517.3
M 74-
УДК 516
Петр Сергеевич Моденов, Алексей Серапионович Пархоменко
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГНОЛ1ЫРИИ
М., 1976 г., 3S4 стр. с ил л.
Редактор Б. Б. Донченко.
Техн. редактор В. Д. Элькинд. ■.
Корректор А. Л. Ипатоеа.
Сдано в набор 12/V 1975 г. Подписано к печати 14/XI 1975 г. Бумага 84Х1081/»-
Л*« 3. Фнз. печ. л. 12. Усл. печ. л. 20,16. Уч.-изд. л. 22,22. Тираж ГО 000 экз. Цена
клиги 76 коп. Заказ Л» 27.
Издательство «Наука»
Главная редакция физико-математической литературы.
117071 Москва, B-7I, Ленинский проспект, 15.
Ордена Трудового Красного Знамени Ленинградское производственно-техниче-
производственно-техническое объединение «Печатный Двор» имени А. М. Горького Союзполнграфпрома
при Государственном комитете Совета Министров СССР по делам издательств,
полиграфии и книжной торговли. 197Ш. Ленинград, П-136, Гатчинская ул., 26-
„ 20203—003 ,_ _. © Главная редакция
М ...,.-. ..„ 17-75 физико-математической литературы
053@2)-76 издательства «Наука*, 1976.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Йредисловие 8
': глава i
ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. КООРДИНАТЫ ВЕКТОРОВ И ТОЧЕК
\. (задачи 1—290)
§. 1. Сложение векторов. Умножение вектора на число. Коор-
. . динаты вектора (задачи 1 — 31) 11
§2. Раднус-вектор (задачи 32—44) ■ 14
§ 3. Прямоугольные и аффинные координаты точек на пло-
плоскости и в пространстве (задачи 45 — 59) 16
1. Координаты точек на плоскости (задачи 45 — 52) 16
2. Координаты точек в пространстве (задачи 53 — 59) ... 17
§ 4. Расстояние между двумя точками. Длина вектора; направ-
направляющие косинусы (задачи 60—79) 18
1. Расстояние между двумя точками на плоскости (задачи
60-67) . . . 18
2. Расстояние между двумя точками в пространстве. Длина
. вектора. Направляющие косинусы (задачи 68—79) ... 18
§ 5. Деление отрезка в данном отношении (задачи 80—113) . 20
1. Деление отрезка в данном отношении на прямой (задачи
80 — 89) 20
2. Деление отрезка в данном отношении на плоскости
(задачи 90—108) 21
3. Деление отрезка в данном отношении в пространстве
(задачи 109—113): 23
§ 6. Полярные координаты. Сферические и цилиндрические
координаты (задачи 114— 130) 24
1. Полярные координаты на плоскости (задачи 114—123) . 24
2. Сферические и цилиндрические координаты (задачи
124-130) 25
§ 7. Скалярное произведение векторов; угол между векто-
векторами (задачи 131—154) 26
§ 8. Векторы на ориентированной плоскости. Площадь тре-
треугольника (задачи 155—174) 28
1. Векторы на ориентированной плоскости (задачи 155—170) 28
2. Площадь треугольника (задачи 171 — 174) 30
§ 9. Ориентация пространства. Векторное и смешанное произ-
произведение (задачи 175 — 212) 31
§ 10. Скалярное, векторное и смешанное произведение в аффин-
аффинных координатах (задачи 213 — 255) 35
1*

4 ОГЛАВЛЕНИЕ
1. Скалярное произведение векторов на плоскости (задачи
213 — 236) 35
2. Скалярное произведение векторов в пространстве; век-
векторное и смешанное произведение (задачи 237 — 255) . . 38
§ 11. Барицентрические координаты (задачи 256 — 290) 40
1. Барицентрические координаты на прямой (задачи
256-261) 40
2. Барицентрические координаты на плоскости (задачи
262—279) 41
3. Барицентрические координаты в пространстве (задачи
280—290) 44
ГЛАВА II
УРАВНЕНИЯ ЛИНИЙ И ПОВЕРХНОСТЕЙ
(задачи 291—362)
§ 1. Уравнения линий на плоскости (задачи 291—341) .... 48
§ 2. Уравнения поверхностей и линий в пространстве (задачи
342 —3G2) 54
ГЛАВА III
ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ (задачи 3R3 —490)
§ 1. Составление уравнения прямой по различным ее заданиям
(задачи 363—380) 57
§ 2. Взаимное расположение двух прямых на плоскости (за-
(задачи 381—395) 59
§ 3. Взаимное расположение трех прямых на плоскости. Пучок
прямых (задачи 396 — 403) 61
§4. Расположение точек относительно прямой (задачи 40-1 —415) 62
§ 5. Условие перпендикулярности двух прямых (задачи
416 — 429) 63
§ 6. Углы между двумя прямыми. Угол от одной прямой до
другой (задачи 430—449) 65
§ 7. Расстояние от точки до прямой (задачи 450—477) .... 67
§ 8. Метрические задачи па пряную в аффинных координатах
(задачи 478 — 490) 70
Г Л А В А IV
ПЛОСКОСТЬ И ПРЯМАЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
(задачи 491—657)
§ 1. Составление уравнений прямых и плоскостей (задачи
491—523) 72
§ 2. Взаимное расположение двух прямых, двух плоскостей,
прямой и плоскости (задачи 524 — 544) 76
§ 3. Взаимное расположение трех плоскостей. Пучок плоско-
плоскостей. Связка плоскостей (задачи 545 — 555) 81
§ 4. Расположение точек относительно плоскости (задачи
556 — 566) 84
§ 5. Перпендикулярность прямых и плоскостей (задачи
567 — 589) 85

ОГЛАВЛЕНИЕ
S 6. Углы между прямыми и между плоскостями. Угол между
прямой и плоскостью (задачи 590 — 602)
§ 7. Расстояние от точки до плоскости. Расстояние от точки
до прямой. Расстояние между двумя прямыми (задачи
603-622)
§ 8. Векторные уравнения прямой и плоскости (задачи 623 — 651)
§ 9. Метрические задачи на прямую и плоскость в аффинных
координатах (задачи 652 — 657)
ГЛАВА V
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КООРДИНАТ (задачи 658 — 696)
§ 1. Преобразование аффинных координат на плоскости и
в пространстве (задачи 658 — 682)
1. Преобразование аффинных координат на плоскости (за-
(задачи 658 — 672)
2. Преобразование аффинных координат в пространстве (за-
(задачи 673 — 682) :
§ 2. Преобразование прямоугольных координат на плоскости и
в пространстве (задачи 683—69G)
1. Преобразование прямоугольных координат па плоскости
(задачи 683-688)
2. Преобразование прямоугольных координат в пространстве
(задачи 689 — 696) 1
ГЛАВА VI
ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА (задачи 697 — 940)
§ 1. Окружность (задачи 697 — 728) 1
§ 2. Эллипс, гипербола, парабола (задачи 729 — 758) 1
§ 3. Фокусы и директрисы линий второго порядка. Уравнение
линии второго порядка в полярных координатах (задачи
759 — 804) 1
1. Фокусы,, директрисы, эксцентриситет (задачи 759—796) 1
2. Уравнение эллипса, гиперболы и параболы в полярных
координатах (задачи 797 — 804) 1
§ 4. Определение типа и расположения линии второго порядка
по ее общему уравнению. Применение инвариантов (за-
(задачи 805-827) . 1
§ 5. Касательные к линиям второго порядка (задачи 828 — 874) 1
§ 6. Центр, диаметры, асимптоты линий второго порядка (за-
(задачи 875 — 926) 1
§ 7. Метрические задачи на линии второго порядка в аффин- "~
пых координатах (задачи 927 — 940) 1
г л А в a vii
ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА (задачи 941 — 1152)
§ 1. Сфера (задачи 941—974) 1
§ 2. Цилиндры и конусы второго порядка (задачи 975 — 995) 1
§ 3. Эллипсоиды, гиперболоиды, параболоиды (задачи 996— 1040) 1
§ 4. Определение типа н расположения поверхности второго

ОГЛАВЛЕНИЕ
порядка по ее общему уравнению. Применение инвариан-
инвариантов (задачи 1041 — 1070) 147
§ 5. Касательная плоскость. Прямолинейные образующие (за-
(задачи 1071 — 1103) 155
§ 6. Центр. Диаметральные плоскости; плоскости симметрии и
оси симметрии (задачи 1104—1128) 160
§ 7. Плоские сечения поверхностей второго порядка (задачи
1129-1152) 164
ГЛАВА VIII
ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПЛОСКОСТИ И ПРОСТРАНСТВА
(задачи 1153— 1289)
§ 1. Аффинные преобразования (задачи 1153—1205) 169
1. Аффинные преобразования плоскости (задачи 1153—1191) 169
2. Аффинные преобразования пространства (задачи
1192-1205) 174
§ 2. Аффинные преобразования линий второго порядка (за-
(задачи 1206—1227) 176
§ 3. Изометрические преобразования (задачи 1228—1255) ... 178
1. Изометрические преобразования плоскости (задачи
1228—1239) 178
2. Изометрические преобразования пространства (задачи
1240—1255) 180
§ 4. Инверсии (задачи 1256—1289) 186
1. Инверсии плоскости (задачи 1256—1279) 186
2. Инверсии пространства (задачи 1280—1289) 190
ГЛАВА IX
ПРОЕКТИВНАЯ ГЕОМЕТРИЯ (задачи 1290— 1594)
§ 1. Проективная прямая (задачи 1290—1345) 193
1. Проективные координаты на проективной прямой (за-
(задачи 1290— 1304) 193
2. Проективные преобразования проективной прямой (за-
(задачи 1305—1323) 195
3. Инволюции иа проективной прямой (задачи 1324—1345) 198
§ 2. Проективная плоскость (задачи 1346—1387) 201
1. Проективные координаты на проективной плоскости (за-
(задачи 1346-1375) . 201
2. Ангармоническое ■ отношение. Гармонизм (задачи
1376-1387) 207
§ 3. Проективные преобразования проективной плоскости (за-
(задачи !388- 1438) . 209
1. Коллииеации (задачи 1388—1416) 209
2. Корреляции. Поляритет (задачи 1417—1438) 215
§ 4. Линии второго порядка на проективной плоскости (за-
(задачи 1439—1514) 219
1. Линии второго порядка (задачи 1439—1472) 219
2. Полюсы и поляры (задачи 1473—1514) 224
§ 5. Проективное пространство (задачи 1515—1594) 229
1. Проективные координаты в проективном пространстве.
Гармонизм (задачи 1515—1538) 229

ОГЛАВЛЕНИЕ '
2. Коллинеации (задачи 1539—1562) 235
3. Корреляции. Поляритет (задачи 1563—1568) \ 241
4 Поверхности второго порядка в проективном пространстве
' (задачи 1569—1594) 244
глава х
МНОГОМЕРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА (задачи 1595 — 1766)
§ 1. Векторные пространства (задачи 1595—16Ю) 250
§ 2. Точечные аффинные пространства (задачи 1611 — 1632) . . . 252
§ 3. Евклидовы пространства (задачи 1633—1675) 256
1. Векторные евклидовы пространства (задачи 1633—1651) 256
2. Точечные езклидовы пространства (задачи 1652—1675) 259
§ 4. Линейные операторы (задачи 1676—1721) 261
1. Линейные операторы в произвольном векторном простран-
пространстве (задачи 1676—1705) 261
2. Лчнейные операторы в евклидовом векторном простран-
пространстве (задачи 1706 — 1718) 266
3. Изометрические преобразования в точечном евклидовом
пространстве (задачи 1719—1721) 268
§ 5. Линейные, билинейные и квадратичные функции (задачи
1722—1742) • : . . . . 268
1. Линейные функции (задачи 1722—1725) 268
2. Билинейные функции (задачи 1726—1733) 269
3. Квадратичные функции (задачи 1734—1742) 270
§ 6. Поверхности второго порядка (задачи 1743—1766) .... 272
1. Поверхности второго порядка в точечном аффинном про-
пространстве (задачи 1743—1756) 272
2. Поверхности второго порядка в точечном евклидовом
пространстве (задачи 1757—1766) 278
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ 286

ПРЕДИСЛОВИЕ
В настоящее время изложение аналитической геометрии все
более проникается методами линейной алгебры. Современные
курсы аналитической геометрии начинаются с изложения век-
векторной алгебры и векторного введения координат. Затем сле-
следует линейная часть геометрии (прямая на плоскости, плос-
плоскость и прямая в пространстве). После изложения теории ли-
линий и поверхностей второго порядка большое внимание уде-
уделяется вопросу линейных геометрических преобразований (изо-
(изометрические, аффинные и проективные преобразования плос-
плоскости и пространства). При таком построении курса стано-
становится естественным рассмотрение многомерных векторных и
точечных пространств как обобщение двумерного и трехмер-
трехмерного случаев.
Новое построение курса аналитической геометрии привело
к изменению программы этой дисциплины и введению объеди-
объединенного курса алгебры и аналитической геометрии. Такое
построение курса принято сейчас в университетах и
в педагогических институтах. Предлагаемый сборник задач
написан в соответствии с новыми программами курса аналитиче-
аналитической геометрии и объединенного курса аналитической гео-
геометрии и алгебры.
По сравнению с имеющимися сборниками задач по аналити-
аналитической геометрии нами введены новые разделы (ориентация,
барицентрические координаты, метрические задачи в аффинных
координатах), значительно расширен и введен новый материал,
посвященный геометрическим преобразованиям -(изометриче-
-(изометрические преобразования, инверсия); в главе IX — Проективная
геометрия — главное место занимают задачи на проективные
преобразования; содержание задач, связанных с понятиями инво-
инволюции, гомологии, классификации проективных преобразова-
преобразований и др., выходит за пределы традиционного изложения этого

ПРЕДИСЛОВИЕ У
материала. В главе X о многомерных пространствах основное
внимание уделено геометрическим вопросам, поскольку задачи,
связанные с чисто алгебраическим материалом (определители,
системы линейных уравнений, матрицы и др.), нашли свое
отражение в сборниках задач но линейной алгебре. В дополне-
дополнение к настоящему пособию авторы рекомендуют в первую
очередь «Сборник задач по линейной алгебре» И. В. Проску-
Проскурякова.
Ввиду того, что за последние годы вышло несколько полных
курсов аналитической геометрии, написанных в соответствии
с новыми программами, ангоры из педагогических соображений
не считали целесообразным давать перед каждой главой сбор-
сборника задач список основных определений, формул и теорем.
Вместо этого перед каждым параграфом, а иногда и перед каж-
каждым пунктом даны указания соответствующих глав и параграфов
из следующих учебников:
Александров П. С, Лекции по аналитической геометрии,
«Наука», 1968. *
Гсльфапд И. М., Лекции по линейной алгебре, «Наука»
1971.
Е ф и м о в Н. В., Розендорн Э. Р., Линейная алгебра
и многомерная геометрия, «Наука», 1974.
Моденов П. С, Аналитическая геометрия, изд-во МГУ,
1969.
Постников М. М., Аналитическая геометрия, «Наука», 1973.
В указаниях эти книги кратко именуются фамилиями их
авторов.
Задачник разбит на болыцое число параграфов и пунктов,
чтобы преподаватели и студенты могли легче ориентироваться
в .материале, выбирая те или иные задачи в зависимости от
порядка изложения теоретического материала.
В оглавлении рядом с названием каждой главы, параграфа
и пункта указаны номера задач.
Задачи, имеющие теоретическое значение, и задачи повы-
повышенной трудности отмечены звездочкой.
К небольшой части задач, особенно в первых главах,
даны указания.
В задачах на доказательство ответы, естественно, не при-
приводятся.
В некоторых задачах даются определения тех понятий,
которые связаны с этой задачей, но имеются не во всех
учебниках.

10
ПРЕДИСЛОВИЕ
При составлении задачника нами использована следующая
литература:
Александров П. С, Лекции по аналитической геометрии,
«Наука», 1968.
Атанасян Л. С, Атанасян В. А., Сборник задач по
геометрии, «Просрещение», 1973.
Бахвалов С. В., Бабушкин Л. И., ИваницкаяВ. П.,
Аналитическая геометрия, Учпедгиз, 1962.
Бюшгенс С. С, Аналитическая геометрия, ч. I и II, Гостех-
издат, 1946.
Гельфанд И. М., Лекции по линейной алгебре, «Наука», 1971.
Глаголев Н. А., Проективная геометрия, ОНТИ, 1936.
Делоне Б. Н., Райков Д. .А., Аналитическая геометрия,
т. I, Гостехиздат, 1947; т. II, Гостехиздат, 1948.
Дьедонне Ж-, Линейная алгебра и элементарная геометрия,
«Наука», 1972.
Ко кете р Г. М. С, Введение в геометрию, «Наука», 1966.
К о кете р Г. М. С, Действительная проективная плоскость,
Физматгиз, 1959.
Моденов П. С, Аналитическая геометрия, изд-во МГУ, 1969.
Постников М. М., Аналитическая геометрия, «Наука», 1973.
Проскуряков И. В., Сборник задач по линейной алгебре,
«Наука», 1974.
X од ж В., П и д о Д., /Методы алгебраической геометрии, тт. I, II,
ИЛ, 1954.
Авторы

ГЛАВА I
ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. КООРДИНАТЫ
ВЕКТОРОВ И ТОЧЕК
§ 1. Сложение векторов. Умножение вектора
на число. Координаты вектора
Александров, гл. II, §§ 2, 4.
Моденов, гл. 11, § 11; гл. IV, §§ 30—37.
Постников, гл.1, § 3, пп. 1—6. '
1. Векторы АС = а и BD=-b служат диагоналями парал-
параллелограмма ABCD. Выразить векторы АВ, ВС, CD и DA
через векторы а и Ь.
2. В трапеции ABCD отношение основания AD к осно-
основанию ВС равно К. Полагая AC —a, BD = b, выразить через
а и Ь векторы АВ, ВС, CD и DA.
3*. Доказать: для того, чтобы направленные отрезки АВ
и CD были равны, необходимо и достаточно, чтобы совпа-
совпадали середины отрезков AD и ВС.
4. В треугольнике ABC проведены медианы AD, BE и
CF. Представить векторы AD, BE и CF в виде линейных
комбинаций векторов АВ и АС.
5. В треугольнике ABC проведены медианы' AD, BE и
CF. Найти сумму векторов ~AD, BE и CF.
6. Точки Е и F служат серединами сторон АВ и CD
четырехугольника ABCD (плоского или пространственного).
Доказать, что EF — —^—. Вывести отсюда теорему о сред-
средней линии трапеции.
7. Точки Е и /-' служат серединами диагоналей АС и BD
четырехугольника ABCD (плоского или пространственного).
Доказать, что

12 ГЛ. I. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА t 8
8. Точки К и L служат серединами сторон ВС и CD
параллелограмма ADCD. Выразить векторы ВС и CD через
векторы ЛК и AL.
9*. В плоскости треугольника ABC найти такую точку,
чтобы сумма векторов, идущих из этой точки к вершинам
треугольника, была равна 0.
10*. Дан четырехугольник ABCD. Найти такую точку М,
чтобы ЖА + MB + MC+ ~MD = 0.
11. На стороне AD параллелограмма ABCD отложен
отрезок ЛК—-Щ-А1), а на диагонали АС — отрезок AL-=.-AC.
Доказал., что векторы KL и LB коллинеарнн и найти отно-
отношение :-.-..
12*. 1) Доказать, что если точки К, L, М, N делят в
одном и том же отношении Я стороны АВ, ВС, CD, DA
параллелограмм?. ABCD, то четырехугольник KLMN есть
параллелограмм.
2) Если %ф\ и четырехугольник KLMN— параллело-
параллелограмм, то и четырехугольник ABCD — параллелограмм.
13*. Дан тетраэдр ABCD. Найти точку М, для которой
14*. К точке М приложены три ненулевых вектора х,
у, г, сумма которых равна нулю. Зная углы а, р, у между
векторами у и г, г и х, X и у, найти отношения модулей
этих векторов | х \: \у \'. | Z \.
15*. К точке М, лежащей в плоскости треугольника ABC,
приложены три непулевых вектора х, у, г, направленных по
лучам MA, MB, MC, причем сумма этих векторов равна
пулю. Найти отношение модулей этих векторов \х \: \у |: | г \,
если:
1) точка М является центром окружности, описанной
около треугольника ABC;
2) точка М является центром окружности, вписанной
в треугольник ABC;
3) точка М является точкой пересечения высот остро-
остроугольного треугольника ABC.
16*. Найти точку М, лежащую в плоскости треуголь-
треугольника ABC, если сумма трех ненулевых векторов с равными

26 ] § I. СЛОЖЕНИЕ ВЕКТОРОВ. УМНОЖЕНИЕ НА ЧИСЛО
13
модулями, приложенных к этой точке и направленных по
лучам ~МА, MB, ~МС, равна нулю.
17*. Доказать, что сумма векторов, идущих из центра
правильного многоугольника к его вершинам, равна 0.
18. Доказать, что вектор, идущий из произвольной точки
пространства в центр правильного многоугольника, есгь сред-
среднее арифметическое векторов, идущих из этой точки к_ вер-
вершинам многоугольника. „
19. Дан тетраэдр ОАВС. Выразить через векторы ОА,
ОВ, ОС вектор EF, началом которого служит середина Е
ребра ОА, а концом — середина F ребра ВС.
20. Дан тетраэдр ОАВС. Выразить через векторы ОА,
ОВ, О~С вектор EF с началом в середине Е ребра ОА и
концом в точке F пересечения медиан треугольника ABC.
21. Даны два треугольника ABC и А'В'С. Выразить
вектор ММ', соединяющий точки пересечения медиан этих
треугольников, через векторы АА', В В', СС.
22. Из точки О выходят два вектора, 0А = а, ОВ = Ь.
Найти какой-нибудь вектор ОМ, идущий но биссектрисе
угла АОВ.
23. Дан правильный шестиугольник ABCDEF. Принимая
за базисные векторы АВ и АС, найги в этом базисе коор-
координаты векторов АВ, ВС, CD, DE, EF, /-'Л.
2jt. В трапеции ABCD отношение основания ВС к осно-
основанию AD равно К. Принимая за базис векторы AD и АВ,
найти координаты векторон АВ, ВС, CD, DA, AC, BD.
25. Дай параллелепипед ABCDA'B'C'D'. Принимая за
базис еъ е2, е3 векторы АВ, AD, АА', найти в этом базисе
координаты векторов, совпадающих с ребрами, диагональю
параллелепипеда и диагоналями его граней, для которых
вершина А' служит началом.
26. Дан тетраэдр ОАВС. Принимая за базисные векторы
еь еъ еА векторы ОА, ОВ, ОС, найти в этом базисе коор-
координаты: 1) векторов AB,J1C, C~A; 2) вектора Ъ~Е, соединяю-
соединяющего середину D ребра ОА с серединой Е ребра ВС; 3) век-
вектора, соединяющего середину D ребра ОА с точкой F пере-
пересечения медиан грани ВОС; 4) вектора А~Е, соединяюще-
соединяющего вершину А с серединой ребра ВС; 5) вектора ОМ,

1.4 ГЛ. I. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА £ 27
соединяющего вершину О с точкой пересечения М-медиан грани
ABC.
27. Даны четыре вектора а = {1, 5, 3}, Ь= {6, —4, —2},
с-={0, — о, 7}, d = { — '20, 27, -35}. Подобрать числа а,
Р и Y так> чтобы векторы аа, $Ь, ус и d образовывали
замкнутую ломаную линию, если начало каждого последую-
последующего вектора совместить с концом предыдущего.
28. Установить, в каких из нижеследующих случаев тройки
векторов а, Ъ и с будут линейно' зависимы, и в том случае,
когда это возможно, представить вектор с как линейную
комбинацию векторов а и Ь:
1) а = {5, 2, 1}, & = {-!,£,2}, с = {-1,-1,6};
2) а = {6, 4, 2}, ft = {-9,6, 3}, с = {-3, 6,-3};
3) «={6,-18, 12}, 6 = {-8,24, -16},с = {8, 7, 3}. •
29. Показать, что, каковы бы ни были три вектора а,
Ь и с и три числа а, р\ у, векторы аа — $b, yb — ac,
f>c — ya комплаьарны.
30*. Даны два вектора й = {2, 5, 14}, 6 —{14, 5, 5}.
HafiTH проекцию вектора а на плоскость Оху при направ-
направлении проектирования, параллельном вектору Ь.
31. Даны четыре вектора а — {\, 2, 3}, Ь = {2, —2, 1},
с={4, 0, 3}, d={16, 10, 18}. Найти вектор, являющийся
проекцией вектора d на плоскость, определяемую векторами
а и Ь, при направлении проектирования, параллельном век-
вектору с.
§ 2. Радиус-вектор
Пост п и ков, гл. 2, § 1.
32. Зная радиусы-векторы гъ г2, г3 трех последователь-
последовательных вершин параллелограмма, найти радиус-вектор г4 чет-
четвертой его вершины.
33. Зная радиусы-векторы гъ г2, г3, г\ четырех вершин
А, В, С, А' параллелепипеда ABCDA'B'C'D', найти радиусы-
векторы четырех остальных его вершин.
34. Даны радиусы-векторы г1 и г2 точек А а В. Найти
радиус-вектор г точки С, делящей направленный отрезок АВ
в отношении К. Найти также радиус-вектор г' середины М
отрезка АВ.

§ 2. РАДИУС-ВЕКТОР 1S
35. Даны радиусы-векторы гь г2, г3 вершин треуголь-
треугольника 'ABC. Найти радиус-вектор г точки пересечения его
медиан.
/36*. Доказать, что если О А, ОВ, ОС — три ребра парал-
параллелепипеда, a OD — его диагональ, то точка М пересечения
прямой OD с плоскостью, проходящей через точки А, В, С,
является точкой пересечения медиан треугольника ABC и
делит отрезок OD в отношении 1 :2.
37*. В треугольнике ABC проведена_^биссектриса АО
внутреннего угла А. Выразить вектор AD через векторы
ТВ и АС.
I/ 38. В прямоугольном треугольнике ABC опущен перпен-
перпендикуляр ~СН на гипотенузу АВ. Выразить вектор_СЛ/ че-
через векторы СА и С В ' и длины катетов | ВС \ = а и
\са\=ь.
у 39*. Зная радиусы-векторы гь г2, г3 вершин треуголь-
треугольника Л5С и длины а, Ь, с сторон, противолежащих этим
вершинам, найти радиус-вектор г центра круга, вписанного
в этот треугольник.
40*. Зная радиусы-векторы г1; г2, г3 вершин треуголь-
треугольника ABC и его внутренние углы, найти радиус-вектор г
основания перпендикуляра, опущенного из вершины А на
сторону ВС.
41*. Зная радиусы-векторы гь г2, г3 трех последователь-
последовательных вершин А, В, С трапеции ABCD, найти радиус-вектор г4
четвертой вершины D, радиус-вектор г' точки пересечения
диагоналей и радиус-вектор г" точки пересечения боковых
сторон, если отношение основания AD к основанию ВС
равно К. У
42*. Доказать, что отрезки прямых, соединяющих сере-
середины противоположных ребер тетраэдра, пересекаются в одной
точке и делятся этой точкой пополам; доказать также, что
в той же точке пересекаются отрезки прямых, соединяющих
вершины тетраэдра с точками пересечения медиан противо-
противоположных граней, и делятся этой точкой в отношении 3: 1
(считая от вершин).
43. В точках Мь Мь ..., М„, имеющих соответственно
радиусы-векторы гь г.г,..., г„, помещены массы тъ т2..., тп.
Найти радиус-вектор центра тяжести этой системы материаль-
материальных точек.

16
ГЛ.1. ВЕКТОРНАЯ ЛЛГГ. 15РА [44
44*. Доказать, что каково бы ни было конечное мно-
множество точек Ль Л2,.,., А„ (па прямой, па плоскости или
п пространстве), существует и притом только одна такая
точка М, что МАг -f М~А2 + • • • + МА„ = 0.
§ 3. Прямоугольные и аффинные координаты точек
на плоскости и в пространстве
. Александров, гл. III, § 1; гл. IV, § I, п. ).
Мод ей ов , гл. И, §§ 9, 10.
Постников, гл. 2, § 1, пп. 1, 4
/. Координаты точек на плоскости
45. Дан правильный шестиугольник ABCDEF. Найти
координаты его вершин, принимая за начало координат вер-
вершину А, за положительное направление оси абсцисс — направ-
направление стороны АВ, за положительное направление оси
ординат —направление диагонали А1:, а за единицу масштаба
но обеим осям— сторону шестиугольника.
46. Основание AD равнобочной трапеции ABCD равно 8,
высота равна 3, а углы, прилежащие к этому основанию,
равны -j-. Принимая за ось абсцисс основание AD, а за ось
ординат ось симметрии трапеции, направленную от большего
основания к меньшему, найти в этой прямоугольной системе
координаты вершин трапеции, точки М пересечения ее диаго-
диагоналей и точки 6" пересечения ее боковых сторон.
47. Относительно прямоугольной системы координат дана
точка М —(х, у). Найти точку, симметричную точке М:
1) относительно начала координат;
2) относительно оси абсцисс;
3) относительно оси ординат;
4) относительно биссектрисы первого и третьего коорди-
координатных углов;
5) относительно биссектрисы второго и четвертого коор-
координатных углов.
48. Дан правильный шестиугольник ABCDEF. Принимая
за начало аффинной системы координат вершину А, а за
базис — векторы АВ и АС, найти в этой системе координаты
вершин шестиугольника.

58 ] § 3. ПРЯМОУГОЛЬНЫЕ И АФФИННЫЕ КООРДИНАТЫ ТОЧЕК 17
49. Б трапеции ABCD отношение основания AD к осно-
основанию ВС равно 3. Принимая за начало координат вершину
Д, а за базисные векторы — основание AD и боковую сторону
АВ, найти координаты вершин трапеции, точки М пересече-
пересечения ее диагоналей и точки 5 пересечения боковых сторон.
50. /Чаны две смежные вершины А —(— 1, 3), В = ('2, 1)
параллелограмма ABCD. Найти две другие его вершины при
условии, что диагональ АС параллельна оси Ох, а диагональ
Ую параллельна ос» Оу.
51. Даны три последовательные вершины параллелограмма
А =--.(— 2, 1), # = A, 3), С = D, 0). Найти четвертую его
вершину D. Система координат аффинная.
52*. Даны две точки А = (—3, 1) и й = B, —3). На пря-
прямой АВ найти точку М так, чтобы она была расположена
но ту же сторону от точки А, что и точка В, и (чтобы отре-
отрезок AM был втрое больше отрезка АВ (система координат
аффинная).
2. Координаты точек в пространстве
53. Относительно прямоугольной системы координат дана
точка М = {х, у, г). Найти координаты точки, симметричной
с точкой М: 1) относительно начала координат; 2) относи-
относительно плоскости Оху; 3) относительно оси Oz.
54. Относительно прямоугольной системы координат Оху г
дана точка М = (х, у, г). Найти ее ортогональную проекцию:
1) па ось Ох; 2) на плоскость Oyz.
55. Определить расстояния dx, d4, dz точки М = (х, у, г)
от осей координат Ох, Оу, Oz (система координат прямо-
прямоугольная).
56. В третьем октанте найти точку, зная, что ее расстоя-
расстояния до осей Ох, Оу, Oz равны соответственно о; 3 V Ъ ;
^ У 13. Система координат прямоугольная.
57. Вершина А параллелепипеда ABCDA'B'C'D' принята
за начало координат, а три ребра АВ, AD, AA' — за базис-
базисные векторы. Найти в этой системе координаты всех вершин
параллелепипеда.
58. Вершина О тетраэдра ОАВС принята за начало коор-
координат, а векторы О А, Ъ~В, ОС — за базисные векторы. Найти
н этой системе координаты точек пересечения медиан граней
тетраэдра.

18 ' ГЛ. I. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА [ 59
0. Даны две точки А = A, 2, 3), В = G, 2, 5). На прямой
АВ найти такую точку М, чтобы точки В и М были располо-
расположены по разные стороны от точки А и чтобы отрезок AM
был вдвое длиннее отрезка АВ. Система координат аффинная.
§ 4. Расстояние между двумя точками. Длина вектора;
направляющие косинусы
Ал ександров, гл. IV, § I, п. 2; § 2, п. 2.
Моденов, гл. II, § 12.
Постников, гл. 2, § 1, п. 4.
Во всех задачах этого параграфа система координат явля-
является прямоугольной.
/. Расстояние между двумя точками на плоскости
/об/ Дана окружность с центром в точке F, 7) и ради-
радиусом 5. Из точки G, 14) к этой окружности проведены
касательные. Найти их длины.
61. Дана окружность радиуса 10 с центром (—4, —6).
Найти точки ее пересечения с биссектрисами координатных углов.
62. Найти центр М и радиус г окружности, описанной
околвчтреугольника с вершинами (— 2, — 2), B, 6), E, — 3).
Щ& Зная две противоположные вершины ромба А = (8, _—3)
и С = (Ю, 11), найти две другие его вершины при условии,
что длина стороны ромба равна 10.
64. Найти центр окружности* проходящей через точку
(— 4, 2) и касающейся оси Ох в точке B, 0).
65. Найти центр и радиус окружности, проходящей через
точку B, — 1) и касающейся обеих осей координат.
66. Найти центр и радиус окружности, проходящей через
точки F, 0) и B4, 0) и касающейся оси Оу.
67. Дан прямоугольный треугольник АОВ: О = @, 0),
А = D, 0), 5 = @, 3). Найти центр М и радиус г окруж-
окружности, касающейся оси Ох, проходящей через точку В и име-
имеющей центр на прямой АВ.
2. Расстояние между двумя точками в пространстве.
Длина вектора. Направляющие косинусы
68. Даны четыре точки А = A, 2, 3), В ==E, 2, 3),
С= B, 5, 3), D — (l, 2, —1). Найти центр и радиус сферы,
проходящей через эти точки.

7SI j § 4. РАССТОЯНИЕ МЕЖДУ ДВУМЯ ТОЧКАМИ 19
69*. На плоскостях координат найти точки, которые
пместе с началом координат служили бы вершинами правиль-
правильного тетраэдра с ребром, равным единице, лежащего в пер-
первом октанте.
70. Найти точку М, отстоящую от точки Л = (—4, 0, 1)
на расстояние 9, зная направляющие косинусы вектора ОМ-
г,> - 2/з, V»
■ 71. Вершины треугольника находятся в точках
Л ,-=B, — 1, 3), В = D, 0, 1), С = (— Ю, о, 3). Найти направ-
направляющие косинусы биссектрисы угла ABC.
72. Луч образует с осями Ох и Оу углы, соответственно
равные -~ и ~, а с осью Oz — тупой угол. Найти этот
угол.
73. Вычислить координаты вектора, длина которого равна
г-Г
8, зная, что он образует с осью Ох угол ~, с осью Ог —
угол -"-, ас осью Оу — острый угол.
" О
74. Найти координаты вектора, длина которого равна 5,
а углы а, р, у, образуемые им с положительными направле-
направлениями осей Ох, Оу, Oz, связаны соотношением
sin a: sin р : sin у ='6 : 4:5.
■ 75. Найти углы ср!, ср2, ср3, образуемые вектором {6, 2, 9}
с плоскостями координат Оуг, Огх, Оху.
76. Луч, выходящий из начала координат, образует с осями
координат углы а, Р, у. Найти направляющие косинусы
проекции этого луча на плоскость Оху.
77*. Доказать, что если плоскость отсекает на осях коор-
координат отрезки, длины которых равны а, Ь и с, то длина
перпендикуляра р, опущенного на эту плоскость из начала
координат, удовлетворяет соотношению
а2 "г" Ь1 ' с2 р2 "
78. Из одной точки проведены векторы а = {—3, 0, 4}
и 6 = {5, —2, —14}. Найти единичный вектор, который,
будучи отложен от той же точки, делит пополам угол между
векторами а и Ь.
79*. Два луча, выходящие из начала координат, образуют
с осями координат углы аь $v уг и а2, р2, у2. Найти
направляющие косинусы биссектрисы угла между этими лучами.

20 ГЛ. I. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕ13РА [ 80
§ 5. Деление отрезка в данном отношении
Александров, гл. I, § б; гл. Ill, § 3.
Моденов, гл. I, § 5.
Постников, гл. 2, § 1, п. 3.
1. Деление отрезка в данном отношении на прямой
80. На оси координат даны три точки: Л = B), Z? = G), С = D).
Пайги: 1) отношение, в котором точка С делит отрезок АВ;
2) точку D, делящую отрезок АВ в отношении —=•;
3) середину Е отрезка CD; 4) отношение, в котором точка
Е делит отрезок All.
81*. Точка М делит отрезок АВ в отношении К. В каком
отношении делит отрезок АВ точка М', симметричная точке
М относительно середины отрезка АВ.
82*. Пусть точка С делит направленный отрезок АВ
н отношении "КфХ, точка D делит тот же отрезок в отно-
отношении — Я, а точка /:" является серединой отрезка CD.
1) Найти отношение, в котором точка Е делит отрезок
АВ. ..
2) Доказать, что при любом К ф 1 точка Е лежит вне
отрезка АВ.
" 83. Па оси координат даны три точки О = @), Е = (\\
М = (х). Найти отношение, в котором точка О делит направ-
направленный отрезок МП.
84*. На прямой даны три точки. Точка С делит направ-
направленный отрезок АВ в отношении КфО. Найти отношение,
в. котором каждая из точек А, И, С делит направленный
отрезок, определяемый двумя другими.
„гя, „ ~АР . AQ AR , , . ,,
85*. Пусть ъ~ =К, -Л = }i, ~s = v (ц ф v). Найти ото-
шение, в котором точка R делит отрезок PQ.
~ар ~aq T*r
86*. Пусть — = К, =— = (х, _)-- = v. Найти отношение,
РВ QB RQ
в котором точка R делит отрезок АВ.
87. Даны три точки А = A), й = B), С=D). Найти
точку D так, чтобы четверка точек А, В, С, D была 'гар-
'гармонической.

96 i § 5. ДЕЛЕНИЕ ОТРЕЗКА В ДАННОМ ОТНОШЕНИИ 21
88. Доказать, что если пара точек С, D гармонически
разделяет пару А, В, то
1-1 + 1
где х, у, г —соответственно координаты векторов АВ, АС
и АО.
89. Доказать, что если отрезок A3 делится точкой О
пополам, а точками С и D гармонически, то аг = сй, где а,
Сг (I _ координаты точек А, С, D в системе координат
с началом в точке О.
2. Деление отрезка в данном отношении
на плоскости
90. Один из концов отрезка АВ находится в точке
А = B, 3), его серединой служит точка М — (\, — 2). Найти
другой конец отрезка. Система координат аффинная.
91. Даны середины сторон треугольника B, 4), (—3, 0),
B, 1). Найти его вершины. Система координат аффинная.
92. Даны две смежные вершины параллелограмма ABCD:
Л —( — 4, —7) и В = B, 6) и точка пересечения его диаго-
налей М = (Ъ, 1). Найти две другие вершины параллело-
параллелограмма. Система координат аффинная.
93. На осях Ох и Оу отложены соответственно отрезки
\ОА\ = 8, \ ОВ | = 4. Найти отношение, в котором основа-
основание перпендикуляра, опущенного на прямую АВ из начала
координат, делит отрезок АВ. Система координат прямо-
прямоугольная.
94. Вершины треугольника ABC находятся в точках
(хь }>i), (х* У г), {х3, уа). Найти точку (х0, у0) пересе-
пересечения медиан этого треугольника. Система координат аф-
аффинная.
95. Даны три последовательные вершины трапеции
А^(_2, —3), # = A, 4), С = C, 1). Найти четвертую ее
вершину D при условии, что основание AD в пять раз
больше основания ВС. Найти также точку М пересечения
диагоналей и точку б1 пересечения боковых сторон гранении.
Система координат аффинная.
96. Дана точка Л = B, 4). Найти точку В при условии,
что точка С пересечения прямой АВ с осью ординат делит

22 ГЛ. I, ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА [ 97
отрезок АВ в отношении, равном -.-, а точка D пересече-
О
ния прямой АВ с осью абсцисс делит отрезок АВ в отноше-
3
нии — -г-. Система координат аффинная.
97. Даны две точки А — (9, — 1) и В = (—2, 6). В каком
отношении делит отрезок АВ точка С пересечения прямой
АВ с биссектрисой второго и четвертого координатных
углов? Система координат прямоугольная.
98. Найти две точки, А и В, зная, что точка С = (—5, 4)
,. о
делит отрезок АВ в отношении -^-, а точка £> —F, —5) —
2
в отношении -=-. Система координат аффинная.
О
99. В треугольнике с вершинами Л = E, 4), В = (— 1, 2),
С = E, 1) проведена медиана AD. Найти ее длину. Система
координат прямоугольная.
100. Дан треугольник с вершинами А = D, 1), В = G, 5),
С = (—4, 7). Вычислить длину биссектрисы AD угла ВАС.
Система координгт прямоугольная.
101*. Найти центр М и радиус г круга, вписанного
в треугольник с вершинами (9, 2), @, 20), (— 15, —: 10).
Система координат прямоугольная.
102. Найти точку пересечения общих касательных двух
/ 22 31 \
окружностей, центры которых С1=^B, 5) и С2 = (-^-, -=- ,
\ о о у
а радиусы соответственно равны 3 и 7. Система координат
аффинная.
103*. Даны три последовательные вершины трапеции
А = (— 1, —2), В = (\, 3), С = (9, 9). Найти четвертую вер-
вершину D этой трапеции, [точку М пересечения ее диагона-
диагоналей и точку 5 пересечения боковых сторон, зная, что дли-
длина ее основания AD равна 15. Система координат прямо-
прямоугольная.
'104. В трех точках A = h, J-), В = F, 7) и С = B, 4)
помещены массы, соответственно равные 3; 5; 2. Определить
центр тяжести этой системы точек. Система координат
аффинная.
105. Найти координаты центра тяжести однородного
стержня, согнутого под прямым углом, если длины его час-

Il3] § 5. ДЕЛЕНИЕ ОТРЕЗКА В ДАННОМ ОТНОШЕНИИ 23
тей '~ОЛ I = 2, | 05 | = 5, принимая за начало координат точку О,
а за положительные направления осей Ох и Оу соответст-
соответственно направления ОА и ОБ.
106*. Найти координаты центра тяжести проволочного
треугольника, длины сторон которого 3, 4 и о, направляя
ось абсцисс по меньшему, а ось ординат по большему катету
треугольника.
107*. Доказать, что четырехугольник ABCD с верши-
вершинами Л = A, 2), £ = (— 3, 1), С = (— 1, —5), £ = C, —1)
выпуклый. Система координат аффинная.
108*. Проверить, чго четырехугольник ABCD с верши-
вершинами Л = D, 4), 5 = E, 7), С = (Ю, 10), D = A2, 4) явля-
является выпуклым, и найти центр тяжести четырехугольной одно-
однородной пластинки с вершинами в точках А, В, С, D.
3. Деление отрезка в данном отношении в пространстве
109. Даны две вершины треугольника: Л = (—4, — 1, 2)
и 5 = C, 5, — 16). Найти третью вершину С, зная, что сере-
середина стороны АС лежит на оси Оу, а середина стороны ВС
на плоскости Oxz. Система координат аф'финная.
110. Найти отношение, в котором плоскость Oyz делит
отрезок АВ: А = B, — 1, 7) и В = D, 5, — 2). Система коор-
координат аффинная.
111*. Даны две точки А = (8, —6, 7) и 5 = ( —20, 15, 10).
Установить, пересекает ли прямая АВ какую-нибудь из осей
координат.
112*. Даны четыре точки:
Л = (-3, 5, 15), 5 = @, 0, 7),
С = B, -1, 4), D = D, _3, 0).
Установить, пересекаются ли прямые АВ и CD, и если
пересекаются, то найти точку их пересечения. Система коор-
координат аффинная.
113*. Три последовательные вершины трапеции находятся
в точках Л = (—3, —2, —1), В = (\, 1, 3), С = (9, 6, 4).
Найти четвертую вершину D этой трапеции, точку М пере-
пересечения ее диагоналей и точку 5 пересечения боковых сто-
сторон, зная, что длина основания AD равна 15. Система коор-
координат прямоугольная.

24 ГЛ. I. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА [ 114
§ 6. Полярные координаты. Сферические
и цилиндрические координаты
Александров, гл. IV, §§ 4, 5.
Моденов, гл. II, §§ 18, 19.
Постников, гл. 2, § 1, п. 5.
1. Полярные координаты на плоскости
114. Дан правильный шестиугольник ABCDEF, длина
стороны которого равна 1. Приняв за полюс вершину А, за
положительное направление полярной оси — направление век-
вектора ЛБ, а за положительное направление отсчета углом —
направление кратчайшего поворота от ~АВ к АС, определить
в этой системе полярные координаты вершин шестиугольника.
115. Вычислить расстояние между двумя данными точками:
2)C= 4, £ и 0=6,-^-;
116*. Даны полярные координаты точек А = (8, —5") и
В—[б, -^ I. Вычислить полярные координаты середины
отрезка ЛВ.
117. Относительно полярной системы координат дана
точка А = :о, ~\. Найти: 1) точку В, симметричную точке
А относительно полюса; 2) точку С, симметричную точке А
относительно полярной оси.
118. Относительно полярной системы координат даны
л !п л \ о (о 4я \ _ I. ЗлД г-. ,- ,
точки А = '2, ---] а = ^5, -g-j, С = ( 1, у ■, V = (o, п),
Е = E, 0). Какие координаты будут иметь эти точки, если
повернуть полярную ось вокруг полюса в положительном
направлении на угол Зя/4?
119. Вычислить площадь треугольника, одна из вершин
которого помещается в полюсе, а две другие имеют поляр-
/. я\ 1, 5л \
ные координаты '4, „-), ! 1, -То~;.

130 J
§ 6. ПОЛЯРНЫЕ КООРДИНАТЫ 25
120. Относительно полярной системы координат даны точки
л-=^,-3-), в—\У2'-а~г с-{0' 2-у D=-\3> — су
Найти координаты этих точек в соответствующей прямо-
прямоугольной системе координат.
121. Зная прямоугольные координаты точек Л = (—1,1),
/3 = @,2), С = E,0), D = (— 8, —6), найти их координаты
в полярной системе координат, соответствующей данной
прямоугольной.
122. Зная полярные координаты точки: г = 10, ер = я/6,
найти ее прямоугольные координаты, если полюс находится
в точке B, 3), а полярная ось параллельна оси Ох.
123. Полюс полярной системы координат находится
и точке C, о), а положительное направление полярной оси
совпадает с положительным направлением оси Оу. Найти
в этой системе полярные коорипаты точек Л^ —(9, —1) и
УИа = (о, 5-2
2. Сферические и цилиндрические координаты.
124. Найти сферические координаты точек но их прямо-
прямоугольным координатам: А = (—• 8, — 4, 1), В = (— 2, — 2, — 1),
С = @, —4, 3), D = (l, — 1, —1), £ = @, 1, 0).
125. Найти сферические координаты точки М, зная, что
луч ОМ образует с осями Ох и Оу углы, соответственно
равные ,-д- и --, и что третья координата точки г = — 1.
126. Найти прямоугольные координаты точки, лежащей
на шаре радиуса 1, зная ее широту 0 = 45° и долготу ер —330°.
127*. Найти длину меньшей из двух дуг большого круга,
соединяющей две точки А к В, лежащие на шаре радиуса г,
зная широту и долготу этих точек Л = (ф1; Oj), В = (ц>.2, 02).
128. Найти цилиндрические координаты точек по их прямо-
Угольным координатам: Л = C, —4, 5), £ = (!, — 1, —1),
С = (—6, 0, 8).
129. Найги цилиндрические координаты точки М, зная, чго
лУч ОМ составляет с осями координат углы -^ , " и "
и что длина отрезка ОМ равна 1.
130. Найти угол а вектора ~ОМ с осью Ох, зная цилиндри-
цилиндрические координаты г, ф, г точки М.

26
ГЛ. I. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА f 131
§ 7. Скалярное произведение векторов;
угол между векторами
Александров, гл. IV, § 2.
Моденов, гл. IV, §§ 38,39.
Постников, гл. 1, § 5, пп. 1—5.
В задачах этого параграфа, в которых встречаются коор-
координаты, система координат предполагается прямоугольной.
131. Дан равносторонний треугольник ABC, длины сторон
которого равны 1. Вычислить выражение
(А/3, ~ВС) + (ВС, 7fA) + (CA, ~AB).
132. В треугольнике ABC даны длины его сторон
ВС\ = Ъ, \ СА j = 6," \АВ | = 7. Найти скалярное произведе-
произведение векторов АВ и ВС.
133. В треугольнике ABC проведены медианы AD, BE
и CF. Вычислить (ВС, А~б) + (СА, ВЁ) + (АВ, Ср).
134. Дан прямоугольник ABCD и точка М (которая
может лежать как в плоскости прямоугольника, так и вне ее).
Показать, что: 1) (МА, ~МС) = {~МВ, ~Ш)\ 2)
3 2
135*. В треугольнике ABC точка D делит сторону АВ
в отношении AD:DB=K. Выразить длину отрезка CD через
длины а, Ь, с сторон треугольника и число %.
136*. Найти сумму векторов, являющихся ортогональными
проекциями вектора а на стороны равностороннего треуголь-
треугольника ABC.
137*. Пусть г —радиус окружности, описанной около
правильного я-угольника.
Найти: 1) сумму квадратов длин всех сторон и всех диа-
диагоналей этого многоугольника, выходящих из одной его вер-
вершины;
2) сумму квадратов длин всех сторон и всех диагоналей
этого многоугольника.
138. Доказать, что при любом расположении точек А,
В, С, D на плоскости или в пространстве имеет место
равенство
(ВС,

149]
§ 7. СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ 27
139. Доказать, что если в тетраэдре ABCD два ребра
перпендикулярны к противоположным им ребрам, то перпен-
перпендикулярны и противоположные ребра третьей пары.
140*. Доказать, что если А, В, С, D — четыре произ-
произвольные точки (на плоскости_или в пространстве), а Р и
Q — середины отрезков АС и BD, то
I АВ '2 +'. ВС 2 + \ CD } + \ Ш * =: АС |2 + \ Ш j* + 4 | ~PQ К
141*. Даны два вектора а и Ь. Представить вектор Ь
в виде суммы двух векторов х и у так, чтобы вектор х
был коллинеарен вектору а, а вектору ортогонален вектору а.
142*. Даны два неколлинеарных вектора а и Ь. Найти
вектор х, компланарный векторам а и Ъ и удовлетворяющий
системе уравнений (а, х)=1; F, лг) = О.
143*. Даны три неквмпланарных вектора а, Ь, с. Найти
вектор х из системы уравнений
(а, х)=1, • F, *) = 0, (с, х) = 0.
144*. Даны два вектора а и Ь. Найти вектор с, являю-
являющийся ортогональной проекцией вектора Ь на прямую,
направление которой определяется вектором а.
145*. Даны два вектора а и п. Найти вектор Ь, являю-
являющийся ортогональной проекцией вектора а на плоскость,
перпендикулярную к вектору п.
146*. Вычислить длину d диагонали OD параллелепипеда,
зная длины |ОЛ: = а, \^бв\ — Ь, [ ОС| = с трех его ребер,
выходящих из одной точки О, и углы /_ ВОС = а, 1_ СОЛ = |J,
/_ АОВ = у между ними. Найти также косинусы углов, обра-
образуемых диагональю OD с ребрами ОА, ТПВ, Х)С.
147. К вершине куба приложены три силы, равные
по величине 1, 2, 3 и направленные по диагоналям граней
куба, выходящим из этой вершины. Найти величину равно-
равнодействующей этих трех сил и углы, образуемые ею с состав-
составляющими силами.
148. Найти вектор, являющийся ортогональной проекцией
вектора {— 14, 2, 5} на прямую с направляющим вектором
149. Найти вектор, являющийся ортогональной проекцией
вектора {8, 4, 1} на плоскость, перпендикулярную к вектору
И> ~ 2, 1}.

28 ГЛ. I, ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА [ 150
150*. Даны три вектора:
а = {8, 4, 1}, Ь = {2, -2, 1}, с={1, 1, 9}.
Найти вектор, являющийся ортогональной проекцией вектора с
на плоскость, определяемую векторами а и Ъ.
151*. Даны два вектора: а = {8, 4, 1}, & = {2, —2, 1}.
Найти вектор с, компланарный векторам а и Ь, перпенди-
перпендикулярный к вектору а, равный ему по длине и образующий
с вектором b тупой угол.
152. Определить внутренние углы треугольника с верши-
вершинами Л = A, 2, 3), £ = C, 0, 4), С = B, -1, 3).
153. Одна из вершин параллелепипеда ABCDA'B'C'D'
находится в точке Л = A, 2, 3), а концы выходящих из нее
ребер-в точках В = (9, 6, 4), D = C, 0, 4), А' = E, 2, 6).
Найти длину d диагонали АС' этого параллелепипеда и угол,
образуемый АС с ребром ~АВ.
154. Вычислить углы ц>ь <р.2> ср3, образованные противо-
противоположными ребрами тетраэдра, вершины .которого находятся
в точках Л = C, —1, 0), В = @, —7, 3), С==(—2, 1, —1),
D = C, 2, 6). ,
§ 8. Векторы на ориентированной плоскости.
Площадь треугольника
Александров, гл. IV, § 3; гл. VII, § 1; гл. IX, § I.
Моденов, гл. II, § 14; гл. IV, § 40.
П о ст н и к о в, гл. 1, § 4.
В задачах этого параграфа, в которых встречаются коор-
координаты, система координат предполагается прямоугольной.
1. Векторы на ориентированной плоскости
155*. Дан вектор а=={х, у). Найти вектор а', перпенди-
перпендикулярный к вектору а, равный ему по длине и направленный
так, чтобы упорядоченная пара векторов а, а' имела поло-
положительную ориентацию.
156. Даны три вектора: а1={4, 5}, а2 — {2, 0}, 61 = {2, — I}.
Найти вектор &2> перпендикулярный к вектору Ьг и направ-
направленный так, чтобы ориентированные параллелограммы, пост-
построенные на парах векторов аь аг и 6lt &2, имели одинако-
одинаковые площади.

167 ]
§ 8. ВЕКТОРЫ НА ОРИЕНТИРОВАННОЙ ПЛОСКОСТИ 29
\' 157. Даны два вектора: а = {3, 5}, Ь — \\, 4}. Найти
вектор Ь', перпендикулярный к вектору Ь, равный ему по
длине и направленный так, чтобы упорядоченные пары век-
векторов a, b и а, Ь' имели противоположную ориентацию.
158. Даны три вектора: а, Ь, Ь'. Векторы bub' перпен-
перпендикулярны друг к другу и образуют с вектором а острые
углы. Установить, имеют ли нары а, Ь й а, Ь' одинаковую
или противоположную ориентацию.
159*. Даны две упорядоченные пары лучей аь а2 и а1,
а2. Лучи этих пар, имеющие один и тот же номер, образуют
острый угол, а лучи с разными номерами перпендикулярны
друг к другу. Установить, имеют ли эти пары лучей одина-
одинаковую или противоположную ориентацию.
160*. Найти кордипатн вектора а ={х', у'}, являющегося
ортогональной протекцией вектора а = {х, у} на прямую,
наклоненную к оси Ох под углом <р.
161. Вектор а{ имеет длину dx и наклонен к базисному
вектору fix под углом ср^, вектор а.г имеет длину d2 и накло-
наклонен к ех иод углом ср2- Найти координаты вектора а —
162. Вектор а.1 образует с базисным вектором ег угол ц>х
и имеет длину rft; вектор а2 образует с вектором аг угол
и имеет длину d2- Найти кординаты вектора а —
ах + а2
163*. Дан вектор а~{х, у]. Найти вектор а' = {х', у'},
получающийся поворотом вектора а на угол <р.
164. Даны две точки А =B, 1) и Z? = E, 5). Найти копен
вектора АС, получающегося из вектора АВ поворотом на
угол J*.
165. Даны две соседние вершины квадрата Л = (—3, 2)
и В —B, 4). Найти две другие вершины.
166. Даны дне противоположные вершины квадрата
А = ( 3, 2), В = E, —4). Найти две другие его вершины
^ и Г),
167. Вершина равнобедренного треугольника находится в
точке Л = B, 1), а один из концов его основания в точке
= ('» 4). Найти другой его конец С, зная, что угол при
вершине А равен arccos |- и что треугольник ABC имеет
положительную ориентацию.

30
ГЛ. I. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА [
168*. Концы основания равнобедренного треугольна
находятся в точках А — (—4, 2),'£? = D, —4). Найти коо]
динаты вершины С этого треугольника, зная, что углы п{
его основании равны arctg 5/6 и что треугольник ABC име«
положительную ориентацию.
169*. Дан центр S(x0, у0) правильного я-угольник
АхАг...Ап и его вершина Аг = (хь ух). Найти остальны
его верщины при условии, что упорядоченная пара векторе
SAb SA2 имеет положительную ориентацию.
170. Даны две вершины треугольника Л = A, 2|
1 ^
Z? = C, 4) и тангенсы его внутренних углов tg Л = —-^;
tg5 = -s-. Найти третью вершину С треугольника при услц
вии, что треугольник ABC имеет положительную ориентацию»
2. Площадь треугольника
171*. Стороны ВС, С А и АВ треугольника ABC точкамв
Р, Q, R разделены в отношениях
FP , CQ AR
PC QA r RB
Найти отношение площади ориентированного треугольник!
PQR к площади ориентированного треугольника ABC.
172*. Пусть Р, Q, R — точки пересечения биссектрис
внутренних углов А, В, С треугольника ABC со сторонам?
\BC\~a, \СА\=Ь, АВ\ — с. Найти отношение площад.1
ориентированного треугольника PQR к площади ориентиров
ванного треугольника ABC. i
173*. Пусть Я, Q, /^ — основания перпендикуляров, опуй
щенных из вершин А, В, С треугольника ABC на противо-
противолежащие им стороны. Найти отношение площади ориентир
рованного треугольника. PQR к площади ориентированного,
треугольника ABC, зная его внутренние углы А, В, С. При
каком условии треугольники ABC и PQR имеют одинаковую
ориентацию? ;
174. Пусть Р, Q, R — точки касания окружности, вписан-^
ной в треугольник ABC, со сторонами ВС, СА, АВ. Найти
отношение площади ориентированного треугольника PQF&
к площади ориентированного треугольника ABC, зная длины!
его сторон а, Ь, с. I

gu j § 9. ОРИЕНТАЦИЯ ПРОСТРАНСТВА 31
§ 9. Ориентация пространства. Векторное и смешанное
произведение
Александров, гл. IX, §§ 1, 3, 4.
Модено в, гл. IV, §§41 — 48.
П о с г и и к о в, гл. 1, § 4; § 6, и. 6.
Во всех задачах этого параграфа, где встречаются коор-
координаты, система координат предполагается прямоугольной.
175. Даны два вектора а = {0, 1, 1} и 6 = {1, 1, 0}.
Найти вектор с длины 1, перпендикулярный к вектору а,
образующий с вектором Ъ угол -?- и направленный так, чтобы
упорядоченная тройка векторов а, Ь, с имела положительную
ориентацию.
*-/176. Даны два вектора а —{1, 1, 1} и &={1, 0, 0}.
Найти вектор с длины 1, перпендикулярный к вектору а,
образующий с вектором 6 угол ^- и направленный так, чтобы
упорядоченная тройка векторов а, Ь, с имела положительную
ориентацию.
177. Даны три вектора: а — {8, 4, 1}, Ь — {2, 2, 1},
с = {1, 1, 1}. Найти вектор d длины 1, образующий с векто-
векторами а и Ь равные углы, перпендикулярный к вектору с и
направленный так, чтобы упорядоченные тройки векторов
а, Ь, с и а, Ь, d имели одинаковую ориентацию.
178. Даны три вектора: а =*{8, 4, 1}, & = {2, —2, 1},
с = {1. 1. !}• Найти вектор d длины 1, компланарный векто-
векторам а и Ь, перпендикулярный к вектору с и направленный
'•ак, чтобы упорядоченные тройки векторов а, Ь, с и a, d, с
имели противоположную ориентацию.
179. Из начала координат выходит луч, образующий с
положительными направлениями осей Ох и Оу углы, соот-
ве1ствепно равные Л- и ~, а с положительным направлением
оси Oz тупой угол. Найти углы, образуемые с положитель-
положительными направлениями осей Ох, Оу, Oz лучом, выходящим
113 начала координат, лежащим в плоскости Oyz, перпенди-
к>лярным к данному лучу и направленным так, чтобы поло-
положительный луч оси Ох, данный луч и искомый луч соста-
•■1яля упорядоченную тройку положительной ориентации.
180*. даны три вектора: Ш={8, 4, 1}, ОВ= {2, —2, Ц,
~ \^> 0, 3}, отложенные от одной точки О. Найти напра-

о
у
32 ГЛ. I. БККТОРНАЯ АЛГЕБРА [ Ц
вляюгцне косипуал луча, выходящего из точки О и образ}
ющего с ребрами О А, ОВ, ОС трехгранного угла ОАВС равны
острые углы. Усганопить, лежит ли этот луч внутри ил
вне трехгранного угла ОАВС.
181*. Даны три луча О А, ОВ, ОС, не лежащие в одно
плоскости. Внутри углов А ОВ, ВОС и СО А взяты соответ
ствснно лучи OtS, ОЕ и OF. Установить, будут ли упорядс
чепные тройки лучей О А, ОВ, ОС и OD, ОП, OF иметь оц\
наконую или противоположную ориентацию.
182*. Даны две упорядоченные тройки лучей аь аг, q
и а1, а2, а3, is которых лучи с одинаковыми номерами обрг
зуют острый угол, а лучи с разными номерами перпендик}
лярш>1 друг к другу. Установит!), имеют ли эти тройки луч>
одинаковую или противоположную ориентацию.
183. Даны два вектора: а = {11, 10, 2} и &={4, 0,
Найти вектор с длины 1, перпендикулярЕШй к векторам ]
и & и направленный так, чтобы упорядоченная тройка вект«
ров а, Ъ, с имела положительную ориентацию. 1
184. Даны три вектора: а = {8, 4, 1}, Ь = {1, — 2, fjj
с={4, 0, 3}. Найти четвертый вектор d длины 1, перпенд
кулярный к векторам а и & и направленный так, чтоб
упорядоченные тройки векторов а, Ь, с и а, Ь, d име}
одинаковую ориентацию.
у "^ 185. Даны два луча. Первый луч составляет с ос*
координат углы -г-, -^-, ~, а второй — равные между со(
тупые углы. Найти направляющие косинусы третьего лу
перпендикулярного к двум данным лучам и образуют,
с ними тройку положительной ориентации.
186. Из начала координат выходят два луча, ОМ1 и О:
образующие с осями координат углы аъ $lt yt и а2, $2,"
Найти направляющие косинусы луча ОМ, выходящего
начала координат, перпендикулярного к обоим данным лу
и направленного так, чтобы тройка лучей ОМЬ ОУИ2,
имела положительную ориентацию.
-М87*. Одна из вершин параллелепипеда ABCDA'B'G
находится в точке Л = A, 2, 3), а концы выходящих из!
ребер-в точках 5 = (9, 6, 4), D = C, 0, 4), Л' = E, |
Найти угол ф между диагональю АС и плоскостью гр;
ABCD этого параллелепипеда.

qg § 9. ОРИЕНТАЦИЯ ПРОСТРАНСТВА 33
188*. Пусть А', В'; С", D'— точки пересечения медиан
граней BCD, CD A, ABD и ABC тетраэдра ABCD. Найти
отношение объема ориентированного тетраэдра A'B'C'D'
к объему ориентированного тетраэдра ABCD.
189. Вычислить площадь треугольника, вершины которого
находятся в точках Л = (— 1, 0, —1), В = @, 2, —3),
С -D, 4, 1).
190. Вычислить объем параллелепипеда ABCD А'В'CD',
зная его вершину Л = A, 2, 3). и концы выходящих из нее
ребер 5=(9, 6.4), С-C, 0, 4), Л'= E, 2, 6).
191*. Вычислить объем параллелепипеда, зная длины
\ОА\ = % \ОВ\ = Ь, \ОС\—с трех его ребер, выходящих
из ОД1ЮЙ его вершины О, и углы /_ ВОС = а, /,СОА = $,
£ А()В~.у между ними.
1*J*. Три вектора а, Ь, с связаны соотношениями
а~}[Ь, с], Ь = [с, а], с = [а, Ь\. Найти длины этих векторов
и/ углы между ними.
193*. Доказать, что если три вектора а, Ь, с не колли-
неарны, то из равенств \а, b] = [b, с) = [с, а] вытекает
соотношение а-{-Ь-\-с = 0 и обратно.
194. Доказать, что если [a, b)-\-[b, c]-\-[c, aJ = O, то
векторы а, Ь, с компланарны.
195*. Доказать, что если векторы [а, Ь], [Ь, с], L«-, a]
компланарны, то они коллинеарны.
196*. Из одной точки проведены три некомпланарных
вектора а, Ь, с. Доказать, что плоскость, проходящая через
концы этих векторов, перпендикулярна к вектору [а, 6] +
+ [*, с) + [с, а]. __
197*. Даны три некомпланарных вектора ОА = а, ОВ = Ь,
ОС = сГ~отложенных от одной точки О. Найти вектор OD =
= d, отложенный от той же точки О и образующий с векто-
векторами ОА, ОВ, ОС равные между собой острые углы.
198*. Даны три некомпланарных вектора а = {х1, уь Zx},
b~{x2, y2, 22}, п — {А, В, С\. Найти площадь параллело-
параллелограмма, являющегося ортогональной проекцией на плоскость,
перпендикулярную к вектору п, параллелограмма, построен-
построенного на векторах а: и Ь.
199.* В ориентированном пространстве даны два перпен-
перпендикулярных друг другу вектора а и п, причем |я|=1.
^ плоскости, положительная ориентация которой опреде-
определяется упорядоченной парой векторов а, [га, а], найти вектор
2 П. С. Моденов, А. С. Пархоменко

ГЛ. 1. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА
[ 201
Ь, полученный из вектора а поворотом в этой плоскости
на угол ф. 1
200*. Доказать, что сумма векторов, перпендикулярных
к граням тетраэдра, равных /по абсолютной величине площа-
площадям этих граней и направленных в сторону вершин, проти-
противолежащих граням, равна нулю.
201*. Доказать тождества:
1) [[а, Ь], с]^ -&(Ь, с) + Ь{а, с);
с]]-=Ь(а, с)-*с (а, Ь).
Доказать тождества:
2Ш> [ь,
202f. Доь
ч ([а,
[с, d]) =
(а, с) (а, а)
(ь, с) ф, а)
2) [[а, Ь], [с, d\] = c(a, b, d)-d(a, b, c) =
= Ь (а, с, d)~a (ft, > ft
3) (a, b, c)d~(d, b, c)a + (d, с, a)b + (d, а, Ь)с,
(х, а) (х, Ь) (х, с)
4) (a, b, c){x,y, *) =
(У, a) tV, b) (у, с)'
{г, а) (г, Ь) (г, с)
(а, а) (а, Ь) (а, с)
5) (а, Ь, сJ= (&, a) (b, b) (b, с)
(с, а) (с, Ь) (с, с)
203*. Найти необходимое и достаточное условие для
того, чтобы выполнялось равенство
[[а, Ь], с] = [а, [Ь, с}].
204*. Даны три некомплапариых вектора а, Ь и с.
Найти вектор х, удовлетворяющий системе уравнений
(а, х) — а, (Ь, х) = Р, (с, х) = у.
205*. 1) Найти необходимое и достаточное условие
того, чтобы уравнение [а, х] = Ь, где а ф 0, имело решение.
2) Найти общее решение этого уравнения.
206*. Даны три некомпланарных вектора; О А —а, ОВ — Ь,
ОС—с, отложенных от одной точки О. Найти вектор ОН,
где //—ортогональная проекция точки О на плоскость ABC.
207*. Доказать, что площадь ,параллелограмма, построен-
построенного на векторах а и Ь,
(e' a) (й' Ь)\
(Ь, а) (Ь, Ь)\-

2l5 ] § 10. ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ В АФФИН. КООРДИНАТАХ
35
208*. Доказать, что объем параллелепипеда, построенного
на векторах а, Ь, с,
(a, a) (a, b) (a, c)
>, a) (b, b) (b, c)
(с, а) (с, b) (с, с)
209*. Найти вектор х из системы уравнений (av x) = a,
[а2, x] — b, где (a1( а2) Ф 0, (а2, 6) = 0.
210*. Решить относительно д: систему уравнений
[fll) x] — bi, [а2, х] = Ь2, причем [alt а2]ф0, (аь Ь2)ф0,
{а2, bi) Ф 0, (fli, Ь1)~(а2, b2) = О-
211*. Найти векторы л: и у из системы уравнений:
д;+.у = а, (х, у)=р, [х, у] = Ь. Дано, что а ф 0, 6^0,
(а, 6)=0.
212*. Даны плоские углы /1 ВОС = а, 1_ СОА=Ь,
/_ АОВ = с трехгранного угла О ABC.
1) Вычислить косинусы его внутренних двугранных углои
А, В, С, противолежащих граням ВОС, СОА, АОВ.
2) Даны внутренние двугранные углы А, В, С трехгран-
трехгранного угла ОАВС, противолежащие граням ВОС, СОА, АОВ.
Вычислить косинусы его плоских углов а, Ь, с.
3) Доказать, что
sin а sin Ь sine
sin A sin В sin С
§ 10. Скалярное, векторное и смешанное произведение
в аффинных координатах
Моденов, Дополнение II, пп. I, 2.
Постников, гл. 1, § 5, п. 2.
1- Скалярное произведение векторов на плоскости
213*. Выразить через метрические коэффициенты g1=(eI,eI),
£12 = (eve 2), g22 = (е2, е2) базиса ev e2 длины базисных векторов,
угол и между ними и площадь 5 параллелограмма, построен-
построенного на векторах еь е2.
214. Найти скалярное произведение векторов а — {хь yt}
и Ь = [х2, у2], зная метрические коэффициенты gu, g12, g22
базиса еь е2.
215. Найти длину вектора а = {х, у], зная метрические
коэффициенты gu, glz, g22 базиса ех, е2.
2* ' ^

36 ГЛ. I. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА [ 216
216. Найти косинус угла ф между векторами {хь у^
и \х2, у2}, зная метрические коэффициенты gu, g2, g22
базиса еъ е%.
217. Найти косинусы .углов а и E, которые вектор
а — {х, у} образует с векторами базиса еь е2, зная метри-
метрические коэффициенты gn, g^, g22 этого базиса.
218*. Найти косинус, синус и тангенс угла ф от век-
вектора а = {хь уг) до вектора Ь = \х2, у2}, зная метрические
коэффициенты gu, g12, g22 базиса ev e2.
219*. Найти косинус, синус и тангенс угла ф от базис-
базисного вектора ег до вектора а = {х, у}, • зная метрические
коэффициенты gn, gn, g2i базиса еь е%.
220. Определить длину вектора а = {7, —8}, если gn = 4,
gi2=8> fe==25.
221. Дан вектор а = {7, —8}. Найти вектор Ь длины 1,
перпендикулярный к вектору а и направленный так, чтобы
пара векторов а, Ь имела положительную ориентацию, если
£и=4> gi2=8. g-22= 25.
222. Зная длины базисных векторов |е1| = 2, |е2| = 3
и угол между чими ш = -„-, найти длину вектора {— 4, 6}.
223. Длины базисных векторов аффинной системы коор-
координат | ех [ = 4, |e2j = 2, а угол между ними <й = -д-. Относи-
Относительно этой системы координат заданы вершины треугольника
А = {\, 3), Л = A, 0), С =B, 1). Определить длины сторон
АВ и АС этого треугольника и угла А между ними.
224*. Длины базисных векторов аффинной системы коор-
координат: |ех| = 2, \е21 = |/3, а угол между ними и=-^. Отно-
Относительно этой системы координат даны два вектора а = {1, 2},
6 = {2, 2}. Найти угол от первого вектора до второго.
225*. Относительно аффинной системы координат дан
треугольник ABC с вершинами в точках Л=A, 1), fi = E, 3),
С = C, 5), длины сторон которого суть | АВ\ = УЬ1, | ЛС| =
= 4, ВС = J/28. Определить длины единичных векторов
этой системы координат и угол между ними.
226*. Относительно аффинной системы координат дан
прямоугольный греугольник ABC с вершинами в точках
Л = A, 0), Z? = @, I), C = C, 2), прямым углом при вершине
С и катетами СЛ| = 2, |СД| = 3. Определить длины базис-
базисных векторов этой аффинной системы и угол между ними.

ч34 ] § 10. ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ. В АФФИН. КООРДИНАТАХ 37
227*. Относительно аффинной системы координат дан
прямоугольный треугольник ABC с вершинами в точках
Д = A, 0), В —@, 1), С —C, 2), прямым углом при вершине
С и катетами | С А \ = 2, | Cfi j = 3. Определить длины сторон
дТЗ7 и Л'С треугольника А'В'С' и угол Л' между ними,
если вершины этого треугольника имеют координаты А' = A,1),
5'= B, 2), С = B, 4).
228*. Зная длины базисных векторов \е1\ — \ег\—1 и
угол © между ними, найти:
1) длину вектора а = {х, у};
2) угол а между векторами a = {xv yt} и Ь = {х2, у2};
3) площадь 5 ориентированного параллелограмма, пост-
построенного на упорядоченной паре векторов а, Ь;
4) угол а* от вектора а до вектора Ь.
229*. Найти косинусы углов аир, которые вектор
а = {х, у} образует с базисными векторами, если |ei| =
= |е2|=1, а угол между векторами еъ е2 равен ш.
230*. Найти косинус, синус и тангенс угла ф от базис-
базисного вектора ег до вектора а = {х, у], если |e1| = |ea|=l,
а угол между векторами ех и е2 равен ш.
231*. Базисы е\, е2 и е1, ег называются взаимными, если
(еь е1)=-(е2, е2)=1, (еХ1 в2) = (е2, е1) — !). Зная метрические
коэффициенты g-n, gto, g22 базиса еъ ^ег, найти:
1) метрические коэффициенты gn, gn, g'** базиса е1, е'г,
взаимного с базисом еъ е2!
2) координаты векторов е1, е1 в базисе еь е%,
3) длины векторов е1, е2;
4) угол б между векторами е\ е1.
232*. Найти скалярное произведение векторов а ={лг1, х2\
и Ь — {уь у2}, первый из которых задан своими координатами
в базисе еь е2, а второй во взаимном с ним базисе е1, е2.
233*. Зная длины базисных векторов |0i| = |e2|=t
и угол и между ними, найти:
1) координаты векторов е1, е% базиса, взаимного с бази-
базисом еъ е2;
2) длины векторов е1, е2;
3) угол между векторами е1, ег.
234*. 1) Найти векторы е[, е'ь полученные поворотом на
Угол ф векторов ех и е2 соответственно, зная метрические
коэффициенты gn, gu, gM базиса ev e2.
2) Рассмотреть частный случай ф = +-5-.

38 ГЛ. I. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА [ 235
235*. Найти вектор а', полученный поворотом вектора
а = \х,у\ на угол ф, зная метрические коэффициенты^,
gi2. §22 базиса еь е2-
236*. 1) Найти векторы е\, е%, полученные поворотом на
угол ф векторов е1 и е% соответственно, если |ei| = |e8| = l,
а угол между векторами еь е2 равен ш.
2) Рассмотреть частный случай ф = 4-4р
2. Скалярное произведение векторов в пространстве;
векторное и смешанное произведение
237*. Выразить через метрические коэффициенты gV/=(e,-, ej)
базиса еь е2, £3 длины базисных векторов, углы Шу —£,-, е,-
между ними и объем V ориентированного параллелепипеда,
построенного на базисных векторах еъ е2, е3.
238. Найти скалярное произведение векторов а = {х1, х2, х3}
и Ь = {у1, у2, у3}, зная метрические коэффициенты gij — (ei, ej)
базиса вь е.г, е3.
239. Найти длину вектора а={х\ х2, х3} в базисе
с метрическими 'коэффициентами gy.
240. Найти угол ф между векторами {х1, х2, х3} и
{у1, у'г, у3} в базисе с метрическими коэффициентами gy.
241. Найти косинусы углов аь ос*г, а3, которые вектор
а = {х1, х2, х3} образует с базисными векторами еь в2, вз>
зная метрические коэффициенты gij этого базиса.
242*. Зная метрические коэффициенты gtj базиса еь е2, е3,
найти объем V параллелепипеда, построенного на векторах
{х\ х2, хз}, {у\ у2, у% {z\ z\ z*\.
243*. Найти косинусы углов ф1( ф2, ф3, образованных
вектором а = {х1, х2, х3} с базисными векторами еъ е2, е3,
если je1| = |e2| = |e3| = l, е2, е3 = а23, е3, ^ = 0K1, еъ е2 = и12.
244*. Найти объем V ориентированного параллелепипеда,
построенного на векторах
а = {х\ х2, х3}, Ь = {у\ у2, у3}, c={z\ z\ z%
если
е3, 01 = соз1, вь е2 = ш12.
245*. Зная углы В0С = щ3, С0А = щъ А0В=щь обра-
образуемые ребрами параллелепипеда, выходящими из вершины О,

.•415 Ю- ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ В АФФИН. КООРДИНАТАХ
глы Л00 = ф1, BOD = ty2, COD = ф3, образуемые диаго-
диагональю OD с ребрами ОА, ОВ, ОС, найти длины ребер О А,
ОВ ОС, если длина диагонали OD равна d.
246*. Базисы е1; е2, е3 и е1, £2, е3 называются взаим-
взаимными, если (eh eO = *Jft j=l, 2, 3), т. е.
при / ==у,
i при г Ф /.
Найти векторы е1, е2, е3 базиса, взаимного с базисом еъ е2, е3.
247*. Найти скалярное произведение векторов, один из
которых задан своими координатами х1, х2, х3 в базисе еь
е2, е3, а другой — координатами уь у2, у3 в базисе е1, ег, е3,
взаимном с базисом е%, е2, е3.
248*. Зная метрические коэффициенты gy базиса еь е2, е3>
найти метрические коэффициенты gli базиса е1, е2, е3, взаим-
взаимного с базисом еь еъ е3.
249*. Относительно базиса ev e2, е3 с метрическими
коэффициентами gy дан вектор JC={x1, x2, х3}. Найти коор-
координаты хь х2, х3 этого вектора в базисе, взаимном с данным.
250*. Длины векторов базиса еъ е2, е3 равны 1, а углы
между ними равны -=-. Найти длины векторов базиса е1, е1, е3,
о
взаимного с данным, и углы между ними.
251*. Зная метрические коэффициенты gy базиса еъ е2, е3,
найти координаты векторов этого базиса во взаимном с ним
базисе е1, ёг, е3.
252*. Пусть еь е2, е3 и е1, е2, е3 — взаимные базисы.
Найти углы 6; между векторами е,- и е'(г=1, 2, 3), зная
метрические коэффициенты gtj базиса еь е2, е3.
253*. Пусть еь е2, е3 и е1, в2, е3— взаимные базисы.
Найти углы 6; между векторами е{ и е'(i—\, 2, 3), если
I ei, = i е21 = | е31 = 1, еь ег = ш12, е2, ва = ш23, е3, е± = шз1.
^54*. Доказать, что если \е1\ — \е2\ = \в3\ = \, e^e3 = a23,
^з1е1 = (о31, еь е2 = щ.г, то угол 6 между векторами а и &
определяется из соотношения
1 COS @12 COS @13 COS «1
COS @.21 1 COS щ3 cos o^
cos(o3l cosco32 l cosa3
cosp2 cos[i3 cosfl
cos
= 0,

40 ГЛ. I. BF-КТОРНАЯ АЛГЕБРА f 25|
где аь а2, <хл и рх, р2, E3 —углы векторов а и 6 с базис-
базисными векторами £i, e2, е3 соответственно.
255*. Относительно базиса еь в2, #з Даны координаты
векторов а и b-.a—lx1, х2, х3}, Ь = {уг, у2, у3}. Найти
координаты zx, zit z3 векторного произведения [а, Ь] в ба-
базисе е1, в2, е3у взаимном с базисом е-у, вг, е&
§11. Барицентрические координаты
А л е к с а н д р о в, гл. XIV, § 4.
Постников, гл. 2, § 1, п. 6.
/. Барицентрические координаты на прямой
256*. Пусть Хо, Я-х— барицентрические координаты точки М
прямой d относительно базисного отрезка AOAV т. е. Х± —
координата точки М в системе координат с началом в точ-
точке Ло и базисным вектором АОАЬ а Яо=1— Яг. Доказать,
что если г0, гь г— радиусы-векторы точек Ао, Аь М относи-
относительно полюса1 О, то r = koro-\-Xxr1. Обратно: каковы бы
ни были числа Xq, Хь сумма которых равна 1, А,0-г-А,1=1,
точка М, определяемая радиусом-вектором r = Xoro-\-k1ri,
лежит на прямой d и имеет относительно базисного отрезка
i40Ai барицентрические координаты Хо, Ях. Если полюс О
не лежит на прямой d, то Хо> ^i~ аффинные координаты
точки М в системе координат с началом в точке О и бази-
базисом г0, гх.
257*. Пусть Хо, Я-! — барицентрические координаты точки М
относительно базисного отрезка ЛОАХ. Доказать, что к0 явля-
является координатой точки М в системе координат с началом
в точке Ai и базисным вектором АхАй, а К± = 1 — Хо.
■ 258*. Доказать, что если Хо, Kt — барицентрические коор-
координаты точки М относительно базисного отрезка АйАъ щ
259*. Пусть Яо, Ях — барицентрические координаты точки J\4
прямой ЛОЛХ относительно базисного отрезка АОАЬ Найти
отношение, в котором точка М делиг отрезок AOAV

§ 11. БАРИЦЕНТРИЧЕСКИЕ КООРДИНАТЫ 4!
2 63 }
260. Пусть Яо, Kt — барицентрические координаты точки М
относительно базисного отрезка AOAV Доказать:
1) для того, чтобы точка М лежала внутри базисного
отрезка Д/i- необходимо и достаточно, чтобы обе ее бари-
барицентрические координаты были положительны;
2) для того, чтобы точка М лежала на продолжении
отрезка AHi за точку Ао, необходимо и достаточно, чтобы
было Яо > О, Х1 < 0; для того, чтобы точка М лежала на
продолжении отрезка А0Аг за точку Аъ необходимо и доста-
достаточно, чтобы было Ко < 0, Kt > 0;
3) для того, чтобы точка М совпадала с точкой До,
необходимо и достаточно, чтобы было А,о=1, ^ = 0; для
того, чтобы точка М совпадала с точкой Av необходимо
и достаточно, чтобы было Яо = 0, А1=1. '
261*. Пусть Ко, Ki и р,0, Цх — барицентрические коорди-
координаты точек Мъ М2 прямой АйАх относительно базисного
отрезка AOAV Найти барицентрические координаты точки М,
делящей направленный отрезок MtM2 в отношении k.
2. Барицентрические координаты на плоскости
262*. Пусть Ко, Къ К,, — барицентрические координаты
точки М плоскости л относительно базисного треугольника
А0АуАг, т. е. Кь К\—аффинные координаты точки М в сис-
системе координат с началом в точке Ао и базисными векто-
векторами А0Аи А0А2, а Хо=1— Хх — К2- Доказать, что если г0,
гь г2, г — радиусы-векторы точек Ао, Av A2, M относительно
полюса О, то г = Кого + К1г1 -(- Я2Г2. Обратно: каковы бы ни
были числа Ко, Кь К2, сумма которых равна 1, A,0 + ^i+^2= 1,
точка М, определяемая радиусом-вектором г = Кого + К1г1 +
+ Яаг2, лежит в плоскости л и относительно базисного тре-
треугольника А0А1А2 имеет барицентрические координаты Ко, Kv
К- Нсли полюс О не лежит в плоскости я, то Ко, Kv K2 —
аффинные координаты точки М в системе координат с нача-
началом О и базисными векторами r0, rlt r2-
263*. Пусть Ко, Ki, K2 — барицентрические координаты
точки М относительно базисного треугольника А0АгА2.
Доказать, что:
]) >.2, Яо являются аффинными координатами точки М
^ координат с началом в точке Ах и базисом АХА2,
а

42 ГЛ.1. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА [264
2) Хо, A-i являются аффинными координатами точки М
в системе координат с началом в точке Л2 и базисом А2А0,
А2/\^ а А2::== ^ — Aq А^.
264*. Пусть Ао, A-j, А3 — барицентрические координаты
точки УИ относительно базисного треугольника АйАгА%.
Доказать, что:
1) если л2—О, то Ао и Х1 являются барицентрическими
координатами точки М на прямой А0А1 с базисным отрез-
отрезком A$A{,
2) если ло=О, то A-J и Я2 являются барицентрическими
координатами точки М на нрямой AtA2 с базисным отрез-
отрезком Л1Л2; ;
3) если Я1==0, то к0 и Я2 являются барицентрическими!
координатами точки М на прямой А0А2 с базисным отрез-1
ком А0А2- j
265*. Доказать, что барицентрические координаты Яо, кь Я2 ;
точки 7И относительно базисного треугольника А0А1Аг равны !
отношениям площадей ориентированных треугольников 7ИЛ1Л2, i
А0МА2, AoAiM к площади ориентированного треугольни- ;
ка А0А1А2-
266*. Доказать, что барицентрические координаты Хо, Хь Х2\
точки М относительно базисного треугольника А0АгА2 равны
, (г, rlt г») « _ (г0, г, /-2) . _ (r0, rt, /•)
iro< ri> гг) (го> гъ гг) \ro> ri< rv
где г0, г1( г2, г — соответственно радиусы-векторы точек Ао,
Аь Л2, Л1 относительно полюса, не лежащего в плоскости'
базисного треугольника. а
267*. Пусть А-о, Я.!, А-2 — барицентрические координаты*
точки 7И относительно базисного треугольника А0А1А2. Jlo-i
казать, что:
1) точка М лежит внутри базисного треугольника ЛоЛдЛг
тогда и только тогда, когда Я0>0, Л1>0, Я2>0;
2) точки Ло и М лежат по разные стороны от прямой АХА2
тогда и только тогда, когда к0 < 0; точки Ах и 7И лежат:
по разные стороны от прямой А0А2 тогда и только тогда,
когда Хг < 0; точки А2 к М лежат по разные стороны от 1
прямой А0А1 тогда и только тогда, когда Я2<;0; 1
3) точка М лежит на прямой ЛрЛ^ тогда и только тогда, !
когда Я? = 0;

, § И. БАРИЦЕНТРИЧЕСКИЕ КООРДИНАТЫ 43
4) вершины Ло, Л1( Л2 базисного треугольника Л0А1Л2
имеют соответственно следующие тройки барицентрических
координат: Хо= 1, А1 = 0, Я2 = 0; А0^=0, Я1=1, ^ = 0;
^ = 0, Я, = 0, Я2=1.
268*. Точка УИ относительно базисного треугольника
А\А\Аъ имеет барицентрические координаты к0, %ь к2. Найти
отношение, в котором точка Р пересечения прямой АоМ
с прямой AqAx делит направленный отрезок ЛОЛХ.
269*. Стороны ЛХЛ2 и А2АЬ базисного треугольника
AqA^Az разделены точками Р и Q в отношениях, соответст-
соответственно равных X и \а. Найти барицентрические координаты
точки М пересечения прямых А0Р и AtQ.
270*. Относительно аффинной системы координат на
плоскости заданы четыре точки А0(х0, у0), А1(х1, у{),
Аг (хг, Уч), М (х, у). Пусть Хо, кь Я2 — барицентрические
координаты точки М относительно базисного треугольника
Л0Л1Л2. Выразить координаты х и у точки М через ее
барицентрические координаты Яо, кь к2 и обратно: выразить
Яо, кь к2 через х и у.
271*. Относительно аффинной системы координат стороны
треугольника Л0Л1Л2 заданы уравнениями:
0 (АхА2),
0 (А2АО),
Принимая треугольник А0ЛхА2 за базисный треугольник ба-
барицентрической системы координат, выразить барицентриче-
барицентрические координаты к0, Хь К2 точки М через ее аффинные
координаты х, у.
272*. Относительно аффинной системы координат даны
четыре точки Л0(х0, у0), А1(хь У1), Л2(х2, у2), Л3(х3, у3).
'фи каком необходимом и достаточном условии эти точки
служат вершинами выпуклого четырехугольника.
273*. Относительно базисного треугольника АОАХА2 заданы
тРи точки своими барицентрическими координатами:
Мо(А-о. Хь я2)), М1{уН), nlf ц2), M2(v0, vi, v2).
Доказать, что
%0 %1 %2
S—S |Х0 Hi Ц2 >
Vo Vx Va

44 r/i. i. векторная алгебра [274
где 5 и s — соответственно площади ориентированных тре-
треугольников М<УМ1М2 и А<УА1А2.
274*. Относительно базисного треугольника Ло/ЦЛ»
даны две точки : своими барицентрическими координатами:
7И1(Я0, Хъ Х2) и М2(\х.о, [ib [i2). Найти барицентрические коор-
координаты точки М, делящей направленный отрезок М1Мг в от-
отношении k.
275*. Принимая треугольник ABC за базисный, найти
барицентрические координаты точки пересечения его медиан.
276*. Зная длины а, Ь, с сторон ВС, СА и АВ Треуголь-
Треугольника ABC и принимая этот треугольник за базисный, найти
барицентрические координаты центра О окружности, вписан-
вписанной в этот треугольник.
277*. Зная внутренние углы А, В, С треугольника ABC,
найти барицентрические координаты Яо, Xv Х2 центра О
описанной вокруг него окружности.
278*. Зная внутренние углы А, В, С треугольника ABC,
найти барицентрические координаты Хо, Xv Х2 точки Н' пере-
пересечения его высот, принимая треугольник ABC за базисный.
279*. Доказать, что всякая прямая на плоскости в бари-
барицентрических координатах определяется однородным уравне-
уравнением первой степени •
а(Ло + ai^i + о.2Х2 — О,
причем среди чисел а0, аь а2 есть, по крайней мере, два
различных. Обратно: если среди чисел а0, аь а2 есть, по
крайней мере, два различных, то уравнение
= О
является уравнением прямой. Если аа=а1 = а2^=а Ф 0, то
уравнению аХ0 + аХ1-\-аХ2 = 0 или Ха + Хх + Х2 = 0 не удов-
удовлетворяют барицентрические координаты ни одной точки
плоскости.
5. Барицентрические координаты в пространстве
280*. Пусть Хо, Хь Х2, Х3 — барицентрические координаты
точки М относительно базисного тетраэдра Л0Л1Л2Л3, т. е.
Xi, Х2, Х3 — аффинные координаты точки М в системе коор-
координат с началом в точке Ао и базисными векторами A0Alt

I § И. БАРИЦЕНТРИЧЕСКИЕ КООРДИНАТЫ 45
А Л.„ ЛЙз> а ^о" J — ^1 — ^-2—\ч- Доказать, что если г0,
г', Я>. Л), г— радиусы-векторы точек Ло, Л^ Л2, Л3, М отно-
сшслыю полюса О, то г = Яого + Ххг^ + Я2г2 + ^згз- Обратно;
каковы бы ни были числа Яо, Я1( Я2, Я3, сумма которых
равна 1, ^0 + ^i+^2 + ^3=1. точка М, определяемая радиу-
сом-вектором г = Яого + ^-iri + ^2^2 + ^з- относительно ба-
базисного тетраэдра Л0Л1Л2Л3 имеет барицентрические коор-
координаты Яо, Aii л2, л3.
281*. Пусть Яо, Я.1, Я2, Я3 — барицентрические координаты
точки М относительно базисного тетраэдра ЛоЛ^Лз- Дока-
Доказать, что:
1) Хо, к2, А-з являются ^аффинными координатами точки М
в системе координат с началом в точке Л! и базисом Л^о,
Л1-4 2, Л из, а А-! = 1 — Яо — Я2 — Х3;
2) Яо, Я.1, к3 являются аффинными координатами точки М
в системе координат с началом в точке Л2 и базисом А2А0,
Ло.4^ А2А3, а Я2=1—Яо—А-! —Я3;
3) Хо> ^i> ^2 являются аффинными координатами точки Ж
в системе координат с началом в точке Л3 и базисом А3Аи,
А3Л\, АзЛ*2, а к3 = 1 - Яо — Х1 - к2.
282*. Доказать, что барицентрические координаты А-о, кь
А-г, ?i3 точки М относительно базисного тетраэдра ЛоЛ^Лд
равны отношениям объемов ориентированных тетраэдров
^ X
Лз, ЛО7ИЛ2Л^, A^A~Jv[X9, АйАхА2М к объему ориенти-
ро!!анного тетраэдра А0А1А2А3.
283*. Доказать, что:
1) если точка М с барицентрическими координатами Хо,
^ъ_^2,_Я3 принадлежит грани А0А1А2 базисного тетраэдра
Л(Ий2Лз, то Х3 = 0, а Яо, Хъ Хг являются барицентрическими
координатами точки М на плоскости ЛоЛ^г относительно
базисного треугольника А0А^А2\
2) если точка М принадлежит ребру Л^, то Я,2 = Я,3 = О,
а '-о и Уч являются барицентрическими координатами точки М на
прямой AaAx относительно базисного отрезка AaAv
284«. Найти условия, необходимые и достаточные для
тою, чтобы: *
') точка М лежала внутри базисного тетраэдра Л0Л1А2Л3;
^) точки М и An лежали но разные стороны от нлос-
ААА

46
ГЛ. I. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА
[ 285
3) точка М лежала в плоскости A^A
4) точка М лежала на прямой A2AS;
5) точка М совпадала с вершиной Ао.
285. Относительно базисного тетраэдра АаАхА2А3 заданы
две точки Мх{къ, кь к2, к3) и 7И2(ц0, (j,1; \х,2, ц3) своими
барицентрическими координатами. Найти барицентрические
координаты точки М, делящей направленный отрезок МХМ2
в отошении k.
286*. Относительно базисного тетраэдра Л0Л1Л2Лз заданы
четыре точки своими барицентрическими координатами:
Доказать, что если V — объем ориентированного тетраэдра
М0М1М2М3, a v — объем
ориентированного тетраэдра
АйАхАгАъ, то
Яо 7
v0 -\
т0 1
ii Иг
'1 Va
1 Т2
Из
v3
Тз
287*. Относительно аффинной системы координат заданы
четыре точки, не лежащие в одной плоскости: Л0(дт0, _у0, z$),
Ai(.*v Уъ Zi)> A2 (x2, y2, z2), A3 (x3> y3, z3). Пусть М (х, .у, г) —
произвольная точка. Доказать, что если Хо, Я.1( Л2, Я3 — бари-
барицентрические координаты точки М относительно базисного
тетраэдра Ло^Иг^з» то
х =
А2х2 -)- Л3х3,
Яо =
= КУо
х у
Ч Л
х3 Уз
Уз
Уз
у z 1
У, г2 1
Уз г3 1
Уо г0 1
Ух гх 1
Уз

290 ]
§ И. БАРИЦЕНТРИЧЕСКИЕ КООРДИНАТЫ
47
xo
Ч
X
хз
x0
4
4
x3
Уо *o
Л Zi
У 2
Уз 23
Уо z0
У1 zt
Уз z3
1
xo Уо
Ч У1
*a Уг
x у
*o Уо
Ч У1
*а Уг
*з Уз
*о
Zi
za
z
Zo
Zi
za
z3
1
1
1
1
1
1
1
1
288*. Относительно аффинной системы координат грани
Л^1^2^з заданы уравнениями:
тетраэдра
Принимая тетраэдр A0AxA2A3 за базисный тетраэдр бари-
барицентрической системы координат, выразить барицентрические
координаты к0, кь Я2, Я3 точки М через ее аффинные коор-
координаты х, у, z.
289*. Грани тетраэдра А0А1А2А3 заданы уравнениями
O, 1=0, 1, 2, 3.
Составить уравнение плоскости, проходящей через ребро
ЛОАХ и делящей объем данного тетраэдра пополам.
290*. Доказать, что если г0, гь г2, г3 — радиусы-векторы
вершин тетраэдра AoA^Ag, a s0, sv s2, s3 — площади его
граЕ1ей, противолежащих этим вершинам, то радиус-вектор
центра М сферы, вписанной в этот тетраэдр, определяется
соотношением

ГЛАВА II
УРАВНЕНИЯ ЛИНИЙ И ПОВЕРХНОСТЕЙ
Александров, гл. IV.§ 1, пп. 3, 4; § 4, пп. 1,3; гл. XV, §§ I,
пп. 6, 8, 9.
Моденов, гл. III, §§ 21-28; гл. X, §§ 139, 140.
Постников, гл. 2, § 2.
§ 1. Уравнения линий на плоскости
291. Даны две точки А и В, расстояние между которыми
равно 2с. Найти геометрическое место точек, сумма квадра-
квадратов расстояний которых до точек А к В равна 2а2 при
условии, что а ><■.
292. Даны две точки А к В, расстояние между которыми
равно 2с. Найти геометрическое место точек, абсолютная вели-
величина разности квадратов расстояний которых от точек
А и В равна 4а2.
293. Найти геометрическое место точек, сумма квадратов
расстояний которых до вершин острых углов равнобедрен-
равнобедренного прямоугольного треугольника вдвое больше квадрата
расстояния до вершины прямого угла.
294. Найти геометрическое место точек, сумма квадратов
расстояний которых до трех вершин равностороннего тре-
треугольника постоянна при условии, что этому геометрическому
месту принадлежит середина одной из сторон треугольника.
295*. Найти геометрическое место точек, сумма квадра-
квадратов расстояний которых до двух вершин А к В треуголь-
треугольника ABC равна квадрату расстояния до его третьей вер-
вершины С.
296* Найти геометрическое место точек, сумма квадра-
квадратов расстояний которых до трех вершин треугольника ABC
равна а2.
297*. Найти геометрическое место точек, сумма расстояний
которых до двух противоположных нершин прямоугольника
раина сумме их расстояний до двух других противоположных
вершин его,

308 1
§ 1. УРАВНЕНИЯ ЛИНИЙ НА ПЛОСКОСТИ 49
298*. Паны две различные точки А и В и положительное
число £=?^'- Найти геометрическое место точек, отношение
расстояний которых до точек А и В равно k.
299. Даны два отрезка ОА и ОВ, лежащие на одной
прямой и расположенные по разные стороны от точки О, при-
причем | О А | = а, ! OB \ = b и а>Ь. Найти геометрическое
место точек, из которых отрезки ОА и ОВ видны под рав-
равными углами.
300*. Найти геометрическое место точек, из которых
к двум окружностям можно провести равные касательные.
301. Дана окружность с центром О и радиусом г и то-
точка А, находящаяся на расстоянии а от точки О. Найти
геометрическое место точек, касательные из которых, про-
проведенные к данной окружности, равны отрезкам, соединяю-
соединяющим эти точки с точкой А.
302. Даны две окружности х2-\-у2—6х—• 16 = 0, х2-\-у2-\-
4-8х —2 = 0. Найти геометрическое место точек, из кото-
которых к этим окружностям можно провести равные касатель-
касательные.
303*. Даны две окружности х2 -\-у2 — 6х — 27 = 0, х2 +
-|_у2 + 2х — 8 = 0. Найти геометрическое место точек, каса-
касательные из которых, проведенные к большей окружности,
вдвое длиннее касательных к меньшей окружности.
304. Найти геометрическое место точек, для которых
кнадрат расстояния до точки пересечения двух взаимно перпен-
перпендикулярных прямых в 2 -J- раза больше произведения их рас-
сюяпий до этих точек.
305. Найти геометрическое место точек, сумма рас-
сюяний которых до осей координат постоянна при условии,
что этому геометрическому месту принадлежит точка B, — 1).
306*. Найти геометрическое место точек, призведение
расстояний которых до двух противоположных сторон квад-
квадрата равно произведению их расстояний до двух других
противоположных сторон.
307*. Найти геометрическое место точек, сумма рас-
расстояний которых до двух параллельных прямых вдвое больше
расстояния до прямой, к ним перпендикулярной.
308*. Дан прямоугольник со сторонами 2а и 2Ь, причем
а i> b; найти геометрическое место точек, сумма расстояний
которых до двух противоположных сторон прямоугольника

50 ГЛ. II. УРАВНЕНИЯ ЛИНИЙ И ПОВЕРХНОСТЕЙ [ 309
равна сумме их расстояний до диух других противоположных
сторон.
309. Написать в полярных координатах уравнение прямой,
перпендикулярной к оси Ох и отсекающей на ее положи-
положительном луче отрезок длины а.
310. Написать в полярных координатах уравнение окруж-
окружности радиуса а, принимая за начало координат точку О на
окружности, а за положительное направление оси Ох на-
направление проходящего через эту точку диаметра.
311. На каждом радиусе О А окружности с центром О
и радиусом а откладывают от центра в направлении радиу-
радиуса отрезок ОМ, равный расстоянию от точки А до фиксирован-
фиксированного диаметра ВС. Найти геометрическое место точек М.
312. Дана точка О и прямая /, находящаяся от точки О на
расстоянии |ОЛ| = а. Вокруг точки О вращается луч, пе-
пересекающий прямую / в переменной точке Р. На этом
луче от точки О откладывается отрезок ОМ так, что
! OP I • | ОМ \ — Ьг. Найти линию, описываемую точкой М при
вращении луча.
313*. В окружности радиуса а проведен диаметр О А.
Вокруг его конца О вращается луч, пересекающий окруж-
окружность в переменной точке В. На продолжении хорды ОВ за
точку В откладывается отрезок ВМ, равный АВ. Найти
линию, описываемую точкой М при вращении луча.
314. Две вершины треугольника закреплены в точках А
и В, причем | АВ | = с; третья его вершина С перемещается
но окружности радиуса Ъ с центром в точке А. Какую линию
описывает при этом точка D пересечения биссектрисы угла
А со стороной ВС?
* * *
315*. Даны две точки Fl и F2, расстояние между коГоры-
ми 2с. Найти геометрическое место точек, сумма расстояний
которых до точек р1 и Г2 равна 2а при условии, что а>с.
316. Найти геометрическое место точек, делящих в отно*-
шении Я Ф 1 хорды окружности х2-\-у2 = а2, параллельные
оси Оу.
317. Даны две точки: А1 — ( — а, 0), Л2 = (а, 0). Найти
геометрическое место точек пересечения прямых, проходящих
через точки Ах и А2, и отсекающих на оси ординат отрезки,
произэедение которых равно (>*.

326 ]
§ I. УРАВНЕНИЯ ЛИНИИ НА ПЛОСКОСТИ 51
318*. Отрезок постоянной длины скользит своими кон-
концами по двум взаимно перпендикулярным прямым. Точка М
делит этот отрезок на два отрезка, длины которых а и Ь.
Найги линию, описываемую точкой М при движении отрезка.
319. Дана окружность x2-f_y2 = a2. Во что обратится эта
окружность, если, не меняя абсцисс ее точек, уменьшить их
ординаты в k раз?
320. Даны две окружности с центром в начале координат О
и радиусами а и Ъ, причем а^>Ь. Вокруг точки О вращается
луч, пересекающий эти окружности соответственно в точках
А и В. Через точки А и В проводятся прямые, перпендику-
перпендикулярные соответственно к осям Ох и Оу и пересекающиеся
п точке М. Найти линию, описываемую точкой М при вра-
вращении луча.
321*. Даны две точки Fx и F2, на расстоянии 1с друг от
друга. Найти геометрическое место точек, абсолютная вели-
величина разности расстояний которых до точек Fx и F2 равна 1а
при условии, что с>а.
322*. Даны точка F, прямая d и положительное число
е Ф1. Найти геометрическое место точек, отношение рас-
расстояний которых от точки F к расстоянию до прямой d
равно е.
323*. Найти геометрическое место точек, равноудаленных
от точки /; и прямой d, отстоящей от точки F на рас-
расстояние р.
324. Даны две точки, /!! = (—а, 0), Л2 = (а, 0), Найти
геометрическое место точек пересечения прямых, отсекающих
на оси ординат отрезки, произведение которых равно —Ь2.
325. Вокруг точки О вращается луч с постоянной угловой
скоростью со. По этому лучу движется точка М с постоянной
скоростью v. Составить уракнение линии, описываемой точ-
точкой М, и полярных координатах, если в начальный момент
движения луч совпадает с положительным направлением оси
абсцисс, а точка М — с началом координат О.
326*. Даны две точки F1 и F2 на расстоянии 2с друг
От друга. Найти урапнение геометрического места точек, про-
произведение расстояний которых до точек F± и F2 равно c2t
принимая за начало координат середину отрезка F^^, а за ось
абсцисс прямую F^F^. Перейти к соответствующей системе
полярных координат.

52 ГЛ. II. УРАВНЕНИЯ ЛИНИЙ И ПОВЕРХНОСТЕЙ f 327"|
327. В прямоугольных треугольниках, образованных осями.:
координат и пересекающими их прямыми, лежащих в первой1
и третьей четвертях и имеющих одну и ту же площадь s > 0,:
опускаются перпендикуляры из начала координат на гиноте-'
нузу. Найти геометрическое место оснований этих перпенди-
перпендикуляров.
328*. На окружности радиуса а нзяты две диаметрально
противоположные точки О и К и в точке К к окружности
проведена касательная. Вокруг точки О вращается луч, пере-
пересекающий окружность и касательную, соответственно в точках
А и В. На этом луче от точки О откладывается отрезок ОМ =
= АВ. Написать уравнение линии, описываемой точкой М при
вращении луча, в полярных и прямоугольных координатах,
принимая за начало координат точку О, а За положительное
направление оси Ох направление ОК.
329*. Даны точка О и прямая / на расстоянии а от точки О.
Вокруг точки О вращается луч. Пусть прямая, содержащая
этот луч, пересекает прямую / в переменной точке В. На пря-
прямой ОВ от точки В в направлении луча откладывается отре-
отрезок ВМ, ВМ —Ь. Найти уравнение линии, описываемой точ-
точкой М при вращении луча, в обобщенных полярных и прямо-
прямоугольных координатах, принимая за начало координат точ-
точку О, а за положительное направление оси Ох луч ОА, где
А — основание перпендикуляра из точки О на прямую /.
330*. На окружности взяты две диаметрально противо-
противоположные точки О и А, прячем j ОА | = а. Вокруг точки О
вращается луч. Пусть В — переменная точка пересечения прямой,
содержащей этот луч, с окружностью. На прямой ОВ от то-
точки В в направлении луча откладывается отрезок ВМ длины Ь.
Написать в обобщенных полярных и прямоугольных коорди-
координатах уравнение линии, описываемой точкой М при вращении
луча, принимая за начало координаг точку О и за положи-
положительное направление оси Ох направление ОА.
331. Найти геометрическое место оснований перпендику-
перпендикуляров, опущенных из неподвижной точки на касательные'
к окружности.
332*. Дана окружность радиуса а и на ней две диамет-
диаметрально противоположные точки О и А. Вокруг точки О вра-
вращается луч. Пусть прямая, содержащая этот луч, пересекает
окружность в переменной точке В. На этой прямой от точки В

336 1
§ I. УРАВНЕНИЯ ЛИНИЙ НА ПЛОСКОСТИ 53
в направлении луча откладывается отрезок ВМ, равный диа-
диаметру окружности. Написать в обобщенных полярных и пря-
прямоугольных координатах уравнение линии, описываемой точ-
точкой М при вращении луча, принимая за начало координат
точку О, а за положительное направление оси Ох луч ОА.
333*. Дана точка О и прямая /. Пусть А — основание пер-
перпендикуляра, опущенного из точки О на прямую /, причем
j ОА ! = а. Вокруг точки О вращается луч и на прямой, содер-
содержащей этот луч, от точки В ее пересечения с прямой / откла-
откладывается отрезок ВМ = АВ, причем точка М берется на про-
продолжении отрезка ОВ за точку В для всех положений луча
но одну сторону от ОА и на отрезке ОВ для всех положе-
положений луча по другую сторону от ОА. Написать уравнение линии,
описываемой точкой М при вращении луча, в обобщенных
полярных и прямоугольных координатах, принимая за начало
координат точку О, а за положительное направление оси Ох
луч ОА.
334. Отрезок постоянной длины 2а скользит своими кон-
концами но двум взаимно перпендикулярным прямым. Найти линию,
описываемую при этом движении отрезка основанием перпен-
перпендикуляра, опущенного из точки пересечения прямых на отрезок
(в обобщенных полярных и прямоугольных координатах).
335*. Дана окружность с центром О и радиусом а и две
перпендикулярные прямые Ох и Оу. По окружности переме-
перемещается точка Л и из нее опускаются перпендикуляры АВ
на Ох, АС на Оу и AM на ВС. Написать параметрические
уравнения линии, описываемой точкой М при перемещении
точки А по окружности, принимая за параметр угол t, обра-
образуемый лучом ОА с осью Ох. Написать уравнение этой
линии в декартовых координатах.
336. На окружности взяты две диаметрально противополож-
противоположные точки О и /Си в точке/С к окружности проведена касатель-
касательная. Вокруг точки О вращается луч, пересекающий окружность
и касательную соответственно в точках А и В. Через точку А
проведена прямая, параллельная касательной, а через точку
Н — прямая, параллельная диаметру ОК. Написать параметри-
параметрические уравнения линии, описываемой точкой М пересечения
Э1и прямых, принимая за начало координат точку О, за

54 ГЛ. II. УРАВНЕНИЯ ЛИНИЙ И ПОВЕРХНОСТЕЙ [ 337
положительное направление оси Ох направление ОК и за пара-
параметр угол ф, образуемый лучом ОА с лучом ОК. Написать
полученное уравнение в декартовых координатах.
337*. Но оси Ох без скольжения катится окружность
радиуса а. Составить параметрические уравнения линии, опи-
описываемой той точкой М катящейся окружности, которая
в начальный момент находилась в начале координат, прини-
принимая за параметр t угол от радиуса СМ окружности, идущего
в точку М, до радиуса СА, идущего в точку А касания.
338*. Круг радиуса г катится по кругу радиуса R, оста-
оставаясь вне его. Найти параметрические уравнения линии, опи-
описываемой точкой катящегося круга, принимая за начало коор-
координат центр неподвижного круга, а за параметр угол t между
положительным направлением оси абсцисс и радиусом непод-
неподвижного круга, идущим в точку касания обоих кругов.
В начальном положении точка касания кругов лежит на оси
абсцисс.
339*. Круг радиуса г катится по кругу радиуса R, оста-
оставаясь внутри него. Написать параметрические уравнения линии,
описываемой точкой катящегося круга. Выбор системы коор-
координат и обозначений такой же, как и в предыдущей задаче.
340. Показать, что:
1) при R = 4r гипоциклоида обращается в астроиду;
2) при R = 2r гипоциклоида обращается в диаметр непод-
неподвижного круга.
3) при R = r эпициклоида обращается в кардиоиду.
341*. По окружности х2-\-у2=г2 катится прямая, началь-
начальное положение которой х = г. Написать параметрические
уравнения линии, описываемой точкой М катящейся прямой,
принимая за параметр угол t, образуемый с осью Ох ради-
радиусом, идущим в точку касания. В начальный момент движения
точка занимает положение (г, 0).
§ 2. Уравнения поверхностей и линий в пространстве
Во всех задачах этого параграфа система координат пред-
предполагается прямоугольной.
342. Написать уравнения: 1) плоскостей координат Oyz,
Ozx, Oxy; 2) плоскостей, проходящих через точку (а, Ъ, с)
и параллельных плоскостям координат Oyz, Ozx, Oxy, 3) плос-
плоскостей, делящих пополам двугранные углы между координат-
координатными плоскостями Oxz и Oyz.

358] §2. ПОВЕРХНОСТИ И ЛИНИИ В ПРОСТРАНСТВЕ
55
343. Налисать уравнение плоскости, зная длину р пер-
перпендикуляра, опущенного на эту плоскость из начала коорди-
координат, и углы а, р, у этого перпендикуляра с осями координат.
344. Написать уравнение поверхности шара радиуса R:
1) с центром в начале координат; 2) с центром в точке
(а, Ь, с).
345. Написать уравнение круглого цилиндра радиуса г,
ось которого совпадает с осью Oz.
346. Составить уравнение круглого конуса, основанием
которого служит окружность x2-\-y2=r2, z = 0, а вершина
находится в точке (О, О, И).
347. Написать уравнение круглого конуса, вершина кото-
которого находится в начале координат, ось совпадает с осью Oz,
а образующая составляет с осью угол ф.
348. Написать уравнение поверхности, полу.чающейся при
вращении прямой y — kx-\-b, z = 0 вокруг оси Ох.
349. Написать уравнение поверхности, получающейся при
вращении параболы z~ax3, _у = 0 вокруг ее оси.
350.' Написать уравнение поверхности, получающейся при
вращении эллипса —г ~\-^2 = 1 (a>b), z = 0;
1) вокруг его большой оси, 2) вокруг его малой оси.
351. Написать уравнение поверхности, получающейся при
хг va
вращении гиперболы -а —р=1> z = 0: 1) вокруг ее дей-
действительной оси, 2) вокруг ее мнимой оси.
352. Написать уравнение поверхности, получающейся при
вращении параболы у2 = 2рх, z — О вокруг ее оси.
353*. Написать уравнение поверхности, получающейся при
вращении окружности (х — аJ -\- гг = Ьг, а>&>0, вокруг
оси Oz.
354*. Написать уравнение поверхности, получающейся при
«ращении линии y=f(x), z = 0 вокруг оси Ох.
355*. Написать уравнение поверхности, получающейся при
вращении линии F (х, у) = 0 вокруг оси Ох.
356*. Написать уравнение поверхности, получающейся при
вращении прямой х = а, z = ky вокруг оси Oz.
357*. Написать уравнение поверхности, получающейся при
вращении линии х=/(.г), y=g(z) вокруг оси Oz.
358. Пусть М = (х, у, z) — произвольная точка сферы
■**+У2 + г2 — г2; М' — ее проекция на плоскость Оху.
■ ^писать параметрические уравнения сферы, принимая за

56 ГЛ. П. УРАВНЕНИЯ ЛИНИИ И ПОВЕРХНОСТЕЙ [ 359
параметры угол и луча ~0М с плоскостью Оху (широта)
и угол v луча ОМ' с положительным направлением оси Ох
(долгота).
359*. Поверхность, получающаяся при вращении окруж-
окружности (дг — аJ + z2 — Ь2 (а>&>0), у = 0 вокруг оси Oz,
называется тором. Пусть JVS = (x,y, z)— произвольная точка
тора; С —центр окружности, по которой плоскость, прохо-
проходящая через ось Oz и точку М, пересекает тор; М — про-
проекция точки М на плоскость Оху; и— угол, образованный
лучом СМ с лучом СА, исходящим из точки С и одинаково
направленным с лучом ОС; v — угол луча ОС с положитель-
положительным направлением оси Ох. Написать параметрические урав-
уравнения поверхности тора, принимая за параметры числа и и v.
360*. Дана окружность х2-\-у2 = а2, 2 = 0. Вокруг оси
Oz вращается полуплоскость, пересекающая эту окружность
в переменной точке А. В полуплоскости, проходящей через
ось Oz и точку А, вокруг точки А вращается луч AM так>
что угол v, образуемый лучом AM е продолжением луча ОА
за точку А, остается все время вдвое меньше угла, образован-
образованного ОА с положительным направлением оси Ох. В начальный
момент движения направления лучей ОА и AM совпадают
с положительным направлением оси Ох. Написать параметри-
параметрические уравнения поверхности, описываемой вращающим лучом,
принимая за параметры расстояние и точки М = (х, v, z)
поверхности до точки А и угол v.
361. Центр С окружности радиуса г, плоскость которой
перпендикулярна к оси Oz, перемешается по оси Oz с посто-
постоянной скоростью v. По этой подвижной окружности равно-
равномерно перемещается точка М так, что луч СМ вращается
с постоянной скоростью со. Составить параметрические урав-
уравнения линии, описываемой точкой М, при условии, что
в начальный момент движения УИ = (г, 0, 0) (винтовая линия).
362*. Написать параметрические уравнения линии пересе-
пересечения сферы х2-\-у2-\- z2 — г2 и круглого цилиндра х*-\-у2 —
— гх = 0, выбирая в качестве параметра угол ф, образуемый
проекцией радиуса-вектора ОМ произнояьной точки М линии
на плоскость Оху с положительным направлением оси Ох
(линия Вивиани).

ГЛАВА III
ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ
§ 1. Составление уравнения прямой
по различным ее заданиям
Александров, гл. V, §§ 1, 3, 4.
Моде нов, гл. V, §§ 50 — 58.
Постников, гл. 3, § 1, пп. 1, 2.
363. Написать уравнение прямой:
1) имеющей угловой коэффициент 3 и отсекающей на
оси ординат отрезок, равный 4;
2) проходящей через точку B, 3) и имеющей угловой
коэффициент, равный —5;
3) проходящей через точку C,'—2) параллельно оси Оу;
4) проходящей через точку C,—о) параллельно вектору
{--4,2};
о) проходящей через две точки B, 3) и (—4 ,—6);
6) отсекающей на осях Ох и Оу отрезки, соответственно
рапные 3 и —5. Система координат аффинная.
364. Найти угловой коэффициент k и отрезки а и Ь,
отсекаемые на осях Ох и Оу прямой х -\- 2у-\-1 = 0. Система
координат аффинная.
365. Составить параметрические уравнения прямой, прохо-
проходящей через точку C, —2) и параллельной вектору {—2, 3}; напи-
написать общее уравнение этой прямой. Система координат
аффинная.
366. Написать параметрические уравнения прямой, проходя-
проходящей через точки (хь ух) и (лг2, у2). Система координат
аффинная.
367. Дан треугольник ABC: А =(—2, 3), В = D, 1), С =
---- F, —5). Написать уравнение медианы этого треугольника,
проведенной из вершины А. Система координат аффинная.
368. Дан треугольник ABC: А = D, 4), В = (—6, —1),
^ —(—2, —4). Написать уравнение биссектрисы внутреннего
угла треугольника при вершине С. Система координат прямо-
У'ольная.

58 ГЛ. III. ПРЯМАЯ НЛ ПЛОСКОСТИ t Зб§
369. Основания равнобочной гранении равны 10 и 6, а
ТТ
угол при основании равен •'„-. Принимая за ось абсцисс боль-
большее основание трапеции, за начало координат его середину,
а за положительное направление оси ординат вектор, иду-
идущий из середины большего основания в середину меньшего
основания, написать в этой системе координат уравнения
всех сторон трапеции. Система координат прямоугольная.
370. Через точку B, — 1) провести прямую, отрезок кото-
которой, заключенный между осями координат, делился бы в
данной точке пополам. Система координат аффинная.
^371. Написать уравнение прямой, параллельной прямой
2х -\-Ъу = 0 и образующей вместе с осями координат тре-
треугольник, площадь которого равна 5. Система координат
прямоугольная. #
372*. Через точку М = (А, — 3) провести прямую так,
чтобы площадь треугольника, образованного этой прямой
и осями координат, была равна 3. Система координат прямо-
прямоугольная.
373. Вершина D параллелограмма ABCD соединена с точ-
точкой К, лежащей на стороне ВС и делящей отрезок ВС
в отношении 2 : 3. Вершина В соединена с точкой L стороны CD,
делящей отрезок DC в отношении 3:5. В каком отношении
точка М пересечения прямых DK и BL делит направленные
отрезки DK и BL?
374. Даны две прямые y = k1x-\-bl и y = k2x-\-b2. Найти
геометрическое место середин отрезков, высекаемых данными
прямыми на прямых, параллельных оси ординат. Система коор-
координат аффинная.
375*. В треугольнике ABC углы А и В при его основании
АВ острые и боковые стороны АС и ВС не равны между
собой. Найти геометрическое место точек пересечения , диаго-
диагоналей прямоугольников, вписанных r треугольник так, что две
вершины прямоугольника лежат на основании данного тре-
треугольника, а две другие — на его боковых сторонах.
376*. Найти геометрическое место точек пересечения диа-
диагоналей параллелограммов, вписанных в данный четырехуголь-
четырехугольник так, что стороны этих параллелограммов параллельны
диагоналям четырехугольника.
377*. -Даны уравнения двух сторон треугольника 2дг — у = 0,
5х—^ = 0 и уравнение Зх— _у = 0 одной из его медиан.

382 ] § 2. ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ДВУХ ПРЯМЫХ 59
Составить уравнение третьей стороны треугольника, зная, что на
ней лежит точка C, 9), и найти координаты его нершин. Система
координат аффинная.
378*. Даны уравнения Зл: — 2у -f-1 = 0, лг— у+1=0
двух сторон треугольника и уравнение 2х — у —1=0 медианы,
выходящей из вершины, не лежащей на первой стороне. Соста-
Составить уравнение третьей стороны треугольника. Система коор-
координат аффинная.
379*. Дано уравнение х—2у-\-7 = 0 стороны треуголь-
треугольника и уравнения х-\-у~€>-~0, 2х-\-у—11=0 медиан,
выходящих из вершин треугольника, лежащих на данной
прямой. Составить уравнения диух других сторон треуголь-
треугольника. Система координат аффинная.
380*. Стороны ВС, СА и АВ треугольника ABC разде-
разделены точками Р, Q, R в отношениях
ЪР-\ CQ AR_
__; = А» . ^ It) * === V.
PC QA RB
Пусть А', В', С —точки пересечения пар прямых BQ и CR,
CR и АР, АР и BQ.
1) Найти отношение площади ориентированного треуголь-
треугольника А'В'С к площади ориентированного треугольника ABC.
2) Чему равно это отношение в случае ^,=fi = v = 2?
§ 2. Взаимное расположение двух прямых
на плоскости
Александров, гл. V, § 2.
Моденов, гл. V, § 59.
Постников, гл. 3, § 1, п. 3.
Во всех задачах этого параграфа система координат
является аффинной.
381. Даны две прямые Ах-\- By -\-C = 0; x = xo-\- at,
У^УоЛ-Ы. Найти условия, необходимые и достаточные для
того, чтобы эти прямые: 1) пересекались; 2) были параллельны;
3) совпадали.
382. Даны две прямые: дг = х1 + а1^, у=у1-\-Ь^\ х =
= x2-\-a2t, у=Уг-\-Ь4- Найти условия, необходимые и доста-
10чные для того, чтобы эти прямые: 1) пересекались; 2) были
|1араллельны; 3) совпадали.

60 ГЛ. III. ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ [ 38
383. Определить взаимное расположение пар прямых:
2) x = 5 + 4t, y = ~-2 — 2t; x=\~2t, y = 7 + t;
3) 3x+9y + 5 = 0; x = 2 + 3t, y = — t.
384. Зная уравнения двух сторон параллелограмма х —
— 3_у = 0и 2х+ ЧУ+ 6 = 0 и одну'из его вершин С = D, —1)
составить уравнения двух других сторон параллелограмм
385. Даны вершины треугольника: А = (—1, 2), В = (Ъ, —1
и С=@, 4). Написать уравнение прямой, проходящей чере:
вершину А и параллельной стороне ВС.
386. Через точку М = {2, 5) провести прямую, равноуда
ленную от точек Р = (—1, 2) и Q = E, 4).
^Ж1. Даны середины М1 = B, 3), М2={— 1, 2) и М3 =d
= D, 5) сторон треугольника. Составить уравнения сторож
388. Составить уравнение прямой, параллельной двум парад
лельным прямым х-\-у— 1=0, х-\-у— 13 = 0 и равноуда-;
ленной от них.
"* 389. Составить уравнения прямых, равноудаленных от
трех точек A, 2), C, 0), (—4, —5).
• 390. Доказать: для того, чтобы прямая Ах~\-Ву-\-С = 0
была параллельна прямой МхМ2, проходящей через точки
М1 = (х1, yL) и Ж2 = (х2, у2), необходимо и достаточно, чтобы 1
А В С А В СО i
391. Даны уравнения двух сторон параллелограмма*
х —у — 1=0, х — 2у — 10 = 0и точка пересечения его диаго-
диагоналей Ж = C, —1). Написать уравнения двух других сторон
параллелограмма.
392. Даны две смежные стороны параллелограмма
и точка пересечения его диагоналей М = (х0, у0). Написать.^
уравнения двух других его сторон.
^ 393.* Составить уравнения сторон параллелограмма АЕСГЩ
зная, что его диагонали пересекаются в точке УИ = A, C),
стороны АВ, ВС, CD и DA проходят сЬответственно через;
точки Р = C, 0), Q = F, 6), # = E, 9), S = (—5, 4).
394. Даны уравнения сторон параллелограмма АВС0-
-12 = 0 (АВ), 5л--12у-б = 0 (AD) и середин*
Е—[—2, ~\ стороны ВС. Найти уравнения двух других ст
рон параллелограмма.

400 i § 3. ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ТРЕХ ПРЯМЫХ 61
395. Дано уравнение Зх~{-4у — 12 = 0 стороны А В на-
нагл ллелограмма ABCD, уравнение х-\-\2у — 12 = 0 диагонали
ДС и середина Е = \—2, -Л стороны ВС. Найти уравнения
стороп ВС, CD и AD.
§ 3. Взаимное расположение трех прямых
на плоскости. Пучок прямых
Александров, гл. V, § 5.
Моденов, гл. V, §§ 60, 61.
Постников, гл. 3, § 1, п. 3.
Во всех задачах этого параграфа, кроме двух последних,
система координат предполагается аффинной. В задачах 402
и 403 система координат предполагается прямоугольной.
396*. Найти условия, необходимые и достаточные для
того, чтобы три прямые А1х-\-В1у-\-С1 = 0, А2х-\-В2у +
-г С> = 0, А3х -\- В3у -f- С3 = 0 образовывали треугольник.
397*. Найти условия, необходимые и достаточные для
того, чтобы три прямые Агх~\-В^у-\-С1 = 0, Агх-\-В2у-\-
-j-C2—-0, А3х -f- Вау -f- С3 = 0 имели единственную общую
точку.
398. Найти взаимное расположение грех прямых и каждом
из следующих случаев:
1) х + 2у + 3 = 0, 2х + 3_у+ 5 = 0, х- у + 7 = 0;
2) 2х + 5у-4 = 0, 7х+ ^-20 = 0, Зх+ 2у-8 = 0.
3) х — у — 2 = 0, Зх + Ьу + 4 = 0, 6х — 6у + 1 = 0;
4)'2х + Зу-1=(), 4х + 6у + 5 = 0, 10х+15у-7 = 0.
399*. Окружность, вписанная в треугольник ABC, касается
его сторон ВС, СА и АВ соответственно в точках Р, Q и R.
Доказать, что прямые АР, BQ и CR проходят через одну
точку.
400*. Стороны ВС, СА, АВ треугольника ABC разделены
точками Р, Q, R в отношениях:
PC ' QA RB
'Ри каких необходимых и достаточных условиях:
1) прямые АР, BQ и CR проходят через одну точку;
2) прямые АР, BQ и CR параллельны.

62 ГЛ. III. ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ
401*. Стороны треугольника заданы уравнениями Ахх »
Написать уравнение его медианы, проведенной из точки п
ресечения первой и второй сторон.
402*. Стороны треугольника заданы уравнениями А\х -
В+С 0 А В + С 0 А + В
у +
Составить уравнение высоты треугольника, опущенной i
точки пересечения первых двух сторон на третью его сторон
403*. Стороны треугольника заданы уравнениями Ахх -
ВС 0 А ВС 0 А
у у у + 3
Написать уравнения биссектрис внутреннего угла треугольник
образованного первой и второй прямыми.
§ 4. Расположение точек относительно прямой
Александров, гл. V, § 6.
Моденов, гл. V, § 62.
Постников, гл. 3, § 1, п. 4.
Во всех задачах этого параграфа система координат пред
полагается аффинной.
404. Даны две прямые 2jtr + Зу — 5 = 0, х~у—1 —
и пять точек Р = C, 1), Q=B, 2), /? = (—2, 1), 5=A, —1
Т = D, 0). Обозначая через АМВ тот из четырех углов, обра-
образованных данными прямыми, в котором лежит точка Р,'
а через CMD — угол, ему вертикальный, установить, в каких,
углах лежат остальные четыре точки. !
405. Две параллельные прямые '2х — 5_y-|-fi = 0 и '2х—•■
— оу — 7 = 0 делят плоскость на три области: полосу, заклю-,
ченную между этими прямыми, и две области вне этой полосы.?
Установить, каким областям принадлежат точки А = B, 1),
В = C, 2), С = A, 1), £ = B, 8), £ = G, 1), F = (—4, 6).
406. Даны две точки А — (—3, 1) и В = (о, 4) и прямая
х — 2_у -f-1 == 0. Установить, пересекает ли данная прямая от
резок АВ или его продолжение за точку А или за точку В.
407*. Даны две точки М1 = (х1, у{), М2 = (х2, у2) и йря-
мая Ах + Ву + С=0, причем Ах1-\-Ву1+СфАх.г + Вуъ +
-|_ С Ф 0. В каком отношении точка пересечения данной пря
мой с прямой MtM2 делит направленный отрезок МХМ^
408. Даны четыре точки: Л = E, 3), В'~{\, 2), С = C, 0)
/) = B, 4). Установить, принадлежит ли точка М пересечения
прямых АВ и CD отрезкам АВ и CD или их продолжениям!

4l7] §5. УСЛОВИЯ ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТИ ДВУХ ПРЯМЫХ 63
409*. При каком необходимом и достаточном условии
точка (х0, _у0) лежит между двумя параллельными прямыми
B 0
y
410. Даны три прямые: Ах + Ву + С = 0, Ах + Ву-{-
_f £)=0, Ах-\-Ву-\-Е=0. Найти условие, необходимое
и достаточное для того, чтобы вторая прямая лежала в по-
полосе, образованной первой и третьей прямыми.
411*. Дан треугольник ABC: Л = C, 1), й = (—2, 4),
С' = A, 0) и прямая х — 7у -{-5 = 0. Установить, пересекает
ли прямая стороны треугольника или их продолжения.
412*. Стороны треугольника ABC заданы уравнениями
2Х—у + 2 = 0 (АВ), х+у—4=0 (ВС), 2х+у = 0 (СА).
Определить положение точек М=(Ъ, 1), N=G, —6),
р ;_; C, 2) относительно данного треугольника.
413*. Найти условия, необходимые и достаточные для
того, чтобы точка (х0, у0) лежала внутри треугольника,
образованного прямыми Ахх -\- Вху + Q = 0, А%х-\-Вгу -+-
0 А 0
у
414*. Даны пересекающиеся прямые Ахх-\- #1^/-|-С1 = 0,
А.,х -|- В2у + С2 = 0 и точка М0 = (х0, у0), не принадлежащая
ни одной из данных прямых. Найти направления сторон того
 четырех углов, образованных данными прямыми, в котором
лежит данная точка М.
415*. Стороны треугольника ABC заданы уравнениями
Ядг-^4-4 = 0 (АВ), 2х-у + \ = 0 (ВС), х~2у = 0 (СА).
Определить положение прямой 2х — у -f- 3 == 0 относительно
данного треугольника.
§ 5. Условие перпендикулярности двух прямых
Александров, гл. V, §§7, 9.
Молено в, гл. V, §§ 65, 66.
Пост инк о в, гл. 3, § 1, п. 5.
Во всех задачах этого параграфа система координат яв-
является прямоугольной.
416. Даны вершины треугольника А = D, 6), В = (—4, 0)
п С~(—1, —4). Составить уравнение высоты, опущенной
•|:! вершины А на сторону ВС.
417. Даны две вершины треугольника Л=(—6, 2),
~~ B, —2) и точка //=A, 2) пересечений его высот. Вы-
'"слить координаты третьей вершины С.

64 ГЛ. III. ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ [418
418. Даны две стороны треугольника
х + Зу - 1 = 0, Зх + Ъу — б = О
и точка пересечения его высот @, 0). Найти третью сторону
треугольника.
'ч* 419. Зная вершину Л = C, —4) треугольника ABC и урав-
уравнения двух его высот 7х — 2у — 1 = 0 и '2х — Ту — б = 0,;
написать уравнение стороны ВС.
420. В треугольнике ABC известны: сторона АВ, задан-
заданная уравнением 4х-{-у — 12 = 0, высота ВН, заданная урав- j
нением 5х — 4у—15 = 0, и высота АН, заданная уравнением-
2х 4- '2у — 9 = 0. Найти вершину С этого треугольника.
V421. Найти общую вершину М двух равнобедренных
треугольников АМВ и CMD, зная концы их оснований !
Л==@, 0), £=@, 1), С = (—2, 1), D = (l, 1). ' i
V/422. Дано уравнение стороны прямоугольника 2х-{-Зу — j
— 6 = 0 и точка пересечения его диагоналей E, 7). Напи-
Написать уравнения остальных сторон прямоугольника, зная,
что одна из них проходит через точку (—2, 1). .
423. Найти проекцию точки (—5, 6) на прямую;
7х— 13у-105 = 0. f
424. Найти точку, симметричную точке М—(—2, 9) г^'
носителыю прямой 2х— Зу -{-18 = 0. .
425. Написать уравнения сторон треугольника, зная одну
из его вершин A, 7) и уравнения 2х 4- Ъу — 10 = 0, х — ;2у 4-
4- 3 = 0 . перпендикуляров, восставленных в серединах сто&
рон, выходящих из этой вершины. ,
426*. Написать уравнения прямых, проходящих соотврт^
ственно через точки A5, 10) и A0, 5), зная, что пряма
х -{-2у = 0 делит пополам углы, образуемые искомым!
прямыми.
427*. Вершина треугольника находится в точке (—2, 9)
а биссектрисами двух его углов служат прямые 2лг —3_у4
4- 18 = 0, ^4-2 = 0. Написать уравнение стороны треуголь
ника, противолежащей данной вершине.
S/428*. Написать уравнения сторон равнобедренной трапеци
зная середины ее оснований A, 1), B, 8) и точки D, —3
(—15, 14) на ее боковых сторонах.
■^429*. Дано уравнение стороны ромба х-\-Ъу — 8 =
и уравнение его диагонали 2х-\-у-\-$ = 0. Написать ypai
нения остальных сторон ромба, зная, что точка (—9, —
лежит на стороне, параллельной данной.

437 ] § 0. УГЛЫ МЕЖДУ ДВУМЯ ПРЯМЫМИ 65
§ 6. Углы между двумя прямыми. Угол от одной
прямой до другой
А л е к с а н д р о в, гл. V, § 9.
Моденов, гл. V, §§ 65, 66.
Постников, гл. 3, § 1, п. 5.
Во всех задачах этого параграфа система координат
предполагается прямоугольной.
430*. Доказать: если три прямые, образующие треуголь-
треугольник, занумерованы(. числами 1, 2, 3, то три угла — угол от
первой прямой до второй, угол от второй прямой до третьей
и угол от третьей прямой до первой—являются одновремен-
одновременно либо внутренними углами треугольника, либо внешними
его углами.
431*. Найти внутренние углы треугольника, стороны
которого заданы уравнениями Злг — у-{-6 = 0, -х — у-{-4 = 0,
х + '2у = 0.
432. Основанием равнобедренного треугольника служит
прямая 2jc -f- Зу = 0; его вершина находится в точке B, 6);
тангенс угла при основании равен -^ . Написать уравнения
боковых сторон треугольника.
433. Вершина равнобедренного треугольника находится
в точке (—7, 15), а середина его основания в точке A, 3).
Составить уравнения сторон треугольника, зная, что тангенс
угла при основании равен 4.
•434*. Основанием равнобедренного треугольника служит
прямая 2х — 5у-{-1 — 0, а боковой стороной — прямая 12х —
■—д> —23=0. Написать уравнение другой боковой стороны
треугольника, зная, что она проходит через точку C, 1).
435. Основанием равнобедренного треугольника служит
прямая 2jtr-f Зу = 0, а бокозой стороной—прямая 5х—12_у=0.
Написать уравнение другой боковой стороны треугольника,
зная, что она проходит через точку B, 6).
436*. Зная уравнения двух сторон треугольника ABC:
'iy — 6 — 0 (АВ), х + '2у — 5 — 0 (АС) и внутренний угол
при вершине В, равный -yt написать уравнение высоты, опу-
опущенной из вершины А на сторону ВС.
437*. Концы основания равнобедренного треугольника
находятся в точках А—(—3, 4), В = F, —2); тангенс угла
при основании равен у. Найти координаты вершины С, зная,
3 П. С, Моденов, А, С. Пархоменко

66 гл. ш. прямая на плоскости [ гщ
что начало координат и точка С лежат по разные стороны
от прямой АВ.
438*. Основанием равнобедренного треугольника служит
прямая х -f- 2у = 0, а боковой стороной—прямая х —у -f- 6 = 0.
Написать уравнения: 1) прямой, проходящей через точку пере-
пересечения двух данных сторон треугольника параллельно третьей
его стороне; 2) высоты, опушенной из точки пересечения дан-
данных сторон на третью сторону треугольника; 3) медианы, про-
проведенной из точки пересечения данных сторон.
439*. Даны две прямые: х + Зу = 0 и х—у-\-& = 0.
Найти третью- прямую так, чтобы вторая из данных прямых
была биссектрисой угла между первой из данных прямых
и искомой прямой.
440*. Даны две вершины треугольника ABC: A —A, 2),
23 = C, 4) и тангенсы внутренних углов при этих вершинах
tg А =— у, tgZ? = y. Найти третью вершину треугольника,
зная, что она лежит по ту же сторону от прямой А В, что и
начало координат.
441*. Дана вершина С = (—3, 2) треугольника ABC, тан-
1 4
генсы его внутренних углов tgA = y, tgS = -g- и уравне-
уравнение '2х — у — 2 = 0 стороны АВ. Составить уравнения двух
других сторон треугольника.
442*. Зная уравнение стороны треугольника х-{-7у — 6 = 0
и уравнения биссектрис
х+у — 2 = 0, дг — Зу — 6 = 0,
выходящих из концов этой стороны, найти координаты вер-
вершины, противолежащей данной стороне.
443*. Даны уравнения сторон треугольника Ъх-\-у — 3 = 0,
Ъх-\-Ау — 0 и уравнение х— _y-f-5 = 0 биссектрисы одного
из внутренних углов этого треугольника. Составить уравне-
уравнение третьей стороны.
444*. Даны две точки А —C, 3) и В = @, 2). На прямой
х-\-у — 4 = 0 найти точку М, из которой отрезок AS виден
л
под углом -г-.
446*. Даны две пересекающиеся не взаимно перпендику-
перпендикулярные прямые А1х-{~В1у-{-С1 = 0, A2x -f- В2у -\- С2 = 0. До-
Доказать, что угол между векторами и1 = {А1, Вх) и и2 =
— {А2. Мг} Равбч тому из углон между данными прямыми,
внутри которого лежат точки, принадлежащие полуплоскостям,

455 ] § 7. РАССТОЯНИЕ ОТ ТОЧКИ ДО ПРЯЛЮЙ 67
определяемым данными прямыми, для координат точек кото-
которых левые части данных уравнений имеют противоположные
знаки.
446*. Найти косинус того угла между двумя прямыми
Л-_|_5у = 0, 1 Ox -4- 2y -f-1 = 0, в котором лежит точка A, 1).
447*. Даны две пересекающиеся не взаимно перпендику-
перпендикулярные прямые AlxJrBly-\-Cl — 0, А2х-\-В.гу-\-Сг = 0 и
точка (х0, уо), не принадлежащая ни одной из этих прямых.
Найти косинус того угла ср между данными прямыми, в кото-
котором лежит данная точка.
448*. Три прямые А1х+В1у + С1 = 0, Агх + В2у + С2 = 0,
А3х-]-В3у-\-Са = 0 образуют треугольник. Найти косинус
внутреннего угла этого треугольника, образованного первой
и второй прямыми.
449*. Даны три прямые Ахх -\- Вху -4- Сх = 0, А2х + В2у +
-f С2 —О, А3х -f- В3у -f- С3 = 0, проходящие через одну точку.
При каком необходимом и достаточном условии третья пря-
прямая проходит в остром угле, образованном двумя первыми?
§ 7. Расстояние от точки до прямой
Александров, гл. V, §§7, 8.
Моденов, гл. V, §§ 63, 64.
Постников, гл. 3, § 1, п. 5.
Во всех задачах этого параграфа система координат пред-
предполагается прямоугольной.
450. Составить уравнения прямых, параллельных прямой
5х -f 12у — 1 = 0 и отстоящих от нее на расстояние 5.
451. Найти расстояние между параллельными прямыми
-~~~" 12х— 16у — 48 = 0, 3*-4у + 43 = 0.
452. Составить уравнения биссектрис углов между пря-
прямыми
0, 2х-
453. Найти касательные к окружности с центром A, 1) и
радиусом 3, параллельные прямой ох—12у = 0.
454*. Написать уравнения касательных к окружности
с центром A, 1) и радиусом 2, проведенных из точки G,—1).
455*. Найти общие касательные к двум окружностям,
иенгры которых находятся в точках A, 1) и B, 3), а ради-
yci.i соответственно равны 2 и 4.
3*

68 ГЛ. III. ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ
456*. Написать уравнения сторон квадрата, описание»]
около окружности с центром A, 9) и радиусом 5, зная, ч
одна из его диагоналей параллельна прямой х — 7у = 0.
457. Основанием равнобедренного треугольника служи
прямая х -f- 2_у -)- 6 = 0, а боковой стороной — прямая 2х
-f-_y=O. Написать уравнение другой боковой стороны трё|
угольника, зная, что ее расстояние от точки пересечения да *
ных сторон равно ~]/~о.
458*. Написать уравнение биссектрисы того угла межд:
прямыми х -\-7y~0, х—у — 4 = 0, внутри которого лежи
точка A, 1).
459*. Даны две пересекающиеся прямые А-^у
—0, А2х-{- В2у-\~С2~0 и точка (л:0, _уо), не принадлеж
щая ни одной из этих прямых. Написать уравнение биссек
трисы того угла между данными прямыми, в котором лежи
данная точка.
460*. Написать уравнения сторон прямоугольника, ^
уравнения его диагоналей 7^—^-1-4 = 0, х-\-у — 2 = GJ
и внутреннюю точку C, 5) одной из его сторон. }
461. Даны две прямые Зх + fy — 2 = 0, 5х— 12у — 4 = 0
и точка A, 1). Внутри угла, образованного данными прямыми
и содержащего данную точку, найти такую точку, чтобы ее
расстояния до данных прямых были равны соответственно 3 и 1.
462*. Доказать, что внутри треугольника, образованного
прямыми 7*+J>—2 = 0, Ъх + 5у — 4=Л), 2х — Чу-f5 = 0,
существует точка, равноудаленная от первых двух прямых и от-
стоящая от третьей прямой на расстояние . ■ Найти эту
точку.
463*. Внутри треугольника ABC со сторонами 2х-\-у—
— 22 = 0 (АВ), 2х-у+18 = 0 (сВ), х — 2у-6 = 0 {СА)
найти топку, расстояния которой до прямых АВ, ВС и СА
пропорциональны числам 20, 12, 15.
464*. Найти центр и радиус окружности, проходящей
через точку (—1, 3) и касающейся прямых 7х-\-у — 0,
465*. Найти центр С и радиус г круга, вписанного в тре-
треугольник со сторонами Зх — 4_у—2 = 0, 4 л: — Зу— 5 = 0,
466. Найти центр С и радиус г круга, вписанного в тре-
треугольник со сторонами х-\-у-\-12 = 0, 7х-}-у — 0, 7Х—

477 ] § 7. РАССТОЯНИЕ ОТ ТОЧКИ ДО ПРЯМОЙ 69
467*. Составить уравнения биссектрис внутренних углов
треугольника, стороны которого заданы уравнениями
Злг —4j/ = 0, Ах — Зу = О, 5дг+12у—10 = 0.
468*. Написать уравнение биссектрисы наибольшего из
внутренних углов треугольника со сторонами
469*. Составить уравнение биссектрисы острого угла
между двумя прямыми х — Ъу = 0, Зх — у -f- 5 = 0.
470*. Даны две пересекающиеся не взаимно перпендику-
перпендикулярные прямые A1x + Biy-{-C1 = 0, А2х-{-В2у-{-С2 = 0. На-
Написать уравнение биссектрисы острого угла между ними.
471*. Написать уравнения сторон ромба, зная точку
М = A, 6) пересечения его^диагоналей и по точке на трех его
сторонах: Р = C, 0) на стороне АВ, Q = F, 6) на стороне
ВС, R = (o, 9) на стороне CD.
472*. Составить уравнения сторон квадрата, зная его
центр A, 6) и но точке на двух непараллельных сторонах:
D, 9) на стороне АВ, (—5, 4) на стороне ВС.
473*. Написать уравнения сторон квадрата, зная по точке
на каждой из них:. Р = B, 1) на стороне АВ, Q = @, 1) на
стороне ВС,' /? = C, 5) на стороне CD, S—(—3, —1) на
стороне DA.
474*. Вершины острых углов прямоугольных треугольни-
треугольников перемещаются по двум параллельным прямым, а вершина
прямого угла — по прямой, к ним перпендикулярной. Какую
линию описывает при этом основание перпендикуляра, опу-
опущенного из вершины прямого угла на гипотенузу прямо-
прямоугольного треугольника?
475*. Найти геометрическое место точек, сумма рассто-
расстояний которых до катетов СА и СВ равнобедренного прямо-
прямоугольного треугольника ABC равна расстоянию до его гипо-
гипотенузы АВ. _^
476*. Дана вершина C, 5) равнобедренного треугольника,/
уравнение х — 2у -|-12 = 0 его основания и площадь 5=15/
Составить уравнения боковых сторон.
477. Стороны треугольника заданы уравнениями
Найти длину высоты треугольника, опущенной на третью
его сторону.

70
ГЛ. III. ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ
[ 478
§ 8. Метрические задачи на прямую
в аффинных координатах
478*. Найти тангенс угла а от оси Ох до прямой
y = kx-\-b, зная метрические коэффициенты gn, g12, g22
базиса еь е2.
479*. Найти тангенс угла а от оси Ох до прямой
y = kx-\-b, если j^i| = |^2!=l> еь е2 = а.
480*. Найти тангенс угла ф от прямой y = klx-\-b1
до прямой y = k2x-{-b2, зная метрические коэффициенты gn,
gn> £22 базиса еь е2.
481*. Найти тангенс угла гр от прямой y = kxx-\-bx
до прямой y = k2x-\-b2, если | ех|==| е2|= 1, ev e2 = a.
482*. Найти необходимое и достаточное условие перпен-
перпендикулярности двух прямых /ljjtr -f- Бгу -j- Сх == 0, А2х -f- B2y -\-
-f С2 = 0, зная метрические коэффициенты gn, g12, g22 базиса
еь е2.
483*. Найти необходимое и достаточное условие перпен-
перпендикулярности двух прямых y = k1x-{-bb y = k%x-\-b%, если
484*. 1) Найти косинус, синус и тангенс угла ф от пря-
прямой Ахх -)- Вху -f- Сг = 0 до прямой Aj-^ -f- В2у -\- С2 = 0, зная
метрические коэффициенты gn, gl2, g22 базиса ev e%.
2) Какой вид примут эти формулы в случае
I ei
1 е21 =
еъ е-г —
485*. Написать урапнепие перпендикуляра, опушенного
из точки (х0, у0) на прямую
если
= ka|= 1, еь ez =
486*. Зная метрические коэффициенты gn, gn< g22 базиса
ev e2, составить уравнения семейства прямых:
1) перпендикулярных к оси Ох;
2) перпендикулярных к оси Оу;
3) рассмотреть частный случай:

490 ] S 8- МЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ В АФФИННЫХ КООРДИНАТАХ 71
487*. Найти расстояние d от точки (х0, у0) до прямой
^х _]_ By -f- С = 0, зная метрические коэффициенты ^и, gi2,
ог„ базиса ,ех, е^
488*. Найти расстояние d от точки (х0, у0) до прямой
+ у = 0, если |е1| = !е2| = 1, еь е2 = а.
489*. Найти расстояние d от точки B, 1) до прямой
10.v: + 56_у — 37 = 0, если £и = 4, g12 = 8, g22 = 2o.
490*. 1) Составить уравнения биссектрис углов между
координатными осями, зная метрические коэффициенты gxl,
gn, g.,2 базиса вх, е2.
2) Рассмотреть частный случай (е1| = |ег| = 1, е1г еа = со.

ГЛАВА IV
ПЛОСКОСТЬ И ПРЯМАЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
§ 1. Составление уравнений прямых и плоскостей
А лек сан дров, гл. X, § 1, пп. 1, 5; § 4. '
Моденов, гл. VI, §§ 68, 69, 71—75, 77, 78, 81.
Постников, гл. 3, § 2, пп. 1, 2; § 3, п. 1.
-491. Дана точка Л = A, 2, 3).
1) Составить уравнения плоскостей, проходящих через
точку А и параллельных координатным плоскостям.
2) Составить уравнения прямых, проходящих черев точку",
А и параллельных осям координат. ^
3) Составить уравнения плоскостей, проходящих через
точку А и через оси координат.
4) Составить уравнения прямой, проходящей через начало
координат и точку А.
Система координат аффинная.
• 492. Дана точка Л = A, 2, 3).
1) Составить уравнения перпендикуляров, опущенных из
точки А на координатные плоскости.
2) Написать уравнения перпендикуляров, опущенных из
точки А на оси координат/
3) Написать уравнения плоскостей, проходящих через
точку А и перпендикулярных к осям координат.
Система координат прямоугольная.
493. В пространстве дана прямая у = ~з" = 5. Найти на-
направляющий вектор этой прямой. Система координат аффинная.,
494. 1) Составить уравнения прямой, отсекающей на осях:
Ох и Оу отрезки, соответственно равные 2 и 3. ■
2) Написать уравнение плоскости, проходящей через эту
прямую и параллельной оси Oz. Система координат аффинная.
495. Написать уравнения прямой, лежащей в плоскости5
Oyz, параллельной оси Оу и отсекающей на оси Oz отрезок,;
равный 3. Система координат аффинная. J

505 ] § ■■ СОСТАВЛЕНИЕ УРАВНЕНИИ ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ 73
496. 1) Написать уравнения плоскостей, проходящих
через ось Oz и делящих пополам двугранные углы, образо-
образованные координатными плоскостями Oxz ji Oyz.
2) Написать уравнения биссектрисы угла между положи-
положительными направлениями осей Ох и Оу.
Система координат прямоугЪльная.
497. Представить прямую х~х" = ^° = г~г" как ли-
линию пересечения плоскостей, параллельных осям Ох и Оу.
Система координат аффинная.
498. Найти ортогональные проекции прямой ~ "■=
_ У.~~~у± = г~го на координатные плоскости Oyz, Ozx, Oxy.
Система координат прямоугольная.
499. Даны точки пересечения прямой с двумя координат-
координатными плоскостями @, уь г^), (х2, 0, 22). «Вычислить коорди-
координаты точки пересечения этой же прямой с третьей коорди-
координатной плоскостью. Система координат аффинная.
500*. Составить уравнения прямой, лежащей в плоскости
_у-)-2г = 0 и пересекающей прямые х=1—t, y=t, z = ^t
и x = 2—t, y = 4-}-2t, 2=1. Система координат аффинная.
501*. Составить уравнения прямой, проходящей через
точку C, —1, —4), пересекающей ось Оу и коллинеарной
плоскости у-\- 2^ = 0. Система координат аффииная.
502. Составить параметрические уравнения и общее урав-
уравнение плоскости, проходящей через точку B, 3,' —5) и парал-
параллельной векторам {—5, б, 4} и {2, —1, 0}. Система коор-
координат аффинная.
503. Написать общее уравнение плоскости по ее парамет-
параметрическим уравнениям дг = 2-)-Зн — 4г>, _у = 4 — v, z — 2-\-bu.
Система координат аффинная. * '<^
504*. В плоскости, проходящей через три точки А =
— B, 1, 3), В = B, 4, 0), С = (— 3, 0, 4), выбрана аффинная
система координат с началом в точке А и базисными векто-
векторами АВ и АС. Найти: 1) пространственные координаты
точки М, имеющей в плоскостной системе координаты и = 5,
v=3; 2) плоскостные координаты и и v точки пересечения
Данной плоскости с осью Oz. Система координат аффинная.
505*. В плоскости 2х-\-Ъу — Az-\-12 = 0 выбрана аффин-
аффинная система координат, начало которой находится в точке С
пересечения этой плоскости с осью Oz, а концы базисных

74 ГЛ. IV. ПЛОСКОСТЬ И ПРЯМАЯ В ПРОСТРАНСТВЕ [ 506
векторов соответственно в точках А и В пересечения пло-
плоскости с осями Ох и Оу.
1) Найти пространственные координаты х, у, z точки Е-
этой плоскости, плоскостные координаты которой и= 1, v== 1.
2) Написать в плоскостной системе координат уравнения
прямых АВ, ВС и СА.
3) Написать в плоскостной системе координат уравнение;
прямой пересечения данной плоскости с плоскостью Ъх-\-\
-f- 3,г—8 = 0. Система координат аффинная.
506. В тетраэдр, ограниченный плоскостями координат
и плоскостью 2j;-j- Ъу — о^+ 10 = 0, вписан куб так, что
одна из его вершин лежит в начале координат, три ребра,
выходящих из этой вершины, направлены по осям коорди-
координат, а вершина, противоположная началу координат, лежит j
в данной плоскости. Определить длину ребра куба. Система'
координат прямоугольная. |
507. Составить уравнение плоскости, отсекающей на осях
Ох и Оу отрезки, соответственно равные 5 и —7, и прохо-;
дятей через точку A, 1, 2). Система координат аффинная.
• 508. Написать уравнение плоскости, проходящей через,
точку A, 2, 3), параллельной прямой x—y = z и отсекающей)
на осях Ох и Оу равные отрезки. Система координат 1
аффинная.
509. Найти объем тетраэдра, образованного плоскостями
координат и плоскостью, проходящей через точку C, 5, —7);
и отсекающей на осях координат равные отрезки. Система I
координат прямоугольная. 1
510. Составить уравнение плоскости, проходящей через|
ось. Оу и равноудаленной от точек B, 7, 3) и (—1, 1, 0).|
Система координат аффинная. \
511. Даны вершины тетраэдра: Л = B, 1, 0), В = {\, 3, 5),.;
С = F, 3, 4), D = @, —^, 8). Написать уравнение плоскости,
проходящей через прямую АВ и равноудаленной от вершин С»
и D. Система координат аффинная.
512*. Даны четыре вершины тетраэдра: А = C, 5, —1),
В = G, 5, 3), С = (9, —1, 5), £> = E, 3, —3). Написать урав-
уравнения плоскостей, равноудаленных от всех вершин тетра-
тетраэдра. Система координат аффинная.
V513. Составить уравнение плоскости, проходящей через
прямую лг = 2-)-3^ у==—l-f-6^, z — \t и коллинеарной
прямой х = —1+2^, y = '6t, z = — t. Система координаТ|
аффинная. '

520
§ i. составление уравнении прямых и плоскостей 75
Составить уравнение плоскости, проходящей через
точку (—2, 3, 0) и через прямую х—1, y = 2-\-t, z = 2 — t.
Система координат аффинная.
■'515*. Даны три прямые:
=—l,
= 0, 1
x -\-y — z -f 4 =
Написать уравнения прямой, пересекающей первые две из
данных прямых и параллельной третьей прямой. Система
координат аффинная.
'•''516*. Написать уравнения прямой, проходящей через точку
A, 2, 3) и пересекающей прямые
x _y -j- 1 _ г — 2 x jy + 2 г
■2 (= ^TjF = ~T~ И 4 = ~W~ ~  • , •
Система координат аффинная.
517:|:. Показать, что прямые x—-l-}-2t, y = 2(, z = t
и л-= 11 +8^, y = b-\-At, z — 2 -\-t пересекаются, и написать
уравнения биссектрисы тупого угла между ними. Система
координат прямоугольная.
> 518. Написать уравнения биссектрисы тупого угла между
прямой
х-2у- 5 = 0,
и ее ортогональной проекцией на плоскость
Система координат прямоугольная.
519*. Через прямую 2x=y = 2z провести плоскость р
так. чтобы данная прямая была биссектрисой угла, образуе-
образуемого линиями пересечения плоскости р с плоскостями _у=0
и -г-|-_у = 0. Система координат прямоугольная.
520. Составить уравнения проекции примой
х—2 у—\ г
—2
из точки A,2,1) на плоскость у — 2^ + 4 = 0. Система
координат аффинная.

76 ГЛ. IV. ПЛОСКОСТЬ И ПРЯМАЯ В ПРОСТРАНСТВЕ [ 52
521. Вершина равнобедренного треугольника находите:
в точке {3, 4, 5); концы его основания лежат на осях Ох
Оу, а плоскость треугольника параллельна оси Oz. Найтц
угол при вершине треугольника^ и написать уравнение его;
плоскости. Система координат прямоугольная.
522*. Найти геометрическое место точек, делящих в одном]
и том же отношении отрезки с концами на двух скрещиваю-?
щихся прямых.
523*. Доказать, что шесть плоскостей, каждая из кото-
которых проходит через ребро тетраэдра ABCD и через сере-
середину противоположного ему ребра, пересекаются в одной.*
точке. ^
§ 2. Взаимное расположение двух прямых,
двух плоскостей, прямой и плоскости
Александров, гл. X, § 1, п. 4; §§ 3, 6.
Моденов, гл. VI, §§ 76, 79, 80.
Постников, гл..З, § 2, п. 3; § 3, п. 2.
Во всех задачах этого параграфа система координат пред-
предполагается аффинной.
524. Найти условия, необходимые и достаточные для!
того, чтобы плоскость Ах 4- By 4- Oz 4- D = 0: 1) была парал-j
лельна плоскости Оху; 2) пересекала плоскость Оху; 3) сов-1
падала с плоскостью Оху.
525. Найти условия, необходимые и достаточные для;
того, чтобы плоскость Ах-}-Ву-}-Cz-}-D = Q: 1) пересекала'
ось Oz; 2) была параллельна ей; 3) проходила через ось Oz.'
526. Найти условия, необходимые и достаточные для
л X — Хъ V—Уп Z — 20 ,,
того, чтобы прямая = = -: 1) пересекала
плоскость Оху; 2) была параллельна ей; 3) лежала в этой
плоскости.
527. Найти условия, необходимые и достаточные для
того, чтобы прям~ая Агх + В±у -{- Cxz + Dx — 0; А2х -\- В2у +1
4- C2z-\-D2=0: I) пересекала плоскость Оху; 2) была|
параллельна ей; 3) лежала в этой плоскости.
528. Найти условия, необходимые и достаточные для того,
чтобы прямая = ■ " = z~z"; 1) скрещивалась!
с осью Oz; 2) пересекала ось Oz; 3) была параллельна
4) совпадала с осью Oz.

533 1 § 2- ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ
77
529. Найти условия, необходимые и достаточные для того,
чтобы прямая A1x + B1y + C1z + D1 = 0, А2х -f В%У + C2z -f
_|_ £J = 0: 1) скрещивалась с осью Oz; 2) пересекала ось Oz;
3) была ей параллельна; 4) совпадала с осью Oz.
530. Установить, какие из следующих пар плоскостей
пересекаются, параллельны или совпадают:
1) 2x + 3y + 4z— 12 = 0, Зх — 6у+1=0;
2) 3x — 2y—3z+ 5 = 0, 9х — 6у — 9^ — 5 = 0;
3) 2х— у— z— 3 = 0, 10дг — 5у —5^—15 = 0:
531*. Даны две плоскости A1x-{-B1y-{-C1z-\-D1 = Q,
£ 0. с помощью рангов г и Я матриц
С
C
At
A2
.Ct
D
D2
необходимые и достаточные для того,
1) пересекались; 2) были параллельны;
выразить условия
чтобы плоскости:
3) совпадали.
532. Установить, какие из следующих
пересекаются, параллельны или совпадают:
1) x=l+u-\-v,
2) x=
пар плоскостей
3) лг=
533*. Даны две плоскости своими параметрическими урав-
уравнениями:
x = Xl + ai
С помощью рангов г и Я матриц
4- с4г». J
ь3
с3
ал
ъЛ
cj
/'
и |1
\
h b2
Ci С2
Ьз
с3
dл X2 ~""~
^4 i/2 —
с4 г» —

78 гл. iv. плоскость и прямая в пространстве {|
выразить условия, необходимые и достаточные для того
чтобы данные плоскости: 1) пересекались; 2) был^и парад
лельны; 3) совпадали.
534. Установить в каждом из следующих случаен, лежи!
ли данная прямая в данной плоскости, параллельна плоско-
плоскости или пересекает ее; в последнем случае найти точку пер&
сечения прямой и плоскости.
Прямая Плоскость
-- ,-2 = 0;
4) = -У~ ;=; '~%' 3.*Т —
535*. Дана плоскость Ах-\-Ву -\-Cz-\-D-Q и прямая
x — xo-\-al, y=yo-\-bt, z — zo-\-ct. Найти условия, необхо-
необходимые и достаточные для того, чтобы прямая: 1) пересекала
данную плоскость; 2) была ей параллельна; 3) лежала в пло-
плоскости.
536*. Даны плоскость и прямая своими параметрическими
уравнениями:
J» = Fo+M+M-
С помощью рангов г и R матриц
h b2 ьЛ и Ibi Ь.г b3 t/i-—г/о
C2 C3/ \Ci C2 C3 Zi— 20,
выразить условия, необходимые и достаточные для того,
чтобы прямая: 1) . пересекала данную плоскость; 2) была
параллельна плоскости; 3) лежала в плоскости.
"^537. Установить в каждом из следующих случаев, лежит
ли данная прямая в данной плоскости, параллельна плоско-
плоскости или пересекает ее; в последнем случае найти точку пере-
пересечения прямой и плоскости.

530 ] § 2. ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ 79
Прямая Плоскость
2х- у + z~ 6=0; J
i
10 = 0,i
5 = 0;)
х+ У+ z +
3) x + 2y ±3z + 8 = 0,
16 = 0; J
538:::. Дана прямая:
и плоскость
С помощью рангов г и R матриц
Bt СЛ /At Bt Ct D
B2 СЛ и \А2 В2 Са D
,Я В3 С3/ \Л3 В3 С3 D.
выразить условия, необходимые и достаточные для того,
чтобы данная прямая: 1) пересекала данную плоскость; 2) была
параллельна плоскости; 3) лежала в плоскости.
539. Установить, какие из следующих пар прямых скре-
скрещиваются, параллельны, пересекаются или совпадают; если
прямые параллельны, то написать уравнение плоскости, через
них проходящей; если прямые пересекаются, то написать
уравнение содержащей их плоскости и найти их общую точку.
\)x=l+2t, y = 7+ t, г=
x = 6 + 3t, y=—l-2t, z = —
2)x=l+2t, y = 2-2t, z = — t;
x==—2t, y =
, +
2t, z = — t;\
+ 3t, 2 = 4; j
=l+9t, y=2+6t, 2 =

80 ГЛ. IV. ПЛОСКОСТЬ И ПРЯМАЯ в ПРОСТРАНСТВЕ [ i
540*. Даны две прямые:
X — Хг У—Ул _ Z — Zi Х — Х% _ у— у2 Z — Z2
С помощью рангов г и R матриц
и (bi 63 У2 — У1
cj \cx сг г2~
выразить условия, необходимые и достаточные для того,,
чтобы эти прямые: 1) скрещивались; 2) пересекались; 3) были
параллельны; 4) совпадали.
541. Установить, какие из следующих пар прямых скре-
скрещиваются, параллельны, пересекаются или совпадают; если
прямые параллельны, то написать уравнение плоскости, про-
проходящей через них; если прямые пересекаются, то написать
уравнение содержащей их плоскости и найти их общую точку.
= 0, \
= 0; J
х-2у+ 2
2) x = t, y = —8-4t, z =
x+y- 2 = 0, \
= 0; J
2x-y+2z
3) x=3 + t, y = —
x —
' + . = 0, J
r_2 + 4==0; J
Чу- 2 + 2 = 0, |
jc —7у + 32— 17 = 0. }
542*. Даны две прямые:
х—х0 у—у0 г — z0
а
и
, = 0.

544 ] § 3. ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ТРЕХ ПЛОСКОСТЕЙ 81
Найти условия, необходимые и достаточные для того, чтобы,
эти прямые: 1) скрещивались; 2) пересекались; 3) были
параллельны; 4) совпадали.
Vw543. Установить, какие из следующих пар прямых скре-
скрещиваются, параллельны, пересекаются или совпадают; если
прямые параллельны, то написать уравнение плоскости, про-
проходящей через них; если прямые лересекаются, то написать
уравнение содержащей их плоскости и найти их общую точку.
1) * + 2 — 1 = 0,1 х— 2_у + 3 = О, |
3*+_у_ 2+13 = 0; j _у + 22-8 = 0;|
2J* + Зу =0, | 2-4 =0, |
*+ 2-8 = 0; J 2* + 32-7 = 0;j
-37 = 0, |
-31=0. J
3) х+у+ 2—1=0,'» 2*+Зу + б2 — 6 = 0,
_у + 42 =0; j 3* + 4y + 7z =0;
4) 3*+ у— 22— 6 = 0,1 22*— 9у + 2о2—37 = 0,
41*— 19у + 522-68 = 0; J 19*-10_у+272-
544*. Даны две прямые:
'8 = 0, \
'4 = 0- J
С помощью рангов г и R матриц
Bi Ci Dt\
А3 В3 С3 D3
CJ \At B4 Ct DJ
выразить условия, необходимые и достаточные для того,
чтобы прямые: 1) скрещивались; 2) пересекались; 3) были
параллельны; 4) совпадали.
§ 3. Взаимное расположение трех плоскостей.
Пучок плоскостей. Связка плоскостей
Александров, гл. X, § 5.
Моденов, гл. VI, §§ 82 — 84.
Постников, гл. 3, § 2, п. 3; гл. 4, § 2, пп. 1, 2.
Во всех задачах этого параграфа система координат
предполагается аффинной.

82 ГЛ. IV. ПЛОСКОСТЬ И ПРЯМАЯ В ПРОСТРАНСТВЕ [ 545
545. Определить взаимное расположение трех плоскостей
в каждом из следующих случаев:
1) 2дг — 4у + 52 —21=0, x —
2) л;+ 2^-32 = 0, Здг + бу —924-10 = 0»
15лг4-.8у —2 —2 = 0;
4) 5х — 2_у + 4 = 0, 3*4-2 — 5 = 0,
8лг-2у 4-24-7 = 0;
4-12 = 0.
546*. Даны три плоскости:
Пусть г и R — ранги матриц:
Ai Bt СЛ . 1АХ Д, Сх D,
А3 Ва cj \А3 В3 С3 D3
Найти необходимые и достаточные условия для того, чтобы:
1) три плоскости имели единственную общую точку;
2) три плоскости были попарно различны и имели един-
единственную общую прямую;
3) плоскости попарно пересекались и линия пересечения
каждых двух плоскостей была параллельна третьей плоско-
плоскости (т. е. чтобы плоскости образовывали «призму»);
4) две плоскости были параллельны, а третья плоскость
их пересекала;
5) три плоскости были попарно параллельны;
6) две плоскости совпадали, а третья их пересекала;
7) две плоскости совпадали, а третья плоскость была им
параллельна;
8) три плоскости совпадали.

555 ] § 3. ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ТРЕХ ПЛОСКОСТЕЙ 83
-547. Составить уравнение плоскости, проходящей через
точку (—3, 1, 0.) и через прямую х-\-2у — 2 4~ 4 = О,
2
Через линию пересечения плоскостей 6х— y-\-z~0,
ЪхЛ-'dz — 10 = 0 провести плоскость, параллельную оси Ох.
\N 549. Составить уравнение плоскости, проходящей через
линию пересечения двух плоскостей 2дг — 2 = 0, х-{-у — г-\-
4-5 = 0 и параллельной прямой ^-ч— = ~Т" — ~г~■
\Л/550. Даны уравнения граней тетраэдра х -j- 2у — Ъг — 6 = 0,
1y\bz~ 4 = 0, 3x + 2+l=0, л:4-2у==0. Написать урав-
уравнение плоскости, проходящей через линию пересечения пер-
первых двух его граней и параллельную линии пересечения
третьей и четвертой грани.
551. Составить уравнение плоскости, проходящей через
линию пересечения плоскостей jc-j-2_y-j-32 —4 = 0,- Зх +
-\-z ~ 5 = 0 и отсекающей на осях Оу и 02 равные отрезки.
552*. Составить уравнения прямой, проходящей через
точку B, 3, 1) и пересекающей прямые
x— „у+ 2 +4 = 0 J _y + 2 —2 = (
553*. Показать, что три плоскости х-\-1у — z — 4 = 0,
Ъх — 1у + 32 — 6 = 0, 4_у — 32 + 3 = 0 образуют призму, и
написать уравнение плоскости, проходящей через линию пере-
пересечения первых двух граней призмы и параллельной ее
третьей грани.
554*. При каком необходимом и достаточном условии
четыре плоскости Akx + Bky + Ckz + Dk = 0, k = 1, 2, 3, 4,
образуют тетраэдр?
555*. Даны четыре плоскости Akx\Bky + СЛг + ОА=0,
&=1, 2, 3, 4. С помощью рангов г н R матриц
;АХ Sj Cn
! л% «г о4
\ Л3  ^Я
\А 4 Sj С4У
выразить условия, необходимые и достаточные для того,
чтобы эти четыре плоскости принадлежали: 1) одной связке;
2) одной собственной связке; 3) одной несобственной связке.

84 ГЛ. IV. ПЛОСКОСТЬ И ПРЯМАЯ В ПРОСТРАНСТВЕ [ 55б"
§ 4. Расположение точек относительно плоскости
Александров, гл. X, § 7.
Моденов, гл. VI, § 85.
Постников, гл. 3, § 2, п. 4.
Во всех задачах этого параграфа система координат пред-
предполагается аффинной.
556. Определить положение точек Л = B, 5, 1), В = B, 1, 0),
С = @, 0, 1), 0 = (О, 1, —9), £•=(—1, —3, 0) относительно
плоскости 2дг + 2у4-2 + 2 = 0.
557. Даны две плоскости 2дг -|- z — 0, х -\-у + 32 — 5 = 0
и точки Л = B, 1, 1), Б = A, 0, 3), С = @, 0, 1), £> =
= (—1, 5, 1), Е=(\, 4, —3). Установить, какие из точек В, С,
D и Е лежат в одном двугранном угле с точкой А, какие
в смежных с ним углах и какие в угле, к нему вертикальном.
558. Даны две параллельные плоскости Ъх-\-Ау-\-1г —
— 10 = 0, Злг + 4у + 22 + 5 = 0 и точки Л = A, 1, 1),
В = B, 0, 0>, С = E, 6, 1), D — (—4, 0, 1). Определить поло-
положение данных точек относительно данных плоскостей.
559. Даны две точки Л = (—3, 1, 5) и В = (о, 4, 2) и
плоскость 1х — Ay-\-z-\-14 = 0. Установить, пересекает ли
данная плоскость отрезок АВ, его продолжение за точку А
или за точку В?
560*. Даны две точки М1 — (х1, уь z{), Мг = (хъ у2, z%)
и плоскость Ах -\-Ву -\-Cz-\-D-f). Найти условия, необхо-
необходимые и достаточные для того, чтобы данная плоскость
пересекала: 1) прямую МХМ^, 2) отрезок МхМг в его внут-
внутренней точке; 3) продолжение отрезка МгМ2 за точку УИ2;
4) продолжение отрезка МгМг за точку Мг.
561*. Даны две точки Мх = {хь уь гг), М2 = (х2,у<,, z2)
и плоскость Ax-\-By-\-Cz-\-D = 0, причем Ах1-{-Ву1-{-
A B C + D0
В каком отношении точка М пересечения прямой МХМ2
с данной плоскостью делит направленный отрезок МХМ2.
562. Даны две параллельные плоскости Ах-\-Ву-\*
+ Cz + D = 0, Ax + By + Cz + E=0 (D^E) и точка
М — (хо,уо, z0). Через точку М проводится произвольная прямая,
пересекающая данные плоскости соответственно в точках Р
РЖ
и Q. Найти отношение ■ .-. '

570 ) § 5. ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ
85
563*. При каком необходимом и достаточном условии
точка {х0, уо, z0) лежит между двумя параллельными пло-
плоскостями Ax + By + Cz + D = 0, Ax + By + Cz + E=0.
564*. Найти условие, необходимое и достаточное для того,
чтобы точка (х0, yQ, z0) лежала внутри тетраэдра, образо-
образованного плоскостями
O, /=1, 2, 3, 4.
565*. Грани тетраэдра заданы уравнениями AiX-\-Bty -\-
_l CiZ-\*Di = 0, i=\, 2, 3, 4. Найти условие, необходимое
и достаточное для того, чтобы точка (х0, у0, z0) и вершина
тетраэдра, противолежащая грани Лгдг -j- Bty -j- Ctz -j- Д- = 0,
лежали по разные стороны от этой грани.
566*. Найти направляющие векторы ребер трехгранного
угла, образованного плоскостями
А2х + В2у + С2г + D2 = 0,
A3x + B3y + C3z + D3 = 0
и содержащего внутри себя точку (х0, у0, z0).
§ 5. Перпендикулярность прямых и плоскостей
Александров, гл. V, § 10; гл. X, §§ 8, 9.
Моденов, гл. VI, §§ 88, 89.
Постников, гл. 3, § 2, п. 5; § 3, п. 3.
Во всех задачах этого параграфа система координат
предполагается прямоугольной.'
567. Написать уравнение плоскости, зная, что точка
B, б, —4) служит основанием перпендикуляра, опущенного
из начала координат на эту плоскость.
V 568. Даны две точки: Л = C, —2, 1), В = F, 0, 5). Соста-
Составить уравнение плоскости, проходящей через точку В и
перпендикулярной к прямой АВ.
^569. Написать уравнение плоскости, проходящей через
точки A, 2, 3) и D, 5, 7) и перпендикулярной к плоскости
л:-j/4-2г-4 = 0.
570. Составить уравнение плоскости, перпендикулярной
к плоскости л;4-Зу 4-52 — 10 = 0 и проходящей через линию
пересечения данной плоскости -с плоскостью Оху.

86 ГЛ. IV, ПЛОСКОСТЬ И ПРЯМАЯ В ПРОСТРАНСТВЕ [ 571
571. В пучке, определяемом плоскостями 2х-\-у — Ъг-{■
-J-2 = 0 и Ъх + 5_у — 42 + 3 = 0, найти две перпендикулярные
друг к другу плоскости, из которых одна проходит через точку
D, -3, 1).
572. В пучке, определяемом плоскостями Зх+у — ^г —
— 6 = 0 и х — 2у4г— 1=0, найти плоскости, перпендику-
перпендикулярные к этим плоскостям.
573. Написать уравнение плоскости, проходящей через пря-
прямую *~*° = У~Уа = г~г.° и перпендикулярной к плоскости
574. Написать параметрические уравнения перпендикуляра,
опущенного из точки (х0, у0, г0) на плоскость Ах-\-Ву-\-
0
575. Написать уравнение плоскости, проходя[дей через
точку (хъ уь Zi) и перпендикулярной к прямой
x~xo + at, y=yo-\-bt, z = zo + ct.
576*. Написать уравнения перпендикуляра, опушенного из
, , х — Хп у — Цп г — z0
точки (хь уь гг) на прямую —^ = г—Jm = ___».
577. Написать уравнения и найти длину d перпендикуляра,
опущенного, из точки (—3, 13, 7) па прямую
х—1 _ у — 2 _ г —3
578. Найти ортогональную проекцию точки A, 3, 5) на
прямую 2х + У + z — 1 = 0, Здг +_у 4-2^ — 3 — 0.
5.79** Написать уравнение плоскости, проходящей через
точку (дг1; уь ^i) и перпендикулярной к прямой
580. Найти ортогональную проекцию точки A, 2, —3) на
плоскость 6х — у-\-дг — 41 = 0.
581. Найти основание перпендикуляра, опущенного из
х j v о г 3
точки (9, 6, 4) на прямую —^— =—к- = —о— •
582. Найти точку, симметричную точке A, 2, 3) относи-
относительно плоскости 2х — Ъу -\- bz — 68 = 0.
583. Найти точку, симметричную точке A, 2, 3) относи-
относительно прямой
х—8_у—11 _ г—4
1 ~ з -~-

5У0 j § б. УГЛЫ МЕЖДУ ПРЯМЫМИ И ПЛОСКОСТЯМИ 87
584. Составить уравнения проекции прямой х = 3 -\- Ы, у =
.._ _ 1 -\-l, z — 4.-{-t на плоскость 2х — 2у-\-Ъг — 5 = 0.
~~/ 585*. 1) Написать уравнения общего перпендикуляра к
двум прямым: ■
х— 1 у —2 2 — 3 х— 1 j> z+1
8 4 1 ' 2 ~~ — 2 1
и найти расстояние й между этими прямыми;
2) найти точки пересечения общего перпендикуляра
к данным прямым с этими прямыми.
586. Провести через точку пересечения плоскости х +
-\-y-\-z — 1 =0 с прямой у — 1, 2-j-l=0 прямую, лежащую
и этой плоскости и перпендикулярную к данной прямой.
587. Даны три плоскости: 2х -\- Ъу — 4г + 5 = 0, 2х — г -\-
-!~з = 0, х~\-у — 2 = 0. Через линию пересечения двух пер-
uux плоскостей провести плоскость так, чтобы линия ее пере-
пересечения с третьей плоскостью была перпендикулярна к линии
пересечения первой и второй плоскостей.
588*. Даны две плоскости:
-6 = 0. B)
Найти плоскость C) так, чтобы плоскость B) делила попо-
пополам двугранные углы между плоскостями A) и C).
589*. К непересекающимся диагоналям граней куба, имею-
имеющих общее ребро, провести общий перпендикуляр. В каком
опюшении точки пересечения диагоналей с их общим перпенди-
перпендикуляром делят эти диагонали?
§ 6. Углы между прямыми и между плоскостями.
Угол между прямой и плоскостью
Александров, гл. V, § 10; гл. X, § 9.
Моденов, гл. VI, §§ 88 — 90.
Постников, гл. 3, § 2, п. 5; § 3, п. 3.
Во всех задачах этого параграфа система координат пред-
предполагается прямоугольной.
590. Через ось Oz провести плоскость, образующую с
плоскостью 2х-\~у— Ybz — 7 = 0 угол ^-.

88 ГЛ. IV. ПЛОСКОСТЬ И ПРЯМАЯ В ПРОСТРАНСТВЕ [ 59f|
.1
591. Через точку A, 2, 3) провести плоскость, перпен-
перпендикулярную к плоскости 5х — 2y-j- 5z — 10 = 0 и образующую
с плоскостью х — 4_у — 82+12 = 0 угол -г-.
592. Через линию пересечения плоскостей х+ by+ z = 0
и х — 2 + 4 = 0 провести плоскость, образующую угол -т-
с плоскостью дг — 4у — 82 +12 = 0.
'Nj 593. Написать уравнение плоскости, проходящей через
прямую
х + 7 _ у —6 _ г
—2 ~ 3 "~ 
и образующей угол -^ с прямой х —у -\-г = 0, х— у-\-
+ 22 = 0.
\[594*. Найти тот угол »чежду плоскостями 8х + 4у + z +
+ 1 = 0, 2дг~ 2_у + ,г + 1 =0, в котором лежит точка A, 1,1).
595*. Найти необходимые и достаточные условия для того,
чтобы точка (х0, у0, z0) лежала в остром угле, образуемом
двумя пересекающимися и не взаимно перпендикулярными
плоскостями
А2х + В2у + С2г + D2=0.
596*. Найти необходимые и достаточные условия для того,
чтобы все три внутренних угла призмы, образованной пло-
плоскостями
0, ft=l, 2, 3,
-y + z = O ) 2x+2_y —02 +
1=0. )
были острыми.
\J 597..Найти косинусы углов между прямыми
ЗДГ+.У — 2+1=0, ) X— _у+1=0,
I 2х-\-1у —,
598. . Через прямую —• = ^~ — ~5~~у провести такую
плоскость, чтобы острый угол между ее^йиниями пересечения
с плоскостями Oxz и Oyz был равен -^-.
"\1 599.-Найти угол между прямой х-\-у — 2 = 0, 2дг —Зу +
+ 2 = 0 и плоскостью Ъх + 5у — 42 + 2 = 0.

608 ) § 7. РАССТОЯНИЯ
89
600*. Показать, что три плоскости llx-\-l0y-\-2z==G,
+ 4у — 0, 10х+ 11_у + г + 6 = 0 образуют призму, и найти
ее внутренний двугранный угол, образованный первой и вто-
второй плоскостями.
601*. Зная направляющие векторы ребер трехгранного
угла {1, —3, 4}, {6, —7, 2}, {2, 5, —36}, найти направляю-
направляющие косинусы луча, проходящего внутри этого трехгранного
угла и образующего с его гранями равные углы.
602*. Трехгранный угол задан плоскостями х —у — Az-\-
+ 13 = 0, Зх+у- 42 + 7 = 0, Злг-5у-4г+19 = 0 и его
внутренней точкой A, 3, 5). Найти направляющие косинусы
луча, выходящего из вершины этого трехгранного угла и
образующего с его ребрами равные между собой острые
углы. Установить, проходит ли этот луч внутри или вне трех-
трехгранного угла.
§ 7. Расстояние от точки до плоскости.
Расстояние от точки до прямой.
Расстояние между двумя прямыми
А леке а ндр ов, гл. X, §§ 8, 10.
Моденов,"гл. VI, §§ 86, 87, 93, 94.
Постников, гл. 3, § 2, п. 5; § 3, п. 3.
Во всех задачах этого параграфа система координат пред-
предполагается прямоугольной.
603. Даны вершины тетраэдра А = @, 0, 2), Б=C, 0, 5),
С = A, 1, 0) и £> = D, 1, 2). Вычислить длину высоты, опу-
опущенной из вершины О на грань ABC.
604. Составить уравнение плоскости, параллельной пло-
плоскости 1х -\-у — Az + 5 = 0 и отстоящей от точки A, 2, 0)
на расстояние 1/21.
605. Написать уравнение плоскости, отсекающей на осях
координат отрезки, пропорциональные числам 1, 2, 3, и от-
отстоящей от точки C, 5, 7) на расстояние 4.
606. Найти расстояние d между двумя плоскостями:
Ах + By + Cz + £>! = (), Ax + By + Cz + D2 — 0.
607. Составить уравнения плоскостей, параллельных плоско-^
сти Ax-\-By-\~Cz-\-D = 0K отстоящих от нее на расстояние ctf
608. Составить уравнения биссекторпых плоскостей дву-
двугранных углов между двумя плоскостями:

90 ГЛ. IV. ПЛОСКОСТЬ И ПРЯМАЯ В ПРОСТРАНСТВЕ [ 609
609*. Составить уравнение биссекгорной плоскости того
двугранного угла между двумя плоскостями х — z— 5 = 0,
Зх-\-Ъу— 42г-|- 1 == 0, в котором лежит начало координат.
^610*. Написать уравнение биссекторной плоскости ост-
острого двугранного угла, образованного плоскостью 2х — 3_у +
4- 6z — 6 = 0 с плоскостью Oyz.
611*. Внутри треугольника, высекаемого па плоскости
Оху плоскостями х4-4у-\-8z-\-& = 0, х — 2у-\-2г-\-'2 = 0,
Ъх -j- Ay -f 12 = 0, найти точку, равноудаленную от этих пло-
плоскостей.
612- Найти центр и радиус шара, вписанного в тетраэдр,
ограниченный плоскостями координат и плоскостью
11*—10у —22—57 = 0.
613*. Доказать, что три плоскости х— 2y-\-2z-\- 3 = 0
2х4-2у-j-z — 6 = 0, Ъх-\- Ну— 2z— 21=0 образуют призму.
Составить уравнения оси круглого цилиндра, вписанного
в эту призму, и найти его радиус г.
614*. Грани тетраэдра заданы уравнениями 8лг-)-4у. 4-
4-2-16 = 0, 2л:-2з/4-2 4-5 = 0, x+y + z + b = 0, 4*4-
4-3_у = 0. Написать уравнение плоскости, делящей пополам
внутренний двугранный угол между первой и второй плоско-
плоскостями.
615*. Найти центр и радиус шара, вписанного в тетраэдр
с вершинами A, 2, 3), (—2, 8, 9), E, 0, 7), C, 4, 2).
V 616*. Составить уравнения прямой, проходящей через
точку A, 0, 0), отстоящей от оси Oz на расстояние -,- и
Ко
2
образующей с осью Oz угол arccos-g.
^ 617. Найти расстояние от точки (I, 3, 5) до прямой
2x-\-y + z— 1=0,
2 — 3 = 0.
618. Найти расстояние от точки A, 2, о) до прямой
x^t, y=l-2t, 2 = 34-*.
ч 619. Написать уравнения и пайги длину h высоты тре-
треугольника, образованного линиями пересечения плоскости
2 6 0
р р
0z — 60 = 0 с плоскостями координат, проведен-
проведенной из вершины, лежащей на оси Oz.

Й1 ] § 8. ВЕКТОРНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ 9'
620. Найти расстояние между двумя прямыми:
+ 1=0, \
— 4 = 0 j "
2) x+2y-z+\=0,
У И
2дг— у~ 2 = 0.
621. Найти расстояние между двумя параллельными пря-
прямыми:
х — 2 _ у 4-1 __ г_ х—7 _ у—1 __ г —3
3 ~" 4 ~~ 2 И 3 ~ 4 ~ 2 '
622. Найти расстояние между диагональю куба и непере-
секающей ее диагональю грани, если ребро куба равно 1.
§ 8. Векторные уравнения прямой и плоскости
Постников, гл. 3, § 1, п. 2; § 2, пп. 1, 5; § 3, п. 3.
623. Составить уравнение прямой, проходящей через точку
АТ(, = (Го) и коллипеарпой вектору а.
624. Составить уравнение плоскости, проходящей через
точку М0 = (г0) и компланарной векторам а и Ь.
625. Состанить параметрическое уравнение плоскости,
проходящей через точку Л10 = (г0) и прямую r — rx-{-at, не
содержащую точки Мо.
626. Составить уравнение плоскости, проходящей через
точку Л10 —(г0) и перпендикулярной к вектору п.
627*. Составить уравнение плоскости, проходящей через
точку Л10 = (г0) и перпендикулярной к прямой пересечения
двух плоскостей (г, n1)--D1, (r, n2) — D2.
628*. Найти точку пересечения прямой r = ra-\-at с пло-
плоскостью г — гх + Ьи + со.
629*. Найти условия, необходимые и достаточные для
того, чтобы две прямые г = г1 + й1^, г — г<1-\-а^: 1) скре-
"ишались; 2) были компланарны; 3) пересекались; 4) были
параллельны; 5) совпадали.
630*. Найти ортогональную проекцию точки Ж0 = (г0)
на прямую г = г1 + й/.
631й:. Найти точку, симметричную точке Жд = (г0) отно-
относительно прямой r — ri-\-al.

S2 ГЛ. IV. ПЛОСКОСТЬ И ПРЯМАЯ В ПРОСТРАНСТВЕ : [ 6з|
Ц
632*. Найти ортогональную проекцию точки Л1о = (/'о|
на плоскость (г, п) -{-D — Q. \
633*. Найти точку, симметричную точке М0 = (г0) отно-*
сителыю плоскости (г, n)-\-D = 0. :;
634*. Найти ортогональную проекцию точки УИ0 = (г0)
на плоскость r = r1-\-uaJrvb. i
635*. Найти условия, необходимые и достаточные для|
того, чтобы три плоскости (г, nk)-}- Dk — 0, &=1, 2, 3,1
имели единственную общую точку. ;,
636*. Найти радиус-вектор г точки пересечения трех
плоскостей (г, пк) + Dk = О, &=1, 2, 3.
637*. Дана прямая r = ro-\*at и плоскость (г, п)+О==0.:
Найти условия, необходимые и достаточные для того, чтобы
прямая: 1) пересекала плоскость; 2) была параллельна ей^
3) лежала в плоскости.
638. Через прямую r = ro-\-at провести плоскость, пер-
перпендикулярную к плоскости (г, п) 4-/3 = 0.
639. Через прямую r = r1Jra1t провести плоскость, кол-
линеарную прямой г = г^ 4" а4> чРи условии, что [а1( а2] ^ф 0.
640*. Написать уравнения общего перпендикуляра к двум
прямым r = riJra1t, r — r2-\-a2t при условии, что [аь а2] #0.
641*. Составить уравнения перпендикуляра, опущенного
из точки М0 = (г0) на прямую r — rx-\-at.
642*. Найти условия, необходимые и достаточные для
того, чтобы три плоскости (г, «ft)-f-Oft = 0, k=\, 2, 3,
образовывали призму.
643*. Найти условия, необходимые и достаточные для
того, чтобы три плоскости (г, nk)-\-Dk — 0, k—l, 2, 3,
имели единственную общую прямую.
644*. Найти условие, необходимое и достаточное для
того, чтобы четыре плоскости (г, пк)-{-Dk — Q, k=\, 2, 3, 4,
образовывали тетраэдр.
645*. Вершины треугольника Мх, М2, М3 находятся
в точках М1 = (г1), Мг = (г2), М3 = (г3). Найти условия, не-
необходимые и достаточные для того, чтобы прямая r^r^-^at
пересекала плоскость треугольника в его внутренней точке.
646*. Даны две плоскости (г, щ) +0x^=0, (г, n2) + D2 = 0.
Найти условия, необходимые и достаточные для того, чтобы
эти плоскости: 1) пересекались; 2) были параллельны; 3) сов-
совпадали.
. 647*. Найти расстояние от точки 7И0 = (г„) до плоскости
(г, 0

655 J
§ 9. МЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ 93
648*. Найти расстояние от точки М0 = (г0) до прямой
649*. Найти расстояние d между двумя прямыми r =
r = r2 + «2^ ПРИ условии, что:
1) \аъ а2]ф0 (прямые скрещиваются или пересекаются);
2) \ai, fl2] = 0 (прямые параллельны или совпадают).
650*. Составить уравнения прямой, лежащей в плоскости
(г, ri)-{-D = 0, пересекающей прямую r = rQ-\*at и перпен-
перпендикулярной к этой прямой, при условии, что (а, п)фО.
651*. Доказать, что:
1) уравнение всякой прямой с направляющим вектором а
может быть записано в виде \а, г] = й, где (а, &) = 0;
2) уравнение [а, г\ = Ь при условии афО, (а, 6)=0
определяет прямую с направляющим вектором а, проходящую
[Ь, а]
[ерез точку с радиусом-вектором ro=L, у
§ 9. Метрические задачи на прямую и плоскость
в аффинных координатах
652*. Найти расстояние d от точки (лг0, ^0) до плоскости
Ах -)- By -)- Cz -)- D = 0, зная метрические коэффициенты gy
базиса еь е2, е3.
653*. Найти углы между двумя плоскостями,
А !* 4- Bty 4- С]2 4- Di=О,
зная метрические коэффициенты gtj базиса ех, е2, е3.
654*. Найти необходимое и достаточное условие перпен-
перпендикулярности двух плоскостей,
Ахх + B^ + Ctf + D^O,
А гх + В%у 4- Сгг 4- Ц> = О,
зная метрические коэффициенты gtj базиса еъ е2, е3.
655*. Найти угол ср, образуемый прямой
х—'х0 __ у~уо _ г — гй
а Ь с
с плоскостью
3"ая метрические коэффициенты gl/ базиса еь ег, е9.
/ЭЛ-

94 ГЛ. IV. ПЛОСКОСТЬ И ПРЯМАЯ Б ПРОСТРАНСТВЕ [ 650
656*. Найти необходимое и достаточное условие перпен-
перпендикулярности прямой
х— хй _У—Уа _ г — Zq
a b с
и плоскости Ах + В у -\- Cz + D — 0, зная метрические коэф-
коэффициенты gij базиса еь еъ е3.
657*. Найти объем v ориентированного тетраэдра ABCD,
заданного своими вершинами:
A = (xi, уь Zj), B=(x2, уъ z2),
С = (х3, у3, z3), D = (x4, у4, z4),
зная метрические коэффициенты gtj базиса еь е2, е3.

ГЛАВА V
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КООРДИНАТ
§ 1. Преобразование аффинных координат на пло-
плоскости и в пространстве
Александров, гл. III, § 2; гл. VIII, § 1, пп. 1, 2.
Моденов, гл. VII, § 96 — 93.
П ости и ко в, гл. 1, § 3, п. 7; гл. 2, § 1, п. 2.
1. Преобразование аффинных координат на плоскости
658. Написать формулы перехода от одной системы
координат к другой, если началом первой системы является
иершина А параллелограмма ABCD, а базисом — векторы AD,
АВ; началом второй системы является вершина С, а базисом —
векторы СВ, CD.
659. Даны две системы координат: Оху и О'х'у'. Отно-
Относительно первой системы начало второй системы находится
» точке О' = (—4, 2), ось О'х' пересекает ось Ох в точке
А = B, 0), а ось О'у' пересекает ось Оу в точке В = @, 8).
Принимая за базисные векторы второй системы векторы
О'А и О'В, выразить координаты произвольной точки отно-
относительно первой системы через ее координаты во второй
системе.
660. Даны две системы координат: Оху и О'х'у'. Коор-
Координаты х и у произвольной точки относительно первой
системы выражаются через ее координаты х' и у' относи-
относительно второй системы следующими формулами:
X = Чх' — оу'
У + у
Найти координаты начала второй системы и единичных век-
векторов ее осей относительно первой системы.
661. Дан параллелограмм ОАСВ. Рассмотрим две системы
координат, принимая за начало обеих систем вершину парал-
параллелограмма О, за единичные векторы осей Ох и Оу первой

96 ГЛ. V. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КООРДИНАТ
системы соответственно стороны параллелограмма ОА и ОВЪ
а за единичные векторы осей Ох' и Оу' второй системы
соответственно векторы ОК и OL (К и L —середины сторон
АС и ВС). Найти координаты вершин параллелограмма во
второй системе. Л
662. В треугольнике ОАВ проведены медианы AD и
пересекающиеся в точке О'. Выразить координаты х и
произвольной точки относительно системы с началом в точю
О и базисными векторами ОА и ОВ через ее координаты х'
у' в системе с началом О' и базисными векторами О
и WB.
663. В трапеции ABCD основание AD вдвое больше оснб
вания ВС; О — точка пересечения ее боковых сторон, О' —
точка пересечения диагоналей. Выразить координаты х и^
произвольной точки относительно системы с началом в точи
О и базисом ОВ, ОС через ее координаты в системе с нач|
лом О' и базисом ~ОГВ, We.
664*. Найти формулы перехода от аффинной системы
динат Оху, у которой | ei| = | е21 = 1, s1,e2^=(i>, к таю
прямоугольной системе Ох'у', положительными направ
ниями осей которой являются биссектрисы первого и втор
координатных углов аффинной системы, а длины базисн:
векторов также равны 1.
665*. Найти формулы перехода от одной аффин
системы координат Оху с координатным углом со к дру]
аффинной системе координат Ох'у', если одноименные
этих систем взаимно перпендикулярны, а разноименные об;
зуют острые углы, причем \е1 = |е2 =|ej|==
Базисы elt е2 и е1, е2 двух аффинных сист|
координат с общим началом связаны соотношениями (е,-, i
= б*. t т. е. (е е1) = (е2; е2) = 1, (е t еа) = (е е1) = 0. На*
формулы преобразования координат, если
667*. Относительно аффинной системы координат дан}
уравнения двух пересекающихся прямых Ахх-\-Вгу-\-С^-=*
А2х -f- Вгу -f- С2 = 0 и точка Е—(х0, у0), не лежащая ни №
одной из этих прямых. Принимая эти прямые соответственна
за ось ординат и за ось абсцисс, а точку Е за единичную

074 ]
§ I. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ АФФИННЫХ КООРДИНАТ 97
•■■очку покой системы координат О'х'у', найти выражения
новых координат х', у' произвольной точки через ее старые
координаты х и у.
668*. Написать формулы преобразования координат, при-
принимая за новые оси О'х' и О'у' прямые 2л;-г-_у —4 = 0
п л"—v-j-2 = 0, а за единичную точку — точку C, 7).
689. Написать уравнение прямой х— у — 5 = 0 в системе
координат, осями которой служат прямые
-jx-y -|-7 = 0 (ось О'у'), х+у~4 = 0 (ось О'х'),
а слпмнчпой точкой —точка @, 0).
670*. Через точку Р = (—3, —5) провести прямую,
oijV:soK которой между прямыми 2х ~\- Зу — 15 — 0,
-Lv - - 5v' — 12 = 0 в точке Р делился бы пополам.
(Г/Г;:. Дана точка @, 2) пересечения медиан треугольника
н ;. решения двух его сторон ох~ \у + 15 = 0, Ах\-у — 9 =
=- U. Пайш уравнение третьей стороны.
672*. Даны уравнения 4.хг-т-5_у=0, х — 3_у=0 медиан
треугольника и его вершина B, —о). Составить уравнения
сторон треугольника.
2. Преобразование аффинных координат
в пространстве
673. Даны две системы координат Oxyz и О'х'у'г'. По
отношению к первой, системе начало второй находится
» точке О'= B, 1, 3), а базисные векторы второй системы
сум, е\ = {2, 4, 1}, <?;={0, 4, 4}, ^ = {1, 1, 0}.
J) Написать выражения координат точек относительно
первой системы через их координаты во второй системе.
2) Выразить координаты точек относительно второй си-
системы через их координаты в первой системе.
3) Найти координаты начала О и координаты базисных
lfi еь еъ е3 первой системы относительно второй.
. Координаты х, у, z точек в системе Oxyz выража-
Й1СЯ через координаты х',у',г' в системе О'х'у'z' соот-
соотношениями
x = —2x'-y'-z'-\,
у==— у'-г',
Z= jc'4-3/ + 2'+1.
Ч Выразить координаты х', у', z' через координаты х,у, г.
4 П. С. Моденов, А. С. Пархоменко

98
ГЛ. V.' ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КООРДИНАТ [ |
2) Найти координаты начала О' и координаты базиснь
векторов е\, е'%, е$ второй системы относительно первой.
3) Найти координаты начала О и координаты базисный
векторов elt еъ е3 первой системы относительно второй. ■■ -
675. Написать формулы преобразования координат, при
иимая за начало первой системы вершину параллелепипед^!
и за базис — три ребра, выходящие из этой вершины;
начало второй системы — протииоположную вершину и з
базис —три ребра, соответственно параллельные и направлен^
ные противоположно векторам первого базиса.
676. Найти координаты вершин тетраэдра О ABC в систе
ме координат с началом в вершине О, базисными векторами!
которой являются медианы OIJ, Oil, OF граней ВОС, СО АЛ
АОВ.
Найти координаты вершин параллелепипеда?!
ABC'DA'B'CD' is системе координат, началом которой служитЯ
вершина А, а базисными векторами —направленные отрезки,-^
соединяющие вершину А о центрами граней ВСС'В', DCC'D'$
A'B'C'D'. :1
678. Найти выражения прямоугольных координат х, у, z-'.\
произвольной точки М через ее аффинные координаты л
у', z', если начала обеих систем совпадают, положительное*;
направление оси Ох' есть биссектриса угла между положи-:,]
тельными направлениями осей Ох и Оу, положительное'^
направление оси Оу' — биссектриса угла между положитель4$
ными направлениями осей Оу и Oz, ось Oz' перпендикучй
ляриа к осям Ох' и Оу' и ее положительное направлений
выбрано так, чтобы обе системы были одинаково ориентир
рованы; базисные векторы е\, е'ь е'ъ аффинной система;"
таковы, что |el j = |#2 " |ез |=1-
679. Выразить аффинные координаты х, у, г произволь-;-;
ной точки М через ее прямоугольные координаты х', _у',|
г', если начала обеих систем совпадают, базисные векторы.''
аффинной системы имеют длину 1 и углы между ними ра&ны \
-,;-• оси Ох и Ох' обеих систем совпадают, ось Оу' лежит*]
в плоскости Оху и угол между осями Оу и Оу' равен -^-;:■•}■,
положительные лучи осей Oz и Oz' лежат по одну сторону"'!
or плоскости Оху. щ
680*. Даны две системы координат Оххх.2х3 и Ох[х'^х'я in
с общим началом О и одинаковыми по длине базисными век-

6S3
§ 2. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ КООРДИНАТ
99
торами по всем осям обеих систем. Косинусы углов между
осями нерпой системы суть соответственно
/ 2Ох3 = а\23, cos /_ ха0х1 = щ1.
cos Z. хх0х2 = (о13, cos / 23 23, /_ а1 щ1
Косинусы углов между осями первой и второй систем даны
таблицей
Oxx
Ox,
Ox,
Ox\
an
«21
«3,
Ox',
«12
«22
«32
Ux'3
ai3
«23
«33
Написать формулы, связывающие координаты хь х2, х3
и х\, x'i, x'i одного и того же пектора в обеих системах.
681*. По отношению к аффинной системе координат
Oxyz координатные плоскости новой системы О'х'у'г'
заданы уравнениями
лг+ 1 =0 {O'y'z'),
<2х-у = Ъ (O'z'x'),
х + 2j. +3^-6 = 0 {О'х'у'),
а единичная точка Е' новой системы имеет в старой системе
координаты 1, 3, 5. Выразить новые координаты произволь-
произвольной ючки М через ее старые координаты.
082*. Относительно системы координат Oxyz плоскость
О'х'у' задана уравнением 1х -j- Зу — Gz 4- 6 = 0, а плоскости
O'y'z' и O'x'z' совпадают соответственно с плоскостями
Оуг и Oxz. Написать выражения новых координат произ-
произвольной точки М через■ее старые координаты, зная, что
точка А в обеих системах имеет одни и те же координаты 2, 4, 6.
§ 2. Преобразование прямоугольных координат
на плоскости и в пространстве
1. Преобразование прямоугольных координат
на плоскости
Александров, гл. VIII, § 3, п. 1.
М оде нов, гл. VII, § 99.
683. Написать формулы преобразования прямоугольных
координат, если начало новой системы находится в точке
= (—4, 2), угол от положительного направления оси Ох
4*

100 ГЛ. V. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КООРДИНАТ [684
2л
до положительного направления оси О'х' ранен ~- и обе
системы одинаково ориентированы.
684. Наннсагь формулы преобразования прямоуголь-
прямоугольных координат, если начало повой системы находится в'
точке О' = (—3, —2), угол от оси Ох до оси Ох' равен
— arccos i — Е-) и обе системы имеют противоположную ори-
V b I
епгацию.
"^685. В системе Оху дана точка (ft, — 2); найти ее коор-
координаты в системе О'х'у', получающейся из системы Оху
переносом начала в точку О' = C, —4) и поворотом на
12
угол — arccos j .
■ 686. Даны две прямоугольные системы координат Оху
и О'х'у'. Начало второй системы находится » точке О' =
= B, 3). За положительное направление оси О'х' принимается
направление вектора б'А, где Л = F, 0) — точка пересечения
осей Ох и О'х'; за положительное направление оси О'у'
принимается направление вектора ОВ, где В— точка пересе-
пересечения осей Оу и О'у'. Выразить координаты произвольной
точки относительно первой системы через ее координаты во
второй системе.
687. За начало первой прямоугольной системы координат
Оху принимается вершина О прямоугольного треугольника
АОВ, а за положительные направления осей Ох и Оу — на-
направления катетов О А и ОВ, причем '.0/4=3, ОВ\=1.
За начало второй системы О'х'у' принимается основание О'
перпендикуляра, опущенного из точки О на гипотенузу АВ,
за положительное направление оси О'х' — направление О'О,
а положительное направление оси О'у' выбирается так,
чтобы обе системы имели одинаковую ориентацию. Выразить
координаты произвольной точки относительно первой системы
через ее координаты во второй системе.
688*. Относительно прямоугольной системы координат
Оху даны две взаимно перпендикулярные прямые:
Принимая эти прямые соответственно за оси О'у' и О'х', а
за положительные направления осей О'х' и О'у' векторы
\АЬ Вх} и {Аг, В2], найти выражения новых координат х',
у' произвольной точки М через ее старые координаты х и у.

691 ]
§ 2. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ КООРДИНАТ
101
9. Преобразование прямоугольных координат
в пространстве
Александров, гл. VIII, § 3, п. 2.
Моденов, гл. VII, § 100.
689*. Написать формулы преобразования прямоугольных
координат, если обе системы им?ют общее начало, а коси-
косинусы углов между осями координат даны таблицей:
I Ox' \ Of ', Oz'
Ux
Оу
Oz
■ 11
15
2
~ 15
2

9
5
14
~ Тб"
1
2
~3"
1
2
"
690. Даны две прямоугольные системы координат Oxyz
и Ох'у'У с общим началом О. Ось Ох' второй системы
npcxvurr в первом октанте и образует с осями Од: и Оу
углы, равные " , ось Оу' лежит в_ плоскости Оху и обра-
образует с положительным направлением оси Оу острый угол;
ось Ог' направлена так, что обе системы одинаково ориен-
ориентированы. Выразить координаты х, у, z произвольной точки
относительно первой системы через ее координаты х', у', г'
во второй.
691. Даны две прямоугольные системы координат Oxyz
и O'x'y'z'. Начало второй системы находится в точке О' =
-= {'2, 1, '2); ось О'х' проходит через точку О, а ось О'у'
пересекает ось Оу в точке Л. За положительное направле-
направлении оси О'х' принято направление О'6, за положительное
вправление оси О'у' — направление вектора U'~A; положи-
положительное направление оси O'z' выбрано так, чтобы обе
спаемы были одинаково ориентированы. Выразить коорди-
координаты л-, у, z произвольной точки относительно первой систе-
системы через ее координаты х',у', г' во второй.

1°2 ГЛ. V. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КООРДИНАТ [ 698*
692. Найти формулы перехода от одной прямоугольной
системы координат Oxyz к другой, Ox'y'z'', если
I{охТЬу') accos (
= arccos -„-, \Ox, l)y ) — arccos I —^
— arccos
причем обе системы имеют противоположную ориентацию.
693*. Найти формулы преобразования прямоугольных
координат, если начала обеих систем различны, а концы
соответствующих единичных векторов совпадают. ^
694*. Даны три плоскости A1x-{-Bty-{-C1z-{-Di = O,
А2х + В2у + C2z 4- А = °. Аах + В3у 4- С3г + D3 — 0, каждые
дне из которых перпендикулярны друг к другу. Принимая
эти плоскости за координатные плоскости O'y'z', O'z'x',
О'х'у' новой системы координат, а за положительные направ-
направления осей Ox', Oy', Oz' соответственно направления векторов
\АЬ Bv Cj}, \A2, B2, С2}, {А3, В3, С3), найти выражения новых
координат х', у', z' произвольной точки пространства через
ее старые координаты х, у, z.
695*. Относительно прямоугольной системы координат
даны уравнения координатных плоскостей новой системы:
х+'2у + 5z + 1=0 (O'y'z'),
'2х- у + 2 =0 (O'z'x'),
х + 2у~ 2-3 = 0 (О'х'у').
Проверить, что эти плоскости попарно перпендикулярны,
и написать выражения новых прямоугольных координат про-
произвольной точки М через ее старые координаты при усло-
условии, что старое начало О имеет в новой системе положи-
положительные координаты.
696*. Относительно прямоугольной системы координат
даны координатные плоскости
^4-^+^-1=0 (O'y'z'),
2x-y-z-\-\=0 (O'z'x'),
y-z + '2 =0 (О'х'у')
новой системы О'х'у'z'. Проверить, что эти плоскости по-
попарно перпендикулярны, и написать выражения новых пря-
прямоугольных координат произвольной точки М через ее ста-
старые координаты, при условии, что точка, имеющая в старой
системе координаты — 1, — 1," — 1, будет в повой системе
иметь положительные координаты.

ГЛАВА VI
линии второго порядка
§ 1. Окружность
Постников, гл. 4, § 3.
Во всех задачах этого параграфа система координат пред-
предполагается прямоугольной.
697. Состапигь уравнение окружности с цен гром в точке
(а, 0) (а Ф 0), касающейся оси Оу.
698. Составить уравнение окружности радиуса г, касаю-
касающейся осей координат.
699. Составить уравнение окружности, для которой точки
Мх—-{хь Ух) и М2=(х2, у2) являются концами ее диаметра.
700. Найти координаты центра С и радиус г каждой из
следующих окружностей:
3) х2+у2 + 2х -4у=0;
4) Зд-2 + ЗУ-6х + 4у-1=0.
701. Центр окружности находится в точке (а, Ь), а ра-
радиус окружности равен г. Составить параметрические урав-
уравнения этой окружности, принимая за параметр t угол от
положительного направления оси Ох до радиуса СМ, где
М — произвольная точка окружности.
702. Охарактеризовать неравенствами следующие множе-
множества точек:
1) множество всех внутренних точек окружности
^) множество всех внешних точек этой окружности;
•j) множество всех точек плоскости, лежащих внутри
колыш, образованного окружностями

104 ГЛ. VI. ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА t 703
703. Охарактеризовать геометрически множество точек
плоскости, координаты которых удовлетворяют условиям:
1) (л- - 3)* + (у - ЗJ < 8, х >у;
2) .v2 +уг -f л- +у > 0, у > '2х;
3) л-Ч-^2-2лг<0, \у\<\.
70*$*. Дана окружность (х — aJ + (,v — /?J = г2 и прямая,
пересекающая эту окружность, по не проходящая через ее
центр. Пайгп условие, необходимое и достаточное для тогэ,
чтобы точка (л~, у) лежала на большей из двух дуг данной
окружности, на которые ее рассекает данная прямая.
705. При каком необходимом и достаточном условии
уравнение
Ах2 + Лу2 + '2Dx
определяет действительную окружность. Предполагая это
условие выполненным, найти центр этой окружности и ее
радиус.
706. Сос/авить уравнение окружности, проходящей через
три точки (хь yj, (x2, y>), (xs, уз), не лежащие на одной
прямой.
707. Составить уравнение окружности, проходящей через
точки Л11 = (х1, уг) и М2 — (х2, _уа) и через начало координат
при условии, что прямая МХМ2 не проходит через начало
координат.
708*. Найти квадрат длины отрезка М0А касательной,
проведенной из топки М0 — (х0, у0), внешней по отношению
к окружности хг + уг + ах -f- by -\- с = 0, где А — точка ка-
касания.
709. Составить уравнение окружности, проходящей через
точки A, 1)> @, 2) и касающейся окружности
710. Составить уравнение окружности, касающейся оси.
Ох в начале координат и касающейся окружности
711. Составить уравнение окружности, проходящей через
точки (xv v{), (x2, y^), зная, что ее центр лежит на прямой
А

,„ , § I. ОКРУЖНОСТЬ J05
712*. Найти необходимое и достаточное условие того,
что прямая Аг + Лу + С = 0: 1) пересекает окружность
/v _ af-r{ v — bJ — r2', 2) не пересекает эту окружность;
3) касается этой окружности.
713. Сосганить уравнение касательной к окружности
/ г _ яJ -\- (у — Ь)г = г2 в точке (х0, _)»0), лежащей на этой
окружности.
714. Составить уравнения касательных к окружности
ix _ аJ + (.У — ЬJ = г2> параллельных прямой
715*. Составить уранпспие окружности с центром в точке
(л-0, v0) и пересекающей ортогонально окружность дг2-|-^2 = г2
при условии, что точка (х0, у0) лежит вне данной окруж-
окружности.
716*. Степенью точки М относительно окружности с цент-
центром С и радиусом г называется число а — \СМ Г—г2. Найти
степень точки (л'о, у0) относительно окружности, заданной
уравнением хг-\-уг-\- 2ax-\-'2by-\-c = Q.
717*. Найги геометрическое место точек, для каждой из
которых степени относительно двух пекониентрических окруж-
окружностей
+ а2х + Ь2 у + г2 = О
равны между собой.
, 718*. 1) Доказать, что геометрическое место точек, сте-
степени которых относительно двух неконцентрических окруж-
окружностей равны между собой, есть прямая. Эга прямая называ-
называется радикальной осью двух окружностей.
2) Доказать, что если окружности пересекаются, то их
радикальная ось есть прямая, проходящая через точки пере-
пересечения этих двух окружностей; если окружности касаются,
ю их радикальной осью является общая касательная к этим
двум окружностям в их общей точке.
3) Если окружности не пересекаются, то их радикальная
ось не пересекается ни с одной из окружностей..
'ч F-сли окружности лежат одна вне другой, то радикаль-
радикальная ось делит пополам отрезок каждой из четырех общих
касательных к этим двум окружностям, ограниченный точками
касания.

106 ГЛ. VI. ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА [719
719*. Даны три окружности, центры которых не лежат
на одной прямой. Доказать, что три радикальные оси данных
окружностей, взятых попарно, пересекаются в одной точке.
Эта точка называется радикальным центром трех окружностей.
720. Составить уравнение окружности, центр которой
лежит на прямой х-\-2у -{-2 = 0 и которая пересекает орто-
ортогонально каждую из двух окружностей хг-\-у2 — 6лг = 0,
721. Составить уравнение окружности, пересекающей
ортогонально три окружности:
722. Найти условие, необходимое и достаточное для того,
чтобы две действительные и пересекающиеся окружности
| 2 + 2у + 2 = 0
были ортогональны.
723. Составить уравнение окружности, проходящей через
точку A, —2) и точки пересечения прямой х — 1у-\- 10 = 0
с окружностью х2-\-у2—2х-{-4у—20 = 0.
724*. Окружность С задана уравнением х2-\-у2 = г2. Дана
точка М0 = (х0, у0), лежащая вне этой окружности. Из точки
Мо к окружности проведены две касательные М0Т1 и М0Т2
{Т1 и Тг — точки прикосновения). Составить уравнение пря-
прямой ТгТ2.
725*. Составить уравнения касательных к окружности
хг-\-уг — гг, проведенных к ней из внешней точки (х0, у0).
726. Дана окружность радиуса г и ее диаметр АВ. В точ-
точке В к данной окружности проведена касательная t. Найти
радиус окружности, которая касается прямой t и проходит
через А, зная, что центр искомой окружности лежит на дан-
данной окружности.
727*. Дано уравнение семейства окружностей
= 0, A)
где а-фО — фиксированное число, а р — параметр.
1) Найти все действительные значения параметра р, для
каждого из которых уравнение A) является уравнением дей-
действительной окружности; найти ее центр и радиус.

728 ]
§ I. ОКРУЖНОСТЬ 107
2) Доказать, что все окружности Ср имеют общую ради-
радикальную ось, и найти ее уравнение.
3) Доказать, что через каждую точку (х0, у0) плоскости,
не лежащую на радикальной оси окружностей Ср и отличную
от гочек О = @, 0) и Л = Bа, 0), проходит окружность Ср и
притом только одна. Найти для этой окружности значение
параметра р.
4) Доказать, что если /?>2а, то точка Л = Bа, 0) лежит
внутри окружности Ср, а начало координат О — вне ее. Если
же р<С®> т0 наоборот.
5) Доказать, чго степень а любой точки М = (а, Ь) ради-
радикальной оси относительно любой окружности Ср не зависит
от р и равна квадрату длины отрезка ОМ —AM. Какой гео-
геометрический смысл этого результата?
(j) Докатить, что если или 2а<;/?1</;2 или р2 <_pL <C 0,
то окружное.I. CPl вложена внутрь окружности CPl.
7) Доказать, что если к любой окружности, проходящей
через точки О и Л, в любой ее точке Т, не лежащей на
радикальной оси, провести касательную ТР (Р — точка пере-
пересечения касательной с осью Ох), то окружность с центром Р
и радиусом РТ есть окружность Ср. Каков геометрический
смысл этого результата?
8) Доказать, что если Ж —любая точка окружности Ср,
то отношение ; ОМ i : j AM \ = k не зависит от М. Найти выра-
выражение к через параметр р.
9) Доказать, что любая окружность Ср пересекает ось Ох
в точках D и F, гармонически сопряженных относительно
точек О и Л.
Ю) Во, что переходят окружности Ср и окружности, про-
проходящие через точки О и Л при инверсии (О, | ОА 3).
728*. Пусть «J и м2 — левые части уравнений некопцепт-
ричис-мх окружностей:
Hl = (х - atf + {у - bxf - r\ - 0,
«2 = (х - a2f + (y- b2f - r\ = 0.
[) Доказать, что уравнение А,^ + А,2и2 = 0, где Я-i и 7^ —
числа, не ранные нулю одновременно, определяет окружность,
если j4_[_x2^0, и прямую, если Я,1+Я,а = О. Уравнение
A-ilh-, А2»2 = 0 назынается уравнением пучка окружностей,
определяемого двумя данными окружностями и1 = 0, и2 = 0.

108 ГЛ. VI. ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА [ 729
2) Найти центр С окружности пучка Я,1н1 + Я,2гг2=*=0
(Я.1 + Я2=^0).
3) Доказать, что центры всех окружностей пучка лежаг
на одной прямой.
4) Найти уравнение прямой /, входящей в пучок окруж-
окружностей Xlul-\- h>iio—-0.
5) Доказать, что прямая /, принадлежащая пучку А,1гг1 4-
-\-к2и2 — 0, является радикальной осью двух любых окруж-
окружностей этого пучка.
6) Доказать, что если две окружности пучка пересекаются
в точках А и В, то любая окружность пучка проходит
через точки А и В, и обратно: любая окружность, проходя-
проходящая через точки А и В, принадлежит этому пучку. Такой
пучок называется эллиптическим, а точки А и В называются
базисными точками эллиптического пучка.
7) Доказать, что если две окружности пучка касаются
в точке Л, то любые две окружности пучка касаются друг
друга и этой точке. Такой пучок называется параболическим.
8) Доказать, что если две окружности пучка не пере-
пересекаются, то не пересекаются и никакие две окружности
пучка. Тахой пучок называется гиперболическим.
9) Доказать, что пучок окружностей является эллипти-
эллиптическим тогда и только тогда, когда он не содержит ни одной
нулевой окружности.
Пучок является параболическим тогда и только тогда, когда
он содержит только одну нулевую окружность.
Пучок окружностей является гиперболическим тогда и
только тогда, когда он содержит дне пулевые окружности.
Нулевые окружности гиперболического пучка называются его
предельными точками или точками Понселе.
§ 2. Эллипс, гипербола, парабола *)
Александров, гл. VI; гл. VIII, § 1, п. 3.
Моденов, гл. VIII, §§ 102-109, 112-117, 120-122, 125.
Постников, гл. 5, § 1.
Во всех задачах этого параграфа система координат пред-
предполагается прямоугольной.
729. Составить уравнение линии второго порядка, оси
которой совпадают с осями координат, зная, что она про-
проходит через точки B, 2), C, 1).
*) См. также задачи 315—324.

, § 2. ЭЛЛИПС, ГИПЕРБОЛА, ПАРАБОЛА
109
730. Написать уравнение эллипса, описанного около 'рав-
'равное горонпсго треугольника, дне вершины которого находятся
в 1 очках (а, 0) и (—а, 0) и совпадают с вершинами эллипса,
ншшадлежащими одной оси.
731. Написать уравнение гиперболы, проходящей через
точку A, 2), асимптотами которой служат прямые
У = ±-2 х.
732. Доказать, что длина отрезка, соединяющего центр
эллипса с произвольной его точкой, заключена между длинами
полуосей чгого эллипса.
733*. Доказать, что если О А и ОВ— отрезки взаимно
перпендикулярных прямых, соединяющих центр эллипса О
с двумя его точками Ак В, то -,—:—^ _|_- ,: ., есть величина по-
; [ ОА |2 ^ | ОВ \2
сюяипая.
734. Пайги длину стороны равностороннего треугольника,
вписанного в параболу yz='2px так, что одна из вершин
треугольника совпадает с вершиной параболы.
735. Написать уравнение эллипса, пересекающего ось Ох
is i очках A, 0) и (9, 0) и касающегося оси Оу в точке @, 3),
зная, чю его оси параллельны осям координат.
736. Написать уравнение эллипса, оси которого парал-
параллельны осям координат, касающегося осей Ох и Оу соответ-
с;пенно в точках (о, 0) и @, 3).
737. Состапигь уравнение параболы, зная, что вершина
ее имеем координаты (а, Ь), параметр равен р и направление
оси симметрии совпадает: 1) с положительным направлением
осп Ох; 2) с отрицательным направлением оси Ох; 3) с по-
положи тельным направлением оси Оу; 4) с отрицательным на-
направлением оси Оу.
'38. Написать уравнение гиперболы, проходящей через
'очку A, 0), асимптотами которой являются прямые х=0,
739*. Написать уравнение равносторонней гиперболы, для
ьошрой ось Ох служит асимптотой, а точка A, 1) — вершиной.
/40. Вычислить длины сторон равнобедренного треуголь-
треугольника ABC, вписанного в равностороннюю гиперболу с полу-
О1..!ми; равными а, зная, что вершина А совпадает с вершиной
'""ерболы и что угол при этой вершине равен -2^-.

ПО ГЛ. VI. ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА [ 741
[741. Написать уравнение эллипса с вершинами @, 6) и
(О,—2), зная, что па оси Ох этот эллипс высекает хорду
длины 6.
742. Написать уравнение линии второго порядка, для ко-
которой ось Ох является осью симметрии, ось Оу -.— касатель-
касательной в вершине, зная, что линия проходит через две точки
B, 3) и F, -3).
743. Доказать, что произведение расстояний любой точки
гиперболы до двух асимптот одно и то же для всех точек
гиперболы.
744*. Найти геометрическое место центров окружностей,
отсекающих на осях Ох и Оу хорды, соответственно равные
'2а и Ж
745*. Дне противоположные вершины параллелограмма на-
находятся па гиперболе, а стороны параллелограмма парал-
параллельны асимптотам гиперболы. Доказать, что прямая, соеди-
соединяющая две другие противоположные вершины параллело-
параллелограмма, проходит через центр гиперболы.
746*. 1 Гаити наибольший радиус круга, лежащего внутри
параболы у2 = 2рх и касающегося параболы в ее вершине..
747*. Доказать, что четыре точки пересечения двух пара-
парабол, оси которых взаимно перпендикулярны, лежат на одной
окружности.
748*. Через фиксированную точку Ао оси параболы про-
проводя гея всевозможные хорды. Доказать, что произведение
расстояний от кондов хорды до оси параболы не зависит
от направления хорды.
749. Написать уравнение параболы, вершина которой на-
находится" » точке B, 6), а ось параллельна оси Оу, зная,
что на оси Ох эта парабола высекает хорду длины 6'.
750. Написать уравнение равносторонней гиперболы, одна
из вершин которой находится в точке B, 2), действительная
ось параллельна оси Оу при условии, что. на оси Ох гипер-
гипербола высекает хорду длины 8.
751*. Написать уравнение эллипса, для которого прямые
х-\-у — 1 = 0 и х— у-\-1=0 суть соответственно большая
и .малая оси и длины полуосей которого а = 2, b—l.
"si 752*. Написать уравнение параболы, осью которой слу-
служит прямая х-\-у-\-1 = 0 и которая проходит через точки
@, 0), @, 1).
jNj753*. Написать уравнение гиперболы, зная ее ось
2х—у-}-2 — 0, асимптоту у = 0 и точку A, 1).

, § з ФОКУСЫ И ДИРЕКТРИСЫ ЛИНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА 111
754*. Написать уравнение гиперболы, зная, что ее асимп-
асимптоты параллельны осям координат и что гипербола проходит
через точки @, 0), B, 1), A, 2).
755. Найти геометрическое место точек, произведение
расстояний которых до двух противоположных сторон пря-
прямоугольника равно произведению их расстояний до двух дру-
других противоположных сторон его.
750*. Найти геометрическое место оснований иерпенди-
к\'ляров, опущенных из центра эллипса на его хорды, соеди-
соединяющие копны перпендикулярных диаметров.
757*. Найти геометрическое место вершин равнобедрен-
равнобедренных треугольнике», боковые стороны которых проходят че-
через фиксированные точки Р и Q, а основания параллельны
фикспрвапной прямой d при условии, что прямые PQ и d
не параллельны.
758. Доказать, что если две линии второго порядка, оси
которых параллельны, пересекаются в четырех действитель-
действительных точках, то эти точки лежат на одной окружности.
§ 3. Фокусы и директрисы линий второго порядка.
Уравнение линии второго порядка
в полярных координатах ч
Во всех задачах этого параграфа система координат пред-
предполагается прямоугольной.
1. Фокусы, директрисы, эксцентриситет
7591 Найти фокусы Flt Fz и соответствующие им дирек-
директрисы следующих линий:
3> v + fi=J; '2> т-2у2+8=°; 3) .у=|л-
760. Найти фокус и директрису параболы
761. Найти фокус F и директрису d параболы у = ах2.
762. Найти фокусы и директрисы равносторонней гипер-
гиперболы 2ху~а2.
763л Написать уравнения эллипса и гиперболы с фоку-
фокусами G, 0) и ( — 7, 0), проходящих через точку (-^2, 12):
*■■ '' 764. Написать уравнение линии второго порядка, зная ее
фокус B, 0), соответствующую ему директрису лт = 8 и

H2 ГЛ. VI. ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА [765
эксцентриситет е=-„. Найти второй фокус и вторую директ-
директрису линии.
765. Написать уравнение линии второго порядка, фокус
которой находится в точке B, 0), соответствующая ему дирек-
директриса имеет уравнение х-—о, зная, что линия проходит через
точку A0, о'). Найти второй фокус и вторую директрису
этой линии.
•v/766. Написать уравнение липни второго порядка,' фокус
которой находится в точке B, 0), соответствующая ему
лмрекфиса имеет уравнение л: = 6", зная, что линия прохо-
проходит через точку ( — 4, 8),
767. Найти длину хорды линии второго порядка, прохо-
проходящей через ее фокус и перпендикулярной к фокальной оси:
1) эллипса
, + ,2
2) гиперболы , — ~ " 1;
3) ттраболы уг = 2рх.
768. Найти отношение, в котором центр липни второго
порядка д;лит отрезок се фокально/! осп, заключенный между
фокусом и соответствующей директрисой.
769. Вычислить эксцентриситет равносторонней гиперболы.
770. Пусть две гиперболы имеют общие асимптоты. Дока-
Доказать, что:
1) если эти гиперболы лежат в одной и той же паре
вертикальных углов, образованных их асимптотами, то их
эксцентриситеты равны между собой;
2) если эти гиперболы лежат в разных парах вертикаль-
вертикальных углов, образованных их асимптотами, то произведение
их эксцентриситетов больше иш равно 2, причем это про-
произведение рапно 2 только для равносторонних гипербол.
771. Определить эксцентриситет эллипса, если расстояние
между фокусами есть среднее арифметическое длин осей.
772. Найти эксцентриситет эллипса, зная» что стороны
вписанного в него квадрата проходят через фокусы эллипса.
»773. Найти* эксцентриситет эллипса, зная, что в него
можно вписать равносторонний .треугольник, одна из вершин
которого совпадает с вершиной эллипса, принадлежащей
фокальной оси, а противолежащая ей сторона проходит через
фокус эллипса.

--
/ О J
6 4 ФОКУСЫ И ДИРЕКТРИСЫ ЛИНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА
774. Зная эксцентриситет е эллипса, найти эксцентриситет е'
гиперболы, имеющей с этим- , эллипсом общие фокальные
хори-'. т- е- ХОРДЫ> проходящие через фокусы и перпепди-
Kvisiniibie к фокальной оси.
• ' ' д-2 ,,2
775. Лап эллипс jg -Ь 4 = *• Написать уравнение гипер-
гиперболи, имеющей с этим эллипсом общие фокальные хорды.
776. Дана равносторонняя гипербола х2 — у2 = а2. Напи-
Написать уравнение эллипса, имеющего с этой гиперболой общие
фокальные хорды.
777. Дана парабола у2—2рх. Написать уравнение пара-
параболы с параметром р', имеющей общий фокус с данной пара-
параболой, при условии, что оси обеих парабол имеют противо-
противоположные направления.
3
778. Лапа парабола У=-т х2- Написать уравнение дру-
rnii параболы, имеющей с данной параболой общую фокаль-
фокальную хорду, т. е. хорду, проходящую через фокус параболы
и перпендикулярную к ее оси.
779. 1) Вычислить длину отрезка асимптоты гиперболы
*2 У" -1
" П in ~ i »
а* о1
заключенного между се центром и директрисой.
'2) Найти расстояние от фокуса этой гиперболы до ее
асимптоты.
3) Локазать, что основание перпендикуляра, опушенного
из фокуса гиперболы на ее асимптоту, лежи г на директрисе,
соответствующей этому фокусу.
780. Доказать, что расстояние от любой точки М ги-
гиперболы до фокуса Г равно отрезку прямой, проходящей че-
через эгу точку параллельно асимптоте, заключенному между
ючкой М и директрисой, соответствующей фокусу F.
781. Написать уравнение гиперболы, зная четыре точки
(- - ^; \h 2) пересечения ее директрис и асимптот.
732~ Написать уравнение линии второго порядка, ненгр
которой находится и точке A, 0), а одной из директрис служит
"рчмая х~2, зная, что линия проходит через точку E, 6).
'83-*. Написать уравнение гиперболы, зная ее фокус
I £, 0), уравнение л' —7 директрисы, соответствующей дру-
)л1> фокусу, и угол между асимптотами arctg-••, содержа-
содержали
фокус гиперболы.

114 ГЛ. VI. ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА [784
«■784*. Написать уравнение линии второго порядка, вер-
вершина которой находится в начале координат, ближайший
к ней фокус в точке B, 0), а одна из директрис кривой пе-
пересекает ее фокальную ось в точке'A2, 0).
785*. Написать уравнение равносторонней гиперболы,
зная ее фокус A, 1) и асимптоту лг+_У = О.
786. Написать уравнение равносторонней гиперболы, зная
ее фокус B, 0) и асимптоту лг=1.
787*. Составить уравнение эллипса, фокусы которого
имеюг координаты A, 0), @, 1) и большая ось равна 2.
788*. Составить уравнение гиперболы, фокусы которой
имеют координаты A, 0) и @, 1) и асимптоты параллельны
осям координат.
789*. Найти радиус наибольшей окружности, лежащей
внутри линии второго порядка и касающейся этой линии в ее
вершине, принадлежащей фокальной оси.
790^' Найти геометрическое место точек, сумма расстояний
кдторйх от данной точки и данной прямой одна и та же для
всех точек этого геометрического места.
791. Найти геометрическое место центров окружностей,
касающихся данной окружности и иепересекающей ее прямой.
792. Найти геометрическое место центров окружностей,
касающихся двух окружностей:
39 = 0.
793. Найти геометрическое место центров .окружностей,
проходящих через точку D, 0) и касающихся окружности
х*+у*-\-8х — 84 = 0.
794*. Две вершины треугольника закреплены в фокусах
гиперболы, а третья переметается по ее ветви. Какие линии
описывают точки касания окружности, вписанной в этот тре-
треугольник, с его сторонами?
795*. Две вершины треугольника закреплены в фокусах
гиперболы, а третья перемещается по ее ветви. Какую линию
описывает при этом центр окружности, вписанной в тре-
треугольник?
796. Составить уравнение гиперболы, зная один из ее
фокусов (— 2, 2) и асимптоты 2х —у -{-1 = 0, х -(- 2у — 7 = 0.

S05 ]
§ 4. ТИП И РАСПОЛОЖЕНИЕ ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА П5
2. Уравнение эллипса, гиперболы и параболы
в полярных координатах
797 Составить уравнение гиперболы в полярных /соор-
х2 У2 ( ,
дпнагах, если дано ее каноническое уравнение щ — 25^1i
798 Составить каноническое уравнение гиперболы, если
9
дано ее уравнение в полярных координатах р = ^—д .
709. Составить уравнение параболы _уг = 8лт в полярных
координатах.
800. Составить каноническое уравнение параболы, опре-
6
деляемой уравнением p = -j—-——.
1 — cos ш
801. Через фокус параболы проведена хорда, образующая
с ее осью угол '^. Найти отношение, в котором фокус делит
эгу хорду.
802*. Через фокус параболы проводятся всевозможные
хорды. На каждой из них от фокуса в направлении более
удаленного конца хорды откладывается отрезок, равный раз-
разнос гп отрезков, на которые фокус делит хорду. Найти гео-
геометрическое место концов этих отрезков.
803*. Доказать, что сумма обратных величин отрезков,
на которые фокус линии второго порядка делиг проходящую
через него хорду, есть величина постоянная.
804*. Две вершины треугольника закреплены в точках А
и В, а третья вершина С перемещается так, что угол при
вершине Л остается все время вдвое больше угла при вер-
вершине С. Найти линию, описываемую вершиной С.
§ 4. Определение типа и расположения линии
второго порядка по ее общему уравнению.
Применение инвариантов
Александров, гл. XVI, §§ 1 — 4;"гл. XVII, § И.
Модемов, гл. XI, §§ 141 — 144, 150.
Постников, гл. 6, § 1, пп. 1—3, 5, 8.
этого параграфа система координат явля-
помощью переноса осей координат установить,
определяется каждым из следующих уравнений,
расположение относительно данной системы

П6 ГЛ. VI. ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА
координат:
1) 9л-2 4- I Gy2 - 54л- 4- 64у 4-1 = 0;
2) 4л-2 -у2 - 16х — ву + 3 = 0;
ч/З) Зу2- 12л-- (iy-j- 11=0;
4) 25л2 4- 9у2 - 100л- 4- 54j/ — 44 = 0;
5) 4л2 - у2 - 1 (!л- 4~ «.V + 2 3 == 0;
6) Зл-2-|- 12л-4- 16> — 12 = 0;
7) 9л-2 — 4_у2 4- 36х — 16у 4- 20 = 0;
8) л-24-л--о = О;
9) х2 t у
а2"//
10)
'_ -^ — 1 •
11) л-2 ,/ 2^ 2v
806*. Линия второго порядка определяется уравнением
Определить тип линии при изменении параметра к от
— оэ до 4"°° 1| найти ее расположение относительно дан-,
ной системы координат.
807. Определить тин линии, написать ее каноническое
уравнение и найти каноническую систему координат:
.1)
2) од:2 4- 12л-,у-22лг- 12_у-19 = 0;
3) х2-4ху + 4у2+ 4х-Ъу~7 = 0;
4) х2 — эху 4- 4уа 4- х + '2у — 2 == 0;
5) 4хг- Ylxy 4- 9j2- 2,v4- 3_y—2 = 0;
6) 9л-2 - 4jcj 4- 6.У2 + -1-б.лг - 8у - 2 = 0;
7) 8х2 4- C-fj/ - Ж)х — 12_у 4- 11 = 0;
■ 8) х2~'2ху+у2- 10je-6v4-25 = 0;
9) 2^-5jfj-12_y2-jt4-2G_y-10 = 0;
10) 4дг2-4дг_у4-У2-^4-Зу-4==0;
1 1) 2л-2 4- 4лу/ 4-'5у2 - Сдг — Sy - 1 =• 0;
N12) л-2-12л-з/-4_у24-12л-4-8у4-5==0;

3l s -I ТИП И РАСПОЛОЖЕНИЕ ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА 117
1:',) O.v2 i- 24.vy 4~ 1 fjv2 - ^ЗОлг + 1 1 Оу — 475 = 0;
i j) 3.v- •[- л-_у — я>/2 - 5-f-!- 5jj —2=°;
1 r>) 4.v- - - 1 Ivy -! - '>..« - 2O.r + 30y +16 = 0;
1 (;) a.v2 ■■; ■ (>xy ■ г 5>'2 — C)X ~ l °У — ?> = °;
1 7) 12xy -'- o_v2 - 1 ^-v — '22y - I У =- 0;
] ;>,) 4.v2 •- -i.n' -| • y2 - Зд- 4- Ay — 7 = 0;
]!)) 4.v- |- 1 Ьху \- 1 o_ya — 8.v — '2'2y — 5 = 0;
20) 4.v--r Аху~\-уг-\-.\Ьх-\-%у-\- 15 = 0.
803:::. Линия второго порядка определяется уравнением
хг 4- 2
Определить тип линии при изменении параметра а от
— с-о до -f- оэ и найти ее расположение относительно даи-
noii системы координат.
809е'. Найти фокусы и соответствующие им директрисы
линий второго порядка:
1) йху - 8у2 4-12х - 26у — 11 = 0;
2) х2 4- 4 -vy 4- 4j2 4- 8лг 4- 6у 4- 2 = 0-
810. Доказать, что если /х = 0 то /2<0.
81!';:. Пользуясь инвариантами 1Ь /2, /3, найти условия,
необходимые и достаточные для того, чтобы линия второго
порядка была равносторонней гиперболой, и написать ее
каноническое уравнение.
812*. С помощью инвариантов /i, /2- ^з выразить ус-
•чонне, необходимое и достаточное для того, чтобы ветви
гиперболы лежали в острых углах, образованных ее асим-
асимптотами.
813*. С помощью инвариантов 1Ь /2, /3 выразить условия,
необходимые и достаточные для того, чтобы линия вто-
Р
порядка была парой взаимно перпендикулярных
"РЯМЫХ.
". Доказать, что всякая линия второго порядка, про-
"«лящая через четыре точки пересечения двух равносгорон-
1ь^ гипербол, есть равносторонняя гипербола или пара вза-
взаимно перпендикулярных прямых.
\5-- В
ур р
--. Выразить через инварианты 1Ь /2, /3 необходимое
Достаточное условие того, чтобы общее уравнение линии

118 ГЛ. VI. ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА [ 8§
второго порядка определяло действительный эллипс. Выра>
зить через инварианты его площадь s. j
816*. Общее уравнение /•" (лт,_у) = О второй степей!
определяет линию второго порядка, распадающуюся на дв«
параллельные прямые. Найти условие, необходимое и досга^
точное для того, чтобы точка (х0, у0) лежала между этим1
прямыми. !
817*. Линия второго порядка, заданная уравнением
F (х, у) = 0 второй степени, распадается на пару Пересе*
каю1цихся и не взаимно перпендикулярных прямых. Найт^
необходимое и достаточное условие того, что данная точк|
Мо = (х0, у0) лежиг в остром угле, образованном этим*
прямыми. j
818*. Выразить через инварианты 1Ъ /2, /3 необходимое
и достаточное условие того, чтобы общее уравнение лиши
второго порядка определяло окружность. j
819*. Доказать: для того, чтобы уравнение второй сте-
степени с двумя неизвестными определяло окружность (действц*
тельную," нулевую или мнимую), необходимо и достаточна
чтобы в этом уравнении коэффициенты при квадратах коор|
динат были равны, а коэффициент при произведении коорд1
нат был равен нулю.
820*. Доказать, что линия второго порядка Зх2 — 2ху-\
-*гУ2-\-6х — 9 = 0 есть эллипс, и написать уравнение эллипс
с теми же осями, полуоси которого вдвое больше, чем \
данного.
821*. Доказать: для того, чтобы две гиперболы имел
одни и те же асимптоты, необходимо и достаточно, чтоб!
в уравнениях этих гипербол все коэффициенты, кроме,
может, свободных членов, были пропорциональны.
822*. Доказать: для того, чтобы две параболы име/$
один и тот же параметр, одну и ту же ось и одно и то Щ
направление оси в сторону вогнутости, необходимо и доё'
таточно, чтобы в их уравнениях все коэффициенты, кроЩ
быть может, свободных членов, были пропорциональны. j
823*. Общие уравнения двух гипербол имеют такой вй|
2а2у-{- а = 0, j
При каком необходимом и достаточном условии они буду?
лежать в разных вертикальных углах, образованных Hi,
общими асимптотами?
Л

34 ] § 5. КАСАТЕЛЬНЫЕ К ЛИНИЯМ ВТОРОГО ПОРЯДКА'
119
824*. Общее уравнение F(x,y)=0 второй степени опре-
пепяет гиперболу. С помощью инвариантов написать уравне-
уравнение линии, распадающейся на пару ее асимптот.
825*. Доказать, что все ромбы, вписанные в один и
тот же эллипс, описаны около одной и той же окруж-
окружности.
826*. Доказать, что линия второго порядка, проходящая
'icpuj псе вершины треугольника и точку ,-пересечения его
высот, есть равносторонняя гипербола, если треугольник
не прямоугольный.
827*. Доказать, что если две равносторонние гиперболы
пересекаются в четырех точках, то каждая из этих точек
есть точка пересечения высот треугольника, образованного
тремя другими точками.
§ 5. Касательные к линиям второго порядка
Александров, гл. XVII, § 4.
Моденов, гл. VIII, §§ ПО, 118, 123; гл. XI, § 147.
828. Составить уравнения касательных к эллипсу
32 + 18 ^ 1>
проведенных из точки A2, —3).
829. Написать уравнения касательных к гиперболе
х2~-~~ \t проведенных из точки A,4).
830. Написать уравнения касательных к параболе_у2 = 4лг,
проведенных из точки (—1, ■„).
831. Дано уравнение касательной х — Зу-{-9 = 0 к пара-
параболе _у2--2рдг. Составить уравнение параболы.
832. Найти кратчайшее расстояние параболы _уа = 64лг от
прямой 4.v + Зу + 46 = 0.
833. Написать уравнения касательных к эллипсу
16 "Г" g ~ 1, параллельных прямой х-\-у—1=0.
834У. Найти условие, необходимое и достаточное для
Гого, чтобы к гиперболе *- — ^ = 1 можно было провести
Касательные, параллельные прямой y — kx.

120 ГЛ. VI. ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА [ 83!
835. Найти касательную к параболе у2—'2рх, парад,
лельную прямой y = kx.
836. Написать уравнение касательной к параболе у2='2рх
отсекающей на осях координат равные отрезки.
837. Найти геометрическое место середин отрезков каса-
касательных к параболе уг = 1рх, заключенных между осями
координат.
838*. Написать уравнения касательных к эллипсу
Ъх2 + 8у2 = 45, расстояния которых от центра эллипсг
раин!.! 3.
839. Написать уравнения касательной к гиперболе ху — С
в точке (хо,уо), лежащей на гиперболе.
840. Найти угол между касательными к двум равносто-
равносторонним гиперболам в их общей точке, если оси одной
гиперболы служат асимптотами другой.
841*. Доказать, что отрезок касательной к гиперболе,
заключенный между ее асимптотами, делится точкой касания
пополам. ■?
842*. Доказать, что все треугольники, образованные^
асимптотами гиперболы и произвольной касательной к ией,'(
имеют одну и ту же площадь s. Выразить эту площадь,'!
через полуоси гиперболы. . .н
843. Гипербола, оси которой совпадают с осями коорди-1
пат, касается прямой х— у— 2— -.0 в точке УИ = D, 2).J
Составить уравнение этой гиперболы. Щ
844. Составить уравнение гиперболы, зная уравнения е&З
асимптот _y = rh | и уравнение одной из ее касательных?
ох — ву - 8 = 0. 1
845*. Найти условия, необходимые и достаточные для*!
х~ у~ J
того, чтобы к гиперболе '--, — 3 = I из точки (х0,у0): "' |
1) можно было провести две касательные;
2) можно было провести одну касательную;
3) нельзя было провести ни одной касательной.
846*. При каком необходимом и достаточном условии-
касательные, проведенные из точки (х0, у0) к гиперболе
х^ — ■— = 1, касаются различных ее ветвей.
847*. Написать уравнение касательной к гиперболе, про-
проведенной из точки (х0, _v0), лежащей на ее асимптоте
у==- х и отличной от центра гиперболы.

..8 § 5. КАСАТЕЛЬНЫЕ К ЛИНИЯМ ВТОРОГО ПОРЯДКА
121
848*. Найти услопия, необходимые и достаточные для
того, чтобы прямая Ах + Ву + С = 0 касалась:
1) эллипса --2- + р-= 1>
2) гиперболы —j- —^2 = 1;
3) парабол!.! _у2 = 2/>_хг;
4) ишерболы .vy —£.
849. Эллипс, имеющий фокусы в точках (—• 3, 0), C, 0),
касаемся прямой х-\-у ~- 5 = 0. Составить уравнение эллипса.
х2 и2
850*. Дан эллипс — -|- Тл~=^ и прямая Ах -\- By -\-С = 0.
Haiti и условия, необходимые и достаточные для того, чтобы
прямая пересекала эллипс, касалась его, проходила вне
эллипса.
S51*. Найти общие касательные к двум эллипсам:
+Ti=1 и Т + Т""
852*. Определить общие касательные к иараболе_у2 = 4дг
и к эллипсу -~ -\~ -У£ — 1-
853*. Найти геометрическое место точек, из которых
можно пронести взаимно перпендикулярные касательные:
1) к эллипсу --^ -{- |а- = 1; 2) к гиперболе ~ — У- = 1;
;() к параболе уг = 2рх.
854*. Эллипс при движении по плоскости касается двух
изаимно перпендикулярных прямых. Какую линию описывает
чентр эллипса?
855*. Найш геометрическое место точек, из которых
к лейсгиигелыюй нераспадающейся линии второго порядка
можно пронести равные касательные.
856*. Доказать, что вершины ромба, описанного около
э--!ииса, лежат на его осях.
857. Найти уравнения сторон квадрата, описанного около
858". 11аписать уравнение параболы, касающейся оси Ох
•очке (IS, 0), а оси Оу в точке @, 2).

122 ГЛ. VI. ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА [ 85!
859*. Написать уравнение гиперболы, проходящей через
точку A, 1), касающейся оси Ох в точке C, 0) и имеюще*
ось Оу своей асимптотой.
860*. Написать уравнение гиперболы, имеющей асимпго
тами прямые х — 1=0, '2х— у-\-\=0 и касающейся прямой
0
861*. Найти условие, необходимое и достаточное для
того, чтобы прямая Ах-\-Ву-\-С = 0 касалась нераснадаю-1
щейся линии второго порядка, заданной общим уравнением»
862*. Найти геометрическое место точек, произведение,
расстояний которых до боковых сторон равнобедренного гре-.-
угольника равно квадрату расстояния до его основания.
863*. Доказать, что произведение расстояний от фокуса
линии второго порядка до двух параллельных касательных
к ней равно квадрату малой полуоси в случае эллипса и
квадрату мнимой полуоси в случае гиперболы.
864*. Доказать, что произведение расстояний от фоку-
фокусов линии второго порядка до любой касательной к ней
равно квадрату малой полуоси в случае эллипса и квад-
квадрату мнимой полуоси в случае гиперболы.
865*. Доказать, что:
1) нормаль к эллипсу в произвольной его точке делит
пополам угол, образованный лучами, выходящими из этой
точки и проходящими через фокусы эллипса;
2) касательная к гиперболе в произвольной ее точке делит
пополам угол, образованный лучами, выходящими из этой
точки и проходящими через фокусы гиперболы;
3) нормаль к параболе делит пополам угол, образован-
образованный лучом, выходящим из этой точки и проходящим через
фокус параболы, и лучом диаметра параболы, выходящим из
этой точки и направленным в сторону вогнутости параболы.
866*. Найти геометрическое место точек, симметричных
фокусу линии второго порядка относительно касательных
к этой линии.
867*. Найти геометрическое место проекций фокуса ли-
линии второго порядка на всевозможные касательные к ней.
• 868*. Доказать, что:
1) касательные в точках пересечения софокусных эллипса
и гиперболы взаимно перпендикулярны;

_. § 6. ЦЕНТР, ДИАМЕТРЫ, АСИМПТОТЫ 123
2) касательные в точках пересечения парабол с общим
Aokvcom и противоположно направленными осями взаимно
перпендикулярны.
869*. Доказать, что прямая, соединяющая точки прикос-
прикосновения касательных к линии второго порядка, проведенных
из произвольной точки ее директрисы, проходит через фо-
фокус, соответствующий этой директрисе.
'870*. На эллипсе
найти точку, нормаль в которой находится на наибольшем
расстоянии б от центра эллипса. Найти это расстояние.
871*. Доказать, что прямая, соединяющая фокус F па-
параболы с точкой пересечения касательных к параболе в
двух произвольных ее точках Mt и Мъ делиг пополам
угол Л11ГМ2-
872*. Найти множество точек, каждая из которых явля-
е1ся проекцией фокуса эллипса на все прямые, которые:
1) касаются эллипса; ■
2) пересекают эллипс;
3) не имеют с эллипсом общих точек.
873*. Найти множество точек, являющихся проекциями
фокуса гиперболы па все прямые, которые:
1) касаются гиперболы;
2) пересекают гиперболу;
3) не имеют с гиперболой общих точек.
874*. Найти множество точек, каждая из которых является
проекцией фокуса параболы на все прямые, которые:
1) касаются параболы;
2) пересекают параболу;
3) не имеют с параболой общих точек.
§ 6. Центр, диаметры, асимптоты линий
второго порядка
Александров, гл. XVII, §§ 1, 3, 5 — 9, П.
■Моденов, гл. VIII, §§ 144—146, 148, 159.
Постников, гл. 6, § 1, пп. 4 — 8.
875. Найти асимптоты следующих гипербол:
' ]) За-2 -f Ixy + 4у2 + Ьх + Чу ~ 6 = 0;
2) 2

124^ \ О ГЛ. VI. ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА Г 87
- / / ■
к
876. Найти соотношения, связывающие угловые
пиенты /?L и k2 двух сопряженных диаметров:
1) эллипса ~ + |j=l;
2) гиперболы -- —-|^=1;
3) гиперболы ху—С.
877. Написать уравнение диаметра эллипса
проходящего через середину хорды, отсекаемой эллипсом н
прямой Зх + 2_у — 6 = 0. ]
878. Написать уравнения двух сопряженных диаметро^
гиперболы ~ — уд= Ь °ДИН из которых проходит через']
точку B, 1).
879. Составить уравнение такой хорды эллипса
которая точкой B, 1) делится пополам.
880. Дана линия второго порядка
5х2 + 4ху + 8у2 - 32х - 56v + 80 == 0.
Найти сопряженные диаметры этой линии, один из котсн|
рых параллелен оси ординат.
V881*. Даны две линии второго порядка: ,
Ъхг + бху —у2 - 1 Sjt - 1 Оу = 0,
9х2 + бху + у2 - 18лг— 10у = 0.
Найти общий диаметр этих двух линий и направлений!
тех хорд каждой из данных линий, которым сопряжен эточ
диаметр. ]
882*4 Найти диаметры, сопряженные одновременно othoJ
сительио двух линий: .1
\
^.883*1 В эллипс х24-4у2 = 25 ппнсан параллелограмл
одной из сторон которого является прямая' х-\-'2у — 7 = 0|
Найти остальные его стороны.

«6 ЦЕНТР. ДИАМЕТРЫ, АСИМПТОТЫ 125
894 ] s '
884*. доказать, что прямые, соединяющие точки касания
ютиБОПОложных строи параллелограмма, описанного около
етралыюй действительной нераспадающейся линии второго
порядка, являются ее диаметрами. Когда эти диаметры будут
сопряженными?
885*. Показать, что если кривая второго порядка каса-
касается очной из сторон описанного около нее параллелограмма
и ссрслппс эiой стороны, то остальных трех сторон парал-
параллелограмма она касается также в их серединах; кривая в этом
случае ее п. эллипс.
886*. Доказать, что диагонали параллелограмма, все вер-
вершины которого принадлежат центральной нераспадающейся
линии второго порядка («вписанный параллелограмм»), явля-
являются ее диаметрами. К'отда эти диаметры будут сопряженными?
887*. Доказать, что две касательные к эллипсу или
к гиперболе параллельны тогда и только тогда, когда точки
касания принадлежат одному диаметру.
888. В эллипс вписан ромб так, что все-четыре вершины
ромба совпадают с вершинами эллипса. Доказать, что диаметры
эллипса, параллельные сторонам ромба, равны между собой.
889*. Доказать, что диагонали параллелограмма, описан-
описанного около нетральной нераспадающейся линии второго
поряака, яг.ляклен ее сопряженными диаметрами.
у/ 890:;\ Зная коней (xv у{) диаметра эллипса
— -I У— — 1
найти концы диаметра, ему сопряженного. *
89Г-!. Около линии второго порядка, заданной уравнением
—v — 1ху-\-у- — 2х -f- fi_y — 3 = 0, описан параллелограмм,
°Дна из вершин которого находится в точке Л = C, 4). Найти
остальные сто вершины.
$92*. Написать уравнение эллипса, зная его центр С = B, 1)
" котил двух сопряженных диаметров А ==E, 1), Л--{0, 3).
° Доказать, что если О —точка нераспадающейся
второго порядка, ось Ох — проходящий через эту точку
e!р, а ось Оу — касательная к линии в точке О, то
ой системе координат уравнение линии имеет вид
ацХ--\-а.г2уг-\-^а1х- 0.
894 *v ! 1
точ • -л' 1П1Са1Ъ Уравнение параболы, проходящей через
"' у*> '). Для которой прямая х — 2у = 0 служит диаметром,

126 ГЛ. VI. ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА [ t
а прямая х-\-у — О — касательной в точке пересечения
диаметра с параболой.
895*. Составить уравнение параболы, зная, что ее ди
метры параллельны прямой х-\-у = 0 и что она проход!
через точки @, 0) и @, 1).
896*. Дам треугольник ABC:
А ==D, 2), /? = (8, 2), С = D, 5).
Написать уравнение параболы, описанной около этого щ
угольника так, чтобы медиана AD, проведенная из вершины^
была ее диаметром.
897*. Три вершины параллелограмма находятся в точю
О = @, 0), А ==D, 0), В = B, 2); А и В - противоположим
вершины. Написать уравнение эллипса, вписанного в это
параллелограмм и касающегося стороны ОА в ее середин!
898*. Написать уравнение эллипса, зная, что центр ей
находится п точке С = B, 1) и что прямые у — 2 = 0 j
х—_у = 0 служат касательными в концах двух сопряженные
диаметров этого эллипса. |
899*. Даны вершины треугольника ABC: A = F,
5 = @, 4), С = F, 4). Написать уравнение линии второ
порядка, описанной около этого треугольника, зная, что
центр находится в точке УИ = D, 3).
900*. Найти геометрическое место середин хорд типе
болы, высекаемых на прямых, проходящих через точку, лея
тую па асимптоте гиперболы.
901*. Зная угловые коэффициенты £1==1,£2 = 2 асимпт*
«гиперболы и угловой коэффициент & = 0 ее диаметра, най
угловой коэффициент k' диаметра, ему сопряженного.
902*. Найти асимптоты гиперболы, для которой оси коо
динат образуют одну пару сопряженных диаметррв, а прям;
х —у = 0илс — 4у = 0 — другую пару сопряженных диаметр*!
903*. Написать уравнение эллипса, принимая за оси кос!
динат его сопряженные диаметры, а за единичную точ
системы координат — одну из вершин параллелограмма, ог
санного около эллипса, стороны которого параллельны эт|
сопряженным диаметрам.
904*. Написать уравнение гиперболы, принимая за 4
координат ее сопряженные диаметры, а за единичную точку!
любую из вершин параллелограмма, стороны которого napi
лельны взятым диаметрам, причем две из них касают|
гиперболы, а диагоналями служат асимптоты гиперболы.

6 [IKIITP. ДИАМЕТРЫ, АСИМПТОТЫ
'27
905*. Написать уравнение параболы, принимая за начало
-осм'иннаг точку О, лежащую на параболе, за ось Ох — про-
1 оаягиий через точку О диаметр, за ось Оу — касательную
к параболе в точке О, а за единичную точку Е системы —
любую точку параболы.
906*. Написать уравнение гиперболы, принимая за оси
коор!ннаг ее асимптоты, а за единичную точку системы
координат— произвольную точку, лежащую на гиперболе.
907*. Доказать, что в общем уравнении линии второго по-
порядка
2а12-гу 4- a22f + 2ахх + ^сцу + а = О
коэффициент Я]^ = 0 тогда и только тогда, когда середины хорд
лншш, параллельных одной из осей координат, лежат на пря-
прямой, параллельной другой оси координат.
908*. Доказать, что точка пересечения касательных к линии
второго порядка в концах какой-либо ее хорды лежит на
диаметре, сопряженном с направлением этой хорды.
909*. Пусть О— центр эллипса, А и В — концы его
сопряженных диаметров, С — середина хорды АВ, М — точка
> ~QQ
пересечения луча ОС с эллипсом. Найти отношение —-^.
у ом
910*. Доказать, что произведение длин отрезков М^Р^ и
MJ>2, отсекаемых произвольной касательной PiP2v- эллипсу или
гиперболе от двух фиксированных параллельных касательных
MJ'i и /ИоРо к рассматриваемой линии (Мх и М2 — точки ка-
касания), одно и то же для псех касательных к кривой.
911*. Доказать, что произведение длин отрезков МРУ и МР2
касательной РгМР2 к эллипсу или гиперболе в фиксирован-
фиксированной точке М, где Рх и Р2 — точки, в которых рассматри-
рассматриваемая касательная пересекается с двумя произвольными па-
параллельными касательными к линии, постоянно.
912\ Найти геометрическое место точек М пересечения
'рямык, проходящих через две данные точки А а В плоско-
!''> при условии, что" AM и ВМ параллельны двум соиря-
е"'"'',м. Диаметрам эллипса или гиперболы.
хо- Найти геометрическое место центров гипербол, про-
- ящих через две фиксированные точки А и В и имеющих
9"^,,аС11мптотические направления.
Дептг ' "аНти множество точек, которые могут служить
Рами эллипсов, описанных около данного треугольника.

•28 ГЛ. VI. ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА [ 91J
915*. Найги угловые коэффициенты м длину d двух рав
пых сопряженных диаметров эллипса -j -\- -~ = '■
916. Найти наименьший острый угол между сопряженным!
диаметрами эллипса с полуосями а и b, a^>b.
917. Доказать, что асимптоты равносторонней гиперболь
являются биссектрисами углов между любыми двумя ее c
ряженными диаметрами.
918*. Доказать, что стороны прямоугольника, все вершин^
коюрого принадлежат действительной центральной нераспа»
дающейся линии второго порядка («вписанный прямоугольник»!
параллельны ее осям. |
919*. Доказать, что все параллелограммы, сторонами ко!
тормх являются половины сопряженных диаметров эллинсад
имеют одну и ту же площадь. i
920*. Доказать, что сумма квадратов двух сопряженных^
полудиаметров эллипса одна и га же для каждой пары диа|
ме1ров.
921*. Доказать, что гипербола
может быть задана следующими параметрическими уравнениями^
J l\ v-b ft
922*. Доказать, что если
— параметрические уравнения гиперболы
то параметрические уравнения гиперболы
*2 _ У2 _ 1
аз &2
сопряженной с данной, можно записать в виде

§ 6. ЦГ-.НТР, ДНЛМР.ТРЫ, АСИМПТОТЫ 129
923*. Доказать, что если диаметр гипероолы
х* _ /■* _ ,
пересекает эту гиперболу в точке (хъ у{), то сопряженный
ему диаметр пересекает гиперболу
сопряженную с данной, п точках
Х1 \ и (_ ауг _ Ьхх \
j
\ Ь ' а ]
924*. Пусть Мг и М., — точки пересечения двух сопря-
сопряженных диаметров с сопряженными гиперболами (с общим
центром О). Доказать, что:
1) площадь параллелограмма со сторонами OMt и ОМ2
одна и та же для любой нары сопряженных диаметроп;
2) разность кнадратов | ОМг ? — \ ОМг |2 одна и та же
для любой нары сопряженных диаметров.
925*. Найти условия, необходимые и достаточные для
того, чтобы две центральные линии второго порядка
йцх2 -f- 1апху -|- а2.гу2 + а = О,
bnx2 -I- 2bVixy + bi2y2 + b = О
имели один и те же оси симметрии. Система координат
прямоугольная.
926":. Доказать, что если общее уравнение линии второго
порядка относительно аффинной системы координат
аих2 -|- Ъапху -f- я,., V2 -]- '2ахх -\- 1агу -|- а = О
является уравнением параболы, то вектор \АЪ Л2], где Лг
^2 являются алребраическими дополнениями элементов aL
и а2 в определителе
| диаметРам параболы и направлен в сторону ее
6 П' С- Модемов, Л. С. Пархоменко

132 ГЛ. VI. ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА [ 933
933*. Относительно аффинной системы координат с мет-
метрическими коэффициентами gn, g12, £22 ее базиса парабола
задана общим уравнением
а1Хх2 + 2а12ху -\- a.i2y2 -f- 1ахх + %а2у + а — 0.
Доказать, чго:
1) параметр р этой параболы определяется соотношением
р=,.\/~—1\ (см. задачу 931);
2) пектор {Av A2\ оси параболы направлен в сторону
вогнутости параболы (см. задачу 926);
3) ось параболы определяется уравнением
а (апх + апу + ^х) + Р (аъ\.х + а12у -\- а2) = 0,
где вектор {a, PJ- определяется из услония перпендикуляр-
перпендикулярности его к вектору {а12, —ап] или {а22, — а12}. При этом
надо использовать условие перпендикулярности двух векто-
векторов в аффинной системе координат с метрическими коэффи-
коэффициентами glb £12, #22 ее базиса.
934*. Установить, какая линия определяется каждым из
следующих уравнений в аффинной системе координат с задан-
заданными метрическими коэффициентами g-u, g12, g22. Написать
каноническое уравнение линии и найти ее расположение.
£u— Si 2—Ь Й22 — 3;
2) 20x2 + 124xy 4- 22 l_y2 — 36x — 126y + 9 = 0,
3) 2xy- 4x4- 2^4-1=0, fti=4, ft2=l, fe=l;
4) х2-Зху4-У4-5--=0, gu=l, ft2 = -2, Й2=1;
-1 — 1
935*. 1) Найти условие, необходимое и достаточное длят
того, чтобы линия второго порядка
an*2 4" 2я]оЛ-_у -
заданная в аффинной системе координат с метрическими
коэффициентами gn, gvl, g22, была эллипсом,

§ 7 МЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ В АФФИННЫХ КООРДИНАТАХ 133
2) Найти длины а и b большой и малой полуосей эллипса
угловые коэффициенты kx и k2 его большой и малой осей.
И 936*. 1) Найти услопие, необходимое и достаточное для
того, чтобы линия второго порядка
апх2-\-Ча12ху-{-а22у2 = 1,
заданная в аффинной системе координат с метрическими
коэффициентами gn, gi2, из. была гиперболой.
2) Найти длины а и b действительной и мнимой полу-
полуосей гиперболы и угловые коэффициенты &L и k2 ее дейст-
действительной и мнимой осей.
3) При каком необходимом и достаточном условии гипер-
гипербола будет равносторонней? Чему равны ее полуоси?
937*. 1) Найти параметр р и вершину О' параболы
y2=.1qx, <7>0, заданной относительно аффинной системы
координат с метрическими коэффициентами gn, ^12> fe-
2) Рассмотреть частный случай
938*. Найти длины а и Ь большой и малой полуосей
эллипса и угловые коэффициенты /гг и k2 его большой
и малой осей, если эллипс задан уравнением х2-\-у2=1
относительно аффинной системы координат, при условии, что
939*. Найти длины а и b действительной и мнимой полу-
полуосей гиперболы и угловые коэффициенты kx и k2 ее дейст-
действительной и мнимой осей, если гипербола задана уравнением
х — у—-1 относительно аффинной системы координат, при
условии, что
940":. Написать уравнение пары главных осей централь-
центральной линии второго порядка
апх2 -1- 2а12ху + аг2у2 == а,
заданной относительно аффинной системы координат с мет-
метрическими коэффициентами gn, gl2, g22.

ГЛАВА VII •
ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА
§ 1. Сфера
Во всех задачах этого параграфа система координат nf
полагается прямоугольной.
941. Определить координаты центра и найти радиу^
каждой из следующих сфер: ■}
1) х2 + у2 + г2—!2x-\-4y — 6z = 0; 1
2) х $
3) x
4) д-
942*. При каком необходимом и достаточном условэд
уравнение • -и
апх2 + a2iy" + a33z2 + 2a23yz + 2a3lzx + 2а12ху + ^
+ 2аух + 2а2 V 4" %a3z + в =*?
является уравнением сферы (действительной, пулевой Щ
мнимой)?
943*. При каком необходимом и достаточном условй!
уравнение '%
Ах2 4- Ду2 4- Az°" 4-25-^ 4- 20у 4- 2Dz +e=o
определяет: 1) действительную сферу; найти в этом случж
ее центр и радиус г; 2) нулевую сферу; 3) мнимую сфер!
944. Составить уравнение сферы радиуса г, которгй
касается: 1) трех координатных плоскостей; 2) трех коЩ
динатных осей.
945. Найти центр и радиус окружности
946*. Дано уравнение сферы S: х2-\-у2-{-z2 = R2 и у
пение плоскости л: Ах-{-By -{-Cz-{-D=0.

§ I. СФ£РА 135
flf>2 )
1) При каком необходимом и достаточном условии пло-
-осп» л пересекает сферу 6? Предполагая это условие
исполненным, найти иепгр и радиус р окружности К, по
которой пересекаются сфера 5 и плоскость п.
2) При каком необходимом и достаточном условии пло-
плоскость я касается сферы 6? Предполагая это условие выпол-
выполненным, пайгн точку касания.
3) При каком необходимом и достаточном условии сфера
5 и плоскость л не имеют ни одной общей точки?
947. Составить уравнение плоскости, касающейся сферы
в данной па пей точке (х0, у0, z0).
■■v/948. Дана сфера х2-fу2 -f г2 + 6х-f 8у + 1 = 0 и пло-
плоское п. 2дг—J/ + 2—1 =0. Найти плоскость, касательную
к данной сфере, параллельную данной плоскости и располо-
расположенную гак, чтобы центр сферы находился между данной
и искомой плоскостями.'
949. Составить уравнения плоскостей, касающихся сферы
и параллельных плоскости
950*. Написать уравнения плоскостей, проходящих через
прямую
■*j-J3 _ у-1-1 _ г
— 1 "~ 1 ~~ "
и касающихся сферы
: хг -|-у _|_ >г _ 2Х - 4_у — 6г — 67 --= 0.
, 951*. Написать уравнение плоскости, проходящей через
т°чку (о, 2, 0) и касающейся сфер
хг+у2 + ^- \2x-2y-\- 2г 4-37 = 0,
л'2 +У + z* - 10х - 8г 4- 32 = 0.
952* с
0 "• ^остаинть уравнение сферы, проходящей через
х24-У=П, 2 = 6
и касающейся плоскости

136 ГЛ. VII. ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА [ 9Si
953*. Составить ураниение сферы, проходящей чере;
окружность
и через точку (х0, у0, z0), не лежащую на плоскости
954*. Составить уравнение сферы, проходящей черщ
окружность
х2 4- у2 -\-z2-\-2x — 4у + 4г — 40 = 0,
и через начало координат.
955*. При каком необходимом и достаточном услови
плоскость Ax-\-By-\-Cz-\-D — ti пересекает большой круй
сферы х2 4-у2 + z2 = R2, лежащий в плоскости Оху.
956. Плоскость, заданная уравнением Ах-\-By-\-Cz-\-D
= 0, пересекает сферу x2-\-y2-\-z2 = R2, но не проходи:
через ее центр. При каком необходимом и достаточном условш
точка (х0, у0, z0) лежит внутри шаропого сегмента, ограни
чепного сферой и плоскостью и не содержащего центр сферы
957*. Доказать, что если точка М = (х0, у0, z0) лежи
вне сферы
то квадрат длины отрезка касательной, заключенного межд;
точкой М и точкой касания, равен
4 + 2ахо
958*. Степенью точки М относительно сферы с центром
и радиусом R называется число а = ,СМ 2 — R2. Найти cw
пень точки 7И = (х0, у0, z0) относительно сферы
х2 4-У + z2 4- 2ах 4- 2Ьу 4- '2cz + d = 0.
959*. Найти геометрическое место точек, для каждой
которых степени относительно дпух неконцентрических сфер
f- z2 4- агх 4- Ь^у -f- c\z + ^i = 0,
равны между собой.
960*. Радикальной плоскостью дмух неконцентрическй
сфер называется плоскость, являющаяся геометрически

в I. СФЕРА 137
96S]
точек, степени каждой из которых относительно этих
сфер равны между собой.
1) Даны три сферы, центры которых не лежат на одной
мой. Доказать, что три радикальные плоскости этих сфер,
взятых попарно, проходят через одну прямую. Эта прямая
называется радикальной осью трех данных сфер.
2) Дапы четыре сферы, нептры которых не лежат
в одной плоскости. Доказать, что шесть радикальных пло-
плоскостей этих сфер, взятых попарно, проходят через одну
точку и что через ту же точку проходят четыре радикаль-
радикальные оси этих сфер, взятых по три. Эта точка называется
радикальным центром четырех рассматриваемых сфер.
961*. Найти геометрическое место центров сфер, пере-
пересекающих ортогонально две данные иекониептрические сферы.
962*. Найти геометрическое место центров сфер, пересе-
пересекающих ортогонально три сферы, не имеющих ни одной
общей точки, если их центры не лежат на одной прямой.
963*. Составить уравнение сферы, ортогональной четы-
четырем сферам:
х2 -\-у2 -f z1 = 9,
(х + 5J + (у - 1 J + (г + 2J = 53,
(х+1J 4-У + B + 3)^=39,
964. Даны уравнения двух действительных пересекаю-
пересекающихся сфер
I I ?2 I O/7 r" _!_ 2/?< У 4- 2c Z -4- i/ = 0
При каком необходимом и достаточном условии две такие
сферы ортогональны?
965*. Точка М0 = (х0, у0, z0) лежит вне сферы (х — аJ 4-
'~ \У ~ bJ -j- (г — сJz= n2. Составить уравнение плоскости,
содержащей окружность, вдоль которой конус с верши-
пойУ^0' описанный около данной сферы, касается этой сферы.
И66. Написать уравнение сферы с центром в точке (г0)
и Радиусом R.
ъг ^^и каком необходимом и достаточном условии
'"""• (r> n) = D и сфера (r — r0, r — rQ) — R2: 1) пересе-
2) касаются, 3) не имеют пи одной общей точки?
'Фи.м'}' ("'^ера ^ заДа"а уравнением {r~rQ, r — rQ) = R2;
?v задана уравнением r = rx + at. При каком пеобхо-

138 ГЛ. VII. ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА [
димом и достаточном условии прямая Я пересекает сферу i
касается сферы S, не имеет со сферой 5 ни одной общей точки
969*. Плоскость (г, n) = D пересекает сферу
(г , , г \ D2
\1 — ' 0> ' '0/ — 'V •
Найти радиус-вектор tj_ центра С и радиус р окружное*]
сечения. ''■}
970*. При каком необходимом и достаточном условц]
уравнение (г, г)-{-'2 (a, r) + D = 0 является уравнением де|
ствительной сферы? Предполагая это условие выполненный
найти центр С и радиус R сферы. -|
971*. Даны три некомпланзрных вектора ОА = а, ОВ=щ
ОС = с. Найти радиус-пектор г центра сферы, касающейш
плоскости ОАВ в точке О и проходящей через точку щ
972*. Даны радиусы-векторы г1( г2, г3 точек Мъ М2, АЦ
не лежащих в одной плоскости с началом О радиусов-вей
торов. Найти радиус-вектор г центра сферы, проходящей
через точки О, Мь М2, М3. :
973*. Даны три некомпланарпых вектора ОА = а, OB = k
ОС —с. Найти радиус-вектор г центра сферы, которая ка
сается прямой ОС в точке О и проходит через точки А и Й
974*. Начало О радиусов-векторов служит центром окруж!
ности радиуса р, плоскость которой перпендикулярна к едй
ничному вектору и. Найти радиус-вектор г=ОС центра
сферы, которая проходит через данную окружность и точку .
заданную радиусом-вектором ОА = а, при условии,
(а, п)фО.
§ 2. Цилиндры и конусы второго порядка *)
Александров, гл. XVIII, §§ 2, 3.
Моденов, гл. IX, §§ 13!, 135.
Постников, гл. 5, § 3, пп. 7, 8.
Во всех задачах этого параграфа система координ!
предполагается прямоугольной. • 1
975*. Написать уравнение круглого цилиндра радиусаУ
осью которого является прямая
х — ха __ у—у о __ z—za
а ~ Ь с '
*) См. также задачи 345 — 348.

8о ЦИЛИНДРЫ II КОНУСЫ ВТОРОГО ПОРЯДКА
984 1 s "'
139
070 Написать уравнение круглого цилиндра, проходя-
ч'ерез точку A, —2, 1), осью которого служит прямая
х _ у—1 _ г + 3
Т "~ 2 ~~ — 2 -
977*. Составить уравнение цилиндра, описанного вокруг
сферы .\г2-г_у2+^2 = г2> зная направляющий вектор {а, Ь, с}
образующих цилиндра.
v 978. Составить уравнение цилиндра, образующие кото-
которого касакпся сферы х2 -f- у2 + z2■— 1 и составляют равные
углы с осями координат.
979*. Написать уравнение цилиндра, направляющей кото-
которого служит окружность .*г2-}-_у2 = 1, 2 = 0, а образующие
состапляют с осями координат равные углы.
980*. 11апраиляющей цилиндра служит окружность х -\-
■-L у2 =г2, 2-—0, его образующие параллельны вектору
{0, р, у]. Написать уравнение этого цилиндра и привести
его к каноническому виду, пользуясь преобразованием прямо-
прямоугольных координат.
981:;:. Написать уравнение параболического цилиндра
2
с параметром/? =-q-, зная вершину О'==B, 1, —1) пара-
параболы, получающейся при пересечении цилиндра плоскостью,
перпендикулярной к его образующим, направляющий век-
вектор ej'r^j -( ^.( .Л оси этод параболы и направляющий
/ [2 1 21
вектор <V~~j3' ~ "я > ~~ з I касательной в ее вершине.
982. Доказать, что линия пересечения двух параболиче-
параболических цилиндров
У2 = Х, 22=1— X
лежиг на круговом цилиндре. Каково уравнение этого ци-
цилиндра?
983-\ Написать уравнение круглого конуса, вершина ко-
которого находится в точке {х0, у0, z0), ось параллельна
К10РУ [", Ь, с), а образующие составляют с осью угол ф.
9»4••. Составить уравнение поверхности круглого конуса,
ЦСрпшна которого находится в точке A, 2, 3), направляющий
ч[ор осп {2, 2, —1}, а угол образующих конуса с его осью
Рамен л
G '

140 ГЛ. VII. ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА [ 98$|
985*. Написать уравнение круглого конуса, касающегося!
плоскостей Oxz и Oyz но прямым Ох и Оу. ■■.{}
986*. Составить уравнение поверхности круглого конус»!
при условии, что все три оси координат служат образующими!
конуса, а ось конуса проходит в первом и седьмом октантах;!
составить также каноническое уравнение этого конуса. |
987*. Составить уравнение поверхности круглого конуса,'
касающегося трех плоскостей координат, зная, что осы его
проходит в первом и седьмом октантах; составить также кано-;.
ническое уравнение этого конуса. \
988*. Написать уравнение круглого конуса, для которого !
оси Ох и Оу являются образующими, а ось Oz составляет:
с осью конуса, проходящей в нервом и седьмом октантах, i
угол -^-. Написать также каноническое уравнение этого ко-;
нуса.
989*. Написать уравнение конуса с вершиной в точке
@, 0, с), описанного около сферы х2 -f-у2 -f- 22 = г2 (с > г).
990*. Найти острый угол между образующими конуса
х2-\-уг — 22 = 0, по которым его пересекает плоскость,'
5х+ 10у — 112 = 0. '1
991*. Написать уравнение конуса с вершиной B, 3, 6), j
зная, что плоскость Оху пересекает его но эллипсу, оси|
которого параллельны осям Ох и Оу, причем эллипс ка-;
сается этих осей координат.
992*. Написать уравнение конуса, вершина которого^!
находится в точке @, 0, а), а направляющей служит гипер
бола 2ху — а2, 2 = 0. Пользуясь преобразованием прямо-
прямоугольных координат, привести полученное уравнение конуса
к каноническому виду.
993*. Написать уравнение конуса, вершина которого
находится и точке @, 0, р), а направляющей служит пара
бола у2=2рх, 2 = 0. Пользуясь преобразованием пряма
угольных координат, привести полученное уравнение к
ническому виду.
994*. Написать уравнение конуса с вершиной в начале
координат, направляющей которого служит эллипс
х- у2 . г2 ^ х у z .
о? Ь'^ с2 ' а ' ь ' с
995*. Написать уравнение конуса, проходящего черй
прямые у = ±х, 2 = 0 и точку A, 2, 3), для которого ось 0J
является осью симметрии.

§ 3. ЭЛЛИПСОИДЫ, ГИПЕРБОЛОИДЫ, ПАРАБОЛОИДЫ 141
§ 3. Эллипсоиды, гиперболоиды, параболоиды *)
Апександров, гл. XVIII, §§ 4, 5.
Моденов, гл. IX, §§028— 130, 132-134.
Постников, гл. 5, § 3, пп. 1 — 3, 5, G.
Во всех задачах этого параграфа система координат
предполагается прямоугольной.
996*. Написать уравнение параболоида вращения с пара-
параметром /? = 6, вершина которого находится в первом октанте,
зная, что плоскость Оху пересекает параболоид по окруж-
окружности с радиусом 3, касающейся обеих осей Ох и Оу.
997*. Написать уравнение параболоида вращения с пара-
параметром /? —-о-> вершиной A, 0, —1) и направляющим век-
B 1 2}
тором оси вращения |3' 3' —Зг
998*. Написать уравнение параболоида вращения с пара-
параметром р, с вершиной в точке О' = (х0, у0, z0) и направ-
направляющим вектором оси и--{а, Ь, с].
999*. Эллипс с полуосями а и Ь, а^>Ь, с центром
в точке О' —(х0, у0, z0) и направляющим вектором большой
оси и— [а, р, у] вращается около своей большой оси. На-
Написать уравнение полученного эллипсоида вращения.
1000*. В плоскости Oxz- дана парабола x2 = 2pz, _y = 0.
По ней перемещается вершина другой параболы с парамет-
параметром q, плоскость которой остается все время параллельной
плоскости Oyz, а ось — параллельной оси Ог. Составить
уравнение поверхности, описываемой подвижной параболой.
1001*. Установить, пересекает ли плоскость
эллипсоид
1002*. По какой линии плоскость х+у — z-\- 3 = 0 пе-
пересекает дпуцелостный гиперболоид x2+y2-z2=— 4?
ЮОЗ. Определить вид и расположение линии пересечения
гиперболоида
и „ 9 ■ 8" ~ 2 """
и плоскости jc=9
*) См. также задачи 349 — 352.

142 ГЛ. VII. ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА [1004'
1004. По какой линии плоскость х = а пересекает одно-
полостпый гиперболоид
х- л. У'1 _ z" - р
аг "Г ъ-, 6-> '
1005*. Написать уравнение плоскости, проходящей через
ось Ojc и пересекающей однополостный гиперболоид
х" л.у- _ г~ == 1
а2 "Т~ /;2 с2
по паре прямых. Найти эти прямые.
1006. Написать урапнеиие плоскости, параллельной пло-
плоскости Oyz и пересекающей однополостный гиперболоид
9 4
по гиперболе, действительная полуось которой равна 1.
1007*. Доказать, что проекция эллипса, получающегося
при пересечении плоскостью параболоида вращения, на пло-
плоскость, перпендикулярную к оси параболоида, есть окруж-
окружность.
1008*. Найти условие, необходимое и достаточное для
того, чтобы плоскость г — ах-f-Ьу-\-с пересекала параболоид
вращения x2-\-y2 = 2pz (p>0) но действительному эллипсу.
1009*. По какой линии пересекаются гиперболический
параболоид
9 4 ~ Z
и плоскость
2дг+Зу-6 = 0?
1010. Даны однополостный гиперболоид ~ 4- ^~ — Д-= 1,
а2 ' Ьг с2
конус Дг -\- -у~ — -'2- = 0 и дпуполостный гиперболоид -^+
-f •!,- — V = —'• ^ каком отношении находятся соответст-
нуюгцпе полуоси эллипсов, получающихся » сечении одиопо-
лостиого гиперболоида и конуса плоскостями, касательными
к двуполостному гиперболоиду в его вершинах?
1011*. Доказать, что если и и v — полуоси эллипса, полу-
получающегося при пересечении эллипсоида
ч

ч <j 3. ЭЛЛИПСОИДЫ, ГИПЕРБОЛОИДЫ, ПАРАБОЛОИДЫ 143
плоскостью, проходящей через его центр, то
a ~Sz и 2= b Ss v 5= с.
1012. Написать уранпепие эллипсоида с вершинами @, 0, 6)
/() о, 2), зная, что плоскость Оху пересекает его по
окружности радиуса 3.
1013. Написать уравнение двуполостного гиперболоида
с вершинами @, 0, zL б), зная, что плоскости Oxz и Oyz
являются его плоскостями симметрии и пересекают его но
гиперболам, асимптоты которых образуют с осью Oz углы,
л я
соответственно ранные -g- и у.
1014. Написать уравнение эллиптического параболоида
с вершиной B, 3, G) и осью, параллельной оси Oz, зная, что
плоскость Оху пересекает его по эллипсу, оси которого
параллельны осям Ох и Оу, причем эллипс касается этих
осей координат.
1015. Написать уравнение гиперболического параболоида,
проходящего через гиперболу
зная, что его плоскости симметрии совпадают с дпумя пло-
плоское: я'ш координат Oxz и Oyz и что третья координатная
плоскость пересекает его по паре прямых.
1016. Написать уравнение эллиптического параболоида,
зная, что плоскости
х = а, у — b
пересекают его но параболам с вершинами (а, 0, с) и @, Ь, с),
ii.'iocKocri. Оху касается параболоида в его нершине, а пло-
плоскости Oxz и Oyz являются его плоскостями симметрии.
1017. Написать ураинения гиперболического параболоида,
проходящего через точку A0, 6, 11), зная, что плоскости
Ух г и ()у2 являются его плоскостями симметрии,, а пло-
плоское п, Оху пересекает его по паре прямых, углы между
которыми, содержащие ось Ох, равны -„л-.
1018*. Составить уравнение эллипсоида, оси которого
'un-Udior с осями координат, если известно, что он ирохо-
J:'< 'Щ\-л окружность х2-fУ2 + г2 — 9, z--=x и точку C, 1, 1).
J'• пгтисать уравнение однополостпого гиперболоида
ivTiiir,.,,,,, полуосями, проходящего через прямые y = zhx,

144 ГЛ. VII. ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА f 102IM
1
Z--0 и через точку A, 2, 3), для которого ось Oz является'
осью симметрии. |
1020*. Написать уравнение гиперболического параболоида,;'
проходящего через прямые y = z*zx, z~0 и через точку ■
A, 2, 3), для которого ось Oz является осью симметрии.
1021*. Показать, что прямые, по которым плоскость Оху'
пересекает гиперболический параболоид >
являются его осями симметрии. . .
1022. Написать уравнение поверхпости второго порядка,
проходящей через три окружности
=9, z=\\
25, z=2,
и привести полученное уравнение к каноническому виду.
1023*. Составить уравнение поверхпости второго порядка,
зная, что она пересекает плоскость Оху по окружности
X2_|_ys_i2x_ 18Н-32 ===(), z = 0, а плоскости Oxz и
Oyz—uo параболам, оси которых параллельны положитель-
положительному направлению оси Oz, причем параметр параболы, лежа-
лежащей в плоскости Oxz, равен 1.
1024*. "Найти геометрическое место точек, отношение
расстояний которых до двух скрещивающихся прямых есть
одно и то же число к.
1025*. Даны две скрещивающиеся прямые AR и А'В'.
Определить вид поверхности, состоящей из прямых СС, сое-
соединяющих точки С и С прямых А/3 и А'С, для которых
Тс __ 'А 'С'
АИ ~ А'В' '
1026*. Написать уравнение поверхности второго порядка,
пересекающей плоскость Оху по параболе, а плоскости Oxz
и Оуг по окружностям радиуса г, касающимся положитель-
положительных полуосей координат. Пользуясь преобразованием прямо-
прямоугольных координат, привести полученное уравнение к кано-
каноническому виду.
1027. Дан эллипсоид
Х- V2 ?2
а- т Ь2 ^ с2

§ 3. ЭЛЛИПСОИДЫ, ГИПЕРБОЛОИДЫ, ПАРАБОЛОИДЫ 145
и ПЛОСКОСТЬ
L + f- 4- -г- = 0.
а ' Ь ' с
Написать уравнение эллипсоида, проходящего через линию
пересечения данного эллипсоида и плоскости, оси которого
были бы параллельны осям данного эллипсоида и имели бы
длину, вдвое большую, чем оси данного эллипсоида.
1028. Доказать, что если плоскость
пересекает эллипсоид
~tf + -j-2 + "су— *>
то уравнение
при всех значениях К определяет эллипсоид, оси которого
параллельны осям данного эллипсоида и проходят через
линию пересечения данного эллипсоида и плоскости.
1029. Найти геометрическое место фокусов гипербол,
получающихся при пересечении гиперболического параболоида
плоскостями, параллельными плоскости Оху.
1030*. Доказать, что параболоид вращения и круглый
Цилиндр, оси которых параллельны, пересекаются по эллипсу,
большая ось которого лежит в плоскости, проходящей через
оси данных поверхностей, а малая ось перпендикулярна
к этой плоскости.
1031*. По какой линии пересекаются однополостный
1 "Черболомд
и сфера AT+j4-2=a2?
2'. Найти линию пересечения поверхностей
x2-y2=2az.

146 ГЛ. VII. ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА
1033*. Доказать, что эллиптический параболоид -~|
+ \f.~ = ^z и сфера x2-{-y2-{-z2 = 50z пересекаются по
окружностям. Найти центры и радиусы этих окружности
1034*. Доказать, что линия пересечения параболически!
цилиндра z2 = x-\-y с эллиптическим параболоидом враи|
пия x2-\-y2 = z лежит на сфере.
1035*. По какой линии пересекаются эллиптический
болоид
У + У-2*' Р>9>0,
и сфера
" Vz2— '2p^ S
1036. По какой линии пересекаются два эллипсоида
j-2 1J ?2
а? "т ft2 ' с2
j-2 1J ?2 „2 V2 ?2
а? "т ft2 ' с2 ' б2 ' а2 ^ с2 ~~
где а
1037*. Написать уравнение эллипсоида с полуосямй
2, 1,-» для которого плоскости x-\-y-\-z—l—0, x—y
— 2z—0, х— у-\-1=0 служат плоскостями симметрии, щ
чем большая ось эллипсоида лежит на линии пересечен
первой и второй плоскостей, средняя ось лежит па лйя
пересечения первой и третьей плоскостей, малая ось леж
на линии пересечения второй и третьей плоскостей.
1038*. Составить уравнение поверхности второго порЩ
проходящей через точки @, 0, 0), A, 1, —1), @, 0, 1), |
которой плоскости
являются плоскостями симметрии. Написать каионичес^
уравнение этой поверхности.
1039*. Составить уравнение поверхности второго
для которой плоскости
= 0, 2X-V — Z — 2 = 0, V — z-M
являются плоскостями симметрии и которая проходит че||
точки A, 0, 0), @, —I, 0), A, 1, —1).
1040*. Написать уравнении поверхности, состоящей :
прямых, по которым пересекаются взаимно пернендикулярШ
плоскости, проходящие через две данные прямые.

ТПП И РАСПОЛОЖЕНИЕ ПОВЕРХНОСТИ. ИНВАРИАНТЫ 147
§ 4. Определение типа и расположения поверхности
второго порядка по ее общему уравнению.
Применение инвариантов
Александров, гл. XIX, § 5; гл. XX, §§ 6, 7.
Моденов, гл. XII, § 166; Дополнение II, п. 5.
Во исех задачах этого параграфа, где нет указания на
характер системы координат, координатная система предпо-
предполагается прямоугольной.
1041. Определись вид поверхности и ее расположение
отпосшельпо начальной системы координат, пользуясь пре-
преобразованием лепой части ее уравнения:
2)
3)
4)
1=0;
+ З^2 - 6х + Ау — 1 = 0;
— влг + 4у—1=0,
;>.vz ~ 3 va — Зг2 - 6х + 4у + Az + 3 = 0;
о) 4л-2 -i-j-2 - Аху — 36 = 0.
1042. Определить вид и расположение поверхности, поль-
зуясь переносом системы координат:
2) 4.v2-j<2-224
3) :u-2-y4-3>2_ 18x+
4) (>,v2 + (iz2 + ох + 6у + 30z - 11 = 0.
1043*. Определить вид поверхности и ее расположение
относительно системы координат, пользуясь поворотом системы
координат вокруг одной из ее осей: 1) z2 = 2xy; 2) z = xy;
•i) г ^ З.г + Ау; 4) z2 = Зх2 + Аху; 5) г2 = х2 + 2ху +у2 + 1.
1044*. Определить вид поверхности второго порядка и
е Расположение относительно исходной системы координат,
ользуись переносом и поворотом системы координат вокруг
одпоп па ее осей:
1) -v2 + 4_у2 + 5 >2 +4.^ + 4^0;
2) -va + 2а- + Зу + Лг + 5 = 0;
8' Сг"-~^2+2.Гу+_у2+1.
являо -'■'•оказать, что каждая из следующих поверхностей
1Ся поверхностью вращения, определить ее вид,

148
ГЛ. VII. ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА
[
написать каноническое уравнение и найти расположен
поверхности относительно исходной системы координат:
2) 5х2 + 8у2 + 5z2 — \ху + Ayz + 8zx — 6х + 6у +
+ UZ+10--
3) 2yz + 2zx + 2xy + 2х + 2у + 2z + 1 = 0;
4) Зх2 + Ъуг + 3z2 + 2ху - 2xz - 2yz - 2х ~-2у —
-2z-\ =|
5) 2х2 + 6у2 + 2z2 + 8xz — 4х — 8у + 3 = 0;
6) 5л-2 + 2у2 + oz2 — \ху — Ayz — 2zx + 1 Ox — 4у +
7) x2-\-y2-\-z2 — ху — yz — zx — 1 =0;
8) 4х_у 4- 4_уг + 4^х -\-4х -\-4у -\- 4z -\-'Л = 0.
1046. Определить вид каждой из следующих поверхн
стей, написать ее каноническое уравнение и найти каноя
ческую систему координат:
2) <
3) 7а;2 + 7у2
4) 4дг2 4- 4j>2 - 8z2 - 1 Оху 4- 4^z 4"
4-42Х— 16
5) 2а;2 — Ту2 - \z2 4- 4а;_у 4" 20yz —
4-2х— \0y-2z— 1=1
- 8yz —
■ 12у 4-12z — 90 =i
7)
8)
9) х24-5У4-224
10) x2 - 2y2 4- z2 4-
11) 2x2
4- 2гх - 4x + ву — 2z + 3 =
2_у24-6гх-
4- 4yz - 1 Ozx +

1048 I
* ,, ТИП И РАСПОЛОЖЕНИЕ ПОВЕРХНОСТИ. ИНВАРИАНТЫ
149
1047*. С помощью инвариантов
Л = «11 + «22 + «33'
Оц О] 2 | «22 «23
«■21 «22 «32 «:13
а
I -"
h
«11 «12 «13
«21 «2? «23
«31 «32 «33
h
«11 «13
«31 «33
«12 «13 «1
«21 «22 «23 «2
«31 «32 «33 «3
«1 «2 «3 а
найти условия, необходимые и достаточные для того, чтобы
поверхность второго порядка, заданная общим уравнением
-L-
= 0,
была: 1) эллипсоидом; 2) мнимым эллипсоидом; 3) мнимым
конусом; 4) однополостиым гиперболоидом; 5) двуполостным
гиперболоидом; 0) конусом; 7) эллиптическим параболоидом;
8) гиперболическим параболоидом.
1048*. Доказать, что: 1) следующие функции:
'л —
коэффициентов многочлена второй степени с тремя перемен-
переменными
2 + аг.2у2 -f- аазг2 -|- 2а12ху + 2а23_у2 + 2аЪ1гх +
-f 2a2y -\- 2a3z -{-. а
«11 «12 «1
«21 «2
«1 «2
г*
>i - ■'
2 «2
а
«J1 «1
«1
а
«22 «23 «2
«32 «33 «3
#2 #з «
Г
«22 «2
Я2 «
4-
1
^
г
«11 «13 «1
«31 «33 «3
«1 «3 «
«33 «3
3 «
являются инвариантами однородного ортогонального преоб-
преобразования переменных;
2) It является инвариантом неоднородного ортогональ-
ортогонального преобразования переменных, если
°11 «12 «13 «1
«21 «22 «23 «2
«31 «32 «33 «3
«1 «г о3 а
= 0,
аП «12 «1.1
= 0;
«21 «22 «23
«31 «32 «33
г яиляется инвариантом неоднородного ортогонального
"Реобразования переменных, если /3 = /4 = 0 и
«11
«21
«12
«22
«11
«31
«13
«33
«22
«32
«23
«33

156
гл. vii. поверхности второго порядка
Функции /д и /.f называются семиинвариантами многочле!
шорой степени с тремя переменными относительно ортог
нального преобразования переменных.
1049*. С помощью инвариантов 1Ь /а> /3, 1^ I*, /?
условия, необходимые и достаточные для того, чтобы повер
ность второго порядка, заданная общим уравнением, б^
1) эллиптическим цилиндром; 2) мнимым эллиптическим цили!|
ром; 3) парой мнимых пересекающихся плоскостей; 4) $
болическим цилиндром; 5) парой действительных пересекщ
щихся плоскостей; 6) параболическим цилиндром; 7) пар'*:
действительных параллельных плоскостей; 8) парой mhhmi
параллельных плоскостей; 9) парой совпадающих плоскосте
1050*. Доказать, что если /3 = У4 = 0, то приведен»
уравнение поверхности второго порядка имеет пид
1) к1х'*+Хгу'9~ + -1.*-=0, если 12ф0;
'2
здесь Ял и Я2 —отличные от нуля корни характеристической
уравнения;
2) [lX'*±2 |А_-7Ау=0, если /2 = 0, Г$ф0;
3) ^'2 + -у- = 0, если /2=0, /,* = 0, ЬфО.
1051. Доказать, что следующие уравнения определяю
поверхности, распадающиеся па пару плоскостей, и |
эти плоскости:
1) y2 4- 2ху 4- 4xz 4- 2yz — 4х — 2у = 0;
2) х2 4- 4.У2 4" 9^2 — 4ху 4- влгг" — 12yz -—
— х 4- 2у — Ъг — б =■
_ 4уг 4- Ох — 20у—\4г — 24 =|
4- 4гх 4- 4лг — 6у 4- 2z - 5 ==|
Система координат аффинная. i
1052. Определить вид поверхности, пользуясь прив^Д^
нием левой части ее уравнения к .сумме квадратов: А
2 1
2),

& 1 ТИП И РАСПОЛОЖЕНИЕ ПОВЕРХНОСТИ. ИНВАРИАНТЫ
']) х- +у~ - 3^2 - <2хУ — 6xz - вУг + 2х + 2У + ^г = 0;
4) л - Ь'2 + ~'2 + АхУ - Hxz -
— Ayz— 14х —4y-f 14z+ 16 = 0;
5) 2л-'2 +J'2 + <2~2 — 2-^ — 2уг + дг — 4_у — Зг + 2 = 0;
6) -V2 - ^J'2 + ~'2 + 4jfy — 1 Oxz + \yz + х +у - z = 0;
7) 'J-v- +.v2 -h 2г2 - 2jcj/ - 2уг + 4jc - 2_у = 0;
> 10
- 10z-l=0;
9) л + v2 + 4^2 + 2jf>- + 4xz + tyz - 6z + 1 = 0;
10) 4.r>' + 2.V + 4_y —6г —3 = 0;
11) xH--^+J^ + 2x + 2y-2z = 0.
Система координат аффинная.
1053:;:. Найти наибольший угол ф между образующими
конуса :2-\-'2ху -{-'2xz-{- 2yz== 0, а также углы а, |3, у>
которые cocvau.T>ier его ось с осями координат.
1054. Выразить с помощью инвариантов условия, необ-
необходимые и достаточные для того, чтобы общее уравнение
второй степени определяло параболоид вращения, и найти
его пчоамегр.
Юио*. С помощью инвариантов выразить условия, необ-
необходимые и достаточные для того, чтобы общее уравнение
пгорой степени определяло гиперболический параболоид
с ранными параметрами главных сечений, и найти эти параметры.
1056*. 1) С помощью инвариантов найти условие, необ-
необходимое и достаточное для того, чтобы общее уравнение
второй степени с тремя неизвестными определяло однополо-
CTiiufj пли днуполостпый гиперболоиды с равными полуосями.
2) Пользуясь инвариантами, написать канонические урав-
уравнения ыгпх гиперболоидов.
1057:-:. При каком необходимом и достаточном условии
Дна гиперболоида имеют общий асимптотический конус?
1058*. Дана поверхность второго порядка
) Доказать, что при всех значениях параметра а эта
т ч ■''Ч"()С1Ь янтяеiся поверхностью вращения; найти паправ-
' ■1|(^uui пек гор ео 0С[1 прицепил
гор ео 0С[1 прицепил.
-) Для каких значении параметра а поверхность будет
М.ПП1С0ПД0М? ИИ и j

152
ГЛ. VII. ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА [
1059*. Доказать, что если общее уравнение второй сте
пени F (х, у, г) = 0 определяет гиперболоид (однонолостны!
или двунолостный), то уравнение F (х, у, г-)—;1- опредё
ляет его асимптотический конус. л
1060*. Определить k так, чтобы поверхность х2 — 2jey-|
-f- kz2--0 била конусом вращения, и найти ось вращения
1061*. Доказать, что для того, чгобы в конус вгорог|
порядка можно было вписать трехгранный угол, ребра котф
рого попарно перпендикулярны, необходимо и достаточней
чтобы /х = 0. Доказать также, что к этом случае всяка|
плоскость, проходящая через вершину конуса и перпенд^
кулярпая к любой его образующей, пересекает конус п|
двум взаимно перпендикулярным прямым. |
1062*. Пусть уравнение второй степени F(х, у, z)=|
определяет гиперболоид. Найти условия, необходимые j
достаточные для того, чтобы точка (х0, у0, z0) лежай!
в области, ограниченной гиперболоидом и его асимптотиче
ским конусом. Щ
1063*. Найти условия, необходимые и- достаточные д^
того, чтобы точка (х0, уи, zu) лежала внутри эллиптической
цилиндра, определяемого уравнением второй степей!
F{x, у, г)=г.0. j
1064*. Составить уравнение конуса второго порядк|
пересекающего плоскость Оуг но окружности _у2-|-г2 = 2rj
лг = 0, а плоскость Oxz по параболе 22 = 2рх, у = 0. 1
1065*. Составить уравнение конуса второго порядка, щ
котором лежат окружности I
уз + z% - 2by = 0, х = 0;
x2 + z2-2ax = Q, 'y-=0.
1066*. 1) Составить уравнение поверхности второН
порядка, пересекающей координатные плоскости по гипербола^
2) Определить вид этой поверхности. 3
3) Привести ее уравнение к каноническому виду пр^
a = b = c=l. j
1067*. 1) Составить уравнение поверхности второго
порядка, пересекающей плоскость Оху по паре прямыя
а плоское ги Oxz и Оуг но окружностям радиуса г, "к^|

4 Т11П II РАСПОЛОЖЕНИЕ ПОВЕРХНОСТИ. ИНВАРИАНТЫ 153
ся оси Oz в начале координат и расположенным в иоло-
""хельных полуплоскостях.
2) Привесш полученное уравнение к каноническому виду.
1068*. Составить уравнение параболоида, проходящего через
,е прямые Х---0, 2 — 2 и у = 0, г — —2 и через две точки
?q 1_ —1) и A, —1, 0).
' 1069*. Найти геометрическое место оснований перпенди-
перпендикуляров, опушенных из центра эллипсоида на плоскости, про-
проходящие' через концы трех попарно перпендикулярных диа-
метрон эллипсоида.
1070*. 1) Дан многочлен
^2
апх
-1- а,2уг + a
33z2 + 2a2ayz + 2а31гх
12-гу -j- 2a1.v -\- 2агу +
и невырожденная квадратичная форма
Доказать, чго следующие функции коэффициентов данного
многочлена и кнадрагичиой формы:
«И 2 3 «1
Я21 2 3 
1 2 3 «3
«1 «2  а
§11
^23
«12 3


"
23
1 «32 3
§11
§21
§23
§33
§11 «12
§21 2
§31 «32
«13
«23
«33
+
«II
«21
«31
§11
§21
§31
§12
§22
§32
§12
§22
§32
«13
3
«33
§13
§23
§33
+
«11
«21
«31
«12
2
«32
§13
§33
§11 §12
§21 §22
§31 §32
3
3
3
+
§11
§21
§31
§11
§21
§31
«12
2
«32
§12
§22
§32
§13
§23
§33
§13
§23
§33
J_
«11
«21
«31
§12
§22
§32
§13
§23
§33
ЛИ|Я'!Ля10ТСя инвариантами невырожденного неоднородного
'емкого преобразования переменных х, у, г.

154
ГЛ. VII. ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА
2) Функции
8П «12 '
г*
831 а32 «33 «3
О я2 а3 а
«11 #18
°21 Й22
«.■И 8X2
а, 0
fin 8
«13
«23
"ад
«3
«1
о2
«3
а
12 gl3
g.-n 8я% 8
«И «12 gl3 Of,
«21 «22 ft>3 «г!
«1
0
а
gll ffl2 «13 «I
g21 Я22 «23 «2
Й31 g32 «33 «3
0 0 a3 a
«11 gl2 glS
«21 #22 fl'23
8зя «з
я,
О О
gli «12 gl3 «1
gai O22 g23
g.11 «32' &З.Э
0 a2 0
gn
g31
i= gis
22 g23
являются инвариантами невырожденного однородного лине
ного преобразования переменных х, у, г.
3) Если /4 —4 = 0. то Iff является инвариантом невырод
денного неоднородного линейного преобразования перемё)
ных х, у, z. Если /8 = /4=*/а = /£=г 0, то /* является инварий
том невырожденного неоднородного линейного преобразо]
иия неременных х, у, г.
4) Приведенные уравнения поверхностей второго порядк
заданных общим уравнением
0,цХ'1 -\- О-22У2 -\~ «ЗЗ^2 ~Г" '^а 12ХУ ~Г" ^a2ZyZ ~Г"
относительно аффинной системы координат с метрически
коэффициентами gy, записыпаются в следующем виде:
/2 + Я32''3+-4- = 0, если 13ф0;
'3
'2 ± 2 |/ - А г'= 0, если 4 = 0, /4 =
'4 + -/- = °. если 4 = °>>4 = °> 4=^
±21/— - :)-у' = 0, если
Г '1
/3 = 0, /4 = 0, /2 = 0, Щ'фО;
+ 7/-==0, если /, = 0, /4 = 0, /2 = 0, 4* = 0,
'1
;1

§ 5 КАСАТЕЛЬНАЯ ПЛОСКОСТЬ 155
1071]
. у^ ^ — отличные от нуля корни характеристического
уравнения
«и —
^31 — \ъ 31 ^32 ~~ ^й 32 ^33
а-ц — A.g2i «22 —^gaz ai3 — 'Ke«, — 0.
к 5. Касательная плоскость. Прямолинейные
образующие
Алекса п др о в, гл. XVIII, § 6; гл. XIX, §§ 3, 4.
Моденов, гл. XI, § 136, гл. XII, §§ 160, 161.
Постников, гл. 5, §3, пи. 4, 5.
1071. Составить уравнение касательной плоскости к каж-
каждой из следующих поверхностей в лежащей на поверхности
точке (л;.,, Уф z0):
»%■.-%-+$■=и
3) x'z - "J zJ ■-—l-
•J) -v" - '/2 ='^-
j P 7 '
о) х~ ~ у~ ■' 9 г.
; я -/ "'""*'
1 Л-'"" У" 2'^
()) и= -|- ..у — ., ==--0 (при условии, что точка (х0, у0, z0)
"е соипадаст с вершиной конуса).
1072. Найти условия, необходимые и достаточные для
того, чтобы нераспадающаяся поверхность второго порядка
- 2atx -\- 2а2у -\- 2а3г -\- а = 0
касплась плоскости Оху в начале координат.
*- Доказать, что касательная плоскость к поверхности
порядка пересекает поверхность по паре прямых (дей-
*"^' М1|ПМЫХ или совпадающих).
• Доказать, что любая плоскость, проходящая через
'"1"'1"^10 образующую однополостного гиперболоида или
D° 1|ССКОГО 11аРаболоида (не параллельная особому
)ленню), касается поверхности.

156 ГЛ. VII. ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА [
1
1075. Написагь уравнение касательной плоскости к элли
сойду
х2 v2 , г- _^
32 г 18 '" 5 '
проходящей через точку A2, —3, —1) и параллельной оси С
1076. Написать уравнение плоскости, проходящей чер
прямую
х—2 _ .у —3 г —2
2 "~ — 1 """ 0
и касающейся эллипсоида
Г- V2 7"
Л- - -U ■ ■ — 1
16 ^ 12 г 4 "
1077. Составить уравнение плоскости, проходящей че{
прямую
х— 15 _ у _ г— И
б~ "" 2 ~"^Т~
и касающейся гиперболического параболоида
1078. Составить уравнение касательной плоскости к Ц
верхпости
2хг + 5_уа + 2z2 - Ixy + Qyz — Ax—y—2z = О,
проходящей через прямую .:
Ax-oy=Q, г—1=0. !
1079. Найти касательную плоскость к поверхности
параллельную плоскости х-\-2у-\-2 = 0.
1080. Найти касательную плоскость к двуполостному Jj
перболоиду ■_
Х _ I- У — - 1
2,1. f> )
bz с"
отсекающую на осях Ох и Оу отрезки, соответственно Ра
ные а ж Ъ.

S 5 КАСАТЕЛЬНАЯ ПЛОСКОСТЬ 157
1087 1
1081. Найги касательную плоскость к однополое гному
гиперболоиду %+%-%= 1> отсекающую на осях Ох и
отрезки, соответственно равные а и Ь, и найти прямые,
которым эта плоскость пересекает гиперболоид.
П 1082 Написать урапнение касательной плоскости к эллип-
х2 у2
тическому параболоиду --■ -\-~- = 2z, отсекающей на осях Ох
и Оу отрезки, соответственно равные ряд.
1083*. Дан гиперболический параболоид
х2 У2 9,
и плоскость
3 0
Написать уравнение плоскости, параллельной flatiHoft и пере-
пересекающей параболоид но паре прямых; найти эти прямые.
1084. Найти точку пересечения прямолинейных образую-
образующих однополостного гиперболоида
по которым его пересекает плоскость, параллельная плоско-
плоскости х-\-у— z=0, и определить угол между этими образую-
образующими.
1085. Найти точку пересечения прямолинейных образую-
образующих гиперболического параболоида
X —у — 6Z,
по которым его пересекает плоскость, параллельная плоско-
сш х— у-\-2-\-1 =0, и определить угол между этими обра-
образующими.
086. Найги угол ф между прямолинейными образующими
однополостпого гиперболоида
черсз ТОЧКУ ('■ 4> 8)> беРя иа этих образую-
11а11Равлепные ог 'данной точки к горловому
1087 * п
■• Дан однополостный гиперболоид
X2 f Z2
4 "|"9 ~ 16

158 ГЛ. VII. ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА
Через его образующую
х — 2 у г
0~ ~ 3 в= 4
и точку @, 3, 0) проведена плоскость. Найти вторую пр
мую линии пересечения этой плоскости с гиперболоидом.
1088*. Доказать, что ортогональные проекции прямол
нейпых образующих одпополостного гиперболоида
х* у* f __ -.
о." о с~*
и гиперболического параболоида
Р Я ~
на плоскости координат касаются сечений этих поверхгв
стей координатными плоскостями (для гиперболического на
болоида рассматриваются только проекции на плоскости Оущ
Охг).
1089. Найти прямолинейные образующие поверхности '
х2 -(-У + г2 + 2ху — 2xz —yz + 4x + 3y — oz + 4 = 0,
проходящие через точку (—1, —1, 1).
1090*. Дан гиперболический параболоид
'i
Через его образующую 1
-*- = ■■?■■- = — "|
\
и точку A, 1, 1) проведена плоскость. Найти вторую пр|
мую линии пересечения параболоида с этой плоскостью. ';
1091*. Доказать, что если уравнение |
аих2 4- а22У 4- азяг2 + %а2Ъуг -\- 2а31?х 4- 2а12ху 4- '
4- 2ахх 4- 2а2у -\- 2a3z -\-a=?\
определяет параболоид, то уравнение
2ахх 4- 2агу 4- 2a3z + а = 0
является уравнением касательной плоскости к это!
параболоиду.
1092. Доказать, что направляющие векторы прямолинё
пых образующих поверхности второго порядка, нроходяЩ]

ucn1 § 5. КАСАТЕЛЬНАЯ ПЛОСКОСТЬ 159
через точку М, принадлежат конусу асимптотических направ-
чсппП и касательной плоскости к поверхности в точке М.
1093*. 1) Найти координаты направляющих векторов
прямолинейных образующих однополоегпого гиперболоида
_*Е . У2 _ г'2 - 1
проходящих через точку (х0, у0, z0) гиперболоида.
2) Рассмотреть частный случай, когда точка принадлежала
горловому эллипсу поверхности.
1094. Найти направляющие векторы прямолинейных обра-
зующих гиперболического параболоида — = 2г, прохо-
проходящих через точку (х0, у0, z0) этого параболоида.
1095*. Найти геометрическое место точек, лежащих на
гиперболическом параболоиде
Р Я
через каждую из которых проходят две взаимно перпенди-
перпендикулярные образующие.
1096*. Доказать, что нормали к невырожденной липей-
чаюМ поверхности второго порядка, проведенные в точках
прямолинейной образующей, составляют гиперболический
параболоид.
1097*. Доказать, что конус, образующие которого парал-
параллельны нормалям к поверхности второго порядка в точках
се плоского сечения, есть конус второго порядка.
1098*. Написать уравнение поверхности, состоящей из
прямых, пересекающих три прямые:
-v---2, y = z; _у = —1, z = '2X; y=\, z = —2x.
1099*. При каком необходимом и достаточном условии
плоскость
Ах + Ву + Сг + О = 0
касается невырожденной поверхности второго порядка
ni i-v2 -|» о2.,_у2 _|_ азз2.2 _}_ 2a.23yz + '2a31zx + 2a12xy +
+ 2ахх + 2а2у+ 2asz + a = 0?
1100*. Доказать, что любая плоскость пересекает одно-
П°лос1!1ыИ гиперболоид, гиперболический параболоид и конус
В|<фого порядка.

160
ГЛ. VII. ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА [ Ц
1101*. При каком необходимом и достаточном условй
плоскость
пересекает каждую из следующих поверхностей:
> а* + Ъ°- Л &
у2 1,2 у2
2) ■*- + ■£--*=-v>
3> Xp-+yi=2z ip>0'q>0)-
1102*. При каком необходимом и достаточном условн!
плоскость
касается каждой из следующих поверхностей:
1)
2)
3)
4)
5)
X2
я2
x"
"я2""
X2
Or
х-
p
X2
p
L У% +
' 62 ^
1" b2" ~
^ b2
, y«._,
7
_ У* _
zB
~c"-'~
г2
C2"==
г2 _
с2
2z;
2г.
i;
i;
—
. 1103*. Доказать, что плоскость, касательная к асимптсг
тическому конусу центральной поверхности иторого порядка
пересекает поверхность по параллельным прямым, снимет
ричным относительно прямой, по которой происходит каса
пне плоскости с конусом. :
§ 6. Центр. Диаметральные плоскости; плоскости
симметрии и оси симметрии
Алекса н дров, гл. XIX, § 5; гл. XX, §§ 1—4, 6.
Моденов, гл. XII, §§ 155, 156, 159, 163—165. ;
1104. Написать уравнение поверхности иторого порядк|
проходящей через точку @, 0, 1), имеющей центр в точи
@, 0, —1) и пересекающей плоскость Оху по линии
3 = 0, z = 0.

[[lOj § 6. ЦЕНТР. ДИАМЕТРАЛЬНЫЕ ПЛОСКОСТИ 161
1105. Дан однополостный гиперболоид
 + ~9 "Тб^1
и плоскость
Определить направление хорд, которым сопряжена диамет-
диаметральная плоскость, параллельная данной плоскости.
1106. Написать уравнение диаметральной плоскости гипер-
гиперболического параболоида
проходящей через прямую
х=у, z=l,
I! найти направление тех хорд, которым сопряжена эта
плоскость.
1107. Дан эллиптический параболоид.
и две точки C. 0, 5) и @, 4, 7). Написать уравнение диа-
диаметральной плоскости параболоида, проходящей через дан-
данные точкк и определить направление сопряженных ей хорд.
1108^'Дан параболоид вращения
11 круглый цилиндр
(х-аJ + 22 = Г2.
Написать уравнение плоскости, которая была бы диаметраль-
диаметральной плоскостью как для параболоида, так и для цилиндра-
1109*. Написать уравнение плоскости, пересекающей
однополостный гиперболоид
Т + ¥~ 5"
по линии, центр которой находится в точке F, б, 5).
1110*. Доказать, что если три некомпланарные хорды
поверхности второго порядка проходят через одну точку и
делятся о лей пополам, то эта точка является центром
По»ерхности.
о П. С. Моденов, Л. С. Пархоменко

162 гл. vir. поверхности второго порядка [ ц1
1111*. Доказать, что если за ось Oz принять произвол!
иую прямую, не имеющую асимптотического направлен^
поверхности второго порядка, а за плоскость Оху — диаме
ральную плоскость, сопряженную направлению этой прямой, у
в уравнении поверхности будут отсутствовать члены с прои
ведениями координат xz и yz. •'<
1112*. Доказать, что плоскость пересекает эллиптичен
кий или гиперболический параболоид по линии второе
порядка, имеющей единственный центр тогда и только тогд
когда плоскость сечения не параллельна особому напра|
лению. ;
1113*. Доказать, что плоское сечение центральной поверг
ности второго порядка имеет единственный центр тогда"
только тогда, когда плоскость, проходящая через цен!
поверхности и параллельная плоскости сечения, пересекав
асимптотический конус поверхности по двум различным npj
мым (действительным или мнимым). %
1114. Доказать, что касательные плоскости к поверхноря
второго порядка в концах ее диаметра параллельны межд
собой.
1115*. Как запишется уравнение однополостного гипербол*
ида, если за начало координат принять точку поверхност!
за оси Ох и Оу — проходящие через нее прямолинейны
образующие, а за ось Oz — проходящий через нее диаметр. _ i
1116*.- Доказать, что каждая плоскость, параллельна
особому направлению эллиптического или гиперболической
параболоида, является диаметральной плоскостью, сопряжен
ной к однозначно определенному неособому направлению
1117*. Доказать, что диаметральные плоскости, conprt
женные к неособым направлениям, параллельны тогда i
только тогда, когда плоскость, параллельная этим направлё
ниям, параллельна особому направлению. I
1118*. Доказать, что диаметральная плоскость, сопря
женная неасимпготическому направлению, пересекает асим|
птотический конус поверхности по двум различным обрЯ(
зующим. j
1П9*. Написать уравнение гиперболического параб'
лоида, принимая за начало координат произвольную точку
поверхности, за оси Ох и Оу — прямолинейные образуют»
проходящие через эту точку, за ось Oz — проходящий
нее диаметр, а за единичную точку Е — произвольную
поверхности, отличную от точки О.

,,51 § б. ЦЕНТР. ДИАМЕТРАЛЬНЫЕ ПЛОСКОСТИ
163
1120*. Написать уравнение конуса второго порядка, при-
принимая за оси Ох и Оу его образующие, за ось Oz — пря-
прямую, сопряженную плоскости, проходящей через эти обра-
образующие, а за единичную точку Е— произвольную точку
конуса, отличную от его вершины.
1121*. Как запишется уравнение поверхности второго
порядка, если за начало координат принять точку О поверх-
поверхности, за ось Oz — проходящий через эту точку диаметр,
а за оси Ох и Оу — прямые, лежащие в касательной пло-
плоскости и имеющие сопряженные направления относительно
данной поверхности?
1122*. Написать уравнение конуса второго порядка, при-
принимая за начало координат его вершину, а за оси коорди-
координат—три прямые, имеющие попарно сопряженные направ-
направления.
1123*. Написать уравнение эллипсоида, принимая за
начало координат его центр, за оси координат — попарно
сопряженные диаметры, а за единичные точки осей коорди-
паг — точки пересечения этих диаметров с эллипсоидом.
1124*. Две плоскости, из которых каждая параллельна
направлению, сопряженному другой относительно поверх-
поверхности второго порядка, называются сопряженными относи-
относительно этой поверхности. Найти необходимое и достаточное
условие того, что две плоскости
А2х + В2у 4- C2z + D2 = 0
сопряжены относительно поверхности второго порядка
аих2 4- а22у* 4- a33z2 + 2a23yz + 2a3Xzx + 2a12xy +
+ 2ахх 4- 2а2_у + 2a3z + a = 0.
1125. Найти угол между единичным вектором и = {а, |3, у}
11 диаметральной плоскостью поверхности второго порядка
аиХ2 4- а22^2 + a33z2 4- 2a23_yz + 2a31zx + 2апху -f-
4- 2ахх 4- 2а2.У + 2a3z -\- а = 0>
сопряженной направлению вектора и.
6*

164 ГЛ, VII. ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА [l|
1126*. Доказать, что если р' и <у'— параметры парабс^
получаемых в сечении эллиптического параболоида j
£+£ = 2г (р>0,д>0) *
I
двумя его сопряженными диаметральными плоскостями, ^
1127*. Доказать, что если р' и ^' — параметры парабо^
получаемых в сечении гиперболического параболоида
двумя сопряженными диаметрами, то
p'~q'=p-q.
1128*. Доказать, что плоскости симметрии поверхноС?
второго порядка, перпендикулярные к /хордам иеасимптC*|
ческого направлений, могут быть заданы уравнением ■<
где {а, р, у}'— вектор, имеющий главное направление, coaf
ветсгвуютее корню Я характеристического уравнения. \
§ 7. Плоские сечения поверхностей второго поряд!
Моденов, Дополнение III. .;
(я
1129*. Составить уравнения плоскостей, нроходяиЩ
через точку (а, 0, 0) и пересекающих однополостный гипе|
х^ va z'~
болоид -7 + у^ ^"=1 п0 Д»ум параллельным прямым. ,1
ИЗО. Найти линию пересечения однополостного гипЙ
болоида х2-\-у2 — z2— 1 и плоскости 'дх -\- 4у — 5г = 0. .
1131. Доказать, что плоскость
. Vp Vq ,_
пересекает гиперболический параболоид
по прямой, и составить ее уравнения.

1139]
§ 7. ПЛОСКИЕ СЕЧЕНИЯ
1132*. По какой линии касательная плоскость к одно-
полостному гиперболоиду рассекает его асимптотический
конус?
у
1133*. По какой линии однополостный гиперболоид рас-
рассекается касательной плоскостью к его асимптотическому
конусу?
1134*. Плоскость л пересекает конус
по гиперболам. В каких границах может изменяться эксцен-
эксцентриситет гиперболы?
1135*. Написать уравнение плоскости, проходящей через
начало координат и пересекающей по окружности эллипти-
эллиптический цилиндр
£+&=1, а>Ь.
1136*. Составить уравнение плоскости, пересекающей
гиперболический цилиндр
по равносторонней гиперболе и проходящей: 1) через ось Ох;
2) через ось Оу. Найти полуоси этих гипербол.
1137*. Составить уравнение плоскости, пересекающей
х2 v2
гиперболический параболоид --— -~ = 2г, р>0, <?>0, ио
равносторонней гиперболе и проходящей: 1) через ось Ох;
2) через ось Оу. Найти полуоси этих гипербол.
1138*. В каждом из следующих случаев определить вид
линии пересечения поверхности с плоскостью и определить
расположение линии относительно исходной системы коор-
координат:
1) x2+y*-z2 = 0, х-г+1=0;
х' <У2 i г2 1 v-j у л 4^5~ п.
> 9 +Т + Т=1> ■x + z + —
3) л-- + 2у2 -f z2 + ±ху — 2хг —
1139*. Определить вид линии, по которой плоскость
" |-2—1 = 0 пересекает параболический цилиндру2 — 2х.

166 ГЛ. VII. ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА [ 114
Написать каноническое уравнение этой линии и найти кано
ническую систему координат.
1140*. Определить вид линии пересечения конуса х2 ~\
-\-у2 — 22 = 0 с плоскостью 4лг—Зу — 5z + 4 = 0. Написат:
каноническое уравнение этой линии и найти каноническуц
систему координат.
1141*. Определить вид линии пересечения однополостноп
гиперболоида х2-\-у2 — z2=l и плоскости 2x-\-2y-\-z —
—1 = 0. Написать каноническое уравнение этой линии i
найти каноническую систему координат.
1142*. Найти фокусы эллипса, получающегося при пере
сечении цилиндра л2+_у2 = 36 плоскостью Ъх -\- 4у -\-11z = О
1143*. Найти все значения параметра k, для каждого и
которых плоскость пучка
пересекает конус
по эллипсу. ,'
1144*. Через прямую 2x=2y = z провести плоскости
пересекающую гиперболический параболоид 4x2—y2-\-z—\
по равносторонней гиперболе. i
1145*. Какого типа линии получаются при пересечен^
двуполостного гиперболоида и плоскости, если плоское^
пересекает: 1) одну полость гиперболоида; 2) обе полос?!
гиперболоида. \
1146*. Пусть плоскость л не проходит через вершин|
конуса второго порядка. Доказать, что плоскость it пересе-
пересекает конус по эллипсу, если плоскость л', проходящая чер^
вершину конуса и параллельная плоскости л, имеет с кону»
сом только одну общую точку (вершину конуса); плоскость |
пересекает конус по параболе, если плоскость л' и конуа|
имеют единственную общую прямую (касается конуса вдоя|
этой прямой); плоскость п пересекает конус по rnnejl
боле, если плоскость л' пересекает конус но паре разлив
ных прямых.
1147*. По линиям какого типа может пересекать плоском
каждую из следующих поверхностей: 1) эллипсоид; 2) одно
полостный гиперболоид; 3) двуполостный гиперболоид; 4) кс
нус; 5)" эллиптический параболоид; 6) гиперболический пар*
болоид.

1150 ]
§ 7. ПЛОСКИЕ СЕЧЕНИЯ 167
1148*. Найти необходимый и достаточный признак типа
линий пересечения плоскости
с каждой из следующих поверхностей:
V2 v2 ?2
а2 + &2 с2 — '
ф ^~ Ь2 с2 ~" '
„2 v2 г2
_- 4- <- — = О-
а2 +Ь2 с2 U'
1149*. Найти все плоскости, пересекающие по окруж-
окружности каждую из следующих поверхностей:
1150*. Точка поверхности второго порядка называется
омбилической, если касательная плоскость к поверхности
■* этой точке параллельна плоскостям круговых сечений.
Найти омбилические точки каждой из следующих поверх-
поверхностей:

168 ГЛ. VII. ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА |Ц)
1151*. Найти радиус кругового сечения эллипсоида \
и однополостиого гиперболоида
плоскостью, проходящей через центр поверхности. ;
1152*. 1) Найти необходимое и достаточное условие toji
что плоскость \
пересекает поверхность второго порядка
по центральной линии. t
2) Определить координаты центра линии пересечения п<
верхности B) с плоскостью A).

ГЛАВА VIII
ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПЛОСКОСТИ И ПРОСТРАНСТВА
§ 1. Аффинные преобразования
Александров, гл. XI, §§1 — 5; гл. XVII, § 12.
Моденов, гл. XIV, §§ 171—179, 186.
Постников, гл. 7, § 1, пп 1—3; § 2, п. 2.
/. Аффинные преобразования плоскости
1153. Написать формулы поворота плоскости на угол ср:
]) вокруг начала координат; 2) вокруг точки (х0, у0). Система
координат прямоугольная.
1154. Написать формулы преобразования гомотетии пло-
плоскости с коэффициентом к. 1) с центром в начале коорди-
координат; 2) с центром в точке (д:0, у0). Система координат
аффинная.
1155. Найти аффинное преобразование, переводящее вер-
вершины прямоугольного треугольника О=@, 0), Л = A, 0),
В—-@, 1) соответственно в вершины равностороннего тре-
треугольника
O = @, 0), Л = A, 0), B' = \j, h
(Система координат прямоугольная.
1156. Найти аффинное преобразование, переводящее точку
((>, — 2) в точку A, 1), а векторы {2, 1} и {— 1, 2} —соот-
иетстпенно в векторы {4, 2} и {— 3, 6}. Система координат
аффинная.
1157. Определить аффинное преобразование, которое
точки Л1 = A, 0), Л2 = @, 2), А, = (—3, 0) переводит соот-
соответственно в точки Л| = B, 3), Л2 = (-— 1, 4), А'3 = (—2,-1).
Система координат аффинная.
1158. Найти аффинное преобразование, обратное преоб-
преобразованию
х' = 2jt-}-3_у — 7, у' = 2>х -f- 5y — 9.
Система координат аффинная.

172 ГЛ. VIII. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПЛОСКОСТИ И ПРОСТРАНСТВА [ Щ
1176. Найти инвариантные точки и инвариантные прямы-
аффинного преобразования
, 13 . 4 8
■*=5'-*+5 У' 5' .
,4.7 4
у =ъХ + -у-.5..
Система координат аффинная. :
1177*. Как запишется аффинное преобразование х' =-х -f
+ 2у, у' = 4х-\-Ъу, если за новые оси аффинной систем!
координат принять инвариантные прямые? Система-координа
аффинная.
1178*. Доказать, что если аффинное преобразование обла
дает единственной инвариантной точкой, то всякая инварй
антная прямая проходит через эту точку.
1179. Найти такое аффинное преобразование, для кото
рого все точки оси Ох являются инвариантными, а точк
Л = B, 6) переходит в точку Л' = (— 1, —4). Система коор
динат аффинная.
1180*. Определить такое аффинное преобразование, пр
котором каждая точка прямой jr-J-2y—1=0 является инва-£
риантной и точка A, 2) переходит в точку B, 2). Система!
координат аффинная.
1181*. Определить аффинное преобразование, при кото-"!
ром прямые х -\-у -|-1==0, х —у -{-2 = 0 переходят в себя,;;
а точка A, 1) —в точку B, 1). Система координат аффинная.
1182*. Найти такое аффинное преобразование, при кото-i
ром прямые 5лг —6у —7 = 0 и Зл —4у==0 переходят соот
ветственно в прямые 2х -\-у — 4 = 0 и д:—_у-{-1=0, а точка\
F, 4) —в точку B, 1). Система координат аффинная.
1183. Дано аффинное преобразование
,5 ,
х'=-4-х, у
Найти такие прямые, которые этим преобразованием изомет-
изометрически отображаются на свои образы. Система координат,
прямоугольная.
1184. Относительно прямоугольной системы координат"
дано аффинное преобразование
x'=k1x, y' = k2y, А1>1>^2>0.
Найти такие прямые, которые этим преобразованием изомет-
изометрически отображаются на свои образы. {

Jl'-'l ]
§ I. АФФИННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ 173
1185. Дано аффинное преобразование x' = kx, у' = -гУ-
Haiini такие прямые, которые этим преобразованием изомет-
изометрически отображаются на свои образы. Система координат
прямоугольная.
1186*. Доказать, что если kx и ^ — коэффициенты сжа-
сжатия аффинного преобразования, а —произвольный вектор
и а' —его образ при данном преобразовании, то
1187*. Относительно прямоугольной системы координат
дано аффинное преобразование х' = 7х-\-у, у' —— 5х-\-оу.
Папги два таких взаимно перпендикулярных вектора, кото-
которые при этом преобразовании переходят во взаимно перпен-
перпендикулярные векторы.
1188*. Определить площадь параллелограмма, стороны
которого относительно прямоугольной системы координат
определяются уравнениями
1189*. Через точку Р = A5, 6) провести прямую, отсе-
отсекающую от прямых 5х-~2у — 5 = 0, 2х-\-Ъу— 2 = 0 тре-
треугольник, площадь которого равна 29. Система координат
прямоугольная.
1190. Через точку Р=(—3, —о) провести прямую, отре-
отрезок которой между прямыми 2х -j- Ъу — 15 = 0, 4х — Ьу —
-—12 = 0 в точке Р делится пополам. Система координат
аффинная.
1191*. Дано аффинное преобразование
х' = аих + а12у + аь у' = а21х + а22у -f а2.
Найти его каноническую запись в зависимости от корней Ях
11 Л2 характеристического уравнения
11 ~ ^12 12/1411 Г\
1 = Л — (.oijj -J- а22) Л -|- ЯцЯгг — ai2a2i== "
11 ранга г матрицы
i — \ а12
п случае кратного корня Я. Рассмотреть следующие случаи:

174 ГЛ. VIII. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПЛОСКОСТИ И ПРОСТРАНСТВА [ 119
1) корни Кг и Я2 действительные различные, не равные l|
2) корни Яг и Я2 комплексные сопряженные:
3) А —кратный корень, не равный 1, и г = 0;
4) Я— кратный корень, не равный 1, и г=1;
5) Ai 9^ А2 = 1;
6) Я = 1 — кратный корень и г = 0;
7) Я =1—кратный корень и г=1.
2. Аффинные преобразования пространства
1192. Найти аффинное преобразование, при котором^
точки О = @, 0, 0), £! = A, 0, 0) и Я2 = @, .1, 0) остаются*
неподвижными, а точка -С3 = @, 0, 1) переходит в точку Е =i
— A, 1, 1). Система координат аффинная.
1193. Вершины тетраэдра ABCD находятся в точках!
Л = @, 0, 0), Я = A, 0, 0), С = @, 1, 0), О = @, 0, 1). Найт^
аффинное преобразование, оставляющее вершину А на месте
м переводящее середины ребер АВ, AC, AD в середины
противоположных им ребер. Система координат аффинная.;
1194. Вершины тетраэдра ABCD находятся в точках-
Л = @, 0, 0), Я = A, 0, 0), С=@, 1, 0), Я = @, 0, 1). Найти
аффинное преобразование, переводящее вершины А, В, С, D
соответственно в вершины В, С, D, А. Найти инвариантные
точки, инвариантные прямые и инвариантные плоскости этого
преобразования. Система координат аффинная.
1195*. Выяснить геометрический смысл аффинного пре-
образования, переводящего вершины тетраэдра в центры
тяжести противолежащих им граней.
1196*. Выяснить геометрический смысл аффинного пре-
преобразования
х' — Ъх — 4у,
У = 4*4-3)/,
Система координат прямоугольная.
1197*. Доказать, что если аффинное преобразование обла-
обладает единственной неподвижной точкой, то все прямые п пло-
плоскости, инвариантные относительно этого преобразования,
проходят через эту неподвижную точку.

)£M ] § I. АФФИННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ 175
1198*. Доказать, что через всякую неподвижную точку
гсЬфинного преобразования проходит-инвариантная плоскость,
"араллельная каждой инвариантной.плоскости этого аффинного
преобразования.
1199*. Найти инвариантные точки, прямые и плоскости
аффинного преобразования
Система координат аффинная.
1200*. Найти инвариантные точки, прямые и плоскости
аффинного преобразования
х' = 3-х: - \у + 6, у'
Система координат аффинная.
1201*. Дано аффинное преобразование
Установить, обладает ли это преобразование инвариантной
точкой, инвариантной прямой или инвариантной плоскостью.
Система координат аффинная.
1202*. Найти инвариантные точки, инвариантные прямые
и инвариантные плоскости аффинного преобразования
х'= 6х-2у-3г,
1203*. Найти аффинное преобразование, являющееся сжа-
сжатием к плоскости 2* —2у-[-2 — 2 = 0 с коэффициентом
сжатия —-. Система координат прямоугольная.
1204*. Доказать, что при подобном преобразовании пло-
плоскости или пространства с коэффициентом подобия k ф 1
существует неподвижная точка и притом только одна.
1205. Написать формулы аффинного преобразования
фостранства, переводящего репер с начальной точкой

176 ГЛ. VIII. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПЛОСКОСТИ И -ПРОСТРАНСТВА [ 12<М
Л = (х0, у0, z0) и базисными лекторами а1 = '\а1Ь а21, а31
аг — {а12, а22, а32}, а3 — {а13, а2з> азз} в репер с начал;
ной точкой А' = (х'1), у'ф г'„) и базисными векторами Ь
= {Ьц, 1>ц, Ь31}, b2={bi2, Ь22, Ьзг], b3 = {bw, 62g, b33}.
§ 2. Аффинные преобразования линий второго порядка
Александров, гл. XVI, § 5.
Моденов, гл. XIV, §§ 187, 188.
1206. Найти геометрическое место точек пересечений^
касательных к эллипсу, проходящих через концы его сопрд
женных диаметров.
1207. Найти геометрическое место середин хорд эллипс
соединяющих концы сопряженных диаметров. <
1208. Определить коэффициент гомотетии двух гомог
тичиых эллипсов с общим центром, если треугольник, впи4;
санный в первый эллипс, является описанным около второго"
эллипса. i
1209. Доказать, что центр тяжести треугольника, вписан-i
ного в один эллипс и описанного около другого, гомотетич-j
ного первому, с тем же центром; есть центр эллипса.
1210. Определить геометрическое место середин хорд!
эллипса, отсекаю1цих__ох-него сегменты постоянной площади.^
1211. Доказать/ что прямые, соединяющие концы сопря-^
женных диаметров эллипса, к-асаются эллипса, гомотетичного'
данному. Найти коэффициент гомотетии.
1212*. Доказать, что отрезки ММ1 и ММ2 касательных,;
проведенных из какой-либо точки М к эллипсу {Мг и М
точки касания), относятся между собой как диаметры, кото-j
рым они параллельны. |
1213*. Доказать, что длины хорд, стягивающих дуги,!
заключенные между двумя параллельными секущими к эллипсу,.!
относятся друг к другу как диаметры эллипса, параллельные^
этим хордам. ц
1214. Около эллипса описан четырехугольник. Доказать,;]
что сумма площадей двух треугольников, имеющих общей':
вершимой центр эллипса, а основаниями соответственно две.^
противоположные стороны четырехугольника, равна сумме^
площадей двух других таких же треугольников.
1215. Пусть А, А' — концы одной пары -сопряженных
диаметров эллипса, а В, В' — концы другой пары сопряжен-';

1225] § 2. АФФИННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛИНИЙ 177
них диаметров. Доказать, что среди прямых АВ, А'В', АВ'
,, /\'В есть две параллельные.
1216. Доказать, что два сопряженных диаметра эллипса
делят его на четыре равновеликие части.
1217. Доказать, что если М0 = (х0, у0) — произвольная
точка плоскости и Р — точка пересечения луча ОМ с эллин-
2
1218*. Найти аффинное преобразование, которое перево-
переводит и себя эллипс
а2 Ь2 '
1219*. Найти аффинное преобразование, сохраняющее ори-
ориентацию, при котором эллипс
^ + 62"=1
переходит в тот же эллипс и точка (а, 0) переходит в точку
@, Ь),
1220*. Найти те аффинные преобразования, при которых
гипербола ху = с переходит в себя.
1221*. Найти все аффинные преобразования, переводящие
х2 V2
гиперболу --£ — y£ = 1 в себя. Доказать, что определитель
этих преобразований равен ± 1. Показать, что все эти пре-
преобразования образуют группу.
1222*. Определить аффинное преобразование, при кото-
котором гипербола х2 — _у2=1 переходит в ту же гиперболу,
причем точка A, 0) переходит в точку (У^'2, 1).
1223*. 1) Найти общий вид аффинных преобразований,
при которых парабола у2 = 2рх переходит в ту же параболу.
2) Найти все аффинные унимодулярные преобразования,
при которых парабола уЪ — Урх переходит в ту же параболу.
1224*. Доказать, что существует и притом только одно
аффинное преобразование, переводящее параболу в себя, при
котором две произвольные точки параболы переходят в две
точки, также лежащие на этой параболе.
1225*. Определить такое аффинное преобразование пара-
параболы у2 = 2х в себя, которое переводит точки B, 2) и (>,-, 1
соответственно в точки (8, 4) и (^ , 3

178 ГЛ. VIII. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПЛОСКОСТИ И ПРОСТРАНСТВА [ 1221
1226*. Определить геометрическое место середин xopj
параболы у2 = 2рх, отсекающих сегменты параболы постоян-
постоянной площади.
1227*. Доказать, что:
1) при всяком аффинном преобразовании существует рав
посторонняя гипербола, образом которой является равносто-
роиняя гипербола;
2) если аффинное преобразование переводит некоторую
окружность в окружность, то это преобразование является
подобием.
§ 3. Изометрические преобразования
А лекса ндров, гл. XI, § 6 — 8; гл. XXV, §§ 3, 4.
Моденов, гл. XIV, §§ 180—183.
Постников, гл. 7, § 1, п. 5; § 2, п. 1, пп. 3, 4.
Во всех задачах этого параграфа система координат!
предполагается прямоугольной.
1. Изометрические преобразования плоскости
1228. Написать формулы поворота ориентированной пло-J
скости па угол <р -вокруг точки (х0, у0). 1
1229. Найти неподвижную точку изометрического прео,б-1
разования плоскости
х' = х cos ф — у sin ф -\- х0,
у' — xsinq-{-y cosq-{-y0, ф
1230*. Написать формулы изометрического преобразования
плоскости, являющегося произведением симметрии относительно
прямой, проходящей через точку (х0, _у0) с направляющи
вектором а={со5ф, зтф}, и переноса вдоль этой прямой
на вектор, имеющий направление вектора а и длину d.
1231*. Дано изометрическое преобразование
меняющее ориентацию плоскости. Найти ось симметрии и
тор переноса вдоль оси симметрии.

123У]
§ 3, ИЗОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ 179
1232*. Дано изометрическое преобразование
х' = xcos(p-\-y sincp, у' = xs'mq>— ycosq,
меняющее ориентацию плоскости. Доказать, что это преоб-
преобразование является симметрией относительно прямой, и напи-
написать уравнение оси симметрии.
1233*. Дано изометрическое преобразование
х' = х cos ф -\-у sin ф -)- Хо,
у' — х sin ф — у cos ф -\-yo-
Найти ось симметрии и вектор переноса, коллинеарный оси
симметрии. Найти канонический вид данного преобразования.
1234*. Дано изометрическое преобразование
'4 3
х =_х_-.
Найти ось симметрии и вектор переноса вдоль оси симметрии.
Найти канонический вид данного преобразования.
1235. Найти изометрическое преобразование, при котором
каждая точка переходит в точку, симметричную ей относи-
относительно прямой
1236. Найти изометрическое преобразование плоскости,
являющееся симметрией относительно прямой
1237*. Найги изометрическое преобразование, при кото-
котором каждая точка переходит в точку, симметричную ей отно-
относительно прямой Ах + Ву + С = 0.
1238. Найти изометрическое преобразование, сохраняющее
ориентацию и переводящее точку A, 0) в точку @, 0), а точ-
КУ @, 0) в точку @, 1). Найти угол поворота ф и непод-
неподвижную точку этого преобразования.
1239*. Найти изометрическое преобразование, меняющее
ориентацию и переводящее точку A,0) в точку @, 0), а
точку @, 0) в точку @, 1). Найти ось симметрии и вектор
"ереноса вдоль оси симметрии.

180 ГЛ. VIII. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПЛОСКОСТИ И ПРОСТРАНСТВА [
2. Изометрические преобразования пространства
1240*. Пусть
х'--=
z' = a3l x + a3iy + а33г + b3
— изометрическое преобразование;
А = [ал а22 а23\
I «32 «33/
— ортогональная матрица этого преобразования и det,4 = -f
& —{b1; Ь2, Ь3} — вектор переноса. Доказать, что:
/1 0 0\ I
1) Если А = Е— 0 1 0 и Ь Ф О, то преобразование A|
\0 0 1/ I
является пере!юсол1 на вектор Ь. Его канонический вид . \
где а = | & |. •
2) Если А ф Е, то преобразование A) является произв^
дением поворота вокруг оси и переноса вдоль этой
Угол ф поворота определяется из соотношения
\п.
Координаты направляющего вектора а. = {аь я2, а3} оси вр^
щения определяются из системы уравнений
(аи — 1) ах 4- %га2 + а13а3 = О,
(а22 — 1) а2 + а23а3 = О,
и неравенства
О а!л а\
О а31 а3
если векторы Ci = {l, 0, 0} и а = {а!, а2, а3} не коллинеарш
и ф ^ п. Если векторы ех и а коллинеарны, то следу®
воспользоваться неравенством
0
1
0
«12
«22
«32
«1
«2
«3

124I ] § 3. ИЗОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ 181
Канонический вид преобразования:
х'* = х* cos ф —
у'* = х* sin ф +_у* cos ф,
х'* = х* cos ф —у* sin Ц),
где
Вектор С = {с£, с2> с3} переноса вдоль оси вращения опре-
определяется равенством
r-{a'b)a
ca
Координаты точек, лежащих на оси вращения, удовлетворяют
системе уравнений
(«и- Ц
апх + (а22 —
1241*. Пусть
л:'
A)
= а31х + a32y + a33z + &
а31х + a32y + a33
— изометрическое преобразование;
/ац а12 й13'
А =
\а31 а32 а33,
— ортогональная матрица этого преобразования и det А = — 1;
^;;- {Ьъ Ъг, Ь3} — вектор переноса. Доказать, что:
1) Если след матрицы А, о.11-\-а22-{-а33^ь 1, то преобра-
преобразование A) является произведением симметрии относительно
плоскости и поворота вокруг оси, перпендикулярной к пло-
плоскости симметрии. Угол ф поворота определяется из соотно-
соотношения

182 ГЛ. VIII. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПЛОСКОСТИ И ПРОСТРАНСТВА [
Координаты направляющего вектора a = {ai, a2, a3} oq
вращения определяются из системы уравнений
(а
п
и неравенства
= 0,
а32а2 + («зз + Цаа — 0 _
0 а21 о,
0 а31 а3
если векторы ^ = {1, 0, 0} и а = {а{, а2, а3] не коллине
арны и ф -ф я. Если векторы вх и а коллинеарны, то следуе
воспользоваться неравенством
0 а\2 Qi
1 а22 а2
О а32 аз
Канонический вид преобразования:
X' =Х* COSip— у* 5Ш
у'* = х* sin ф +^* cos
Плоскость симметрии и ось вращения проходят через един
ственную неподвижную точку данного преобразования, опре
деляемую из системы уравнений
b1 = О,
а21х + (а22 — 1 )у + a23z + b% = 0,
asi-^ + Я32.У + (а33 — 1) z + bs = 0.
2) Если след матрицы A, aji-f-а22 + азз = 1, то преоб
разовапие A) является произведением симметрии относительна
плоскости и переноса, определяемого вектором d = {d1, d2, d3}
компланарным этой плоскости. Вектор d находится из равенств!

]242 ] § 3. ИЗОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ 183
где координаты аь а.г, а3 вектора а определяются из системы B).
Канонический вид преобразования:
= —х*.
где p =
Плоскость симметрии определяется любым из следующих трех
уравнений:
^21-* +(«22 —
а31х -f а32у + (а33 —
1242*. Выяснить геометрический смысл и найти канони-
канонический вид следующих изометрических преобразований про-
пространства:
,16 12 , 15 , „ , 12 . 9 20 .
1) X -25-*+ ,5^+25 г + 3' У. =25Х + 25У~252-4'
2) x'—l-x+l-y-l, y' = -}x-j
2 , 2 , 1 , , ,11 10 2 о
3) x'=*-3-x+3y+3z + l, у -=l5x-T5y--l5z-2,
,_ 2 5 14
z — Т5 -^ "*" 15 J' ~ "i5 ^ ~ '
5-. , 2 .2 , 1 , , / П , 10 . 2
5) x'==--x + .3.y + -3-2+lty'=^i5X + T5y + -.
■ , 2 ,5 14
z'=^x + T6y--^
6) ^' = |- 4 }^
,_ 3 6 2_ _
— j- x y-_y у 2; /;

184 ГЛ. VIII. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПЛОСКОСТИ И ПРОСТРАНСТВА I \2Ц
S) x' = — -Q-x--Q~y--g-z+U, у'= — -дх--дУ+,
9) x'=—%-
10) x'
'x + ly+8zU у' =lx+?y 4z
4 . 8
11) x'-=~x + -l-y+8Q~z-U, у' =l-x+?y- 4~z-2\
j
2
is , 2 2 I in 10 , 11
lo) x' = -Tx-Ty-Tz-10, у =-Т5х + тё
2_ ,__ 5 2 4
~"\bZ~% Z ~~]5X~]5V+
3 о ,
'82~ 2> Z =
17)x'=z+l, y' = x, z'=y;
18) x'^-z+l, y' = x, Z'=

l2Si [ § 3. ИЗОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ '85
1243*. Выяснить геометрический смысл и найти канони-
канонический вид следующего изометрического преобразования про-
пространства:
х' = х cos ф -\-у sin ф,
у' — х sin ф — у cos ф,
z' = — г -\- с.
1244*. Найти матрицу преобразования симметрии относи-
относительно прямой с направляющим вектором {2, 2, 1}, проходя-
проходящей через начало координат.
1245*. Найти матрицу преобразования поворота ориенти-
я
рованного пространства на угол -^ вокруг оси с направляю-
направляющим вектором {2, 2, 1}, проходящей через начало координат.
1246*. Найти матрицу преобразования поворота ориенти-
п
ропанного- пространства на угол -д- вокруг оси с направляю-
направляющим вектором {1, 1, 0}, проходящей через начало координат.
1247. Найти матрицу преобразования симметрии простран-
пространства относительно плоскости
1248*. Найти изометрическое преобразование, являющееся
произведением, поворота на угол w- и переноса вдоль оси
вращения на вектор с координатой —9 по отношению к оси
"ращения, зная, что ось вращения проходит через точку
@, 0, 9) и имеет направляющий вектор {2, 2, 1}.
1249*. Найти изометрическое преобразование, являющееся
произведением симметрии относительно плоскости 2х—у—
— 02- 4-15 = 0 и переноса, определяемого вектором {4, 3, 1},
компланарным этой плоскости.
1250*. Найти изометрическое преобразование, являющееся
произведением поворота на угол arccos ^ вокруг оси с на-
направляющим вектором {1, 1, —7}, проходящей через точку
/Ю 2 5\
U-, — -=- — , и симметрии относительно плоскости, про-
\ " О О j
ходящей через ту же точку и перпендикулярной к оси вра-
'ЧЬНИЯ.
1251. Найти изометрическое преобразование, оставляющее
неподвижными три точки A, 0, 0), @, 1, 0), @, 0, 1).

■86 ГЛ. VIII. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПЛОСКОСТИ И ПРОСТРАНСТВА [ 12
1252*. Найти изометрическое преобразование, переводя-
переводящее точки @, 0, 0), A, 0, 0), A, 1, 0) соответственно в:
точки A, 0, 0), A, 1, 0), A, 1, 1): 1) сохраняющее ориентацию!
пространства; 2) изменяющее ориентацию пространства. Найти
канонический вид этих преобразований.
1253*. Даны два вектора:
а = 18 4 И Ь — 16 fi 3}
Найти матрицу преобразования поворота пространства вокруг|
оси, перпендикулярной к векторам а и Ь, переводящего'!
вектор а в вектор Ь.
1254*. В ориентированном пространстве даны два век-
вектора, а и е, причем вектор е перпендикулярен к вектору а
и равен но длине 1. Найти вектор а', получающийся из
вектора а при повороте пространства на угол ф вокруг
оси с направляющим вектором е.
1255*. Написать формулы преобразования поворота ориен-
ориентированного пространства на угол ф вокруг оси с единич-
единичным направляющим вектором е, проходящей через точку О.
§ 4. Инверсии ;
П о с т н и к о в, гл. 7, § 3. j
Во всех задачах этого параграфа система координат пред-1
полагается прямоугольной. \
1. Инверсии плоскости ]
1256. Пусть О —фиксированная точка плоскости ист—^
фиксированное действительное число, отличное от нуля. '
Инверсией с полюсом О и степенью о называется преобра-1
зование множества всех точек плоскости, за исключением |
точки О, при котором каждой точке М, отличной от О, ста-!
вится в соответствие точка М', лежащая на прямой ОМ, для |
которой ОМ- ОМ' = о\ Инверсия с полюсом О и степенью о-
обозначается через (О, а).
Написать формулы, связывающие координаты х, у точки i
М с координатами х', у' точки М', являющейся образом;
точки М при инверсии (О, а) в прямоугольной системе коор-
координат с началом в точке О.

1264| § 4. ИНВЕРСИИ 187
1257. Составить уравнение образа окружности
+ 2ах + 2Ьу + с = О
при инверсии, полюсом которой является начало координат,
а степень равна а.
1258*. Доказать, что центр окружности С, не проходящей
через полюс О инверсии (О, а), переходит в центр ее образа
С' тогда и только тогда, когда окружность С совпадает
с окружностью С.
1259*. Окружность С, заданная уравнением
Х2 ц__у2 _|_ 2ах + 2Ьу + с = О,
не проходит через начало координат. Пусть С—образ этой
окружности при инверсии (О, а).
1) Найти центр и радиус окружности С.
2) Показать, что полюс инверсии и центры окружностей
С и С лежат на одной прямой.
1260. Составить уравнение образа прямой
Ах + Ву + С — 0
при инверсии (О, а), где О — начало координат.
1261*. Доказать, что всякая окружность, проходящая
через две соответствующие друг другу точки при инверсии
(О, а), инвариантна относительно этой инверсии.
1262*. Окружность С проходит через полюс инверсии
(О, а). Ее образ С при этой инверсии — прямая, перпенди-
перпендикулярная к прямой, проходящей через точку О и центр
окружности С. Ц,оказать, что на множестве всех точек окруж-
окружности С, за исключением точки О, данная инверсия совпа-
совпадает с перспективным отображением окружности С на прямую
С с центром перспективы О.
1263*. Доказать, что при инверсии сохраняются углы
между двумя пересекающимися окружностями (в частности,
между окружностью и прямой и между двумя прямыми).
1264. Окружность С задана уравнением
При инверсии (О, а) с полюсом в начале координат эта
окружность переходит в прямую С.
1) Найти расстояние d or начала координат до прямой С.
2) Найти вектор, нормальный к прямой С.

188 ГЛ. VIII. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПЛОСКОСТИ И ПРОСТРАНСТВА [ 1
.3) Доказать, что прямая, проходящая через начало коор|
динах О и через центр окружности С, перпендикуляр^
к прямой С. i
1265*. Пусть С —прямая, являющаяся образом окру'я^
ности С "I
при инверсии (О, а) с полюсом в начале координат. р|
каком условии прямая С касается окружности С? , 1
1266. Пусть А' и В' — образы точек А и В при инверЗ
сии (О, а). Выразить длину отрезка А'В' через длины отрез]
ков А~В, ОА, ОВ и а. \
1267*. Доказать, что если полюс О инверсии (О, о?
лежит вне окружности С, то множество точек, лежащщ
внутри окружности С, отображается при инверсии (О, а) нг
множество точек, лежащих внутри окружности С, являю;
тейся образом С; множество точек, лежащих вне окружности
С, отображается на множество точек, лежащих вне окруас
ности С.
Если же полюс О инверсии лежит внутри окружность
С, то множество точек, лежащих внутри окружности ;>С
отображается на множество точек, лежащих вне 'окруж-
'окружности С, а множество точек, лежащих вне окружности С
отображается на множество точек, лежащих внутри окруж-
окружности С. '
1268. Рассмотрим инверсию (О, г2). Доказать, что кале
дая точка окружности с центром О и радиусом г (окруя^
ность инверсии) является неподвижной при инверсии (О, г2!
Каждая точка, лежащая ннутрн этой окружности, переход^
в точку, лежащую вне окружности (и наоборот). <
1269*. Доказать, что: ;
1) любая окружность, ортогональная к окружности с nent
ром О и радиусом г, при инверсии (О, г2) переходит в себя
2) любая окружность, отличная or окружности инверсий
и переходящая в себя при инверсии (О, г2), ортогональна
окружности инверсии. г
1270*. При каком условии окружность С пересекаем
свой образ С при инверсии (О, г2)? j
• 1271*. Пусть С — окружность, не проходящая череб
полюс О инверсии (О, а), Ж —произвольная точка это!
окружности, а N — вторая точка пересечения прямой ОМ
с окружностью С. Доказать, что образ М' точки М пр|

127b1 J
§ 4. ИНВЕРСИИ 189
инверсии (О, а) совпадает с образом N' точки N при гомо-
гомотетии с центром О и коэффициентом k = - -, где и —степень
точки О относительно окружности С.
1272*. Прямая Ах-\-Ву-\-С = 0, не проходящая через
начало координат О (С Ф 0), делит плоскость на две обла-
С1И. Как преобразуются эти области при инверсии с полюсом
О и степенью инверсии о > 0.
1273*. Найти образ множества точек, заданных неравен-
неравенствами х>1, _у>1, при инверсии, полюсом которой явля-
является начало координат, а степень равна 1.
1274*. Множество точек плоскости задано неравенствами
< х < -„- (полоса). Найти образ этого множества при
инверсии (О, 1), где О —начало координат.
1275*. Доказать, что при инверсии окружность, отличная
от окружности инверсии, переходит в себя тогда и только
тогда, когда она проходит через две различные точки М и
М\ соответствующие друг другу при этой инверсии.
1276. Найти образ эллипса, гиперболы, параболы, задан-
заданных полярным уравнением
Р =
1 — е cos ф'
при инверсии (F, о), где F — фокус данной линии.
1277. Найти образ' при инверсии (О, 1):
1) циссоиды Диоклеса, определяемой уравнением р = -—®;
<i\ ^ -^ sin2(D
2) области р> з-.
' r COS ф
1278*. 1) Доказать, что если окружность инверсии при-
принадлежит гиперболическому пучку окружностей, то инверсия
относительно этой окружности переводит каждую из ос-
остальных окружностей пучка в другую окружность того же
"учка, причем предельные точки этого пучка переходят друг
и друга.
2) Доказать, что если окружность инверсии принадлежит
j.i.uuniHiecKOMy пучку окружностей, то базисные точки этого
пучка неподвижны, а любая другая окружность этого пучка
■"-'реходпт п окружность того же пучка.
1279*. Пусть Сх и С2 —две некониентрические окружно-
Cjn без общих точек, М — произвольная точка их радикальной

190 ГЛ. VIII. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПЛОСКОСТИ И ПРОСТРАНСТВА [ Щ
оси, МР — касательная к любой из этих окружносте
(Р — точка касания), А и В — точки пересечения линии цеш
ров данных окружностей с окружностью с центром в точк
М и радиусом МР . Доказать, что: •
1) при инверсии (А, \ АВ 2) окружности С{ и С2 перей
дуг в концентрические окружности С[ и Cj; 5
2) если окружности Сг и С2 лежат одна вне другой, т|
множество точек, внешних по отношению к обеим окружное
стям, перейдет в множество внутренних точек кольца, ог-рй!
ничейного окружностями С[ и Cg. I
2. Инверсии пространства ]
1280. Пусть О — фиксированная точка пространства i
а — фиксированное действительное число, отличное от нуля|
Инверсией с полюсом О и степенью а называется преобра)
зование множества всех точек пространства, за исключением
точки О, при котором каждой точке М, отличной от Q
ставится в сооответствие точка М', лежащая па прямой От
для которой ~0М-~0М' = о. Инверсия пространства с полю-
полюсом О и степенью о обозначается через (О, а). Написать
формулы, связывающие координаты х, у, z точки М с коор-
динатами х', у', z' точки М', являющейся образом точки М
при инверсии (О, а) в прямоугольной системе координат
с началом координат в точке О.
1281. Составить уравнение образа S' сферы 5
при инверсии, полюсом которой является начало координат;
а степень равна а.
1282. Составить уравнение образа плоскости
при инверсии (О, а) (О —начало координат).
1283*. Доказать, что если сфера 5 не проходит че^
рез точку О, a S'— ее образ при инверсии с полюсо^
О, то точка О лежит на одной прямой с центрами сфев
5 и S'. ]
1284*. Доказать, что при инверсии пространства всякая
окружность, не проходящая через полюс инверсии, переходи?
в окружность, а всякая окружность, проходящая через нолю<|
инверсии, — в прямую. *

l2g9 ] § 4. ИНВЕРСИИ
1285*. Найти центр и радиус образа окружности
х+.у + z - 1 = О
при инверсии (О, 1), где О —начало координат.
1286*. Пусть 5—сфера с диаметром d; О и Р — две ее
диаметрально противоположные точки; я —касательная пло-
плоскость к сфере в точке Р.
Доказать, что:
1) при инверсии (О, d2) сфера 5 перейдет в плос-
плоскость я;
2) проекция М' произвольной точки М, лежащей на
сфере б1, из точки О па плоскость я совпадает с образом
точки М при инверсии (О, d2) (перспективное отображение
сферы б1 на плоскость я с центром перспективы О назы-
называется стереографической проекцией);
3) окружность, лежащая на сфере 5 и не проходящая
через точку О, проектируется из точки О на плоскость л
в окружность.
1287*. Пусть О и Р— диаметрально противоположные
точки сферы 5, я —касательная плоскость к сфере 5 в точ-
точке Р, Я —произвольная окружность, лежащая на сфере 5 и не
проходящая через точку О, X' — проекция окружности X из
точки О на плоскость я. Доказать, что:
1) если окружность X не является окружностью большого
круга и К —конус, касающийся сферы 5 по окружности X,
то центром окружности X' является проекция вершины ко-
конуса К из точки О на плоскость я;
2) если Я. —окружность большого круга, то центр окруж-
окружности X' есть пересечение прямой, проходящей через точку О
и перпендикулярной к плоскости окружности X, с плоско-
плоскостью Л.
1288*. Доказать, что угол между касательными к сфере
R произвольной ее точке М равен углу между их проекциями
из точки О, отличной от М, на плоскость я, касающуюся
сферы в точке, диаметрально противоположной точке О.
1289*. Пусть 5—сфера, О и Р —ее диаметрально про-
противоположные точки, я — плоскость, касательная к сфере 6"
в точке Р. Рассмотрим два семейства окружностей, лежащих
"а сфере 5- Первое семейство С% получается при пересече-
пересечении сферы 5 параллельными плоскостями, перпендикуляр-

194 ГЛ. IX. ПРОЕКТИВНАЯ ГЕОМЕТРИЯ [ Ц
2) проективные координаты х1:х2 точки М в систе
AiAoLl, зная ее координаты х\:х'.г в системе А\А\Е'.
1294*. Па проективно-аффинной прямой введена прое
тинная система координат с собственными базисными то
ками Аь А2 и собственной единичной точкой Е. В аффинн
системе координат на этой прямой точки Av A2, Е имей
соответственно координаты av а2, Ь.
1) Найти проективные координаты х1:х2 собственн
точки М, имеющей аффинную координату х.
2) Найти аффинную координату х собственной точки ,
н.меюшей проективные координаты х1: х2.
1295. На прямой заданы четыре точки своими аффинньи
координатами:
Л = (*!), В = (лг2), С =
Найти ангармоническое отношение (ABCD). 5
1296*. Доказать, что если две прямые, не нроходянга
через точку О, пересекают четыре прямые пучка с центром (
соответственно в точках А, В, С, D и А', В', С, D', щ
ансармоническое отношение (ABCD) равно ангармоническое
отношению (Л'В'СD'). |
1297*. Найти ангармоническое отношение {ABCD) 1:гщ
рех точек, 1
А=(а1:аъ), В^ф^.Ь^, С = (с1:с2), D = (of1:^2), !
заданных на проективной прямой своими проективными коо
динатами.
1298. Найти ангармоническое отношение (А^ЛШ), 'п
^ = A:0), А2 = @:1), Е = A:1), М = (х,:х2). •
1299. На плоскости введена аффинная система координ;
Оху с единичной точкой Е. Пусть М — (хь х2) — произвол
пая точка плоскости, не лежащая на оси Оу. Найти ангар:»
ническое отношение (Ох, Оу, ОЕ, ОМ).
1300. Найти, прямую, четвертую гармоническую к дву
сторонам АВ и АС треугольника ABC и медиане, выходят,^
из першины А.
1301. Найти прямую, четвертую гармоническую к дв)|
сторонам угла и его биссектрисе.
1302. Найги прямую, четвертую гармоническую к
катетам и высоте, опущенной из вершины прямого угла
гипотенузу (неравнобедрепного) прямоугольного треугольник

3l0 j § I. ПРОЕКТИВНАЯ ПРЯМАЯ . 195
1303*. Доказать, что любая пара сопряженных диаметров
гиперболы гармонически разделяется ее асимптотами.
1304*. На проективной прямой заданы четыре точки А,
/?, С, D. Доказать, что на этой пря.мой имеется дне точки Р
и Q, гармонически разделяющие как пару А, В, так и пару С,
[), тогда и только тогда, когда пара С, D не разделяет
пару А, В.
2. Проективные преобразования проективной прямой
1305*. Доказать, что если при некотором проективном
преобразовании проективной прямой имеются три инвариант-
инвариантные точки, то это преобразование является тождественным
преобразованием.
1306*. Доказать, что ангармоническое отношение (ЛBCD)
четырех точек, лежащих на проективной прямой, не меняется
при проективном преобразовании.
1307*. Найти проективное преобразование проективной
прямой, при котором точки A:0), @:1), A:1) переходят
соответственно в точки (ai:a2), (bi'.b^), {c1:c2\
1308. Найти проективное преобразование проективной
прямой, которое точку A:0) переводит в точку @:1), точку
@ : 1) — в точку A : 0), если точка A : 1) инварианта при этом
преобразовании.
1309*. Найти инвариантные точки следующих проектив-
проективных преобразований проективной прямой:
1) },х[ = хх-)- 2х2, 2) %x\ = 2xi-\-х2, 3) Хх'1 = х1— х2,
%х'ъ = Ахг + Зх2; А.Х, = 2х2; Кх'3 = хх-\- х2.
1310*. При каком необходимом и достаточном условии
проективное преобразование проективной прямой
1) не имеет инвариантных точек (эллиптическое преобра-
преобразование);
-) имеет две инвариантные точки (гиперболическое пре-
преобразование);
3) имеет только одну инвариантную точку (параболическое
преобразование);
-I) является тождественным преобразованием?
7*

196 ГЛ. IX. ПРОЕКТИВНАЯ ГЕОМЕТРИЯ [ Ц
\
1311*. 1) Доказать, что эллиптическое и параболическ<
проективные преобразования проективной прямой не меня
ее ориентации.
2) При каком необходимом и достаточном условии гищ
болическое проективное преобразование проективной прямо
меняет ее ориентацию?
1312*. Установить тип проективного преобразования npd
ективной прямой в каждом из следующих случаев:
1) lx'i = 2x1—3x2, 2) Кх[ = —7х1,
3) Кх[ = 5хг 4- 4х2, 4) %х
5) %х[=-х1 + 2х2,
/\/X% = —'iX\ -\- OXfy
1313. Найти инвариантные точки следующих проектив^
ных преобразований:
1) %х[ = 2х1-Ъх%, 2) Хх[ = 5х1+4хь
Хх'2 = Зхх -f 8лг2; Я.Х2 =
3) Я.х^х^хг, 4) Kx[ =
ЛХ2 == X j — Х%, ЛХ^ = —
1314*. 1) Какой вид примут формулы
лХ2 = fljl-''1 ~Г
определяющие гиперболическое преобразование проективной
прямой, если его инвариантные точки принять за базисный
точки Л1 = A:0), Л2 = @;]) проективной системы коор,-
динат?
2) При каком необходимом и достаточном условии рас-
рассматриваемое гиперболическое преобразование сохраняет
ориентацию проективной прямой? j
3) Какой геометрический смысл имеет гиперболическое?
преобразование, если проективная прямая интерпретируете^
как собственный пучок прямых на аффинной плоскости?
1315*. 1) Какой вид примут формулы
%х[ = ацХг -f й12х2>

13.: 1 ]
§ I. ПРОЕКТИВНАЯ ПРЯМАЯ 197
определяющие параболическое проективное преобразование
проективной прямой, если его инвариантную точку принять
за базисную точку Л1 = A:0) проективной системы коор-
Д.ШЛТ?
2) Как интерпретируется это преобразование в собствен-
собственном пучке прямых аффинной плоскости?
1316*. Какой вид примут формулы
kx'i =■■ allxl + а12х2,
AXj = Й 21-^1 Т ^22-^" 2>
определяющие параболическое проективное преобразование
проективной прямой, если его инвариантную точку принять
:sa базисную точку Ax=.-A -.0) проективной системы координат,
а за единичную точку В принять образ базисной точки
/ь = @: 1) при этом преобразовании?
1317*. При каком необходимом и достаточном условии
проективное преобразование проективной прямой, переводящее
точки A : 0), @ •. 1), A •. 1) соответственно в точки (ах: а2)>
(bi'-t-'z), (сх:сг)> сохраняет ориентацию этой прямой.
1318*. На проективной прямой заданы три попарно раз-
различные точки А, В, С. Доказать, что проективное преобра-
преобразование, переводящее точки А, В, С соответственно в точки
В, С, А, является эллиптическим.
1319*. Доказать, что гиперболическое преобразование
проективной прямой с инвариантными точками А± и Л3 со-
сохраняет ориентацию проективной прямой тогда и только
югда, когда ангармоническое отношение (Л1А2С£')> 0, где
/f — произвольная точка проективной прямой, отличная от
точек Ах и Аъ а Е' — ее образ при этом гиперболическом
преобразовании.
1320*. Пусть Ах — инвариантная точка проективного пре-
преобразования проективной прямой, А% — произвольная точка
■лой прямой, Лг —образ точки А2, а А\ — образ точки А'%
"рн рассматриваемом проективном преобразовании. Доказать,
'•по преобразование будет параболическим тогда и только
югда, когда точки Аг и А'% гармонически разделяют пару
ючек Аъ AJ:
1321*. Проективное преобразование л называется цикли-
циклическим, если существует натуральное число п, для которого па
есть тождественное преобразование. Наименьшее натуральное
'■пело п, удовлетворяющее этому условию, называется
периодом преобразования. Пусть А, В, С, О —гармони-

198 ГЛ. IX. ПР01-ЖТИВНЛЯ ГЕОМЕТРИЯ [ 132:
ческая четверка точек. Доказать, что проективное преобраз1
пание, при котором точки А, В, С переходят соответственней
в точки В, С, D, является циклическим, и найти период этог'о^
преобразования. ']
1322*. Сколько существует параболических проективных^
преобразований проективной прямой, при которых точки Д|
и Я переходят в точки Л' и В'? ]
1323*. Доказать, что существует и притом только одно:
параболическое проективное преобразование проективной нря-i
мой с заданной инвариантной точкой А, при котором данная
точка М переходит в данную точку М''. ■ ;
3. Инволюции на проективной прямой
1324*. Какой вид имеют формулы проективного преоб-
преобразования А:
проективной прямой, если это преобразование является инво-
инволюционным, т. е. если А2 = П, где Е — тождественное преоб-
преобразование.
1325*. При каком необходимом и достаточном условии
инволюционное преобразование проективной прямой
1) имеет две инвариантные точки (гиперболическая инво-
инволюция);
2) не имеет инвариантных точек (эллиптическая инволюция);
3) имеет одну инвариантную точку?
1326*. Доказать, что эллиптическая инволюция сохраняет
ориентацию проективной прямой, а гиперболическая инволю-
инволюция меняет ориентацию проективной прямой на противопо-
противоположную.
1327*. Доказать, что всякое периодическое гиперболиче-
гиперболическое преобразование проективной прямой является инволю-
инволюцией (иначе: имеет период 2).
1328*. 1) Как запишется гиперболическая инволюция
проективной прямой, если инвариантные точки этой инволюции-
принять за базисные точки проективной системы координат?
2) Каков будет образ единичной точки £—-A:1) при
этой инволюции?

1336] § 1- ПРОЕКТИВНАЯ ПРЯМАЯ
199
1329*. Как запишется в аффинных координатах гипербо-
гиперболическая инволюция множества собственных точек проекгивно-
аффишюй прямой, для которой инвариантными точками явля-
являются начало координат и несобственная точка?
1330*. Каков геометрический смысл гиперболической инво-
лк)пии в случае, если проективная прямая интерпретируется
кук пучок прямых аффинной плоскости?
1331*. 1) Как запишется в аффинных координатах инво-
люпиошюе преобразование множества всех собственных точек
проективно-аффинной прямой, переводящее начало координат О
аффинной системы координат в несобственную точку со этой
аффинной прямой?
2) При каком необходимом и достаточном условии эта
инволюция будет эллиптической?
В) При каком необходимом и достаточном условии эта
инволюция будет гиперболической? Найти в этом случае ее
инвариантные точки.
1332*. Доказать, что:
1) каковы бы ни были пары то чек Аь А2 и А\, А'.г
проективной прямой, существует инволюция, переводящая
точки А у, А2 соответственно в точки А\, А>;
2) если, кроме того, А2 ф А\ или Ау ф A'it то такая
инволюция единственная;
3) если пары точек Аь А2 и А\, А'г разделяют друг
друга, то инволюция гиперболическая; если пары точек А у, А2
и А\, А\ не разделяют друг друга, то инволюция эллиптическая.
4) Найги формулы инволюционного преобразования,
переводящего точки Лх —A:0) и Л2 = @:1) в точки А\ =
■-~= (ау: а2) и А'а_ = фу: Ьг) в случае, если агф0 (А[ Ф А2) или
Ь, =?, 0 (А'% ф А\).
1333*. Найти все инволюционные преобразования проек-
проективной прямой, которые точку A :0) переводят в точку @: 1).
Какие из этих инволюций будут эллиптическими и какие
гиперболическими?
1334*. На проективной прямой / задана гиперболическая
инволюция двумя парами соответствующих точек А, А' п
«, В'. Доказать, что (АА'ВВ')>0.
1335*. На проективной пряной / задана эллиптическая
инволюция двумя парами соответствующих точек А, А'
и />', В'. Доказать, что (АА'ВВ')<0.
1336*. Доказать, что проективное преобразование проек-
проективной прямой, при котором' точки А, В, С переходят

200 ГЛ. IX. ПРОЕКТИВНАЯ ГЕОМЕТРИЯ [ 13$
в точки А', В', С", будет инволюционным тогда и только
тогда, когда
(АВСС') = (В'А'СС).
1337*. Доказать, что если А и В — инвариантные точю
гиперболической инволюции, то соответствующие друг друг]
точки М и М' гармонически разделяют пару точек А, В
Обратно: если на проективной прямой зафиксировать дв«
произвольные точки А, В и считать соответствующими дру|
другу точки М и М', гармонически разделяющие пару А. В
то такое соответствие является гиперболической инволюцие!
с инвариантными точками А и В.
1338*. Пусть прямая /, не проходящая через вершин]
полного четырехугольника PQRS, пересекает его против»
моложные стороны PQ и FZS в точках А и А', противопо
ложные стороны PR и QS в точках В и В' и нротивопо-
ложные стороны PS и RQ в точках С и С". Доказать, чтс
проективное преобразование прямой /, при котором точи*
А, В, С переходят в точки А', В', С", являются инволюцией;
1339*. Пусть прямая / является собственной прямой про
ективно-евклидовой плоскости; А и В — собственные точки
лежащие на прямой /. Доказать, что гиперболический пучо*
окружностей с предельными точками А и В устанавливав
на прямой / гиперболическую инволюцию, соответствующим!
точками которой являются точки М и М' пересечения окруж
ности рассматриваемого пучка с прямой /. Доказать, что А
и В — инвариантные точки при этой инволюции.
1340*. Пусть прямая / является собственной прямой
проективно-евклидовой плоскости; А и В — собственные
точки, симметричные относительно прямой /. Доказать, чт
эллиптический пучок окружностей с базисными точками М
и В устанавливает на прямой / эллиптическую инволюцию,|
соответствующими точками которой являются точки nepece-jj
чения окружности, проходящей через точки А и В, с прямой 1,4
1341*. Пусть прямая / является собственной прямой.1
проективно-евклидовой плоскости. Доказать, что если А, А'|
и Д В' — соответствующие друг другу точки при эллипти-|
ческой инволюции на прямой /, то окружности с диаметр
рами АА' и ВВ' пересекаются в точках Р и Р'; прямая РР'\
пересекает прямую / в точке О, лежащей между соответ-|
сгвующими друг другу точками М и М', и \0M\-\0M' \=з<
= const. ■]

1346 ]
§ 2. ПРОЕКТИВНАЯ ПЛОСКОСТЬ 201
1342*. Собственная прямая / лежит на проективно-евкли-
доной плоскости. Пусть Г —гиперболическая инволюция на
прямой /. Доказать, что если А, А' и В, В'—пары соответ-
сшующих друг другу точек при инволюции Г, а О —точка
пересечения с прямой / радикальной оси К окружностей
с диаметрами АА' и ВВ', то точки М -и М', соответ-
соответствующие друг другу при инволюции, лежат по одну сто-
сторону от прямой % и \ОМ ■ \ ОМ' [ — const. Доказать, что
инвариантные точки при инволюции Г являются точками
пересечения прямой / с окружностью, центром которой
является точка О, а радиус равен у | ОМ\ ■ \ ОМ' \.
1343*. Доказать, что если интерпретировать проективную
прямую как собственный пучок прямых аффинной, плоскости
с центром О, то эллиптическая инволюция будет инволюцией
сопряженных диаметров некоторого эллипса с центром О,
а гиперболическая инволюция будет инволюцией сопряжен-
сопряженных диаметров некоторой гиперболы с центром О. Дока-
Доказать, что асимптоты гиперболы будут инвариантными «точ-
«точками» при рассматриваемой гиперболической инволюции. -
1344*. Проективная прямая интерпретируется как соб-
собственный пучок прямых аффинной плоскости с центром
■л начале аффинной системы координат. Дано инволюционное
преобразование
Составить уравнение семейства линий второго порядка, для
которых данное преобразование является инволюцией сопря-
сопряженных диаметров.
1345*. Доказать, что всякое проективное преобразование
проективной прямой можно представить как произведение
двух инволюций.
§ 2. Проективная плоскость
Александров, гл. XXI, §§ 1—5; § 8, пп. 5, 6.
Моденов, гл. XV, §§ 191—193, 202.
Постников, гл. 9, § 1, пп. 1, 2, 4—6; Дополнение.
/. Проективные координаты на проективной плоскости
1346*. На проективно-аффинной плоскости введена аффин-
аффинная система координат Оху и проективная система коорди-
координат АХА2А^Е, в которой точками Аь Ал, А3 являются соот-
соответственно несобственная точка оси Ох, несобственная точка

202 ГЛ. IX. ПРОЕКТИВНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
оси Оу и начало О аффинной системы координат Оху. Еди-j
пичпая точка И проективной системы координат совпадает*
с единичной точкой П аффинной системы координат Оху/1
Пусть Xi: хг '■ хя — проективные (однородные) координаты,!5
а х, у — аффинные координаты собственной точки М в ука--.
зашп.'Х системах. Найти выражения х и у через хь х2, x3i
1347. Сторонами Л2А3, A3AV АХАЪ базисного треуголь-
треугольника проективной системы координат на проективно-аффин-
ной плоскости являются прямые, заданные относительно
аффинной системы координат уравнениями \
х-4 = 0, у — 3 = 0, Зх + 4у-12 = 0.
Единичной точкой F. проективной системы координат А1А2А2Е
является точка /: = C, 2). Найти:
1) проективные координаты точки М, аффинные коорди-
координаты которой, 1, 1;
2) аффинные координаты точки N, проективные коорди-
координаты которой 4:3 : — 6; ;
3) проективные координаты несобственной точки R оси Ох;'
4) однородные координаты точки Р, проективные коор-
координаты которой 5:5: — 7. ;
1348. Какая особенность в расположении двух прямых
соответствует тому факту, что два коэффициента уравне-.
имя одной прямой пропорциональны соответствующим коэф-^
фичиептад! уравнения другой прямой?
1349*. При каком условии две прямые
и1х1 + и2х2 + иах3 = 0,
^'l-^l 4" ^2-^2 ~\~ V3X3 = 0
1) пересекаются; 2) совпадают; 3) предполагая, что данные
прямые пересекаются, найти координаты точки их пересе-
пересечения.
1350. Найти координаты точки пересечения прямой
7х1 — 2хо -\- 4хя — 0 с прямой, проходящей через точки
Л = C: по) и 13= (—2:0:7).
1351. Записать параметрические уравнения прямой, про-
проходящей через две точки А==(а1:а2:а3) и B=(b1:b2:b3).
1352. Даны две точки Л=C:0:—1) и £ = (—1:3:0)
своими однородными координатами.
1) Написать уравнение прямой, проходящей через эти
две точки.

1350]
2. ПРОЕКТИВНАЯ ПЛОСКОСТЬ 203
2) Написать параметрические уравнения этой прямой.
3) Найти значения параметров, соответствующих несобст-
иемпой точке этой прямой, и координаты этой несобственной
•ю'пси.
1353. На проективной плоскости введены две системы
координат А]_А2А3П и А\А'гА3Е'. Зная координаты базисных
■1 очек
Л| — (ап: ап:а31), А^=(ап:а22: о32), А'л = (а13: а23: я33)
и единичной точки E'=(bi:b2:b3) проективной системы
А\А^А'ЛЕ' относительно системы АХА2Л3Е, найти:
1) проективные координаты х\:х'г:х'л точки в системе
А[А'.,А'ЛЕ', зная ее координаты х1:х2:х3 в системе AlA2AiE;
й) проективные координаты х1:х2:х3 точки в системе
AVA2A3E, зная ее координаты х[:х'2:х3 в системе А\А'^А3Е'.
1354. Относительно проективной системы координат
А1АгА3Е на проективной плоскости даны координаты базис-
пых точек
и координаты единичной точки £' — B:1:1) новой проек-
■1ИВИОЙ системы координат. Найти выражения координат про-
произвольной точки (xi: х2: х3) в первой системе через коор-
координаты х[: х'%: х'% той же точки во второй системе.
1355. Относительно проективной системы координат
АхА.гА3Е заданы уравнения сторон А'2А'А, А'3А\, А[А'2 базис-
базисного треугольника А^ЛэЛз и координаты единичной точки Е'\
3 = 0 {A3A\),
Е' = (et: е2: е3).
Выразить координаты х\: х'.г: х'л произвольной точки проек-
чивной плоскости в системе А\А'^А'АЕ' через ее координаты
ху:х2:х3 в системе А^^А^Е.
1356*. На проективно-аффишгой плоскости введена про-
ькгивпая система координат: за стороны А2А3ъ A3AV АгА2
базисного треугольника Л^гАз приняты собственные прямые
Агх + Вху + Сг = 0, Л ах + В2у + С2 = 0,
а за единичную точку принята собственная точка Е=(х0, у0).

204 ГЛ. IX. ПРОЕКТИВНАЯ ГЕОМЕТРИЯ [ 191
1) Каковы будут проективные координаты _ух :у2 '-Уз соС
ственной точки М = (х, у)?
2) Найти проективные координаты У\'.у2'-У% несобп
венной точки, однородные координаты которой xi:x2:i
3) Написать урзинепие несобственной прямой в проек
тивных координатах.
1357. На проективно-аффинной плоскости сторонам
А1А2, А.гАэ, А3А± базисного треугольника проективной систем!
координат служат соответственно прямая .у —2, ось 0}
и ось Ох, а единичной точкой —точка £=A, 1). Найт
в этой системе центр пучка прямых, параллельных оси Oi
1358. Вершины базисного треугольника и единична
точка проективной системы координат на проективно-аффин
ной плоскости имеют следующие аффинные координату
^i=(l, 1), . Л2 = (—1, 1), Аа = {0, 0), Е=(о, 4).
Найти в этой системе координат уравнения осей координа
и уравнение несобственной прямой.
1359. На проективно-аффинной плоскости относительш
аффинной системы координат даны четыре точки: Л1 = A, 2)
А;=(— 1, 2), Л3=B, 3),-£=(—3, 4). Найти проективные
координаты точки (— 2, 0) относительно проективно
системы координат АкА.гА3В.
1380*. Найти условие, необходимое и достаточное дл
того, чтобы:
1) три точки (x1:xi:x8), (Ух'.уг'.уа), (zi'-Z2'-zz) лежал
на одной прямой; 2) три прямые [их: «а: «3J, [vy: v2: v3]
[да1:ги2: wa] проходили через одну точку. 'И
1361. 1) Составить уравнение пучка прямых, центром!
которого является вершина Л1==A:0:0) базисного треуголь-jj
ника AiAvAa. >
2) Найти точку пересечения произвольной прямой этого ;■
пучка с базисной прямой A2AS. ?
1382*. На сторонах А2А3, А3АЬ АХА2 базисного треуго'ль» |
ника AtA2A3 взяты точки Мх = @ :х2: х3), Ж2=(х1: 0: xs),j
М8=(х1:х2:Щ- Доказать, что прямые АгМь А%М2, А9М9*.
пересекаются в точке Ж=(х1: х2' xs). ^
1363. Относительно проективной системы координат!
АгАгАаЕ дана точка М = (хг: х2: х3). $
Найти точки Мь Мг, М3 пересечения прямых АХМ, АгМ,\
А3М со сторонами базисного треугольника АгА2Аа. j

1369]
§ 2. ПРОЕКТИВНАЯ ПЛОСКОСТЬ 205
1364. Какой вид имеет уравнение прямой, проходящей
через одну из базисных точек Аг = A:0:0), А2 — @:1:0),
,1з-@:0:'1)?
1365. Найти точки пересечения прямой iiiX1 -\- и2х2 +
,j-/,-3jrs = 0 .со сторонами Л1Д2> А2А3, A3Ai базисного тре-
треугольника АгА2А3.
1366*. Относительно проективной системы координат
AiAiA3ll дана точка М = (хг: х2: х3). Пусть Е3 и М3 — точки
пересечения прямых А3Е и А3М с прямой АгА2. Найти про-
екпшные координаты точки М3 на прямой AiA2 в системе
координат АХА2Е3.
1367. Пусть Пъ Е2, Е3 — соответственно точки пересече-
пересечения прямых АХЕ, А2Е, АаЕ со сторонами А%А3, А3АЬ АХА2
базисного треугольника А1А%А3 проективной системы коор-
iinnar АхАчА3Е. Найти координаты прямых: 1) АуЕ, АгЕ,
A3h\ 2) Ъ^ЕЪ Е.2Е3, Е3Е\.
1368*. Проективная система координат на проективной
плоскости задана базисными прямыми ах —[1:0:0], а2 =
=-|0:1:0], а3 = [0:0: 1] и единичной прямой <? = [1 :1: 1].
1) Найти координаты точек Ръ F2, F3 пересечения еди-
единичной прямой е с базисными прямыми аъ а2, а3.
'2) Найти координаты прямых AiFb A2F2, A^FS, где Аъ
А±, Аз —вершины базисного треугольника.
1369*. Доказать, что если на проективно-евклидовой
плоскости введена проективная система координат АХА2А3Е,
где все точ.ки Аъ Аг, А3, Е собственные, то:
1) проективные координаты Xi'.x2:x3 собственной точки
Л1 пропорциональны отношениям расстояний d\, db d3 от точки
Л1 до сторон А2А3, А3АЬ А\А2 базисного треугольника к рас-
сюяииям ех, е2, е3 от единичной точки Е до тех же сторон:
(трилинейные координаты точки);
2) проективные координаты Ui'.u2:u3 собственной пря-
прямой т пропорциональны отношениям расстояний бь б2> Оз
от вершин Аъ А2, А3 базисного треугольника до прямой т
к расстояниям гь г2, е3 от тех же вершин до единичной
прямой е = [\ : 1 : 1]:
(филинейные координаты прямой).

206 ГЛ. IX. ПРОГ.КТИВНАЯ ГЕОМЕТРИЯ [ 137!
1370*. На проектнвпо-евклидовой плоскости треугольна
ЛВС с вершинами в собственных точках принят за базисный
треугольник проективной системы координат. За единичную
точку принимается иенгр Е окружности, вписанной в тре
угольник ABC. Найти трилинейные координаты: 1) точк!
пересечения медиан треугольника ABC; 2) центра окружу
ПОС1И. описанной вокруг треугольника ABC; 3) точки nepej
сечения высот треугольника ABC. ^ |
1371 *. Написать уравнение несобственной прямой npoj
ектинпо-евклидовой плоскости, принимая за вершины базис|
ного треугольника ЛВС собственные точки, а за единичную»
точку: ]
1) точку пересечения медиан треугольника ЛВС; •
2) Петр окружности, вписанной и треугольник ЛВС; *
3) центр окружности, описанной вокруг треугольника АВС{Х
4) точку пересечения высот треугольника ABC. }
1372*. На проективной плоскости заданы два треуголь-
треугольника А1Л2А3 и B1B2BS, расположенные так, что прямые
Л2В3, Л-1ВЬ ЛЯВ.2 проходя г через одну точку и прямые Афй
А2Вп, А-^В-у также проходят через одну точку. Доказать, что,
тогда прямые АхВг, А3ВЯ, А2ВХ проходят через од^
■точку. |
1373*. Па проективной плоскости даны два треугольники
АуЛоЛя и Вф2В3. Доказать, что: j
1) если прямые АХВЬ А2В2, АаВ3 проходят через
точку, то точки пересечения пар прямых АХА2 и Вф2,
и В2ВЯ, А3Ау и BaBt лежат на одной прямой;
2) если точки пересечения пар прямых ЛХА2 и
Л2АЭ и В2ВЭ, АгАх и В3В± лежат на одной прямой, то
мые АгВь А.2В2, А3В3 проходят через одну точку (теорема-
Дезарга). ' ;
1374*. Два треугольника АХА2Л3 и ВХВ2В3, лежащие на^
проективной плоскости, называются го.мологичными, если»
прямые Афу, А2В2, ASBS проходят через одну точку, пазы-^
ваемуго центром 1'омологии. В этом случае точки пересечения!
пар прямых Л1Л2~я B-Ji2, А2А3 и B2BS, AsAy и B3Bt лежат|
на одной прямой (см. предыдущую задачу), называемой осыо|
гомологии. |
Доказать, что если три треугольника попарно гомологичный
и имеют один и тот же центр гомологии, то оси гомологии^
трех пар этих треугольников проходят через одну точку. |

!37п 1 § 2. ПРОЕКТИВНАЯ ПЛОСКОСТЬ А"
1375*. 1) На проективной плоскости даны две различные
прямые а и Ь. На прямой а взяты точки 1, 3, 5; на прямой b
паты точки 2, 4, 6. Доказать, что точки пересечения пря-
прямых 12 и 45, 23 и 56, 34 и 61 лежат па одной прямой.
2) На проективной плоскости даны дне точки А и П.
Через точку А проведены три прямые 1, 3, о; через точку />'
проведены три прямые 2, 4, 6. Доказать, что прямые, про-
проходящие через точки 12 и 45, 23 и 56, 34 и 61, проходят
через одну точку (теорема Паипа).
2. Ангармоническое отношение. Гармонизм
1376*. Найти ангармоническое отношение:
1) (ABCD) четырех точек проективной плоскости, лежа-
лежащих на одной прямой:
А = (Xj: х2: х3),
С = (((хх1 -\- Р_ух): (ах2 -f р_у2): («х3 -4- Р.1'з))>
2) (abed) четырех прямых- проективной плоскости, про-
проходящих через одну точку:
b = [vx: v2: v3],
с = |(анх -f- P^i): (aw2 + Рг12): (аг'з -
1377. Ha проективной плоскости заданы три точки, лежа-
лежащие па одной прямой,
А ==- («!: а2: а3).
С = ((аах + P&i): («а2 + Р^г): (аа8 + Р&,)).
НэПти координаты точки Д лежащей на прямой ЛВ, зная,
чго ангармоническое отношение (ABCD) ра»но Я.
1378. На проективной плоскости заданы четыре точки
Л-----A : 1 ;2), 5 = C:—1 : 2), С = A1 : —1 :Ю), D = C:4:10).
•доказать, что эти точки лежат па одной прямой, и найти
'^'гармоническое отношение (ABCD).
1379. На проективной плоскости заданы четыре прямые
й=^|0: 1 :_1], Ь = [\:2:—\\, с = [1:1:0], с/=-[4 : 9 : —5].

208 ГЛ. IX. ПРОЕКТИВНАЯ ГЕОМЕТРИЯ [ l|
Доказать, что они проходят через одну точку, и найти анга'
моническое отношение (abed). -^
1380. На проективной плоскости заданы три точки Л;=
= A:2:3), £ = (— 3:2:4), С = (—2:4:7). Доказать, чг
эти точки лежат на одной прямой, и найти точку D, гарм<
нически сопряженную с точкой С относительно пар
точек А, В.
1381*. Относительно проективной системы коор^иш
А]_АгАгЕ задана точка М — {Х\:х\\х'!^, не лежащая ни..|
одной из прямых А3Аг и А3А2. Составить уравнение прямс
А3М и уравнение прямой /, гармонически сопряженной с это
прямой относительно пары прямых А3АЪ А3А2.
1382*. На плоскости введена проективная система kooj
динат АгАгАзЕ. Пусть М =(xx :х2: х3) — точка нлоскост)
не лежащая ни на одной из сторон базисного треугольник.
Обозначим через Е3 и М3 точки пересечения прямых А9Е
А3М с прямой АХА2- Найти ангармоническое отношена
(АХАЪЕ3М3).
1383*. На проективной плоскости введена проективна
система координат ^41Л2Л8£'. Пусть М = (хх: х2: х3) — точк!
не лежащая ни на одной из сторон базисного треугольник
А±АгА3. Обозначим через Мь М2, М3 точки пересечения п$
мых АгМ, АгМ, А3М со сторонами А2А3, A3Alt AtA2 бази
иого треугольника; пусть А^ — точка, гармонически сопряже!
ная с точкой М1 относительно точек А2, Аъ; N2 — точка, raj
ионически сопряженная с точкой Мг относительно точек А
Аъ N% — точка, гармонически сопряженная с точкой М3 отщ
сительно точек Аь А2. Доказать, что точки Nlt N.
N3 лежат на одной прямой, и найти координаты это
прямой.
1384*. Полным четырехугольником называется совокуг
ность четырех точек Р, Q, R, S, из которых никакие тр
не лежат на одной прямой. Сторонами полного четырехуголь
ника PQRS называются шесть прямых QR, PS, RP, QS, PC,
и RS. Стороны, не проходящие через одну и ту же вершину
называются противоположными: QR и PS, RP и QS, PQ I
RS. Точки А, В, С пересечения пар противоположных сторож
называются диагональными точками, а треугольник ABi
называется диагональным. Доказать, что:
1) точки Аь Blt Ct пересечения сторон ВС, СА, АВ дна
тонального треугольника со сторонами QR, RP, PQ лежа!
на одной прямой;

l3P8 ] § 3. ПРОЕКТИВНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ 209
2) стороны SR и PQ пересекают сторону АВ диагональ-
диагонального треугольника в точках М и N, гармонически сопряжен-
сопряжениях относительно пары точек А, В.
!385*. Полным четырехсторонником называется совокуп-
совокупное п> четырех прямых р, q, r, s, из которых никакие три
п.;- проходят через одну точку. Вершинами полного четырех-
сюроппика называются шесть точек пересечения его сторон:
q n r, p и s, r и р, q и s, p и q, г и s. Вершины, не лежа-
i-,iiie на одной и той же стороне четырехсторонника, назы-
называются противоположными. Прямые а, Ъ, с, соединяющие
противоположные вершины, называются диагональными пря-
прямыми. Доказать, что:
1) прямые аь Ьь сь проходящие через вершины диаго-
пятыюго треугольника и соответственно .через вершины,
в которых пересекаются стороны q и г, г и р, р и q, про-
холят через одну точку;
2) вершины, в которых пересекаются прямые s и г, р и
п. гармонически разделяются точками, в которых стороны а
\\ Ъ пересекаются с прямой, соединяющей эти вершины.
1386. Найти диагональные точки четырехугольника, вер-
вершены которого
A:1:1), A:1:—1), A : -1 : 1), (-1:1:1).
1387*. Доказать, что шесть сторон четырехугольника
пересекают три стороны его диагонального треугольника
в шести вершинах четырехсторонника с тем же самым диа-
диагональным треугольником.
§ 3. Проективные преобразования проективной
плоскости
/. Коллинеащш
Александров, гл. XXI, § 6.
Моденов, гл. XV, §§ 194—196.
Постников, гл. 7, § 1, п. 4.
1388*. На проективно-аффинной плоскости задано в од-
однородных координатах проективное преобразование
Кх[ = х± — 2хг -f- Зх3,
Хх'2 = 2х1 + х2-\- 2х3,
\х'ъ = \хх — 2х% -f 5дг3.

210 ГЛ. IX. ПРОЕКТИВНАЯ ГЕОМЕТРИЯ [ 13а|
Найти несобственные точки, которые при этом преобразовав
нии переходят в несобственные точки. |
1389*. Найти проективное преобразование множестаай
всех собственных точек (х, у) ироективно-аффинной пло-|
скости, образами (х', у') которых являются собственные!
точки, если точка @, 0) —инвариантная точка этого проек-j
тивного преобразования, а прямые
х+у + 2 = 0, х— у — 4 = 0, * — 4_у-f 3 = 0 . .-,
переходят соответственно в прямые
х'4-Зу' + 2=-0, лг'-3/+4 = 0 х'+2у'--д = 0. j
1390. Найти проективное преобразование проективно-аф-|
финной плоскости, переводящее начало аффинной системы!
координат в точку (—7, 4), несобственную точку оси Ох—|
A 3 \ ■
--, -„•), несобственную точку 'оси Оу — в точку:
„■, -Q-), а точку A, 1) — в несобственную точку прямой
+у
1391. Найти образ прямой fнх: и2: ^3] при проективном^
преобразовании, для которого стороны базисного треугол2М
ника А1А2А3 инвариантны, а точка (a1:a2'.as), не лежащая|
ни на одной из сторон базисного треугольника, переходит;
в точку (а[: а!г: а'л), также не 'лежащую ни на одной из сто<
рои базисного треугольника.
1392. Дано проективное преобразование: j
%х[ = апхх + а12х2 -f a13x3,
Хх!г =
Найти координаты: 1) образа прямой \!!х:и2'-Чя]', 2) прообраза?
точки (х[:х^:х'3); 3) прообраза прямой [и[ :и'г :«.'j. j
1393. Дано проективное преобразование множества пря-j
мых проективной плоскости:
= а1Хих + а12и2 + а13и3,
= a21«j -f- a22u2 -\- a23tt3,
f аъгиг + азьп3.
Найти: 1) образ точки (х1:х2:хя); 2) прообраз прямой
\и'х: щ: Нд]; 3) прообраз точки (х[:х'2:х'3).

liC2j § 3. ПРОЕКТИВНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ 211
1394*. Найти все проективные преобразования, при кото-
которых базисные точки Ль А2, А3 инвариантны. Какой геометри-ч
■itcKnti смысл имеют эти преобразования в случае, если
проективная плоскость реализована связкой прямых и плоско-
cieti трехмерного аффинного пространства?
1395. Найти проективное преобразование, при котором
базисные точки Аъ А2, А3 переходят соответственно в точки
/-L, Лч- ^i> a единичная точка Е инвариантна.
1398. Найти проективное преобразование, при котором
иершины базисного треугольника Ау = (\ : 0 : 0), А2 — @ :1 : 0),
/\.s =-=@:0:1) переходят соответственно в точки Ег — @ :1 : 1),
/;.,:—A :0 : 1), Zf3 = (l : 1 : 0), а едипичлая точка Е инвари-
1397. Найти псе проективные преобразования, при ко-
которых вершины базисного треугольника Л1 = A:0:0),
Л., .-_-. @:1:0), Л3 — @ : 0 : 1) переходят соответственно в точки
/:,"-=((): 1:1), Zfa = A : 0 : 1),/:3 = A : 1 : 0).
1398. Найти проективное преобразование проективной
плоскости, при котором базисные точки Аъ А2, А3 проектив-
проективной системы координат инвариантны, а единичная точка. Е
переходит в точку Е' = (е1:е2:е3).
1399*. 1) Найти проективные иреобразоиаиия проективно-
аффннной плоскости, при которых все точки несобственной
примой х3 = 0 инвариантны.
2) Какое преобразование на множестве собственных точек
проекпшно-аффиипой плоскости порождает это проективное
преобразование?
1400*. 1) Найти все проективные преобразования проектив-
ио-аффинной плоскости в системе однородных координат, при
коюрых несобственная прямая х3=0 инвариантна.
2) Как преобразуется при этом множество собственных
точек плоскости?
1401. Найти проективное преобразование проективной
плоскости, при котором образами точек Л1 = A:0:0),
Л, г=@:1:0), Л3 = @:0:1), £ = A:1:1) являются точки
К = (а11 : а21 : «3l). A'i = (аП '■ а22 '■ a3i)>
Ао = (а13: а23 : аш), Е' = (Ьг: Ь2: Ь3).
1402. Как запишется проективное преобразование проек-
ч'ивной плоскости, если точка Л1 = A:0:0) является инва-
инвариантной точкой, прямая А2А3 является инвариантной прямой,

212 ГЛ. IX. ПРОЕКТИВНАЯ ГЕОМЕТРИЯ [
причем точка Л3 = @:0:1) является образом точки А
= @: 1 :0)?
1403*. Проективное преобразование проективной пл
скости называется гиперболической гомологией, если оно i
прямую инвариантных точек (ось гомологии) и инвариантну:
точку (центр гомологии), не лежащую на этой прямой. j
■ 1) Как запишется гиперболическая гомология с центре^
Аг = A:0:0) и осью А2А3, А2 = @:1:0), Л3 = @: С(: l)j
2) Как преобразуются собственные точки проективно-д^
финной плоскости при гиперболической гомологии, есщ
А1== A ; 0 :0)—несобственная точка проективно-аффинной пло^
кости, лежащая па оси Ох аффинной системы координат 0x4
а ось А2А3 гомологии совпадает с осью Оу? ■*
3) Как преобразуются собственные точки проективно-аф
финной плоскости, если в качестве центра гомологии приняв
начало координат аффинной системы координат Оху, а в ка^|
стве оси гомологии — несобственную прямую? ':\
1404*. 1) Доказать, что гиперболическая гомология однс|
значпо определяется заданием ее оси, центра, точки М, отлш!
ной от центра, не лежащей на оси гомологии и ее образа Щ
лежащего на прямой, соединяющей центр гомологии с
кой М, причем М' отличен от центра гомологии и не леж
на ее оси.
2) Найти гиперболическую гомологию с центром Ах
= A :0:0), осью А2А3, А2 = @:1:0), А3 = @:0:1), при к
торой точка £ = A:1:1) переходит в Е' = (а: 1:1) (а ф 1).
1405*. Гиперболическая гомология называется гармони
ской, если точка Ж и ее образ М' при этой гомологии гарг
нически разделяют пару точек Ах и Р, где Ах — центр гомолог .
а Р — точка пересечения прямой АгМ с осью гомологии А2А\
1) Доказать, что гармоническая гомология является инв
люциониым преобразованием. Обратно: если гиперболичесю
гомология является инволюционным преобразованием, то oi
является гармонической.
2) Записать гармоническую гомологию, принимая
центр Ах за вершину A:0:0) базисного треугольника, а
гомологии за сторону А2А3 базисного треугольника проект^
пой системы координат на проективной плоскости.
3) Как преобразуются собственные точки при гармой
ческой гомологии проективно-аффинной плоскости, если
центр А! = A:0:0) — несобственная точка оси Ох, а <Ц
гомологии — ось Оу аффинной системы координат Оху?

1412 J
§ 3. ПРОЕКТИВНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ 213
4) Как преобразуются собственные точки проективно-аф-
фипиой плоскости при гармонической гомологии, если ее цент-
центром является начало координат аффинной системы координат
()х\>, а ее осью — несобственная прямая?
1408*. Какой геометрический смысл имеет гармоническая
го-.:О."огил, если проективная плоскость реализована как связ-
связка прямых и плоскостей трехмерного аффинного пространства?
1407*. Доказать, что всякое инволюционное преобразова-
преобразование проективной плоскости является гармонической гомологией
или тождественным преобразованием.
1408*. Доказать, что произведение трех гармонических
гомологии, центры которых совпадают с вершинами, а оси —со
сторонами треугольника, есть тождественное преобразование.
1409*. Проективное преобразование проективной плоскости
называется параболической гомологией, если оно имеет прямую
пчвгрпзнтпых точек (ось гомологии) и пучок инвариантных
прямых, центр которого (центр гомологии) лежит на прямой
шпариангных точек.
1) Как запишется параболическая гомология с центром
Л±—--(I : 0 : 0) и осью AtA2, Л2 = @ : 1: 0)?
2) Как запишется параболическая гомология с центром
/^—A:0:0), осью АХА2, Л2 = @:1:0), при которой точка
/?---=(! : 1 : 1) переходит в точку E' = (k: 1:1) (/гф 1)?
3) Как преобразуются собственные точки проективно-аф-
ф"шюй плоскости, если центр гомологии есть несобственная
точка оси Ох аффинной системы координат Оху, а ось гомо-
.rioi ни — несобственная прямая?
1410*. Какой геометрический смысл имеет параболическая
го.-;о.1Огия, если проективная плоскость реализована как связка
прямых и плоскостей трехмерного аффинного пространства?
1411*. 1) Доказать, что произведение двух гармонических
юмологий есть параболическая гомология.
^) Обратно: всякая параболическая гомология может быть
представлена как произведение двух гармонических гомологии.
1412*. Доказать, что проективное преобразование
Хх[ = anx! -f a12x2 -f a13x3,
Xx'i — а21хг -f- a22x2 -f- a23x3,
kx3 = aslxl -f a32x2 -f a33x3,
"P" котором инвариантными точками являются все точки пря-.
"!ofl Л"з —0 и только эти точки, является параболической го-
хо-•'огней. Найти ее центр.

214 ГЛ. IX. ПРОЕКТИВНАЯ ГЕОМЕТРИЯ Г if
1413*. Доказать, что произведение гиперболической roiyrt
логин на параболическую гомологию с той же осью есть типе
болическая гомология.
1414*. Дано проективное преобразование
+ О.22Х2 + ^23-^3.
kx<i = а31хг + а32х2 + а33х3.
Пусть
ап — X а12 а13
а21 агг — X. а23
asi азг а33 — А.
—характеристический полином матрицы
al2 at3\
А = ian а22
\а31 а32 а33)
этого преобразования.
Доказать, что:
1) координаты Ху\х.г:х3 инвариантных точек этого пр
образования определяются из системы уравнений ^
@22-^)^2+023^3=°.
где X — корень характеристического полинома;
2) координаты «2: г/2:«з инвариантных прямых находят!
из системы
(аи — X)
(а33 — X) и3 = О,
где X — корень того же характеристического полинома;
3) если X— простой корень характеристического под]
нома, то соответствующие ему инвариантные точка и прямг|
определяемые из систем A) и B), не инцидентны. *
1415*. Дано проективное преобразование
kx[ = а1Ххх + а12х2 + а13х3,
kx'i = anxt - \-а^х2 + ai3x.s,
kx'3 = a31x± + азгх2

1417 J
§ 3. ПРОЕКТИВНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
215
Пус i ь
а—X
«31
•характеристический полином матрицы
А =
«и Оц al3\
«23
\^31 ^32 ^33/
этого преобразования.
Найти канонический вид этого преобразования в зависи-
зависимости от корней Аф А,2, А3 характеристического полинома и
рапса матрицы Л — А/;, если Я — кратный корень характери-
характеристического полинома.
Рассмотреть следующие случаи:
1) А-!, А2, ?v3 — действительные и простые корни;
А,з — комплексные
' — действительные
2) At —действительный корень, А2
3 = а±р/ (а и
сопряженные корни:
числа и Р =/= 0);
j л Л 'i п /_ 7 О re / Л с /^"\ 1 •
/ '•I — ^2 ^^^^ " =7 *V3> ^ & V — / — *
6) Aj = А2 = А3 =■--- s, Rg (Л - sZJ)= 1;
7) >4 = a2 = A3 = s, Rg(/l-sE) = 0.
1416*. Найти инвариантные точки и инвариантные прямые
проективного преобразования, заданного в канонической си-
системе координат, в зависимости от канонического вида этого
преобразования (см. предыдущую задачу).
2. Корреляции. Поляритет
Л л е к с а и д р о в, гл. XXII, § 5.
1417*. Корреляцией называется отображение множества
всех точек проективной плоскости на множество всех пря-
Л'чх проективной плоскости, определяемое соотношениями
fat.2 = a2iX1 -f- a.i
},щ = anxx + а-42х2 + аязх3,
^12 ^13
а.,2 а23
Язз ат
A)

216 ГЛ. IX. ПРОЕКТИВНАЯ ГЕОМЕТРИЯ $i
где (х1:х2: х3) — произвольная точка, а [их: iu : и3\ —■.$
ветсгвующая ей прямая проективной плоскости. Доказать, i
1) если три точки А, Б, С лежат на одной прямой,
соотнетствующие им прямые а, Ъ, с при корреляции A)п;
ходят через одну точку;
2) если три прямые а, Ь, с проходят через одну точа?
то они соответствуют трем точкам А, В, С, лежащим на.опт
прямой. , 1
1418*. Доказать, что если точки А, В, С лежат на од1#|
прямой [vx: v2: v3], то при корреляции ■'■';
Х а12х2 + а13х3, j
им соответствуют три прямые а, Ь, с, проходящие
одну точку (уг :у2:Уз) такую, что
%v1 = а11у1 + аиу2 -f a31y3,
1419*. Доказать, что существует и притом только о,
корреляция, при которой четырем точкам, из которых ника:
три не лежат на одной прямой, соответствуют четыре прям;
из которых никакие три не проходят через одну точку.
1420*. Даны две корреляции Кг и К2. Пусть М — щ
извольная точка проективной плоскости, т — ее образ я
корреляции К\> М' — прообраз т при корреляции /е2. До}
зать, что соответствие, при котором точке М соответств^
точка М', является проективным преобразованием.
1421. Найти корреляцию проективной плоскости, при!
торой точкам Л1 = A :0:0), 42 = @:1:0), Л3 = @:0г
£=A:1:1) ставятся в соответствие прямые ^ = [1^
1422. Дана корреляция
На прямой хг-\-х2 — 2^3=0 найти точку, для которой
мая, являющаяся ее образом при данной корреляции, прс
дит через эту точку.
1423. Найти корреляцию, при которой точкам A :
@:1:0), @:0:1), A:1:1) ставятся в соответствие прямв
[1:0:0], [0:1:0], [0:0:1], [1:1:1].

42o j § 3. ПРОЕКТИВНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ 217
1424*. Корреляция
kit! ~ ailxl + а12х2 + a13x3,
Xu2 = п2л + a22x2 + a23x3,
%u3 = aslxx + a32x2 + a33x9
называется поляритетом-II, если матрица
А = I Oai а22 а
W «32 а:
является симметрической.
Доказать, что:
1) если прямая а является образом точки А при поляри-
поляритете П и В— произвольная точка, лежащая на прямой а, то
прямая Ь, являющаяся образом точки В при этом поляритете,
проходит через точку А;
2) если при корреляции произвольной точке А соотвег-
с i иует прямая а и любой точке В, лежащей на прямой а, соот-
и-лстзует прямая Ь, проходящая через точку А, то эта кор-
корреляция есть поляритет.
Если прямая а соответствует точке А при поляритете П, то
а'называется полярой точки А, а точка А — полюсом пря-
пряной а. Точки А и В, из которых каждая лежит на поляре дру-
гоп, называются сопряженными точками. Прямые а и Ь, из
ксиорых каждая проходит через полюс другой, называются
сопряженными прямыми.
1425*. Доказать, что всякая корреляция, при которой
вершинам некоторого треугольника ABC соответствуют его
противоположные стороны, есть поляритет. Треугольник
ЛВС, для которого каждая сторона является полярой проти-
противоположной вершины при некотором поляритете, называется
атоноляриым треугольником для этого поляритета.
1428. Как запишется поляритет, если базисный треугольник
Л1А2А3 является автополярпым для этого поляритета?
1427*. Доказать, что поляритет однозначно определяется
заданием автополярного треугольника, точкой М и прямой т,
ийлнющейся образом точки М.
1428*. Доказать, что если точки А и В лежат на своих
полярах, то прямая АВ не проходит через свой полюс.
1429*. Доказать, что на прямой не может быть более
дн)х точек, лежащих на своих полярах.

218 гл. ix. проективная геометрия г/
1430*. Доказать, что:
1) если при поляритете П вершинам треугольника А
соответствуют стороны В'С, С А', А' Б' треугольника А'В'Щ
отличного от треугольника ABC, то прямые АА', В В' и Сщ
проходят через одну точку О (георема Шаля);
2) если у диух различных треугольников ABC и А'В'1
прямые АА', ВВ', СС проходят через одну точку О,--щ
существует поляритет, при котором вершинам А, В, >С т{
угольника ABC соответствуют стороны В'С, С А',' А'
треугольника А'В'С' (теорема Штаудта).
1431*. Доказать, что поляритет на любой прямой, не npj'l
ходящей через ее полюс, порождает ишюлюпию сопряжений
точек. j
1432*. Если при поляритете П ни одна точка не лежи
на своей поляре, то поляритет 11 называется эллиптически^
Если при поляритете П существует точка, лежащая на свое|
поляре, то поляритет II называется гиперболическим. Тр
прямые А2А3, АЯАЪ А±АЪ не проходящие через одну точк^
делят проективную плоскость па четыре области. Пусть гголярй.
тег II задан автонолярпым треугольником АхАгА3 и образом'j
точки Е. Доказать, что если точка /:' лежит в той области, в ко
торой нет точек прямой е, то поляритет Г1 будет эллинт>ч«
ским; если прямая е содержит точки той области, в которО)
лежит точка Е, то поляритет будет гиперболическим:
1433*. Дан поляритет , '
% + + а13х3, i
aS2x2 + a3Sxs. <
При каком необходимом и достаточном условии: 1) точк
(л"!: .г2: х3) лежит на своей поляре; 2) поляритет являете
эллиптическим; 3) поляритет является гиперболическим.
1434. Дан поляритет
hi г = апхг + а12х2 + a13xs, "*
ht2 = a21xt
При каком необходимом и достаточном условии прямя
[iix'.u^'.ih] проходит через свой полюс? ;|
1435*. Доказать, что если две нары противоположи^
вершин четырехсторонника сопряжены при некотором поля

44l[ § 4. линии второго порядка 219
пи I ere, то я третья пара противоположных вершин будет
также сопряжена при этом поляритете (теорема Гессе).
1436*. В четырехугольнике AxA2A3At вершины Ах и А3,
а также А2 и Л4> сопряжены при некотором поляритете. До-
Доказать, что точка Аъ пересечения прямых АХА2, А3А4 и точ-
точка Лп пересечения прямых A1Ai и АгА3 полярно сопряжены
пли том же поляритете (теорема Гессе).
1437*. Доказать, что корреляция, переводящая четыре вер-
вершины пятиугольника в соответствующие противоположные сто-
стороны, есть поляритет, при которой и пятой вершине соответст-
соответствует противолежащая ей сторона.
1438. 1) Найти уравнение геометрического места точек,
лежащих на своих образах (прямых) при корреляции
Л/?1 ^^ &Ц-А"i ~р &\2Х2 -р пхзХя,
'i „ /7 V I /7 V I /T V
Л(*о U21**-l ~p С12<уЛ2 ~f ^*23'^3»
1Л1 з U31-*-1 ~t~ U32"^ 2 I и 33-^ 3'
2) Какой вид примет это.уравнение в случае, если дан-
пая корреляция является поляритетом?
§ 4. Линии второго порядка на проективной плоскости
Александров, гл. XXII, §§ 1—3, 8.
Моденов, гл. XV, §§ 203—211.
Постников, гл. 6, § 2, пп. 1—3, 8.
/. Линии второго порядка
1439*. Написать уравнение линии второго порядка на
проективно-аффинной плоскости, касающейся оси Ох в точ-
точке C, 0), оси Оу в точке @, 2) и несобственной прямой.
1440. На нроективпо-аффипиой плоскости введена аффин-
аффинная система координат Оху. Как запишется уравнение эллип-
эллипса л'2-(-_уа=1 в проективной системе координат АХА2А3Е,
если за стороны А2Аа, А3АХ, АХА2 базисного треугольника
принять соответственно прямые у-\-1 = 0, у — 1 =0, х — 0,
а за единичную точку Е — точку A, 0)?
1441. Как запишется уравнение параболы yг—^x, лежа-
на проективно-аффинной плоскости, в проективной си-
сгоме координат AXA2A3E, если
Л,~-(\ пч л / 1 о\ л ( 1 91 F — CO 0P

220
ГЛ. IX. ПРОЕКТИВНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
• 1442. На проективио-евклидовой плоскости относите*
прямоугольной системы координат задана окружность
-(-_у2—1. Как запишется уравнение этой окружности в
ективной системе координат АХА2А3Е, если
Л1==A, 0), Ла = @, 1), Л3 = (—1, 0), £ = @, —1)
1443. Составить уравнения линий второго порядка, зн
что они проходят через вершины базисного треугольш
AtA2A3 проективной системы координат.
1444. Пользуясь приведением квадратичной формы к су»
квадратов, определить проективный класс следующих ли
второго порядка:
1) 2х\ + 4x1 — х% + 2х2х3 + 5х3хх + Ъхгх2 = 0;
2) х2х3 -\- х3хх -f ххх2 = 0;
3) 4л-;-\- 15х| — 5л"з — 22x2A — 8х3хг + 1 бх^а = 0; ■'
4) 2лг| + 6х
5) 4xj + А
6) х1 +
■ 1445*. Относительно проективной системы координат
четыре прямые:
2Xt + Ч1ЭХЭ = 0 (/j),
j = 0 Us), -
U4 == ??4iXj -p ll$2X2 -\- W^gXg = U ('4), *
из которых никакие три не проходят через одну точку,
точка Мо = {х\: х\: х\), не лежащая ни на одной из этих п]
мых. Составить уравнение линии второго порядка, нроходяи!
через четыре точки пересечения прямых 1г и 12, /2 и /3,|
и /4' 4 и h н через точку Жо.
1446. Составить уравнение линии второго порядка, гг.
ходящей через пять точек:
Д = B:-5: 1), £ = (-5:2:1).
1447*. Доказать: для того, чтобы через пять точек Щ
ективпой плоскости можно было провести единственную ли*
второго порядка, необходимо и достаточно, чтобы ника^
четыре из этих точек не лежали на одной прямой.

..„, § 4. ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА 221
•D48*. 1) Составить уравнение линии второго порядка,
каС,,;,отейся сторон АгА3 и А2А3 базисного треугольника
:\ -\,АЯ в точках А1У А2 и проходящей через единичную
точку /- проективной системы координат.
2) К какому аффинному классу будет относиться эта ли-
линия, если Аг и А2 — несобственные точки проективно-аффин-
noii плоскости?
;<) К какому аффинному классу будет относиться эта ли-
линия, если Аг и А3— несобственные точки проективно-аффин-
ной плоскости?
1449*. Доказать, что если уравнение
F == апх\ -f аггх\ -f атх\ -f 2а23х2х3 +
-f 2аЯ1х3хг -f 2а12х1х2 = О
являен-я уравнением действительной овальной линии С вто-
второго порядка, то условие
«21 «22 «23
а31 а32 аЗЗ
lf x2, л-3)>0
необходимо и достаточно для того, чтобы точка М = (х1:х2:х3)
б;.;,!а [чиутренней точкой линии С.
1450. При каком необходимом и достаточном условии
точка (аг:а2:а3) является внешней точкой линии х\-\-х\ —
— Л1--.0?
14511. Дана действительная овальная линия С второго
порядка:
апх] -f а2гх\ + as3xl + 2а23х2х3 + 2а31хах1 + 2а12хгх2 = О
!' прямая
щхг + пгх2 + н3лг3 = 0.
Up*! каком необходимом и достаточном условии эта прямая:
') пересекает линию С; 2) касается линии С; 3) не пересе-
Krk-r ЛИНИЮ С.
1452*. Пусть ABC и Л'В'С" — два треугольника, лежа-
"U:f на проективной плоскости и такие, что прямые ЛЛ',
fs/i', CC проходят через одну точку. Доказать, что шесть
''>".ок пересечения прямых АВ и Л'С, АВ и В'С, ЛС и
/V/>", ЛС и S'C, SC и С А', ВС и Л'В' лежат на одной
11 'ой же линии второго порядка.

222 ГЛ. IX. ПРОЕКТИВНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
1453*. В действительную овальную линию второго
рядка вписан шестиугольник 123456. Доказать, что
пересечения пар прямых 12 и 45, 23 и 56, 34 и 61 лежа|
па одной прямой (теорема Паскаля). |
1454*. Пусть Аъ Аг, Ай, At, Аъ — пять произвольных щ
чек, лежащих па дейстнительной нераспадающейся линии С вщ
рого порядка. Доказать, что если /— касател!)Ная к линииЧ
второго порядка в точке Аъ то три точки пересеченй
прямых / и Лз^4> ^1^2 и А±АЪ, А2А3 и АХАЬ лежат па одно;
прямой.
1455*. Пусть Аь Аъ А3, Ал — произвольные точки, л
жащие на действительной нераспадающейся линии С второй
порядка; 1Ь /2, 4, h — касательные к этой линии соответс^
вешю в точках Аъ А2, А3, At. Доказать, что четыре точк|
пересечения прямых АхАг и А3А4, А%А3 и А4АЪ 1г и /4, 1г и |
лежат на одной прямой. ' -4
1456*. Пусть А1ь А2, А3 — три произвольные точки деда
ствительной нераспадающейся линии второго порядка, J
А.> 4> 'з — касательные к этой линии, проведенные к ней!!
этих точках. Доказать, что три точки пересечения прямых'
А2А3 и 1Ь А3А1.к 12, АхА.г и 13 лежат на одной прямой. . -|
1457*. Около действительной нераспадающейся линии Аэ!
рого порядка описан шестиугольник A1A2A3AiA-oAe. Док
зать, что прямые А^А^ А2АЪ, А3А6 проходят через одк
точку (теорема Бриапшона).
1458*. Доказать, что если A1A2A3AiA5 — произвольна
пятиугольник, описанный около действительной нераснад
юшейся линии второго порядка, и Ав — точка касания прямс
АгАъ с этой линией, то прямые АХА4, А2АЪ, А3Ав проход
через одну точку.
1459*. Пусть А{, А2, А3, Л4 —произвольный четыре
угольник, описанный около действительной нераспадающей
линии С второго порядка, а Аъ, Ae, A7, As — точки касан;
сторон АХА2, А2А3, A3Ait АцАу с линией С. Доказать, что ч
тыре прямые АХА3, А2А4, А5А7, А$А8 проходят через одну точк
1460*. Доказать, что если треугольник /^ЛаЛз ound
около действительной нераспадающейся линии С второго п
рядка, а Л4, Аъ, Аъ — точки касания сторон АХАЪ А%АЪ,
с линией С, то прямые АгАъ, ЛаЛ0, Л3Л4 проходят чер
одну точку.
1461*. Пусть S—семейство нераспадающихся линий btj
рого порядка, каждая из которых касается четырех прямь

]467j § 4. ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА 223
а о«, ^3' а\- Доказать, что прямые, проходящие через точки
касания линий 5 со сторонами аъ аг и а3, а4, проходят через
одну точку.
1462*. Доказать, что если каждые две из трех линий
второго порядка пересекаются в четырех точках, причем все
они имеют общую хорду, то три другие их общие хорды
проходят через одну точку (теорема Штурма).
1483*. Дна пучка прямых с центрами Si и S2 находятся
и проективном соответствии, если между ними установлено
шапмпо однозначное соответствие, при котором четырем лю-
любым прямым пучка 6\, образующим гармоническую четверку,
соответствуют четыре прямых пучка S2, также образующих
гармоническую четверку.
/[оказать, что точки пересечения прямых, соответствую-
соответствующих друг другу при проективном соответствии пучков 6\ и S2,
.ic-.кат на одной и той же линии второго порядка, проходя-
проходящей через точки 6\ и Sa, и обратно: если на линии L вто-
второго порядка взять дне точки 6\ и S2 и поставить в соот-
соответствие прямой 1Х пучка Si прямую 1.г пучка S2, которая
пересекается с прямой 1Х в точке М, лежащей па линии L,
то такое соответствие днух пучков будет проективным.
1484*. Найти геометрическое место точек пересечения
соответствующих прямых двух проективных пучков x1 = kx2,
Хл ------ kxn.
1485*. Даны четыре точки, из которых никакие три не
лежат па одной прямой, и прямая /, не проходящая ни через
од:(у из этих точек. Рассмотрим семейство линий второго
порядка, каждая из которых проходит через четыре данные
точки. Доказать, что если М и М'— точки пересечения
прямой / с произвольной линией семейства, то эти точки
соответствуют друг другу при некоторой инволюции па
прямой /.
1468*. Рассмотрим семейство линий второго порядка,
касающихся двух данных прямых и фиксированных точках.
Доказать, что нары точек пересечения этих линий с
третьей фиксированной прямой X соответствуют друг другу
ири некоторой инволюции па прямой X.
1467*. 11а проективио-аффиниой плоскости введена аффии-
"пя система координат Оху. Найти в однородных координа-
г^, а для собственных точек линий и в аффинных крорди-
"aiax, проективное преобразование плоскости, которое нере-
ьодиг:

224 ГЛ. IX. ПРОЕКТИВНАЯ ГЕОМЕТРИЯ [
1) эллипс х2-\-у2~\ в гиперболу х2 — _уа=1, дополна
ную несобственными точками ее асимптот;
2) гиперболу х*—уг--Л, дополненную . несобственны
точками ее асимптот, в параболу у — х2, дополненную несо^
ственной точкой ее диаметров;
3) эллипс ха+_уа=1 в параболу _у = лг2, дополненную
несобственной точкой ее диаметров;
4) пару пересекающихся прямых хг— у2—0, дополнен)
ную их несобственными точками, в пару параллельных.'пря!
мых х2—1=0, дополненную их несобственной точкой! '■:.;
1468*. На проективпо-евклидовой плоскости относительна
прямоугольной системы координат Оху задана гипербола •;
а2 ~ № = " J
1) Найти проективное преобразование в однородных kooj
динатах, при котором эта гипербола инвариантна, а касат
пые в вершинах гиперболы переходят в ее асимптоты.
2) Как в декартовых координатах х, у преобразуютс.
собственные точки этой гиперболы при этом проектив»
преобразовании?
1469. Доказать, что действительная нераспадающаяся ля'^
ния второго порядка инвариантна при гармонической го:-|М-!
логии, центр которой является полюсом ее оси. \
1470*. Составить уравнение семейства линий второго поряди
ка, инвариантных при гармонической гомологии Хх[ — — хш
Хх!2 = х2, Хх'3 = х3 с осью А2А3 = \ 1:0: 0] и центром Лгай|
-A:0:0). '
1471*. Найти проективное преобразование, при которой
точка Л1 = A:0:0) инварианта, а точка М линии
переходит во вторую точку М' пересечения прямой
с этой линией.
1472*. Доказать, что если при проективном преобразс-83
нии действительной овальной линии второго порядка в се<Й
три точки этой линии инвариантны, то все точки этой лиш
инвариантны.
2. Полюсы и поляры
1473. Найти поляру точки A, 0) относительно линии
Зх2 — бху + Ъу2 — 4х — 6у + 10 = 0.

J
§ 4. ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА 225
1474. Найти полюс прямой З.г — з' + 6 = 0 отпосигелыю
второго порядка
х2 — 2ху +у2 •{- 2х - 6у = 0.
1475. Составить уравнение прямой, проходящей через
точку B, 1), полярно сопряженную прямой 4л"—_у+30 —0
оиюсителыю линии
х2-6ху+9у8- 12x-f Hj —7 = 0.
1476. На прямой .г —5_у+ 18 = 0 найти точку, полярно
сопряженную с точкой (—5, 4) относительно линии
2ху - 6х + 4_у - 1 = 0.
1477. Составить уравнение линии пторого порядка, для
которой ось Оу является полярой точки E, 0), ось Ох—
полярой точки @, 3) и которая проходит через точки A, 2),
(»• X.
1478. Составить уравнение линии второго порядка, про-
проходящей через точки /4---A, 1), # = A, —1), О = @, 0) при
условии, что точка C, I) является полюсом прямой ЛВ.
1479. Доказать, чго поляры любой точки плоскости отно-
относи кмыю эллипса
* \ " 1
ai -i- bt —
и гиперболы
1 t _ t — 1
симметричны относительно оси Ох.
1480. Доказать, что поляра любой точки асимптоты гп-
черболы, отличная от ее центра, параллельна этой аспмп-
10 re.
1481. 1) Доказать, что поляра центра нераспадающейся
■чиним второго порядка, лежащей на проектнвно-аффипной
"■юскостн, есть несобственная прямая.
2) Доказать, что полюс диаметра нераспадающейся линии
В|орого порядка есть несобственная точка хорд, которым
с°нряжеп этот диаметр.
1482*. На проектнвно-аффинной плоскости задана дей-
Ст»ителы1ая овальная линия второго порядка. Доказать, что
ес-'1н из внешней собственной точки этой линии провести
к ней касательные, то прямая, соединяющая эту точку с
8 П. С. Моденов, А. С. Пархоменко

226 ГЛ. IX. ПРОЕКТИВНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
серединой хорды, граничными точками которой' являются то|
icei касания, будет диаметром линии, сопряженным напрая
нию хорды.
1483*. Доказать, что центр нераспадающейся линии вт|
рого порядка лежит вне треугольника, являющегося автоп|
лярным по отношению к этой линии.
1484. Доказать, что директриса линии второго поря
является полярой соответствующего ей фокуса.
1485*. Доказать, что если две прямые проходят чер
фокус линии второго порядка, то необходимым и достат
ны.м условием полярной сопряженности этих прямых являете!
их перпендикулярность.
1488. Доказать, что если из каждой точки прямой, пер
пепдпкуляриой к оси линии второго порядка, опустить пер
пепдикуляр на поляру этой точки, то все такие перпендик^
ляры проходят через одну и ту же точку, лежащую на OQ
линии. ■ |
1487*. Доказать, что если треугольник ABC являет^
автополярпым для окружности, то точка пересечения выса
треугольника ЛВС совпадает с центром этой окружности
1488*. Пусть С —действительная овальная линия второй
порядка на нроектпвно-евклидовой плоскости, a F — ее фоку^
Доказать, что при поляритете относительно окружное^
с центром F множество всех касательных к линии С пЩ
образуется в множество точек окружности с центром F. Ц
1489*. Найти геометрическое место полюсов М хорд ni
раболы, которые видны из фокуса иод прямым углом. • .•»*
1490*. 1) Доказать, что для всякого поляритета геоме^
рическое место точек, инцидентных своим полярам, есть Hi
распадающаяся линия второго порядка (действительная ий
мнимая).
2) Доказать, что для всякой линии второго порядка с?
шествует поляритет, при котором геометрическим место!
точек, инцидентных своим полярам, является эта линия. ;
1491*. Пусть па проективной плоскости дана нераспа
дающаяся линия второго порядка - ;;
<*их\ + аъгх\ + aS3xl -\- 2а2Ях2х3 -f 2a3iX3-*"i + 2a12xxxa = 01
и точка Мо = (xj: х\: х%). Найти геометрическое место точе|
гармонически сопряженных с точкой Мо относительно тр
чек А и В, в которых произвольная прямая, проходяЩ<^
через точку Мо, пересекает данную линию. ■■

1500]
§ 4. ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА 227
1492*. Пусть С — линия второго порядка, являющаяся
геометрическим местом точек, инцидентных соответствующим
,,м прямым при поляритете П. Доказать, что если точка. М
лежит на линии С, то при поляритете П ей соответствует
касательная к линии С в точке М.
1493*. Пусть А — произвольная точка, лежащая на нерас-
нераспадающейся линии С второго порядка, а В — полюс любой
прямой, проходящей через точку А. Доказать, что прямая АВ
япляется касательной к линии С в точке А.
!494S:. Доказать, что если Ж —точка, внешняя по отно-
отношению к действительной нераспадающейся линии второго
порядка, то ее поляра проходит через точки прикосновения
касательных, проведенных к данной линии из точки М.
1495*. Доказать, что если М — внешняя точка для дей-
действительной нераспадающейся линии второго порядка, то лю-
любая пара полярно сопряженных прямых, проходящих через
точку М, гармонически р'азделяет пару касательных к этой
линии, проведенных к ней из точки М.
1498. Написать уравнение линии второго порядка, прохо-
проходящей через вершины Аь Аг, А3 базисного треугольника,
зная, что единичная точка /: = A : 1 : 1) проективной системы
координат является полюсом единичной прямой £ = [1:1:1].
1497*. Доказать, что если п нераспадающуюся линию
второго порядка вписан треугольник, то прямая, полярно
сопряженная с одной из его сторон, пересекает две другие
стороны в полярно сопряженных точках.
1498*. Пусть точки А и В полярно сопряжены относи-
относительно нераспадающейся линии второго порядка. Пусть пря-
прямая, проходящая через точку В, пересекает эту линию в точ-
точках Р и Q, а АР и AQ пересекают линию вторично в точ-
точках R и S. Доказать, что точки R, S и В лежат на одной
прямой.
1499*. Па проективной плоскости введена проективная
система координат АгАгАаЕ. Пусть Ех и Ег — точки пересе-
пересечения прямых АУЕ и АгЕ со сторонами АгА3 и А$Аг. Сосга-
Ri'ib уравнение линии С второго порядка, для которой базис-
базисной треугольник А^Ад будет автополярным, а полярой
единичной точки Е будет прямая ЕХЕ%. Какие из точек Аъ
Л», А3 являются внутренними точками линии С, а какие
внешними?
1500. При каком необходимом и достаточном условии
две точки (хх:хг:х3) и (yi'-Уг'-Уз) полярно сопряжены
8*

228 ГЛ. IX. ПРОЕКТИВНАЯ ГЕОМЕТРИЯ [ 1|
относительно нераспадающейся линии второго порядка
я ii*i + «22*1 + «зз*з + 2« 23*2X3 + 2азхх3хх + 2а12ххх2 = 0? |
1501. При каком необходимом и достаточном условий
две прямые [их:и2:и3] и \vx: v2: v3] полярно сопряжены отнс
снтельио нераспадающейся линии второго порядка
аххх\ -f а22х\ + а33х\ + 2а23*2*з + ^а31х3х1 -f 2ахгххх2 ~ 0? |
1502. Найти координаты полюса прямой
«1*1 + «2*2 + «3*3 = °
относительно нераспадающейся линии второго порядка
а1гх\ + п22х| + аязх1 + 2а23х2х3 -f 2д31*з*1 + 2ах%ххх.г = 0. |
1503*. Доказать, что если в опальную линию второго
порядка вписать треугольник и в его вершинах провести
касательные к этой линии, то точка пересечения прямых
соединяющих вершины описанного треугольника с точкам|
касания противоположных сторон, есть полюс прямой, йЩ
которой лежат три точки пересечения сторон вписанного тре^
угольника с касательными в противоположных вершинах. |
1504*. Доказать, что если АХА2Л3 — автополярный 'фе-^
угольник для действительной овальной линии второго порядка,!
то одна из его вершин является внутренней точкой этощ
линии, а дне другие —внешними. , '1
1505*. Доказать, что уравнение линии второго норядкш
относительно проективной системы координат ЛХЛ^А3Е имеей
вид х\-{-х\ — -.vjj = Q тогда и только тогда, когда треуголь!
ник АХА2А3 атополяриый, точка А3 внутренняя, а точки Ал
п Л2 — внешние для этой линии и единичная точка Е совпа-J
дает с одной из четырех точек, к которых пересекаются ка-^
сательпые к линии, проведенные из точек Ах и А2. :]
1506*. Написать уравнение овальной линии второго по-|
рядка, касающейся двух сторон АХА3 и А2А3 базисного тре-J
угольника AiA2^s n вершинах Л1 = A:0:0) и Л2 = @: 1:0),*
зная, что единичная точка £ = A .' 1 •' J) является полюсом'^
единичной прямой е = [1: 1 : 1] относительно этой линии. j|
1507*. Треугольник ABC описан около овальной линия|
второго порядка. Доказать, что если точка М полярно сей
пряжена с точкой А относительно этой линии, то прямые
и МС также полярно сопряжены относительно той
линии.

[5j5 ] § 5. ПРОЕКТИВНОЕ ПРОСТРАНСТВО 229
1508*. Пусть А и В — полярно сопряженные точки отно-
относительно нераспадающейся линии С второго порядка. Пусгь
прямая, пересекающая линию С в точках Р и Q, полярно
сопряжена с прямой АВ. Доказать, что прямые AQ и ВР
пересекаются в точке, лежащей па линии С.
1509. Относительно проективной системы координат
задана нераспадающаяся линия второго порядка:
апх\ + а2гх\ + а33х\ + 2а23х2дг3 + <2а3]_х3х1 + 1ах^ххх^ — 0.
При каком необходимом и достаточном условии треугольник с
вершинами (хх: х2: х3), (У1:уг:у3), Oi '• z2: г3) является
аитополярным относительно данной линии?
1510*. Доказать, что если два треугольника являются
автополярными при данном поляритете, то шесть их вершин
лежат на одной и той же линии второго порядка.
1511*. Доказать, что любые два треугольника, вписанные
в действительную нераспадающуюся линию второго порядка,
являются автополярными при некотором поляритете.
1512*. Доказать, что если в нераспадающуюся линию
второго порядка вписан шестиугольник АВСА'В'С так,
что прямые АА', ВВ', СС проходят через одну точку, то эта
точка является полюсом прямой, на которой лежат точки пере-
пересечения соответственных сторон треугольников ABC и А'В'С'.
1513*. Доказать, что если полный четырехугольник впи-
вписан в нераспадающуюся линию второго порядка, то его диаго-
диагональный треугольник является автонолярпым для рассматри-
рассматриваемой линии.
1514*. Доказать, что шесть вершин двух автополярных
треугольников относительно линии второго порядка принад-
принадлежат некоторой линии второго порядка.
§ 5. Проективное пространство
1. Проективные координаты в проективном
пространстве. Гармонизм
Александров, гл. XXIII, § 1; § 2, пп. 1, 2.
Моденов, гл. XV, §§ 197 — 200.
Постников, гл. 4, § 2, ни. 1—4.
1515*. В проективпо-аффинном пространстве введена
аффинная система координат Oxyz и проективная система
координат АхАгА3АхЕ, где Аь Аг, А3 — несобственные точки
осей Ox, Oy, Oz; Ai совпадает с точкой О и В — точка,

230 ГЛ. IX. ПРОЕКТИВНАЯ ГЕОМЕТРИЯ [ l|
имеющая в аффинной системе координат Oxyz коордмнах
1, 1, 1. Выразить аффинные координаты х, у, z собственно
точки М через ее проективные координаты хг: хг: х3 \4
(однородные координаты).
1516. В проективпо-аффипном пространстве заданы своин*
однородными координатами две точки:
Найти несобственную точку прямой АВ.
1517. В проективно-аффинном пространстве заданы^
плоскости своими однородными координатами [2:—1:0:
и J6: 0:1:—3]. Найти несобственную точку прямой, по ю
торой пересекаются эти плоскости.
1518*. В проективно-аффинном пространстве введен
проективная система координат Л1Д2ЛЯЛ4Л", где все ^
Аь Аг, А3, Л4, Е собственные. Относительно аффинной Ы
стемы координат с началом координат А,, осями A4A1; AtA
AtA3 и единичной точкой I: строится точка М4 = (хъ хь х3'
Относительно аффинной системы координат с началом коор'
динат Аь осями А±Аг, АХАЯ, АХАХ и единичной точш
Е строится точка Mi = (x2, x3, jr4). Относительно аффинн
системы координат с началом координат Л2, осями
АоАй, А2А4 и единичной точкой Е строится точка
— {хь х3, х4). Относительно аффинной системы коордик
с началом координат в точке Ая, осями АЯАЬ А3А2, A:iA4 Й(
единичной точкой Е строится точка M3*=*(x-l, x2, х^). Д^
зать, что прямые AtMb А2Мг, А3А43, Л4/И4 проходят
одну точку М, и найти ее проективные координаты.
1519*. В проективно-аффинном пространстве введена
аффинная система координат, относительно которой заданы
уравнения граней базисного тетраэдра Л1Л2Л3А1:
= 0 (А2Л3Л4),
Алх + В%у + C,z + D4= 0 (АИ2Лз)
и единичная точка Е~(х0, у^ z0) проективной системы
динат AiA2AzAiE-
НаНти ироектириые координаты точки М, если даны
аффинные координаты х, у, г.

]5.,j I § 5. ПРОЕКТИВНОЕ ПРОСТРАНСТВО 231
j520*. Доказать, что если в мроектишю-евклидовом нро-
С; jK.ncrue введена проективная система координат А^АоА-^А^Е,
, it псе точки Аь Аг, Ая, Ait E— собственные, то проектив-
проективные координаты хх:х2:х3: х4 собственной точки М пропор-
пропорциональны отношениям расстояний dv d2, d3, dt or точки М
до Г|Ч-.мей A2A3Ait АхА3Ац, A1A2Ai, AiA2A-, базисного тетраэдра
к р;;сстояниял1 еь е2, е3, е4 от единичной точки Е до тех же
гр.-!П(.й:
d d
•AX3— -, /1X4— --
ез ei
{ичрачдрические координаты точки).
1521*. В проекгишю-аффипном пространстве введена про-
екпшная система координат AlA2A^AiE, где все точки
/![, А2, Аа, Л4, Е — собственные. Доказать, что проективные
координаты и1:и2:и3:ut собственной плоскости иххх-f-игх%-{-
■ ■■ 11.^х3-\-и^Хц=0 пропорциональны отношениям расстояний
6',. 62, б3, б4 от вершин Аь А2, Аа, Л4 базисного тетраэдра
.1,Ау13Л4 до рассматриваемой плоскости к расстояниям е^ е2,
!'.,. g4 от вершин Аъ А2, А3, Ai до единичной плоскости
*"-ll:l:l:lj:
 Bi , «г—-~,
(и-|раэдрические координаты плоскости).
i522*. Относительно проективной системы координат
■b-VW1^ B проективном пространстве задан новый базис-
пин гетраэдр А^А^А'^А^ и новая единичная точка £':
Е'={bx:b%:b,:b,\
1) Выразить старые координаты Xi:x.,:x3:Xi ироизволь-
н;.!! точки М проективного пространства через ее новые
к')ор;шнаты х\: х»: х'л: х\.
^) Выразить х\ :х'1:х'л:х1 через Xi:х%:х3:х4.

232 ГЛ. IX. ПРОЕКТИВНАЯ ПЮМЕТРИЯ
1523. Составить уравнения прямой, проходящей че
точку B:0:1:—3) и пересекающей две прямые: о,
проходящую через точки A :—1:0:4) и (—2:0:—4:-
и другую, заданную двумя плоскостями [2:5:—3:0]
13:—2:2:11. 1
1524. Составить параметрические уравнения прямой, лежа
шей в плоскости хх — 2х3 + З.г4 = 0 и пересекающей две пря
мые, из которых одна задана двумя точками Д = B : 3 : 0:-«-
В = @ : 3 : — 4 : 0), а другая — двумя плоскостями a =J
= [2:0:- 3:0], v = [\ : 5 : 4 : 3].
1525. Относительно проективной системы координа
А1А.,А3А4П в проективном прострапстне плоскость л зада»
уравнением ■ 1
аххх + а2х2 -f- a3x3 -j- а4х4 = 0. . л
S
Как расположена эта плоскость относительно базисного тех
раэдра АуА2А3Аь, если: 1) ах = 0; 2) а1 = а2 = 0; 3)
= аг--=а? = 0?
1526*. Относительно проективной системы координа^
АуА2А3А^Е в проективном пространстве заданы две
скости а и р:
Доказать, что:
1) плоскости аир совпадают тогда и только
когда соответствующие коэффициенты уравнений этих плй|
скостей пропорциональны: 1
wl * 2 2' 3 3' 4 4» / ' 'J
2) плоскости аир пересекаются по прямой, лежащей
к плоское!!! х4 = 0, тогда и только тогда, когда существуем
число k Ф 0 такое, что
3) плоскости а и Р пересекаются по прямой, пересекаю
щей ребро -Г3 = О, -*г4 = 0 базисного тетраэдра, тогда
только тогда, когда существует число k ф 0 такое, что
1527*. Относительно проективной системы координа'
АхА2А3А4Е в проективном пространстве заданы две точю
А = (а1:а2:а3:а4) и B = (b1:b2:b3:bi).

1630]
§ 5. ПРОЕКТИВНОЕ ПРОСТРАНСТВО 233
Доказать, что:
1) эти точки совпадают тогда и только тогда, когда
существует число k=/=0 такое, что
cli — kbi, а2 = kbo,, а3 — kb3, a4 = kb^,
2) прямая АВ "проходит через вершину Д, = @: 0:0:1)
базисного тетраэдра Л1А2А3Л4 тогда и только тогда, когда
существует число k^=0 такое, что
a1 = kbl, a2 — kb2, а-л = кЬ3, ai^kbi\
3) прямая АВ пересекается с ребром AVA2 базисного
тетраэдра AiA2A3Ai тогда и только тогда, когда существует
число k=/=0 такое, что
ах = kbb аг = kb2 и а3 ф- kbs или а4 -ф- kb^.
1528. При каком необходимом и достаточном условии
лве прямые в проективном пространстве имеют общую точку,
если:
1) одна прямая проходит через точки A = (a1:a2:a.i:ai),
В ---- (bt: Ь2: Ь3: Ь4), а другая — через точки С = {сх: сг: с3: с4)
и D --= (dt: rf2: rf3 : rf4);
2) одна прямая является линией пересечения двух пло-
плоскостей
и = [иг: п2: и3: н4], v = \v1:v2:v3: z»4],
а другая — линией пересечения двух плоскостей
ш = [хюг: ш2: ws: wt\ p = [pt: р2: р3: р4];
3) одна прямая проходит через точки A=(a1:ai:a3:ai),
В --(Ьх'. Ь2'- Ьз'- Ь4), а другая является линией пересечения двух
плоскостей u = \Ux'-U2:u3:u,^, v = \v1:v2:v3:vi}'?
1529. Относительно проективной системы координат
АуАоА3АцЕ в проективном пространстве задана точка М —
; (^!: j:2 :лг3 -лг4)- Найти точки М:, i=l, 2, 3, 4, пересечения
прямых А(М с гранями, противоположными вершинам At.
1530*. Относительно проективной системы координат
АхАъА^цЕ в проективном пространстве задана точка М ■—
■'■- (xt: х2: х3: xt). Пусть М4 = (-^i: х3: лгу: 0) — точка, в кото-
которой прямая AtM пересекает грань AiA2A3. Доказать, что
Л'з :х2:х3 — проективные координаты точки Mt на проектив-
проективной плоскости Л1Л2Л3 в проективной системе координат
АуА.2Л3Е^ где Et — точка пересечения прямой Л4£ с пло-
плоскостью АХА2А3.

234
ГЛ. IX. ПРОЕКТИВНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
[ if
1531*. Относительно проективной системы коордм
АХА2А3А^Е п проективном пространстве задана точка М
— (хх:х2: ха: jc4). Пусть А11.2^=(х1:х2: 0 : 0)— точка пере
че1пш плоскости Л3.44Л-1 с ребром АгА2, а Еп — точка пер!
сечения плоскости ASA^E с той же прямой AtA2- Доказат
что хх "• х2 — проективные координаты точки М12 в проектий
ной системе координат на прямой АгА2 с базисными точк|
ми Аг, А2 и единичной точкой Е12. .
1532*. Найти ангармоническое отношение (ABCD)
тырех точек, лежащих в проективном пространстве на од
ной прямой:
Л =гг: (-^1 * -^*2 * "^3 * "^47*
П-^(ух :j>2 -Уя-Уд'
С = ((ax^ + P.Vi) '• («Л'г -|- Р_Уг): (ахз + РЬ'з): (a-^4 +
1533*. В проективном пространстве введена проективна
система координат AxA2A3AJz.
1) Найти точки Ei, г—1, 2, 3, 4, в которых прямые
пересекают противоположные грани базисного тетраэдр!
АгА2АяАц, и точки F-v i—\, 2, 3, 4, гармонически сопряжем?
ные с точками Et относительно точек At и Е. |
2) Найти точки Eif, n которых плоскости AiAjE переем
кают ребра, противоположш.1е ребру А/Д/, и точки Z7^-, гар|
мопически сопряженные с точками Eir- относительно вершил
ребра, противоположного ребру A-tAj. . 1
3) Найти точки G123i, Ощц, О1123, гармонически сопря!
женные с точкой Е относительно точек Е12, E3i; El3, Ещ
EXi, E23. 4
1534*. Пуст!» £ — произвольная точка проективного прш
странства, не лежащая пи на одной из граней тетраэдра
АхА2А3Ац. Обозначим через я,у плоскость, проходящую чере^
ребро AtAj и точку Е. Пусть т,;- — плоскость, которая прог*
ходит через ребро AtAj и которая гармонически сопряжен^
с плоскостью л,у относительно граней тетраэдра, проход»!
щих через ребро AtAj. Доказать, что три прямые, по котоЧ
рым пересекаются плоскости т12, т34; ххз, T2i; т2з> ^ip и шест^
точек, в которых плоскости т12, т13, т14, т23, т24, тР1 пересев
каются соответственно с ребрами А3А4, Л.,А4, А2А3, Аха1
АхА3, АХАЪ лежат в одной плоскости. Составить уравнений
этой плоскости, принимая тетраэдр АхА.гА3А^ за базисный^
а точку Е — за единичную точку. ^

J
§ 5- ПРОЕКТИВНОЕ ПРОСТРАНСТВО 235
1535*. Плоскость я, не проходящая ни через одну из
веянии тетраэдра А^^А-^Ац, пересекает ребра AtAj в точ-
точках M;j- На каждом ребре AtAj берется точка Ру, гармони-
гармонически сопряженная с точкой /И,у относительно точек At, Aj.
До^.'загь, что прямые Р\аР%%, Pis^W РцРчз проходят через
одну точку Q и что через ту же точку Q проходят шесть
„■к;скостей: PnAaAit Р^АгА^ РцАгАа, Л23Л1А. Р24ЛИ3,
1536*. Прямая / пересекает грани А.,Л3А±, АхА9Ац, A1A2Ai,
:\}А.Л3 тетраэдра Ai_AiA3Ai соответственно в точках Л11( М2,
.•■!',„ Мц. Пусть Я; — плоскость, проходящая через вершину Л,-
и данную прямую. Доказать, что ангармоническое отношение
(,Нг.ИгМ3М4) равно ангармоническому отношению (n1n2n3ir4).
1537*. Доказать, что если четыре вершины одного тет-
]Ki/,tpa принадлежат четырем граням второго, а три вершины
uiuporo — трем граням первого, то и четвертая вершина вто-
второго тетраэдра принадлежит четвертой грани первого тет-
pi'a.'ipa (теорема Мебиуса).
1538*. Доказать, что если аъ а2, а3 -и bv b2, Ь3 — лвс
1 ройки попарно скрещивающихся прямых и каждая прямая at
п. обсекает каждую прямую bs, то любая прямая, пересекаю-
'..ал прямые аь а.ъ а3, будет пересекать и прямые bv b2, Ъ.А
(дсорема Галуччи).
2. Коллинеащш
Александров, гл. ХХШ, §2, п. 3.
Моден ов, гл. XV, § 201.
1539. В нроективио-аффинном пространстве введена
ьффчпная система координат Oxyz. Дано проек-тнвное преоб-
преобразование в однородных координатах
4"
%.х\ = aiVxx 4-
1) Найти в аффинных координатах формулы, по которым
преобразуются собственные точки пространства, не лежащие
пи плоскости
а41Х! 4- «42-^2 + «43-^3 + a*\Xi = 0.

236 ГЛ. IX. ПРОЕКТИВНАЯ ГЕОМЕТРИЯ [
2) Найти прообраз несобственной плоскости при это
преобразовании. ■■
3) 11айти образ несобственной плоскости при этом npeoi
разовании.
1540. В проективном пространстве пведеиа проективш
система координат A1A2A3AiE. 11айти проективное преобр
зование, которое переводит плоскости
апхх -\- апх2 + ai3x3 + аихА = О,
а21хг -f ащХ.2. + в2з*з -f а.ихл = О,
из которых никакие три не проходят через одну прямук
соответственно в плоскости А2А3А$, Л1Л3Л4, Л1Аг/^4> АхА
а точку (bi'.b2:b3:bi) — в единичную точку £ = A : 1 : 1: Щ
1541. Найти проективное преобразование, которое пер§|
водит точки Л!---=A : 0:0:0), Л2^=@: 1 :0:0), Л3 = @:0:1:0J|
At= @ : 0 ; 0 : 1), Е — A : 1 : 1 : 1) соответственно в точки
А\ = (аи : а21 : asl : а41), А'2 = (а12: а22: аш : ai2), A3 =4
^= {аи '■ аиз • азя: а43), A'i~{au: а24 :а;п: а44), £' == (bx :b2:b3: b£
при условии, что никакие четыре из точек А\, А'.ь А'3, А'$, Е\
не принадлежат одной плоскости. ]
1542. Найти все проективные преобразования, при кото»
рых вершины базисного тетраэдра A1A2A3Ai проективной
системы координат A1A2A3AiI: являются инвариантным!
точками.
1543. Найти общий вид проектпввых преобразовали!
проективного пространства, при которых ребра А±А2 и Л3
базисного тетраэдра инвариантны.
1544. Найги общий вид проективных преобразований
проективного пространства, при которых инвариантны вс§
точки ребер АгАг и А3А4 базисного тетраэдра A1A2A3^
1545. Найти общий вид проективных преобразований про^
ективного пространства, при которых ребра базисного тетра!
адра A1A2A3Ai переходят в ребра, им противоположные. f5
1546. Найги общий вид проективных преобразований npojj
ективного пространства, при которых вершины Аь Аъ Лд
Ац базисного тетраэдра переходят в точки, лежащие на про|
тивоположных гранях.
1547. Прямые АгЕ, А2Е, А3В, А4Е, соединяющие вершинЬ
базисного тетраэдра А1А2АаА4 с единичной точкой Б, перй

1533]
i 5. ПРОЕКТИВНОЕ ПРОСТРАНСТВО 237
секпют противоположные этим вершинам грани Л.,АЯА4,
Ai VU> ^Иг^4. AtA2A3 соответственно в точках Еь /i2, Е3,
/•• Найти проективное преобразование, при котором точки
Л], Аг, ^з> ^4 переходят соответственно в точки EL, Еъ Е3,
/;'4, а точка Е инвариантна.
1548*. 1) В проективном пространстве введена проектив-
проективная система координат А1А2А3Л4/:. Найти проективное пре-
преобразование, имеющее только две инвариантные точки Ах --.
I-.-- A:0:0:0), А2 = @: 0 : 1 : 0) и только одну инвариантную
прямую А3А4.
2) Какие проективные преобразования порождает рас-
рассматриваемое преобразование на пря.мых АхА.г и АЯА4?
При каком условии эти преобразования будут инволюци-
инволюционными?
1549*. 1) Проективное преобразование не имеет инвари-
инвариантных точек и плоскостей, по имеет две скрещивающиеся
инвариантные прямые. Как запишется это преобразование
к координатах, если ребра АХА2 и Л3Л4 базисного тетраэдра
/\|Л2/43Л4 расположить па инвариантных прямых?
2) Какие преобразования порождает рассматриваемое про-
проективное преобразование на прямых AtA2 и А3А4?
1550*. В пространстве введена проективная система коор-
координат ЛгЛ2Л3Л4С.
1) Найти проективное преобразование Р, при котором
точки Аъ А2 и все точки прямой Л3АА инвариантны.
2) Какое проективное преобразование порождается преоб-
преобразованием Р в плоскости AiA3A4?
3) Какое проективное преобразование порождает преоб-
преобразование Р иа ребрах тетраэдра А1А.гА3А^
1551*. В пространстве введена проективная система коор-
координат AtA2AsAnE.
1) Найти проективное преобразование, при котором точки
Аь А2, А3 и прямая А3А4 инвариантны.
2) Какие проективные преобразования порождаются этим
преобразованием на прялтй A3/l.j?
1552*. В проективном пространстве введена проективная
система координат АгА2А3А^Е. Какое проективное преобра-
преобразование порождается в плоскости Л1А2/^з проективным пре-
преобразованием, оставляющим инвариантными все точки нрялшх
\А2 и Л3Л4?
1553*. В проективном пространстве введена проективная
координат АгА2А3А4Е.

238 ГЛ. IX. ПРОЕКТИВНАЯ ГЕОМЕТРИЯ [
Найти проективное преобразование, при котором в
точки плоскости AtA2A3 инвариантны и ребро AlAi являет
инвариантной прямой.
1554. В пространстве введена проективная система коорд
пат AxA2AsA^H. Найти проективное преобразование, nf
котором точки Аь А2 и плоскости АхАоАа, АХА^А^ будут инв;
риантны.
1555*. В пространстве введена проективная систе»
координат A1A2AsAiE.
1) Найти проективное преобразование, при которо
точки А1( А2, А3, А4 переходят соответственно в точки А
Ах, А4, А3 и точка Е — в точку A :— 1 :1 :— 1).
2) Найти инвариантные точки, инвариантные плоскости
инвариантные прямые этого преобразования.
3) Какие проективные преобразования порождаются эту
преобразованием на прямых AtA2 и ЛаА4?
1556*. В пространстве введена проективная систем
координат A1A2A3AiE.
1) НаМтн проективное преобразование, при котором в
точки п-лоскости АхА2А3 и точка А4 инвариантны, а едини
нал точка Е переходит и точку A : 1 :'l :k), k-фХ.
2) Найти инвариантные плоскости и инвариантные пря>*
мые этого преобразования.
3) При каком необходимом и достаточном условии
преобразование будет инволюционным?
4) Какие проективные преобразования порождаются pad
сматриваемым преобразованием в плоскостях, проходяшд
через прямую А4£?
1557*. В. ripoCTpancTBe введена проективная систем,
координат А1А2Л3А4/:'.
1) Пайтп проективное преобразование, при котором
А1г А2, /13, Л4 переходят соответственно в точки А„, Аг, А4, А^
и точка Е инвариантна. .<v
2) Найти инвариантные точки, инвариантные плоскости-й<
инвариантные прямые этого преобразования. ■*
3) Какие проективные преобразования порождаются этими
преобразованием па прямых АХА2 и А3А4? ]
1558*. В пространстве введена проективная систему
координат A1/.2A3.44Zf.
1) Найти проективное преобразование, при которой
точки Aj, Л2, А3, А4 переходят соответственно в точки А%
Ай, А4, Ах и точка Е ипиариантна.

§ 5. ПРОЕКТИВНОЕ ПРОСТРАНСТВО
239
2) Найти инвариантные точки, инвариантные плоскости и
инвариантные прямые этого преобразования.
И) Какие проективные преобразования порождаются рао
сллтрипаемым преобразованием на его инвариантных прямых?
1559*. Пусть я и а —две различные плоскости, а О и
(У—две различные точки, не лежащие на плоскостях л и а.
Пусть М — произвольная точка плоскости я, Р — точка пере-
пересечения прямой ОМ с плоскостью а, М — точка пересечения
примой О'Р с плоскостью п. Доказать, что преобразование,
при котором точке М ставится в соотпетствие точка М,
является гиперболической гомологией, осью которой является
прямая пересечения плоскостей л и а, а центром —точка
пересечения прямой 00' с плоскостью л.
1560*. Дано проективное преобразование:
kx\ =
kx'2 =
kx'% =
kx\ — а41л-х
Пусть
ац—Х
«81
«1з*з + «u-
«22*2 + а2
«32*2+'
«42*2 Т «43*3 ~Г «44*4-
(?12 «13 «14
«32 «33 ~~ ^ «31
—характеристический полином матрицы
A = ( °'n °M ^ a'li i
'. «31 a82 a33 a34 /
этого преобразования. Доказать, что:
1) координаты Xi: хг ■ х3: xi инвариантных точек этого
преобразования определяются из системы уравнений
(an -X)x1 + аг,хг + a13xs + auxi = О,
а21х1 + (ам - л) хг ^- <723*s + аихг = 0,
«31*1 + «32*2 Т («33 — Ц *Э + «34*4 = °.
«41*1 + Й42*2 + «43*3 + («44 — <*-) *4 = °>
гДе ?, —корень характеристического полинома;

240
ГЛ. ГХ. ПРОЕКТИВНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
Г 15
2) координаты их:и2:и3:и^ инвариантных плоскости
находятся из системы
(пц ■— к) 111 "f" Qz\U° " Oaif?o 4- С1л\Пл = О,
Л-(п 14
a3ltr3
- V^33 — / ^3 ~Г" ^43^4 "— '
где Я —корень того же характеристического полинома;
3) если Я — простой корень характеристического ноли
нома, то соответствующие ему инвариантная точка и плс
скосгь, определяемые из систем A) и B), не инциденты.
1561*. Дано проективное преобразование,:
пХ[ :г^= вцХх ~р Оуу1Х2 -{- Qi3-^*3 i
A- a:iix2
Пусть
-r2 + aiSxs +
I —' Л п\2
a,,
a-24
d^\ «22 — " «°3
«31 «32 ^33—~ Л*
«41 «42 ^43
— характеристический полипом матрицы
этого преобразования.
Найти каноническим вид этого преобразования в зависи-
зависимости от корней Яь к а, Я3, Я4 характеристического полинома ■■
и ранга матрицы A —IE \\ случае, если Я —кратный корень .1
характеристического полинома.
Рассмотреть следующие случаи:
1) ку Яг, Я3, Я4 — действительные и простые корни;
2) Я], Я2 — деМстигельные и различные корни; Я3, Я4-
комплексные сопряженные корни: Я3?4==а±Рг, $фО;
3) Я), Я2, Я3, Я4 — комплексные простые корни: Я1J=-а±р.
4) Ях и Я2 — действительные и простые корни, Я3=Я4 = г

,563] § 5. ПРОЕКТИВНОЕ ПРОСТРАНСТВО 241
5) ki и Я2— действительные и простые корни, Я3 = Я4 = .9,
Rg(A-sE) = 2;
6) Я1 = Я2 = .1>— действительные корни, Я3, ^ — комплекс-
комплексные сопряженные корни: Хял — a -Ji Рг, р ^= 0, Rg (Л — sE) = 3;
7) Я1=Я2 = 5 — действительные корни, Я3, Я4 —комплекс-
—комплексные сопряженные корни: Кзл = а:+: Рг, Р Ф 0, Rg (Л — sE) = 2;
8) 3\,lf K2, h3, Я4 — дейсгвительные корни, ^ = Х2 = s Ф }.3 =
^ kt = i, Rg (А - sE) = 3, Rg (A - tE) = 3;
9) Ях, Я2, Я3, Я, — действительные корни, Xl = X2 = s Ф Х3 =
4
10) >vl, Я2, Я3, ^ — действительные корни, X1 = X2 = s=/=
Яз=Я,4 = ^, Rg(A-s£) = Rg(A-^£) = 2;
11) Я^, Я2, Я3, Я4 —комплексные корни, ^i = X2 = s —
а + р/, Я3 = Я4 = ^==а-р?, р=^0, Rg(A-s/:) =
Rg(A-^) = 3;
12) Xv Я2, Я3, Я4 — комплексные корни, Я, = Я> = s =
g()
13) 'к1='к2 = 'к^*ФК> Rg(A-sZ:)=3;
14) X1 = X2 = ?v, = s=#=^4
15) X1 = Xa=X3 = s#X4
16) Ях = Яя =- Х3 - Kt = s, Rg (A - sE) = 3;
17) Xx —Я2 = Л8 = Я4 = 5, Rg(A-sZ;) = 2;
18) ^ = ^ = ^ = ^=-5, Rg (A -.?£)= 1;
19) ^ = Я2 = Я3-=Я4 = 8, Rg(A-s£) = 0.
1562*. Найти инвариантные точки, инвариантные плоскости
и инвариантные прямые проективного преобразования, задан-
заданного в канонической системе координат АуА^А^А^Е в зави-
зависимости от канонического вида этого преобразования
(см. задачу 1561).
5. Корреляции. Поляритет
1563. Корреляцией или коррелятивным преобразованием
проективного пространства называется отображение множества
всех точек пространства на множество всех его плоскостей,
определяемое соотношениями:
'•'?i = апхх + а12х2 + а13л
r.iu = c21jtj -\- a22x2 -)- а2зХз -J- я24-хг4,
фО,
2 + йзз-^з + a34x4,
. + ai3x3 -|- a44x4, a4i a42 а4з ач

242 ГЛ. IX. ПРОЕКТИВНАЯ ГЕОМЕТРИЯ [ IE
где xt: х2: хг: х± — координаты произвольной точки прое
.ранства, а их: и2: п3: «4 — координаты плоскости, соответс
вующей этой точке.
Доказать, что при корреляции: «j
1) четырем точкам, лежащим в одной плоскости, соотвеч*
ствуют четыре плоскости, проходящие через одну точку;
2) четыре плоскости, проходящие через одну точку, соотвез
ствуют четырем точкам, лежащим в одной плоскости;
3) трем точкам, лежащим па одной прямой, соответству
три плоскости, проходящие через одну прямую;
4) три плоскости, проходящие через одну прямую, соответ;
ствуют трем точкам, лежащим на одной прямой. -А.
1564. Доказать, что если множеству точек плоскост^
[v1:v2'.va:vi] при корреляции
-
rJt'2 === ^21-^*1 | ^22*^2 "
Xll3 = пз\Хх -(- 0-32^2 -
соответствует связка плоскостей с центром {уу :у2 :у3 :>'4). тс
Ь4 = аиух + a2iy2 4- a3iy3 4-
п
1565. Найти корреляцию проективного пространства, при|
которой каждой точке (хх: х2-Х3: лг4) соответствует плоскост^
[ггх: щ: аа: и4], проходящая через эту точку. .. ^
1566*. Корреляция
{2хг -\- а13х3 4- auxit
hi2 ~ a2iX
%U3 == fl31X
кц = пцХх 4- а42лг2 + ai3x3 -\- aiixi

l5bg] § 5. ПРОЕКТИВНОЕ ПРОСТРАНСТВО 243
называется поляритетом П, если матрица
А = i
\ °3i а3> а33 a3i
\ап а42
яиляется симметричной. Доказать, что:
1) если плоскость ос является образом точки А при поля-
поляритете П и В — точка, лежащая в плоскости ос, то точке В
соответствует плоскость |3, проходящая через точку А;
2) если при корреляции произвольной точке А соответствует
плоскость ос и любой точке В, лежащей в плоскости а,
соотпетствует плоскость |3, проходящая через точку А, то
эта корреляция есть поляритет.
Если точке А при поляритете соответствует плоскость а,
10 точка А называется полюсом плоскости а при поляритете II,
а плоскость а называется полярной плоскостью точки А (при
поляритете П).
1567*. Доказать, что если при корреляции каждой вер-
luiiiie тетраэдра A1A2AaAi соответствует противолежащая ей
грань, то такая корреляция является поляритетом.
1568*. Точки Аи й называются полярно сопряженными
при поляритете П, если каждая из этих точек лежит на по-
полярной плоскости другой точки.-
Плоскости ос и Р называются полярно' сопряженными
при поляритете П, если каждая из .этих плоскостей прохо-
проходит через полюс другой плоскости.
Дан поляритет проективного пространства:
+ a12-r2 -f а13х3 4- аих^
4- а22х2 4- а%3х3 4- auxit
his = asiJq + а32х2 4- а33х3 4- аых^
Я x2 4- ai3x3
каком необходимом и достаточном условии будут по-
полярно сопряжены:
1) две точки (*i: х2: х3: л) и {уг :у2 :у3 :_у4);
2) две плоскости [йг: ы2: »з • ии\ и [t;i". t;2: t;3-: t;4]?

244 ГЛ. IX. ПРОЕКТИВНАЯ ГЕОМЕТРИЯ [ 18
4. Поверхности второго порядка в проективном
пространстве
Александров, гл. XXIII, §§ 4 — 8.
Моденов, гл. XV, §§ 212—217. \
1
1569*. В проективно-аффиппом пространстве введен
аффинная система координат Oxyz. \
Какими несобственными точками надо дополнить: :
1) двуполостный гиперболоид ;
* 4-»* _ ** —_1-
~& "т" & с* ' .;
2) эллиптический параболоид •
£ + £ = 2z, p>0, g>0, •■
для получения овальной поверхности второго порядка?
Какими несобственными точками надо дополнить;
3) однополостный гиперболоид
4) гиперболический параболоид . ',
^-У1-=2г, р>0, q>0, ■
для получения тороидальной поверхности второго порядка
Какими несобственными точками надо дополнить1
5) конус
да ^Г ь- С* у
6) эллиптический цилиндр
аг -Г Ьч >
7) гиперболический цилиндр ;
8) параболический цилиндр

|S72] § о. ПРОЕКТИВНОЕ ПРОСТРАНСТВО 245
для получения действительного конуса второго порядка
в проективно-аффинном пространстве?
1570*. Найти в однородных координатах проективное
преобразование проекгишш-аффинного пространства, при ко-
котором
1) двуполостный гиперболоид
и
2) эллиптический параболоид
дополненные несобственными точками до овальных поверх-
поверхностей второго порядка, преобразуются в эллипсоид
Как преобразуются при этих преобразованиях собственные
точки проективно-аффинного пространства?
1571*. Найти в однородных координатах проективное пре-
преобразование проективно-аффинного пространства, при котором
однополостный гиперболоид
дополненный несобственными точками до тороидальной по-
поверхности второго порядка, переходит в гиперболический па-
параболоид
2г = х2-.у2,
дополненный несобственными точками до тороидальной поверх-
поверхности второго порядка. Как преобразуются при этом преоб-
преобразовании собственные точки проективно-аффинного прост-
пространства?
1572. Определить проективный класс следующих поверх-
поверхностей второго порядка:
1) х\ + 2x1 + ЪА + 2x1 + 2хгх2 + 1хххъ + 2ххх4 +
+ 4х2х3 + 4х2х4 + 6х3х4 = 0;
2) х] + 2x1 + х\ - Ъх\ + 2jc;jfя + '2ххх3 + 2ххх4 +
3)
+ 4х2х3 + 4х2х4 + 2x3X4 = 0;
4) 2х\ — 3x1 — х| — ххх2 — XjX3 — Зх2х3 + 4х2х4 == 0.

246
ГЛ. IX. ПРОЕКТИВНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
1573*. При каком необходимом и достаточном услод
поверхность второго порядка/ заданная общим уравнен^
относительно проективной системы координат:
- Q33X3 -p U^X^ -р ^п\2ХхХ2
4- 2aux1xi 4- 2а23х2х3 -{- 2a2ix2xi
является действительной овальной поверхностью вторе
порядка?
1574. Доказать, что любая плоскость проективного п
странства пересекает поверхность второго порядка по лит
второго порядка. *
1575*. Относительно проективной системы координат в пг|
ективном пространстве задана поверхность второго поряд|
общим уравнением:
&Х1 i. "~Г* 22 it — 33 8'
При каком необходимом и достаточном условии плоскос|
ихх1 + и2
пересекает эту поверхность по паре прямых (действительны
или мнимых, различных или совпадающих)? ':
1576*. Уравнение поверхности второго порядка в npoei
тивном пространстве является или уравнением действительно
невырождающейся поверхности второго порядка, или уравга
нием действительного конуса второго порядка. Составить ypai
пение касательной плоскости к этой поверхности в данно
на ней точке М0=(х1:х?г:х°3:xl) (в случае конуса точка Л
отлична от вершины конуса).
1577*. Доказать, что касательная плоскость к поверхн)!
сти второго порядка пересекает ее по линии второго поря|
ка, распадающейся на пару прямых (действительных или ищ
мых, различных или совпадающих). J
1578*. Доказать, что: ■:]
1) касательная плоскость к действительной овальной
верхности второго порядка пересекает эту поверхность
паре мнимых пересекающихся прямых, действительной точки
пересечения которых является точка касания; |

15S3 .1
§ 5, ПРОЕКТИВНОЕ ПРОСТРАНСТВО 247
2) касательная плоскость к тороидальной поверхности вто-
второго порядка пересекает ее по двум действительным прямым,
пересекающимся в точке касания;
Я) касательная плоскость к действительному конусу второ-
второго порядка в точке, отличной от его вершины, пересекает
конус по двум совпадающим прямым;
4) касательные плоскости к тороидальной поверхности
цторого порядка в двух различных точках одной и той же
прямолинейной образующей различны;
5) касательные плоскости в двух различных точках
очной и той же образующей конуса второго порядка сов-
совпадают.
1579*. Относительно проективной системы координат
AxA.vAsAiE в проективном пространстве задана действитель-
действительная невырождающаяся поверхность 5 второго порядка:
хг, х3, *4) =
2ахзххх3 -f 2aux1xi -f 2a23x2x3 -f
— 0.
1) Составить уравнение конуса К с вершиной Мо =
—■{х'\:х1ш.х1:х1), описанного около данной поверхности.
2) Доказать, что линия касания конуса К с поверхностью S
плоская, и составить уравнение той плоскости, в которой
она расположена.
1580. Составить уравнение семейства поверхностей вто-
второго порядка, касающихся двух граней х1 = 0, х2 = 0 бази-
базисного тетраэдра A1AiAaAi в точках Л3 = @:0:1 •. 0), Л4 =
=- @ •. О : 0:1).
1581*. Доказать, что два конуса, описанные около поверх-
поверхности второго порядка, пересекаются по двум плоским линиям
второго порядка.
1582*. 1) Составить уравнение поверхности второго по-
порядка, если известно, что ребра АхА3, ЛХЛ4, А2А3, А2Д4
базисного тетраэдра и единичная точка проективной системы
координат лежат на его поверхности.
2) Составить уравнения двух серий прямолинейных обра-
образующих этой поверхности.
1583*. Составить уравнение пучка поверхностей второго
порядка, касающихся поверхности F — 0 по линии пересече-
пересечения этой поверхности с гранью A2A3Ai базисного тетраэдра
А^АА

248 ГЛ. IX. ПРОЕКТИВНАЯ ГЕОМЕТРИЯ [
1584. Составить уравнение пучка поверхностей вторй
порядка, проходящих через линию пересечения поверхнос
второго порядка Г = 0 с гранями ^ = 0, х2 —
1585*. Доказать, что если в пространстве заданы 7 точе
из которых никакие 3 не лежат на одной прямой и никакие
не лежат в одной плоскости, то существует 8-я точка, обл
дающая тем свойством, что любая поверхность второ
порядка, проходящая через данные 7 точек, проходит и чер
эту 8-ю точку.
1586. Найти координаты полюса плоскости ?/1х14-«2-^2
4" Из*з 4" Uixi — 0 относительно невырождающейся иовер
ности второго порядка
апх\ 4- аг%х\ 4- а%гу
~Г ^14*1*4 Т
1587. Найти координаты полюса плоскости и^Хх 4- игхг.-$
4" щх3 4- «4-^4 — 0 относительно каждой из поверхностей
I Х\ ~~\— -JCq [~ «лз — JC\ — \Jу £ 1 .л ] ~~y~ -sC'2, — *" ЛдЛ л —■ U« .й
1588. Поверхность второго' порядка задана уравнение»
XI 1 I— 2*^*2 "~Г" 33*^3 \~ 41*^4 ~Т" "2*^Х*^2 ~Т" "• 13*^Х*^3 i ■*
При каком необходимом и достаточном условии относительн|
этой поверхности будут полярно сопряжены: i?
1) две точки (xi: х2 '■ xs: jc4) и (j)i".JJ:JK:J'4); I
2) две плоскости [ггх: и2: гг3: «4] и l^i • ^2: ^з: ^l- *
1589*. В проективной системе координат А^А^^А^
задано уравнение поверхности S второго порядка
1) Доказать, что тетраэдр A1A^AaAi автополярный относи
тельпо этой поверхности. ' :
2) Доказать, что точка Л4 является внутренней точко|
поверхности 5, а точки Av A2, А3 — внешними точками.
1590*. В проективной системе координат /4xA2^s
задано уравнение поверхности второго порядка
1) Доказать, что тетраэдр A1A^AzAi автополярный.
2) Доказать, что точки А\ и А% лежат по одну' сторов
от этой поверхности, а точки А3 и А4 ~ п° другую
сторону.

1594 1
§ 5. ПРОЕКТИВНОЕ ПРОСТРАНСТВО 249
1591*. Относительно проективной системы координат
А^А^АцЕ в проективном пространстве задано уравнение
поверхности второго порядка х\ -\- х\ -\- x'i — х\ = 0.
1) Составить уравнения шести касательных плоскостей
ai, с2; Pi, Э-2' Yi> Ya K поверхности в точках ее пересечения
с ребрами базисного тетраэдра.
2) Какие из этих плоскостей проходят через единичную
точку проективной системы координат?
3) Найти координаты восьми точек Мь в каждой мз кото-
которых пересекаются касательные плоскости а;, Р/, ук (/, у, k= 1, 2).
1592*. Относительно проектипной системы координат
AlA.2AaAiE в проективном пространстве задано уравнение
тороидальной поверхности 5 второго порядка
1) Составить уравнения восьми касательных плоскостей
Ci, сс2; Рх, рз; Yi> Ya! &i> ^2 к поверхности 5 в точках ее
пересечения с ребрами базисного тетраэдра.
2) Какие из этих плоскостей проходят через единичную
точку проективной системы координат?
3) Доказать, что любые четыре плоскости а, р, у, б про-
проходят через одну точку, и найги восемь точек пересечения
исех таких четверок плоскостей.
1593. 1) Составить уравнения касательных плоскостей
ai> a2> Pi. Рг! Yi» Y2 к поверхности
проведенных к пей через ребра АХАЪ АгАъ, А3Аг базисного
тетраэдра AxA2A3Ai проективной системы координат
A1A2AaAiE. Найти точки касания.
2) Найти точки пересечения касательных плоскостей а,
Р, Y (взятых по одной из каждой пары аь аг; р1; р2; Yi> Y-г)-
1594*. 1) Составить уравнения касательных плоскостей
к поверхности
проведенных к ней через ребра AXA3, А2Аг, AtAiy A2At
базисного тетраэдра A1AiAzAi проективной системы коорди-
координат A1A2A3AiE. Найти точки касания.
2) Найти точки пересечения этих касательных плоскостей.

ГЛАВА X i
МНОГОМЕРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
§ 1. Векторные пространства
Александров, гл. XII, §§ 1—5.
Ге льф а н д, гл. I, § 1.
Ефимов и Розевдоря, гл. I.
Во всех задачах этого параграфа базис произвольный.
1595. Даны три вектора а1 = {2, 3, 4, о}, а2 = {—3,
— 6, —4}, а3 = {—3, 3, —6, —5}. Установить, будут
эти векторы линейно зависимы.
1596. Даны четыре вектора а1={1, 2, 3, 4}, а<>, = {4,
2, 1}, а3 = {— 1,Л, 3, 5}, а4 = {0, 1, 2, 3}. Показать, чта
эти иекторы линейно зависимы, найти максимальную подсш!
тему линейно независимых векторов и выразить остальньй
векторы системы через векторы этой подсистемы. |
1597. Даны четыре вектора: а1 = {1, 2, 3, 4}, а2 = {<
2, 1}, а3={—1, 0, 1, 2}, а4 = {1, 1, 1, 2}. Показать, что эт]
векторы линейно зависимы, найти максимальную подсисте:
линейно независимых векторов и выразить остальные вектор
системы через векторы этой подсистемы. ;
1598. Даны пять векторов: а1 = {2; — 1, 3, 5}, а.* = {4, -*- Щ
1, 3}, а3 = {3, -2, 3, 4}, а4 = {4, — 1, 15, 17}, а = {7, —в,
— 7, 0}. Найти линейно независимую подсистему этой сис-
системы векторов и выразить остальные векторы системы чере^
векторы этой подсистемы. ;
1599. Даны два вектора: о1 = {4, 4, 6, 8}, оа = {1, 2, 3, 4|
Дополнить эту систему до базиса всего пространства бази$
ными векторами £i = {l, 0, 0, 0}, £2 = {0, 1, 0, 0}, #3 = {0, Щ
1, Щ, ^4={0) 0, 0, 1} и выразить через векторы новоГ|
базиса не вошедшие в него векторы старого базиса. '..«
1600. Векторы аь а2,..., ап линейно независимы. Будут щ
линейно зависимыми векторы ■ I

l60S] § I. ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
251
!601. В пространстве V даны два подпространства: Vt
с бпзисом fli = {l, 0, 0, 0}, а2 = {2, 1, 0, 0} и Уг с базисом
#,:-~{3, 2, 1, 0}, 62 = {4, 3, 2, 1}. Показать, что простран-
суг,о I7 есть прямая сумма подпространств V^ и V2, и предста-
niiii, вектор х = {1, 2, 3, 5} в виде суммы двух векторов
у и г, на которых первый принадлежит Vi, а второй V2-
1602*. Найти базис суммы и пересечения подпространств
А и В векторного пространства V, имеющих соответственно
блзмсы av ..., ар и Ьь ..., Ьд.
1603. Найти базис суммы и пересечения подпространств
\\ и V2, имеющих соответственно базисы аг = {1, 1, 0, 0},
а, --={0, 1, 1, 0}, а3 = {0, 0. 1. Ч и &г = {1, 0, 1, 0}, &2 =
=-. @, 2, 1, 1}, &3 = {1, 2, 1, 2}. ■
1604. Найти базис суммы и пересечения подпространств Vx
и I'.,, имеющих соответственно базисы с1 = {1, 2, 0, 1}, а2 =
..-{1, 1, 1, 0} и ^ = {1, 0, 1, 0}, &2 = {1, 3, 0, 1}.
1605. Найти базис суммы и пересечения подпространств
четырехмерного пространства, одно из которых задано своим
блзисом ах=={1, 2, 0, 1}, а2 = {1, 1, 1, 0}, а другое —систе-
—системой уравнений
1606*. В черырехмерном пространстве даны две системы
векторов. У векторов первой системы' две координаты
равны -\-\, г две другие — 1. У векторов второй системы
две последние координаты равны 4" '•' Найти базис суммы
и пересечения линейных оболочек этих систем векторов.
1607. Подпространство Vt четырехмерного пространства
V задано своим базисом d = {l, 1, 1, 1}, аг=={0. 1. h JK
а подпространство V2 — системой уравнений
3*! +
Доказать, что V= Vt @ V2, и представить вектор jc= {1, 2, 3, 4}
15 виде суммы двух векторов у и z так, что _у s V\,
■г <= V2, и найти это представление.
1608. Дана прямая ^ = 8^, jc2=4^, xs=3t, xi = —St и
1 '1;иерплоскость 2хг — 2дг2 — х3-\-xt—0. Представить вектор
#--— {1, 2, 3, 4} в виде суммы двух векторов у и г так,
'нобы вектор у принадлежал данной прямой, а вектор z —
данной гиперплоскости.

252
ГЛ. X. МНОГОМЕРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
с
1609*. Доказать, что если а1={ап, •••, й1п), ..., ak\
= {aki, ..., akn}— базис подпространства Vo векторнс
пространства V и
akl ... akk
то подпространство Vo совпадает с пространством решен
следующей системы и — k независимых уравнений:
аи
akkakk+i
= 0,
ап ...
а:,
ап
akkakn
1610*. Доказать, что две линейно независимые систек
векторов
ai = {au> •••• аы}, •••> ak =
&1={*п. ■••> bXn}, ..., bk={bkl, ..., bkn]
определяют одно и то же ^-мерное подпространство тогда '
только тогда, когда все детерминанты £-го порядка, coeraj
лепные из столбцов матрицы
(ап ... а,„\
А=[ '
\akl ... akn/
пропорциональны детерминантам матрицы
/Ьи ... Ь
bkl ... b
составленным из столбцов с теми же номерами.
§ 2. Точечные аффинные пространства
Александров, гл. XIV, §§ I—4.
Ефимов и Розен дорн, гл. III, §§ 1—3, 7.
Во всех задачах этого параграфа система координат пре
полагается аффинной.
1611. Доказать, что если AB — CD, то:
2) четыре точки А, В, С, D лежат или на одной прямо|
или в одной (двумерной) плоскости.

I6Ig j § 2. ТОЧЕЧНЫЕ АФФИННЫЕ ПРОСТРАНСТВА 253
1612. Найти параметрические и общие уравнения плос-
плоскости, проходящей через три точки (—1, 1, 0, 1, 5), B, —1,
3, 4, 0), A, 2, 7, 6, 1).
1613. Найти параметрические уравнения плоскости по об-
общим ее Уравнениям
Ьхг + 6*2 - 2х3 + 7л-4 + 4*5 - 3 = О,'
2*!4-3*8— Хз + 4*4 + 2*5—6 = 0.
1614. Даны две прямые: первая прямая определяется точ-
точкой A, 0, —2/1) и вектором {1, 2, —1, —3}, а вторая —
точкой @, 1, 1, —1) и вектором {2, 3, —2, —4}. Найти плос-
плоскость минимальной размерности, содержащую обе прямые.
1615. Написать параметрические и общие уравнения
плоскости минимальной размерности, проходящей через две
прямые
*1==0, *2-*3+1=0, .г4-3 = 0.
1616. Определить взаимное расположение прямой
*! 4-2.г2 4-3*3+ *i —3 = 0,
хх + 4х2 4- 5jc3 4- 2*4 - 2 = 0,
2хг 4- 9*2 + 8*з 4- 3*4 - 7 = 0
и гиперплоскости
5*х 4- 7*г 4- ^■*з 4- 2*4 — 20 = о,
лежащих в четырехмерном пространстве.
1617. В четырехмерном пространстве дана плоскость
охх4- 9*з +2*4 — 20 = 0, *2=0 и прямая
*i4-2-^2+3*34- *4 -3 = 0,
2*х + 9*2 + 8*з + 3*4 -7 = 0.
Определить взаимное расположение прямой и плоскости.
1618*. Дана прямая Xl=l+t, *2 = 2 + 3
*4 = 4 + 4^ и плоскость *1 + *2+1=0, *а — *4— 1=0.
Показать, что прямая и плоскость не пересекаются, и написать

254 ГЛ. X. МНОГОМЕРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
уравнение плоскости минимальной размерности, проходяй)
через данную плоскость параллельно данной прямой.
1619*. Дана прямая jc1=l+2^, jc2 = 2-f-3^, xs = ;
Х1 — \-\-Ы и плоскость хх — Xi=0, хя — х4 — 1 =0. Показа:
что прямая и плоскость не пересекаются, и написать урав|
ния параллельных гиперплоскостей, проходящих через даш-у
прямую и данную плоскость.
1620*. Доказать, что если плоскость зтх имеет разме
ность г, а плоскость л2—размерность s, то существует пй
скость я, размерность которой не превосходит
и которая содержит плоскости пг и л2. В частности,
зать, что две прямые содержатся в плоскости, размерное
которой меньше или равна 3, прямая и двумерная плоскость
в плоскости, размерность которой меньше или равна 4; д
двумерные плоскости — в плоскости, размерность котор*
меньше или равна 5.
1621. В каждом из следующих случаев установить в
имное расположение плоскостей а и р, если плоскость]
определяется точкой А и векторами аь а2, а плоскость р ^
точкой В и векторами Ьь &2: j
1) А = @, 0, 0, 0, 0), а!={1, 0, 0, 0, 0}, а2 = {0, 1, 0, 0, 0}|
Я = @, 0, 0, 0, 1), 61={0, 0, 1, 0, 0}, &3 = {0, 0, 0, 1, 0I
2) Д = @, 0, 0, 0, 0), а!={1, 0, 0, 0, 0}, а2={0, 1, 0, 0, 0}|
В = A, 1, 1, 1, 0), &1= {0, 0, 1, 0, 0}, &2={0, 0, 0, 1, 0||
3) А = @, 0, 0, 0, 0), в1 = {1, 0, 0, 0, 0}, а2=={0, 1, 0, 0, 0}|
В = @,0,0, 1,0), &!-{0, 0, 1,0, 0}, &2 = {1, 1, 1, О, 0}J
4) А = @, ^ 0, 0, 0), fll={l, 0, 0, 0, 0}, аг={0, 1, О, О,
Я = @, 1, 1,0, 0), &1={0, 0, 1,0,0},62={1, 1, 1, 0,0}?
5) А = @, 0, 0, 0, 0), а1={1, 0, 0, 0, 0}, а2={0, 1, 0, 0, 0}1
в=@, о, 1, о, 0), &1={i, 1, о, о, о}, 6a={i,—i,o,o;qj
6) Л = @, 0, 0, 0, 0), а1=-{1, 0, 0, 0, 0}, а2 = {0, 1, 0, 0, 0}:
В = B, 1,0, 0,0), &!={!, 1,0, 0,0}, &я={1, —1,0,0,
1622*. В пятимерном пространстве плоскость а
ляется точкой А и векторами ах и а2; плоскость Р — точк
В и векторами bt и &2. Как связано взаимное расположен!
плоскостей а и р С линейной зависимостью между век*!
рами аг, а2, &!, &2,

§ 2. ТОЧЕЧНЫЕ АФФИННЫЕ ПРОСТРАНСТВА
255
1623*. В пятимерном пространстве двумерные плоскости
определяются системами уравнений
7 = 4,5,6.
Определить взаимное расположение этих плоскостей с по-
полотью рангов г и R матриц
!аП а12 а13 аЫ СЦь\
21 а22 °23 а24 Oj>5
31 а32 °33 а34 О35
41 042 а43 а44 ^45
м
\а61
а13
31 «65/
«15 ЬД
/Oil
а21 2 3 4 5
°31 «32 «33 «34 «35
а41 fl42 а43 а44 ' а45
аь1 аъг а53 ам а53
\а61 а62 а63 а64 а65 66/
1624*. Пусть плоскость пх определяется точкой Ах
и подпространством Vi, а плоскость л2 —точкой А2 и под-
подпространством V2- Доказать, что плоскости ях и яа пересе-
пересекаются тогда и только тогда, когда вектор AtA2 принадле-
принадлежит сумме подпространств V\4" V2.
1625*. Доказать, что если плоскость а не имеет общих
точек с гиперплоскостью я, то а и л параллельны.
1626*. Для того чтобы две плоскости яг и п2, не имею-
имеющие общих точек, были параллельны, необходимо и доста-
ючпо, чтобы обе они содержались в плоскости л размер-
размерности г 4-1, где г — наибольшая из размерностей плоскостей
-Ъ и я2.
1627*. Доказать, что через две непересекающиеся пло-
плоскости можно провести параллельные гиперплоскости.
1628*. Пусть лх и я2 — непересекающиеся плоскости
конечномерного пространства. Найти плоскость л минималь-
минимальной размерности, содержащую плоскость лх и параллельную
плоскости л2.

250 ГЛ. X. МНОГОМЕРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА ( ]
1629. Доказать, что диагонали ^-мерного параллелепипед
пересекаются в одной точке и делятся этой точкой попола
1630*. 1) Найти отношение, в котором гиперплоскос1
п, проходящая через копны и ребер «-мерного нараллелега
педа, выходящих из одной вершины О, делит диагональ О.
параллелепипеда, выходящую из той же вершины.
2) Доказать, что точка пересечения гиперплоскости
и прямой OD является центром (п— 1)-мерного симплекс!
получающегося при пересечении гиперплоскости л, с (я —1|
мерными гранями параллелепипеда, содержащими вершину &
1631*. Доказать, что если через концы я ребер и-ме|
ного параллелепипеда, выходящих на одной вершины О, npdl
вести (я— 1)-мерную плоскость п, а затем через все вершин!
параллелепипеда провести (я— 1)-мерпые плоскости, парад)
лельные плоскости я, то эти плоскости вместе с п разобью^
диагональ параллелепипеда, выходящую из вершины О, на j
равных частей.
1632*. 1) Доказать, что все прямые, соединяющие центр!
граней симплекса с центрами противоположных им граней
проходят через одну точку — центр симплекса.
2) Найти отношение, в котором центр симплекса делй;
направленный отрезок с началом в центре ^-мерной гран)
и концом в центре противоположной (я — k— 1)-мерной грани
§ 3. Евклидовы пространства
Александров, гл. XXIV.
Г ел ьф аи д, гл. I, §§ 2, 3.
Ефимов и Розендорн, гл. VIII, §§ 11—13.
/. Векторные евклидовы пространства
Во всех задачах этого параграфа базис предполагаете:
ортонормальным.
1633. Относительно ортонормального базиса даны тгл
вектора: {1, 2, 2, 1}, {1, 1, -о, 3}, {3, 2, 8, -1\. Найп
ортопормальный базис подпространства, натянутого на ээт
векторы, и дополнить его до ортонормального базиса всег<
пространства. i
1634. Относительно ортонормального базиса пятимерног|
пространства дана гиперплоскость хг — хг — 2jc3 + х4 = Ч
Найти новый ортонормальный базис, первые четыре век!
тора которого лежали бы в данной гиперплоскости. ■ j

1643]
§ 3. ЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА 257
1635. Дана гиперплоскость 2x1 — 2x2 — x3-{-xi=0 и век-
вектор л; = {2, 0, 4, 6}. Представить вектор х в виде суммы
двух векторов у и z так, чтобы вектор у лежал в данной
гиперплоскости, а вектор z был к пей ортогонален.
1636. Пусть V — подпространство евклидова простран-
пространства V, хъ х2 — векторы из V и JCi^i + ^i. *г —Уг + *ь
причем векторы уъ у2 принадлежат V', а гъ гг ортогональны
к V. Доказать, что если хг — xt принадлежит V, то гх — гг.
1637*. Доказать, что если А и В— подпространства
евклидова пространства, причем r = dim A <dim B — s, то
в В содержится подпространство С, ортогональное к А,
такое, что dim C^s — r*).
1638*. Доказать, что если А и В — подпространства
евклидова пространства одинаковой (конечной) размерности
и в В содержится ненулевой вектор, ортогональный к А,
то и А содержит вектор, ортогональный к В.
1639. Пусть V — подпространство евклидова простран-
пространства V, х — вектор, не принадлежащий V', у — его ортого-
ортогональная проекция на V'. Доказать: для того чтобы вектор и,
принадлежащий V, был ортогонален к вектору х, необходимо
и достаточно, чтобы он был ортогонален к вектору у.
1640. Найти ортогональную проекцию вектора {4, — 1,
— 3, 4} на подпространство, заданное своим базисом II, 1,
1, Ц, {1, 2, 2, -1}.
1641. Найти ортогональную проекцию вектора {7, —4,
— 1, 2} на подпространство, заданное системой уравнений
1642. Найти ортогональную проекцию у вектора д; евкли-
дона пространства V на подпространство V, заданное своим
базисом Ьъ ..., bs, если базис Ьь ..., bs: 3) ортонормаль-
ный; 2) произвольный.
1643*. Пусть V' — подпространство евклидова простран-
пространства V и х — вектор, не принадлежащий V.
1) Доказать, что из всех векторов подпространства V
наименьший угол ср с вектором х образует вектор у, являю-
Щийся ортогональной проекцией вектора х на подпростран-
подпространство V'.
*) Символом dim Л обозначается размерность пространства А.
9 П. С. Моденов, А. С, Пархоменко

258 ГЛ. X. МНОГОМЕРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
2) Найти угол ф, образуемый вектором д; с его орт
нальной проекцией у на подпространство V.
1644. Найти угол между вектором {2, 2, 1, 1} и подв
странством, заданным своим базисом {3, 4, —4,
{О, 1,-1, 2}.
1645. Найти угол между прямой
и плоскостью
О у О v- I v- П v- I -. П
1646*. 1) Доказать, что все векторы подпространс^
с базисом {1, 1, 1, 1}, {1, —1, 1, —1} образуют с
странством, натянутым на векторы ^ = {1, 0, 0, 0},
= {0, 1, 0, 0}, один и тот же угол.
2) Найти этот угол.
1647*. Найти угол между подпространствами А и sj
евклидова пространства.
1648*. Найти угол, образуемый с подпространством, на
нутым на векторы ег = {\, 0, 0, 0}, е2 = {0, 1, 0, 0}, подпр
сгранствами, натянутыми на векторы аь а2, в каждом |
следующих случаев:
1) ai = {2, 3, 1, 6}, а2={3, 2, -6, -1}; >Л
2) И1 = {1, 2, 1, 2}, а2 = {2, 1, -2, -lj;
3) ai={l, I, 1, 1}, «2={1, 1, 3, -о}; !
4) fll={l, 0, 2, 2}, а2 = {0, 1, 1, -1};
5) fll = {l, 1, 1, 1}, as={l, -1, 7, -7}. ., j
1649*. Найти угол между подпространствами четырехмер^
ного евклидова пространства,, одно из которых натянуто Щ
векторы {1, 1, 1, 1}, {1, — 1, 1, — 1}, а другое —на вектору
{2, 2, 1, 0}, {1,-2, 2, 0}. /.;
1650*. Пусть л и л' —й-мернце подпространства евклй
дова пространства, пересечение которых есть 0; аь ..., aft-^
ненулевые попарно ортогональные векторы подпространств
л; а\, ..., я* — их ортогональные проекции на подпростргн
ство л', также попарно ортогональные друг другу. Д4
казагь, что если векторы ах, ..., ак образуют с подпр*
странсгвом л' равные углы, то и все векторы подпростра^
ства л образуют с п' один и тот же угол. |

1661 3
§ 3. ЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА - 259
1651. В евклидовом пространстве даны два подпростран-
СТва А и В размерности k, пересечение которых есть О,
имеющие ортонормальпые базисы ах, ..., ak; Ъь ..., &ft
соответственно. В подпространстве А найти такой орто-
ортогональный базис, ортогональные проекции векторов кото-
которого на подпространство В образуют ортогональную си-
систему.
2. Точечные евклидовы пространства
1652*. Доказать, что если А, В, С —три точки евклидова
пространства и р (Л, В), р (В, С), р (С, Л) —расстояния между
ними, то р (A, C)sg:p(A, B)-{-p(B, С), причем равенство
достигается тогда и только тогда, когда векторы АВ и ВС
коллимеарпы и одинаково направлены.
1653. Найти длину диагонали «-.мерного куба с ребром а.
1654. Найти отношение ортогональной проекции ребра
к-мерного куба на его диагональ к диагонали куба.
1655*. Четырехмерный куб задан неравенствами — 1 sg
•-<:дгг^1, /=1, 2, 3, 4. Найти диагонали этого куба, пер-
перпендикулярные к его диагонали х± = х2 = х3 = xit и опреде-
определить углы между ними. '
1656*. Найти число диагоналей я-мерпого куба, перпен-
перпендикулярных к одной и той же его диагонали.
1657. Найти угол между диагональю четырехмерного
куба и его одномерной, двумерной и трехмерной гранями.
1658. Найти угол между диагональю и-мерного куба
и его йчиерной гранью.
1659. 1) Доказать, что гиперплоскость, проведенная через
концы п ребер и-мерного куба, выходящих из одной его
вершины, перпендикулярна к диагонали куба, выходящей из
той же вершины.
2) Найти расстояние от вершины куба до этой гиперпло-
гиперплоскости, если ребро куба равно а.
1660*. Доказать, что из всякой точки пространства, не
принадлежащей плоскости, можно опустить на эту плоскость
перпендикуляр и притом только один. Длина этого перпен-
перпендикуляра меньше длины каждого отрезка, соединяющего
данную точку с произвольной точкой плоскости.
1661*. Доказать, что если две плоскости не имеют общих
точек, то существует прямая, являющаяся общим перпенди-
перпендикуляром к обеим плоскостям. Если плоскости абсолютно
9*

260 ГЛ. X. МНОГОМЕРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА [
скрещиваются *), то такая прямая единственна. Длина обще
перпендикуляра меньше длины каждого отрезка, концы кс
рого находятся в данных плоскостях.
1662. Найти длину и основание перпендикуляра, опуще
ного из точки М = E, 1,0, 8) -на плоскость, проходящу
через три точки:
Л=A, 2, 3, 4), В = (% 3, 4, 5), С=B, 2, 3, 7).
1663. Найти длину и основание перпендикуляра, опуще
ного из точки М = D, 2, —о, 1) на плоскость, заданну|
системой уравнений
х,= 9,
2хх — 4х2 + 2х3 + Зх4 = 12.
1664*. Плоскость проходит через три точки А = A, 1, 1,
В = B, 2, 0, 0), С = A, 2, 0, 1), а прямая —через две точк;
D = (l, 1, 1, 2), £ = A, 1, 2, 1). Определить взаимное ра<
положение прямой и плоскости, написать уравнения и най
длину их общего перпендикуляра.
1665*. Плоскость проходит через три точки: А = A, 1, 1, 1'
5=C, 0, 1, 1), С = A, 1,—1,2), а прямая —через две точк!
£) = D, 2, 1, 6), £ = @, 4, 5, 4). Определить взаимное распО
ложение прямой и плоскости и найти расстояние между ним!
1666*. Даны две плоскости: первая плоскость проходи
через точки ^ = D, 5, 3, 2), 51 = E, 7, 5, 4), С1 = F, 3, 4,
а вторая—через точки Л2 = A,—2,1,—3), £2 = C, —2, 3, —
С2 = B, —4, 1, —4). Определить взаимное расположение эти1
плоскостей и найти расстояние между ними.
1667*. Найти кратчайшее расстояние между двумерно1
гранью единичного четырехмерного куба и его диагонаЛ:
не пересекающей эту грань.
1668. Найти расстояние от точки (xj, ..., х„) я-мер-|
ного евклидова пространства до гиперплоскости I
1669. Найти расстояние h от начала координат до гипергИ
плоскости, отсекающей на осях прямоугольной системы коор-|
динат отрезки ах ап. Л
*) Две плоскости называются абсолютно скрещивающимися, еслий
они не имеют общих точек, и не существует двух параллельных!
прямых, принадлежащих соответственно этим плоскостям. ^

1676}
§ 4. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ 261
1670. Найти расстояние от точки (рь ..., Ьп) я-мер-
ного евклидова пространства до прямой Х\ = а{-J- hxt, ...
1671*. Векторы а.{, a2,..., а„_£, ат отложенные от одной
точки, служат ребрами я-мерного параллелепипеда. Найти
высоту этого параллелепипеда, принимая за его основание
(и — 1)-мерный параллелепипед, построенный на векторах
ах, Й2> ■ • • > ап-ь
1672*. Доказать, что прямая, соединяющая центры двух
противоположных граней правильного симплекса, Перпенди-
Перпендикулярна к этим граням.
1673*. Найти расстояние h между й-мерной гранью
правильного симплекса с ребром 1 и противоположной ей
(я — k — 1 )-мерной гранью.
1674*. Найти угол между двумерными гранями A0AiA2
и А0А3А4, правильного четырехмерного симплекса ЛоАхАг^зДр
1675. Написать формулы преобразования прямоугольных
координат четырехмерного пространства, зная, что начала
координат обеих систем различны, а концы соответствующих
базисных векторов реперов этих систем совпадают.
§ 4. Линейные операторы
/. Линейные операторы в произвольном
векторном пространстве
Александров, гл. XII, § 6; гл. XXV, § 1.
Гел ьфанд, гл. II, §§ 9, 11.
Ефимов и Розендорн, гл. VII, §§ 1, 3 — 7.
1676*. Доказать, что если/—линейное отображение прост-
пространства X на пространство У, то следующие условия попарно
эквивалентны:
1) отображерше / взаимно однозначно; «
2) ядро отображения / равно 0.
Если пространство X конечномерно, то каждому из
этих условий эквивалентно следующее:
3) размерность образа пространства X равна размер-
размерности самого пространства X.
Если, кроме того, размерность пространства X равна
размерности пространства Y, то каждому из предыдущих
условий эквивалентно условие:
4) / есть отображение X на Y,

262
ГЛ. X. МНОГОМЕРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
1677. Доказать, что конечномерное пространство являе
суммой образа и ядра линейного оператора тогда и тол)|
тогда, когда их пересечение есть 0.
1678. Доказать, что если Л —обратимый оператор,!
всякое подпространство, инвариантное относительно А, ин|
риантно и относительно А.
1679. Пусть х является собственным вектором one
тора А, соответствующим собственному значению Я, и с!
сгвенным вектором оператора В, соответствующим собств|
ному значению ц. Доказать, что х является собственн
вектором:
1) операторов А-\-В и АВ, соответствующим собств^
ным значениям Ji+M- и Хц;
2) оператора аА, где а — любое число, соответствую!)
собствершому значению аХ;
3) оператора Ат, где т — натуральное число или
соответствующим собственному значению Хт;
4) оператора F (А), где F — многочлен, соответствующе
собственному значению F (Я).
1680*. Доказать, что если все векторы линейного npofl
ранства являются собственными векторами линейного опер(|
тора А, то все эти векторы соответствуют одному и то4
же собственному значению а и линейный оператор име
вид Ах = ах (гомотетия).
1681*. Найти матрицу С линейного оператора, перев
дящего линейно независимые векторы
соответственно в векторы
Ьпп\.
1682. Найти линейный оператор, переводящий вектору
а1={2, 3, 5, 0}, а2 = {0, 1, 2, 0}, ]
ц, = {1, 0, 0, 0}, а4 = {0, °. °> 1} ]

IC.S9
§ 4. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ 263
соответственно в векторы
6х = {1, 1, 1, 0}, 62 = {1, 1, —1, 0},
, 63 = {2, 1, 2, 0}, 64 = {0, 0, 0, 2}.
1683. Найти линейный оператор, собственными значени-
значениями которого являются числа 2, —3, 5, —1, а соответству-
соответствующие им собственные векторы суть {1, 1, 1, 0}, {2, 2, 1, 0},
J1, 0, —1, 0}, {0, 0, 0, 1}.
1684. Найти базисы собственных подпространств линей-
линейных операторов, заданных в базисе ^={1, 0, 0, 0}, е2 =
^{0, 1, 0, 0}, е3 = {0, 0, 1, 0}, е4 = {0, 0, 0, 1} следу-
следующими матрицами:
B 1 0 0\ /2000 /2000
, ч / 0 2 1 0 \ о\ / ° 2 1 М о\ I ° 2 ° °
0 0 2 1J' ' \ 0 0 2 1 f ' \ 0 0 2 1
\0 0 0 2,
■0021/' МО 0 2 If
\0 0 0 2/ \0 0 0 2>
/2
@ 2 0 0
' \0 0 2 О
\ 0 0 2 О
\0 0 0 2/
1685*. Доказать, что если операторы А и В пере-
перестановочны, то всякое собственное подпространство опе-
оператора А является инвариантным подпространством для
оператора В.
1686*. Если сумма собственных подпространств опера-
оператора А совпадает со всем пространством и каждое собствен-
собственное подпространство оператора А является инвариантным
для оператора В, то Л и В перестановочны.
1687. Если линейный оператор А перестановочен со
исеми линейными операторами, то А=ХЕ.
1688*. Доказать, что если собственное подпространство
У/, оператора А, соответствующее собственному значению Я,
одномерно и оператор В перестановочен с А, то V^ содер-
содержится в собственном подпространстве V^ оператора В, соот-
соответствующем собственному значению (и оператора В.
1689. Доказать, что если собственные значения опера-
юра А, заданного в л-мерном пространстве, попарно раз-
различны и оператор В перестановочен с А, то В имеет п
линейно независимых собственных векторов.

264 ГЛ. X. МНОГОМЕРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА [ i
1690. Найти инвариантные подпространства операто;
заданного матрицей
0
1
0
0
-1
0
0
0
1
0
0
1
0
1
—1
0
1691*. 1) Доказать, что если линейный оператор, заданн|
в я-мерно.м пространстве, обладает одномерным инвариа'й
ным подпространством, го он обладает инвариартшми пд
пространствами всех размерностей от 2 до я —1. |
2) Из существования («—1)-мерного инвариантного nd
пространства следует существование одномерного инва||
антного подпространства. к
1692*. Доказать, что если все характеристические чис|
матрицы линейного оператора принадлежат полю, над ко*
рым построено линейное пространство, то каждое ин8|
риантное подпространство содержит по крайней мере од|
одномерное инвариантное подпространство. |
1693*. Доказать, что если я-мерное пространство V o6J
дает базисом, состоящим из собственных векторов линейно)
оператора А, то и всякое его инвариантное подпростраисп
обладает базисом, состоящим из собственных векторов это|
оператора.
1694*. Найти все инвариантные подпространства лине!
ного оператора А, заданного в й-мерном пространстве |
имеющего п попарно различных собственных значений. Опре
делить число всех инвариантных подпространств.
1695*. Пусть V= Vx © ^ — представление простра!
ства V в виде прямой суммы подпространств Уъ и V2. рп
ратор А, заданный на пространстве V, называется симме
рией относительно подпространства Vx в направлении V
если каждому вектору x—y-\-z, ye Vb z^ V2, сгайир
в соответствие вектор x'—y — z. Доказать, что: 1) опер
тор А линейный; 2) для того, чтобы линейный оператор А бь
инволюционным, необходимо и достаточно, чтобы он 6i
симметрией относительно Vt в направлении V2. |
1696*. Пусть V=Vx0 ^ — представление пространен!
V в виде прямой суммы подпространств Vx и V2- Onej|
тор А, заданный на пространстве V, называется проектид
ванием пространства V на подпространство Vi параллель^
V2, если каждому вектору x—y + z, у &. Vh ге V%, ex
вигся в соответствие вектор у.

j704 ] § 4. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ 265
1) Доказать, что оператор А линейный.
2) Для того чтобы линейный оператор был идемпотентным
(т. е. А2 = А), необходимо и достаточно, чтобы он был про-
проектированием пространства V на подпространство Vx парал-
параллельно V2.
1697. Доказать, что если Х{, х2, ..., xk— собственные
векторы линейного оператора А, соответствующие попарно
различным собственным значениям, и аъ а2, ..., ak — числа,
не равные нулю, то вектор у = аххх + а2х2 +... + o-kxk не
является собственным вектором оператора А.
1698*. Найти матрицу линейного оператора, заданного
в четырехмерном пространстве, имеющего ровно три одно-
одномерных инвариантных подпространства, базисами которых слу-
служат векторы в1 = {1, 0, 0, 0}, <?2={0, 1, 0, 0}, еа = {0, 0, 1, 0},
соответствующие собственным значениям 1, 2, 3.
1699*. Найти все инвариантные подпространства линей-
линейного оператора у1 = ах1 + х2, у2 = ах2 + х3, ..., yn-i =
— axnjx + х„, уп = ахп, заданного в базисе е{, ..., еп.
1700*. Пусть А —линейный оператор, заданный в век-
горном пространстве V; // — гиперплоскость, все векторы
которой являются инвариантными по отношению к опера-
оператору Л; х — вектор, не принадлежащий Н, Ах — его образ,
который можно представить в виде Ax — hx-\-y, где у е И.
Показать, что для всякого хфН число X не зависит от
вектора д;.
1701*. Доказать, что если аннулирующий многочлен опе-
оператора А имеет степень k, то любой вектор пространства
принадлежит инвариантному относительно А подпространству,
размерность которого не больше k.
1702. Если оператор А2 имеет собственный вектор с не-
неотрицательным собственным значением, то оператор А имеет
собственный вектор.
1703*. Если все характеристические числа линейного
оператора принадлежат полю, над которым построено линей-
линейное пространство, и оператор имеет только одно одномерное
инвариантное подпространство, то все пространство не может
быть представлено в виде прямой суммы инвариантных под-
подпространств, каждое из которых отлично от нулевого под-
подпространства.
1704*. Показать, что если А и В — линейные операторы,
то всякое отличное от нуля собственное значение оператора
АВ является собственным значением оператора ВА.

266 ГЛ. X. МНОГОМЕРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
1705. Доказать, что если линейный оператор, задан]
в и-мерном пространстве, обладает единственным характера
ческим числом а и единственным одномерным инвариант!
подпространством с базисом ег, то существует базис, в kotoj
матрица этого оператора имеет вид
/а 1 0 ... 0 О'
'~0 а 1 ... 0 0 \ ч-
0 0 0 ... а 1
\0 0 0 ... О а/
(«жорданова клетка»).
2. Линейные операторы в евклидовом векторном
пространстве
Александров, гл. XXV, §§ 2, 5, 6.
Гсльфанд, гл. II, § 16, пп. 1, 2, 5.
Ефимов и Розендорн, гл. IX, §§ 1—3, 7, 8, 11.
1706. Найти матрицу преобразования, являющегося
тональным проектированием четырехмерного пространства!
плоскость |
1707. Найти матрицу преобразования ортогонального п|
ектирования четырехмерного пространства на двумерное п4
пространство '"
° 0
1708. Найти матрицу преобразования симметрии четыре
мерного пространства относительно прямой Xi = x2 = x3:i=>
1709. Найти матрицу преобразования симметрии четыре
мерного пространства относительно двумерного подпростра
ства
1710*. Доказать, что: .;
1) для того чтобы линейный оператор переводил кажд*
вектор пространства в вектор, ему ортогональный, необз|
димо и достаточно, чтобы этот оператор был кососиммет|$
ческим; j
2) в трехмерном пространстве линейный оператор, пер!
водящий каждый вектор в вектор, ему ортогональный, &

!7IS ] § 4, ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
267
ляется векторным умножением постоянного вектора а на про-
произвольный вектор;
3) в случае двумерного пространства линейный оператор,
переводящий каждый вектор в вектор, ему ортогональный,
является произведением поворота всех векторов пространства
в одном направлении на угол it/2 и гомотетии.
1711. Доказать, что если Л — самосопряженный оператор,
заданный в евклидовом пространстве V, го V представляется в
виде прямой суммы ядра и области значений этого' оператора.
1712. Доказать: для того, чтобы произведение двух само-
самосопряженных операторов было самосопряженным оператором,
необходимо и достаточно, чтобы эти операторы были переста-
перестановочны. ,
1713. Доказать: для того, чтобы оператор симметрии
евклидова пространства V относительно подпространства V1
в направлении подпространства V2 был самосопряженным,
необходимо и достаточно, чтобы подпространства V\ и V2
были ортогональны.
1714*. Доказать: для того, чтобы оператор проектирова-
проектирования пространства V на подпространство V\ в направлении
подпространства V2 был самосопряженным, необходимо и до-
достаточно, чтобы подпространства V-i и V2 были ортогональны.
1715. Пусть Л— линейный оператор, заданный в евкли-
евклидовом пространстве V, и А* — оператор, ему сопряженный.
Доказать, что:
1) если е — собственный вектор оператора А* А ид; —
вектор, ортогональный к е, го векторы Ае и Ах ортогональны;
2) если для каждого вектора х, ортогонального к век-
вектору е, векторы Ае и Ах ортогональны, то вектор е является
собственным вектором оператора А*А.
1716*. Доказать: для того, чтобы линейный оператор А,
заданный в конечномерном евклидовом пространстве, перево-
переводил ортогональный базис пространства в ортогональную си-
систему векторов, необходимо и достаточно, чтобы векторы
этого базиса были собственными векторами оператора А*А,
где Л* —оператор, сопряженный к Л.
1717*. Доказать, что отображение евклидова простран-
пространства па себя, при котором сохраняется скалярное произведе-
произведение каждых двух векторов, является линейным.
1718*. Доказать, что отображение евклидова пространства
на себя, сохраняющее модуль разности каждых двух векто-
векторов, является линейным.

26£ ГЛ. X. МНОГОМЕРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА [ 1?]
I
3. Изометрические преобразования в точечном \
евклидовом пространстве )
.%
1719. Пусть Е — евклидово пространство; О — точка пр<|
странсгва Е; К—соответствующее пространству Е векторнсэ
пространство; у — Ах-\-Ь— изометрическое преобразован^
пространства Е; Vt — собственное подпространство простра^
ства V, соответствующее собственному значению +1 опер;
тора А, определенного па пространстве V; V% — ортогонзл^
ное дополнение подпространства Vx; 6 = йх -]— й2 — предста|
ление вектора Ь в виде суммы векторов 6Х е Vi ий8£И
Доказать, что в плоскости я2, определяемой точкой О и по^
пространством К2, найдется точка О' такая, что исходщз
преобразование будет иметь вид у' —Ах' -\-Ьъ гдейх~ве^
тор, являющийся ортогональной проекцией вектора Ь на noi
пространство Кх.
1720. Доказать: для того, чтобы изометрическое преобр'1
зование_у=^4.я-|- Ь точечного евклидова пространства Е имел
инвариантную точку, необходимо и достаточно, чтобы векто
переноса Ь был ортогонален к собственному векторному по|
пространству Vlt соответствующему собственному значений
-f-1 оператора А.
1721. Доказать, что всякое изометрическое преобразова
ние точечного евклидова пространства обладает либо инв!
риантной точкой, либо инвариантной прямой.
§ 5. Линейные, билинейные и квадратичные функци
/. Линейные функции v
Александров, гл. XIII, § 1.
Г е л ь ф а н д, гл. I, § 4, п. 1.
Ефимов и Розендорн, гл. IV, §1.
1722. Доказать, что:
1) если х = {хь ..., хп} — вектор «-мерного линейног
пространства, то функция f(x) — Xi есть линейная функци
вектора х;
2) всякую линейную функцию 1(х), заданную в п-мернс^
пространстве, надлежащим выбором базиса можно привест
к виду 1(х) = х1, где хь — первая координата вектора X =
= {xv .... хп\.

172?!§5. ЛИНЕЙНЫЕ, БИЛИНЕЙНЫЕ, КВАДРАТИЧНЫЕ ФУНКЦИИ 269
1723*. Доказать, что:
1) ядро ненулевой линейной функции есть подпростран-
подпространство коразмерности 1;
2) всякое подпространство коразмерности 1 является яд-
ядром ненулевой линейной функции (говорят, что подпростран-
подпространство имеет коразмерность 1, если все пространство предста-
впмо в виде прямой суммы этого подйространства и подпро-
подпространства размерности 1).
1724*. Доказать, что две ненулевые линейные функции
Lx(x) и L2{x) имеют одно и то же ядро тогда и только
тогда, когда
1725*. Доказать, что если произведение двух линейных
функций, заданных на векторном пространстве, тождественно
равно нулю, то по крайней мере одна из этих функций тож-
тождественно равна нулю.
2. Билинейные функции
Александров, гл. XIJI, §§ 2—5.
Г е л ь ф а н д, гл. I, § 4, пп. 2—4.
Ефимов и Р о з е н д о р н, гл. IV, §§ 2, 3.
1726*. Доказать: для того, чтобы билинейная фу-нкция,
заданная в конечномерном пространстве, представлялась в ви-
виде произведения двух линейных функций, необходимо и до-
достаточно, чтобы ранг матрицы этой билинейной функции был
равен 1.
1727*. Доказать, что:
1) всякую несимметрическую билинейную форму ранга 1
надлежащим выбором базиса можно привести к виду
Ь(х,у) = х1у2,
где Х{ — первая координата вектора х, а у% — вторая ко-
координата вектора у,
2) всякую симметрическую билинейную форму ранга 1
надлежащим выбором базиса можно привести к виду Ъ (х, у)=
~ ± х1у1, где хг — первая координата вектора X, a yi — пер-
первая координата вектора у.
1728*. Доказать, что если Ь(х, у) — билинейная функция,
определенная на пространстве V и невырожденная на его ко-

270 ГЛ. X. МНОГОМЕРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА £ rf
Ч
нечномерном подпространстве Vlt то V есть прямая сулй
подпространств 1/2 и V2, где V2 — множество векторов,;
подпространства V, обладающих тем свойством, что b (x, у)
для всякого вектора х е V^.
1729. Найти условие, необходимое и достаточное для i
го, чтобы билинейная функция Ъ (х, у) обращалась в ну,
при у — х для всякого вектора.
1730. Доказать, что ненулевой симметрической билине
ной функции соответствует ненулевая квадратичная функщ
1731*. Доказать, что если b (х, у) — ненулевая билин^
пая функция, обладающая тем свойством, что для любых ё
торов х, у, удовлетворяющих условию Ь(х, у) = 0, выпо
няется равенство Ь(у, х) = 0, то функция Ъ{х, у) являет
или симметрической или кососимметрической.
1732*. В четырехмерном пространстве дана кососиммё
рическая билинейная форма
'х2у3 - х3у2 -1
Найти канонический вид этой формы и ее каноничесш
базис.
1733*. Доказать, что, какова бы ни была билипейная фун!
ция, заданная в пространстве конечной размерности, сущее
вует базис, в котором матрица билинейной формы этой фуна
ции обладает тем свойством, что ее элементы, не лежащ:
на главной диагонали и симметричные относительно эте
диагонали, имеют противоположные знаки.
3. Квадратичные функции
Александров, гл. XIII, §§ 3—5; гл. XXV, §7. '|
Гельфанд, гл. I, §4, п. 5; §§5, 7; гл. II, § 16, пп. 3,4|
Ефимов И Розендорн, гл. IV, §§ 4—7, 9; гл. IX, §§ 4,' Щ
1734*. Пусть Q (х) — квадратичная функция, заданной
в вещественном векторном пространстве, причем J
Q(jc)>0 при х = а и Q (л;)<0 при х — Ь.
Доказать, что: j
1) векторы а и Ь линейно независимы;
2) в двумерном пространстве с базисом а, Ь существую?
два вектора хь х2, для которых Qi^Qi^ O
J

l739 ] § 5. ЛИНЕЙНЫЕ, БИЛИНЕЙНЫЕ, КВАДРАТИЧНЫЕ ФУНКЦИИ 271
3) векторы хь х% линейно независимы;
4) векторы хъ х2 пе принадлежат ядру билинейной функ-
функции, соответствующей данной квадратичной функции Q (х).
1735*. Пусть Q (х) — квадратичная функция и Q(a) = 0
для вектора а, не принадлежащего ядру соответствующей
ей билинейной функции. Доказать, что функция Q (х) прини-
принимает все значения из поля, над которым построено линейное
пространство.
1736*. Доказать: для того, чтобы квадратичная функция,
заданная на вещественном векторном пространстве, была зна-
знакопостоянной, необходимо и достаточно, чтобы множество ее
пулей содержалось в ядре соответствующей билинейной
функции.
1737. Найти условия, необходимые и достаточные для
п п
того, чтобы квадратичная форма ^ах\-\-2 ^ bxtXj была
;=i г, /=i
положительно определенной.
1738*. Доказать, что:
1) для того чтобы ненулевая квадратичная функция, за-
заданная в конечномерном пространстве над произвольным по-
полем, распадалась в произведение двух линейных функций,
необходимо, чтобы ранг квадратичной формы, сооветствую-
тей этой функции, был равен 1 или 2;
2) в случае поля комплексных чисел равенство ранга
квадратичной функции 1 или 2 является достаточным усло-
условием- ее распадения в произведение двух линейных функций;
3) для распадения квадратичной функции, заданной в про-
пространстве над полем вещественных чисел, в произведение
двух линейных функций, необходимо и достаточно, чтобы
ранг этой квадратичной функции был равен I или 2, а индек-
индексы инерции в случае функции ранга 2 были равны 1.
1739*. Доказать, что:
1) для существования базиса, в котором квадратичная
форма, заданная в конечномерном векторном вещественном
пространстве, не содержит членов с квадратами координат,
необходимо и достаточно, чтобы оба индекса инерции этой
квадратичной формы были отличны от пуля;
2) для существования ортонормалыюго базиса, в котором
квадратичная форма, заданная, в конечномерном евклидовом
векторном пространстве, пе содержит членов с квадратами
координат, необходимо и достаточно, чтобы в каком-нибудь

272 ГЛ. X. МНОГОМЕРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА [ 17
ортонормальном базисе след матрицы этой квадратично^
формы был равен нулю.
1740*. Доказать, что если квадратичная фургкиия, зада
ная в «-мерном пространстве, тождествегшо обращается в ну
, п
на подпространстве размерности «>>•-„-, то ядро соответс
вукнцей ей билинейной функции имеет размерность боль
нуля.
1741*. Доказать, что если р и <7 —индексы инерции нев
рожденной квадратичной функции, заданной в вещественно
п-мерном пространстве, то существует линейное подпрост<
ранство, размерность которого равна меньшему из индекс
инерции, на котором квадратичная функция тождественна
обращается в нуль, и не существует подпространства боль?
шей размерности, обладающего этим же свойством.
1742. Для каждой из следующих квадратичных форм,
данных относительно ортонормального базиса, найги такой
ортонормальный базис, в котором эта квадратичная форма;
имеет канонический вид; найти канонический вид формьй
в этом базисе:
О\ О \^ лл \ О \^ Л/т ^ *} Л/т \* / \Г 4j*
о\ Оу. у й y v* fi V* V* _L- 2 )С )С '
4\ OJC"y —|— OJCa —|— О-^з "т~ ^*^4 ~
4" 6^2*3 + 2^2*4 — ^ 0*3**
§ 6. Поверхности второго порядка
Александров, гл. XXV, § 8. .,
Ефимов и Розендорн, гл. XI.
1. Поверхности второго порядка в точечном ' \
аффинном пространстве ,,л
1743. Пусть Q (х) — квадратичная функция векторного?
аргумента a:, L (jc) — линейная функция, с —число. Доказать,;!
что функция ?
при преобразовании переноса х = х' 4-х0 принимает вид
Q (х') = 2 [В (х0) X') +l (*')J + Q (*о) + 2L C*o) + с,

1747) S 6. ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА 273
где В {х, у) — симметрическая билинейная функция, соответ-
соответствующая квадратичной форме Q (х).
1744*, Пусть О —фиксированная точка аффинного про-
пространства, х = ОМ — радиус-вектор произвольной точки М
с началом в точке О. Поверхностью второго порядка на-
называется совокупность точек точечного аффинного простран-
пространства, радиусы-векторы которых удовлетворяют векторному
уравнению
где Q{x) — квадратичная функция, L (х) — линейная функция,
с —число. Точка О' называется центром (непустой) поверх-
поверхности второго порядка, если для каждой точки М поверхно-
поверхности точка Mv симметричная точке М относительно точки О';
также принадлежит этой поверхности. Доказать, что точка О'
с радиусом-вектором 00' =х0 является центром поверхности
второго порядка тогда и только тогда, когда преобразова-
преобразованием переноса х—х'-\-х0 уравнение поверхности приводится
к виду
Q (*') + *'= °,
где с' = L (х0) + с.
1745. Пусть
— уравнение поверхности второго порядка в точечном аффин-
аффинном пространстве, x = xo-\-tu — прямая. Найти значения пара-
параметра t, которым соответствуют точки пересечения прямой и
поверхности.
1746*. Пусть
0
— уравнение поверхности второго порядка в точечном аффин-
аффинном пространстве и и — вектор неасимптотического направ-
направления, т. е. Q (и) Ф 0. Доказать, что середины хорд поверх-
поверхности, параллельных вектору и, лежат в одной гиперплоскости.
Эта гиперплоскость называется диаметральной гиперпло-
гиперплоскостью, сопряженной направлению, определяемому вектором и.
Написать уравнение этой гиперплоскости.
1747*. Пусть
2 0
— уравнение поверхности второго порядка в точечном аффин-
аффинном пространстве, х0—радиус-вектор точки Мо, принадлежащей

274 ГЛ. X. МНОГОМЕРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА ['f|
этой поверхности и не являющейся ее центром. Написаэ
уравнение касательной плоскости к данной поверхнос!
в точке Мо.
1748*. Доказать, что:
1) если одна и та же поверхность второго порядка,
данная двумя уравнениями
F* (X) = Q* (X) + 2L* (х) + с* = О,
обладает тем свойством, что существует прямая, пересекаюгда
эту поверхность ровно в двух различных точках, то су тест,
вует число Х^=0, для которого
при этом утверждение верно также в том случае, когдщ
поверхность является двойной гиперплоскостью;
2) если F—0 и F* = 0 — уравнения одной и той жй
поверхности второго порядка (удовлетворяющей одному и^
условий в 1)), заданной в n-мерном аффинном пространстве
то соответстнующие коэффициенты многочленов F и F* про!
1749*. Доказать, что если в я-мерном точечном аффиннош|
пространстве ввести аффинную систему координат с начало»
в точке О и базисом еъ ..., еп, то уравнение
поверхности второго порядка примет вид
где хъ ..., хп — координат радиуса-векгора х = ОМ точки М
поверхности, а,у = Б(#,-, ej), bi = L(el), причем В{х, у)-—-
симметрическая билинейная функция, соответствующая квадЧ]
ратичной функции Q(x).
1750*. Пусть
1
С, j—l 1=1
— уравнение поверхности второго порядка, заданной в я-
ном точечном аффинном пространстве. ГЦ
■I
Ш

j 751 I § 6. ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА 275
Доказать, что:
1) координаты х°ь ..., х°п центра поверхности определя-
определяются из системы уравнений
п
^] aijXj + b^O, i=l, 2,...,я;
2) для того, чтобы поверхность второго порядка имела
центр (не обязательно единственный), необходимо и достаточно,
чтобы ранги матриц
/flu ■ • • flm\
A=f \ и B = l
\ап1 .... а
отличались Fie более, чем на 1;
3) если начало системы координат, не меняя ее базиса,
перенести в центр О'=(х1>и ..., х"п) поверхности второго
порядка, то ее уравнение примет вид
где
с'=£>,•*?-}-с;
4) для тогог чтобы поверхность второго порядка имела
единственный центр, необходимо и достаточно, чтобы опреде-
определитель б матрицы А был отличен от нуля; в этом случае
поверхность называется центральной;
5) если начало системы координат, не меняя ее базиса,
перенес, ги в центр поверхности, то в том случае, когда этот
центр единственный, уравнение поверхности примет вид
где б и А — определители матриц А и В соответственно.
1751*. Доказать, что уравнение поверхности второго
порядка, заданной в действительном п-мерном точечном аффин-
аффинном пространстве, переходом к новой системе координат
(и, возможно, умножением обеих частей уравнения на — 1)
может быть приведено к одной из следующих нормальных форм:

276 ГЛ. X. МНОГОМЕРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА [
(I) xi + ...+ x%l+Il, ^
При k = r = n поверхность называется действительным (я— ^
мерным эллипсоидом;при £ = 0,г —я —мнимым (я— 1)-мерньпй
эллипсоидом; при 0 <; k < г = я поверхность называется (п — 1)-
мерным гиперболоидом; при г <п — цилиндром над соответ
ствующей (г— 1)-мерной поверхностью.
при г четном, д^—^— при г нечетном.
При й<г = я поверхность называется действительным
(я — 1)-мерным конусом; при k = r = я — мнимым (п— 1)-мерным
конусом; при г<я — цилиндром над (г—1)-мергшм конусом
или конической поверхностью.
(Ill) x\ + ... + x%-x%+l-...-x*r = 2xr+i
klSz-n "ри г четном, &52-2— ПРИ г нечетном. При г = я —1
поверхность называется (я— 1)-мерным параболоидом; при;
г<я—1—цилиндром над соответствующим (г — 1)-мерным^
параболоидом. \
Во всех случаях (I), (II), (III) r —ранг квадратичной формы,'^
входящей в состав многочлена левой части уравнения по-;1
верхности. ~\
1752*. Найти максимальную размерность плоскости, содер-:>
жащейся в поверхности второго порядка, заданной в п-мерном-;
точечном аффинном пространстве, если эта поверхность-^
(I) конус xl-\-...-\-xl—x%+}-... — х*п = 0, 1<A<h;.J
(II) гиперболоид х\-\-.. .-\-х% — х%+\ —... — х% = 1, 1^1
k 1
(III) параболоид х\ + .. . + х% — х%+\ —... — £%-\ =
k
1753*. Доказать, что две (непустые) поверхности второго •
порядка, заданные в действительном я-мерном точечном
аффинном пространстве, аффинно эквивалентны тогда и только.;
тогда, когда они приводятся к одной и той же нормальной;^
форме с соответственно одинаковыми г и k. \
1754*. Поверхность второго порядка, заданная уравнением *
2 at/XiXj + 2 2 hXi + с = 0 1
в я-мерном точечном аффинном пространстве, называется,^
цилиндрической, если в некоторой системе координат ^

1755]
§ 6. ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА
.277
может быть записана уравнением с неполным числом пере-
переменных.
Доказать: для того, чтобы поверхность второго порядка
была цилиндрической, необходимо и достаточно, чтобы были
равны нулю как детерминант
п ... а1п Ьх
bi ••■ Ьп с
многочлена, стоящего в левой части ее уравнения, так и де-
детерминант
6 =
квадратичной формы этого многочлена.
1755*. Поверхность второго порядка задана уравнением
в л-мерном точечном аффинном пространстве. Доказать, что:
1) эта поверхность является конической тогда и только
тогда, когда в некоторой системе координат ее уравнение не
содержит ни членов первой степени относительно координат,
ни свободного члена; в этом случае начало координат назы-
называется вершиной конической поверхности;
2) для того чтобы поверхность была конической, необхо-
необходимо и достаточно, чтобы ранг г матрицы
>ап . . . а
ам
<W
квадратичной формы
п
2] at
был равен рангу R матрицы
/аи
\
многочлена Р, стоящего в левой части уравнения поверхности;

278
ГЛ. X. МНОГОМЕРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
[1?
3) поверхность является конусом второго порядка тощ
и только тогда, когда в некоторой аффинной системе к<||
ординат многочлен Р, стоящий в левой части ее уравнения, ян
ляется квадратичной формой ранга я;
4) для того, чтобы поверхность второго порядка бы;
конусом, необходимо и достаточно, чтобы
ац
Ьп
= 0:
5) конус имеет единственную вершину, являющуюся
единственным центром;
6) если конус содержит точку М, отличную от его вер-*
шины О, то все точки прямой ОМ принадлежат этому конусу^
1756*. Поверхность второго порядка задана уравнение»
в действительном «-мерном точечном аффинном пространстве.^
Доказать, что:
1) поверхность является параболоидом, если в некоторой!
аффинной системе координат ее уравнение имеет вид
га—1
2) для того чтобы поверхность второго порядка была.'
параболоидом, необходимо и достаточно, чтобы
6 =
-0, Д =
ап
aln
апп
1
2. Поверхности второго порядка в точечном
евклидовом пространстве
1757*. Доказать, что:
1) квадратичную функцию Q(x), заданную в векторном|
евклидовом пространстве, можно представить в виде
где А —самосопряженный оператор;

1760] § 6. ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА 279
2) линейную функцию L (х), заданную в векторном евкли-
евклидовом пространстве, можно представить в виде
= (&, х),
где 6 — вектор.
1758*. Пусть
Q{X) + 2L{x) + c=*{Ax, Х)+2(Ь,
— уравнение поверхности второго порядка в точечном евкли-
евклидовом пространстве. Доказать: для того, чтобы эта
поверхность имела центр О', необходимо и достаточно, чтобы
вектор Ь принадлежал области значений оператора А.
1759*. Пусть
(Ах, х) + 2(Ь, х) + с = 0
— уравнение поверхности второго порядка в точечном евкли-
евклидовом пространстве, не имеющей центра. Доказать, что сущест-
существует вектор Хо такой, что в результате- переноса х~х' -\-Х0
уравнение поверхности приводится к виду
{Ах,' Jc') + 2(&", JC') = O,
где Ь" — вектор, ортогональный к области значений оператора А.
1760*. Доказать, что если в я-мерном точечном евклидо-
евклидовом пространстве задарю уравнение
поверхности второго порядка в прямоугольных координатах,
то существует прямоугольная система координат с началом
п точке О' — (jtJ, ..., х'п) и ортопормальным базисом е\,..., е'п,
в которой уравршние поверхности представляется в одной из
следующих форм:
(I) Кхх[* + ...-\-Хгх'г'-1 + с' =0, 1 <г<я, если R — г<1;
(II) k1x[2 + ... + KXr° + 4x'r+i = °> 1<г^я-1, если
/^ — /• = 2, где г —ранг матрицы

280
ГЛ. X. МНОГОМЕРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
[ 1761i
a R— ранг матрицы
Чп
\*i ••• Ьп
1761*. Доказать, что уравнение поверхности второго!
порядка, заданной в евклидовом я-мерном точечном про-':
странстве относительно прямоугольной системы координат,'?
переходом к новой прямоугольной системе координат и умно--
жегшем обеих частей уравнения на некоторое число может
быть приведено к одной из следующих канонических форм:
(О -аа
4+1
_ _*L_1
• • • а\ — '
При k=r — n поверхность является действительным (я—1)-
мерным эллипсоидом; при k = 0, r = n — мнимым (я— ^-мер-
^-мерным эллипсоидом; при О <А <г = я —(я—1)-мерным гипер-
гиперболоидом; при г < я — цилиндром над соответствующей (г — 1)—
мерной поверхностью второго порядка.
-n при г четном,
при г нечетном.
При k<Cr = n поверхность является действительным
(я—1)-мерпым конусом; при k = r = n — мнимым (я—^-мер-
(я—^-мерным конусом, при г < я —цилиндром над (г —1)-мерным
конусом. /
/=1, 2,
г;
при г четном,
ПРИ
нечетном.
При г = я—1 поверхность является (я—1)-мерным ^
болоидом, при г <я— 1 —цилиндром над соответствующий"^
(г— 1)-мерным параболоидом. 'к*
i

1765] § 6. ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА 281
1762*. Доказать, что:
1) две поверхности второго порядка, заданные в я-мер-
иом точечном евклидовом пространстве, изометричны тогда
и только тогда, когда они имеют одно и то же каноническое
уравнение (см. задачу 1761) с одними и теми же значениями
параметров a-t и pt в случаях (I) и (III) соответственно и
с пропорциональными значениями параметров яг в случае (П);
2) две поверхности второго порядка, заданные в и-мер-
ном евклидовом пространстве, подобны тогда и только тогда,
когда они имеют одно и то же каноническое уравнение
с пропорциональными значениями параметров сц и Р( соот-
соответственно.
1763. Для каждой из следующих поверхностей второго
порядка, заданных в четырехмерном точечном евклидовом
пространстве относительно прямоугольной системы коорди-
координат, найти ее каноническое уравнение и каноническую систему
координат:
1) 2*j*2 + 2x±xs — 2*2*4 — 2х2ха + 2*2*4 + 2*3*4 —
— 2.к2 — 4*3 — 6*4 + 5 = 0;
2) Зх\ + 3*1 + 3x1 + 3-*ч - 2*i*2 - 2*х*з - 2*х*4 —
— 2*2*3 —
3)
1764*. Пусть
(Ах, Х) + 2(Ь,
— уравнение поверхности второго порядка в точечном евкли-
евклидовом пространстве. Найти гиперплоскости симметрии этой
поверхности, перпендикулярные к ее Мордам.
1765*. Пусть
— многочлен второй степени от п переменных xv ..., *„;
п
2 ^* + ^ /==1, 2, ..., п,

282
ГЛ. X. МНОГОМЕРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
[
— преобразование со переменных х1г ..., хп с оргогоналы
ной матрицей
f, ;=--=! i
— многочлен, получающийся из многочлена Р в результате
преобразования со.
1) Доказать, что следующие функции от коэффициерггов
ai;-, b;, с многочлена Р являются инвариантами преобразО'
вания со:
Яц ... ui
Доказать, что инвариантами являются также суммы /„_-i, J
/л_2, .-., /з> ^2> А диагональных миноров определителя /„ •;
соответственно порядков я—1, я—2, ..., 3, 2, 1. "
2) Доказать, что суммы /<„, Кп-ъ ■■-, К3, К» диагональ-1
ных миноров определителя Кп+1, содержащих с, соответ-J
ственно порядка я, я—1, ..., 3, 2, являются инвариантами^
любого однородного преобразования у: !
/=1, 2, ..., я,
с ортогональной матрицей
К„, Kn~i, ..., Ка, Кч называются семиинвариантами. ;
3) Доказать, что если существует линейное невырожден- \
ное однородное преобразование, при котором многочлен Р 1
преобразуется в многочлен Р' от я— 1 переменных х[, x'it... |
..., -£«_!, то Кп является инвариантом и неоднородного орто- %
тонального преобразования переменных хъ х%, ..., хп. Если .
существует линейное невырожденное однородное преобразо- ■
вание переменных хь хь ..., хп, при котором многочлен Р

1765 ] § 6. ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА 283
преобразуется в многочлен Р' от я —2 переменных х[,
х'ъ • ••> х'п-ъ т0 Kn_i и К„ являются инвариантами любого
неоднородного ортогонального преобразования переменных
хь х2, ..., хп и т. д.; наконец, если существует линейное
невырожденное однородное преобразование переменных
Xi, ..., хт при котором многочлен Р преобразуется в мно-
многочлен Р', содержащий только одну переменную х\, то все
семиинварианты Кп, Кп.{, ..., Кз, К2 будут инвариантами
и любого неоднородного ортогонального преобразования со.
4) Всякий многочлен
ортогональным преобразованием переменных jcj, ..., лг„ может
быть преобразован к одной из следующих канонических форм:
(I) 2 W + c'. г=1, 2, ..., я;
*=« 1
Г
(и) 2 м;Ч2«+^;1, r=i, 2,..., я-1,
где г — ранг квадратичной формы
п
Q — ^j aijxixj>
i, j = 1
причем A,i, ..., Яг —отличные от нуля корни характеристи-
характеристического полинома
Доказать следующие необходимые и достаточные признаки
этих канонических форм:
(I) /в = ... = /гч1 = 0, 1гф0, /Сг+2==0;
(II) /„ = ... = 1Г^ = 0, 1гф 0, /Сг+2 ^ 0.
5) Доказать, что канонические формы многочлена Р вто-
второй степени от п переменных могут быть записаны в виде
(О 2Mr + J%T' r = l, 2, ..., я;

284
ГЛ. X. МНОГОМЕРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
r=i, 2,.... п~
i= I
где г —ранг определителя /„, а Къ ..., Я,. —отличные о|
нуля корни характеристического полинома ф(А).
6) Доказать, что если ф (Я) — характеристический полинот»
квадратичной формы Q, входящей в левую часть уравнения
поверхности второго порядка, заданной относительно прямо
угольной системы координат, то
7) Доказать, что если
то
У=1. 2, ..., „.
1766*. Поверхность второго порядка задана в я-мерном^
точечном евклидовом пространстве уравнением
I, / = i £ = i
относительно аффинной системы координат, базис которой |
имеет метрические коэффициенты gij~(eit ej). Доказать, Ато:\
1) приведенные уравнения поверхности имеют вид .
(О
1гф0; £7+2 = 0;
(И)
^f = O в случае /„ = ... = /,+1 =
= 0 в случае
0, г=1, 2, ..., я-1; здеск
г — ранг квадратичной формы, входящей в состав левой!
части уравнения поверхности, Я^ — отличные от нуля корнй?§
ё

1766 J
§ 6. ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА
285
характеристического уравнения
Ф(А,)=
=0,
a /s и Ks+i вычисляются по формулам
1 (—1)" * (n-S)
— g (n-s)\ ф
-s)! *
/Q\ С— 1 2 /»•
-5)@), *=1, 2, .... я,
где
Sni
8in
gnn
h
2) если (gV) — матрица, обратная для матрицы (§,,), то,
вводя коэффициенты
а>
b'=
a=l
можно предыдущие формулы (см. 1)) переписать так:
4 = -^yjV"-s)@), *=1, 2, ..„я,
f*(e+1-f)@X 5-1, 2,...,
где
Ф(Я.) =
- «£-*•
aJ-Я, ...
b1
6" с
3) координаты (e;i, e,-2, ..., 8,-„), 1=\, 2, ..., и, базис-
базисного вектора е\ канонической системы координат находятся
из системы
(an - Xign) e,i +... + (aln - l,gln) sin = 0, I
г1п = 0.

ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
га—
4 Тб _ЛВ+ТС _. -2"Д'Д+Ж — -236 +ЙВ
5. о. 8. ВС =
3 ' ~" ~ 3
9. Точка пересечения медиан треугольника. 10. Точка пересеч4
ния прямых, соединяющих середины противоположных сторон четиЦ
рехуголышка. 13. М—точка, в которой пересекаются семь прямый
три прямые, проходящие через середины противоположных ребер
тетраэдра, и четыре прямые, проходящие через вершины тетраэдрй
и точки пересечения медиан противоположных граней. 14. \х\ :.!
= sin a : sin j3 : sin у.
15. 1) i д;' : ] у ! : ] z \ = sin 1А : sin IB : sin 2C;
.^-^i^cosA^:^
3) | x I : у ' : | z i = sin A : sin В : sin C.
16. Если все углы треугольника меньше -^-f то точка Щ
существует и /. ВМС= £. СМА = /, АМВ — -^-. Если один из угч-
2л
лов треугольника ЛВС больше -"-, то такой точки нет. 17. У к а зна-
знание. Повернуть плоскость многоугольника вокруг его центра на'1
центральный угол многоугольника. 18. Указание. См. прёдыду-;;
щую задачу. 19. ~ЕР — ~*~ ~ . 20. £?=•
={1) 0}rj
SC={—1, 1}, С5={—2, 1}, D£={—1, 0},£f={1, —1}, 71
= {2, —1}. 24. ЛВ=^{0, jj, BC---{X, 0}, CD*-{1 — iC, —1}, Й/
= {—1, 0}, AC^lX, 1}, BDr,{lL —1}. 25. ^^''^{l 0, 0}, ArDr
= {0, 1, 0},'A'A-={0, 0,'—1}, Й'С={1, 1, —1},.'/1'B = {1, 0, —l
Л'О'={0, 1, -!}, A'C'={\, 1, 0}. 26. I) AB = {— 1, 1, 0}, ВС

5S 1 ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ 287
,-.-{0, -I, 1}, С4 = {1, 0, -1}; 2) D£ = {- 1-, Л, '.}. 3) DF =
(lib
■-----{— -о-, q , of. 27. а = 2, р = 3, -у = 5. 28. 1) Векторы л, ft, с
{ z a a)
линейно независимы; 2) векторы а, Ь, с линейно зависимы и с.=
1 2
•=г а + ~б"^> 3) векторы a, ft, с линейно зависимы, но вектор с не
Z О
может быть представлен как линейная комбинация векторов а и Ь,
так как векторы а и ft коллинеариы между собой, а вектор с ик не
коллинеарен. 30. {—96, —30, 0j. 31. {—4, 10, 3}. 32. г^=--г^— г2+г3.
34. r = £i±^i>r = £i+£?. 35. r = !±±t*±2. 36. Указание.
Вектор ОМ коллииеарел вектору OD, а вектор AM компланарен век-
векторам ЛВ и АС.
\АВ\ + \А"С
| l jj—~-
сектрисе внутреннего угла треугольника.
9. г = —г~_| l jj—~- Указание. Применить теорему о бис-
бис*
\+1 ' ~ 1-Х •
42. Указание. Ввести радиусы-векторы вершин тетраэдра.
43. г — — , , г1—«_«__ 44. Указание. Ввести
т1 + та-|-... + т,г
радиусы-векторы точек At, Л2, ..., Ап и найти радиус-вектор точки М.
45. Л=@, 0), В = A, 0), С = (~, -^-j, D = (l, КЗ), £ = @,
=(-т, -~). 46. Л=(-4, 0), D = D, 0), С = A, 3), В = (-1,3),
) = @, 4). 47. 1) (_х, -(/); 2) (*, - </); 3) (-дс, </);
4) ((/, а;); 5) (-у, -х). 48. Л=@, 0), В = A, 0), С = @, 1), D =
-=(—2, 2), £ = (-3, 2), f = (-2, 1). 49. Л = @, 0), В = @, 1), С =
' 1 Л I \ 3\ „ I 3-
O = B, 5). 51. D = (l, —2). 52. УИ = A2, —11). 53. 1) (—*, —(/, —г);
2> (^. У. -z); 3) (-л:, -(/, г). 54. 1) (л:, 0, 0); 2) @, (/, г). 55. dx =
// + , „ | + ^[ + y2. 56. (_6, —4, 3). 57. А =
==@, 0, 0), В = A, 0, 0), С = A, 1, 0), D = @, 1, 0), Л' = @, 0, 1),
В' = A, 0, 1), С' = A, 1, 1), D' = @, 1, 1). 58. (-'-, ~, о) для грани
\ о о I
АОВ; @, -S-, -Т) для грани ВОС; (-г-,0, -=• ) для грани СО А;
\ о a i \ о о I

288
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
' 59' м = (—и- 2>
111,
3~' I' ~3~] ДЛЯ гРани
(—12, —12), F, —6), (—4, 4). 62. M = {2, 1), r = 5. 63. B = B,
" = A6, 3). 64. M = B, 10). 65. Afi = (l, —1), /-1=1; Af2 = E,
)■ 60- 5-
5. 66. A5, ±12), r= 15. 67. Ж1 = (~6, ~)Г1 = -^; Мг
Т' ~&1' г°- = ~8~- 68- C> • )• ~ ■ 69' [у^> у~2' у [уЩ
1 1 \ _ „ 2
У' /2/' ' ~ ' ' ' У' ' V"
72. -?-. 73. {4V2, 4,4}. 74. Четыре вектора {±4, ± 3, 0
.6 .2 . 9 cos a
75. ф, = arcsin -j-r ф, = arcsin-гт . Фз = arcsin -гт. 76. cosa!=— 1
Jl Ji il sin у .
sin V
, cosy! = 0. 77. Указание. Если Л, В, С — течю|
пересечения плоскости с осями Ох, Оу, Oz, а Р — основание перпен
днкуляра, опущенного из точки О на плоскость ABC, то направляв
—* р р pi
щне косинусы луча ОР суть cos a = —, cos p = ■—■, cos у = -^-|
1 /6' |/6' Кб/"
79. cosa =
cosB =
cos v =
cos ax + cos a2
У"^ A -J- cos ax cos a2+cos pi cos p2 + cos yx cos y2)
cos & + cos p2
У 2 A + cos ax cos a2 + cos px cos p2 + cos yt cos y2)
соз yt + cos y2
У 2 A -j- cos ai cos a2 + cos px cos p2 + cos ух cos y2)
80. 1) y; 2) (-8); 3) (-2); 4) -i-. 81. -J-. 82. - W. У|
занне. Ввести на прямой Лб систему координат и обознач.этьЦ
координаты точек А и В соответственно через Хг и х2. 83. — j
84
ВС
_
АВ 1+Я __
чтобы Л = @), В = A). 85. ^5
' СЛ Я ' Л С Я ' ВЛ* 1 + X
Указание. Выбрать систему координат так, \
3
у к а з а н и е.. ,:
Принять тотку Л за начало координат, а т,оч*ку q За единичную-'?
М . 87. S
1V 90. В = @, -7
^ + n + + \ 5 У
91. (~3, 3), G, 5), (—3, —3). 92. С=(Ю, 9), D = D, —4). 93.

128:
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
289
16
= E, 13). 104. (у,^)-
94.
S = f-j-, ^1. 96. S = ( —3, -^J. 97. % = — 2. 98. A =A60, —131), В =
= (-225, 184). 99. 1^1. 100. Н|-Л. 101.Af=@,5), r=3/5. 102. /W=
= (—2, 1). 103. D = A1, 7),
/ 2 25\ / 3 \
105. -~ , -rr\. 106. A, -_- J. 107. Указание. Проверить, что точка
пересечения диагоналей АС и BD является внутренней точкой для
каждого нз этих отрезков. 108. I-v-1 -.- .Указание. Цен'ф тяже-
тяжести однородной четырехугольной пластинки лежит на прямой, про-
проходящей через точки пересечения медиан треугольника, на которые
четырехугольник разбивается его днагбналью. 109. С = {4, —5, —2).
ПО. —_-. 111. Пересекает ось Ог и не пересекает осей Ох и Оу.
/35
112. Пересекаются в точке —^ г -=- (
2) |С5| = 1О; 3) |£?| = 5. 116. (l, ~^). Ш. ч --г, —д
Зя
/31 14 2
£)==(~> ¥' ~
D
2
lO, —
= 1. 120. Л=A, /3), В = (—1, 1),
121. А=[
С = E, 0), D = (lO, —arccos(—4-lb 122.
^"^ М —D —М 124 А • с —9 т ——
4
8). 123. Mt =
\ ]/ 5у
^=arcsin-g-; В: г — 3, ф = j-, б = arcsin f g-J; С: /- = 5, ф =
-у, 6 = arcsin у; D: r<=V~3, ф = - ~, б = arcsin f- -pr^j ;
£: г=1, Ф = у, 6 = 0. 125. г = 2, ф =
126.
1/ -|, 6 = — ~.
■ 127-
\ У 3 r~
sin9isine2]. 128. А: г=Ь, ф = —arccos-g-, г = 5; В: г=у 2,
Ю П. С. Моденов. А. С, Пархоменко
ф
3
-g-

290
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
135.
133.
-g-a. Указа!
н и е. Ввести прямоугольную систему координат, приняв за нача
координат вершину А треугольника и за базисный вектор оси абсцяй
.вектор Л В. 137. 1) 2пг2; 2) «V2. Указание. См. задачу 1
139. Указ айне. См. задачу 138:ц140. Указание. Ввести радиус
(а, Ь) (а, Ь)
(а, а) • у (а, а)
векторы точек А, В, С, D. 141. х-
Ь)
^ "' х (в, а) а
143.
а —(а
L &|
а
b
с
{а, а)
(Ь, а)
(С а)
—
, Ь)
(а,
(а, Ь)
(Ь, Ь)
(с, Ь)
(а,
(Ь,
(с,
Ь
ЬJ.
(а
Ф
(с
Ь)
Ь)
Ь)
\
. с)
. с)
. с)
(а,
(»,
(с.
с)
с)
с)
[(а, а)
145.
(а. п)
(л, п)
п.
146.
= Ycfi + Ь- + с2 + 26с cos а + 2са cos E + 2аЬ cos ■
d
d
7 8 9
147. 5; arccos уд, arccos j-^, arccos y^.
, С = arccos f ?-). 153. d =115,
' = arccos.
25
JPI ** < HF ^/ | „1 _'-P
156. &2={—2, —4}. 157. 6' = {4, —1}. 158. Пары (a, b) и (a, &')C
имеют противоположную ориентацию. 159. Пары лучей одинаково;?
ориентированы.
160. х'= х cos2 <р+у sin ф совф,
у' = xcos<f sin ф+^в1П2ф.
161. х — dx cos фх + d2 cos ф2, i/=d! sin ф1 + d2 sin ф2.
162. x = dx cos фх + d2 cos (фх + ф3) ,j
у = dx sin фх + d2 sin (фх + ф2).
163. x' — x созф—у sin ф, ^' = xsini

186 ]
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
291
164. С--
3/3 5 — 4 |/ 3
165.
2 ' 2
нли иг = (—\, —3), С2=D, —1). 166. C=j4, 3), D = (—2, 5). Ука-
Указание. Если М —середина диагонали АВ, то вершины СнОмы
получим, повернув вектор MB один раз на угол -\- л/2, другой раз
на угол - —. 167. С=(9, 2). 168. С = (А -V 169. ЛА =
= i
X sin
— *о) cos
==(—5, 7), d = @, 9)
— №i — Уо)
~
— *о) X
= 2, 3 п. 170. С =
. Указание. Принять точку Л
за начало координат, а пару векторов АЖ, АС* за базис. 172.
; —:—г-—г-гг- (см. предыдущую задачу). 173. 2соэЛ cosBcosC.
(t)-\-c) (c-\-а) {а-\-и)
Треугольники PQR и ABC имеют одинаковую ориентацию, если тре-
треугольник ABC остроугольный, и противоположную, если этот тре-
треугольник тупоугольный. 174. r/2R, где г и R — соответственно ра-
радиусы вписанной и описанной окружностей. Указание. |AR =
полупернметр треугольника ABC. Отсюда находим отношения, в ко-
которых точки Р, Q, R делят стороны треугольника ABC. Далее вос-
" "~*" " ,,, . о аЬс
пользоваться результатом задачи 171 и применить формулы S= t
4R
176. С = {|,
178. d = ) -=■
X У38
5 ' —1 —
179. —, —, —. 180. )—гтг-.. ;г= , ol; луч проходит вне трех
2 ' 4 ' 4 • 1/26 (/26' J
4 • 4
J_ ?_\
/38' /38/'
гранного угла. 181. Тройки лучей ОА, ОВ, ОС и OD, OE, OF
имеют одинаковую ориентацию. 182. Тройки лучей одинаково орнен-
тированы. ,83. С = {^, -1=, _-^}. ,84. d={-; »
"|/2 3/2/ (/10' ^ ■/<" '
cos P( cos Yi
cos р2 cos Y2
186.
cosa =
cos at cos f
cos a2 cos f
sin
cosB =
(/10
cos Yx cos «i
COS Y-2 C0S a2
sin
cosy =
, где ф — угол между данными лучами,
sin
* ~ У I
cos
cos
cos Y2
cos Yi cos at
cos y2 cos 012
cos at cos
cos a3 cos
10*

292
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
187. <p = arcsin—~=—. 188. ~2=. Указание. Принять '|а§|
начало координат вершину D, а за базнс упорядоченную тройку
торов Ш, DB, DC. 189. 9. 190. 48. ":^А
191. abc V\ + 2 cos a cos 0 cos у — cos2 a — cos3 P — cos2 у. 192. ДвШ
решения: 1) а = 6 = с = 0; 2) | а | = | 6 | = | с | = 1, векторы а, Ъ, Щ
попарно ортогональны. 197. d — \ а ! [Ь, с] + \ Ь | [с, а\ + \ с \ [а, ЩМ
если (a, b, £)>0; d~—\a\[b, с\ — \Ь\[с, а\ — \с \[а, Ь\, еатщ
(с, Ь, с)<0.
1ЯЯ. .S=
ABC
+ [я, a] sin ф. 203. Равенство имеет место тогда и только тогда, ;|j
когда выполнено по крайней мере одно нз двух условий: 1) вектор btM
перпендикулярен к векторам а и с; 2) векторы а и с коллннеарш,^
204. x = l ... / —- • Указание. Разложить век- ,J
(а- *. с) ;|
тор х по базису [6, с], [с, а], [а, Ь]. 205. 1) (а, 6) = 0; 2) х = t
=-—Lj—i--j-A.a, Где X принимает все действительные значения. -|
206- ^- ([> £ V :
имеет два решения: x—Xa +
Указание. Ввести ортонормированный базнс. 209. *=—т—^Ч—•""'<.
(«ii «г)
210. Если (аъ &г) + (а21 Ьх)ф0, то решений нет. Если же (аъ 6g)+ ■
(аг, &1) = 0, то -с=|^-|т. 211. Еслиа*>4(бг+ра2)) то задача
@ц 02)
(l— Я) с— ' где X=s
(«1 «^ ..
04^4F8+^0*). то одно решение:
ЕСЛИ ^<4^+Р«а). то реше-
ний нет.
212.
cosC =
sin b sin с
cos b — cos a cos с
sin о sin с '
cose—cos a cos 6
'sin a sin 6

225 ]
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ 293
Указание. Если еъ е2, е3—единичные векторы лучей Ъ~А, ОВ,
ОС, то
л .([gf g2b [gi. ея\) = (gi, ei)(e2, е3) —(g^ g3) fa. g2) =
COS I [gi. g2] ' I [gi. «з1 I sin 6 sin с
cos a — cos 6 cos с „ cos A -J-cos Bcos С
sin b sin с ' sin В sin С '
cos В + cos С cos Л cos C+cos Л cos В
cosb = sin С sin Л > C0SC= sin Л sin В ■
Указание. Пользуясь формулами для cos Л, cos В, cos С, вычис-
вычислить cos Л 4-cos В cos С и sin В sin С и поделить один результат на
другой. Иначе: рассмотреть трехгранный угол, ребра которого имеют
направления [еъ е2], [ег, еа], [еа, е^; его плоские углы будут я —Л,
я. - В, я —С. 213г ' | <?! | = Vgn, I е2 \ = Vg^> ^os со = gj Vgt
S = Kgiifla—g?a- 2»4. (a, ») =
215. ; a ! = /gn*2 + 2g12xy+g22>>3 •
216. совф =
217. cosa =
V gll
218.
где g=
tgm =
gll*l*2 i gl2
gll gl2
gal g22
219. созф =
yVg
/gn /gn*2 + 2gi2*V + g»y*
220. I a ! = 30. 221. b^\-.- —\\. 222. 2^61. 223.
( о о J
:| = 4, A = ~. 224. а = -5„-+2А:я. 225. jgi|=2, [ e2 \ = 1

294 ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
2л VT6 3 V~2 i
= -"-. 226. |ft! = -4—, кг1 = —я , co = arccos —
Г
, 4
227. Л'В' =1, /ГС" =5, созЛ' = -Е
О
228. 1) \а\ = Ух2 + %ху cos со +у2;
2 соОЯ_
V*\ + 2аг1^1 cos со -\-y\ Vx\ + 2лг2у2 cos to-f-_y|
3) 5 = (Х1У2 — Х2У1) sin coj
.. * ЛГ1ЛГ2 —f— (^.УгП'-^зУ!) COS CO ~Т~.У1,У2
4) COS Ot —— — : —
X x\-\-2xxyx cos со +j;f V x\ + 2x2y2 cos со +_у|
sin a* = -
x4-y cos со
229. cosa=
230. cos ф =
\fx2 + 2л:у cos со -\-y% '
x cos со -\-y
Yx2 + 2xy cos со +_j;a
cos со
V x2 + 2xy cos со +_y2 '
V sin со , v sin со
51'Пф = - - - *" У
Vx2 + 2xy cos со -\-y2 ' x -\-y cos со
231. 1) gu = —, gi2 = —^, g22 = ?U) где
gu Sit
2) *»-{^, -*f}, e2 = {~f, *f}; 3)
a
4) cos б = — ,gl2 . 232. дг1
2) |*Ч = к31=^;3)со' = я-со
2 sin ш gu sin
2 Y ёп
_ оме» 1 / £oso) _1_1
» sin-'со/' \ sin2со' sin2со/'
234.

242 ]
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
295
С
I
235. а' = хе>1+уе>, где ^
Sin
236 i) С -
1
' ' sin со
Kg К? J
, Sl2 s>n Ф1 v г* пол
СОЗф_|_в1£___х1 Указание. См. задачу 234.
Vg )
sin Ф1 g, = / sin ф sin (<п + ф)) .
' sin со/' 2 \ sin со ' sin со /'
sin со
sin
g3l
V
-, V — Vg> где g=
Vgiigzi
gn gi2 gia
Mil §23 §23
g31 g32 g33
. 237. \e1\==Vg11,
, cosco23 = -^=, cosco8i =
. 238. (a, b)=£
+ xly3) = goftxv-yb (no a н р производится суммирование от 1 до 3).
239. \а\ =
= Vgn {x1?+g33 (a:2J + gss (^K + 2g13A:1A:2 + 2g33A:V + 2gmx3xK
240. с°5ф = |("{|^|, W (a. &)=gap**yP
4- g^y 4-gi2 (*Х.У3 + ^У1) + g23 (x2y3 4- ^3) 4- gsi
\ь\=
J 4- g33 (^2J 4- gss (У3)* 4- 2gi
3 4- 2g3i3'33'1
241. cos«i =
cos az =
где \a\ = Vgu (a:1J 4- g22 («2K 4- g33 (*3K 4" 2g12.
242.
v=Vg
X1 X2 X3
yl yi y3
г\ гъ гз
где g =
gn gi2 gi3
g21 g22 g23
£31 &3i 8зз

296
243. cos ф!
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
X1 -J- X2 COS 0)j2 + X3 COS 0I3
X1 COS 0Ji 4~ Я2 + X3 coS Ш23
|в
л:1 cos «314- х2 cos <й3а + *3
|e|
где [а|=
= VVJ 4- (л:2K + (^K + 2*1*3 c°s W12 + 2a:2x3 cos oJ3 4- г^л:1 cos <
244.
1 COS 0)i2 COS йI3
cos oJi 1 cos согз
COS 0K1 COS «з2 1
' 1 4- 2 COS <B12 COS CO23 COS CO31 — COS3 0I2 — COS2 0J3 — COS3 «31.'
У1
zi
z3
x>
У3
z3
Kg, где g=
245. x =
1
= d-£, « = d-jf, где
COS G)i2 COS <B13
COS CO^ 1 COS Ш23
COS CO31 COS 0K2 1
1 COS ф! COS <B13
COS «2l COS ф.2 COSiO23
COS CO31 СОвфз 1
Q,=
COS Ф1 COS 0)ls> COS COjs
COS ф2 1 COS W23
COS ф3 COS 0K2 1
1 COS 0I2 COS ф!
cos oJi 1 cos фг
COS W31 COS CO32 COS ф3
e3 =
eu e2, e3)'
247.
248.
249.
31 g33
,gn g12
W §32 gas
(короче: x^
где ^=(
,)). 250. ]еЧ = |е
1 \
__.l 251. ei={
252. cos Й!
fill}/"[
§22 §23
, cos62 = -
cos63
gll

271 ]
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
297
253. cos 6i = -К , cos 82 = — , cos 83 :
яп оJ3 ' г an соЭ1 •
1 COS 0)i2 COS 0I3
COS <В31 1 COS 0K3
cos oKi cos 0K2 1
х3 х1
sin а»
'12
-, где
255. 21 =
У2 У3
Vg, г,
SIX §12
§23
л:1 л:3
Vg> где
259.
261.
X
'хг
х0
У
У1
У2
Уй
У1
Уг
1
1
1
1
1
1
х0
X
х%
Х0
Xl
х2
Уо
У
Уг
Уо
У1
У2
1
1
1
1
1
I
. 268. к. 260. Хо =
ттг- 27°- *=
х0
■ Хх
X
Х0
Xl
х2
Уо
У\
У
Уо
У1
Уг
i
1
1
1
1
1
271.
где Д =
С,
В, С,
а с0, сх, с3 — соответственно алгебраические
дополнения элементов Со, Сь Сг в определителе А. Указание.
На основании предыдущей задачи Х0~С (Аох-\-Воу^-Со). Константа
С определяется из следующего условия: для вершины Ло будет
Хо=1; аффинные координаты вершины До будут хо = —, у0 — —-,
Со со
где ад, Ьй, с0 —алгебраические дополнения элементов Ло, Во, Со в опре-
определителе Д. Значит,
0 I = L

298
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
[ 272:
Отсюда С = -^ и, значит,
Аналогично выводятся две другие формулы.
272.
х0
Ч
х2
Уо
У\
Уг
1
1
1
х3
Ч
х2
Уз
У1
У2
1
1
1
х0
х3
Ч
Уо
Ун
У2
1
1
1
*0
Ху
х3
Уо
У1
Уз
1
1
1
Указание. Ввести барицентрическую систему координат, при-
принимая треугольник АоА^Аъ за базисный.
276. Хо =
277. %* =
а + Ь + С х"
sin 2Л
1
sin 2fi
"sin гЛ + sin 2B + sin 2C
sin 2C
: sin 2Л + sin 2B + sin 2C
или
ko = -\-V-ctg В ctg С), %i = ~ (I -ctg С ctg Л),
г = ctg Л ctg В.
Указание. Если (х0, ц1г (х2— барицентрические координаты
центра О окружности, описанной около треугольника ЛВС?, a G —
точка пересечения его медиан, то OG : GH = 1:2 (теорема Эйлера),
откуда Хо=1 —2(.i0, %i= l — 2(i,, ^=1 — 2\i2.
284. 1) Х0>0, %!>0, Х3>0, Хз>0; 2) ХО < 0; 3) Х0=;,0;
4) Хо = 0, Хх = 0; 5) Хо=1, Х1 = Х2 = Х3 = 0. 285. °, ^ fe ° , \_^£™,
1+fe ' 1+fe
288. Хо=^-

300 ]
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
299
где
Д =
Во Со
В, Ct
в» с2
a d0. dx, di, ds — алгебраические дополнения элементов Do, Du D2,
D3 в определителе Д.
289.
Л о Во А,
А\ Bi Dt
Аа Ва Ds
Ао Во Со
Во Со
Указание. Если принять тетраэдр AoAiAaAa за базисный тетраэдр
барицентрической системы координат в пространстве, то уравнение
искомой плоскости в барицентрических координатах будет иметь вид
^2=^.3- 290. Указание. Принять тетраэдр ЛоЛ^гЛд за базисный.
Пусть р—радиус вписанной сферы, а У — объем тетраэдра А0А^АгАа.
Тогда барицентрические координаты центра О сферы будут:
1 1
л О *3 Sf
( = 0, I, 2, 3.
291. Окружность с центром в середине отрезка АВ и радиусом, рав-
равным У а2 — с3. 292. Две прямые, перпендикулярные к прямой АВ и
а2 - —
находящиеся на расстоянии — от середины отрезка АВ. 293. Прямая,
на которой лежит гипотенуза треугольника. 294. Окружность, впи-
вписанная в треугольник. 295. Окружность с центром в вершине парал-
лелограмма ABCD и радиусом, равным у \ АС ,2 + 1 ВС'\2 — \ АВ'\2>
действительная, когда угол при вершине С острый, нулевая, когда
угол С прямой, и мнимая, когда этот угол тупой. 296. Окружность
с центром в точке пересечения медиан треугольника ABC и радиусом,
равным -- Уза2 — A АВ ;2 + \ ВС |2 +1С А |2). 297. Две прямые, соеди-
соединяющие середины противоположных сторон прямоугольника. Указа-
Указание. Принять за оси координат средние линии прямоугольника.
298. Окружность с центром в точке, лежащей на прямой АВ и деля-
делящей направленный отрезок АВ в отношении — k2; радиус окружности
r = -r-j—г?- | АВ' (. 299. Окружность, проходящая через точку О
с центром на луче ОВ и радиусом, равным
аЬ
300. Прямая,
а — Ь'
перпендикулярная к линии центров данных окружностей. Если окру ж-

300
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
ности пересекаются — прямая, проходящая через точки пересечения
данных окружностей, за исключением точек этой прямой, лежащий!
внутри окружностей. Если окружности касаются —касательная в
общей точке. Во всех трех случаях прямая называется радикальной^
осью двух окружностей. 301. Прямая, перпендикулярная к прямой ОА-!Ч
и пересекающая луч ОА в точке, находящейся на расстоянии —к-^~\М
от точки О. 302. Два луча прямой х = — I, у :> 3 и дс = — 1,_у^ — 3. *■§
303. Дуга окружности
прямые: у= + 2х, у= ± -^ х в системе координат, осями которо^М
служат данные прямые. 305. Контур квадрата, образованного пря-*|
мыми х-\-у X 3 = 0, х—у :• 3 = 0. 306. Диагонали квадрата и опи-
санная около пего окружность. 307. Две стороны квадрата, средней
линией которого служит отрезок перпендикулярной прямой, парал-
параллельные этой средней линии, и продолжения диагоналей этого квад-
квадрата. 308. Если принять средние линии прямоугольника за оси коор-
координат, причем большую из них за ось абсцисс, то искомое геометри-
геометрическое место будет состоять из двух отрезков —a^x^ia, y—±a
и четырех лучей х^а, у—+х; x=S — а, у=±х. 309. г =
-£<Ф<£. 310.
Рис. 1.
COS ф'
й^фг£-о-. 311, Две равные
окружности радиусов -^ , касающиеся
ВС в точке О. 312. Окружность, про-
проходящая через точку О, центр кото-
которой лежит на луче ОА и радиус ра-
Ь'1
вен ■н—. Указание. Применить
la
полярные координаты. 313. Две полу-
полуокружности радиуса а\^2, центры
С] и С2 которых являются концами
диаметра, перпендикулярного к ОА.
Эти полуокружности расположены в
полуплоскостях, определяемых пря-
прямыми ACi и АС2, не содержащих точ-.
ку О (рис. I), Указание. Приме-
Применить полярные координаты. ЗН.Окруж-
ность, проходящая через точку А,
центр которой находится на луче
Ли, а радиус равен . Указа-
Указание. Применить полярные координаты. 315. Эллипс. Указание.
Если принять за начало прямоугольной системы координат
середину отрезка FxF2, а за ось абсцисс прямую FtF2, то урав-

329 ]
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
301
X2 V2
нение эллипса будет иметь канонический вид — y + -vV-=l. где
2 —с3 (рис. 2). 316. Эллипс ~
■Л. 317. Эллипс
= 1. 318. Эллипс—4-г^=1. 319. В эллипс
320. Эллипс -j-+ р- = 1. Указание. Составить параметрические
уравнения линии, выбирая в качестве параметра угол, образуемый
лучом ОА с осью Ох (рис. 3).
321. Гипербола. Указание.
Если принять за начало прямо-
прямоугольной системы координат
М(х,д)
Рис. 2.
Рис. 3.
середину отрезка F^F^, а за ось абсцисс прямую FxF2,to уравнение гипер-
х2 у2
болы будет иметь канонический вид-^- — гж~= 1,где62 = с2— а2 (рис. 4).
322. Эллипс, если е < 1; гипербола, если е>1. Указание. Если
принять за начало прямоугольной системы координат точку О, деля-
делящую в отношении — е2 отрезок FD перпендикуляра, опущенного из
точки F иа прямую d, а за ось Ох этот перпендикуляр, то получим
канонические уравнения кривых. 323. Парабола. Указание. Если
принять за начало прямоугольной системы координат середину О
отрезка FD перпендикуляра, опущенного из точки F на прямую d,
а за положительное направление оси Оде—направление OF, то урав-
уравнение параболы будет иметь канонический вид у2—2рх (рис. 5).
х2 v2 v
324. Гипербола -^ — ■— = 1. 325. Спираль Архимеда т = — ф (рис. 6).
326. Лемниската Бернулли (х2+.У3J = 2с3 (х2—у2), г =с УТсоГЩ,
(рис.7). 327. Лемниската Бериулли (x2+j3J = 2sx^, /■ = ]/« sin 2ф
(рис. 8). Указание. См. предыдущую задачу. 328. Циссоида Дно-
2 i2 l
клеса г =
2а sin2 ф
соэф
£l
(рис. 9). 329. Кон-

302
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
■щ
[ 329
Рис. 4.
Рис. 5.
Рис. 6.
Рис. 7.
У
Рис. 8.
X

334 ]
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
303
хоида Никомеда г =
coscp
±Ь или (х2-\-у2)(х— аJ—62л:2 =
с. 10).
330. Улитка Паскаля r = acoscp+b, (л^+j2—ахJ = b2 (x*-\-у2) (рис. II).
331. Улитка Паскаля r = b + acosq>, (x'i+y2 — axJ==b'i(x'i-{-y-). Ука-
Указание. Принять за начало координат данную неподвижную точку,
Рис. 9.
Рис. 10.
Рис. И.
а за положительное направление оси направление луча, идущего из
данной точки в центр окружности. 332. Кардиоида (частный случгй
улитки Паскаля) r = 4acos2-|-, (х*-\-у2— 2ахJ = 4а2 {х2-\-у2) (рис. 12).
-х{Х~аJ (рис. 13). 334. г-
333. Строфоида г =
coscp
2а —х

ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
[33
У
1
Рис. 12.
Рис. 13.
Рис. 14.
Рис. 15.

34]
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
305
о л
Рис. 16.
Рис. 17.
Рис. 18.
Рис. 19.
Рис. 20.

306
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
I 335
= asin2<p, (х2-\-уг)а = 4а2х2у2. 335. Астроида л: = a cos3 t, y = a sin3 t
2 2 2
х3 -\-у3 —а3 (рис. 14). 336. Верзьера Марии Аньези x = acos2(p,
а3
y = atgq>; x= 2) где а —длина диаметра окружности (рис. 15).
337. Циклоида х = а (^— sin t), y — a(\ — cos t) (рис. 16). Параметр <
принимает все действительные значения. 338. Эпициклоида x — (R-\-r)x
jR-i-r R г
Xcos/—r cos—^—t, y = (R + r) sin t—r sin t (рис. 17). 339. Гипо-
r R—r r R—r
циклоида x — (R — r) cos^+r cos /, y = {R — r) sin ^— r sin t
(рис. 18). 341. Эвольвента окружности х = г
— tcost) (рис. 19). 342. 1) x = Q, y = Q,
z — 0; 2) x = a, y = b, z = c; 3)x±y = Q.
343. xcosa+_y cos р + гсов^ — р = 0.
Указание. Выразить с помощью
скалярного произведения числовое зна-
значение проекции вектора ОМ на ось ОР,
где М — произвольная точка плоскости,
а Р — основание перпендикуляра, опущен-
опущенного на эту плоскость из начала коорди-
координат О. 344. l)x2+y2-\-z2 = R2; 2)(x—aJ-{-
!1
,y = r (sin t —
Рис. 22.
=-.г2. 346. лг2+_у3— f-£-j (z—АJ=0.
347. х2+у*— t|V3 = °- 348- y + z3=(fex+fcK (конус вращения, если
£=?fcO; круглый цилиндр, если fe=0, Ь=?^0). 349. г = а(х2-{-у2) (пара-
(парада «2 4- г2
болоид вращения) (рис. 20). 350. 1) —2- + —тъ— = 1 (вытянутый эллип-
эллипсоид вращения, рис. 21); 2)
гг"=' (сжатый эллипсоид вра-
Х2 у2 L г2
щения, рис. 22). 351. 1) -^■ — —-^—=1 (двуполостный гиперболоид
д;2 I г2 «2
вращения, рис. 23); 2) — Ш=^ (однополостный гиперболоид
вращения, рис. 24). 352. уг-\-г2 —
(параболоид вращения).

Рис. 23.
Рис. 25.
Рис. 27.
Рис. 28.

308
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
I 38.Ц
353. (x2+y2 + z8 + a2 — б2J = 4a2 (x2 +y*) (тор, рис. 25). 354. д»2+г2=
= [/Ml2- 355. F(x, A j/y2 + г2) = 0. 356. Однополостный гиперболой
y2 _L_ V2 72
вращения i-bi ip=1 (Рис- 26)- 357. *2+;У2 = [/(гI2-
я
358. at = /-cos «cos v, у = a cos и sin о, z = /-sinu, ~
359.
(a+b cos и) cos у, д» = (a+ b cos и) sin v, г = Ь sin »; :|
^я. 360. л: = (a-j-wcosu)cos2y, ^ = (a+ucost>) x
X sin 2t>, ? = usiny, b^u^b<.a,
0<d<2k (лист Мёбиуса, рис. 27). Щ
— оо <.t<.-\- со (винтовая линия,.
рис.28). 362. x = rcos2(p, >> = /-cos9Sin9,'Vft
z = r sin if, 0^ф<2л (рис. 29).$
363. lKx—д» + 4 = 0; 2Mл:+_у— 13 = 0; '<;
3) х — 3 = 0; 4) x-f2y + 7 = 0;
5) Зл: —2д» = 0; 6) 5х — Зд»— 15=0.
364. ft = --i-: a = -l, Ь = -4-.
365. x = 3 — 2/, >> =
— 5==0. 366. ^( ) + i
у =У1 A _ /) +yit. 367.5x + 7y — 11 = 0.
368. 7х+д»+18==0. 369; y = 0,
= 0,
/3. 370. х-2д>-4=
± 10=0.372.3x-p2;y-6
= 0. 373. щ-|
16
Рис. 29.
т=г=—. Указание. Принять за
/WZ. 9
начало координат вершину А, а за ба-
базис-векторы ДВ иДВ. 374. Прямая у =к-±±Ъ х+Ь,+.Ь2.
375. Отрезок прямой, соединяющий середину основания и середину
высоты треугольника. Указание. Принять за оси координат оснсь,
ваиие и высоту треугольника. 376. Отрезок прямой, соединяющей се-
середины диагоналей. Указание. Принять за оси координат диагона-
диагонали четырехугольника. 377. х + у—12 = 0. Вершины @,0), D,8),
B, Ю).378. 5х—З.у— 1=0.379. 16х+ 13^ — 68 = 0, ilx+Uy— 106 = 0.
т- '),,,,, ,.л), .^T.-.w , ..■■ .Л); 2) у- Указание.
(+ + f)( + H + t)(++)
Ввести систему координат с началом координат в точке А и базис-
базисиыми векторами АВ и ЛС.
>4«в + ВУо + С#0; 3) ■
382. 1) Ql Ьх
«2
3) I о, 6,
= 0,
; 2)
У г-Ух
381.
«2
1) Ла+ВЬ=^0; 2)
1 =0,
= 0.

413
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
309
A, B2
A3 В3
а[ в'
,&> =
А2 В,
.»-
В2
383. ])— 3) Прямые параллельны. 384. х —3^—7 = 0; 2х ■+-
_(_ 5у—3 = 0. 385. Яг+Яу—|=п ЗЯв. x_2 = 0, х — Зу + 13=0.
387. Зх —5у + 9 = 0, х—_у + 3 = 0, х — 3j> + i I =0. 388. x-f-v —7=0.
389. 5х — Ту — 3-0, х+^ + 3 = 0, 7х —5у —9 = 0. 391. х—у — 7 = 0,
х — 2jy = 0. 392. AlxArBly~BA-lxo+2Biv0-\-C1) = 0, Дгх-{-Вгу —
— BАгх0+2В„у0АгС2) = 0. 393. х+2у — 3 = 0, 2х—у —6 —0, х +
4- 2_у —23 = 0, 2х —.у+ 14 = 0. Указание. Найти точки, симметрич-
симметричные точкам Р и Q относительно точки М. 394. 5х— 12у + 36 = 0 (ВС),
9x-f-]2v+20=0(CD). 395. 5х—12у—6-^0 (AD), 5x—i2y-\-36=0 (ВС),
9x-j- 12y-f-20 = 0 (CD).
398. Четыре числа
Аг В2
1- Л3 В3 ' 2~
должны быть отличны от нуля.
А в2 d
А а ^2 ^-2
^3 ^3 ^3
А3 В3
Аг В,
образуют треугольник; 2) прямые имеют одну общую точку; 3) пер-
первая и третья прямые параллельны, вторая их пересекает; 4) прямые
попарно параллельны. 400. 1) Xiiv=I, I -4- К -\- Х]х -ф. 0; 2) >vj.iv=l,
1 + J* + fyi — 0. Указание. Ввести систему координат, принимая
за начало координат точку А, а за базис векторы АВ, АС-
', В
А
И.
Аз
397.
В2
вя
= 0 и хотя бы один из определителей
Лг В2
отличен от нуля. 398. 1) Прямые
401. (Агх
402.
CJ
= (А& + Вгу + С2)
= (А2х + Вгу + С2) (Ах/
Ва
Вх
403.
sgn
В3
sgn
В1У
В3
VAfTm v
jrBiy + C2). 404. Qe/.BMC, Re/.CMD, Se/DMA,
Те/. ВМС. 405. Точки А, В я С лежат в полосе, точки О'и F при-
принадлежат одной внешней области, точка £ — другой внешней области.
406. Прямая пересекает продолжение отрезка АВ за точку В.
407. %— — . х 'Т _ 7^ р . 408. Точка М принадлежит как отрезку
А~В, так и отрезку CD. 409. Числа Ахо + Вуй-\-С и" Ах„ + Ву0 + D
имеют противоположные знаки. 410. С<£><£ или C>D>E.
411. Прямая пересекает стороны АВ я ВС я продолжение стороны
СА за точку А. 412. Точка М лежит на продолжении стороны ВС
за вершину В. Точка N лежит в области, ограиичениой стороной
АВ я продолжениями сторон СА я СВ за точки Л и В, Точка Р
лежит в области, ограниченной продолжениями сторон А В и СВ
за вершину В. 413. Числа Аххй + BiJVo + Q. Л2*о + В2уй + С2,

310
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
А зХ0 + B3y0 + С3 должны иметь соответственно или такие же знаки
- ~ А3 В3 ' -
как числа 6j =
б,=
или
противоположные знаки. 414. На первой прямой вектор {—Вь
А1 B '
если числа Агх0 + В2_у0 + С2 и
— одного знака, и {Ви
А2 В2
— А{\, если эти числа имеют противоположные знаки. На второй
А В
прямой вектор {—В„, Аг}, если числа Аххй + Вху0 + Сх и
имеют одинаковые знаки, и вектор {Вг, —
чисел противоположны. 415. Прямая ггараллельна стороне ВС и пере-
пересекает продолжения сторон АВ и АС за точку А. 416. Зх — 4у + 12 =
= 0. 417. С = B, 4). 418. 39х — 9у - 4 = 0. 419. х—у + 2 = 0.
C||j( ' )
если знаки этих
420. С = р|-, |). 421. М = ( - ' ■, -2 ). 422. Зх - 2у + 8 = 0,
2х + Зу — 56 = 0, Зх — 2у — 10 = 0. 423. B, — 7). 424. М' = B, 3).
425. Зх —2у+11=0, 2.v+y — 9 = 0, x+Jy — 1=0. 426. 21х —
— 13у — 185 = 0, 23х — 9у —185 = 0. 427. 4х — > —э-= 0. 428. Осно-
Основания: х + 7_у — 8»=Г^+^7у^-^58 = 0; боковые стороны: Зх — 4у'—
— 24 = 0, 4х + Зу + 18 = 0. 429. х + Зу + 12 = 0, Зх — у — 4 = О,
Зх —у + 16 = 0. 431. arctg 2-, arctg 3, arctg 7. 432. ox'— 12у + 62 =
= 0, х — 2 = 0. 433. Основание 2х — Зу + 7 = 0; боковые стороны:
14х + Ъу + 23 = 0, 10х + 1 \у — 95 = 0. 434. 8х + 9у — 33 = 0.
435. х = 2. 436. х - 5у + 23 = 0. 437. С = (б, -3М. 438. \Iх-у +
+ 30 = 0; 2) х + Ту — 10<= 0; 3) х —Зу + 10 = 0. 439. Зх +у + 16 = 0.
440. С=(—1, —4). 441. САу. х + 3 = 0, СВ^. 2х —Д1у + 28 = 0;
СА2: Зх—4у + 17 = 0, СВг: 2х +у + 4 = 0. 442. B, — 4). 443.л- + Зу —
— 13 = 0. 444. Мх = D, 0), /Мг = (— 1, 5). 446. ~. 447. cos <p =
= + . ,— при этом берется знак плюс, если числа
+ В,_у0 + Сх и ^ах0 + В2у0 + С2 противоположных знаков,
и" знак минус, если эти числа одного знака. 448. cos <р12 =
при этом берется знак плюс, если числа
А3 L
и б.2 =
VAj + Bf
Аг В2
А3 В3
и знак минус, если эти числа одного знака
■ В1\\А2 В
В* \\ Ая В
449.
+
имеют противоположные знаки,
<0. 450. 5х + \2у + 64 = 0,
5х+12у —66 = 0. 451. 11. 452. х + 7у—10 = 0, 7х — у+ 30 = 0.
453. 5х — 12у+ 46 = 0, 5х — 12у — 32 = 0. 454^^1 ^^ Зх + 4у —
— 17 = 0. 455. 4х + Зу + 3 = 0, у + 1 4= 0. 45бГЗх + 4у — 64 = О,
Зх + 4у — 14 = 0, 4х —Зу —2 = 0, 4х —Зу + 48 = 0. 457. Два реше-
решения: 2а:—Пу —23 = 0, 2х — Ну —73 = 0. 458. Зх-^у — 10 = 0.

483 ]
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
311
460. Зх+у — 14 = 0, х — Зу + 32 = 0, Зх-\-у-{- 11 =0, х— Зу —
— 18 = 0. 461. C, 2). 462. (О, I). 463. (—1, 4). 464. Ct = (—2, 4),
г, = /2 ; С2 = (-3, 1),';>2 = 2У ". 465. С = (- ^, —|) , г = у •
466. С = (—2, —6), г = 2|ЛГ. 467. х — у = 0, 7х — 56;у + 25 = О,
» — 50 = 0. 468. 1 lx + 3j> + 10 = 0. 469. 4х — 4д» + 5 = 0.
470.
причем берется знак
плюс, если А,Аъ + В1Въ<A, и знак минус, если АгА2+ В^
471. ЛВ: х + 2^ — 3 = 0, CD: х + 2j> — 23 = 0; Bfi,: 2x — у — 6 -^ О,
HiD,: 2х^у+ 14 = 0; В2Са: 2х+^- 18 = 0, A2D2: 2л- + ^ + 2 = 0.
472. Два решения: I. А^: '6х + 5у — 57 = О, В^^. ох — Ъу + 37 = О,
C.D,: Зх + Ъу — 9 = 0; DXAX: Ъх — Зу — 11 = 0; II. А2В2: 9х — у —
-27 = 0, В2С2: ^ + 9^ —31=0, C2D2: 9x-^ + 21=0, D2A2: x +
+ 9v —79 = 0 473. Два решения: I. А^х: 1х +_у — 15 = 0, BiCx:
х„7у + 7 = 0, CiDi. 1х + у — 26 = 0, D^,: х — 7д» — 4 = 0; II.
Л2В2: х - 3>> + 1 = О, В2С2: 8х +у - 1 = О, C,D2: x-3y+\2 = 0,
D.,A2: Зх + у + 10 = 0. 474. Окружность, построенная на заключенном
между данными прямыми отрезке прямой, перпендикулярной к ним,'
как на диаметре, причем исключаются концы диаметра окружности.
475. Пусть Р, Q, R — точки пересечения биссектрис внутренних углов
при вершинах Л, В и С со сторонами ВС, СА, АВ. Искомое геометри-
геометрическое место состоит из отрезка PQ и лучей прямых PR и QRc началь-
начальными точками Р и Q, не содержащих точки R. Указание. Принять
за оси координат катеты треугольника. 476. х — Ту + 32 = 0, х~
2 0
477.
mod
ва
в3
mod
478. tg a =
480. tg ф =
481. tg ср ==
gll- +
Ах В1
Аг В2
где g =
gn g\t
§21 622
479. tg а =
k sin
1+feCOSO)'
fa - fcl)
gn + git
— fet) sin @
482.
483.
+
1 + (fei + fea) cos @ + ktk2
- gn (A{B2 + ^2B0 + B
+ fe2) cos a) + fexfe2 = 0.
= 0.

312
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
484.
1) coscp = —
an cp =
f
1/
A 2
gll gx2
A
i
g21 g22 Bx
Аг B2 0
gu gia Ax
gil g-12 B1
A i B1 0
k\Y
gix
R-n
gll gll Аг
gsi g22 B2
Л В 0
g12
gl9.
gll
tg<p= —
gll gl2 ^2
g21 g22 B2
Аг В, О
Лх
^2
Bill/"
В2| f7
gxx gx2
gal £22
A2 B2
gix
gll
Ai
Bx
0
gia
g22
2)
Вх) cos со-j-Bi
sin qp =
tgcp =
(ЛдВа —
— 2Л2В2 cos со + B|
sin со
sin со
А\Аг—
cos ф + В,
485. (A cosco — В) (х— хо) + (А — Bcosco)(.y— уй)=0. 486. 1)
2.y+C=0; 2) gax-«:+g22J' + C = 0; 3) х+з» cosco + C = 0,
= 0, где С принимает все действительные значения.
487 d~ \А У£
V
где g'J— метрические коэффициенты базиса е1, е2, взаимного с бази-
базисом elt e2-
488 d-^ \Axo + Bya + C\ sin со
]/"Ла —2ЛВСО8Ы+В2 '
489. d = 3. 490. 1) х Yg^ ± д> (/g^ = 0; 2) х +^ = 0. 491. 1) х=1;
у = 2; г = 3; 2) д» = 2, г = 3; г = 3, х=1; х=1,у = 2; 3) Зу — 2г = 0;
Зл:-г = 0; 2л:-д> = 0; 4)у = |- = -|-. 492. 1) je=l, >» = 2; у = 2,
z = 3; z = 3, х=1; 2) Зу — 2г = 0, а:=1; Зх —г = 0, у = 2Г2Т~-у = 0,
г = 3; 3) х=1; у = 2; г=-3. 493. {0, О, 1}. 494. 1) Зх + 2у — 6==0,
г = 0; 2) Зх + 2у —6 = 0. 495. х = 0, г = 3. 496. 1) х±у=0; 2) а: —
— _у = 0, 2 = 0. 497.
—г0
498. х=0,

537 ] ответы и указания 313
с ' у ' а с ' 'а Ь
-^ , - ■ j_2 -, 01. 500. лг=1 + 4/, у — —4i, z = t. 501. 4х+
-|- Зг = 0, "у + 2г + 9 = 0. 502. х=2—5й + 2о, v = 3 + 6« —f, г =
[ , д + + + , .у + 6 f,
= — 5 + 4и; 4х + 8у —7г —67 = 0- 503. х — Ау — г + 16=0. 504. 1) х =
^ — 13, у=13, г = — 9; 2) ц =—g-,i)=-|-. 505. 1) х = — 6, у =
^—4, г = — 3; 2) u + t> —1=0, ц = 0, о — О; 3) 39ц + 9у — 1 = 0.
506. 1. 507. 14х — 10у + ЗЗг — 70 = 0. 508. х+у — 2г + 3 = 0. 509. -i .
510. Два решения: Зх~ г = 0, х — г = 0. 511. Два решения: 27л:-)-
| И + 650 2913115 0 512 С й
р , Д р )
| у + 65=0, 29х—13з'+11г—45 = 0. 512. Семь плоскостей:
— г — 6 = 0, х+у— 10 = 0, х + 2д>—г —8 = 0, 2^ + у — г— 14 = 0,
х— у — г — 2=0, 2x+y + z— 16 = 0, бх+у —2z — 28 = 0. 513. 18х —
11 3 — 47=0. 514. х-Зу — Зг+П=0. 515. Чу— 2 + 2 = 0,
х_7у+Зг-17=0.
516. 5^+^-82 + 17 = 0, . л 517. x=3 + t, y^2 — t, г==1 — /.
-162 + 18=0.
518. i=— =^4— = ^-=г. 519. у —2г = 0, 520. v —2г + 4 = 0, )
1 b —1 ' }.
Зх+4у—г—10=0. J
521. -к-, 4x+3j; — 24=0. 522. Плоскость, параллельная данным пря-
прямым, проходящая через точку, делящую в данном отношении один
из указанных отрезков. 523. Указание. Принять за начало коор-
координат вершину D тетраэдра ABCD, а за базис —векторы ТЛк, Dfl\
DC. 524. 1) Л=£ = 0, СфО, ЭфО; 2) по крайней мере одно из
чисел А или В отлично от нуля; 3) A—B — D—Q, СфО. 525. 1) "
у; ) , ф ) ф
ФЪ 2) С = 0, ЭфО; 3) C=D = 0. 526. 1) с ф0; 2) с = 0, г0 ^= 0;
3) с = 0, го=0. 527. 1) А1В2 — А2В1фО; 2) /UBa—/1^=0 и по
йй AJ) AD Bfl BD
) , о ) 12 21ф; ) Ua^
крайней мере одно из чисел A-J)-, — AiDl или B-fl^ — B2Dt отлично от
нуля; 3) A1Bi—AiBl=(i, Л,Оа—ЛаО1 = 0, BXD2 — B2Dx = 0. 528. I) ayo—
— ЬхйфA; 2) ау0 — Ьха = 0 и по крайней мере одно из чисел а или Ь
отлично от нуля; 3) а==6 = 0, с Ф 0 и по крайней мере одно из чи-
чисел хц или у0 отлично от нуля; 4) a = b = Q, с ф0, хо=уо = О.
529. 1) CjAs — CjDi ^= 0; 2) CVDa— C2D! = 0 и по крайней мере одно
из чисел ВхС2 — В2Сх или Л^з — ^С1! отлично от нуля; 3) BiCa —
— ВаС1 = 0, ЛхС2 — ЛаС! = 0, CiDa — CoDj^O; 4) В^ — B^^Q,
AiC2 — A2Cx = Q, C1D2 — CiD1 = 0. 530. 1) Пересекаются; 2) парал-
параллельны; 3) совпадают. 531. 1) /- = £ = 2; 2) r=l, £ = 2; 3) г = У? = 1.
532. 1) Пересекаются; 2) параллельны; 3) совпадают; 533. 1) г = 3;
2) г — % J? = 3; 3) r = i? = 2. 534. 1) Прямая и плоскость пересе-
пересекаются в точке @, 0, —2); 2) прямая параллельна плоскости; 3) пря-
прямая лежит в плоскости; 4) прямая и плоскость пересекаются в точке
B, 3, 1). 535/ 1) аА+ЬВ+сСф0; 2) аА + ЬВ + сС=0, Лх0 + В.у0 +
+ Сго+О^=0; 3) о4 + ЬВ+сС = 0, Ах0 + Вуй + Cz0 + D = 0.
536. 1) /- = 3; 2) г = 2, £ = 3; 3) г = £ = 2. 537. 1) Прямая и пло-
плоскость пересекаются в точке B, 4, 6); 2) прямая параллельна пло-

314
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
£ 538
скости; 3) прямая лежит в плоскости. 538. 1) г = 3; 2) г = 2, /? = 3;
3) /■ = /? = 2. 539. 1) Пересекаются в точке (—3, 5, —5) и лежат
в плоскости 9х+ 10у — 7г — 58 — 0; 2) скрещиваются; 3) параллельны
и лежат в плоскости 5х — 22у + 19z + 9 = 0; 4) совпадают. 540. 1) /? =
= 3; 2) г = /? = 2; 3) r=i, /? = 2; 4) r = R=\. 541. 1) Совпадают;
2) параллельны и лежат в плоскости \2х — Зу + 8г = 0; 3) скрещи-
скрещиваются; 4) пересекаются в точке A0, —1, 0) и лежат в плоскости
х—7у+ 3z-17=0. 542. 1) (И,х0 + Во'0+С,г0 + О,)(аЛ2+ЬВ2+£Са)-.
-(Л2х0 + В,_>'0 + С,г0+О2)(оЛ1 + ЬВ1 + сС,)^0; 2) (Aix0+B1y0 +
+ CjZo + Di) (аЛ2 + ЬВ2 + сС2)-(ЛЛ+В2^0-|-С2г0+-О2) (аА1 + ЬВ1 +
+ сС1) = 0 и по крайней мере одно из чисел аА1-{-ЬВ1-{-сС1 или
аА2-\-ЬВ2-\-сС-2 отлично от нуля; 3) аЛ1 + 6В1 + сС1 = 0, аА2-\-
+ ЬВ2 + сС2 = 0 и по крайней мере одно из чисел /4iX0-|-B,;y0+
+ Ci20+D, или Л2х0 + В2_у + С220 + О2 отлично от нуля; 4) аА1 +
+ ЬВ+С 0 Л В + С0 AB + CD 0
+ 1+1 , 2 + 2 + 2 10+Jy0 + i0+1 ,
Л2;со+В2;у0+Сгго + £>2 = 0. 543. 1) Пересекаются в точке (—3, 0, 4)
и лежат в плоскости 2х—у-\-Ъг —18 = 0; 2) скрещиваются; 3) парал-
параллельны и лежат в плоскости 18х+25_у— 46г—18 = 0; 4) совпадают.
544. 1) г = 3, /? = 4; 2) r = R = 3; 3) r = 2, R = 3; 4) r = /? = 2.
545. 1) Три плоскости пересекаются в точке C, 5, 7); 2) три пло-
плоскости попарно параллельны; 3) три плоскости проходят через одну
прямую; 4) плоскости попарно пересекаются и линия пересечения
каждых двух плоскостей параллельна третьей плоскости; 5) первая
и третьд плоскости параллельны; вторая плоскость их пересекает.
546. 1) r = 3; 2) г = /? = 2 и никакие две строки матрицы А не про-
пропорциональны; 3) г = 2, R = 3 и никакие две строки матрицы Л не
пропорциональны; 4) г = 2, R = 3 и две строки матрицы Л пропор-
пропорциональны; 5) г=1, /? = 2 и никакие две строки матрицы В не про-
пропорциональны; 6) r — R = 2 и две строки матрицы В пропорциональны;
7) г=1, /? = 2 и две строки матрицы В не пропорциональны; 8) г =
= #=1. 547. 20х+19у —5г + 41=0. 548. 5у+13г — 60 = 0. 549. Зх-\~
+ 5у — 42+25 = 0. 550. 16х + 50.у —Зг— 132 = 0. 551. 2к—2у — $г —
— 1=0. 552. х —9y + 5z+20 = 0, х—2у — 5г + 9 = 0. 553. 4у— Зг—
— 3 = 0.
54.
A3
Л4
A\
Ax
A2
A3
Л4
Вз
в4
в,
Вх
в2
в3
в4
са
с4
ct
сх
с2-
с3
с4
?м
D
D2
£>3
D4
ла
^3
лх
в»
в3
Bi
42
<4з
Л4
с2
с3
сх
в2
Вз
в4
с
2
с3
с,
3,
¥=0,
D В С
442 В4 С4
4Х Bi d
555. I) /?<4; 2) /■ = /?; 3) г</?<4. 556. Точки Л, В, С
лежат по одну сторону от данной плоскости; точки D и Е — по дру-
другую сторону. 557. Точки Л и В лежат внутри одного угла; точки
С и D лежат в вертикальных углах, смежных с углом, содержащим
точку Л; точка Е лежит в угле, вертикальном к углу, содержащему
точку Л. 558. Точки Л и В лежат между данными плоскостями, точки
С и D лежат в разных внешних областях. 559. Плоекость пересекает
продолжение отрезка АВ за точку А. 560. 1) Ах1 + Вух + Cz% -\-ОФ

572 3
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
315
ф. Ахг + Вуг + Cz2 -h D; 2) числа Ах, 4- By, -|- Czt ~j- D и
-\- Cz%-\- D имеют противоположные знаки; 3) Ах, -)-
D Л | В + С D 4) Л f B С +
D
|
+ Сг2
р
- В.у2 + Сг2 + D; 4)
f
, )
Сг, + D
4 у2 г
+ Сг, -J-
> Ах., +
561. 4^ = -
мм2
РЛ/f А V
562.^=^2
D
PQ
D — Е
563. Числа Ах0 + Вуа + Сг0 4
противоположные знаки. 564. (А-Ьх 4- Biy 4- Сгг 4-
3, 4, где dt — алгебраическое дополнение элемента
h Вг С, D:
. 12 о2 С2 L>2
Д- 1, В3 С3 D3
и Л.v0 + В^0+Сг0+ £ имеют
+ C D) d 0 i 1 2
0+
dj > 0, i = 1, 2,
в определителе
565. (Л (х
( @ + ,y( + Q t t
дополнение элемента D; в определителе
Ai B4 C4 D4
• Dt) di < 0, где d; — алгебраическое
Д =
566. Векторы
Л, Вх
Л2 В2
^з В3
"~ I I Вг
-II
в, с2
В,
Вз
в.,
II-
направлены по ребрам трехгранного угла, если все четыре числа
Л2
А3
Вя Сз
имеют один и тот же знак. Если же какое-нибудь из чисел
имеет знак, противоположный знаку числа Д, то вместо вектора р
следует взять вектор — />,-.
567. 2х + &у - 4г - 56 =■ 0. 568. Зх + 2у 4- 4г - 38 = 0. 569. 5х ->
— у — Зг 4- 6 = 0. 570. х + Зу — 2г — Ю — 0. У к а з а и и е. Восполь-
Воспользоваться уравнением пучка плоскостей. 571. Зх-{-4у — z-{-1 = 0 и
х — 2у — 5г 4- 3 = 0. 572. 4 \х — 19v 4- 52г — 68 = 0, 33л: 4- 4у — 5г —
— 63 = 0.

316
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
[ 573
573. x — x0 a A
y-y0 b В =0.
г — z0 с С
574. x = x0 + Л/, _y = ya + В/, г = г0 -f- Ct.
575. a (x - x,) + b (у -л) + с (г - гг) = 0.
576.
х — х0 *i — х0 а
У~Уъ У\—Уъ Ь
— О,
г — г0 г, — г0 с
а (* — *о) + & (>> — Уо) + с(г — го) = 0.
577.
579.
В,
=0.
г — гх С, С
G, 1, 0). 581.
584. 5х-13у-12г + 20 = 0,
580. G, 1, 0). 581. №, 2, 3|V 582. G, —7, 18). 583. (9,
-5 = 0. 585. 1) d
2, 11).
^)()
586. яг + у + г—1=0, х—1=0. 587. 24x + 2l^ — ЗЗг + 50=0.
588. 4x—14^ — 7г — 48 = 0. Указание. Найти точку, симметрич-
симметричную точке (—3, 0, 0), лежащей в первой плоскости, относительно
второй плоскости, и воспользоваться уравнением пучка плоскостей,
определяемого данными плоскостями. 589. 2. 590. Два решения:
х_|-Зу = 0, Зх— y = Q. 591. Два решения: х + 20^ + 7z — 62 = 0, х —
— г + 2 = 0. 592. Два решения: x + 2Qy-f-72—12 = 0, х-г^=0.
Указание. Воспользоваться уравнением пучка пЛСскрстей".
593. Два решения: 2x+y-j-z + 8 — 0, 14x+ 13у— 11г+20 = 0. У к а-
з а и и е. Рассмотреть пучок плоскостей, осью которого является дан-
данная прямая. 594. arccos [—^-). 595. (АгА2 + BiB2-j-CiC2) X
0. 596.
+
lyu +
С2С3)
20+
(АХА2
598. Два решения:
. В2В3
597. ±
- 2/33
Указание. Рассмотреть пучок плоскостей, осью которого является
данная прямая. 599. arcsin т^~. 600. arccos | — =---). 601. ■■- ^_ -,
10/19 . \ 75/ /779
р=, ■ /. .■::. 602. т=, ■ ,■ - ,-_. Луч проходит вне трех-
/779' /779 /134 /134'/134
гранного угла. 603. -г=. 604. Два решения: 2х+у — 4г +17 = 0,
2х-(-у — 4г — 25 = 0. 605. Два решения: 6х-}-3.у + 22 — 75 = 0, 6х +
г— 19 = 0. 606. d= [^IZ^'J.--. 607.

647 ] ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ 317
2=0. 608. 4х— 4y + 4z—7 = 0, 10х+6у—4z— 5=0.
609. 8x + 5y — 9г — 24 = 0. 610. Зх— .У + 2г — 2=0.
«■• (-».-f о). .
C' 3 3 \ 3
". ~". ~т)> РаДиУс Равен у.
3
х-\ у~ 2 г 1
613. :-=2-= j = Y' r==T- 614' !4ж —2>* + 4i
615. Центр B, 3, 4), радиус равен 1. 616. Четырз прямых:
±2 1 ±2' i
. ^Ш618. "I/ ?-./б19. 9x+. 12y + 20г~60=0, 4х— 3
^~ "—
620. 1) —~; 2) -Д^. 621. 3. 622. —. 623. r = ro+at.
I/110 K102 Кб
I K
624. г = го+«а + а& или (г — г0, а, &) = 0. 625. r = o + (l
+ va или (г —г0, Гт, — гй, а) = 0. 626. (г~Го. я) = 0. 627. (г
пи »j>) = 0 или r = ro + tm1 + wt2- 628. r + g""^!'
(G, Ot С)
629. 1) (г2—п, olf С2)9^О; 2) (г2 — гь Сх, а2) = 0; 3) {r2~rv av O2)=
-:0, [ах, О2]^0; 4) [av O2]=0, [г2—гъ а]фО; 5) [а^ а2}=0,
. 631. ^i-
632. ro-^'n)tD"- 633. ro-2ff°;n)tD». 634.
(и, n) (n, re)
636. -°1№-"з1+Д2[«з. ях]+Р3 [«!,»,] 637> i)(
(nlt «2, ft3)
2) (a, n) = 0, (r0, n) + D^=0; 3) (a, n) = 0, (r0, n) + D=0.
638. (r — r0, a, re) = 0. 639. (r — rx, au a2)=0. 640. (r — rlt Oi,
K. aal).= 0. ('■ — '"а. «г. [«I. й2]) = 0. 641. (r — ro, а) = 0,
(r — r0, r2— r0, c)==0. 642. (n1; n2) n3) = 0, [nu щ] Ф 0, [я2, ге3] ^=
=?fc0, [n3l nJ^O, Dxtfbj, Яз1,+ О2[л3, «il + Dafft!, /^1^=0.
643. (n-i, Я2, Я3) = 0, О^Иг. H3]i-D2[n3) rtil + IXjtn!, Иа1=0 и по
крайней мере один из векторов [геа, п3], [п3, щ], [nv щ\ отличен
от нуля. 644. (tii, п2> л3)^0, (Ль п4, п^)фй, (я2, п3, «4)^:0,
(л?, ге4, пО^О, —D!(n2, п3, «4)+Ог(«ь Лз. fit) — D3{nu «2, л4) +
+ D4(ni, «а, rtjJ^O. 645. Числа (гг—г0, гг—га, о), (г2—г0, г3—гф а),
(г3~-г0, Гх—Го, а) одного знака. 646. 1) [пъ пг\ф0\ 2) [/гь «г1 = 0,
O; 3) [пх, «2]=0, D^-Djfi^O. 647. ' {Г^° '

318
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
[ 648»
648. ■ [Г' , Г": °] ] . 649. 1) d = -
1. 2) d ■■
= . ", " ' . 650. (r, n) + D = 0, (r — ro, а, [а, я]) = 0.
Ill t
651. 1) Указание. Если прямая проходит через точку (г0), то
b = [r0, а].
652. d =
gn
g21
g3i
A
gia
g2a
g32
В
gl3
g23
g33
с
A
В
С

Указание. Нормальный вектор к плоскости п = Аех-\-Вег-{-
+ Се3, где е1, е2, е3 — базис, взаимный с базисом еъ е%, е3, а giJ =
= (е\ el). 653. cos9= ± —, где
= g'M1M2+g22'S1B2+^3C1C3+gla
или
654.
j/
gll
g2i
#31
gll gl2
g3i &
^2 ^2
sl2 pl3
£
f
гза g33
gl3
8»
g-33
Ai
Bi
0
Ai
Bi
0
gll gl2 £l3
gai gm g23
g3i
Вг C2
A2
s2
0
A) +g31
26^ = 0 или
g2l g2a g23 B,
g3l g32 g33 ^1
A2 B2 C2 0
= 0.

G74 ]
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
319
655. <p = arcsin г^—nh—-, где
\p\-\n\
\р\ =
2g12a«,
656. (gua + gn
ВС (
656. (g
:В:С
или (g
£) = a: ft :c.
657. V = l-
gll gl2 gl3
Uni Pot} MflQ
6^1 &1!й &£O
22 + g^c): (g31a4-g32b +g33c) =
: (g21A + g22B + q™C): (g«iA -f
Ух *x
Уз гз
1, y=— У + 1. 659. x = 6x'-
j; O' = C, —2), е; = {2, —1},' ^ = {— 5/2}.
/4 2\ /2 2\ /2 4\
661. О = @, 0), Л= т, - ■ , С= —, - , В= -- -I.
662. x=|^_i-r+lC,=-l,'
ш . — х'
— (— л: + V) sin -fr-. 665. х= .
2 sm ы
^-. 663. Х=-д-Х'~
COS „•, / =
х' — у' cosw
sin ы
„„ , х' —у' cos ш
666. X' = X -{-У COS Ш, У =Д£ COS CO-f-У ИЛИ Л:= г-; 4 у
— х' cos ш -{-у'
sin2 to
DO/. X =
sin2 to
х v,_
668. х' = -
2 , * - -g—. 669. 14х' + 4;у'-3=0.
670. 142л:— 183у — 489=0. Указание. Принять данные прямые за
новые оси координат, а данную точку Р —за единичную точку новой
системы координат. 671. х — 5^ + 3 = 0. Указание. Принять за
новые оси координат данные стороны треугольника, а за единичную
точку — точку пересечения его медиан. 672. Зх-]~8у—17 = 0, 6х—у —
— 17 = 0, 9А' + 7у-|-17 = 0. Указание. Припять медианы треуголь-
треугольника за новые оси координат, а данную вершину — за единичную
точку. 673. 1) х = 2*'-)-г' +2, у = 4х' + 4у' + г' + 1, г = х'4-4;у' + 3;
+ 22-10; 3) •О=D,-7.
К)

320 ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ [ 67sl
Yl TTiT
= (- 1, о, 1), <?;={-2, о, 1}, ei={- 1, - 1, з}, *;={- 1, -1,1};
,.rt / 1 1 1\ /11 П /11 51
~у}- 675. х==—х'
{}
676. О=@, 0, 0), Л = (—1, 1, 1), В = A, — 1, 1), С=A, 1, —1).
677. Л = @, 0, 0), В = (|, _|, -1),
С=A, I, -1),Л' = f-i-, -1, |), Я'=.A, - 1, 1), D'=(- 1,1, 1),
l 1 1^ 678 X = JL, JL v = J^_ + 2l_^l
2' 2' 2j- ' ]/2 /3 ' К2 /2 КЗ '
2 = X+J1 679., = *'-4l-Jl y 2 y-'-il г 3
]/2 /3'r— ^3 /6' /3 Кб1 /6 ■
680.
= а21х[ + a22^ + a23*8> W3i^i + Шза^2 + *з = «3i«5 + азз^а + а3з*з. где-
aik = aki. 681. д£' =
Z-, у =
682. х' = х, у'=у, г' = — -|-Bx + 3y — 6z + 6). 683. х = — \-х'—
- у х' +J /-2. 685. B, 3). 686. дг^у а/—| У+ 2, у
10' /10
688. ^„d!£±M±£l Г=^+В»У+С» 689., = -Н
/Л| + В| ' /Л| В| • 15
2 , , 2 , 2 , 14 , 1 , 2 , 1,2,
-15* +Тг>* = -ТБ* -IS* "У*' ^У* "У* +Уг-
690- , = {,'-^/-1,', y = ±x>+-Ly'-±;', г =
691- — } x'~
2 11 1
+ 1, г = ж' — у' — г' + 2. 692. * = — *' -
3 3/2/2 3

712]
2
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
2 . 2 ... 1 _,
321
1
693. х = у х' -
_ А ' 2
z=~¥ x ~"з
21
= ~~з х'+~з у'
-1- г'
3
2
3 -
г' =
A3x-\-B3y-\-C3z+D3
695. х'.=-
696. х' = -
697.
J/30
2х.-У+2 г,=
J/5 '
,.,^х-у-г+1
z' —
699.
' у~ ye • w~'
-2ax = Q. 698. Четыре окружности *2+j»2 i 2rx r'..
700.
=Л; 2) C=@, -1), r = f. ?
(l
= -о- 701- x = a-)-r cos^,
; 2) (х—с
= (- 1, .2), г = уЬ; 4) С=П, -■
_у = /;-)-с sin <. 702. 1) (х — aJ~r(j'-
> r-\ 3) r\<.(x — а)--\-(У — Ь)г <r'i.
703. 1) Множество всех внутренних точек полукруга, ограничен-
ограниченного окружностью (х — 3J+(;у — 3J = 8 и ее диаметром, лежащим-
на прямой у = х, содержащихся в той полуплоскости, образованной
прямой у = х, в которой лежит точка E, 0); 2) множество всех точек
большего из двух сегментов, на которые данная прямая разбивает
данный круг. 704. (х — аJ + (у — Ь)г = г-, (Aa + Bb-\-C) (Ax + By -f
а 705.
706. х2+у2 х у 1
0, С=(-
\ r JL^+
707.
= 0.
х-+У- х у
x'i+y'i х\ У\
АЛ-У1 Ч У*
x'i+y'i x2 у2
*1+У* хз Уз
708. x%-\-yl~{-axn-\-by0+c. 709. Два решения: (х —
— 1, (х—4J + (д» —5J = 25. 710. Две окружности:
I 45\2_/45\з
711.
= 0.
(^ — 2J.=
— 5J = 25,
С -А -В 0
= 0.
■)■) П. С. Моденов, А. С. Пархоменко

322
ОТВПТЫ Ц УКАЗАНИЯ
713. (хо-а)_(х-а) + (уо-—Ь)(у — Ь) = г-\ 714.
4 В.(У-Ь) Л г |/Л* + В*.= 0. 715. *Н.yi-2xtlx-
716. a==xj5+j;g + 2aA'0-f 26vo + c- 717. Прямая B,)|B
+ с2 — с,==0. 720. (х — 4J-|-(у + 3J= 1. У к а з а и и о. Центр иско
мой окружности лежит на пересечении данной прямой с радикалы
ной осью двух данных окружностей. 721. (x + 3J-j-(_y + 7)- = 4lI|
Указание. Центр искомой окружности является радикальными
центром трех данных окружностей. 722. 2 + % ?
723 г\г З 10 0 У
723. x2+y2 — x — Зу~ 10 = 0. Указание. Рассмотреть уравнение;
пучка окружностей . -
х2 +у2 — 2х-\-4у — 20-\-р (х — 7у + 10) = 0.
724. хох-\-у0у = г2. Указание. Пусть 71, — (хиу{) иГ2 = (х2, у%) — i
точки прикосновения касательных к окружности, проведенных из1^
точки (х0, у0). Уравнения касательных в точках T-t = (*,-, у;), / = 1, 2,
таковы: XiX-\-yiy — r'1. Этим уравнением удовлетворяют координаты
точки /Ио, т. е. XiXn4-yiytt—r2. Отсюда следует, что точки, касания
лежат на прямой ХдХ-^у^у — г-. 725. (rx0 .i. ру0) х + (гу0 Т- рхи) у =
где p=/xS+j'5 —г2. 726. г (К 5—1). 727. (рис. 30).
Рис. 30.
1) Или р>2а, или р<0, С=(р, 0), г = Ур(р — 2а). 2) *==а.
3) р = 7у 1 .■ Это значение р при ограничениях, наложенных на
/ (А'о — ")
точку (х0, j»o) B условии, или отрицательно, или больше 2а. 4) Если
д>2о, то aBa, Q)=2aBa~p) <0, a @, 0)=2pa>0, а если р<0,

759 ] ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ 323
то а Bа, 0) > 0, а @, 0) < 0. 5) 0 = о2 — №= \ ОМ |2= j AM.2; отрезки
касательных, проведенных из любой точки радикальной оси ко всем
окружностям Ср, равны между собой. Иначе: любая окружность,
проходящая через точки О и Л, пересекает все окружности Ср орто-
ортогонально. 6) Если 2а < ру < /?,, то окружности Ср и СР, не имеют
ни одной общей точки (их уравнения несовместны); при этом точка А
лежит внутри обеих окружностей и радиус окружности Ср больше
радиуса окружности CPi. Для ~р2 < ft < 0 рассуждения аналогичны.
7) Для построения окружности Ср строим точку P = (ft 0) и проводим
из точки Р касательную РТ к любой окружности, проходящей через
точки О и А. Окружность Ср имеет центром точку Р и радиус РТ
(Г —точка касания). 8) 6 = 1/ —^-. 9) Необходимое и достаточ-
достаточное условие того, что точки D = (xi,0) uF = (кг, 0) гармонически сопря-
сопряжены относительно точек 0 = @, 0) и А --- Bа, 0), имеет вид а (х1-\-х2) =
— Х\Х«. Абсциссы Xi и хг точек D Hf пересечения окружности Ср
с осью Ох определяется из уравнения х- — 2рх-\-2ра = 0. 10) В кон-
концентрические окружности с центром Лив диаметры этих окруж-
окружностей. 728. 2) (Mai + '->i)- Maa + &2))- 4) 2 (a2-at) х+2 (Ьг-Ьх) у +
-\-asl-\-bil — rl — al — bi-\-r'i = O 729. 3^ + 5у = 32. 730. х2+ g v2 =
•-а2./731. х2 — 4v=-f 15 = 0. 733. Указание. Ввести полярные
координаты, принимая за полюс центр эллипса, а за полярную ось —
ось эллипса. 734. Ар V Z. 735. Окружность (х — 5J + (jy —3J = 25.
736. 1^! + 11^!=1. 737. 1) (у-Ь)* = 2р(х-а); 2) (y-bf =
= 2р(х-а); 3) (Х-а)- = 2р (у-Ь); 4) (х-аJ = - 2р (у-Ь).
7381 ху~ х -i-l=.0; 739. Два решения: ху=\, ху — 2х + 1 = 0.
740. !ЛВ| = |ж:| = 2а, |вС|=2а^3. 741.
(х 4J у2
742. i—j-g—^—г-1_ = 1. -Указание. Уравнение искомой линии
может Сыть представлено в виде y- = 2px-\-qxi. 744., Равносторонняя
гипербола л:2—д»2 = а2 —Ь2 при афЬ; пара прямых у = ± х при а=Ь.
745. Указание. Принять за оси координат асимптоты гиперболы.
746. р. 747. Указание. Принять оси парабол за оси координат.
749. 2х2 — 8х-|-Зу— 10^=0. 7.50, х2 —м? -= jx4- l&v-—1&=-0. 751. 5хг+
F + 5уа — 6х—10у — 3f*0'.~' Оказание. Принять оси эллипса
й й 752 '1 +
(у + у у f р
за оси новой прямоугольной системы координат. 752. х'1 +
-i-2xy+y* + 5x—y-=Q. 753. 4ху + 3уг + 4у~ 11 =0. 754. Зх^ —2х —
— 2^ = 0. 755. Окружность и равносторонняя гипербола, описанные
около прямоугольника, если стороны прямоугольника не равны
между собой. Указание. Принять за оси координат прямые,
соединяющие середины противоположных сторон прямоугольника.
756. Окружность. 757. Равносторонняя гипербола, проходящая через
точки Р и Q с центром в .середине отрезка PQ, одна.из асимптот
которой параллельна прямой d. 759. 1) 1\ = @, —4), dx: y = —5;,
/■-2 = @, 4), d2:y^5; 2) /-^-@, -6), d1:y = -'^; F2=@, 6),
'11*

324 ОТВ2;ТЫ И УКАЗАНИЯ [ 76
^ 3) F =
761. F = [0,- , d: у =■—-.-. 762.
4a/ ' 4a
= 0; 763. 196+447= ]> T ~48 =
*2 u2
764. j. + To=l- Второй фокус (—2, 0), вторая директриса х — — 8.
765. Зх-—у2 — 36л: + 96 = 0. Второй фокус A0, 0), вторая директриса
*=7. 766. у2 + 8х— 32=0. 767. I) -2^; 2) 2—; 3) 2р. 768. — е\
где е— эксцентриситет линии. 769. |/2. 771. е=к-, 772. е =
5
1 1
773. е=1_-',. 774. е' = -. 775,
J/3 "
777. f3 = -2p'(x
\ /
781. Два решения: <vj— r-1^
(*- О2 3-» _..(*-I)9 %
- =i 1. 776. i~ + "-=
2 2
4 12 ~ ' 13
решения: - ~' - +^
(x+l)s—(y—l)-i~2;
— 4y—-0. 788. 8xy — 4x— 4_y + 3 = 0. 789. Половина хорды кривой, _j
проходящей через ее фокус и перпендикулярной к фокальной оси. J
Указание. Приняв за начало координат вершину кривой, а за'
ось абсцисс-^ ее фокальную ось, представить уравнение кривой
в виде у2 — Ipx + qx1. 790. Парабола. 791. Дне параболы с общим ■
фокусом в центре данной окружности и директрисами, параллельными
данной прямой. В случае внешнего касания постоянной и переменной
окружности параметр параболы равен a-f-r. В случае внутреннего
касания параметр равен а--г, где г—раднус окружности, a—рас-
a—расстояние от ее центра до данной пряной. Указание. Найти дирек-
трису кривой. 792. Эллипс -—„ - -\-----—. 1 и все точки оси Ох.
Указание. Воспользоваться фокальным свойством линии второго
х2 у2
порядка. 793. Эллипс «сЧ" а ~ '■ 7- Окружности с центрами в фоку-
фокусах гиперболы. 795. Открытый отрезок касательной в вершине рассматри-
рассматриваемой ветви гиперболы, заключенный между ее асимптотами. 796. 4а'- +
/ — 39 = 0.797.р-=; — '
799. о — -. . 800. V2=12x. 801. 3. Указание. Воспользоваться
г 1 — cos <р
полярным уравнением параболы. 802. Парабола, получающаяся изданной

807 J ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ 325
параболы переносом на вектор, идущий из вершины данной параболы в ее
фокус. Указание. Воспользоваться полярным уравнением параболы.
803. Указание. Воспользоваться уравнением линии второго порядка
в полярных координатах, принимая за полюс фокус лимин. 804. Ветвь
гиперболы с параметромр -— | А В j и эксцентриситетом е = 2, фокальной
осью которой является прямая А В, а фокусом, лежащим внутри этой
ветви, точка А. Указание. Внести полярные координаты и воспользо-
нагься полярным у равнением лини и второго порядка.. *|фь_.1) Эллипс; боль-
большая полуось равна 4, малая полуось равна 3, центр C,—2), направляющий
лектор большой оси {1, 0};2) гипербола; действительная полуось равна 1,
мнимая полуось равна 2, центр B, —3), направляющий вектор дейст-
действительной оси { 1, 0}; 3) парабола; параметр равен 2, вершина
/ 2 \ „ - ■ • ■ ~~~—г~~
„-, 11, направляющий вектор оси в сторону вогнутости {1, 0J;
w_ I _. .. • ■. '" " ■ . . ..
4) эллипс; большая полуось равна 5, малая полуось равна 3, центр
B, —3), направляющий вектор большой пси {0, 1}; 5) гипербола;
действительная полуось равна 4, мнимая полуось раина 2, центр
B, 3), направляющий вектор действительной оси @, 1}; 6) парабола;
8 / о 3\
параметр равен - , вершина I—2, - ■>, направляющи» вектор оси
в сторону вогнутости {0,.—1J-; 7) пересекающиеся прямые Зх-\-2у-\-
j 10 = 0, Зх~2у + 2--0;%в) .параллельные прямые х----2, х — -*-3;
а2
9) парабола с параметром 1р = „-, вершина @, /;), направляющий век-
Д>
тор оси в сторону вогнутости ■{0, —1}; 10) гипербола, действительная
полуось равна о, мнимая полуось равна Ъ, центр (а, Ъ), направля-
направляющий вектор действительной оси {1, 0); 11) эллипс; полуоси а\/2,
b [' 2; центр (— а, — Ь), оси параллельны осям координат. 806. При
/ 12 }3 _!_ 1
: X <—1 —гипербола (х—А.J 4-А. (у—, \ = -^—, действи-
действительная ось которой параллельна оси Ох; при Х = — 1— две пересе-
пересекающиеся прямые х — у~0, х-г-у-\-2~ 0; при — 1 < А,< 0 — гипер-
/ ] . а X3 4-1
бола (х—А.J 4- А. [ у — , ) =—г^-, действительная ось которой парал-
\ a j К
лельпа оси Оу; при А. —0—парабола *'- — 2^; при А. > 0 — эллипс
( })* ^ (ПР" А.= 1 —окружность (х- 1J +
■ оо ■
807. 1) -Эллипс Xq- 4-"--=1, O' = B, 3), e\ =
I O * I2 i2
12^ • xv
,.-, - ,\ (рис. 31); 2) гипербола —. -q- =
' 5 \ 5J 4 у
= 1, O' = (l, 1), e[ = {^—, ~X e:, = l £- —l (рис. 32);
\l'13 VVij - \ ■ у 13 1/13/
3) парабола ^'2 = -7 л:', О'=C, 2), e; = / ,--, vA, ^ =
f 1 2 -i И J
= i ,.-, —, > (рис. 33); 4) пересекающиеся прямые х— у— 1=0,
(.)/ 5 J/ 5J ,

326
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
[ 80?;
х— 4_у + 2 = 0; 5) параллельные прямые 2х — Зу-{-1 =
= 0; 6) эллипс т+>т=1, О' = (-5-,
X-!
Рис. 31.
>, 2х-3.у-2 =
2 1V
Рнс. 32.
Рис. 33.
| 5 |/ 5
W10
О'-=B, 1), в1=
С
. гипербола -г—С-'. О' = B, -1), в\ =
=4—,
W10'
-1Д;
Д; 8) парабола у''=4}'~х',
, ^-{--^2, ^.J; 9) пересекающиеся пря-

нзз ] ответы п Указания 327
мыс 2х-(-Зу — 5 = 0, х — 4_у-|-2 = 0; 10) параллельные прямые 2х—у +
.;. 1=0, fa-jr-4-O: 11) эллипс g-!-^ = i; О'
6" 36
•,•-, —•-,->, е! = <•>-. -> I; 12) гипербо
|.'5 \''ЪУ - XV5' V5f H
-.a-y-^-=1.0'
8" 5
г=@,1), c; = (-L-.,-4-\, ^ = /--jL -ДД; 13) парабола^'2 = 10*';
\|/13 V 13/ \ |/13'К13/-
4 31 C
k ^ j
D 31 C 41
5-, — -g-k ^ = j-g, -g|; 14) пересекающиеся
прямые x-j-j» — 2 = 0, Здг —2^-j-l =0; 15) параллельные прямые 2х—
— З.у —2 = 0,'2х—Зу —8 = 0; 16) эллипс -^- + -р=1, О'=@, 1),
t;=|i-7-l e'-i\~-, М: 17) гипербола *'--^'-=1, О'=-
-A, 1), г' = /_Н_ _i_\ ^ = ( ?_ -J_}; 18) парабола
' -V13 К.13/ ' I К13 1/13/
у'г = -;-,', О' = B, 3), ,;=/_.;.- 2-Л ,-/2 ,_)
Г5 I ]/5' 1/5/' " \|/5' 1/5/
19) переедающиеся прямые 2л: + 5у + 1 = 0. 2х + 3у — 5 = 0; 20) парал-
параллельные прямые 2х4-^ + 3 = 0, 2^4-^ + 5 = 0. 808. При —оо <
<а< — 1 —гипербола A —а) х'2 + A +<z)i>'- = 1, действительная
ось которой имеет угловой коэффициент, равный —1; при а =
.■= —1— две параллельные прямые х—у ± 1=0; при —1 < а <С 1 —
эллипс A—а) х' —J— A —J— ос) jv =1, большая ось которого имеет угло-
угловой коэффициент, равный —1 (при а = 0 — окружность х24-/2= 1);
при а=1—две параллельные прямые х-\-у ±_ 1=0; при а> 1 —
гипербола A—а) х' -{-(\-\-a)у' =1, действительная ось которой
имеет угловой коэффициент, равный 1. 809. 1) Г1 = (—2, 1), d,:
д:_3.у-4=0; Л2 = @, -5), d2: x-3j;-6 = 0; 2) (-~, ~ Jq) ,
4х-2у-3 = 0. 811. /1 = 0, !3ф0; х*-у*=\ I3\ \ 12\ 2. 812. /г/3<0.
3
813. /г = 0, /3 = 0. 815. /2>0, /i/3<0, s = n|/3|/a -J- 816. ^@>>\>)
<0. 817. hF (х0, у0) <0. 818. l'f = 4I2, 1г13 < 0. 819. Указание.
При доказательстве необходимости условия воспользоваться резуль-
результатом предыдущей задачи. 820. %х- — ^ху-\-2у'1-\- \2х — 99 = 0.
823.
£221 ^22 ' ^2
Щ Clr, Cl
b
<0. 824. F(x,y)= ? 825. Ука-
я а и и е. Принять за оси координат диагонали ромба и выразить
через инварианты расстояния от начала координат до сторон ромба.
828. Зх-}-4у —24 = 0, Зл: —28.у— 120 = 0. 829. х— 1, 5х — 2v + 3 = 0.
830. х-Зу'+9-~0, 9л:4-Зу+1=0. 831. ^2 = 4х. 832. 2. 833". х + у ±

328
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
[ 834;-
±5=0. 834. \k\>~. 835. у = /«:+?. 836. х+у+ £ = 0. 837. у* =|
= —f-*- 838. ±3*:i 4у+15 = 0. 839. .yo* + Xo.)> = 2C. 840.
841. Указание. Принять за оси координат асимптоты гиперболы. \
842. s = ab. 843. ** -^-= 1. 844. ^-.У2= 1. 845. l)O=^|j-|f<:l; |
2) при выполнении одного из двух условий: 2') 5l_-£A = 0, хдуоф0; м
х у2 х2 у2
2") а — г^ = '; 3) при выполнении одного из условий: 3') -■|[-—~> 1;
J
3") Wo = 0. 846. §~§
0. 847.
~*? = 0. 848.
2 = С2; 2)
4)
= C*. 849. ~+-^-=1. 850.
— С2, аМ2 + &252<С2. 851. ^ + jij. 3 = 0. 852. х _ +
853. 1) Окружность х2 +^2 = а2 + Ь2; 2) при а>Ь—окружность"л:2+^2= ■
= а2 — Ь2, за исключением четырех точек ее пересечения с асимпто-
асимптотами гиперболы; при а — Ь — пустое множество; при а <& — мнимая
окружность; 3) прямая х=— „—директриса параболы. 854. *2+.У2 =
= Q2 + ft2. 855. Точки осей симметрии, лежащие вне кривой. 857. х±
-_t .у ± 3 = 0. 858. 4х2 — 12*у-f 9v2 — 2<t% — 36j;-)- 36 = 0. 859. x2 — 4xy —
— 6л;+9 = 0. 860. 2л;2 — xy — x + у + 5 = 0.
= 0.
и гипербола, касающиеся боковых сторон тре-
его основания. 866. Если кривая —эллипс, то
окружность с центром в другом его фокусе и радиусом, равным
большой оси эллипса; если кривая — гипербола, то окружность
с центром в другом фокусе и радиусом, равным действительной
оси; если кривая--парабола, то ее директриса. Указание.
Пусть Fx и /-'2 —фокусы эллипса, Ма — точка эллипса, a F'2— точка,
симметричная фокусу /'2 относительно касательной к эллипсу
точке Мо. Тогда точки F',, Мо и Ft лежат на одной прямой. 867. Если
кривая — эллипс, то окружность, построенная на его большой оси
как на диаметре; если кривая — гипербола, то окружность, постро-
построенная на ее действительной оси как па диаметре; если кривая — па-
парабола, то касательная в ее вершине. 870. Четыре точки:
ь\'ь\
861.
862.
угольника
an
(hi
ax
A
an ax
a23 o»
а2 а
В С
Экружность
в
концах
A
В
С
0
И I
его
= а — о.
Уа + Ь' Va + bl'
Указание. Воспользоваться параметрическими уравнениями эл-
эллипса. 871. Пусть Pj и Р2—проекции фокуса F на касательные ^
параболе в точках Мг и УИ2; точки Pt и Р2 лежат на каса-
и t2 к

SSI ] ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ 329
тельной к параболе в ее вершине; так как L FPxbA = Л FP2M = -^-,
то точки F, Plt P2, M лежат па одной окружпости (с диаметром FM).
Значит, л рхргр — /. PXMF (как углы, опирающиеся на одну и ту,
же дугу). Обозначая через а и f5 острые углы, образованные каса-
касательными к параболе в точках Mi и М2 с ее осью Г Л (а < f5), имеем
L МгГА=2$, L Л»2М=2а, поэтому /_ MJ:M2=^2^—2a, a из тре-
треугольника AW,F имеем L MMiF--я — f5, следовательно, /_ Л11/?Л12 =
■ •-. [5 — а. 872. 1) Окружность С, построенная на большей оси эллипса
как на диаметре; 2) множество внутренних точек окружпости С;
3) множество точек, внешних но отношению К" окружности С.
873. 1) Окружность С, построенная на действительной оси гиперболы
как па диаметре; 2) множество точек, внешних по отношению к ок-
окружности С; 3) множество внутренних точек окружности С. 874. 1) Ка-
Касательная к параболе в ее вершине; 2) открытая полуплоскость, опреде-
определяемая касательной в вершине параболы, в которой расположена парабо-
парабола; 3) открытая полуплоскость, определяемая касательной в вершине
параболы, не содержащая точек параболы. 875. 1) Зх -j-J^-f-14 = 0,
* КУ-3 = О; 2) *=3, У = ~1 *+1-876. 1) £,^ = -^7 2)*1*s = ||;
3) kv-\-k-!, = O. 877. У~-^х. 878. у= ^ х, у=^ х. 879. 32х + 25у —
— 89 = 0. 880. х-—2, х-\-Ау— 14 = 0. 881. Общий диаметр.: Зх+у —
— 7=0; угловые коэффициенты хорд первой и второй кривой, со-
сопряженных этому диаметру. &i=l, ho~ — 6. 882. _у = 3л:, у = 2х.
883. х—2у —1=0, * + 2у-|-7 = 0, х--2у-|-1 =0. 884. Диаметры,
соединяющие точки касания противоположных сторон описанного
параллелограмма, будут сопряженными диаметрами только в том слу,
чае, когда кривая является эллипсом и по крайней мере одна из
точек касания является серединой стороны параллелограмма (в этом
случае точки касания всех сторон параллелограмма являются их се-
серединами). Диагонали параллелограмма, вписанного в эллипс, будут
сопряженными диаметрами, когда отношение сторон параллелограмма
к параллельным им диаметрам одно и то же для обеих сторон; диа-
диагонали параллелограмма, «вписанного в гиперболу», будут сопря-
сопряженными диаметрами, если отношение стороны параллелограмма
к параллельному ей диаметру, пересекающему гипербол""у, равно от-
отношению другой стороны параллелограмма к параллельному ей диа-
диаметру, пересекающему сопряженную гиперболу. Указание. Точка
пересечения прямых, соединяющих середины противоположных сторон
параллелограмма, совпадает с точкой пересечения его диагоналей.
889. Указание. Принять за начало координат центр линии, а за
базис —векторы, идущие из центра и точки касания пересекающихся
а Ь
сторон параллелограмма. 890. *2 = Т- -г- Уъ У г— ="- — х\. Указание.
Пусть x = acost, y = bs\nt — параметрические уравнения эллипса.
Тогда если t^ — значение параметра, соответствующее точке (ху, уг),
то /2="'i -1- ~к—значения параметра, соответствующие концам сопря-
сопряженного диаметра. 891. В = \2, -Л С = B, 0), D — \3, -A.

330
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
£ 892
892. 4х* + 8ху+\3у2 — 24* — 42у + 9 = 0. Указание. Написать
уравнение эллипса в системе координат с началом в точке С и базис-
базисными векторами СА и СВ. 894. х3 — 4ху + 4_у2 — 4х — 4_у = 0. 895. х- +
-f 2_ty+_y2 + 5x— д; = 0. 896. 9х2 — 24*у+ 16.у2 —60*—16у + 256 = 0.
Указание. Прямая, проходящая через точку Л и параллельная
прямой ВС, является касательной к искомой параболе. 897. х2— 2ху ~\-
+ Ъуг — 4 к — Ау + 4 = 0. 898. х2 — 2лу + 2у2"— 2Л- + 1 = 0. 899. х2 + 2лу +
+ 2у2— 14л:— 20^ + 48 = 0. 900. Прямая, параллельная другой асимп-
асимптоте гиперболы, проходящая через середину отрезка, заключенного
между данной точкой и центром гиперболы, причем из этой прямой
надо исключить точки отрезка, один конец которого лежит на асимп-
асимптоте, а другой является точкой касания касательной к гиперболе,
проведенной из данной точки. Указание. Принять за оси координат
асимптоты гиперболы и выбрать базис так, чтобы в этой системе
координат гипербола имела уравнение ху=\, а данная точка—коор-
4 1
динаты 0,1. 901. £'=.-„-. 902. у=.\ - х. 903. хг-\-у"^1. 904. .V2 —
о Z
2=1. 905. у2--=х. 906. ху-\. 909.
г
910. Указание. При-
Припять за ось абсцисс диаметр MLM2, а за ось ординат диаметр, парал-
параллельный касательным в точках Мг и УИ2. 911. Указание. Припять
за ось абсцисс диаметр, проходящий через точку М, а за ось орди-
ординат—диаметр, параллельный касательной к линии в точке М.
912. Эллипс или гипербола. 913. Прямая ОС (за исключением
точек О и С), являющаяся диагональю параллелограмма АОВС, сто-
стороны которого имеют данные асимптотические направления. Ука-
Указание. Принять за начало координат точку О, а за базис —
некторы ОА и ОВ. 914. Множество центров состоит из внутренних
точек треугольника, сторонами которого являются средние линии
данного треугольника, а также из внутренних точек углов, верти-
вертикальных к углам треугольника, образованного средними линиями.
Указание. Принять за начало координат одну из вершин тре-
треугольника, а за базисные векторы —стороны, выходящие из этой
вершины. 915. d = 2 \/"Ы + 2Ь-, k=±~. 916. arctg 2^ , где с =
~У a- — b2. 919. Указание. Взять уравнения эллипса в пара-
параметрической форме: x — acost, y = b sin t. 924. Указание. Вос-
Воспользоваться параметрическими уравнениями сопряженных гипербол
925.
\
и х= о [t—rl, У = -
. 927. 1)
-^ 2)
' = /•. 928. 1) £!-* = $» = "«; 2)
gll gl2 §22
929. 1) =ii = -i? = -^ и число
&ll &12 o22
Qu a1;! aj
О.Д ^22 a2
а. а, а

936 ]
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
331
имеет знак, противоположный знаку коэффициента ап (или
2) координаты центра находятся из системы уравнений
'S = 0;
радиус
где 6 =
"и «12
«21 «22
. 930. a = 2cos „-.
со
~--2sin- - fci=-l, -Й2 = —1. 934. 1) Окружность с центром (—7, 3)
х'г у'2 ■ ( 1 1 \
и радиусом 5; 2) эллипс -_- + т- = 1; центр О' = f ■-■- г - ) угловой
2 ^ V
коэффициент большей оси fe = —_-; 3) гипербола -^-—1;
центр О' = (—1, 2), угловой коэ'.рфициент действительной оси k = 2;
х' yf
4) гипербола -.-=- — —--= 1, центр совпадает с началом координат, угло-
вой коэффициент действительной оси /г=1; 5) парабола у'2 = х' |/;
/ 1 5 \
)
вершина [ тг, тй!, направляющий вектор оси в сторону вогпу-
«п
«21
0;2)a=-L b = J_
тости {2, 1}. 935. 1) а„>0,
ГдС .j^— меньший, а А^ — больший корень характеристического урав-
уравнения
= 0.
936. 1)
а12
<; 0; 2) а = —, Ь = / ,._^^г, где Xt — положитель-
ный корень, а А2 — отрицательный корень характеристического урав-
уравнения
k, = —
3)
«11 #12
«21 §22
«12
Sll «12
&1 «22
= 0;
= 0;
«li —
gll ffl2
«11 «12
«21 «22

332 . ОТВКТЫ И УКАЗАНИЯ f 937
937. 1) p = QL^t O' = [ff-, _^li2li; 2) p«9sinco, O' =
= [—- cos2 со, —q cos со J. 938. Если со < ~ , то a=V 2 cos-"-,
, ,/т; . CO , , , ' Я ./— . ft)
л= у 2sm -jr- «1=1, «2~— '; если w> -i-, то а= К 2 sin---,
со
6= (^ 2 cos _-, k, — —l, k2—\. 939. о — Ь— Vsin со — равносто-
равносторонняя гипербола; если со < "~, то fr, — c!g /-^. + -^
940.
anx-\-al2y
= 0.
941. ,1) (G, —2, 3), r=r7; 2) (-4, 0, 0), r = 4; 3) A, —2, 3),
r = 6; 4) @, 0, 3), /- = 4. 942. flu = offi^oM#0, а1г = о23 = а3,=0.
Указание. При доказательстве необходимости условия заметить,
что сечения сферы координатными плоскостями будут окружностями
(дслствительными, пулевыми или мнимыми). 943. 1) В'г-\- С'г-|- D'1 —
/1£0
А' ~~ А ' "~А I.' Г~ \'А\
2) ВЧ-Сг+-п*~АЕ = 0; 3) 1Р~\-С* + О°--АЕ < 0.
944. J) Восемь сфер: x2+p2 + z2 х 1гх ± 1гу н. 1гг J-2/-2 — 0;
2) восемь сфер: х'г-{-у-+г- -± V 21 гл: i V 2 ry ± (/2гг+у = 0.
945. Центр f —--, - ), радиус равен 3.
\ о- о о у
946. 1) (Л2 + В2 f C~) R2- — D" > О,
ЛО BD CD
/ AR2 BRS
2) (Л2-|-В2 + С2) i?2 — D2 = 0; точка касания —-п~,
D
^ 3) D2 + fi2+c-')#2_£>2<o. 947. (*0-a)(*-^)
D
Уо — b) (У~Уо) + (г0 — с) (г~го) = 0 или (j:o — a) (*—а) + (уо — Ь) X
г0 — с)(г — c)=-R2. 948. 2х— у + г+ 14 =°- 949. А (х — а) +
+ В(у~Ь) + С(г — с) :■.. R УАг+В'г + С' — О. 950. 8х + 4_у + г —
— 100 = 0, 2х~2у~\-г — 28 = 0. Указание. Рассмотреть пучок
плоскостей, осью которого является данная прямая. 951. Два реше-

983 J
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
333
— 9 = 0, у — 2 = 0.
22 + |4J
ния: + у +
-:- (г-4- IJ— 12,
X (х2 + ^2 + га + 2ал-|- 2
-j- zl-\-2axn-\-2byn-T-2czo
можно представить в "виде +
_i-By-f-Cz + D)=0. 954.
Д2
952. Два
) . 953. (/I
2cz+d)- (Ах+Ву
= Q. Указание.
решения: *2+.у2 +
o-f Вvo + Czo + D) X
+ Сг'+ D) (х% +у% +
Искомое уравнение
-t-^ (Ах +
16у — 6г= 0.
,
< #г. 956. При условии выполнения неравенств х\ -f-
0. 958. ^+^ + ги2 +
955.
- d. 959. Плоскость
— q) z + dj — di = 0. 961. Если две данные сферы не пересекаются,
то искомое геометрическое место есть радикальная плоскость данных
сфер. Если две данные сферы пересекаются, то искомое геометриче-
геометрическое место есть множество всех точек радикальной плоскости данных
сфер за вычетом всех точек круга, ограниченного окружностью, по
которой пересекаются эти сферы. 962. Радикальная ось данных сфер.
963. (х— 1J + (У~4J + (г — 3J=!7. Указание. Центр иско-
искомой сферы является радикальным центром четырех данных
сфер. 964. 2OJO.,-(-2^1/;2 + 2с1с2 = сA-|-^2- 965. (х0 — а) (х—a)-f-
+ (v0 — b)(v — b)-l-~(z0 — с) {г — с)--=#-'. 966. (г— r0, r — ro) = fl2.
967. 1) ((Го, n) — t>f<Ri(n, и); 2) ((г0, п) — D)* = R2 (п, п);
3) ((^о. ") — D)*>R*(n, и).
968. (a, a) R2— ([a, rj — r0], [a, z^— r0]) > 0, (а, а)^2 —
Aа, Г! —г0], [а, Г! —го]) = 0, (a, a) R1 — ([а, г± — г0], [а, ^ —/-,,])< 0.
969. г,=
в)
970. (а, а) — D > 0,
(с, с)
a) — D.
971.
2 (й, &, с)
972. г = -
[а, Ъ].
[Гц,
Гд)
973.
975.
с]
2 (П, г2> г3)
-(ft, ft) [с, a]
2 (а, Ь, с)
974.
Р2 — (п. я)
2 (а, я)
У-Уо
b
г — г0
г —г0
= г2 (аг+Ь2-|- с2). Указание. Воспользоваться формулой расстоя-
ния от точки до прямой.
976. 8252 + 52
977.
978.
16л;-}-
:-39 = 0.
979.
каноническое
урав-
урав... . ..
— 2xz — 2yz—l — 0. 980. "у2*2 + (УУ — EгJ = -
нение -fx'2 + (V2 + P2).y'2 = f!''ii- 981. 4х2+у* + 4г2—4х
— 28*-|-2у+ 16г-(-45 — 0. Указание. Написать каноническое
уравнение цилиндра в системе О', е[, е'.„ е^ и перейти к исходной
системе координат. 982. j>a-J-г2 = 1. 983. [а (х— хо) + 1> (у— уо)+с'(г —
— г0)]2 = (а2 + б2 + с*) [(.« - л;,,J + О> -^ + (г - г0J] cos2 <p. Указа-
Указание. Воспользоваться формулой для косинуса угла между векторами

334
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЙ
И и SM, где М = (х, у, г) —произвольная точка поверхности конуса.'
984. 11х2-|- 1 l_y--f 23г2 -32ху+ 16лгг■ (- F.уг —6х- 60у - 18бг + 342==О;,(
985. г-= i 2ху. 986. ,v,V +J'2-|-?jc--~O; каноническое уравнение *'2-f\
+ .У'2 — 2г'2 = 0. 987. х*--\-у--\-г- — 2ху — 2хг—2уг =
каноническое
уравнение х'* + у'* — „ г --=0. 988. г~-\-2ху + 2у 2хг + 2у 2уг~
— 0; каноническое уравнение х'2-\-у'г — Зг'2 —0. 989. хг--\-у2—
Г2 191 lv О\2 I \t *5У«
Г ■ -" " '■" QQI if <■> ,_\У °>
- = 0. 992. 2ху — (г — аJ; каноническое уравнение л:'2— з''2 —
(г-бJ
36
^г'2^0. 993. _у2 + 2л:(г — р)=0; каноническое уравнение _x'2+_v'2 —
— г'2 —0. 994. оуг-|-/?гл: + <:л:.у = 0. 995. Зх2 — Зу2 + га-~0. 996. хг +
-\ у- — 6л: — 6_v -fr 12г + 9 = 0. 997. 5л:-' + 8^-' -)- 5г- — 4ху + 8л:г -f- 4з>г —
— 6х-\-6у-\-6г-\-10 = 0. Указание. В каноническом уравнении
параболоида вращения л:'2+_у'2 —2рг' выражение х'2-\-у'г есть
квадрат расстояния произвольной точки параболоида до оси О'г',
а | г' |— расстояние тон же точки до плоскости О'х'у'.
998.
999.
-Ц
1000.
&
1
1 Р
Х" Л-У""
■p+-q
г —г0
с
-*о) +
7
= 2г
2
Г+
или
г — г0
с
V
л:2
У
л: —л:0
Q
7 (г-г0)
о х — х^
а
-^ = 2г
1
" +
ЛЛ-h
а Ь
г.
х — хп у—у»
а р
в зависимости от
имеют ли оси неподвижной и подвижной параболы одинаковое или
противоположное направление. 1001. Пересекает. Указание.
Написать параметрические уравнения плоскости в виде х — и, y = v,
z = — 2и — 2у + 3, подставить полученные выражения для х, у, г
в уравнение эллипсоида и определить вид линии пересечения но ее
уравнению в координатах и и у. 1002. По гиперболе. См. указание
к предыдущей задаче. 1003. Гипербола, действительная полуось кото-
которой равна 4, мнимая полуось ранпа 8. Центр в точке (9, 0, 0), дейст-
действительная ось параллельна оси Ог. 1004. По двум прямым x=aj
1 {- ~ — =0. 1005. Две плоскости — ± — =0..
ос Ьс
— = 0; х=ау
e
Четыре прямые х — ± а, ~г--X— = 0. 1006. Четыре плоскости х —
1009. Прямая
1008. р(
— 6 = 0,
2л:-;
=1- 1013-
1
36

Ю40 i ОТВИТЫ И УКАЗАНИЯ
= -2(г-6). ,0,5. £-£-£=0.
¥2 „2 7 У2 V2
1016" %+%-f = °- 1017- Т-Т2 =
,018. --+ q- + 36=1- 1019- ^ва Рсшения: х"—У2 + 23 — 2г = 0;

г-2__у2_г2_|_42==о. 1020. x2—y2Jf-z — 0. 1022. x2-J-^2 — 4г2 — 4г —
— 1—0; каноническое уравнение х'г-\-у'г — 4г'2==0. ,023. х2-\-у" —
— 12л:— 18у — 2г + 32=0. 1024. Однополостный гиперболоид при
к¥=\, гиперболический параболоид при ft = 1. Указание. При-
Припять за начало координат середину О общего перпендикуляра к дан-
данным прямым, за ось Ог — этот -общий перпендикуляр, а за оси Ох
п Оу — прямые, лежащие в плоскости, параллельной данным прямым,
и являющиеся биссектрисами углов между проекциями данных пря-
прямых па эту плоскость. 1025. Гиперболический параболоид. 1026. х- -\-
| v2r!-2'- — 2ху—2гк — 2гу — 2гг-\-г'г = 0\ каноническое уравнение
х'г z'2
1 -- —2у'. 1027. Два эллипсоида:
г
г У 2
(х -у оJ (у -<; bf (г ± сJ _
4а2 "Г 46^ "*" 4 с2
1029. Две параболы (без вершии): jy = O, %2 = 2 (p + g) z, z =£ 0;
л;^0, jy3=—2(р-|-^)г, гфО. 1031. "Дне окружности радиуса а.
1032. Четыре прямые *— i —!—, у= -••■ Д. 1033. С, ==•
"" 1'2 ^ ~ (/2
= @, —12, 9), rt=15; C2-^@, 12, 9), гг= 15. ,035. По двум окруж-
окружностям, лежащим в плоскостях г=± 1/ •——\ у. ,036. По двум
эллипсам.
gg+ 24 + 3 -'• УКЗ'
X'Z у'2 2'2
з а и и е. В каноническом уравнении -г^- + -4 Ь -р=' величины
•«' li Lv' ;> I г' | — расстояния от точки эллипсоида до третьей, второй
и первой плоскостей. 1038. Однополостный гиперболоид
4%2— у" — z-— Юху— Юхг—у + г---= 0.
Каноническое уравнение 12х'2— 18у'= + 2г'2— 1. Указание. Если
принять плоскости симметрии за координатные плоскости, то уравне-
уравнение поверхности можно записать в виде Ах'2-^By''l-{-Cz'2-\-D — 0,
где | х' |, \у' I, ! г' - -расстояния от точки поверхности до плоскостей
симметрии. 1039. Две плоскости х-\-у-\^г-у 1=0. 1040. Круглый
цилиндр, если прямые параллельны; конус второго порядка, если
прямые пересекаются и не перпендикулярны; однополостный гипер-
гиперболоид, если прямые скрещиваются4 и не перпендикулярны; нард

336 ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ [ 1041
взаимно перпендикулярных плоскостей, если прямые пересекаются
или скрещиваются под прямым углом. 1041. 1) Пара пересекающихся
плоскостей х-\-у+г — 1 =0, х-\-у — г+ • =0; 2) сфера (х— 1J +
у) +г2--= 9 ; 3) круглый цилиндр (х- 1J + ^ + -д■) =-д-;
/ 2 \2 / 2 \2
4) круглый конус (*—1J+ij4--q-1 —"'г~"о' =0; 5) пара парал-
лельных плоскостей 2х—у 1 6 = 0. 1042. 1) Эллипсоид -Тр~ + ^q +
"
+ -,„-=!; центр C, —1, 2), большая, средняя и малая оси соответ-
"9"
ственпо параллельны осям Ox, Oy, Oz; 2) однополостиый гиперболоид
^'2 у'2 г'2
вращения --. rg Гб"= — "'• це11ТР (~^> "• —6), ось вращения
У'2
параллельна оси Ох; 3) круглый конус х'2 — -^—|-г'2 = 0; вершина
C, 5, —2), ось вращения параллельна оси Оу; 4) параболоид вра-
вращения; р = -,я-, вершина A0, — --, --), направляющий вектор
оси вращения {—1, 0, 0}. 1043. 1) Круговой конус —*'2+У2 +
-|_ г'2 = 0; угол между осью и образуюи;ими конуса равен -"-, верши-
вершина @, 0, 0), направляющий вектор оси конуса
/ ,
2) гиперболический параболоид х'%—у'2 = 2г'~, p = q=\, вершина
@, 0, 0), направляющие векторы канонической системы координат
Н °} И А °} з'={0'0> 1}:
g
3) параболический цилиндр z'2 = 5*'; O' = @, 0, 0), Р = -2"' направ-
направляющие векторы канонической системы координат Ох'у'г': е[ =
[ О} ^ {| Ь
[д, - }
— Ах'г-\-у'г + г'г = 0; угол между осью конуса и его образующими
равен arctg2, вершина конуса @, 0, 0;, направляющий вектор оси
С 2 1 1
конуса } г, -—-, 0J,; 5) гиперболический цилиндр г'2— 2*'2=1;
IV 5 V 5 J
действительная полуось равна 1, мнимая полуось равна —— • центр
\ 2
гиперболы, являющейся направляющей цилиндра, @, 0, 0), направ-
направляющий вектор действительной оси гиперболы \——, ——
напрапляющий вектор образующих цилиндра J ;—,——, 0l.

,045 ] ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ 337
4 2
1044. 1) Круговой цилиндр *'2 + г'2 = - с радиусом -; ось цилиндра
I 2 \
проходит через точку 10, 0, — \ и имеет направляющий вектор
B 1 1
I —, —-г-, 01; 2) параболический цилиндр х'г~5у' = 0; пара-
1 |/5 у 5 )
метр параболы *'2 — 5у'=0, z'—О, являющейся направляющей ци-
5 / . 12 16 \
линдра, равен ■<.-, вершина параболы —1, — -0_-, — 0 • паправ-
^ \ Zo Zo I
ляющий вектор оси параболы в сторону вогнутости |0, —г-, — --|,
I 4 31
направляющий вектор образующих цилиндра -!0, - - —•-••[; 3) пара-
параболический цилиндр г' = 2х'г; параметр параболы г'= 2.*:"-, _у'=-0
равен -, вершина параболы @, 0, 1), направляющий вектор оси
параболы в сторону вогнутости {0, 0, 1}, направляющий вектор обра-
образующих цилиндра J —, —;—, 01. 1045. 1) Однополостнык гипер-
гиперболоид вращения
ТГ з" "з"
|2
( 2 1
центр О' = A, 1, —1), направляющий вектор оси вращения {•„-, -=-,
2\ 2 1
-}• 2) параболоид вращения х'~-\-у'-— -„- г'; р = -„-, вершина
о ) о о
B 1 2 ^
О'=A, 0, —1), направляющий вектор оси вращения 1-^-, -^, ——\-ь
г'2
3) двуполостный гиперболоид вращения —-.—\-jLy--—г-= — 1;
'2' ~2 Т
центр О'—■[—•_, —я", —я-]) направляющий вектор оси враще-
вращения |-т"^> ~~r~~t ~~7~\'i ^ эллипсоид вращения х'2-\-у'"-J---т-=- 1,
центр О' = A, 1, 1), направляющий вектор оси вращения \г,
II1» х'г V'2
——, -I; 5) двуполостный гиперболоид вращения —-: V л
¥ "
г'2 / 1 2 2 \
.—= — 1; центр О' — {—д-, -„ , - J, направляющий вектор оси

338 ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ Г Ю4в|
1
вращения i . ■, 0,—~7"^<> 6) круглый цилиндр х'2-\-у'2=—; лигЗ
\у2 у 2) 6 1
иия центров —~—= -»- = -,-; 7) круглый цилиндр л: 2 + _у 2 = -*-; ,
линия центров *=.у = г; 8) круговой конус х'г-^у'- — 2г'2 = 0; вер-
шииз О' = (—рт-, —д-, —-,,-), направляющий вектор оси враще-
(-11 \ \ ^
ния )——-, —^, ——I. 1046. 1) Параболический цилиндр у''2 =й
\|/з' ]/з' Кз/
2l p'-I1 2 21- 21
3)' е*-\Ъ' ~Т' 3 (' J
2) , [ 1 2 2 ) „ л-'2 , з>'2
2
„
ЗГ е^ = |з) ~Т' Iff' эллиптический цилиндр f+
г— I, бз=|——, 0, -I; 3) эллиптический параболоид :
к
У_„ __2з'■ O'=^f2 2 1) ^' =
2
"
1 4 1 . f2 2 1
1 f 2 2 11
I. е^=<—, --, —I; 4) гиперболический парабо-
|' 3 \3 3 ' З/'
3(/2 3
лоид *'9_у* = 2г'; О'-@, 0, 1), ^ = jy-, -~
f 1 1 4 1 B 2 11
= }- -, r-i —;—), €',=)—, —, - I; 5) гиперболический
\3>/2 3^2' 31/2J \3 3 3J'
r'i v'2 r 9 1 2
параболоид -F + ^F = 2Z'; O' = (l, 2,3), ej = |
• 2 21 , г 2 2 И л-'2
" Ь i- —з• ~т};6) эллипсоид т

21 ( 2 2 1 } .^'^
г. ез=т"о"> q"> "o'f) ^) двуполостпый гиперболоид —j-■
3 J I u d J J ^_^ 4
5'
У1_.£1 = _1. о'='о 1 ^ ' f ' '
ТВ" ~2<Г
1 1
, о|, е'д={0, 0, 1}; 8) эллиптический параболоид
i' I
1Г2. /1~ V 40' 40' 2/' ' \|/V f/6'
4 2 '

1061 ] ответы и указания 339
' |'2' /'
ГГ V з' /з Кз Г'. 3 1|/2' |'2 /
^'2 у'2 г'2 / ] 2 2
целостный гиперболоид —— + ~-. г- = \\О' = —..., — - -^
6 У
,_/_!_ _2_ _j_\ ,_[_!_
е2"\Кб' yV Кб/' в'~\К2' '
—X '0) гиперболический цилиндр х'~—_у'2 =— ; О' — (—1, 0, 0),
, f 1 Vn 1 ) , Г 1 1 J 1 , ( 1
^2 |/2/ 1]/3. (/3 V 3/ " \ |/
2 1 1 л'2 у'2
, —г">; ")" эллиптический цилиндр —о~ + д— ='. О'=
2 1 1 л
—г—, —г">; ")" эллиптический цилиндр —о~
{t? W 7i} '/л>0'/<<0; 2)'!>0'
/,/3>0, /4>0; 3) /2>0, /1/3>0, /, = 0; 4) /2s£0 или /,/3^0 и
/., >0; 5) /2s£0 или /i/3sS0 и /4 < 0; 6) /2s£0 или Л/3 sc 0,
/i = 0; 7) /3 = 0, /4<0; 8) /3 = 0, /j>0. Указание. Воспользо-
Воспользоваться правилом знаков Декарта о числе положительных корней
алгебраического уравнения. 1049. 1) /4 = /3=.0, /2 > 0, 1У1* < 0;
2) /4=/3 = 0, /2>0, Л/*>0; 3) /4=/3=/* = 0, /а>0; 4) /4 =
= /3 = 0, /2-<0, /3*^0;5) /4 = /3 = /* = 0, /2<0;6) /4 = /3 = /2 = 0,
/?^0- 7) /4 = /3 = /2 = /* = 0, /*<0; 8) /4 = /, = /s = /* = 0; /J>0;
9) /4 = /3 = /2=:/* = /* = 0. 1051. 1) 2х+д; = 0, _у-(-2z — 2 = 0; 2) х —
_2д; + Зг + 2 = 0; л: —2^+-Зг —3 = 0; . 3) л;+2^+Зг + 4 = 0, Зл—
— 2у + г — 6 = 0; 4) 2* —3j;+2+I ± ^6 = 0. 1052. 1) Эллипсоид;
2) однополостиый гиперболоид; 3) двуполостный гиперболоид; 4) ко-
конус; 5) эллиптический параболоид; 6) гиперболический параболоид;
7) эллиптический цилиндр; 8) гиперболический цилиндр; 9) парабо-
параболический цилиндр; 10) гиперболический параболоид; 11) однополост-
однополостиый гиперболоид. 1053. ф = — , а = р = ^- у = —, Ю54. /3=-0,
4 от
1055. /1 = /3 = 0, /4 > 0; р = 9 =
1056. 1), /г = — /?, /3 = — /?, /4#0;'2) ^ + v2_22==_Zi_i 1057, все
соответствующие коэффициенты их уравнений, кроме, может быть,
свободных членов, пропорциональны. 1058. 1) {1, 1, 1}; 2) „-<
<а<1. 1060. Два конуса: 2л:2 — Аху-\-{\ ± У 5) г2 = 0; оси враще-
вращения A + \/5)х — 2у = 0, г—0. 1061. Указание. Принять за па-
чало координат вершину конуса, за ось Ог —его образующую
и • рассмотреть линию пересечения конуса с плоскостью Оху.

340
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
[ 10621
1062. Число Г (х0, у0, г0) должно быть заключено между 0 и -р.|
3 %;
1063. 1J- (х0, у0, г„) < 0. 1064. >>2+г2 + -~ ху — 2рх — 2гу = 0. Ука-,'.
з а н и с. Для конической поверхности /4 = 0.
1065. х2 -|-/2 + г2 -|-
ab
ху _ 2ах — 2&у =- 0.
1066. \)-
'2\>г
Izx
= 1. 2) Двуполостный гиперболоид.
<fi ' а-
3) Каноническое уравнение при а = Ь = с=1: х'~-\-у'г — 2г'2 = —1.
1067. 1) Эллиптический цилиндр х~-\-у2-\-г2-\-2ху — 2гх — 2гу=--0.
2) 2х'г + г'* = г-. 1068. г2 уЪхг—уг J-6.v + 2^ — 4 = 0 и г2 — 2*v+
+ 2л;г— _уг + 4х + 2у — 4 = 0. 1069. Сфера. 1070. Указание. 1) Для
доказательства инвариантности /3 и /4 воспользоваться формулой,
дающей преобразование определителя квадратичной формы при линей-
линейном преобразовании переменных. Для доказательства инвариантности
/2 и /t рассмотреть функцию (р = аих^-\-а22у2 + а33г'г + 2а2яуг +
+ 2a,,,2x-|-2«12ry — ^(gn^+fe^2 r&22-b2g233'2 + 2g3iZj;H-2g-12j;_v) и
использовать для этой квадратичной формы ф уже доказанную инва-
инвариантность /3 при линейном преобразовании переменных. 2) Рассмот-
Рассмотреть функцию тр--=апх2-\-а2г,у°-\-азягг+ 2а23уг + 2а31гх+2а12ху -|-
-|- 2а1*+2о2_у+ 2а3г+ а— X fen^2 + feJ'2 + йз3г'2 + 2g23^z + 2g3lzx +
-\- 2gnxy) и использовать инвариантность /4.
3) Если /3—/4 = 0, то существует система координат, относительно
которой уравнение поверхности не содержит г. В такой системе
координат
/* =
эта функция не меняется при преобразовании вида х = х'-\-хи, у =
«21 Я
°1
ffll g
gll g
§31 g
12 «1
22 a2
s2 a
12 #13
22 §23
32 §33
1071.
xax yny
с
1;
6)
pn
a2 '3
УоУ _
..У _
_г"г=1-
с2 '
■ = г + го;
^°г = 0.
с2
М _ ^ = г , г„.
р g
1072. о, =а2 = о = 0, а3 # 0. 1073. Указание. Принять точку О
касания з,ч начало координат, а касательную плоскость в точке О —
за плоскость Оху. 1075. Зх+4# — 24 = 0, Зх — 28у- 120 = 0. 1076. Два
решения: г = 2, *+2г/ = 8. Ю77. Два решения: 2х — у — 2г~8 = 0,
14а: — 3^ —6г— 144 = 0. 1078. 4х — 5(/— 2г+.2 = 0. 1079. Два решения:
|±^—=1. 1081. Два реше-
1080. —

И 23]
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
341
* = *■■ 2) X
а с а
■ с Ь с
1082.
д
----
г=1. 1083. 2jc+ 31/-г +32 = 0;
? -1- 32
!
8
. 1084. Точки A, 1, 1), (—1,-1,-1), угол
ранен -к-. 1085. Точка пересечения (—1, — 1, 0), угол равен -к-.
1086. cos<p-= „^. 1087.
_izd Ю90
" 1 • 1U9U-
1 " 0
*-f48
_Z Ю89 - =^'—= : '
2 ■ 1-1 0
i-t-ov^_j mh указа-
— 3 - 24
и и е. Данная плоскость пересекает параболоид по двум прямым.
1093. 1)
Уа
ас
(Уо£о - хо
"be a
У1 '
г/,-,
г~> с
О\ J -*. #. *т" v г I
1094.
«о
V q ' I IP I g.
1095. Гипербола, получающаяся при пересечении параболоида
плоскостью 2-- о , когда р Ф q; пара прямых ■ •' —^— = 0, г =
^ . V р V q
— 0, когда р--=Ц. 1096. Указание. Припять за ось Ог системы
координат образующую линейчатой поверхности. 1098. 4*2-|-г/2 — 22= !.
1099.
«81 °32 аЗЗ «3 С"
Oj аг а3 a D
А В С D О
= 0.
1101.
) aM2-!-^B2_!_c2C2>D2; 2) |
3) рА2 + дб2>2СО. 1102. 1) а-А- — №В* -\-С-С-=■■ П~\ 2) а2.42
—c2C2 = D3; 3) aM2-f-/;2S2 —С2С^ = —D2; 4) рЛ2-|-(/й2=^^СО; )р
— qB2~2CD. 1104. Зл:2 — 4д-{/ + г- + 2г — 3-^0; одиоио'лостнып гиаербо-
„.2 /2 ,2
лоид - —■ + \ -У -4- = 1. 1105. {2, 3, 4}. 1106. х-^ = 0, {2, 3,0}.
1107. 4х+3у- 12 = 0, {16,27, 6). 1108. х-^-а. 1109. Зх+2у _г-25=-0.
1115. 1) aS3zi + 2anxy~-2a:sz = 0, азяф0, а12 Ф 0, as ^ 0. Указа-
Указание. Из условия принадлежности осей Ох,, Оу поверхности следует,
что ап=а1 = а2 = а22=а = 0; так как диаметр Oz сопряжен с плоскостью
Оху, то а13 = й2з = °- '"Э. г = ху. 1120. гг = ху. 1121. ^^ +
2г = 0. 1122. апх* + й22у2 + а33г2 = 0. 1123.

342
1124.
1125.
tp=arccos-
а21 ои о:з Si
°31 °32 аЗЗ Cl
А„ Вг С, О
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
= 0.
1129. ~ ± -Z =гО. ИЗО. Две параллельные прямые:
1131.
1132. По гиперболе. 1133. По двум параллельным прямым.
1134. 1 < е ==£ —-i£-. 1135. cy±bz = O, где с= |^a2 ~ Ь3."
1136. 1) Если а>&, то 6г ± |/а2 —Ь2 г/ = 0; полуоси равны а;-
если а < Ь, то таких плоскостей нет. Указание. Повернуть систе-:
му координат вокруг оси Ох- 2) Если а<.Ь, то аг Л ]/Ь- — а-х = 0;
полуоси гиперболы равны Ь: если а>&, то таких плоскостей нет.1
1137. 1) Если р > q, то у VР — q ± г К^ =0; полуоси гипербол рав-!
ны Vрц; если psSg, то таких плоскостей нет. 2) Если p<.q, то
*|/^-~Р± г У р =0; полуоси гипербол равны У pq\ если p^zq, то<
таких плоскостей нет. 1138. 1) Парабола, параметр р = —., вершина
/. 1 _ 1 \
— -, 0, -г , вектор оси параболы, направленный в сторону вогну-
\ I IJ
тости,
J
а,о,
W2
\ \ 2
\. 2) Эллипс с полуосями — и
V2/ 3
центр
О, -т—Л, направляющий вектор большей оси {0, 1, 0{, ма-
правляюЩий вектор меньшей оси 1—р-., О,
К2
3) Парабола,
параметр р = ~—т, вершина @, 0, 0), вектор оси параболы, паправ-
леиныц в сторону* вогнутости, \~у-^, 0, -гг-i. Указам и*е. Повер-
Повернуть систему координат вокруг оси Оу на угол -' . 1139. Парабола

1147 J ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ 343
—, —-ГТ-.. —т--X. Указание. Ввести в данной плоскости
l|6' ]/6 Кб/
прямоугольную систему координат с началом в точке @, 0, 1) и бази-
Г • ' ni Г • -1 2 1
сом { тт, -т-=. °>, <—т=, —г-, т~>, написать параметриче-
ские уравнения данной плоскости, подставить выражения для X, у, г
через и и v в уравнение цилиндра у2 — 2х и исследовать полученное
2 4^2" / 8 6 2
уравнение. 1140. Парабола #' =-^—*', О' = ( —^, ^, g
i—^-., -—, -r-l,
\5|/2 bVi VI)
данной плоскости прям
, . „ „v , A 2 21 Г 16
в точке (— 1, О, 0) и базисом {• - • — w , „ >, < ,
13' 3 ' 3 J ' \i5 V'2
написать параметрические уравнения данной плоскости, подставить
шлражеиия для х, у, z через и, у в уравнение конуса и исследовать
полученное уравнение. 1141. Гипербола -. 1--=1, О' = ( -, -—,
— i—^- -—-r-l e' = | - - , ol. Указание. Ввести
б данной плоскости прямоугольную систему координат с началом
1 2 21 Г 16 13 1
e'-j-L __Lo\ e'-
У 49
L J
/-L J- i-\
\ У 13 J/ 2 ' 3 ]/2"' 3|/2f
<(ЛП /18 24 25\ / 18 24 25\ Л1ла . '5 „
1142- (l3> 13' -26J' ("IS- "IS' 26J- H43- fe<—2- Ука3а"
u и е. Рассмотреть проекцию линии пересечения конуса и плоскости
пучка па плоскость Ог/г. 1144. Две плоскости: х — у-\-(—2 ± У 7) X
X B*—г)=0. Указание. Рассмотреть пучок плоскостей х — у-\-
-р k Bх—г) = 0, проходящих через данную прямую. Ввести в плоскости
пучка прямоугольную систему координат с базисом
f J L _L
IV6" |/б" у'б'
k — 2 —56-2 2fe + 2 }
2 ' ^6 J/5Л-2-f-4fe + 2 j*'
затем записать параметрические уравнения плоскости пучка, подста-
подставить полученные выражения х, у, г через и и о в уравнение пара-
параболоида и-воспользоваться условием /, = 0. 1145. 1) Эллипс; мнимый
эллипс; точка (пара мнимых пересекающихся прямых); парабола;
2) гипербола. 1147. 1) Эллипс, мнимый эллипс, точка (пара мнимых
пересекающихся прямых); 2) эллипс, гипербола, пара пересекающихся
прямых, парабола, две параллельные прямые; 3) эллипс, мнимый
эллипс, точка (пара мнимых пересекающихся прямых), гипербола, пара-
парабола, пара мнимых параллельных прямых; 4) эллипс, гипербола, пара-
парабола, пара пересекающихся прямых, прямая («двойная»), точка (пара
мнимых пересекающихся прямых); 5) эллипс, мнимый эллипс, точка

344
ответы и указания
[ 114$
(пара мнимых пересекающихся прямых), парабола; 6) гипербола^
пара пересекающихся прямых, парабола, одна прямая. 1148. 1)Эллипс,-
если а2Аг-{-Ь2В2-1гс-С- — D->0; точка, если а2А*-\-ЬгВ21-с2С-—£>2=0;"
мнимый эллипс, если а2А2-\-Ь"В2-\-с2С-— D-<0; 2) эллипс, если'
аЭД2-И>2£2 — с-С2<0; гипербола, если а2А2-\-Ь2В~— с2Сг > 0, а2Л2+'
~j- Ь2В2 — с~С~ — О2ф0; дне пересекающиеся прямые, если а2А*-\-~
-\-Ь2В'-— с2С- - - D3 --= 0, ЬфО; парабола, если а2Л2 + //2В2—c2CJ=0)'l
D ф 0; две параллельные прямые, если а2Л2 -\-Ь2В'2 — с2С-' = 0, £> = 0;<
3) эллипс, если а2Л2 + Ь2Ва—(ЯС3 < 0, а2Л2 + &2В2-c2C2 + Ds > 0;'
мнимый эллипс, если а-А~ •гЬ2В2—с2С2<0, а2А2-\-Ь2В-~ с-С2-\-D-<0{\
пара мнимых пересекающихся прямых, если а"А2-\ h'zB2— с'2С2-\~О2 = 0,\
ОфО; гипербола, если a-A2Jrb2B~ — c2Cz > 0; парабола, если а2А2-\~]
-1- Ь-Вг~с2С2 = 0, D ф 0; пара мнимых параллельных прямых, если'
(A42-]-b'-S2- с2С2 = 0, D=--0; 4) эллипс, если а2Аг-\-Ь'1В- — &С- < 0,_
D =И= 0; гипербола, если а-'Л2-!-^2^2 —c-Cz > 0, D Ф 0; парабола, если~:
a'M'2 + fe262 —csC2 = 0, D=^=0; две пересекающиеся прямые, если-
а2Л2 + 62В2 —с2С2 > 0, D-^0; прямая («двойная»), если а'2А2-\~Ь-В2—\
— с-С'1-- 0, D-0; пара мнимых пересекающихся прямых, еслиоаЛ24--'
-+■ Ь2В2— с2С2 < 0, D .=£ 0; 5) эллипс, если рЛ2 + qB- — 2DC > 0, С =£ 0;
пара мнимых пересекающихся прямых, если pAkl-\-qB'-—2DC--0, С Ф 0; ■
мнимый эллипс, если pA2--\-qB2 — 2DC■< 0, С^=0; парабола, если
С = 0; 6) гипербола, если pAz — qB2 — 2DC Ф 0, С ^ 0.; две пересе- •
кающиеся прямые, если pAi — qBi — 2DC~0, СфО; парабола, если
рА2 — цВ2ф0, С — 0; одна прямая, если рА2 — qB2—0, C=0. ■
1149. 1) с Уа*~Ь*х х а УЬ- — с- z + D = 0, где \D \ <асУ'а2 —с2; :
2) с Ка2 — Ь2 у л b \' a- -\-c'z z-\-D — 0, где D — любое действительное
-)-с2 z-}-D=;0, где D — любое действительное ■
с у а2 — б2 у ;<: fr К а2
число; 3) с У а2 — Ъ2 у -I
4) с yd1 — b-y ± b Vet
число, отличное от нуля; 5) ±
6) У а2 — Ь2 у ± аг -f- D = 0, где D — любое действительное число. I
/ -, f^n^wi Г h-i — c-A 1
1150. J) Четыре точки ; ± а I/ —^ ;, 0, ± с у — ; 2) четыре '{
л/~*^Щ., 4-c"|/r2!±f!\3
у /Ь2+са ~ у Ьг-\-&)-
точки; 0,
2 /
1152.
1)
ап
ап
а31
Л
«22
«32
В
«13
«23
«.та
С
А
В
С
0
2) Координаты л:, г/, г центра линии сечения определяются из системы
уравнений
«31* + ^згУ 4- «ззг + «з =

117-1
отш-:ты и указания 345
1153. 1) x' = xcos (f — у sin ф, if — x sin cp -j- у cos <p; 2) л:'—-дф
— у sin ф-j- [x0 A — cos ф) -f-y0 sin ф|, y'--x sin ф ~j- у cos ф -f- [— x0 sin ф-j-
-;-j/0(l—совф)]. 1154. 1) x' = kx, y'--=ky; 2) x'= £x - *0 A -к), у' =
= £y + jfo(l — £)■ П55. / = л+-2 ?, y' = ^2~ у. 1156. x'=5 x —
- | iy-13,(/' = --g лг+Ч y + 9. 1157. a:' = x — t/-|-1, y' = * + y-|-2.
1158. x'=5x — 3y + 8, y' = — 3x + 2y — 3. 1159. л;' =-— x+2y — 8,
у'--=Ах — Ъу + 2А(АВ)\ л.-' = jc-j-8, y'=---4x -5i/-[-14 (BA). 1160. D, 2).
1161. 2л: + #— 3==0. 1162. Два решения: {3, —2}, {3, —5}. 1163. Точка
пересечения медиан треугольника ABC. Указание. Ввести систему
координат с началом в точке А и базисом АВ и АС. 1164. х' =
З 4, г/'= 3*— 2. 1165. Два преобразования:
2 3 3
у'=—ь х+хоу+ 2;
3 2 , 11 2 3 1
* =~ 10 х+ '5У+5 , y' = j х+ ^У- ш-.
12 9 9 12
1166. х' = ~х-~- v-U у' = -*-х-.-у-\-7.
5 5 " 5 о
1167. х'~4х-\-Зу — 5, у'= —3 v -|- 4j>—1; неподвижная точка
(!•■)•
1168. x-=l-§x+ty-l,y'=-l-x+ly—l.
„m 5 3 1 3 5 1
1169. *'=-4-*-.4-jH- -2-, Г--=--4 *+
то. Х' = -\-х-1у+-1, у'=-|'+-^+|-
1171. Гомотетия с центром в точке пересечения медиан треуголь-
треугольника и коэффициентом гомотетии —-„•. Указание. Ввести систему
координат с началом в точке Л и базисом АВ и АС. 1172. Произве-
Произведение симметрии относительно прямой х — '1у — 5--0 и гомотетии
с центром A, —2) и коэффициентом 5. 1173. Произведение гомотетии
с центром A,8) и коэффициентом о и поворота вокруг этой точки па
угол arccos j--. 1174. I) Произведение поворота вокруг начала коор-
Q b
дипат на угол ф такой, что cosа> — sin <р= . и гомо-
N4^ УЧЬ*
тетии с коэффициентом к — \/ аа -- Ь~ и с центром в начале координат;
2) произведение симметрии относительно прямой, проходящей через
начало координат и имеющей угловой коэффициент ■ , и
а-\-\
гомотетии с коэффициентом (/a'2 -j- 6- и центром в начале координат.

346 ответы и указания
1175. Инвариантная точка (—и-, —2); инвариантные прямые 2х~
— 2у — 3 = 0, Ах—у — О. 1176. Инвариантными точками являются вся
точки прямой 2jc-f-_y — 2 = 0 и только эти точки. Инвариантные пря-
прямые: прямая 2х-{-у— 2 = 0 и все прямые, перпендикулярные к ней|
1177. *'* = —**, у® = 5у*. 1179. х' = х--1у, У' = — ~У- 1180. х' Ц
* + 'У И81 ' } y + l ' +
17 1 ,,_„ , 2 2 10 , 11 14 13
Т2^—з • "82. х' = -тх + у + У' +У +
1183. I3xx 16у — 0. 1184. Vk\— 1 xx y\—k'iy--=O
1187. {1, 3} и {3, -1}. 1188. s= ^Z^^IlVD
Рассмотреть аффинное преобразование х'— Ax-\-By'-\-C, y' = A'x-\-
+ В'у + С. 1189. Два решения: х— 12y-f 57 = 0, 8л: —9^ —66 = 0.
Указание. Рассмотреть аффинное преобразование, переводящее
данные прямые в оси координат. 1190. 142*— 183у— 489 = 0. Ука-
Указание. Рассмотреть аффинное преобразование, переводящее дан-
данные прямые в оси координат, а данную точку —в единичную точку.
1191. 1) х'* = Кх*, у'* =1.2У*; 2) х'* =ах* — fty*. у'* = рх* + ау*.
В случае, когда исходная система координат прямоугольная, это
преобразование является преобразованием подобия с центром в непод-
неподвижной точке данного преобразования, представляющее собой произ-
произведение гомотетии с центром в. неподвижной точке и коэффициентом
k ~ Yet? + Р2 "а поворот вокруг той же точки на угол ф такой, что
cosffl = -r в1пф = -,-; 3) х'*='кх*, у'* — ку* — гомотетия с центром
к к
в неподвижной точке данного преобразования и коэффициентом \ —
= ап = а2г; 4) х'* = 'Кх*-{-у*, у'* = 1у*; 5) х'* = кх*, у'*=у*^Ь\
6) x'* = x*Jj-a, У'*—у* — перенос; 7) х'* = х* -\-у*, у'*=у* -\-Ь.
1192. x' — x-\-z, у' =y-\-z, г' — г. 1193. х' =y-\-z, у' = z-\-x, z'~x\-y.
1194. х' =—х—у — г-}-1, у' = х, z'—y; инвариантная точка \-г,
1 _ 1 _ \_ Х
1 1 \ Х ~  У ~~ " г ~ Т
_) -J-1; инвариантная прямая —j— = -т—= —j—; инвариант-
инвариантная плоскость 2#-j-2z—1=0. 1195. Гомотетия с центром в точке
пересечения прямых, соединяющих вершины тетраэдра с центрами
тяжести противолежащих им граней, и коэффициентом —-•-. Ука-
Указание. Ввести систему координат с началом в вершине тетраэдра и
базисом, составленным из ребер тетраэдра, выходящих из этой вер-
вершины. 1196. Произведение гомотетии с центром в начале координат
и коэффициентом 5 на поворот вокруг оси Oz на угол arccos-^.-.
о
1197. Указание. Предположив противное, рассмотреть аффинное
преобразование относительно системы координат, началом которой

1203 ]
ОТВИТЫ И УКАЗАНИЯ
347
яи.чяется неподвижная точка и в которой инвариантная плоскость
имеет уравнение х=\. 1199. Инвариантная точка (—2, 1, —3); инва-
инвариантная прямая у=\, г —— 3; инвариантная плоскость г = — 3.
1200. Инвариантная точка A, 2, 3); инвариантная прямая х=\,
V-.---2; инвариантная плоскость г = 3. 1201. Не обладает ни инвариант-
инвариантной точкой, ни инвариантной прямой, ни инвариантной плоскостью.
х ]
1202. Инвариантная точка (I, 1, 1); инвариантные прямые: '—j— =
у
-—-—
Z
и все прямые, лежащие в плоскости
6 = 0
ii проходящие через точку A, 1, 1); инвариантные плоскости: х-\-2у -\-
х—\ у—1 г—1
■■■ Зг — 6 = 0 и все плоскости пучка с осью —=—= —х— = —=—•
У'=--9х-
1
2
9
7
*^ *+-*-*-■£■ «+"9
1
17
1204. Указание. Подобное преобразование пространства ьюжет
быть записано в виде
x' = k (с1гх + спу -\- с13г) + Хо,
г' = к(ся
где (cik) — ортогональная матрица. Определитель, составленный из
коэффициентов при неизвестных той линейной системы уравнений,
из которой определяются координаты неподвижной точки, может быть
записан в виде
k
С13
с21
1
1
С31 С32 С33 Г
к
1 этот определитель отличен от нуля.
У' ■■= W + сггу + сюг + с2,
и при k
1205.
С12 С1з\
где матрица С = \^с2г с.,2 с23\ определяется из соотношения
С32 С33/
(ап а12 a13\ /&n bn Ь13\
■23 |s I «I 22 °23 I >
\631 &32 633/
= ВА,

348 ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
I 12IJ
съ с-2< ся определяются соотношениями:
с 1 = ■*,', — (спх0 + cI3 v0 + с13г0),
сг =У'о — (c2i*o -f СыУо + Со3г0),
сз = А — (с:п*о + съ>.Уъ + Сзз^о) •
1206. Эллипс, гомотетичный данному, с коэффициентом гомот<
тии У2, с центром гомотетии, совпадающим с центром эллипса
У к а з а н и с. Преобразовать аффинно эллипс в окружность и свеет
задачу к случаю окружности. 1207. Эллипс, гомотетичный данному
с коэффициентом гомотетии г.. и центром гомотетии, совпадаюшю
с центром эллипса (см. указание к предыдущей задаче). 1208. —
1210. Эллипс. 1211. , . 1218. *'—-*cosq)—- >'sincp, y'=- - *sin ф-)
, , а . , b
\-ycmq\i х =х cos ф-j--,--_у sin ф, з' ~ ~ х sm ф—>> cos ф. Указа
it и е. Искомое преобразонагше можно рассматривать как нроизведени
X V
трех преобразований СВА, где Л: хх-~ - , У\--= -,-,
— yl sin ф, у, = xt sin cp 4->"i cos ф (или x2 -= л:г cos ф +>>i sin ф, Уг =
= .*! sin ф—д'^ОБф), С: х3 = ах2, у3 = Ьу«. 1219. я'— —угу' = —д
1220. х' =kx, у'— -.-у и х' — ky, у'—--х, где /г —любое действий
тельное число, отличное от нуля.
,22,. ,.^;1+'.),+ '«(_Х-+
1 /- . 1 \ 1 а / . ,
X = 2\X+\-JX—2 b \-К+
У -2 а{-Х+1!Х-2\Х+
Указание. Искомое преобразование может быть представлено каю
произведение трех преобразований: преобразования а: х* = ~-£
XV -^
_у*=^—• + -■?-, переводящего данную гиперболу в гиперболу л:*_у* = 1|
преобразования Р: л:'* = Хл-*, ^'"=^-»\У* или х'* — Ху*, д>'* = -- л:*,1
переводящего гиперболу х*у* — 1 в себя; преобразования а~хУ
jc' = -»-(jc'*+,v'"). >"' = — ,, (х'*—у'"), переводящего гиперболу

1239 ] ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ ' 349
x'vv'f=l снова в данную гиперболу. 1222. х' = х У~2-\-у, у' = х-{~
-\-yV2 и х' = х\—у,у'^ x—yV 2. 1223. 1) *'=■- Bpx — 2ау + Ц-'),
у'--%(у—|i), где- Я и \х — любые числа, причем X Ф 0. 2) х' --—
=- 2" Bрх — 2|iy + p.2), 5»'=^— ц, где |i —любое число. 1225. л:' = л:-{-
-|-2v + 2, у'=у^-2. 1226. Парабола У2 = 2р (х —а) (а—расстояние от
вершины параболы до хорды, перпендикулярной к оси параболы и
отсекающей от параболы сегмент данной площади). Указание.
Рассмотреть унимодулярпое аффинное преобразование, переводящее
ггроизвольпую хорду, отсекающую сегмент данной площади, в хорду,
пор ггендикуляр ную к оси параболы.
1228. х' — х cos ф—у sin ср + х0 A — cos ф) +>>о sin ф.
у' = х sin <р-\~у соэф — х0 sin <р-\-у0 A —costp).
122Q у— / v At Met
I £.£.&. X — "у l Xq Уо Llg
1230.
x' ■— x cos 2ф -\-y sin 2ф-{- x0 A — cos 2ф) — j.»0 sin 2ф-f- d cos ф,
у' --= x sin 2ф —у cos 2ф — x0 sin 2ф-J-3'o (' -гcos 2ф) "гd sin Ф-
1231. Ось симметрии y——^—t вектор переноса {л:0, 0}.
х Х" V Уп-
— 2 — 2
1232. xsm-^ — 3'cosy = 0. 1233. Ось симметрии = ;
cos -i- sin -У~
вектор переноса
|-2- [*о С1 +cos ф)+Л sin ф], у [х„ sin Ф+>>0 A — cos ф)]|;
канонический вид
ж'* = х* -\- \х0 cos £ +д»0 sin g , jy'* =-- —• у*.
1234. Вектор переноса вдоль оси симметрии {9, —3}. Уравнение
оси симметрии лг-|-3.у+15 = 0. Каноническая запись преобразования
х'* = —х*,у'*=у* + 3]/ГТ0- 1235. х'<= — у + 5, у'——х-\-5.
.236. ,'=| J + }, уJ+
1947 У * здЛх + Ду^С л.г+В.У-!-С
1237. дг_*_2А—^ф—, ^-^-26-^5+^—.
1238. л:'=з'.У = — х'\-'; ф = —-л-; неподвижная точка (-„■ -ъ-).
2 \ d. z j
J239. х! = — у, у' = —х+\; уравнение оси симметрии _>'--=— д:-}- ^ ;

350
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ [ 124]
канони-
канонивектор переноса вдоль оси симметрии <— г , -Л. 1242. 1) Повороте
я f 4 3 Л '?
на угол -^ вокруг оси с направляющим вектором < _-, v~, 0>, про-
ходящей через точку C, —4, 0); канонический вид *'*= — у*, у'* =s
— л:*,г' =г*; 2) 1юворот на угол л вокруг оси с направляющим век-
( 3 1 Л
тором •■>——, ——t Ol проходящей через точку (—5, 0, 1);
ческий вид х'* = —х*, у'* = — у*, г'* —г; 3) поворот на угол
/ 29\ ( 7 3
arccos ) вокруг оси с направляющим вектором ) ■ „ .
\ 30/ 1/59' /59'
I, проходящей через точку E, 1, 0); канонический вид х'* =
1 59J ^
29 , /59 ^ ,* ^59 t 29 ,* ,
30 30 30 30 ' з
2 ■ |
ние поворота на угол arccos -„■ и переноса вдоль оси вращения на щ
вектор, координата которого на оси вращения равна 3 (/5; ось про-|
ходит через точку A0, 0, —2) и имеет направляющий вектор <—р-, 1
2 п\- - ,* 2 * /5 „ ,» /5" , 2 , \
Тл=< }' канонический вид х =—-х — „-у , у =-г>~ х ~т~ о У , d
г'* = г* + 3/5; 5) произведение симметрии относительно плоскости,!
/10 2 5 \ „J
проходящей через точку М—1-^-, —•„-, -о и перпендикулярной ■{
\ о о о I ■
fll7-i 7 j
к вектору а = {—гт^г, .-., ;—J-, и поворота на угол arccos — -a
(.у 51 1/51 (/5U 10 i
вокруг оси, проходящей через точку М с направляющим вектором а; %
,* 7 . /51,,* ,* /5Т » , 7 , ,* ;
канонический вид л: = тд ж* т?>-" . у' =LTrr х + ТпУ > z = •
10 10 10 10
— — г*; 6) произведение симметрии относительно плоскости 1х — 4_у —
— 5 = 0 и переноса, определяемого вектором {0, 0, 3}, компланар-
компланарным плоскости симметрии; канонический вид х'* = —к*,у'*=у*,
z'* = z* + 3; 7) произведение симметрии относительно плоскости х-\-
-}т2у + 3г — 7 = 0 и переноса, определяемого вектором {6, 12, —10},
компланарным этой плоскости; канонический вид х'* = —х*, у'* =
= у*4-2(/70, г'* = г*; 8) произведение симметрии относительно пло- 1
/ 3 \ ',
скости, проходящей через точку М = (9, —3, -=-) и перпендикулярной ■
( 2 2 П я
к . вектору а = < „ , —•„-, —о"г, и поворота на угол -^- вокруг
оси, проходящрй через точку М, с направляющим вектором а; кано^ -
нический вид х'* = — у*,.у'* = х*, г'*——г*; 9) произведение пово-
поворота на угол я вокруг оси, проходящей Через точку @, 0, 14) с на-

1242 1 ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ 351
прпвляющим вектором
[ ! ? зд
\ \'\V V 14' |/HJ'
и переноса вдоль этой оси, определяемого вектором {—1, —2, —3};
канонический вид
10) произведение симметрии относительно плоскости * + Зу + 15 = 0 и пе-
переноса па вектор {9, —3,0}, компланарный этой плоскости; канонический
видл:'* = — х*, у'*—у* + 3 V~l6, г'* = г*; 11) произведение поворота
на угол :_- и переноса вдоль оси вращения на вектор, координата
которого иа оси вращения равна —9; ось вращения проходит через
{2 2 1 1
точку @, 0, 9) и имеет направляющий вектор <-„- -„ -$-{', канони-
^ о о о J
ческий вид х'* =■— -у*, у'* = х*, г'* = г* —9; 12) произведение сим-
симметрии относительно плоекости, проходящей через точку /W = (9, 9, 9)
f 2 2 3 1
и перпендикулярной к вектору а = ) =-=г, ■.-, ■ ■-. Л и ново-
8
рота на угол arccos ■. вокруг оси с направляющим вектором а, про-
,* 8 "J/17 .
ходящей через' точку М; канонический вид х = -g- х* ■ ^— у* ,
v'* =-Цч—**+*д-.У*1 г'* = —г*; 13) произведение симметрии отно-
относительно плоскости 2х—у — 5г+ 15 = 0 и переноса, определяемого
вектором {4, 3, 1}, компланарным этой плоскости; канонический вид
х'* = — х*, у'* =у*-{-[■'26, г'* = г*; 14) произведение поворота на
я Г 1 1 
угол-"-- вокруг оси-с направляющим вектором \~7~, ~7-~, 0>, прохо-
проходящей через начало координат, и переноса вдоль этой оси, опреде-
1 1/*^
ляемого вектором {2, 2, 0}; канонический вид х'* = -.-х* — - 0— у* ,
i/"g 1
З1'* = "о"-*1* + 2 У*' Z'*~Z* + 2V'2; 15) симметрия относительно
плоскости 5х+ 23; -1-2 + 30 = 0; канонический вид х'* = — х*, у'* —у*,
г'* = г*; 16) произведение симметрии относительно плоскости, про-
проходящей через точку М —(—1, — 1, 0) и перпендикулярной к
вектору
и поворота на угол -- вокруг оси, проходящей через точку М с
о

352
ОТВГ.ТЫ И УКАЗАНИЯ
[ 1243
направляющим вектором о; канонический вид
х'* — — - - х
2л
17) произведение поворота на угол -'- и переноса вдоль оси вращения на
вектор, координата которого на оси вращения равна -,-- ; ось враще-
/21
ния проходит через точку ! — l — t 0: и имеет направляющий вектор
\ 3 3 I
Ц/3'
; канонический вид
,'*='*-УД,*, У* = Угх* -Ij,., г'* = г*
18) произведение симметрии относительно плоскости, проходя-
проходящей через точку М = (-„-, •„-, -„-) и перпендикулярной к вектору
f I 1 1 1 ' я
о =■{•-.-, .-, •-,->, и поворота на угол — вокруг оси, прохо-
ц/з' 1/з' |/з|' F з
дящей через точку М с направляющим вектором а; канонический вид
*'*= 2х* -1
1243. Поворот на угол л вокруг оси с направляющим вектором <cos-^,
-^-, 0>, проходящей через точку (О, О, J; канонический вид
1244. /--гг
1246.
4\
"9
4
'9
7
9/
1245. /
/
V
4 1
~9 "9"
7 4
9" "9
4 8
9" 9~
9/
1247.
1 8
"9 9
8 _1_
"9" 9
4_ ^
9 9
4\
"9
4
9"
7
"9/

1252 ] ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ 353
1248. *'=*д.+ .^ + !-г_14, 1249. *' = '^-|- ^у-\- [°г + 2 ,
7 4 4 2 14 5
4 8 . ' , г , 2 1 2,с
г =- 9Х-Л'-9у-г9г+°- г = Ъх—Ъ*-Ъг + Ь-
1250. л:' = -д-х-|-^>»+ \z-\-\,
1251. Тождественное преобразование л:' = д;, у'=у, г' = г и сим-
симметрия относительно плоскости, проходящей через три данные точки:
, _ 1 _ 2 _ 2 ,2
х — -3 х— з~-У —~з г''~ з '
2,1 22
j; 3 Л + "-У~~3"г + "'
2 2,1,2
1252. 1) Изометрическое преобразование, сохраняющее ориента-
2я
иию: х' = 2+1, у' = х, z'—у — произиедеиис поворота на угол —-
( 1 1 I \
вокруг оси с направляющим вектором ) у -1 -f -, -/-. ч, проходящей
/2 1 п\
через точку о -д- 0 и переноса вдоль этой оси па вектор
\ о о У
с координатой — --; каноническая запись преобразования
2) преобразование, меняющее ориентацию: х'~— г-\-I, у' =-х, г' —
= у — произведение поворота на угол -^ вокруг оси с направляющим
г I ■ 1 11
вектором 1-у-, ,= , -, >, проходящей через неподвижную точку
U' 3 ( 3 | 31
12 П. С. Моденов, Л. С. Пархоменко

354
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
■ t 12!
1 1 1 \ 1 '
 ' 2 '  /' И симметРии относительно плоскости х—у-\-г—о==0;'
канонический вид преобразования
1
Уз.
у'- -у* _' - «I»
— 2 2
г'* =— г*
1253.
1
\
1254. а'
г'}, е={а
> f
27
25
7
2
27
= ас
• у\>
23
27
10
27
10
27
OS ф
то
27.\
2
~27
25
27/
+ [е, a] sin
Если а = {*, .у.
л:' = х cos ф + фг — уу) sin ф,
у' —у cos ф + (ух — аг) sin ф,
г' = г cos ф + (ау — Р*) sin ф.
' = {*', У,
1255. г' = /-созф+ [е, г]зшф + е(е, г)A — соэф), где /- = бЛ? —
радиус-вектор произвольной точки пространства, г' = ОМ' — радиус-
вектор ее образа. Если г—{х, у, г}, г'—{х\ у', г'}, е={а, р, у),
то х' = [cos ф+а2 A — cos ф)] х -\- [ — у sin <p -f- «Р A — совф)] _у + [f3 sin ш+
+ ау A —cos ф)] г, j;' = [у sin ф +ар.A —совф)] д:+[со5ф + Р2 A —
— cos ф)] у -f- [— а sin ф + р-у A — совф)] г, г' = [— Р sin ф+ау A —
)] +[ sin ф + PyC— соэф)]^-)-[совф + у2 A—соэф)] г.
1256. х' =
ах
их'
ау
у
ау'
х'
1257. Окружность с (л:2+у-) + 2яал:-|-26ау + а2 = 0) если данная
окружность ие проходит через начало координат; прямая 2а* + 2Ь.у +
-|-а = 0, если данная окружность проходит через начало координат.
1259. 1) Центр - —, - — ; радиус /■'= - V^ + b^-c
», \ с с I с
1260. Окружность С (*2+д>2) + Лал: + йау = 0, проходящая через
начало координат, если данная прямая не проходит через начало
координат; сама прямая Ах-\-Ву = 0, если данная прямая проходит
через начало координат. 1263. Пусть М — точка пересечения двух
окружностей Сх и С2, а ЛГ— образ этой точки при инверсии (О, а).
Рассмотрим две окружности К\ и /С2> каждая из которых проходит
через точки М и М', причем окружность К\ касается окружности Сх
в точке М, а окружность Кг касается окружности С2 в той же точке

j28l ] ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ 355
М. При инверсии (О, а) окружности К\ и Кг инвариантны, а окруж-
окружности Сг и С2 перейдут в окружности С[ и CJ, проходящие через
точку М' и касающиеся в этой точке М' соответственно окружностей
Ki( = *i> и К,(-К5). 1264. 1) а = __Щ=; 2) и = {а, 6}.
2 (
1265. 4(аг + 62)==|а|. 1266. \А7В'\=\и\ rJfB:_. . 1267. У к a-
\0А | • i OB
з а и и е. Примем полюс О за начало коорд+шат. Если полюс О лежит
«не окружности С: х'*-\-у2-\-2ах-{-2Ьу-\-с = 0, то с>0; если же О
лежит внутри окружности С, то с < 0. При инверсии х — —^ ^,
ау'
у =—g—-—g левая часть уравнения окружности С принимает вид
,2 . ,2 |_2яа '4-2*° ' 4-°2
с (х/2+^'2) + 2адл:/ + 2йоУ4-р2 .'. Х ~сХ сУ с
(Чу) (х'2+у2J
Для точек, лежащих вне окружности С, л:г+.уг + 2ал: + 2Ьу + с> 0;
значит, *'2+У2 + 2™%' +2— >»'+-> 0 (так как с> 0). 1270. При
С СС
условии, что С_пересекает окружность инверсии. 1271. Указание.
ОЙ ■ 0М' = и, ^=-=— 0М-(Ш = п; перемножить почленно два
ON к '
последних соотношения и сравнить результат с первым соотношением.
1272. Данная прямая при инверсии (О, о) переходит в некоторую
окружность С, проходящую через полюс инверсии. Та полуплоскость
от данной прямой, где лежит полюс О, переходит в множество всех
точек, лежащих вне окружности С; точки другой полуплоскости отоб-
отображаются во внутренние точки окружности С. 1273. Общая часть
/ 1 \2 1 / 1 \2 1
внутренних точек окружностей (л:——1 +.У2 =~4~> *2 + ' У— q I =v-
1274. Область, состоящая из точек, лежащих вне окружности
(х—1)*+у2= 1,но внутри окружности (х — 2K+у! = 4 (серп). 1276. р' =
= —A—е cos ф) — улитка Паскаля в случае эллипса и гиперболы;
кардиоида р' = — A—coscp) в случае параболы. 1277. 1) Парабола
у* = х; 2) множество всех внешних точек этой параболы.
У
_ ау' иг'
1281. Сфера
d (х2 +у* + г2) + 2аох + 2Ьоу + 2саг + <fi = 0,
если данная сфера S не проходит через полюс инверсии
12*

356
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
[ 1282
Если данная сфера проходит через начало координат, то S' —пло-
—плоскость 2a* + 26y + 2cz+a = 0. 1282. Сфера D (хг+у2 + г2) + Лих +
+ Bay + Caz = 0, проходящая через начало координат, если данная
плоскость не проходит через начало координат; сама плоскость
Лл: + В.у + Сг — 0, если данная плоскость проходит через начало
координат. 1284. Указание. Рассмотреть две сферы, пересекаю-
/ 1 1 Л 1
""■ t ' •
щиеся по дашюй окружности. 1285. Центр ,;
. t • радиус .
2 ' 2 ' I' \< 2
1287. Указание. Принять за начало координат точку О, а за еди-
единицу масштаба —диаметр сферы S. Тогда уравнения окружности К
будут х2+у2 + г2-г = 0, ХоХ+УоУ + ^0 _ J-J 2-^ = 0, где (хо,уо,
г0) —вершина конуса. Произвести инверсию (О, 1). 1288. Указа-
Указание. При инверсии сохраняется касание окружностей и углы между
пересекающимися окружностями. 1289. Указание. Ввести прямо-
прямоугольную систему координат, принимая за начало координат точку О,
за базисный вектор оси Ог — вектор ОР, а за направление оси Оу—
направление диаметра ЛВ. Тогда уравнение сферы S будет х--\-у2
2 0 й
р др
z2 — z = 0; уравнения
ства С}, будутд> = А., где
ур
плоскостей,
содержащих окружности семей-
семей--, а уравнения плоскостей, содер-
содержащих окружности семейства С^, будут |1К
й ) Д
ру
действительные значения).
Уравнения семейств С^ и
Далее воспользоваться
^ будут
г= 1 (\х принимает все
й (О 1
(\ р
инверсией (О, 1).
y2 — 2*.*+1=0,
2=1;
V2 — 2|лл: —1=0,
1290. х, :х2 = х. 1291. *,:*2=l:x. 1292. 1) 1:—1; 2) 1 : — X.
Указание. В пучке прямых, реализующих проективную прямую,
единичная прямая A : 1) должна быть параллельна проективно-аф
финной прямой.
1293. 1)
х-1 а22
«12
«22
^11 ^1
а21 х2
ап Ь.2
2) A,x1 =
где рг и р2 определяются из системы уравнений
allPl + °12P2=^l> \
a>iPi-fo22p2-=62. /
1294.

1313
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
357
2) x = -
уравнений
где pt и р2 определяются из системы
Указание. Перейти к однородным координатам и воспользоваться
результатом предыдущей задачи. 1295. (ABCD) = —-—r-i- :— —.
х% — х$ Х2 — х^
1296. Указание. Если принять точку О за начало аффинной
системы координат Оху, то
(ABCD) = -

bi
a2
c2
c2
b2
d,
di
61
a2
d2
d2
b2
где А = (а±, a2), В = (й1, 62)> C = (cx, c2), D = (d1, d2); координаты
точек Л', В', С, D' пропорциональны координатам точек А, В, С, О.
1297. (ABCD) =
al a2
Cl C2
Cl C2
&i b2
*
ai ai
dx d2
dx d2
&i 62
1298. x1: x2- 1299. ^: x2. 1300. Прямая, проходящая через
точку А параллельно ВС. 1301. Биссектриса смежного угла. 1302. Пря-
Прямая, соединяющая вершину О прямого угла с серединой отрезка
гипотенузы, отсекаемого на ней биссектрисами внутреннего и внеш-
внешнего угла при вершине О. 1305. Указание. Принять две инва-
инвариантные точки за базисные, а третью инвариантную точку за еди-
единичную. 1307. Хх[ = piOi^i + p2biX2, kx',^pla.zxlJrp2b2X2, где рх и р2
определяются из системы уравнений:
1308. кх[ = х2, Xx'u = xv 1309. 1)
3) инвариантных точек нет. 1310.
2) (au — a22K + 4aI2a21>0; 3) (au — a22)
0
A:
1)
4
1) и A
(
2); 2) A:0);
2)a + 4ai2a21 < 0;
4) au 0
1311. 2)
on
Я12
o22
<0. 1312. !) Параболическое преобразование;
2) тождественное преобразование; 3) гиперболическое преобразование,
сохраняющее ориентацию; 4) гиперболическое преобразование, меняю-
меняющее ориентацию; 5) эллиптическое преобразование. 1313. 1) A : —•);
2) A:1) и A:—1); 3) A : — A +]/~2)) и A:(|/2-1)); 4) инва-

358
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
I I314
риантных точек нет. 1314. 1) Xx\ = kxu Хх'^—х2; 2) k > 0; 3) сжатие'
к оси Ох2 с коэффициентом к, ОфкФ 1, по направлению оси Охг.
1315. 1) Хх[ =- хг + kx-i, Хх'., = хг; 2) сдвиг по направлению оси Ох.
1316. Хх'.
1317.
«I fel
fl2 b2
■ О.
1318. Указание. Принять точки А и В за базисные, а С—
за единичную точку проективной системы координат. 1321. Цикличе-
Циклическое преобразование с периодом 4. 1322. Ни одного, если (АВ'ВА1) < 0;
два, если (АВ'ВА')>0. Указание. Положить Л = A:0), В —
= @ : 1), А' = A : 1). 1323. Указание. Положить Л = A : 0), М =
= @:1), Л1'=A: 1). 1324. *.*[ = ац^ + о,2л:2, Xx'2 = a21x1 — anx2.
1325. 1) afj + a^^i > 0; 2) 'fln + ai^i < 0; 3) таких инволюционных
преобразований нет. 1328. 1) кх'1 = х1, "кх'г = — л;2; 2) £' = A:—1).
1329. х' = —х. 1330. Симметрия относительно одной инвариантной
k
прямой в направлении другой.' 1331. 1) *' = -—. 2) При k < 0.
± У k.
=—^1ЛХ1.-{-Ь2х2; если А'ф А1(Ь2Ф 0),то Хх\ = а1х1 — ~-^
а 0
3) При fe > 0; инвариантные точки имеют координаты
1332. 4) Если АгфА[ (^фО), то Хх\ = — b2x1 + b1x2,
-^
х 02
= а2х1 — а1х2. 1333. Хх[ = кхг, Хх', = хи где к — любое действительное
число, отличное от нуля; если fe">0, то инволюция гиперболическая,
если k <C 0, то эллиптическая. 1337. Указание. Принять точки А
и В за базисные точки проективной системы координат. 1344. а21*2 —
— 2апху — а12у2 = С. Если эти линии эллиптического типа, то инво-
инволюция эллиптическая, если линии гиперболического типа, то инво-
инволюция гиперболическая. 1345. Указание. Пусть А' — образ А,
а А"—образ А' при данном преобразовании П. Рассмотрим инволю-
инволюцию /, для которой точка А' инвариантна, а точка А переходит в А".
Тогда произведение Ш преобразует А в А', а А' в А, т. е. является
инволюцией. 1346. х=-Х±,у = ^. 1347. 1) М = C : 2 : —1); 2) # =
= A2, 9); 3) # = E:0: —3); 4) Р = A : 1 : 0). 1348. Прямые пересе-
пересекаются на одной из сторон базисного треугольника АхА^3. 1349.
1) Ранг матрицы
м =
= (Ul «2 «з\
\Vi V2 V3)
равен двум; 2) ранг матрицы Л1 равен 1;
3)
«2 «3
с2 v3
«Я «1
1350. A20: 14:-203). 1351. U, = a . , ,.. ........ ...
= аа3 + Р&з- '^52. 1) 3^ + ^+9^3=0; 2) Хя^За — Р, Хх2 = [
\ха = — а; 3) а = 0, р=1; несобственная точка (—1 : 3 : 0).

1305
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
359
1353.
1) кх[ =
*\ а12 а13
Х2 «22 fl23
Х3 «32 fl33
«и *i a13
Oji л;2 a23
«31 «3 «33
u
bl «12 «13
b2 «22 «2з
Ьз Оз2 °33
4) Л,*! =
"кхг =
kX3 =
где Pi, p2, рз определяются из системы
1354. U1 = 8< — 4x'it
«is
a23
fl33
On
«21
«31
«u
021
«31
«12
«22
«32
«12
022
«32
Xl
X2
x3
bi
Ьг
b3
1355. u; =
1356.
2) ХЛ =
3)
Bi
Вг
Вз
^-, Ъ>!! = -
= 0.
1357. @: 1 :—!)• 1358. ^ + ^ = 0 (ось Ох); х1 — х2 = 0 (ось Оу);
23 = 0 (несобственная прямая). 1359. A5:—4:24).
1360. 1)
Xl Х% Х3
У\ Уг Уз
^)
= 0;
«1 «2 «3
ш2
= 0.
1361. 1) и2х2 + «з*з = 0; 2) ф-.—хз-.Хъ). 1363. М1 = ф:хг;х3),
М%= (хг: 0 : х3), М3 = (х1: хг : 0). 1364. u2^24-u3^3 = 0, Ц3^з + «Л = О.
«Л + «2*2 = 0.- 1365. (и2:-М1:0), @:и3:-«2). (и3 : 0 : — и,).

360 ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ [ 1366
1366. *! :х2. 1367. 1) [0: 1 : —1], [1 :0: — 1], [1 :—1 : 0]; 2)[1 : 1 :— \\,
[—1:1:1], [1 :—1 : I]. 1368. 1) /\ = @:1:— 1), F2 = (\ : O-: — 1),
/=з = A:-1:0|; 2) ^4,^ = ^:1: 1], Л2^2 = [1:0: 1],Л/3 = [1: 1:0].
1370. 1) !■•-■: :—), где а, 6, с —длины сторон треугольника ЛВС;
2) (cos Л : cos В: cos С); 3) ' '
cos A ' cos В ' cos С
1371. 1) ху + х2+у3 = 0; 2) а*!+ 6*2+ слг3 = 0; 3) л^ sin 2Л + л:2 sin 2В +
-f-*3sin2C = 0; 4) A:1coSi4+*,cosB + A:sCosC = 0. 1373. Указание.
1) В АААф 2)
f3 ; ) 1+ + s
1) Ввести проективную систему координат А^АгАф\ 2) ввести проек-
проективную систему координат а^а2а3е, где al = A2A3t аг = А3Аъ а* — АхАг.
\ R \ ft
1376. 1) —; 2) -"-.Указание. 1) Ввести на проективной пря-
прямой АВ проективную систему координат, принимая точки Л и В за
базисные. В такой системе координат С = (а:C), £> = (Л:ц). 2) Вве-
Ввести проективную систему координат в пучке прямых, определяемом
прямыми а и 6, принимая прямые а и b за базисные. В этой системе
координат с = [а:р"], d = [l:\x]. 1377. D = ((X ^ (k
. 1378. (ЛВСО) = —9. 1379. (aftcd) = — |-.
1380. D = D:O:-1J. 1381. Л3М: -J- - ^ =0; /: 3„ + 3 =0.
1382. л:х: л:2.
1383. —: — :— . 1384. Указание. Принять точки Р,
L Xi x% x3 J
Q, R за базисные точки A:0:0), @:1:0), @: 0: 1) проективной
системы координат, а* точку S —за единичную. 1386. A:0:0),
@ : 1 : 0), @ : 0 : 1). 1388. Точка A:2:0) переходит в точку (—3: 4: 0).
,389
5л: — 9у+16 ' ^ 5л: — 9у+16 "
1390. kx'l = 2
x't = &Xi — 9л-2 + x3.
1391. Хи[ = -а\-ии \u'3--~ a* u2, b: = -v
ci, a.i Oj
1392. 1) Xu[
где Л,у — алгебраическое дополнение элемента а,у в матрице (а,у);
2) А.*! -■--. Лпх[ + Л21л:^ + ЛЯ[Л:5,
Хх2 -^Лпх[ + Л 22х'± + Л мх'А,
Ь3 = Л 13х[ + Л 23*з + Л и* j;
3) X.tt1 =

1409 ] ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ 361
1393. 1) Хх[ = Ап
%х'« — A%ix± + А 2гх2 + А 23х3,
Хх'3 = А з!*! + А 32*2 + Л ЯЗХ3>
где Л,у —алгебраическое дополнение элемента йц в матрице
2) Xu1 =
Хи2 — Al2u[ -)- А2м', --
Хи3 = А13и[ + А23и':!
3) Kxi^a^
Хх2 = а12х[
Хх3 =
1394. Хх[ = Х1х1, Хх',~Х2х^, Xx't — X3x3. В связке это три сжатия
с коэффициентами Х{, к2, Х3 к плоскостям АгА3, А3А{, А\А.> связки
по направлению прямых Аъ А2, А3. 1395. Хх[=х3, Xx'i = xl, Xx'd—x2.
1396. Хх[ — Х2 + Х3, Хх^=Х3 + Хи Xx's = A"! + Х2.
1397. Хх[ = Х2х2+\х3,
Хх'2 =
1398. A,xJ = ei^1, А.л;.', = e2x2, А.л:^ = г3^.
1399. 1)Хх[^ах1+~$х3<~Хх!, = ах2 + чхя, №л = хя. 2) При а ^ \—
гомотетия с центром ( ~— -~—) и коэффициентом а; приа=1 —
перенос.
1400. 1) \x
Хх
Xx's = x3;
2) х' = апх+а1гу + а13, у' — а«лх + a22y + a23 (аффинное преобра-
преобразование); (x, у) — координаты собственной точки Л1, а х', У —коор-
—координаты ее образа в аффинной системе координат Оху, соответствую-
соответствующей данной однородной системе.
1401. Хх[ = +
Хх'2 =
lx's =
где pi, p2, р3 определяются из системы
1402. Хх'^ц!, i33, 3 3,г + 333
1403. 1) Xxl^kXi, Xx!,:=x2, Xx^, = x3; 2) x' = kx, y'—y (сжатие
к оси Оу с коэффициентом к по направлению оси Ох); 3) x'---kx,
y' = ky (гомотетия). 1404. 2) Хх[-~ахи Хх[,=хг, Хх'% = х3. 1405. 2) "Кх[ —
= —xi, kx's — xz, Xx's = x3; 3) х' = ~х,~ у'=у (симметрия относи-
относительно оси Оу по направлению оси Ох); 4) х' — — х, у'=~- — У-
1406. Симметрия относительно плоскости я связки по направлению
прямой связки, пересекающей плоскость я. 1409. 1) Хх[ = х1-\-ах3<

ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
362
кх!2 = х2, Хх'6 — х3, а-ф§; 2) Xx'l = x1-\-(k—\) х3, 2 3 $
3) х' — х-\-а, у'=у (перенос). 1410. Сдвиг относительно плоскости
связки по направлению прямой связки, лежащей в этой плоскости.;
1411. Указание. 2) Пусть параболическая гомология задана
осью о, центром О (лежащим на оси о) и парой соответственных
точек М, М'. Пусть Ох — точка, гармонически сопряженная с точ-
точкой О относительно пары точек М, М'. Тогда гармонические гомо-
гомологии с центрами О и Оьи осью о являются искомыми, так как для
первой гомологии точка М инвариантна, а вторая гомология пере-
переводит эту точку в М'. 1412. (ахз : агз : 0). 1415. \)kx[ = %ixi, кх'г=-"к2х2,
kx's, = l.sx3\ 2) kx'l = kl $ k' $ 3) k\
= sxl-{-x2, kxi,=sx2,
5) kx'l=sx1-\-x2, kx'2 = s
kx'3 = sx3; 7) kx[ = xb
А А А
г22,
2 3 3) kx\ —
zbz, 4) kx[ — sxx, kx:2 = sx2, kx'3 = X3x3;
2 + x3, kx'3=sx3; 6) kx[ = sxl + x2, kx'3 = sx2,
3 3; ) [ b x = x2, kx'^ — xv 1416. 1) Инвариантные точки:
Аъ А2, А3, инвариантные прямые: А2А3, А3АЪ AtA2, 2) инвариант-
инвариантная точка Ai, инвариантная прямая А^А3; 3) инвариантные точки
Лх и А3, инвариантные прямые АХА3 и АХА2\ 4) инвариантные точки:
А3 и все точки прямой А±А2, инвариантные прямые: прямая Л^ и
пучок прямых с центром А3 (гиперболическая гомология); 5) инва-
инвариантная точка Аъ инвариантная прямая ЛхЛ2; 6) инвариантные
точки: все точки прямой А2А3, инвариантные прямые: пучок прямых
с центром Л2 (параболическая гомология); 7) тождественное преобра-
преобразование. 1419. Указание. Принять данные четыре точки за базис-
базисные точки i4l = (l:0:0), Л2 = @: 1 : 0), А3 = @ : 0: 1) и единичную
точку £ = A:1:1) проективной системы координат. 1421. X«i = 2\:l,
Х«2 = *2-|-*з. Хи3 = 2х1—Чх2'\-5х3. 1422. A:1:1) и G:3:5).
1423. %Ui — xb ku2 — x2, Хи3 = х3. 1426. ки1 = к1хъ "киг = к,2х2, Ы3 =
— k3x3. 1430. Указание. 1) Принять треугольник ABC за базис-
базисный треугольник проективной системы координат; 2) принять тре-
треугольник ABC за базисный треугольник, а точку О —за единичную
точку проективной системы координат. НЗЗ. 1) (p = «u*i-T-fl!22*l +
4- a33xl + 2a23x2x3^-2a3lx3x1 + 2a12x1x2 = 0; 2) ф—положительно опреде-
определенная квадратичная форма; 3)ф—неопределенная квадратичная форма.
1434. ап а12 а13
<h\ fl22 а23 lh
«31 fl32 «33 «3
Ul l!2 U3 0
= 0
i + A33uj + 2Л 12UiU2 + 2 A 23u2u3+2Л 31и3иг = 0,
ИЛИ
где Ay — алгебраическое дополнение элемента ау в определителе
«И «12 fl13
Й21 С?22 ^3
fl31 fl32 fl33
1436. Указание. Приписать точкам А^ координаты 0:1 : ±1,
±1:0:1, 1 : ±1 : 0. 1438. 1) аих31 + а№х1 + ааях1 + (ац+а3^ х2х3 +
+ (а31+al3) ххх3 + (а12+«21) ^i^2 = 0; 2) а, хх\ 4- Ягг^+взз-^з + 2023*2*3 +
4- 1азхх3хх 4- 2а12ад = 0. 1439. 4лг|— 12ххх2+9x1 — 2\ххх3 — 36х2х3 +
4-36л:| = 0. 1440. ххх2 — х* = 0. 1441. 2х\ — х\ — *| = 0. 1442.2^^ —
— ххх3 — х2х3 — 0. 1443. cuJ3x%x3 + asxx3xx-\-axixxx<i = Q. 1444. 1) Дейст-

1471 ] ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ 363
вительная нераспадающаяся линия; 2) действительная нераспадаю-
нераспадающаяся линия; 3) две действительные прямые; 4) действительная не-
нераспадающаяся линия; 5) пара мнимых прямых; 6) две совпадающие
прямые. 1445. Щ^~ЩД=°< гДе ^? =
=--- 1,2, 3, 4. 1446.' $x* + \exsk + 5xl — 5x1x3~5x«x3 = 0. Указание.
Составить уравнения прямых АВ: Я\ = 0; CD: F2 = 0; AC: F3=0;
BD: /r4=0. Записать искомое уравнение в виде Fit2JrkF3Fi = 0 и
потребовать, чтобы эта линия прошла через точку Е. 1448. 1) хххг—
— *| = 0; 2) гипербола; 3) парабола. 1450. а\-\-а\ — а\ < 0.
«И %2 «13 «1
1451. 1) Д =
2) Д = 0; 3) Д > 0.
«31 «32 «33 «3
U2 «3 О
1464. xxx3 = x\. 1467. 1) Хх\ = х3, "kx't — x2y Xx'3 — Xi\ для собственных
точек (х, у) эллипса х2-\-у2=\, отличных от точек @, ±1), х' =
= — t у' = —; точки @, 1) и @, —1) преобразуются в несобствен-
X X
ные точки A:1:0) и A :—1:0) асимптот х2— _у2 = 0 гиперболы
; x==t у =
= —j— • несобственная точка A :—1:0) асимптоты гиперболы х2 —
— yi = \ переходит в несобственную точку @: 1 :0) параболы у = х2;
вторая несобственная точка A:1:0) гиперболы переходит в начало
координат О, принадлежащее параболе у = х2; 3) Хх[ — хъ "кх'2 =
+ ^' всс собственные точки эллипса *2+_y2=l,
кроме точки @, —1), преобразуются по формулам *' = -——t у' =
= - У; точка @, —1) переходит в несобственную точку параболы
у = х2, однородные координаты которой @: 1:0); 4) Хх[ = хъ Xxi,=
= х3, кх'3 = х2; все точки данных пересекающихся прямых, кроме
х I
точки их пересечения, преобразуются по формулам х' = - -, у' = —;
точка @, 0) пересечения данных прямых переходит в несобственную
точку @:1: 0), присоединенную к паре параллельных прямых х2 —
1468. 1) "кх\ = ± аЬ (*! ch t + ах3 sh t),
Us = ±b2 (xx sh t + ax3 ch /),
Xx's = ax2
с любым набором знаков -\-, —; 2) собственные точки данной гипер-
гиперболы, отличные от ее вершин, преобразуются по формулам х' =
= ± — (xcht+asht), у' = ± — (х sh t + a ch t); вершины (±а, 0)
гиперболы переходят в несобственные точки (а: ± b : 0) ее асимптот.
1470. аи*?+Л2г*1 +°зз*1+ 2fl23*2*3 = °- 1471. Кх[ = —хъ Ъс'<, = х2,
А,*а = *3 (гармоническая гомология с осью А2А3 и центром Ах).

ЗГ>4
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
1473. х — 6у + 8 = 0. 1474. (—3, 1). 1475. у=\. 1476. (—28, —2).,
1477. 7*-F + 2*y — Ьх — 10y-f 15 = 0. . 1478. 2x2 — xyfy°~ — 3x+y = 0.
1482. Указание. Диаметр линии второго порядка'есть поляра не-
несобственной точки сопряженных ему хорд. 1488. Указание. Про-
Проекции фокуса F на касательные к линии С лежат на окружности,
если С—эллипс или гипербола, и на прямой, если С — парабола.
1489. Указание. Принимая за начало координат фокус У7 па-
параболы, можно записать ее уравнение в виде у2 — 2рх—р2 = 0. По-
Поляра точки Р = (Х, У) имеет уравнение рХ—yY + р*+р2 = 0. Отсюда
px—yY ,
р =— у . — и, значит, следующее уравнение будет следствием
Л -[- р
двух предыдущих (уравнения параболы и уравнения поляры точки
относительно параболы):
ZX X-rp
x--2xyXY + [(X + pJ-Y*] у2~0.
Но это уравнение однородное относительно х и у и, значит, оно яв-
является уравнением двух прямых, проходящих через начало коорди-
координат и точки пересечения параболы с полярой. Условие ортогональ-
ортогональности этих прямых
Х + JУ
или
— уравнение равносторонней гиперболы. 1491. Прямая [и^: и2: и3],
координаты которой
h l
Хщ --=
23х»,
(поляра точки Мо). 1496. хгх3-\-х3Ху + хух2 = Ъ. 1499. х\ + х\ — х\ = 0;
Ль А2— внешние точки, Л3 — внутренняя точка. 1500. (
I ) + У2 ( + +) ( +
1501.
-f
3
+ fl23
a12 «13 «1
«22 %! 
«32 «S3 «3
v2 v3 0
= 0
(«3^1 + UiU3) + Л12 (ИХУ2 + «2^l) = О,
где A if—алгебраическое дополнение элемента fly в определителе
2 «33

1522 ]
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
365
1502. Xx1 =
Ххг = А гхи! + А 22щ + А 23"з,
^Х3 = А31и,, + А32и2-\- А33и3,
где Ajj— алгебраическое дополнение элемента ац в определителе
«11 «12 «13
«21 «22 «23
1 «32 «33
ИЛИ
«1 «12 «13
«11 «1 «13
«21 «2 «23
«31 «3 «33
^2 ^22 ^3
1506.2^^ + ^1 = 0. 1509.
"Г «31 (х3Ух + -Kj^j
г «23 (^з + Уз^) + «31 (№1 + .У^з) +
«11 «12 «1
«31 «32 «3
2zt
=0,
1511. Указание. Треугольники ABC и PQR, вписанные в линию
второго порядка, автополярны при поляритете, для которого тре-
треугольник ABC автополярный, а точка Р переходит в прямую QR.
1515. x = Xl , У = 4-, z=*3 . 1516. (—2:1:1 : 0), 1517. A:2:6:0).
1518. М = (хх: х2 : х3 : х.
3 "" H
1522.
•, "Ь.х.1 — •
ГДе Pi. P2. Рз. Р4 определяются из системы уравнений
2)
«2lPl
«4lPl
«22
«no
+ «22Р2 + «23РЗ + «24Р4 =
+ «згРг + °ззРз + «34Р4 =
«33 «31
«43 «14
«12
«22
«32
«13 «14
«23 «24
«33 «34
«43 «44
№, ■-■
«11
«21
«31
«41
«11
«21
«•31
«41
X,
Х-2
х.
X,
h
ь3
&4
«13
«23
«33
«43
«13
«23
.«33
«43
«14
«24
«34
««
«11
а~и
«3J
«44

366
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
«и «12 x, au
°21 «22 X2 «24
«31 «32 *3 «34
«41 «42 X, au
«11 ^12  °I4
«21 «22 ^2 «24
«31 «32 Ь3 03i
a 41 «42 &4 «44
«11 a12 «13
«21 ^22 °23
«31 «32 «33
«41 «42 «43
«11 012 0]3
«21 °22 «23
«31 «32 «33
«41 «42 «43
1523.
3 - 17*,-*4 =
Указание. Первое уравнение есть уравнение плоскости, про-
проходящей через три данные точки. Второе уравнение есть уравнение
проходящей через данную точку плоскости .пучка, осью которого яв-
является прямая пересечения данных плоскостей. 1524. кхг = 8а-{-45^,
А.*2=27а —36р\ Хх3 = — 20а + 30р, Xxt^— 16а+5р\ Указание.
.Найти точки пересечения данной плоскости с данными прямыми.
1525. 1) Плоскость л проходит через вершину ^х—-A : 0 :0 :0); Щ пло-
плоскость я проходит через ребро Л^з; 3) плоскость я совпадает с
гранью А1А2А3.
1528. 1)
ax a
bx b
q С
dx a
2 «3
2 ''3
2 C3
2 d.
a4
d
d4
— 0-
— u»
«l
i!i
tt)l
Pi
«2
f2
P2
«3
*'з
tu3
Рз
«4
У4
w4
Pi
= 0;
3)
+ 44)
= (Mi+M2 + Ьз«з + Ь4и4) (olul 4-a2v2 + a3v3+a4y4).
1529. Mi — @ : x2: x3 : *.,), M2 = (^ : 0 : л:3 : xt), M3 = (a:x : x2: 0:x4),
D ^ 1 £\ = @ : 1 : 1 : 1),
i = (x1:x2:x3:Q). 1532.
= ^. 1533.
£, = A:0: 1:1), £s=(l: 1:0: 1), f^lM : 1 : 0);
fl = (l:-1:1:1), F3=(\ : 1 : -1 :1) F l 1
A100) £ A0 1 0) £
(—1:1:1:1),
1); 2) E12 =
0 110
fl = (l:-1:1:1), F3=(\ : 1 : -1 :1), F4 = (l : 1 : 1 :-1); 2) E12 =
= A:1:0:0), £,. = A:0: 1 : 0), £14=A :0:0: 1), £2з = @: 1:1:0),
£„ = @:1:0:1), £„ = @:0:1:1); ^„ = A :-1 : 0 : 0), F13 =
= A:0:-1:0), ^„ = A : 0: 0:-1), FM = @ : 1 : -1 : 0), F24 =
„ @:), „ (); ^„ A :1 : 0 : 0), 13
A:0:-1:0), ^„ = A : 0: 0:-1), FM = @ : 1 : -1 : 0), F24 =
= @:l:0:-l),FM = @:0: 1:-1); 3) СШ4 = A: 1 =—1 = —1>. G13a4 =
= (L: -1 : 1: -1), C1423 = (l : -1 :- 1 : 1). 1534. *l+JCj+JC,+x1_=0.
+
z' =
«31 ^ + «32.У + «33^ + «34
2)

1542 1
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
367
3)
= 0.
«11 «12 «13 *1'
«21 «22 023 *2
«31 «32 «33 Ч
«41 «42 «43 -«4
«11*1 + «12*2 + Ol3*3 + «14*4
1540. \х[ =
«ll&l + «12&2 + «13?>3 + «1 (''4
«21*1 + «22*2 + «-23*3 + «21*4
«21&1 + 022^2 + «-2.А + «24&4
«31*1 + «32*2 + «33*3 + «34*4
«31&1 + «32^2 + «ЗЗ&З + «34^4
«41*1 + «42*2 + «43*3 + «44*4
«41&1
1541. \X[ = ОцР^! + Ol2P2*2 + «13РЗ*3 + %lP4*4.
%Х'Л = Озф^ + «згР2*2 + «ЗзРз*3 + «34Р4*4.
U\ = fl4lPl*l + «42Р2*2 + «43РЗ*3 + «44Р4*4,
гДе Pi> Рг> Рз> р4 определяются из системы уравнений
«llPl + «12Р2 + «13РЗ + «14Р4 = Ь1.
O2lPl + «22Р2 + «23РЗ + «24Р4 = Ь2,
«3lPl + ОззРг + «ЗЗРЗ + «34Р4 = Ь3,
«4lPl + «42Р2 + «43РЗ + «44Р4 = &4-
Обратно: координаты прообраза (хх: хг: х3 ;х±) через координаты
образа (х[: х%: х'г :х^ ) выражаются соотношениями:
x\
x'
x\.
*:
bi
bz
b3
bi
«11
«21
«31
«41
«U
Ozi
«31
«41
«12
«22
«32
«42
«12
«22
«S2
«42
«12
«22
«32
«42
«12
«22
«32
«42
«13
«23
«33
«43
«13
«23
«33
«43
x'
*1
y'
x'i
X\
b\
b3
''4
«14
«24
^34
«44
au
«24
«34
«44
«14
«24
«31
«44
«14
«24
«34
«H
«a
«21
«31
«41
«11
«21
«31
«41
*1
^
*J
*1
h
b3
bi
«13
«23
«33
«43
«13
«23
«33
«43
«14
«24
«M
«41
«14
«21
«34
04-1
«II «12 «13 *1
«21 «22 «23 *2
«31 «32 «33 *3
«41 «42 «43^ *4
«11 «12 «13
«21 «22 а23
«31 «32 «33
«41 «42 °43
1542. Хх[=^

368 ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
[ 1543
1543. Хх[ — апхг -|- 0x2^2, Хх'., =
te'i = йзз*з + дзЛ. Ъх[ = ai3x3 + я4Л-
1544. Ял:[ = ах1, Хх!2 = ах2, Xx's = x3, Xx[ = xt.
1545. Xx[ = a13x;i-\-allxi, Xx'i
Хх'л == Д31Х! + fl,2*2, Xx j =
1546. VI = u№ + tfl3*3 + flH*4
Хх'л = o31xi + д32л-2 + я34х4, Я< = auxt + д4:;ха + я43л:3.
1547. Хх[ = хг-\-х3-\-Xj, Л-лГз^л:г-|-л:3-ЬJCj,
1548. 1) Xx[ nu , %гъ л33я + ЗА^ [ i33V
-\- а.цХ.ъ где (д33 — д14K-|-4д34д4з <; 0. 2) На прямой Д^а это преоб-
преобразование порождает гиперболическое преобразование, которое будет
инволюционным в случае ап-\-д2г = 0- На прямой А3А± это преобра-
преобразование порождает эллиптическое преобразование; оно будет инволю-
ционнымв случае д33-|-д44 = 0. 1549. 1) Хх[ — апх1-\-а12Хп,Хх'а =
+ 22. j мз + 344 J 433 + 444. Д (^ 22) +
-|- 4д12й21 < 0, (д33 — fl44)"+4fl34fl43 < 0. 2) Эллиптические преобразо-
преобразования. 1550. 1) Хх[ = аих1, Хх'.,~аггхг, Хх'г — х3, Хх\~хц, 2) Гипербо-
Гиперболическая гомология с центром А^ и осью Л3Л4. 3) На ребре Л3Л4 —
тождественное преобразование. На остальных ребрах — гиперболиче-
гиперболическое проективное преобразование. 1551. 1) Хх\ = ау±хх, Хх'у^а.^х^,
Xx'3^a33x3-\-a3lxi, Хх{ = аих^ 2) Гиперболическое преобразование,
если а33Фаи; параболическое преобразование, если д33 = д44. 1552.
Гиперболическая гомология с центром А3 и осью AiA2. 1553. Хх[ =
+ Х^ X' Х[ $
i+
1554. Xx[ = anxl + awx3 + auxi, Xxf, ^2
Xx't = a33x3, Xx[^a4iXi. 1555. 1) Хх[ = Хъ, Хх'„ = — ±, z it
Хх[^=—х:1. 2) Инвариантных точек и плоскостей нет; инвари-
инвариантные прямые AiA2 и А3А4. 3) Эллиптические инволюции. 1556.
1) Ajcf = .*l, ЯХо = д:2, Хх'3 = хя, Хх\ = кхц (гиперболическая гомология
проективного пространства). 2) Инвариантными плоскостями являются
плоскость АхАгА3 и связка плоскостей с центром А4. Инвариантными
прямыми являются все прямые, лежащие в плоскости А1А2Аа, и все
прямые связки с центром Л4. 3) При условии /г = —1 (гармоническая
гомология пространства). 4) Гиперболические гомологии с центром Л4,
осью которых являются прямые пересечения плоскости А1А2А3
с плоскостью, проходящей через прямую А4Е. При k ——1 эти гомо-
гомологии будут гармоническими. 1557. 1) Хх[ = хг, Хх«=хи Хх'^ = х4,
Хх\ = х3. 2) Две прямые инвариантных точек: xL — *2 = 0, х3 — х4 = 0A1);
^-(-^2=0, хя-\-Хц — 0 (U). Инвариантные плоскости образуют два
пучка плоскостей с осями 1Г и 1г. Инвариантные прямые: 11 и /2 и все
прямые, пересекающие обе эти прямые (линейная конгруэнция).
3)'Гиперболические инволюции с инвариантными точками: A:1:0:0),
A:—1:0:0) на прямой АхАг и @:0:1:1) и @:0:1:—1) на
прямой А3Ац. 1558. 1) Яд:[ = д:4, Xx'2 = Xi, Xx's=*x2, Хх^ — Х:;. 2) Инва-
Инвариантные точки £ = A : 1 : 1 : 1) и Е' = {\ :—1 : 1 :—1). Инвариант-
Инвариантные плоскости е = [1 : 1 : 1 : 1] и е' = [1 : —1 : 1 : —1]. Инвариантные
прямые ЕЕ' и ее'. 3) Гиперболическая инволюция на прямой ЕЕ',
эллиптическая инволюция на прямой ее'.

ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ 369
1562 1
1561. 1) kx[ — KiXi, кх'.,~'кгхъ кх'л [
2) kx[ = %lxx, kx',=XzXz, kx'3~ax3 — f>xt, кх[ — $Хз + ах4;
3) kx[ —■■ axx — p*2, kx'j, — $Xi + ax.2< kx't—yx3 — 8x4, kx\ — 8x3 + yxt;
4) kx[ = \lxl, kxl — X^x^ kx'% = sx3-\-x4, kx\ = sx±,
5) kx\=Xixu kx!,—X2x2, kx's — sx:), kx\ = sx4;
6) kx[=--sxx + x2, kx'2=-sx2, кх'3~ах.л — $х4, кх[=г$х3-\~ах};
7) kx\ — sxv kxl — sxi, kx'3---ax3~\)xl, kx\ - fix3-\-ax.i,
8) kx[ — sx1Jrxt, kx!, — sx.,, kx'a-=tx3-\- xt, кх\~гх±,
9) kx[ — sxi -\- xz, kx!, = sx2, kx't = tx3, kx\ = txx\
10) kx\ — sxu kx', = sx,, kx', = tx3, kx\--txx\
\\) кх\=а.Х1—$хг-\-х3, kx!l = f>x1~\-ax2-irx.!, kx'3=^ax3 — §xb
ftXi = px3 + ax,;
12) kx.\=-axv— f>x2, kx'j—-f>xt-\-ax2, 1:х'л-^ах3 — pxi, kx\ — $xa +
+ <xx4;
13) kx[ = sxi + x2, kxl — sjc2 -|- *3, /a-' — sa-3, /«; = X.x4;
14) kx\ = sXy-\-X4, kx',^sx2, kx't~sx3, kx'i—Xixi;
15) kx't^=sxi, kx'*. = sx2, fexj — sx,;, /гх'=Я4л:4;
16) kx[--sx.l-\-X», kx',=--sx^~x3, kx':. — sx3-\-xt, kx'l=sxi;
17) a) kx[ — sxx-pхг, kx'2 — sx2-\-x3, /ca:' = sa-3, ^a:J = s.v.i, 6) fce[ =
= sa:1 + x2, /ja!o = sx2, /jxJ—-sx, + a:4, kx\ — sx^
18) /jjcJ = sxx -|- *2, &;Co=sjc2, te'=:SA:3, кх\~зх±,
19) &*j = sa:1, /ja:o = sx2, ftA:,'=SA:3, /jxJ==sx4.
1562. 1) Инвариантные точки: Л,, Л2, А3, At; инвариантные
плоскости: А2А3А4, Л1Л3Л4, Л2Л3Л4, АгА^3; инвариантные прямые:
Л1А2, Л^з, AiAi, АгА3, А%Л±, ЛаЛ4; 2) инвариантные точки Аъ Л2;
инвариантные плоскости: АгА3Ац, AlA3A,i; инвариантные прямые:
АхАг, А3А^\ 3) инвариантных точек и плоскостей нет; инвариантные
прямые: АХА2 и^.Л3Л4; 4) иннариантиые точки: Аъ Л2> Л3; инвари-
инвариантные плоскости: A2A3Ait Л1Л3Л4, АгА2А3; инвариантные прямые:
А^Л«, АгА3, А3АЪ А3АХ; 5) инвариантные точки: Alt Л2 и все точки
прямой A:iA4; инвариантные плоскости: Л!Л3Л4, АгА3А± и все пло-
плоскости пучка с осью АуА2\ инвариантные прямые: АХАЪ A3At
и любые прямые двух пучков с центрами А1 и Лг, лежащих соответ-
соответственно в плоскостях ЛхЛ.зЛ.], АгА3А±, 6) инвариантная точка Ль
инвариантная плоскость ЛдЛ,.;/!^ инвариантные прямые: А±Аг и А3А4;
7) инвариантные точки: нее точки прямой AtA.2; инвариантные пло-
плоскости: все плоскости пучка с осью Л3Л4; инвариантные прямые:
АхАг и Л3Л,1", 8) инвариантные топки: Ль Л:!; инвариантные пло-
плоскости: Л^гЛз, A^A-^Ai, инвариантная прямая AVA3\ 9) инвариант-
инвариантные точки: Ах и все точки прямой А3А,Х; инвариантные плоскости:
AjAj/l,! и все плоскости пучка с осью ЛИг; инвариантные прямые:
А\Аг, А3А4 и любая прямая пучка с центром Л4 в плоскости
А1АЯА4; Ю) инвариантные точки: все точки прямых АхАг и АЯА.Х;
инвариантные плоскости: все плоскости двух пучков с осями А^Аг
и А3А4; инвариантные прямые: АЛЛ2, А3А4 и все прямые, пересекаю-
пересекающие прямые АуАг и А3А4 (линейная конгруэнция); 11) инвариантных
точек и инвариантных плоскостей нет; инвариантная прямая АХА^,

370
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
12) инвариантных точек и инвариантных плоскостей нет; инваризн
и ые прямые: АгА2 и А3А4, 13) инвариантные точки: Аг и Л2; инв
риантные плоскости: АУА%А4 и А\АгА3, инвариантные прямые: Ах/
и ЛхЛ4; 14) инвариантные точки: Аъ Л3, Л4 и
х4 ) р ъ
А2А3; инвариантные плоскости: AiA3A4
ные прямые: АХА4 и все прямые двух
лежащих соответственно в плоскостях
риантные точки:
плоскости: Л^г
все точки прямое
инвариант
x^ ^^^, р
пучков с центрами А1 и
AiA2A3 и /|4/42у43; 15) инва|
Л4 и все точки плоскости AiA2A3; инвариантнь
з и все плоскости связки с центром Л4; инвари
АхАгА3
антные прямые: все прямые плоскости АуАгА3 и все прямые связк
прямых с центром Л4; 16) инвариантная точка А,; инвариантнап
плоскость ЛхЛаЛд: инвариантная прямая А^А^, 17) а) инвариантны^
точки: Ау и все точки прямой А3А4\ инвариантные плоскости:
и все плоскости пучка с осью АуА^ инвариантные прямые: А~ЯА1
и все прямые пучка с центром Ль лежащего в плоскости Ах
б) инвариантные точки: все точки прямой Л,Л3; инвариантные
кости: все плоскости пучка с осью АгА4; инвариантные прямые|
Л]Л3 и А2А4; 18) инвариантные точки: At и все точки плоско
сти Л2ЛдЛ4; инвариантные плоскости: Л2ЛдЛ4 и все плоскости связк
с центром Ау, инвариантные прямые: все прямые, лежащие в пло-1
скости АгА3Ац, и все прямые связки прямых с центром Лх; 19) тожде-1
ственное преобразование. 'я
1565. Я«1 = апхг+й13*з+a14*4,
1568. 1)
+ у3
0
(апх,
+
2)
«11 fl12 fl13 Й14 «1
^21 0^22 ^23 ^4 ^2
«31 «32 «33 «34 
«41 «42 «43 «44 «4
Ух f2 ^3 V4 0
= 0.
1569. 1) Двуполостный гиперболоид дополняется несобственными^
х2 i У2 к
точками всех образующих его асимптотического конуса --)-^ .|
г^"' т' е" точками (xi '■ хг '■ хз '■ хд несобственной овальной линии 3
второго порядка 1
X2 V2 i
2) эллиптический параболоид \-——2г дополняется одно)
несобственной точкой @ : Q : 1 :0) его диаметров;

1571 1 ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ 371
3) однополостный гиперболоид дополняется несобственными точ-
* '& , У2
нами всех образующих его асимптотического конуса -^ -f- jz
— -у = 0, т- е- точками (xt: хг : д:3 : *4) несобственной овальной линии
JC2 Х~ X2
второго порядка ' + -1 2==0. *4 = °;
^2 у2
4) гиперболический параболоид -- = 2г дополняется всеми
хг V2
несобственными точками пары плоскостей — = 0, г. е. точками
х~ х~
пары несобственных прямых -*- — -?- = О, xt = 0;
xi y2 £2
5) конус _^- + ^ — ^г = ° дополняется несобственными точками
Х~ X2 X-
несобственной овальной линии второго порядка -' -|—=-,— — = О,
х* = 0;
х2 v2
6) эллиптический цилиндр —-(-—= 1 дополняется одной несоб-
несобственной точкой @:0: 1:0) его образующих;
х2 V2
7) гиперболический цилиндр ——•'-=1 дополняется всеми
„ хг V2 „
несобственными точками пары плоскостей -g-—^-2- = 0, т. е. точками
х2 хг
пары несобственных прямых ~—-' =0, *4 = 0;
8) параболический цилиндр у2 = 2рх дополняется всеми несобст-
несобственными точками его диаметральных плоскостей у = Ь, г. е. точками
й 0 0
ы др у ,
несобственной прямой *а = 0, д:4 = 0.
1570. 1) Хх[ = хъ Хх1 = хг, Xx's=xt, "Кх[ = х3; собственные
не лежащие в плоскости Оху, преобразуются так: *' =
точки,
г' — —; собственные точки (х, у, 0), лежащие в плоскости Оху, пере-
переходят в несобственные точки (х : у : 1 : 0); 2) Хх[ = хи Хх'2 = хг, %х'г =
= -~Х"~А ', ^*1 = хз + хь собственные точки, не лежащие в плоскости
г+1 = 0, преобразуются так: х'=-~, y' = j^, г'=2(\+г) ;
собственные течки (х, у, — 1), лежащие в плоскости г+ 1 =0, переходят
в несобственные точки (х : у : 1 : 0). 1571. b:; = x1( kx', = x3, Xx'3 = x2 +
-f xit Хх[ = -2 (—Xt + xJ. Преобразование собственных точек:

372
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
2х
.V =-5
2г
г'=2
1+у
1572. 1) Действительна
овальная поверхность второго порядка; 2) действительная невырожд!
ющаяся линейчатая поверхность второго порядка; 3) дейстнительнь
конус второго порядка; 4) пара плоскостей 2дсх — Здс2 + дс4 = 0, х±-
1573.
1575.
1576.
«11 «12 «13 «14
«21 «22 «S3 «21
«31 «32 «33 °31
«11 «42 «13 «44
^11 ^12 ^13 ^11 ^ 1
«21 «22 «23 «21 Щ
«И «32 «33 «31 «3
«11 «12 «13 «41 «1
U, Ы, U., 11, О
, аих\) Xl + (д21дс« -
aa3x03-\~a3ix4) x3-\- (а,пх[
2 = 0, где Р = (
4;)
1579.
)д:4. 2)' Р=0
или подробнее: (ДпХ? -j- «12*2 + «13*3 + «14*4) xi + («21*1 + «22*2 -|-«2з*° -)•
-г «44*4) *4 = 0- Плоскость Р = 0 является полярой точки ~М0 относи-
относительно данной поверхности. 1580. alAx'\-\-a22x'i-\-2alixlx2-\-2arjXlx3-{-.
-!- 2д21а-2а:4 = 0. 1581. Указание. Отнести поверхность к автоноляр.-~
ному тетраэдру AiA2A3Ai, две вершины которого ^, = A:0:0:0),;
Л2= @ : 1 : 0 : 0) совпадают с вершинами конусов, описанных около^
поверхности. Пусть \1х*-г^2Х%-\-7^3х?1-\-Х4Х% = 0 — уравнение данной!
поверхности. Уравнения конусов: X2x'i-\~X3x-3-j-X.ix\—-0t Xia:;-|-X3x| +"?
1 т. V2 П 1 t^R9 П л- v v v О- "94 v - '
"" Л 1^4 — i)O£. л^ А1_Л2 — ^3 4 — » / 1 ~
УХ2 = л:3. 1583. F —X^f—0. 1584. F — IUia:2 =
1586. А.А-! = аиЫ! -(- a12w2 -|- а13ы3 -|- ди«4,
Лх3 ^= а31Ы! -+- д32м2
Ял:4 — д41 Wx -j- й4"^
где (а'-') — матрица, обратная для матрицы (Ду), или
Ххя =
н2 о22 д2з аы
«3 «32 «33 °34
М4 Д42 Д4в О41
«И «12  «14
Д21 Д22 «2 Д24
«32
Ы3 «34
«4 «44
«11 «1 «13 «14
«21 «2 «23 «24
«31 «3 «33 «34
«41 «4 «43 «14
«11 «12 «J3 «1
«21 °22 «23 «2
«31 «32 «33 «3
«41 «42 «43 «4

1392]
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
373
1587. 1) (их: u2 : щ : — и4); 2) (их: и2 : — и3 : и4).
1588. 1) jvt (дадс1 + апхг + д13*,-Н «14*4) +
+Уг («гЛ + «22*2 + Огз^з + «21*4) +
+Уз («3
+ Ч (а31У1
+ Й34>'4) +
+ «2з(*2>'з"
2)
«II «12 «13 °14
«21 «22 «23 «24
«3
«31 «32 «33 «31 «3
г) + ам (х3у4 + х±у3) = 0;
= 0
СГ41 «12 «43 «14
«4
О
или
+ -4 M (u2y4 -I- и4у2) -f Л м («Зи4 + н4р3) =г- О,
где Л у —алгебраическое дополнение элемента д,-у в определителе
«11 «12 «13 «14
«21 «22 «2.1 «24
«31 «32 «33 «34
«41 «42 «43 «44
1591. 1) Ребро А,А4 пересекает поверхность S в точках A:0:0:1)
и A:0:0:—1), уравнения касательных плоскостей alt a2 к поверх-
поверхности S в этих точках: х± — х4—-0, Х! + х4=0; ребро Л2А4 пересекает
поверхность S в точках @:1:0:1) и @ : 1 : 0 : —1), уравнения каса-
касательных плоскостей Pi и р2 к поверхности S в этих точках: х2—х4~0,
*2+*4 = 0; ребро А3Ац пересекает поверхность S в точках @:0:1:1)
и @:0:1: —1), уравнения касательных плоскостей 7i и Тг к иоверх-
ности S в этих точках: х3 — х4 = 0, а:3 + л:4 = 0. 2) Через единичную
точку Е проходят плоскости щ, рь Yi, т- е- плоскости хг — a:4 = 0,
хг~Xi = 0, х3 — хг~0. 3) (±1 : ±1 -. \_\ \ л 1) с любым набором зна-
знаков -j- и —. 1592. 1) Ребро Л]Л4 пересекает поверхность S в точках
A : 0 : 0: 1) и A : 0 : 0 : —)), уравнения касательных плоскостей аь а2
к поверхности S в этих точках: xl~xi = 0> Xi+xi = 0; ребро AvA3

374 ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ [ 1
пересекает поверхность S в точках A : 0 : 1 : 0) и A : 0 : —1:0), урав-:
нения касательных плоскостей рь р2 к поверхности S в этих точках?
*i —*з = 0, х1-\-х3 = 0; ребро А2Аа пересекает поверхность S в точках}
@ : 1 : 1 : 0) и @: 1 : —1 : 0), уравнения касательных плоскостей уъ у2
к поверхности S в этих точках: хг—ха = 0, x2 + *3=0; ребро А2А$[
пересекает поверхность S в точках @ : 1:0: 1) и @:1:0: —1), урав-'
нения касательных плоскостей 8j, 82 к поверхности S в этих точках:]
дсо — *4 = 0, дсг-|-дс4 = 0. 2) Через единичную точку Е проходят четыре!
плоскости "а,, р\, ytl 6ь т' е- х\ — ■*з = 0> -*-"i — *4 = 0, х2— ха = 0,^
х2—д:4 = 0. 3) (±1 : J 1 : ■$ 1 : Л 1) с любым набором знаков --)--, —. |
1593. 1) Уравнения касательных плоскостей аь а2, проходящих через
ребро АхАг: х3 — *4 = 0, Ar3 + ^4 = 0, точки касания @:0:1:1) и
@:0: 1 :—1); уравнения касательных плоскостей рь р2, проходящих
через ребро А2А3: х\ — *4 —0, x1 + X4 = 0, точки касания @:0:1:1)
и @:0: 1:—1); уравнения касательных плоскостей уу, уъ проходя-
ших через ребро АаАх: х2— Х4 — О, *2 + *4 = 0> точки касания @: 1:0: 1)
и @:1:0: —1). 2) Плоскости а, р, у (по одной плоскости из каждой
парыах.а^р^р,;^,,^) пересекаются в восьми точках (-i !: ± 1: j 1: + 1)
с любым набором знаков -|-, —. 1594. 1) Уравнения касательных
плоскостей аь а2, проходящих через ребро -41Л3: д:2 — *.i = 0, д^ -f-л:4 ^ 0,'
точки касания @:1:0:1) и @:1:0: —1); уравнения касательных
плоскостей ръ р2, проходящих через ребро А^А^. хг — лг3 = О, ^2 + дс3 = 0,
точки касания @:1:1:0) и @: I :—1 : 0); уравнения касательных
плоскостей уь уг, проходящих через ребро АгА3: ^ — ^4=0, лсг + л:4 = 0,
точки касания A:0:0:1) и A:0:0: —1); уравнения касательных
плоскостей 6Ь б2. проходящих через ребро Л2Л4: Xi—x3 — 0, дс1 + дсэ = О,
точки касания A:0:1:0) и A:0: —1:0). 2) Плоскости а, р, 7i 6
(по одной плоскости из каждой парыс^, а2; pu p2; Vi. 7г^ 8L> 83) пересе-
пересекаются в восьми точках (±1 : ±1 : ±1 : -i.l) с любым набором зна-
знаков -J-, —. 1595. Векторы аъ а2, аз линейно зависимы: 3at—5a2-f-
7 3
-j-7a3 = 0. 1596. Векторы аъ а2 линейно независимы, a3 — -=-ai — -p-a»
о о
4 1
а4 = -Е" ai —Е" аг- Указание. Воспользоваться методом Гаусса,
о о
3 2
1597. Векторы alt a2, at линейно независимы, a3 = -g-ai—f°2-
о о
1598. Векторы аи аъ а3 линейно независимы, а4 = 2at — За24-4а3,
а5 = а1 + 5а2 —5а3. 1599. Новый базис: ах, а2, ^2, ^3; е1=уа1—а2,
1113
+ av~~~2' вг—f es' 1600- ВекТ0Ры &ь &г, •••. Ьп ли-
линейно независимы. 1601. у = {2, 1, 0, 0}, z = {—1, 1, 3, 5}. 1602. Ба-
Базис суммы мы получим, присоединяя к системе векторов аъ ..., йр
последовательно те из векторов системы bx bq, которые не яв-
являются линейными комбинациями прежде взятых векторов. Пусть
ах ар; Ь{, ■■■, Ьс —базис суммы подпространств А и В. Если
r = q, то V есть прямая сумма подпространств А и В. Предположим,
что г < q, и пусть &,,...,&. —те из векторов 6Ь ..., Ьа, кото-
рые не вошли в базис суммы подпространств А и В. Тогда &у =

1621 ] ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ 375
~a![al + ... + akpap + $ktbti + ... + $klbl , ft = l q—r, что можно
переписать в виде
а\а1 +... + «*ор = Ь,к - pfo; -... - р?г &(г = с»,
fc=l, 2 Я — т- Векторы с\, ..., Ся_г составляют базис пересе-
пересечения подпространств А и В. 1603. Базис суммы: аи а2, а3, &i!
базис пересечения: c1 — a1 + a-i+a3 = bi + b2 = {1, 2, 2, 1}, с2 =
2 + 2 &h& = {2, 2, 2, 2}. 1604. Базис суммы: ai( a2, &
+ & + & {2 3 I 1} 165 Б
i + 3 ihs {, , , } у i( 2, x;
базис пересечения: c = a1 + a2 = &i + &2= {2, 3, I, 1}. 1605. Базис
суммы: «! = {], 2, 0, 1}, 02={1, 1, 1, 0}, ^ = {1, 0, 1, 0}; базис
пересечения: c = ai + fl2={2; 3, 1, 1}. 1606. Базис суммы: а, =
= {1, 1, -1, -1}, а2={1, -1, !, -1}, а3 = {1, -1, —1, 1}, &! =
= {0, 0, 1, 1}; базис пересечения:
1 3 и , t („ . 1
(„ . 1 И
= \ ' ' ~1- ~)'
Указание &2={0, 1, 1, 1}, &3=!1. °. 1. Ц-
1607. J»={5, 0, 0, 0}, 2= {—4, 2, 3, 4}.
1610. Указание. Необходимость условия следует из существо-
существования невырожденной квадратной матрицы С порядка k такой,
что В — СА. Достаточность условий вытекает из того, что под-
подпространство с базисом аг, ..., а^ может быть задано систе-
системой п — k линейно независимых уравнений, левые части которых
суть миноры матрицы
/ап ... о,,
\ан ... акп
\*i ■■■ *п
получающиеся окаймлением отличного от нуля минора матрицы А.
1612. *i = —1 + 3^+%, «2= 1 — 2/х + /2> х, = 3/1 + 7^, jc4 = 1 + 3^+5/g,
Ж5=5-5/г-4/г; 17*!+15*3-7*3 + 2=0, 13*!+ 9*3-7*4+11 =0,
13*1+2*2+7*5-24 = 0. 1613. *! = — 9+4, *з = 8 + —^-2/з —~/3,
хз^^, *4 = '2. 4=^3- '614. 3*1 — 4*2+*3 —2*4+1=0. 1615. Пара-
Параметрические уравнения: дс^^, *2 = 2+^, *3 = 3+^, '^^З + г'г; об-
общие уравнения: xt — *4+3 = 0, х2—*3 + 1=0. 1616. Прямая принад-
принадлежит гиперплоскости. 1617. Прямая параллельна плоскости.
1618. *,+*2+3*3—3*4 + 2 = 0. 1619. ху— *2 — *я + *4=0, *,.—*2 —
— х3 + *4+1=0. 1621. 1) Плоскости а и й абсолютно скрещиваются,
т. е. не имеют общих точек и нет прямых, параллельных обеим

376 ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ ( 1622
плоскостям; плоскостью минимальной размерности, содержащей а и
Р, является все E-мерное) пространство; 2) плоскости а и E имеют
единственную общую точку A, 1, 0, 0, 0); плоскость минимальной
размерности, содержащая обе плоскости аир, определяется точкой А
и векторами аь а2, &i, Ьг и имеет размерность 4; 3) плоскости а
и р не имеют общих точек и не параллельны; они параллельны пря-
прямым с направляющим вектором а1 + а2:=&2 — &i = ('> '. 0> 0> 0| и
лежат в четырехмерной плоскости, определяемой точкой А и векторами
аь а2, &х, Л5; 4) плоскости аир1 пересекаются и лежат в трех-
трехмерной плоскости, определяемой точкой А и векторами аъ аъ Ъх\
5) плоскости аир параллельны и лежат в трехмерной плоскости,
определяемой точкой А и векторами а.\, а2, А В; 6) плоскости аир
совпадают. 1622. 1) Если векторы аь а2, &ь &2, АВ линейно неза-
независимы, то плоскости абсолютно скрещиваются, т. е. они не имеют
общих точек и нет прямых, параллельных одновременно обеим плос-
плоскостям; минимальная размерность плоскости, содержащей обе данные
плоскости, равна 5; 2) если векторы а1( а2, Ь\, Ь2 линейно незави-
независимы, а вектор АВ является их линейной комбинацией, то плоскости'
имеют единственную общую точку; минимальная размерность пло-
плоскости, содержащей обе данные плоскости, равна 4; 3) если векторы
aL, a-,, bi, Ьг линейно зависимы, но какие-нибудь три из них ли-
линейно независимы и вектор А-В не является их линейной комбина-
комбинацией, то плоскости не имеют общих точек и непараллельны, но су-
существуют прямые, параллельные обеим плоскостям; 4) если векторы
аь a.*, &lf &2 линейно зависимы, по какие-нибудь три из них линейно
независимы и вектор А В является их линейной комбинацией, то пло-
плоскости пересекаются по прямой и существует трехмерная плоскость,
содержащая обе данные плоскости; 5) если каждые три из четырех
векторов аи a2, &i, Ьг линейно зависимы, но вектор АВ не является
их линейной комбинацией, то плоскости параллельны и существует
плоскость размерности 3, содержащая обе плоскости; 6) если каждые
три из четырех векторов а,, а2, Ьи &2 линейно зависимы и вектор
АВ является их линейной комбинацией, то плоскости совпадают.
1623. 1) При R—-& плоскости не имеют о^щих точек и нет прямых,
параллельных обеим плоскостям (плоскости абсолютно скрещиваются);
2) при r = R = 5 плоскости имеют единственную общую точку; 3) при
/■_4, /? = 5 плоскости не имеют общих точек и не параллельны, но
существуют прямые, параллельные обеим плоскостям; 4) при r = R = A
плоскости имеют общую прямую и лежат в трехмерной плоскости;
5) при г—3, У? = 4 плоскости параллельны и лежат в трехмерной
плоскости; 6) при г=/? = 3 плоскости совпадают. 1628. Если пло-
плоскости л^ и я2 параллельны, то я совпадает с л^, если же плоскости
щ и я2 скрещиваются и плоскость nL определяется точкой Аг и под-
подпространством Vj, а плоскость л2 —точкой Л2 и подпространством V2,
то плоскость л определяется точкой At и подпространством Ух+Кг-
1630. 1) А'. 1632. 2) £—£. 1633. LL, А- 2 -JL\
' n ' k+\ \y \Q К 10' j/10 J/10J'
3 2 21[ 2_Д
К /'
_Д | Д
V 26' |/2б' У 26}' \У 10' J/10' 1/10' К 10/'

1647 ] ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
377
\VW ]/26' ('26' |'26j' ■ \[/2' \>2' ' ' )' U'3'
_ J_ _L о, 0\ / L _L _L A o\ [О О О О, 1J.
^З'КЗ' М ^42' J/42' |А42' |/42' J'1' ' ' ''
| 1 1 2 1 -I _|4 6 23 27)
Wf' W ~V7'' W' Г 1635- ^- |5 ' 5 > 5' oi'Z--
4 4I }• i64°- ^ *• -■• -••5}-i641- '5' -5- -2- -1}-
1 5 • 5
s
1642. 1) у — ^ (bi> Х)Ь;\ 2) y = i)lb1 + ... + r\sbs, где t^j, ... , r\s
определяются из системы уравнений
s = (bs, х).
1643. 2) <p=arccos-[^i 1644. -"-. 1645. -~. 1646.2)-"-.
(X | о о 4
1647. Решение. Пусть А и В —два подпространства евклидова
пространства, пересечение которых есть подпространство С. Если
СфО, то углом между подпространствами А и В называется угол
между подпространствами А' и В', лежащими соответственно в
А к В и являющимися ортогональными дополнениями к С. Если
пересечение подпространств А и В есть нуль-вектор, то углом между
А и В называется наименьший угол между вектором одного подпро-
подпространства и его ортогональной проекцией на другое. Пусть А
и В — подпространства евклидова пространства, пересечение которых
есть 0; ах аг и bi bs~их ортонормальиые базисы. Пусть
x = gxa!+ ... +|rflr — вектор подпространства А, у = г\ф1+ ...
■•• +45^5 — ортогональная проекция вектора х на подпространство В.
Тогда
, ar)|r,
Полагая ai; = (a,-, &;), i = l, 2, ..., r; /=1, 2, ..., s, будем иметь
4s = «,.,!!+ ... +ar^r.

378
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
1
164$
Если ф—угол между вектором х подпространства А и его ортогск
нальной проекцией у на подпространство В, то coscp = 4-:-j. При'
|д:|=1 имеем cos cp=|.y \ = Vq (*)• Но max q (х) при |д:|==1 есть
наибольшее характеристическое число матрицы квадратичной функ-
функции q (х). Пусть тах^(дг)=Х0; тогда угол между подпространствами д
и В равен arccos К?Чг 1648. 1) -"-; 2) arccos ; 3) arccos ——•
1 rrr 2
4) arccos -_-; 5) -^. 1649. arccos--. 1651. Пусть А = (аф — матрица,
где a.ij=(bi, aj), A* — матрица, транспонированная к матрице Л;
тогда искомые векторы — собственные векторы оператора с матри-
матрицей А*А. 1653. a
1654. -
1655. Xl = % = — xs = —
x4, Xl =
It
 "
= — xi = x3 = — xit xt =— Хъ — — х3 = х4; -a . 1656. При нечетном п
перпендикулярных диагоналей нет; при n = 2k искомое число равно
{с' = с*Г-1' 1657> f . 4"' IP 1658> arccosl/- 1659> 2> V^-
1662. ]/ 14; B, 1, 2, 9). 1663. 5; B, —2, —3, 2). 1664. Плоскость и
прямая абсолютно скрещиваются, уравнения общего перпендикуляра
xl=\-irt, ic^^X-^t, X3 = -y--{~t, *4 —"fr + ^; длина общего перпенди-
перпендикуляра равна -д-. 1665. Прямая параллельна плоскости; расстояние
между ними равно 5. 1666. Плоскости не имеют общих точек и парал-
параллельны одному и тому же направлению, определяемому вектором
А^В1=^^В2— {1, 2, 2, 2}; расстояние между ними равно 3. 1667. -—.
У 2
1668.
1670.
•■ +апХ°пЛ-Ь
... +K
1671.
Л =
(alt aj ... (a1( с„)
(а„, ах) ... (а„, а„)
(aly ax) ... (аъ an_t)
1674 /z
1Ь73. й
гат~ 1674. arccos-S-.
2(n-fc) (*+!)• 3

1705 ] ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ 379
1675. Xj = — х\ — ~2 *а —2 хз —^ xi~\-~2 ,
Хг = — -2'Х'1 + ~2Х*~ 2 X>i~T X'i+ 2 >
лз— 2 2 2 2 2'
1680. у к аз а н и е. Если размерность пространства больше 1,
взять два линейно независимых вектора и применить оператор А как
к этим векторам, так и к их сумме. 1681. С=ВА~Х, где А и В— мат-
матрицы, столбцы которых состоят из координат векторов аъ ..., ап и
Ьъ .... Ьп соответственно. 1682. x[ = 2xt— 11дс2 + 6*3) х'^ = хх—7х2 +
4 ^ 2 4 2
1683. х[=\5х1—23х2+\0х3, лг^Ю*!—18*2+10л:3, х'3 = 2Х1 —
—7х2 + 7хя, х'4 = — х4. 1684. 1) ег; 2) еъ е2; 3) еи *2, е3; 4) еъ еъ е3, е4.
1690. Подпространство с базисом ег=\1, 0, 0, 0}, е2={0, 1, 0, 0}.
1692. Указание. Если k — размерность инвариантного подпро-
подпространства, выбрать первые ft базисных векторов, принадлежащих этому
подпространству. 1694. Если еъ е2, ..., еп — базис пространства V,
состоящий из собственных векторов оператора А, то инвариантными
подпространствам будут нулевое подпространство, все пространство
и каждое подпространство, базисом которого является любая под-
подсистема множества векторов е-\, ег еп. Число инвариантных под-
подпространств равно 2п.
1698. /1 0 0 0\
/0200
1о о з 1
\0 0 0 3/
1699. Если в\, е2, •.., еп — базис пространства, то инвариантными
подпространствами будут линейные оболочки систем базисных векто-
векторов е-у, еъ е2; ..., ; еъ ег, ..., еп. 1701. Указание. Векторы л:,
Ах Акх линейно зависимы. 1702. Указание. Если Х = |л2 —
собственное значение оператора А2, то А'1 — ХЕ = (А +|а£) (А — ja£).
1703. Указание. Если все характеристические числа линейного
оператора принадлежат основному полю, то каждое инвариантное под-
подпространство содержит одномерное инвариантное подпространство.
1704. Указание. Пусть х—'собственный вектор оператора АВ,
соответствующий собственному значению. X Ф 0. Тогда вектор Вх ф 0
будет собственным вектором оператора ВА с тем же собственным зна-
значением X. 1705. Указание. Первый вектору; еп—прообраз век-
вектора ех при преобразовании (A— a£)""i; еп_!-=(А — аЕ) еп,.,., ег =
(AE)n*

380
1706.
1708.
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
1707.
[ 1706;
3
4"
1
4
1
4"
1
4"
1
2"
1
2
1
2"
1
2
1
_„_
3
"
1
"" 
1
~т
1
2
1
~~ 2"
1
2
1
2"
1
~ 4 ~
1
__.. _
3
'4
1
~т
1
2
1
~2
1
~~2
1
2
1 \
4
!
"
1
т
3
47
2
1

1

1
~ 2
1709. / 0 —
2
3
1
3"
1
3
0
0
_1
о
0
1
~ 3~
2

1
0
-1
0
0
0
—
—
0
0
0
—1
1

со|-
2
'
0
0
0
0
0
0
0
-1
0
1721. Указание. Пусть у = Ах-\-Ь— изометрическое преобра-
преобразование точечного евклидова пространства Е, А — изометрическое пре-
преобразование векторного пространства V, соответствующего точечному
пространству Е, V = V'1+V/2 — представление пространства V в виде
ортогональной суммы собственного подпространства Vlt соответствую-
соответствующего собственному значению -j- 1, и его ортогонального дополнения 1Л>.
Вектор & = &! + &2—представление вектора переноса в виде суммы
векторов &х и &2, принадлежащих соответственно подпространствам Vi
и Vz- Если преобразование у = Лл + & не имеет неподвижной точки,
то оно обладает инвариантной прямой с направляющим вектором Ьъ
проходящей через неподвижную точку преобразования у — Ах-\-Ь2-
1729. Функция Ь (х, у) должна быть кососимметрической. 1732. х[у', —
-4у1+*1у1-х1у1; {1, о, о, 0}, {о, 1, о, о}, {i, -i, о, '0},
{1, —1, 0, 1}. 1733. Указание. Представить билинейную функцию
в виде суммы симметрической и кососимметрической билинейных
функций и перейти к базису, в котором симметрическая функция
имеет канонический вид. 1737. а>0, а—Ь > 0, а-\-(п—1)Ь>0.
2 2 3 1 Г 1 1 1 2"!
VA- -1- о.о\ Ц17--1-7-2- oUJ L
\(/2' (/2* /' \|/б ^6 У6' ) 11/12' (/12'
' 12' |/i2j' \2 ' 2 ' 2 '
1 _ 1 _ 1_ \\ | 1 !__ _ * ■ _ l_l J L J_ _L J_l -^
2 ' 2 ' 2 ' 2 J ' \ 2 ' 2'' 2 ' 2 J ' \2 ' 2 • 2 ' 2 J •
2 ' ~ 2 ' 2~' ~

,7C3 J ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ 381
4) I1 1 !. 'Л I1- _1 -1 _Ll f1 _» _1 11
' \2 ' 2' 2 ' 2 Г \2 ' 2'2' 2|'\2' 2' 2'2]'
I1 ' ' ' 1- 2г'г-1 8*-'2
12"' ~2~' 2' 2) ' '
1745. Искомые значения параметра t находятся из уравнения
Q (а) Г-+ 2 [В (a, xn)+Hu)]t + c' = 0, где с'=--Q (xB) + 2L (х„) + с,
а В (х, у) — симметрическая билинейная функция, соответствующая
квадратичной функции Q (х). 1746. В (и, x)-\-L («) = 0, гдо В (х, у) —
симметрическая билинейная функция, соответствующая квадратичной
функции Q(x). 1747. В (дг0, х)->,-1. (,x)-\-L (дго)-гс = 0, где В {х, у).—
симметрическая билинейная функция, соответствующая квадратичной
функции Q(x). 1752. (I) min (k, n — k); (II) min (fe— 1, ft —ft);
A11) min (fe, я —ft—1). 1759. Указание. Вектор b не принадле-
принадлежит области значений оператора А и может быть представлен в виде
суммы b = b'-\-b", где Ь', а следовательно, и — Ь', принадлежат
области значений оператора А, а Ь" ф О— вектор, ортогональный
к этому подпространству. Следовательно, существует вектор х% такой,
что Ах%-\-Ь' = 0. Вектор х% определяется из соотношения А2х*-\-
-i-Ab = 0; тогда &'— — Ах%, b" = b — b' — b-'rAx%. Искомый вектор
jf0 может быть представлен в виде jcJ-j-6'7, где t определяется соот-
соотношением:
(ft-fft", jc*) 1-е
2 (ft', ft") •
1760. Указание, ^i,..., "кг—отличные от нуля собственные значения
оператора А с учетом их кратности; e'v ..., е'г — ортонормальная система
собственных векторов этого оператора. (I) Если R—r^\t то е'г . [, ...
..., е'п —векторы, дополняющие систему е'},...,е'г доортонормальногоба-
доортонормальногобазиса. Координаты х<1 х"п находятся из уравнений для определения
центра. Свободный член преобразованного уравнения с' = 61х° + --
..._|_Ьлх^ + с. (II) Если R—г = 2, то сектор Ь = {Ь%, ..., Ьл} пред-
представляется в виде b = b'~\-b", где Ь' приналежит области значений
оператора с матрицей Л, a 6"--?tO принадлежит ядру этого опера-
оператора; тогда (i = | ft" | и е'г__х — —р-. Векторы е'г_^_2' ■•■> е'п находятся
как векторы, дополняющие систему e'v ..., е'г, е'гл-\ до ортопормаль-
ного базиса. Радиус-вектор х0 начала О' онределяется следующим
образом: хо= х*+ ^". где х* находится из уравнения А2х^-\-АЬ = 0,
a t определяется из равенства
, (Ь + Ь", Х*)+с
2(b", b"). •
1761. См. предыдущую задачу.
1763. 1) - *J ~ f - § + § = '• °' =--(°. •• 2. 3).
■=/!_ -L о "■> -' ( l l
е'~\УГ У'2' ''"/' "а Ve' Кб'
_1__ 1 !__
2 КЗ' 2^3' 2^3'
2|/зГ ' \2'  2' 2/'