/
Author: Ковалёва Г.И.
Tags: воспитание обучение образование методика преподавания учебных предметов в общеобразовательной школе математика задачи по математике естественные науки 9 класс
ISBN: 5-88041-133-8
Year: 2002
Text
УРОКИ
МАТЕМАТИКИ
В 9-ом КЛАССЕ
ПОУРОЧНЫЕ ПЛАНЫ
ЧАСТЬ I
БРАТЬЯ
ГРИНИНЫ
УРОКИ
МАТЕМАТИКИ
В 9-ом КЛАССЕ
ПОУРОЧНЫЕ ПЛАНЫ
ЧАСТЬ I
Составитель: Ковалёва Г.И»,
Волгоград
и
Издательство Братья Гринины
2002
УДК 371.214
ББК 74.262.21
К56
Ковалёва Г.И.
К56 Уроки математики в 9-ом классе. Поурочные планы.
Часть I. - Волгоград, изд ательство Гринина А.Е., 2002,64с.
ISBN 5-88041-133-8
Пособие содержит поурочные планы, составленные в соот-
ветствии е программой и «Обязательным минимумом содержа-
ния образовательных программ по математике». Они предназна-
чены дня работы по стабильному учебнику: Алгебра. Учебник
для 9-го класса средней школы./ Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк,
К.И. Нешков, С.Б. Суворова. Под ред. С .А. Теляковского, 2-ое
изд. -М.: Просвещение, 1992-.
Пособие окажет существенную помощь учителям средних
школ при подготовке к урокам математики в 9-ом классе.
УДК 371.214
ББК 74.262.21
ISBN 5-88041-133-8
© Ковалёва Г.И., 2000
© Издательство Гринина А.Е., 2000
ПРЕДИСЛОВИЕ
Данные поурочные планы предназначены молодым учителям,
которые впервые должны работать в 9-ом классе и поэтому не
всегда могут предусмотреть все ключевые вопросы той или иной
темы, .испытывают затруднения в распред елении часов по теме, в
подборе дополнительного дидактического материала и провероч-
ных работ.
Поурочные планы составлены в соответствии с программой и
предназначены для работы по учебнику: “Алгебра. Учебник для
9-го класса средней школы/ Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Мивдкж,
К.И. Пешков, С.Б. Суворова. Под редакцией С.А. Теляковского.
2-е изд. —М.: Просвещение, 1992."
Предлагаемое распределение материала по урокам носит при-
мерный характер. Учитель может по своему усмотрению вносить
коррективы в ход урока.
§1. ФУНКЦИИ И ИХ СВОЙСТВА
УРОК № 1. ПОВТОРЕНИЕ
Основная цель. Подготовить учащихся к восприятию нового мате-
риала. Повторить изученный в 7-8 классах материал по теме "Функция".
Вводная беседа.
Устная работа.
1. Решить уравнение: 0,5х = 2,5; - -|х = 9; Зх -10 = 0;
(х-3)(х+1) = 0; х2-9=0; (х-2)2=0; х2+10х+25 = 6.
2. При каких значениях х, выражение имеет смысл: 2х; 3-х;
х2 -2х — • * Эх х+5 2х-7
’х’х+5* х2-16* х2+1б’х2-2х+Г
3. В какой четверти координатной плоскости расположена точка
А (3; 7), В (-5; 4), С (-3; -6), Д (1; 0)?
4. Концами отрезка служат точки А (-2; б) и В (1; 3). Пересекает
ли отрезок АВ ось QA"? ось ОУ?
3
5. Что является графиком линейной функции у = 2 - х ? Найдите
У(2),у(-3),у(0).
13 5
б. Какие из формул у=-х,у-—;у = -5;у-—;у = х;у = х-2
3 х х
задают прямую пропорциональность? Какой особенностью обладает
график прямой пропорциональности? Какие из формул задают об-
ратную пропорциональность? Как называется график обратной про-
порциональности? В каких четвертях расположены ветви гиперболы
наших графиков?
Решение задач.
1. Решите квадратное уравнение
а) . Зх2 = 4;2х2 + 18 = 0; 1-4х2 = 0;49-х2 =0.
—. _ «Л 7- Л 7 С С _
Итак, 6 = 0, ах2+с = 0, х =—.если—2:0,тох = ±.—,
а а а
если -— < 0, то решений нет.
а
б) . Зх2 - 5х = 0; 1,2х+О.бх2 = 0; - а+- а2 = 0; 2,1т = 0,1т2.
6 3
Итак, при с — 0, ах3 +Ьх = 0, х(ах+й) = 0, х = 0 или
' , b
ах+Ь = 0, х = —.
а
в) . Зх2 =0; -ix2 =0; 2700х2 =0. Итак, при Ь = 0 и с = 0,
ах2 = 0, х = 0.
Как называется квадратное уравнение вада ах2 + с = 0,
ах2+Ьх = 0„ ах2 =01
г) . При каком условии квадратное уравнение имеет два корня?
один корень?'не имеет корней? Запишите формулу дискриминанта и
формулу корней квадратного уравнения.
х2-6х+5 = 0; х2+2х-35 = 0; -7х + х2+12 = 0;
4/2 - 4/ +1 = 0; 60a + 45a2 + 20 = 0; (2х +1) (х + 2) - (х -1) (Зх +1) = 1;
(2х-3)(2х+3)-2(1 -х)2 = (Зх+1)2; *2-+-?*±-5 = ГЛ!."2**8;
2х-1 2х-1
4
1
— = 5д + 2--— = 0.
х2-1 8 1-За
2. Решите задачу:
Собственная скорость моторной лодки 18 км/ч. Путь 12 км по те-
чению лодка проходит на 9 мин. быстрее, чем против течения. Найти
скорость течения реки.
3. Постройте график линейной функции у(х)-2х-3. Принад-
лежит ли графику этой функции точка А (100; 197)? В (-10; 17)?
Найдите х, при которых Xх) = Xх) > 0.
4. Постройте трафик функции Xх) = — При надлежит ли графи-
ку этой функции точка A Q-; 18J ? В (0; -2)?
Найдите х, при которых Xх) < 0 ?
Домашнее задание; №№ 22, 23, 13.
УРОК № 2. ФУНКЦИЯ. ОБЛАСТЬ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ОБ-
ЛАСТЬ ЗНАЧЕНИЙ ФУНКЦИИ
Основная цель. Ознакомить учащихся с понятиями функции, об-
ласти определения и области значений функции, графика функции.
Проверка домашнего задания.
Устная работа.
1. Найдите /(0), /(2), /(-1). если /(х) = -2х - 5.
2. Найдите значения х, при которых выражение имеет смысл:
2 2х-1 х 2 1-5х
х+2’ Зх-х2 ’ (х-2)(2х + 1)’ 2х-3 х’ х2+9 + 6х’
Т7“Т» ЕТ~7> Vx+2; 7зх-б; V10-5x.
И-1 Н+1
3. Найдите корни, используя теорему Виета и следствия из ней.
а) . х2-х-2 = 0
х2-5х-6 = 0
2 с г г. X2 +рх + £=0
х +5х—6 = 0 г 6
1 fx, +Х7 -~Р
Х ~Х~12 = 0 1хг4=/
х2-7х+10 = 0
5
б) . 5х2 — х—4 = 0 ах1 +Ьх+с = 0, если а+Ь+с = 0, то
' Зх2-2х-1 = 0 Xj=1, х2=-.
а
х2+1999х-2000 = 0.
в) . 2х2+Зх+1 = 0 ах2+Ьх+с = 0, если я+с = Л,то
х2+4х + 3 = 0 х2=-—.
, а
7х2.+х-6 = 0.
4. Для каждой функции y = kx+b,y = -Jx,y-x2,y=x3, у=~,
у = }х| укажите соответствующий график
Объяснение нового материала можно строить по плану:
1. Определение функции. Независимая переменная (аргумент),
зависимая «временная (функция). Обозначение. Примеры функцио-
нальных и нефункциональных зависимостей.
2. Область определения функции. Область значений функций.
3. Способы задания функции (словесный, табличный, аналитиче-
ский, графический).
4. График функции
Чтение графика функции — рис. 1.
1. Д(уУ,
2. ,
б
3. Найдите у, еслкх=>2; 0; 2; 4,
4. Найдите х, при которых у=0; 2; 4.
5. Найдйге х, при которых у<0; у>0.
6. СравнитьХ-2) иХ-1); Х4) иу(5).
Решение задач. Ks№ 1, 5,6,9(а,гле), 10 (устно).
Домашнее задание: №№ 2,3, 8,9(6,в), 11.
Итог урока. Постройте график "Моё настроение на уроке"
УРОК№3. ФУ1
ГУГЛ
ОБЛАСТЬ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ОБ-
ЛАСТЬ ЗНАЧЕНИЙ ФУНКЦИИ
Основная цель. Выработать умение читать трафик функции.
Проверка домашнего задания.
Устный опрос.
1. Дайте определение функции.
2. Что называется областью определения и областью значений
функции?
3. Что называется трафиком функции? Что представляет робой
трафик линейной функции? прямой пропорциональности? обратной
пропорциональности?
4. Как с помощью трафика по заданному значению аргумента
найти соответствующее значение функции и по заданному значению
функции найти значение аргумента, которому оно соответствует?
Чтение трафиков функций.
№№ 12,14,15,16,17.
Решение задач.
1. Найдите область определения функции:
а). ^ = 2х2-1; б). у--4з-2х; в), у = *.;
Г+х
7
Г), j = - ?* — — ; е). у = Vx-1 +V2x+3 ; ж). У = —77.
х2+х-12 1+|х|
2. Построить график функции:
з)->'(х)=2,5х. Сравните X3) ИХ5)- Найдите х, при которых у(х)>0.
б) . Сравните у(-2) я Х'О- Найдите х, при которых
Хх)=О.
в)- Хх)=х2. Найдите наименьшее значение функции. При каком
значении аргумента оно достигается? Найдите е (у). Сравните XI) и
ХЗ);Х-3)иХ-1).
г) . у(х)=4х . Найдите Д(у), Е (у). Сравните Х^) ну(Д)-
д) . Хх)= |х| Найдите Д(у), Е (у). Сравните X2) и>>(5), X*3) иХ‘1).
е) . Х*)= — • НайдитеД(у), Е (у). Сравните X1) иХ2)>Х-4) »X-2).
3. Функция задана формулой: а), у = 1,3х; б), у = ~“4х;
в). у = х2-4;г). у»х2-3х;д). у = 5х2-4х-1. Найти значения
аргумента, при котором значение функции равно 0.
4. № 20.
Домашнее задание: №№ 19, 147,148, 151.
УРОК № 4. ФУНКЦИЯ. ОБЛАСТЬ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ОБ-
ЛАСТЬ ЗНАЧЕНИЙ ФУНКЦИИ
Основная цепь. Проверить знания учащихся изученного материала.
Проверка домашнего задания.
Устная работа.
1. Найдите /(0),/(-1),/(3), если /(х) = -х2-Вх.
2. Найдите значения х, при котором функция, заданная формулой
у = 8 - Зх принимает значение, равное: а) 8; б) 5; в) 0.
3. Найти область определения функции, заданной формулой
а), у- 19-2х; б). _у = 8-х2; в). .У = ——+—3;
х х -4
г), у - л/Зх -9 + Vx ; д). Xх) ----г •
1+1
X
8
4. Задайте формулой какую-либо функцию, областью определе-
ния которой является:
а) множество всех чисел;
б) множество всех чисел, кроме 2 и 5;
в) множество всех чисел, больших или равных 3.
Чтение графика.
а) . Рис. № 10.
ЬД(У).
2.Е(у).
3. Найдите х, при которых у(х)=0.
4. Найти наибольшее значение функции. При каких значениях х
оно достигается?
5. Сравните ^(-2) иу(-1), у(6) и у(8).
б) . Рис. № 6.
1. Найдите х, при которых g(x)» 0.
2. Назовите те значения х, при которых g(x) > 0, g(x) < 0.
3. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции. При ка-
ких значениях х они достигаются?
4. Как изменяются (увеличиваются или уменьшаются) значения
данной функции с изменением х от -6 до -3? от -3 до 3? от 3 до 5?
5. Найдите значения аргумента, при которых значения функции
равно нулю, если функция задана формулой:
1 , ,
а). у = у-4х; 6). у = 2х-х , в). _у = 49х -25;
Решение задач.
1. Найдите координаты точек пересечения с осями графика функ-
ции, заданной формулой: а), у = 0,5х - 3; б), у = 2х2 - 8;
г). у-х1-7х+12; д). _у = 5х2-5х-10.
2. Постройте график функции, предварительно заполнив таблицу:
а). у = х’-2, -45x54; ' 6).^ = ^—^, 15x56.
в).
-х-1, если х <-2
1, если - 2 5 х 5 2 ;
х-1,еалих>2
Д)- У -
9
. х3-2х2-4х+8
с)- у =---ГТ”7-----•
2х2 -8
Домашнее задание: №№ 4,7, 40, 41, 42.
Самостоятельная работа.
1. Найдите /(-2) (/(-5)), если /(х) • х2 - Зх+2.
2. Функция задана формулой у(х) = 5х - 4. Найдите значения ар-
гумента х, при которых Хх)=56 (у(х)~13).
3. Найдите координаты точек пересечения с осями графика функ-
ции у(х) = 2х2 +х-1 (Их) = 2х2 -5х-3).
4. Найдите область определения функции
a)- j(x) = 2*-; б)- у=^6-Зх,
х* -1
(а). у(х) « ; б). у = V5- 10х ).
х +3х
УРОК № 5. СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ
Основная цель. Ознакомить учащихся с основными свойствами
функций.
Проверка домашнего задания.
Читая график функции, изображённый на рис. № 9, построить
объяснение нового материала.
1-Д(р).
2. Е(р).
3. Найдите t, при которых р(/) = 0. Значения аргумента, при ко-
торых функция обращается в нуль, называются нулями функции.
Переформулируйте задание.
4. Нули функции разбивают область определения на промежутки.
Назовите их. Назовите промежутки, в которых функция принимает
положительные значения; отрицательные. Эти промежутки называют
промежутками знакопостоянства функции.
5. Назовите наибольшее и наименьшее значения функции. При
каких значениях аргумента они достигаются?
б. Как изменяются (увеличиваются или уменьшаются) значения
данной функции с изменением t от 0 до 5? от 14 до 24? от 5 до 14?
Дать определение возрастающей и убывающей функции на проме-
жутке.
10
Если (X) е[а;б]х2 e[a,b]xi >х2)=>/(х1)>/(х2),то у = /(х)
называется возрастающей на [а; й] . .
Если (xj е[а;Ь]х2 е[а,b]xj >х2 ) => /(*1) <Л*2). то у = /(х)
называется убывающей на [a; b] . Привести примеры функций воз-
растающей (рис. 11(a)) и убывающей (рис. 11(6)) на всей области
определения.
7. Назовите абсциссы тех точек, в которых возрастание сменяется
убыванием; убывание сменяется возрастанием. Дать понятие точек
максимума и минимума. Всегда ли в точках максимума (минимума)
достигается наибольшее (наименьшее) значение функции. Привести
примеры.
Контрольные вопросы (рис. 16).
1. Что называется областью определения и областью значений
функции? Назовите область определения и область значений функ-
ции, изображённой на рис. 16.
2. Что такое нули функции? Используя рис. 16, поясните, как с
помощью графика найти нули функции? Как найти нули функции,
если функция задана аналитически?
3. Какие промежутки называют промежутками знакопостоянства?
Используя рис. 16, поясните, как с помощью графика найти проме-
жутки, в которых функция сохраняет знак? Как найти промежутки
знакопостоянства, если функция задана аналитически?
4. Дайте определение функции, возрастающей в промежутке;
убывающей в промежутке. Назовите промежутки возрастания и убы-
вания функции, трафик которой изображён на рис. 16.
к
5. Какие из известных вам функций у = кх+Ь, у = —,у=х2,
х
у = 4х, у = |xj, у = х3 являются возрастающими на Д(у), убывающи-
ми на Д(у).
Решение задач: Кя№ 31, 33, 35, 39.
Домашнее задание: №№ 30, 32, 36.
УРОК № 6. СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ
Основная цель. Закрепить знания учащихся основных свойств
функций.
Проверка домашнего задания.
11
Чтение графиков: №№ 24, 25, 27.
Решение задач.
1. Построить трафик функции (работа по группам). Является ли
функция возрастающей? убывающей?
а). _у = 2х-3, = j = -yx+5;
у = -х+7;
С... ... , *
б) . > = 5х-1, у = 0,2х,
2
в). > = -Зх+2, у = -—х, у = 7х-4.
При каком условии функция y = kx+b является возрастающей?
убывающей? Докажем, что при k>Q функция y = kx+b является
возрастающей, а при к <0 — убывающей. Пусть Xj е Д{у), х2 е
Д(у) и xj > х2.
Рассмотрим Xxi)~Ххг) = +b ~к*г = fe(xi ~хг) • Разность
Xj - х2 положительна, т.к. х, > х2. Поэтому, знак произведения
к(хг-х2) определяется знаком коэффициента к. Если к>0, то
Л(Х]-х2)>0 и Xxi)>Xx2)- Поэтому функция Xх) является
возрастающей. Если к <0, то к(х1-х2)<0 и Xxi) <Ххг)' По-
этому функция Xх) является убывающей.
№ 34 (устно).
2. Построить график функции (работа по группам). Является ли
функция возрастающей? убывающей?
ч 1.4 10
а). у = ~, у = —, у = —;
хх
6 L 12
У= —;
X X
. 8 1
в)-Я = -. У = —. У~—
"XX
к
При каком условии функция у = — является возрастающей? убы-
X
к
вающей? Докажите, что при к > 0, функция у = — является убы-
х
вающей на всей области определения, при к < 0 — возрастающей на
всей области определения. Пусть х1 е
1
х
2
б). У =----. у =
х
3
х
(- х2 е(“ и *i > *2 •
12
—,еслих<-2
X
2х,если-2£х£2.
8
—, если х > 2
L X
, ., . к к к(х,-х.) „
Рассмотрим j(xi)-y(x2)=------=_?_z—и Произведение х, -х2
Х1 х2 Х1 "Х2
положительно, т.к. х1 <0 и х2 <0. Разность х3-хх отрицательна,
т.к. X, >х,. Если Л>0,то —— <0 и ЯХ1)<ИХ2)- Следова-
XI х2
тельно, функция у(х) убывает на (-«$)• Если к<0, то
Afe—%1>0 и y(Xj)> у(х2). Следовательно, функция у(х) возрас-
Х! *2
тает на (—°°;0). Аналогично проводится доказательство для проме-
жутка (0;+оо).
4 з
3. Решите графически уравнение а). — = -х+1; б), х = -х+2.
х
4.* Построить график функции и описать ей свойства.
а). у = х+|х|; б). у =
Домашнее задание: №№ 29, 37, 38(устно), 152, 153 (устно), 154*
(устно).
УРОК № 7. СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ'
Основная цепь. Проверить знание учащихся изученного материала.
Проверка домашнего задания: №№ 153, 1-54.
Устная работа.
1. Представьте в виде квадрата двучлена
а). х2+2ху+>'2; б), а2-100+25; в). 49+9х2+42х;
х2
г). 4о2+12о + 9; д). — + х + 1; е). 9-6х+х2.
4
2. Определите, имеет ли уравнение корни. Если имеет, то ответь-
те на следующие вопросы: 1). Сколько корней? 2). Рациональными,
или иррациональными являются его корни? 3). Каковы знаки кор-
ней? 4). Если корни разных знаков, то какой из них имеет больший
модуль?
13
а). хг-4х-21 = 0;б). x2+2x-3 = 0; в). 2x2-6x-7 = 0;
г). 5х2-Зх+1 = 0;д). 2х2-11х-3 = 0; е). -х2+11х-3 = 0.
3. Чтение графика № 28 (рис. 18).
Самостоятельная работа.
1. Найдите область определения функции
а). У-—6).y = -J4-x.
х+5
(а). у = —~; б). ув^б-х).
х+2
2. Найдите нули функции:
. п . «ч х-1 ч х-2
а), у = -2х+3; б). у ----; в), у - —-.
х+5 х-4
(а). у = 0,2х-10; б). = в). у = ^.)
х+2 х-1
' 3. Постройте трафик функции: у-Зх+З (у = -2х-4). Пере-
числите свойства функции: Д(у), Е(у}, дули функции, промежутки
знакопостоянства, промежутки возрастания и убывают.
4. Постройте в одной системе координат графики функций
4 х ( х .. „
у-— и у = -— I р = у-— |. Найдите координаты то-
х 4 V 3 х/
чек пересечения этих трафиков.
Домашнее задание: f&Ns 56, 58,59.
§2. КВАДРАТНЫЙ ТРЁХЧЛЕН
УРОК № 8. КВАДРАТНЫЙ ТРЁХЧЛЕН И ЕГО КОРНИ
Основная цель. Ввести понятие квадратного трехчлена и его корней.
Устная работа.
1. Разложить на множители: а). 2х2 -18; б)- 4х2 +4х+1; .
в). 4х3-х2;г). х2-5х+6.
2. Решить уравнение а). х2»4х;б). х2«=8;в). х2-6х+9 = 0.
3. Вычислите дискриминант уравнения и ответьте на вопросы:
1) . Сколько корней имеет квадратное уравнение? 2). Рациональ*
ными или иррациональными числами являются корни?
а). 4х2+12х+9 = 0; 6).х2-х-2«0; в), х2-х+2®0;
г). Зх2+12х~2 = 0; д). х2+5х-1 = 0; е). 4х2-4х+1»0.
14
4. Определите, имеет ли уравнение корни? Если имеет, то ответь-
те на следующие вопросы: 1). Сколько корней имеет уравнение?
2). Каковы знаки корней? 3). Если корни разных знаков, то какой из
них имеет больший модуль?
а), х2+Зх+2 =0; б). х2-Зх+2 = 0; в). х2-5х+4 = 0;
г). Зх2+7х+2 = 0;д). Зу2~8у+2 = 0; е). -2/+4у-3-0.
5. Заполните пропуски так, чтобы можно было представить в виде
квадрата двучлена
а). х2+2х+...; б). х2-8х+...; в). х2+14х+...;
г), х2+3х+...; д). а2 +а+...; е). у2-7у+....
6. Заполните пропуски в цепочке равенств
а), х2 +2х+3 = х2 +2-Ьх+22-...+3 = (х+...)2-...;
б). у2-8у+9 = у<2-2-4-у+.. .-...+9 = (х-...)2-...;
в), а2 +а + 2 = а2 +2~а+...-...+2 = .)2
Объяснение нового материала строится в соответствии с пунк-
том учебника.
Контрольные вопросы.
1. Какой многочлен является квадратным трёхчленом? Приведите
пример. Являются квадратными трёхчленами многочлены: х2 - х+1;
х2+5;8х-1?
2. Назовите коэффициенты в выражениях: 2хг +х+5; -г2 -х;
х2+7;Зх2.
3. Что называется корнем квадратного трёхчлена? .
4. Сколько корней имеет квадратный трёхчлен, если его дискри-
минант: а) больше нуля; б) равен нулю; в) равен нулю?
Решение задач: №№ 43,45,46,48, 51.
Домашнее задание: №№ 44, 47, 49, 50.
Дополнительные задачи.
1. Найдите область значений функции, заданной формулой
у(х)-х2-4х+7.
2. При каком значении аргумента функция >(*) = х2 -2х+3
принимает наименьшее значение, а функция -х2-х+6 — наи-
большее значение. 1
15
УРОК № 9. РАЗЛОЖЕНИЕ КВАДРАТНОГО ТРЁХЧЛЕНА НА
МНОЖИТЕЛИ
Основная цель. Выработать у учащихся умение раскладывать
квадратный трёхчлен на множители.
Проверка домашнего задания.
Устная работа.
1. Является ли число 1; О; корнем квадратного трёхчлена:
2
а). 2х2-5х+3; б).х2--^; в). х2-х?
2. Имеет ли квадратный трёхчлен корни, если имеет, то сколько:
а). х2-2х+1; б). х2-5; в). х2+1; г). Зх-х2?
3. Докажите, что квадратный трёхчлен х2 + 7 не имеет корней.
4. При каком значении а равенство является тождеством;
х2 + Зх+а = (х+2)(х+1); х2 +ах+б=(х+2)(х+3).
. „ с \ х2-4 _ 2х2-10х
5. Сократить дробь: а). —=—:; 6).-------=-.
х2+4х+4 (5-х)2
6. Используя теорему Виста, найдите корни квадратных уравне-
ний: а), х2-7х-12-0; б). х2-4х-5 = 0; в). х2+8х+7=0;
г). х2-7х+10 = 0; д). х2-15х+50 = 0;е). Зх2-х-2 = 0.
Объяснение нового материала:
Доказать теорему: если ,xt и — корни квадратного трёхчлена
ах2+Ьх+с, то ax2+6x+c = a(x-xj)(x-x2). Обратить внимание
учащихся на то, что если у квадратного трёхчлена ах2 +Ьх+с;
а) один корень, то ах2 +Ьх+с = а(х-х1)2; б) нет корней, то квад-
ратный трёхчлен нельзя разложить на линейные множители. Привес-
ти примеры.
Решение задач: №№ 62,61, 64 (устно), 66.
Домашнее задание: №№ 60,65,68.
Итог урока.
1. Сформулируйте теорему о разложении на множители квадрат-
ного трёхчлена, имеющего корни.
2. Можно ли представить квадратный трёхчлен в виде произведе-
ния многочленов первой степени:
16
а). х2-6х + 9; б). 4x2-3x + 1; в). Зх2 +10х-8 = 0.
УРОК № 10. РАЗЛОЖЕНИЕ КВАДРАТНОГО ТРЁХЧЛЕНА НА
МНОЖИТЕЛИ
Основная цель. Закрепить знания учащимися изученного мате-
риала.
Проверка домашнего задания.
Устная работа.
1. По графику функции
У = /(х) найдите значения
аргументов, при которых: а)
/(х) = 0, /(х)>0, /(х)<0
; б) функция возрастает; убы-
вает, в) на отрезке [-4;5]
принимает наибольшее зна-
чение; наименьшее значение;
г) точки максимума и мини-
мума.
2. Решите квадратное уравнение подбором корней:
а) . х2+9х+20 = б; б). х2-11х+24=0;
в) . а2-9а+8 = 0; г). у2+12у+20 = 0;
д) . х2 +13х+30 = 0; е). у2 -17у+30=0;
ж), г24-12/4-32 = 0; з). и2 +«-30=0;
и) . 2х2 -Зх+1 = 0; к). 2х2 -Зх+1 = 0;
л) . Зх2+2х-1=0; м). -5х2-х+4 = 0.
3. Почему нельзя представить квадратный трёхчлен в виде произ-
ведения многочленов первой степени:
а).х2-Зх+4; б)* -2х2 +4х-7; в). х2+1?
Решение задач: №№ 158,162, 165,168,170.
Дополнительные задачи.
. Упростите:
х2+х-12 х2+5х+6 2х+6 Зх+9
1).--------+--------- ; 2). —----------------;
х-3 х+3 х2-х-12 х2+7х + 12
17
3). Х - Х 4). ___________Sy~1S______Х~У 5 - ‘
х2+х-6 4-х2 ’ х2 - ху + х-у у2-7у+12 у-4 '
х3 +1 9х2 -1
Л Зх3+2х-1 х2-х+1 '
Домашнее задание: №№ 67, 159, 169.
УРОК № И. РАЗЛОЖЕНИЕ КВАДРАТНОГО ТРЁХЧЛЕНА НА
МНОЖИТЕЛИ
Основная цепь. Проверить знанияучащимися изученного материала.
Самостоятельная работа.
См.: 1). Макарычев Ю.Н. и др. Дидактические материала по ал-
гебре для 9 класса. — М.: Просвещение, 1998.
2). Математика: 2600 тестов и проверочных заданий.для школь-
ников и поступающих в вузы./ П.И. Алтыков, Л.И. Звавич, А.И.
Медяник и др. — М.: Дрофа, 1999.
1. Разложите на множители квадратный трёхчлен:
а). х2-7х + 12;б). 5х2-5х-10; в). 4х2-144;г). 10х2 +29х-30;
(а). х2-7* + 10;б). 3х2+3х-6;в). 7х2-63; г). 5х2+19х-4).
2. Сократить дробь:
. я2-4 л Ъ2-Ь-6 ч 7+бс-с
а).------; б).--------; в).--------
7а + 14 96+18 21-Зе
( 46 + 12 с2+с—6 16-2х
I 62-9 7с+21 ' 8+7х-х2
3. Найдите значение дроби:
х2-18х + 80 , |
5х-50 ПРИХ-"12’ I
4. Упростите выражение:
8о-3 40-27а |
а+5 а2+2а-15’ ’
5. Постройте трафик функции:
х3-2х2-4х+8 I
У~ 2х2-8 ’ I
Домашнее задание: №№ 164, 165, 167, 69, 70, 71 (устно), 72.
.2
х2-8х-33
10х+30
х = -9 .
96-4 44- 16b
b+7 b2 +56-14-
х3-2х2 —9х+18
У 18 -2х2
18
§3. КВАДРАТИЧНАЯ ФУНКЦИЯ И ЕЁ ГРАФИК
УРОК Xs 12. ФУНКЦИЯ у = ах2, ЕЁ ГРАФИК И СВОЙСТВА
Основная цель. Ввести понятие квадратичной функции. Вырабо-
тать у учащихся умение строить график функции у = ах2.
Работа над ошибками.
Объяснение нового материала можно построить по плану:
1. Задачи, приводящие к понятию функции вида у = ах2 +Ьх+с,
где а,Ь,с — некоторые числа, а * 0, х — независимая переменная.
а) . Мяч бросают вертикально вверх с начальной скоростью 20
м/с. Выразить высоту h мяча (в метрах) через время полёта г (в
секундах). Сопротивлением воздуха пренебречь.
et2
h = VQt--— или h-2Qt~St2 .
2
б) . Из прямоугольного листа жести надо изготовить противень,
вырезав по углам квадра-
ты и загнув края вверх.
Лист имеет размеры 39 см
и 24 см. Выразите пло-
щадь противня через сто-
рону вырезаемого квадра-
та:
S(x) = (39-2х)(24-2х);
S(x) = 4x2-126х+936.
39
; х 39-2х х ;
; х х ;
в) . Выразите площадь поверхности куба от его ребра: S(x) = 6х2.
2. Определение квадратичной функции. Примеры.
3. График и свойства функции у = ах2 . Построить в одной систе-
ме координат графики функций:
а) . у = х2; р = 2х2; у = ^х2. Перечислить свойства.
б) . у = -х2; м = -2х2; у = -±х2. Перечислить свойства.
4. Преобразование трафиков функции.
(Таблица заполняется на форзаце тетради.)
19
' Функция Преобразование графика функции у = /(х)
У =-/(*) . Симметрия относительно оси 0Х
У = «/(*) Растяжение его вдоль оси ОУ относительно оси ОХ в к раз, если к>1, и сжатие в И к раз, если 0<Аг<1.
Решение задач: №№ 73, 75,78 (устно), 79, 80, 81.
Домашнее задание: Изготовить шаблоны графиков функций
у=х2,у = 2х2;у=-^х2;у = 3х2;у=лДх2.№№ 74,76, 77 (устно), 86.
УРОК Ks 13. ГРАФИК ФУНКЦИИ у = ах2
Основная цель. Выработать у учащихся умение строить график
квадратичной функции у = ах2. Продолжить формирование умений,
простейших преобразований графиков функций.
Проверка домашнего задания.
Устная работа.
1. Что такое функция?
2. Какая функция называется квадратичной? Привести примеры.
3. Что представляет собой график функции у = ах2 {а * 0)?
4. В каких четвертях расположен график функции у-ах2 при
а>0; при а <0?
5. Укажите какие-нибудь два значения переменной х, которым
соответствуют равные значения функции: а), у = Зх2; б), у = -О,5х2.
6. Не выполняя вычислений, сравнить значения выражений:
а). у(0,0001)2 и 4(0,ООП)2; б). 5(-125,8)2 и 5(125,8)2;
4 4
в). -2(1001)2 и -2(10П)2.
7. Известно, что график функции у = ах2 проходит через точку
(-8; -16). а). Определите знак коэффициента а. б). Укажите коорди-
наты ещё одной точки трафика этой функции.
8. Задайте формулой функцию, трафик которой изображён на ри-
сунке: , .
20
(j = 2x2)
Решение задач: №№ 171, 172, 173 (устно), 174.
Дополнительные задачи.
1. Постройте трафик функции у =
х2,еслих>2
х,если-2£х£2 .
-х2,есяи х<~2
2. Постройте график функции у = 2л/х; у = —Jx; у = 4~х.
Домашнее задание: Ка№ 84, 85, 83. Изготовить шаблоны трафи-
ков функций у = х2; у = 2х2; у = ~*2> У - Эх2, у = ~х2.
Самостоятельная работа.
1. Постройте график функции у = -х2 [>' = —~х2]. Перечисли-
те свойства функции.
2. Не выполняя построения, найдите координаты точек пересече-
ния графика функции у = -2х2 (у = 2х2) и прямой а), у = 200;
б), у = -2; в), у = 50х.
21
3. Принадлежит ли графику функции j = -25x2 точка:
а). А(-2;-100); б). В(2;100); в). (у, = 40х2 точка:
а). А(-2; -160); б). В(2; 160) ; в). С(0,1;0,4))?
УРОК № 14. ГРАФИКИ ФУНКЦИЙ у = ах2 + п и у = а(х - т)2
Основная цель. Выработать умение строить трафик квадратичной
функции. Продолжить формирование умений простейших преобра-
зований трафиков функций.
Устная работа.
1. Выделите полный квадрат двучлена: а). х2-2х-7;
б). х2+4х-5; в). х2+Зх-1; г). 2х2-4х+6; д). 2х2-4х+7.
2. По трафику функции у = /(х) найдите значения аргументах,
при которых функция: а) возрас-
тает; б) убывает; в) принимает
значения, равные нулю, больше
нуля, меньше нуля: на отрезке
[1; 5] принимает наибольшее
значение; наименьшее значение.
Назовите область определения и
область значений функции.
Объяснение нового материала.
В одной системе координат построить трафики функций:
а). у = ух2; j = -ix2+4; > = -~х2-3. Сделать вывод
б). y = -ix2; j = -j(x-1)2; ^ = -i(x+2)2. Сделать вывод
Заполнить таблицу на форзаце тетради.
Функция Преобразование графика функции у- /(х)
у = /(х)+А Сдвиг вдоль оси ОУ на Л единиц вверх, если А>0;на |Л| единиц вниз, если А <0.
^ = /(х-а) Сдвиг вдоль оси ОХ на а единиц вправо, если д>0,на |а| единиц влево, если а<0.
22
Построить график функции у = у(х-З)2 +4, используя шаблон
« 1 2
параболы у = — х .
Контрольные вопросы.
1. Параболу у = 7х2 сдвинули на 7 единиц вверх и на 8 единиц
влево. Графиком какой функции является полученная парабола?
2. Назовите координаты вершины параболы, уравнение оси сим-
метрии параболы: а). ,у = 2(х-1)2; б). у = 2х2+1; в). у = —ix-5;
г), у = 3(х - 2)2 +8. Куда направлены ветви параболы?
Решение задач: №№ 87(6), 88, 91(а,б).
Домашнее задание: №№ 87(в,г), 89, 91(в,г).
УРОК № 15. ГРАФИК ФУНКЦИИ у = а(х - ж)2 +и
Основная цель. Выработать умение строить трафик квадратичной
функции. Продолжить формирование умений простейших преобра-
зований трафиков функций.
Устная работа.
1. Выделите полный квадрат двучлена: а), х2 -6х+7;
6). х2-х+2; в). 5х2+10х-5; г). Зх2-6х+2.
2. Назовите координаты вершины параболы, направление её вет-
вей, уравнение оси симметрии: а), у = х2 -1; 6). у = -2х2 +5;
в), у = (х-2)2; г), у = -3(х+1)2 -4 .
3. Задайте формулой функцию, график которой изображён на ри-
сунке:
(У = |х-2|)
Су = И-2)
(у = |х+2|-1)
23
O' = Vx-2) Cy = V2-x) Cy = -^x~2-2)
4. № 95.
Решение задач: №№ 93, 96, 97.
Домашнее задание: Хе№ 94, 98, 99.
Самостоятельная работа.
Используя шаблон параболы у = х2, постройте график функции:
а), у = х2 - 3; б). у=-х2 +4; в). у = (х-2)2;
г). у = (х+2)2 -4;д). у = -(х+1)2+3.
(а), у-х2 -5; б). у = -х2 +3; в), у = (х+2)2;
г), у = (х-2)2 +3 ; д). у = -(х-1)2 +4.)
Отметьте координаты вершины параболы и ось симметрии пара-
болы.
УРОК № 16. ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКА КВАДРАТИЧНОЙ
ФУНКЦИИ
Основная цель. Выработать умение строить трафик квадратичной
функции.
Объяснение нового материала построить в соответствии с пунк-
том учебника.
План построения графика функции у = ах2 +Ьх+с.
1. Определить направление ветвей.
2. Найти координаты вершины параболы 0 (т; л) .
- -Ь
3. Написать уравнение оси симметрии параболы ( х - т ): т = —;
2а
и=у(т).
24
4. Составить таблицу значений функции с учётом оси симметрии
параболы
Пример. Построить график функции у = -2х2 +12х-19.
Графиком данной квадратичной функции является парабола, вет-
ви которой направлены вниз. Вершина 0 (т,п): т =--;
2а
12 -г
т = -—----= 3. я = у(л|); л = -2-32 +12-3-19 = -1. 0 (3; -1).
2'(—2)
Ось симметрии параболы х - 3 .Составим таблицу значений функции
с
X 4 5 6
У. -3 -10 -19
Решение задач:
№№ 102,105, 108 (устно).
Домашнее задание:
№К« 103,106,109,112.
УРОК № 17. ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКА КВАДРАТИЧНОЙ
ФУНКЦИИ
Основная цель. Выработать умение строить трафик квадратичной
функции.
Проверка домашнего задания.
Устная работа.
1. Определите знаки коэффициентов а,Ь,с\ корней Xj и х2; дис-
криминанта,#.
25
2. Определите нули функции у = ах2+Ьх+с, координаты вер-
шины параболы:
а). у = х(х+2); С). у = (х-2)(х4-4);
в), у = -2(* -1) (х - 7); г), у = -х(х+5).
(Воспользуйтесь, что т = — —2 , где х, и х2 — нули функции).
3. Определите координаты точки пересечения параболы с осью
ординат: а), у = 3х2-8х + 9; б). j = -x24-5; в). ^ = 3х-2х2.
4. Найдите все целые значения р, при которых квадратное урав-
нение имеет целые корни: а). х2 4-рх 4-15 = 0; б). х2 4-рх-12 = 0;
в). х2ч-рх 4-3 = 0.
5. Найдите подбором корни уравнения:
а), х2 -2000x4-1999 = 0; б), х2 + 2000х-2001 = 0;
в). 8х2-5х-3 = 0; г). 100х2-150x4-50 = 0.
д). 100х2 4-150x4-50 = 0; е). 5х2-2х-7 =0.
Решение задач: №№ 101, 104,107.
Домашнее задание: №№ 110, 111, 113.
УРОК № 18. ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКА КВАДРАТИЧНОЙ
ФУНКЦИИ
Основная цель. Проверить умение учащихся строить график
квадратичной функции.
Проверка домашнего задания.
Устная работа.
1. Сколько нулей имеет функция а), у = х2 - 12х 4- 35;
26
б). у = 3х2 +7х-6; в). у = -х2 +5х = 3б?
2. Найдите значения х, при которых значения функции равны ну-
лю, больше нуля, меньше нуля:
а). Ч
3. Приведите примеры функций, заданных на области определе-
ния: a). R; б). R, кроме 0; в). R, хроме 0 к -5; г). R*; д). .
4. При каких значениях b и с точка 0 (б; -1) является вышиной
параболы у = х2 +Ьс+сЧ
5. Найдите область значений функции: я), j » х2 - 2х+3;
б) . у= -2х2 +4х; в). у = х2-9.
Самостоятельная работа.
Построить графики функций:
а). >«-х2-4х+1; б). у = 2х+х2; в). у = (х-3)(х+1);
(а), у = х2 -бх+4; б), у = -х2 +4х; в). у = (х +5)(х-1) ).
Найдите по графику:
1) нули функции; промежутки, в которых у < 0, у > 0;
2) промежутки возрастания и убывания функции;
3) наибольшее (наименьшее) значение функции.
27
Домашнее задание: №№ 183, 184 (строить трафик не нужно).'
УРОК № 19. ПОДГОТОВКА К КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЕ
Основная цель. Подготовить к контрольной работе.
Проверка домашнего задания.
Устная работа.
1. Решите неравенство: а), х+1^0; б)- 2х+4 <0;
в). -Зх+6<0; г). 10-5х£0; д). х2>0; е). х2£0.
2. Найдите наибольшее (наименьшее) значение квадратного трех-
члена а). х2-6х + 11; б). -х2+8х-7.
3. Задайте формулой квадратичную функцию, трафик которой
изображён на рисунке:
уА
Решение задач.
с2-7с-8
а).-----—;
5с-40
Г). 5x2+х Л4 .
Л m2-2m-15
б).--------
1 2m-10
. 2х2+7х-4
д>- —-
. х -16
1. Сократите дробь;
. о2-Юо+21
в). --------
4а-12
2. Упростите и найдите значение выражения при заданном значе-
ч 9х2-6х+1 ,1
ниихь: а). -------- х0=-1-;
бх +Х-1 б
2х2+9х-*-7 ч х3-Зх2-х+3 • 2
б) .--- —г хо=О,5; в).------, хо=7-
к -1 х —2х-3 5
28
3. х, и x2 —корни квадратного трёхчленах2+5x ~3 . Ненахо-
х2
дя корней, найдите: а), х, 4-х2; б), х, -х2 ; в), х,-!—;
Х1 + Х2
г). х2+х2; д). х’+х2.
4. Постройте график функции
а) . у~-2х2—6х; б), у = х2-6x4-5.
Найдите с помощью графика:
1) нули функции; промежутки, в которых у > 0 и в которых у < 0;
2) промежутки возрастания и убывания функции;
3) наибольшее (наименьшее) значение функции.
5. № 188 (устно).
б. Найдите с помощью графиков чжло корней уравнения;
а). х2-2 = — ; б).-х2+2х+1 = - ; в). Vx =-х2+4х-1.
х х
Домашнее задание: составить индивидуальное домашнее зада-
ние, используя: 1). Сборник заданий для проведения письменного
экзамена по математике в девятых классах общеобразовательных
школ РСФСР./ Сосг. А.Н. Чудовскйй, Л.А. Сомова. — М.: Просве-
щение, 1990;
2). Сборник заданий для проведения письменного экзамена по ал-
гебре за курс основной школы: 9 класс./ Л.В. Кузнецова, Е.А. Буни-
мович, Б.П. Пигарев, С.Б. Суворова. — М.: Дрофа, 1996;
3). Задания для проведения письменного экзамена по математике
в 9 классе: Пособие для учителя/ Л.И. Звавич, Д.И. Аверьянов, Б.П.
Пигарев, Т.Н. Трушанина. —М.: Просвещение, 1995.
УРОК № 20, КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 1
См.: Макарычев Ю:Н. и др. Дидактические материалы по алгеб-
ре для 9 класса. — М.: Просвещение, 1998.
1. Разложите на множители квадратный трёхчлен:
а), х2 -16x4-63; б). Зх2 4-х-2 .
(а), х2-12x4-35; б). Зх2 4-7х-6).
2. Постройте график функции у = х2 -2х-8 (у = х2 -4х-5).
Найдите с помощью трафика:
а) значения у при х = -1,5 (х = 0,5);
29
6) значения х, при котором у = 3 (у- -б);
в) нули функции; промежутки, в которых у>0 ив которых
у <0;
г) промежуток, в котором функция возрастает (убывает).
3. Сократите дробь:
Зр2+7р-6 f 4с2+1с-2
4-9р2 I 1-16с2 ,
4. Найдите наибольшее значение квадратного трехчлена
-х2+4х+3 (-х2+6х-4)
ла
5. Не выполняя построения, определите, пересекаются ли парабо-
1 , ( 1
_у = —х* |^ = —х J и прямая у = 6х-15 (у = 12-х). Если
точки пересечения существуют, то найдите их координаты.
§ 4. НЕРАВЕНСТВА С ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
УРОК № 21. РЕШЕНИЕ НЕРАВЕНСТВ ВТОРОЙ СТЕПЕНИ С
ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
Основной цель. Выработать умение решать неравенства
ax' +Ьх+с> (<)0 на основе свойств квадратичной функции.
Устная работа.
Пользуясь графиком, назовите значения переменной х, при кото-
рых функция у = ах2 +Ьх+с принимает: а) значения, равные нулю;
б) положительные значения; в) отрицательные значения.
30
Решите неравенство ах2 +Ьх + с>0, используя график квадра-
Алгоритм решения неравенства ах2 +hx+c>(<)0 графическим
способом:
1. Найти дискриминант квадратного трёхчлена и выяснить, имеет
ли трёхчлен корни.
‘ 2. Если трёхчлен имеет корни, то отмечают их на оси ОХ и через
отмеченные точки схематически проводят параболу, ветви которой
направлены ввфх при а >0 или вниз при а <0. Если трёхчлен не
имеет корней, то схематически изображают параболу, расположен-
ную в верхней полуплоскости при а>0 иливнижнейпри а<0.
3. Отмечают те значения х, для которых точки параболы распо-
ложены выше оси ОХ (если решают неравенство ах2 +Ьх + с>0) или
ниже оси ОХ (если решают неравенство ах2 + Ьх + с < 0 ).
Привести примеры решений:
№1. Зх2-11х-4>0
Зх2-11х-4 = 0
Д = 132
11±13 „ 1
*i.2=- *i=4, *2=”j
31
№2.
-х2+8х-16<0
-х2+8х-16 = 0
Д = 0
х1 =4
Ответ: х — любое, кроме 4.
№3.
хг <25
х2-25£0
х2-25 = 0
X
-5\~У5 х'
X] = 5, х2 = -5
Ответ: х е[-5;5].
Решение задач: №№ 116,118, 122.
Домашнее задание: №№ 114,117.
УРОК № 22. РЕШЕНИЕ НЕРАВЕНСТВ ВТОРОЙ СТЕПЕНИ С
ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
Основная цель. Выработать умение решать неравенства
ах2 +Ьх+с> (<)0 графическим методом.
Проверка домашнего задания.
Устная работа.
1. Разложите на множители выражение: а), х2 -144; б). 7-у2;
в), а3 +2а2 +а; г), т3 +1; д). Ъ2 -106+9; е). х2 -4х-5.
2. Является ли число 0; V2; -3 решением неравенства
а). 2х + 3<0; б). x2S0; в). х2>2.
3. При каких значенияхх имеет смысл выражение:
х2+3 ’
х-5
Решение задач: №№ 115, 120,124.
Домашнее задание: №№ 121,123,129, 130.
32
УРОК Xs 23. РЕШЕНИЕ НЕРАВЕНСТВ МЕТОДОМ
ИНТЕРВАЛОВ
Основная цель. Выработать умение решать неравенства методом
интервалов.
Проверка домашнего задания.
Самостоятельная работа.
1. Решите неравенство: а), х2-8х+15>0; (Q. Зх2+11х-4<0;
в). х2-9>0;г). 2х-х2>0.
(а), х2-10х+21>0;б). 4х2+11х-3 <0; в). х2-16>0;
г). 5х - х2 > 0.)
2. Найдите область определения функции:
а), у = >/х2 -14х + 40; б), у- ч
v8x-2x2
(а), у = Л2-18х+72 ; б), у = -г- 7
\бх-3х2
Объяснение нового материала.
По графику непрерывной функции у = /(х) определите те значе-
ния х, при которых /(х) > 0 (/(х) < 0). Обратить внимание уча-
щихся, что непрерывная функция сохраняет знак между нулями
функции. Этим свойством непрерывной функции пользуются при
решении неравенств вида (х-х1)(х-х2)(х-х3)...(х-х„) > (<)0.
Например, (х+2)(х-3)(х+5)>0; /(х) = (х + 2)(х-3)(х + 5)..
1)Д(Л = я;
33
2). Найдём нули функции, решив уравнение f(x) = 0. х = -2,
х = 3, х = -5. Они разбивают Д (/) на интервалы, в которых функ-
ция сохраняет знак
3). Определим знак функции в каждом промежутке между нулями
функции.
/(10) = 12-7-15 > О
► /(0) = 2-(-3)-5<0
/(-3) = (-1)(-4)2>0
/(-10) =-8-(-13) (-5) < О
Рассмотрим дробно-рациональную функцию у -
Р(х)
ew
где Р(х)
и (?(*) — многочлены. Значения х, при которых Q(x) = 0 разбива-
ют область определения функции на промежутки непрерывности, на
которых свойства непрерывной функции выполняются.
u (7-х)(х+2) . (7-х)(х+2)
Например, ---—-----<0; f(x) = -----—------
2х-1 2х-1
1) .Д(/): хД;
2) . /(х) = 0, если (7-х)(х+2) = 0. х = 7, х = -2.
3) . ___ _________ . ____
--------х
-2 | 7
Ответ: х е -
[?;+<»)
Алгоритм решения неравенств методом интервалов:
1) . Привести неравенство к виду /(х) > (<)0. Выделить функцию
2) . Найти область определения функции.
3) . Найти нули функции, решив уравнение /(х) = О.
34
4) . Отметить на оси ОХ интервалы, на которые область определе-
ния разбивается нулями функции. Определить знак функции на каж-
дом интервале.
Решение задач: Ns№ 131, 133, 140.
Домашнее задание: №№ 132, 135, 141.
УРОК№ 24. РЕШЕНИЕ НЕРАВЕНСТВ МЕТОДОМ
ИНТЕРВАЛОВ
Основная цель. Выработать умение решать неравенства методом
интервалов.
Устная работа.
1. Найдите у(0), у (2), у(-5), если у(х) = ~(х -1) (х+2)(х - 3).
2. Определите координаты вершины трафика функции:
а). у=Зх2+4; б), у = -5х2 -1; в). у=2х2-4.
3. Найдите нули функции:
ч 2х+П _ Зх2-12 . 2
а), у»—-; б). У-—--; в). у = х-х;
г). у = х2-6х+9; д). у = х2+7х+12.
4. Найдите область определения функции:
а). у- ——б). у-х2 + 10х; в). у = ———;
3 2 Z 0,5х+3
. 7х+1 . Зх+2 8 . г------
г). У= д). у =-+-----е). y = V2x+5.
х -Зх х х+1
Решение задач: №№ 191, 198, 199, 200, 202.
Домашнее задание: №№ 134, 137, 138, 142.
УРОК № 25. РЕШЕНИЕ НЕРАВЕНСТВ МЕТОДОМ ИНТЕР-
ВАЛОВ
Основная цель. Проверить умение учащихся решать неравенства
методом интервалов.
Самостоятельная работа.
Решить неравенство:
I вариант
1). (х-1)(х-3)>0
2). (х+3)(х-8)(х-20)<;0
II вариант
1). (х-2)(х-5)>0
2). (х+5)(х-6)(х-17)г0
35
4).
5).
6).
7).
3) . (х2-4)(х+7)^0
х+7
(х+2)(хг-64)
х2+15
х2-14х+48 л
—------х-1—<0
(х-7)2
х2+15х+56 п
-Z--------<0
х2 -12х+20
4).
5).
6).
7).
3). (4-х2)(10х+35) <0
х+8
(х-1)(х2-49)
х2 +8
х2-12х+35 л
--------—<0
(х-6)2
х2-13х+30 л
—=--------<0
х2 +7х+10
Решение задан.
1. Найдите наименьшее целое число, входящее в область опреде-
ления фу нкции:
ч I 15~
*)• =
V х+2
в), у =; Vx-x3 :
Л /. 3
б). у = М+х+—;
V х
2. Найдите наименьшие целые решения неравенств:
а). Зх2 — 4х+5£0; б). > 2;
3-х
. х3-3х2-х+3 Л ч х2-6х
в).-----------> 0; г), -z------£ 0.
х +Зх+2 х2+6х+9
3. Найдите длины интервалов, на которых выполняются неравен-
ч 11 _ х2+4х+4 Л
ства: а). — £ —; б). —х---<0.
х 3 х2+5х+6
4. Найдите середины интервалов, на которых выполняются нера-
венства:
. х2+5х+8 х2+2х+1 п .. х2-36 •
а). -г——>2; б).------—0; в). - <0.
X1 +1 х+6—х* х2+6х
5. Найдите среднее арифметическое целых решений неравенства:
-х-1 х 2
б. Найдите наименьшее натуральное решение, неравенства:
36
. 1 11 _ х4-Зх3+2х2 п
а). + £ —; б). =---------<0.
х-2 х-1 х х2-х-ЗО
7. Найдите наибольшие целые решения неравенства:
(x-2^x^ ^6)3(x-.4),q
(х + 7)15 (2-х)5
Домашнее задание: №№ 136, 139.
УРОК Кг 26. ПОДГОТОВКА К КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЕ
Основная цель. Подготовить учащихся к контрольной работе.
Для подготовки к контрольной работе можно использовать сбор-
ники задачдля проведения письменного экзамена в 9 классе.
Решение задач.
1. Найдите область определения функции:
а), у = 4з-2х-х2 ; б). у =
1
х2 +2x4-4
4
. 1 . >/б-5х-х2 . з/зх2 -х-14
г)- >=“ТГГ7;д)-у—у—SJ~
& "
2. Решить систему неравенств:
х2 -10х+9£0,.
10-Зх<0 ’
'х~х2 ; в). у =
х+3
а).
6).
—х2 £ 1,
9 ;
v-2 л
4х2 -1^0,.
х2 >0
г).
(х-1)2 >0,
169-х2 £ О'
3. Прц. каких положительных значениях х вдрно неравенство
x2-2xjS2?
4. Найдите решения неравенства 0,6х2 50,5-1,Зх, принадлежа-
‘1
щие отрезку —;1 .
L4
5. Найдите значениях, при которых трёхчлен -Зх2 +6х + 1 при-
4
нимает значения, меньшие —.
3
37
6. При каких х значения функции у = -2х +1 больше, чем значе-
1 3
ния функции у - — х2 ~~Х - 9 ?
7. Докажите, что при всех значениях р верно неравенство
, 2 1
-р2 +—р — 20 .
3 9
8. Сократить дробь:
. Зх2-7х+2 Зх2-2х ч 9а2-9а+ 2
а).----------; б).---------г; в).--------------;
2-6х 6-7х-3х2 l~3a+b-3ab
ч (6-Зх)2 . х3+5х2-4х-20 ч х3+2х2-х-2
Г). —--------; д). -------------; е). -----------.
3xz+3x-18 х2+Зх-10 х2 +х-2
9. Решить неравенство методом интервалов:
а). -х(2х- 1)(х + 9)2 2 0; б), (х2 - 1)(х+5) 0;
в), (х2 + 1)(х+5) 2 0; г). 2 0;
х + 9
д). --- >0; е). ————23.
4х-10 ч 2х+5
10. Найдите множество значений функции:
а). у = х2(-10х + 21; б). у = -к2+2х+8. •
Домашнее-задание: ицдиввдуальнэе домашнее задание, см. урок№ 19.
УРОК К* 27. КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 2
См.: 1). Макарычев Ю.Н. и да. Дидактические материалы по ал-
гебре для 9 класса. — М.: Просвещение, 1998;
2). Математика: 2600 тестов и проверочных заданий для школь-
ников и поступающих в вузы./ П.И. Алгыков, Л.И. Звавич, А.И.
Медяник и др. — М.: Дрофа, 1999.
1. Решите неравенство:
а) . 4х2-4х-15<0 (2х2 +Зх-9>0) ;
б) . х2-9>0 (5х-х2<0).
2. Решите неравенство, используя метод интервалов:
а). (х+7)(х-5)>0 ((х + 3)(1 -х)>О);
38
4-х л
б).---->0
х+6
ч х-10 ,
в).----->1
2-х
. х2+9Х+20 л
Г).--------->0
х+4
3. Найдите область определения функции;
а). У =
— <0];
х+5 J
--->2 ;
4-х /
———————2-0J.
4-Зх-х2 J
(у = ^3х-2х2у.
б). у= .. 1
V144-9X2
. Vl-5x-3x2
в). у =----------
х
3
У-
у/121-1бх2 J ’
7зх2-4х-15
У~ 7-2х
значениях t уравнение 3x2+ix+3 = O
4. При каких
(2х2 + йс+8 = 0) не имеет корней?
§ 5. УРАВНЕНИЯ С ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
УРОК № 28. ЦЕЛОЕ УРАВНЕНИЕ И ЕГО КОРНИ
Основная цель. Обобщить и систематизировать сведения о целых
уравнениях, способах их решений.
Работа над ошибками.
Учащимся предлагается решение, в правильности которого они
должны убедиться или найти ошибку.
Решить неравенство:
х—4 1) . —>0« х-3 «х х-4 „ 2) . > 0 о 2-х х-5 „ 3) . > 0 еэ < ' 3-х (х-4>0, (х-з^3^4; [г - X > 0; х е (-оо;2)u (4»+о°); fx-5>0, „ [з-х>^хе(3-
4). (х - 2) (3 - х) • (х - 4) > 0. Воспользуемся Методом интервалов,
/(х) = (х - 2X3 - х)(х - 4). 1). Д(/) = R 2). /(х) = 0,
39
3) ,(0) = W><.-i> = 24>0.
5V^Y^Vr>
2 3 4 x
Следователь110’ на множестве (-»;2) функция положительна.
.туункШШ не имеет корней чётной кратности, поэтому при перехода
2, 3 и 4 знак этой функции всякий разменяется на проти-
воположный.
Ответ: х е(-<»;2)и(3;4).
— < 0. Воспользуемся методам интервалов.
—<0; 1).Д(/):х*3,х*4.
(х~3)(х-4) *
2) . /(х)=0, если х = 1.
3) .
5).
Y + Y ~ Y
1 3 4
х
Определим знак функции,
например, втачке х = 5/ко-
торая принадлежит правому
полуинтервалу. Получим
Д5)=8>0.
Следовательно, при х>4 функция положительна. Расставим
знаки функции на оставшихся интервалах и запишем ответ:
х е(1;3)и(4;+оо).
(х—8)^
6) . --— > 0 . Воспользовавшись методом интервалов, решим
х-7
.— ______________ неравенство и запишем от-
вет: х е(7;+оо).
у 4- уч-
7 8
(х—8)^
2). |q ' ® • Воспользовавшись методом интервалов, решим
неравенство и запишем от-
вет: хе(10;+оо).
40
8) . -- cl. Умножим обе части неравенства на (х-2). Тогда
исходное неравенство примет вид 2 < х - 2, откуда х > 4.
л. х2 +11 _ _ —
9) . ----£ 2. Воспользуемся методом, интервалов. Для этого
х+5
перенесём число 2 в левую часть и приведём полученное выражение
(х-1)2
к общему знаменателю. Неравенство ------— <10 решаем методом
х+5
интервалов, расставляя знаки левой части с учётом кратности корней
числителя и знаменателя. Ответ: х е (-ос;-5) и {1}.
10) . х2-Зх+5>0. Решение: Д=9-4-5 = -11<0. Следователь-
но, корней нет. Ответ: решений нет.
Устная работа.
1. Разложите на множители выражение: а). 169-х2;
б). 1-6х+9х2;в). 5х-х2;г). х(х-1)+(х-1)2 ; д). х3-х2-1бх+16.
2. Охарактеризуйте график функции: а), у = 0,5х -1;
2
б), у = -4х2; в), у = —; г), у = х2 + х.
х
х 3
3. Какое из выражений является целым? а). —; б). —;
х-2 1 5х-3
-----+-; г).-----—.
2х+3 5 8
Объяснение нового материала можно построить по плану:
1. Понятие целого уравнения. Степень уравнения.
2. Виды целых уравнений: линейные (первой степени), квадра-
тичные (второй степени), высших степеней.
3. Методы решений целых уравнений: разложение на множители;
введение новой переменной; графический способ. Примеры реше-
ний.
Решение задач: №№ 203 (устно), 204, 213 (а, в, д, ж), 215;
Домашнее задание: №№ 205, 213 (б, г, е, з), 216, 217.
Итог урока.
1. Какое уравнение называется целым? Приведите примеры.
2. Что называется степенью уравнения?
3. Что называется корнем уравнения?
41
4. Сколько корней может иметь уравнение, если его степень равна
1, 2, 3,4, и •>
5. Составьте какое-либо уравнение: а) первой степени, корнем ко-
торого является число 13; б) второй степени, имеющее корни 4 и -11;
в) третьей степени, имеющее корни -2; 2 и 5.
* УРОК Кв 29. ЦЕЛОЕ УРАВНЕНИЕ И ЕГО КОРНИ
Основная цель. Обобщить и систематизировать знания о целых
уравнениях и методах их решений. Сформировать умение решать
уравнения с буквенными коэффициентами.
Проверка домашнего задания.
Устная работа.
1. Какова степень уравнения: а), х2 -Зх5 +2 = 0;
б). 4х-8 = 2(Зх+6)+21; в). х(х-1)(х+2)*7х = 0;
г), (х2 -З)2 +5х(х+1) = 15?
2. Является ли число 0; -1; 41 корнем уравнения: а), х2 -1 = 0;
б). х(х- 1)(х+,/2) = 0; в), х4 +х2 = -2 ?
3. Разложите на множители выражение: а), о4 - Ь6; б). 1 Ьи2 -11;
в)./л3 —л3; г). об + о4-3а2-3; д). х(х-1) + х2(х-1);
е). 2х2 +12ху+72у2.
4. Решите уравнение: а), х2 = 9; б), х2 = 5; в), х2 = ~;
г). х3-25х = 0.
5. Составьте какое-либо уравнение:
а) первой степени, имеющее корень -5;
б) второй степени, имеющее корни 2 и -3;
в) третьей степени, имеющее корни 1; 2; 3.
6. Каков знак дискриминанта квадратного уравнения, если оно
имеет: а) один корень; б) два корня; в) не имеет корней?
Решение задач: №№ 208,209,210 (аз), 211 (аз), 212 (аз), 214 (азд).
Домашнее задание: №№210 (б,г), 211 (б,г), 212 (б,г), 214 (бде), 218.
. УРОК № 30. УРАВНЕНИЯ, ПРИВОДИМЫЕ К КВАДРАТНЫМ
Основная цель. Сформировать умение решать целые уравнения *
методом введения новой переменной.
Проверка домашнего задания: № 218.
Самостоятельная работа.
1. Решите уравнение:
а), (х+8)(2х - 7) = 0; а). (5х- 2)(11 - х) = 0;
42
6) . Xs = X3 ; б). Xе = 4х4 ;
>0 х3-х2_-4(х-1)2 =0; в). 2у3+2у2 ~(у+1)2 =0;
г), х3—Зх2 -4х+12 = 0. г), х3 +2х2-9х-18 = 0.
2. Найдите значения к, при которых квадратное уравнение обла-
дает д анным свойством: Зх2 ~ 2кх—к+6 = 0 не имеет корней,
(2х2+2Ах+Л+12 = 0 имеет два корня).
Объяснение нового материала.
Рассмотреть примеры решений уравнений:
1) . х4-4х2+5 = 0 (биквадратное уравнение);
2) . (х2 +4х)2 -5(х2 +4х) = 24;
3) . (х2-2х-1)2+3х2-6х-13 = 0;
4) . (х2 - 7х +13)2 - (х - 3)(х - 4) -1;
5) . (х2-5х+4)(х2-5х+6) = 120;
6) . (х-2)(х+1)(х+4)(х+7) = 63.
Домашнее задание: №№ 221,222, 219.
УРОК № 31. УРАВНЕНИЯ, ПРИВОДИМЫЕ К КВАДРАТНЫМ
Основная цель. Сформировать умение решать целые уравнения
методом введения новой переменной.
Проверка домашнего задания.
Устная работа.
1. Д окажите, что уравнение 5хб + бх4 + х2 + 4 = 0 не имеет корней.
2. Какие из чисел -3; -2; -Г, 0; 1; 2; 3 являются корнями уравне-
ния: а). х3-9х = 0; б), х4 —13х2 +36 = 0.
3. Охарактеризуйте трафик функции: а), у = -5х+10;
б). v = --; в). у = х2-9.
х
Решение задач: №№ 220,223 (I столбик), 222 (I стогёик), 225,226.
Домашнее задание: №№ 223 (П столбик), 222 (П столбик), 227,
228, 229.
Дополнительные задачи.
Решите графически: а). х3=-х + 2; б), -х2 +2х = х-2;
в), х3 = (х-2)2.
УРОК № 32. ПОДГОТОВКА К КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЕ
Основная цель. Подготовить учащихся к контрольной работе.
Проверка домашнего задания.
Решение задач: Ns№289(6», 290,291(6,в), 292,295(а,тдж), 297(6».
43
Домашнее задание: №№ 289 (а,г), 291 (а,г), 295 (б,в,е), 297 (а,г).
Дополнительные задачи.
1. Найдите значение с, при котором одним из корней уравнения
9х2 +3(с+2)х-(3-2с) = 0 является число 5. Найдите другой корень.
2. При каких целых значениях с корень уравнения сх+1 = 7 яв-
ляется целым числом?
3. При каких значениях b уравнение 4х- 2b = 5 имеет:
а) положительный корень; б) отрицательный корень;
в) корень, больший 8; г) корень из промежутка (1; 3)?
4. Найдите значения к, при которых уравнение обладает данным
свойством: а) Зх2 +2кх+к+6 = 0 имеет 2 корня;
б) 4х2 -2кх+к+3 = 0 не имеет корней;
в) х2 -2кх-к = 0 не имеет корней;
г) х2+6Ах + 9 = 0 имеет 2 корня;
д) 2х2 + 4х +к = 0 имеет 2 корня;
е) 4x2-8x+fc = 0 имеет один корень;
ж) x2+fa + 16 = 0 имеет один корень.
5. Решить графически неравенство: а), х2 й 6 - х;
б). х3й-х2+2; в). (х-2)2£х;г),-£х.
х
6. Составьте квадратное уравнение по данным его корням.
a). 3--J2.3+V2; б).--, — .
6’15
УРОК № 33. КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 3
1. Решите уравнение:
а) . х3-81х = 0; а). х3-25х = 0;
х2—1 Зх-1 х2+6 8-х
б) .---------= 2; б).--------------- 1;
2 4 5 10
в), (х2 -2)2 +3(х2 -2)+2 = 0; в), (х2 +3)2 -7(х2 +3) +12 = 0;
г), х4-19х2+48 = 0. г). х4-4х2-45 = 0.
2. При каких значениях t уравнение Зх2 +tx+3 = О
(2х2 + tx+8 = 0) имеет два корня (не имеет корней)?
3. Решите графически и аналитически уравнение
х2 = х3 (х2 » -2х).
Л т» . 12 2 . (6 2 1
4.. Решите графически уравнение: — = х - 4х I — = х- 71.
44
§ 6. СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ
УРОК № 34. ГРАФИЧЕСКИЙ СПОСОБ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ
УРАВНЕНИЙ
Основная цель. Сформировать умение решать системы уравне-
ний с двумя переменными графическим способом.
Работа над ошибками..
Устная работа.
1. Выразите переменную у через переменную х:
а). 4х — 2у = 6; б). Зх-у = 1;
в). ху = А; г). х2+у-5 = 0.
Что представляют собой графики этих уравнений?
2. Определите координаты центра и радиус окружности, заданной
формулой: а), х2 +у2 =4; б), (х-1)2 +(у+3)2 = 9;
в), (х+5)2 +(у-3)2 =0; г), х2 + 2х+у2 =0 .
3. Охарактеризуйте график функции: а), у = —; б). у - х2 = 2;
х
в), у = Зх +1; г), у = 3.
4. Решите систему уравнений:
fx+y = 4, (4х-у = 4, f у = 2х,
Я)‘[х-у = 2; О)‘\2х~у = 2-, в)’ |4х-у = 4.
Назовите способы решения систем уравнений.
Объяснение нового материала можно построил» по плану:
1. Уравнение с двумя переменными. Примеры. Решение уравне-
ния с двумя переменными.
2. Степень уравнения с двумя переменными.
3. График уравнения с двумя переменными. Примеры.
4. Графическое решение систем уравнений:
а) I =
а)' Ь=-(*+1)2;
б) Jx2+/ = 16,
J | х + у = -2.
Решение системы уравнений с двумя переменными.
Решение задач: №№ 230 (устно), 231 (устно), 232 (устно), 233,
234, 238 (а,б). •
Домашнее задание: №№ 236, 238 (в,г), 240.
Итог урока.
1. Что называется решением уравнения с двумя переменными?
2. Что называется решением системы уравнений с двумя пере-
менными?
45
3. Известно, что система уравнений
У =
л=£?(*)
имеет три реше-
ния. Сколько точек пересечения имеют графики уравнений?
4, На рисунке дано графическое решение системы уравнений. На-
зовите эту систему. Определите по графику её решение.
УРОК № 35. ГРАФИЧЕСКИЙ СПОСОБ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ’
УРАВНЕНИЙ
Основная цель. Сформировать умение решать системы уравне-
ний с двумя переменными графическим способом.
Проверка домашнего задания.
Устная работа.
1. Определите степень уравнения:
а). ху-2у = 5; б). х2-у = 2\ в), х2 +3у2 = 0.
2. Является ли пара чисел (1; 0) решением уравнения:
а). х2+ у = 1; б). ху+3 = х; в). Ях+2) = 0?
3. Укажите какие-нибудь два решения уравнения: а), ху - 6;
б). (х-3)(у+ 2) = 0; в). х2-/=0;г). (х2 -I)2 +(у+2)2 =0.
4. Решите систему уравнении:
, Г x + v = 0, -Г х-3у = 5,
(U - 1)(.у +1) = 0; - 3j) = 15;
в)-Г +/0=8>
ху = 0.
Решение задач: Ne№ 237, 239, 241, 242, 243.
Дополнительно.
Найдите с помощью графиков число решений системы уравнений:
а).
v= -Jx,
у = -X2 +1;
б).
у = -х2 +6х-4,
8
У = ~',
х
в).
> = 3,
у + б = х2;
4$
х2+у2=46,
.3
х2 +у2 = 4,
у - х = 2;
Домашнее задание: № 302.
УРОК № 36. РЕШЕНИЕ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ ВТОРОЙ
СТЕПЕНИ
Основная цель. Сформировать умение решать системы уравне-
ний способом подстановки.
Самостоятельная работа.
Решите графически:
ху = 4
г).
е).
а).
ху = 8
у-х = 2’
б). f2+^e16
у = х2 - 4
а).
способ подстановки: 1)
„ х2+у2=36
0- 2 д ’>
у = X -6
Объяснение нового материала.
Один из методов решений систем уравнении второй степени—
х2 — Злу - 2у2 = 2,
х + 2у = 1.
Наиболее эффективен, когда система составлена из одного урав-
нения первой степени и одного уравнения второй степени.
Алгоритм решения такого рода систем:
1) выразить из уравнения первой степени одну переменную через
Другую;
2) подставить полученное выражение в уравнение второй степени,
в результате чего приходят к уравнению второй степени с одной
переменной;
3) решить получившееся уравнение с одной переменной;
4) найти соответствующие значения второй переменной.
Продолжить изучение способа подстановки, решив следующие
системы уравнений:
х2-у2=3
х-у = 3
Ответ: (2; -1).
2)
(х-у)(х + у) = 3
х-у-3
3).
х2 +у2— 2ху = 1
(ж-У? = 1
х+у = 3
(х+у = 1 [х- у = 3 х = 2 у=-1.
fx-y = 1 (х = 2
{х+у=з (у = 1
х-у = —1 f х = 1
х+у = 3 V = 2
Ответ: (2; 1), (1; 2).
47
Решение задач: №№ 244 (а,в), 246 (а,в,г).
Домашнее задание: №№ 244 (б,г), 245, 246 (б).
УРОК № 37. РЕШЕНИЕ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ ВТОРОЙ
СТЕПЕНИ
Основная цель. Сформировать умение решать системы уравне-
ний способом сложения.
Проверка домашнего задания.
Устная работа.
1. Имеет ли решение система уравнений:
*2+/ =~3 -б) Гу = х3 }
, in..-= _2’в*
( х+у = 2 .
Мх+(у-2)2=0;г)'
а)’ [Зх + 10у = 17,5
2. Решите систему уравнений способом сложения:
х+>1“51; в)Д
х-у = -1
х + у = 1
х2 +у2 = 0'
х2 +j = 0
х-_у = 0
х-2у = 5
2х+3у=17’
.Объяснение нового материала.
Второй не менее эффективный способ решения систем уравнений
второй степени — способ сложения.
а).
0±
х2+/=61 fax2 =72
х2-у2 = 11 [2/ =50
х2=36
/=25
Гх = 6
[у = 5
х = -б
_> = 5
Ответ: (6; 5), (-6; -5), (=6; 5), (6; -5).
f
1У = -5
/х = 6
(у = -5
2)-
х2+/ =25
у2 -х = 5
х2 +х = 20
у2 -х=5
-5
у2 - х = 5
х = -5
у2 =0
х = 4
/=9
х = -5
у = 0
/х = 4
[у = 3
х = 4
_у = -3
Ответ: (-5; 0), (4; 3), (4; -3).
48
3)
х2-3у = 1
' » + У = 3|з
X2 -Зу = 1
3х + 3у=9
х2
х+у=3
+ Зх-10 = 0
х = -5
г* _ 2 • Ответ: (-5; 8), (2; 1)-
Xj = -5
<=> х2 = 2
у = 3-х
Решение задач; №№ 262, 244 (г), 245 (в), 248 (а), 249 (д), 263 (г)
(все системы решить методом сложения).
Домашнее задание: №№ 247,253 (решить методом подстановки,
сложения и графически).
УРОК № 38. РЕШЕНИЕ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ ВТОРОЙ
СТЕПЕНИ
Основная цель. Сформировать умение решать системы уравне-
ний с двумя переменными способами подстановки и сложения.
Проверка домашнего задания.
Решение задач; №№ 248 (б), 249 (а,в,г), 250 (б), 252 (а), 254.
Домашнее задание: №№ 248 (в,г,е), 250 (а), 265.
УРОК № 39. РЕШЕНИЕ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ ВТОРОЙ
СТЕПЕНИ
Основная цель. Проверить умение учащихся решать спет
уравнений второй степени способами подстановки и слл^Щи отемы
Самостоятельная работа.
Решить систему уравнений:
а)Дх2-2у»54 а) х2-Зу»-12.
( у=х-3 ' [ У=х+4 *
Г 4у-х = 0 f Зх-у = о |х2+у2=17’ {х2+/=1(Г
в). Р+*'->'2 =4; в). [*2-*у+у2 =14
[ Зх+у=ю { ж“3> = ю ;
г) J2x2-/=41. r) Jx2-3,2=22 . i (2х2+у2«59 . , [х +3у2 в 28» , (
( х+у=10 . ( х-> = 4 ’ t*2 ~У2 =40’ * I*2 ~Уг =40’
Домашнее задание: №№ 261, 252 (б), 264, 267. V
49
УРОК № 40. РЕШЕНИЕ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ ВТОРОЙ
СТЕПЕНИ
Основная цель. Сформировать умение решать системы уравне-
ний второй степени.
Работа над ошибками.
Решение задач: №№ 255 (а), 256 (а), 257 (а,в), 258.
Домашнее задание: №№ 256 (б), 257 (б,г).
УРОК № 41. РЕШЕНИЕ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ ВТОРОЙ
СТЕПЕНИ
. Основная цель. Сформировать умение решать системы уравне-
ний второй степени.
Проверка домашнего задания.
Объяснение нового материала. Показать другие способы реше-
ния систем уравнений второй степени.
Способ выделения полного квадрата двучлена и последующей
подстановки:
и Р +/=20 Г(х-у)2+2^ = 20 =
х-у~6 [ х-у = 6 ^>-7=6^
Гу = -4
I х — 2
<=> г _ 2 Ответ: (2; -4), (4; -2).
| х = 4
2) I*2 + / = 5 +/2 “ = 5 +•>/ =1 ~
' [ ху = -2 [ ху = -2 1 ху = ~2
(у = -2
х + у = 1
лу = -2
с + у = -1
ху-~2
х = -2 Ответ: (1; 2), (-1; -2), (-1; 2), (1; -2).
х = 2
х=-1
v = 2
Способ введения новых переменных:
(ху+х-у = 7 (ху+(х-у) = 7 Г
\х2у-ху2=6~[ху(х-у) = 6. ПУСП,1:
ху-а
t_y = b,-W*
SO
a+b==l
ab = 6
{"fa
x = -2
xy = 6
xy^l
x-y = 6
y = -3-V10
х=з-Ло
' , (Я)
x = 3
у = 2
Решение задач: №№ 309, 308 (а) — выделение полного квадра-
та; 308 (б) — метод сложения; 310 (б) — метод введения новых пе-
ременных или сложения.
Домашнее задание: №№ 306 (а^,е), 307 (а), 310 (а).
УРОК № 42. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ С ПОМОЩЬЮ СИСТЕМ
УРАВНЕНИЙ ВТОРОЙ СТЕПЕНИ
Основная цепь. Сформировать умение решать задачи составле-
нием систем уравнений.
Проверка домашнего задания.
Самостоятельная работа.
1. Не выполняя построения, найдите координаты точек пересече-
ния параболы у=х2+4 и прямой х+у-6 (окружности х2 +у2 = 10
и прямой х+2у = 5 ).
2. Решить систему уравнений:
а). < х2-у--2. 2х+у = 2 ’ а). Зг-ух-10 х2+у = 10 ’
б). < х-у-21 ху = -10’ Ф-’ х-у=7. ху = -12’
в). х2+у2 =25. х+у = 1 ’ в). • х2 +у2 = 29 х+у=3 ‘
Объяснение нового материала можно начать с №№ 268,270,277.
Домашнее задание: К°№ 269,271,272,288.
УРОК Kt 4Х РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ С ПОМОЩЬЮ СИСТЕМ
УРАВНЕНИЙ ВТОРОЙ СТЕПЕНИ
Основная цепь. Сформировать умение решать задачи "на работу"
составлением систем уравнений.
51
Проверка домашнего задания.
Устная работа.
1. Найдите /(3),/(0),/(-2), если /(х) = -Зх+2.
2. Найдите область определения функции: а), у = 10-3Jc;
б), у = х2 -7 ;в). у = ;г).у = 7x^3 уф. у = ;е). у = .
2-х х-5 х-2х
3. Найдите область значений функции: а), у = -21х - 3; б), у = 4;
2 г—
в). У = —; г), у-4х; д). у= х2-2; е). у = -х2 +7.
4. Найдите наименьшее значение трехчлена:
а).х2 -2х; б).х2 -4х+3.
Решение задач: №№ 279, 280, 282,324.
Для лучшего понимания условия задачи необходимо ставить пе-
ред учащимися следующие вопросы:
1. Какой процесс описывается в задаче? (процесс движения, рабо-
ты нт. д).
2. Какими величинами характеризуется процесс? Как связаны эти
величины? ( S' = Vt, А ж kt и т.д.).
3. Сколько реальных процессов описывается в задаче? ’
4. Какие величины известны?
5. Значения каких величин нужно найти?
6. Как сравниваются величины?
Можно предложить учащимся табличный способ оформления ус-
ловия задачи. Например, № 279. A a kt
А к t
совм. I II 1 4 15 15 — ч. 4
1 X хч.
1 2 У уч.
2_+1=± х + у 1£ х-у = 4 ч.
Домашнее задание: №№ 281,273,286.
х-у = 4
Имеем - 12.=Л.
х у 15
52
УРОК № 44. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ С ПОМОЩЬЮ СИСТЕМ
УРАВНЕНИЙ ВТОРОЙ СТЕПЕНИ
Основная цель. Сформировать умение решать задачи "на движе-
ние" составлением систем уравнений.
Проверка домашнего задания.
Устная работа.
1. Решите уравнение: а), х2 - х = 0; б), х2 = 5х;
в). х2+4=0; г). х2-2 = 0.
2. Решите неравенство: а), х2 > 0; б), (х - З)2 £ 0;
в). х2—4<0; г). х2й9.
3. Решите систему уравнений способом сложения:
' 1х2+2>, = 1. Г х+у = 5 . Г4х-2у = 6
[х2-2у = 3* Л (х+2у = 10’ , [Зх+у = 2 ’
4. Составьте уравнение с двумя переменными, если
а) периметр прямоугольника равен 14 см;
б) площадь прямоугольного треугольника равен 16 см2;
в) одна сторона параллелограмма на 8 см больше другой;
г) диагональ прямоугольника равна 10 см;
д) скорость одного велосипедиста на 3 км/ч больше скорости второго;
е) сумма квадратов двух натуральных чисел равна 25;
ж) путь в 37 км первый пешеход прошёл на 15 мин. быстрее вто-
рого пешехода;
з) из пунктов А мВ, удалённых друг от друга на.200 км, выехали
одновременно два автомобиля и встретились через 2 ч.
Решение задач: 285, 283, 326.
Домашнее задание: Na№ 284,287, 323.
УРОК № 45. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ С ПОМОЩЬЮ СИСТЕМ
УРАВНЕНИЙ
Основная цель. Сформировать умение решать задачи составле-
нием систем уравнений.
Проверка домашнего задания.
Устная работа.
1. Решите уравнение: а). 2х-3 = 0;б). у—ix = 0;e). Vx.= 8;
ч I—ё 1 Л х (х-1)(х+5) _
г). Vx-5 = 1; д).---= 0; с). -7=—-=*0.
х Vx
53
2. Что представляет собой график уравнения: а). 2х+у = 1;
б). у + Зх3 =0; в). у-2х2 =1; г). ^ = -|х|;
д). (х-2)2+0>+8)2 =9; е). y+Jx = 0.
Решение задач н домашнее задание организовать по материалам
экзаменационных сборников для 9-го класса.
См.: Крамор ВС. Повторяем н систематизируем школьный курс ал-
гебры и начал анализа. — М.: Просвещение, 1993 (см. приложение).
УРОКИ №№ 46-47. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ С ПОМОЩЬЮ СИС-
ТЕМ УРАВНЕНИЙ
Основная цель. Выработать навык решения задач составлением
систем уравнений. Подготовка к контрольной работе.
Организовать решение задач по материалам экзаменационных
сборников для 9-го класса.
УРОК Кв 48. КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА Кв 4
1. Периметр прямоугольника равен 28м, а его площадь равна
40м2. Найдите стороны прямоугольника. (Одна из сторон прямо-
угольника на 2 см больше другой. Найдите стороны прямоугольника,
если его площадь равна 120 см2).
2. Два поезда выходят одновременно из двух городов навстречу
друг другу и встречаются через 3,6ч. За сколько часов каждый из
поездов проходит это расстояние, если один из них тратит на весь
путь на 3 ч. больше другого?
(Две бригады, работая вместе, могут выполнить некоторую рабо-
ту за 8 ч. Первая бригада, работая одна, могла бы выполнить эту
работу на 12 ч. быстрее, чем вторая бригада. За сколько часов могла
бы выполнить всю работу первая бригада, если бы она работала
одна?)
3. Не выполняя построения, найдите координаты точек пересече-
ния параболы у = х2-8 и прямой х+у = 4 ,
4. Решите систему уравнений:
/х2 + 2ху+у2 - 1-ху | 1х2 -2.ху +у2 = ху-11
1 х+у = -2 Ц х-у = 1 )'
54
Ill Данный параграф предлагается вставить после §13
JI-ой части данного сборника в том случае, если у препода-
вателя останется достаточно времени перед повторени-
ем пройденного материала в конце учебного года.
§ 14. ФОРМУЛЫ СЛОЖЕНИЯ И ИХ СЛЕДСТВИЯ
УРОК № 1. ФОРМУЛЫ СЛОЖЕНИЯ
Основная цель. Ознакомить учащихся с формулами сложе-
ния; выработать умение применять эта формулы при выполнении
преобразований несложных тригонометрических выражений.
Устная работа: а|а!;а2}; б|б1;62|. Что называется ска-
лярным произведением векторов? Сформулируйте свойство ска-
лярного произведения векторов.
Объяснение нового материала построить с пунктом учебни-
ка. Рассмотреть примеры 1 и 2.
Решение задач: №№ 816, 817 (а,б), 821, 822, 824, 826.
Домашнее задание: №№ 845, 846, 847, 825, 823, 817 (в,г).
УРОК № 2. ФОРМУЛЫ СЛОЖЕНИЯ
Основная цель. Та же.
Устная работа.
1. Упростите выражение: a) sin 60° cos 30°- cos 60° sin 30°;
б) cos 60° cos 30°- sin 60° sin 30°; в) cos 60° cos 30°+ sin 60° sin 30°;
r) 'g!7Mgl3° . . 14-fg33°zg3°
l-rgl7°rgl3o ’ fg33°-(g3°
2. Приведите к кофункции от некоторого угла: a) cos 17°;
б) sin(35°); в) /gl00°; г) со/^-а].
\4 /
Решение задач: №№ 819, 827, 829, 833, 841, на повторение —
№№ 848, 849.
Самостоятельная работа.
Вычислите: a) /g!5°; б) sin 75°.
(a) rg75°; б) coslS0).
Домашнее задание: №№ 820, 828, 830.
55
УРОК № 3. ФОРМУЛЫ СЛОЖЕНИЯ
Основная цель. Проверить знания учащимися формул сложе-
ния и умения их применять при выполнении преобразований.
Решение задач.
sin 24° cos 6°- sin 6° sin 66°
’ sin21°cos39°-sin39°cos21e (' }
sin200cosl0°4-c<3sl600cosl000
sin 2 Г cos 9°+cos 15 9° cos 99°
cos64° cos4°- cos86° cos26°.
cos71°cos41°-cos49°cos19°
cos660cos6°+cos840cos24°
4)-------------------------- (1)
cos 65° cos 5°+ cos85° cos 25°
_ cos68°cos80-cos820cos22°
5) -------------------------- (1)
cos53°cos23°- cos67°cos37°
Обучающая самостоятельная работа.
1. Упростите выражение:
a) sin407° cos87°- cos407° sin 87°;
(a) cos 219° cos 72°+sin 219° sin 72°);
_ . , . (it A , (3tt )
6) sin5a • sm a + cos5a • cos a :
k2 J \2 J
(0 cos 3p • sin^y - 2P^ - sin 3p • sin(K - 2P) );
cos(P-80°)-sinPcoslO° z 4 sin(a + 70°)-cosa-cos20'
----------------------• (в) ———-——----------------
cosP-coslO°-----------sinacos70°
r) 2cos2 * 4 5 6| — - a I - sina cosa ; (r) -2 sin2l — - a | + sina cosa).
\4 ) \4 )
2. Докажите тождество: sin(a + P) • sin(a - P) = sin2 a - sin2 p
( cos(a + P) • cos(a - P) = cos2 p - sin2 a).
Домашнее задание: Xs№ 831, 832, 834.
56
УРОК № 4. ФОРМУЛЫ СЛОЖЕНИЯ
Основная цель. Коррекция полученных знаний.
Работа над ошибками.
Решение задач: №№ 823,824, 837,844.
Домашнее задание: №№ 825,835,847.
Дополнительные задачи.
Упростите выражение:
1) cos63°cos3°-cos87°cos27°
cosl320cos72°-cos42°cosl8° ’
cos70°cosl00+cos800cos20°
2)--------------------------;
cos 69° cos 9°+ cos81° cos 21°
sin 22° cos 8°+cos 15 8° cos 98°
sin 23° cos 7°+cos 157° cos 97° ’
. cos 67° cos 7°-cos 83° cos 23°
4)--------------------------r tel 64 .
cos 128° cos 68°- cos 38° cos 22°
УРОК № 5. ФОРМУЛЫ ДВОЙНОГО УГЛА
Основная цель. Ознакомить учащихся с формулами двойного
угла; выработать умений применять эти формулы при выполне-
нии преобразований несложных тригонометрических выражений.
Устная работа. Заполните пропуски так, чтобы равенство '
стало верным
® -cosa +® • sina = cos(P - a)
®-cosa + ®-sina = sin(a + P)
® • sin a + ® • sin р = sin(a + р)
Объяснение нового материала построить в соответствии с
пунктом учебника.
Решение задач: №№ 852, 853, 862, 863, 864.
Домашнее задание: №№ 850, 851, 854, 867.
УРОК № 6. ФОРМУЛЫ ДВОЙНОГО УГЛА
Основная цель. 1Га же.
Устная работа.
57
УРОК № 3. ФОРМУЛЫ СЛОЖЕНИЯ
Основная цель. Проверить знания учащимися формул сложе-
ния и умения их применять при выполнении преобразований.
Решение задач.
sin 24° cos 6°- sin 6° sin 66°
} sin 21° cos 39°-sin 39° cos 21°
sin 20° cos 10°+cos 160° cos 100°
sin 21° cos 9°+cos 15 9° cos 99°
cos64ocos4o-cos86ocos26°
cos71°cos41°-cos49°cos19°
.. cos 66° cos 6°+cos 84° cos 24°
4)------------------------- (1)
cos65° cos5°+cos85° cos25°
cos68°cos8°-cos82°cos22°
} cos53°cos23°-cos67°cos37° ( }
Обучающая самостоятельная работа.
1. Упростите выражение:
a) sin4070cos870-cos4070sin87°;
(a) cos 219° cos 72°+ sin 219° sin 72°);
_ . , . (n , ( Зте
6) sin5a-sin---a +cos5a-cos ------a ;
\2 ) \ 2 )
(6) cos3p • sin^ - 2pj - sin 3p • sin(n - 2P) );
в) cos^P ~ 80°) - sinficos 10° . sin(a + 70°) - cosa • cos20°
cosp -coslO° ’ . sin a cos 70°
r) 2cos* 1 2! —-a I -sinacosa; (r) '2 sin21 —-a + sinacosa).
44 ) 44 )
2. Докажите тождество: sin(a + p) • sin(a - p) = sin2 a - sin2 p
(cos(a + P) • cos(a - P) = cos2 p - sin2 a).
Домашнее задание: Ks№ 831, 832, 834.
S6
УРОК № 4. ФОРМУЛЫ СЛОЖЕНИЯ
Основная цель. Коррекция полученных знаний.
Работа над ошибками.
Решение задач: №№ 823,824, 837, 844.
Домашнее задание: №№ 825,835,847.
Дополнительные задачи.
Упростите выражение:
1) Cos63°cos3°-cos870cos27°
cosl32°cos72°-cos420cosl80’
cos700cosl00+cos80°cos20°
cos 69° cos 9°+cos 81° cos 21°
-sin220cos80+cosl58°cos98°
sin23°cos70+cosl57°cos97° ’
cos 67° cos 7°-cos 83° cos 23° ...o
4) --------------------------- fgl64° .
cos128°cos68°- cos38°cos22°
УРОК Xs 5. ФОРМУЛЫ ДВОЙНОГО УГЛА
Основная цель. Ознакомить учащихся с формулами двойного
угла; выработать умений применял» эти формулы при выполне-
нии преобразований несложных тригонометрических выражений.
Устная работа. Заполните пропуски так, чтобы равенство '
стало верным
®-cosа +® • sina = cos(P - а)
® •cosa+®-sina = sin(a + P)
®-sina + ®-sinP = sin(a + P)
Объяснение нового материала построить в соответствии с
пунктом учебника.
Решение задач: №№ 852, 853, 862, 863, 864.
Домашнее задание: №№ 850, 851, 854, 867.
УРОК Xs б. ФОРМУЛЫ ДВОЙНОГО УГЛА
Основная цель. Та же.
Устная работа.
57
1. Какое из выражений sin2x и 2sinx принимает большее
значение, если 0° < х < 90° ?
2. Чему равен угол а, если sina • cosa = ^ ?
3. Выразить cos2a через cosa . Затем выразить cos2 а через
cos2a. (Записать в тетрадь.)
4. Выразить cos2a через sina. Затем выразить sin2 а через
cos2a' (Записать в тетрадь.)
Решение задач: №№ 857,858,868,870, на повторение - № 878.
Домашнее задание: №№ 869, 871, 875, 876.
УРОК№ 7. ФОРМУЛЫ ДВОЙНОГО УГЛА
Основная цель. Проверить знания учащимися формулы двой-
ного угла и уровень сформированное™ умения применять эти
формулы при преобразовании тригонометрических выражений. *
Решение задач: №№ 860,861, 865, 871 (а.вд), 873, 874 (а).
Домашнее задание: №№866,871 (б,г,е), 874 (б), на повторение - Ns 877.
Самостоятельная работа.
4
1. Известно, что sina = — и a — угол I четверти. Найдите
tga и соц2а. (Известно, что cosa = — и а — угол I четверта.
Найдите ctga и sin 2а.)
2. Упростите выражение:
а) cos2 a(l - tg2a);
б) 0,5sin2afga-1;
. cos2a
в)------------cosa;
cosa-sina
a) (tga + ctga) • sin 2a;
6) 0,5sinac(ga-l;
, sin 2a
в) cosa;
2 sin a
_ . 2f Зя
2sm-------a
r)--------------;
sm2a
5Я 1 . 2z v, 2z x . 2|
-----a -sin (я + а);д) cos (rc-a) + cos
. sm2a
r) —Г,---Г;
2 cos(n-a)
. . 2f3«
д) smX| —
------а .
. 2 J
2
58
УРОК № 8. ФОРМУЛЫ ДВОЙНОГО УГЛА
Основная цель. Обобщение, повторение и коррекция полу-
ченных знаний.
. cos48°
a) —:---;
sin21°
6) cos200°+cos210°;
я
cos—
в) —-——r-;
sm— + sin—
10 5
r) 2 sin 170° cos 10°;
д) sin 72° cos 18°-sin218° ;
cos74°
1+COS160’
ж) 1 - 2 sin2 (45e-a).
Обучающая самостоятельная работа.
Можно один вариант прорешать, второй дать для самостоя-
тельного решения.
3 ' it
1. Известно, что tea = — и 0 < a < —. Найдите cosa; sin 2a.
4 2
5 Л
(Известно, что ctea = — и 0 < a <—. Найдите sina; cos2a .)
12 2
2. Упростите выражение:
. cos58°
а)-----;
cos 16°
б) cos 170°-sin2 5°;
2л '
COS’—
в)---------;
л Зл
cos -+cos—
5 10
г) 2sin38°sin52°;
д) sin62°cos28°- sin2 28°;
. cos48°
e)-----<•—;
l-cos42°
ж) 2cos2(45°-a) -1;
3. Докажите тождество
1-cos8a . 2 l-cos4a 2
-------z--= 8 sin 2a; ------5— = 8 cos a.
1 - sin 2a 1 - cos a
Домашнее задание составил» по используемой литературе.
УРОК № 9. ФОРМУЛЫ СУММЫ И РАЗНОСТИ
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
Основная цель. Ознакомить учащихся с формулами суммы и
разности тригонометрических функций; выработать навык при-
менения этих формул при преобразовании тригонометрических
выражений.
59
Объяснение нового материала.
- Обозначим а = х+у, $=х-у.
Следовательно, х = ^£, у = ^—
2 2
sina + sinP = sin(x+j/) + sin(x-j/)=...= 2 sin х-cos у =
. a+р а-р
= 2 sin--— cos--—.
2 2
Аналогично выводятся все остальные формулы.
Решение задач: №№ 879,880, 883, 889.
Домашнее задание: №№ 881,882,890, на повторение - № 901.
Приготовить все формулы к диктату.
УРОК № 10. ФОРМУЛЫ ДВОЙНОГО УГЛА
Основная цель. Та же.
Устная работа.
1. Преобразуйте в произведение:
a) sin28°+ sin 12°; 6) sin5°-sin3°.; в) sin 3°+cos 67°.
2. Вычислите: sin75°-sinl5°.
Решение задач: №№ 884, 885 (а,в,д), 886 (а), 888 (а) — рассмот-
реть два способа, 893,897.
Домашнее задание: №№ 885 (б,г,е), 886 (б), 888 (б), 898, 899, на
повторение — 900. Подготовить все формулы к диктанту.
Самостоятельная работа.
Упростить выражение:
. sin70®+ sin 10° . sin55°-sin5°
в) -------------; а) ----------•
cosl0°-cos70° cos55°-cos5°
sinl0°-sin80° sin 110°-sin 10°
cos80°+cosl0° ’ cosll0°+cosl0° ’
УРОК № 11. ПОДГОТОВКА К КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЕ
Основная цель. Продолжить формирование навыка применять
изученные формулы к преобразованиям тригонометрических
выражений.
Диктант.
Запишите формулу:
1) связывающую sina и cosa; 1) связывающую tga. и etga.;
2)связывающую tga., sina, cosa; 2)связывающую etga, sina, cosa;
60
3) связывающую tga. и cosa;
4) синуса суммы;
5) косинуса разности;
6) синуса двойного угла;
7) суммы синусов;
8) разности синусов;
9) тангенса двойного угла;
3) связывающую ctga. и sina;
4) косинуса суммы;
5) синуса разности;
6) косинуса двойного угла;
7) разности косинусов;
< 8) суммы косинусов;
9) sina через тригонометрическую
функцию половинного аргумента;
10) понижения степени для sin2 а ;10) понижения степени для cos2 a.
Решение задач: №№ 949, 952,962, 975 (а), 976 (а), 981,982 (а).
Домашнее задание: №№ 975 (б), 976 (б), 982 (б), 948.
УРОК№ 12. КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
[71 I
1. Навдиге tg — al, если sina = -
\4 /
8 •
— и а —угол III четверти.
3
(Найдите cos(45°-a), если sina = — и a —угол IV четверти).
.. 5
2. Упростите выражение
. (Зя .
a) cos —-+al +Б1П(я-а);
_ sina-sin3a
o)------------;
cos3a+cosa
f Я A
в) (1 - cos2a) /g^Y - aj ;
(Я J
а) /g^— + aj+ ctg(n + a);
_ cos5a-cosa
6) —-----т-р—;
sina + sin 5a
4 l+cos2a
в) —
sii
r) sin(a+/3) - sin/?cosa;
д) cos2a+2sin2a;
я )
2 7
г) cos(a - Р) - cosa cos/?;
д) sin 2a tga ',
3. Докажите тождество:
») -
si
sin2a
= 2/ga; *)
I я i •
cos^— + a J sin(2n - a)
sin 2a
-llga;
6) 2 sina cosa cos2a = 4-sin4a; 6)
2
4 sina cosa „ „
—;-------= 2/g2a;
cos a - sin a
2
61
СОДЕРЖАНИЕ
№№
уроков ПРЕДИСЛОВИЕ 3
§ 1. ФУНКЦИИ И ИХ СВОЙСТВА 3
1. Повторение 3
2. Функция. Область определения и область значений функции 5
3. Функция Область определения и область значений функции 7
4. Функция. Область определения и область значений функции 8
5. Свойства функций 10
6. Свойства функций 11
7. Свойства функций 13
§ 2. Квадратный трехчлен .14
8. Квадратный трёхчлен и его корни 14
9. 10. Разложение квадратного трёхчлена на множители I чп । (длпатитги тп&пптенй. на мттожтггепи 16 17
11’ A СЫмАМЛЫмКаПЬ BiDW,! Ц ВП ХПчД V А СЛиЛТДмЛГЬ АМА Ап ШиА Разложение квадратного трёхчлена на множители 18
§ 3. КВАДРАТИЧНАЯ ФУНКЦИЯ И ЕЁ ГРАФИК 19
12. Функция^ = а?, её график и свойства 19
13. График функции у = со? 20
14. Графики функцийу = алЛ ииу = а(5:-т/ 22
15. График функции у = а(х-т)3 + и 23
16. Построение графика квадратичной функц ии 24
17. Построение графика квадратичной функции 25
18. Построение трафика квадратичной функции 26
19. Подготовка к контрольной работе 28
20. Контрольная работа № 1 29
§ 4..НЕРАВЕНСТВА С ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ 30
21. Репкине неравенств второй степени с од ной переменной 30
22. • Решение неравенств второй степени с одной переменной 32
23. Решение неравенств методом интервалов 33
24. Радение неравенств методом интервалов 35
25. Ранение неравааств методом интервалов 35
26. Под готовка к контрольной работе 37
27. Контрольная работа №2 38
62
§ 5. УРАВНЕНИЯ С ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ 39
28. Целое уравнение и его корни ' 39
29. Целое уравнение и его корни 42
30. Уравнения, приводимые к квадратным 42
31. Уравнения, приводимые к квадратным 43
32. Подготовка к контрольной работе 43
33. Контрольная работа №3 44
§ 6. СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙС ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ 45
34. Графический способ решения систем уравнений 45
35. Графический способ решения систем уравнений 46
36. Решение систем уравкятий второй степени 47
37. Решение сискмуравненийвторой степени 48
38. Решение систем уравнений вто{юй степени 49
39. Решение систем уравнений второй степени 49
40. Решение системуравнеиийвторой степени 50
41. Решение систем уравнений второй степени 50
42. Репкндезддечстюмссдосжтемурввткяийвкрсйаахяи 51
43. Решеяиезшчспомащдасилемурввжяийвторсйстепэш , 51
44. Репкниезшчспомсхтдюсилемуравжяийвтсрсйстепэш 53
45. Решение задач с помощью систем уравнений 53
46-47. Решение задач с помощью систем уравнений 54
48. Контрольная работа №4 54
§ 14. ФОРМУЛЫ СЛОЖЕНИЯ И ИХ СЛЕДСТВИЯ 55
1. Формулы сложения 55
2. Формулы сложения 55
3. Формулы сложения 56
4. Формулы сложения 57
5. Формулы двойного угла 57
6. Формулы двойного угла 57
7. Формулы двойного угла 58
8. Формулы двойного угла 59
9. Формулы суммы и разности тригонометрических функций 59
10. Формулы двойного угла 60
11. Подготовка к контрольной работе 60
12. Контрольная работа 61
63
Если Вы напишете по адресу: 400059, г. Волгоград, п/о 59, а/я 32,
издательство «Учитель»
или позвоните по телефону: (8442) 42-20-63,
Вам будет выслан полный каталог пособий и книг издательства «Учитель»
УРОКИ МАТЕМАТИКИ
в 9-ом классе
Поурочные планы
Часть!
Составитель:
Ответственный
за выпуск
Корректор:
Ковалёва Галина Ивановна,
кандидат педагогических наук,
доцент кафедры преподавания
математики Волгоградского
государственного педагогического
университета
Гринин Л.Е. 4
Перепелкина А.В.
Лицензии ЛР № 35-09 от 5.01.2000
Подписано в печать 12.11.2001. Формат 60 х 84/16.
Бумага газетная. Печать офсетная. Усл. пл 3,72.
Тираж 2500. Заказ 2274
Издательство "Братья Гринины"
400067, Волгоград, п/о 67, а/я 07
Отпечатано с готового оригинал-макета
64
Пособия издательства
“Братья Гринины”
можно купить в магазинах:
1. Bom оград, пр. Ленина, 25, маг. “Учитель”
2. Волгоград, ул. 64-й Армии, 28. маг. “Книжный мир”
3. г. Москва, ул. Мясницкая, 6, маг. “Библио-Глобус”
4. г. Москва, ул. Большая Дмитровка, 7/S.
маг. “Дом педагогической книги”
S. г. С.-Петербург, Невский пр., 28, маг. “Дом книги”
6. г. Рязань, ул. Циолковского, д. 1/7, маг. “Муза”
7. г. Самара, ул. Чапаевская, 103,
маг. “Самарские книжники”
8. г. Красноярск, ул. Дубровинского, 52 “а”,
маг. “Книжный меридиан”
9. Г. Омск, ул. Бударина, 3 “б”, маг. “Букинист”
10. г. Уфа, ул. Р. Зорге, 10, маг. “Академическая книга'
в Волгограде
(8442) 42-57-92, 42-34-97
206/1