АКУСТИКА
в задачах
Под редакцией С.Н.ГУРБАТОВА и О.В.РУДЕНКО
Рекомендовано Министерством
общего и профессионального образования Российской Федерации
для использования в учебном процессе
студентами физических специальностей вузов
МОСКВА
НАУКА • ФИЗМАТЛЖ
1996

ББК 22.32
А44
УДК 534 @75.8)
Федеральная целевая программа
книгоиздания России
АВТОРЫ:
А.Н. БАРХАТОВ, Н.В. ГОРСКАЯ, А.А. ГОРЮНОВ
С.Н. ГУРБАТОВ, В.Г. МОЖАЕВ, О.В. РУДЕНКО
Акустика в задачах. Учеб. рук-во.: Для вузов /А.Н.Бархатов, Н.В.Горская,
А.А.Горюнов и др.; Под ред. С.Н.Гурбатова и О.В.Руденко.—М.: Наука. Физматлит,
1996.—336 с— ISBN 5-02-014742-7
Систематизированный сборник задач, охватывающий основные разделы
классической и современной акустики. В рамках каждого раздела материал
расположен в порядке возрастания степени сложности. Многие задачи снабжены
комментариями, а наиболее важные—развернутыми решениями, что позволяет
использовать руководство для самостоятельной работы. Отражает опыт препода-
преподавания общих и специальных курсов акустики в Московском и Нижегородском
университетах.
Для студентов, аспирантов физических и радиофизических специальностей
вузов, научиых работников и инженеров, интересующихся проблемами современной
акустики и ее применений.
Табл. 4. Ил. 108. Библиогр. 33 назв.
. 1604040000-031
А 053@2)-96
ISBN 5-02-014742-7
О А.Н.Бархатов, Н.В.Горская,
А.Н.Горюнов, С.Н.Гурбатов,
В.Г.Можаев, О.В.Руденко, 1996

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 5
1. Общие вопросы акустики 7
1.1. Линейная акустика идеальной среды 7
1.2. Затухание звука в жидкостях и газах, релакса-
релаксационное поглощение 21
1.3. Отражение и преломление звука 28
1.4. Отражение от слоя и прохождение через слой 38
1.5. Движение и звук 43
2. Волны в трубах, волноводах и резонаторах 49
2.1. Длинные волны в трубах 49
2.2. Сложные звукопроводы, акустические фильтры 61
2.3. Нормальные волны в резонаторах и волноводах 67
3. Акустика неоднородных сред 78
3.1. Геометрическая акустика. Уравнения эйконала,
переноса, луча 78
3.2. Лучи в неоднородных природных средах 87
3.3. Захват энергии, фактор фокусировки, каустики
в природных каналах 98
4. Излучение и рассеяние звука 107
4.1. Излучение звука колеблющимися телами 107
4.2. Рассеяние звука 118
5. Нелинейная акустика 125
5.1. Простые волны 125
5.2. Плоские нелинейные волны с разрывами 137
5.3. Нелинейные волны в днссипативных средах.
Уравнение Бюргерса 148

5.4. Сферические и цилиндрические волны. Нелиней-
Нелинейные пучки 157
5.5. Акустические шумы большой интенсивности 166
6. Упругие волны в твердых телах 176
6.1. Волны в неограниченных твердых телах 176
6.2. Волны в твердых телах с плоской границей 182
6.3. Волны в пластинах, слоях и стержнях 193
6.4. Кристаллоакустика и акустоэлектроника 210
7. Статистическая акустика 226
7.1. Основы теории случайных процессов 226
7.2. Дифракция и излучение случайных полей 239
7.3. Рассеяние звука случайными неоднородностями и
неровными границами 249
8. Электроакустические системы 263
8.1. Механические колебательные системы. Электро-
Электромеханические аналоги 263
8.2. Акустические системы и электроакустические
аналоги 276
8.3. Электроакустические преобразователи 288
9. Обратные задачи дифракции 301
9.1. Функция Грина и обращение дифференциальных
операторов задач скалярной акустики 301
9.2. Обратные задачи излучения 305
9.3. Обратные задачи рассеяния: альтернативные по-
постановки 315
9.4. Линеаризованные обратные задачи дифракции:
приближения Борна и Рытова 322
Список рекомендуемой литературы 334

ПРЕДИСЛОВИЕ
В настоящее время акустика представляет собой развитую
область науки и техники, результаты которой используются
людьми самых разных профессий. Необходим учебник, позволяю-
позволяющий студенту, аспиранту, специалисту из смежной области за
сравнительно небольшой срок овладеть основами акустики,
научиться активно использовать развитые здесь методы упроще-
упрощений, расчетов, получения численных оценок.
Мы считаем, что последовательность логически правильно
расположенных задач—одна из наиболее эффективных форм пода-
подачи материала. В нашей книге задачи расположены группами. Как
правило, первая задача из группы предназначена для проработ-
проработки важного теоретического вопроса и снабжена развернутым
решением. Последующие задачи служат для освоения техники
расчетов и оценок. Наиболее простые из них заканчиваются
лишь ответами, более сложные—ответами и пояснениями, труд-
трудные—решениями. Кроме того, когда группа состоит из однотип-
однотипных задач, решение дается только к первой; остальные должны
быть рассмотрены по аналогии с ней. Этой схемы мы пытались
придерживаться всюду, где это было возможно.
Задачник построен на материале курсов, читаемых студентам
кафедр акустики Московского и Нижегородского университетов,
а также студентам отделения радиофизики физфака МГУ.
В первоначальном варианте главы 1 и 2 были написаны
А. Н.Бархатовым при участии С. Н. Гурбатова и О. В. Руденко,
гл.З — А.Н.Бархатовым и С.Н.Гурбатовым, гл.4—О.В.Руденко при
участии А.Н.Бархатова, гл.5—О. В. Руденко и С. Н.Гурбатовым,
гл.6 — В. Г. Можаевым, гл.7—С. Н.Гурбатовым при участии А.А.Го-
рюнова, гл.8 —Н.В.Горской, гл.9—А.А.Горюновым. Однако в
процессе редактирования были сделаны добавления. Так,

О. В.Руденко предложил включить ряд новых задач, среди кото-
которых задачи 1.1.20, 1.2.19, 1.5.11, 2.1.1, 6.1.7, 6.1.8,
9.2.17, 9.4.2-9.4.6. Аналогичные изменения вносились в текст
и другими авторами. Взаимные перекрестные проверки и допол-
дополнения, по нашему мнению, способствовали улучшению содержания
книги.
Мы старались в максимальной степени использовать опыт
преподавания акустики в университетах России, основанный, в
частности, на задачниках С.Н.Ржевкина [1], А.Н.Вархатова и
Н.В.Горской [2], С.Н.Гурбатова и О.В.Руденко [3], а также на
материале учебных пособий [4—7].
Нужно заметить, что формулы нумеруются подряд только в
пределах данной задачи. В каждой из задач используется неза-
независимая нумерация. Поэтому при ссылках на формулы в общем
случае мы пользуемся четырехзначными обозначениями. Так,
обозначение E.2.4.3) относится к формуле C) задачи 5.2.4,
т.е. к формуле C) четвертой задачи раздела 5.2. Однако чис-
число знаков может быть уменьшено. Например, обозначение C)
относится к третьей формуле данной задачи, а D.3) —к форму-
формуле C) четвертой задачи данного раздела.
Мы выражаем искреннюю благодарность В.А.Хохловой,
П. Н.Кравчуну, А.А.Заикину, Н.В. Прончатову-Рубцову за помощь
при подготовке задачника и полезные замечания, М.А.Карпаче-
вой за большую работу по оформлению рукописи.
Так как курс акустики читается во многих университетах и
технических вузах страны, а также в зарубежных университе-
университетах, мы надеемся, что книга "Акустика в задачах" поможет
учебному процессу и подготовке специалистов соответствующего
профиля. Мы рассчитываем на замечания и предложения наших
заинтересованных коллег по улучшению содержания и по допол-
дополнениям, которые могли бы быть включены в последущие издания.
С. Н. Гурбатов, О. В. Руденко

1. ОБЩИЕ ВОПРОСЫ АКУСТИКИ
1.1. Линейная акустика идеальной среды
1.1.1. Исходя из уравнений гидродинамики, вывести уравне-
уравнение для звуковых волн малой амплитуды в идеальной среде.
Решение. Рассмотрим уравнение непрерывности
ff+div(pv) = О A)
н уравнение Эйлера
где р— давление, р —плотность, v —скорость частицы.
Представим переменные р и р в виде
р = pQ+ р', р = Ро + Р\ C)
где pQ, pQ — постоянные равновесные давление и плотность, р',
р' —их изменения в звуковой волне (р' « р р' « р ). Под-
Подставляя C) в A) и B) и пренебрегая малыми величинами
второго порядка относительно р', р' и скорости v, получим
линеаризованные уравнения для акустических величин:
Podivv = O, D)
f
Звуковая волна в идеальной жидкости есть адиабатическое
движение. При этом давление р зависит только от одной термо-
термодинамической величины, например от плотности р (баротропная
среда): р - р(р). Поэтому
"' ¦ fflf- F>
где s—энтропия. Тогда из D) получим
af +?
Введем потенциал скорости <р :
v = grad <p. (8)

Из E) получим
а из G)-(9) находим волновое уравнение для потенциала <р:
п
5-| - с2Ь<р = 0, A0)
dt
в котором А—оператор Лапласа, с—скорость звука,
с * У(дР/дрM . (П)
В случае плоской волны, распространяющейся по оси х, уравне-
уравнение A0) принимает вид
ff0. A2)
дГ дх2 ¦ '
Заметим, что условие применимости линеаризованных уравнений
движения р' « pQ, р' « Ро эквивалентно малости скорости дви-
движения частиц жидкости в волне по сравнению со скоростью зву-
звука: v « с , т.е. малости числа Маха (М = v/c « 1).
1.1.2. Найти решение волнового уравнения для бегущей
плоской волны. Показать, что звуковая волна является про-
продольной, и установить связь между возмущениями давления,
плотности и колебательной скоростью в такой волне.
Решение. Нетрудно показать, что уравнение A.12) имеет
общее решение
<p(x,t) = F^x-ct) + F2(x+ct),
где F. и F — произвольные функции. Рассматривая, например,
волну, распространяющуюся в положительном направлении оси х,
для потенциала скорости ip{x, t) имеем
ф.П = F(x-ct), A)
и, следовательно, картина возмущений распространяется в сре-
среде со скоростью с, называемой скоростью звука. Из формул A)
и A.8) видно, что в бегущей волне колебательная скорость
имеет единственную компоненту v - v. Это означает, что час-
частицы среды в волне колеблются вдоль направления ее распрост-
распространения, т.е. звуковая волна является продольной. При этом
колебательная скорость v связана с приращениями давления р'
и плотности р' простыми алгебраическими соотношениями. Ис-
Используя формулы A.8) и A.9), из A) получаем
f = gf = F(x-ct), p' = - po|f = 9QcF{x-ct), B)
и, следовательно,
P'/V = рос. C)

Соотношение C) иногда называют акустическим законом Ома,
а величину р.с —волновым сопротивлением. Используя линеари-
линеаризованное уравнение состояния A.6), для возмущений плотности
р' и колебательной скорости имеем
е' = - (А)
р0 с • W
Градиент акустического давления, как видно из формулы A.5),
коллииеарен вектору колебательной скорости и—в силу про-
продольного характера звуковой волны —направлению на источник
звука. Таким образом, используя приемники градиента дав-
давления, можно определить направление прихода акустической
волны.
1.1.3. Найти условие, прн котором распространение звуко-
звуковой волны можно рассматривать как адиабатический процесс.
Решение. Распространение звуковой волны сопровождается
изменением температуры (см. далее задачи 1.1.31, 1.1.32).
Температура увеличивается в тех областях, где среда подвер-.
гается адиабатическому сжатию, и уменьшается в областях
адиабатического разрежения. Процесс распространения звука
можно считать адиабатическим, если за время, равное периоду
звуковой волны, тепло не успеет диффундировать на расстояния
порядка длины волны Л. Иными словами, "длина температурной
волны" Л^. (масштаб диффузии, соответствующий частоте /)
должна быть малой по сравнению с длиной акустической волны
К = с/\.
Длина температурной волны Л^ = 2Vn%/f находится из урав-
уравнения теплопроводности
решение которого при х > 0 имеет вид
Т = TQ exp (- kx) ехр (- Ш + ikx), B)
где k = 2я/Л_, # —коэффициент температуропроводности.
Условие адиабатичности Л > Л будет выполнено для частот
/ < с2/Dя%). C)
Оценки показывают, что условие C) хорошо выполняется в
жидкостях и газах. вплоть до очень высоких частот. Так, в
воздухе (числовые значения параметров % = 2,8-10 м/с,
с = 330 м/с) звук распространяется адиабатически при часто-
частотах / s 1012 Гц.

1.1.4. Выразить адиабатический модуль объемной упругости
к , связывающий приращения давления и плотности
р' = кар'/р0 = э;У/р0 с1)
(где Э —адиабатический коэффициент сжатия) через скорость
звука с.
Решение. Согласно задаче 1.1.1, малые возмущения давления
и плотности в звуковой волне связаны соотношением
f=[U) -<2 B)
Из формул A), B) получаем
к = pQc2. C)
Таким образом, измеряя скорость звука и плотность среды,
можно найти ее объемный модуль упругости. Такой способ ока-
оказывается наиболее эффективным для слабо сжимаемых сред —
жидкостей и твердых тел. Заметим, что число Маха М = v/c,
введенное в задаче 1.1.1, в силу формул B.3), B.4) может
быть также записано как
М = p'/pQ = р'/ка. D)
Поэтому величину к иногда называют характерным внутренним
давлением среды.
1.1.5. Вывести формулу для скорости звука в идеальном
газе.
Решение. Уравнение адиабатического процесса в идеальном
газе имеет вид
р/р* = const = ро/Ро\ A)
где р0< р. —равновесные значения давления и плотности,
у = с /с —показатель адиабаты, равный отношению теплоемко-
стей газа при постоянном давлении и постоянном объеме.
Для того чтобы найти (др/др) , представим плотность и давле-
давление в виде A.3). Тогда, линеаризуя A), получаем
Р' = (ЗГРО/РО)Р'. B)
Используя уравнение состояния идеального газа, имеем
где R = 8,314 ДжДмоль-К)— универсальная газовая постоянная,
fi —молекулярная масса, Г —температура в Кельвинах. Из B),
C) для скорости звука следует
рпЛ\/2 г Я7" -И/2
10

Эта формула известна как формула Лапласа, так как именно
Лаплас показал необходимость введения множителя у для адиа-
адиабатического распространения звука.
1.1.6. Рассчитать адиабатический модуль объемной упругос-
упругости (внутреннее давление) для воздуха (с = 330 м/с, р0 =
= 1,3 кг/м3, г = 1,4) и воды {с = 1500 м/с, pQ= 1000 кг/м3).
Ответ. Для воздуха к& = c2pQ = 1,4-105Па. В случае
идеального газа (см.задачу 1.1.5) внутреннее давление к
связано с равновесным давлением pQ формулой pQ = <a/K, отку-
откуда pQ = 1 атм. В случае воды получаем гораздо большую вели-
величину ка = 2,25-109Па = 23-Ю3 атм. Поэтому для волн, рас-
распространяющихся в воде, линейное приближение справедливо в
гораздо более широком диапазоне приращения давления, чем для
волн, распространяющихся в воздухе.
1.1.7. Получить приближенную формулу для скорости звука в
воздухе, учитывая, что у = 1,4 и ц = 28,8 г/моль
Ответ. Скорость звука (м/с) рассчитывается по формуле
с « 20 7j/2, A)
где 7\.—температура в Кельвинах.
1.1.8. При какой температуре скорость звука в воздухе
удвоится по сравнению со скоростью при 0 °С и при какой ста-
станет в два раза меньше? Скорость звука при t = 0' С равна
cQ = 330 м/с.
Ответ, с = 2cQ при t = 819 °С, с = с^/2 при t = - 205 °С
(если бы воздух оставался идеальным газом).
1.1.9. В два свистка одинаковой длины вдуваются: воздух,
охлажденный до температуры жидкого воздуха (t. = -180 С),
и теплый воздух. Один свисток издает звук на октаву выше,
чем другой Какова должна быть температура воздуха <„, вду-
вдуваемого во второй свисток?
Ответ. Отношение резонансных частот свистков пропорцио-
пропорционально отношению скоростей звука в них. Из E.4) получаем
t2 = 99 °С.
1.1.10. Рассчитать "звуковой барьер" самолета (когда ско-
скорость его равна скорости звука), на высоте 9 км, где темпе-
температура -70°С, и сравнить его со звуковым барьером при 0 С
на уровне моря. Зависит ли барьер от атмосферного давления?
Ответ. Около 1000 и 1200 км/ч независимо от давления.

1.1.11. Какова скорость звука внутри цилиндра двигателя
внутреннего сгорания сразу же после вспышки, когда давление
р равно 200 атм и температура 1000 °С, если для газовой сме-
смеси If = с /с = 1,35, а плотность смеси при 0 °С и атмосфер-
ном давлении pQ = 10 Па равна pQ = 0,0014 г/см ?
Решение Считая процесс адиабатическим, находим плотность
газовой смеси после вспышки р = р0 (p/pQ) ^.Откуда скорость
звука с = (yp/p)U2 ~ 620 м/с
1.1.12. При интерференции двух плоских звуковых волн,
излучаемых двумя одинаковыми закрытыми трубами длиной / =
= 60 см, вследствие различия температуры воздуха в них со-
создается 1 биение в секунду. Температура воздуха в трубе, да-
дающей более низкий тон, равна 16 °С Какова температура воз-
воздуха в другой трубе? Считать, что генерируется первая мода
колебаний закрытой трубы, т.е. длина волны звука \ - 1/2.
Ответ t2 = 16,5 °С
1.1.13. Записать решение волнового уравнения для плоской
монохроматической волны. Найти соотношение между амплитудами
давления и смещения, колебательной скорости и ускорения
частиц.
Решение. Согласно формулам B 1), B 2) решение волнового
уравнения для давления в гармонической волне можно записать
в виде
p'(x,t) = p'o cos (Ш-kx), A)
где р'—амплитуда давления, ы—частота, k = w/c —волновое
число. Из B 3) следует, что колебательная скорость находит-
находится в фазе с давлением
v(x,t) = vQcos(iot-kx), vQ = р'оЛРос). B)
Величина pQc носнт название волнового сопротивления (импе-
(импеданса) среды. Для амплитуды смещения частиц ?Q = Jv dt и ус-
ускорения ?0 = dv/dt имеем из B)
^0 = пГ = р^сп- % = шо = р^с <3)
Часто используется эффективное среднеквадратичное давление
р ,, определяемое через среднее от квадрата звукового давле-
давления за один период волны Т = 2п/и):
Т
1 Г
= г 'Р
7
12

Следовательно,
1.1.14. Найти длину звуковой
500 Гц при температуре t = 15
волны
°С и
в воздухе
давлении
на
D)
частоте
= 105Па
(плотность воздуха pQ = 1,26 кг/м ).
Ответ. Л = сД = Г* ^ Ро/Ро й °.7 м.
1.1.15. Смещение частиц в плоской бегущей в воздухе зву-
ковой волне имеет вид ? = 5 • 10~ sin A980?-6x) [м]. Найти:
частоту колебаний; скорость распространения волны; длину
волны; амплитуду скорости колебания каждой частицы; ускоре-
ускорение; амплитуду звукового давления, если распространение зву-
ка происходит адиабатически (pQc = 420 кг/(м -с)).
Ответ Для данной волны угловая частота со = 1980 с , вол-
—1 —Я
новое число k = 6 м , амплитуда смещения ?.= 5-10 м. Сле-
Следовательно, / = ш/2п = 315 Гц, с = 0)/k = 330 м/с, Л = 2n/k =
= 1 м, »0 = €0 = ?ош = ^.^•lOм/c, ?0 = ы% - 0.2 м/с2,
р^ = с/орос = 0,04 Па.
1.1.16. Плоская волна с амплитудой акустического давления
0,0002 дин/см при 1000 Гц (порог слышимости) распространя-
распространяется в воздухе. Найти значения амплитуды скорости н смещения
частиц.
Решение. Из задачи 1.1.13 имеем
Учитывая, что для воздуха pQc = 42г/(см2-с), получаем vQ =
= 4,8-10~8 м/с, 40 = 7,6-102м.
1.1.17. Человек с хорошим слухом воспринимает звуковое
давление амплитуды р'о = 10 дин/см при частоте 2000 Гц. Вы-
Вычислить амплитуду смещения, скорости и ускорения частиц воз-
воздуха в такой волне. Решить ту же задачу при частоте 1000 Гц.
Ответ. На частоте 2000 Гц: ?0 = су^п/) = p'Q/BnfpQc) =
= 1,9-10'9 см, vQ = $0 = р'о/(рос) = 2,4-Ю см/с, ^ =
= 2nfvQ = 0,3 см/с2 На частоте 1000 Гц: ?0 = 3,8-10~9 см,
Vq = ?Q = 2,4-Юсм/с, ^0 = 0,15 см/с2.
1.1.18. Сравнить колебательные скорости частиц в бегущей
звуковой волне в воде и воздухе при одинаковом акустическом
давлении. (Принять pQc для воды равным 1,5• 10 г/(см "С),
для воздуха 42 г/(см2-с).)
Ответ, v /v (рпс) Лрпс) « 3600.
возд' вода vr0 'вода'чг0 'возд
13

1.1.19. Амплитуда колебательной скорости в плоской гармо-
гармонической звуковой волне в воде равна vQ = 5 * 10 см/с. Вы-
Вычислить амплитуду смещения и звукового давления на частоте
100 Гц. Как изменятся эти величины, если такую же колеба-
колебательную скорость имеет волиа в воздухе?
Ответ. Амплитуда смещения ?0 = 8-10". м; амплитуда дав-
давления: в воде р' = 0,75 Па, в воздухе p'Q = 2,1-10" Па.
1.1.20. Исходя из линеаризованных уравнений гидродинамики
идеальной среды, вывести формулы для объемной плотности энер-
энергии и вектора плотности потока энергии звуковой волны.
Решение. Исходим из уравнений A 4), A.5). Заменяя при-
приращение плотности приращением давления: р' = р'/с , получим
-i-2^f+divv = 0, po^ + Vp'=O. A)
Умножим первое из уравнений A) на р', второе на v. Склады-
Складывая полученные соотношения, запишем
,2 рп2
b
о
Уравиеине B) имеет вид дифференциального закона сохранения
fy+divS = 0, C)
где Е, S —квадратичные комбинации переменных, описывающих
акустическое поле Следовательно, объемная плотность энергии
дается формулой
Е = Е +Е = р'2/Bрпс2) + рпс2/2, D)
ПОТ КИН f'/Vf'O'^O'' V/
а вектор плотности потока энергии (вектор Умова-Пойитиига)
S = p'v. E)
Величина
/ - |S| = p'v F)
называется интенсивностью (силой) звука. Если проинтегриро-
проинтегрировать C) по достаточно большому объему v среды, на границах
с которого движение исчезает, и воспользоваться теоремой
Остроградского —Гаусса для преобразования объемного интегра-
интеграла в поверхностный, получим
^ j? dV + <fSn do- = 0. G)
V or
Интеграл по замкнутой поверхности а равен нулю, поскольку мы
условились, что эту поверхность волны не пересекают. При
14

этом из формулы G) следует
Jf dV = const,
V
т.е. полная энергия в объеме V идеальной среды сохраняется.
1.1.21. Получить выражения для объемной плотности энергии
и интенсивности плоской бегущей волны.
Решение. Пользуясь соотношением р' /(pQc ) = v/c, приведем
выражение B0.4) к виду
? = р/ = р'2Ар0с2). A)
Интенсивность равна
/ = p'v = сЕ - pQcv2 = р'2/(р0с). B)
В гармонической волне р' = р' cos (Ш-kx) средняя за период
сила звука равна
7 = р'02/Bр0с) = р2эфЛР0с), 7 = ро«,2/2. C)
где р —эффективное среднеквадратичное давление A3.4).
Используя комплексное представление поля гармонического во
времени сигнала
р'(х,t) = \p'(x) e-'M+ \ p'\x) ei(M, v(x, t) = \v ечш+ \ v' eiW, D)
получим еще одно полезное соотношение:
7 = УЪ = \{p'v* + p"v) = ^Re(pV), E)
которое используется во многих задачах.
1.1.22. Амплитуда звукового давления в плоской гармони-
ческой волне равна р' = 2• 10 дин/см . Вычислить амплитуды
колебательной скорости и смещения, средние интенсивность и
плотность энергии волны в воздухе на частоте / = 1 кГц
(pQc = 42г/(см2-с))
Ответ. vQ = p'Q/poc = 4,7-НГ7м/с ?0= v^nf = У-Ю^м,
/ = Р'о2/2рос = 4,8-10"пВт/м2! ? = J/c = 1,4-Ю3 Дж/м3
1.1.23. Интенсивность звука / равна 0,1 Вт/м2 Вычислить
объемную плотность энергии ?, давление р' смещение ? ско-
скорость vQ и ускорение ?Q частиц в плоской волне на частоте
/ = 10 кГц в воде и в воздухе. Скорость звука в воде
1500 м/с, в воздухе 340 м/с.
Ответ. Воспользуемся формулами ? = J/c, p' = B/росI/2,
Со = P'oA2nfPoc)' v0 " ?0 = Р'о/Рос' ?о = 2nfvv Тогда ПОЛУ"
15

чаем соответственно для этих величин в воде: 6,7*10" Дж/м ,
5,5-102Па, 5,8-10~9м, 3,7-10м/с, 23 м/с2; в воздухе:
3-Ю Дж/м3, 9,2 Па, 3,5-10м, 2,2-10м/с, 1,4-Ю3 м/с2.
1.1.24. Плоская волна частотой 400 Гц распространяется в
—9 9
воздухе, Интенсивность волны 1,2-10 Вт/м . Определить плот-
плотность энергии и амплитуду колебаний, если температура воз.ду-
ха27 °С. Плотность воздуха р при t = 0 °С равна 1,18 кг/м .
Решение. Плотность энергии Е = J/c, J — интенсивнсть з.ву-
ка. Скорость звука с ~ 20 тУ2 (см.G.1)). Плотность воздуха
при t = 27 °С находим по формуле р = pQ(l + 0,003670"' а
~ 1,07 кг/м . Находим с = 350 м/с. Определяем скорость коле-
баний: vQ = BJ/pc) = 8-10~3м/с. Амплитуда колебаний
Подставляя числовые значения, получаем для плот-
ности энергии и амплитуды смещения частиц Е = 3,4*10 Дж/м ,
?0 = 3*10m.
1.1.25. В плоской звуковой волне с частотой 1 кГц в воз-
воздухе экстремумы давления отличаются на 1 дин/см2 от среднего
атмосферного давления, равного 10 дин/см . Вычислить, чему
равны: изменение плотности, сопровождающее распространение
такой волны; интенсивность волны; максимальное смещение час-
тиц. Скорость звука равна 340 м/с, pQc = 420 кг/(м -с).
Ответ. p'Q = р'0/с2= 8,7-Ю кг/м3, / = p^2/BpQc) = 1,2 х
хЮВт/м2, ?0 = p'Q/(pQc-2nf) = 3,8-10~8м.
1.1.26. В атмосферной акустике принято характеризовать
уровень интенсивности В = 10 lg(J/J ) относительно стан-
Ст -19 2
дартного нулевого уровня с интенсивностью / =10 Вт/м .
Чему равняется среднее звуковое давление р в воздухе при
нормальных условиях (атмосферное давление 1 атм, t = 0 °С)
волны нулевой интенсивности (с = 332 м/с, pQ = 1,26 кг/м3)?
Записать выражение для уровня звукового давления относитель-
относительно стандартного давления р .
Решение. Для эффективного звукового давления получаем
1/2 * 2,04-Ю Па.
Уровень звука при этом записывается как В = 10
= 20 lg(p/p-CT).
АО
1.1.27. Интенсивность звука равна 2-10 Вт/м. Найти
уровень интенсивности относительно стандартного нулевого
уровня /ст = 102 Вт/м2.
Ответ" В = 10 1g(///cT) = 83 дБ.
16

1.1.28. Амплитуда звукового давления р'о = 0,1 Па. Найти
уровень интенсивности в воздухе при температуре 20 °С и дав-
давлении 1 атм.
Решение. Используя определения
В = 10 lg(///CT), / = Р'о2/Bрос), /ст = Ю-12 Вт/м2
и подставляя значения рис при t = 20 °С (р„ = 1,29 кг/м3
и с = 340 м/с), имеем / = 1,14-10" Вт/м . Следовательно,
В = 70,6 дБ.
1.1.29. Уровень интенсивности плоской звуковой волны в
воздухе равен 100 дБ по отношению к стандартному нулевому
уровню интенсивности. Вычислить амплитуды скорости vQ и ус-
ускорения ? частиц на частотах / = 500 Гц и L = 5 кГц.
Ответ. Интенсивность звука равна / = ю~12+0'1В Вт/м2.
О О
Следовательно, на частоте /. = 500 Гц имеем / = 10" Вт/м ,
vQ = B//р0сI/2 = 6,7-10 м/с, $ = 2nfvQ = 21 м/с2 Соот-
Соответственно на частоте /„ = 5 кГц / = 10 Вт/м , vQ = 6,7 х
х 10~3 м/с, ? = 210 м/с2.
1.1.30. Плоская волна, распространяющаяся в воздухе с
частотой 1000 Гц, имеет амплитуду звукового давления р' =
-4 2
= 2*10 дин/см (порог слышимости). Определить амплитуду
смещения ?0 и амплитуду скорости vQ частиц среды (в единицах
СГС). Тот же расчет сделать для уровня интенсивности в
160 дБ над порогом слышимости.
Ответ. vQ = 4,8-10 см/с, ?Q = 7,6-10"юсм. При увели-
увеличении уровня интенсивности на 160 дБ интенсивность возрастет
в 101 раз; давление, скорость и смещение частиц —в 10 раз.
1.1.31. В воздухе при температуре 27 С и нормальном ат-
атмосферном давлении распространяется звуковая волна, уровень
интенсивности которой равен В = 150 дБ (сильный звук, вызы-
вызывающий боль в ушах). Определить температуру в месте макси-
максимального давления и амплитуду ее колебаний. Как изменится
эта величина, если мощность волиы уменьшается в 10 раз?
Решение. Находим звуковое давление р', соответствующее
данному уровню интенсивности
В = 20
где р —стандартное нулевое давление при нормальных атмо-
атморст 4 2 5
17
р
сферных условиях (рст = 2,04- 1(Г4 дни/см2 = 2,04-10~5 Па).

Отсюда находим р' = 645 Па. Используем уравнение адиабаты
для температуры: Т2 = Т^{р^/р^~' *, у = 1,4. Подставляя
pQ = 1,01-105Па, р2 - р' + р0 и учитывая, что р' « pQ,
имеем Г, = Т. fl + ^^-"l, т.е. Д7" = Г.2^^-. Подставляя
7" = 300 К, получаем АГ ¦ 0,55 К. При уменьшении мощности
волны в 10 раз (давления в 3,16 раза) Д7" = 0,17 К.
1.1.32. Вычислить изменение температуры в звуковой волие,
имеющей интенсивность / = 0,01 Вт/м , при температуре возду-
воздуха 20 °С и атмосферном давлении.
Ответ. ДГ = Т ?^- B/рпсI/2 = 2,5-10 К.
«"о
1.1.33. В гидроакустике уровень звукового давления приня-
принято отсчитывать относительно давления р = 1 мкПа = 10~6 Па,
В = 20 \g{p/p ). Найти формулу пересчета от В к стандартно-
Н Н —10 О ^
му уровню интенсивности / =10 Вт/м , соответствующему
в воде (ро= 10 кг/м , с = 1500 м/с) эффективному давлению р ..
Решение. Найдем значение стандартного нулевого уровня:
/ = Р2эф/(рос). Отсюда р » 1,22-10~3Па. Следовательно,
имеем Э Вн = 20 lg(p/10), В = 20 lg[p/( 1,22-10)], из кото-
которых получаем В - В-61,72.
1.1.34. Вычислить радиационное давление, оказываемое пло-
плоской звуковой волной на препятствие, если известно прираще-
приращение давления в звуковой волне.
Решение. Уравнения гидродинамики идеальной сплошной сре-
среды, приведенные в задаче 1.1.1, можно записать в виде
|7(pv) = F. dm{pv.) = -^. A)
Сила F, действующая на единицу объема среды, выражается че-
через дивергенцию тензора
называемого тензором плотности потока импульса. Его физиче-
физический смысл будет понятен, если проинтегрировать A) по V и
воспользоваться формулой Остроградского-Гаусса для преобра-
преобразования интеграла от дивергенции в поверхностный интеграл:
v (X
Левая часть C) описывает изменение i-й компоненты количест-
количества движения в объеме V. Поэтому выражение
18

соответствует потоку i-й компоненты количества движения че-
через единицу площади поверхности с единичным вектором внешней
нормали п.
В звуковом поле р = Ро + р' при гармоническом изменении
р' во времени среднее за период звуковое давление р' = 0.
Поэтому в гармонической волие
2 E E)
Здесь 2: = р0с2 — объемная плотность акустической энергии, ус-
усредненная по периоду, т—единичный вектор вдоль направления
распространения волны. Если плоская волна бежит вдоль оси х,
то отлична от нуля только компонента П^ = Е = p'Q /{2pQc ),
т е поток "иксовой" компоненты количества движения вдоль
оси х.
Чтобы найти силу, действующую на препятствие, нужно ре-
решить задачу об отражении и прохождении волиы через его гра-
границу. В простейшем случае, когда облучается плоская граница
раздела, ортогональная оси х, слева от нее существуют падаю-
падающая и отраженная волны с плотностями энергии Е и F , а
г г пад отр
справа —прошедшая волна F . Поэтому, как следует из формулы
C), на единицу площади поверхности действует сила
Видно, что давление на стенку учитывает добавку, связанную с
реакцией (отдачей) отраженной волны, и уменьшается на вели-
величину, связанную с прошедшей волной
1.1.35. Уровень интенсивности звука составляет В - 120 дБ
(громкий звук). Найти звуковое давление и мощность —поток
энергии, попадающий за 1 с в ухо человека. Считать площадь
уха равной 4 см и ухо перпендикулярным направлению распро-
странения волны (pQ = 1,29 кг/м , с = 340 м/с).
Решение. Найдем интенсивность звука / По определению
В = 10 \g(J/J ), где J = 1СГ12 Вт/м2 — стандартный нуле-
ст ст 2
вой уровень, и, следовательно, / = 1 Вт/м . Амплитуду давле-
давления находим из выражения / = p'2/BpQc): p' = 29 Па, мощ-
мощность N = JS, где S = 4 см2, N = 4-10Дж.
1.1.36. Какова полная мощность ненаправленного источника
звука небольших размеров, если на расстоянии г = 100 м амп-
амплитуда давления в воздухе равняется 0,1 Па? Поглощением зву-
звука пренебречь.
19

Решение. Ненаправленный источник формирует сферически рас-
расходящуюся волну. Поэтому для полной мощности имеем N = JS =
= (p'Q2/2p0c)-4nr2 = 1,43 Вт.
1.1.37. Малый по размерам источник звука излучает в воз-
воздухе при атмосферном давлении и температуре О С волну час-
частотой / = 500 Гц. Мощность источника N = 5 Вт. Какова ампли-
амплитуда смещения, колебательной скорости и ускорения частиц в
звуковой волне на расстоянии г = 10 м от источника? Поглоще-
Поглощением звука пренебречь. Вычислить эти величины также в воде.
Параметры сред даны в задаче 1.1.18.
Решение. С учетом сферической расходимости для интенсив-
интенсивности имеем / = N/Dnr2) = v^pQc/2 = ^•27Г2/2р()с; следова-
тельно, для смещения к.
ускорения частиц получаем
колебательной скорости vQ =
В воздухе:
= 1,4-10м,
= 4-10м/с,
= 14 м/с2; в
воде: ?0 = 2,3-10"8м, ?0 = 7,3-Ю м/с, ?0 = 0,23 м/с2.
1.1.38. Па рисунке приведена диаграмма, показывающая свой-
свойства человеческого слуха. Кривые соответствуют субъективному
восприятию звука одинаковой громкости, которая измеряется в
Фон
P/Z, Па
8 Ю00 г 4 б а ю 20
.-4
,-5
К задаче 1.1.38
20

фонах. Пользуясь диаграммой, определить: давление звука на
нижней границе слуха (порог слышимости—0 фон) и на верхней
границе слуха (болевой порог—120 фон) для частот 200 и
500 Гц; громкость звука при амплитуде давления 1 Па для час-
частот 100 и 2000 Гц; громкость звука при мощности точечного
источника звука 10 мВт (человеческая речь) при частоте
200 Гц на расстоянии 5 м; мощность источника звука при гром-
громкости 50 фон на расстоянии 10 м (частота 1000 Гц).
Решение. Руководствуемся кривыми, показывающими на диаг-
диаграмме уровень громкости при различной частоте, а также шка-
шкалами давления и уровня интенсивности. Так, давление звука:
на нижней границе слышимости на частоте 200 Гц равно около
2-10~4Па, на частоте 500 Гц-около 5-10Па.
Для нахождения численного значения громкости на расстоя-
расстоянии г от точечного источника требуется учесть сферическую
расходимость акустической волны. При этом интенсивность У,
измеренная на расстоянии г, для мощности N источника будет
равна / = N/Dnr2).
1.2. Затухание звука в жидкостях и газах,
релаксационное поглощение
1.2.1. Записать волновое уравнение для акустической волны
в вязкой теплопроводящеи среде.
Решение. Исходными для решения задачи (в случае вязкой
среды) являются линеаризованные уравнения гидродинамики для
возмущений плотности р' и колебательной скорости v: уравне-
уравнение непрерывности
^podivv = 0 A)
и уравнение Навье-Стокса
где т) и ? —коэффициенты сдвиговой и объемной вязкости; cQ —
скорость звука. Из A), B) находим уравнение для колеба-
колебательной скорости
Если волна распространяется по оси х, уравнение C) принима-
принимает вид „ „ ,
а/2 °дх2
21

Здесь обозначено b = D/3)т) + ?. Можно показать, что в вяз-
вязкой теплопроводящей среде уравнение для колебательной скоро-
скорости по-прежнему будет иметь вид C), D), но с эффективным
коэффициентом вязкости
J
Здесь к —коэффициент теплопроводности, с , с —удельные теп-
теплоемкости при постоянном давлении и объеме.
1.2.2. Вывести формулу для коэффициента затухания звука,
обусловленного вязкостью и теплопроводностью среды.
Решение. Ищем решение волнового уравнения A.4) в виде
v = voexp(ikx-iu>t). A)
После подстановки в волновое уравнение получаем закон дис-
2 2 2 6 2
персии -ш + cQk -- iiok = 0. Отсюда находим, что если
b(j)/(cQp0) « 1 (это соответствует малому затуханию звука на
расстояниях порядка длины волны), то
v = vQ exp(-/3x) exp(ikQx-iut), B)
Величина Э имеет размерность обратной длины и называется ко-
коэффициентом затухания звука. При оценке /3 по формуле C)
следует учесть, что очень часто можно пренебречь вторым чле-
членом ввиду малости коэффициента теплопроводности к в жидкос-
жидкостях и газах. Коэффициент первой (сдвиговой) вязкости т) ха-
характеризует касательное диссипативное напряжение, возникаю-
возникающее при скольжении слоев жидкости относительно друг друга.
Коэффициент второй (объемной) вязкости ? характеризует дис-
диссипацию, возникающую при всестороннем сжатии среды. В основе
объемной вязкости обычно лежит какой-нибудь релаксационный
процесс, влияющий на поглощение звука в ограниченной полосе
частот в зависимости от характерных времен релаксации. По-
Поэтому при вычислении коэффициента затухания вне областей ре-
релаксационного поглощения достаточно учитывать сдвиговую вяз-
вязкость т). В СГС вязкость измеряется в пуазах: 1 Пз = 0,1 Па-с.
1.2.3. В гидроакустике принято характеризовать поглощение
коэффициентом а, имеющим размерность дБ/м. Установить его
связь с коэффициентом /3, имеющим размерность непер/м.
22

Решение. Если задан коэффициент а[дБ/м], то интенсив-
интенсивность волны уменьшается с пройденным расстоянием г как
Соответственно
Поскольку J ~ р'
= р'ое~&г), то
У =
а =
2, где
У
V
г
Р'
-'о
10-0,1<хг.
101gv
—акустическое
е-2|3л
давление
A)
B)
(Р' =
C)
a = B0 1ge)/3 « 8,7р. D)
1.2.4. Найти связь между коэффициентом поглощения плоской
волны Э и толщиной половинного поглощения / „ (по интенсив-
интенсивности).
Oreer. /1/2 = 0,35/C.
1.2.5. Звуковая волна с уровнем интенсивности 90 дБ (по
—12 2
отношению к стандартному нулевому уровню У =10 Вт/м )
полностью поглощается при нормальном падении на плоский слой
пористого вещества толщиной 5 см. Рассчитать, через какое
время нагреется этот слой на 1 С, если его удельная теплоем-
теплоемкость с = 0,2 кал/(К-см3)?
Ответ. Время, необходимое для нагрева слоя на 1 С, при-
примерно равно 1 ч.
1.2.6. Интенсивность звука в плоской волне вследствие
поглощения уменьшается в воздухе в несколько раз на расстоя-
расстоянии /.. Определить расстояние L, на котором во столько же
раз уменьшится интенсивность звука данной частоты в воде.
Вязкость в воздухе т) = 0,19*10 Па-с, в воде т) = 10" Па-с.
Скорость звука и плотность равны 330 м/с, 1,3 кг/м (для
воздуха) и 1500 м/с, 1000 кг/м3 (для воды).
Ответ. /2 = 1,3-103 м.
1.2.7. Найти ослабление звука в децибелах на расстоянии
100 м, если вязкость воды равна Т| = 10" Пз. Частота 20 кГц.
Решение. Используя выражение коэффициента затухания звука
о о о
Р = [8л f /CpQc )] т), найдем ослабление на расстоянии г =
= 100 м: G = /Зг-20 Ig е ~ 2,7-Ю.
1.2.8. Найти в децибелах ослабление G = 10 igUg/J) в
воздухе плоской звуковой волны на участке пути длиной 100 м,
если вязкость равна т) = 0,19-10 Пз. Частота звука 20 кГц.
Ответ. G = 3,7 дБ.
23

1.2.9. Записать выражение для уровня акустической сфери-
сферической и цилиндрической волн в слабопоглощающей среде.
Решение. В среде без поглощения, исходя из закона сохра-
сохранения энергии для гмплитуды, поле р'(г) можно записать выра-
выражением
Р' = Р^о/Г)".
где п = 1/2 для ци/индрической волны, п = 1 для сферической,
Pq— давление при г = г С учетом поглощения имеем
Р' = Р'о (Г(/г)п е-Рг. A)
Отсюда (см.C.4))
В = 20lg(p'/p'Q) = 21\ё[(Го/г)пе-Рг] =
= 20 п \g(rQ/r) - лB0 lg е)C я 20 п \g(r^r) - ла. B)
1.2.10. Вычислить в децибелах ослабление G в воде звуко-
звуковой сферической во.г;ны при ее распространении на расстоянии
от 2 до 10 км от источника звука. Коэффициент поглощения
звука по давлению равен 8-10~5м~1
Ответ. G = 13 дБ.
1.2.11. Интенсивность звука в морской воде согласно эмпи-
эмпирической формуле убывает вследствие поглощения на величину
о /О
а = 0,036/ [дБ/км], где / — частота в килогерцах. Опреде-
Определить, на каком расстоянии г от источника затухание уменьшит
амплитуду волны в 100 раз при частотах 10 и 100 кГц.
°ТвеТ- ГЮкГц= 35км; ',00 кГц = 1'1км-
1.2.12. Интенсивность звука на расстоянии 20 м от сфери-
сферического источника звука равна ^ = 0,03 эрг/(см2-с). Какова
интенсивность звука / на расстоянии 100 м от источника, ее
ли коэффициент поглощения звука C равен 5-10~5см '?
Ответ. J2 = У1(г/г2Jехр[-2/3(г2-г1)] = 5,4-10 эрг/(см2-с).
1.2.13. Найти переходное расстояние, на котором в сфери-
сферической волне потери энергии на расхождение равны потерям на
поглощение. Вычислить это расстояние в пресной воде при тем-
температуре 14 С на уровне моря, когда коэффициент вязкости ра-
равен 1,14-Ю Па-с. Частота звука 10 кГц.
Решение. Исходим из выражения для интенсивности затухаю-
затухающей сферической волны /~ г ехр(- 2/Зг) (см.(9.1)). Относи-
Относительное уменьшение интенсивности сферической волны вследст-
вследствие ее расхождения на отрезке пути Дг равно
2Ar
г
24

Ослабление вследствие затухания звука на том же отрезке равно
_ 2gexp(-2gr)Ar _
Приравнивая эти величины, находим г' = 1//3. Согласно B.3),
пренебрегая второй вязкостью и теплопроводностью, находим /3
0 0 Ч
по формуле /3 = [8л f /CpQcQ)]i), где коэффициент первой
вязкости т/ = 1,14-10Па-с, pQ = 103 кг/м3, cQ = 1460 м/с.
Следовательно, /3 =10~14/2 = 10 м, г' = 106 м = 1000 км.
При г < г' потери энергии на расхождение пучка больше потерь
на поглощение; при г > г' преобладают потери на поглощение.
1.2.14. Цилиндрическая волна распространяется в воздухе.
Вычислить коэффициент поглощения звука по давлению, если на
дистанции от 1 км до 1,5 км от источника звука интенсивность
звука уменьшается на 5 дБ.
Ответ. Используя (9.1), получаем /3 = 7,5-10~4м~1 (п = 1/2).
1.2.15. В средах с поглощением скорость звука иногда
удобно считать комплексной величиной
с = cQexp(-/5) = cQ (cos5 - tsin5), A)
где 5—угол потерь. Выразить коэффициент поглощения /3 через 8.
Решение. .Потенциал скорости плоской волны в поглощающей
среде
<р = Л exp J-M+i^x = А ехр - ^ sinEx) ехр - iu>t + № cos(<5x) .
B)
Для коэффициента затухания получаем
C = (w/co)sina. C)
В случае слабо поглощающей среды /3 ~ (w/cJ 5.
1.2.16. Найти связь между углом потерь и текущим импедан-
импедансом среды.
Решение. Текущий удельный акустический импеданс в среде с
поглощением— число комплексное:
Z = p'/v = R-iX = \Z\ e~i<T, где tgtr = X/R. A)
Вычислим давление и скорость с помощью выражения A5.2):
Тогда р с
1 °°
v = If f
Сопоставляя B) с A), видим, что igd = x/R, а в слабо по-
поглощающей среде 5 = x/R. Следовательно, тангенс угла потерь
25

равен отношению мнимой части текущего импеданса к его дейст-
действительной части. Заметим, что определение угла потерь в
акустике не совпадет с определением этой величины в электро-
электротехнике.
1.2.17. Скорость звука в газе равна 351 м/с, угол потерь
5 = 0,004°. Найти коэффициент поглощения звука по энергии на
частоте 100 кГц.
Ответ. 2/3 » Bш/соM = 0,25 м.
1.2.18. Кислород при 20 °С имеет следующие акустические
характеристики: рп = 1,33-10 г/см , сп = 1328 м/с, коэффи-
—13 2 1
циент поглощения Э = 1,49-10 / см : Найти угол потерь и
удельный комплексный импеданс среды при частоте / = 1 МГц.
Ответ. Угол потерь S = C Сд/^л/) = 0,003°. Удельный ком-
комплексный импеданс среды
pQc = росоA-й) = 1766A - /-0,003) кг/(м2-с).
1.2.19. Вывести формулу для коэффициента поглощения, свя-
связанного с наличием в среде релаксационного процесса.
Решение. Примерами релаксационных процессов могут служить
молекулярная диссоциация, обмен энергией между внутренними и
поступательными движениями многоатомных молекул, фазовые пе-
переходы в среде. Распространение звука влияет на внутренние
процессы, которые в свою очередь влияют на поглощение и ско-
скорость волны
При наличии в среде релаксационного процесса связь между
приращениями давления и плотности перестает быть алгебраиче-
ской (р' = с_р'); давление в момент времени / зависит от
значений плотности в предшествующие моменты времени:
t
р' = с20р' +/nC2 Jexp(-^')¦??-<«'• О)
-со
Здесь т—характерное время релаксации, ш— число, смысл кото-
которого выяснен ниже (см. B0.3)). Уравнение A) рассматриваем
совместно с уравнениями гидродинамики идеальной среды (см.
задачу 1.1.1). Исключая из этих уравнений переменную р' с
помощью A), получаем
^ -B)
.O. C)
26

Для приращения плотности р' уравнения B), C) сводятся к
одному интегродифференциальному уравнению
D)
-со О
Ищем решение D) в виде плоской гармонической волны, бегущей
вдоль оси х : р' = р' ехр(- io>t + ikx). Получаем дисперсион-
дисперсионное уравнение „ ,
..2 иг U _ /иг 1 /c^
со
Число т обычно мало, поэтому из E) приближенно следует
т ш2т • т иг
C0L
Мнимая часть F) определяет коэффициент поглощения
я - т аJ"г2 п\
1.2.20. Показать, что в области релаксационной дисперсии
квадрат скорости звука выражается формулой
2 2
V^O 0JT2
с2 l+o,2T2
где cQ—скорость звука при иг « 1, а с№~скорость звука на
высоких частотах (иг » 1).
Решение. Из A9.6) для скорости звука (с учетом т « 1)
получаем выражение
с2 = ^[l + mcAVo+cA2)], B)
откуда следует, что с(ит-»0) = с2 с(ыт-»со) = с2A+/п) в
2 2 2 2
s с . Находим значение т = (cw-qAq и тем самым сводим
формулу B) к искомому виду A).
1.2.21. Используя формулу для дисперсии скорости звука,
обусловленной релаксационным процессом, найти область наибо-
наиболее быстрого изменения скорости в зависимости от частоты.
Ответ. Область быстрого изменения скорости лежит в ок-
рестности точки перегиба кривой с (иг), описываемой формулой
B0.1). Точка перегиба отвечает значению иг = 1.
1.2.22. Найти максимальное значение коэффициента релакса-
релаксационного поглощения, происходящего на длине волны.
Решение. Коэффициент релаксационного поглощения описыва-
описывается выражением A9.7):
27

Полагая d(/3A)/d(c<rr) = 0, находим, что шт = 1 соответствует
максимуму, и, следовательно,
1.2.23. Скорость звука в уксусной кислоте на частоте
250 кГц при температуре 20°С и атмосферном давлении равна
1194 м/с. При увеличении частоты до 3000 кГц относительная
дисперсия скорости звука составляет около 1 % . Найти макси-
максимальный безразмерный коэффициент релаксационного поглощения,
отнесенный к длине волны.
Ответ. Используя формулу B1.1), находим (Э^)тах = 0,032.
1.2.24. Вычислить коэффициент поглощения, обусловленный
вязкостью и теплопроводностью на частоте 500 кГц, а также
максимальный релаксационный коэффициент поглощения, отнесен-
отнесенный к длине волны, в углекислом газе, если его плотность
р = 1,85 кг/м , коэффициент сдвиговой вязкости Т) = 1,4 х
хЮ~5Па-с, сД = 1,3, с = 8,5-Ю2 Дж/(кг-К), коэффици-
коэффициент теплопроводности к = 1,63 т)с . Скорость звука в углекис-
углекислом газе при 20 С и- атмосферном давлении на частоте около
100 кГц равна cQ = 268 м/с, при увеличении частоты до
1000 кГц она возрастает на 4 % .
Ответ. Коэффициент поглощения, обусловленный вязкостью и
теплопроводностью, равен 3,5 м . Безразмерный коэффициент
поглощения на длине волны равен 0,128.
1.3. Отражение и преломление звука
1.3.1. Используя условия на границе раздела двух жидких
сред —равенство акустических давлений и нормальных компонент
скорости по обе стороны от границы (см. рисунок), получить
формулы для коэффициентов отражения и "прозрачности" по дав-
давлению.
Решение. Опуская временной множитель ехр(- (Ш), запишем
потенциал звукового поля в падающей волне (среда 1):
<р = А ехр \ik,(xsin6, - zcos8,)l, k, = и/с,, A)
пад L Г 1 1'J 1 ' 1 v '
и в отраженной волне:
<р = AV exp [ikJxs'me. + zcosB.)]. B)
Здесь У— коэффициент отражения; с. н р. —соответственно ско-
скорость звука и плотность в среде 1. Потенциал поля в среде 1
<р, = <р + ip . C)
Т1 гпад *отр v '
28

В среде 2
(р2 = AW exp [/*2(jcsin92 - 2cos62)], k2 = оД2. D)
Здесь W —коэффициент прозрачности, с2 и р„ —соответственно
скорость звука и плотность в среде 2.
Граничные условия при 2=0:
а) равенство давлений: р. = р2, откуда (см. A.39.3))
E)
{5)
^ 2
б) равенство нормальных скоростей: v ^ = и „ или
Из условия E), учитывая A)-{4), находим при z = 0
~m~ - exp [/jt(A2sin92 - A.sin8.)]. G)
2 ,
Так как' левая часть этого равенства не зависит ог х, то из
G) получаем известный закон преломления—закон Снеллиуса:
sin9]/sin92 = k2/k^ = с1Д2 = п, (8)
а из G)—связь между коэффициентами отражения и прозрачно-
прозрачности W = (\+V)/m, где т = Р2/Ру Из F) получаем при z = О
A -У) cosB, = nW cos92. (9)
Из G)-(9) выводим формулы для F и 17 (акустические формулы
Френеля):
о о 1/2
mcos6,-rtcos9,, mcos9,-(rt -sin 9,)
и - 1 _f. _ ! ' =
mcos91+(n -sin^jI72
Z2+Z1 '
где Z. = p.cVcos9. —нормальный импеданс на границе;
W = 2 cos9]/(mcos9]+/zcos92). A1)
Напомним, что V и W выражают коэффициенты отражения и про-
прозрачности по потенциалу скорости. Так как р' = - pdip/dt (см.
A.1.9)), то соответствующие коэффициенты по давлению равны
p. 2mcos9,
1/ _ 1/ W/ - I W/ - 1
При нормальном падении волиы (9 = 92 = 0) получаем
w _ т-п w _ 2 т
ур ~ т+п ' wp ~ т+п-
1.3.2. Источник со скоростью звука с. расположен над по-
поверхностью раздела, а приемник со скоростью звука с. — под
29

в
К задаче 1.3.1
К задаче 1.3.2
поверхностью раздела (см. рисунок). Источник и приемник раз-
разнесены на горизонтальное расстояние d. Показать, что время
распространения сигнала вдоль луча, испытавшего преломление
на поверхности раздела, минимально, если луч подчиняется за-
закону Снеллиуса (см. A.8)) —принцип Ферма.
Решение. Время распространения сигнала от точки А до В
L 1 L2 L1
Минимальное значение / определится из соотношения
dt x d-x
= О,
откуда
sin6. sin6n
1 2
1.3.3. Вывести формулы для коэффициентов отражения и про-
прозрачности по колебательной скорости на плоской границе между
жидкими средами в случае нормального падения волны. Сравнить
их с соответствующими коэффициентами по давлению.
Решение. Запишем потенциал скорости в падающей, отражен-
отраженной и прошедшей во вторую среду волнах при нормальном паде-
падении на границу:
^ = А ехр (-ikf
tp
Qrp
exp(ik^), <p2 = AW exp(-ik2z), A)
где
V =
W
B)
.in

Коэффициент отражения по скорости равен
Коэффициент прохождения по скорости будет иметь вид
w = fl ... 1 = W -Л- = W — = ^ ! = _L н/ /41*
'2
1.3.4. Найти коэффициент прозрачности по интенсивности
при нормальном падении плоской волны. Показать, что интен-
интенсивность прошедшей волны не зависит от ее направления падения.
Решение. Вычислим отношение интенсивности прошедшей через
границу плоской волны к интенсивности падающей. При нормаль-
нормальном падении
= (Z2/Zx){nW)\ A)
W /() ^ p V2 VPr
Wy = 4Z}Z2(Z^ + Z2f. C)
В эту формулу импедансы сред 1 и 2 входят симметрично, по-
поэтому коэффициенты прохождения энергии из среды 1 в среду 2
и обратно одинаковы. Однако акустические давление и скорость
при переходе через границу изменяются несимметрично: если
lyP'i2 * 'Vai1 Т° 'KJi2 * IVu121- пРимеРом может служить
переход звука через границу раздела воздух—вода и обратно из
воды в воздух.
1.3.5. Исследовать формулу для коэффициентов отражения по
интенсивности на границе двух сред в случаях, когда:
1) плотности обеих сред равны, а скорости звука различны;
2) плотности обеих сред различны, а скорости звука равны.
Ответ.
,со-с ,2 2с с |P9-Pil 2PiPo
\)V ш l- U—i = Li- 2)V - 1 - ' 2 ' ш —L2_
Icj+c,' (c]+c2J ; (Pg+P,J (P,+P2J
1.3.6. Найти коэффициент отражения по давлению и коэффи-
коэффициент передачи энергии при нормальном падении звука из воз-
воздуха в воду и из воды в воздух. Плотность воздуха р. =
= 1,29 кг/м , воды р. = 10 кг/м . Скорость звука соответст-
соответственно с. = 340 м/с, с„ = 1480 м/с. Как изменится коэффициент
передачи при косом падении волны на границу раздела сред?
Решение. Коэффициент отражения звука, падающего из возду-
воздуха на поверхность воды, равен
VP = (P2VYi)/(p2c2+fYi> = °'9994-
31

т.е. давление на границе оказывается удвоенным по сравнению
с давлением в падающей волне. Коэффициент отражения звука,
падающего из воды в воздух, равен V = - 0,9994, т.е. резуль-
результирующее акустическое давление на границе с атмосферой мень-
меньше на 0,0006 давления в падающей волне Коэффициент передачи
энергии
- \VУ = 1
о мп^п f-"»1-» 2
= 0,0012.
Р
При косом падении волны на границу коэффициент передачи
энергии уменьшится.
1.3.7. Плоская звуковая волна падает по нормали из возду-
воздуха на полупространство из углекислоты. Определить коэффици-
коэффициент отражения V на границе. Во сколько раз (q) отличается
амплитуда прошедшей волны от амплитуды падающей? Определить
отношение амплитуд (d) звукового давления в максимумах и ми-
минимумах акустического поля в воздухе. Для воздуха с. = 3,4 х
4 2
х 10 см/с, р^с^ = 42 г/(см -с); для углекислоты с_ = 2,6 х
х104см/с, р,с2 = 51г/(см2-с).
р с -р с 1+V
Ответ. V = + =0,1; ^ = 1 - V = 0,9; d = л _ур .
2 2 11 р
1.3.8. Ультразвуковой керамический преобразователь поме-
помещен в касторовое масло Какая доля энергии акустической вол-
волны, распространяющейся в керамике, при этом передается мае-
лу? Плотность керамики р. = 8-10 кг/м ; скорость звука в
ней с = 6,2-Ю3 м/с Плотность масла р„ = 0,96-103 кг/м3,
скорость звука в нем с„ = 1,49-10 м/с. Считать для оценок,
что задача сводится к нормальному падению плоской волны на
границу.
Ответ. Wj = 0,18.
1.3.9. Решить задачу 1.3.8 для магнитострикционного нике-
никелевого преобразователя, работающего в воде. Плотность никеля
8,8-10 кг/м , скорость звука в нем 5*10 м/с.
Ответ Wj = 0,13
1.3.10. Найти коэффициент прохождения по интенсивности W}
звука при нормальном падении 1) границы раздела воздушных
масс с температурами 20 и 0 С, 2) границы воздуха и водяно-
водяного пара при 20 °С Для воздуха при / = 0 °С. р = 1,29 кг/м ,
с = 331 м/с; при / = 20 °С. р = 1,20 кг/м3, с = 343 м/с. Для
водяного пара р = 0,58 кг/м , с = 405 м/с.
Ответ. \)Wj = 0,999; 2) Wj = 0,93.
32

1.3.11. Рассчитать и построить графики функции коэффи-
коэффициентов отражения и прозрачности (по давлению) в зависимости
от угла падения для границы раздела вода-жидкий осадок, при-
чем в воде р = 1 г/см , с = 1,5-10 м/с; в осадке р =
= 1,4 г/см , с„ = 1,48-10 м/с. Определить, при каком угле
падения в коэффициент отражения равен нулю (угол полной
прозрачности).
Решение Нужно исходить из формулы для коэффициента отра-
отражения на границе двух жидких сред (см A 12)). Угол полной
прозрачности определяется из условия
2 И2
1.3.12. Чему равно значение давления и нормальной компо-
компоненты скорости на границе абсолютно жесткой отражающей по-
поверхности? Записать выражение для поля давления в полупрост-
полупространстве, из которого падает волна, если падающая волна имеет
амплитуду p'Q< волновое число ky = ы/с. и падает под углом 6.
к дормали (см задачу 1.3 1)
Ответ Для абсолютно отражающей жесткой границы нормаль-
нормальная компонента скорости на границе равна нулю, а амплитуда
давления равна удвоенной амплитуде давления падающей волны.
Давление в точке (x,z) выражается формулой
р' = 2р' exp (ik.x sin в ) cos (k^z cos в.).
1.3.13. Записать выражение для давления в полупространст-
полупространстве, из которого падает волна, на абсолютно мягкую отражающую
поверхность. Чему равно значение давления и нормальной ком-
компоненты скорости на границе?
Ответ. Для абсолютно мягкой отражающей границы давление
на границе равно нулю, а амплитуда скорости равна удвоенной
амплитуде скорости падающей волны Давление в, точке (х, z)
выражается формулой
р' = - 2ip'o exp (ik^x sin в ) cos (fc.zcos в.):
1.3.14. Получить из формул Френеля (см.задачу 1 3.1)
предельное значение коэффициента отражения по давлению при
скользящем падении F. -* я/2).
Ответ. При с. * Су и в -* я/2 коэффициент отражения по
давлению V -» - 1.
р
1.3.15. Найти приближенное граничное условие для двух
соприкасающихся жидких сред, считая, что с. » с„.
2 Акустика в задачах 33

Решение. Рассмотрим выражение для коэффициента отражения
через нормальные импедансы сред на границе (см.A.10)): V =
- (Zjj-Z^Zg+Z,), где Z. = p.c./cos9., i = 1,2. Если
с. » с„, то независимо от угла падения в^ из закона Снеллиу
са следует, что угол 6„ мал, т.е. преломленная волна распро-
распространяется почти перпендикулярно границе. При этом cos02 « 1
и Z. ~ р с„. Из граничных условий р = р, и » . = v , имеем
Таким образом, характеристики акустического поля в среде 1
удается связать только через материальные константы среды 2:
Граничное условие B) удобно использовать для расчета поля в
среде 1, не интересуясь волной в среде 2.
1.3.16. Вывести импедансное граничное условие (граничное
условие "третьего рода"), которое связывает р. и др./dz при
2 = 0. Воспользоваться граничным условием A5.2).
Решение. Выразим
~ ехр(- iO)t):
:>п1 и р. через акустический потенциал
С помощью A) граничное ус-
условие A5.2) примет вид
-»- 1.3.17. Найти коэффици-
коэффициент отражения звука от по-
пористой среды с узкими кана-
каналами, перпендикулярными от-
отражающей поверхности.
Решение. Моделью такой
поверхности служит гребен-
гребенчатая структура, в которой
К задаче 1.3.17 ширина канавок мала по
сравнению с длиной волны \
и глубиной h (см. рисунок). Коэффициент отражения плоской
волны от структуры согласно формулам Френеля
V =
A)
34

где Z2 —импеданс гребенчатой структуры. Найдем импеданс Z2,
пренебрегая потерями энергии на стенках из-за трения. Звуко-
Звуковое давление в трубках
р2 = Ле-*г+Ве*г. B)
Пусть на дне (г = - A) v = О, т.е. др/dz = 0,
(др/дг)^ = - A eikh + В e~ikh = 0,
отсюда А = В е . Тогда
р2 - fi (e-2*VЛ* + еЛг), Зр2/а2 = - Bik (e^Nf ** - еЛ*).
На поверхности B=0)
р2 = В (е-2*"+ \), др2/дг = - Bift (e**- 1).
Из импедансного граничного условия находим (см. задачу 1.3.16)
г шр e~2lkh+\ ikh -ikh
Коэффициент отражения от структуры равен по A)
V = /ctg(AA)cos91+l •
1.3.18. Плоская звуковая волна падает в воздухе под углом
6. = 60 на границу пористой среды с капиллярами, перпенди-
перпендикулярными отражающей границе с неподатливым дном. Ширина ка-
канавок мала по сравнению с их глубиной А и длиной волны. Вы-
Вычислить коэффициент отражения звука от такой структуры на
частоте 1000 Гц, если h = 1 см.
Ответ. V = \V\ ехр(-кг), |К| = 1, <г = 0,72.
1.3.19. Показать, что при полном внутреннем отражении и
закритических углах падения амплитуда волны в отражающей
среде убывает при удалении от границы среды по экспоненте.
Решение. Напишем выражение для коэффициента отражения
формулу Френеля (см.A.10)):
где fcj = и/с., /г„ = шД2, 6. и 62 —углы, образованные лучом
с нормалью к границе соответственно в средах 1 и 2; с„ > с;
р. и р2 — плотности сред. Обозначим а = k.cos9 . Из закона
Снеллиуса следует, что при угле падения 6. = arcsin(c./c2),
называемом критическим, в„ = 90°, т.е. отраженный луч на-
35

правлен вдоль отражающей границы. При полном внутреннем от-
отражении sin6_ = (c^/c.) sinSj. Это указывает на то, что ве-
величина sin62 должна рассматриваться как мнимая. Число в_ =
= fc2cos8_ = i<x также мнимое. Коэффициент отражения
где
tg(«r/2) = (a/a^p/pj), |V1 - 1. B)
Коэффициент прозрачности также будет мнимым числом. По фор-
формуле Френеля _, . „
Потенциал поля в среде 2 равен
2 12
Л—амплитуда падающей на границу волны. Амплитуда поля убы-
убывает при удалении от границы по закону
MV- ¦"¦ »-»¦
1.3.20. Показать, что полное отражение от поглощающей
среды невозможно.
Решение. Если отражающая среда поглощающая, то скорость
звука и коэффициент преломления в ней являются комплексными
величинами. Поэтому в формуле Френеля для коэффициента отра-
отражения п п *in
/ncosB -(п -sirre,)'^ р
I/ — ! ! m ж |и*
0 0 1 /О * л *
mcosei+(rt -sirre,I^ Pi
2 2 1/2
положим (и -sin 6.) = a + ib. Тогда
причем при всех углах падения \V\ * 1 (кроме скользящего па-
падения: в, = 90 °С).
1.3.21. Вычислить угол полного отражения звука частотой
100 кГц на границе между водой и анилином. Определить фазу
коэффициента отражения и глубину проникновения звука в ани-
анилин, на которой при угле падения 80° звуковое давление
уменьшается в е раз. Поглощением звука в средах пренебречь.
Плотности воды и анилина соответственно равны р. = 1 и р„ =
= 1,022 г/см3, скорость звука с. = 1480 и с, = 1659 м/с.
36

Решение. Угол полного внутреннего отражения равен 8, ¦
¦ arcsin(Cj/c2) » 61°, Коэффициент отражения при этом V *
- <fsr, где tg(cr/2) - (а/а1)(р1/р2), a, « (w/c,) cose,. Вы-
Вычислим мнимый косинус угла преломления б. в среде 2 при угле
падения 6, = 80°:
cos2e2 * l-sin2e2 - 1 - (c2/c1Jsin291 < 0, cos82 - ф.
Рассмотрим величину а„ * («А2) cos62 = ("а * г 1,8 см. Фа-
Фаза коэффициента с = 2,33. Глубину d, на которой в анилине
давление убывает в е раз, находим из ad = 1: й = 0,57 см.
1.3.22. Вывести асимптотическую формулу для коэффициента
отражения от слабо поглощающей среды при малых углах сколь-
скольжения.
Решение. Заменим в формуле A.10) угол падения 6j на угол
скольжения %. Тогда 9 „ ,,»
xHx) о
где m « P2/Pr я * c\/c%- Полагая для малых углов cos % « 1
* ЗС. получим 2 1/2
о 2 ,-1/2 . . ' » '
р mx(n-l) ^+1 а%+1
где а ¦ m(n -1)" . Разложим функцию V (%) в ряд no jj;
Vp(X) = -(l-2« + 2aV+ •¦¦)• C)
При ах « 1 удобно использовать экспоненциальное представле-
представление коэффициента отражения
V (х) я -ехр(-2<хя). C')
В слабо поглощающей среде (угол потерь S мал)
с с. с
п = Г - c'li-iS) * Г (] + 'б)'
С2 ь02и |о; 02
Отсюда находим
a = /лО2(ЫбJ-1]~1/2, где n, * ^/Cqj.
С учетом малости 3 получаем 9
Коэффициент отражения представляется выражением
„2
V = СХРГ 2тг
VP eXpL г„2 , ,1/2
1.3.23. Вычислить коэффициент отражения звука, падающего
под малыми углами Скольжения из воды иа морской грунт, кото-
37

рый рассматривается как жндкая среда с потерями. Плотность
воды р, = 10 кг/м , скорость звука в ней с. = 1450 м/с.
3 3
Плотность жидкого грунта р2 = 2,2*10 кг/м , комплексная
скорость звука в грунте с„ = со2A-Л5), где cQ2 = 1500 м/с,
угол потерь 5 считается не зависящим от частоты E = 0,01)
Решение. Учитывая, что т = 2,2, п. = 0,97, по формуле
B2.5) находим „
Vp - - ехрГ- 2т5 -^-57»+ ' ""
р L A-л2K/2 A-«2I
При х -» 0 |К | -» 1
1.3.24. Решить задачу 1.3.23 при нормальном падении волны.
Решение Полагая 6. = 0, находим по формуле A.10)
w = т-п
р т+п '
Подставляя в эту формулу значения величин, приведенные в за-
задаче 1.3 23, ¦ получаем
V - 2 2-0 97A,0,01/) = ]V , яг ц/ I = 0 22 3 = 11 7
ур 2,2+0,97A+0,01/) IVе ' 'V
1.3.25. Комплексный коэффициент отражения звука от "жид-
"жидкого" грунта при нормальном падении луча V = 0,45 ехр@,01)
Вычислить параметры грунта —скорость звука и коэффициент по-
потерь—и найти коэффициент затухания в грунте звука частотой
30 кГц. Скорость звука в воде равна 1460 м/с, плотность воды
о о
1,0 г/см . Плотность грунта 2,2 г/см .
Решение Коэффициент отражения звука от грунта равен
V = |V| exp(icr) « *5=?, A)
где т = Р2/р^ = 2,2, п = с^/с^, с^ = со2A-/5) — комплексная
скорость звука в грунте, 5—угол потерь в грунте, с =
= 1460 м/с, Э = Bя//с02) 8 — коэффициент затухания звука в
грунте Подставляя в A) выражение для |л| и значения а =
= 0,01, т - 2,2, |V| = 0,45, находим последовательно с и с02,
коэффициент затухания ? при частоте 30 кГц: с.. = 1742 м/с,
C = 1,2 м.
1.4. Отражение от слоя и прохождение через слой
1.4.1. Найти коэффициент отражения звука от плоского
жидкого слоя с нормальным импедансом Z. и толщиной d, разде-
разделяющего два полупространства с нормальными импедансами Z. и
Z» (см. рисунок).
38

Решение.Нормальнып импеданс
каждой среды Z. = p.c./cosQ.,
j = 1, 2, 3. Акустическое дав-
давление внутри слоя есть сумма
полей двух плоских волн, имею-
имеющих отрицательную и положи-
положительную проекции волнового
вектора на ось z (т.е. бегущих
"вниз" и "вверх" на рисунке):
р2 = (dexp(-/a2z)+Bexp(m22)j x
х exp {ibjc).
К задаче 1.4.1
В этой формуле опущен временной множитель ехр(- iut) и а, =
= &0cos60, bn = ?osin0o, kn = ы/сп. Нормальная составляющая
скорости в том же слое
у2 = Z21^exp(-/a2z)-
Эти выражения позволяют рассчитать импеданс на нижней грани-
границе B = 0) слоя
Z, =
Л+fi
откуда определяется отношение амплитуд двух волн в слое:
В/А = (Z -Z2)/(Z^+Z2). Найдем входной (z = d) импеданс слоя:
н
- Р
exp(-m2u0+(fi/4)exp(/a2u0
'2 exp(-/a2d)-(«/i4)exp(/a2d)
Z,
A)
Перейдем к рассмотрению поля в верхней (третьей) среде,
состоящего из суммы падающей и отраженной от слоя волн:
р3 = [С ехр(- ia^z-d)) + D exp(mJz-d))]
у„ = ZZ\[C exp(-ia~(z-d)) + D exp(iaJz-d))]
где a3 = /?3cose3, ?>3 = *3sine3, k^ = ЦА3. Отсюда находим
другое выражение для входного импеданса слоя:
2вх = [г] = &Л Z3- B)
Из этой формулы, учитывая выражение A), находим коэффициент
отражения звука от слоя
V = п -
где 0 = *2<icose2,
cos ^-«
sin
= w/c9.
39

1.4.2. Найти коэффициент отражения звука от плоского слоя
толщиной d, разделяющего две одинаковые по своим характерис-
характеристикам среды.
Решение. Полагая в формуле A.3) Z, » Z., находим
«(Z2-Z2)sin0 s-i_s
s
где s - PjCgCOse^p^^osBg). Модуль коэффициента отражения
g2
\V\ - E"Ч) [(s-'+sJ + 4 ctg2 (*2dcos92)r1/2. A)
1.4.3. Вычислить входной импеданс поглощающего слоя на
твердой стенке для нормального падения волны.
Решение. Входной импеданс жидкого непоглощающего слоя,
расположенного на полупространстве с импедансом Z]f при нор-
нормальном падении звука на слой выражается формулой A.1):
exp (-ik2d) + ( В/А) ехр (ik^d)
Z*x ' Z2 Fxp (-ik7d) - ( О/А) ехр (ik^dy
Эту формулу можно обобщить на случай слоя, поглощающего звук,
для чего следует заменить k~ на k + ia:
7 « 7 ехр(уйП+F/Л)ехр(-уйП
* ()(()
где у =» а- (к, к ~ Ы/с Отсюда следует
Zbx " Z2 2^2
В том случае, когда слой расположен на твердой стенке, Z^ ¦+
•* т и Z *¦ Zndhixd). Если слой непоглощающий, то у = - iк
ВХ 4
и 2 = i'Z« cth(kd) — импеданс чисто мнимый.
1.4.4. Найти условия акустического согласования двух ие-
поглощающих сред с помощью промежуточного слоя толщины d.
Рассмотреть нормальное падение волны.
Решение. Коэффициент отражения от плоского слоя с импе-
импедансом Z2, разделяющего среды Z1 и Zy при нормальном паде-
падении можно записать как
23V2/l2
где ф я kyd, Vjk = (Z.-Zk)/(Z.+Z.) — коэффициент отражения на
границе (й и /г-й сред. Квадрат модуля коэффициента отраже-
отражения от слоя равен
40

где 2Z A -Z
a - ^23 + УП
6 • 1 + V V -
0 l 23*12
1 22g
Пусть Z^ > Z- > Z,. Тогда a > 0, b > 0, но a < ft. Числитель
и знаменатель A) осциллируют при изменении ф. Для нахожде-
нахождения экстремальных значений обозначим г = {^ф)/{2(Ф)< тогда
/'tW = Г2(Ф) = -2csin0cos0 = 0, /'(@) = -2ccosB0).
Отсюда следует, что г имеет минимум при
d =• (m+1/2) Л/2, m = 0, 1, 2, ... B)
Величина г максимальна при d =• тЛ/2. Первый минимум коэффи-
коэффициента отражения соответствует "четвертьволновой" пластинке,
толщина которой d = Л/4. При этом
2 V -V
min ft2-c min 1-V23V12
Отражение от слоя полностью отсутствует при V23 = V.~, т.е.
если {Z^-Z^/iZ^Z^j - (Zj-Zj^Zj+Zg). Отсюда получаем ус-
условие согласования сред: Z2 = 2..Z^ (четвертьволновый про-
просветляющий слой).
1.4.5. При какой толщине жидкого слоя, разделяющего две
различные среды, свойства материала слоя не влияют иа про-
прохождение звука из одной среды в другую?
Решение. Положим в D.1) d = Л/2 (полуволиовый слой).
Тогда
т.е. свойства промежуточного слоя из этой формулы выпадают.
1.4.6. Рассчитать "просветляющий" слой, обеспечивающий
наилучшую передачу звука из воды в воздух.
Решение. В соответствии с формулой D.2) наилучшую звуко-
прозрачность обеспечивает слой вещества с минимальной толщи-
толщиной d = Л/4, если его удельное акустическое сопротивление
1 /О Ч
удовлетворяет условию Z = (Z.ZJ . Здесь Z = 1,5-10 ,
Z. = = 42—акустические сопротивления воды и воздуха в еди-
иицах СГС [г/(см -с)]. Отсюда находим импеданс просветляюще-
просветляющего слоя Z * 2,45-103.
Выберем в качестве звукопрозрачного слоя пористую резину.
Пусть из общего объема V. + V2 часть V. относится к чистой
41

резине, Vo —к суммарному объему воздушных пор. Скорость зву-
1/2
ка в резине с = (к/р) , где р, к —плотность и адиабатиче-
адиабатический модуль упругости пористой резины:
-Здесь р, = 1,1 г/см3, р2 = 1,3-10 г/см3, к^г-Ю10, к2 =
= 1,4 • 106 г/(см-с2) —плотности и модули упругости чистой ре-
резины и воздуха. На основании этих данных находим
Z2= (pcf= рк - р,!^!)"'. B,45J-106[г/(см2-с)]2,
1 V, 2
откуда УУ^ ~ 3,9, что соответствует 26%-ному содержанию
пузырьков воздуха в общем объеме. Произведение толщины слоя
резины на частоту волны должно равняться
1.4.7. Найти выражение для коэффициента прозрачности (по
интенсивности) плоского слоя, разделяющего две одинаковые
среды. Рассмотреть нормальное падение волны.
Решение. Пользуясь формулой B.1), найдем E = р
= 1- |V|2 - [\(s+\Jsm2(k2d) + cos2(k2d)Y\ A)
1.4.8. Коэффициентом звукоизоляции называют величину, об-
обратную коэффициенту прозрачности (по интенсивности). Полу-
Получить выражение для Т) на низких частотах; считать, что твер-
твердая стенка используется для звукоизоляции в воздухе.
Решение. Полагая в формуле G.1) kjd « 1 (низкие частоты)
и, кроме того, р с. « р~с~ (s~1 « t), найдем
Здесь m = р„с( —масса стенки, приходящаяся на единицу площа-
площади. Подставляя значения скорости звука с и плотности р воз-
9 9 9
духа, получим формулу для оценок: Т) = m f /200, [m] = г/см ,
[/] = Гц.
1.4.9. Оценить коэффициент звукоизоляции (в децибелах)
кирпичной стенки (плотность р = 1,7 г/см ) толщиной 27 см в
воздухе на частоте 2000 Гц. Поглощением звука в материале
стенки пренебречь.
Решение. Пользуясь оценочной формулой предыдущей задачи,
найдем а = 10 lg(m2f2/200) « 76 дБ.
42

1.4.10. Во сколько раз уменьшается мощность плоской зву-
звуковой волны с частотой 1 кГц при прохождении через стальной
щит толщиной 2,5 см, который разделяет два резервуара с во-
водой. Плотность стали 7,8 г/см , скорость звука в ней 5100 м/с.
Решение. В задаче 1.4.2 рассчитан модуль коэффициента от-
отражения от плоского слоя (см. B.1)). Поскольку поглощение
звука в стали не учитывается, коэффициент прохождения по
мощности \W\2 = I- \V\2 меньше 0,01.
1.4.11. Слой воды разделяет касторовое масло и ртуть. При
какой минимальной толщине слоя возникают наилучшие условия
перехода звука частотой 1 кГц из масла в ртуть при нармаль-
ном падении? Найти коэффициент отражения. Плотности масла,
воды, ртути: р. = 0,96, р2 = 1, р3 = 13,6 г/см ; скорости
звука. Cj - 1490, с2 = 1468, с3 = 1453 м/с.
Решение Пользуясь результатами задачи 1.4.4, оценим d =
= с/4/ = 0,37 м Коэффициент отражения при этом равен
1.5. Движение и звук
1.5.1. Вывести формулы эффекта Доплера. Источник излучает
непрерывный тон или длинный "радиоимпульс" с частотой запол-
заполнения К. Какую частоту зарегистрирует приемник в следующих
ситуациях: 1) источник звука движется со скоростью и вдоль
оси х относительно неподвижной среды, приемник неподвижен;
2) наблюдатель (приемник) движется со скоростью v относи-
относительно среды, источник неподвижен; 3) источник и наблюдатель
одновременно перемещаются вдоль оси х со скоростями и и v;
4) источник и наблюдатель со скоростями и и v движутся в
произвольных направления х?
Решение. 1. Если источник движется в направлении излучае-
излучаемых волн, то волны "укорачиваются", их длина А _= (c-u)/f
где с —скорость звука Неподвижный приемник на оси х регист-
регистрирует звук с частотой f > L:
f - с/К = у{\-и/с). A)
Когда источник движется в противоположном (относительно из-
излучаемых волн) направлении, волны "удлиняются", а частота f
уменьшается по сравнению с f ¦ для этого случая в формуле
A) следует полагать и < 0.

2. Если приемник движется по направлению к источнику,
волны проходят мимо него со скоростью c + w. Поэтому частота
Отрицательные и в формуле B) отвечают движению приемника от
источника.
3. При одновременном коллинеарном движении источника и
приемника получаем результат в виде очевидной комбинации
формул A), B):
О связи знаков скоростей «, v с направлениями движения гово-
говорилось выше.
4. Пусть направления движения источника и наблюдателя со-
составляют углы б и 0 с прямой, соединяющей источник и при-
приемник (см. рисунок). Тогда по-прежнему справедлива формула
C), только вместо ско-
скоростей необходимо брать
их проекции на ось х:
D)
1-(м/с)cose
К задаче 1.5.1 '
1.5.2. Локомотив приближается к наблюдателю со скоростью
20 м/с. Какую частоту основного тона гудка услышит наблюда-
наблюдатель, если для машиниста она равна 300 Гц?
Ответ. 320 Гц (см. формулу A.1)).
1.5.3. Звучащий камертон приближается к стеие со скоро-
скоростью v = 25 см/с. Неподвижный наблюдатель, воспринимающий
одновременно прямой и отраженный сигналы, слышит биения с
частотой 3 Гц. Определить частоту колебаний камертона.
Решение. Биения возникают при сложении двух сигналов: от
удаляющегося камертона f^ = L (l+v/c) и отраженного от
стеики /„ = fG(l~v/c)~, к которой камертон приближается.
Частота биений
"¦'.-'.-'.;?$?•
отсюда находим | « 2 кГц.
1.5.4. Поезд движется со скоростью и. Когда он подходит к
туннелю в вертикальной скале, машинист дает гудок, имеющий
основную частоту /_. Эхо слышит машинист, а также сторож,
стоящий в этот момент на земле на уровне последнего вагона.
44

Какой частоты прямой звук и эхо слышит каждый из них? Какой
частоты биения они услышат?
Ответ. Машинист слышит гудок иа частоте /0, а эхо —на ча-
частоте fj = /0A+ц/с)/A-ы/с). Сторож слышит гудок на частоте
/2 = /q/O+u/c), а эхо —на частоте /3 = \^/(\-и/с). Разность
частот Д/ = /. - /0 « f3 - /„ « 2(u/c)/0 одинакова. Поэтому
и сторож, и машинист услышат биение на частоте Д/.
1.5.5. Самолет летит к вертикальной стене со скоростью,
равной половине скорости звука (и = с/2), и излучает тональ-
тональный сигнал на частоте /. = 1 кГц. Какую частоту имеет эхо-
сигнал, отраженный от скалы и воспринимаемый летчиком?
Ответ, f = /0A+и/с)/A-ы/с) = 3 кГц.
1.5.6. Теплоход плывет параллельно берегу озера со ско-
скоростью v = 20 км/ч и подает гудки на частоте /. = 200 Гц. На
какой частоте звук принимает водитель автомобиля, движущего-
движущегося параллельно берегу со скоростью и = 80 км/ч, если звуко-
звуковой луч образует с направлениями движения угол 8? Рассмот-
Рассмотреть случаи 8 = 60, 90, 120°.
Ответ. По формуле / = /0(l-«cos6/c)/(l-ucos8/c) находим
значения частот 182, 200, 233 Гц.
1.5.7. Рассмотрим сдвиговое течение: полупространство г <
< 0 (среда 2) движется с постоянной скоростью uQ вдоль гра-
границы—оси х. Полупространство z > 0 (среда 1) неподвижно.
Волна (см. рисунок) падает из неподвижной среды 1 на границу
г = 0 с движущейся средой 2. Вывести формулы для коэффициен-
коэффициентов отражения V и прохождения W.
Решение. Волновое уравнение для звукового давления в сре-
среде 1 имеет вид о о о
d2p/dt2 = сЧрх A)
Волновое уравнение в среде 2 учитывает "ветровой снос" волны:
(?Г «о Эх] Vе* АР, B)
Звуковое давление в среде 1 есть сумма падающей и отраженной
волн:
р, - А [ехр(<*]гг) + VexpH*te*)] exp(-to,/+i*ljpx). C)
Здесь к. = k. + к. = ог./с , при этом условии C) есть ре-
решение уравнения A). Звуковое давление прошедшей в среду 2
волны представим в виде
р2 = AW exp (-&>2/ + ik2xx + ik2zz), D)
45

причем из волнового уравнения B) следует
А* _(_2 *2 _ /#* „,а v
Динамическое граничное условие
к соотношению
= р2 при
E)
О приводит
jc) - W exp(-iy+ift2jr*).. F)
Поскольку F) должно выполняться тождественно при любых х и
t, получаем
ш = ь>2 = ш, к. = k„ = к , W - 1 + V. G)
Соотношения к. = fe0 и E) перепишем в виде
ц 2
fc, sine, - *2sin02, fc2 = k\\\ -~°s\nQ^ ,
откуда находим угол преломления
Л, sin0.
sin0o
sin0 ,=
(8)
Мы получили 0 > 0 , т.е. благо-
благодаря увлечению волны движущейся
средой 2 волновой вектор прошед-
прошедшей волны составляет с границей
меньший угол, чем вектор падаю-
падающей (см. рисунок).
Для расчета коэффициентов V,
К задаче 157 цр требуется еще одно граничное
условие (кинематическое) равенство вертикальных смещений
?j = ?2 на границе 2 = 0 Для расчета смещений воспользуемся
уравнением движения, записанным для сред 1 и 2:
д ^, др. го » ,2 dp?,
q 1 х _ 1 П + и 73 ? = - — (Q\
Подставляя в уравнения (9) акустические давления C), D),
приведем условие ?. = ?2 к виду
ikuA{\-V) ik.
Обозначая а = 1 - (Ыд/с^тб. и учитывая закон преломления
k2/k] = а (см. (8)), а также W = 1 + V (см. G)), найдем
2a2cos0,
79 • (Ю)
a2cos0,-(a2-sin20,I/2
! I—
a2cos0]+(a2-sin201)
l/2>
, 1
a2cos0]+(a2-si n2
46

1.5.8. Звук падает под углом в = 45 на границу атмосфер-
атмосферного ветра, движущегося со скоростью uQ = 10 м/с. Вычислить
коэффициенты отражения и прозрачности.
Ответ. Пользуясь G.10), найдем а2» 0,94, V « 2-Ю, W * \.
1.5.9. Найти выражение для скорости распространения звука
в однородном потоке, движущемся со скоростью и.
Решение. В движущейся системе координат связанной с пото-
потоком, монохроматическая волна имеет обычный вид:
р = A exp(-juo<+jkr'), ш0 = ck. A)
В неподвижной системе координат радиус-вектор г связан с г'
соотношением г' = т-ut. Таким образом, фаза в формуле A)
равна /кг - i(ck+uk)t, откуда 0) = ck+uk. Дифференцируя это
выражение, найдем скорость распространения волны
?*¦•
B)
равную сумме двух векторов: скорости звука в неподвижной
среде и скорости потока.
1.5.10. Источник звука посылает сигнал в направлении вет-
ветра, скорость которого v. Звук отражается от стенки, удален-
удаленной на расстоянии /, и принимается источником. Через какое
время будет принят отраженный сигнал?
Ответ, х = l/(c+v) + l/(c-v) = Bl/c) (\-v2/c2)~\ При v -» с время
т стремится к бесконечности.
1.5.11. Низкочастотный звук распространяется вдоль оси х
цилиндрической трубки с площадью поперечного сечения S (см.
рисунок). Звуковое поле
воздействует на колеба-
колебательную систему, состоя-
состоящую из поршня массой m и
пружинки с жесткостью к.
Трение пропорционально
скорости поршня (F =
= - ах), где * —смещение
К задаче 1.5.11
из положения равновесия.
Определить, при каких условиях возможно полное поглощение
волны, падающей на поршень.
Решение. Вынужденные колебания поршня под действием акус-
акустического давления p(x,t) описываются уравнением
/S/S/S///S////S//S/
х + 28х + ь&х = —
m
р 25 = а/т,
0,t,
47

где ь>0 = (k/m) — частота собственных колебаний поршня.
Акустическое поле при х < О есть сумма двух плоских волн —
падающей и отраженной. Давление и колебательная скорость :
Индекс 1 относится к падающей, 2—к отраженной волне. Ис-
Используем формулы B) для того, чтобы в правую часть уравне-
уравнения A) входило бы давление только падающей волны:
р(х = 0,0 = Р,(О + Р2(О - 2p,(f) - рс«(О- C)
Учтем, что на поверхности поршня и(/) » х, и с учетом C)
приведем уравнение A) к виду
;+[2S + fpC]i + U2* = 2|P]«). D)
Дополнительное слагаемое (S/m)pc в диссипативиом члене урав-
уравнения D) описывает потери на излучение колеблющегося пориня.
Полагая в D) р] = pQ exp(-torf), x = A exp(-jorf), где pQ,
ы —амплитуда давления и частота в падающей волне, А— ампли-
амплитуда колебаний поршня, найдем
С учетом E), C) вычислим отношение амплитуд отраженнсй и
падающей воли:
р
F)
Выражения в квадратных скобках E), F) совпадают. На основе
F) рассчитываем коэффициент отражения по интенсивности:
2
Из G) следует, что отраженная волна на частоте 0 = w. будет
отсутствовать при pcS = 28т; в этом случае падающая на пор-
поршень волна полностью поглощается. В этой задаче рассмотрена
простейшая модель так называемого резонансного звукопоглоти-
теля, который используется иа практике для снижения уровня
низкочастотного шума.

2. ВОЛНЫ В ТРУБАХ, ВОЛНОВОДАХ И РЕЗОНАТОРАХ
2.1. Длинные волны в трубах
2.1.1. Вывести уравнение, описывающее распространение зву-
звука в узком слое вязкой среды, ограниченном двумя параллель-
параллельными твердыми плоскостями. Расстояние между ними много мень-
меньше длины волны. Колебательная скорость частиц среды одинако-
одинакова во всем поперечном сечеиии, за исключением тонкого по-
гранслоя у стенок, где она убывает до нуля. Установить вид
диссипативных членов уравнения, описывающих действие вязко-
вязкости в объеме слоя и вблизи границ.
Решение. Воспользуемся линеаризованными уравнениями дина-
динамики вязкой сплошной среды, описывающими малые возмущения:
g^+pQdivv = 0, A)
+ с
°o 37 + co Vp' ~ T?Av " К + 3| grad div v = °- B)
В отличие от A.2.1.1) и A.2.1.2) в уравнении B) движение
не предполагается потенциальным. Исключая приращение плотно-
плотности, получим уравнение
отличающееся от волнового урав-
уравнения A.2.1.3). Для упрощения
уравнения C) обратимся к ри- К задаче 2.1.1
сунку. С учетом того, что v = (u,v,w = 0), запишем уравнение
C) в проекции на ось х:
3 Гди.ди} 2L3 Гд2и^д2и') g+n/З а2 [ди dv
д2и
Усредним полученное уравнение по сечению. Обозначим для это-
этого среднюю скорость через
й - J- S « dy E)
49

и учтем, что на стенках трубы обе компоненты и, и обращаются
в нуль. В результате получим
д2п_г2§^п Ь дгп _ _Q_a ди\а ,~,
dt2 Odx2~Podtdx? = Роа37*У\о W
Левая часть F) совпадает с уравнениями A.2.1.4), а правая
учитывает пристеночную вязкость
Пристеночный градиент скорости рассчитывается из задачи о
погранслое, следующей из уравнения B):
О —
ди ,, д и ди ., Т) ,7Х
Уравнение G) описывает колебания жидкости вблизи стенок.
Скорость и возрастает от нуля (при у = 0) до значения п (при
у -* со, т.е. вдали от погранслоя). Известное решение задачи:
„ в J_jf Г х ГсхрГ №*JА схрГ \
(8)
йОзволяет рассчитать градиент скорости иа стеике
t
ди\ _1_ rdu__dr__ ,Qv
^IrO Vffi?J,eT(/-TI/2< ( '
Градиент на стенке у » а, очевидно, имеет ту же величину, но
противоположный знак. Подставляя (9) в F), придем к искомо-
искомому уравнению
д2и Jd2u Ь дги . 2 х/1Гд гди dx
l5" °2"Pi? « й ^i^T^
i
Здесь знак усреднения по сечению (черта сверху) опущен. Тре-
Третий член в A0) описывает действие вязкости в объеме слоя,
четвертый член учитывает наличие пограничного слоя. Заметим,
что в случае круглой трубы константа а равняется ее радиусу.
Для цилиндрической трубы с поперечным сечением произвольной
формы а есть константа порядка ее характерного размера.
2.1.2. Показать, что при распространении звука в узкой
трубе наблюдается дисперсия. Найти закон дисперсии и частот-
частотную зависимость коэффициента затухания для слабого поглоще-
поглощения. Записать связь скорости и давления в бегущей волне, вы-
выражение для текущего импеданса.
Решение Ищем закон дисперсии для уравнения A.10) в виде
и =¦ А ехр (io)t - ikx) Искомая связь волнового числа к и
частоты ш имеет вид
L2/|T3/2 о. A)
50

В случае слабого влияния в?зкости (третий и четвертый члены
в A) малы) получим приближенное соотношение
,1/2 -,
B)
Отсюда следует, что коэффициент затухания (мнимая часть k)
Равен . 2 , г ,1/2
о O(j) 1 Г Т) Ы I /о\
s'i^;«l^ • <3)
и и и и
Дополнительное затухание из-за присутствия стенок пропорцио-
1/9
нально и , в отличие от свободного пространства, где 3 ~
~ ш2 (см.также A.2.2.3)). Из формулы B), кроме того, сле-
следует, что _ _ '
D)
т.е. скорость распространения из-за стеиок уменьшается тем
сильнее, чем ниже частота. оля давления и скорости в среде
без поглощения (k = w/c.) складываются из прямой и обратной
волн:
р = Р txp(i<t>t-ikx) + Р
pQcQu - Р+ ехр(Ш-И>.х) - Р_ txp{M+ikx).
Обозначим отношение амплитуд волн, бегущих в противоположных
направлениях, как Р_/Р+ = ехр(-20), где ф — комплексное чис-
число. Тогда
о = 2Р txpliut-ф) сЫф-ikx), рпспи = 2Р ехр(Ш-ф) shM-ikx).
Текущий импеданс в точке с координатой х равен
Z(x) = р(х)/и(х) = pQcocth№-ikx).
В дальнейшем индекс 0 у pQ и cQ мы опускаем.
2.1.3. Вычислить входной (* = 0) акустический импеданс Z.
в узкую трубу постоянного течения, заполненную поглощающей
средой и нагруженную на конце (х = /) на импеданс Z. (см.
рисунок). .
Решение. Пусть при х = 0 имеется поршень, на который дей-
действует сила Ф = *0ехр(г'и0' При отсутствии в трубе среды
импеданс поршня, равный отноше-
отношению действующей силы к скорости
поршня, зависит только от меха-
механических свойств поршня и на-
называется его собственным вход-
входным импедансом B = Ч^иЛ. При
К задаче 2.1.3
51

наличии среды усилие, производимое во входном отверстии тру-
трубы, передается вдоль трубы иа ее выходное отверстие, которое
в общем случае обладает некоторым сопротивлением 2, (выход-
(выходным импедансом) Поэтому входной импеданс в трубу получает
приращение, зависящее как от параметров трубы (площади сече-
сечения S) и свойств среды (плотности р, скорости звука с), так
и от нагрузки (сопротивления иа выходе) 2;.
Найдем связь между входным импедансом Z_, нагрузкой 2, и
величинами, характеризующими среду в трубе (S, р, с). Обоз-
Обозначим давление и скорость в начале трубы (х = 0) соответст-
соответственно через р. и uQ> а в конце {х = /) трубы через р1, и1. '
Граничные условия при х - 0 и х = / соответственно имеют вид
где обозначено FQ = pQS, p.S » F.. В произвольном сечении
складываются две плоские волны, бегущие в противоположных
направлениях. В слабо поглощающей среде давление и скорость
представимы в виде
р = рс {ае-1* + bet") e'°», и = (ае~** - бе'*) е**, B)
где у = ik + 3 — постоянная распространения, а и ft находятся
из граничных условий A) При д: = 0 комплексные амплитуды
давления и скорости равны соответственно р.= рс(а+Ь), ы0 =
= о - 6, и, следовательно, из A) получаем
Фо = (Zc + Spc)a-(Zc-Spc)b. C)
Аналогично при х = I
р( - рс(а е~*1 + Ь еу<), и, = а е~*1 - Ь еу',
и из A) находим
(Z{ - Spc) а е"у< - B/ + Spc) Ь еу< « 0. D)
Из C), D) вычисляем величины а и Ь:
2+Spc Z-Spc
а = -^ еу'Ф0, Ь = -^ е-у'Ф0, E)
Zc+Spc Zc-Spc
r l
Подставляя а и Ь в B), получаем давление и скорость в про-
произвольном сечении трубы. В частности, в сечеиии х = I
pt = B2/Рс/Л)Ф0, и( = BSpc/A)*0. F)
Исключая величину внешней силы *0 из этих соотношений, можно
связать давление и скорость в сечении х = 0 с давлением и
52

скоростью в сечеиии л: «= ft
р0 ш ch(jr/) р{ * рс sh(jrQ ur uQ - ^Ш1 Р( + ch(ar/) и<.
Давлениям р0 и р1 соответствуют силы FQ = pQS и F( = p(S,
действующие в сечениях х = 0 и /. Из формулы G) находим
Fo= ch(jr/)F{+Spc sh(rO«! • V (SPc)~lf<+ ch(W)«< • (?')
Будем считать, что гипотетический поршень невесомый и не
обладает упругими и диссипативиыми свойствами. Его собствен-
собственный импеданс равен нулю. С помощью соотношений G), исполь-
используя определение Z, = F./и. для нагрузки на выходе поршня
A), получаем выражение для входного акустического импеданса
в трубу ^ ^ Z^chfrO+SpcshO"/)
Zo = й^ = TG = Spc Z,shCr/)+Spcch(ar/) ' (8)
а в случае слабого затухания звука в трубе
Соотношение G) аналогично уравнению четырехполюсника, широ-
широко используемому в радиотехнике и связывающему ток и напря-
напряжение на выходе и входе.
2.1.4. Найти входной импеданс в трубу, закрытую на конце
жесткой перегородкой. Рассмотреть случай непоглощающей сре-
среды. Исследовать поведение импеданса на низких частотах.
Решение. Для жесткой перегородки и. = 0 и 2 = се. Следо-
Следовательно, из C.8) получаем
Zo = Р^% = SpcdhW). A)
В среде без поглощения у = jfe = iu>/c и
2Q = - iSpc ctg(W), B)
т.е. импеданс чисто мнимый и имеет наименьшее значение при
kl = п{т + 1/2), m «= 0, 1, 2 ... При kl « 1 (низкие частоты
или короткие трубы) из B) имеем „
J3
Из C) находим, что величина Spc /I = Е имеет размерность
коэффициента упругости. Отсюда следует что сопротивление за-
закрытой трубы 2Q = Е/(Щ является чисто упругим.
2.1.5. Решить задачу 2.1.4 для открытой трубы, считая,
что 2( = 0.
Ответ. ZQ = Spc th(jr/). В непоглощающей среде Zo = iSpc
при kl « 1 ZQ * iSpckl = iSpud. Величина m = S^ есть масса
53

среды в трубе. Следовательно, открытая труба представляет
собой чисто инерционное сопротивление.
2.1.6. При какой нагрузке Z, на конце трубы входной импе-
импеданс ZQ равен выходному Z(?
Ответ. Из C.8) видно, что ZQ = Z{, если Z( = Spc. Эта
величина называется характеристическим или волновым импедан-
импедансом (сопротивлением). Нагрузку Z; = Spc можно реализовать,
например, путем присоединения бесконечно длинной трубы к кон-
концу данного отрезка трубы.
2.1.7. Найти коэффициент отражения по давлению V от кон-
конца отрезка трубы. Считая, что импеданс нагрузки на конце тру-
трубы равен Z = R.+ ix,> найти модуль и фазу коэффициента от-
отражения. Определить, когда V = 0.
Ответ. Из C.2)-C.5) для комплексного коэффициента отра-
отражения по давлению имеем ,
._ Ь^1 Z.-Spc
V = Vi' '
р at
Принято вводить безразмерные активное и реактивное сопротив-
сопротивления на единицу площади трубы:
Zl = Spc (Д,+|Г,). Я, = R/Spc, Yx = x/Spc. B)
Тогда из A) получаем
W2 ;< Л<">
• 8
^4
Коэффициент отражения V = 0 при ^ = 0 и /?( = Spc, т.е. ког-
когда импеданс нагрузки равен волновому сопротивлению трубы.
2.1.8. Считая, что коэффициент отражения на конце трубы
задан в виде V = V е' (V = |V |), найти распределение мак-
максимумов и минимумов давления в трубе без поглощения. Найти
коэффициент стоячей волны.
Решение. Если коэффициент отражения V задан в виде
Z-Spc
^^ о
то, согласно C.2), ($.5), давление внутри трубы
р(х,0 = „(е-'Ч^*-2*^) e<™, A = PC(YP) e'fe4 . B)
Выражение B) удобно представить как сумму бегущей прямой
волны с амплитудой А(\ -V) и стоячей волны с амплитудой
2AV:
p(x,t) = А(\ - V)&kx~(M) + 2AV e'<wr-feb(r/2>cos Щх-l) + <r/2]. C)
54

Максимумы стоячей волны отстоят от конца трубы иа расстоя-
расстояниях
d = 1-х =\
где m принимает все значения (т = 0, 1, 2, ...), так чтобы
О < d < /. Для абсолютно жесткой стенки с = 0 и первый мак-
максимум лежит на конце трубы (т = 0, d = 0). Если 2 = 0, то
из A) следует, что V =-1 и <г = я. В этом случае первый
максимум находится на расстоянии А/4 от конца трубы. Миниму-
Минимумы давления находятся на расстоянии
?]• E)
где т по-прежнему выбирают так, чтобы 0 < d < /.Давление в
максимумах по амплитуде равно \р | = A A+V), а в миниму-
тэх
мах \р . | = АA - V), и коэффициент стоячей волны
1+V ,сч
mi n '
2.1.9. Чему равен коэффициент отражения от открытого кон-
конца трубы, если из него излучается плоская волна высокой час-
частоты?
Решение. Можно пренебречь дифракцией на конце трубы и по-
положить выходной импеданс равным Z = Spc, т.е. импедансу пло-
плоской волны; коэффициент отражения на конце трубы близок к
нулю. На самом деле на конце трубы происходит преобразование
плоской волны в сферическую, и картина поля будет сложнее.
2.1.10. Вычислить коэффициент отражения звука от открыто-
открытого конца круглой трубы без фланца и найти распределение мак-
максимумов давления в стоячей волне внутри трубы. Частота звука
f = 200 Гц, радиус трубы rQ = 2 см, скорость звука в воздухе
с = 340 м/с, плотность р = 1,3 кг/м . Импеданс на конце тру-
трубы определяется выражением
Z; = М!5!+/.4яр/гЗ, S = nr2Q. A)
Решение. Коэффициент отражения звука от открытого конца
трубы равен (8.1): V = V eiOr = (Z^Sp^AZ^Spc), а модуль
и фаза определяются G.3). Максимумы давления внутри трубы
отстоят от конца на d = (<г/2я+т) А/2, т = 0, 1, 2, ... Пола-
Полагая 2. = Spc (R^+iY.), находим
1/2
(V1)+J1
55

В данной задаче
Я> = п2[2г20/с2, Yl = 4/ГдД.
Подставляя числовые значения, получаем
V « 1, tgo- я -8frQ/c - -0,1, с ¦ я-0,1 я 3,04.
Максимумы давления внутри трубки отстоят от конца на рассто-
расстояние d = ЛД2(т+(г/2тг)] = 0,85 (т+0,48), т = 0, 1, 2, . .
2.1.11. Вычислить импеданс и присоединенную массу откры-
открытого конца длинной круглой трубы в среде без поглощения на
частоте / = 100 Гц. Площадь сечения трубы 5 = 1000 см . Оце-
Оценить коэффициент отражения от конца трубы и вычислить излу-
излучаемую мощность, если амплитуда скорости на выходе из отвер-
отверстия трубы и. = 10" см/с, скорость звука с = 3,4-104см/с,
рс = 44 г/(см2-с).
Решение. На низких частотах импеданс отверстия вычисляем
по приближенной формуле A0.1) Z. = R+is2nfM = A,2+г9,2)х
х 10 г/с. Величина М = 2рг* = 14,8 г имеет размерность мас-
массы и называется присоединенной массой. Излучаемая мощность
N = Ru\/2 = 6-10~6 эрг/с. Из G.3) имеем V « 0,95, о- = тг-0,4.
2.1.12. В конце трубы (см. задачу 2.1.10), заполненной
воздухом, вставлена пробка из материала с входным импедансом
(кг/с) 1{ = 0,5 + f • 0,1- Найти коэффициент отражения звука
от материала и распределение в трубе максимумов и минимумов
звукового давления. Частота звука равна 1000 Гц.
Ответ. Коэффициент отражения
._ Z.-Spc 0,5+r0,l-7i-4-10~4-440
у = у id _ I Г _ _] \
р Z^Spc 0,5+/-0,l+7i-4-10~4-440"
Максимумы внутри трубы находятся на расстоянии от конца d *
= [<г/2тг + т] Л/2, m = 0,1,2 А = 0,34 м; минимумы —
d' = [<т/2п + m + 1/2] Л/2. Подставляя числовые значения, име-
имеем |V| = 0,11, or = 1,86, d = O,17(m+0,31), d' = 0,17(m+0,81)
2.1.13. Труба (см. задачу 2.1.10) закрыта материалом с
импедансом Z{ = 2 +г 2. Вычислить коэффициент поглощения
энергии на конце трубы.
Ответ. Коэффициент поглощения энергии на конце трубы а
связан с коэффициентом отражения очевидным соотношением
ос = 1 - |У| , и для приведенных данных а = 0,42.
2.1.14. Коэффициент отражения звука иа конце трубы выра-
выражается следующим образом: V = {Rfi+iYJARfl+iYJ = \V\x
56

х ехр(Лг), где /?, - R/{pc), Y^ » У/(рс) —безразмерные актив-
активное и реактивное сопротивления на конце трубы. Показать, что
на плоскости комплексного переменного R У. , кривые равного
поглощения а = 1- \V\ и равной фазы <г представляют семей-
семейство окружностей.
, Решение.
(ЯГ1J+У2 4/?
1. \Vr = —! q—?, а = -х—к. Отсюда находим
/ D . 1 \*j.V* / Р л. 1 \^л-V*
уравнение окружности в плоскости R^ Y^ с центром на оси R^.
>2 у* ш 4A-а)
'i а
2У
I\.I*.'l'^»/j Aria
2. V « —! !—5—9"^> tg0" = ~о—5— = *• Получаем урав-
уравнение окружности с центром на оси У •
2 1
ь2 •
Кривая равного поглощения изображается окружностью с центром
1 /О
в точке с координатами (B-а)/а,0) и радиусом 2[A-а)/а]
Кривые равной" фазы изображаются окружностью с центром в точ-
точке с координатами @,1/6) н радиусом (\-Ь ) /Ь
2.1.15. Амплитуда давления измерена в трубе длиной 100 м
в зависимости расстояния д: от возбуждаемого конца Значения
максимумов и минимумов давления (в относительных единицах)
вдоль трубы даны ниже:
Расстояние от
излучателя X, м 25 37,5 50 62,5 75 87,5
Максимум
давления 1,899 ¦ 1,478 1,204
Минимум
давления 1,335 0,869 0,489
Рассчитать по этим данным длину волиы, коэффициент поглоще-
поглощения звука (м~) и амплитуду давления в начале и конце трубы.
Решение. Обозначим через Др разность давления соответст-
соответственно между ближайшими максимумом или минимумом, т.е. на
расстоянии Ах - Л/2 = 25 м. Находим среднее значение коэффи-
47

циента ослабления звука на отдельных участках трубы:
э = x-LPk
- -1
По всей трубе среднее значение & = N ?|3Ь, где Л' = 5 — чис-
k
ло участков. Зная 3, можно оценить давление в начале и конце
трубы. Таким образом, Л = 50 м, 3 = 0,012 м~. Давление в
начале трубы около 2,1, в конце около 0,9.
2.1.16. Безразмерный удельный импеданс в некоторой точке
(х = 0) трубы, заполненной воздухом, 2Q = cth*Q = 1+j при
частоте 340 Гц. Каков будет удельный импеданс в точках, ле-
лежащих на расстоянии 12,5 и 25 см далее вдоль трубы? Скорость
звука в воздухе с = 340 м/с. Поглощением звука пренебречь.
Решение. Удельный безразмерный импеданс в точке с коорди-
координатой х равен (см. задачу 2.1.2)
l + /cth*0-ctg(/ex)
Отсюда находим 2 = 0,5 - гО,5.
Ответ, х = 0,2 м, 2 = 0,4 + /-0,2, х = 0,4 м, 2=1 + гО,26.
2.1.17. Возбуждающий звук поршень помещен у одного конца
трубы (л: = 0), наполненной воздухом (с = 3,44*10 см/с, рс =
Q
= 44 г/(см -с)), у которой площадь поперечного сечения равна
о
10 см , второй поршень помещен у другого конца трубы
(л: = 30 см) Измерение звукового давления показало, что мак-
максимальная амплитуда давления в точках х = 3, 15, 27 см равна
О О
10 дин/см Минимальная амплитуда давления 6,57 дин/см , по-
получалась в точках х = 9, 21 см Найти из этих данных механи-
механический импеданс второго поршня 2., частоту звука f и ампли-
амплитуду колебаний возбуждающего поршня ?„
Решение. Напишем выражение для импеданса 2, через коэффи-
коэффициент отражения от поршня V: 2 = Spc [A-V)/A+V)] (см. за-
задачу 2 17) Представим коэффициент отражения через его мо-
модуль и фазу V = |V|exp(/(r). Модуль можно найти, зная значе-
значения давления р и р ¦ \р\ =1+|V|, \p\ =1-1У|
Fmax 'min ' ^' max ¦ " IKImin ' '
(для волны единичной амплитуды) Отсюда
'^ ' min
" 'mm
Фазу коэффициента отражения найдем, определив расстояние от
второго поршня до последнего максимума. Расстояние от поршня
до максимумов выражается формулой (см. (8.4)) В случае по-
58

следнего максимума т = 0, d = 3 см, X = 24 см, о* = л/2. От-
Отсюда У = 0,207, 2( = Spc • fcjljj;207 = 440 е~* г/с, tgy =
= -0,43, / = с/\ = 1440 Гц.
Амплитуду колебаний возбуждающего поршня находим по дав-
давлению, развиваемому поршнем Так как в среде нет поглощения,
это давление равно рп = (р +р )/2 = 8,285 дин/см . Тогда
\J ГПЗХ ill 1П
?0 = Uq/w = Po/(pc-2nf) = 2-Ю-5 см.
2.1.18. Найти резонансные частоты узкой трубы длиной /,
замкнутой на чисто реактивный импеданс 2 = i% = i
Поглощением в среде пренебречь.
Решение Резонансными называются частоты, при которых си-
система дает наибольший отклик на внешнюю силу, т е частоты,
на которых входной импеданс трубы (см C 8), C.9)) минима-
минимален В слабо поглощающей среде входной импеданс трубы, замк-
замкнутой на чисто реактивный импеданс, равен
Z0 = Spc Spccos {
Резонансные частоты находятся из условия 2- = 0 и определя-
определяются из трансцендентного уравнения
tg( V) = - X/(Spc) = - У,. B)
В общем случае % также может зависеть от частоты.
2.1.19. Найти резонансные частоты длинной узкой трубы
длиной /, возбуждаемой при х = 0 колеблющимся поршнем в слу-
случаях, если труба закрыта и открыта жесткой перегородкой.
Решение Если труба закрыта жесткой перегородкой, %] = ®
и из уравнения A8.2) находим резонансные частоты
' m = 0.1,2,... A)
Длина трубы при резонансе / = (т+1/2) Л/2. Если труба от-
открыта, х; = 0 и
[r = mc/2L, lr = тЛ/2, т = 1, 2, 3, ... B)
2.1.20. Показать, что при наличии небольшого, чисто реак-
реактивного удельного безразмерного импеданса iY. на конце трубы
ее резонансная частота /' по сравнению с резонансной часто-
частотой открытой трубы / увеличивается при Y < 0 и уменьшается
при Vj > 0.
Решение. Резонансная частота трубы, открытой с одного кон-
конца, равна mc/2L (см. A9.2)). Реактивный импеданс можно пред-
59

ставить в виде ж
<Yj(d)) = Цты- 1/шс),
где imu>—инерционное сопротивление; т — приведенная масса,
включая присоединенную (т = M/(Spc), M — полная масса);
-i/(iM) — упругое сопротивление; с —приведенная гибкость, ко-
которая определяется через гибкость с (с = 7:Sc). Введем вели-
величину Lk = к' - k , отвечающую изменению резонансной часто-
частоты. Тогда из A8.2), A9.2) следует
tg (ЗА') *-У,(*гс)-
Отсюда получаем, что при У. > 0 и к' > k частота f -
= f - rrikjl. При У1 < 0 и k'r < kf частота f'f > / . Первый
случай может быть реализован путем присоединения к трубе ко-
короткой узкой трубки, содержащей среду с массой М; второй —
присоединением замкнутой полости (практически неподвижного
объема) с гибкостью с.
2.1.21. Вывести волновое уравнение для распространения
звука в трубке с непрерывно изменяющимся сечением.
Ответ. Распространение квазиплоской волны в трубе, разме-
размеры поперечного сечения S которой малы по сравнению с длиной
волны, описывается уравнением Вебстера:
дх J c2Qdt2
2.1.22. Найти критическую частоту экспоненциального рупора.
Решение. Пусть площадь сечения рупора изменяется по зако-
закону dS/dx = ?S, т.е. S = So exp (fix), p —коэффициент расшире-
расширения экспоненциального рупора. Так как давление р' пропорцио-
пропорционально потенциалу скорости <р, из уравнения Вебстера (см. за-
задачу 2.1.21) получаем
ах2 Рдх с2at2'
Учтем временную зависимость потенциала скорости <р * <pQ(x) x
хехр(М), где <pQ удовлетворяет уравнению
Ищем решение уравнения A) в виде ^р_ = ехр(ах). Подставляя
функцию ^р. в A), находим характеристическое уравнение
а2 + $а + к2 = О,
из которого получаем
а = -3/2 +[@/2J-*2]172
60

Звук распространяется в рупоре, если <Р0(х) является периоди-
периодической функцией. Для этого необходимо, чтобы k ? /3/2 , т.е.
частота звука ы 2 (Зс/2 = ы . Критическая частота ш опре-
определяет нижнюю границу полосы пропускания рупора.
2.2. Сложные звукопроводы, акустические фильтры
2.2.1. Найтн коэффициент отражения при переходе плоской
волны из трубы одного сечения в трубу другого сечения, при-
причем сечения труб не сильно различаются.
Решение. Предположим, что при переходе волны из одной тру-
трубы в другую плоский характер волны не меняется (перестрой-
(перестройка волны происходит на коротком отрезке Л/ « А; см. рисунок).
Пусть давление и скорость в
падающей и отраженной волнах -
в трубе равны соответственно s *" л?«»
р. = A.
v( = (AJpc) exp(iwt-ikx) жрг
A)
р = A exp(i0t+ikx), ' ______
2
Vf = - (Ауре) exp(iU)t+ikx). К задаче 2.2.1
Давление и скорость во второй трубе при переходе из первой
трубы (дс = О): Р^О) и Vg{Q). Граничные условия в отверстии:
1) непрерывность давления: Рс(^) = Р(®)+Р @) = PJfi) ~
= Аа ехр(М);
2) непрерывность объемной скорости: S[y{0)+u@)] = crvJO).
Механический импеданс в сечении a: Z = crp /v Из гранич-
граничных условий н A) имеем .
Отсюда находим коэффициент отражения
A ^pj^/) ^/fSp
А.
р ^
Если вторая трубка достаточно длинная, то Z_ = аре; отсюда
2
Сравним формулу C) с формулой для коэффициента отражения,
которая следует нз выражения A.7.1):
61

Сопоставляя эти формулы, делаем вывод, что импеданс ZQ в от-
отверстии площадью с, расположенным в конце трубы с площа1ью S,
равноценен нагрузке Z. в конце трубы постоянного сечежя S,
если Z{ = (S/aJZff = Z^/u2, где и = o/S —коэффициент транс-
трансформации. Отсюда п
Zv ' u2Zt. D)
2.2.2. Определить коэффициент прохождения звука (по энер-
гии) при переходе из трубы сечением 10 см в трубу сеянием
7 см2.
Ответ. При переходе звука из длинной трубы в другую коэф-
коэффициент прохождения S 5 2
2.2.3. Найти коэффициент отражения плоской волны при пе-
переходе из одной трубы в другую, сечение которой сильнс отли-
отличается от первой (см. рисунок).
Решение. В этом случае при переходе из одной трубы в дру-
другую плоское движение нарушается, появляется сдвиг фазы между
давлением и скоростью, импеданс в переходной области комп-
комплексный. Учтем это, представив граничное условие для давле-
давления в форме
р,@ = Р2@ + <>2@. A)
Из соображений размерности следует, что
где М— "присоединенная масса", которая появляется при иска-
искажении плоской волны в переходной области. Ей соответствует
инерционное сопротивление iwM. Второе граничное условие —ра-
—равенство объемных скоростей:
Svft) = <rv2(l).
Входной импеданс при переходе во вторую трубу
Sp{l) Sp S2 p2(l)+i(b>M/a)v2(l)
zi = v^rr = v^TSJ = ~?
B)
Если вторая труба достаточно длинная, то Р2/и9 * Рс>
Z{ = (S/(TJ{(Tpc+iwM). C)
Коэффициент отражения от переходного сечения равен
62

К задаче 2.2.3
К задаче 2.2.4
2.2.4. Выразить присоединенную массу отверстия через его
проводимость.
Решение. Кинетическая энергия жидкости, колеблющейся в
трубе длиной / и сечением S со скоростью и, равна
Величина К = S/1 называется проводимостью трубы и имеет раз-
размерность длины, X=Sv— объемная скорость. Кинетическая энер-
энергия жидкости, проходящей через отверстие площадью <т, по ана-
аналогии с A) представима в виде
2
где v —средний квадрат скорости в отверстии, М — присоеди-
присоединенная масса, К — проводимость отверстия. Согласно выводу Рэ-
лея проводимость круглого отверстия в бесконечно тонкой н
протяженной перегородке (см. рисунок а) равна его диаметру:
К = d. Общая задача, когда перегородка с круглым отверстием,
имеющим диаметр d, стоит поперек круглой трубы диаметром D
(см. рисунок б), решена Фоком. Проводимость отверстия К =
= dF(d/D)t где F(d/D)— функция Фока. Присоединенная масса от-
отверстия М = pcr/[dF(d/D)]. Функция Фока возрастающая: F = 1
при d/D = 0; F = 2,27 при d/D = 0,5; F -» со при d/D -» 1.
2.2.5. Труба с площадью сечения SQ = nR скачкообразно
переходит в бесконечную трубу сечения S = Sq/гп = пг , где
m > 1. Определить, учитывая присоединенную массу, на сколько
децибел отраженный от переходного сечения звук в воздухе бу-
будет слабее падающего. В этом случае на переходном сечении
присоединенная масса М = pS /[4r F(r/R)], где F — функция Фо-
Фока. Считать, что m = 4, а частота звука такова, что kr = 4/Я:
F(r/R) = F@,5) « 2,27.
63

Решение. Коэффициент отражения от переходного слоя равен
V = (Z .-Sopc)/(Z +Sjpc), где импеданс переходного сечения
равен Z ~ (Sq/S )/(Spc+iu>M). После преобразования находим
При krQ = 4/я модуль коэффициента
Г1т «ч2 , /гч2-.1/2
\V\ - V>m~1>2+{m/t'J = 0,66, ЛВ = 20 1g|V| = -3,6 дБ.
2.2.6. Найти коэффициент отражения звука частотой 100 Гц
при переходе из круглой трубы диаметром d. = 10 см в трубу
диаметром cL = 1 см. Принять, что при d. » cL проводимость К
круглого отверстия равна удвоенному диаметру. Трубы заполне-
заполнены воздухом. Указание: входной импеданс в узкую трубу опре-
определяется выражением C.3), где М — присоединенная масса, свя-
связанная с проводимостью формулой D.2).
Ответ. V = |V| exp(/<r0) , \V\ = 0,98, <rQ = 1,5-Ю.
2.2.7. Вычислить коэффициент передачи энергии из одной
трубы в другую при наличии промежуточной трубы (см. рисунок).
Решение. Коэффициент отраже-
I ния при переходе из трубы 2 в
I трубу 3
V23 = (ZrS2pc)/(Zl+S2pc), A)
0 j JT где входной импеданс в трубу 3
^^^^ (см. задачу 2.2.3)
I 3 Z{ - (S2/S3J(S3pc+<wM). B)
' Предположим, что S, не сильно
отличается от 53. Тогда присо-
К задаче 2.2.7 единенная масса М = 0 и
Z, = (S2/S3)pc. C)
Импеданс на входе в трубу 2 найдем по аналогии с входным им-
импедансом в плоский слой толщины / между двумя полупростран-
полупространствами:
Z
вх " Р -ikl у ikl ¦
е v2i e
2i
Подставим сюда из A) выражение для У»,. После преобразова-
преобразования, учитывая C), получим
cos(A/)-jS,,sin(*/) S,
7 = nr<J
вх р *2 S32cos(kl)-isin(kl) '

Соответствующий акустический импеданс
С cos(fe/HS32sin(fe0
6'32cos(Ai)-/sin(W)
Коэффициент отражения от трубы 2 находится по входному импе-
импедансу в эту трубу:
V V
12 Z
где S2] = S2/Sv S31 = 53/Sr Коэффициент передачи энергии
из трубы 2 в трубу 3 равен
W = 1 |V|2
. D)
2.2.8. Показать, что труба, соединяющая две одинаковые
трубы, служит фильтром (последовательный фильтр).
Решение. В задаче 2.2.7 была получена формула для коэффи-
коэффициента передачи энергии звука из трубы 1 в трубу 3 с помощью
трубы 2. Пусть сечение труб 1 и 3 одинаково (S. = SJ. Тогда
S~- = 1, S32 = 5,2 = 1/Sof» коэффициент передачи
WJ=
Находим экстремумы функции f(kl):
^± = \(S2]2-2)sinBx) = 0, х = kl.
Следовательно, W. имеет максимумы при kl = rrin, минимумы при
Ы = (т+1/2)п, т = 0, 1, 2, ...
2.2.9. В качестве последовательного звукового фильтра ис-
используются две трубы постоянного сечения S, = 10 см , соеди-
ненные трубой сечением 5_ = 1 см и длиной / = 30 см. Иссле-
Исследовать свойства фильтра в воздухе (с = 340 м/с).
Решение. Коэффициент передачи звуковой энергии по системе
труб выражается формулой (см. задачу 2.2.8)
где Sj2 = 5./52, причем 5_2 » 1. Рассмотрим функцию
а(х) = [1 + A/4) (S22-2) sin2x]~1, где х = kl.
Тогда da/dx = 0, если х = kl = тж или (т-1/2)я, m = 1,2,3,...
При kl = тп а = 1 и происходит полная передача энергии. Это
условие соответствует частоте / = т с/21. Подставляя число-
числовые значения, получаем коэффициент передачи в зависимости от
частоты при /=30 см: Wj = [l + 24,5 sin2(l,765n-lO~3f)l.
Условие для полной передачи звука (W} = 1): / и 5,67-102 [Гц].
3 Акустика в задачах 55

2.2.10. Вывести формулу для коэффициента отражения от
поперечного отростка в длинной трубе, закрытого абсолютно
твердой стенкой (параллельный фильтр с отростком; см. рису-
рисунок). При какой частоте звук полностью отражается от этого
места, если сечения трубы н отростка одинаковы? Решить зада-
задачу при I = 10см. Труба заполнена воздухом (скорость звука
с = 340 м/с). Поглощением звука пренебречь.
Решение. Акустическим им-
импедансом трубы называется от-
отношение механического импе-
импеданса к квадрату площади се-
сечения трубы:
0 ж .
Акустический импеданс в точке
$2 , ^г разветвления по аналогии с
электрической цепью прн па-
параллельном соединении равен
К задаче 2.2.10
2ак = B1аЛак)/B1ак+22ак)- W
Если труба достаточно длинная, то ее акустический импеданс
22aK - Р^- B)
Считаем, что отросток ограничен жесткой перегородкой. Тогда
его акустический импеданс (в отсутствие поглощения в среде)
согласно A.4.2) равен
Z1aK - - i [pcSx ctg(*/)/S^] = - i(pc/SJ ctg(W), C)
где / — длина отростка. Из A) и B) найдем Z . Пусть S2 =
= S. = S, тогда
2ак = l(pc/S)cos2(kl)-isin(kl)cos(kl)] - ZS2.
Коэффициент отражения от места разветвления (х = 0)
V = Z~SPC = /к НС/^, = cos2(kl)-l-isin(kl)cos(kl) = .у. е«г
Z+5pc ZaK+pc/'b' cos2(kl)+l-isin(kl)cos(kl)
Коэффициент прохождения по энергии
w; = ii^i ц E)
J [1 + cos2(^)]2+[sin (kl) cos (kl)f
Звук не проходит через сечение, если cos (kl) = 0, / = А/4,
т.е. на частоте f = с/D/) = 850 Гц.
2.2.11. При каком условии звук, распространяющийся без
затухания по длинной трубе с сечением S, полностью отражает-
отражается от открытой боковой трубы с таким же сечением длиной /?
66

Решение. Решение аналогично решению задачи 2.2.10, причем
акустический импеданс бокового отростка равен (см задачу
2.1.5) Z. = i(pc/S) \g(kl) Акустический импеданс трубы
Z? = pc/S. Акустический импеданс в точке разветвления име-
имеет выражение
Z Z
Z = Ьк 2ак = ??[sin2(j!j/)-MSin(W)cos(fc/)] = ZS2,
ак ^1ак+^2ак ^
где Z —механический импеданс. Коэффициент отражения от места
разветвления
у = Z-Spc = s\r\2(kl)-l+is\n(kl)cos(kl) = ,у, е«г
z+i'Pc sin2{kl)+l+isin(kl)cos(kl)
Коэффициент прохождения по энергии
W = 1 - \V\2 = 4 sin2(fe/)
; [l + si
Если kl * 0, п, 2п, .... то Wj = 0, т.е. звук полностью от-
отражается от места разветвления.
2.3. Нормальные волны в резонаторах и волноводах
2.3.1. Найти собственные частоты колебания в прямоуголь-
прямоугольном помещении, стороны которого равны / , I , I , с тверды-
твердыми, полностью отражающими поверхностями.
Решение. Необходимо решить волновое уравнение для звуко-
звукового давления ,
дх2 ду2 дг2 с2дB' ()
при следующих граничных условиях: колебательная скорость и
для волн в среде (воздухе) в направлении нормали к стенке
равна нулю: «
и | = 0, и | = 0, и I = ftr
*х=0,< У!/=0.; г-0,/
х У г
Данным граничным условием удовлетворяет решение уравнения
A) в виде
р = cos р х] cos Q. у] cos p 2J e-« B)
если 0) = т(пс/1 ), ш = п{пс/1 ), ш = q(nc/l ), причем /л,
п, <с могут принимать значения 0, 1, 2, 3, ... Или
Частота f при этом равна
67

Действительно, из B) находим, например, выражение для ком-
компоненты скорости и :
из которого видно, что
их\ =0.
X
Совокупность трех чисел (т, n, q) определяет одну моду (нор-
(нормальную волну колебания), структура поля этой моды определя-
определяется выражением B), а частота —выражением C).
2.3.2. Определить пять низших собственных частот звуко-
звуковых колебаний в сосуде, имеющем форму прямоугольного парал-
параллелепипеда со сторонами / , / , / , равными 40, 60, 100 см.
Стенки сосуда считать абсолютно твердыми. Скорость звука в
воде 1480 м/с.
Ответ. Низшие собственные частоты будут fQQ = 740 Гц,
U = 1236 Гц' foil = И39 Гц, fm = 1850 Гц, /Ю1 - 1993 Гц.
2.3.3. Найти число мод в объеме в форме прямоугольного
параллелепипеда с жесткими стенками, имеющих частоты не выше
заданной частоты / (см. рисунок).
Решение. Мода (m, n, q) может быть представлена точкой в
пространстве частот, в котором по осям координат отложены
величины
fx = т с/2/, , fy = n c/2ly , fz = q с/21г ,
где m, п, q = 0, 1, 2, ...; /, I , I —стороны параллеле-
параллелепипеда; с —скорость звука. Совокупность точек (узлов), изо-
изображающих моды, образует в пространстве частот нечто похожее
на прямоугольную кристаллическую решетку. Для определения
числа мод, соответствующих всем частотам от 0 до f, следует
рассмотреть в пространстве частот число узлов, лежащих в ок-
октанте радиусом /, учтя при этом точки, лежащие на осях (ак-
(аксиальные моды—только одно из чисел т, п, q не равно 0), на
ограничивающих плоскостях (тангенциальные моды—одно из чи-
чисел т, п, q равно 0) и внутри октанта ("косые" моды—все т,
п, q не равны 0). Для вычисления числа мод определенного
класса следует найти объем, "занятый" точками решетки, отно-
относящимися к этому классу. Число узлов равно этому объему, де-
деленному на объем одной ячейки: Vn = с3/(8/ / / ). Объем, за-
0 ' х у г' '
нятый косыми модами, равен объему октанта V. = DTt/3)f /8.
Объем Vy занятый тангенциальными модами, слагается из объ-
68

емов 3/4 дисков площадью п/ /4 и толщиной соответственно
, с/D/у) и с/D12).
li
( 11 1 1 /2c-S
L х и иг г xJ
У i
где S = 2 (/ I +1 I +1 I ) —полная площадь граничных поверх-
поверхностей параллелепипеда, V = / I I —объем параллелепипеда.
Заметим, что множитель 1/2 в толщине диска получается вслед-
вследствие того, что граничная поверхность рассматриваемого ок-
октанта принадлежит как бы и соседнему октанту (см рисунок а).
fz
Л.
1
К задаче 2.3.3
Объем Vv занятый аксиальными модами, слагается из объемов
О
трех брусков длиной f и площадью сечения соответственно
1с2 1 с2 1с2.
4~4Т7 • 4~4П' 4~4Л •
х у у г г х
" L
V-
ху уг г х-1
где L = 4 (/+/+/)— полная сумма длины ребер параллелепи-
параллелепипеда. Рисунок б поясняет появление множителя 1/4 (каждый
узел на оси принадлежит четырем квадрантам). Таким образом,
при подсчете числа узлов в пространстве частот должен учиты-
учитываться объем:
1
32 У
64 V
Таким образом, для числа мод имеем
где 0(f) < 1. Число мод в полосе частот от / до f + 8f нахо-
находим из A):
Ц [iS^ + SS2/ + k + 0'(f))ef. B)
69

2.3.4. Вычислить число нормальных волн в зале размером
50x20x10 м, образующихся при распространении импульса дли-
длительностью т = 0,5 с с частотой заполнения 100 Гц.
Решение. Находим полосу частот звука, возбужденного в за-
яе: от /0 - Af/2 до fQ + Af/2, где А/ = 1/т = 2 Гц. Отсюда
определяем число нормальных волн по формуле C.2): dN = 73.
2.3.5. Прямоугольный коридор имеет ширину 2 м, высоту 3 м
к длину 10 м. Найти число возбужденных мод AN помещения в
интервале частот от f до / + 8f в зависимости от частоты f
(ft - 100 Гц, f2 - 1000 Гц, Sf = 5 Гц).
Ответ. При f = 100 Гц АЛ' = 1-2 моды; при { = 1000 Гц
Л/V я 100 мод.
2.3.6. Воздух в помещении в форме куба с ребром 5 м при-
приведен в колебание так, что все моды в интервале между ^ =
= 998 Гц и L = 1001 Гц возбуждены. Сколько мод при этом
возбуждено? К какому виду они принадлежат?
Ответ. Общее число мод 168-169, из них: косых 160, тан-
тангенциальных 8, аксиальных —не более 1.
2.3.7. Представить акустическое поле в прямоугольном вол-
волноводе с жесткими стенками как суперпозицию нормальных волн.
Решение. Рассмотрим распространение звука в бесконечной
трубе прямоугольного сечения со сторонами а и Ь, направлен-
направленными соответственно по осям х и у. Решение волнового уравне-
уравнения для потенциала „
Ар-Щ-О, A)
удовлетворяющее условию, что колебательная скорость на гра-
границах равна нулю (см. задачу 2.3 1), имеет вид
дс) cos(ku) exp(ikz-iu>t), B)
mn
m n
k = mn/a, k = nn/b, C)
а продольное волновое число
k = (k2-k2 -k2)V2, k = w/c, D)
q v m n' ' y '
является действительным, если
w/c > (k2m + k2/2. E)
Если же это условие не выполнено, то данная мода является
нераспространяющеися. Каждой моде с номерами тип соответ-
соответствует своя критическая частота
70

Скорость распространения моды (т, п)
2.3.8. Показать, что наличие затухающих мод в трубе экви-
эквивалентно образованию линий тока в ближней зоне излучения.
Решение. Пусть волновое число моды, направленной вдоль
трубы, будет мнимое, т.е. частота звука меньше критической
частоты для данной моды. Тогда
q тп * т п '
Рассмотрим частный случай kn = 0, что соответствует аксиаль-
аксиальным модам, параллельным оси х:
РтО= Ат0{
е-**
cos(kmx) е-
Вычислим скорость этой моды в направлении осей х и z :
vx = д<рт0/дх = -V«Oe"fttsin<*m*>e-er.
Звуковое давление
Р = -
по фазе отличается от скоро-
скорости v на п/2, что указывает
на отсутствие потока энергии
в направлении оси г. Вместо
потока образуются линии то-
тока, замыкающиеся на началь-
начальном сечении трубы 2=0.
Уравнение линий тока нахо-
находим, разделив v на v и уч-
учтя, что v dt = dx, v dt - dz:
^Л- = — = 'r^Ctg(? X). К задаче 2.3.8
x m
Интегрируя дифференциальное уравнение, получим уравнение ли-
линий тока в плоскости xz
Картина линий тока для моды B, 0) схематично показана на
рисунке.
2.3.9. Найти шесть низших мод в длинной трубе прямоуголь-
прямоугольного сечения размером 50 на 100 см с неподатливыми стенками,
заполненной воздухом, и построить их дисперсионные кривые.
71

Какие из этих мод будут незатухающим^ «ели частота возбуж-
возбуждения равна 500 Гц?
Ответ Находим критические частоты по формуле G 6) Не-
Незатухающие моды получаются прн / > f Дисперсионные кривые
строим по формуле для скорости распространения моды (см G.7))
М2 fm7t12 [2V2
*
Например, для моды A, 1)
О 9 1/9
f = 170 (mr+bn ) Незатухающими будут моды A, 0),
@,"l), B, 0), @, 2), A, 1)
2.3.10. Вычислить в функции частоты среднюю плотность по-
потока звуковой энергии для отдельной моды типа (т, 0) в бес-
бесконечной по длине прямоугольной трубе сечением ах Ь, если в
начальном сечении (z = 0) скорость v _= i»0cosBnx/A)sin(u/),
где Л = 2a/m, m = 1, 2, Сторона а расположена по оси х,
сторона 6 — по осн у
Решение Потенциал скорости моды (т, 0) запишем в виде
(р п = A ncos(& x) cosik z-t),
2 2 2
где k - т п/а, k = (ш/с) - k Тогда
v = d<pm(/dz = -/tm0^cos(ftmx)sin(ftp2-u/)
Используя граничное условие, определяем А . = - ^q/Л Дав
С
ление р = - РФт0 = - рш/4 0 cos(^ x) sin (Л z-wf) Средняя по
времени плотность потока энергии моды (т,0) в точке (х, z)
_____ Q Q
равна ] = pv = 0,5Л & pcocos [k x)t или
2.3.11. Найтн нормальные волны и связь между фазовой с. и
групповой с скоростями нормальной волны номера I и ско-
скорость звука cQ в водной среде, ограниченной идеальным дном и
поверхностью
Решение Рассмотрим однородный слой, ограниченный абсо^
лютно отражающими плоскостями z = 0 и z = h (коэффициент от-
отражения V = 1) Звуковое поле в слое характеризуем потенциа-
потенциалом скорости ф, удовлетворяющим волновому уравнению
Д0 + k2\p = 0, k = ш/с, A)
при граничных условиях
дф/dz = 0, z = 0, г = h B)
72

Полагая ф(х,г) = F(z) ехр(/?дс), из A) и B) находим уравне-
уравнение для определения постоянной распространения для нормаль-
нормальной волны номера /:
С( = [*2-(/п/ЛJ]1/2, / = 0. 1, 2, ...
Фазовая скорость нормальной волны номера / вдоль слоя равна
21/2, C)
где f = lc/2h — критическая частота. Групповая скорость нор-
нормальной волиы номера I вдоль слоя будет
срр( = du>/d^= c[l-(///J]1/2. D)
Отсюда находим c.lcr . = с .
2.3.12. Представить нормальную волну в плоском слое в ви-
виде суммы двух бегущих плоских волн с определенными углами
наклона их фронтов.
Решение. Рассмотрим плоский слой между двумя жесткими
границами (коэффициент отражения V = 1). Потенциал поля в
слое представляется в виде суммы нормальных волн:
ф(х,г) = I Ft(z) ехр(^дс),
(=0
где при заданных граничных условиях
^ k = ыо/с.
Учитывая, что vk -? h = In, I = 0, 1, 2 имеем
ф(х,г) = У A cos(lnz/h) ехрГ± A2-(ln/hJ х\.
cos(inz/h) e^
но
где sin0 = ?(/?, cos Э( = ln/kh, 0( —угол, который нормаль
к фронту (луч) образует с осью z. Таким образом, каждая нор-
нормальная волна как бы состоит из суммы двух, симметрично на-
наклоненных к оси канала плоских волн (лучи Бриллюэна).
2.3.13. Найти критические частоты и поле в плоском слое,
когда верхняя граница слоя z = h является абсолютно мягкой
(коэффициент отражения V = - 1), а нижняя—абсолютно жесткой
(V = +1).
Решение. Представим поле нормальной волны в виде суммы
плоских волн (см. задачу 2.3.12), распространяющихся как в
положительном, так и отрицательном направлении оси z: ф и
73

ф_, причем
ф =/4 е'У*5'п0+2смв), ф = s e^xsine""MOS0). A)
На нижней границе (г » 0) ф_ является падающей волной, ф+ —
отраженной; иа верхней границе (z = А) —наоборот. Согласно
граничным условиям
Отсюда получаем
^ = 1, ^ ехр(-2*Mcos6) = -1, ехр(- 2ikhcos6) = - 1,
cos8( - H(/-l/2)/(yt), / = 1, 2, 3,...
Полное поле в слое равно сумме нормальных волн
ф(х,г) =
= f>ie*rtlnet[e'*«!Ose/ + e-'teose/] = j> Л, cos^-j/2J et.
/и (=1
Так как sin9( » v I - [п(/-1/2)/?/г]2, то критическую часто-
частоту находим нз условия п (l-l/2)/kh « 1. Критическая частота
нормальной волны номера / равна /. = с (/-1/2)/2/г.
2.3.14. Вычислить критические частоты первых трех мод (не
считая нулевой) для идеального плоского волновода в воздухе
толщиной d = 10 см, если коэффициенты отражения звука на его
границах равны V. « У, = 1. Будут ли возбуждены эти моды
звуком частотой 1, 5, 10 кГц? Построить дисперсионные кривые
для фазовой и групповой скоростей указанных мод.
Ответ. Звук с частотой 1 кГц не возбуждает ни одну моду;
5 кГц возбуждает моды 1 и 2; 10 кГц возбуждает все три моды,
а также моды 4 и 5.
2.3.15. Определить для мод, рассматриваемых в задаче
2.3.12, направления лучей Бриллюэна, если в волноводе возбуж-
возбужден звук частотой 5 кГц.
Решение. Наклон лучей Бриллюэна к границам волновода на-
находим по формуле sin % - -f /f- Значения критических час-
частот: m = 1, fm= 1700 Гц; m = 2, fm = 3400 Гц; m = 1, Xх
«20°; m = 2, % * 43°. Мода m = 3 при / = 5 кГц не возбужда-
возбуждается.
2.3.16. Слой воды (без поглощения) толщиной 15 м располо-
расположен над абсолютно отражающим плоским дном. Вычислить собст-
74

венные функции для двух первых нормальных волн. Определить
их критические частоты.
Решение. Собственные. функции имеют вид z = sin(? z), где
k = (m--\/2)n/h. m = 1, 2; h = 15 м. Критические частоты f =
= Bт-1)с/4/г, т = 1, 2; с = 1500 м/с. Таким образом, А. =
= п/30 м, ?2 = п/10 м; /, = 25 Гц, /2 = 75 Гц.
2.3.17. Показать качественно вертикальное распределение
амплитуды звукового давления в четырех первых модах, включая
нулевую, в идеальном плоском волноводе толщиной d = 10 см,
если коэффициенты отражения на его верхней и нижней границах
равны: у, « У2 = - 1; К, = V2 = 1; V, = - 1. V2 = 1.
Решение. Чтобы показать распределение амплитуды давления,
необходимо учесть, что давление равно нулю на границе, где
коэффициент отражения V = - 1, и максимально при V = 1. В
первых двух случаях по глубине укладывается четное число
четвертей длин волн, в последнем—нечетное.
2.3.18. Часто на дне озер залегают осадки, содержащие пу-
пузырьки, которые образуются при разложении органических ве-
веществ. Поэтому жидкий слой может аппроксимироваться слоем с
двумя квазисвободными поверхностями сверху и снизу: толщина
слоя воды h, скорость звука с = 1500 м/с, плотность воды
р. = 10 кг/м . а) Определить собственные функции волновода
Z (г); б) найтн собственные значения k волновода при h =
= 5 м; в) вычислить критические частоты для четырех нормаль-
нормальных волн; г) вычислить горизонтальные составляющие ? посто-
постоянной распространения и фазовую скорость с первой нормаль-
нормальной волны при частоте сигнала 300 Гц.
Решение. Коэффициенту отражения на границах V = -1 удо-
удовлетворяют собственные функции волновода Z (z) = sin(& z),
собственные значения k = m u/h, критические частоты нор-
нормальных волн f = m c/2h. Горизонтальная составляющая посто-
постоянной распространения
? = ¦v/?^i?, k = 2ж{/с.
Фазовые скорости мод ст = 2nf/?m. Следовательно: а), б) Zm =
= sin(?mz), km = т(п/5)ьл~\ в)/ = 150m Гц, т = 1,2,3,4; г) ?т =
= [Bnf/cJ-{mn/hf]U2 = (Tt/5)D-/?V/2 м, ст = 3000/D-/п2I/2 м"/с,
для первой моды т = 1 с. - 1730 м/с.
2.3.19. Для донного осадка, описанного в задаче 2.3.18,
положить с1 = 50 м/с, р1 = 1,1-10 кг/м . Найти коэффициент
75

отражения первой нормальной волны от дна, если частота звука
равна 300 Гц; оценить коэффициент затухания этой волны, обус-
обусловленного неполным отражением ее от дна. Плотность воды
р0 = 10 кг/м3. Скорость звука в воде cQ = 1500 м/с.
Решение. Представим первую моду через два луча Бриллюэна.
Угол наклона лучей ^ = arcsin^/f), где ^ — критическая
частота первой моды: f. = cjih - 150 Гц, отсюда %1 = 30°.
Находим коэффициент отражения луча по формуле
msinx.-/«2-cosV p с.
у = i— 1 , т = -i = 1,1, п = —¦ = 30.
i22 ° 1
11
Вследствие неполного отражения звука от дна волна в слое во-
воды постепенно ослабевает. Например, на расстоянии L луч от-
отражается от дна N = L/Д раз, где Д •= 2h/\g%.. Относительное
2
уменьшение энергии при каждом отражении луча равно \-\V\ , a
на длине 100м— A-|К| )N с учетом разложения волиы на два
луча Бриллюэна 2 A — | Vj )N; среднее ослабление на 1м, т.е.
коэффициент затухания первой нормальной волны, равно 2э" = 2 х
х A-1V|2)Лг/100. Числовые значения: | V] - 0,96, % « 4-10~3м~1.
2.3.20. В сторону берегового шельфа, каменистое дно кото-
которого образует с ~ горизонтальным уровнем воды угол 1,1°, рас-
распространяется звук с частотой 6 кГц от практически ненаправ-
ненаправленного излучателя. Определить число незатухающих мод, при-
приходящих в точки, расположенные на расстояниях 10 и 50 м от
берега. Найти углы наклона к горизонту лучей Бриллюэна на
расстоянии 10 м от берега. Скорость звука в воде 1480 м/с.
Решение. Считая коэффициент отражения равным на верхней
границе -1, на нижней + 1, находим критические частоты т —
моды на различной глубине клиновидного шельфа: hf, = Bm-l)x
xc/4/i (h = r \g% = 0,0192л, с = 1480 м/с). Незатухающие мо-
моды образуются, если f = 6000 Гц > /.. Находим значения h
прн г, равных 10 и 50 м, вычисляем для этих глубин критиче-
критические частоты fhm и определяем незатухающие моды, соответст-
соответствующие некоторым Значениям т. Далее вычисляем углы наклона к
горизонту лучей Бриллюэна на расстоянии г = 10 м от берега:
sin%m = fhm/f- Таким образом, на расстоянии г = 10 м обра-
образуются две незатухающие моды; при г = 50м—восемь мод. Углы
наклона лучей Бриллюэна при г = 10 м: т = 1, % = 18,7°;
т = 2, Ц = 41,7°.
76

2.3.21. Вычислить объемную плотность энергии и интенсив-
интенсивность звука в диффузном поле.
Решение. В диффузном (или изотропном) звуковом поле, т.е.
в таком пространстве, где отсутствуют упорядоченные направ-
направления распространения звука, объемная энергия равна
9 9 271 тг „
F = JL \dQ = A CdQ rsinQ de = 2jM
2pc2j 2pc2jQ Jo pc2
где du = sinG dB d<p есть элемент телесного угла, Л—амплиту-
Л—амплитуда давления, не зависящая от направления вектора к, характе-
характеризуемого углами Э и <р. Интенсивность звука, т.е. энергия,
падающая в единицу времени на единицу площади, равна
271 тг/2 2
о о
2.3.22. Вывести формулу для времени реверберации звука в
помещении.
Решение. Напишем уравнение баланса энергии в объеме, где
находится источник звука с мощностью N(t), а полное поглоще-
поглощение звука (различными предметами, граничными поверхностями)
равно а. Энергия источника за вычетом поглощенной энергии в
единицу времени идет на изменение энергии поля: N(t) - Ja =
= d(EV)/dt, где У —интенсивность звука в диффузном поле, т.е.
энергия, падающая на единицу площади в единицу времени, В —
объемная плотность энергии, V— объем. Но ? = М/с, где с —
скорость звука (см. задачу 2.3.20). Уравнение баланса энер-
энергии: 777+fy^ * fr/ ^@- Пусть источник звука включается в
момент t = 0. После этого интенсивность звука спадает по эк-
экспоненциальному закону, который находим из уравнения
dJ ас , _ n ' m
где / = J0 exp{-jyt)—формула отзвука. Время, 6 течение
которого интенсивность звука уменьшается в 10б раз (на
60 дБ), называется стандартным временем реверберации. Из
уравнения A) находим t = B4/c lge) V/a; для воздуха
(с = 340 м/с) tr = 0,162 V/a [с].'
2.3.23. Вычислить время реверберации / в прямоугольном
зале размером 100x70x20 м, если средний коэффициент затуха-
затухания стен, пола и потолка равен а = 0,6 м.
Ответ. tr = 0,162 V/a = 1,82 с, а = a?Sfe, где Sfc-пло-
Sfc-площадь ограничивающих плоскостей.

8. АКУСТИКА НЕОДНОРОДНЫХ СРЕД
3.1. Геометрическая акустика.
Уравнения эйконала, переноса, луча
8.1.1. Распространение в среде гармонического сигнала
(р ~ ехр(-Л)О). скорость звука в которой зависит от коорди-
координат с = с(г), описывается уравнением Гельмгольца
Ap + *gn2(r)p = 0. A)
Здесь ku = ш/с0, n(r) = Cq/c{t) — показатель преломления. Ес-
Если свойства среды изменяются медленно на расстояниях порядка
длины волны, решение A) должно быть близким к локально пло-
плоской волне:
р - А(г) ехр [/*Ф(г)], B)
где А и Ф —амплитуда и эйконал. Вывести приближенные уравне-
уравнения геометрической акустики, связывающие А, Ф и п(т).
Решение. Подставляя формулу B) в уравнение A), получаем
h&A + i BУФ ЧА + ЛДФ) - А [(V*J - п2(г)] = 0. C)
Характерный масштаб изменения Л и УФ соответствует размеру
неоднородности L. При рассмотрении коротких волн в уравнении
C) появляется малый параметр A/L «1. В этом случае в урав-
нении C) первым членом А/4/Л. можно пренебречь. Оставшиеся
члены образуют уравнение эйконала
и уравнение переноса
2ША + ЛДФ = 0. E)
Эти два уравнения называются уравнениями геометрической аку-
акустики. Решать их гораздо проще, чем исходное уравнение Гель-
Гельмгольца A).
3.1.2. Решение основного уравнения геометрической акусти-
акустики—уравнения эйконала A.4) позволяет построить поверхности
равной фазы Ф(г) = const, т.е. поверхности волнового фронта.
>8
(УФJ = п\т) D)

Поток волновой энергии направ- z| T-const
лен вдоль лучей—линий, перпен-
перпендикулярных фронтам. Получить
уравнение для траектории луча.
Решение. Если решение урав-
уравнения эйконала A.4) известно,
то единичный вектор нормали к
фронту есть
I = УФ/17*| = ТФ/п. A)
Пусть траектория луча описыва- К задаче 3.12
ется функцией R(s), где R —
радиус-вектор, s — расстояние, отсчитываемое вдоль луча (см.
рисунок). Тогда из определения единичного вектора касательной
dR/ds = I B)
и формулы A) следует
п dR/ds = V*. C)
Дифференцируя C) по s, с учетом A) получаем
Из этого соотношения и уравнения эйконала следует уравнение
для траектории луча
dl[n1JJ = Vn- W
Во многих задачах вместо длины дуги s удобно использовать
переменную т такую, что dx = ds/n. При этом D) примет вид
Это уравнение аналогично уравнению движения материальной
точки в силовом поле с потенциалом U = - п (г)/2.
3.1.3. Решить уравнение для траектории луча для среды с
постоянной скоростью звука с = cQ.
¦ Ответ. Для луча, выходящего нз точки R = R. прн s = О
вдоль единичного вектора I начальные условия имеют вид
R(s=0) = RQ, dR(s=0)/ds = lo,
и в однородной среде (я = 1) решение B.4) R = R. + I s опи-
описывает прямую линию.
3.1.4. Получить уравнение для траектории луча в плоско-
плоскослоистой среде, скорость звука в которой зависит лишь от
вертикальной координаты: с = c(z).
79

Решение. Пусть луч составляет угол в с вертикалью и угол
X = я/2 - б с горизонталью (см. рисунок к задаче 3.1.2). По
определению
|f = lx = sine = cos*, |f = 1г * cose = sin*. A)
Из B.4) следует, что d(nl )/ds = 0, nl = const, или
n(z) sind(z) = «0sin60, n(z) cos%(.z) = nQcosxQ, B)
где Э , Xn соответствуют углу выхода луча при z = z^, a nQ =
= n(z ). Равенство B) есть известный закон Снеллиуса для
плоскослоистой среды. Для получения траектории луча z = z(x)
воспользуемся формулой, следующей из A) и B):
4^- = tg х = ± - - - ~— • C)
Продифференцируем C) еще раз по х:
d2z I dn2 ,л\
Уравнение D) нужно решать с начальными условиями
*И>)-г0. UZgbl-tgXc E)
Для лучей, распространяющихся под малыми углами к горизон-
горизонтальной оси х, уравнение траектории луча D) не содержит %0,
так как cos г» « 1.
3.1.5. Используя закон преломления на плоской границе
двух сред со скоростями звука с_ и с.
c^cosx0 = cQcosxr A)
получить закон Снеллиуса для непрерывной плоскослоистой сре-
среды (с = с(г)).
Ответ. Чтобы получить закон Снеллиуса D.2) или
B,
нужно разбить среду на тонкие горизонтальные слои, в каждом
из которых скорость звука постоянна. Применяя последователь-
последовательно на каждой границе закон A), придем к формуле B).
3.1.6. Получить закон преломления луча в сферическн-сло-
истой среде, скорость звука в которой с = с(г) зависит от
расстояния г до центра симметрии.
Решение. Разобьем среду на достаточно тонкие сферические
слои, в каждом из которых скорость можно считать постоянной.
Рассмотрим луч .46, пересекающий две границы одного слоя
80

К задаче 3.1.6
(см.рисунок а). Проведем линию ОС 1 АВ. Имеем вспомогатель-
вспомогательное соотношение
ОС = r1sin01 = r2sin02> или sin92 = psin0 A)
Далее обычный закон преломления запишем последовательно для
границ слоев. На первой границе (точка А на рисунке б)
sin911 ^0
s.n012 - с,'
На границе второго слоя (точка 8)
sin9
или с учетом соотношения A)
21
'22
г, sin012
Vin022
Продолжая цепочку этих выражений, на границе /го слоя по-
получим
CJ=1
С. "
Перемножая все записанные выражения, находим
г.
п .
I
с.
I
или
B)
rn(r)sin8(r) = rQ n(r0) sin9(rQ) = const
(правило Богера).
3.1.7. Найти траекторию луча в плоскослоистой среде.
Решение. Для расчета траектории г = z(x) нужно решить не-
нелинейное дифференциальное уравнение D.4). Другой путь — ис-
Я1

кать зависимость х = х(г), воспользовавшись D.3):
il/2.
jf-ctgx-i 2V°'"°2 il/2. О)
22 i
[n2(z)-n20cos\
Интегрируя это уравнение с условием x(z=zQ) = 0, получаем
*(*) - ± п0 cos^ ][п\г) - nj cos2z0r1/2 dz. B)
9 2 2
Точки z = z , для которых n B ) = n't cos Xo и знам(натель
под интегралом B) обращается в нуль, являются точками пово-
поворота луча.
3.1.8. Рассчитать эйконал волны в плоскослоистой ср:де с
вертикальной стратификацией скорости звука с = c(z).
Решение. В плоскослоистой среде уравнение эйконала имеет
вид „ „
Г
В соответствии с формулой B.1) имеем
gi = n(z)lx = n(z) cos х(г) = const.
Подставляя это соотношение в уравнение A) и интегрируя его,
получим
]
Ф = xnQ cos^0 ± ][n\z) - n\ cos2z0]1/2 d2. B)
го
3.1.9. В приближении геометрической акустики рассчитать
поле волны в плоскослоистой среде.
Решение. Подставляя в уравнение переноса A.5) результат
B) предыдущей задачи, приведем уравнение к виду
j^[A2 n(z) smx(z)] = 0.
Отсюда находим амплитуду .
А = Q = ?
1 /О О 0 0 1 /А '
(пвтхГ2 [n2(z)-nlcos\]VA
Поле в плоскослоистой среде дается выражением
p(x,z) = [n2(«)-/&os2;Lg-1
г0
г
0ХЛ0СО5*0 + ikQj(n2-COs\)]/2C
Решение представляется как сумма двух волн, одна из которых
бежит "вверх" вдоль оси, а другая—"вниз".
82

3.1.10. Получить выражения для кривизны и радиуса кривиз-
кривизны луча в плоскослоистой среде.
Решение. Пусть я(г) —угол между направлениями луча и го-
горизонталью. Кривизна К и радиус R кривизны по определению
(см. рисунок) равны
Из закона Снеллиуса (см. E.2))
имеем
-sin,g = cos,0io^) B)
Подставляя B) в A), находим
R
cos x0
del
C)
К задаче 1.3.10
Заметим, что знак К характеризует направление искривления
луча. Луч искривляется в сторону меньших значений с(г).
В точке входа луча в неоднородную среду
R =
D)
где // — величина с размерностью длины, обратная относитель-
относительному градиенту скорости звука. Из D) следует, что радиус
кривизны при заданных свойствах среды минимален для горизон-
горизонтальных лучей {XQ = 0).
3.1.11. Исследовать зависимость кривизны К луча от верти-
вертикальной координаты в точке zQ входа в плоскослоистую среду,
c(z)
А>0
А<0
¦ z
К задаче 3.1.11
83

скорость звука в которой с(г) = Аг + В, В > 0. В какун сто-
сторону искривляется луч в зависимости от знака Л?
Ответ. К = - 2/4г„ cos%Q/(Az^ + В). При А > 0 (волиоюдный
канал) луч искривляется к оси канала z = 0, а при Л<) (аи-
тиволноводный канал) луч от оси уходит (см. рисунок).
3.1.12. Найти радиус кривизны и траекторию луча в оеде с
постоянным градиентом скорости звука
с(г) = со(\ + z/H). A)
Решение. В случае постоянного градиента скорости согласно
формуле A0.3)
R =
COS!
dc\
\
-1
B)
Следовательно, радиус кривизны в такой среде постояьен, а
траектории лучей имеют внд окружностей. Очевидно, что центр
окружности должен соответствовать точке, где скорость звука
обращается в нуль, т.е. он должен лежать в плоскости z = - Н
К задаче 3.1.12
(см. рисунок). Если луч входит в неоднородную среду в точке
(х = 0, 2 = 0) под углом скольжения х0, его траектория с ра-
радиусом кривизны B) описывается уравнением
(x-MgXof + (z+Hf = H2/cos\ C)
3.1.13. Рассчитать траекторию луча в плоскослоистой среде
с постоянным градиентом скорости (см. A2.1)), используя за-
закон Снеллиуса и выражая пройденное расстояние через началь
ный х0 и конечный х углы скольжения.
Решение. Из уравнения G.1) для траектории луча получаем
84

Используя формулу A0.2), следующую из закона Снеллиуса, для
среды с постоянным градиентом скорости получаем
х =
Можно показать, что выражение B) сводится к уравнению окруж-
окружности A2.3); см. также рисунок к задаче 3.1.12.
3.1.14. При распространении звука в океане вертикальное
отклонение луча г, как правило, много меньше размера неодно-
неоднородности //. Используя это условие, получить из формулы
A2.3) явное выражение г = г(х) для траектории луча.
Ответ, г = x{gxn - х /2Н. Луч представляет собой параболу.
3.1.15. Источник находится на глубине zQ в плоскослоистой
среде с постоянным отрицательным градиентом скорости с = С-Х
х A-г///). Найти горизонтальное расстояние L от источника до
границы геометрической тени (см. рисунок).
К задаче 3.1.15
Решение. Граница определяется лучом, идущим под углом Хп
и касающимся верхней границы среды. Пользуясь рисунком, на-
ходнм радиус кривизны R и расстояние L:
Н-гп
'-п) tg*n. . A)
Угол xQ находится из условия R = Н: cos xQ = 1 ~ гп/Н- Под-
Подставляя эту формулу в A), получаем явное выражение для L
При распространении звука в океане обычно zJH « 1, и тогда
L = 2^Н. B)
3.1.16. Звук распространяется в приповерхностном волно-
водном канале с постоянным градиентом скорости (см. A2.1),
85

H > 0). Найти длину цикла луча D в зависимости от угла
скольжения % на поверхности.
Ответ. D = 24 \gX- С увеличением угла % длина цикла воз-
возрастает.
3.1.17. Найти длину цикла в условиях предыдущей задачи,
если волновод имеет глубину А. Рассмотреть предельные случаи
а « н; х « 1, х = V2-
К задаче 3.1.17
Решение. В золноводе конечной глубины есть два типа лу-
лучей: отражающиеся и не касающиеся дна (см. рисунок). Крити-
Критический угол х. эпределяется формой критического луча, касаю-
касающегося дна, и является решением уравнения
cos х„ = H/{H+h), х, « Ah/H , A « Я. A)
При х0 < X, длина цикла определяется формулой D = 2Н tgx
(см. задачу 3.1.16). При х0 > Х„
где Яск —угол скольжения у дна, определяемый из уравнения
cos хск = A + А/Я) cos^0.
Длина цикла —немонотонная функция угла. Вначале она возра-
возрастает, а при х > X. убывает. В частности, при х » X. и А « //
й 2ActgZn, C)
т.е. луч практически не испытывает рефракции и длина цикла
такая же, как в однородном волноводе глубины А.
3.1.18. Волноводный канал образован двумя слоями с пос-
постоянными градиентами скорости звука (см.рисунок): Н = Н2 при
-Я1 при г < 0. Найти длину цикла D(xQ), а также
г > 0 и
86

2
К задаче 3.1.18
радиусы кривизны луча в верхней (R ) и нижней (R ) полуплос-
В Н
кости в зависимости от угла наклона х0 луча на оси канала.
Ответ. Используя результат задачи 3.1.16, находим
D = 2(Н]+Н2) tg%0, /?в = H/cosx0, RH = Я/cos^. A)
С увеличением угла х0 длина цикла возрастает.
3.1.19. Показать, что траектории луча в среде, в которой
с- СоA-а2гУ/2. „ « „0A - а2*2I'2,
представляют собой синусоиды. Найти длину цикла D(xQ) и ис-
исследовать случай малых углов х0 Для приосевых лучей. ,
Решение. Из уравнения D.4) для лучей в плоскослоистой
среде получаем
d2z/dx2 = - a2z/cos\ . A)
С учетом начальных условий D.5) находим
г = (sin%0/a)sin(ax/cos%0). B)
Длина цикла D = 2л cos^^a при малых х0 не зависит от угла
XQ- Такой же результат можно получить, вычисляя интеграл G.2).
3.1.20. Рассчитать траекторию луча в плоскослоистой среде
О о I/O
с показателем преломления п = /i A+а г) .
Ответ. z = (sin Xq/п) sh (ax/cos xQ)- Луч экспоненциально
быстро уходит от оси канала.
3.2. Лучи в неоднородных природных средах
3.2.1. При определении скорости звука часто используют
различные эмпирические формулы, которые позволяют по измере-
измерениям температуры / (в градусах Цельсия), солености s (в
87

промиллях; 1 %0 = 0.1 %)> глубины г (в метрах) расаитать
скорость звука с (в м/с). Формулы различаются точности оп-
определения скорости. Одной из них является формула
с = 1449,2 + 4,6< - 0,055/2 + 0.00029/3 + A,34-0,0100E-35) + 0,05г. A)
Она обеспечивает точность до 1 м/с в диапазоне темпертур t
от 0 до 35 °С, солености s от 0 до 45 %0, глубины г oi 0 до
1000 м.
Пусть судно находится в широком устье реки, несущей прес-
пресную воду в море. Верхние 5м—это пресная вода при тыпера-
туре 20 С. Ниже находится толща морской воды с соле;остью
20 %0 и температурой 15 °С. Максимальная глубина Н -- 20 м.
Найти и построить профиль скорости звука.
Необходимо ли учитывать добавку к скорости звука, (вязан-
(вязанную гидростатическим давлением, —последнее слагаемое > A)?
Найти коэффициент отражения по давлению V от скачка сксрости.
(481,6+0,0162, 0 < 2 < 5 м,
Ответ. с = \ Поправка, свя-
[1489,2+0,0162, 5 < г < 20 м.
занная с гидростатическим давлением, меньше точности оорму-
лы. Коэффициент отражения равен V = Lc/2c = 2,5-10~3.
3.2.2. Температура воды на поверхности океана t = 20 °С,
соленость s = 10 %0. На глубине Н = 100 м соленость s =
= 30 %0, а температура воды t = 6 °С. На глубинах, больших
300 м, температура постоянна н равна / = 6 °С, соленость s =
= 35 %0. Считая, что градиент скорости звука постоянен на
глубинах h < 100 м и h > 300 м, найтн радиус кривизны /? лу-
луча, вышедшего горизонтально, на глубинах h. = 99 м, А„ =
= 500 м. Куда будет загибаться луч?
Ответ. Согласно A.10.4) раднус кривизны определяется от-
относительным градиентом скорости звука R = c/\dc^/dz\, а тра-
траектория загибается в сторону уменьшения скорости звука. Со-
Соответственно получаем: при h = 100 м R. - 5-10 м, луч за-
загибается ко дну; при А„ = 500 м /?„ = 9-104м, луч загибается
к поверхности.
3.2.3. Каков минимальный радиус кривизны луча, рефракция
которого определяется изменением скорости, связанным исклю-
исключительно с увеличением гидростатического давления. Насколько
сильно изменится этот радиус, если глубина равна h =1000 м?
Температура постоянна и равна 6 С, соленость s = 35 %0.

Решение. Из формулы A.10.4) следует, что для слоя с по-
постоянным градиентом радиус кривизны минимален для горизон-
горизонтально выходящих лучей в точке, где cQ минимально, т.е. у
поверхности океана. Используя A.1.1), получаем, что радиус
кривизны у поверхности, где cQ = 1475 м/с, равен R = 93 км,
на глубине Л = 1 км R = 94 км.
3.2.4. Считая, что температура t спадает с глубиной по
линейному закону с градиентом 0,5 К/м, найти радиус кривизны
R звукового луча, выходящего горизонтально из точки, лежащей
на глубине 25 м. Скорость звука в этой точке с„= 1475 м/с.
Определить, на каком расстоянии L звуковой луч отклонится на
величину АЛ = 50 м.
Ответ.
R =
= 641 м,
\dco/dz\ ~ \dcQ/dt\ \dt/dz\
L = /?[l -[(/?-ДА)//?]2]172 * B/?ДЛI/2 * 250 м.
3.2.5. Градиент скорости звука в слое постоянен и равен
дс/дг = 0,05 с", скорость звука у поверхности cQ~ 1500 м/с,
глубина слоя h = 200 м. Источник звука находится у поверхно-
поверхности. Найти .горизонтальное
расстояние, на котором
луч, скользнувший по дну,
выйдет на свободную по-
поверхность (см рисунок).
Решение. Используя ре-
решение задачи 3.1.16, для
луча касающегося дна (%,=
= 0), имеем 0D = 2Я tg^.
V///////////////////////////////////////////////////
Z'
(H =cQ/\dc/dz\ = 30 км) а
критический угол опреде-
определяется из A.17.1). Ис-
Используя условие А « Н, находим
тельно,
0D « 2Н tgx, ~ 2Hx, ~ 2BHh)V2.
Подставляя числовые значения, имеем Xt ~ 0,115, 0D
3.2.6. Узконаправленный источник, расположенный на глуби-
глубине zQ= 200 м, излучает звук в угловых пределах хо= -« (« =
= 3°) относительно горизонта (см. рисунок). Определить, на
каком расстоянии (по горизонтали) х звук выйдет на поверх-
К задаче 3.2.5
Bh/H)v2€ 1, и, следова-
A)
6,93 км.
89

ность. Какова будет длина d оз-
озвученного участка на поверхнос-
поверхности? Градиент скорости звука пос-
постоянен и равен дс/дг = 0,03 с~ ,
скорость звука на горизонте из-
излучателя cQ= 1500 м/с.
Решение. Считая, что начало
координат находится в точке вы-
К задаче 3.2.6 хода луча, получаем, что ско-
скорость звука описывается выраже-
выражением A.12.1), где со = 1500 м/с, Н = cQ(dc/dz)'x = 50 км, а
расстояние, пройденное лучом, имеющим начальный и конечные
углы скольжения xQ и я, описывается выражением A.13.2). Угол
выхода на поверхность определяется из закона Снеллиуса
граничных лучей
получаем
для
х.= 2,42 км,
L учетом малости
« (o?+2z(JH) . Таким образом, для х. и d имеем
дс1 = (///cosa)(sin^1- sin a), d = 2//tga.
Подставляя числовые значения, получаем' %.<= 5,9е
d = 5,24 км
3.2.7. Слой воды имеет постоянный отрицательный градиент
скорости звука -а = \Н\~* = 5-10~5м . На каком расстоянии
L луч, направленный у поверхности горизонтально, достигает
глубины h = 200 м. Найти угол скольжения х в этой точке,
фактическую длину луча /.
Ответ, cos* = (H-h)/H, % я 8°. L = 2784 м, / = 2792 м.
3.2.8. Найти поправку на
глубину объекта вследствие
рефракции луча в среде с по-
постоянным отрицательным гра-
градиентом скорости звука - а =
= \/Н = 6-10" м (см. рису-
рисунок). Кажущаяся глубина объ-
объекта в однородной среде рав-
равна А; при угле скольжения
Xq = 10° h = 50 м.
Решение. В предположении,
что вертикальное отклонение
К задаче 3.2 8
90

луча г « Н, его траектория описывается выражением, получен-
полученным в задаче 3.1.14. Пренебрегая рефракцией для кажущейся
глубины, имеем h = х tg х0, откуда х. = ft/tg х0- Поправка,
связанная с рефракцией, АА = х/2\Н\ = 24 м, т.е. истинная
глубина объекта примерно в 1,5 раза больше, чем кажущаяся.
3.2.9. Скорость звука в плоскослоистом океане измерена в
п точках: c(z.) = с —скорость звука на поверхности, с(гЛ -
= с0, ..., c{z.) = с,, ..., c(z ) = с —скорость звука вбли-
зи дна. Предложить алгоритм построения лучевой картины, ис-
используя кусочно-линейную аппроксимацию скорости звука.
Решение. После задания значений скорости в точках в каж-
каждом из слоев скорость звука можно аппроксимировать линейным
профилем:
с(г) - ск{1 + ак(г-гк)], zk < г < гы, A)
В каждом из слоев траектория представляет собой окружность
радиусом R. = H./cos%k, где % — угол скольжения на верхней
границе k-то слоя. Если а, = 0, то траектории представляют
К
собой прямые.
Если начальная точка находится в &-м слое на глубине z.<
< zQ < zk+v то радиус кривизны первого участка траектории
Rk = Hk\\ + ak(z0~zk)]/cos Xq- Прн построении этого участка
возможны три варианта: траектория может коснуться дна или
поверхности, либо достигнуть границы следующего слоя. При
касании дна или поверхности угол отражения равен углу паде-
падения, % меняется на - X', при переходе в другой слой угол %
непрерывен. Поэтому алгоритм должен включать в себя условие
проверки касания лучом дна или поверхности. Примеры построе-
построения лучевой картины по данному алгоритму приведены ниже.
3.2.10. Построить лучевую картину для источника, находя-
находящегося на оси волноводного канала при г_ = г„ = /г. = 200 м,
если скорость у поверхности (г =0) с. = 1500 м/с, на оси
канала (г„ = Н) с = 1470 м/с, скорость у дна (г = 2„) с, =
= 1520 м/с. Глубина океана ?3= 3200 м/с, А2= г3-г2 = 3000 м.
Найти аналитические выражения для длины цикла D(xQ) при ма-
малых углах выхода х0 и критические углы % и % , когда луч
касается поверхности и дна. Найтн длину цикла для луча, ка-
касающегося поверхности.
91

15C0
15Z0
К задаче 3.2.10
Ответ. Лучевая картина приведена на рисунке. Из решения
задачи 3.1.18 имеем
DUC) = 2(Я, + Н2) tg Хо - 196,4 tg х0 [км], A)
= 10 км,
Н2 =
= 88,2 км.
B)
Критические углы касания поверхности и дна определяются из
условий A.17.1):
cos
Х„ =
D(Xn) = 39,6 км,
V- *„ = 14-7 • C)
3.2.11. В условиях задачи 3.2.10 построить лучевые карти-
иы и найти критические углы, если профиль скорости такой же,
но глубина ?3 = 1200 м.
Ответ. Скорость звука у дна с3= 1886,6 м/с меньше скорос-
скорости у поверхности с. Поэтому критический угол касания дна х~
~ 8,6 меньше критического угла касания поверхности х = 11,4°.
3.2.12. Построить профили скорости звука и лучевые карти-
картины, используя линейную аппроксимацию для следующих данных:
а) г = 0, cJ= 1500 м/с; z2== 80 м,
с3= 1450 м/с; координата источника 20= 80 м;
б) 21= 0, с= 1450 м/с; г2=- 80 м,
с3 = 1500 м/с; г0 -- 40 м;
в) z= 0, с1=-1500 м/с; г2= 60 м,
с= 1440 м/с; г.= 200 м/с, с.= 1480 м/с; г"= 120 м.
о 4 4 0
Ответ. См. рисунки а, б, в.
с2= 1500 м/с;
с2= 1450 м/с;
с2= 1480 м/с;
200 м,
= 200 м,
= 120 м,

1500
с, м/с
1480 8
К задаче 3.2.12
3.2.13. При физическом моделировании распространения зву-
звука в океане используют спиртовые и солевые растворы, обеспе-
обеспечивающие большие градиенты скорости звука. Построить лучевые
93

картины, найти длину цикла для малых углов выхода D(^) для
источника, находящегося на оси канала, найти критичесше уг-
углы касания поверхности % и дна х . определить длину цикла
для луча, коснувшегося первый раз либо поверхности, либо
дна, для следующих профилей скорости звука, считая верти-
вертикальные градиенты скорости звука постоянными:
а) Zj= 0, ct= 1500 м/с; *2= 20 см, с2= 1450 м/с; г3= 50 см,
с3 = 1600 м/с;
б) г,= 0, Cj= 1550 м/с; 22= 20 см, с2= 1500 м/с; г3= 50 см,
с, = 1500 м/с.
Ответ. Используя решение задачи 3.2.10, имеем
е
a) D(x) = 17.8 tgzjM], Хп = 14.6е, D(*n) = 4,6 м; %п =
п
= 20,7° (Я, = 6 м, А1 = 0,2 м; Н2 = 2,9 м, А2 = 0,3 м).
б) D(X) - 23,6 tWo[M]. Zn = 20°, Хд = 14,8°, D(%n) =
= 6,26 м (Я, = 3,1 м, А, = 0,2 м; Н2 = 8,7 м, А2 = 0,3 м).
3.2.14. Найтл зависимость скорости звука с(г) от вы:оты в
неподвижной адиабатической атмосфере.
Решение. Изменение гидростатического давления р в элемен-
элементарном слое тишиной dz равно
dp = - gpdz, A)
где р —плотность. В адиабатической атмосфере давление р(г) и
плотность p(z) на высоте 2 и на горизонте 2 = 0 (р(<1) = рп,
р@) = р0) связаны законом р/р0 - (р/ро)°. Используя )то со-
соотношение, получаем из A) уравнение
pflp'-'p'idp = -pgdz, B)
интегрируя котсрое, находим
•?(^-1J. C)
"-"]
Учитывая, что скорость звука
с2 = др/др = а (Ро/р0)(Р/р/-}
получаем окончательно
2 0 О Рп
с = Cq- g(Tf-\)z, где с^ = Ур2 - D)
3.2.17. Вывести формулу для времени пробега луча в плос-
плоскослоистой среде.
Решение. Время распространения сигнала по элементу дуги
ds равно (см. рисунок к задаче 3.1.10)
Q
_/ ^\ U i л \

Используя закон Снеллиуса (см. A.5.2)), для времени пробега
луча между горизонтами zQ и г получаем
2 п2(г) dz. B)
Г J [
°го
При я(г) = const = 1 из B) получаем очевидное соотношение
3.2.18. Вывести формулу для времени пробега луча в плос-
плоскослоистой среде с постоянным градиентом скорости звука (см.
A.12.1)) через начальный и текущий углы скольжения х0 и х(г)-
Ответ. Переходя в A7.2) к интегрированию по % и, исполь-
используя закон Снеллиуса в виде A.10.2), получаем
1+Sin*o ,_
3.2.19. Пусть рефракция луча определяется неоднородностью
скорости звука, связанной исключительно с увеличением гидро-
гидростатического давления. Найти длину цикла D(xQ) и время про-
пробега т по этому циклу. Сравнить это время с временем распро-
распространения TQ вдоль горизонтального луча на такую же даль-
дальность D в "однородном океане". Найти длину цикла и времена
пробега для углов %Q = 5, 10, 20°.
Решение. Используя выражение для скорости звука A.1.1),
получаем, что скорость звука линейно возрастает с глубиной:
с = cQ(l + z/H), где с0 = 1474,9 м/с, Н = 92,18 км. Длина
цикла определяется формулой задачи 3.1.16: D{XQ) = 2// tg^Q,
а для времени пробега из A.18.1) имеем
и l+sinxn
со ' siruo
Время пробега в однородном океане на такую же горизонтальную
дальность
т0 = 2(H/cQ) tg*0. B)
При малых углах эти времена близки: т * TQ » 2HXq/cq. Под-
Подставляя числовые значения, получаем
а) xQ = 5°, D = 16,129 км, т = 10,92 с, xQ = 10,94 с;
б) х0 ¦= Ю°. D = 32,508 км, т = 21,93 с, TQ = 22,04 с;
в) х0 "= 20°, D = 6,102 км, т = 44,55 с, TQ = 45,49 с.
3.2.20. Найтн время распространения сигнала по длине цик-
цикла луча, вышедшего с оси волноводного канала и состоящего из
95

двух слоев с постоянными градиентами скорости звука (см. за-
задачу 3 1 18).
Ответ. Из формулы A8.1) получаем время пробега как сумму
времен пробега в верхней и нижней полуплоскостях
т = т1 + т2, A)
Н
3.2.21. Температурный профиль в Арктике близок к изотер-
изотермическому, а скорость звука возрастает с глубиной только из-
за роста гидростатического давления. Пусть температура воды
равна О °С и соленость 35 %0. Определить начальный угол вы-
выхода луча %0, расстояние D(xQ) и время распространения сиг-
сигнала т по лучу, который начинается у поверхности, касается
дна и возвращается к поверхности. Глубина h = 2 км
Ответ, Из A.1) следует, что градиент скорости постоянен,
скорость описывается A.12.1), где cQ = 1449,2 м/с, Н =
= 90,575 км Угол выхода %, при котором луч касается дна,
определяется из A.17 1), и х„ ~ И,9°. Длина цикла этого
луча определяется по формуле, полученной в задаче 3.1.16,
время пробега-по B0.2), D(xJ = 38,28 км, т = 26,2с
3.2.22. Для волноводного канала, приведенного в задаче
3.2.10, вычислить время, необходимое для прохождения пути
между двумя последовательными пересечениями оси канала, для
лучей, вышедших вверх под углами %0 = 5, 10, 20, 40, 80 .
Ответ. Для углов %- < % = И.4 лучи не касаются поверх-
поверхности и время пробега определяется формулой B0.2). Соответ-
Соответственно х0 - 5°, т, = 1,19 с; х0 = 10°, т1 - 2,39 с. При
больших углах время пробега т. = 2т, где т —время пробега от
оси до поверхности и описывается формулой A8.1). Уг6"л
скольжения % у поверхности определяется из закона Снеллиуса:
cos* = A + h/HJ cosx0, A)
и для времен пробега имеем соответственно: х0 - 20°, т. =
= 0,86 с; х0 = 40°, т, = 0,43 с; ^ = 80°, т, = 0,27 с. Тат
ким образом, рост времени пробега на начальной стадии при
X < X сменяется при % > х на уменьшение.
3.2.23. Вычислить полное время пробега t импульса от из-
излучателя до приемника при Af циклах, считая, что они находят-
находятся на оси волноводного канала, образованного двумя слоями с
постоянным градиентом скорости звука (см. задачу 3.1.18).
96

Решение. При N » 1 (т.е. на достаточно больших расстояни-
расстояниях) искомое время равно
NH l+sin%0
где т —время пробега по одному циклу— определяется формулами
B0.1) и B0.2), Ht = H. +Н„. Если г —расстояние между из-
излучателем и приемником, то с учетом выражения для длины цик-
цикла (см. A.18.1)) имеем
Решая это уравнение относительно %Q и подставляя ответ в
A), получим время пробега как функцию числа циклов N. Для
океана и0 « 1 и W » 1. Поэтому из A), B) имеем
*0 * TNTT' ЗЩГН] ' ' я'с^~(*0+ б"^' C)
и, следовательно,
п
t = ? [l 5-9I • D)
со^ 24H2N2J
Наибольшее время достигается для луча, совершающего осцилля-
осцилляции около оси канала (N -» оо), те для горизонтального луча.
Формула D) получена в предположении, что лучи не касаются
дна и поверхности Как правило, лучи, отраженные от дна, за-
затухают, и поэтому время прихода начала сигнала будет опре-
определяться лучом, касающимся дна (/V минимально).
3.2.24. Пусть скорость звука волноводного канала (см. за-
задачу 3.2.11) у поверхности больше, чем скорость звука у дна.
Оценить уширение очень короткого импульса в таком канале,
если г -- 1470 км.
Решение Согласно B3 4) длительность принимаемого сигна-
сигнала определяется временем между приходом импульса вдоль луча,
касающегося дна (JV ), и импульса, распространяющегося по
оси канала, 3
о—о- A)
2N2
Если расстояние от оси канала до дна равно /г„, то критиче-
критический угол % определяется из уравнения A0.3) и при h0 « Н
приближенно равен х ~ th^/H^ Из задачи 3 2 23 для числа
9 9 9
циклов имеем # = r/Bhx ) ~ г Н2/(8Н /г„) Следовательно,
уширение длительности сигнала определяется выражением
rh А
4 Акустика в задачах v 97

где tt = r/c0 —время прихода импульса, cQ -скорость на оси
канала. Для условий задачи 3.2.11 cQ = с2 = 1470 м/с, h2 =
= 1 км, //„= 88,2 км, время пробега и уширение импульса равны
t = 1000 с, М = 3,78 с.
3.2.25. Звук распространяется от поверхности Земли верти-
вертикально вверх. Температура у поверхности Земли tQ = 16 С
(Г. = 289 К), а вертикальный градиент температуры постоянен
и по модулю равен Ъ = 0,007 К/м. Считая атмосферу идеальным
газом, найти время пробега т звука от поверхности до высоты
h = 10 км. Сравнить это время со временем пробега т» в изо-
изотермической атмосфере Т = TQ = const. Начиная с каких высот,
относительная поправка, связанная с неизотермичиостью атмос-
атмосферы, превысит 5 = 5%?
Решение. В идеальном газе скорость звука определяется аб-
абсолютной температурой (с ~ Т ), и для атмосферы с = 20Г
(см. A.1.7)). Для температуры можно записать Т= Г.- Ьг =
= Тп(\-г/Н), где Н = TJb = 41,29 км—эффективная еысотэ.
1/9
Таким образом, для скорости получаем c(z) = co(\-z/H) ,
cQ = 20 rl = 340 м/с . Время пробега от поверхности Земли
до высоты h раЕно
г dz 2H\, Г, /П1/21 m
t-Jftzt-c7L1-11-^J J- {1)
Для малых бысот (Н/Н « 1) из A) имеем приближенную фор-
формулу т « — lfX7T ¦ Относительная поправка, связан1ая с
неизотермичностью, меньше б, для высот h < АН д = 8,26 км.
Для высоты h = 10 км время пробега т = 31,45 с, рассчитанное
по приближенной формуле, равно т = 31,19 с, а для изотерми-
изотермической атмосферы TQ = h/cQ = 29,4 с. Таким образом, относи-
относительная поправка равна 6,5 %.
3.3. Захват энергии, фактор фокусировки,
каустики в природных каналах
3.3.1. Ненаправленный излучатель находится в волноаодном
канале. Скорость звука на глубине источника равна с , у по-
поверхности— сп, у дна —с (см рисунок). Найти коэффициент за-
захвата энергии пэдводным каналом, считая, что коэффициент от-
отражения от дна V < 1. Рассмотреть случаи спокойной и взвол-
взволнованной поверхностей.
98

К задаче 3.3.1
Решение. В случае спокойной поверхности каналом будут
захвачены лучи, которые не попадают на дно. Луч, касающийся
дна, выходит из источника под углами ± х . причем из закона
Снеллиуса (см. A.5.2)) следует, что cosj; = с^/с . Обычно
изменения скорости малы, поэтому малы и углы % . Следователь-
Следовательно, можно написать
1 -
= (с -Ас )/с , Ac = с -сп.
* п п1' п п п П
Отсюда
д О
A)
B)
Полная энергия, излученная ненаправленным излучателем, со-
содержится в телесном угле 4п, а энергия, захваченная кана-
каналом, — в телесном угле 12, ограниченном в вертикальной плоско-
плоскости углами ± X ¦
Д
X
Г
П = 2п
Отсюда отношение энергии, захваченной каналом, к полной из-
излученной энергии ("коэффициент захвата") равно
К = я/4п = хл = BАсд/с I/2. C)
В случае взволнованной поверхности лучи, попадающие на по-
поверхность, рассеиваются и в конце концов попадают иа дно,
где поглощаются. Поэтому в данном случае коэффициент захвата
К -
3.3.2. Излучатель находится на глубине z в приповерхно-
приповерхностном волноводном канале с постоянным градиентом скорости
звука (см. A.12.1)). Глубина волновода h = 2 км, Н = 90 км.
99

Найти зависящий от глубины коэффициент захвата K(zQ) i его
максимальное значение. На какой глубине г коэффициент за-
захвата в два раза меньше максимального?
Ответ. Канал будет возникать только при спокойной поверх-
поверхности, и согласно A.1.3)
К(г0) = [2(h~zo)/Hf2, Kmn = K@) = Bh/H)v2 » 0,21.
Из уравнения K(zJ = К@)/2 следует гя = ЗА/4 = 1,5 км.
3.3.3. Волноводный канал характеризуется следующими зна-
значениями скорости звука у поверхности, на оси канала (г = zj
и на дне (см. рисунок к задаче 3.3.1):
1) сп = 1500 м/с, са = 1450 м/с, с
1550 м/с.
1500 м/с.
а
2) сп = 1550 м/с, са = 1450 м/с, с
Найти максимальный коэффициент захвата в случае спокойной и
взволнованной поверхностей. Построить качественную зависи-
зависимость коэффициента захвата от глубины излучателя.
Ответ. Для вслноводного канала 1 для спокойной поверхюсти
для взволнованной поверхности
Графики для этих случаев приведены на рисунке а.
Для волноводного канала 2, когда скорость у дна с меньше
скорости у поверхности сп, оба случая (см. рисунок б) совпа-
совпадают и
К™х = К(гя) = BАсд/сдI/2 « 0,26.
0,4
0,2
К задаче 3.3.3
100

3.3.4. Подводный звуковой канал имеет вид с = cQ @ s г <
< А, г > А2) и с = c(z) (A ^ 2 5 А2). Существует ли такой
профиль с(г), при котором часть лучей, идущих с поверхности
океана, будет захватываться каналом?
Решение. Из закона Снеллиуса для угла скольжения на глу-
глубине 2 следует выражение
C0S%B) = COSXq^- A)
Следовательно, луч не проникает в область z > А„ только в
случае, если в какой-то области с(г) > cQ. При этом часть лу-
лучей будет захватываться приповерхностным волноводным каналом.
3.3.5. Оценить, какой выигрыш по амплитуде по сравнению
со сферически расходящейся волной амплитуды р дает волно-
водный канал, параметры которого даны в задаче 3.3.3, если
поверхность взволнована, zm = 1,5 км, г = г = 1000 км, г =
= г„ = 10 000 км. Ненаправленный излучатель расположен на
оси канала.
Решение. В сферически расходящейся волне закон сохранения
энергии можно записать как .
4тгг2-р2/Bрс) = W, A)
где W — мощность источника звука, р —плотность воды, с —ско-
—скорость звука. Для оценки поля в канале можно считать, что
энергия равномерно распределена по глубине канала, т.е. от 0
до гш, тогда закон сохранения энергии будет иметь вид
2пггя-р2/Bрс) = KW, B)
где /( — коэффициент захвата (см. A.4)), с —средняя скорость
звука. Таким образом, для отношения амплитуд имеем д = р/р =
= BKr/zJV2. С учетом решения задачи 3.3.3 К = 0,26 полу-
получаем соответственно для двух дальностей д. ~ 19, д_ ~ 59.
3.3.6. В условиях предыдущей задачи оценить акустическое
давление, если акустическая мощность излучателя W = 10 кВт.
1 /О
Ответ, р = (KWpc/nrzJ . Для двух дальностей имеем со-
соответственно р = 0,9 Па и р = 0,29 Па.
3.3.7. Гидролокатор лоцирует объект, находящийся под сло-
слоем резкого отрицательного скачка скорости звука (под термо-
термоклином; см. рисунок). Найти ослабление принимаемого сигнала
К, связанное с наличием термоклина.
Решение. Пренебрегая отражением от слоя скачка и считая,
что энергия в лучевой трубке сохраняется при переходе через
101

слой, можно написать для отноше-
отношения ннтенсивностей при однократ-
однократном прохождении через слой
При эхолоцировании общее ослаб-
ослабление, связанное с наличием тер-
термоклина, равно
i
<\ 1
Используя закон Снеллиуса (см.
К задаче 3.3.7 ,..,..
B.4.1)) и условие, что скачок
скорости мал (Ас = с. - с, « с.), получаем
И для ослабления силы звука в логарифмическом масштабе из
A)-C) имеем
G = 10 1g/( = 10lg[l+^ctg2%J. D)
3.3.8. Найти ослабление силы звука при эхолоцировании с
поверхности подводного объекта, находящегося непосредственно
под термоклином, с перепадом скорости Ас = 50 м/с (с. =
= 1450 м/с), если расстояние до объекта г = 1 км, а термо-
термоклин расположен на глубине h = 100 м.
Ответ. хх = 5,7°, G = 9 дБ.
3.3.9. Фактором фокусировки F в гидроакустике называется
отношение интенсивности поля /(/?) в неоднородной среде в
точке, удаленной на расстояние R от источника звука, к ин-
интенсивности /Q в однородной среде на том же расстоянии Я от
источника:
F = ///0. A)
Вычислить фактор фокусировки в плоскослоистой среде.
Решение. Если W — акустическая мощность источника, то в
однородной среде в силу симметрии из закона сохранения энер-
энергии имеем
В неоднородной среде энергия сохраняется вдоль лучевых тру-
трубок, которые искривляются вследствии рефракции. Рассмотрим,
как изменяется интенсивность вдоль лучевой трубки, ограни-
ограниченной лучами, вышедшими из источника под углами х0 и XQ+dX0
102

(см. рисунок). С учетом цилин-
цилиндрической симметрии задачи
мощность, излучаемая источни-
источником внутри телесного угла dQ,
ограниченного этими лучами,
равна
dW = ^ dQ, dQ = 2ttcos%0 d%Q. C)
Если г = г(хо)~ дальность в
зависимости от угла выхода
при фиксированной глубине 2,
%(z)— угол скольжения в точке К задаче 3.3 9
приема, то для мощности внутри этой лучевой трубки можно иа-
писать
dW = / dS, dS = 2rrrd/ = 2nr \dr\ sin%B). D)
Учитывая, что
E)
F)
При малых углах скольжения, когда R ~ r, cos%0 ~ 1, справед-
справедлива приближенная формула
из C), D) для интенсивности получаем
Для фактора фокусировки из B)-E) находим
F = /?2cos
3.3.10. Показать, что в однородной среде фактор фокуси-
фокусировки F, определяемой выражением (9.6), действительно равен
единице.
Решение. Используя соотношение между глубиной г и даль-
дальностью г B = г tg%Q), получаем из (9.6), что F = 1.
3.3.11. Найти фактор фокусировки звука в слоисто-неодно-
слоисто-неоднородной среде с постоянным градиентом скорости звука (см.
A.12.1)).
Ответ. Воспользовавшись A.13.2) для пройденного лучом
расстояния г = х и законом Снеллиуса (см. B.4.1)), получаем
для фактора фокусировки (см. (9.6))
F = (R/rJcos\, A)
103

a 6
К задаче 3.3.11
где Xq—угол входа луча, R — расстояние от источника до -очки
приема, г —горизонтальная дальность. Вводя угол ф, направ-
направленный из излучателя в точку приема (см.рисунок), фактор фо-
фокусировки можно записать в виде
B)
F = cos2z0/cos2^>.
В реальных условиях, когда xQ, <р « 1, отличия F от 1 малы.
3.3.12. Скорость звука в среде изменяется по закону с
>,„ (г < 0), с = сЛ+z/H) (z > 0). Сферический источник
находится на высоте г = - гт иад уровнем излома скорости.
Найти уравнение отражшных
лучей в верхнем полупростран-
полупространстве, уравнение для каустики.
Решение, Введём координату
у = - 2 (см. рисунок). Тогда
для луча, вышедшего под /глом
XQ из источника и прошедшего
горизонтальное расстояние г,
справедливо равенство
г'+У
•7
0
\
Z
/
/
v /
У
Хч У
К задаче 3.3.12
где первое слагаемое есть горизонтальное расстояние в верх-
верхнем пространстве, а второе —в нижнем (см. A.16.1)). Интен-
Интенсивность обращается в бесконечность в точках, где
дг _ г. + У 2Н
= 0.
B)
~и и
Уравнения B), C) задают каустику (геометрическое место то-
точек, где интенсивность обращается в бесконечность) в пара-
104

метрическом виде. Исключая х0 из B), C), получаем уравне-
уравнение каустики в явном 'виде:
г = 2 [2// (zt+y)f2. у = - 2, + г2/8Я, у > 0. C)
Из D) следует, в частности, что расстояние до гт появления
каустики в верхнем полупространстве (у = 0 в D)) равно
г. = (8Я2.I/2 D)
и растет с удалением излучателя от границы излома скорости.
3.3.13. В условиях задачи 3.2.12 (случай б)) найти урав-
уравнения каустик: для лучей, не отраженных от поверхности; для
лучей, отраженных один раз. Найти расстояние г для выхода
каустики на поверхность. Рассмотреть глубины излучателя zQ =
= 80, 40, 0 м.
Решение. Из данных задачи 3.2.12 получаем, что в верхнем
слое скорость звука постоянна, а в нижнем имеет постоянный
градиент Н = c^iz^-zJj/ic^-c^) = 3,48 км. Если ввести ко
К задаче 3.3.13
ординату у, отсчитываемую от границы излома, для лучей, на-
направленных в нижнюю полуплоскость, высота излучателя иад
границей излома равна zt ~ z^-z^ и уравнение каустики в од-
однородном слое имеет вид (см. A2.4))
у = (го-г2) + г2/8Я, г i[8«(V# ¦ A)
Каустика достигает поверхности иа расстоянии
г = [SH Bzo-zn)f2 . B)
105

Для лучей, направленных в верхнюю полуплоскость и отраженных
от границы, эффективная высота источника над границей разде-
раздела равна г^ = г + г„. Соответственно уравнение каустики и
расстояние выхода каустики на поверхность равны
у = (г0+г2) + г*/8Н, г * [8Я(г2+г0)]1/? C)
гп = {8Я B22+2о)}1/2 D)
Подставляя числовые значения, получаем
а) гп= 80 м, г = 1,49 км; г.= 40 м, г = 1,82 км; г = 0 м,
' и п о п о
г = 2,11 км.
п
б) 20= 80 м,- гп= 2,58 км; 2Q= 40 м, гп= 2,35 км; 2Q- 0 м,
г = 2,11 км.
п
Положения каустик видны на рисунке (глубина 2. = 40 м).
3.3.14. Найти уравнения каустик в приповерхиостном канале
с постоянным градиентом скорости звука с - cQ{\+z/H). Счи-
Считать, что излучатель расположен на поверхности, и ограни-
ограничиться малоугловым приближением.
Решение. Найдем горизонтальное расстояние от излучателя
до точки с координатами (г, г), если при этом луч делает N
полных циклов и еще проходит часть цикла Дг < D. Длина цикла
D = 2Н igxQ (см. задачу 3.1.16). Тогда из A.13.2) получаем
г = ND + br = 2NHlgxo+ ^^ (sirv^-sinz) = HBN+\)\gxQ - H^& .
A)
Угол % определяется из закона Снеллиуса: cosj; /с = cos^ /с.
Для малых углов скольжения из A) получаем
г = Я{B^+1)*0 + D-22/ЯI72}, B)
где знак минус соответствует первой половине последнего не-
неполного цикла, знак плюс —второй. Фактор фокусировки обра-
обращается в нуль в точках, где
дг/дХо = о, C)
откуда следует, что каустики возникают только на первой по-
половине неполного цикла, и, следовательно, в B) нужно оста-
оставить только знак минус. Из C) находим
E)
у
%0~ (BЛМJ-1I/2'
Подставляя D) в B), для формы каустик получаем уравнение

4. ИЗЛУЧЕНИЕ И РАССЕЯНИЕ ЗВУКА
4.1.. Излучение звука колеблющимися телами
4.1.1. Рассмотреть сфернчески-симметричные пульсации сфе-
сферы, излучающей расходящуюся гармоническую волну. Рассчитать
интенсивность звука и мощность источника, полное механиче-
механическое сопротивление (импеданс), а также присоединенную массу.
Решение. Используем выражение для потенциала сферически
расходящейся волны
</> = ^ехр(- Ш + ikrj, A)
где k - w/c, r. = г - а, а —радиус шара. Пользуясь формулой
A), рассчитаем радиальную компоненту колебательной скорости:
v = |? = ?(i*-I)exp (-»«* +«*/-,). B)
Полагая, что на сфере г = а задана амплитуда vQ колебатель-
колебательной скорости, из B) находим константу
А = cPv^ika-X). C)
Найдем теперь акустическое давление:
р = - р ff = ipc j t^ exp(- iwt + ikry). D)
Интенсивность звука для гармонической волны вычисляется иа
основании B), D) по формуле
Здесь черта сверху означает усреднение по периоду, звездоч-
звездочка—знак комплексного сопряжения. Полная мощность источника
W = 4тгг2/ = 2na\pcvl)-^^ = 2npc3gJMAJ- F)
Здесь введена амплитуда ? = vjck колебаний смещения по-
поверхности сферы. Результат F) показывает, что при фиксиро-
фиксированной амплитуде смещения ?п излучаемая мощность в случае
2 2
низких частот (k а « 1) пропорциональна 4-й степени часто-
частоты, а в случае высоких частот (k2a » 1)—2-й степени часто-
.107

ты. Таким образом, на низких частотах процесс излучения мало
эффективен, что связано с большой массой соколеблющейся жид-
жидкости—слоя, прилегающего к поверхности сферы.
Механический импеданс (отношение силы реакции поля излу-
излучения, действующей иа поверхность сферы, к скорости а) вы-
вычисляется по формулам B), D):
Z = S&] = pcS(feQ>2~^Q = R-iY. G)
Здесь S = Ana — площадь сферической поверхности, R и г—ак-
г—активная и реактивная части импеданса:
R = pcS {ka) 0, Y = и>М' = pcS ^-s. (8)
\ + (ka/ \+(kaJ
Присоединенная (соколеблющаяся) масса (8) равна
М' = 4тта3рA - k2a2)~\ (9)
На низких частотах присоединенная масса равна утроенной мас-
массе жидкости, вытесненной шаром. С увеличением частоты масса
М уменьшается до нуля.
4.1.2. Определить полную мощность излучения сферы радиу-
радиусом 1 см, совершающей колебания в воздухе (а) или в воде (б)
с амплитудой ?Q = 1 мм на частоте / = 100 Гц.
Решение. Данные, приведенные в условии задачи, соответст-
соответствуют низкочастотному пределу ka = 2naf/c « 1 как для возду-
воздуха, так и для воды. Поэтому A.6) примет вид
ЛГ = BnM(a/LJ(PA)- О)
Полагая для воздуха р/с = 3,8-10 кг/(м -с), для воды р/с =
= 6,7-10" кг/(м -с), получаем оценки излучаемой мощности:
а) W = 3,7-10Вт, б) N = 6,5-10Вт.
4.1.3. Рассчитать активную составляющую удельного акусти-
акустического импеданса и соколеблющуюся (присоединенную) массу иа
единицу площади сферического излучателя радиусом а, колеблю-
колеблющегося в воздухе с частотой /. Рассмотреть два случая:
а) а = 0,25 м, f = 100 Гц, б) а = 1 м, / = 400 Гц.
Решение. По формулам G), (8) задачи 4.1.1 находим
§р A) ML=_J>a A)
л \ + Bnfa/cJ ь 1+Bтг/а/сJ
Для значений р = 1,3 кг/м3, с = 330 м/с, рс = 429 кг/(м2-с)
о о
получаем значения k а : а) 0,23, б) 58. Искомые величины
/?/5[кг/(м2-с)] и М'/5(кг/м2) соответственно равны: а) 79 и
0,27; б) 420 и 0,022.

4.1.4. Рассмотреть поступательное осцилляторное движение
сферы (происходящее без изменения ее объема) вдоль полярной
оси 2 сферической системы координат. Рассчитать интенсив-
интенсивность звука и мощность источника, полное механическое сопро-
сопротивление (импеданс), а также присоединенную массу.
Решение. Действуем по аналогии с задачей 4.1.1. Однако
здесь нельзя брать решение волнового уравнения в виде A.1)
(где Л—не зависящая от 8 константа), поскольку при этом не
удается удовлетворить граничному условию
Vr = If = V0 COS9 eXP(~ **> W
для радиальной компоненты скорости на поверхности сферы г=а.
Чтобы получить нужную зависимость от азимутального угла 8
v ~ cos0 A), возьмем решение волнового уравнения в виде
производной от решения A.1):
Ф, = (W) <р = vQcosB $fi = u0cos8 ?[/* - 1] exp(- tot + rtr,). B)
Зная <p., вычислим v = dip,/dr и положим константу А равной
о 9 2 Г
a /B-2ika-k a ), чтобы удовлетворить условию A) при г = а:
Соответствующая формула для акустического давления имеет вид
р - ipcvQcos8 [f] A-ifer) 2 \a exp(-M *¦ ikrj. D)
Переходя в решении C), D) к дальней зоне (kr»\), найдем
интенсивность излучаемого звука
^^cos'e. E)
Сравнивая E) с A.5) для радиально-пульсирующей сферы, ви-
видим, что излучение поступательно-осциллирующей сферы харак-
характеризуется функцией направленности Ф = cos 6. При этом коэф-
коэффициент осевой концентрации излученной энергии
п
К = 2 Г |Ф@) sin0 del F)
о
равен 3, в то время как для ненаправленного излучения (Ф =
= 1) ои равнялся бы 1. Полная излученная мощность, получае-
получаемая интегрированием E) по телесному углу 2ттг2 sin 8 d8, вы-
выражается формулой
* 2 na*pcv2 Akall_ __ 2 3^2 l
°4+(АаL 3 °
109

Сравнение G) с A.6) показывает, что на низких частотах мощ-
мощность излучения осциллирующей сферы (~ f ) меньше, чем. у
пульсирующей (~ /4). Механический импеданс вычисляется на
основе формул C), D), в которых нужно положить г = а:
Z = L = L JpcosG• 2тга2 siп8 dQ = \ па2рс f f+ika . (8)
Действительная и мнимая части импеданса равны
3 4+(*aL 3 4+(*aL
Присоединенная масса осциллирующего шара
\ai 4 _„3. 2+(fea) 1лс\\
М = тупа р—s—Чг AU)
6 4+(kay
на низких частотах равна половине массы жидкости, вытеснен-
i-2
ной шаром, а на высоких частотах стремится к нулю как f .
4.1.5. Определить полную мощность излучения звука сферой
радиусом 1 см, совершающей в воздухе поступательные колеба-
колебания на частоте / = 100 Гц с амплитудой смещения ?„ = 1 мм.
Как изменится мощность, если колебания присходят в воде?
Решение. Условия задачи соответствуют низким (ka « 1) час-
частотам, для которых A.7) имеет вид N = C2/3)n7(afN^(p/c3).
Для воздуха р/с3 « 3,3-Ю"8 кг/(м4-с), N « 10"9 Вт. Для воды
р/с ~ 3• 10~ кг/(м -с), поэтому излучаемая мощность пример-
примерно в 10 раз выше.
4.1.6. Массивный плоский поршень массой М и площадью S,
закрепленный на пружинке с жесткостью C, совершает свободные
квазигармонические колебания на входе в газонаполненную тру-
трубу того же сечения. При этом поршень излучает плоскую звуко-
звуковую волну, бегущую вдоль оси х трубы и испытывает вязкое тре-
трение, сила которого пропорциональна скорости. Как процесс из-
излучения влияет на собственную частоту и затухание колебаний?
Решение. Уравнение колебаний поршня имеет вид
M^ + a? + P? = -PS. A)
где ? —смещение поршня из равновесного положения х - 0, р —
давление на поверхность поршня (х = 0) излучаемой акустиче-
акустической волны. Поскольку для бегущей плоской волны
v = f(t-x/c), p = pc f(t-x/c) = pcv = pee,, B)
уравнение A) примет вид
М% + (a+pcS)? + р$ = 0. C)
110

В предположении о квазигармоническом характере колебаний
ищем решение C) в форме ? = ?оехр (-<ш/). Это дает Ми> +
+ i(u+pcS)w - 3 = 0, откуда для комплексной частоты получаем
Выражение D) отвечает затухающим колебаниям. Даже если тре-
трения нет (а = 0), колебания будут затухать благодаря потерям
на излучение. Их амплитуда A{t) = A exp(- pcSt/2M). Собст-
Собственная частота (действительная часть D)) вследствие излуче-
излучения звука уменьшается. Заметим, что механический импеданс
Z = S(p/v) _0 = pcS в соответствии с B) есть действительная
величина. Поэтому присоединенная масса поршня, излучающего
плоскую волну, равна нулю.
4.1.7. Сферическая оболочка радиусом а и массой М совер-
совершает сферически-симметричные пульсации под действием нор-
нормальной силы F(t), равномерно распределенной по поверхности.
Записать уравнение движения оболочки с учетом реакции излу-
излучения звуковой волны. Получить выражение присоединенной мас-
массы для произвольных во времени низкочастотных колебаний. Для
гармонических колебаний рассчитать механический -импеданс.
Решение. Уравнение для радиальной скорости оболочки:
Mv = F - pS. A)
Потенциал сферически расходящейся волны
откуда находим связь между скоростью и давлением:
реи = р + (с/г)р, B)
дифференциальная форма связи B) эквивалентна интегральному
соотношению t
-00
Полагая в C) г = а и переходя к новой переменной т = t-t',
приведем уравнение A) к виду
00
м
Ш + pcS Ш №~х) ехР (- ? т] dx = R W
о
В случае колебаний на низких частотах функция v(t-x) под
интегралом D) является "медленной", и запаздыванием т в ней
можно пренебречь. При этом уравнение D) принимает вид
(М + paS) $ = F. ¦ E)
ill

Как видно из E), присоединенная масса М' = р'4па , что со-
согласуется с A.9) при ka -» 0. Для гармонических во времени
колебаний можно ввести понятие механического импеданса 2 =
= S(p/v) . Полагая в C) с = vQ exp(- iwt), r = а, найдем
^ ^. F)
Результат F) совпадает с A.7).
4.1.8. В условии предыдущей задачи считать, что сила /
изменяется во времени по гармоническому закону, а оболочка
испытывает вязкое трение. Рассчитать КПД этой излучающей си-
системы: Т) = N/N , где N — излучаемая мощность, Л' —мощность
источника, создающего силу F.
Решение. Уравнение движения имеет вид
Mv + av = FQe~iut-pS. A)
Подставим- сюда выражение G 6) для давления р. Отыскивая
решение в виде v = vQ exp(- iu>t), найдем
[ 22]Y'1 B)
Мощность источника
C)
D)
x ГГа + pcS-^-
Излучаемая мощность
N =
fefl
[...]-1.
Выражения в квадратных скобках формул C), D) совпадают!' На
основании C), D) рассчитать КПД излучателя:
Результат E) показывает, что на низких частотах (fca -» 0)
7) -» 0—процесс излучения мало эффективен. На высоких часто-
частотах (ka -> оо) приходим к выражению т) = pcS/(a + pcS), спра-
справедливому для плоского поршневого излучателя площади S.
Когда нет потерь на трение (а = 0), т) = 1.
4.1.9. Монополем называют точечный источник, создающий
сферическую расходящуюся волну. Переходя в результатах зада-
задачи 4.1 1 для пульсирующей сферы к пределу ka -> 0, получить
соответствующие выражения для монопольного источника.
112

Ответ. Воспользуемся обозначением Q = 4па vQ для объемной
скорости (производительности источника). Тогда
-1
[Pi
- г
r'2-ikr'
- pcikr~:
V N =
4.1.10. Акустическим диполем называют источник, состоящий
из двух одинаковых, близко расположенных монополей, колеблю-
колеблющихся в противофазе. Рассчитать характеристики акустического
поля дипольного источника. Убедиться в том, что осциллирую-
осциллирующая сфера (см. задачу 4 1.4) есть излучатель дипольного типа
Решение. Пусть монополи расположены на полярной оси г
сферической системы координат на расстояниях + Дг/2 и - Дг/2
от центра. Потенциал поля в точке {г, 0) (зависимость от
азимутального угла <р отсутствует из-за симметрии задачи) равен
Поскольку значения г. и /¦„ различаются мало
D2 = [*2 + у2 + (г±Д2/2J]1/2 ~ г ± (г/2г) Дг),
то <р = $n%-(r~*eikr)breTm. Учитывая, что Дг = {z/r)hz =
= cosB'Az, и обозначая "момент диполя" как D = Q Дг, получим
<р = ^ cos0 [ik - I] I ехр(- Ш + ikr). A)
Формула A) с точностью до обозначений совпадает с формулой
D.2). Следовательно, осциллирующая сфера является излучате-
лем дипольного типа, момент которого D = 2тга vQ, a Дг = а/2.
Все необходимые формулы для диполя получаются из результатов
задачи 4 1.4 в пределе ka -» 0. Укажем, что простейший излу-
излучатель такого типа получается при помещении монополя в воз-
воздухе на высоте Дг/2 над поверхностью воды. При этом диполь
образуется монополем и его мнимым изображением в воде на
глубине Дг/2, колеблющимся в противофазе.
4.1.11. Рассмотреть группу монопольных излучателей, рас-
расположенных вблизи начала координат. Положение монополя с но-
номером / задается вектором г' = (х' х^, хЬ. Получить выра-
выражение для потенциала акустического поля в произвольной точке
с координатами R = (X., X XJ, расположенной вдали от об-
области локализации источников (R = |R| » max |г'|).
Решение. В силу линейности задачи справедлив принцип су-
суперпозиции. Поэтому потенциал результирующего поля равен сум-
113

ме потенциалов полей отдельных монополей (см. задачу 4.1.9):
ex;(?*IR7;/|
1trri). /;?7; a)
7 4Tr|R-r'|
В задаче рассматриваются гармонические возмущения и множи-
множитель ехр(- iust) всюду опущен. Поскольку |г'| « |R| разложим
функцию / в степенной ряд:
По дважды повторяющимся индексам а, C (принимающим значения
1, 2, 3) подразумевается суммирование. Подставляя B) в A),
получим разложение поля по мультипольным компонентам: </> =
= <р0 + <р. + </)„ +... Как видно из разложения, чем выше номер
п компоненты <р , тем быстрее убывает акустическое поле при
R -» оо. Поэтому обычно главным является член
ехр(?*Л)/D1Г/?). C)
Однако если суммарная производительность всех монополей
Q * EQ равна нулю, то <р0 = 0 и главным становится член
<рх = (DV) exp(i*/?)/Dir/?), D - - ? QV, D)
описывающий дипольное излучение. Здесь D —вектор дипольного
момента системы. Наконец, при Q ¦ 0 и D = 0 дальнее поле со-
создается источником квадрупольного типа
Тензор
характеризует квадрупольный момент системы.
4.1.12. Рассчитать поле на оси круглого поршня радиусом
а, помещенного в бесконечном плоском неподвижном экране и
совершающего гармонические колебания с амплитудой vQ.
Решение. Колебательное движение поршня можно заменить
суммой колебаний элементарных монополей, непрерывно распре-
распределенных по сечению поршня. Заменяя в формуле A1.1) произ-
производительность /-го монополя Q1 = vQS на AQ = v(r) As (где
As —площадь элементарного участка поверхности, колеблющегося
со скоростью v\ г —его координаты) и переходя от суммы к ин-
интегралу, получим
114

Здесь учтено, что монопо-
ли излучают в обе стороны
и результат уменьшен в 2
раза. Введем цилиндриче-
цилиндрические координаты, как по-
показано на рисунке. Поло-
Положим на поверхности поршня
v = vQ = const. Для то-
точек, лежащих на оси,
|R-r| = (А22I/2.
При этом выражение A) для потенциала результирующего поля
примет вид
К задаче 4.1.12
о о
Интеграл B) легко считается:
<р = - j?Uxp(ikvz +a ) - exp{ikz)\. C)
Отсюда, учитывая гармоническую зависимость от времени, р =
= ikpap, находим акустическое давление
а2 + гI sin f|(v42+a2 - г)].
D)
Р = -
Модуль этого выражения
|р| * 2pcvQ sinf?(v42+a2 - гI I E)
описывает осевое распределение амплитуды давления. Зависи-
Зависимость E) носит осциллирующий характер. С увеличением z ве-
величина \р\ проходит через нули и максимумы, значение 2pcvQ
которых в 2 раза больше, чем в плоской волне.
Заметим, что стремление радиуса поршня к бесконечности не
дает перехода к неограниченной колеблющейся плоскости, излу-
излучающей плоскую волну (\р\ = PcvQ = const). Пространственные
осцилляции вблизи поршня при ka -» оо не сглаживаются, напро-
напротив, частота их растет. Это объясняется влиянием резкого
края поршня, где скорость уменьшается скачком от у„ до 0. В
реальных условиях осцилляции сглаживаются благодаря присут-
присутствию затухания или конечной переходной области у края поршня.
4.1.13. Используя результат задачи 4.1.12 (см. A2.5)),
определить положение нулей и максимумов давления на оси
поршня, координату наиболее удаленного максимума и поведение
амплитуды на больших расстояниях.
И5

Решение. Расстояния, на которых |р| обращается в нуль,
определяются из условия
(z2+a2)V2-z = 2nm/k = 2m A/2, m = 1, 2, 3, ... A)
Физический смысл A): разность хода двух лучей, идущих в
точку наблюдения от края поршня и от его центра, равна чет-
четному числу полуволн. Это озна-
означает, что на излучателе укла-
укладывается 2т зон Френеля. Поло-
Положение максимумов (см. рисунок)
определяется аналогично:
B2+а2I/2- 2 = Bт+1)А/2 B)
"- Они формируются в точках на
оси, для которых на излучателе
К задаче 4.1.13 укладывается нечетное число
зон Френеля. Наиболее удаленный максимум (т = 0) лежит на
9 9
расстоянии 2 = а /А - А/4 ~ а /А. В дальней зоне (зоне Фра-
унгофера, г » а2/Х) положим в A2.5) (г2+а2I72 » г + а2/2г
и получим
\р\ - pcvQ(ka2/2z). C)
Амплитуда C) убывает с расстоянием без осцилляции по закону
г~, соответствующему расходящейся сферической волне.
4.1.14. Для поршневого излучателя рассчитать диаграмму
направленности—зависимость амплитуды акустического давления
от угла между осью пучка и направлением на точку наблюдения
в дальней зоне.
Решение. Для дальней зоны в формуле A2.1) можно положить
*|R-r| ~ kR(l - Rr/R2). При этом потенциал
S
Выберем в качестве полярной оси сферической системы коорди-
координат ось 2 пучка и напишем
R = {/?sin0cos</), /?sin9sin</>, /?cos8}, t, г = {rcos*. rsin*, 0}.
Интеграл в A) примет вид
a 2U
J(...) ds = jr dr Jexp [- ikr sin8 cos(</>-*)] d<p =
S 0 0
ar „
= 2nJ/0(*rsin8)rdr - 2na2
116

Здесь /Q, /. — функции Бесселя
нулевого и первого порядка. Та-
Таким образом, диаграмма направ-
направленности дается выражением
р 2J(kasine)
kasi пв
рисунка.
B)
Как видно из рисунка, зависи-
зависимость B) имеет осциллирующий
характер. Величины изображенных
максимумов равны 1; 0,13; 0,06;
0,04. Первый нуль достигается
при ka sin0. = 3,8, отсюда находим
/rosin б
К задаче 4.1.14
ле-
полуширину основного
пестка" диаграммы направленности: 0. = arc sin@,61 A/a).
4.1.15. Оценить радиус первой зоны Френеля на дне океана
для гидролокатора, работающего на частоте f = 45 кГц при глу-
глубине места h = 3200 м. Скорость звука принять равной 1500 м/с.
Ответ. Из r\ = (/г+А/2Г - hz ~ hX = hc/f имеем г,
10 м.
4.1.16. Звук частотой f = 1 кГц, распространяясь в возду-
воздухе, проходит через круглое отверстие диаметром 2а = 1 м в
экране. Оценить размер зоны уверенной слышимости на расстоя-
расстоянии 2 = 10 м от экрана.
Решение. Поскольку z » а /Л, воспользуемся результатами
задачи 4.1.14 для дальней зоны. Радиус центрального дифрак-
дифракционного пятна d -¦ г tg arcsin @,61 Л/а) ~ 4,5 м.
4.1.17. Круглая диафрагма диаметром 2а = 30 см излучает
звук в воде на частоте f = 30 кГц. Амплитуда колебательной
скорости v = 1,4 см/с (излучаемая мощность ~ 10 Вт). На ка-
каком предельном расстоянии можно обнаружить звук приемником с
чувствительностью по амплитуде колебаний давления р . =
= 1,4 дин/см . Как изменится предельная дальность по направ-
направлению первого бокового лепестка диаграммы направленности?
Решение. Пользуясь результатами задачи 4.1.14, для ампли-
амплитуды давления в дальней зоне найдем
\р\ = \io>pip\ = (LopvQa2/2R) DF). A)
Предельная дальность по направлению главного лепестка @ = 0,
D = 1) R = upvQa2/Bp . ) ~ 210 км. В направлении первого
лепестка (D = 0,13) R ~ 27 км. Этот максимум направлен под
углом 0 = 12° к оси.
117

4.1.18. Пориневой излучатель гидролокатора диаметром 2а =
= 1 м используется для излучения и приема. Он регистрирует
сигнал, интенсивность которого на 60 дБ меньше интенсивности
излученной волны. При какой минимальной частоте можно обна-
обнаружить сигнал от препятствия, расположенного на расстоянии
L = 10 км и отражающего 10 % падающей интенсивности?
Решение. Огнал проходит путь 2L от излучателя до цели и
обратно. Регистрируемая интенсивность ^ = 0,\(a/R) JQ, где
R — радиус озвученного "пятна" в плоскости приемника, оцени-
оцениваемой по [шрине основного лепестка диаграммы R ~ 2L \gQ.~
~ 21В, ~ 1,22 LK/a. С учетом условия !./!п = 10~6 для опре-
1 9 9
деления частоты получаем соотношение 0,1 (a f/\,22Lc) -
= 10~6, откуда f » 200 кГц.
4.2. Рассея1ие звука
4.2.1. Сече!-ием рассеяния с ([сг] = м ) называют отношение
полной рассеяЕной препятствием мощности к интенсивности па-
падающей плосксй волны. Пользуясь сохранением энергии при рас-
рассеянии коротковолнового звука на идеальном препятствии, вы-
выразить сг через геометрические размеры тела.
Решение. Е пределе коротких волн справедливо лучевое опи-
описание. Проведгм сечение тела плоскостью, перпендикулярной
направлению падающей волны. Пусть это сечение является "ми-
делевым" и разграничивает "освещенную" и "затемненную" части
тела. Очевидно, что освещенная поверхность тела рассеивает
на различные 'глы, в том числе и назад, всю падающую на нее
мощность N - JS (где S —площадь сечения). В области тени фор-
формально следует полагать, что рассеяние происходит вперед;
рассеянное полг должно быть равно взятому с обратным знаком
полю падающе1 волны, чтобы гасить его в результате интерфе-
интерференции. Поэтому затененная часть тела как бы рассеизает ту
же мощность N = IS. Следовательно, сечение рассеяния сг =
= 2N/J =2S в ! раза больше площади максимального поперечного
сечения тела.
4.2.2. Звук падает иа препятствие произвольной формы,
имеющее малье (по сравнению с длиной волны) размеры. Пре-
Препятствие непозижно относительно колеблющейся окружающей
среды, но егс объем пульсирует под действием переменного
акустического давления. Рассчитать сечение рассеяния, зная
118

частоту волны, объем V и свойства материала препятствия, а
также свойства среды.
Решение. При адиабатическом деформировании материала пре-
препятствия (скорость звука с., плотность р.) приращения дав-
ления и плотности связаны соотношением р' = с.р'. Поскольку
относительное изменение объема V/V = - р'/р получим
v = -{f'/c]^)v = -ay?, о)
где C.—адиабатическая сжимаемость материала. Если бы пре-
препятствие отсутствовало, выделенный им объем среды изменялся
О —1
бы по аналогии с A) на V = - fiQVp', где CQ = (cjrpJ , ин-
индекс нуль относится к параметрам окружающей среды. Разность
этих величин (Э0~Р \WP' характеризует изменение объема, свя-
связанное с присутствием пргпятствия. Производная по времени от
последнего выражения Q = (/3¦-C.)V dp' /dt = - iu(f3Q-f3 ) Vp'
есть производительность монопольного источника, излучающего
рассеянное поле (см. задачу 4.1.9):
Мощность рассеянной волны, вычисляемая на основе B), есть
Поскольку интенсивность плоской волны, падающей на препятст-
вие, равна / = \р' \ /BcQp ), сечение рассеяния
4.2.3. Пользуясь решением предыдущей задачи, получить се-
чеиие рассеяния звука соерой малого радиуса а, Ла«1. Оце-
Оценить сечение рассеяния еолны частотой 300 Гц, распространяю-
распространяющейся в воздухе, на капле тумана радиусом 20 мкм.
Ответ. Сечение рассеяния (г = |na2(/feaL(l-%1/j;0) ~ 105м2.
Благодаря множителю (ka) сечение а оказывается очень малым.
В то же время при рассеянии света на капле в соответствии с
задачей 4.2.1 О" = 2па ~10 м . Это объясняет хорошую аку-
акустическую прозрачность густого тумана.
4.2.4. Пузырек воздухг в воде имеет сферическую форму и
пульсирует в поле плоской звуковой волны частоты ш, рассеи-
рассеивая ее энергию в виде сферической расходящейся волны. Рас-
Рассчитать сечение рассеяния считая радиус а пузырька малым по
119

сравнению с длиной волны. Использовать непрерывность давле
ния и нормальной компоненты скорости на границе пузырька.
Решение. Введем сферическую систему координат, начало ко-
которой поместим ь центр пузырька. Плоская волна падает в нап-
направлении оси 2:
ip( = (pQexp(ikz) = <pQexp(ikr cos0). A)
Потенциал рассеянной волны запишем как
<Р = А(ч>~/кг) exp(ikr), B)
где А — неизвестная амплитуда рассеяния. Непрерывность ско-
скорости иа границе в случае ka «1 дает
О дг y*i *s
vQ — амплитуда колебаний скорости границы пузырька. Условие
равенства суммарного давления падающей и рассеянной волн из-
избыточному внутреннему давлению имеет вид
Внутреннее давление рассчитывается по аналогии с B.1):
1 V 1
Подставляя E) в D) и используя A), B), в пределе ka « 1
ПОлуЧИМ г Ф„ , 3*„
F)
Система C), F) позволяет рассчитать амплитуду рассеяния
и>а/с
А = ^з
Видно, что кривая A(w) (см.G)) имеет резонансный характер.
Здесь собственная частота колебаний пузырька
% = [3/№lPoa2)]1/2. (8)
Сечение рассеяния
0.-4*141!- Ц^-2 (9)
2 ((/JlJ(AJ
k
4.2.5. Получить оценочную формулу, связывающую радиус и
резонансную частоту воздушного пузырька, находящегося вблизи
водной поверхности и на глубине А. Оценить размер пузырька
для частоты 100 кГц. На какой глубине собственная частота
вдвое больше, чем у поверхности?
Решение. Воспользуемся D.8). Сжимаемость /3, = (с]р^ =
= (УРЪН) ¦ Здесь pBR — давление газа внутри пузырька, равное
19П

атмосферному давлению р (если не учитывать сил поверхност-
зт
ного натяжения) для положения вблизи поверхности и равное
Р + Pn?h для положения на глубине h. Поэтому
• 'О
*¦ A)
Подставляя в A) числовые значения параметров воды (pQ) и
воздуха (%,р ), получим оценочную формулу af « 327 Гц-см для
приповерхностного пузырька. Для fQ= 100 кГц имеем а « 33 мкм.
Собственная частота (при фиксированном а) возрастает в 2 ра-
раза на глубине 30 м.
4.2.6. Исследовать поведение сечения рассеяния звука пу-
пузырьком в области низких и высоких частот и при резонансе.
Оценить добротность воздушного пузырька, находящегося у по-
поверхности воды.
Решение. В области низких частот (u « w ) из D.9) имеем
^^ О)
Формула A) совпадает с результатом задачи 4.2.3 при р.» C».
Так и должно быть —воздух гораздо более сжимаем, чем вода. В
области высоких частот @) » ы.) получается результат <т =
= 4тга , совпадающий с сечением рассеяния малой абсолютно
мягкой сферы. При резонансе (ш = ш.)
а = 4тта2/(/гоаJ, B)
т.е. сечение оказывается гораздо большим геометрического се-
сечения пузырька. Резкое возрастание рассеивающей способности
пузырька вблизи резонансной частоты объясняется его способ-
способностью накапливать энергию падающей волны (благодаря высокой
добротности) и затем "высвечивать" усиленные колебания.
Добротность пузырька, обратная относительной -ширине резо-
резонансной кривой (см. D.9)), для приповерхностного пузырька
воздуха оценивается как
1' ш " фг ¦ ^ я ягт а 70- C)
Оценка C) учитывает затухание колебаний пузырька вследствие
потерь на излучение звука и поэтому завышена. Учет необрати-
необратимых потерь энергии из-за вязкости, тепло- и массообмена
пузырька с окружающей жидкостью может понизить добротность
на порядок. Соответственно уменьшится и резонансное сечение
рассеяния B).
121

4.2.7. Плавательный пузырь небольшой рыбки, плывущей на
малой глубине, эквивалентен воздушному пузырьку радиусом а =
= 0,3 см. Оценить собственную частоту и резонансное сечение
рассеяния.
Ответ. Пользуясь результатами задачи 4.2.5 и D.6), нахо-
находим fQ ~ 1 кГц, а » 0,7 м2. Отметим, что <г » Па2 й 0,3 см .
4.2.8. В 1 см3 воды содержится п = Ю3 микропузырьков
одинакового радиуса а - 33 мкм. По какому закону убывает с
расстоянием интенсивность плоской волны вследствие рассеяния
на пузырьках? Оценить расстояния, на которых интенсивность
волны с частотой / = 300 кГц убывает в е раз.
Решение. Рассмотрим смещение иа расстояние Lx участка
фронта плоской волны, имеющего площадь S. Мощность, прошед-
прошедшая через S, уменьшается иа AjV = N(x+&x) - N(x) = - <r(nS&x)J.
Устремляя их к 0, с учетом того, что интенсивность / = N/S,
получим
dJ/dx = - ncrl, ](х) = /@) ехр(- пах). A)
Интенсивность согласно A) убывает по экспоненциальному за-
закону. Уменьшение в е раз происходит на расстоянии х ~ (п<т)~.
Радиус а = 33 мкм отвечает частоте f = 100 кГц. На частоте
300 кГц согласно D.9) а « 81тш2/16. Длина х = (п<т)~1 я 6 см.
4.2.9. Малый шарик радиусом a {ka « 1) совершает осцилля-
осцилляции в поле плоской звуковой волны. Сжимаемость шарика такая
же, как у окружающей среды, а его плотность р1 существенно
отличается от р_. Учитывая смещение шарика относительно ок-
окружающей среды, рассчитать сечение рассеяния.
Решение. В предыдущих задачах из этого раздела рассматри-
рассматривалось монопольное рассеяние. Учет движения рассеивающего
тела относительно среды должен дать дипольную составляющую.
Пусть волна падает в направлении полярной оси z сферических
координат. Шарик будет совершать колебания вдоль г. Извест-
Известно, что при потенциальном обтекании однородным потоком', име-
имеющим скорость v, шарик движется со скоростью U = v3pnx
-1
х (pQ+2p1) . Здесь р0, р — плотности жидкости и материала
шарика. Если р1 > pQ, шарик отстает от жидкости (iU < v),
если Pj < pQ, он колеблется с большей амплитудой. Скорость
шарика относительно жидкости
и = и - v = 2Ь(р0 - р))/(р0 + 2р,).
122

Радиальная компонента на поверхности шарика равна и cos0.
Теперь воспользуемся результатами задачи 4.1.4 об излучении
звука сферой, совершающей заданное поступательио-осциллирую-
щее движение. Полагая в выражениях задачи 4.1.4 ka « 1 и за-
заменяя амплитуду колебаний скорости на поверхности сферы рас-
рассчитанным выше значением относительной скорости, найдем се-
сечение дипольного рассеяния
При р. = р0, когда шарик неотличим от среды, рассеяния нет.
Для очень легкого шарика (р1 « pQ)
сг = D/3)rta2(fcaL B)
— в 4 раза больше, чем для очень тяжелого (р1 » р0).
4.2.10. Определить сечение рассеяния и зависимость от по-
полярного угла амплитуды давления сигнала, сформировавшегося в
результате рассеяния плоской волны на шарике малого радиуса,-
отличающемся от окружающей среды своей плотностью и сжимае-
сжимаемостью.
Решение. Рассеянное поле будет содержать одновременно мо-
монопольную р. и дипольную р„ составляющие давления. Они равны
(см. решение задачи 4.2.9). Полное сечение, как нетрудно по-
показать, есть сумма сечений монопольного и дипольного рассеяний:
Угловая направленность (индикатриса) полного рассеянного по-
поля D@), как видно из A), B), пропорциональна выражению
Принято нормировать D@) так, чтобы максимальное значение
равнялось единице.
4.2.11. Записать и проанализировать выражения для индика-
индикатрисы и сечения рассеяния плоской волны тяжелым несжимаемым
шариком малого радиуса.
Ответ. Пользуясь A0.3), A0.4), найдем
о- =
123

Видно, что монопольное и дипольное рассеяния дают сравнимый
по величине вклад A и 3/4). Индикатриса имеет вид
D@) «= |3cos0-2|/5.
Как видно, сильнее всего шарик рассеивает в обратном направ-
направлении @ = - it)—навстречу падающей волне. Небольшой по ве-
величине лепесток (D@=O) = 0,2) связан с рассеянием вперед.
Угловая полуширина этого лепестка находится из cos0 = 2/3.
4.2.12. Ультразвуковой излучатель дельфина на частоте
80 кГц создает мощность излучения N = 0,1 Вт Коэффициент
осевой концентрации (см. A.4.6)) К = 50. Оценить расстояние
L, на котором дельфин способен обнаружить твердый металличе-
металлический шарик радиусом а = 0,5 см, если амплитуда давления при-
нимаемого сигнала должна быть не менее р = 2-10 Па.
r mm
Решение. Интенсивность сконцентрированного излучения, па-
дающего на шарик, оценим как / = NK/(\uL ). Рассеянная шари-
шариком мощность N = <т/, сечение с найдено в задаче 4 2 11 Эта
мощность выражается через минимальное давление сигнала кото-
О 9
рый способен почувствовать дельфнн: N = \nL p /BcQp ).
Приравнивая выражения для N при заданных числовых значени-
значениях, оценим' L ~ 60 м

5. НЕЛИНЕЙНАЯ АКУСТИКА
5.1. Простые волны
5.1.1. Показать, что система уравнений гидродинамики в
переменных Лагранжа для одномерного плоского движения имеет
решение в виде простых волн Свести эту систему к одному
нелинейному уравнению для переменной ^(x,t)— смещению частиц
среды из своего начального положения х
Решение Исходные уравнения гидродинамики в лагранжевом
представлении имеют вид
0
Первое уравнение представляет собой обобщение второго за-
закона Ньютона для сплошной среды. Второе (уравнение непрерыв-
непрерывности)—закон сохранения массы вещества, записанный в диффе-
дифференциальной форме. Третье —уравнение состояния, которое для
быстрых (по сравнению с термодиффузией) процессов сжатия и
разрежения, сопровождающих распространение звука, можно при-
принять в форме адиабаты Пуассона.
Простой волной называют такой волновой процесс (вообще
говоря, нелинейный), когда все описывающие этот процесс пе-
переменные могут быть выражены одно через другое с помощью не
которых связей. Однако если связи переменных содержат интег-
интегралы или производные, волна не будет простой, физически это
означает появление дисперсии, т е. зависимости поведения да
же очень слабого возмущения от его спектрального состава.
Поскольку два последних уравнения системы A) представляются
в виде
Р = - Р = Р(Р) =
плотность и давление выражаются как функции только одной пе-
переменной д?,/дх. Это означает, что система A) имеет решение
в виде простых волн.
12R

Возьмем уравнение состояния A) в форме адиабаты. Тогда
из B) имеем р = ро(\+д?/дх)~*. Подставляя это соотношение
в правую часть первого уравнения системы A), придем к нели-
нелинейному уравнению Ирншоу
= 2 д2?/дх2
Здесь cQ = (lfP0/Pn) равновесная скорость звука. Уравне-
Уравнение C) содержит нелинейность общего вида н формально при-
пригодно для описания сильных возмущений; требуется, однако,
чтобы знаменатель в C) не обращался в нуль (д^/дх * -1). В
нелинейной акустике имеют дело со слабо нелинейными волнами,
для которых |9?/9х| « 1-
5.1.2. Считая нелинейность слабой, упростить уравнение
Ирншоу A.3), сохранив в нем только два главных нелинейных
члена.
Решение. Воспользуемся приближенным соотношением
Подставляя разложение A) в правую часть уравнения Ирншоу,
найдем
g0 0
Левая часть B) соответствует обычному линейному волновому
уравнению. Правая часть, полученная в результате разложения
нелинейности общего вида в ряд по степенным нелинейностям,
содержит квадратично-нелинейный и кубично-нелинейный члены.
5.1.3. Нелинейная среда занимает полупространство х > О,
а на ее границе х = 0 задан гармонический сигнал ? = А х
х sin (Ш) с частотой ш. Анализируя уравнение B.2) методом
последовательных приближений, определить, какие частоты мо-
могут возникать при распространении волны в среде из-за квад-
квадратичной и кубичной нелинейностей.
Решение. Считая нелинейные эффекты слабыми, в первом при-
приближении пренебрежем в уравнении B.2) его правой частью.
Решением линейного волнового уравнения в виде бегущей в по-
положительном направлении оси X волны будет
?(V П = A sin [u(t-x/cQ)l A)
Чтобы найти решение второго приближения ^ ', нужно подста-
подставить A) в правую часть нелинейного уравнения, которая при
126

этом примет вид
F = 2<зг+1) Л — sinBurz) + ffiy+\)(y+2) А [§~\ + [sinCwr)+sin(UT)],
B)
где т = t-x/cQ — время в "сопровождающей" системе координат,
движущейся равномерно вместе с волной со скоростью звука cQ.
Уравнение второго приближения с правой частью B) будет таким:
дх2 c2Q dt2 °'
Видим, что F имеет смысл "вынуждающей силы" в неоднородном
волновом уравнении C); она возбуждает новые волны на часто-
частотах второй гармоники 2ш (квадратично-нелинейный эффект) и
третьей гармоники Зш (кубично-нелинейный эффект). Кроме то-
того, кубичная нелинейность вносит дополнительный вклад в вол-
волну основной частоты ш (эффект самовоздействия).
5.1.4. Указать, волны каких частот могут возникать в
квадратично-нелинейной среде (в первом приближении), если на
ее входе х = 0 задан бигармонический сигнал ? = i4.sin(c<y) +
+ A-s'iniLuJ). Рассмотреть предельный случай ш, -» ш„.
Ответ. По аналогии с задачей 5.1.3 нетрудно показать, что
в среде генерируются вторые гармоники 2ш., 2ш„ волн исходных
частот, а также возмущения на суммарной (ш. + и„) и разност-
разностной (о>1 - ш„) частотах. При ш. -» ш„ будет генерироваться
только вторая гармоника, так как эффективность возбуждения
разностной частоты стремится к нулю (см. также 5.1.7).
5.1.5. Пользуясь методом медленно изменяющегося профиля,
упростить уравнение B.2), сохранив в нем только квадратич-
квадратично-нелинейный член.
Решение. Метод медленно изменяющегося профиля позволяет
существенно упростить нелинейные уравнения в частных произ-
производных, описывающие процесс распространения интенсивных волн.
После упрощения уравнения, естественно, и решать их гораздо
проще. Идея метода состоит в следующем. При отсутствии нели-
нелинейных членов решением уравнения B.2) будет сумма двух бе-
бегущих волн произвольной формы ? = $(t-x/cQ) + 4>(t+x/cQ).
Волна с профилем Ф распространяется в положительном направ-
направлении оси х, волна Ф —в отрицательном направлении. Нас будет
интересовать первая из этих волн. Когда имеется слабая нели-
нелинейность и правая часть уравнения отлична от нуля, форма
127

волны уже не будет постоянной; она будет деформироваться по
мере распространения—с увеличением расстояния х, пройденно-
пройденного волной в нелинейной среде Когда нелинейность слабая, про-
профиль волны должен изменяться медленно, т.е. наряду с "быст-
"быстрой" зависимостью функции Ф от т = t-x/c. должна появиться
"медленная" зависимость Ф от координаты х:
? = Ф(т^-х/с0, xf(ix). A)
Здесь II « 1—малый параметр задачи, отвечающий малости нели-
нелинейных членов в B.2) по сравнению с линейными членами:
Тот факт, что |9?/дх| « 1, уже был использован при переходе
от уравнения Ирншоу A.3) к упрощенному уравнению B.2). Ес-
Если предположить, в частности, что смещение изменяется по
гармоническому закону ?, = A sin [u(t-x/c)], условие примет вид
Это значит, что амплитуда смещения частиц среды А должна
быть малой по сравнению с длиной волны Л. Можно сказать ина-
иначе: отношение uo/cQ амплитуды колебательной скорости «_ к
скорости звука с» (акустическое число Маха) должно быть ма-
малой величиной. Таким образом, малый параметр задачи—это
акустическое число Маха М = u.q/cq. Перейдем в уравнении
B.2) от х, t к новым переменным х., т согласно предположе-
предположению A). Вычисляем производные:
dt> Эт2' дх <# ^Ч дх2 с^Эт2 со^Р * дх\
B)
Подставляя B) в B.2) и пренебрегая всеми членами порядка
д2, ц3 и более высоких порядков малости (нужно также учесть,
что правая часть уравнения мала по сравнению с левой), получим
ди е „ ди ,Q,
где и = б?/бт = d^/dt — колебательная скорость частии среды,
е = (У+1)/2—параметр акустической нелинейности. Сравнение
C) в нелинейной акустике называют уравнением простых волн.
Заметим, что это —уравнение первого порядка (а не второго,
как исходное уравнение), т.е. задачу удалось сильно упростить.
5.1.6. На границе х = 0 нелинейной среды колебательная
скорость изменяется по закону и(х=0, x=t) = uQs'\n(u>t). Pe-
128

шая уравнение простых волн E.3) методом последовательных
приближений, определить закон изменения амплитуды второй
гармоники с увеличением расстояния дг.
Решение. Из уравнения простых волн получаем уравнения
первого и второго приближений:
JNfcR' <»
i\) °
Решение первого приближения иу ' = ып sin(o)t) подставляем во
второе из A); интегрируя его с условием iv '@,т) = 0 (на
границе среды второй гармоники нет), находим
t/2) = (е/2ф tou2Qx sinBur). B)
Видим, что амплитуда второй гармоники в среде растет линейно
с координатой х. Расстояние
х = хр = с1/(еш0) = ЛД271СМ), C)
на котором амплитуда второй гармоники формально достигает
1/2 от амплитуды первой, называют характерной нелинейной
длиной или расстоянием образования разрыва. На самом же деле
решение B) справедливо на расстояниях х « х , так как при
заметной перекачке энергии из первой гармоники во вторую ре-
решения, полученные методом последовательных приближений, не
точны. Из формулы C) следует, что для акустических сигна-
сигналов, число Маха которых всегда мало (М « 1), нелинейная дли-
длина х » Л. Иными словами, волне нужно пройти расстояние,
равное многим длинам волн Л, чтобы ее профиль и спектр за-
заметно исказились. Это и означает "медленность" изменения
профиля на масштабах порядка Л (см. задачу 5.1.5).
5.1.7. На границе х = 0 возмущение есть сумма гармониче-
гармонических сигналов u@,t) = u.sin(c<y) + u^s\n(U)J). Решая урав-
уравнение простых волн E.3) методом последовательных приближе-
приближений, найти амплитуды и+ и ы_ комбинационных гармоник ш + ш„
и Wj - ш2. Сравнить эффективность генерации суммарной и раз-
разностной частот.
Ответ. По аналогии с задачей 5.1.6 находим
и |ш-ш |
и± =
o
5.1.8. Показать, что точное решение уравнения E.3), от-
отвечающее возмущению произвольной формы и(х=0, t) = Ф(^) на
5 Акустика в задачах 129

границе нелинейной среды дается неявной функцией
и(х,т) = Ф(т + (е/фих). A)
Получить формулу A) методом характеристик, известиям из
теории квазилинейных дифференциальных уравнений в шстных
производных 1-го порядка.
Решение. Дифференцируя A), найдем
ди <?А>ф ди Ф> m
Ш~ 1 -{с/с2)хФ'' М \-(с/с2)хФ''
Здесь штрих означает производную по полному аргументу функ-
функции Ф. Подставляя B) в уравнение простых волн, имеек тож-
тождество. О решении методом характеристик см. задачу 5.2.2.
Интересно разобраться в том, как в неявной зависимости
B) "скрыты" нелинейные эффекты. Разлагая B) по малый х в
ряд, получим
и » Ф(т) + Ф'(т) (e/cjj) их+ ... « Ф(т) + (e/c2Q)x Ф(т) Ф'(т) + ..
Видно, что второй член квадратичен по функции Ф, т.е. описы-
описывает квадратично-нелинейные эффекты. Следующие члены будут
соответствовать нелинейностям высших степеней.
5.1.9. Используя неявное решение (8.1) уравнения простых
волн, рассмотреть эволюцию "линейного профиля" —исюдного
возмущения
u(x=0,t) = Ф@ = у(М.). A)
Обсудить случаи у > 0 и у < 0.
Решение. Подставляя A) в общую формулу (8.1), найдем
и(х,х) = у[т + cu(x,r)x/cQ - tm], и, следовательно,
.5. B)
Таким образом, на любом расстоянии х профиль остается линей-
линейным по т; изменяется только угол его наклона к оси т. Когда
наклон положителен (у > 0), решение справедливо на конечном
интервале х < с„/(еу), пока профиль не станет вертикальным.
При отрицательном наклоне (у < 0) с увеличением х профиль
становится все более пологим, и при х > Сц/(е|у|) происходит
потеря, информации об исходном наклоне у. и « - (с2/ех) х
х (T-/J. Выражение B)— простейшее, но очень важное решение
уравнения простых волн. Оно может быть использовано для опи-
описания эволюции близких к линейным участков произвольного
профиля.
130

5.1.10. Проанализировать графически процесс нелинейного
искажения формы одного периода исходного гармонического сиг-
сигнала ы@,т) = uQsin(UT). Воспользоваться неявным решением
(8.1) уравнения простых волн, переписав его как явную функ-
функцию переменной т(х,и):
х = Ф~\ы) - (е/Cq) их, A)
где Ф~ —функция, обратная Ф.
Решение. При х = 0 из A) получаем т@,ы) = Ф~ (ы) — эта
кривая соответствует исходному профилю волны. Кривая, соот-
соответствующая нелинейно-искаженному профилю (х > 0), получает-
получается на плоскости их графическим сложением исходной кривой и
прямой - (e/ch их, наклон которой возрастает с увеличением х.
Для гармонического (при х = 0) сигнала решение (8.1) за-
запишется так:
т-= sinforr+ ^wujtl = sinfur + z?-l. B)
"о L Cg J L V
Здесь z = Сд/(ешы0) = х/х —расстояние, измеренное в едини-
единицах длин образования разрыва (см. F.3)). Формула A) для
рассматриваемого сигнала примет вид
т = arcsin?--z?-. C)
"о о
Откладывая вдоль осей значения u/uQ и шт и выполняя описан-
описанные выше построения, получим картину, изображенную на рисун-
рисунке. Видно, что с увеличением пройденного волной расстояния
передний фронт (обращенный по направлению движения) стано-
вится более крутым, а зад-
ний—более пологим. Похожая
картина наблюдается для волн
на поверхности моря при под-
подходе их к берегу. На расстоя-
расстоянии z = 1 (х = х ) передний
фронт становится вертикаль-
вертикальным—образуется разрыв или
ударный фронт. При z > \ про-
профиль становится неоднозначным
(появляется "перехлест"), т.е.
решение в виде простой волны
B) на расстояниях х > х не
справедливо.
о>г,
-1
z-0
и/и0
К задаче 5.1.10
131

5.1.11. Используя сшивку решений вида (9.2), рассмотреть
эволюцию формы одиночного треугольного импульса длительно-
длительностью 27. При х = 0 профиль аппроксимируется кусочно-линейной
функцией
?- = 0 (т<0, т>27), ?- = *@<т<7), ?- = 2 - - G<т<27).
"о "о Г "о Г
Рассмотреть случаи uQ > О и «0 < 0. Провести также анализ с
использованием графической процедуры (см. задачу 5.1.10).
Ответ и = 0 (т < 0, т > 27),
[О <т
сип
Решение в виде простой волны
справедливо до расстояний
х_
х
с2Т
си.
О
р "'О
пока передний фронт импульса
не станет вертикальным Про-
Процесс искажения профиля для
uQ > 0 показан на рисунке.
нелинейной среде,
г гт х
К задаче 5 1 11
5.1.12. Найти спектр простой волны в
если на входе волна задана как м@,т) = ы0Ф(ит), где Ф —
функция, периодическая по своему аргументу с периодом Т = 2тг.
Решение Вычислим коэффициенты С разложения в ряд Фурье
неявной функции—решения (8.1) уравнения простых волн E 3):
I
Сп(г) ехр(глот).
A)
Здесь безразмерное расстояние г = (c/cQ)uuQx. Коэффициенты
разложения равны
с№ - та
Интегрируя один раз по частям, получаем
г 1 Г -inuft ^ф _ 1 г - ш[<
т т
Здесь мы перешли к переменной ? = ыт + ги/«0, откуда
(от = ?-гФ(^), и наш интеграл теперь содержит явную функцию
от ?. Интегрируя второй раз по частям, получаем ответ:
Tt
1IC ut. t О)
n L
132

При z -> О, разлагая экспоненту под интегралом C) в ряд, по-
получаем очевидный результат линейного приближения
71
Сп(г) =
= Сп(г=0) = const,
т.е. гармоники не взаимодействуют между собой, коэффициенты
С в среде равны своим исходным значениям.
5.1.13. Пользуясь ответом предыдущей задачи (см. A2.3)),
иайти зависимости амплитуд гармоник от z = х/х при задании
на входе в нелинейную среду гармонического сигнала ы@,т) =
= uosin(wr). Найти степенные законы роста амплитуд для z « 1.
Решение. Воспользуемся ма- #„,
тематическим тождеством тео- 1
рии бесселевых функций
exp (iz cosip) =
0,5
= I J*Jk(z)exp(ik<p). A)
С помощью тождества A) экс-
экспоненту под интегралом A2.3)
представим как
exp (inz sin ?) =
со 0
= I J (лг)ехр((*?)• B)
fc=-oo К задаче 5.1.13
Интеграл A2.3) после этого легко вычисляется и в результа-
результате имеем „
ktt>
Определяя действительные коэффициенты А и В разложения в
2/ (лг)
ряд Фурье при cos(mdr) и sin(nur):
A (z) = С + С = 0, fi (г) = »(С - С*) =
nv ' п п re- ' у п п' IIZ
(звездочка есть знак комплексного сопряжения) найдем извест-
известное решение Бесселя-Фубини:
°° Ы (лг)
C).
Зависимости амплитуд В гармоник от расстояния z приведены
на рисунке. Используя перзые члены разложения функций Бессе-
Бесселя в ряд / (х) ~ (х/2)пп\, получим
Bn(z) « {nz/2)n-x/n\, n > 1. D)
133

5.1.14. Рассмотреть взаимодействие мощного низкочастотно-
низкочастотного возмущения со слабым высокочастотным сигналом: u@,t)/uQ=
= sin(arr) + m siri(jVcjt) (m « 1, натуральное число N » 1). Как
изменяется в пространстве амплитуда слабого сигнала?
Решение. * Из формулы A2.3) с учетом малости т получаем
71
€ "* d% = -i % JQ(Nz). (A)
Отсюда AN = 0, BN = mJQ(Nz). Решение A) справедливо при
z < 1, в области до образования разрыва. Поскольку N » 1,
аргумент функции Бесселя в A) может быть большой величиной;
при этом амплитуда слабого сигнала будет осциллировать в
пространстве, постепенно затухая. Этот эффект нелинейного
подавления высокочастотного сигнала при наложении интенсив-
интенсивного низкочастотного возмущения (например, шума) представля-
представляет интерес для ряда приложений.
5.1.15. Пользуясь методом последовательных приближений,
проанализировать вырожденное параметрическое взаимодействие
в простых волнах. Для исходного возмущения и/и =sinBonr) +
+ т. sin(WT>0), т. « 1, определить, при каком сдвиге фаз <р
слабый сигнал усиливается, а при каком <р он подавляется.
Решение. Важный для практики нелинейный эффект —парамет-
—параметрическое усиление слабых сигналов в поле интенсивной волны
накачки. Если частота накачки 2ш, а сигнала ш, процесс назы-
называется вырожденным; он чувствителен к сдвигу фазы <р между
этими двумя волнами. В задаче 5.1.6 выписаны уравнения A)
первого и второго приближения. Напоминаем: и^ — это исход-
исходное возмущение, в котором вместо t стоит т = t-x/c' и' ' —
это решение второго приближения, которое нужно найти. Сохра-
Сохраняя в правой части уравнения для w ' фурье-компоненту на
частоте сигнала ш, находим
диB)/дх = - (е/2Сц) mmQ
Решение на частоте сигнала:
^-(и^ + и^) = т sin(arr+p) - у
Отсюда видим, что амплитуда сигнала при z«l ведет себя так:
2|СВ(*)| = т [(l-fJcosV(l + fJsinV|1/2 » m[l - z cosBV)]I/2.
Если сдвиг фаз <р изменяется от 0 до тг, то усиление происхо-
происходит в области тг/4 < f < Зтг/4, причем наиболее эффективно
134

сигнал усиливается при <р = тг/2. В областях 0 s ji < я/4,
Зтг/4 < <р ^ Tt сигнал подавляется, наиболее эффективно —при
<р = 0 и ^> = Tt. Полезно решить эту задачу другим способом,
используя не метод последовательных приближений, а спект-
спектральное представление B.2) решения уравнения простых волн.
5.1.16. Найти фурье- образ простой волны и(х,х)
00
С(х,и>) = |i J «(*.т) ехР(~ im) dT- 0)
-00
считая, что возмущение исчезает при т -» ±оо.
Решение. Используя решение (8.1), для фурье-образа прос-
простой волны получим
а
С{х,и>) = — [фрс + ^ых] ехр(- сип) dr. B)
2т1-а L со J
Как и для задачи 5.1.12, в которой рассмотрен периодический
сигнал, здесь нужно перейти к переменной ? = т + (e/cQ) идс.
Тогда т = ?-(?/Сд)хФ(?) н для B) имеем явное выражение
С - gi J*(C)[l-Sj*^l]exp{-to[c-S*»(€)]}de C]
-оо С0 С0
Более удобную форму записи можно получить, интегрируя C]
дважды по частям и учитывая, что Ф(±оо) = 0:
00
С(х,а) = Ц— |{ехр \i % ах Ф(о] - 1} е"'"* dt-. D)
При дг -» 0 из D) следует, что
00
С(х,а) = ^ |Ф(^) e-*< dC = Co(o» E)
-00
— это фурье-образ исходного возмущения.
5.1.17. Исходя из решения D) предыдущей задачи, найти
универсальное поведение фурье-образа в области низких час-
частот. Показать, что если при cj -» 0 С„(ш) ~ ш" н п > 1, то
из-за нелинейных взаимодействий между спектральными компо-
компонентами в области низких частот (ш -> 0) формируется универ-
универсальная асимптотика спектра.
Решение. В области низких частот экспоненту в решении
можно разложить в ряд. Ограничившись членами, квадратичными
по ш, придем к выражению
co
135

Учитывая свойство преобразования Фурье
00 00
-00 -00
приведем выражение A) к виду
С(хМ = С0(ы) + ?^
С0
Отсюда следует, что для исходных спектров вида CQ(w) ~ и"
(л > 1) спектр волны иа низких частотах в нелинейной среде
описывается универсальным выражением
00
= /|С0(П)|2<й1 B)
1c
*¦ 0 -оо -оо
5.1.18. Найти составляющие спектра С (*,w), возникающие
за счет взаимодействия интенсивной волны накачки и At) и
слабого сигнала u^(t):
u{x=0,t) = Ф@ = «,+«2, их = M0sin(w0/), «2 = 6sin(fi/). A)
Решение. Пренебрегая самовоздействием слабого сигнала,
экспоненту в формуле F.4) разложим в ряд по и„ и ограничим-
ограничимся линейным членом:ю
-оо С0
Здесь первое слагаемое описывает фурье-образ волны накачки,
второе—спектр С (х,1д), рождающийся в результате нелинейно-
нелинейного взаимодействия сигнала и накачки. Используя соотношение
A3.1) для бесселевых функций и фильтрующие свойства б-функ-
цни, из B) получим
С(х,и) = !—g- ых Г (exp \i ^ шдг и ($1 - l} e"'
00
+ 2л J U2^') e
оо] 0 jC)
5.1.19. Используя результат предыдущей задачи, рассмот-
рассмотреть случай низкочастотной накачки (данная задача есть обоб-
обобщение задачи 5.1.14). Описать спектр сигнала на разных ста-
стадиях взаимодействия и оценить ширину спектра сигнала.
Решение. При ш_ « Q нелинейное взаимодействие приводит к
модуляции высокочастотного сигнала и появлению составляющих
на частотах ш = ±п+kU)Q (k = 0, ±1, ±2, ...) вблизи частоты
136

сигнала. Для фурье-образа A8.3) при ktoQ « Q получим
где г = (е/Сц) * = *А ¦ Легко видеть, что A) описыва-
описывает спектр сигнала с гармонической фазовой модуляцией:
и2(х,т) = Ь sin^Qx + ^Qxuos\n(uoT)j. B)
со
Следовательно, при Q » и взаимодействие можно интерпретиро-
интерпретировать как низкочастотную фазовую модуляцию сигнала, произво-
производимую мощной волной накачки. По мере распространения волн
глубина модуляции возрастает. При (П/ы.)г « 1 в спектре пре-
преобладают две гармоники: ш = п± toQ. При (Q/uQ) z » 1 спектр
существенно уширяется. Используя асимптотики функций Бесселя
при больших значениях аргумента, можно оценить эффективное
число гармоник в спектре A): kt я №/и>Л z. Соответствующая
ширина спектра Ди ~ Qz » uQ.
5.2. Плоские нелинейные волны с разрывами
5.2.1. Найти максимальное расстояние —границу области, в
которой справедливо решение A.8.1) уравнения простых волн.
Решение. В задаче 5.1.8 вычислена производная
да Е/Ф**'
Максимальное расстояние х , как видно из A), следует нахо-
находить из условия
1 - (е/ф хФ' = 0. B)
Обращение в нуль знаменателя B) в формуле A) отвечает то-
тому, что в некоторой точке профиля на расстоянии х произ-
производная A) обращается в бесконечность —касательная в этой
точке становится вертикальной; иными словами, начинается
процесс образования разрыва в профиле простой волны. Искомая
точка профиля соответствует максимальному значению функции
Ф', т.е. находится из условия Ф" = 0. Таким образом, условие
Ф" = 0 и условие B) позволяют решить поставленную задачу.
На практике удобно воспользоваться тем, что решение урав-
уравнения простых волн может быть записано в явном виде (см.
A.10.1)) относительно т(дг,м):
ф-](и) - (е/cj) их. C)
т =
137

Тогда указанные условия: а) на расстоянии х = х возникает
вертикальная касательная к кривой и(х т.); б) разрыв образу-
образуется в точке перегиба кривой и(х ,т)—приводят к уравнениям:
Ш - °' ~2 - °- <4>
из которых находится расстояние х .
5.2.2. Решая уравнение простой волны A.5.3) методом ха-
характеристик, дать наглядную иллюстрацию полученному в задаче
5.2.1 условию однозначности решения. Определить, какой учас-
участок профиля исходного возмущения и(х=0,т) = Ф(т) "опрокинет-
"опрокинется" первым и на каком расстоянии от входа это произойдет.
ХР
0
\
И\
А \
N
\
\ж\
X
г
К задаче 5.2 2
Решение. Система характеристических уравнений для уравне-
уравнения в'частных производных A.5.3) имеет вид
dx
cQ dx
(т(х=0) = то> ы(х=0,т0) = Ф(то)). Здесь xQ{u) -точка в со-
сопровождающей системе координат, из которой выходит характе-
138

ристика для возмущения и (см. рисунок). Решение системы A)
Т = то-^Ф(х0)х B)
описывает семейство прямых на плоскости хх с различным на-
наклоном, зависящим от и = Ф(т„). Заметим, что выражение B)
аналогично выражению A.3), записанному в других обозначени-
обозначениях. Временной интервал между соседними характеристиками со-
согласно B) изменяется так:
dx = dxQ\\ -^Ф'(то)д:1. C)
со
Следовательно, опрокидывание волны произойдет тогда, когда
характеристики в первый раз пересекутся (см. рисунок) и dx
обратится в нуль. Это произойдет на расстоянии
с\
*Р етахФ'(т0) ' . D)
Окрестность точки профиля, где достигается максимум произ-
производной Ф', "опрокинется" первой.
5.2.3. Найти расстояние, на котором образуется разрыв в
простой волне, заданной на входе в нелинейную среду в виде
2 2
однополярного импульса u(x=0,t) = uQexp(-t /tQ).
Решение. Способ 1. Запишем решение уравнения про-
простых волн для данного однополярного импульса как явную функ-
функцию х(х,и):
' х ш - tQ/1п(ыо/ы) - eux/c2Q.
Здесь перед корнем взят знак минус, поскольку разрыв образу-
образуется всегда на переднем фронте (в данном случае при т < 0).
Требуем выполнения условий A.4):
дх _ 'о Г VT1/2_e_
я2_ 0 г Ы"Т~'/'2 tn г И Л-|-3/2
ди2 2и
Из B) находим точку профиля, в которой образуется разрыв:
и = ujJ*. . Подставляя это значение в A), находим
х -
Способ 2. Следуя схеме, описанной в задаче 5.2.2,
вычислим производную от формы исходного возмущения:
О
5
139

Максимум функции C) достигается при TQ = ^/^ и равен
tQ). Из формулы B.4) при этом значении тахФ'(т0)
сразу получаем результат для дг , совпадающий с выражением,
полученным первым способом.
5.2.4. Найти координату образования разрывов в гармониче-
гармонической исходной волне u(x=0,t) = uos\n(u)t). Определить, в ка-
каких точках профиля образуется разрыв.
Ответ. Разрывы образуются в точках urz = 2пп (п = 0, ±1, ±2, ...)
9
на расстоянии xQ = со/(ешыо).
5.2.5. На каком расстоянии от излучателя мощного ультра-
ультразвука в воде образуется разрыв, если интенсивность волны / =
= 10 Вт/см2, частота } = 1 МГц? Параметры воды: pQ =. 1 г/см ,
с0 = 1,5 -105 см/с, е = 4.
Ответ. Используя результат задачи 5.2.4, получим оценку
5.2.6. Какой должна быть интенсивность волны в воде иа
частоте / = 200 кГц, чтобы разрыв образовался на расстоя-
расстоянии 10 м?
Ответ. / = 0,5 c^p^ncfx ) « 0,15 Вт/см2.
5.2.7. Оценить амплитуду колебательной скорости, смеще-
смещения, ускорения и число Маха в двух предыдущих задачах.
Ответ. Для задачи 5.2 5 uQ = B//cQp0I/2 » 36 см/с, ?Q =
= Uq/w « 6-10см, а0 = шы0 « 2-108см/с2, М = Uq/cq » 2,4 х
х 10~4; для задачи 5.2.6 ип « 4,5 см/с, ?п * 4-10см, ап «
6 2 -S
~ 5-10 см/с , М я 3#10 . Видно, что даже в мощных ультра-
ультразвуковых полях смещения частиц очень малы (порядка молеку-
молекулярных масштабов), зато достигаются огромные ускорения (до
Ю g. g —ускорение свободного падения). Числа Маха малы, и
это факт уже использован для упрощения нелинейных уравнений
в задачах 5 1.2 и 5 1 5
5.2.8. Выразить длину образования разрыва плоской моно-
монохроматической волны в воздухе (у = 1,4) через уровень звуко-
звукового давления N и частоту /. Определить число Маха и длину
образования разрыва для N = 140 дБ (двигатель тяжелого реак-
реактивного самолета) и f = 3300 Гц.
Решение. В атмосферной акустике принято характеризовать
интенсивность звука уровнем среднеквадратичного давления
N (дБ) относительно рж = 2-10~5Па. Для пикового значения
140

давления р' при этом имеем р' = /J/^-lO
20
Длина образо-
образования разрыва плоской монохроматической волны определяется
соотношением A.6.3), где М = «q/Cq,
колебательной скорости. Учитывая, что с. =
— пиковое значение
плотность воздуха,
числа Маха имеем
где Ро~~
р„~10 Па —атмосферное давление, для
Следовательно,
м = p'/(cJp0) = р'Лгр0).
М =
* 2,8-КГ3,
о
х =
Р
6м.
5.2.9. Исходя из закона сохранения количества движения,
переносимого простой волной, предложить простое геометриче-
геометрическое построение, устраняющее неоднозначность формы профиля с
"перехлестом" (см. рисунок), образующимся при х > х .
Решение. Убедимся в том, что количество движения в прос-
простой волне, занимающей ограниченную область пространства (и -»
-» 0 при т -» ±оо), не зависит от х для х < х :
00 00
Jpo« dx = Ро J[t
= р0 |Ф(т) С
T = р0
-оо -оо 0 -оо 0 -оо
Геометрический смысл закона сохранения—постоянство площади
между кривой и = Ф(х,т), описывающей профиль волны, и осью т.
После образования "перехлеста" и
(дс > х ) эта площадь также со-
сохраняется, поскольку область
среды, занятая волновым движе-
движением, остается замкнутой (на
нее не действуют внешние си-
силы). Следовательно, в неодно-
неоднозначном профиле волны разрыв
следует проводить так, чтобы
отсекаемые площади S. и S,
(см. рисунок) были равны. Действительно, площадь S. "добав-
"добавляется" к профилю, а площадь S2 "отторгается" от него; при
условии S. = S2 площадь под полученной кривой оказывается
равной исходному значению ^Ф(т) dx.
00
5.2.10. Показать, что ударная волна сжатия—скачок между
двумя постоянными значениями и. и ы_ (причем и. > м2)—ус-
м2)—устойчива, т.е. не изменяет своей формы при распространении.
К задаче 5.2.9
141

Решение. Пусть для простоты и^ = О, и^ > 0. В исходной
(при х = 0) волне разрыв занимает в сопровождающей системе
координат положение т = 0. На расстоянии дс > 0 искаженный
профиль строится графическим методом, описанным в задаче
5.1.10. Очевидно, что профиль становится неоднозначным при
сколь угодно малых дс (штриховая линия на рисунке а). Эта не-
неоднозначность устраняется в силу "равенства площадей"
(см. задачу 5.2.9). В результате получаем скачок такой же
формы и величины, но с фронтом, несколько смещенным вперед.
1
6
К задаче 5.2.10
Это значит, что волна сжатия устойчива. Смещение фронта в
сопровождающей системе координат т = t - x/cQ свидетельству-
свидетельствует о том, что положительный (относительно невозмущенного
уровня и. = 0) скачок и„ движется со сверхзвуковой скоростью
с = с„ + ?и„/2 тем быстрее, чем больше перепад ы„ в ударной
волне.
Интересно, что ударная волна разрежения (и. < и„) неус-
неустойчива—при распространении ширина ее фронта растет (см.
рисунок б). Чтобы в этом убедиться, достаточно воспользо-
воспользоваться графическим методом задачи 5.1.10. Равенства площадей
здесь не требуется.
5.2.11. Используя правило равенства площадей, определить
положение и амплитуду разрыва и (х) синусоидального» исходно-
исходного возмущения ы(х=0, t) = Ф(/) = uQs\n(u>t). Найти расстояние
х^, при котором величина и (дс) максимальна, и установить
асимптотический закон ее изменения при больших дс.
Ответ. В бегущей системе координат (т = t-x/сЛ разрыв
на каждом из периодов занимает фиксированное положение при
олг = 2пп (п = 0, ±1, +2, ...), а его амплитуда определяется
как ненулевой корень уравнения arcsin(w /и ) = г(и /и ), где
142

2 = дс/дс = (е/сп) шпх. Максимальное значение и (х ) = ип
р и и р • и
достигается при г = гт = тс/2. Асимптотический закон убывания
и /uQ = п/A+2) хорошо выполняется при 2 > 2-5-3. Интересно,
что при 2 » 1 и « с„/(еш) и не зависит от амплитуды вход-
входного сигнала.
5.2.12. Пользуясь результатами решения предыдущей задачи,
найти форму профиля, синусоидального на входе, иа расстояни-
расстояниях 2 =• х/х > 2 + 3. Вычислить спектральный состав и среднюю
Р т
9 —19
плотность энергии Е = Ро« = Р0Т /ы (х,т) dr.
Ответ. Волна приобретает пилообразный профиль
-к s и s it.
A)
Ее спектр равен
О п=1
Из-за образования разрывов и их нелинейного затухания (тем
более сильного, чем больше uQ) амплитуды гармоник уменьшают-
уменьшаются по степенному закону, причем А
~ п
~
Плотность энергии
0 9 О
уменьшаются как Е = п /[3A+г)] и при г И не зависит от
амплитуды ы„ исходного возмущения.
5.2.13. Используя графические построения задач 5.1.10 и
5 2.9, проследить за эволюцией прямоугольного на входе им-
импульса. Ф(т) = А при - Т < т < 0 и Ф(т) = 0 вне этого интер-
интервала. Найти асимптотическую форму импульса при х -» оо.
Ответ. Начальная форма импульса и его форма на трех харак-
п
терных расстояниях показаны на рисунке. При х(?/сЛА/Т » 1
импульс приобретает универсаль-
универсальную треугольную форму с накло-
наклоном, не зависящим от Л и Г:
и = -(с*т/едс) (-тр<т<0).
U = 0 (Т<-Тр, Т>0).
Здесь тр(дс) = [2AT(€/c2Q)xf2 -
К задаче 5 2 13
текущая длительность импульса.
Нетрудно проверить, что при любых дс Площадь импульса равна
AT, что отвечает сохранению количества движения
5.2.14. Проанализировать графически процесс нелинейной
трансформации профиля двуполярного звукового импульса, со-
состоящего из двух симметричных треугольных импульсов (см. за-
143

3 1 1
К задаче 5.2.14
дачу 5.1.11) длительностью 27*. н площадью S в случаях: а) за
фазой разрежения следует фаза сжатия; б) за фазой сжатия
следует фаза разрежения.
Ответ. Как показано на рисунке, в случае а) импульс тран-
трансформируется в так называемую S-волну неизменной длительно-
длительности 27" ¦ в случае б) импульс превращается в jV-волну, дли-
длительность которой 2Т(х) растет с увеличением х.
5.2.15. В условиях предыдущей задачи, используя результа-
результаты эволюции "линейного профиля" (см. задачу 5.1.9), найти
9 2
асимптотическое поведение фурье-образов при (c/ct)Sx/TQ » 1.
Обсудить особенности структуры спектров в области высоких и
низких частот.
Ответ. Спектр S-волны (случай а)):
О7 sin(w7V ~2
Спектр Л^-волны (случай б) является автомодельным:
|1/2
A)
B)
Зависимости A), B) изображены на рисунке. В области высо-
высоких частот спектры спадают по степенному закону, что связано
6 о,Г0
К задаче 5.2.15
144

с наличием разрывов. Для S-импульса все составляющие спектра
уменьшаются как 1/дс. Для W-импульса максимум спектра посте-
постепенно сдвигается в сторону низких частот; на высоких часто-
частотах спектральные составляющие уменьшаются как 1//х, а на
низких —как ол/]р. Рост спектральной плотности на низких час-
частотах связан с параметрической подкачкой энергии при нели-
нелинейном взаимодействии высокочастотных гармоник.
5.2.16. Получить систему уравнений, описывающих эволюцию
профиля простой волны, содержащей разрыв.
Решение. Получим дифференциальное уравнение, описывающее
движение ударного фронта в сопровождающей системе координат.
Рассмотрим разрыв, на расстоянии х имеющий координату т (х)
(см. рисунок). Колебательная скорость непосредственно перед
фронтом (точка А) есть и у, непо-
непосредственно за фронтом (точка В) —
ы„. Когда расстояние увеличится на
Lx, точка А перейдет в А', коорди-
координата которой
2
точка В —в В' с координатой
Д*. К задаче 5.2.16
Из равенства площадей (см. задачу 5.2.9) следует, что новая
координата разрыва
A)
в'
}\
\
\
\
1
\
\
\л'
1
1
в
А
рр
т (х+Ьх) = \ (т1+т2) = т (х) - -^ («,
2со
Переходя в A) к пределу при Ал: -» 0, получим уравнение
dx
0
B)
Таким образом, скорость перемещения фронта в сопровождающей
системе координат зависит только от значений и. и и„ возму-
возмущения на разрыве, которые, вообще говоря, зависят от рас-
расстояния. Поскольку и. и и. принадлежат не только разрыву, но
одновременно и профилю простой волны, для них справедливо
решение A.3), т.е.
Т (ДС) = $\\их) - ?j UyX, C)
_i \ G / л \
145

Здесь функция Ф. описывает профиль простой волны перед раз-
разрывом, Ф2—за разрывом (Ф"^ —обратные к *1 2 функции). Три
уравнения B)-D) для трех неизвестных т (дс), ы^дс), «2(х)
образуют полную систему для решения поставленной задачи.
5.2.17. Воспользовавшись уравнениями B)—D) предыдущей
задачи, найти изменение с расстоянием амплитуды скачка и
длительности треугольного импульса с ударной волной на пе-
переднем фронте. При х = О импульс задан так: u/uQ = 1 - т/Г0
при 0 < т < TQ, и = О при всех остальных т.
Ответ. Величина скачка уменьшается, длительность растет:
ип(х) г еип -.-1/2 г еып -.1/2
0 Vo оо
Поскольку количество движения сохраняется, площадь импульса
ы2(дс)Г(дс) = uQT0 = const.
5.2.18. Показать, что две попутные слабые ударные волны
сталкиваются по закону абсолютно неупругого удара двух час-
частиц; при этом аналогом массы m частицы является амплитуда
скачка и„ - и., аналогом
скорости частицы v— ско-
скорость
drp/dx = - (е/2с20) (и]+и2)
движения фронта в сопрово-
сопровождающей системе координат.
Решение. Пользуясь ме-
методами графического анали-
анализа, показываем, что две
ударные волны —скачки возмущений и„ - и. и ы„ - и (см. ри-
рисунок)—сливаются и образуют одну волну с перепадом «„-«..
Тривиальное соотношение
Ul.
К задаче 5.2.18
есть аналог закона сохранения массы частиц: т' = т. + m .
Аналогом закона сохранения количества движения m.v. + т„ь0 =
= m'v' будет соотношение
• ? ? ?
9г 12 3 2 п .2 2 3 3 1 о 2 1 3
О /СС0 *с0
которое представляет собой тождество.
5.2.19. По невозмущенной среде распространяется слабая
ударная волна, за фронтом которой форма простой волны описы-
146

вается функцией и = Ф(х+гих/с^). Найти зависимость "амплиту-
"амплитуды" скачка от расстояния на фронте ударной волны.
Решение. Воспользуемся уравнениями задачи 5.2.18:
со о
Здесь т (дс) описывает положение разрыва в сопровождающей
системе координат, «„(дс)—"амплитуду" скачка. Исключая из
A) т (дс) и считая дс = x(uJ, получим нелинейное уравнение
Решая B), найдем общее выражение
2с0 • Ы2
Константа интегрирования может быть выбрана, например, по
начальной координате, дс образования разрыва (см. задачи
5.2.1-5.2.6): х(и) = х , где ы* = «2(дс ) —начальная ампли-
амплитуда скачка (обычно равная нулю, если только передний фронт
исходной простой волны не является отрезком прямой).
5.2.20. Пользуясь формулой C) предыдущей задачи, найти
изменение "амплитуды" и„{х) разрыва при распространении оди-
одиночного импульса, равного и = wQsin(UT) при 0 ^ оя ^ п и
и = 0 при всех остальных UT.
Решение. В данной задаче Ф = uT*arcsin(u/uQ), и формула
A9.3) принимает вид
F72
Вычисляя интеграл, найцем V \v\-V +с = -г/2, где V =
= u2(x)/uQ, z = (е/фшыдд:, с —константа интегрирования. Как
несложно вычислить (см.задачу 5.2.4), в данной задаче z = 1
и разрыв начинает формироваться от нулевого по "амплитуде
скачка V(z =1) = 0. Поэтому константа с = - 1. Таким обра-
образом, "амплитуда" ударной волны изменяется в пространстве по
закону ы„(дс) = 0 при х < л , и
u2(x)/uQ - 2^Л/г A)
при z > z = 1 (или х > дс ). Видно, что амплитуда разрыва
при 1 < г < 2 увеличивается, достигает при 2 = 2 максималь-
максимального значения «2 = uQ, а затем (в области г > 2) убывает как
147

5.2.21. Найти изменение длительности одиночного импуль-
импульса—полупериода синусоиды (см. предыдущую задачу).
Решение. Подставляя решение B0.1) в уравнение движения
разрыва A9.1), находим
?=-Ц1±, ьп = с + 2 arctg Vz^T - 2 Vz=T.
z 2 z ' p
Поскольку фронт начинает формироваться при 2=1 в точке
Т = 0, находим с = 0. Итак, длительность импульса
постоянна до образования разрыва и монотонно увеличивается
после образования разрыва из-за его движения с переменной
сверхзвуковой скоростью.
5.3. Нелинейные волны в диссипативных средах.
Уравнение Бюргерса
5.3.1. Пользуясь методом медленно изменяющегося профиля
(см. задачу 5.1.5), упростить линейное уравнение
д2и 2д2и _ Ь д3и m
dt2 °дх2 ~ Ро dtd2x' {)
описывающее распространение звука в вязкой теплопроводящей
среде. Здесь Ь = 4т)/3 + ^ + к (с~ -с) —коэффициент дисси-
диссипации, ?, т) — объемная и сдвиговая вязкость, к —теплопро-
—теплопроводность. Найти решения полученного уравнения для синусои-
синусоидального и однополярного импульсного (на входе в среду) сиг-
сигналов.
Решение. Считаем, что диссипативные эффекты приводят к
медленному искажению профиля, и переходим к сопровождающим
координатам т = t - x/cQ, x. = цх. Пренебрегаем членами ц ,
\1 , ...; члены же порядка д взаимно уничтожаются. В резуль-
результате остаются члены одного порядка малости д, которые обра-
образуют уравнение параболического типа
су
ат2 2с30р0
Общее решение B), отвечающее исходному возмущению произ-
произвольной формы u(x=0,t) = u(t), выражается с помощью функции
Грина: ю
и(х,т) = |ио(т')С(дс.т-т')Л'. С(дсд) =
-00
148

Для гармонического исходного возмущения uQ(t) = asin(arf) имеем
и(х,х) = aexp(-6w2*)sin(art) D)
— затухающую по экспоненциальному закону, волну. Величину
х , обратную коэффициенту затухания (х3&т ~ 1/бш ), назы-
называют характерной длиной затухания. Условие дс » Л означа-
означает, что амплитуда волны D) уменьшается незначительно на
расстояниях порядка длины волны Л. Отношение
|- = ^~ ~ И « 1 E)
зат CopQ
есть малый параметр задачи; он порядка отношения правой час-
части A) к любому из членов левой части этого уравнения. Нали-
Наличие малого параметра д оправдывает переход от A) к B).
Для однополярного импульса, имеющего на входе характерную
длительность tQ, на расстояниях 4бдс/^„ » 1 ширина функции
G(x,x) становится много большей L, и формула C) упрощается:
00
и{х » /J/45, т) = G(x,t) J«0(t' ) rfr'. F)
-00
— на больших расстояниях импульс (для которого интеграл F)
не равен нулю) имеет асимптотическую форму гауссовой кривой.
5.3.2. Получить эволюционное уравнение Бюргерса, описыва-
описывающее медленные процессы искажения профиля волны из-за нали-
наличия у среды нелинейных и диссипативных свойств.
Решение. Методом медленно изменяющегося профиля ранее бы-
были получены уравнения простых волн A.5 3) и параболическое
уравнение A.2): „
ди о,, ди ди л д и ,1Ч
(Р = е/с0, 5 = b/Bc p )), описывающие эволюцию профиля
вследствие нелинейных и диссипативных эффектов по отдельно-
отдельности. Поскольку эти эффекты слабые, в исходных уравнениях они
описываются независимыми членами; следовательно, в упрощен-
упрощенное уравнение нелинейный и диссипативный члены будут входить
аддитивно, в виде отдельных слагаемых. Таким образом, прихо-
приходим к обобщению уравнений A):
Pl=V»U + S~?' B)
называемому уравнением Бюргерса. Если перейти в B) к без-
безразмерным переменным
0
149

где и — характерное значение возмущения (например, амплитуда
гармонической волны или пиковое возмущение в импульсе), ш —
характерная частота периодического сигнала (или обратная
длительность импульса), уравнение примет вид
2
8V + r82V
Здесь число
г _ Ьи _ 1 _ 0 8
— единственный безразмерный комплекс параметров, входящий в
уравнение A) и тем самым полностью определяющий процесс
эволюции. Иногда вместо Г используют акустическое число Рей-
нольдса Re = BеГ)-1. Можно записать Г как отношение харак-
характерных нелинейной и диссипативной длин:
2 3
х сп г2с_рп-,-1 1 г л -.-1
Г = = и . = ., I F)
зат 0 0 ^5й)
Отсюда следует, что величина Г оценивает относительный вклад
нелинейных и диссипативных эффектов в искажение профиля вол-
волны. При Г « 1 преобладает нелинейность, при Г » 1—диссипация.
5.3.3. Принимая, что коэффициент поглощения звука в воде
—17 2
определяется значением 5 = 0,6-10 с /см, а в воздухе
5 = 0,5 -10~14 с2/см, оценить акустическое число Рейнольдса в
задачах 5.2.5, 5.2.6, 5.2.8.
Ответ. Примерно 22, 13, 300.
5.3.4. Пусть П(л:,т) —известное решение уравнения Бюргерса
B.2), соответствующее условию на границе П(л:=0,т) = IL(T).
Найти решение, отвечающее наложению постоянного "течения" со
скоростью V = const на исходное возмущение П, т.е. полагая
и(х=0,т) = VQ + По(т). A)
Ответ.
и(х,т) =* VQ + H(x,T+f3VQx). B)
Скорость распространения волны П "по течению" на Дс ~ |3c?Vn=
= eVg больше, чем по невозмущенной среде.
5.3.5. Найти стационарное решение уравнения Бюргерса,
удовлетворяющее условиям симметричного скачка: ы(т -»-оо) =
= - mq и ы(т-»<») = uQ. Используя преобразование D.2), по-
построить стационарное решение, которое удовлетворяет условиям
и(т -»-оо) = и и ы(т-»оо) = ы„ > и..
Ответ. Стационарная волна отыскивается в виде и(х,т) =
= «(т+Сдс), где константа С определяется из условий при т -»
150

-» ± ml В первом случае стационарное решение имеет вид
&и т
и = ы(т) = uQ th -jy A)
и описывает симметричную ударную волну, бегущую со скоростью
звука. Ширина фронта обратно пропорциональна "амплитуде"
скачьа uQ. Полагая VQ = (или2)/2, uQ = (u2~uJ/2, из A) и
D.2) получаем для движущегося ударного фронта
и ли0 и„-и &и г или ,-,
" = -ЛТА+ЛТЛ^[яг[т + Р-АТЛх}]- B)
Полезно убедиться в том, что скорость движения фронта слабой
ударной волны B) не зависит от его ширины и совпадает со
скоростью (см. B.16.2)) движения разрыва.
5.3.6. Показать, что уравнение Бюргерса заменой переменных
и = 1 S =
или
и - ЩЦ^ B)
(замена Хопфа—Коула) сводится к линейному уравнению диффу-
.зии. Найти общее решение уравнения Бюргерса.
Решение. Из уравнения B.2) для S получаем уравнение
ds grasi2 *d2s
которое после перехода A) к U сводится к линейному парабо-
параболическому уравнению „
dU «82U /ч.
совпадающему по форме с A.2). Решение этого уравнения с ус-
условием на границе U(x=0,t) - UQ(t) запишется аналогично A.3):
; L D)
-00
С учгтом замены A)
У0@ = exp[|^S0@], So(t) = ]uQ{t')dt' E)
цепочка преобразования E) -» D) -» B) дает общее решение
уравнения Бюргерса —выражает поле и(х,т) в произвольном се-
сечении дс через исходное поле иЛт). Приведем еще одну форму
записи общего решения. Пользуясь B), из D), E) имеем
00 00
-оо -я
где t
S0(t) = ]uo(t')dt'. G)
151

5.3.7. На основании общего решения уравнения Бюргерса,
полученного в предыдущей задаче, рассмотреть эволюцию гармо-
гармонического исходного сигнала Mn@ = a sin(otf). Исследовать
его асимптотическое поведение при х -» со.
Ответ. Используя разложение
ехр(гсозв) = I (г) + 2 f I (г) cos(ne), A)
где / —модифицированные функции Бесселя, из F.2), F.4),
F.5) получаем
12
/0(Re)+2 ? (-l)nn
fl= 1
Здесь комбинация параметров а($/Bо)д) имеет смысл акустиче-
су
ского числа Рейнольдса (см B.5)). При бш х » 1 экспоненты в
B) сильно' уменьшаются с ростом п и остается только первая
гармоника:
"(х-т) ~ Rf7TRiTexp(w )sin(WT) ¦ C)
При малых и больших числах Рейнольдса, пользуясь асимптоти-
асимптотиками функций Бесселя, получим гармонику, затухающую по зако-
закону линейной акустики:
9 [a, Re « 1,
и(х,т) « ехр(- 5w^x) sin(UT) \ D)
[4бш/Э, Re » 1.
В последнем случае амплитуда гармоники не зависит от своего
исходного значения а.
5.3.8. Пользуясь общим решением уравнения Бюргерса, рас-
рассмотреть эволюцию однополярного импульса, аппроксимируя его
на входе 5-функций: uJt) = A 8(t). Ввести для данной задачи
число Рейнольдса; обсудить предельные случаи Re « 1 и Re > 1.
Ответ. Решение имеет вид
2fi /pRe_n -т/Dб*)
и(х,т) = — <eD 1)e . A)
PTSS l05(Rel)[lS(V?S)]
2 „
Здесь $(z) = B/VrP)J~ exp(-/ ) dt — интеграл ошибок, a Re =
О
= Afi/2S. При Re « 1 результат A) совпадает с линейным реше-
решением A.6). При Re » 1 из A) следует, что импульс имеет
универсальную треугольную форму:
Г-Т/3* -Т < Т < О,
B)
О т < -Т, т > О,
152
и(дс,т)« j

где Т = V2A(ix — длительность импульса. Для вывода формулы B)
нужно использовать асимптотику функции Ф(- z) при z -» оо.
5.3.9. Пусть П(х,т)—известное решение уравнения Бюргер-
са, отвечающее граничному условию П(х=0,?) = TIJt). Исследо-
Исследовать взаимодействие этой волны с "линейным профилем" течения
(см. задачу 5.1.9) на основе общего представления решения
уравнения Бюргерса (см. задачу 5.3.6) для граничного условия
ы(дс=О,/) = yf + iy/). A)
Проанализировать случаи у > 0 и у < 0.
Ответ. Нелинейное взаимодействие с "линейным профилем"
приводит к изменению характерных амплитуды и частоты, а так-
также темпов эволюции волны П(х,т). Решение имеет вид
При у > 0, /Зух -> 1 характерные амплитуда и частота волны не-
неограниченно возрастают.
5.3.10. Используя метод перевала, найти асимптотическое
решение уравнения Бюргерса B.2) при больших числах Рей-
нольдса E -» 0). Дать графическую интерпретацию этого решения.
Решение. В выражение для общего решения F.6) уравнения
Бюргерса входят интегралы вида
00
/ = J/(/)exp[JyF(T,/,*)]*. A)
-00
При 5 -» 0 основной вклад в интеграл будут давать окрестности
тех точек, где функция F имеет максимум. Пусть t,— одна из
таких точек; она находится из уравнения
В окрестности этой точки функцию F можно разложить в ряд,
ограничившись квадратичными членами:
F(T,t,x)* Fk + F"k(t-t//2, C)
где Fk = F(T,tk,x), F"k = x~x-$u'Q(tJ < 0. Тогда интеграл
A) представляется как сумма вкладов в точках перевала
При 5 -» 0 в этой сумме будет превалировать слагаемое, соот-
соответствующее абсолютному максимуму функции F. При этом из об-
общего решения F.6) следует асимптотический результат
и(т,дс) = [/.(т,*)-т]/(р*) E)
153

где гя(т,х)— координата абсолютного максимума функции
2 '
\df.
F(T,t,x) = |3 SQ(t) - ^ , SQ(t) = \uQ(t') df. F)
Процедура отыскания абсолютного максимума допускает нагляд-
наглядную графическую интерпретацию. Координата tf{T,x) есть пер-
первая точка касания функции F подвижной прямой А, опускающейся
из бесконечности параллельно оси абсцисс t. Более удобно,
однако, действовать по-друго-
по-другому, а именно рассматривать
первую точку касания функции
|3 SJt) и параболы
a(T,t,x) = h + (t-TJ/2x, G)
pso(t)
К задаче 5.3.10
\
опускающейся (при уменьшении
h) сверху на функцию |3 SQ(t)
(см. рисунок).
5.3.11. Используя полученное в предыдущей задаче асимпто-
асимптотическое решение уравнения Бюргерса, проанализировать эволю-
эволюцию однополярного импульса, аппроксимируя его на входе 5-
функцией uJt) = A 5(t).
Решение. Для функции |3 SJt), определяемой A0.6), имеем
3S0 = fiA B(t), где @(/)—функция Хевисайда (единичного скач-
скачка). Графическая процедура отыскания координаты абсолютного
максимума в данном случае иллюстрирована (см. рисунок). За
фиксируем расстояние х, т.е. ширину параболы A0.7). Если
Т > 0, то парабола / коснется ступеньки своим центром t =
= т, т.е. ^„(т.*) = т; при этом согласно A0.5) поле
и(т,х) = 0 для всех Т > 0.
При т < 0 существует одна критическая парабола а, кото-
которая одновременно касается /3 SQ(t) в двух точках: t = 0 и
t = - Т. Очевидно, что для такого касания А = 0, а положение
а определяется из системы уравнений
(-Т-т
2х
аш(т,-Т,х) - ' '2хч = 0, а,(т,0,дс) = ^ = (ЗЛ.
Отсюда следует, что координата вершины этой критической па-
параболы равна
A)
-Т = -Bj3/4*I/2.
Если положить - Г < т < 0, то нетрудно заметить,
бола 2 на рисунке коснется |3 SJt) в точке tt = 0.
что пара-
Из A0.5)
154

при этом находим и(т,х) = - т//3дг. Наконец, полагая т ¦< ~ j
т.е. перемещая центр подвижной параболы 3 левее центра кри-
критической параболы о^, снова получим t = т, и = 0.
Суммируя сказанное, видим, что асимптотический профиль
при больших числах Рейнольдса имеет треугольную- форму
и(х,т) = 0, т < -Г, т > 0; и = -т/&х, - Т < т < 0. B)
Длительность импульса Г(дс), определяемая формулой A), и пи-
|3S0,a
ковое значение возмущения и (х) равны
Т(х) = B/ЗЛдс)
1/2
(см.
"max4
задачу
Л/2
равна и (х) Т(х)/2
к maxv ' v ;/
(х) = и(х,т—Т) = BА/$хI
5.3.8). Площадь импульса
А - const.
5.3.12. Используя графическую про-
процедуру задачи 5.3.10, исследовать про-
процесс взаимодействия двух однополярных
импульсов
uQ(t) = Л, 5@ + A28(t-tQ) A)
|3S0,a/
w i
-г т
К
К задаче 5.3.11
-Г
К задаче 5.3.12
при больших числах Рейнольдса. Найти асимптотическую форму
волны, образующуюся в результате слияния импульсов.
Ответ. Критические параболы а^ (см. задачу 5.3.11) и со-
соответствующие профили импульсов приведены на рисунке. Напо-
Напоминаем, что с увеличением пройденного расстояния х параболы
155

уширяются. Координаты разрывов легко находятся из условия
двойного касания параболой а функции /3 S0(t) (см. рисунки а,
б). Расстояние х, на котором происходит слияние разрывов,
определяется из условия тройного касания а и /3 SQ(/) (см.
рисунок в). Асимптотическая форма волны—одиночный треу-
треугольный импульс (см. A1.2)) с длительностью
Т = 1/2
5.3.13, В условиях предыдущей задачи рассмотреть взаимо-
взаимодействие двух 5-импульсов различной полярности. Отдельно
разобрать случай 1^1 = \А^\.
5.3.14. Усовершенствовать решение B.12.1) для одного пе-
периода пилообразной волны, приняв во внимание, что в диссипа-
тивной среде для больших чисел Рейнольдса ударный фронт име-
имеет малую, но конечную ширину и описывается выражением E 1)
Решение. Ступенчатую функцию sgn т следует заменить на
th [Эы (дс)т/25]. В аргументе гиперболического тангенса необ-
необходимо учесть, что разрыв уменьшается вследствие нелинейного
затухания как и (z)/u = n/(\+z) (см. задачу 5.2.11); соот-
соответственно увеличивается ширина фронта. Таким образом, фор-
формула B.12.1) примет вид
для - л < UT < п, Re » 1. Подставляя A) в уравнение Бюргер-
са B 2), имеем его точное решение (решение Хохлова).
5.3.15. Разложить решение Хохлова в ряд Фурье, рассчитать
амплитуды гармоник и проанализировать их поведение на боль-
больших расстояниях.
Ответ. Разложение в ряд (решение Фея) имеет вид
1TQ j^g^arsh^l^^sinC^). A)
Оно хорошо опиеывает спектр гармонической (на входе 2 = 0)
.волны для больших чисел Рейнольдса в той области, где фронт
стабилизируется, т е. нелинейное укручение и диссипативное
сглаживание профиля уравновешивают друг друга. Амплитуда
гармоник при (шб/ыо/3)г > 1 в решении Фея уменьшается пример-
примерно по закону ехр(- пди х) — медленнее, чем по линейной теории
(~ ехр(- п 8и> х)); это связано с подкачкой энергии от низших
гармоник к высшим. На расстояниях Eu>/uQfi)z ^ 2 или 8оJх г 2
в решении Фея главным становится первый член ряда A), и
156

волна принимает вид
и = ^exp(-6<A)sin(wr) = ытах(х) sin(ur). B)
Формула B) совпадает с G.1) и описывает эффект "насыще-
"насыщения": как сильно ни увеличивать амплитуду un на входе в не-
9
*за
у
9
линейную среду, на расстояниях х ^ 2/бш = 2*за невозможно
передать волну с амплитудой, большей
5.3.16. Используя условия задач 5.2.5 и 5.2.6, оценить
диссипативную длину х = 1/бш = 2с р^Ьо) и найти макси-
максимальную интенсивность волны, которая может быть передана на
—1Я 2
расстояние 2х . Принять для воды 5 = 6 • 10 с /см.
Ответ. х ~ 42 м, / ~ 10 Вт/см'' и х « 1 км,
зат max ' зат
/ ~ 4-10Вт/см2.
max '
5.4. Сферические и цилиндрические волны.
Нелинейные пучки
5.4.1. Рассмотреть сходящиеся сферически-симметричные
волны в линейном приближении. Исходная форма возмущения
uJt) задана на сферической поверхности радиусом rQ » Л (А —
характерная длина волны). Пользуясь методом медленно изменя-
изменяющегося профиля, упростить линейное волновое уравнение
Д«-11^=.О, Ьи = #иЛй±. A)
с20дГ дг2 гдг
Решение. Переходя к сопровождающей системе координат т =
= t + (r-r )/с0, г. = \ir и пренебрегая малыми членами поряд-
порядка Ц , получим „ д
д2и-1ди соди п 10,
+ + =° B)
Отношение третьего члена к первому в уравнении B) есть ве-
величина порядка Co/(ro)o) ~ А/г. Следовательно, третий член
мал всюду, за исключением малой окрестности фокуса г = 0
размером порядка длины волны А. Отбрасывая третий член в
B), придем вместо уравнения A) к упрощенному уравнению
ди/дг+ и/г = 0. C)
Решение в виде сходящейся волны (г уменьшается от rQ до 0):
и(г,т) = 1ио[т = ( + Г-^ D)
неограниченно растет по мере приближения к фокусу г = 0.
157

5.4.2. Получить аналог уравнения Бюргерса C.2.2) для
сходящихся сферически-симметричных волн, обобщая упрощенное
уравнение A.3) (см. задачу 5.3.2). Считать, что нелинейные
и диссипативные эффекты медленно искажают профиль волны.
Ответ. 2
ди , и о„ ди , s д и _ п /4ч
ВТ+Т-РиЯт + 8~^ ~ °- A)
Здесь, C = е/Сд, 5 = b/Bd*pQ), как и в задаче 5.3.2.
5.4.3. Преобразовать уравнение Бюргерса B.1) для сфери-
сферически-симметричных волн с помощью замены переменных
и~-^г0- 8 = шт- e = P"Volnr- w
Сравнив с уравнением C.2.4) полученное уравнение, указать,
какой смысл имеет последнее.
Ответ. „
Здесь Г = 5ш/Ры0 —обратное число Рейнольдса (см. C.2.5)),
z = pwwQr0 —безразмерный исходный радиус фронта волны. Вид-
Видно, что использование уравнения B) сводит задачу о распро-
распространении сферических возмущений к задаче о плоских волнах в
эквивалентной среде, диссипативные характеристики которой
экспоненциально убывают с увеличением пройденного расстояния
(с ростом ? от 0 до оо).
5.4.4. Получить аналог уравнения Бюргерса для сходящихся
цилиндрически-симметричных волн. Действовать по аналогии с
задачами 5.4.1, 5.4.2.
Ответ.
ди и о,, ди А д и п m
Обозначения здесь такие же, как в уравнении B.1).
5.4.5. Преобразовать уравнение D.1) с помощью замены пе-
переменных
Указать смысл полученного уравнения (так, как это сделано в
задаче 5.4.3).
Ответ.
ди = lldU +
" и +
0^
Видим, что уравнение B) эквивалентно уравнению Бюргерса для
плоских волн в среде, диссипативные характеристики которой
убывают по линейному закону при изменении г от rQ до 0 (при
158

этом ? возрастает от 0 до 2zQ, где zQ = $u>uQrQ—безразмерный
исходный радиус фронта).
5.4.6. Найти расстояние, которое необходимо пройти исход-
исходной гармонической сферически-симметричной волне в среде без
диссипации, чтобы в ее профиле образовались разрывы. Рас-
Рассмотреть сходящиеся (а) и расходящиеся волны (б).
Решение. Поскольку при Г = 0 уравнение C.3) совпадает с
обычным уравнением простых волн, координату образования раз-
разрыва г в исходной гармонической волне нужно находить из
С = №QrQ 11п(г„/гр) | = 1 (см. E.2.4)). Случай rQ < гр < оо
соответствует расходящейся волне, а случай 0 < г < Гд —
волне, сходящейся к фокусу г = 0. Расстояние 1гр~го1' кото-
которое должна пройти волна, чтобы стать разрывной, равно
Видно, что для сходящихся волн A) выполняется неравенство
1г~го1 * (P^o)' т'е- РазРыв образуется на меньших рас-
расстояниях, чем в плоской волне. Напротив, из формулы B) сле-
следует, что \r -rQ\ > (Pwuq), т.е. для образования разрыва
расходящейся волне нужно пройти большее расстояние. Измене-
Изменение темпов накопления нелинейных искажений связано с тем,
что в сходящихся сферических волнах амплитуда возрастает при
уменьшении г (от г до 0), а в расходящихся убывает (когда г
увеличивается от rQ до оо).
5.4.7. Определить, всегда ли может образоваться разрыв в
сходящейся первоначально гармонической волне, распространяю-
распространяющейся в среде без диссипации.
Решение. В цилиндрической сходящейся волне условие обра-
образования разрыва согласно E.1), имеет вид
A)
Поскольку 0 < г < г., максимальное значение ? достигается
при г = 0 и равно 2/Зшого. Если параметры на излучающей ци-
цилиндрической поверхности выбраны так, что fiwuQrQ < 1/2, ус-
условие A) не может быть реализовано ни при каких г и разрыв
при схождении к фокусу г = 0 не образуется.
Для сферической волиы условие A) имеет вид (см. B.2)):
In (r^r) = 1.
159

Здесь ситуация обратная: какой бы малой ни была комбинация
параметров fiu>uQr0 на излучающей поверхности, найдется столь
малое г вблизи фокуса г = 0, где разрыв все же образуется.
5.4.8. Обобщить решение Хохлова (см. C.14.1)) на сфери-
сферические волны и проанализировать процесс формирования ударно-
ударного фронта в сходящейся волне с учетом влияния диссипации.
Решение. Используя обозначения задачи 5.4.3 и сопоставляя
обычное уравнение Бюргерса (см. C.2.4)) и "сферическое"
(см. C.2)), придем к выражению для профиля одного периода
сферической сходящейся волны:
Ширина ударного фронта определяется из аргумента гиперболи-
гиперболического тангенса:
Как следует из анализа выражения B), при zQ = ftu>uQrQ > 1
функция Д@. (г) имеет максимум. Это означает, что при 2„ > 1
наблюдается явление двукратного формирования ударного фрон-
фронта. Вначале узкий фронт начинает расширяться из-за диссипа-
диссипации. Его ширина достигает максимального значения BГ/тгJ0 х
х exp(l/zn-l) в точке г - rnexp(l/zn-l). Затем вновь уси-
и гпзх и и
ливается действие нелинейности и ширина фронта стремится к
нулю при схождении волны к фокусу. Заметим, что требование
г < г (см. F.1)) приводит к более сильному ограничению
(г. > 2) на область существования эффекта.
5.4.9. Пользуясь квазиоптическим приближением теории диф-
дифракции и методом медленно изменяющегося профиля (см.задачу
5.1.5), вывести упрощенное уравнение для волновых пучков в
линейном приближении.
Решение. Исходим из линейного волнового уравнения, запи-
записанного в декартовых координатах:
д2и д2и <Э^ы_1_Э2ы _ п ...
Зх2 V Э*2~«>2 ()
Пусть волна распространяется вдоль оси пучка дс. В квазиопти-
квазиоптическом приближении обычно рассматривают гармонический сиг-
сигнал. При этом полагают, что амплитуда волны' изменяется мед-
медленно как вдоль оси х (пропорциональной \хх), так и поперек
пучка (пропорциональной tfiy, v^tar):
и = А{хх = \ix, ^ = Vy.y, гх = л/Цг) exp(-/w* + Ш/с0). B)
160

Если рассматриваются широкополосные сигналы или распростра
нение в нелинейной среде, где спектр сигнала обогащается
гармониками, то волну нельзя считать гармонической. Нужно
предположить, что ее профиль и спектр медленно изменяются
при распространении. Формулу B) следует обобщить:
и = и(т = -х/с0, х, = [ix, ух = Vjiy, zx = Vjlz). C)
Подставляем C) в A). Члены порядка ц.0 взаимно уинчтожают-
ся, а членами порядка [I мы пренебрегаем. В результате все
сохраненные члены имеют одни н тот же порядок малости fi .
Эти члены образуют упрощенное уравнение
Для гармонических сигналов и = А ехр(- ion) из D) следует
известное параболическое уравнение теории дифракции
5.4.10. Используя метод предыдущей задачи, вывести упро-
упрощенное уравнение Хохлова-Заболотской нз нелинейного волново-
волнового уравнения „ о о
Ьи--к—5" = ~—н~. (Ч
4dt cldt
Решение. В предположении медленности изменения профиля
волны и формы пучка (см. (9.3)) получим
д fdu е Зы") с0. /9\
о
Это—уравнение Хохлова—Заболотской. Если пренебречь зависи-
зависимостью от поперечных координат (Д.ы = 0), то уравнение B)
переходит в уравнение простых волн A.5.3). Если пренебречь
нелинейностью (е = 0), то уравнение B) переходит в уравне-
уравнение (9.4) линейной теории дифракции. Таким образом, уравне-
уравнение B) описывает волну при одновременном учете нелинейных и
дифракционных эффектов.
5.4.11. Действуя по аналогии с задачей 5.3.2, получить
выражение для безразмерного комплекса параметров—числа Af,
позволяющего оценить относительный вклад нелинейных и диф-
дифракционных эффектов в искажение волны.
Решение. Пусть на входе х = 0 сигнал описывается функцией
u(x=0,t) = uQf(r/aI>(u>t). A)
Здесь г = {у, z} — координаты в поперечном сеченни пучка, с —
характерная ширина пучка; uQ, и — характерные амплитуда и ча-
6 Акустика в задачах jg]

стота. Имея в виду функцию A), перейдем к безразмерным пе-
переменным вида C.2.3):
U ш u/uQ, в - ип, г ш (Зшодс = х/хр,;¦- R - г/а. B)
Уравнение A0.2) сведется к форме
[u\ = тду C)
Здесь Д.—оператор Лапласа по нормированным координатам R.
Единственный комплекс параметров, входящий в C), это число
N =
2с3
о 1
euJa2uQ 2п2еМ
ш'-
Запишем Л' как отношение нелинейной и дифракционной длин:
* с1/{ешп)
N = -f-— = —т, ¦, E)
^ 2/B)
wa2/Bc0)
те. при N « 1 преобладает нелинейность, при N > 1—дифракция.
5.4.12. Рассчитать в линейном приближении изменение ха-
характеристик круглого гауссова пучка гармонических волн
u(x=0,r,t) = uQ exp(- r1/a2) sin(u*) A)
вследствие дифракции.
Решение. Для пучков с круглым поперечным сечением уравне-
уравнение (9.4) примет вид
д2и c0fd2Uj\du)
Решение B) с граничным условием A) можно получить методом
разделения переменных или методом интегральных преобразова-
преобразований Можно также проверить непосредственной подстановкой,
что решение B) имеет вид
и - f "° exp
f—4Ц- 1 sinU-^^H- -rctg^- 1,
C)
где x = wa /2с„ —характерная дифракционная длина. Решение
C) описывает превращение исходной плоской волны в сферичес
ки расходящуюся. Амплитуда на оси пучка уменьшается по закону
и = и„ A + х2/*2 J~1/2. D)
max 0v ' диф' * '
При х •» х амплитуда убывает как и ~ ипх ./х — по зако-
, диф ' J max 0 диф7
ну ~ х сферически расходящейся волны. Ширина пучка растет:
а(х) = a(l + JC2A2H(})I/2. E)
162

При х » х ширина увеличивается с ростом х линейно: а(х) «
ДИф
» ах/х , и все излучение локализуется в конусе с углом при
вершине Д0 » 2а(х)/х » 2а/х = 4со/(ша). Заметим также,
что фаза волны на оси пучка приобретает фазовый сдвиг
arctg (х/х ). Это означает, что скорость распространения
волны на оси пучка несколько выше, чем скорость плоской вол-
волны той же частоты. При увеличении частоты 0) исходного сигна-
сигнала A) процесс дифракции ослабевает и все отмеченные явления
проявляются на больших расстояниях.
5.4.13. Пользуясь решением A2.3), показать, что широко-
широкополосный сигнал (импульс) изменяет свою форму в дальней зоне
(х » х ). Дифракция приводит к дифференцированию формы
ДИф
профиля на оси пучка.
Решение Каждая из гармоник исходного сигнала описывается
выражением A2 3), которое при х » х г = 0 принимает вид
и « ио(и) /*ф sin(on: ^ J) = j^ u^a) cos(on:) A)
Форма сигнала определяется суммой всех гармоник A):
2 °° 2 °°
и " Z?~x J"o^ MC0S(WT) du = 2с^1
-00 -00
Последний интеграл есть исходная форма импульса:
00
Гыо(ш) sin(wx) du = и(дс=0,т). C)
-00
Сравнивая C) и B), находим „
1
т.е. сигнал в дальней зоне дифференцируется.
5.4.14. Показать, что области сжатия и разрежения нели-
нелинейной дифрагирущей волны искажены неодинаково и профиль ис-
исходного гармонического сигнала при распространении становит-
становится несимметричным Воспользоваться тем фактом, что разные
гармоники из-за дифракции оказываются сдвинутыми по фазе
друг относительно друга.
Решение. Для качественного ответа на вопрос представим
профиль волны приближенно как сумму только первой н второй
гармоник:
и = А{х) sin [ыт+^х)] + А2(х) sin [2ыт+<»2(х)]. A)
Очевидно, что вторая гармоника, рождающаяся в среде, имеет
амплитуду А„, малую по сравнению с А.. Поскольку частота
6* 163

К задаче 5.4.14
гармоники более высокая, диф-
дифракционный фазовый сдвиг р„
для нее меньше, чем (р. (см.
задачу 5.4.12). С учетом этих
фактов графическое сложение
двух синусоид A) действитель-
действительно дает несимметричный профиль
(см. рисунок). Видно, что об-
область сжатия укорочена по дли-
длительности и заострена, область
разрежения растянута и сглажена. Гармоники интерферируют
так, что положительное пиковое значение возмущения превышает
свое исходное (при х = 0) значение.
5.4.15. Пользуясь модельным уравнением A0.1) и методом
последовательных приближений, рассчитать амплитуду волны
разностной частоты Q = ш. - ш„, возбуждаемой в нелинейной
среде при взаимодействии двух затухающих недифрагирующих вы-
высокочастотных волн с близкими частотами ы., ш„:
«<*> = f(y.z) exp(- Fj{^exp[- ta[t - fj] + ^exp [- «2 [t - |J]} + к.с.
О)
Здесь х —характерная длина затухания волн ы ш_; функция
f(y,z) описывает поперечную структуру пучка этих волн.
Решение. Используя A) в качестве первого приближения,
для нахождения второго приближения из A0.1) получаем
о
д2и{2) = с д2и{])
Л а/2
B)
с- at2 4 dt2
Правая часть B), описывая нелинейные источники на разност
иой частоте Q, с учетом A) примет вид g(x,y,z) e + к.с,
g = Ц tfA^A f\y,z) ехр ["-
к. с.
C)
B)
Отыскивая решение B) в виде и> ' = А_ ехр(-ДЙ), для ампли-
амплитуды А_ волны разностной частоты получим неоднородное урав-
уравнение Гельмгольца
ЬА_ + К1А_ = g, К = п/с0.
Решение этого уравнения
D)
E)
164

Здесь R = {х,у, г} — радиус-вектор точки наблюдения, R. =
= {х у.,z.}— радиус-вектор текущей точки объема V, занятого
областью пересечения взаимодействующих воли ы., ы„. В даль-
дальней зоне дифракции |R| » |R.| можно приближенно положить
_ _/ и* ODD xD "* Df 1 DD /D \ — D /vrj.nfij.99 ^ 7D / A \
Подставляя C), F) в интеграл E), приведем его к виду
AA-irDtDr W
Наибольший интерес представляет структура выражений D ,
D., определяющих направленность излучения, которая связана с
поперечным
Dt = J f\ z\>
и продольным (вдоль оси х)
00 2х
2х
Dl = J ехР [" х-1- + iK (! - $>*] dx
зат
о зат
распределением первичного поля iv' A). Интеграл (8) пред-
представляет собой разложение в угловой спектр функции f2(y,z);
он имеет такой же вид, как если бы волна $2 непосредственно
излучалась источником высокочастотных волн (Д., ш„. Интеграл
(9) более интересен; он описывает направленность излучения
волны п, возбуждаемой распределенными в пространстве нели-
нелинейными источниками'
l [I
зат ^
Здесь учтено, что 1 - x/R = 1 - cos0 = 2 sin @/2); 0—угол
между осью пучка х и направлением на точку наблюдения.
Когда /Сд: »1 (вдоль области взаимодействия укладывает-
укладывается много длин волн разностной частоты), излучение направлено
под малыми углами к оси. Характерная угловая ширина диаграм-
диаграммы направленности, как следует из A0), равна
Д9/ /72 1/2
/ ~ (На/ - (ЛАзат)-
Ширина диаграммы A1), определяемая продольным распределени-
распределением поля tr , как правило, много меньше ширины, определяемой
поперечным распределением (8). Именно ширина поля A1) опре-
определяет узкую направленность низкочастотного излучения.
5.4.16. Оценить угловую ширину диаграммы направленности
низкочастотного излучения, определяемую формулой A1) преды-
165

ущей задачи. Сигнал разностной частоты 100 кГц возбуждается
двумя волнами накачки: 1 и 1,1 МГц в воде. Значение коэффи-
коэффициента поглощения приведено в задаче 5.3.3.
Ответ. Д0 ~ 2110~2 —угловая ширина около одного градуса.
5.4.17. Рассчитать продольный апертурный множитель (см.
A5.9)) для области взаимодействия незатухающих (х -» оо)
33 Т
волн накачки, которая при х = I ограничена фильтром, погло-
поглощающим высокие частоты и пропускающим низкую частоту.
Ответ. \D{\ = /sinc[ft/sin2@/2)], где sincx = {s\nx)/x.
Заметим, что в отличие от A5.10), когда область взаимодей-
взаимодействия волн высоких частот ограничена их затуханием, в случае
ограничения фильтром диаграмма низкочастотной волны содержит
боковые лепестки.
5.5. Акустические шумы большой интенсивности
5.5.1. Пренебрегая флуктуациями частоты, иайти вероятно-
вероятностное распределение и среднее для длины образования разрыва
плоской квазимонохроматической волны, считая известным веро-
вероятностное распределение амплитуды Wa(a).
Решение. Длина образования разрыва х плоской монохрома-
монохроматической волны равна х = cQ/(ewa), где ы—частота, а—амп-
а—амплитуда волны. Эту же формулу можно применить для квазимоно-
хроматической волны, когда амплитуда и частота мало меняются
на периоде. Задача сводится к нелинейному преобразованию
*р =,/(«)¦ О)
Если обратная функция о = f (х ) однозначна, то вероятност-
вероятностное распределение W (х ) связано с Wа(а) соотношением
dx
Р
Для моментов величины х имеем
Роо
B)
<Л = $fn(aYW(a) da. C)
-00
Для вероятностного распределения длины образования разрыва и
ее среднего получаем
г2 г2 г2а>
W a [шг] zh' < V = 55 К<"> а~'da- w
Р р 0
5.5.2. В условиях задачи 5.5.1 проанализировать случай,
когда входной сигнал гауссов с дисперсией (Г2. Использовать,
166

что вероятностное распределение амплитуды гауссова сигнала
имеет рэлеевское распределение
Ответ. Для вероятностного распределения длины образования
разрыва и ее среднего из A.4) имеем
г с 1./Q с
Р Р
5.5.3. Найти вероятностное распределение амплитуды разры-
разрыва квазнмоиохроматическои волны
ио(т) = asin(ux+(p), A)
считая, что входной сигнал гауссов. Флуктуациями частоты
пренебречь.
Решение. Амплитуда разрыва определяется из уравнения (см.
задачу 5.2.11) ц
^ = ^2 "ир*. B)
° 2
Используя формулу A.2) и учитывая, что при а < со/еи>х раз-
разрывы не образуются (формально их амплитуда равна нулю), для
вероятностного распределения амплитуды разрыва W (и ) имеем
2 , " р
УеИГ
W (и ) = 5(и ) [W (a) da + W
C)
Для гауссова входного сигнала, когда амплитуда распределена
по рэллеевскому закону B.1), из C) получаем
с?
+ eXP f- 2 U?2 -2 1 Ч Ш f Л 12" <4>
L 2cr sin (ecn wu xy 2cr pLsin(ecn uu xy
0 p ' v 0 p '
5.5.4. Найти среднее в единицу времени число разрывов
7г на расстоянии х от входа для квазимонохроматического гаус-
гауссова входного сигнала. Использовать результаты задачи 5.5.3.
Ответ, я - Hmf = & 2 J Wa{a) da - ^е/22? z - ^
5.5.5. На начальной стадии проявления нелинейных эффектов
(расстояния х/х « 1) для амплитуд высших гармоник простой
волны справедливы выражения A.13.4). Считая, что на входе
заданы регулярный монохроматический сигнал амплитуды о^ и
167

гауссов квазимонохроматический сигнал с дисперсией (Г такие,
что интенсивность у них одинакова (<г = а_/2), сравнить ин-
интенсивности высших гармоник шумового (Л ') и регулярного
A^ ') сигналов.
Ответ. J{nN)/J{nS) = п\
5.5.6. Найти корреляционную функцию и спектр простой вол-
иы на начальной стадии, ограничиваясь первым приближением в
решении уравнения простой волны методом возмущений Считать,
что входной сигнал стационарен, гауссов, с нулевым средним,
С корреляционной функцией В0(р) и спектром SJio).
Решение В первом приближении решение уравнения простой
волны E 3) можно представить в виде
и(х,т) = ио(т) + и^х.т). A)
И/Х.Т) = -V^fy(T), </(т) = и\(т), <2)
2со
т е связь и. и ы0 представляет последовательность квадра-
квадратичного детектора и дифференцирующей цепочки Для корреляци-
корреляционной функции </(т) при гауссовом входном сигнале имеем
Ку(р) = <у(т) у(х+р)> = flJ@) + 2В20(р) C)
С учетом связи процесса и его производной для корреляционной
функции простой волны получаем 2 2 2
Яи(х,р) = <и(х,т) (х,т+р)> = во(Р)-?-|-Й_^(р). D)
Так как возведению в квадрат корреляционной функции соответ-
соответствует свертка спектров, то для спектра простой волны из D)
следует
2 2 2
0
S0®S0 = К(«ьП) 50(П) d?2 F)
-00
5.5.7. Найти спектр простой волны на начальной стадии для
гауссова входного сигнала для а) широкополосного шума с кор-
корреляционной функцией BJp) = o^expC-AV2/^), б) узкополосно-
2 2 2
го шума с функцией BQ(p) = сг ехр(-Д р /2) cos(u0p) (u>Q » Д).
Ответ Используя результаты предыдущей задачи, получаем
о
— нелинейное взаимодействие приводит к уширению спектра;
168

l,2J
2r r ,.2 -, г
V [2 еХР - S1 + еХР
4V2~~c? L L 4A2J L 4Д2 J L 4Д2
— новые спектральные компоненты возникают вблизи нулевой ча-
частоты и вблизи удвоенной частоты 0) = 2о)„.
5.5.8. Найти усредненную по времени корреляционную функ-
функцию простой волны иа начальной стадии для входного квазимо-
квазимонохроматического сигнала с гауссовыми фазовыми флуктуациями
ио(т) = aQ cos О0т + <р(тI A)
считая известной структурную функцию флуктуации фазы
2. B)
Описать качественно спектральный состав волны.
Ответ.
e2aV 2
0 d
32c0 dp
или, учитывая медленность флуктуации фазы,
Ки(х,р) *\а\ cos@Hp) ехр [- \ D^
8co
D)
Нелинейное взаимодействие в этом случае приводит к появлению
спектральных составляющих вблизи удвоенной гармоники сигнала.
5.5.9. В условиях задачи 5 5 8 найти спектр простой волны
на начальной стадии для сигнала с ограниченными и малыми фа-
фазовыми флуктуациями (DJp) = 2 [сг2 - б (р)], сг2 « 1), считая
известным их спектр gjs°)
Ответ
e w a 'x
5.5.10. Найти спектр простой волны на начальной стадии
для входного сигнала с малыми амплитудными флуктуациями
ио(т) * oQ[l + а(т)] cos(wqt + pQ), <a2> « 1, A)
169

считая известным спектр амплитудных флуктуации gft(w). Срав-
Сравнить полученный спектр со спектром в случае малых фазовых
флуктуации (см. задачу 5.5.9).
Ответ.
2
gu(x,u) = ^
В этом случае в отличие от сигнала с фазовыми флуктуациями
происходит детектирование сигнала и появление низкочастотных
компонент —первое слагаемое во вторых квадратных скобках.
5.5.11. Найти спектр простой волны, используя выражение
для ее фурье-образа (см.задачу 1.16.4), считая, что на входе
задан стационарный шум с характеристической функцией
где Ф(т) = uJx=0,r). Рассмотреть поведение спектра на на-
начальной стадии.
Решение. Для стационарного процесса фурье-образ С(о>) и
спектр мощности g(ui) связаны соотношением
<С(ш) С*(и' )> = g(cS) 5(а>-ш/). B)
Умножая фурье-образ простой волны C(x,ui) иа комплексно со-
сопряженную величину C(x,(j)') и усредняя, получаем
здесь в.(З') = <ехр [ijr*(T)]> —одномерная характеристическая
функция. Переходя к интегрированию по ? = С, ~ ?i и ?i и
учитывая, что m
-00
для спектра интенсивности получаем
00
170

Пусть для простоты <Ф> = 0, тогда, разлагая характеристиче-
характеристическую функцию в ряд по моментам, имеем
D)
(Г2 = <Ф2>, BQ(€) = <Ф0(т) Ф0(т+^)>. Из C) при х -» 0 имеем
где
-00
где gQ(a>)—спектр сигнала на входе.
5.5.12. Найти спектр простой волны, считая, что иа входе
задан стационарный гауссов шум с нулевым средним и корреля-
корреляционной функцией Bq(O-
Ответ. Используя выражения для характеристической функции
гауссова процесса, из A1.3) получаем
ехр[-ш2(е/х2Jсг?л:2] °°f r f ,2 „
где cr? = В0@) —дисперсия входного сигнала.
Примечание. Двухточечную характеристическую функцию гаус-
гауссова процесса легко получить, вспомнив, что для гауссовой
случайной величины а справедливо равенство
<el7fa> = ехр Г#<а> - \ у2<т^\, где <г2 = <(а-<а>J>.
5.5.13. Считая, что корреляционная функция гауссова сиг-
сигнала характеризуется единственным временным масштабом Т^ =
= 1/ш0 и имеет вид BJQ = о~Я(?ш ), написать выражение для
спектра простой волны (см.A2.1)) в безразмерном виде.
Ответ.
g(x,w) = <jjuogB,n), Q - »/и0, z = (е/с20) <тоиох, A)
j{
eXP
-oo
5.5.14. Проанализировать эволюцию спектра и корреляцион-
корреляционной функции простой волны, представляющей на входе квазимо-
квазимонохроматический сигнал с корреляционной функцией
В0К) = о* fto(Q cos(w0S)t bQ(O = Ь(Д?), A)
где 60(^)—медленная (в масштабе cos(w ?)) функция, характе-
характеризующаяся масштабом Т = \/Аш таким, что ц = Д4/ш.«1.
171

Решение. Используя замену переменных A3.1), для безраз-
безразмерного спектра из A3.2) получаем
<я
g(z,Q) = ^-9 Г{ехр \z7tf iJpi) cost)] - l} в424 rfrj. B)
-00
Используя разложение экспоненты по модифицированным функциям
Бесселя / (z), можно представить B) в виде суммы спектров
на гармониках сигнала и низкочастотной компоненты:
C)
Поскольку д « 1, то спектр я-й гармоники сосредоточен вблизи
Q ~ п и в аргументах E) можно заменить п на л, и тогда
n P V] !• (в)
-оо
Из F) следует, что корреляционная функция может быть пред-
представлена как сумма корреляционных функций отдельных гармоник:
2 2
й
й
и низкочастотной компоненты. Используя разложение функций
Бесселя, можно показать, что эффективность генерации гармо-
гармоник на начальной стадии для шума в п\ раз больше, чем для
регулярного сигнала (см. задачу 5.5.5).
5.5.15. Используя результаты задачи 5.5.14, найти выраже-
выражение для низкочастотной части спектра, возникающей из-за де-
детектирования модулированного высокочастотного сигнала, и оце-
оценить ширину спектра /г-й гармоники Дш на начальной стадии,
ш
считая, что на входе 6Q(?) = ехр(- ? А /2), Ь{т\) = ехр(- ч\/2).
Решение. Для низкочастотной компоненты при z <¦ 1 (при-
(приближение простой волны) имеем IJ%) = X+y^/A, и тогда
]
gQ(z,u) ~~ \М ]ь%т e^dv = -^Lexp [- °L). A)
-оо WAU[12 ^
Для высших гармоник при г « 1 имеем / (z) ~ г", и тогда
05
g B,Q) ~ \bn(m) e^4 cos(nD) dr/
05
Л
172

спект-
спекттаким образом, ДП ~ Ли или Дш ~ Ь/п. При Ды ~ „„
r n n n О
ры гармоник сливаются.
5.5.16. Используя решение простой волны, показать, что
для стационарного шума одноточечное вероятностное распреде-
распределение сохранится. Предположить, что выполняется условия эр-
эргодичности.
Ответ. Для эргодичного процесса вероятностное распределе-
распределение совпадает с относительным временем пребывания процесса в
интервале и, и + Аи (см. рисунок):
Wn(u,x) = lim (ГДыГ'^Д^. A)
Здесь Т — общая длина интервала, Lt —длина интервала, где
функция находится в промежутке и, и + Lu. Из-за нелинейных
искажений длина каждого из интервалов будет меняться. Так
как для каждой точки про-
профиля в сопровождающей си-
системе координат
t и{х,х)
Ltn(x) =
и сумма двух любых сосед-
соседних временных интервалов ^ задаче 5.5.16
постоянна: ht + Lt , = const; следовательно, не меняется и
вероятностное распределение. К изменению вероятностного рас-
распределения приводит образование разрывов.
5.5.17. Найти вероятностное распределение гармонического
на входе сигнала (т) = a sm(u>QT + <р) со случайной фазой,
равномерно распределенной в интервале [-я, л]. Рассмотреть
стадию до образования разрывов (х < х = Cg/etA-a) и стадию
развитых разрывов (х « х ).
Ответ. (Здесь ?У = пс2/еш.)
1 о 0 1 /о IО АК/* I I »
W(u,x) = 1С\а2-и1)' , х < х ; W(u,x) = \*йУ х » х ,
5.5.18. Используя предельное решение уравнения Бюргерса
при бесконечно малой вязкости (см. задачу 5.3.10), показать,
что стационарный непрерывный иа входе шум превращается на
достаточно больших расстояниях в последовательности пилооб-
пилообразных импульсов с одинаковым наклоном. Найти скорость от-
отдельного разрыва.
173

Решение. Пусть входной шум имеет дисперсию сг = <и^(х)> н
характеризуется масштабом Т- Тогда характерная кривизна
функции ftSJx), входящей в предельное решение, равна
CS"(t) ~ (Зет /т„. Кривизна параболы а в этом же решении равна
\/х. При |3i7 Jt/т. » 1 парабола a(t,T,x) — плавная функция t в
масштабе &SJt). Поэтому точки касания ftSJt) и a(t,x,x)
близки к некоторым максимумам f$SQ(t) (см. рисунок). Поле
и(т,х) полностью опреде-
определяется системой критиче-
критических парабол— парабол,
имеющих двойные точки
касания с (SSJt). Коор-
Координаты центров критиче-
критических парабол определяют
К задаче 5.5.18 положение разрывов ?fe, и
точки пересечения крити-
критических парабол (совпадающие с некоторыми максимумами (SSJt))
определяют нули т) поля и{х,т). Действительно, в интервале
между ?, и ?. . парабола а касается &SM) практически в од-
одной и той же точке т) а это и означает, что поле и(х,х) в
интервалах между разрывами имеет универсальную структуру:
и{1,х) = {T\k~x)/{&x), ?k < т < ?fe A)
Положение разрыва определяется из условия двойного касания а
и CS., и для координаты разрыва имеем выражение
причем "скорость" движения разрыва постоянна:
Таким образом, профиль поля и(х,х) на этой стадии представ-
представляет совокупность наклонных линий с одинаковыми наклонами
- 1/(|Зх), выходящих из "нулей" т = т) Эти линии соединены
вертикальными линиями—разрывами, имеющими координаты ?, .
Расстояние между отдельными соседними разрывами А, = ?ь+1~?ь
может как возрастать, так и уменьшаться. Если Д. уменьшает-
уменьшается, то разрывы сливаются и превращаются в один с амплитудой,
равной сумме амплитуд слившихся разрывов.
5.5.19. Предполагая, что случайное поле и(т,х) характери-
характеризуется единственным масштабом х(х), оценить рост этого мас-
масштаба из-за слияния разрывов.
174

Решение. При случайных возмущениях «0(Т) скорости разры-
разрывов также случайны. Вследствие этого будут происходить стал-
сталкивание и слипание разрывов, приводящие к увеличению харак-
характерного временного масштаба поля т(х). Оценку роста х(х)
можно получить, написав уравнение для средней частоты следо-
следования разрывов в единицу времени п(х): п(х) = 1/т(х). Умень-
Уменьшение п(х) за счет столкновений пропорционально числу разры-
разрывов п(х) и отношению характерной "скорости" сближения разры-
разрывов LV = V. .-V. к характерному расстоянию между ними т = 1/л:
В качестве оценки "скорости" сближения разрывов можно счи-
считать, что AV порядка характерного разброса скорости разрыва
<V,>. Используя выражение для "скорости" разрыва (см.
ft n
A8.3)), для <&Vk> получаем оценку
<tV\> « <v\> « ^ < S0(t^t) - S0(t,)J>, B)
или, если задана BQ(t) = <«0(т)+т) «q(ttj)> (Sq@) = <r? —корре-
—корреляционная функция входного сигнала), то
2> = Э2л ГAтрт)В(Ч)Л) = j ° ° C)
и О
здесь D = JB (тг)) dT) —спектр начального возмущения на нулевой
О
частоте. (При D * 0 исходное время корреляции Т. определяет-
00
ся из D = <^т0, при D = 0-из /т? SQ(T)) йщ = - о^т2.) Под-
Подставляя C) в A), для роста внешнего масштаба получаем:
xJx/x J/3, D * 0,
° р1/2 D)
1/2. о = о,
р
х = Tq/^ct — характерная длина проявления нелинейных эффектов.
5.5.20. Предполагая, что статистические характеристики
интенсивного шума автомодельные, найти спектр мощности вол-
волны. Оценить энергию поля на стадии развитых разрывов.
Ответ. S(u>,x) = [т\х)/&2х2] 5(ш,т), где 5— универсальная
безразмерная функция; „,„
2 f (Vх) • D * °-
*). л«о.
Таким образом, из-за слияния разрывов энергия шума спада-
спадает медленнее, чем для гармонического входного сигнала, для
2 -2
которого <и > ~ д: .

6. УПРУГИЕ ВОЛНЫ В ТВЕРДЫХ ТЕЛАХ
6.1. Волны в неограниченных твердых телах
6.1.1. Исходя из общих динамических уравнений теории уп-
упругости, вывести уравнение Ламе, описывающее поле вектора
смещений в изотропном твердом тела.
Решение. Воспользуемся уравнением движения
pd2u/dt2 = дт../дх. = F., A)
представляющим собой второй закон Ньютона для элемента упру-
упругой деформируемой среды. Здесь и.— вектор смещений частиц,
Г.. —тензор напряжений, дивергенция которого определяет
объемную силу F.. Для жидких сред, которые не испытывают
упругой реакции на деформацию :двига, Т.. = -р5.., где р —
акустическое давление. По дважды повторяющимся индексам (ин-
(индекс / в уравнении A)) подразумевается суммирование.
Тензор напряжений связан с тензором деформаций S., урав
нением состояния, которое для ыалых деформаций (линейное
приближение) имеет вид закона Гука
Здесь с. .ы — упругие модули, образующие тензор четвертого
ранга, а теизор деформаций связан с компонентами вектора
смещений формулой
S<7
Для изотропной среды
где 5.. —символ Кронекера, А и [1~постоянные Ламе, и закон
Гука B) принимает вид
VAW2*V E)
Подставляя C), E) в A), получим искомое уравнение Ламе:
рd2u/dt2 ш (А-ф) d2uk/dx.dxk + цд2и/дх1. F)
176

Оно может быть записано также в векторной форме:
pd2u/dt2 = (A+ji)graddivu + |lAu. G)
6.1.2. Показать, что решение уравнения Ладе, описывающее
движение частиц изотропной упругой среды, можно представить
как сумму решений двух волновых уравнений, содержащих разные
скорости распространення волн.
Решение. Исходя из того, что любые векторные поля можно
представить в виде суммы их потенциальной и вихревой частей
и такое представление единственно, запишем смецение в виде
и = u,+ uf, A)
где u( и u^ таковы, что div u = 0, rot и( = 0, т.е. и^ и
и( представимы в виде: u = rot $, и. = grad <f. Функции <р и
$ называют скалярным и векторным потенциалами. Подстановка
A) в уравнение Ламе дает
pd2ut/dt2 + pd2uf/dt2 = ll Aty+u,) + (А+ц) grad divu,. B)
Применяя к уравнению B) операцию div и учитывая соотношение
div u^ = 0, получаем
div[pa2u//a^-(A+2|i)Aui] = 0. C)
С другой стороны, поскольку rot u( = 0, можно написать
rot [pd2u/dt2 - (Л+2A) Ди(] = 0. D)
Уравнения C), D) выполняются вместе лишь прн условии, что
входящее в иих векторное выражение в квадратьых скобках тож-
тождественно равно нулю:
р д2и/дГ* - (А+2д) Ди( = 0. E)
Применяя далее к уравнению B) операцию rot с учетом соотно-
соотношения rot u. = 0, получаем
rot [p d\/dt2 - yt Lu{] = 0. F)
Из соотношения div u. = 0 также следует, что
div [р д\/д? - II Ди,] = 0. G)
В итоге для и. из F) и G) получаем волновое ур»внение
pd2u(/dt2-[itMt = 0. (8)
Из E) видно, что скорость распространения потенциальных
возмудений с( определяется выражением с. = iA+2|i)/p. Вихре-
177

вые возмущения, как следует из (8), распространяются с мень-
меньшей скоростью с( (с2( = fi/p) поскольку для твердых сред А > 0.
6.1.3. Найти поляризацию плоских объемных гармонических
волн в изотропной твердой среде, движение частиц которой
описывается векторным уравнением Ламе.
Решение. В предыдущей задаче было показано, что решение
уравнения Ламе можно представить в виде суммы решений и( и
и двух волновых уравнений, причем
rot u, = 0, A)
divuf = 0. B)
Решение волнового уравнения для плоских гармонических воли
имеет вид
u ~ uQexp(tkr), C)
где к —волновой вектор, г —радиус-вектор, uQ —амплитуда сме-
смещений в волне. Подставляя C) в A), получаем
[к, и,] = 0, D)
т.е. плоские объемные упругие волны, распространяющиеся со
скоростью с. = [(А+2д)/р] и представляющие собой волны
сжатия и растяжения, поляризованы параллельно волновому век-
вектору. Поэтому эти волны называют обычно продольными. Подста-
Подстановка C) в B) дает
(к, и{) - 0, E)
1/2
т.е. волны, распространяющиеся со скоростью с, = (ц/р) и
представляющие собою волны сдвига, поляризованы перпендику-
перпендикулярно волновому вектору. Поэтому их называют поперечными.
6.1.4. В приведенной на с. 179 таблице содержатся пример-
примерные значения упругих модулей и плотностей некоторых изотроп-
изотропных твердых тел. В каких из данных материалов скорости про-
продольных и поперечных объемных волн максимальны, минимальны и
равны средним значениям? Имеются ли среди включенных в таб-
таблицу материалов такие, для которых скорость продольных волн
в одном из материалов приблизительно равна скорости сдвиго-
сдвиговых волн в другом?
6.1.5. Из динамических уравнений теории упругости вывести
закон сохранения энергии в дифференциальной форме и опреде-
определить выражение для плотностей кинетической и потенциальной
энергий и потока энергии (вектор Умова-Пойнтинга).
178

К задаче 6.1.4
Материал
Поликристаллические
металлы:
Алюминий
Железо (сталь)
Латунь
Серебро
Свинец
Золото
Лед
Плексиглаз (оргстекло)
Стекло силикатное
(плавленый кварц)
Известняк
Базальт
А,1010 Н/м2
6,1
11
8,5
8,5
3,3
15
5
5,6
1,8
4,6
4,2
Ц, 1010 Н/м2
2,5
8
3,2
2,7
0,55
2,8
4
1,4
3,1
2,76
2,68
р, 103 кг/м3
2,7
7,7
8,5
10,5
11,4
19,7
0,9
1,15
2,2
2,7
2,72
Решение. Умножив уравнение движения
pd2u./dt2 = дТ../дх. A)
на колебательную скорость du./dt, получим
ди.дТ,,
Напомним, что по дважды повторяющимся индексам производится
суммирование. Правую часть уравнения B), используя связь
деформаций и смещений
д д
можно преобразовать к виду
ди . дТ.. о
С учетом закона Гука:
dS..
Подстановка формул D), E) в B) приводит к искомому закону
сохранения энергии в дифференциальной форме:
^(W^+U^p + divP = 0, .F)
где WK = (p/2)(du/dtf и Wp ' (\/2)c.jklS..Skl-плотности
кинетической и потенциальной энергий, Р. = - (ди^д^Т —
плотность потока энергии (вектор Умова—Пойнтннга).
6.1.6. В образце из плавленого кварца распространяется
объемная продольная волна с частотой / = 30 МГц и амплитудой
179

деформаций порядка 10 9. Рассчитать скорость распростране-
распространения, длину волнь, амплитуду смещения, амплитуду колебатель-
колебательной скорости и интенсивность.
Решение. Скорость продольной волны в изотропном твердом
теле равна
[
{ 2. A)
Длина волны А связана с периодом и частотой колебаний G* и
И соотношениями
А = С[Т = c/f. B)
Деформация в плоской продольной волне выражается через сме-
смещение по формуле
$
откуда для амплитудных значений смещения и колебательной
скорости находим
|и| = (V2ir)|S|, D)
= а\и\ = 2п/|и| = ct\S\. E)
Интенсивность волны равна средней по времени энергии, пере-
переносимой волной е единицу времени через единичную площадку,
перпендикулярную направлению ее распространения, т.е. в
изотропном случае это модуль среднего по времени вектора
Умова-Пойнтинга Р. В рассматриваемой задаче интенсивность
f| F)
Коэффициент 1/2 в F) обусловлен усреднением вектора по вре-
времени. Используя данные таблицы к задаче 6.1.4, по формулам
A), B), D)-F) находим с.~ 6,03-103 м/с, А * 0,2 мм, \и\ «
я 3-10~14м , \ди/Щ ~ 6-10^ м/с, / » 2,4-W8 Вт/см2.
6.1.7. Для точечного гармонического во времени силового
источника f 5(г), действующего в неограниченном однородном
изотропном твердом теле, найти тензорную функцию Грина
С.(г,ш), связывающую поле смещений с возбуждающей силой:
Решение. Уравнение Ламе в рассматриваемой задаче:
ц Аи f (А+д) grad div и + рш2и = - f 5(г), A)
где 0) —частота колебаний источника. Ищем решение уравнения
A) методом преобразования Фурье, полагая
оо ш
Ги(к) e*r dk, 5(r) . —Ц fe*rdk. B)
\i BTrKi
180

Здесь dk = dk dk dk , kr = k x + k и + k z. Подставляя
B) в A), для фурье-образа U поля смещений получим алгебра-
алгебраическую систему уравнений
- fik2V - (Л+м) k(kll) + po2U = - f. C)
Умножая C) на к, найдем выражение для скалярного произведения
kU = f k [(\+2n)k2 - pu2]. D)
Теперь нужно подставить скалярное произведение D) во второй
член левой части уравнения C) Разрешив полученное уравне-
уравнение относительно U, найдем
и = f (A+u)k(fk) {5)
С помощью простых алгебраических преобразований удобно при-
привести E) к виду
ри2и = f ,2 _i_ + (fk)k[_i___i_] F)
Далее необходимо совершить преобразование Фурье по формуле
B), где фурье-образ дается формулой F). При этом полезно
напомнить табличные значения тех интегралов, которые исполь-
используются в процессе вычислений:
'/ JV/
-00
dcr dk
<fe.
Результат вычислений таков (и = G..f):
ik г 2
k г
6.1.8. Записать решение уравнения Ламе G.1) для прост-
пространственно-распределенного силового источника, воспользовав-
воспользовавшись тензорной функцией Грина для точечного источника.
Решение. Из предыдущей задачи следует, что решение урав-
уравнения Ламе с 5-источником, локализованным в точке г = г':
tu'.ir-r') = -/.б(г-г'), A)
выражается через тензорную функцию Грина:
и'.(т-г') = \.G..(\r-v'\). B)
Здесь L..—дифференциальный оператор, соответствующий урав-
уравнению Ламе, а координаты г' выступают в роли произвольных
181

внешних параметров. Будем считать, что вектор f. зависит от
координат г' так, что он описывает пространственное распре-
распределение силы для распределенного источника, т.е. функция
f{r') при замене г' на г соответствует уравнению
1 А
L..u.(r) = -f(r), C)
где и. — искомое решение задачи для распределенного источни-
источника. Интегрируя A) по штрихованным координатам, приходим к
уравнению
L,.JV.(r-r')dr' = -J/.(r'K(r-r')dr' = _^r). D)
Подставляя в интеграл левой части D) выражение B), получим
.(|r-r'|)//r').dr' = -f/r). E)
Из C) и E) видно, что искомое решение для пространственно-
распределенного источника имеет вид
«у (г) = JCf/(|r-r'|)f/r')dr'. F)
6.2. Волны в твердых телах с плоской границей
6.2.1. Найти решение уравнения Ламе, описывающее рас-
распространение плоских гармонических волн вдоль границы полу-
полубесконечного твердого тела с вакуумом (волн Рэлея и объемных
сдвиговых волн, поляризованных перпендикулярно направлению
распространения и нормали к поверхности).
Решение. Ищем решение задачи в виде плоских гармонических
волн, бегущих вдоль оси х в упругом полупространстве, зани-
занимающем область 2*0:
и. = «л exp (ikxx - Ш), A)
где и~ для поверхностных волн зависит от глубины г, а для
объемных равна константе.
Подстановка A) в векторное уравнение Ламе приводит к
системе обыкновенных дифференциальных уравнений для компо-
компонент ил, в которую входят производные только по координате
2. Решение этой системы уравнений можно искать в виде
ию ~ exp (ikgz), B)
где k для поверхностных волн в отличие от k должно быть
чисто мнимой (либо комплексной) величиной. Подстановка A) и
B) в векторное уравнение Ламе приводит к следующей системе
182

алгебраических уравнений:
О
x О (
UyQ
= 0. C)
Для существования нетривиального решения системы уравнений
C) требуется равенство нулю ее определителя. Из этого усло-
условия находим возможные значения kz:
кг = ± iq, q = Л2-к]. кг - 1 is, s s Sk*-k* . D)
Здесь и далее через к обозначается к . Решение, соответст-
соответствующее какому-либо из этих значений k , называют обычно
парциальной волной. Соотношение компонент и _ и и „ для
парциальных волн, как следует из C), не может быть произ-
произвольным, а определяется выражением
где „ оо
цк2Ц\+2ц)к--риJ (А+м)А k
M(k ) = = 2—-„ о . F)
2 (А)АА (\2)klk2f
г l
Общее решение системы дифференциальных уравнений для компо-
компонент и для полуограниченной среды с учетом соотношений
D)-F) можно записать в виде
"*0 = А ехР(^2) + В exP(s2)- иф = С exp(s2),
G)
и^ = А М(- q) exp(qz) + В М(~ s) exp(s2),
где М(- q) - - iq/k, M(- s) = - ik/s; А, В, С —амплитуды
парциальных волн. Из условия ограниченности решения на бес-
бесконечности амплитуды парциальных волн, нарастающих при уда-
удалении от границы, положены в решении G) равными нулю.
Обратимся теперь к вопросу о выполнении граничных усло-
условий. Из теории упругости известно, что сила / , действующая
на элемент поверхности площадью dS, связана с тензором упру-
упругих напряжений соотношением
где п. —компоненты единичной внешней нормали к поверхности.
На границе с вакуумом внешние силы отсутствуют, и поэтому из
условия непрерывности сил на границе выражение (8) должно
обращаться в нуль. Для полупространства с нормалью вдоль оси
183

2 это условие сводится к виду Т = 0, нли
ди -, ди
ди ди
при 2 = 0. Подстановка сюда решения в форме G) приводит к
системе уравнений относительно констант А, В, С:
2 2 2
^\B = 0, sC = 0, A =-±?- + 2В = 0. A0)
Последнее из уравнений A0) получено с учетом выражения
A(A!_?fl_2<z! = -*y. A1)
fi/г2 fe2 fe2
Из уравнений A0) следует, что С * 0 лишь прн s = 0. Такое
решение соответствует однородной объемной сдвиговой волне,
поляризованной в трансверсальном направлении (перпендикуляр-
(перпендикулярном направлению распространения и нормали к поверхности):
и = С exp (iktx - iwt), и = и =0, A2)
где С —произвольная амплитудная постоянная—определяется ус-
условиями возбуждения волны. Вслед за сейсмологами эту волну
часто называют 5Я-волной, т.е. сдвиговой волной горизонталь-
горизонтальной поляризации (SH—shear horizontal). Такая объемная волна
не создает нормальных компонент напряжений на границе твер-
твердого тела, но она является неустойчивой в том отношении, что
небольшие отклонения в начальной постановке задачи (напри-
(например, нагрузка поверхности слоем (см. задачу 6.3.2) или нали-
наличие в среде пьезоэффекта (см. задачу 6.4.8)) могут сделать
эту волну поверхностной.
Второй тнп решения системы A0), для которого А * 0 и
В * 0, соответствует поверхностной волне Рэлея. Для сущест-
существования этой волны требуется, чтобы определитель матрицы
коэффициентов при А к В системы A0) был равен нулю, т.е.
(A2+s2J-4*V = 0. A3)
Из этого условия находится скорость волн Рэлея. Решение для
смещений в волне Рэлея находится из G) и A0) и имеет вид
где Л —произвольная амплитудная постоянная. Как следует из
A4), волна Рэлея поляризована в сагиттальной плоскости,
184

проходящей через нормаль к поверхности и направление распро-
распространения.
6.2.2. Доказать, что волна Рэлея существует во всех ре-
реальных изотропных твердых телах.
Решение. Возводя дисперсионное уравнение для волн Рэлея
A.13) в квадрат и исключая из него тривиальный корень, со-
соответствующий равенству скорости поверхностных волн нулю,
приводим его к виду
0G?) = if- 8т/4 + 8C-2?2) г,2 - 16A-?2) = О, A)
где Т) = cjc , ?; = с Jc., с —скорость распространения рэ-
леевских воли. Из выражений для компонент смещений в волнах
Рэлея следует, что эти волны существуют, если их скорость не
превышает скорости наиболее медленной объемной волны, т.е. в
A) Т) < 1. Подставляя в A) значения т) = 0 и т) = 1, получаем
D(T) = O) = -16A-?2) < 0, B)
поскольку ? = с /с. всегда меньше 1 (см. задачу 6.1.2), и
?>(tj=1) = 1 > 0. C)
Из B) и C") следует наличие корня в области 0 < т/ < 1, а
следовательно, и существование волн Рэлея вне зависимости от
конкретных значений упругих модулей.
6.2.3. Найти приближенное выражение для скорости волны
Рэлея в изотропных средах, используя в дисперсионном уравне-
уравнении A.13) в качестве начального приближения значение k = k
и учитывая лишь линейные по отклонению k от к{ слагаемые.
Решение. Представим k в виде k = k A+6). Подстановка
этого выражения в дисперсионное уравнение
(А2 + s2J = 4k2qs, A)
возведение уравнения A) в квадрат и учет только линейных по
5 слагаемым приводит к выражению
Г4
Т
8оТ ' 1> -\] = 1. B)
Используя для коэффициента Пуассона v формулу
преобразуем поправку 5 к виду
5 = siTTuy <4>
185

0,96
0,86
Учитывая далее, что ма-
малые возмущения скорости
и волнового числа связа-
связаны соотношением
Дс
Г'
E)
с помощью D) находим
приближенное выражение
для скорости волн Рэлея
_ 0,875+1,1251» ,fi,
CR ~ ct Гй ^°
0,25
К задаче 6.2.3
0,5 у
На рисунке сравнивается
зависимость cd(v)< Pac"
считанная по формуле
F), с точным решением
(штриховая кривая). Для
построения точного решения использовалась обратная зависи-
зависимость v = v(cD), которая находится точно из дисперсионного
уравнения A): 2
v =' - ^ w ¦ G)
6.2.4. По известным скоростям рэлеевской и продольной
волн (cD = 3,00-Ю3 м/с и с. = 5,85-103м/с) рассчитать ско-
рость поперечной волны и коэффициент Пуассона материала, ис-
используя малость различия скоростей поперечной и рэлеевской
волн. С помощью таблицы к задаче 6.1.4 определить материал.
Решение. Дисперсионное уравнение C.1) относительно неиз-
неизвестной скорости поперечной (сдвиговой) волны является урав-
уравнением четвертой степени, что не позволяет точно рассчитать
коэффициент Пуассона. Приближенное значение v можно найти,
используя близость скоростей волны Рэлея и объемной сдвиго-
сдвиговой волны. Подставляя в формулу
1-2?2
v = l z% , где
= с2/с2
ct/cl '
A)
вместо с значение с„ из условия задачи, получаем v ~ 0,32.
Далее уточним значение с по формуле C.6).для с„:
ct 0,87+l,12v
~ 3,22-КГ м/с.
B)
Подстановка уточненного значения с( в A) дает v - 0,28.
Сравнение цифровых значений с данными таблицы к задаче 6.1.4
показывает, что наиболее вероятным материалом является железо.
186

6.2.5. Определить глубину hQ (в длинах волн), на которой
волна Рэлея поляризована линейно. Числовое значение рассчи-
рассчитать для дюралюминия (коэффициент Пуассона v = 0,34).
Решение. Волна Рэлея становится линейно поляризованной иа
глубине hQ, при которой продольная компонента вектора смеще-
смещений (и „ в A.14)) обращается в нуль. Отсюда следует, что
B)
* 0,93, а
или с учетом дисперсионного уравнения
?° = 1пA-тJ/2)
где Л„—длина рэлеевской волны. Для дюралюминия
/Iq/Лд « 0,19.
6.2.6. Определить характер, направление и параметры дви-
движения частиц среды на поверхности под действием волны Рэлея.
Получить числовые значения для стекла с v = 0,3. Чем отли-
отличается движение на поверхности от движения частиц, находя-
находящихся ниже глубины /iQ, определенной в предыдущей задаче?
Решение. Смещение частиц среды под действием волны Рэлея
описывается выражениями (см.A.14))
..2, „2
2ki
exp(sz)]
exp(sz)]
exp (ikx-iwt).
0)
Вследствие сдвига фазы колебаний нормальной компоненты сме-
смещений иг относительно продольной и на + п/2 (наличие множи-
множителя i у и ) движение частиц среды происходит по эллиптиче-
эллиптическим траекториям:
их = a(z) cos (orf +
uz = 6B) sin
<р).
B)
Направление вращения определяется знаком отношения Ь/а, за-
зависящим от глубины. На поверхности выражения в квадратных
скобках в A) имеют противоположные знаки. Отсюда видно, что
отношение Ь/а положительно, что соответствует движению по
эллипсу по часовой стрелке. Отношение полуосей эллипса на
поверхности равно
2kd
Ь(г-О)
aiz-
k2 + s2
C)
Для v = 0,3 это отношение равно 1,52. На большой глубине
слагаемыми, пропорциональными exp(qz), можно пренебречь по
сравнению с exp(sz), поскольку q > s. При этом знаки в

о
о
К задаче 6.2.6
квадратных скобках в выра-
выражениях A) для и , «г бу-
будут одинаковыми, т.е. знак
х отношения Ь/а и соответст-
соответственно направление вращения
на большой глубине будут
противоположны тем, что
имеют место на поверхности.
Изменение направления вра-
вращения происходит на глубине
h0, рассчитанной в предыду-
предыдущей задаче. Траектории дви-
движения частиц среды в волие
Рэлея и зависимости компо-
компонент смещений от глубины
иллюстрируются иа рисунке.
6.2.7. Плоская объемная волна падает под углом 8 на плос-
плоскую границу однородного изотропного твердого тела с ва-
вакуумом. Показать, что если эта волна сдвиговая и поляризова-
поляризована перпендикулярно плоскости падения, то трансформация в
другие типы волн отсутствует и коэффициент отражения, опре-
определенный через отношение смещений в падающей и отраженной
волнах, равен единице.
Решение. Как и в задаче 6.2.1, считаем, что твердое тело
занимает полупространство г s 0, Плоскость падения считаем
совпадающей с плоскостью хг. Смещения в падающей волне
и = С exp \ik(x sin9 + ik(z cos6 - &rf|. A)
Подстановка A) в A.9) показывает, что волна Stf-поляризации
не связана в граничных условиях с волнами, поляризованными в
плоскости падения. Поэтому при отражении возбуждается лишь
волна той же поляризации, что и исходная, вида
и = #С exp \ik х sin6 - ikfz cos6 - ton, B)
где # —коэффициент отражения. Подстановка A) и B) в гра-
граничное условие -
при 2 = 0 дает R = 1.
6.2.8. Найти коэффициенты отражения и трансформации в
волны других типов (через отношение амплитуд смещений) в
1RR-

случае, если в условии предыдущей задачи заменить падающую
сдвиговую волну на продольную.
Решение. Для выполнения граничных условий в любой точке
поверхности необходимо, чтобы проекции волновых векторов,
участвующих в процессе отражения волн, были на поверхности
равны друг другу. Из этого условия следует, что для продоль-
продольной волны угол падения 0. равен углу отражения, а угол 9.,
под которым отражаются сдвиговые волны, связан с углом 8.
соотношением
Л, sin8. = k sin 9 или sin 0, = (с./с )sin 9 A)
Лучевая картина для рассматрива-
рассматриваемой задачи отражения изображена
на рисунке.
Из граничных условий для сво-
свободной поверхности A.19) следу-
следует, что падающая продольная вол-
волна ие возбуждает отраженную вол-
волну 5//-поляризации, но может воз- К за ач 6 2Я
буждать отраженную продольную
волну и отраженную сдвиговую волну SV-поляризации (волну,
поляризованную в плоскости падения; SV — shear vertical). По-
Поэтому граничные условия сводятся к двум уравнениям:
ди ди г с4->ди ди
i
Суммарное поле смещений в полупространстве с учетом изложен-
изложенного можно представить в виде
и
—— = sin8, exp(t'A,2 cos9.) + /? ,sin9 exp(- ik.z cos9 ) +
t exp(- ikfz cos0t),
C)
jj=- = cosSj exp((ftjZ cos9() - /?((cos9( exp(- ik{z cos9 ) +
f exp(- ik(z
где и,.— амплитуда падающей продольной волны, /?.—коэффици-
/?.—коэффициент отражения, 7\—коэффициент трансформации продольной
волны в поперечную. Волновой множитель exp (ik.xs\ne[ - iu)t)
опущен. Подставляя C) в граничные условия B) и используя
соотношение
1 - 2 (fyfy sin29/ = cosB9,), D)

следующее из уравнения A), получаем систему уравнений отно-
относительно коэффициентов /?.. и Т^:
/?//A/sinB8() + Tl(ktcosBet) = ^111B6^,
E]
Rukl(cl/ctJcosBet)-TltktsinBet) = - tyc/C<2
Из E) легко найти: 0 0
- sinBst)sinB9()-(cf/c,)acosaB9t)
" sinB9/)sinB9r)+(c//cfJcos2Ber)
2(C,/Ct)sinBef)cosB9()
6.2.9. Найти коэффициент;
отражения и трансформации в
волны других типов в случае,
когда в условии задачи 6.2.7
падающая сдвиговая волна по-
поляризована в плоскости паде-
ния. Сравнить результат с от-
К задаче 62 9 ветом предыдущей задачи.
Решение. В данной задаче поле смещений имеет вид
f
^
- Г ,sin9,
-ik(z cosQ() -
(-t*.2 cos9
-ik(z cos9r)
(лучевую картину см. на рисунке). Подстановка A) в гранич-
граничные условия (8.2) приводит к системе уравнений
RuktcosBQt)- 7^5^B8,) = - A,cosB8,),
о B)
RuktsinBe{) * THk^/cJBQ) *iB8p
C)
Из B) получаем
sinB8 )sinB8 )-(с/с
R =
tt = ¦ ¦ —Ц 3 ~
" si nB8f)si nB8/)+(c//c/cos2B8r)
(cf/cfKinD9t)
Сравнивая (8.6), (8.7) с формулами C), D) находим, что
sinB9J
Ru " Rtf Tu " sinBQ()V
190

6.2.10. При каких условиях коэффициенты /?,, и R. , рас-
рассчитанные в задачах 6.2.8 и 6.2.9, обращаются по модулю в
единицу, в нуль и в бесконечность.
Решение. Условие |/?//| = l^«l = 1 выполняется, если пер-
первое или второе слагаемое, входящее в числитель и знаменатель
(8.6) и (9.3), обращается в нуль. Отсюда с учетом взаимосвя-
взаимосвязи углов (8.1) приходим к следующим возможным вариантам:
1) нормальное падение объемных волн, 9, = 9 = 0°;
2) падение сдвиговых S^-волн под углом 9 = 45°;
3) падение сдвиговых волн под критическим углом в' =
= arcsi х\{с{/с^, при котором отраженная продольная волиа
скользит вдоль поверхности.
При в > 9' отраженная продольная волна становится неод-
неоднородной, локализованной вблизи поверхности, и этот случай
требует дополнительных исследований. Для этого выражение
(9.3) удобно преобразовать, заменив углы 9 и 9. на проекции
волновых векторов падающей и отраженной волн на оси х и Z'
k. = k, sin9, = fe = k.s'mQ, = k, k, = k. cos9,, k. = k cos9,
Ix I I tx t t lz I I tz t t
A)
При этом cosB9 ) с учетом A) преобразуется к виду
cosB9,) = 1 - 2(k/kf, B)
и для Rft в итоге имеем
4kV(k2rk2)(k2rk2)-(k2r2k2J
Rit - — ' ' . — • C)
Ak2V{k2t-k2){k2rk2)+{k2t-2k2J
При 8 > в' k > k, и первое слагаемое в числителе и знамена-
знаменателе C) становится чисто мнимым, a \R \ = 1 Этот случай
соответствует полному внутреннему отражению Sy-волн
Углы падения, при которых R и R, обращаются в нуль, по
аналогии с оптикой называют углами Брюстера для объемных
акустических волн. Соответствующее этим углам условие обра-
обращения в нуль числителя формулы C) отличается от дисперсион-
дисперсионного уравнения для волн Рэлея A.13) лишь знаком перед вто-
вторым слагаемым. При возведении уравнений в квадрат (для иск-
исключения радикалов) это различие исчезает. В итоге получаем,
что углы Брюстера для объемных акустических волн определяют-
определяются тем же уравнением, что и скорость волн Рэлея. Входящая в
это уравнение скорость с для брюстеровских углов является
191

скоростью движения фазового фронта падающей и отраженных
волн вдоль поверхности.
Условие обращения коэффициентов R и /?,, в бесконеч-
бесконечность, как следует из C), совпадает с дисперсионным уравне-
уравнением для волн Рэлея. Это совпадение объясняется тем, что
формально задачу о распространении поверхностных волн можно
рассматривать как частный случай задачи об отражении объем-
объемных волн при условии, что падающая волна отсутствует, а углы
скольжения отраженных волн могут принимать мнимые значения.
6.2.11. Найти коэффициент Пуассона твердого тела, зани-
занимающего полупространство со свободной поверхностью, если
известно, что угол Брюстера для сдвиговых объемных волн в
этой среде равен 30°.
Решение. Брюстеровские углы для объемных продольных и по-
поперечных . волн связаны с решениями дисперсионного уравнения
для волн Рэлея B.1) соотношениями
k( j I с
При в^ = 30° т) = 2. По значению т) из B.1) можно найти ?:
X _ ^2 = -02(тL-8тJ+8) B)
Для т) = 2 ?2 = 1/3. По формуле D.1) находим v = 0,25.
Согласно теореме Виета корни уравнения B.1) связаны I.
о
его коэффициентами при ? = 1/3 соотношениями
T?i + Т)о + Ч-э = о» ^1 Уп Vi - об/о. (о)
\ Z 6 \ 2. о х '
Используя один известный корень Г) = 2, для двух других из
C) получаем квадратное уравнение, решение которого имеет вид
¦ц\ 3 = 2 ± 2/уГГ. D)
Меньший из этих корней определяет скорость воли Рэлея с «
~ 0,92с , а больший—второй угол Брюстера для сдвиговых волн
9^ = arcsin B + 2/v^)"t/2 я 34°. E)
Этому углу соответствует угол Брюстера для продольных волн
9 я 77°, а углу 9 = 30° соответствует угол 9 = 60°.
6.2.12. Сдвиговая волна 5#-поляризации падает под углом в
на плоскую границу раздела двух изотропных твердых тел. Най-
Найти выражения для коэффициентов отражения и прохождения и
сравнить с соответствующими формулами для границы раздела
двух идеальных жидкостей.
192

Решение Будем обозначать индексом 1 величины, относящие-
относящиеся к среде, из которой падает волна, а индексом 2 величины,
относящиеся к смежной среде. Как и прежде, ось г направим по
нормали к границе так, чтобы среда 1 занимала полупростран-
полупространство 2^0, а ось х направим вдоль поверхности в плоскости
падения. Поля смещений в обеих средах можно записать в виде
и, = ио[ехр(/*г1г) + /? ехр(-е*г1г)], и2 = TU()exp(ikz2z). A)
Общий множитель exp (ik х - Ш) для краткости опускаем.
Подстановка A) в граничные условия непрерывности смещений и
нормальных компонент упругих напряжений при 2 = 0:
и, = и2, ц, ди/дг = м2 ди2/дг, B)
приводит к системе уравнений
1 + Я = Г. ц,*г,A-Л) - H2kz2T C)
Отсюда получаем
R = (ZfZ2)/(ZfZ2), T = 2Z/(Z]+Z2), D)
где импедансы Z^ = p.c cos8 , Z2 = p2Cf2 cosB,, а углы в
и 8„ связаны соотношением
cos2e = i--i-2sin2e E)
вытекающим из условия совпадения тангенциальных компонент
волновых векторов
Коэффициенты отражения и прохождения акустических волн на
границе двух идеальных жидкостей имеют такой же вид D), но
при несколько ином определении импедансов. Для жидкостей
гж = рс/созв . F)
ж
Это различие связано с иными граничными условиями. Для твер-
твердых тел на границе непрерывно смещение, для идеальных жидко-
жидкостей—нормальная компонента вектора смещения (напомним, что
акустические волны в жидкости являются продольными). Разли-
Различаются также и выражения для непрерывных на границе нормаль-
нормальной компоненты напряжений в SH-волнах и давления для про-
продольных волн в жидкости, если они записываются через смещения.
6.3 Волны в пластинах, слоях и стержнях
6.3.1. Гармонические волиы SW-поляризации распространяют-
распространяются вдоль изотропной плоскопараллельной пластины со свободны-
свободными поверхностями Найти решение, описывающее структуру поля,
а также фазовую и групповую скорости этих волн
7 Акустика в задачах 193

Решение. В данной задаче волны Stf-поляризации не связаны
с волнами других типов и поэтому они полностью описываются
скалярным волновым уравнением A.2.8). Его решение для гар-
гармонических волн, распространяющихся вдоль оси х в пластине с
плоскостью симметрии 2 = 0, удобно представить в виде
и = [A cos(kzz) + В s\n(kzz)] exp(ikx - Ш), A)
где А2 = А2 - А2, А и В — произвольные постоянные. Подставляя
A) в граничные условия Т г = цди/dz = 0 при г = th/2,
где А—толщина пластины, получаем
k A kh kh k h
i4sin-n—+Bcos-n— = 0, - Л sin-n—+ flcos-n—- 0. B)
Уравнения B) допускают два решения. Одно описывает волны,
поля которых симметричны относительно плоскости симметрии
пластины
kh
А * 0, В = 0, sin—|— = 0, kji = 2пп, п = 0,1,2,... C)
Второе решение описывает антисимметричные волны:
k h
А = 0, В * 0, cos-|- = 0, kji = тгBп+1), п = 0,1,2,... D)
Фазовые скорости
0 - [ct - [ш\
где m = 0,2,4,... для симметричных мод и m = 1,3,4,...
для антисимметричных. Групповая скорость
Симметричная мода с m = 0 представляет собой однородную по
глубине объемную волну, скользящую вдоль поверхности пласти-
пластины. Для такой волны нормальные компоненты упругих напряжений
равны нулю во всем объеме пластины. Поэтому такие волны
существуют в пластине произвольной толщины, причем они явля-
являются бездисперсиснными.
В плоскости симметрии пластины для симметричных волн с
m * 0 амплитуда смещений достигает максимума, а нормальные
напряжения обрацаются в нуль. Все наоборот для антисиммет-
антисимметричных волн—амплитуда смещений обращается в нуль, а нор-
нормальные напряжения в средней плоскости пластины максимальны.
6.3.2. Волны 5//-поляризации распространяются в изотропном
плоскопараллельном слое, верхняя поверхность которого сво-
свободна, а нижняя находится в контакте с изотропным полупрост-
полупространством. Найти решение для поперечной структуры этих волн
194

(волн Лява) и получить дисперсионное уравнение. Найти приб-
приближенное выражение для скорости волн Лява в случае, когда
толщина слоя стремится к нулю.
Решение. Будем считать, что подложка занимает полупрост-
полупространство г ? - А, а слой—область - А < г ? 0. Материальные
параметры и другие величины, относящиеся к слою, будем отме-
отмечать штрихом. Смещения в слое могут быть представлены в виде
выражения типа A.1):
и'у = "o[cos(Az2) + A sin(*'22)]exp(t*x-M), (*)
а в подложке —в виде
иу = "о ехР(") expfiftx-Hrt), B)
п 2 2
где s = k - k{ . Подставляя A) в граничное условие обра-
обращения нормальной компоненты упругих напряжений Т' = ц'ди'/дг
в нуль на верхней свободной поверхности слоя при 2 = 0, по-
получаем А = 0. Используя далее граничные условия непрерывно-
непрерывности смещения и нормальной компоненты тензора упругих напря-
напряжений на границе слоя с подложкой при z = - А, получаем сис-
систему уравнений:
- uQexp(-sA) = 0, и'оц' k'zs\n(k'z A) - u{)fxsexp(-sA) = 0.
C)
Из равенства детерминанта системы уравнений C) нулю, необ-
необходимого для существования нетривиального ее решения, полу-
получаем дисперсионное уравнение
tg(*;ft) = цзДц'k'g). D)
Решение для поперечной структуры волнового поля имеет вид
и'у = [u'Qcos(k'zz)] exftikx-itdt), - А < г < 0,
E)
иу = [u'0cos(k'zh)] exf[s(z+A)] exp(ikx-Hot), z * - h.
В предельном случае А » 0 результат E) переходит в решение
для объемных SH-волн, скользящих вдоль свободной границы
полупространства. При конечных, но малых А тангенс в уравне-
уравнении D) можно заменить его аргументом, после чего с учетом
близости значений скоростей волн Лява с. и объемных сдвиго-
сдвиговых волн несложно получить явное выражение для с,:
(•)
6.3.3. Используя операцию преобразования векторов и тен-
тензоров при инверсии ocei координат, вывести условия, которым
7* 195

должны удовлетворять смещения и нормальные компоненты тензо-
тензора упругих напряжений, создаваемые симметричными и антисим-
антисимметричными волнами в средней плоскости пластины при условии,
что эта плоскость совпадает с плоскостью симметрии задачи.
Рассмотреть задачу о распространении симметричных Stf-волн в
слое между двумя одинаковыми полупространствами.
Решение. При повороте и инверсии осей системы координат
вектор смещения и тензор упругих напряжений преобразуются по
формулам
и'. = а..и., Т.. = а..а.Т.., A)
где штрихом обозначены поля в новой системе координат, а
а.. —матрица преобразования. Так, при повороте системы коор-
координат на угол <р вокруг оси г и при инверсии направления оси
г эта матрица равна соответственно
a.. =
cos<p sirup О
-s'mw cosi 0
0 0 1
а'. . =
ч
1 0 0
0 1 О
0 0-1
B)
ч
Пусть плоскостью симметрии пластины является плоскость
2=0. Тогда для симметричных волн выполняются соотношения
их(г) = их(-г), иу(г) = и?-г), иг = - иг(-г), C)
а для антисимметричных
Соотношения C) эквивалентны преобразованию типа инверсии
направления оси г с матрицей преобразования а'.. B). Исполь-
Использование этой матрицы в A) показывает, что иа средней плос-
плоскости меняют знак те компоненты смещения и тензора напряже-
напряжений, которые имеют один индекс г, т.е. и , Т и Т . С
г г хг уг
другой стороны, в любой плоскости пластины должны быть не-
непрерывны смещения и нормальные компоненты тензора упругих
напряжений. Отсюда следует, что для симметричных волн в
средней плоскости пластины должны выполняться условия
и = Т = Т = 0 при 2 = 0. E)
г хг уг у у '
Соотношения D) для антисимметричных волн можно рассмат-
рассматривать как преобразование типа инверсии направления оси г с
последующей инверсией всех компонент вектора смещения. При
таких преобразованиях происходит смена знака непрерывных на
границе компонент поля и , и и Г , что означает
х у гг
«,-«,- Тгг = 0 при 2 = 0. F)
196

Несложно убедиться, что решение задачи 6.3.1 удовлетворяет
условиям E), F).
Для симметричных волн S/Z-поляризации, распространяющихся
вдоль оси х, условие E) сводится к виду Туг = 0, совпадаю-
совпадающему с граничным условием для свободной поверхности. Следо-
Следовательно, решение для симметричных волн Stf-поляризации в
слое толщиной А, окруженном с обеих сторон одинаковыми сре-
средами (так называемых каналовых волн Лява), совпадает с реше-
решением для волн Лява, полученным в предыдущей задаче, в слое с
толщиной, равной не А, а Л/2-
6.3.4. Плоскопараллельный слой находится между двумя
разными полупространствами. Используя лучевой метод, рассчи-
рассчитать коэффициенты отражения и прохождения плоских гармони-
гармонических S/Z-волн, падающих наклонно на слой, выразив их через
коэффициенты отражения и прохождения на границе двух полу-
полупространств. Из условия обращения коэффициентов для слоя в
бесконечность получить дисперсионное уравнение для каналовых
волн Лява. Рассмотреть
частные случаи, когда од-
одна из окружающих слой
сред отсутствует (поверх-
(поверхность слоя свободна) и
когда окружающие слой
среды одинаковы.
Решение. Лучевая кар-
картина отражения и прохож- "*
дения плоских волн через
слой изображена на рисун-
рисунке. Эта картина относится
к случаю, когда в процес-
процессе отражения волн отсут-
отсутствует их трансформация в
волны других типов. Отраженная и прошедшая через слой волны
формируются в результате многократных переотражений падающе-
падающего луча. Коэффициенты отражения R и прохождения Т для слоя
рассчитываются путем суммирования образующихся при переотра-
переотражении лучей.
Будем использовать обозначения- 1 —среда, из которой па-
падает волна; 2-слой; 3 —среда, в которую волна проходит. В
К задаче 6.3.4
197

соответствии с этими обозначениями под г tk будем под-
подразумевать коэффициенты отражения и прохождения при падении
волны из полубесконечной среды ( на полубесконечную среду k.
Рассмотрим случай нормального падения Коэффициенты R и Т
на основе изложенных соображений могут быть представлены в
виде бесконечных рядов
Эти ряды образуют геометрическую прогрессию со знаменателем
Г23Г21 ехРB"Р)- Здесь <р = k2h, где *2 — волновое число в
слое толщиной h. Используя формулу для суммы геометрической
прогрессии, получаем
m
* l-r23r?1expBi<p) ' (l>
f12f23exp(iy)
1 1-г23л2]ехрB/(р) W
При переходе к случаю наклонного падения возникают сле-
следующие изменения. Во-первых, коэффициенты г и t становятся
функциями углов падения. Во-вторых, изменяется длина пути,
проходимого лучами в слое. В-третьих, происходит расщепление
лучей, связанное с нх смещением вдоль слоя в процессе отра-
отражения, в результате чего пути, проходимые различными лучами
от слоя к приемному преобразователю, не равны между собой
(приемный преобразователь должен располагаться параллельно
фазовому фронту отраженной или прошедшей волн, т е перпен-
перпендикулярно лучам). Из рисунка легко видеть, что разность фаз
для соседних лучей из-за различия их путей в пластине соста-
составляет h<p. = 2kJi/cosQn, а из-за различия путей в среде 1 —
Д(р. = 2k.h tg92 sin9. Результирующая разность фаз с учетом
k. sin6. = &2sin92 равна Lip,. - L<p. = Ikjx cos9 Такой же
результат получаем и для прошедших волн В итоге оказывает-
оказывается, что формулы A), B) применимы и для наклонного падения,
если в них считать, что <р = к„ h, где &„ = ?„ costL— проек-
проекция волнового вектора на ось 2, а под г и t подразумевать
коэффициенты, относящиеся к наклонному падению под углами,
определяемыми соотношениями k, sin9. = к„ sin9o = ?„ sin9.
Из условия отсутствия падающей волны при наличии отражен-
отраженной и прошедшей R = Т = со. Отсюда находим дисперсионное
198

уравнение для волн, распространяющихся вдоль слоя:
1 - г23г2х ехрB/р) = 0. C)
Такое же уравнение можно получить и при непосредственном
рассмотрении волиоводного распространения в слое.
Подстановка в C) коэффициентов отражения, рассчитанных в
задаче 6.2.12, позволяет найти дисперсионное уравнение для
каналовых волн Лява в виде
ZJZ^ZJZ,
M D)
y
/ 2 2 ' / 2 2 '
где <р = (wA/c.)v 1-е /с , Z = pfecfe v l-c./c , с —скорость
каналовых воли, cfe—скорость объемных сдвиговых волн в среде
с номером k.
Для того чтобы волны были локализованы в слое, необходи-
необходимо, чтобы скорость с была меньше с„ и с„. В этом случае им-
педансы Z1 и Z3 являются чисто мнимыми. При Z, = 0 из D)
следует дисперсионное уравнение для волн Лява:
Это уравнение совпадает с B 4) В случае, когда окружающие
слой среды 1 и 3 одинаковы, те Z. = Z., нз D) получаем
22/Z
F)
Из F) можно вывести уравнение, подобное E), с единственным
отличием—заменой в E) <р на <р/2. Это согласуется с вывода-
выводами, приведенными в решении задачи 6.3.3.
6.3.5. Гармонические волны SW-поляризации распространя-
распространяются вдоль границ бесконечной периодической слоистой струк-
структуры, состоящей из двух чередующихся плоскопараллельных сло-
слоев, толщина и параметры одного из которых а, р , д , a
другого — Ь, р, , ц. Вывести дисперсионное уравнение и оп-
определить структуру поля смещений для этих волн Найти низко-
низкочастотную асимптотику решения дисперсионного уравнения.
Решение Геометрия задачи изображена на рисунке Вследст-
Вследствие периодичности структуры решение можно найти, рассматри-
рассматривая акустические поля лишь в двух соседних слоях Плоскости,
проходящие через середины слоев, являются плоскостями сим-
симметрии слоистой структуры Поэтому решение волнового уравне-
уравнения для сдвиговых волн в каждом из слоев целесообразно раз-
разделить на симметричную и антисимметричную части относительно
199

средних плоскостей слоев г « а/2 и г = - 6/2:
ы = /1 cos [а(г-а/2)] + В sin [а(г-а/2)],
ы6 = С cos [P(z+6/2)] + D sin [Э(г+Ь/2)].
Общий множитель exp(t*x-tf<rf) для краткости опущеи,
л л л О О . ^
A)
*:-*•.
fc и А,—волновые числа объемных
а о
К задаче 6 3.5
сдвиговых волн в слоях а и Ь. Граничными условиями является
непрерывность смещения и нормальной компоненты тензора упру-
упругих напряжений на границе соседних слоев
ди ди.
а .. о
при
0.
B),
Из условия периодичности также следует, что поля в слое а на
границе г = а необходимо сшить с полями в слое 6 на границе
2 = - Ь. Отсюда имеем
ди ди.
и (г=а) = и,(г=-Ь),
C)
г=а ' ~ г—Ь
Подстановка выражений A) в условия B), C) приводит к сис-
системе уравнений-
D)
E)
F)
G)
200

Складывая D) и F) и вычитая E) и G), получаем уравнения,
в которые коэффициенты б и О не входят:
A cos I5- - С cos (p = 0, (8)
Ail a sin ??¦ + Cuj3 sin §^ = 0. (9)
Равенство нулю детерминанта этой системы дает дисперсионное
уравнение вида ., о
tg(gg/2| = _ZK. (Ю)
Коэффициенты В и D в этом случае равны нулю, т.е. решение,
определяемое (8)—A0), соответствует волнам, поле смещений
которых симметрично относительно средних плоскостей слоев.
Если, наоборот, вычесть D) и F) и сложить E) и G), то
получим уравнения, в которые входят коэффициенты б и D:
= 0, (И)
В \ia a cos JP - D ць C cos (p = 0. A2)
Дисперсионное уравнение, соответствующее системе уравнений
(И), A2), имеет вид
tg(aa/2) дда
В данном случае, как следует из D)-GI равны нулю коэффи-
коэффициенты А и В, т.е. уравнениям A1)—A3) соответствуют анти-
антисимметричные волны.
В низкочастотном пределе, заменяя тангенсы их аргумента-
аргументами, из дисперсионного уравнения A0) для симметричных волн
получаем асимптотическое значение их скорости с:
„ fi а+ц.Ь
< - р7
Аналогичное разложение в уравнении A3) показывает, что для
антисимметричных воли решение в низкочастотном пределе от-
отсутствует, т.е. для низшей моды антисимметричных воли имеет-
имеется отсечка по частоте.
Наличие свойств симметрии и антисимметрии у решения, опи-
описывающего распространение волн в слоистых структурах, позво-
позволяет также решать такие задачи раздельно для симметричных и
антисимметричных волн, используя постановку граничных усло-
условий в плоскостях симметрии структуры (см. задачу 6.3.3).
6.3.6. Вывести дисперсионное уравнение и рассчитать
структуру полей для гармонических антисимметричных воли Лэм-
201

ба (волн, поляризованных в сагиттальной плоскости), распро-
распространяющихся в плоскопараллельной неограниченной пластине со
свободными поверхностями. Использовать условия, которым
удовлетворяют антисимметричные волны в средней плоскости
пластины.
Решение. В соответствии с решением задачи 6.3.3 в средней
плоскости пластины 2 = 0
и = и = Т =0 при 2 = 0. A)
Использование условий A) позволяет ограничиться постановкой
граничных условий лишь на одной поверхности
Т = Т = Т = 0 при 2 = d, ¦ B)
хг уг 22 '
где d — полутолщина пластины. Плоские волны, поляризованные в
сагиттальной плоскости и распространяющиеся вдоль оси х, с
компонентами и и Т не связаны, и поэтому использование
у ух
условий A), B) для этих компонент не требуется. Условия
A) B) для остальных компонент с помощью закона Гука
ди ди -, . ди ди
И т (Лад ^ лО)
сводятся к виду, куда входят только смещения. Решение для
поля смещений волн Лэмба подобно соответствующему решению
B.1.7) для волн Рэлея, но помимо убывающих при удалении от
поверхности слагаемых включает также и нарастающие
дси
D)
иа = A M(-q) е'2+ В Щ-s) е"+ С M(q) e~?2+ D M(s) <T»,
где
M(±q) = ± iq/k, M(±s) = ± ik/s, u = uQ exp(ikx-imt).
Подставляя D) в A), получаем
A + B + C + D = 0, (l+s2/k2)(A+C) + 2(S+D) = 0. E)
Отсюда следует, что А + С = В + D = 0. Выражения для компо-
компонент смещений в этом случае принимают вид
им = 24sh(<72)+2BshE2), «^ = -2i[,4f ch(?z) + В§ ch(sz)]. F)
Подстановка выражений C), F) в граничные условия B) при-
приводит к системе уравнений:
A-2qch(qd) + Bs(Uk2/s2)ch(sd) = 0,
A (Us2/k2) sh(qd) + В- 2 sh(sd) = 0. (?)
202

Приравнивая детерминант этой системы нулю, находим диспер-
дисперсионное уравнение для антисимметричных волн Лэмба
ih(sd) _ U2+s2J ,а.
()
а
— ~ 5 • (°)
ih(qd) 4k qs
Поле смещений для этих волн, как следует из F) и G), опи-
описывается выражениями
их0 "О
„ „ ) 2qs sh(sz)]
их0 "О \cb(qd) ~ /Ь2 .C2v ch(sd)J'
.C2
(9)
9
2k2 chlsz
ЦЩ
где u_ —произвольная амплитудная постоянная.
6.3.7. Решить задачу 6.3.6 для симметричных волн Лэмба.
Решение. Для симметричных волн на средней плоскости плас-
пластины 2 = 0 должны выполняться условия (см. задачу 6.3.3)
и = Т = Т = 0 при г = 0. A)
В остальном решение этой задачи аналогично решению задачи
6.3.6. Подстановка выражений для компонент смещений F.4) в
условие A) приводит к уравнениям
|(Л-С) + |(В-Д) - 0, q (А-С) + s (B-D) = 0. B)
Отсюда следует, что С = A, D = В и
и^ = 2A ch(qz) + 2В ch(sz), и^ = - 2i \а | sh(qz) + В | sh(sz)].
C)
Последующее использование граничных условий F.2) дает
A-2q sh{qd) + Bs (Uk2/s2) sh(sd) = 0,
9 9 D)
A(\+s2/k 2)ch(sd) + B-2ch(sd) = 0.
Из равенства нулю детерминанта системы D) находим диспер-
дисперсионное уравнение для симметричных волн Лэмба:
m •¦$&?¦
Поле смещений, как следует из C)-E), в данном случае опи-
описывается выражениями
- и fch(g2) 2qs ch[szY
"о [mqdT) k2+s2 s{)
i
u --,-„? [sh(g2) 2k2 sh(sz
]
г0 l 0k Ish(qd) ^2+^2 sh(sd)J-
6.3.8. Найти выражения для предельных значений фазовых и
групповых скоростей низших антисимметричной (изгибной) и
симметричной (продольной) волн Лэмба в пластине толщиной
203

h -» 0. Использовать разложения дисперсионных уравнений F.8)
и G.5) в ряд по степеням h (до членов порядка h )
Решение Дисперсионное уравнение для волн Лэмба:
I*1
-I
-t/ Н) = ТАцу/хц Vlt/ I*1
g(^) Bу-1)ц2
Здесь знак плюс отвечает симметричной, минус —антисимметрич-
—антисимметричной моде, у = c2t/c2, х = c2t/c2 H = k.h/2 = u>h/{2c.). Левую
* tt X 0
часть A) преобразуем, используя разложение Age я еA+е /3).
Для симметричных волн A) примет вид
о
4уA-*) - 1 - [D41A-*) - 1) Bj/-*-l) + </ - *)$- = 0. B)
При Я -» 0 отсюда находим t/ = [4A-*)] или с = с ш 2с х
9 0 1 /О
х (\-с /с.) . Предельное значение с называют скоростью
продольной волны в тонкой пластине. Поскольку с от частоты
не зависит, фазовая и групповая скорости в этом приближении
совпадают. Для антисимметричных волн дисперсионное уравнение:
9 9 2
4A-*) f У2 + D*~3) у У - [l + у *) = 0. C)
Приближенное решение C) при Н -» О
/2 D)
отвечает классической теории Кирхгофа для тонких пластин.
Для квадратов волнового числа и фазовой скорости изгибных
О О
волн из D) следуют выражения k = 2^/3" k/h, с = uhc/2V$.
Групповая скорость в этом приближении с = do>/dk - 2с —
вдвое превосходит фазовую.
6.3.9. Найти точное решение динамических уравнений теории
упругости, описывающее распространение гармонических кру-
крутильных волн в круглом изотропном стержне со свободной гра-
границей, имеющем произвольный радиус и бесконечную длину.
Решение. Удобно использовать систему координат, соот-
соответствующую форме границы В этом случае проще добиться вы-
выполнения граничных условий В цилиндрической системе коорди-
координат г, ^>, г уравнения имеют вид
г dip dz
д2и дТ , ЭГ п дТ Т
п z _ гг_ I гф гг гг /Q4
204
д2и дТ ,дТ,п дТ Т-Т1

а деформации связаны со смещениями соотношениями:
Srr = 0T-> V"
I'
V
1
+7
3T"
л ди1П и
1 ф г
ди1
Для изотропных твердых тел закон Гука в цилиндрической си-
системе координат имеет такой же общий вид, что и в декартовой:
фг
Считаем, что
Л
л
л
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
д
о
2
E)
л
л
о
0 0 0 0
0 0 0 0
ось 2 совпадает с осью стержня,
уравнения A)-E) допускают существование в стержне решения
в виде крутильных волн, для которого отлична от нуля лишь
одна компонента вектора смещений
решения
Покажем, что
и Поиск осесимметричного
и = и = О,
г г
F)
для которого производные по углу обращаются в нуль, приводит
к равенствам:
Тп -
= Тгг =
отличны от нуля лишь следующие деформации и напряжения:
При выполнении условий F)-(8) уравнения A) и C) удовлет-
удовлетворяются тождественно, поскольку все входящие в них члены
обращаются в нуль, а уравнение B) сводится к виду
c]dt2
aV
г' дг'
Поиск решения уравнения (9) в виде гармонических волн
и = и exp(ikz-io>t)
приводит к уравнению относительно и = и(г):
д2и 1 ди
(9)
A0)
С помощью A1) несложно убедиться, что простейшим решением
уравнения (9) является решение, соответствующее равенству
k-kr
U(f> = Cr exp {iktz-iut), A2)
205

С —амплитудная постоянная. Используя (8), несложно убедить-
убедиться, что для этого решения нормальная компонента упругих на-
напряжений Т всегда равна нулю, т е. решение A2) удовлетво-
удовлетворяет граничным условиям свободной поверхности и существует в
круглых стержнях любого радиуса. Соответствующую этому реше-
решению волну называют нулевой крутильной модой. Скорость ее
распространения совпадает со скоростью объемных сдвиговых
волн и от частоты не зависит, т.е. волна является бездиспер-
бездисперсионной, и ее групповая скорость равна фазовой. Амплитуда
угловых перемещений для нее пропорциональна радиусу, а и- О
и и = О, т.е смещениям в этой волне соответствуют повороты
каждого поперечного сечения стержня как целого вокруг оси г.
При k * k решение уравнения A1), ограниченное на оси
цилиндра, записывается через функцию Бесселя 1-го порядка:
и = CJftr), A3)
где Э2 = k - k . Подставляя это решение в граничное условие
Т (г=а) = 0, где а —радиус стержня, и воспользовавшись со-
соотношением dJ.(z)/dz = JQ(z) - J.(z)/z, получаем дисперсион-
дисперсионное уравнение
0а /0(Ра) - 2ЦРа). A4)
С помощью таблиц значений функций Бесселя можно показать,
что уравнение имеет решения (За = ш, где ш — набор положитель-
положительных чисел; первые члены этого .ряда: m. ~ 5,1, т„ ~ 8,4 и
т.д. Этим значениям соответствуют высшие крутильные моды. В
отличие от нулевой высшие моды обладают дисперсией. В пре-
предельном случае тонкого стержня существует лишь нулевая без-
бездисперсионная крутильная мода. С увеличением радиуса стержня
высшие моды возникают пороговым образом, так что, чем толще
стержень, тем большее число мод в нем существует. Свойства
крутильных мод в круглом стержне сходны со свойствами
5Я-волн в пластине.
6.3.10. Построить решение, аналогичное решению задачи
6.3.9, для случая распространения в стержне "продольных"
(аксиально-радиальных) волн, поля которых симметричны по
углу, а угловая компонента вектора смещения отсутствует.
Решение. Данную задачу можно решать, используя уравнения
в цилиндрической системе координат. Однако для пояснения
принципа разделения уравнений движения, которые для радиаль-
206

ной и аксиальной компонент оказываются связанными, целесооб-
целесообразно использовать иной подход, основанный на представлении
уравнения Ламе в векторной форме. Это уравнение, исходя из
A 1.7) и известного из векторного анализа тождества
grad div u s Д u + rot rot u, A)
запишем в виде
„2
p 2-jj- = (А+2ц) grad div u - fx rot rot u B)
dt
или, в.водя обозначения 9 = div u, й = A/2) rot u,
рЦ= (A+2fx) grad 9 - 2/J. rot 3. C)
dt2
Скалярная величина 9 имеет смысл относительного изменения
объема элемента среды при его деформировании, а вектор Й
характеризует поворот этого элемента. Для гармонических волн
из уравнения C) получаем
u = -(\/k2) grad 9 + B/k2t) rot 3. D)
Для того чтобы определить вид решения для 9, подействуем на
уравнение C) оператором div и воспользуемся тождеством A).
В результате получаем волновое уравнение
дЧ/dt2 = с] Д 9. E)
В цилиндрической системе координа? для гармонических осесим-
метричных волн, бегущих вдоль оси г (и = и. exp (ikz-M)),
уравнение E) принимает вид
д2&^ 1 39^ ,.2 Лй n IR,
ГТ+757+(*Г* )8 = 0. F)
or
Решение уравнения F), ограниченное при г = 0, выражается
через функцию Бесселя нулевого порядка:
В = A JQ(ur) exp (ikz-iut), G)
5 2 2
где а = k - k , Л— произвольная амплитудная постоянная.
Подействуем иа уравнение C) оператором rot. В результате
р ^| + с2 rot rot З = 0. (8)
at2 '
Это уравнение с помощью тождества A) можно преобразовать к
волновому уравнению, в которое, однако, будет входить лапла-
лапласиан не от скалярной, а от векторной функции 3. Для нахожде-
нахождения вида векторного уравнения (8) при его записи для компо-
компонент 3 в цилиндрической системе координат предпочтительней
использовать само уравнение (8), ие преобразуя его в волно-
волновое. В цилиндрической системе координат для rot o> справедли-
207

во представление
rot 3 = \
д д
37 3?
0)
1
37
(9)
Поскольку рассматриваются осесимметричные волны (д/дф = 0),
для которых и = 0, то из (9) следует, что отлична от нуля
только одна компонента вектора 3:
ди
п
= 0. A0)
Компоненты вектора rot 3 в этом случае принимают вид
до) 4 3(ru )
^E (r0t 3) = 0, (t 3) 1 ^L
т.е. у rot 3 отличны от нуля те же компоненты, что и у век-
вектора смещения. Поэтому согласно (9) у вектора rot rot 3, как
и у 3, не равна нулю лишь угловая компонента
(rot rot 3)^-^-^A-^4 021
Подставляя A2) в (8), для гармонических волн получаем
A3)
A4)
В-
Ограниченное при г = 0 решение уравнения A3) имеет вид
(о - В /t(|3r) ехр(/*г-й|>0.
где /. — функция Бесселя первого порядка, Э = k - k'
амплитудная постоянная. Компоненты смещений согласно форму
к:
2
лам D) и A1) выражаются через ы и 8:
1 99
иг = --.
A5)
'* &OZ .2 ОТ ' "г fc237'
Подставляя сюда выражения G), A4) и используя для преобра-
преобразований взаимосвязи, существующие между функциями Бесселя
нулевого и первого порядков,
получаем
и
- -/,B),
A6)
*l Rt Rl Kt
A7)
Граничные условия на свободной поверхности цилиндра при
A8)
т = а в соответствии с A.1.5) можно записать в виде
д ди л ди
) /
208

Из граничных условий и выражений A6), A7) следует, что
Ak] [ika ^(ao)] + Bk] [(k2-fi2) /,0а)] = 0, A9)
Л*2[(Э2-*2) /0(аа) - |2/,(оа)] + Sfe2[- 4i*p /„(Ра) + 41*/^)] - 0.
B0)
Для существования нетривиального решения этой системы урав-
уравнений ее определитель должен быть равен нулю. Отсюда находим
искомое дисперсионное уравнение
WW2kW Л?
Выражения A7) для поперечной структуры поля смещений с по-
помощью уравнения A9) преобразуются к виду
/а
Т
B2)
имеющему сходство с соответствующими формулами для волн Рэ-
лея (см. B.1.14)) и для волн Лэмба (см. F.9) и G.6)). В
уравнениях B2) AQ—амплитудная постоянная. Дисперсионное
уравнение B.1) принято называть уравнением Похгаммера-Кри.
Иногда тай называют и сами эти волны.
6.3.11. Исследовать поведение решения A0.21), A0.22)
для аксиально-радиальных волн в круглом стержне при частоте
звука, стремящейся к нулю.
Решение. Для функции Бесселя с малым аргументом положим
/0 = (г) « 1, /,(г) « г/2. A)
В этом приближении левая часть дисперсиоиного уравнения при-
5 9 9
иимает вид a Ck -f3 )/D? C), и квадрат скорости волиы стре-
стремится к значению
2 _ (ЗА+2д)д m
сь ~ (Л+д)р ¦ W
Комбинация упругих модулей в выражении B) представляет со-
собой модуль Юнга Е, т.е. с, = Е/р. Напомним, что модулем Юнга
называют отношение единственной отличной от нуля компоненты
упругих напряжений Т к деформации S при статическом рас-
растяжении стержня. Компоненты смещения, как следует из (9.22),
в низкочастотной области ведут себя так: и „ стремится к
постоянному (по сечеиию стержня) значению, а игг/и^\ ~* ®-
Поэтому рассмотренный тип волны называют продольной стержне-
стержневой модой.
209

6.3.12. Как соотносятся скорости объемной продольной вол-
волны и продольной волны в тонкой пластине, а также скорость
продольной волны в тонком стержне со скоростью объемной
сдвиговой волны, если материалом для всех этих случаев слу-
служит сталь (у = 0,28).
Решение. Используя для коэффициента Пуассона выражение
B.3.3), скорости объемной продольной волиы с;, продольной
волны в тонкой пластине с и скорости продольной волны в
тонком стержне с. можно выразить через скорость объемной
сдвиговой волны с( и v:
4 J 5
ct ct ct
Отсюда для v = 0,28 находим с{ = 1,81с(, с = l,67cf,
с, = 1,25с.. Из A) легко видеть, что скорости всех трех
продольных волн при любых значениях коэффициента Пуассона
превышают скорость поперечной объемной волны. Скорости с.,
с , с, образуют убывающий ряд, что согласуется с качествен-
качественным соображением о том, что введение границы уменьшает связи
элемента среды, расположенного вблизи свободной поверхности,
в сравнении с элементом, расположенным в объеме среды, за
счет чего эффективная жесткость и скорость уменьшаются.
6.4. Кристаллоакустика и акустоэлектроника
6.4.1. Найти общее решение динамических уравнений теории
упругости, описывающее распространение плоских однородных
объемных акустических воли в безграничных монокристаллах.
Решение. Исходными уравнениями для этой задачи являются
уравнение движения и закон Гука для анизотропных сред:
Поиск решения уравнений A) в виде плоских однородных гармо-
гармонических объемных волн
ut = "ю ехР (ik}xfM) B)
(где k —проекции волнового вектора k = 0)/с на оси декарто-
декартовой системы координат х, k. = kn , л —направляющие коси-
косинусы углов между волновым вектором и осями системы коорди-
координат) приводит уравнения A) к виду
210

где Г.. = с... п. п.. Теизор Г.. принято называть тензором
Кристоффеля, а уравнение C) —уравнением Кристоффеля.
, Теизор Кристоффеля определяется тензором упругих модулей
с...,, в который для кристаллов входит не более 21 незави-
независимого модуля. Это следует из симметрии тензоров Т и S..
относительно перестановки индексов. С учетом данной симмет-
симметрии удобно использовать сокращенную форму записи индексов в
соответствии с правилом
11 -» 1, 22 ^ 2, 33 -» 3, 32 -» 4, 31 ¦» 5, 21 -» 6. D)
В такой форме записи закон Гука принимает вид Т. = C..S,,
где /, 7 = 1-5- 6, или
т
т
т
т
т
т
1
2
3
4
5
6
'12 3
'22 С23
24
3 4
* С44
'25
'35
С45
С55
16
26
36
46
56
66
S1
s2
53
54
55
S6
E)
при условии, что
.
Sj = 25.. для i*j.
= S.. для i = j
Матрица упругих модулей с., симметрична относительно диаго-
диагонали с... Поэтому для наглядности элементы матрицы ниже
диагонали в E) отмечены просто точками.
Тензор Кристоффеля Г., , как и тензоры 7".. и S ., сим-
i й 'У У
метричен относительно перестановки индексов и может записы-
записываться с использованием сокращений D). При такой форме
записи уравнение Кристоффеля имеет вид
и..
Г6 Г5
т2-х г4
*10
^20
'30
0, X ш рс2,
F)
а компоненты тензора Кристоффеля, как несложно показать с
помощью уравнения E), связаны с направляющими косинусами п.
соотношением
Г
г
г
г
г
г
1
2
3
4
5
6
'11
5
С56
С15
С16
L66 5
С22 С44
С44 С33
С24 С34
С46 С35
С26 С45
2с,
2с!
56
24
34
2с
2 с
2с.
15
46
35
С44+С23
С45+С36
С46+С25
С45+С36
С55+С13
С56+С14
2с16
2С26
2С45
С46+С25
С56+С14
С66+С12
п
п
п
П2
П\
П\
2
2
з
"з
"з
п2
G)
211

Для существования нетривиального решения системы однородных
уравнений F) ее детерминант должен равняться нулю. Это
равенство и является дисперсионным уравнением задачи. Вычис-
Вычисления детерминанта приводят к бикубическому уравнению для
нахождения фазовой скорости объемных воли с (с = VA/p ):
х3 - (гуг2+г3) х2 + (Г/у г/уг^-г^-г*) х -
' (Г,Г2Г3+2Г4Г5Г6-Г,Г4-Г2Г5-Г3Гб) = °- W
Здесь X можно рассматривать как эффективный упругий модуль
анизотропной среды в заданном направлении. Решение уравнения
(8) можно получить в тригонометрической форме. Из этого
уравнения следует, что в кристаллах могут распространяться
три объемные волиы с одинаковым направлением волнового век-
вектора, но разными фазовыми скоростями. Поляризация этих волн
определяется из уравнений F) и в общем случае не является
ни продольной, ни поперечной. Совершая в уравнении (8) пре-
предельный переход к изотропной среде, несложно показать, что
скорость одной из волн совпадает со скоростью продольной
волны, а двух других—со скоростью поперечной. Соответствую-
Соответствующим образом, как следует из уравнения F), ведут себя и
поляризации. Поэтому "быструю" волну в кристаллах (имеющую
максимальную фазовую скорость) принято называть квазипро-
квазипродольной, а две другие волны —квазипоперечными. Скорость и
поляризация объемных волн в кристаллах согласно (8) и F) от
частоты не зависят, поэтому приведенное решение применимо и
для негармонических воли.
6.4.2. Доказать, что объемные акустические волны, рас-
распространяющиеся в кристалле в одном и том же направлении с
разными скоростями, имеют взаимно ортогональные поляризации.
Решение. Уравнение Крнстоффеля для двух волн с разными
скоростями, описываемыми решением этого уравнения, можно
записать в виде
г* "ю = Vw • <2>
Индексы 1 и 2 здесь используются для того, чтобы различать
между собой решения, относящиеся к разным волнам. Умножая
уравнение A) на и? , а уравнение B) на iAJ , имеем
u0k
212

Поскольку Хх * Ag, to u^ t/Q'k = 0, т.е. смещения для волн
с разными скоростями ортогональны. Для трех таких объемных
волн, в общем случае существующих в заданном направлении в
кристалле, векторы поляризаций образуют ортогональный базис,
повернутый произвольным образом (поворот зависит от упругих
модулей) относительно волнового вектора.
6.4.3. Какие упругие модули кристалла равны нулю, если
плоскость г = const является плоскостью симметрии. Рассчи-
Рассчитать анизотропию скорости объемных волн, распространяющихся
в этой плоскости.
Решение. Наличие плоскости симметрии в кристалле, нормаль
к которой совпадает с осью г, означает, что при инверсии оси
г матрица упругих модулей своего вида не меняет. С другой
стороны, используя формулу преобразования упругих модулей
при повороте и инверсии осей координат х.
A)
с'.,, = а. а. а, а, с
ijkl ip ;q kr Is pqrs
где а.. —матрица преобразования координат (х[ = а..х.), а в
качестве а., используя матрицу C.3.2), соответствуюшую ин-
инверсии оси 2, убеждаемся, что при таком преобразовании меня-
меняют знаки модули, содержащие индекс 3 нечетное число раз. Это
означает, что указанные модули в кристалле с плоскостью сим-
симметрии, ортогональной оси z, должны равняться нулю. Матрица
модулей данного кристалла (если у него нет дополнительных
элементов симметрии, его называют моноклинным) выглядит так:
С11 С12
" С22
С13
С23
С33
0
0
0
С44
0
0
0
С45
С55
с
С
с
0
0
с
66
B)
Для воли, распространяющихся в плоскости симметрии, /г, = О,
а л. = cosp, л„ = sinv> (<p — угол между волновым вектором и
осью х). Отличные от нуля компоненты тензора Крнстоффеля:
Л.г.
1 9
Г. = с., cos <р + 2с 6 cos (p sin <р + c6g sin
Г2 = С66
2с26 cos
sin
С22
2 9
Г, = с cos <р + 2с. cos <p sin ф + с ..sin <p,
Г6 = сш cos2p + (с12 + c66)cos <p sin <f> + с26 s
C)
213

(см. A.7)). Уравнение Кристоффеля при этом имеет вид
Г6
о
о
о
0
0.
D)
Отсюда находим скорости объемных волн как функции угла (р
рс2 = Г3, рс22з = (Г1+Г2)/2±/(ГгГ2J/4 +Г*. E)
Из уравнения D) следует, что волна, распростраияющаяся со
скоростью с. , является чисто поперечной и поляризована
перепендикулярио плоскости симметрии. Две другие волны поля-
поляризованы в плоскости симметрии. Но они не являются чистыми
модами в смысле их поляризации. Одна из них при Г * 0 явля-
является квазипродольной, а другая—квазипоперечной.
6.4.4. Кристалл, имеющий три взаимно ортогональные плос-
плоскости симметрии, вырезан в форме параллелепипеда с ребрами,
параллельными кристаллографическим осям. Для каждой из трех
ортогональных граней образца измерены скорости трех объемных
акустических волн, распространяющихся в направлении нормали
к грани. Определить общее число независимых упругих модулей
кристалла и исследовать возможность их вычисления по извест-
известной плотности и данным акустических измерений.
Решение. Вид матрицы упругих модулей в кристалле с плос-
плоскостью симметрии, ортогональной оси г, приведен в предыдущей
задаче. Наличие плоскости симметрии, ортогональной оси х,
означает (см.задачу 6.4.3), что упругие модули, содержащие
индекс 1 нечетное число раз, должны обращаться в нуль. Мат-
Матрица упругих модулей при этом выглядит так:
22
'13
С33
0
0
0
С44
0
0
0
0
С55
0
0
0
0
0
с
66
A)
К такому же виду матрица приводится и в случае, если плос-
плоскость симметрии ортогональна ие оси х, а оси у. Следователь-
Следовательно, имеется девять независимых упругих модулей. Матрица A)
характерна для кристаллов ромбической симметрии. По условию
задачи число измерений скоростей акустических волн также
равно девяти. Поэтому иа первый взгляд задача определения
214

полного набора упругих модулей может иметь решение. Для
точного ответа на этот вопрос требуется исследование взаимо-
взаимосвязи скоростей объемных- воли с модулями кристалла.
Из уравнения A.7) следует, что для волн, распространяю-
распространяющихся вдоль кристаллографических осей в кристалле с матрицей
A), тензор Кристоффеля имеет диагональный вид, и его диаго-
диагональные компоненты равны:
B)
C).
Г = с Г = с ]
1 11 ' 2 66 '
для воли, распространяющихся вдоль х;
5
Г1 С66'
Г2 -
4
для волн, распространяющихся вдоль у;
Г1 - С55 •
Г2 С44
Г3= С33
D)
для воли, распространяющихся вдоль г. Уравнение Кристоффеля
для всех этих трех случаев имеет вид
Л л 0
Ггрс2
О
Г2-рс2
О
О
1
о,
E)
т.е. объемные волны, распространяющиеся вдоль кристаллогра-
кристаллографических осей в ромбическом кристалле, являются чистыми мо-
модами (поперечными или продольными). Их скорость с = (Г./р) .
Обозначим через с . скорости объемных волн, распростра-
распространяющихся в направлении оси х (i = 1, 2, 3). Аналогичные
обозначения с ., с . будем использовать и для волн в двух
других направлениях. В соответствии с B)-D) часть этих
скоростей должна совпадать. Обозначим совпадающие скорости
так, чтобы между ними выполнялись равенства
сх2 ~ СУГ
а = СгГ СуЪ = Сг1 F)
В этих обозначениях между модулями и измеренными скоростями
существует связь:
'11 U66 "-55
6 2
4
55
4 3
= Р
с2 с2
Сх\ Сх2
с2 с2
Сг\ Сг2
'гЗ
G)
Таким образом, возможность определения модулей по измерениям
скоростей чистых акустических мод в рассматриваемой задаче
имеется, но не полного набора модулей, а только их части,
находящейся на главной диагонали матрицы A).
215

При решении конкретной задачи с числовыми данными соотю-
шеиия F) могут выполняться лишь приближенно. Тогда точность
их выполнения будет служить критерием точности ориенташи
граней образца относительно кристаллографических плоскостей.
6.4.5. Определить вид матрицы упругих модулей поперечю-
изотропного твердого тела и рассчитать анизотропию скорости
распространения в нем объемных акустических волн.
Решение. Будем считать, что осью симметрии является ссь
2. Поворот системы координат вокруг оси г на 180 можю
рассматривать как инверсию всех осей с последующей инверсией
оси г. Поскольку при инверсии всех осей тензор упругих мо;у-
лей как тензор четного (четвертого) ранга не изменяется, го
плоскость, перпендикулярная оси поперечной изотропии, jb-
ляется для тензора с., плоскостью симметрии. Это означает,
что часть упругих модулей в матрице A.5) равна нуло
(см. C.2)).
Рассмотрим теперь поворот на угол ±90° вокруг оси г. Пэи
этом одна из двух осей (х и у) займет место другой. Так5я
операция с учетом поперечной изотропии эквивалентна инверсяи
одной из этих осей. Следовательно, оси х и у являются нори»а-
лями к плоскостям симметрии. Это требует равенства нулю еще
ряда элементов матрицы упругих модулей, которая в результате
принимает вид D.1). Поскольку направления х и у эквивале^-
иы, матрица с должна быть также симметричной относитель-
относительно перестановки индексов 1 «-» 2. С учетом этого матрица с
IJ
запишется в виде
11
С\\ С13
сзз
о
о
О
4
44
6
A)
Такая матрица соответствует кристаллам тетрагональной син-
гонии.
Для поперечно-изотропных по линейным упругим свойствам
кристаллов требуется еще одно условие на упругие модули. Для
его нахождения воспользуемся результатами задачи 6.4.3. Ско-
Скорости объемных волн, распространяющихся в плоскости симмет-
симметрии, перпендикулярной оси г, определяются компонентами Г
216

Г„, Г,, Г6> которые для матрицы A) имеют вид
9 9
Г, = с,, cos w + сс- si п ф, Го =
1 II т 00 ?
*3 ~ С44' 6 vt12 Ь1
Подставляя B) в C.5), получаем
cos2p + сп sin2?,
B)
Из C) следует, что для изотропии скорости в плоскости, ор-
ортогональной оси 2, требуется, чтобы
С66 = (VC12)A D>
Второй возможный вариант (с.» + с.. = 0) отброшен как неудо-
неудовлетворяющий предельному переходу к изотропной среде. Матри-
Матрица A) при выполнении D) соответствует гексагональным крис-
кристаллам. Рассмотрим теперь распространение объемных воли под
углом Э к оси г. Поскольку выбор ориентации осей х и у в
плоскости поперечной изотропии произволен, рассмотрим слу-
случай п0 = 0. Компоненты тензора Кристоффеля при этом равны
c44cos20,
2 2
с sin Э + с..cos Э,
г3 = c44sin2e + c33cos2e, г4 = г6 = о, г5 = (сп+си) cose sine.
что соответствует уравнению Кристоффеля вида
¦ л_2 п г*
E)
Г2-рс2 О
О Г,-рс2
Из уравнений D)-F) находим
- 2с
= 0.
i sin20,
рс
2,3
\ [С44 + с\\si
F)
G)
1/2
(8)
Такие же выражения получаются и в случае, когда плоскость,
образованная волновым вектором и осью 2, повернута на произ-
произвольный угол вокруг z относительно осей х и у. Волна со
скоростью, определяемой соотношением G), является попереч-
поперечной и поляризована перпендикулярно указанной плоскости.
217

Отметим, что эта задача является единственной, для ко*о-
рой при произвольном направлении распространения волн и
произвольном соотношении упругих модулей дисперсиоииое ypiB-
нение факторизуется и удается найти точные явные формулы для
скоростей объемных акустических волн.
6.4.6. Определить вид матрицы упругих модулей кубичесжх
кристаллов, характеризуемой наличием трех взаимно ортого-
ортогональных плоскостей симметрии и инвариантностью при переобоз-
переобозначении осей кристаллографического базиса. Показать, ";то
сумма квадратов фазовых скоростей трех различных объемных
воли, которые могут распространяться в одном и том же на-
направлении кубического кристалла, для всех направлений одина-
одинакова.
Решение. Матрица упругих модулей в кристалле, имеющем "ри
взаимно ортогональные плоскости симметрии, имеет вид D1).
Инвариантность упругих модулей кубического кристалла при
переобозначении осей кристаллографического базиса (взаимаой
перестановке индексов 1, 2, 3), обусловленная идентичнос-ью
кристаллографических направлений этого кристалла, накладьва-
ет дополнительные ограничения иа упругие модули:
С11 = С22 = С33' С12 = С13 = С23' С44=С55 = С66- ^
С учетом A) для кубических кристаллов матрица D.1) прини-
принимает внд
О
О
О
о
о
С44
Эта матрица характеризуется минимальным в сравнении с магри-
цами кристаллов других классов числом независимых упругих
модулей, равным трем.
Фазовая скорость объемных волн в кристаллах в направле-
направлении, задаваемом направляющими косинусами п., л„, л,, опреде-
определяется из уравнения A.8). По теореме Виета сумма корней
с:\ ct
су2 О
СП
4
44
B)
этого уравнения
(X = с2), т.е.
определяется
i + с2 + с2 - (Г
коэффициентом перед X
'о+Г,)/р. C)

Подставляя сюда компоненты тензора Кристоффеля, рассчитанные
для кубического кристалла с матрицей упругих модулей B) по
формуле A.7),
Г1 = С\А + С^П2+П1>' Г2 = СА + С44<Л1 + Л3>' Г3"С11П3 + С44(Л1+/^)'
и учитывая, что п. + л, + гС = 1, получаем
с\ + с\ + С1 " (с„+2с44)/Р- E)
Из E) следует, что искомая сумма квадратов фазовых скорос-
скоростей объемных воли, распространяющихся с разными скоростями,
но в одном и том же направлении в кубическом кристалле, от
направления не зависит.
6.4.7. Как изменится уравнение Кристоффеля при наличии в
диэлектрическом кристалле пьезоэффекта?
Решение. Общий вид уравнения движения при наличии в крис-
кристалле пьезоэффекта не изменится:
pd2u./8t2 = dT../дх.. A)
Изменится закон Гука, который будет включать упругие напря-
напряжения, создаваемые за счет пьезоэффекта электрическим полем,
Тц = СЩ Skl - eilk Ek ' B)
где е... — пьезомодули, ?.—напряженность электрического по-
поля. Уравнения A), B) необходимо дополнить системой уравне-
уравнений Максвелла. Скорость акустических волн значительно меньше
(в 10 раз) скорости электромагнитных волн. Поэтому при рас-
расчетах электрических полей, сопровождающих акустические вол-
иы, скорость электромагнитных волн можно считать равной бес-
бесконечности. Это приближение носит название квазиэлектроста-
квазиэлектростатического и эквивалентно пренебрежению вихревой частью элек-
электрических полей, т.е.
Е^-дФ/дх., C)
где Ф —потенциал электрического поля. В этом приближении из
всей системы уравнений Максвелла достаточно использовать
лишь условие отсутствия в диэлектрике свободных носителей
заряда
dD./dx( = 0, D)
где D — индукция электрического поля, связанная с ?. и S,ft
соотношением
219

Вид уравнений состояния B), E) определяется выбором неза-
независимых переменных и термодинамического потенциала. Для
уравнений B), E) независимыми являются поля S-- и ?., а
термодинамический потенциал записан в виде
Поля Т и D связаны с термодинамическим потенциалом F),
Ц к
называемым электрической энтальпией, соотношениями
Т.. = 9Я/5Г Dk = -dH/Ek. G)
Этим объясняется равенство модулей прямого пьезоэффекта в
E) модулям обратного пьезоэффекта в уравнении B).
Уравнения A)-E) сводятся к уравнениям относительно сме-
смещения и. и потенциала Ф, которые для плоских гармонических
объемных волн, соответствующих решениям
и. = «в exp (iknx.-itat), Ф = Фо ехр (iknx.-Ш), (8)
принимают вид
VA им - Р ию + eijknink фо = °-
(9)
им - Р ию + eijknink фо =
Wfe Ф0 + eiikn^j "feO = °-
Исключая отсюда потенциал Ф, получаем уравнение Кристоффеля
для пьезоэлектрических кристаллов
(Г., + е^е - ро,25,fe) u^ = 0, A0)
где е = c.knnk, e. = e..kn.nk. Свертку е пьезомодулей с
направляющими косинусами называют пьезоэлектрическим векто-
вектором. Величина Г' = Г + е .ejz играет роль эффективного
тензора Кристоффеля для пьезоэлектрической среды. Это выра-
выражение является основанием для введения эффективных так назы-
называемых ужестченных модулей упругости
с'-и, = с....+ е ..е ., п п /е. A1)
t]kl цЫ mij nkl m r/ v '
При использовании ужестченных модулей задача для пьезоэлект-
пьезоэлектрической среды сводится к задаче для чисто упругой среды. Но
эквивалентность решений при таком переходе выполняется лишь
для объемных волн в безграничной среде и нарушается при
рассмотрении ограниченных сред.
6.4.8. Построить решение задачи о распространении вдоль
свободной поверхности в направлении оси х пьезоактивных по-
поверхностных сдвиговых волн, поляризованных вдоль оси г, в
гексагональном пьезоэлектрическом кристалле класса 6mm y-
220

среза. Оценить в длинах волн среднюю глубину локализации
этих волн (в литературе их принято называть волнами Гуляева—
Блюстейна) на металлизированной и свободной поверхностях
сульфида кадмия (К = e15/v'cnc44 = °'188'- ei/eo = 9'02) B
пренебрежении его проводимостью и пьезокерамики PZT-4
(К = 0,71; е/е0 = 730).
Решение. Уравнения состояния G.2), G.5) при использова-
использовании свертки индексов A.4) записываются в форме
A)
Т1 ~ CU SJ ek! Ek •
D. = с. Е.+ e.,S,.
i ik k tl I
Для кристаллов класса 6mm матрица упругих модулей такая же,
как и для поперечно-изотропных сред (см.E.1)), а матрицы
пьезомодулей и диэлектрических проницаемостей имеют вид
*// =
0
о
е„
0
0
о
е
0
5
15
о
о
с —
ч
1
о
о
зз
B)
3 13 33
Подставляя B) и E.1) в систему уравнений G.1)-G.5), мож-
можно убедиться, что для волн, распространяющихся в плоскости
ху гексагональных пьезокристаллов с плоским вдоль оси г фа-
фазовым фронтом, система исходных уравнений (и граничных усло-
условий) распадается на две несвязанные системы. Одна из них
описывает непьезоактивные волны, поляризованные в плоскости
ху, и совпадает с уравнениями для изотропных сред. Вторая
система уравнений, описывающая пьезоактивные сдвиговые вол-
волны, поляризованные вдоль оси г, имеет вид
f p(d2u/dt2) = сД.ы+еД.Ф,
\ C)
[- еД Ф+еД и = 0,
где Дх = д2/дх* + д2/ду2, с = сАА, е = eJ5, с = c]t, и = uz .
Поиск решения уравнений C) в виде гармонических поверхност-
поверхностных волн (ось у направлена вне кристалла)
« 1 г и(у) 1 ()
} \
Чу) \
ехр
Чу)
ехр Ш
приводит к уравнениям
- [c(K2~k2)+pu>2] и + e{K2-k2) Ф = О,
e{K2-k2) и - e(K2-k2) Ф = 0.
E)
Из условия нетривиальности решения системы уравнений находим
возможные значения постоянной затухания волны в глубь крис-
кристалла к: Kj = k и (С2 = vk2-k2 , где & -
221

квадрат волнового числа объемной сдвиговой волны, которая
может распространяться в плоскости ху; К — коэффициент элект-
электромеханической связи, К = е /(се). Эти значения к соответ-
соответствуют двум парциальным волнам с убывающей при удалении от
границы кристалла амплитудой. Решение граничной задачи ищется
в виде суперпозиции этих парциальных волн:
и(у) = uQexp(K2y),
F)
Ф(у) = {еи^с) ехр(к2у) + С exp(ky),
где и_—амплитуда механических смещений на поверхности крис-
кристалла; С —постоянная, определяющая соотношение амплитуд пар-
парциальных волн, находится из граничных условий. Механическое
смещение и потенциал электрического поля связаны для каждой
парциальной волны уравнениями E). Причем для парциальной
волны с к = k амплитуда смещения, как следует из E), равна
нулю, т.е. поле механических смещений в этом кристалле для
волны Гуляева-Блюстейна является однопарциальным.
К граничным условиям относятся обращение в нуль иа меха-
механически свободной поверхности нормальной компоненты тензора
упругих напряжений Т = с ди/ду + е дф/ду и непрерывность
нормальной компоненты индукции D = - с дФ/ду + е ди/ду и
тангенциальной компоненты напряженности Е = - ik Ф электри-
электрического поля. Вместо двух указанных граничных условий для
электрических полей удобней использовать их комбинацию—не-
комбинацию—непрерывность отношения Y - D /Е , называемого поверхностным
электрическим адмиттансом. В качестве второго граничного ус-
условия удобно оставить условие непрерывности Е . Адмиттанс У
в линейной задаче не зависит от амплитуды волны, т.е. он мо-
может служить в качестве характеристики свойств среды. Для ва-
вакуума решение уравнения Пуассона записывается в виде Ф =
= Фо exp (ikx-M-ky), a D = ео&Ф, где cQ — диэлектрическая
постоянная. Отсюда следует, что для вакуума Y = t'eQ. Если
поверхность кристалла металлизирована, то в этом случае
Ех = 0, a Y = со.
Подставляя решение F) в граничные условия Т =0,
D /Ех = Y при у = 0, где К —поверхностный электрический ад-
адмиттанс внешней среды, получаем
= 0, -»У|ио+(е-»У)С = 0. G)
222

Отсюда
Л2-к* = *К2ДA+К2)A-е//У)], (8)
С = - (e/eJitj/O-c/iY) . (9)
Выражение для скорости волн Гуляева-Блюстейна несложно найти
из уравнения (8). Для слабых пьезоэлектриков (с малым коэф-
коэффициентом электромеханической связи) скорость этих волн мало
отличается от скорости пьезоактивных объемных волн той же
поляризации—отличие составляет величину порядка К . Средняя
глубина локализации у рассматриваемой волны совпадает с глу-
глубиной, на которой амплитуда механических колебаний, создава-
создаваемых волной, спадает в е раз и в длинах волн Л равна
у/К = A+К2)A-еДУ)/BтгЛ;2). A0)
В сульфиде кадмия данное отношение равно 4,6 для металлизи-
металлизированной поверхности и 46,7 для свободной поверхности.
Приведенные соотношения применимы не только для кристал-
кристаллов, но и для пьезотекстур и пьезокерамик. Для PZT-4, как
показывают расчеты, ~y/h = 0,47 для металлизированной поверх-
поверхности и ~у/к = 347 для свободной поверхности.
6.4.9. Продольная акустическая волна распространяется
вдоль оси 2 гексагонального пьезополупроводника. Найти зави-
зависимость скорости и акустоэлектронного затухания этой волны
от параметров среды, используя гидродинамическую модель для
тока в пролупроводнике с учетом его диффузионной составляю-
составляющей и малость коэффициента электромеханической связи. При
какой проводимости и частоте звука коэффициент акустоэлект-
акустоэлектронного затухания максимален? Чему равна эта частота при
комнатной температуре для кристалла сульфида кадмия (подвиж-
ность электронов проводимости ц = 300 см/(В-с); диэлектри-
диэлектрическая проницаемость е,, = 9,5 еп; упругий модуль с,, =
11 2 3
= 9,38-10 дин/см ; плотность кристалла р = 4,82 г/см ) с
12 т -3
концентрацией свободных электронов nQ =10 см ?
Решение. Соответствующая система уравнений имеет вид:
р д u/dt = дТ/дг (уравнение движения),
dp/dt + dj/дг = 0 (уравнение сохранения зарядов),
/ = (Т.Е - Т др/дг (выражение для тока проводимости),
dD/дг - р (уравнение Пуассона),
Т = с ди/дг - еЕ, D = сЕ + е ди/дг (уравнения состояния),

где с = с,,, е = е„, е = е,„ р—плотность свободных элект-
ронов, (Гп —проводимость, Ъ — коэффициент диффузии электронов.
Дырочная компонента тока проводимости пренебрежимо мала и в
этой системе уравнений не учитывается, поскольку подвижность
дырок существенно меньше подвижности электронов, ffQ и 2) пря-
прямо пропорциональны подвижности, а равновесные концентрации
электронов и дырок вследствие электронейтральности пьезопо-
лупроводника равны между собой.
При поиске решения в виде гармонической волны, изменяю-
изменяющейся по закону exp (ikz-iwt), уравнения движения и сохране-
сохранения зарядов с помощью остальных уравнений системы сводятся к
следующим уравнениям относительно переменных и и Е:
(ck2-pmu>2)u + ikeE = 0, (Tk2-i0))eiku + (<rQ+Tk2?-iux:)? = 0. A)
Из равенства нулю детерминанта системы уравнений A) находим
дисперсионное уравнение
k2 _ о Ц2 ^2 io-Tk2 m
т с <бь2)*2-о-п/е '
2 9
где К = е /(се). Уравнение B) является биквадратным урав-
уравнением относительно волнового числа k и описывает связанные
за счет пьезоэффекта акустические и плазменные волны. Его
решение для акустических воли в первом приближении по К .
k = и г,. т да _ к2
где kQ = w/cq> cn = C/P< c_ —скорость акустических волн в
отсутствие пьезоэффекта; и>„ и 0)^ —так называемые частота ре-
релаксации проводимости и диффузионная частота, определяемые
соотношениями 0)„ = o"q/g, to* = с^/Ъ. Представляя Afc/^o B виДе
о о
где Ac /cQ— относительное возмущение фазовой скорости акус-
акустических волн из-за наличия в среде пьезоэффекта, а —коэффи-
—коэффициент акустоэлектронного затухания, находим
'О
F)
Из F) следует, что максимум а по частоте достигается при
1/2
ю = «_ = (<*>„/«„) , а максимум по проводимости соответству-

ет выполнению условия оь = 0)[\ + (u)/o)D) ] . В пренебреже-
пренебрежении диффузией последнее условие эквивалентно равенству ыс =
= ю. Для сульфида кадмия при выполнении условий задачи
«с = (Г0/е = iigeono/e = 57 МГц, где eQ = 1,6-Ю9 Кл —заряд
электрона, а необходимое для расчета е значение диэлектриче-
диэлектрической постоянной еп = 8,85- 1(Г12 Ф/м. Учитывая далее, что Ъ =
-23
= iikJK/eQ, где kB = 1,38-10 . Дж/К — постоянная Больцмана,
при комнатной температуре G"^ ~ 300 К), находим 2) = 7,7 х
х 10 м2/с, 0)D = c2/D = 25,3 ГГц, 0)Q = (o>cg>dI/2 = 1,2 ГГц.
6.4.10. Как изменятся результаты, полученные в предыдущей
задаче, если вдоль направления распространения волны прило-
приложено постоянное дрейфовое электрическое поле напряженностью
EQ. При каких значениях EQ коэффициент акустоэлектронного
затухания равен нулю и максимален и при каких Я_ достигает
максимума акустоэлектронное усиление?
Решение. При наличии вдоль направления распространения
волны постоянного электрического поля с напряженностью EQ
приведенные выше выражения, как нетрудно показать, остаются
справедливыми, если в них вместо параметров ч>„, и>~ исполь-
использовать эффективные значения ы'с, 0)'D, равные ы' = и)с/тг, 0)' =
= ifO)D, где is = 1 - \lEq/Cq ; скорость дрейфа электронов v
равна v = iiE0. Из анализа формулы для коэффициента а в
пьезополупроводнике с постоянным дрейфом носителей заряда
следует, что а обращается е нуль при у = 0 или, что эквива-
эквивалентно, при равенстве скорости дрейфа скорости звука, а мак-
максимален при у = wc/g> + g>/g>d . Акустоэлектронное усиление,
возникающее при у < 0, максимально при у = - (uf/w + w/wfl).
Оптимальная для акустоэлектронного взаимодействия частота о>п
при EQ * 0 количественно не меняется, а оптимальная проводи-
проводимость (частота релаксации проводимости) изменится в соответ-
соответствии с приведенными выше эффективными значениями 0)' и 0)':
21/2
8 Акустика в задачах

7. СТАТИСТИЧЕСКАЯ АКУСТИКА
7.1. Основы теории случайных процессов
7.1.1. Записать выражение для вероятностного распределе-
распределения случайного процесса v(t) и его характеристической функ-
функции, используя скобки статистического усреднения. Получить
связь статистических моментов с характеристической функцией.
Решение. Если wv(v; t) — вероятностное распределение слу-
случайного процесса v(t), то среднее от произвольной функции
f(v(t)) равно
<fW))>v = J/(f) и»„(»; 0 do. A)
Используя фильтрующее свойство 5-функции, можно записать
<8(v - v(t))>v = wv(v, t). B)
Характеристическая функция случайного Процесса в (к,*) свя-
связана с вероятностным распределением фурье-преобразованием:
Из C) следует, что статистические моменты случайного про-
процесса v(t)
цп = <vn(t)> = Jy" w(v; t) dv D)
выражаются через производные характеристической функции
при к = 0:
= дпв(к- t) {&)
7.1.2. Записать вероятностное распределение и характерис-
характеристическую функцию гауссова (нормального) процесса v(t) со
средним т = <v(t)> и дисперсией <г = <(v(t) - mJ>.
Ответ'.
шИ = ^ехр|_1^^| A)
6(K) = exp {iKm - ??^/2\. B)
226

7.1.3. В акустике большую роль играют квазимонохромати-
ческие сигналы, которые можно представить в виде
v(t) - A(t) cos (wQt + <p(t)), A)
где A(t) и <f)(t) — медленные функции времени. Найти среднее
процесса v(t), считая, что амплитуда постоянна, а ф( t) —слу-
—случайная фаза, имеющая гауссово распределение со средним 1р и
дисперсией (г..
Решение. Рассмотрим процесс z(t) = wQt + tp(t). Так как
линейная комбинация гауссовых процессов остается гауссовой,
то z(t) также гауссов процесс со средним <z> = w t + <p и
дисперсией (г = (Г^. Из A.3) следует, что
<v(t)> = A <cos(wQt+<p(t))> = A <cos 2@>2 = Re вгA, /).
Находя действительную часть характеристической функции гаус-
гауссова процесса B.2), имеем
<v(t)> = i4exp(-oj/2)cos(a»0^). B)
7.1.4. Случайный процесс v(t) подвергается нелинейному
преобразованию
u(t) - 0(t;(O). A)
Считая известным вероятностное распределение w(v; t), найти
вероятностное распределение процесса u(t).
Решение. Используя определение вероятностного распределе-
распределения A.2), напишем
wu(u; t) - <S(u-u(t))>u = <3(и-0ИО))>о = j3(«-0(o)) t»B(w. 0 dv. B)
В силу фильтрующего свойства 5-функция "выкалывает" при ин-
интегрировании те значения v, где и - \j)(v) = 0. Пусть v.(u) —
i'-й корень этого уравнения, или, другими словами, t'-я ветвь
функции, обратной к функции и = \j){v). Тогда из B) получаем
w (v .(и))
WSU< ') - I \i'v(v\(u))\ - I•„(»/«)) I"/(«)I• C)
Примечание. При выводе формулы C) использовалось следую-
следующее свойство 5-функции:
j| D)
-00 ' '
где / — корни уравнения f(() « 0.
7.1.5. В задачах рассеяния волны на случайных неоднород-
ностях в приближении метода плавных возмущений (метода Рыто-
ва) получается, что амплитуда волны имеет вид А = е0^-, где
907

Я; —случайная гауссова величина со средним значением <%> ~ %
и дисперсией (г Найти вероятностное распределение амплитуды
и ее моменты. Найти условие на % и а , при выполнении кото-
которого сохраняется интенсивность волны (второй момент); выра-
выразить для этого случая моменты через с .
Решение. Обратное преобразование % = Сп А)/о. однозначно
и из D.3) получаем
х
Это так называемое логнормальное распределение. Моменты амп-
амплитуды удобнее считать, используя характеристическую функцию
гауссова процесса в (к):
<Ап> = <епах> = в (- та) = ехр (под + п2а?<х2/2) .
А, л,
п
Интенсивность волн сохраняется (<А > = 1), если среднее и
дисперсия % удовлетворяют условию % = - ахг . При этом
(А) 1 ехр Г- -4-у [In А + сАг*]2 - In a] ,
>- la. a *¦ -"
<Ап> = ехр [оРа* л(л-2)/2].
Особенностью распределения является то, что его максимум
смещается с ростом а в сторону малых А: А - ехр(- 2а стЪ,
max х.
в то время как высшие моменты быстро растут.
7.1.6. Найти вероятностное распределение квазимонохрома-
квазимонохроматического сигнала v(t) (см. C.1)) для: a) A(t) = А = const,
а фаза <р равномерно распределена в интервале [0, 2я]; б) Л —
случайная амплитуда, имеющая рэлеевское распределение:
фаза <р независима от Л и распределена равномерно в [0, 2тг].
Решение. Пусть w.(A,<p)— совместное распределение амплиту-
амплитуды и фазы. По определению вероятностного распределения
wv(v,t) = <6(v-Acos(u>Qt+<p))>a(p =jw2(A,<p)8(v-Acos(wQt+(p))dAd<p. B)
В силу условий задачи wJA, <р) = w(A)/2n, если <р € [0, 2я],
и ш2 = 0, если (р ? [0, 2тг]. Учитывая, что в B) обратная
функция имеет две ветви, после интегрирования по <р получаем
00
wv(v;t) = - Г (Л2-у2)~1/2 w(A) dA ,
т.е. вероятностное распределение не зависит от времени.
228

а) В этом случае w(A) = 8(A-AQ) и
wv{v; t) = [n2(Al-v2)YV2\ D)
б) если w(A) имеет рэлеевское распределение A), то, вво-
вводя новую переменную А = \v\c\iy, получаем
WJ& t) = \[w{\v\c\\ у) dy, wv(v) = —^_ exp [- 2-j]. E)
Таким образом, вероятностное распределение сигнала гауссово.
7.1.7 В ЭВМ имеется датчик случайных чисел, генерирующий
независимую пару чисел ^ и ?„, каждое из которых равномерно
распределено в интервале [0, 1]. Используя результаты преды-
предыдущей задачи, построить преобразование, которое дает пару
чисел, имеющих гауссово распределение с дисперсией <Г.
Ответ. Случайные числа
v. = A cos ip, о. = As'inf, A)
А = /2o*ln(l-€,). <р = 2тгС2, B)
независимы и имеют гауссово распределение с дисперсией (Г.
При этом величина А имеет рэлеевское распределение F.1),. а
<р распределено равномерно в интервале [0, 2п].
7.1.8. Квазигармонический сигнал v(t) представляет сумму
квадратурных составляющих:-
v(t) = /4c@cos{u>00 + ^@sin(u>00. A)
где A (t) и A (t) —статистически независимые гауссовы слу-
С S
чайные процессы с нулевыми средними и с одинаковыми диспер-
дисперсиями с . Этот же сигнал может быть записан в виде C.1),
9 9 1/9
где <р = - axdg(A /А ) и А = (А +А ) —случайные фаза и
амплитуда. Найти вероятностные распределения: а) случайного
процесса v(t), б) случайной интенсивности J(t) = (А +А )/2,
в) случайной амплитуды А.
Ответ. „
-у, б).//) = ^ехр (-у, />0, B)
в) вероятностное распределение амплитуды А = у/Т имеет рэ-
рэлеевское распределение (см. F.1)).
7.1.9. На вход сумматора поступают два независимых гаус-
гауссовых сигнала и = v.+v^ с одинаковым средним <v.> = <v~> = m
и одинаковыми дисперсиями ст. Отношение «постоянной» состав-
составляющей к среднеквадратичному значению г. = <v>/cr назовем
229

отношением сигнал/шум Найти вероятностное распределение сиг-
сигнала и, его среднее значение, дисперсию отношение сигнал/шум
на выходе г. = <и>/0" .
Решение. Если wJv,v)—совместное вероятностное распре-
распределение v и 1/„, то
При независимых v. и у„ вероятностное распределение есть
свертка распределений
и легко получить, что распределение w (и) будет гауссовым со
средним <и> = 2т и дисперсией сг = 2<г, так что отношение
сигнал/шум на выходе возрастет в у/2 раз: r./rQ = V2 .
7.1.10. Отношение сигнал/шум в каждом из каналов суммато-
сумматора равно rQ = 0,1 (см.задачу 7.1.9). Каково должно быть чис-
число каналов сумматора N, чтобы отношение сигнал/шум на входе
равнялось г. = 2?
Ответ. N = (г/^J = 400.
7.1.11. Для эргодического процесса его статистические
средние совпадают с временными средними. Исходя из определе-
определения вероятностного распределения (см. B.2)), найти оценку
вероятностного распределения w (v) через временное среднее.
Решение. Заменим в A.2) статистическое среднее <...> иа
временное среднее _
<.../= ij(...) dt. A)
Используя фильтрующее свойство 5-функции, получаем для оцен-
оценки вероятностного распределения w (v):
wT
i )
B)
vT(v) = <5(v-v(t))>T = - \d(v-v(t)) dt = i У
1 0 'fe=1
где /. —корни уравнения у = f(O. т.е. моменты времени, где
процесс -v(t) пересекает уровень v. Записывая в B) производ-
производную через предел конечных приращений, получаем выражение для
т
w (v) через относительное время пребывания:
T(
' fe=i
hv -> 0, C)
W'(V) ш L
I
где ДЛ—время пребывания процесса v(t) в интервале v, v+hv.
230

7.1.12. Найти относительное время пребывания гармоничес-
гармонического сигнала C.2) (А = const, <p = const).
Ответ, w (v) описывается выражением F.4) и совпадает со
статистическим средним сигнала, имеющим случайную фазу,
равномерно распределенную в интервале [0, 2я].
> 1-1
а
1
t <
И/И '
) Г * С
^ задаче 7.1.13
/ i /
\s ' 1/
7.1.13. Реализации периодического случайного процесса
имеют вид, изображенный на рисунке. Считая, что процесс эр-
годический, найти плотности вероятности случайного процесса.
Ответ.
a) w(v) = [
б) ШA/) =
I/A 0 < и < А
О, О< Л, » <О,
_
Г
V2 JfT2)]A-\ 0<v<A,
[О, v<0, v>A.
7.1.14. Показать, что если случайный процесс v(t) стацио-
стационарен и его корреляция равна
<v(t')v(t")> = K(t'-t") = К(т), т = Г-Г, A)
то фурье-компоненты этого процесса
]v(t)
dt
B)
5-коррелированы, т.е.
<C(w') С*(о)")> = S(«') S(«' -0)"), C)
а спектральная плотность мощности (спектр) S(w) связана с
функцией корреляции фурье-преобразованием
е"'шт dx, /С(т) = JS(g>) е?ЫХ: dw.
D)
Решение. Учитывая стационарность случайного процесса, из
B) для статистического среднего произведения фурье-компо-
231

нент имеем
Bтг)
. 1
BтсJ
Вводя новую переменную т = t'-t" и учитывая, что
00
-00
получаем ю
<C(w')CV)> = 2i
-00
.После интегрирования по а" получаем равенство D). Обратное
фурье-преобразование дает связь функции корреляции со спект-
спектром. В частности, мощность процесса равна
00
К@) - <Л = Js(o) da. F)
-00
Если <v> * 0, вводят ковариационную функцию В флуктуационной
компоненты B(t,t') = <(v(t)-<v>) (v(t')-<v>)> и для стацио-
парных процессов б(т) = 7((т) - <v> . Спектральную плотность
мощности флуктуационной компоненты описывают функцией g(a)
о
S(a) = g(a) + <v> o(g>),
которая связана с В фурье-преобразованием (см. D)). Если
среднее значение равно нулю, то
Я(т) = /С(т), g(a) = S(a).
7.1.15. Стационарный сигнал v(t) с функцией корреляции
К (т) и спектром мощности S(a) записан на магнитофон со ско-
скоростью VQ. Сигнал u(t) получен при воспроизведении сигнала
V(t) со скоростью Kj = aVQ. Найти функцию корреляции и
спектр сигнала u(t). Как они изменяются при <х>1?
Ответ. Ки{т) = Kv(ar), SJa) = Sv(a/a)/a. При воспроиз-
воспроизведении с большей скоростью (ос>1) корреляционная функция
сжимается, а спектр уширяется с одновременным уменьшением
амплитуды спектра.
7.1.16. Прохождение сигнала v(t) через линейную систему
(радиотехническую цепь, канал распространения звука в океане
и т.п.) полностью характеризуется коэффициентом передачи
Системы K(ia), который равен отношению комплексных амплитуд
сигнала на выходе и^ и входе v при гармоническом входном
232

сигнале частоты w:
ед = ua/vw (i)
Найти связь спектров мощности сигналов u(t) и v(t) при ста-
стационарном входном сигнале. Какие характеристики системы
можно получить, если использовать в качестве входного сигна-
сигнала белый шум 5у(о>) = SQ = const? Рассмотреть случаи:
a) up) = f@ + TQ^p, б) up) = V(t)-TQ4$±.
Решение. Фурье-компоненты выходного сигнала u(t) и вход-
входного сигнала v(t) связаны соотношением
Си(а) = К(Л>)Со(ш). B)
Используя A4.3), получаем
su(a) = \K(to)\2so(o). C)
Для белого шума спектр на выходе пропорционален квадрату
модуля коэффициента передачи 5@)) = \К{Щ\ SQ, т.е. при
измерении спектров мощности происходит потеря информации о
фазовых характеристиках системы. В частности, для приведен-
приведенных примеров спектр мощности в обоих случаях одинаков:
Su(u>) = A + t2qu?)Sv(u>).
7.1.17. Сферический акустический источник излучает ста-
стационарный шум. На расстоянии г = г_ от излучателя спектраль-
спектральная плотность давления равна 5Q(O)). Найти спектральную плот-
плотность давления 5 (ш;г) и скорости 5 (О);г) на расстоянии г от
излучателя. Можно ли по спектральной плотности определить
расстояние от излучателя?
Решение. Потенциал сферически расходящейся волны:
i(t,r) = f(t-r/co)/r. A)
Акустическое давление р и скорость частиц v в волне:
где pQ, с_ —плотность среды и скорость звука. Рассматривая
гармоническое возмущение е((Л, из A) и B) можно найти
"коэффициенты" передачи К (iu>), К (&>):
C)
233

Из соотношения A6.3) для спектральной плотности получаем
Ш, г) - 'j 50(W), Sv(u, r)
g
Связь спектральных плотностей, скорости и давления имеет вид
2
Таким образом, из-за наличия эффекта ближнего поля (второе
слагаемое в зависимости v(r) (см.B)) имеется принципиальная
возможность по абсолютным измерениям шума в одном сечении
определить расстояние до источника.
7.1.18. Распространение акустической волны в среде со
слабой дисперсией и затуханием описывается уравнением
cQ
где c_—скорость звука; a, ji —коэффициенты, характеризующие
частотнонезависимое и высокочастотное затухания; |3 —коэффи-
—коэффициент, характеризующий дисперсию среды. На входе при 2 = 0
задан стационарный шум со спектром SJu>). Найти спектр поля
S (to, z) в сечении z. Какие параметры среды можно определить,
измеряя трансформацию спектра?
Ответ. S (ы,г) = SQ(U)) exp (-2az-2jjw2z). Эволюция спектра
мощности не зависит от фазовых соотношений, т.е. коэффициен-
коэффициентов cQ, C. По эволюции спектра шума можно определить коэффи-
коэффициенты затухания a, jx.
7.1.19. функция корреляции случайного стационарного про-
цесса имеет вид К (т.) = а е ' ' + с . Определить Среднее
значение процесса <v>, его дисперсию <Г, время корреляции
т.. Найти спектральную плотность мощности 5(ш).
Ответ. <v> = ±с; а2 = a2; tq = Ь~\ S(w) = |- -|—^ + с2 S(w).
со +Ь
7.1.20. Найти корреляционную функцию б(т) и определить
дисперсию (Г случайных процессов v(t), имеющих следующие
спектральные плотности: а) S(a>) = D ехр(- ш /2ш2); б) S(a>) =
2JJ exp(- oJ/2aJ); в) S(o) = D c\f\w/2uQ); г)
а) fl(x) = v^liDaH ехр(-т2о>2/2), a2 = fi@) =
6) fl(T) = v^jtDaKu)-2(i_T2ug)eXp(_T2u^y2j) ^2 = у^тгОШдО);2; в) В(т) =
^д 0я; г) В{х) = reWgDe"'т' \ <r = nu>QD.
234

7.1.21. Смещение частиц в плоской волне представляет со-
собой стационарный процесс x(t) с корреляционной функцией
В (т) и спектром S (а>). Найти корреляционную функцию, спектр
мощности и дисперсию скорости частиц v(t) = x(t). Найти сов-
совместную корреляционную функцию смещения и скорости частиц.
Ответ. Вр) = - d2Bx(r)/dT2, BJz) = <x(t+z) v(t)> =
= - dB (T)/dr = - В (т). В силу четности корреляционной
функции В @) = 0. Интегрируя A4.4) дважды по частям, по-
получаем 5 @)) = 0JS @)). Заметим, что последнее выражение
можно получить из A6.2), учитывая, что для операции диффе-
дифференцирования \К\ = w. Дисперсия скорости:
<v2> = Bv@) = - d2Bv@)/dT2, <v2> = §Sv(u) dm =
7.1.22. В условиях предыдущей задачи рассмотреть случай,
когда корреляционная функция смещения частиц равна Вх(т) =
= о2 ехр(- т2/т2).
Ответ.
2 2 2 2
Ы а Т Ш Т
7.1.23. В условиях задачи 7.1.21 задан спектр мощности
смещения S (w), и его четные моменты равны
(
* +00
5оНdu>-
00
Найти дисперсию смещения х, скорости v = х, ускорения а = х
и коэффициенты корреляции между этими переменными в совпада-
совпадающие моменты времени. Рассчитать их для спектров вида:
а) Sx(u>) = A/2)[о^ S(ci>-a)o) + о^3((лн-а>0)] —квазимонохроматический
сигнал частоты 0)Q с нулевой шириной линии;
б) Sx(u) = aj/2a)o при |ш| < ш0 и Sg(a) = 0 при |w| > u>Q-
"белый" шум в полосе частот [0,a>J.
Ответ.
о* = <А = р2, ' о^ = <,2> = в*, <?а = <о2> = 4
б) oj « о* oj = aJaJ/3, ct^ - a)Ja^/5, r,a = -^/3 » -0,75
о

7.1.24. Найти корреляционную функцию и спектральную плот-
плотность квазимонохроматического сигнала
v(t) = [А + a(t)] cos(uHt+<pQ),
считая известными корреляционную функцию В (т) и спектр
g (о>) флуктуации амплитуды. Фаза ^—случайная величина, рав-
равномерно распределенная в интервале 2тг, <а> = 0.
Ответ.
gv(o>) = 4"['
Спектр амплитудной модуляции переносится в область высоких
частот.
7.1.25. Найти корреляционную функцию квазимонохроматичес-
квазимонохроматического сигнала
v(t) = AQ cos [u>t + rft) + pj. A)
считая, что <p(t)— нормальный процесс со структурной функцией
D (т) = <[ф(^+т) - 0(()] >. Фаза ^_ распределена в интервале 2я.
Ответ. бо(т) = A/2)Лр cos (ыот) ехр [- D (т)/2]. B)
7.1.26. В условиях задачи 7.1.25 найти дискретную состав-
составляющую спектра для сигнала со стационарными флуктуациями фа-
зы и исследовать интенсивность линии в зависимости от с =
О О г
= «р >— дисперсии флуктуации фазы. Для с « 1 найти спектр
сигнала, считая известным спектр флуктуации фазы ёф{ь>).
Решение. Для стационарных флуктуации фазы справедливо ра-
равенство D (т.) = <[<р(/+т) - <p(t)f> = 2 [а2 - В (т)]. Экспоненту в B5.2)
удобно представить в виде ¦
ехр [-/ут)/2] = [ехр В^(т) - 1] ехр(- (г2) + ехр(- aj). A)
Первое слагаемое при т -» оо стремится к нулю и не содержит
постоянной составляющей. Второе слагаемое соответствует дис-
дискретной составляющей спектра: в (а>). Из A4.4), B5.2) имеем
, Al " f D (TU ДИС
gv(u>) = 2л Т 1ехР 2— [exP('(w~a)n)T) + ехР('(ьи"а)п)т)] ^т> B)
-00
и, следовательно,
Коэффициент ослабления дискретной линии равен N = ехр(-
При с « 1, разлагая в B) экспоненту в ряд, получаем
\ [ + а(он-юо)] +

Таким образом, при <т2 « 1 спектры сигнала с амплитудными
(см.B2.2)) и фазовыми флуктуациями одинаковы.
7.1.27. Гидроакустический буй принимает монохроматический
сигнал частотой /Q и постоянной амплитудой Л_ от неподвижно-
неподвижного излучателя. Каждая из трех координат буя испытывает ста-
стационарные гауссовы флуктуации с нулевым средним значением и
с дисперсией <г « L , где L — расстояние между излучателем и
приемником. Считая известной корреляционную функцию флуктуа-
флуктуации каждой из координат
Вг(т) = <г.(/+т) rft)>, i = 1, 2, 3, of = Вг@),
найти корреляционную функцию принимаемого сигнала. Используя
ответ задачи 7.1.26, найти коэффициент ослабления интенсив-
интенсивности дискретной линии из-за флуктуации. Сделать оценки для
(Г = 1 м, скорости звука cQ = 1500 м/с и частот f = 100 Гц и
/ = 1000 Гц. Считать, что сигнал попадает на приемник по
прямому лучу.
Решение. Принимаемый сигнал можно записать в виде
v(t) = AQ cos (Ш-kR), A)
где k = 0)/с = 2nf /с — волновое число, У? —расстояние между
излучателем и приемником:
R = [(L+r/+rl+rlf2 « L+ry B)
Таким образом, основной вклад в флуктуации фазы дают флукту-
флуктуации только одной из координат —проекции на ось, соединяющую
излучатель и приемник. Таким образом, для фазы и ее струк-
структурной функции имеем
W) = kR« kL + k rp), Dv(t) = k2 Dr(T), C)
где ?>Дт) = <(гр+т) - rp)f>— структурная функция флук-
флуктуации координаты. Для "ограниченных" флуктуации координаты
/ут) = 2k2 [of - Вг(т)] D)
и из задач 7.1.25, 7.1.26 для корреляционной функции прини-
принимаемого сигнала и коэффициента ослабления имеем
Вх(т) = \ AI cos (ю0 т) ехр {- k2 [of - бДт)]} ,
N = ехр (- №) = ехр {- [ М] *of} . E)
Таким образом, коэффициент ослабления определяется отношени-
отношением характерного смещения <т к длине волны Л = с-У/. Для двух
237

приведенных частот имеем соответственно N = е ' а 0,84 и
= е7«2,4-10"8
7.1.28. Флуктуации частоты П = d<p/dt квазимонохроматичес-
кого сигнала (см. B5.1)) имеют дисперсию <Tq = <П> и время
корреляции
-оо П П
где Bq(?) — корреляционная функция флуктуации частоты, Sg@) *
* 0—спектр флуктуации ?2 на нулевой частоте. Считая, что
спектр флуктуации частоты одномасштабеи, иайти предельные
выражения для спектра сигнала в случае "больших и медленных"
9 9
флуктуации частоты—(Гото » 1 (а) и "малых и быстрых уходов
частоты—CqTq « 1 (б).
Решение. Из задачи 7.1.25 видно, что корреляционная функ-
функция, а значит, и спектр сигнала (см.B6.2)) определяются по-
поведением структурной функции фазы:
t+T Т
XT = <p(t+T)-<p(t) = $Q(t')dt', /ут) = <%\> = 2j(T-0 Вф d? B)
t о
Для одномасштабной функции ^п(С) структурная функция фазы
монотонно возрастает и имеет следующие асимптотики:
Го-Ят2, |т|«т0,
Если ^(fjj) ~ «г^т^ » 1, то в формуле B6.2) существенная
область интегрирования по т много меньше то, и структурную
2 2
функцию D (т) можно аппроксимировать как ^п(т) = OqT . Поэ-
Поэ(т) можно аппроксимировать как ^п(т) = OqT
тому для "больших и медленных" флуктуации частоты из B6.2)
получаем, что спектр имеет гауссову (доплеровскую) форму:
Л 2
о о
Если Dq(Tq) ~ VqZq « 1, то в B6.2) структурную функцию фазы
можно аппроксимировать как Dq(t) - 2?>|т|, и, следовательно,
для "малых и быстрых" флуктуации частоты из B6.2) получаем
спектр, имеющий лоренцеву (резонансную) форму:
А2
v n 1-?>2+(о)-аHJ ?>2+0
7.1.29. Монохроматический сигнал принимается на дрейфую-
дрейфующий гидроакустический буй (см. задачу 7.1.27). Каждая из
238

компонент скорости v. = drjdt буя испытывает стационарные
гауссовы флуктуации с нулевым средним, дисперсией az и вре-
временем корреляции т_. Определить, какие параметры определяют
форму спектра принимаемого сигнала. Для <rQ = 0,1 м/с, tq =
= 10 с и частот f0 (см. задачу 7.1.27), найти спектр сигнала.
Ответ. При ?2о^Тд » 1 {к - «An = 2Trfo/cQ) спектр сигнала
описывается B8.4), где (Tq = fc2c~; при *2<^Тр « 1 —B8.5),
где D = k OqT.. Для частоты /_ = 100 Гц спектр Сигнала опи-
описывается B8.5), где ?> = 1,8-Ю с; для fQ = 1000 Гц-
B8.4), где о- = 4,2-10с-1.
7.2. Дифракция и излучение случайных полей
7.2.1. Плоская монохроматическая волна частоты ш падает
на безграничный экран, расположенный в плоскости 2 = 0. Эк-
Экран хаотически модулирует волну, и за экраном случайное поле
ро(г ) = р(т , z=0) статистически однородно и характеризуется
спектральной плотностью
Здесь ^o^l^ * ^0^1 + ^1 )Ро(гх)>~коРРеляционная функция
поля в плоскости 2 = 0. Найти корреляционную функцию поля
p(r.,z) за экраном. Найти условия, при которых поле будет
статистически однородным.
Решение. Представим поле в плоскости 2 = 0 двумерным ин-
интегралом Фурье:
Для статистически однородных полей справедливо соотношение
<o(i?i) и{^[)> = FB) 3(^-^). C)
В полупространстве 2 > 0 пространственная гармоника v(it ) х
х ехр(/^г,) порождает плоскую волну v(it ) exp (lit,r.+/К12),
/~2 2
где K|i=v^ -к. —продольная компонента волнового вектора. Ис-
Используя представление поля р(г.,2) в виде интеграла Фурье, с
учетом статистической однородности C) для корреляционной
функции имеем
+00
^ exp [«ЙД + /(к„ гх-к\ 22)] d4y D)
-00
239

Для ten имеем в зависимости от соотношения между поперечным
волновым вектором к, и волновым числом k:
<х < k.
На расстояниях, превышающих несколько длин волн, все нерас-
пространяющиеся волны с к > k затухают, и, следовательно,
г(?гРц) = JJ ^i)exp(ti?i?i+tlc||p||)d2i?i. F)
Таким образом, при zrz2»A = 2я//г поле становится статис-
статистически однородным не только в поперечной плоскости, но и в
продольном направлении г.
7.2.2- Корреляционная функция случайного поля Pn(ri) не*
посредственно за экраном имеет вид
Г0(рх) = ojexp(-p?2jg). A)
Найти корреляционную функцию поля р(г,,г) и оценить попереч-
поперечный и продольный масштабы корреляции в случае мелкомасштаб-
мелкомасштабных (kL « 1) и крупномасштабных (kL » 1) флуктуации .
Решение. Найдем вначале спектральную плотность поля pQ(r.):
^) d2$x = FQ exp(-KJ^/2), B)
где FQ = F@) = ozL/2n. В зависимости от соотношения между
шириной спектра, равной KQ = 1/L, и волновым числом k, ко-
которое определяет распространяющиеся волны, для мелкомасштаб-
мелкомасштабных флуктуации (&L«1) имеем, что спектральная плотность
F(it ) практически постоянна в круге |(? | < k. Из формулы
A.6) получаем на расстояниях, больших длины волны,
Г(р*грц) = Fo Я ехрО^+йСнРи)^, C)
|к |<*
2 1/2
где Кц = (k -Ki) . Для поперечной функции корреляции имеем
kJAkp.)
Гх(рх) = Г(рх,О) = 2ttF0 ' l , D)
где /.—функция Бесселя первого порядка. Радиус корреляции
поля, определенный по нулю функций Бесселя, / ~ 0,6Л и зна-
значительно больше радиуса корреляции /. в плоскости 2=0.
Продольный радиус корреляции /.. также порядка длины волны Л.
Для крупномасштабных флуктуации (kL » 1) спектр ^(к,) со-
сосредоточен в узкой области к ~ \/L « k. Это позволяет за-
240

менять в A.6) пределы интегрирования на ±<о и использовать
следующую аппроксимацию продольного волнового числа:
к,, = (*2-к2I/2 я к-к\/2к. E)
В результате для корреляционной функции имеем
.¦ +ю
Г^ф±) = Го(^), ' G)
"
-00
Из G) следует очень важный факт, что поперечная корреляци-
корреляционная функция крупномасштабных флуктуации сохраняется. Сле-
Следовательно, сохраняется и поперечный радиус корреляции: 1± =
= L. Из (8) видно, что продольная функция корреляции начи-
начинает существенно уменьшаться, когда масштаб осцилляции экс-
экспоненты к* ~ (fc/Pi|I/2 сравнивается с шириной спектра \/1
Отсюда следует, что продольный радиус корреляции порядка
/., ~ rk»L и много больше поперечного радиуса корреляции.
Для продольной корреляционной функции с учетом A) имеем из
(8) Г,|(Рц) = ~<rlexp(ikp,,)/(\+ip,,/kl2).
II II U II II U
7.2.3. В условиях задачи 7.2.2 найти "интенсивность" поля
J = <\р |> = Г@,0) на расстояниях, много больших длины волны.
Ответ. J = Fnnk2 = <ЛшпJ/2 « о-?, ] = сг?.
и и и и и
7.2.4. Скорость звука и плотность среды в верхнем полу-
полупространстве B < 0) равны соответственно с и р, в нижнем
(г > 0) они равны с. и р.. Из верхнего полупространства на
границу раздела сред падает шумовое поле с крупномасштабными
флуктуациями, характеризующееся поперечной корреляционной
функцией (см.B.1)) (klQ » 1, где k = ш/с —волновое число в
верхнем полупространстве). Найти корреляционные функции для
отраженной Г^е (р\) и прошедшей г!г(р* ) волн, оценить попе-
поперечный и продольный радиусы корреляции для этих волн. Рас-
Рассмотреть предельные случаи k. = ц/с » k и k. « k.
Решение. Для коэффициентов отражения и прохождения V и W
плоской волны, падающей на границу раздела под углом 8:
о 0 1/О О 0 1/О ¦
» "л п * /п е> г* * /с* i " ———
241

(см.C.1.10), C.1.11)), где к± = Ып8, m = р,/р, п
Для спектральной плотности отраженной волны Fn (к^) и про-
прошедшей F*r(K.) будем иметь соответственно
Fref(Kl) = \V{KL)\2 Fq{kl), Fx\kl) = \Щк^)\2 F^kl), A)
где FJk)— спектральная плотность падающего поля. Корреляци-
Корреляционные функции этих волн будут определяться A.6), где нужно
подставить соответствующие спектральные плотности. Вид кор-
корреляционных функций зависит от соотношения между волновыми
векторами k, k. и шириной спектра падающей волны kq.
Если k.»k, то флуктуации будут крупномасштабными и во
второй среде (к_«kX Поэтому для коэффициентов отражения
и прохождения можно записать приближенные формулы в виде
rref(Pl) = v\(Pl), Г*г(р±) - w\(pL). C)
Для прошедшей волны продольный масштаб корреляции /иГ =
= lik. = l»k./k » /и и много больше, чем в падающей волне. В
вырожденном случае т = п, когда для нормально падающей пло-
плоской волны отражение отсутствует, корреляционная функция от-
отраженной волны будет сильно отличаться от Г„.
Если k. « k, то в зависимости от соотношения к,, и k. мож-
можно выделить два подслучая. При к « k. флуктуации остаются
крупномасштабными и во второй среде. Для корреляционной функ-
функции по-прежнему справедливы соотношения C), т.е. поперечный
масштаб корреляционной функции не меняется, а продольный
масштаб в прошедшей волне уменьшается (/,| = l»k./k « /,,).
Если же к_» k., то для второй среды флуктуации становятся
мелкомасштабными, и характерные масштабы корреляций во вто-
второй среде порядка длины волны А = 2n/k и много больше, чем в
падающей. Аналитические выражения удается получить, если
т » п (п 1 1). В этом случае V « 1, W « 2 и корреляционная
функция отраженной волны совпадает с корреляционной функцией
падающей. Корреляционная функция отраженной волны описывает-
описывается B.3) и B.4), где FQ равно учетверенному значению спек-
спектральной плотности на нулевой частоте у падающей волны.
7.2.5. Плоская монохроматическая волна ехр(гТгг) падает на
случайный фазовый экран, и поле в плоскости г = 0 за экраном
равно Р0(г±) = expf/S^)], Флуктуации фазы S(r±) статисти-
242

чески однородны, гауссовы со структурной функцией
Найти среднее и корреляционную функцию поля рп(г.), считая,
9 9
что дисперсия флуктуации фазы от ограничена и BJp.) = <г х
9 2 о X о
х [1 - pf/2/l + ...]. гДе ls~масштаб корреляции S. Найти
корреляционную функцию Г_(р,) в предельных случаях: 0"s « 1 и
<г_ > 1. Выяснить, при каких условиях флуктуации поля p(r.,z)
можно считать крупномасштабными. Найти в этих случаях попе-
поперечный /,и продольный /и радиусы корреляции.
Ответ. 0
<ро> = ехр [- gi], Г„(р1) - ехр [- -^—] = ехр [- [BQ@)-Bs(pi)]].
При <rs « 1 функция Г0(р±) я A-<г|) + Bs(pL), lk = /s, /|t =
= IЛ (условие крупномасштабиости kls » 1); при с„ » 1 функ-
функция Г0(рх) « ехр(- с%>1/21\), lL - ls/<rs, /„ = ф/о^ (ус-
(условие крупномасштабности kls/vs » 1).
7.2.6. Если точка наблюдения находится на расстоянии г от
фазового экрана, то площадь первой зоны Френеля равна
(Я^Аг ) = 2я z/k. Отношение этой площади к "площади" одной
о
неоднородности (порядка гс/_) нзывается волновым параметром
2
D = 2z/kls и характеризует, сколько неоднородностей умещает-
умещается в одной зоне Френеля. Найти вероятностное распределение
интенсивности волны J = рр" и значение индекса мерцаний
|3 = <т\/<1> в зоне Фраунгофера Z) » 1. Считать флуктуации фа-
фазы сильными и крупномасштабными.
Решение. В силу центральной предельной теоремы поле в
точке при D » 1 формируется большим количеством независимых
областей фазового экрана, и поэтому p{r.,z) будет иметь нор-
нормальное распределение. Для сильных флуктуации фазы среднее
поле равно нулю. Учитывая, что средняя интенсивность волны
за фазовым экраном сохраняется (</> = Г @,2) = 1), для ин-
интенсивности имеем экспоненциальное распределение (см.A.8.2))
A)
Для индекса мерцаний получаем |3 = (</>-</> )/</> = 1.
7.2.7. Случайное поле в плоскости г = 0 представляет со-
собой статистически однородное поле с масштабом корреляции pQ,
модулированное по интенсивности с характерным масштабом а.
При а » р„ поле статистически квазиоднородно в масштабах
243

p « а, и при этом корреляционная функция входного поля за-
записывается в виде
ro(R,ft = <po(R+?/2) po(R-?/2)> = /0(R) Воф), A)
где /Q(R) —интенсивность волны, В 0Ф) — нормированная корре-
корреляционная функция статистически однородного шума (BQ(Q) =
= 1). Найти, как меняются корреляционная функция, масштабы
корреляции p.(z) и модуляции a(z) в случае крупномасштабных
неоднородностей (kpQ » 1).
Решение. В случае крупномасштабных неоднородностей поле в
сечении г связано с полем на входе pQ соотношением
f*{r -г' J 9
JT^ dT'r B>
Характерная угловая. расходимость поля определяется наимень-
наименьшим масштабом р_, и 1ДР0 <(- *¦ При z « kpQa поперечный про-
пространственный масштаб расходимости z/kpQ много меньше мас-
масштаба модуляции а, и корреляционная функция поля в сечении г
повторяет входную корреляционную функцию. Пусть входное поле
представляет собой пучок шириной а и радиусом корреляции
Ро « а. Тогда, умножая соотношение B) на комплексно сопря-
сопряженную величину и переходя при интегрировании к разностной ^
и средней т^ координатам при z » kpQa, имеем
r(R,?,2) = I(R,$.z) Вф,г). C)
Интенсивность пучка / и коэффициент корреляции В имеют вид
, S = J^
D)
. E)
Экспоненциальный сомножитель перед интегралом в D) отражает
сферическую расходимость пучка. Из E) следует, что коэффи-
коэффициент корреляции В связан фурье-преобразованием с распреде-
распределением интенсивности / падающей волны. При этом рост попе-
поперечного радиуса корреляции определяется "диаметром" пучка:
piB) ~ z/(ka). Соотношение E) известно как теорема Ваи-
Циттерта-Цернике. Из D) видно, что огибающая пучка / связа-
связана фурье-преобразованием с корреляционной функцией BQ, и для
ширины пучка имеем a(z) ~ z/(kpQ). Таким образом, поле оста-
остается статистически квазиоднородным: aAz) » pAz).
244

7.2.8. Пусть корреляционная функция случайного поля при
2 = 0 имеет вид ro(R,p*) = exp(- R2/2a2) exp(- p2/2Pg), при-
причем а » р0 и kpQ » 1. Найти интенсивность /(R,0,2) и корре-
корреляционную функцию продифрагированного поля при 2 » kapQ.
Ответ.
exp
2" ^ 2z* J u L 22'
7.2.9. Найти связь корреляционной функции поля некогерент-
некогерентных удаленных источников с угловым распределением яркости
этих источников (одна из форм теоремы Ван-Циттерта—Цернике).
Решение. Если /(г) —пространственное распределение источ-
источников, то поле р(у), являющееся решением неоднородного урав-
уравнения Гельмгольца, записывается как
A)
Корреляционная функция некогерентных источников имеет вид
<f(r')f(r)> = 5(г)б(г-г'), B)
где S(r) — пространственное распределение яркости. Как прави-
правило, при анализе корреляционной функции можно пренебречь из-
изменением амплитудного множителя
для разных точек наблюдения, пред-
предполагая, что измерения проводятся
в области У, удаленной от области
источников R (см. рисунок). Для
корреляционной функции Г(у',у") =
= <Р0(у')Р0(у")> нз A), B) имеем
Г(у',у"). = Dя)~2 JS(r) Г2 х
xexp[»*(|y-y'|-|r-y-|)]dr.
г| = г » |у| и
C)
К задаче 7.2.9
Считая, что |г| =
» k\y\ , в экспоненте интеграла
можно ограничиться линейными чле-
членами по малому параметру \у\/г. |г-у| и гу/л Будем считать,
что источники расположены в узком сферическом слое, располо-
расположенном на расстоянии г. от области измерения, т.е. S(r) =
= 5(r-rQ) F(n), где n = г//-_—единичный вектор, ^(п) —угло-
—угловое распределение яркости источников. Тогда из C) получаем
Г(у"-У') = Dя) J>(n) exp [**П(У"-У')) dn, D)
245

где интегрирование ведется по поверхности единичной сферы.
Соотношение D) носит также название теоремы Ван-Циттерта-
Цернике и показывает, что корреляционная функция поля Г за-
зависит только от разности координат точек наблюдения и связа-
связана с угловым распределением F фурье-преобразованием.
7.2.10. Найти корреляционную функцию изотропного (сфери-
(сферически-симметричного) шума.
Решение. Для сферически-симметричного шума яркость не
зависит от угла: F = FQ = const. Переходя при интегрировании
в (9.4) к сферической системе координат 6, <р и выбирая ось
совпадающей с направлением вектора р* = у„ - у., имеем
р 27Г п F ¦
=—2_^ Г dip fsinG exp(- ikpcosB) dQ = t^S1 a! ¦• A)
D*JJ0 { 4Я *p
Таким образом, при F = const корреляционная функция шума
изотропна, а радиус корреляции, определенный по первому нулю
Г(р), равен / = u/k = А/2, где А —длина волны излучения.
7.2.11. Приемник расположен на оси подводного звукового
канала. Угловая яркость шума равномерно распределена по ази-
азимутальному углу <р. По углу
скольжения % (угол относитель-
относительно горизонта) шум равномерно
распределен в диапазоне малых
углов (-а_/2, а_/2) и отсутст-
отсутствует при больших абсолютных
значениях угла (см. рисунок).
Найти корреляционную функцию
шума Г(р,.,р.) (рц и р. — верти-
II J. II X
кальное и горизонтальное разнесения точек наблюдения корре-
корреляционной функции), вертикальный /•¦ и горизонтальный /, мас-
масштабы корреляции.
Решение. При интегрировании в (9.4) используем сферичес-
сферическую систему координат <р, в с вертикальной осью и перейдем от
угла 6 к углу скольжения % = я/2 - 6. Вводя компоненты p.cosi^
и p.sin0 вектора р* для корреляционной функции, имеем
L 2ТГ1
К задаче 7.2.11
р
Г(р.,,р\) = —^-s Г expufep
' А f4nVJ L
x J cos% exp
s\nx)d%. A)
-v2
246

Проинтегрировав A) по азимутальному углу <р и переходя к
новой переменной t = sin %, получаем
F sin(aQ/2)
Г^Н'Р±> = 5# J /0(*Р1A-*2)|/2)ехр(/*р||0Л. B)
-sin(ao/2)
Здесь /.(г) — функция Бесселя. Таким образом, шум изотропен в
горизонтальной плоскости. Учитывая, что ос_ « 1, получаем,
что корреляционная функция Г распадается на произведение
"вертикальной" и "горизонтальной" функций корреляции:
F a sin(fep,,a /2)
) = V ^J V*P> C)
х) = -V
Горизонтальный масштаб функции корреляции при этом порядке
длины волны /, ~ 2,4/fc ~ 0,61 А, а вертикальный масштаб /¦,
существенно больше длины волны (/ц = 2n/kccQ = A/a_).
7.2.12. Приемная аппаратура, находящаяся на оси подводно-
подводного звукового канала, подвергается воздействию шума равномер-
равномерного по азимутальному углу. Каков вид пространственной кор-
корреляции функции шума в случае: а) равномерного, но не сим-
симметричного распределения источников по углу х € {ХуХп)> Ху
Х2 малы и a = Хп ~ Ху б) симметричного, но не равномерного
распределения источников по углу скольжения х> описываемого
приближенно узкой гауссоидой F(x) = FQ ехр(- Х2/2(Г).
Ответ. Функция корреляции по-прежнему распадается на про-
произведение вертикальной и горизонтальной функций корреляции.
При этом Г(р ) остается такой же, как и в задаче 7.2.10. Для
вертикальной функции корреляции Г(Рц) в случае а) появляется
множитель ехр [(-<fep||(j;2+j;1)/2]; в случае б) имеем Г(Рн) =
= F0B7tI/2crexp(-p§o-V/2).
7.2.13. Антенна расположена на абсолютно поглощающем дне.
Шум воздействует на антенну равномерно со всех направлений
верхнего полупространства. Найти корреляционную функцию аку-
акустического поля в плоскости дна Г(р.) и вертикальном направ-
направлении Г(Рц). Факторизуется ли при этом функция Г(р,,,^ )?
F sinfcp 1
Ответ. Тф1} - Г(р±) = ^ -WT^ Г(Р") =
7.2.14. Дождь создает на поверхности океана шумовое пятно
радиусом Rn (см. рисунок а). Вычислить среднюю энергию шумо-
2
вого поля <р > = Г@) под центром шумового круга, считая
247

К задаче 7.2.14
источники шума некогерентными с равномерной поверхностной
яркостью внутри круга.
Решение. Если /^ — поверхностная яркость источников, то из
выражения (9.3) для средней энергии шумового поля имеем
~2FQ dZ, A)
<р2> =
(An)'
где интегрирование ведется по кругу шумового пятна радиусом
Ro (см. рисунок б). Переходя к интегрированию в сферической
системе координат 6, <р и учитывая, что г
х tg9 d<p de/cos2e, имеем
H/cosB, dZ = H2x
B)
Здесь 6,— угол, под которым виден из точки наблюдения край
шумового , пятна (cose, = H/(H2+R2Q)V2). При RQ -> <я средняя
энергия шумового поля стре-
стремится к бесконечности из-за
вклада далеких областей. Рас-
Расходимость связана с характе-
характером источников шума.
7.2.15. Найти среднюю ин-
интенсивность шумового поля под
центром шумового круга, счи-
считая, что в отличие от задачи
7.2.14 шумовые источники име-
имеют дипольный характер и их
диаграмма направленности про-
пропорциональна cose (см.рисунок).
Уг
К задаче 7.2.15
248

Решение. Учитывая дипольный характер излучения для сред-
средней энергии шумового поля, имеем
<р2> = —Ц (V~2F cose dL = 1= F \\ H ,] .
D?rJJ 0 8" °l {H2+R2Q)u2i
При увеличении радиуса шумовой области RQ средняя энергия
стремится к постоянному значению. Данная модель шума более
реалистична, чем монопольная, так как из-за мягкой границы
поверхностный (приповерхностный) шум имеет дипольный характер.
7.2.16. Шумы удаленных источников, захваченные подводным
звуковым каналом, воздействуют на пространственную антенную
решетку, находящуюся на оси канала. Можно ли по виду корре-
корреляционной функции судить об удаленности шумовых источников.
Решение. Пусть линейный размер источника равен L и все
его точки излучают некоррелированно. Если искривлением лучей
в канале можно пренебречь, то видимый угловой размер источ-
К задаче 7.2.16
ника шума равен о^»L/R (см.рисунок а), где R — расстояние
от антенны до источника. Из решения задач 7.2.7, 7.2.10
следует, что поперечный радиус корреляции /, ~ Л/ос. = XR/L.
Таким образом, с увеличением расстояния поперечный масштаб
корреляционной функции растет, что позволяет при известном
размере L оценить расстояние до источника шума Однако в под-
подводном звуковом канале на достаточно больших расстояниях лу-
лучевые траектории успевают существенно искривиться (см. рису-
рисунок б), отчего диапазон углов прихода шума а2 увеличивается.
Это будет приводить к уменьшению поперечного радиуса корре-
корреляции шумового поля / ~ Л/а„. В общем же случае зависимость
1^ от R может быть осциллирующей, что не позволяет однознач-
однозначно определить размер источника шума по масштабу корреляции I .
7.3. Рассеяние звука случайными неоднородностями
и неровными границами
7.3.1. Структурная функция D (р) показателя преломления
л(г) = соЛ(г) полностью определяется структурной постоянной
249

С , внешним LQ и внутренним L масштабами. Экспериментально
измеренная функция корреляции аппроксимирована следующим об-
образом: 2
Гар% Р<10>
6р2/3, /0<P<V A)
Dn(p)
d.
Q
Определить L, Z.Q, С и дисперсию флуктуации показателя пре-
преломления ат по измеренным параметрам a, b, d. Сделать расчет
этих величин для а = 3-10"9м, Ь = 3-Ю"9 м~2/3, d=l,2-10"8.
Решение. Структурная функция записывается через структур-
структурную постоянную, внешний и внутренний масштабы в виде
L С2^2/3 = 2СГ2, r>Ln.
п 0 п О
Отсюда имеем С\ = Ь, о^ = d/2, /Q = (Cj/aK/? Z.Q = (d/C2K72
Подставляя числовые значения, находим С = 3-J0 м , <г =
= 6-Ю"9, /0 - 1м, Lq = 8 м.
7.3.2. Найти в приближении однократного рассеяния (бор-
новском приближении) интенсивность сигнала, рассеянного слу-
случайными неоднородностями, локализованными в области V, нахо-
находящейся вдали как от излучателя, так и от приемника.
Решение. Пусть скорость звука с(г) наряду с регулярными
изменениями испытывает и флуктуации. Представляя показатель
преломления л(г) = cQ/c(r) в виде суммы регулярной и флукту-
ационной компонент:
«(г) = ло(г) + ц(г), <ц> = 0, A)
будем искать решение уравнения Гельмгольца
Др + k\ п\) р = 0, ko=u/cQ, B)
в виде
Р = Ро + Р,. C)
где ро(г) —первичное поле (решение уравнения A) при ц = 0),
р —рассеянное поле. Будем считать, что рассеянное поле мало
(|р | « \pQ\). Тогда для рассеянной компоненты будем иметь
неоднородное уравнение Гельмгольца:
Lps + k\ n\(r) р$ = - 2k\ «(r) rtr) po(r). D)
Источники в правой части D) описывают рассеяние первичного
поля рЛх) иа случайных неоднородностях ц(г). Если ввести
250

функцию Грина G(r,r') (решение уравнения B) с правой частью
в виде 3-функции б(г-г') при ц = 0), то общее решение D)
записывается в виде
ps(r) = -2*JJno(r')M(r')p(r')G(r.r')dr', E)
V
где интегрирование ведется по области V, занятой неоднород-
иостями. Рассеянное поле в приближении однократного рассея-
рассеяния является линейным функционалом от fi, и, следовательно,
<р > = 0, а средняя интенсивность У = <р > выражается через
корреляционную функцию показателя преломления. Но для того
чтобы получить наглядный результат, сделаем ряд упрощений:
а) будем считать, что среда в среднем однородна, т.е.
л = 1, и, следовательно, функция Грина
g(r'r/> = 1г|г-г'| «p(»feo|i^r'|); F)
б) падающее поле представим в виде
po(r) = A(r) exp (i<p(r)), G)
где Л—амплитуда, ф —фаза, причем амплитуда и локальный вол-
волновой вектор k = V<p практически не меняются в масштабе ха-
характерного размера неоднородностей;
в) в пределах объема рассеяния неоднородности статистиче-
статистически однородны:
<М(г')д(г" )> = Вй(г'-г") (8)
и характеризуются пространственным спектром
?)e^d& (9)
г) неоднородности занимают конечный объем V, причем в нем
содержится много неоднородностей (V » fy, а сам он располо-
расположен "достаточно далеко" от точки приема. Это условие подроб-
подробно обсудим ниже.
Для средней интенсивности имеем
<>•>
W = ?>(Г')-р(г")+ У |Г-Г'|- |Г-Г"|). A1)
Перейдем в A0) к интегрированию по разностной координате
^ = г'-г" и координате "центра рассеяния" R = (г'+г")/2.
Характерный масштаб интегрирования по $ порядка радиуса
корреляции неоднородностей I . Ограничиваясь линейными чле-
членами в разложении If no p и вводя локальный волновой вектор
251

k{R) = 4<p падающей волны для W, получаем
W = (k/R)-k,(R))?= *0(n.-ns)^, A2)
Здесь п —единичный вектор, направленный из "точки рассея-
рассеяния" R в точку приема г; п. —единичный вектор, показывающий
направление распространения падающей волны в этой точке.
Считая, что на характерном размере неоднородностей I ампли-
амплитудные множители падающей волны и функции Грина не меняются,
из A0)—A2) получаем j ,п\
J =* 2ufeg JGU(?( R)) —-—г d^ ' №
2= ks-k, = kQ(us-n.). A5)
Вектор i? называется вектором рассеяния. Из A4), A5) видно,
что рассеяние носит резонансный (селективный) характер. Про-
Пространственный спектр флуктуации д содержит набор различных
пространственных гармоник с волновыми векторами 2, а интен-
интенсивность каждой гармоники пропорциональна G B). Переписывая
A5) в виде k = k.+ i?, видим, что компоненты появляются в
результате "взаимодействия" падающей волны (волновой вектор
к.) с пространственной гармоникой ic.
7.3.3. Коэффициентом объемного рассеяния mv называется
отношение акустической мощности, рассеянной единичным объе-
объемом в единичный телесный угол, к интенсивности падающей вол-
волны. Определить из выражения B.14) mv и получить выражение
для интенсивности рассеянной волны. Считать, что на рассеи-
рассеивающий объем V падает сферическая волна, а в пределах объема
можно пренебречь в B.14) как изменением направления вектора
рассеяния x(R), так и изменением амплитудных множителей.
Ответ. Коэффициент объемного рассеяния равен
/Tti/ — i7lK|-. L/. i\K). |С=Й1-ч(П П.). ( 1 I
V U LI Us i
Если рассеивающий объем находится на расстоянии R. от сфери-
сферического излучателя, а точка наблюдения на расстоянии R от
объема, то для интенсивности рассеянной волны имеем
/ = mvVR~*R~2, B)
а в векторе рассеяния it (см.A)) п. —единичный вектор, на-
направленный на объем из точки излучения, п — из рассеивающего
объема в точку наблюдения.
252

7.3.4. Пусть угол между падающей и рассеянной волнами
равен 6, а длина волны излучения равна Л. Найти из условия
B.5) длину волны пространственной гармоники Л^, на которой
происходит рассеяние под данным углом. Рассмотреть случаи
6 = 0, я/2, п.
Ответ. Период пространственной решетки, на которой проис-
происходит рассеяние, равен
\ = 2 sin @/2) ' W
Формула A) есть известное условие Вульфа—Брегга, определяю-
определяющее период решетки, на которой происходит дифракция под уг-
углом 6. Соответственно для трех углов N = ю, А/т/2~, А/2.
7.3.5. Найти коэффициент объемного рассеяния mv, считая,
что флуктуации показателя преломления изотропны и характери-
характеризуются корреляционной функцией
В^р) = о?ехр(-р2/а2). A)
Определить, как зависит диаграмма рассеяния от угла при
ka « 1 и ka » 1. Определить, иа какой частоте коэффициент
объемного рассеяния максимален.
Ответ. , , ,
k а °ц г г ет2т
^"пг ехр^ [ка*Ы \ {2)
При мелкомасштабных неоднородностях ka « 1 рассеяние изот-
изотропно, при ka » 1 рассеяние происходит в узком угле 8 <^ 6_,
C)
в направлении распространения волны. Коэффициент рассеяния
максимален при k = V2~"/[a sinF/2)].
7.3.6. Флуктуации показателя преломления в воде описыва-
описываются функцией E.1), а масштаб корреляции а = 60 см. Найти
ширину диаграммы направленности для частот /, равных 100,
10, 100 кГц. Скорость звука с = 1500 м/с.
Ответ. Для частоты / = 100 Гц ka = 0,24, т.е. флуктуации
мелкомасштабны и рассеянное поле изотропно. Для L и /„
флуктуации крупномасштабны и углы 6„ равны 2,3° и 0,23°.
7.3.7. Найти частоту излучения первичной волны, если ра-
радиус корреляции в E.1) а = 100 см, а 8. = 3° (см.E.3)).
Ответ. ( ~ 4,6 кГц.
7.3.8. В инерционном интервале флуктуации показателя
преломления в океане описываются степенной структурной функ-
253

цией A.2), которой соответствует спектральная плотность
G^K) = 0,03С2кГ11/3. A)
Найти коэффициент объемного рассеяния и исследовать его по-
поведение при в -* 0.
Ответ.
mv = 0,03 ф/сI/3 [siп(в/2)]
-11/3
B)
где f — частота звука, с —скорость звука. Коэффициент расхо-
расходится при малых углах рассеяния. Это связано с тем, что вы-
выражение A) несправедливо в области больших волновых чисел.
7.3.9. Флуктуации показателя преломления в океане сущест-
существенно анизотропны, их горизонтальный масштаб /, много больше
вертикального /и. Считая, что корреляционная функция показа-
показателя преломления
найти коэффициент объем-
объемного рассеяния в зависи-
зависимости от угла Э. отсчиты-
отсчитываемого от вертикали,
считая, что волна падает
под углом о. к вертикали
Ф = -а соответствует об-
обратному рассеянию; см. ри-
рисунок). Рассмотреть слу-
случай, когда по вертикали неоднородности мелкомасштабны (Л,/г «
« 1), а по горизонтали крупномасштабны (l,kQ » 1).
Ответ. Согласно выражениям B.9), C.1) коэффциент объем-
объемного рассеяния равен
К задаче 7.3.9
,2,2
,2,2
С1И1
где К|| = *Q(cosa+cos C), к± = *0(sina-sin|3). В случае
« 1 и lLkQ » 1 из B) имеем
B)
C)
где Д = /3 - а. Таким образом, диаграмма рассеяния сосредото-
сосредоточена в малом угле Д^ = 2/(kQlL cos а) вблизи угла зеркально-
зеркального отражения C = а.
254

7.3.10. Анизотропные неоднородности показателя преломле-
преломления сосредоточены в слое толщиной h, расположенном иа глуби-
глубине Н от поверхности океана (Л « Н). Падающий сигнал излуча-
излучается направленной антенной и имеет гауссову направленность:
JQ(R) = R~2 exp(- a2k2Qd2), A)
где а —угол, отсчитываемый от вертикали, a d — эффективный
размер антенны. Найти интенсивность обратного рассеяния в
случае, если kJtn « 1, a kQl^ » 1. Исследовать зависимость
интенсивности от отношения апертуры антенны d и горизонталь-
горизонтального размера неоднородностей 1^. Выяснить условия, когда
можно вводить понятие эффективного рассеивающего объема V и
когда интенсивность описывается выражением типа C.2).
Решение. Так как h « Н, а диаграммы направленности излу-
излучателя и рассеивателя узкие, то в B.14) после интегрирова-
интегрирования по вертикальной координате с учетом A), (9.3), а = -|3,
\р \/Н « 1 (^—поперечная координата) имеем для интенсивно-
интенсивности обратного рассеяния
. 4, ,2 2
mv
HAk2Q(d2 + ф v
Здесь ту — коэффициент объемного рассеяния в обратном направ-
направлении для нормального падения на слой. Первый сомножитель в
B) определяет поперечный размер облученной области, и эф-
9 9 9
фективный объем рассеяния V = 2пН h/kQd . Второй сомножитель
отражает тот факт, что на резко анизотропных неоднородностях
отражение близко к зеркальному, и поэтому в точку приема по-
попадает компонента рассеянного излучения, лежащая внутри угла
6^ ~ \/kQl.. Эффективный объем рассеяния можно ввести только
при d » /,. Если же /^ » d, в формировании обратного рассе-
рассеянного сигнала участвует лишь часть облученной области.
. 7.3.11. В условиях задачи 7.3.10 зондирование ведется ан-
антенной, излучающей поле под углом |3 к вертикали. Как зависит
интенсивность У обратного рассеяния от угла зондирования |3,
и при каких условиях по этой зависимости можно оценить / ?
Ответ. Интенсивность описывается выражением A0.2), где
ехр (- p2k2Qd2/H2) exp [- (p2~fiHJk2d2/H2] —сомножитель, отвечающий
за диаграмму направленности, Ру р„ —компоненты вектора р ,
255

и ось антенны отклонена от оси р„ на угол 3- Интеграл берет-
берется аналитически. По зависимости У(Э) можно оценить 1^, если
/ « d, т.е. когда диаграмма направленности излучателя уже
диаграммы направленности рассеивателей.
7.3.12. Исходя из уравнения эйконала
Dwf = п2, A)
получить в малоугловом приближении уравнение для возмущений
эйконала первоначально плоской волны, распространяющейся в
среде с малыми крупномасштабными флуктуациями показателя
Преломления: п = 1 + ц; |ц| « 1, <ц> = 0.
Решение. Для плоской волны, распространяющейся вдоль оси
2 эйконал равен wn = г. Ищем решение уравнения A) в виде
w = wQ + w и, пренебрегая членами порядка ц , получаем для w
2gf + (ViS>2 = 2M, B)
где нелинейное слагаемое описывает изменение фазы, связанное
с искривлением луча. На начальном участке можно пренебречь
этими искажениями, тогда из B) для возмущений эйконала и,
соответственно, для возмущений фазы <р = k~w, имеем
г г
w(z$L) = fuz'jjdz', ф,^) - ко$Цг* jj с№. C)
о о
Здесь р,—поперечная по отношению к направлению распростра-
распространения волны координата.
7.3.13. Выразить дисперсию флуктуации фазы v через кор-
корреляционную функцию B.8) флуктуации показателя преломления,
считая, что длина трассы 2 много больше эффективного про-
продольного радиуса корреляции
га
'эФ = JfypnА = °>dp|i/°J- vl = V°-0)- A)
о
Решение. Считая флуктуации показателя преломления статис-
статистически однородными (см. B.8)), для дисперсии возмущений
эйконала имеем
гг
°iw= JJV*'-*"- ^i=°) dz'dz" B)
00
Переходя в B) к интегрированию по переменным p.i = z'-z",
z = г', из B) находим
г
^(fl^Pl.O)*!- C)
256

В зависимости от соотношения между длиной трассы z и радиу-
радиусом корреляции / . получаем из C)
'if' 2<<w {4)
Здесь эффективный масштаб I выражается через корреляцион-
корреляционную функцию показателя преломления с помощью соотношения
A). Для дисперсии фазы из A2.4) имеем
7.3.14. Найти дисперсии фазы,' считая, что флуктуации фазы
изотропны и описываются: а) гауссовой корреляционной функ-
функцией (см.E.1)); б) экспоненциальной корреляционной функцией
В^р) = о?ехр(- |р|/Ь).
Ответ. Дисперсия флуктуации фазы описывается A3.5), где
1/2 '
/ = an /2 для случая а) и / . = Ь для случая б).
7.3.15. Флуктуации показателя преломления в океане резко
анизотропны и описываются корреляционной функцией (9.1)
(/ц « /±). Акустическая волна проходит расстояние z один раз
по горизонтали, другой раз по вертикали. Найти отношение ди-
2 2
сперсий ^т^/^фЦ флуктуации фазы для этих трасс.
Ответ. Для горизонтальной трассы флуктуации существенно
больше, чем для вертикальной: о^./о^ц = ',//ц » 1-
7.3.16. Найти поперечную корреляционную функцию
В9(рГг) = «p(ri4rz)<P(rrz)> A)
и структурную функцию флуктуации фазы
*yprz) = <[ip(ri4rz)-<p(rrz)?>, B)
если флуктуации показателя преломления описываются E.1).
Ответ. Для корреляционной и структурной функций имеем
oKMiy о)
0
2
о
Здесь D—структурная функция показателя преломления. Для
гауссовой корреляционной функции E.1) из C) находим
Vpii2) = ^B) ехр(-р!/°2)' E)
2
где с (г)—дисперсия флуктуации показателя преломления,
Ц* 1/9
описываемая A3.5), I - ait /2.
псу
Акустика в задачах **'

7.3.17. Найти в приближении геометрической акустики флук-
флуктуации времени пробега импульса в случайно неоднородной среде.
Решение. Время пробега определяется выражением
и, следовательно, для флуктуации времени пробега имеем
г
°0
АГ - \-Ыг$,)dz'. B)
Сравнивая B) с A2.3), получаем, что дисперсия времени про-
пробега выражается через дисперсию эйконала
7.3.18. Найти функцию корреляции флуктуации эйконала в
разнесенных по трассе точках г. и г„. Найти продольный коэф-
коэффициент корреляции.
Ответ. Функция корреляции флуктуации эйконала вычисляется
аналогично процедуре задачи 7.3.13:
го
О
где zm.n = minB., z2). Продольный коэффициент корреляции
Г\\ =
7.3.19. Исходя из уравнения переноса
2VwVA + ALw = 0, A)
получить уравнение первого приближения для флуктуации уровня
амплитуды % - ln(A/AQ) первоначально плоской волны. Для
"двумерных" неоднородностей показателя преломления ц(г) =
= ii{r\\'ri) найти дисперсию уровня.
Решение. Переходя в A) к уровню амплитуды и учитывая,
что для первоначально плоской волны ш = z+w + ..., для
возмущений уровня имеем 2
2&_-fl_f_A3i. B)
dz dzz L
Оценивая д w/dz2 ~ ^ц/'п- b±w ~ ^ц^нI72/^. получаем, что
на достаточно больших расстояниях первым слагаемым в правой
части уравнения B) можно пренебречь. Таким образом,
^e'.p^dz'. C)
258

После усреднения C) с учетом выражения для корреляционной
функции эйконала (8.1) нмеем для дисперсии уровня в двумер-
двумерном случае .
00 0 Р1
После вычисления двойного интеграла для дисперсии флуктуации
уровня плоской волны имеем
4
Таким образом, флуктуации уровня растут пропорционально z ,
т.е. медленнее, чем флуктуации фазы A3.4).
7.3.20. Найти дисперсию флуктуации уровня, считая, что
флуктуации показателя преломления характеризуются корреля-
корреляционной функцией E.1).
Ответ, ai = 2Vrcof(B/aK.
Л Г' о
7.3.21. Найти дисперсию флуктуации уровня <т ,, для верти-
вертикальной трассы в океане, считая, что неоднородности "двумер-
"двумерны" и описываются выражением (9.1). Как изменится величина
- | для горизонтальной трассы таю
флуктуации с и для горизонтальной трассы такой же длины?
Ответ. Для вертикальной трассы длины z (Гц = 2vfar*/,|2 //,,
r 2 й
для горизонтальной трассы той же длины err,. = 2Vfib\2/ г /й =
о 2 2 "• "
= °Vll 'j/'ll и ayl >у ау\\' ^ля гоРизонтальн°й трассы флуктуа-
флуктуации уровня существенно больше, так как флуктуации амплитуды
определяются кривизной фазового фронта волн и тем больше,
чем меньше поперечный масштаб неоднородностей показателя
преломления.
7.3.22. Пренебрегая флуктуациями уровня, найти среднее
поле и конечную корреляционную функцию поля р = ехр(- i<p),
распространяющегося в среде с гауссовыми флуктуациями пока-
показателя преломления, имеющими корреляционную функцию E.1).
Ответ. Учитывая гауссовый характер флуктуации фазы и ре-
решение задачи 7.3.15, имеем
)> = exp (U<p> - о^/2), A)
«Р> - V- «J - 2кУц1эф2' 'эф -
7.3.23. Считая, что справедливо приближение геометричес-
геометрической акустики, найти среднеквадратичное отклонение флуктуации
9 259

эйконала о* , фазы о* , времени пробега оу, коэффициент ослаб-
ослабления среднего поля л и оценить поперечный радиус корреляции
поля р* Считать, что плоская волна распространяется в среде
с гауссовыми флуктуациями показателя преломления, имеющими
О —Л
корреляционную функцию вида E.1) с сг = 10 , а = 1 м. Дли-
Длина трассы z = 1 км, падающее излучение имеет частоту 10 (а)
и 100 кГц (б).
Ответ. a) crw = 4,2-loAi, o-p = 1,76-КГ1, оу = 2,8-10~6с,
/С = 0,98, р* * а = 1 м; б) (г^ = 4,2-10м, о^ = 1,76, оу =
= 2,8-10 с, С = 0,21, р^ * а/<г = 0,57 м.
7.3.24. Считая, что отклонения поверхности z = ?(p*) малы
по сравнению с длиной волны А = 2n/kQ, найти в приближении
метода малых возмущений поле р , рассеянное при отражении
плоской волны pQ от абсолютно мягкой поверхности.
Решение. Для абсолютно мягкой поверхности давление на
границе р($, ?(?)) = 0. Представляя поле при 2 = 0 в виде
суммы невозмущенного р и рассеянного р поля и разлагая гра-
граничное условие в ряд по степеням ?/Л, получаем граничное ус-
условие для рассеянной компоненты:
2
Для плоской волны единичной амплитуды, падающей под углом на
мягкую границу, решение уравнения Гельмгольца имеет вид
pQ(rrz) = exp((i?or1)[exp(-iKo||2)-exp((K()||2)], B)
к0 = fcsin60, к0|| = *cos60, k = w/c0. C)
Таким образом, для рассеянного поля, также удовлетворяющего
уравнению Гельмгольца, имеем следующие граничные условия:
ps(rvz = 0) = 2гк0|| ехр(^оГ1) ?(г±). D)
Условие применимости метода малых возмущений имеет вид
Р = 2k<r0 cos6Q « 1, E)
где oz = <? > —дисперсия возвышений, а Р носит название па-
параметра Рэлея. Пусть СЛк ) — пространственный спектр возму-
возмущений поверхности,
€(г±) = JC^) expftf^) d\. F)
Тогда из D) следует, что пространственный спектр рассеянно-
рассеянного поля
V&J = 2/к0|| Cg?rfy G)
260

Каждая из пространственных компонент возбуждает плоскую вол-
v 2 2 1/2
иу ехр (йс.г +rtCi|Z), к» = (k-к.) , и, следовательно, рас-
рассеянное поле при г > О имеет вид
ps(rvz) = 2/к0|| JC^-i^) exp (й^г1+/К||z) d\. (8)
Таким образом, в приближении метода плавных возмущений зада-
задача об отражении от границы свелась к задаче о дифракции пло-
плоской волны за случайным экраном (см. задачу 7.2.1).
7.3.25. Считая известным корреляционную функцию Г^ф ) =
= <?(г| + i^i )?(г| )> и спектральную плотность Adit.) возмуще-
возмущений поверхности ?(г,), найти поперечную корреляционную функ-
функцию Г|(?|) рассеянного поля. Для гауссовой корреляционной
функции вида B.2.1) найти интенсивность рассеянного поля в
случае мелкомасштабных (fc/Q«l) и крупномасштабных (fc/Q»l)
неоднородностей.
Ответ. Используя решение задачи 7.2.1, получаем
Г±(^) = 4k2,, J A^x^0) exp(/i?1^i) <&x. A)
|2j <к0
В случае мелкомасштабных неоднородностей поперечная корреля-
корреляционная функция описывается выражением B.2.4), где F -
= B/п) (o~0Lk cos0) , поперечный масштаб корреляции порядка
длины волны, а интенсивность рассеянного излучения
/ = <р]> = Ао2/ cos28 (kl//2 = P2(kl0J/2. B)
Для крупномасштабных неоднородностей поперечная корреляцион-
корреляционная функция
ГХФХ) = 4fe2 cos280 Т^х) ехр(Й0^), C)
а интенсивность рассеянного поля / = Aazk cos 0. = Р .
7.3.26. Определить шнрнну углового спектра рассеянного
поля для мелкомасштабных и крупномасштабных неоднородностей.
Решение. Из задачи 7.3.25 следует, что спектральная плот-
плотность рассеянного поля ^0(^,) связана со спектральной плот-
плотностью возмущений поверхности АЛ&.) соотношением
F^x) = 4fe2 cos2 0O AgZx - i?0), A)
причем распространяющимися являются волны, поперечный волно-
волновой вектор которых удовлетворяет условию | i?± | < k = w/c
Формула A) определяет селективный характер рассеяния на не-
неровной поверхности: фурье-компонента возмущений поверхности
261

с волновым числом К дает рассеянную волну с поперечным вол-
волновым числом
Для поперечной компоненты п. единичного вектора распростра-
распространения рассеянной волны условие B) записывается в виде
knx = fcn0+K, |nj < 1. C)
Для мелкомасштабных неоднородностей, когда характерная шири-
ширина спектра /С. ~ \/L » k, рассеяние изотропно по углам. Для
крупномасштабных неоднородностей (KQ « k) рассеянная компо-
компонента сосредоточена в узком конусе вблизи угла зеркального
отражения. Угловые ширины 0ц и 0. в плоскостях параллельной
и перпендикулярной плоскости падения соответственно равны
е„ * V(* cos0o)' ei
7.3.27. Плоская волна единичной амплитуды падает нормаль-
нормально на взволнованную поверхность. Корреляционная функция воз-
возмущений описывается функцией вида B.1), где среднеквадра-
среднеквадратичное отклонение поверхности <rQ = 0,1 м, поперечный масштаб
lQ = \/KQ = 1 м. Найти угол рассеяния 8 , параметр Рэлея Р
(см. задачу 7.3.26). интенсивность рассеянной волны для сле-
следующих частот падающего излучения: {. = 50 Гц, f. = 100 Гц,
/3 = 500 Гц, {4 = 1000 Гц.
Ответ. Для частот /. и /„ неоднородности являются мелко-
мелкомасштабными (klQ = 0,21 и 0,42). При этом Р = 4,2-10~2,
/, = 3,8-10~5; Р2 = 8,4-10 = 2Ру Л, = 6 -10 = 16/,. Для
частот /3 и f. неоднородности крупномасштабны (klQ = 2,1 и
4,2). Соответственно, 0rf = arcsin (l/fe/Q) = 28°, Р3 = 0,41,
/3 = 0,175, es4 = 13° * 0s3/2, P4 = 0,84 = 2Р3, /4 = 0,7 =
= 4/3- Для частоты /. = 1000 Гц условие применимости метода
плавных возмущений при нормальном падении нарушается.

8. ЭЛЕКТРОАКУСТИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ
8.1. Механические колебательные системы.
Электромеханические аналоги
8.1.1. Установить аналогию, существующую между уравнения-
уравнениями, описывающими колебания в электрических цепях и механи-
механических системах. Рассмотрение провести на примере линейных
колебательных систем: механической с одной степенью свободы
и одиночного электрического контура.
Решение. Рассмотрим механическую колебательную систему,
состоящую из груза массой т на пружине, упругость которой 5
I я
s
К задаче 8.1.1
(см. рисунок а). Приложим к грузу силу F. Смещение груза из
положения равновесия обозначим через х. Воспользовавшись
вторым законом Ньютона, запишем уравнение движения в виде
т'х + г х + sx = F, A)
где г х — сила трения, г —механическое сопротивление систе-
системы, sx —сила упругого противодействия пружины. Линейность
уравнения A) является следствием двух предположений: 1) де-
деформации невелики и упругая сила следует линейному закону
(система подчиняется закону Гука) и 2) сила трения есть ли-
линейная функция скорости v = х. Заменив упругость пружины ее
гибкостью с = 1/s, перепишем уравнение A) в виде
м
Запишем теперь уравнение, описывающее колебательный про-
процесс в электрическом контуре, к которому приложена внешняя
263

электродвижущая сила и (см. рисунок б). Согласно второму за-
закону Кирхгофа сумма падений напряжений на всех элементах
должна равняться и:
Lm+Ri+bfidt = "• C)
Если вместо тока i ввести заряд q, то C) запишется в виде
Lq + Rq + q/C = и. D)
Сравнивая уравнения, которыми описываются колебания в меха-
механической системе (см. A) или B)) и электрической цепи (см
D) или C)), видим их полную аналогию. Она имеет практиче-
практическое значение, так как позволяет сопоставить сложным механи-
механическим системам их электрические аналоги и использовать эф-
эффективные методы расчета электрических цепей.
8.1.2. Составить таблицу соответствия механических и
электрических величин.
Решение. Воспользуемся решением задачи 8 1.1. Сравнение
A) и D), B) и C) позволяет составить таблицу аналогов
механических величин электрическим. Здесь и ниже мы считаем,
что при гармонических колебаниях все величины со временем
изменяются как exp(ju)t), где / — мнимая единица.
Таблица к задаче 8 1 2
Механическая величина
Электрическая величина
х — смещение
v = х — колебательная скорость
F — сила
m — масса
с — гибкость
м
г —активное механическое
м
сопротивление
х —ускорение
Z = F/v — полное механическое
сопротивление
м м ' ' w м'
/Um — инерциальиое сопротивление
\/(ЦЛс ) — упругое сопротивление
-1/2.
частота механической системы
0)п = {тс ) —собственная
и м
q — заряд
1 = q —ток
и—электродвижущая сила
L — индуктивность
С — емкость
R — активное электрическое
сопротивление
dt/dt — скорость изменения тока
2 = u/i — полное электрическое
сопротивление
Z = R + JUL+ 1/(/Шс)
j(OL — индуктивное сопротивление
1/(;С<)С)—емкостное сопротивление
-1/2
(j)~={LC) —собственная
частота электрической системы
264

Для изображения механических систем можно ввести идеали-
идеализированные элементы: массу, гибкость (пружину нулевой мас-
массы), активное сопротивление (пропорциональное скорости), и
по аналогии с индуктивностью, 'емкостью и сопротивлением в
электрических цепях представить их в виде двухполюсников
х.
X.
К задаче 8.1.2
(см.рисунок а). Тогда под переменными х, v в таблице понима-
понимается относительное смещение х = х.-х„ и скорость v = v^-v~
концов элемента упругости или элемента трения. Аналогом на-
напряжения при этом является сила, приложенная к одному нз по-
полюсов механического элемента, причем предполагается, что к
другому полюсу (концу) приложена такая же по модулю, но про-
противоположная по направлению сила (так как эти идеальные эле-
элементы имеют нулевую массу). Изображение механического эле-
элемента в том случае, если один из его концов закреплен, при-
приведено на рисунке б, где АВ — жесткий стержень. Поэтому ско-
скорости его концов одинаковы и в силу третьего закона Ньютона
сила реакции опоры равна действующей силе.
Для элемента массы естественной точкой отсчета является
неподвижная (инерциальная) система координат, и поэтому ее
можно считать вторым "полюсом" и изображать штриховой линией
(см. рисунок а), а первый полюс есть сама масса. Формальное
закрепление второго полюса элемента массы отражает тот факт,
что законы движения записаны в инерциальной системе координат.
8.1.3. Показать, что аналогии между электрическими и меха-
механическими величинами, установленные в задачах 8.1.1, 8.1.2,
сохраняются н в энергетических соотношениях.
Решение. Сравним энергетические соотношения для одноэле-
одноэлементных двухполюсников (индуктивности, емкости и сопротивле-
сопротивления) и для механических элементов в виде массы, гибкости и
сопротивления.
265

Работа, затрачиваемая внешним источником при увеличении
силы тока от 0 до i, равна кинетической энергии магнитного
поля электрического тока проводника с индуктивностью L:
А = Wm = L?fl. A)
Аналогично в случае поступательного движения тела работа
внешних сил, вызывающих увеличение скорости от 0 до v, равна
кинетической энергии тела
А = WK = mv2/2, B)
где т — масса. Работа внешних источников, идущая на преодоле-
преодоление сил электрического поля при увеличении заряда от 0 до q,
равна потенциальной энергии электрического поля двухполюсни-
двухполюсника, содержащего емкость:
А = W = [S-dq - ai . ?«!. C)
3 JC 2C 2
Потенциальная энергия, запасаемая механической системой (уп-
(упругим элементом), равна
W = з?/2с = с F2/2. D)
п ' м м ' v '
Следовательно, кинетическая энергия магнитного поля соответ-
соответствует кинетической энергии механической системы, а потенци-
потенциальная энергия электрического поля—потенциальной энергии
механической системы. На сопротивлении как в электрической,
так и в механической системе происходит необратимое рассея-
рассеяние энергии и превращение ее в тепло. Электромагнитная энер-
энергия, превращающаяся в тепло, равна
Wr = Ri2. E)
Аналогично выражается механическая энергия поступательно
движущегося тела, превращающаяся в тепло:
wr - v= гУ- F)
8.1.4. Установить аналогии в способах соединения механи-
механических и электрических элементов.
Решение. Способы соединения механических элементов опре-
определяются характером распределения сил и перемещений. Основ-
Основными являются два способа: соединение цепочкой (см. рисунок
а) и соединение в узел (см. рисунок б).
При соединении цепочкой относительная скорость концов всей
системы равна сумме относительных скоростей концов отдельных
266

a
К задаче 8.1.4
двухполюсников:
или
V *2>
v =
A)
и через все элементы передается одна и та же сила (на осно-
основании закона равенства действия и противодействия)
F = f, = F2 = ... = Fn. B)
Так как электрическим аналогом скорости является ток, а силы
аналогичны напряжению, то соотношения A), B) показывают,
что электрическим аналогом цепочки является параллельное
соединение электрических двухполюсников, при котором
'= '1 + '2 + -+<п- « = «, = «2 = - - «„•
При соединении механических двухполюсников в узел все они
имеют одинаковые относительные скорости концов:
v = w, = v2 = ... = vn, C)
а сила, приложенная ко всей системе, равна сумме сил, прило-
приложенных к каждому элементу,
Очевидно, что электрическим аналогом узла является последова-
последовательное соединение электрических двухполюсников, при котором
' = '1 " '2 =-= '„• " = +И2+ -+Un
Таким образом, при доставлении аналоговой схемы пользуются
следующими правилами: элементы, образующие узел, соединяются
в электрической схеме последовательно; элементы, образующие
цепочку, соединяются в электрической схеме параллельно.
267

Таблица к задаче 8.1.4
Механическая
система
¦О * F
'///////////////л
Электрический
аналог
Формула
г 1.
. т- т
М1
см см1 см2
F
о-
м 'м1
F
о-
В таблице сопоставлены некоторые механические системы с
их электрическими аналогами. На электрических схемах здесь и
далее приводятся обозначения с использованием символов меха-
механических величин.
8.1.5. Даны две последовательно соединенные пружины, име-
имеющие гибкости с и см2, смещение которых от положения рав-
268

новесия под действием общей силы равно соответственно х и
*2, а также два конденсатора, соединенные параллельно, с
электрической емкостью С1 и С2 и зарядами q и q получен-
полученными от общего источника напряжения. Показать аналогию между
этими двумя системами, рассчитав накопленную энергию.
Ответ. Потенциальная энергия механической системы равна
W =
м
м1 м2
а энергия, запасенная электрической системой, равна
A)
IK' _ ' i 1_? /9\
3 2C\ <ic\ ( '
Из сравнения выражений A) и B) видна аналогия между этими
системами:
Х1 "» 4V x2 -» q2, cMj -» С,, см2 -» С2
(см. таблицу к задаче 8.1.2).
8.1.6. Для механических систем, изображенных в левой час-
части рисунка, определить полное сопротивление и построить схе-
схему электрического аналога.
/77
Т
'—^-e~--
т
m ¦
К задаче 8.1.6
Решение. Механические элементы на рисунках а и б соедине-
соединены в узел, следовательно, их аналоги в электрической схеме
(правая часть рисунка) соединяются последовательно. На ри-
рисунке в механические элементы соединены в цепочку. В схеме
аналога элементы см и m соединены параллельно. Полные сопро-
269

тивления систем а, б, в равны соответственно
1
т?н
8.1.7. Для систем, изображенных в левой части рисунка,
привести схемы электрического аналога.
/т'л
1
F
?
1
?
F
т
[
тм
—1 1—
)¦¦
у м
т<
Г
1
f
1
m .
1
т
4
К задаче 8.1.7
Решение. Механические элементы систем на рисунках а к б
соединены в цепочку. На все элементы каждой из систем дейст-
действует одинаковая сила F. В схеме аналога электрические эле-
элементы соединены параллельно. На рисунке в —смешанное соеди-
соединение механических элементов: элементы с , т между собой
соединены в цепочку, а с остальной частью схемы —в узел. На
рисунке г все механические элементы соединены в узел и дви-
движутся с одинаковыми скоростями, соответственно электрические
элементы соединены последовательно.
8.1.8. Для каждой из механических систем, изображенных на
рисунке, построить схему электрического аналога и определить
ее импеданс.
Ответ. Для построения схемы аналога использовать правило
замены механических элементов электрическими и правилом сое-
270

I V, F
''Ml
т
'м2
т
м2
X
ОТ,
К задаче 8.1.8
динения их. При нахождении импеданса системы применить пра-
правила для электрических цепей.
8.1.9. Изобразить механическую систему, показанную на ри-
рисунке а, в виде механических символов и нарисовать электри-
электрический эквивалент в случае, если: а) сила действует на мас-
массу, а один конец пружины закреплен; б) сила действует на
свободный конец пружины. Найти полное механическое сопротив-
сопротивление системы, если действующая внешняя сила гармоническая.
Описать поведение системы на низких, высоких и резонансной
частотах.
271

К задаче 8.1.9
Решение. Возможны различные способы внешнего воздействия
на колебательную систему. В связи с этим различают последо-
последовательный и параллельный механические контуры. В последова-
последовательном контуре сила возбуждает массу, а в параллельном сила
приложена к пружине. Электрические аналоги и изображение
этих систем посредством механических символов приведены на
рисунках в и б. Для нахождения полного механического сопро-
сопротивления этих систем используем электромеханические анало-
аналогии. Механический импеданс Z последовательного контура опре-
определяется выражением
Z = rM + /wnt + JL- = гм +/Ctyn w(w), A)
где v(ul) =
—1/2
= (тс ) —резонансная частота;
г —активное, ju>m — инерциальное и l/(/wc )— упругое сопро-
М М
тивления.
Исследуем зависимость Z от и», предполагая, что г мал вне
резонанасной области по сравнению с ш.ту. Тогда на низких
(ы « U)Q) частотах v ~ - Wq/io и 1 ~ 1/(/шс ). Следовательно,
импеданс системы и ее поведение полностью определяются упру-
272

гим сопротивлением. На высоких (u » u>Q) частотах v ~ ю/и0 И
выражение A) принимает вид Z ~ jo)m, т.е. система "управля-
"управляется" массой. На резонансной частоте у = О и Z = г , т.е. в
области резонанса роль активного механического сопротивления
очень существенна. В параллельном контуре две ветви соедине-
соединены параллельно, полные проводимости их складываются:
Y = r
отсюда полное сопротивление равно
где Q = та/г —добротность системы, у = w/w Выражение Z
более сложное, чем для последовательного контура. Для выяв-
выявления физического различия между параллельным и последова-
последовательным контурами рассмотрим задачу в отсутствие трения. Тогда
Z = /иот = ^J__l!_ = Д_ г = О
2 2 М
где % = у /(у -1) зависит только от отношения частот у =
—1/2
= ю/ы0, ы0 = {mcj . На низких частотах (у -> 0) Z и /шт;
на высоких частотах (у -> m) Z ~ 1/(/шс ), т.е. полное сопро-
сопротивление контура равно упругому сопротивлению. При у = 1
0) = о), и импеданс контура Z -> оо. Здесь (<)„—антирезонансная
частота контура. Она определяется как частота, на которой
ток, проходящий через параллельный контур, принимает мини-
минимальное значение. В этом случае токи в индуктивности и емко-
емкости взаимно компенсируются
отсюда о). = l/(LC), т.е. антирезонансная частота выражается
так же, как и резонансная частота последовательного контура.
К задаче 8.1.10
273

8.1.10. Две массы т. и т„ жестко связаны друг с другом
(см.рисунок) и движутся вместе под действием силы F. Изобра-
Изобразить схему соединения механических элементов, построить схе-
схему электрического аналога и определить импеданс системы. /
Ответ. Две массы, жестко связанные друг с другом, предс-
представляют собой механическое соединение в узел, Z = /и(т.+Л1,).
8.1.11. Задана система из дэух масс т. и т„ и силы F,
действующей между ними (см. рисунок). Изобразить схему соеди-
или i
н
или
К задаче 8.1.11
нения механических элементов, построить схему электрического
аналога и найти импеданс системы.
Ответ. Система представляет собой соединение цепочкой
двух масс и силы. Особенность системы в том, что второй ко-
конец силы приложен к одному из элементов системы, а не к
неподвижной опоре, условное изображение механической системы
и ее электрический аналог даны на рисунке, 2 = jam.mJm.tmA
8.1.12. В качестве излучателя звука часто применяется
устройство, которое можно представить в виде масс т. и т„,
-* F
X,
К задаче 8.1.12
274

соединенных пружиной (см. рисунок). Например, излучатель Лаи-
жевена: массы—два металлических диска или две диафрагмы,
упругость—тонкий кварцевый диск, который служит для возбуж-
возбуждения обоих наклеенных на него металлических дисков. Изобра-
Изобразить систему в виде схемы соединения механических элементов,
построить схему электрического аналога и определить импеданс
системы и резонансную частоту.
Решение. Массы т. и т„ имеют разные скорости. На оба вне-
внешних конца масс силы не действуют, а на оба внутренних конца
действует одна и та же сила. Следовательно, механические
элементы т., т„ соединены цепочкой. В электрическом аналоге
соответствующие элементы соединены параллельно. Так как
часть силы используется на сжатие пружины, а остальная про-
производит ускорение масс, то сила и гибкость пружины соединены
в узел, а в схеме электрического аналога —последовательно:
8.1.13. Составить механическую схему подвижной системы
ленточного электродинамического микрофона, построить схему
ее электрического аналога и найти ее механическое сопротивление:
Решение. На низких частотах ленточку можно представить
системой сосредоточенных параметров: масса т и гибкость с .
Колеблясь под действием падающей на нее звуковой волны (т.е.
силы F), ленточка сама излучает звуковые волны. Поэтому в
эквивалентную механическую схему (см. рисунок) следует вклю-
К задаче 8.1.13
чить соколеблющуюся массу т и активное сопротивление излу-
излучения г . Сила F приложена к ленточке, колеблющейся вместе с
массой т . Все элементы системы соединены в узел, поэтому в
схеме электрического аналога элементы соединены последова-
последовательно. Полное механическое сопротивление подвижной системы:
1 211/2
тя+тУш)\ ¦
275

8.2. Акустические системы и электроакустические аналоги ,
8.2.1. Показать, что замкнутый воздушный объем подобен
пружине, а движущиеся воздушные потоки в открытой тр/убе —
массе. Указать электрические аналоги данных элементов. ;
Решение. Акустические системы представляют собой системы
с распределенными параметрами. Однако на низких частотах их
приближенно можно рассматривать как сосредоточенные системы.
Рассмотрим характер реакции, создаваемой воздухом, заклю-
заключенным в объеме V, при колебаниях невесомого поршня площадью
S (см. рисунок а). Атмосферное давление pQ. Смещение поршня
4V-
в гм-вт]1л
К задаче 8.2.1
на расстояние х в сторону полости вызывает изменение объема
на V = - Sx и, следовательно, изменение давления в полости
на величину р'.
При адиабатическом процессе (pQ+p') (V+V')* = p^V* (у =
= с/с„—отношение удельных теплоемкостей). Отсюда в случае
малых колебаний (V/V « 1) имеем р' = -CuPq/VW =
= (ypQS/V)x — избыточное или звуковое давление. Тогда возвра-
возвращающая сила или реакция воздуха, заключенного в полости,
F' = p'S = -y*L_ x. A)
Пропорциональность между Fax говорит об упругом характере
реакции внутри полости. Гибкость воздушного объема определя-
определяется как отношение смещения к возвращающей упругой силе p'S:
V V
с =
B)
где р0, cQ — плотность и скорость звука в воздухе.
276

Другой случай—это колебание воздуха в открытой трубе
длиной / и внутренним диаметром 2а (см.рисунок б). В отличие
от Предыдущего случая воздух в трубе не будет деформировать-
деформироваться. "Столб" воздуха смещается как единое целое вместе с
поршнем. Характер возникающей при этом реакции обусловлен
инерцией воздуха, смещаемого поршнем. Поэтому при вычислении
этой реакции следует учесть массу воздуха в трубке
т = pQlS, S = па2. C)
Кроме того, в колебаниях будет принимать участие воздух, не-
непосредственно примыкающий к открытому концу трубы. Его инер-
инерция может быть учтена путем добавления к массе воздуха в
трубке так называемой массы соколеблющегося воздуха т$, ко-
которую можно оценить по формуле
ms « 2р0а3. D)
Следовательно, общая масса воздуха, смещаемого поршнем,
т' = т + ms = pQlS ¦+ 2pQa3 E)
В случаях, когда длина трубки больше ее диаметра (/ > 2а),
влиянием массы т можно пренебречь: rnjm = 2a/nl < 1.
Таким образом, акустические системы можно изображать в
виде механических схем с сосредоточенными параметрами и
пользоваться для их расчета электромеханическими аналогами.
При этом согласно задаче 8.1.1 электрическим аналогом замк-
замкнутого воздушного объема является емкость, а движущегося по-
потока воздуха в открытой трубе —индуктивность.
8.2.2. Показать аналогию дифференциальных уравнений, опи-
описывающих колебательные процессы в акустических и электричес-
электрических системах, на примере резонатора Гельмгольца и простого
электрического контура.
Решение. Акустические колебательные системы являются
частными случаями систем механических. Обычно состояние ме-
механической системы характеризуется смещением и колебательной
скоростью отдельных материальных точек. Воздействие характе-
характеризуется силами, действующими на систему. Акустические же
системы удобнее описывать, пользуясь объемными смещениями и
объемными скоростями, а внешнее воздействие—давлениями. По-
Покажем это на примере резонатора Гельмгольца, который предс-
представляет собой сосуд с коротким горлом, заполненный воздухом
(см. рисунок а). Как показано в задаче 8.2.1, при возбуждении
277

К задаче 8.2.2
резонатора звуковой волной воздух в горле колеблется, как
поршень, а объем воздуха в сосуде создает необходимую упру-
упругость и обеспечивает возвращающую силу. Таким образом, если
размеры резонатора невелики по сравнению с длиной падающей
волны, то можно считать, что вся кинетическая энергия сосре-
сосредоточена в слое воздуха, который движется в горле резонато-
резонатора, а потенциальная энергия связана с упругой деформацией
воздушного объема полости. В этом предположении резонатор
является колебательной системой с одной степенью свободы,
состоящей из сосредоточенных параметров массой т и упруго-
упругостью с , определяемых формулами A.2), A.3), а также актив-
активного сопротивления г , обусловленного трением воздуха о
стенки трубы и потерями колебательной энергии, возникающими
вследствие излучения звука открытым концом. Активное сопро-
сопротивление пристеночного вязкого слоя приблизительно равно со-
сопротивлению стоксовских волн (см. C.2)).
На рисунке б дано схематическое изображение механической
модели резонатора Гельмгольца. Пусть на резонатор действует
периодическое внешнее давление
Р = Ртехр(/ш0-
В качестве координаты, характеризующей состояние системы,
выберем смещение воздуха в горле резонатора х; тогда уравне-
уравнение движения имеет вид
тх + г х + х/с = pS.
Раскроем значения параметров:
pQShx + гмх + yp0S2/VQ = pS.
Введем в это уравнение объемные смещение, скорость и ускоре-
ускорение: v = Sx, v = Sx, v = Sx. Подставляя в уравнение объемные
278

переменные v, v, v, имеем (разделив обе части на S)
mv + rjj + г//са = р. A)
Коэффициенты этого уравнения—акустические масса, гибкость и
сопротивление:
РА \/
B)
Уравнение A) аналогично уравнению, описывающему колебатель-
колебательные процессы в электрическом контуре:
Ц + Rq + q/C = и. C)
Вытекающая из сравнения уравнений A) и C) аналогия между
акустическими и электрическими величинами, приведена в таб-
таблице. Таким образом, аналогом резонатора Гельмгольца являет-
является электрический контур с последовательно соединенными пара-
параметрами т^, с , г . Установленная связь позволяет применять
метод аналогий для анализа и синтеза сложных акустических
систем.
Таблица к задаче 8.2.2
Акустическая величина
Электрическая величина
v — xS — объемное смещение
v - xS — объемная скорость
и = х S — объемное ускорение
р — давление
m - m/St —акустическая масса
с - с S —акустическая
гибкость
г - г /S —акустическое
сопротивление
Z
Z
а
г + ЦИт + \/Шс ) —
а ' а ' " а'
полное акустическое
сопротивление
инерциальное
акустическое сопротивление
1/(/"са) —упругое
акустическое сопротивление
<? — заряд
I = q —ток
dl/dt — скорость изменения тока
и — напряжение
L — индуктивность
С — емкость
R — активное электрическое
сопротивление
1 - R + JWL
полное электрическое
сопротивление
/UL — индуктивное сопротивление
\/(jiOC) — емкостное сопротивление
279

8.2.3. Найти механический и электрический аналоги корот-
короткой узкой трубки. Для потока газа через трубку выполняется
закон Пуазейля.
Решение. Если выполняется закон Пуазейля, то
Др = ^, A)
где т)—вязкость газа, / — длина трубки, S —площадь поперечно-
поперечного сечения; v— объемная скорость газа. Формула A) подобна
закону Ома для участка электрической цепи, содержащего ак-
активное сопротивление R: и = Ri. Отсюда следует, что электри-
электрическим аналогом величины 8t)/ti/S является активное сопротив-
сопротивление /?, и согласно задаче 8.2.2 она является акустическим
сопротивлением трубки, которое обусловлено сопротивлением
пристеночного вязкого слоя. Механическое же сопротивление
трубки легко определяется (см. B.2)):
гм = г/ = 8т)/71. B)
Если в трубке под действием звукового давления образуется
ускоренный поток газа, то согласно второму закону Ньютона
р ISdb
д" = -^эт- О)
где dv/dt — акустическое ускорение, р. —плотность газа,
POIS/S = т —акустическая масса. Выражение C) сходно с
формулой для закона Фарадея
Поэтому величина p_/S/S = m является акустическим аналогом
индуктивности. А механическое инерциальное сопротивление
трубки определяется массой т - т S = pJS. Таким образом,
механический аналог потока газа через короткую узкую трубку
можно представить в виде соединения сосредоточенных парамет-
параметров т и г в узел (см. рисунок в к задаче 8.2.1), а электри-
электрический аналог—в виде последовательного соединенения элемен-
элементов га и т (см. рисунок г к задаче 8.2.1). В общем случае
при излучении звука частотой ш открытым концом помимо инер-
инерции воздуха в трубке и активного сопротивления трения необ-
необходимо учитывать соколеблющуюся массу (см.A.4)) и сопротив-
сопротивление излучения г . На низких частотах г можно вычислить по
формуле (с —скорость звука в газе)
г =
9КП

8.2.4. Рассчитать коэффициент гибкости замкнутого воздуш-
воздушного объема, заключенного в цилиндрической трубе сечением
7-10~4м2, длиной 7-Ю м.
Ответ. Гибкость воздушного объема в трубе с = 6,7-10~4м/Н.
8.2.5. Воздух в открытой короткой трубе возбуждается
поршнем. Рассчитать массу соколеблющегося воздуха, если дли-
длина трубы / = 0,20 м, внутренний диаметр 2а = 4
нить соколеблющуюся массу с массой воздуха в
ность воздуха р„ = 1,3 кг/м .
Ответ. Масса соколеблющегося воздуха m и 2
10~2м.
трубе.
10~5кг.
Срав-
Плот-
Мас-
воздуха
Са воздуха в трубе больше соколеблющеися массы в 15,7 раза.
8.2.6. Определить активное сопротивление воздуха в трубе,
описанной в задаче 8.2.5, на частоте f = 1000 Гц. Считать,
что сопротивление трения обусловлено вязкими потерями вблизи
стенок трубы и выполняется закон Пуазейля. Вязкость 7) =
= 0,19-10" Па*с, скорость звука cQ = 340 м/с, плотность
ро = 1,3
Ответ.
8.2.7. Найти полное акустическое сопротивление воздуха в
короткой открытой цилиндрической трубке на частоте 500 Гц.
Длина трубки / = 0,10 м, внутренний радиус а = 0,01 м. Плот-
г = 8т)/я +
= 0,019 Н-с/м.
= 1,3 кг/м
ность воздуха р0
скорость звука cQ = 340 м/с.
Ответ. Полное акустическое сопротивление
\Z\ = \ZJ/S2 = 1,4-Ю6 Н-с/м5
вязкость т\ = 0,19-10~4 Па-с,
воздуха в трубе
F
г, я
(/77
К задаче 8.2.8
281

8.2.8. Определить механические, акустические импедансы и
нарисовать электрические аналоговые схемы акустических эле-
элементов, приведенных в верхней части рисунка: 1) замкнутый
о
объем V с горлом площадью S = пг без учета сопротивления
излучения; 2) труба с поперечным сечением S = пг и длиной
/ « Л в толстой и широкой стене без учета потерь; 3) слой
воздуха между двумя параллельными жесткими дисками площадью
S. Один диск колеблется по своей оси под действием силы F.
Толщина слоя d < Л. Радиальное движение воздуха отсутствует.
Ответ. Аналоговые схемы акустических элементов приведены
в нижней части рисунка. Их импедансы равны
м
2 Wo1
2I = /wm = jump r I, Zn = %-:
м и a nri
2
1
3) 2м ^ /«c
Для жестких дисков г = ю.
8.2.9. На рисунке б к задаче 8.2.2 дано схематическое
изображение резонатора Гельмгольца. Построить . схему электри-
электрического аналога н определить собственную частоту колебаний
резонатора, заполненного воздухом. Объем сосуда V = 10" м ,
высота горла h = 0,02 м, площадь поперечного сечения горла
S = 0,0012 м . Скорость звука cQ = 340 м/с для температуры
воздуха 15 °С и давления 105 Па.
Ответ. Схематическое изображение модели резонатора приве-
приведено на рисунке б к задаче 8.2.2. Элементы системы соединены
в узел, а в электрическом аналоге —последовательно (см. рису
1/9
нок в). Резонансная частота fQ = (c^n^S/hV^ ~ 1,3 кГц.
8.2.10. Определить скорость колебаний воздуха в горле ре-
резонатора Гельмгольца, если на него действует внешнее давле-
давление падающей звуковой волны р = р ехр(/о>/) с частотой, рав-
равной резонансной частоте резонатора. Амплитуда давления
р = 2 • 10 Па, длина горла резонатора 0,07 м, радиус его
0,005 м, объем сосуда 10 м . Скорость звука сп = 340 м/с,
А Ч
вязкость tj = 1,19-10 Па-с, плотность р = 1,3 кг/м .
Решение. Скорость колебаний воздуха в горле
г р S
282

На резонансной частоте 0)т - 1/(ыс) = 0 и
р S р S р S
X —
гм rr+rs 8nT?/z+(p_/4ircnHJS2>
1/2
но u = u0 = co(S/V0/i) , следовательно,
х = - ~ = 4.4-10 м/с.
(/4S3/iy
ooy
8.2.11. Определить резонансную частоту резонатора Гельм-
гольца и коэффициент усиления его на резонансной частоте,
если резонатор заполнен водой. Скорость звука в воде сп =
= 1430 м/с, плотность р. = 1000 кг/м вязкость т/ = 1,1 х
хЮ~3Па*с. Высота горла h = 0,04 м, площадь поперечного
сечения горла S = 0,0012 м2, объем сосуда VQ = 0,45-10~3 м3.
Считать, что активное сопротивление г воды в горле резона-
тора обусловлено вязким трением.
Решение. Усиление резонатора характеризуется отношением
максимального звукового давления в полости р' к максимально-
максимальному значению давления в падающей на него звуковой волне р :
Учитывая A.1), A,2), получаем
М -
с
где с = V^PqCq)—акустическая гибкость полости резонатора,
Vm =
где и , о —объемное смещение, объемная скорость, Z т-акус-
/72/72 а
тический импеданс:
D)
г —активное акустическое сопротивление в горле резонатора,
обусловленное вязким трением C.2), т = pJi/S — его акусти-
акустическая масса. Подставляем C) и D) в B) и введем обозначе-
обозначение б = г/Bт ) —коэффициент затухания собственных колеба-
а а
ний системы. Теперь B) можно записать в виде
М = [B6o)/a>JJ + A - о>2/а>2J]/2, E)
—1/2
где ol = (т с ) —собственная частота резонатора, f_ »
~ 1,9 кГц. Из E) следует, что на резонансной частоте 0) = 0).
усиление максимально и равно М = Wq/25 = f pQS/4T) = 5#105.
8.2.12. Во сколько раз максимальное давление в полости
резонатора больше максимального (амплитудного) значения дав-
давления в падающей на него звуковой волне, если резонатор,
283

описанный в задаче 8.2.11, заполнен воздухом? Частота падаю-
падающей волны совпадает с резонансной частотой резонатора. Срав-
Сравнить резонансные частоты и добротности в случае заполнения
его водой и воздухом. Скорость звука в воздухе сп = 340 м/с,
плотность р„ = 1,3 кг/м , вязкость т/ = 1,9-10 Па'С.
Ответ. Давление в полости резонатора превосходит звуковое
давление в падающей волне в 9-10 раз. Резонансная частота
колебаний в воде в 4,2 раза больше, чем в воздухе, а доброт-
добротность резонатора с водой в 56 раз превосходит добротность
резонатора, заполненного воздухом.
8.2.13. Рассчитать модуль входного акустического импедан-
импеданса резонатора Гельмгольца на частоте f = 800 Гц и на резо-
резонансной частоте. Акустическое сопротивление в горле резона-
резонатора г =0,03кг/(м -с), плотность газа р_ = 1,2 кг/м. Объ-
ем сосуда У =2-10 м , радиус цилиндрического горла резо-
резонатора а = 0,01 м, длина Л = 0,015 м. Скорость звука cq=340m/c.
Ответ. Резонансная частота /„ = 553 Гц, входной акусти-
ческий импеданс \Z \ = 3*10 кг/(м -с) на резонансной час-
частоте и |ZJ = 1,5-105кг/(м4-с) на частоте / = 800 Гц.
8.2.14. Найти граничные частоты и характеристическое со-
сопротивление акустического фильтра, показанного на рисунке . а.
К задаче 8.2.14
284

Объем воздушной полости V„ = 10 м , длина и площадь попе-
-4 2
речного сечения ответвлений / = 0,015 м и S = 3-10 м . По-
Построить схему электрического аналога. Как изменится гранич-
граничная частота фильтра при увеличении объема V. в 10 раз?
Решение. Фильтрами называются системы, обладающие свойст-
свойством пропускать сигналы одних частот (или в некоторой полосе
частот) и задерживать колебания других. Теория электрических
фильтров хорошо разработана. Поэтому для изучения механичес-
механических и акустических систем, обладающих сходными свойствами,
используется метод электромеханических и электроакустических
аналогий.
Механическое изображение фильтра показано на рисунке б.
Сделаем оценку поведения системы в предельных случаях. Пусть
частота внешней силы F низкая, так что U)m « l/(wc ). Тогда
инерционным сопротивлением масс можно пренебречь, а цепочка
пружин, незначительно деформированных, образует один жесткий
стержень, хорошо передающий колебания из узла / в узел 3. В
области высоких частот, когда ют » 1/(о>с ), большое инерци-
инерционное сопротивление масс как бы "придерживает" соответствую-
соответствующий полюс пружины, в результате чего пружина деформируется и
колебания из узла / в узел 3 передаются существенно ослаб-
ослабленными. Таким образом, система ведет себя как фильтр нижних
частот. Электрический аналог этой системы представлен на ри-
рисунке в. Он представляет собой двухзвенный Т-образный
фильтр. Последовательный и параллельный импедансы акустичес-
акустического фильтра равны
Z, = }<шл, Z2 = 1/(/а>са). A)
В теории электрических фильтров показано, что для фильтра
полоса прозрачности определяется следующим условием:
0 ? Z^/Z2 г - 4, B)
где Z. —импеданс в последовательной ветви, Z~ — в параллель-
параллельной. Для определения граничных частот полосы пропускания
фильтра запишем условие B) в виде двух уравнений:
Z^u) = 0, Z^w) + 4 Z2(o>) = 0. C)
Применяя условие C) к заданному фильтру, получим
Z^w) = /uma = 0, (^ = 0, /uma + Д^- = 0, о>2 = 2(таса)~1/2 = 2а>0>
3
D)

V2
об-
обследовательно, а>2 = 2co(S/lVo)i/'i, f2 = 1,53 кГц. Таким
разом, граничные частоты акустического фильтра f. = 0, L =
¦= 1,53 кГц. Из D) видно, что при увеличении объема гранич-
—1/2
ная частота f2 уменьшается как VQ . При увеличении VQ в 10
раз f2 = 0,48 кГц.
Характеристическим сопротивлением фильтра называется со-
сопротивление Z_, при включении которого на выход фильтра
входное сопротивление последнего также равно ZQ. Для фильт-
фильтра, составленного из Т-образных звеньев, сопротивление опре-
определяется выражением
Z\ = Z^Z2 A+Z/4Z2). • E)
Подставив в E) значения Z. и Z, из A) с учетом D), получим
характе-
характеВ большей части полосы прозрачности, пока
ристическое сопротивление фильтра равно активной величине
1/9
г = (т /с ) , совпадающей с сопротивлением простой коле-
колебательной системы, составленной из т и с . На граничной
частоте о> = о>2 сопротивление обращается в нуль.
8.2.15. Акустический фильтр образован из отрезков широких
и узких трубок, соединенных между собой последовательно
(см.рисунок). Определить массу и гибкость воздуха в трубах и
ш
1
ш
"о
ш
\
Л
щ
ш
К задаче 8.2.15
рассчитать граничные частоты фильтра. Нарисовать схему элек-
трического аналога. Задаются размеры трубок: Vn * 1 м , / «
= 25 см, S = 900 см . Скорость звука с. « 344 м/с.
Ответ. Фильтр состоит из трех Т-образных звеньев. Maccji
сосредоточена в узких трубках и равна m = 29,2 г. Гибкость
реализуется в замкнутом объеме VQ и равна с - 8 • 10~ м/Н.
Так как воздух сжимаем, колебательная скорость частиц v.
вблизи поршня будет отличаться от скорости частиц в узкой
трубке, следовательно, гибкость воздушных объемов в схеме
286

аналога подключаем параллельно (см. рисунок). Граничные час-
частоты определяются уравнениями A4.3): о>^ = О, а>2 = 2о>о, т.е.
заданный акустический фильтр —фильтр нижних частот:
1/2
сп
1/2
8.2.16. На рисунке приведена схема акустического фильтра,
представляющего собой трубу с ответвлениями в виде трубок с
открытыми концами. Построить схему электрического аналога,
определить граничные частоты и характеристическое сопротив-
p
—»
2m
a r
Lz»0T0ul
tm
a
в
в
I////////////////////////////,
1т„
1т„
К задаче 8 2 16
леиие фильтра, если труба заполнена водой (скорость звука
с = 1430 м/с). Длина и площадь поперечного сечения ответвле-
ния равны / « 1 см и S = 10 см , объем каждой полости, на
которые разделяется труба, VQ = 100 см . Как изменятся гра-
граничные частоты фильтра, если трубу заполнить воздухом (cQ =
= 330 м/с)?
Решение. Рассмотрим поведение системы на предельных час-
частотах В области низких частот колебаний излучающего поршня
инерционное сопротивление масс в ответвлениях и>т мало и
большая часть потока жидкости (воздуха), вытесняемой излуча-
излучающим поршнем, выходит наружу через боковые отводы. При этом
среда вблизи приемного поршня не деформируется. При высоко-
высокочастотных колебаниях, когда ыт » \/ыс , боковые отводы ока-
зываются "закупоренными" и весь поток устремляется к прием-
приемному поршню, создавая перед ним сжатие или разрежение среды.
Таким образом, устройство, изображенное на рисунке, обладает
свойством фильтра верхних частот. Электрический аналог его
представляет собой П-образный фильтр из двух звеньев (см.
рисунок), у которого Z. = 1/(/шс ), Z_ = \и>т . Используя
A4.3), определяем граничные частоты акустического фильтра:
2
• f« =3-6кГц- 'в - *•
287

Если трубу заполнить воздухом, то изменится только нижняя
граничная частота: f = 837 Гц. Известно, что характеристи-
характеристическое сопротивление для П-образного фильтра определяется
1/9
выражением Z_ = [Z,Z0/(l+Z1/Z0)]l/i! и равно для заданного
991/9
фильтра Zn = [(т /с )/A-ог/о>)] . При о> = и сопротивле-
ние принимает бесконечное значение.
8.3. Электроакустические преобразователи
8.3.1. Построить схему электрического аналога электроди-
электродинамического преобразователя. Схематически его устройство
изображено на рисунке а. Подвижная система состоит из диа-
диафрагмы / и звуковой катушки 2. Магнитная система 3 создает
равномерное радиальное поле в зазоре.
Л
К задаче 8.3.1
Решение. Электродинамические преобразователи предназначе-
предназначены для излучения и приема сигналов. Они выполняют преобразо-
преобразование акустической энергии в электрическую (приемники) и
электрической энергии в акустическую (излучатели). Можно
рассматривать подвижную часть преобразователя как механичес-
механическую систему с сосредоточенными параметрами: г—сопротивление
диссипативных потерь в системе подвеса и в конусе (сопротив-
(сопротивление излучения сюда не входит), т— масса, учитывающая инер-
инерционные свойства всей подвижной системы (не включает в себя
присоединенную соколеблющуюся массу), с —гибкость системы
(относится ко всей системе).
288

Построим схему-аналог преобразователя. Составим уравнения
для электрической и механической сторон. Пусть внешняя элек-
электрическая цепь (см. рисунок б) состоит из источника напряже-
напряжения и и сопротивления Z . Электрическое сопротивление катуш-
катушки в отсутствие постоянного поля магнита равно Z_. Однако
при движении катушки в магнитном поле в ней индуцируется
ЭДС, препятствующая прохождению тока: е = - Blv = - Kv, где
в —индукция магнитного поля, / — длина проводника катушки,
V— скорость движения катушки. Здесь
-коэффициент электромеханической связи. Следовательно, урав-
уравнение для напряжений в электрической части преобразователя с
учетом противоэлектродвижущей силы имеет вид
и = (ZH+ZQ)i-Kv = Zj-Kv, B)
где г —сила тока. Напишем теперь уравнение равновесия сил на
механической стороне преобразователя. Если на катушку подано
напряжение, то благодаря наличию магнитного поля, которое
взаимодействует с токами, протекающими по катушке, на нее.
действует сила F' = Bit = Ki. Допустим, что к катушке также
приложена извне сторонняя сила F. Подвижная система преобра-
преобразователя, находясь под действием сил F' и F, будет колебать-
колебаться с некоторой скоростью v. Сторонняя сила уравновешивается
силой F' и силами, возникающими благодаря сопротивлению под-
подвижной системы г и 2н механической нагрузки. Поэтому для ме-
механической части преобразователя можно написать уравнение
F = Ki + (z+z)v = Ki+znv, C)
н и
где 2„ = z+z . Уравнения B), C) связывают механические
величины F и v, действующие иа механической стороне преобра-
преобразователя, с электрическими i и и, действующими на его элект-
электрической стороне. Если преобразователь работает в качестве
двигателя (излучателя), преобразующего электрическую энергию
в механическую, то внешняя сила F = 0 и
и = ZJ - Kv, 0 = Ki + zQv. D)
Из D), исключая V, находим полное электрическое сопротивле-
сопротивление преобразователя:
Z = u/i = Z3 + K2/zQ = Z3 + Zk. E)
10 Акустика в задачах 289

Из E) видно, что полное сопротивление состоит из двух час-
частей: электрического сопротивления внешней цепи в сумме с
собственным сопротивлением обмотки Z и некоторого дополни-
тельного сопротивления, называемого внесенным: Zg = К /zQ =
= K?/{z+z ). Последнее появляется в результате реакции меха-
нической стороны преобразователя на его электрическую сторо-
сторону. При 2 = со Z =0 и нет преобразования энергии. Из E)
Н К
ясно, что электрическая схема аналога проста (см. рисунок в)
и состоит из двух последовательно соединенных сопротивлений.
Аналогичным образом можно определить эквивалентную схему
преобразователя-генератора (приемника). Так как на механи-
механической стороне приложена сила F, а на электрической стороне
замкнуты зажимы источника напряжения, т.е. и = 0, то
2м = F/v = (z+zj + K2/Z3. F)
Выражение F) аналогично E). Здесь
*к - *2/Z, G)
— добавочное механическое сопротивление, возникающее в ре-
результате воздействия электрической стороны на механическую.
Если зажимы замкнуты накоротко, то Z^ равно Z (собственному
электрическому сопротивлению преобразователя) и
\ = *2/20. (8)
8.3.2. Составить схему электрического эквивалента диффу-
зорного электродинамического излучателя.
Решение. В диффузорном громкоговорителе (называемом также
громкоговорителем непосредственного излучения) колебания
подвижной системы излучаются непосредственно в окружающую
среду. Преобразователь, работающий в режиме излучения, явля-
является преобразователем-двигателем, для которого электрический
эквивалент имеет вид, представленный на рисунке в к задаче
8.3.1. Для него имеем
и = i(ZQ+ZK) = i[ZQ+K2Az+zJl A)
где и — напряжение, подаваемое на звуковую катушку, / — ток,
протекающий по звуковой катушке, z — собственное механическое
сопротивление системы, z —механическое сопротивление наг-
нагрузки преобразователя, Z»—собственное электрическое сопро-
сопротивление заторможенного преобразователя (т.е. в режиме тор-
290

можения механической стороны, когда скорость ее v = 0),
ZQ = R + jo>L, B)
где R и L—собственное активное сопротивление и индуктив-
индуктивность катушки,
2 = }ШП + l/(/WCj, C)
где т —масса подвижной системы, ^ — результирующая гибкость
подвеса подвижной системы (активным сопротивлением потерь на
трение пренебрегаем), z в ^ i '
случае излучателя есть со-
сопротивление излучения:
,/5 .Л А-г'
z =2 = г + jam , D)
Н S S ' S Х '
где rs и ms-сопротивление к задаче g32
излучения и присоединенная
масса, для преобразователя индуктивного типа К определяется
соотношением A.1.1). Внесенное сопротивление
7 = —к! - (в п2,гч
к
Для составления электрического аналога определим полное
электрическое сопротивление работающего преобразователя:
г - ^Vt
Для наглядности запишем не внесенное сопротивление, а вне-
внесенную проводимость
1 г m+m . 1 1
eK Zk (В/J (В/J jucJBlf R I0*1
где
/?' = ^ , С = *5, Z.' =(В/Jс . (8)
Л5 (ВП м
Таким образом, внесенная проводимость представляет собой
сумму трех проводимостей, т.е. схематически X можно- пред-
представить как параллельное соединение трех элементов— Я', С
и U. Следовательно, электрическая схема имеет вид, пред-
представленный на рисунке.
8.3.3. Найти входное сопротивление Z' работающего элект-
электродинамического громкоговорителя непосредственного излуче-
излучения. Нарисовать зависимость Z'(и>) и объяснить ход кривой.
Решение. Полное электрическое сопротивление работающего
преобразователя определяется выражением B.6). Введем сле-
10*
291

дующие параметры:
mCu
A)
B)
Тогда, выделяя действительную и мнимую части, получим
Z' = /? + Щг- ^
jwL
' ) 2
jY. C)
Исследуем частотную зависимость модуля входногсг сопротивле-
сопротивления \Z'\ = (X2+Y2)v2 (см. рисунок). На постоянном токе (/ =
= 0) преобразования энергии нет, Z'- R. При о> = uQ наступа-
К задаче 8.3.3
ет резонанс параллельного контура, составленного из L' % С
(см. рисунок к задаче 8.3.2); и_ называется частотой механи-
механического резонанса), и
|2'|тах = [(/?+/?'J + (<y-J]1/2 ** + /?',
так как w.L « R + R'. При ш •< ш. система управляется гибко-
гибкостью подвеса.
Величина \Z'\ определяется в основном внесенной индуктив-
ностью U = (В1) с , но Z' ~ jo>L', т.е. Z' увеличивается с
ростом частоты. Когда W = 0)., наступает второй резонанс сис-
системы. На частоте а> = и>., называемой частотой электромехани-
электромеханического резонанса,
292

При w. < ь> < и. реактивное сопротивление имеет емкостный ха-
характер:
Z> ~ \/ЦиС'), D)
Z' уменьшается с частотой. В области U > и. реактивное со-
сопротивление снова приобретает индуктивный характер: Z' ~
~ juL, Z' растет с частотой.
8.3.4. Определить чувствительность электродинамического
громкоговорителя непосредственного излучения ,в той области
частот, где она частот1юнезависима, при следующих данных:
магнитная индукция в зазоре В = \ Вб/м , длина провода зву-
звуковой катушки / = Юм, масса диафрагмы и масса звуковой ка-
тушкн т = 12 г, диаметр конуса 2а = 30 см, гибкость системы
подвеса с = 5-10 м/Н, скорость звука в воздухе с =
= 330 м/с, плотность pQ = 1,3 кг/м . Оценить диапазон час-
частот, в котором чувствительность от частоты не зависит.
Решение. Под чувствительностью излучателя понимают отно-
отношение развиваемого им на расстоянии /¦_ = 1 м по его оси зву-
звукового давления р к подводимому к нему току или напряжению:
Su = \p/i\r = 1м. A)
Звуковое давление на оси излучателя на расстоянии г„ в даль-
дальней зоне в случае малых размеров излучателя по сравнению с
длиной волны может быть определено как
где и —колебательная скорость излучающей поверхности, р. и
с_ —плотность воздуха и скорость звука в нем, г —сопротив-
—сопротивление излучения. Подставив B) в A) и учтя значение отноше-
отношения v/i, согласно A.1), A.3), A.4) получим
2
C)
н'
Из всех величин, входящих в C), от частоты зависят только
\z+z | иг. Если 2а < А и излучатель помещен в "бесконеч-
Н S
иый" экран (или ящик), то rs можно оценить как активное со-
сопротивление круглого поршневого излучателя:
г = BupncnS2)/A2, D)
где а —характерный размер диффузора (по величине порядка ра-
радиуса его основания), S—излучающая площадь диффузора. В
293

дальнейшем считаем ее равной площади его основания. Следова-
Следовательно, г ~ w . Если громкоговоритель излучает обеими сто-
сторонами, то активное сопротивление излучения аналогично ак-
активному сопротивлению круглой поршневой дипольной антенны и
г ~ ОL. Из B.3), B.4) следует, что
2+2 = ioXm+m ) + l/(/wc ) + г , E)
н J^ s' /w м' s v '
т —соколеблющаяся масса. Величина г мала по сравнению с urn
(оценку г и 0)т см. в задаче 8.3.6), и лишь вблизи резонан-
резонанса @) ~ а>0) она влияет на 1г+2н1 в знаменателе C). Поэтому
на частотах о> > wn 12+2 I ~ а>, а при о> < wn 12+2 I ~ l/u>.
0 ' н' v 0 ' н1 '
Следовательно, чтобы чувствительность S не зависела от час-
частоты, громкоговоритель должен быть помещен в "бесконечный
экран" или закрытый ящик и работать в области частот выше
механического резонанса диффузора. Тогда при о> > w
|2+2 | ~ (х^т+ГП ). F)
Подставляя D) и F) в C), получим
Г1. G)
В области низких частот соколеблющуюся массу можно прибли-
приближенно рассчитать по формуле
ms « (8/3)р0а3= 2,67 роа3, (8)
как для круглого поршневого излучателя, излучающего в полу-
полупространство. Учитывая значения величин, входящих в G), из
условия задачи и полагая г = 1 м, получим: S = 3 Па/А при
частотах / > fQ, где fQ = (\/2n)[(m+ms)cJ~V2 = 145 Гц. Од-
Однако формула G) справедлива лишь для частот, начиная с ко-
которых диффузор перестает колебаться как целое (приблизитель-
(приблизительно до частот / при которых 2а ~ Л, f ~ 1100 Гц).
8.3.5. В области низких частот сравнить чувствительность
в воде и в воздухе для электродинамического излучателя, опи-
описанного в задаче 8.3.4. Как при этом изменяется резонансная
частота излучателя?
Ответ. Чувствительность определяется выражением D.7). В
воздухе Su = 3 Па/A, fQ - 145 Гц; в воде Su = 6,2 Па/А, fQ =
= 7,5 Гц.
8.3.6. Найти и сравнить значения внесенного сопротивления
на частотах механического резонанса и / = 25 Гц для электро-
294

динамического громкоговорителя, параметры которого приведены
в задаче 8.3.4.
Решение. Внесенное сопротивление Z определяется B.5).
Следовательно, модуль внесенного сопротивления
| ZJ = В2/2 [r2s + o>2(m+m/ A-о>2/а>2JГ1/2 A)
Для частот, при которых
2а « Л, B)
гит определяются формулами D.4) и D.8) соответственно.
S S
На частоте f = 25 Гц Л = 13,2 м, и условие B) выполняется.
Тогда rs = 0,07Н-с/м, o>ms ~ 2,16Н-с/м, ^m/rs ~ 30. Реак-
Реактивное сопротивление больше активного и поэтому на частоте
25 Гц импеданс излучения обусловлен главным образом соколеб-
лющейся массой | г \ ~ ыт = u(8/3)p a . Однако на резонанс-
Н S U
ной частоте необходимо учитывать активное сопротивление г .
Резонансная частота громкоговорителя определена в задаче
8.3.4, /„ = 145 Гц. На этой частоте
\ZJ = B2l2/rs = fi2/2A2/BnpocoS2) = 38,6 Вб2/(Н-см).
На частоте / = 25 Гц
\ZJ = В2/2[а)[т+(8/3)р0а3]A-аJ/0J)] = 0,8 Вб2/(Н-см).
Таким образом, внесенное сопротивление на резонансной часто-
частоте больше, чем на / = 25 Гц, в 48 раз.
8.3.7. Для диффузорного электродинамического громкогово-
громкоговорителя определить частоту механического резонанса и индук-
индуктивность звуковой катушки, если масса подвижной системы m =
= 10 г, присоединенная масса т = 5,3 г, гибкость системы
подвеса см = 10" см/дин, частота электромеханического резо-
резонанса f = 300 Гц, индукция в зазоре 9000 Гс, длина провода
звуковой катушки 12 м.
Ответ. Частота механического резонанса определяется фор-
формулой C.1) и равна L = 40,7 Гц. Индуктивность звуковой ка-
катушки находим из выражения для частоты электромеханического
резонанса громкоговорителя (см. C.2)), в котором С опреде-
определяется (см.B.9)):
L = (BlJ/[4n2}2(rn+ms)] = 2,1 мГн.
8.3.8. Гидроакустический электродинамический излучатель
работает на резонансной частоте fQ = 3 кГц. Латунная диаф-
диафрагма его имеет диаметр d = 25 см, толщину h - 25 мм. Поле
295

о
постоянного магнита в зазоре В = 1 Вб/м . Катушка —из медно-
л
го провода, его длина / = 150 м, сечение S =4 мм , индук-
индуктивность L = 15 мГн. Плотность латуни р = 8500 кг/м , плот-
ность меди р = 8900 кг/м , удельное электрическое сопротив-
сопротивление меди р = 0,017 мкОм-м. Рассчитать площадь и массу
диафрагмы т , омическое и индуктивное сопротивления непод-
неподвижной катушки, коэффициент электромеханического преобразо-
преобразования, сопротивление излучения при резонансе, соколеблющуюся
массу m , упругость подвеса подвижной системы, обеспечиваю-
обеспечивающую заданную частоту и поршневые колебания диафрагмы. Ско-
Скорость звука в воде с. = 1500 м/с.
Ответ. Площадь диафрагмы S = n(d/2) = 0,049 м , масса
диафрагмы m = Vp = 10,4 кг. Сопротивление неподвижной ка-
катушки согласно B.2)
Z -R + jX = p l/S + ju>nL ж 0,64 + /• 283,
0 ' 'эм ' пр ' 0 '
R = 0,640 Ом, X = U)QL = 283 Ом. Коэффициент электромехани-
электромеханического преобразования в соответствии с A.1) К = 150 Н/А. В
предположении работы излучателя как поршня, излучающего од-
одной стороной, сопротивление излучения
rs = PocoSa, A)
а соколеблющаяся масса
ms = (8/3)po(d/2Kp. B)
Для k(d/2) = 1,57, где ft —волновое число на резонансной час-
частоте / = 3 кГц, коэффициенты а = 0,75, /3 = 0,5, тогда
z$ = rs + ju)ms = 5,5-Ю4 + /-D,9-104).
Упругость подвеса подвижной системы определим из формулы для
резонансной частоты (см.C.1)): k = с = ooW = 6,5*109Н/м,
где M=m+m+m,m = p IS —масса катушки.
8.3.9. Определить ширину полосы пропускания и чувстви-
чувствительность на частоте резонанса электродинамического излуча-
излучателя по данным задачи 8.3.8, если активное механическое со-
сопротивление г = 6,3-10 кг/с.
Решение. Ширина полосы пропускания 2Д/ = L/Q, где
Q = о>оМ/г A)
—добротность механической колебательной системы. Следова-
Следовательно, 2А/ = r/BnM) = r/[2n(m +m +m )] = 548 Гц. Чувстви-
тельность электродинамического излучателя определяется фор-
296

мулой D.3),
z+zh
На резонансе
где
= (',
Z + Z
н
S =
и
ь /шМ +
г + г.
В1
г +г
V
') =
(rs+r) + /w/
Следовательно,
ш-\
1/2
: 103 Па/А.
8.3.10. Для обеспечения воспроизведения громкоговорителем
области низких частот используется внешнее оформление. Най-
Найти: 1) частоту основного резонанса громкоговорителя, смонти-
смонтированного в закрытом ящике 60 х 45 х 30 см; 2) собственную
частоту и объемную скорость колебаний воздуха в отверстии
фазоинвертора того же объема, что и закрытый ящик с толщиной
краев отверстия (длиной прохода) / = 2 см и площадью отвер-
отверстия S, равной половине площади диффузора громкоговорителя.
Основная частота громкоговорителя без внешнего оформления
равна 61 Гц, диаметр диффузора S = 20 см, масса подвижной
системы т = 25 г.
Решение. 1) В случае расположения громкоговорителя в за-
закрытом ящике (см. рисунок а) упругость находящегося в нем
у/////////////////////,
С
К задаче 8.3.10
объема воздуха складывается с упругостью подвижной системы
громкоговорителя. Вследствие этого частота основного резонанса
fQ = ^
-,-1/2
B)
по
— резонансная частота подвижной системы громкоговорителя,
с —гибкость закрепления подвижной системы громкоговорителя,
т — соколеблющаяся масса (т = 3,5 г), рассчитываемая
D.8), с' — гибко!
= 7,8-10с2/кг),
из формулы
ставляя значения с' к с в A), получаем /' = 70 Гц.
воздуха в закрытом объеме ящика (с' =
определяемая A.2). Гибкость
2^
B): см = [4я2^(т+/гд]~1
с находим
2,4-Ю с^/кг. Под-
Под297

2) Если громкоговоритель помещен в фазоинвертор (см.рису-
(см.рисунок б), то гибкость воздушного объема ящика с' и массы воз-
воздуха в отверстии фазоинвертора m и соколеблющаяся масса
воздушной среды т' образуют резонансную систему (резонатора
^ —1/9
Гельмгольца), частота которой равна /. = A/2я) {c'jn') =
= 158 Гц, где т'=т+т'= 0,5pJS + 2рп(а'K = 1,3 Г (а'
ср s s иди
определяем из условия S' = S/2). Пусть при движении в задан-
заданном направлении диффузор громкоговорителя создает объемную
скорость v. При этом в открытое отверстие втекает воздух с
объемной скоростью разрежения и сжатия воздуха v2 в направ-
направлении, противоположном вектору v.. Из-за инерции массы воз-
воздуха в отверстии v. * v~. Вследствие этого объемная скорость
колебаний воздуха t>_ в объеме ящика равна
%-vrv2. A)
Связь между vQ и v~ можно рассчитать с помощью эквивалентной
схемы заданной системы (см. рисунок в):
м (Л.
Из соотношений A), B) находим
J1- C)
Как видно, t>_ возрастает при приближении частоты 0) к резо-
резонансной частоте фазоинвертора и при переходе через резонанс
меняет фазу на л. В связи с этим на частотах выше резонанса
объемная скорость диффузора v. и воздуха о„ в отверстии сов-
совпадает по фазе Вследствие этого излучение, создаваемое от-
отверстием в окружающей среде, становится синфазным с излуче-
излучением передней стороны диффузора, что увеличивает эффектив-
эффективность излучения громкоговорителя.
8.3.11. Определить коэффициент электромеханической связи
К, внесенное из электрической части преобразователя механи-
механическое сопротивление z , чувствительность в режиме холостого
хода s электродинамического микрофона с подвижной катушкой
сопротивлением ZQ = 10 Ом при длине проводника / = 2 м. Пол-
Полное механическое сопротивление системы равно z = 5Н-с/м.
Диаметр мембраны 2а = 5 см. Магнитная индукция в зазоре В =
= 8500 Гс (считать, что действующая поверхность диафрагмы
равна па ). Определить область частот, где чувствительность
частотнонезависима.
298

Решение. Электроди-
Электродинамический микрофон с
подвижной катушкой яв-
является обращенной го-
головкой электродинами-
электродинамического громкоговори-
громкоговорителя. На рисунке: I —
диафрагма с катушкой,
2 — магнит. 3 —немагнит-
—немагнитный диск с отверстия-
отверстиями; т., с. — масса и
гибкость диафрагмы с
катушкой; г„, т~— со-
сопротивление трения и
"масса воздуха, протекающего
К задаче 8 3 11
диска; cQ,
через отверстия
Сп~гибкость воздуха под диафрагмой и в полости магнита. На
механической стороне микрофона приложена сила F, определяе-
определяемая уравнением A.3) при механической нагрузке г = 0:
\ F = pS = Ki+ zv, A)
irae 2 —механическое сопротивление подвижной системы, v — ее
скорость, К — коэффициент электромеханической связи, опреде-
определяемый формулой A.1) н равный для заданных условий К = В1 =
= 1,7 Вб/м, S —площадь диафрагмы микрофона, / — сила тока. На
электрической стороне напряжение внешнего источника и = 0 и
уравнение для этой стороны преобразователя (см. A.2)) запи-
запишется в виде
(ZQ+ZH)i-Kv = 0, B)
где ZQ — собственное электрическое сопротивление микрофона,
Z —электрическая нагрузка на его выходе. Чувствительность
микрофона представляет собой отношение развиваемого микрофо-
микрофоном напряжения к давлению в свободном поле:
% = IVI C)
Напряжение, развиваемое микрофоном на нагрузке Z , и = iZ ,
где i = Kv/(Z +Z ) в соответствии с уравнением B). Опреде-
и н 2
ляя скорость v из A) и учитывая, что К /(ZQ+Z ) = z —вне
сенное механическое сопротивление (см. A.7)), получим
и. =
kzhs
¦ р, т.е.
kzhs
np
v
){z+z )
н' v к'
D)
299

Отсюда чувствительность микрофона в режиме холостого хода
5 = KS/\Z |, 2 = 2+2 (Z = 00). E)
пр ' ' м" м к v н ' v/
Рассмотрим, когда 5 будет частотнонезависима. От частоты
зависит только \z |. Входное механическое сопротивление \z |
определим по эквивалентной схеме механоакустической системы
микрофона (см.рисунок), где акустические параметры пересчи-
пересчитаны к механическим, соответствующим площади диафрагмы:
\ 2), т2 = т'2 S2, r2 = r'^S2.
Здесь V. и У„ — воздушные объемы под диафрагмой и в полости
магнита соответственно, т' = pJ/S — акустическая масса воз-
воздуха в щели сечением S и длиной /., г'2 —акустическое сопро-
сопротивление вязкого трения в той же щели, р — атмосферное дав-
давление, j = 1,4 В области низких и средних частот сопротив-
сопротивление 1/(/о)с0) велико и эквивалентная схема превращается в
простой колебательный контур, резонансная частота которого
1/2
о>0 ~ (т^) . При и < о>о |2j ~ 1/@)^) возрастет, а чув-
чувствительность падает с уменьшением частоты. На высоких час-
частотах сказывается шунтирующее действие гибкости с_. В систе-
системе появляется второй резонанс, благодаря этой гибкости
«5 = (тхсхуХ + Цт^0)-* = ^A+4С/с0). F)
При и > Wj \Z\ ~ jo)m. и растет из-за реактивного сопротивле-
сопротивления с частотой. Однако в области частот 0)Q < w < 0).
|2и| * оуп/2. G)
Тогда чувствительность холостого хода катушечного микрофона
E) в этой области частот с учетом G) частотнонезависима:
J = 0,67 мВ/Па. (8)
Внесенное из электрической части преобразователя сопротивле-
сопротивление определяется формулой A.7): z = K^/ZQ = 0,29 Н-с/м.
8.3.12. Найти чувствительность электродинамического мик
рофона в области частот, где она частотнонезависима, в режи-
режиме холостого хода, если: площадь диафрагмы S = 1,1*10" м ,
длина провода звуковой катушки / = 1,5 м, магнитная индукция
в рабочем зазоре В = 8500 Гс. Частота основного механическо-
механического резонанса f = 300 Гц, масса подвижной системы т = 0,2 х
-3 -6 ^
х 10 кг. Объем камеры под диафрагмой V = 4-10 м .
Ответ. Чувствительность микрофона s - 0,4 мВ/Па (см. A1.9)).

9. ОБРАТНЫЕ ЗАДАЧИ ДИФРАКЦИИ
9.1. Функция Грина и обращение
дифференциальных операторов задач скалярной акустики
9.1.1. Поля акустического давления и колебательной скоро-
скорости связаны уравнениями непрерывности и движения
где 30 = (Ар )~1 и р—сжимаемость и плотность среды, sQ и
f_ — плотности источников массы и объемных сил (см. задачу
1.1.1) . Получить волновое уравнение для р и функцию Грина,
предполагая зависимость источников от времени гармонической,
а пространство трехмерным.
Решение. Волновое уравнение:
со
где FQ = VfQ- pps^/dt. Функция Грина есть решение B) для
точечного источника:
Fo = б(г) ехр(-йу), р = р(т) ехр(-Лу). C)
Подставляя C) в B), приходим к уравнению Гельмгольца
Ьр(т) + k2Q р(т) = б(г), *0=Vc0' D)
Решаем D) методом преобразования Фурье, полагая
р(г) = Bтг) Jp(k) е*г rfk, 5 = Bтг)~3 Jei1cr rfk.
Находим фурье-образ р(к) и затем, совершая обратное преобра-
преобразование Фурье, функцию р(г):
4тг|г|
0
Таким образом, функция Грина имеет вид
exp(/ft |г-г |)
4тг|г-го|
E)
Здесь rQ задает положение источника, г —точки наблюдения.
Решение волнового уравнения B) для гармонического во време-
времени источника F0(r't) = ^п(т) ехРНш0^ с произвольным про-
301

странственным распределением FQ(r) имеет вид
р(г, 0 = exp(-to0/) JG( I г-г' |) F0(r') dx'. F)
9.1.2. Получить функцию Грина для двухмерного пространст-
пространства, полагая, что в системе A.1) г = (л:, у).
Ответ. В отличие от задачи 9.1.1 при совершении обратного
преобразования Фурье выражения р(к) здесь нужно учесть, что
вектор k = (k ,k ) тоже двухмерный. Это приводит к формуле
{^г-го|)ехрНу), A)
где Яд функция Ганкеля 1-го рода.
9.1.3. Решить задачу 9.1.2 для одномерного пространства.
Ответ. Заменим г на х, а в импульсном пространстве к на k:
P(k) = -уЦ. О = r^-9xp(ikQ\x-xQ\) exf(,-iaQt). (I)
kQ-k о
9.1.4. Проверить непосредственной подстановкой, что функ-
функция Грина G (см. C.1)) есть решение уравнения
^-Y+k20G = S(x-x0) ехр(-Щ). ~ A)
Решение. При дифференцировании учтем, что производная
|дс|' = 20(х) - 1 (где 0 —функция Хевисайда, равная 1 при
х > 0 и 0 при * < 0). Производная В'(х) = 8(х). Поэтому
2
^ - 1) G - - k%G + б(х-х
откуда следует справедливость A).
9.1.5. Получить решение волнового уравнения A.2) для
произвольной зависимости источников от времени. Исследовать
случай точечного мгновенного "щелчка" F = б(г-г ) d(t-tQ).
Решение. Пользуясь преобразованием Фурье по времени:
00
р(г,0 = Jp(r.u) t~M dm FQ(x,t) = J>o(r,u) e~M da,
-oo -oo
сведем волновое уравнение для каждой из частотных компонент
р(г,ш) к уравнению Гельмгольца (см.A.4)). Его решение имеет
вид A.6). Интегрируя по всем частотам, найдем
ехр(" '"('iVr' I)) do =
Поле давления A) есть сумма сигналов, излученных объемными
элементами dr' и пришедших в точку приема г с различными за-
302

паздываниями. Для S-щелчка из A) получаем
] B)
Видно, что расстояние |r-rQ| между точками излучения и при-
приема импульс пробегает за время <-<-, двигаясь со скоростью
с = (C р )~1/2. Множитель \т~т0\ в B) описывает убывание
сигнала вследствие сферической расходимости.
9.1.6. Решить предыдущую задачу в одномерной постановке.
Ответ. Решение (аналог E.1)) имеет вид
A)
-СП
Для точечного мгновенного "щелчка" FQ = S(x-xQ) S(t-tQ) имеем
p(x,t) = -Cr?®(t-tQ-c-]\x-x'\). B)
При х > xQ возникает ступенеобразный импульс, бегущий вдоль
х вправо, а при х < х~. такой же импульс бежит влево.
9.1.7. Показать, опираясь на задачи 9.1.1 —9.1.3 и 9.1.5,
9.1.6, что функция Грина является ядром интегрального опера-
оператора, обратного дифференциальному оператору, производящему
исходное уравнение. Так, обратным гельмгольциану (L+k2) (')
будет |G(r-r') dx' (•). Какой вид имеет оператор, обратный
даламбериану D(«) = (Л - cQ2 d2/dt2) (•)?
Решение. Из определения функции Грина следует
(A+*J) Jrfr' G(-) = Jrfr' 5(r-r')(-) = l(-),
т.е. произведение прямого и обратного операторов Гельмгольца
есть единичный оператор. Аналогично показывается, что обрат-
обратным даламбериану будет оператор
Р = ^Je"/@('-f/)G(r-r/)(-)rfr/ diodt', A)
поскольку П-П = 1. Например, для трехмерного пространства
9.1.8. Показать путем непосредственной проверки, что для
обратного оператора (см. G.2)) справедливо О*О~ = 1.
Решение. Обозначим в G.2) для краткости аргумент б-функ-
ции буквой т. Дифференцируя, убеждаемся в справедливости
о[з(т) lr-г'Г1] = -4тгЗ(г-г'K(т).
Поэтому
O-D'V») = j3(TK(r-r')(«)dr' dt'. A)
303

Применяя оператор A) к произвольной функции f(r,t), убеж-
убеждаемся в том, что
$8(T)8(r-r')f(T',t')dr'<tt' = J8(t-t')f(r,t')dt' = f(r,t).
9.1.9. Систему акустических уравнений A.1) можно запи-
записать в матричной форме:
Р} Г5п1 - (А 37 Vl
д г ' '
Найти оператор А' , обратный данному.
Решение. Считая, что переменные р и v изменяются как
.ехр (-/и/ + /кг), т.е. рассматривая один компонент прост-
пространственно-временного спектра поля, приведем дифференциаль-
дифференциально-матричный оператор А системы A) к обыкновенной матрице.
Ее можно обратить по известному правилу:
орп /к
/к -/Of
Здесь kQ = C Pj.tr. Применяя к обращенному оператору B)
пространственное преобразование Фурье, находим матричную
функцию Грина:
G = и , C)
[ VG iu& G J
где G = G(@, г-r')— функция Грина уравнения Гельмгольца, ко-
которая для пространств одного, двух и трех измерений найдена
в задачах 9.1.3, 9.1.2, 9.1.1. Таким образом, в результате
обращения матричного оператора А A) получаем
iu{t-t') g^ r-r') (•) dx' dudt'. D)
Результат D) есть матричное обобщение формулы G.1).
9.1.10. Действуя по аналогии с задачей 9.1.8, показать,
что интегральный матричный оператор А~ предыдущей задачи
является правым обратным дифференциальному матричному опера-
оператору А, т.е. АА = 1, где 1—единичная матрица.
9.1.11. Найти функцию Грина системы (9.1) для случая
стратифицированной (слоистой) среды. Стратификация задана
функциями C = C(z), р = p(z). Переменные р и v изменяются по
гармоническому закону ехр(- iuJ).
Решение. Примерами таких сред служат плоскослоистые моде-
модели атмосферы и океана (z — вертикальная координата), много-
многослойные полимерно-клеевые покрытия. Поиск обратного операто-
3A4

pa ведется снособом, аналогичным использованному в задачу
9.1.9, и приводит к выражению
Л~' <') = -ЧJexP t'*^*-*' Hfy^' И С(') dr' dkdk fl)
Здесь
f toop(z)g (ik^, ik^jg, dg/dz) Л
WkJkd/d) i${)\
а функция g является решением одномерного уравнения
^| + fog Э(г) р(г) - (k2x+k2)] g = б(г-г').
Полезно убедиться в том, что выражение A) является
обратным оператором по отношению к исходному диффере^циаль-
цо-матричному (по схеме задачи 9.1.10).
9.2. Обратные задачи излучения
9.2.1. Источник плоских волн (см.A.1.2)) имеет
FQ(x,t) = exp(-iu00 при |дс| <¦ d и FQ = 0 при |дс| > d
зависит поле давления от d ? Прокомментируйте результат с
точки зрения решения обратной задачи излучения.
Решение. Обратная задача излучения состоит в определении
источника по.излученному им. полю, измеренному на удалении от
источника (за его пределами). Используя функцию Грина одно-
одномерного уравнения Гельмгольца, в области х < - d найдем
fap(o) ^
0 -d ko
Поле в области х < - d есть плоская волна, бегущая в стореку.
уменьшения значений * и имеющая амплитуду |sin?flf|/&!. Точ-
Точно так же показывается, что при * > d существует пдоекзя
волна равной амплитуды, бегущая в сторону возрастающих х.
Внутри излучателя (|*| < d) поле
л -iUnt г ~iknx -ikny -'кг,х г 1кг,У
е = тпгое °(е Iе * + е Iе
-d х
= *02е ° (\-cosk0x)e X). B}
Видно, что при kJt = 2ли амплитуда поля вне излучателя (I)
обращается в нуль. Внутреннее поле B) при этом не есть тож-
тождественный нуль, но обращается в нуль на границе х = d. Та-
Таким образом, существует множество (п = 1,2,3,...) источ-
источников, не излучающих за свои пределы, но создающих сколь
И Акустика в задачах ,
305

угодно сильные поля в области своей локализации. Наличие
"неизлучающих излучателей" доказывает, что обратные задачи
излучения ие имеют единственного решения. Действительно, к
любому источнику, излучающему поле вовне, можно приплюсовать
комбинацию неизлучающих источников. В результате получится
источник, описываемый совершенно иной функцией FQ, однако
внешнее поле p(x,t) не изменится.
9.2.2. Пара излучающих плоскостей задана выражением
FQ = ехр (- totf) [3(х-х0) + а(*+х0)]. A)
При каком значении xQ источник A) будет неизлучающим?
Решение. По аналогии с задачей 9.2.1 находим
Р(х, t) = - ?- cos(&0*0) ехр (- iuQt ± ikQx). B)
Знак плюс отвечает волне, бегущей при х > х_ вправо, минус —
при х < - х влево. Поле между плоскостями
p(x,t) = -?-е 00cos(fe0x)e ° , - *Q < х < xQ C)
ни при каком х~ тождественно в нуль не обращается; здесь
возникает стоячая волна с амплитудой /г. Во внешней области
|х| > х давление B) обращается в нуль тождественно при
kQxQ = тг (/г—1/2). Итак, хотя каждая из пластин создает нену-
ненулевое поле, эти поля за счет интерференции могут друг друга
гасить. На этом основана идея активного гашения звука, ис-
используемая во многих устройствах.
9.2.3. Показать в общем виде, что одномерная обратная за-
задача излучения единственного решения не имеет.
Решение. Излучение плоских волн описывается неоднородным
волновым уравнением Даламбера
Пусть (для простоты рассуждений) FQ г 0 при всех х за преде-
пределами области R. Возьмем произвольную гладкую функцию q(x,t),
которая также равна нулю вне R. Вычислим О q = F., найдя тем
самым новый источник F^xJ). Теперь рассмотрим уравнение
Понятно, что решения A) и B) совпадают вне R. Следователь-
Следовательно, внешнее поле не определяет излучатель единственным обра-
образом. Эти рассуждения дают алгоритм построения "неизлучающего
излучателя" из любой дважды дифференцируемой функции q.
306

К задаче 9.2.4
9.2.4. Гармонические во времени источники в двумерном
пространстве распределены равномерно внутри круга радиусом
RQ. Рассчитать поле, проанализировать результат с точки зре-
зрения возможностей решения обратной задачи излучения.
Решение. Воспользуемся двумерной функцией Грина A.2.1).
Для расчета поля (см.рисунок) нужно взять интеграл
2тг rq
J dtp J H^[kQ(r2 + г'2 - 2rr'cos?I/2]r' dr'. A)
о о
Учитывая, что функция Ганкеля выражается через функции Бес-
Бесселя и Неймана (Hi' = J + iN), и пользуясь формулами
1 (a2 + (З2 - 2aCcosi/)I/2 | dip = л /Q(a)' °
|а|
приходим к выводу, что интеграл A) распадается на два—для
случая г < RQ (точка наблюдения находится внутри круга) и
для г > R (точка вне излучающего круга). Далее, пользуясь
формулами интегрирования бесселевых функций и соотношением .
JQ(z) Hf\z) - Jx(z) H{Q\z) = 2/(inz),
получим выражения для внутреннего поля (г < RQ)
р = k-2 [l - (in/2)k0R0 //</>( W /О(У)]Л' B)
и внешнего поля (r>RQ) кругового излучателя
р = - (гтг/2)(Л0/Л0) J^qRq) H^(kor) e~''- C)
Из C) следует, что для значений аргумента ^0^0. при которых
/- = 0, р s 0—круг превращается в "неизлучающий излуча-
излучатель". Вместе с тем внутреннее поле B) никогда в нуль не
обращается.
9.2.5. Уравнение Даламбера Up(r,t) = 0 в трехмерном про-
пространстве описывает поле заданных источников единственным
образом (предполагается, что выполнено условие излучения).
И
307

Следуя логике задачи 9.2.3, указать способ построения "неиз-
лучающего излучателя", локализованного в ограниченном трех-
трехмерном объеме.
9.2.6. В области ненулевого объема (на приемной аперту-
апертуре), удаленной от области распределенных источников, акусти-
акустическое поле измерено с идеальной точностью (отсутствуют как
шумы, так и ошибки измерения). Можно ли создать алгоритм,
инвертирующий измеренное поле, т.е. осуществляющий сколь
угодно точное его продленке: а) 33 пределы приемной аперту-
апертуры, б) в области локализации источников?
Ответ, а) Да. В точке, не принадлежащей области локализа-
локализации источников, поле описывается однородным уравнением Да-
Даламбера. Зная поле внутри приемной апертуры, его можно про-
продолжить за ее пределы, например, с помощью разложения в сте-
степенной ряд.
б) Нет. Если бы такое продление было возможным, то, при-
применив к полю внутри области источников оператор D, можно бы-
было бы однозначно восстановить источник. А это, как следует
из задач 9.2.1-9.2.5, невозможно. Дело в том, что на прием
ной апертуре и в области источников поле описывается двумя
разными уравнениями {однородным и неоднородным). Переходя
границу раздела, поле теряет свойство аналитичности—произ-
аналитичности—производные терпят разрыв.
9.2.7. Для решения обратной задачи излучения было осу-
осуществлено аналитическое продление измеренного поля на все
пространство. Затем в области, где, по предположению, должен
находиться излучатель, к продленному полю применен оператор
Даламбера. Тем самым был определен источник /ч. = Пр. Как
соотносится F с истинным источником измеренного поля?
Ответ. Никак. Аналитическое продолжение поля подчиняется
всюду однородному уравнению Даламбера. Следовательно, FQ = О,
а все отличия от нуля связаны с ошибками измерения и обра-
обработки результатов.
9.2.8. Пусть FJr,t) — "неизлучающий излучатель", локали-
локализованный в области R. Показать, что поле внутри R тождест-
тождественно обращается в нуль, только 'если F~ = 0.
Ответ. Если бы существовал источник F г 0, создающий ну-
нулевое поле р = 0 в области R своей локализации, то в области
R было бы невозможно удовлетворить уравнению Пр = F..

9.2.9. Показать, что следствием интегральной формулы
S
Кирхгофа для уравнения Гельмгольца является неединственность
решения обратной задачи излучения E —поверхность, охватыва-
охватывающая источники и отделяющая их от точки наблюдения г, п —
внешняя нормаль к поверхности, G(o>, г-r') —функция Грина).
Ответ. Смысл формулы A): если на поверхности S размес-
разместить монопольные источники с плотностью др/дп и дипольные
источники с плотностью р, то поле в точке г совпадет с полем
истинных источников. Таким образом, комбинация A) монополь-
монопольных и дипольных излучателей создает внешнее поле, неотличи-
неотличимое от поля истинного источника.
9.2.10. Можно ли сделать излучающую систему, которая соз-
создает монохроматическое поле во всем пространстве, за исклю-
исключением области У конечного объема, в которой р = 0?
Ответ. Можно. В соответствии с задачей 9.2.9 система мо-
может состоять из объемного излучателя, а также поверхности S,
охватывающей ту область У пространства, в которой следует
обнулить поле. Взяв в формуле (9.1) обратный знак, получим
гашение поля всюду внутри 5. Таким образом, для гашения пот-
потребовалось окружить область У источниками. Примером такой
ситуации в одномерном случае служит задача 9.2.2.
9.2.11. Имеются две области конечного объема: /? (в кото-
которой локализованы источники) и У (непрерывная приемная апер-
апертура). Можно ли в R создать распределение источников, соз-
создающих ненулевое поле во всем пространстве, за исключением
области У, где р = 0?
Ответ. Нет. Поле внутри Y подчиняется однородному уравне-
уравнению Даламбера и, следовательно, аналитично. Коль скоро р = 0
в конечной области У, оно должно быть тождественным нулем во
всем пространстве (за исключением области R, на границе ко-
которой аналитичность нарушается). Отсюда важное следствие:
нельзя создать излучатель, зондирующий избранные области
среды и не облучающий иные, не интересующие нас участки про-
пространства.
9.2.12. Существуют ли излучатели, создающие поле в трех-
трехмерном пространстве, за исключением двумерных поверхностей,
поле на которых обнуляется?
309

Ответ. Да: диполь, поле которого на плоскости, перпенди-
перпендикулярной оси диполя и проходящей через его центр, равно нулю.
9.2.13. Объяснить, почему похожие задачи 9.2.11 и 9.2.12
имеют противоположные по смыслу ответы.
Ответ. Обнуление поля в области Y ненулевого объема фак-
фактически означает, что в любой точке внутри Y в нуль обраща-
обращается не только поле, но и все его производные. В задаче
9.2.12 требование менее жестко: поле может равняться нулю на
поверхности, обладая на ней ненулевыми производными, что
позволяет продолжить его на остальное пространство.
9.2.14. Показать, что в пространственном спектре "неизлу-
чающего излучателя" отсутствуют плоские волны с волновыми
векторами к, модуль которых k = k. = k>_/c
Решение. Исходя из задачи 9.2.3 легко показать, что любой
неизлучающий источник можно представить как /•"_ = Dp, где р —
гладкая локализованная в области R функция. Имея это ввиду и
переходя в волновом уравнении A.1.2) к спектру по плоским
волнам
p(r,t) ) , гГр(к.ш) I
= —Цг ~ ехр(- Ш + /кг) du> dk,
FQ(r,t)] BttKJ lF0(k,a))J
2 2 ~
получим FQ = (kQ-k ) p. Отсюда следует, что FQ = 0 при k =
= kQ. Поведение спектров источников и полей на "сфере Эваль-
да" k = kQ в k-пространстве играет очень важную роль в зада-
задачах излучения и рассеяния волн. Оно связано с такими поняти-
понятиями, как диаграмма направленности, дальняя или волновая зона.
9.2.15. В разделе 9.1 найден ряд интегральных операторов,
обратных дифференциальным волновым: гельмгольциану, даламбе-
даламбериану, дифференциально-матричному оператору уравнений линей-
линейной акустики. По построению эти операции эквиваленты: диффе-
дифференциальные операторы переводят поля в источники, интеграль-
интегральные—источники в поля. Взаимнооднозначны ли эти преобразова-
преобразования? Как понимать неединственность решения обратной задачи
излучения в терминах операторных преобразований "поля-источ-
"поля-источники" и "источники-поля"?
Решение. Если поле известно во всем пространстве, для оп-
определения источников (единственным образом) к полю нужно
применить дифференциальный оператор. Справедливо и обратное.
Если заданы источники, для вычисления поля к ним нужно при-
310

менить соответствующий интегральный оператор. При этом усло-
условия излучения выполняются автоматически введением функции
Грина с волновым числом, обладающим малой положительной мни-
мнимой частью, отвечающей слабому затуханию волн в среде. Пре-
Преобразования полей в источники и обратно взаимно однозначны.
Неоднозначность решения обратиой задачи излучения возникает
из-за того, что поле измеряется не во всем пространстве, а
лишь на ограниченной приемной апертуре, удаленной от области
локализации источников (см. задачи 9.2.3, 9.2.5-9.2.13).
9.2.16. Излучающая пластина толщиной d, рассмотренная в
задаче 9.2.1, возбуждает гармонические сигналы многих частот
0) = пи с неизвестными амплитудами Л(ш„). « = 1, 2, 3, ...
(см. рисунок). Предполагается, что спектральные линии распо-
Аи
III'1]] ттТ1 1П7т
tiTtt
и Ttt
<«>„
B,
К задаче 9.2.16
ложены близко друг от друга и ox. « nc^d. Можно ли опреде
лить толщину пластины и амплитуды гармоник по измерениям
излучаемого поля?
Решение. Эта задача —простой пример диагностики механиз-
механизмов, работа которых сопровождается излучением звука. Как
следует из формулы A.1), амплитудно-частотная характеристи-
характеристика излученного поля В(и> ) есть амплитудно-частотная характе-
характеристика источников Л(ш„)' промодулированная функцией
311

g/c^l/^Wg/CgJ. Поэтому амплитудно-частотная ха-
характеристика поля, измеренного за пределами пластины, содер-
содержит провалы в окрестностях частот ппс^/й (отмечены скобками
на рисунке). Интервал между провалами связан с толщиной пла-
пластины d и может быть оценен в результате статистической об-
обработки амплитудно-частотной характеристики В(и)п). Определив
d, можно оценить и А(о) ) для любой о>п, не совпадающей ни с
одной из частот провала.
Единственность решения данной задачи обеспечивается апри-
априорной информацией (заведомо известно, что излучатель-пласти-
иа) и тем фактом, что излучается множество частот. Интерес-
Интересно, что именно наличие "неизлучающих излучателей", ответст-
ответственных за провалы в амплитудно-частотной характеристике, по-
позволяет оценить d.
9.2.17. Лазерный импульс падает из воздуха на водную по-
поверхность, вблизи которой сосредоточены плоскопараллельные
слои примесей, поглощающих свет. Тепловое расширение слоев
возбуждает акустический импульс. Процесс его распространения
описывается одномерным уравнением Даламбера (см. A.1.2)) с
граничным условием р(*=0, t) => 0 (свободная поверхность во-
воды). Правая часть FQ(x,t) = X'(x)T(t), где Г —форма лазер-
лазерного импульса, а X' —распределение источников по глубине.
Изучить возможность реконструкции X'(х) по измерению формы
акустического импульса (X' есть производная Х(х) —зависимо-
—зависимости коэффициента поглощения света от глубины, которой харак-
характеризуют, например, загрязненность верхних слоев акватории).
Решение, Задачу со свободной границей можно свести к за-
задаче в безграничной среде, продолжив X' (х) на область дг<0
нечетным образом. С учетом мнимых источников, излучающих в
противофазе с действительными, пространственное распределе-
распределение F'(x) = BЩх)-\) Х'(х), где 0 —единичная "ступенька"
Хевисайда. Далее совершим преобразование Фурье по времени и
перейдем от A.1.2) к одномерному уравнению Гельмгольца
4-1'р(х,о) + к2 р(х,и) = T(u>)F'(x). A)
dx
Здесь р, Г —спектральные амплитуды функций р, Т; к = ЦА0-
Решение A) можно записать с использованием функции Грина:
d
312
^*l)f'(*')tf*', B)
-d

где d— Суммарная толщина излучающих приповерхностных слоев;
при х > d функции F'(x) и F(x) обращается в нуль (см.
A.2.1)). В области х > d решение B) приобретает вид
) = _e
-d -d
Последний интеграл, полученный интегрированием по частям,
представляет собой 2nF(k) — фурье-образ функции F(x). Итак,
найдена спектральная амплитуда давления за пределами излуча-
излучающих слоев: р = тг Г@)) F(k) exp(ikx). Выполняя теперь обрат-
обратное преобразование Фурье, получим
p{x,t) = \ \ Ца) F [?-] exp[- to[t - ?-]] du =
°° °
Z]t'. C)
Результат C) принимает наиболее простой вид, когда лазерный
импульс имеет очень малую длительность. Действительно, если
Т = d(t), то 2p(x,t) = F(cot-x). Следовательно, в произволь-
произвольной точке х > d в интервале времени (x-d)/cQ < t < (x+d)/cQ
акустический импульс (как функция t) будет воспроизводить
вид функции /^я).
9.2.18. Источником двумерного акустического поля является
круг, излучающий широкополосный шум с неизвестной плотностью
спектральной мощности. Можно ли по измерениям дальнего шумо-
шумового поля определить радиус круга и спектр источников?
Решение. Можно. По аналогии с задачей 9.2.16 приходим к
выводу, что амплитудно-частотная характеристика шумового по-
поля за пределами круга пропорциональна (см. D.3)) выражению
\. A)
Значения частот, при которых A) обращается в нуль для всех
г, дают информацию о радиусе круга RQ. Далее, зная расстоя-
расстояний г от центра круга до точки наблюдения, определяем зави-
зависимость от частоты аргумента функции Ганкеля Н^ \ После
этого можно рассчитать плотность спектральной мощности.
9.2.19. Излучателем монохроматического поля является
транспарант —плоскость х у, распределение источников на ко-
которой описывается функцией f; правая часть уравнения (см.
A.1.2)) при этом равна FQ = f(x,y) б(г) exp(~iwQt). Функция
313

/ * 0 лишь в пределах ограниченного участка плоскости. Поле
измеряется удаленной приемной апертурой конечного объема.
Показать, что решение задачи определения источников по излу-
излученному ими полю единственно.
Решение. Если два разных излучателя F. и /•"„ создают оди-
одинаковые внешние поля, то F. - F2 есть "неизлучающий излуча-
излучатель". Существование последнего является необходимым и до-
достаточным условием неединственности решения обратной задачи
излучения. Покажем, что рассматриваемый транспарант не может
быть неизлучающим. Пространственный спектр этого источника
J/ б e*r dx = \f{x,y) exp(- ikxx - ik^dxdy = ~f(kx,ky).
Поскольку f(x,y) отлична от нуля в ограниченной области,
пространственный спектр f(k , & ), напротив, не обращается в
нуль ни на какой области переменных k , k ненулевой площа-
ди. Кроме того, спектр f не зависит от k . Отсюда следует,
что / не может обратиться в нуль на всей поверхности сферы
Эвальда (см. задачу 9.2.14), т.е. транспарант не может быть
"неизлучающим излучателем".
9.2.20. Монохроматический источник в трехмерном простран-
пространстве имеет форму цилиндра, FQ = f(x,y) exp(- i<t>Qt). Можно
ли, измерив поле на удалении от источника, определить функ-
функцию / единственным образом?
Решение. По аналогии с задачей 9.2.19 ищем пространствен-
пространственный спектр:
\f(x,y) exp(- /kr) dr = 2п5(кг)}(кх,к).
Отсюда следует: для таких /, спектр которых / ? 0 в сечении
0 0 0 0
сферы Эвальда k +k = wQ/c0, обратная задача имеет единст-
единственное решение. В общем же случае это не так. В частности,
излучатель в виде круглого цилиндра радиуса R¦ (f(x,y,z) =*
= 1 для х2 + у2 < RQ и / = 0 для х + у2 > RQ) имеет прост-
пространственный спектр
/(к) = лоа(йа)/1(й1/?о)/й1. kL = (к2х+ьу/2.
Если RqUq/Cq есть один из корней функции Бесселя /., то ци-
лиидр радиусом Rq на частоте uQ будет неизлучающим.
9.2.21. Единственно ли решение трехмерной обратной задачи
в классе плоскослоистых монохроматических источников F =
= f(z) exp(- io)Qt)?
314

Решение. Пространственный спектр источника:
J)(z) exp(- /kr) dr = 4тг2 8(kx) 8(ky) ](kz).
Обратная задача излучения имеет единственное решение в клас-
классе излучателей, для которых f(kj * 0 в точках kx = ±u>^cQ
на сфере Эвальда.
9.2.22. Требуется создать энергетически наиболее эконом-
экономный излучатель в области R, формирующий заданное поле p(r,t)
в области Y. Единственно ли решение этой задачи?
Ответ. Да. Минимизация энергетических затрат автоматичес-
автоматически отрезает класс "неизлучающих излучателей", которые не
вносят вклад в поле р в удаленной области У, но потребляют
энергию для создания внутренних полей в R. Такая задача свя-
связана с конструированием сложных антенн, распределенных фази-
фазированных апертур и других излучающих систем, создающих тре-
требуемое поле в заданной области (например, в окрестности фо-
фокуса). Она имеет единственное решение благодаря естественно-
естественному требованию минимизации энергозатрат.
9.3. Обратные задачи рассеяния:
альтернативные постановки
9.3.1. В области R локализована неоднородность скорости
звука с(г), принимающая за пределами R фоновое значение с..
Источники лоцирующего монохроматического поля распределены в
области X. Рассеянный сигнал регистрируется на приемной
апертуре У. Области X, У, R обладают ненулевыми объемами и
удалены друг от друга (см. рисунок). Обратная задача рассея-
рассеяния состоит в локационном определении неоднородности с(т).
Как сформулировать эту задачу математически?
К задаче 9.3.1
315

Решение. Для измеряемой характеристики —монохроматическо-
—монохроматического (на частоте ш„) поля акустического давления — воспользуем-
воспользуемся уравнением Гельмгольца
Ьр(г,%) + -1Г-Р(г,%) = /о(г,о)о). A)
с (г)
Здесь р, f— спектральные амплитуды поля и источника. В об-
области источников X в уравнении A) c(r) = cQ. В рассеивающей
области R в A) /0 s 0. Наконец, на приемной апертуре Y в
A) следует положить с = cQ, f = 0. Фактически мы имеем дело
с тремя различными уравнениями. Если амплитуда поля р была
бы найдена в рассеивающей области R, то задача определения
с(г) решалась бы тривиально: с (г) = - ы^р/Lp. Однако ампли-
амплитуда р в R неизвестна заведомо и не измеряется в процессе
лоцирования. Поэтому задача формулируется так: найти функцию
с(т) такую, что решение всех трех уравнений A) (в X, R, Y)
будет сшиваться на границе области R при продлении p(r, 0)Q)
из областей X (где функция р известна) и Y (где р измерена).
Сшитое решение должно удовлетворять условию излучения на
бесконечности.
Задача может быть сформулирована относительно интеграль-
иого уравнения, соответствующего A). Выделим & левой части
A) гельмгольциан: „ 2
i
Б правой части B) наряду с источником лоцирующего поля по-
2 2
явился член (kQ-k (г)) р—"источник" рассеянного поля, воз-
возникший из-за того, что с * с_. Применим к B) интегральный
оператор, обратный гельмгольциану (см. задачи 9.1.1, 9.1.7):
1 exp(j*n|r-r'|) , ,
Р - - Ш J ^ТЛ <k V ))**' <%) dr' + Po-
Poll
Здесь р (г,0)) —зондирующее, а /?(г'са) —полное акустическое
поле: Это —уравнение типа
р(т) - po(r) = J С(г-г') ?(г') р{т') df, C)
R
&го называют уравнением Липпмана —Швингера. Интегральная По-
Постановка обратной задачи рассеяния основана на двукратной
записи уравнения C): в области приема (г € К) и в рассеива- у
ющей области (г 6 R). В системе двух уравнений присутствуют
две неизвестные функции ? и р, локализованные в R. Первое ив
316

уравнений C) связывает неизвестные ?, р с функцией р - р
измеряемой на приемной апертуре Y в результате локационного
эксперимента. Второе из уравнений C) можно рассматривать
как связь, накладываемую на неизвестные ?, р.
Отметим, что для решения обратной задачи (восстановления
?(г)) требуется определить "ненужную" функцию р — поле внутри
рассеивающей области R. Интегральная постановка обратной за-
задачи проще и наглядней, чем дифференциальная; здесь автома-
автоматически учитывается требование непрерывности поля и условия
излучения.
9.3.2. Решить задачу 9.3.1, предположив, что зондирование
неоднородности ведется сигналом конечной длительности fQ(T,t). •
Решение. Для получения уравнения типа A.3) нужно вос-
воспользоваться оператором, обратным' даламбериану. Интегральное
уравнение получается таким:
-ю
р-ро= Jdr' jG(r-r\ t-t')^r')p(T',t')dt'. (V)'
R -oo
Как и в* задаче д.3.1 для монохроматического поля, здесь сле-
следует решать пару уравнений A): на приемной" апертуре (f e /)'
И в рассеивающей области (г е R). В этой системе функции1
—9 —9
? = с„ - с (г) и р внутри R являются неизвестными. Функций
Грина дается выражением (см.задачи 9.1.7, 9.1.8)
б"(/-|г|Дп)
С(Г-') = Щ17П-- &
а первичное (облучающее) поле вычисляется по источникам' f-
"™3
[ |r-x|A0 fo^nat.
Из A); B) следует, что поле в неоднородной среде есть су-
суперпозиция "запаздывающих" полей, вычисляемых по формулам,
справедливым для однородной среды.
9.3.3. Получить уравнение рассеяния и исследовать поста1
новку обратной задачи 9.3.1 в предположении о том, что йа^я-
ду с неоднородностью скорости звука в области R присутствует
неоднородность плотности р(г), принимающая вне R фоновое
значение pQ.
Решение. Рассмотрим уравнения непрерывности и движения
(см.A.1.1)), считая в них сжимаемость Эо = C(г) и плотность
р = р(г). Полагая изменение источников и полей во времени
317

пропорциональным ехр (-iaJ), сведем систему к уравнению
y + Vp Vlnp + F . A)
—функция, описывающая источники первичного (лоцирующего)
поля. Два других члена в правой части A) ответственны за
рассеяние,, возникающее при взаимодействии поля р с неодно-
родностями скорости с(т) и плотности р(г). Применяя к A)
оператор, обратный гельмгольциану, получаем
р - р0 = jG(r-r') (k2Q-k2)p dr' + JC(r-r') Vlnp Чр dv'. B)
p D
Введение неизвестной р(г) усложняет обратную задачу. Наряду
с неизвестным полем р в B) фигурирует его градиент Чр; B)
ие является уравнением типа Липпмана-Швингера (см. A.1.3)).
9.3.4. Доказать, что если спектральная амплитуда давления
р(г,и>) удовлетворяет уравнению Гельмгольца в неоднородной
среде C.1), а области локализации функций р(г) - р (об-
(область R) и FQ (область X) не перекрываются, то в любой точке
пространства справедливо тождество
R
называемое уравнением Бергманна.
9.3.5. Показать, что с помощью уравнения Бергманна обрат-
обратная задача рассеяния в среде, содержащей неоднородности ско-
скорости звука и плотности, сводится к уравнению Липпмана —
Швннгера.
Решение. Следствием уравнения Гельмгольца C.1) является
уравнение Бергманна (см.задачу 9.3.4). Вводя обозначения
11/2 оо (Р Ч1/2 гРп11/2
приведем это уравнение к виду, совпадающему с A.3):
<?(г)-ро(г) = fG(r-r'K(r')<7(r')dr'. A)
R
9.3.6. Исходя из задач 9.3.3, 9.3.5, показать, что вклады
в рассеянное поле от неоднородностей скорости звука и плот-
плотности можно разделить, лоцируя объект на частотах 0) и ш..
Решение. Эффективный рассеиватель ?; (см.E.1)) зависит от
частоты: €(r,a>0) = d^njj) + пр(т), где
«.-«S--.-V «р-р^ГмАГ- с»
318

Определив в результате решения двух обратных задача рассея-
рассеяния эффективные рассеиватели на двух частотах:
пр,
найдем
9.3.7. В результате решения обратных задач рассеяния на
неодиородностях скорости звука и плотности среды удалось оп-
определить функции п , п (см. F.1)). Можно ли по этим данным
однозначно восстановить с, р?
Решение. По известной п скорость звука находится из пер-
первой формулы F.1): „ ,.,
ф) = co[\-nc(r)c2orV2. A)
Для определения р(г) нужно решить уравнение типа Шредингера
ДФ-лр(г)Ф = 0, Ф = [Ро/р(г)]1/2. B)
Известно, что уравнение B) имеет единственное решение, ко-
которое, в отличие от A), находится численными методами.
9.3.8. Доказать, что обратная задача рассеяния на неодно-
родностях скорости звука и плотности при зондировании рас-
сеивателя на одной частоте имеет бесчисленно много решений.
Решение. Возьмем 3 любые гладкие функции, локализованные
в R: k., p., р„. Определим четвертую функцию по правилу
Таким образом, имеем две пары функций k., p^ и k^, р„, обра-
образующих одинаковую неоднородность ?(г) (см.E.1)). Следова-
Следовательно, внешние поля этих рассеивателей тождественны.
9.3.9. Нижние слои атмосферы зондируются двумя сонарами
(см. рисунок). Стратификация невозмущенной атмосферы (толщины
слоев и их характеристики) известны. Цель эксперимента —оп-
—определение акустических характеристик возмущения—неоднород-
возмущения—неоднородности. Лоцирование ведется монохроматическим полем. Получить
интегральные уравнения рассеяния как для давления, так и для
колебательной скорости.
Решение. По аналогии с задачей 9.3.1 эта задача приводит-
приводится к паре уравнений Липпмана-Швингера (в области R и Y), но
в матричной форме
= U0(r) + [ A~\r - г' )$(г' )U(r' )dr', A)
R
319

z,
y
/ ,
\iz
\
\
\
4
ч
\
\
\
. У *
К задаче 9.3 9
где в качестве полного и зондирующего полей выступают векторы
v(r,dH)
Матричный оператор А определяется A.11.1), A.11.2), а ис-
искомый рассеиватель—диагональной матрицей
-Ш C(z)-|3(r)) О
О -too(p(z)-p(r))
в которой Э(г) и p(z) —известные функции, описывающие стра-
стратификацию неоднородной атмосферы, а C(г) и р( г)— искомые
трехмерные возмущения этой стратификации.
9.3.10. Идеально мягкий граничный рассеиватель характери-
характеризуется функцией jr(r), равной единице внутри рассеивателя
(г € R) и равной нулю вне R. Доказать, что поле давления
(при зондировании на частоте 0).) удовлетворяет уравнению
Гельмгольца для неоднородной среды
Решение. Воспользуемся интегральной формулой Кирхгофа
B.9.1), выражающей рассеянное поле р - pQ через интеграл по
поверхности рассеивателя 5:
S'. B)
На поверхности идеально мягкого рассеивателя р(т') = 0, по-
поэтому равен нулю первый подынтегральный член B). Сменим
знак при нулевом члене B) и преобразуем подынтегральное
320

выражение:
Пользуясь формулой Остроградского-Гау'сса* перейдем от по-
поверхностного интеграла к объемному:
р - р0 = - jA(pG) dx' = -JV(r') A(pG) dV = -\pG Ь* dv'.
V oo со
Здесь мы перешли от интегрирования по объему V области R к
интегрированию по всему пространству, а затем воспользова-
воспользовались интегрированием по частям. Применив к полученному ра-
равенству гельмгольциан, придем к доказываемому утверждению A).
9.3.11. Какому уравнению удовлетворяет полное поле давле-
давления в случае монохроматического зондирования идеально жест-
жесткого граничного рассеивателя?
Ofeer. Действуя по аналогии с предыдущей задачей и заме-
замечая, что на поверхности рассеивателя др/дп = 0, приходим к
уравнению типа A0.1). Отличие в том, что первый член правой
части имеет противоположный знак—плюс.
9.3.12. Можно ли в результате дистанционного зондирования
идеального граничного рассенвателя определить его тип (жест-
(жесткий или мягкий), размер, форму?
Ответ. Да. Допустим, рассеиватель мягкий. Определим на
базе уравнения Липпмана-Швингера, отвечающего A0.1), эффек-
эффективный рассеиватель ? = Aj\ Форма границы (следовательно,
размеры) рассеивателя можно найти, применив К рассчитанной
функции ?; обратный оператор Лапласа А" (в трехмерном случае
это ньютонов потенциал). Если реконструированная характери-
характеристическая функция 3" оказалась положительной, следовательно,
тип рассеивателя угадан правильно —он акустически мягкий. В
противном случае j- получится отрицательной.
9.3.13. Монохроматическая волна нормально падает иа плос-
плоский рассеиватель рефракционного типа (k = k(x), p = const).
Спектральная амплитуда в рассеивающей области R
p(x,o)Q) = BikQ-\f] exp(ikQ\x\) +vxp(ikox). (\)
Определить рассеивающую неоднородность и спектральную ампли-
амплитуду р0(х,о>0) зондирующего поля.
Решение. Вычислим источники рассеянного поля, совпадающие
в R с гельмгольцианом р(х,и>Л.
d2p/dx2 + k\p = 2/*0<2/*0-irV). B)
321

Применив к обеим частям B) оператор, обратный оператору
Гельмгольца, найдем рассеянное поле:
exp(i*0|x-x'|) 2«-*0 exp(i* |
= } <ПГ0 Ш^Т8(х>йх = 2lko-\
Так как полное поле A) известно, находим зондирующее поле
ра = exp(ikax). Запишем уравнение Лнппмана-Швингера:
_ехр {ikn \x-x' |)
Р ~ Ро " J ТПГ0 «*') Р(*'Л) dx> ¦ <4>
Сравнивая D) и C) и учитывая, что согласно A)
находим неоднородность ^ = 8(х).
9.3.14. Решить предыдущую задачу прн условии, что в обла-
области R поле
^ A)
Ответ. Аналогично решению предыдущей задачи получаем
*2W = ^-'FTF
F o V
Интересно, что смена знака при рассеянном поле (ср. A) н
A3.1)) не эквивалентна смене знака прн характеристике рас-
сеивателя.
9.3.15. Решить задачу 9.3.13 при условии, что полное поле
имеет вид
2'*п
Ответ. k2(x) = йц + 5(дс), т.е. ? = -З(дс). Отсюда следует,
что и смена знака при характеристике рассенвателя не приво-
приводит к смене знака поля (ср. A) и A3.1)). Это естественно,
так как уравнение Липпмана-Швингера не является симметричным
относительно этих функций.
9.4. Линеаризованные обратные задачи дифракции:
приближения Борна и Рытова
9.4.1. Разложить уравнение Липпмана —Швингера C.1.3) в
ряд по итерированным ядрам. При каком условии применимо бор-
новское приближение однократного рассеяния?
Решение. Запишем C.1.3) в виде
Ъ A)
322

Здесь р, р — полное н зондирующее поля, ?—функция, характе-
характеризующая рассеиватель, G — интегральный оператор с соответст-
вующей функцией Грина. Заменим р под знаком оператора G всей
правой частью A):
р = po + GZ(po+GZp) = p0 + GCp0 + GCGCp.
Повторяя эту процедуру N раз, получим
р = PQf.(GQNp0 + (k)N*p B)
— разложение A) по итерированным ядрам. Если норма ||G?|| <
< 1, то при N ¦* оо последний член в B) исчезает н рассеянное
поле выражается через зондирующее р суммой, носящей название
ряда Борна-Неймана. Если ||G?|| «1, главным становится пер-
первый член ряда, и мы приходим к борновскому приближению:
р = po + G$ pQ, C)
отвечающему однократному рассеянию зондирующей волны на не-
неоднородности.
9.4.2. Одномерная рассеивающая неоднородность (слой) со-
сосредоточена в области 0 < х < L, где с = с(х). Вне слоя ско-
ррсть звука с = с~, а плотность равна pQ во всем пространст-
пространстве. На слой нз области х < 0 нормально падает плоская волна,
давление в которой pJx,t) — произвольная, финитная по време-
времени функция.
Считая, что неоднородность слабая: max | c~Q -с (х) \ « с" ,
и справедливо борновское приближение, получить выражение для
давления в прошедшей и отраженной волнах. Найти функцию от-
отклика—реакцию слоя на воздействие 5-импульсом. Можно ли оп-
определить с(х) по измерениям поля прошедшей волны? Отраженной
волны?
Решение. Запишем исходное уравнение, выделив в левой час-
части даламбериан:
Обратный оператор (см. задачу 9.1.6) имеет вид
где 0—единичная ступень Хевисайда. Применяя этот оператор к
уравнению Даламбера, перейдем к интегральному уравнению Лнп-
пмана-Швингера
323

Интегрируя дважды по частям, "перебросим" вторую производную
с р на функцию Хевисайда:
Для слабых рассеивателей выражение A) допустимо использо-
использовать в борновском приближении. В этом случае под интегралом
A) следует заменить р на поле падающей на слой волны pQ.
Для поля, прошедшего через слой (х > L),
f}*'- B)
Поле, отраженное от слоя, представляется иначе (х < О' •* х'):
C)
f
Найдем реакцию слоя на 5-импульс pQ(x,t) = PQ8(t-x/cQ):
Из D) следует, что рассеянная вперед волна несет информацию
L
лишь об интегральной характеристике J" ?,(x') dx'. С помощью
О
лоцирования "напросвет" иной информации о рассеивателе ^(х)
получить не удается. В случае же лоцирования слоя "на отра-
отражение" картина иная: р как функция времени (при фиксиро-
фиксированном х) повторяет по форме ?' (как функцию координат).
9.4.3. Рассмотреть задачу 9.4.2 прн условии, что зондиро-
зондирование слоя производится плоской монохроматической волной
pQ = PQ exp (- iu>Qt + ikQx). Получить выражения для коэффи-
коэффициентов отражения и прохождения.
Решение. Опуская временную зависимость, запишем уравнение
Липпмана—Швингера для спектральных амплитуд
Ррос = -ТГ IexP ('V *-*' I) &*') №) dx'.
о
В приближении Борна (р = рп) дли прошедшей и отраженной волн:
L
Lх'. A)
"отр = г7иосОРО«2*о). ?(*) = j€W *ikx dx. B)
о
Из выражения A) для прошедшей волны следует, что, измеряя
ее амплитуду, можно восстановить только интегральную харак-
324

теристику неоднородности (см. 'задачу 9.4.2). Сама же ?(*) не
восстановима. Иное дело —измерение отраженных слоем гармо-
гармоник. Облучая слой волнами многих частот и всякий раз измеряя
амплитуды отраженных сигналов, можно получить фурье-компо-
ненты ?,BkQ) для любого значения k - 2kQ = 2^^/c^. Совершив
затем обратное преобразование Фурье, можно восстановить
?(х). Таким образом, неоднородность нужно лоцировать волнами
многих частот (или широкополосными импульсами, как в задаче
9.4.2).
Коэффициенты прохождения и отражения равны
f Ч №) d V = ^ Y ?
9.4.4. Найти, какой компонент пространственного спектра
плоского рассеивателя, описанного в задаче 9.4.2, ответствен
за рассеяние назад плоской нормально падающей волны.
Решение. Ответ на вопрос ^содержится в C.3): за рассеяние
назад ответствен компонент ?B?А Этот результат непосред-
непосредственно следует из волнового уравнения (см. задачу 9.4.2),
где источником рассеянного поля является член -€,(х) д p/dt .
Полагая в этом выражении ю
\ р = pQ = PQexP(-iu>Qf+ikQx), &х) =
-со
получаем ю
- ? Ъ-\ = u?QPQ exp(-tooO Г l(K) exfi-Hk-K) x] dK.
dt -со
Отсюда видно, что необходимая фаза рассеянной назад волны
ехр(- (Ш_/ - ik~x) создается тем компонентом пространствен-
пространственного спектра, для которого К - kQ = kQ, т.е. К = 2kQ.
9.4.5. В задаче 9.4.4 показано, что за рассеяние назад
ответствен спектральный компонент неоднородности ?B&), где
k = u)/cQ — волновое число падающей волны. Если в среде имеет-
имеется слабая периодическая неоднородность ?(х) = ? cosB?*),
слабые отраженные возмущения от каждого из слоев складывают-
складываются в фазе и волна, рассеянная от всей "резонансной" неодно-
неоднородности, может иметь значительную амплитуду. Иначе говоря,
две волны, бегущие в положительном и отрицательном направле-
направлениях оси х, из-за многократных переотражений в слоях связаны
между собой. Получить уравнения для комплексных амплитуд
связанных волн.
325

Решение. В условиях этой задачи уравнение Гельмгольца за-
запишется так:
^f^ k2f-2fe -24 A)
dx
Ищем решение в виде суммы двух встречных волн:
р = P+(xfiix) eikx + P_(xfnx) €ikx, B)
где Р , Р— амплитуды прямой (падающей) н обратной (рассеян-
(рассеянной назад) волн, медленно изменяющиеся на расстояниях поряд-
порядка длины волны Л = 2я/г. Наличие малого параметра д « 1, учи-
учитывающего медленность, связано с тем, что неоднородность
предполагается слабой. Подставляя B) в A), пренебрежем
членами ~ ц ; собирая после этого члены при двух экспонентах
exp(±ikx), получаем искомую пару уравнений:
Заметим, что в C) величина ?0 может предполагаться медленно
зависящей от х; этот случай соответствует квазипериоднче-
ской, локализованной в пространстве неоднородности.
9.4.6. Используя уравнение E.3) для амплитуд связанных
волн, найти коэффициенты отражения волны от периодически
слоистой среды толщиной L. Затем провести сравнение получен-
полученного результата с решением этой задачи в борновском прибли-
приближении. Можно ли решить обратную задачу— определить L по из-
измеренному коэффициенту отражения?
Решение. Система E.3) сводится к одному уравнению
ePpjdx2 - а2 Р_ = 0, а = } с2^. A)
Отсюда находим Р_. Подставляя полученное решение в исходную
систему, определим Р+ . Выражения для комплексных амплитуд:
Р_ = Сх еах + С2 е~ах, Р+ = «С, еах - iCf**. B)
Пусть участок неоднородной среды расположен между х = 0 и
х = L (см. рисунок). Поставим граничные условия:
Р (х = 0) = Я @) (задана амплитуда падающей волны) и
P_(x=L) = 0 (отраженная волна начинает формироваться толь-
только в неоднородной среде). Этих условий достаточно для опре-
определения констант Су С Поведение амплитуд встречных волн,
описываемое решением
И- ~ '%<°) ch(aZ.) ' Р* ~ +@) ch(aL) • (d)
326

Ill
\
4
К задаче 9.4.6
показано на рисунке. Коэффициент отражения
D)
По измеренному V толщину L периодически слоистого участка
можно определить, если известна ^ — глубина модуляции неод-
неоднородности среды.
Для решения задачи в борновском приближении подставим в
правую часть (см. E.1)) поле падающей волны Р @) exp(ikx).
Отраженная волна найдется в этом случае из уравнения второго
приближения
Решение уравнения, отвечающее граничному условию р' \x=L) =
= 0, имеет вид
рB) = Р_(х) = - их P+@) (L-x) e~ikx.
Коэффициент отражения в борновском приближении однократного
рассеяния равен
Сравнивая E) с результатом D), учитывающим многократное
рассеяние в слоистой неоднородности, видим, что борновское
приближение справедливо при V « 1. В частности, при L -* со из
E) следует неограниченный рост коэффициента отражения, хотя
очевидно, что 1/ s 1. Этого недостатка лишен результат D),
для которого V(L-x») -» 1.
9.4.7. Рассеиватель—периодическая неоднородность скорос-
—2 —2
ти звука ? = cQ - с (*) = ?0 cos (Kx), локализованная при
327

-L < x < L. Он облучается монохроматической нормально падаю-
падающей волной р0 = PQ exp (- iwQt + ikQx). Применив к уравнению
Липпмана—Швингера преобразование Фурье, исследовать поведе-
поведение пространственного спектра поля внутри рассеивателя (при
L -* «) в двух случаях: а) точного решения уравнения рассея-
рассеяния; б) решения в борновском приближении.
Решение. Исходное уравнение имеет вид
^ (ik \х-х' |)
Ф') Р(*') <**' 0)
Р(х) = Р0(*) + J
о
где С = ь??. Устремляя L к бесконечности и применяя к A)
преобразование Фурье, получаем т
р{к) = Ро<*> + (k20-k2) \e(k-k')p{k')dk'. B)
-00
п 0—1
Здесь использовано выражение A.3.1) (ki - к ) для фурье-
образа функции Грина. Подставляя в B) значений
р = 2л 8(k+kQ), е = яш^0 [8(k+K) + Щ-К)],
приведем уравнение к виду 0
Ъ = 2я 8(k+k0) + -Д-§ [p(fe+/C) + p(fe-K)]. C)
В борновском приближении
р =
o
Проинтегрировав D) по малой окрестности точек ±/г_, получим
выражения для амплитуд плоских волн частотой wQ, бегущих fe
прямом и обратном направлениях внутри рассеивателя.
9.4.8. Борновский рассеиватель представляет собой слабое
О —9 —9
возмущение скорости звука, e(r) = wQ [cQ - с (г)]. Пока-
Показать, что при облучении его плоской волной
рп = Рп exp (- MJ + (к г), I к I = чУс
^0 0 ? v 0 пад ' ' пад1 (К 0
рассеянное поле в дальней зоне пропорционально фурье-образу
е(кас-кпа), где к ас^волновой вектор рассеянной плоской
волны.
Решение. Пусть R- —расстояние между началом координат,
расположенным внутри рассеивателя, и удаленной приемной
апертурой У (см. рисунок). В дальней зоне расстояние между
текущей точкой объема и точкой наблюдения
328

К задаче 9.4.8
Функция Грина при этом имеет вид
ехр(/*0|у-г'|> ехр( i kQRQ)
4я|у-г'|
Для рассеянного поля в дальней зоне получим
ехр(- tk г'
KV рас
J
exp(-ikpacr')c(r')exp(ifenajir'
) dv' =
е (к -к )
рас пад'
A)
9.4.9. Рассмотреть двумерный вариант предыдущей задачи
при следующих схемах интроскопического эксперимента: 1) об-
облучение производится единственной плоской волной, а рассеян-
рассеянные волны регистрируются в дальней зоне по всем направлениям
(волновые векторы описывают окружность радиусом | k | =
= Wq/cJ; 2) облучение производится волнами со всех направ-
направлений (векторы падающих волн описывают окружность радиусом
|к | = Uq/c.), а рассеянное поле измеряется только по од-
одному направлению. Какова информация о рассеивателе, получае-
получаемая в обоих случаях?
Решение. Несложно показать, что связь (8.1) между рас-
рассеянным полем и пространственным спектром неоднородности
справедлива и в двумерном случае. В результате экспериментов
первого типа удается получить информацию о пространственном
спектре рассеивателя е(к) на окружности радиусом шп/с0.
сдвинутой на - кпа относительно начала координат в импульс-
импульсном пространстве (см. рисунок о). В экспериментах второго
типа, "закрепив" вектор к и вращая вектор облучающего по-
поля к , получаем информацию об е(к) на окружности такого же
радиуса, но сдвинутой на к относительно начала координат
329

a. S
К задаче 9.4.9
(см. рисунок б). Эти окружности совпадают в двух точках, од-
одна из которых —начало координат.
9.4.10. Облучение борновского рассеивателя производится
плоскими волнами фиксированной частоты со всевозможных нап-
направлений. Дальнее рассеянное поле также фиксируется по всем
направлениям. Какую информацию о пространственном спектре
рассеивателя можно получить в таком эксперименте? Какова
степень избыточности этой информации?
Решение. Из задачи 9.4.9 следует, что при фиксированном
к и всевозможных направлениях к спектр реконструирует-
реконструируется на окружности (см. рисунок о к задаче 9.4.9). Варьируя
затем направление волнового вектора к зондирующей волны,
пзд
получим круг удвоенного радиуса |k| ^ 2Wq/c0. Для всех к
внутри круга избыточность информации двукратная; избыточ-
избыточность отсутствует для значений |к| = 2ы^с~ и равна беско-
бесконечности для |к| =0.
9.4.11. Рассмотреть ннтроскопический эксперимент задачи
9.4.10. Оценить возможность восстановления рассеивателя при
отсутствии ошибок измерения и шумов и с учетом их влияния.
Решение. В идеальном варианте (шумы и помехи отсутствуют)
получается точная информация о спектре рассеивателя во всех
точках круга |k| s 2u_/cQ. Функция e(k) аналитична и может
быть однозначно продлена за пределы этого круга (см. задачи
9.2.11-9.2.13). Определив спектр рассеивателя на всем дву-
двумерном импульсном пространстве, с помощью обратного преобра-
преобразования Фурье можно реконструировать сам рассеиватель. При
наличии ошибок и шумов реконструкция будет грубой; процедура
330

аналитического продления—операция очень неустойчивая, чув-
чувствительная к помехам.
9.4.12. Борновский рассенватель облучается плоскими вол-
волнами всевозможных частот и направлений. Рассеянное поле ре-
регистрируется с направления, задаваемого единичным вектором
п . Какова информация, получаемая в результате лоцирова-
ния? Какую априорную информацию о рассеивателе нужно иметь,
чтобы восстановить его без использования неустойчивой проце-
процедуры продления спектра е(к) за пределы области наблюдения?
Решение. Спектр рассеива-
теля ё измеряется на семей-
семействе окружностей (см. рису-
рисунок), проходящих через нача-
начало координат с центрами на
прямой, задаваемой п (см.
рзс
рисунок б к задаче 9.4.9).
Итак, е измеряется для всех
точек импульсного полупрост-
полупространства кп ? 0. Каждая из
г рас
окружностей отвечает фикси-
фиксированной частоте и всевоз-
всевозможным ракурсам облучения.
Для реконструкции рассеива-
теля вид е при кп < 0
рзс
должен автоматически опреде-
К задаче 9.4.12
ляться значениями с в полупространстве измерений. В качестве
априорной информации могут служить, например, соображения
симметрии (четность или нечетность е относительно кп = 0).
9.4.13. Обратные задачи излучения и рассеяния в борновс-
ком приближении сводятся к решению уравнения Фредгольма 1-го
рода, относительно источников f или рассеивающей неоднород-
неоднородности е. Объяснить, почему, вообще говоря, решение обратной
задачи рассеяния единственно, а задача восстановления излу-
излучателя f не имеет единственного решения?
Ответ. Задачи не эквивалентны. При решении обратной зада-
задачи рассеяния можно варьировать облучающее поле, что меняет
вид ядра уравнения Фредгольма; речь идет о континуальной со-
совокупности уравнений с одной и той же неизвестной функцией
е. В случае обратной задачи мы имеем дело с одним уравнением.
331

9.4.14. Борновский рассеиватель представляет собой слабое
возмущение плотности р и сжимаемости /3, локализованное в ог-
ограниченной области R. Получить уравнения рассеяния для дав-
давления и колебательной скорости.
Решение. Пользуясь решением задачи 9.4.9 н поступая по
аналогии с задачей 9.3.1, придем к уравнениям
[:] - С:1
r')J
Введем обозначения: eg = f3Q - C, e = pQ - p, рассмотрим
первое (верхнее) уравнение системы A), заменив полные поля
р и v под интегралами на первичные (зондирующие) поля р. н
V.. Предположим, что на рассеиватель падает плоская волна
pQ = Poexp(t-kna/), vQ = Уоехр(Лпадг), PQ = pQcQVQ, B)
где VQ = | VQ |, |kna | = kQ = Wq/Cq. Для рассеянного поля
exp((?n|r-r'
Предполагая, что [<?J » l/|r-r'|, |r| » |r'|, приходим к
приближению дальней зоны
р-рп ~ ш^Р. [pneft(k -к ) + Э_ё„(к -к )n n ], C)
^ ^0 0 0 L^0 р v рас пая' ' 0 р v рас пад' рас пад-1' v '
где п = к /kn, n = к /kn. Как и в (8.1), здесь
рас рас' 0' пад пад7 0ч v ''
опущен множитель exp(ikQRQ)-4nRQ. Произведя аналогичные пре-
преобразования со вторым (нижним) уравнением системы A), получим
v - v_ - и?Уп [рп?п (к -к )п +|3пе (к -к )п 1. D)
0 0.0 Lr^0 р v рас пад' рас 0 р v рас пад' пад-1 v '
9.4.15. Исходя из A4.3), исследовать поведение диаграммы
направленности рассеянного поля. Можно ли, используя диа-
диаграмму, решить задачу сепарации неоднородностен е„ и с ?
Ответ. Диаграмма направленности поля давления, дифрагиро-
дифрагированного на р-неоднородности, имеет днпольный характер за
счет сомножителя п а(,ппа , в то время как рассеяние на |3-не-
однородности равномерно по всем направлениям. Поэтому в на-
направлении, ортогональном волновому вектору зондирующей вол-
волны, регистрируется только поле, рассеянное ^-неоднородностью.
9.4.16. Исходя из A4.4), проанализировать поведение ком-
компонент вектора колебательной скорости рассеянного поля. Мо-
332

жет ли раздельная регистрация проекций этого вектора на на-
направления зондирования и визирования облегчить задачу сепа-
сепарации рассеивающих неоднородностеи C- и р-типа?
Ответ. Выражение A4.4) является разложением колебатель-
колебательной скорости по направлениям визирования (п ) н зондирова
ния (п ). Первая проекция вектора определяется только рас-
рассеянием на дефекте C-типа, вторая—р-типа. Метод не приме-
применим, если п и п коллинеарны, т.е. при лоцированни не-
неоднородностеи только на просвет либо только на отражение.
9.4.17. Пусть ограниченнная область R, в которой локали-
2 -2 -2
зована неоднородность скорости звука ?; = w_(c0 -с (г)), об
лучается полем pJr,(j>Q) удаленных монохроматических источни-
источников. Показать, что уравнение Гельмгольца преобразуется к виду
9.4.18. Широко используемое во многих задачах приближение
Рытова состоит в приведении уравнения Гельмгольца для внут-
внутренних точек лоцируемой неоднородности к виду A7.1) с опус
канием второго члена в правой части. 1. В чем состоит пре-
преимущество, достигаемое в результате этого приближения?
2. Какова область применимости приближения Рытова? 3. В чем
сходство и различие приближений Борна и Рытова?
Ответ. 1. Уравнение линеаризуется относительно неизвест-
неизвестной ?(г); исчезает мультипликативный член ^р, содержащий
произведение неизвестных функций и ответственный за нелиней-
нелинейную связь рассеивателя с полем. 2. Область применимости —
плавные неоднородности. Характеристики среды должны меняться
незначительно на длине волны. При этом член V 1п(р/р0) мал и
им можно пренебречь. 3. Оба приближения дают уравнения, ли
нейные по ?;. Однако приближение Борна приводит к "истинно
линейному" уравнению, а Рытова —к линейному относительно
функции \п(р/рЛ, нелинейно зависящей от поля. Таким обра-
образом, рытовское приближение сохраняет нелинейность связи ха-
характеристики неоднородности и рассеянного поля, но в "завуа-
"завуалированном" виде. С физической точки зрения разница ясна:
борновское приближение требует слабости рассеивателя, а ры-
рытовское—его гладкости.

СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
Задачники и учебные пособия
1. Ржевкин С.Н. Задачи по теории звука. —М.: Изд-во МГУ,
1976.
2. Бархатов А.Н., Горская Н.В. Задачи по акустике.—Горь-
акустике.—Горький: Изд-во ГГУ, 1983.
3. Гурбатов С.Н., Руденко О. В. Нелинейная акустика в зада-
задачах. -М.: Изд-во МГУ, 1990.
4. Ржевкин С.Н. Курс лекций по теории звука. — М.: Изд-во
МГУ, 1960.
5. Виноградова М.Б., Руденко О.В., Сухорукое А.П. Теория
волн. 2-е изд. —М.: Наука, 1990.
6. Красильников В.А., Крылов В.В. Введение в физическую
акустику. —М.: Наука, 1984.
7. Шутилов В.А. Основы физики ультразвука.—Л.: Изд-во ЛГУ,
1980.
8. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Гидродинамика. —М.: Наука,
1986.
9. Лепендин Л.Ф. Акустика. — М.: Высшая школа, 1978.
10. Исакович М.А. Общая акустика. —М.: Наука, 1973.
11. Бреховских Л.М. Лысанов Ю.П. Теоретические основы акус-
акустики океана.—Л.: Гидрометеоиздат, 1982.
12. Клещев А.А., Клюкин И.И. Основы гидроакустики.—Л.: Су-
Судостроение, 1987.
13. Тюлин В.Н. Введение в теорию излучения и рассеяния зву-
звука. — М.: Наука, 1976.
14. Крылов В.В. Основы теории излучения и рассеяния
звука.-М.: Изд-во МГУ, 1989.
15. Рожин Ф.В., Тонаканов О.С. Общая гидроакустика. —М.:
Изд-во МГУ, 1988.
16. Ахманов С.А., Дьяков Ю.Е., Чиркин А.С. Введение в стати-
статистическую радиофизику и оптику. — М.: Наука, 1981.
Монографии
17. Бреховских Л.М. Волны в слоистых средах. 2-е изд. —М.:
Наука, 1973.
18. Лэмб Г. Динамическая теория звука / Пер. с англ.; под
ред. М.А.Исаковича. — М.: Физматгиз, 1960.
334

19. Морз Ф. Колебания и звук. /Пер. с англ.; под ред.
С.Н.Ржевкина. — М.; Л.: Гостехиздат, 1949.
20. Камп Л. Подводная акустика. /Пер. с англ.; под ред.
С.Н.Ржевкина. -М.: Мир, 1972.
21. Скучик Е, Основы акустики. / Пер. с англ.; под ред.
Л.М.Лямшева.-М.: Мир, 1976.
22. Шендеров Е.Л. Волновые задачи гидроакустики.—Л.: Судо-
Судостроение, 1972.
23. Руденко О.В., Солуян СИ. Теоретические основы нелиней-
нелинейной акустики. — М.: Наука, 1975.
24. Новиков Б.К-, Руденко О.В., Тимошенко В.И. Нелинейная
гидроакустика. — М.: Судостроение, 1981.
25. Гурбатов С.Н., Малахов А.Н., Саичев А.И. Нелинейные слу-
случайные волны в средах без дисперсии. — М.: Наука, 1990.
26. Викторов И. А. Звуковые поверхностные волны в твердых те-
телах. — М.: Наука, 1981.
27. Кайно Г. Акустические волны. / Пер. с англ.; под ред.
О. В. Руденко.-М.: Мир, 1990.
28. Римский-Корсаков А. В. Электроакустика. — М.: Связь, 1973.
29. Сапожков М.А. Электроакустика. — М.: Связь, 1978.
30. Горюнов А.А., Сосковец А.В. Обратные задачи рассеяния в
акустике. — М.: Изд-во МГУ, 1989.
31. Гусев В.Э., Карабутов А. А. Лазерная оптоакустика. — М.:
Наука, 1991.
32. Васильева О.А. Карабутов А.А., Лапшин Е.А., Руденко О.В
Взаимодействие одномерных волн в средах без диспер-
дисперсии. -М.: Изд-во МГУ, 1983.
33. Наугольных К.А., Островский Л.А. Нелинейные волновые
процессы в акустике. —М.: Наука, 1990.