порядка. Элементы этих
объектов, обладающие одними и теми же индексами в одном и том же
размещении (или, что то же. самое, занимающие одинаковые места в
развернутой заЬ-^и), назовем соответственшеди. Например, в объ-

- 8 -
ектах СССк. и vCto элементы йгл и огз будут соответственными;
напротив, элементы С1гз и &зг~ не будут соответственными.
Назовем рарйцмд два объекта одинакового порядка и числа из-
измерений, все соответственные элементы которых попарно равны друг
другу. Объект называется равным нулю, если все его элементы равны
нулю. Это определение дает нам возможность изучать равенства объ-
объектов. . ,
Нам потребуется разбить индексы на классы, приписав каждому
классу индексов различные свойства. Пока введем только, два класса.
Первый класс: малые латинские индексы от а* до /L ;
индексы первого кйасса назовем Фиксирующими.
Второй класс; малые латинские индексы от с до конца алфа-
алфавита; индексы второго класса назовем скользящим.
Индекс первого класса будет обозначать какое-нибудь одно из
чисел 1,2,3, т.е. фиксирующий: индекс при главной букво будет иметь
какое-нибудь одно значение; например,в объекте первого порядка это
будет обозначать ддю| элемент объекта.
Индекс второго класса будет обозначать сразу все числа 1,2,3,
т.е. скользящий индекс при главной букве будет считаться пробегаю-
пробегающим сразу все значения; главная буква со скользящими индексами оз-
означает сразу все элементы объекта.
В соответствий* с этим равенство <zc% ~ ос заменяет сразу три
равенства и означает сокращенную запись утверждения, что объекты
пс и ?i равны друг другу, в то время как равенство <?*. * о<*~
означает только, что элементы с фиксированным индексом .равны между
собою, но "сами" объекты не обязательно равны друг другу.
Необходимо запомнить слэдущее важное свойство равенства двух
объектов. В обеих частях равенства скользящие индексы должны быть
одинаковыми, но совершенно безразлично, какой именно буквой второго
класса мы при этом воспользовались. Равенства^ л
совершенно равносильны. Поэтому мы условимся, что
лг, &<, <*-*, &*>, -• /
обозначает один и тот ffe объект с главной буквой ее ;
однако не имеет смысла равенство etc— Q-*. или etc ^ ,6л
' Если равны друг другу два объекта второго порядка, т.е.если
то совершенно равносильными будут равенства *

fflK что &йс ; G-fm и т.д. означают один и тот же объект. '
Однако равенства тица~ б* - Clem мы будэм считать бессмыс-
бессмысленными» В обеих частях равенства обязательно должны быть одни
ж те же индексы.
^ Отметим, что каждое из этих равенств заменяет уже девять обык
вовенных равенств. -
Выражение <г^ с ал*- соответствует записи трех обыкновен-
обыкновенных равенств и означает равенство О* - х строк в развернутой за-
записи объектов, а внражение &i? - &i? означает равенство </- х
столбцов. Наконец, выражение &*#= ^^означает, что объекты
имеют по одному равному элементу.
Введем теперь оснОвнкс действия над объектами.
Сложение. Суммой двух объектов одного и того же порядка назы-
называется объект того же порядка, каждый элемент которого равен суше
соответственных элементов объектов ~ слагаемых» например:
Определение сложения распространяется только на объекты одного и
того же числа измерений. Объекты разного числа измерений складывать
нельзя.
ТранопониР9вание. Это действие применяется только к объектам
порядка выше первого.
Пусть имеем объект Сы*.. Как мы уже условились, первый ин-
индекс означает всегда номер строки в развернутой записи, а второй -
всегда номер столбца, какой бы буквой они не были обозначены.
ТЬгда объекты (Lc& u- &гк^&*к* называются
друг другу. Транспонированные объекты состоят из одних и тех ях>
элементов, однако в развернутой записи они не одинаковы: у них
.строки заменены столбцами. Вообще транспонированные объекты не рав-
равны друг другу, но могут быть сделаны равными путем перестановки ин-
индексов. *
Объекты, состоящие из одинаковых элементов и различающееся
только порядком индексов, "называются изомерами. Транспонированные
объекты являются частным случаем изомеров, когда одинаковое разме-
размещение индексов может быть получено перестановкой только одного ин-
индекса.
Если, в частности, а,ск- &*' ; О-гк?~ сь*г? и т.д.,
то такие объекты называются симметричными по индексам с ж «z >
О если CLU * — CL*Z ; CL?*? - — CLrt?
яо антисимметричными- по этим индексам. Индексы с и * л- в этих
случаях называются индексами симметрии (соответственно ;в[ндекс?ми

- 10 -
объекта нависло» Умножить объзкт на число значит *
умножить на это число значит умножить на это число каждый элемент
объекта. . '
Симметрирование и альтернирование. Очевидны следующие равен-
ства сц* « *
J ( )
Нетрудно показать/что первые члены в правой части симметричны по
индексам с и и? f а вторыэ - антисимметричны по тем же индек-
индексам. Следовательно, всякий объект можно разложить на сумцу -симмет-
-симметричного-и антисимметричного объектов.
Таким образом, мы из заданных объектов построили новые,
метричные
Su ~ & {си*. + а*с) у &*<? « i{ct ;«?+ a e
р антиримметричные
Построение указанным способом из данного объекта новых, симметрич-
симметричного и антисимметричного, называется соответственно симметркгюва^
рием и альтернированием заданного объекта.
Свертка {условие о суммировании).' Это действие было введено
Эйнштейном и является одним из важнейших в тензорном исчислении.
Если в одночленном выражении имеются дв& одинаковых скользя-
скользящих индекса, т.е. скользящий индекс повторяется, то этот индекс
называе*сл aewgrj. Наличие немого индекса означает суммирование по
всем измерениям объекта, т.е. в нашем случае от I до 3, Результат
этой операции называется pge.pyKgij: часто саму эту операцию назы -
вают также свер^рй. иногда свертыванием.
Пусть число иэмерегай объектов равно А^ . Тогда
Немые индексы можно обозначать как угодно, свертка от этого ке ме
няется, например:
ecu
Сокращенная запись, когда один и тот же скользящий индекс пов-
повторяется больше двух раз, например, ССк*л % счиу^еус^ запретен-
g2H, и мы ею никогда пользоваться не будем. Такая запись ведет к
ошибочным результатам» Немой индекс должен повторяться только два
рава. ' * - •

- II -
Записи CtcLCL , &-ААГ4. не означают свертки, так как повторякь
индексы фиксирующие, а не скользящие.
' Каждая свертка уменьшает порядок объекта на две единады,поэ-
единады,поэтому мы можем написать Ctu^S; a^i^f*; CLuis»-* &**> и т.д.
Путем последовательной свертки от объекта четыого порядка
.|южно прийти к объекту цулевого порядка, а от объекта почетного
порядка - к объекту первого порддка.
(ДОбшеяное умножение. При обобщенном умножении каждый элемент
объекта - множимого умножается на каждый элемент объекта - множи-
множителя. В результате оказывается, что порядок объекта - произведения
равен сумме порядков объектов сомножителей, например:
и т.д. Образованные таким образом новые объекты называются мульти-
,рдапсативными. Расположение индексов у сомножителем и произведения
- какое угодно, но индексы должны быть одинаковыми. -т л
Рассмотрим два мультщликативлых объекта Л\с и Oi/c,
определяемые следующие образом: д *
В развернутой_записи мы, очевидно, имеем
откуда следует, что если произведение элементов объектов Cti и бъ
коммутативно относительно сомнодителей, то
Таким образом, обобщеннио^произведение коммутчвно отиосител^цо
сомножителей. если произведение их элементов ком^яутативно. Это чрез-
чрезвычайно удобно при практическом проведении выкладок. Например,можно
писать „
Р&ссмотрим два объекта л
Си * ас & , е'и - а*& .
При помощи развернутой записи нетрудно убедиться, что объекты С<.л
11 С с* транспонированы, т.е., вообще говорящие равны друг другу;
отовда следует, что обобщенное произведение н^коги:лууат^чо относу
Обобшенное умножение дистрибутиву. т.е., например ,

- 12 -
. Обобщенное умножение ассоциативно относительно умножения на
гйсло (объект нулевого порядка);
С (*) >
Йранильность этих утверждений очевидна из развернутой записи»
О(фбшеняое умножение со сверткой. Пус*ь число измерений
объектов равно А/ . • Тогда . *
6 Q Я ^ X
Если нам ну&но умножить свертку сьс?с саму на себя» т.е.воз-
т.е.возвести ее в квадрат* то написать (&;&) или С1г& а-с ос
~ нельзя, потому что при такой записи немой индекс повторяется
больше двух раз. Нужно написать так:
. nscvb с^е* - ^^ ?е»>. . " ' " .
Свернем это обобщенное произведение, положи» ^ = <^ ~ д-Г/
Это, очевидно, обшсновенное матричное умножение (строка на стол-
столбец) ¦ Д1одобш*м же образом свертки ~
означают произведения транопонирован^дс штрвд (соответственно
столбец на строку, столбец на столбец, строка на строку).
УпоряЕОчение индексов. Удобно условиться писать индексы в
ка^ом-нибудь определенном порядке, например,по алфавиту, или раз-
разбивая их на группы, или как-нибудь иначе. Обычно в результате вык-
выкладок мы приходим к выражениям, в которых индексы расположены са-
самым причудливым образом; для наглядности с принятым соглашением*
Пусть, например, в результате выкладок ш получили равенство
Сделаем подстановку индексов._
Щ получим более удобн<?е расположение индексов:
. Жонглирование индексами. Пользуясь указанными выше правилами
(произвольное обозначение индексов в равенствах и немых индексов),
можно "жонглировать индексами". Это жонглирование индексами позво-
позволяет совершенно неожиданно прюсодить к важным результатам и на на-
начинающих часто производить впечатление простого жульничества. В
качестве примера докажем следующее предложение: свертка обобщен-
обобщенного произведения симметричного и антисимметричного объектов по
индексам симметрии тождественно равна нулю.

-13
пусть d*e - ~Сс€а ' /
докажем, что рс * C ?
П08ТОНЗГ
Здесь во второй строке мы воспользовались овойством дистрвбу-
тиввости, в третьей - симметрией объекта Pi , в четвертой -
тем правилом, что немой индекс можно обозначать как угодно.На атом
основании мы во втором члене сделали следующую подстановку немых
индексов
f в к )
Конечно, можно доказать это предложение и без использования
приведенных выше правил, например, просто при помощи развернутой
записи; однако это эаняло бы значительно больше времени и места.
Экономия времени и места есть одно из главных преимуществ индекс-
индексных обозначений.

- 14 - . .
§ 2.Векторная алгебра в индексных обозначениях
Во многих разделах механики, физики и инженерных наук сущест-
существенную роль играют трехмерные объекты, в особенности трехмерные
векторы. Кроме того, изучать индексные обозначения особенно удобно
на трохмерном примере. Поэтому рассмотрим специальноч трехмерные
объекты, имея целью получить формулы векторной алгебры в индексных
обозначениях.
Для иллюстраций иногда будут воспользоваться матрицы* Пусть это
не смущает тех, кто еще не овладел теорией матриц: для. последующего
необходимо только понятие матрицы и правило умножения матриц, кото-
которое к тому же почти всегда поясняется развернутой записью. ^
Среди трехмерных объектов многими важными свойствами обладают
объекты, состоящие из нулей и единиц; в частности, особенности ин-
интересен объект О с<е , называемый симврдом Ктхжвкера и рбсрдюте
антисимметричный объекФ i ?tK?.
Символ Кронекера S*<* >0н определяется так, что все эле-
элементы, для которых о/ /с f равны нулю, а элементы, для которых
с-Л> , равны единице: ,,, %
о ^ о ( <>г *у >
ОU s J fc<**J. B.1)
Развернутая запись сиглвола Кронекера будет
рр у
$г*= о ? о \
1° О i Л
й
1
Таким образом, мы пидим, что в развернутой записи этот объект апа-
логичен единичной матрице.
Символ Кронекера симметричен, т.е. с?с* -^ о/гс * - '
Свертка силюола Кронекера^ о r> ~
Sic - о*+ +- огз + с>зз = О.
Очевидно, что если рассматривать символ Кронекера измерения У1/9
то ого свертка всегда будет равна /Y , т.е. числу измерений.
Образуем объект четвертого "порядка оск c5]L?h свернем ©го,
положив К. ~ Р ~ S :
так как сразу видно,, что элементы ©той свертки равны нулю, если
I f ^^ и единице, .если ^ ~ О .
Точно T
fy &F ?F ? $ B.4)

:. , - 15 -
Нетрудно видеть, что это свойство не зависит от измерение
1 символа Кронекера, т.е. остается справедливым для символов Кроне-
Кронекера с любым числом измерений Af . .
Абсолютно .антисимметричный".объект .^Ч^ Абсолютно
антисимметричным объект называется, если он антисимметричен по
любой паре индексов.
Объект \?ск?. определяется следующим образом. Его элементы
равны нулю, если хотя бы два индекса одинаковы* Элемент ?/<гз
принимается равным +1; далее все элементы, имеющие комбинацию ин-
индексов, получаемую из 1,2,3 ^еуной перестановкой, равны +1, а полу-
получаемые ffe^ftTftOyi перестановкой, равны -I. Очевидно, что определен-
определенный таким образом объект является абсолютно антисимметричным.Кроме
того,ридно, что абсолютно антисимметричный объект л/ измерений
должен,быть обязательно дорядка Af , T.et иметь /^индексов.
Его развернутая запись имеет следующий^
Образуем-объект шестого порядка
Тогда имеет место тождество
О ,
о
о
о
о
f
о
-/
о
о
о
-/
о
о
о
о
о
о
о
-/
о
о
о
о
о
B.5)
B.6)
Это - одно из важнейших тождеств в индексных обозначениях. Оно 'т
почти очевидчо; проверим его.
Сравним индексы нулевых элементов в'обеюс частях равенства.
Всякий раз, как олева два или три индекса какой-нибудь из групп
слг? или рр7- равны между собой, слева будет нуль. Это
соответствует ^ому, что справа будет две (три) равных строки или
два Опи) пзвныу столбца. т»а. тоже нуль.

-16 -
Далее, возьмем следующие комбинации
ft к е \
(/ в з/
В этом случае имеем _
г? #
»
& & (Те
?5/ dja из
индексов:
/ о
О ¦ /
о о
о
о
_/
Таким образом, равенство верно, так как в обеих его частях
стоит единица, каждая четная перестановка индексов каьдой группы
не меняет знака обеих частей, а каждая нечетная - изменяет знак
на обратный. Отсвда следует, что элементы в обеих частях,имеющие
одинаковые наборы 1шдексов, совпадают, т.е. что рассматриваемое
тождество действительно имеет- место;
Рассмотрим теперь свертки тождества B.6); очевидно, что.они
дают новые тождества. Имеем
Oi
t
dzo dtp,
У °
+3
Сделаем нечетную перестановку немого индекса, например:
Оф дс? Ola
-и^Oloj.

- 17 -
мы видим, что свертка есть объект четвертого порядка» .
o^g в детерминанте
равный алгебраическому дополнению элемента
B.6).
Нетрудно найти дальнейшие свертки, получаем;
з/
B-3)
Подобным же образом
4
Рассмотрим теперь применение объектов о с> и
Ьаменд, индексов. Возьмем преобразование объекта jtv B
объект Ui ; определяемое равенством
af3 гчэ
Очевидно, что если Ссгк-&гк: • т0 преобразование будет гождест-
венным; это легко проверяется при помощи развернутой записи.' Сле -
довательно, равенства
совершенно равносильны» Но отсвда сразу следует, что
JXi ^r diM ОС* . B.9)
Подобным же образом
" tig; Згь&тсбп* СЬсАп И Т,/7. B.10)
множители" (приведение у, виду свертки).
i*~?«Jcc*. B.и)
Например:
K~ОСС= O^Xf. - д?кЭСК
В развернутой и мат.
зи?ной_записи это имеет вид
а*-/
О-/
3f

Дуальные об^екуы.
Два объекта
- 18 -
а _
B.12)
называются дуальными друг другу. Легко проверяется, что дуальные
объекты связаны соотношением
&г* = ?и<? <ze< , B.I2)
Например, если с =• аг= / , то <Х/* - О ; если с~ /,
/с--? » то едикственный отличные от нуля элемент получится
при ? = 3 и будет равен &з и т.д. .
Обратное соотношение будет
Докажем вто. Мы имеем
что и доказывает наше утверждение,
тСрертки рбобшенного,прризредения объектов первого
Расслютрим обобщенное произведение сЬс ?>* * Положив
1 .6-АО, получим объект нулевого порядка, который обозначим через/1
Этот объект называемся внутренним произведением объектов^ Лс-
и & * (Грассман).,
Образуем из CL/c и . ье объект первого ьордцйа *5^-
следующим образом: J? Р - '
Этот объект называется внешним цромзведэнием объектов clk к ^
Нетрудно видеть, что^ развернутол записи получится
С
Q^ij -'*,&]..
Внешнее произведете
дуюйим образом:
выразить через дуальные объекты еле-
1кЕ бе) &*** Oti/z CL* . B.15)
В раззернутой записи, используя ^iaтpитJнoe умиожетв, получим
% -4!
О

. . . . - is -
Подобным же образом получим:^
удобный для запсижнания способ запаси:
О if (Ус? Ос
B.16)
МН внешнего произведения. Тождество
Это - тождество Эйлвра-Лангранжа, легко проверяемое, В индексных
обозначениях очевидно, получаем
$?i(&~fe BЛ8)
Показать, что развернутая запись объекта в скоб-
ках формулы B.18) будет г
[
Урр^жнение. Воспользовавшись дуальным представлением объекта
&11 показать, что
а%> dcAe- AitZ** &cj (Lacs . B.20)
Решение. По B»12) можем написать
Следовательно
Предложение доказано. То же самое можно получить,пользуясь
правилом умножения матриц; при зтом нужно только заметить, что
в сокращенной записи матричное умножение записываете* так:
О*is &jvc • Нам же нужно найти CLis Q-/qs \ ъчо означает,"
что второй сомножитель транспонирован: умножается fee строка на
столбец, как в матричном умножений, а строка на строку. Пользуясь
B.12), мы можем записать это так:
о
-а.
cl2
О
~а4
а-А
о 1
о
&3
О
си
-0-1
С

. - 20 -
, Вычисление деуермицанро*. Введем следующее обозначение для
детерминанта, составленного из элементов объекта второго порядка
аг3 5flJs CL. B.21)
Согласно определения детерминанта, дсак суммы всех произведем
йий* элементов детерминанта по одному из кавдой строки и каадого
столбца, мы мо;..ем написать
CL - ?i«e O-if CLK? О.& B.22)
ИЛИ /? ' ' •
^ s V^a Л^> ^зр- Озг*. B.22J
Первая формула представляет собой способ вычисления детерминанта
при помощи элементов произвольно выбираемых строк, вторая - при
помэщи элементов произвольно выбираемых столбцов.
Рассмотрим объект третьего порядка
бъек
А р ?
Он обладает следующими свойствами: I) если среди ppt- хотя бы
два индекса принимают одинаковые численные значения» то соответ-
соответствующие элементы объект^ *А ррь равны нулю, так как это -
детерминант с двумя равными столбцами;
2) если ^^& образуют четную перестановку чисел 1,2,3, то эле-
элементы равны просто &- ; 3) .еслл/о^^ образуют нечетную
перестановку тех же чисел, то элементы равны г?- .Но подоб-
подобный объект можно записать так
А
Следовательно,
*ос? &г/о &>*:р &gz cr aCyyz.. B,23)
Совершенно очевидно, что можно также написать
<^ г CLif О-кр ?L& = a, ?{.«?>. B.24)
'Это очень важные тождества.
упражнение. Доказать теорему Бнне-Коши: детерминант произве-
произведения двух матрщ равен произведению их детерминантов*
решение» Пусть заданы два объекта <2*Ск. и ^
образуем их матричное произведение Сс<к * G.itS
Требуется доказать, что .
/ciK/ ~
Введем обозначения

- 21 -
исать „
. Показато,
5 J^. - &i <?K/ =O. B.25)
\. Если ^c^ - объект, дуальный B^ , очевидно, в силу
^Ётисимметрии аСАС ffcJ=O* Поэтому, пользуясь теоремой Вше-Хоаш,
имеем / ЛД' / / / //
д^ебраические дополнения. Возьмем равенство 02.23)
умножим его на ^/>#^ » получим
Так как по B.8) с^г&^?*?^,* то можно написать
Введем ооозначение ссг ^ъ С**
Элементы этого объекта называются алгемраическкглл дополнениями
элементов детерминанта /&^/ . Теперь мы можзм написать
Положив 'здесь г = ^~ CL, получаем разложение детерминанта по элемен-
элементам CL- то столбца. Если г«^ &* ?, л^?\ю из B.26)
получаем <Z f^f ^ О - Cl^/i^f.
Это представляет собою известдую теорему из теории детерминантов,,
согласно которой сумма произведений элементов одного столбца де-
детерминанта на алгебраические дополнения элементов другого столбцу
равна нулю. "** . - . . '
» На^ти разложение детерглпнанта по элементам строк.
Умножим B.24) на &{*„> . Подучшл
?
Введем обозначение
А — / ^ >^ /I/O о ъсл
Тогда можем яаписять
Положив здесь ^=/»«^*" /получим разложение детерминанта по
элементам Л - 2 строки. . '
Решеоде сие тем линейных v pa вне чц$. Пусть имеем систему трех линей-
ншг уравнений л -
&1к Л^/с» ^ • " ;B.30)

- 22 -
/"множим это равенство на /4ii> , получим
В силу B.27) мы можем напирать
то
~ /7 v
а так как
Поэтому будет
•*>~?:/4y>&.. B.3D
Это выражает собою известную теорему Крамера о решении линейных
уравнений в индексные обозначениях.
Можно записать решение линейной системы несколько иначе.
Введем в рассмотрение объект Ас » определяемый так
А у « О»лг &л
.Тогда
Этим способом записи мы воспользуемся в дальнейшем.
Формула векторной ^алгебры ft индексных обозначениях.
^^Пусть ОССс (рис.2.1) ортогональная правая система координат,
A-- вектор, #/,?*, CL^ - его составляющие по осям координат.
Тогда мы можем рассматривать вектор как трехмерный объект первого
порядка и подучить две группы формул: обыкновенные фэрмулы вектор-
векторной алгебры и их запись в индексных обозначениях.
JteffTOPHfle обозначения Индексные обозначение
Л. Вектор ЙГ. I. Объект первого порядка^' ,
Модуль вектора/?/» Л-. Объект нулевого порядка CL
2. Сумьла'вв10оров^ 2. Сумма объдктов
3. Разложение вектора cL по
трем некомпланарным век-
векторам &, ^ ?_ ^
4. Скалярное произведение
5. Косинус угла между векто-
векторами О, и ^(рис.2.2)
3. Линейная комбинация <^V
трех объектов й* & Сс
4. Внутреннее произведение
5. Объект нулевого порядка
6, Ортогональная проекция
tf*~ вектора ~с? _**.
на^иалравление вектора о ^
7. Зектогное произведешь
6. Объект первого порядка
—^гГ *
7. Внешнее произведение

3< 2
- 23 -
Рис, 2.1
8. Условие ортогональное
векторов си и
9. Условие коллинеарности
векторов Г и g
10*Квадрат векторного произ-
произведения
8. Условие "ортогональности"
объектов CU Е 2&
9. Условие "коллинеарности"
, объектов Cli и ос
0. Квадрат векторного произ-
произведения
a*

- 24 - .
II, Смешанное^рои^ведеаие - II. Объект кулевого порядка
векторов cl, jSj С*
Ао:(?ГсУ~ А
?
d Сг Сз
12, Условие кошланарно?Т1^ » 12. Условие "компланарности"
трех векторов ~gl, 6, сГ трех объектов ?LC% & Сс
f ^ тс** ?* -о.
13. Векторное произведение 13. Внешнее* произведение трех
трех векторов _ . объектов cl^ ci
Существенное различие между отими двумя группа^^ли форк1ул сос-
состоит в том, что формулы в векторных обозначениях могут быть напк-
данц без привлечения какой бы то ни было координатной системы;
формулы в индексных обозначениях представляются написанными сразу
в некоторой определенной системе координат.
Однако для практических рарчетов с использованием векторных
формул обязательно приходится вводить некоторую систегцу координат
и проектировать векторные равенства на оси этой системы/ Тем самым
мы, в сущности, обязаны переходить к индексным обозначениям.
С другой стороны, векторные равенства остаются справедливыми
р любой системе координат; они, как принято говорить, являются
давариангнымй равенствами. Инвариантные равенства играют большую
роль во всех точных науках* Существует даже утверждение, что физи-
физический смысл имеют только инвариантные равенства, т.е. равенства,
не зависящие от выбранной системы отсчета; таковы, например, урав-
уравнения теории относительности.
На первый взгляд не очевидно; облагают ли свойством инвариант-
инвариантности равенства, написанные в индексных обозначениях. Для. выясне-,
ния этого вопроса нам необходимо введение специального вида объек-
объектов, называемых тензошда. Понятие тензора мы введем так# чтобы
равенства, написанные в индексных о^цачениду. оказались инвари-
инвариантными относительно преобразования координат.
§ З-Оруогоналънце тензоры
Как мы знаем, векторные равенства' остаются неизменными Сиква-
рианущдми) в любой системе отсчета. С точки зрения индексных обоз-

- 25 -
векторы являются объектами первого порядка» из которых по
приведенным в предыдущих главах правилам мы можем построить объ-
объекты любых порядков и писать равенства мезду объектами при помощи
индексных обозначений. Возникает вопрос, остаются ли равенства,
написанные в индексных обозначениях» инвариантными относительно
систем отсчета, или они теряют это свойство, Чтоба выяснить это,
необходимо рассмотреть законн преобразования объектов различных
порядков. Оказывается, что можно найти такой класс объектов, что
их равенство, верное в одной системе координат, верно и во всех
остальных, т.е. является инвариантный.
Рис, 3.1
Ортогональные преобразования» Пусть (риочЗДL?Л/> и Afyk будут
две ортсяормированные системы, т.е. ортогональные системы» для ко-
которых1 масштабы длин вдоль осей координат равны единице длины.Пусть
координаты одной и той же точки ^3 будут соответственно 4?> и Ус ¦
Введем матрицу направляющих косрлусов- Cct& , причем соответствие
мевду индексами осей и элементов матрицы- устанавливается тйк;
•? ^°
Если через JC/o обозначим координаты-точки А в системе
то преобразование будет иметь вщ
Это преобразование состоит.из параллельного переноса. при
котором система ОХ/о преобразуется в систему 4х? параллельную
первой» и изменения направления осей координат.

- 26 -
Как известно, условия ортогоналзуюсти'преобразования (т.в,
условия, при которых ортогональная система осей переходит в орто-
ортогональную) будут
Cis Ср3 Г П
Отсвда получаем
Но / Jy>/« / , а по теореме Еине-Коши '/ dj
откуда С* ± /• * '
Преобразовать с С* +/ называются поворотами или рраше-
нияуи системы A(/i относительно системы A J> • При этом система
Aui поворачивается как твердое тело; правая систем?» координат
переходит в правую, левая & левую.
Преобразования с С* -/ называются ц^собственрыдш или" §^Е-
калышж поворотами. При этом правая система переходит в левую и
наоборот.
Преобразование системы Л^> в Аи с называется движением.
Из преобразований, связанных с изменением направления осей
координат, в механике применяются только повороты. В других раз-
разделах физики, особенно в физике кристаллов, применяются общие орто-
ортогональные преобразования.
тэнзрры. Пусть имеем какой-нибудь радиус-вектор
^ A
A391 Ol . Назовем систему ^^для кратносги старой. Aft- новой.
Будем обозначать составляющие вектора в старой и козой системах
через CL'ft и &1 соответственно. Тогда Qp* JC^JCpt СЦ
и закон преобразования от старой системы к новой будет
О. С * ^*/> #/>.
, Обратное преобразование получим, умножая обе части этого равенства
на С is я- используя условие ортогональности С±$ С^а * Os/>
Итак, мы получилк^га преобразования- прямое и обратное;
&1 / ^/>
dp e dp CLc. C.D
Следует обратить внимание на расположение немых индексов, которое
показывает, что матрицы преобразований транспонированы.
Всякий объект первого порядка Тр , преобразующийся по
закону ~р _

-27 -
назовем ррт;огокальщм тензором первого порцлщ или вектрром.
Эюг объект может уже не быть чисто -геометрической прирсды, хсак
радауо-вектор CL , а иметь любой другой физический смысл.
Пусть два тензора 7Jo и Sp в старой системе равны друг
другу: Тр = Sp.
Покажем» что это равенство сохранится ив новой системе координат,
Y#e» что оно инвариантно относительно ортогональных преобразований
для этого умножим обе части равенства на Суз , получим:
С г* Т/а в С с/у ?/>. _ . —
Но по определению СсрТр^Ъ, CCpSp * &с'> 0Т«Уда
Рассмотрим теперь обобщенное произведение двух векторов ^?
Примем по Ьпределеюго*, что объект Ррр в новой системе координат
НСк а &? &•*: и наЯдом отсвда закон преобразования
то
Ж ПО91ЮМУ 4Р
Чтобы получить обратное преобразование, умножим это равенство
на С it, C/csr ^получим"
Делая замену индексов t
получим . /;. ^ а ^
Таким образом, ш шлеем прямое и -обратное преобразования
Всякий объект второго порядка 7%- » преобразующийся
по закону Р^" у», х»
/^д. = Суо С /ср.
сС
рр
называется ортогональным тш?оро|ц второго пог>я2жа, if
, Упражнений. Показать, что если два каких-нибудь тензора вто-
второго порядка Трр и Sрр~ равны друг другу в старой системе
координат, то они равны л в новой, т.е. их равенства инвариантно
относительно ортогональных преобразований.
Пусть 7/>«. * &Рр $ умножив это равенство на
СЛУЧИМ CipCtpT ССЗ

- 28 -
Но по определению * _.
_7
откуда мы имеем 7^ « J5^ .
Точно так же, рассмотрев преобразование объекта, составленного
из обобщенного произведения трех векторов, мы назовем ортогональна
тензором третьего поряд:ц всасиЗ объект 7?сх?, преобразующийся по
закону;
Равенство двух тензоров третьего порядка тоже инвариантно относи-
относительно ортогональных преобразований. ,
Совершенно, таким же образом мы можем ввести орпогоналыше
тензоры любого.порядка, равенства которых будут инвариантны отно-
относительно ортогональных преобразований.
. Чтобы завершить этот ?яд, определим тензор 'рулевого дошдкд
йри помовр равенства Т*8 74»
Тензор нулевого порядка часто называют скаляроед или инвариантом
В качестве примера^ скаляра приведем квадрат длины вектора <Z/>,
пусть O G &f&^ Возвышая первое равенство (ЗЛ) в
квадрат,
ачестве примера^ скаляра приведем квадрат длины вектора
p -Gs, &fm_&-^ • Возвышая первое равенство (ЗЛ) в
, получаем ?f~C& CLfC^O** ЭL Д^ а* =* а% .
откуда и видно, что СЬ есть скаляр.
Как будет показано ниже, применяя действие свертки, мы ьсегда
можем построить инварианты из одного или нескольких тензоров.
Итак, ортогональные тензеры-разных порядков - это объекты,
преобразующиеся по законам
^Теперь мы можем сказать, что равенство тензороз любе го по-
порядка инвариантно относительно ортогональных преобразований»Такие
равенства называются также тензорными равенствами.
Истинные тензоры и поевдотензоры. Существуют объекты,отличные-
от тензоров, равенства которых также обладает свойством инвариант-
инвариантности относительно преобразования координат. Рассмотригл такие объ-
объекты.

- 29 -
Возьмем', например, объект ?г*? . Нам было бы удобнр,чтобы
оставались во всех системах координат неизменными.
Е мы припишем объекту CikE. свойства ортогонального тензора
третьего порядка, то -его закон преобразования должен был бы быть
мы установили форму
Следовательно, тензорный закон.преобразования не обеспечивает неиз-
неизменности составляющих .объекта ?/>рЪ во всех системах координат,и,
чтобы достигнуть этого, необходимо принять закон преобразования
в ваде "
Этот закон преобразования отличается от тензорного наличием чис-
численного множителя
Всякий' объект, закон преобразования которого отличается от
тензорного множителя {Sj** $ называется ортогональным пс^вдо-
У^нзором/ а число /V называется реоо;л псевдотензора, г
Если нам нужно будет подчеркнуть разницу мезду тензорами и
псевдотанзорами, мы будем называть лерЕые иетттчщдми тензорами.
Поевдотензоры нулевого и первого пордщеа называются также
м и пеэвловекуором.
Итак, псовдотензоры разных порддков - это объекты, цреобра-
иеся по законам * . . :.
Г^ (з.б.)
Так как при ортогональных преобразованиях С » Jt / , то псевдо-
яензоры четного веса ничем не отличаются от истинных тензоров;
псевдотензоры -кечетнорр весе при поворотах также шгчем не отляча-
ются от истинных, но при несобственных поворотах их законы преоб-
преобразования различаются знаком, например, псевдосгсаляр преобразуется
до закону 7^*— 7^ » псевдовектор - по закону 7Г*~т?)*7/> и т^д.
Чтобы сделать разницу более наглядной, рассмотрим в качестве при-
4 мера преобразование пеэвдовектора веса ? tf+ / при двух типах
несобственного поворота: ,. а
1! -у о О$

-30 ~
случае истинного вектора мы имеем
,
О i О
\О О 1
В случае псёвдонектора нечеткого веса имеем
Разница очевидна.
Изотропное тензоры и,псездотензоры. ^зстропнтли или числовым^;
тензорами и псевдотензорами называются те из них, элементы которых-
не меняются при преобразовании координат.
Нулевой тензор любого порядка изотропен.
Истинный скаляр есть#изотропный тензор нулевого порядка.
Изотропных ненулевых веществешшх тензоров первого порядка
не существует. Изотропен только пулевой вещественный вектор.
Рассмотрим о}* как тензор второго порядка, т.е. припишеи
ему тензорный закон преобразования. Тогда будет _
откуда следует, что ql*> есть изотропный тензор второго порядка.
Можно показать, что единственным изотропным псевдотензором
третьего порядка является ?<*? ¦ .
Изотропных тензоров четвертого порядка существует три:
/) oZ>
3) dip Оку — cfL
Можно построить изотропные тензоры более высоких порядков.
Тензорные операции. Если при помощи какой-нибудь операции из
одного или.нескольких" тензоров получаются другие тензоры, то такие
операции -называются уензорныци.
Почти очевидно,, что сложение есть тензорная операция; доказа-
доказательство предоставляется читателям в качестве упражнения. Отсвда
следует,, что симметрирование и альтернирование - тоже тензорные
операции. Поэтому симметрия и антисимметрия тензоров есть свойство,
инвариантное относительно ортогональных преобразований. Таким об-
образом, равенстве
(iy^. e*jyo«~ +?/*$*> C.7.)
где п! у
остается инвариантным при ортогональных преобразованиях.

- 31 -
В теории упругости часто применяется следующее -расположение
тензорного второго пор
CTCS
h> tb +Afy. C.8.)
^ ^ обладает тем свойством, что его сверткд
( сумма элементов, в развернутой записи стоящих на главной
диагонали), называемая также рледоед или щщш тензора, равна тож-
тождественно нулю; такой тензор называют иногда, девиатрром. Тэнзор
? Opp^'tt' называют шаровым* Итак, каждый тензор второго порядка
может быть разложен на сумму девиатора, шарового тензора и анти-
антисимметричного тензора.
Равенство C.8) является инвариантным относительно ортогонал^
шос преобразований.
. * Так как закон преобразования тензоров порядка выше первого
до определили при помощи обобщенного умножения, то это последнее
* есть тензорная операция» ,
Рассмотрим операцию свертки. Пусть йуоа тензор. Тогда
Свертка будет — ^
Мы^идлм, что результат свертки есть скаляр; поэтому свертка -
тензорная опера^ш. Далее, пусть &/>ръ> - тензор. ТЬгда
Свертка^будет, например;
? рррр рр
Мы видим, что результат свертки в данном случае есть тензор первого
порядка; поэтому свёртка есть тензорная операция* Подобным же об-
образом зто проверяется для сверток тензора любого порядка, В част-
частности, внутреннее произведение есть скаляр, так как гто - свертка
тензора.
Рассмотрим векторное произведение. Имеем _
Но мы змеем —
Итак, векторное произведение есть,псевдовектор веса !• Поэтогду
Результат векторного умножения является истинным тензором только
Щ>и поворотах; в механике, в частности, векторное произведение
моано считать истинным вектором.

- 32 -
Таким образом, векторное умножение, определенное угсазанным
выше способом, является тензорной операцией только при поворотах,
следовательно, в механике это тензорная операция. Можно определить
векторное умножение несколько иначе, так, чтобы оно было тензорной
операцией при любых преобразованиях координат;
Для смошанного_кпоизведеюш
ASW A$W S
Таким образом, смешанное произведение есть псевдоскаляр веса I.
Слушателям предоставляется доказать, что тройное векторное
произведение есть псевдовектор веса 2, который в механике можно
рассматривать как истинный тензор первого порядка*
Обратный тензорный признак или цравило частного» Тензорную
природу (закон преобразования) любого объекта можно обнаружить
только что указанным способом, т.е. просто найти закон преобразо-
преобразования непосредственно из определения объекта. Однако для сложных
объектов это бывает технически затруднительно* В этих случаях
может оказаться эффективным так называемый обратный тензорный признак
аналогичный действию деления. Чтобы им воспользоваться! необходимо
ввести понятие произвольного тензора.
Задать тензор-значит определить все его элементы в какой-нибудь
одной системе координат. Для этого необходимо задать достаточное
количество чисел или функций, причем это количество не произвольно:
для скаляра должно быть задано одно число или одна функция, для
тензора первого порядка - три, дая тензора второго порядка - девять
и т.д.; пять заданных элементов, например, не определяют никакого
трехмерного тензора.
Допустим, что в некоторой определенной системе координат тен-
тензор задан. Тогда в любой другой системе координат его элементы можно
определить при помощи' закона преобразования тензоров соответствующего
порядка.
* Произвольным мы назовем тензор, элементы которого в какой-
нибудь определенной системе координат можно выбирать совершенно
произвольно, например, положить их все равными нулю,за исключением
одного, который считать равным единице; этим произволом мы можем
пользоваться так; как нам будет удобно. Б качестве наглядного при-
примера произвольного тензора первого порядка можно привести радиус-
ректор произвольной точки»

- 33 ~
Теперь покажем применение обратного тензорного признака на
нескольких примерах.
цри|лер 1. Закон преобразования объекта первого порядка<2/>
"неизвестен. So* есть произвольный вектор; известно,что свертка
/>« прор есть скаляр; найти закон преобразования CLp «
5
Ho *ак как &p - произвольный вектор, то отсюда следует, что
Clp &U. - » следовательно, , CLp - тенсор первого по-
Нщ!мо?_2. Объект ? /ьр~ имеет неизвеоткый закон преобразован^.
Вр - произвольна'] вектор. Известно,, что свертка ^Jfpp&/° иа
' есть скаляр, На ivi: природу объекта Яра •
Мм mmqs?i
;* CipCxaSpfy =gpp fy&f.; ^cpC^^^pp)^ -с
/Разлож1Г1 объект Qpa. на сушлу сиг^аетричного и
объектов* с А ^ ?у
Поэтому будет -.
<"(бъек,' Sp о о вебгдэ сиглметричен, а объект во втором члене в
скобка* ^че*\\ьч~ч антисшшетричен. Поэтому второй член товдэст-
всяко . ^век 'h.'Ztqji глы жлеем
( С Ср CxpS^-* tSpfr) €>/* f>?. ~ О ; &Р9 — Сер С Х:р. О <1« ;
гь „ j-j следует, *что симметричная часть J?/>^- есть иотинн&и тен-
тензор ечороро пор.адка, Если^л^ сам стметричен, то он истинньл.
;»fuH?op второго порядка.
Так как этот вдвод иногда вызывает недоразумения,поясним .
его подробнее. Пусть, например» g & &
Тог,,а равенство
дршимает вид ( dt C«* Si^Sti)it 4 Г
'В саду симметрии имеем ?с? ^^"^л^аг~~«5?/ = Л/^C5*S*'<•
и поэтому ^Э/ & ) ^ ^
« так как ?f; ё& ^ О, то

- 34 -
Подобное равенство, в силу произвола вектора О/> ,може?
быть получено для любой комбинации индексов /О и о , от-
откуда и вытекает, что •-$/>?. есть истинный тензор.
Пример 3« Известно; что, объект (О-^дрр
есть истинный скаляр, &р - произвольный вектор.. 'Показать,что
<XbOpq~(LpO*ir есть истинный тензор второго порядка.
Так как объект/2^гф>^. - Оу^Я-^) симметричен,- то на
"основании результатов предыдущего примера мы сразу же преходим
к нужному нам В1^зоду. .
Пример 4. Квадрат векторного произведения /5*г - ?/>рг CLp
равный {&%fya~fy?^faty,ecTb, очевидно, псевдоскаляр веса 2.
Пусть fc - проиэвольшй ис^таный вектор; Показать прямыми
вычисленлями, что объект CL% дрр - (ty> &-р есть псевдо'тензор
второго порядка и веса 2.
следовательно ,>,,?>«' ^ , г» -г^ 0
Так как объект &?ui*:- &?&* , очевидно,симметричен, то выра-
выражение щ ^ва^фатшо, скобках .полжно быть равно нулю, откуда, получаем
( &? Ойс~Ф0->к) — (?) CipCкр/&ъОрр — CL/oCLf,)f
а это и есть закон преобразоЕания псевдотенвора второго порядка
и веса 2. . х
\. В выражении D ' •
fro есть уроизвол^нщ^ псевдовектор веса ?> ^ ^>~ псевдо-
вектсф веса JC . Показать, что ^-/^ e^vb псевдотензор второго
порядка и веса JC~*& .^ _ ар ~ч //j^y^ >-
" Мы имеем в^л^в ^ . ?«-(?) &о*&/ *% *&/ ^cj s *
поэтому (?NC^a*c?p^?)*?*/cs:
Сокращая это на /я?/* и умножая на d?c>o , получим
C?C6
Вычитая это из заданного равенства, по

следует равенст-
-36 -
at в силу произвольности' вектора о
дулю выражения в скобках, т.е. _
О~рр ~ С- С jo Скр (Li* ,
а «то и доказывает наше утверждение.
На основании приведенных примеров дадим следующую- общую
форцулировку обратного тензорного признака.
Пусть &ано равенство ~
где О?к •' "? есть происаольнрыД псевдотензор порядка ?
• и веса 3 9 a /y>a...j - лсевдотензор-.порядка да и
веса УС .
Тогда объект 62,с*: .--/^^ •• *>*ч * есть псевдотензор порядка
р? s? K *^«»Е' И ВБСЭ /7 я <SL~- А *
\ , Здесь нудно запомнить, что симг-лвтрия или йнтисимметрил
доевдотецэора <5l> ••• т ограничивают степень его произвольности,
Симметрй-шыи или антисигл?летричяый "тензор не являются произвольными.
¦ доказательство приведенной теоремы очень просто/ вьшо , шется
способом5 paaodpr.HHbLvi в предыдущих примерах,и предоставляемся
.читателям в. качестве упражнения. -
§4_. Рптогодальтг'э уензо^ы ]з, м^пнике и Физике
В настояли г^аве будут приведены примеры ортогональных
тензоров, с которыми приходится иметь дело в мэханико, теории"
упругости и теории поля.
Ур
Рис. 4.1

- 36 - '
Тензор угловой ркотзоруи. Пусть О^Ср ~ неподвижная система
координат <рис.4Л); тогда радятус-вектор «А/> какой-нибудь точки
А есть, по определение, истинный тензор первого порядка.
Пусть точка А движется, так что JCp являются функциями
времени; время мы уславливаемся считать исзиниым скаляром. Пусть
скорость точки А есть &р ; так 4как
? 4 X у
то очевидно, что скорость точки есть истинный тензор первого по-
порядка или истинны** вектор. Тагшл же образом получим, что ускорение
точки есть истинный вектор.
Пусть теперь точна А принадлежат некоторому твердому тел:/.
Примем ее за начало связанной с телом,системы коордйг.ыТ А^? ;
({ко.4.1); rfycTb $ есть Щ&извольщ^з точка-твердого тела;
\<j:%i: ее радиус-вектор ^ относительно тачки /Ц есть пгоизвбль-
Шй. *:othhhlv вектор. Обозначив радиус-вектор точки S относи-
относительно точки О через Э?/> , а направляющие косинусы осей
A Qi относительно Сх.р через С</> , получим, очеБидко,
* tyfaЫ
ytyfa
Будем считать систему О^С/о старой, систему /^«- - новой и введем
обозначения ^
ус * U / <*р - JC? - tP.
Таким образом, черточка над главной буквой будет относиться
к связанной системе. Тогда 'будет
.¦*<•» Cif> t?* . DЛ) .
ty • Сер li t
Так как точки $ и Зк ' принадлежат твердоыу телу, то
с другой стороны, X,pjtcortjz: # Действительно, обозначим
скорость точки А через ?/> , а точАш S через
тогда имеем • '•
1 Х ] СГ
Таким образом,- производная tp равна разности скоростей
точек А и ^9 , причем 5 - произвольная точка тела.
Следовательно, эта производная равна нулю для казцдой точки тела
только в том олучае, иногда тело движется постуца^зддо. Поэтрк^у
вообще она не равна нулю и мы можем сказать, чао производная *tp
характеризует врашател;ьн9^ движение тела, •
Введем обоеначенив J^ s L,
р г

~ 37 -
"Р есть истинный вектор, т&к как это разность
лотюшнх векторов:
второе из^разенств D,1), получил (т.к.
V*ps Cy>l? . _ D.2)
Бедно заметить, что векторы ?? и ?**. определены в разных сис-
системах координат. Так как 1?р ~ истинный вектор, то мы, очевидно,
имеем 2Гк * ?*р fy • . _-.
no.8TOMyt у множив D.2) на ^^ , получим ^л-** &/**-<?>*'?.
Во гпбежание недоразумений ^шпогжим, что г^Ь и <J%> - э?о
• составлташ1в одного и того же вектора по двум различным системам
осей; 2/"& не является относительной скоростью в новой (связанном)
системе координат; эта относительней- скорость была бы товдествеияо
равна ну;:ю.
Введем
Тогда оудот — — —,
— I^K^jdi* ^с • . ' D,4)
Так кяк ' 2% и ?с' - истинные векторы, причем ?J про.ьз-
волен» то по обратному тензорному признаку ?&с* есть истинный
тензор второго порядка. Напомшш, что 2?ъ характеризует вращатель-
вращательное дшй::;ение тела; поэтов и тензор <???* также характеризует вра-
вращательное двюке!ше тела« Но вектор 2?~fc относится к какой-нибудь,
хотя и произвольной, но определенной точке тела, а тензор шсъ
не зависит от того, какол именно точкой тела ?лы пользовались дач
его долучекия. Поэтому он характеризует вращателыюе движеже -т-гла
в целом ц назкБаехся цензором уулово:> скорости тела, *
Нетрудно показзть> что этот тензор-антисимметричен. <В самом
деле, уоловвд ортогональности преобразования получаем
•Cfy>>C*p~Qiic; С1рСкр+ОрС*р=О * СфСкр^ — Съ/ьС^
или — —«
у В механике обычно пользуются не тензором угловой скорости, а
дуальным вектором^
При помощи дуального вектора угловой скорости развернутая запись
тензора угловой скорости будет выглядеть так:

- 38 -
L ^z '-u)f О J ,
Дуальный вектор истинного тензора есть псевдовектор веса I; дока-
доказательство этого предложения предоставляется слушателям. Поэтому
вектор угловой скорости есть такие псевдовёктор веса; закон его
преобразования будет
Напомним, что черточка относится к составляю^ вектора в
с телом осях.
Так как в механике несобственные повороты не рассматриваются,
а при обыкновенных поворотах всякий псев.^отензор является и истин-
истинным тензором, то в механике вектор угловой скорости может рассмат-
рассматриваться как истинный вектор.
-Тензор инерции. Найдем кинетическую энергию твердого тела;
для этого сначала определим кинетическую энергию какой-нибудъ из
его материальных точек ^3 • Так кал 2^о^ ^""^tojb связанных
осях будет 2/%2YkS^S^ * откуда Zfc *Vs?—?VkZ/k *~ &/<
или V*= 2VkV*-№*•??. _ 3-^1
Но согласно D.4) мы имеем 2^%^ ^'c^^LS &<*? ^^ ^^ ф
"Это - векторное произведение; чтобы найти 2^. , нужно найти
квадрат векторного произведения. По формуле,- которую мы получили
в предыдущей главе, можно написать 2fcz^ fi^1 &*-*&?*?J&Sc&ht
и мы имее^ ' ¦ -^ -,
'\?**2%%-1&**(ге&<-ЪЬ:)&с«>Л . - D#6)
Теперь для того, чтобы можно было развивать динамику в индекс-
индексных обозначениях, нам нужно ввести два новых класса индексов, .для
которых мы используем греческий алфавит:
Ь~ фиксирующие - от оС до О.
кл§сс - скользящие - от ^ до конца алфавита.
Греческие индексы будут обозначать номера материальных точ^ак чтела.
Будем рассматривать массу тела f^j как объект, состоящий
из масс его отдельных материальных точек /7}х $ причем на индексы
четвертого класса распространим условие о суммировании подвеем ма-
материальным точкам тела1.-Тогда; например, выражение /??д ]^Д -
будет обозначать 'количество движения тела; есди обозначить скорость
его^цеьтра инерции через Voc> то по известной теореме
механики получим t
У^/У№ ' D.7)

\ - 39 -
где U - масса тела, т.е. сумма wacc всех его точек.
Это равенство написано в шшшшь (новых) осях. Массу вела мч
должны рассматривать как объект изотропный, т.е. считать, что его
эдеиен'гы не преобразуются при преобразовании координат, тогда D.7)
- тензорное равенство. *
Равенство D.6) справедливо для каждой материальной точки
' тела; чтобы записать это в явном виде, припишем каадому числу ра-
ий^ греческий индекс; мы будемjombt
Тем самым выписано сразу столько равенств*, сколько материальных
точек имеется в рассматриваемом-твердом иле.
".' Умножим эти равенства на •? /т?> ; тем самым мы просуммируем
*|юзультат уложения по всем_материальным точкам тела. Это б^дет
i
В левой чисти стоит, очевидно, сумма кинетических энергий всех ма-
материальных точек тела, т.е. просто кинетическая энергия тель; Так
кек квадрат скорости есть скаляр, а масса не образуется, то кинети-
кинетическая- энергия есть щтж:\\\И скаляр: * обозначим ^ее лоэтому через7^1
В правей части скорость Vk: » a iaKse объект СС)сС()к: одинаковы
• для всех точек тела; поэтому их можно -выньсти за знак суммирования
по дат.ерлкальным точкам тела. Мы запишем это^следующим Образом :
(V Щ = ту 7K}J7k MV I/
Введем обозначение^
- • .A^Mlfz/fiK-tit*)*. D.8)
Этот симметричный объект называется тензором инерщш тела в
U Окончательно мы дюжем написать
T%V?nir?
Если, властности, точка А совпадает с центром инерции С,
.1Гк А Ус<. и :лы
Цричем в последнем равенстве вместо Аск написано Л^г^
подчеркнуть) что он взят в центре инерции тела^ —. -^
Из этих выражений мы видим, что свертка Ai* ^c^Ac есть
истинный скаляр; поэтому на основании Ъбратнояю тензорного признака

иш заключаем, что тензор инерции есть
как 6О<: есть псевдовектор веса I.
Закон его «преобразования поэтому будет
веса, - %. так
D 9)
Следовательно, при Еоех ортогональных преобразованиях тензор
11 едет себя как истинный тензор,
Если мы хотим яри вычислении кинетической энергии воспользо-
воспользоваться не вектором^ а тензором угловой скорости, то мы можем напи
сать 6pl ? ^^
а) к
гда введено обозначение_
Так как объект шестого порядка ?^2^с ?wx:/c есть, очевидно,
псевдотенпор шестого порядка и веер 2, а есть псевдотензор второго
порядка и веса - Z% то сьертка D-10) дает, очевидно, истинный тен-
тензор четвертого порядка.*
Упорядочив индексы при помощи подстановки
(
1 /с
называется цензором тщерции четвертого рщ^
/ф* имеет, очевидно, следующие свойства симметрии:
Объект /^V/c
Тензор
2.
3.
Эти равенства вытека^тт непосредотвенно из свойств леевдоа-еизера
ш коммутативности обобщенного произведения,
/а
Рис. 4".2

- 41 -
fffffi дефоЕ.м9шш и .тензор ньлрржениа. Пусть имеется какая-
оплошная среда, которая может деформироваться• Будем иэу-
ь доение этой среды в неподвижной, ортонормированной системе
коордДО* б*00/0 (рис.4.2). Пусть какая-нибудь точка 6 среды
с координатами -*/> переместилась в точку 6' с координатами а^>.
Тогда ректор ,
&?> « Х/э-о:,, DЛ1)
.смещения. Координаты смещенной точки <3 , а
следовательно, и составляющие вектора смещения, являютс'я функциями
координат несмещенной точки среды; вэктор смещения 2//ь образует
векторное поле.
'Найдем изменение элемента длины самой среды в окрестности рас
сматриваемой точки среды. Пусть длина элемента среды до смещения
(Ша с/? , после оглашения стала с/<? г очевидно, имеэм
разечство D.Ш, получим:
Врзвышая этот результат в квадрат, получаем
сЬ?ш Car* + 2 Щ*Ъ.*Ь ^ |§
Но, воопользопавигась тем, что цемне индексы можно обозначать как
угодно, получим:
В левой части этого равенства, очевидно; стоит истинный скаляр,
а с/йСр есть совершенно произвольный истинный взктор. Поэтому на
основании обратного тензорного признака' заключаем, что симметричный
объект '
тензор второго порядка; он называется уе^^ором дефор-
%^ есть "малое первого порядка, то последний член
5с<*
тензора будет второго порядка малости; в этом случае тензор дефор-
деформации определяется выражением'
Ър~ЪЩ. + У?' DЛ4)
Напряженке в упругой среде связано с деформацией при помощи течзор-
ного равенства - обобщенного, закона Гука:
DЛ5)

- 42 -
где тензор второго порядка &ро, называется уензосэм ндпряжршщ.
а тензор четвертого порядка J^^zS " тензороли/одулой упругосу^,
В таком виде обобщенный закон Гука применяется в кристаллофи-
кристаллофизике.
?&. _Пусть нам задано с^алярще, „по_,%а|
т.е. некоторая функция <? /JCoJ от координат, значение которой
при преобразовании коорд;ишт не изменяется» Пршлером скалярного по,
может служить поло температуры какого-нибудь тела.
Наедем поллчЛ ди;>>ренцпал скалярной функции; это будет, оче-
очевидно, тоже скаляр. 1Лы к^ееи
1С
В тензорном исчислпыи ди]/1>еренцирсвание по координате обозначается
индексом координаты; ^vo6:i не смешать индекс, эбозначайци.!
Дйрование, с обичнш" гу1локсом, его отделяют запито;::
Так ъэи ajcp - про!1,:1зольш л ncTiUiHLai тензор, тс в соответствии
о обратным тензорным лгтолакоп оОъект
юже будет истинным тскэо^о.л первого порядка, т.е. истлпяим векторов
он наоклзетег; Щ'ЛЛД^ИХ^И чунгаг-ш ^
Ди'О^рренцированые по координатам увеличивает порядок тензора
на единицу.
Пусть натл .задлио вертог,но?^Ш?Q,> ^-е* три фуш:цпк np/^p-J t
которне при переходе к новоЛ сгстеме координат преобразуются как
элементы тензора первого лорял^., Ка^ем поляне дифференциалы этих
функций; совокупность эт!ох полных дифференциалов также образует
тензор первого пооядка. Мы тлеем
В соответствии с обратные тензорьым признаком объект Ар, р. есть
истинный тензор второго порядка. Свернем этот тензор; мы получим
истинный "скаляр
W
Этот скаляр называется лхивергенх^е/; векторного поля.
Определим объект /5\о следующим образом :
В развернутой записи это будет

- 43 -
%
$
Это*" объект называется 2МВШД векторного поля; он, очевидно .есть
псевдовектор веса» I. Введем в рассмотрение дуальны:! тензор вихря»
который обозначим через /Sue m По определению имеем
следует, что
Объект Рб«, есть, очевидно, псевдотензор второго порядка к веса 2;
при ортогональных преобразованиях это истинны;! тензор. Он применя-
применяется в релятивистской теории поля.
Уцрзднекие. Если СССк есть некоторый тензор второго порядка,
то тензор третьего дорядка '
.2™-. -
иногда называют циклов тензора.CLi< Доказать, что цикл дуального
тензора вихря, тождественно равен нулю, т.е. что
. • Приведем для удобства справок таблицу основных понятий и не-
некоторых соотношений теории поля в векторных и тонзолных (кндэксыпс)
Обозначениях.
Веаторчке обозначения
I. Градиент ^
2. Дивергенция
4. .Лапласиан
а
5.
I.
О.
2.
4.,
5.
7.
*
A A?
Аъф

Эти резульуаты почти .очевидны; предлагается получить их в
порядке упражнения.
§ 5. Главные, реи оимиерричного уензора ^тсрого
Пусть мы имеем какой-нибудь симметричный тензор второго поряди
^Pf . Покажем, что существует такое ортогональное преобразование,
лереводщве старые координата -9° - в новые ОСг , что в нозой
системе координат тензор &?*: • принимает диагональный ввд. В раз-
развернутой "записи это выглядит так: ~
~ ~ - -" _ \$„ о о
i ?u_~ О Sea ?
О О ?js
В этом случае оси новой сиетеми координат называются
Q.Q.WL симметричного тензора Л>«., направления этих осей -
\$3,
чалшвлениями, а диагональные элементы тензора в новой
системе коордчнат - его главными или рд^ртвеннымц значениями,
.х, b^
Рис. 5Л

-45 -
^равнение. Рассмотрим свертку истинного
ензора /?/»? с каким-нибудь ректором GL* ; эта свертка пред-
представляет собою также некоторый вектор; обозначим его через ёр
(ряс* 5Л). Мы имеем
fy^CLp^op. Eл)
Будем считать, что вектор &,» принимает всевозможные направления
с направляющими косинусами <$*<>, , взятыми относительно старой
сноюмц координат. Гудем искать среди этих направлений такое,если
оно существует9 чтобы векторы da и .&/» были коллинеарны, т.е.
чтобы имело место равенство
ор ^ *А CL-p,
хде. \ - некоторый скаляр. Тогда равенство E.1)- можно перепи-
переписать так:
'Spf**-} =yaf, E#2)
а» принимая во внимание, что CLa-^/ooCL^, - следующим образом:
Очвввдно, мы можем написать
. <Xp=p
где CL - длина вектора Ct,/» • Поэтому будет
Piff
Рассматривая только такие векторы, длина которых не равна нулю, по
сокращении на <2-, получим
(?f*l~^$f>f)&<l, =0* . E.3).
Зтв система трех уравнений, служащая для определения направляющих'
косинусов Ор ; так как оца однородная, то для того, чтобы су-
существовали отличные от нуля решения, ее детерминант должен обра-
обращаться к нулю; это дает
I Pp п I E.4)
„Уравнение E.4) служит для определения скаляра *А и называется
харакТтаггТическим VDaBHeHHeM дая тензора¦
Покажем, что корни характеристического уравнения действительно
явля»гся скалярами или инвариантами, т.е. не зависят от системы
.координат, в которой написано характеристическое уравнение. Пусть
*Л.*Ду будет один из корней характеристического уравнения, вы-
выведенный в старой системе координат.
* даь f IS^y^p I* О.

- 46 -
Ко по законам преобразования тензоров будот
и поэтому ^ л к* -
Но по теореме Бияе-Ксши мы можегл написать —
О
и поэто.му
откуда видно, что Jv^ является корнем характеристического урав-
уравнения, написанного в яорси системе координат, т.е, что Л/ явля-
является скаляром (глшариантом). Кроме того, так,как при ортогональном
преобразовании Сг - / , то ^ само характеристическое уравнение
"инрарйэнтно относительно преобразования координат. Следовательно^,
коэ*(х|)и.циенты хараг.тэристт-ческого уравнения, образованные из эле-
элементов теньоров Spp и vpp-t яшдяются скалярами (инвариантами).
В более подроСпо. записи хэрзктерхстЕческоо уравнение будет
а О.
E,5)
ертн^ая детерг/гинзи:: в лолтюм, долучьч уравнение третьей
относительно )\ :
где, как-?v*o>sho долечить прости?..;?
E.5)^
^/л рякладка.»;й,
• E.е)
.ланпе|г.напг-арляк)'г-их- косглуеоз. Из алгебры известно, что,
так как матрица | &ра,Ц сиг.шетрлчна, то все корни характеристичес-
характеристического уравнения действительны. Обозначим каждый из этих корней через
Лсь» 1^адому корню X<i_ может соответствовать своя система
значений направляющих косинусов, которую- мы обсзначпм* через <Эа.р,
Иначе - каждому корню Л^соответствует некоторое направление. Сово-
Совокупность значений всех надравляющих косинусов образует квадратную "
матрзщу, элементы которой мы будем обозначать через <?ър. , где
*С - индекс корня. В развернутой записи будет

- 47 -
Здесь строки соответствуют корням, д-ля вычисления элементов этого
ш имеем три системы уравнений, по одной систем на каждое
корня характеристического уравнения. Эти чрч системы будут
кди вообще
Детерминант каждой из эт:а систем, согласно тому, что изложено .
раньше, обязательно равен нулю. Поэтолту, Kai: известно из слгебры,
решение кшциок из однорир^ых слетев С5.7) можно написать в виде .
Ъ
А/а,
E.8)
P-J3
иаз
2g
ft
"Придавая гг.еоь
значения 1,2,3 , получитл направляющие косинусы
^З.тЛ. раезрч^нх ..kodpq {,
,^равненг.л.. Пусть
имеем два р.а.злулнь% корня Да- и Д(^ • Покяием, что определяе-
определяемые ими направления.ортогональны. Из иистеглы E.7) в этом случае
ИЛИ
и:л первую из этих систем на
одчу из другой; мы подучим
g , вторую па с?4ли вычтем

~ 48 -
Но в левой части, в силу симметрия Spf- * рба^чдена равны
собою, как отличающиеся только немыми индексами; поэтому долено
а так как ^ «, - ^4 / О ] то мы получаем <эаро? СО,
т.е. что направления, определяемые косинусами <2^° и
ортогональны. , .
Итак, если характеристическое уравнение имеет два различных
корня, то имеется два взаимно ортогональных направления, для каж-
каждого из которых верно равенство E.2) или E.3).
Ири^егбние т^^ора к диагональному всту. Будем рассматривать
ортогональный трехгранник, определяемый направляющими косинусами
(Эф , в качестве нового координатного трехгранника. Найдем вид
тензора Sck в этой новой системе координат.
По общему, правилуимеем
Уем * dif>O*pS/>f .
Фиксируем индексы с и К, , положив 1=&ж ?*6 . Тогда
Из E.7) имеем f Sft tr%)ip
Умножив ©то на o*f> и раскрывая .скобки,
Воспользовавшись E.9) и пЬмня, что Оа/>6*^о * фоб * мы можем
написать
Отскща видно, что прц п-^ ? -9 т#е. для любого недиагонажг
ного элемента, будет ]jeJ>9Q , а при d
Si о о
О «А^ О
„О о
Таким образом, в новой "системе координат тензор ?йс принимает
диагональной вид. Следовательно, оси нового координатного трех-
трехгранника, по определению, являются главными осями тензора, а корни
характеристического уравнения E.5) - собственными значениями тен-
тензора Зр^г _ - '
Случай равенухвЕ корней. Пусть <Л<t,
три корня характеристического уравнения, причем а, в, с
различные числа из тройки 1,2,3. Тогда вместо E.9) мы можем напи-
написать три равенства ч

- 49 -
P?*p -о, .
(Ьс)срЬ<ч> -О.
Пусть-^*>ЯУ*€ г sAd^k, Л# / ><:• Тогда из последних дцух
равенств следует, что 6fye>c/* ж О 9 б^> ^*/> * °>
у.е; w соответствующие направления ортогональны* Однако в первом
равенстве Js*>- yg в О ^ и.поэтому может битъбЬрбЬр*,/*- , где
±f4jL4 4 . Каждое направление в плоскости, перпендикулярной
направлению, определенному корнем Л с » является главным направ-
направлением тензора. Соответственно этому имеется бесконечное множество
троек Главных осей, шлещих одну общую ось*
Подобным же образом, если все три корня равны меаду собою,
каждое направление является главным направлением тензора. Такой тен-
ЪОр называют щ^ров^ц.
' Итак, если все корни характеристического уравнения различны,
*а имеется только один ортогональный трехгранник,оси которого явля-
являются главными осями тензора *?/»?- - Бели два корня одинаковы, то
имеется бесконечное множество ортогональных трехгранников с одной
общей осью» оси которых служат главными осями тензора /J/>^ «Если
же вое "три корня одинаковы, то оси любого ортогонального трехгран-
трехгранника являются главными осями тензора ?

Глаза П. Тензорный анализ в трехмерном евклидовом
пространстве
§ 6» Объекты различного ртроенгпя
Потса мы остаемся в области ортогональных тензоров и юс пркм&
нений, достаточно, пользозаться одяилш нижними индексами. Для обоб,
щения понятия4 тензора и применения тензоров в любых системах коор,
дияат оказывается необходимым писать индексы не только снизу глав-
ной буквы; од. будем "применять также веЕй?ии& индексы
Ш будем писать, например, . .
Условимся, как нижние, так и верхние индексы-могут принадл^
жать к первому и второму классам; индексы первого класса будем
по-прежнему считать фиксирующими, индексы второго класса - скользу
Объекты с нижьим, верхним и смешанным расположением инцекссн
ш будеы называть объектами нижнего., верхнего- и смешанного^ строе1
р&оиоложение индексов, следозатьльно, определяет &т;)оение объект.
Тамь; образом, объекты г.югу.т различаться по их порядку, числу из
pete.il ;: строению. Объекты с одинаковым порядком, числом измерен»
и строением будем называть однотщшьдаи.
Б честности, тензоры ншшого, верхнего и смешанного стрсени
будем называть соответственно коварнант^лгг.га:у уоктрагариантншш у
О развернутой записи. Развернутую запись нам почти не прчде
применять, но все же удобно условиться о тех особенностях*котор*
приходится вводить для объектов различного строения по сравнена
с развернутой записью объектов нижнего строения, которой ми пол.
вались до сих пор.
Условимся, что 23?ЩЩ1? объекты первого порядка гредставля
собою в развёрнутой записи столбец, а шшние - строчку:
Верхние е нижние объекты Еторого порядка будем записывать
виде таблиц с верхними и нижними индексами, причем как обычно п
Зца:
a" a" oJ
вый индекс есть номер строки, второй - столбца:
a cJ
a?< a.3* a-'3

-51 -
объект второго порядка к*ожяо представить как
или как строку столбцов:
4
таким,Образом, в развернутой записи верхний индекс есть номер" строки
<- столбца.
ж с об^ехузглл рэзлимого строения,.
два однотипных объекта. Зле^енгн, иглэющие один и
язбор г-лдексов в одинаковом размещении, назоЕеод ррзуре^рт-
к. Наппимер, элементы ?2-j и 6$ - соответственные, элемея-
СС^ ч &? '-не соответственено.
Йй2!Ш222 лзух объектов определяется так ке, кате и в первой
главе: ~puLin-i:ri называются два однотипных объекта, если все соот-
соответственные элг'^г"»нты попарно равны друг другу. t- ^ i
Если два объе.чта равны друг дру^у, например, &**. * 9^. то
гоже самое равенство ,мсшю записать ьри ломощ!1 «юб^х скользящи^.
;иадо1ссов, jhjwl 6п орп быт одинаковыми в обеих частях ревенеттза:
причем индексы сверку л индексы сяязу должны быть одинаковы в
гавевства TLira Q.** hi будем считать чз имекящми смысла.
¦Объегл5 называется -ймоДШ» если все его зл^ментк равш/
Иь cvbo объекта куля означает, что каждый из его
дов
ко опредолмйтся тояько
однотипных объектов,
?I^.JLaHTHcrj ;:отрия. Понятие сшлмстрии и антисилдметрш;
вводится то лысо для индексов, которые расположена или оба снизу,
или-оба сверху. Для индексов смешанного расположения эти понятия
не вводятся,
Рассштригл, для примера, объекты второго порядка Ct^^is. cz
объекты таковы, что
отва
*6
?и называются ермгдруричныст. Наоборот, если имеют место равен-
называются антйсшлметричныма.

- 52 -
Подобным же образом можно определить симметрию и антисимметрии
для объекта чюбого строения и порядка выш? двух; .например, если дл^
объекта O-ict верно равенство CL*e ~ &*?*¦ , то он называется
симметричным ро инде^с^м ^ и с а если &>*??л "• CL&e * то
а^тисгм1цеуричным по индексам ,/Си, ?- .
^лметр^швание, и альтернирование. Если объект имеет два оди-
одинаково расположенных индекса (т.е. оба внизу или оба вверху), то
его всегда можно разложить на сумму двух слаггемых, из которых одно
симметрично по рассматриваемым двум индексам, .другое антисимметрично
например, *' ,_ ?
- &?~ -?
Введя обозначение ^.
мы можем написать .
Операция выделения из объекта его части, симметричной по каким-
нибудь двум индексам или антисимметричной по ним, называется соот-
соответственно симметрированием и альтерцированиец.
рвдрткд (условие о суммировании!). Обычно условие о суммирова-
суммировании вводится в виде, предложенном Эйнштейном: суммирование произво-
производится только в там случае, если одинаковы один верхний и один ттшшй
скользящий индексы, т.е.
CL^-CafK+tLL + tLUj.
Однако наравне с этим будем применять условие о суммировании в
старой форме, т.е. будем суммировать также и по двум повторяющимся
нижним скользящим индексам. Будут встречаться случаи суммирования
и по верхним повторяющимся индексам.
Поэтому введем условие о суммировании в следующей общей
форме: руммирован^ке цроизводиуся до любым двум првуррдацшмрд сколь-
зящиц индексам, независимо от их расположения.
Однако свертки объектов по двум верхним или двум нижним индек-
индексам будут нам встречаться довольно редко; как правило, .мы будем поль-
пользоваться сверткой в смысле Эйнштейна.
Отметим сразу же, что введенное таким образом условие о' сумми-
суммировании по двум верхним пиан двум нижним индексам есть чисто вычис- |
лительный прием. Как будет показано в дальнейшем, свертка тензора
по двум верхним или двум нижним значкам не приводит к новому тензору i

• е* не является тензорной операцией. Наоборот, условие о сумг.ти-
рованни в смысле ЭйнштеЛпа всегдэ приводит к ноъкм гонзорам.'
- ГЪзумеется, неадоЛ индекс можно по-прежнему обозначать любой
буквой, но так, чтобы .избежать ejpo позторения больше *>ем два раза,
г- р^обшзщюе умножение определил только для объектов одинако-
одинакового- числь измерений-, порядок и строение которых произвольны. Мы
имеем, например, .. ?~ . лА /><* '
ССс Ох — сас j О к -* -с у
к'т»Д«» откуда ясно правило ш-щексов для произведения: ему нужно"
йршшеать сверху и снизу индекса, одинаковые в обеих частя:;: равен-
адаа. Таки1,1 образом, здесь уже нет то;! полной снобо^ы в размене -
ш№ индексов у обобщенно^ произведения, которой мы могли пользо-
пользоваться, когда раесгуйтривали только одни объекты шинего строэния.
Обобщенное произведение ко*М1.1утатпьно относит?4ьно сомножите-
сомножителей 9 но не коммутативно относительно jjl индексов, например;
/Э^= <^^е e Sic UL\ if с #*
3 дослольеи! примере нелнзя написать Рас =» Ctoi илч г% - &с 6 *
'потому что такая запись нрот^оречит только что установленному пра-
'•вилу'.о размещеы::и индексов в обобщенном произведении.
Час.тиш случаем обобщенного умножения со свиргсой является
матричное
щ у едиц Сшу/вол Кронекера те-
теперь может иметь три различных строения: Г* / &** / ск.
-Одшако ч&»це все^о. мы будем пользов?атьоя символов Кронекера смешан-
: иого строения $*? . Легко ироверяется, что
- ' ш будем пользоваться абсолютно антисимметричным сш.шолом
Третьего порядка %р?ько лзщ paзличfшx отроении: шшнего ?г*?
* fcepfcRero ?ik . Каздый, из этих объектов определяется совершенно
*&к же % как нижней символ ?с*? , которым т у^е пользовалась в
ортогональных тензоров.

- 54 -
Совершенно таким же образом, как было сделано во второй гла-
главе, нетрудно провер]
ггь следующие, важные гоадесгваг
F.1)
6.
Удобно ввести обобщение символов Кронекера, которые определяют
ся следующим образом:
F.2)
<?.
При шмощи этих объектов можно вьшвлнясь следукчцие действия.
Альтернирование
а
.3)
F.4)
Вычисление детерминантов. Детерминанты могут быть построены ;
из нижних; верхних и смешанных ыатр)Щ. Приводимые ниже формулы ле^
проверяются при помощи того же приема, который был использован во!
ром параграфе; поэто^ проверку предлагается произвести студентам
в качестве упражнения. - ;
Нижняя матрица\ л , .
Верхняя .латтзрца:
б*
(в.?)
Смешанная матрица:
a

- 55 -
исполнения. Умножьм первое равенство F.5) на
т Так как ?**Р*?р;г~?&ъ • то мы шжем написать
ВвеДе-означение
цида дяя'детерминанта *CL~ /&?р/ получим следующее выражение:
Элемевтн объекта Ае называются ^лге,бра?пеокрми
Элм ^
элементов детержшента CL- /<2-?-б/ • Если F.8) положим г^- г
то получим
Это - разло&е*1гте деторшшанта по элементам CL* - го столбца.
Что0н получить разложение" по элемеитгм строки, уллно>шм второе ра
венство F.5) ifa ?1Л:ЛГУ . Получим
Вводя обозначение
можем написав „^
сьдг « ЛЛ./7 . (б.п)
Вел? здесь положить &*> лп * ?L- t To ;vih й полупим раз ложе гело д»
тершшанта по элементам <^ - й строгл: ^э
и^. Нейти разложение-детерминанта /d-p/ по
столбцов и строк, . ,
. Умиожае/л первое равенство F.7) на ?f*$"
где ролокено , ,
" ?L%Ae , : F.13)
Аг{ ^ ? F.14)
Полагая здесь ъ^Ж^а- , получаем разложение детерминанта по
элементам &~- го столбца. ;
г Умножаем второе равенство F,7) на ?>*</» . Получаем
^в доложено ,
По ' л - =1
Д8гая.8деоь ?* ю* а. , получаем разложение детерминанта по
а. - а строки.

- 56 -
* Кейти разложение детерминанта/^-^ по элементам
столбцов и строк.
е. Умножаем первое равенство F.6) на Срр.?.Получаем
^ e
где положено
Полагая здесь fc, =» ^ в сь , получаем разложение детерглинанта по
элементам си - го столбца.
Умножаем второе равенство F.6) на ^г/сп . Получаем •
где положено s /> Р г* *•*
Л/vt ~ J- ^>^ ^/°^^ Л cL & * F.20)
Полагая здесь ^~/п*сь , получаем разложение детерминанта по эле-
элементам Ct~ и строки.' ' *
^ундппоцтэльтг'; огл/вкт. Условился, что если mi обозначаем при
помощи одной и toz же главной буквы два объекта, имеющие один и
тот же порядок и одно и то же число измерений, но неодинаковое стрем
ние, то эти объетега являются различными яредставлениями одно1ю и
vToro жр. геометрического или ^шзйчоско'го объекта; например, записи
CLifc г&к/О- * являются рззличнг т представлениями одного и того же
объекта. Меаду этими првдетапденияглт: долйсна существовать некоторая
зависимость. . *"
Мы условимся, что эта зависимость линейна, однородна и осущест-
осуществляется при помопда HftKQToporo ооъекта нторого- порядка, обозначаеглогс
через Яс< \ объект^? ^к называется фуздям^нуал^ным об^е^трм.
Предполагается , что фундс»мент^лыгчй объокт симметричен, т.е.что
3aBHCiiAtocTb мехеду двумя различима представлениями объектов
первого порядка опрэделим следуюии^/обрлзом:
g<y> afi* a<. -X6.2D
В силу симглетр!га фундаментального объекта это равенство можно запи-
записать и в таком виде
?fii c?.% ас . F.22)
ЗависШость меж,пу тремя различными представлениями объектов второго
порядка бут^ет следующая: /><?
^ а™ » a/ j $«раг*сик; Яч>$1 &- » Лис, F.23)
^ $р$1
а в силу симметрии фундаментального объекта эти равенства можно за-
записать и в следующем виде : ' -

же- образом можно написать зависимости между различными
объектов любого порядка.
Овредеяеннне таким способом различные представления называются
ньт'ли п относите л ъпо фундаментального, дфьокда ,5?6<дг •
всегда будем предполагать, что детерминант ма^едд фунда-.
ментального объекта не равен нулю; этот детерминант бщт Q/бозна--
ь через Ф « I Я-*-к1 • Итак, всегда
^ $ . F.25>
В этом случав система F.21) разрошшла относительно ^
Обозначив штрицу, обратную II Qsd/ • через /# **У ' так что
Мы, очевидно, можем написать
27)
g F.27
сделать то же самое и для объектов любого порядка.
Uuie.' Рпзрешит> системы F*23) относительно#- ^к
1^- Умножим равенства F.23). ка QSc , QSA: *
<
'соответствеилэ. Получигл
Из приложенных бшо соотношений видно, что.сапогу
объекту следует приписать ?&а представления: нижнее Jt^* и
верхнее JjLCK: , элоленты которых образуют обратные матрицы. Так как
представление фундаментального объекта оголметричио, то и
симметрично,
ГЛ..Ж.опускание ,рндокоо?» Пользуясь равенствами F.21)
16»38^ :т шжедд сказьть вообще, что умножение ьа^сЧ- со сверткой
^одному is© вндгексов опускаем индекс, а умножение на^ ** со овирт-
йо одко.^у из лкдексов пжщцгсех индет.с (-б обоих случаях свертка
в смысле 3-шштелна, т.е. по однр1\«у верхнему и одному
индексу). При подаиг.1аяии и опускании индексов получаются
ассоцаироваиные объекты.
. * Понятие объектов, ассоциированных относительно фундаментального
екта _2j/c . дает возможность сформулировать следующее лравыю:
из.пр
_РСЯШЛ ДРУГОМ,

- 58 -
' Например, из равенства Ctf^S* прямо следует равенство €Ц
В самом деле, умножим заданное равенство на J2c/o » получим
g Clf^g &Р Но по определению^ а* & #j &1** oi
gp g с/о &Р . Но по ^^ #
откуда й получаем &i~?i. Нетрудно доказать то же самое и: для
объектов любого порядка; доказательство представляется читатедц
в порядка упражнения.
Чтобы отмечать места, с. которых были взяты смещаемые индекс
освободившиеся места отмечают точками; например, из равенства
получаются ассоциированные равенства • ^г я&*& '
Такая отмлтш часто бывает необходима, так как иначе при повтора
перемещении индексов они могут попасть не на старые места,вследс!
вне чего объекты окажутся транспонированншли; это может повестиi
ошибкамЛочно аак же рекомендуется писать ^ .
1* * ^Р
Следует отметить, что в ,подобных равенствах смещенный.ивдекс всю
обозначается не прежней:, а другой буквой, соответственно индексу
фундаментального объекта.
Неассопипроваюше объекты. Если фундаментальный объект уста-
установлен, то могут существовать объекты, не ассоциированные относи
тельно выбранного фундаментального объекта. Например, объекты
^/>*г- yl' &tJC не ассоциированы относительно QIk f
еоли только f <JLi<[ зб /.
Действительно, ассоциированные объекты третьего порядка дол^
удовлетворять равенству • ' , ~
СЬ/ытг. ~9*р $к$> &^*- &* *
Вычислшл детерминант матрицы фуцда?лентального объекта по формуле
(Г.5). Мы поручим * . ^ g
откуда вадно, что объекты ?/*рг и ?**^ ассоциированы только
в том случае, когда Я**^-
Так как равенство (8.29) можно переписать в следующем виде :
то очевддно, что если вместо ^#2и />с*& ввести новые объек^
эти новые объекты уже ассоциированы относительно фундаменталь-
фундаментального объекта
Qctc*

»о
~ 59 -'
К тому же самому результату ш придем 1.з рассмотрения верх"-
представления фундаментального объекта; нужно только помнить,
цроюэведение детерминанта обратных матриц равно единице. . *
тензорцом исчислении неассоциированные объекты ^/>^ги.б с*
^пользуются только для вычисления детергталанта; во всех остальные
дучаях применяются ассоциированные ?/*?*** я ^* .
Очевидно равенство
Ь в/текает, что
объектов, Лдя построения дуальных*объектов приме-
i ii ^^ '^
только ассоциированные объекты ^/^^ и я
Дуалыше объекты определяются равенствами
а?*'?'*ъа cL? = g?c«?CLlK, . (б.зз)
а**??**&*, F.34)
5аким образом, для ншсних объектов дуальными являются зерхние и
ao<tojx>T.
Удр^не^е. Доказать, что дуальные объекты ассоциированных
редотовленкГ: сами ассоциированы.
. Нужно-показать, что, например, из равенства
следует Л/у.*вЛ^г ^ * Заметив, что
|шо«им заданное равенство на ?с/о <2*&~ • Получим
и следует сразу наше утверждение. w
Физические представления. В Механике и физике большую роль
объекты /Iе и /\; , определяемые по <2.с и ^2-с' следую-
образом .
-к Л с называются Физическкшч1ред|(?1^ав1;9!руями объ-
первого порядка СС и ^с . В.F.35) мы применяем
р1И? ивдексы, так как нам нужен только один 'элементу /
Ф1йические представления не ар^одгироварт; относительно фун-
объекта J?ck .В самем деле, если бн они о^
объекта J?ck .В самем деле, есл
ссоциированы, то имело бы место разэнство i
до определению физического представления
следует наше утверждение.

- 60 -
Лодоопнл: жо образом определяются физи^еокьо г.редстгвлепил
объектов второго и более высоких -порядков. Напри:юр, для объект
второго порядка, заданного в разных предеч,шлонляэсоУ^ Сс&у CZ^
б.\дут
Рекомендуется читателягл в порядке упражнения хтостроить по этему
способу физические прзчетавлвнпя объектов третьего и т.д. порлэд
^uytpoH^o пр^гз^^е/н'ё. Внутренним произведением двух объ*
актов первого порядка называется объект нулевого порядка /° :
Гакпм образом,для тото чтобы получить внутреннее произведение,
необходимо брг^ь сс.\пю;к1гт^л'1: в различных представле.штях, ассотц*
вл'.пкх относительно одного к того же фундаментатшюго объекта^^
Пользуясь возможностью перепеп^еьтш индексов, получим да^ внутрен
него произзед?ту|1 следующие выражения: . „
лс. Внешнее произведение шл;.т быть постр!
как из верхних, тат: и из нижние преде тавленкл. Необходимо, что Id
нолучешше такьл образом два представления внешнего произведения
были ассоциированы относительно Фундаментального объекта Я*** СР
этой целью определи;^ хмъ*щ% произведение так: л
1Ш!ШШ&?.* Показать непосредственным вычислением, что оса
предотаглония внешнего произлоденгш ассоциированы* относительно -j
дячонтальцого объекта.
Гещедие. Если оба цредстайлпнтш ассоциированы, то г/к должна
Г1тобы проверить это, умножим первое равенство F.27) на <2с/>
Пользуясь раиенствагли **г*Д-<г-^ ^^J^fe^^ ш получигл
откуда и следует наше утверждение. ^
когд§^^?,^ДГ,, г ^^ »^ заключение
случай, кегда в качестве фундаментального объекта выбран сгазол |
Кронекера oi/c ' • Тогда дкя определения ассоциированного" прбД

- 61 - •
t например, объекта первого порядка служит равенство
Доложи» здесь последовательно с « 1,2,3, подучим, что в правой
• части отличные от нуля члены получаются только при /<:= 1,2,3,
соответственно, откуда следует, что з
идя в-сокращенной.записи ^
Следовательно, ь рассматриваемом частном случае ассоциирован-
ные предстаалшшя совпадаю^; поэтому нет необходимости различать
верхние • и. ш.тли-уо индексы •
oripa^OM, все, изложениеэ в первых четырех параграфах ,мояат
д.сл, как частнтлй случай результатов настоящего) параграфа
щл.?с1с* cU'
•В олвдующом ьа^-аграфе будет показано, что фундаментальный объект
Qitc может db'i'b, в частности, выбран таким образом, чтобы при его ,
помощ опред^млепсь даетоика. т.е. способ вычисления расстояния
меаду двумя ^ечка^га по их координатам. Затем бу^ет гюказцно, что
фундал?ен!гальнци лбъект,он5оделящиЗ метршеу, является тензором;
в этом-случае va его будем назыъать метрическим тензором.
§7.
в лосоуголь^глс
Всриш^е
объект
Условимся» 410 в настоящем и дальнейших параграфах мы "будем с«ш-
тать JuofioKynHocvb координат точки объектом деи^н^го строения, т.е„
для иоординат будем применять индексы сверху, например, Сс*у j<* *\
Во табвканивнедоразушни:! условюлоя показатель степени брать в"
скобки; например, CL есть просто квадрат числа ее
-АЪ
о
.Рис. 7.1

- 62 -
Пусть Оэс*^ будет ортонормиро'ванная система-координат ч
(рис.7.1), а А^к косоугольная система координат с началом в
точке /f , координаты которой обозначал X* . Пусть для измере-
измерения длин вдоль осей А2_ установлены некоторое масштабы; усло-
условимся, что совокупность масштабов представляет собою объект нижнегд
строения и обозначим его через Q*c . Возьмем какую-нибудь точку
Р ; ее координаты в системе 'Оэс обозначим через зс~с . Разло-
Разложим вектор X~fll> на составляющие по осям' Х- ** % концы этих,
составляющих обозначим через Авк , а длинуотрезковД^^ ,
L3-леченную единигег длину, обозначим через ZK . Результат пз-
•юрения длини тех же отрезков "при помощи выбранных масштабов &*?
juoзначим через В и назовем косоугольныгли координатами точки
Р . Таким образом,мы имеем _ ^
Za \Qa-^ • C7.I) "
Если мы припиаем величинам Z и ?*- размерность длины, то
7.:оирутолЬхШе координаты В ** будут безразмощртп!'величинами,
d ортонормироьанлой системе -не юлеет смысла различать координаты
и составляющие; лостому услориглся, что коордгнаты точек ь "системе
О ос1 имеют размерность длины. Тогда, и составляющие вектора "С
в системе Осе*" ., равные зс^-ЗС0 , будут иметь ^размзрнсоть дли-
длины.
sОбозначим направляющие косинусы осей л2 относительно Оос**
через <Э^?4 , причем соответствие индексов-установим следующим
образом: з?*\
. зс1 t/к . , G.2)
Тогда мы можем написать . 7/ ^<г i r?f ;^г 1 *~?з
Используя F.1) и пргменяя развернутую запись, мы получим
в рассмотрение объект
G.3)
уа. .

- 63 -
Если ввести в рассмотрение базисные векторы Sк % как это
?асто дзлают, то с- я строка объекта J3* представляет со-
Eгю проекции базисных векторов на ось эсс . Обозначив совокупность
проекций через В%; ^ , можем написать:
G.3) _
Элементы этогхо объекта имеют размерность длинно При помощи объекта
Bt 'мы можем нависать:^ • /V
дем квадрат длины радиуса вектора & . это, очевидно,будет
причем здесь мы применяем условие* о сумглировании по всем трем не-
тм индексам S f . с ^ А? .
- Введем обозначение s
^см: ~S>ifi*. G.4)
Элементы этого объекта имеют шзмерность площади. Тогда для квад-
квадрата длины радиуса-вектора ?, " имеем - * .
%,& ~gi*2*Z*. : .G.5)
Представим элементы объекта ?ос в наглядном виде. Дяя его дяаго-
вельчых элемейтов мы получаем
Воспользовавшись G.6),вместо G.1) получим
2Л-^?. G//)
Рекомендуется сравнить это о формулой F.35) предыдущего параграфа.
Обозначим абсолютную величину углов между .ссялй* ?** и г? через
@ъ? 9 причем, очевидно, &й?*&?а. . Тогда получим
Подобным же образом получим
При этом, очевидно,
*«6fc объект ^kc'K симметричен. В развернутой записи мы будем имет*

- 64 -
Рис. 7.2

-65 -
Рис. 7.3

- 66 -
ортогональна, но не нормирована, то
о оЛ
О #г* О • G.9)
л к L.O О #33 J
Если система А В нормирована, но не ортогональна, то
G.10)
Наконец, если система А&* ортонормирована, то
Г/ о 6\
* \о / о\
U> о /J
Выясним, что представляет собою детерминант О. *^*->
На основании G.4) мы можем написать
Эта формула представляет собою смешанное произведение базисных
векторов» т.е. в векторной записи будет:
Поэтому мы можем написать _ +
Следовательно, детерминант с? есть квадрат объема параллепипеда,
построенного на базисных векторах.
АЕСОТИТРОвэннов представлен^^ ]^дщ7са*»вектора. Итак, мы имеем
верхнее представление 2* радиуса-вектора точки и объект «?**,
при помощи которого определяется квадрат расстояния между двумя
точками. Будем считать ^с'д: фундаментальным объектом и введем
относительно него ассоциированное представление радиуса-вектора:
2.^
Нам необходимо выяснить геометрический смысл объекта j? L .
Отметим прежде всего, что он обладает размерностью площади.

- 67 -
Рассмотрим ортогональные проекции вектора & на оси
K .. Длину этих проекции АР* (измеренную единицей
душны) мы будем обозначать через А к ; очевидно, что элементы
объекта 2к. имеют размеренность длины. Из рис. 7.2,проектируя
ломаную А&'МР на оси координат, получаем,
воспользовавшись G.7)
Д • 2,2* 2
АРз sZj sZf&sQi
Покажем, что объект Scl можно ввести путем равенства
71ои. GЛЗ)
Элементы этого объекта, очевидно, имеют размерности площади. В
развернутой записи мы получим
откуда мы видим, что действительно
гс*?*«г* [*аоч***]. GЛ4)
Кроме того, согласно G.13) будет
2а [Элин*]. G.15)
Итак, радиус-вектор ?^ имеет четыре представления:
Координауцые-представления
24- верхние координаты (безразмерные)
^ - нижние координаты (размерность площади)
е представление
косоугольные составлянаде (размерность длины)
проекции (размерность длины)

-68 -
Мы распространим то же самое на любой вектор (направленный >
отрезок) <д> ; его четыре представления: СЬ^ ^?jA-ffi2Q%
j4=fr ЯЖ' • Напомним» что физические представ-
представления не "ассоциированы относительно объекта
Упражнение. Показать, что верхнее представление
Фундаментального объекта (составленное из элементов матрицы, об-
обратной матрице ЦQ^itcff ) есть
/' (Г U
G 16)
Взаимная или обратная система КООРДИНАТ
Во8вратш<оя к косоугольной системе Лоординат (рисЛ.1)
Очевидно, что мы можем написать следующее векторное равенство:
G.34)
Будем искать новую систему координат с оазисными векторами
о * ' , выбранными так, чтобы было

- 69 -•
), что размерность 3 есть l^mfe > (в крис-
^аллофизике так называемые "обратные сантиметры") • Таким образом,
3 новой системе координат объект Z* рассматривается как
Совокупность составллюпщх радиуса-вектора, .измеренных при помощи
йовнх "масштабов11 Q * \ Отскща мы можем выразить квадрат ра-
дгуса-вектора следушщш образом;
О Другой стороны.
В^штая, получаем
равенству можно удовлетворить, положив
6f & ЖЛ 45
тьтому мы можем по*о*мть
в
Подставляя это в первое, второе и третье равенство соответствеиро
ок, второй и третьей систем, получим
f&) S(BB) В (в

- 70 -
Таким образом "масштабы" вдоль осе;"- взаимной системы будут
3 '=ф/&$ф&
83 - A /S, fafe
Пользуясь^.29) и G.34Кдля определаюш квадрата длины радиуса-
вектора, получаем
Следовательно, во взаимной системе роль метрического тензора иг-
играет объект j^ >
Упражнение, Воспользовавшись выражением G,16)
найти углы между осями координат взаимной системы, v
. Так как вообще a QC^B^3 *Ш &о? . где
абсолютны^ величины углов между осями взаимной системы обозначены
через &i^ % получим следующие выражения для недиагональных
элементов метрического тензора о4^* :
3 i
Сравнивая эти выражения с G.16), получаем следующие формулы для
вычисления углов^между осями взаимно;: системы координат:
/v *
G.37)
Cos

- 71 -
Таким образом, взаимная система координат'определена полностью.
упражнение. Определить взаимную систем координат совершенно не
прибегая к векторным обозначениям, а пользуясь лишь индексными
обозначениями.
.Решение. Определим две систем косоугольных координат/^-*, и r\g
при помощи равенств (см.рис.7.3)
Матрлца )д? предполагается известной, требуемся найти
матрицу JiKic и относительную ориентацию систем А'& itA^az
G этол целью введем матрицы направлять косинусов осей
А В ' и А 7* к. » которые обозначим следуюдал образом:
и масштабы длкн вдоль осел Sk и в* соответственно.
Как мы знаем hj предыдущего, для системы. A?* ]arv:eeT ^есто сле-
следующая зависимость:
jS^ s 3<x. Ob?, . G.40)
Определшл масштабы Зк для систели А^к • таким образом,
чтобы имело место аналогичное равенство
* О оС • G,41)
Найдем теперь квадрат длины ^**^ радиуса вектора
двумя различными способами, пользуясь равенствами G.38):
Вычитая эти равенства одно из другого,получгем, что
°с . G.42)

- 72 -
шдем косинусы углов между осями взаимных систем «= ее
и обозначим их следующим образом:
Теперь мы можем написать
Таким образом: * "
если /« а,
если ^^ л
Следовательно, каждая ось одной системы ортогональна двум осям
другой системы. *
Теперь приступим к определению масштабов &
взашйЬй системы. Для, этого вместо G,42) нагашом три системы
уравнений: с * - г-/
/ У*= Л / G.43)
/
Детерминант каадой из этих систем есть \b \ • на^вм его
значение. Ш имеем ¦ ' *"
Следовательно
С другой стороны,мы имеем
*# f > G.45)
причем индексы f* ifi** означают номера столбцов детерми-
детерминанта. Пользуясь выражениями G.44) и G.45), решаем первую из
систем G.43) по дравдоу Крамера. Для этого подставляем в G.45)
столбец свободных ллеров.

Имеем
А* * e
Решение будет
-73 -
Введя обозначение
ш можем записать
с
fid
в виде внешнего произведения
Л - & си
Воспользовавшись фор^лол для квадрата внешнего произведения,
. ш можегл написать
.откуда
в т получае.л окончательно
C6)
а3
где последние два равенства легко получить совершенно таким же
способом. Итдк,взаимная система координат определена полностью.

-74 -
Чтобы найти углы мезду осями взаимной системы, которые обоз-
обозначим через Ось • напишем снова йва различных выражения для
квадрата радиуса-вектора:
a'i
Воспользовавшись G.16) и G.36), получим:
Отсода следует, что
О *» j&S<- J8SK G.46)
или
откуда и находим угол &&(?.*
3 G*47)
/О

-75 -
§ 8» Мвтрш^э в криволинейных координатах
В § в при установлении метрики косоугольной сис-
системы координат мы исходили из факта существования декартовой орто-
нормированной системы координат, метрика которой заранее известна.
Именно, в декартовой системе координат квадрат длины отрезка любого
направления равен сумме квадратов разностей координат его концов.
Таким образом, мы исходили из справедливости теоремы Пифагора. 3
терминах тензорного анализа мы можем сказать, что метрический тен-
тензор декартовой системы координат есть тензор Кро&еквра glaz •
Существование декартовой системы координат есть эксперимен-
экспериментальный j$aKT, проверенный деятельностью людей в доступной нам об-
области пространстваг Распространение существования декартовой сис-
системы на все пррстракртво есть некоторый постулат. Если он верен,
то метрика вевду одинакот, вследствие чего метрически.1! тензор
всюду одинаков и равен <5iVt . Тогда и метрический.тензор
косоугольной системы координат QV*r , полученный в предвду-
щэм параграфе , тоже вевду одинаков, т.е. его элементы также всюду
постоянны. В этом случае говорят, что метрика нашего пространства
евклидова, потому что она определяется при помощи евклидовой гео-
геометрии, распространяемой при этом на все пространство. Такое прост-
пространство также принято называть евклидовым.
Однако в евклидовом пространстве могут существовать такие
системы координат,'В которых составляющие метрического тензора не
постоянны во всем пространстве, а зависит от коордлнат точки. Ьри
этом само пространство продолжает оставаться евклидовым и в нем
. существует декартова система координат с зарсное известной нам
евклидовой метрикой. Поэтому для установления метрики в какой угодно
системе координат мы будем пользоваться постулатом о существовании
декартовой системы во всем пространстве.
уррлейные коошпшауц. Предположим, что декартовы коорди-
координаты ОС с выражены в виде функций от трех параметров ^ .•
(f
f f$?,$*). (8.D
Условимся, что у* однозначны, непрерывны и имеют частные
произвольные всех порядков, которые ьам понадобятся. Будеж
что уравнения (b.I) разрешен* относительно ? f т.е.
что из (8.1) вытекают равенства
^^Y*;*^, (8.8)

- 76 -
причем функции j однозначны, непрерывки и допускают все
нужные нам частные производные.
При гтих условиях каждая точка определяется как тремя
числами X с , так и тремя числами О.к ; пос-
последние называются ft риврдано.д кшли координа то мл.
Чтобы пояснить смысл этого термина, кассируем некоторую точку
А ~\ (рис.8.I). Пусть ее декартовы координаты будут
Xе , а криволинейные <Р л , причем @? fJ
Если в уравнениях (8.1) мы зафиксируем какие-нибудь два па-
раметра, то координаты СС станут фушат'л.л только одного
'.^раметра, зеледствие чего'уравнения (8.1) определят некоторую
кривую. Очевидно, что через точку А проходят три таких кри-
кривых;
Б криволинейных координатах уравнения 'этих кривых б^дз^т соответст-
Еенно
Эти кривые называются коорлпнатннм!!; через каздую точку пространст-
пространства прехедят три координатные кривые (рис.8.1), можно сказать, что
точка определяется как пересечение трех координатных кривых*
Метрпческтц тензор, кпиволичелнрц .снотеглн коопдчнат. Проведем
каоотельные к координатным кривым в точке А ; получим
некоторый трехгранник А2 к , вообще говоря, косоугольный.
При перемещении TO4iai А трехгранник Az?K вращается и де-
деформируется. Таким образом, в противоположность косоугольной сис-
системе коорд1шат, теперь-каждая то^ша А имеет, свой трех -
гранпик /jit , который поэтому называется локзльныу
треууракщ^ом» пороздаемшл системой криволтшелкых коорд^шат
oj- . Нас интэресует метршеа в сколь угодно малой окрест-
окрестности точки А , т.е. способ измерения длин бесконечно ма~
пик. отрезков, имеющих начало в точке А . Этот способ на-
называется метрикой системы кр^воляпей^щх координат.

-77 -
Рис. 8.1

-78 -
Возьмем точку Р (рис.8.I), бесконечно близкую к А9
и обозначим расстояние А& через с/ъ . Соответствую-
Соответствующие дифференциалы декартовых координат обозначим через f
Из (8.1) мы поучаем
sB?)/ J? (8.4)
Здесь индекс // у производных означает, что после дифферен-
дифференцирования нужно подставить ?*в ф к
Отсвда имеем
(8.5)
* + Г Г <7 Г Г '
где положено
(8.6)
Объект ?ск определяет метрику системы криволинейных -
координат подобно тому,как это было в предыдущем параграфе в косо-
косоугольных координатах.Однако следует отметить,что теперь объект
?*к локален, т.е. зависит от координат точки Л , а
не постоянен во всем пространстве, как было в случае косоугольных
координат. Метрика криволинейных координат локальна и относится
только к окрестности начала локального координатного трехгранника.
Метрику системы координат не следует смешивать с метрикой
рространства. которая в нашем случае остается евклидовой.
Определим "масштабы" вдоль осей локального трехгранника. С
этой целью рассмотрим координатную кривую О, • Ддя нее
Пусть элемент длины этой координатной кривой, измеренный единицей
длины, будет О/?' . Тогда, очевидно,

л те -
Пусть косоугольные составляющие вектора А*Р vo
осям локального трехгранника будут о/2 е . Эти
направлены по касательным к координатным кривым. Так как элемент
дуги и элемент касательной равны друг другу, то мы можем написать
То же самое верно и для остальных кэординатшос кривых, поэтому
вообще можно написать
(8.7)
Из (8.7) видно, что "масштабы" для измерения длин бесконечно
малых отрезков вдоль осей локального трехгранника будут
щ *1ф
fj&*\ . (8.8)
>А
что "масштабы1* локальны, т.е. при перемещении точки
"масштабы" меняются. Беря слово"*ласштаб" в кавычки,
мы хотим подчеркнуть, что теперь они не обязательно имеют размер-
размерность длины, их размерность связана с размерностью криволинейных,
координат. "Масштабы" З/i в литературе часто называют
1дау|фгтиднтами Jfee. Забегая несколько вперед, объект Qi*,
назовем метрическим тензором системы крив ,;глнейных координат,
То, что он действительно является тензором, будет показано
. дальше.
Элемент объекта в кркволкнейнцх координатах. Найдем формулу
для вычисления элемента объекта в криволинейных координатах.
Это - объект элементарного параллвлепиц8да,построенного на косо-
косоугольных составляющих вектора ftp л с/ь по осям локального
трехгранника.
Спроектируем эти составляющие на оси Оос с и обозначим
проекцию . CL - й составляющей на с - ю ось
через с/ж1а" . Так как каждая из этих составляющих полу-
получается путем движения е^оль одной из кос , динатных кривых, вслед-
вследствие чего изменяется только одна из криволинейных координат,ш
можем написать, как и вше ,.
Ыос г ра. ао .

- 80 -
При помощи этой формулы стороны элементарного параллелепипеда
заданы своими составляющими Л sc L^~
по осям декартовой системы координат. Поэтому, применяя правила
алгебры ортогональных тензоров, мы можем сказать» что объем
dv~ параллелепипеда, построенного на этих векторах, равен их
смешанному произведению, т.е.
а так как
то окончательно имеем
(8.9)
Направляющие косинусы ^окальньпс осей. При помощи закона
преобразования (8.1) и,используя объект &** * можно найти
направляющие косинусы оСс осей локального трехгранника.
Для всякого косоугольного трехгранника мы имеем
откуда
После етого мы можем определить углы мезду осями трехгран-
трехгранника и по формулам G.16) полностью найти объект ^2 ucf который
теперь, однако, также является локальным, т,е. зависит от коор-
координат точки {\ .
Длина и норма ве^топа. Пусть имеем 1сакой-нибудь конечный
вектор CL , определенныГ: в точке А ;
это означает, что этот вектор зависит от координат^точки А ,
Примером такого вектора может служить скорость 2С точки
А . Дш* нее из (8.5), разделив на cC.6c^} 9 получаем
&) ftp*

- 81 -
Введя обозначение
т.е. считая производные координат по времени верхним представ-
представлением скорости точки, подучим
и™ =?х* гс'г/*. (е.п)
Пусть верхнее представление какого угодно конечного век-
вектора есть QS , распространим на него формулу (8.5) для
квадрата длшш дифференциала радиуса-вектора или (8.II) для
квадрата скорости и назовем квадратом длины или рор;ло;й вектора
CU выражение
с* а,1 а-*
Обозначив квадрат длины вектора через &L ' ' t можом на-
писать
Л 9J?C* &'&-*- (8.I2)
Если глы теперь введем ассоциированное- представление вектора
CL путем равенств
&с*4?*а,*, &>'*?'*?***, (8.13)
то квадрат длины вектора можем записать в следующих видах:
CL * ?>с CL &* ~ (X* Л; * О /7 • ^2-^. . (8.14)
Такшл образом, объект gc/с их^рает у нас двойную роль:
во-первых, он определяет метрику системы координат в окрестности
заданно!! точки А ; во-вторых, он является фундаментальным
объектом, т.е. используется мя построения ассоциированных пред-
представлений.
Упражнение. Найти метрический тензор в сферических коорди-
координатах, воспользовавшись для этого известным из кинематики выра-
выражением для квадрата скорости точки А

- 82 -
Решение. Как только что было указано, мы мокем написать
преобразование
Для сферических координат *> *?, ?
(8.1) имеет вид
Квадрат скорости будет
(8.IS)
Положив
мы видим, что метрический тензор будет
о г.
о о
О О
(8.16)
Таким образом,
тже. первый "масштаб" - безразмерный, остальные^ имеют раэмерност
длины.
Упражнение. На^ти все четыре представления скорости точки
в сферических координатах.
Решение.

-83 -
Координатные представлен^. Из (в* 14) следует, что верхние
(контравариантные) координаты скорости - просто обобщенные ско-
рости, т.е. производные от криволинейных координат по времени.
Отсюда по G.14) получаем и шсшие (ковариантные) координаты.
Мы имеем
г/3
г/3
представления.
IS'
Упражнение. Показать, что верхнее предота:
аото объекта в оферичеоких координа-^ах будет
1 О О
О -fit О
О О .
нтадь
Упражнение. Найти выражение для момента объекта в
ккк координатах.
Из (8Л6) мы сразу получаем
Поэтому, опуская для простоты скобки у показателя степени, можем
написать

-84 -
p.
Рис. 8.2
Определение угла между двумя векторами d и
Для атого введем третий вектор
Квадрат дайны этого вектора мы можем определить, с одной стороны,
из треугольника /43С»'
а, с другой стороны,по формуле (8.14):

-85 -
Сравнивая era два выражения, получаем AoMJ^-i^^'o
или
1 t о т(э^ •
ярное произведение. Перепишем равенства (8.IS) в
следующем виде:
Величина Р*&рСь4 г f как известно, есть скалярное произведешь
векторов. Поэтому }ор:.:улк (8,IS) определяют скалярное произведение
векторов в кршзолинеЛнцх координатах.
Условие.ортогональности. Очевадно, оно :.:скат быть записано
в любом из видов:
^hi:toi?':og у^нрдекле. Результат векторного умножения двух
бразом
С8.21)
векторов фу* и <? определил следующим образом:
а
где fSc и St - два представления векторного произведения,
В поряд!сб упракнения чктателлгл предлагается* доказать, что эти
представления ассоциированы относительно штржчеолего тензора
Покажег.;, что определеннгл такжл образо;л вектор не отличается от
обычно, получаоиого в векторно": алгебре. Jvia qi-сго достаточно до-
доказать, что

-86 -
i
где -^ - угол мевду векторами Л* и ?
Проверим выполнение условия ортогональности.
Имеем
Совершенно так же докажем, что Л Sc
Вычислим квадрат длины вектора
.Имеем
Отсюда, удерживая знак +, установим положительное направление
вбктг a S° относительно плоскости, определяемой векторами
е
Смещ^н^ое произведение урех векторов. Рассмотрим cкaлiфнoe
произведение вектора <%, * на векторное произведение двух
векторов
дение через
и
Упражнение. Показать,
т обозначив это смешанное произве-
произве, можем написать
(8.23)
(8.24)
и вычислить при иомощи стой формулы детерминант матрицы метри-
метрического тензора.

-87 -
<ь Ос
SI" p
Тк Г* Я*
до Of, оь
Ч
Умножить детерминант, например, на О* - значит умножить на
CLP один из столбцов детерминанта, например, первый. Проделав
подобным же образом умножение на <? ^ и С2, мы получим
<*)
аг
а?
е
После аналогичной операции получаем
аса/ ЛьВ
6Ь
Введем в рассмотрение углы между векторами:
тогда:

- 88 -
Пусть теперь в качестве вектора &с vc ?c
зисные векторы косоугольной скстеглы, тогда
берем ба-
баи мы получаем
>
откуда
Рассматривая только правые системы координат, удерживаем перед
корнем знак + ; окончательно имеем
Таким образом, fcT представляет собою объем параллелепипеда,
построенного на оазисных векторах косоугольноЛ системы координат.
Если, в частности, система координат ортонормированная, то
§ 9. Тензоры э косоугольных и крц
^тчх коопдинатах
Преобразование координат. Для удобства сравнения будем рас-
рассматривать параллельно косоугольные к криволинейные системы коор-
координат.
Пусть имеем две «системы косоугольнт^с координат а?- и S
и две системы криволинейных координат С- и ^>^ • Системы без
черточек будем именовать старылт. с черточками - говугк.
Преобразования старых и нобнх координат в ода:: ;: тз i:e декар-
декартовы координаты имеют* вид: „

- 89 -
ждя косоугольных координат пля крпводршеЛныу координат
Эти преобразования для косоугольных координат линейны, для криво-
криволинейные координат нелинейны. Однако дифференциалы криволинейных
координат преобразуются в дифференциала декартовых координат по
линейному зъкону, это дает аналогию
Лля удобства сравнения матрицы преобразования обозначены одина-
одинаково; однако, как выяснено в. предыдущем параграфе .тут имеемся
существенная раэнлца: для косоугольных координат матрицы преоб-
преобразования постоянны во всем пространстве, в то время как в_криво-
дшюйнше координатах мы имеем
т.е. матрицы локальны (зависят от координат).

- 90 -
На основании (9.2) можем написать
ати формулы дают зависимость мевду старыми и новыми координатам^
для косоугольных систем и дифференциалам!! старых и новых координат
для криволинейных систем.
Отметим, что преобразования (9.3) .шжно рассматривать с
различных точек зрения. Во-первых, можно считать,что координаты
?р и ^* , а также %.* и <?г относятся
к одной к той же точке в двух Различных системах координат,
в Ьтом случае говорят, что (9.3) определяет преобразование^цооъщ-
а&? Еэвторых можносчитать что координаты ^ * и 2*
^
Еэ-вторых, можно^считать, что координаты ^ * и 2
а также ty.** и fyc определяют разштчные точки в одной и
той жз системе коорд!шат, тогда преобразование называется точечшш.
На п; ^тяжении всего курса ^ы будем пользоваться только преобразо-
преобразованиями координат, а не^очечцыми. ^
Введем матрицу #? , обратную fit , так что
Умножив (9.3) на ??\ мы получим
!«&'/ В'
;
ИЛИ

-91 -
Введя обозначение
.и матрицу К . , обратную ^/> ° > так что
* <^^ у Oi С» * О^ , (9-5)
мы можем написать прягуюе и обратное преобразование в виде:
причем штрицн С^ и (]Гг для косоугольных координат неиз-
неизменны во всем пространстве, а для криволинейных локальны. Таким
образом, полученный нами закон преобразования линеен и однороден.
1\оваризнтнне и контравариантнне векторы. Пусть мы имеем верх
ний объект первого порядка CL , который преобразуется по за-
закону, аналогичному (9.6), т.е.
Всякий объект первого порядка, преобразующийся по закону
(9.7), мы назовем ^сонтравариантным вектором (системы, которыми
мы также будем пользоваться, вектор в контравариантном представ-
представлении тензор первого порядка, тензор первого порядка в контра-
контравариантном представлении).
Отметим, что в криволинейных координатах только
координат afy. . образуют вектор, сами криволинейные координаты
д/ не образуют вектора, так как для них имевт место следую-
следующий нелинейный закон преобразования:
PC)fs) ?
Покажем теперь^ что существуют объекты первого порядка,
аакон преобразования которых также линеен и однороден, но отли-
отличается от только что полученного закона преобразования (9.6).

-92 -
Для етого возьмем скалярную (инвариантную) функцию,определяемою
равенством
Найдем полный дифференциал этой скалярной функции, воспользовавшись
и старыми, и новыми координатами.
Мы получим
а так как из (9.5) следует равенство *»?$& - С/»' • то
: ур-<?
ъ& Щ)9
Но вектор с№* ' совершенно произволен, поэтому объект в'скобках
должен быть равен нулю и мы имеем
?
Объект ??/> У , где извзстно, есть градиент скалярной функции
<f ^, мн видам, что его прямой и обратный законы преобразс-т
вания будут
Введя для градиента, выраженного в старых и новых координатах,
обозначения
мы получим закон преобразования этого объекта в виде
Этот закон от^тшчается от закона преобразования коктравариантного
вектора» Чтобы отличить такие объекты от контравариантных векторов,
назовем их ковашантнкми векторагли или вркуорами в коваридктром
предсуавлении и будем обозначать их при помощи главной буквы с

-93 -
дд^ индексом. Итак, ковариантный вектор &р преобразуется по
закону, одинаковому с законом преобразования градиента скалярной
дикции _
fft*>' (9.8)
i Мы по-прежнему будем считать, что верхние и нижние индексы,
приписанные одной и той же главной букве, будут означать два раз-
различных представления одного и того же объекта. Например, &,/*
I ЛР означают ковариантдое и контравариантное представление
одного и того же вектора.
: Тензоры. Яри. помощи ко-и контраваргонтных векторов, используя
обобщенные произведения и вводя в,рассмотрение объекты, закон пре-
преобразования которых совпадает с законом преобразования обобщенных
произведений, мы получим три типа преобразований:
Ц&штрзварцантние преобразования Ковариантнне преобразования
Отлетанные преобразования
_ Любой объект, преобразующиеся по одному из этих законов, на-
называется тензором или истинным тензором соответствующего порядка
м етроения. —
Викно отметить, что тензорный законы преобразования линейны
* однородны. Поэтому, если тензор равен товдественно нулю в какой-

- 9*4 -
ябудь одной системе координат, то он равен тоадестьенно нулю и
во всякой другой системе координат.
Для дальнейшего важно установить, что симметрия дваады ко-
Еариактного тензора есть свойство инвариантное, т.е. если имеет
место равенство
то отсюда следует, что будет также
Это доказывается следующим образом:
Читателям предоставляется в порядке упражнения доказать это пред-
предложение для дважды контравариантною тензора.
Метрический уензор. Ассоциированные тенздрц.
Докажем, что объект, который в предвдутцем параграфе бнл только наз-
назван метрическим тензором, есть действительно ковариантный'истин-
ковариантный'истинный тензор. / Са) —
Объект сСЪ ' есть, очевидно, истинный скаляр.
'Поэтому мы можем написать
а так как cfof^^fr^/a-^ • то
откуда, в силу симметрии объекта &~№~ • » лолучиму
Но это - закон преобразования дважды ковариантного истинного тен-
тензора и наше предложение доказано.
В одн^м предыдущем параграфе , мы условились, что объекты,
ассоциированные относительно фундаментального объекта, мы обозна-
обозначаем одной и той же главной буквой, но при помощи расположения
значков сверху г снизу. Однако теперь мы условились при помощи
верхних значков определять контравариантные тензоры, а при помощи
нижних - ковариантные. Ассоциированность тенсоров и их закон пре-
преобразования - это разные вещи. Поэтому необэ^дшс показать,что эти
два различных смысла одних и тех же обозначений не противоречат
друг другу, если, в частности, в качестве фундаментального объекта
выбран метрический тензор $ р$- ¦ Для этого нужно показать,
что объект (fro CL ^преобразуется как ковариантный вектор

-95 -
Т.е. по закону
¦&
*-"
Во это почти очевидно* В самом деле, мы имеем
Читателям предоставляется в порядке упражнения доказать, что ко-
и контравариантные тензоры любого порядка ассоциированы отно-
относительно метрического тензора ?/у~ • &гед> л отметить, что
такой же результат получится, если в качестве фундаментального
объекта Еыбрать любол дважды ковариантный тензор.
Псевдотензоры. Псевдотензорами называются объекты, преобра-
преобразующиеся по одному из следующих законов (для кратности обратные
преобразования не приводятся): *,
в случае ортогональ-
ортогональных тензоров, называется весом псевдотензора. Нетрудно привести
примеры таких объектов* Например, покажем, что детерминант метри-
метрического теяэора^^у/есть псевдоскаляр веса +2.
Мы имеем: _ л
Применяя седа теорему Вкне-Коши, сразу "получаем
и поэтому
(9-ы)
Отсвда следует, что /5~ ^ есть псевдоскаляр веса +1.
Применив объекты ^/^«- и ?ФЪ для вычисления детерминан-
детерминантов матриц ff и (^ , получим для этих! объектов (из условия
их изотропности) следующие законы преобразования:

-96 -
Отсвда следует, что объект 'рръ есть псевдотензор веса -I,
а ?,рг - псевдотензор веса +1. Наполним, что эти псецдотрнзорн
не ассоциированы относительно метрического тензора ? с/с ,
т.е. не могут быть получены один из другого путем операции подни-
поднимания и опускания индексов, .
упражнение. Показать, что ор у
?pp2.*fil^>tZ, И Ё**?** 4а g *РЪ ЯВЛЯЮТСЯ ИСТИННЫМИ ТвН-
эорами. s
Тензорные операции и некоторые важные тензоры.
Как и в предыдущих параграфах об ортогональных тензорах, назовем
тензорными такие операции, которые, будучи применены к тензорам,
приводят к новым тензорам.
Сложэцие. определенное для однотипных объектов, есть тензорная
операция. Доказательство предоставляется читателям.
Транспонироранид есть тензорная операция. Например, пусть
CL^ есть тензор, тогда ч Q,*** ?p?f 6L**l .
Переставить индексы с и < в обеих частях равенства мы всег-
всегда имеем право, но тогда, воспользовавшись правом обозначать немые
индексы как угодно, подучим
откуда вадно, что <&*** ^ есть тоже тензор.
Точно также, если *V есть твнзор, то
Повторив предыдущие рассуждения, получим
т.е. что CLp, - тоже тензор.
Отскща следует, что симметрирование и альтернирование тоже
тензорные операции. Поэтому разложение тензора на симметричную и
антисимметричную часть инвариантно, т,е. сохраняется при преобра-
преобразованиях координат.
Обобщенное произведение тензоров. Закон тензорного преобразо-
преобразования был установлен нами как закон преобразования обобщенного произ-
произведения векторов. Поэтому обобщенное умножение тензоров есть тензор-
тензорная операция.
рверукд. Покажем, что свертка в смысле Эйнштейна, т.е. по од-
одному верхнему и одному нижне- индексам, есть тензорная операция.
Пусть имеем тензор CLa, $ его закон преобразования

- 97 -
м это равенство, положив с^ & .Мы получим
,,е* в результате свертки получается истинный скаляр. Подобным же
правом для тензора третьего порядка имеем
i,0. в результате получаем истинный вектор. В порядке упражнения
деятелям предоставляется доказать это в общем случае. Отметим»
что при свертке пэрпдок тензора уменьшается на две единицы, одну
^вариантную и одну контравариантную.
Наоборот/ свертка тензоров по одним верхним или одним нижним
вдвксам не есть тензорная операция. Например, для тензора CL^
икон преобразования есть
л ёк^ sot /** /Ttfip
СО * Сл L-p, U* ¦
Свернув это равенство по индексам с и /с % получим
Следовательно, ?/><* ^ of* , т.е. результат свертки не явля
атоя С1саляро;л.
, • Тензор С9^ • ^3 элементов метрического тензора по
фавиязм построения обратной матршц: можно получить hobpJ объект,
рий мы в предыдущих параграфах обозначили через 9^^* -
что объекта ^ есть двалщы контр^вариантьи^
тензор. &
построить* матрицу, обратную //$/*?•/ » нужно
п/ггебрагческио дополнения эле'/ентов J? /°p- h*pi^-jjlfti
• По уорг.5уло ддп алгебраические долол -
kio в Gico6icax есть, очевидю, хза:ади колтраваризнтщь
веса -t-2, а в знаменателе стоит псевдостса^шр +2.
О РР" есть истинк-ы!: тензор
Ск8л^ное у^ррн^е В предыдущем пара
Ск8ля^ное_ у^р/Арн^е ,В предыдущем параграф» мы определили скаля:>-
Произведение как свертку обобщенного произведения двух векторов,
в слшелэ Эйнштейна, напршлер,,

- 98 -
Так как свертка в смысле Элнитейка есть тензорная операция, то
скалярное умножение такко есть тензорная операция. Скалярное произ-
произведение двух истинных векторов есть истинный скаляр.
Векторное умнржеике. Векторное умножение определено следующим
образом: , „_•>?' „ «
Мы видим, что в право-1: части стоят обобщенные произведения тензо-
тензоров со сверткеЛ по ЭЛнштеЛну. Следовательно, векторное умножение
есть тензорная операция.
Смешанное умножениеурех векторов... По определению имеем
е
А *&&
Здесь в правой части стоят обобщенные произведения четырех тензоров
со сверткой по ЭйнштеЛну. Следовательно, смешанное умножение трех
векторов есть тензорная операция, а смешанное произведение - истин-
истинный скаляр.
Упратнедпе. Показать, что если бы векторное умножение было оп-
определено следующим образом:
то в результате получились бы не истинные тензоры, а псевдотензоры,
т.е. определенное таким образом векторное умножение не являлось бы
тензорной операцией.
Обратный тензорный признак, Приведем без пояснений формулировку
этого признака.
Если в выражении р »-?...»/ 0 ?-•? ^» ?. .* *•
/7 />... S *••• Т
О 4: ... iv' есть произвольный псевдотензор веса ? jQ
раз контравариантный и 5Г раз ковариантню!, а
С. "' 2% есть псевдотензор веса С- , ?" раз
контравариантный и 9 раз ковариантный, то
Си* " « есть псевдотензор веса ^«с—оу оь^ ^ +jr
т/9% раз контравариантный и ? * ^ А ^ раз
ковариёнтный.

- 99 -
При хорошей зрительной паглти обратный тензорный признак
удобно заполнить в видб следующей таблички :
О ¦? 4,.ц/ ~ С :111''Л7 | (9-.I4)
»/э
§ Ю. Пага^лдль!';!^. перенос
В пред идущих главах г.тк ввели ряд алг'еора:гческтгх оиеращш,
производжлэс над тензорз;лк, задапню/и в косоугольных и криволиней-
i:ux координатах, прпчоч в результате этих операщи таше получились
тензоры. Теперь мы будем разыскивать так^е гхУ,еро:-д:иа,;ъные операции,
р. результате которых из тензоров получились бы тат-яе тензоры.
Оказывается, что обш<новеш1ое дилерендлоование тензора не при-
приводит к новому тензору, в результате получается объект кетензорнол
природы.
il^'CTb, например, в'каадо/. точке пространства задан геометричес-
геометрический вектор •(т.е. отрезок определенного направления) при помощи своего
контраварпантного представления Cif • Ото означ^ает (рис.10.1),что
в каждой ючке пространства задан локальны:! трехгранник /} & ^ ,
тогда СС"^ есть совокупность координат конца Еектора в этом ло~
кальногл трехграннике.
Если система координат косоугольна, то вс^ локальные трехгран-
трехгранники параллельны др^т гругу, в случае кривол1-1не.';но.': СхАсте?/ы лекаль-
лекальные трехгранники при переходе из точки 'в точку поворачиваются и де-
^юрмируются.
Если мы переходив от кривол;ше!^иых координат СЪ к новым
криволинепныгл координатам ^с , то ^локальный трехгранник перейдет
в новы:: локальный трехгранник // р*с.
При этом заданный вектор преобразуется следующим образом :
&- Су of.
Буде.л теперь перег^ецать точку Д по некоторой кривой
В>С. Если мы имеем дело с косоугольно": системой координат,
то в склзг того, что локальные трехгранники переносятся параллельно,
все олс постоянны и глы иглеем

- 100 -
Рис. Ю. I

- 101 -
Отсюда следует, что в косоугольных координатах производная вектора
до времени, есть Beicvop, а ди^оренцирование по времени - тензорная,
операция •
Пусть рассматривается криволинейная система координат. Тогда
вое Ср будут зависоть от времени и мы получим
сйс* с? о," + с}> о?,
откуда следует, что
Следовательно, объект CL в криволинеЛних координатах не
является тензором, г дифференцирование по времени не есть тензор-
тензорная операция.
Однако оказывается, что существуют дифференциальные операции»
являющиеся тензорными. Чтобк обнаружить такие операции, нэьГ неоо~"
ходило рассмотреть га^ллелупЧ перенос гектора.
Пзр?ллелыггт:: перенос» Пусть точка А ( качало взк-
Tdpa) перемещается вдоль кс::оторо;: кривой &С~ , а вектор
при этогл остается постоянным по длине и параллельннгл cboomj' перво-
щачалыюг.ту направлению.
Тогда его составляете вдоль oce/i Ojcc остаются вое
вре;,1я постоянные, обозначал их через З-ос*'
циалов координат мы имеем закон преобразования
По этому sue закону преобразуются и Еокторн, следовательно,
Поставите вопрос: каким сбразом, не зная составляющих а ^,можно
Установить, что вектор переносится параллельно? Элементы его контра-
Вариантного представления при этол? не остаются постояршими,но ул^яо
существовать какое-то правхшо, по которому моглю было бы узтл , что
Цроксходпт iL-леНхЧО параллельный перенос вектора. Найдем это п^ьлло.

• - 102 -
Так как CLxq «ConSC , то CLjt? т О , и, диф-
дифференцируя A0.2) по времени, мы. получим
jdi Q, *+Ji CL«*O. (Ю.З)
Если Л удовлетворяет этоглу условию, то происходит na-
раллелышй перенос вектора. Поэтойу оно называется условием парал-
переноса. ].1ы вхедим, что оно дает возможность установить
факт параллельного перекоса, не- зная составляющих вектора по осям
декартовой системы координат.
Представим условие параллельного переноса в несколько другом
виде. Из A0.1) следует, что
Поэтому
г >
и условие параллельного переноса принимает вид
A0.5)
Напомким, что метрический тензор определяется следующим об-
образом:
аричем предполагается суммирование по верхнему немому индексу
s-
Выполним преобразование, которое шлеет целью исключить из ус-
условия параллельного переноса декартовы координаты JL L .
Тогда наблкщатель, находящийся в локальном трехграннике некоторой
криволинейной системы координат» перемещающийся вместе с нигл и не
имеющЕ;! возможности измерить *Х? , имел бы средство установить»
что некоторый вектор CLK -перекосится параллельно, сохраняя
прл этом постоянную длину.

- 103 -
Умножим равенство A0.5) на О У*3^- со свертков до ворхнецу
индексу с . Мы получим ~йоГ*
Преобразуем коэффициент при ??- &-, . Дяя этого проди^эрон-
цируем по криволинейны!^ координатам а
после чего произведем две круговые подстановгл индексов:
.с
В результате получим три равенства:
Теперь сложим первое и иретье равенства, а затем вычтем из резуль-
результата второе. Получим
причем во втором члене ».и воспользовались тем, что метрический тен-
тензор симметричен ^ ^
Этот объект называзтся треу^^щ^д^м символом Кшсю&Хе.тщ:
первого рода: в наше^ литературе его принято обозначать через
*е • Итак,

- 104 -
Трехзначковый символ Крксто<?феля ке - является тензором, поэтому
часто, особенно в английской литературе, его обозначают через
[ & <, *п J t подчеркивая этим отсутствие у символа тен-
тензорных свойств.
удобства запо^ынан^я упорядочим индексы путем подстанов!ш:
(
Тогда мы получим
Следует отметить, что символы хСристо.'феля полностью определяются
1,-етр1хческч1л тензором; декартовы координаты п^- из н^х иск-
исключены.
Сид-шолы Кристос^еля первого ряд^, очевидно, сш-слетрпчки по двум
послодншл индексам
Вернемся к A0.6), Мы имеем
Поэтому условие параллельного переноса принимает вид
Обычно вводят трехзначковы! символ Кристоффедя второго poj
при помощи равенства
"* П**,«е - Лее « //с? У (Ю.8)

-105 -
которым устанавливается правило перемещения индексов у символов
фистоффеля. Тогда получаем условие параллельного переноса в око*
дательной форме
/ Г^е= О. (ю.9)
Так как
то условие параллельного переноса можно также записать в следующее
виде:
(Щ &)$<. о.
| Найдем условие параллельного переноса для вектора, заданного
|В ковариантном представлении.
Мы имеем в обычных обозначениях
• с
откуда, так как CCjq, e О , получаем
Но ai -Ъэь' Q*S-,Q$J? 6
Поэтому условие параллельного переноса примет вид
Умножая это на ——чт со сверткой по верхним индексам, получим

- 106 -
Но
[Гоэтому будет
Но из тождества
путем дифференцирования получаем
"О.
+ 1я*еЪ
Подставлял это в условие параллельного переноса, получим
*,** jfa-s*си»-* Г/г <?
После упорядочения индексов окончательно получим-
*

- 107 -
Дяя удобства запоминания рекомендуется записать вместе усло-
условия параллельного переноса для контрдвариантного в козариантного
представления вектора:
jit + r^ &KAe -о, (юл'з)
или /o>, l r*<- ~. < ) A ? -г о
?- П A0.14)
Так как кривая, по которол происходит лереноа^зоктора CL*~
или CL L , совершенно произвольна1, то * ?- - лроиз-
вольнш! вектор, отсюда следует, что условия параллельного переноса
могут быть записаны в сведущей форме:
..о. , A0Л5)
- rfe ей- о.
Вычислена о с;::.;болов [Сристо^Ьоля непосредственно по формуле A0.7),
служащей их определением, практически неудобно. Сагжл просюй
способ состоит в применении алгоритме, при помощи которого обра-
образуется левая часть уровкениЛ Лаграюка 2-го рода.
Напишем основную метрическую фор-лулу в виде:
Так как 0Эг естъ скорость, то,обозначив ее через
модем написать
Введем в рассмотрение скаляр
и образуем ковариантныП лектор
-^^- - -2*.. . A0Л6)

- 108 -
Мы имеем
скула
а не 2.9&L9* . как могло показаться с" первого взг.тяда
Сделаем в третьем члене подставку «немых индексов
е
Тогда будет
Следовательно ' -
В выражение для ozfc входит квадратичная форма скоростей
с элементами трехзначкового спглвола Крксто^Ьеля в качестве коо»|н
^чиСиентов, Поэтому для вычисления /*<!. *г? достаточно вычис-
лить «l^ ^ и найти входящие в него три квадратичные формы.
4 ШШШШШ* Вычислить символы Христово ля в цилиндрических
координатах.
Определегагее цилиндрических координат г?
* C < 3L

- 109 -
Поэтому, отбрасывая для простоты скобки у показателей степени:
откуда имеем
ЭК
О
Э-L
Вектор 2/ определяется следующим образом :
Поэтому будет
Остальные символы Кристойфеля равны нулю. Развернутую запись
г]
П
/**<
/*
представим в виде
*~О о о
о оо
о оо
о оо
о оо
О о /
°О°аЬ
LO<l,u*i
Ооратигл внимание, что
о о 6\
о \
р О
Л */-
Го о а\
особой роли индекса с
в символе Кристоффсля развернутая запись построена несколько иь'.^ч?
чем было принято во втором параграфе,
упражнение. Вычислить символы Кристоффеля в сферических коор-
координатах.
Определение сферических координат ^ ^

- но -
Элементы длины:
, отбрасывая для простоты скобки у показателей степени:
откуда имеем
Вектор
определяется следующий образом:
Поэтому будет
Остальные символы Кристоффеля равны нулю. Развернутая запись,
сделанная в тоы же порядке, как в предыдущем примере, будет
О
О
О
о
0
О
0
0
t.
о
о
о
о
-ь
- О
Z
о
о
о
о

- ill -
II. ^ов^руа^тнор. дтт•< хпо1тц:!готзс;г]!е..1г
скаляра. Обыкновенное дифференцирована
фрр
истинного скаляра ио скалярное аргулентуй;азт новы;: скаляр
поэтому является текзорнол'операцие;!. Лл^ерешхироЕание скаляра
по координатам О, приводит к ковариантноыу вектору, т.е.
также является тензорной опер?.циел. Чтобы подчеркнуть это обстоя-
обстоятельство, введем для производных скаляра *° новые
обозначения
" Щ*~г%?~е' (ИЛ)
и назовем объект ^^ абсолютно^ проиэв^ной скаляра, а
объект ^^<f клн /3 ^ ~ коваэлзнтной производной
скаляра. ^Твкигл образом, для истинного скаляра понятая абсолютной
и обычной производной, a Tai^e коварнзн^но,! и часлюИ - совпадают.
Для векторов и текзопов дифференциальные операщгд, приводящие
к ковк.л тензорам» сложнее. /
пчт.рг'Я' проггго.тн^я версторн. Пусть <z c
и cti - векторы, 'заданные в ка-здо-: точке пространства.
Введем обозначение
и назовем объекты 5Й^ к Ц^
ковзрлантн^гл! п^эизт^тлк:^ вектогов '
подобным же образом вводам обозначение
и назовем объекты •?^ ч " и *^§г-4 а^солю?^?];.7л
векторов (Х? и Л ^ по параметру
то можно написать \ '

- 112 -
Покажем, что абсолютная и ковариантная производная вектора
*ляютсл тензорами.
Пусть $t - произвольный параллельно переносимый вектор,
{роизвол этого вектора состоит в том, что все ?)?
- произвольные числа, ш всегда можем выбрать их так, чтобы контра-
вариантные координаты этого вектора в данноц'точке принимали зара-
заранее заданные значения, например,сначала A,0»0), затем @,1,0) и,на-
и,наконец, @,0,1).
Пусть (Zc - вектор,t от которого мы берем абсолютную -
производную. Свертка /° ~ ifcCL<: есть скаляр, а его обыкновен-
обыкновения производная по параметру "zf - тоже скаляр.
,.1ы имеем _л л/. р&
Отсюда
Но ' о - произвольны:! вектор в данной точке, поэте.iy. согласно
обратному тензорному признаку абсолютная производная ~гт~с; ecTL
в это4, точке ковариантныЛ тензор первого порядка. Но так как со -
верленно т^кое же рассуаденке мы тжел провести для любоЛ точки
кривой деренсса, а сама кривая перен^^а шжет быть выбрана совер -
шении произвольно, то абсолютная производная является тензором в
любой точке.
Делее, по определению ковариантнол производной мы можем напи-
Так как^перенос вектора происходит по совершенно произвольной кривой
то QL есть проигвольный контравариантный вектор.'
Но^тог^да по обратному тензорное признаку кбвариантнея производная
или CLcy? есть двавды коваркантныь тензор.
'Итак, абсолютная и ковариантная производная ковариантного век-
вектора являются тензорами, и мы имеем теперь способ, дсющий возмож-
возможность из заданных тензоров получать нозые тензоры при помощи диф-
дифференциальных операций. ч '
Найти закон преобразования трехзначковых сш.шолов
Крястоффеля.
Решение. Возьмем какоЁ угодно скаляр */* , тогда
есть ковариантный вектор, ковариантная производная которого,
уже доказано, есть ковариантный тензор второго порядка.

- из -
Следовательно, закон преобразования этого тонзора
есть
Возьмем в качестве скаляра У какую-нибудь одну коордшгату
г
Это и есть искомый закон преобразования. 3 дальнейшем будет при-
приведен вывод этого закона преобразования, яе зависящий от доказа-
доказательства тензорной природы ковариантной производной. .
Рассмотрим абсолютную производную контравариантного вектора
GL* . Пусть Ос есть произвольный параллельно пере-
переносимый вектор. Образуем скаляр р * Q а2 % производная которого
по скалярному параметру есть тоже скаляр. Мы шёем
4^' 4r?*? ^
последовательно, объект j>jl9 есть контравариантный тензор
первого порядка.
Так как в декартовых и косоугольных координатах все символы
Крлстоффеля равны нулю, то в декартовых к косоугольных координатах
абсолютная производная вектора равна обыкновенной, производной По
параметру, коварпаатная производная вектора равна частной производи.
ло координатам.
Удоорие г^ллельрого переноса. В новых обозначениях условие
параллельного перекоса может быть записано в одной из следующих

- 114 -
LM образом, iipi! наэзллэльчогу: перо носе абсолютная или ко^зт^здф-
цда дроиззодная должна ровняться нулю. Так как абсолютная и ко-
вариантная производная - тензоры, то это условие шювариантно,
т.е. если оно'выполняется в одной како?-нибудь систем координат,
то оно выполняется и во всякой другой*
Ковсриантное ди^еренцирогание тензоров любого порядка.
Определим абсолютную и ковариантную производную тензора второго
порядка. Такой тензор может иметь трп представленияглУсд^^^и
$ с*" • Рассмотрим сначала дважды ковариантнып тензор &ис.
Возьмем два произвольных параллельно переносимых вектора & с* ,
?к и образуем скаляр Р* Sc^ &??* \ тогда его произ-
производная по параметру есть тоже скаляр. Дифференцируя по пара-
параметру, получим
Введем обозначения.'
Назовем объект
а объект Щ§у§; или **%$*?**•, ? - его коварпантно;; цроизводной.
Тис как гЪ-^ t tS* f Q/^ ~ произвольные векторы,то
абсолютная производная тензора tS'cVc есть также дважды ковари-
антшй! тензор, а его ковариантная производная - трижды ковариант-
ный тензор.
Теперь введем абсолютную и ковариантную производные смешанного
тензора S ? . Для этого возьмем произвольно переносимые векторы
G-С И & ** , а затем образуем скаляр /°« S*?^ & *.
Дальнейшие выкладки#приводим_без^пояснений:
Р * S/

- 115 -
Вводим обозначения
-r?si)Zes ША
и назовем объект ^к абсолютна,. проиавсшо'т тензора /JV ,
объект ^§^е или *?%¦ е, '. - его корзэйрчтно'г производной.
Абсолютная производная от /S%: , есть такав смешанный
тензор второго порядка, а ковариантная производная - тензор треть-
третьего порядка, один раз коктравариантк:;:! к лза раза ковариантныл.
3 качестве приглора покажем, что ковариаьтная производ-
производная тензора О^ есть тензорныл куль, Долсгвдтельно, восполь-
воспользовавшись фоь:.уло-1 A0.7), :tlt \:онем капиеэть
4W
от координат не за-
затак как элементы изотропного тензора
висят.
Наконец, введегл абсолютную и коваркантную производную дважды
контравар::антного тензора /S6A: . Дяя этого возьмем произволь
ные параллельно# переносизу^е векторы CL с- ъ if* и образуем
скаляр fi* $**&? &* ш. Дальнейшие выкладки снова лриводигл без
пояснений. *
Р я
Вводам обозначения
и назовем
ъект jp
а объект
ю:*. Абсолюткая
кая/Й;.о
абсодютноГ; производной тензора
или ?*,?*<? - его ко вариантной
оизводаая есть двалды, контраварсаитный
тензор, а коварвантная п югзводная есть смешанный тензор трег.?ього
порядка, двгады контраварцентчый п одкь раз -човгриантяый.
Дяя удобства запомгнания выпишем вместе ковариаятные
водные всех трех представлени:! тензора второго

ассматривая таблицу A1.9), мч можем гри*:ти к следующему правилу
образования коварлагтноЛ производной тензора любого дсшяшса. Чтобы
получить ковариантную производную тензора; S,'.', по fi r
нулно на каадьи! ШШШШШЕ1 индекс С (S. ' ) добавить к
частной производной член - /^? S !р. , ,
а га каждый контpatъриантир? 1 индекс с ('*? с' / добавить член
v»^m... 1\оваргантная производная есть тензор на единицу^олее высокого
порядка.
образом, ковариантная производная тензора имеет вид
Г~ + ' • (НЛО)
iV'bJопытное дшГх^е^еншп овзние псегдотензоров.
И5 иаеьдотензоров путем даФ^ереЯиДроЕан^ш йюжно построить другие
гиевдотеизоры. Приьедзм без анвода ьыраление, которое называется
коварлантной производной псеьдотензора.
Пусть $ Х)]У. л. ейть поевдотензор веса
Кго^козариантная производная есть
4kZ
Ловариантная производная псевдотензора есть псеьдотензор порядка
на Единицу более высокого и того же самого веса. Сравнивая (II.II),
(НЛО), мы види14, чго в ковариантную производную псовдотеизора •
входит дополнительный член ~/?Sn."./Г ^/ое, , KOTopiik исчезает,
вес равен кулю* т.е. если мы диффервяцируем истинны^! тензор.
В частности, ковариьнтная производная псевдоскаляра есть
ШЛ2)
с - антисзглметричный
тонвор,

- 117 -
есть таюле тензор. Тензор CLc/c? иногда называют никлом
тэнзора С1г*с
Е?Ш?ШШ« Возьмем ко вариантную производную от тензора Ct
и Сделаем ь ней дво циклические перестановки индексов:
к е
В результате получил
(ZcKie
а, к?/ с
dp*
Сложив эти равенства и воспользоЕавишсь антисимметрией тензора
Ctc/с , получше
Но слева в этом равенстве стоит теноор; следовательно,и оправа
тоже тензор, что и требовалось доказать.
Некоторые рвоиства повариантяо^ рроизводлой. 1Сак видно из *
определешш> ковариантное дифференцирование асть }ШШАЧ&{1 операция,
как и обьгчноз ди^ереицирсванио. Поэтому очевидно, что ковариантное
дифдеренцирование обладает следуюидои дь^мя%свойствами:
1. Коваркантная ххролзвсдиая произведения тензора на постоянное
равна прои&шдепию постоянного на коварионтную производную тензора,
например, . /
~Л /^ ; 1 .о vO ^
(HJ4)
2. Ковариантная производная суммы двух тензоров равна сумме
ковариантяьас производньа обоих тензоров, например,
Покажем на приглере, что ковариантная производная обобщенного
произведения двух тензоров мо*ет бшь взята по правилам обычного
дифференцирования*

- 118 -
Пусть , например, cfc^ =• CLL b*,
гогда T>Q** Pfa4«Ja*rfa -
-эр
u, с л е до за т е л ьно,
Точно так же на примере покалсс:/, что и:»:эет место следующее
свойство: опогахшя свертки го ^.^г^те^ьгу и операция ковари-
ого диУереннироватп1д
Пусть, ^например, имеем тензор >^^^ к его
свертку $lg~ <2,е-
Тогда,с одной стороны,имеем
С другой стороны,
Свертывая, имеем
откуда и следует наше утверждение.
Леглгла Ркччи и следствия из рее. Леммой Ркт:чл называют следухь
щее утверждение: абсолютная и ковариантнзя производная метрического
тождест^улно щъу\ нулю. Покажем это. ;,Iu имеем

Следовательно
§| §p » #' (II.I?)
Тек как ковариантная производная равна нулю тождественно, то,оче-
то,очевидно, и абсолютная производная также равна /улю тождественно.
Отсщда вытекает, что при абсолютном и ковариантцом дифферен-
дифференцировании метрически]! тензору можно рассматривать как постояннее
Из этого сразу видно, что производные ассоциированных тензоров
сами являются ассоциированные тензорами. В самом деле, например,
откудл и следует на&з утверждение.
Упражнение * Показать, что
решение. Так как ?ыс? есть псевдотензор веса
то по формуле (ПЛ1) имеем
а так как pwvccT s Q , то
Вычислим элемент г>.
/*» •
""-* ^/вт? w-гз ^/зт^ггз ^ Л?/»» w«»3 ^
Теперь вычислим алемент' ?я/з sn . Получим
р ^. г** i> Г7 ' 0 Г*а
Подобным же образом получим, что и „все остальные элементы
ковариантной произзодноЛ равны нулю.
Докажем, что абсолютная и ковариантная производная детерми-
детерминанта Q, метрического тензора равна тождественно нулю.

- 120 ~
Мц имеем по определению детерминанта
Ковариантные производные псевдотензоров ?/°&*~ и
равни тождественно нулю. Поэтому мы можем написать
Но в правой части мы ш.:еем сумму трех детерминантов, у каждого
из которых, по лемлю Риччи, имеется один нулевой столбец.
Следовательно, будет
Умножив это на & ' и сократив на 6, получим, что
О, т * О. A1.19)
Упражнение. Показать, что
??*?,*> * °\ A1.20)
Решение. ? Ск? есть истшпый тензор, поэтому польэуемся
формулой (НЛО)* Мы имеем
Но
Детерминант ^ есть псевдотензор веса +2» По доказанному,
его ковариантная производная тождественно равна нулю, восполь-
воспользовавшись (II.II), мы имеем

- 121 -
откуда
р . 2 - /
Поэтому мы можем написать
Прадавая индексам с , a: f с частные зт1ачения,
1шк в предыдущем упражнении, покажем, \. э
счптлть нос^о.^мшу.:::. /пгл удобства Зопоксигая вчпишегл тензор",
которыз нрл kobqouciiviio'/. х.1-' •"9Р^ндировании »\:о:лно считать и ;гоянныш:
Ci;ocp^ 17олу^о}пя. /л"^г::с^^\х;рз" 3iLQTjj. Часто бгзает удобно
вттвестл Кс.кое-!!Ибудь тензорное равенство з декартовых координатах,
так как в кривол'лнеЛлих координатах этот в.лзод получается сложнее.
Если тем не г:^пее кеобходгпо иг.:еть это равенство в криволинейных
координатах, то уожло пользоваться следукиуиМ npze^o^i.
Пусть в декартовых координатах* получено равенство двух век-
векторов Ct-ix l &х :
Тек как ото равонство "- векторное, то оно должно бить спшводу1иво
и в любоА системе ксординат: но в произвольно*! криволинв^ноЛ
системе т:оорд::нат вектор CL с к переходит в ?LC m или
CLi , а вектор S'сх - в Sс или &?
:т сразу получаег'-раЕонстза
Теперь допуст;: it что в декартовюс координатах производная не-.
которого вектош по параметру рата другоглу вектору:

-, 122 -
Гак как в декартовых координатах дифйереиьдооваяио. по параметру
- векторная операция, то приведенное только что равенство
векторное, справедливо в любой системе координат. Но операция
& не тензорная;1 тензорной операцией является ?L .
Так как в декартовых координатах тензорная операция ?fe сов-
совпадает с Jig ; то вместо ('-&/ мы можем написать
(**)
По это равенство, как тензорное, спроБчДлшю в любой системе
координат; .. поэтому CLi^ и &*к глохло заменить на.
(Xе и 8е или на 6L<: и &с . Поэтому жъ
мы получим сразу
же образом, если в декс^товкх координатах установле-
установлено, что частная производная некоторого вектора по координатам
равна тен-зору второго порядка, например,
/ ч 0
то путем аналогичных рассуздешы мы придем к выводу, что в
системе координат верны равенства
Ото позволяет нам сформулировать следующие два правила:
1. Если в декартовых координатах получено некоторое тензорное
равенство, не содержащее производных, то из него сразу получается
инвариантное равенство, если элементы тензоров в декартовых коор-
координатах заменить их ковариантными и контравариантными элементами.
2. Если в декартовых координатах получено некооюрое тензорное
равенство, содержащее частные производные'по координатам или произ-
производные по парамс.ру, то из него сразу получается инвариантное ра-
равенство, если частные производные заменить ковариантными производ-
производными, а производные по параметру - абсолютн?' - производными.
.^ogcjggg. Так как
ковариантное дифференцирование - тензорная oi орация^ то в резуль-
результате ковариантного дифференцирования получаются новые тензоры, от
которых можно брать повторные ковэриантнк<> производные. Возникает

- 123 -
вопрос, перестановочно ли ковариантное дифференцирование.
Воспользуемся только что сформулированянгли правилами полу-
получения инвариантных равенств. Пусть в декарто^ол системе координаа
задан некоторый вектор . '
Его частная производная по координатам есть тензор второго порядк.
а повторная частная производная - тензор третьего порядка. Но час
ное дифференцирование перестановочно, поэтому в декартовых коордм
натах имеет место тензорное равенство;
Чтобы получить инвариантное равенство, нужно частные производные
заменить ковариантнггли, поэтому мы имеем
и ковариантное дифференцирование перестановочно в любой системе
координат.
В следующем параграфе будет дан другой вывод этого предложения,
независимый от приведенных правил.
Необходимо отметить, что приведенные выше соображения опира-
опираются на существование в нашем пространстве декартовой системы
координат; это следует считать экспериментальным фактором. В Ри~
манозой геометрии постулируется существование пространств, в ко-
которых нельзя построить декартову систему координат. В таких прост
ранствах ковариантное дифференцирование не. перестановочно.
§ 12, Тензор Римана-КмстоФФеля. Тождества "Ляме
Перестановочность ковариануного диоФереипировация. Так как
ковариантные производные сами по себе являются тензорами, то от
них можно сноЕа брать ковариантные производные. Известно,что обиь
новенное дифференцирование перестановочно относительно порядка
дифференцирования; возншсает вопрос, перестановочно ли ковариант-
ковариантное дифференцирование.
Для первой ковариантной производной мы имели формулу
Пусть CU" есть рроизвольны11 контраварианткш! лектор.
Образуем его первые ковариантные производные по о* и ^
а затем найдем вторые ковариантные производные.

- 124 -
Найдем сначала СС-ус и ^v** » a затем &.,**> и ?су
Для этого нам ну;гло сначала сделать в ^-fcj две следующие
постановки индексов:
л
V
Тогда получаем
l
ли e)t л) Л* f )
Чтобы на^тл вторые ковариантные производные, вспогушим, что
первая ковариантная производная есть смешанный течзор .второго по-
порядка; для его ковариантной производной т шлели формулу
Нам нужно найти Л^«*и &~v к<. ; поэтому необходимо сделать две
замены индексов4:
к ? р
Индекс р заменяем на <У , потому что Р уже встре-
встречается в первых производных. Следовательно, вторые ковариантные
производные будут
Напомним, что Лег ~ /Г^« f т.е. ситжолы Кристо^еля сим-
симметричны по нижним индексам. Действительно, по определению
р
откуда в^силу симметрии ^ечт следует симметрия
Поэтому разность вторых ковариантных производных будет

— 125 —
или окончательно
Если коварнантков дифференцирование перестановочно, то эгха
разность должна тождественно равняться нулю.
Тон?ор Р^г'ана-Уэ?1сто.Нолт. Придадим равенству A2.1) более
удобнил вид*
Введем обозначение
'2
вследствие \»егс равскстЕоA<г,1) кри..юг ь::д
Здесь слова с^опт тензор третьего порг,;л:а; в право- ч^сти есть
ироиззолып'и*. Bor.T'wp. liob'LOivj, согласно обрэтно:>;у тензору признаку,
объект (lj.ii) ось тензор четвертого noiw-a. Он незквается тснооро:.!
Ковариан.чноо дн^юрекцпров^нне перестановочно, если левая часть
в A2.1) тслдосиснло ^азна нулю. ЬссяользоваЕлшсь A2.3),получаем.
р г" о,** о,
а тек как С** есть произвольны!: вектор, то отсюда сле-
следует уоловие
IIoc:.:oTp:LM, удовлетворяется лт: услогле A2.4).
Тензор ?1:.\пана-КркстО'5феля завт:с:;т только ст с:г1волов Крис то д^
/к? f г последние - только от производных глзтрхгчоского тен-
тензора Q <!/с по 1сЪординатг.м. Но существуют такие системы коор-
координат, в которых :летр::ческил тензор постоянэн во всей пространстве:
это косоугольная система уиш ее частнкЛ случал - декартовая система
координат. Следовательно, з этих системах тензор Рл;лана-Кристо<й>еля
равен тождественно нулю. Но если тензор равен нулю в однол какой-

- 126 -
нибудь системе координат, то он равен кулю и во всякой!другой.
Итак, тензор Ришна-Кристоффеля во всех системах координат
равен тождественно нулю, а ковариантное дифференцирование ео всех
системах координат перестановочно. Так как в трехмерном пространство
тензор четвертого порядка шалеет 81 элемент, то A2.4) представляет
собою сокращенную запись 81 тождества.
Отметим, что это утверждение справедливо только в нашем обыч-
обычном трехмерном Евклидовом пространстве, потому что главная осо-
особенность Евклидова пространства состоит в том, что оно допускает
существование декартовой систеш коордкчат.
Мы можем себе представить такие пространства, в которых тензо!
Ршана-Кристоффеля не равен тождественно нулю. Такие пространства
называются неевклидовыми.
Б частности, можно представить себе пространство с таким
метрический тензором &?/с % которн,! из обращает тензора Pz-
мана-Крястоффеля в товдествеиныЛ нуль. Такие пространства называ-
называются Романовыми. Римановы пространства имеют, как принято говорить,
кр^к^дрву М8ТР1ЖУ. Например, рассматривая.поверхность как двух-
двухмерное пространство, мы придем к выводу, что в этом двухмерном
пространстве тензор Ркшна-Кристо<йеля не равен тождественно нулю.
Поверхность вообще имеет неевклидову метрику.
Далее, можно представить себе пространства, е которых тензор
Ришна-Кристоф>ля не равен нулю,и, кроме того, в котором не су -
ществуег метрического тензора ^с* f .В самом деле, тензор
Ряглана-Кристоф^еля зависит только от /Ve * задав непосредст-
непосредственно объект Г^е , мы тем самым определяем некоторый тензор
Римана-Кристоффеля, не вводя при этом никакой метршл- В этом слу-
случае объект /^ называется о0^екто..т з^инной связности, а соот-
соответствующее пространство -пространством .а^РдаюЛ с^яз^ости. В
этом пространстве метрика не определена, однако можно ввести неко-
некоторый Зундаед$рталь]кый объект, служащий для построения ассоциирован-
ассоциированных объектов, т.е. для поднимания и опускания индексов. Зтот объект
в литературе часто обозначают, как и метрический текзор, через
Цужно полшить при этом, что в пространстве с жяой связности фун-
фундаментальный объект ^«-'^ не определяет никаких метрические
свойств.
Четыре свойства тензора
Наряду с тензором A2.2) мы будем пользою вся его ассоцкированным
представлением

- 127 -
Докажем, что тензор rfLt/yop. иг>:еет следую^ четыре свойства:
3. ?
Обметим, что из первого и третьего' свойства сразу вытекает
второе:
Однако ниже,- для упражнения, приводится и независимый вывод вторе
го свойства.
Дервое свойство. Оно очевддно^непосредственно, так к^к каадап
из двух разностей, входящих в тензор A2.2), изменяет знак при
перемене мест индексов с о /С.
Второе свойство. Дяя его обнаружения необходимо сделать допол
нительные преобразования. !.1ы, очев^^що, имеем 1
Преобразуем первые два члена. Для этого заметим, что
Беря частные производные по координатам, получаем

- 128 -
Далее, докажем, что существует тождество
A2.8)
В самом деле, мы имеем
Поэтому
?- С*
Поэтому будет
Сд&цав замену индексов
1 к р ?
р о. с к

- 129 -
после чего получим
IIopBLri и TpoTiu члены тзпзоров С*) и (**) ? очевидно, оди-
чаковн, остается проворить равенство вторых членов.
Мы имеем
Лтск, томзоп1; ^ ¦*,) и ^* *) до^стзителько равны, что и дока-
3UBGGT ТрОНС; CLO.iCTBO (I/J.o).
Стпстп:, -:тэ ;.з третьего езо.хт^а непосредственно следует вто-
второе. 3 с?:.:о'.т дело, ::.и :l":co.*
Подставляя зто в A^.7), лолучям
ЕЛИ ' Г
По L3 то^ествц (I<j.8) получим
Г""

- 130 -
одставляя это в A2.9), получим окончательно
Третье свойство. Чтобы его обнаружить, преобразуем первые два
члена тензора A2*9).
Здесь в первом шаге мы воспользовались третьим свойством, затем
первым к затем снова третьим. ,
Четвертое свойство. Сделаем в .A2.2) циклическую подстановку
индексов ,
i к 0
/с р
/> с
и результат сложим. Мы получим
Ш ввдим сразу, что в правой части все члены попарно уничтожаются,
откуда и следует четвертое свойство: ,
Опустив индекс /п , прлучйм
Тождества Дяме. Мы установили, что в нашем обычном трехмерном
евклидовом пространстве тензор Римана-Кристоффеля тождественно равен
нулю независимо с • того, в каких именно координатах он задан. Как
уже говорилось,это дает 61 тождество, однако иокно показать, что
вследствие существования у тензора Ришна-Kpn-оффеля сзойств сим-
симметрии A2.6) независимых тождеств получаете^ г&тьгл шесть. Эти
тоадества были получены Ляме за 50 лет до возникновения тензорного
анализа и носят его имя.

- 131 -
Для получения тождества Ляме .образуем тензор второго порядка
причем как всегда
Умножим тензор м на С^тПт ?и/хя* Получим
Поэтому окончательно будет
fimntJ -?lf'/pn?»'ts? . A2.11)
Отсюда видно, что для равенства нулю всех элементов тензора
Римана-Кристоффеля.необходимо и достаточно, чтобы тензор^У^ был
равен нулю* Но тензор gi*us 9 как «нетрудно видеть,
Действительно, г.:и имеем
образом, имеется только шесть независимых элементов
тензора A2.10), остальные 5 элементов выражаются через эти
при помощи (I2.II), Поэтому тождественное равенство нулю тензора
/@-?*у>2~ дает всего шесть независимых тождеств, это й есть ток
дества Ляме. Тождества Ляме имеют вид v >
/J -О A2.12)
или вырат.еше*через тензор Римаш-Кристоффвля

- 132 -
Вычислим, для примера, элемент /о '
. Г„ы шлзем
.? е
~ 2
Остальные элегх; ы тензора *3 рекомендуется вычислить в
порядке упражнения. 3 результате получится
Ягзгз Jr ?гзз/ -q
$¦
и, следовательно, тог^естваЛагла приобретут вид
? Я газа ф
A2.14)
-гзгз
1гз/г
= О
О .
A2.15)
jjo всех случаях, когда толецоства Ляме вилолняются, тензор рщ-ина-"
Кристо'1н-еля тождественно равен нутю и ковариантное дк>/еренцгфовылто
перестановочно•
Тонзог> Г1тч.т-?и. Тензором Риччи называется тензор второго порядка
Нодшшая 'значок
•гаком втаде:
A2.16)
, мо:;се;л представить тензор Риччи в
<€.
~ ^у. - * A2.17)
'1ензор Гпччи симь-етричеи. Действительно, пользуясь сво/ютзаг.ш
сй;тютр1ш тензора Ршлана-Крпсто^^елл, гзы получл.г:
л тензор /О
можем написать
через тензор Риччи. Пользуясь A2.11),

- 133 -
Заменив здесь тензор ? z*-C& ассоциированным тензором
? по формуле
получим
О.
Но по известной форглуле тензорной алгебры
Иоэтокчу
?($t$SZd )??$*" A2.18)
Введя в рассмотрение скаляр
и воспользовавшись симметрией тензора %з и его ассоцииро-
ассоциированным представлением
можем написать
& S ?*S # A2.20)
Введем в рассглотрениэ скаляр
A2.21)

- 134 -
Тогда из A2,20), умножив это равенство ка О */° , мы получив
Но
и поэтому
Теперь из A2.20) окончательно получвд
&= Q< A2.22)
Таким образом, тождества Ллмв при помощи тензора Риччи могут быть
еаписайи в таком виде':
A2.23)

ОГЛАШЕНИЕ
Глава I.
§ I. Индексные обозначения ••¦ * » 4
§ 2. Вёкторйая алгебра в индексных обозначениях .» 14
$ 3, Ортогональное тензоры 24
}§ 4» Ортогональные тензоры в механике и физике 35
§ 5. Главные оси симметричного тензора второго порядка ¦ 44
Глава И. Тензорный анализ в трехмерном евклидовом
пространстве ...... •••.,, 50
§ 6.. Объекты различного строения , ••••••• 50
? 7# Метрика в косоугольных координатах. Взаимные системы.
Фундаментальный объект •••••• ;•••; 61
"§ 8. Метрика в криволинейных координатах ¦¦¦ 75
§ 9. Тензоры в косоугольных и криволинейных координатах 88
§ 10.Параллельны!: перенос 99
§ П.Ковариантное дифференцирование .III
§ 12,Тензор Римана-Кристоффеля. Тождества Ляме . • 123

Коренев Георгий Васильевич
Редактор Й,А%Волкозза
.пл. 1890 ? 463
Щщшсто в печать 2&хг,9О^Форш7 бОяЭО^Щ* Ехшга йисгчая ^
Девать офсетная. Усд,печ»л# 8,3* Уч^г,яадил; в* Тираж 1500 акз
\ЬЛ(А&. Цена 80-к,..
Мосй&вскйй ордена Трудрвого Красшшчшшени'
1
141700^Моок1обл.^ г.дадафряшшрщщр^окий пер., 9