/
Author: Зайцев Р.О.
Tags: физика статистика термодинамика теоретическая физика статистическая физика
Year: 2004
Text
СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА
Р. О. Зайцев
МФТИ
2004
ОГЛАВЛЕНИЕ
ОГЛАВЛЕНИЕ 3
ВВЕДЕНИЕ 10
Лекция I. МИКРОКАНОНИЧЕСКИЙ
И КАНОНИЧЕСКИЙ АНСАМБЛИ 14
§ 1. Микроканонический ансамбль 15
§ 1.1. Описание микроканонического ансамбля 15
§ 1.2. Адиабатический процесс 19
§ 1.3. Двухуровневая система 22
§ 1.4. Система осцилляторов 24
§ 2. Каноническое распределение 26
§ 2.1. Теплоёмкость двухуровневой системы 34
§ 2.2. Теплоёмкость системы осцилляторов 36
§ 3. Корреляционные поправки в кулоновском газе ..38
Список литературы 45
Лекция ТТ. БОЛЬШОЙ КАНОНИЧЕСКИЙ,
(р - Г)- И (fi - р - Т)-АНСАМБЛИ 46
§ 1. Большой канонический ансамбль 47
§ 1.1. Описание большого канонического ансамбля 47
§ 1.2. Вычисление теплоёмкости при заданном /л 53
§ 1.3. Вириальное разложение 54
§ 2. (р- Т)-ансамбль 57
§ 3. Обобщённый ансамбль 60
Список литературы 66
Лекция III. ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ
ФЛУКТУАЦИИ 67
Введение 68
§ 1. Флуктуации в (р — Т)-ансамбле при заданном
числе частиц 68
§ 1.1. Описание (р — Т)-ансамбля 68
§ 1.2. Общая формула флуктуации в (р — Т)-ансамбле 71
4 Оглавление
§ 1.3. Вычисление флуктуации при заданном
числе частиц 73
§ 1.4. Флуктуации энергии при заданном
числе частиц 75
§ 2. Флуктуации энергии в каноническом
ансамбле 76
§ 3. Флуктуации в большом каноническом
ансамбле 77
§ 3.1.Флуктуации энергии в большом
каноническом ансамбле 77
§ 3.2. Общая формула для флуктуации
в (jjl — Т)-ансамбле 78
§ 3.3. Вычисление флуктуации в (/л — Т)-ансамбле 80
Задачи к §§ 1 - 3 83
§ 4. Флуктуации в обобщённом ансамбле 84
§ 4.1. Общая формула флуктуации 84
§ 4.2. Флуктуации при заданном полном числе частиц 88
§ 4.3. Флуктуации при заданном полном объёме 92
§ 4.4. Флуктуации при заданной температуре 95
Задачи к § 4 98
Список литературы 99
Лекция IV. ИДЕАЛЬНЫЙ ГАЗ ПРИ НИЗКОЙ
ТЕМПЕРАТУРЕ 100
§ 1. Общие свойства ферми- и бозе-газов 101
§ 2. Идеальный ферми-газ 104
§ 2.1. Основное состояние (Т = 0) 104
§ 2.2. Низкотемпературное разложение (Т <С ер) 106
Зад ача 111
§ 2.3. Высокотемпературное разложение (Т ^> ер) 112
Задача 116
§ 2.4. Магнитная восприимчивость в слабых полях 117
§ 2.5. Магнитная восприимчивость в сильных полях 121
Список литературы 125
Оглавление 5
Лекция V. ИДЕАЛЬНЫЙ БОЗЕ-ГАЗ 126
§ 1. Общие свойства бозе-газов 127
§ 1.1. Явление бозе-конденсации 130
§ 1.2. Высокотемпературное разложение (Т ^> То) 133
§ 1.3. Поведение вблизи от точки бозе-конденсации 136
Зад ачи 138
§ 2. Термодинамика чёрного излучения 141
§ 3. Термодинамика колебаний идеальной
решётки 143
§ 3.1. Колебательный спектр идеальной решётки 143
§ 3.2. Теплоёмкость идеальной решётки; теория Дебая .... 147
§ 3.3. Уравнение состояния идеальной решётки 152
Список литературы 154
Лекция VI. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ВТОРИЧНОГО
КВАНТОВАНИЯ 155
§ 1. Вторичное квантование для системы
электронов 156
§ 1.1. Перестановочные соотношения 156
§ 1.2. Определение оператора плотности числа частиц 161
§ 1.3. Определение одночастичной потенциальной энергии . 162
§ 1.4. Определение двухчастичной потенциальной энергии .163
§ 2. Квантование поля фононов 165
§ 2.1. Переход к представлению Мацубары 166
§ 2.2. Вычисление средних 167
§ 2.2. Критерий плавления 168
§ 3. Вторичное квантование для системы
бозе-частиц 171
Задача 175
§ 4. Понятие квазичастиц 177
Задача 178
Список литературы 179
6 Оглавление
Лекция VII. НЕИДЕАЛЬНЫЙ БОЗЕ-ГАЗ
ПРИ НИЗКОЙ ТЕМПЕРАТУРЕ 180
§ 1. Феноменологическая теория сверхтекучести .... 181
§ 2. Теория слабонеидеального бозе-газа 182
§ 2.1. Нахождение спектра элементарных
возбуждений 182
§ 2.2. Функция распределения надконденсатных частиц ... .189
§ 2.3. Низкотемпературные свойства 192
§ 3. Плотность нормальной и сверхтекучей фазы ... 194
Список литературы 197
Лекция VIII. НЕИДЕАЛЬНЫИ ФЕРМИ-ГАЗ
СО СЛАБЫМ ПРИТЯЖЕНИЕМ 198
§ 1. Введение 199
§ 2. Теория Бардина—Купера—Шриффера 200
§ 2.1. Модель БКШ - боголюбовский вариант 202
§ 3. Спектр возбуждений 206
Задача 209
§ 4. Температурная зависимость энергетической
щели 210
§ 4.1. Температура вблизи точки перехода 213
§ 4.2. Температура вблизи нуля 214
§ 5. Термодинамика сверхпроводника 217
§ 5.1. Область низких температур 218
§ 5.2. Область температур вблизи от точки перехода 221
§ 5.3. Термодинамическое магнитное критическое поле .... 222
§ 6. Плотность нормальной и сверхпроводящей
фазы 226
§ 6.1. Область низких температур 227
§ 6.2. Область температур вблизи от точки перехода 229
§ 7. Теория Гинзбурга—Ландау 232
§ 7.1. Основные уравнения 232
§ 7.2. Определение коэффициентов в уравнениях
Гинзбурга-Ландау 233
Задача 235
Оглавление 7
§ 7.3. Граничные условия к уравнениям
Гинзбурга-Ландау 235
Задача 239
§ 7.4. Критические магнитные поля 240
Задача 243
§ 7.5. Флуктуационная поправка 245
Список литературы 247
Лекция IX. ФАЗОВЫЕ ПЕРЕХОДЫ II РОДА ... .248
§ 1. Феноменологическая теория фазовых
переходов II рода 249
§ 1.1. Соотношения Эренфеста 252
§ 2. Теория молекулярного поля Вейсса 254
§ 3. Корреляционные поправки вблизи
критической точки 258
§ 4. Теория сегнетоэлектриков типа смещения 265
§ 4.1. Особенности колебательных спектров ионных
кристаллов. Сегнетоэлектрическая неустойчивость 265
§ 4.2. Спонтанная поляризация и колебательный спектр
критических колебаний ниже точки перехода 269
§ 4.3. Особенности термодинамических величин вблизи
точки сегнетоэлектрической неустойчивости 273
Задача 275
Список литературы 276
Лекция X. ВЫЧИСЛЕНИЕ КРИТИЧЕСКИХ
ИНДЕКСОВ 277
Введение 278
§ 1. Теория Орнштейна-Цернике 279
§ 2. Фазовый переход в пространстве
D — е)-измерений 285
§ 2.1. Нулевая функция Грина 286
§ 2.2. Поправки к вершинным частям 287
§ 2.3. Паркетные и непаркетные диаграммы 289
§ 2.4. Суммирование паркетных диаграмм 294
8 Оглавление
§ 2.5. Уравнения Судакова 296
§ 2.6. Решение уравнений Судакова 299
§ 2.7. Определение угловой вершинной части 299
§ 2.8. Паркетное уравнение для угловой вершинной
части 300
§ 2.9. Нахождение одночастичной функции Грина 301
§ 2.10. Паркетное уравнение для поляризационного
оператора 302
§ 2.11. Вычисление теплоёмкости при d = 4 303
§ 2.12. Вычисление критических индексов при h — 0 303
§ 3. п-компонентная изотропная модель 306
§ 3.1. Вычисление критических индексов при h = 0 309
§ 3.2. Вычисление критических индексов в области
сильных полей 310
§ 4. Критические индексы при е = 1 и е = 2 311
§ 5. О вычислении поправок, квадратичных по б ... 312
Список литературы 313
Лекция XL НИЗКОТЕМПЕРАТУРНАЯ ТЕОРИЯ
ВОЗМУЩЕНИЙ 314
§ 1. Термодинамическая теория возмущений 315
Задача 319
§ 2. Теорема Вика 320
§ 3. Первый порядок теории возмущений 326
§ 3.1. Обменное взаимодействие 330
§ 4. Второй порядок теории возмущений 332
§ 5. Приближение высокой плотности 339
Список литературы 342
Лекция XII. ВРЕМЕННАЯ ТЕОРИЯ
ВОЗМУЩЕНИЙ 343
§ 1. Одночастичные функции Грина 344
§1.1. Переход к представлению взаимодействия 345
§ 1.2. Переход к усреднению с нулевым
гамильтонианом 346
Оглавление 9
§ 1.3. Диаграммная техника 349
§ 2. Теория туннелирования 351
§ 3. Формула Кубо 354
§ 4. Эффект Джозефсона 355
§ 4.1. Стационарный сверхпроводящий ток 355
§ 4.2. Туннелирование при заданной разности
потенциалов 362
§ 4.3. Нестационарный эффект Джозефсона 367
Список литературы 372
ПРИЛОЖЕНИЯ 373
§ 1. Вычисление суммы обратных квадратов 373
§ 2. Вычисление суммы обратных четвёртых
степеней 374
§ 3. Формула суммирования Пуассона 375
§ 4. Формула Эйлера—Маклорена 376
§ 5. Обобщённая формула Эйлера-Маклорена 377
§ 6. Вторичное квантование 379
§ 7. Некоторые определённые интегралы 386
§ 7.1. Интегралы, сводящиеся к Г-функции Эйлера 386
§ 7.2. Интегралы, сводящиеся к (-функции Римана 387
§ 7.3. Интеграл, выражающийся через постоянную
Эйлера 388
Список литературы 389
ОБЩИЙ СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 390
Учебники и монографии 395
ВВЕДЕНИЕ
Значительные успехи в теоретической и экспериментальной
физике, достигнутые во второй половине XX века, привели к не-
необходимости существенной перестройки курса статистической
физики, читаемого в Московском физико-техническом институ-
институте. Основные задачи статистической физики, относящиеся к
первой половине XX века, давно стали предметом изучения в
курсах общей физики. В соответствии с этим в программе курса
теоретической физики появились разделы, отражающие новые
идеи и методы. Отсюда и возникла необходимость написания
расширенного курса статистической физики.
Что же касается предлагаемых лекций, то здесь была поста-
поставлена задача дополнить их содержание, соответствующее клас-
классическому курсу Ландау-Лифшица, некоторыми новыми разде-
разделами, без которых невозможно решать задачи, стоящие перед
современной теоретической физикой.
Основополагающие идеи Больцмана-Гиббса, кратко изло-
изложенные в двух первых лекциях, сразу же дополняются вычи-
вычислением высокотемпературных поправок по методу кольцевых
диаграмм (приближение высокой плотности) и по методу разло-
разложения по газовому параметру (приближение малой плотности).
Здесь фактически заложены основы трёхмерной термодинами-
термодинамической теории возмущений.
Вторая лекция завершается рассмотрением так называемых
открытых ансамблей, которые существуют при заданном да-
давлении, и отличаются заданием либо числа частиц, либо хими-
химического потенциала.
Третья лекция посвящена нетрадиционному рассмотрению
термодинамических флуктуации, относящихся ко всем ансам-
ансамблям, кроме микроканонического. Предлагаемый метод, осно-
основанный на возможности непосредственного вычисления флукту-
флуктуации энергии и объёма в открытых ансамблях, позволяет опре-
определять всевозможные флуктуации без использования таких рас-
расплывчатых понятий, как "минимальная работа", "неравновес-
"неравновесная энтропия" и др.
Введение 11
В четвёртой лекции изучается идеальный ферми-газ. Рас-
Рассмотрение ведётся в рамках большого канонического ансамбля
и на основе представления о квантовых числах заполнения. В
соответствии с этим подчёркивается различие между Cy,N и
С\/д - теплоёмкостью при заданном числе частиц и при задан-
заданном химическом потенциале. В качестве приложения рассмо-
рассмотрены магнитные свойства электронного газа как при низких,
так и при высоких магнитных полях (эффект де Гааза-ван Аль-
фвена).
Традиционный курс статистической физики завершает пя-
пятая лекция, где рассмотрены физические свойства различного
рода идеальных систем, подчиняющихся статистике Бозе: иде-
идеальный бозе-газ, чёрное излучение, а также гармонически коле-
колеблющаяся идеальная решётка.
Шестая лекция содержит краткое изложение метода вторич-
вторичного квантования, который служит основой для построения те-
теории квантовых слабонеидеальных газов. При изучении низко-
низкотемпературных квантовых колебаний решётки используется пе-
переход к представлению Мацу бары, с помощью которого в даль-
дальнейшем будет построена диаграммная техника.
В седьмой лекции излагается теория слабонеидеального бозе-
газа. Здесь феноменологическая теория сверхтекучести
Л.Д. Ландау дополняется подробным изложением метода
Н.Н. Боголюбова, относящегося к низкотемпературным свой-
свойствам неидеального бозе-газа.
По этому же принципу построена восьмая лекция, в которой
рассматривается теория сверхпроводимости идеальных метал-
металлов. Основные уравнения получены по методу Н.Н. Боголю-
Боголюбова, дополненного идеей Л.П. Горькова об усреднении по ме-
методу самосогласованного поля. Этот же метод используется и
при выводе уравнений Гинзбурга-Ландау, решение которых по-
позволяет рассмотреть большое количество задач, относящихся
к сверхпроводникам II рода. Граничные условия к уравнениям
Гинзбурга-Ландау имеют различный вид для границы сверх-
сверхпроводника с нормальным металлом и для границы между двумя
12 Введение
сверхпроводниками. В обоих случаях их конкретный вид зави-
зависит от коэффициента прохождения электронов через границу.
В девятой лекции изучается феноменологическая теория фа-
фазовых переходов II рода, предложенная Л.Д. Ландау. В про-
процессе рассмотрения простых моделей - изотропного ферромаг-
ферромагнетика и кубического сегнетоэлектрика типа смещения - ста-
становится ясно, что метод самосогласованного поля даёт резуль-
результаты, соответствующие феноменологической теории. Вычисле-
Вычисление поправок к самосогласованному полю, произведённое с по-
помощью суммирования кольцевых диаграмм, позволяет опреде-
определить условия применимости метода самосогласованного поля.
Вблизи критической точки эти результаты оказываются экви-
эквивалентными следствиям из теории Орнштейна-Цернике.
Десятая лекция посвящена флуктуационной теории фазовых
переходов. Использование гипотезы универсальности позволяет
произвести вычисление критических индексов с помощью тео-
теории возмущений. Суммирование наиболее сильно расходящихся
диаграмм приводит к уравнениям В.В. Судакова. Решение этих
уравнений даёт возможность определить сингулярную теплоём-
теплоёмкость и восприимчивость в пространстве с размерностью d =
= 4 — б. Этим же методом находим спонтанный момент, воспри-
восприимчивость и теплоёмкость в области температур, относящейся
к упорядоченной фазе. На заключительном этапе используем
гипотезу Вильсона о правомерности перехода к пределу е —> 1,
что соответствует возможности определения всех критических
индексов в трёхмерном пространстве.
В одиннадцатой лекции рассматривается термодинамичес-
термодинамическая теория возмущений, применимая для произвольной темпе-
температуры. Здесь приведено полное доказательство теоремы Вика
для операторов электронного поля, записанных в представле-
представлении Мацубары. Вычисление низкотемпературных поправок к
энергии основного состояния выявляет роль обменных и корре-
корреляционных эффектов в вырожденном электронном газе. Сум-
Суммирование кольцевых диаграмм даёт возможность определить
радиус экранирования кулоновского потенциала во всём интер-
Введение 13
вале температур и электронных концентраций.
В двенадцатой лекции ставится задача построения времен-
временной теории возмущений при наличии стационарного внешнего
возмущения. Предлагается система преобразований, позволяю-
позволяющих в конечном счёте доказать теорему Вика, а затем присту-
приступить к построению диаграммной техники, содержащей двухком-
понентные одночастичные функции Грина. В качестве простых
результатов удаётся получить теорию линейного отклика (фор-
(формулу Кубо), теорию туннельного эффекта между двумя нор-
нормальными металлами, между сверхпроводником и нормальным
металлом, а также между двумя различными сверхпроводни-
сверхпроводниками (эффект Джозефсона). Нестационарный эффект Джозеф-
сона изучается при использовании неявного предположения о
том, что развитая диаграммная техника применима также и к
квазистатическим процессам.
В Приложении приведены оригинальные и простые методы
получения различных математических соотношений, встречаю-
встречающихся в лекциях. Кроме этого, приводится последовательный
вывод основных формул вторичного квантования, относящихся
к нерелятивистским электронам.
На протяжении всей книги применяется система единиц, в
которой и температура и магнитное поле измеряются в энерге-
энергетических единицах. Первое условие означает, что постоянная
Больцмана к в = 1, второе соответствует соглашению дллв — 1,
т.е. равно единице произведение гиромагнитного отношения gj
на величину магнетона Бора /i?.
ЛЕКЦИЯ I
МИКРОКАНОНИЧЕСКИЙ И КАНОНИЧЕСКИЙ
АНСАМБЛИ
Содержание
§ 1. Микроканонический ансамбль 15
§ 1.1. Описание микроканонического ансамбля 15
§ 1.2. Адиабатический процесс 19
§ 1.3. Двухуровневая система 22
§ 1.4. Система осцилляторов 24
§ 2. Каноническое распределение 26
§ 2.1. Теплоёмкость двухуровневой системы 34
§ 2.2. Теплоёмкость системы осцилляторов 36
§ 3. Корреляционные поправки в кулоновском газе 38
Список литературы 45
При рассмотрении микроканонического ансамбля понятие эн-
энтропии основывается на формуле Больцмана S = In ДГ, устана-
устанавливающей связь между вероятностью данного состояния ДГ и
его энтропией S [1].
В ансамбле системы с дискретным спектром (двухуровне-
(двухуровневые системы, осцилляторы ...) величина ДГ определяется как
полное число возможных конфигураций, соответствующих за-
заданной энергии.
В ансамбле системы с непрерывным спектром ДГ есть чи-
число состояний, соответствующих интервалу энергий АЕ и на-
находящихся вблизи заданной энергии Е. Поэтому если Т(Е)
есть полное число состояний с энергией меньше заданной, то
ДГ = Г'(Е)АЕ. В системе, содержащей макроскопическое чи-
число частиц 7V, число уровней экспоненциально велико Т(Е) ~
~ exp C7Vln(E')/2), в то время как величина АЕ возрастет не
быстрее первой степени ? и не зависит от числа N. По этой
причине ниже для ансамбля систем с непрерывным спектром в
качестве энтропии используется величина 1пГ(Е) [1].
§1.1] Описание микроканонического ансамбля 15
§ 1. Микроканонический ансамбль
§1.1. Описание микроканонического ансамбля
Рассмотрим замкнутую систему, т.е. систему, для которой
сохраняется её полная энергия Е. Предположим, что задан пол-
полный объем V, а также полное число частиц 7V, которое является
макроскопически большим, т.е. N ^> 1.
Определённая таким образом система называется микрокано-
ническим ансамблем [2], [3].
Обозначим через pk и г& импульсы и координаты частицы
с номером А;, тогда в нашей замкнутой системе единственным
аддитивным интегралом движения является полная энергия
6(pi, ...pW;ri, ...r/v), зависящая от координат и импульсов всех
N частиц. Иными словами, всё движение системы происходит
на F7V — 1)-мерной поверхности Е = e(pi, ...pyv;ri, ...г/у) в 6N-
мерном фазовом пространстве всех импульсов и всех координат.
Функция распределения для такой системы пропорциональна
^-функции от полной энергии:
...pAr;fi,...rW) ~5(Е- 6(pi,...pW;fi,...fAr)) . A)
Определим энтропию системы:
S(E,V,N)=\nT(E,V,N), B)
где Г - полное число состояний с энергией меньше заданной:
r(E,V,N)= Y, e{E-e{pu...pN;f1,...fN)). C)
PivPW;n,...f/v
Здесь и ниже в(ж)-функция включения Хевисайда:
Q(x) = 1 при х > 0 , Q(x) = 0 при х < 0 .
Заметим, что
дв (Е - е(ри -Pn; П, ...гаг)) _ _
— = ?(Я-е(рь...рлг;г1,...глг)). D)
С помощью этого соотношения находим нормировку функции
распределения A).
16 Микроканонический и канонический ансамбли [I
Для этой цели дифференцируем определение C) и исполь-
используем D):
dT(E,V,N) = у, de(E-e(pu...pN;ru...rN)) =
дЕ _ J-i _ дЕ
pi,...pN;ri,...TN
= Y^ ЦЕ-c{pu...pN;ri,...rN)). E)
PivP7v;nv..r7v
Отсюда находим функцию распределения:
= 5 (Е - е(ри ...pN;ru ...rN)) | — 1 . F)
Таким образом, полное число состояний Г(Е", V, N) определяет
не только энтропию B), но и саму функцию распределения ми-
микроканонического ансамбля.
В качестве примера рассмотрим идеальный газ без внутрен-
внутренних степеней свободы, для которого
k=i
С точки зрения классической механики полное число состо-
состояний C) пропорционально произведению объемов всех частиц
VN объему, заключённому внутри ЗТУ-мерной сферы радиуса
у/2тЕ.
С точки зрения квантовой механики суммирование по всем
импульсам означает суммирование по всем возможным целым
числам, от которых зависит импульс. Например, для одной сво-
свободной частицы используем следующие условия периодичности:
Ly,
1.1] Описание микроканонического ансамбля 17
\ fiLxPx, riLvPy\ (iLzVz^ ,оч
i У>z) exp(~^~) exp(—|-^) exp(—^—). (8)
Отсюда можно заключить:
r^ T^. (9)
Здесь LXiViZ - макроскопические размеры системы, Nx^y^z - це-
целые положительные и отрицательные числа.
Для одной частицы получаем переход к непрерывному спек-
спектру:
+ ОО +ОО +ОО +ОО +СЮ +ОО
_оо _оо _оо
Естественно предположить, что для всех 7V невзаимодействую-
невзаимодействующих частиц все дифференциалы перемножаются:
? - / П ^)^)^(^) _ -^—, / п ф« (и)
jv* i k=i [Z7rn> Ужк=1
Необходимо заметить, что состояния, которые отличаются пе-
перестановкой хотя бы одной пары частиц, следует считать то-
тождественными. Для учёта этого обстоятельства необходимо
ввести в интеграл соответствующий комбинаторный множитель,
для того чтобы скомпенсировать интегрирование по физически
эквивалентным областям.
Если ограничиться случаем предельно малых чисел заполне-
заполнения (rik < 1), когда можно пренебречь учётом состояний с хотя
бы двумя одинаковыми одночастичными квантовыми числами,
тогда для учёта тождественности достаточно поделить весь ин-
интеграл на макроскопический множитель N\.
В результате получим следующий интеграл:
18 Микроканонический и канонический ансамбли [I
Далее следует использовать формулу Стирлинга. В упрощённой
форме она выводится с помощью перехода от суммирования к
интегрированию:
/V N
, , Л , 1 N
In к ~ / In хах = N In
/с=1
\nN\ = J2lnk^ flnxdx = N\n—.
k=\ { e
Необходимо также получить формулу объёма n-мерного шара
Wn радиуса Д. С помощью перехода к n-мерной сферической
системе получим
R
n~ldr = пп — . A3)
П
О
Интеграл по всем углам Vtn находим с помощью независимого
вычисления известных интегралов:
Qn = П / e-axUxk = unj e~ar2rn-ldr. A4)
Вычисляя левую и правую сторону этого соотношения, получим
Гк\п 1 / 1 \п п
I-=[J-) =fin^(i=) Г(^). A5)
Таким образом, мы находим угловой интеграл Vtn через Г-функ-
цию Эйлера:
при
Используя последнее соотношение, а также формулу Стирлинга
при n = 37V, получаем выражение для энтропии:
A7)
§ 1.2] Адиабатический процесс 19
Можно проследить, что учёт тождественности частиц (в нашем
случае введение множителя ЛИ) превращает энтропию в одно-
однородную функцию первой степени однородности. Иными сло-
словами, умножение всех трёх переменных Е, V, и N на один и тот
же коэффициент к приводит к увеличению исходной энтропии
в к раз.
§ 1.2. Адиабатический процесс
Рассмотрим ту же систему, помещённую во внешнее поле,
которое характеризуется специальным параметром А. В каче-
качестве этого параметра может выступать внешнее электрическое,
магнитное поле, объём и т.д.
Предположим, что внешние параметры меняются значитель-
значительно медленнее, чем система приходит в термодинамическое рав-
равновесие. Говоря точнее, скорость относительного изменения
внешних параметров значительно меньше, чем обратное время
релаксации (г) системы к термодинамическому равновесию:
Наша система перестаёт быть замкнутой, однако замкнутой
оказывается наша система вместе с источниками внешнего поля.
Если ко всей выделенной системе не подводится тепло, то-
тогда энтропия всей системы остаётся постоянной. Предполо-
Предположим, что изменение состояния внешних источников целиком
сводится к изменению параметра А. При этом энтропия источ-
источника остаётся постоянной, поскольку предполагается, что ис-
источник находится в единственном заданном квантовом состоя-
состоянии. Отсюда можно заключить, что энтропия теплоизолирован-
теплоизолированной системы, находящейся в заданном внешнем поле, остаётся
неизменной.
Рассмотрим определение энтропии через гамильтониан, ко-
который дополнительно зависит от параметра А:
S(X,E,V,N) =
20 Микроканонический и канонический ансамбли
= In ^2 ®(E-€(\,pi,...pN;ri,...rN))
\pi ,...p>7v;n v-r/v /
Дифференцируя это соотношение по параметру А, получим
Ж =
Е
Разделим числитель и знаменатель правой стороны на норми-
нормирующий множитель:
У^ S (Е — e(pi, ...рдг; п,
после чего правая сторона оказывается пропорциональной обоб-
обобщённой силе, усреднённой по микроканонической функции рас-
распределения F). (Что обозначается с помощью двойных угловых
скобок).
ds dv(E,v,N) 1 дй =
{ д\)}
д\ дЕ T(E,V,N){{ д\
__dlnV(E,V,N) ОН
эе {{d\)h [ '
Таким образом, мы замечаем, что и левая и правая сторона вы-
выражаются через производные от энтропии:
8_S = _dS(E,V,N) дй
д\ эе u эх" у '
Рассмотрим условие адиабатичности (dS = 0) и будем считать,
что энтропия зависит не только от энергии, но и от параметра
A: S = S(E, A, V, 7V). Дифференцируя это определение, получим
^E + ^-dX. B1)
ол
§ 1.2] Адиабатический процесс 21
Исключив из B0) и B1) производные от энтропии, получаем
искомое соотношение:
В частности, из этой формулы можно определить понятие да-
давления. Сначала запишем силу, с которой тело действует на
границу своего объёма:
где Е(р, q, r) - энергия тела как функция обобщённых координат
и импульсов его частиц, а также радиуса-вектора г заданного
элемента поверхности, играющего в данном случае роль внеш-
внешнего параметра.
Далее усредним это равенство по функции микроканониче-
микроканонического распределения и, используя общее соотношение B2), на-
находим
8Е\ (дЕ\ dV
) [
((
{{ дг )} {)s [Js
Так как изменение объёма dV = (dfdr), где df - элемент по-
поверхности тела, то
Отсюда заключаем, что средняя сила, действующая на элемент
поверхности, направлена по нормали к этому элементу и про-
пропорциональна его площади (закон Паскаля). Абсолютная ве-
величина силы, действующей на единицу площади поверхности,
равна
22 Микроканонический и канонический ансамбли [I
§ 1.3. Двухуровневая система
Выше мы получили выражение энтропии классического иде-
идеального газа, для которой зависимость от энергии системы пред-
представляется монотонно возрастающей функцией. Однако можно
привести другой пример, в котором это свойство оказывается
необязательным. Такой аномальной системой является двуху-
двухуровневая макроскопическая система, каждый атом которой мо-
может находиться в одном из двух квантовых состояний, с раз-
различными энергиями е+ и е_. Обозначим число ячеек, имеющих
энергию е+, через 7V+, а число ячеек, имеющих энергию е_,
- через 7V_, причём суммарное число ячеек предполагается за-
заданным: 7V+ + N- = 7V, где N - полное число элементарных
ячеек.
Для такой системы нетрудно определить полную энергию Е
и полную энтропию S [4]:
E = N+e++N_e_, S = ]п^-у B4)
Если ввести средние числа частиц с заданной энергией п± =
= N±/N, тогда первое уравнение позволяет их выразить че-
через единственный безразмерный параметр е = E/N - среднюю
энергию, отнесённую к одной частице:
е~€ п_ = б+~б . B5)
б е
е+ - б_ +
Если предположить, что числа TV, 7V+ и 7V_ значительно пре-
превышают единицу, то с помощью формулы Стирлинга энтропия
B4) также может быть выражена через средние числа п±:
S = N {-п+ 1п(п+) - n_ ln(n_)} . B6)
В результате подстановки B5) в B6) находим явную зависи-
зависимость энтропии от энергии в:
— е
§1-3]
Двухуровневая система
23
В данном примере при заданном полном числе ячеек энтропия
как функция полной энергии Е обращается в нуль как при ми-
минимальном значении энергии Е = 7Ve_, GV_ = TV, 7V+ =
= 0), так и при максимальном значении энергии Е = 7Ve+,
GV+ = TV, N- =0). В этих точках энтропия обращается в
нуль, так что как функция энергии она имеет максимум в сим-
симметричной точке, когда 7V_ = 7V+ = TV/2, равный 7VlnB).
Наглядное представление об этой зависимости можно полу-
получить, если представить энтропию в виде функции от разности
г = п+ — п_, которая согласно B5) есть линейная функция энер-
энергии б:
2е б+ + б_
г = п+ — П- =
б+ - б_
l+r"L \l + r
In
€+ - б_
, \1-Г
In
N { [ 2 J L 2 J L 2
Энтропия оказывается чётной функцией от г (рис. 1).
B8)
-1.0-0.8-0.6-0.4-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
Рис. 1. Энтропия двухуровневой системы
24 Микроканонический и канонический ансамбли [I
§ 1.4. Система осцилляторов
Другой, более сложной, системой является совокупность яче-
ячеек, каждая из которых содержит гармонический осциллятор с
классической частотой си. Обозначим через п& номер уровня ос-
осциллятора в ячейке с номером к. Тогда полная энергия системы
определится суммой по всем ячейкам [4]:
Е = hcu 2^ < —\- Пк> = Е = N Ь hcuM, где М = 2_^ пк.
\ 2 ) 2 ил
= B9)
Для того чтобы определить полное число возможных конфигу-
конфигураций, поставим в соответствие каждому числу п& п& одинако-
одинаковых чёрных шаров, помещённых в ящик с номером к. Изобразим
шары в виде ряда последовательно расположенных п^-точек;
ящики пронумеруем и изобразим условно границы между ними
N — 1 вертикальными чёрточками, расположенными в ряду то-
точек. Так, рисунок
C0)
изображает 20 шаров, расположенных в восьми ящиках: 1 шар
в первом ящике, 3 - во втором, О-в третьем, 4 - в четвёртом,
2 - в пятом, 6 - в шестом, 3 - в седьмом, 1 - в восьмом.
Всего число мест (на которых находятся точки или чёрточки)
N
в этом ряду есть N — 1 + J2nk = N — 1 + М. Искомое число
к
размещений одинаковых шаров по ящикам есть число способов,
которыми можно выбрать N — 1 мест для чёрточек, т.е. число
сочетаний из N — 1 + М элементов по Ns — 1 элементов, от-
откуда получим полное число физически различимых состояний и
энтропию:
jN + M-
При заданном полном числе ячеек N удобно перейти к перемен-
переменной т = M/N. Тогда после простых преобразований с помощью
§1-4]
Система осцилляторов
25
формулы Стирлинга получим
S = N {A + т) ln(l +m) -m ln(m)} , lim S = N ln(m).
(га—>oo)
C2)
Из этой формулы следует, что в данном случае энтропия явля-
является монотонно возрастающей функцией от т, что непосред-
непосредственно связано с наличием энергетического спектра (в каждой
ячейке), неограниченного по энергии. При этом энергия, от-
отнесённая к одной ячейке, есть линейная функция переменной т:
е = E/N = hu(-+m).
C3)
Откуда заключаем, что энтропия есть возрастающая функция
переменной х = в/Ни (рис. 2):
2-0:
1-0-
0.5-
0
S/N
0 2 4 6 8 10
Рис. 2. Энтропия системы осцилляторов
26 Микроканонический и канонический ансамбли [I
§ 2. Каноническое распределение
Предположим, что система из N\ частиц заключена в объёме
V\ и находится в тепловом равновесии с окружающей средой,
которую мы будем называть термостатом.
Наша выделенная система имеет гамильтониан, но не явля-
является замкнутой. В качестве замкнутой системы здесь выступает
вся система: наша выделенная + окружающая среда.
Докажем, что в тепловом равновесии сохраняется величина,
которую можно связать с температурой [2], [3].
После приведения систем в тепловой контакт остаётся по-
постоянной суммарная энергия Е — Е\ + i?2, в то время как сум-
суммарная энтропия S = Si(Е\) + S2(E2) будет возрастать до тех
пор, пока она не достигнет своего максимального значения:
dS dthdEh
dt dEi dt дЕ2 dt ' ( '
Учитывая условие сохранения полной энергии 8Е = 5Е\ + ЬЕ^ =
= 0, получаем
ds ids, ds2]dEl
[Ы-^ C6)
Последнее неравенство есть следствие закона возрастания эн-
энтропии для замкнутой системы.
Согласно этому же закону, в равновесии энтропия имеет
максимум, так что в равновесии последнее соотношение имеет
следующий вид:
os1ds1
=
дЕ2
Для такой системы можно записать закон сохранения энергии:
dE = SQ- PdV, где SQ = TdS. C8)
Здесь Q - количество тепла, переданное телу. Второе соотно-
соотношение есть второе начало термодинамики, записанное для си-
системы, находящейся в термодинамическом равновесии.
§ 2] Каноническое распределение 27
Отсюда заключаем, что в условиях теплового равновесия вы-
выравниваются обратные температуры:
Тг дЕ2 Т2 Г"
Здесь и ниже температура измеряется в эргах. Переводной ко-
коэффициент называется постоянной Больцмана:
к « 1.38 х 106эрг/град.
Для нахождения функции распределения канонической подси-
подсистемы запишем функцию распределения для всей замкнутой си-
системы: термостат + наша подсистема, каждая из которых имеет
температуру Т:
~ 5 [Е-Е (PU...PN) - € (pi, ...рта; fb ...fn)] . D0)
Для нахождения функции распределения выделенной подсисте-
подсистемы проинтегрируем обе стороны последнего соотношения по
всем импульсам термостата. Поскольку мы считаем его иде-
идеальным газом, то энергия термостата равна сумме кинетиче-
кинетических энергий отдельных частиц, а интегрирование от ^-функции
удаётся свести к задаче о вычислении производной от энтропии
идеального газа:
D1)
Таким образом, функция пропорциональна производной от экс-
экспоненциально большого числа квантовых состояний, вычислен-
вычисленной при энергии, равной Е\ — Е — е (pi, ...p*n; п, •••?~п):
_ _ ^ч д Г Г eV 3
Г Г eV 31 / AenmEi \Л\
28 Микроканонический и канонический ансамбли
D2)
Предположим, что энергия выделенной подсистемы мала по срав-
сравнению с энергией термостата, а следовательно, и по сравнении
с полной энергией Е. В соответствии с этим произведём разло-
разложение полученной функции по степеням е (pi, ...pn; r\, ...rn) /Е:
лг Г, eV 3
N In— + -
TV 2 V37VB7r/lJ
eF 3 /
хехр J -тт^
(pb...pn;fb...fn) I . D3)
J
Аналогичным образом можно произвести разложение предэкс-
поненты:
Сравнение последнего и предпоследнего соотношения показы-
показывает, что поправки, происходящие от разложения экспоненты,
макроскопически велики по сравнению с поправками от пред-
экспоненты. Иными словами, в пределе N ^> 1 функция распре-
распределения для канонического распределения с точностью до нор-
нормировочного коэффициента имеет следующий вид;
-—e(pu..pn;fu...rn) > . D5)
Поскольку термостат является идеальным газом, его энергия
равняется 37VT/2, функция распределения приобретает вид, за-
зависящий от температуры:
~ exp
-— 6(pi,..pn;fb...fn) > . D6)
В 1902 году Гиббс (J.W. Hibbs) предложил записать нормиро-
нормированную функцию распределения в следующем виде [2], [3]:
=exp| | . D7)
§ 2] Каноническое распределение 29
Записанная в таком виде функция распределения называется ка-
каноническим распределением, или распределением Гиббса.
Для канонического ансамбля удобно определить свободную
энергию F = Е — TS. При фиксированном числе частиц для
этой функции имеем полный дифференциал:
dF = dE- TdS - SdT = TdS + (^] dX - TdS - SdT =
d\Js
(^) d\. D8)
Кол / s
Здесь А - произвольный внешний параметр: напряжённость
электрического или магнитного поля, давление...
Докажем, что функция ф, определяющая нормировку рас-
распределения Гиббса, может отличаться от свободной энергии на
величину NcT, где параметр с называется химической постоян-
постоянной.
Из определения свободной энергии следует, что
Производную функции ф находим из её определения - из условия
нормировки функции распределения:
exp -f
E0)
где Sp обозначает суммирование по всевозможным состояниям.
Н = б(рь..рп;гь...гп) . E1)
Дифференцируя это соотношение по температуре, получим сле-
следующее дифференциальное уравнение:
^t -1 _ М (ы
дт~ т т' [ ]
где
= 5р|яехр(-|)|/5р|ехр(-|)| E3)
30 Микроканонический и канонический ансамбли [I
- величина, имеющая смысл средней энергии, - обозначается
ниже как Е.
Таким образом, мы получаем два дифференциальных урав-
уравнения:
дф_ _ф_ Е_ d]^_F_ E_
Ът ~ т ~ т' Ът ~ т ~ т' ' ^
Вычитая одно из другого, получаем линейное дифференциаль-
дифференциальное уравнение для функции Т = ф — F, общее решение которого
содержит произвольную постоянную с, зависящую от всевоз-
всевозможных параметров А, но не от температуры:
— = -, ? = Nc(\)T, ^ = F + Nc{\)T. E5)
Множитель TV введён из соображений аддитивности свободной
энергии. Зависимость от внешнего параметра А определяем че-
через определение ф с помощью производной гамильтониана:
где угловые скобки обозначают усреднение по Гиббсу (т.е. по
состояниям с заданной температурой, объёмом и остальными
внешними параметрами А):
E7)
С другой стороны, было показано (см. B0) и B2)), что
где двойные угловые скобки обозначают усреднение по микрока-
микроканонической функции распределения (по состояниям с заданной
энергией).
§ 2] Каноническое распределение 31
Однако результат усреднения одной и той же величины, с
точностью до флуктуационных поправок, не зависит от того,
по какому ансамблю производится усреднение, - по состояниям
с заданной температурой или по состояниям с заданной энер-
энергией. Это один из основных принципов статистической физики,
которым мы будем пользоваться до тех пор, пока не начнём изу-
изучение флуктуации.
Исходя из этого принципа, имеем
dF\ (дЕ\ пдН„ ,dH^ дф , ч
Отсюда заключаем, что производные по всем внешним пара-
параметрам одинаковы для ф и для F. Поэтому функция ф может
отличаться от свободной энергии на химическую постоянную,
пропорциональную температуре с коэффициентом, не завися-
зависящим ни от каких внешних параметров.
Из определения энтропии через свободную энергию D9) сле-
следует, что химическая постоянная означает постоянную поправку
к энтропии, отнесённой к одной частице. Ниже мы будем пола-
полагать её равной нулю.
Таким образом, распределение Гиббса имеет следующий вид:
=ехр| ^ j, F0)
где F - свободная энергия, которую находим из условия норми-
нормировки.
F = -
При этом
~дТ = ~
F1)
т
В качестве важного примера использования этого соотношения
вычислим давление. Для этого в уравнениях E9) положим А =
32 Микроканонический и канонический ансамбли
= F, а затем используем соотношение B2а):
\dV)T \dVJs
Отсюда с помощью F2) находим
Таким образом, если нам удалось определить свободную энер-
энергию как функцию объёма и температуры, то уравнение состоя-
состояния находим из соотношения F3) с помощью дифференцирова-
дифференцирования по объёму.
Точно так же, дифференцируя свободную энергию по тем-
температуре, с помощью соотношения D9) и определения теплоём-
теплоёмкости при заданном объёме можно определить все тепловые свой-
свойства изучаемой макроскопической системы:
В качестве простейшего примера применения полученных соот-
соотношений рассмотрим идеальный одноатомный газ без внутрен-
внутренних степеней свободы.
Запишем определение свободной энергии E0) через стати-
статистическую сумму z(T,V,N):
F =-Т In (z(T,V,N)),
где
I1 Y / Z
v-^v / Ph.
exp > I ——
F5)
Переходя от суммирования к интегрированию по всем импуль-
импульсам согласно формулам (8) - A1) и учитывая тождественность
§2]
Каноническое распределение
33
частиц с помощью множителя ЛИ, получаем 3N одинаковых ин-
интеграла:
¦ ехр
Tim
VN BтгтТ)
3/V/2
N1
чЗ/V
F6)
После использования формулы Стирлинга находим свободную
энергию в виде аддитивной функции первой степени однородно-
однородности:
~eV BirmTK/2~
F(T,V,N) = -NT\n
N
BпПУ
F7)
Дифференцируя эту функцию по объёму и температуре, полу-
получаем общеизвестные результаты: Р = 7VT/F,
5 =
=iVln
eV BетгтТ)
3/2
TV BnhY
3
2J
F8)
Можно заметить, что выражение для энтропии совпадает с со-
соответствующим выражением A7) для энтропии, полученным
для микроканонического ансамбля, если туда подставить сред-
среднюю энергию идеального газа Е = C/2)NT.
Дальнейшее сравнение с формулой для полного числа кван-
квантовых состояний показывает, что статистическая сумма F6)
есть не что иное, как полное число квантовых состояний клас-
классического идеального газа, соответствующего заданной темпе-
температуре и заданному объему.
Для того чтобы выяснить область применимости получен-
полученных соотношений, выразим статистическую сумму через тепло-
тепловую длину волны де-Бройля Л = 27гН/л/2тгтТ:
yN
N\A3N'
F9)
Таким образом, среднее число квантовых состояний, отнесённое
к одной частице, пропорционально отношению объёма, приходя-
приходящегося на одну частицу, к средней тепловой волне де-Бройля.
34 Микроканонический и канонический ансамбли [I
Отсюда можно заключить, что условие применимости всех
соотношений от F5) до F9) совпадает с условием квазиклас-
квазиклассичности:
2тг/г (V\ _ k2 /7V\2/3
Л = . <С — , или Т > — —
V2^T \NJ 2rn\V
/7V\2/3
— . 70
\Vj v ;
Иными словами: температура должна быть настолько велика,
чтобы тепловая длина волны Л(Т) была мала по сравнению со
средним расстоянием между частицами.
§2.1 Теплоёмкость двухуровневой системы
Предположим, что совокупность макроскопического числа iV не-
невзаимодействующих двухуровневых систем находится в тепло-
тепловом равновесии с окружающей средой. Если среда имеет темпе-
температуру Т, тогда условие теплового равновесия имеет вид C9).
Производную энтропии по энергии находим с помощью диф-
дифференцирования соотношений B5) и B6), после чего условие
теплового равновесия приобретает следующий вид:
dS 1 ,
Таким образом, в условиях теплового равновесия средние числа
заполнения зависят только от температуры, обезразмеренной
на характерную для данной задачи энергетическую разность
б+ — б_. С учётом условия нормировки п+ + п_ = 1 и соотноше-
соотношения G1) находим средние числа заполнения, а также среднюю
энергию:
п = Iп = ехр[(в+-е_)/Г]
П+ 1 + ехр[(е+-е_)/Т]' П- 1 + ехр[(е+-е_)/Т]'
Е _б+ + е_ехр[(б+-б_)/Т] =^+ 6+- б_
7V 1 + ехр[(е+-е_)/Т] " 1 + ехр [(е+ - е_) /Т]'
2.1]
Теплоёмкость двухуровневой системы
35
Теплоёмкость при заданном объёме находим с помощью диффе-
дифференцирования средней энергии по температуре:
7Уехр[(б+-е_)/Г]
N
{1+ехр[(е+-е_)/Т]}2
]2
= N-
~ е-]
G3)
{2Tch[(e+-e_)/2T]}2'
Соответствующая кривая имеет характерный температурный
максимум при Т/ (е+ — б_) = 0.43167 и представлена на рис. 3.
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0
Рис. 3. Теплоёмкость двухуровневой системы
В области низких температур, когда Т <С (б+ — б_), степень
заполнения верхнего уровня экспоненциально мала в сравнении
со степенью заполнения нижнего уровня, так что и сама те-
теплоёмкость оказывается экспоненциально малой:
~[(е+-е_)/Т]2ехр[-(е+-е_)/Т].
Если же температура велика по сравнению с энергией верх-
верхнего уровня (Т ^> е_|_), тогда с повышением температуры раз-
36 Микроканонический и канонический ансамбли [I
личие в степени заполнения верхнего и нижнего уровня прак-
практически исчезает, система ведёт себя почти как одноуровневая,
что приводит к достаточно быстрому (~ [(е+ — в-) /Т] ), сте-
степенному убыванию теплоёмкости.
§ 2.2. Теплоёмкость системы осцилляторов
Запишем условие теплового равновесия с учётом явной зависи-
зависимости энтропии от энергии C2) и C3):
dS I 1 /1 + т\ 1
ЧG4)
дЕ huj V m )
Отсюда находим температурную зависимость средних чисел за-
заполнения:
которая совпадает с функцией распределения Планка.
Среднюю энергию находим с помощью общей формулы C3):
Е = Nhuj [I + 1 1 . G6)
|_2 exp (huj/T) - 1J
Дифференцируя энергию по температуре, находим Cv :
Nexp[(tiLj)/T\
/T}-l? - {2Tsh[(M/2T]r
^ 'r7~'9 Г Г /a- \ I ml -i T 2 fnm i Г /*- \ /гл. ml "I 2 ' ^ '
В области низких температур (Т <С Тго;), когда достаточно учи-
учитывать только два нижних уровня, теплоёмкость нашей си-
системы экспоненциально мала и практически не отличается от
теплоёмкости двухуровневой системы:
CJN - [(М /Т]2 ехр [- {Пи) /Т]. G8)
§3]
Корреляционные поправки в кулоновском газе
37
Однако в области высоких температур (Т ^> Нш), когда тем-
температура настолько велика, что совокупность уровней осцил-
осциллятора можно представить как непрерывный континуум, те-
теплоёмкость приближается к своему классическому пределу (за-
(закон Дюлонга и Пти) (см. рис. 4):
Соотношения G5) - G9) были получены Эйнштейном
в 1907 году. Однако его попытки применить эти формулы для
описания теплоёмкости твёрдого тела потерпели неудачу, по-
поскольку колебания упругой среды в области малых частот и
больших длин волн никоим образом нельзя отождествить с си-
системой осцилляторов, имеющих одинаковую частоту.
'V.
0.8-
0.6-
0.4-
0.2-
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0
Рис. 4. Теплоёмкость системы осцилляторов
В заключение следует заметить, что полученная кривая те-
теплоёмкости в точности соответствует колебательной части те-
теплоёмкости газа двухатомных молекул.
38 Микроканонический и канонический ансамбли [I
§ 3. Корреляционные поправки в кулоновском газе
Вычислим поправки к свободной энергии, происходящие от
кулоновского взаимодействия. В первом приближении доста-
достаточно вычислить среднее значение от гамильтониана:
\ ^ (80)
\Т Т
Здесь суммы по сортам зарядов q^ удовлетворяют уравнению
электронейтральности:
S
*кЯк = У^2пкЯк = О, (81)
к=1 к=1
где Nfc и rik - полное число частиц и соответствующая плот-
плотность числа частиц заданного сорта к.
По этой причине при усреднении по состояниям с гамиль-
гамильтонианом невзаимодействующих частиц термодинамическая по-
поправка первого приближения обращается в нуль.
Для доказательства достаточно произвести переход от сум-
суммирования по координатам частиц заданного сорта к к инте-
интегрированию по координатам г& с множителем п&, равным плот-
плотности частиц того же сорта:
+ ОО +ОО
1
I I (p(r-
— оо -оо
+ ОО
= 0, (82)
поскольку каждая сумма в скобках есть полный заряд системы.
Для нахождения следующих поправок умножим гамильто-
гамильтониан взаимодействия U на постоянный множитель Л, который
§ 3] Корреляционные поправки в кулоновском газе 39
в дальнейшем положим равным единице. Используя известное
соотношение E9) между производной от гамильтониана и про-
производной от свободной энергии, получим
{) 4х> ? (ъЪ)) (83)
где угловые скобки обозначают усреднение по состоянию с за-
заданной температурой, числом частиц каждого сорта и объёмом.
В классическом пределе, когда импульсы и координаты счи-
считаются независимыми, при усреднении любой функции коор-
координат происходит сокращение кинетической части полного га-
гамильтониана. В результате усреднение производится со ста-
статистическим оператором, зависящим только от потенциальной
энергии:
все f
Производя разложение статистического оператора по степеням
обратной температуры, в квазиклассическом пределе получим
(85)
В качестве первого шага рассмотрим разложение правой сто-
стороны соотношения (83) до второго порядка по U:
(86)
Поскольку среднее "по вакууму" от потенциальной энергии
(U)о = 0, нахождение поправки второго порядка сводится к вы-
вычислению следующей суммы:
1
к - r3)qsqtip(rs - rt))o- (87)
40 Микроканонический и канонический ансамбли [I
В конечном счёте усреднение выражения (87) сводится к частич-
частичному суммированию один раз при j = s,rj = rs; к = t,rk = г^, а
другой раз - при j = t, rj = rt; к = s, rk = rs.
На рис. 5 волнистые линии изображают парное взаимодей-
взаимодействие, а пунктирные овалы представляют объединение соответ-
соответствующих узлов в одну и ту же координату [5], [6].
_ г
p ':
с
J
'V4
С
- J
\ /
¦--. .-•
\
/// "
f
у
/
\ \
¦•' q. ¦;
j-'
^)
ч ^ .-111
а) 6)
Рис. 5. Ненулевые диаграммы второго порядка
В результате остаются две одинаковых суммы, которые на-
находим с помощью перехода к интегралам: ^ ... —> п& / ...dr)t,
где n& = Nfc/V - число частиц &-го сорта в единице объёма.
°
dfkdfjip(fk-fj)ip(fj-fk). (88)
2T ^
^'^ — OO — OO
Окончательный результат получаем с помощью перехода к ин-
интегралам Фурье:
+ ОО
^еШги-г^ф где ^ -_ (89)
Z7TJO ^
— oo
В результате координатная зависимость переходит в экспоненту,
§ 3] Корреляционные поправки в кулоновском газе 41
после чего вычисляются все интегралы, кроме последнего:
+ ОО _
ал
Полученное выражение расходится при интегрировании в обла-
области малых <?, что соответствует расходимости на больших от-
относительных расстояниях.
Эта ситуация соответствует тому обстоятельству, что в на-
нашей системе кулоновское взаимодействие на далёких расстоя-
расстояниях оказывается заэкранированным, а разложение свободной
энергии происходит по дробным степеням А. Для того чтобы
выделить такие слагаемые, необходимо просуммировать диа-
диаграммы, наиболее сильно расходящиеся в области малых q.
Можно заметить, что такими диаграммами являются так назы-
называемые кольцевые диаграммы, которые в каждом порядке тео-
теории возмущений (к) содержат только одно интегрирование.
В качестве простейшего примера рассмотрим кольцевую и
некольцевую диаграмму четвёртого порядка по парному взаи-
взаимодействию, которое изображается волнистой линией (рис. 6).
а) 6)
Рис. 6. Две диаграммы четвёртого порядка
Вклад кольцевой диаграммы представляется в виде четырёх
42 Микроканонический и канонический ансамбли [I
пространственных интегралов:
— f —^—) / drdridr$dr±<p(r - ri)<p(ri - г2)(р(г2 - г3)(р(г3 - г).
s
Здесь и ниже используется обозначение: П = ^2 nkq^.
к=1
Некольцевая диаграмма содержит только два пространствен-
пространственных интеграла, но по-прежнему - четыре линии взаимодействия.
В результате её вклад имеет следующий порядок величины:
(91)
Используя явное выражение для кулоновского потенциала, об-
обнаруживаем, что в единицах макроскопической длины L сте-
степень расходимости кольцевой диаграммы составляет FL5, где
V - объём системы. Выражение (91) также пропорционально
объёму, однако по относительной координате это выражение
расходится на малых, а не на больших расстояниях.
Уже на основании анализа диаграмм четвёртого порядка
можно заметить, что именно кольцевые диаграммы в каждом
заданном порядке содержат наибольшую степень расходимости
при интегрировании по пространственным координатам.
В соответствии с этим мы в каждом А:-порядке просумми-
просуммируем к\2к топологически эквивалентных диаграмм, когда по-
последовательно включается суммирование по координатам всех
ячеек (рис. 7):
Г Г
df dfi
П
5Z(^) df dfp(f f)p(f f2)
k=l\ l / j j
... / dfk-idfk(p(fk-i — fk)(p(fk — r). (92)
После перехода к импульсному представлению имеем
3] Корреляционные поправки в кулоновском газе 43
Рис. 7. Графическое изображение кольцевого суммирования;
овалы изображают множитель П,
волнистые линии - кулоновский потенциал
Таким образом, дело сводится с суммированию геометриче-
геометрической прогрессии:
FA
Il2(f)(qJ \ dq
ЭХ ТТ J \l + \n<j){q)/TJ BvrK'
После простого интегрирования по q получим [3]
= %¦ (93)
(94)
44
Микроканонический и канонический ансамбли
В результате находим известный ответ Дебая и Хюккеля:
AF= -:
3\/Г
3/2
(95)
Дифференцируя это выражение по температуре и по объёму,
находим поправки:
AS= -
3/2
AP = —
2Ту/Т
3/2
Ъу/Т
I 3/2
(96)
Таким образом, энергия нейтральной плазмы меньше, чем энер-
энергия невзаимодействующих частиц, что соответствует тенден-
тенденции системы к стабилизации и упорядочению. Давление плазмы
также меньше, поскольку возникновение поляризации связано
со сближением зарядов противоположного знака, так что в си-
системе преобладает притяжение.
Энтропия уменьшается, поскольку коллективные эффекты
приводят к появлению упорядоченной структуры в виде поляри-
поляризационного облака вокруг каждого иона. Энергия, сообщённая
плазме, частично расходуется на увеличение кинетической энер-
энергии частиц и частично - на разрушение поляризационной струк-
структуры. За счёт этого и возникает положительный поправочный
член к удельной теплоёмкости.
Полученные результаты справедливы, когда средняя энер-
энергия кулоновского взаимодействия двух ионов (~ (zeJ/r, где
п
-1/3 _
среднее расстояние между ионами) была мала по
сравнению со средней кинетической энергией ионов
ким образом, должно быть (zeJn1/3 <C Т.
Или вместе с условием G0):
Т). Та-
ТаТ > max
(ze) V/3, —п2/3
где m* = min {mk} . (97)
§ 3] Корреляционные поправки в кулоновском газе 45
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Больцман Л. Избранные труды. - М.: Наука, 1984. - 589 с.
2. Гиббс Д. В. Термодинамика. Статистическая механика.
Ч. 1. - М.: Наука, 1982. - 584 с.
3. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Статистическая физика.
4. 1. - М.: Физматлит, 2002. - 616 с.
4. Кубо Р. Статистическая механика - М.: Мир, 1966. - 452 с.
5. Балеску Р. Равновесная и неравновесная статистическая
механика. Т. 1. - М.: Мир, 1978. - 405 с.
6. Майер Дж.7 Гепперт-Майер М. Статистическая механика.
- М.: Мир, 1980. - 544 с.
ЛЕКЦИЯ II
БОЛЬШОЙ КАНОНИЧЕСКИЙ,
(р - ТУ И (ц - р - Т)-АНСАМБЛИ
Содержание
§ 1. Большой канонический ансамбль 47
§1.1. Описание большого канонического ансамбля 47
§ 1.2. Вычисление теплоёмкости при заданном ц 53
§ 1.3. Вириальное разложение 54
§ 2. (р- Т)-ансамбль 57
§ 3. Обобщённый ансамбль 60
Список литературы 66
В настоящей лекции изучается большой канонический ан-
ансамбль Гиббса, который соответствует тепловому и материаль-
материальному контакту выделенной подсистемы окружённой резервуа-
резервуаром энергии и резервуаром частиц [1]. Нормирующий множи-
множитель большого канонического распределения Гиббса определяет
термодинамический потенциал fi, зависящий от температуры,
объёма и химических потенциалов отдельных компонент, что
особенно удобно для систем, между которыми возможны хими-
химические реакции.
Далее рассматривается изобарно-изотермический или
(р — Т)-ансамбль, который был построен С.А.Богуславским в
1922 году [2]. Он соответствует тепловому и механическому
контакту системы с окружением (например, с помощью подвиж-
подвижного поршня). В этом ансамбле задано давление, температура
и число частиц, а объём является переменным.
Изучение статистических ансамблей завершается исследо-
исследованием обобщённого или (fj, — р — Т)-ансамбля, предложенного
Гуггенгеймом [3]. Этот ансамбль описывает гидродинамиче-
гидродинамическую ситуацию, когда не задан объём и не задано число частиц,
а система характеризуется тремя интенсивными параметрами:
температурой, давлением и химическим потенциалом.
§ 1.1] Описание большого канонического ансамбля 47
§ 1.Большой канонический ансамбль
§1.1. Описание большого канонического ансамбля
Предположим, что система заключена в объёме Vi, находится в
тепловом равновесии с окружающей средой (тепловой контакт),
а также может обмениваться с ней частицами (материальный
контакт) [1].
Наша выделенная система имеет гамильтониан, но не явля-
является замкнутой. В качестве замкнутой системы здесь выступает
вся система - наша выделенная + окружающая среда.
Мы показали, что в тепловом равновесии сохраняется вели-
величина, которую можно связать с температурой.
Докажем, что при материальном контакте сохраняется ве-
величина, которую можно связать с химическим потенциалом.
После приведения систем в материальный контакт остаётся
постоянной суммарное число частиц N = N\ + N2, в то время
как суммарная энтропия S = S\(Ei) + 62(^2) будет возрастать
то тех пор, пока не достигнет своего максимального значения:
8S2 dN2
dt ~ dNi dt + dN2 dt ' ^
Учитывая условие сохранения полного числа частиц 5N = SN\ +
+ SN2 = 0, получаем
'
dt [dNi dN2\ dt
Последнее неравенство есть следствие закона возрастания эн-
энтропии для замкнутой системы.
Согласно этому же закону, в равновесии энтропия имеет
максимум, так что в равновесии последнее соотношение при-
принимает следующий вид:
[ }
0N2'
48 Большой канонический, (р — Т)- и (/л — р — Т)-ансамбли [II
Для такой системы можно определить химический потенциал
как приращение энергии системы при добавлении к ней одной
частицы:
dE = 6Q- PdV + pdN, где SQ = TdS, D)
или
dS = ^ + |> - ^dN. E)
Отсюда заключаем, что в условиях теплового и материального
равновесия выравниваются не только температуры, но и хими-
химические потенциалы:
dSi fj^ dS2 № V> /fix
T 8N2 T T' U
Примеры: 1. Равновесие фаз. 2. Выравнивание электрон-
электронных химических потенциалов на границе двух металлов.
Для нахождения функции распределения канонической под-
подсистемы запишем функцию распределения для всей замкнутой
системы: термостат + наша подсистема, каждая из которых
имеет температуру Т:
(Pu...Pn) - б (pi, ...р„; fb ...fn)] . G)
Для нахождения функции распределения выделенной подсистемы
проинтегрируем обе стороны последнего соотношения по всем
импульсам термостата. Поскольку мы считаем термостат иде-
идеальным газом, то его энергия зависит только от суммы кине-
кинетических энергий отдельных частиц, а интегрирование от 5-
функции удаётся свести к задаче о вычислении производной от
энтропии идеального газа: <p(pi, ...pn; Гь •••^n) ~
& dPk
18 [E - E (Pu ...PN) - e (pu ...pn- П, ...fn)] —
§ 1.1] Описание большого канонического ансамбля 49
= — {Т0(Е - е (pi, ...Pn5 П, ...г„), iV - щ)} , (8)
где
ro(E-e(pu...pn]ri,...rn),N -тц) =
Таким образом, функция пропорциональна производной от экс-
экспоненциально большого числа квантовых состояний, вычислен-
вычисленной при Ei = Е — б и N\ = TV — п:
где
Производя явное вычисление производной, получим
50(^-6,7V-n)}. A0)
- 6)
Предположим, что выделенная подсистема мала по сравнению
с термостатом. В соответствии с этим произведём разложение
полученной функции по степеням е/Е и по степеням n/N.
Замечал, что в экспоненте записана энтропия идеального од-
одноатомного газа, имеем
exp{S0(E -e,N -п)} «
exp |-^ + Щ . A1)
Аналогичным образом можно произвести разложение предэкс-
поненты:
^(} A2)
(l}
Е\ Е) Е
50 Большой канонический, (р — Т)- и (/л — р — Т)-ансамбли [II
Правая сторона полученного разложения имеет порядок обрат-
обратной энергии, отнесённой к одной частице. Правая сторона пре-
предыдущего выражения зависит от отношения полной энергии
подсистемы к температуре и поэтому вообще не может быть
разложена, поскольку выделенная подсистема содержит макро-
макроскопическое число частиц.
Таким образом, поправки, происходящие от разложения экс-
экспоненты, макроскопически велики по сравнению с поправкам от
предэкспоненты. Иными словами, в пределе п >> 1 функция рас-
распределения для большого канонического ансамбля с точностью
до нормировочного коэффициента имеет следующий вид:
пи
Т
A3)
Гиббс предложил записать нормированную функцию распре-
распределения в следующем виде:
= ехр
UJ + }лп- е
>b-pB;r1,...rwn
Записанная в таком виде функция распределения называется
большим каноническим распределением. Потенциал си опреде-
определим из условия нормировки:
?г=0
ехР(
-en(p,f)
T
A5)
Таким образом, функция и зависит от температуры, объёма,
внешних параметров, а также от величины /i, которая называ-
называется химическим потенциалом. При этом среднее число частиц
находим с помощью дифференцирования ы-потенциала:
дсо
n=0
p,f
= (n). A6)
§ 1.1]
Описание большого канонического ансамбля
51
Производную от аьпотенциала по температуре находим с помо-
помощью дифференцирования соотношения A5):
р/
дТ Т Т Г оо
?
п=0
)Е (е„(р,г)
т
оо
Е
.71 = 0
< П > /i— < б >
A7)
Аналогичным образом находим производную по любому внеш-
внешнему параметру:
71 = 0
где
га=0
т
ехр( — J^ (ехр(-
Т
Т
, A8)
A9)
В результате получаем связь между производной аьпотенциала
и средним значением от производной гамильтониана Н:
дси I дЙ\
вл = (ал)- B0)
Для большого канонического ансамбля определим f^-потенциал:
Q = F - fj,n, где F = Е - TS,
так что полный дифференциал зависит от химического потен-
потенциала:
dft = dF — jjidn — ndjji = —SdT — pdV — nd\i +
д\
dX.
52 Большой канонический, (р — Т)- и (/л — р — Т)-ансамбли [II
Отсюда следует, что
—— = — п{1, I/,/i), —- = — Ь{1, I/, ji). B1)
OfJL Ol
Производные по /i и по А для со- и fi-потенциалов совпадают,
так что они отличаются на функцию только от температуры,
поскольку объем также является внешним параметром.
Что же касается производной по температуре, то её можно
выразить через среднюю энергию Е и среднее число частиц N:
Сравнив полученное выражение с соотношением A7), можно
обнаружить, что Q- и аьпотенциалы удовлетворяют одному и
тому же линейному дифференциальному уравнению.
Вычитал одно из другого, получаем линейное дифференци-
дифференциальное уравнение для функции Т = ft — ш, общее решение ко-
которого содержит произвольную постоянную с, не зависящую ни
от химического потенциала, ни от параметров А, ни от темпе-
температуры:
— = -, Т = сГ, П = си + сТ. B2)
Величина с называется химической постоянной. Ниже мы будем
полагать её равной нулю.
Таким образом, распределение Гиббса для большого канони-
канонического ансамбля имеет следующий вид:
^(pi,..pn;n,...rn) =exp| |, B3)
где функция ft называется ^-потенциалом.
Важно отметить, что соотношения, связывающие между со-
собой производные ш- и Q- потенциалов, были получены при усло-
условии равенства средних по канонической и большой канонической
функции распределения:
= <">• (ж) =(ж)
\dX/T,N,V,\ \dX/
§ 1.2] Вычисление теплоёмкости при заданном
53
Условие нормировки для функции распределения большого ка-
канонического ансамбля:
, 71=0
^)?(exp(^
B5)
При этом
du = -SdT-pdV -Ndfi+I^-
d\.
B6)
Усреднение любой величины А(р, г*, п), относящейся к данной
системе, включает также усреднение по числу частиц:
OO
E
n=0
OO
E
n=0
B7)
§ 1.2. Вычисление теплоёмкости при заданном \л
Рассмотрим задачу о вычислении теплоёмкости при задан-
заданном химическом потенциале в предельном случае высоких тем-
температур: T^>eF = (h2/2m)(N/VJ/3.
= T-
\dT)N
dN
dT
N
Используя определение теплоёмкости при заданном числе ча-
частиц и объёме, а также выражение для полного дифференциала
свободной энергии dF = TdS — pdV + jidN, находим
T
dT)
N
B9)
54 Большой канонический, (р — Т)- и (/л — р — Т)-ансамбли [II
Все величины, стоящие в правой части, можно определить ис-
исходя из явного выражения для свободной энергии, вычисленной
при заданной температуре, объёме и числе частиц. Так, для
идеального одноатомного газа в классическом пределе имеем
3\.
C0)
Дифференцируя химический потенциал, находим
/2
е
Подстановка этих выражений в общее соотношение между Су^
и Су^м даёт
3/2^2
C2)
Таким образом, в области высоких температур теплоёмкость
при заданном химическом потенциале есть возрастающая функ-
функция температуры, которая существенно превосходит значение
теплоёмкости при заданном числе частиц.
§ 1.3. Вириальное разложение
Рассмотрим слабонеидеальный газ при высоких температу-
температурах. Точнее говоря, будем считать, что среднее расстояние
между молекулами ^/V/N значительно превышает размеры са-
самих молекул: R <C \fV/N'. Кроме того, предположим, что тем-
температура велика по сравнению с абсолютной величиной мини-
минимального значения потенциала Ван-дер-Ваальса (рис. 1).
Можно заметить, что большое каноническое распределение
наилучшим образом приспособлено для разложения по малой
плотности [1]. Пренебрегая тройными взаимодействиями, можно
§1-3]
Вириальное разложение
55
написать:
[
-Г1п< 1
е 2ш
C3)
PUP2
Множитель 1/2 учитывает тождественность частиц.
0.
0.2:
0.1-
О
-0.1-
110
¦R
1.4
1.6 _—^
-1.8"
2.0
Рис. 1. Потенциал Леннарда-Джонса
Для больцмановского разреженного газа множитель exp(/i/T)
является малым параметром. Поскольку мы отбросили члены
третьего порядка по этому параметру, то необходимо произве-
произвести разложение логарифма до членов второго порядка по этому
параметру. Используя известное разложение 1пA + х) « х —
56 Большой канонический, (р — Т)- и (/л — р — Т)-ансамбли [II
— (х2/2), получим: Q «
Р1 ,Р2
C4)
Записанное в таком виде выражение для ^-потенциала позво-
позволяет получить уравнение состояния: Р = — Q/V =
{а т^ _J_ III t^ _^L_^L Г ^(n2) I
е г 2_^ е 2mr -fe^ /_^ e 2mT 2mT е т -1 /. C5)
Р Р1 ,Р2
Этот результат допускает дальнейшее упрощение, если произ-
произвести интегрирование по импульсам и по координатам центра
инерции молекул: R = (г\ + г*2)/2.
Для достижения этой цели заметим, что сумма по импульсам
есть wdpdf/B7rh)^, где га - кратность вырождения основного со-
состояния отдельной молекулы. После простого интегрирования
по импульсам появляются два новых параметра - вириальный
коэффициент В(Т) и (:
Учитывая, что интеграл по координатам одной частицы, а также
по координатам центра инерции двух частиц равен объёму V,
получим
р = Т( [1 - С5(Г)]; N = VC[l- 2?B(T)]. C7)
Заметим, что в нулевом приближении ? = N/V, после чего
удобно поделить давление на число частиц, а затем произвести
§ 2] (p - Т)-ансамбль 57
замену (В(Т) -> NB(T)/V:
_ NT 1 - (В(Т) ^ NT Г N 1
F ~ Ti-2CB(T) ~ "Г I + vB[T)] ¦ C8)
Вириальный интеграл можно представить в виде двух сла-
слагаемых (рис. 1):
оо 2R
2R О
где R имеет смысл размера молекулы, а коэффициенты подо-
подобраны таким образом, чтобы из нашего уравнения получалось
уравнение Ван-дер-Ваальса:
NT N2a
§ 2. (р - Т)-ансамбль
Предположим, что система имеет заданное число частиц, на-
находится в тепловом равновесии с окружающей средой (тепловой
контакт), а также находится в механическом равновесии (меха-
(механический контакт) [2], [4], [5].
Наша выделенная система имеет гамильтониан, но не явля-
является замкнутой. В качестве замкнутой системы здесь выступает
вся система - наша выделенная + окружающая среда.
Мы показали, что в тепловом равновесии сохраняется вели-
величина, которую можно связать с температурой.
Докажем, что при механическом равновесии сохраняется ве-
величина, которую можно связать с давлением.
После приведения системы в механический контакт остаётся
постоянным суммарный объём V = V\ + V2, в то время как
суммарная энтропия S = Si(Ei) + ?2(^2) будет возрастать то
тех пор, пока не достигнет своего максимального значения:
dt WlHt+WHt' ^ ^
58 Большой канонический, (р — Т)- и (/л — р — Т)-ансамбли [II
Учитывая условие сохранения полного объёма 8V = 8V\ + 8V2 =
= 0, получаем
D2)
dt [dVi dV2\ dt
Последнее неравенство есть следствие закона возрастания эн-
энтропии для замкнутой системы.
Рис. 2. Наглядное изображение (р — Т)-ансамбля
Согласно этому же закону, в равновесии энтропия имеет
максимум, так что в равновесии последнее соотношение при-
принимает следующий вид:
i dS2
dV2
D3)
Для такой системы можно определить давление как приращение
(p - Т)-ансамбль 59
энергии системы при её сжатии на единицу объёма:
dE = SQ - pdV, где SQ = TdS, D4)
или
dS = Щ- + V-dV. D5)
Отсюда заключаем, что в условиях теплового и механического
равновесия выравниваются не только температуры, но и давле-
давления (закон Паскаля для жидкостей и газов):
dSi_ = pi = a$2 =P2 = р_
dVi T dV2 Т Т'
Уже здесь можно заметить, что задача о нахождении функции
распределения при заданном давлении с переменным объемом
формально эквивалентна задаче о нахождении функции распре-
распределения при заданном химическом потенциале с переменным чи-
числом частиц.
Сравнение формул D5) - D6) с соответствующими форму-
формулами E) - F) показывает, что в термодинамике достаточно за-
заменить —ji на pv.
Что же касается функции распределения, нетрудно понять,
что для нахождения функции распределения (р — Т)- ансамбля
достаточно в функции распределения большого канонического
распределения произвести замену fin —> —pv:
<р(ри...рп;ги...гп) =ехр| 1. D7)
Условие нормировки для функции распределения (р—Т)-ансамбля:
Ф = -Tin
D8)
где теперь ev (p, г) - гамильтониан системы, находящейся в за-
заданном объёме v. При этом
\ d\. D9)
I
t,p,n
60 Большой канонический, (р — Т)- и (/i — р — Т)-ансамбли [II
Усреднение любой величины B(p,r,v), относящейся к данной
системе, включает также усреднение по объёму:
(В),
foo
lo
exP(
foo
;
lo
pv / ,-?„(р,7=)Л
dv\
dvl
. E0)
§ 3. Обобщённый ансамбль
Предположим, что система находится в тепловом равновесии
с окружающей средой (тепловой контакт), находится в механи-
механическом равновесии (механический контакт), а также обменива-
обменивается частицами с окружающей средой (материальный контакт)
(рис. 3) [3], [5].
Наша выделенная система имеет гамильтониан, но не явля-
является замкнутой. В качестве замкнутой системы здесь выступает
вся система - наша выделенная + окружающая среда.
Мы показали, что в тепловом равновесии сохраняется вели-
величина, которую можно связать с температурой. При механиче-
механическом равновесии сохраняется величина, которую можно связать
с давлением. В условиях материального контакта выравнива-
выравниваются химические потенциалы.
Для нашей системы можно определить давление, темпера-
температуру и химический потенциал:
dE = TdS - pdV +
E1)
Можно заметить, что задача о нахождении функции распреде-
распределения при заданном давлении с переменным объёмом и при за-
заданном химическом потенциале с переменным числом частиц
решается с помощью перехода от (р — Т)-ансамбля с заданным
числом частиц к обобщённому ансамблю с переменным числом
частиц. Соответствующая функция распределения получается
простым объединением формул A4) и B5): С(Рь ---Ри] г\, ...гп) =
X +
-pv - ev
i,...Pn',ri,...rn)\
Г
E2)
§3]
Обобщённый ансамбль
61
где ev (pi, ...pn;ri, ...r*n) - энергия п частиц, находящихся в за-
заданном объеме г?.
Поршень
-P ~ Т) - ан с амб ль
(?' ~Т) - ан с амб ль
Рис. 3. Сравнительное изображение
обобщённого и (р — Т)-ансамбля
Величина X как функция трёх переменных р, Г, /i опреде-
определяется из условия нормировки: X =
п=0
exp(-
dv
E3)
Для обобщённого ансамбля определим потенциал Y:
Y = Q+pv = F - fin + pv, где F = E-TS, E4)
так что полный дифференциал зависит от химического потен-
потенциала, давления и температуры:
dY = dQ, + pdv + vdp = —SdT + vdp — Ndji. E5)
Отсюда следует, что
62 Большой канонический, (р — Т)- и (/i — р — Т)-ансамбли [II
Таким образом, получаем линейное дифференциальное уравне-
уравнение типа B1):
ЗУ
-TS = Т— = Y-E + fi<n>-p<v>. E7)
Непосредственное вычисление производной от X по темпера-
температуре от E3) приводит к тому же уравнению, что и для Y:
Т- X = -E + /j,<n>-p<v>. E8)
Отсюда заключаем, что различие между X и Y есть сТ\ где с -
химическая постоянная, которую ниже положим равной нулю.
Однако мы знаем, что из соображения однородности можно
доказать, что
U = -pv. E9)
Доказательство.
Термодинамический потенциал </>, зависящий от трёх пере-
переменных (ЛГ, р, Т), является однородной функцией первой сте-
степени однородности относительно переменной 7V:
^,р,Т) = -SdT + Vdp + fidN, </>(Л^,р,Т) = Иф{р,Т). F0)
Дифференцируя второе соотношение, получим
т г -ru-'-/ N
или
). F1)
Отсюда находим
u = F-nN = F-</>. F2)
С другой стороны, из определения свободной энергии F и тер-
термодинамического потенциала ф имеем
, ф = Е -TS + pV. F3)
§ 3] Обобщённый ансамбль 63
Подстановка этих соотношений в F2) даёт искомый результат
E9). Кроме этого, было доказано, что термодинамический хи-
химический потенциал /i есть термодинамический потенциал </>,
отнесённый к одной частице. В соответствии с этим из F0)
получим
) = -^dT+^dp. F4)
Таким образом, возвращаясь к обобщённому ансамблю, по-
получим
Y = X = U+pv = 0. F5)
Поэтому
dY = du + pdv + vdp = -SdT + vdp - Ndfi = 0. F6)
Отсюда заключаем, что между переменными Т, р, и ц должно
существовать соотношение, которое их связывает:
/G>,М) = 0, dfi = -^dT + ^dp. F7)
Мы замечаем, что это соотношение повторяет F4) и фактически
является следствием однородности термодинамического потен-
потенциала ф относительно переменной N.
Основной вывод, к которому мы приходим, состоит в том,
что для обобщённого ансамбля нет термодинамического потен-
потенциала и поэтому мы можем использовать только статистиче-
статистическую сумму: Т(Т,р, /i) =
тг-) /
ехр(
dv\. F8)
n=0
С помощью неё находим все три экстенсивных величины:
m
64 Большой канонический, (р — Т)- и (/i — р — Т)-ансамбли [II
Однако эти соотношения приобретают термодинамический
смысл только тогда, когда параметры (Г, р, /i) (интенсивные
величины) удовлетворяют термодинамическому уравнению
/(Т,р, jj) = 0. Если разрешить это уравнение относительно /i,
тогда становится ясным, что существование функциональной
зависимости /i = (р(р, Г) эквивалентно утверждению о том, что
химический потенциал /i(p, Г) есть не что иное, как термодина-
термодинамический потенциал Ф(р, Т), отнесённый к одной частице.
Фактически всегда оказывается, что статистическая сумма
F8) расходится на верхнем пределе при интегрировании по
объёму. Однако при этом отношения N/V и S/V должны оста-
оставаться конечными.
В качестве примера рассмотрим классический идеальный
одноатомный газ при выполнении условия: Л = Ть/у/ЪгМТ <С
V
Сначала произведём вычисление малой статистической суммы
z(T, V, N) (см. лекцию I, § 2, соотношение F6)):
<TvN) где Л = ^
где М - масса атома; спин и момент считаются равными нулю.
Большая статистическая сумма Z(T, V,/i) (см. настоящую
лекцию, §1) выражается через малую: Z(T, F,/i) =
-eA гле
-е ' где
NA дп ~ л3 "
Точно так же без большого труда вычисляется статистическая
сумма (р — Т)-ансамбля S(T,p, N):
° N Т / Т \N
(_) . G2)
о
При этом в термодинамическом пределе N ^> 1:
Ф = -ПпН -+ -NTln ( —т , /i = — = -Tin I —т . G3)
§ 3] Обобщённый ансамбль 65
Это и есть та термодинамическая связь между переменными р,
Т, /i, которую необходимо учесть при вычислении обобщённой
статистической суммы.
При вычислении обобщённой статистической суммы
Т(Г, р, /i) возникает необходимость введения максимально воз-
возможного объёма Fm:
)
,/i) = I ехр -^ + ^з- ) <**. G4)
о ^ '
После подстановки под интеграл термодинамического выраже-
выражения для химического потенциала из G3) окончательно получим
,ц) = Ут. G5)
Связь параметра обрезания Vm с величиной среднего объёма
Вычисляя логарифмическую производную по химическому по-
потенциалу, получаем среднее число частиц:
N = Т (**-) = ^. G7)
Исключив из G6) и G7) параметр обрезания, получим уравне-
уравнение состояния pV = NT.
Производя дифференцирование по температуре, находим эн-
энтропию. При этом важно помнить о температурной зависимо-
зависимости тепловой волны де-Бройля: Л = BтгН)/(\/2тгМТ).
TVm ( Р V ехр(м/Г) Зехр(м/Г)\
гдт)цр 2 ^г2 г2 л3 2 тл3 )'
G8)
После исключения химического потенциала с помощью G3), а
также параметра обрезания находим
A^). ,7»)
66 Большой канонический, (р — Т)- и (/i — р — Т)-ансамбли [II
Отсюда находим теплоёмкость при заданном объёме:
= N^. (80)
Эти результаты можно было бы получить непосредственно, ис-
исходя из статистической суммы (р — Т)-ансамбля.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Статистическая физика. Ч. 1. -
М.: Физматлит, 2002. - 616 с.
2. Богуславский С.A.// Phys. Ztschr. 1922. 23, 209.
3. Guggenheim E.A.// J. Chem. Phys. 1939. 7, 103.
4. Кубо Р. Статистическая механика - M.: Мир, 1967. - 452 с.
4. Хилл Т. Статистическая механика - М.: ИЛ, 1960. - 487 с.
ЛЕКЦИЯ III
ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ ФЛУКТУАЦИИ
Содержание
Введение 68
§ 1. Флуктуации в (р — Т)-ансамбле при заданном
числе частиц 68
§1.1. Описание (р — Т)-ансамбля 68
§ 1.2. Общая формула флуктуации в (р — Т)-ансамбле .. .71
§ 1.3. Вычисление флуктуации при заданном
числе частиц 73
§ 1.4. Флуктуации энергии при заданном
числе частиц 75
§ 2. Флуктуации энергии в каноническом
ансамбле 76
§ 3. Флуктуации в большом каноническом
ансамбле 77
§ 3.1.Флуктуации энергии в большом
каноническом ансамбле 77
§ 3.2. Общая формула для флуктуации
в (/i — Т)-ансамбле 78
§ 3.3. Вычисление флуктуации в (/i — Т)-ансамбле 80
Задачи к §§ 1-3 83
§ 4. Флуктуации в обобщённом ансамбле 84
§ 4.1. Общая формула флуктуации 84
§ 4.2. Флуктуации при заданном полном числе частиц .. 88
§ 4.3. Флуктуации при заданном полном объёме 92
§ 4.4. Флуктуации при заданной температуре 95
Задачи к § 4 98
Список литературы 99
68 Термодинамические флуктуации [III
Введение
Ниже будут рассмотрены так называемые классические тер-
термодинамические флуктуации [1].
Для динамических величин типа энергии, давления или
объёма понятие термодинамической флуктуации имеет впол-
вполне определённый смысл - достаточно записать соответствую-
соответствующую среднеквадратичную величину, а затем усреднить её по
функции распределения выбранного ансамбля: ((А — (А)) \,
где угловые скобки обозначают усреднение по соответствующей
функции распределения.
Что же касается таких, истинно термодинамических вели-
величин, как температура и энтропия, то непосредственное вычисле-
вычисление их флуктуации не представляется возможным. Под флук-
флуктуацией энтропии мы будем понимать её флуктуационные из-
изменения, возникающие вследствие того, что в термодинамиче-
термодинамических соотношениях она является функцией от средних значе-
значений всевозможных динамических величин, для каждой из ко-
которых понятие термодинамической флуктуации имеет вполне
определённый смысл.
Точно так же флуктуация температуры может быть опреде-
определена по той причине, что в термодинамическом равновесии, в
силу уравнения состояния, она определяется через средние зна-
значения динамических величин, - давления, объёма и числа час-
частиц, - для которых термодинамические флуктуации определя-
определяются однозначно.
§ 1. Флуктуации в (р — Т)-ансамбле при заданном числе
частиц
§ 1.1. Описание (р — Т)-ансамбля
Рассмотрим подсистему, которая а) не имеет фиксирован-
фиксированного объема, но находится при заданном давлении р окружаю-
окружающей среды, Ь) не является замкнутой, но находится при задан-
заданной температуре Т, с) имеет фиксированное число частиц N
(см. рис. 2 в предыдущей лекции).
§ 1.1] Описание (р — Т)-ансамбля 69
Предположим, что изучаемая подсистема имеет малый объем
v и является частью большой замкнутой системы с объемом Vo
и энергией Eq.
Предположим для наглядности, что термостат, в котором
находится наша подсистема, является идеальным газом, имею-
имеющим температуру Т и давление Р.
При этом вся система - термостат + подсистема - является
микроканонической и имеет E-образную функцию распределе-
распределения:
Ф(Р,р,г) ~ S (Яо - Е(Р) - е„(р, г)) . A)
Здесь р7г - импульсы и координаты частиц выделенной подси-
подсистемы; Р - импульсы частиц термостата, по которым надлежит
произвести интегрирование.
Для идеального газа интегрирование E-функции удобно про-
произвести с помощью известного соотношения:
дв(Ер - Е)
S(E0 -E)= дЕ . B)
С помощью этого соотношения усреднение по импульсам тер-
термостата сводится к вычислению производной от полного числа
состояний Г идеального газа с энергией Eq — ev (p, r), который
заключен в объеме (Vo — г;). Таким образом, функция распре-
распределения выделенной подсистемы представляется в следующем
виде:
- ev(p7r))
¦ C)
При заданном числе частиц N >> 1 можно получить явный вид
полного числа состояний, а также его производной по энергии:
TV(E) =exp
V 3, 2? , BтгтK/2
D)
V 3, 2Е , BтгтK/2 5
+ ln+ln +
70 Термодинамические флуктуации [III
Сравнение E) и D) показывает, что плотность состояний
Ту(Е) отличается от полного числа состояний Ту(Е) только
множителем пропорциональности 2E/3N, который несуществен-
несущественным образом входит в определение функции распределения C).
Поэтому вообще с точностью до нормировочного множителя
можно считать, что искомая функция распределения пропорци-
пропорциональна полному числу квантовых состояний:
/,(р,г) ~ T{Vo_v)(Eo - б„(р,г)) = ехр{5 (Vo - v,E0 - ev(p,r))} .
F)
Здесь введена функция 5(F, E), которая есть не что иное, как
энтропия термостата.
Для получения окончательного выражения для функции рас-
распределения разложим энтропию по степеням безразмерного объ-
объема v/Vo и энергии еу(р,г)/Ео. Используя известные термоди-
термодинамические определения, получим
(дЦ f()
dV)ET' \)у j
G)
Поскольку окончательный результат G) не зависит от физи-
физических свойств термостата, можно написать общую квантово-
механическую формулу для (р — Г)-распределения:
fi(v)dv = exp| 1—, (8)
где E[(v) - уровни энергии при заданном объеме г?, S - стати-
статистическая сумма (р — Т)-распределения.
^ {} (9)
0
Термодинамический потенциал (в узком смысле), который за-
зависит от давления и температуры, определяется через стати-
статистическую сумму 5:
ф(р7Т,Л0 = -TlnH; d<S> = -SdT + Vdp + fidN; Ф =
ПО)
§ 1.2] Общая формула флуктуации в (р — Т)-ансамбле 71
§ 1.2. Общая формула флуктуации в (р — Т)-ансамбле
Произведем суммирование функции распределения G) по всем
импульсам и координатам выделенной подсистемы для задан-
заданного объема v и заданной энергии б [2].
Для этой цели умножим обе стороны соотношения G) на 5-
функцию от б — €у(р, г) и просуммируем по всем импульсам и
координатам подсистемы:
[ eF(p,r) pV
б — €у(р,Г)) ~ 2_^ " F ~" 6l/(P?r)j e ^
(П)
В результате левая сторона является функцией только от энер-
энергии и объема подсистемы <?>(с, V). В правой стороне заменим
больцмановский фактор ехр {—еу(р7 т)/Т} на ехр {—б/Т}, по-
после чего введем функцию плотности состояний р(б, V) =
— Л$(е — ev(p^))- Таким образом, вместо A1) имеем
^F). A2)
Функцию плотности состояний представим в виде производной
от полного числа состояний, соответствующих данному объему
и энергии, которую, в свою очередь, выражаем через энтропию
s(б, V) нашей выделенной подсистемы:
Р(^ V) = fc Е ° (е " ev(p, 0) = ^ ехр EF, V)) ^ ехр E(е, V)).
Р,г
A3)
Последнее соотношение записано в полной аналогии с перехо-
переходом от плотности состояний E) к полному числу состояний D),
когда предполагается, что они несущественно отличаются сте-
степенным множителем (по сравнению с экспонентой).
Таким образом, при заданных р и Т распределение вероят-
вероятностей б и V имеет вид
cp(e,v)~expi }. A4)
72 Термодинамические флуктуации [III
Равновесные значения е = Е* и V = F* определяются из требо-
требования максимальности показателя экспоненты:
ds\ v /ds
Л ; Ш
Полагая б = Е* + А?^ и г> = V* + AF и ограничиваясь членами
второго порядка по АЕ и ДV, получаем: (р(АЕ, AV) ~
С помощью соотношений A5) аргумент экспоненты преобразу-
преобразуется к следующему виду:
Дальнейшие преобразования произведем с помощью термодина-
термодинамического соотношения АЕ = TAS — PAV:
АЕА A) + ДУД (|) = 1 {ДРДУ - ДТД5} . A7)
Именно здесь используется предположение о том, что термо-
термодинамические флуктуации обратной температуры и давления
могут быть определены через дифференциальные соотношения,
относящиеся к термодинамически равновесным состояниям.
Таким образом, удается получить общую формулу термоди-
термодинамических флуктуации:
exp |-^ [APAV - ATAS]\ . A8)
dW
Удобно перейти к переменным AT, AF, тогда оказывается,
что {ATAV} = 0. Если же использовать переменные АР, А5,
тогда оказывается, что < АР AS > = 0.
§ 1.3] Вычисление флуктуации при заданном числе частиц 73
§ 1.3. Вычисление флуктуации при заданном числе
частиц
Общая формула A8) позволяет при заданном числе частиц
вычислить полую матрицу флуктуации для всех четырёх вели-
величин AT, AS, АР, AV:
( ((ATJ), {ATAV), {ATAS), (ДТДР)
(AVAT), ((AVJ), (AVAS), (AVAP)
{AS AT), (ASAF), ((ASJ), (ASAP)
(АРДТ), (APAV), (APAS), ((ДРJ) )
\
A9)
Сначала выберем в качестве независимых переменных V и
Т. Тогда
Подставляя эти выражения в общее соотношение A9), обнару-
обнаруживаем, что остаются только квадратичные слагаемые:
,21)
Таким образом, флуктуации температуры и объема статистиче-
статистически независимы, т.е (ATAV) = 0, а среднеквадратичные флук-
флуктуации температуры и объема без труда вычисляются:
((АТJ) = —; (AFAT) = 0; {(AVJ) = -T [—J . B2)
Умножая дифференциалы B0) на AT, а затем производя усред-
усреднения с помощью B2), получаем еще четыре соотношения:
74 Термодинамические флуктуации [III
{ASAT)=T; (ASAV)=t(jP) . B3)
Оставшиеся флуктуации вычисляем в переменных р и S.
Запишем сначала соотношения, аналогичные B0):
®Ш.® ДР+(^) Д5;
dSJp \dpJs \dpJs
( (?) ДР=^Д5+(^) ДР. B4)
Подставляя дифференциалы из B4) в общее соотношение A9),
находим
B5)
Отсюда следует статистическая независимость флуктуации
AS и Ар:
= CP; (ApAS) = 0; ((АрJ)) = -Т (Jj^ . B6)
С помощью соотношений B4) и B6) находим средние от произ-
произведений в переменных р и S:
{ATAS) = T, {AVAS) = Cp{ — \ , {AVAp} = -T,
Остаётся доказать, что матрица флуктуации симметрична, т.е.
средние от произведений < AVAS > и < АрАТ > в перемен-
переменных (Т, V) совпадают с теми же средними в переменных (р, S).
(Смотри задачи в конце § 3.)
§ 1.4] Флуктуации энергии при заданном числе частиц 75
§ 1.4. Флуктуации энергии при заданном числе частиц
Сначала запишем полные дифференциалы:
(^) AT-pAV. B8)
Таким образом,
АЕ = CvAT +(-р + Т ( Ц) ) ДV. B9)
Возводя в квадрат выражение B9), а затем производя усредне-
усреднение, получим
^р\ ) <AV2>. C0)
При этом мы воспользовались статистической независимостью
флуктуации AT и AV.
Снова используя явные выражения для флуктуации темпе-
температуры и объёма B2), а также преобразуя производную энтро-
энтропии по объёму, находим
Все полученные таким образом флуктуации берут своё проис-
происхождение от общей формулы B1), получение которой связано
с гипотезой о гауссовом характере рассматриваемых флуктуа-
флуктуации.
Для проверки этого предположения, а также возможности
выхода за рамки этого предположения произведём непосредствен-
непосредственные вычисления с помощью дифференцирования статистиче-
статистических сумм.
Будет показано, что интенсивность флуктуации одних и тех
же величин существенно зависит от ансамбля, в котором про-
происходят флуктуации. По этой причине последовательно рассмо-
рассмотрим флуктуации в различных ансамблях.
76 Термодинамические флуктуации [III
§ 2
. Флуктуации энергии в каноническом ансамбле
В каноническом ансамбле средняя энергия определяется че-
через малую статистическую сумму г(Т, V, N):
к
Дифференцируя это соотношение по температуре, получим
N,V ±
или < Е2 > -(< E >J = ((E- < E >J) =
_rr2f9<E>-
Таким образом, мы нашли общую формулу флуктуации энергии
в каноническом ансамбле.
При заданном объёме эта формула совпадает с соответству-
соответствующим результатом C0), полученным для гауссовых флуктуа-
флуктуации.
Второй член в правой части C1) имеет тот же порядок ве-
величины, что и Cv. Он по необходимости положителен и пред-
представляет собой дополнительный вклад во флуктуацию Е1, воз-
возникающий из-за непостоянства объёма системы.
Из полученных формул видно, что средние квадраты флук-
флуктуации аддитивных (экстенсивных) величин - объёма, энтро-
энтропии и энергии - пропорциональны первой степени числа частиц
ЛГ. Точно такая же оценка относится к средним значениям от
произведения флуктуации любой пары аддитивных величин.
Для таких же величин, как температура и давление (интен-
(интенсивные величины), среднеквадратичная флуктуация обратно
пропорциональна первой степени числа частиц. Эта же оценка
относится к среднему значению от произведения флуктуации
температуры и давления.
Что же касается средних значений от произведения флук-
флуктуации аддитивных и неаддитивных величин, то эти средние
§ 3] Флуктуации в большом каноническом ансамбле 77
имеют порядок единицы (в частности, могут быть равными
нулю).
§ 3. Флуктуации в большом каноническом ансамбле
§ 3.1. Флуктуации энергии в большом каноническом
ансамбле
В этом ансамбле при заданном химическом потенциале ц
флуктуирует число частиц [3]. Поэтому сначала запишем опре-
определение среднего числа частиц с помощью большой статисти-
статистической суммы Z(T, V, /i):
< N > Z(T, V^) = J^ ne!'7 f Y, e~Ek/T ) • C3)
0 V A: /
jxnlT (y^e-Ek/T\
V к
Дифференцируя это соотношение по /i, получим
о х К 7
Отсюда находим формулу флуктуации числа частиц:
< TV2 > -(< N >J = ((N- < N >J) = Г (d<dN>/
' К C4)
Таким образом, как величина флуктуации числа частиц C4),
так и величина флуктуации энергии C1), пропорциональны чи-
числу частиц в первой степени.
Флуктуацию энергии при заданном химическом потенциале
получаем исходя из тех же соображений, что и при выводе со-
соотношений C2) - C3). Формулы для флуктуации числа частиц
78 Термодинамические флуктуации [III
могут быть получены из соответствующих формул для флук-
флуктуации объёма с помощью формального преобразования:
р -»> -/i, V -> N, v -» п. C5)
В результате для флуктуации энергии с помощью C1) получим
Второй член в правой части C6) представляет собой дополни-
дополнительный вклад во флуктуацию Е, возникающий из-за флукту-
флуктуации числа частиц.
§ 3.2. Общая формула для флуктуации
в (// - Т)-ансамбле
Произведем суммирование функции распределения большого
канонического ансамбля по всем импульсам и координатам вы-
выделенной подсистемы для заданного числа частиц п и заданной
энергии б.
Для этой цели умножим функцию распределения на ?-функ-
цию от б — еп(р, г) и просуммируем по всем импульсам и коор-
координатам подсистемы:
- en(p,r)) ~
6 (е- еп(р7 г)) ехр | ^ + — J . C7)
p,f
В результате левая сторона является функцией только от энер-
энергии и числа частиц подсистемы <?>(e,n). В правой стороне заме-
заменим больцмановский фактор ехр {—е(р, г)/Т} на ехр {—б/Т},
после чего введем функцию плотности состояний р(е,п) =
— J2$ (e — 6n(pir))- Таким образом, вместо C7) имеем
б /in
-ехр|-- + —
§ 3.2] Общая формула для флуктуации в (/i — Т)-ансамбле 79
Функцию плотности состояний представим в виде производной
от полного числа состояний, соответствующих данному числу
частиц и энергии, которую, в свою очередь, выражаем через
энтропию s(e,n) нашей выделенной подсистемы:
р(е,п) = -^^2в(е-еп{руг)) = — ехр(>(б,п)) ~ ехр 0(б,п)).
C8)
Последнее соотношение записано в полной аналогии с перехо-
переходом от плотности состояний к полному числу состояний, когда
предполагается, что они несущественно отличаются степенным
множителем (по сравнению с экспонентой).
Таким образом, при заданных /i и Т распределение вероят-
вероятностей б и п имеет вид
б, п) - ехр | 1. C9)
Равновесные значения е = Е* и п = F* определяются из требо-
требования максимальности показателя экспоненты:
<40>
Полагая е = Е* + АЕ ип = N* + AN и ограничиваясь членами
второго порядка по АЕ и AN, получаем: ср(АЕ, AN) ~
<p(AE,AN)
С помощью соотноп1ений D0) аргумент экспоненты преобразу-
преобразуется к следующему виду:
80 Термодинамические флуктуации [III
Дальнейшие преобразования произведем с помощью термодина-
термодинамического соотношения: АЕ = TAS + /хДЛГ,
АЕА (±) - ANA (?) = 1 {-Д/.ДЛГ - AT AS} . D2)
Именно здесь используется предположение о том, что термоди-
термодинамические флуктуации обратной температуры и химического
потенциала могут быть определены через дифференциальные
соотношения, относящиеся к термодинамически равновесным
состояниям.
Таким образом, удаётся получить общую формулу термоди-
термодинамических флуктуации, справедливую при заданном объёме:
dW ~ exp <^ — [-Д//ДЛГ - AT AS] \. D3)
Можно заметить, что это соотношение вполне аналогично фор-
формуле A9): достаточно произвести замену AV —> A7V и Ар —>>
->> -A/i.
§ 3.3. Вычисление флуктуации в [ц — Т)-ансамбле
Общая формула D3) позволяет при заданном числе частиц
вычислить полую матрицу флуктуации для всех четырёх вели-
величин AT, A5, Am, AN:
( ((ATJ), {ATAN), (ATAS), (АТА/л) \
(AN AT), ((ANJ), (ANAS), (ANAfi)
(AS AT), (ASAN), ({ASJ), {ASA»)
(А/.ДТ), (A/.AN), (A»AS),
D4)
Удобно перейти к переменным AT, A7V, тогда оказывается, что
{ATAN) = 0. Если же использовать переменные A/i, A5, тогда
оказывается, что (AfiAS) = 0.
Сначала выберем в качестве независимых переменных N и
Т. Тогда
§ 3.3] Вычисление флуктуации в (jj, — Т)-ансамбле 81
D6)
Здесь было использовано выражение для полного дифференци-
дифференциала свободной энергии dF = —SdT + fidN.
Подставляя эти выражения в общее соотношение D6), обна-
обнаруживаем, что остаются только квадратичные слагаемые:
D7)
Таким образом, флуктуации температуры и числа частиц ста-
статистически независимы, т.е {ATAN) = 0, а среднеквадратич-
среднеквадратичные флуктуации температуры и объема без труда вычисляются:
Т2 /г) Л/Л
<(ДТJ) = —; <(ДЛ02}=Т ( —) . D8)
Умножая дифференциалы D5) и D6) на AT, а затем производя
усреднения с помощью D8), получаем еще четыре соотношения:
= T, D9)
(ANAS) - TD^*)*>№) - T (Щ E0)
(ANAS)- TD(TN)D{^T)-T{dT)^ E0)
Оставшиеся флуктуации удобно вычислять в переменных \л
и S.
Запишем сначала соотношения, аналогичные D5) и D6):
л л, fdN\ Л /dN\ ло /dN\ л (дТ\
\dfiJs \dS/^ \d[ijs \dnJs
E1)
82 Термодинамические флуктуации [III
Здесь было использовано соотношение:
'dN\ /даЛ
которое находим исходя из записи полного дифференциала:
dY = TdS - NdfjL.
Подставляя AN и AT в общее соотношение D7), находим
E2)
Отсюда следует статистическая независимость флуктуации
AS и A/i, а также следующие соотношения:
= Т (|^ . E3)
С помощью соотношений E1) и E3) находим средние от произ-
произведений в переменных /л и S :
(AT AS) = Г, (ANAfi) = Г,
=Т()
D(n,S)D(N,S) \dNJs'
= T
J
Остаётся доказать, что матрица флуктуации симметрична, т.е.
средние от произведений < ANAS > и < AjjlAT > в перемен-
переменных (Г, Л/") совпадают с теми же средними в переменных (S7fi).
Из полученных формул видно, что средние квадраты флук-
флуктуации аддитивных (экстенсивных) величин - числа частиц,
энтропии и энергии - пропорциональны первой степени числа
объёма V. Точно такая же оценка относится к средним зна-
значениям от произведения флуктуации любой пары аддитивных
величин.
§ 3.3] Вычисление флуктуации в (/л — Т)-ансамбле 83
Для таких же величин, как температура и химический по-
потенциал (интенсивные величины), среднеквадратичная флукту-
флуктуация обратно пропорциональна первой степени объёма. Эта же
оценка относится к среднему значению от произведения флук-
флуктуации температуры и химического потенциала.
Что же касается средних значений от произведения флук-
флуктуации аддитивных и неаддитивных величин, то эти средние
имеют порядок единицы (в частности, могут быть равными
нулю).
Важно заметить, что не только среднеквадратичные флук-
флуктуации энергии зависят от того ансамбля, к которому они отно-
относятся. Этим же свойством обладает также флуктуация энтро-
энтропии - при заданном числе частиц она равна Ср, а при заданном
объёме она равна Су^. Однако при этом среднеквадратичная
флуктуация температуры равна Т2 /Су^ в обоих случаях.
Задачи к §§ 1-3
1. Показать, что при заданном N матрица флуктуации сим-
симметрична, т.е. средние от произведений < AVAS > и
< АРАТ > в переменных (Т, V) совпадают с теми же средними
в переменных (Р, S).
2. Произвести непосредственное вычисление диагональных
элементов матрицы флуктуации < (ASJ > и < (АРJ > через
известные значения двух других диагональных элементов:
< (АГJ > и < (AVJ >•
3. Произвести вычисление всех элементов матрицы флукту-
флуктуации для идеального газа и газа Ван-дер-Ваальса.
4. Показать, что при заданном V матрица флуктуации сим-
симметрична, т.е. средние от произведений < ANAS > и
< AjjlAT > в переменных (Т, N) совпадают с теми же средними
в переменных (S^/jl).
5. Произвести непосредственное вычисление диагональных
элементов матрицы флуктуации < (ASJ > и < (А/л) > через
84 Термодинамические флуктуации [III
известные значения двух других диагональных элементов:
< (ATJ > и < (ANJ >.
6. Определить среднеквадратичную флуктуацию частиц иде-
идеального электронного газа: а) в случае температуры, превыша-
превышающей энергию Ферми, б) при температурах, малых по сравне-
сравнению с энергией Ферми.
7. Используя общую формулу флуктуации энергии в боль-
большом каноническом ансамбле, произвести вычисление среднеква-
среднеквадратичной флуктуации энергии в идеальном ферми-газе.
§ 4. Флуктуации в обобщённом ансамбле
§ 4.1. Общая формула флуктуации
Особенность обобщённого ансамбля состоит в том, что в
нём флуктуируют экстенсивные величины GV, V, Е), в то время
как заданными являются три интенсивных величины (/i,p, T),
между которыми имеется одно термодинамическое соотноше-
соотношение: /(/i,p,Т) = 0 (см. рис. 3 в предыдущей лекции).
Таким образом, нашу систему "удерживают" только две ин-
интенсивных (неаддитивных) величины. Это обстоятельство явля-
является причиной того, что флуктуации всех трёх величин E,N и
V в этом ансамбле по существу бесконечны [3].
Для доказательства этих утверждений рассмотрим стати-
статистическую сумму обобщённого ансамбля (см. лекцию II):
4] Флуктуации в обобщённом ансамбле 85
П = 0 i q
exp( )
Т .) \ ^ч Г
х
dV } . E4)
Для того чтобы вычислить среднеквадратичную флуктуацию
числа частиц, произведём интегрирование по энергетическим
состояниям, а затем по всевозможным значениям объёма V. В
результате получим статистическую сумму (р — Т)-ансамбля
Н(п, Г,р) (см. лекцию II), которая выражается через термоди-
термодинамический потенциал Ф(п,Т, р) с помощью соотношения Н =
ехр( — Ф/Т). Таким образом, можно написать:
Т(Т, р, /i) = $N exp ^ ^ ^ =
п=0 ^ ^ ^ ^
Е
n=0
ехр ( т J г E5
Здесь использовано термодинамическое соотношение
Ф(п,Р,Т) = njj,(P,T), которое приводит к тому, что значения
п в пределах О < п < 7Vm имеют одинаковую вероятность. В
соответствии с этим в пределе Nm ^> 1 находим
N N2
{АП)" > - I E6,
v ' 12 ' <п>2 3
Для нахождения флуктуации объёма произведём интегрирова-
интегрирование по энергетическим состояниям, а затем просуммируем по
всевозможным значениям числа частиц. В результате полу-
получим большую статистическую сумму Z(/i,T,y), которая выра-
выражается через ^-потенциал fi(//, Г, F) с помощью соотношения
86 Термодинамические флуктуации [III
Z = exp ( — VtjT). Таким образом, можно написать:
Vm
,р,/х) = у |ехр( )\
о
Здесь использовано термодинамическое соотношение
?l(fji,T, V) = —р(Т, V)V, которое приводит к тому, что значения
объёма V в пределах О < V < Vm имеют одинаковую вероят-
вероятность. В соответствии с этим в пределе Vm ^> V/N находим
Таким образом, и относительные флуктуации числа частиц, и
относительные флуктуации объёма имеют порядок единицы, в
то время как нормальная относительная флуктуация должна
иметь порядок 1/N.
Будет показано, что флуктуации величины E/N нормальны,
так что флуктуации энергии Е = N х (E/N) существенно опре-
определяются флуктуациями N (т.к. E/N ~ const ) и, следова-
следовательно, будут также велики.
Рассмотрим флуктуации величин N/V и E/N, для чего вос-
воспользуемся общим соотношением:
^ E8)
/ ? e(-?v+N^T)\dV
О {N,V,k )
где предполагается, что величины р,ц и Т связаны уравнением
= O, или
S V
dfj, = —sdT + vdp, где s = —, v = —. E9)
§ 4] Флуктуации в обобщённом ансамбле 87
Таким образом величину < G > следует считать функцией двух
переменных из числа Г,р,//. Кроме этого, согласно E7) и E8),
она зависит от параметров обрезания Nm или Vm, каждый из
которых только множителем отличается от соответствующих
средних: (N) = Nm/2 или {V} = Vm/2. Ниже используется
вторая возможность, т.е. усреднение по объёму производится в
последнюю очередь, так что все усреднённые величины допол-
дополнительно зависят от среднего объёма < V >.
Несмотря на все эти особенности, удаётся записать общую
формулу для гауссовых флуктуации, которые содержат три пары
дифференциалов:
- ,60)
Однако при вычислении различного рода флуктуации необ-
необходимо помнить, что
A/i = -sAT+vAp и AS = sAN+NAs, AV = vAN+NAv.
F1)
После подстановки этих дифференциалов в общее выражение
для флуктуации F4) обнаруживаем, что коэффициент перед
AN обращается в нуль, а флуктуации давления и температуры
определяются через производные от энтропии s и объёма v, от-
отнесённым к одной частице:
W(S,T, V,p,tf, д) ~ exp ( -N—\^AvAp) . F2)
Ввиду формальной аналогии этой формулы с A8) можно за-
заключить, что флуктуации температуры и давления имеют обыч-
обычную малость (~1/<N>),bto время как флуктуации числа
частиц имеют негауссовый (степенной) характер.
Аналогичным образом можно исключить из рассмотрения
величину полного объёма, если вместо аддитивных величин 5 и
N использовать те же величины, отнесённые к единице объёма.
88 Термодинамические флуктуации [III
Для того чтобы получить желаемый результат, запишем
следующие, легко проверяемые соотношения:
АГА5 = VAT
д (Jp) +
Далее мы производим вычисления показателя экспоненты F2):
AS AT - AVAp + ANA/j, = V j ATA (—} A/iA (—} \ +
AV
+ — {SAT-VAp + NAfi}. F3)
Можно утверждать, что последнее слагаемое обращается в нуль
в силу двух известных соотношений:
du = -SdT - pdV -NfjL; tt = -pV, F4)
откуда следует:
dP = ^dT + ^dfjL. F5)
Таким образом, мы получили функцию распределения типа D6)
для флуктуации энтропии S и числа частиц 7V, отнесённых к
единице объёма:
w(
(S, Г, V, з, N, /i) ~ ехр | ^ (Д5АГ + ANAfi) J . F6)
При этом флуктуации объёма имеют степенной характер и ма-
макроскопически большую величину.
§ 4.2 Флуктуации при заданном полном числе частиц
Если обратимся к функции распределения F2), то стано-
становится ясным, что в этой системе вместо аддитивных величин
§ 4.2] Флуктуации при заданном полном числе частиц 89
- энтропии и объёма - используются соответствующие вели-
величины, относящиеся к одной частице. При этом химический по-
потенциал следует считать заданной функцией какой-либо пары
неаддитивных величин (например, температуры и давления), в
то время как единственной независимой аддитивной величиной
является полное число частиц N.
Такое описание соответствует так называемому твердотель-
твердотельному описанию кристаллического твёрдого тела, когда все ве-
величины вычисляются для заданной элементарной ячейки. При
этом полное число ячеек задаётся независимым образом. Ниже
показано, каким образом все термодинамические потенциалы,
отнесённые к одной частице, выражаются через четыре выбран-
выбранные неаддитивные величины s7 T, и, р.
Используя флуктуационную функцию распределения F2),
произведём вычисления всех элементов матрицы флуктуации:
/((ATJ), (ATAv), {AT As), (AT Ар) \
(AvAT), {(AvJ), {AvAS), {AvAp}
(AsAT), (AsAv), ((AsJ), (AsAp)
\(АрАТ), (ApAv), (ApAs), ((ApJ))
F7)
Для того чтобы вычислить все эти флуктуации, запишем диф-
дифференциалы всех термодинамических потенциалов, отнесённых
к одной частице.
Начнём с дифференциала энергии е = E/N.
dE dN 1 dN dN dN
dETd TSdVdNE
dN
= Tds - pdv + (TS -pV + fiN-E) —2 .
Выражение в скобках равно нулю, поскольку термодинамиче-
термодинамический потенциал Ф = Е — TS + pV равен произведению химиче-
химического потенциала на число частиц.
В результате мы имеем два термодинамических соотноше-
соотношения:
de = Tds - pdv; dji = -sdT + vdp. F8)
90 Термодинамические флуктуации [III
Два других соотношения: для свободной энергии / = F/N и
энтальпии w = W/N', отнесённых к одной частице, - являются
непосредственным следствием первой формулы из F8):
df = d(e- Ts) = -sdT - pdv, dw = d(e + pv) = Tds + vdp.
F9)
Полученные соотношения F8) и F9) имеют тот же вид, что
и для системы с заданным числом частиц, но с заменой ад-
аддитивных (экстенсивных) величин (S,V) на соответствующие
неаддитивные (интенсивные) величины (s7v).
Учитывая также формальную аналогию между флуктуаци-
онной функцией распределения F2) и соответствующей функ-
функцией распределения для (р—Т)-ансамбля A8), находим все флук-
флуктуации через производные термодинамических величин, отне-
отнесённых к одной частице.
Сначала выберем в качестве независимых переменных v и
Т. Тогда оказывается, что флуктуации (T,t>) статистически
независимы, т.е {ATAv} = 0, а среднеквадратичные флуктуа-
флуктуации температуры и объема v могут быть получены из формулы
B2):
«АТJ>=ю <А"ДТ>=0; «А"J>=-?(?)•G0)
Умножая дифференциалы s и р сначала на AT, а затем на Av,
и производя усреднения с помощью G0), получаем еще четыре
соотношения:
Оставшиеся флуктуации удобно вычислять в переменных р и s.
С помощью соотношений, аналогичных B0), удаётся дока-
доказать статистическую независимость флуктуации As и АР. Да-
Далее мы получаем оставшиеся флуктуации (см. B6) и B7)):
= -| (|) . G2)
§ 4.3] Флуктуации при заданном полном объёме 91
С помощью соотношений, аналогичных B4) и B6), находим
средние от произведений в переменных р и s:
Т Т (дТ
{ATAs) = -, (АТАр) = -- —
S) = N (I)/
N\dV/s
Флуктуации термодинамических потенциалов, отнесённых к од-
одной частице, определяем с помощью соответствующих диффе-
дифференциалов F8) и F9).
Учитывая независимость флуктуации AT и А-и, сразу нахо-
находим флуктуацию свободной энергии:
|) . G4)
Флуктуацию энтальпии находим, используя независимость флук-
флуктуации Ар и As:
((Awf)=TH(Asf)+vH(Apf) = ^ - ^ (JM- G5)
Принимая во внимание явные выражения для флуктуации тем-
температуры и объёма G0), а также преобразуя производную эн-
энтропии по объёму, находим флуктуацию энергии (E/V) и хи-
химического потенциала:
Таким образом, все термодинамические потенциалы, отнесённые
к одной частице, являющиеся неаддитивными (интенсивными)
величинами, имеют весьма малую среднеквадратичную флук-
флуктуацию ~ 1/N. Эта же самая оценка относится и к средним от
произведения любой пары неаддитивных (интенсивных) вели-
величин Ар, AT, Д?; и As.
92 Термодинамические флуктуации [III
Что же касается полного числа частиц, то согласно E8) их
флуктуации имеют макроскопический порядок < (ANJ >~ N2.
§ 4.3. Флуктуации при заданном полном объёме
Если обратиться к функции распределения F6), тогда ста-
станет ясно, что в этой системе вместо аддитивных величин - эн-
энтропии и числа частиц - используются соответствующие ве-
величины, относящиеся к единице объёма. При этом давление
следует считать заданной функцией какой-либо пары неадди-
неаддитивных величин (например, температуры и химического по-
потенциала), в то время как единственной независимой аддитив-
аддитивной величиной является полный объём (V) выделенной системы.
Такое описание соответствует гидродинамическому описанию
жидкостей и газов. Ниже показано, каким образом все термо-
термодинамические потенциалы, отнесённые к единице объёма, вы-
выражаются через четыре выбранные неаддитивные величины
5, Т, N, ц.
С помощью флуктуационной функции распределения F6) про-
произведём вычисления всех элементов матрицы флуктуации при
заданном полном объёме V:
((ATJ) /лтллЛ /дфдс\ /лтЛ/,\ \
ЛСД /Т1 \ / л ^-« л т» т \ / / а ^ч\ ') \ /а^ча\ V/
Здесь введены обозначения: TV - число частиц в единице объёма,
S - энтропия, отнесённая к единице объёма.
Для того чтобы вычислить все эти флуктуации, запишем
дифференциалы всех термодинамических потенциалов, отнесён-
отнесённых к единице объёма.
Начнём с дифференциала энергии Е — E/V:
§ 4.3] Флуктуации при заданном полном объёме 93
= TdS + fidN + (TS -pV + fiN-E) ^.
Выражение в скобках равно нулю, поскольку термодинамиче-
термодинамический потенциал ?1 = Е — TS — jiN равен — pV.
В результате мы имеем первое термодинамическое соотно-
соотношение:
dE = TdS + ndN. G8)
Второе термодинамическое соотношение находим из определе-
определения ^-потенциала:
du = -d(pV) = -SdT-pdV-Nfi, или dp = SdT+Np. G9)
Два других соотношения - для свободной энергии F = F/V и
омега-потенциала & = Л/V, отнесённых к единице объёма, -
являются непосредственным следствием соотношения G8):
= d(E- TS) = -SdT
= d(E- pN) = TdS - Ndfi. (80)
Полученные соотношения G9) и (80) имеют тот же вид, что
и для системы с заданным объёмом, но с заменой аддитивных
(экстенсивных) величин (S7 N) на соответствующие неаддитив-
неаддитивные (интенсивные) величины E, N).
Учитывая также формальную аналогию между флуктуаци-
онной функцией распределения F6) и соответствующей функ-
функцией распределения для большого канонического ансамбля D3),
находим все флуктуации через производные термодинамических
величин, отнесённых к единице объёма.
Сначала выберем в качестве независимых переменных N и
Т. Тогда с помощью соотношений, вполне аналогичных D8) и
D9), обнаруживаем, что флуктуации AT и AN статистически
независимы, т.е (ATATVy = 0, а среднеквадратичные флукту-
флуктуации температуры и N/V без труда вычисляются:
94 Термодинамические флуктуации [III
Здесь и ниже Cv^n ~ теплоёмкость на единицу объёма.
С помощью соотношений, аналогичных E2) и E3), получаем
еще четыре соотношения:
= ^; (ДГД/*) = -S—
У VC V0
= V f —1 ; (ANA») = -. (81)
Оставш:иеся флуктуации удобно вычислять в переменных (л
и5.
Сначала с помощью соотнош:ений, аналогичных E2) - E3),
устанавливаем статистическую независимость флуктуации AS
и A/i, а затем вычисляем среднеквадратичные флуктуации:
Здесь и ниже Cv^ - теплоёмкость на единицу объёма.
С помощью соотношений, аналогичных E2) и E3), находим
средние от произведений в переменных \х и S:
(ATAS) = |, |
Флуктуации термодинамических потенциалов, отнесённых к
единице объёма, определяем с помощью соответствующих диф-
дифференциалов (80) и (81).
Принимая во внимание независимость флуктуации AT и A7V,
сразу находим флуктуацию свободной энергии:
((AFJ} = 52((АГJ} +n2{{ANJ) =
§ 4.4] Флуктуации при заданной температуре 95
_ §2т2 ^т_ (дй\
~vcv,N+ v \д^)~-
Флуктуацию ^-потенциала, отнесённого к единице объёма, на-
находим, учитывая независимость флуктуации AS и Ajjl :
N2T /д(л\
J
v v KdvJs'
Используя явные выражения для флуктуации температуры и
N/V7 а также преобразуя производную энтропии по объёму, на-
находим флуктуацию энергии (E/V) и давления:
Т2 Т / /Яа\
{{АЬ) } = —CV)iv + — I /л - 1 1^=1
Таким образом, все термодинамические потенциалы, отнесённые
к единице объёма, являющиеся неаддитивными (интенсивными)
величинами, имеют весьма малую среднеквадратичную флук-
флуктуацию ~ ^/V. Эта же самая оценка относится и к средним от
произведения любой пары неаддитивных (интенсивных) вели-
величин Ар, AT, AN/V и AS/V.
Что же касается объёма, занимаемого системой, то согласно
E7) его флуктуации имеют макроскопический порядок
< (AVJ >~ V2.
§ 4.4. Флуктуации при заданной температуре
Используем общую формулу для гауссовых флуктуации F0)
и будем считать, что флуктуации температуры отсутствуют.
Такая ситуация возникает, например, в растворах, когда
устанавливается равновесие по отношению к обмену энергией
между растворённым веществом и растворителем.
96 Термодинамические флуктуации [III
При этих условиях имеем следующую флуктуационную функ-
функцию распределения:
^е^г) (85)
Эта формула позволяет вычислить полную флуктуационную
матрицу флуктуации для всех четырёх величин AV, Ар, Ац,
AN:
V
(86)
•, (ApAN), (ApAV), (АрАц) \
(ANAp), ((ANJ), (ANAV), (AiVA/i)
(AVAp), (AVAN), ((AVJ), {AVAfi)
(АцАр), (AfiAN), (AfiAV), ((A»J) )
Удобно перейти к переменным Ар, AN, тогда оказывается,
что (ApAN) = 0. Если же использовать переменные A/i, AV,
тогда оказывается, что (A/iAV) = 0.
Сначала выберем в качестве независимых переменных N и
р. Тогда
(87)
Для получения последнего соотношения было использовано вы-
выражение для полного дифференциала энтальпии dW = Vdp +
+ jidN.
Подставляя эти выражения в общее соотношение (85), обна-
обнаруживаем, что остаются только квадратичные слагаемые:
(88)
Таким образом, флуктуации давления и числа частиц стати-
статистически независимы, т.е (ApAN) = 0, а среднеквадратичные
флуктуации давления и числа частиц без труда вычисляются:
(89)
§ 4.4] Флуктуации при заданной температуре 97
Умножая дифференциалы (87) на AV или на A/i, а затем про-
производя усреднения с помощью (88), получаем еще четыре соот-
соотношения:
{AVAp} = -Т, (АЛГД/i) = Т, (АУАЛГ) = Т2 ()
J- (90)
Оставшиеся флуктуации удобно вычислять в переменных /л
и V.
Запишем сначала соотношения, аналогичные (87):
л д, fdN\ Л fdN\ лтд /9Л^\ л (др\ лтг
\dfiJv \dv) p \dnJv \dnJv
(91)
Здесь было использовано соотношение
dN
которое находим исходя из записи полного дифференциала:
= -pdV - Ndfi.
Подставляя (91) в общее соотношение (85), находим
Отсюда следует статистическая независимость флуктуации АV
и
С помощью соотношений (91) и (93) находим средние от произ-
произведений в переменных /j, и V :
= -Г, (ДАТ A/i) = Г,
98 Термодинамические флуктуации [III
(ANAV) = .T^Xl^ZiA = Т
Остаётся доказать, что матрица флуктуации симметрична, т.е.
средние от произведений < ApA/j, > и < ANAV > в перемен-
переменных (У,/х) совпадают с теми же средними в переменных (р, ЛГ).
Из полученных формул видно, что средние квадраты флук-
флуктуации аддитивных (экстенсивных) величин - числа частиц и
объёма - пропорциональны первой степени числа частиц или
объёма. Точно такая же оценка относится к средним значениям
от произведения флуктуации любой пары аддитивных величин.
Для таких же величин, как давление и химический потен-
потенциал (интенсивные величины), среднеквадратичная флуктуа-
флуктуация обратно пропорциональна первой степени объёма или чи-
числа частиц. Эта же оценка относится к среднему значению от
произведения флуктуации давления и химического потенциала.
Что же касается средних значений от произведения флук-
флуктуации аддитивных и неаддитивных величин, то эти средние
имеют порядок единицы (в частности, могут быть равными
нулю).
Задачи к § 4
1. Показать, что при заданном N матрица флуктуации сим-
симметрична, т.е. средние от произведений < AVAS > и
< АРАТ > в переменных (Т, V) совпадают с теми же средними
в переменных (Р, S).
2. Произвести непосредственное вычисление диагональных
элементов матрицы флуктуации < (AS) > и < (АР) > через
известные значения двух других диагональных элементов:
< (ATJ > и < (AVJ >.
3. Показать, что при заданном V матрица флуктуации сим-
симметрична, т.е. средние от произведений < ANAS > и
Список литературы 99
< A/i AT > в переменных (Г, N) совпадают с теми же средними
в переменных E, /i).
4. Произвести непосредственное вычисление диагональных
элементов матрицы флуктуации < (ASJ > и < (A/i) > через
известные значения двух других диагональных элементов:
< (ATJ > и < (ANJ >.
5. Показать, что при заданном Т матрица флуктуации сим-
симметрична, т.е. средние от произведений < АР A/i > и
< ANAV > в переменных (У, /i) совпадают с теми же средними
в переменных (Р, ЛГ).
6. Используя классическое выражение для химического по-
потенциала идеального газа, произвести вычисления среднего ква-
квадрата плотности и относительной концентрации слабого рас-
раствора.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Статистическая физика. Ч. 1. -
М.: Физматлит, 2002. - 616 с.
2. Кубо Р. Статистическая механика - М.: Мир, 1967. - 452 с.
3. Хилл Т. Статистическая механика - М.: ИЛ, 1960. - 487 с.
ЛЕКЦИЯ IV
ИДЕАЛЬНЫЙ ГАЗ ПРИ НИЗКОЙ ТЕМПЕРАТУРЕ
Содержание
§ 1. Общие свойства ферми- и бозе-газов 101
§ 2. Идеальный ферми-газ 104
§ 2.1. Основное состояние (Т = 0) 104
§ 2.2. Низкотемпературное разложение (Т <С ер) 106
Задача 111
§ 2.3. Высокотемпературное разложение (Т >> ер) 112
Задача 116
§ 2.4. Магнитная восприимчивость в слабых полях 117
§ 2.5. Магнитная восприимчивость в сильных полях ... 121
Список литературы 125
При рассмотрении идеального газа произвольной плотности
и при любой температуре возникает необходимость явного учёта
физической эквивалентности конфигураций, отличающихся
только перестановкой двух или более тождественных частиц.
Для достижения этой цели удобно использовать числа заполне-
заполнения Uk каждого одночастичного квантового состояния с номе-
номером к и энергией е&. При этом в случае частиц с целым спи-
спином nk = 0,1, 2, 3, 4,.... (статистика Бозе-Эйнштейна); в случае
частиц с полуцелым спином п^ — 0 и 1 (статистика Ферми-
Дирака). Нахождение статсуммы при заданном полном числе
частиц N — 51 п& связано с весьма громоздкими вычислени-
к
ями. Однако задача существенно упрощается при переходе к
большому каноническому ансамблю, где число частиц не фик-
фиксировано, а задан химический потенциал /i. При этом среднее
число частиц, как и средняя энергия, являются функциями хи-
химического потенциала, объёма и температуры.
§ 1] Общие свойства ферми- и бозе-газов 101
§ 1. Общие свойства ферми- и бозе-газов
Для газа, находящегося в полном термодинамическом рав-
равновесии, можно написать свободную энергию, однако при учете
тождественности частиц возникает трудность, связанная с пе-
перестановочной симметрией. По этой причине будем работать
не при заданном числе частиц, а при заданном химическом по-
потенциале /х. В соответствии с этим начнём с вычисления не
свободной энергии, а ^-потенциала [1].
В общем случае:
A)
Полное число частиц N выражается через п& - числа заполне-
заполнения одночастичных квантовых состояний. Для идеального газа
полная энергия также представляется в виде суммы произведе-
произведений тех же чисел заполнения на е^ - энергию одночастичных
квантовых состояний:
После подстановки B) в A) осуществляем переход к новым пе-
переменным суммирования п^ [2]. Оно означает независимое от
полного числа частиц суммирование по числам заполнения од-
одночастичных квантовых состояний отдельной частицы:
Tin
no,ni,...ns...
T
exp
V
T
C)
Далее мы собираем множители, относящиеся к одинаковым со-
состояниям (р = fe), а затем изменяем порядок суммирования и
102 Идеальный газ при низкой температуре [IV
перемножения:
к пк
Ef^l, D)
где ?fc = t\~— ц- энергия одночастичных состояний, отсчитанная
от химического потенциала.
Таким образом, ^-потенциал идеального газа распадается
на сумму fifc~потенциалов, относящихся к данному одночастич-
ному квантовому состоянию.
Рассмотрим две возможности.
А. Случай статистики Бозе.
Для частиц с целым спином: 5 = 0 DНе), 5 = 1 (фотоны),
5 = 2 (гравитоны) - числа заполнения могут быть произволь-
произвольными: rik = 0,1,2...
Омега-потенциал получаем с помощью суммирования геоме-
геометрической прогрессии:
[(|)] Ea)
Б. Случай статистики Ферми.
(|)] E6)
Для частиц с полуцелым спином: 5 = 1/2 (электроны, про-
протоны, нейтроны, 3Не) - числа заполнения не могут превышать
единицу: п^ = 0 или 1. При этом
[(^)] F)
Используя общее термодинамическое соотношение:
сШ = -SdT - pdV - Ndfj,, G)
§ 1] Общие свойства ферми- и бозе-газов 103
находим уравнение для определения химического потенциала:
дП ^ 1
' ГДе
Здесь и ниже верхний знак относится к статистике Ферми, а
нижний - к статистике Бозе.
Уравнение состояния находим с помощью общего соотноше-
соотношения:
Г / А_\1
(9)
Система уравнений (8), (9) определяет уравнение состояния р
= p(V/N7T) в параметрической форме.
Тепловые свойства определяются через теплоёмкость
которую находим через производную от энтропии:
<? - _ (!*1\ г - (тЁ1\
<ь~ \дт)у^ Cv" ~ V дт)Vtll-
Теплоёмкость Суум ПРИ заданном объёме и числе частиц вы-
выражается через теплоёмкость Су^ при заданном объёме и хи-
химическом потенциале с помощью якобиана преобразования от
переменных (Г, N) к переменным (T,jjl) (при заданном объёме):
d(S,N) Г dS ON
О / СУ ~\Т\ V ; / /
_ O{S,N) _ д{Т,ц) _ т\дТ дц
V'N ~ д(т, n) ~ gr,Af) " ;
Учитывая соотношения
as _ э2п
находим [1]
^y,N — ^У,ц - J- /Ллгч • К11)
104 Идеальный газ при низкой температуре [IV
§ 2. Идеальный ферми-газ
§ 2.1. Основное состояние (Т = 0)
Рассмотрим функцию распределения для ферми-частиц, ко-
которая называется распределением Ферми:
Если Т = 0, тогда функция распределения равна 1 для всех
состояний, энергия которых меньше значения химического по-
потенциала, вычисленного при Т = 0, называемого ниже энергией
Ферми (дао — €f)- Для состояний с энергией, превышающей
энергию Ферми, функция распределения равна нулю.
Таким образом, при Т = 0 функция распределения в зави-
зависимости от импульса р имеет ступенчатый характер, так что
фактически в формулах B) для числа частиц и для энергии мы
интегрируем до импульса Ферми, связанного с энергией Ферми
с помощью условия: ер — р%/2т.
Для частиц со спином 1/2 имеем двукратное вырождение по
проекции спина. Затем производим интегрирование по импуль-
импульсам при условии р < ро- В результате с помощью общих соот-
соотношений B) находим полное число частиц и полную энергию в
зависимости от импульса Ферми:
P° ,5
E = 2V P—» [PUp = V \^. A3)
о
Отсюда определяем импульс, а также энергию Ферми через сред-
среднюю плотность N/V:
§ 2.1] Основное состояние ( Т = 0) 105
Следует заметить, что определение импульса Ферми (по по-
порядку величины) имеет вид соотношения неопределённости для
импульса Ферми и среднего расстояния между частицами:
го ~ {V/N)ll\ po~h/ro.
Для оценки энергии Ферми для электронов в металле исполь-
используем условие электронейтральности, согласно которому среднее
расстояние между электронами те = (V/NeI'3 равно среднему
расстоянию между ионами Т{ = (У/Л^I/3, которое по порядку
величины равно размеру элементарной ячейки. Поскольку сред-
средний размер элементарной ячейки на порядок превышает раз-
размеры атома, можно было бы подумать, что энергия Ферми на
два порядка меньше атомной энергетической единицы me^/Ti2 =
= 27.21 эв. Однако множитель C7г2J/3 « 9.57, так что энергия
Ферми, относящаяся к электронам в металле, составляет не-
несколько электронвольт или ~ 104 К.
При Т = 0 свободная энергия совпадает со средней энергией,
поэтому давление определим без интегрирования:
pV = -П = fjiN - Е = NeF -E =
- V ро A--1-)- V Р» ~ 2-Е A5)
2тпЧ3 V3 57 15Ч3 3 l j
Заметим, что последнее соотношение справедливо и для больц-
мановского газа. Однако, в отличие от газа подчиняющегося
классической статистике, давление ферми-газа остаётся конеч-
конечным и при нулевой температуре. В состоянии теплового равно-
равновесия принцип Паули разрешает иметь нулевой импульс только
двум электронам, отличающимся величиной проекции спина.
Остальные N — 2 электрона оказывают конечное давление на
стенки.
Исключив из A5) импульс Ферми, получим явную зависи-
зависимость давления от плотности, а также изотермический модуль
106 Идеальный газ при низкой температуре [IV
всестороннего сжатия:
7V\5/3 h2 (Зтг2J/3
)
5
P={v
Заметим, что для больцмановского газа последнее соотноше-
ние справедливо с коэффициентом единица. Увеличение мо-
модуля всестороннего сжатия связано с принципом Паули: нали-
наличие запрета на возможность попадания в одно и то же состо-
состояние эквивалентно некоторой (фиктивной!) силе отталкивания
в импульсном пространстве, откуда и появляется увеличение
модуля всестороннего сжатия или уменьшение сжимаемости.
§ 2.2. Низкотемпературное разложение (Т <С ер)
Для того чтобы определить тепловые свойства ферми-газа -
найти его теплоёмкость, коэффициент теплового расширения и
т.д., - необходимо получить явное выражение для ^-потенциала
при произвольной температуре и химическом потенциале.
Ниже будет получено асимптотическое разложение по сте-
степеням отношения ТIц, когда рассматриваются степенные по-
поправки и отбрасываются поправки ~ ехр(—T//i), как экспонен-
экспоненциально малые. При этом мы считаем, что отклонение химиче-
химического потенциала энергии Ферми также может быть разложено
по степеням отношения Т'/ jjl.
Запишем общее выражение ^-потенциала через однократ-
однократный интеграл, а затем проинтегрируем его по частям. Учиты-
Учитывая, что кинетическая энергия электронов равна р2/2га, полу-
получим: —pV = ft =
сю
fp2dpln{l - exp [- (P2/2m -
о
oo
[(p2/2m -
§ 2.2] Низкотемпературное разложение (Т <С ер) 107
Для того чтобы убедиться в правильности полученного соотно-
соотношения, запишем энергию в тех же переменных, а затем разделим
область интегрирования по р на части, относящиеся к областям
ниже и выше импульса Ферми, выраженного через химический
потенциал p(fJ>) = л/Ъщь:
4п
Е = W^W
0 р(д)
A8)
В интеграле по области ниже поверхности Ферми переходим от
функции распределения для частиц пр(^р) к функции распреде-
распределения дырок пр(-^р).
Для этого используем легко проверяемое тождество:
ехр[(р2/2™-
В результате имеем вместо A8):
- Eh(n,T/fi)+Ee(n,T/fi). A9)
Здесь первый интеграл имеет вид энергии основного состояния
A3) с импульсом Ферми, зависящим от jjl:
энергия электронных состояний, находящихся над
поверхностью Ферми, Еь(/л,Т'/'/л) - энергия дырочных состоя-
состояний, находящихся под поверхностью Ферми.
М 4 А Ы 4
= 2V-—- / ?-йр-2Ут—гг / %-
Bп?гN J 2m Bп?гN J 2m
108 Идеальный газ при низкой температуре [IV
00 4
<1рп(?). B0)
Второй и третий интегралы преобразуются к виду, удобному
для разложения в степенной ряд по Т/ц.
В "дырочном" интеграле произведём замену: —?,Р/Т = ж,
mTdx = —pdp. В "электронном" интеграле: ?Р/Т = у, mTdy =
= pdp.
В результате получаем быстро сходящиеся интегралы:
1гр
Г 4тг
/¦ Г Tl3/2
J \_ ц\
з / 1ж ГТ^Т-
2m/j, BтгНу J \_ ц\ ехр(ж) + 1
B1)
J^T/mv) =
°° 3/2
f \l + уЦ
J l /л]
о
Ц %.
/л] exp(y) + 1
о
B2)
Теперь каждый из интегралов B1) и B2) можно разложить по
малому параметру Т/ц, после чего в "дырочном" интеграле с
экспоненциальной точностью верхний предел заменяем на бес-
бесконечность.
Ограничиваясь членами первого порядка в разложении по-
подынтегральных функций, в окончательном выражении получим
поправку, квадратичную по температуре: Е «
где
. B3)
2тB7гш3 J ехр(ж) , ^
о
Оставшийся интеграл равен 7г2/12, так что получаем следую-
следующее разложение ^-потенциала:
4:71
о То *TvT* \")
§ 2.2] Низкотемпературное разложение (Т <С ер) 109
Аналогичным образом можно написать разложение для числа
частиц:
B5)
Производя те же самые преобразования, получим квадратичную
по температуре поправку к числу частиц:
. т
Дифференцируя ^-потенциал по температуре, получим энтро-
энтропию:
дТ 3 \ ()
Поскольку при заданном химическом потенциале производная
числа частиц B6) по температуре есть линейная функция без-
безразмерной температуры T//j,7 различие A1) между Cy,N и CV,/i
пропорционально третьей степени безразмерной температуры.
Отсюда заключаем, что с точностью до членов, линейных по
температуре, теплоёмкость совпадает с энтропией:
CV,N „ Cv* = T — = VT-. B8)
Здесь вместо л/2ггщ подставлен импульс Ферми ро = л/2шб^, по-
поскольку отличие между химическим потенциалом при заданной
температуре и энергией Ферми (т.е. химическим потенциалом
при Т = 0) пропорционально второй степени безразмерной тем-
температуры.
Для того чтобы определить температурную поправку к хи-
химическому потенциалу, достаточно разрешить уравнение B6)
относительно /i, причём с заданной точностью во втором сла-
слагаемом правой части химический потенциал заменяем энергией
Ферми [3].
110 Идеальный газ при низкой температуре [IV
Таким образом, находим
ШУ} B91
Это разложение можно подставить в формулу B0), а затем ис-
использовать полное разложение для средней энергии. В резуль-
результате получим
«*Ь ?(?)'}• C0)
где Eq = 3NeF/5 - энергия основного состояния A3).
Разложение C3) даёт возможность получить температур-
температурную зависимость давления. Согласно общему соотношению A5)
имеем
др\ ро 5п2 Т
Т/у eF 6 eF
C1)
где pq— давление ферми-газа A6), вычисленное при Т = 0.
Таким образом, температурный коэффициент давления ли-
линейно зависит от температуры.
Используя общие соотношения
V 3F
ят/х (&¦
обнаруживаем, что коэффициент теплового расширения обра-
обращается в нуль как первая степень температуры, а разность
Ср — Су обращается в нуль как третья степень безразмерной
температуры {Т/ер), поскольку в пределе Т —> 0 модуль всесто-
всестороннего сжатия A6) остаётся постоянным.
§ 2.2] Низкотемпературное разложение (Т <С ер) Ш
Задача
С помощью низкотемпературного разложения рассмотреть ха-
характер изменения температуры при расширении ферми-газа в
пустоту, а также в процессе Джоуля-Томсона.
Решение. В первом случае:
т
В низкотемпературном пределе вторым слагаемым можно пре-
пренебречь, так что при расширении ферми-газа в пустоту проис-
происходит его нагревание.
Во втором случае:
дТ_
dp
w
т(-) -
C4)
Здесь при Т —> 0 коэффициент теплового расширения обраща-
обращается в нуль, поэтому в процессе Джоуля-Томсона в камере с
большим давлением температура оказывается меньшей.
Качественное объяснение этого эффекта состоит в том, что
между ферми-частицами имеется фиктивное отталкивание, свя-
связанное с существованием принципа Паули.
Большему объему соответствует меньшая отталкиватель-
ная потенциальная энергия. Поэтому для сохранения полной
энергии необходимо увеличение кинетической энергии, что экви-
эквивалентно повышению температуры.
В процессе Джоуля-Томсона, где сохраняется энтальпия,
большему давлению соответствует большая отталкивательная
потенциальная энергия. Поэтому для сохранения энтальпии не-
необходимо уменьшение кинетической энергии, что эквивалентно
понижению температуры.
112 Идеальный газ при низкой температуре [IV
§ 2.3. Высокотемпературное разложение (Т ^> ер)
С повышением температуры, когда происходит уменьшение
средней тепловой волны де-Бройля Л(Т) = /г/л/2МТ, мы пере-
переходим в квазиклассическую область при условии
^I/3»Л(Т), или T>^(?J/3~eF. C5)
Для электронного газа высокой плотности, соответствующей
металлическому состоянию, это условие выполняется для тем-
температур, превышающих температуру плавления.
Для жидкого Не3, имеющего ту же высокую плотность, но
существенно большую массу М, энергия Ферми имеет порядок
нескольких градусов.
Малую энергию Ферми имеют электроны в полупроводни-
полупроводниковых приборах, поскольку соответствующая плотность может
быть сделана сколь угодно малой, так что уже при комнатных
температурах электроны могут подчиняться статистике Больц-
мана.
Перепишем условие C5) через химический потенциал, кото-
который для больцмановского одноатомного идеального газа имеет
вид
у (у2тгМТу
Таким образом, условие возможности квазиклассического рас-
рассмотрения C5) переписывается следующим образом:
ц < 0, \ц\ > Т; или exp (jpj < 1. C7)
Это и есть тот малый параметр, по которому можно разложить
уравнение состояния (8) и уравнение (9), определяющее хими-
химический потенциал.
2.3] Высокотемпературное разложение (Т >> ер)
ИЗ
0.6 0.8 \ 1.0 1.2
Рис. 1. Температурная зависимость химического потенциала
Перепишем эти уравнения через безразмерную энергию z —
= р2/2тТ:
_
Р~
N = V-
о
о ОС
C8)
C9)
Разложим подынтегральную функцию до второго порядка по
степеням малого параметра ехр ((ц/Т) — z)\
!
ехр[2-(!,/Г)]
«Р
114 Идеальный газ при низкой температуре [IV
Подставляя это разложение под интегралы C8), C9) и произ-
производя интегрирование, получим
P= ;
.. „л/2т3/2Т3/2
exp [(„/D] {1 - W2 exp
Разделим давление на число частиц, а затем произведём разло-
разложение до первого порядка по ехр (/л/Т):
Подставляя в правую сторону D0) выражение для химического
потенциала C6), вычисленного в нулевом приближении, полу-
получим положительную поправку к уравнению Клапейрона:
Таким образом, квантово-механические обменные эффекты в
статистике Ферми ведут к увеличению давления по сравнению
с его значением в больцмановском газе. Как уже было сказано,
из-за принципа Паули в ферми-системах появляется некоторое
отталкивание между частицами.
Для нахождения квантовых поправок к теплоёмкости доста-
достаточно использовать общее соотношение A7) между давлением и
энергией, после чего с помощью D1) находим зависимость энер-
энергии от температуры и плотности:
D2)
Дифференцируя это выражение по температуре, находим те-
теплоёмкость:
2.3] Высокотемпературное разложение (Т 3> ер) 115
/\
2.0-
1.6-
0.4:
= 2
vn
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7
Рис. 2. Температурная зависимость электронной теплоёмкости
116
Идеальный газ при низкой температуре
[IV
Отсюда можно заключить, что теплоёмкость идеального ферми-
газа является монотонно возрастающей функцией температуры.
В качестве иллюстрации на рис. 2 представлены графики
температурной зависимости Су^ и Су^ как для трёхмерного
(d = 3), так и для двумерного (d = 2) идеального ферми-газа.
Задача
С помощью высокотемпературного разложения обнаружить на-
наличие температурного максимума теплоёмкости одномерного
ферми-газа.
Решение. Вычисления энергии и полного числа частиц,
отнесённых к полной длине L, производятся так же, как в
§ 2.3 для трёхмерного случая. С точностью до членов второго
порядка по exp(/i/T) находим
Е х/2тгтТ
~L ~ 2-кП
D4а)
D46)
Если разделить первое уравнение на второе, а затем произвести
дальнейшее разложение до членов первого порядка по exp(/i/T),
тогда получим
D5)
Дифференцируя энергию по температуре, находим высокотем-
высокотемпературную поправку к теплоёмкости:
а
N
V,N
1 +
D6)
Положительный знак поправки указывает на наличие макси-
максимума в теплоёмкости при температуре порядка ер ~ N2Ti2/rnL2.
§ 2.4] Магнитная восприимчивость в слабых полях 117
§ 2.4. Магнитная восприимчивость в слабых полях
Рассмотрим идеальный электронный ферми-газ, помещён-
помещённый во внешнее магнитное поле [1].
Если не учитывать спин-орбитального взаимодействия, то-
тогда координатные и спиновые степени свободы разделяются, в
силу чего можно определить уровни энергии при заданной про-
проекции спина, а затем произвести суммирование ^-потенциала
по двух возможным состояниям спина.
По этой причине рассмотрим координатную часть уравне-
уравнения Шрёдингера:
(—iV — pAIc\2
2т* Фа){Г) + »вН<>°^ = ЕЫг). D7)
Здесь jjlb — \e\h/2mc - магнетон Бора, взятый по абсолютной ве-
величине, т* - эффективная масса электрона, движущегося в за-
заданном кристаллическом поле, которое имеет кубическую сим-
симметрию.
При заданной величине магнитного поля, направленного
вдоль оси z7 векторный потенциал можно выбрать в простейшей
форме А= @,Ях,0).
Поскольку векторный потенциал зависит только от коорди-
координаты х7 волновая функция является собственной функцией опе-
оператора импульса вдоль оси у и вдоль оси z. В соответствии с
этим волновую функцию следует искать в следующем виде:
фа(г) = e*p(iypy/h + izpz/h)i;(x). D8)
Здесь ру и pz - собственные значения сохраняющихся операто-
операторов импульса, которые находим из условий цикличности:
2nhNy 2nhNz
Ру = Т \ Pz = —г . D9)
Ьу bz
Волновая функция ф(х) удовлетворяет одномерному уравне-
уравнению:
^f (P + \e\Hx/cfMx) = €ff{pg)Mx)i E0)
118
Идеальный газ при низкой температуре
[IV
где
= Е - }лвНа - p2z/2m*.
п = 4
Рис. 3. Эволюция энергетического спектра
при включении магнитного поля
Если теперь произвести естественную замену переменной
е\хН/с = ру + \е\Нх/с, тогда в новой переменной х уравне-
уравнение D7) приводится к уравнению гармонического осциллятора,
имеющего классическую частоту, равную циклотронной ujc =
= e|tf/m*c.
Отсюда находим уровни энергии:
Е = цвНо + р\/2та + hcuc(k + ^), E1)
где к - совокупность целых неотрицательных чисел, а = =Ы.
§ 2.4] Магнитная восприимчивость в слабых полях 119
Важно заметить, что уровни энергии вовсе не зависят от
поперечного импульса руу в то время как волновые функции су-
существенно зависят от ру через координату центра локализации
состояний хо = —сру/\е\Н.
Интуитивно ясно, что 0 < xq < Lx, откуда находим область
возможного изменения переменной ру : — H\e\Lx < сру < 0.
Таким образом, мы приходим к заключению о том, что при
заданной проекции спина каждому уровню Ландау (каждому к)
отвечает макроскопическое количество уровней (см. рис. 3),
число которых Nl определяется условием
2nhNd H\e\LxLy
= H\e\LX7 или NL = ' , . E5
Ly ' ^ " 2nch
Величина 2nch/\e\ называется квантом магнитного потока, так
что кратность вырождения (Nl) каждого уровня Ландау равна
числу квантов потока магнитного поля, пересекающего задан-
заданную площадь с площадью сечения LxLy, перпендикулярного
магнитному полю.
Термодинамические свойства нашей системы определяются
через ^-потенциал Q = fi+ + fi_, где с учётом кратности выро-
вырождения E2) имеем
Па = -TNL
ехр (-
E3)
Здесь введена удобная величина (За — 1/2 + оНцв/ТьШс, которая
не зависит от магнитного поля, в то время как вся зависимость
от поля содержится в отношении Ншс/Т.
Для того чтобы вычислить магнитную восприимчивость в
нулевом магнитном поле, достаточно произвести разложение
^-потенциала по степеням сис.
Для этой цели удобно использовать формулу суммирования
120 Идеальный газ при низкой температуре [IV
сю
Эйлера-Маклорена (см. Приложение): 5Z f(/3 + n) ~
п=0
о
Здесь /3 - заданное число по модулю, не превышающее единицу.
Заметим, что кратность вырождения пропорциональна ис.
По этой причине после замены переменной z = yujc/T инте-
интегральный член приводит к выражению, соответствующему ну-
нулевому магнитному полю.
Следующее слагаемое, пропорциональное первой степени
поля, содержит множитель 1/2 — /Зс = —На^в/^и)с^ вклад кото-
которого обращается в нуль в результате суммирования по а.
Третье слагаемое с производной приводит к поправке, ква-
квадратичной по полю:
mLxLy \ тт2 2 (ПшсJ
-т)- E5)
Первое слагаемое, пропорциональное ^, обусловлено спиновой
частью гамильтониана и приводит к парамагнитной части вос-
восприимчивости, называемой парамагнетизмом Паули.
Второе слагаемое, пропорциональное квадрату циклотрон-
циклотронной частоты о;^, определяется квантованием Ландау и приводит
к диамагнитной части восприимчивости, называемой диамагне-
диамагнетизмом Ландау.
Дифференцируя выражение E5) по магнитному полю, полу-
получаем полный магнитный момент (с обратным знаком):
М
Mz = ~
E6)
Дифференцируя по магнитному полю и деля на полный объём,
получаем восприимчивость:
т)' E7)
§ 2.5] Магнитная восприимчивость в сильных полях 121
Таким образом, вне зависимости от температуры при т* = т
парамагнитный вклад оказывается в три раза больше диамаг-
диамагнитного.
Оставшийся интеграл отвечает чисто одномерному движе-
движению вдоль направления магнитного поля.
При Т = О интеграл равен 2ро/Bтг/г), так что, вводя элек-
электронную плотность пе = Ро/Зтг2/г3, получим вместо E7):
^DeF { 3 \m
В случае статистики Больцмана находим
Таким образом, в области высоких температур мы имеем закон
Кюри, но с тем же коэффициентом, что и при Т = 0:
F0)
2.5. Магнитная восприимчивость в сильных полях
В предыдущем параграфе мы изучали предельный случай
<С Т <С б/г, т.е. когда магнитное поле является самым
малым параметром. Для того чтобы рассмотреть случай про-
промежуточных, но не слишком больших полей, - когда {цв->Т} <С
<С б/г, - приближённого суммирования с помощью формулы сум-
суммирования Эйлера-Маклорена E4) оказывается недостаточно.
Вместо этого удобно использовать более общую формулу сум-
суммирования Пуассона:
-,00 е*? оо °?
л/~ч _ V^ f(n)— / f(r)rJr + 2"ReV^ / f(x)e27rlkxdx (W)
n=l 0 k=l0
122 Идеальный газ при низкой температуре [IV
где f(x) - действительная функция, заданная для всех х > 0.
Мы увидим, что намагниченность электронного газа при
ИвН > Т содержит часть, которая как функция Н осцилли-
осциллирует с большой амплитудой. Это явление называют эффектом
де-Гааза-ван Альфвена.
Как впервые заметил Л.Д. Ландау, наличие таких осцил-
осцилляции непосредственно связано с существованием суммы, сто-
стоящей в правой стороне формулы Пуассона F1). В применении
к f^-потенциалу E3) эта часть суммы может быть записана
следующим образом:
TVm*
R?J F2)
k=l
где
оо оо
J% = -huc / / In 1 + ехр f '-— j e2lTlkxdxdpz. F3)
о о
Здесь введена энергетическая переменная Ea(x,pz) = р1/2т* +
), которая ниже используется вместо переменной х:
После перехода к переменной е получим
dedpz. F5)
Как видно из дальнейших вычислений, в интеграле по pz суще-
существенны значения p2z/m* ~ Тьшс, в то время как осциллирующая
часть интеграла по е набирается от области значений е ~ /i,
т.е. порядка ер. Поэтому нижний предел интегрирования по е
§ 2.5] Магнитная восприимчивость в сильных полях 123
вместо р1/т + (ЗаНис заменён нулём. В результате оказывается,
что дело сводится к вычислению произведения двух интегралов.
Интегрирование по pz производится с помощью замены pz =
= ехр(—т /А)и:
inkp2z
Рис. 4. Осцилляции магнитной восприимчивости
Для того чтобы выделить в интеграле по е осциллирую-
осциллирующую часть, производим дважды интегрирование по частям, а в
оставшемся интеграле производим замену переменной е =
= \i + ?Т. Отбросив неосциллирующие слагаемые, получим
= exp < — 2тггк/За —
in
2mkji
Tiujc
trrr
где
+ОО
F7)
F8)
124 Идеальный газ при низкой температуре [IV
Здесь нижний предел интеграла по ?, равный —ji/T, в силу усло-
условия /л ^$> Т заменён на — оо.
После замены переменной v = 1/ (ехр(?) + 1) интеграл сво-
сводится к В-функции Эйлера, после чего находим
2тгЧТ f /2тг2кТ\ I
j2 = ^r(sH^rj) • F9)
Собирая вместе все результаты, получим осциллирующую часть
^-потенциала:
Е Re {Е
,k=l
\ -1'
При вычислении магнитного момента так же, как в производ-
производной от G0), дифференцированию должны подвергаться лишь
наиболее быстро меняющиеся множители, зависящие от fj,/huc.
Это даёт
Подставляя сюда явное значение параметра /За = A+ага*/га)/2,
находим явную зависимость фазы от отношения га* /га:
sin --
V 4
4 Tiujc )
)((]) G2)
Список литературы 125
Можно заметить, что при низкой температуре (Т < hujc) M ~
уЯ, в то время как монотонная часть магнитного момента
Mq ~ H. Поэтому амплитуда осцилляции значительно превы-
превышает монотонную часты М /Mq ~ yjji/?hujc.
В области высоких температур (Т ^> hujc) амплитуда ос-
осцилляции экспоненциально убывает ~ ехр( — 2тг2Т/Ншс) и стано-
становится пренебрежимо малой.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Ландау Л.Д.7 Лифшиц Е.М. Статистическая физика. Ч. 1. -
М.: Физматлит, 2002. - 616 с.
2. Хуанг К. Статистическая механика - М.: Мир, 1966.
- 520 с.
3. Кубо Р. Статистическая механика - М.: Мир, 1967. - 452 с.
ЛЕКЦИЯ V
ИДЕАЛЬНЫЙ БОЗЕ-ГАЗ
Содержание
§ 1. Общие свойства бозе-газов 127
§ 1.1. Явление бозе-конденсации 130
§ 1.2. Высокотемпературное разложение (Т ^> То) 133
§ 1.3. Поведение вблизи от точки бозе-конденсации 136
Задачи 138
§ 2. Термодинамика чёрного излучения 141
§ 3. Термодинамика колебаний идеальной
решётки 143
§ 3.1. Колебательный спектр идеальной решётки 143
§ 3.2. Теплоёмкость идеальной решётки; теория Дебая . 147
§ 3.3. Уравнение состояния идеальной решётки 152
Список литературы 154
Наиболее интересное свойство идеального бозе-газа - это
возможность образования бозе-конденсата: макроскопической
подсистемы, содержащей покоящиеся частицы и по этой при-
причине имеющей нулевую энергию и нулевой химический потен-
потенциал (до = 0). Остальная часть системы, образованная надкон-
денсатными частицами, находится в материальном контакте с
конденсатом и поэтому также имеет нулевой химический потен-
потенциал.
Две другие бозе-системы, изучаемые в настоящей лекции, -
газ фотонов и система упругосвязанных гармонических осцил-
осцилляторов, которые образуют газ фононов, - также имеют нулевой
химический потенциал. Причина этого - несохранение числа
фотонов и числа фононов (N). В условиях термодинамического
равновесия это число определяется из условия минимума сво-
свободной энергии (8F/8N) = 0. Но поскольку (8F/8N) = до, при-
приходим к заключению о том, что для этих систем до = 0 [1].
§ 1] Общие свойства бозе-газов 127
§ 1. Общие свойства бозе-газов
Как следует из предыдущей лекции, - соотношения
E) - F), - ^-потенциал идеального газа распадается на сумму
Л&-потенциалов, относящихся к данному одночастичному кван-
квантовому состоянию.
^-потенциал идеального бозе-газа получаем после суммиро-
суммирования по всем rik — 0,1, 2...:
A)
Среднее число частиц в каждом квантовом состоянии (п&) вы-
выражается через производную от Qj^:
B)
exp [ek - fj] /T -
Последнее условие является следствием дополнительного усло-
условия A), которое, в свою очередь, возникает из условия сходимо-
сходимости суммы по всем возможным пр.
Перепишем соотношения A) и B) для одноатомного газа с
нулевым спином (атомы 4Не):
li-p2/2M~
exp
< I- C)
v р/ dfi ехр\р2/2М - fi]/T - 1' 2М/М' v }
Поскольку последнее неравенство должно выполняться для всех
импульсов, то можно утверждать, что химический потенциал
должен быть отрицательным.
Предположив это с самого начала, запишем уравнения, ко-
которые связывают плотность и химический потенциал, а также
128 Идеальный бозе-газ [V
определяют полную энергию:
{n) VJ E)
-/i]/Г - 1' E)
Г dp р2 Г _dp_ р2/2М
J BпПK2МК р) J {2пКK ехр\р'2/2М - ц] /Т - Г
F)
Здесь введено обозначение 7V, поскольку правам сторона соотно-
соотношения E) "считает" только состояния, относящиеся к конечным
импульсам.
Для того чтобы в этом убедиться, преобразуем трёхмерные
интегралы в правой части к интегралам по длине вектора р:
ex
¦/
Bтг/гK exp \p2/2M -
G)
Подынтегральный множитель р2 полностью ликвидирует вклад
состояния с нулевой кинетической энергией.
Для того чтобы определить среднее число покоящихся ча-
частиц, используем функцию распределения Бозе D) при р = 0:
пр = 1/ [ехр(—jJi/T) — 1], которая для отрицательных ц не пре-
превышает единицу.
Отсюда можно заключить, что для фиксированного (и от-
отрицательного) химического потенциала отношение числа поко-
покоящихся частиц к полному числу частиц N есть пренебрежимо
малая величина порядка 1/7V, так что с огромной точностью
N ^N.
Таким образом, соотношение G) определяет параметриче-
параметрическую зависимость плотности числа частиц от температуры и
химического потенциала.
Уравнение состояния получим, если будем использовать со-
соотношение pV = —Q. Согласно C), термодинамический потен-
§ 1] Общие свойства бозе-газов 129
циал также зависит от температуры и химического потенциала:
• (8)
Интегрируя по частям, получим связь ^-потенциала и средней
энергии F):
оо
8
8 у [
Соотношения (8) и (9) совместно с уравнением G) при N =
= N определяют уравнение состояния, т.е. зависимость давле-
давления от плотности и температуры, в параметрической форме че-
через параметр ji.
Энтропию и теплоёмкость при заданном объёме, темпера-
температуре и химическом потенциале находим с помощью известных
формул для большого канонического ансамбля:
(Ю)
Теплоёмкость при заданном объёме и числе частиц Cy,N выра-
выражается через теплоёмкость при заданном химическом потенци-
потенциале с помощью известного соотношения:
A1)
Соотношения A0), A1) решают задачу о тепловых свойствах
идеального бозе-газа при произвольном отрицательном химиче-
химическом потенциале.
130 Идеальный бозе-газ [V
§1.1. Явление бозе-конденсации
Каждому заданному значению химического потенциала с помо-
помощью соотношения G) (N = N) ставится в соответствие значе-
значение плотности N/V. Однако при исследовании этого уравнения
выясняется (A. Einstein), что при заданном числе частиц N и
заданной температуре Т объём газа нельзя сделать сколь угодно
малым.
Можно поступить и по-другому: зафиксировать плотность и
производить уменьшение температуры. При этом химический
потенциал будет возрастать, оставаясь отрицательным, и при
некоторой температуре Т = То обратится в нуль.
Температуру То определяем из уравнения G), где положим
11 = 0:
оо
p2dp 1
V J Bтг?гK ехр [Р2/2МТО] - 1
= An^r!dXeM*2)-l- A2)
Определённый интеграл есть число, которое выражается через
("-функцию Римана:
оо о оо
/X If
dx —27 = - / о
ехр(ж2) - 1 2 J
о о
В результате
т
При температуре ниже То число покоящихся частиц становится
макроскопически большим, так что они образуют так называ-
называемый бозе-конденсат. Остальные частицы, имеющие конечный
импульс, называются надконденсатными.
Для того чтобы определить температурную зависимость плот-
плотности надконденсатных частиц, используем функцию распреде-
распределения Бозе при /л = 0.
§1-1]
Явление бозе-конденсации
131
^ ш
0.2 0.4 0.6 0.3 1
Рис. 1. Температурная зависимость
плотности частиц конденсата
l*o
Производя те же преобразования, что и в A2), находим
N . 7 V2dv 1 BтгМГK/2 3,
N Г p2dp
V^^J Birh)
/гKехр[р2/2МТ] -
Bтг/гK
[ }
Таким образом, число надконденсатных частиц возрастает с
температурой по закону (Т/ТОK/2.
Из двух соотношений A2) и A5) можно исключить объём,
после чего находим число частиц в конденсате Nq = N — N:
A6)
Соответствующая зависимость изображена на рис. 1. Темпера-
Температура перехода определяется в A4).
При Т = 0 все частицы находятся в конденсате. С повы-
повышением температуры число частиц в конденсате убывает и при
Т —> То обращается в нуль по линейному закону.
132 Идеальный бозе-газ [V
В области существования бозе-конденсата, где химический
потенциал равен нулю, уравнение состояния и теплоёмкость
надконденсатных частиц могут быть получены из общих со-
соотношений (8) - A0), где химический потенциал считается рав-
равным нулю. Вычисление интегралов производится так же, как и
при нахождении плотности надконденсатных частиц:
л 7 p4dp\BтгМГM/2 5
ПJ ^
- — -л 7
~W~ ПJ
2МBтг/гKехр[р2/2МГ] - 1
A7)
Полученную зависимость можно рассматривать как фазовую
кривую. Однако область над кривой (р > рс(Т)) не соответ-
соответствует никакой фазе [2]. Конденсированной фазе соответствует
сама линия перехода р = рс(Т).
Давление зависит только от температуры и не зависит от
плотности. Это означает, что изучаемая система имеет нулевой
модуль всестороннего сжатия и бесконечную сжимаемость.
Поскольку в A7) энергия зависит только от температуры и
объёма, теплоёмкость при заданном объёме находим с помощью
прямого дифференцирования соотношения A7):
дЕ(У,Т) 5BтгМГK/2 5
Cv'N = —ffF~ = V 3B^K СB}- A8)
Таким образом, теплоёмкость Cv обращается в нуль по закону
Вычисление теплоёмкости при заданном химическом потен-
потенциале приводит к тому же результату.
Для того чтобы это доказать, вычислим сначала энтропию.
Поскольку ниже точки бозе-конденсации энергия системы зави-
зависит от температуры по степенному закону, можно написать:
A9)
т)^=0 зот зт
Окончательный результат получим после дифференцирования
§ 1.2] Высокотемпературное разложение (Т ^> То) 133
степенной зависимости A9):
что совпадает с выражением A8).
Обе кривых температурной зависимости теплоёмкостей Су^
и Cy,N изображены на рис. 3. В самой точке перехода CvyN
имеет отрицательный скачок производной, в то время как те-
теплоёмкость Су^ остаётся непрерывной.
Поскольку сжимаемость нашей системы бесконечна, то бес-
бесконечной оказывается и теплоёмкость при заданном давлении.
Это утверждение непосредственно следует из известного соот-
соотношения:
дР\2 ,/др*
Отсюда можно заключить, что данный переход нельзя рассма-
рассматривать как фазовый переход III рода, а сама система не может
моделировать какое-либо вещество.
§ 1.2. Высокотемпературное разложение (Т ;§> То)
С повышением температуры, когда происходит уменьшение
средней тепловой волны де-Бройля Л (Г) = /г/л/2МТ, мы пере-
переходим в квазиклассическую область при условии
(-) »Л(Т) „ли Т»-(-) . B2)
Для жидкого 4Не это условие выполняется для температур, пре-
превышающих несколько градусов по шкале Кельвина.
Перепишем условие B2) через химический потенциал, кото-
который для больцмановского одноатомного идеального газа имеет
вид:
V (л/2пМтУ
' V J K B3)
134 Идеальный бозе-газ [V
0 1 [12 0 3 0 4 0.5 0.6 07 0.8 0.9
-0.2:
-0.4:
-0.6:
ч
То/?о= Q.359
\
Рис. 2. Температурная зависимость химического потенциала
Таким образом, условие возможности квазиклассического рас-
рассмотрения B2) переписывается следующим образом:
fi < О, И > Г или exp (^ J < 1. B4)
Это и есть тот малый параметр, по которому можно разложить
уравнение состояния C) и уравнение D), определяющее хими-
химический потенциал.
Перепишем эти уравнения через безразмерную энергию z =
= р2/2тТ:
ЗтгЧ3 J exp(z-(ii/T)) + V ( }
/
2пЧ3
О
Разложим подынтегральную функцию до второго порядка по
степеням малого параметра ехр ((ц/Т) — z):
ехр[,-(м/Г)]-1 * еХР К"/Г) " «И1 + «Р К"/Т) - Л } •
§ 1.3] Поведение вблизи от точки бозе-конденсации 135
Подставляя это разложение под интегралы B5), B6) и произ-
производя интегрирование, получим
л/2т3/2Г5/2 Г 1
Р = IWT)] {1 +
/2 3/2Г3/2
Разделим давление на число частиц, а затем произведём разло-
разложение до первого порядка по ехр (/л/Т):
} B81
Подставляя в правую сторону B8) выражение для химического
потенциала B3), вычисленного в нулевом приближении, полу-
получим положительную поправку к уравнению Клапейрона:
B9)
Таким образом, квантово-механические обменные эффекты в
статистике Бозе ведут к уменьшению давления по сравнению
с его значением в больцмановском газе.
Для нахождения квантовых поправок к теплоёмкости доста-
достаточно использовать общее соотношение A2) между давлением и
энергией, после чего с помощью B9) находим зависимость энер-
энергии от температуры и плотности:
Дифференцируя это выражение по температуре, находим те-
теплоёмкость:
Отсюда можно заключить, что при Т > То теплоёмкость иде-
идеального бозе-газа является убывающей функцией температуры.
136 Идеальный бозе-газ [V
В качестве иллюстрации на рис. 3 представлены графики
температурной зависимости Су^ и С\/дг для трёхмерного иде-
идеального бозе-газа.
§ 1.3. Поведение вблизи от точки бозе-конденсации
Рассмотрим сначала закон, по которому обращается в нуль
химический потенциал в пределе Т —> То [1], [3]. Для этой цели
запишем определение химического потенциала E) в виде трёх
слагаемых: N/V = N0(T)/V+
1 1
ехр \р2/2М -ц]/Т-1 ехр \р2/2М] /Т - 1J '
C2)
где Nq{T)/V - плотность числа частиц, вычисленная при нуле-
нулевом значении химического потенциала, которая зависит только
от температуры.
С помощью тех же преобразований, что и в A2), находим
7Vq(T) 7 рЧр 1 = BтгМТK/2 3
V ^ J BттПK ехр [р2/2МТ] - 1 BттПK U2j'
C3)
В силу того, что разность двух подынтегральных функций в
C3) есть быстро убывающая функция на энергии р2/2М « |^| <С
<С Т, выражения под знаком ехр можно разложить по малому
параметру, а затем произвести интегрирование:
Из этого уравнения определяем закон обращения в нуль:
¦N-N0(T))\
2 <-> О^Я„^О / , m, q/ON 2
——> = <1- — >
TV J M*T2V2 \ \Т0) J
C5)
§ 1.3] Поведение вблизи от точки бозе-конденсации 137
Разложив правую сторону C5) по степеням малого параметра
(Т — Го)/Го, находим квадратичный закон (см. рис. 2):
4M3T2V2
т-то
C6)
О 0.2 0.4 0.6 0.8 L
Рис. 3. Кривая теплоёмкости идеального бозе-газа
Этим соотношением можно воспользоваться для того, чтобы
определить характер особенности теплоёмкости CyyN- Для До-
Достижения этой цели получим разложение энергии системы по
степеням /i, а затем подставим туда явное выражение для хи-
химического потенциала C4).
Сначала запишем общие соотношения:
дЕ _ 3 дп _ 3
ф" " ~2ф~ " 2 '
C7)
а затем используем разложение C4) функции N(/j,) по дробным
138 Идеальный бозе-газ [V
степеням \/л\:
Подставляя это разложение в формулу C7) и интегрируя её от
нуля до jA, находим с точностью до членов первого порядка
по \i\
Здесь Ео и Щ - энергия и число частиц, вычисленные при нуле-
нулевом химическом потенциале (см. A5) и A7)), которые являются
регулярными функциями температуры.
Дифференцируя C8) по температуре, находим поправку к
теплоёмкости при заданном объёме:
277Гйд
То) - JVo2M3T4y2(T - То). C9)
Таким образом, при переходе через точку бозе-конденсации те-
теплоёмкость CyyN оказывается непрерывной, однако её первая
производная испытывает скачок:
D0)
Что же касается теплоёмкости С\/м, то, как функция темпера-
температуры, она оказывается непрерывной вместе со своей производ-
производной (рис. 3).
Задачи
1. Рассмотреть низкотемпературное поведение химического
потенциала и теплоёмкости одномерного идеального бозе-газа.
Задачи 139
Решение.
В силу быстрой сходимости подынтегральной функции урав-
уравнение E) для определения химического потенциала, как функ-
функции числа частиц на единицу длины 7V/L, существенно упро-
упрощается:
N=2L? T
2L [ Т LT^m
/ dp = — D1)
2nh J \p2/2M - /i] h,J2\u\
2irh
о
В результате получим квадратичный закон:
MT2L2 „ %2N2
При вычислении средней энергии можно заметить, что в низко-
низкотемпературной области абсолютное значение химического по-
потенциала оказывается значительно меньшим средней кинетиче-
кинетической энергии одной частицы, которая в свою очередь имеет по-
порядок Т. При этом f^ = — 2Е1, а полная энергия системы может
быть вычислена по упрощённой формуле:
ф р2/2М LTVM 3
СB>- D3)
Дифференцируя это выражение по температуре, находим, что
теплоёмкость обращается в нуль по корневому закону:
D4)
2. Определить явный вид химического потенциала двумер-
двумерного идеального бозе-газа, а также найти низкотемпературный
ход его теплоёмкости.
140 Идеальный бозе-газ [V
Решение.
После интегрирования по углам правая сторона уравнения
E) вычисляется в явном виде:
2nh2 J exp [p2/2M - ц] /T - 1
^ D51
D6)
2жПг
В результате находим химический потенциал:
/ 2тгNT%2\
1-^{-1шт)
В области высоких температур абсолютное значение химиче-
химического потенциала значительно превышает Т:
В области низких температур, когда Т <С Nh2/ML2, абсолют-
абсолютное значение химического потенциала оказывается значительно
ниже температуры:
Таким образом, в низкотемпературном пределе в двумерном слу-
случае имеет место та же физическая ситуация, что и в одномерном.
По этой причине при вычислении средней энергии под интегра-
интегралом можно пренебречь химическим потенциалом по сравнению
с кинетической энергией одной частицы:
? Pdp P2/2M
§ 2] Термодинамика чёрного излучения 141
Принимая во внимание общее соотношение Q = — Е и диффе-
дифференцируя энергию по температуре, находим линейный темпера-
температурный ход теплоёмкости:
Cv,n « CVtli « ^рЧ(З). D9)
§ 2. Термодинамика чёрного излучения
Рассмотрим электромагнитное излучение, запертое в "чёрный
ящик," т.е. окружённое стенками, через которые излучение не
проходит.
Сами по себе фотоны взаимодействуют весьма слабо, так
что механизм, обеспечивающий установление термодинамиче-
термодинамического равновесия, заключается в поглощении и испускании фо-
фотонов "стенками".
Таким образом, между фотонами, поглощаемыми стенками,
и фотонами в полости имеется материальный контакт, что озна-
означает равенство химических потенциалов, относящихся к фото-
фотонам внутри стенок и к фотонам внутри полости. Поскольку в
стенках происходит полное поглощение, естественно считать,
что химический потенциал фотонов внутри стенок равен нулю.
Отсюда заключаем, что химический потенциал равен нулю и
для фотонов внутри полости.
Отсюда можно заключить, что функция распределения фо-
фотонов, находящихся в тепловом равновесии, имеет вид распре-
распределения Планка:
W Ф) = СР' Р = М- E0)
Два последних соотношения обозначают связь между энергией,
импульсом и длиной волнового вектора фотона.
Уравнение состояния получим, если будем использовать со-
соотношение pV = —Q. Учитывая возможность существования
142 Идеальный бозе-газ [V
двух поляризаций (левой и правой), находим термодинамиче-
термодинамический потенциал:
О
Интегрируя по частям, получим связь fi-потенциала и средней
энергии Е:
Равенство свободной энергии F и ^-потенциала вытекает из
условия jj, = 0.
Интеграл, стоящий в правой части соотношения E6), легко
обезразмеривается, а затем вычисляется:
7 **dx
У ехр(ж) - 1
о
E3)
Таким образом, и энергия и давление чёрного излучения пропор-
пропорциональны четвёртой степени температуры (закон Больцмана).
Дифференцируя энергию по температуре, находим теплоём-
теплоёмкость при заданном объёме:
4тг2Т3
E4)
v = _o = _F = l = у Т4 7
Р 3 Зтг2(ПсK У
Таким образом, при заданном объёме теплоёмкость газа фото-
фотонов пропорциональна третьей степени температуры.
Давление чёрного излучения зависит только от температуры.
Поэтому его сжимаемость бесконечна, а понятия теплоёмкости
при заданном давлении не существует (или можно считать её
бесконечной).
Энтропию системы получаем с помощью дифференцирова-
дифференцирования свободной энергии:
E5)
§ 3] Термодинамика колебаний идеальной решётки 143
При нулевом значении химического потенциала F = Q = — pV,
так что энтальпия W только множителем отличается от энер-
энергии:
3~ • хгс^.ЛЯ- E6)
При адиабатическом расширении газа фотонов происходит
уменьшение его температуры, поскольку согласно E5) объём и
температура связаны соотношением VT^ = const. В силу урав-
уравнения состояния E3) давление и объём связаны между собой
соотношением р ~ Т4, так что уравнение адиабаты имеет вид:
рУ4/3 = const.
При расширении в пустоту, когда сохраняется полная энер-
энергия, произведение VTA остаётся постоянным. Отсюда можно
заключить, что с увеличением объёма происходит уменьшение
температуры.
Это явление можно трактовать таким образом, что с увели-
увеличением объёма происходит возрастание потенциальной энергии,
которая на далёких расстояниях имеет характер притяжения.
Тогда уменьшение температуры следовало бы считать связан-
связанным с уменьшением средней кинетической энергии, поскольку
при расширении в пустоту полная энергия сохраняется.
Несмотря на очевидную неприменимость такого простого
рассмотрения, основанного на классических представлениях,
можно считать, что в идеальном бозе-газе существует фиктив-
фиктивное притяжение, определяющее тенденцию к увеличению числа
фотонов в состояниях с наименьшей энергией.
§ 3. Термодинамика колебаний идеальной решётки
§ 3.1. Колебательный спектр идеальной решётки
Рассмотрим энергетический спектр возбуждений в системе
упругосвязанных атомов. Предположим, что в своих положе-
положениях равновесия атомы образуют идеальную кристаллическую
решётку, так что координата каждого атома представляется в
144 Идеальный бозе-газ [V
виде суммы координаты положения равновесия г плюс малое
смещение от положения равновесия й(г). Таким образом, потен-
потенциальная энергия может быть записана по координатам равно-
равновесных положений г\ и Г21
\ (fi + «(*) - f2 - ОД). E7)
Здесь ф{К) - парный потенциал взаимодействия. Мы ограни-
ограничимся рассмотрением простейшего случая, когда в каждой ячей-
ячейке имеется по одному атому, так что можно считать, что ка-
каждый атом находится в своей ячейке с координатой r = nia\ +
+712*22+ 713*23, гДе Зь - векторы элементарной ячейки, п^ - целые
числа.
Предположим, что смещения атомов малы по сравнению с
размерами элементарной ячейки, тогда потенциальную энергию
можно разложить по степеням разности й{г\) — и(г2)-
E8)
Здесь Vo - потенциальная энергия идеальной решётки при ну-
нулевых смещениях. Потенциальная энергия первого порядка по
смещениям обращается в нуль в силу выбора нулевых положе-
положений равновесия. По дважды повторяющимся греческим индек-
индексам производится суммирование.
Для нахождения классических частот колебаний решётки за-
запишем уравнения движения для векторов смещения:
где М— масса частицы, колеблющейся в каждом атоме. Вари-
Вариация потенциальной энергии содержит четыре слагаемых:
SV 1
^ = 4
Г2
3.1] Колебательный спектр идеальной решётки 145
1 ^ д2ф(п - г) , 7_
drfdrj
С помощью простого переобозначения суммируемых индексов
третье слагаемое правой части сводится к первому, а четвёртое
- ко второму, после чего первое слагаемое сводится ко вто-
второму. В результате уравнения движения приобретают следу-
следующий вид:
Для решения уравнения F1) введём в рассмотрение сохраняю-
сохраняющуюся величину - квазиимпульс q, соответствующий трансля-
трансляционной инвариантности системы при перемещении на период
элементарной ячейке.
Будем искать решение уравнений в виде плоских волн:
иа(г) = е-™ш^ь%, F2)
где величина и% не зависит от номера элементарной ячейки.
После подстановки решения F2) в уравнение F1) получаем
систему из трёх алгебраических уравнений:
Ч ? д%/ гд(г- п)] - 1} и}.
Условие разрешимости этих уравнений определяет три ветви
спектра u\(q).
В результате естественной подстановки г\ —> Г2 + г получим
где ifa>7(9) = ^^{p(
F3)
146
Идеальный бозе-газ
[V
Закон дисперсии колебаний co2(q) находим из условия разреши-
разрешимости полученной системы.
Матрица Ka^(q) называется матрицей силовых постоянных.
Как следует из её определения, при q = О она обращается в нуль,
что непосредственно связано с трансляционной инвариантно-
инвариантностью потенциальной энергии E8). Разложение экспоненты по
степеням (<fr) содержит слагаемое, линейное по (qr). Однако
Рис. 4. Дисперсионная кривая одномерной цепочки атомов;
прямая линия соответствует интерполяции Дебая
в результате суммирования по г для всех неполярных решеток
это слагаемое даёт нулевой вклад.
Таким образом, в длинноволновом пределе \q\ <C 6, где
Ь - величина порядка обратного размера элементарной ячейки,
матрица силовых постоянных как функция волнового вектора
§ 3.2] Теплоёмкость идеальной решётки; теория Дебая 147
qa обращается в нуль по квадратичному закону (рис. 4):
5 д
где симметричная по индексам /i, и матрица Ga$^v называется
тензором упругих модулей.
После подстановки этого разложения в уравнение движения
получаем три акустических ветви спектра: to\(q) ~ c\q, где ко-
коэффициенты с\ существенным образом зависят от ориентации
вектора q относительно главных осей кристалла.
§ 3.2. Теплоёмкость идеальной решётки; теория Дебая
Чтобы получить термодинамические соотношения, достаточ-
достаточно вспомнить, что после перехода к нормальным координатам
матрица гармонических колебаний диагонализуется, что соот-
соответствует набору независимых осцилляторов с энергиями Тьи)\^.
По этой причине свободная энергия представляется в виде суммы
свободных энергий отдельных осцилляторов:
F = ^ЛПсиХ4+тЛ1п{1 -exP(--7jт1) \- F5)
Здесь первая сумма отвечает энергии основного состояния, рав-
равной сумме энергий нулевых колебаний, поскольку уровни энер-
энергии каждого осциллятора имеют вид
где к\^= О,1,2... F6)
При высоких температурах, когда Т >> max (cu\^), можно про-
произвести разложение подлогарифмической функции, после чего
находим
F7)
148 Идеальный бозе-газ [V
Дифференцируя это выражение по температуре, получим эн-
энтропию:
Здесь 37УЯ - полное число степеней свободы, связанных с ко-
колебаниями атомов, 7УЯ - полное число элементарных ячеек в
кристалле.
Повторное дифференцирование определяет теплоёмкость:
Су = Т— = ^1 = ™я. F8)
Мы получили классический результат: в пределе высоких тем-
температур колебательная теплоёмкость равна полному числу ко-
колебательных степеней свободы.
Как видно из рис. 4, по порядку величины максимальную
частоту можно определить как максимальную обратную длину
волны звуковых колебаний. Поскольку длина звуковой волны не
может быть меньше размера элементарной ячейки, соответству-
соответствующий волновой вектор не может превышать величины обрат-
обратной длины элементарной ячейки [а]. Отсюда находим порядок
величины максимальной энергии колебаний:
0 = max {hco\rf) ~ ft—, F9)
где сзв - величина порядка скорости звука, а - средний размер
элементарной ячейки. Сама величина 0 называется температу-
температурой Дебая. Для обычных диэлектриков и металлов температура
Дебая имеет порядок нескольких сотен градусов. Для молеку-
молекулярных кристаллов с малыми модулями упругости температура
Дебая - порядка нескольких десятков градусов.
С понижением температуры значительно ниже дебаевской
происходит "вымерзание" высокочастотных (коротковолновых)
степеней свободы, так что в общей формуле F5) достаточно
учесть только длинноволновые степени свободы, которые ниже
§ 3.2] Теплоёмкость идеальной решётки; теория Дебая 149
мы будем называть фононами. Как было показано, в области
больших длин волн, где справедлива теория упругости, фонон-
ный спектр частот состоит из трёх акустических ветвей и\^ ~
- c\q.
Если предположить, что скорости звука с\ не зависят от на-
направления волнового вектора, тогда температурно-зависимую
часть свободной энергии удаётся выразить только через темпе-
температуру и скорости звука:
G0)
Здесь qm - максимальная величина волнового вектора, связан-
связанная с температурой Дебая (см. ниже), которая при низкой тем-
температуре не входит в окончательный ответ. Для того чтобы в
этом убедиться, предположим, что скорости звука не зависят
от направления волнового вектора, а затем проинтегрируем по
углам. В результате температурно-зависимая часть свободной
энергии F(T) приобретает следующий вид:
Ят
/
Если предположить, что температура настолько мала, что для
всех трёх поляризаций выполняется условие ftc\qm >> Т, тогда с
экспоненциальной точностью верхний предел можно устремить
к бесконечности, а затем проинтегрировать по частям:
7 hcxq
=
^ exp(hcxq/T)-l BтгK 3 '
Л о
Если в этих соотношениях две скорости поперечного звука заме-
заменить на скорость света, а скорость продольного звука устремить
150
Идеальный бозе-газ
[V
к бесконечности, тогда соотношения G2) переходят в формулы
чёрного излучения. Это и есть причина возникновения термина
" фононы".
Производя интегрирование в G2), находим тепловую энер-
энергию, энтропию и теплоёмкость:
4тг
дЕ
4тг4
4тг
2пГ
G3)
Таким образом, теплоёмкость обращается в нуль по закону Т3,
а с повышением температуры она выходит на постоянное зна-
значение, соответствующее закону Дюлонга-Пти F8).
Г\ ¦"[ ПА Г1 ii" Г1 О 1 1 Ti 1 А """"" ¦'¦/С?
0.2 UA 0.6 0.8
1.2
1.4
Рис. 5. Температурная зависимость теплоёмкости
согласно дебаевской модели
Общее соотношение G1) позволяет построить единую фор-
формулу, которая называется интерполяционной формулой Дебая.
§ 3.2] Теплоёмкость идеальной решётки; теория Дебая 151
Предположим, что верхний предел интегрирования в =
— hcxQm не зависит от индекса поляризации А. Используя эту
величину, перепишем G1) в виде функции от одного безразмер-
безразмерного параметра z = G/T:
W> = VB,- Sj^/bll- «*-.)] *??. G4)
Оставшиеся коэффициенты оказываются пропорциональными
полному числу элементарных Л^я ячеек. Для того чтобы это
обнаружить, достаточно записать полное число колебательных
степеней свободы с помощью перехода к сферической системе:
Исключая из этих соотношений сумму ХХ^са)~3? получим ис-
л
комую интерполяционную формулу:
4
F(T) = 97V*6 (^) f In [1 - ехр(-ж)] x2dx. G5)
о
Для вычисления энергии Е удобно перейти к переменной z —
= в/Т :
дТ oz oz
После простых преобразований находим энергию (за вычетом
энергии нулевых колебаний):
Е(Т) = 9ЛГЯ6 (?-) [ ±— хЧх. G7)
\в/ J ехр(х) - 1
о
Отсюда находим теплоёмкость, график которой изображён на
рис. 5: CV(T) = дЕ/дТ =
152 Идеальный бозе-газ [V
§ 3.3. Уравнение состояния идеальной решётки
В рамках интерполяционной схемы Дебая свободная энер-
энергия пропорциональна произведению числа ячеек на температуру
Дебая и на универсальную функцию отношения Т/О, так что
температура Дебая содержит в себе зависимость от размеров
элементарной ячейки. Аналогичным образом можно предполо-
предположить, что при заданном внешнем давлении термодинамический
потенциал ((р — Т)-ансамбля) также пропорционален произведе-
произведению числа ячеек на температуру Дебая и на универсальную
функцию отношения Т/0. Однако теперь температура Дебая
содержит в себе всю зависимость от давления:
•-"•в<»Чщ)- а»)
Согласно известному термодинамическому соотношению с1Ф =
= —SdT + Vdp объём элементарной ячейки определяется из со-
соотношения:
_ V _ J дФ _ J дФ (99 (р) _
(80)
dp
Т \ Т , ( Т \ Л дв(р)
)*()}
Отсюда находим коэффициент теплового расширения:
1 dv = Г „ / Г \ дв(р)
vdT v(Q{p)J<P \Q(p)J dp ' [ '
Аналогичным образом вычисляем энтропию и теплоёмкость:
дФ , ( Т
т
(82)
§ 3.3] Уравнение состояния идеальной решётки 153
Таким образом, коэффициент теплового расширения отличается
от теплоёмкости Ср только множителем, не зависящим от тем-
температуры:
Idv _СР 1 дв(р) д\п(У) _Срд\п(в(р))
vdT-VW)^f~ или ~^^~V ъ~- (83)
В этом и состоит закон, открытый Грюнайзеном.
Различие между Ср и Cv для твёрдых тел содержит малый
температурный параметр (отношение температуры Т к темпе-
температуре плавления), имеющий для обычных (неквантовых) кри-
кристаллов атомный порядок величины. Для доказательства этого
утверждения выразим Cv через Ср.
Теплоёмкость Су при заданном объёме выражается через
теплоёмкость Ср при заданном давлении с помощью якобиана
преобразования от переменных (Т, V) к переменным (Т,р) (при
заданном числе элементарных ячеек):
О/ЛТЛ d(Sy) f dS_dV_ _ dSdVM
d{S,V) д{ТФ) m\dT dp dp дТ ]
v = d(T,V) = ШП = Ш "
d(T,p) dp
Учитывая соотношения
8S _ д2Ф _ dV
~др ~ ~дрдТ ~ ~<9T'
находим
(dv\2
др )т
Модуль всестороннего сжатия, входящий в знаменатель выра-
выражения (85), можно вычислить с помощью соотношения (80).
f e^ \o
дР (dpJ f e^ \o)\ + KdpJ
2
T\2 ,, /T\
¦ (86)
154 Идеальный бозе-газ [V
Таким образом, несмотря на различные температурные поправ-
поправки, модуль всестороннего сжатия имеет обычный (атомный) по-
порядок величины, представляемый первым слагаемым правой ча-
части.
Согласно закону Грюнайзена (82) квадрат коэффициента те-
теплового расширения пропорционален квадрату теплоёмкости и
при достаточно высоких температурах имеет порядок единицы.
Таким образом, вплоть до самой температуры плавления, кото-
которая составляет некоторую долю от атомной, разность Ср — Су
для твёрдого тела мала по сравнению с самой теплоёмкостью.
Таким образом, можно приближённо утверждать, что коэф-
коэффициент теплового расширения обращается в нуль по закону
(T/GK, а при температуре выше дебаевской коэффициент те-
теплового расширения от температуры не зависит.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Ландау Л.Д.7 Лифшиц Е.М. Статистическая физика. Ч. 1.
- М.: Физматлит, 2001. - 616 с.
2. Хуанг К. Статистическая механика. - М.: Мир, 1966. -
520 с.
3. Кубо Р. Статистическая механика. - М.: Мир, 1967. - 452 с.
ЛЕКЦИЯ VI
ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ВТОРИЧНОГО КВАНТОВАНИЯ
Содержание
§ 1. Вторичное квантование для системы
электронов 156
§1.1. Перестановочные соотношения 156
§ 1.2. Определение оператора плотности числа частиц .161
§ 1.3. Определение одночастичной потенциальной
энергии 162
§ 1.4. Определение двухчастичной потенциальной
энергии 164
§ 2. Квантование поля фононов 165
§ 2.1. Переход к представлению Мацубары 166
§ 2.2. Вычисление средних 167
§ 2.2. Критерий плавления 168
§ 3. Вторичное квантование для системы
бозе-частиц 171
Задача 175
§ 4. Понятие квазичастиц 177
Задача 178
Список литературы 179
При изучении систем, состоящих из макроскопического чи-
числа взаимодействующих одинаковых частиц, применяется спе-
специальный метод рассмотрения, известный под названием вто-
вторичного квантования. Этот метод оказывается совершенно не-
необходимым, когда мы имеем дело с большим каноническим или
обобщённым ансамблем, где приходится иметь дело с перемен-
переменным числом частиц.
Фактически метод вторичного квантования состоит в ис-
использовании операторов рождения и уничтожения, через кото-
которые удаётся выразить не только кинетическую, но также и по-
потенциальную энергию произвольно взаимодействующей много-
многочастичной системы.
156 Представление вторичного квантования [VI
§ 1. Вторичное квантование для системы электронов
§1.1. Перестановочные соотношения
Введём операторы рождения at a и уничтожения а^а свобод-
свободных электронов с заданным импульсом и (удвоенной) проекцией
спина о = =Ы [1].
В отличие от фононов и фотонов, в каждом квантовом состо-
состоянии число электронов не превышает единицу. По этой причине
имеем следующие соотношения:
4J°> = IW; ^Jlp>}=0;
оР>|0>=0; oPv|lpv> = |0>. A)
Повторное использование этих соотношений позволяет опреде-
определить собственные значения диагональных операторов aia^a и
йр-^at . Сначала подействуем этими операторами на вакуум:
а^А>1°> = °> аР>а;У°> = s>iW = |о>- B)
Затем подействуем этими операторами на одночастичное состо-
состояние:
Таким образом, мы установили, что операторы atаар^ и a^aa~t^
являются диагональными с собственными значениями @,1) и
A,0) соответственно. Отсюда можно заключить, что сумма
этих операторов в пространстве чисел заполнения 0 и единица
есть единичный оператор. Для доказательства этого утвержде-
утверждения достаточно рассмотреть два соотношения, которые следуют
из B) и C):
§ 1.1] Перестановочные соотношения 157
Отсюда следует первое перестановочное соотношение:
Здесь и ниже символ {А, В} = АВ + .В А обозначает антиком-
антикоммутатор двух операторов.
Важно заметить, что перестановочные соотношения для опе-
операторов рождения и уничтожения, относящиеся к различным
состояниям, также определяются через антикоммутаторы:
= 0; {aPb<n
~ РЬР2
Для доказательства первого перестановочного соотношения до-
достаточно записать произвольную двухчастичную волновую
функцию через операторы рождения, действующие на вакуум:
Далее заметим, что выбранная волновая функция только мно-
множителем отличается от той же функции, но с переставленными
аргументами. В наших обозначениях это означает:
Отсюда уже можно заключить, что два любых оператора ро-
рождения антикомму тиру ют, поскольку их произведение при оди-
одинаковых индексах всегда зануляется, а их действие на пустое,
одночастичное или двухчастичное состояния даёт нуль:
поэтому
158 Представление вторичного квантования [VI
Аналогичным образом оказывается антикоммутативность
двух любых операторов уничтожения. Для доказательства до-
достаточно перейти от G) к эрмитово-сопряжённым соотноше-
соотношениям:
Что же касается вычисления антикоммутаторов для оператора
рождения и оператора уничтожения, относящихся к различным
состояниям, то для их вычисления необходимо сначала опреде-
определить матричные элементы для каждого из этих двух операто-
операторов.
Определим полный набор (Л^+1)-частичных волновых функ-
функций с выделенным занятым А-состоянием:
4M2atai4ai5..Mla+al+i...a+N\0}. (9)
При этом порядок следования операторов определяется таким
образом, чтобы оператор рождения с меньшим номером был рас-
расположен левее оператора с большим номером:
ks
Рассмотрим результат воздействия на волновую функцию (9)
оператора уничтожения а\:
С помощью перестановочного соотношения G) переставим опе-
оператор рождения йд со всеми операторами рождения, которые
стоят левее:
= йА(-1)Р(А)а+а+а+а+а+а+...а+а++1...а+,|0>. A1)
Здесь Р(Х) есть число перестановок оператора а^ со всеми "ле-
"левыми" операторами рождения.
§ 1.1] Перестановочные соотношения 159
Далее переставляем операторы рождения и уничтожения вы-
выделенного А-состояния с помощью соотношения E), после чего
правая сторона исходного соотношения A1) представится в виде
двух слагаемых:
+a+a+a+a+...a+a++i...a+j0). A2)
Можно заметить, что первая сумма в правой стороне обраща-
обращается в нуль, поскольку среди номеров k\,k2...kSj ks+i...kN отсут-
отсутствует номер А. По этой причине матричный элемент оператора
рождения йд" есть ( — 1)Р(Л):
{kN...ks+i,ks...ki\a\\ki...ks,\,ks+i...kN} = (-1)Р^Х\ A3)
Число Р(Х) есть число перестановок оператора ад со всеми опе-
Л-1
раторами, которые стоят левее. Иными словами, Р = ^2 ns -
s=l
полное число заполненных ферми-состояний, предшествующих
по счёту номеру А (при этом ns = afas).
Вполне аналогичное соотношение можно написать и для опе-
оператора рождения в состоянии А:
(kN...k3+u\k3..M\at\k1...k8k3+1...kN) = (-l)pM. A4)
Из этих соотношений следует, что операторы а\ и йд" являются
эрмитовски сопряжёнными.
С помощью вычисленных одночастичных матричных эле-
элементов можно вычислить матричные элементы для произведе-
произведения операторов рождения и уничтожения, относящихся к раз-
различным состояниям с различными номерами Аи//.
Предположим для определённости, что А > i/, тогда можно
написать:
= {1^0х\ах\1^ 1a>(U, 1а|й+|О„, 1л) =
160 Представление вторичного квантования [VI
Л-1 u-i Л-1
В первом случае в A5а) следует положить nv — 1, в то время как
во втором случае в A56) следует считать, что nv = 0. Это раз-
различие возникает потому, что в первом случае оператор уничто-
уничтожения ад действует на состояние с заполненным //-состоянием.
Во втором случае оператор уничтожения ад действует на состо-
состояние с незаполненным ^-состоянием.
Таким образом, при А > v результат воздействия произведе-
произведения операторов а\а^ только знаком отличается от результата
воздействия произведения операторов а^а\ .
Если мы будем считать, что Л < i/, тогда получим
|р-л , A6а)
<1„0л|а+ал|0Дл) = (-1)*=А . A66)
В первой сумме следует положить п\ — 1, в то время как во вто-
второй сумме следует считать, что п\ = 0. Это различие связано
с тем, что в первом случае оператор рождения а+ действует
на состояние с заполненным А-состоянием. Во втором случае
оператор рождения а^ действует на состояние с незаполненным
А-состоянием.
Таким образом, и при Х)и результат воздействия произведе-
произведения операторов а\а+ только знаком отличается от результата
воздействия произведения операторов а^а\ .
Отсюда заключаем, что в любом случае при А ф v опера-
операторы а+ и а\ антикомму тиру ют.
§ 1.2] Определение оператора плотности числа частиц 161
Принимая во внимание антикоммутационные соотношения
для совпадающих состояний, можно получить окончательную
систему перестановочных соотношений:
}0. A7)
§ 1.2. Определение оператора плотности числа частиц
Замечая, что собственные значения оператора ata^a совпа-
совпадают с числами частиц в состоянии с заданным импульсом и
проекцией спина, можно записать оператор полного числа ча-
частиц в виде следующей суммы:
^ = Е пр> = Е ай<Л> • A8)
Здесь мы воспользовались тем обстоятельством, что произве-
произведение aiafra есть диагональный оператор с целочисленными
неотрицательными собственными значениями 0 или 1.
Для нахождения квантово-механического выражения плот-
плотности частиц введём так называемые Ф-операторы:
ад = е «рЛ>(о> *+(*о = Е %>ф;->~% A9)
где Ф^а(г) - полный ортонормированныи набор одночастичных
волновых функций. В случае свободных частиц, находящихся в
объёме V, имеем
B0)
где х(сг) - двухкомпонентная спиновая функция, отвечающая
заданной проекции спина а.
162 Представление вторичного квантования [VI
Используя эту волновую функцию, а также условия ортого-
ортогональности волновых функций с различными импульсами и спи-
спинами, нетрудно вычислить интеграл по всему пространству:
= Yat a^a. B1)
Сравнив полученное соотношение с определением полного числа
частиц через A8), получим
N = ^rifo = / Ф+(г, сг)Ф(г,сг)йг. B2)
Отсюда можно заключить, что произведение Ф+(г*)Ф(г*) имеет
физический смысл оператора плотности числа частиц [2]:
р(г) = Ф+(г)Ф(г). B3)
Этим определением удобно воспользоваться для записи любой
аддитивной функции, зависящей от координат всех частиц.
§ 1.3. Определение одночастичной потенциальной
энергии
Рассмотрим гамильтониан взаимодействия всех частиц с внеш-
внешним потенциальным полем, для которого имеем классическое
выражение:
N
V = V (p(fk) B4)
k = l
где <p(fk) - потенциал fc-частицы.
Для нахождения соответствующего квантово-механического
выражения достаточно от суммирования по номерам частиц пе-
перейти к интегрированию по всему пространству с заданной кван-
тово-механической плотностью B3).
В результате мы получим операторное выражение для одно-
частичной потенциальной энергии:
V= j p(r)(p(r)dr = [$+(г)Ъ(г)<р(г)<1г. B5)
§ 1.4] Определение двухчастичной потенциальной энергии 163
Подставляя сюда разложение Ф-операторов по одночастичным
операторам рождения и уничтожения, получим
1
V = у Е Е Е «й ,<A^[(pi -Й)/»1'
у
где
Фд= exp(-iqr) <p(r)dr. B7)
Таким образом, оператор взаимодействия частиц с внешним по-
потенциалом во вторичном квантовании представляется в виде
суммы амплитуд переходов, для которых изменение импульса
перехода q = pi ~Р2 определяется компонентой Фурье классиче-
классического одночастичного потенциала:
= \- Е Е Е Щ^Лашу B8)
V
При этом изменения проекции спина не происходит, поскольку
считалось, что одночастичный потенциал от спина не зависит.
§ 1.4. Определение двухчастичной потенциальной
энергии
Аналогичным образом можно записать потенциальную энергию
взаимодействия.
Сначала запишем классическое выражение для потенциаль-
потенциальной энергии через парный потенциал (не зависящий от спинов):
\ <rk-rn), B9)
/с,п;(/с/п)
где и (г) - парный потенциал взаимодействия между двумя ча-
частицами.
Далее от суммы по номерам частиц переходим к интегралам
с заданной операторной плотностью:
U=l-jp(n)jp(r2)u{rl-r2). C0)
164 Представление вторичного квантования [VI
Подставляя сюда явные выражения для операторов плотности
числа частиц, находим
~ х—^ х—^ ^ Л- ^ ^ -\-
2у2 Li A apuaiaP4,criap2a2aA^>2X
х / exp [(—ipifi + ip^ri - гр2г2 + грз^г) /Щ ^(п - r2)dfidf2.
C1)
Однако это выражение не является правильным, поскольку не-
некоторые операторы рождения расположены правее операторов
уничтожения. На самом деле, правильный ответ состоит в том,
чтобы в том же выражении C1) все операторы рождения рас-
располагались левее операторов уничтожения:
I
2V^ ^ Z^ apua1ap2,a2aP^^aP4^iX
х / exp [(—ipifi - гр2?2 + грзГ2 + «Mi) /Ti] u(f\ - f2)dfi<if2.
C2)
Можно показать, что в представлении вторичного квантования
этому требованию в классической потенциальной энергии соот-
соответствует ликвидация слагаемого для частиц с совпадающими
координатами [2]. (Доказательство смотри в Приложении).
Последнее преобразование состоит в том, чтобы произвести
переход к относительной координате: г\ = Г2 + г. В резуль-
результате оказывается возможным проинтегрировать по переменной
г2, так что условие выполнения закона сохранения импульса
(pi +Й = Рз+Й) даёт полный объём в числителе. В результате
получим
1
U
(г)с1г. C3)
Таким образом, оператор потенциальной энергии выражается
через сумму всевозможных актов рассеяния с коэффициентами,
§ 2] Квантование поля фононов 165
которые пропорциональны компонентам Фурье от парного по-
потенциала:
^ = W Е Йй,^1а2Йй^«й^1Ф КЙ " Й) /Ч , C4)
где
= / Gxp (—iqr) u(r)dr
- компонента Фурье парного потенциала, а суммирование про-
производится по всем спинам и импульсам с учётом закона сохра-
сохранения: р\ +р2 = рз +Ра-
§ 2. Квантование поля фононов
При изучении одномерного гармонического осциллятора было
показано, что оператор координаты выражается через сумму
повышающего F+) и понижающего (Ь) оператора:
х=\Ьг— b+ + b), C5)
где loq - классическая частота loq = ^Jkjm, а между понижа-
понижающим и повышающим операторами имеются следующие пере-
перестановочные соотношения:
[6,6+] = 66+ - ЬЧ = 1, [6, Ь] = 0, [6+, 6+] = 0. C6)
В гармоническом приближении гамильтониан кристалла рас-
распадается на сумму гамильтонианов, каждый из которых зави-
зависит от своей нормальной координаты с заданной собственной
частотой 0J\(q) и вектором поляризации бд 5(<т), зависящими от
волнового вектора q.
Согласно общим формулам классической механики смеще-
смещение каждого атома Uk{f)^ принадлежащего ячейке с координа-
координатой г = п\а\ + П2«2 + ^з^з, может быть выражено через нор-
нормальные координаты. Поэтому после перехода к понижающим
166 Представление вторичного квантования [VI
и повышающим операторам, относящимся к каждому нормаль-
нормальному колебанию, можно написать:
C7)
Здесь М - масса всего кристалла, а для каждой нормальной
координаты введены свои понижающие и повышающие опера-
операторы b^(q) и b\(q), удовлетворяющие тем же перестановочным
соотношениям, что и для одномерного осциллятора C6). Для
различных волновых векторов и для различных поляризаций
все операторы коммутируют, поскольку они действуют на неза-
независимые переменные:
М<7),^"(?) = <W<^a?> M9)>fyi(?) = ^ ^(<?)>^(^) = О-
C8)
Операторы Ь„(р) и Ь+(р) называются операторами уничтожения
и рождения фононов с поляризацией v и волновым вектором р.
Здесь и ниже квадратные скобки обозначают коммутатор:
[i, В\=АВ- В А] 8гк = \1^ ^ * " ^ C9)
§ 2.1. Переход к представлению Мацу бары
Из перестановочных соотношений C8) следует, что средние от
произведений операторов рождения и уничтожения выражаются
через функции распределения Бозе:
где пв(е) = 1/(ехр(б/Т) - 1).
Для доказательства этих соотношений запишем гамильто-
гамильтониан фононов через операторы рождения и уничтожения фонон-
ного поля:
^о = У2 huju(q) ( b\(q)b\(q) + - ) . D1)
§ 2.2] Вычисление средних 167
В представлении взаимодействия с комплексным "временем" г
(в представлении Мацубары):
В(т) = ехр(тЯ0Mехр(-тЯ0) D2)
операторы рождения и уничтожения только множителем отли-
отличаются от соответствующего оператора в представлении Шре-
дингера:
Mr) = bkexp(-hukr); b^(r) = b^ exp(hukr). D3)
Здесь индекс к обозначает одновременно номер поляризации и
величину волнового вектора.
Для доказательства формул D3) достаточно вычислить про-
производную для каждого из операторов Ь^(т) и Ь~?(т):
дт
"), D4)
а затем решить соответствующее дифференциальное уравнение
с начальным условием:
Ь*(О) = Ь*, Ь+(О) = Ь+. D5)
§ 2.2. Вычисление средних
Произведём вычисление среднего числа частиц в заданном
одночастичном квантовом состоянии, т.е. вычислим среднее:
ПРИ Ti = го- D6)
Сначала используем соотношение коммутации:
Sfc(ro)S+(n))o =
. D7)
168 Представление вторичного квантования [VI
В последнем слагаемом переставим оператор &&(го) на край-
крайнее правое место, используя возможность циклической переста-
перестановки под знаком Sp:
SP (кЫЬ1(п)е-Йо/Т) /Sp
= Sp (ь+(П)е-й^тЬк(то)ей^те-й^т) /Sp
= (bt(n)bk(r0 - 1/T)> = eAw*/T(S+(r1)Sfc(ro)>o, D8)
потому что bfc(r) = bk exp ( — h
Таким образом, после перехода к средним значениям мы по-
получаем второе соотношение для нахождения двух величин
Ч и (Ь
))o = efta;o/TF+(T1N0(ro))o. D9a)
В результате при то = т\ — т находим
(bth)o = ФЦт)Ък(т)H = exp{hJk/T) _ ! = пв(Пи,к), D96)
где пв{Тьшк) ~ распределение Бозе.
§ 2.3. Критерий плавления
На основании этих соотношений вычислим средний квадрат
смещения: (Ua(f)Ua(f)} =
g {e
h.c.}). E0)
Усреднение произведений двух операторов с различными ин-
индексами даёт нуль, и поэтому (Ua(f)Ua(f)} =
= Е t
§ 2.3] Критерий плавления 169
где ро = M/V - плотность.
Первая сумма не зависит от температуры и отвечает нуле-
нулевым колебаниям. Вторая сумма является возрастающей функ-
функцией температуры.
Рассмотрим сначала предельный случай высоких темпера-
температур, когда Т ^> 0. При этом для всех частот пв (hu\(q)) «
Таким образом, среднеквадратичное смещение оказывается
пропорциональным первой степени температуры:
(Ua(f)Ua(f)} « ^ Y1 " 2 \е\Ш2 • E2)
В обратном низкотемпературном пределе Т< 0 основную роль
играют нулевые колебания, а температурная поправка происхо-
происходит из-за суммирования в области акустических частот. При
этом oj\(q) ~ сд, после чего находим температурную зависи-
зависимость в виде разложения по степеням Т/О :
По порядку величины амплитуду нулевых колебаний можно оце-
оценить в рамках теории Дебая. При этом первое слагаемое про-
пропорционально произведению среднего размера элементарной
ячейки а на амплитуду нулевых колебаний А. Исходя из соот-
соотношения неопределённости, А ~ h/Mc3B, где М - масса атомов
ячейки, величина сзв имеет порядок скорости звука.
Таким образом, средний квадрат нулевых колебаний имеет
порядок ah/Mc3B. С учётом того, что температура обезразме-
ривается на температуру Дебая, температурная поправка к ам-
амплитуде нулевых колебаний имеет порядок (Г/0J.
Если скорость звука имеет обычный порядок величины
~ 106см/с , тогда даже для М, равной массе протона, ампли-
амплитуда нулевых колебаний составляет 10~9см, т.е. в десять раз
170 Представление вторичного квантования [VI
меньше размера атома. Однако в молекулярных кристаллах,
которые "держатся" на силах Ван-дер-Ваальса, скорость звука
меньше примерно на два порядка. Здесь амплитуда нулевых ко-
колебаний может достигать размеров элементарной ячейки, так
что такие кристаллы называются квантовыми. Некоторые из
них имеют температуру плавления порядка температуры Де-
бая, а жидкие 3Не и 4Не имеют конечную температуру замерза-
замерзания только при конечном внешнем давлении.
Что же касается обычных (неквантовых) кристаллов, то по
порядку величины их температуру плавления можно опреде-
определить из условия, что среднеквадратичная амплитуда тепловых
колебаний E2) становится порядка размеров элементарной
ячейки.
Если произвести оценку с помощью модели Дебая, тогда
среднеквадратичное смещение, вычисленное с помощью соот-
соотношения E2), имеет порядок ~ Та2/Мс2в, где М - масса эле-
элементарной ячейки. Поскольку квадрат скорости звука обратно
пропорционален М, то величина Мс^в имеет атомный порядок
величины. Отсюда можно заключить, что для кристаллов от-
отношение ~ Т/Мс^в всегда мало, а плавление наступает, когда
среднеквадратичное смещение составляет некоторую долю (q)
от размера элементарной ячейки. Последнее утверждение со-
составляет содержание так называемого критерия плавления Лин-
демана. Величина q меняется от кристалла к кристаллу, так
что этот критерий не является универсальным.
§ 3] Вторичное квантование для системы бозе-частиц 171
§ 3. Вторичное квантование для системы бозе-частиц
Используем формулы, полученные для системы осциллято-
осцилляторов. Введём операторы рождения bt и уничтожения Ь$ свобод-
свободных частиц с заданным импульсом, которые подчиняются тем
же перестановочным соотношениям, что и операторы рождения
и уничтожения фононов или поперечных фотонов.
В отличие от фононов и фотонов, полное число свободных
бозе-частиц N сохраняется. По этой причине нам необходимо
выразить полное число частиц через произведения операторов
рождения и уничтожения:
+v E4)
Здесь мы воспользовались тем обстоятельством, что произведе-
произведение ^2 bibp есть диагональный оператор с целочисленными нео-
Р
трицательными собственными значениями bibp = 0, 1,2...
Для нахождения квантово-механического выражения плот-
плотности частиц введём Ф-операторы:
р р
где (fp(r) - полный ортонормированный набор одночастичных
волновых функций. В случае свободных частиц, находящихся в
объёме У, имеем
E5)
Используя эту волновую функцию, а также условия ортогональ-
ортогональности волновых функций с различными импульсами, нетрудно
вычислить интеграл по всему пространству:
JV E6)
172 Представление вторичного квантования [VI
Сравним полученную формулу E6) с определением полного чи-
числа частиц через E4). В результате находим
E7)
Отсюда можно заключить, что произведение Ф+(г*)Ф(г*) имеет
физический смысл оператора плотности числа частиц:
p{f) = Ф+(г)Ф(г). E8)
Этим определением удобно воспользоваться для записи любой
аддитивной функции, зависящей от координат всех частиц.
Рассмотрим гамильтониан взаимодействия всех частиц со
внешним потенциальным полем, для которого имеем классиче-
классическое выражение:
N
U = 2_J (pifk), E9)
k-l
где <p(fk) - потенциал fc-частицы.
Для нахождения соответствующего квантово-механического
выражения достаточно от суммирования по номерам частиц пе-
перейти к интегрированию по всему пространству с заданной
квантово-механической плотностью E8). В результате мы по-
получим операторное выражение для одночастичной потенциаль-
потенциальной энергии:
U= Г p(r)(p(r)dr= [$+(г)Ъ{г)<р(г)<1г. F0)
Подставляя сюда разложение Ф-операторов по одночастичным
операторам рождения и уничтожения, получим
1
1 г
U = — J2 Y^ b?ibP2 I exP (-Шг/Ъ) exp (ip2r/h) (p(r)dr. F1)
V 4-
VI Р2
Таким образом, оператор взаимодействия частиц с внешним по-
потенциалом во вторичном квантовании представляется в виде
§ 3] Вторичное квантование для системы бозе-частиц 173
суммы амплитуд переходов, для которых изменение импульса
перехода р\ —> р2 определяется компонентой Фурье классиче-
классического одночастичного потенциала:
^ = ^EE^^[(pi-P2)M], F2)
где
г
= / exp (—iqf) (p(f)df F3)
- фурье-образ одночастичного потенциала.
Аналогичным образом можно записать потенциальную энер-
энергию взаимодействия.
Сначала запишем классическое выражение для потенциаль-
потенциальной энергии через парный потенциал:
\ Ф{п-?п), F4)
к,щ(кфп)
где ф(т) - парный потенциал взаимодействия между двумя ча-
частицами.
Далее от суммы по номерам частиц переходим к интегралам
с заданной операторной плотностью:
V = f f>(n) jр(п)\ф(п - г2). F5)
Подставляя сюда явные выражения для операторов плотности
числа частиц, находим
РуР2,РЗ,Р4
Г
х / ехр [{—ър\г\ + ip2?\ - гр3г2 + гр4г2) /h] (p(?i - г2)йпйг2.
F6а)
Однако это выражение не является правильным, поскольку не-
некоторые операторы рождения расположены правее операторов
уничтожения. На самом деле, правильный ответ состоит в том,
174 Представление вторичного квантования [VI
чтобы в том же выражении F6а) все операторы рождения рас-
располагались левее операторов уничтожения:
^ Е HMhks
x / exp [{—ip\T\ + ip2r\ — грзг2 + ip4,T2) /K\ <p(f\ — r2)dr\dr2.
F66)
Можно показать, что в представлении вторичного квантования
этому требованию в классической потенциальной энергии F4)
соответствует ликвидация слагаемого для частиц с совпадаю-
совпадающими координатами [3].
Последнее преобразование состоит в том, чтобы произвести
переход к относительной координате: г\ = г2-\-г. В результате
оказывается возможным проинтегрировать по координатам г2,
что при условии выполнения закона сохранения импульса даёт
полный объём в числителе:
V = — / 6^ 6^ 6^6^ х
f
х / exp[(—ipif+ip2r)/h](p(f)df. F7)
Таким образом, оператор потенциальной энергии выражается
через сумму всевозможных актов рассеяния с коэффициентами,
которые пропорциональны компонентам Фурье от парного по-
потенциала:
v = — yj Ы Ы ь^4ьр2Ф [(pi — р2) /h], F8)
V1 ->Р2 чРЗ ,'РА '-,'Pl ~\-рз —Р2 -\~РА
где
= / exp(-iqf) (p(r)dr.
Таким образом, окончательные формулы вторичного квантова-
квантования для ферми- и бозе-операторов оказываются совпадающими.
Различие имеется только в перестановочных соотношениях.
Задача 175
Задача
Переходя к представлению Мацубары и используя переста-
перестановочные соотношения, получить явное выражение для средних
чисел заполнения.
Решение. В представлении вторичного квантования опе-
оператор числа частиц N и гамильтониан Hq записываются следу-
следующим образом:
N = / Q,i о,ь.\ Но = / [€i. — ii) Q,i uki F9)
к к
где ек - энергия одночастичных состояний с номером к; а^ и ак
- операторы рождения и уничтожения, подчиняющиеся следую-
следующим перестановочным соотношениям:
ukds dz dsdk = 0; а и ds dz ds d^ = 0; й^а5 i ds d^ = Sks.
Здесь и ниже верхний знак относится к статистике Ферми, а
нижний знак - к статистике Бозе.
В представлении взаимодействия с комплексным "временем"
г (в представлении Мацубары):
А(т) = ехр(тЯо)Лехр(-тЯо)
операторы рождения и уничтожения только множителем отли-
отличаются от соответствующего оператора в представлении Шре-
дингера:
а>к(т) = ак ехр(-^г); й?(т) = а^ ехр(^г). G0)
Здесь ?к = ек — /х, а параметр г изменяется в пределах 0 < г <
< 1/Г.
Для получения соотношений G0) достаточно вычислить про-
производную для каждого из операторов ак(т) и а~^(т):
176 Представление вторичного квантования [VI
Цка1(т), G1)
а затем решить соответствующее дифференциальное уравнение
с начальным условием:
ак@)=ак, а+(О)=а+. G2)
Произведём вычисление среднего числа частиц в заданном
одночастичном квантовом состоянии, т.е. вычислим среднее:
пк = (^ (п)<Ыго))о при п = т0. G3)
Сначала используем перестановочные соотношения:
(a^(ri)ak(ro))o = а%(т{)ак(тъ) ± ak(ro)a^(ri) q=
Т (&k(ro)at(ri))o = ± e^-ro) T (а,(то)а+(т1))о. G4)
В последнем слагаемом переставим оператор ак(то) на край-
крайнее правое место, используя возможность циклической переста-
перестановки под знаком Sp:
= Sp (а1(п)е-й^так(т0)ей^те-Й^т) /Sp
= (а+(п)ак(т0 - 1/Г)> = e^/T(a+(r1)afc(ro))o, G5)
так как ак(т) = аке~^кТ.
Таким образом, после перехода к средним значениям мы по-
получаем второе соотношение для нахождения двух величин
(ao(To)a5b(ri))o и (af(Ti)ao(To))o:
(ao(ro)a+(Ti)>o = е^т(а+(п)а0(т0)H. G6)
В результате при то = т\ = т находим
<о^о*>о = {аЦт)ак(т)H = ехр(^г±г G7)
§ 4] Понятие квазичастиц 177
§ 4. Понятие квазичастиц
Было показано, что для идеального газа функции распреде-
распределения можно получить только из перестановочных соотноше-
соотношений.
Можно также заметить, что перестановочные соотношения
для ферми-частиц F) не меняют своего вида, если операторы
рождения заданного электронного состояния с импульсом р и
проекцией спина о заменить операторами уничтожения дыроч-
дырочного состояния с импульсом — р и проекцией спина — а. Иными
словами, перестановочные соотношения инвариантны относи-
относительно частично дырочного преобразования:
= <*
G8)
т.е. перестановочные соотношения для операторов at и ару(Т
имеют тот же вид , что для операторов а^, at .
Определим квазичастицы таким образом, чтобы в основном
состоянии они отсутствовали [1].
Для идеального газа основному состоянию отвечает полно-
полностью заполненная сфера Ферми, т.е. для импульсов, больших
импульса Ферми, отсутствуют занятые состояния, а для им-
импульсов, меньших импульса Ферми, отсутствуют свободные со-
состояния. В соответствии с этим при р > Pf квазичастичные
состояния совпадают с обычными электронными состояниями,
в то время как при р < рр квазичастичные состояния совпадают
с дырочными состояниями G8):
G9а)
ар,а
ара
<-.
при
при
при
при
р
р
р
р
>
<
>
<
PF
PF
PF
PF
Гамильтониан F9) перепишем через квазичастичные операторы:
t Л + Л i \ Л /- л л 4- /пл\
С (У, -* (У, ~* ~т~ / С (У, ~* (У, -» I С)\))
178 Представление вторичного квантования [VI
С учётом перестановочных соотношений и возможности пере-
перемены знака импульса и проекции спина при суммировании по-
получим
p)pF,cr
Второе слагаемое представляет собой энергию основного состо-
состояния Eq = Yl €p- Оставшаяся часть гамильтониана предста-
P<PF,CT
вляет собой энергию квазичастиц Е(р):
+а&ь„ (82)
где
{ Н /\. (83)
{ -?р при p<pF J
Таким образом, мы привели квазичастичный гамильтониан к
виду (82), но со специальным законом дисперсии (83). Поскольку
квазичастичные операторы удовлетворяют перестановочным со-
соотношениям F), их функция распределения имеет вид распре-
распределения Ферми, зависящего от энергии возбуждений \?р .
Задача
Используя квазичастичный спектр идеального ферми-газа,
определить его теплоёмкость.
Решение. Полную энергию идеального газа квазичастиц
получим с помощью усреднения гамильтониана (82):
(84)
где множитель 2 связан с суммированием по проекциям спина.
Для вычисления теплоёмкости выразим функцию Ферми че-
через гиперболический тангенс, а затем продифференцируем по
температуре: пр(\^р\) =
2ТЛ' ЭТ 4Т2 Г V2T
Задача 179
В результате получаем теплоёмкость:
оо о
Подынтегральное выражение имеет весьма резкий максимум
при импульсах порядка импульса Ферми. По этой причине вме-
вместо дифференциала р dp можно написать mppd^ и проинтегри-
проинтегрировать в бесконечных пределах:
cVll = v—
^ г2
о
Переходя к безразмерной переменной х — ?/2Т, получаем из-
известный интеграл и линейную температурную зависимость при
(88)
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Беляев СТ. Лекции по теории конденсированного состояния.
- М.: МФТИ, 1982. - 92 с.
2. Фок В.А. Работы по квантовой теории поля. - Л.: ЛГУ,
1967. - 159 с.
3. Блохинцев Д.И. Основы квантовой механики. - М.: Наука,
1983. - 664 с.
ЛЕКЦИЯ N VII
НЕИДЕАЛЬНЫЙ БОЗЕ-ГАЗ ПРИ НИЗКОЙ
ТЕМПЕРАТУРЕ
Содержание
§ 1. Феноменологическая теория сверхтекучести .181
§ 2. Теория елабонеидеального бозе-газа 182
§ 2.1. Нахождение спектра элементарных
возбуждений 182
§ 2.2. Функция распределения надконденсатных частиц 189
§ 2.3. Низкотемпературные свойства 192
§ 3. Плотность нормальной и сверхтекучей фазы 194
Список литературы 197
Установление критерия сверхтекучести позволило Л.Д. Лан-
Ландау создать феноменологическую теорию сверхтекучего 4Не [2].
Что же касается количественной теории, то первая успешная
попытка смоделировать явления, происходящие в слабонеиде-
альном бозе-газе, принадлежит Н.Н. Боголюбову [3].
Эта теория содержит фундаментальную идею о возможно-
возможности описания конденсата с помощью с-чисел, в то время над-
конденсатные частицы рассматриваются с помощью операторов
рождения и уничтожения, составляющих основу метода вторич-
вторичного квантования. В результате оказалось возможным произ-
произвести точную диагонализацию гамильтониана взаимодействия
надконденсатных частиц и частиц конденсата, после чего был
получен квазичастичный спектр возбуждений, удовлетворяю-
удовлетворяющий критерию сверхтекучести. Наряду со свойством сверх-
сверхтекучести, изучаемая система имеет конечную сжимаемость,
а также конечную скорость звука, что и определяет наличие
акустической части спектра возбуждений. При небольшом воз-
возрастании импульса спектр возбуждений неидеального бозе-газа
отклоняется от линейного в сторону больших энергий, что каче-
качественно согласуется с поведением спектра сверхтекучего гелия.
§ 1] Феноменологическая теория сверхтекучести 181
§ 1. Феноменологическая теория сверхтекучести
Явление полного исчезновения вязкости в Не при темпера-
температуре Т = Тс « 2.2 К было открыто П.Л. Капицей в 1937 г.
Качественное объяснение причины возникновения сверхте-
сверхтекучести было дано Л.Д. Ландау, который предположил, что при
низких температурах в квантовой жидкости типа 3Не или 4Не
существуют слабо затухающие возбуждения с энергией Е(р).
Они называются квазичастицами, поскольку зависимость их
энергии от импульса существенно отличается от р2/2га, где га
- масса 3Не или 4Не [1].
Согласно гипотезе Ландау, причина возникновения сверхте-
сверхтекучести состоит в том, что спектр возбуждений 4Не настолько
своеобразен, что макроскопическое тело, помещенное в сверхте-
сверхтекучую жидкость, не может потерять своего импульса [2]. Для
установления критерия сверхтекучести рассмотрим макроско-
макроскопическое тело с массой М, которое движется через жидкость
со скоростью V. Определим минимальную скорость, при кото-
которой возможно рождение хотя бы одного возбуждения. Запишем
законы сохранения энергии и импульса:
MV2 MV?
± Е() MV = MV1+p. A)
Исключив из этих уравнений скорость V\, получим следующее
соотношение:
^ B)
где в - угол между направлением движения тела и направле-
направлением вылета возбуждения.
Из этого соотношения следует, что для положительной энер-
энергии возбуждений cos# > 0, так что можно определить мини-
минимальное значение скорости V:
182 Неидеальный бозе-газ при низкой температуре [VII
В результате находим соотношение, которое называется крите-
критерием сверхтекучести Ландау:
ф 0. D)
к V )
Экспериментальное изучение спектра возбуждений в 4Не по-
показало, что при малых импульсах р —> 0 спектр возбуждений
имеет звуковой характер, т.е. Е(р) ~ с/р, где с/ - скорость про-
продольного звука (фононы). Далее с увеличением импульса энер-
энергетическая кривая отклоняется от звуковой прямой в сторону
больших энергий и, наконец, выходит на так называемый ро-
тонный минимум, который предсказал Л.Д. Ландау в 1947 году.
§ 2. Теория слабонеидеального бозе-газа
В 1947 году Н.Н. Боголюбов предложил микроскопическую
теорию неидеального бозе-газа, который, в отличие от идеаль-
идеального газа, имеет конечную сжимаемость и одновременно обла-
обладает свойством сверхтекучести. Ниже изложен боголюбовский
метод.
§ 2.1. Нахождение спектра элементарных возбуждений
Рассмотрим предельный случай Т = 0, когда в системе имеется
бозе-конденсат, т.е. на нулевом энергетическом уровне нахо-
находится макроскопическое число частиц Щ.
Кинетическая энергия надконденсатных частиц с р ф 0 за-
записывается через числа заполнения:
где bt жЪр - операторы рождения и уничтожения бозе-частиц
импульсом р.
§ 2.1] Нахождение спектра элементарных возбуждений 183
Идеальный бозе-газ имеет нулевую скорость звука и нулевую
критическую скорость. По этой причине для получения конеч-
конечной сжимаемости и конечной критической скорости необходимо
учесть взаимодействие между частицами:
^ = ^7 Е bJb>(Pi-P4)V8Sp-4, F)
где <p(q) - компонента Фурье парного потенциала. Предполо-
Предположим, что полное число надконденсатных частиц N — Щ мало
по сравнению с Щ - полным числом частиц конденсата. В силу
этого предположения правую сторону гамильтониана взаимо-
взаимодействия F) можно разложить на части, где каждая последу-
последующая мала по сравнению с предыдущей по малому параметру
(N - No)/No [4].
Главный член разложения содержит взаимодействие только
между покоящимися частицами (частицами конденсата):
Fo = ^S+S+^@No6o- Ga)
Слагаемых, которые содержат только один оператор рождения
или уничтожения надконденсатных частиц, не существует в
силу закона сохранения импульса.
Следующие четыре члена разложения содержат по одному
оператору рождения и одному оператору уничтожения надкон-
надконденсатных частиц (рис. 1):
Учитывая перестановочность операторов, относящихся к кон-
конденсату и к надконденсатным частицам, гамильтониан V<i при-
приводится к одночастичному виду:
Ub, Y, ЦЬр{ф) + <^@)} . G6)
184 Неидеальный бозе-газ при низкой температуре [VII
Ещё два члена разложения содержат по два оператора рождения
и два оператора уничтожения частиц конденсата:
J} Gс)
Д) е)
Рис. 1. а) - взаимодействие частиц конденсата,
б)-д) - взаимодействие частиц конденсата и
одной надконденсатной частицы,
е)-ж) - рождение и уничтожение двух
надконденсатных частиц из конденсата
Оставшиеся слагаемые, содержащие по три и четыре опера-
оператора, относящихся к надконденсатным частицам, ниже не рас-
рассматриваются, поскольку они так или иначе определяют взаи-
взаимодействие между надконденсатными частицами.
§ 2.1] Нахождение спектра элементарных возбуждений 185
Операторы рождения и уничтожения частиц конденсата
имеют макроскопически большие матричные элементы:
ъ0 ~ Vivo, ь+ ~ Ул^ТТ « TiVo, (8)
где Щ > 1.
С другой стороны, правая сторона перестановочных соот-
соотношений 6о,Ь+ = 1, &о^Ь(Л = 0, бо^о — 0 не превышает
единицу, и поэтому ей можно пренебречь по сравнению с ма-
макроскопическим числом Nq [3].
Таким образом, с микроскопической точностью операторы
рождения и уничтожения частиц конденсата можно считать с-
числами и положить:
b = у/Щ. (9)
Само число частиц конденсата Щ можно выразить через полное
число частиц N и число надконденсатных частиц с помощью
очевидного соотношения:
N = b+k + Y, ЦЬР = iVo + Е ЦЪ?- A0)
При подстановке Nq в гамильтониан Vo следует отбросить ква-
квадратичные слагаемые по числу надконденсатных частиц. В ре-
результате
/V2 N
% « —^@) - -^@) Е ЦЬц. (Па)
В той же точностью в гамильтонианах V^ и W^ можно заменить
Щ на полное число частиц N:
Ещё два члена разложения содержат по два оператора рождения
и два оператора уничтожения частиц конденсата:
= ^ Е <Р<Р) {ty-f
186 Неидеальный бозе-газ при низкой температуре [VII
Таким образом, полный гамильтониан может быть представлен
в следующем виде:
Н « ^@) + ? eo(p)b}bf+— ? ф) {b^+bfbtp} , A3)
где
ео(р) = ^ + у<р(р) A4)
- сумма кинетической энергии и средней потенциальной энергии
одной частицы с среднем поле частиц конденсата.
Здесь первое слагаемое представляет энергию взаимодейст-
взаимодействия частиц конденсата. Следующий гамильтониан есть сумма
кинетической энергии и средней потенциальной энергии одной
частицы в среднем поле частиц конденсата. В третьей части
содержатся аномальные слагаемые, связанные с возможностью
рождения и уничтожения пары частиц из конденсата.
Наша задача состоит в том, чтобы найти такое линейное
преобразование операторов рождения и уничтожения, которое
ликвидирует аномальные слагаемые и тем самым преобразует
гамильтониан A3) к гамильтониану идеального газа невзаимо-
невзаимодействующих квазичастиц.
Для достижения этой цели произведём (и—v)-преобразование
к операторам рождения и уничтожения квазичастиц, которое
перепутывает частицы и дырки:
Поскольку на систему не наложены внешние поля, обе неиз-
неизвестных функции ир и vp являются действительными и зависят
только от модуля вектора р.
Будем считать, что преобразование является каноническим,
т.е. операторы рождения и уничтожения квазичастиц удовле-
удовлетворяют тем же перестановочным соотношениям, что и опера-
операторы рождения и уничтожения для частиц. В результате полу-
получим первое соотношение:
§ 2.1] Нахождение спектра элементарных возбуждений 187
Второе соотношение находим после подстановки операторов ро-
рождения и уничтожения A6) в операторную часть гамильтони-
гамильтониана:
A7)
где ф(р) = <p(p)N/V.
Приравняв к нулю коэффициенты перед произведениями
piC^-., получим недостающее уравнение:
eo(p)upvp + 1-ф{р) («J + vfj = 0. A8)
Первое условие A6) удовлетворяется с помощью подстановки:
после чего находим неизвестную функцию Ар:
л -ео(р) + лЛо(р) </>(р) Р мл< \
Ар = —} , где во = — + ф(р).
Здесь выбираем положительный знак перед квадратным кор-
корнем, потому что в пределе ф(р) —> 0 величина Ар должна обра-
обращаться в нуль.
В конечном счёте операторная часть гамильтониана при-
приобретает диагональный вид:
Y,{P}Pp{€o(P)ul-
= Е { (со(р)^ + Ф(р)ирур) + РррЕ[р)} . B1)
188 Неидеальный бозе-газ при низкой температуре [VII
Предпоследняя сумма даёт поправку к энергии основного состо-
состояния. Последняя сумма определяет спектр возбуждений Е(р)
как коэффициент при операторе числа квазичастиц J3i/3p:
E(p) = ^{p){u2p + v2p) + 2<p(p)upvp =
B2)
1.4 т
1.0-
оА-
\~]2-
0
Е = <P(O)N/V
Р*= V 2 m(p(O)N/V р/р*
0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
Рис. 2. Энергия возбуждений в зависимости
от безразмерного импульса р/^
Компонента Фурье (р(р) изменяется на волновых числах по-
порядка обратного радиуса действия потенциала, который, в свою
очередь, порядка размера атома (го). Таким образом, можно
утверждать, что в широкой области импульсов р < H/tq вели-
величину (р(р) можно заменить на </?@), а величину ф(р) заменить
на д = <p@)N/V.
2.2] Функция распределения надконденсатных частиц 189
Таким образом, в широкой области импульсов:
B3а)
у \ Lui / ш
В пределе р —> 0:
Е(р) « ^% = сзвР. B36)
В длинноволновом пределе спектр возбуждений имеет акустиче-
акустический характер, причём рассчитанная энергия B3) отклоняется
от линейного закона в сторону больших энергий (см. рис. 2).
При этом выполняется критерий сверхтекучести Л.Д. Лан-
Ландау D), а критическая скорость оказывается равной скорости
звука сзв = л/д/т.
Что же касается ротонного минимума, то в рамках данной
модели его возникновение не может быть обосновано.
§ 2.2. Функция распределения надконденсатных частиц
Для слабонеидеального бозе-газа связь между оператором
рождения bt частицы с импульсом р и операторами рождения
pi квазичастицы с импульсом р и операторами уничтожения
C_р квазичастицы с импульсом — р осуществляется с помощью
(и — v)-преобразования A5).
Перемножая эти соотношения и производя усреднение по со-
состояниям с заданной температурой, объёмом и химическим по-
потенциалом, получаем связь между числами заполнения частиц
и квазичастиц:
Nip) = (btbf) = u2p0+fo + v2p0_p-fcf). B4)
Согласно соотношению B1), квазичастицы образуют идеаль-
идеальный бозе-газ с нулевым химическим потенциалом и энергией
Ер = ф2р + 2дер, где ер = р2/2т, д = <p@)N/V.
190
Неидеальный бозе-газ при низкой температуре [VII
Для идеального газа квазичастиц:
ФрРр) = NB(EP), </3_р-/3-р> = ! + NB(EP), B5)
где Nb(Ep) - функция распределения Бозе, зависящая от ква-
квазичастичной энергии B3а). Поскольку энергия возбуждений
Е(р)}0, то в пределе Т —> 0 число квазичастиц обращается в
нуль, а количество надконденсатных частиц определяется ин-
интегралом от следующей функции распределения:
N(p) = {btbp)\T=o = vl B6)
С помощью соотношений A9) и B0) находим
B7)
р = 1+р2/Bтд).
При больших значениях импульса, когда р
чина Vp обращается в нуль по закону 1/р4.
Если же р <С л/2тд, тогда JQp — 1 « р/у/тд, т^к что вели-
величина Vp обращается в бесконечность по закону 1/р.
Если произвести интехфирование но всем направлениям им-
импульса р, а затем определить функцию распределения по вели-
величине вектора р, тогда получаем функцию распределения над-
надконденсатных частиц при Т = 0:
fp =
2тгр2
B8)
После перехода к безразмерной переменной q = р/\/2тд полное
число надконденсатных частиц представляется в виде суммы
простейших интегралов:
V
СЮ
/
/
2.2] Функция распределения надконденсатных частиц 191
= 2irV
=
ч ч
. тг тс*
B9)
JVp*
0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0
Рис. 3. Функция распределения надконденсатных
частиц при Т = 0
Таким образом, даже при нулевой температуре число частиц
конденсата iVo в неидеальном бозе-газе оказывается несколько
уменьшенным по сравнению с полным числом частиц N:
/iV(m<^@)K/2
V
C0)
Необходимо отметить, что наши вычисления фактически огра-
ограничивались первым неисчезающим приближением по малой кон-
концентрации надконденсатных частиц. Наряду с этим само вза-
взаимодействие считалось настолько малым, что применимо бор-
новское приближение, когда амплитуда рассеяния оказывается
пропорциональной компоненте Фурье парного потенциала <р(р).
192 Неидеальный бозе-газ при низкой температуре [VII
Более строгие вычисления, позволяющие выйти за рамки
борновского приближения, дают основание утверждать, что во
всех окончательных результатах вместо величины ip@) следует
понимать произведение 4тг/оЙ2/т, где /о - амплитуда рассея-
рассеяния, вычисленная в пределе нулевого импульса налетающих и
рассеянных частиц.
В результате скорость звука удаётся выразить через ампли-
амплитуду рассеяния сзв = Ть (^/AnfoN/Vj /га, а формула C0) пере-
переписывается следующим образом:
З^о n,,f C1)
Поскольку в случае короткодействующего потенциала ампли-
амплитуда рассеяния медленных частиц /о пропорциональна размеру
самих частиц, то число надконденсатных частиц оказывается
пропорциональным полному числу частиц N с малым безраз-
безразмерным множителем, пропорциональным отношению размера
частицы к расстоянию между частицами в степени 3/2.
§ 2.3. Низкотемпературные свойства
Наличие взаимодействия между частицами конденсата уже в
нулевом приближении приводит к конечной сжимаемости. Для
того чтобы в этом убедиться, достаточно выделить первое сла-
слагаемое в правой части гамильтониана A3) и продифференциро-
продифференцировать его по объёму, что даёт положительную поправку к давле-
давлению и положительную сжимаемость:
дЕ N2 _ „ЭР N2 _
В соответствии с этим мы получим конечную скорость звука:
1дР ./ V^dP_ ЖШ-С ш)
mNdV~\V т " Сзв' C3)
§ 2.3] Низкотемпературные свойства 193
что совпадает с коэффициентом, определяющим энергию фоно-
нов B3Ь).
При конечной температуре функция распределения квази-
квазичастиц даётся формулой распределения Бозе B5). В области
низких температур, когда температура мала по сравнению с
характерной энергией д — (p@)N/V, практически все элемен-
элементарные возбуждения являются фононами, т. е. имеют энергию
Тьи = сзвр. Таким образом, в этой области температур тепловые
свойства неидеального бозе-газа определяются теми же форму-
формулами, что и для твёрдого тела, но без поперечных звуковых
колебаний.
Так, для тепловой части энергии и свободной энергии имеем
7Г2Т4 7Г2Т4
V AF(T) V
30(ЯсзВK' v ; 90(ЙсзвK'
Химический потенциал газа квазичастиц равен нулю, поэтому
поправка к ^-потенциалу совпадает с поправкой к свободной
энергии, так что имеем энтропию и теплоёмкость:
„ „ 2тт2Тг „ „ 2тг2Т3
45(/гсзвK 15(/гсзвK
Рассмотрим далее температурную зависимость плотности
частиц в конденсате, которая легко выражается через темпера-
температурную зависимость плотности надконденсатных частиц» Ис-
Используя общее соотношение B4) и производя интегрирование по
всем состояниям, находим
C5)
Подставляя сюда явные выражения для и и v и используя обо-
обозначение Qp = I +p2/Bmg), получим
194 Неидеальный бозе-газ при низкой температуре [VII
В области предельно низких температур, когда интегрирование
происходит в основном по области р <С л/2тд, энергетический
спектр можно заменить на фононныи и произвести разложение
по степеням р2/Bтд). В результате имеем
Ъ^Ш l C6)
О
С экспоненциальной точностью верхний предел интегрирования
можно заменить на бесконечность, после чего находим темпера-
температурную поправку к плотности частиц конденсата:
тТ2
N0(T)=N0@)-V——3. C7)
12cn
§ 3. Плотность нормальной и сверхтекучей фазы
Мы предполагали, что скорость каждой частицы конден-
конденсата равна нулю. Иными словами, все проведённые до сих пор
расчёты относились к той системе отсчёта, в которой бозе-кон-
денсат покоится. Однако если заставить бозе-конденсат дви-
двигаться, то он будет двигаться без какого-либо трения о стенки.
С повышением температуры плотность конденсатных ча-
частиц уменьшается, так что оставшиеся частицы оказываются
"заторможенными". Такая физическая картина (предложенная
Л.Д. Ландау) относится в равной степени и к сверхпроводнику
и к сверхтекучему 4Не [2].
Рассмотрим сверхтекучую жидкость, движущуюся через ка-
капилляр со скоростью V относительно его неподвижных стенок.
Вычисления будем производить в той системе, где покоится бозе-
конденсат. Ясно, что это есть система отсчета, которая дви-
движется с той же скоростью V относительно стенок.
Нормальные возбуждения (квазичастицы) прилипают к стен-
стенкам, т.е. в среднем заторможены. Поэтому с точки зрения на-
наблюдателя, связанного со стенками, они имеют нулевой средний
импульс и энергию Ер.
§ 3] Плотность нормальной и сверхтекучей фазы 195
С точки зрения наблюдателя, связанного с движущимся кон-
конденсатом, стенки "летят" на наблюдателя со скоростью — V, и
поэтому в этой системе средний импульс возбуждений отличен
от нуля.
Энергию возбуждений в системе, где покоится конденсат, на-
находим из галилеевских преобразований:
Е' = ЕР- (pV). C8)
Здесь Ер - энергия квазичастиц, зависящая только от длины
вектора импульса р = \р\.
Для сверхтекучего гелия функцию Ер берём из эксперимента,
а для слабонеидеального бозе-газа - из теории Н.Н. Боголюбова:
C9)
где сзв = y/((f@)N/V) /т - энергия бозе-возбуждений, <?>@) - ну-
нулевая компонента парного потенциала, которую по уточнённой
теории следует выразить через амплитуду рассеяния /@) с ну-
нулевыми импульсами. В результате
П
Сзв"
ш\/ V ¦
Функция распределения для газа квазичастиц, движущегося
как целое, получается из функции распределения неподвижного
газа просто путём замены энергии частицы Ер величиной Ер —
— pV, что находится в согласии с соотношением C8).
Поэтому функция распределения квазичастиц, подчиняющихся
статистике Бозе, имеет следующий вид:
^D1)
р = F ^ п .
exp[(Ep-pV)/T\ -1
Вычислим полный импульс Р газа квазичастиц, отнесённый
к единице объёма (со спином 0):
р= - ' §
=^Ы
196 Неидеальный бозе-газ при низкой температуре [VII
Предположим, что скорость V мала, и разложим подынтеграль-
подынтегральное выражение по степеням pV. Член нулевого порядка исче-
исчезает при усреднении по направлениям р, и остаётся слагаемое,
линейное по скорости V:
Р = — 1
эер "' D
D3)
Производя усреднение по углам, находим плотность нормаль-
нормальной компоненты рп как коэффициент между средним импульсом
единицы объема Р и скоростью V:
D4)
где п!в(е) - производная от функции Бозе с нулевым химическим
потенциалом.
В низкотемпературной области, где существенную роль
играют звуковые возбуждения, следует положить Ер = сзвр, по-
после чего правая сторона легко преобразуется с помощью инте-
интегрирования по частям:
Рп = Зс /2тг/гK J j
о
где Еф - плотность тепловой энергии фононов, вычисленной
в C4). Подставляя её в D5), находим температурную зависи-
зависимость плотности нормальной, а также сверхтекучей части не-
неидеального газа:
9тг2Т4 9тг2Т4
^ D6)
где ро = mN/V - полная плотность.
§ 3] Плотность нормальной и сверхтекучей фазы 197
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Ландау Л.Д., Лифшиц ЕМ., Питаевский Л.П. Статистиче-
Статистическая физика. Ч. 2.- М.: Физматлит, 2001. - 494 с.
2. Ландау Л.Д.Ц ЖЭТФ 1941. 11, 592.
3. Боголюбов Н.Н.Ц Изв. АН СССР, сер. физ. 1947. 11, 77
(см. также Боголюбов Н.Н. Избранные труды. Т. 2.- Киев:
Наукова думка, 1971. - 494 с.)
4. Беляев С. Т. Лекции по теории конденсированного состояния.
- М.: МФТИ, 1982. - 92 с.
ЛЕКЦИЯ VIII
НЕИДЕАЛЬНЫЙ ФЕРМИ-ГАЗ СО СЛАБЫМ
ПРИТЯЖЕНИЕМ
Содержание
§ 1. Введение 199
§ 2. Теория Бардина—Купера—Шриффера 2001
§ 2.1. Модель БКШ - боголюбовский вариант 202
§ 3. Спектр возбуждений 206
Задача 209
§ 4. Температурная зависимость энергетической
щели 210
§ 4.1. Температура вблизи точки перехода 213
§ 4.2. Температура вблизи нуля 214
§ 5. Термодинамика сверхпроводника 217
§ 5.1. Область низких температур 218
§ 5.2. Область температур вблизи от точки перехода .. .221
§ 5.3. Термодинамическое критическое магнитное поле 222
§ 6. Плотность нормальной и сверхпроводящей
фазы 226
§ 6.1. Область низких температур 227
§ 6.2. Область температур вблизи от точки перехода .. .229
§ 7. Теория Гинзбурга-Ландау 232
§ 7.1. Основные уравнения 232
§ 7.2. Определение коэффициентов в уравнениях
Гинзбурга-Ландау 233
Задача 235
§ 7.3. Граничные условия к уравнениям
Гинзбурга-Ландау 325
Задача 239
§ 7.4. Критические магнитные поля 240
Задача 243
§ 7.5. Флуктуационная поправка 245
Список литературы 247
§ 1] Введение 199
§ 1. Введение
Явление полного исчезновения электрического сопротивле-
сопротивления при температуре Т = Тс ~ 4.15 К для a-Hg было открыто
Камердинг-Оннесом в 1911 г. Вплоть до середины восьмидеся-
восьмидесятых годов это явление можно было наблюдать для различных
металлов и сплавов в области низких температур, не превыша-
превышающих Т = Тс = 23.2 К в пленке NbsGe. Интерес к сверхпрово-
сверхпроводимости существенно возрос, когда в 1986 г. К.А. Мюллер и
Дж.Г. Беднорц обнаружили её у класса соединений меди, на-
названных высокотемпературными сверхпроводниками (ВТСП),
поскольку в течение нескольких последующих лет были обна-
обнаружены соединения данного типа с критической температурой
(Гс) до 120-130 К.
В сверхпроводящем состоянии металл обладает термодина-
термодинамическими и электромагнитными свойствами, резко отличными
от его свойств в нормальном состоянии. Исчезновение сопроти-
сопротивления электрическому току - наиболее яркая черта сверхпро-
сверхпроводящего состояния, но не единственное его отличие от состо-
состояния нормального металла. Свойства сверхпроводника в маг-
магнитном поле резко отличны от сравнительно простых свойств
нормального металла. Магнитное поле не проникает в толщу
массивного сверхпроводника (эффект Мейсснера). Глубина, от-
отсчитываемая от поверхности сверхпроводника, помещенного в
постоянное магнитное поле, в пределах которой поле еще за-
заметно отлично от нуля (глубина проникновения), очень мала
по сравнению с макроскопическими размерами образца, однако
велика по сравнению с размерами элементарной ячейки и со-
составляет величину ~10~5-^10~6 см. Термодинамический пере-
переход из сверхпроводящего состояния в нормальное является фа-
фазовым переходом второго рода и характеризуется тем, что при
температуре перехода теплоемкость металла меняется скачком.
В явлении сверхпроводимости мы имеем дело с чем-то род-
родственным явлению сверхтекучести, поскольку для поддержания
тока в сверхпроводнике не требуется внешней разности потен-
потенциалов, т.е. не совершается никакой работы внешних сил. Но-
200 Неидеальный ферми-газ со слабым притяжением [VIII
сителями же электрического тока являются электроны. Сле-
Следовательно, хотелось бы назвать явление сверхпроводимости
сверхтекучестью электронной жидкости. Поэтому объяснение
явления сверхпроводимости следует искать, рассматривая свой-
свойства системы взаимодействующих между собой электронов. Как
и для системы бозонов, взаимодействие электронов, являющихся
ферми-частицами, приводит к возможности замены системы вза-
взаимодействующих частиц системой невзаимодействующих ква-
квазичастиц и к существенной перестройке энергетического спек-
спектра.
§ 2. Теория Бардина-Купера-Шриффера
Несмотря на большой прогресс в изучении и решении урав-
уравнений Лондона и Гинзбурга-Ландау [1], построение правильной
микроскопической теории сверхпроводимости началось только
в 1956 г., когда Л. Куперу удалось обнаружить неустойчивость
основного состояния неидеального ферми-газа со слабым притя-
притяжением и оценить энергию связи парной корреляции.
Было показано, что тенденцию к образованию связанных
пар проявляют электроны, движущиеся почти навстречу друг
другу. Антисимметрия спиновой части указывает на то, что
парная корреляция наиболее существенна для противополож-
противоположных значений проекций спина, а суммарное значение спина ку-
куперовской пары равно нулю.
Оператор рождения и уничтожения куперовской пары с боль-
большим относительным импульсом к (\к\ — ро) может быть пред-
представлен в виде
Ы = at а+- ; Ь? = а г-&Г •
к к,а -к,а к -к,а к,а
Здесь и ниже а = =Ы,а = — а - проекции электронного спина.
Микроскопическая теория сверхпроводимости, предложенная
Бардином, Купером и Шриффером (БКШ) в 1957 году, основана
на предположении о конденсации куперовских пар для всех тем-
температур ниже точки перехода [2].
§ 2] Теория Бардина-Купера-Шриффера 201
Обозначим через v^ амплитуду вероятности того, что состо-
состояние с относительным импульсом к занято куперовской парой.
Если при этом и^ - амплитуда вероятности того, что в состоя-
состоянии с импульсом к ку перовской пары нет, тогда между и? и v?
9 9 К К
имеется соотношение и^ + v^ = 1.
Явление конденсации куперовских пар в теории БКШ опи-
описывается волновой функцией |Ф >, равной произведению сме-
смешанных состояний наличия и отсутствия куперовской пары с
заданным относительным импульсом к:
>- A)
В 1958 г. Н.Н. Боголюбов нашёл преобразования [3]:
которые диагонализуют гамильтониан таким образом, что основ-
основное состояние A) оказывается вакуумом для операторов уни-
уничтожения новых квазичастиц: «?а|Ф > = 0. При этом новые
операторы рождения и уничтожения удовлетворяют тем же пе-
перестановочным соотношениям, что и исходные:
Н-' "*>'} = 5кЛ'5^'; Щу Ч,о> > =0; {&к*> &~к',о'} = °- C)
Отсюда заключаем, что в рамках модели БКШ возбуждения
проявляют себя как идеальный ферми-газ:
< &1а* >= hf{e-^
< &t&is>= 0; < &t*&*s>= °' D)
где угловые скобки обозначают усреднение по состоянию с за-
заданной температурой, объёмом и химическим потенциалом;
пр(Ер) - функция распределения Ферми от энергии возбужде-
возбуждений Е$, которую находим диагонализацией гамильтониана БКШ.
202 Неидеальный ферми-газ со слабым притяжением [VIII
§ 2.1. Модель БКШ — боголюбовский вариант
В нулевом приближении электроны имеют кинетическую
энергию ?р> = р2 /2т - /i, отсчитанную от химического потенци-
потенциала /i. Записанная через операторы рождения и уничтожения,
эта энергия имеет известный вид:
Будем рассматривать потенциальную энергию, которая не зави-
зависит от спиновых переменных. В соответствии с этим в предста-
представлении вторичного квантования гамильтониан взаимодействия
электронов может быть представлен в следующем общем виде:
Hint =
S аа(Й|^|Й>^ F)
Каждая спиновая переменная о\ и о 2 независимо принимает по
два значения ±1; суммирование по импульсам производится при
условии выполнения закона сохранения: р\ + Р2 = рз +Й-
Поскольку температура перехода мала по сравнению с энер-
энергией Ферми, взаимодействие электронов существенно только
при импульсах вблизи поверхности Ферми: (\р\\ ~ \р2\ ~ \рз\ ~
~ \р4\ ~ Pf)- Поэтому заменяем матричные элементы в F) их
значениями при импульсах на поверхности Ферми:
{риР2\и\рз,щ) -» -д. G)
В современной теории сверхпроводимости рассматривается про-
простая модель, в которой постулируется, что взаимодействие элек-
электронов вблизи поверхности Ферми имеет характер притяжения.
Поэтому будем считать, что д > 0.
Таким образом, гамильтониан взаимодействия приобретает
вид
H = ^ &&'*^ (8)
2.1]
Модель БКШ - боголюбовский вариант
203
Отметим, что в операторе взаимодействия суммирование про-
производится ПО ПРОТИВОПОЛОЖНЫМ ПрОеКЦИЯМ СПИНа, G2 = — G1,
так как члены с одинаковыми проекциями спина в сумме дают
нуль:
E
I
1
9
- 0.
(9)
Поэтому гамильтониан взаимодействия приобретает вид
ншЬ--—
Й
• (Ю)
Полученный результат можно трактовать следующим образом:
взаимодействие осуществляется парами электронов с противо-
противоположно направленными импульсами.
Рис. 1. Области интегрирования вблизи
двух поверхностей Ферми: \pi\ ~ \p2\ ~ Pf
При этом возникает следующий вопрос: какое количество
взаимодействующих пар с заданным полным импульсом пары
s — р\ + Р2 имеется в данном случае? На рис. 1 две сферы ра-
радиусов pi = л/2тв1 = pf ж р2 = \/2т?2 = Pf соответствуют
всем возможным состояниям частиц с заданными энергиями
?i = Pi/2ra = €f и 62 = р\/2т = ер. Сферы расположены та-
таким образом, чтобы вектор, соединяющий их центры, был равен
204 Неидеальный ферми-газ со слабым притяжением [VIII
суммарному импульсу двух частиц s. Тогда количество пар
с заданным суммарным импульсом s пропорционально длине
окружности, по которой пересекаются эти две сферы. Совер-
Совершенно иной случай имеет место при 5 = 0 и ?i = ?2 ~ сферы
совпадают друг с другом и соответствующее число пар пропор-
пропорционально полной поверхности сферы. Отсюда становится ясно,
что число пар с нулевым суммарным импульсом в неизмеримое
число раз превышает число пар с отличным от нуля значением
суммарного импульса.
Поэтому в качестве гамильтониана взаимодействия рассмо-
рассмотрим так называемый гамильтониан БКШ, где исключается
возможность рассеяния, но правильно учтена спиновая струк-
структура и возможность образования куперовских пар:
Р,Я
-^
Непосредственная подстановка р —> — р и q —>• — q и использо-
использование перестановочных соотношений приводит вторую сумму к
первой, так что с результате получим удвоенную первую сумму:
Поэтому далее будем рассматривать гамильтониан:
}а&Мр ~ у
pa p,q
Здесь и ниже мы отсчитываем энергию частиц от уровня Ферми
?р — p2/2m — /i, а в парном взаимодействии учитываем только
взаимодействие частиц с противоположными импульсами и спи-
спинами.
Основное состояние сверхпроводника состоит из конденсата
ку перовских пар, поэтому в сверхпроводнике отличны от нуля
средние от пар операторов:
Ff = 2<aJra-pJ- " u-Piu-m^ Fp = 2
§ 2.1] Модель БКШ - боголюбовский вариант 205
Здесь и ниже угловые скобки обозначают усреднение по состо-
состоянию с заданной температурой, объёмом и химическим потен-
потенциалом.
Аномальные средние A4) связаны между собой с помощью
операции комплексного сопряжения:
(^^ )* Ft A5)
g = Ft.
В условиях существования бозе-конденсации куперовских пар
произведение операторов а_^_аа^а и ata^^_(j мало отличается
от их средних значений Fpa и Ft. Поэтому, в рамках прибли-
приближения самосогласованного поля, мы будем отбрасывать произ-
произведения флуктуирующих величин [4]:
2 (hmu~Pi " a-PiaJt) " FP и 2 (а-^а^ " uPta-Pl) " FP-
В результате удаётся преобразовать гамильтониан взаимодей-
взаимодействия с точностью до слагаемых линейных по этим флуктуа-
циям:
= -f Е
E
En*n У_ V"^
p Q лт / j
PiQ PiQ
Введем обозначения:
q q
тогда полный гамильтониан можно записать в виде
pa
206 Неидеальный ферми-газ со слабым притяжением [VIII
§ 3. Спектр возбуждений
Для диагонализации гамильтониана A8) произведём
^-^-преобразование к операторам рождения и уничтожения ква-
квазичастиц, которое перепутывает частицы и дырки:
a-pt = Up6i-p-t + Vp&pii a-Pl = пр®-р1 + vpa^. A9)
Поскольку на систему не наложены внешние поля, все четыре
неизвестных функции являются действительными и зависят
только от модуля вектора р.
Будем считать, что преобразование является каноническим,
т.е. операторы рождения и уничтожения квазичастиц удовле-
удовлетворяют тем же перестановочным соотношениям, что и опера-
операторы рождения и уничтожения для частиц. В результате полу-
получим три соотношения:
{а^, а_^} = 0 = upvp + vpup. B0)
Два первых соотношения удовлетворяются с помощью подста-
подстановок:
ир — cos@), vp = sin(^), up = cos(/3), vp = sin(/3).
Подставляя эти выражения в последнее уравнение, находим связь
между /3 и в:
upvp + vpup = sin(/3 + в) = 0. B1)
Отсюда получим два решения: E — —в или /3 = тг — в.
§ 3] Спектр возбуждений 207
С помощью предельного перехода при д —> 0, ир = пр —> 1,
vp = — vp —> 0 из этих уравнений получаем /3 = — 0.
В конечном счёте находим
После подстановки этих формул в полный гамильтониан соби-
собираем коэффициенты при произведениях aia^-.:
2^pUpVp + ир А — vpA*. B3)
Если собрать коэффициенты при произведениях а_^а^, тогда
мы получим выражение эрмитово-сопряженное к B3).
Если не писать фазового множителя у волновой функции ку-
перовских пар, тогда после усреднения можно положить А* =
= А. При заданной А уравнение B3) представляет собой недо-
недостающее уравнение для определения и^ и v2. Для того чтобы
удовлетворить условию u^ + v2 = 1, удобно положить ир =
= cos@), Vp = sin@), после чего получим
1 '1 т^=) ¦ {24)
Остаётся определить коэффициенты перед произведениями
^ tf-f И
С учётом перестановочных соотношений < a^, a~t > = 1
удаётся записать коэффициент перед aia^j- в следующем виде:
Усредняя это соотноп1ение, находим энергию квазичастиц как
коэффициент перед числами заполнения в гамильтониане:
р> B6)
208 Неидеальный ферми-газ со слабым притяжением [VIII
где
ер =
2upvpA.
B7)
Используя определения ир и vp, а также уравнение B3) для их
нахождения, получаем спектр со щелью:
Ep = ^2 + Д25
который удовлетворяет условию сверхтекучести Ландау
(рис. 2):
B8)
B9)
0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 п/п
Рис. 2. Энергетический спектр возбуждений
С учётом малости энергетической щели по сравнению с энер-
энергией Ферми А <С Povf критическая скорость приближённо опре-
§ 3] Спектр возбуждений 209
деляется следующим образом:
Д
vc = — <С vF, C0)
Ро
где ро - импульс Ферми, vp - скорость электронов на поверхно-
поверхности Ферми.
Задача
Определить функцию распределения частиц в условиях ку-
перовского спаривания.
Решение. Запишем функцию распределения через про-
произведение оператора рождения и уничтожения частиц, которые
в свою очередь выражаются через операторы рождения и уни-
уничтожения невзаимодействующих возбуждений (квазичастиц):
C1)
Для окончательного вычисления средних достаточно заметить,
что операторы рождения и уничтожения квазичастиц подчиня-
подчиняются статистике идеального ферми-газа. Используя соотноше-
соотношение антикоммутации C) и производя усреднение, получим
пр = u2pnF(Ep) + v2p(l - nF{Ev)), C2)
где nF(Ep) - распределение Ферми, зависящее от энергетиче-
энергетического спектра B7).
Поскольку энергия возбуждений всегда положительна, то в
пределе Т = 0 имеем
^р ' C3)
На рис. 3 изображена функция распределения vi для импульсов
вблизи от поверхности Ферми.
210 Неидеальный ферми-газ со слабым притяжением [VIII
N(p)
0.75-
0.25-
0.0-1 ¦ ¦ ,
-4 -2 0 2 4
Рис. 3. Функция распределения для частиц при Т — 0
§ 4. Температурная зависимость энергетической щели
Для получения явного уравнения для энергетической щели А
вычислим средние значения операторов рождения и уничтоже-
уничтожения куперовских пар, входящих в уравнения самосогласования
A7):
= aupvp A - 2nF(Ep)). C4)
Подставляя C4) в уравнения A7) и используя явные определе-
§ 4] Температурная зависимость энергетической щели 211
ния B4) величин ир и г?р, получаем уравнение для |А|2:
Ы
2BттЛK
"
Здесь Е'р - энергия возбуждений B7), а интегрирование по им-
импульсам производится в достаточно узком слое вблизи поверх-
поверхности Ферми |?р| < б.
Энергетический параметр б существенно зависит от меха-
механизма куперовского спаривания.
Из этого уравнения сразу находим величину энергетической
щели при Т = 0. В этом пределе пр(Ер) = 0, так что левая
сторона уравнения C5) легко интегрируется с помощью подста-
подстановки p2dp ~ mpod?, где ? = р2/2т — /л:
Ы ' ird$=\gH\ Г^ =1> C6)
где z/q = mpo/2n2h3— плотность энергетических состояний на
поверхности Ферми нормального металла.
Отсюда находим До:
(з7)
Для того чтобы изучить температурную зависимость параме-
параметра энергетической щели А, перепишем основное уравнение C5)
в несколько иной форме:
\д\
2Bтг/гK
где Е@ = VC2 + А2.
212 Неидеальный ферми-газ со слабым притяжением [VIII
Можно определить температуру перехода Тс, если в уравне-
уравнении C8) положить А = 0, а затем произвести замену перемен-
переменных ?/2Тс = z:
e/2Tc
После интегрирования по частям приводим правую сторону C9)
к табличным интегралам:
о
Подынтегральное выражение последнего интеграла сходится на
z « 1, так что с экспоненциальной точностью верхний предел
можно заменить на бесконечность. В результате получим
. . 1 276 27 f 1 1
1 = \д\и]п-ф- плп Тс = б-^ехр ]-—^ D1)
где In 7 = С « 0.577— постоянная Эйлера.
Энергетический параметр е существенно зависит от меха-
механизма сверхпроводимости. Так, в случае чисто электрон-фонон-
ного механизма величина б имеет порядок температуры Дебая,
что приводит к полному изотопическому эффекту: Тс ~ 1/л/М,
где М - полная масса атомов элементарной ячейки. Эта зави-
зависимость неплохо выполняется для большой группы низкотемпе-
низкотемпературных сверхпроводников.
В случае высокотемпературных сверхпроводников изотопи-
изотопический эффект обнаруживается тем более слабо, чем выше Тс.
Для некоторых соединений (например, в Pd(H,D)) обнаружен
даже отрицательный изотопический эффект, что указывает на
наличие нефононного механизма куперовского спаривания.
Безразмерное отношение 2Ао/Тс = 2тг/7 ^ 3.53 содержит
только универсальные постоянные, что позволяет осуществить
экспериментальную проверку микроскопической теории.
§ 4.1] Температура вблизи точки перехода 213
Для так называемых низкотемпературных сверхпроводни-
сверхпроводников это соотношение выполняется с хорошей точностью. Однако
для высокотемпературных сверхпроводников 2Aq/Tc в полтора-
два раза превышает теоретическое значение. Качественное объ-
объяснение этого эффекта состоит в том, что в теории БКШ не учи-
учитываются эффекты релаксации, зависящие от температуры.
При Т = 0 времена релаксации обращаются в бесконечность,
так что определение C7) для Aq остаётся без изменений. С дру-
другой стороны, определение температуры перехода претерпевает
существенные изменения по сравнению с D1), поскольку при
Т ~ Тс существование конечных времён релаксации приводит
к уменьшенным (по сравнению с D1)) значениям температуры
сверхпроводящего перехода.
§ 4.1. Температура вблизи точки перехода
Для нахождения закона обращения в нуль величины А/Т
используем известное разложение гиперболического тангенса на
простейшие дроби [5], [6]:
4х Д 1 . ч
Используя это соотношение, запишем левую сторону уравнения
C8) дважды: один раз при Т < Тс, где А ф 0, а другой раз при
Т = Тс, когда А = 0:
2дТ ~ г dp
Г
J
dp
В первых двух выражениях интегрирование по импульсу есте-
естественно заменить интегрированием по переменной ? =
= р2 /2m — /i. В силу быстрой сходимости это интегрирова-
интегрирование можно произвести в симметричных пределах, а в числителе
214 Неидеальный ферми-газ со слабым притяжением [VIII
положить p2dp « Popdp = mpodt;. В результате получим про-
простое соотношение, которое уже нетрудно разложить по степеням
(А/ТJ:
/ 8^ ^ /th(?/2T)
' {*TBk + !)]2 + ? + д2 ~ ' s
С —U Q
1««/thK/2Tt)
Коэффициент при А2 вычисляется без труда, поскольку здесь
верхний предел интегрирования можно считать равным беско-
бесконечности:
2
= Д2г V - = А2 7СC) D5)
^ [тгГBЛ + 1)]3 А8[тгГ]2- l4bj
В результате обезразмеривания и интегрирования по частям
получаем логарифмический результат, который следует разло-
разложить по степеням близости к температуре сверхпроводящего
перехода: т = (Тс - Т)/Тс < 1,
D6)
§ 4.2. Температура вблизи нуля
Перепишем уравнение D1) в эквивалентной форме C5):
4.2]
Температура вблизи нуля
15
После перехода к интегрированию по ? исключаем константу g
с помощью уравнения при Т = 0:
Если предположить, что энергетический параметр е велик по
сравнению с До, тогда эта величина выпадает из уравнения
D8), которое приводится таким образом к однопараметриче-
скому виду:
..
А°-2 Г
-JP + Д2
Здесь пр(е) - распределение Ферми, До - величина энергетиче-
энергетической щели при Т = 0.
В этом уравнении удобно сделать естественную подстановку:
? = Ashx, тогда правая сторона уравнения оказывается завися-
зависящей только от параметра у = А/Т:
л
1п X =
В области низких температур, когда параметр у > 1, распре-
распределение Ферми можно заменить распределением Больцмана, а
гиперболический косинус разложить при малой безразмерной
энергии х. В результате простого интегрирования находим
оо
Отсюда получаем экспоненциальную поправку к величине
= Ао
ехр(-А0/Т)
E1)
216 Неидеальный ферми-газ со слабым притяжением [VIII
Л
0.8:
о.б:
0.4:
0.2:
о
д/д.
т/тс
0.2 0.4 0.6 0.8
Рис. 4. Температурная зависимость энергетической щели
Вся зависимость энергетической щели от температуры изо-
изображена на рис. 4.
Уточнённое значение предэкспоненциального множителя
можно определить, если использовать известные формулы тео-
теории бесселевых функций [5]:
оо
при у > 1 имеем
К
В результате вместо E1) получим более точное разложение:
А = Ао U -
8До.
exp (-До/Т). E2)
§ 5] Термодинамика сверхпроводника 217
§ 5. Термодинамика сверхпроводника
Используем общую теорему о том, что производная гамиль-
гамильтониана по любому внешнему параметру, усреднённая при за-
заданных значениях температуры, химического потенциала и объ-
объема, равна производной от ^-потенциала:
Дифференцируя исходный гамильтониан A3) по параметру g,
получим следующее уравнение:
Я IT 1
У р q
Усреднив это выражение, находим дифференциальное соотно-
соотношение:
р I \ q I У
Здесь отброшены флуктуационные поправки, которые проявля-
проявляются только в чрезвычайно узкой температурной области вблизи
от точки перехода. (См. ниже в § 7.5).
Наша дальнейшая задача состоит в том, чтобы установить
явную зависимость А от константы БКШ.
Рассмотрим сначала случай Т = 0. В этом пределе До =
= 2ёехр( — l/gz/о), а поправка к Q-потенциалу совпадает с по-
поправкой к энергии. После подстановки Aq в правую сторону
E5) получаем возможность произвести явное интегрирование:
Qs@) - пп@) = Es@) - Еп@) =
^ E0,
218 Неидеальный ферми-газ со слабым притяжением [VIII
§ 5.1. Область низких температур
При рассмотрении области низких температур (Т <^ТС ~
~ А) удобно использовать уравнение D9), в котором произведём
естественную замену переменных ? = Ashx, а затем представим
функцию Ферми в виде ряда суммы членов геометрической про-
прогрессии:
О
к=1
В результате каждое слагаемое выражается через бесселеву функ-
функцию Kq(x):
д \ ^ од I ~"-^ I фГ №')
Здесь была использована асимптотическая формула:
Используя определение До, переходим от вариации по параме-
параметру д к вариации по До: До&7 = ^о^^До- В результате вместо
соотношения E3) получим соотношение, не содержащее вариа-
вариации константы БКШ:
8п = -iy0VA25ln(A0), E8)
где 1/q = гпро /2тг2^3 - плотность состояний на поверхности Ферми
нормального металла. Дифференцирование уравнения E7) по-
позволяет установить связь между вариациями Д и До:
00 k / kA \
Лп До = Лп А - 2SA ?(-1I+*-^ — . E9)
/с=1 \ -1- /
5.1]
Область низких температур
219
Здесь и ниже используется формула дифференцирования функ-
функции Бесселя Kq(x) = —К\(х).
Подставляем 81п До в правую сторону уравнения E8), а за-
затем интегрируем от нуля до заданного значения величины А.
В результате получаем
(л2 °° т2 7
— + 2 ]Г(-1Г— I Kx(x)x2dx-
71=1
СЮ
П=1
-l)n^7 / K,(x)x2dx\.
i Ь j I
F0)
nA/T
Здесь первый интеграл равен 2, сумма легко вычисляется, а
в остающемся подынтегральном выражении при п = 1 можно
использовать асимптотическое выражение:
В результате находим
US(T) = пп(Т) + V
-1/ц,|\/27гД;*Т[1 +
тРоТ2
-Ущ
F1)
В первое слагаемое необходимо подставить известное разложе-
разложение для идеального ферми-газа:
пп(Т) и fin@) - V
mppT2
б/г3
Вместо второго слагаемого подставим разложение E2):
А2(Г)
220 Неидеальный ферми-газ со слабым притяжением [VIII
В результате, находим температурную поправку к Г2-потенциа-
лу [5]:
US(T) = пп@) - Vvo-? -
—eM-^)- F2)
При нахождении энтропии и теплоёмкости достаточно произво-
производить дифференцирование наиболее быстрой температурной за-
зависимости, происходящей от экспоненты. В результате опреде-
определяем экспоненциальные зависимости энтропии и теплоёмкости:
F3)
aS/W0Tc
1.2-j
1.0-Е
0.8-j
0.6-j
0.4-j
0.2-i
0
sr / s, /
/ /
7
т/тс
0 0-2 0.4 0.6 0.8 1
Рис. 5. Температурная зависимость энтропии
Таким образом, при Т —> 0 теплоёмкость убывает по экспо-
экспоненциальному закону, что связано с наличием щели в спектре
возбуждений.
§ 5.2] Область температур вблизи от точки перехода 221
§ 5.2. Область температур вблизи от точки перехода
Для получения поправки к теплоёмкости вблизи точки пере-
перехода в нормальное состояние воспользуемся разложением D6) и
перейдём к вариации 5ТС с помощью общего соотношения E5).
Будем использовать уравнение для А, разложенное по сте-
степеням А/Т:
*2т* = ыт"тг- F4)
В этом уравнении зависимость от д содержится в определе-
определении величины Тс:
= -5—- F5)
с ; с ^
тг дщ дгщ
Вычислим вариацию А в зависимости от In Tc через уравне-
уравнение F4):
,ЛЛ 7СC) Тс 5д
4:7rzlz 1 дгщ
Подставляя величину Sg/g2 в общее соотношение E5) и исполь-
используя соотношение F6), исключаем из рассмотрения вариацию па-
параметра д:
о _о -_
"s "n —
16тг2Г2 7CC)/i3V '
Отсюда находим энтропию и скачок теплоёмкости:
7(C)/г3
Г* — П — Т/ ^иьУО гр ^ \Г_Z—?_2—T (?9\
Cs Сп~ 7ф)П3 7ф)П3°- { }
Таким образом, фазовый переход в сверхпроводящее состояние
является фазовым переходом II рода (рис. 5).
По сравнению с решёточной теплоёмкостью скачок невелик,
однако в отношении к электронной части теплоёмкости он имеет
порядок единицы (рис. 6):
222 Неидеальный ферми-газ со слабым притяжением [VIII
4-
2-
°0 0.2 0.4 0.6 0.8
Рис. 6. Температурная зависимость теплоёмкости
CS(TC)
Cn(Tc)
12
1.43.
F9)
§ 5.3. Термодинамическое критическое магнитное поле
Рассмотрим так называемый сверхпроводник I-рода, в кото-
котором с повышением внешнего магнитного поля происходит пере-
переход в нормальное состояние, который является фазовым перехо-
переходом первого рода.
Для того чтобы не рассматривать неоднородных состояний,
выберем такую геометрию, в которой среднее магнитное поле
В является однородным (рис. 7).
Внешнее поле Н направлено вдоль оси цилиндрического сверх-
сверхпроводника, высота которого значительно превышает его ра-
радиус R.
Если пренебречь магнитными свойствами среды, окружаю-
окружающей сверхпроводник, то при данной геометрии в области г > R
можно написать
= н = н.
G0)
§ 5.3] Термодинамическое критическое магнитное поле 223
Внутри сверхпроводника все поля также направлены вдоль оси
цилиндра. Причем на границе цилиндра выполняется условие
непрерывности вектора Н.
?\\
„:;;;;;::;;;;т:::::::::::?
H:::::::::::j
"i
:0н=:
>..
t:::::::::
'¦¦::
i)
•N
н
Рис. 7. Магнитные поля внутри и вне сверхпроводника
Учитывая также, что среднее магнитное поле В внутри сверх-
сверхпроводника равно нулю, для области г < R можно написать:
= О, Н = Н, М =
В - Н
4тг
Н
G1)
где М - средний магнитный момент, относящийся к единице
объёма сверхпроводника.
При заданном внешнем магнитном поле Н можно записать
известное термодинамическое соотношение, относящееся к еди-
единице объёма:
1
-dus(H,T) = -MdH,
G2)
где fis(i7,T) - fi-потенциал сверхпроводника, вычисленный при
заданной температуре и при заданной величине внешнего маг-
магнитного поля Н.
224 Неидеальный ферми-газ со слабым притяжением [VIII
Подстановка выражения среднего магнитного момента М из
G0) в G2) позволяет проинтегрировать соотношение G2) по ве-
величине внешнего магнитного поля:
G3)
Это последнее соотношение позволяет найти величину и опре-
определить температурную зависимость термодинамического кри-
критического магнитного поля из общего условия возникновения
фазового перехода I рода:
Пренебрегая весьма слабыми (парамагнитными или диамагнит-
диамагнитными) свойствами нормальной фазы, можно написать:
пп(Нс,Т)ъпп@,Т), G5)
так что условие фазового перехода I рода можно заменить упро-
упрощённым:
\ls{rlC}± ) = ^n(U, 1 ). Gо)
В области низких температур нам известны следующие со-
соотношения, справедливые при нулевом внешнем поле:
fis@,T)-fin@,0) = -F^,
пп(о,т) - пп{д,о) = -vv-^. G7)
О
Отсюда следует
Пв@,Т) - Пп@,Т) = -VV-^ + VV-^. G8)
С помощью G3) и G8) получаем условие для нахождения кри-
критического поля:
Г>2 Д2 7/Т27Г2
US(HC,T) - Пп@,Т) = У^~ V^ + ^^— = 0. G9)
§ 5.3] Термодинамическое критическое магнитное поле 225
В результате, с учётом условия Т <С До, находим
/ т2тг2\
Нс = 2^Д0 1 -
V
(80)
где In 7 = С ~ 0.577— постоянная Эйлера.
В области Тс — Т <С Гс нам известны следующие соотноше-
соотношения, справедливые при нулевом внешнем поле:
ад, г) - пта(о, о) « пта(о, г) - Fz/i? (Д(г)L,
y (81)
где в области Тс - Г < Тс
-1/Тб(^ТЛ - тс(з
Отсюда следует
I1 J (82)
4
fis@, Г) - fin@, Г) = fin@, Г) - VvR (Д(Т)L + У1^-^- (83)
С помощью G3), G6) получаем условие для нахождения крити-
критического поля:
Us (Яс, Г) - пп @, Г) = V ^ - К^ЯД4. (84)
О7Г
В результате, с учётом определения (82), находим
(85)
где СC) « 1.202 - ("-функция Римана от трёх.
Таким образом, критическое магнитное поле обращается в
нуль по линейному температурному закону.
226 Неидеальный ферми-газ со слабым притяжением [VIII
§ 6. Плотность нормальной и сверхпроводящей фазы
Мы предполагали, что скорость центра инерции куперов-
ских пар равна нулю. Иными словами, все проведённые до сих
пор расчёты относились к той системе отсчёта, в которой бозе-
конденсат куперовских пар покоится. Однако если заставить
бозе-конденсат двигаться, то он будет двигаться без какого-
либо трения о стенки. При температуре абсолютного нуля все
частицы находятся в конденсате, так что в случае сверхпровод-
сверхпроводника плотность (по числу частиц) частиц конденсата, образо-
образованного куперовскими парами, равна половине плотности, вы-
вычисленной по полному числу электронов (пе). С повышением
температуры плотность сверхпроводящих электронов (ns) умень-
уменьшается, так что оставшиеся электроны оказываются "затормо-
"заторможенными". Такая физическая картина (предложенная
Л.Д. Ландау) относится в равной степени и к сверхпроводнику
и к сверхтекучему Не4 [6].
Рассмотрим сверхтекучую жидкость, движущуюся через ка-
капилляр со скоростью V относительно его неподвижных стенок.
Вычисления будем производить в той системе, где покоится бозе-
конденсат. Ясно, что это есть система отсчета, которая непо-
неподвижна относительно жидкости, т.е. движется со скоростью V
относительно стенок.
Нормальные возбуждения (квазичастицы) прилипают к стен-
стенкам, т.е. в среднем заторможены. Поэтому с точки зрения на-
наблюдателя, связанного со стенками, они имеют нулевой средний
импульс и энергию Ер.
С точки зрения наблюдателя, связанного с движущимся кон-
конденсатом, стенки "летят" на наблюдателя со скоростью —V, и
поэтому в этой системе средний импульс возбуждений отличен
от нуля.
Энергию возбуждений в системе, где покоится конденсат, на-
находим из галилеевских преобразований:
Е' = ЕР- (pV). (86)
§ б] Плотность нормальной и сверхпроводящей фазы 227
Здесь Ер - энергия квазичастиц, зависящая только от длины
вектора импульса р = |р|.
В теории сверхтекучего гелия функцию Ер берём из экспе-
эксперимента.
В теории БКШ
Др = ^ + Д2, (87)
где ip — 2т ~ 1^ ~ энергия электронов, отсчитанная от уровня
Ферми fi. Величина энергетической щели А отлична от нуля
в сверхпроводящей фазе и при всех температурах вычислена в
теории БКШ (см. § 3).
Функция распределения для газа квазичастиц, движущегося
как целое, получается из функции распределения неподвижного
газа просто путём замены энергии частицы Ер величиной Ер —
—pV7 что находится в согласии с соотношением (86).
Поэтому функция распределения квазичастиц, подчиняющихся
статистике Ферми, имеет следующий вид:
(88)
exp[(Ep-pV)/T\+l
Вычислим полный импульс Р газа квазичастиц, отнесённый
к единице объёма (со спином 1/2):
Р =
Bтг/гK
J [ ~^ 1 ' (89)
Предположим, что скорость V мала, и разложим подынтеграль-
подынтегральное выражение по степеням pV. Член нулевого порядка исче-
исчезает при усреднении по направлениям р и остаётся слагаемое,
линейное по скорости V:
dnF{Ep)
дЕр ""' '"г ехр[(^)/Г] + Г
(90)
228 Неидеальный ферми-газ со слабым притяжением [VIII
Производя усреднение по углам, находим плотность нормаль-
нормальной компоненты рп как коэффициент между средним импульсом
единицы объема Р и скоростью V:
где nfF(e) - производная от функции Ферми с нулевым химиче-
химическим потенциалом.
§ 6.1. Область низких температур
Предположим, что Г < А, тогда число возбуждений экс-
экспоненциально мало, а общая формула может быть заменена на
интеграл от распределения Больцмана:
8тг
Рп = -;
Ip4n'B{
О
О
Перейдём в (92) к интегрированию по энергетическому откло-
отклонению от уровня Ферми. Для этой цели вместо произведения
p^dp напишем приближённо p^md^ где pq— импульс Ферми. В
результате соотношение (92) для плотности нормальной компо-
компоненты преобразуется к следующему интегралу:
(-^—: )<%. (93)
о
Полная плотность газа р связана с импульсом Ферми ро с помо-
помощью известного соотношения:
V " 3Bтг/гK'
§ 6] Плотность нормальной и сверхпроводящей фазы 229
Поэтому
ОО
— / ехт)( fete* IУ о)
р Т J Т v
о
Этот интеграл набирается в области |?| < л/ТА <С А, что по-
позволяет произвести разложение:
(М)
В результате интегрирования находим экспоненциально малую
поправку, но с большой предэкспонентой:
2тгД0 Г До
exp [--jr
Поскольку плотность сверхпроводящих электронов ps = р — рп,
то при Т = 0 плотность сверхпроводящих электронов совпадает
с полной плотностью. С повышением температуры происходит
экспоненциально медленное убывание плотности сверхпроводя-
сверхпроводящей компоненты.
Это поведение обусловлено существованием в спектре возбу-
возбуждений G5) конечной энергетической щели Aq.
§ 6.2. Область температур вблизи от точки перехода
Чтобы получить всю температурную зависимость плотно-
плотности сверхпроводящих и нормальных электронов, выведем соот-
соотношение, связывающее рп, А и производную А7(Т).
Для этой цели продифференцируем уравнение E0) по тем-
температуре:
^ ^|dx, (98)
230 Неидеальный ферми-газ со слабым притяжением [VIII
где А7 обозначает производную по температуре; у — А /Т. Заме-
Замечательным образом этому же интегралу пропорциональна плот-
плотность нормальной компоненты рп, записанная в тех же перемен-
переменных.
Для того чтобы это доказать, перейдём в (91) к интегриро-
интегрированию по энергетическому отклонению от уровня Ферми. Для
этой цели вместо произведения p4dp напишем приближённо
p^rnd^, гдеро - импульс Ферми. В результате соотношение (91)
для плотности нормальной компоненты преобразуется к следу-
следующему интегралу:
что после подстановки ? = A shx приводится к тому же инте-
интегралу, что и в (98):
— = -— /chx n7F(y chx)dx. A00)
р 1 J
Поэтому из уравнений (98) и A00) можно исключить одинако-
одинаковый интеграл, после чего можно выразить плотность нормаль-
нормальных электронов через логарифмическую производную от вели-
величины А:
dy рп ГА7 А1 рп А7
dT р [т тЦ р т' A01)
Отсюда находим искомое соотношение:
i? A02)
С повышением температуры число нормальных возбужде-
возбуждений возрастает. По этой причине с приближением к точке пе-
перехода плотность сверхпроводящих электронов обращается в
нуль, поскольку плотность нормальных возбуждений стремится
к полной плотности электронов.
§ 6] Плотность нормальной и сверхпроводящей фазы 231
Согласно соотношению D6), энергетический параметр А обра-
обращается в нуль по корневому закону
А(Г -> Тс) « wy/Tc - Г, A03)
где согласно D6)
W = 7Г\
7CC)
Согласно соотношению A02) и разложению A03) имеем
Рп Рп
1.0
0.6 -
0.4-
\
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
Рис. 8. Температурная зависимость сверхтекучей
компоненты согласно теории БКШ
Таким образом, вблизи температуры сверхпроводящего пе-
перехода плотность сверхпроводящих электронов обращается в
232 Неидеальный ферми-газ со слабым притяжением [VIII
нуль по линейному закону:
ps«2p^^. A05)
Если определить число куперовских пар Ns как число сверхпро-
сверхпроводящих электронов, деленных на двойную массу электрона и
умноженную на полный объем, тогда при Т = 0 число куперов-
куперовских пар оказывается равным половине полного числа электро-
электронов.
В пределе Т —> Тс число куперовских пар обращается в нуль
по линейному закону с коэффициентом, в точности равным пол-
полному числу электронов iV:
Ns « iV(Tc~r). A06)
Температурная зависимость ps(T)/p изображена на рис. 8.
§ 7. Теория Гинзбурга—Ландау
В 1950 году Л.Д. Ландау и В.Л. Гинзбург [1] предложили урав-
уравнения для вычисления плотности сверхпроводящих электронов
ns, которая выражается через квадрат модуля волновой функ-
функции: ns = |Ф(г)|2.
§ 7.1. Основные уравнения
Согласно их гипотезе волновая функция Ф определяет кине-
кинетическую энергию сверхпроводящих электронов таким же обра-
образом, как и в обычном уравнении Шрёдингера. Поэтому плот-
плотность кинетической энергии Ti выражается через произведения
операторов обобщённого импульса Р = — г/iV — q*A(f)/c:
(РФ(г))* (РФ(г))
Т1(г,Р) = ^ J-± >-, A07)
2m
§ 7.1] Теория Гинзбурга-Ландау 233
где т - масса сверхпроводящего электрона, q* - его заряд,
А (г) - векторный потенциал стационарного магнитного поля
h(f) = [vl(f)] .
Два других слагаемых плотности энергии соответствуют об-
общей теории фазовых переходов Л.Д. Ландау:
Т2(г) = а(Т - Тс)|Ф(г)|2 + ||Ф(г)|4. A08)
Функционал, который требуется минимизировать, имеет следу-
следующий общий вид:
I \ ТПг, -ihV ~q*^) + T2(r) + L_L I rff. (Ю9)
Вариация этого функционала по векторному потенциалу А опре-
определяет уравнения магнетостатики:
Ф* (-iW - (/М/с) Ф
[V [VA]} = [v/г] = 4тг«* 5. __ L_
+ h.c. (по)
Л.П. Горьков доказал, что q* = 2e, m = 2m, и определил коэф-
коэффициенты а и b [5], [7] (е, m - заряд и масса электрона).
Вариация этого функционала по волновой функции Ф* дает
уравнение на Ф:
Am
Второе уравнение получаем из A11) с помощью операции ком-
комплексного сопряжения.
§ 7.2. Определение коэффициентов в уравнениях
Гинзбурга—Ландау
В отсутствие внешнего поля и в состоянии термодинамиче-
термодинамического равновесия имеем
- а(Тс - Т) Тс-Т
= г = пв = щ—-—. A12)
234 Неидеальный ферми-газ со слабым притяжением [VIII
Здесь первое соотношение получено из уравнения A11), а по-
последнее из микроскопического определения A06) плотности ку-
перовских пар через полную электронную плотность щ = Ne/V.
Подстановка равновесного значения |Ф|2 из A12) в функцио-
функционал Гинзбурга-Ландау A08) определяет минимальное значение
свободной энергии, которое уже было получено из микроскопи-
микроскопической теории БКШ (см. соотношения F7) и F8)). Fs — Fn =
2Ъ 32тг4/№ (с } 7СC)Й3'
Два уравнения A12) и A13) позволяют найти два неизвестных
коэффициента:
12тг2шТс аТс 36тг5/г3шТ2
Ь ' ( }
Таким образом, согласно A14), величина энергетической щели
А вблизи точки перехода пропорциональна модулю волновой
функция центра инерции куперовских пар:
V 87г
Результаты A14) и A15) были получены Л.П. Горьковым по
методу температурных функций Грина.
Было показано, что вблизи от точки перехода волновая функ-
функция Ф(г) и её комплексно-сопряжённая могут быть выражены
через аномальные средние:
Здесь фа(г) и фа(г) - ^-операторы рождения и уничтожения,
записанные в представлении Мацу бары.
§ 7.3] Граничные условия к уравнениям Гинзбурга-Ландау 235
Горьков также показал, что возможность получения уравне-
уравнения типа Лондонов основана на предположении о медленности
изменения всех величин на расстояниях порядка размера купе-
ровской пары ?(Т).
Задача
Определить размер куперовской пары.
Решение. По порядку величины размер куперовской пары
можно определить с помощью соотношения неопределённости
для импульса куперовской пары, равного импульсу центра инер-
инерции электронной пары. Заметим, что величина А есть энер-
энергия связи двух электронов, каждый из которых имеет относи-
относительную скорость, равную скорости vF = ро/т на поверхности
Ферми.
Поэтому можно написать:
До-
9 9
pi я
2m 2m
2
|Й - Й
m
- T^F,
откуда получаем оценку размера куперовской пары:
hvF hvF Ti eF
A16)
Согласно этой оценке, размер куперовской пары превышает сред-
среднее расстояние между электронами h/po во столько раз, во сколь-
сколько энергия Ферми превышает энергию связи куперовской пары.
§ 7.3. Граничные условия к уравнениям
Гинзбурга—Ландау
Как и сами уравнения Гинзбурга-Ландау (ГЛАГ), так и гра-
граничные условия для функций А или Ф могут быть получены из
микроскопических интегральных уравнений Горькова. Реше-
Решения этих уравнений на расстояниях от границы, превышающих
величину ?о? но меньших радиуса корреляции ?(Т) =
236 Неидеальный ферми-газ со слабым притяжением [VIII
= ^о\/Тс/(Тс — Г), позволяют определить граничные условия
(см. работу [8]).
Предположим, например, что сверхпроводник (z > 0) грани-
граничит с нормальным металлом (z < 0), который ничем не от-
отличается от сверхпроводника, кроме того, что в нем вообще
отсутствует какое-либо взаимодействие. При этом нормаль-
нормальные электроны из области z > 0 залетают в сверхпроводящую
область, что приводит к уменьшению плотности куперовских
пар на расстоянии от границы 0 < z < ?o- По этой причине для
нахождения решений в асимптотической области ?,о < z < ?(Т)
достаточно рассмотреть решение линеаризованной части инте-
интегрального уравнения:
сю
ф(г) = f K(z,z'L>(zf)dzf. A17)
о
Явный вид ядра интегрального уравнения K(z, z!) можно полу-
получить из уравнений Горькова: K(z, z!) = R(z — z!).
Асимптотический вид решения интегрального уравнения на-
находим по методу Винера-Хопфа.
В области z > fo, " Ф(я) ~ C(z + 0.7f0), где ?0 = Тььо/2тгТс.
Отсюда заключаем, что волновая функция удовлетворяет усло-
условию: О.7?оФ7(О) = Ф@).
Рассмотрим другой предельный случай, когда сверхпровод-
сверхпроводник граничит с диэлектриком или нормальным металлом, но с
достаточно малым коэффициентом прохождения через границу.
При этих условиях влияние границы сводится к возникновению
дополнительного ядра в линеаризованной части интегрального
уравнения.
Для зеркального отражения
K(z, z) = R(z - z) + R(z + z').
Для диффузного отражения
K(z, z) = R(z - z!) + W(z)W(z').
7.3] Граничные условия к уравнениям Гинзбурга-Ландау 237
0.9-
0.8-
0.7-
0.6-
о
0.2
0.4 0.6
0.8
Рис. 9. Волновая функция вблизи границы сверхпро-
сверхпроводника с нормальным металлом в зависимости от
коэффициента D: 1 - полное прохождение D = 0;
2 - промежуточный случай; 3 - полное отражение D — 1
Несмотря на различный вид интегральных операторов, в
обоих случаях асимптотическое решение при Т = Тс не содер-
содержит части, линейной по z. По этой причине в случае полного от-
отражения имеем так называемое "естественное" граничное усло-
условие {пЧф) = 0.
В случае конечного коэффициента прохождения имеем гра-
граничное условие третьего типа:
/3 (n(V - 2геА(г))) ф = ф. A18)
При нулевом коэффициенте отражения величина /3^0, 7?о-
238 Неидеальный ферми-газ со слабым притяжением [VIII
С повышением коэффициента отражения величина /3 возра-
возрастает, оставаясь пропорциональной величине ?сь и обращается
в бесконечность при нулевом коэффициенте прохождения
(рис. 9).
Комплексно-сопряженная волновая функция удовлетворяет
тому же условию, но с противоположным знаком заряда. От-
Отсюда сразу заключаем, что при произвольном действительном
значении коэффициента C нормальная к границе составляющая
плотности тока обращается в нуль.
Рассмотрим далее проблему граничных условий для двух
сверхпроводников с различными, но близкими температурами
перехода Tci,TC2. В этом случае удобно записывать уравнения
для функций A(z), определённых в A15) и относящихся к ле-
левому и правому сверхпроводнику.
Если температура Т такова, что каждый из сверхпроводни-
сверхпроводников находится вблизи своей температуры перехода, то вдали от
границы выполняются дифференциальные уравнения Гинзбурга-
Ландау A11). Предположим для определённости, что Тс\ < Т <
< ТС2, и заметим, что вдали от границы величины Ai и А2
близки к своим равновесным значениям:
где
2^ 8ж2Тск(Тск - Т)
к 7СC)
Линеаризация уравнений Горькова по малым поправкам
(Pk{z)/Ak снова приводит нас к линейному интегральному урав-
уравнению, которое решается по методу Винера-Хопфа.
В результате оказывается, что в области применимости диф-
дифференциальных уравнений \z\ ^> ?& ~ г?о/2тгТ, и при полном про-
прохождении через границу выполняются условия непрерывности
величины А вместе с её производной:
Д@+) = А(О-); Д7@+) = А7@-). A19)
§ 7.3] Граничные условия к уравнениям Гинзбурга-Ландау 239
При произвольном коэффициенте прохождения D через границу
граничные условия имеют нетривиальный характер. Условия
непрерывности производных для функций А имеют следующий
вид:
^Д'@+) = — Д'(О-). A20)
Условия, содержащие саму функцию А, приводятся к более слож-
сложной форме:
А(О-) + (т7_?-)Д'@-) = Д@+) - (т7+е+)Д'@+), A21)
где т± и п± - масса и электронная плотность справа и слева
от границы, коэффициенты г)± зависят от коэффициента про-
прохождения D и обращаются в бесконечность в пределе полного
отражения R —> 1. Так, в случае зеркального отражения от
плоской границы:
7ф) f R(p)pzdPxdpy
где р± - импульсы Ферми слева и справа от границы.
При не слишком малом коэффициенте отражения D ^>
^> у/(Тс — Т)/Тс условие A21) переходит в требование непре-
непрерывности величины А. В обратном пределе, когда коэффициент
отражения весьма близок к единице, получаем "естественные"
граничные условия: Д7@(=Ь)) = 0.
Задача
Определить глубину проникновения слабого магнитного поля
внутрь массивного сверхпроводника.
Решение.
Предположение о слабости магнитного поля позволяет счи-
считать, что волновая функция куперовских пар остаётся равной
своему значению в отсутствие поля Ф(г) = д/nj, где ns опреде-
определена в A12).
240 Неидеальный ферми-газ со слабым притяжением [VIII
В результате при заданном ns получим уравнение на век-
векторный потенциал А(г) (см. уравнение A10)):
A А2 = ?^, A23)
где ё = 2е, т = 2m, ns = пеЛ/(Тс -Т)/Тс.
Величина Л называется лондоновской глубиной проникнове-
проникновения магнитного поля h = VA , которое удовлетворяет тому же
уравнению A23) и потому затухает внутрь сверхпроводника на
длине Л.
§ 7.4. Критические магнитные поля
Существование эффекта Мейсснера приводит к тому, что
внутри сверхпроводника магнитное поле отсутствует. Это озна-
означает, что энергия однородного сверхпроводника, находящегося
во внешнем магнитном поле Я, возрастает на величину Н2/8тг.
Определим критическое термодинамическое поле Нстп как
такое поле, при котором проигрыш: в энергии за счёт выталки-
выталкивания магнитного поля точно компенсирует выигрыш за счёт
бозе-конденсации куперовских пар.
Вычисления, сделанные в § 5.3, содержат допущение о том,
что с повышением поля при Н = Нст сверхпроводящая фаза,
оставаясь однородной, исчезает сразу по всему объёму образца.
Происходящий при этом фазовый переход является фазовым пе-
переходом I рода.
Однако можно предположить, что при изменении поля от
значений, больших критического, внутри нормальной фазы воз-
возникают зародыши сверхпроводящей фазы. Соответствующее
критическое поле НС2 легко определить из уравнений Гинзбурга-
Ландау с известными из микроскопической теории коэффициен-
коэффициентами (ГЛАГ) [9].
По причине малости сверхпроводящих зародышей для на-
нахождения самого критического поля достаточно ограничиться
§ 7.4] Критические магнитные поля 241
линейным уравнением:
4m v c/
В нашем приближении уравнение для векторного потенциала
не содержит сверхпроводящего тока, пропорционального плот-
плотности сверхпроводящих зародышей: V/i = 0. По этой причине
векторный потенциал А можно выбрать в простейшей форме
Записанный в таком виде потенциал приводит уравнение
A24) к уравнению Шрёдингера для частицы с двойным элек-
электронным зарядом, двойной электронной массой и энергией Е =
= а(Тс — Т). Отличное от нуля решение уравнения A24) отве-
отвечает уровням гармонического осциллятора, имеющего класси-
классическую частоту, равную циклотронной ljq = \e\H/mc. Отсюда
находим максимальное поле, соответствующее основному состо-
состоянию с энергией Е = Ншо/2. В результате использования ми-
микроскопического значения параметра а получаем
и о^№ луп гпс "^'" " "*•" "v "с (гр гр\ /1ог;\
С V с 7|ф ,л, ^t2..9^/o\V с J V )
Правая сторона представлена в виде отношения кванта магнит-
магнитного потока nch/\e\ к квадрату среднего размера зародыша, воз-
возникающего при Н = НС2.
Размер возникающего зародыша пропорционален радиусу кор-
корреляции:
hvF I 7СC)ГС
^т-у A2б)
который при Г —> Тс обращается в бесконечность по тому же
закону, что и глубина проникновения слабого магнитного
поля 5(Т).
Как заметил А.А. Абрикосов, отношение к — <5(Т)/?(Т) с
точностью до числового множителя совпадает с отношением
242 Неидеальный ферми-газ со слабым притяжением [VIII
критического поля образования зародыша к термодинамическому
полю. НС2 = кНс, где
к, =
при Т<ТС;
к =
при Т = 0 (е« 2.7182). A27)
Микроскопические значения параметра к были получены в ра-
работах Л.П. Горькова [7]. Как следует из A27), в обоих предель-
предельных случаях малое значение отношения Тс/ер частично ком-
компенсируется большой величиной c/vf, однако для большинства
чистых металлов величина к оказывается меньше, чем 1/\/2.
Такие сверхпроводники называются сверхпроводниками I рода.
С повышением температуры происходит уменьшение крити-
критического поля, как это видно из рис. 10.
3.251
3.15:
o.i:
0.05-
0.2 \'.\А 0.6 0.В
Рис. 10. Второе критическое поле
для чистого сверхпроводника
§ 7.4] Критические магнитные поля 243
В области малых значений параметра х разложение функции
(р(х) начинается с квадратичных членов:
.^ 7СCJ Т , 7СCJ 2|е|Я
з ' тс з ' ch
Исключив из этих соотношений параметр х2, находим закон
обращения в нуль критического поля:
Т
который уже был получен из уравнения Гинзбурга-Ландау.
Микроскопические значения параметра к были получены в
работах Л.П. Горькова [6]. Как следует из A27) и A28), в обоих
предельных случаях малое значение отношения Тс/ер частично
компенсируется большой величиной c/vq7 однако для большин-
большинства чистых металлов величина к оказывается меньше, чем
Исключение представляют чистый сверхпроводящий ниобий
(Тс = 9.3 К) и чистый ванадий (Тс = 5.46 К), которые при всех
температурах являются сверхпроводниками II рода.
Для сверхпроводников I рода термодинамическое поле ока-
оказывается большим, чем поле образования зародышей, существо-
существование неоднородной фазы в области НС2 < Н < Нс оказыва-
оказывается невозможным. Однако именно в этой области может суще-
существовать метастабильная однородная нормальная фаза. Таким
образом, для сверхпроводников I рода поле ИС2 следует рассма-
рассматривать как критическое поле переохлаждения, ниже которого
однородная нормальная фаза не может существовать даже в ме-
тастабильном состоянии.
Задача
Показать возможность квантования магнитного потока че-
через сверхпроводящее кольцо.
244 Неидеальный ферми-газ со слабым притяжением [VIII
Решение.
Предположим, что по модулю волновая функция Ф по-прежнем)
постоянна и равна -y/nj, в то время как её фаза ip зависит от ко-
координат, т.е.
ф = ^se^f\ j = ^V^ - —п8А. A29)
т cm
Проинтегрируем определение сверхпроводящего тока A29) по
контуру, проходящему глубоко внутри сверхпроводника:
cm <f(jdt) = cehns l(V(pdl) - e2ns Ж (Adi). A30)
j j j
Левая сторона уравнения A30) обращается в нуль, т.к. в глу-
глубине сверхпроводника j = 0. Второй интеграл есть прираще-
приращение фазы волновой функции при обходе по замкнутому контуру
§ \7(pdl = 2nN, где N - целое число.
i(Adl) = [ /(rotAdf) = I f(hdf) = Ф,
где Ф - полный магнитный поток через кольцо.
Отсюда заключаем, что
р (ш)
Экспериментальная проверка показала, что в соотношении A31)
вместо ё следует писать двойной заряд электрона, так что Ф =
, где Фо - квант магнитного потока:
ф0 = ^ « 2.067 • 10Gs ¦ cm2. A32)
\е\
Решением системы уравнений Гинзбурга-Ландау занимался
А.А. Абрикосов, который предсказал существование так назы-
называемого смешанного состояния с волновой функцией, существен-
существенно зависящей от координат. При этом внешнее магнитное поле
квантами потока Фо проникает внутрь сверхпроводника.
§ 7.5] Флуктуационная поправка 245
§ 7.5. Флуктуационная поправка
Уравнения Гинзбурга-Ландау есть не что иное, как нели-
нелинейные волновые уравнения для движения центра инерции ку-
перовских пар.
По этой причине можно определить зависимость энергии со-
соответствующих возбуждений от импульса.
Рассмотрим сначала область выше точки перехода (Т >
> Тс), где можно пренебречь нелинейным слагаемым. В этой
области следует оставить только два слагаемых - кинетиче-
кинетическую и потенциальную энергии:
т.е.
^ а(Т-Тс). A33)
Ниже точки перехода (Т < Тс), где применимо разложение Гинз-
Гинзбурга-Ландау, можно получить аналогичное уравнение, но для
поправки к термодинамически равновесному решению:
ф(г) = ±sja{T\ T) + Vif)- A34)
В результате подстановки этого разложения в уравнение A11) и
его дальнейшей линеаризации по малой поправке <р{г) получим
h 2а{Тс ~
т.е.
^ -Т). A35)
Таким образом, флуктуационная энергия куперовских пар имеет
вид спектра со щелью, которая линейно обращается в нуль при
A36)
246 Неидеальный ферми-газ со слабым притяжением [VIII
п = 2 при Г < Гс, п = 1 при Г > Гс.
Полученная формула определяет энергию критических коле-
колебаний и находится в согласии с теорией Орнштейна-Цернике.
Безразмерная величина а, определяемая соотношением A14),
имеет порядок отношения Тс/вр « 10~2 -=- 10~4.
Предполагая, что критические колебания подчиняются ста-
статистике Бозе, находим флуктуационную поправку к Л-потенциа-
лу:
AST)
Для нахождения сингулярной поправки к энтропии и теплоёмко-
теплоёмкости будем дифференцировать только по температурной зависи-
зависимости энергии флуктуации:
1 дЕт(р)
Ет(р) дТ
Здесь мы воспользовались тем обстоятельством, что энергия
флуктуации A35) линейно зависит от температуры. Снова ис-
используя это обстоятельство, получим
Полученную теплоёмкость необходимо сравнить со скачком те-
теплоёмкости B9):
§ 7.5] Флуктуационная поправка 247
Поскольку произведение множителей (каK/2 DтТ/р%) ~
~ DтТс/р2) по порядку величины есть квадрат отношения
температуры перехода к энергии Ферми, область, где неприме-
неприменима теория БКШ, ограничена весьма узкой областью темпера-
температур. Говоря точнее, уравнения Гинзбурга-Ландау, полученные
из микроскопической теории БКШ, имеют ограниченную, но до-
достаточно широкую область применимости:
/4тТс\4 Тс-Т\ .
—2-4 <-V^<l- A41
Можно видеть, что флуктуационная область, где
является настолько узкой, что её наблюдение выходит за рамки
экспериментальных возможностей.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Гинзбург В.Л., Ландау Л.Д.// ЖЭТФ. 1950. 20, 1064.
2. Bardeen J., Cooper L.N., Schrieffer J.R.jj Phys.Rev. 1957.
108, 1175.
3. Боголюбов КН.// ЖЭТФ. 1958. 34, 34, 73.
4. Горьков Л.П.Ц ЖЭТФ. 1958. 34, 735.
5. Абрикосов А.А., Горьков Л.П., Дзялошинский И.Е. Методы
квантовой теории поля в статистической физике. - М.: Наука,
1962. - 444 с.
6. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М., Питаевский Л.П. Статистиче-
Статистическая физика. - М.: Физматлит, 2001. - 494 с.
7. Горьков Л.П.Ц ЖЭТФ. 1959. 36, 1918.
8. Зайцев P.O.// ЖЭТФ. 1965. 48, 644. 1966. 50, 1055.
9. Абрикосов А.А. Основы теории металлов. - М.: Наука, 1987.
- 420 с.
ЛЕКЦИЯ IX
ФАЗОВЫЕ ПЕРЕХОДЫ II РОДА
Содержание
§ 1. Феноменологическая теория фазовых
переходов II рода 249
§ 1.1. Соотношения Эренфеста 252
§ 2. Теория молекулярного поля Вейсса 254
§ 3. Корреляционные поправки вблизи
критической точки 258
§ 4. Теория сегнетоэлектриков типа смещения .. 265
§ 4.1. Особенности колебательных спектров ионных
кристаллов. Сегнетоэлектрическая неустойчивость 265
§ 4.2. Спонтанная поляризация и колебательный спектр
критических колебаний ниже точки перехода 269
§ 4.3. Особенности термодинамических величин вблизи
точки сегнетоэлектрической неустойчивости 273
Задача 275
Список литературы 276
В общую теорию фазовых переходов II рода входит неко-
некоторый параметр ту, отличный от нуля в упорядоченной фазе и
равный нулю в неупорядоченной. В случае сегнетоэлектрика
роль г] играет спонтанная поляризация Р5, в случае ферромаг-
ферромагнетиков - спонтанное намагничение М5, а в случае сверхпровод-
сверхпроводников параметр есть Ф(г) - волновая функция центра инерции
куперовской пары.
В теории фазовых переходов параметр порядка рассматри-
рассматривается как независимая переменная, фактическое значение ко-
которого определяется из условия минимальности термодинами-
термодинамического потенциала Ф(р, Г, rf) по переменной т\ при заданных
давлении и температуре. Непрерывность изменения состояния
при фазовом переходе II рода выражается в том, что вблизи от
точки фазового перехода величина т\ принимает сколь угодно
малые значения [1].
§ 1] Феноменологическая теория фазовых переходов II рода 249
§ 1. Феноменологическая теория фазовых переходов
II рода
При изучении явления сверхпроводимости было обнаружено,
что переход из сверхпроводящей фазы в нормальную происходит
без поглощения тепла, несмотря на то, что в системе исчезают
куперовские пары.
В сегнетоэлектрических кристаллах с понижением темпера-
температуры возникает средний дипольный момент, что сопровожда-
сопровождается понижением симметрии кристаллической решётки. Так,
при высоких температурах соединение ВаТЮз имеет кубиче-
кубическую решётку с ячейкой, изображённой на рис. 1.
л О О • Ва
Рис. 1. Элементарная ячейка ВаТЮз
со структурой перовскита
С понижением температуры, при некотором определённом её
значении, катионы Ti4+ и анионы О2~ начинают смещаться от-
относительно катионов Ва2+ в направлении одного из рёбер куба.
Ясно, что как только начинается это смещение, возникает не-
скомпенсированный дипольный момент, а симметрия решётки
250 Фазовые переходы II рода [IX
сразу меняется, превращаясь из кубической в тетрагональную.
Для количественной характеристики изменения структуры
тела можно ввести величину т\ (которую будем называть пара-
параметром порядка), определённую таким образом, чтобы она про-
пробегала отличные от нуля (положительные или отрицательные)
значения в несимметричной фазе и была равна нулю в симме-
симметричной фазе.
Теория фазовых переходов второго рода, предложенная
Л.Д. Ландау, исходит из предположения о возможности регу-
регулярного разложения термодинамических потенциалов в ряд
по степеням параметра порядка.
В соответствии с этой гипотезой при заданном давлении р и
температуре Т термодинамический потенциал Ф(р, Т, rf) можно
разложить следующим образом:
у р
Ф(р, Г, г]) = Фо + hr] + аг]2 + Ьг]3 + erf
erf + ... A)
В отсутствие внешнего поля, когда термодинамические потен-
потенциалы являются чётными функциями параметра порядка, коэф-
коэффициенты hnb отсутствуют, а разложение термодинамического
потенциала приобретает вид
Ф(р,Т1п) = Ф0 + \аг]2 + ±Вг1\ B)
где коэффициенты А и В являются функциями давления и тем-
температуры.
Равновесные значения параметра порядка находим из усло-
условия минимума функции B):
I л
(з)
Как видно из рис. 2, при положительных А и В минимальное
значение потенциала достигается при нулевом значении пара-
параметра порядка. Если же коэффициент В > 0, но А < 0, тогда
минимальному значению соответствуют два конечных значения
ту, отличающиеся знаком.
Аг] + Вт]° = 0; г] = 0, г] = ±
1] Феноменологическая теория фазовых переходов II рода 251
Л
ЛФ
А>0
А<0
о
Рис. 2. Функционал Л.Д. Ландау
выше и ниже точки фазового перехода
Отсюда заключаем, что, будучи положительным по одну
сторону и отрицательным по другую сторону точки перехода,
коэффициент А обращается в нуль в самой точке перехода.
Вторая гипотеза Л.Д. Ландау содержится в предположении о
том, что коэффициенты А и В регулярным образом могут быть
разложены по степеням близости к точке перехода.
В соответствии с этим
А(р,Т) = а(р) (Т - Тс), В(р,Т) = В(р,Тс) =
D)
где Тс = Тс(р) - температура перехода, а(р) и В(р) - положи-
положительно определённые функции давления.
Подставляя эти соотношения в выражение C) для равно-
равновесного значения параметра порядка, получим температурный
закон обращения в нуль параметра порядка при Т —> Тс :
а(Тс-Т)
В
-при Т < Тс.
E)
252 Фазовые переходы II рода [IX
Подстановка этого выражения в разложение B) позволяет опре-
определить поведение термодинамического потенциала ниже точки
перехода в условиях полного термодинамического равновесия:
Ф{р,Т,г,) = Ф0-^(Тс-ТJ. F)
Дифференцируя это выражение по температуре, находим по-
поправку к энтропии:
2
,r1) = S0-^(Tc-T). G)
Отрицательный знак поправки соответствует большей степени
упорядочения низкотемпературной фазы. В самой точке пере-
перехода поправка исчезает, что эквивалентно равенству нулю те-
теплоты перехода из одной фазы в другую.
Дифференцируя энтропию по температуре, а затем переходя
к пределу Г —> Гс, находим величину скачка теплоёмкости:
Г - Г 4- а2Тс (*)
Поскольку В > 0, то Ср = Сро7 т-е- теплоёмкость возрастает
при переходе из неупорядоченной в упорядоченную фазу.
§ 1.1. Соотношения Эренфеста
Предположим, что нам известна зависимость температуры
перехода от давления Тс(р), которую находим из условия
А(р,Т) = 0 либо непосредственно из эксперимента.
Далее следует заметить, что объём и энтропия непрерывны
в точке перехода, т.е. вдоль всей линии фазового перехода имеем
AV = 0, AS = 0. (9)
Продифференцируем эти равенства по давлению вдоль кривой
точек перехода Тс(р):
Т) =-^А(^) • (ю)
Т \др)т dp
§1.1] Соотношения Эренфеста 253
Здесь было использовано термодинамическое соотношение
(ds/dP)T = - (dv/dT)p.
Эти два равенства связывают скачки теплоёмкости Ср, ко-
коэффициента теплового расширения и сжимаемости.
Исключив из A0) скачок коэффициента теплового расшире-
расширения, получим связь сжимаемости и скачка теплоёмкости Ср:
т
Т
Отсюда следует, что скачки теплоёмкости и сжимаемости имеют
одинаковый знак, т.е. сжимаемость скачком падает при пере-
переходе от упорядоченной к неупорядоченной фазе.
При заданной зависимости температуры фазового перехода
II рода от объёма Тс = TC(V) необходимо учесть равенства
AS = 0 и Ар = 0, а затем произвести дифференцирование вдоль
кривой точек перехода TC(V). В результате получим
дР\ dTcACv
О
Как следствие, имеем прямую связь между скачком теплоёмкости
Cv и скачком модуля всестороннего сжатия:
UWT \dv
В предыдущей лекции было показано, что вблизи от точки пере-
перехода результаты микроскопической теории сверхпроводимости
находятся в полном согласии с теорией фазовых переходов
Л.Д. Ландау. Ниже мы обнаружим, что общие результаты этой
теории возникают в любой приближённой теории, однако такой
подход может иметь весьма ограниченную область применимо-
применимости либо вообще её не иметь.
254 Фазовые переходы II рода [IX
§ 2. Теория молекулярного поля Вейсса
Рассмотрим возможность магнитного упорядочения спинов
Sf , каждый из которых находится в узлах решётки с коорди-
координатой т — п\3\ + П2З2 + П3Я3? гле Зк - векторы элементарной
ячейки, rik - целые числа.
Наложим на систему внешнее магнитное поле вдоль оси z и
будем считать, что соседние спины взаимодействуют изотроп-
изотропным образом через обменное взаимодействие минус J(r):
Я = - ? Sih - \ J2 S^S^J(\f- f |) = - 5; %h-
Г ^фг1 Т
-\ X; 5^J(|f-f |) -W SiS^J(\f-r^\). A4)
тфг тфг
Здесь и ниже магнитное поле измеряется в энергетических пере-
переменных, используются поперечные переменные S^ — Sp ± S^
для которых в каждой ячейке выполняются известные переста-
перестановочные соотношения, а в разных ячейках все компоненты спи-
спиновых операторов считаются независимыми, т.е. коммутируют.
Для нахождения среднего спина (Sz) вдоль оси z выделим
продольную флуктуационную часть AS^ = 5| — E|), а затем
пренебрежём произведениями флуктуации (как продольных, так
и поперечных):
Н = ~
гфг*
гфг*
\ E
§ 2] Теория молекулярного поля Вейсса 255
Заметим, что в силу однородности системы величина среднего
спина не зависит от координаты: (S^) = (Sz).
Используя также определение AS^ = SZ — (Sz), преобразуем
приближённое выражение гамильтониана A5) к следующему
виду:
Н ъ-Y,S$H+ \Y, [(S{z)){S{z))} J(lr-r-'l). A6)
f тфг*
Здесь
H = h + (Sz) Y, J(H) = h + (Sz)Vo A7)
- так называемое молекулярное поле Вейсса. Последняя
сумма в (82) есть постоянная величина, определяющая
отсчёт средней энергии, - ниже не учитывается.
Таким образом, в нулевом приближении по флуктуациям ка-
каждый спин находится в среднем поле Н, которое согласно A6)
определено через средние значения спинов, окружающих выде-
выделенный.
При заданной температуре Т в среднем поле Н и интенсив-
интенсивности обменного взаимодействия Vo = J2 J(\r\) величина сред-
него спина вычисляется по общей формуле для газа невзаимо-
невзаимодействующих спинов:
aF dlnSp\exp{HS'/T)}
=-m=t—4—-
и может быть выражена через известную функцию Бриллуэна
В(У):
у = f; (S*) = B(y) = -
T Sp [exp(ySz)\
= (S + i)cth[y(S + bl - JcthW.
A8)
Система уравнений A7) - A8) определяет среднее значение спина
при всех полях и температурах.
256 Фазовые переходы II рода [IX
В слабом поле h и вблизи от точки перехода правая сторона
может быть разложена по степеням безразмерного отношения
(Sz)Vo/T, так что в конечном случае возникает уравнение типа
Ван-дер-Ваальса:
A(T)(SZ) + B(T)(Szf = h, A9)
где
А(Т) =
S)VO]
0|i зт J'
B0)
Разлагая коэффициенты вблизи точки перехода при Т = Тс =
= Vb?(l + 5)/3, находим коэффициенты разложения теории
Л.Д. Ландау:
где
а = Vo6(l + b)/TCJ b = Vo ^^з . B2)
В области Т > Тс уравнение B1) имеет единственное решение,
так что восприимчивость х(^) всегда положительна:
у - d{S) - 1 B3)
Х ~ ~dh~ ~ а(Т - Те) ¦ B3)
Если же Т < Гс, тогда уравнение B1) имеет три регаения, что
соответствует гистерезисной петле (рис. 3).
При h = 0 одно из решений нулевое, однако это решение
соответствует не минимуму, а максимуму свободной энергии.
Два других решения соответствуют двум возможным значе-
значениям спонтанного момента:
B4)
2]
Теория молекулярного поля Вейсса
257
Рис. 3. Зависимость среднего спина от магнитного
поля при различных значениях
безразмерной температуры t = T/Vq
Для нахождения восприимчивости ниже точки перехода опреде-
определим сначала обратную величину с помощью уравнения состоя-
состояния B1) и соотношения B4):
dh
= -а(Тс - Т) + 3b{Szy = 2а(Тс - Т).
B5)
Таким образом, и ниже точки перехода магнитная восприимчи-
восприимчивость оказывается положительной:
Х =
d{Sz
~dh
1
2а(Тс - Т)'
B6)
Сравнение B3) и B6) показывает, что и ниже и выше точки пе-
перехода восприимчивость стремится к +оо таким образом, что
выполняется " закон двойки": на одинаковом температурном рас-
расстоянии от точки перехода восприимчивость в ферромагнитной
258 Фазовые переходы II рода [IX
фазе в два раза меньше, чем в парамагнитной. Этот закон хо-
хорошо согласуется с экспериментом.
Заметим также, что уравнению состояния можно поставить
в соответствие функционал AFy вариация которого приводит к
уравнению A9):
AF = \а{Т - TC)(SZJ + \b{SzL - h{Sz). B7)
Подставляя сюда решение уравнения B1), находим минималь-
минимальное, термодинамически равновесное значение свободной энер-
энергии, отнесённое к одной элементарной ячейке.
Так, при нулевом значении внешнего поля для Т < Тс под-
подстановка спонтанного момента B5) даёт результат, соответ-
соответствующий феноменологической теории Ландау:
Д^ = -L^{rc-TJ, B8)
Отсюда находим скачок теплоёмкости:
АС = ^-а2Тс. B9)
2Ь
Однако в ферромагнитных веществах теплоёмкость вблизи точ-
точки перехода имеет температурную особенность степенного или
логарифмического типа. Происхождение этой особенности свя-
связано с флуктуационными отклонениями от классической теории
молекулярного поля.
§ 3. Корреляционные поправки
вблизи критической точки
Рассмотрим явления вблизи критической точки, когда тем-
температура достаточно высока, однако плотность системы настоль-
настолько высока, что расстояние между частицами оказывается ма-
малым по сравнению со средним характерным радиусом действия
потенциала Ван-дер-Ваальса, имеющего характер притяжения:
§ 3] Корреляционные поправки вблизи критической точки 259
При этих условиях можно пытаться использовать кольцевое
приближение, которое также называют приближением большой
плотности [2].
В отличие от электронейтральной плазмы, разложение не-
необходимо начинать с первого члена:
дх
= 77 / ^Mn - r2) =
= v(v) I \d?'m = и- C0)
Полученная величина не зависит от температуры и есть не что
иное, как средняя потенциальная энергия U.
Вычисление второй поправки происходит точно так же, как
и для однокомпонентного кулоновского газа (рис. 4):
2 +00 +сю
-\l(N\2 ff
= -JT2 \\F) J J dr\dr2y{ri - r2)p(r2 - n). C1)
— OO —OO
После перехода к компонентам Фурье:
Ф1 = Jf(q)exp(iqr)j^ C2)
получаем выражение:
^^—-—
дХ - Т 2 V
(зз)
Для того чтобы установить условия применимости кольцевого
суммирования, снова рассмотрим диаграммы четвёртого порядка.
Вклад кольцевой диаграммы имеет следующий вид:
TV /-A7V3
f f
260 Фазовые переходы II рода [IX
Некольцевая диаграмма, изображённая на рис. 4, содержит
только два интеграла, но по-прежнему четыре линии взаимо-
взаимодействия. В результате её вклад с точностью до численного
коэффициента имеет следующий вид:
/V2 / — ^
(до)
2V2
Рис. 4. Некольцевая диаграмма 4-го порядка
Предположим, что парный потенциал <р имеет конечный ра-
радиус действия R. По этой причине все относительные простран-
пространственные переменные интегрирования, от которых зависят по-
потенциалы, можно обезразмерить на переменную R. В резуль-
результате окажется, что интегрирование по каждой относительной
переменной даёт множитель Д3, в то время как интегрирова-
интегрирование по переменной центра инерции даёт множитель V. Таким
образом, становится ясно, что выражение C4) в безразмерных
переменных записывается следующим образом:
где J^ - кольцевой интеграл по трём безразмерным относитель-
относительным переменным.
Некольцевое выражение C5) в безразмерных переменных за-
§ 3] Корреляционные поправки вблизи критической точки 261
писывается следующим образом:
2^GfK™3J-' C6Ь)
где J^c - некольцевой интеграл по трём безразмерным относи-
относительным переменным.
Отсюда можно заключить, что некольцевая диаграмма
четвёртого порядка мала по сравнению с соответствующей коль-
кольцевой диаграммой того же порядка (по величине парного потен-
потенциала) при условии:
?J»1. C7)
Иными словами: условие применимости кольцевого приближе-
приближения состоит в том, чтобы радиус действия парного потенциала
значительно превышал среднее расстояние между частицами.
Предположив, что условие C7) выполнено, остаётся просум-
просуммировать все оставшиеся кольцевые диаграммы.
После перехода к импульсному представлению получим
Мы обнаруживаем, что дело сводится к суммированию геоме-
геометрической прогрессии:
nf(q)[nf(q)X/T}\ dq
l + \nf(q)/T JBttK'
где
f N
f(q) = / exp(-iqr)<p(r)dr, n = —. D0)
J V
Для того чтобы произвести интегрирование по А, выделим под
интегралом слагаемое, которое не зависит от параметра А:
EL = TJ _ Y. f \ № ЫШ/Т +1-1]
d\ 2
f if(q)[nf(q)X/T+1-1Ц dq
J \ 1 + \nf(q)/T J BтгK
262 Фазовые переходы II рода [IX
= и-- ГlisL + YL [[ nf^ ] <*?
2 J BтгK 2 У ll + An/(g)/TJ BтгK'
В результате интегрирования по А в пределах от нуля до
единицы получим
Здесь и ниже слагаемое F\q объединяет в себе свободную энер-
энергию идеального газа (Fq), а также слагаемые потенциальной
энергии первого порядка, не зависящие ни от температуры, ни
от параметра А и не имеющие отношения к дальнодействующей
части потенциальной энергии:
Рассмотрим поведение поправки к свободной энергии вблизи
критической точки, где существенны длинноволновые флуктуа-
флуктуации. Соответственно этому разложим выражение под логариф-
логарифмом по степеням q до второго порядка. Используя определение
компонент Фурье от парного потенциала D0), находим
/(9)«/(О)-у/о> И)
где
сю сю
/@) = 4тг j r2<p(r)dr, /о = 4тг I r4<p(r)dr, D5)
го го
а го - координата точки, где обращается в нуль парный по-
потенциал и которая считается равной удвоенному радиусу моле-
молекулы.
Подставляя это разложение в соотношение D3), находим
TV
§ 3] Корреляционные поправки вблизи критической точки 263
где
п ^
Таким образом, мы получаем возможность определить положе-
положение критической точки:
оо
Тс = -пф0 = -4тг— j r2ip{r)dr. D8)
С точностью до множителя это выражение совпадает с опреде-
определением критической точки из теории Ван-дер-Ваальса.
Из уравнения Ван-дер-Ваальса имеем
97,> -к —•> и™ тк = -^тг> D9)
Если а выразить через вириальный коэффициент, то получим
результат, аналогичный D8):
E0)
го
Величина i?2, вычисленная в этой точке, имеет смысл средне-
среднеквадратичного радиуса действия потенциала:
оо
„ / r4ip(r)dr
J \ ) j r2Lp(r)dr
го
Таким образом, вблизи точки перехода мы получаем выражение
для критических колебаний (типа Рэлея-Джинса для чёрного
излучения):
(Пи с
\2~
)
Т2
dq, E2)
264 Фазовые переходы II рода [IX
где спектр критических колебаний Tiujq определяется с помощью
формул D6) - D9):
П2со2 = Т2 [l + ^р- + q2R2j « (Т - ТС)Т + T2q2R2. E3)
Полученные соотношения справедливы для температуры, пре-
превышающей Тс.
Это выражение соответствует феноменологической теории
Орнштейна-Цернике, из которой находим критические колеба-
колебания, а также условие применимости теории самосогласованного
поля для уравнения Ван-дер-Ваальса.
Для достижения этой цели достаточно произвести диффе-
дифференцирование выражения E0), а затем определить флуктуаци-
онную поправку к теплоёмкости.
Для нахождения сингулярной поправки к энтропии доста-
достаточно произвести дифференцирование только под знаком лога-
логарифма:
Аналогичным образом находим сингулярную поправку к тепло-
теплоёмкости:
V [ Т2
V f Тс2
I
Поскольку теплоёмкость Cv газа Ван-дер-Ваальса не отлича-
отличается от теплоёмкости классического идеального газа, то полу-
полученный результат удобно сравнить с величиной 3N/2.
В результате простого интегрирования находим
C*(VT) V 1
3N/2
где г = (Т-Тс)/Тс<^ 1.
§ 4] Теория сегнетоэлектриков типа смещения 265
Отсюда находим область применимости метода молекуляр-
молекулярного поля:
V ^2
< т < 1. E7)
_NR4
Таким образом, для того чтобы существовала область приме-
применимости метода самосогласованного поля, необходимо, чтобы
средний радиус действия парного потенциала превышал сред-
среднее расстояние между частицами.
§ 4. Теория сегнетоэлектриков типа смещения
§ 4.1. Особенности колебательных спектров ионных
кристаллов. Сегнетоэлектрическая неустойчивость
В длинноволновом пределе характер оптических колебаний
соответствует относительному перемещению атомов из разных
подрешёток. В ионных кристаллах такими движениями явля-
являются перемещения катионов относительно анионов, что проис-
происходит под действием потенциала, который имеет характер при-
притяжения (рис. 1). Это и есть причина, по которой разложение
кулоновской части потенциальной энергии начинается не с по-
положительного, а с отрицательного коэффициента [3].
Рассмотрим кубический кристалл и предположим, что по-
потенциальная энергия, зависящая от выделенной координаты от-
относительного смещения р?, разделяется на части, одна из ко-
которых (V) связана со смещениями в отдельных ячейках, в то
время как другая (ср) зависит от смещений в различных ячей-
ячейках:
U = Y, V(Pr) + \ ? ?(? + Рг - П - Ртл)- E8)
Произведём разложение правой части по степеням р®. Нулевые
члены разложения Uq нас вообще не интересуют. Члены, линей-
линейные по р^ исчезают в силу условий равновесия. В силу условий
кубической симметрии разложение потенциала V происходит по
266 Фазовые переходы II рода [IX
чётным степеням, так что, ограничиваясь членами четвертого
порядка в разложении потенциала У, получим
1 _.2 1 _.4 1 ^ . *}
% -уу2\Рг) + т^ЧРг) + ~;В > (р-) > ,
12 4 4 а^ z \
где .В - тензор кубической анизотропии.
При разложении потенциала ip ограничимся билинейными
членами:
F0)
С помощью вариации выражений E9) и F0) получим уравнения
движения:
fl drfdr^
Если искать решение в виде плоских волн:
Р? = ex(q) exp(iqr - ivt), F2)
где e^(q) - единичный вектор поляризации, тогда в гармониче-
гармоническом приближении получим
I - exp(igr)). F3)
В пределе длинных волн q —> 0 вторая сумма обращается в нуль
по квадратичному закону. По этой причине, если не учитывать
нелинейных эффектов, при отрицательном W<i и в длинновол-
длинноволновом пределе система теряет устойчивость.
Механизм восстановления механического равновесия вблизи
неравновесного начального положения во многом напоминает
так называемый маятник Капицы, изображённый на рис. 5.
§4]
Теория сегнетоэлектриков типа смещения
267
^ М
У&
электромотор
Рис. 5. Схематическое изображение маятника П.Л. Капицы;
Tq - период собственных колебаний
С повышением частоты оборотов мотора маятник с точкой
подвеса, не совпадающей с осью вращения мотора, приобре-
приобретает новое положение равновесия с осью маятника, направлен-
направленной вертикально вверх.
В конечном счёте коэффициенты А и В четверного разло-
разложения имеют положительные знаки. Поэтому с повышением
температуры ангармонические члены восстанавливают устой-
устойчивость оптических колебаний.
Для того чтобы это обнаружить, произведём усреднение урав-
уравнений по быстро меняющимся частотам, содержащимся в нели-
нелинейных слагаемых. При этом усреднение произведения трёх ди-
динамических переменных сводится к выделению трёх возможных
парных средних при заданной оставшейся переменной:
(PfPfPf) = PfiPfPf) + PfiPfPf) + PfiPfPf)- F4)
Предположив, что усреднение по быстрым частотам эквива-
268 Фазовые переходы II рода [IX
лентно усреднению по равновесным состояниям с заданной тем-
температурой, для вычисления парных средних можно использо-
использовать классические формулы для гармонического осциллятора.
Согласно этим соотношениям, при температурах, превышаю-
превышающих дебаевскую, средний квадрат смещения пропорционален
первой степени температуры [3].
Для нашего кубического кристалла можно написать:
(р$Р°) = 9Т5а0, F5а)
где д - положительная постоянная, зависящая от внутренних
свойств кристалла.
В результате соотношение F2) приобретает следующий вид:
F56)
Подставляя эти соотношения в уравнения движения, получен-
полученные усреднением исходного уравнения F1), находим
fl orfori
Подставляя сюда решение в виде плоских волн и умножая обе
стороны на вектор поляризации, находим собственные частоты,
которые зависят от температуры:
fito2c(q) = W2 + E А + W)gT +
§^^ F7)
г
Таким образом, учёт высокочастотных ангармонических слага-
слагаемых приводит к возрастанию наинизшей (критической) опти-
оптической частоты, так что, начиная с температуры Т = Тс =
= —W2/{5A + ЗВ)д, система является устойчивой. При q = О
она имеет аномально низкую оптическую частоту, квадрат ко-
которой линейно возрастает с повышением температуры.
§ 4] Теория сегнетоэлектриков типа смещения 269
§ 4.2. Спонтанная поляризация и колебательный
спектр критических колебаний ниже точки перехода
Возникает вопрос: как определить спектр критических ко-
колебаний при Т <ТС = -W2/(bA + 3B)g?
Ответ состоит в том, что ниже точки перехода необходимо
учесть возможность возникновения среднего дипольного момен-
момента (pz) , который не зависит ни от времени, ни от номера эле-
элементарной ячейки.
Для нахождения величины спонтанного момента представим
смещение р^ в виде суммы (pz)Sa^z и отклонения от среднего
Ар^, а затем подставим эти выражения в потенциальную энер-
энергию.
Усреднив полученные выражения по быстрым переменным,
находим уравнения для нахождения спонтанного момента из
условия минимума.
Нас будут интересовать только такие слагаемые, которые
зависят от спонтанного момента. Учитывая, что усреднение
нечётного числа быстрых переменных даёт либо нуль, либо бы-
быструю переменную, в качестве медленной части потенциальной
энергии получим
F8)
Производя усреднение по быстрым переменным с помощью со-
соотношения F5а), получим
U hzf[W
F9)
270
Фазовые переходы II рода
[IX
Дополнительное слагаемое —Ee(pz) определяет взаимодействие
среднего дипольного момента e{pz) с внешним электрическим
полем Е, направленным вдоль оси z.
Таким образом, мы получили разложение свободной энер-
энергии по степеням спонтанного момента, называемое в литературе
разложением Гинзбурга-Девоншира.
Вариация свободной энергии по величине (pz) приводит к
следующему уравнению:
(pz) [W2 + дТ EА + ЗВ)] + (р*K [А + В] = Ее, G0)
т<тг
Рис. 6. Зависимости среднего дипольного момента
от величины электрического поля
Отсюда при Т < Тс = — W2/ дEА + ЗВ) и нулевом электриче-
электрическом поле находим спонтанный момент (отнесённый к единич-
§ 4] Теория сегнетоэлектриков типа смещения 271
ному заряду):
G1)
Для нахождения спектра колебаний ниже точки перехода в
выражении для потенциальной энергии V произведём замену
Р? ~^ (pz) + Арр, ру^ —> АрУ?, р?? —> App, а затем запишем
уравнения колебаний вдоль оси z:
' = ~ ({pz) + App) {W2 + A
+ В ((^) + А^-J } + J2 ^Ig;/1 (Д^ " А^)) • G2)
Усреднение нелинейных слагаемых в правой части производим
с помощью тех же соотношений F5), в которых вместо pf пишем
Ар?.
Непосредственные вычисления показывают, что слагаемые,
которые не зависят от Ар*?, взаимно сокращаются в силу урав-
уравнения для спонтанного момента G0).
Для доказательства этого утверждения выделим слагаемые,
содержащие нечётные степени спонтанной поляризации:
W2{pz) + (А + В)(р*K + А(рг) (Ш2 + (pyfJ) +
После усреднения квадратичных по смещениям слагаемых по-
получим выражение, которое обращается в нуль в силу условия
минимума свободной энергии F9):
W2(pz) + (A + B)(pzf + gT(pz) {ЪА + W) = 0.
272 Фазовые переходы II рода [IX
В результате получим уравнения, содержащие только чётные
степени спонтанной поляризации:
U L\pf> z .
- 3(А + В)Арг{ргJ - ААрг ((pfJ +
Г1 1 1
Остаётся усреднить кубические и квадратичные слагаемые по
"быстрым" переменным:
В результате получим уравнения, линеаризованные по
2 + А C<Л2 + 5дТ) +
Подставляя в правую сторону равновесные значения спонтан-
спонтанного момента из F0), получаем уравнения для спектра кри-
критических колебаний, относящихся к сегнетоэлектрической фазе
Т <ТС:
^(q) = -2 (W2 + DА + W)gT) +
ea(q)ep(q) A - exp(uff)). G5)
Учитывая определение температуры перехода Тс = —W^
хEА + З.В)}, получаем общее выражение для частоты крити-
критических колебаний, справедливое как ниже, так и выше точки
перехода:
fito2c(q) = фА + W)g \Т - Тс\ +
§ 4] Теория сегнетоэлектриков типа смещения 273
+ Е J^eaWMS) A - exp(i^)), G6)
Г*
где параметр к = 2 ниже точки перехода Т < Тс; в области
выше точки перехода, где Т > Тс , параметр я = 1.
В длинноволновом пределе можно разложить правую сто-
сторону G6) по степеням (<fr), после чего с учётом кубической сим-
симметрии получим температурно зависимый спектр критических
колебаний:
= фА + W)g \Т - Тс\ + wR2q2, G7)
при Т >ТС: к = 1; при Т < Тс: к = 2.
Таким образом, спектр критических колебаний оказывается
устойчивым, однако вблизи точки перехода частота колебаний
сильно зависит от температуры, а в самой точке перехода и в
длинноволновом пределе частота колебаний обращается в нуль,
что является причиной возникновения интенсивных флуктуаци-
онных эффектов.
§ 4.3. Особенности термодинамических величин вблизи
точки сегнетоэлектрической неустойчивости
Произведём вычисление термодинамического вклада крити-
критических колебаний на основе известной общей формулы для гар-
гармонических длинноволновых колебаний:
Т2 Г •
q ^ ' ' q У )
С учётом линейной температурной зависимости квадрата кри-
критической частоты находим сингулярную часть энтропии:
274 Фазовые переходы II рода [IX
Здесь и ниже: при Т > Тс: а= EА + ЗВ)д; при Т < Тс: а =
= 2EА + ЗВ)д.
Дальнейшее дифференцирование позволяет выделить сингу-
сингулярную часть теплоёмкости:
Л. G9)
2j
В результате перехода к сферической системе и дальнейшего
интегрирования имеем
С* = Vaz'2 ?^г 1 . (80)
8Д3ад3/2 /\Т - Тс\ У
Полученный результат необходимо сравнить с классической ко-
колебательной частью теплоёмкости Cq = 37V, где N - полное
число атомов в кристалле.
Отсюда определяем условие применимости теории самосо-
самосогласованного поля:
с- v сРЪУ 1 VTC <<L
Со NR3 ш3/2 24тг у/\Т - Тс
Комбинируя это условие с условием близости к точке перехода,
находим
v
C< i^-^1 « 1. (82)
Следует заметить, что первый множитель представляет собой
отношение квадрата объёма элементарной ячейки к квадрату
объёма взаимодействия атомов. Второй множитель имеет поря-
порядок куба отношения температуры сегнетоэлектрического пере-
перехода к кубу энергетической величины, которая имеет атомный
порядок (порядка нескольких электронвольт).
Первый множитель не слишком сильно отличается от еди-
единицы, однако второй множитель следует считать малой величи-
величиной, что и определяет возможную область применимости метода
самосогласованного поля.
Задача 275
Задача
Используя уравнение самосогласованного поля, определить
зависимость среднего магнитного момента при произвольном
внешнем магнитном поле. Рассмотреть предельные случаи силь-
сильного и слабого магнитного поля h [1], [2].
Решение. Будем искать решение уравнения A9) в виде
суммы двух функций г/1/3 + -и1/3, уравнение представляется в
следующем виде:
А (V/3 + v1^ + В [и + v + ЗМ1/3 (^1/3 + ^1/3)] = h. (83)
В результате оказывается, что функции и и v удовлетворяют
следующей системе уравнений:
А + ЗВ(гшI/3 = 0, В (и + v) = h. (84)
из которых находим
h h? A3 h К2 А3
+ + ^ + (85)
Подставляя сюда А = а (\Т — Тс\) и В = ft, находим, что в обла-
области сильных полей:
3/2 //Л1/3
() • (86)
В области слабых полей h <C (\Т - Тс|K'2 а3/2/^1/2 имеем при
Т>ТС:
(Sz) « (Tk . (87)
а (Т - Гс)
Если же Т < Тс и при А < 2 (|Т - Тс|K/2 а^/Зх/ЗЬ1/2, урав-
уравнение A9) имеет три действительных решения, которые соот-
соответствуют магнитной петле гистерезиса, изображённой на рис.
3:
(S'±) = ~\ Щ
276 Фазовые переходы II рода [IX
<Sf> = «1/3 + «1/3. (88)
Первые два решения соответствуют положительной восприим-
восприимчивости. Третье решение приводит к отрицательной восприим-
восприимчивости, так что на этой части кривой намагничения система
оказывается термодинамически неустойчивой.
Для того чтобы это обнаружить, продифференцируем урав-
уравнение A9) по магнитному полю h:
,80)
Можно заметить, что выражение в квадратных скобках есть не
что иное, как вторая производная от функционала Ландау Ф,
вариация которого приводит к уравнению A9). В результате
соотношение (89) переписывается следующим образом:
Поэтому, если {д2Ф/дг]2)тh @, то и (drj/dh)T @, т.е. отрица-
отрицательной восприимчивости соответствует максимум Ф.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Ландау Л. Д., Лифшиц Е.М. Статистическая физика. Ч. 1.
- М.: Наука, 1995. - 606 с.
2. Вакс В.В., Ларкин А.К, Пикин С.А.// ЖЭТФ, 1967. 53,
1089.
3. Slater J.C.JI Phys.Rev. 1950. 78, 748.
ЛЕКЦИЯ X
ВЫЧИСЛЕНИЕ КРИТИЧЕСКИХ ИНДЕКСОВ
Содержание
Введение 278
§ 1. Теория Орнштейна—Цернике 279
§ 2. Фазовый переход в пространстве
D — е)-измерений 285
§ 2.1. Нулевая функция Грина 286
§ 2.2. Поправки к вершинным частям 287
§ 2.3. Паркетные и непаркетные диаграммы 289
§ 2.4. Суммирование паркетных диаграмм 294
§ 2.5. Уравнения Судакова 296
§ 2.6. Решение уравнений Судакова 299
§ 2.7. Определение угловой вершинной части 299
§ 2.8. Паркетное уравнение для угловой вершинной
части 300
§ 2.9. Нахождение одночастичной функции Грина 301
§ 2.10. Паркетное уравнение для поляризационного
оператора 302
§ 2.11. Вычисление теплоёмкости при с? = 4 303
§ 2.12. Вычисление критических индексов при h = 0 ... 303
§ 3. п-компонентная изотропная модель 306
§ 3.1. Вычисление критических индексов при h = 0 .... 309
§ 3.2. Вычисление критических индексов в области
сильных полей 310
§ 4. Критические индексы при е = 1 и е = 2 311
§ 5. О вычислении поправок, квадратичных по б 312
Список литературы 313
278 Вычисление критических индексов [X
Введение
Основной результат теории фазовых переходов II рода (о на-
наличии скачка теплоёмкости), принадлежащий Л.Д. Ландау, на-
находится в согласии с экспериментальными данными на сверх-
сверхпроводниках. Однако при изучении ферромагнетиков вместо
скачка теплоёмкости обнаруживается степенное или логариф-
логарифмическое возрастание, аналогичное тому, что наблюдается в
сверхтекучем 4Не или вблизи критической точки. В сегнето-
электрических диэлектриках обнаруживается промежуточная
ситуация: в широкой области температур вблизи от точки пе-
перехода обнаруживается тенденция к возникновению скачка те-
теплоёмкости, однако в узкой области как выше, так и ниже от
точки перехода теплоёмкость начинает возрастать и обраща-
обращается в бесконечность в самой точке перехода.
Качественное объяснение этому явлению было впервые дано
в теории критических колебаний, разработанной в 1917 г. Орн-
штейном-Цернике, относящейся к критической точке. Значи-
Значительно позже эти колебания были обнаружены в сегнетоэлек-
триках. Однако предположение о гармоническом характере этих
колебаний приводит к чрезвычайно резкой температурной ано-
аномалии в теплоёмкости, по сравнению с тем, что наблюдается на
эксперименте.
Дальнейшие теоретические исследования основывались на
гипотезе универсальности, состоящей в том, что критические
индексы не зависят от интенсивности взаимодействия критиче-
критических колебаний, так что их вычисление может быть произведено
в рамках теории возмущений.
Сначала было получено точное решение задачи о фазовом
переходе в двумерной модели Изинга (Л. Онсагер). Затем были
определены особенности термодинамических величин в четы-
четырёхмерной модели Изинга (А.И. Ларкин, Д.Е. Хмельницкий).
Нахождение критических индексов в трёхмерном пространстве
было произведено на основе гипотезы о возможности непрерыв-
непрерывного перехода от уравнений в пространстве D — е)-измерений с
помощью предельного перехода е —> 1 (К. Вильсон).
§ 1] Теория Орнштейна-Цернике 279
§ 1. Теория Орнштейна—Цернике
Вычислим поправки к теории молекулярного поля, возника-
возникающие вблизи точки фазового перехода для модели ферромагнит-
ферромагнитного диэлектрика с гамильтонианом Гейзенбегра. В приближе-
приближении самосогласованного поля эта модель рассмотрена в лекции
N8.
Флуктуационная часть гамильтониана Гейзенберга, которая
не учитывается в приближении среднего поля, имеет следую-
следующий вид:
г,г1
Для простоты изучим так называемую модель Изинга, когда
обменный интеграл сильно анизотропен, так что вторая сумма
равна нулю. Умножим гамильтониан взаимодействия V на по-
постоянный множитель Л, который в дальнейшем положим рав-
равным единице. Используя известное соотношение
_ /дул
\ I
у
дХ \ дХ Iту
и переходя к компонентам Фурье для потенциала при заданном
числе ячеек NK :
j- = Y jif) ex i-i%r) J(f) = —
Г
получим
дХ~ 2^-i Г \ f ^/ 2^-
Вычислим коррелятор .D(fc) = ^е~г^кг^ег^^ < ASpAS^, > в
г*
предположении о дальнодействующем характере потенциала об-
обменного взаимодействия J(f) - так называемое кольцевое при-
приближение.
280
Вычисление критических индексов
При этом мы суммируем цепочку диаграмм, изображенную
на рис. 1.
о)+F o>j
+@ O)J\O 0}./\0 0) +
oWb о).ло оV\ с
Рис. 1. Суммирование беспетлевых диаграмм
Вычисления проводятся точно так же, как и в теории Дебая-
Хюккеля.
Производя разложение статистического оператора по степе-
степеням обратной температуры, в данном случае получим
C)
r.r1
Для нахождения искомого коррелятора каждое слагаемое умно-
умножаем на произведение AS^AS^,, а затем усредняем по состо-
состояниям невзаимодействующих спинов, находящихся в заданном
молекулярном поле Н:
>0
§ 1] Теория Орнштейна-Цернике 281
ехр
D)
В нулевом приближении коррелятор отличен от нуля только для
одинаковых ячеек:
D°(ry) =< AS^ASZF >0= 8?f < (д?|J >о . E)
Среднеквадратичная флуктуация спина, входящая в правую сто-
сторону E), без труда вычисляется через производную от среднего
спина SZ(H) по величине молекулярного поля. В соответствии
с этим в компонентах Фурье вместо E):
Г>@) = Ь'(Н/Т), где Н = h + < 5(г) > Y. J(f)' F)
Г
где bf(y) - первая производная от известной функции Бриллуэна:
Ну) = (s + ^)cth [(s + i)y] - icth [|]. G)
В следующих приближениях по параметру А/Т будем учиты-
учитывать только кольцевые диаграммы, т.е. в каждом А;-порядке
просуммируем к\2^ топологически эквивалентных диаграмм, ко-
когда последовательно включается суммирование по координатам
всех ячеек (рис. 2):
Е ^°J(r - гЛ)^АгЛ - г2)х
x^D°J(r2 - fz)^D°J(f3 - r4)...±D°J(rk - г1). (8)
В аналитической форме после перехода к импульсному предста-
представлению получим
A D(°)
D(k) = Dw + -D^J(k)D(k) = =; . (9)
После подстановки решения (9) в дифференциальное соотноше-
282
Вычисление критических индексов
в)
s~ "х
г) д)
Рис. 2. Графическое изображение кольцевого суммирования
ние B) и интегрирования по параметру А от нуля до единицы
находим флуктуационную поправку:
T^ \D(k)
2"^ П
к '
A0)
§ 1] Теория Орнштейна-Цернике 283
Разложим Z)(°) по степеням молекулярного поля:
+ s+i/2)^ (и)
о 15
Далее используем уравнение самосогласования вблизи темпера-
температуры перехода (у < 1):
Tc = J05E+l)/3, y=^+Jp(y)^
,.* Jo [5E + 1) 35E+l)E2 + 5+l/2)]
~- + -jy - у - | A2)
и разложим результат по степеням г = (Т — Тс)/Тс ж к2. В
результате при h = 0 и А = 1 вместо A2) можно написать:
т>0 1
\ [2|т|+*2Д2/6], т<0 /•
Здесь R2 = — 6J0/Jo ~ среднеквадратичный радиус корреляции:
Подставляя A3) в общее выражение для поправки кольцевого
приближения A0), получим
, т<0/-
Записанная в таком виде флуктуационная поправка имеет вид
длинноволновой колебательной части ^-потенциала, а также
для фотонного газа в приближении Рэлея-Джинса Тьи <С Г:
284 Вычисление критических индексов [X
В этом смысле полученные колебания соответствуют теории
Орнштейна-Цернике, применимой для флуктуации вблизи кри-
критической точки. Полученные формулы определяют энергию кри-
критических колебаний Eq « Тс (s\r\ + R2q2) для ферромагнитных
соединений как выше, так и ниже точки перехода при нулевом
внешнем магнитном поле (точнее, при h <C Тс|т|3'2).
С учётом того обстоятельства, что наибольший вклад даёт
область малых д2, когда Т ^ ТС1 сингулярную часть энтропии
находим с помощью дифференцирования температурно завися-
зависящей части энергии критических колебаний. Таким же способом
вычисляем сингулярную часть энтропии и теплоёмкости:
<? ч я ч
Здесь и ниже введено обозначение:
Е -Т (st\ + R2<A- S = l ПРИ Т>°' A7)
bq-lc[sT\+Kq ), g = 2 при т<0_ A7)
После перехода к интегрированию в сферической системе коор-
координат дело сводится к вычислению простого интеграла:
q2dq T3/252
где д = Tci?2, т = (T — Tc)/Tc. Этот результат необходимо срав-
сравнить со скачком теплоёмкости в теории Ландау:
АС = §2
а *J
а~Тс' *~J° 45ГС3
В результате получаем условие применимости метода самосо-
самосогласованного поля:
^ B0)
§ 2] Фазовый переход в пространстве 4 — е измерений
285
Мы видим, что с ростом радиуса корреляции R, а также с
ростом числа измерений область применимости метода само-
самосогласованного поля расширяется. С другой стороны, теория
Ландау справедлива в достаточной близости к точке перехода
т\ <С 1. По этой причине при R = 1 (приближение ближайших
соседей) теория Ландау вообще несправедлива. Аналогичная
ситуация имеет место при d = 1, где фазовый переход отсут-
отсутствует.
§ 2. Фазовый переход в пространстве D — е)-измерений
Можно заметить, что с увеличением числа измерений об-
область применимости метода самосогласованного поля расширя-
расширяется.
Для того чтобы в этом убедиться, достаточно произвести
вычисление интеграла A8) для произвольного числа измерений.
Так, в случае четырёх измерений:
ас: =
где верхний предел интегрирования qm имеет порядок обратного
размера элементарной ячейки.
Условие применимости метода молекулярного поля есть ма-
малость поправки B1) по сравнению с величиной скачка теплоем-
теплоемкости в теории Ландау. Легко проверить, что скачок теплоем-
теплоемкости имеет порядок числа ячеек 7УЯ, в то время как флуктуа-
ционная поправка пропорциональна полному объёму V', так что
условие применимости зависит от отношения объёма элемен-
элементарной ячейки V'/JVji = Vq к объёму, в котором взаимодействие
существенно отлично от нуля. В результате при d = 4 имеем
286 Вычисление критических индексов [X
экспоненциально узкую область, где неприменима теория само-
самосогласованного поля, эквивалентная теории Ландау.
По сравнению с трёхмерным случаем B0) получаем значи-
значительно более широкую область:
( я4 \ , , т-тс /4
^(-^<<|г|<<1' где т = ~гГ' qm
B2)
Мы видим, что с ростом радиуса корреляции Д, а также с ро-
ростом числа измерений область применимости метода самосо-
самосогласованного поля расширяется. С другой стороны, теория са-
самосогласованного поля справедлива в достаточной близости к
точке перехода \т\ <С 1. По этой причине при R = 1 (приближе-
(приближение ближайших соседей) теория Ландау вообще несправедлива.
Аналогичная ситуация имеет место при d = 1, где фазовый пе-
переход отсутствует.
§ 2.1. Нулевая функция Грина
Как уже было замечено, при d = 4 поправка к теплоемкости
имеет логарифмический, а не степенной характер. Это обсто-
обстоятельство позволяет выйти за рамки приближения молекуляр-
молекулярного поля в пространстве с числом измерений, близким к четы-
четырем d = 4 - б.
Для удобства введем С-функцию, которая отличается от D-
функции концевым множителем К (к) - совокупностью диаграмм,
которые нельзя разделить на части, перерезав только одну ли-
линию взаимодействия D(k) = G(k)K(k) (рис. 1).
Согласно A3), Gr-функция вблизи точки фазового перехода
при \Т — Тс\ <С Тс (или \т\ <С 1) имеет простейший вид:
(йТР)' B3)
где для простоты положено R2 = 6 , к2 <С к^. На диаграммах
эта функция изображается в виде сплошной линии.
§ 2.2] Поправки к вершинным частям 287
В конечном счёте будет показано, что температурная зави-
зависимость функции Грина претерпевает существенные изменения,
в то время как квадратичная зависимость от импульса остаётся
неизменной [1].
§ 2.2. Поправки к вершинным частям
Разложение свободной энергии выражается через неприводи-
неприводимые вершинные части, которые в нулевом приближении само-
самосогласованного поля определяются производными от функции
Бриллуэна, зависящей от безразмерной величины молекуляр-
молекулярного поля у = Н/Т.
Так, вершинная часть третьего порядка Гз пропорциональна
второй производной от функции Бриллуэна Ъ (у), однако при
Т > Тс и у —> 0 эта величина обращается в нуль.
Вершинная часть четвертого порядка Г4 отлична от нуля
как выше, так и ниже точки перехода:
Г4 = -Ь" (Н/Т -+ 0) = ^5E + 1) (V2 + S+\y B4)
При любом конечном значении спина S она имеет порядок еди-
единицы. Несмотря на это последнее обстоятельство, будем счи-
считать, что Г4 = д <С 1. Предположим, что физические величины,
не зависящие от затравочной константы д при д <С 1 , не зави-
зависят от неё и при д ~ 1. Это допущение эквивалентно первой
гипотезе теории Вильсона [1].
На диаграммах вершинная часть 4-го порядка изображается
диаграммой с четырьмя концами.
Ниже показано, что вклад корреляторов 6-го, 8-го и т.д. по-
порядков не приводит к сингулярным особенностям на малых им-
импульсах.
Обобщая соотношение B4), можно получить затравочные
вершины более высокого порядка, чем четвёртый:
=о, где 5 = 6,8,... B5)
288 Вычисление критических индексов [X
Покажем, что учёт всевозможных поправок к 4-вершинным ча-
частям за счёт всевозможных поправок, связанных с существова-
существованием элементарных вершин C9), не приводит к новым диаграм-
диаграммам с более сильными особенностями при т —> 0.
Для того чтобы в этом убедиться, предположим, что при
т = 0 функция Грина критических колебаний B3) даёт в знаме-
знаменатель множитель, равный р2. Рассмотрим диаграмму порядка
7V, т.е. с N вершинами, различных порядков, Е внешними ли-
линиями, I внутренними линиями и L петлями.
Назовём степенью данной диаграммы разность между сум-
суммарной степенью импульсов в знаменателе и в числителе (вклю-
(включая дифференциалы):
D = 27 -dL, где d = 4 - е. B6)
Для положительных D диаграмма расходится на нижнем пре-
пределе как \t\~dI2. В отличие от квантовой теории поля, для
отрицательных D расходимость на верхнем пределе является
фиктивной, поскольку в каждом заданном порядке она есте-
естественным образом обрезается на обратном размере элементар-
элементарной ячейки.
Выразим степень расходимости D через п^ - числа вершин
р
fc-порядка и полное число вершин N = J2 n2si исключив при
5=2
этом I и L.
Имеется I внутренних импульсов. В каждой вершине (их
всего N) сохраняется импульс, однако также выполняется за-
закон сохранения полного импульса, так что всего имеются N — 1
соотношений между импульсами. Следовательно, число незави-
независимых импульсов равно I — N + 1. Но это число равно L:
L = I-N + 1. B7)
В каждую вершину fc-порядка входят fc-линий, т.е. имеется
v
всего ^2 2sri2s~ линий, где Пк - число вершин fc-порядка. Часть
5 = 2
из этих линий является внутренними, а часть - внешними. Од-
Однако при подсчёте числа линий внутренние линии учитываются
§ 2.3] Паркетные и непаркетные диаграммы 289
дважды, поскольку они связывают две вершины. Таким обра-
образом,
р р
N = Y, n^ E 2sn^ = E + 2L B8)
5-2 5-2
Из трёх соотношений B6) - B8) исключаем I и L, после чего
находим степень расходимости на нижнем пределе:
)
Будем считать, что d > 2, и фиксируем число внешних линий Е.
Тогда можно заметить, что с увеличением порядка вершин s и
их полного числа N = ^ П25 степень расходимости уменьшается
5 =
и, наконец, исчезает при порядке вершины, примерно равном
числу внешних линий.
В нашем случае, когда Е = 4 и d = 4, степень расходимости
всегда отрицательна, а суммирование начинается с s = 3:
![(^)] C0)
Таким образом, учёт поправок, происходящих от шести, восьми
и т.д. вершинных частей, не даёт расходящихся интегралов при
г = 0, что и доказывает наше утверждение.
§ 2.3. Паркетные и непаркетные диаграммы
Следовательно, любая интересующая нас диаграмма будет пред-
представлять собой совокупность сплошных линий (Gr-функций B3)),
соединяющих вершины четвертого порядка (д).
В общем случае 4-вершинная часть зависит от трёх незави-
независимых импульсов: суммарного (s), передаваемого (q) и одного
из входящих импульсов (р). Все они ниже считаются имеющими
290
Вычисление критических индексов
Рис. 3. Простейшие паркетные диаграммы.
Кружочки изображают затравочную вершину д.
Сплошные линии изображают функцию
Грина критических колебаний B3)
одинаковый порядок величины и не превышают некоторой мак-
максимальной величины km.
Рассмотрим простейшие поправки к вершинной части в эв-
эвклидовом пространстве D — е)-измерений. Они изображены на
рисунках За) и 36) и при е = 0 носят логарифмический характер
2.3]
Паркетные и непаркетные диаграммы
291
В самом деле, для диаграмм а), б) при всех (s, q,p) <C \Дт\
кт имеем оценку:
k*dk
при d = 4;
В обратном предельном случае
кш имеем оценку:
к
Г
/
К пк,
А;4
^77
= 4-e. 31
ПРИ d = 4;
/с
f
при d = 4 - e.
C2)
Таким образом, можно утверждать, что при d = 4 с логарифми-
логарифмической точностью диаграммы второго порядка За), б) имеют по-
порядок g2L = g2 ln(km/w), где гу = тах(Л/г,р, g, s). Для перехода
к пространству размерности d = 4 — б достаточно произвести
замену:
in (*=
W
(зз)
Две диаграммы третьего порядка, изображенные на рис. 3 в),
г), имеют порядок g^L2, поскольку каждая из них является про-
произведением двух одинаковых диаграмм рис. За) или б).
Диаграмма рис. Зд) по порядку величины имеет вид поло-
половины произведения диаграмм рис. За) и рис. 36). Доказатель-
Доказательство этого утверждения произведём для частного случая
292
Вычисление критических индексов
Рис. 4. Паркетные диаграммы 4-го порядка
нулевых внешних импульсов и при т ф 0.
dk f dp
Далее мы используем легко проверяемое тождество:
1
\в J
d\
АВ У {АA-\)+В\}
2'
C4)
§2.3]
Паркетные и непаркетные диаграммы
293
которое позволяет произвести интегрирование по внутреннему
импульсу р двух линий противоположного направления:
dp
I
т\
dp
dl
C5)
Поскольку интегрирование по импульсу р производится в бес-
бесконечных пределах, то после очевидной замены р + Хк^ р по-
получаем выражение, которое зависит только от р2 и к2.
В результате интегрирования по четырёхмерному простран-
пространству находим логарифмический вклад, зависящий от скалярной
функции \т\ -\- ХA — Х)к2 :
АГз
ld4
о
dk
(к2 + \т\
In
V2
fm
- X)k2
С логарифмической точностью можно записать:
1 кп
^^31"Чт
In
Pm
A(l-A)/e2
0
!"*$
В результате получим интеграл:
У k3dk ,
rv-; П —
C6)
Множитель 1/2 компенсируется наличием вклада от диаграммы
с симметрично расположенными вершинами. См. рис. Зе).
В четвертом приближения не все диаграммы эквивалентны
(см. рис. 4 и рис. 5 ). Диаграммы 4(а-г) имеют порядок ^4i3,
тогда как диаграмма 5д) имеет порядок g^L.
294 Вычисление критических индексов [X
Д.)
Рис. 5. Непаркетные диаграммы 4-го и 5-го порядка:
д) - распечатанный и е) - запечатанный конверт
При малых г большой логарифм может скомпенсировать ма-
малость д, так что произведение gL станет порядка единицы, в
то время как произведение g2L остается все ещё меньше еди-
единицы. В области температур, где g2L <C 1, можно отбросить
диаграммы типа 5д) и 5е).
§ 2.4. Суммирование паркетных диаграмм
Суммирование диаграмм, которые имеют порядок g1+nLn, есть
задача о суммировании паркета [2]. Ниже получены уравнения
для "однохвостого" паркета, для которого все три внешних им-
импульса имеют одинаковый порядок величины.
Можно заметить, что нам необходимо суммировать все сво-
сводимые графики - такие, которые можно свести к точке путем
конечного числа сведений.
Ясно, что такая замена не меняет порядка диаграммы, так
как если до сведения диаграмма имела порядок gk+1Lk , то после
одного сведения её порядок не изменится (т.к. gkLk~l ~ gkJrlLk).
Разделим все графики на приводимые и неприводимые от-
относительно отделения определенной пары внешних концов от
§2.4]
Суммирование паркетных диаграмм
295
Рис. 6. Сведение паркетной диаграммы 3-го порядка
к простейшей
другой пары путем перерезания двух линий.
Докажем, что каждый сводимый график является приводи-
приводимым. Предположим противное: "Какой-либо сводимый график
не является приводимым". Проделаем все возможные сведения;
в результате этого мы получим неприводимую часть графика,
не допускающую сведения.
Можно непосредственно убедиться, что любой приводимый
график относительно какой-нибудь пары линий неприводим по
отношению к любым другим парам линий. По этой причине
каждый сводимый график относится к одному из трех приводи-
приводимых графиков. Исходя из этого, можно написать:
=д-
C7)
В вершинной части ^{(pi1P2\P3iPa) часть, соединенная с пер-
первыми двумя импульсами, может быть отделена от части, соеди-
296
Вычисление критических индексов
неннои со второй парой импульсов, путем перерезания только
двух сплошных линий.
§ 2.5. Уравнения Судакова
Рассмотрим простейшую ситуацию, когда все импульсы, их
суммы и разности - величины одного порядка р& ~ р <С кт,
однако т <С р2. При этом вместо C7) получим соотношение:
Г(р)=0-ЗГ(р).
C8)
Выразим приводимую вершину Т(р) через полную Т(р) и тем
самым вместо соотношения C8), эквивалентного C7), получим
уравнение для Т(р). Любой приводимый график можно выра-
2 "з к
Рис. 7. Суммирование вершин, приводимых относительно
двух линий одинакового направления
зить через неприводимые по двум линиям части (см. рис. 7):
5 / л4 — б / л4 —б / fQG\
Т)л CL нО - • -Си н]с 1 • v *-^^ /
Здесь s = pi —Р2, Щ - номера неприводимых блоков, i - поряд-
порядковый номер блока в нарисованной цепочке; по штрихованным
переменным производится интегрирование.
С логарифмической точностью при г = 0 можно написать
' ф/(8тгУ+с), р > s
p6-"G(p)G(s-p)dp =
О,
р < s.
D0)
§ 2.5] Уравнения Судакова 297
В результате при е = 0 и с той же логарифмической точностью
получим
km km km .
°пип2...пк{р) = / / .- / РпЛР1Р[)—rPn2{Pi;P2)X
J J J Pi
У2 Рк-1
Несущественные коэффициенты будут выписаны в окончатель-
окончательных формулах, т. к. их всегда можно определить по теории
возмущений. Область интегрирования можно разбить на к — 1
областей, в каждой из которых один из импульсов p[s меньше
остальных:
к-1
ы-уЧ
\Р) — 2—, \ —
Т dpfs , , F
J P' *-Ъ_3_) J
I
P's
^1- D2)
Ps+l Pk-l
Ps
Можно проверить, что с логарифмической точностью любая не-
неприводимая часть зависит лишь от большей переменной, т.к.
соответствующие импульсы обязательно входят в виде суммы
или разности под знаком логарифма (при т = 0 ); р{р\',Р2) —
= p[max(pi,?>2)] • По этой причине подынтегральные функции
не зависят от переменных p!s и р там, где они подчёркнуты.
Поскольку все р! > р и p[s < pfu, если v ф 5, то можно напи-
написать (с точностью до коэффициента):
Ь, 1 *С 771
/ \ V^ f / /\ / !\dPs /,o\
(р) = у / а (РяHп 4.1 пикРя)— . D3)
< * I ft'
298
Вычисление критических индексов
Рис. 8. Уравнения Судакова.
Нелинейная система паркетных уравнений для р ~ s ~ q
Произведём суммирование по всем rii, П2... п^ и по всем
к. Замечая, что сумма по всем неприводимым графикам и по
всем возможным рассечениям равна полной сводимой вершине,
получим уравнение "однохвостого" паркета (см. рис. 8):
Г{р)=д-3п
V
D4)
Коэффициент к нетрудно найти, если вычислить вершину во
втором порядке теории возмущении (см. рис. За): к — 1/8тг2.
§ 2.6] Решение уравнений Судакова 299
§ 2.6. Решение уравнений Судакова
Уравнение D4) сводится к дифференциальному, а затем реша-
решается:
Q dPj-( \2 p/ N
= Зк—T(p) , T(p) = 5
1 + Здк
р~е - к
—е
е
-1
p
При r/0 можно сразу написать
-l
• D5)
- kme\
У , D6)
т.к. везде обрезание велось на большей из величин р2 или г.
§ 2.7. Определение угловой вершинной части
В модели типа Изинга средняя энергия системы легко выра-
выражается через G-функцию и концевой множитель К (к):
f,F k
Аномальная часть теплоемкости определяется только G-функ-
цисй:
D7)
Производную от обратной функции Грина dG~l(k,r)/dr =
= Т(к,р = 0, г) можно представить графически в виде совокуп-
совокупности диаграмм с одним углом и двумя хвостами без концевых
функций Грина (см. рис. 9) [3].
300
Вычисление критических индексов
6)
г)
Рис. 9. Поправки к угловой вершинной части
§ 2.8. Паркетное уравнение для угловой вершинной
части
Вычисление "трёххвостки" Т(к,р,т = 0) при к ~ р <С кт
производим точно так же, как и вычисление полной вершинной
части (см. рис. 10).
§2.9]
Нахождение одночастичной функции Грина
301
Гис. 10. Паркетное уравнение для угловой вершинной части
Как результат имеем уравнение
или
р
D8)
В этом уравнении коэффициент перед к равен 1 по числу диа-
диаграмм в первом порядке теории возмущений (см. рис. 96).
Решение уравнения D8) имеет вид
D9)
§ 2.9. Нахождение одночастичной функции Грина
При р2 ~ &2 ^ т <С 1 можно сразу написать:
3G
-1/
дт
1 +
1 ГГП
-1/3
Интегрируя это соотношение по частям, находим
-1/3
=т\1
--е/2 _ -
Утп
E0)
302
Вычисление критических индексов
Интегральный член § имеет порядок g2L и должен быть отбро-
отброшен.
Мы видим, что вблизи точки перехода G-функция обраща-
обращается в бесконечность не по закону 1/т, а несколько быстрее:
G(t) ~ т 7, где 7 = 1 + т-
о
E1)
§ 2.10. Паркетное уравнение для поляризационного
оператора
Запишем, наконец, формулу для теплоемкости D7) в логариф-
логарифмических переменных, выделив предварительно сечение наи-
наименьшего значения переменной интегрирования ( рис. 11).
Рис. 11. Перестроенный ряд теории возмущений
для поляризационного оператора
В интегральной форме имеем
1 + Здк,
1/3
- 1-
E2)
Таким образом, вместо скачка теплоемкости имеем аномальный
рост по закону:
Cv ~ т~а, где а = -. E3)
о
§ 2.11] Вычисление теплоёмкости при d = 4 303
§ 2.11. Вычисление теплоёмкости при d — 4
Для 6 = 0 результаты E1) и E2) были получены А.И. Ларкиным
и Д.Е. Хмельницким при изучении фазового перехода в одноос-
одноосном сегнетоэлектрике [3]:
E4)
Таким образом, в пространстве D —е)-измерений отклонения от
теории молекулярного поля не слишком велики.
§ 2.12. Вычисление критических индексов при h — 0
Вблизи точки перехода можно написать разложение свобод-
свободной энергии (отнесённой к одной ячейке) по степеням среднего
спина:
F = ^ < Sz >2 +^р < Sz >4 -h < Sz > . E5)
Для того чтобы установить связь между коэффициентом А (г) и
функцией Грина G(q), определим магнитную восприимчивость,
исходя из разложения E5).
Уравнение для среднего спина находим из условия минимума
свободной энергии E5):
А(т) <SZ > +В(т) < Sz >3= /г,
откуда находим восприимчивость:
?я д < Sz > Nz I
Х =
V ОН V А(т) + ЗВ(т) <SZ >2'
В пределе h —>• 0 и при г > 0 спонтанный момент исчезает,
так что восприимчивость определяется с помощью следующего
соотношения:
304 Вычисление критических индексов [X
Для того чтобы выразить восприимчивость через функцию Грина,
запишем общее определение среднего спина, а затем продиффе-
продифференцируем это соотношение по величине внешнего поля:
С учётом того обстоятельства, что полный спин ^ Sp комму-
f
тирует с гамильтонианом Н, находим производную, которая, в
свою очередь, выражается через продольную корреляционную
функцию Dftfl = (SiS^) - (Si) E5 ):
После перехода к фу рье-представлению с помощью общих соот-
соотношений типа E):
°гЛ = ТГ Е
iv
получим
Таким образом, коэффициент А(т) обратно пропорционален ну-
нулевой пространственной компоненте Фурье от спиновой корре-
корреляционной функции, которая только множителем отличается от
функции Грина:
Л{т) = ЩЩ * ЩЩ ~ Щ^о-у E9)
Чтобы получить остальные коэффициенты разложения свобод-
свободной энергии, можно сразу начать разложение свободной энергии
по семиинвариантам. Ясно, что ниже точки перехода мы бу-
будем иметь диаграммы с тремя и четырьмя хвостами, на конце
S2.111
Вычисление теплоёмкости при d — 4
305
которых стоит (Sz)o. Просуммируем цепочки диаграмм таким
образом, чтобы после суммирования под корреляторами первого
порядка следовало бы понимать не (Sz)o, a (Sz) - среднее по
точному распределению Гиббса (аналогичная процедура приме-
применяется в теории бозе-конденсации ([4] § 23). В результате (Sz)
становится вариационным параметром. При этом коэффици-
коэффициенты В, С, D... изображаются в виде совокупности диаграмм с
четырьмя, шестью и т.д. хвостами.
Следовательно, можно утверждать, что коэффициент при
{{SZ))A пропорционален вершинной части Г4.
Таким образом, мы определили коэффициенты А и В при
т > 0. Можно заметить, что вычисление логарифмических
диаграмм ниже точки перехода сводится к замене г —> 2|т
в диаграммах, которые мы имеем выше точки перехода. Это
объясняется тем обстоятельством, что в нулевом приближении
функция Грина выше точки перехода связана с функцией Грина
ниже точки перехода заменой г —У —2г. (См. A3)). Во-вторых,
дополнительные графики, возникающие ниже точки перехода,
пропорциональны меньшей степени логарифма, чем выражения,
соответствующие паркетным графикам того же порядка (по-
(подробности см. в оригинальной работе [3]). Нелогарифмические
графики без труда вычисляются по теории возмущений, так что
окончательно при т < 0 имеем
А(т) = J@)r
В(т) = J@)g
Здк
1 + 3<?к
\-е/2 _ -
I Утп
|-€/2 -
-1-1/3
Таким образом, при т < 0 в асимптотической области:
А(т) ~ -|
; В(т)
Ф
В условиях термодинамического равновесия:
<SZ
1
-А/В ~ \т\1\ где /?=---.
F0)
F1)
F2)
F3)
306 Вычисление критических индексов [X
В четырёхмерной модели е = 0 имеем
]1/3. F4)
Коэффициент А (г) определяет восприимчивость х(т) как выше,
так и ниже точки перехода:
при т>0 х ~ (^4(r))~1 ~ г~7? F5а)
при т<0 х- B|Л(г)|) - \т\-\ F56)
Индекс 7=1 + (б/6), как это следует из F5).
Если же б = 0, тогда снова выполняется "закон двойки",
а в асимптотической области возникает дополнительная лога-
логарифмическая зависимость:
при г>0 х ~ L _ И , F6a)
при т < 0 х гч
2|г|
§ 3. n-компонентная изотропная модель
Все уравнения, полученные для однокомпонентной модели
Изинга, без труда обобщаются на случай произвольного числа
компонент (п) [1], [5].
При условии полной изотропии затравочная функция Грина
критических колебаний имеет следующий вид (В2 = 1):
F7)
~^'-(|г|+р2)-
Запишем уравнения Судакова для 4-вершинной части сначала
в 4-мерном пространстве Эвклида, по аналогии с D5) (рис. 12):
3]
n-компонентная изотропная модель
307
Рис. 12. Уравнения Вильсона для изотропной модели.
Нелинейная система паркетных уравнений для р ~ s ~ q
—
F8)
Будем искать решение этого уравнения в виде произведения:
F9)
308 Вычисление критических индексов [X
что соответствует предположению об изотропии. Непосредствен-
Непосредственная подстановка F9) в F8) приводит к следующему дифферен-
дифференциальному уравнению, которое легко решается:
dT(p) = к(п + 8)^Г2(р), Г(р) = 7 Г° , , , ч- G0)
Здесь п есть полное число компонент, р* - максимальный им-
импульс логарифмического обрезания.
В результате имеем: Га^;7O/(р) =
"Р
1 + Г0^(п + 8Iп(р*/р) 'p ъ '7 p' ' p'7'
Переход к пространству D — е)-размерности производится с по-
помощью подстановки:
' '~ G2)
Вторая подстановка определяет закон, по которому удаётся опре-
определить температурную зависимость 4-вершинной части в пре-
пределе нулевых импульсов.
Отсюда можно заключить, что четверной коэффициент тео-
теории Л.Д. Ландау обращается в нуль по закону:
Г4 ^ |т|6/2. G3)
Аналогичным образом определяем первый коэффициент теории
Ландау: G~1(t).
Сначала запишем аналог тождества Уорда (обычно исполь-
используемого в квантовой электродинамике):
^ = Та>/3(А;, 0, г). G4)
Здесь Та$(к,р,т) - угловая вершинная часть, которая при к ~
-Р<С^иг = 0 снова удовлетворяет уравнению паркетного
типа (сравни с D8)):
d и
к—ТаМ^(р)Гф^(р). G5)
§ 3.1] Вычисление критических индексов при h = О 309
В силу изотропии будем искать решение этих уравнений в виде
Та,/3 = Т(р)#а?/з. После подстановки в уравнение G5) уже из-
известного решения для 4-вершинной части Та^;фIр из G3) полу-
получаем следующее уравнение:
решение которого имеет вид
Т(р) = [1 + (п + 8)кГ0 1п(р„/р)]-<п+2>/<п+8>. G7)
В результате перехода G7) к параметру г получаем дифферен-
дифференциальное уравнение:
d(G~l(r)) Г /о 1-(™+2)/(п+8)
[ дт[ )} = [l + (п + 8)«Г0(|г|-с/2 - (р*)"б)/(е)]
G8)
Интегрируя это уравнение в пределе \т\ <С 1, получим
G~\r) ~ ^n(r)|r|7; при г = 0 G^) ^ ^,
где
7 +2(п + 8)' 2 2 + 4(п + 8)' Uyj
§ 3.1. Вычисление критических индексов при h = 0
Таким образом, мы находим коэффициенты разложения Лан-
Ландау:
В(т) = Г4 =* |г|€/2. (80)
Отсюда удаётся найти сразу три индекса, т.к. т ~ q2:
Т 71 + 2^Т8)' ^ 2 2
и выполняется "закон двойки".
310 Вычисление критических индексов [X
Ниже точки перехода находим ещё два критических индекса:
/3=1-2(п3;8); «=|^}. (82)
Для нахождения критического индекса а для Т > Тс запишем
уравнение для поляризационного оператора П(д, г = 0) по пере-
переменной q. По аналогии с E2) имеем
Я КЧ' [1 + (га
(83)
Интегрируя это уравнение, получим
ЩЯ, 0) = {п+П8)кТо [1 + (« + 8)Го 1п(р,/^)]("-4)/("+8). (84)
В результате замены G6) находим критический индекс а , от-
относящийся к области выше точки перехода:
^§ (85)
2{п + 8)
Отсюда заключаем, что а = а .
§ 3.2. Вычисление критических индексов в области
сильных полей
Особого внимания заслуживает критический индекс 5, опре-
определяющий зависимость параметра порядка m в области силь-
сильных полей h с± гпг ^> тт.
В общем случае этот индекс определяется при г = 0 с помо-
помощью следующего соотношения:
ms~h, или m~h1/s. (86)
Для нахождения этого индекса запишем уравнение самосогла-
самосогласованного поля при г = 0:
т3Г4(р) ~ /г, или mspe ~ /г, (87)
§ 4] Критические индексы при е = 1 и е = 2 311
где импульс р находим из уравнения самосогласованного поля
F) при г = 0:
р ~ т , так что т те с± /г, или 6 = 3 + б. (88)
Можно проверить, что в линейном приближении по е выполня-
выполняется соотношение
/W = /? + 7- (89)
§ 4. Критические индексы при в — 1 и в — 2
Степенные зависимости (81), (82) и (85) в общем случае
являются следствием так называемой гипотезы масштабной ин-
инвариантности (Scaling) [1], [5].
Нам удалось доказать эту гипотезу для случая D —е)-измере-
ний. Заметим, что а + 2/3 + 7 — 2. Предположим, что соот-
соотношения (81), (82) и (85) справедливы везде вплоть до б = 1.
Согласно этому предположению — вторая гипотеза Вильсона -
Для случая одной компоненты имеем
o-V '"I- (92)
Машинные вычисления для трехмерной модели Изинга дают
приблизительные значения, довольно близкие к (92):
а «0.1; /3^0.3; 7 ~ 1.2. (93)
В двумерном случае значения всех индексов известны:
С„~-1п|т|,- а = 0; /3 = J; 7=7- (94)
о 4
Гипотеза масштабной инвариантности выполнена, но получить
эти индексы из наших формул (81), (82) и (85) невозможно.
312 Вычисление критических индексов [X
§ 5. О вычислении поправок, квадратичных по е
Для числа компонент, превышающего единицу, линейного
приближения по е оказывается недостаточным.
Для нахождения следующего приближения по е снова можно
использовать паркетное приближение, поскольку разложение не-
непаркетных поправок начинается со слагаемых третьего порядка
по б.
При получении паркетных уравнений мы фактически пред-
предположили, что при \т\ = 0 поправка к обратной функции Грина
отсутствует.
На самом деле уже в рамках паркетного приближения можно
записать уравнение для векторной угловой Ta(<f,p) вершинной
части, через которую определяется импульсная зависимость
обратной функции Грина:
= 2р- /Г(ййIяУ?Ш$. («И
В результате подстановки в это уравнение T(p,p;q,q) « g по-
получим нуль, так что с точностью до членов первого порядка по
д обратная функция Грина равна р2 - своему значению, вычи-
вычисленному в нулевом приближении.
Удаётся показать, что подстановка в это уравнение второго
приближения C1) приводит к поправкам порядка g2L, что со-
соответствует выходу за рамки приближения, линейного по е [1],
[5].
Таким образом, предположение о выборе нулевой функции
Грина при г = 0 в виде G(p) = p~2 следует считать обоснован-
обоснованным.
Список литературы 313
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Wilson К.Ц Phys. Rev. Lett. 1972. 28, 548.
2. Судаков В.В./1 ЖЭТФ 1957. 32, 767.
3. Ларкин А.И., Хмельницкий Д.Е.11 ЖЭТФ, 1969. 56, 2087.
4. Абрикосов А.А., Горьков Л.П., Дзялошинский И.Е. Методы
квантовой теории поля в статистической физике. - М.: Наука,
1962. - 444 с.
5. Покровский В.Л., Паташинский А.З. Флуктуационная тео-
теория фазовых переходов. - М.: Наука, 1982. - 381 с.
6. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Статистическая физика. Ч. 1.
- М.: Наука, 1995. - 606 с.
ЛЕКЦИЯ XI
НИЗКОТЕМПЕРАТУРНАЯ ТЕОРИЯ
ВОЗМУЩЕНИЙ
Содержание
§ 1. Термодинамическая теория возмущений .... 315
Задача 319
§ 2. Теорема Вика 320
§ 3. Первый порядок теории возмущений 326
§ 3.1. Обменное взаимодействие 330
§ 4. Второй порядок теории возмущений 332
§ 5. Приближение высокой плотности 339
Список литературы 342
Метод вторичного квантования в той форме, в которой он
использовался в предыдущих лекциях, непригоден для решения
большого круга задач. Фактически его можно использовать в
случае слабого взаимодействия между частицами. При этом
либо применима теория возмущений, либо гамильтониан на-
настолько упрощается, что его легко диагонализовать. Однако
часто оказывается, что нельзя ограничиться несколькими пер-
первыми членами ряда теории возмущений. В этих случаях необ-
необходимо использовать диаграммный метод [1], [2], [3].
В настоящей лекции осуществляется переход к представле-
представлению Мацубары, когда операторы зависят не от времени ?, а от
некоторого фиктивного мнимого "времени" т, изменяющегося
от нуля до 1/Т. В соответствии с этим уравнения движения
только множителем отличаются от уравнений Гейзенберга:
Диаграммная техника при конечных температурах может быть
построена из так называемых температурных функций Грина,
которые выражаются через дискретные компоненты Фурье с
мнимыми частотами гшп = гтгпТ.
§ 1] Термодинамическая теория возмущений 315
§ 1. Термодинамическая теория возмущений
Рассмотрим разложение ^-потенциала по степеням отноше-
отношения энергии взаимодействия к температуре - так называемое
высокотемпературное разложение. В нулевом приближении
ftQ = —Tin \Sp (ехр(—Hq/T)) . Выразим статистический опе-
оператор через 5-матрицу, зависящую от параметра т, который в
окончательных формулах положим равным 1/Т:
ехр(-тН) = ехр(—tHo)S(t), или S(t) = exp(rifo) exp(—тН).
A)
Дифференцируя последнее соотношение по параметру г и ис-
исключая из него полный гамильтониан Н = Но + flint, получаем
уравнение для оператора S :
^ = -Нш(т)§(т), где Нш(т) = етН°Нше-тНо. B)
Представим решение уравнения B) в виде ряда по степеням га-
гамильтониана взаимодействия:
S(r) = 5<°) (г) + S« (г) + S^ (г) + S^ (г) + ... C)
Заметим свойства S-матрицы, которые следуют непосредственно
из её определения A).
В отсутствие взаимодействия S(r) = 1, так что S^°\r) = 1.
При нулевом значении параметра г S@) e 1, откуда следует,
что 5(°)@) = 1, а все остальные поправки S^k\0) = 0 (к > 1).
Для нахождения поправок при произвольных значениях г
подставим разложение C) в левую и правую стороны уравнения
C), а затем слагаемые одинакового порядка по энергии взаимо-
взаимодействия. В результате получим следующую систему уравне-
уравнений:
D)
316
Низкотемпературная теория возмущений
[XI
Учитывая нулевые "начальные" условия, вместо D) получим
О О
Подставляя явное выражение S^(r) в правую сторону под ин-
интеграл, получим поправку второго приближения:
I-
E)
Если в интегралах произвести формальную замену т\ —> т2 и
?2 —* Ть тогда поправка второго приближения может быть пред-
представлена в виде полусуммы следующих выражений:
Нш(п)
1
jHmt{r2)dr2
Lo
LO
F)
Замечая, что в первом слагаемом интегрирование ведётся по
области 0 < т\ < Т2 < т, а во втором слагаемом - по области
О < Т2 < Т2 < т, правую сторону выражения F) можно пред-
представить в виде двойного интеграла по квадратной области со
стороной г:
Тт (Йш(п)Нш(т2))
О О
Здесь и ниже символ Тт обозначает упорядочение операторов по
параметру г. В данном случае это означает, что операторы с
большим значением параметра г располагаются левее операто-
операторов с меньшим аргументом. В области 0 < т2 < т\ < г:
тт
§ 1] Термодинамическая теория возмущений 317
в области 0 < т\ < Т2 < т:
Поскольку в исходном уравнении B) оператор Hint{r) находится
левее оператора ?>(т), то описанная выше процедура допускает
обобщение в любом порядке, а решение представляется в виде
разложения по Т-произведениям операторов Hint(r): S(r) =
J
fc=0
= Е {-^Г 11 "JTt (нш(т1)Нш(т2)...Нш(тк)) dTldT2...dTk.
0 0 0
Здесь символ Гт упорядочивает операторы по параметру т, так
что операторы с большим значением параметра г располага-
располагаются левее операторов с меньшим аргументом. (Подробнее
см. [2]).
Выразим Q-потенциал через среднее значение от 5-матрицы:
Q = п0 - Tin [Sp (ехр(-Я/Т))] + Tin [sP (ехр(-Я0/Т))] =
= п0- Tin [Sp (ехр(-Я0/ГMA/Т)) /Sp (ехр(-Я0/Т))] =
= uo-T\n(S(l/T))o. (8)
Таким образом, для вычисления поправок к fi-потенциалу необ-
необходимо усреднить разложение G) по состояниям невзаимодей-
невзаимодействующих частиц, а затем производить вычисления с помощью
рекуррентных соотношений, связанных с теоремой Вика.
Для вычисления средних по состояниям с заданной темпе-
температурой Т, объёмом V и химическим потенциалом \i будем ис-
использовать процедуру усреднения не по полному гамильтониану
Н = Hj + Hint, где Hj - оператор энергии невзаимодействую-
невзаимодействующих частиц и Hint ~ оператор взаимодействия, а по состояниям
с гамильтонианом Hq = Hj — jjlN - оператором энергии невзаи-
невзаимодействующих частиц, отсчитываемой от химического потен-
потенциала //. В представлении вторичного квантования оператор
318 Низкотемпературная теория возмущений [XI
числа частиц N и Hq записывается следующим образом:
к к
где ек - энергия одночастичных состояний с номером к] а^ и ак
- операторы рождения и уничтожения, подчиняющиеся следую-
следующим перестановочным соотношениям:
{ak,as} = 0] ja+,a+j=O; {ak,af}=6ks. A0)
Здесь и ниже
Г 1 при i = к,
1 1 0 при %фк.
В представлении взаимодействия с комплексным "временем" г
(в представлении Мацубары)
А(т) = ехр(гЯ0)Лехр(-гЯ0),
операторы рождения и уничтожения только множителем отли-
отличаются от соответствующего оператора в представлении Шре-
дингера:
а>к{т) = ак ехр(-^г); а%(т) = а+ ехр(^г). A1)
Здесь ?д. = ек — /i, a параметр г изменяется в пределах 0 < г <
< 1/Г. Для доказательства этих соотношений достаточно вы-
вычислить производную для каждого из операторов ак(т) и д^{т):
дак(т)
дт
= [Н0,ак(т)] = -
&а+(г), A2)
а затем решить соответствующее дифференциальное уравнение
с начальным условием:
ак@) = ак, а^@) = а?.
§ 1] Термодинамическая теория возмущений 319
Задача
Предполагая, что величина коммутатора -4? -В = с есть с-
число, доказать операторное соотношение:
е(А+В) = еАеВе-с/2 = еАеВе-$[А,В]^ A3)
Решение. Воспользуемся развитым выше методом. Введём
вспомогательный параметр у, а также оператор W(y), вполне
аналогичный ^-матрице:
е(А+В)у = еАуцг(у^ иди йг(у) = е-Луе(АЩу^
Дифференцируя оператор W(y) по параметру у, находим
где В(у) = е-АУВеАУ. A5)
В свою очередь оператор В (у) удовлетворяет дифференциаль-
дифференциальному уравнению с начальным условием В@) = В:
— = -е у Л^Ч е у = -с. (lbj
dy L J
Здесь было использовано численное значение коммутатора ^4,5
Решение уравнения A6) В (у) = —су + В подставляем в A5):
dW(y)
= (B-cy)W(y), W@) = l. A7)
dy
Из этого уравнения находим соотношение:
, — Ь A8)
которое решает поставленную задачу.
320 Низкотемпературная теория возмущений [XI
§ 2. Теорема Вика
Построение диаграммной техники основано на теореме Вика,
которая базируется на доказательстве существования рекуррент-
рекуррентных соотношений для среднего значения от некоторого числа
операторов, записанных в представлении взаимодействия и упо-
упорядоченных по параметру г согласно следующему определению:
a+i(rl,1)a^2(rl/2)...a+n(rl,j))o =
= (-l)F(fT (a+^r1)aP2(r2)...a+(тп)))о,
где символ Гт обозначает упорядочение операторов согласно
условию: т\ > Т2 > .... > тп; символ Р есть число перестано-
перестановок ферми-операторов из расположения под знаком символа Т
в левой части к расположению, упорядоченному по г^, в правой
части. Скобки (...)о обозначают усреднение по всем состояниям
невзаимодействующих частиц при заданной температуре, объ-
объеме и химическом потенциале:
(Л)о = Sp (Ae-H^T) /Sp
где Sp обозначает сумму всех диагональных матричных элемен-
элементов по всем состояниям невзаимодействующих частиц.
Основное рекуррентное соотношение состоит в том, что сред-
среднее (...)о от Т-произведения заданного числа операторов выра-
выражается через сумму средних от всевозможных Г-произведений
от меньшего числа операторов [1].
Для доказательства произведем выпутывание выделенного
ферми-оператора уничтожения из-под знака среднего. Предпо-
Предположив, что упорядочение уже произведено, т.е. т\ > т% > ... >
> тк > то > Т&+1 > ... > тп, перемещаем оператор ао(то) на
крайнее левое место:
Теорема Вика 321
т = к
J2 Пг
s-l
A9)
Здесь введено удобное число пг, равное единице, если на ме-
месте с номером г имеется ферми-оператор и равен нулю во всех
остальных случаях. Сумма по всем пт от единицы до п - нечет-
нечетное число, потому что с самого начала мы изучаем отличные
от нуля средние значения от четного числа ферми-операторов.
В последнем слагаемом A9) переставим оператор йо(то) на
крайнее правое место, используя возможность циклической пе-
перестановки под знаком Sp:
Sp (ao(ro)^(Ti)a2(T2)...a+(Tn)e-^/T) =
= Sp (а+(п)а2(т2)..Л+(тп)ао(то -
поскольку йо(т) = exp(—т?о) &о-
Переходя в полученном соотношении к средним значениям
и перемещая оператор йо(т) на крайнее левое место, находим
уравнение, определяющее последнее слагаемое в A9):
= е^/т(а+(т1)а2(т2)...а+(т„)ао(то))о =
{af(Ti)...aj_1{Ts-i) {а+(т5),а0(т0)} ...
r = n
322
Низкотемпературная теория возмущений
[XI
+
• B0)
Используя снова условие того, что под знаком 5р, кроме йо(т),
имеется нечетное число ферми-операторов, получаем соотноше-
соотношение, в котором справа под знаком среднего имеется только (п — 1)
ферми-операторов:
s=l
8-i) {a+(rs),a0(r0)}
r = k
E
s=l
E ^
E «-
B1)
Во второй сумме s < fc, так что можно написать:
§ 2] Теорема Вика 323
после чего используем условие чётности полного числа ферми-
операторов, стоящих под знаком искомого среднего:
/ j '°г / > ' / > '
В третьей сумме s > к, так что с учетом условия чётности
полного числа ферми-операторов, стоящих под знаком среднего:
r=k r = s r = n г—п
после чего её знаковый множитель преобразуется следующим
образом:
\ / \ / \ / * \ /
Подставляя новые знаковые множители в B1) и используя опре-
определение функции Ферми пр(е) = 1/A +ехр(б/Т)), получим сле-
следующее рекуррентное соотношение:
г=к
Е ~г
х a++1(rs+i)...a+(rn))o(-l)^=s+1
к
s=l
324 Низкотемпературная теория возмущений [XI
r = s
? "г
х а++1(тв+1)...а+(тп))о(-1)-=*+' . B4)
Знаковые множители, на которые умножаются средние (....)о,
совпадают со знаковым множителем числа перестановок опера-
оператора ао из упорядоченного расположения в левой стороне B4) к
тому расположению, которое имеется под знаком среднего, если
формально не учитывать символа {...}. Можно заметить, что
антикоммутаторы от двух операторов в представлении взаимо-
взаимодействия либо равны нулю, либо зависят от разности г — rs:
{a+(rs),ao(ro)} = <55,ое^-Ч
Это же утверждение справедливо, когда вместо оператора ро-
рождения под знаком антикоммутатора стоит любой фермиевский
оператор уничтожения, т. к. в правой стороне получается нуль.
Если оператор ао приходится переставлять с бозе-операто-
ром, тогда снова получаем нуль, но при этом используются ком-
коммутаторы. Учитывая эти соображения, запишем соотношение
B4) в следующем виде:
- та) (a+(n)... {a+,a0} ...й+(тп))о (-1)р°", B5)
5=1
где Gjy(r) - функция Грина.
B0
Po,s - число перестановок из исходного расположения операто-
операторов в то расположение, которое они имеют под знаком среднего,
§ 2] Теорема Вика 325
если не принимать во внимание символ {...}, тьр(е) - распреде-
распределение Ферми.
Антикоммутатор, стоящий под знаком среднего, есть JSjO, и
поэтому в правой стороне B5) каждое отличное от нуля слагае-
слагаемое не содержит оператора йо, но содержит под знаком среднего
на два оператора меньше, чем исходное среднее в левой стороне
B5).
Все оставшиеся операторы как слева, так и справа, оказыва-
оказываются упорядоченными по параметру т, так что окончательное
соотношение можно записать через среднее от Т-произведений:
s=l
¦>v (Tiy1)upi/2 (r^)... {а^5, йо} ...йр^ (r^) J)o( —1) °^6. B7)
Здесь Po,^s ~ число перестановок из исходного расположения без
учета символа Т к тому расположению, которое они имеют в
s-слагаемом, без учета как символа Т-упорядочения, так и сим-
символа антикоммутатора {...}.
Функция Грина Gu{r) выражается через среднее от Т-произ-
ведения от двух операторов:
G,(r) = - {fT {au(T)at(T = 0)))о =
Т^°'1 B8)
при г < О J ;
Здесь пр(?) ~ распределение Ферми: пр(?) = 1/A+
Последовательное применение рекуррентного соотношения
B7) ко всевозможным Т-произведениям позволяет вычислять
средние от всевозможного числа операторов в представлении
взаимодействия через сумму произведений всевозможных пар-
парных средних B8) со знаковыми множителями, каждый из ко-
которых определяется числом перестановок ферми-операторов без
326 Низкотемпературная теория возмущений [XI
учета символов Т-упорядочения. Это утверждение и составляет
содержание теоремы Вика. Любая достаточно общая термоди-
термодинамическая теория возмущений основана на использовании этой
теоремы.
В нерелятивистском приближении оператор взаимодействия
Hini(r) выражается через произведения четного числа ферми-
операторов рождения и уничтожения, взятых в один и тот же
момент времени: т\ = Т2 = .... = Т&. Однако мы будем считать
"времена" слабо различающимися таким образом, чтобы опера-
операторы, с одной стороны, оставались в нужном расположении, а с
другой стороны, они были упорядочены по параметру т.
Так, в случае парного взаимодействия, не зависящего от спи-
спинов: Hint(r) =
P>p,p,p
B9)
Здесь U(q) - компонента Фурье классического парного взаимо-
взаимодействия; в силу закона сохранения импульса: р\ -\-р2 = Рз +Р4>
а суммирование по проекциям спинов о\ и о^ производится не-
независимо; V — объем системы.
Расположение операторов упорядочено по "времени" т\ =
= г + 8\ > т<2 = г + #2 > т3 = г + 6з > т\ = г + 8а , однако фак-
фактически все Tfc = г, т.к. в окончательных ответах переходим к
пределу 8^ —> 0 при дополнительных условиях 8S > Ss+\ > 0.
§ 3. Первый порядок теории возмущений
Предположим, что взаимодействие между электронами мало,
и разложим ^-матрицу до первого порядка:
1/Т
ЫЖ-. C0)
Подставляя это разложение в общее выражение для поправки
к О,-потенциалу, произведем усреднение по состояниям невза-
§ 3] Первый порядок теории возмущений 327
имодействующих частиц, а затем разложим логарифмическую
функцию до первого порядка:
{1/Т Л 1/Т
1 - I {V{r))odr I « Т I {< V(r)) >0 dr. C1)
о J о
Полученное соотношение можно использовать для нахожде-
нахождения первого порядка термодинамической теории возмущений,
который равен среднему значению гамильтониана, усреднённому
по состоянию идеального газа при заданной температуре, хими-
химическом потенциале и объёме:
1/Т
Р1,Р2,РЗ,Р4;Р1+Р2=РЗ+Р4 0 ^
>й(Ti)а+ >й (тг)^^^(тз)^^>й (т4)) )о 1 dr. C2)
Здесь усреднение производится по состояниям невзаимодейству-
невзаимодействующих частиц, с гамильтонианом Но.
Двойное применение теоремы Вика к подынтегральному вы-
выражению C2) приводит к появлению двух слагаемых, отлича-
отличающихся знаком [1].
Положительный знак имеет слагаемое, изображённое
на рис. 1а:
г 1'т<
Pi,P2,Pz,2
'й,Р2^Р4,Р1^й(гз ~ r2)Gf4(r4 - ti) > dr. C3)
Отрицательное слагаемое, изображённое на рис. 1е, записыва-
записывается следующим образом:
(-) Т
Р\ Ф2,РЗ,Р4 5Р1 +Р2 =РЗ +Р4 О
328 Низкотемпературная теория возмущений [XI
- т2) > dr. C4)
Заметим, что аргументы функций Грина в C3) и C4) фактиче-
фактически сводятся к отрицательной бесконечно малой величине —6.
По этой причине в соответствии с B8) все функции Грина сле-
следует заменить на функции Ферми п^(?), так что зависимость
от параметра г исчезает, и после элементарного интегрирова-
интегрирования получим
Е
-й)- C5)
Поскольку J3 nF(?,p) = ^е есть полное число электронов, то пер-
вое слагаемое есть не что иное, как классическое выражение
энергии взаимодействия электронного газа. (См. рис. 1а).
В любой нейтральной системе эта сумма существенно ком-
компенсируется энергией взаимодействия с ионами.
Так, в случае электронейтральной плазмы к этому слага-
слагаемому необходимо добавить еще три слагаемых, которые изо-
изображены на рис 1Ь), с), d). Как было показано, электронная
петля дает множитель Ne. Усреднение произведения оператора
рождения и уничтожения ионов дает ионную петлю и соответ-
соответствующий множитель Л^, равный числу ионов.
Ион-ионное взаимодействие отличается от электрон-элект-
электрон-электронного множителем Z2, равным квадрату ионного заряда (в
единицах электронного заряда). В тех же единицах электрон-
ионное взаимодействие отличается от электрон-электронного
множителем —Z.
§3]
Первый порядок теории возмущений
329
е)
Рис. 1. Графическое изображение термодинамических
поправок первого приближения
Таким образом, общий множитель перед четырьмя диаграм-
диаграммами прямого кулоновского взаимодействия пропорционален
l- (e2N2e - 2e2ZNeNx + Z2e2N2) = l- (-\e\Ne + Z\e\N,J = 0.
C6)
Полученное выражение обращается в нуль в силу условия элек-
электронейтральности.
330 Низкотемпературная теория возмущений [XI
§ 3.1 Обменное взаимодействие
Вторая сумма представляет собой обменную энергию, кото-
которая имеет отрицательный знак и, следовательно, характер при-
притяжения:
4тге2
"обм = T^
[ [
v / /
J J
(pi -Р2Г B7Г)
Для вычисления интегралов удобно ввести импульс относитель-
относительного движения Q = Р2 ~ Pi и импульс движения центра инерции
s = (pi +й)/2, после чего общее выражение для обменного вза-
взаимодействия преобразуется к следующему виду:
4тге2 /* [ nF(iPl)nF(ip2) dqds
VJ j ^, C8)
где
-> Я -> -> Я ->
Р1 = - g + *> V2 = g + *¦
При высокой температуре ее вклад пропорционален квадрату
концентрации электронов:
Г 2A 4s2 - -2 ^
ехР \ 7^7 "
а интегрирование независимо производится по всему q- и 5*-
пространству:
т2е2Т2 2ц/г Wj
°бм ~ 42й4 ~
2тТ '
По порядку величины полученная величина равна компоненте
Фурье средней энергии кулоновского взаимодействия е2/^2, взя-
взятой на импульсах q порядка обратной средней тепловой длины
волны де-Бройля: q ~ v2mT/h.
Таким образом, в классическом пределе обменное взаимодей-
взаимодействие оказывается пропорциональным квазиклассическому ма-
малому параметру - квадрату средней тепловой длины де-Бройля,
отнесённой к квадрату среднего расстояния между электронами.
§ 4] Второй порядок теории возмущений 331
В обратном предельном случае сильного вырождения Т <С
<С h n2/3/т ферми-распределение сводится к "ступенчатой"
функции пр(р) = О(ро — р), так что интеграл в C7) берётся по
области: |s*±<f/2| < ро-
При Т = О удобно обезразмерить интегралы по импульсам
на импульс Ферми, а затем проинтегрировать по углу в между
Pi Ир2-
1 1
\ fx2dx fy2dy ———, D1)
J J x2 + у2 - 2xyt
-10 0
где
t = cos#, x = —, у = —.
Po Po
В результате простого интегрирования по параметру ?, а затем
по х и у получим
„ о __ 1 1
ydy]
о о
D2)
Сравним полученное выражение со средней энергией ферми-
газа:
так что ^обм = -Е{)~— —. D3)
Следовательно, безразмерная величина me2/hpo является ма-
малым параметром термодинамической теории возмущений. Ку-
лоновские поправки при Т = 0 принято выражать через вели-
величину rs, равную отношению среднего расстояния между элек-
электронами h/po к радиусу боровской орбиты fi2/me2, так что
те2/poh = rs [4]. Поэтому
а>бм = -Еог8 — . D4)
Таким образом, условие применимости теории возмущений
е2 /hvo <C 1 совпадает с условием малости среднего расстояния
332 Низкотемпературная теория возмущений [XI
между электронами по сравнению с размерами атома водорода
(в основном состоянии): rs « 1.
Ясно, что в обычных металлах rs > 1, так что рассматри-
рассматриваемый вариант теории возмущений лежит на границе области
применимости.
§ 4. Второй порядок теории возмущений
Запишем разложение S-матрицы до второго порядка включи-
включительно:
т т т
S(r) « 1 - ffV(ri)dri + \- f ff{V(Ti)V(T2)}dTidT2. D5)
О 0 0
Подставляя это разложение в общее выражение для поправки
к ^-потенциалу, произведем усреднение по состояниям невза-
невзаимодействующих частиц, а затем разложим логарифмическую
функцию до второго порядка. С помощью известного соотноше-
соотношения 1пA + х) ~ х — х2/2 и общих формул G) - (8) находим
где
о о
D6)
Здесь символ Т обозначает упорядочение по параметру г, а вы-
выражение V(r) - оператор взаимодействия, записанный в пред-
представлении взаимодействия B9).
Применяя к правой стороне теорему Вика, можно заметить,
что из суммы большого числа слагаемых, происходящих от пер-
первого слагаемого, остаются только так называемые несвязанные
диаграммы, которые нельзя разделить на части, перерезав хотя
§4]
Второй порядок теории возмущений
333
V
с)
Рис. 2. Графическое изображение поправок
второго порядка к ^-потенциалу
бы одну электронную линию. Четыре таких диаграммы изобра-
изображены на рисунке 2.
Раскрывая формулу D6) по теореме Вика для двухпетлевой
диаграммы (рис. 2а) и 2Ь)), получим простейшее выражение:
1/Т1/Т
0<P2(q)Uq(T2-T1)Uq(T1-T2), D7)
о о
BтГ
где поляризационный оператор И(т\ — т2) = G(r\ — T2)G(t2 — т\)
изображен на рис. 3. Исчезновение коэффициента 1/2 связано с
334
Низкотемпературная теория возмущений
[XI
существованием двух диаграмм на рис 2а) и 2Ь), отличающихся
перестановкой вершинных частей.
Для дальнейшего упрощения вычислений произведем раз-
разложение каждой функции Грина в ряд Фурье по переменной
т = т1-т2[2]:
где
-
1/Т
D8)
-1/Т
Подставляя сюда определение нулевой функции Грина из A7)
и производя интегрирование, находим, что компоненты Фурье
Guj(p) отличны от нуля только для uj = шп = тгBп + 1)Т:
п = Bп + 1)тгТ;
= 0, если uj = 2тгпТ.
D9)
Р
Рис. 3. Графическое изображение
поляризационного оператора
После подстановки этого выражения в определение поляри-
поляризационного оператора удобно произвести замену шт = шп + Я,
§ 4] Второй порядок теории возмущений 335
и тогда естественным образом возникает определение компо-
компоненты Фурье
Т2 ? e-infr-b)w+u(p $u(p) Y,u(
си,пр П
E0)
Подстановка этого определения в D7) позволяет произвести ин-
интегрирование по переменным ti?2, после чего двухпетлевая диа-
диаграмма представляется в следующем виде:
J 7^V2ml(q). E1)
Учитывая явный вид потенциала кулоновского взаимодействия
(р2(д) = 4тге2/д2, сразу обнаруживаем, что интеграл D7) расхо-
расходится на малых q. Степень расходимости определяется поведе-
поведением поляризационного оператора на малых q. По этой причине
необходимо определить явный вид П-оператора, а затем его вы-
вычислить в предельном случае q —> 0. Используя его определение
E0) через фурье-образы электронной функции Грина D9), не-
нетрудно получить следующее разложение:
UQ(q)=T_
1
= т
TTj^ (ZCJ — ?p-j (ZCJ + ZiZ —
1 ill
f^TT^3 I ?V#; — ?- ?V#; -I- ?O — ^-. - I ?O — ?-, - -I- ^-'
I Zj/I J I 6H/ C»i 6H/ \^ 6u6 CorL-{7 I 6uu Con-L/Y П^ ЦТ)
E2)
Каждая сумма в правой части E2) расходится, однако ее можно
сделать сходящейся, а затем и вычислить с помощью соотноше-
соотношения, которое непосредственно следует из определения функции
Грина B8) для отрицательных г:
lim ТУ- = nF{E). E3)
336 Низкотемпературная теория возмущений [XI
Второе соотношение сводится к первому, поскольку ш + Ш =
= iuJ = inTBnf + 1) - снова комплексная фермиевская частота.
В результате получаем общее выражение для поляризационного
оператора:
Здесь ?1 = 2тгтТ - бозевская частота, так что при И = 0 и
q —> О получаем статическое значение поляризационного опера-
оператора, которое имеет постоянное значение и выражается через
производную от электронной плотности пе:
dp 1дпе
При конечной частоте ft длинноволновой предел IIq(O) = 0, от-
откуда можно заключить, что q и fi поляризационный оператор
есть функция отношения q/VL.
Для того чтобы в этом убедиться, вычислим поляризацион-
поляризационный оператор при Т = 0. В пределе q < Ро можно записать
числитель и знаменатель общего выражения E4) в линейном
приближении q:
J BтгK д? Ш - (vq) J
Ш - (vq) J Bтг)Зд(^Ш - (vq)'
E6)
Таким образом, интегрирование производится только по углу
между фиксированным направлением векторами направлением
скорости v = р/т, в то время как длина вектора импульса р
остается равной импульсу Ферми: ро = \/2m/i. В результате
простого интегрирования находим
- — arctg (^f) ) . E7)
qv \ il J )
Здесь щ = тро/27т2Нг - плотность состояний на уровне Ферми,
<у0 = ро/т - скорость на поверхности Ферми.
§ 4] Второй порядок теории возмущений 337
В предельном случае \Q,\ <C qvo снова получаем конечное зна-
значение, равное плотности состояний, взятой с обратным знаком.
В обратном пределе больших частот \Щ ^> qvo поляризаци-
поляризационный оператор обращается в нуль по закону — v(qvoJ/3fl2.
Подставляя выражение E7) в общее выражение для второй
поправки E1), произведём интегрирование по частотной пере-
переменной с помощью замены TJ2^ f сЮ,/2тг:
п
оо
Coi и _ о . i и .
qv0
^ °М-П2(У). E8)
О
Таким образом, по переменной q возникает логарифмически рас-
расходящийся интеграл, что означает невозможность ограничиться
второй поправкой теории возмущений.
В качестве верхнего предела интегрирования естественно
выбрать импульс Ферми, поскольку с самого начала мы произ-
произвели разложение поляризационного оператора в области q <C Ро-
Нижний предел интегрирования пропорционален обратному
радиусу экранирования к = у4:е2тро/тгН^^ который будет вы-
вычислен в следующем разделе (соотношение G3)).
В результате корреляционная поправка приобретает следу-
следующий вид:
п2 = -VhJfjtjL^MqvoJ^ П2(у). E9)
К О
Численное значение определённого интеграла находим с по-
помощью интегрирования по частям:
dx =
338 Низкотемпературная теория возмущений [XI
= ^ | х - 2A + x2)arctg(^) + х3 ((arctg^))
F°)
-L ~\~ JU X
О
Оставшийся интеграл преобразуется к интегралам вдоль дей-
действительной оси, которые вычисляются с помощью вычетов.
Для этой цели представим arctan(x) через интеграл, а затем
через логарифм:
X X
f dz 1 Г л Г 1 11
= / -z = — / dz .
J z2 + l 2i У Lz — i z + ij
О О
Производя интегрирование, получим
, , , 1 |\ (x-i) . (x + i) 1 1 A + ix)
arctg(x) = - In — - In —— = -n-
2i L— "i i Jr(l-ix)*
Подставляем это выражение под интеграл в F0) и интегрируем
в комплексной плоскости:
сю сю
/ ~, ^-arctg(-)dx = — / jjln :dx =
J 1+x2 x; 4i J 1+x2 x-i
0 -oo
СЮ
1 f X
Первый интеграл пропорционален вычету в верхней полуплос-
полуплоскости, а второй интеграл пропорционален вычету в нижней по-
полуплоскости.
В результате находим
0
Собирая все предыдущие результаты, получим
1 \2 тг
— xarctg(-) dx — — A — In2). F1)
х У 3
§ 5] Приближение высокой плотности 339
Таким образом, корреляционная поправка, выраженная че-
через энергию основного состояния электронного газа Eq и среднее
расстояние между электронами rs, обезразмеренное на средний
радиус атома водорода (в основном состоянии), имеет следую-
следующий вид:
^2(^) F2)
Можно заметить, что вместе с обменным вкладом первого по-
порядка D3) корреляционная поправка F2) образует два члена
асимптотического ряда с возрастающими коэффициентами (rs =
= me2/hp0):
fi « Яо (l - ra^- - ^r2s In (-) A - In2I . F3)
Важно отметить, что поправки второго порядка, связанные с
непетлевыми диаграммами на рис 2с) и 2d), имеют ту же бу-
буквенную малость, но не содержат большого логарифма. По этой
причине формула F3) имеет логарифмическую точность.
При конечной температуре расходимость оказывается сте-
степенной, поскольку при $7 = 0 поляризационный оператор в пре-
пределе lim^o По(<?) оказывается конечным. По этой причине инте-
интеграл по импульсу расходится на нижнем пределе по степенному
закону.
§ 5. Приближение высокой плотности
Расходимость второй поправки теории возмущений указы-
указывает на необходимость в каждом порядке собрать все наиболее
сильно расходящиеся диаграммы (рис. 4) [2].
Здесь изображены только топологически неэквивалентные
диаграммы. Легко сообразить, что к каждом п-порядке тео-
теории возмущений таких диаграмм (п— 1)!, что существенно ком-
компенсирует множитель 1/п!, происходящий от разложения экспо-
экспоненты. Кроме этого, каждый парный гамильтониан симметри-
симметричен относительно преобразования перестановки первой и вто-
340
Низкотемпературная теория возмущений
[XI
рой вершины. Это приводит к сокращению множителя 1/2, ко-
который сопровождает каждый следующий оператор взаимодей-
взаимодействия. Множитель ( — 1)п компенсируется произведением знако-
знаковых множителей, каждый из которых происходит от замкнутой
электронной петли.
Таким образом, дело сводится к вычислению суммы, стоя-
стоящей под интегралом:
F4)
в)
г,'
Рис. 4. Графическое изображение
кольцевого суммирования
§ 5] Приближение высокой плотности 341
Для суммирования этого ряда следует считать кулоновский
потенциал умноженным на Л, который в окончательных ответах
положим равным единице:
е2
F5)
е
<p(q) -+ Xif{q) = 4тгА^,
^ [ ^
аЛ П J ^П) п=2
Суммирование ряда приводит к следующему уравнению:
ЗА
Поляризационный оператор П^(^) определён в E4), а лишняя
двойка связана с суммированием по спину.
Произведем вычисление этого выражения в пределе высоких
температур, когда достаточно ограничиться статическим сла-
слагаемым, соответствующим Q = 0, т.е. Uo(q).
В пределе q —> 0 значение этого выражения определяет обрат-
обратный квадрат радиуса экранирования:
J
|/S^ri42t
где ne(fj,,T) - электронная плотность.
В пределе высоких температур ne(jA,T) ~ ехр [—(бр
так что
F8)
В этом же пределе достаточно оставить в сумме F6) единствен-
единственное слагаемое при ft = 0:
dq
— = — i/ / i —
ад
342 Низкотемпературная теория возмущений [XI
После интегрирования этого выражения по д, а затем и по Л по-
получаем известное выражение Дебая-Хюккеля для электронной
плазмы:
УТ.^г до _ VT $лУпе(^Т)\3/\ (?0)
4тг ' " бтг Т
В предельном случае Г = 0 имеем
после чего с помощью общего соотношения F7) находим обрат-
обратный квадрат радиуса экранирования:
дпе тро 2 4е2тр0
ft
= о, ft = 5
dfi пЧ3 nh3
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М., Питаевский Л.П. Статистиче-
Статистическая физика. Ч. 2. - М.: Физматлит, 2001. - 493 с.
2. Абрикосов А.А., Горвков Л.П., Дзялошинский И.Е. Методы
квантовой теории поля в статистической физике. - М.: Наука,
1962. - 444 с.
3. Фейнман Р. Статистическая механика: Курс лекций. - М.:
Платон, 2000. - 407 с.
ЛЕКЦИЯ XII
ВРЕМЕННАЯ ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ
Содержание
§ 1. Одночастичные функции Грина 344
§1.1. Переход к представлению взаимодействия 345
§ 1.2. Переход к усреднению с нулевым
гамильтонианом 346
§ 1.3. Диаграммная техника 349
§ 2. Теория туннелирования 351
§ 3. Формула Кубо 354
§ 4. Эффект Джозефсона 355
§ 4.1. Стационарный сверхпроводящий ток 355
§ 4.2. Туннелирование при заданной разности
потенциалов 362
§ 4.3. Нестационарный эффект Джозефсона 367
Список литературы 372
В двенадцатой (заключительной) лекции изучается одна из об-
общих проблем статистической физики, связанной с описанием не-
неравновесной макроскопической системы, находящейся в тепло-
тепловом и материальном контакте с окружающей средой [1], [2].
В первой части рассматривается схема построения диаграм-
диаграммной техники для равновесных состояний, когда усреднение про-
производится по стационарному состоянию, гамильтониан взаимо-
взаимодействия V не зависит явно от времени и в соответствии с этим
удовлетворяет упрощённому уравнению движения:
~ {iHot\y ( iHot\ 8V(t)
V(t) =exp I I ^ехР II гП
Дальнейшие вычисления, относящиеся к нестационарному эф-
эффекту Джозефсона, основаны на предположении о том, что раз-
развитая диаграммная техника пригодна и при наличии перемен-
переменного поля.
344 Временная теория возмущений [XII
§ 1. Одночастичные функции Грина
Предположим, что система помещена во внешнее перемен-
переменное поле и по-прежнему находится в тепловом и материальном
контакте с термостатом. В линейном приближении по внеш-
внешнему полю различные коэффициенты переноса можно выразить
через запаздывающую функцию Грина:
Dn(t,t') = {
{ 0, t<t'
+00
= 2^
-СЮ
Здесь A(t) = elHtAe~lHt - операторы в представлении Гейзен-
берга. Скобки означают усреднение по равновесному состоя-
состоянию с заданной температурой и химическим потенциалом. Н -
полный гамильтониан системы. Верхний знак выбирается для
ферми-операторов, нижний знак - для бозе-операторов.
Будет показано, что диаграммная техника для неравновес-
неравновесных процессов, наряду с запаздывающей функцией DR(t,t'), со-
содержит также опережающую D (t,tf) и причинную Dc(t,t!)
функции Грина:
DA(Ltf) = l
+00
— СЮ
1 Т
Dc(t,t') = -i(f (A(t),B(t')j >=— / Всше~1^1~1!)Aш, C)
— сю
где Г - символ упорядочения по времени;
t<t'
§1.1] Переход к представлению взаимодействия 345
§1.1. Переход к представлению взаимодействия
Выразим операторы в представлении Гейзенберга через опе-
операторы в представлении взаимодействия:
A(t) = егй°гАе-гЙ0\ A(t) = S+{t,O)A{t)S(t,O), E)
где
iAt. F)
Дифференцируя 5-матрицу по времени, получим
iS(t) = V(t)S(t, 0); V(t) = егй°1 (я - Яо) е~гй°г. Gа)
Решая уравнение Gа) путем итераций, находим при t>t$:
5(t,i0) =Texp i-i fv(t')dt'\ . (8)
V ^о /
Здесь и ниже Т - оператор упорядочения по времени, располага-
располагающий операторы таким образом, чтобы операторы с большим
временным аргументом были расположены слева от операторов
с меньшим аргументом.
Если в уравнениях Gа) перейти к эрмитово-сопряжённым
операторам, тогда получим аналогичное уравнение, но с из-
изменённым знаком времени и с переставленными операторами:
t) = -S+(t,O)V(t); V+(t) = V(t). Gb)
В соответствии с этим
S+(t,to)=fGexp lijv(t')dA
(9)
to
где Та - антихронологический оператор, упорядочивающий опе-
операторы справа налево, т.е. в обратном порядке по отношению
к действию хронологического оператора.
346 Временная теория возмущений [XII
§ 1.2. Переход к усреднению с нулевым
гамильтонианом
От усреднения со статистическим оператором р =
= ехр( —Я/Т) перейдем к усреднению со статистическим опе-
оператором ро = ехр(-Я0/Т) [3], [4].
Для этой цели вычислим коммутатор Яо? 5@, — оо) . Ис-
Используя формулу —iA(t) = [Яо, А(?)], справедливую для любого
оператора в представлении взаимодействия, имеем
f /" 1
ь i/ ьть — 1
— оо —сю
Легко видеть, что в результате интегрирования по частям про-
происходит полное сокращение всех слагаемых внутренней суммы
по z/, кроме первого и — 1 и последнего и — п. В результате
имеем
[я0, 5@, -оо)] = -У@M@, -оо) + 5@, -оо)У(-оо). A1)
Отсюда
Я5@, -оо) = 5@, -оо) (Яо + F(-oo)) , т.к. V@) = Я - Яо.
Используя это соотноптение и условие унитарности
5-1@, — оо) = 5+@, — оо), для любого целого положительного к
можно получить
Нк = 5@, -оо) [Яо + F(-oo)]* 5+@, -оо). A2)
В частности,
ехр(-Я/Г) = 5@, -оо) ехр(-Я0/ГM+@, -оо), A3)
§ 1.2] Переход к усреднению с нулевым гамильтонианом 347
где Но = Яо + V(—оо).
Формулы (8), (9) и A3) позволяют выразить причинную
функцию Грина C) в виде среднего по состояниям невзаимодей-
невзаимодействующих частиц. Используя инвариантность Sp относительно
циклической перестановки при t > ?', можно написать:
A4)
Sp je-^S+@,-oo)S@,-
оо
где
W(t, О = Г (S+(t, O)A{t)S{t, 0)S+ (t', O)B(tf)S(tf, 0M@, -oo)) .
Вопрос о существовании предела lim V(t) = L до конца не
t—* — oo
ясен, но его можно найти из "физических" соображений. Допу-
Допустим, что L есть число, и рассмотрим знаменатель причинной
функции Dc:
Sp
Отсюда
Z/ = lim (
?—» —oo
= Sp
, -oo)S@, -oo)| =
= _Tln
Sp
A5)
A6)
- разность ^-потенциалов при наличии и в отсутствие взаимо-
взаимодействия. Эта величина пропорциональна числу частиц в си-
системе, однако, как видно из A4), она сокращается.
Мы видели, что оператор S~^~(t,tf) подразумевает упорядоче-
упорядочение в направлении от t к tf. Отсюда ясно, что и в числителе
и в знаменателе под знаком среднего в A4) стоят операторы,
упорядоченные от — оо до максимального значения tm = t
(или tr), а затем назад от tm до — оо. Это упорядочение можно
348 Временная теория возмущений [XII
представить как упорядочение на контуре С , идущего из — оо до
максимального ?ш, а затем возвращающегося назад в — оо . До-
Добавим к этому контуру часть, которая начинается в ?ш, уходит
в +оо, а потом возвращается из +оо в tm. От такого добавления
ничего не меняется, поэтому можно считать, что упорядочение
произведено на контуре Г, идущего от — оо до +оо, а затем назад
от +оо до —оо (рис. 1).
Таким образом, сначала мы рассматриваем функцию Грина,
зависящую от операторов, упорядоченных как на нижней, так
и на верхней части контура Келдыша (ниже - контур Г).
Dc(t,t') = -г(Гг (A(t.),B(t'_)Sr))o/(Sr)o. A7)
Мы считаем, что ?_ и tf_ лежат на нижней части контура Г,
is >t
С t t* С t
Рис. 1. Последовательность упорядочения на контуре Келдыша
однако ясно, что нам придется рассмотреть еще три функции:
Da(t+,t'+); D<(t_,t/f) и D>(t+,t/_). A8)
В первой из написанных функций происходит антиупорядоче-
антиупорядочение; во второй - всегда ?_ < tf+, а в третьей - t+ > tf_.
В нулевом приближении получим
-i{A(t)B(t)H, t>?
±i{B(t)A(t')H, t<t>
mt H) - Da(t n\ - {
U \Ь,Ь ) — 1J \Ь, L ) — \ \'/-г>(+1\ Л( + \\ -L \ +!
±i{B{t )A(t))o, t > t
1.3] Диаграммная техника 349
D<(t,t') = ±i(B(tf),A(t))o; D>{t,tf) = -i(A(t),B(t')H. B1)
§ 1.3. Диаграммная техника
В представлении взаимодействия операторы рождения и уни-
уничтожения а^(?), a,k(t) только множителями отличаются от со-
соответствующих операторов в представлении Шрёдингера:
ak{t) = аке(-Ы\ o+(i) = a+e^. B2)
Отсюда следует, что при упорядочении вдоль контура Г все ре-
рекуррентные соотношения, полученные для термодинамических
(мацубаровских) операторов, остаются в силе, если во всех опре-
определениях произвести замену ?&т —> i^kt/%.
Перейдем от интегрирования по контуру Г к интегрирова-
интегрированию по времени. В результате каждая вершина один раз при ин-
интегрировании по t_|_ будет иметь знак, противоположный тому,
который она имеет при интегрировании по ?_ (от — оо до +оо).
Каждая сплошная линия приобретает второй индекс, по ко-
которому её следует сворачивать с любой вершиной, имеющей п
электронных входящих и выходящих линий. При этом по новым
индексам щ, a^^ ... ап она имеет следующую структуру:
7 = -sign(ai)Saua2Saua3Saua4...5auan. B3)
Здесь по повторяющемуся индексу а.\ суммирование не произ-
производится.
Функция Грина теперь записывается в виде матрицы
B х 2). Для её компонент Фурье можно написать
B4)
= G
350 Временная теория возмущений [XII
B5)
Здесь пр(?) - распределение Ферми от энергии ? = е — /i. На
самом деле только две функции независимы, поэтому с помощью
линейного преобразования можно уменьшить число уравнений.
Обычно используют следующее каноническое преобразование:
-i[l-2nF@]
В компонентах Фурье новая G-функция имеет следующий вид:
Вершинная часть после преобразования равна нулю, если четно
суммарное число входящих к и выходящих п сплошных и волни-
волнистых линий, имеющих индекс два. Для нечетного числа единиц
вершинная часть равна 21~^+гг)/2. Волнистые линии, не зави-
зависящие от времени, преобразуются следующим образом:
5{t)V-(f)r{z) -^ 5{t)V-(f)r{x\ B8)
В компонентах Фурье имеем
V-(q)?^ ^V-(q)r{x\ B9)
где fW— известные матрицы Паули.
§ 2] Теория туннелирования 351
§ 2. Теория туннелирования
Будем считать, что рождение и уничтожение электронов
слева от контакта описывается операторами at^a^, а справа
соответственно операторами 6^,6^. Если существует пере-
перекрытие волновых функций правого и левого металлов, тогда
в гамильтониане появляется дополнительное слагаемое [5]:
C0)
Здесь Тр^ - так называемый интеграл перескока. Для плоской
границы при z = zq он имеет следующий вид:
г) +
кчох*(о+hA} <**ф, Ci)
) z=zo
(fp(r), X<f(r) ~ волновые функции левого и правого металла.
Полный ток слева направо равен скорости уменьшения чи-
числа электронов в левом металле Ni = ^2 ^%а^"Р(^> Умноженной на
заряд электрона е:
' =-ie[HT,Nt]. C2)
Здесь оставлена только туннельная часть гамильтониана, кото-
которая приводит к несохранению по отдельности чисел электронов
в левом и правом металлах. Непосредственное вычисление ком-
коммутатора в C2) приводит к следующему выражению для опе-
оператора тока:
/ = ге J2 [Tpfipfr ~ Т;-яЦаа?а] . C3)
Приложим к контакту разность потенциалов С/. Это означает,
что в пространственной области левого и правого металла воз-
возникает дополнительная потенциальная энергия е^и е</?2- В со-
соответствии с этим гейзенберговские уравнения для ^-операторов
352 Временная теория возмущений [XII
приобретают дополнительные слагаемые:
*) + .... C4)
Поскольку каждый из этих потенциалов не зависит от коорди-
координат, то удобно перейти к импульсному представлению, так что
для каждого оператора рождения и уничтожения имеем допол-
дополнительную потенциальную энергию:
Щ^ j ^ ^ + .... C6)
Поскольку каждый из этих потенциалов не зависит от времени,
то можно произвести каноническое преобразование, которое пол-
полностью сокращает дополнительные слагаемые. Для достижения
этой цели достаточно сделать простейшую замену переменных:
Ф\ Ф\ Л
^ ^ C7а)
^ ^^. C76)
Для того чтобы не вводить новых обозначений, запишем это
преобразование следующим образом:
; C8а)
Здесь и ниже считается, что h = 1, а разность потенциалов
Таким образом, в новых переменных нулевой гамильтониан
не содержит потенциала, в то время как туннельный гамильто-
гамильтониан теперь зависит от разности потенциалов:
НТ = J2 (^и%^Ла + е-геШТ;^аа*) ¦ C9)
§ 2] Теория туннелирования 353
Оператор туннельного тока C3) также содержит две временных
компоненты Фурье:
Вычислим среднее значение оператора тока:
/ = (/) = (i(t+)S)o/(S}o. D1)
Здесь использована общая формула A7). В качестве гамильто-
гамильтониана взаимодействия фигурирует туннельный гамильтониан
C9), так что усреднение (...)о производится по состояниям без
туннелирования. Оператор тока /(?+) есть оператор тока D0)
в представлении взаимодействия, вычисленный в заданный мо-
момент времени на нижней половине контура Г. После интегри-
интегрирования по времени в первом порядке возникают произведения
функций Грина с частотами, сдвинутыми на величину ±еС/.
Можно заметить, что произведения причинных функций из окон-
окончательного ответа выпадают [6]. Остаются только произведе-
произведения E-образных компонент, отвечающих переходам между раз-
различными частями контура Г:
/ = 2е ? 1%|2 /+°° ^ [А-+В^-п - В;+А+1а] . D2)
Здесь Аи и Ви - функции Грина, относящиеся к левому и пра-
правому металлу. После подстановки и интегрирования по си полу-
получим
/ = 4тге ? IT^I2 [nF(?f) - nF(^)] 5(ep- - ?f + eU). D3)
При не слишком высоких температурах интегрирование по им-
импульсам р и <f производится вблизи поверхности Ферми, так что
удобно произвести следующую замену:
" &, D4)
354 Временная теория возмущений [XII
где V\y2 и v\? ~ объем и плотность состояний левого A) и пра-
правого B) металла. После такой замены произведем разложение
по степеням разности потенциалов и, наконец, разделим на пло-
площадь контакта 5. В результате получаем плотность тока:
7^_ D5)
Таким образом, сопротивление контакта R = U/j определяется
следующим соотношением:
R ne s l/ll/2|7>^2' D6)
где черта обозначает интегрирование по импульсам р и q, ле-
лежащим на поверхностях Ферми левого и правого металла.
§ 3. Формула Кубо
Предположим, что в качестве гамильтониана взаимодействия
выступает оператор взаимодействия с внешним полем — A(t)j(t).
Если мы поставим перед собой задачу вычисления среднего
тока, возникающего под действием внешнего поля A(t), то в
линейном приближении по внешнему полю получаем общий ре-
результат:
+ ОО
&(*)> = \ I (ftr (jA(*)^n(^-)jn(r-))>odr_-
— сю
+ ОО
1 Г / \
— ос
Раскрываем последовательно операцию Т-упорядочения сначала
на нижней, а потом на верхней половине:
t
§ 4.1] Стационарный сверхпроводящий ток 355
оо
h J
t
+ СЮ
/ (Ап(т+M'п(т+)в
h J
— сю
t
— сю
t
-г- I (An(T+)jn(T+)jk(t))odT+. D8)
— СЮ
Это выражение можно записать через интеграл от коммута-
коммутатора:
t
(Ш) = -\\ An(T)([Ur),jk(t)])odT. D9)
— СЮ
Это и есть формула Кубо.
§ 4. Эффект Джозефсона
§ 4.1. Стационарный сверхпроводящий ток
Предположим, что два сверхпроводника разделены тонкой
прослойкой диэлектрика или один и тот же сверхпроводник раз-
разделен микротрещиной, толщина которой мала по сравнению с
размером куперовской пары. Возникает вопрос: может ли че-
через такой контакт протекать незатухающий ток? Если к кон-
контакту не приложено напряжение и нет никакого внешнего поля,
тогда причиной возникновения сверхпроводящего тока может
быть пространственное изменение волновой функции куперов-
ских пар. Для тонкой диэлектрической прослойки с малым
коэффициентом прохождения можно предположить, что в ну-
нулевом приближении левый и правый сверхпроводники незави-
независимы, так что фазы их конденсатных волновых функций никак
не связаны и произвольны.
356 Временная теория возмущений [XII
В следующем приближении необходимо учесть возможное
перекрытие электронных волновых функций, что можно сде-
сделать на основе так называемого туннельного гамильтониана:
E0)
Здесь at и ара - операторы рождения и уничтожения электро-
электронов в левом, а Ыа и Ъф - операторы рождения и уничтожения
электронов в правом сверхпроводнике.
Наша задача состоит в том, чтобы вычислить среднее чи-
число электронов, которое может протекать без трения из одного
сверхпроводника в другой. Для определенности вычислим опе-
оператор тока, вытекающего из левого сверхпроводника. Для этой
цели определим временную производную оператора числа ча-
частиц Na = ^atapo- в левом сверхпроводнике: Na = i[H,Na].
pa
Учитывая, что гамильтониан нулевого приближения по про-
прозрачности прослойки сохраняет число частиц, достаточно вы-
вычислить коммутатор между Na и Нт- В результате находим
оператор электрического тока:
1а = ге J2 (Трц&рф, ~ Т$+,а&) ¦ E1)
Среднее значение от оператора тока
Mt-)ST
(la) = V / v /0 E2)
определим с точностью до членов второго порядка по интегра-
интегралам перескока Т$ф Простое усреднение оператора E1) по состо-
состоянию без туннелирования дает нуль. В следующем приближе-
приближении достаточно использовать разложение ^-матрицы с гамиль-
гамильтонианом туннелирования E0). При нулевой разности потенци-
потенциалов в результате усреднения произведений четырех операторов
по состояниям без туннелирования (...H остаются только произ-
произведения аномальных средних (F и i^+), относящихся к разным
§ 4.1] Стационарный сверхпроводящий ток 357
металлам. Интегралы вдоль верхней половины контура Кел-
Келдыша содержат функции Грина, для которых переменная инте-
интегрирования т+ всегда превышает значение переменной ?, нахо-
находящейся на нижней части контура Келдыша. С другой стороны,
интеграл на нижней части контура Келдыша от — оо до t соот-
соответствует значениям переменной интегрирования г < ?, в то
время как при интегрировании от t до оо переменная интегри-
интегрирования т_|_ всегда так же, как и на верхней части, превышает
значение переменной t.
Поскольку гамильтониан взаимодействия на верхней части
контура Келдыша имеет противоположный знак по отношению
к гамильтониану взаимодействия на нижней части контура, то
в первом порядке теории возмущений происходит взаимное со-
сокращение интегралов от области t < т < +оо. В результате
остаются интегралы только в пределах — оо < г < ?, один из
которых относится к т_ - на нижней части контура, на кото-
которой считается, что г < t; в другом интеграле переменная инте-
интегрирования принадлежит верхней части контура Келдыша, для
всех значений которой операторы упорядочены согласно усло-
условию: т+ > t. Далее мы используем явное выражение для опера-
операторов рождения частиц через операторы рождения и уничтоже-
уничтожения квазичастиц:
агдир — argvp = argAa. E3)
В результате
t
О'1}- / {[FG+(t,r_)F6(r_,t)-FG+(t,r+)F6(r+,t)]-
— оо
- [а -> 6,6^ а]} dr. E4)
Операторы рождения и уничтожения с помощью боголюбовского
преобразования выражаются через операторы рождения и уни-
уничтожения квазичастиц, поэтому можно вычислить все четыре
358 Временная теория возмущений [XII
аномальных функции:
F+(t,r<t) = -
х {nF(??)exp (iEap{t - г)) - [l - nF(Eap)\ exp (-iE°(t - r))} ;
Fb(r < t,t) = i(bqit)k(r)) = iubq(vbq)*ax
пр(Е ) exp HE (t — t) ) — 1 — пр(Е ) exp f —%EAt — r)) >;
F(??J) exp (^J(r - t)) - [l - nF(^)] exp (-iEb(r - t)) } .
E5)
После перемножения этих выражений и интегрирования нахо-
находим
cnF(E^)nF(Eb) _ (l-nF(Eg)) (l-nF(E^
P Q P Q
(nF(E»)) (l - nF(Eb)) (l - nF(E»)) (nF(Eb)) |
EE + W EEW /
E6)
Здесь символ Re обозначает действительную часть, так что
дальнейшее интегрирование следует понимать в смысле глав-
главного значения.
Выражение в фигурных скобках есть симметричная функ-
функция относительно замены а —> 6, р —> q и обратно. Её удобно
§ 4.1] Стационарный сверхпроводящий ток 359
выразить через гиперболические тангенсы:
ГШ(Еа/2Т) - th(Eb/2T)
A(Ea,Eb) = -
L rja- njb
/9ТЛ -U fWF., /9TM
E7)
2 L К - Eb
th(Ea/2T) + th(Eb/2T)
Далее можно выразить произведения uqv*qu*pvp через фазу вол-
волновой функции куперовской пары:
UPVP = ^^ exP(-^a), ^^ =
Таким образом, мы получаем общее выражение для тока Джо-
зефсона:
Ji = sm(^ ~n)J2E 1ЗД2^l^^^,Ebq). E8)
p q Я Р
Вводя плотности одночастичных состояний i/^2(ба,б) на уровне
Ферми, через которые могут быть выражены суммы по импуль-
импульсам в общем выражении E8), получим
/^, E9)
где Vip ~ объемы левого и правого сверхпроводника.
В результате мы получим возможность интегрировать вблизи
от поверхности Ферми:
a - <pb)vaVb
q
-оо -оо ч
F0)
Дальнейшее преобразование оказывается возможным, если пе-
перейти к интегрированию по энергии возбуждений Е? и Ebq\
~dEa
• / ч f dE
Jj = sm((pa - уъ)УаУъ j -r
360 Временная теория возмущений [XII
Здесь ia,b
Можно далее заметить, что как функция комплексной пе-
переменной Еа^ подынтегральная функция имеет на мнимой оси
только полюсные особенности. Поэтому контур интегрирова-
интегрирования можно развернуть таким образом, чтобы он охватывал все
полюсные особенности:
где шп = тгТBп + 1).
Таким образом, существование незатухающего тока через
контакт оказывается возможным, если удается фиксировать раз-
различие фаз между двумя сверхпроводниками: плотность тока че-
через контакт j есть амплитуда тока Джозефсона jm, умноженная
на sm(cpa - щ).
Сама амплитуда тока может быть выражена через сопроти-
сопротивление контакта:
^Щ (б3)
где черта обозначает интегрирование по импульсам р и q, лежа-
лежащим на поверхностях Ферми левого и правого металла. Здесь
z^i72 ~ плотности состояний на уровне Ферми, которые мы вво-
вводим согласно F0); V\^ - объемы левого и правого сверхпровод-
сверхпроводника, S - площадь контакта. Соотношение F3) было получено
на предыдущей лекции.
В результате удаётся проинтегрировать по ?р и по ^, после
чего джозефсоновский ток F2) выражается через ту же сумму,
что и проводимость F3). Таким образом, мы определяем всю
температурную зависимость амплитуды стационарного
тока Джозефсона [5]:
' 7гТ
§4.1]
Стационарный сверхпроводящий ток
361
В случае одинаковых сверхпроводников суммирование по ш =
= 2тгТBп + 1) легко производится, так что имеем простую фор-
формулу:
тг Л / А \
Зт = 7T"^Ath U^ Ь F5)
В пределе Т —> Тс, jm — (^Л2)/DеДТс), так что амплитуда
обращается в нуль линейно по температуре: jm ~ (Тс — T)/eR,
Вся температурная кривая изображена на рис. 2.
Рис. 2. 1 - температурная зависимость амплитуды тока
Джозефсона для двух одинаковых сверхпроводников (Sn-1-Sn);
2 - температурная зависимость амплитуды тока Джозефсона
для различных сверхпроводников (Pb-1-Sn)
Можно заметить, что для разных сверхпроводников при од-
одной и той же температуре амплитуда оказывается больше, чем
для одинаковых. В пределе Т = 0 суммирование в F4) можно
заменить интегрированием. В результате простых вычислений
362 Временная теория возмущений [XII
получаем
^ = 21А1Д2| к /KlAi|-|A2l
где К (к) - полный эллиптический интеграл I рода.
§ 4.2. Туннелирование при заданной разности
потенциалов
До сих пор мы производили усреднение по состоянию пол-
полного термодинамического равновесия при заданных объеме, тем-
температуре и химическом потенциале. Для двух металлов, обме-
обменивающихся электронами, последнее условие означает появле-
появление контактной разности, которая и выравнивает химические
потенциалы. Если же на контакте имеется разность потенциа-
потенциалов, тогда равновесие нарушается, что в нормальном состоянии
проявилось бы в виде возникновения тока через контакт. До-
Дополнительная потенциальная энергия может быть введена как
различие химических потенциалов:
Hi — jj,2 = ell; АН = —ell ^ ^ta^p^ ~ ^2 Ща^дсг • F7)
_ ра да
Приложим к контакту разность потенциалов С/. Это означает,
что в пространственной области левого и правого металла воз-
возникает дополнительная потенциальная энергия е^и е(р2- Далее
мы используем общую теорию туннелирования, развитую в § 2.
В результате фазового преобразования C7) - C8) получаем
туннельный гамильтониан C9), который явно зависит от при-
приложенной разности потенциалов U:
НТ = ? (e'ef/%-jA> + e-^T&t&ib) ¦ F8)
При этом туннельный ток преобразуется к виду D0):
1а = ге ? (eieU%q^aЪ#, - е^Ту^Ла) ¦ F9)
§ 4.2] Туннелирование при заданной разности потенциалов 363
При этом следует помнить, что операторы рождения и уничто-
уничтожения электронов слева и справа от контакта теперь связаны с
операторами рождения и уничтожения квазичастиц с помощью
(и — v)-преобразования с фазой E3). После перехода к предста-
представлению взаимодействия получим следующие соотношения:
G0)
^6 qtb G1)
Входящие в правую сторону квазичастичные операторы рожде-
рождения и уничтожения приобретают энергетические фазовые мно-
множители:
= exp {iEa(p)t} at^
}r G2)
где использованы обозначения для энергии квазичастиц:
Eb(q) = yl% + |ДаЬ2. G3)
Мы снова должны произвести интегрирование вдоль контура
Келдыша, однако при вычислении нормального (квазичастич-
(квазичастичного) тока, который выражается через произведения нормаль-
нормальных функций Грина, возникает существенное упрощение, со-
состоящее в том, что результат усреднения интегрирования нор-
нормальных функций Грина вдоль нижней части контура Келдыша
обращается в нуль [6]. Остаются только интегралы вдоль верх-
верхней части, на которой аргументы всегда считаются большими
по сравнению со значениями на нижней части.
Таким образом, необходимо вычислить два интеграла:
+ ОО
364 Временная теория возмущений [XII
+ 0О
- / (oJr(*+)ap^(*))exP(-ieC/(*-*i))(^(*+)^(*))d*b G4)
— СО
где следует считать, что t+ = t\.
Подставляя сюда явные выражения G2) для операторов ро-
рождения и уничтожения через операторы рождения и уничтоже-
уничтожения квазичастиц, находим
u2au2b5(Ea -Eb + eU) {A - na)nb - паA - щ)} +
+ v2av2b8(Ea -Еь- eU) {A - nb)na - щA - па)} +
+ u2avl5(Ea +Eb + eU) {A - nG)(l - щ) - nanb} +
+ v2au2b6(Ea + Eb- eU) {nbna - A - nb)(l - na)} . G5)
Здесь введены функции Ферми, а также нормальные коорди-
координаты:
nk = nF(Ek), „2 = 1A + 11), „2 = 1A-^), G6)
где к = а или Ь.
Поскольку, по определению G3), квазичастичные энергии
Ek являются чётными функциями от переменной (, то во всех
четырёх слагаемых произведения нормальных координат и^и^
v2v%, u^Vfr и ufa2 можно заменить на 1/4.
Далее удобно перейти к интегралам по энергии квазичастиц
— у (%. + А|, после чего имеем интегралы:
где Ь = у/Щ^Ц. G7)
В результате получим
иа{Еа)иь{Еь) {д(Еа -Еь + eU) [A - па)пь - па{\ - щ)} +
§ 4.2] Туннелирование при заданной разности потенциалов 365
+ 5(Еа -Еь- eU) [A - щ)па - щ{\ - па)] +
+ 6(Еа + ЕЬ + eU) [A - па){\ - щ) - пащ] +
+ 8{Еа + Eb- eU) [щпа - A - щ){\ - па)}} dEadEb. G8)
Здесь введена так называемая функция плотности состояний:
В конечном счёте, можно записать все четыре слагаемых с по-
помощью одной формулы, если в первом слагаемом считать, что
интегрирование ведётся в бесконечных пределах:
оо оо
рп{Еа)щ{Еь) {5(Еа -Еь + eU){\ - па)щ} dEadEb-
va{Ea)vb{Eb) {8(Еа -Еь + eU)na(l - nb)}dEadEb =
= j иа{Е - eU)vb(E) {[щ(Е) - па(Е - eU)}} dE. (80)
-оо -
оо
— оо
-оо
оо
— оо
оо
Таким образом, мы получили простейшую формулу, являющу-
являющуюся естественным обобщением формулы для тока, проходящего
через контакт между двумя нормальными металлами [5].
При Т = 0 квазичастичный ток исчезает для напряжений,
меньших порогового Uc = (Аа +А^)/е. При напряжениях, боль-
больших порогового, вольт-амперная характеристика туннельного
тока определяется интегралом [7]:
(eU-Ab)
1 e(eU-e)de
[(eU - ef -
366
Временная теория возмущений
[XII
При AG = Дь = 0 из (81) следует выражение для туннельного
тока между двумя нормальными металлами, полученное в D6):
Jn = U/Rn.
Если же U > Uс, тогда при заданном значении напряже-
напряжения величина квазичастичного тока всегда оказывается мень-
меньшей, чем значение тока в нормальной фазе при том же падении
напряжения. Главный член асимптотического разложения при
больших напряжениях, когда eU ^$> (Аа + Д/,), имеет вид:
Rn
eU
(82)
A
/7
/\
\/ /2
О л еи о ^-^ ^+^ e[/
Рис. 3. 1 - контакт из двух нормальных металлов - (N-I-N);
2 - контакт из нормального металла и
сверхпроводника - (Л^-/-5)-контакт;
3 - квазичастичный ток через Eг-/-5г)-контакт
для различных сверхпроводников при Т ф О
Когда напряжение стремится к пороговому со стороны боль-
больших значений, из (81) находим величину скачка квазичастич-
квазичастичного тока:
(83)
§ 4.3] Нестационарный эффект Джозефсона 367
При отличной от нуля температуре скачок тока при напряже-
напряжении порога U < Uс — |Ai + Д2|/Н всегда сохраняется и равен:
(84)
При отличной от нуля температуре вольт-амперная характери-
характеристика имеет вторую (логарифмическую) особенность при
U = |Ai — A2|/|e|. При любой конечной температуре квазича-
квазичастичный ток в этой точке обращается в бесконечность:
/о ~ 1п|еС/ — Ai + A2I. Между двумя особыми точками вольт-
амперная характеристика имеет падающий участок, как это
видно из рис. 3.
Если туннельный ток проходит через (N-I-S)-контакт, ко-
когда один из металлов находится в нормальном состоянии, тогда
пороговое напряжение равно Uc = А/е. При этом для напря-
напряжений выше порогового и при Т = 0 имеем с помощью (81)
величину туннельного тока:
Соответствующая кривая изображена на рис. 3.
§ 4.3. Нестационарный эффект Джозефсона
Если считать, что к двум сверхпроводникам приложена за-
заданная разность потенциалов и, кроме этого, куперовские пары
слева и справа фиксированы и имеют разный знак, то можно
снова произвести вычисление джозефсоновского тока. Обобщая
соотношение E6), можно записать:
t
F+{t, T+)Fb{T+, t) exp (iU(t + r+)) dr+-
no
368 Временная теория возмущений [XII
t
- I F+(i,r_)Fa(r_,i)exp(-zC/(i + r_)dr_ +
Fb+(*, r+)FG(r+, *) exp (-iU(t + r+)) dr+. (86)
— со
t
— CO
В результате мы получаем выражение, вполне аналогичное ам-
амплитуде джозефсоновского тока G): Jj2 = 2i|ug||^||up||?;p|x
х {ехр(-г<р + i2Uet) [W(a, b; U) + W*(a, 6; -U)] -
- ехр(г(р - i2Uet) [W(b, a; -U) + W*(b, a; [/)]} , (87)
где (р - разность фаз, относящихся к левому и правому сверх-
сверхпроводнику, а функция W определяется по аналогии с E6):
_ nF(E"p)nF(Ebq)
*- Ebq + i5-eU
, _V x ^V V x 4' / /OO\
E*Ebi5 + eU ' { }
Действительная часть этого выражения определяет амплитуду
джозефсоновского тока, который при заданной приложенной раз-
разности потенциала начинает зависеть от времени:
jj(U,t) = sin((/?G - (fb + 2Uet)uaubx
со
xV.p. I d^d^\T^fl-^^-[W(a,b;U) + W(a,b;-U)}. (89)
Мнимая часть выражения (88) определяет так называемую ин-
интерференционную часть тока Джозефсона:
jint(U,t) = cos((/?G - y?6-
co
— со
(90)
§ 4.3] Нестационарный эффект Джозефсона 369
Можно проверить, что выражение Im [W(a, b; U) — W(a, b; — U)]
только множителем отличается от ядра квазичастичного тока.
В соответствии с этим амплитуда интерференционного тока мо-
может быть выражена через интегралы от плотности состояний:
со со
иа{Еа)щ{Еь)
х {8(Еа - Eb + eU) [A - па)щ - паA - щ)} +
+ 8{Еа -Еь- eU) [A - nb)na - щA - па)} +
+ 5{Еа + Еь + eU) [A - nG)(l - щ) - папь] +
+ 5(Еа + Еь - eU) [nbna - A - щ)A - na)}}dEadEb. (91)
Если ввести специальные функции плотности:
(92)
тогда можно записать все четыре слагаемых с помощью одной
формулы, если в первом слагаемом считать, что интегрирова-
интегрирование ведётся в бесконечных пределах:
ga(Ea)gb(Eb)x
-со -со
х {5{Еа -Еь + eU) [A - па)щ - па{\ - щ)]} dEadEb =
СО
= I да(Е - eU)gb(E) {[щ(Е) - па(Е - eU)]} dE. (93)
— СО
Таким образом, для интерференционного тока получаем такую
же простую формулу, как и для квазичастичного тока:
jint(U, t) = cos((pa - (pb + 2Uet)vavbx
370 Временная теория возмущений [XII
да(Е - eU)gb(E) {[щ(Е) - па(Е - eU)}} dE. (94)
Отсюда можно заключить, что как функция приложенного на-
напряжения амплитуда интерференционного тока имеет те же осо-
особенности, что и изображённые на рис. 3.
Среднее значение от оператора тока, вычисленное с точно-
точностью до второго порядка по интегралам перескока содержит два
слагаемых: Ia — Iq + Ij.
Величина Iq - так называемый квазичастичный ток, кото-
который наблюдается и в нормальной фазе. Последовательное вы-
вычисление величины туннельного тока дано в § 4.2.
I0(U) = JdE^{E)^2{E - eU) [nF(E - eU) - nF(E)} /eRn, (95)
где Rn - сопротивление контакта в нормальном состоянии.
Сверхпроводящий ток, протекающий через контакт, может
быть стационарным только при условии точной компенсации
между разностью фаз (р2 и (pi, с одной стороны, и величиной
2etU - с другой:
Ij = Ji([/) sin (p + J2(U) cos (p, (96)
где (р - полная разность фаз, вообще говоря, зависящая от вре-
времени. Величина J\{U) называется амплитудой джозефсонов-
ского тока, и при U = 0 она переходит в своё термодинамическое
значение. Величина J2{U) называется амплитудой интерферен-
интерференционного тока. В пределе Т = 0 её наблюдение возможно только
при условии U Ф 0.
Амплитуда интерференционного тока J2(eU) имеет логариф-
логарифмические особенности того же типа, что и квазичастичный ток.
При конечном значении приложенной разности потенциалов
амплитуда джозефсоновского тока имеет скачок при
U = |Ai — A2|/|e|. При дальнейшем повышении разности потен-
потенциалов амплитуда растёт и обращается в бесконечность в точке
U = |Ai + A2|/|e|: J\ ~ 1п|еС/ — Ai — A2I. При самых больших
§ 4.3] Нестационарный эффект Джозефсона 371
потенциалах \eU\ 3> |Ai + A2I амплитуда тока Джозефсона спа-
спадает по закону:
Ji ~ (е?/)-ЧЬBеи/2Т). (97)
При Т = 0 амплитуда интерференционного тока равна нулю
А
ю-
8-
4"
О 1 2 3 4 5
Рис. 4. Амплитуды контактных токов
для двух одинаковых сверхпроводников при Т = 0:
J - амплитуда тока Джозефсона,
/ - амплитуда интерференционного тока,
Q - амплитуда туннельного (квазичастичного) тока
для el/ < AG + Aft. При el/ = AG + Aft амплитуда имеет скачок,
а при больших значениях разности потенциала амплитуда моно-
монотонно уменьшается. Для одинаковых сверхпроводников имеем
Ji = 1^К (У) > J2 = 0, если у < 1; (98)
А т^A\ т 2А у
К Ь J Х если
(99)
372 Временная теория возмущений [XII
где у — С/е/2А, К - полный эллиптический интеграл I рода.
Необходимо отметить, и это видно из рисунка 4, что при
заданном значении приложенной разности потенциалов ампли-
амплитуда джозефсоновского тока не всегда больше амплитуды ин-
интерференционного тока. При больших значениях параметра у
имеется достаточно широкая область, где амплитуда интерфе-
интерференционного тока превышает амплитуду тока Джозефсона. Од-
Однако в этой области квазичастичный ток оказывается значи-
значительно большим интерференционного. Отсюда заключаем, что
при любом приложенном напряжении интерференционный ток
оказывается ненаблюдаемым.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Ландау Л.Д.У Лифшиц Е.М., Питаевский Л.П. Физическая
кинетика. - М.: Физматлит, 2001. - 536 с.
2. Каданов Л., Беим Г. Квантовал статистическая механика. -
М.: Мир, 1964. - 255 с.
3. Зайцев P.O. Диаграммные методы в физике твёрдого тела.
- М.: МФТИ, 1990. - 88 с.
4. Зубарев Д.Н., Морозов В.Г., Рёпке Г. Статистическая
физика неравновесных процессов. Т. 2. - М.: Физматлит, 2002.
- 296 с.
5. Абрикосов А.А. Основы теории металлов. - М.: Наука, 1987.
- 420 с.
6. Зайцев P.O., Орлов В.Г. Введение в теорию сверхпроводи-
сверхпроводимости. - М.: МФТИ, 1995. - 108 с.
7. Свидзинский А.В. Пространственно-неоднородные задачи
теории сверхпроводимости.- М.: Паука, 1982. - 310 с.
ПРИЛОЖЕНИЯ
Содержание
§ 1. Вычисление суммы обратных квадратов 373
§ 2. Вычисление суммы обратных четвёртых
степеней 374
§ 3. Формула суммирования Пуассона 375
§ 4. Формула Эйлера-Маклорена 376
§ 5. Обобщённая формула Эйлера—Маклорена ... 377
§ 6. Вторичное квантование 379
§ 7. Некоторые определённые интегралы 386
§ 7.1. Интегралы, сводящиеся к Г-функции Эйлера 386
§ 7.2. Интегралы, сводящиеся к ("-функции Римана .... 387
§ 7.3. Интеграл, выражающийся через постоянную
Эйлера 388
Список литературы 389
§ 1. Вычисление суммы обратных квадратов
Используем известную теорему Виета о том, что произве-
произведение корней bjy полиномиальной функции есть свободный член
Ло, а коэффициент при первой степени полинома есть сумма все-
всевозможных произведений корней, взятых с обратным знаком, но
без одного из множителей:
Ао + AXZ + A2Z2 + ..AnZ" = JJ(Z - bk); Ao = Ц(-Ък);
Поэтому
374 Приложения
Применим эту теорему к функции (sin x)/х, которую будем счи-
считать полиномом от Z = х2. Как функция от Z, он имеет корни
Ък — к2тг2, а разложение синуса даёт отношение А\/Ао = —1/6.
Подставляя это число в левую сторону соотношения B), на-
находим
к=1
§ 2. Вычисление суммы обратных четвёртых степеней
Обобщение теоремы Виета для коэффициента А2 выглядит сле-
следующим образом:
D)
Разлагая исходную функцию (sin x) /х по малым х до третьего
порядка, получим коэффициент 1/5!.
Выражение D) содержит уже известную сумму C) и вычи-
вычисляемую сумму S4.
Подставляя в D) корни полинома Ьк = ??2тг2, находим
11 °° 1
В результате получаем
Предлагаемый метод получения суммы обратных квадратов и
четвёртых степеней принадлежит Эйлеру.
§ 3] Формула суммирования Пуассона 375
§ 3. Формула суммирования Пуассона
Докажем формулу суммирования Пуассона:
^ СО „ ОО
-| СО ,. СО ,.
-F@) + ? ^(п) = у F^dx + 2Re ^ у F(x)e2i*kxdx. G)
n=l 0 k=l 0
Эта формула следует из равенства
2_^ S(x - n) =
n=-co A;—-co
Доказательство формулы (8) производится следующим образом.
со
Сумма J2 S(x — n) как функция от х имеет период, равный
П- — СО
единице. По этой причине она может быть представлена в виде
ряда Фурье:
со со
^2 5{х -п) = ^2 аке2шкх. (9)
тг=-со к—-со
Неизвестные коэффициенты а& находим с помощью умножения
обеих сторон равенства (9) на ехр( — 2трх) и последующего ин-
интегрирования по периоду, например, от —1/2 до +1/2.
Результат интегрирования чрезвычайно прост: слева он ра-
равен 1 только за счёт интегрирования слагаемого для п = О,
справа он равен ар. Поэтому ар = 1, откуда и следует соотно-
соотношение (8).
Формулу G) получаем с помощью умножения обеих сторон
(9) на произвольную функцию от х и дальнейшего интегрирова-
интегрирования по х от — оо до +оо. В результате находим общую формулу
суммирования Пуассона:
+ СО СО ~*~?°
^2 F{n) = Y, / F{x)dxe2mkx. A0)
гг=-со к=-оо_оо
Предположим, что функция F(x) является чётной, тогда вместо
A0) получаем формулу G).
376 Приложения
§ 4. Формула Эйлера—Маклорена
Используем формулу суммирования Пуассона G).
Искомая формула Эйлера следует из G), если предположить,
что на бесконечности сама функция и все её производные обра-
обращаются в нуль. Используя это предположение, произведём ин-
интегрирование по частям под знаком суммы по к:
о
Предположим, что ImF(x) = 0, а затем произведём суммирова-
суммирование k~2, fc~4 и т.д.:
В результате получаем два члена разложения:
1 °° 7 11
-F@) + Y, F(n) = j F(x)dx - -F'@) + 72o^C)(O) - -, A3)
nl
n=l 0
ИЛИ
¦ 12^@)+ ^Т^@)-- A4)
Общая формула
где В к - так называемые числа Бернулли.
§ 5] Обобщённая формула Эйлера-Маклорена 377
§ 5. Обобщённая формула Эйлера-Маклорена
Заметим, что формула A3) получена с некоторыми ограни-
ограничениями, однако после её вывода становится ясно, что коэффи-
коэффициенты в этой формуле, стоящие перед производными в правой
части, не зависят от вида функции, которую мы суммируем.
Таким образом, если предположить, что эти коэффициенты уни-
универсальны, тогда их можно вычислить для какой-либо простой,
специально выбранной функции.
Таким образом, наша задача состоит в том, чтобы опреде-
определить универсальные коэффициенты разложения суммы от неко-
некоторой функции f(a + п), которую мы суммируем по п:
у
)« f(y)dy+af(O) + bf'(O)+cf"(O)+df'"(O) + ... A6)
J
n=0
Здесь /3 - фиксированное число, не превышающее единицу.
В качестве такой функции выбираем экспоненту, для кото-
которой формула суммирования выглядит тривиально:
Переход от суммирования к интегрированию отвечает возмож-
возможности предельного перехода х —> 0.
При этом правую сторону можно без труда разложить по
степеням х:
r.h.s. = - У ,. /
х f^ к\ ' ^ п\
к=0 гс=1
378 Приложения
Применяем нашу общую формулу A6) к левой стороне соотно-
соотношения A7). При этом /(/3 + и) = ехр [—(/3 + п)х\. В результате
в левой стороне формулы A7) получаем слагаемое 1/х и разло-
разложение по х:
оо
/1
ехр(—xy)dy-\-a — bx + cx —dx = —\-а — bx + cx —dx .
x
о
A9)
Сравнивая A8) и A9), находим все четыре коэффициента:
1 о , 1Р/32 /3 ^/З2 р3
1 в2 в3 вА
В частном случае C = 0 получаем результат A3):
Y, Пп) * / F(x)dx + -F@) - -F'@) + з-^C)@) - ... B1)
П = 0 q U
При /3=1/2 получим разложение по нечётным производным:
1 7 1 7
? /(* + 2> * / /fo)rf* + й7'^ " 5760////@) + - B2)
В общем случае:
оо °9 ^ I в в2 ,
< ^ I ^} ~\ о о о
2
Формула B3) решает поставленную задачу. Метод нахождения
коэффициентов сложного вида принадлежит Дж. Майеру [1].
§6]
Вторичное квантование
379
§ 6. Вторичное квантование
Рассмотрим подробно случай статистики Ферми для одина-
одинаковых частиц со спином 1/2, следуя оригинальной работе
В.А. Фока [2].
Неразличимость частиц означает, что базисное состояние
для N частиц, занимающих уровни fci, &2,... fcyv, полностью ан-
антисимметрично относительно перестановок любой пары частиц
и потому может быть представлено в виде так называемого де-
детерминанта Слэтера:
B4)
ф*
Здесь используются одночастичные волновые функции
зависящие от координатной и спиновой переменной ? и образу-
образующие полный и ортонормированный набор. Множитель l/y/~N\
написан из соображения нормировки.
Ниже для краткости вместо символа ^-функции будем ис-
использовать дираковский кет-символ, а вместо координаты с за-
заданным номером будем писать просто номер. Иными словами,
будет использовано соответствие: ipk(?,s) -^ |s,fc).
Таким образом, детерминантная функция B4) переписыва-
переписывается следующим образом:
2, ... kN =
|l,fc2); |2,fc2> - \NM)
\l,kN); \2,kN) ... \N,kN)
B5)
Используя известную формулу разложения определителя, вме-
вместо выражения B5) получим
B6)
380 Приложения
где |r, ks) - полный ортонормированный набор одночастичных
состояний, символ Р означает N1 перестановок номеров 1,2, ...7V.
Перейдём к новому базису, для которого достаточно опре-
определить только числа заполнения всех одночастичных уровней.
Например, состоянию B6) соответствуют все п^г = 1, когда
г = 1, 2, ...7V; пг = 0, если г / ?^.
Антисимметричный вид базисных функций B6) запрещает
иметь 7i? > 1, так что ненулевыми оказываются только те вол-
волновые функции, для которых все кг отличаются. Ясно также,
что базисные состояния, отличающиеся порядком номеров заня-
занятых состояний, не являются независимыми. В качестве базиса
для определённости выберем с положительным знаком такие
суммы типа B6), у которых первому слагаемому со знаком + от-
отвечает естественная последовательность номеров к\ < к^ < •¦• <
< kN.
Наша задача - представить операторы энергии через соб-
собственные числа заполнения отдельных одночастичных состоя-
состояний. Простейшим из известных классических гамильтонианов
является одночастичный, который представляется в следующем
виде:
И') = Х>(гг,й). B7)
г=1
В силу тождественности частиц матричный элемент h^s от ка-
каждого слагаемого, взятый по одночастичным волновым функ-
функциям фк^з)-! не зависит от номера j:
B8)
где а и /3 - спинорные индексы, а интегрирование производится
по всему пространству. Для каждого номера j удобно ввести
оператор Х-' , переводящий частицу с номером j из t-состояния
в состояние с номером к:
X*'%8) = 6at\j,k). B9)
§ 6] Вторичное квантование 381
Поскольку нам известны все матричные элементы h^s опера-
оператора /г, относящегося к j-частице, то для оператора hj имеем
следующее представление:
kt
Отсюда заключаем, что сумма одночастичных операторов B7)
имеет вид
?\ где У*>* = ?**'*. C1)
kt j
Таким образом, проблема нахождения результата воздействия
оператора V^) на многочастичные состояния B6) сводится к на-
нахождению воздействия оператора Y на эти состояния. Решение
этой задачи основано на определении B9) оператора Хк'ь - ма-
матрицы, имеющей единственный ненулевой матричный элемент,
равный единице, который находится на пересечении t-столбца
и fe-строки.
Предположим, что в состоянии t имеется одна частица, т.е.
для некоторого номера а между 1 и TV можно написать:
i V .
C2)
Если бы в исходном состоянии 5-уровень был занят, тогда ко-
конечное состояние оказалось бы равным нулю. Таким образом,
382 Приложения
оператор Ys'1 даёт ненулевой результат только в том случае,
когда t-уровень занят, а s-уровень пустой. Согласно нашей до-
договорённости о выборе фазового множителя, для исходного со-
состояния к\ < k<i < ... < t(k^) < ... < /сдт. Волновая функ-
функция, возникшая в правой стороне C2), имеет правильную нор-
нормировку. Однако она, вообще говоря, отличается от базисной
таким множителем, который зависит как от номера ?, так и от
номера s.
Детерминантная функция, получившаяся в правой стороне
C2), имеет столбец |ce,<s) на месте столбца |су,?) . Если s ф ?,
тогда число перестановок столбца, необходимое для его приве-
приведения в "установленное" место, равно числу занятых состояний
между номерами s и t. Это число vst выражается через числа
заполнения пк с помощью следующего соотношения:
Е7 ) s + 1,5 + 2, ...,? - 1 для s < ?, /ооЧ
п/р, где /с =<,.,,- 1 , (оо)
^ I t+ l,t + 2,...,5 - 1 для s > t. v ;
В соответствии с этим результат действия оператора Y выра-
выражается через базисные функции, зависящие от чисел заполне-
заполнения:
У*>г\...п8(= 0), ...п*(= 1),...) = (-1)^ |...ns + 1, ...nt - 1,...). C4)
Оператор У5^, переводящий состояние с заполненным t-уровнем,
но с незаполненным s-уровнем в состояние с заполненным s-
уровнем, но с незаполненным t-уровнем, естественно предста-
представить в виде произведения оператора уничтожения t-состояния
at на оператор рождения s-состояния bs: Ys'1 = bsat, где щ =
t-i
— Yl nk->- Величина vs определяется аналогично щ:
k=i
at|...nt(= 1), ... ) = (-l)^|...ns - 1...);
Отметим некоторые свойства матричных элементов, которые
следуют из определений C5):
(...nt = O...|af|...7if = 1...) =
§ 6] Вторичное квантование 383
= (-1Г = h(...nt = i...|at+|-nt = о...)* =
= (...nt = l...\at\...nt = 0...) = (...nt = l...\bt\...nt = 0...). C6)
Оператор af есть эрмитово сопряжённый с at и имеет все дей-
действительные матричные элементы. Если же матричный эле-
элемент от bt равен нулю, то равен нулю и соответствующий ма-
матричный элемент от оператора af. Отсюда заключаем, что
bt = а+; Г1'3 = afas. C7)
Между операторами а& и а^ имеются простые антикоммутаци-
антикоммутационные соотношения, которые легко проверить, используя C6) и
C7):
{ak,as} = 0, {o?,o+}=0; {ак,а^} = Sks. C8)
Здесь и ниже:
\А,в}=Ав + вА; slk = \l при г = к>
I ) 10 при г ф к.
Таким образом, нам удалось выразить одночастичныи оператор
энергии V^ ' и оператор числа частиц N через операторы а к и
г,к к
Первое соотношение следует из C1) и C4). Второе можно по-
получить, если заметить, что согласно C6) оператор а^а^ имеет
только диагональные матричные элементы - для пустого к-
состояния его собственное значение равно нулю, в то время как
для однократно занятого /с-состояния оно равно единице. По
этой причине оператор п^ = а^а^ называется оператором числа
частиц в ^-состоянии.
Обозначим через |0) состояние без частиц, тогда состояние
с единичными числами заполнения для /ci,&2, ••• /^-состояний
можно записать в виде
384 Приложения
С помощью операторов рождения и уничтожения удаётся за-
записать любой многочастичный оператор. Например, потенци-
потенциальную энергию, определяемую классическими парными потен-
потенциалами Vij:
V(II) = \ E Vid. D1)
По аналогии с соотношениями C0) представим парный потен-
потенциал Vij в виде всевозможных матричных элементов Vpqrs и
операторов Xi и X/, относящихся к паре частиц:
= Е VmrsX?'rX]>s, D2)
pqts
где Vvqrs —
г
= / dr\dv2
D3)
Выразим двухчастичную энергию уG/) через произведения опе-
операторов ys>4 = afat :
2
pqts г з{]фг)
1 y lx
2
pqts
= \Y.VP0s[Yp^>s -8qtY^s]. D4)
pqts
Было использовано соотношение Xf' Xj's — SqtXf's, которое
следует из определения B9). Вычитаемый член соответствует
классической собственной энергии.
Подставляя в D4) Yp'q = a+aq, получим: ^^
- Stq\ as = - ^ Vpqtsa+a+asat. D5)
t
pqts pqts
Вычисления максимально упрощаются, если в качестве полного
набора одночастичных функций использовать такие, которые
§ 6] Вторичное квантование 385
диагонализуют одночастичныи гамильтониан Vj, так что соот-
соответствующие диагональные матричные элементы просто равны
энергиям €к одночастичных состояний. Одночастичныи гамиль-
гамильтониан приобретает вид суммы произведений одночастичных
энергий на числа заполнения п& отдельных квантовых состоя-
состояний:
Выражение C9), справедливое для любого аддитивного опе-
оператора (полного импульса, спина и др.), может быть предста-
представлено в виде объемного интеграла:
А = ^{k\A\s)a+as = ^ j dru*k{r, a)AQ^(f,p)ns(f,/3)a+a+ =
ks a/3
D7)
Здесь введены так называемые операторы квантованного поля:
~~ " ~~ %/3)- D8)
Операторная величина, стоящая под интегралом в D7), имеет
смысл плотности соответствующей величины. Так, произведе-
произведение ф^~(г^ а)ф(г, а), просуммированное по а, имеет смысл плот-
плотности числа частиц.
Двухчастичный оператор взаимодействия D5), записанный
через операторы квантованного поля, представляется следую-
следующим образом: V^11^ =
= \ Е /^f^+(f,a)^+^
D9)
Заметим, что для частиц, имеющих нулевой спин, удается
написать те же соотношения D6) - D9), но без спинорных ин-
индексов [2], [3].
386 Приложения
Для тождественных частиц с нулевым спином операторы ро-
рождения и уничтожения определяются следующими соотношени-
соотношениями:
b?|...rifc...) = л/1 + щ\—Щ + !•••); bfe|...rife...) = v^fcl---nfc ~~ !•••)•
E0)
Отсюда следует, что диагональный оператор чисел заполнения
b^bfc может принимать любые положительные целочисленные
значения. Из соотношений E0) также следует, что операторы
рождения и уничтожения для бозе-частиц удовлетворяют сле-
следующим простым коммутационным соотношениям:
[Ьк, Щ = Sks, [S+, S+] = 0, [Ьк, Ьа] = 0. E1)
Здесь квадратные скобки обозначают коммутатор Д-В =
-В А.
§ 7. Некоторые определённые интегралы
§ 7.1. Интегралы, сводящиеся к Г-функции Эйлера
оо
T(z) = jxz-le~xdx, ГA/2) = у/п, Г(п) = (п - 1)!, E2)
о
где п - целые числа.
,1 °°
/xne~axdx = —, fx2n+1e-ax2dx = ^—; E3)
J an' J 2an+1' v ;
oo
^=, [xedx = Ц=; E4)
2Ja J AaJa
о о
. E5)
Ba)
§ 7] Некоторые определённые интегралы 387
Рассмотрим также интеграл:
оо
G(a) = [ ехр(ж) гаЧх_ Eб)
' J (ехр(ж) + 1J V ;
— ОО
С помощью подстановки t = (ехр(х) + 1)~ этот интеграл сво-
сводится В-интегралу Эйлера, который, в свою очередь, выража-
выражается через произведения Г-функций: G(a) =
= f A - tfa t~iadt = B(l + ia, 1 - ia) =
ГB)
Далее необходимо использовать известные формулы:
"" ;, ГB) = 1,
после чего получим окончательный результат:
оо
G(a) = f ехР(?) ^eiaxdx = ™ ^
— ОО
§ 7.2. Интегралы, сводящиеся к ^-функции Римана
- v l - п2 - ^
71=1
- в соответствии с результатами § 1 и § 2.
1 7Г2
i
о п=0 о
388
Приложения
?г=0
?г=0
оо
1
7Г
Ат О
4A +А;J 12
п)
F1)
Следующий интеграл сводится к предыдущему с помощью ин-
интегрирования по частям:
9
^ = Г x2dx^- [th(x) - 1] = -2 I x [th(x) - 1] da; =
exp(—x)
exp(x) + exp(—x
-dx —
-4
dx = —. F2)
expBx) + 1 12
7.3. Интеграл, выражающийся через постоянную
Эйлера
ln(x)dx
7171
ln(x)dx
1 = lim / ——г— = lim
crrx n^oo J crrx
о о
П7Г
f
1п(птг) — dx
th(x)
= lim
П7Г
1 Г
1П(П7Г) - - /
th(x)
ж
F3)
Удаётся доказать, что ничего не изменится, если в пределе п >>
^> 1 дополнить интеграл в правой части F3) интегралом по по-
полуокружности большого радиуса R — птг, проходящей в верхней
полуплоскости. В результате оказывается, что правая сторона
соотношения F3) определяется суммой вычетов:
J =
ln(x)dx
ch2x
= lim
1П(П7Г) -
k=\
2k- 1
F4)
Список литературы
389
Из правой части формулы F4) выделим известную сумму:
lim
В результате получим:
= 1п(тг) -21пB) + lim
?
= -ln(-)-C, F6)
где С « 0.577 - постоянная Эйлера.
Способ вычисления интеграла J принадлежит Ю.В. Михай-
Михайловой.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Майер Дж., Гепперт-Майер М. Статистическая механика.
- М.: Мир, 1980. - 544 с.
2. Фок В.А. Работы по квантовой теории поля.- Л.: ЛГУ, 1957.
- 146 с.
3. Блохинцев Д.И. Основы квантовой механики.- М.: Наука,
1983. - 606 с.
ОБЩИЙ СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1
1. Больцман Л. Избранные труды. - М.: Наука, 1984. -
С. 190-241 (связь энтропии и вероятности).
2. Розинг Б.Л.Ц ЖРФХО. 1892. 24, 105; 1896. 28, 59 (гипотеза
существования молекулярного поля).
3. Гиббс Д. В. Термодинамика. Статистическая механика.
- М.: Наука, 1982. - С. 350-508 (свойства канонического, ми-
микроканонического и большого канонического ансамблей).
4. Einstein A,// Ann. Phys. 1907. 22, 180-190; перевод:
Эйнштейн А. Собрание научных трудов. Т. 3. - М.: Наука,
1966. - С. 134-144 (осцилляторная модель твёрдого тела).
5. Weiss P.jI J. phys. et rad. 1907. 6, 661 (понятие молекуляр-
молекулярного поля).
6. Debay P.j j Ann. Phys. 1912. 39, 789, (теория теплоёмкости
твёрдого тела).
7. Ornstein L.S., Zernike F.// Proc. Kon. Akad. Wet. 1914. 17,
793 (феноменологическая теория критических явлений).
8. Богуславский C.A.jj Phys. Ztschr. 1922. 23, 209-219 (свой-
(свойства изобарно-изотермического ансамбля).
9. Bose S.N./I Phys. Ztschr. 1924. 26, 178 (распределение Бозе).
Предлагаемый список литературы, относящийся к материалу всех лек-
лекций, составленный в хронологическом порядке, повторяет и дополняет би-
библиографию, имеющуюся в конце каждой лекции.
Общий список литературы 391
10. Fermi Е.Ц Phys. Ztschr. 1926. 36, 902-912; перевод:
Ферми Э. Собрание научных трудов. Т. 1. - М.: Наука, 1971.
- С. 203-213 (распределение Ферми).
11. Pauli W./1 Zs. Phys. 1927. 41, 81 (парамагнетизм электро-
электронов проводимости).
12. Heisenberg W.// Zs. Phys. 1928. 49, 619-636; перевод:
Гейзенберг В. Избранные труды. - М.: УРСС, 2001. -
С. 382-400 (обменное взаимодействие в ферромагнитных ди-
диэлектриках) .
13. Ландау Л.Д.// Zs. Phys. 1930. 64, 629-636; перевод:
Ландау Л.Д. Собрание трудов. Т. 1. - М.: Наука, 1969. -
С. 46-55 (диамагнетизм металлов).
14. Фок В.A.I/ Zs. f. Phys. 1932. 75, 622-647; перевод:
Фок В.А. Работы по квантовой теории поля. - Л.: ЛГУ, 1957.
- С. 25-51 (метод вторичного квантования).
15. Курчатов И.В. Сегнетоэлектрики. - М.-Л.: Гостехтеориз-
дат, 1933. - 104 с. (физическая аналогия между сегнетоэлек-
тричеством и ферромагнетизмом).
16. Mayer J.jI J. Chem. Phys. 1937. 5, 67; перевод:
Майер Дж., Гепперт-Майер М. Статистическая механика. -
М.: ИЛ, 1952. - С. 247-323 (диаграммный метод разложения по
степеням плотности).
17. Ландау Л.Д./1 Phys. Zs. Sowjet. 1937. 7, 26, 627; перевод:
Ландау Л.Д. Собрание трудов. Т. 1. - М.: Наука, 1969. -
С. 234-261 (феноменологическая теория фазовых переходов II
рода).
392 Общий список литературы
18. Guggenheim E.A./'/ J. Chem. Phys. 1939. 7, 103 (свойства
обобщённого ансамбля).
19. Ландау Л.Д.// Proc. Roy. Soc. 1939. А170, 363; перевод:
Ландау Л.Д. Собрание трудов. Т. 1. - М.: Наука, 1969. -
С. 317-319, (теория эффекта де-Гааза-ван-Альфвена).
20. Ландау Л.Д.// ЖЭТФ 1941. 11, 592; см. также:
Ландау Л.Д. Собрание трудов. Т. 1. - М.: Наука, 1969. -
С. 352-385 (феноменологическая теория сверхтекучести).
21. Гинзбург В.Л.// ЖЭТФ. 1945. 15, 739; см. также: Гинз-
Гинзбург В.Л. О науке, о себе и о других. - М.: Физматлит, 2003. -
С. 140-166 (феноменологическая теория сегнетоэлектричества).
22. Боголюбов Н.Н.// Изв. АН СССР, сер. физ. 1947. 11,
77; см. также Боголюбов Н.Н. Избранные труды. Т. 2.- Киев:
Наукова думка, 1971. - 494 с. (теория слабонеидеального бозе-
газа).
23. Гинзбург В.Л., Ландау Л.Д.// ЖЭТФ. 1950. 20, 1064; см.
также: Ландау Л.Д. Собрание трудов. Т. 2. - М.: Наука, 1969.
- С. 126-152 (феноменологическая теория сверхпроводимости).
24. Slater J.C.// Phys.Rev. 1950. 78, 748 (микроскопическая
теория сегнетоэлектриков типа смещения).
25. Gell-Mann M., Low ?.// Phys. Rev. 1951. 84, 350 (матема-
(математическая формулировка адиабатической гипотезы).
26. Matsubara T.// Progr. Theor. Phys. 1955. 14, 399 (диа-
(диаграммная техника при конечных температурах).
Общий список литературы 393
27. Gell-Mann М., Вгиескпег К.// Phys. Rev. 1957. 106,
364 (асимптотический метод суммирования кулоновских диа-
диаграмм).
28. Bardeen J., Cooper L.N., Schrieffer J.R.jj Phys.Rev. 1957.
108, 1175 (микроскопическая теория сверхпроводимости).
29. Судаков B.B.j j ЖЭТФ 1957. 32, 767 (получение паркетных
уравнений).
30. КиЪо R.// Journ. Phys. Japan 1957. 12, 570 (квантово-
механическая теория линейного отклика).
31. Боголюбов R.R.JI ЖЭТФ. 1958. 34, 34, 73 (применение
(и — v)-преобразования в теории сверхпроводимости).
32. Белев С.Т.Ц ЖЭТФ. 1958. 34, 417, 433 (применение ме-
метода функций Грина в теории сверхтекучести).
33. Горьков Л.П.Ц ЖЭТФ. 1958. 34, 735 (применение метода
функций Грина в теории сверхпроводимости).
34. Горьков Л.П.Ц ЖЭТФ. 1959. 36, 1918 (микроскопический
вывод уравнений Гинзбурга-Ландау).
35. Горьков Л.П.Ц ЖЭТФ. 1959. 37, 833 (вычисление крити-
критического поля образования зародышей).
36. Абрикосов А.А., Горьков Л.П., Дзялошинский И.Е.
Методы квантовой теории поля в статистической физике. - М.:
Наука, 1962. - 444 с. (фундаментальная монография по диа-
диаграммным методам).
394 Общий список литературы
37. Мартин П., Швингер Ю. Теория систем многих частиц. -
М.: ИЛ, 1962. - С. 7-95 (предложен общий метод двухкомпо-
нентных функций Грина).
38. Швингер Ю. Броуновское движение квантового осцилля-
осциллятора. - М.: ИЛ, 1962. - С. 96-167 (применение метода двух-
компонентных функций Грина к гармоническому осциллятору с
сильным затуханием).
39. Josephson B.D.// Phys.Lett. 1962. 1, 256 (открытие эффекта
Джозефсона).
40. Каданов Л., Бейм Г. Квантовая статистическая физика. -
М.: Мир, 1964. - 256 с. (получение обобщённого уравнения
Больцмана).
41. Келдыш Л.В.Ц ЖЭТФ. 1964. 47, 1515 (диаграммная тех-
техника для неравновесных систем).
42. Зайцев P.O.// ЖЭТФ. 1965. 48, 644. 1966. 50, 1055 (микро-
(микроскопический вывод граничных условий к уравнениям Гинзбурга-
Ландау) .
43. Вакс В.В., Ларкин А.И., Пикин С.А.// ЖЭТФ, 1967. 53,
1089 (диаграммная техника для спиновых операторов).
44. Ларкин А.К, Хмельницкий Д.Е.// ЖЭТФ, 1969. 56, 2087
(флуктуационная теория фазовых переходов в четырёхмерном
пространстве).
45. Wilson К.// Phys. Rev. Lett. 1972. 28, 548,
(флуктуационная теория фазовых переходов в пространстве раз-
размерности d = D — е)).
Учебники и монографии 395
Учебники и монографии2
1. Абрикосов А.А., Горьков Л.П., Дзялошинский И.Е. Методы
квантовой теории поля в статистической физике. - М.: Наука,
1962. - 444 с.
2. Абрикосов А.А. Основы теории металлов. - М.: Наука, 1987.
- 420 с.
3. Балеску Р. Равновесная и неравновесная статистическая
механика. Т. 1. - М.: Мир, 1978. - 405 с.
4. Беляев С. Т. Лекции по теории конденсированного состояния.
- М.: МФТИ, 1982. - 92 с.
5. Зайцев P.O. Диаграммные методы в физике твёрдого тела.
- М.: МФТИ, 1990. - 88 с.
6. Зайцев P.O., Орлов В.Г. Введение в теорию сверхпроводи-
сверхпроводимости. - М.: МФТИ, 1995. - 108 с.
7. Зайцев P.O., Михайлова Ю.В. Термодинамические флукту-
флуктуации: Учебно-метод. пособие. - М.: МФТИ, 2003. - 35 с.
8. Зайцев P.O., Михайлова Ю.В. Основы теории сверхпроводи-
сверхпроводимости: Учебно-метод. пособие. - М.: МФТИ, 2004. - 59 с.
9. Зайцев P.O., Михайлова Ю.В. Элементы флуктуационной
теории фазовых переходов второго рода: Учебно-метод. посо-
пособие. - М.: МФТИ, 2004. - 68 с.
10. Зубарев Д.Н., Морозов В.Г., Рёпке Г. Статистическая
физика неравновесных процессов. Т. 2. - М.: Физматлит, 2002.
- 296 с.
2Список составлен в алфавитном порядке.
396 Учебники и монографии
11. Кубо Р. Статистическая механика. - М.: Мир, 1967. -
452 с.
12. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Статистическая физика.
Ч. 1. - М.: Физматлит, 2002. - 616 с.
13. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М., Питаевский Л.П. Статистиче-
Статистическая физика. Ч. 2. - М.: Физматлит, 2001. - 494 с.
14. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М., Питаевский Л.П. Физическая
кинетика. - М.: Физматлит, 2001. - 536 с.
15. Майер Дж., Гепперт-Майер М. Статистическая механика.
- М.: Мир, 1980. - 544 с.
16. Фейнман Р. Статистическая механика: Курс лекций. - М.:
Платон, 2000. - 407 с.
17. Хилл Т. Статистическая механика. - М.: ИЛ, 1960. -
487 с.
18. Хуанг К. Статистическая механика. - М.: Мир, 1966. -
520 с.