Этот файл был взят с сайта
http://all-ebooks.com
Данный файл представлен исключительно в
ознакомительных целях. После ознакомления с
содержанием данного файла Вам следует его
незамедлительно удалить. Сохраняя данный файл
вы несете ответственность в соответствии с
законодательством.
Любое коммерческое и иное использование кроме
предварительного ознакомления запрещено.
Публикация данного документа не преследует за
собой никакой коммерческой выгоды.
Эта книга способствует профессиональному росту
читателей и является рекламой бумажных изданий.
Все авторские права принадлежат их уважаемым владельцам.
Если Вы являетесь автором данной книги и её распространение
ущемляет Ваши авторские права или если Вы хотите
внести изменения в данный документ или опубликовать
новую книгу свяжитесь с нами по email.
Г.И.ПРОСВЕТОВ
ЗАДАЧИ
РЕШЕНИЯ
Учебно-методическое
пособие
МОСКВА
та
2005
ББК 65.2/4-93я73
П82
Просветов ,Г. И.
П82 Финансовый менеджмент: Задачи и решения:
Учебно-методическое пособие. — М.: Издательство РДЛ,
2005. — 376 с.
ISBN 5-93840-075-9
В настоящем учебно-методическом пособии на простых
примерах раскрываются следующие разделы финансового ме-
неджмента: финансовая математика; задачи финансового ме-
неджмента; валютные расчеты.
Каждый раздел книги можно рассматривать как самосто-
ятельный курс.
В качестве учебно-методического пособия предназначено
преподавателям и студентам экономических специальностей
высших учебных заведений.
ББК 65.2/4-93я73
ISBN 5-93840-075-9
© Г. И. Просветов, 2005
Предисловие
...если в слове — начало, то в чис-
ле — продолжение сознательности,
просвещения и всего успеха или
прогресса человечества.
Д. И. Менделеев
Финансовый менеджмент представляет собой одно из самых
перспективных направлений в экономической науке, удачно
сочетающее в себе как теоретические разработки в области
финансов, управления, учета, анализа, так и сконструиро-
ванные в его рамках практические подходы.
В настоящее время имеется ряд обстоятельных руководств
по финансовому менеджменту. Но, по мнению автора, всем
им присущ один существенный недостаток — они не учиты-
вают реальные учебные планы обучения студентов экономи-
ческих специальностей вузов. Нередко учебники написаны
коллективом авторов, поэтому даже внутри одного учебника
изложение материала дается по-разному. Предлагаемое посо-
бие знакомит читателя с важнейшими разделами финансово-
го менеджмента и призвано помочь тем, кто осваивает этот
курс, особенно в системе заочного и вечернего образования.
Пособие состоит из трех разделов:
1)	финансовая математика;
2)	задачи финансового менеджмента;
3)	валютные расчеты.
В разделе «Финансовая математика» представлены сле-
дующие темы: простые и сложные проценты, простые и
сложные учетные ставки, учет инфляции, сравнение опера-
ций, модели финансовых потоков (простые ренты, общие
ренты, отложенные ренты, бессрочные ренты), арифметика
ипотеки, ломбардный кредит, средний срок погашения ссу-
ды одному кредитору, начисление процентов на вклад до
востребования, реальная ставка доходности с учетом налога,
доходность удержания комиссионных.
Кратко охарактеризуем темы раздела «Задачи финансо-
вого менеджмента» — основного раздела книги.
3
В первой главе рассказывается о сущности, целях и зада-
чах финансового менеджмента. Во второй главе напомина-
ются основные понятия, используемые при составлении фи-
нансовой отчетности. Оценка запасов товарно-материальных
ценностей — это тема третьей главы. Основные способы на-
числения износа оборудования рассмотрены в четвертой гла-
ве. Расчет задолженности на конец отчетного периода рас-
смотрен в пятой главе. Анализ результатов деятельности
предприятия проводится в шестой главе.
Седьмая, восьмая, тридцать вторая, тридцать пятая,
тридцать седьмая, тридцать восьмая и тридцать девятая
главы «отданы» финансовым инвестициям (облигации, ак-
ции, форвардные ставки, модель оценки финансовых акти-
вов, факторные модели, теория арбитражного ценообразо-
вания, производные финансовые инструменты). В совре-
менной экономике основная часть инвестиций представле-
на финансовыми инвестициями. Высокое развитие инсти-
тутов финансового инвестирования в значительной степени
способствует росту реальных инвестиций (земля, оборудо-
вание, заводы). Как правило, эти две формы инвестиций
являются взаимодополняющими, а не конкурирующими.
Поэтому финансовые инвестиции достаточно подробно от-
ражены в этой книге.
Тема девятой главы — доходы инвесторов. В десятой гла-
ве проводится анализ каналов формирования прибыли. В
одиннадцатой и двенадцатой главах изучаются основные, по-
нятия временных рядов, способы построения прогнозов, ме-
тод скользящей средней и экспоненциальное сглаживание.
Учет затрат — это тема тринадцатой главы. В четыр-
надцатой главе рассматривается составление финансовых
смет. Вопросам сметного контроля посвящена пятнадца-
тая глава. Факторы производства, затраты, анализ безубы-
точности — это тема шестнадцатой и семнадцатой глав.
Тема восемнадцатой главы — принятие краткосрочных ре-
шений. О проблемах ценообразования идет речь в девят-
надцатой главе.
В двадцатой главе анализируются методы оценки инвес-
тиций в условиях определенности. В двадцать первой главе
показано влияние налогообложения на инвестиционные ре-
шения. После изучения двадцать второй главы читатель смо-
жет сравнивать инвестиционные проекты с разными срока-
ми реализации. Проблема замены оборудования затрагива-
ется в двадцать третьей главе. Инфляция и ее влияние на
инвестиционные проекты — это тема двадцать четвертой
4
главы. Покупка или аренда оборудования? Ответ на этот во-
прос читатель найдет в двадцать пятой главе. В двадцать
шестой главе анализируются зарубежные инвестиции.
Проблеме риска посвящены двадцать седьмая, двадцать
восьмая, двадцать девятая и тридцать первая главы (исполь-
зование математического ожидания и стандартного отклоне-
ния для оценки риска, дерево решений, правила принятия
решений, дерево вероятностей инвестиционного проекта). В
тридцатой главе анализируются инвестиционные проекты,
прддающиеся дроблению.
Стоимость капитала — это тема тридцать третьей главы.
В тридцать четвертой главе проведен сравнительный анализ
различных вариантов финансирования. В тридцать шестой
главе рассмотрена линейная регрессия.
Управление запасами — это тема сороковой главы.
О слиянии предприятий идет речь в сорок первой главе.
В сорок второй главе проводится анализ движения и техни-
ческого состояния основных средств. В сорок третьей главе
анализируются денежные потоки предприятия.
Методы рейтинговой оценки финансового состояния пред-
приятия рассмотрены в сорок четвертой главе. О трансферт-
ном ценообразовании на предприятиях со сложной структу-
рой идет речь в сорок пятой главе.
В разделе «Валютные расчеты» рассмотрены следующие
темы: курсы и кросс-курсы валют, курсы спот и форвард,
валютные свопы, валютные опционы, инвестирование капи-
тала, приобретение валюты для оплаты будущих расходов,
приобретение оборотного капитала, приобретение оборудова-
ния для организации производства за рубежом, участие в
конкурсе на получение контракта в иностранной валюте, де-
позитно-кредитные операции банка, определение курса ва-
люты для клиента банка, анализ доходности международно-
го портфеля ценных бумаг.
Каждый раздел разбит на главы, а главы — на парагра-
фы. Каждый параграф — это отдельная тема. В начале па-
раграфа приводится необходимый минимум теоретических
сведений, затем подробно разбираются модельные примеры.
Показано, как с помощью встроенных функций и надстрой-
ки «Пакет анализа» пакета Excel можно избежать долгих и
утомительных вычислений. После каждого примера приво-
дится задача для самостоятельного решения. Ответы ко всем
задачам помещены в конце соответствующего раздела. Так-
же в конце каждого раздела приведены программа этого раз-
дела и задачи для контрольной работы. Каждый раздел фак-
5
тически можно рассматривать как самостоятельный курс,
методически согласованный с остальными.
За основу пособия принят материал курсов, читаемых ав-
тором в Российской академии предпринимательства. Всем
студентам, прослушавшим эти курсы, автор выражает бла-
годарность за продуктивную совместную работу.
Автор выражает искреннюю признательность В. М. Троя-
новскому за многочисленные замечания, способствовавшие
улучшению книги.
Автор
Раздел I
ФИНАНСОВАЯ
МАТЕМАТИКА
Глава 1
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
ФИНАНСОВОЙ МАТЕМАТИКИ
В широком смысле финансовая математика — это любые фи-
нансовые вычисления для достижения какой-либо цели.
Коммерческие и финансовые вычисления сопровождают нас
постоянно. В каком банке хранить деньги? Какой вид вкла-
да лучше всего выбрать? Положить ли деньги в банк или за-
купить товары впрок? Обменять ли средства на иностран-
ную валюту или положить их в банк? Ехать ли за товарами
на оптовый рынок или покупать их в ближайшем магазине?
Подобные вопросы постоянно возникают перед людьми.
Поэтому задачи, формально относящиеся к области финан-
совой математики, приходится решать очень часто.
С развитием денежного обращения и используемого в рас-
четах математического аппарата совершенствовались и финан-
совые вычисления. Они стали необходимыми для успешного
проведения любой коммерческой деятельности. Вместе с со-
временными методами анализа и моделирования финансовых
ситуаций финансовые вычисления переросли в новое, все бо-
лее влиятельное направление организации и управления пред-
принимательской деятельности — финансовый менеджмент.
Но ядром финансового менеджмента остается финансовая
математика — вполне определенный круг финансовых вы-
числений. Речь идет, прежде всего, об аппарате и методах
расчетов, необходимых при финансовых операциях, когда
оговариваются значения трех параметров: стоимостные ха-
рактеристики (размеры платежей, кредитов, долговых обя-
зательств), временные данные (даты и сроки выплат, отсроч-
ки платежей, продолжительность льготных периодов), спе-
цифические элементы (процентные и учетные ставки). Все
эти параметры равноправны, игнорирование какого-либо од-
ного из них может привести к нежелательным финансовым
последствиям для одной из участвующих сторон.
Между различными видами параметров существуют
функциональные зависимости. Изучение этих зависимостей
и разработка на их основе методов решения финансовых за-
8
дач — важнейшее направление деятельности специалистов в
области финансов.
Финансовая математика имеет сугубо практическое зна-
чение. Она применяется в банковском и сберегательном де-
ле, страховании, в работе финансовых организаций, торго-
вых фирм и инвестиционных компаний, фондовых и валют-
ных бирж, во внешнеэкономической деятельности. Но не
следует полагать, что с помощью финансовой математики
решаются все проблемы финансово-банковской и инвестици-
онной практики.
Методы и понятия финансовой математики обязательно
используются в качестве исходных инструментов при созда-
нии более сложных методов количественного финансового
анализа. С рассмотрения основных понятий финансовой ма-
тематики мы и начнем.
Проценты — это доход от предоставления капитала в
долг. Будем обозначать проценты латинской буквой I. Про-
центная ставка — это величина, которая характеризует
интенсивность начисления процентов.
Исходную инвестированную сумму будем называть перво-
начальной суммой и обозначать латинской буквой Р. Нара-
щенная сумма S — это первоначальная сумма Р + процен-
ты Г. S = Р + I. Коэффициент наращения k показывает, во
сколько раз выросла первоначальная сумма: k - S/P.
Период начисления — это промежуток времени, за кото-
рый начисляются проценты. Интервал начисления — это
минимальный промежуток времени, по прошествии которо-
го происходит начисление процентов. Например, первона-
чальная сумма может быть инвестирована на 2 года (период
начисления), а проценты на нее будут начисляться каждый
квартал (интервал начисления).
Различают два способа начисления процентов: декурсив-
ный и антисипативный. При декурсивном способе проценты
начисляются в конце каждого интервала начисления. Де-
курсивная процентная ставка называется ссудным процен-
том. При антисипативном (предварительном) способе про-
центы начисляются в начале каждого интервала начисле-
ния. Антисипативная процентная ставка называется учет-
ной ставкой.
В обоих способах начисления процентов процентные став-
ки могут быть либо простыми (в течение всего периода на-
числения применяются к первоначальной сумме), либо слож-
ными (в каждом интервале начисления применяются к те-
кущей наращенной сумме).
9
Глава 2
ПРОСТЫЕ СТАВКИ
ССУДНЫХ ПРОЦЕНТОВ
Пусть Р — первоначальная сумма, S — наращенная сумма,
i — годовая процентная ставка (проценты простые). Так как
проценты простые, то в течение всего периода начисления
они применяются к первоначальной сумме Р.
Предположим, что первоначальная сумма Р была поме-
щена в банк под i процентов годовых (проценты простые).
' Прошел 1 год. Тогда наращенная сумма S = Р (первона-
чальная сумма) 4- IP (проценты) = Р(1 + Q.
Прошел еще 1 год (то есть вклад лежит уже 2 года). Тог-
да наращенная сумма после двух лет S — Р(1 + О (наращен-
ная сумма после одного года) 4- iP (проценты) = Р(1 4- 20.
Прошел еще 1 год (то есть вклад лежит уже 3 года). Тог-
да наращенная сумма после трех лет S — Р(1 4- 20 (наращен-
ная сумма после двух лет) 4- IP (проценты) — Р(1 4- 31). И т. д.
Если п — период начисления процентов (в годах), то на-
ращенная сумма через п лет S = Р(1 4- nt).
Пример 1. Первоначальная сумма Р - 5000 руб. поме-
щена в банк на п = 2 года под I - 15% годовых (проценты
простые).
Тогда наращенная сумма после двух лет S - Р(1 4- 20 =
- 5000(1 + 2x0,15) = 6500 руб.
Задача 1. Первоначальная сумма Р - 7000 руб. поме-
щена в банк на п = 0,5 года под i « 10% годовых (процен-
ты простые). Найти наращенную сумму.
Зная первоначальную сумму Р, наращенную сумму S,
простую годовую процентную ставку г, можно определить
период начисления п (в годах): S = Р(1 4- nt) => 1 4- ni = S/P
=>ni = S/P - 1 => л =
Пример 2. Первоначальная сумма Р = 3000 руб., нара-
щенная сумма S - 4500 руб., i - 20% годовых (проценты
простые). Тогда период начисления
S-P 4500 - 3000
п =------=-------------= 2,5 года.
IP 0,2x3000
10
Задача 2. Первоначальная сумма Р — 6000 руб., нара-
щенная сумма S - 7200 руб., i - 10% годовых (проценты
простые). Найти период начисления.
Зная первоначальную сумму Р, наращенную сумму S, пе-
риод начисления п (в годах), можно определить простую го-
довую процентную ставку i: S — Р(1 4- ni) => 1 4- ni = S/P =>
ni = S/P -l=*i =
nP
Пример 3. Первоначальная сумма P - 2000 руб., нара-
щенная сумма S = 2200 руб., период начисления п - 0,5
года. Тогда простая процентная ставка
S - Р 2200 - 2000 п о t	ч
i =------=--------------- 0,2 (= 20% годовых).
пР 0,5x2000
Задача 3. Первоначальная сумма Р = 3000 руб., нара-
щенная сумма S = 3300 руб., период начисления п - 0,5
года. Найти простую процентную ставку.
§ 2.1. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ДИСКОНТИРОВАНИЕ
Математическим дисконтированием называется операция,
когда по наращенной сумме S, периоду начисления п и про-
стой процентной ставке i нужно определить первоначальную
сумму Р: S = Р(1 4- ni) => Р = & ..
14- т
Пример 4. Наращенная сумма S = 7000 руб., период
начисления п - 0,25 года (один квартал), простая процент-
ная ставка i - 12% годовых. Тогда первоначальная сумма
Р----------------^99-----« 6796,12 руб.
1 + ni 1 + 0,25x0,12
Задача 4. Наращенная сумма S = 6000 руб., период
начисления п = 0,5 года, простая процентная ставка i = 15%
годовых. Найти первоначальную сумму.
§ 2.2. АНГЛИЙСКАЯ, НЕМЕЦКАЯ И ФРАНЦУЗСКАЯ
ПРАКТИКИ НАЧИСЛЕНИЯ ПРОЦЕНТОВ
В формуле S - Р(1 4- ni) период начисления п измеряется в
годах. Это не всегда удобно, так как период начисления мо-
жет быть меньше года (например, с 18 марта 2004 года по
20 октября 2004 года). В этом случае полагают п - t/K, где
t — период начисления (в днях), К — продолжительность
11
года (в днях). Тогда S = Р(1 4- it/K). Дата выдачи и дата по-
гашения ссуды всегда считаются за один день.
В немецкой практике начисления процентов один пол-
ный месяц равен 30 дням, продолжительность года К = 360
дней. Во французской практике период начисления процен-
тов равен фактическому сроку, продолжительность года
К = 360 дней. В английской практике период начисления
процентов равен фактическому сроку, продолжительность
года К = 365 дней (невисокосный год) или 366 дней (висо-
косный год).
Пример 5. Первоначальная сумма Р - 3000 руб. поме-
щена в банк под i = 12% годовых (проценты простые) на
срок с 18 марта 2003 года по 20 октября 2003 года. Най-
дем наращенную сумму в каждой из практик начисления
процентов.
В немецкой практике начисления процентов продолжи-
тельность года К = 360 дней, t « 14 (март) + 6x30 (апрель,
май, июнь, июль, август, сентябрь) + 20 (октябрь) —
- 1 (день открытия и день закрытия счета всегда считаются
за один день) = 213 дней. Тогда S = Р(1 + it/K) = ЗОООх
х(1 + 0,12x213/360) = 3213 руб.
Во французской практике продолжительность года
К = 360 дней, t = 14 (март) + 30 (апрель) + 31 (май) + 30
(июнь) + 31 (июль) + 31 (август) + 30 (сентябрь) + 20 (ок-
тябрь) — 1 (день открытия и день закрытия счета всегда
считаются за один день) - 216 дней. Тогда S = Р(1 + it/K) =
- 3000х(1 + 0,12x216/360) = 3216 руб.
В английской практике продолжительность года К =
365 дней, t = 216 дней. Тогда S = Р(1 + it/K) — ЗОООх
х(1 + 0,12x216/365) « 3213,04 руб.
Задача 5. Первоначальная сумма Р = 2000 руб. поме-
щена в банк под i - 15% годовых (проценты простые) на
срок с 19 февраля 2003 года по 27 ноября 2003 года. Най-
ти наращенную сумму в каждой из практик начисления
процентов.
§ 2.3. СЛУЧАЙ ИЗМЕНЕНИЯ ПРОСТОЙ СТАВКИ
ССУДНОГО ПРОЦЕНТА
Пусть на интервалах начисления (в годах) п^9 П2, •••, п^ при-
менялись простые процентные ставки ц, /2» •••» Ц соответст-
венно. Тогда наращенная сумма S = Р(1 + niii + П212 + ... +
+ nkik) - Р(1 + Sn/y).
12
Пример 6. Первоначальная сумма Р - 3000 руб. В пер-
вой половине года применялась простая процентная ставка
1} = 15% годовых, во второй половине года применялась
простая процентная ставка 12 == 12% годовых.
Тогда наращенная сумма S - Р(1 +	+ 712*2) “ ЗОООх
х(1 4- 0,5x0,15 + 0,5x0,12) = 3405 руб.
Задача 6. Первоначальная сумма Р « 4000 руб. В пер-
вой половине года применялась простая процентная ставка
i} = 11% годовых, во второй половине года применялась
простая процентная ставка *2 = 14 % годовых. Найти на-
ращенную сумму.
13
Глава 3
ПРОСТЫЕ УЧЕТНЫЕ СТАВКИ
Это антисипативный способ начисления простых процентов.
Сумма получаемого дохода рассчитывается исходя из нара-
щенной суммы S. S — это величина получаемого кредита.
Заемщик получает в начале периода начисления процентов
сумму Р = S — 2), где D — это дисконт (разность между раз-
мером кредита S и непосредственно выданной суммой Р).
Такая операция называется дисконтированием по простой
учетной ставке (банковским учетом).
Пусть d — простая учетная ставка, п — период начисле-
ния процентов (в годах). Тогда D = ndS я Р * S - D •
= S - ndS = S(1 — nd).
На практике простые учетные ставки применяются при
учете (покупке) векселей.
Пример 7. Кредит S = 7000 руб. выдается на п = 0,5 го-
да по простой учетной ставке d = 11% годовых. Тогда заем-
щик получит сумму Р — S(1 — nd) = 7000(1 — 0,5x0,11) =
= 6615 руб.
Задача 7. Кредит S - 8000 руб. выдается на п = 0,25
года (один квартал) по простой учетной ставке d = 12% го-
довых. Какую сумму получит заемщик?
Если период начисления меньше года (например, с 18
марта по 20 октября), то полагают п = t/K, где К — продол-
жительность года (в днях), t — период начисления (в днях).
Тогда Р = 8(1 - dt/K).
Пример 8. Вексель на сумму S в 20000 руб. с датой
погашения 27 ноября 2003 года был учтен банком 11 авгу-
ста 2003 года по простой учетной ставке d — 12% годовых.
Продолжительность года К = 365 дней. Определим, какая
сумма была выплачена банком.
t = 21 (август) + 30 (сентябрь) + 31 (октябрь) + 27 (но-
ябрь) -1 — 108 дней, Р - 8(1 - dt/K) = 20000(1 - 0,12х
х 108/365) « 19289,86 руб.
Задача 8. Вексель на сумму S = 15000 руб. с датой по-
гашения 25 октября 2003 года был учтен банком 9 сентяб-
14
ря 2003 года по йростой учетной ставке d = 15% годовых.
Продолжительность года К = 365 дней. Определить, какая
сумма была выплачена банком.
Зная Р, n, d, можно найти S. Р = S(1 — nd). Тогда
S = Р/(1 - nd).
Пример 9. Вексель учтен банком за п - 0,5 года до да-
ты погашения по простой учетной ставке d = 14% годовых.
Банк выплатил сумму Р = 15000 руб. Определим номиналь-
ную стоимость векселя.
S = Р/(1 - nd) = 15000/(1 - 0,5x0,14) « 16129,03 руб.
Задача 9. Вексель учтен банком за п - 0,25 года до
даты погашения по простой учетной ставке d = 15% годо-
вых. Банк выплатил сумму Р - 7000 руб. Определить но-
минальную стоимость векселя.
Зная Р, n, S, можно найти простую учетную ставку d:
Р = S(1 - nd) => P/S = 1 - nd => nd = 1 - P/S = (S - P)/S =>
d--^.
nS	. '	.
Пример 10. Вексель номинальной стоимостью S =
12000 руб. учтен банком за п — 0,5 года до даты погаше-
ния. Банк выплатил сумму Р = 11500 руб. Определим про-
стую учетную ставку d.
, S - Р 12000 - 11500 Л , О0/
d =------=----------------« 0,08 (= 8% годовых).
nS 0,5x12000	'
Задача 10. Вексель номинальной стоимостью S =
10000 руб. учтен банком за п = 0,25 года до даты погаше-
ния. Банк выплатил сумму Р = 9600 руб. Определить про-
стую учетную ставку d.
Зная Р, d, S, можно найти период начисления процентов
(в годах) n =	Если п = t/K, то t/K =	=>
dS	dS
t = K(S- P)/(dS).
Пример 11. Кредит S - 9000 руб. выдается по простой
учетной ставке d = 12% годовых. Заемщик получил сумму
Р « 8000 руб. Продолжительность года К - 365 дней. Оп-
ределим, на какой срок был выдан кредит.
t = K(S - P)/(dS) - 365(9000 - 8000)/(0,12x9000) «
ж 338 дней.
Задача 11. Кредит S = 11000 руб. выдается по про-
стой учетной ставке d = 14% годовых. Заемщик получил
сумму Р - 10500 руб. Продолжительность года К - 365
дней. Определить, на какой срок был выдан кредит.
15
Глава 4
СЛОЖНЫЕ СТАВКИ
ССУДНЫХ ПРОЦЕНТОВ
Пусть Р — первоначальная сумма, S — наращенная сумма,
i — годовая процентная ставка (проценты сложные). Так как
проценты сложные, то в конце каждого интервала начисле-
ния процентная ставка применяется к наращенной сумме на
начало этого интервала начисления.	\
Предположим, что первоначальная сумма Р была поме-
щена в банк под i процентов годовых (проценты сложные).
Прошел 1 год. Тогда наращенная сумма S = Р (сумма на
начало этого интервала начисления) + iP (проценты) —
= Р(1 + о.
Прошел еще 1 год (то есть вклад лежит уже 2 года). Тог-
да наращенная сумма после двух лет S = Р(1 + i) (наращен-
ная сумма после одного года) 4- tP(l 4- i) (проценты) =
= Р(1 + 0(1 + О = Р(1 + о2.
Прошел еще 1 год (то есть вклад лежит уже 3 года). Тог-
да наращенная сумма после трех лет S = Р(1 + 02 (наращен-
ная сумма после двух лет) 4- iP(l 4- i)2 (проценты) =
= Р(1 4- 02(1 4- 0 = Р(1 + О3. И т. д.
Если п — период начисления процентов (в годах), то на-
ращенная сумма через п лет S « Р(1 4- i)n.
Пример 12. Первоначальная сумма Р = 5000 руб. по-
мещена в банк на п - 2 года под i = 15% годовых (процен-
ты сложные).
Тогда наращенная сумма после двух лет S = Р(1 4- 1)п -
= 5000(1 4- 0,15)2 = 6612,5 руб.
Задача 12. Первоначальная сумма Р = 7000 руб. по-
мещена в банк на п = 3 года под i = 10% годовых (процен-
ты сложные). Найти наращенную сумму.
Зная первоначальную сумму Р, наращенную сумму S,
сложную годовую процентную ставку i, можно определить
период начисления п (в годах):
S = Р(1 4- 1)п =*(14- if = S/P => 1п(1 + 0n = ln(S/P) =>
nln(l + 0 = ln(S/P) => п = ln(S/P)/ln(l 4- i).
16
Пример 13. Первоначальная сумма Р - 3000 руб., на*
ращенная сумма S - 4500 руб., i - 20% годовых (процен*
ты сложные).
Тогда период начисления п = ln(S/P)/ln(l + i) -
= ln(4500/3000)/ln(l 4- 0,2) « 2,2 года.
Задача 13. Первоначальная сумма Р - 6000 руб., на*
ращенная сумма S = 7200 руб., г = 10% годовых (процен-
ты сложные). Найти период начисления.
Зная первоначальную сумму Р, наращенную сумму S, пе-
риод начисления п (в годах), можно определить сложную го*
довую процентную ставку I:	___ ___________
S=P(1+i)n => (1 + t)n=S/P => 1+i = qs/P => i = tfs/p-1.
Пример 14. Первоначальная сумма P = 2000 руб., на-
ращенная сумма S - 3500 руб., период начисления п = 3
года.	----
Тогда сложная процентная ставка i - yS/P — Iе
= дУ3500/2000 - 1 « 0,205 (= 20,5% годовых).
Задача 14. Первоначальная сумма Р = 3000 руб., на*
ращенная сумма S = 4000 руб., период начисления п — 2
года. Найти сложную процентную ставку.
§ 4.1.	МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ДИСКОНТИРОВАНИЕ
Математическим дисконтированием называется операция,
когда по наращенной сумме S, периоду начисления п и слож-
ной процентной ставке i нужно определить первоначальную
сумму Р. Это делается следующим образом: S = Р(1 + i)n =>
Р ~ S/(l + 0Л = S(1 + t)~n.
Пример 15. Наращенная сумма S • 7000 руб., период
начисления п « 2 года, сложная процентная ставка i — 12%
годовых. Тогда первоначальная сумма Р = S/(l + i)n =
= 7000/(1 + 0,12)2 * 5580,36 руб.
Задача 15. Наращенная сумма S - 6000 руб., период
начисления п s 3 года, сложная процентная ставка i - 15%
годовых. Найти первоначальную сумму.
§ 4.2.	СЛУЧАЙ, КОГДА ПЕРИОД НАЧИСЛЕНИЯ
НЕ ЯВЛЯЕТСЯ ЦЕЛЫМ ЧИСЛОМ
Если период начисления п не является целым числом, то
формула S « Р(1 + 1)п д&ет приблизительный (и весьма не-
точный) результат. Поэтому используют другой подход.
17
Определение. Целая часть [и] числа п — это наибольшее
целое число, не превосходящее и.
Пример 16. [1,6] = 1, [-2,5] = -3, [0,7] = 0, [5] = 5.
Задача 16. Чему равны целые части чисел —3,5 и 2,9?
Определение. Дробная часть {и} числа п — это разность
между числом п и его целой частью: {п} = п — [и]. Всегда
0 < {n} < 1.
Пример 17. {1,6} = 0,6; {-2,3} = 0,7; {0,7} = 0,7; {5} = 0.
Задача 17. Чему равны дробные части чисел -3,5 и 2,9?
Если период начисления п не является целым числом, то
и = [п] (целая часть) + {и} (дробная часть). Тогда наращен-
ная сумма S = Р(1 4- 01л1(1 + WO-
Пример 18. Первоначальная сумма Р = 6000 руб. поме-
щена в банк на п = 2,5 года под i = 20% годовых (процен-
ты сложные). Найдем наращенную сумму двумя способами.
S = Р(1 + i)n = 6000(1 + 0,2)2’5 « 9464,65 руб.
S = Р(1 + i)[zil(l + {n}i) = 6000(1 + 0,2)2(1 + 0,5x0,2) =
= 9504 руб.
Задача 18. Первоначальная сумма Р = 8000 руб. поме-
щена в банк на п = 2,25 года под i = 15% годовых (процен-
ты сложные). Найти наращенную сумму двумя способами.
§ 4.3.	СЛУЧАЙ ИЗМЕНЕНИЯ СЛОЖНОЙ СТАВКИ
ССУДНОГО ПРОЦЕНТА
Пусть на интервалах начисления (в годах) щ, n%, .... л* приме-
нялись сложные процентные ставки ц, 12» Ik соответственно.
Тогда наращенная сумма S = Р(1 + Ц)П1(1 + Г2)Л2---(1 + *л)л*
k
= РП(1 + 9Л/-
7=1
Пример 19. Первоначальная сумма Р = 3000 руб., = 2
года применялась сложная процентная ставка ц « 15% го-
довых, затем П2 = 3 года применялась сложная процентная
ставка 12 = 12% годовых.
Тогда наращенная сумма S = Р(1 4- Ц)Л1(1 + 12У12 =
= 3000(1 + 0,15)2(1 4- 0,12)3 « 5574,05 руб.
Задача 19. Первоначальная сумма Р = 4000 руб., «1 = 3
года применялась сложная процентная ставка = 11% го-
довых, затем П2 = 2 года применялась сложная процентная
ставка 12 = 14% годовых. Найти наращенную сумму.
18
§ 4.4.	НАЧИСЛЕНИЕ СЛОЖНЫХ ПРОЦЕНТОВ
НЕСКОЛЬКО РАЗ В ГОДУ.
НОМИНАЛЬНАЯ ПРОЦЕНТНАЯ СТАВКА
Начисление сложных процентов может происходить не-
сколько раз в году. В этом случае указывают номинальную
процентную ставку /, на основании которой рассчитывают
процентную ставку для каждого интервала начисления.
Если в году т интервалов начисления, то на каждом из
них процентная ставка равна j/m. Тогда наращенная сумма
S = Р(1 + j/m)nm. Аналогично вышесказанному из этой фор-
мулы можно выразить любую величину через остальные:
Р = S/(l + j/m)nm, п =	? j = m{ny[s/P - 1).
ти1п(1 + ]/т)
Пример 20. Первоначальная сумма Р = 7000 руб., пе-
риод начисления п = 2 года, сложная процентная ставка
j = 12% годовых ежеквартально. Найдем наращенную сумму.
т = 4 (в году 4 квартала). Тогда наращенная сумма S =
= Р(1 + j/m)nm - 7000(1 + 0,12/4)2х4 = 8867,39 руб.
Задача 20. Первоначальная сумма Р = 6000 руб., пе-
риод начисления п = 3 года, сложная процентная ставка
j = 12% годовых ежемесячно. Найти наращенную сумму.
§ 4.5.	НЕПРЕРЫВНОЕ НАЧИСЛЕНИЕ СЛОЖНЫХ
ПРОЦЕНТОВ
S = Р(1 + j/m)nm. Устремим продолжительность интервала
начисления к нулю, то есть т оо. Это непрерывное начис-
ление сложных процентов.
Тогда S = 1ппР(1 + j/m)nm = Plhn(l + j/m) i =
= P(lim(l +	Ho lim(l +	== e (второй заме-
m-*oo	m-*oo
нательный предел). Тогда S = Ре"7.
л о с/ ni • ln(S/P) ln(S/P)
Отсюда P = S/e ', j = —	, n = — . .
Пример 21. Первоначальная сумма P = 7000 руб., пе-
риод начисления п = 2 года, сложная процентная ставка
j = 12% годовых. Начисление процентов происходит не-
прерывно. Найдем наращенную сумму.
S = Ре"7 = 7000е2х°112 « 8898,74 руб.
Задача 21. Найти наращенную сумму в задаче 20 при
непрерывном начислении процентов. Сравнить с результа-
том задачи 20.
19
Глава 5
СЛОЖНЫЕ УЧЕТНЫЕ СТАВКИ
Это антисипативный способ начисления сложных процен-
тов. Пусть Р — первоначальная сумма, S — наращенная
сумма, d — годовая сложная учетная ставка, п — период
начисления процентов.
Тогда S = Р/(1 “ d)n. Отсюда Р = S(1 - d)n => (1 - d)n = P/S
=* 1 - d = tfp/S => d = 1 - tfp/S. Так как (1 - d)n = P/S =>
ln(l - d)n = ln(P/S) => nln(l - d) = ln(P/S) => n = ln(P/S)/ln(l - d).
Пример 22. Первоначальная сумма P = 6000 руб.,
период начисления п — 2 года, сложная учетная ставка
d - 15% годовых.
Тогда наращенная сумма S - Р/(1 - d)n = 6000/(1 - 0,15)2
» 8304,5 руб.
Задача 22. Первоначальная сумма Р = 7000 руб.,
период начисления п = 3 года, сложная учетная ставка
d - 12% годовых. Найти наращенную сумму.
Замечание. Аналогично § 4.3 и § 4.4 можно рассмотреть
случаи изменения сложных учетных ставок и начисления
процентов т раз в году.
20
Глава 6
УЧЕТ ИНФЛЯЦИОННОГО
ОБЕСЦЕНЕНИЯ ДЕНЕГ
Инфляция характеризуется обесценением национальной ва-
люты (то есть снижением ее покупательной способности) и
общим повышением цен в стране. Рассмотрим влияние ин-
фляции на финансовые операции.
§6.1.	УРОВЕНЬ (ТЕМП) ИНФЛЯЦИИ. ,
ИНДЕКС ИНФЛЯЦИИ
Пусть S — это сумма денег, для которой рассматривается
покупательная способность при отсутствии инфляции. Sa —
это сумма денег, покупательная способность которой с уче-
том инфляции равна покупательной способности суммы S
при отсутствии инфляции, то есть один и тот же набор това-
ров можно купить на суммы S (при отсутствии инфляции) и
8а (с учетом инфляции). Понятно, что Sa > S.
Обозначим AS = Sa — S. Тогда величина a = AS/S =
= (Sa — S)/S называется уровнем (темпом) инфляции. Это
индекс прироста. Он показывает, на сколько процентов в .
среднем выросли цены за рассматриваемый период.
AS = Sa - S => Sa« S + AS. Ho a = AS/S => AS = aS.
Тогда Sa = S + AS = S + aS = S(1 + a). Величину /и = 1 + a
называют индексом инфляции. Это индекс роста. Он пока-
зывает, во сколько раз в среднем выросли цены за рассмат-
риваемый период.
Пример 23. Каждый месяц цены растут на 1,5%. Ка-
ков ожидаемый уровень инфляции за год?
Распространен неправильный ответ 12x1,5% = 18%. Но
ведь цены растут на 1,5% каждый месяц от достигнутого
уровня, то есть рост идет по сложной процентной ставке.
Тогда годовой индекс инфляции /£од = (1 + 0,015)12 « 1,2,
то есть цены за год вырастут в 1,2 раза, или на 20%.
Задача 23. Каждый месяц цены растут на 2%. Каков
ожидаемый уровень инфляции за год?
21
Пример 24. Уровень инфляции в марте составил 2%, в
апреле — 1%, в мае — 3%.
Тогда индекс инфляции за рассматриваемый период
равен (1 4- 0,02)(1 4- 0,01)(1 4- 0,03) » 1,061, то есть уро-
вень инфляции за рассматриваемый период составил 6,1%.
Задача 24. Уровень инфляции в марте составил 3%, в
апреле — 5 %, в мае — 3%. Каков уровень инфляции за
рассматриваемый период?
Рассмотрим теперь способы начисления процентов в ус-
ловиях инфляции. Мы ограничимся только случаями про-
стых и сложных ставок ссудного процента.
§ 6.2.	СТАВКА, УЧИТЫВАЮЩАЯ ИНФЛЯЦИЮ,
ДЛЯ СЛУЧАЯ ПРОСТЫХ ПРОЦЕНТОВ.
ФОРМУЛА ФИШЕРА
Пусть Р — первоначальная сумма, п — период начисления,
i — годовая простая ставка ссудного процента. Тогда нара-
щенная сумма S = Р(1 4- ni). Эта сумма не учитывает ин-
фляцию.
Пусть уровень инфляции за рассматриваемый период п
равен a. Sa — это сумма денег, покупательная способность
которой с учетом инфляции равна покупательной способнос-
ти суммы S при отсутствии инфляции. Тогда Sa = S(1 4- a)
(см. § 6.1) = Р(1 + ni)(l + a).
Но сумму Sa можно получить, поместив первоначальную
сумму Р на срок п под простую ставку ссудных процентов ia,
учитывающую инфляцию: Sa = Р(1 4- nia).
Отсюда Р(1 4- ni)(l 4- a) = Р(1 4- nia) =>(14- ni)(l 4- a) -
= 14- nia => 1 4- ni 4- a 4- nia = 14- nia => ia = (ni 4- a 4- nia)/n.
Именно под такую простую ставку ссудных процентов нуж-
но положить первоначальную сумму на срок п, чтобы при
уровне инфляции а за рассматриваемый период обеспечить
реальную доходность в виде годовой простой ставки ссуд-
ных процентов i.
Если п = 1 год, то ia = i 4- a 4- ia. Это формула Фишера.
Величина a 4- ia называется инфляционной премией,
ni 4- a 4- nia = nia => i = (nia - a)/(n 4- na). Это формула ре-
альной доходности в виде годовой простой ставки ссудных
процентов для случая, когда первоначальная сумма была ин-
вестирована под простую ставку ссудных процентов ia на
срок п при уровне инфляции а за рассматриваемый период.
22
Пример 25. Период начисления п - 3 месяца, ожидае-
мый ежемесячный уровень инфляции 2%. Под какую про-
стую ставку ссудных процентов нужно положить первона-
чальную сумму, чтобы обеспечить реальную доходность
I = 5% годовых (проценты простые)?
Ожидаемый индекс инфляции за период начисления
п = 3 месяца - 0,25 года 1и = (1 + 0,02)^ * 1,061, то есть
уровень инфляции а за рассматриваемый период а = 0,061.
Тогда ia = (ni + а ,+ nia)/n - (0,25x0,05 4- 0,061 +
4- 0,25х0,05х0,061)/0,25 « 0,297 (= 29,7% годовых).
Задача 25. Период начисления п - 6 месяцев, ожида-
емый ежемесячный уровень инфляции 1,5%. Под какую
простую ставку ссудных процентов нужно положить перво-
начальную сумму, чтобы обеспечить реальную доходность
i = 6% годовых (проценты простые)?
Пример 25. Первоначальная сумма положена на срок
апрель-июнь под простую ставку ссудных процентов ia =
15% годовых. Уровень инфляции в апреле составил 1%, в
мае — 1,5%, в июне — 2%. Какова реальная доходность в
виде годовой простой ставки ссудных процентов?
Индекс инфляции за рассматриваемый период п = 3 ме-
сяца = 0,25 года 1и = (1 + 0,01)(1 + 0,015)(1 + 0,02) « 1,046,
то есть уровень инфляции за рассматриваемый период
а = 0,046. Тогда реальная доходность в виде годовой про-
стой ставки ссудных процентов i = (nia — а)/(п 4- па) —
= (0,25x0,15 - 0,046)/(0,25 4- 0,25x0,046) « -0,033
(- —3,3% годовых), то есть операция убыточна.
Задача 26. Первоначальная сумма положена на срок
январь-июнь под простую ставку ссудных процентов ia «
25% годовых. Уровень инфляции в январе составил 0,5%,
в феврале — 2%, в марте — 1%, в апреле — 0,5%, в мае
— 3%, в июне — 1%. Какова реальная доходность в виде
годовой простой ставки ссудных процентов?
§ 6.3.	СТАВКА, УЧИТЫВАЮЩАЯ ИНФЛЯЦИЮ,
ДЛЯ СЛУЧАЯ СЛОЖНЫХ ПРОЦЕНТОВ
Пусть Р — первоначальная сумма, п — период начисления,
i — годовая сложная ставка ссудного процента. Тогда нара-
щенная сумма S = Р(1 4- 0Л. Эта сумма не учитывает инфля-
цию.
Пусть уровень инфляции за рассматриваемый период п
равен a. Sa — это сумма денег, покупательная способность
которой с учетом инфляции равна покупательной способнос-
23
ти суммы S при отсутствии инфляции. Тогда Sa — S(1 4- а)
(см. § 6.1) = Р(1 4- 0л(1 4- а).
Но сумму Sa можно получить, поместив первоначальную
сумму Р на срок п под сложную ставку ссудных процентов ia,
учитывающую инфляцию: Sa = Р(1 4-
Отсюда Р(1 + р”(1 4- а) = Р(1 4- ia)n =* (1 4- Qn(l + а) =
= (1 + ia)n => (1 + i) -^1 + а = 1 + ia => ia = (1 +1) д/1 + a - 1.
Именно под такую сложную ставку ссудных процентов нуж-
но положить первоначальную сумму на срок п, чтобы при
уровне инфляции а за рассматриваемый период обеспечить
реальную доходность в виде сложной годовой ставки ссуд-
ных процентов L
(1 4- i)y/l + a = 1 4- ia => i = (1 4- ia)/y/1 4- a — 1. Это фор-
мула реальной доходности в виде сложной годовой ставки
ссудных процентов для случая, когда первоначальная сумма
была инвестирована под сложную ставку ссудных процентов
ia на срок п при уровне инфляции а за рассматриваемый пе-
риод.
Пример 27. Период начисления п = 3 года, ожидае-
мый ежегодный уровень инфляции 14%. Под какую слож-
ную ставку ссудных процентов нужно положить первона-
чальную сумму, чтобы обеспечить реальную доходность
i - 5% годовых (проценты сложные)?
Ожидаемый индекс инфляции за период начисления
п = 3 года /и = (1 4- 0,14)3 « 1,48, то есть уровень инфля-
ции а за рассматриваемый период а -» 0,48.
Тогда ia = (1 + i)y/l + a - 1 = (1 + 0,05) v/1 + 0,48 - 1
» 0,197 (« 19,7% годовых).
Задача 27. Период начисления п — 2 года, ожидаемый
ежегодный уровень инфляции 12%. Под какую сложную
ставку ссудных процентов нужно положить первоначаль-
ную сумму, чтобы обеспечить реальную доходность i = 6%
годовых (проценты сложные)?
Пример 28. Первоначальная сумма положена на п = 3
года под сложную ставку ссудных процентов ia = 20% го-
довых. Уровень инфляции за 1-й год составил 16%, за 2-й
год — 14%, за 3-й год — 13%. Какова реальная доходность
в виде сложной годовой ставки ссудных процентов?
Индекс инфляции за рассматриваемый период п = 3 го-
да 1и = (1 4- 0,16)(1 4- 0,14)(1 + 0,13) » 1,494, то есть уровень
инфляции а за рассматриваемый период a = 0,494. Тогда
реальная доходность в виде сложной годовой ставки ссудных
процентов i - (1 4- i^/ yfl 4- a - 1 = (1 4- 0,2)/^1 4- 0,494 - 1
» 0,05 (= 5% годовых).
24
Задача 28. Первоначальная сумма положена на п = 2
года под сложную ставку ссудных процентов ia = 15% го-
довых. Уровень инфляции за 1-й год составил 12%, за 2-й
год — 14 %. Какова реальная доходность в виде сложной
годовой ставки ссудных процентов?
Замечание. Аналогично можно найти процентную став-
ку, учитывающую инфляцию, для номинальной сложной
процентной ставки, а также для простой и сложной учет-
ных ставок.
25
Глава 7
СРАВНЕНИЕ ОПЕРАЦИЙ
В предыдущих главах мы изучили простые и сложные про-
центные ставки, простые и сложные учетные ставки. Очень
часто перед инвестором стоит задача выбора одного из этих
вариантов инвестирования первоначальной суммы. Как вы-
брать вариант, при котором наращенная сумма будет макси-
мальна? Возникает задача сравнения между собой различ-
ных процентных и учетных ставок.
Две ставки называются эквивалентными, если при оди-
наковой первоначальной сумме Р и на одинаковом периоде
начисления п они приводят к одинаковой наращенной сум-
ме S. При сравнении двух ставок из разных классов для од-
ной из них находят эквивалентную ей ставку из другого
класса и проводят сравнение двух ставок из одного класса.
§ 7.1. НАХОЖДЕНИЕ ЭКВИВАЛЕНТНОЙ
ПРОСТОЙ ПРОЦЕНТНОЙ СТАВКИ
ДЛЯ ПРОСТОЙ УЧЕТНОЙ СТАВКИ
Пусть Р — первоначальная сумма, п — период начисления.
При использовании простой процентной ставки i наращен-
ная сумма Si « Р(1 + ni). При использовании простой учет-
ной ставки d наращенная сумма S2 = Р/(1 — nd).
Так как ставки эквивалентны, то наращенные суммы рав-
ны: Si = S2, то есть Р(1 + ni) = Р/(1 — nd).
~	«.. I	1	nd
Отсюда 1 + т = ------ => т = ------ — 1 = ----- =>
.	1 — nd	1 - nd 1 - nd
d
1 - nd*
Пример 29. Какой вариант инвестирования первона-
чальной суммы на п = 0,25 года лучше: под простую про-
центную ставку 16% годовых или под простую учетную
ставку 15% годовых?
Найдем эквивалентную простую процентную ставку для
простой учетной ставки d - 15% годовых на периоде на-
числения п — 0,25 года.
26
i - —- =---------------» 0,156 (= 15,6% годовых)
1 - nd 1 - 0,25x0,15
< 0,16. Лучше вариант с простой процентной ставкой.
Задача 29. Какой вариант инвестирования первона-
чальной суммы на п « 0,5 года лучше: под простую про-
центную ставку 18% годовых или под простую учетную
ставку 16% годовых?
Замечание. Выразив из равенства I — -—-—- ставку d
1 - nd
через i (d — i/(l + ni)), мы найдем эквивалентную простую
учетную ставку d для простой процентной ставки i.
§ 7.2. НАХОЖДЕНИЕ ЭКВИВАЛЕНТНОЙ
ПРОСТОЙ ПРОЦЕНТНОЙ СТАВКИ
ДЛЯ СЛОЖНОЙ ПРОЦЕНТНОЙ СТАВКИ
Пусть Р — первоначальная сумма, п — период начисления.
При использовании простой процентной ставки I наращен-
ная сумма S\ = Р(1 4- ni). При использовании сложной про-
центной ставки iCJI наращенная сумма S2 = Р(1 +
Так как ставки эквивалентны, то наращенные суммы рав-
ны: Si = S2, то есть Р(1 + nt) = Р(1 + *сл)П‘ Отсюда 1 + nt —
= (1 + ^сл)" => i = (d + W - 1)/п-
Пример 30. Какой вариант инвестирования первона-
чальной суммы на п = 3 года лучше: под простую процент-
ную ставку 18% годовых или под сложную процентную
ставку 15% годовых?
Найдем эквивалентную простую процентную ставку для
сложной процентной ставки 1СЛ = 15% годовых на периоде
начисления п - 3 £ода.
I - ((1 + <сл)п - D/n - ((1 + 0,15)8 - 1)/3 ’ 0,174
(= 17,4% годовых) < 0,18. Лучше вариант с простой про-
центной ставкой.
Задача 30. Какой вариант инвестирования первона-
чальной суммы на п = 2 года лучше: под простую процент-
ную ставку 17% годовых или под сложную процентную
ставку 15,5% годовых?
Замечание. Выразив из равенства 1 + ni = (1 + став-
ку iCJI через I (Гел = <\/1 + ni — 1), мы найдем эквивалентную
сложную процентную ставку iCJI для простой, процентной
ставки I.
27
$ 7.3. НАХОЖДЕНИЕ ЭКВИВАЛЕНТНОЙ
ПРОСТОЙ ПРОЦЕНТНОЙ СТАВКИ ДЛЯ
НОМИНАЛЬНОЙ СЛОЖНОЙ ПРОЦЕНТНОЙ СТАВКИ
Пусть Р — первоначальная сумма, п — период начисления.
При использовании простой процентной ставки i наращен-
ная сумма Si = Р(1 + ni). При использовании номинальной
сложной процентной ставки j (проценты за год начисляются
т раз) наращенная сумма S2 = Р(1 + ]/т)пт.
Так как ставки эквивалентны, то наращенные суммы рав-
ны: Si = S2, то есть Р(1 + ni) = Р(1 + j/m)nm.
Отсюда 1 + ni = (1 + j/m)nm =>/ = ((!+ j/m)nm - l)/n.
Пример 31. Какой вариант инвестирования первона-
чальной суммы на п = 3 года лучше: под простую процент-
ную ставку 18% годовых или под сложную процентную
ставку 15% годовых ежеквартально?
Найдем эквивалентную простую процентную ставку для
номинальной сложной процентной ставки j — 15% годовых
(здесь т = 4) на периоде начисления п = 3 года.
I = ((1 + j/m)nm - 1)/л = ((1 + 0,15/4)3х4 - 1)/3 - 0,185
(= 18,5% годовых) > 0,18. Лучше вариант с номинальной
сложной процентной ставкой.
Задача 31. Какой вариант инвестирования первона-
чальной суммы на п = 2 года лучше: под простую процент-
ную ставку 19% годовых или под сложную процентную
ставку 14% годовых ежемесячно?
Замечание. Выразив из равенства 1 + ni = (1 + j/m)nm
ставку j через i (j = m(^Jl + ni — 1)), мы найдем эквивалент-
ную номинальную сложную процентную ставку j для про-
стой процентной ставки i.
§ 7.4. НАХОЖДЕНИЕ ЭКВИВАЛЕНТНОЙ СЛОЖНОЙ
ПРОЦЕНТНОЙ СТАВКИ ДЛЯ НОМИНАЛЬНОЙ
СЛОЖНОЙ ПРОЦЕНТНОЙ СТАВКИ.
ЭФФЕКТИВНАЯ СЛОЖНАЯ ПРОЦЕНТНАЯ СТАВКА
Пусть Р — первоначальная сумма, п — период начисления.
При использовании сложной процентной ставки iCJI наращен-
ная сумма Si = Р(1 4- iCJI)n. При использовании номинальной
сложной процентной ставки j (проценты за год начисляются
т раз) наращенная сумма S2 = Р(1 + ]/т)пт.
Так как ставки эквивалентны, то наращенные суммы рав-
ны: Si = S2, то есть Р(1 + гсл)л = Р(1 + j/m)nm.
28
Отсюда 1 + iM» (1 + j/m)m => iCJI = (1 + j/m)m - 1. Эта
формула определяет эффективную годовую ставку слож-
ных процентов, эквивалентную номинальной сложной про-
центной ставке, и не зависит от периода начисления п.
Пример 32. Найдем эффективную годовую ставку
сложных процентов, эквивалентную номинальной сложной
процентной ставке j = 10% годовых ежеквартально.
Здесь т = 4. Тогда *сл = (1 + j/m)m - 1 - (1 + 0,1/4)4 - 1
® 0,104 (= 10,4% годовых). Вместо начисления каждый
квартал 2,5% можно один раз в год начислять 10,4%. От
этого наращенная сумма не изменится.
Задача 32. Найти эффективную годовую ставку слож-
ных процентов, эквивалентную номинальной сложной про-
центной ставке j — 12% годовых ежемесячно.
Замечание. Мастер функций fx пакета Excel содержит фи-
нансовые функции (fx -* финансовые). Их количество зна-
чительно возрастет после установки надстройки Пакет ана-
лиза (Сервис -* Надстройки -► Пакет анализа). В частнос-
ти, финансовая функция ЭФФЕКТ (EFFECT) возвращает эф-
фективную годовую ставку сложных процентов гсл, если за-
даны номинальнаяставка (годовая номинальная сложная
процентная ставка j) и колпер (т, количество периодов в
году, за которые начисляются сложные проценты). В приме-
ре 32 ЭФФЕКТ (0,1; 4) « 0,104.
§ 7.5. НАХОЖДЕНИЕ ЭКВИВАЛЕНТНОЙ
НОМИНАЛЬНОЙ СЛОЖНОЙ ПРОЦЕНТНОЙ СТАВКИ
ДЛЯ СЛОЖНОЙ ПРОЦЕНТНОЙ СТАВКИ
Выразив из равенства 1 + /сл = (1 + j/m)m ставку j через
(/ = m(^ 1 + 1сл ~ 1))» мы найдем эквивалентную номиналь-
ную ставку сложных процентов (проценты начисляются т
раз в году) для сложной процентной ставки 1сл. Формула не
зависит от периода начисления п.
Пример 33. Найдем годовую номинальную сложную
процентную ставку (проценты начисляются каждый ме-
сяц), эквивалентную сложной процентной ставке = 15%
годовых.	______ _______________
Здесь т = 12. Тогда j - т(д/1 + 1^ - 1) = 12(^1 + 0,15
— 1) « 0,141 (» 14,1% годовых).
Вместо начисления один раз в год 15% можно начис-
лять каждый месяц » 14,1%/12 = 1,175%. От этого нара-
щенная сумма не изменится.
29
Задача 33. Найти годовую номинальную сложную про-
центную ставку (проценты начисляются каждые полгода),
эквивалентную сложной процентной ставке iCJI - 20% го-
довых.
Замечание 1. Мастер функций fx пакета Excel содержит
финансовую функцию НОМИНАЛ (NOMINAL) (fx -> финан-
совые “> НОМИНАЛ), которая возвращает годовую номи-
нальную сложную процентную' ставку /, если заданы
эффект__ставка (эффективная годовая ставка сложных про-
центов ) и колпер (т, количество периодов в году, за кото-
рые начисляются сложные проценты). В примере 33 НОМИ-
НАЛ (0,15; 12) « 0,141.
Замечание 2. Аналогично рассмотренным методом можно
найти эквивалентные ставки для различных вариантов про-
центных и учетных ставок.
30
Глава 8
МОДЕЛИ ФИНАНСОВЫХ
ПОТОКОВ
§ 8.1.	ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
Аннуитет (финансовая рента) — это ряд последователь-
ных платежей через одинаковые промежутки времени.
Пример 34. Регулярные взносы в пенсионный фонд —
это пример аннуитета.
Задача 34. Привести пример аннуитета.
Rj — это величина отдельного платежа ренты. Срок рен-
ты t — это время от начала реализации ренты до момента
последнего платежа. Интервал ренты — это время между
двумя последовательными платежами. Если все платежи
равны между собой, то это постоянная рента, иначе — пе-
ременная рента.
Существуют ренты постнумерандо (все платежи осуще-
ствляются в конце интервалов ренты) и пренумерандо (все
платежи осуществляются в начале интервалов ренты). Ино-
гда ренты пренумерандо называют приведенными.
Для расчета наращения или дисконтирования платежей
используется сложная процентная ставка I.
Наращенная (будущая) сумма ренты S — это все пла-
тежи вместе с процентами на дату последней выплаты.
Современная (приведенная) стоимость ренты - это все
платежи вместе с процентами, пересчитанные на начальный
момент времени ренты с помощью операции математическо-
го дисконтирования (см. § 4.1).
Существуют ренты верные (выплата не ограничена ника-
кими условиями) и условные (выплата обусловлена наступ-
лением какого-то события). Страховые взносы — это пример
условной ренты. Срок реализации отложенных рент откла-
дывается на некоторое время.
Пусть р — число рентных платежей в году, а число т по-
казывает, сколько раз в году начисляются проценты. Рен-
ты, для которых р = т, называются простыми. Ренты, для
которых р + т, называются общими.
31
§ 8.2.	НАХОЖДЕНИЕ НАРАЩЕННОЙ СУММЫ
ДЛЯ ПРОСТОЙ РЕНТЫ ПОСТНУМЕРАНДО
Пусть R — ежегодные платежи, на которые начисляются
проценты в конце каждого года по сложной процентной став-
ке i, п — срок ренты.
R	R	R	... R	R	R
О—<>.О	О	II	О""	О"	'<
О 1	2	3	...	п-2	п-1	п
Платеж в конце 1-го года даст наращенную сумму
В(1 4- 0я"1. Платеж в конце 2-го года даст наращенную сум-
му В(1 4- 0Я“2. Платеж в конце 3-го года даст наращенную
сумму В(1 4- 0я"3. И т. д.
Наращенная (будущая) сумма ренты S = R(1 4- 0я”1 4-
4- R(1 4- i)n~2 4- R(1 4- i)n~3 4- ... 4- jR(l 4- 0 4- R. Мы получили
сумму n первых членов геометрической прогрессии с b\ = R
и знаменателем q = 1 4- L
Пример 35. Вкладчик в течение п — 5 лет вносит в
банк R — 1000 руб. Проценты на вклад начисляются по
сложной процентной ставке i ж 15% годовых.
Тогда наращенная (будущая) сумма ренты:
S = Д (1 + 0я - 1 _ 1000 (1 + 0,15)в - 1 . 6742 38 б
I	0,15
Задача 35. Вкладчик в течение п = 3 лет вносит в банк
R - 1200 руб. Проценты на вклад начисляются по слож-
ной процентной ставке i - 14% годовых. Найти наращен-
ную (будущую) сумму ренты.
Замечание. Мастер функций fx пакета Excel содержит фи-
нансовую функцию БС, которая возвращает наращенную (бу-
дущую) сумму ренты S на основе периодических постоян-
ных (равных по величине) платежей R и постоянной про-
центной ставки I.
fx финансовые БС -> ОК. Появляется диалоговое ок-
но, которое нужно заполнить. Ставка — это процентная
ставка за период (у нас это 0. Кпер — это общее число пла-
тежей по аннуитету. Плт — это выплата в каждый период
(у нас это В, берем со знаком «—»). Пс — это приведенная
стоимость А ренты (если не указана, то по умолчанию пола-
гается равной нулю). Тип равен 0 (для ренты постнумеран-
до) или 1 (для ренты пренумерандо). Если Тип не указан, то
по умолчанию полагается равным 0. ОК. В примере 35
S = БС(0,15; 5; -1000) » 6742,38 руб.
32
§ 8.3.	НАХОЖДЕНИЕ НАРАЩЕННОЙ СУММЫ
ДЛЯ ПРОСТОЙ РЕНТЫ ПРЕНУМЕРАНДО
Пусть R — ежегодные платежи, на которые начисляются
проценты в начале каждого года по сложной процентной
ставке i, п — срок ренты.
R R	R	R	... R	R
О—О	О	О	...-о	о	о
.0123 ... п-2 п-1 п
Платеж в начале 1-го года даст наращенную судому
Я(1 4- 1)п. Платеж в начале 2-го года даст наращенную сум-
му В(1 4- 0п-1. Платеж в начале 3-го года даст наращенную
сумму Я(1 + i)n~2. И т. д.
Наращенная (будущая) сумма ренты S — Я(1 4- i)n 4-
4- R(1 4-	4- Я(1 4- 0n~2 4- ... 4- R(1 + i)2 + R(1 + i). Мы по-
лучили сумму n первых членов геометрической прогрессии
с bi = Я(1 4* 0 и знаменателем q « 1 4- L
Тогда S =	В(1 + OyZ-j"";1 = *<1 +	У "1 
q — 1	(14-0 — 1.	i
Пример 38. Определим наращенную (будущую) сумму
в примере 35 для ренты пренумерандо.
S = Я(1 + 0	= 1000(1 + 0,15)<1 + 0,15)5-1 х
i	0,15
* 7753,74 руб.
Задача 36. Определить наращенную (будущую) сумму
в задаче 35 для ренты пренумерандо.
Замечание. При решении примера 36 можно воспользо-
ваться финансовой функцией БС мастера функций fx пакета
Excel. S = БС (0,15; 5; -1000; ; 1) « 7753,74 руб.
Из сравнения рент постнумерандо и пренумерандо ясно,
что все формулы длд ренты пренумерандо получаются из
формул для ренты постнумерандо подстановкой вместо R ве-
личины Я(1 4- 0. Поэтому в дальнейшем будем работать в
основном с рентой постнумерандо.
§ 8.4. НАХОЖДЕНИЕ СОВРЕМЕННОЙ СТОИМОСТИ
ДЛЯ ПРОСТОЙ РЕНТЫ
Пусть R — ежегодные платежи, на которые начисляются
проценты в конце каждого года по сложной процентной став-
ке Z, п — срок ренты. Определим современную стоимость
ренты, то есть используем операцию математического дис-
контирования (см. § 4.1).
33
R R R ... R R R
O'	O'	О	-O'-1	'4>	.....
0	1	2	3 ...	n-2	n-1 n
Платеж в конце 1-го года даст современную стоимость
Я/(1 4- i). Платеж в конце 2-го года даст наращенную сумму
Я/(1 4- i)2. Платеж в конце 3-го года даст наращенную сум-
му В/(1 + О3- И т. д.
Современная стоимость ренты А = В/(1 4- I) 4- В/(1 4- 02
4- R/(l 4- 03 4- ... 4- B/(l 4- i)n~x 4- Я/(1 4- 0П. Мы получили
сумму п первых члецов геометрической прогрессии с
= Я/(1 4- 0 и знаменателем q = 1/(1 4- 0.
Тогда А -	+	- Я 1-1/(^0".
]д-1	1 + 1 1/(1+1)-1	1
Это современная стоимость простой ренты постнумеран-
до. Подставив в эту формулу вместо R величину В(1 4- 0,
мы получим современную стоимость простой ренты пренуме-
рандо: А = В(1 + Q +
Пример 37. Определим современную стоимость про-
стой ренты из примера 35.
А = д 1~1/(1+0п _ 10001-1/(1+0,15)8 „ зз52,16 руб.
i	0,15
Задача 37. Определить современную стоимость про-
стой ренты из задачи 35.
Пример 38. Определим современную стоимость про-
стой ренты из примера 36.
А = B(l + i)1~1/(l+0n = юоо(1 + 0Д5)1—
i	0,15
=» 3854,98 руб.
Задача 38. Определить современную стоимость про-
стой ренты из задачи 36.
Замечание. Мастер функций fx пакета Excel содержит фи-
нансовую функцию ПС, которая возвращает приведенную (к
текущему моменту) стоимость инвестиций А.
fx -* финансовые ПС ОК. Появляется диалоговое
окно, которое нужно заполнить. В графе Бс (необязатель-
ный аргумент) указывается требуемое значение будущей
стоимости или остатка средств после последней выплаты
(если не указано, то по умолчанию полагается равным ну-
лю). ОК.
В примере 37 ПС(0,15; 5; -1000) » 3352,16 руб. В приме-
ре 38 ПС(0,15; 5; -1000; ; 1) » 3854,98 руб.
34
§ 8-5. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕЛИЧИНЫ ОТДЕЛЬНОГО
ПЛАТЕЖА ПРОСТОЙ РЕНТЫ
Зная процентную ставку i, количество выплат п и наращен-
ную сумму S (или современную стоимость А) простой рен-
ты, можно определить величину отдельного платежа R.
Для простой ренты постнумерандо наращенная (будущая)
о D(l + i)"-l n _ Si
сумма ренты S = R-----:. Отсюда R = ————-.
Ъ	(1 “I” i) “* 1
Пример 39. Определим размер ежегодных платежей в
конце года по сложной процентной ставке i - 12% годо-
вых для накопления через п в 3 года суммы S = 50000 руб.
R----------------50000x0,12 я 14817,45 руб.
(1+0в-1	(1+0.12)8-1
Задача 39. Определить размер ежегодных платежей в
конце года по сложной процентной ставке i = 14% годо-
вых для накопления через п = 4 года суммы S — 70000 руб.
Для простой ренты пренумерандо наращенная (будущая)
сумма ренты S = В(1 + i)-------.
Отсюда R ==--------—--------.
(1 + /)((!+ /)"-!)
Пример 40. Пусть в примере 39 платежи осуществля-
ются в начале года.
m D	Si	50000x0,12
Тогда R =--------------=-------------------5«
(1 +i)((l +i)B ~ 1)	(1 +0,12M(l + 0,12)8 -1)
• 13229,87 руб.
Задача 40. Решить задачу 39 при условии, что плате-
жи осуществляются в начале года.
Для простой ренты постнумерандо современная стоимость
.	„1-1/(1 + 0в _	_ At
А = R-----—----—. Отсюда R =---------------.
i	l-l/(l+i)n
Пример 41 • Взят кредит на сумму А — 50000 руб. сро-.
ком на я — 3 года под 14% годовых.
Тогда размер ежегодных погасительных платежей в кон-
d Ai	50000x0,14	-
це года R =------------------------г- я 21536,57 руб.
l-l/(l+i)B	1 —1/(1+ 0,14)8
Задача 41. Взят кредит на сумму А - 60000 руб. сро-
ком на п ~ 4 года под 15% годовых. Найти размер ежегод-
ных погасительных платежей в конце года.
35
Для простой ренты пренумерандо современная стоимость
А = R(1 + i)1 X/(1 + °". Отсюда R =
i
Ai
(1 + 0(1-1/(1 +O'»)’
Пример 42. Пусть в примере 41 платежи осуществля-
ются в начале каждого года. Тогда
D	Ai	50000x0,14
(1 + 0(1 -1/(1 + 0")	(1 + о,14)(1 -1/(1 + 0,14)3)
« 18891,73 руб.
Задача 42. Решить задачу 41 при условии, что плате-
жи осуществляются в начале каждого года.
Замечание. Мастер функций fx пакета Excel содержит фи-
нансовую функцию ПЛТ, которая возвращает сумму перио-
дического платежа для аннуитета на основе постоянства
сумм платежей и постоянства процентной ставки.
fx -* финансовые -* ПЛТ -♦ ОК. Появляется диалоговое
окно, которое нужно заполнить. ОК.
В примере 39 ПЛТ(0,12; 3; ; 50000) « -14817,45 руб. В
примере 40 ПЛТ(0,12; 3; ; 50000; 1) « —13229,87 руб. В при-
мере 41 ПЛТ(0,14; 3; 50000) » -21536,57 руб. В примере 42
ПЛТ(0,14; 3; 50000; ; 1) • -18891,73 руб.
§ 8.6. ОПРЕДЕЛЕНИЕ СРОКА ПРОСТОЙ РЕНТЫ v
Зная величину отдельного платежа Я, процентную ставку i
и наращенную сумму S (или современную стоимость А) про-
стой ренты, можно определить количество выплат п.
Для простой ренты постнумерандо наращенная (будущая)
(1 + iY1 4- 1
сумма ренты S = R----------. Отсюда (1 + i)n - 1 = Si/R =>
i
(1 + i)n = 1 + Si/R => nln(l + i) = ln(l + Si/R) =*>n = .ln(1-+St^.
ln(l + 0
Подставив в последнюю формулу вместо R выражение
В(1 4- 0, мы получим срок ренты пренумерандо:
п = 1п(1 4---—----)/ln(l 4- i).
V Я(1 + 0'
Пример 43. Размер ежегодных платежей R « 5000
руб., процентная ставка i = 12% годовых, наращенная сум-
ма S - 30000 руб. Определим сроки простых рент постну-
мерандо и пренумерандо.
Для ренты постнумерандо п = ln(l 4- Si/#)/ln(l 4- i) =
= 1п(1 + 30000x0,12/5000)/1п(1 4- 0,12) « 4,8 лет.
36
Si
Для ренты пренумерандо п = 1п(1 4--------)/1п(1 4- 0 =
Я(1 4- I)
. Z1 ,	30000x0,12 ч/1 zi , люч ал
= 1п(1 4----------2---)/1п(1 4- 0,12) » 4,4 лет.
5000(1 4- 0,12)
Задача 43. Размер ежегодных платежей R = 8000 руб.,
процентная ставка i = 14% годовых, наращенная сумма
Я = 40000 руб. Определить сроки простых рент постнуме-
рандо и пренумерандо.
Для простой ренты постнумерандо современная стоимость
.	_ l-l/(l+i)n _	ln(l - Ai/R)
i	ln(l 4" 0
Подставив в последнюю формулу вместо R выражение
R(1 4- 0, мы получим срок ренты пренумерандо:
п = — 1tl(1 —-—-----)/1п(1 4- 0.
Пример 44. Определим сроки погашения кредита А =
30000 руб. при ежегодных платежах R = 9000 руб. и про-
центной ставке i - 15% годовых для рент постнумерандо и
пренумерандо.
Для ренты постнумерандо п - —1п(1 — Ai/B)/ln(l 4- i) =
= —ln(l - 30000x0,15/9000)/ln(l 4- 0,15) « 5 лет.
Для ренты пренумерандо п = —1п(1
..—-)/1п(1 + 0 =
fl(l + i)
= _1п(1 _ 30000x0,15 д 0 15) я 4д лет
9000(1 + 0,15)
Задача 44. Определить сроки погашения кредита А =
45000 руб. при ежегодных платежах R = 12000 руб. и про-
центной ставке i - 11% годовых для рент постнумерандо и
пренумерандо.
Замечание. Мастер функций fx пакета Excel содержит
финансовую функцию КПЕР, которая возвращает общее ко-
личество периодов выплаты п для аннуитета на основе пе-
риодических постоянных выплат и постоянной процентной
ставки.
fx финансовые -* КПЕР -* ОК. Появляется диалоговое
окно, которое нужно заполнить. ОК.
В примере 43 КПЕР(0,12; -5000; ;30000) « 4,8 и КПЕР(0,12;
-5000; ; 30000; 1) « 4,4. В примере 44 КПЕР(0,15; -9000;
30000) « 5 и КПЕР(0,15; -9000; 30000; ; 1) « 4,1.
37
§ 8.7.	ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРОЦЕНТНОЙ СТАВКИ
ПРОСТОЙ РЕНТЫ
Зная величину отдельного платежа В, количество выплат п
и наращенную сумму S (или современную стоимость А) про-
стой ренты, можно попытаться найти процентную ставку.
Но получается нелинейное уравнение.
Мастер функций fx пакета Excel содержит финансовую
функцию СТАВКА, которая возвращает процентную ставку
по аннуитету за один период. Значение функции вычисляется
путем итерации и может давать нулевое значение или не-
сколько значений. Если последовательные результаты функ-
ции СТАВКА не сходятся с точностью 0,0000001 после 20 ите-
раций, то СТАВКА возвращает сообщение об ошибке #число!.
fx “* финансовые СТАВКА -* ОК. Появляется диало-
говое окно, которое нужно заполнить. ОК. В графе Предпо-
ложение указывается предполагаемая величина процентной
ставки (если значение не указано, то по умолчанию оно рав-
но 10 %).
Пример 45. Определим, под какую процентную ставку
нужно вносить каждый год R — 5000 руб., чтобы через
п = 5 лет накопить сумму S = 40000 руб.
Для ренты постнумерандо СТАВКА(5; -5000; ; 40000) в
- 24%.
Для ренты пренумерандо СТАВКА(5; —5000; ; 40000; 1) =
= 16%.
Задача 45. Определить, под какую процентную ставку
нужно вносить каждый год R - 6000 руб., чтобы через
п = 4 года накопить сумму S = 35000 руб.
§ 8.8.	ОТЛОЖЕННАЯ РЕНТА
Срок реализации отложенных рент откладывается на неко-
торое время — период отсрочки.
Пример 46. Простая рента с ежегодными платежами
R - 1000 руб., процентной ставкой I - 12% годовых и сро-
ком п = 4 года отложена на 2 года. Найдем наращенную
сумму S и современную стоимость А ренты.
Добавим к нашей ренте на бумаге платежи R - 1000
руб. в конце 1-го и 2-го годов.
(я)	®	я	я	я	я
0	1	2	3	4	5	6
38
Получили простую ренту сроком «1 = 6 лет. Ее нара-
С о(1 + 0в1-1 1ППП (1 + 0,12)® - 1
щенная сумма Si - R----------= 1000 ------0^2-------*
« 8115,19 руб.
Но эта простая рента состоит из простой ренты сроком
«2 = 2 года (добавленные на бумаге платежи) и нашей от-
ложенной ренты.
Для добавленной ренты наращенная сумма в конце 2-го
года S2 =	= ЮОО(1 +	~ 1 « 2120,руб.,
а в конце 6-го года — S3 - S2(l + i)6"2 в 2120(1 + 0,12)4 »
« 3335,86 руб.
Отсюда S = Si - S3 = 8115,19 - 3335,86 = 4779,33 руб.
Для нахождения современной стоимости А отложенной
ренты можно применить аналогичный прием. Но мы по-
ступим иначе.
А	Ах	R	R	R	R
О I	1	О	О	- о	...  о	 	о	о
0	1	2	3	4	5	6
Найдем приведенную стоимость нашей ренты через 2 го-
да: Ai = В 1~1/(1+0" _ 1ООо 1 ~ Vd + 0,12)4 я 3037 35
1	I	0,12
руб.
А теперь применим к сумме А± операцию математическо-
го дисконтирования со сложной процентной ставкой I = 12%
годовых (см. § 4.1): А = уЦ/Ц + г)2 = 3037,35/(1 + 0,12)2 «
- 2421,36 руб.
Задача 43. Простая рента с ежегодными платежами
R « 1200 руб., процентной ставкой i « 14% годовых и сро-
ком п - 5 лет отложена на 3 года. Найти наращенную сум-
му S и современную стоимость А ренты.
§ 8.9.	СВЕДЕНИЕ ОБЩЕЙ РЕНТЫ К ПРОСТОЙ РЕНТЕ
Пусть р — число рентных платежей в году, а число т пока-
зывает, сколько раз в году начисляются проценты. Для об-
щей ренты р + т, а для простой ренты р = т.
Для простой ренты довольно несложно определяются все
ее параметры. Поэтому для вычисления параметров общей
ренты очень важно уметь преобразовывать общую ренту в
простую ренту.
Пусть W и R — величины выплат общей и простой рент
соответственно, р — число рентных платежей в году для об-
щей ренты, т — число интервалов начисления процентов в
39
году, j и i — процентные ставки за интервал начисления про-
центов общей и простой рент соответственно, п — общее чис-
ло интервалов начисления процентов.
Данные ренты эквивалентны, то есть процентные ставки
за периоды рент совпадают и эквивалентные этим рентам зна-
чения, соответствующие одному и тому же моменту времени,
совпадают. Тогда (1 + j)P = (14- i)TO => j = (1 +	“ 1*
Наращенные суммы для обеих рент одинаковы:
я <1 + |>*-1 -	- * - «Г - R - Wt/j -
, *	i i j
=	+ l)m/p - 1).
Пример 47. Заменим общую ренту сроком 3 года с вы-
платами по W = 15000 руб. в конце каждого полугодия и
начислением процентов по ставке 12% годовых ежеквар-
тально простой рентой с поквартальными выплатами.
Здесь р = 2, т = 4, i = 0,12/тп = 0,12/4 = 0,03.
Поквартальные выплаты R = JV7/((1 4- i)m/P — 1) =
= 15000x0,03/((1 + 0,03)4/2 - 1) « 7389,16 руб.
Задача 47. Заменить общую ренту сроком 3 года с вы-
платами по W = 20000 руб. в конце каждого квартала и
начислением процентов по ставке 15% годовых ежемесяч-
но простой рентой с ежемесячными выплатами.
§ 8.10.	НАРАЩЕННАЯ СУММА ОБЩЕЙ РЕНТЫ
Подставив в формулу для наращенной суммы простой ренты
S =	+ 1)-L выражение R =	4- i)m/P — 1), мы най-
i
дем наращенную сумму общей ренты:
S = т х п+о"-1 = w (i + ora-i
(1‘4-0то/р-1 i	(14-0w/p-1‘
Здесь п — это общее количество интервалов начисления
процентов за весь срок ренты.
Пример 48. Найдем наращенную сумму общей ренты
сроком 3 года с выплатами по W = 5000 руб. в конце каж-
дого квартала и начислением процентов по ставке 14% го-
довых по полугодиям.
Здесь р = 4, т = 2, i = 0,14/тп = 0,14/2 = 0,07, п = Зт =
= 3x2 = 6.
Тогда S =	_ 5000	+	.
(1 + l)m/P -1	(1 + 0,07)2'4 — 1
- 72763,56 руб.
40
Задача 48. Найти наращенную сумму общей ренты
сроком 2 года с выплатами по W — 7000 руб. в конце каж-
дого квартала и начислением процентов по ставке 11% го-
довых ежемесячно.
§ 8.11.	СОВРЕМЕННАЯ СТОИМОСТЬ ОБЩЕЙ РЕНТЫ
Подставив в формулу для современной стоимости простой
ренты А = Я——выражение R = W7/((l + i)m/P — 1),
i
мы найдем современную стоимость общей ренты:
А = Wi х 1^1/(1 + 0л s И71-1/(1 + 0л
(l + Z)m/p_i	i	(l+0m/P-l’
Пример 49. Найдем современную стоимость общей рен-
ты из примера 48.
A=W 1~1А1 + 0" = 5ооо1~1/(1+?ДО7)6• 48485,43 руб.
(1 + i)m/P -1	(1 +0,07)2/4 — 1
Задача 49. Найти современную стоимость общей рен-
ты из задачи 48.
§ 8.12.	ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ПРОСТОЙ РЕНТЫ
В ОБЩУЮ РЕНТУ
Необходимость в таком преобразовании возникает, когда
нужно найти величину выплат общей ренты по заданному
значению наращенной суммы или современной стоимости.
R = Wi/((1 + i)m/P - 1). Отсюда W = Я((1 + i)m/P - l)/i.
Пример 50. Выдан кредит А - 40000 руб. на 2 года по
ставке 12% годовых ежемесячно. Определим размер по-
квартальных платежей W.
Здесь р - 4, т = 12, i = 0,12/тп = 0,12/12 = 0,01,
п = 2т = 2x12 = 24.
D At	40000x0,01	- qqo ал *
R ----------------------------—г- « 1882,94 руб.
1-i/(i+оп	i-i/(i+o,oi)24
W= 2?((l + i)m/p-l)/i = 1882,94((1 + 0,01)12/4 - 1)/0,01
5705,5 руб.
Задача 50. Выдан кредит А « 50000 руб. на 3 года по
ставке 16% годовых ежеквартально. Определить размер по-
лугодовых платежей W.
41
§ 8.13.	ПРОСТАЯ БЕССРОЧНАЯ РЕНТА
Бессрочная рента не ограничена никаким сроком, то есть
срок ренты п -► оо.
R	R	R	R
0	1	2	3	4...
Современная стоимость простой бессрочной ренты
А = limp?——V(l+0 \ в Отсюда R = Ai.
n-*oo\	I	/
Пример 51. Инвестирование суммы А = 40000 руб. под
i = 5% годовых обеспечивает выплаты R — Ai = 40000x0,05 =
= 2000 руб. в конце каждого года.
Задача 51. Сумму А = 50000 руб. инвестировали под
i = 4% годовых. Найти размер ежегодных выплат в конце
. каждого года.
§ 8.14.	ОБЩАЯ БЕССРОЧНАЯ РЕНТА
Общая бессрочная рента — это бессрочная рента, для кото-
рой период выплат отличается от периода начисления про-
центов.
Пример 52. Найдем современную стоимость общей бес-
срочной ренты с выплатами по W = 5000 руб. в конце каж-
дого квартала и начислением процентов по ставке 12% го-
довых ежемесячно.
Здесь р - 4, т - 12, i = 0,12/тп - 0,12/12 - 0,01.	,
R -	+	1) = 5000x0,01/((1 + 0,01)12/4 - 1) *
* 1650,11 руб.
Тогда современная стоимость А = R/i = 1650,11/0,01 =
= 165011 руб.
Задача 52. Найти современную стоимость общей бес-
срочной ренты с выплатами по W = 8000 руб. в конце каж-
дого полугодия и начислением процентов по ставке 16%
годовых ежеквартально.
§ 8.15. БЕССРОЧНАЯ РЕНТА ПРЕНУМЕРАНДО
Бессрочная рента пренумерандо отличается от бессрочной
ренты постнумерандо только платежом в момент времени
t = 0. Поэтому для простой бессрочной ренты пренумерандо
современная стоимость А = R + R/i, а для общей бессрочной
42
ренты пренумерандо современная стоимость А = W 4- R/i =
Wi	W	W
=	_____—______== И7 4-——— =____________—______
i((l + 0w/p ~ 1)	(1 + i)m/p “1	1 - 1/(1 + i)m/p ’
Пример 53. Найдем современную стоимость общей бес*
срочной ренты с выплатами по W - 10000 руб. в начале
каждого квартала и начислением процентов по ставке 18%
годовых по полугодиям.
Здесь р - 4, т = 2, I — 0,18/тп = 0,18/2 = 0,09.
Современная стоимость А — W/(l — 1/(1 4- 1)т^Р) -
10000/(1 - 1/(1 + 0,0Э)2/4) - 237114,52 руб.
Задача 53. Найти современную стоимость общей бес*
срочной ренты с выплатами по W = 9000 руб. в начале
каждого полугодия и процентной ставкой 12% годовых
ежеквартально.
43
Глава 9
АРИФМЕТИКА ИПОТЕКИ
Ипотека — это кредитование под залог жилья. Как начис-
ляются и уплачиваются проценты? Каков план погашения
долга?
§ 9.1.	ВАРИАНТ 1: АННУИТЕТ
Пример 54. Банк выдает кредит на сумму А = 30000
долл., срок п = 5 лет, процентная ставка i = 5% годовых.
Составим план погашения долга.
Один из возможных вариантов — простая рента постну-
мерандо. Известны современная стоимость ренты А, срок п
и процентная ставка i. Тогда (см. § 8.5) ежегодный платеж
R = А1/(1 - 1/(1 + i)n) = 30000x0,05/(1 - 1/(1 + 0,05)®) -
« 6929,24 долл. Всего за 5 лет будет выплачено 5x6929,24
= 34646,2 долл.
Схема типична для западного банка. Можно рассмот-
реть в качестве вариантов простую ренту пренумерандо или
общую ренту.
Задача 54. Банк выдает кредит на сумму А = 40000
долл., срок п - 10 лет, процентная ставка I = 10% годо-
вых. Составить план погашения долга с помощью простой
ренты постнумерандо.
§ 9.2.	ВАРИАНТ 2:
СПРАВЕДЛИВЫЙ, НО НЕ ОЧЕНЬ УДОБНЫЙ
Кредит погашается равномерно с уплатой процентов на ос-
таток долга. Платеж в у-й год определяется формулой А/п
(1/и-я часть суммы кредита) + iA(n + 1 — j)/n (1% от остат-
ка долга на начало j-ro года).
Пример 55. Применим этот вариант в примере 54. За-
полним таблицу.
Для нулевого года указан только остаток долга. Во 2-м
столбце указана 1/п = 1/5-я часть кредита. Каждое число
44
Год	1/п-я часть суммы кредита	5% от остатка долга	Суммарная выплата	Остаток долга
0	0	0	0	30000
1	6000	1500	7500	24000
2	6000	1200	7200	18000
3	6000	900	6900	12000
4	6000	600	6600	6000
5	6000	300	6300	0
Сумма	30000	4500	34500	
3-го столбца равно 5% от числа из последнего столбца пре-
дыдущей строки. 4-й столбец (выплата в j-м году) — это
сумма соответствующих чисел из 2-гО и 3-го столбцов. Каж-
дое число последнего столбца есть разность числа из по-
следнего столбца предыдущей строки и числа из 2-го столб-
ца этой же строки. В последней строке указана сумма чи-
сел соответствующего столбца.
Всего за 5 лет будет выплачено 34500 долл. Это несколь-
ко меньше, чем в предыдущем варианте (поэтому вариант
справедливый). Но выплаты смещены к началу срока пога-
шения кредита (поэтому для заемщика вариант не очень*
удобный). Схема типична для российского банка.
Задача 55. Применить этот вариант в задаче 54.
§ 9.3.	ВАРИАНТ 3: ПРОСТОЙ, НО ГРАБИТЕЛЬСКИЙ
К основной сумме долга прибавляются простые проценты за
5 лет. И все это делится на срок погашения кредита. Такова
ежегодная выплата.
Пример 56. Применим этот вариант в примере 54.
(30000 + 0,05х5х30000)/5 = 37500/5 = 7500 долл.
Всего за 5 лет будет выплачено 37500 долл. Здесь заем-
щик платит проценты на всю сумму кредита в течение все-
го срока погашения, даже на ту часть долга, которую он
уже вернул.
Задача 56. Что обещает грабительский вариант в зада-
че 54?
§ 9.4.	ВАРИАНТ 4;
«ХВОСТ», ПОГАШАЕМЫЙ В КОНЦЕ СРОКА
Заемщик вносит в течение п — 1 года определенную фикси-
рованную сумму плюс проценты на остаток долга, а в по-
следний год возвращает остаток долга и проценты по нему.
45
Пример 57. Применим этот вариант в примере 54.
Пусть размер ежегодного платежа равен 5000 долл.
Год	1/п-я часть суммы кредита	5% от остатка долга	Суммарная выплата	Остаток долга
0	0	0	0	30000
1	5000	1500	6500	25000
2	5000	1250	6250	20000
3	5000	1000	6000	15000
4	5000	750	5750	10000
5	10000	500	10500	0
Сумма	30000	5000	35000	
Задача 57. Применить этот вариант в задаче 54, при*
няв размер основного ежегодного платежа (без процентов)
3000 долл.
46
Глава 10
ЛОМБАРДНЫЙ КРЕДИТ
В случае ломбардного кредита заемщик должен обеспечить
получаемый кредит ценными бумагами или материальными
ценностями. Сумма ломбардного кредита обычно составляет
75—80% номинальной стоимости залога. Если кредит обес-
печен ценными бумагами, то его сумма рассчитывается ис-
ходя из 75—80% текущей курсовой стоимости данных цен-
ных бумаг. Обычно ломбардный кредит выдается на 3 меся-
ца, используется французская практика (продолжительность
года К = 360 дней, учитывается точное количество дней в
месяце).
Заемщик может погасить весь долг вовремя, может про-
длить срок погашения на следующие 3 месяца и может вы-
платить вовремя лишь часть долга, а оставшуюся часть по-
гашать в следующие 3 месяца. Если заемщик не погасит кре-
дит вовремя, он должен рассчитаться с кредитором по уве-
личенной процентной ставке в течение всего времени про-
срочки платежа. Нам понадобятся некоторые формулы.
§ 10.1. РАСЧЕТЫ «ОТ СТА», «МЕНЬШЕ СТА»,
«ВЫШЕ СТА»
Пусть Р — первоначальная сумма, i — простая процентная
ставка, t — период начисления процентов (в днях).
Тогда наращенная сумма S « Р(1 + it/К) = Р(1 + it/360).
Р 360
Величина I = Pif/360 — это проценты. Отсюда у = —у.
Это расчет «от ста».
Но при расчете процентного платежа не всегда известна
первоначальная сумма Р. Могут возникнуть такие ситуации,
когда известна лишь первоначальная сумма, уменьшенная
или увеличенная на процентный платеж.
360 Р I Р-I I ,
----=>-----= — =>---------= — (это расчет «меиь-
it 360 it 360 -it it
ше ста»).
47
-------= — (это расчет «выше ста»).
360 + it it
§ 10.2. РАСЧЕТ ЛОМБАРДНОГО КРЕДИТА
Пример 58. 18 апреля заемщик обратился за получе-
нием ломбардного кредита и предоставил в залог ценности
на сумму 100000 руб. Сумма ломбардного кредита — 80%
от стоимости залога, процентная ставка i — 12% годовых.
Определим величину кредита.
Кредит предоставлен на 3 месяца (18 апреля - 18
июля), его срок t == 13 + 31 + 30 + 18 — 1 = 91 день.
0,8x100000 = 80000 руб. «= Р. Проценты I - Pit/360 -
= 80000x0,12x91/360 « 2426,67 руб. Заемщик получит сум-
му Р - I = 80000 - 2426,67 = 77573,33 руб.
Задача 58. 10 августа заемщик обратился за получе-
нием ломбардного кредита и предоставил в залог ценности
на сумму 90000 руб. Сумма ломбардного кредита — 75%
от стоимости залога, процентная ставка i = 14% годовых.
Определить величину кредита.
Пример 59. 18 июля заемщик перечислил 25000 руб.
Распределим эту сумму на выплату основного долга и про-
центы, найдем остаток долга.
Остаток долга, уменьшенный на процентный платеж =
80000 - 25000 = 55000 руб. - Р - I.
Найдем процентный платеж I, используя формулу рас-
чета «меньше ста». Срок (18 июля — 18 октября) t = 92 дня.
Р-I	(P-I)it = 55000x0,12x92 s 1740>03
360-it it 360-it 360-0,12x92
руб. Тогда остаток долга равен 55000 + 1740,03 = 56740,03
руб.
Задача 59. В задаче 58 10 ноября заемщик перечис-
лил 30000 руб. Распределить эту сумму на выплату основ-
ного долга и проценты, найти остаток долга.
48
Глава 11
СРЕДНИЙ СРОК ПОГАШЕНИЯ
ССУДЫ ОДНОМУ КРЕДИТОРУ
Заемщик должен одному кредитору суммы Рх, ..., РП9 поташа»
емые через t^9 ..., tn дней с процентными ставками ...» in
соответственно. Все долги можно выплатить сразу через t8
дней — это средний срок погашения ссуды. Сумма процент-
ных платежей по каждой из ссуд должна равняться процент-
ному платежу, начисленному на Р\ + ... + Рп при средней
процентной ставке i8 и среднем сроке t8z + ... + I» — 189 то
есть P1i1t1/K + ... + Pnintn/K = (Pi + ... + Pn)istg/K (здесь
К — продолжительность года).
Отсюда Piiiti + — + РпЧАп = (-Р1 + — + то есть
ts = —-----•
8	п
isZPj
/-1
Пример 60. Заемщик должен одному кредитору Pi =
5000 руб. (срок погашения 17 марта, процентная ставка
il = 11% годовых), Р2 - 6000 руб. (срок погашения 12 мая,
процентная ставка 1% - 12% годовых), Р3 = 8000 руб. (срок
погашения 27 мая, процентная ставка 13 = 14% годовых).
Когда лучше выплатить весь долг сразу (процентная став-
ка i8 = 13% годовых), чтобы при этом не понесли ущерба
ни кредитор, ни заемщик?
Примем дату первого погашения 17 марта за нулевой
момент времени. Тогда ti = 0, *2 (17 марта — 12 мая) = 56
дней, £3 = (17 марта — 27 мая) = 71 день.
Средний срок погашения ссуды t8 = —---=
s 5000x0,11x0 + 6000x0,12x56 + 8000x0,14x71 ж
0,13(5000 + 6000 +8000)
« 49 дней (после 17 марта), то есть 5 мая.
49
Задача 60. Заемщик должен одному кредитору Pi —
7000 руб. (срок погашения 17 июля, процентная ставка
il = 9% годовых), Р2 = 9000 руб. (срок погашения 23
августа, процентная ставка 12 - 10% годовых), Р3 = 10000
руб. (срок погашения 14 сентября, процентная ставка
$3 = 12% годовых). Когда лучше выплатить весь долг сразу
(процентная ставка i8 - 11% годовых), чтобы при этом не
понесли ущерба ни кредитор, ни заемщик?
50
Глава 12
НАЧИСЛЕНИЕ ПРОЦЕНТОВ
НА СУММУ ВКЛАДА
ДО ВОСТРЕБОВАНИЯ
Пусть Р — первоначальная сумма, t — период начисления
(в днях), i — простая процентная ставка, К — продолжи-
тельность, года. Величина Pt/100 (или Pt) называется про-
центным числом. Дивизор D = K/i (здесь значение i берется
не в долях, а в целых) численно равен такому количеству
денежных единиц, с которого при ставке I получается 1 де-
нежная единица дохода в день.
Обычно сумма на вкладе до востребования часто меняет-
ся. Как найти величину начисленных процентов?
Пример 61. При открытии счета до востребования 14
марта на него была положена сумма 6000 руб. 25 апреля
на счет поступили 5000 руб. 17 мая со счета были сняты
7000 руб. 23 июня добавлены 2000 руб. 19 июля счет был
закрыт. Процентная ставка i - 18% годовых. Использует-
ся французская практика (см. § 2.2). Определим сумму, ко-
. торую получил владелец счета.
На счете были зафиксированы следующие суммы (в
скобках указаны сроки хранения этих сумм): 6000 руб. (42
дня), 6000 + 5000 - 11000 руб. (22 дня), 11000 - 7000 -
= 4000 руб. (37 дней), 4000 + 2000 - 6000 руб. (26 дней).
Сумма процентных чисел равна (6000i<42 + 11000x22 +
+ 4000x37 + 6000х26)/100 - 7980 руб.
Во французской практике продолжительность года К =
360 дней. Дивизор D = K/i « 360/18 = 20. Тогда общая ве-
личина начисленных процентов 7980/20 s 399 руб., а вла-
делец счета получил при закрытии счета 6000 + 399 = 6399
руб.
Задача 31. При открытии счета до востребования 25
июня на него была положена сумма 7000 руб. 14 июля на
счет поступили 3000 руб. 19 августа со счета были сняты
8000 руб. 3 октября добавлены 5000 руб. 27 ноября счет
был закрыт. Процентная ставка i = 12% годовых. Исполь-
зуется французская практика (см. § 2.2). Определить сум-
му, которую получил владелец счета.
51
Глава 13
РЕАЛЬНАЯ СТАВКА
ДОХОДНОСТИ
С УЧЕТОМ НАЛОГА
В ряде стран проценты, получаемые при помещении некото-
рой денежной суммы в рост, облагаются налогом. Поэтому
реальные наращенные суммы уменьшаются.
§ 13.1.	СРЕДНЯЯ СТАВКА НАЛОГА
Средняя ставка налога — это величина уплаченного налога
в процентах от совокупного дохода, подлежащего налогооб-
ложению.
Пример 62. Схема налога на проценты: 5% с части до-
хода от 0 до 3000 руб., 7% с части дохода от 3000 до 10000
руб., 12% с части дохода от 10000 до 20000 руб., 20% с
части дохода от 20000 до 50000 руб. и 30% с части дохода
свыше 50000 руб. Начислены проценты в размере 47000
руб. Найдем среднюю ставку налога.
Разобьем 47000 руб. на части, соответствующие пре-
дельным ставкам налога: 47000 - 3000 + 7000 + 10000 +
+ 27000. С каждой части возьмем соответствующий налог:
3000x0,05 + 7000x0,07 + 10000x0,12 + 27000x0,2 »
- 7240 руб.
Средняя ставка налога 7240/47000x100% ® 15,4%.
Задача 62. Схема налога на проценты: 3% с части до-
хода от 0 до 5000 руб. г 5% с части дохода от 5000 до 15000
руб., 8% с части дохода от 15000 до 30000 руб., 12% с ча-
сти дохода от 30000 до 50000 руб. и 20% с части дохода
свыше 50000 руб. Начислены, проценты в размере 56000
руб. Найти среднюю ставку налога.
§ 13.2.	СЛУЧАЙ ПРОСТОЙ ПРОЦЕНТНОЙ СТАВКИ
Пусть Р — первоначальная сумма, п — период начисления,
I — простая процентная ставка, q — ставка налога на про-
52
центы. Тогда проценты I = Pin, а величина налога на про-
центы ql = qPin. Отсюда наращенная сумма S = P + Z — gZ==
= Р(1 + in - qin) = Р(1 + in(l - g)).
Пример 63. Первоначальная сумма Р = 5000 руб., пе-
риод начисления п = 0,5 года, простая процентная ставка
i - 15% годовых, ставка налога на проценты q = 12%.
Тогда наращенная сумма S = Р(1 + in(l - g)) =
= 5000(1 + 0,15x0,5(1 - 0,12)) = 5330 руб.
Задача 63. Первоначальная сумма Р - 7000 руб., пе-
риод начисления п - 0,25 года, простая процентная ставка
i = 14% годовых, ставка налога на проценты g — 13%. Най-
ти наращенную сумму.
§ 13.3.	СЛУЧАЙ ПРОСТОЙ УЧЕТНОЙ СТАВКИ
Пусть Р — первоначальная сумма, п — период начисления,
d — простая учетная ставка, g — ставка налога на процен-
ты. Тогда проценты I = Pnd/(1 — nd), а величина налога на
проценты gZ = qPnd/(l — nd). Отсюда наращенная сумма
S = Р/(1 - nd) - qPnd/(l - nd) » Р(1 - gnd)/(l - nd).
Пример 64. Первоначальная сумма Р = 5000 руб., пе-
риод начисления п — 0,5 года, простая учетная ставка
d = 15% годовых, ставка налога на проценты g = 12%.
Тогда наращенная сумма S = Р(1 - qnd)/(l — nd) -
= 5000(1 - 0,12х0,5х0,15)/(1 - 0;5х0,15) « 5356,76 руб.
Задача 64. Первоначальная сумма Р = 7000 руб., пе-
риод начисления п = 0,25 года, простая учетная ставка
d - 14% годовых, ставка налога на проценты g - 13%.
Найти наращенную сумму.
§ 13.4.	СЛУЧАЙ СЛОЖНОЙ ПРОЦЕНТНОЙ СТАВКИ
Пусть Р — первоначальная сумма, п — период начисления,
i — сложная процентная ставка, g — ставка налога на про-
центы.
Метод взыскания налога (сумма налога на проценты оп-
ределяется сразу за весь период начисления или каждый год
отдельно) в случае сложной процентной ставки не влияет на
общую сумму налога. Но для плательщика налога вовсе не
безразлично, когда он его платит.
Наращенная сумма без учета налога S « Р(1 + i)n, а про-
центы I = Р(1 4- i)n — Р. Поэтому величина налога на про-
53
центы ql = q(P(l + i)n - P). Отсюда наращенная сумма с уче-
том налога S = Р(1 4- i)n — ql = Р(1 4- t)n — д(Р(1 4- i)n — Р) =
= Р((1 - g)(l + ir + g).
Пример 65. Первоначальная сумма Р - 5000 руб., пе-
риод начисления п = 3 года, сложная процентная ставка
i — 15% годовых, ставка налога на проценты q — 12%.
Тогда наращенная сумма S - Р((1 - д)(1 4- i)n 4- q) =
5000((1 - 0,12)(1 4- 0,15)3 4- 0,12) = 7291,85 руб.
Задача 65. Первоначальная сумма Р - 7000 руб., пе-
риод начисления п = 2 года, сложная процентная ставка
i = 14% годовых, ставка налога на проценты q = 13%. Най-
ти наращенную сумму.
Замечание. Аналогичные рассуждения о реальной ставке
доходности с учетом налога можно провести и для случаев
номинальной ставки сложных процентов, непрерывного на-
числения процентов, сложной учетной ставки.
54
Глава 14
ДОХОДНОСТЬ УДЕРЖАНИЯ
КОМИССИОННЫХ
Рассмотрим несколько случаев расчета доходности при удер-
жании банком комиссионных.
Пусть h — доля комиссионных в размере ссуды, то есть
первоначальная сумма Р уменьшается на величину ЛР.
§ 14.1. РАСЧЕТ ЭФФЕКТИВНОЙ СТАВКИ
ПРОСТЫХ ПРОЦЕНТОВ ПРИ ВЫДАЧЕ ССУДЫ
ПО ПРОСТОЙ ПРОЦЕНТНОЙ СТАВКЕ
Пусть i — простая процентная ставка, п — период начисле-
ния, i9 — эффективная ставка простых процентов. Банк вы-
дает ссуду на срок п по ставке Z, удерживает с нее долю ко-
миссионных h и хочет выяснить доходность i9 этой опера-
ции.
Наращенные суммы равны: Р(1 + ni) = (Р — hP)(l + ni9).
Отсюда 1 4- ni = (1 - Л)(1 + ni9) => ni9 = * * —  — 1 =>
1 — h
i = h + ni
=>1э re(l —Л)
Если срок п выражен в днях, то в последнюю формулу
нужно подставить п t/K, где t — срок (в днях), К — про-
h + it/K hK+it
должительность года: i9 —------— =-------.
Пример 66. При выдаче кредита на п - 0,5 года по
простой процентной ставке i - 12% годовых удерживаются
комиссионные h - 1% суммы ссуды. Определим доходность
этой операции в виде эффективной ставки простых процен-
тов.
h +ni 0,01+0,5x0,12 л t ЛАЛЛ9/
ia ==	!’-----* 0,1414 (= 14,14%
л(1 - Л) 0,5(1 - 0,01)
годовых). Доходность операции по выдаче ссуды с удержа-
нием комиссионных выше, так как сумма выданной ссуды
уменьшается.
55
Задача 66. При выдаче кредита на п = 0,25 года по
простой процентной ставке i = 14% годовых удерживаются
комиссионные h - 2% суммы ссуды. Определить доход-
ность этой операции в виде эффективной ставки простых
процентов.
§ 14.2. РАСЧЕТ ЭФФЕКТИВНОЙ СТАВКИ
СЛОЖНЫХ ПРОЦЕНТОВ ПРИ ВЫДАЧЕ ССУДЫ
ПО ПРОСТОЙ ПРОЦЕНТНОЙ СТАВКЕ
Пусть I — простая процентная ставка, п — период начисле-
ния, 1Э — эффективная ставка сложных процентов. Банк вы-
дает ссуду на срок п по ставке /, удерживает с нее долю ко-
миссионных h и хочет выяснить доходность этой операции.
Наращенные суммы равны: Р(1 4- ni) ~ (Р — hP)(l + 1э)п. От-
сюда 1 + ni = (1 - Л)(1 + £э)п => i9 = \1 ; +	- 1.
V 1 — h
Пример 67. При выдаче кредита на п - 3 года по про-
стой процентной ставке i = 20% годовых удерживаются ко-
миссионные h - 1% суммы ссуды. Определим доходность
этой операции в виде эффективной ставки сложных про-
центов. ______
i	- 1 = зГГ+ЗхО^ _1я 0 174	174%
V 1 - h У 1 - 0,01
годовых).
Задача 67. При выдаче кредита на п = 2 года по про-
стой процентной ставке i = 18% годовых удерживаются ко-
миссионные h = 2% суммы ссуды. Определить доходность
этой операции в виде эффективной ставки сложных про-
центов.
§ 14.3. РАСЧЕТ ЭФФЕКТИВНОЙ СТАВКИ
СЛОЖНЫХ ПРОЦЕНТОВ ПРИ ВЫДАЧЕ ССУДЫ
ПО СЛОЖНОЙ ПРОЦЕНТНОЙ СТАВКЕ
Пусть i — сложная процентная ставка, п — период начисле-
ния, /э — эффективная ставка сложных процентов. Банк вы-
дает ссуду на срок п по ставке I, удерживает с нее долю ко-
миссионных h и хочет выяснить доходность этой операции.
Наращенные суммы равны: Р(1 + 0я ~ (Р ~ ЙР)(1 + 0в. От-
сюда (1 + 0л = (1 - Л)(1 + :э)" => ia = (1 + i)/71 - h - 1.
56
Пример 68. При выдаче кредита на п = 3 года по слож-
ной процентной ставке i = 12% годовых удерживаются ко-
миссионные h - 1% суммы ссуды. Определим доходность
этой операции в виде эффективной ставки сложных про-
центов.
*э “ (1 + 0/V1 - А - 1 = (1 + 0,12)/ у/1 - 0,01 - 1 -
0,124 (= 12,4% годовых).
Задача 68. При выдаче кредита на п — 2 года по слож-
ной процентной ставке i = 14% годовых удерживаются ко-
миссионные h = 2% суммы ссуды. Определить доходность
этой операции в виде эффективной ставки сложных про-
центов.
Замечание. Аналогично вышесказанному разбираются и
другие возможные случаи.
57
Ответы
1. 7350 руб. 2. 2 года. 3. 20% годовых. 4. 5581,4 руб. 5. 3533,33
руб., 3561,11 руб., 3539,73 руб. в. 4500 руб. 7. 7760 руб. 8.14716,44
руб. 9. 7272,73 руб. 10- 16% годовых. 11. 119 дней. 12. 9317 руб.
13. 1,9 лет. 14. 15,5% годовых. 15. 3945,1 руб. 16. -4 и 2.
17. 0,5 и 0,9. 18. 10976,75 руб. 19. 7109,49 руб. 20. 8584,61 руб.
21. 8599,98 руб. 22. 10271,88 руб. 23. 26,8%. 24. 11,4%.
25. 25,2% годовых. 26. 7,9% годовых. 27. 18,72% годовых.
28. 1,8% годовых. 29. Лучше вариант с простой процентной став-
кой. 30. Лучше вариант с простой процентной ставкой. 31. Луч-
ше вариант с простой процентной ставкой. 32. 12,7% годовых.
33.19,1% годовых. 35. 4127,52 руб. 36. 4705,37 руб. 37. 2785,96 руб.
38. 3175,99 руб. 39.14224,33 руб. 40. 12477,49 руб. 41. 21015,92
руб. 42. 18274,71 руб. 43. 4,05 и 3,65. 44. 5,1 и 4,45. 45. 26% и
16%. 46. 7932,12 руб. и 2780,68 руб. 47. 6584,02 руб.
48. 61640,85 руб. 49. 49714,22 руб. 50. 10868,32 руб. 51. 2000
руб. 52. 98039,22 руб. 53. 156783,25 руб. 54. Размер ежегодных
выплат 6509,82 долл. 55. Выплаты (долл.): 8000, 7600, 7200,
6800, 6400, 6000, 5600, 5200, 4800, 4400. 56. Размер ежегодных
выплат 8000 долл. 57. Выплаты (долл.): 7000, 6700, 6400, 6100,
5800, 5500, 5200, 4900, 4600, 14300. 58. 65085 руб. 59. 38891,45
руб. 60. 23 августа. 61. 5178 руб. 62. 5450 руб. 63. 7213,15 руб.
64. 7220,88 руб. 65. 8254,56 руб. 66. 22,4% годовых. 67. 17,8%
годовых. 68. 15,2% годовых.
58
Программа учебного курса
«Финансовая математика»
1.	Основные понятия финансовой математики. Проценты, про-
центная ставка, первоначальная и наращенная суммы, период на*
числения, интервал начисления, декурсивный и антисипативный
способы начисления процентов, ссудный процент, учетная став-
ка, простые и сложные проценты.
2.	Простые ставки ссудных процентов. Нахождение наращен-
ной суммы. Математическое дисконтирование. Случай изменения
простой ставки ссудного процента.
3.	Английская, немецкая и французская практики начисле-
ния процентов.
4.	Простые учетные ставки. Дисконт. Банковский учет.
5.	Сложные ставки ссудных процентов. Нахождение наращен-
ной суммы. Математическое дисконтирование. Случай, когда пе-
риод начисления не является целым числом. Целая и дробная ча-
сти числа. Случай изменения сложной ставки ссудного процента.
6.	Начисление сложных процентов несколько раз в году. Но-
минальная процентная ставка.
7.	Непрерывное начисление сложных процентов.
8.	Сложные учетные ставки.
9.	Учет инфляционного обесценения денег в принятии финан-
совых решений. Уровень (темп) инфляции. Индекс инфляции.
10.	Ставка, учитывающая инфляцию, для случая простых про-
центов. Формула Фишера. Инфляционная премия.
11.	Ставка, учитывающая инфляцию, для случая сложных
процентов.
12.	Сравнение операций. Эквивалентные процентные ставки.
Нахождение эквивалентной простой процентной ставки для про-
стой учетной ставки.
13.	Нахождение эквивалентной простой процентной ставки
для сложной процентной ставки.
14.	Нахождение эквивалентной простой процентной ставки
для номинальной ставки сложных процентов.
15.	Нахождение эквивалентной номинальной ставки сложных
процентов для сложной процентной ставки.
16.	Модели финансовых потоков. Основные понятия: аннуитет
(финансовая рента), величина отдельного платежа, срок ренты,
интервал ренты, постоянная и переменная ренты, ренты постну-
59
мерандо и пренумерандо, процентная ставка. Наращенная (буду-
щая) сумма ренты, современная (приведенная) стоимость ренты.
Виды рент (верные и условные, отложенные, простые и общие).
17.	Нахождение наращенной суммы для простой ренты пост*
нумерандо.
18.	Нахождение наращенной суммы для простой ренты прену-
мерандо.
19.	Определение современной стоимости для простой ренты.
20.	Определение величины отдельного платежа для простой
ренты.
21.	Определение срока простой ренты.
22.	Определение процентной ставки для простой ренты.
23.	Отложенная рента. Нахождение наращенной суммы и оп-
ределение современной стоимости.
24.	Сведение общей ренты к простой ренте.
25.	Наращенная (будущая) сумма общей ренты.
26.	Определение современной стоимости общей ренты.
27.	Преобразование простой ренты в общую ренту.
28.	Простая бессрочная рента.
29.	Общая бессрочная рента.
30.	Бессрочная рента пренумерандо.
31.	Арифмётика ипотеки. Вариант 1 (аннуитет). Вариант 2
(справедливый, но не очень удобный). Вариант 3 (простой, но гра-
бительский). Вариант 4 («хвост», погашаемый в конце срока).
32.	Расчеты «от ста», «меньше ста», «выше ста».
33.	Ломбардный кредит.
34.	Средний срок погашения ссуды одному кредитору.
35.	Начисление процентов на сумму вклада до востребования.
36.	Средняя ставка налога.
37.	Реальная ставка доходности с учетом налога. Случай про-
стой процентной ставки. Случай простой учетной ставки. Случай
сложной процентной ставки.
38.	Доходность удержания комиссионных. Расчет эффектив-
ной ставки простых процентов при выдаче ссуды по простой про-
центной ставке. Расчет эффективной ставки сложных процентов
при выдаче ссуды по простой процентной ставке. Расчет эффек-
тивной ставки сложных процентов при выдаче ссуды по сложной
процентной ставке.
39.	Нахождение эквивалентной сложной процентной ставки
для номинальной сложной процентной ставки. Эффективная
сложная процентная ставка.
60
Задачи для контрольной работы
по курсу «Финансовая математика»
1-10. а) Первоначальная сумма Р руб. помещена в банк
на срок п лет под 1% годовых (проценты простые). Найти
наращенную сумму, эквивалентные значения простой учет-
ной ставки, сложной процентной ставки, сложной номи-
нальной процентной ставки (проценты начисляются т раз
в году). Найти наращенную сумму, если ставка налога на
проценты q%. Уровень инфляции за рассматриваемый пе-
риод оказался равным а%. Какова реальная доходность
операции?
б)	Первоначальная сумма Р руб., наращенная сумма
S руб., процентная ставка /% годовых (проценты простые).
Найти период начисления.
в)	Первоначальная сумма Р руб., наращенная сумма
S руб., период начисления п лет. Найти простую процент-
ную ставку.
г)	Первоначальная сумма Р руб,, помещена в банк на срок
с а по Ъ под 1% годовых (проценты простые). Найти нара-
щенную сумму в английской, немецкой и французской прак-
тиках.
Вариант	Р	п	i	Q	т	а	S	а	Ъ
1	6000	0,5	16	15	2	1,1	6300	12.03	27.08
2	7000	0г2$	11	11	4	1,2	7200	03.04	15.09
3	8000	0,75	17	16	12	1,3	8400	11.05	09.10
4	9000	0,5	18	17	4	1,4	9300	17.06	23.11
5	6500	0,25	9	9	12	1,5	6900	24.07	05.12
6	5500	0,75	13	12	2	1,6	5800	23.03	14.08
7	7500	0,5	19	17	12	1,7	7700	16.04	26.09
8	5300	0,25	8	8	2	1,8	5700	19.05	21.10
9	6400	0,75	7	9	4	1,9	6800	24.06	09.11
10	7900	0,75	14	13	12	2	8200	11.07	15.12
11-20. а) Первоначальная сумма Р руб. помещена в банк
на срок п лет под простую учетную ставку d% годовых. Най-
ти наращенную сумму, эквивалентные значения простой
процентной ставки, сложной процентной ставки, сложной
номинальной процентной ставки (проценты начисляются
61
т раз в году). Найти наращенную сумму, если ставка нало-
га на проценты q%. Уровень инфляции за рассматриваемый
период оказался равным а%. Какова реальная доходность
операции?
б)	Первоначальная сумма Р руб., наращенная сумма
S руб., простая учетная ставка d% годовых. Найти период
начисления.
в)	Первоначальная сумма Р руб., наращенная сумма
S руб., период начисления п лет. Найти простую учетную
ставку.
г)	Первоначальная сумма Р руб. помещена в банк на срок
с а по Ь под простую учетную ставку d% годовых. Найти на-
ращенную сумму в английской, немецкой и французской
практиках.
Вариант	Р	п	d	т	а	S	а	b	Q
11	6000	0,5	16	2	1,1	6300	12.03	27.08	15
12	7000	0,25	11	4	1,2	7200	03.04	15.09	11
13	8000	0,75	17	12	1,3	8400	11.05	09.10	16
14	9000	0,5	18	4	м	9300	17.06	23.11	17
15	6500	0,25	9	12	1,5	6900	24.07	05.12	9
16	5500	0,75	13	2	1,6	5800	23.03	14.08	12
17	7500	0,5	19	12	1,7	7700	16.04	26.09	17
18	5300	0,25	8	2	1.8	5700	19.05	21.10	8
19	6400	0,75	7	4	1,9	6800	24.06	09.11	9
20	7900	0,75	14	12	2	8200	11.07	15.12	13
21-30. а) Первоначальная сумма Р руб. помещена в
банк на срок п лет под /% годовых (проценты сложные).
Найти наращенную сумму, эквивалентные значения про-
стой учетной ставки, простой процентной ставки, сложной
номинальной процентной ставки (проценты начисляются
т раз в году). Найти наращенную сумму, если ставка на-
лога на проценты q%. Уровень инфляции за рассматривае-
мый период оказался равным а%. Какова реальная доход-
ность операции?
б)	Первоначальная сумма Р руб., наращенная сумма
S руб., процентная ставка i% годовых (проценты сложные).
Найти период начисления.
в)	Первоначальная сумма Р руб., наращенная сумма
S руб., период начисления п лет. Найти сложную процент-
ную ставку.
г)	Первоначальная сумма Р руб. помещена в банк на срок
п лет под i% годовых. Найти, наращенную сумму в случае
непрерывного начисления процентов.
62
Вариант	Р	п	i	т	а	S	Q
21	6000	2	16	2	1.1	7300	15
22	7000	3	11	4	1.2	8200	11
23	8000	4	17	12	1.3	9400	16
24	9000	3	18	4	1.4	10300	17
25	6500	4	9	12	1.5	7900	9
26	5500	2	13	2	1.6	6800	12
27	7500	3	19	12	1,7	8700	17
28	5300	3	8	2	1,8	6700	8
29	6400	2	7	4	1,9	7800	9
30	7900	4	14	12	2	9200	13
31-40. а) Размер ежегодных платежей R руб., срок п лет,
проценты начисляются по сложной процентной ставке i%
годовых. Найти наращенную (будущую) сумму и современ-
ную стоимость простых рент постнумерандо и пренумеран-
до. Преобразовать эту простую ренту в общую ренту (про-
центы начисляются т раз в году, р платежей в году).
б)	Определить размер ежегодных платежей в конце года
по сложной процентной ставке 1% годовых для накопления
через п лет суммы S руб.
в)	Определить размер ежегодных платежей в конце года
по сложной процентной ставке i% годовых для погашения в
течение п лет долга А руб.
г)	Размер ежегодных платежей R руб., процентная став-
ка 1% годовых, наращенная сумма 8 руб. Определить сроки
простых рент постнумерандо и пренумерандо.
д)	Размер ежегодных платежей R руб., процентная став-
ка 1% годовых, современная стоимость А руб. Определить
сроки простых рент постнумерандо и пренумерандо.
е)	Определить, под какую процентную ставку нужно вно-
сить каждый год R руб., чтобы через п лет накопить сумму
S руб. (для рент постнумерандо и пренумерандо).
ж)	Определить, под какую процентную ставку нужно вно-
сить каждый год R руб., чтобы через п лет погасить долг А
руб. (для рент постнумерандо и пренумерандо).
з)	Простая рента с ежегодными платежами R руб., про-
центной ставкой i% годовых и сроком п лет отложена на t
лет. Найти наращенную сумму и современную стоимость
ренты.
и)	Найти наращенную (будущую) сумму и современную
стоимость общей ренты (проценты начисляются т раз в го-
ду, р платежей в году). Размер платежей W руб., срок п лет,
проценты начисляются по сложной процентной ставке i%
годовых. Заменить эту ренту простой рентой.
63
к)	Современная стоимость бессрочной ренты постнуме-
рандо А, процентная ставка L Найти размер ежегодных вы-
плат.
л)	Найти современную стоимость общих бессрочных рент
постнумерандо и пренумерандо (проценты начисляются т
раз в году, р платежей в году). Размер платежей W руб.
Вариант	R	п	i	S	А	t	W	т	Р
31	1500	4	16	7300	7300	2	1500	2	3
32	1600	3	11	8200	8200	3	1600	4	2
33	1700	5	17	9400	9400	4	1700	12	6
34	1800	6	18	10300	10300	3	1800	4	3
35	1900	3	9	7900	7900	4	1900	12	4
36	2000	4	13	6800	6800	3	2000	2	12
37	2100	5	19	8700	8700	2	2100	12	2
38	2200	5	8	6700	6700	2	2200	2	6
39	2300	6	7	7800	7800	4	2300	4	8
40	2400	4	14	9200	9200	3	2400	12	4
41-50. Банк выдает кредит на сумму А, срок п лет, про-
центная ставка i% годовых. Составить различные планы по-
гашения долга.
Вариант	А	п	1
41	15000	4	16
42	16000	3	11
43	17000	5	17
44	18000	6	18
45	19000	3	9
Вариант	А	п	i
46	20000	4	13
47	21000	5	19
48	22000	5	8
49	23000	6	7
50	24000	4	14
51-60. 10 августа заемщик обратился за получением лом-
бардного кредита и предоставил в залог ценности на сумму
Р руб. Сумма ломбардного кредита — а% от стоимости за-
лога, процентная ставка i% годовых. Определить величину
кредита.
Затем 10 ноября заемщик перечислил F руб. Распреде-
лить эту сумму на выплату основного долга и проценты, най-
ти остаток долга.
Вариант	Р	а	1	F
51	50000	75	16	9300
52	60000	80	11	8200
53	70000	80	17	9400
54	80000	75	18	10300
55	85000	75	9	7900
Вариант	Р	а	1	F
56	95000	80	13	6800
57	75000	75	19	8700
58	65000	80	8	6700
59	55000	75	7	7800
60	10500С	80	14	9200
64
61-70. Заемщик должен одному кредитору Pi руб. (срок
погашения а, процентная ставка i^% годовых), Pg руб. (срок
погашения Ъ, процентная ставка $2% годовых), Pg руб. (срок
погашения с, процентная ставка /3% годовых). Когда лучше
выплатить весь долг сразу (процентная ставка i8% годовых),
чтобы при этом не понесли ущерба ни кредитор, ни заем-
щик?
Вариант	Л	h	р2	*2	Р3	*3	а	b	с	h
61	6000	16	6300	15	7300	15	12.03	17.06	27.08	15
62	7000	11	7200	12	8200	11	03.04	23.07	15.09	11
63	8000	17	8400	16	7400	17	11.05	25.08	09.10	16
64	9000	18	9300	19	7300	16	17.06	04.07	23.11	17
65	6500	9	6900	8	8900	8	24.07	16.09	05.12	9
66	5500	13	5800	14	4800	13	23.03	09.06	14.08	12
67	7500	19	7700	18	8700	16	16.04	03.Q6	26.09	17
68	5300	8	5700	9	6700	8	19.05	07.09	21.10	8
69	6400	7	6800	9	7800	10	24.06	12.08	09.11	9
70	7900	14	8200	15	5200	12	11.07	05.10	15.12	13
71-60. При открытии счета до востребования числа а на
него была положена сумма Pi руб. Числа Ъ на счет поступи-
ли Р2 руб. Числа с со счета были сняты Р3 руб. 23 декабря
счет был закрыт. Процентная ставка 1% годовых. Использу-
ется французская практика. Определить сумму, которую по-
лучил владелец счета.
Вариант	Pl	р2	Рз	а	b	с	i
71	6000	6300	7300	12.03	17.06	27.08	15
72	7000	7200	8200	03.04	23.07	15.09	11
73	8000	8400	7400	11.05	25.08	09.10	16
74	9000	9300	7300	17.06	04.07	23.11	17
75	6500	6900	8900	24.07	16.09	05.12	9
76	5500	5800	4800	23.03	09.06	14.08	12
77	7500	7700	8700	16.04	03.06	26.09	17
78	5300	5700	6700	19.05	07.09	21.10	8
79	6400	6800	7800	24.06	12.08	09.11	9
80	7900	8200	5200	11.07	05.10	15.12	13
81-90. Схема налога на проценты: а% с части дохода от
О до 5000 руб., Ь% с части дохода от 5000 до 15000 руб.,
с% с части дохода от 15000 до 30000 руб., d% с части дохо-
да от 30000 до 50000 руб. и f% с части дохода свыше 50000
руб. Начисленные проценты Р руб. Найти среднюю ставку
налога.
65
Вариант	Р	а	b	с	d	f
81	60000	2	4	6	8	10
82	70000	3	6	9	12	15
83	80000	4	8	12	16	20
84	90000	5	10	15	20	25
85	65000	6	12	18	24	30
86	55000	7	14	21	28	35
87	75000	8	16	24	32	40
88	53000	2	4	8	16	32
89	64000	3	6	12	24	29
90	79000	4	8	16	25	30
91-100. а) При выдаче кредита на срок Ь лет по простой
процентной ставке i% годовых удерживаются комиссионные
h% суммы ссуды. Определить доходность этой операции в
виде эффективной ставки простых процентов.
б) При выдаче кредита на а лет по простой процентной
ставке 1% годовых удерживаются комиссионные h% суммы
ссуды. Определить доходность этой операции в виде эффек-
тивной ставки сложных процентов.
в) При выдаче кредита на а лет по сложной процентной
ставке i% годовых удерживаются комиссионные h% суммы
ссуды. Определить доходность этой операции в виде эффек-
тивной ставки сложных процентов.
Вариант	а	Ь	i	h
91	2	0,5	16	м
92	3	0,25	11	1,2
93	4	0,75	17	1,3
94	3	0,5	18	
95	4	0,25	9	1,5.
Вариант	а	Ь	i	h
96	2	0,75	13	1,6
97	3	0,5	19	1.7
98	3	0,25	8	1,8
99	2	0,75	7	1,9
1ОО	4	0,75	14	2,1
66
Раздел II
ЗАДАЧИ
ФИНАНСОВОГО
МЕНЕДЖМЕНТА
Глава 1
ЧТО ТАКОЕ ФИНАНСОВЫЙ
МЕНЕДЖМЕНТ?
Финансовый менеджмент — это управление финансовыми
операциями и денежными потоками, призванное обеспечить
поступление необходимого количества денежных средств в
нужные периоды времени и их рациональное использование в
соответствии с намеченными целями, программами, планами,
реальными нуждами.
Финансовый менеджмент представляет собой одно из са-
мых перспективных направлений в экономической науке,
удачно сочетающее в себе как теоретические разработки в об-
ласти финансов, управления, учета, анализа, так и сконструи-
рованные в его рамках практические подходы.
В условиях рыночной экономики финансовый менеджер
становится одной из ключевых фигур на предприятии. Он от-
вечает за постановку проблем финансового характера, анализ
целесообразности выбора того или иного способа их решения
и иногда за принятие окончательного решения по выбору наи-
более приемлемого варианта действий. Нередко финансовый
менеджер является ответственным исполнителем принятого
решения, а также осуществляет оперативную финансовую де-
ятельность.
В наиболее общем виде деятельность финансового менед-
жера включает:
<	общий анализ и планирование имущественного и финан-
сового положения предприятия;
<	обеспечение предприятия финансовыми ресурсами (уп-
равление источниками средств);
<	распределение финансовых ресурсов (инвестиционная по-
литика и управление активами),
В рамках общего анализа и планирования имущественного
и финансового положения предприятия осуществляется общая
оценка:
<	активов предприятия и источников их финансирования;
<	ресурсов, необходимых для поддержания экономическо-
го потенциала предприятия;
68
источников дополнительного финансирования;
<	системы контроля за состоянием и эффективностью ис-
пользования финансовых ресурсов.
Управление источниками средств предполагает детальную
оценку:
объема требуемых финансовых ресурсов;
<	формы их предоставления (вид кредита, денежная на-
личность);
<	методов мобилизации финансовых ресурсов;
<	затрат, связанных с привлечением данного вида ресур-
сов;
< риска, связанного с данным источником средств.
Инвестиционная политика и управление активами пре-
дусматривает анализ и оценку краткосрочных и долгосрочных
решений инвестиционного характера:
Ф оптимальность трансформации финансовых ресурсов в
другие виды ресурсов (материальные, трудовые, денежные);
Ф целесообразность и эффективность вложений в основные
средства, их состав и структура;
ф оптимальность оборотных средств (в целом и по видам);
Ф эффективность финансовых вложений.
В отличие от бухгалтерского учета, история которого на-
считывает не одно тысячелетие, финансовый менеджмент как
самостоятельная наука сформировался относительно недавно.
Современное состояние и тенденции изменений в мировой эко-
номике позволяют сделать вывод о том, что это направление
имеет хорошие перспективы в будущем.
69
Глава 2
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ,
ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ
ПРИ СОСТАВЛЕНИИ
ФИНАНСОВОЙ ОТЧЕТНОСТИ
Каждый год предприятие составляет итоговую финансовую
отчетность — бухгалтерский баланс и счет прибылей и убыт-
ков. Важно уметь читать и понимать смысл этих отчетов.
§ 2.1.	БУХГАЛТЕРСКИЙ БАЛАНС
Бухгалтерский баланс содержит информацию о финансовом
состоянии и результатах деятельности предприятия на опре-
деленный момент времени. Из бухгалтерского баланса мож-
но узнать, откуда поступили вложенные в данный бизнес
средства и куда они были размещены на момент составле-
ния баланса.
Бухгалтерский баланс отражает все операции, произво-
димые в ходе хозяйственной деятельности предприятия.
§ 2.2.	АКТИВЫ
Активы — это все материальные ресурсы, имеющие денеж-
ную стоимость и находящиеся в распоряжении предприя-
тия. Активы подразделяются на материальные и нематери-
альные активы. Материальные активы — это имущество
предприятия (например, здания, оборудование, машины, ав-
томобили, запасы сырья). Под нематериальными актива-
ми понимается владение каким-либо правом (например, па-
тентом или правом на получение прибыли в будущем).
Все включенные в бухгалтерский баланс активы имеют
денежную оценку. Однако такие важные факторы, как уп-
70
равленческие способности персонала, хорошие производст-
венные отношения и моральное состояние нельзя включить
в бухгалтерский баланс.
Внеоборотные активы имеют достаточно высокую стои-
мость и длительный срок использования предприятием. Обо-
ротные активы — это денежная наличность и статьи ба-
ланса, которые можно быстро и легко перевести в наличные
средства. Примером оборотных активов являются запасы го-
товой продукции и дебиторская задолженность (задолжен-
ность клиентов перед предприятием).
§ 2.3.	ПАССИВЫ
Пассивы — это финансовые обязательства предприятия. Они
возникают при использовании кредитов или ссуд. В зависи-
мости от срока погашения различают краткосрочные и дол-
госрочные обязательства. Краткосрочные обязательства —
это кредиторская задолженность, подлежащая погашению в
течение одного года (задолженность торговым кредиторам,
банковский овердрафт). Долгосрочные обязательства — это
кредиторская задолженность, подлежащая погашению более
чем через один год.
§ 2.4.	СОБСТВЕННЫЙ КАПИТАЛ
Собственный капитал — это стоимость всего имущества
предприятия после уплаты всех долгов.
В основе бухгалтерского баланса лежит следующее урав-
нение бухгалтерского баланса:
суммарные _ суммарные _
активы	пассивы
собственный
капитал
суммарные
пассивы
внеоборотные
активы
долгосрочные
обязательства
краткосрочные
обязательства
Собственный капитал предприятия на конкретную дату
можно посчитать и иначе:
собственный
капитал
нераспределенная
прибыль
первоначальные
инвестиции
где нераспределенная прибыль — это прибыль, реинвестиро-
ванная в процессе хозяйственной деятельности.
71
§ 2.5.	ОТЧЕТ О ДВИЖЕНИИ ДЕНЕЖНЫХ СРЕДСТВ
Бухгалтерский баланс содержит информацию о финансовом
состоянии и результатах деятельности предприятия на опре-
деленный момент времени. А вот в отчете о движении де-
нежных средств отражены потоки денежных средств, то
есть фактические физические перемещения денежных
средств из одних рук в другие в виде поступлений и плате-
жей, имеющих место в процессе хозяйственной деятельнос-
ти предприятия. Поступления — это денежные средства,
полученные предприятием. Платежи — это денежные сред-
ства, отданные предприятием.
Отчет о движении денежных средств отражает измене-
ния в кассовой позиции за некоторый период времени. Сальдо
на начало периода — это размер денежной наличности пред-
приятия на начало периода. Сальдо на конец периода — это
размер денежной наличности предприятия на конец периода.
Расчет движения денежных средств производится по сле-
дующей формуле:
сальдо на
начало периода
поступления
платежи
сальдо на
конец периода
§ 2.6.	СЧЕТ ПРИБЫЛЕЙ И УБЫТКОВ
Счет прибылей и убытков показывает доходы и расходы
предприятия от операций между двумя соседними датами
составления бухгалтерского баланса. Из него видны резуль-
таты работы предприятия за этот период: получило ли оно
прибыль или понесло убытки.
§ 2.7.	РАСЧЕТ ПРИБЫЛИ
Объем продаж — это доход от продажи продукции. Себес-
тоимость проданной продукции показывает, во сколько обо-
шлось предприятию приобретение или изготовление това-
ров. Валовая прибыль вычисляется по следующей формуле:
валовая _ объем _ себестоимость
прибыль продаж проданной продукции
Под расходами будем понимать накладные расходы, по-
несенные в ходе осуществления продаж за определенный пе-
риод времени.
72
Чистая прибыль вычисляется по следующей формуле:
чистая _ валовая
прибыль	прибыль
расходы
Пример 1. В апреле объем продаж составил 200000 руб.
Себестоимость проданной продукции равна 90000 руб., а
расходы (арендная плата, зарплата и т. д.) — 30000 руб.
Определим валовую прибыль и чистую прибыль.
Валовая прибыль = объем продаж — себестоимость про-
данной продукции = 200000 — 90000 = 110000 руб.
Чистая прибыль = валовая прибыль — расходы = 110000 —
- 30000 = 80000 руб.
Задача 1. В апреле объем продаж составил 250000 руб.
Себестоимость проданной продукции равна 110000 руб., а
расходы (арендная плата, зарплата и т. д.) — 40000 руб.
Определить валовую прибыль и чистую прибыль.
73
Глава 3
ОЦЕНКА ЗАПАСОВ
ТОВАРНО-МАТЕРИАЛЬНЫХ
ЦЕННОСТЕЙ
Для расчета себестоимости проданной продукции нужно
уметь оценивать запасы товарно-материальных ценностей.
Большинство запасов оценивается по себестоимости. Это не
лучшее решение проблемы. Предприятие может располагать
крупными запасами продукции одного типа, которая могла
быть закуплена в разные периоды и по разной цене. Поэто-
му практически невозможно установить себестоимость каж-
дой единицы запаса.
В настоящий момент существуют три основных метода
оценки запасов:
ФИФО (англ. First In First Out — FIFO);
ЛИФО (англ. Last In First Out — LIFO);
< по средневзвешенной.
Рассмотрим основные методы оценки запасов товарно-ма-
териальных ценностей подробнее.
§ 3.1.	МЕТОД ОЦЕНКИ ЗАПАСОВ ФИФО
В этом методе оценки стоимости запасов предполагается, что
партия товара, первой поступившая в запасы, первой и реа-
лизуется.
Пример 2. Начальные запасы отсутствуют. В марте за-
куплены для реализации 500 единиц продукции по цене
10 руб. В апреле закуплены для реализации 300 единиц
продукции по цене 11 руб. В мае проданы 400 единиц про-
дукции по цене 20 руб. В июне проданы 200 единиц про-
дукции по цене 21 руб. В июле закуплены для реализации
150 единиц продукции по цене 11,5 руб. В августе прода-
ны 100 единиц продукции по цене 21,5 руб.
Определим стоимость запасов на конец периода мето-
дом оценки запасов ФИФО.
74
Заполним таблицу.
Месяц	Закупка, руб. (по закупочным ценам)	Продажа, руб. (по оценочной стоимости)	Запасы после операции купли-продажи, руб. (по оценочной стоимости)
март	500x10		500x10
апрель	300x11		500x10
			300x11
май		400x10	100x10
			300x11
июнь		100x10	200x11
		100x11	
июль	150x11,5		200x11
			150x11,5
август		100x11	100x11
			150x11,5
Поясним, как заполняется таблица.
Во 2-м столбце указаны закупки соответствующего ме-
сяца. В 3-м столбце указаны продажи соответствующего
месяца. В 4-м столбце указан уровень запасов после опера-
ции купли-продажи соответствующего месяца.
После мартовских закупок на складе находятся 500 еди-
ниц продукции, а после апрельских — 500 единиц (мар-
товских) и 300 единиц (апрельских). В мае проданы 400
единиц продукции.
В методе оценки запасов ФИФО при продаже делается
предположение, что запасы, закупленные первыми, первы-
ми и реализуются. Поэтому считаем, что в мае были про-
даны 400 единиц (мартовских), а на складе остаются 100
единиц (мартовских) и 300 единиц (апрельских).
В июне проданы 200 единиц продукции: 100 единиц
(мартовских) и 100 единиц (апрельских). После этой про-
дажи на складе находятся 200 единиц (апрельских), а по-
сле июльских закупок — 200 единиц (апрельских) и 150
единиц (июльских).
В августе были проданы 100 единиц (апрельских). По-
этому после этого на складе находятся 100 единиц (апрель-
ских) и 150 единиц (июльских).
Оценка стоимости запасов на конец августа методом
оценки запасов ФИФО равна 100x11 4- 150x11,5 = 2825 руб.
Задача 2. Начальные запасы отсутствуют. В марте за-
куплены для реализации 300 единиц продукции по цене
15 руб. В апреле закуплены для реализации 400 единиц
продукции по цене 16 руб. В мае проданы 500 единиц про-
дукции по цене 30 руб. В июне проданы 100 единиц про-
дукции по цене 31 руб. В июле закуплены для реализации
200 единиц продукции по цене 16,5 руб. В августе прода-
ны 50 единиц продукции по цене 31,5 руб.
Определить стоимость запасов на конец периода мето-
дом оценки запасов ФИФО.
§ 3.2.	МЕТОД ОЦЕНКИ ЗАПАСОВ ЛИФО
В этом методе оценки стоимости запасов предполагается, что
партия товара, поступившая в запасы последней, реализует-
ся первой. Это предположение имеет место только на бумаге.
Пример 3. В примере 2 определим стоимость запасов
на конец периода методом оценки запасов ЛИФО.
Заполним таблицу.
Месяц	Закупка, руб. (по закупочным ценам)	Прюдажа, руб. (по оценочной стоимости)	Запасы после операции купли-продажи, руб. (по оценочной стоимости)
март	500x10		500x10
апрель	300x11		500x10
			300x11
май		300x11	400x10
		100x10	
июнь		200x10	200x10
июль	150x11,5		200x10
			150x11,5
август		100x11,5	200x10
			50x11,5
Поясним, как заполняется таблица.
В методе оценки запасов ЛИФО при продаже делается
предположение, что запасы, закупленные последними, реа-
лизуются первыми. Поэтому считаем, что в мае были про-
даны 300 единиц (апрельских) и 100 единиц (мартовских),
а на складе остаются 400 единиц (мартовских).
В июне были проданы 200 единиц (мартовских). После
этой продажи на складе находятся 200 единиц (мартов-
ских), а после июльских закупок — 200 единиц (мартов-
ских) и 150 единиц (июльских).
В августе были проданы 100 единиц (июльских). Поэто-
му после этого на складе находятся 200 единиц (мартов-
ских) и 50 единиц (июльских).
Оценка стоимости запасов на конец августа методом
оценки запасов ЛИФО равна 200x10 4- 50x11,5 = 2575 руб.
Задача 3. В задаче 2 определить стоимость запасов на
конец периода методом оценки запасов ЛИФО.
76
§ 3.3.	МЕТОД ОЦЕНКИ ЗАПАСОВ
ПО СРЕДНЕВЗВЕШЕННОЙ
В этом методе оценки стоимости запасов для продукции, на*
ходящейся в запасе, вычисляется средняя стоимость. Метод
средневзвешенной часто применяется там, где имеются боль*
шие количества относительно мелких трудноразличимых
единиц продукции, каждая из которых имеет низкую стои-
мость и которые трудно идентифицировать с конкретной це*
ной (например, гвозди).
Пример 4. В примере 2 определим стоимость запасов
на конец периода методом оценки запасов по средневзве*
шенной.
Заполним таблицу.
Месяц	Закупка, руб. (по закупочным ценам)	Продажа, руб. (по себестои- мости)	Запасы после операции купли-продажи, руб. (по оценочной стоимости)
март	500x10		500x10
апрель	300x11		О П Л 500 х 10 + 300X11 oUU х		 « 800 « 800x10,38
май		400x10,38	400x10,38
июнь		200x10,38	200x10,38
июль	150x11,5		200x10,38+150x11,5 _ 350 = 350x10,86
август		100x10,86	250x10,86
Поясним, как заполняется таблица.
После апрельских закупок на складе находятся 800 еди-
ниц продукции: 500 единиц (мартовских) и 300 единиц (ап*
рельских).	,
Определим их среднюю себестоимость. Для этого сум-
марную стоимость запасов 500x10 + 300x11 нужно разде-
лить на общее число единиц продукции в запасе (800 еди-
ч	500x10 + 300x11	л _
ниц), то есть----------------• 10,38 руб. Поэтому оце-
800
ночная стоимость запасов после апрельских закупок равна
800x10,38 руб.
Из этих запасов в мае и июне продано 400 и 200 еди-
ниц продукции соответственно.
После июльских закупок на складе находятся 350 еди-
ниц продукции: 200 единиц по цене 10,38 руб. и 150 еди-
ниц по цене 11,5 руб.
Определим их среднюю себестоимость. Для этого сум-
марную стоимость запасов 200x10,38 + 150x11,5 нужно
77
разделить на общее число единиц продукции в запасе (350
единиц), то есть-----"350-------- * руб* Поэто-
му оценочная стоимость запасов после июльских закупок
равна 350x10,86 руб.
После продажи в августе 100 единиц продукции на
складе остаются 250 единиц.
Оценка стоимости запасов на конец августа методом
оценки запасов по средневзвешенной равна 250x10,86 =
= 2715 руб.
Задача 4. В задаче 2 определить стоимость запасов на
конец периода методом оценки запасов по средневзвешен-
ной.
§ 3.4.	ВЛИЯНИЕ РАЗЛИЧНЫХ МЕТОДОВ ОЦЕНКИ
ЗАПАСОВ НА РАСЧЕТ ПРИБЫЛИ
Валовая прибыль вычисляется по следующей формуле:
валовая _ объем продаж _ себестоимость
прибыль (по ценам реализации) проданной продукции »
где
себестоимость проданной продукции	sas	запас на начало периода	+	закупки (по закупочной стоимости)	—	запас на конец периода (оценочная стоимость)
В период колебания цен все три метода оценки запасов
показывают различную стоимость запасов на конец периода.
Следовательно, величина валовой прибыли для каждого из
этих методов различна.
Пример 5. Определим валовую прибыль в примерах 2—4.
В каждом из примеров объем продаж равен 400x20 +
+ 200x21 + 100x21,5 -14350 руб., запас на начало периода
равен 0, а закупки — 500x10 + 300x11 + 150x11,5 — 10025
руб. Заполним таблицу.
	ФИФО, руб.	ЛИФО, руб.	Метод средне-* взвешенной, руб.
Объем продаж	14350	14350	14350
Запас на начало марта	0	0	0
Закупки	10025	10025	10025
Запас на конец августа	2825	2575	2715
Себестоимость проданной продукции	7200	7450	7310
Валовая прибыль	7150	6900	7040
78
Поясним, как заполняется таблица. Запас на конец ав-
густа найден в примерах 2—4.
В каждом столбце из суммы чисел 2-й и 3-й строк (За-
пас на начало марта + Закупки) вычитаем число 4-й стро-
ки (Запас на конец августа) и результат пишем в 5-й стро-
ке (Себестоимость проданной продукции).
В каждом столбце из числа 1-й строки (Объем продаж)
вычитаем число 5-й строки (Себестоимость проданной про-
дукции) и результат пишем в 6-й строке (Валовая при-
быль).
Мы видим, что в условиях повышения цен значение ва-
ловой прибыли выше при применении метода оценки запа-
сов ФИФО.
Задача 5. Определить валовую прибыль в задачах 2-4.
79
Глава 4
АМОРТИЗАЦИЯ
При оценке внеоборотных активов возникают те же пробле-
мы, что и при оценке запасов. Как распределить стоимость
внеоборотного актива на весь период его эксплуатации?
Амортизация — это распределение первоначальной стои-
мости внеоборотного актива на период его эксплуатации спо-
собом, учитывающим остаточную стоимость этого актива.
Существуют два основных метода расчета амортизации:
Ф равномерное начисление износа;
< начисление износа с сокращающейся балансовой стои-
мости.
Рассмотрим основные методы расчета амортизации по-
дробнее.
§ 4.1. МЕТОД РАВНОМЕРНОГО НАЧИСЛЕНИЯ
ИЗНОСА
В методе равномерного начисления износа предполагается,
что предприятие получает от использования актива равно-
ценную пользу в течение всего периода эксплуатации. Рас-
чет ежегодно начисляемого износа производится по следую-
S - Р
щей формуле: ежегодное начисление на износ = —-—, где
S — первоначальная стоимость актива, Р — остаточная сто-
имость актива, п — период эксплуатации актива.
Метод равномерного начисления износа очень популярен
из-за своей простоты. Расчеты по нему не требуют много вре-
мени и специальных знаний. Этот метод очень удобен для
активов, с которых предприятие регулярно получает доход
в виде хозяйственной деятельности (например, патентов и
лицензий).
Пример 6. Предприятие купило станок за S — 29000
руб., период эксплуатации которого п = 4 года. После это-
го станок можно будет продать на вторичном рынке за
80
P - 5000 руб. (остаточная стоимость). Определим методом
равномерного начисления износа ежегодные начисления на
износ и балансовую стоимость станка на конец каждого года.
„	S-Р
Ежегодное начисление на износ равно------
п
29000 - 5000	.
=-------------= 6000 руб.
Заполним таблицу.
Год	Первоначальная стоимость, руб.	Начисления на износ на счете прибылей и убытков, руб.	Накопленная амортизация, руб.	Балансовая стоимость на конец года, руб.
1	29000	6000	6000	23000
2	29000	6000	12000	17000
3	29000	6000	18000	11000
4	29000	6000	24000	5000
Поясним, как заполняется таблица.
Накопленная амортизация = (Ежегодное начисление на
износ)х(номер года) в 6000х(номер года).
Балансовая стоимость на конец года = Первоначальная
стоимость — Накопленная амортизация, то есть в каждой
строке из числа 2-го столбца вычитаем число 4-го столбца
и результат пишем в 5-й столбец.
Задача 6. Предприятие купило станок за S = 27000
руб., период эксплуатации которого п = 4 года. После это-
го станок можно будет продать на вторичном рынке за
Р = 7000 руб. (остаточная стоимость). Определить методом
равномерного начисления износа ежегодные начисления
на износ и балансовую стоимость станка на конец каждого
года.
§ 4.2. МЕТОД НАЧИСЛЕНИЯ ИЗНОСА
С СОКРАЩАЮЩЕЙСЯ БАЛАНСОВОЙ СТОИМОСТИ
Для некоторых внеоборотных активов предприятие получа-
ет максимальную пользу в первые годы их эксплуатации
(например, от компьютера). Тогда при начислении аморти-
зации используется норма амортизации — величина, пока-
зывающая, какую долю от оставшейся балансовой стоимос-
ти актива нужно списать в очередной год.
Норма амортизации вычисляется по следующей формуле:
норма амортизации = 1 — ^P/S, где S — первоначальная
стоимость актива, Р — остаточная стоимость актива (Р =/= 0),
п — период эксплуатации актива.
81
Метод начисления износа с сокращающейся балансовой
стоимости никогда полностью не сводит уровень остаточной
стоимости до нуля. Правда, когда величина балансовой сто-
имости актива становится очень незначительной по сравне-
нию с первоначальной стоимостью, она может быть списана
полностью в последний год.
Пример 7. В примере 6 определим методом начисле-
ния износа с сокращающейся балансовой стоимости норму
амортизации, ежегодные начисления на износ и балансо-
вую стоимость станка на конец каждого года.
Норма амортизации = 1 — y/p/S = 1 — ^5000/29000 «
* 0,356, то есть ежегодные начисления на износ составля-
ют 35,6% от балансовой стоимости станка на конец преды-
дущего года.
Заполним таблицу.
Год	Первоначальная стоимость, руб.	Начисления на износ на счете прибылей и убытков, руб.	Накопленная амортизация, руб.	Балансовая стоимость на конец года, руб.
1	29000	10324	10324	18676
2	29000	6648,66	16972,66	12027,34
3	29000	4281,73	21254,39	7745,61
4	29000	2757,44	24011,83	4988,17
Поясним, как заполняется таблица.
Начисления на износ на счете прибылей и убытков для
1-го года равны 29000x0,356 в 10324 руб. Этот результат
запишем в 1-й строке 3-го столбца.
В дальнейшем каждое число 3-го столбца равно произ-
ведению числа из предыдущей строки последнего столбца
и нормы амортизации 0,356. Все результаты округляем до
двух цифр после запятой.
Каждое число 4-го столбца есть сумма числа из этой же
строки 3-го столбца и числа из предыдущей строки 4-го
столбца.
Из чисел 2-го столбца вычитаем числа 4-го столбца и
результат пишем в последний столбец.
Мы видим, что из-за ошибок округления балансовая
стоимость на конец 4-го года 4988,17 руб. отличается от
остаточной стоимости Р - 5000 руб.
Задача 7. В задаче 6 определить методом начисления
износа с сокращающейся балансовой стоимости норму
амортизации, ежегодные начисления на износ и балансо-
вую стоимость станка на конец каждого года.
82
§ 4.3. МЕТОД СУММЫ ГОДИЧНЫХ ЧИСЕЛ
Если остаточная-стоимость Р - 0, то метод начисления из-
носа с сокращающейся балансовой стоимости использовать
нельзя. В этом случае для начисления ускоренной амортиза-
ции можно применить метод суммы годичных чисел — ме-
тод ускоренной амортизации со списанием суммы, равной
долям оставшихся лет в общей сумме лет.
Пример 8. Пусть в примере 6 остаточная стоимость
Р = 0. Определим методом суммы годичных чисел ежегод-
ные начисления на износ и балансовую стоимость станка
на конец каждого года.
Так как станок используется 4 года, то сумма годичных
чисел равна 4 + 3 + 2 + 1-10. Поэтому в 1-й, 2-й, 3-й и
4-й годы сумма амортизационных отчислений равна 4/10,
3/10, 2/10 и 1/10 от первоначальной стоимости станка
(29000 руб.). Заполним таблицу.
Год	Первоначальная стоимость, руб.	Начисления на износ на счете прибылей и убытков, руб.	Накопленная амортизация, руб.	Балансовая стоимость на конец года, руб.
1	29000	11600	11600	17400
2	29000	8700	20300	8700
3	29000	5800	26100	2900
4	29000	2900	29000	0
Задача 8. Пусть в задаче 6 остаточная стоимость
Р = 0. Определить методом суммы годичных чисел ежегод-
ные начисления на износ и балансовую стоимость станка
на конец каждого года.
§ 4.4. СРАВНЕНИЕ МЕТОДОВ НАЧИСЛЕНИЯ
.АМОРТИЗАЦИИ
Два предприятия с одинаковым составом внеоборотных акти-
вов могут получить различные финансовые результаты из-за
использования разных методов начисления амортизации. Вы-
бор метода начисления амортизации влияет на показываемую
чистую прибыль предприятия на конец финансового года.
В методе уменьшающегося остатка (методе начисления
износа с сокращающейся балансовой стоимости, методе сум-
мы годичных чисел) на первые годы приходится большая
часть отчислений на износ, что увеличивает общие затраты
и сокращает чистую прибыль и обязательства по налогам. В
пользу метода уменьшающегося остатка обычно приводят
два аргумента:
83
1) затраты на содержание и ремонт объекта растут по ме-
ре увеличения его срока службы (то есть методом уменьша-
ющегося остатка получается более точный конёчный финан-
совый результат);
2) многие внеоборотные активы теряют значительную
часть своей рыночной стоимости уже в первые годы эксплу-
атации.
Замечание. Мастер функций fx пакета Excel содержит фи-
нансовые функции, которые позволяют вычислить величину
амортизации.
Финансовая функция АМР (в Excel 2002 эта функция на-
зывается АПЛ) возвращает величину амортизации за один
период, начисляемую равномерным способом: fx -* финансо-
вые -> АМР ОК. Появляется диалоговое окно, которое
нужно заполнить. В графах стоимость и ликвиднаястои-
мость указываются первоначальная стоимость актива и лик-
видационная стоимость актива соответственно. В графе вре-
мя_амортизации нужно указать срок использования акти-
ва. ОК. Например, при первоначальной стоимости актива
3000 руб., ликвидационной стоимости 1000 руб. и сроке ис-
пользования актива 4 года величина ежегодной амортиза-
ции равна АМР (3000; 1000; 4) = 500 руб.
Финансовая функция ДОБ (в Excel 2002 эта функция на-
зывается ФУ О) возвращает величину амортизации за один
период, начисляемую методом сокращающегося остатка:
fx -* финансовые -* ДОБ -* ОК. Появляется диалоговое ок-
но, которое нужно заполнить. В графе остаточная_стои-
мость указывается ликвидационная стоимость актива. В
графе время_эксплуатации нужно указать срок использо-
вания актива. В графе период указывается, амортизацион-
ные начисления за какой год интересуют исследователя. Не-
обязательный аргумент месяц показывает число месяцев в
1-м году (по умолчанию 1-й год =12 месяцев). ОК. Напри-
мер, амортизационные начисления за 3-й год методом со-
кращающегося остатка равны ДОБ (3000; 1000; 4; 3) «
« 415,87 руб.
Финансовая функция АМГД (в Excel 2002 эта функция
называется АСЧ) возвращает величину амортизации для
указанного периода, начисляемую по методу суммы годич-
ных чисел: fx -* финансовые -► АМГД -» ОК. Появляется
диалоговое окно, которое нужно заполнить. В графе жизнь
нужно указать срок эксплуатации актива. ОК. Например,
амортизационные начисления за 3-й год по методу суммы
годичных чисел равны АМГД (3000; 1000; 4; 3) = 400 руб.
84
Глава 5
РАСЧЕТ ЗАДОЛЖЕННОСТИ
НА КОНЕЦ ОТЧЕТНОГО
ПЕРИОДА
§ 5.1 РАСЧЕТ САЛЬДО ДЕБИТОРСКОЙ
ЗАДОЛЖЕННОСТИ НА КОНЕЦ ОТЧЕТНОГО ПЕРИОДА
Сальдо дебиторской задолженности на конец отчетного пе-
риода — это сумма, которую задолжали предприятию кли-
енты на конец отчетного периода. Оно вычисляется по сле-
дующей формуле:
сальдо дебиторской
задолженности на конец
отчетного периода
сальдо дебиторской
задолженности на нача-
ло отчетного перйода
продажи
в кредит
поступле-
ния от де-
биторов
Пример 9. Сальдо дебиторской задолженности на нача-
ло финансового года было равно 20000 руб. В течение года
имели место следующие операции: продажи в кредит рав-
ны 50000 руб., а поступления от дебиторов — 45000 руб.
Определим сальдо дебиторской задолженности на конец фи-
нансового года.
Сальдо дебиторской задолженности на конец финансо-
вого года = сальдо дебиторской задолженности на начало
финансового года +< продажи в кредит — поступления от де-
биторов - 20000 + 50000 - 45000 = 25000 руб.
Задача 9. Сальдо дебиторской задолженности на нача-
ло финансового года было равно 25000 руб. В течение года
имели место следующие операции: продажи в кредит рав-
ны 45000 руб., а поступления от дебиторов — 40000 руб.
Определить сальдо дебиторской задолженности на конец
финансового года.
§ 5.2. РАСЧЕТ САЛЬДО КРЕДИТОРСКОЙ
ЗАДОЛЖЕННОСТИ НА КОНЕЦ ОТЧЕТНОГО ПЕРИОДА
Сальдо кредиторской задолженности на конец отчетного
периода — это сумма, которую предприятие задолжало по-
85
ставщикам на конец отчетного периода. Оно вычисляется по
следующей формуле:
сальдо кредиторской задолженности на конец отчетного периода	=	сальдо кредиторской задолженности на начало отчетного периода	4-	закупки в кредит	—	выплаты по кредиторской задолженности
Пример 10. Сальдо кредиторской задолженности на на-
чало финансового года было равно 20000 руб. В течение го-
да имели место следующие операции: закупки в кредит
равны 55000 руб., а выплаты по кредиторской задолжен-
ности — 40000 руб. Определим сальдо кредиторской задол-
женности на конец финансового года.
Сальдо кредиторской задолженности на конец финансо-
вого года = сальдо кредиторской задолженности на начало
финансового года 4- закупки в кредит - выплаты по креди-
торской задолженности = 20000 + 55000 - 40000 s 35000
руб.
Задача 10. Сальдо кредиторской задолженности на на-
чало финансового года было равно 25000 руб. В течение го-
да имели место следующие операции: закупки в кредит
равны 35000 руб., а выплаты по кредиторской задолжен-
ности — 45000 руб. Определить сальдо кредиторской за-
долженности на конец финансового годй.
86
Глава 6
АНАЛИЗ РЕЗУЛЬТАТОВ
ДЕЯТЕЛЬНОСТИ ПРЕДПРИЯТИЯ
§ 6.1. ИНТЕРПРЕТАЦИЯ ДОКУМЕНТОВ
ФИНАНСОВОЙ ОТЧЕТНОСТИ
Финансовая отчетность предприятия — это наиболее объ-
ективный источник информации о предприятии и эффектив-
ности его деятельности, который доступен менеджерам, ин-
весторам и конкурентам. Инвесторы на основании финансо-
вой отчетности делают вывод о целесообразности инвести-
ций в акции предприятия. Опубликованные финансовые от-
четы помогают конкурентам оценить относительную устой-
чивость предприятия в отрасли.
Внутри предприятия документы финансовой отчетности
используются для оценки сильных и слабых сторон финан-
совой деятельности предприятия* его готовности к использо-
ванию предоставляемых возможностей и противостоянию
грозящим рискам, проистекающим из внешней среды бизне-
са, а также соответствия достигнутых предприятием резуль-
татов ожиданиям его инвесторов. Необходимо сопоставить
результаты предприятия с результатами его ближайших
конкурентов и со среднеотраслевыми стандартами.
Анализ данных прошлых периодов — это первый шаг в
определении финансовой стратегии предприятия и установ-
лении четких задач на будущее. Такой анализ создает неко-
торый контроль над деятельностью предприятия в будущем.
§ 6.2. СУТЬ АНАЛИЗА ФИНАНСОВЫХ
КОЭФФИЦИЕНТОВ
Из всего вышесказанного следует, что необходим простой
инструмент, позволяющий сосредоточить внимание на са-
мых важных областях деятельности предприятия и сопоста-
87
вить результаты деятельности различных предприятий. Од-
ним из таких инструментов является анализ финансовых
коэффициентов, который использует вычисление финансо-
вых коэффициентов как отправную точку для интерпрета-
ции финансовой отчетности.
Коэффициент — это отношение одного показателя к дру-
гому. Анализ финансовых коэффициентов используется в
целях контроля за хозяйственной деятельностью предприя-
тия и для выявления сильных и слабых сторон предприя-
тия относительно конкурентов, а также при планировании
деятельности предприятия на будущее.
Расчет финансовых коэффициентов сосредоточен в основ-
ном на трех ключевых областях бизнеса:
	О прибыльность (управление процессом покупки и про-
дажи);
	О использование ресурсов (управление активами);
	О доходы инвесторов.
Как определить те возможности, которые обеспечивают
эффективность хозяйственной деятельности предприятия (то
есть наиболее высокую отдачу при минимально возможном
размере инвестиций и разумной степени риска)? Ответ на
это вопрос дают такие финансовые показатели, как эффек-
тивность использования ресурсов и рентабельность.
§ 6.3. ЭФФЕКТИВНОСТЬ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ РЕСУРСОВ
В этом разделе мы попытаемся дать ответ на следующий во-
прос: каков объем продаж на каждый вложенный инвесто-
ром рубль в рассматриваемом отчетном периоде?
$ 6.3.1. Коэффициент оборачиваемости активов
Коэффициент оборачиваемости активов вычисляется по
следующей формуле:
коэффициент
оборачиваемости
активов
= объем продаж
суммарные
чистые активы »
где
суммарные _ внеоборотные
чистые активы активы
оборотные
активы
краткосрочные
обязательства
Коэффициент оборачиваемости активов показывает, ка-
кой объем продаж приходится на каждый вложенный инве-
стором рубль в рассматриваемом отчетном периоде.
88
Пример 11. На конец финансового года внеоборотные
активы предприятия равны 100000 руб., оборотные акти-
вы — 40000 руб., а краткосрочные обязательства — 30000
руб. В течение отчетного финансового года объем продаж
равен 300000 руб. Определим коэффициент оборачиваемос-
ти активов.
Суммарные чистые активы = внеоборотные активы +
+ оборотные активы — краткосрочные обязательства ==
- 100000 + 40000 - 30000 - 110000 руб.
Тогда коэффициент оборачиваемости активов = (объем
продаж)/(суммарные чистые активы) = 300000/110000 •
= 2,73, то есть на каждый вложенный инвестором рубль
приходится объем продаж 2,73 руб. в рассматриваемом от-
четном периоде.
Задача 11. На конец финансового года внеоборотные
активы предприятия равны 120000 руб., оборотные акти-
вы — 50000 руб., а краткосрочные обязательства — 60000
руб. В течение отчетного финансового года объем продаж
равен 350000 руб. Определить коэффициент оборачиваемо-
сти активов.
Коэффициент оборачиваемости активов у розничного тор-
говца всегда выше, чем у производителя, так как произво-
дителю необходимо осуществлять крупные инвестиции в ма-
шины и оборудование (то есть производство более капитало-
емкое). А розничный торговец продает товары, произведен-
ные кем-то другим.
На коэффициент оборачиваемости активов можно повли-
ять, изменив либо объем продаж (с помощью маркетинговой
деятельности), либо размер вложенного капитала (изменив
структуру краткосрочного капитала предприятия или за счет
изменения инвестиций во внеоборотные активы).
»
§ 6.3.2. Ликвидность
Ликвидность, — это показатель способности предприятия
погашать краткосрочные обязательства за счет оборотных
активов. Предприятие считается ликвидным, если в его рас-
поряжении имеется достаточно оборотных активов для по-
крытия всех краткосрочных долговых обязательств.
Ликвидность анализируют с помощью двух финансовых
коэффициентов: коэффициента текущей ликвидности и ко-
эффициента срочной ликвидности.
Коэффициент текущей ликвидности вычисляется по
следующей формуле:
89
коэффициент
текущей
ликвидности
оборотные
активы
краткосрочные
обязательства
Коэффициент текущей ликвидности показывает соотно-
шение между стоимостью оборотных активов предприятия,
которые ликвидны в том смысле, что могут быть обращены
в наличные денежные средства в следующем финансовом го-
ду, и задолженностью, которая подлежит погашению в том
же финансовом году.
Оптимальный размер ликвидности определяется хозяйст-
венной деятельностью предприятия. У большинства промыш-
ленных предприятий коэффициент текущей ликвидности дер-
жится на относительно высоком уровне (порядка 1,25—1,85),
так как запасы в основном состоят из сырья, полуфабрикатов
и готовой'продукции. Поэтому в случае необходимости их
трудно оперативно реализовать за полную стоимость.'
Пример 12. На конец финансового года запасы пред-
приятия равны 30000 руб., дебиторская задолженность —
15000 руб., кассовая наличность — 5000 руб., а кратко-
срочные обязательства — 55000 руб. Определим коэффици-
ент текущей ликвидности.
Оборотные активы = запасы + дебиторская задолжен-
ность + кассовая наличность = 30000 + 15000 + 5000 =
- 50000 руб.
Тогда коэффициент текущей ликвидности - (оборотные
активы)/(краткосрочные обязательства) - 50000/55000 »
« 0,91.
Мы видим, что предприятие является неликвидным,
так как в случае немедленного погашения всех краткосроч-
ных обязательств помимо реализации всех собственных
оборотных активов оно должно найти дополнительные де-
нежные средства из иных источников.
Для погашения каждого рубля краткосрочных обяза-
тельств предприятие сможет немедленно мобилизовать 0,91
руб. путем реализации запасов, истребования дебиторской
задолженности и использования кассовой наличности, а
1 - 0,91 = 0,09 руб. придется привлекать со стороны.
Задача 12. На конец финансового года запасы пред-
приятия равны 35000 руб., дебиторская задолженность —
13000 руб., кассовая наличность — 4000 руб., а кратко-
срочные обязательства — 58000 руб. Определить коэффи-
циент текущей ликвидности..
Коэффициент срочной ликвидности вычисляется по сле-
дующей формуле:
90
коэффициент
срочной
ликвидности
оборотные
активы -запасы
краткосрочные
обязательства
Коэффициент срочной ликвидности показывает, какая
часть задолженности может быть погашена в короткий срок
за счет оборотных активов, если запасы не представляется
возможным перевести в наличные денежные средства. Для
промышленного предприятия такое предположение вполне
разумно.
Пример 13. Определим коэффициент срочной ликвид-
ности в примере 12.
Оборотные активы — запасы = дебиторская задолжен-
ность + кассовая наличность = 15000 + 5000 - 20000 руб.
Тогда коэффициент срочной ликвидности - (оборотные
активы — запасы)/(краткосрочные обязательства) -
20000/55000 « 0,36.
Мы видим, что в случае немедленного погашения всех
краткосрочных обязательств, если предприятие по каким-
то причинам не сможет реализовать свои запасы, ему при-
дется привлекать со стороны 1 - 0,36 - 0,64 руб. на каж-
дый рубль краткосрочных обязательств.
Задача 13. Определить коэффициент срочной ликвид-
ности в задаче 12.
§ 6.3.3. Влияние хозяйственных операций
на уровень ликвидности
С точки зрения возможных требований о немедленном пога-
шении задолженности кредиторам предприятию выгодно
иметь наличные денежные средства или активы, которые
можно перевести в наличные денежные средства. Низкий
же показатель ликвидности говорит о том, что только не-
большая часть ресурсов задействована в оборотном капитале
и предприятие использует коммерческий кредит в качестве
источника краткосрочного финансирования. Контролируя
запасы и дебиторскую задолженность, устанавливая довери-
тельные отношения с торговыми кредиторами, можно уп-
равлять оборотным капиталом предприятия.
Для оценки используют следующие показатели:
коэффициент оборачиваемости запасов;
Ф период оборачиваемости дебиторской задолженности;
ф период оборачиваемости кредиторской задолженности.
Оптимальный уровень этих показателей в значительной
степени зависит от специфики отрасли, в которой действует
91
предприятие, и от системы управления предприятием. Далее
рассмотрим перечисленные показатели подробнее.
Коэффициент оборачиваемости запасов вычисляется по
следующей формуле:
коэффициент
оборачиваемости
запасов
себестоимость
проданной
продукции
средний размер
запаса
Коэффициент оборачиваемости запасов показывает, како-
ва оборачиваемость запасов в течение финансового года. Чем
выше коэффициент оборачиваемости запасов, тем меньше
размер денежных средств, связанных в запасах.
Пример 14. На конец финансового года запасы пред-
приятия равны 30000 руб., а себестоимость проданной про-
дукции - 120000 руб. Определим коэффициент оборачива-
емости запасов.
Коэффициент оборачиваемости запасов = (себестои-
мость проданной продукции)/(средний размер запаса) =
120000/30000 = 4, то есть в течение финансового года обо-
рачиваемость запасов равна 4.
Задача 14. На конец финансового года запасы пред-
приятия равны 35000 руб., а себестоимость проданной про-
дукции — 105000 руб. Определить коэффициент оборачи-
ваемости запасов.
Период оборачиваемости дебиторской задолженности
вычисляется по следующей формуле:
период оборачиваемости дебиторской задолженности (в днях)	- 365 х	дебиторская задолженность
объем продаж
в кредит
Период оборачиваемости дебиторской задолженности по-
казывает,' через сколько дней в среднем дебиторы погашают
свою задолженность предприятию.
Производитель часто вынужден предоставлять благопри-
ятные условия коммерческого кредита для поддержания
конкурентоспособности в борьбе за оптовых и розничных
торговцев.
Предприятие стремится свести к минимуму уровень де-
биторской задолженности, поощряя за раннее погашение за-
долженности и уведомляя о наступлении срока погашения
обязательств.
Пример 15. На конец финансового года дебиторская
задолженность предприятия равна 30000 руб., а объем про-
даж в кредит — 150000 руб. Определим период оборачива-
емости дебиторской задолженности.
92
Период оборачиваемости дебиторской задолженности =
= 365 х(дебиторская задолженность)/(объем продаж в кре-
дит) - 365x30000/150000 - 73 дня, то есть в прошедшем
финансовом году дебиторы погашали свою задолженность
предприятию в среднем через 73 дня.
Задача 15. На конец финансового года дебиторская за-
долженность предприятия равна 35000 руб., а объем про-
даж в кредит — 100000 руб. Определить период оборачива-
емости дебиторской задолженности.
Период оборачиваемости кредиторской задолженности
вычисляется по следующей формуле:
период оборачиваемости
кредиторской задолжен-
ности (в днях)
= 365 х
кредиторская
задолженность
объем закупок
в кредит
Период оборачиваемости кредиторской задолженности по-
казывает, через сколько дней в среднем предприятие опла-
чивало предъявленные счета кредиторов.
Пример 16. На конец финансового года кредиторская
задолженность предприятия равна 30000 руб., а объем за-
купок в кредит — 90000 руб. Определим период оборачи-
ваемости кредиторской задолженности.
Период оборачиваемости кредиторской задолженности =
= 365х (кредиторская задолженность)/(объем закупок в кре-
дит) - 365x30000/90000 » 122 дня, то есть в прошедшем
финансовом году предприятие оплачивало предъявленные
счета кредиторов в среднем через 122 дня после предъяв-
ления этих счетов.
Задача 16. На конец финансового года кредиторская
задолженность предприятия равна 35000 руб., а объем за-
купок в кредит — 140000 руб. Определить период оборачи-
ваемости кредиторской задолженности.
Три рассмотренных показателя (коэффициент оборачивае-
мости запасов, период оборачиваемости дебиторской задол-
женности и период оборачиваемости кредиторской задолжен-
ности) наиболее ценны для среднего звена руководства пред-
приятием при выработке целей и осуществлении контроля
управления. Однако их невозможно вычислить тем, кто не
работает на этом предприятии и не имеет доступа к инфор-
мации, так как такая информация нигде не публикуется.
Из-за колебания уровня запасов в течение года указанное
в балансе количество запасов можно рассматривать лишь
как приблизительную оценку реального среднего размера за-
пасов. В опубликованном счете прибылей и убытков не ука-
93
зывается доля продаж и закупок, осуществляемых в кредит.
Поэтому к любой оценке этих финансовых коэффициентов,
сделанной аналитиками, не работающими на изучаемом
предприятии, нужно подходить очень осторожно.
§ 6.4. РЕНТАБЕЛЬНОСТЬ
В этом параграфе мы постараемся найти ответ на вопрос о
том, насколько прибыльна каждая продажа.
Рентабельность предприятия — это отношение факти-
ческой прибыли к объему продаж. Используя счет прибы-
лей и убытков, вычисляют два показателя рентабельности
предприятия: чистую маржу и валовую маржу. Рассмотрим
их подробнее.
Чистая маржа вычисляется по следующей формуле:
[	чистая маржа | = {| чистая прибыль | : | объем продаж | j х 100%.
Чистая маржа показывает, какая доля объема продаж ос-
тается у предприятия в виде чистой прибыли после покры-
тия себестоимости проданной продукции и всех расходов
предприятия. Этот показатель может служить указателем
допустимого уровня рентабельности, при котором предприя-
тие еще не терпит убытки.
На чистую маржу можно влиять ценовой политикой пред-
приятия (валовая маржа и наценка) и контролем над затра-
тами.
Валовая маржа вычисляется по следующей формуле:
[	валовая маржа | = (| валовая прибыль | : | объем продаж | j х 100% .
Наблюдается обратная зависимость между валовой мар-
жой и оборачиваемостью запасов: чем ниже оборачиваемость
запасов, тем выше валовая маржа; чем выше оборачивае-
мость запасов, тем ниже валовая маржа.
Производители должны обеспечивать себе более высокую
валовую маржу по сравнению с торговлей, так как их про-
дукт больше времени находится в производственном процес-
се. Валовая маржа определяется политикой ценообразования.
С валовой маржой не следует путать другой инструмент
ценообразования — наценку 9 которая вычисляется по следу-
ющей формуле:
наценка
валовая прибыль ;
себестоимость
проданной продукции
X 100%.
94
При установлении наценки следует исходить из желае-
мой стратегической позиции предприятия относительно кон-
курентов.
На одном конце рыночного спектра находятся предприя-
тия, обеспечивающие высокое качество и назначающие за-
ведомо высокие цены (то есть имеющие невысокий объем
продаж). На другом конце рыночного спектра — предприя-
тия, продающие большие объемы товара по низким ценам.
Пример 17. Определим в примере 1 чистую маржу, ва-
ловую маржу и наценку.
Чистая маржа = (чистая прибыль)/(объем продаж) х 100%
в 80000/200000x100% = 40%. Поэтому из каждого 1 руб.
объему продаж чистая прибыль после покрытия себестои-
мости проданной продукции и всех расходов предприятия
составляет 0,4 руб.
Валовая маржа = (валовая прибыль)/(объем продаж) х 100%
= 110000/200000x100% = 55%.
Наценка « (валовая прибыль)/(себестоимость проданной
продукции)х 100% = 110000/90000x100% « 122%.
Задача 17. Определить в задаче 1 чистую маржу, ва-
ловую маржу и наценку.
суммарный \	1ПП0/
объем продаж I л '°
денежная сумма
^скидки
процент
скидки
§ 6.4.1. Скидка с цены (уценка)
Оптовым и розничным торговцам чрезвычайно важно разо-
браться в существе не только наценок, но и скидок. Про-
цент произведенной скидки с цены вычисляется по следую-
щей формуле:
-(
Пример 18. В марте закуплены для реализации 500
единиц продукции по цене 10 руб. В апреле-июле прода-
ны 300 единиц продукции по цене 20 руб. В начале авгус-
та непроданный товар был уценен до 15 руб. за единицу.
По этой цене проданы 100 единиц продукции. Определим
процент скидки.
Денежная сумма скидки равна 100х(20 - 15) = 500 руб.,
а суммарный объем продаж составил 300x20 + 100x15 =
= 7500 руб.
Тогда процент скидки = (денежная сумма скидки)/(сум-
марный объем продаж)х100% = 500/7500x100% » 6,7%.
95
Задача 18. В марте закуплены для реализации 600
единиц продукции по цене 15 руб. В апреле-июле прода-
ны 450 единиц продукции по цене 25 руб. В начале авгус-
та непроданный товар был уценен до 15 руб. за единицу.
По этой цене проданы 50 единиц продукции. Определить
процент скидки.
§ 8.5. ОЦЕНКА ФИНАНСОВЫХ РЕЗУЛЬТАТОВ
ДЕЯТЕЛЬНОСТИ ПРЕДПРИЯТИЯ
Детальный анализ финансовых коэффициентов применим
только для внутренних целей менеджмента. Инвесторам же
необходим простой показатель, отражающий в обобщенном
виде другие финансовые коэффициенты и дающий ответ на
вопрос о том, как действует данное предприятие по сравне-
нию с другими предприятиями данной отрасли. Под финан-
совыми результатами мы будем понимать прибыль, получен-
ную на каждый вложенный в предприятие рубль.
Основной показатель здесь — это коэффициент рента-
бельности чистых активов ROCE (англ. Return on Capital
Employed), который вычисляется по следующей формуле:
ROCE | = I I чистая прибыль I ; I суммарные чистые активы I j х 100%,
где
суммарные
чистые активы
внеоборотные . оборотные _ краткосрочные
активы "г активы обязательства
Величина ROCE показывает, какова чистая прибыль с
каждого рубля, вложенного инвесторами в предприятие.
Так как
ROCE
(объем
продаж
коэффициент
оборачиваемости активов
чистая
маржа »
то коэффициент рентабельности чистых активов ROCE ис-
пытывает влияние эффективности использования ресурсов
(оценивается коэффициентом оборачиваемости активов) и
рентабельности (оценивается чистой маржой).
Пример 19. В примере 11 чистая прибыль равна 35000
руб. Определим коэффициент рентабельности чистых акти-
вов.
96
Коэффициент рентабельности чистых активов ROCE -
= (чистая прибыль)/(суммарные чистые активы)хЮО% -
= 35000/110000x100% * 32%, то есть чистая прибыль с
каждого рубля, вложенного инвесторами в предприятие,
равна 0,32 руб.
Задача 19. В задаче 11 чистая прибыль равна 40000
руб. Определить коэффициент рентабельности чистых ак-
тивов.
Невозможно оценить весь набор рассмотренных коэффи-
циентов как «плохой» или «хороший», пока не будут прове-
дены детальный анализ или сопоставление этих показателей
с предыдущими результатами предприятия и со стандарт-
ными показателями по отрасли в целом. Поэтому следует
проявлять осторожность в толковании финансовых показа-
телей и не делать поспешных выводов без полной информа-
ции о предприятии и отрасли в целом.
97
Глава 7
ОБЛИГАЦИИ
§ 7.1. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ
Двумя основными формами корпоративного капитала явля-
ются кредит и обыкновенные акции. В этой главе мы рас-
смотрим оценку стоимости облигаций — основного типа дол-
госрочных кредитов.
Облигация — это долговое обязательство, выпускаемое
коммерческой компанией или государством, в соответствии
с которым эмитент (то есть заемщик, выпустивший облига-
цию) гарантирует кредитору выплату определенной суммы в
фиксированный момент времени в будущем и периодичес-
кую выплату назначенных процентов (по фиксированной
или плавающей процентной ставке).
Номинальная (нарицательная) стоимость облигации —
это величина денежной суммы, указанная на облигации, ко-
торую эмитент берет взаймы и обещает выплатить по исте-
чении определенного срока (срока погашения).
Дата погашения г— это день, когда должна быть выпла-
чена номинальная стоимость облигации. Многие облигации
содержат условие, по которому эмитент имеет право выкупа
облигации до истечения срока погашения. Такие облигации
называются отзывными. Эмитент облигации обязан перио-
дически (обычно раз в год или полгода) выплачивать опре-
деленные проценты от номинальной стоимости облигации.
Купонная процентная ставка — это отношение суммы
выплачиваемых процентов к номинальной стоимости обли-
гации. Она определяет первоначальную рыночную стоимость
облигации: чем выше купонная процентная ставка, тем вы-
ше рыночная стоимость облигации. В момент выпуска обли-
гации купонная процентная ставка полагается равной ры-
ночной процентной ставке.
В течение месяца с момента выпуска облигации называ-
ются облигациями нового выпуска. Если облигация продает-
ся на вторичном рынке более месяца, то она называется об-
ращающейся облигацией.
98
§ 7.2. ОСНОВНОЙ МЕТОД ОЦЕНКИ СТОИМОСТИ
ОБЛИГАЦИЙ
Облигацию можно рассматривать как простую ренту постну-
мерандо, состоящую из выплат купонных процентов и возг
мещения номинальной стоимости облигации. Поэтому теку-
щая стоимость облигации равна современной стоимости этой
ренты.
Пусть i — текущая рыночная процентная ставка, k — ку-
понная процентная ставка, Р — номинальная стоимость об-
лигации, п — оставшийся срок до погашения облигации,
R = kP — купонный платеж, Ап — текущая рыночная стои-
мость облигации.
R	R	R	R	•••	R	R	R+P
о,..	— о -I	— О 	-О	'	'О	0	0	о
О	1	2	3	4	...	п-2	п-1	п
1 -• 1/(1 + l\n
Тогда Ап = R-----;----- + Р/(1 + Оп. Мы воспользовались
формулой для современной стоимости простой ренты пост-
нумерандо.
Пример 20. Номинальная стоимость облигации
Р = 5000 руб., купонная процентная ставка k = 15%, ос-
тавшийся срок до погашения облигации п - 3 года, теку-
щая рыночная процентная ставка i = 12%. Определим те-
кущую рыночную стоимость облигации.
Величина купонных платежей равна R - kP = 0,15x5000
= 750 руб. Тогда текущая рыночная стоимость облигации
_ д 1-17(1+ У + д/ + . . 750AzW1±M2>1 +
4	i	0,12
+ —5000	s 5360,27 руб., то есть в случае i < k текущая
(1+0Д2)3
рыночная стоимость облигации выше номинальной стоимо-
сти облигации Р.
Задача 20. Определить текущую рыночную стоимость
облигации в примере 20, если текущая рыночная процент-
ная ставка i = 18%.
§ 7.3. НОРМА ПРИБЫЛИ ОБЛИГАЦИИ
Другой важнейшей характеристикой облигации является
норма прибыли. Норма прибыли вычисляется по следующей
формуле:
99
норма
прибыли
текущая доходность . доходность за счет изменения
за период	цены за период
Здесь
текущая доходность
за период
купонный
платеж
цена облигации
в начале периода >
цена облигации
в начале
периода !
Отсюда
цена облига-
ции в начале
периода
Пример 21. Облигация номинальной стоимостью
Р — 1000 руб. с купонной процентной ставкой k - 10% бы-
ла куплена в начале года за 1200 руб. (то есть по цене вы-
ше номинальной стоимости). После получения купонного
платежа в конце года облигация была продана за 1175 руб.
Определим норму прибыли за год.
Величина купонных платежей равна R = kP = 0,1x1000 =
= 100 руб.
Тогда норма прибыли - (купонный платеж 4- цена об-
лигации в конце периода — ц$на облигации в начале пери-
ода)/(цена облигации в начале периода) = (100 4- 1175 —
- 1200)/1200 = 0,0625 (= 6,25%).
Задача 21. Облигация номинальной стоимостью
Р « 1000 руб. с купонной процентной ставкой k - 15% бы-
ла куплена в начале года за 700 руб. (то есть по цене ниже
номинальной стоимости). После получения купонного пла-
тежа в конце года облигация была продана за 750 руб. Оп-
ределить норму прибыли за год.
§ 7.4. ДОХОДНОСТЬ ОБЛИГАЦИИ ПРИ ПОГАШЕНИИ
В КОНЦЕ СРОКА
Очень часто инвестор решает задачу сравнения между собой
различных облигаций. Как определить процентную ставку
(доходность), в соответствии с которой облигация приносит
доход? Для этого нужно решить относительно I уравнение
А„ = д1~1/(1+0п + р/(1 + у
I
Мы рассмотрим два приближенных метода решения это-
го нелинейного уравнения.
100
§ 7.4.1. Метод средних
Находим общую сумму выплат по облигации (все купонные
платежи и номинальная стоимость облигации):
Тогда
общая
прибыль
__ общая сумма _ цена покупки
выплат	облигации
средняя прибыль за один период	=	общая прибыль		число периодов
средняя стоимость		номинальная	1	цена покупки
облигации		стоимость облигации		облигации
2.
Тогда доходность облигации вычисляется по следующей
формуле:
доходность средняя прибыль
облигации за один период
средняя стоимость
облигации
Пример 22. Облигация номинальной стоимостью
Р - 1000 руб. с купонной процентной ставкой k = 10% и
сроком погашения п - 10 лет была куплена за 1200 руб.
Определим доходность облигации методом средних.
Величина купонных платежей равна R = kP = 0,1 х 1000 =
100 руб.
Тогда общая сумма выплат равна nR + Р — 10x100 +
+ 1000 = 2000 руб.
Отсюда общая прибыль = общая сумма выплат - цена
покупки облигации - 2000 — 1200 - 800 руб.
Поэтому средняя прибыль за один период = (общая при*
быль)/(число периодов) - 800/10 s 80 руб.
Средняя стоимость облигации = (номинальная стой*
мость облигации + цена покупки облигации)/2 = (1000 +
+ 1200)/2 - 1100 руб.
Тогда доходность облигации = (средняя прибыль за один
период)/(средняя стоимость облигации) равна 80/1100 =
» 0,073 (= 7,3%).
Задача 22. Облигация номинальной стоимостью
Р — 1000 руб. с купонной процентной ставкой k = 15% и
сроком погашения п - 10 лет была куплена за 800 руб. Оп-
ределить доходность облигации методом средних.
§ 7.4.2. Метод интерполяции
Метод интерполяции позволяет получить более точное при-
ближенное значение доходности облигации, чем метод сред-
них. Используя метод средних, нужно найти два различных
101
близких значения текущей рыночной процентной ставки 1$
и таких, что текущая рыночная цена облигации Ап за-
ключена между Ал(гх) и An(i0): An(ix) < Ап < Ал(£0), где зна-
чения An(z0) и Ал(ц) вычисляются по следующей формуле:
1 — 1/(1 +
Ал(0 == R---—----— + Р/(1 + 0". Здесь Р — номинальная
1 —1/(1 + О,О7)10
0,07
I
стоимость облигации, п — оставшийся срок до погашения
облигации, R — купонный платеж.
Тогда приближенное значение доходности облигации рав-
1 *!«+ - '«’
Ал(^1) Ал(го)
Пример 23. Определим доходность облигации методом
интерполяции в примере 22.
Методом средних получено значение доходности обли-
гации i - 0,073. Положим Iq - 0,07 и = 0,08 и опреде-
лим текущую стоимость облигации при этих значениях ры-
ночной процентной ставки:
А„(«о) =	+ Р/(1 + i0)" = 100
«0
+---1000	• 1210,71 руб.
(1 + 0.07)10
Ап(ц) - Д1~1А1 + Ч>П + p/(i +	_ юо
ц
,	1000	ж
+---------— « 1134,20 руб.
(1 + О,О8)10
Так как Ал = 1200 руб., то условия Ал(ц) < Ал < An(ig)
выполнены (1134,20 < 1200 < 1210,71).
Тогда приближенное значение доходности облигации
равно:
, л , АЛ-АЛ(М) ч	1200-1210,71
i « in +--2--- (ii - io) “ 0,07 +-----------------x
0 Ал(ц) - An(i0) 1 °	1134,20 - 1210,71
x(0,08 - 0,07) « 0,071 (== 7,1%).
Задача 23. Определить доходность облигации методом
интерполяции в задаче 22.
1 —1/(1 + О,О8)10
0,08
§ 7.5. ДОХОДНОСТЬ ОТЗЫВНЫХ ОБЛИГАЦИЙ
Отзывные облигации содержат условие, по которому эми-
тент имеет право выкупа облигации до истечения срока по-
гашения. Инвестор должен учитывать это условие при вы-
числении доходности такой облигации.
102
Доходность отзывной облигации находим из следующего
1 —1/(1 + i)N
уравнения:	= R----------— + Т/(1 + i)N, где — теку-
i
щая рыночная стоимость облигации, Р — номинальная сто-
имость облигации, N — оставшийся срок до момента отзыва
облигации, R — купонный платеж, Т — цена отзыва обли-
гации (сумма, выплачиваемая эмитентом в случае досрочно-
го погашения облигации).
Приближенное значение доходности отзывной облигации
можно определить методом средних или методом интерпо-
ляции.
Замечание. Мастер функций fx пакета Excel содержит фи-
нансовые функции ЦЕНА тл. ДОХОД, которые позволяют вы-
числить текущую рыночную стоимость облигации и доход-
ность облигации соответственно. Чтобы эти функции были
доступны, должна быть установлена надстройка Пакет ана-
лиза: выбрать Сервис Надстройки и поставить «галочку»
рядом с командой Пакет анализа. Если команда Пакет
анализа отсутствует, то нужно доустановить Excel.
Финансовая функция ЦЕНА (PRICE) возвращает теку-
щую рыночную стоимость облигации номинальной стоимос-
тью 100 руб.: fx г-> финансовые ЦЕНА ОК. Появляется
диалоговое окно, которое нужно заполнить. Датасогл
(Settlement) — это дата, на которую определяется текущая
рыночная стоимость Ап облигации (в формате даты). Да-
та_вступл_в_силу (Maturity) — это дата погашения обли-
гации (в формате даты). Ставка (Rate) — это купонная про-
центная ставка k. Доход (Yld) — это текущая рыночная про-
центная ставка i. Погашение (Redemption) — это номиналь-
ная стоимость облигации (= 100 руб.). Частота (Frequency)
— это число купонных платежей в году. Базис (Basis) — это
практика начисления процентов, возможные значения:
0 или не указан (американская, 1 полный месяц = 30 дней,
1 год = 360 дней); 1 (английская); 2 (французская); 3 (срок
равен фактическому числу дней, 1 год = 365 дней); 4 (не-
мецкая). ОК.
В примере 20 будем считать, что «9.6.2004» и «9.6.2007»
— это дата, на которую определяется рыночная цена обли-
гации, и дата погашения облигации соответственно. Тогда
Ап = 50хЦЕНА(«9.6.2004»; «9.6.2007»; 0,15; 0,12; 100; 1) »
» 5360,27 руб.
Финансовая функция ДОХОД (YIELD) возвращает доход-
ность облигации: fx -»* финансовые -» ДОХОД -» ОК. Появ-
103
ляется диалоговое окно, которое нужно заполнить. Цена (Рг)
— это текущая рыночная стоимость облигации. ОК.
В примере 22 будем считать, что «9.6.2004» и «9.6.2014»
— это текущая дата и дата погашения облигации соответст-
венно. Тогда доходность облигации i = ДОХОД(«9.6.2004»;
«9.6.2014»; 0,1; 120; 100; 1) « 0,071346946.
104
Глава 8
АКЦИИ
Акционерным обществом признается общество, уставный
капитал которого разделен на определенное число акций.
Участники акционерного общества (акционеры) не отвечают
по его обязательствам и несут риск убытков, связанных с
деятельностью общества, в пределах стоимости принадлежа-
щих им акций.
Акции — это ценные бумаги, выпускаемые акционерным
обществом для финансирования своей деятельности и указы-
вающие на долю владельца в капитале данного акционерного
общества. Существует несколько видов акций, различающих-
ся по степени участия инвесторов в потенциальных рисках и
прибылях, связанных с деятельностью эмитента. Мы рассмо-
трим только привилегированные и обыкновенные акции.
§ 8.1. ПРИВИЛЕГИРОВАННЫЕ АКЦИИ
Привилегированные акции — это акции, держатели кото-
рых обладают преимуществом перед держателями обыкно-
венных акций при распределении дивидендов и (в случае
ликвидации акционерного общества) имущества акционер-
ного общества. Доля привилегированных акций в общем
объеме уставного капитала акционерного общества не долж-
на превышать 25%. Привилегированные акции обычно не
дают право голоса, но приносят фиксированные дивиденды,
чем схожи с облигациями.
Если выплаты дивидендов продолжаются бесконечно дол-
го, то доход от продажи такой акции представляет собой те-
кущее значение бессрочной ренты постнумерандо: А = D/k,
где А — курс привилегированной акции, D — дивиденды по
привилегированной акции, k — доходность. Отсюда k == D/A.
Пример 24. По обращающимся привилегированным
акциям выплачиваются ежегодные дивиденды D = 120 руб.
Цена этой акции равна А = 960 руб. Определим доходность
акции.
105
Доходность акции равна k = D/А - 120/960 - 0,125
(= 12,5%).
Задача 24. По обращающимся привилегированным ак-
циям выплачиваются ежегодные дивиденды D = 50 руб.
Цена этой акции равна А • 500 руб. Определить доходность
акции.
§ 8.2. ОБЫКНОВЕННЫЕ АКЦИИ
Обыкновенные акции — это акции, по которым размер ди-
виденда заранее не фиксируется и не гарантируется, а опре-
деляется общим собранием акционеров по итогам хозяйст-
венной деятельности акционерного общества за истекший
год. Они дают их владельцам право на участие в управле-
нии этим акционерным обществом по принципу «одна ак-
ция — один голос». Владелец обыкновенной акции имеет
право на получение ежегодно публикуемых материалов бух-
галтерской отчетности и годового отчета.
Обыкновенные акции акционерных обществ продаются
на открытых торгах на фондовых биржах. Курс акции мо-
жет колебаться в зависимости от результатов хозяйственной
деятельности акционерного общества и степени доверия, ко-
торое внушает будущее данного акционерного общества ин-
весторам. Инвестор полагает стоимость акции равной теку-
щему значению ожидаемого по этой акции потока платежей
(ожидаемые дивиденды и цена продажи акции).
Введем следующие обозначения: Do — последний из уже
выплаченных дивидендов, Dt — ожидаемый в году t диви-
денд (с точки зрения акционера). У каждого акционера свое
значение Dt.
Пусть Pq — рыночная цена акции в настоящий момент,
Pq — теоретическая (внутренняя) цена акции в настоящий
момент (именно такая цена должна быть в настоящий мо-
мент с точки зрения инвестора). Оценка Pq основывается на
ожидаемом потоке платежей по акции и рисковости этого
потока.
Рыночная цена акции Pq одинакова для всех, а вот тео-
ретическая (внутренняя) цена акции Pq у каждого инвестора
своя (в зависимости от ожиданий).
Допускается существование некоторого ^среднего» инвес-
тора, для которого эти цены равны: Pq = Pq (иначе равнове-
сие рынка будет нарушено и для его восстановления потре-
буется покупка или продажа акций).
106
Пусть Pt — ожидаемая цена акции в конце года t,
Pi — теоретическая (внутренняя) цена акции в конце 1-го
года и т. д.
Введем следующие обозначения: g — ожидаемый темп
роста дивидендов по прогнозам «среднего» инвестора, k8 —
требуемый уровень дохода (норма прибыли) по акции с уче-
том уровня риска и других возможностей инвестирования,
k8 — ожидаемая норма прибыли.
Инвестор купит акцию только при выполнении следую-
щего условия: k8 < k8 (ожидаемая норма прибыли не ниже
требуемого уровня дохода).
Реальную норму прибыли также будем обозначать через
k8. Она может быть даже отрицательной.
Ожидаемая дивидендная доходность в текущем году рав-
D1
на ——, а ожидаемая доходность за счет изменения цены ак-
”о
Pi — Ро г»
ции равна —- - - Сумма этих двух ожидаемых доходнос-
”о
тей и определяет ожидаемую доходность по, акции в текущем
»	। A) &1 + Pi -
— + —------------
Пример 25. Рыночная цена акции в настоящий момент
Pq — 100 руб. Ожидаемая цена акции в конце текущего го-
да равна Pi s 105 руб., а ожидаемый дивиденд в текущем
году Di = 10 руб. Определим ожидаемую дивидендную до-
ходность, ожидаемую доходность за счет изменения цены
акции и ожидаемую доходность по акции в текущем году.
Ожидаемая дивидендная доходность в текущем году
равна	= 0,1 (= 10%).
Ро юо
- Ожидаемая доходность за счет изменения цены акции
Р1~Р0 Ю5-100
равна —----- =-------= 0,05 (= 5%).
Ро 100
Тогда ожидаемая доходность по акции в текущем году
k8 = 10% + 5% = 15%.
Задача 25. Рыночная цена акции в настоящий момент
Pq = 110 руб. Ожидаемая цена акции в конце текущего го-
да равна Pi = 120 руб., а ожидаемый дивиденд в текущем
году Di = 5 руб. Определить ожидаемую дивидендную до-
ходность, ожидаемую доходность за счет изменения цены
акции и ожидаемую доходность по акции в текущем году.
107
§ 8.3. ОЦЕНКА СТОИМОСТИ АКЦИЙ
Для инвестора теоретическая (внутренняя) цена акции Pq в
настоящий момент равна текущему значению дивидендов,
которые он надеется получить:
Ро----+........-°2 -2 + ... = 2  Dt ..
1 + Л, (1 + А,)2	»-i(l + V
Существует взаимосвязь между ростом дивидендов и кур-
сом акций. Чем устойчивее рост дивидендов, тем выше рей-
тинг акционерного общества у инвесторов и тем устойчивее
курс акций.
§ 8.4.	АКЦИИ НУЛЕВОГО РОСТА
Считаем, что по прогнозу «среднего» инвестора дивиденды
по обыкновенным акциям останутся постоянными: Di = D% «
= ... = D9 то есть Dt = D9 где t = 1, 2, ... Такая акция назы-
вается акцией нулевого роста. Теоретическая (внутренняя)
цена акции нулевого роста представляет^собой текущее зна-
чение бессрочной ренты постнумерандо: Pq = D/k8.
Пример 26. Дивиденд, выплачиваемый ежегодно по ак-
ции нулевого роста, равен D = 400 руб. Ожидаемая норма
прибыли k8 — 5%. Определим теоретическую (внутреннюю)
цену акции.
Теоретическая (внутренняя) цена акции нулевого роста
Pq = D/k8 = 400/0,05 = 8000 руб.
Задача 26. Дивиденд, выплачиваемый ежегодно по ак-
ции нулевого роста, равен D - 300 руб. Ожидаемая норма
прибыли k8 - 8%. Определить теоретическую (внутреннюю)
цену акции.
Так как у каждого инвестора свои прогнозы, то реальный
курс акции часто отличен от теоретического курса акции.
Зная курс акции нулевого роста в настоящий момент Ро и
последний из уже выплаченных дивидендов D, можно опре-
делить норму прибыли (доходность) этой акции по следую-
щей формуле: k8 = D/Pq. Именно такую доходность ожидает
получить по акции нулевого роста инвестор.
Пример 27. Курс акции нулевого роста в настоящий
момент Pg = 400 руб., а последний из уже выплаченных
дивидендов D - 40 руб. Определим норму прибыли (доход-
ность) этой акции.
Норма прибыли (доходность) акции нулевого роста рав-
на k8 - D/Pq = 40/400 = 0,1 (= 10%).
108
Задача 27. Курс акции нулевого роста в настоящий
момент Pq = 300 руб., а последний из уже выплаченных
дивидендов D = 15 руб. Определить норму прибыли (доход-
ность) этой акции.
§ 8.5.	АКЦИИ НОРМАЛЬНОГО РОСТА
Акции нормального (постоянного) роста — это акции, по
которым ожидается рост дивидендов с постоянным темпом
g, то есть ожидаемый в году t дивиденд Dt определяется по
следующей формуле сложных процентов: Dt = 1>о(1 +
Пример 28. Последний из уже выплаченных дивиден-
дов по акциям нормального роста Dq ~ 400 руб., а ожидае-
мый темп роста дивидендов g = 10%. Определим дивиденд,
который акционер ожидает получить в текущем году.
Здесь t = 1. Тогда дивиденд Dj, который акционер ожи-
дает получить в текущем году, равен - Dq(1 + S)1 =
« 400(1 + 0,1) = 440 руб.
Задача 28. Последний из уже выплаченных дивиден-
дов по акциям нормального роста Dq = 450 руб., а ожидае-
мый темп роста дивидендов g = 5%. Определить дивиденд,
который акционер ожидает получить в текущем году.
Теоретическая (внутренняя) цена акции нормального рос-
та равна А, - j -	- 2	П(; «1±£
A (! + *,)' ,-1 (1 + 4,)' S?l + V
Мы получили бесконечную сумму элементов геометричес-
«	, n 1 + g	1 + g
скои прогрессии с - £>о и знаменателем q =
Если |g| < 1, то эта сумма равна Р$ = -	-
l + k8
Ло-1±£
1 + *« _
l + л,
Do(l + £) D1 n
= —7-------== -——, где	— это дивиденд, который акци-
зе S ™8 S
онер ожидает получить в текущем году.
Пример 29. Определим теоретическую (внутреннюю)
цену акции нормального роста из примера 28 при требуе-
мом уровне доходности k8 = 12%.
Теоретическая (внутренняя) цена акции нормального
роста равна	= ——— = ——^5---------= 22000 руб.
k8~~~ g	0,12 0,1
109
Задача 29. Определить теоретическую (внутреннюю)
цену акции нормального роста из задачи 28 при требуемом
уровне доходности k8 = 8%.
Если g > k8, то условие |g| < 1 не выполняется и теорети-
ческая (внутренняя) цена акции нормального роста в этом
случае есть бесконечно большая величина.
Определим из равенства Ро = ожидаемую норму
8
прибыли (доходность) акции нормального роста. Здесь Ро —
это рыночная цена акции в настоящий момент.
Получаем, что k8 = Pi/Po + 8* где Bi/Ро — это дивиденд-
ная доходность и g — это доходность за счет изменения кур-
са акции (курс акции нормального роста растет с тем же по-
стоянным темпом роста g, что и дивиденды).
Пример 30. Рыночная цена акции нормального роста в
настоящий момент Ро = 1000 руб. Ожидается, что диви-
денд в текущем году будет равен — 50 руб., а темп рос-
та g = 7%. Определим ожидаемую норму прибыли (доход-
ность) этой акции.
Ожидаемая норма прибыли (доходность) акции нор-
мального роста k8 - Bi/Ро + g = 50/1000 4- 0,07 = 0,12
(= 12%).
Задача 30. Рыночная цена акции нормального роста в
настоящий момент Ро = 500 руб. Ожидается, что дивиденд
в текущем году будет равен « 60 руб., а темп роста
g = 4%. Определить ожидаемую норму прибыли (доход-
ность) этой акции.
§ 8.6.	АКЦИИ ИЗБЫТОЧНОГО РОСТА
Очень часто начальный период деятельности предприятий
характеризуется ускоренным ростом, превышающим рост
экономики в целом. Такие предприятия называются пред-
приятиями избыточного роста, а их акции — акциями из-
быточного роста. Для предприятия избыточного роста ха-
рактерен избыточный рост дивидендов. После периода избы-
точного роста темпы роста предприятия (и дивидендов) ос-
таются постоянными.
Введем следующие обозначения: k8 — требуемая норма
прибыли, N — период избыточного роста, g8 — темп роста
доходов и дивидендов в течение периода избыточного роста,
gn — постоянный темп роста после периода избыточного рос-
та, Dq — последний из уже выплаченных дивидендов.
110
0	^2	— DN DN+1 •”
О 1	2	3	... N N+l ...
избыточный рост	нормальный рост
Тогда теоретическая (внутренняя) цена акции избыточно-
го роста Pq равна текущему значению дивидендов: _
dn+i
р0 =	.+ _2к_ + _®з_^ + ... +	+	=
l + fe8 (1 + *8)2	(1 + *,)3	(! + *,)* (l + *s)x
_ Z>o(l+gs) + P0(l+g8)2 + Pod+g»)3 +	+ A>(l+gy +
1 + Ag (l + *8)2 (l + *s)3	”	(1 + *Z
+	+	+	. После несложных (но утомительных)
(kt-gn)(l + ks)N
выкладок получаем, что теоретическая (внутренняя) цена
акции избыточного роста равна:
h	+**)_(1 +ЛХ*.-*Л
(gs-k^-g^V 1 + Л8 '	I
Пример 31. Период избыточного роста N = 5 лет, темп
роста доходов и дивидендов в течение периода избыточного
роста g8 - 20%, постоянный темп роста после периода из-
быточного роста gn = 5%, последний из уже выплаченных
дивидендов Dq « 400 руб., требуемая норма прибыли
k8 - 10%. Определим теоретическую (внутреннюю) цену
акции избыточного роста.
Теоретическая (внутренняя) цена акции избыточного
роста равна:
А) - ,а а .((T^I^-gnXl+M-d+g^-g»))
---------400------ 1 + 0,2 j5 х 0 2 _ о 05)(1 + оД) _
(0,2 —0,1)(0,1 — 0,’05) V 1+0,1 '
- (1+ 0,2)(0,1 — 0,05)) » 15594,67 руб.
Задача 31. Период избыточного роста N = 4 года, темп
роста доходов и дивидендов в течение периода избыточного
роста g8 — 25%, постоянный темп роста после периода из-
быточного роста gn == 10%, последний из уже выплачен-
ных дивидендов Dq s 450 руб., требуемая норма прибыли
k8 в 14%. Определить теоретическую (внутреннюю) цену
акции избыточного роста.
111
Глава 9
ДОХОДЫ ИНВЕСТОРОВ
Потенциальному инвестору необходимы показатели, кото-
рые позволили бы оценить эффективность финансовой дея-
тельности предприятия. Инвестор, покупающий акции, за-
интересован в двух формах дохода: увеличение рыночной
стоимости принадлежащих ему акций и регулярное получе-
ние части прибыли от бизнеса в форме дивидендов. Для про-
стоты будем считать, что все предприятия имеют только
обыкновенные акции.
§ 9.1.	ИНВЕСТИЦИОННЫЕ КОЭФФИЦИЕНТЫ
§ 9.1.1.	Прибыли и дивиденды
Если акционерное общество обеспечивает себе прибыль, то
акционеры могут рассчитывать на получение доли этой при-
были. Прибыль на акцию показывает, какая величина при-
были может быть теоретически распределена на каждую ак-
цию, если общее собрание акционеров примет решение о рас-
пределении всей полученной прибыли. Она вычисляется по
следующей формуле:
прибыль
на акцию
чистая прибыль
после уплаты налогов
число обыкновенных
акций
Пример 32. Чистая прибыль после уплаты налогов рав-
на 200000 руб., а число обыкновенных акций равно 5000.
Определим прибыль на акцию.
Прибыль на акцию = (чистая прибыль после уплаты на-
логов)/(число обыкновенных акций) = 200000/5000 =
» 40 руб./акцию.
Задача 32. Чистая прибыль после уплаты налогов рав-
на 150000 руб., а число обыкновенных акций равно 6000.
Определить прибыль на акцию.
112
Так как целесообразнее большую часть полученной при-
были реинвестировать в бизнес, то обычно распределению в
форме дивидендов подлежит только часть прибыли. Диви-
денд на акцию вычисляется по следующей формуле:
дивиденд _ общая сумма число обыкновенных
на акцию дивидендов	акций
Пример 33. Общая сумма дивидендов в примере 32 рав-
на 100000 руб. Определим дивиденд на акцию.
Дивиденд на акцию = (общая сумма дивидендов)/(чис-
ло обыкновенных акций) = 100000/5000 - 20 руб./акцию.
Задача 33. Общая сумма дивидендов в задаче 32 рав-
на 90000 руб. Определить дивиденд на акцию.
Выплата дивидендов — это инструмент политики акцио-
нерного общества. В периоды низкой рентабельности акцио-
нерные общества объявляют очень высокие дивиденды. Это
сигнал инвесторам, что нет поводов для беспокойства.
Коэффициент дивидендного покрытия позволяет оце-
нить, насколько выплата дивидендов фактически подкреп-
лена прибылями за этот финансовый период. Этот коэффи-
циент показывает, сколько раз могли бы выплачиваться ди-
виденды на основании текущей прибыли. Коэффициент ди-
видендного покрытия вычисляется по следующей формуле:
коэффициент
дивидендного покрытия
прибыль
на акцию
дивиденд
на акцию
Пример 34. Определим коэффициент дивидендного по-
крытия в примерах 32 и 33.
Коэффициент дивидендного покрытия = (прибыль на
акцию)/(дивиденд на акцию) = 40/20 = 2.
Задача 34. Определить коэффициент дивидендного по-
крытия в задачах 32 и 33.
§ 9.1.2.	Доход за счет роста рыночной стоимости
акций
Выплачиваемый дивиденд нужно рассматривать в соотноше-
нии с денежными суммами, вложенными в акции. Важно
следить за изменениями рыночного курса акций.
Коэффициент доходности дивидендов применяется для
оценки прибыли от инвестирования в акции данного акцио-
нерного общества по сравнению с другими возможными ва-
113
риантами. Коэффициент доходности дивидендов вычисляет-
ся по следующей формуле:
коэффициент доходности _ последний выплаченный текущая рыночная
дивидендов	дивиденд на акцию	цена акции
Из-за постоянных колебаний текущей рыночной цены ак-
ции коэффициент доходности дивидендов — это очень гру-
бая оценка.
Пример 35. Текущая рыночная цена акции в примере
33 равна 200 руб. Определим коэффициент доходности ди-
видендов.
Коэффициент доходности дивидендов = (последний вы-
плаченный дивиденд на акцию)/(текущая рыночная цена
акции) - 20/200 = 0,1 (= 10%).
Задача 35. Текущая рыночная цена акции в задаче 33
равна 300 руб. Определить коэффициент доходности диви-
дендов.
Курс акции может колебаться в зависимости от результа-
тов хозяйственной деятельности акционерного общества и
степени доверия, которое внушает рынку будущее данного
акционерного общества. Степень доверия к акционерному
обществу можно выяснить с помощью показателя отноше-
ния курса акции к прибыли на акцию, который вычисляет-
ся по следующей формуле:
отношение курса акции
к прибыли на акцию
курс
акции
прибыль
на акцию
Высокая величина этого показателя говорит о доверии
рынка к данному акционерному обществу, что стимулирует
инвесторов приобретать акции данного акционерного обще-
ства (то есть способствует повышению курса акций).
Пример 36. В примерах 32 и 35 определим отношение
курса акции к прибыли на акцию.
Отношение курса акции к прибыли на акцию = (курс
акции)/(прибыль на акцию) = 200/40 = 5.
Задача 36. В задачах 32 и 35 определить отношение
курса акции к прибыли на акцию.
§ 9.2.	СТРУКТУРА КАПИТАЛА
Структура капитала предприятия — это сочетание раз-
личных источников долгосрочного финансирования, обеспе-
чивающих общий объем инвестиций для предприятия. Су-
114
ществуют два основных источника долгосрочного финанси-
рования предприятия:
1) инвестиции собственников предприятия (акции, нерас-
пределенная прибыль);
2) долгосрочная ссуда.
S 9.2.1. Гиринг (леверидж)
Гиринг (леверидж) показывает долю заемного капитала в
собственном капитале предприятия, то есть в какой степени
долгосрочный капитал предприятия основан на задолженно-*
сти и в какой — на акционерном капитале. Он вычисляется
по следующей формуле:
где
гиринг
(леверидж)
используемый
капитал
акционерный
капитал
используемый
капитал
акционерный
капитал
долгосрочные
заемные средства
Приемлемый в данный момент гиринг (леверидж) опре-
деляется рентабельностью предприятия и отношением руко-
водства предприятия к рискам.
Пример 37. Предприятие выпустило акций на 250000
руб. и взяло долгосрочную банковскую ссуду на 150000 руб.
Определим гиринг (леверидж).
Используемый капитал = акционерный капитал + дол-
госрочные заемные средства - 250000 + 150000 = 400000
руб.
Тогда гиринг (леверидж) = (используемый капитал)/(ак-
ционерный капитал) - 400000/250000 = 1,6, то есть общая
сумма средств, инвестированных в предприятие, в 1,6 раза
превышает средства, полученные за счет выпуска акций.
Задача 37. Предприятие выпустило акций на 200000
руб. и взяло долгосрочную банковскую ссуду на 100000 руб.
Определить гиринг (леверидж).
§ 9.2.2. Влияние гиринга (левериджа) на прибыль
акционеров
Два основных способа финансирования (акции и долгосроч-
ная ссуда) имеют свои преимущества и недостатки. В случае
выпуска акций все риски принимают на себя акционеры. Но
при выпуске большого числа акций прибыль на акцию ста-
115
чистая
прибыль
процент
по ссуде
акционерный
капитал
новится очень низкой. Проблему можно решить, взяв ссуду.
Но за пользование ссудой платятся проценты. Любое допол-
нительное финансирование следует использовать для увели-
чения прибыли.
Предприятия предпочитают поддерживать низкий гиринг
(леверидж) во время экономического спада, когда возрастает
риск снижения прибыли. Во время экономического подъема
гиринг (леверидж) предприятия находится на высоком уровне.
На практике используется еще один финансовый показа-
тель — коэффициент рентабельности акционерного капи-
тала ROSF (англ. Return on Shareholders’ Funds). Он вы-
числяется по следующей формуле:
):
Пример 38. Чистая прибыль предприятия из примера
37 в истекшем году составила 60000 руб. За взятую ссуду
предприятие ежегодно платит 12%. Определим коэффици-
ент рентабельности акционерного капитала ROSF.
Процент по ссуде в 0,12x150000 = 18000 руб.
Тогда коэффициент рентабельности акционерного капи-
тала ROSF = (чистая прибыль — процент по ссуде)/(акцио-
нерный капитал) = (60000 — 18000)/250000 — 0,168.
Задача 38. Чистая прибыль предприятия из задачи 37
в истекшем году составила 70000 руб. За взятую ссуду
предприятие ежегодно платит 14%. Определить коэффици-
ент рентабельности акционерного капитала ROSF.
Преобразуем формулу для вычисления коэффициента
рентабельности акционерного капитала ROSF:
□aqe । чистая
ROSF прибыль
процент
по ссуде
акционерный
капитал
акционерный
капитал
Но
суммарные
чистые активы
привлеченный _ используемый
суммарный капитал капитал
Тогда коэффициент рентабельности акционерного капи-
тала ROSF равен:
ROSF
(чистая _
прибыль
процент
по ссуде
суммарные
чистые
активы
исполь-
зуемый
капитал
акцио-
капитал
х
= I ROCE I х I гиринг
116
суммарные
чистые активы
где ROCE — это коэффициент рентабельности чистых акти-
вов, вычисляемый по формуле:
)=
Получена следующая формула:
I ROSF | =| ROCE "] х | гиринг | .
Зная любые два из трех коэффициентов (ROSF, ROCE и
гиринг), из этой формулы всегда можно найти третий коэф-
фициент.
Пример 39. Проверим выполнение равенства ROSF —
- ЯОСЕхгиринг в примерах 37 и 38.
Коэффициент рентабельности чистых активов ROCE -
в (чистая прибыль — процент по ссуде)/(суммарные чистые
активы) = (60000 - 18000)/(250000 4- 150000) = 0,105.
Тогда ЯОСЕх гиринг — 0,105x1,6 - 0,168 ~ ROSF.
Задача 39. Проверить выполнение равенства ROSF -
=\ROCEx гиринг в задачах 37 и 38.
117
Глава 10
АНАЛИЗ КАНАЛОВ
ФОРМИРОВАНИЯ ПРИБЫЛИ
Все финансовые коэффициенты тесно взаимосвязаны друг с
другом. При их анализе важно обнаружить эти связи и по-
казать, как различные количественные характеристики дея-
тельности предприятия связаны с общими результатами де-
ятельности предприятия (коэффициент рентабельности чис-
тых активов ROCE и коэффициент рентабельности акцио-
нерного капитала ROSF).
Бессмысленно рассматривать отдельный финансовый ко-
эффициент и пытаться сопоставить его с каким-то идеаль-
ным нормативом. Все коэффициенты должны рассматривать-
ся вместе с учетом взаимосвязей различных областей дея-
тельности предприятия. Для полноты картины следует про-
анализировать изучаемые показатели за несколько лет и
сравнить их с нормативами по отрасли. Здесь на помощь
приходит специальная модель — дерево прибыли, которое
имеет следующий вид:
118
Пример 40. Известны результаты работы предприятия
в 2003 и 2004 годах соответственно.
	2003, руб.	2004, руб.
Объем продаж	200000	220000
Себестоимость проданной продукции	120000	130000
Расходы	20000	40000
Внеоборотные активы	100000	115000
Запасы	10000	15000
Дебиторская задолженность	2000	5000
Денежная наличность	20000	18000
Краткосрочная кредиторская задолженность	25000	27000
Долгосрочный заемный капитал	30000	26000
Считается, что вся прибыль предприятия была распре-
делена. Определим финансовые коэффициенты, построим
дерево прибыли и проанализируем результаты работы пред-
приятия.
Строим дерево прибыли.
Валовая прибыль « объем продаж — себестоимость про-
данной продукции. Тогда в 2003 году валовая прибыль =
s 200000 - 120000 = 80000 руб., а в 2004 году валовая
прибыль 220000 — 130000 = 90000 руб.
119
Чистая прибыль = валовая прибыль — расходы. Отсюда
в 2003 году чистая прибыль - 80000 - 20000 = 60000 руб.,
а в 2004 году чистая прибыль = 90000 — 40000 « 50000
руб. Будем считать, что это чистая прибыль после уплаты
процентов по ссуде.
Так как вся прибыль была распределена, то акционер-
ный капитал = активы — пассивы. Поэтому в 2003 году ак-
ционерный капитал - (100000 4- 10000 4- 2000 + 20000) —
- (25000 4- 30000) = 77000 руб., а в 2004 году акционер-
ный капитал = (115000 + 15000 + 5000 + 18000) - (27000 +
+ 26000) - 100000 руб.
Коэффициент рентабельности акционерного капитала
ROSF — (чистая прибыль — процент по ссуде)/(акционер-
ный капитал). Тогда в 2003 году ROSF — 60000/77000 •
« 0,779, а в 2004 году ROSF = 50000/100000 - 0,5.
Отметим эти значения на дереве прибыли. Мы видим,
что коэффициент рентабельности акционерного капитала
понизился с 0,779 до 0,5.
Суммарные чистые активы = внеоборотные активы 4-
+ оборотные активы — краткосрочная кредиторская задол-
женность. Отсюда в 2003 году суммарные чистые активы рав-
ны 100000 + (10000 4- 2000 + 20000) - 25000 = 107000 руб.,
а в 2004 году суммарные чистые активы равны 115000 4-
4- (15000 4- 5000 4- 18000) - 27000 = 126000 руб.
Коэффициент рентабельности чистых активов ROCE =
- (чистая прибыль - процент по ссуде)/(суммарные чистые
активы). Поэтому в 2003 году коэффициент рентабельнос-
ти чистых активов ROCE - 60000/107000 * 0,561, а в 2004
году коэффициент рентабельности чистых активов ROCE -
- 50000/126000 « 0,397.
Так как ROSF = ROCE*гиринг, то гиринг = ROSF/ROCE.
Тогда в 2003 году гиринг - 0,779/0,561 • 1,389, а в 2004
году гиринг - 0,5/0,397 * 1,259. Мы видим, что в 2004 го-
ду коэффициент рентабельности акционерного капитала
ROSF сократился из-за уменьшения коэффициента рента-
бельности чистых активов ROCE и гиринга (левериджа).
Чистая маржа = (чистая прибыль)/(объем продаж). От-
сюда в 2003 году чистая маржа = 60000/200000 - 0,3, а в
2004 году чистая маржа = 50000/220000 == 0,227.
Коэффициент оборачиваемости активов = (объем про-
даж)/(суммарные чистые активы). Поэтому в 2003 году ко-
эффициент оборачиваемости активов равен 200000/107000 »
* 1,869, а в 2004 году коэффициент оборачиваемости акти-
вов равен 220000/126000 » 1,746. Мы видим, что в 2004
году коэффициент рентабельности чистых активов ROCE
сократился из-за уменьшения чистой маржи и коэффици-
ента оборачиваемости активов.
120
Валовая маржа = (валовая прибыль)/(объем продаж).
Тогда в 2003 году валовая маржа равна 80000/200000 = 0,4,
а в 2004 году валовая маржа равна 90000/220000 * 0,409.
Мы видим, что значение валовой маржи практически не
изменилось, а уменьшение чистой маржи в 2004 году про-
изошло из-за роста расходов.
Коэффициент текущей ликвидности = (оборотные акти-
вы)/(краткосрочная кредиторская задолженность). Отсюда
в 2003 году коэффициент текущей ликвидности равен
(10000 + 2000 + 20000)/25000 - 1,28, а в 2004 году коэф-
фициент текущей ликвидности равен (15000 + 5000 +
+ 18000)/27000 « 1,41.
Коэффициент срочной ликвидности = (оборотные акти-
вы — запасы)/(краткосрочная кредиторская задолжен-.
ность). Поэтому в 2003 году коэффициент срочной лик-
видности равен (2000 + 20000)/25000 = 0,88, а в 2004 году
коэффициент срочной ликвидности равен (5000 +
+ 18000)/27000 ® 0,85. Мы видим, что уменьшение коэф-
фициента оборачиваемости активов в 2004 году связано с
увеличением коэффициента текущей ликвидности.
Коэффициент оборачиваемости запасов = (себестоимость
проданной продукции)/(запасы). Тогда в 2003 году коэф-
фициент оборачиваемости запасов равен 120000/10000 =
= 12, а в 2004 году коэффициент оборачиваемости запасов
равен 130000/15000 • 8,67.
Данные о продажах и закупках в кредит не публикуют-
ся, поэтому вместо периодов оборачиваемости дебиторской и
кредиторской задолженностей укажем на дереве прибыли де-
биторскую и кредиторскую задолженности соответственно.
Задача 40. Известны результаты работы предприятия
в 2003 и 2004 годах соответственно.
	2003, руб.	2004, руб.
Объем продаж	205000	210000
Себестоимость проданной продукции,	110000	120000
Расходы	25000	35000
Внеоборотные активы	105000	112000
Запасы	12000	17000
Дебиторская задолженность	3000	6000
Денежная наличность	19000	16000
Краткосрочная кредиторская задолженность	26000	28000
Долгосрочный заемный капитал	29000	27000
Считается, что вся прибыль предприятия была распре-
делена. Определить финансовые коэффициенты, построить
дерево прибыли и проанализировать результаты работы
предприятия.
121
Анализ финансовых коэффициентов можно использовать
и для определения задач предприятия на будущее, и для
оценки влияния потенциальных изменений в будущем на
деятельность предприятия, и для составления бизнес-плана
с учетом возможных сценариев развития. Он позволяет оце-
нить уязвимость предприятия по отношению к возможным
событиям в будущем.
Строить дерево прибыли лучше всего в виде электронной
таблицы (например, с помощью пакета Excel).
122
Глава 11
ВРЕМЕННЫЕ РЯДЫ
В этой главе мы рассмотрим возможность использования
данных за прошлые периоды для прогнозирования.
Множество данных, где время является независимой пе-
ременной, называется временным рядом. Будут рассмотре-
ны аддитивные и мультипликативные модели.
Общее изменение со временем результативного признака
называется трендом. Мы рассмотрим модели линейного
тренда, то есть параметры тренда можно рассчитать с помо-
щью модели линейной регрессии.
Сезонная вариация — это повторение данных через не-
большой промежуток времени. Под «сезоном» можно пони-
мать и день, и неделю, и месяц, и квартал. Если же проме-
жуток времени будет длительным, то это — циклическая ва-
риация. Мы остановимся на изучении данных для неболь-
ших интервалов времени, поэтому циклическую вариацию
исключим из рассмотрения.
Сначала на основании прошлых данных определяется се-
зонная вариация. Исключив сезонную вариацию (проведя
так называемую десезонализацию данных), с помощью мо-
дели линейной регрессии находим уравнение тренда. По
уравнению тренда и прошлым данным вычисляем величины
ошибок. Это среднее абсолютное отклонение MAD = Skel/л
и среднеквадратическ^я ошибка MSE — ^e2t/n, где е^ — это
разность фактического и прогнозного значений в момент вре-
мени t, п — число наблюдений.
§ 11.1. АНАЛИЗ АДДИТИВНОЙ МОДЕЛИ
Для аддитивной модели фактическое значение А = трендо-
вое значение Т + сезонная вариация S + ошибка Е.
Пример 41. В таблице указан объем продаж (тыс. руб.)
за последние 11 кварталов. Дадим на основании этих дан-
ных прогноз объема продаж на следующие два квартала.
Квартал^	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
Объем продаж	4	6	4	5	10	8	7	9	\2	14	15
123
На первом шаге нужно исключить влияние сезонной ва-
риации. Воспользуемся методом скользящей средней. За-
полним таблицу.
Номер квартала	Объем продаж	Скользящая средняя за 4 квартала	Центрированная скользящая средняя	Оценка сезонной вариации
1	4			
2	6			
3	4	4.75	5.5	-1.5
4	5	6.25	6.5	-1.5
5	10	6.75	7.125	2.875
6	8	7.5	8	0
7	7	8.5	8.75	-1.75
8	9	9	9.75	-0.75
9	12	10.5	11.5	0.5
10	14	12.5		
11	15			
1 год = 4 квартала. Поэтому найдем среднее значение
объема продаж за 4 последовательных квартала. Для этого
нужно сложить 4 последовательных числа из 2-го столбца,
эту сумму разделить на 4 (количество слагаемых) и резуль-
тат записать в 3-й столбец напротив третьего слагаемого.
(4 + 6 + 4 + 5)/4 - 4,75 (пишем напротив 4).
(6 + 4 + 5 + 10)/4 - 6,25 (пишем напротив 5). И т. д.
Полусумму двух соседних чисел из 3-го столбца запишем
в 4-й столбец напротив верхнего из них. Если при заполне-
нии 3-го столбца скользящая средняя вычислялась для не-
четного числа сезонов, то результат записывается напротив
среднего слагаемого и данные не надо центрировать (то есть
не надо заполнять 4-й столбец). 5-й столбец — это разность
2-го и 4-го столбцов (2-го и 3-го столбцов, если скользящая
средняя вычислялась для нечетного числа сезонов).
Заполним следующую таблицу. Оценки сезонной вариа-
ции запишем под соответствующим номером квартала в го-
ду. В каждом столбце вычисляем среднее = (сумма чисел в
столбце)/(количество чисел в столбце). Результат пишем в
строке «Среднее» (округления до одной цифры после запя-
той). Сумма чисел в строке «Среднее» равна -1.
Скорректируем значения в строке «Среднее», чтобы об-
щая сумма была равна 0. Это необходимо, чтобы усреднить
значения сезонной вариации в целом за год. Корректирую-
щий фактор вычисляется следующим образом: сумма оце-
нок сезонных вариаций (-1) делится на число кварталов в
году (4). Поэтому из каждого числа этой строки нужно вы-
честь —1/4 « -0,25. Так как у нас округления до одной ци-
фры после запятой, то из нечетных столбцов вычтем —0,3,
124
а из четных столбцов вычтем —0,2. В последней строке по-
лучены значения сезонной вариации для соответствующего
квартала года.
	Номер квартала в году				
	1	2	3	4	
			-1.5	-1,5	
	2,875	0	-1,75	-0,75	
	0.5				Сумма
Среднее	1.7	0.0	-1.6	-1.1	-1
Скорректированная сезонная вариация	2,0	0,2	“1,3	-0,9	0,0
Исключим сезонную вариацию из фактических данных.
Проведем десезонализацию данных.
Номер квартала	Объем продаж А	Сезонная вариация S	Десезонализированный объем продаж A~S=T+E
1	4	2	2
2	6	0.2	5,8
3	4	-1.3	5.3
4	5	-0.9	5.9
5	10	2	8
6	8	0.2	7.8
7	7	-1.3	8.3
8	,9	-0.9	9.9
9	12	2	10
10	14	0.2	13.8
11	15	-1,3	16,3
Из чисел 2-го столбца вычитаем числа 3-го столбца и
результат пишем в 4-м столбце.
Уравнение линии тренда Т = а + Ъх.
Найдем коэффициенты а и b по данным первого и по-
следнего столбцов.
Номер	X	У	X2	ху.
1	1	2	1	2
2	2	5,8	4	11,6
3	3	5,3	9	15,9
4	4	5,9	16	23,6
5	5	8	25	40
6	6	7,8	36	46,8
7	7	8,3	49	58,1
8	8	9,9	64	79,2
9	9	10	81	90
10	10	13,8	100	138
11	11	16,3	121	179,3
Сумма	66	93,1	506	684,5
125
п	п п
nZxat - 'Zxi'Zyt
b = J=1---i-i t-i
n	n
n2xi2-(W
i»l	i=l
n	n
_	~	_ 93,5 - 1,1x66 _ H
n
11x684,5 - 66x93,1
11x506 - 662
11
Замечание. Вмерто вычислений коэффициентов а и Ъ по
формулам можно воспользоваться статистическими функци-
ями ОТРЕЗОК (изв_знач_1/; извзначх) и НАКЛОН
(изв_знач_и; изв_знач_х) мастера функций fx пакета Excel.
Здесь изВ—значjy и изв_знач х — это ссылки на ячейки, со-
держащие значения переменных у и х соответственно.
Трендовое значение объема продаж = 1,9 + 1,1 х (номер
квартала).
Теперь займемся расчетом ошибок.
Из чисел 3-го столбца приводимой ниже таблицы вычи-
таем числа 4-го столбца и результат пишем в 5-м столбце.
Среднее абсолютное отклонение MAD s Sletl/n = И >6/11 *
» 1,1, среднеквадратическая ошибка MSE — ^£et2/n -
- 16,58/11 • 1,5. Мы видим, что ошибки достаточно вели-
ки. Это скажется на качестве прогноза.
Номер квартала	Объем продаж А	Десезонализмрованный объем продаж A-S=T+E	Трендовое значение	Ошибка	kJ	
1	4	2	3	-1	1	1
2	6	5,8	4,1	1,7	1,7	2,89
3	4	5,3	5,2	0,1	0,1	0,01
4	5	5,9	6,3	-0,4	0,4	0,16
5	10	8	7,4	0,6	0,6	0,36
6	8	7,8	8,5	-0,7	0,7	0,49
7	7	8,3	9,6	-1,3	1,3	1,69
8	9	9,9	10,7	-0,8	0,8	0,64
9	12	10	11,8	-1,8	1,8	3,24
10	14	13,8	12,9	0,9	0,9	0,81
11	15	16,3	14	2,3	2,3	5,29
				Сумма	11,6	16,58
Дадим прогноз объема продаж на следующие два квар-
тала.
Мы считаем, что тенденция, выявленная по прошлым
данным, сохранится и в ближайшем будущем. Подставля-
ем номера кварталов в формулу и учитываем сезонную ва-
риацию.
126
Прогноз объема продаж в 12-м квартале:
(1,9 + 1,1x12) + (—0,9) - 14,2 тыс. руб.
Прогноз объема продаж в 13-м квартале:
(1,9 + 1,1x13) + 2 = 18,2 тыс. руб.
Задача 41. В таблице указан объем продаж (тыс. руб.)
за последние 11 кварталов. Дать на основании этих дан-
ных прогноз объема продаж на следующие два квартала.
Квартал	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
Объем продаж	4	5	5	6	9	9	8	10	11	13	16
§11.2. АНАЛИЗ МУЛЬТИПЛИКАТИВНОЙ МОДЕЛИ
В некоторых временных рядах значение сезонной вариации —
это определенная доля трендового значения, то есть сезонная
вариация увеличивается с возрастанием значений тренда. В
таких случаях используется мультипликативная модель.
Для мультипликативной модели фактическое значение А «
= трендовое значение Т х сезонная вариация S х ошибка Е.
Пример 42. В таблице указан объем продаж (тыс. руб.)
за последние 11 кварталов. Дадим на основании этих дан-
ных прогноз объема продаж на следующие два квартала.
Квартал	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
Объем продаж	63	74	79	120	67	79	88	130	69	82	90
Числа 2-го столбца приведенной далее таблицы делим
на числа 4-го столбца и результат (округляем до трех цифр
после запятой) запишем в 5-й столбец.
Номер квартала	Объем продаж	Скользящая средняя за 4 квартала	Центрированная скользящая средняя	Оценка сезонной вариации
1	63			
2	74			
3	79	84	84.5	0.935
4	120	85	85.625	1.401
5	67	86.25	87.375	0.767
6	79	88.5	89.75	0.880
7	88	91	91.25	0.964
8	130	91.5	91.875	1.415
9	69	92.25	92.5	0.746
10	82	92.75		
11	90			
127
	Номер квартала в году				
	1	2	3	4	
			0,935	1,401	
	0,767	0,880	0,964	1,415	
	0.746				Сумма
Среднее	0.756	0.880	0.960	1.408	3,994
Скорректированная сезонная вариация	0,757	0,881	0,952	1,410	4,000
Значения сезонной вариации — это доли. Число сезо-
нов равно 4. Поэтому необходимо, чтобы сумма средних
была равна 4. У нас же получилось 3,994. Следовательно,
итоговые коэффициенты сезонности нужно умножить на
множитель 4/3,994. В последней строке указаны оконча-
тельные коэффициенты сезонности.
Как показывают полученные оценки, в 1-м, 2-м и 3-м
кварталах года объем продаж снижается соответственно на
24,3%, 11,9% и 4,8% от соответствующих трендовых зна-
чений. В 4-м квартале года объем продаж увеличивается
на 41% от соответствующего трендового значения.
Исключим сезонную вариацию из фактических данных.
Проведем десезонализацию данных. Числа 2-го столбца
таблицы делим на числа 3-го столбца, результат округляем
до одной цифры после запятой и пишем в 4-й столбец.
Номер квартала	Объем продаж А	Коэффициент сезонности S	Десезонализированный объем продаж A/S-TXE
1	63	0.757	83.2
2	74	0.881	84.0
3	79	0.952	83.0
4	120	1.41	85.1
5	67	0.757	88.5
6	79	0.881	89,7
7	88	0.952	92.4
8	130	1,41	92.2
9	69	0.757	91.1
10	82	0.881	93.1
11	90	0,952	94,5
Уравнение линии тренда Т - а + Ьх.
Используя результаты § 11.1, найдем коэффициенты а
и Ъ по данным первого и последнего столбцов.
Трендовое значение объема продаж = 81,6 + 1,2 х(номер
квартала).
Теперь займемся расчетом ошибок.
Среднее абсолютное отклонение MAD -	=
11,2/11 * 1, среднеквадратическая ошибка MSE = ^е2/п =
= 17,1/11 = 1,6. Мы видим, что ошибки малы и составля-
128
Номер квар- тала	Объем продаж А	Коэффици- ент сезон- ности S	Десеэонализи- рованный объем продаж A/S-TXE	Трендовое	Ошибка	W	А
1	63	0,757	83,2	82,8	0,4	0,4	0,16
2	74	0,881	84,0	84	0,0	0,0	0,00
3	79	0,952	83,0	85,2	—2,2	2,2	4,84
4	120	1,41	85,1	86,4	-1,3	1,3	1,69
5	67	0,757	88,5	87,6	0,9	0,9	0,81
6	79	0,881	89,7	88,8	0,9	0,9	0,81
7	88	0,952	92,4	90	2,4	2,4	5,76
8	130	1.41	92,2	91,2	1,0	1,0	1,00
9	69	0,757	91,1	92,4	-1.3	1,3	1,69
10	82	0,881	93,1	93,6	-0,5	0,5	0,25
11	90	0,952	94,5	94,8	-0,3	0,3	0,09
					Сумма	11,2	17,10
ют порядка 1%. Это позволяет получить хорошие кратко-
срочные прогнозы.
Дадим прогноз объема продаж на следующие два кварта-
ла. Мы считаем, что тенденция, выявленная по прошлым дан-
ным, сохранится и в ближайшем будущем. Подставляем но-
мера кварталов в формулу и учитываем сезонную вариацию.
Прогноз объема продаж в 12-м квартале:
(81,6 + 1,2х12)х1,41 « 135,4 тыс. руб.
Прогноз объема продаж в 13-м квартале:
(81,6 + 1,2х13)х0,757 « 73,6 тыс. руб.
Задача 42. В таблице указан объем продаж (тыс. руб.)
за последние 11 кварталов. Дать на основании этих дан-
ных прогноз объема продаж на следующие два квартала.
Квартал	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
Объем продаж	64	75	81	110	66	77	91	120	68	78	92
Замечание. Excel позволяет быстро вычислить оценки ме-
тодом скользящей средней. Сервис -* Анализ данных
Скользящее среднее -> ОК. Появляется диалоговое окно, ко-
торое нужно заполнить. В графе Интервал вводится коли-
чество сезонов, для которых вычисляется скользящее сред-
нее (по умолчанию это 3). Если требуется график, на кото-
ром будут указаны прогнозные и фактические значения, то
нужно поставить «галочку» рядом со словосочетанием Вы-
вод графика. ОК. Появляется итоговая таблица, которая со-
держит исходные данные и оценки, полученные методом
скользящей средней. Если оценка находилась как среднее k
слагаемых, то в таблице оценок она находится напротив по-
следнего из этих k слагаемых.
129
Глава 12
ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНОЕ
СГЛАЖИВАНИЕ
При анализе временных рядов использовался метод сколь-
зящей средней, где все данные (и поздние, и ранние) были
равноправны. Более правильным представляется способ, в
котором данным приписываются веса: более поздним дан-
ным придается больший вес, чем более ранним. Этот метод
обеспечивает быстрое получение прогноза на один период
вперед и автоматически корректирует любой прогноз в све-
те различий между фактическим и спрогнозированным ре-
зультатом.
§ 12.1. ПРОСТАЯ МОДЕЛЬ ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНОГО
СГЛАЖИВАНИЯ
Новый прогноз = ах (фактический результат в последний пе-
риод) + (1 — а)х(прогноз в последний период), то есть Ff+1 =
= aAt 4- (1 — a)Ft. Константу сглаживания а исследователь
выбирает из отрезка [0, 1]. В условиях стабильности часто
a G [0,2; 0,4].
Пример 43. Вернемся к примеру 41. Пусть а = 0,8.
Тогда 1 — а = 1 — 0,8 = 0,2. Предположим, что на первый
квартал был дан прогноз 3. Дадим прогноз на 12-й квар-
тал.
Заполним таблицу.
Ff+i = aAt 4- (1 — a)Ft - 0,8Af 4- 0,2Ft, то есть.числа в
каждой строке умножаем соответственно на 0,8 и 0,2 и ре-
зультат пишем в следующей строке во втором столбце.
0,8x4 4- 0,2x3 - 3,8.
0,8x6 4- 0,2x3,8 • 5,6. И т. д.
Результат округляем до одной цифры после запятой.
130
(фактически)	Ft (прогноз)
4	3
6	3,8
4	5,6
5	4,3
10	4,9
8	9
7	8,2
9	7,2
12	8,6
14	11,3
15	13,5
	14,7
Прогноз на 12-й квартал - 14,7 тыс. руб.
Задача 43. В задаче 41 дать прогноз объема продаж
на 12-й квартал методом простого экспоненциального сгла-
живания. а = 0,8.
Замечание. Excel позволяет быстро провести простое экс-
поненциальное сглаживание. Сервис -* Анализ данных
Экспоненциальное сглаживание -* ОК. Появляется диалого-
вое окно, которое нужно заполнить. В графе Фактор зату-
хания указать значение 1 — а (по умолчанию 0,3). ОК.
§ 12.2. ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНОЕ СГЛАЖИВАНИЕ
С ПОПРАВКОЙ НА ТРЕНД
Даем прогноз методом простого экспоненциального сглажи-
вания, а затем корректируем его с учетом тренда по следую-
щей формуле:
прогноз с учетом тренда FITt = прогноз Ft 4- тренд Tt.
Тренд Tt = (1 - b)Tt^ 4- b(Ft - Ff-i), где Tt и Tt-i — сгла-
женный тренд в периоды t и t — 1 соответственно, b — вы-
бранная константа сглаживания.
Начальное значение тренда может быть получено на ос-
нове предположения.
Пример 44. В примере 43 дадим прогноз объема про-
даж на 12-й квартал методом экспоненциального сглажи-
вания с поправкой на тренд. Возьмем b = 0,4, Ti -« 0.
Заполним таблицу. Из каждого числа 1-го столбца вы-
читаем предыдущее число 1-го столбца и результат запи-
шем во 2-й столбец. Каждое число 3-го столбца есть сумма
числа, умноженного на 1 — Ь = 1 — 0,4 = 0,6, из предыду-
131
щей строки 3-го столбца и числа, умноженного на b = 0,4,
из этой же строки 2-го столбца. Результат округляем до од-
ной цифры после запятой.
Ft	Ft-Ft^	Tt	FITt=Ft+Tt
3	—	0	3
3,8	0,8	0,3	4,1
5,6	1,8	0,9	6,5
4,3	-1,3	0,0	4,3
4,9	0,6	0,3	5,2
9	4,1	1,8	10,8
8,2	-0,8	0,8	9,0
7,2	-1	0,1	7,3
8,6	1,4	0,6	9,2
11,3	2,7	1,4	12,7
13,5	2,2	1,7	15,2
14,7	1,2	1,5	16,2
» Прогноз на 12-й квартал — 16,2 тыс. руб.
Задача 44. В задаче 43 дать прогноз объема продаж
на 12-й квартал методом экспоненциального сглаживания
с поправкой на тренд, b = 0,4,	= 0.
132
Глава 13
УЧЕТ ЗАТРАТ
Ресурсы предприятия ограничены. Поэтому нужен план их
эффективного использования; Этот план должен содержать
прогноз будущих объема продаж и себестоимости проданной
продукции. Основная цель — это контроль над затратами и
максимизация прибыли предприятия.
§ 13.1.	ЦЕНТРЫ ЗАТРАТ
Затраты — это расходы, отнесенные на конкретный про-
дукт, работника или производственный процесс. Без знания
фактических затрат ведения хозяйственной деятельности не-
возможно принять правильные решения о деятельности
предприятия в будущем. Одна из целей предприятия — оку-
паемость затрат в долгосрочном плане.
Некоторые виды затрат можно легко отождествить с кон-
кретным продуктом или производственным процессом. Но
большая часть затрат менее специфична. Такие затраты на-
зываются накладными расходами. Для управления наклад-
ными расходами рукрводство предприятия связывает их с
центрами затрат.
Центры затрат — это подразделения или единицы обо-
рудования, в отношении которых затраты могут быть кон-
кретизированы для целей контроля и управления. Предпри-
ятие — это своеобразная иерархия центров затрат. Примеры
центров затрат: филиал предприятия, производственная ли-
ния.
Некоторые затраты непосредственно связаны с центром
затрат и могут быть распределены на него. Другие виды за-
трат можно распределить сразу по нескольким центрам за-
трат. Это распределение должно быть пропорциональным по-
лученной выгоде от этих затрат (на основе объема продаж,
числа работников, занимаемой площади и т. д.). Например,
133
арендная плата за помещения супермаркета распределяется
между отделами пропорционально занимаемой площади.
§ 13.2.	ЦЕНТРЫ ПРИБЫЛИ
Лишь некоторые подразделения предприятия непосредствен-
но приносят доходы. Это — центры прибыли. Центры при-
были — это одновременно и центры затрат, но не все цент-
ры затрат являются центрами прибыли. Все затраты долж-
ны покрываться центрами прибыли.
Счет прибылей и убытков предприятия следует разделить
по центрам прибыли. Будет получена дополнительная ин-
формация об относительном вкладе каждого центра прибы-
ли в общую прибыль предприятия. Это укажет на целесооб-
разность расширения или сокращения каких-то подразделе-
ний предприятия.
§ 13.3.	НОРМАТИВНЫЕ И ФАКТИЧЕСКИЕ ЗАТРАТЫ
Большинство видов хозяйственной деятельности связано с
производством товаров, предназначенных для продажи по-
требителю. На каждой стадии производства продукт требует
определенных затрат и приобретает добавочную стоимость.
Именно затраты определяют цены, обеспечивающие при-
быль.
Для установления себестоимости продукта используется
система учета фактических затрат по заказам или по про-
цессам. При этом фактические затраты служат основой для
нормативных затрат, с которыми гораздо проще работать.
Использовать фактические затраты в качестве основы для
определения цены невозможно из-за того, что цены объяв-
ляются потребителю задолго до производства продукта. Но
всегда необходимо проводить сопоставление нормативных и
фактических затрат.
134
Глава 14
СОСТАВЛЕНИЕ
ФИНАНСОВОЙ СМЕТЫ
После разделения предприятия на центры затрат и центры
прибыли следует перейти к планированию его деятельности.
Финансовая смета — это подробный план распределе-
ния физических ресурсов предприятия, выраженных в де-
нежной форме. С финансовой сметой сравниваются фактиче-
ские результаты деятельности предприятия. Финансовая
смета составляется на определенный период времени. В пре-
делах планового периода производится регулярный пере-
смотр и корректировка плана из-за возможных непредви-
денных событий.
§ 14.1.	ВОЗМОЖНЫЕ ПОДХОДЫ К СОСТАВЛЕНИЮ
ФИНАНСОВОЙ СМЕТЫ
Процесс сметного планирования соответствует структуре
предприятия. Так как сметы составляются для всех центров
затрат и центров прибыли, то необходимо определить полно-
мочия и ответственность руководителей этих центров.
Существуют два противоположных подхода к составле-
нию сметы: снизу вверх и сверху вниз. При составлении сме-
ты снизу вверх руководство среднего звена предприятия оп-
ределяет сметы для своих индивидуальных участков. В даль-
нейшем эти сметы сводятся в общую финансовую смету. При
составлении сметы сверху вниз определяется общая финан-
совая смета и на основании ее разрабатываются финансовые
сметы для каждого подразделения предприятия. Понятно,
что наилучший результат достигается при параллельном ис-
пользовании обоих подходов.
Программно-целевое управление — это составление такой
общей финансовой сметы, которая разбивается на подробные
планы действий для каждого подразделения предприятия.
135
§ 14.2.	ОБЩАЯ ФИНАНСОВАЯ СМЕТА
Первый шаг на пути составления сметы — это точный про-
гноз объема продаж. На основании объема продаж составля-
ются подробные сметы продаж, закупок и запасов. С помо-
щью этих смет и данных прошлых лет планируются деби-
торская и кредиторская задолженности и расходы на меся-
цы вперед. Все это объединяется в общую финансовую сме-
ту, которая состоит из кассовой консолидированной сметы,
сметного отчета о прибылях и убытках и сметного баланса.
§ 14.2.1.	Кассовая консолидированная смета
Кассовая консолидированная смета отражает всю будущую
деятельность предприятия в виде входящих и исходящих
потоков денежной наличности.
При подходе к составлению сметы сверху вниз за основу
берутся данные о затратах и выручке за прошлые годы с до-
бавлением определенного процента на инфляцию и рост. Это
приростной (дополнительный) подход к составлению сме-
ты. Он не позволяет определить те участки, где возможно
повышение производительности.
При составлении сметы с нуля руководство среднего зве-
на предприятия подает подробные заявки на ресурсы и пред-
лагает обоснование их будущего использования. При таком
подходе ресурсы используются эффективнее. Но составление
заявок на ресурсы занимает много времени.
Техника составления кассовой консолидированной сметы
аналогична технике составления отчета о движении денеж-
ных средств. Только при составлении отчета о движении де-
нежных средств используются фактические данные прошлых
периодов, а при составлении кассовой консолидированной
сметы исходят из прогноза деятельности предприятия в бу-
дущем. На основании нормативов, полученных по средним
показателям за прошлые годы или заимствованных из сопос-
тавимых отраслей бизнеса, прогнозируют будущие поступле-
ния и выплаты, а также балансы на начало и конец периода.
Пример 45. Малое предприятие «Ритм» решило за-
няться продажей сувенирной продукции. Первоначальный
собственный капитал 150000 руб. В банке была взята дол-
госрочная ссуда 100000 руб. В январе в банке открыт счет,
на который положены эти суммы. Расходы января: аренда
помещения 180000 руб., покупка оборудования 40000 руб.
Срок эксплуатации 10 лет, нулевая остаточная стоимость,
136
равномерное начисление износа. Зарплата сотрудников
20000 руб./месяц, расходы на рекламу 5000 руб./месяц.
Цена продажи равна 20 руб./шт. Считается, что в каждом
месяце половина клиентов будет платить наличными, а по-
ловина клиентов воспользуется одномесячным кредитом.
Предполагаемый объем продаж задается следующей таб-
лицей:
	Январь	Февраль	Март	Апрель	Май	Июнь
Объем продаж, шт.	2500	2100	3000	3300	3800	3400
Предполагаемый график производства сувениров зада-
ется следующей таблицей:
	Январь	Февраль	Март	Апрель	Май	Июнь
Объем производст- ва, шт.	3000	1800	3000	3600	4000	3700
Себестоимость равна 10 руб./шт., причем в основном
это расходы на закупку сырья у другого предприятия. При
оплате за сырье малое предприятие пользуется одномесяч-
ным кредитом. Составим кассовую консолидированную
смету на период с января по июнь.
Кассовая консолидированная смета
на период с января по июнь (руб.)
	Январь	Февраль	Март	Апрель	Май	Июнь
Баланс на начало месяца	0	30000	21000	29000	37000	47000
Инвестиции капи- тала	250000					
Поступления на- личных денежных средств						
Выручка от про- даж	25000	21000	30000	33000	38000	34000
Поступления от должников	0	25000	21000	30000	33000	38000
Выплаты наличными						
Оплата кредитор- ской задолженности	0	30000	18000	30000	36000	40000
Зарплата	20000	20000	20000	20000	20000	20000
Реклама	5000	5000	5000	5000	5000	5000
Аренда	180000					
Оборудование	40000					
Баланс на конец месяца	30000	21000	29000	37000	47000	54000
137
Поясним, как заполняется таблица. Баланс на начало
января равен 0.
Инвестиции капитала в январе равны 150000 (первона-
чальный собственный капитал) 4- 100000 (долгосрочная ссу-
да) - 250000 руб.
В январе предполагается продать 2500 изделий, то есть
будущий объем продаж в январе равен 2500x20 = 50000
руб. Половина этой суммы (25000 руб.) будет получена в
январе наличными и пишется в январской графе «Выруч-
ка от продаж», а другая половина этой суммы (25000 руб.)
будет получена в феврале (одномесячный кредит покупате-
лям!) и пишется в февральской графе «Поступления от
должников».
В январе будет произведено 3000 изделий. Себестои-
мость этой продукции равна 3000x10 = 30000 руб. Так как
малое предприятие пользуется одномесячным кредитом, то
эта сумма пишется в февральской графе «Оплата кредитор-
ской задолженности».
Январский «Баланс на конец месяца» = Баланс на на-
чало месяца 4- Поступления — Выплаты = 0 4- (250000 +
4- 25000 + 0) - (0 + 20000 + 5000 4- 180000 4- 40000) =
= 30000 руб. Эта сумма пишется в февральской графе «Ба-
ланс на начало месяца».
В феврале предполагается продать 2100 изделий, то есть
будущий объем продаж в феврале равен 2100x20 = 42000
руб. Половина этой суммы (21000 руб.) будет получена в
феврале наличными и пишется в февральской графе «Вы-
ручка от продаж», а другая половина этой суммы (21000
руб.) будет получена в марте (одномесячный кредит поку-
пателям!) и пишется в мартовской графе «Поступления от
должников».
В феврале будет произведено 1800 изделий. Себестои-
мость этой продукции равна 1800x10 = 18000 руб. Так как
малое предприятие пользуется одномесячным кредитом, то
эта сумма пишется в мартовской графе «Оплата кредитор-
ской задолженности».
Февральский «Баланс на конец месяца» — Баланс на на-
чало месяца 4- Поступления — Выплаты = 30000 4- (21000 +
+ 25000) - (30000 4- 20000 4- 5000) ~ 21000 руб. Эта сумма
пишется в мартовской графе «Баланс на начало месяца».
И т. д.
Задача 45. Малое предприятие «Ритм» решило занять-
ся продажей сувенирной продукции. Первоначальный соб-
ственный капитал 160000 руб. В банке была взята долго-
срочная ссуда 110000 руб. В январе в банке открыт счет,
на который положены эти суммы. Расходы января: аренда
помещения 175000 руб., покупка оборудования 45000 руб.
138
Срок эксплуатации 10 лет, нулевая остаточная стоимость,
равномерное начисление износа. Зарплата сотрудников
22000 руб./месяц, расходы на рекламу 6000 руб./месяц.
Цена продажи равна 21 руб./шт. Считается, что в каждом
месяце половина клиентов будет платить наличными, а по-
ловина клиентов воспользуется одномесячным кредитом.
Предполагаемый объем продаж задается следующей таб-
лицей:
	Январь	Февраль	Март	Апрель	Май	Июнь
Объем продаж, шт.	2600	2200	2900	3200	3900	3300
Предполагаемый график производства сувениров зада-
ется следующей таблицей:
	Январь	Февраль	Март	Апрель	Май	Июнь
Объем производст- ва, шт.	2900	1900	2900	3500	4100	3600
Себестоимость равна 11 руб./шт., причем в основном
это расходы на закупку сырья у другого предприятия. При
оплате за сырье малое предприятие пользуется одномесяч-
ным кредитом. Составить кассовую консолидированную
смету на период с января по июнь.
§ 14.2.2.	Смета текущих расходов
Прежде чем составлять сметный отчет о прибылях и убыт-
ках и сметный баланс, необходимо составить смету теку-
щих расходов, чтобы запланировать управление запасами,
дебиторской задолженностью и кредиторской задолженнос-
тью за период.
Пример 4в. Составим смету текущих расходов в при-
мере 45.
Суммарная смета запасов за январь-июнь (руб.)
Запас на начало периода	0
+ Производство (по себестоимости)	191000
— Продажи (по себестоимости)	181000
= Запас на конец периода	10000
Поясним, как заполняется таблица.
Всего будет произведено 3000 + 1800 + 3000 + 3600 +
+ 4000 + 3700 = 19100 изделий. Их себестоимость равна
19100x10 = 191000 руб.
139
Всего будет продано 2500 4- 2100 4- 3000 4- 3300 4- 3800 +
+ 3400 = 18100 изделий. Их себестоимость равна 18100x10 =
= 181000 руб. Тогда запас на конец периода равен 0 +
4- 191000 - 181000 = 10000 руб.
Суммарная смета дебиторской задолженности
за январь—июнь (руб.)
Дебиторская задолженность на начало периода	0
4- Продажа в кредит	181000
— Поступления от должников	147000
= Дебиторская задолженность на конец периода	34000
Поясним, как заполняется таблица.
Всего будет продано 18100 изделий. Поэтому объем про-
даж равен 18100x20 - 362000 руб. Отсюда продажа в кре-
дит равна 362000/2 - 181000 руб.
Из кассовой консолидированной сметы получаем, что
поступления от должников = 0 4- 25000 4- 21000 4- 30000 +
4- 33000 4- 38000 = 147000 руб.
Тогда дебиторская задолженность на конец периода
равна 0 4- 181000 - 147000 = 34000 руб.
Суммарная смета кредиторской задолженности
за январь—июнь (руб.)
Кредиторская задолженность на начало периода	0
4- Закупки в кредит	191000
— Оплата кредиторской задолженности	154000
— Кредиторская задолженность на конец периода	37000
Поясним, как заполняется таблица.
Себестоимость произведенной продукции равна 191000
руб. При этом малое предприятие воспользуется кредитом
при закупке сырья.
Из кассовой консолидированной сметы получаем, что
оплата кредиторской задолженности равна 0 4- 30000 +
4- 18000 4- 30000 4- 36000 4- 40000 = 154000 руб.
Тогда кредиторская задолженность на конец периода
равна 0 4- 191000 - 154000 = 37000 руб.
Задача 46. Составить смету текущих расходов в зада-
че 45.
§ 14.2.3.	Сметный отчет о прибылях и убытках
Составив смету текущих расходов по запасам, дебиторской за-
долженности и кредиторской задолженности, можно свести
всю информацию в сметный отчет о прибылях и убытках.
140
Пример 47. Составим сметный отчет о прибылях и
убытках в примерах 45 и 46.
Сметный отчет о прибылях и убытках
за январь-июнь (руб.)
Объем продаж		362000
Себестоимость проданной продукции		
Валовая прибыль		181000
Расходы		
Зарплата	120000	
Реклама	30000	
Амортизация	11000	
		
Чистая прибыль		20000
Изъятие капитала		0
Нераспределенная прибыль		20000
Поясним, как заполняется таблица.
Себестоимость проданной продукции берем из сметы за-
пасов.
Валовая прибыль = объем продаж — себестоимость про-
данной продукции.
Зарплата - 6x20000 — 120000 руб.
Реклама = 6x5000 = 30000 руб.
При равномерном начислении износа ежегодное начис-
ление на износ = (первоначальная стоимость — ликвидаци-
онная стоимость)/(период эксплуатации) = (180000 4- 40000 —
- 0)/10 - 22000 руб. Так как у нас промежуток времени
полгода, то амортизация = 22000/2 = 11000 руб.
Чистая прибыль = валовая прибыль — расходы =
= 181000 - 161000 = 20000 руб.
Нераспределенная прибыль = чистая прибыль - изъя-
тие капитала.
Задача 47. Составить сметный отчет о прибылях и
убытках в задачах 45 и 46.
§ 14.2.4. Сметный баланс
Последний этап составления финансовой сметы — это со-
ставление сметного баланса.
Пример 48. Составим сметный баланс в примерах
45-47.
141
Сметный баланс на конец июня (руб.)
	Себе- стоимость	Начисления на износ	Остаточная стоимость
Внеоборотные активы			
Здания	180000	9000	171000
Оборудование	40000	2000	38000
			209000
Оборотные активы			
Запасы	10000		
Дебиторская задолженность	34000		
Касса и счет в банке	54000		
		98000	
Краткосрочная кредиторская задолженность	37000		
		37000	
Чистые оборотные активы			61000
Суммарные чистые активы			270000
Долгосрочная кредиторская за- долженность			
Долгосрочная банковская ссуда			100000
			170000
Собственный капитал владельцев			150000
Нераспределенная прибыль			20000
			170000
Поясним, как заполняется таблица.
Запасы — это запас на конец периода (из суммарной
сметы запасов).
Дебиторская задолженность — это дебиторская задол-
женность на конец периода (из суммарной сметы дебитор-
ской задолженности).
Краткосрочная кредиторская задолженность — это кре-
диторская на конец периода (из суммарной сметы креди-
торской задолженности).
Начисления на износ здания и оборудования 9000 руб.
и 2000 руб. соответственно.
Чистые оборотные активы = оборотные активы — крат-
косрочная кредиторская задолженность.
Суммарные чистые активы = внеоборотные активы +
+ чистые оборотные активы.
Нераспределенная прибыль берется из сметного отчета
о прибылях и убытках.
Задача 48. Составить сметный баланс в задачах 45-47.
142
Глава 15
СМЕТНЫЙ КОНТРОЛЬ
Как правило, сметы составляются на основе нормативов, по-
лученных из предположений о средних затратах и объемах
продаж.
Идеальные нормативы — это показатели, которые пред-
приятие может достигнуть при условии постоянной работы
с максимальной эффективностью, точного прогноза объема
продаж и полной рабочей недели каждого сотрудника. По-
нятно, что такие условия труднодостижимы. Поэтому руко-
водство предприятия должно установить для своих работни-
ков достижимые нормативы, основанные на показателях
прошлых лет и среднеотраслевых показателях.
Как только станут известны фактические показатели де-
ятельности предприятия за сметный период, нужно сопоста-
вить прогнозные и фактические показатели и провести ана-
лиз отклонений.
Отклонение — это различие между сметным и фактичес-
ким показателями. При неблагоприятном отклонении (со
знаком «минус») предприятие работало хуже, чем ожида-
лось. При благоприятном отклонении (со знаком «Плюс»)
предприятие работало лучше, чем ожидалось.
Пример 49. В таблице приведены сметные и фактичес-
кие показатели работы предприятия за истекший год. Оп-
ределим отклонения.
	Сметные показатели, руб.	Фактические показатели, руб.
Объем продаж	300000	280000
Себестоимость проданной продукции	200000	190000
Расходы	50000	60000
Заполним таблицу.
Мы видим, что отклонения по объему продаж, валовой
прибыли, расходам и чистой прибыли неблагоприятные (от-
рицательные числа будем заключать в скобки), а отклоне-
ние по себестоимости проданной продукции благоприятное.
143
	Сметные показатели, руб.	Фактические показатели, руб.	Отклонение, руб.
Объем продаж	300000	280000	(20000)
— Себестоимость проданной продукции	200000	190000	10000
= Валовая прибыль	100000	90000	(10000)
— Расходы	50000	60000	(10000)
= Чистая прибыль	50000	30000	(20000)
Задача 49. В таблице приведены сметные и фактичес-
кие показатели работы предприятия за истекший год. Оп-
ределить отклонения.
	Сметные показатели, руб.	Фактические показатели, руб.
Объем продаж	310000	320000
Себестоимость проданной продукции	190000	195000
Расходы	60000	55000
Очень часто при построении сметы основываются только
на одном уровне объема продаж. Это жесткая смета.
Так как очень трудно дать более или менее точный про-
гноз объема продаж, то при использовании жесткой сметы
возникают проблемы. Поэтому вместо жесткой сметы лучше
использовать гибкую смету, содержащую расчеты для не-
скольких уровней объема продаж.
Возможен еще один способ построения гибкой сметы, при
котором различные статьи затрат, прибыли и убытки выра-
жаются как доли объема продаж.
Пример 50. Определим процентные соотношения в
примере 49.
	Сметные показатели, руб.	Доля от объема продаж, %	Фактические показатели, руб.	Доля от объема продаж, %	Отклонение, руб.
Объем продаж	300000	100	280000	100	(20000)
— Себестоимость проданной продукции	200000	66,7	19Q00Q	67,9	10000
= Валовая прибыль	100000	33,3	90000	32,1	(10000)
— Расходы	50000	16,7	60000	21,4	(10000)
= Чистая прибыль	50000	16,7	30000	10,7	(20000)
144
Результаты округляем до одного знака после запятой.
Хотя отклонение по себестоимости проданной продукции
показано благоприятным, но в процентном отношении оно
оказалось выше запланированного уровня (67,9% против
66,7%).
Задача 50. Определить процентные соотношения в за-
даче 49.
Замечание. Гибкую смету лучше всего делать в виде эле-
ктронной таблицы (например, с помощью пакета Excel).
145
Глава 16
ФАКТОРЫ ПРОИЗВОДСТВА
И ЗАТРАТЫ
§ 16.1. ФАКТОРЫ ПРОИЗВОДСТВА
Очень важно понимать взаимосвязь между затратами и до-
стигаемыми объемами продаж и прибылью. Любой вводи-
мый ресурс, который используется для производства про-
дукции, называется фактором производства.
Пример 51. Земля, здания, оборудование, труд — это
примеры факторов производства.
Задача 51. Привести примеры факторов производства.
Различают постоянные и переменные факторы производ-
ства. Постоянные факторы производства для своего изме-
нения требуют значительного периода времени. Переменные
факторы производства могут быстро изменяться в ответ на
изменение спроса.
Пример 52. Здания — это пример постоянного факто-
ра производства.
Задача 52. Привести примеры постоянных факторов
производства.
Пример 53. Количество часов, отработанных сотрудни-
ками-почасовиками, — это пример переменного фактора
производства.
Задача 53. Привести примеры переменных факторов
производства.
§ 16.2. КЛАССИФИКАЦИЯ ЗАТРАТ
Каждый фактор производства сопряжен с определенными
затратами. Затраты, связанные с постоянными факторами
производства, изменяются только в долгосрочном плане и
146
не зависят от объема продаж. Затраты, не зависящие от объ-
ема продаж, называются постоянными затратами.
Пример 54. Затраты на отопление заводоуправления
— это постоянные затраты.
Задача 54. Привести примеры постоянных затрат.
Затраты на использование переменного фактора произ-
водства зависят от объема продаж. Это переменные затраты.
Пример 55. Затраты на тару для готовой продукции —
это переменные затраты.
Задача 55. Привести примеры переменных затрат.
Существуют затраты, которым присущи черты и посто-
янных, и переменных затрат. Это полупеременные затраты.
Пример 56. Стоимость использования телефона отно-
сится к категории переменных затрат, но фиксированная
плата попадает под определение постоянных затрат.
Задача 56. Привести примеры полу переменных затрат.
Совокупные затраты — это сумма всех постоянных и
переменных затрат для данного достигнутого объема про-
даж.
Предприятие стремится минимизировать свои совокуп-
ные затраты. Использование переменных факторов произ-
водства придает любому бизнесу гибкость и способность опе-
ративно реагировать на изменение экономических условий и
рыночной конъюнктуры.
В краткосрочном периоде количество имеющихся в распо-
ряжении предприятия постоянных факторов производства ог-
раничено. Предприятие может производить продукцию толь-
ко в пределах этих ограничений. Дальнейший рост предприя-
тия может быть достигнут только за счет дополнительных ин-
вестиций капитала в постоянные факторы производства.
Средние затраты на единицу проданной продукции вы-
числяются по следующей формуле:
средние затраты на единицу _ совокупные число проданных
проданной продукции	затраты единиц продукции
Пример 57. Совокупные затраты равны 100000 руб.,
число проданных единиц продукции — 5000. Определим
средние затраты на единицу проданной продукции.
Средние затраты на единицу проданной продукции =
= (совокупные затраты)/(число проданных единиц продук-
ции) - 100000/5000 - 20 руб./единицу.
147
Задача 57. Совокупные затраты равны 150000 руб.,
число проданных единиц продукции — 6000. Определить
средние затраты на единицу проданной продукции.
При открытии нового предприятия объем продаж снача-
ла низок, а средние затраты на единицу проданной продук-
ции относительно высоки. По мере развития и становления
предприятия объем продаж увеличивается. Совокупные за-
траты также увеличиваются. Но изначально постоянные за-
траты имеют большее значение, так как требуются здания,
оборудование и т. д.
Постоянные затраты с течением времени не меняются.
Поэтому средние затраты на единицу проданной продукции
сокращаются. Это эффект масштаба.
Еще одно преимущество эффекта масштаба — это специа-
лизация. На крупном предприятии существует разграниче-
ние функциональных обязанностей, что приводит к значи-
тельной экономии. Но эффект масштаба имеет и недостат-
ки. Чем крупнее предприятие, тем сложнее им управлять.
Рост бюрократического аппарата ведет к росту средних за-
трат на единицу проданной продукции. Это отрицательный
эффект масштаба. В этом случае нужно пересмотреть на-
бор используемых ресурсов.
148
Глава 17
АНАЛИЗ БЕЗУБЫТОЧНОСТИ
При определении оптимального набора ресурсов следует про-
анализировать соотношение между затратами и прибылью.
Здесь на помощь приходит анализ безубыточности — сопо-
ставление совокупных затрат с выручкой от реализации для
ряда значений объема продаж.
§17.1.	ОГРАНИЧЕНИЯ АНАЛИЗА БЕЗУБЫТОЧНОСТИ
Анализ безубыточности — весьма полезный инструмент на
ранней стадии принятия решений, когда важно получить об-
щий взгляд на бизнес. Однако в основе такого анализа ле-
жит ряд допущений, которые могут и не выполняться в каж-
дом практическом случае:
1)	все затраты могут быть идентифицированы и класси-
фицированы как постоянные или переменные;
2)	все переменные затраты прямо пропорциональны объ-
ему продаж (то есть с ростом объема продаж переменные за-
траты увеличиваются);
3)	номенклатура товара постоянна — брак и порча това-
ра не допускаются;
4)	вся система находится в стабильном состоянии, то есть
анализ безубыточности не учитывает эффекта масштаба;
5)	анализ безубыточности основывается на точных про-
гнозах затрат и доходов.
§ 17.2.	ТОЧКА БЕЗУБЫТОЧНОСТИ
Точка безубыточности — это такое значение объема про-
даж, при котором совокупные затраты равны совокупной
выручке, то есть предприятие не получает ни прибыли, ни
убытков.
149
Точка безубыточности вычисляется
по следующей форму-
ле:
точка
безубыточности
постоянные
затраты
удельная
прибыль »
где
удельная
прибыль
цена реализации
единицы продукции
переменные затраты
на единицу продукции
Пример 58. Постоянные затраты равны 20000 руб., це-
на реализации единицы продукции — 50 руб., переменные
затраты на единицу продукции — 30 руб. Определим точ-
ку безубыточности.
Удельная прибыль = цена реализации единицы продук-
ции — переменные затраты на единицу продукции = 50 —
- 30 = 20 руб./единицу.
Тогда точка безубыточности « (постоянные затра-
ты)/(удельная прибыль) = 20000/20 = 1000 единиц.
Действительно, при объеме продаж 1000 единиц сово-
купные затраты = постоянные затраты + переменные за-
траты = 20000 + 30x1000 = 50000 руб., а совокупная вы-
ручка = 50x1000 = 50000 руб., то есть при объеме продаж
1000 единиц предприятие не получает ни прибыли, ни
убытков.
Задача 58. Постоянные затраты равны 40000 руб., це-
на реализации единицы продукции — 80 руб., переменные
затраты на единицу продукции — 55 руб. Определить точ-
ку безубыточности.
§ 17.3.	ВОЗМОЖНОЕ ЗНАЧЕНИЕ ПРИБЫЛИ
ИЛИ УБЫТКА
Если объем реализации продукции предприятия превосхо-
дит точку безубыточности, то предприятие получит прибыль.
Если объем реализации продукции предприятия ниже точ-
ки безубыточности, то предприятие получит убыток.
Возможное значение прибыли или убытка вычисляется
по следующей формуле:
прибыль/ _ { объем реализации _ точка
убыток I продукции безубыточности
х
удельная
прибыль
Пример 59. Объем реализации продукции предприя-
тия из примера 58 равен 800 единиц. Определим возмож-
ное значение прибыли или убытка.
Прибыль-убыток = (объем реализации продукции - точка
безубыточности) х (удельная прибыль) — (800 — 1000)х20 -
- —4000 руб. < 0. Это возможное значение убытка.
150
Задача 58. Объем реализации продукции предприятия
из задачи 58 равен 2000 единиц. Определить возможное
значение прибыли или убытка.
§ 17.4.	АЛЬТЕРНАТИВНЫЕ СТРАТЕГИИ БИЗНЕСА
Между постоянными и переменными затратами существует
некоторое равновесие. Высокие первоначальные инвестиции
в оборудование приводят к высоким постоянным затратам,
неизбежным при любом достигнутом объеме продаж. В слу-
чае завышенного прогноза объема продаж это приводит к
потерям. Но чем выше доля постоянных затрат, тем ниже
переменные затраты на единицу продукции и больше эф-
фект масштаба.
Не существует какого-то одного правильного метода веде-
ния бизнеса. Анализ безубыточности позволяет оценить наи-
лучшую комбинацию затрат с учетом всех факторов.
§ 17.5.	АНАЛИЗ ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТИ
Анализ безубыточности проводится на основе наиболее веро-
ятного сценария динамики затрат, доходов и объемов про-
даж. Анализ чувствительности позволяет учесть действие
всех факторов, которые могут повлиять на анализ безубы-
точности. Каждый раз рассматривается какое-то одно изме-
нение первоначального сценария и оценивается влияние это-
го изменения на точку безубыточности и прибыль. Анализ
чувствительности также называют анализом «А что, если..?»
Можно оценить возможные последствия в случае измене-
ния:
а)	постоянных затрат;
б)	цены реализации единицы продукции;
в)	переменных затрат на единицу продукции;
г)	объема реализации продукции.
Пример 60. Как изменится ответ в примере 58, если:
а)	постоянные затраты равны 25000 руб.;
б)	цена реализации единицы продукции равна 40 руб.;
в)	переменные затраты на единицу продукции равны 25
руб.?
а)	Точка безубыточности « (постоянные затраты)/(удель-
ная прибыль) = 25000/20 = 1250 единиц.
б)	Удельная прибыль = цена реализации единицы про-
дукции — переменные затраты на единицу продукции =
151
- 40 — 30 - 10 руб./единицу. Тогда точка безубыточности =
= (постоянные затраты)/(удельная прибыль) = 20000/10 —
= 2000 единиц.
в)	Удельная прибыль = цена реализации единицы про-
дукции — переменные затраты на единицу продукции =
- 50 — 25 = 25 руб./единицу. Тогда точка безубыточности =
= (постоянные затраты)/(удельная прибыль) = 20000/25 =
= 800 единиц.
Задача вО. Как изменится ответ в задаче 58, если:
а)	постоянные затраты равны 30000 руб.;
б)	цена реализации единицы продукции равна 95 руб.;
в)	переменные затраты на единицу продукции равны 60
руб.?
Замечание, Анализ чувствительности очень удобно про-
водить с помощью электронной таблицы (например, с помо-
щью пакета Excel).
§ 17.6. ВЛИЯНИЕ ИЗМЕНЕНИЙ ЦЕНЫ РЕАЛИЗАЦИИ
НА ОБЪЕМ ПРОДАЖ
Сейчас мы рассмотрим влияние изменений цены реализации
на объем продаж. Насколько должен вырасти объем продаж
после снижения цены, чтобы предприятие получило при-
быль? На какую величину может сократиться объем продаж
после увеличения цены, прежде чем предприятие начнет не-
сти убытки? Существуют специальные формулы, позволяю-
щие определить, насколько сильно влияние изменений це-
ны реализации на объем продаж.
Если изменение цены реализации на АР не создаст допол-
нительных постоянных и переменных затрат, то процент бе-
зубыточного изменения объема продаж вычисляется по сле-
дующей формуле: процент безубыточного изменения объема
продаж = -ЬР/(СМ + АР), где СМ — удельная прибыль.
Знак ♦—» говорит об обратной зависимости между ценой
реализации и объемом продаж. Снижение (рост) цены реа-
лизации приводит к увеличению, (уменьшению) объема про-
даж, необходимого для достижения определенного уровня
прибыли. Чем больше изменение цены реализации, тем
больше требуемое изменение объема продаж.
Пример 61. Объем продаж равен 800 единиц, цена ре-
ализации единицы продукции — 50 руб., а переменные за-
траты на единицу продукции — 30 руб. Предполагаемое
снижение цены реализации на 5% не создаст дополнитель-
152
ных постоянных и переменных затрат. Определим процент
безубыточного изменения объема продаж.
Удельная прибыль СМ = цена реализации единицы про-
дукции — переменные затраты на единицу продукции =
« 50 - 30 - 20 руб./единицу.
Изменение цены реализации ДР = —0,05x50 = —2,5
руб./единицу (знак «—» говорит о снижении цены реализа-
ции).
Тогда процент безубыточного изменения объема продаж
= -ДР/(СМ + ДР) = -(-2,5)/(20 + (-2,5)) « 0,143 (= 14,3%).
Снижение цены будет прибыльным при росте объема про-
даж на 0,143x800 « 114 единиц.
Задача 61. Объем продаж равен 1000 единиц, цена ре-
ализации единицы продукции — 60 руб., а переменные за-
траты на единицу продукции — 35 руб. Предполагаемое
повышение цены реализации на 10% не создаст дополни-
тельных постоянных и переменных затрат. Определить про-
цент безубыточного изменения объема продаж.
Очень часто цена реализации изменяется на ДР вместе с
изменением переменных издержек на единицу продукции
на ДС. Например, после усовершенствования продукта воз-
росли переменные издержки. Поэтому увеличили цену реа-
лизации.
Если изменения цены реализации и переменных издер-
жек не создают дополнительных постоянных затрат, то про-
цент безубыточного изменения объема продаж вычисляет-
ся по следующей формуле: процент безубыточного измене-
ния объема продаж = -(ДР — ДС)/(СМ + ДР - ДС). При
ДС = 0 мы получаем предыдущую формулу.
Пример 62. В примере 61 снижение цены реализации
последовало за снижением переменных издержек на еди-
ницу продукции на 5%. Определим процент безубыточного
изменения объема продаж.
Изменение переменных издержек на единицу продук-
ции ДС = —0,05x30 - -1,5 руб./единицу (знак «-» говорит
о снижении переменных издержек на единицу продукции).
Тогда процент безубыточного изменения объема продаж
= -(ДР - ДС)/(СМ + ДР - ДС) = -(-2,5 - (—1,5))/(20 +
+ (-2,5) - (-1,5)) « 0,053 (= 5,3%).
Снижение цены будет прибыльным при росте объема
продаж на 0,053x800 » 42 единицы.
Задача 62. В задаче 61 повышение цены реализации
последовало за повышением переменных издержек на еди-
ницу продукции на 10%. Определить процент безубыточ-
ного изменения объема продаж.
153
Каждый раз перед изменением цены реализации следует
проанализировать влияние этого изменения на объем про-
даж. Достаточно верный прогноз позволяет покрыть затра-
ты и получить прибыль. Но практически невозможно регу-
лярно выдавать абсолютно точные прогнозы.
154
Глава 18
ПРИНЯТИЕ КРАТКОСРОЧНЫХ
РЕШЕНИЙ
Для большинства предприятий получение прибыли — одна
из важнейших задач. Как выбрать ту последовательность
действий, которая приведет к получению максимальной при-
были? Между получением прибыли в краткосрочном плане
и процветанием предприятия в долгосрочном плане должен
быть баланс.
С точки зрения затрат целесообразно делать различие
между краткосрочными и долгосрочными решениями. В
краткосрочном периоде наиболее важна валовая прибыль, и
для принятия решений необходимо использовать методы
калькуляции себестоимости по дифференцированным затра-
там. В долгосрочном периоде должны быть покрыты все за-
траты предприятия.
В краткосрочном периоде изменяются только перемен-
ные затраты. Принятие краткосрочных решений направлено
на текущую «настройку» бизнеса. В краткосрочных решени-
ях не затрагиваются вопросы о базовых инвестициях и
структуре постоянных затрат. При принятии краткосрочно-
го решения нужно учитывать только те доходы, которые яв-
ляются прямым следствием данного решения, и сопостав-
лять их с теми затратами, которые также есть следствие дан-
ного решения.
Дифференцированные затраты — это затраты, связан-
ные с продажей дополнительных единиц продукции. Сюда
могут входить как переменные, так и постоянные затраты.
Затраты прошлого периода (то есть затраты, относящие-
ся к прошлому) являются необратимыми. Поэтому они не
должны влиять на принятие решений.
Альтернативные затраты — это потенциальные выго-
ды, упущенные в результате непринятия альтернативного
курса действий. При принятии краткосрочного решения их
следует учитывать. А вот косвенные затраты (затраты, со-
155
храняющие свою величину независимо от курса действий)
учитывать не следует.
Особо нужно сказать об учете амортизации. Начислять
амортизацию можно различными способами в зависимости
от целей предприятия. Увеличение амортизации приводит к
уменьшению налоговых обязательств. При назначении цен
или принятии других управленческих решений амортизаци-
онные отчисления должны основываться на прогнозах ре-
ального уменьшения текущей рыночной стоимости активов
в результате их использования.
156
Глава 19
ЦЕНООБРАЗОВАНИЕ
§ 19.1.	ПРОБЛЕМЫ ЦЕНООБРАЗОВАНИЯ
Какие цены устанавливать на свою продукцию? Если пред-
приятие установит слишком высокие цены, то клиенты об-
ратятся к конкурентам предприятия и само предприятие по-
терпит крах. Если предприятие установит слишком низкие
цены, то оно не сможет покрыть свои издержки.
В ситуации, когда множество различных поставщиков
предлагает один и тот же продукт, клиент выберет ту ком-
панию, у которой ниже цены. Но размер затрат ограничива-
ет свободу предприятия устанавливать слишком низкие це-
ны, так как предприятие должно быть прибыльным.
В краткосрочном плане объем продаж может значитель-
но увеличиваться за счет снижения цены. Предоставление
скидок также направлено на увеличение объема продаж за
счет снижения цены.
На другом полюсе рынка может существовать предложе-
ние продукта исключительного качества за очень высокую
цену, ориентированное на ограниченное число покупателей,
но в этом случае высока прибыль от каждой проданной еди-
ницы продукта.
Цена на продукт формируется с учетом его относительно-
го качества, предлагаемого выбора видов обслуживания,
предлагаемых условий оплаты, удобства местонахождения
магазина и т. д.
Ценовые решения напрямую связаны с общими стратеги-
ческими целями предприятия. Для продвижения нового про-
дукта на рынке есть два различных подхода: проникновение
на рынок и «снятие сливок».
При проникновении на рынок предприятие для быстрого
завоевания доли рынка устанавливает относительно невысо-
кие цены, чтобы стимулировать покупку.
Подход «снятие сливок» (то есть установление очень вы-
сокой цены) применяется, когда предприятие намерено по-
157
лучить максимальную прибыль с нового продукта, пока на
рынке мало конкурентов.
Но существует множество различных предприятий, кото-
рые устанавливают цены простым сопоставлением с ценами
ближайших конкурентов, не учитывая стратегические цели
предприятия и потребности клиентов, на которые предприя-
тие ориентируется.
§ 19.2.	ВЛИЯНИЕ ЗАТРАТ НА ЦЕНООБРАЗОВАНИЕ
Себестоимость — основной долгосрочный ограничивающий
фактор при выработке общей ценовой политики предприя-
тия. В долгосрочном плане все затраты, связанные с ведени-
ем хозяйственной деятельности, должны покрываться.
При ценообразовании по принципу «затраты + прибыль»
к себестоимости продукта добавляется заранее установлен-
ная в процентном отношении надбавка, что гарантирует по-
крытие всех расходов и получение прибыли. Но этот подход
не обеспечивает учета позиционирования предприятия. Да и
в краткосрочном плане могут быть упущены потенциально
прибыльные возможности, что ухудшит положение предпри-
ятия в долгосрочной перспективе (например, при продаже
скоропортящихся продуктов со скидкой ценообразование по
принципу «затраты + прибыль» неприемлемо). Поэтому в
краткосрочном плане применяют ценообразование на основе
предельно высоких затрат.
Предельные затраты — это затраты предприятия в свй-
зи с продажей одной дополнительной единицы продукции.
До тех пор, пока установленные на продукт цены позволяют
покрыть предельные затраты и обеспечить некоторую при-
быль, бизнес будет устойчив.
В идеале необходимо сочетание обоих подходов: ценооб-
разование по принципу «затраты + прибыль» для долгосроч-
ной перспективы и ценообразование на основе предельно вы-
соких затрат для краткосрочных ценовых решений, направ-
ленных на настройку бизнеса.
§ 19.3.	ЦЕНООБРАЗОВАНИЕ ПО СХЕМЕ
ДВОЙНОГО ТАРИФА
При ценообразовании по схеме двойного тарифа с потреби-
телей взимается фиксированная «входная» плата за доступ
158
к потреблению данного товара и одинаковая плата за каж-
дую потребленную единицу.
Пример 63. Администрация парка культуры и отдыха
очень часто использует ценообразование по схеме двойного
тарифа. С посетителей взимается фиксированная входная
плата, а за каждое посещение аттракционов посетитель
платит дополнительно.
Задача 63. Привести примеры ценообразования по схе-
ме двойного тарифа.
§ 19.4.	ЦЕНОВАЯ ДИСКРИМИНАЦИЯ
§ 19.4.1.	Условия осуществления и цели
ценовой дискриминации
Ценовая дискриминация — это продажа одинаковых благ
разным покупателям (или группам покупателей) по различ-
ным ценам при условии, что различия в ценах не вызваны
различиями издержек на производство и реализацию благ.
Ценовая дискриминация возможна только на рынках с не-
совершенной конкуренцией, при которой продавцы могут
дифференцировать цены на однородную продукцию.
Для проведения ценовой дискриминации необходимо вы-
полнение двух условий:
1)	на рынке должна быть исключена возможность пере-
продажи благ;
2)	фирма-продавец должна различать покупателей с раз-
ной готовностью платить.
Цель ценовой дискриминации — увеличение прибыли про-
давца за счет захвата потребительского избытка. Различают
ценовую дискриминацию первой, второй и третьей степени.
§ 19.4.2.	Ценовая дискриминация первой степени
Ценовая дискриминация первой степени (или совершенная
ценовая дискриминация) имеет место, когда продавец для
каждого покупателя устанавливает особую цену в точном со-
ответствии с его готовностью платить.
При совершенной ценовой дискриминации снижение це-
ны для отдельного покупателя не оказывает влияния на це-
ны, установленные для других покупателей. Как правило,
фирма-продавец не располагает точной информацией о го-
159
товности платить у всех своих покупателей. Поэтому совер-
шенная ценовая дискриминация на практике встречается
очень редко. Наибольшее приближение к ней достигается в
тех случаях, когда число покупателей невелико и продавец
достаточно хорошо информирован об их доходах, вкусах и
предпочтениях. В жизни преобладает несовершенная цено-
вая дискриминация, когда разные цены устанавливаются не
для отдельных покупателей, а для групп покупателей.
§ 19.4.3.	Ценовая дискриминация второй степени
При ценовой дискриминации второй степени цены одина-
ковы для всех покупателей, но различаются в зависимости
от назначаемых фирмой условий продажи. Этот вид ценовой
дискриминации используется тогда, когда сегменты рынка с
разной эластичностью спроса не изолированы друг от друга
и не существует объективных барьеров, препятствующих пе-
реходу покупателей с одного сегмента рынка на другой.
По видам барьеров, с помощью которых фирма разделяет
сегменты рынка, различают следующие разновидности це-
новой дискриминации второй степени:
1)	по объему потребления (многочастный тариф);
2)	по свойствам и условиям покупки товаров;
3)	по времени продажи товаров.
Пример 64. Обычная практика западных электричес-
ких компаний, при которой тарифы за электроэнергию сни-
жаются с увеличением объема потребления, — это пример
ценовой дискриминации по объему потребления (так назы-
ваемый многочастный тариф). За каждый киловатт-час,
потребленный в пределах первой сотни киловатт-часов в
месяц, устанавливается самая высокая цена. За каждый
киловатт-час, потребленный в пределах второй сотни кило-
ватт-часов в месяц, — более низкая цена и т. д. Схема це-
нообразования типа «один пакетик — 6 рублей, два паке-
тика за 10 рублей» — это также пример ценовой дискри-
минации по объему потребления.
Задача 64. Привести примеры ценовой дискримина-
ции по объему потребления.
Пример 65. Большинство производителей крепких на-
питков продает одну и ту же водку под различными назва-
ниями, назначая при этом разные цены. Это пример ценовой
дискриминации по свойствам и условиям покупки товаров.
К этой же ценовой дискриминации относится получившая
160
широкое распространение система эмитирования различных
купонов с предоставлением скидки при покупке товаров.
Задача 65. Привести примеры ценовой дискримина-
ции по свойствам и условиям покупки товаров.
Пример 66. Обычная практика фирм, производящих
аудио- и видеотехнику, компьютеры и т. п., — это пример
ценовой дискриминации по времени продажи товаров. На
товары-новинки первоначально устанавливаются высокие
цены. Через некоторое время, достаточное для того, чтобы
самые нетерпеливые и не очень заботящиеся о цене поку-
патели (то есть группа покупателей с неэластичным спро-
сом) прибрели данный товар, цены на него снижаются. Еще
один пример ценовой дискриминации по времени продажи
товаров - это льготные тарифы на междугородные теле-
фонные разговоры в вечернее время, в выходные и празд-
ничные дни.
Задача 66. Привести примеры ценовой дискримина-
ции по времени продажи товаров.
Ценовая дискриминация второй степени оставляет потре-
бителю свободу выбора цены и соответствующих ей условий
покупки. Задача продавца состоит в создании таких сочета-
ний цен и условий продажи, которые побуждали бы покупате-
лей с низкой эластичностью спроса приобретать товары на «до-
рогом» сегменте рынка, оставляя «дешевые» сегменты рынка
для покупателей с более высокой эластичностью спроса.
§ 19.4.4.	Ценовая дискриминация третьей степени
Ценовая дискриминация третьей степени имеет место, ког-
да для разных групп покупателей (сегментов рынка) уста-
навливаются разные цены. При этом существуют объектив-
ные, не зависящие от действия продавца барьеры, препятст-
вующие переходу покупателей с более «дорогих» сегментов
рынка на более «дешевые».
Пример 67. Установление разных цен на входные би-
леты в музей для различных категорий посетителей — это
пример ценовой дискриминации третьей степени. Разли-
чие в ценах на однородную продукцию в разных регионах
— это еще один пример ценовой дискриминации третьей
степени.
Задача 67. Привести примеры ценовой дискримина-
ции третьей степени.
161
Верно следующее правило максимизации прибыли при
проведении ценовой дискриминации третьей степени: пре-
дельная выручка, получаемая от продажи товаров на каж-
дом сегменте рынка, должна быть одинаковой и равной пре-
дельным издержкам производства данного товара.
На сегментах рынка с более высокой ценовой эластичнос-
тью спроса цены должны быть ниже, чем на сегментах рын-
ка с меньшей ценовой эластичностью спроса. На сегментах
рынка с одинаковой ценовой эластичностью спроса будут на-
блюдаться одинаковые цены, то есть ценовая дискримина-
ция третьей степени в этом случае невозможна.
162
Глава 20
МЕТОДЫ ОЦЕНКИ
ИНВЕСТИЦИЙ В УСЛОВИЯХ
ОПРЕДЕЛЕННОСТИ
Инвестиционные решения — это решения о текущих затра-
тах с целью получения доходов в будущем. Краткосрочные
решения принимаются на относительно короткий период
времени (например, от вложения денежных средств до полу-
чения прибыли от них пройдет один год). Долгосрочные ин-
вестиционные проекты рассчитаны на более длительный пе-
риод времени.
В этой главе мы проанализируем обоснованность долго-
срочных инвестиционных решений для предприятий, цели-
ком финансируемых за счет акционерного капитала (или вы-
пуск простых акций, или за счет нераспределенной прибы-
ли). Будем считать, что денежные потоки точно определены
и нет необходимости делать поправку на риск. Денежные
притоки или оттоки происходят в начале или конце каждого
периода. Хотя вычисления в этом случае не совсем точны,
но для большинства решений они достаточно приемлемы.
§ 20.1.	АЛЬТЕРНАТИВНЫЕ ИЗДЕРЖКИ
ПО ИНВЕСТИЦИЯМ
При выработке долгосрочных инвестиционных решений не-
обходимо знать, какую отдачу принесут инвестиции, и сопо-
ставить прибыль от инвестирования в различные проекты.
Тот, кто не любит рисковать, может вложить деньги в
безрисковые ценные бумаги (такими считаются особо надеж-
ные государственные ценные бумаги), которые будут прино-
сить постоянный доход. Доходность по инвестициям в такие
ценные бумаги представляет собой альтернативные издерж-
ки по инвестициям, так как инвестированные в особо на-
дежные государственные ценные бумаги средства не могут
быть инвестированы еще куда-то.
163
Альтернативные издержки по инвестициям также назы-
вают стоимостью капитала, минимально необходимой нор-
мой прибыли, ставкой дисконтирования и процентной
ставкой. Предприятие должно рассматривать только такие
инвестиционные проекты, прибыль от которых выше аль-
тернативных издержек по инвестициям.
При рассмотрении инвестиционных проектов мы должны
решить, будет ли инвестирование капитала более прибыль-
ным, чем простое помещение средств в безрисковые ценные
бумаги или в банк под проценты при данной банковской про-
центной ставке. Кроме того, необходимо выбрать тот инвести-
ционный проект, который принесет максимальную выгоду.
§ 20.2.	МЕТОД ЧИСТОЙ ПРИВЕДЕННОЙ СТОИМОСТИ
В методе чистой приведенной стоимости учитывается вре-
менная стоимость денег.
Предположим, что нам известен будущий денежный по-
ток и его распределение по времени. Дисконтируем денеж-
ные потоки до их текущей стоимости (на нулевой момент
времени, то есть на начало реализации проекта), используя
минимально необходимую норму прибыли. Суммировав по-
лученные результаты, найдем чистую приведенную стои-
мость (NPV) проекта.
Если полуденное значение положительно, то реализация
инвестиционного проекта более выгодна, чем помещение
средств в безрисковые ценные бумаги. Если полученное зна-
чение отрицательно, то реализация инвестиционного проек-
та менее выгодна, чем помещение средств в безрисковые цен-
ные бумаги. Нулевое значение чистой приведенной стоимос-
ти говорит о том, что предприятию безразлично, принять
проект или отвергнуть его.
При принятии решений по инвестициям при оценке по-
токов денежных средств в них не включается амортизация,
так как она не является расходом в форме наличных денеж-
ных средств. Затраты капитала на амортизируемые активы
учитываются как расход наличных денежных средств в на-
чале реализации инвестиционного проекта. Амортизацион-
ные отчисления — это просто метод бухгалтерского учета
для соответствующего распределения вложений в активы по
анализируемым отчетным периодам. Любое включение амор-
тизационных отчислений в потоки денежных средств приво-
дит к повторному счету.
164
Метод чистой приведенной стоимости особенно полезен,
когда необходимо выбрать один из нескольких возможных
инвестиционных проектов, имеющих различные размеры
требуемых инвестиций, различную продолжительность реа-
лизации, различные денежные доходы.
Мы определяем чистую приведенную стоимость каждого
инвестиционного проекта на основе альтернативных издер-
жек по инвестициям. Положительность чистой приведенной
стоимости говорит о прибыльности инвестиций. Затем выби-
раем, в рамках какого инвестиционного проекта положи-
тельная чистая приведенная стоимость наибольшая, так как
именно это при прочих равных условиях и является инди-
катором самого рентабельного проекта.
Пример 68. Предприятие анализирует два инвестици-
онных проекта в 2 млн. руб. Оценка чистых денежных по-
ступлений приведена в таблице.
Год	Проект А, млн. руб.	Проект В, млн. руб.
1	0,9	0,8
2	1,6	1,1
3	—	0,6
Альтернативные издержки по инвестициям равны 12%.
Определим чистую приведенную стоимость каждого проек-
та.
Чистая
-°?9 ч
1 + 0,12
Чистая
-°*... 4
1 + 0,12
приведенная
1,6	_
(1 + 0,12)2
приведенная
—
(1 + 0,12)2
стоимость проекта А равна:
2 » 0,08 млн. руб.
стоимость проекта В равна:
---——- — 2 « 0,02 млн. руб.
(1 + 0,12)3
Так как 0,08 > 0,02, то проект А предпочтительнее.
Положительная чистая приведенная стоимость инвести-
ций свидетельствует об увеличении рыночной стоимости
средств акционеров, которое должно произойти, когда на
фондовой бирже станет известно о принятии данного проек-
та. Она также показывает потенциальное увеличение теку-
щего потребления для владельцев обыкновенных акций, ко-
торое возможно благодаря реализации проекта после возвра-
щения использованных средств.
Задача 68. Предприятие анализирует два инвестици-
онных проекта в 2,5 млн. руб. Оценка чистых денежных
поступлений приведена в таблице.
165
Год	Проект А, млн. руб.	Проект В, млн. руб.
1	1.2	0,9
2	1.8	1,3
3		0,8
Альтернативные издержки по инвестициям равны 11%.
Определить чистую приведенную стоимость каждого про-
екта. Какой проект предпочтительнее?
Замечание. Мастер функций fx пакета Excel содержит фи-
нансовую функцию ЧПС, которая возвращает величину чис-
той приведенной стоимости инвестиций, используя ставку дис-
контирования, а также стоимости будущих выплат (отрица-
тельные значения) и поступлений (положительные значения).
fx -> финансовые -* ЧПС -> ОК. Появляется диалоговое
окно, которое нужно заполнить. Ставка — это альтернатив-
ны издержки по инвестициям. Значения — это выплаты (со
знаком ♦—») и поступления (со знаком «+»). ОК.
В примере 68 для проекта А ЧПС(0,12; -2; 0,9; 1,6) »
• 0,07 млн. руб. (из-за ошибок округления этот результат
отличается от результата примера 68) и для проекта В
ЧПС(0,12; -2; 0,8; 1,1; 0,6) « 0,02 млн.руб.
§ 20.3.	МЕТОД ВНУТРЕННЕЙ НОРМЫ ДОХОДНОСТИ
В методе внутренней нормы доходности учитывается времен-
ная стоимость денег.
Внутренняя норма доходности (дисконтированная нор-
ма прибыли) IRR — это ставка дисконтирования, при кото-
рой чистая приведенная стоимость инвестиций равна нулю.
Значение внутренней нормы доходности можно найти при-
ближенно методом линейной интерполяции. Подбираем зна-
чение ставки дисконтирования fq, при которой чистая при-
веденная стоимость инвестиций jVPV(r0) < 0. Подбираем зна-
чение ставки дисконтирования г19 при которой чистая при-
веденная стоимость инвестиций NPV(t\) > 0. Тогда внутрен-
не (П " r0)NPy(r0)
няя норма доходности IRR - г0 - NpV{rJ_ NPV(r0) ♦
Пример 69. Определим внутреннюю норму доходности
инвестиционного проекта В из примера 68.
Чистая приведенная стоимость проекта В при ставке
дисконтирования г равна:
МРУ(Г) =	+	1,1 2 + 0,6 з
1 + г (1 + г)2	(1 + г)3
- 2.
166
При Г1 = 0,12 чистая приведенная стоимость NPV(ri) -
= #РУ(0,12) - 0,02 млн. руб. > 0.
При го = 0,15 чистая приведенная стоимость NPV(ro) —
= #РУ(0,15) - -0,08 млн. руб. < 0.
Тогда внутренняя норма доходности IRR равна:
тп-г (П-го)^(го) П1Е (0,12— 0,15)(—0,08)
Inn ® Гп —-------------- = и, 10 —-------------- «
tfP V(rx) - #РУ(г0)	0,02 - (-0,08)
* 0,126 (= 12,6%).
Задача 69. Определить внутреннюю норму доходности
инвестиционного проекта В из задачи 68.
Замечание. Мастер функций fx пакета Excel содержит фи-
нансовую функцию ВСД, которая возвращает значение внут-
ренней нормы доходности для потока денежных средств.
Значение функции вычисляется путем итерации и может да-
вать нулевое значение или несколько значений. Если после-
довательные результаты функции ВСД не сходятся с точнос-
тью 0,0000001 после 20 итераций, то ВСД возвращает сооб-
щение об ошибке #число!.
fx -* финансовые -* ВСД -» ОК. Появляется диалоговое
окно, которое нужно заполнить. В графе Предположение
указывается предполагаемая величина процентной ставки
(если значение не указано, то по умолчанию оно равно 10%).
ОК. В примере 69 ВСД(-2; 0,8; 1,1; 0,6) « 13%.
Для определения целесообразности реализации инвести-
ционного проекта нужно сопоставить внутреннюю норму до-
ходности с альтернативными издержками по инвестициям,
или с принятой на данном предприятии минимальной нор-
мой прибыли на инвестиции.
§ 20.4.	СРАВНЕНИЕ МЕТОДОВ
ЧИСТОЙ ПРИВЕДЕННОЙ СТОИМОСТИ
И ВНУТРЕННЕЙ НОРМЫ ДОХОДНОСТИ
Во многих ситуациях метод внутренней нормы доходности
склоняется к тому же решению, что и метод чистой приве-
денной стоимости. Но бывают ситуации, когда метод внутрен-
ней нормы доходности приводит к ошибочным решениям.
При анализе взаимоисключающих проектов (принятие
одного из них исключает принятие другого) рекомендуется
метод чистой приведенной стоимости.
В методе внутренней нормы доходности подразумевается,
что все поступления от инвестиционного проекта реинвестиру-
ет
ются по собственно проектной норме доходности. Но это не
обязательно фактическая альтернативная стоимость капитала.
В методе внутренней нормы доходности результат пока-
зывается в виде процентной ставки, а не абсолютного денеж-
ного значения. Поэтому этот метод отдаст предпочтение ин-
вестированию 10 тыс. руб. под 100%, а не инвестированию
200 млн. руб. под 20%.
В нестандартных денежных потоках (выплаты и по-
ступления чередуются) возможно получение нескольких зна-
чений внутренней нормы доходности.
С учетом вышеперечисленного инвестиционные проекты
нужно оценивать на основе чистой приведенной стоимости.
§ 20.5.	МЕТОД ОКУПАЕМОСТИ
Достоинство метода окупаемости — его простота. На прак-
тике этот метод применяется довольно часто, хотя при этом
не учитывается временная стоимость денег.
Нужно определить период окупаемости, который пока-
зывает, сколько времени понадобится для того, чтобы инве-
стиционный проект окупил первоначально инвестированную
сумму (то есть до превышения наличным доходом первона-
чальных инвестиций). Чем короче период окупаемости, тем
инвестиционный проект лучше.
Пример 70. Определим период окупаемости каждого
инвестиционного проекта в примере 68.
В проекте А для окупаемости первоначальных инвести-
ций в сумме 2 млн. руб. необходимо поступление 0,9 млн.
руб. в первый год и (2 — 0,9) - 1,1 млн. руб. (из 1,6 млн.
руб.) во второй год. Поэтому период окупаемости проекта
А равен 1 4- 1,1/1,6 » 1,7 лет.
В проекте В для окупаемости первоначальных инвести-
ций в сумме 2 млн. руб. необходимо поступление 0,8 млн.
руб. в первый год, 1,1 млн. руб. во второй год и
2 — (0,8 4- 1,1) = 0,1 млн. руб. (из 0,6 млн. руб.) в третий
год. Поэтому период окупаемости проекта В равен 14-14“
4- 0,1/0,6 « 2,2 лет.
Так как 1,7 < 2,2, то проект А предпочтительнее.
Задача 70. Определить период окупаемости каждого
инвестиционного проекта в задаче 68.
Недостатки метода окупаемости:
1)	не учитываются потоки денежных средств после завер-
шения срока окупаемости;
168
2)	не учитывается временная разница поступлений денеж-
ных средств (поэтому возможно одобрение инвестиционного
проекта с отрицательной чистой приведенной стоимостью).
Учитывая приведенные недостатки, применение метода
окупаемости не обязательно приведет к максимизации ры-
ночной цены обыкновенных акций.
Одна из модификаций метода окупаемости — дисконти-
рованный метод расчета периода окупаемости, когда все
потоки денежных средств дисконтированы до их приведен-
ной стоимости, а период окупаемости определяется на осно-
вании дисконтированных потоков.
Дисконтированный метод расчета периода окупаемости
также не учитывает все потоки денежных средств после за-
вершения срока окупаемости. Но из-за того, что в дисконти-
рованном методе расчета периода окупаемости полученная
величина периода окупаемости больше, чем в методе окупа-
емости, исключается меньшее количество денежных пото-
ков. Поэтому переход от метода окупаемости к дисконтиро-
ванному методу расчета периода окупаемости — это шаг в
правильном направлении.
На практике метод окупаемости очень часто использует-
ся для грубой оценки инвестиционных проектов.
§ 20.6.	УЧЕТНЫЙ КОЭФФИЦИЕНТ ОКУПАЕМОСТИ
ИНВЕСТИЦИЙ
В этом методе не учитывается временная стоимость денег.
Для расчетов используются данные о прибыли, а не о по-
ступлениях денежных средств.
Учетный коэффициент окупаемости инвестиций (при-
быль на инвестированный капитал, прибыль на используе-
мый капитал) вычисляется по следующей формуле:
учетный коэффициент _ среднегодовая . средняя стоимость
окупаемости инвестиций прибыль	инвестиций
где
среднегодовая
прибыль
суммарные _ первоначальные
доходы	инвестиции
срок реализа-
ции проекта
Средняя стоимость инвестиций зависит от метода начис-
ления износа. При равномерном начисления износа средняя
стоимость инвестиций вычисляется по следующей форму-
ле:
средняя стоимость
инвестиций
первоначальные
инвестиции
остаточная
стоимость
2.
169
Пример 71. Пусть в примере 68 остаточная стоимость
каждого проекта равна нулю. Определим их учетные коэф-
фициенты окупаемости инвестиций.
Для проектов А и В средняя стоимость инвестиций =
= (первоначальные инвестиции 4- остаточная стоимость)/2 =
= (2 + 0)/2 - 1 млн. руб.
Для проекта А среднегодовая прибыль = (суммарные до-
ходы - первоначальные инвестиции)/(срок реализации про-
екта) = (0,9 4- 1,6 — 2)/2 = 0,25 млн. руб., а учетный коэф-
фициент окупаемости инвестиций = (среднегодовая при-
быль)/(средняя стоимость инвестиций) = 0,25/1 - 0,25
(= 25%).
Для проекта В среднегодовая прибыль = (суммарные до-
ходы — первоначальные инвестиции)/(срок реализации про-
екта) = (0,8 4- 1,1 4- 0,6 — 2)/3 «0,17 млн. руб., а учетный
коэффициент окупаемости инвестиций = (среднегодовая
прибыль)/(средняя стоимость инвестиций) - 0,17/1 = 0,17
(= 17%).
Задача 71. Пусть в задаче 68 остаточная стоимость
каждого проекта равна нулю. Определить их учетные ко-
эффициенты окупаемости инвестиций.
Как и период окупаемости, учетный коэффициент окупа-
емости инвестиций имеет свои недостатки. Он использует
балансовую прибыль (а не денежные потоки) в качестве
оценки прибыльности проектов. Существует множество пу-
тей вычисления балансовой прибыли, что дает возможность
манипулировать учетным коэффициентом окупаемости ин-
вестиций. Несоответствия в вычислении прибыли приводят
к существенно различающимся значениям учетного коэффи-
циента окупаемости инвестиций.
Балансовая прибыль страдает от таких «искажений», как
затраты на амортизацию, прибыли или убытки от продажи
основных активов, которые не являются настоящими денеж-
ными потоками, и поэтому не оказывают влияния на благо-
состояние акционеров.
Применение средних величин искажает относящуюся к
делу информацию о сроках получения дохода.
Первоначальные инвестиции и остаточная стоимость ус-
реднены для отражения стоимости активов, связанных меж-
ду собой в течение всего срока реализации инвестиционного
проекта. Наблюдается парадокс остаточной стоимости:
чем больше остаточная стоимость, тем меньше учетный ко-
эффициент окупаемости инвестиций. Это может привести к
принятию неправильного решения.
170
Хотя применение учетного коэффициента окупаемости
инвестиций иногда приводит к принятию ошибочных инвес-
тиционных решений, на практике он очень часто использу-
ется для обоснования инвестиционных проектов. Возможно,
это связано с тем, что лица, принимающие решения, часто
предпочитают анализировать инвестиции через прибыль, так
как деятельность самих менеджеров часто оценивается имен-
но по этому критерию.
171
Глава 21
НАЛОГООБЛОЖЕНИЕ И
ИНВЕСТИЦИОННЫЕ РЕШЕНИЯ
До сих пор при анализе инвестиций влияние налогов не учи-
тывалось. В каждой стране существуют свои правила налого-
обложения. Однако во многих странах существует тенденция
исходить из одинаковых принципов при предоставлении на-
логовых скидок, связанных с инвестиционными расходами.
§ 21.1.	ВЛИЯНИЕ НАЛОГОВ НА ВЕЛИЧИНУ
ЧИСТОЙ ПРИВЕДЕННОЙ СТОИМОСТИ
ИНВЕСТИЦИОННОГО ПРОЕКТА
Пример 72. Для инвестиций в оборудование действует
скидка списания в размере 20% от оставшейся балансовой
стоимости оборудования. Ставка корпоративного налога
равна 30%. Предприятие рассматривает вопрос о покупке
оборудования за 2 млн. руб., которое, как ожидается, обес-
печит в течение четырех лет дополнительные чистые по-
ступления денежных средств в размере 900000 руб./год.
Ожидается, что в конце четвертого года это оборудование
будет продано по стоимости списания, которая пойдет на
уплату налога за предыдущий год. Отсрочка в уплате нало-
га равна одному году. Альтернативные издержки по инвес-
тициям равны 12%.
Определим чистую приведенную стоимость инвестици-
онного проекта.
Сначала определим годовые скидки списания. Запол-
ним таблицу.
На конец года	Годовая скидка списания, тыс. руб.	Стоимость после списания, тыс. руб.
0	0	2000
1	400	1600
2	320	1280
3	256	1024
4	204,8	819,2
Сумма	1180,8	-
172
Поясним, как заполняется таблица.
Первоначальные инвестиции 2000 тыс. руб. Каждое
число 3-го столбца умножаем на 0,2 (скидка списания) и
результат пишем во 2-м столбце следующей строки. Каж-
дое число 3-го столбца, начиная со 2-й клетки, есть раз-
ность числа из предыдущей строки 3-го столбца и числа из
2-го столбца. В последней строке указана сумма чисел 2-го
столбца.
Затем определим дополнительную налогооблагаемую
прибыль от проекта. Заполним таблицу.
Показатели, тыс. руб.	Год1	Год 2	ГодЗ	Год 4
Дополнительные чистые по- ступления	900	900	900	900
Годовая скидка списания	400	320	256	204,8
Дополнительная налогообла- гаемая прибыль	500	580	644	695,2
Корпоративный налог 30%	150	174	193,2	208,56
Поясним, как заполняется таблица.
Числа 2-й строки — это числа 2-го столбца предыдущей
таблицы. 3-я строка — это разность первых двух строк таб-
лицы. Каждое число 3-й строки умножаем на 0,3 (ставка
корпоративного налога) и результат пишем в 4-й строке.
При вычислении приростных денежных потоков в них
не должны включаться амортизационные отчисления. За-
полним таблицу.
Год	Потоки денежных средств, тыс. руб.	Налогообложение, тыс. руб.	Чистый поток денежных средств, тыс. руб.
0	-2000	0	-2000
1	900	0	900
2	900	150	750
3	900	174	726
4	900		
	819,2	193,2	1526
5	0	208,56	-208,56
Поясним, как заполняется таблица.
Число 819,2 тыс. руб. во 2-м столбце — это продажа
оборудования по стоимости списания в конце 4-го года. Так
как отсрочка в уплате начисленных* налогов равна одному
году, то числа из последней строки предыдущей таблицы
запишем в 3-м столбце со сдвигом на одну клетку вниз. 4-
й столбец — это разность 2-го и 3-го столбцов.
Так как альтернативные издержки по инвестициям 12%,
то чистая приведенная стоимость инвестиционного проекта
173
равна 900/1,12 + 750/1,122 + 726/1,123 + 1526/1,124 -
- 208,56/1,12® - 2000 = 769,68 тыс. руб.
Задача 72. Для инвестиций в оборудование действует
скидка списания в размере 30% от оставшейся балансовой
стоимости оборудования. Ставка корпоративного налога
равна 40%. Предприятие рассматривает вопрос о покупке
оборудования за 2,5 млн. руб., которое, как ожидается,
обеспечит в течение четырех лет дополнительные чистые
поступления денежных средств в размере 800000 руб./год.
Ожидается, что в конце четвертого года это оборудование
будет продано по стоимости списания, которая пойдет на
уплату налога за предыдущий год. Отсрочка в уплате нало-
га равна одному году. Альтернативные издержки по инвес-
тициям равны 11%. Определить чистую приведенную сто-
имость инвестиционного проекта.
§ 21.2.	ПРИБЫЛИ ИЛИ УБЫТКИ ОТ ПРОДАЖИ
ИМУЩЕСТВА
Если инвестиционный проект предусматривает продажу при-
надлежащего предприятию имущества, то может проявить-
ся еще один налоговый эффект. Если цена продажи отлича-
ется от балансовой стоимости активов, то возникают прибы-
ли или убытки от продажи основных средств.
Доходы от продажи имущества увеличивают прибыль.
При этом возрастают налоговые обязательства и возникают
балансовые начисления. Потери от продажи имущества
уменьшают прибыль. При этом уменьшаются налоговые обя-
зательства и возникают балансовые скидки.
Поэтому при продаже существующих активов при анали-
зе денежных потоков нельзя упускать из виду и налоговый
эффект.
Пример 73. Предприятие хочет продать купленное 2
года назад за 800 тыс. руб. и рассчитанное на 5 лет экс-
плуатации оборудование, остаточная стоимость которого
будет равна 50 тыс. руб. Использовалось равномерное на-
числение износа. Ставка налога на прибыль равна 30%.
Определим балансовые начисления или балансовые скидки
в случае, если цена продажи равна:
а)	560 тыс. руб.;
б)	470 тыс. руб.
Ежегодные начисления на износ = (первоначальная сто-
имость — остаточная стоимость)/(срок эксплуатации) =
= (800 - 50)/5 = 150 тыс. руб.
174
Тогда накопленная за 2 года амортизация равна
150x2 - 300 тыс. руб. Отсюда на момент продажи балансо-
вая стоимость = первоначальная стоимость — накопленная
за 2 года амортизация = 800 — 300 = 500 тыс. руб.
Если цена продажи равна 560 тыс. руб., то доход от про-
дажи = 560 — 500 - 60 тыс. руб., а балансовые начисления
равны 0,3x60 = 18 тыс. руб.
Если цена продажи равна 470 тыс. руб., то потери от
продажи = 500 — 470 = 30 тыс. руб., а балансовые скидки
равны 0,3x30 - 9 тыс. руб.
Задача 73. Предприятие хочет продать купленное
3 года назад за 900 тыс. руб. и рассчитанное на 5 лет экс-
плуатации оборудование, остаточная стоимость которого
будет равна 100 тыс. руб. Использовалось равномерное на-
числение износа. Ставка налога на прибыль равна 40%.
Определить балансовые начисления или балансовые скид-
ки в случае, если цена продажи равна:
а)	350 тыс. руб.;
б)	300 тыс. руб.
§ 21.3. НАЛОГОВЫЕ ЛЬГОТЫ, НАПРАВЛЕННЫЕ
НА СТИМУЛИРОВАНИЕ ИНВЕСТИЦИЙ
Иногда, чтобы стимулировать инвестиции в определенные
отрасли, правительство предоставляет налоговые льготы.
В таких случаях начисление амортизации может быть уско-
рено или предприятие может быть освобождено от налогов в
год покупки основных средств. Эти льготы могут оказать
существенное влияние на жизнеспособность инвестиционно-
го проекта.
175
Глава 22
СРАВНЕНИЕ ИНВЕСТИЦИОННЫХ
ПРОЕКТОВ С РАЗНЫМИ
СРОКАМИ РЕАЛИЗАЦИИ
Если каждый из инвестиционных проектов по-своему хо-
рош, выбор между ними затруднителен. Сделать этот выбор
еще сложнее в случае, когда сроки реализации инвестици-
онных проектов разные. Краткосрочные инвестиционные
проекты могут требовать частой замены, но они освобожда-
ют средства для инвестиций в другом месте.
Одним из способов сравнения инвестиционных проектов
с разными сроками реализации является определение экви-
валентного годового денежного потока для каждого инвес-
тиционного проекта. Зная чистую приведенную стоимость
NPV, срок реализации п и альтернативные издержки по ин-
вестициям I инвестиционного проекта, определяют величи-
ну отдельного годового платежа простой ренты постнумеран-
NPV*i
1 - 1/(1 + i)n
до R =
(см. раздел I, § 8.5). Предпочтение от-
дается инвестиционному проекту с большим эквивалентным
годовым денежным потоком.
Пример 74. Предприятие анализирует два инвестици-
онных проекта: А (первоначальные затраты 1,5 млн. руб.)
и В (первоначальные затраты 1,7 млн. руб.). Оценка чис-
тых денежных поступлений дана в таблице.
Год	Проект А, млн. руб.	Проект В, млн. руб.
1	0,5	0.2
2	0,7	0,4
3	0,9	0,7
4	—	0,8
5	—	0,6
Альтернативные издержки по инвестициям i « 12%.
Сравним эти проекты, используя эквивалентные годовые
денежные потоки.
176
Чистая приведенная стоимость проекта А равна NPV(A) =
°’5	.0,9	<
=---------+-----------1-----------=- - 1,5 • 0,15 млн. руб.
1 + 0,12 (1 + 0,12)2 (1 + 0,12)3
Это современная стоимость ренты постнумерандо. Тогда для
проекта А эквивалентный годовой денежный поток равен:
ыл\ NPV(A)*i 0,15x0,12	й
R(A) =------7—^-----------—---------— « 0,06 млн. руб.
1-1/(1 +0"	1 -1/(1 + 0,12)3
Чистая приведенная стоимость проекта В равна NPV(B) =
= °»2
1 + 0,12
ж_____°’6
Ь	+
(1 + 0,12)2	(1 + 0,12)3	(1 + 0,12)4
- - 1,7 г 0,14 млн. руб. Это современная стой-
(1 + 0,12)5
мость ренты постнумерандо. Тогда для проекта В эквива-
лентный годовой денежный поток равен:
NPV(B)*i 0,14x0,12 ЛЛ. .
R(B) --------—-----=------2--------- * 0,04 млн. руб.
1-1/(1 +о" 1 -1/(1 + 0.12)5
Так как 0,06 > 0,04, то проект А предпочтительнее.
Задача 74. Предприятие анализирует два инвестици-
онных проекта: А (первоначальные затраты 1,6 млн. руб.)
и В (первоначальные затраты 1,8 млн. руб.). Оценка чис-
тых денежных поступлений дана в таблице.
Год	Проект А, млн. руб.	Проект В, млн. руб.
1	0,6	0,3
2	0,8	0,5
3	1,1	0,8
4	—	0,9
5	—	0,6
Альтернативные издержки по инвестициям I — 11%.
Сравнить эти проекты, используя эквивалентные годовые
денежные потоки.
177
Глава 23
ЗАМЕНА ОБОРУДОВАНИЯ
Особый класс инвестиционных решений — это решения о
замене уже имеющихся активов.
Пример 75. Предприятие рассматривает вопрос о заме-
не оборудования. Анализ ситуации дал следующую инфор-
мацию.
Показатели	Старое оборудование	Новое оборудование
Стоимость при покупке, руб.	500000	700000
Балансовая стоимость, руб.	400000	—
Оставшийся срок службы, лет	8	8
Производственные затраты, руб./год	375000	31800Q
Ожидается, что как для нового, так и для старого обо-
рудования через 8 лет остаточная стоимость будет равна
нулю. Сейчас старое оборудование можно продать за 350000
руб. Альтернативные издержки по инвестициям равны
i = 12%. Определим целесообразность замены оборудова-
ния.
Способ 1. Проведем анализ на основе сопоставле-
ния приведенной стоимости будущих выходящих потоков
наличных денежных средств. К таким потокам относятся
ежегодные производственные затраты. Первоначальные за-
траты на приобретение прежнего оборудования, балансовая
стоимость и величина износа за год не являются будущими
выходящими потоками наличных денежных средств. По-
этому они не должны включаться в анализ.
Воспользуемся формулой для нахождения современной
стоимости для простой ренты постнумерандо (см. раздел I,
§ 8.4): А - R—1/(1 + °".
i
Тогда для старого оборудования приведенная стоимость
будущих выходящих потоков наличных денежных средств
1 —1/(1 +0 12Ъ8
равна: 375000---------— « 375000x4,968= 1863000 руб.
0,12
178
Для нового оборудования приведенная стоимость будущих
выходящих потоков наличных денежных средств равна:
318000x4,968 + 700000 (покупка нового оборудования) -
- 350000 (продажа старого оборудования) = 1929824 руб.
Так как 1863000 руб. < 1929824 руб., то следует оста-
вить старое оборудование.
Способ 2. Покупка нового оборудования позволя-
ет ежегодно экономить на затратах 375000 — 318000 =
= 57000 руб.
Тогда приведенная стоимость экономии на затратах рав-
на 57000x4,968 = 283176 руб. Сопоставим эту величину с
величиной новых инвестиционных затрат: 700000 (покуп-
ка нового оборудования) — 350000 (продажа старого обору-
дования) • 350000 руб.
Так как 283176 руб. < 350000 руб., то следует оставить
старое оборудование.
Задача 75. Предприятие рассматривает вопрос о заме-
не оборудования. Анализ ситуации дал следующую инфор-
мацию.
Показатели	Старое оборудование	Новое оборудование
Стоимость при покупке, руб.	600000	650000
Балансовая стоимость, руб.	420000	—
Оставшийся срок службы, лет	7	7
Производственные затраты, руб./год	350000	300000
Ожидается, что как для нового, так и для старого обо-
рудования через 7 лет остаточная стоимость будет равна
нулю. Сейчас старое оборудование можно продать за 410000
руб. Альтернативные издержки по инвестициям равны
i = 11%. Определить целесообразность замены оборудова-
ния.
179
Глава 24
ОЦЕНКА ЧИСТОЙ
ПРИВЕДЕННОЙ СТОИМОСТИ
ИНВЕСТИЦИОННОГО ПРОЕКТА
В УСЛОВИЯХ ИНФЛЯЦИИ
Инфляция влияет на стоимость денежных потоков, умень-
шая их покупательную способность. Ставка дисконтирова-
ния, включающая в себя инфляцию, называется номиналь-
ной ставкой. Реальная ставка дисконтирования — это
ставка дисконтирования, не учитывающая инфляцию. Ре-
альная ставка дисконтирования вычисляется по следующей
формуле:
реальная ставка _ 11 i । номинальная I . индекс j _
дисконтирования 1\	ставка J * инфляции f 1 *
Существуют два способа оценки чистой приведенной сто-
имости в условиях инфляции: по номинальной ставке и по
реальной ставке дисконтирования.
Пример 76. Предприятие рассматривает инвестицион-
ный проект. Первоначальные затраты равны 3 млн. руб.,
остаточная стоимость — 0, срок реализации проекта —
3 года.
Год	Ожидаемая прибыль после уплаты налогов
1	1,4
2	1,5
3	1,7
Альтернативные издержки по инвестициям равны 15%,
ожидаемый годовой уровень инфляции — 7%. Определим
чистую приведенную стоимость инвестиционного проекта в
условиях инфляции.
Способ 1. Использование номинальной ставки и
номинальных денежных потоков.
Определим денежные потоки с учетом инфляции. За-
полним таблицу.
180
ГОД	Индекс инфляции	Денежные потоки с учетом инфляции
1	1,07	1,4x1,07 « 1,50
2	1,072 • 1,145	1,5x1,145 « 1,72
3	1,073 - 1,225	1,7x1,225 « 2,08
При заполнении третьего столбца ожидаемая прибыль
после уплаты налогов умножается на соответствующий ин-
декс инфляции.
Тогда чистая приведенная стоимость проекта равна
1,50/1,15 + 1.72/1.152 + 2,08/1,153 - 3 « 0,972 млн. руб.
С п о с о б 2. Использование реальной ставки дискон-
тирования и реальных денежных потоков.
Реальная ставка дисконтирования = (14- номинальная
ставка)/(индекс инфляции) - 1 = (1 4- 0,15)/1,07 - 1 »
» 0,075.
Тогда чистая приведенная стоимость проекта равна
1,4/1,075 + 1,5/1,075* + 1,7/1,075* - 3 • 0,969 млн. руб.
Из-за ошибок округления полученные результаты не-
значительно различаются.
Задача 76. Предприятие рассматривает инвестицион-
ный проект. Первоначальные затраты равны 2,5 млн. руб.,
остаточная стоимость — 0, срок реализации проекта —
3 года.
Год	Ожидаемая прибыль после уплаты налогов
1	1.3
2	1.4
3	1,8
Альтернативные издержки по инвестициям равны 14%,
ожидаемый годовой уровень инфляции — 6%. Определить
чистую приведенную стоимость инвестиционного проекта в
условиях инфляции.
181
Глава 25
ЛИЗИНГ
§ 25.1.	ПРЕИМУЩЕСТВА И НЕДОСТАТКИ ЛИЗИНГА
Лизинг — это один из способов ускоренного обновления ос-
новных средств. Он позволяет предприятию получить в свое
распоряжение средства производства, не покупая их и не
становясь их собственником. Недостаток лизинга — это его
более высокая стоимость по сравнению с банковскими кре-
дитами, так как уплачиваемые лизинговые платежи пред-
приятия-лизингополучателя лизинговому учреждению по-
крывают амортизацию имущества, стоимость вложенных де-
нег и вознаграждение за обслуживание лизингополучателя.
Преимущества лизинга для арендатора:
1.	Пользователь освобождается от необходимости инвес-
тирования крупной единовременной суммы, а временно вы-
свобожденные суммы денежных средств могут использовать-
ся на пополнение собственного оборотного капитала, что по-
вышает его финансовую устойчивость.
2.	Деньги, заплаченные за аренду, учитываются как те-
кущие расходы, включаемые в себестоимость продукции, в
результате чего на данную сумму уменьшается налогообла-
гаемая прибыль.
3.	Арендатор получает гарантийное обслуживание обору-
дования на весь срок аренды.
4.	Появляется возможность быстрого наращивания про-
изводственной мощности, внедрения достижений научно-
технического прогресса, что способствует конкурентоспособ-
ности предприятия.
$ 25.2. СРАВНИТЕЛЬНЫЙ АНАЛИЗ
ЭФФЕКТИВНОСТИ ЛИЗИНГА И БАНКОВСКОГО
КРЕДИТОВАНИЯ ПОКУПКИ ОСНОВНЫХ СРЕДСТВ
В качестве альтернативного финансового приема лизинг за-
меняет источники долгосрочного и среднесрочного финанси-
182
рования, поэтому преимущества и недостатки лизинга срав-
нивают с преимуществами и недостатками долгосрочных и
среднесрочных кредитов.
Пусть п — срок реализации проекта, Кн — ставка налога
на прибыль, Ео — предоплата, г — процентная ставка по
кредиту, Q — остаточная стоимость объекта, Lt — периоди-
ческий лизинговый платеж, Si — периодический платеж по
погашению кредита, — проценты по кредиту в соответст-
вующем периоде, — амортизационные начисления в соот-
ветствующем периоде, i = 1, 2, ..., п.
Тогда чистая приведенная стоимость посленалоговых пла-
п
тежей в случае лизинга равна L = Eq 4- (l-K^Li/d + r)1.
i=l
Если периодические лизинговые платежи постоянны
(L, = Lq = const), то мы получаем простую ренту постнуме-
рандо. Тогда чистая приведенная стоимость посленалоговых
Т V . ,1 !Г \Г 1 — 1/(1 + Г)"
лизинговых платежей равна L = Eq 4- (1 — Kh)Lq--
В случае покупки за счет кредита чистая приведенная сто-
п
имость посленалоговых платежей равна S = Eq 4- 25/(1 + г)‘+
п	п	/=1
+ (1 - Кк)2Р/(1 + Г)‘ - Кк2Л/(1 + г)' - Q/(l + г)".
i-1	i=l
Если периодические платежи по погашению кредита посто-
янны (Si = So = const), а амортизационные начисления равны
(Ai = Aq = const), то чистая приведенная стоимость послена-
логовых платежей в случае покупки за счет кредита равна
S = Е0 + (So - KHAo)1~1/(1 + r)" + (1 - кн)±—^— - -~-а.
Г	i=l (1 4- ry (1 4- г)п
Если L < S, то выгоднее лизинг. Если L > S, то выгоднее
покупка за счет кредита.
Пример 77. Предприятие рассматривает вопрос о при-
обретении оборудования. Первый вариант — лизинг за 600
тыс. руб. с рассрочкой платежа в течение четырех лет. Вто-
рой вариант — покупка на заводе-изготовителе за 480 тыс.
руб. Ставка налога на прибыль равна Кн = 40%. Предопла-
та Eq и остаточная стоимость оборудования Q равны нулю.
Можно получить кредит в банке под г — 12% годовых. Ис-
пользуется равномерное начисление износа. Сравним эти
варианты.
В случае лизинга ежегодный лизинговый платеж равен
Lq = 600/4 = 150 тыс. руб. Тогда чистая приведенная сто-
имость посленалоговых лизинговых платежей L равна
183
L - Eo + tl-K^Lo1 VU + r)" = 0 + (1 _ 0>4)xl50x
1 —1/(1+0,12)4	„„„„„
x ---------------« 273,36 тыс. руб.
0,12
Определим график погашения кредита при покупке обо-
рудования. Заполним таблицу.
Показатели, тыс. руб.	ГодО	Год1	Год 2	ГодЗ	Год 4
Возврат кредита So	—	120	120	120	120
Остаток долга	480	360	240	120	0
Проценты по кредиту Р,	—	57,6	43,2	28,8	14,4
Поясним, как заполняется таблица. Ежегодный возврат
кредита Sq = 480/4 = 120 тыс. руб. Каждое число 2-й стро-
ки, начиная со 2-го столбца, есть разность предыдущего
числа 2-й строки и числа из этого же столбца предыдущей
строки. Каждое число 2-й строки умножаем на 0,12 и ре-
зультат пишем в следующем столбце 3-й строки.
Ежегодные амортизационные начисления равны Ао =
= (первоначальная стоимость — остаточная стоимость)/4 =
= (480 - 0)/4 = 120 тыс. руб.
Тогда чистая приведенная стоимость посленалоговых
платежей в случае покупки за счет кредита равна:
S = Ео + (So - ЕнА0)1~1/(г1 + г)В + (1 -	+ г)‘ -
Г	1-1
- Q/(l + r)n - 0 + (120 - 0,4х 120)1 Alg? + (1 - 0,4)х
0,12
Х(67Л + 48£
1,12	1,122
28,8 , 14,4 ч Л лоо	л.
----- +-------) - 0 = 288 тыс. руб.
1,123	1,124
Так как 273,36 тыс. руб. < 288 тыс. руб., то выгоднее
лизинг.
Задача 77. Предприятие рассматривает вопрос о при-
обретении оборудования. Первый вариант — лизинг за 720
тыс. руб. с рассрочкой платежа в течение четырех лет. Вто-
рой вариант — покупка на заводе-изготовителе за 600 тыс.
руб. Ставка налога на прибыль равна Кн = 35%. Предопла-
та Eq hl остаточная стоимость оборудования Q равны нулю.
Можно получить кредит в банке под г = 11% годовых. Ис-
пользуется равномерное начисление износа. Сравнить эти
варианты.
184
Глава 26
ЗАРУБЕЖНЫЕ ИНВЕСТИЦИИ
Зарубежные инвестиции — это инвестиции, при которых
доходы будут получены в валюте, отличной от той, в кото-
рой были сделаны первоначальные капиталовложения. При
этом подразумевается, что придется дважды переводить
деньги из одной валюты в другую: сначала при первоначаль-
ных капиталовложениях и затем при возвращении денеж-
ных доходов в страну инвестора. Очень подробно валютные
расчеты будут рассмотрены в разделе III. Здесь же мы рас-
смотрим другие вопросы.
§ 26.1. ТРЕБУЕМАЯ ДОХОДНОСТЬ В ИНОСТРАННОЙ
ВАЛЮТЕ
Пусть I — требуемая доходность в валюте инвестора, j —
темп девальвации валюты инвестиций, k — требуемая до-
ходность в иностранной валюте.
Тогда 1 4- i =
14-Jfe
1+j’
Отсюда k = i 4- j 4- ij.
Пример 78. Инвестор из страны А рассматривает воз-
можность инвестирования в стране В. Требуемая доход-
ность в валюте А (валюте инвестора) равна i = 12%. Валю-
та В падает по отношению к валюте А на j = 10% в год.
Определим требуемую доходность в валюте В для инвесто-
ра из страны А.
Требуемая доходность в валюте В для инвестора из стра-
ны А равна k « i 4- j 4- ij « 0,12 4- 0,1 4- 0,12x0,1 - 0,232
(= 23,2%).
Задача 78. Инвестор из страны А рассматривает воз-
можность инвестирования в стране В. Требуемая доход-
ность в валюте А (валюте инвестора) равна i = 11%. Валю-
та В падает по отношению к валюте А на j = 15% в год.
Определить требуемую доходность в валюте В для инвесто-
ра из страны А.
185
§ 26.2. ЧИСТАЯ ПРИВЕДЕННАЯ СТОИМОСТЬ
ЗАРУБЕЖНЫХ ИНВЕСТИЦИЙ
Пример 79. Инвестор из страны А рассматривает воз*
можность инвестирования в стране В. Первоначальные за-
траты равны 150000 денежных единиц А. Анализ ситуа-
ции дал следующую информацию.
ГОД	Ожидаемые денежные поступления в валюте В	Ожидаемый курс А/В
1	400000	6,1
2	500000	6,2
3	600000	6,3
Альтернативные издержки по инвестициям равны 12%.
Определим чистую приведенную стоимость инвестиционно-
го проекта.
Найдем ожидаемые денежные поступления в валюте А.
Для этого ожидаемые чистые денежные поступления в ва-
люте В нужно разделить на соответствующий ожидаемый
курс А/В. Заполним таблицу.
год	Ожидаемые денежные поступления в валюте А
1	400000/6,1 « 65573,77
2	500000/6,2 - 80645,16
3	600000/6,3 - 95238,10
Тогда чистая приведенная стоимость инвестиционного
проекта равна 65573,77/1,12 + 80645,16/1,122 +
+ 95238,10/1,123 — 150000 = 40626,44 денежных единиц А.
Задача 79. Инвестор из страны А рассматривает воз-
можность инвестирования в стране В. Первоначальные за-
траты равны 250000 денежных единиц А. Анализ ситуа-
ции дал следующую информацию.
Год	Ожидаемые денежные поступления в валюте В	Ожидаемый курс А/В
1	500000	7,15
2	600000	7,20
3	700000	7,25
Альтернативные издержки по инвестициям равны 11%.
Определить чистую приведенную стоимость инвестицион-
ного проекта.
186
Глава 27
ОЦЕНКА РИСКА
Сравниваются варианты инвестирования, для которых изве-
стны возможные значения прибыли Xi, хп, а также веро-
ятности pi, рп получения данной прибыли соответствен-
но. Для каждого варианта вычисляются математическое
п
ожидание М(Х) = ^р,х, (характеризует среднюю прибыль) и
,=i	------- --------
стандартное отклонение а(Х) = \ ^Pixf — (Af(X))2 (это оцен-
ка риска проекта).
Пример 80. В таблице указаны вероятности получения
прибыли для двух вариантов инвестирования. Сравним эти
варианты.
Прибыль, млн. руб.	-2	-1	0	1	2	3
Вариант 1	0,1	0,1	0,3	0,2	0,3	0
Вариант 2	0,1	0,2	0,1	0,2	0,2	0,2
Заполним таблицу.
Прибыль X	Вариант 1			Вариант 2		
	Р	р х х	рх X X = рх2	Р	р X X	рх X X = рх2
-2	0,1	-0,2	0,4	0,1	-0,2	0,4
-1	0,1	-0,1	0,1	0,2	-0,2	0,2
0	0,3	0	0	0,1	0	0
1	0,2	0,2	0,2	0,2	0,2	0,2
2	0,3	0,6	1,2	0,2	0,4	0,8
3	0	0	0	0,2	0,6	1,8
Сумма	1	0,5	1,9	1	0,8	3,4
Поясним, как заполняется таблица. Числа из 1-й, 2-й и
3-й строк исходной таблицы запишем в 1-м, 2-м и 5-м
столбцах новой таблицы соответственно. 3-й (6-й) столбец
равен произведению 1-го и 2-го (5-го) столбцов. Числа 3-го
(6-го) столбца умножаем на числа 1-го столбца и результат
пишем в 4-м (7-м) столбце. В последней строке указаны
суммы элементов соответствующих столбцов.
187
Для 1-го варианта математическое ожидание М(Х) и
стандартное отклонение о(Х) равны:
М(Х) - tpiXi = 0,5;
i=l______________
а(Х) =\ ZPiXj2 - (Af(X))2 = а/1,9 - 0,52 = 1,28.
V>i
Для 2-го варианта математическое ожидание М(Х) и
стандартное отклонение о(Х) равны:
М(Х) - YPiXi = 0,8;
1=1______________
а(Х) tptXi2 - (М(Х))2 - Д/3,4 - 0,82 = 1,66.
Vi=l
Мы видим, что во 2-м варианте средняя прибыль выше,
но и оценка риска во 2-м варианте больше. Инвестор,
склонный к риску, предпочтет 2-й вариант. Более осторож-
ный инвестор ограничится 1-м вариантом.
Задача 80. В таблице указаны вероятности получения
прибыли для двух вариантов инвестирования. Сравнить эти
варианты.
Прибыль, млн. руб.	-2	-1	0	1	2	3
Вариант 1	0,1	0,2	0,3	0,3	0,1	0
Вариант 2	0,1	0,2	0,2	0,2	0,2	0,1
188
Глава 28
ДЕРЕВО РЕШЕНИЯ
Своевременная разработка и принятие правильного решения
— главные задачи работы управленческого персонала любой
организации. Непродуманное решение может дорого стоить
компании. На практике результат одного решения заставля-
ет нас принимать следующее решение и т. д. Когда нужно
принять несколько решений в условиях неопределенности,
когда каждое решение зависит от исхода предыдущего или
исходов испытаний, то применяют схему, называемую дере-
вом решений.
Дерево решений — это графическое изображение процес-
са принятия решений, в котором отражены альтернативные
решения, альтернативные состояния среды, соответствую-
щие вероятности и выигрыши для любых комбинаций аль-
тернатив и состояний среды.
Рисуют деревья слева направо. Места, где принимаются
решения, обозначают квадратами □ , места появления ис-
ходов — кругами О > возможные решения — пунктир-
ными линиями--------, возможные исходы — сплошными
ЛИНИЯМИ -------’ .
Для каждой альтернативы мы считаем ожидаемую стои-
мостную оценку (EMV) — максимальную из сумм оценок
выигрышей, умноженных на вероятность реализации выиг-
рышей, для всех возможных вариантов.
Пример 81. Главному инженеру компании надо ре-
шить, монтировать или нет новую производственную ли-
нию, использующую новейшую технологию. Если новая ли-
ния будет работать безотказно, компания получит прибыль
200 млн. рублей. Если же она откажет, компания может
потерять 150 млн. рублей. По оценкам главного инженера,
существует 60% шансов, что новая производственная ли-
ния откажет. Можно создать экспериментальную установ-
ку, а затем уже решать, монтировать или нет производст-
венную линию. Эксперимент обойдется в 10 млн. рублей.
Главный инженер считает, что существует 50% шансов,
189
что экспериментальная установка будет работать. Если экс-
периментальная установка будет работать, то 90% шансов
за то, что смонтированная производственная линия также
будет работать. Если же экспериментальная установка не
будет работать, то только 20% шансов за то, что производ-
ственная линия заработает. Следует ли строить экспери-
ментальную установку? Следует ли монтировать производ-
ственную линию? Какова ожидаемая стоимостная оценка
наилучшего решения?
В узле F возможны исходы «линия работает» с вероят-
ностью 0,4 (что приносит прибыль 200) и «линия не рабо-
тает» с вероятностью 0,6 (что приносит убыток -150) =>
оценка узла F: EMV(F) = 0,4x200 + 0,6 х(-150) = —10. Это
число мы пишем над узлом F.
EMV(G) = 0.
В узле 4 мы выбираем между решением «монтируем ли-
нию» (оценка этого решения EMV(F) = —10) и решением
«не монтируем линию» (оценка этого решения EMV(G) = 0):
EMV(4) - max {EMV(F), EMV(G)} = max {-10, 0} = 0 =
« EMV(G). Эту оценку мы пишем над узлом 4, а решением
«монтируем линию» отбрасываем и зачеркиваем.
Аналогично:
EMV(B) - 0,9x200 + 0,1 х(—150) - 180 - 15 = 165.
EMV(C) = 0.
EMV(2) - max {EMV(B), EMV(C)} = max {165, 0} = 165 =
- EMV(B). Поэтому в узле 2 отбрасываем возможное реше-
ние «не монтируем линию».
190
EMV(D) = 0,2x200 + 0,8x(-150) = 40 - 120 = -80.
EMV(E) « 0.
EMV(3) = max {EMV(D), EMV(E)} = max {-80, 0} = 0 =
= EMV(E). Поэтому в узле 3 отбрасываем возможное реше-
ние «монтируем линию».
EMV(A) = 0,5x165 + 0,5x0 - 10 = 72,5.
EMV(1) - max {EMV(A), EMV(4)} = max {72,5; 0} = 72,5 =
= EMV(A). Поэтому в узле 1 отбрасываем возможное реше-
ние «не строим установку».
Ожидаемая стоимостная оценка наилучшего решения
равна 72,5 млн. рублей. Строим установку. Если установка
работает, то монтируем линию. Если установка не работа-
ет, то линию монтировать не надо.
Задача 81. Предприниматель провел анализ, связан-
ный с открытием магазина. Если он откроет большой ма-
газин, то при благоприятном состоянии рынка получит
прибыль 60 млн. рублей, при неблагоприятном — понесет
убытки 40 млн. рублей. Маленький магазин принесет ему
30 млн. рублей прибыли при благоприятном состоянии
рынка и 10 млн. рублей убытков при неблагоприятном.
Возможность благоприятного и неблагоприятного состоя-
ния рынка он оценивает одинаково. Исследование рынка,
которое может провести специалист, обойдется предприни-
мателю в 5 млн. рублей. Специалист считает, что с вероят-
ностью 0,6 состояние рынка окажется благоприятным. В
то же время при положительном заключении состояние
рынка окажется благоприятным лишь с вероятностью 0,9.
При отрицательном заключении с вероятностью 0,12 состо-
яние рынка может оказаться благоприятным. Используйте
дерево решений для того, чтобы помочь предпринимателю
принять решение. Следует ли заказать проведение обследо-
вания состояния рынка? Следует ли открыть большой ма-
газин? Какова ожидаемая стоимостная оценка наилучшего
решения?
Пример 82. Компания рассматривает вопрос о строи-
тельстве завода. Возможны три варианта действий.
А. Построить большой завод стоимостью — 700 ты-
сяч долларов. При этом варианте возможны большой спрос
(годовой доход в размере R\ = 280 тысяч долларов в тече-
ние следующих 5 лет) с вероятностью pi - 0,8 и низкий
спрос (ежегодные убытки R2 = 80 тысяч долларов) с веро-
ятностью Р2 = 0,2.
Б. Построить маленький завод стоимостью М2 “ 300 ты-
сяч долларов. При этом варианте возможны большой спрос
(годовой доход в размере = 180 тысяч долларов в тече-
ние следующих 5 лет) с вероятностью pi — 0,8 и низкий
191
спрос (ежегодные убытки Т2 = 55 тысяч долларов) с веро-
ятностью Р2 = 0,2.
В. Отложить строительство завода на один год для сбора
дополнительной информации, которая может быть позитив-
ной или негативной с вероятностью рз « 0,7 и р± = 0,3 со-
ответственно. В случае позитивной информации можно по-
строить заводы по указанным выше расценкам, а вероят-
ности большого и низкого спроса меняются на р§ — 0,9 и
Pq ~ 0,1 соответственно. Доходы на последующие четыре
года остаются прежними. В случае негативной информа-
ции компания заводы строить не будет.
Все расчеты выражены в текущих ценах и не должны
дисконтироваться. Нарисовав дерево решений, определим
наиболее эффективную последовательность действий, осно-
вываясь на ожидаемых доходах.
Большой
Большой ало спрос
°’8
I -700	°’2
/	Маленький
*	спрос
280X5 = 1400
(-80)Х5 = -400
Большой
Маленький 365 у спрос
—°-8
-300	0.2
Маленький
180X5 = 900
(—55)Х5 = -275
спрос
Большой 276
Отложить
на 1 год
228,2
0,7
С
Позитивная 326/
информация
i Маленький 326
Негативная 0 Отказ от
информация строительства
F )------------------—---------
Большой
спрос
0,9
0,1
Маленький
спрос
Большой
спрос
0,9
0,1
Маленький
спрос
280X4 = 1120
(-80)Х4 = -320
180X4 = 720
(-55)Х4 = -220
0,3
Е
о
Ожидаемая стоимостная оценка узла А равна EMV(A) =
» 0,8x1400 + 0,2х(-400) - 700 = 340.
EMV(B) - 0,8x900 + 0,2х(-275) - 300 = 365.
EMV(D) = 0,9x1120 + 0,1х(—320) - 700 - 276.
EMV(E) = 0,9x720 + 0,1х(-220) - 300 = 326.
EMV(2) = max {EMV(D), EMV(E)} = max {276, 326} «
= 326 = EMV(E). Поэтому в узле 2 отбрасываем возможное
решение «большой завод».
EMV(C) = 0,7x326 + 0,3x0 = 228,2.
EMV(l) = max {EMV(A), EMV(B), EMV(C) } = max {340;
365; 228,2} - 365 = EMV(B). Поэтому в узле 2 выбираем
192
решение «маленький завод». Исследование проводить не
нужно. Строим маленький завод. Ожидаемая стоимостная
оценка этого наилучшего решения равна 365 тысяч долла-
ров.
Задача 82. Компания рассматривает вопрос о строи-
тельстве завода. Возможны три варианта действий.
А. Построить большой завод стоимостью = 650 ты-
сяч долларов. При этом варианте возможны большой спрос
(годовой доход в размере Ri = 300 тысяч долларов в тече-
ние следующих 5 лет) с вероятностью = 0,7 и низкий
спрос (ежегодные убытки R2 « 85 тысяч долларов) с веро-
ятностью Р2 = 0,3.
Б. Построить маленький завод стоимостью М2 = 360 ты-
сяч долларов. При этом варианте возможны большой спрос
(годовой доход в размере Т\ = 120 тысяч долларов в тече-
ние следующих 5 лет) с вероятностью р^ = 0,7 и низкий
спрос (ежегодные убытки Т2 “ 60 тысяч долларов) с веро-
ятностью Р2 = 0,3.
В. Отложить строительство завода на один год для сбо-
ра дополнительной информации, которая может быть по-
зитивной или негативной с вероятностью рз — 0,9 и
р4 = 0,1 соответственно. В случае позитивной информации
можно построить заводы по указанным выше расценкам, а
вероятности большого и низкого спроса меняются на
Р5 = 0,8 и pg = 0,2 соответственно. Доходы на последую-
щие четыре года остаются прежними. В случае негативной
информации компания заводы строить не будет.
Все расчеты выражены в текущих ценах и не должны
дисконтироваться. Нарисовать дерево решений. Определить
наиболее эффективную последовательность действий, осно-
вываясь на ожидаемых доходах. Какова ожидаемая стои-
мостная оценка наилучшего решения?
193
Глава 29
ПРИНЯТИЕ РЕШЕНИЙ
§ 29.1.	ПРИНЯТИЕ РЕШЕНИЙ БЕЗ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ
ЧИСЛЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ИСХОДОВ
§ 29.1.1.	Максимаксное и максиминное решения
Максимаксное решение — это максимизация максимума
возможных доходов. Максиминное решение — это максими-
зация минимума возможных доходов.
Пример 83. Владелец небольшого магазина в начале
каждого дня закупает для реализации некий скоропортя-
щийся продукт по цене 50 рублей за единицу. Цена реали-
зации этого продукта — 60 рублей за единицу. Из наблю-
дений известно, что спрос на этот продукт за день может
быть равен 1, 2, 3 или 4 единицы. Если продукт за день не
продан, то в конце дня его всегда покупают по цене 30 руб-
лей за единицу. Сколько единиц этого продукта должен за-
купать владелец каждый день?
Возможные исходы: спрос в день	Возможные решения: число закупленных для реализации единиц			
	1	2	3	4
1	10	-10	-30	-50
2	10	20	0	-20
3	10	20	30	10
4	10	20	30	40
максимакс	10	20	30	40
максимин	10	-10	-30	-50
Ниже приведена таблица возможных доходов за день.
Поясним, как заполняется таблица.
В клетке (2,2) для реализации было закуплено 2 едини-
цы, спрос был 2 единицы. Поэтому возможный доход для
этой клетки: 60x2 (реализация двух единиц) — 50x2 (их
предварительная закупка) - 20.
В клетке (3,1) была закуплена для реализации 1 едини-
ца, спрос был 3 единицы. Поэтому возможный доход для
194
этой клетки: 60x1 (реализация только одной единицы, вла-
делец магазина неверно оценил спрос) — 50x1 (ее предва-
рительная закупка) = 10.
В клетке (3,4) было закуплено для реализации 4 едини-
цы, спрос был 3 единицы. Поэтому возможный доход для
этой клетки 60x3 (реализация трех единиц, на которые
был спрос) — 50x4 (предварительная закупка четырех еди-
ниц) 4- 30х(4 — 3) (реализация в конце дня непроданной
единицы) = 10. И т. д.
Каждая реализованная в течение дня единица приносит
доход 60 — 50 = 10, а каждая реализованная в конце дня
единица приносит доход 30 — 50 = —20 (то есть убыток).
Рассматриваемые способы принятия решения состоят в
следующем. В каждом столбце (то есть для каждого воз-
можного решения) находим максимальное число. Это чис-
ла 10, 20, 30, 40 соответственно. Запишем их в строке
«максимакс» и найдем среди них максимальное. Это 40,
что соответствует решению о закупке для реализации 4 еди-
ниц. Руководствуясь правилом максимакса, каждый раз
надо закупать для реализации 4 единицы. Это — подход
очень азартного человека.
В каждом столбце (то есть для каждого возможного ре-
шения) находим минимальное число. Это числа 10, —10,
—30, —50 соответственно. Запишем их в строке «максимин»
и найдем среди них максимальное. Это 10, что соответст-
вует решению о закупке для реализации 1 единицы. Руко-
водствуясь правилом максимина, каждый раз надо заку-
пать для реализации 1 единицу. Это — подход очень осто-
рожного человека.
§ 29.1.2.	Минимаксное решение
Минимаксное решение — это минимизация максимума воз-
можных потерь, причем упущенная выгода также трактует-
ся как потери.
Пример 84. Вернемся к предыдущему примеру 83.
Таблица возможных потерь за день имеет следующий
вид:
Возможные исходы: спрос в день	Возможные решения: число закупленных для реализации единиц			
	1	2	3	4
1	0	20	40	60
2	10	0	20	40
3	20	10	0	20
4	30	20	10	0
минимакс	30	20	40	60
195
Поясним, как заполняется таблица.
В клетке (2,2) было закуплено для реализации 2 едини-
цы, спрос был 2 единицы, то есть число закупленных для
реализации единиц равно спросу за день. Поэтому возмож-
ные потери для этой клетки равны нулю.
В клетке (3,1) закупленная для реализации единица
продана, но могли бы продать еще 3-1 = 2 единицы, за-
работав на их продаже 2х(60 — 50) = 20. Это и есть воз-
можные потери.
В клетке (3,4) одна закупленная единица не реализова-
на в течение дня. Она приносит убыток 1х(50 — 30) = 20.
Это и есть возможные потери.
В каждом столбце (то есть для каждого возможного ре-
шения) находим максимальное число. Это числа 30, 20, 40,
60 соответственно. Запишем их в строке «минимакс» и най-
дем среди них минимальное. Это 20, что соответствует ре-
шению о закупке для реализации 2 единиц. Руководствуясь
правилом максимакса, каждый раз надо закупать для реа-
лизации 2 единицы.
§ 29.1.3.	Критерий Гурвица
Критерий Гурвица — это компромиссный способ приня-
тия решений. Составляется таблица возможных доходов (слс.
пример 83). Задаются числа а и Ь, называемые весами. Ус-
ловия на а и Ь:
а > 0, b > 0, а + Ъ = 1.
Для каждого возможного решения определяются наи-
меньший и наибольший возможные доходы и вычисляется
целевая функция по правилу:
ах (наименьший доход) + Ъ х (наибольший доход).
Выбираем решение, при котором целевая функция при-
нимает наибольшее значение.
Веса а и b выбирает сам исследователь. При а = 0, b = 1
получаем правило максимакса. При а = 1, Ъ = 0 получаем
правило максимина.
Пример 85. Вернемся к примеру 83. Зададим а = 0,4 и
b = 0,6. а 4- b = 0,4 + 0,6 = 1. Из таблицы возможных до-
ходов для каждого решения находим наименьший и наи-
больший возможные доходы (это числа в строках «макси-
макс» и «максимин»). Заполним Таблицу.
Числа во 2-м и 3-м столбцах взяты из таблицы возмож-
ных доходов. Числа 3-го столбца умножаем на а = 0,4 и
196
Возможные решения	Наибольший доход	Наименьший доход	а X (наимень- ший доход) = 0,4 X (наимень- ший доход)	b X (наиболь- ший доход) = 0,6 X (наиболь- ший доход)	Сумма
1	10	10	4	6	10
2	20	-10	-4	12	8
3	30	-30	-12	18	6
4	40	-50	-20	24	4
результат пишем в 4-м столбце. Числа 2-го столбца умно-
жаем на b = 0,6 и результат пишем в 5-м столбце. В 6-м
столбце находится сумма соответствующих элементов 4-го
и 5-го столбцов. Находим максимум в 6-м столбце (это 10).
Он соответствует возможному решению о закупке для реа-
лизации одной единицы. Очевидно, для других весов ре-
зультат будет, вообще говоря, иным.
Замечание. В методе Гурвица вместо таблицы возможных
доходов можно воспользоваться таблицей возможных потерь
(см. пример 84). В этом случае ищется минимум целевой
функции ах (наименьшие потери) + Ьх (наибольшие потери)
по всем возможным решениям.
§ 29.2.	ПРИНЯТИЕ РЕШЕНИЙ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ
ЧИСЛЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ИСХОДОВ
§ 29.2.1.	Правило максимальной вероятности
Пример 8в. Модифицируем пример 83. Пусть известно,
что на практике спрос 1 наблюдался 15 раз, спрос 2 наблю-
дался 30 раз, спрос 3 наблюдался 30 раз, спрос 4 наблюдался
25 раз, то есть известна частота каждого возможного исхода.
Всего наблюдений было 15 + 30 + 30 + 25 = 100. По
формуле (частота исхода)/(сумма частот всех исходов) оп-
ределим относительную частоту (или вероятность) каждого
исхода. Это 15/100 ~ 0,15; 30/100 = 0,30; 30/100 - 0,30;
25/100 = 0,25 соответственно. Составим таблицу. Находим
исходы, вероятность которых максимальна. Это 2 и 3.
Возможные исходы	1	2	3	4	Сумма
Частота	15	30	30	25	100
Вероятность р	0,15	0,30	0,30	0,25	1
В таблице возможных доходов наибольший возможный
доход из этих двух решений у решения «закупать 3 едини-
цы* (30 против 20). Поэтому, руководствуясь правилом
максимальной вероятности, надо закупать для реализации
3 единицы.
197
§ 29.2.2.	Максимизация ожидаемого дохода
Мы знаем вероятность каждого исхода и знаем таблицу воз-*
можных доходов. По формуле
2 (доход при i-м исходе) х (вероятность i-го исхода)
I
вычисляем для каждого решения математическое ожидание
дохода (грубо говоря, средний ожидаемый доход). И смот-
рим, для какого решения оно максимально.
Пример 87. Вернемся к примеру 86.
Возможное решение 1	Возможный доход X	Вероятность Р	хХр
	10	0,15	10x0,15 = 1,5
	10	0,30	10x0,30 = 3
	10	0,30	10x0,3 = 3
	10	0,25	10x0,25 = 2,5
	Сумма	1	10
Столбец * Возможный доход х» взят из таблицы возмож-
ных доходов (соответствует возможному решению 1). Стол-
бец 4 Вероятность р» — это строка 4 Вероятность р» из при-
мера 86. 3-й столбец — это результат поэлементного произ-
ведения 1-го и 2-го столбцов. Нас интересует сумма эле-
ментов 3-го столбца. Она равна 10.
Возможное решение 2	Возможный доход X	Вероятность Р	хХр
	-10	0,15	-10x0,15 - -1,5
	20	0;30	20x0,30 = 6
	20	0,30	20x0,3 - 6
	20	0,25	20x0,25 - 5
	Сумма	1	15,5
Возможное решение 3	Возможный доход X	Вероятность Р	хХр
	-30	0,15	-30x0,15 = -4,5
	0	0,30	0x0,30 = 0
	30	0,30	30x0,3 = 9
	30	0,25	30x0,25 = 7,5
	Сумма	1	12
Возможное решение 4	Возможный доход X	Вероятность Р	хХр
	-50	0,15	-50x0,15 = -7,5
	-20	0,30	-20x0,30 = -6
	10	0,30	10x0,3 = 3
	40	0,25	40x0,25 « 10
	Сумма	1	-0,5
198
Выбираем максимум среди итоговых чисел: max (10;
15,5; 12; —0,5) - 15,5. Поэтому надо закупать для реализа-
ции 2 единицы.
Замечание. Воспользовавшись формулой
S (возможные потери при i-м исходе)х(вероятность i-ro исхода),
i
аналогично можно минимизировать ожидаемые потери.
§ 29.2.3. Ожидаемая стоимость полной информации
На практике каждый предприниматель мечтает о том, что-
бы точно уравновесить спрос и предложение. В этом случае
нет потерь и потребители довольны. Этот идеальный сцена-
рий может стать более реальным, если точно известен уро-
вень спроса.
Один из способов определения будущего спроса — прове-
дение маркетингового исследования с целью получения ин-
формации о покупательских предпочтениях потребителей.
Подобные попытки, несомненно, увеличат затраты на веде-
ние бизнеса. Сколько именно средств предприниматель мо-
жет позволить себе потратить на получение информации об
ожидаемом уровне спроса?
Постараемся ответить на этот вопрос, воспользовавшись
результатами примеров 83, 86 и 87.
Из таблицы возможных доходов за день мы видим, что
если бы владелец магазина знал, что спрос на продукт бу-
дет равен 1 единице, то была бы закуплена для реализа-
ции 1 единица и возможный доход был бы равен 10 руб.
(максимальное число в 1-й строке находится в 1-м столбце
и равно 10).
Если заранее известно, что спрос составит 2 единицы,
то были бы закуплены для реализации 2 единицы и воз-
можный доход был бы равен 20 руб. (максимальное число
во 2-й строке находится во 2-м столбце и равно 20).
Если заранее известно, что спрос составит 3 единицы,
то были бы закуплены для реализации 3 единицы и воз-
можный доход был бы равен 30 руб. (максимальное число
в 3-й строке находится в 3-м столбце и равно 30).
Если заранее известно, что спрос составит 4 единицы,
то были бы закуплены для реализации 4 единицы и воз-
можный доход был бы равен 40 руб. (максимальное число
в 4-й строке находится в 4-м столбце и равно 40).
Так как известны вероятности различных значений спро-
са, то можно определить ожидаемый доход в условиях пол-
199
ной информации: 0,15x10 4- 0,30x20 4- 0,30x30 4- 0,25x40 =
- 26,5 руб.
Лучшее, что мог сделать владелец магазина в условиях
отсутствия полной информации — это закупать для реали-
зации 2 единицы в день с целью максимизации ожидаемо-
го дохода. Тогда его ожидаемый доход равен 15,5 руб. Он
имеет возможность увеличить ежедневный доход до 26,5
руб., затратив дополнительную сумму денег (не свыше
26,5 — 15,5 = 11 руб./день) на маркетинговые исследова-
ния.
Разница между ожидаемым доходом в условиях опреде-
ленности и в условиях риска называется ожидаемой стои-
мостью полной информации. Это максимально возможный
размер средств, которые можно потратить на получение пол-
ной информации о рыночной конъюнктуре.
Задачи 83-87. Владелец небольшого магазина в нача-
ле каждого рабочего дня закупает для реализации некий
скоропортящийся продукт по цене 30 рублей за единицу.
Цена реализации этого продукта — 50 рублей за единицу.
Из наблюдений известно, что спрос на этот продукт за день
может быть равен 1, 2, 3 или 4 единицы. Если продукт за
день не продан, то в конце дня его всегда окупают по цене
20 рублей за единицу.
Возможные исходы	1	2	3	4
Частота	5	40	40	15
Пользуясь правилами максимакса, максимина, мини-
макса, максимальной вероятности, критерием Гурвица и
максимизируя ожидаемый доход, определить, сколько еди-
ниц этого продукта должен закупать владелец каждый
день. Чему равна ожидаемая стоимость полной информа-
ции?
200
Глава 30
приведенная стоимость
денежных оттоков
индекс
рентабельности
АНАЛИЗ ИНВЕСТИЦИОННЫХ
ПРОЕКТОВ, ПОДДАЮЩИХСЯ
ДРОБЛЕНИЮ
Рассматриваются инвестиционные проекты. Допускается,
что можно реализовать не только целиком каждый из ана-
лизируемых инвестиционных проектов, но и любую его
часть. При этом берется к рассмотрению соответствующая
доля инвестиций и денежных поступлений. Возникает во-
прос о максимизации отдачи на инвестированный капитал.
Последовательность возможных действий такова:
1)	для каждого инвестиционного проекта вычисляется ин-
декс рентабельности по следующей формуле:
приведенная стоимость , приведенная стоимость
денежных поступлений * денежных оттоков »
2)	инвестиционные проекты, индекс рентабельности ко-
торых меньше единицы, следует отвергнуть;
3)	инвестиционные проекты упорядочиваются по убыва-
нию индекса рентабельности;
4)	те первые инвестиционные проекты, которые могут
быть профинансированы в полном объеме, реализуется.
5)	очередной проект финансируется по остаточному прин-
ципу (лишь в той части, в которой он может быть профи-
нансирован).
Пример 88. Предприятие имеет возможность инвести-
ровать 2,5 млн. руб. Рассматриваются следующие инвести-
ционные проекты, поддающиеся дроблению (денежные по-
ступления со знаком «+», денежные оттоки со знаком «—»):
А (-2; 0,7; 0,8; 1,1), В (-1,9; 0,6; 0,9; 1,2) и С (-1,7; 0,5;
0,7; 1,9). Альтернативные издержки по инвестициям рав-
ны 12%. Определим оптимальный инвестиционный порт-
фель.
Найдем индекс рентабельности каждого инвестицион-
ного проекта.
Для инвестиционного проекта А индекс рентабельности =
= (приведенная стоимость денежных поступлений)/(приве-
201
денная стоимость денежных оттоков) « (0,7/1,12 +
4- 0,8/1,122 4- 1,1/1,123)/2 « 1,023.
Для инвестиционного проекта В индекс рентабельности =
= (приведенная стоимость денежных поступлений)/(приве-
денная стоимость денежных оттоков) = (0,6/1,12 +
+ 0,9/1,122 4- 1,2/1,123)/1,9 « 1,109.
Для инвестиционного проекта С индекс рентабельности =
- (приведенная стоимость денежных поступлений)/(приве-
денная стоимость денежных оттоков) - (0,5/1,12 4-
0,7/1,122 4- 1,9/1,123)/1,7 « 1,386.
Для всех инвестиционных проектов индекс рентабель-
ности больше единицы.
Ранжируем инвестиционные проекты по убыванию ин-
декса рентабельности: С (1,386), В (1,109) и А (1,023).
Так как предприятие имеет возможность инвестировать
только 2,5 млн. руб., то проект С будет профинансирован
полностью, а проект В — лишь частично на 2,5 (общая сум-
ма) — 1,7 (инвестиции в проект С) - 0,8 млн. руб.
Задача 88. Предприятие имеет возможность инвести-
ровать 3 млн. руб. Рассматриваются следующие инвести-
ционные проекты, поддающиеся дроблению (денежные по-
ступления со знаком «4-», денежные оттоки со знаком «—»):
А (—1,9; 0,8; 0,9; 1,2), В (-2,1; 0,7; 1,1; 1,3) и С (-1,6; 0,5;
0,8; 1,4). Альтернативные издержки по инвестициям рав-
ны 11%. Определить оптимальный инвестиционный порт-
фель.
202
Глава 31
ДЕРЕВО ВЕРОЯТНОСТЕЙ
ИНВЕСТИЦИОННОГО ПРОЕКТА
Очень часто на практике возникают задачи изучения веро-
ятностного распределения возможных чистых приведенных
стоимостей инвестиционного проекта. Мы рассмотрим про-
стой и наглядный подход к анализу таких распределений —
дерево вероятностей инвестиционного проекта.
Дерево вероятностей инвестиционного проекта рисуют
слева направо. Места появления исходов обозначают в виде
кругов, а каждый исход — сплошной линией (ветвью), иду-
щей от соответствующего круга. Под каждой ветвью указы-
вается вероятность соответствующего исхода, а над ветвью
— денежные поступления или оттоки. Сумма вероятностей
на ветвях, выходящих из одного круга, равна единице.
Оценка вероятностей результатов инвестиционного про-
екта — простой метод оценки рисков капиталовложений.
Этот метод требует, чтобы человек, принимающий инвести-
ционные решения, мог предвидеть множество возможных
результатов инвестиционного проекта и был в состоянии оце-
нить вероятность наступления каждого из возможных вари-
антов.
Зная альтернативные издержки по инвестициям, опреде-
лим для каждой возможной серии потоков денежных средств
чистую приведенную стоимость NPV\ (i = 1, 2, ..., т). Здесь
т — общее число возможных серий потоков денежных
средств. Перемножив вероятности под ветвями, мы получим
Pi — вероятность появления соответствующей серии пото-
ков денежных средств (i = 1, 2, ..., т).
Тогда математическое ожидание вероятностного распре-
деления возможных чистых приведенных стоимостей инвес-
 - т
тиционного проекта равно NPV = '^РрМРУ}.
t=i
Дисперсия вероятностного распределения возможных чис-
тых приведенных стоимостей инвестиционного проекта равна
о2 = ZPi(NPVi - NPV)2 = ^PiXNPVi2 - (NPV)2.
1=1	1=1
203
Стандартное отклонение вероятностного распределения
возможных чистых приведенных стоимостей инвестицион-
ного проекта равно о = о2.
Пример 89. Первоначальные инвестиции равны
2,5 млн. руб. Дерево вероятностей инвестиционного проек-
та имеет следующий вид (денежные суммы указаны в
млн. руб.).
Альтернативные издержки по инвестициям равны 12%.
Определим математическое ожидание и стандартное откло-
нение вероятностного распределения возможных чистых
приведенных стоимостей инвестиционного проекта.
Общее число возможных серий потоков денежных
средств равно т = 4. Определим для каждой возможной се-
рии потоков денежных средств чистую приведенную стои-
мость (i - 1, 2, 3, 4).
NPVi - 1,5/1,12 + 1,1/1,12* - 2,5 = -0,28 млн. руб.
NPV2 - 1,5/1,12 + 1,7/1,12* - 2,5 - 0,19 млн. руб.
NPV3 = 1,9/1,12 + 2.1/1Д22 - 2,5 = 0,87 млн. руб.
NPV4 - 1,9/1,12 + 2,4/1,122 - 2,5 « 1,11 млн. руб.
Заполним таблицу.
Серия	NPVt	А	PjxNPVj	Pi*NPVt2 - = NPV^(P^NPVt)
1	-0,28	0,3x0,8 = 0,24	-0,0672	0,019
2	0,19	0,3x0,2 = 0,06	0,0114	0,002
3	0,87	0,7x0,4 = 0,28	0,2436	0,212
4	1,11	0,7x0,6 = 0,42	0,4662	0,517
Сумма		1	0,654	0,75
Поясним, как заполняется таблица. В первых трех
столбцах указаны номер возможной серии потоков денеж-
ных средств, чистая приведенная стоимость возможной се-
рии и вероятность появления возможной серии соответст-
венно. 4-й столбец — это произведение 2-го и 3-го столбцов.
Числа 2-го столбца умножаем на числа 4-го столбца, ре-
зультат округляем до трех цифр после запятой и пишем в
5-м столбце. В последней строке указана сумма чисел соот-
ветствующего столбца.
Математическое ожидание вероятностного распределе-
ния возможных чистых приведенных стоимостей инвести-
204
____ т
ционного проекта равно NPV = ^Pi^NPVi = 0,654 млн. руб.
/=1
Дисперсия вероятностного распределения возможных
чистых приведенных стоимостей инвестиционного проекта
равна а2 =	“ (NPV)2 - 0,75 - 0,6542 » 0,322
i=l
млн. руб.
Стандартное отклонение вероятностного распределения
возможных чистых приведенных стоимостей инвестицион-
ного проекта равно о = V0 322 « 0,567 млн. руб.
Задача 89. Первоначальные инвестиции равны 2,4 млн.
руб. Дерево вероятностей инвестиционного проекта имеет
следующий вид (денежные суммы указаны в млн. руб.).
Альтернативные издержки по инвестициям равны 11%.
Определить математическое ожидание и стандартное откло-
нение вероятностного распределения возможных чистых
приведенных стоимостей инвестиционного проекта.
Слабым местом данного метода является его субъектив-
ность. Разные оценки возможных исходов и их вероятнос-
тей могут привести к совершенно разным результатам. Но в
отличие от методов оценки инвестиций в условиях опреде-
ленности, в которых рассматривается только один вариант
развития, данный метод дает гарантию, что вопросы риска
не были проигнорированы при принятии инвестиционного
решения.
205
Глава 32
ФОРВАРДНЫЕ СТАВКИ
По времени реализации различают процентные ставки спот
и форвард.
Спот-контракт — это контракт, подразумевающий не-
медленный заем денег одной стороной у другой после подпи-
сания. Заем должен быть возвращен одновременно с процен-
тами по нему в некоторый определенный момент времени в
будущем.
Процентная ставка, указываемая в таком контракте, на-
зывается спот-ставкой. Очень часто под спот-ставкой под-
разумевают доходность к погашению по бескупонной (чисто
дисконтной) облигации.
Форвардная ставка — это процентная ставка, устанав-
ливаемая сегодня, которая будет выплачена за пользовани-
ем деньгами, занятыми в определенный момент времени в
будущем на определенный период.
Форвардная ставка применяется к контракту, заключае-
мому сейчас, но относящемуся к будущему периоду време-
ни. После заключения контракта его условия становятся не-
изменными, хотя сама сделка произойдет позднее. Если вме-
сто заключения форвардного контракта сейчас подождать
соответствующий период времени и затем подписывать заем
денег по спот-ставкам, которые тогда установятся, то усло-
вия могут оказаться как лучше, так и хуже, чем сегодняш-
няя форвардная ставка, так как будущую спот-ставку невоз-
можно точно предсказать.
Зная спот-ставки для различных периодов времени до по-
гашения с сегодняшнего дня, можно определить соответст-
вующие форвардные ставки.
Пусть st и Sf-i — это соответственно ^-годичная и
(£—1)-годичная спот-ставки. Тогда ft-и (форвардная ставка
между годами t — 1 и t) находится из уравнения:
(1 + Wx(l +	= (1 + s()'.
Отсюда ft_lit = (1 + «t)7(l + St-i)*-1 _ 1-
206
Пример 90. Известны спот-ставки на 2 и 3 года $2 =
12% годовых и S3 = 12,5% годовых соответственно. Опре-
делим форвардную ставку между вторым и третьим годом.
Форвардная ставка между вторым и третьим годом рав-
на /2,з “ (1 + «з)3/(1 + S2)2 - 1 - (1 + 0,125)7(1 + 0,12)2 -
- 1 « 0,135 (= 13,5% годовых).
Задача 90. Известны спот-ставки на 2 и 3 года $2 "
11% годовых и S3 = 12% годовых соответственно. Опреде-
лить форвардную ставку между вторым и третьим годом.
207
Глава 33
СТОИМОСТЬ КАПИТАЛА
Любой инвестор сталкивается с проблемой определения тре-
буемой нормы прибыли инвестиционного проекта. В этой
главе мы рассмотрим решение этой задачи через стоимость
привлечения средств для инвестиций.
Главные источники долгосрочного капитала — это заем-
ные средства (кредит), выпуск акций и облигаций. Кратког
срочные источники (например, овердрафт) при финансиро-
вании капитальных вложений обычно не используются. Сто-
имость этих источников определяется выплачиваемыми по
акциям дивидендами, процентами за кредит и процентами,
уплачиваемыми по облигациям.
§ 33.1.	СТОИМОСТЬ ОБЛИГАЦИЙ, ВЫПУЩЕННЫХ
ИНВЕСТОРОМ
Стоимость облигаций, выпущенных инвестором, приблизи-
тельно равна процентам, уплачиваемым по этим облигаци-
ям. Но при этом необходимо учитывать разницу между на-
рицательной стоимостью облигации и ценой ее реализации.
Полученная эмитентом при размещении облигационного зай-
ма сумма, как правило, ниже самого займа из-за расходов
по выпуску займа.
§ 33.2.	СТОИМОСТЬ КРЕДИТА
Стоимость кредита является функцией от процентной став-
ки, ставки налога на прибыль и связанных с получением
кредита затрат. Проценты за кредит в отличие от дивиден-
дов включаются в себестоимость. Это противоналоговый эф-
фект кредита. Он вычисляется по следующей формуле:
стоимость кредита
после налогообложения
стоимость кредита
до налогообложения
ставка налога
на прибыль
208
Пример 91. Взят кредит под 12% годовых. Ставка на-
лога на прибыль равна 30%. Определим стоимость кредита
после налогообложения.
Стоимость кредита после налогообложения = (стоимость
кредита до налогообложения) х(1 - ставка налога на при-
быль) = 0,12х(1 — 0,3) = 0,084 (« 8,4% родовых).
Задача 91. Взят кредит под 11% годовых. Ставка на-
лога на прибыль равна 40%. Определить стоимость креди-
та после налогообложения.
Из-за противоналогового эффекта кредит обычно обходит-
ся дешевле, чем привлечение средств путем выпуска акций.
§ 33.3.	СТОИМОСТЬ АКЦИОНЕРНОГО КАПИТАЛА
Для простоты будем считать, что предприятие имеет только
обыкновенные акции.
Стоимость акционерного капитала вычисляется по сле-
дующей формуле (см. § 8.5): стоимость акционерного капи-
тала — -Di/Л) + 8> где Ро — рыночная цена акции в настоя-
щий момент, Di — ожидаемый в текущем году дивиденд,
g — постоянный темп роста дивидендов.
Пример 92. Рыночная цена акции в настоящий момент
Ро = 1000 руб. Ожидается, что дивиденд в текущем году
будет равен D\ - 50 руб., а постоянный темп роста диви-
дендов g = 7%. Определим стоимость акционерного капи-
тала.
Стоимость акционерного капитала = Pi/Ро + 8 =
= 50/1000 + 0,07 = 0,12 (== 12%).
Задача 92. Рыночная цена акции в настоящий момент
Ро = 500 руб. Ожидается, что дивиденд в текущем году бу-
дет равен D\ = 60 руб., а постоянный темп роста дивиден-
дов g - 4%. Определить стоимость акционерного капитала.
§ 33.4.	СРЕДНЕВЗВЕШЕННАЯ СТОИМОСТЬ КАПИТАЛА
Определив по отдельности стоимость различных источников
капитала, мы располагаем всеми необходимыми данными
для оценки стоимости всего долгосрочного финансирования
предприятия как единого целого. Результат представляет со-
бой взвешенное значение стоимости капитала, отражающее
определяемый политикой предприятия состав различных ис-
точников капитала.
209
Средневзвешенная стоимость капитала WACC (англ.
Weighted average cost of capital) вычисляется по следующей
формуле:
WACC
стоимость i-ro
источника капитала
доля i-ro источника
капитала
Это основа для коэффициента дисконтирования, необхо-
димого для оценки инвестиционных проектов.
Пример 93. В таблице указаны стоимости (в % годо-
вых) и рыночные стоимости (в млн. руб.) источников капи-
тала предприятия.
Источник капитала	Стоимость	Рыночная стоимость
Кредит	10	0,5
Обыкновенные акции	16	1,9
Облигационный заем	8	0,6
Определим средневзвешенную стоимость капитала пред-
приятия.
Заполним таблицу.
Источник капитала	Стоимость	Рыночная стоимость	Доля в рыночной стоимости	
Кредит	10	0,5	0,167	1,67
Обыкновенные акции	16	1,9	0,633	10,128
Облигационный заем	8	0,6	0,2	1,6
Сумма	—	3	1	13,398 = = WACC
Поясним, как заполняется таблица. В последней строке
указана сумма чисел соответствующего столбца. Каждое
число 3-го столбца делим на сумму чисел этого столбца, ре-
зультат округляем до трех цифр после запятой и пишем в
4-м столбце. 5-й столбец — это произведение 2-го и 4-го
столбцов.
Средневзвешенная стоимость капитала предприятия
WACC = 13,398% годовых.
Задача 93. В таблице указаны стоимости (в % годо-
вых) и рыночные стоимости (в млн. руб.) источников капи-
тала предприятия.
Источник капитала	Стоимость	Рыночная стоимость
Кредит	11	0,6
Обыкновенные акции	15	1,8
Облигационный заем	9	0,5
Определить средневзвешенную стоимость капитала
предприятия.
210
Применение средневзвешенной стоимости капитала при
установлении норматива рентабельности инвестиций допус-
тимо лишь для проектов, характеризующихся обычными
для предприятия рисками.
211
Глава 34
СРАВНИТЕЛЬНЫЙ АНАЛИЗ
ВАРИАНТОВ
ФИНАНСИРОВАНИЯ
В этой главе мы займемся оценкой доступных для руковод-
ства предприятия возможностей финансирования. Как осу-
ществить выбор между собственным и заимствованным ка-
питалом? Из-за противоналогового эффекта кредита для за-
имствования средств часто характерна более дешевая после-
налоговая выплата, чем при собственном капитале. Но и
риск в этом случае выше.
Для простоты будем считать, что предприятие имеет толь-
ко обыкновенные акции.
§ 34.1.	ПРИБЫЛЬ НА АКЦИЮ
Если акционерное общество обеспечивает себе прибыль, то
акционеры могут рассчитывать на получение доли этой при-
были. Прибыль на акцию показывает, какая величина при-
были может быть теоретически распределена на каждую ак-
цию, если общее собрание акционеров примет решение о рас-
пределении всей полученной прибыли. Она вычисляется по
следующей формуле:
прибыль _ чистая прибыль , число обыкновенных
на акцию	после уплаты налогов •	акций
Пример 94. Чистая прибыль после уплаты налогов рав-
на 200000 руб., а число обыкновенных акций равно 5000.
Определим прибыль на акцию.
Прибыль на акцию = (чистая прибыль после уплаты на-
логов)/(число обыкновенных акций) = 200000/5000 -
= 40 руб./акцию.
Задача 94. Чистая прибыль после уплаты налогов рав-
на 150000 руб., а число обыкновенных акций равно 6000.
Определить прибыль на акцию.
212
Если известны проценты к уплате и ставка налога на при-
быль, то формула для вычисления прибыли на акцию при-
мет следующий вид:
прибыль
на акцию
(прибыль до вы-
платы процен-
тов и налогов
Пример 95. Пусть в примере 94 прибыль до выплаты
процентов и налогов равна 250000 руб., проценты к уплате
— 50000 руб., а ставка налога на прибыль — 30%. Опреде-
лим прибыль на акцию.
Прибыль на акцию = (прибыль до выплаты процентов
и налогов — проценты к уплате)х(1 — ставка налога на при-
был ь)/(число обыкновенных акций) = (250000 — 50000) х
х(1 — 0,3)/5000 - 28 руб./акцию.
Задача 95. Пусть в задаче 94 прибыль до выплаты про-
центов и налогов равна 200000 руб., проценты к уплате —
40000 руб., а ставка налога на прибыль — 40%. Опреде-
лить прибыль на акцию.
§ 34.2.	ТОЧКА БЕЗРАЗЛИЧИЯ
Определение точки безразличия — это один из способов срав-
нения собственных и заемных средств. Приравняв выраже-
ния для прибыли на акцию в случаях собственного и заем-
ного финансирования, мы найдем значение прибыли до вы-
платы процентов и налогов. Это и есть точка безразличия.
Выше точки безразличия прибыль на акцию будет выше в
случае кредита, а ниже точки безразличия прибыль на ак-
цию будет выше при выпуске акций.
Пример 96. Текущая прибыль предприятия до выпла-
ты процентов и налогов равна 2 млн. руб., проценты по те-
кущим долгам — 0,4 млн. руб., число обыкновенных ак-
ций — 5000, ставка налога на прибыль — 30%. Предприя-
тию требуется 3 млн. руб. для финансирования инвестици-
онного проекта, который, как ожидается, увеличит на 0,6
млн. руб. ежегодную прибыль предприятия до выплаты про-
центов и налогов. Рассматриваются следующие варианты:
а)	выпуск 1000 акций;
б)	кредит под 10% годовых.
Что наиболее выгодно для акционеров?
Определим точку безразличия х.
В случае выпуска акций прибыль на акцию равна
(х - 0,4)х(1 - 0,3)/(5000 + 1000).
213
В случае кредита прибыль на акцию равна (х — 0,4 -
- Зх0,1)х(1 - 0,3)/5000.
m (х —0,4)х0,7	(х-0,7)х0,7	оо
Тогда  ----—-—— =  ------——то есть х = 2,2 млн.
6000	5000
руб.
Ожидаемая ежегодная прибыль предприятия до выпла-
ты процентов и налогов составит 2 + 0,6 - 2,6 млн. руб.
Это превосходит 2,2 млн. руб. (значение точки безразли-
чия). Поэтому прибыль на акцию будет выше в случае кре-
дита.
Задача 96. Текущая прибыль предприятия до выпла-
ты процентов и налогов равна 2,1 млн. руб., проценты по
текущим долгам — 0,5 млн. руб., число обыкновенных ак-
ций — 5500, ставка налога на прибыль — 40%. Предприя-
тию требуется 2,9 млн. руб. для финансирования инвести-
ционного проекта, который, как ожидается, увеличит на
0,7 млн. руб. ежегодную прибыль предприятия до выпла-
ты процентов и налогов. Рассматриваются следующие ва-
рианты:
а)	выпуск 1000 акций;
б)	кредит под 11% годовых.
Что наиболее выгодно для акционеров?
214
Глава 35
МОДЕЛЬ ОЦЕНКИ
ФИНАНСОВЫХ АКТИВОВ
§ 35.1.	ВЛОЖЕНИЕ КАПИТАЛА В РАЗЛИЧНЫЕ
ЦЕННЫЕ БУМАГИ
Инвестирование включает два различных вида риска: ры-
ночный и особый. Рыночный (систематический) риск воз-
никает из-за неопределенности всей экономики. Поэтому ак-
ционеры не могут его избежать. Особый (несистематичес-
кий) риск связан с определенным предприятием или проек-
том. Поэтому этот вид риска можно ликвидировать при ин-
вестировании нескольких различных проектов.
Инвестор может существенно уменьшить риск, если вме-
сто вложения всех средств в один вид акций распределит
свои средства между различными акциями (проведет дивер-
сификацию), то есть сформирует портфель акций. Портфель
«усредняет» рыночный риск акций и существенно уменьша-
ет особый риск акций.
Согласно современной портфельной теории, ни один ин-
вестор не нуждается в принятии особого риска: он может из-
бавиться от этого вида риска, разнообразив свой портфель и
владея акциями нескольких различных компаний. Рыноч-
ные доходы должны компенсировать только рыночный риск.
Теоретической основой различных методов, применяемых
в инвестиционной практике, служит модель оценки финан-
совых активов САРМ (англ. Capital Asset Pricing Model).
§ 35.2.	ОСНОВНЫЕ ПРЕДПОЛОЖЕНИЯ МОДЕЛИ
ОЦЕНКИ ФИНАНСОВЫХ АКТИВОВ
1.	Инвесторы производят оценку инвестиционных порт-
фелей на основании ожидаемых доходностей и их стандарт-
ных отклонений за период владения.
2.	Из двух портфелей предпочтение отдается тому, кото-
рый при прочих равных условиях дает наибольшую ожидае-
мую доходность.
215
3.	Из двух портфелей предпочтение отдается тому, кото-
рый при прочих равных условиях имеет наименьшее стан-
дартное отклонение.
4.	Частные активы бесконечно делимы. При желании ин-
вестор может купить часть акции.
5.	Существует безрисковая процентная ставка, по кото-
рой инвестор может дать взаймы (то есть инвестировать) или
взять в долг денежные средства. Эта безрисковая процент-
ная ставка одинакова для всех инвесторов.
6.	Для всех инвесторов период вложения одинаков.
7.	Все инвесторы обладают одной и той же информацией
и одинаково оценивают перспективы ценных бумаг.
8.	Рынки ценных бумаг являются совершенными рынка-
ми в том смысле, что в них нет факторов, препятствующие
инвестициям (ограниченная делимость, налоги, операцион-
ные издержки, различие между ставками безрискового за-
имствования и кредитования).
§ 35.3.	ТЕОРЕМА РАЗДЕЛЕНИЯ
Одним из важных свойств модели оценки финансовых акти-
вов является теорема разделения.
Теорема разделения. Оптимальная для инвестора комби-
нация рискованных активов не зависит от его предпочтений
относительно риска и доходов.
Это означает, что каждый инвестор распределит свои
средства среди рискованных ценных бумаг в одной и той же
относительной пропорции, увеличивая безрисковое заимст-
вование или кредитование с целью достижения предпочти-
тельной для него комбинации риска и дохода.
§ 35-4. РЫНОЧНЫЙ ПОРТФЕЛЬ
Все будет сбалансировано. Каждый инвестор захочет дер-
жать определенное положительное число рискованных цен-
ных бумаг каждого вида. Текущий рыночный курс каждой
бумаги будет находиться на уровне, уравновешивающем
спрос и предложение. Величина безрисковой ставки будет
такая, что общая сумма денежных средств, взятых в долг,
будет равна общей сумме денег, предоставленных взаймы.
В странах с развитой рыночной экономикой государствен-
ные ценные бумаги со сроком погашения, совпадающим со
сроком владения, удовлетворяют требованию безрисковости.
216
Такая ценная бумага погашаётся в конце периода владения,
и инвестор получает в этот момент количество денег, которое
уже известно при принятии решения. Процентная ставка по
таким ценным бумагам называется безрисковой ставкой.
Рыночный портфель — это состоящий из всех ценных
бумаг портфель, в котором доля каждой ценной бумаги со-
ответствует ее относительной рыночной стоимости. Относи-
тельная рыночная стоимость ценной бумаги равна ее сово-
купной рыночной стоимости, деленной на сумму совокуп-
ных рыночных стоимостей всех бумаг.
Несмотря на широту своего применения, рыночный порт-
фель поразительно плохо определен. Теоретически состав его
выглядит просто: все активы взвешены в пропорции соглас-
но их рыночным стоимостям. Но реально определить истин-
ный рыночный портфель (или даже его приближение) пред-
ставляется невозможным как для частного лица, так и для
организации.
Трудности в определении структуры и стоимости истин-
ного рыночного портфеля привели к необходимости исполь-
зования его подобий. При операциях с обыкновенными ак-
циями большинство исследователей и практиков произволь-
но определяют рыночный портфель как достаточно предста-
вительный индекс (например, S&P 500).
Обычно инвесторы пренебрегают неопределенностью ры-
ночного портфеля и подразделяют рынок финансовых акти-
вов на различные классы (например, акции и облигации). За-
тем они более или менее произвольно определяют рыночный
портфель для каждого класса этих активов и составляют порт-
фели, которые вели бы себя аналогично характеристикам ры-
ночного портфеля соответствующего класса активов.
§ 35.5. ВЗАИМОСВЯЗЬ МЕЖДУ УРОВНЕМ РИСКА
ИНВЕСТИЦИЙ И ТРЕБУЕМОЙ НОРМОЙ ПРИБЫЛИ
Ключевая формула модели оценки финансовых активов име-
ет следующий вид:
— Rf + fi(Rm ~ Rf\
где ke — стоимость собственного капитала компании; Rf —
доходность ценных бумаг с нулевым риском; Rm — средняя
доходность акций, входящих в рыночный портфель (индекс);
Р — показатель риска акций компании по отношению к порт-
фелю (индексу) ценных бумаг, присутствующих на рынке.
217
В качестве меры риска используется бета-коэффици-
ент р. Бета-коэффициент выражает «рыночную чувстви-
тельность» инвестиций, то есть на сколько изменяется до-
ходность на любые конкретные акции (дивиденды + доход с
капитала) по сравнению с изменениями рыночной ситуации.
Р = 1 означает, что изменения в доходности в точности
повторяют изменения рыночной ситуации.
Р < 1 характерны для проектов с низким уровнем риска,
чья доходность более стабильна, чем рынок.
Значения Р > 1 говорят, что доходы от таких проектов
подвержены очень сильному влиянию со стороны даже не-
значительных рыночных колебаний.
Хотя коэффициент р и служит для измерения риска, на
практике трудно определить его точное значение для кон-
кретного инвестиционного проекта. Обычно значения Р оп-
ределяют, исходя из данных фондового рынка о доходности
компании, которая характеризуется ценой ее акций.
Показатель Rm — Rf характеризует «рыночную премию*,
то есть доходность, превышающую безрисковую норму при-
были, сложившуюся на рынке.
Пример 97. Доходность ценных бумаг с нулевым рис-
ком Rf = 6%, доходность акций рыночного индекса
Rm = 11%, коэффициент р = 1,2. Определим доходность
обыкновенных акций компании.
Доходность обыкновенных акций компании равна
ke = Rf + p(Pm - Rf) « 6 + 1,2х(Ц - 6) = 12%.
Задача 97. Доходность ценных бумаг с нулевым рис-
ком Rf = 5%, доходность акций рыночного индекса
Rm = 12%, коэффициент р = 0,8. Определить доходность
обыкновенных акций компании.
§ 35.6. УЧЕТ ИНФЛЯЦИИ
Доходность государственных ценных бумаг с нулевым рис-
ком фактически учитывает предполагаемый уровень инфля-
ции, так как ожидания, связанные с характерными для бу-
дущего инфляционными условиями, влияют на их рыночную
цену, а значит и на доходность. Модель САРМ содержит эле-
мент инфляционных ожиданий и учитывает его воздействие
на оценку будущего дохода. Несмотря на простоту модели
САРМ, при ее применении может возникнуть немало про-
блем. Часть из них была рассмотрена в этой главе. Поэтому
результаты расчетов следует использовать крайне осторожно.
218
Глава 36
ЛИНЕЙНАЯ РЕГРЕССИЯ
Очень часто исследователя интересует связь между перемен-
ными. Это помогает при анализе их поведения. В этой главе
будет разработана модель для описания связи между пере-
менными с математической точки зрения. Начнем с наибо-
лее простых для анализа линейных уравнений.
§ 36.1.	ПРОСТАЯ МОДЕЛЬ ЛИНЕЙНОЙ РЕГРЕССИИ
Существует или нет линейная связь между двумя перемен-
ными х, z/? Проводим случайную выборку. При значениях
Xi, Х2, хп мы наблюдаем значения i/i, 1/2» •••> Уп соответ-
ственно. На плоскости Оху отметим точки с координатами
(*ь г/1)> (х2, у2).(х„, уп).
Предположим, что точки группируются вокруг некото-
рой прямой линии у = а + Ьх. Тогда:
г&хм - 'ZxiT.yi 'ZVi ~
?-1 ,t а = 2П------
«ix2 - dx>2 n
i=l
Точки не находятся точно на линии у = а + Ьх. Но это
неудивительно. Ведь помимо х на поведение у оказывают
влияние и другие факторы. Дальнейший анализ полученно-
го уравнения позволяет сказать, насколько сильно влияние
неучтенных факторов, действительно ли модель линейна и
т. д. На переменные х, у накладывается ряд условий. Для
описания природы связи используется термин «регрессия*.
Коэффициент b называется показателем наклона линии ли-
нейной регрессии.
Пример 98. Изучается зависимость себестоимости еди-
ницы изделия (у, тыс. руб.) от величины выпуска продук-
ции (х, тыс. шт.) по* группам предприятий за отчетный пе-
риод. Экономист обследовал п = 5 предприятий и получил
219
следующие результаты (2-й и 3-й столбцы). Полагая, что
между переменными х, у имеет место линейная зависимость,
определим выборочное уравнение линейной регрессии.
Заполним таблицу.
Номер	X	У	хг	*У
1	2	1.9	4	3,8
2	3	1,7	9	5,1
3	4	1,8	16	7,2
4	5	1,6	25	8
5	6	... 1,4	36	8,4
Сумма	20	8,4	90	32,5
Поясним, как заполняется таблица. В 4-м столбце ука-
заны квадраты соответствующих чисел 2-го столбца. Каж-
дое число 2-го столбца умножаем на соответствующее чис-
ло 3-го столбца и результат пишем в 5-м столбце. В послед-
ней строке указана сумма чисел соответствующего столбца.
п	п п
n^XiVi - YxiXVi
b = -^_________
nSxj2 - (iXi)2
i=l Z=1
5x32,5-20x8,4
5x90-202
n	n
Sj/z - bSxj
a = !=1--------<zl_
8,4 — (—0,ll)x20
5
= 2,12.
n
у = a + bx = 2,12 + (—0,ll)x.
Задача 98. Фирма провела рекламную кампанию. Че-
рез 10 недель фирма решила проанализировать эффектив-
ность этого вида рекламы, сопоставив недельные объемы
продаж (у, тыс. руб.) с расходами на рекламу (х, тыс.
руб.).
Полагая, что между переменными х, у имеет место ли-
нейная зависимость, определить выборочное уравнение ли-
нейной регрессии.
X	5	8	6	5	3	9	12	4	3	10
У	72	76	78	70	68	80	82	65	62	90
Замечание. Вместо вычислений коэффициентов а и b по
формулам можно воспользоваться соответственно статисти-
ческими функциями ОТРЕЗОК (изв_знач_г/; изв знач х) и
НАКЛОН (изв_знач_г/; изв_знач_х) мастера функций fx па-
кета Excel. Здесь изв_знач_1/ и изв_знач_х — это ссылки на
ячейки, содержащие значения переменных у и х соответст-
венно.
220
п	п
Zvt _
Обозначим через у = —— и х =	— средние значения
п	п
переменных у и х соответственно.
§ 36.2.	ОШИБКИ
Проводим случайную выборку. При значениях Xi, Х2, ..., хп
мы наблюдаем значения	у2, ..., уп соответственно. Полу-
чено уравнение у = а + Ьх. Если вместо х подставить в это
уравнение значения Xi, Х2, ...» хл, то будут получены значе-
ния У1, у29 ...»Уп* которые, вообще говоря, будут отличаться
от Уъ У2* • ••> Уп* Разница z/, — fa = называется ошибкой
(остатком, отклонением). Значения коэффициентов а и Ь в
уравнении у = а + Ьх, которые рассчитывались по приведен-
ным в § 36.1 формулам, подбирались так, чтобы минимизиро-
п
вать сумму Говорят, что они получены методом наи-
i=l
меньших квадратов (МНК).
§ 36.3.	КОЭФФИЦИЕНТ КОРРЕЛЯЦИИ ПИРСОНА.
КОЭФФИЦИЕНТ ДЕТЕРМИНАЦИИ
Мы хотим знать, насколько хорошо приближает наши данные
линейная модель. yt - у = (yt - fa) + (fa - у) = (fa - z/) +
Формула у = а + Ьх только частично объясняет вариа-
цию значений у (а именно, слагаемое fa — у). Но ведь на у
влияют и другие факторы. Их влияние скрыто в остатке е^
Если бы связь была строго линейной, то et = 0. И так
для каждой точки х$.
п
S(!/i ~ I/)2 — эт0 общая вариация переменной у.
/«1
221
Z(yi “ У)2 — это вариация переменной z/, которая объяс-
i=l
няется формулой у = а + Ьх.
п
%(У1 — у if — это вариация переменной у, которая не объ-
i=l
не объясняется формулой у = а + Ьх.
ZiVi - у)2
Введем характеристику г2 -	----------коэффициент
~ У)2
1=1
детерминации. Эта мера показывает величину вариации пе-
ременной у, которая объясняется переменной х при нали-
чии линейной связи этих величин. В случае строгой линей-
ной зависимости между х и у г2 = 1. Если зависимость меж-
ду х и у отсутствует, то г2 — 0.
Коэффициент корреляции Пирсона9.
1 S(Pi - у)2 ri^xiVt - 'ZXi'Zyi
Г = 1=1--------‘-1	‘-1 ‘-1	|r| < 1.
I n	-» n / n 12 nTn\2
Z(yi - y)2 \ («S*i2 - IS*;) -ISi/i))
i=l	V i=l \=1 '	>1 'i=l *
Вторая дробь — удобная расчетная формула, которую
чаще всего используют.
Коэффициент корреляции Пирсона г содержит информа-
цию о поведении у с ростом х. Знак коэффициента корреля-
ции Пирсона г совпадает со знаком коэффициента Ь. Чем
ближе г к 1, тем ближе связь между х и у к линейной. При
г = 0 линейной связи между х и у не существует (но, воз-
можно, между х и у есть другая зависимость).
Пример 99. Найдем остатки е^ коэффициент корреля-
ции Пирсона и коэффициент детерминации в примере 98.
у = 2,12 - 0,Их. Заполним таблицу.
Номер	X	У	У2	£ = 2,12-0,Их	1 И
1	2	1,9	3,61	1,90	0,00
2	3	1,7	2,89	1,79	-0,09
3	4	1,8	3,24	1,68	0,12
4	5	1,6	2,56	1,57	0,03
5	6	1,4	1,96	1,46	-0,06
Сумма	20	8,4	14,26		
Поясним, как заполняется таблица. В 4-м столбце
указаны квадраты соответствующих чисел 3-го столбца.
222
Каждое число 2-го столбца подставляем в выражение
2,12 — 0,11х и результат пишем в 5-м столбце. В 6-м столб-
це указана разность чисел 3-го и 5-го столбцов. В послед-
ней строке указана сумма чисел соответствующего столбца.
Коэффициент корреляции Пирсона:
п	п п
________i-1____>1 i=l_______ ==
n / n v2 n / Л \2
(nS««2 - (Ел) MnSi/i2 - (Si/i))
_______ 5X32,5 — 20x8,4____s _q
Д/(5х90 - 202)(5x 14,26 - 8,42)
Это значение близко к —1, что свидетельствует об очень
сильной отрицательной связи (с ростом х значения у убы-
вают). Знаки Ь = —0,11 и г — —0,904 совпадают. *
Коэффициент детерминации г2 = (—0,904)2 « 0,817, то
есть 81,7% общей вариации себестоимости у зависит от вы-
пуска продукции х.
Наша модель не объясняет 18,3% вариации себестоимо-
сти. Эта часть вариации объясняется факторами, не вклю-
ченными в модель.
Задача 99. Найти остатки коэффициент корреля-
ции Пирсона и коэффициент детерминации в задаче 98.
Замечание. Для вычисления коэффициента корреляции
Пирсона можно воспользоваться статистическими функция-
ми ПИРСОН (массив 1; массив 2) или КОРРЕЛ (массив 1;
массив 2) мастера функций fx пакета Excel. Массив 1 и мас-
сив 2 — это ссылки на ячейки, содержащие значения пере-
менных. Для вычисления коэффициента детерминации мож-
но воспользоваться статистической функцией КВПИРСОН
(изв_знач_г/; изв__знач_х).
§ 36.4.	ПРЕДСКАЗАНИЯ И ПРОГНОЗЫ НА ОСНОВЕ
ЛИНЕЙНОЙ МОДЕЛИ РЕГРЕССИИ
Мы можем воспользоваться построенной моделью для на-
хождения значения у при известном значении х. Модель
строилась по значениям х1? Х2, ...» хп. Поэтому поиск значе-
ния у для х из интервала (xi, хп) называется предсказани-
ем, а поиск значения у для х вне интервала (xi, хп) называ-
ется прогнозом. Чем дальше расположен х от интервала
(xi, хп), тем менее точным будет прогноз.
223
Пример 100. Найдем ожидаемое значение себестоимо-
сти у при выпуске продукции х = 5,5 тыс. шт.
у = 2,12 - 0,Их.
Тогда у(5,5) » 2,12 - 0,11x5,5 = 1,515 тыс. руб.
Задача 100. Найти ожидаемое значение еженедельно-
го объема продаж у при расходах на рекламу х = 5,5 тыс.
руб. в задаче 98.
Замечание. Для прогноза значений переменной у можно
воспользоваться статистической функцией ТЕНДЕНЦИЯ
(изв__знач_1/; изв_знач_х; нов_знач_х; константа) мастера
функций fx пакета Excel. Нов знач х — это ссылка на ячей-
ки, содержащие значения переменной х, для которых ищет-
ся прогноз. Если необязательный аргумент константа = О,
то коэффициент а ~ 0. По известным значениям переменных
х, у функция сама подбирает уравнение прямой линии и да-
ет прогноз. Функцию ТЕНДЕНЦИЯ можно использовать и в
случае множественной линейной регрессии. Для парной ли-
нейной регрессии можно воспользоваться и статистической
функцией ПРЕДСКАЗ (х; изв_знач_у; изв знач х), где х —
это значение переменной х, для которого ищется прогноз.
§ 36.5.	ОСНОВНЫЕ ПРЕДПОСЫЛКИ МОДЕЛИ
ПАРНОЙ ЛИНЕЙНОЙ РЕГРЕССИИ
1.	Связь между переменными х, у является линейной.
2.	Независимая переменная х может быть использована
для прогноза у.
3.	Остатки (то есть ошибки) нормально распределены.
4.	Для всех данных х математическое ожидание ошибки
равно нулю и дисперсия ошибки постоянна.
5.	Ошибки независимы.
§ 36.6.	ПРОЦЕДУРА ИСПЫТАНИЯ ГИПОТЕЗ
Очень часто генеральная совокупность должна подчиняться
некоторым параметрам. Например, фасовочная машина
должна наполнять пакеты сахаром по 1 кг. Как узнать, дей-
ствительно ли генеральная совокупность подчиняется этим
ограничениям? С этой целью проводят испытание гипотез.
Из генеральной совокупности проводят выборку объема
п. Для этой выборки вычисляют нужные характеристики.
Затем формулируют две гипотезы: основную Hq и альтерна-
224
тивную Hi. Основная гипотеза Hq — это то утверждение, ко-
торое подлежит проверке.
Например, гипотеза Hq: генеральная средняя а = 2. Аль-
тернативная гипотеза Hi в этом примере может быть сфор-
мулирована любым из следующих трех способов:
a)	Hi*, а > 2 (правосторонняя проверка);
б)	Hi*, а < 2 (левосторонняя проверка);
в)	Hit а + 2 (двусторонняя проверка).
Исследователь задает доверительную вероятность р — ве-
личину, которая отражает степень уверенности исследовате-
ля в результате испытания. Для односторонней проверки
а « 1 — р, для двусторонней проверки а = (1 — р)/2. Вели-
чина 1 — р называется уровнем значимости.
По а, п в зависимости от вида решаемой задачи по таб-
лицам находят одну (для односторонней проверки) или две
(для двусторонней проверки) граничные точки, которые на-
носят на координатную ось. Порядок нахождения граничных
точек показан далее.
По результатам выборки вычисляется величина, называ-
емая статистикой. Формула для вычисления статистики
зависит от вида решаемой задачи. Значение статистики на-
носят на координатную ось. В зависимости от взаимного рас-
положения значения статистики и граничных точек возмо-
жен один из трех вариантов:
1)	принимается Н&9
2)	отклоняется Hq и без всякой проверки принимается Hi;
3)	доказательство является неубедительным, нужно боль-
ше данных.
Для левосторонней проверки:
Отклонение Но
Принятие Hi
(1-рГ/о
Принятие Но
р%
------- ф —..........
граничная точка
Для правосторонней проверки:
Принятие Но
р%
Отклонение Но
Принятие Hi
(1-р)%
I граничная точка
Для двусторонней проверки:
р%
Отклонение Но Принятие Но
Принятие Hi
[(1-р)/2]%
граничная точка
Отклонение Но
Принятие Hi
[(1—р)/2]%
о --------------
граничная точка
225
Чем выше доверительная вероятность, тем шире область
принятия Но*
§ 36.7. ИСПЫТАНИЕ ГИПОТЕЗЫ ДЛЯ ОЦЕНКИ
ЛИНЕЙНОСТИ СВЯЗИ
Между переменными х, у предполагается наличие линейной
связи у = а + (Зх 4- е, где ошибка е — это отклонение значе-
ния у от линии у = а + $х. Мы производим парную выбор-
ку значений переменных х, у и методом наименьших квад-
ратов получаем оценки коэффициентов аир — а и b соот-
ветственно. Очевидно, что для другой выборки оценки а и b
будут другими. Как, зная оценки а и Ъ, убедиться, что связь
между переменными х, у действительно линейная?
§ 36.7.1.	Испытание гипотезы для оценки
линейности связи на основе оценки коэффициента
корреляции в генеральной совокупности
Показатель наличия линейной связи в генеральной совокуп-
ности — это коэффициент корреляции. Для генеральной со-
вокупности он равен р. Нам это значение неизвестно. По
данным выборки мы получаем оценку для р — выборочный
коэффициент корреляции г — и на основании г проводим
испытание гипотезы о наличии линейной связи между пере-
менными х, у в генеральной совокупности. Наш вывод о на-
личии линейной связи между переменными х, у в генераль-
ной совокупности зависит от объема выборки. Чем больше
объем нашей выборки, тем надежнее полученный результат.
Hq: р = 0, то есть между переменными х, у отсутствует
линейная связь в генеральной совокупности.
Hi: р + 0, то есть между переменными х, у есть линей-
ная связь в генеральной совокупности.
Задается доверительная вероятность р. Пусть п — объем
парной выборки. Двусторонняя проверка, а = (1 — р)/2.
По таблице f-распределения находим fa;n-2.
В Excel для двусторонней проверки fa;n-2 =
= СТЬЮДРАСПОБР (1 —р; и-2), для односторонней провер-
ки fa;n_2 = СТЬЮДРАСПОБР (2х(1 -р); п - 2).
Граничные точки ±*а;л-2-
Статистика t — 2)/(1 - г2).
226
Пример 101. Вернемся к примерам 98, 99. Проверим
гипотезу о наличии линейной связи между переменными
х, у в генеральной совокупности. Доверительная вероят-
ность р = 95%. п = 5.
Hq: р = 0, то есть между переменными х, у отсутствует
линейная связь в генеральной совокупности.
Hi: р 0, то есть между переменными х, у есть линей-
ная связь в генеральной совокупности.
Проведем двустороннюю проверку.
а = (1 - р)/2 = (1 - 0,95)/2 = 0,025. По таблице t-pac-
пределения находим £а;п-2 = *0,025;5-2 = 3,182. Граничные
точки ±3,182.	______________ ______________________
Статистика t^rz(n-2)/(l-r2)='\l0,817x(5-2)/(l-0,817)
• 3,660.
Отметим значения на числовой оси.
Я?
2,5%
Яо
95%
1---
Мы отклоняем гипотезу Hq и принимаем гипотезу Hi
на уровне значимости 5%. Между переменными х, у есть
линейная связь в генеральной совокупности.
Задача 101. В задачах 98, 99 проверить гипотезу о на-
личии линейной связи между переменными х, у в генераль-
ной совокупности. Доверительная вероятность р = 99%.
§ 36.7.2.	Испытание гипотезы для оценки
линейности связи на основе показателя наклона
линейной регрессии
В случае парной линейной регрессии функция показателя
наклона (3 аналогична функции коэффициента корреляции.
Поэтому нужно ограничиться только одной проверкой.
Hq: р = 0, то есть между переменными х, у отсутствует
линейная связь в генеральной совокупности.
Hi: р + 0, то есть между переменными х, учесть линей-
ная связь в генеральной совокупности.
Задается доверительная вероятность р. п — объем парной
выборки. Двусторонняя проверка, а = (1 — р)/2.
По таблице ^-распределения находим £а;п-2« Граничные
точки ±^а;л-2-
227
Дисперсия распределения остатков вдоль линии регрессии
п
' ?е;2
S2 = f=1 , S — стандартная ошибка.
и 2
Стандартная ошибка коэффициента Ъ:
„	S	S
Sb = т - .....- = ........—...-
л I п	I п	/ п \2
- X)2 V gx,2 - (gq) In
Статистика t = b/S^
Пример 102. Вернемся к примерам 98, 99. Проверим
гипотезу о наличии линейной связи между переменными
х, у в генеральной совокупности. Доверительная вероят-
ность р — 95%. п = 5.
Но: р = 0, то есть между переменными х, у отсутствует
линейная связь в генеральной совокупности.
Hi: р 0, то есть между переменными х, у есть линей-
ная связь в генеральной совокупности.
Проведем двустороннюю проверку.
а = (1 - р)/2 = (1 - 0,95)/2 = 0,025.
По таблице t-распределения находим ta;n-2 в *0,025;5-2 =
= 3,182. Граничные точки ±3,182.
Номер	Ci	е?
1	0	0
2	-0,09	0,0081
3	0,12	0,0144
4	0,03	0,0009
5	-0,06	0,0036
Сумма		0,0270
S2 =	---- 0,027 - 0,009. S « 0,095.
п-2	5-2
с	5	0,095 п л
Sb =	------ « - \	 = « 0,0
- (Хх.)/»	" 201/5
Статистика t = b/Sb — —0,11/0,03 « —3,667.
Отметим значения на числовой оси.
X	Но
Hl	95%
2,5%	
-3,667	|	1-3,182
X
2,5%
228
Мы отклоняем гипотезу Hq и принимаем гипотезу
на уровне значимости 5%. Между переменными х, у есть
линейная связь в генеральной совокупности.
Задача 102. В задачах 98, 99 проверить гипотезу о на-
личии линейной связи между переменными х,у в генераль-
ной совокупности на основе показателя наклона. Довери-
тельная вероятность р = 99%.
Замечание. Для расчета стандартной ошибки вместо
формулы S =
можно воспользоваться статистичес-
кой функцией CTOIIIYX (изв_знач_1/; изв_знач_х) мастера
функций fx пакета Excel.
§ 36.8. ДОВЕРИТЕЛЬНЫЕ ИНТЕРВАЛЫ
В ЛИНЕЙНОМ РЕГРЕССИОННОМ АНАЛИЗЕ
Проведя испытания гипотез (§ 36.7), мы пришли к выводу,
что связь между переменными х, у линейна и задается не-
известной нам формулой у = а + Рх. Мы производим пар-
ную выборку значений переменных х, у и методом наимень-
ших квадратов получаем оценки коэффициентов аир —
а и Ъ соответственно. Получена формула у = а 4- Ьх, которой
мы можем воспользоваться для оценки значений у при за-
данном значении х.
По полученным точечным оценкам строят доверительные
интервалы — интервалы значений, в пределах которого, как
мы можем надеяться, находятся параметры генеральной со-
вокупности. Наша надежда выражается доверительной веро-
ятностью — вероятностью, с которой доверительный ин-
тервал «захватит» истинное значение параметра генераль-
ной совокупности.
Чем выше доверительная вероятность, тем шире довери-
тельный интервал. Значение доверительной вероятности вы-
бирает сам исследователь. Обычно это 0,9; 0,95; 0,99.
Мы ограничимся построением доверительного интервала
для показателя наклона линии линейной регрессии. Задает-
ся доверительная вероятность р. п — объем парной выбор-
ки. Двусторонняя проверка, а === (1 - р)/2. По таблице t-pac-
пределения находим £а;п-2*
Доверительный интервал для показателя наклона линии
линейной регрессии имеет вид Ь ± ^а;п-2®ь> где — стан-
дартная ошибка коэффициента Ь.
229
Пример 103. Вернемся к примерам 98 и 102. Найдем
доверительный интервал для показателя наклона линии
линейной регрессии. Доверительная вероятность р «• 95%.
& ± ta.n_2Sb = “0,11 ± 3,182x0,03 « -0,11 ± 0,10, то
есть —0,2i < р < —0,01.
Задача 103. В задачах 98 и 102 найти доверительный
интервал для показателя наклона линии линейной регрес-
сии. Доверительная вероятность р = 99%.
§ 36.9. РЕГРЕССИЯ И Excel
Обычно зависимую переменную называют результативным
признаком, а независимую переменную — фактором. Очень
часто наблюдается случай, когда результативный признак
зависит не от одного, а от многих факторов. Тогда вместо
парной линейной регрессии используют множественную ли-
нейную регрессию: у =	+ &1х1 + Ь2х2 + ... + Ътхт.
Пусть п — число наблюдений, т — число объясняющих
переменных.
Excel позволяет при построении уравнения линейной рег-
рессии большую часть работы сделать очень быстро. Важно
понять, как интерпретировать полученные результаты. Вос-
пользуемся надстройкой Пакет анализа.
Сервис -► Анализ данных -* Регрессия -* ОК. Появляет-
ся диалоговое окно, которое нужно заполнить. В графе Вход-
ной интервал Y: указывается ссылка на ячейки, содержа-
щие значения результативного признака у. В графе Входной
интервал X: указывается ссылка на ячейки, содержащие
значения факторов jq, ..., хт (т < 16). Уровень надежнос-
ти (доверительная вероятность) по умолчанию предполага-
ется равным 95%. Если исследователя это значение не уст-"
раивает, то рядом со словами Уровень надежности нужно
поставить ♦ галочку» и указать требуемое значение. Поста-
вив «галочку» рядом со словом константа-ноль, исследова-
тель получит &о = 0 по умолчанию. Если нужны значения
остатков et и их график, то нужно поставить «галочки» ря-
дом со словами Остатки и График остатков. Также ука-
зываются параметры вывода (Выходной интервал, Новый
рабочий лист, Новая рабочая книга). ОК. Появляется ито-
говое окно.
Если число в графе Значимость F превышает 1 — Уро-
вень надежности, то принимается гипотеза о равенстве нулю
коэффициента детерминации.
230
вывод итогов
Регрессионная статистика	
Множественный R	R
R-квадрат	д2
Нормированный R-квадрат	д2
Стандартная ошибка	S
Наблюдения	п
Дисперсионный анализ
df	SS	MS	F	Значимость F		
Регрессия т УХу^у)2 SS/df Статистика = AfS(perp)/ MS(oct)		
Остаток	п-т-1 ПУг-Рд2 SS/df	
Итого	п -1 Сумма	
		
	Коэффи- Стандарт- t-cmamuc- Р-зна- Нижние Верхние Ниж- циенты ная ошибка тика чение 95% 95%	ние	Верх- ние
у-пере- сечение	b0	Sb0	tbo	
*1		
*2 .	b2	sb2	h2	
ВЫВОД ОСТАТКА		
Наблюдение Предсказанный у Остатки		
Номер	yt	et		
Если Р-значение превышает 1 - Уровень надежности, то
соответствующая переменная статистически незначима и ее
можно исключить из модели.
Нижние 95% и Верхние 95% — это нижние и верхние
границы 95-процентных доверительных интервалов для ко-
эффициентов теоретического уравнения линейной регрессии.
Если исследователь согласился с принятым по умолчанию
значением доверительной вероятности, то последние два
столбца будут дублировать два предыдущих. Если исследо-
ватель вводил свое значение доверительной вероятности р,
то последние два столбца содержат значения соответственно
нижней и верхней границы р-процентных доверительных
интервалов.
Если надстройки Пакет анализа нет, то можно восполь-
зоваться статистической функцией ЛИНЕЙН мастера функ-
231
ций fx пакета Excel. Перед вызовом этой функции нужно
выделить диапазон ячеек следующего размера (для парной
регрессии это блок размера 5x2).
Ьщ	Ът-1	...	bl	bo
Sbm	&bm-l	...		^b0
R2	S			
Статистика F	n—m—1			
				
Тогда после выполнения процедуры в ячейках будут на-
ходиться указанные величины. fx -* статистические -►
ЛИНЕЙН -» ОК. Появляется диалоговое окно, которое нуж-
но заполнить. Если исследователю требуется = 0, то в гра-
фе константа нужно ввести значение 0. В графе статис-
тика указывается значение 1. После этого нажимается не
ОК, а комбинация клавиш Ctrl + Shift 4- Enter.
232
Глава 37
ФАКТОРНЫЕ МОДЕЛИ
Целью современной теории портфеля является разработка
методов, с помощью которых инвестор может выбрать опти-
мальный для себя портфель из бесконечного числа возмож-
ных. Для решения вопроса о включении каждой рассматри-
ваемой ценной бумаги в портфель инвестору нужно уметь
оценивать ее ожидаемую доходность. Одно из возможных
решений этой проблемы — построение статистической моде-
ли, показывающей, как образуется доход по ценной бумаге.
В факторных моделях предполагается, что доходность
ценной бумаги реагирует на изменения различных факто-
ров. Факторная модель представляет собой попытку учесть
основные экономические силы, систематически воздейству-
ющие на курсовую стоимость всех ценных бумаг.
На практике все инвесторы явно или неявно применяют
факторные модели, так как невозможно рассматривать вза-
имосвязь каждой ценной бумаги с каждой другой по отдель-
ности из-за большого объема вычислений.
Первоначальной целью анализа ценных бумаг является
определение факторов, влияющих на доходности ценных бу-
маг, а также чувствительности доходностей ценных бумаг к
изменению этих факторов. Рассмотрим простейшую форму
такой модели — однофакторную модель.
$ 37.1. ОДНОФАКТОРНЫЕ МОДЕЛИ
Состояние экономики затрагивает большинство предприя-
тий. Поэтому можно полагать, что изменения в ожиданиях
относительно будущего состояния экономики имеют очень
большое влияние на доходности большинства ценных бумаг.
Но экономика не является чем-то простым и монолитным.
Можно выделить несколько факторов, оказывающих влия-
ние на все сферы экономики: темпы прироста валового вну-
треннего продукта, уровень процентных ставок, уровень ин-
фляции, уровень цен на нефть.
233
Некоторые инвесторы утверждают, что процесс формиро-
вания дохода по ценным бумагам определяется одним-един-
ственным фактором.
Пример 104. Изучается зависимость доходности акций
предприятия (у, %) от темпа роста валового внутреннего
продукта (х, %). Полученные результаты отражены в таб-
лице.
год	Темп роста валового внутреннего продукта, %	Доходность акций предприятия, %
1	5,6	14,2
2	6,3	18,9
3	7,8	23,2
4	7,1	17,9
5	4,9	8,8
Определим, есть ли между переменными х и у линей-
ная связь.
Найдем выборочное уравнение линейной регрессии
у — а 4- Ьх. Заполним таблицу.
Год	X	У	X2	ху	У2
1	5,6	14,2	31,36	79,52	201,64
2	6,3	18,9	39,69	119,07	357,21
3	7,8	23,2	60,84	180,96	538,24
4	7,1	17,9	50,41	127,09	320,41
5	4,9	8,8	24,01	43,12	77,44
Сумма	31,7	83	206,31	549,76	1494,94
Поясним, как заполняется таблица. В 4-м (6-м) столбце
указаны квадраты соответствующих чисел 2-го (3-го) столб-
ца. Каждое число 2-го столбца умножаем на соответствую-
щее число 3-го столбца и результат пишем в 5-м столбце.
В последней строке указана сумма чисел соответствующего
столбца.
п п
~ 'S.xiS.Vi
b =J"1
5x549,76-31,7x83
5x206,31-31,72
а= i=l i=l
П
83-4,41x31,7
Получено выборочное уравнение линейной регрессии
у - -11,36 4- 4,41х.
Коэффициент 4,41 называется чувствительностью ак-
ций предприятия к предсказанному темпу роста валового
внутреннего продукта.
234
Коэффициент корреляции Пирсона:
п	п п
n^XiVi -
i=l	i=l i=l
Г =	.... ==
Л I n _ Tn\2 n	/ л \2
mnSxt2 - (Sxj) )(nS?/i - (Sjzi))
4 l-l 'l-l '	l-l	'i-1 '
5x549,76 — 31,7x83	Л
=	------ • 0,942.
V(5x206,31 - 31,72)(5x1494,94 - 832)
Это значение близко к 1, что свидетельствует об очень
сильной положительной связи (с ростом х значения у воз-
растают).
Коэффициент детерминации г2 — 0,9422 « 0,887, то есть
88,7% общей вариации доходности акций предприятия за-
висит от темпа роста валового внутреннего продукта. Наша
модель не объясняет 11,3% вариации доходности акций
предприятия. Эта часть вариации объясняется факторами,
не включенными в модель. .
Проверим гипотезу о наличии линейной связи между
переменными х, у в генеральной совокупности на основе
оценки коэффициента корреляции р в генеральной сово-
купности. Доверительная вероятность р = 95%. п = 5.
Hq: р = 0, то есть между переменными х, у отсутствует
линейная связь в генеральной совокупности.
Ир р 0, то есть между переменными х, у есть линей-
ная связь в генеральной совокупности.
Проведем двустороннюю проверку.
а=(1 - р)/2 = (1 — 0,95)/2 = 0,025. По таблице t-рас-
пределения находим ta;n-2 “ *0,025;5-2 = 3,182. Граничные
точки ±3,182.	-------------- ----------------------
Статистика t й/Лп - 2)/(1 - г2) = \0,887х (5 - 2)/(1 - 0,887)
« 4,853.
Отметим значения на числовой оси.
Hi
2,5%
Яо
95%
Мы отклоняем гипотезу Но и принимаем гипотезу Hj
на уровне значимости 5%. Между переменными х, у есть
линейная связь в генеральной совокупности.
Полученное уравнение можно использовать для оценки
ожидаемой доходности акций предприятия. Например, ес-
ли ожидаемый темп роста валового внутреннего продукта
равен 5%, то ожидаемая доходность акций предприятия
равна —11,36 + 4,41x5 » 11 %.
235
Задача 104. Изучается зависимость доходности акций
предприятия (у, %) от темпа роста валового внутреннего
продукта (х, %). Полученные результаты отражены в таб-
лице.
Год	Темп роста валового внутреннего продукта, %	Доходность акций предприятия, %
1	5,5	14,1
2	6,2	18,7
3	7,7	23,1
4	7,2	18,1
5	4,8	8,7
Определить, есть ли между переменными х и у линей-
ная связь.
§ 37.2. МНОГОФАКТОРНЫЕ МОДЕЛИ
В отличие от однофакторных моделей многофакторная мо-
дель доходности ценных бумаг, учитывающая воздействия
различных факторов, может быть более точной. Рассмотрим
модель, в которой предполагается, что процесс формирова-
ния дохода включает два фактора.
Пример 105. Изучается зависимость доходности акций
предприятия (у, %) от темпа роста валового внутреннего
продукта (xi, %) и уровня инфляции (Х2, %). Полученные
результаты отражены в таблице.
Год	Темп роста валового внутреннего продукта, %	Уровень инфляции, %	Доходность акций предприятия, %
1	5,6	1,2	14,2
2	6,3	4,3	18,9
3	7,8	4,5	23,2
4	7,1	4,6	17,9
5	4,9	5,9	8,8
С помощью надстройки Пакет анализа пакета Excel ис-
следуем двухфакторную модель у = &о +	+ ^2Х2-
Сервис -> Анализ данных -> Регрессия -* ОК. Откроет-
ся диалоговое окно, которое нужно заполнить. Уровень на-
дежности (доверительная вероятность) по умолчанию пред-
полагается равным 95%. ОК. Откроется итоговое окно.
Так как число в графе Значимость F превышает
1 — Уровень надежности (0,09 > 0,05), то принимается ги-
потеза о статистической незначимости модели.
P-значение коэффициента х% превышает 1 — Уровень
надежности (0,557 > 0,05). Поэтому эта переменная стати-
236
стически незначима и ее можно исключить из модели. Мы
видим, что наша модель плоха и не может помочь в про-
гнозировании доходности акций предприятия.
Задача 105. Изучается зависимость доходности акций
предприятия (у, %) от темпа роста валового внутреннего
продукта (*i, %) и уровня инфляции (Х2, %). Полученные
результаты отражены в таблице.
Год	Темп роста валового внутреннего продукта, %	Уровень инфляции, %	Доходность акций предприятия, %
1	5,5	1,3	14,1
2	6,2	4,2	18,7
3	7,7	4,4	23,1
4	7,2	4,5	18,1
5	4,9	5,8	8,7
С помощью надстройки Пакет анализа пакета Excel ис-
следовать двухфакторную модель у = &о +	+ &2Х2-
Не следует предполагать, что факторная модель, которая
была хороша для одного периода времени, будет хороша и
для другого периода времени. Ключевые факторы меняются
с течением времени. Риски и доходности, связанные с раз-
ными факторами, а также чувствительности ценных бумаг
к факторам (коэффициенты также могут меняться с тече-
нием времени.
237
Глава 38
ТЕОРИЯ АРБИТРАЖНОГО
ЦЕНООБРАЗОВАНИЯ
Модель оценки финансовых активов, рассмотренная в главе
35, требует выполнения большого числа предположений. Су-
ществует альтернативная модель, известная как теория ар-
битражного ценообразования APT (англ. Arbitrage Pricing
Theory), которая основана на меньшем числе предположе-
ний.
Главным предположением этой теории является то, что
каждый инвестор стремится использовать возможность уве-
личения доходности своего портфеля без увеличения риска.
Механизмом, способствующим реализации данной возмож-
ности, является арбитражный портфель.
Арбитраж — это получение безрисковой прибыли путем
использования разных цен на одинаковую продукцию или
ценные бумаги. Арбитраж, являющийся широко распрост-
раненной инвестиционной тактикой, обычно состоит из про-
дажи ценной бумаги по относительно высокой цене и одно-
временной покупки такой же ценной бумаги по относитель-
но низкой цене. Так как арбитражные доходы являются без-
рисковыми по определению, то все инвесторы стремятся по-
лучать такие доходы при каждой возможности.
Теория арбитражного ценообразования исходит из пред-
положения о связи доходности ценных бумаг с какими-то
факторами. Для простоты будем считать, что имеется толь-
ко один фактор (например, темп роста валового внутреннего
продукта). В этом случае доходность ценных бумаг опреде-
ляется однофакторной моделью rt = at + fyF + ei9 где rz —
ставка доходности t-й ценной бумаги, F — значение факто-
ра, в} — случайная ошибка.
§ 38.1.	АРБИТРАЖНЫЙ ПОРТФЕЛЬ
Инвестор, обладающий акциями п видов, исследует возмож-
ности формирования арбитражного портфеля для увеличе-
238
ния ожидаемой доходности своего текущего портфеля без
увеличения риска.
Обозначим через изменение в стоимости Z-й ценной бу-
маги в портфеле инвестора (то есть вес i-й ценной бумаги в
арбитражном портфеле).
Арбитражный портфель должен удовлетворять следую-
щим условиям:
1.	Арбитражный портфель не нуждается в дополнитель-
п
ных ресурсах инвестора: ^Xt « 0.
i=l
2.	Арбитражный портфель не чувствителен ни к какому
п
фактору: 2&Л = 0. Арбитражная теория ценообразования
z»i
предполагает, что внефакторный риск арбитражного порт-
феля настолько мал, что этим риском можно пренебречь.
3.	Доходность арбитражного портфеля положительна:
ir-tXi > 0.
i=l
Арбитражный портфель не требует дополнительных ин-
вестиций, не имеет факторного риска и обладает положи-
тельной ожидаемой доходностью.
Пример 106. Инвестор обладает акциями трех видов.
Текущая рыночная стоимость каждого его актива равна
50000 руб. Эти акции имеют следующие ожидаемые доход-
ности и чувствительности.
Акция	Ожидаемая доходность	Чувствительность
1	16	0,8
2	20	2,9
3	11	1,7
Составим арбитражный портфель.
Определим множество потенциальных арбитражных
портфелей:
txi ° о,
>1
= о, о
i=l
inXi > о
i=l
Xi 4- х2 + х3 = о,
- 0,8Хх + 2,9X2 + 1,7Хз = 0,
16X1 + 20Х2 + 11Х3 > 0.
Существует бесконечное число комбинаций значений
Xi, Х2 и Хг, удовлетворяющих этим ограничениям.
239
Для того чтобы найти одну комбинацию, предположим,
что Xi - 0,1.
0,1 + Х2 + Х3 = 0,
Тогда 0,8x0,1 4- 2,9Х2 + 1,7Х3 = 0,
16x0,1 + 20*2 + ИХ3 > 0.
Из первых двух уравнений системы находим Х2 - 0,075
и Х3 = —0,175. Эти значения удовлетворяют неравенству
системы.
Таким образом, .Xj - 0,1, Х2 = 0,075 иХ3 = -0,175.
Рыночная стоимость исходного портфеля равна -
- 50000 + 50000 + 50000 - 150000 руб.
Нужно купить акций 1-го вида на сумму X^Wq —
= 0,1x150000 - 15000 руб. и акций 2-го вида на сумму
X2Wo = 0,075x150000 = 11250 руб., продав акций 3-го ви-
да на сумму X3Wq = 0,175x150000 = 26250 руб.
Задача 106. Инвестор обладает акциями трех видов.
Текущая рыночная стоимость каждого его актива равна
60000 руб. Эти акции имеют следующие ожидаемые доход-
ности и чувствительности.
Акция	Ожидаемая доходность	Чувствительность
1	17	. 0,7
2	19	2,8
3	12	1,6
Составить арбитражный портфель.
Теория арбитражного ценообразования представляет зна-
чительный интерес в качестве инструмента лучшего объяс-
нения результатов инвестиций и более эффективного кон-
троля за риском портфеля. Но она не слишком широко ис-
пользуется инвесторами из-за неопределенности относитель-
но факторов, влияющих на доходы по ценной бумаге. По-
этому инвесторы должны надеяться на себя при определе-
нии этих факторов.
240
Глава 39
ПРОИЗВОДНЫЕ ФИНАНСОВЫЕ
ИНСТРУМЕНТЫ
Производные финансовые инструменты — это так называв*
мыв ценные бумаги второго порядка. В случае с производ-
ными финансовыми инструментами участник фондового
рынка имеет дело не с самим фиктивным капиталом (акции,
облигации), а с документом, дающим право на совершение
операций по купле-продаже фиктивного капитала. Произ-
водные финансовые инструменты — это своего рода контрак-
ты, которые дают право на осуществление сделок с класси-
ческими ценными бумагами (ценными бумагами первого по-
рядка): опционы, фьючерсные контракты, варранты и т. д.
Их основное предназначение — страховать держателя доку-
мента от возможных убытков в биржевой игре, а также обес-
печить его защиту в условиях инфляции и экономической
нестабильности.
Опционы и фьючерсы имеют солидный первичный и вто-
ричный рынок и часто являются обязательным элементом
совершения спекулятивных сделок с фиктивным капиталом.
§ 39.1.	ОПЦИОНЫ
Опцион дает право его держателю купить или продать опре-
деленное количество акций по курсу, зафиксированному в
контракте (цена исполнения), на определенную дату в буду-
щем (европейский опцион) или в течение определенного пе-
риода (американский опцион) у лица, выписавшего опцион,
но без обязательства осуществлять эту сделку.
Если в момент окончания срока европейского опциона
или в течение срока американского опциона курс покупае-
мых (продаваемых) акций будет более выгодным, его держа-
тель может отказаться от реализации опциона и купить (про-
дать) акции по этому более выгодному курсу.
Продавец опциона обязан по условию контракта совершить
сделку с владельцем опциона даже при неблагоприятном для
241
себя положении на фондовом рынке. За это он получает от
покупателя опциона соответствующую плату (премию).
Различают котируемые (обращаются на бирже опционов)
и некотируемые (реализуются во внебиржевом обороте) оп-
ционы.
§ 39.2.	Са1ЬОПЦИОН
Call-опцион («ко л л-опцион») — это опцион на покупку опре-
деленного количества акций у лица, выписавшего опцион.
При его реализации курс покупки акций Roe = Ro + Р,
где Ro — цена исполнения, Р — уплаченная премия. Усло-
вие отказа от реализации опциона Ro > Rm, где Rm — сло-
жившийся рыночный курс акций.
Пример 107. Приобретен опцион на покупку через 90
дней акций по цене Ro — 510 руб. за акцию. Уплаченная
премия равна Р = 5 руб. за акцию.
Если через 90 дней курс акций составит Rm = 530 руб.,
то Ro < Rm (510 < 530). Поэтому опцион реализуется при
курсе покупки акций Roe = Ro + Р = 510 + 5 = 515 руб. за
акцию. Прибыль покупателя опциона равна —515 (испол-
нение опциона) 4- 530 (продажа акций по рыночному кур-
су) = 15 руб. на акцию.
Если через 90 дней курс акций составит Rm = 500 руб.,
то будет выполнено условие отказа от реализации опциона
Ro > Rm (510 > 500). Поэтому опцион не реализуется. Убы-
ток покупателя опциона равен размеру уплаченной пре-
мии, то есть 5 руб. на акцию.
Задача 107. Приобретен опцион на покупку через 90
дней акций по цене Ro = 630 руб. за акцию. Уплаченная
премия равна Р = 10 руб. за акцию. Определить результа-
ты сделки для покупателя опциона, если через 90 дней
курс акций составит: а) 615 руб.; б) 640 руб.
§ 39.3.	Put-ОПЦИОН
Put-опцион («пут-опцион») — это опцион на продажу опреде-
ленного количества акций лицу, выписавшего опцион. При
его реализации курс продажи Roe = Ro — Р, где Ro — цена
исполнения, Р — уплаченная премия. Условие отказа от ре-
ализации опциона Ro < Rm, где Rm — сложившийся рыноч-
ный курс акций.
242
Пример 108. Приобретен опцион на продажу через 90
дней акций по цене Ro = 570 руб. за акцию. Уплаченная
премия равна Р = 5 руб. за акцию.
Если через 90 дней курс акций составит Rm = 550 руб.,
то Ro > Rm (570 > 550). Поэтому опцион реализуется при
курсе продажи акций Roe = Ro — Р = 570 - 5 = 565 руб. за
акцию. Прибыль покупателя опциона равна —550 (покупка
акций по рыночному курсу) 4- 565 (исполнение опциона) =
= 15 руб. на акцию.
Если через 90 дней курс акций составит Rm = 580 руб.,
то будет выполнено условие отказа от реализации опциона
Во < Rm (570 < 580). Поэтому опцион не реализуется. Убы-
ток покупателя опциона равен размеру уплаченной пре-
мии, то есть 5 руб. на акцию.
Задача 108. Приобретен опцион на продажу через 90
дней акций по цене Ro = 740 руб. за акцию. Уплаченная
премия равна Р = 15 руб. за акцию. Определить результа-
ты сделки для покупателя опциона, если через 90 дней
курс акций составит: а) 725 руб^; б) 755 руб.
§ 39.4.	СТЕЛЛАЖ
Стеллаж — это операция, при которой игрок продает или
приобретает одновременно опционы call и put на одни и те
же акции с одной и той же ценой исполнения и датой исте-
чения контрактов.
Стеллаж осуществляется в том случае, когда одни игро-
ки ждут существенных колебаний курса тех или иных ак-
ций, а другие ожидают определенной его стабилизации. Раз-
личают стеллаж продавца {стеллаж вверх) и стеллаж по-
купателя (стеллаж вниз).
Продавец стеллажа рассчитывает на незначительные ко-
лебания курса акций в ту или иную сторону. Поэтому он про-
дает одновременно опционы call и put на одни и те же ак-
ции. Продавец считает, что колебания курса будут незначи-
тельными и опционы предъявлены к исполнению не будут.
Пример 109. Игрок продает одновременно на одни и
те же акции call-опцион по цене 350 руб. за акцию с пре-
мией 5 руб. за акцию и put-опцион по цене 350 руб. за ак-
цию с премией 7 руб. за акцию. Срок исполнения опцио-
нов через 60 дней. Совокупный доход от продажи опцио-
нов равен 5 4- 7 = 12 руб. за акцию.
Если через 60 дней курс акций составит 340 руб., то по-
купатель put-опциона захочет его исполнить. Продавец оп-
243
ционов купит у него акции по цене 350 руб. за акцию и
продаст на фондовом рынке по текущему курсу 340 руб.
Прибыль продавца опционов равна 12 - 350 + 340 - 2 руб.
на акцию.
Если через 60 дней курс акций составит 380 руб., то по-
купатель call-опциона захочет его исполнить. Продавец оп-
ционов продаст ему акции по цене 350 руб. за акцию, пред-
варительно купив их на фондовом рынке по текущему кур-
су 380 руб. Прибыль продавца опционов равна 12 — 380 +
+ 350 - —18 руб. на акцию, то есть продавец опционов в
этом случае получит убыток.
Чем больше изменяется курс в ту или иную сторону, тем
убыточнее это для продавца опционов.
Задача 109. Игрок продает одновременно на одни и
те же акции call-опцион по цене 460 руб. за акцию с пре-
мией 8 руб. за акцию и put-опцион по цене 460 руб. за ак-
цию с премией 6 руб. за акцию. Срок исполнения опцио-
нов через 60 дней. Определить прибыль-убыток продавца
опционов, если через 60 дней курс акций составит: а) 470
руб.; б) 440 руб.
Покупатель стеллажа прогнозирует значительное измене-
ние курса акций конкретной фирмы, но сомневается в на-
правлении этого изменения (падение или повышение). По-
этому он рассчитывает на получение прибыли в результате
исполнения одного из двух опционов.
Пример 110. Игрок приобретает одновременно на одни
и те же акции call-опцион по цене 350 руб. за акцию с пре-
мией 5 руб. за акцию и put-опцион по цене 350 руб. за ак-
цию с премией 7 руб. за акцию. Срок исполнения опцио-
нов через 90 дней. Покупатель стеллажа уплатил 5 + 7 =
= 12 руб. за акцию.
Если через 90 дней курс акций составит 354 руб., то по-
купатель опционов исполнит call-опцион, уплатив 350 руб.
за акцию, и продаст эти акции на фондовом рынке по те-
кущему курсу 354 руб. Прибыль покупателя опционов рав-
на —12 — 350 + 354 = —8 руб. на акцию, то есть покупа-
тель опционов в этом случае получит убыток.
Если через 90 дней курс акций составит 326 руб., то по-
купатель опционов купит акции на фондовом рынке по те-
кущему курсу 326 руб. и исполнит put-опцион по цене 350
руб. за акцию. Прибыль покупателя опционов равна
-12 - 326 + 350 - 12 руб. на акцию.
Чем больше изменяется курс в ту или иную сторону, тем
прибыльнее это для покупателя опционов.
244
Задача 110. Игрок приобретает одновременно на одни
и те же акции call-опцион по цене 460 руб. за акцию с пре-
мией 8 руб. за акцию и put-опцион по цене 460 руб. за ак-
цию с премией 6 руб. за акцию. Срок исполнения опцио-
нов через 90 дней. Определить прибыль-убыток покупате-
ля опционов, если через 90 дней курс акций составит:
а) 450 руб.; б) 480 руб.
§ 39.5.	СТРЭНГЛ
Стрэнгл — это покупка или продажа опционов call или put
на одни и те же акции с одинаковым сроком истечения кон-
трактов, но с разной ценой исполнения.
Пример 111. Цена исполнения call-опциона 350 руб.
за акцию, премия 3 руб. за акцию. Цена исполнения put-
опциона на эти же акции 320 руб. за акцию, премия 7 руб.
за акцию. Срок исполнения опционов через 60 дней.
Если через 60 дней курс акций составит 340 руб., то по-
купатель опционов откажется от их исполнения. Его убы-
ток равен размеру уплаченной премии, то есть 3 + 7 = 10
руб. на акцию.
Если через 60 дней курс акций составит 370 руб., то по-
купатель опционов исполнит call-опцион. Его прибыль рав-
на —350 (исполнение call-опциона) + 370 (продажа акций
на фондовом рынке) — 10 (уплаченная премия) = 10 руб.
на акцию.
Задача 111. Цена исполнения call-опциона 460 руб. за
акцию, премия 5 руб. за акцию. Цена исполнения put-оп-
циона на эти же акции 420 руб. за акцию, премия 7 руб.
за акцию. Срок исполнения опционов через 60 дней. Опре-
делить прибыль-убыток покупателя опционов, если через
60 дней курс акций составит: а) 470 руб.; б) 430 руб.
Одновременная покупка или продажа двух разных опци-
онов на одни и те же акции служит инструментом страхова-
ния от финансовых потерь и источником получения прибы-
ли от сделок.
§ 39.5. СПРЭД
Спрэд — это сделка с опционами, при которой доход игрока
формируется из разницы между премией, полученной за
проданный опцион, и премией, уплаченной за купленный
опцион.
245
По типам различают спрэд «быка» и спрэд «медведя», а
по видам — купля-продажа call-опционов и купля-продажа
put-опционов. Игрок одновременно продает и покупает опци-
оны на одни и те же акции конкретной фирмы, но с разной
ценой или временем действия контракта.
Пример 112. Игрок «бык» рассчитывает на повыше-
ние курса акций. Он приобретает call-опцион с ценой ис-
полнения 500 руб. за акцию и премией 5 руб. за акцию.
Одновременно игрок продает такой же call-опцион с ценой
исполнения 550 руб. за акцию и премией 7 руб. за акцию.
Срок исполнения опционов через 90 дней.
Первоначальный вклад в исполнение спрэда равен
7 — 5 = 2 руб. на акцию.
Если через 90 дней курс акций составит 560 руб., то оба
опциона будут исполнены. Игрок купит акции по цене
500 руб. за акцию и вынужден будет их продать по цене
550 руб. за акцию. Прибыль игрока равна 550 — 500 4- 2 =
= 52 руб. на акцию.
Если через 90 дней курс акций составит 540 руб., то оп-
цион с ценой исполнения 550 руб. за акцию реализован не
будет. Игрок реализует опцион с ценой исполнения 500
руб. за акцию. Прибыль игрока равна —500 (исполнение
опциона) + 540 (продажа акций на фондовом рынке) + 2 =
= 42 руб. на акцию.
Если через 90 дней курс акций составит 490 руб., то оп-
ционы исполнены не будут. Прибыль игрока равна 2 руб.
на акцию.
Задача 112. Игрок «бык» рассчитывает на повышение
курса акций. Он приобретает call-опцион с ценой исполне-
ния 620 руб. за акцию и премией 6 руб. за акцию. Одно-
временно игрок продает такой же call-опцион с ценой ис-
полнения 640 руб. за акцию и премией 8 руб. за акцию.
Срок исполнения опционов через 90 дней. Определить при-
быль-убыток игрока, если через 90 дней курс акций соста-
вит: а) 610 руб.; б) 625 руб.; в) 650 руб.
Аналогично разбираются и другие возможные спрэды.
§ 39.7.	ВАРРАНТЫ
Варрант на акцию (или просто варрант) — это call-опцион,
выписанный фирмой на свои акции. Варранты обычно эми-
тируют на более длительный срок (например, пять или бо-
лее лет), чем типичные call-опционы. Выпускаются также
бессрочные варранты. Обычно варранты могут исполняться
246
до даты истечения, как американские опционы, но по неко-
торым из них до возможного момента погашения должен
пройти определенный начальный период.
Цена исполнения варранта может быть фиксированной
или изменяться в течение действия варранта, обычно в сто-
рону увеличения. Цена исполнения в момент выпуска вар-
ранта, как правило, устанавливается значительно выше ры-
ночной цены базового актива.
В момент выпуска один варрант обычно дает право дер-
жателю купить одну акцию по соответствующей цене испол-
нения. Большинство варрантов защищены от дробления ак-
ций и выплаты дивидендов акциями, то есть при дроблении
акций или выплате дивидендов акциями варрант позволит
инвестору купить больше или меньше чем одну акцию по
изменившейся цене исполнения.
Одно из отличий варранта от call-опциона — это ограни-
ченное количество варрантов. Всегда выпускается только ог-
раниченное количество варрантов, которое сокращается по
мере исполнения варрантов. А call-опцион возникает, как
только два лица пожелают его создать. Исполнение call-оп-
циона влияет на фирму не больше, чем сделка с ее акциями
на вторичном рынке. Исполнение варранта оказывает опре-
деленный эффект на положение предприятия: оно получает
больше средств, увеличивается количество выпущенных ак-
ций и сокращается количество варрантов.
Торговля варрантами ведется на основных фондовых бир-
жах и на внебиржевом рынке.
§ 39.8.	ПРАВА
Права — это call-опционы, выпущенные предприятием на
свои акции. Они дают акционерам преимущественные права
в отношении подписки на новую эмиссию обыкновенных ак-
ций до их публичного размещения. Каждая акция; находя-
щаяся в обращении, получает одно право. Одна акция при-
обретается за определенное количество прав 4- денежная сум-
ма, равная цене подписки. Подписная цена на новые акции
обычно устанавливается ниже рыночного курса акций на мо-
мент выпуска.
Права обычно имеют короткий период действия (от двух
до десяти недель с момента эмиссии) и свободно обращаются
до момента их исполнения. Вплоть до определенной даты
старые акции продаются вместе с правами, то есть покупа-
247
тель акции получит и права, когда они будут выпущены.
После этой даты акции продаются без прав по более низкой
цене. Иногда права на популярные выпуски акции продают-
ся на бирже, в других случаях — на внебиржевом рынке.
Права не защищены от дробления акций и выплаты ди*
видендов акциями.
§ 39.9.	ФЬЮЧЕРСЫ
Фьючерсный контракт (сокращенно фьючерс) — это кон-
тракт на покупку определенной партии товара по цене, уст-
раивающей обе стороны в момент заключения сделки, а сам
товар поставляется продавцом спустя довольно продолжи-
тельное время. Фьючерс — это ценная бумага второго поряд-
ка, которая является объектом сделок на фондовом рынке.
Лиц, покупающих и продающих фьючерсные контракты,
можно определить как хеджеров или спекулянтов. Хеджеры
участвуют во фьючерсных сделках в основном для уменьше-
ния риска, так как данные лица или производят, или ис-
пользуют актив в рамках своего бизнеса. Спекулянты за-
ключают фьючерсные контракты в целях получения прибы-
ли в короткие сроки.
Основными товарами, по которым заключаются фьючерс-
ные контракты, являются зерно, драгоценные и цветные ме-
таллы, нефть и нефтепродукты.
С 1970-х годов на основных биржах были внедрены фи-
нансовые фьючерсные контракты на иностранную валюту,
ценные бумаги с фиксированным доходом и рыночные ин-
дексы. По объему торговли они сейчас имеют гораздо более
важное значение, чем базисные активы и традиционные
фьючерсные контракты.
Фьючерсный контракт на рынке финансовых активов
— это договор между двумя инвесторами, согласно которо-
му один из них берет на себя обязательство по окончании
срока договора продать другому инвестору (или купить у не-
го) определенное количество ценных бумаг по заранее огово-
ренной цене.
Основное отличие фьючерса от опциона состоит в том, что
во фьючерсном контракте реализуется не право, а безогово-
рочное обязательство лица, заключившего договор, в любом
случае исполнить контракт в указанный в нем срок. Поэто-
му и финансовый риск, связанный с фьючерсом, гораздо вы-
ше, чем при операции с опционом.
248
Целью фьючерсных сделок является страхование (хеджи-
рование) от финансовых потерь в связи с неблагоприятной
конъюнктурой на рынке, а также увеличение прибыли в ре-
зультате спекулятивных операций на бирже. Торговля фью-
черсами позволяет снизить риск финансовых потерь в слу-
чае резких колебаний цен, уменьшить размер резервного
фонда, необходимого для покрытия убытков, ускорить воз-
врат в налично-денежной форме авансированного капитала,
снизить издержки обращения.
Объектом заключения фьючерсных контрактов на фондо-
вом рынке являются ценные бумаги без покрытия — цен-
ные бумаги, которые фактически не принадлежат продавцу,
а заимствуются им у третьего лица под залог в 40—60%.
Пример 113. Игрок заключает фьючерсный контракт
на продажу без покрытия акций по цене 500 руб. за ак-
цию.
Если на дату реализации контракта курс акций снизит-
ся до 300 руб., то игрок выкупает акции и получает при-
быль 500 — 300 = 200 руб. на акцию.
Если на дату реализации контракта курс акций подни-
мется до 800 руб., то убыток игрока равен 800 - 500 - 300
руб. на акцию.
Задача 113. Игрок продает без покрытия акции по це-
не 600 руб. за акцию. Определить прибыль-убыток игрока,
если на дату реализации контракта курс акций составит:
а) 700 руб.; б) 650 руб.
В действительности сделки с финансовыми инструмента-
ми гораздо сложнее и многообразнее по сравнению с приве-
денным описанием. Они имеют целый ряд особенностей и
нюансов, которые можно постичь исключительно на прак-
тике.
249
Глава 40
УПРАВЛЕНИЕ ЗАПАСАМИ
§ 40.1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
Выбирается промежуток времени 1 год. Рассматривается мо-
дель одиночного склада. Считается, что на складе хранится
запас однотипных изделий (однономенклатурный запас).
Спрос на эти изделия может быть постоянным или случай-
ным. Пополняться склад может либо периодически (цикли-
ческая модель), либо при снижении запасов до некоторого
уровня (уровневая модель).
Объем заказа — это количество заказываемых изделий.
Уровень повторного заказа — количество изделий на скла-
де, при котором подается заказ на новые изделия. Время по-
ставки может быть либо мгновенным, либо фиксированным,
либо случайным. Штраф за дефицит — это убытки, свя-
занные с отсутствием запаса.
За хранение каждой единицы запаса берется определен-
ная плата Сд. D — годовой спрос на изделия. Стоимость
подачи заказа Cq — это накладные расходы, связанные с ре-
ализацией заказа (затраты на подготовительно-заготовочные
операции, не зависят от объема заказа). Вся теория будет
строиться с целью минимизации суммарных издержек.
§ 40.2. ОСНОВНАЯ МОДЕЛЬ УПРАВЛЕНИЯ ЗАПАСАМИ
Предпосылки основной модели: 1) спрос равномерный и по-
стоянный; 2) время поставки постоянно; 3) отсутствие запа-
сов недопустимо; 4) каждый раз заказывается постоянное
количество — оптимальный размер заказа.
Издержки ТС = подача заказов + хранение =
. сл£ .
=------+ —------ min,
<7	2
где q — оптимальный размер заказа; q/2 — средний объем
хранимого запаса.
250
Решением этой оптимизационной задачи будет значение:
А, В, С — точки подачи заказа.
Пример 114- Годовой спрос D *= 1500 единиц, стои-
мость подачи заказа Со = 150 рублей/заказ, издержки хра-
нения одной единицы = 45 рублей/год, время доставки
6 дней, 1 год = 300 рабочих дней. Найдем оптимальный
размер заказа, издержки, уровень повторного заказа.
Оптимальный размер заказа:
. 2СоР
2x150x1500
-----------= 100 единиц.
45
Издержки: TC(q) =	 +
4-Х— = 4500 руб./год.
Chq == 150x1500
2	100
+
За 300 рабочих дней реализуется 1500 единиц, за 6 дней
доставки — х единиц. 300/6 = 1500/х. Отсюда х =
1500x6/300 = 30 единиц. Каждый раз, когда на складе ос-
тается 30 единиц, подается заказ на 100 единиц.
Годовой спрос D = 1500 единиц, каждый раз заказыва-
ется q = 100 единиц. Поэтому всего за год будет подано
D/q = 1500/100 = 15 заказов. Говорят, что за год пройдет
15 циклов. Расстояние между циклами l/(D/q) = q/D =
= 100/1500 =1/15 лет = 300х(1/15) = 20 рабочих дней.
Задача 114. Годовой спрос D = 400 единиц, стоимость
подачи заказа Cq = 40 рублей/заказ, издержки хранения
251
одной единицы Сд = 250 рублей/год, время доставки
6 дней, 1 год = 250 рабочих дней. Найти оптимальный раз-
мер заказа, издержки, уровень повторного заказа, число
циклов за год, расстояние между циклами.
§ 40.3. МОДЕЛЬ ЭКОНОМИЧНОГО РАЗМЕРА ПАРТИИ
Технологический процесс может быть организован на основе
производства партии продукции: чередование процессов
производства и реализации произведенного:
Каким должен быть размер q партии продукции?
Обозначим через С8 стоимость организации производст-
венного цикла (фиксированные издержки производства).
Издержки ТС = стоимость организации технологического
CJ) Chq
процесса + хранение =-----+ —-----► min, где q — эко-
номичный размер партии. __________
д I 2СД)
Решение этой задачи: q = \----- .
N Ch
Пример 115. Годовой спрос D - 14800 единиц, стои-
мость организации производственного цикла С8 = 100 руб-
лей, издержки хранения одной единицы Сд = 8 рублей/год.
Экономичный размер партии равен:
I 2C8D 12x100x14800
q =Л1---2— = л j------------м 608 единиц.
То есть надо произвести 608 единиц, остановить произ-
водство, реализовать всю произведецную продукцию и
вновь запустить производство. И т. д.
С Л)	Chq
Издержки ТС равны: ТС(608) —------+------=
«	2
= 1-0°хИ8™ + ^08 . 4866 руб./год.
608	2
Число циклов за год D/q - 14800/608 - 24,3. Расстоя-
ние между циклами g/D - 0,04 лет *15 дней.
252
Задача 115. Годовой спрос D — 8000 единиц, стои-
мость организации производственного цикла С8 = 200 руб-
лей, издержки хранения одной единицы Сд = 15 руб-
лей/год. Найти экономичный размер партии, издержки,
число циклов за год, расстояние между циклами.
§ 40.4. СКИДКА НА КОЛИЧЕСТВО
Очень часто, если заказываемое количество товара больше
определенного числа, предоставляется скидка. В этом слу-
чае снижаются расходы на закупку, но увеличиваются за-
траты на хранение.
Общие издержки = закупка 4- издержки TC(q) = CD +
CqD C^q
4------+ —_—9 Где С — закупочная цена.
Необходимо выяснить, стоит ли воспользоваться скид-
кой.
Пример 115. Годовой спрос D - 1000 единиц, стои-
мость подачи заказа Со = 40 рублей/заказ, закупочная це-
на С - 50 рублей/единицу, годовая стоимость хранения од-
ной единицы составляет 25% ее цены. Можно получить
скидку 3% у поставщиков, если размер заказа будет не
меньше 200 единиц (уровень, нарушающий цену). Стоит ли
воспользоваться скидкой?
Так как годовая стоимость хранения одной единицы
составляет 25% ее цены, то = 0,25хС = 0,25x50 -
- 12,5 руб./единицу.
Найдем общие издержки в случае основной модели.
л I 2С0В _ 12x40x1000
-	«	'	12.5	•80
'	CnD ChQ
Общие издержки равны: ТС = CD 4------4-----------=
9	2
= 50x1000 + 4?-—°°g + 12,5x80 - 51000 руб./год.
80	2
Если воспользоваться скидкой, то новая закупочная це-
на равна: С = 0,97x50 = 48,5 рублей/единицу.
Поэтому Сл = 0,25хС = 0,25x48,5 = 12,125 рублей/еди-
ницу.
В этом случае оптимальный размер заказа равен:
л 2CqD л |2х40хЮ00
q =д —У—- = д------------» 81 единица.
4 \ Ch \ 12,125
Но скидка предоставляется, если объем заказа q > 200.
Поэтому положим q - 200.
253
Тогда общие издержки равны:
CnD	ChQ	40x1000
ТС = CD + —5— 4- —= 48,5x1000 +	+
q	2	200
. 12,125x200 ЛПП1О к л /
4- —----------- 49912,5 руб./год.
2
Мы видим, что общие издержки уменьшились. Поэтому
следует воспользоваться скидкой, заказывая каждый раз
200 единиц.
Число циклов за год равно D/q = 1000/200 в 5, а ин-
тервал между циклами q/D = 200/1000 = 1/5 лет « 73 дня.
Задача 116. Годовой спрос D = 1200 единиц, стои-
мость подачи заказа Со - 50 рублей/заказ, закупочная це-
на С = 60 рублей/единицу, годовая стоимость хранения од-
ной единицы составляет 35% ее цены. Можно получить
скидку 5% у йоставщиков, если размер заказа будет не
меньше 90 единиц..Стоит ли воспользоваться скидкой?
§ 40.5. МОДЕЛЬ ПРОИЗВОДСТВА ПАРТИИ
ПРОДУКЦИИ
Ранее была рассмотрена модель экономичного размера пар-
тии (сначала товар производят, потом используют и т. д.).
Разрешим теперь использование товара по мере его произ-
Пусть Р — темп производства, D — темп использования.
Произведя q единиц продукции, производство прекращаем.
Так как мы начинаем использовать произведенную продук-
цию сразу же, не дожидаясь остановки производства, то в
момент этой остановки на складе будет не q единиц (как в
модели экономичного размера партии), а меньше.
Издержки ТС = стоимость организации технологического
C8D Ch(P - D)q
процесса 4- хранение =----4------—-------♦ min, где q —
экономичный размер партии.
254
J 2CSP
Решение этой задачи: q = \---- х
1 ch
Р
P-D’
Пример 117. Компания выпускает электрические но-
жи. Она в среднем может производить 150 ножей/день.
Спрос — 40 ножей/день. Годовые издержки хранения
Ch = 8 руб./нож. Стоимость организации производственно-
го цикла С8 ~ 100 рублей. Найдем экономичный размер
партии, издержки, число циклов за год, расстояние между
циклами.
Р = 150 ножей/день = 54750 ножей/год, D = 40 но-
жей/день = 14600 ножей/год (напомним, что вся теория
строится для временного интервала 1 год).
Экономичный размер партии равен:
12CSD | Р 12x100x14600	I 54750
а = ЛI —-— х Д ----=Д ----------- хд ------------«
СЛ ^P-D	8	^54750-14600
- 705 единиц.
СД) Ch(P - Р)
Издержки равны: ТС = —-— + —----------=
q
в 100x14600 +8х(54750-14600)х705
705	2 • 54750
Таким образом, производим 705 ножей, останавливаем
производство. Ножи реализуются сразу, не дожидаясь ос-
тановки производства. Как только ножи закончатся, тут
же запускаем производственный процесс. Число циклов за
год равно D/q = 14600/705 * 20,7, а интервал между цик-
лами q/D - 705/14600 - 0,048 лет ~ 18 дней.
Задача 117. Темп производства Р = 160 единиц/день,
темп использования D = 30 единиц/день. Годовые издерж-
ки хранения С^ = 10 рублей/единицу. Стоимость организа-
ции производственного цикла С8 = 200 рублей. Найти эко-
номичный размер партии, издержки, число циклов за год,
расстояние между циклами.
4138,92 руб./год.
§ 40.6. МОДЕЛЬ ПЛАНИРОВАНИЯ ДЕФИЦИТА
В некоторых случаях издержки хранения являются очень
высокими. Поэтому имеет смысл допустить регулярные ин-
тервалы времени, когда товар на складе отсутствует.
Издержки ТС = подача заказов + хранение + штраф за
дефицит.
Возможны 2 подхода:
1)	полученная новая продукция не идет на выполнение
заявок на товар во время его отсутствия;
255
2)	часть полученной новой продукции идет на погашение
всех заявок, оставленных во время отсутствия запасов.
Рассмотрим эти случаи подробнее.
§ 40.6.1. Случай невыполнения заявок
S — максимальный размер дефицита (максимально воз-
можное число единиц товара, которое могло бы быть реали-
зовано за время его отсутствия в каждом цикле). На графи-
ке периоды дефицита условно изображаются ниже оси вре-
мени. Сь — годовая стоимость отсутствия единицы продук-
ции в запасе (потеря доверия клиентов, непроданная про-
дукция и т. д.).
Издержки ТС — подача заказов + хранение 4- штраф за '
CoD , Chq2 , CbS2
дефицит = ----—	+ —---—	4- —---—	-* min, где q	—
q + S 2(q 4-	S) 2(q + S) > * *
оптимальный размер заказа, S — максимальный размер де-
фицита. Решениями этой задачи будут величины:
I 2CpD х I Cb I 2СрД х I Ск
4 N ch \cft + cd Cb \Ch + Cb
Пример 118. Годовой сцрос D = 500 единиц, стоимость
подачи заказов Cq — 40 рублей/заказ, издержки хранения
одной единицы Сь = 5 рублей/год, годовая стоимость от-
сутствия запасов Q = 100 рублей/единицу.
Сравним 2 модели: основную и с дефицитом (заявки не
выполняются).
Основная модель:_________
ЛI 2CqD л 12x40x500 Qn
g =д I---~ 89 единиц.
Сл N 5
__ CqD , C^q	40x500	5x89	Л ,
ТС =	+ —— =------------ 4------- 447 руб./год.
q 2	89	2
256
Модель с дефицитом:
хд —^6— = 89 Д ———
Ch ^Сл + Q \ 5 + 100
2CqD	I Ск	- I2x40x500*
Сь	\{ Ch + cb Aj 100
4 единицы.
тс - Со2> + Chq2 + CbS2 =
q + S 2(g + S) 2(q + S)
40x500
87 + 4
।	5x872 t
2x(87 + 4)
100x42
2x(87 + 4)
- 87 единиц.
5
5 + 100
437 руб./год.
Таким образом, в модели с дефицитом годовые издерж-
ки меньше.
Задача 118. Годовой спрос D — 600 единиц, стоимость
подачи заказов Со = 50 рублей/заказ, издержки хранения
одной единицы Сд = 6 рублей/год, годовая стоимость от-
сутствия запасов С& = 110 рублей/единицу. Сравнить 2 мо-
дели: основную и с дефицитом (заявки не выполняются).
§ 40.8.2.	Случай выполнения заявок
В случае выполнения заявок максимальный уровень запасов
будет равен не q9 a (q - S).
Издержки ТС = подача заказов + хранение + штраф за
CoD Ch(q ~ S)2 х CftS2
дефицит =----+-----------+ —•-— -* min, где q — опти-
q	2q 2q
мальный размер заказа, S — максимальный размер дефици-
та. Решение задачи:
_у I 2CqD I Сд + С&	_д I 2CqD	у I С;
4 N Ch \ сь \ Cb Nch + Cb
Пример 119. Годовой спрос D = 3000 единиц, стои-
мость подачи заказов Со = 25 рублей/заказ, издержки хра-
нения одной единицы Сд = 120 рублей/год, годовая стои-
257
мость отсутствия запасов Съ •* 225 рублей/единицу. Модель
с дефицитом (заявки выполняются).
Найдем издержки.
I 2CqD
Ch
Ch + Cb
Cb
2x25x3000
120
120 + 225
225
44 единицы.
2CpD I Ch 12x25x3000 I 120 '
Cb \СЛ + С6 \	225	\ 120+ 225
15 единиц.
TC = CoD + cft(g~S)2 +
g	2g
25x3000	12Qx(44—15)2
44	2x44
CbS2 _
2g
225xl52	, /
---------- 3427 руб./год.
Задача 119. Годовой спрос D = 2000 единиц, стои-
мость подачи заказов Со = 20 рублей/заказ, издержки хра-
нения одной единицы С^ = 100 рублей/год, годовая стои-
мость отсутствия запасов Сь = 220 рублей/единицу. Модель
с дефицитом (заявки выполняются). Найти издержки.
§ 40.7.	НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЬ И ОСНОВНАЯ
МОДЕЛЬ УПРАВЛЕНИЯ ЗАПАСАМИ
Грубо говоря, основная модель — это заказ постоянного ко-
личества единиц в заранее определенные моменты времени,
то есть фиксированный заказ в фиксированное время. На
практике спрос часто не является постоянным, поэтому ос-
новная модель мало приспособлена для практических нужд.
Будем ее видоизменять, чтобы учесть непостоянство спроса.
Самое простое, что можно сделать, — отказаться от одного
из двух заявленных условий.
Случай 1. Фиксированный заказ в случайное время. Как
только на складе запасы понизятся до некоторого заданного
258
заранее уровня, подается заказ на фиксированное количест-
во единиц. Это — уровневая система повторного заказа.
Случай 2. Случайный-заказ в фиксированное время. За-
ранее определяем, в какие моменты времени будут сделаны
заказы. Обычно они выбираются с определенной периодич-
ностью. При наступлении этих моментов подаются заказы,
объем которых равен разности между заранее выбранным
числом и количеством единиц на складе в тот момент вре-
мени. Это — циклическая система повторного заказа.
Рассмотрим эти модели подробнее.
§ 40.8.	УРОВНЕВАЯ СИСТЕМА ПОВТОРНОГО
ЗАКАЗА
§ 40.8.1.	Достижение минимальной стоимости.
Чтобы учесть непостоянство спроса, вводят резервный запас.
Издержки ТС = подача заказов + хранение основного за-
паса + хранение резервного запаса + штраф за дефицит.
Сначала считаем, что спрос постоянный. При помощи ос-
новной модели находим оптимальный размер заказа q.
Именно такое количество мы и будем заказывать каждый
раз. Когда заказывать? Оптимальный размер заказа q позво-
ляет вычислить первые два слагаемых в выражении для из-
держек. Как выбрать резервный запас? Чем больше (мень-
ше) резервный запас, тем меньше (больше) штраф за дефи-
цит и тем больше (меньше) Стоимость хранения резервного
запаса. Методом проб и ошибок мы должны подобрать ре-
зервный запас, минимизирующий два последних слагаемых
в выражении для издержек.
Пример 120. Средний годовой спрос D - 150 единиц
за 300 рабочих дней, стоимость подачи заказов Cq » 50 руб-
259
лей/заказ, издержки хранения одной единицы - 12 руб-
лей/год, годовая стоимость отсутствия запасов Съ = 20 руб-
лей/единицу. Время поставки 4 дня.
Спрос на товар в течение постав- ки, шт.	0	1	2	3	4	5	6	Сумма
Частота	2	8	13	10	7	5	5	50
За время поставки спрос 6 единиц наблюдался 5 раз,
спрос 5 единиц наблюдался 5 раз и т. д. Всего было 50 на-
блюдений. Минимизируем общую стоимость запасов.
Из основной модели оптимальный размер заказа равен:
л 2CaD 2x50x150 ое
а =Д ----==Л ------------— 35 единиц.
\ Ch \	12
Таков объем заказа. Когда заказывать?
Издержки ТС = подача заказов + хранение основного
запаса 4- хранение резервного запаса 4- штраф за дефицит =
CqD . C^q
= -----+--------4- Сдх (резервный запас) 4- С^х(математи-
«	2
ческое ожидание числа единиц, составляющих годовую не-
50x150 , 12x35 , ч\
хватку запасов —-----4--------4- 12х(резервныи запас)
35	2
+ 20х(математическое ожидание) = 424,29 4- 12х(резерв-
ный запас) 4- 20х(математическое ожидание).
Надо подобрать резервный запас, минимизирующий два
последних слагаемых.
Число циклов за год D/q = 150/35 - 4,3.
Средний спрос за день 150/300 — 0,5, время поставки 4
дня. Поэтому средний спрос в течение поставки 4 • 0,5 = 2
(если бы получилось дробное число, то его надо округлить
до ближайшего меньшего целого числа). Найдем вероят-
ность (относительную частоту) для каждого значения спро-
са за время поставки. Для этого частоту каждого значения
спроса разделим на 50 (общее число наблюдений).
Спрос на товар в течение постав- ки, шт.	0	1	2	3	4	5	6	Сумма
Частота	2	8	13	10	7	5	5	50
Вероятность	0,04	0,16	0,26	0,20	0,14	0,10	0,10	1
С помощью основной модели мы учитываем спрос 0, 1,
2 изделия за время поставки, так как средний спрос в те-
чение поставки равен 2. Чтобы учесть спрос 3, 4, 5, 6 (а
свыше 6 спрос за время поставки не наблюдался), необхо-
дим резервный запас (соответственно 1, 2, 3, 4). Мы нач-
260
нем с наибольшего значения резервного запаса 4. Вычис-
лим сумму двух последних слагаемых в выражении для из-
держек. После этого каждый раз мы будем понижать ре-
зервный запас на 1 и пересчитывать сумму двух последних
слагаемых в выражении для издержек. Сначала сумма бу-
дет понижаться, а затем возрастать. Смена убывания на
возрастание говорит о том, что резервный запас найден. Со-
ставим таблицу.
Ре- зерв- ный запас	По- кры- тый спрос	Математическое ожидание числа нехваток запасов в течение		Стоимость, рублей/год		
				резервного запаса ^(резерв- ный запас)	нехватки запасов 20Х(матожи- дание)	общая
		цикла	года			
4	6	0	0	12x4=48	0	48+0=48
3	5	1x0,1=0,1	4,3x0,1= =0,43	12x3=36	20x0,43= =8,6	36+8,6= =44,6
2	4	2x0,1+ 1x0,1=0,3	4,3x0,3= 1,29	12x2=24	20x1,29= =25,8	25,8+24= =49,8
Поясним, как заполняется таблица.
Второй столбец. Покрытый спрос = резервный запас +
+ 2 (средний спрос за время поставки).
Третий столбец. Если покрытый спрос равен 6, то не-
хватки запасов не возникает. Если покрытый спрос равен
5, то возникает нехватка в 1 единицу при спросе 6. Веро-
ятность спроса 6 равна 0,1 (см. предыдущую таблицу). По-
этому математическое ожидание нехватки 1x0,1 - 0,1. Ес-
ли покрытый спрос равен 4, то возникает нехватка 2 при
спросе 6 и 1 при спросе 5. Поэтому математическое ожида-
ние нехватки 1x0,1 + 2x0,1 - 0,3. Это числа для одного
цикла.
Число циклов за год — 4,3. Поэтому числа третьего
столбца умножим на 4,3 и результаты запишем в четвертом
столбце. Числа четвертого столбца умножим на 20 и ре-
зультаты запишем в шестом столбце.
Числа первого столбца умножаем на 12 и результаты
пишем в пятом столбце. Седьмой столбец равен сумме пя-
того и шестого столбцов.
Итоговая сумма в седьмом столбце сначала понизилась
с 48 до 44,6, а затем начала повышаться. Поэтому целесо-
образно иметь резервный запас равный 3 (покрытый спрос
5) и нет необходимости исследовать резервный запас 1.
Издержки ТС = 424,29 + 12х(резервный запас) +
+ 20х(математическое ожидание) « 424,29 + 44,6 - 468,89
руб./год.
Таким образом, каждый раз, когда на складе остаются
5 единиц, надо заказывать 35 единиц.
261
Задача 120. Средний годовой спрос D = 140 единиц за
300 рабочих дней, стоимость подачи заказов Со = 45 руб*
лей/заказ, издержки хранения одной единицы Ch = 15 руб*
лей/год, годовая стоимость отсутствия запасов Q, = 18 руб-
лей/единицу. Время поставки 4 дня.
Спрос на товар в тече- ние поставки, шт.	0	1	2	3	4	5	6	Сум- ма
Частота	5	5	5	11	12	7	5	50
Сколько нужно заказывать и когда, если цель — мини-
мизировать общую стоимость запасов?
§ 40.8.2.	Достижение минимального уровня
обслуживания
Задается вероятность нехватки запасов в течение цикла. Тог-
да минимальный уровень обслуживания e 1 — вероятность
нехватки запасов. По уровню обслуживания находим необ-
ходимый резервный запас.
Издержки ТС == подача заказов + хранение основного за-
CoD
паса + хранение резервного запаса «----
Q
зервный запас).
Cftg
2
+ Cftx(pe-
Пример 121. Вернемся к примеру 120.
Разрешается 1 нехватка запасов в 5 циклов. Тогда веро-
ятность нехватки запасов в течение цикла равна 1/5 = 0,2.
Минимальный уровень обслуживания равен: 1 — веро-
ятность нехватки запасов = 1 — 0,2 ~ 0,8.
q — 35 единиц, средний спрос в течение поставки = 2
(см. пример 120). Заполним таблицу.
Спрос	Вероятность	Кумулятивная вероятность
0	0.04	0.04
1	0.16	0.20
2	0.26	0.46
3	0.20	0.66
4	0.14	0.80
5	0.10	0,90
6	0,10	1,00
Порядок заполнения последнего столбца: двигаемся
сверху вниз и вычисляем значения по правилу:
262
Для получения числа данной строки 3-го столбца к чис-
лу предыдущей строки 3-го столбца прибавляем число
данной строки 2-го столбца: 0,04; 0,04 + 0,16 = 0,20; 0,20
+ 0,26 = = 0,46 и т. д. Это — кумулятивная (накоплен-
ная) вероятность. Для проверки: последнее число всегда
равно 1. Смотрим, куда в последнем столбце попадает наш
уровень обслуживания 0,8. Он соответствует спросу 4, то
есть резервный запас = 4 — 2 = 2. Каждый раз, когда на
складе остаются 4 единицы, надо заказывать 35 единиц.
Издержки ТС « 424,29 + 12х(резервный запас) » 424,29 +
+ 12x2 = 448,29 рублей/год.
Задача 121. Решить задачу 120 при условии, что раз-
решается 1 нехватка запасов в 10 циклов.
Замечание. Методы, рассмотренные в примерах 120 и
121, можно применять и в случае, когда спрос подчиняется
какому-либо распределению (например, нормальному или
распределению Пуассона).
§ 40.9.	ЦИКЛИЧЕСКАЯ СИСТЕМА ПОВТОРНОГО
ЗАКАЗА
Пусть Т — интервал повторного заказа.
Со	ChDT	ЛI 2С0
Издержки ТС =	+ —-------- min. Т = М ——.
1 А	)|
После этого надо задать уровень запасов, который опре-
деляет размер подаваемого заказа. Например, если взять за
уровень 120 единиц, а на момент подачи заказа на складе
45 единиц, то надо заказывать 120 — 45 = 75 единиц.
Пример 122. Для данных примера 120 найдем интер-
вал повторного заказа.
А 2Cq 2x50
Т =Л ---- =А----------0,24 года = 0,24x300 = 72 дня,
ChD \ 12x150
то есть заказы надо подавать через 72 дня.
Задача 122. Для данных задачи 120 найти интервал
повторного заказа.
В циклической системе можно также использовать один
из двух критериев: достижение минимального уровня обслу-
живания и достижение минимальной стоимости.
263
§ 40.10.	ДРУГИЕ ВОПРОСЫ УПРАВЛЕНИЯ
ЗАПАСАМИ
Целью построенной нами теории была минимизация издер-
жек. Можно было строить теорию с целью максимизации
прибыли. Мы считали, что склад был безграничным. Но,
скорее всего, надо вводить ограничение на площадь склада.
Запас у нас был однономенклатурным. В реальной жизни
запас всегда многономенклатурный. Для упрощения ситуа-
ции здесь можно воспользоваться эффектом Парето*. 20%
товаров контролируют 80% стоимости запасов.
Построенные модели — очень упрощенные. Если мы хо-
тим рассмотреть более сложные ситуации, то следует вос-
пользоваться имитационным моделированием.
§ 40.11.	ИМИТАЦИОННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
Рассмотрим одно из направлений имитационного моделиро-
вания. Моделируется некоторая случайная величина. Снача-
ла из опытных данных определяются частоты появления воз-
можных значений этой величины. По частотам вычисляются
вероятности, по вероятностям — кумулятивные вероятности.
Зная кумулятивные вероятности, устанавливаем соответст-
вие между случайными числами и значениями случайной ве-
личины. Берем несколько случайных чисел из специальной
таблицы, восстанавливаем по ним значения случайной вели-
чины и определяем нужные нам характеристики.
Пример 123. Известно количество машин, приезжав-
ших на мойку автомашин в течение последних 200 часов.
Число машин в час	Частота
4	20
5	30
6	50
7	60
8	40
Будем имитировать прибытие машин в течение 10 ча-
сов. Заполним таблицу.
Число машин в час	Частота	Вероятность	Кумулятивная вероятность	Случайные числа
4	20	0,10	0,10	00—09
5	30	0,15	0,25	10—24
6	50	0,25	0,50	25—49
7	60	0,30	0,80	50—79
8	40	0,20	1,00	80—99
Сумма	200			
264
Поясним, как заполняется таблица.
Как заполнять 4-й и 3-й столбцы, было рассказано рань-
ше. Так как у чисел в столбце «Кумулятивная вероятность»
после запятой меняются 2 знака, то случайные числа груп-
пируем по два. Заполняется последний столбец сверху
вниз. Берем числа после запятой из 1-й строки 4-го столб-
ца. Это 10. Поэтому с 10 начнем 2-ю строку последнего
столбца, а числом 10 — 1 - 09 завершим 1-ю строку. Начи-
наем же 1-ю строку с 00. Берем числа после запятой из 2-
й строки 4-го столбца. Это 25. Поэтому с 25 начнем 3-ю
строку последнего столбца, а числом 25 - 1 = 24 завершим
2-ю строку. И т. д.
Полученная таблица используется следующим образом.
Берем подряд из любой строки или любого столбца случай-
ные числа из таблицы случайных чисел. Определяем, в ка-
кой интервал нашей таблицы они попадают, и находим со-
ответствующие значения в 1-м столбце.
Час	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Случайное число	69	02	36	49	71	99	32	10	75	21
Прибыло машин	. 7	4	6	6	7	8	6	5	7	5
69 попадает в интервал 50—79, что соответствует 7 ма-
шинам, 02 попадает в интервал 00—09, что соответствует
4 машинам, и т. д.
Замечание. Математическая функция СЛЧИС мастера
формул fx пакета Excel возвращает случайное число: fx -*
-* математические СЛЧИС -* ОК. У этой функции нет
аргументов. ОК. После этого в ячейке появится десятичная
дробь из интервала (0, 1). Исследователь берет нужное чис-
ло знаков после запятой. После нажатия клавиши F9 деся-
тичная дробь в ячейке изменится.
Задача 123. Известно количество машин, приезжаю-
щих на мойку автомашин в течение последних 200 часов.
Число машин в час	Частота
4	20
5	40
6	40
7	70
8	30
Используя случайные числа 67, 57, 84, 00, 32, 35, 91,
66, 37, 99, смоделировать прибытие автомашин в течение
10 часов.
265
§ 40.12.	ПРИМЕНЕНИЕ ИМИТАЦИОННЫХ МОДЕЛЕЙ
В ТЕОРИИ УПРАВЛЕНИЯ ЗАПАСАМИ
Пример 124. Начальный запас — 10 единиц, стоимость
подачи заказов Cq = 10 рублей/заказ, стоимость хранения
Ch = 5 рублей/единицу в день, одна упущенная продажа
Ch ~ 80 рублей. При наличии на складе не более 5 единиц
подается заказ на 10 единиц. Считаем, что все заказы по-
даются и выполняются в начале рабочего дня.
Спрос в день	Частота	Вероятность	Кумулятивная вероятность	Случайные числа
0	15	0,05	0,05	00—04
1	30	0,10	0,15	05—14
2	60	0,20	0,35	15—34
3	120	0,40	0,75	35—74
4	45	0,15	0,90	75—89
5	30	0,10	1,00	90—99
Сумма	300			
Время выполнения заказа, дни	Частота	Вероятность	Кумулятивная вероятность	Случайные числа
1	10	0,2	0,2	0—1
2	25	0,5	0,7	2—6
3	15	0,3	1,0	7-9
Сумма	50			
Во второй таблице сгруппируем случайные числа по од-
ному, так как после запятой в столбце «Кумулятивная ве-
роятность» меняется только 1 знак. Оценим общие издерж-
ки за день. Смоделируем работу склада за 10 дней.
День	Запас в начале Дня	Случай- ное число	Спрос	Запас на конец Дня	Повторный заказ да/нет	Случай- ное число	Время выпол- нения	Дефицит
1	10	06	1	9				
2	9	63	3	6				
3	6	57	3	3				
4	3	94	5	0	да	0	1	2
5	10	52	3	7				
6	7	69	3	4				
7	4	32	2	2	да	2	2	
8	2	30	2	0				
9	10	48	3	7				
10	7	88	4	3				
Сумма				41				2
Начальный запас — 10 единиц. Случайное число для
спроса в 1-й день — 06, что соответствует по таблице спро-
су 1. Поэтому запас на конец 1-го дня равен 10 - 1 « 9.
Это число и запишем в запас на начало 2-го дня.
266
Случайное число для спроса во 2-й день — 63, что соот-
ветствует по таблице спросу 3. Поэтому запас на конец 2-
го дня равен 9 — 3 = 6. Это число и запишем в запас на на-
чало 3-го дня.
Запас на начало 4-го дня — 3 < 5. Поэтому подаем за-
каз (да). Случайное число — 0, что соответствует по табли-
це времени выполнения заказа 1 день, то есть заказ выпол-
няется весь 4-й день, и в начале 5-го дня мы получим 10
единиц. Спрос в 4-й день был 5 единиц, а начальный запас
3. Поэтому 5 — 3 = 2 упущенные продажи запишем в стол-
бец «Дефицит».
Запас на начало 7-го дня — 4 < 5. Поэтому подаем за-
каз (да). Случайное число — 2, что соответствует по табли-
це времени выполнения заказа 2 дня, то есть заказ выпол-
няется в течение 7-го и 8-го дней, и в начале 9-го дня мы
получим 10 единиц.
Средний запас = суммарный конечный запас/общее чис-
ло дней = 41/10 = 4,1 единицы/день.
Среднее число упущенных продаж = общее число упу-
щенных продаж/общее число дней = 2/10 = 0,2 прода-
жи/день.
Среднее число заказов = общее число заказов/общее
число дней = 2/10 = 0,2 заказа/день.
Общие издержки = подача заказов + хранение + штраф
за дефицит = Сох (среднее число заказов) + Сдх (средний за-
пас) + С&х(среднее число упущенных продаж) = 10x0,2 +
+ 5x4,1 + 80x0,2 = 38,5 рублей/день.
Задача 124. Начальный запас 11 единиц, стоимость
подачи заказов Со = 15 рублей/заказ, стоимость хранения
= 6 рублей/единицу в день, одна упущенная продажа
Сь = 70 рублей. При наличии на складе не более 5 единиц
подается заказ на 11 единиц. Считаем, что все заказы по-
даются и выполняются в начале рабочего дня.
Спрос в день	0	1	2	3	4	5
Частота	10	15	25	20	20	10
Время выполнения заказа, дни	1	2	3
Частота	5	30	15
Случайные числа для спроса	35	90	92	94	25	57	34	30	90	01
Случайные числа для времени выпол- нения заказа	7	0	7	9	6	5	1	6	4	5
Оценить общие издержки за день, смоделировав работу
склада за 10 дней.
267
Глава 41
СЛИЯНИЕ ПРЕДПРИЯТИЙ
Рост предприятия — это неотъемлемая составляющая его
успеха и жизнеспособности. Рост предприятия бывает внут-
ренним и внешним. До этого мы рассматривали только вну-
тренний рост. Внешний рост происходит тогда, когда пред-
приятие приобретает другое предприятие.
Слияние предприятий — это объединение двух предпри-
ятий, при котором одно из них теряет свою марку. При сли-
янии предприятий устраняется дублирование функций раз-
личных работников, объединяются такие виды деятельнос-
ти, как маркетинг, учет, снабжение.
Очень часто стоимость предприятия, образованного в ре-
зультате слияния двух предприятий, превышает суммарную
стоимость этих двух предприятий. Возможно, что слияние
предприятий станет причиной экономии на масштабах —
снижения средних издержек при увеличении масштаба про-
изводства. Известие о слиянии предприятий может привес-
ти к росту стоимости акций.
Мотивом многих слияний является налогообложение. Це-
лью любого слияния должна быть максимизация в долго-
срочном периоде благосостояния акционеров объединяющих-
ся предприятий.
Пример 125. Известны следующие данные о предпри-
ятиях A til В.
Показатели	Предприятие А	Предприятие В
Текущая прибыль, руб.	25000	6000
Число акций	400	200
Прибыль на акцию, руб.	62,5	30
Предприятие А поглощает предприятие В с помощью
слияния акционерного капитала и следующего менового
соглашения: 1 акция В = 0,5 акции А. Определим показа-
тели предприятия А после поглощения.
268
Заполним таблицу.
Показатели	Предприятие А после поглощения
Текущая прибыль, руб.	25000 + 6000 = 31000
Число акций	400 + 0,5x200 = 500
Прибыль на акцию, руб.	31000/500 - 62
Задача 125. Известны следующие данные о предприя-
тиях А и В.
Показатели	Предприятие А	Предприятие В
Текущая прибыль, руб.	27000	4000
Число акций	450	250
Прибыль на акцию, руб.	60	16
Предприятие А поглощает предприятие В с помощью
слияния акционерного капитала и следующего менового
соглашения: 1 акция В ~ 0,6 акции А. Определить показа-
тели предприятия А после поглощения.
Такой показатель, как прибыль на акцию, принимается
во внимание при слиянии предприятий, для которых важен
рост в ближайшей перспективе, а долгосрочная тенденция
представляется необязательной.
А вот при анализе поглощения на основе данных о пото-
ках денежных средств (превосходит ли дисконтированная
стоимость ожидаемых денежных потоков цену, которую пла-
тит за поглощение предприятие-покупатель?) поглощение
оценивается в долгосрочной перспективе. Целесообразно со-
четать оба метода.
При слиянии двух предприятий их балансы объединяют-
ся, при этом соответствующие активы и обязательства про-
сто суммируются.
269
Глава 42
АНАЛИЗ ДВИЖЕНИЯ И
ТЕХНИЧЕСКОГО СОСТОЯНИЯ
ОСНОВНЫХ СРЕДСТВ
Одним из важнейших факторов увеличения объема произ-
водства продукции на промышленных предприятиях явля-
ется обеспечение их основными средствами в необходимом
количестве и ассортименте и более полное и эффективное их
использование. Повышение эффективности использования
основных производственных средств позволяет расширить
производство без дополнительных капиталовложений.
Основные средства — это совокупность материально-ве-
щественных ценностей, используемых в качестве средств
труда в течение длительного времени (свыше одного года).
Анализ обычно начинается с изучения основных средств, их
динамики и структуры.
Для анализа движения и технического состояния основ-
ных средств вычисляются следующие коэффициенты:
1.	Коэффициент обновления КОбн:
коэффициент
обновления
стоимость поступивших основных средств	•	стоимость основных средств на конец периода
2.	Срок обновления основных средств Т^:
срок обновления _ стоимость основных стоимость поступивших
основных средств средств на начало периода * основных средств
3.	Коэффициент выбытия Квыб:
коэффициент
выбытия
стоимость выбывших
основных средств
стоимость основных
средств на начало периода
4.	Коэффициент прироста 7fnp:
сумма прироста
сновных средств
стоимость основных
средств на начало периода
коэффициент
прироста
где	сумма прироста основных средств
_ стоимость поступивших _ стоимость выбывших
основных средств	основных средств
270
5. Коэффициент износа Кизн:
коэффициент износа	—	сумма износа основных средств	•	первоначальная стоимость основных средств
6. Коэффициент годности #год:
остаточная стоимость
основных средств
первоначальная стоимость
основных средств
коэффициент
годности
где	остаточная стоимость основных средств
первоначальная стоимость
основных средств
сумма износа
основных средств
Пример 126. На основании приведенных данных про-
ведем анализ движения и технического состояния основ-
ных средств.
Показатели	Прошлый год (руб.)	Отчетный год (руб.)
Первоначальная стоимость основных средств	200000	210000
Износ основных средств	50000	52000
Стоимость поступивших основных средств	27000	29000
Стоимость выбывших основных средств	21000	22000
Стоимость основных средств на начало периода	180000	186000
Заполним таблицу.
Показатели	Прошлый год (руб.)	Отчетный год (руб.)	Изменения
Коэффициент обновления	0,145	0,150	0,005
Срок обновления основных средств	6,67	6,41	-0,26
Коэффициент выбытия	0,117	0,118	0,001
Коэффициент прироста	0,033	0,038	0,005
Коэффициент износа	0,25	0,248	-0,002
Коэффициент годности	0,75	0,752	0,002
Поясним, как заполняется таблица.
Стоимость основных средств на конец периода = стои-
мость основных средств на начало периода 4- стоимость по-
ступивших основных средств — стоимость выбывших ос-
новных средств. Тогда стоимость основных средств на ко-
нец прошлого года = 180000 4- 27000 — 21000 = 186000
руб., а стоимость основных средств на конец отчетного го-
да = 186000 4- 29000 - 22000 = 193000 руб.
Коэффициент обновления = (стоимость поступивших
основных средств)/(стоимость основных средств на конец пе-
риода). Отсюда в прошлом году - 27000/186000 «
« 0,145, а в отчетном году #обн = 29000/193000 * 0,150.
Срок обновления основных средств ТОбН = (стоимость
основных средств на начало периода)/(стоимость поступив-
271
ших основных средств). Поэтому в прошлом году Тобн в
= 180000/27000 « 6,67, а в отчетном году Тобн =
= 186000/29000 « 6,41.
Коэффициент выбытия ^Гвыб (стоимость выбывших ос*
новных средств)/(стоимость основных средств на начало пе-
риода). Тогда в прошлом году в 21000/180000 » 0,117,
а в отчетном году -ЙГобн = 22000/186000 • 0,118.
Сумма прироста основных средств =* стоимость посту-
пивших основных средств ~ стоимость выбывших основ-
ных средств. Отсюда в прошлом году сумма прироста ос-
новных средств = 27000 - 21000 = 6000 руб., а в отчетном
году сумма прироста основных средств — 29000 — 22000 =
= 7000 руб.
Коэффициент прироста 7Спр = (сумма прироста основ-
ных средств)/(стоимость основных средств на начало пери-
ода). Поэтому в прошлом году 1СПр = 6000/180000 « 0,033,
а в отчетном году ^Гпр - 7000/186000 » 0,038.
Коэффициент износа 2СИЗН = (сумма износа основных
средств)/(первоначальная стоимость основных средств).
Тогда в прошлом году .Киз» = 50000/200000 = 0,25, а в от-
четном году /Гизн = 52000/210000 » 0,248.
Остаточная стоимость основных средств = первоначаль-
ная стоимость основных средств — сумма износа основных
средств. Отсюда в прошлом году остаточная стоимость ос-
новных средств - 200000 — 50000 - 150000 руб., а в отчет-
ном году остаточная стоимость основных средств = 210000 —
- 52000 = 158000 руб.
Коэффициент годности ^год = (остаточная стоимость ос-
новных средств)/(первоначальная стоимость основных
средств). Поэтому в прошлом году ^Ггод - 150000/200000 =
= 0,75, а в отчетном году Хгод - 158000/210000 » 0,752.
Заметим, что коэффициент износа .ЙГИЗН 4- коэффициент
годности Код = 1. Из каждого числа 3-го столбца вычита-
ем соответствующее число 2-го столбца и результат пишем
в 4-й столбец.
Задача 126. На основании приведенных данных про-
вести анализ движения и технического состояния основ-
ных средств.
Показатели	Прошлый год (руб.)	Отчетный год (руб.)
Первоначальная стоимость основных средств	205000	215000
Износ основных средств	51000	53000
Стоимость поступивших основных средств	28000	27000
Стоимость выбывших основных средств	20000	21000
Стоимость основных средств на начало периода	183000	191000 /
272
Глава 43
АНАЛИЗ
СБАЛАНСИРОВАННОСТИ
ДЕНЕЖНЫХ ПОТОКОВ
Хозяйственная деятельность любого предприятия неразрыв-
но связана с движением денежных средств. Каждая хозяйст-
венная операция вызывает либо поступление, либо расходо-
вание денежных средств. От полноты и своевременности обес-
печения процессов снабжения, производства и сбыта продук-
ции денежными ресурсами зависят результаты основной дея-
тельности предприятия, степень его финансовой устойчивос-
ти и платежеспособности, конкурентные преимущества, не-
обходимые для текущего и перспективного развития.
По направленности движения денежных средств разли-
чают приток денежных средств (положительный денежный
поток) и отток денежных средств (отрицательный денеж-
ный поток). Чистый денежный поток — это разность меж-
ду положительным и отрицательным денежными потоками
денежных средств в анализируемом периоде времени.
Управление денежными потоками требует постоянного
мониторинга равномерности и синхронности формирования
положительного и отрицательного денежных потоков. С этой
целью вычисляют среднеквадратическое отклонение, коэф-
фициент вариации и коэффициент корреляции.
Пусть п — число интервалов, х&у?) — значение положи-
тельного (отрицательного) денежного потока в i-м интервале
п	п
(i = 1, ..., п), х == Ып (у = Ы — средняя величина по-
i»l	i=l
ложительного (отрицательного) денежного потока за рассма-
п
триваемый промежуток времени,	“ х)2/п =
Z—1
= S«x2/n - (х)2, О22 = S(i/i - у)2/п = ±у?/п - (у)2.
i-1	i-1	i-1
Тогда среднеквадратические отклонения Qi и 02 показы-
вают абсолютное отклонение индивидуальных значений де-
нежных потоков от х и у соответственно.
273
Коэффициенты вариации - <J\/x и V2 = а2/у характе-
ризуют относительную меру отклонения индивидуальных
значений положительного и отрицательного денежных пото-
ков от х и у соответственно. Коэффициент корреляции
r&Xtyi - SXiSj/j
г « .	i=1	показывает степень син-
V (nix? - dbi)2}
N ' i=i i-i i=i i=i 1
хронизации денежных потоков за анализируемый период.
Чем ближе значение г к единице, тем меньше разрыв между
значениями положительного и отрицательного денежных по-
токов, то есть потоки синхронизированы по временным ин-
тервалам. В такой ситуации меньше риск возникновения де-
фицита денежных средств (если отрицательный денежный
поток превышает положительный) или избыточности де-
нежной массы (если положительный денежный поток пре-
вышает отрицательный). Дефицит денежных средств приво-
дит к неплатежеспособности, а при избыточной денежной
массе в условиях инфляции происходит ее обесценение.
Пример 127. На основании приведенных данных опре-
делим чистый денежный поток по каждому месяцу, сред-
неквадратические отклонения и коэффициенты вариации
по положительному и отрицательному денежным потокам,
а также коэффициент корреляции между положительным
и отрицательным денежными потоками.
Денежный поток, тыс. руб.	Месяц					
	1	2	3	4	5	6
Положительный	10	11	11	12	13	14
Отрицательный	9	10	11	13	15	12
Заполним таблицу.
Месяц	Xi	У1	Чистый денежный поток	~ 2 Xi	У2	XtVt
1	10	9	1	100	81	90
2	11	10	1	121	100	110
3	11	11	0	121	121	121
4	12	13	-1	144	169	156
5	13	15	-2	169	225	195
6	14	12	2	196	144	168
Сумма	71	70		851	840	840
Поясним, как заполняется таблица. Значения 2-го и 3-
го столбцов берутся из исходной таблицы. 4-й столбец есть
274
разность 2-го и 3-го столбцов. Каждое число 2-го (3-го)
столбца возводим в квадрат и результат пишем в 5-м (6-м)
столбце. 7-й столбец есть произведение 2-го и 3-го столб-
цов. В последней строке указана сумма чисел соответству-
ющего столбца. Тогда:
п
х =	= 71/6 • 11,83 тыс. руб.,
i«l
п
у =	= 70/6 « 11,67 тыс. руб.,
i=l
О12 = £х//п - (X)2 = 851/6 - 11,832 - 1,88,
1=1
О22 = i«i2/n - (у)2 - 840/6 - 11,672 = 3,81.
1=1
Отсюда среднеквадратические отклонения по положитель-
ному и отрицательному денежным потокам равны соответ-
ственно ai = 1,88 « 1,37 тыс. руб. и а2 =5/ 3,81 » 1,95
тыс. руб. Коэффициенты вариации по положительному и
отрицательному денежным потокам равны соответственно
V1 “О1/х-1,37/11,83» 0,116 и У1 = о2/у « 1,95/11,67 «
« 0,167. Коэффициент корреляции между положительным
и отрицательным денежными потоками равен
п	п п
n^xtyt - 'Zxi'Zyi
r ==
Г/ л	л	й Г п
х/ и2х{2-(2>,)2to/2-^)2
V ' i=l	i=l	i=l i=l '
=6x840 - 71x70 s 0 734
(6x851 - 712)(6x840 - 702)
Задача 127. На основании приведенных данных опре-
делить чистый денежный поток по каждому месяцу, сред-
неквадратические отклонения и коэффициенты вариации
по положительному и отрицательному денежным потокам,
а также коэффициент корреляции между прложительным
и отрицательным денежными потоками.
Денежный поток, тыс. руб.	Месяц					
	1	2	3	4	5	в
Положительный	11	12	13	12	13	15
Отрицательный	10	11	11	13	12	14
Замечание. Для вычисления коэффициента корреляции
можно воспользоваться статистическими функциями ПИР-
СОН (массив 1; массив 2) или КОРРЕЛ (массив 1; массив 2)
мастера функций fx пакета Excel. Массив 1 и массив 2 — это
ссылки на ячейки, содержащие значения денежных потоков.
275
Глава 44
МЕТОДЫ РЕЙТИНГОВОЙ
ОЦЕНКИ ФИНАНСОВОГО
СОСТОЯНИЯ ПРЕДПРИЯТИЯ
В анализе финансово-хозяйственной деятельности предприя-
тия часто встает вопрос о сравнимости результатов деятель-
ности различных хозяйствующих единиц. Для решения этой
проблемы привлекаются разного рода рейтинги, которые поз-
воляют определить место предприятия среди конкурентов.
Однако рейтингование на основе абсолютных показате-
лей (объем продаж, величина активов, чистая прибыль, уро-
вень затрат) не дает возможности сравнивать предприятия
разных отраслей и разных масштабов деятельности. Дейст-
вительно, сравнивать небольшой магазин и супермаркет ни
по одному из вышеперечисленных абсолютных показателей
некорректно.
Гораздо больше аналитической информации дают рейтин-
ги, построенные на относительных показателях (показатели
ликвидности, оборачиваемости, деловой активности, струк-
туры капитала и т. д.).
Проранжировать несколько предприятий по какому-то
одному показателю не составляет никакого труда. Но при
рассмотрении нескольких показателей возникают труднос-
ти. В этом случае на помощь приходят специальные матема-
тические методы: таксонометрический или метод суммы
мест. Опишем каждый из них.
Методика ранжирования предприятий по совокупности
показателей их финансово-хозяйственной деятельности со-
стоит из следующих этапов:
1)	выбор показателей для сравнения;
2)	подбор предприятий для сравнения;
3)	определение веса (важности) для каждого выбранного
показателя;
4)	непосредственное проведение процедуры рейтингова-
ния методом суммы мест или таксонометрическим методом.
276
§ 44.1. МЕТОД СУММЫ МЕСТ
Пример 128. Известны рентабельность продаж, обора-
чиваемость запасов и выручка четырех торговых предпри-
ятий.
Показатели	Предприятия			
	А	в	с	D
Рентабельность продаж (%)	29	32	34	30
Оборачиваемость запасов (дней)	10	8	9	11
Выручка (тыс. руб.)	120	180	190	130
Ранжируем эти предприятия методом суммы мест. За-
полним таблицу.
Показатели	Предприятия			
	А	в •	с	D
Рентабельность продаж (%)	4	2	1	3
Оборачиваемость запасов (дней)	3	1	2	4
Выручка (тыс. руб.)	4	2	1	3
Сумма	11	5	4	10
Ранжируем предприятия по каждому показателю. При
этом рентабельность продаж и выручка ранжируются по
убыванию (чем выше эти показатели, тем это лучше для
конкретного предприятия), а оборачиваемость запасов — по
возрастанию (чем ниже этот показатель, тем это лучше для
конкретного предприятия).
Поэтому наилучшая рентабельность продаж у предпри-
ятия С, наилучшая оборачиваемость запасов у предприя-
тия В, а наилучшая выручка у предприятия С.
В последней строке указана сумма чисел соответствую-
щего столбца. Лучшее предприятие — это предприятие с
минимальной суммой мест, то есть предприятие С.
Задача 128. Известны рентабельность продаж, обора-
чиваемость запасов и выручка четырех торговых предпри-
ятий.
Показатели	Предприятия			
	А	В	с	D
Рентабельность продаж (%)	28	31	32	29
Оборачиваемость запасов (дней)	9	7	8	10
Выручка (тыс. руб.)	150	170	160	140
Ранжировать эти предприятия методом суммы мест.
277
§ 44.2. ТАКСОНОМЕТРИЧЕСКИЙ МЕТОД
Пример 129. Ранжируем предприятия из примера 128
таксонометрическим методом.
Для чисел Xj (j = 1, т, где т — общее число предпри-
ятий) i-й строки первоначальной таблицы (Iя 1, ...» в, где
п
п — общее число показателей) находим среднее = Sx/n,
n	_	7=1
дисперсию Di - ^х?/п — (jq)2 и стандартное отклонение
Так для чисел 1-й строки среднее х^ = (29 + 32 + 34 +
4- 30)/4 - 31,25, дисперсия = (292 + 322 + 342 + 302)/4 -
- 31,252 = 3,6875 и стандартное отклонение ох =^3,6875 »
« 1,92.
Аналогично для чисел 2-й строки среднее *2 = 9,5, дис-
персия П2 в 1»25, стандартное отклонение 02 ® 1Д2 и для
чисел 3-й строки среднее Х3 = 155, дисперсия D3 = 925,
стандартное отклонение 03 « 30,41.
Из каждого числа первоначальной таблицы вычитаем
среднее соответствующей строки, полученную разность де-
лим на стандартное отклонение соответствующей строки и
результат округляем до двух цифр после запятой:
(29 - 31,25)/1,92 « -1,17; (10 - 9,5)/1,12 « 0,45;
(120 - 155)/30,41 - -1,15 и т. д.
Получим следующую матрицу;
—1,17 0,84 5,28 -0,65'
0,45 -1,68 -0,45 2,23 .
—1,15 0,82 1,15 —0,82
В каждой строке полученной матрицы определим луч-
шие значения.
Для 1-й и 3-й строк это наибольшие значения 5,28 и
1,15 (так как 1-я и 3-я строки матрицы получены по зна-
чениям рентабельности продаж и выручки), а для 2-й стро-
ки это наименьшее значение —1,68 (так как 2-я строка ма-
трицы получена по значениям оборачиваемости запасов).
Тогда эталонное предприятие Z - (5,28; —1,68; 1,15).
Для у-го столбца матрицы (у == 1, ..., тп, где т — общее
число предприятий) определим общую сумму квадратов от-
клонений чисел у-го столбца от соответствующих значений
эталонного предприятия. .
Для 1-го столбца «1 - (-1,17- 5,28)2 + (0,45 - (—1,68))2 +
+ (—1,15 — 1,15)2 » 51,43. Для 2-го столбца Яг = (0,84 —
- 5,28)2 + (-1,68 - (—1,68))2 + (0,82 - 1,15)2 = 19,82. Ана-
278
логично для 3-го столбца R$ » 1,51 и для 4-го столбца
R4 9 54,33. Наименьшее значение — это R3 » 1,51. Поэто-
му по трем рассмотренным показателям лучшие результа-
ты у предприятия С.
Задача 129. Ранжировать предприятия из задачи 128
таксонометрическим методом.
Ранговое рейтингование часто используется для сравне-
ния показателей деятельности разных подразделений одного
предприятия.
279
Глава 45
ТРАНСФЕРТНОЕ
ЦЕНООБРАЗОВАНИЕ
НА ПРЕДПРИЯТИЯХ
СО СЛОЖНОЙ СТРУКТУРОЙ
Трансферты — это операции, в ходе которых подразделе*
ния предприятия передают друг другу товары или оказыва-
ют услуги.
Установленные трансфертные цены являются расходами
для принимающего подразделения и поступлениями для по-
ставляющего подразделения. Поэтому трансфертная цена
влияет на рентабельность каждого подразделения, на реше-
ние подразделений по величине исходных ресурсов и по вы-
пуску продукции, то есть на общий размер прибыли всего
предприятия.
Промежуточная продукция (промежуточный продукт)
— это товары, переданные от поставляющего подразделения
к принимающему подразделению. Товары, реализуемые по-
лучающим подразделением внешним структурам, называют-
ся готовой продукцией (готовым продуктом).
Получающее подразделение проводит дополнительную об-
работку продукции и реализует ее как готовую продукцию
на внешнем рынке. Для получающего подразделения транс-
фертная цена промежуточной продукции выступает в виде
расходов. Для поставляющего подразделения трансфертная
цена — это доход. Поэтому трансфертные цены применяют-
ся для определения того, сколько поставляющему подразде-
лению следует выпустить промежуточной продукции и
сколько этой продукции должно приобретаться получающим
подразделением.
Существуют следующие типы трансфертных цен:
1)	на основе рыночных цен;
2)	на основе полных затрат;
3)	по типу «затраты + прибыль»;
280
4)	на основе переговоров;
5)	на основе маржинальных (предельных) издержек (этот
способ используется крайне редко).
Если подразделения предприятия действуют в разных
странах, то трансфертная цена устанавливается на уровне,
при котором большая часть прибыли относится на подразде-
ления, действующие в странах с минимальными налоговы-
ми ставками. Но налоговые власти в каждой стране прово-
дят свои исследования механизмов трансфертного ценообра-
зования предприятий, чтобы удостовериться, что эти меха-
низмы не используются для уклонения от уплаты местных
налогов.
281
Ответы
1. 140000 руб. и 40000 руб. 2. 4100 руб. 3. 3975 руб. 4. 4047,5
руб. 5. 9575 руб., 9450 руб. и 9522,5 руб. 6. 5000 руб. Балансовая
стоимость на конец года (руб.): 22000, 17000, 12000, 7000.
7. Норма амортизации 0,286.
Год	Начисление на износ, руб.	Балансовая стоимость на конец года, руб.
1	7722	19278
2	5513,51	13764,49
3	3936,64	9827,85
4	2810,76	7017,09
Год	Начисление на износ, руб.	Балансовая стоимость на конец года, руб.
1	10800	16200
2	8100	8100
3	5400	2700
4	2700	0
9. 30000 руб. 10. 15000 руб. 11. 3,18. 12. 0,90. 13. 0,29. 14. 3.
15. 128 дней. 16. 91 день. 17. 40%, 56% и 127%. 18. 2%.
19. 36%. 20. 4673,86 руб. 21. 28,6%. 22. 18,9 %. 23. 20,6%.
24. 10%. 25. 4,5%, 9,1% и 13,6%. 26. 3750 руб. 27. 5%.
28. 472,5 руб. 29. 15000 руб. 30. 16%. 31. 20166,34 руб. 32. 25
руб. 33. 15 руб. 34. 1,67. 35. 5%. 36. 12. 37. 1,5. 38. 0,28.
40. ROSF 0,833 и 0,573. ROCE 0,619 и 0,447. Гиринг 1,346 и
1,282. Чистая маржа 0,341 и 0,262. Валовая маржа 0,463 и 0,429.
Коэффициент оборачиваемости активов 1,814 и 1,707. Коэффици-
ент текущей ликвидности 1,308 и 1,393. Коэффициент срочной
ликвидности 0,846 и 0,786. Коэффициент оборачиваемости запа-
сов 9,167 и 7,059. 41. 14,3 тыс. руб. и 17,7 тыс. руб. 42. 123 тыс.
руб. и 71,6 тыс. руб. 43. 15,3 тыс. руб. 44. 17,2 тыс. руб.
282
45. Кассовая консолидированная смета на период с января по
июнь (руб.)
	Январь	Февраль	Март	Апрель	Май	Июнь
Баланс на начало месяца	0	49300	39800	44450	48600	56650
Инвестиции капи- тала	270000					
Поступления на- личных денежных средств						
Выручка от про- даж	27300	23100	30450	33600	40950	34650
Поступления от должников	0	27300	23100	30450	33600	40950
Выплаты наличными						
Оплата кредитор- ской задолженности	0	31900	20900	31900	38500	45100
Зарплата	22000	22000	22000	22000	22000	22000
Реклама	6000	6000	6000	6000	6000	6000
Аренда	175000					
Оборудование	45000					
Баланс на конец месяца	49300	39800	44450	48600	56650	59150
46. Суммарная смета запасов за январь — июнь (руб.)
Запас на начало периода	0
+ Производство (по себестоимости)	207900
— Продажи (по себестоимости)	199100
= Запас на конец периода	8800
Суммарная смета дебиторской задолженности за январь — июнь
(руб.)
Дебиторская задолженность на начало периода	0
+ Продажа в кредит	190050
— Поступления от должников	155400
= Дебиторская задолженность на конец периода	34650
Суммарная смета кредиторской задолженности за январь — июнь
(руб.)
Кредиторская задолженность на начало периода	0
+ Закупки в кредит	207900
- Оплата кредиторской задолженности	168300
= Кредиторская задолженность на конец периода	39600
283
47. Сметный отчет о прибылях и убытках за январь — июнь (руб.)
Объем продаж		380100
Себестоимость проданной продукции		199100
Валовая прибыль		181000
Расходы		
Зарплата	132000	
Реклама	36000	
Амортизация	11000	
		179000
Чистая прибыль		2000
Изъятие капитала		0
Нераспределенная прибыль		2000
48. Сметный баланс на конец июня (руб.)
	Себе- стоимость	Начисления на износ	Остаточная стоимость
Внеоборотные активы			
Здания	175000	8750	166250
Оборудование	45000	2250	42750
			209000
Оборотные активы			
Запасы	8800		
Дебиторская задолженность	34650		
Касса и счет в банке	59150		
		102600	
Краткосрочная кредиторская задолженность	39600		
		39600	
Чистые оборотные активы			63000
Суммарные чистые активы			272000
Долгосрочная кредиторская за- долженность			
Долгосрочная банковская ссуда			110000
			162000
Собственный капитал владельцев			160000
Нераспределенная прибыль			2000
			162000
284
49.
	Отклонение, руб.
Объем продаж	10000
— Себестоимость проданной продукции	(5000)
= Валовая прибыль	5000
— Расходы	5000
= Чистая прибыль	10000
50.
	Доля от объ- ема продаж, % (смета)	Доля от объ- ема продаж, % (факт)
Объем продаж	100,0	100,0
— Себестоимость проданной продукции	61,3	60,9
= Валовая прибыль	38,7	39,1
- Расходы	19,4	17,1
= Чистая прибыль	19,3	22
57. 25 руб. 58. 1600 единиц. 59. 10000 руб. 60. а) 1200 единиц,
б) 1000 единиц, в) 2000 единиц. 61. -19,4%. 62. -9,1%. 68. 0,04
млн. руб.; —0,05 млн. руб.; проект А. 69. 10%. 70. 1,7 лет; 2,375
лет. 71. 20%; 13,6%. 72. 37,9 тыс. руб. 73. а) Балансовые скид-
ки 28000 руб.; б) балансовые скидки 48000 руб. 74. Проект А
предпочтительнее. 75. Следует оставить старое оборудование.
76. 1,37 млн. руб. 77. Выгоднее лизинг. 78. 27,65%. 79.
—48766,95 денежных единиц А. 80. Средняя прибыль выше в ин-
вестиции 1, но и риск там выше. 81. Заказать исследование. При
благоприятном прогнозе — открыть большой магазин, при небла-
гоприятном прогнозе — открыть маленький магазин. 22,92 млн.
руб. 82. Нужно строить большой завод. 272,5 тысяч долларов.
83-87. Возможные решения: 1 (максимин), 3 (минимакс, правило
максимальной вероятности, максимизация ожидаемого дохода), 4
(максимакс, критерий Гурвица при а — 0,4 и b = 0,6). 8 руб./день.
88. Проект С будет профинансирован полностью, а проект А —
лишь частично на 1,4 млн. руб. 89. 0,466 млн. руб.; 0,599 млн.
руб. 90. 14% годовых. 91. 6,6% годовых. 92. 16%. 93. 13,14%
годовых. 94. 25 руб./акцию. 95. 16 руб./акцию. 96. Кредит.
97. 10,6%. 98. у = 58,42 + 2,43х. 99. 0,884; 0,781.
|~ё7~ 1,35 -1,95 4,92 -0,65 2,22 -0,38 -5,68 -3,22 -3,78 7,18
1ОО. 71,79 тыс. руб. 101. Между переменными х, у есть линей-
ная связь. 102. Между переменными х, у есть линейная связь.
103. (0,90; 3,96). 104. Между переменными х, у есть линейная
связь. 105. Модель очень плоха. 106. Один из возможных вари-
антов. Нужно купить акций 1-го вида на сумму 18000 руб. и ак-
ций 2-го вида на сумму 13500 руб., продав акций 3-го вида на
сумму 31500 руб. 107. а) убыток 10 руб./акцию; б) 0 руб.
108. а) 0 руб.; б) убыток 15 руб./акцию. 109. а) прибыль 4
285
руб./акцию; б) убыток 6 руб./акцию. 110. а) убыток 4 руб./ак-
цию; б) прибыль 6 руб./акцию. 111. а) убыток 2 руб./акцию;
б) убыток 12 руб./акцию. 112. а) прибыль 2 руб./акцию; б) при-
быль 7 руб./акцию; в) прибыль 22 руб./акцию. 113. а) убыток
100 руб./акцию; б) убыток 50 руб./акцию. 114. 11 единиц; 7 еди-
ниц; 2830 руб.; 36 циклов; 7 дней. 115. 462 единицы; 6928 руб.;
17,3 цикла; 21 день. 116. 90 единиц. 117. 734 единицы; 5966
руб.; 14,9 цикла; 24,5 дня. 118. Лучше модель с дефицитом. 119.
Лучше модель с дефицитом. 120. 29 единиц; 5 единиц; 503 руб.
121. 29 единиц; 5 единиц; 495 руб. 122. 62 дня. 123. 7, 7, 7, 4,
6, 6, 8, 7, 6, 8. 124. 91 руб./день. 125. 31000 руб.; 600; 51,67 руб.
Показатели	Прошлый год (руб.)	Отчетный год (руб.)	Изменения
Коэффициент обновления	0,147	0,137	-0,01
Срок обновления основных средств	6,54	7,07	0,53
Коэффициент выбытия	0,109	0,110	0,001
Коэффициент прироста	0,044	0,031	-0,013
Коэффициент износа	0,249	0,247	-0,002
Коэффициент годности	0,751	0,753	0,002
126. Среднеквадратические отклонения 1,21 тыс. руб. и 1,37 тыс.
руб. Коэффициенты вариации 0,096 и 0,116. Коэффициент корре-
ляции 0,762. 128. Предприятие В лучшее. 129. Предприятие В
лучшее.
286
Программа учебного курса
«Задачи финансового
менеджмента»
1.	Сущность, цели и задачи финансового менеджмента.
2.	Основные понятия, используемые при составлении финан-
совой отчетности. Бухгалтерский баланс. Активы. Материальные
и нематериальные активы. Внеоборотные и оборотные активы.
Дебиторская задолженность. Пассивы. Краткосрочные и долго-
срочные обязательства. Собственный капитал. Уравнение бухгал-
терского баланса. Нераспределенная прибыль. Отчет о движении
денежных средств. Поступления и платежи. Сальдо на начало пе-
риода. Сальдо на конец периода. Расчет движения денежных
средств. Счет прибылей и убытков.
3.	Расчет прибыли. Объем продаж. Себестоимость проданной
продукции. Валовая прибыль. Расходы. Чистая прибыль.
4.	Оценка запасов товарно-материальных ценностей. Метод
оценки запасов ФИФО.
5.	Метод оценки запасов ЛИФО.
6.	Метод оценки запасов по средневзвешенной.
7.	Влияние различных методов оценки запасов на расчет при-
были.
8.	Амортизация. Метод равномерного начисления износа. Еже-
годное начисление на износ. Балансовая стоимость актива на ко-
нец года.
9.	Метод начисления износа с сокращающейся балансовой сто-
имости. Норма амортизации. Ежегодное начисление на износ. Ба-
лансовая стоимость актива на конец года.
10.	Метод суммы годичных чисел. Ежегодное начисление на
износ. Балансовая стоимость актива на конец года. Сравнение ме-
тодов начисления амортизации.
11.	Расчет дебиторской задолженности на конец отчетного пе-
риода.
12.	Расчет кредиторской задолженности на конец отчетного
периода.
13.	Анализ результатов деятельности предприятия. Интерпре-
тация документов финансовой отчетности. Суть анализа финансо-
вых коэффициентов. Эффективность использования ресурсов. Ко-
эффициент оборачиваемости активов.
14.	Ликвидность. Коэффициент текущей ликвидности. Коэф-
фициент срочной ликвидности.
287
15.	Влияние хозяйственных операций на уровень ликвидное*
ти. Коэффициент оборачиваемости запасов. Период оборачиваемо*
сти дебиторской задолженности. Период оборачиваемости креди-
торской задолженности.
16.	Рентабельность. Чистая маржа. Валовая маржа. Наценка.
17.	Скидка с цены (уценка).
18.	Оценка финансовых результатов деятельности предприя-
тия. Коэффициент рентабельности чистых активов* его связь с
коэффициентом оборачиваемости активов и чистой маржой.
19.	Облигации. Основные определения (эмитент, номинальная
(нарицательная) стоимость облигации, срок погашения, дата по-
гашения, отзывные облигации, купонная процентная ставка, об-
лигации нового выпуска, обращающиеся облигации).
20.	Основной метод оценки стоимости облигаций.
21.	Норма прибыли облигации. Текущая доходность за пери-
од. Доходность за счет изменения цены за период.
22.	Доходность облигации при погашении в конце срока. Ме-
тод средних. Общая сумма выплат по облигации. Общая прибыль.
Средняя прибыль за один период. Средняя стоимость облигации.
23.	Нахождение доходности облигации при погашении в кон-
це срока методом интерполяции. Доходность отзывных облига-
ций. Цена отзыва облигации.
24.	Акции. Акционерное общество, акционеры. Привилегиро-
ванные акции. Доходность привилегированной акции.
25.	Обыкновенные акции. Ожидаемая дивидендная доход-
ность. Ожидаемая доходность за счет изменения курса акции.
Ожидаемая доходность акции.
26.	Оценка стоимости акций. Теоретическая (внутренняя) це-
на акции.
27.	Акции нулевого роста. Теоретическая (внутренняя) цена
акции нулевого роста. Норма прибыли (доходность) акции нуле-
вого роста.
28.	Акции нормального роста. Теоретическая (внутренняя) цена
акции нормального роста. Дивидендная доходность акции нормаль-
ного роста. Доходность за счет изменения курса акции нормально-
го роста. Норма прибыли (доходность) акции нормального роста.
29.	Предприятия избыточного роста. Акции избыточного рос-
та. Теоретическая (внутренняя) цена акции избыточного роста.
30.	Доходы инвесторов. Инвестиционные коэффициенты. При-
были и дивиденды. Прибыль на акцию. Дивиденд на акцию. Ко-
эффициент дивидендного покрытия.
31.	Доход за счет роста рыночной стоимости акций. Коэффи-
циент доходности дивидендов. Отношение курса акции к прибы-
ли на акцию.
32.	Структура капитала. Гиринг (леверидж).
33.	Влияние гиринга (левериджа) на прибыль акционеров. Ко-
эффициент рентабельности акционерного капитала. Связь между
288
коэффициентом рентабельности акционерного капитала, гирин-
гом и коэффициентом рентабельности чистых активов.
34.	Анализ каналов формирования прибыли. Дерево прибыли.
35.	Временные ряды. Элементы временного ряда (тренд, се*
зонная вариация, ошибки MAD и MSE).
36.	Расчет сезонной вариации в аддитивной модели. Центри-
рованная скользящая средняя.
37.	Десезонализация данных в аддитивной модели.
38.	Расчет уравнения тренда в аддитивной модели.
39.	Расчет ошибок в аддитивной модели.
40.	Прогнозирование в аддитивной модели.
41.	Расчет сезонной вариации в мультипликативной модели.
Центрированная скользящая средняя.
42.	Десезонализация данных в мультипликативной модели.
43.	Расчет уравнения тренда в мультипликативной модели.
44.	Расчет ошибок в мультипликативной модели.
45.	Прогнозирование в мультипликативной модели.
46.	Экспоненциальное сглаживание. Простая модель экспонен-
циального сглаживания. Константа сглаживания.
47.	Экспоненциальное сглаживание с поправкой на тренд. Кон-
станта сглаживания.
48.	Затраты. Учет затрат. Накладные расходы. Центры затрат.
Центры прибыли. Нормативные и фактические затраты.
49.	Финансовая смета. Составление финансовой сметы. Воз-
можные подходы к составлению финансовой сметы (снизу вверх
и сверху вниз). Программно-целевое управление. Общая финансо-
вая смета. Кассовая консолидированная смета. Приростной под-
ход к составлению сметы. Составление сметы с нуля.
50.	Смета текущих расходов. Суммарная смета запасов. Сум-
марная смета дебиторской задолженности. Суммарная смета кре-
диторской задолженности.
51.	Сметный отчет о прибылях и убытках.
52.	Сметный баланс.
53.	Сметный контроль. Нормативы. Идеальные и достижимые
нормативы. Отклонение. Благоприятное и неблагоприятное от-
клонения. Жесткая и гибкая сметы. Способы построения гибкой
сметы.
54.	Факторы производства и затраты. Постоянные и перемен-
ные факторы производства. Классификация затрат. Постоянные,
переменные и полу переменные затраты. Совокупные затраты.
Средние затраты на единицу проданной продукции. Эффект мас-
штаба. Специализация. Отрицательный эффект масштаба.
55.	Анализ безубыточности. Ограничения анализа безубыточ-
ности. Точка безубыточности. Удельная прибыль. Возможное зна-
чение прибыли или убытка.
56.	Альтернативные стратегии бизнеса. Анализ чувствитель-
ности.
289
57.	Влияние изменений цены реализации на объем продаж.
58.	Принятие краткосрочных решений. Дифференцированные
затраты. Затраты прошлого периода. Альтернативные затраты.
Косвенные затраты.
59.	Ценообразование. Проблемы ценообразования. Ценообразо-
вание при продвижении нового продукта на рынке (проникновение
на рынок и «снятие сливок»). Влияние затрат на ценообразование.
Ценообразование по принципу «затраты + прибыль». Предельные
затраты. Ценообразование на основе предельно высоких затрат. Це-
нообразование по схеме двойного тарифа. Ценовая дискриминация.
Условия осуществления и цели ценовой дискриминации.
60.	Ценовая дискриминация первой степени (совершенная це-
новая дискриминация). Ценовая дискриминация второй степени.
Ценовая дискриминация по объему потребления (многочастный
тариф). Ценовая дискриминация по свойствам и условиям покуп-
ки товаров. Ценовая дискриминация по времени продажи това-
ров. Ценовая дискриминация третьей степени. Примеры. Прави-
ло максимизации прибыли при проведении ценовой дискримина-
ции третьей степени.
61.	Методы оценки инвестиций в условиях определенности.
Инвестиционные решения. Краткосрочные решения. Долгосроч-
ные инвестиционные проекты. Альтернативные издержки по ин-
вестициям (стоимость капитала, минимально необходимая норма
прибыли, ставка дисконтирования, процентная ставка).
62.	Метод чистой приведенной стоимости.
63.	Метод внутренней нормы доходности. Внутренняя норма
доходности (дисконтированная норма прибыли). Нахождение вну-
тренней нормы доходности методом линейной интерполяции.
64.	Сравнение методов чистой приведенной стоимости и внут-
ренней нормы доходности.
65.	Метод окупаемости. Период окупаемости. Недостатки ме-
тода окупаемости. Дисконтированный метод расчета периода оку-
паемости.
66.	Учетный коэффициент окупаемости инвестиций (прибыль
на инвестированный капитал, прибыль на используемый капи-
тал). Среднегодовая прибыль. Средняя стоимость инвестиций. Не-
достатки учетного коэффициента окупаемости инвестиций.
67.	Налогообложение и инвестиционные решения. Влияние
налогов на величину чистой приведенной стоимости инвестицион-
ного проекта.
68.	Прибыли или убытки от продажи имущества. Налоговые
льготы, направленные на стимуляцию инвестиций.
69.	Сравнение инвестиционных потоков с разными сроками
реализации. Эквивалентный годовой денежный поток.
70.	Замена оборудования.
71.	Оценка чистой приведенной стоимости инвестиционного
проекта в условиях инфляции. Номинальная ставка. Реальная
290
ставка дисконтирования. Использование номинальной ставки и
номинальных денежных потоков.
72.	Оценка чистой приведенной стоимости инвестиционного
проекта в условиях инфляции. Использование реальной ставки
дисконтирования и реальных денежных потоков.
73.	Лизинг. Преимущества и недостатки лизинга.
74.	Сравнительный анализ эффективности лизинга и банков-
ского кредитования покупки основных средств.
75.	Зарубежные инвестиции. Требуемая доходность в иност-
ранной валюте.
76.	Чистая приведенная стоимость зарубежных инвестиций.
77.	Применение математического ожидания и стандартного от-
клонения для оценки риска.
78.	Принятие решений, дерево решений, ожидаемая стоимост-
ная оценка.
79.	Максимаксное и максиминное решения.
80.	Минимаксное решение.
81.	Критерий Гурвица.
82.	Правило максимальной вероятности.
83.	Максимизация ожидаемого дохода. Минимизация ожидае-
мых потерь.
84.	Ожидаемая стоимость полной информации.
85.	Анализ инвестиционных проектов, поддающихся дробле-
нию. Индекс рентабельности.
86.	Дерево вероятностей инвестиционного проекта, его досто-
инства и недостатки. Математическое ожидание, дисперсия и
стандартное отклонение вероятностного распределения возмож-
ных чистых приведенных стоимостей инвестиционного проекта.
87.	Спот-контракт. Процентные ставки спот и форвард. На-
хождение форвардной ставки по спот-ставкам.
88.	Стоимость капитала. Стоимость облигаций, выпущенных
инвестором. Противоналоговый эффект кредита. Стоимость кре-
дита после налогообложения.
89.	Стоимость акционерного капитала.
90.	Средневзвешенная стоимость капитала.
91.	Прибыль на акцию, ее вычисление.
92.	Сравнительный анализ вариантов финансирования. Точка
безразличия.
93.	Вложение капитала в различные ценные бумаги. Рыноч-
ный (систематический) и особый (несистематический) риски. Мо-
дель оценки финансовых активов, ее основные предположения.
94.	Теорема разделения. Рыночный портфель. Безрисковая
ставка.
95.	Взаимосвязь между уровнем риска инвестиций и требуе-
мой нормой прибыли. Бета-коэффициент. Рыночная премия. Ос-
новная формула модели оценки финансовых активов. Учет ин-
фляции в модели оценки финансовых активов.
291
96.	Простая модель линейной регрессии. Расчет коэффициен-
тов в модели парной линейной регрессии.
97.	Коэффициент корреляции Пирсона. Объясненная, необъ-
ясненная и общая вариации переменной у. Коэффициент детер-
минации. Ошибки и остатки.
98.	Предсказания и прогнозы на основе модели линейной рег-
рессии.
99.	Основные предпосылки в модели парной линейной регрес-
сии.
100.	Испытание гипотез, процедура испытания гипотез, одно-
сторонняя и двусторонняя проверки, статистика.
101.	Испытание гипотезы для оценки линейности связи. Ис-
пытание гипотезы для оценки линейности связи на основе оцен-
ки коэффициента корреляции в генеральной совокупности.
102.	Испытание гипотезы для оценки линейности связи на осно-
ве показателя наклона линейной регрессии. Стандартная ошибка.
103.	Доверительные интервалы в линейном регрессионном ана-
лизе. Доверительный интервал для показателя наклона линии ли-
нейной регрессии.
104.	Множественная линейная регрессия. Результативный
признак. Фактор. Регрессия и Excel.
105.	Факторные модели. Однофакторные модели.
106.	Многофакторные модели. Чувствительности ценных бу-
маг к факторам.
107.	Теория арбитражного ценообразования. Арбитраж. Арби-
тражный портфель.
108.	Производные финансовые инструменты, их основное
предназначение. Опционы. Цена исполнения. Премия. Котируе-
мые и некотируемые опционы.
109.	Call-опцион. Условие отказа от реализации.
110.	Put-опцион. Условие отказа от реализации.
111.	Стеллаж. Стеллаж продавца (стеллаж вверх).
112.	Стеллаж покупателя (стеллаж вниз).
113.	Стрэнгл.
114.	Спрэд. Типы и виды спрэда.
115.	Варрант. Цена варранта. Защита варранта от дробления
акций и выплаты дивидендов акциями. Отличия варранта от call-
опциона.
116.	Права.
117.	Фьючерсные контракты (фьючерсы). Хеджеры и спеку-
лянты. Основные товары, по которым заключаются фьючерсные
контракты. Фьючерсный контракт на рынке финансовых акти-
вов. Основное отличие фьючерса от опциона. Цель фьючерсных
сделок. Ценные бумаги без покрытия.
118.	Основные понятия теории управления запасами.
119.	Основная модель управления запасами. Оптимальный раз-
мер заказа.
292
120.	Модель экономичного размера партии.
121.	Скидка на количество. Уровень, нарушающий цену.
122.	Модель производства партии продукции.
123.	Модель планирования дефицита. Случай невыполнения
заявок.
124.	Модель планирования дефицита. Случай выполнения за-
явок.
125.	Неопределенность и основная модель управления запаса-
ми.
126.	Уровневая система повторного заказа (достижение мини-
мальной стоимости).
127.	Уровневая система повторного заказа (достижение мини-
мального уровня обслуживания).
128.	Циклическая система повторного заказа.
129.	Другие вопросы управления запасами (максимизация
прибыли, ограничение на площадь склада, многономенклатурный
запас, эффект Парето).
130.	Имитационное моделирование.
131.	Применение имитационных моделей в теории управле-
ния запасами.
132.	Слияние предприятий. Внешний рост предприятия. Эко-
номия на масштабах. Мотивы и цели слияния предприятий в
краткосрочном и долгосрочном периодах.
133.	Анализ движения и технического состояния основных
средств. Коэффициент обновления. Срок обновления основных
средств. Коэффициент выбытия. Коэффициент прироста. Сумма
прироста основных средств. Коэффициент износа. Коэффициент
годности. Остаточная стоимость основных средств.
134.	Анализ сбалансированности денежных потоков. Положи-
тельный и отрицательный денежные потоки. Чистый денежный
поток. Среднеквадратическое отклонение. Коэффициент вариа-
ции. Коэффициент корреляции.
135.	Методы рейтинговой оценки финансового состояния пред-
приятия. Рейтингование на основе абсолютных показателей. Рей-
тингование на основе относительных показателей. Методика ран-
жирования предприятий по совокупности показателей их финан-
сово-хозяйственной деятельности. Метод суммы мест.
136.	Таксонометрический метод.
137.	Трансфертное ценообразование на предприятиях со слож-
ной структурой. Промежуточная продукция (промежуточный про-
дукт). Готовая продукция (готовый продукт). Типы трансфертных
цен.
293
Задания для контрольной работы
по курсу «Задачи финансового
менеджмента»
1-10. В таблице приведены сметные и фактические по-
казатели работы предприятия за истекший год.
Показатели (руб.)	Сметные показатели	Фактические показатели
Объем продаж	а	d
Себестоимость проданной продукции	Ь	f
Расходы	с	i
Определить отклонения. Определить процентные соотно-
шения.
	а	b	с	d	f	i
1	220000	115000	60000	225000	118000	58000
2	270000	125000	50000	268000	123000	54000
3	280000	135000	70000	260000	137000	69000
4	290000	145000	80000	297000	144000	83000
5	225000	105000	90000	228000	109000	91000
6	240000	195000	30000	243000	197000	37000
7	260000	185000	45000	258000	187000	43000
8	235000	175000	25000	238000	177000	23000
9	265000	165000	85000	264000	162000	86000
10	275000	155000	75000	279000	158000	77000
11-20. Известны следующие данные о предприятиях
А и В.
Показатели	Предприятие А	Предприятие В
Текущая прибыль, руб.	е	f
Число акций	С	d
Предприятие А поглощает предприятие В с помощью сли-
яния акционерного капитала и следующего менового согла-
шения: 1 акция В — а х акции А. Определить показатели
предприятия А (текущая прибыль, число акций, прибыль
на акцию) после поглощения.
294
	с	d	е	а	f
11	70	80	25000	0,2	2300
12	80	90	26000	0,3	2400
13	90	60	27000	0,4	2600
14	40	70	28000	0,25	2500
15	30	50	29000	0,35	2700
16	70	80	29000	0,45	2500
17	80	90	28000	0,7	2600
18	90	60	27000	0,55	2400
19	40	70	26000	0,65	2300
20	30	50	25000	0,15	2200
21-30. На основании приведенных данных провести ана-
лиз движения и технического состояния основных средств.
Показатели	прошлый год (руб.)	Отчетный год (руб.)
Первоначальная стоимость основных средств	а	Ъ
Износ основных средств	f	g
Стоимость поступивших основных средств	h	k
Стоимость выбывших основных средств	d	е
Стоимость основных средств на начало периода	с	
	а	b	f	g	h
21	360000	365000	23000	35000	16500
22	370000	375000	24000	36000	18400
23	380000	385000	26000	37000	19250
24	390000	396000	25000	38000	19500
25	365000	369000	27000	36000	17000
26	375000	378000	25000	37000	16900
27	377500	379500	26000	36000	18000
28	367500	369000	24000	35600	17000
29	385000	388000	23000	38000	19250
30	395000	399000	22000	39000	19650
	k	d	e	c
21	26000	11000	16000	340000
22	28000	13700	17000	350000
23	27000	13800	18000	360000
24	25500	13900	19000	320000
25	26000	13650	16500	325000
28	28000	13750	17500	345000
27	27000	13775	17750	335000
28	27000	13675	16750	330000
29	29000	13850	18500	340000
30	28000	13950	19500	355000
295
31-40. На основании приведенных данных определить
чистый денежный поток по каждому месяцу, среднеквадра-
тические отклонения и коэффициенты вариации по положи-
тельному и отрицательному денежным потокам, а также ко-
эффициент корреляции между положительным и отрица-
тельным денежными потоками.
Денежный поток, тыс. руб.	Месяц					
	1	2	3	4	5	в
Положительный	а	ъ	с	d	е	f
Отрицательный	g	h	k	т	п	р
	а	b	с	d	е	f	g	h	k	m	n	P
31	16	15	17	18	15	13	15	16	16	14	17	18
32	13	14	18	19	16	14	12	14	18	17	18	19
33	14	16	19	16	17	16	13	15	17	16	19	16
34	16	18	14	17	18	15	15	17	15	14	14	17
35	15	16	13	15	19	17	14	15	16	15	13	15
36	14	17	17	18	19	15	13	16	18	16	17	18
37	16	19	18	19	18	16	15	18	17	14	18	19
38	17	18	19	16	17	14	16	17	17	15	19	16
39	13	16	14	17	16	13	12	15	19	17	14	17
40	15	17	13	15	15	12	14	16	18	15	13	15
41-50. а) Годовой спрос D единиц, стоимость подачи за-
каза Со рублей/заказ, закупочная цена С рублей/единицу,
годовая стоимость хранения одной единицы составляет а%
ее цены. Время доставки 6 дней, 1 год = 300 рабочих дней.
Найти оптимальный размер заказа, издержки, уровень по-
вторного заказа, число циклов за год, расстояние между
циклами. Можно получить скидку Ь% у поставщиков, если
размер заказа будет не меньше d единиц. Стоит ли восполь-
зоваться скидкой? Годовая стоимость отсутствия запасов
С& рублей/единицу. Сравнить 2 модели: основную и с дефи-
цитом (заявки выполняются).
б)	Годовой спрос D единиц, стоимость организации про-
изводственного цикла С8 рублей, издержки хранения одной
единицы Ch рублей/год. Найти экономичный размер пар-
тии, издержки, число циклов за год, расстояние между цик-
лами.
в)	Темп производства Р единиц/день, темп использова-
ния D единиц/день. Годовые издержки хранения Сд руб-
лей/единицу. Стоимость организации производственного
цикла Св рублей. Найти экономичный размер партии, из-
держки, число циклов за год, расстояние между циклами.
296
г)	Годовой спрос D единиц за 300 рабочих дней, стои-
мость подачи заказов Со рублей/заказ, издержки хранения
одной единицы рублей/год, годовая стоимость отсутствия
запасов С$ рублей/единицу. Время поставки 4 дня.
Спрос на товар в течение поставки, шт.	0	1	2	3	4	5	6
Частота	f	g	h	k	m	n	Q
Сколько единиц нужно заказывать и когда, если цель —
минимизировать общую стоимость запасов?
	D	Co	C	a	b	d	cb	Cs	Ch
41	400	50	40	20	3	80	10	350	18
42	500	50	50	25	5	70	15	360	19
43	600	70	60	20	6	80	15	370	16
44	700	80	70	25	7	80	10	380	17
45	450	90	80	30	8	60	20	362	15
45	550	45	85	20	9	70	10	375	18
47	650	55	75	25	2	70	20	365	19
48	750	65	55	30	4	90	15	356	16
49	800	75	65	25	2	100	20	385	17
50	900	95	45	30	7	125	20	390	15
	P	f	g	h	k	m	n	Я
41	1180	3	5	4	6	4	7	8
42	1230	4	2	6	8	7	8	9
43	1370	6	3	5	7	6	9	6
44	1440	5	4	7	5	5	4	7
45	1090	7	5	5	6	4	3	5
46	1970	5	4	6	8	6	7	8
47	1870	6	3	8	7	4	8	9
48	1770	4	5	7	7	5	9	6
49	1620	3	6	5	9	7	4	7
50	1580	2	2	6	8	5	3	5
51-60. Известно количество машин, приезжающих на
мойку автомашин в течение последних 100 часов.
Число машин в час	Частота
4	10
5	12
6	15
7	23
8	40
Используя случайные числа, смоделировать прибытие ав-
томашин в течение 10 часов.
297
	Случайные числа									
51	67	60	77	49	76	95	51	16	14	85
52	57	17	36	72	85	31	44	30	26	09
53	84	55	25	71	34	57	50	44	95	64
54	00	59	09	97	69	98	93	49	51	92
55	32	73	41	38	73	01	09	64	34	55
56	35	90	92	94	25	57	34	30	90	01
57	91	85	87	90	21	90	89	29	40	85
58	66	74	90	95	29	72	17	55	15	36
59	37	60	79	21	85	71	48	39	31	35
60	99	29	27	75	89	78	68	64	62	30
61-70- а) Предприятие купило станок за S руб., период
эксплуатации которого п лет. После этого станок можно бу-
дет продать на вторичном рынке за Р руб. (остаточная стои-
мость). Определить методом равномерного начисления изно-
са ежегодные начисления на износ и балансовую стоимость
станка на конец каждого года.
б) Определить методом начисления износа с сокращаю-
щейся балансовой стоимости норму амортизации, ежегод-
ные начисления на износ и балансовую стоимость станка на
конец каждого года.
в) Пусть остаточная стоимость Р = 0. Определить мето-
дом суммы годичных чисел ежегодные начисления на износ
и балансовую стоимость станка на конец каждого года.
	S	Р	п
61	220000	115000	6
62	270000	125000	5
63	280000	135000	7
64	290000	145000	8
65	225000	105000	9
66	240000	195000	3
67	260000	185000	5
68	235000	175000	6
69	265000	165000	3
70	275000	155000	7
71-80. Постоянные затраты равны а руб., цена реализа-
ции единицы продукции — f руб., а переменные затраты на
единицу продукции — g руб. Определить точку безубыточ-
ности. Объем реализации продукции предприятия равен
п единиц. Определить возможное значение прибыли или
убытка.
298
	а	g	f	п
71	220000	470	600	6000
72	270000	380	500	5000
73	280000	590	700	7000
74	290000	650	800	8000
75	225000	760	900	9000
76	240000	190	300	3000
77	260000	270	450	4500
78	235000	120	250	2500
79	265000	670	850	8500
80	275000	560	750	7500
81-90. а) Номинальная стоимость облигации Р руб., ку-
понная процентная ставка k%, оставшийся срок до погаше-
ния облигации п лет, текущая рыночная процентная ставка
1%. Определить текущую рыночную стоимость облигации.
б) Облигация номинальной стоимостью Р руб. с купонной
процентной ставкой k% была куплена в начале года за
а руб. После получения купонного платежа в конце года облига-
ция была продана за S руб. Определить норму прибыли за год.
в) Облигация номинальной стоимостью Р руб. с купон-
ной процентной ставкой k% и сроком погашения п лет была
куплена за S руб. Определить доходность облигации мето-
дом средних. Определить доходность облигации методом ин-
терполяции.
	Р	п	1	S	а	k
81	6000	2	16	7300	7500	18
82	7000	3	11	8200	8600	13
83	8000	4	17	9400	9700	19
84	9000	3	18	10300	10800	19
85	6500	4	9	7900	8200	12
88	5500	2	13	6800	7100	16
87	7500	3	19	8700	8900	21
88	5300	3	8	6700	6800	10
89	6400	2	7	7800	7900	9
90	7900	4	14	9200	9500	17
91-100. По обращающимся привилегированным акциям
выплачиваются ежегодные дивиденды D руб. Цена этой ак-
ции равна А руб. Определить доходность акции.
	91	92	93	94	95	98	97	98	99	100
D	160	110	170	180	90	130	190	80	70	140
А	7300	8200	9400	10300	7900	6800	8700	6700	7800	9200
299
101-110. а) Рыночная цена акций в настоящий момент
Ро РУб- Ожидаемая цена акции в конце текущего года равна
Р1 РУб-, а ожидаемый дивиденд в текущем году руб. Оп-
ределить ожидаемую дивидендную доходность, ожидаемую
доходность за счет изменения цены акции и ожидаемую до-
ходность по акции в текущем году.
б)	Дивиденд, выплачиваемый ежегодно по акции нулево-
го роста, равен D руб. Ожидаемая норма прибыли k8 - 8%.
Определить теоретическую (внутреннюю) цену акции.
в)	Курс акции нулевого роста в настоящий момент
Ро РУб-, а последний из уже выплаченных дивидендов D руб.
Определить норму прибыли (доходность) этой акции.
г)	Последний из уже выплаченных дивидендов по акци-
ям нормального роста Dq руб., а ожидаемый темп роста ди-
видендов g%. Определить дивиденд, который акционер ожи-
дает получить в текущем году. Определить теоретическую
(внутреннюю) цену акции нормального роста при требуемом
уровне доходности k8%.
д)	Рыночная цена акции нормального роста в настоящий
момент Ро РУб. Ожидается, что дивиденд в текущем году бу-
дет равен Di руб., а темп роста g%. Определить ожидаемую
норму прибыли (доходность) этой акции.
е)	Период избыточного роста N лет, темп роста доходов и
дивидендов в течение периода избыточного роста g8%, по-
стоянный темп роста после периода избыточного роста gn%,
последний из уже выплаченных дивидендов Dq руб., требуе-
мая норма прибыли k8%. Определить теоретическую (внут-
реннюю) цену акции избыточного роста.
	Do	D	N	g8	gn	g		Po	Di	Pl
101	150	150	3	26	11	4	16	7300	160	7400
102	160	160	4	27	9	3	11	8200	110	8400
103	170	170	5	24	12	5	17	9400	170	9500
104	180	180	3	28	13	6	18	10300	180	10500
105	190	190	4	23	5	3	9	7900	90	8000
106	200	200	5	26	9	4	13	6800	130	6900
107	210	210	3	27	14	5	19	8700	190	8900
108	220	220	4	24	4	5	8	6700	80	6800
109	230	230	5	28	3	6	7	7800	70	7900
110	240	240	3	23	11	4	14	9200	140	9500
111-120. Дать прогноз объема продаж на следующие три
Дня.
300
	пн	ВТ	ср	ЧТ	пт	сб	век			пн	ВТ	ср	ЧТ	пт	сб	век
111	1	3	2	9	2	8	5		116	8	3	5	4	3	9	2
	3	3	1	6	4	10	3			9	7	8	8	5	4	6
112	3	4	2	6	7	12	5		117	2	6	4	6	7	9	10
*	1	3	2	7	3	6	9			2	5	1	7	5	11	15
113	9	4	7	5	4	2	3		118	15	5	8	6	3	8	4
	13	6	8	6	7	5	2			10	6	9	6	5	6	6
114	1	5	3	5	4	10	5		119	1	3	4	7	3	6	9
	2	3	2	7	5	9	4			2	3	1	7	2	9	10
115	1	5	2	6	2	9	8		120	1	4	2	5	5	11	17
	1	4	3	7	7	11	6			2	7	9	6	4	9	7
121-130. В таблице указан объем продаж (тыс. руб.) за
последние 10 недель.
Неделя	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Объем продаж	4	5	5	6	9	9	8	10	11	13
Дать прогноз объема продаж на 11-ю неделю методами
простого экспоненциального сглаживания и экспоненциаль-
ного сглаживания с поправкой на тренд. Прогноз объема
продаж на 1-ю неделю равен F^.	= 0.
	а	Ъ	Л
121	0,7	0,4	3
122	0,8	0,3	2
123	0,9	0,2	2
124	0,75	0,5	3
125	0,85	0,4	2
	а	Ь	F1
126	0,4	0,3	3
127	0,6	0,2	4
128	0,3	0,5	2
129	0,2	0,4	2
130	0,65	0,3	3
131-140. В таблице указаны вероятности получения при-
были для двух вариантов инвестирования. Сравнить эти ва-
рианты.
	131	132	133	134	135	138	137	138	139	140
d	0,2	0	0,2	0,2	0,2	0,3	0	0,2	0,2	0,2
е	0,2	0,2	0	0,2	0,2	0,2	0,2	0	0,2	0,2
f	0	0,2	0,2	0,2	0,3	0	0,2	0,3	0,3	0,2
g	0,2	0,2	0,2	0	0,2	0,2	0,2	0,2	0,2	0
h	0,3	0,1	0,3	0,1	0	0,2	0,3	0,2	0,1	0,3
k	0,1	0,3	0,1	0,3	0,1	0,1	0,1	0,1	0	0,1
m	0,4	0,1	0,1	0,1	0,1	0,1	0,2	0,1	0,2	0,1
n	0,1	0,1	0,1	0,1	0,4	0,1	0,1	0,1	0,1	0,1
P	0,1	0,1	0,1	0,1	0,1	0,4	0,1	0,4	0,1	0,2
Q	0,1	0,1	0,1	0,4	0,1	0,1	0,1	o,i	0,4	0,4
r	0,1	0,4	0,2	0,1	0,1	0,1	0,1	0,2	0,1	0,1
s	0,2	0,2	0,4	0,2	0,2	0,2	0,4	0,1	0,1	0,1
301
Прибыль, млн. руб.	-2	-1	0	1	2	3
Вариант 1	d	е	f	g	h	k
Вариант 2	т	п	р	я	г	8
141-150. а) В апреле объем продаж составил а руб. Себе-
стоимость проданной продукции равна Ъ руб., а расходы
(арендная плата, зарплата и т. д.) — с руб. Определить ва-
ловую прибыль и чистую прибыль. Определить чистую мар-
жу, валовую маржу и наценку.
б)	Сальдо дебиторской задолженности на начало финан-
сового года было равно а руб. В течение года имели место
следующие операции: продажи в кредит равны b руб., а по-
ступления от дебиторов — с руб. Определить сальдо деби-
торской задолженности на конец финансового года.
в)	Сальдо кредиторской задолженности на начало финан-
сового года было равно а руб. В течение года имели место сле-
дующие операции: закупки в кредит равны с руб., а выплаты
по кредиторской задолженности — b руб. Определить сальдо
кредиторской задолженности на конец финансового года.
г)	На конец финансового года внеоборотные активы пред-
приятия равны а руб., оборотные активы — b руб., а крат-
косрочные обязательства — с руб. В течение отчетного фи-
нансового года объем продаж равен d руб. Чистая прибыль
равна е руб. Определить коэффициент оборачиваемости ак-
тивов. Определить коэффициент рентабельности чистых ак-
тивов.
д)	На конец финансового года запасы предприятия равны
d руб., дебиторская задолженность — b руб., кассовая на-
личность — с руб., а краткосрочные обязательства — а руб.
Определить коэффициент текущей ликвидности. Определить
коэффициент срочной ликвидности.
е)	На конец финансового года запасы предприятия равны
с руб., а себестоимость проданной продукции — d руб. Оп-
ределить коэффициент оборачиваемости запасов.
ж)	На конец финансового года дебиторская задолжен-
ность предприятия равна с руб., а объем продаж в кредит —
а руб. Определить период оборачиваемости дебиторской за-
долженности.
з)	На конец финансового года кредиторская задолжен-
ность предприятия равна с руб., а объем закупок в кредит
— b руб. Определить период оборачиваемости кредиторской
задолженности.
и)	Чистая прибыль после уплаты налогов равна а руб., а
число обыкновенных акций равно л. Определить прибыль
302
на акцию. Общая сумма дивидендов равна b руб. Определить
дивиденд на акцию. Определить коэффициент дивидендного
покрытия. Текущая рыночная цена акции равна f руб. Оп-
ределить коэффициент доходности дивидендов. Определить
отношение курса акции к прибыли на акцию.
к)	Предприятие выпустило акций на а руб. и взяло дол-
госрочную банковскую ссуду на b руб. Определить гиринг
(леверидж). Чистая прибыль предприятия в истекшем году
составила с руб. За взятую ссуду предприятие ежегодно пла-
тит i %. Определить коэффициент рентабельности акционер-
ного капитала ROSF. Проверить выполнение равенства
ROSF = ВОСЕхгиринг.
л)	Совокупные затраты равны а руб., а число проданных
единиц продукции — f. Определить средние затраты на еди-
ницу проданной продукции.
м) Постоянные затраты равны а руб., цена реализации
единицы продукции — f руб., а переменные затраты на
единицу продукции — g руб. Определить точку безубыточ-
ности. Объем реализации продукции предприятия равен
п единиц. Определить возможное значение прибыли или
убытка.
н) Объем продаж равен п единиц, цена реализации еди-
ницы продукции — f руб., а переменные затраты на едини-
цу продукции — g руб. Предполагаемое повышение цены
реализации на 1% не создаст дополнительных постоянных и
переменных затрат. Определить процент безубыточного из-
менения объема продаж.
о) В пункте (н) повышение цены реализации последовало
за повышением переменных издержек на единицу продук-
ции на 1%. Определить процент безубыточного изменения
объема продаж.
	а	b	С	d	g	f	i	n	e
141	220000	115000	60000	360000	470	600	13	6000	50000
142	270000	125000	50000	370000	380	500	14	5000	45000
143	280000	135000	70000	380000	590	700	15	7000	60000
144	290000	145000	80000	390000	650	800	11	8000	70000
145	225000	105000	90000	340000	760	900	10	9000	80000
146	240000	195000	30000	330000	190	300	16	3000	45000
147	260000	185000	45000	320000	270	450	17	4500	35000
148	235000	175000	25000	310000	120	250	18	2500	30000
149	265000	165000	85000	345000	670	850	19	8500	75000
150	275000	155000	75000	365000	560	750	12	7500	65000
303
151-160. 1) Начальные запасы отсутствуют. В марте за-
куплены для реализации а единиц продукции по цене f руб.
В апреле закуплены для реализации b единиц продукции по
цене g руб. В мае проданы с единиц продукции по цене Л руб.
В июне проданы d единиц продукции по цене k руб. В июле
закуплены для реализации е единиц продукции по цене т
руб. В августе проданы t единиц продукции по цене п руб.
а)	Определить стоимость запасов на конец периода мето-
дом оценки запасов ФИФО.
б)	Определить стоимость запасов на конец периода мето-
дом оценки запасов ЛИФО.
в)	Определить стоимость запасов на конец периода мето-
дом средневзвешенной.
г)	Определить валовую прибыль в пунктах а), б), в).
2) В марте закуплены для реализации а единиц продук-
ции по цене f руб. В апреле—июле проданы с единиц про-
дукции по цене п руб. В начале августа непроданный товар
был уценен до h руб. за единицу. По этой цене проданы
t единиц продукции. Определить процент скидки.
	/	g	h	т	k	п	а	с	b	d	е	t
151	25	26	36	27	37	38	220	115	210	120	60	30
152	26	28	38	29	39	40	270	125	220	170	50	20
153	27	28	39	30	40	41	280	135	230	180	70	40
154	29	31	41	32	42	43	290	145	250	190	80	40
155	28	29	39	30	41	42	225	105	265	125	90	30
156	22	24	34	26	35	36	240	195	270	140	30	20
157	21	23	33	24	34	35	260	185	210	160	45	30
158	23	25	35	26	36	37	235	175	255	135	25	20
159	24	26	36	27	38	39	265	165	235	165	85	40
160	20	21	31	23	32	33	275	155	285	175	75	30
161-170. По результатам наблюдений найти оценки ко-
эффициентов уравнения линейной регрессии у = а + Ьх, ко-
эффициент корреляции Пирсона, коэффициент детермина-
ции, проверить гипотезу о наличии линейной связи. Если
гипотеза верна, то построить доверительный интервал для
коэффициента наклона линии линейной регрессии и дать
прогноз для х = Xq.
	X					У					*0
161	1	5	3	4	7	1	5	5	2	8	2
162	3	6	7	8	7	1	3	5	5	4	4
163	4	7	5	4	5	3	1	2	2	1	6
164	9	8	3	4	1	0	1	4	3	5	7
304
	X					У					*0
165	1	0	3	3	0	2	3	5	6	4	2
166	0	4	7	8	5	2	6	8	7	5	6
167	4	2	3	4	3	8	6	8	7	6	5
168	7	5	1	0	3	8	6	4	2	4	4
169	3	5	7	2	5	1	3	5	0	1	4
170	4	4	8	9	5	6	2	9	9	4	7
171-180. По результатам наблюдений с помощью пакета
Excel найти точечные и интервальные оценки коэффициен-
тов уравнения линейной регрессии у ==	Яв-
ляется ли модель статистически значимой? Все ли коэффи-
циенты статистически значимы?
	171	172	173	174	175	176	177	178	179	180
*1	8	8	7	1	1	2	1	6	1	3
	2	6	1	8	4	5	9	9	8	1
	9	9	5	2	6	7	4	2	3	5
	7	6	5	5	9	1	1	5	2	4
	1	8	5	1	9	3	5	8	2	9
	8	3	2	4	1	1	2	2	4	9
	3	5	8	8	2	5	1	4	1	3
	3	8	2	5	2	1	4	5	9	1
	4	2	9	2	5	2	1	7	5	2
	1	8	6	1	8	2	3	7	4	8
*2	1	2	8	8	3	3	9	5	2	5
	5	2	8	1	5	3	6	2	5	7
	0	9	5	4	2	4	8	8	3	2
	5	9	9	7	1	6	2	7	4	1
	8	9	6	2	5	8	4	3	1	2
	8	3	2	7	2	1	3	5	2	1
	3	3	1	1	5	5	7	8	7	3
	1	2	9	8	8	7	2	4	6	7
	5	3	5	5	3	6	5	6	3	4
	2	7	4	6	7	2	2	7	8	8
У	2	8	1	5	4	1	6	4	3	7
	1	5	3	2	6	9	1	9	5	7
	5	3	5	8	8	4	9	1	4	5
	2	8	4	3	5	1	3	2	6	4
	4	9	9	8	3	5	2	6	9	2
	6	4	5	5	5	2	7	1	2	8
	6	1	1	9	1	7	1	2	1	1
	9	4	9	4	4	1	4	4	3	3
	7	6	1	1	1	3	3	6	9	4
	3	7	5	5	2	2	9	6	4	2
305
181-190. Компания рассматривает вопрос о строительст-
ве завода. Возможны три варианта действий.
а)	Построить большой завод стоимостью Mi тысяч долла-
ров. При этом варианте возможны большой спрос (годовой
доход в размере Ri тысяч долларов в течение следующих 5
лет) с вероятностью pi и низкий спрос (ежегодные убытки
R2 тысяч долларов) с вероятностью р2.
б)	Построить маленький завод стоимостью М2 тысяч дол-
ларов. При этом варианте возможны большой спрос (годо-
вой доход в размере Ti тысяч долларов в течение следую-
щих 5 лет) с вероятностью pi и низкий спрос (ежегодные
убытки Т2 тысяч долларов) с вероятностью р2.
в)	Отложить строительство завода на один год для сбора
дополнительной информации, которая может быть позитив-
ной или негативной с вероятностью р2 и р4 соответственно.
В случае позитивной информации можно построить заводы
по указанным выше расценкам, а вероятности большого и
низкого спроса меняются на р$ и р& соответственно. Доходы
на последующие четыре года остаются прежними. В случае
негативной информации компания заводы строить не будет.
Все расчеты выражены в текущих ценах и не должны
дисконтироваться. Нарисовать дерево решений. Определить
наиболее эффективную последовательность действий, осно-
вываясь на ожидаемых доходах. Какова ожидаемая стоимо-
стная оценка наилучшего решения?
	Mi	м2	Р1	Р2	РЗ	Р4	Р5	Рб	Ri	-Й2	Т1	Т2
181	600	350	0,7	0,3	0,8	0,2	0,9	0,1	250	50	150	25
182	605	345	0,65	0,35	0,75	0,25	0,91	0,09	245	45	145	20
183	610	340	0,75	0,25	0,85	0,15	0,92	0,08	240	40	140	15
184	615	335	0,7	0,3	0,85	0,15	0,93	0,07	235	35	135	10
185	620	330	0,65	0,35	0,8	0,2	0,94	0,06	230	30	130	5
186	625	325	0,75	0,25	0,75	0,25	0,95	0,05	255	55	155	30
187	630	320	0,7	0,3	0,75	0,25	0,94	0,06	260	60	160	35
188	635	315	0,65	0,35	0,85	0,15	0,93	0,07	265	65	165	40
189	640	310	0,75	0,25	0,8	0,2	0,92	0,08	270	70	170	45
190	645	305	0,7	0,3	0,75	0,25	0,91	0,09	275	75	175	50
191-200. Владелец небольшого магазина в начале каждо-
го рабочего дня закупает для реализации некий скоропортя-
щийся продукт по цене а рублей за единицу. Цена реализа-
ции этого продукта — Ь рублей за единицу. Из наблюдений
известно, что спрос на этот продукт за день может быть равен
1, 2, 3 или 4 единицы. Если продукт за день не продан, то в
конце дня его всегда окупают по цене с рублей за единицу.
306
Возможные исходы	1	2	3	4
Частота	d	е	f	g
Пользуясь правилами максимакса, максимина, минимак-
са, максимальной вероятности, критерием Гурвица и макси-
мизируя ожидаемый доход, определить, сколько единиц это-
го продукта должен закупать владелец каждый день. Чему
равна ожидаемая стоимость полной информации?
	а	b	с	d	е	f	g
191	50	80	30	10	20	30	40
192	70	90	60	20	20	30	30
193	50	90	30	15	25	40	20
194	50	70	20	40	10	25	25
195	60	80	40	35	30	10	25
195	40	60	20	15	50	20	15
197	30	70	10	25	30	20	25
198	20	50	10	50	15	15	20
199	30	80	20	40	10	10	40
200	40	70	10	30	30	30	10
201-210. Предприятие анализирует два инвестиционных
проекта в а млн. руб. Оценка чистых денежных поступле-
ний приведена в таблице.
год	Проект А, млн. руб.	Проект В, млн. руб.
1	Ь	d
2	С	е
3	—	f
Альтернативные издержки по инвестициям равны g%.
а)	Определить чистую приведенную стоимость каждого
проекта. Какой проект предпочтительнее?
б)	Определить внутреннюю норму доходности каждого ин-
вестиционного проекта.
в)	Определить период окупаемости каждого инвестицион-
ного проекта.
	а	b	с	d	е	f	g
201	2Л	1.1	1.5	0.8	1.2	1.6	11
202	2,3	1.2	1.6	0.9	1.3	1.7	12
203	2.4	1.3	1.7	0.7	1.4	1.8	13
204	2.6	1.4	1,8	0.6	1.5	1.9	14
205	2,8	1.5	1.9	0.5	1.6	1.8	15
206	2,3	1.1	1.8	0.8	1.5	1.7	11
207	2.7	1.2	1.7	0.9	1.4	1.6	12
208	2.8	1,3	1.6	0.7	1.3	1.5	13
209	2.9	1.4	1.5	0.6	1.2	1.4	14
210	2,4	1,5	1,4	0,5	1,1	1,3	15
307
г)	Пусть остаточная стоимость каждого проекта равна ну-
лю. Определить их учетные коэффициенты окупаемости ин-
вестиций.
211-220. Для инвестиций в оборудование действует скид-
ка списания в размере Ь% от оставшейся балансовой стои-
мости оборудования. Ставка корпоративного налога с%.
Предприятие рассматривает вопрос о покупке оборудования
за а млн. руб., которое, как ожидается, обеспечит в течение
четырех лет дополнительные чистые поступления денежных
средств в размере d руб./год. Ожидается, что в конце чет-
вертого года это оборудование будет продано по стоимости
списания, которая пойдет на уплату налога за предыдущий
год. Отсрочка в уплате налога равна одному году. Альтерна-
тивные издержки по инвестициям g%. Определить чистую
приведенную стоимость инвестиционного проекта.
	а	Ь	с	d	g
211	2.1	25	30	840000	11
212	2,3	30	35	830000	12
213	2.4	45	40	820000	13
214	2,6	35	30	860000	14
215	2.8	40	35	870000	15
216	2.3	20	40	880000	11
217	2.7	45	30	890000	12
218	2.8	20	35	810000	13
219	2,9	25	40	860000	14
220	2,4	25	35	820000	15
221-230. Предприятие хочет продать купленное 3 года
назад за d тыс. руб. и рассчитанное на 5 лет эксплуатации
оборудование, остаточная стоимость которого будет равна
g тыс. руб. Использовалось равномерное начисление износа.
Ставка налога на прибыль равна с%. Определить балансо-
вые начисления или балансовые скидки в случае, если цена
продажи равна а) а тыс. руб.; б) Ь тыс. руб.
	а	Ъ	с	d	g
221	250	320	30	840	140
222	270	310	35	830	130
223	260	300	40	820	120
224	255	290	30	860	160
225	265	285	35	870	170
226	245	315	40	880	180
227	275	305	30	890	190
228	260	295	35	810	110
229	255	325	40	860	160
230	265	315	35	820	120
308
231-240. Предприятие анализирует два инвестиционных
проекта: А (первоначальные затраты а млн. руб.) и В (пер-
воначальные затраты Ъ млн. руб.).
Оценка чистых денежных поступлений приведена в таб-
лице.
Год	Проект А, млн. руб.	Проект В, млн. руб.
1	d	т
2	е	п
3	f	Р
4	—	Ч
5	—	г
Альтернативные издержки по инвестициям i%. Сравнить
эти проекты, используя эквивалентные годовые денежные
потоки.
	а	Ь	т	п	Р	Ч	г	d	е	г	i
231	2,1	2,3	0,5	0,8	0,8	0,9	0,6	0,8	1,2	1,6	11
232	2,3	2,2	0,6	0,9	0,7	0,8	0,7	0,9	1,3	1,7	12
233	2,4	2,3	0,7	0,7	0,6	0,7	0,8	0,7	1,4	1,8	13
234	2,6	2,4	0,8	0,6	0,5	0,6	0,9	0,6	1,5	1,9	14
235	2,8	2,5	0,9	0,5	0,4	0,5	0,9	0,5	1,6	1,8	15
236	2,3	2,1	0,8	0,8	0,5	0,6	0,9	0,8	1,5	м	11
237	2,7	2,2	0,7	0,9	0,6	0,7	0,8	0,9	1,4	1,6	12
238	2,8	2,3	0,6	0,7	0,7	0,8	0,7	0,7	1,3	1,5	13
239	2,9	2,4	0,5	0,6	0,8	0,9	0,6	0,6	1,2	1,4	14
240	2,4	2,5	0,4	0,5	0,9	0,9	0,5	0,5	1,1	1,3	15
241-250. Предприятие рассматривает вопрос о замене
оборудования. Анализ ситуации дал следующую информа-
цию.
Показатели	Старое оборудование	Новое оборудование
Стоимость при покупке, руб.	а	Ь
Балансовая стоимость, руб.	т	—
Оставшийся срок службы, лет	7	7
Производственные затраты, руб./год	Р	Ч
Ожидается, что как для нового, так и для старого обору-
дования через 7 лет остаточная стоимость будет равна нулю.
Сейчас старое оборудование можно продать за п руб. Аль-
тернативные издержки по инвестициям равны i%. Опреде-
лить целесообразность замены оборудования.
309
	а	ь	т	п	Р	Q	1
241	700000	760000	560000	530000	230000	190000	11
242	800000	870000	630000	610000	240000	180000	12
243	900000	940000	720000	710000	290000	230000	13
244	600000	660000	420000	400000	220000	170000	14
245	500000	570000	350000	330000	210000	180000	15
245	750000	880000	630000	620000	280000	220000	11
247	850000	910000	700000	690000	270000	240000	12
248	930000	980000	700000	680000	260000	210000	13
249	650000	730000	490000	470000	210000	170000	14
250	550000	620000	420000	410000	200000	160000	15
251-260. Предприятие рассматривает инвестиционный
проект. Первоначальные затраты равны а млн. руб., оста-
точная стоимость — 0, срок реализации проекта — 3 года.
Год	Ожидаемая прибыль после уплаты налогов
1	С
2	Ь
3	d
Альтернативные издержки по инвестициям равны g%,
ожидаемый годовой уровень инфляции f%. Определить чис-
тую приведенную стоимость инвестиционного проекта в ус-
ловиях инфляции.
	а	Ь	с	d	f	g
251	2.1	1.1	1,5	0.8	6	11
252	2.3	1.2	1.6	0.9	7	12
253	2.4	1.3	1,7	0.7	8	13
254	2.6	1.4	1.8	0.6	9	14
255	2.8	1.5	1.9	0.5	8	15
256	2.3	1.1	1.8	0.8	7	11
257	2.7	1.2	1.7	0.9	6	12
258	2.8	1.3	1.6	0.7	5	13
259	2.9	1.4	1.5	0.6	4	14
260	2,4	1,5	1,4	0,5	3	15
261-270. Предприятие рассматривает вопрос о приобре-
тении оборудования. Первый вариант — лизинг за а тыс.
руб. с рассрочкой платежа в течение четырех лет. Второй
вариант — покупка на заводе-изготовителе за т тыс. руб.
Ставка налога на прибыль равна Кн%. Предоплата Eq и ос-
таточная стоимость оборудования Q равны нулю. Можно по-
лучить кредит в банке под г% годовых. Используется рав-
номерное начисление износа.
Сравнить эти варианты.
310
	а	т	Кн	г
261	700	560	30	11
262	800	630	35	12
263	900	720	40	13
264	600	420	30	14
265	500	350	35	15
	а	т	Кн	г
266	750	630	40	11
267	850	700	30	12
268	930	710	35	13
269	650	490	40	14
270	550	420	30	15
271-280. Инвестор из страны А рассматривает возмож-
ность инвестирования в стране В. Требуемая доходность в
валюте А (валюте инвестора) равна 1%. Валюта В падает по
отношению к валюте А на ;% в год. Определить требуемую
доходность в валюте В для инвестора из страны А.
	271	272	273	274	275	276	277	278	279	280
/	13	14	15	11	12	16	17	18	19	11
i	11	12	13	14	15	11	12	13	14	15
281-290. Инвестор из страны А рассматривает возмож-
ность инвестирования в стране В. Первоначальные затраты
равны а денежных единиц А. Анализ ситуации дал следую-
щую информацию.	#
Год	Ожидаемые денежные поступления в валюте В	Ожидаемый курс А/В
1	Ь	Р
2	т	Q
3	п	г
Альтернативные издержки по инвестициям равны i%.
Определить чистую приведенную стоимость инвестиционно-
го проекта.
	а	b	т	п	Р	Q	г	i
281	200000	760000	560000	530000	8,1	8,2	8,3	11
282	300000	870000	630000	610000	9,1	9,2	9,3	12
283	210000	940000	720000	710000	7,1	7,2	7,3	13
284	220000	660000	420000	400000	6,1	6,2	6,3	14
285	230000	570000	350000	330000	8,1	8,2	8,3	15
286	240000	880000	630000	620000	9,1	9,2	9,3	11
287	260000	910000	700000	690000	7,1	7,2	7,3	12
288	270000	980000	700000	680000	6,1	6,2	6,3	13
289	280000	730000	490000	470000	9,1	9,2	9,3	14
290	290000	620000	420000	410000	7,1	7,2	7,3	15
291-300. Предприятие имеет возможность инвестировать
3,1 млн. руб. Рассматриваются следующие инвестиционные
проекты, поддающиеся дроблению (денежные поступления
со знаком «+», денежные оттоки со знаком «—»):
311
A (~fe; p; g; г), B (-a; m; n; e) и C (—c; d; x; у). Альтернатив-
ные издержки по инвестициям равны 1%. Определить опти-
мальный инвестиционный портфель.
	291	292	293	294	295	296	297	298	299	300
а	2,1	2,3	2,4	2,6	2,8	2,3	2,7	2,8	2,7	2,4
b	2,3	2,2	2,3	2,4	2,5	2,1	2,2	2,3	2,4	2,5
с	2,2	2,7	2,8	2,9	2,4	2,2	2,1	2,6	2,3	2,2
X	1,5	м	1,3	1,2	1,1	1,2	1,3	1,4	1,5	1,6
У	0,8	0,9	0,7	0,6	0,5	0,6	0,7	0,8	0,9	0,9
т	0,5	0,6	0,7	0,8	0,9	0,8	0,7	0,6	0,5	0,4
п	0,8	0,9	0,7	0,6	0,5	0,8	0,9	0,7	0,6	0,5
р	0,8	0,7	0,6	0,5	0,4	0,5	0,6	0,7	0,8	0,9
Я	0,9	0,8	0,7	0,6	0,5	0,6	0,7	0,8	0,9	0,9
г	0,6	0,7	0,8	0,9	0,9	0,9	0,8	0,7	0,6	0,5
d	0,8	0,9	0,7	0,6	0,5	0,8	0,9	0,7	0,6	0,5
е	1,2	1,3	1,4	1,5	1,6	1,5	1,4	1,3	1,2	1,1
i	11	12	13	14	15	11	12	13	14	15
301-310. Первоначальные инвестиции равны 2,7 млн.
руб. Дерево вероятностей инвестиционного проекта имеет
следующий вид (денежные суммы указаны в млн. руб.).
Альтернативные издержки по инвестициям равны /%.
Определить математическое ожидание и стандартное откло-
	301	302	303	304	305	306	307	308	309	310
а	2,1	2.3	2,4	2.6	2,8	2.3	2,7	2.8	2,7	2.4
Ъ	2,3	2,2	2,3	2,4	2,5	2,1	2.2	2.3	2.4	2.5
с	2.2	2.7	2.8	2.9	2,4	2.2	2,1	2.6	2,3	2,2
X	1,5	1,4	1,3	1,2	1 1	1.2	1,3	1,4	1,5	1,6
у	0,8	0,9	0.7	0.6	0,5	0.6	0.7	0.8	0.9	0.9
т	0,2	0,6	0,7	0.8	0,9	0.2	0.1	0.3	0,4	0.5
п	0,8	0,4	0.3	0,2	0,1	0.8	0,9	0,7	0.6	0.5
р	0,1	0,2	0.3	0.4	0.5	0.5	0,6	0.7	0,8	0,9
Я	0,9	0.8	0.7	0.6	0.5	0.5	0,4	0.3	0.2	0.1
г	0,6	0.7	0,8	0.9	0.9	0.2	0,1	0.3	0,4	0.5
d	0,4	0.3	0.2	0,1	0.1	0,8	0.9	0.7	0.6	0,5
е	1.2	1,3	1.4	1,5	1.6	1,5	1.4	1,3	1.2	1.1
i	11	12	13	14	15	11	12	13	14	15
312
нение вероятностного распределения возможных чистых
приведенных стоимостей инвестиционного проекта.
311-320. а) Известны спот-ставки на 2 и 3 года $2% го~
довых и 8з% годовых соответственно. Определить форвард-
ную ставку между вторым и третьим годом.
б) Взят кредит под i% годовых. Ставка налога на при-
быль равна а%. Определить стоимость кредита после нало-
гообложения.
	«2	«3	i	а
311	11	14	11	25
312	12	15	12	30
313	13	16	13	35
314	14	16	14	40
315	15	18	15	33
	«2	«3	i	а
315	11	15	11	32
317	12	17	12	34
318	13	15	13	36
319	14	17	14	38
320	15	17	15	31
321-330. В таблице указаны стоимости (в % годовых) и
рыночные стоимости (в млн. руб.) источников капитала
предприятия.
Источник капитала	Стоимость	Рыночная стоимость
Кредит	а	X
Обыкновенные акции	Ъ	У
Облигационный заем	с	т
Определить средневзвешенную стоимость капитала пред-
приятия.
	а	Ь	с	X	У	т
321	11	14	4	1.5	0.8	0.2
322	12	15	5	1.4	0.9	0.6
323	13	16	6	1.3	0.7	0.7
324	14	16	6	1.2	0.6	0.8
325	15	18	8	1.1	0.5	0.9
326	11	15	5	1.2	0,6	0.2
327	12	17	7	1.3	0.7	0.1
328	13	15	5	1.4	0.8	0.3
329	14	17	7	1.5	0.9	0.4
330	15	17	7	1,6	0,9	0,5
331-340. а) Чистая прибыль после уплаты налогов равна
а руб., а число обыкновенных акций равно Ь. Определить
прибыль на акцию.
б) Прибыль до выплаты процентов и налогов равна
т руб., проценты к уплате — п руб., а ставка налога на при-
быль — 1%. Определить прибыль на акцию.
313
	а	b	т	п	i
331	70000	7600	56000	5300	25
332	80000	8700	63000	6100	30
333	90000	9400	72000	7100	35
334	60000	6600	42000	4000	40
335	50000	5700	35000	3300	32
336	75000	8800	63000	6200	36
337	85000	9100	70000	6900	38
338	93000	9800	70000	6800	37
339	65000	7300	49000	4700	33
340	55000	6200	42000	4100	31
341-350. Текущая прибыль предприятия до выплаты
процентов и налогов равна а млн. руб., проценты по теку-
щим долгам — d млн. руб., число обыкновенных акций — Ь,
ставка налога на прибыль — с%. Предприятию требуется
е млн. руб. для финансирования инвестиционного проекта,
который, как ожидается, увеличит на г млн. руб. ежегод-
ную прибыль предприятия до выплаты процентов и нало-
гов. Рассматриваются следующие варианты:
а)	выпуск 1000 акций;
б)	кредит под 1% годовых.
Что наиболее выгодно для акционеров?
	а	b	с	г	d	е	1
341	2,1	7600	25	0,6	0,8	3,2	11
342	2,3	8700	30	0.7	0,9	3,3	12
343	2,4	9400	35	0,8	0,7	3,4	13
344	2,6	6600	40	0,9	0,6	3,5	14
345	2,8	5700	32	0,9	0,5	3,6	15
346	2,3	8800	36	0,9	0,8	3,5	11
347	2,7	9100	38	0,8	0,9	3,4	12
348	2,8	9800	37	0,7	0,7	3,3	13
349	2,7	7300	33	0,6	0,6	3,2	14
350	2,4	6200	31	0,5	0,5	3,1	15
351-360. Доходность ценных бумаг с нулевым риском
Rf%, доходность акций рыночного индекса Rm%, коэффи-
циент р известен. Определить доходность обыкновенных ак-
ций компании.
	Rf	Rm	р
351	4	И	0,6
352	5	12	0,7
353	6	13	0,8
354	7	14	0,9
355	8	15	1,1
	Rf	Rm	р
356	4	15	1,2
357	5	14	1,3
358	6	12	1
359	7	13	1,4
360	8	11	0,9
314
361-370. Инвестор обладает акциями трех видов. Теку**
щая рыночная стоимость каждого его актива равна а руб.
Эти акции имеют следующие ожидаемые доходности и чув-
ствительности.
Акция	Ожидаемая доходность гt	Чувствительность
1	f	С
2	g	d
3	h	e
Составить арбитражный портфель.
	a	c	d	e	f	g	h
3в1	76000	0,6	2.1	1,8	16	19	11
362	87000	0,7	2,3	1.9	17	18	12
363	94000	0,8	2,4	1,7	18	19	13
364	66000	0,9	2,6	1.6	19	13	14
365	57000	0,9	2,8	1,5	18	17	15
366	88000	0,9	2,3	1,8	15	12	11
367	91000	0,8	2,7	1,9	16	14	12
368	98000	0,7	2,8	1,7	17	11	13
369	73000	0,6	2,7	1,6	19	15	14
370	62000	0,5	2,4	1,5	14	19	15
371-380.1) Приобретен опцион на покупку через 90 дней
акций по цене а руб. за акцию. Уплаченная премия равна b
руб. за акцию. Определить результаты сделки для покупате-
ля опциона, если через 90 дней курс акций составит: а) с
руб.; б) d руб.
2)	Приобретен опцион на продажу через 90 дней акций
по цене а руб. за акцию. Уплаченная премия равна Ъ руб. за
акцию. Определить результаты сделки для покупателя оп-
циона, если через 90 дней курс акций составит: а) с руб.;
б) d руб.
3)	Игрок продает одновременно на одни и те же акции
call-опцион по цене а руб. за акцию с премией b руб. за ак-
цию и put-опцион по цене а руб. за акцию с премией е руб.
за акцию. Срок исполнения опционов через 60 дней. Опре-
делить прибыль-убыток продавца опционов, если через 60
дней курс акций составит: а) с руб.; б) d руб.
4)	Игрок приобретает одновременно на одни и те же ак-
ции call-опцион по цене а руб. за акцию с премией Ь руб. за
акцию и put-опцион по цене а руб. за акцию с премией
е руб. за акцию. Срок исполнения опционов через 90 дней.
Определить прибыль-убыток покупателя опционов, если че-
рез 90 дней курс акций составит: а) с руб.; б) d руб.
315
5)	Цена исполнения call-опциона а руб. за акцию, пре-
мия Ь руб. за акцию. Цена исполнения put-опциона на эти
же акции f руб. за акцию, премия е руб. за акцию. Срок ис-
полнения опционов через 60 дней. Определить прибыль-убы-
ток покупателя опционов, если через 60 дней курс акций со-
ставит: а) с руб.; б) d руб.
6)	Игрок «бык» рассчитывает на повышение курса ак-
ций. Он приобретает call-опцион с ценой исполнения f руб.
за акцию и премией Ь руб. за акцию. Одновременно игрок
продает такой же call-опцион с ценой исполнения а руб. за
акцию и премией е руб. за акцию. Срок исполнения опцио-
нов через 90 дней. Определить прибыль-убыток игрока, если
через 90 дней курс акций составит: a) g руб.; б) с руб.;
в) d руб.
7)	Игрок продает без покрытия акции по цене а руб. за
акцию. Определить прибыль-убыток игрока, если на дату ре-
ализации контракта курс акций составит: a) g руб.; б) d руб.
	а	b	с	d	е	f	g
371	760	6	740	780	8	730	710
372	870	7	860	890	9	840	820
373	940	8	920	960	9	910	900
374	660	9	640	680	11	630	620
375	570	9	540	590	10	540	530
375	880	9	860	890	12	850	830
377	910	8	900	920	10	890	870
378	980	7	960	990	8	950	940
379	730	6	710	750	9	710	700
380	620	5	610	650	7	600	580
316
Раздел III
ВАЛЮТНЫЕ
РАСЧЕТЫ
Глава 1
КУРСЫ ВАЛЮТ
§ 1.1.	ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
Курс валюты — это цена денежных единиц одной страны,
выраженная в денежных единицах другой страны. Опреде-
ление курса валют называется их котировкой. Полная ко-
тировка — это курс покупки и курс продажи. Единицу низ-
шего разряда объявляемой котировки принято называть
пунктом. При котировке A/В валюта А называется коти-
руемой, а валюта В — котирующей.
§ 1.2.	ПРЯМАЯ КОТИРОВКА
При прямой котировке A/В указывается цена валюты А в еди-
ницах валюты В. Курс покупки при прямой котировке всегда
меньше курса продажи, то есть первое число меньше второго.
Пример 1. Установлена следующая котировка А/В:
29,85 — 29,95. Так как 29,85 < 29,95, то это прямая коти-
ровка. При продаже 1 денежной единицы валюты А будет
получено 29,85 денежных единиц валюты В, а при покуп-
ке 1 денежной единицы валюты А надо потратить 29,95 де-
нежных единиц валюты В.
Задача 1. Установлена следующая котировка А/В*.
29,75 — 29,85. Что это означает?
Пример 2. Выясним, сколько денежных единиц валю-
ты В будет получено при продаже 100 денежных единиц
валюты А в примере 1.
При продаже 1 денежной единицы валюты А будет полу-
чено 29,85 денежных единиц валюты В, а при продаже 100
денежных единицы валюты А будет получено х денежных
единиц валюты В. Составляем пропорцию 1/100 = 29,85/х.
Отсюда х = 29,85x100/1 = 2985 единиц валюты В.
Задача 2. Выяснить, сколько денежных единиц валю-
ты В будет получено при продаже 50 денежных единиц ва-
люты А в задаче 1.
318
Пример 3. Выясним, сколько денежных единиц валю-
ты В надо потратить при покупке 50 денежных единиц ва-
люты А в примере 1.
При покупке 1 денежной единицы валюты А надо по-
тратить 29,95 денежных единиц валюты В, а при покупке
50 денежных единиц валюты А надо потратить у денежных
единиц валюты В. Составляем пропорцию 1/50 = 29,95/у.
Отсюда у = 29,95x50/1 = 1497,5 единиц валюты В.
Задача 3. Выяснить, сколько денежных единиц валю-
ты В надо потратить при покупке 100 денежных единиц
валюты А в задаче 1.
§ 1.3.	КОСВЕННАЯ КОТИРОВКА
При косвенной котировке А/В указывается цена валюты В в
единицах валюты А. Курс покупки при косвенной котиров-
ке всегда больше курса продажи, то есть первое число боль-
ше второго.
Пример 4. Установлена следующая котировка А/В:
32 — 30. Так как 32 > 30, то это косвенная котировка. При
обмене валюты А на валюту В курс — 1 денежная единица
валюты В = 32 денежных единицы валюты А, а при обме-
не валюты В на валюту А курс — 1 денежная единица ва-
люты В = 30 денежных единицы валюты А.
Так как покупка (продажа) валюты А означает прода-
жу (покупку) валюты В, то лучше перейти к прямой коти-
ровке В/А: 30 - 32. Теперь все намного проще. Поэтому в
дальнейшем мы, как правило, будем работать с прямыми
котировками.
Задача 4. Установлена следующая котировка А/В:
35 — 34. Что это означает? Перейти к прямой котировке.
319
Глава 2
КРОСС-КУРСЫ ВАЛЮТ
Кросс-курс — это соотношение между валютами на основа-
нии их курсов по отношению к третьей валюте. Все коти-
ровки прямые.
§ 2.1.	РАСЧЕТ КРОСС-КУРСА А/С НА ОСНОВАНИИ
КУРСОВ А/В И С/В
Известны курсы валют А и С по отношению к валюте В.
Нужно определить соотношение между валютами А и С.
Курс покупки А/С = (курс покупки А/В)/(курс продажи
С/В).
Курс продажи А/С = (курс продажи А/В)/(курс покупки
С/В).
Пример 5. Известны курсы А/В 35,80 - 36,20 и С/В
29,65 — 29,70. Найдем курс А/С.
Курс покупки А/С = (курс покупки А/В)/(курс прода-
жи С/В) = 35,80/29,70 « 1,21.
Курс продажи А/С = (курс продажи А/В)/(курс покуп-
ки с/В) - 36,20/29,65 « 1,22.
Курс А/С 1,21 - 1,22.
Задача 5. Известны курсы А/В 34,75 - 34,95 и С/В
29,85 — 29,95. Найти курс А/С.
§ 2.2.	РАСЧЕТ КРОСС-КУРСА В/С НА ОСНОВАНИИ
КУРСОВ А/В И А/С
Известны курсы валюты А по отношению к валютам В и С.
Нужно определить соотношение между валютами В и С.
Курс покупки В/С = (курс покупки А/С)/(курс продажи
А/В).
Курс продажи В/С = (курс продажи А/С)/(курс покупки
А/В).
320
Подобные расчеты приходится проводить довольно часто,
так как основной котируемой валютой на международных
рынках является доллар США.
Пример в. Известны курсы А/В 0,83 — 0,85 и А/С
29,65 - 29,75. Найдем курс В/С.
Курс покупки В/С - (курс покупки А/С)/(курс прода-
жи А/В) = 29,65/0,85 » 34,88.
Курс продажи В/С - (курс продажи А/С)/(курс покуп-
ки А/В) = 29,75/0,83 « 35,84.
Курс В/С 34,88 - 35,84.
Задача в. Известны курсы А/В 0,84 — 0,89 и А/С
29,75 - 29,95. Найти курс В/С.
§ 2.3.	РАСЧЕТ КРОСС-КУРСА А/С НА ОСНОВАНИИ
КУРСОВ А/В И В/С
Известны курс валюты А по отношению к валюте В и курс
валюты В по отношению к валюте С. Нужно определить со-
отношение между валютами А и С.
Курс покупки А/С = (курс покупки А/В) х (курс покуп-
ки В/С).
Курс продажи А/С = (курс продажи А/В) х (курс прода-
жи В/С).
Пример 7. Известны курсы А/В 1,17 - 1,19 и В/С
29,65 - 29,75. Найдем курс А/С.
Курс покупки А/С = (курс покупки А/В) х (курс покуп-
ки В/С) - 1,17x29,65 « 34,69.
Курс продажи А/С = (курс продажи А/В) х (курс про-
дажи В/С) - 1,19x29,75 « 35,40.
Курс А/С 34,69 - 35,40.
Задача 7. Известны курсы А/В 1,15 - 1,18 и В/С
29,75 — 29,95. Найти на основании этих данных курс А/С.
321
Глава 3
КУРСЫ СПОТ И ФОРВАРД
По времени реализации валютных сделок различают курсы
спот и курсы форвард.
Курс спот — это курс валюты, установленный на момент
заключения сделки при условии обмена валютами банками-
контрагентами на второй рабочий день со дня заключения
сделки.
Курс форвард характеризует ожидаемую стоимость ва-
люты через определенный период времени и представляет
собой цену, по которой данная валюта продается или поку-
пается при условии ее поставки на определенную дату в бу-
дущем.
§ 3.1. ФОРВАРДНАЯ МАРЖА
Теоретически курс форвард может быть равен курсу спот,
но на практике он всегда оказывается либо выше, либо ни-
же. Соответствующая разница называется форвардной мар-
жой. На практике валютные дилеры, как правило, работают
с форвардной маржой, причем ее значения даются для кур-
са покупки и продажи.
Так как обычно используется прямая котировка, то по
значению форвардной маржи можно определить, как коти-
руется валюта.
Если форвардная маржа для курса покупки меньше фор-
вардной маржи для курса продажи (1-е число меньше 2-го),
то в этом случае форвардную маржу называют премией и
для определения курса форвард эту премию прибавляют к
курсу спот (говорят, что валюта котируется с премией).
Если форвардная маржа для курса покупки больше фор-
вардной маржи для курса продажи (1-е число больше 2-го),
то в этом случае форвардную маржу называют дисконтом и
для определения курса форвард дисконт вычитают из курса
спот (говорят, что валюта котируется с дисконтом).
322
Пример 8. Курс А/В*. спот 29,65 — 29,75; 1 месяц
5 — 3. Найдем курс форвард.
Так как 5 > 3, то валюта А котируется с дисконтом по
отношению к валюте В. Для определения курса форвард
дисконт вычитают из курса спот. Ожидаемый курс А/В че-
рез 1 месяц 29,60 - 29,72.
Задача 8. Курс А/В*. спот 29,75 — 29,95; 1 месяц
12 — 8. Найти курс форвард.
Пример 9. Курс А/В*. спот 34,83 - 35,21; 1 месяц
22 — 37. Найдем курс форвард.
Так как 22 < 37, то валюта А котируется с премией по
отношению к валюте В. Для определения курса форвард
эту премию прибавляют к курсу спот. Ожидаемый курс
А/В через 1 месяц 35,05 - 35,58.
Задача 9. Курс А/В*. спот 35,60 - 35,95; 1 месяц
30 — 50. Найти курс форвард.
§ 3.2. ТОЧНОЕ И ПРИБЛИЖЕННОЕ ЗНАЧЕНИЯ
ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ ФОРВАРДНОЙ МАРЖИ
В качестве основы для вычисления курса форвард валют
можно рассматривать их теоретический (безубыточный) курс
форвард Rfi.
Используется французская практика (1 год = 360 дней,
1 месяц равен фактическому количеству дней). Известны
курс А/В спот В8, простые годовые процентные ставки iA и
1в по валютам А и В соответственно.
Тогда через t дней Rp = R8(l + iBf/360)/(l + 1д//360).
Форвардная маржа FMt = Rft — R8 = R8—+-^—^®.- — R8 ==
1 + iAt/360
тъ	^A	м
= R-----£------------. Это точное значение теоретической
1 + iAt/360 360
форвардной маржи. Если FMt > 0 (< 0), то валюта А коти-
руется с премйей (с дисконтом).
Так как реально iAf/360 много меньше 1, то используют
приближенное значение для теоретической форвардной мар-
жи FMt « R8(ib - *аИ/360.
Тогда теоретический (безубыточный) курс форвард Rft ~
“ ix)^/360 = Я8(1 +	“ ZAK/360). Если iA < iB
(iA > 1в)» то валюта А котируется с премией (с дисконтом).
Пример 10. Курс А/В равен 29,75. Средние ставки
межбанковских кредитов на t = 30 дней равны 1А = 5% го-
323
довых, 1в = 12 % годовых. Определим точное и прибли-
женное значения теоретического курса форвард и теорети-
ческой форвардной маржи.
Точное значение теоретического курса форвард Rft =
= R8(l + iBt/360)/(l + iAt/360) - 29,75(1 + 0,12x30/360)/
(1 + 0,05x30/360) « 29,92.
Точное значение теоретической форвардной маржи
FMt = Rft - R8 = 29,92 - 29,75 - 0,17. Валюта А котиру-
ется с премией.
Приближенное значение теоретического курса форвард
Rft » R8(l + (iB “ *а)*/360) - 29,75(1 + (0,12 - 0,05)30/360) «
« 29,92.
Приближенное значение теоретической форвардной
маржи FMt = Rft — R8 = 29,92 - 29,75 = 0,17.
Задача 10. Курс A/В равен 29,95. Средние ставки меж-
банковских кредитов на t - 182 дня равны - 6% годо-
вых, 1в = 14% годовых. Определить точное и приближен-
ное значения теоретического курса форвард и теоретичес-
кой форвардной маржи.
324
Глава 4
ФОРВАРДНЫЕ СДЕЛКИ
Форвардные (срочные) сделки по покупке или продаже ва-
люты позволяют зафиксировать будущий обменный курс и
тем самым застраховаться от его непредвиденного неблаго-
приятного изменения.
Эффективность форвардных сделок принято оценивать в
Л	.	360FM
виде годовой процентной ставки ifm = ------, где R8 —
R3t
курс спот покупки или продажи валюты, FM — форвардная
маржа, t — срок операции в днях.
Для каждой конкретной форвардной сделки эта величи-
на не имеет особого смысла, но она позволяет сравнивать ре-
зультаты сделки с результатами других вариантов действий
при покупке или продаже валюты на срок и выбирать наи-
более выгодный вариант.
§ 4.1. ФОРВАРДНАЯ СДЕЛКА ПО ПОКУПКЕ
ВАЛЮТЫ, КОТИРУЕМОЙ С ПРЕМИЕЙ
Форвардная сделка по покупке валюты, котируемой с пре-
мией, позволяет застраховаться от роста ее курса выше за-
фиксированного в контракте. Если рыночный курс на мо-
мент окончания срока сделки меньше зафиксированного в
контракте, то разница характеризует дополнительные затра-
ты при покупке валюты.
Пример 11. Курс А/В-. спот 36,20 - 36,30; 30 дней
15 - 20. Определим результат форвардной сделки по по-
купке валюты А.
Валюта А котируется с премией. Тогда курс А/В фор-
вард 36,35 — 36,50. t = 30 дней. Курс покупки спот R8 -
36,30, форвардная маржа FM - 0,20. Тогда эффективность
форвардной покупки в виде годовой процентной ставки
.	360FM	360x0,20	п z л Л0/	ч
Чт =------=’---------х 0,066 (= 6,6% годовых).
1 RA	36,30x30
325
Задача 11. Курс А/В*, спот 29,45 — 29,55; 30 дней
15 - 20. Определить результат форвардной сделки по по-
купке валюты А.
§ 4.2.	ФОРВАРДНАЯ СДЕЛКА ПО ПОКУПКЕ
ВАЛЮТЫ, КОТИРУЕМОЙ С ДИСКОНТОМ
Форвардная сделка по покупке валюты, котируемой с дис-
контом, позволяет застраховаться от недостаточного пони-
жения ее курса по сравнению с курсом в контракте. Если
рыночный курс на момент окончания срока сделки меньше
зафиксированного в контракте, то разница характеризует
дополнительные затраты при покупке валюты.
Пример 12. Курс A/В: спот 34,75 - 35,05; 91 день
50 - 35. Определим результат форвардной сделки по по-
купке валюты А.
Валюта А котируется с дисконтом. Тогда курс А/В фор-
вард 34,25 — 34,70. t - 91 день. Курс покупки спот R8 -
35,05, форвардная маржа FM = 0,35. Тогда эффективность
форвардной покупки в виде годовой процентной ставки
360FM	360x0,35 л пл / ло/	\
=* ---- = ------!-- * 0,04 (= 4% годовых).
Т R8t 36,05x91
Задача 12. Курс А/В*, спот 29,65 - 29,85; 182 дня
60 — 55. Определить результат форвардной сделки по по-
купке валюты А.
§ 4.3.	ФОРВАРДНАЯ СДЕЛКА ПО ПРОДАЖЕ
ВАЛЮТЫ, КОТИРУЕМОЙ С ПРЕМИЕЙ
Форвардная сделка по продаже валюты, котируемой с пре-
мией, позволяет застраховаться от недостаточного роста ее
курса по сравнению с курсом, зафиксированным в контрак-
те. Если рыночный курс на момент окончания срока сделки
выше зафиксированного в контракте, то разница характери-
зует упущенную выгоду.
Пример 13. Определим результат форвардной сделки
по продаже валюты А в примере 11.
Курс продажи спот R8 = 36,20, форвардная маржа
FM = 0,15. Тогда эффективность форвардной покупки в ви-
360FM	360x0,15
де годовой процентной ставки ifm —--=-------*--»
R8t 36,20x30
» 0,05 (« 5% годовых).
326
Задача 13. Определить результат форвардной сделки
по продаже валюты А в задаче 11.
§ 4.4.	ФОРВАРДНАЯ СДЕЛКА ПО ПРОДАЖЕ
ВАЛЮТЫ, КОТИРУЕМОЙ с дисконтом
Форвардная сделка по продаже валюты, котируемой с дис-
контом, позволяет застраховаться от непредвиденного пони-
жения ее курса по сравнению с курсом в контракте. Если
рыночный курс на момент окончания срока сделки выше за-
фиксированного в контракте, то разница характеризует упу-
щенную выгоду.
Пример 14. Определим результат форвардной сделки
по продаже валюты А в примере 12.
Курс покупки спот R8 = 34,75, форвардная маржа
FM = 0,50. Тогда эффективность форвардной покупки в ви-
360FM	360x0,50
де годовой процентной ставки =------=----------»
r R8t 34,75x91
« 0,057 (= 5,7% годовых).
Задача 14. Определить результат форвардной сделки
по продаже валюты А в задаче 12.
327
Глава 5
ВАЛЮТНЫЕ СВОПЫ
Валютный своп — это валютная операция, при которой осу-
ществляется наличная (на условиях спот) покупка (прода-
жа) валюты А в обмен на валюту В с одновременной прода-
жей (покупкой) такой же суммы валюты А в обмен на валю-
ту В на срок (на условиях форвард). Так как при этом ва-
лютная позиция по сделке спот закрывается, валютный своп
позволяет хеджировать (страховать) валютный риск.
§ 5.1. СВОП С КОТИРУЕМОЙ ВАЛЮТОЙ,
ЕГО РЕЗУЛЬТАТЫ
Известен курс А/В. Осуществляется своп с валютой А:
В -> А -> В, то есть покупка валюты А на условиях спот и
одновременная ее продажа на условиях форвард.
Доходность свопа принято оценивать в виде годовой став-
360FM
ки процентов ifm »-----, где R8 — курс спот покупки ва-
B8t
люты, t — срок форвардной сделки, FM = курс форвард про-
дажи валюты А — курс спот покупки валюты А.
Если с валютой А осуществляется своп «купить и про-
дать», то с валютой В осуществляется своп «продать и ку-
пить». Поэтому в дальнейшем под свопом с некоторой валю-
той будем понимать своп «купить и продать».
Пример 15. Курс А/В: спот 29,45 - 29,60; 91 день
20 — 30. Определим результат свопа с валютой А.
Валюта А котируется с премией. Поэтому курс А/В фор-
вард 29,65 — 29,90. Схема конвертации В А -* В, то есть
покупка валюты А по курсу R8 = 29,60 (спот) и одновре-
менная ее продажа по курсу 29,65 (форвард). FM - курс
форвард продажи валюты А — курс спот покупки валюты А
= 29,65 - 29,60 = 0,05.
Доходность свопа в виде годовой ставки процентов
360FM	360x0,05 л t п -о/	ч
Чт. “-----=--------!в 0,007 (= 0,7% годовых).
1 Rgt 29,60x91
328
Таким образом своп с сильной котируемой валютой (ко-
тируется с премией) является доходным.
Задача 15. Курс А/В*, спот 35,55 — 35,80; 30 дней
30 — 40. Определить результат свопа с валютой А.
Пример 16. Курс А/В*, спот 29,75 — 29,90; 30 дней
30 - 20. Определим результат свопа с валютой А.
Валюта А котируется с дисконтом. Поэтому курс А/В
форвард 29,45 — 29,70. Схема конвертации В -* А В, то
есть покупка валюты А по курсу R8 = 29,90 (спот) и одно-
временная ее продажа по курсу 29,45 (форвард). FM - курс
форвард продажи валюты А — курс спот покупки валюты А
“ 29,45 — 29,90 = -0,45. Доходность свопа в виде годо-
360FM	360х(-0,45)
вой ставки процентов =-------=--------—-—- ~ —0,18
r R8t 29,90x30
(= —18% годовых), то есть своп со слабой котируемой ва-
лютой (котируется с дисконтом) является убыточным.
Задача 16. Курс А/В*, спот 36,10 — 36,30; 91 день
50 — 40. Определить результат свопа с валютой А,
§ 5.2. СВОП С КОТИРУЮЩЕЙ ВАЛЮТОЙ,
ЕГО РЕЗУЛЬТАТЫ
Известен курс A/В. Осуществляется своп с валютой В:
А -* В -* А, то есть покупка валюты В (= продажа валюты А)
на условиях спот и одновременная ее продажа (= покупка
валюты А) на условиях форвард. Доходность свопа принято
л v	36QFM
оценивать в виде годовой ставки процентов ifm =--------,
Rft
где Rf — курс форвард покупки валюты A, t — срок фор-
вардной сделки, FM = курс спот продажи валюты А — курс
форвард покупки валюты А.
Пример 17. Курс A/В*, спот 29,10 — 29,20; 30 дней
15 — 25. Определим результат свопа с валютой В.
Валюта А котируется с премией. Поэтому курс А/В фор-
ь*рд 29,25 — 29,45. Схема конвертации А -* В -* А, то есть
продажа валюты А по курсу 29,10 (спот) и одновременная
ее покупка по курсу Rf = 29,45 (форвард). FM — курс спот
продажи валюты А — курс форвард покупки валюты А =
= 29,10 - 29,45 « -0,35.
Доходность свопа в виде годовой ставки процентов
360FM	360х(-0,35)	ли/ ио/	х
ifm =------=--------—-—— » -0,14 (= -14% годовых),
Т Rft 29,45x30
то есть своп убыточен.
329
Задача 17. Курс А/В*, спот 35,70 - 35,90; 91 день
30 - 45. Определить результат свопа с валютой В.
Пример 18. Курс А/В*, спот 29,80 — 29,95; 61 день
40 — 35. Определим результат свопа с валютой В.
Валюта А котируется с дисконтом. Поэтому курс А/В
форвард 29,40 - 29,60. Схема конвертации А -* В А, то
есть продажа валюты А по курсу 29,80 (спот) и одновре-
менная ее покупка по курсу Rf = 29,60 (форвард).
FM = курс спот продажи валюты А - курс форвард покуп-
ки валюты А = 29,80 — 29,60 = 0,20.
Доходность свопа в виде годовой ставки процентов
360FM	360x0,20 ллл/ ло/	х
lfm =------=------------ ® 0,04 (= 4% годовых), то ест$»
r Rft 29,60x61
своп является прибыльным.
Задача 18. Курс А/В: спот 34,95 - 35,20; 30 дней
40 — 30. Определить результат свопа с валютой В.
330
Глава 6
ВАЛЮТНЫЕ ОПЦИОНЫ
Валютный опцион дает право его держателю купить или
продать определенное количество одной валюты в обмен на
другую валюту по курсу, зафиксированному в контракте, на
определенную дату в будущем (европейский опцион) или в
течение определенного периода (американский опцион).
Если же в момент окончания срока европейского опцио-
на или в течение срока американского опциона курс поку-
паемой (продаваемой) валюты будет более выгодным, его
держатель может отказаться от реализации опциона и ку-
пить (продать) валюту по этому более выгодному курсу. При
покупке опциона его продавцу выплачивается премия.
§ 6.1. Call-ОПЦИОН
Call-опцион — это опцион на покупку валюты. При его реа-
лизации эффективный курс обмена Roe = Ro + Р, где Ro —
цена исполнения, Р — уплаченная премия. Условие отказа
от реализации Ro > Rm, где Rm — сложившийся рыночный
курс. При отказе от реализации опциона эффективный курс
обмена Rme = Rm + Р.
Опцион на покупку валюты, котируемой с премией, поз-
воляет застраховаться от роста ее курса выше зафиксиро-
ванного в контракте. Опцион на покупку валюты, котируе-
мой с дисконтом, позволяет застраховаться от недостаточно-
го понижения ее курса по сравнению с курсом, зафиксиро-
ванным в контракте.
Пример 19. Приобретен опцион на покупку через 1 ме-
сяц валюты А по следующей цене: 1 денежная единица А
равна Ro я 29,55 денежных единиц В с выплатой премии
Р = 0,2 денежных единиц В за 1 денежную единицу А.
Если через 1 месяц курс А/В составит 29,70 — 29,90, то
сложившийся рыночный курс продажи валюты А равен
Rm = 29,90. Так как Ro < Rm (29,55 < 29,90), то опцион
реализуется при эффективном курсе обмена Яое = Ro + Р -
= 29,55 + 0,2 = 29,75.
331
Если через 1 месяц курс А/В составит 29,30 — 29,50, то
сложившийся рыночный курс продажи валюты А равен
Rm = 29,50. Так как Ro > Rm (29,55 > 29,50), то следует
отказ от реализации опциона и эффективный курс обмена
Rme = Rm + Р = 29,50 + 0,2 = 29,70.
Задача 19. Приобретен опцион на покупку через 1 ме-
сяц валюты А по следующей цене: 1 денежная единица А
равна Ro = 35,25 денежных единиц В с выплатой премии
Р = 0,1 денежных единиц В за 1 денежную единицу А, Оп-
ределить результаты сделки, если через 1 месяц курс А/В
составит: а) 35,45 - 35,65; б) 35,05 - 35,15.
§ 6-2- Put-ОПЦИОН
Put-опцион — это опцион на продажу валюты. При его реа-
лизации эффективный курс обмена Roe = Ro - Р, где Ro —
цена исполнения, Р — уплаченная премия. Условие отказа
от реализации Ro < Rm, где Rm — сложившийся рыночный
курс. При отказе от реализации опциона эффективный курс
обмена Rme = Rm — Р.
Опцион на продажу валюты, котируемой с премией, поз-
воляет застраховаться от недостаточного роста ее курса по
сравнению с курсом, зафиксированным в контракте. Опцион
на продажу валюты, котируемой с дисконтом, позволяет за-
страховаться от понижения ее курса по сравнению с курсом,
зафиксированным в контракте.
Пример 20. Приобретен опцион на продажу через 1 ме-
сяц валюты А по следующей цене: 1 денежная единица А
равна Ro = 29,35 денежных единиц В с выплатой премии
Р = 0,2 денежных единиц В за 1 денежную единицу А.
Если через 1 месяц курс А/В составит 29,30 - 29,45, то
сложившийся рыночный курс покупки валюты А равен
Rm = 29,30. Так как Ro > Rm (29,35 > 29,30), то опцион
реализуется при эффективном курсе обмена Roe = RO-P =
= 29,35 - 0,2 = 29,15.
Если через 1 месяц курс А/В составит 29,55 — 29,70, то
сложившийся рыночный курс покупки валюты А равен
Rm = 29,55. Так как Ro < Rm (29,35 < 29,55), то следует
отказ от реализации опциона и эффективный курс обмена
Rme = Rm~P = 29,55 - 0,2 = 29,35.
Задача 20. Приобретен опцион на продажу через 1 ме-
сяц валюты А по следующей цене: 1 денежная единица А
равна Ro = 35,75 денежных единиц В с выплатой премии
Р — 0,25 денежных единиц В за 1 денежную единицу А.
Определить результаты сделки, если через 1 месяц курс
А/В составит: а) 35,65 - 35,85, б) 35,80 - 35,90.
332
Глава 7
ИНВЕСТИРОВАНИЕ КАПИТАЛА
При инвестировании капитала возможны конвертация средств
в другую валюту, размещение полученных средств на рынках
финансовых инструментов этой валюты на некоторый срок и
обратная конвертация полученных средств в исходную валю-
ту. Эффективность инвестирования с конвертацией в другую
валюту определяется доходностью инвестиций в этой валюте
и изменением ее курса в течение срока инвестирования.
§ 7-1. КОНВЕРТАЦИЯ ВАЛЮТ ПО СХЕМЕ В А -♦ В
ПРИ ИЗВЕСТНОМ КУРСЕ А/В
Сумма в валюте В конвертируется в валюту А по курсу R8 и
инвестируется на срок t дней под iA% годовых. Через t дней
происходит обратная конвертация по будущему курсу Rf. Тог-
да доходность (убыточность) операции в виде эффективной го-
довой ставки процентов ie = (ВД1 + iAt/360)/R8 — l)360/t.
Форвардная маржа FM = Rf — R8.
Тогда te = iA(l + FM/R8) + ^®FM . Реально FM/RS vlhqvq
R8t
n tt •	• □_ 360FM .	.	.
меньше 1. Поэтому ie ~ iA +-----; ie « iA -I- ifm.
R8t
Если осуществлялся своп с валютой А, то ifm — это эф-
фективность свопа.
Пример 21. Курс A/В: спот 29,55 - 29,65; 1 месяц
16 — 17. Ставки на денежном рынке на 1 месяц (t — 30
дней) равны по валюте А 5-7% годовых, по валюте В 12-14%
годовых. Рассматриваются следующие варианты инвести-
рования валюты В:
1) размещение на депозит;
2) проведение свопа с валютой А и размещение валюты
А на депозит.
Определим эффективность вариантов инвестирования.
1) Валюту В всегда можно разместить на депозит по
нижней границе диапазона процентных ставок с доходнос-
тью ie - 12% годовых.
333
2) Валюта А котируется с премией. Поэтому курс А/В
форвард 29,71 — 29,82. Схема конвертации В -+ А -* В, то
есть покупка валюты А по курсу R8 - 29,65 (спот), разме-
щение валюты А на депозит под = 5% годовых на срок
t = 30 дней и перевод полученной суммы в валюту В по
курсу 29,71 (форвард). FM = курс форвард продажи валюты
А — курс спот покупки валюты А « 29,71 — 29,65 = 0,06.
Доходность свопа в виде годовой ставки процентов
.	360FM	360x0,06	п , О0/	.
Чт = ------- = ------!-- « 0,02 (= 2% годовых).
fm R3t	29,65x30
Общая доходность инвестирования ie » (д 4- ifm = 5 4- 2 «
= 7% годовых. Вариант 1 лучше.
Задача 21. Курс А/В*. спот 35,40 — 35,65; 3 месяца
52 — 54. Ставки на денежном рынке на 3 месяца (t = 91
день) равны по валюте А 4-6% годовых, по валюте В 10-12%
годовых. Рассматриваются следующие варианты инвести-
рования валюты В:
1) размещение на депозит;
2) проведение свопа с валютой А и размещение валюты
А на депозит.
Определить эффективность вариантов инвестирования.
Пример 22. Курс А/В* спот 20,45 - 20,50; 3 месяца
16 — 14. Ставки на денежном рынке на 3 месяца (t = 91
день) равны по валюте А 6-8% годовых, по валюте В 3-5%
годовых. Рассматриваются следующие варианты инвести-
рования валюты В:
1) размещение на депозит;
2) проведение свопа с валютой А и размещение валюты
А на депозит.
Определим эффективность вариантов инвестирования.
1) Валюту В всегда можно разместить на депозит по
нижней границе диапазона процентных ставок с доходнос-
тью ie = 3% годовых.
2) Валюта А котируется с дисконтом. Поэтому курс А/В
форвард 20,29 — 20,36. Схема конвертации В -* А В, то
есть покупка валюты А по курсу R3 - 20,50 (спот), разме-
щение валюты А на депозит под = 6% годовых на срок
f = 91 день и перевод полученной суммы в валюту В по
курсу 20,29 (форвард). FM = курс форвард продажи валюты
А — курс спот покупки валюты А = 20,29 — 20,50 — —0,21.
Доходность свопа в виде годовой ставки процентов
360FM	360х(-0,21)	хо/	ч
Чт = ------- = ---------'-— ~ “0,04 (= -4% годовых).
R8t 20,50x91
Общая доходность инвестирования ie »	4- ifm = 6 — 4 =
2% годовых. Вариант 1 лучше.
334
Задача 22. Курс А/В: спот 20,25 — 20,40; 3 месяца
37 — 33. Ставки на денежном рынке на 3 месяца (t = 91
день) равны по валюте А 10-12% годовых, по валюте В 3-5%
годовых. Рассматриваются следующие варианты инвести-
рования валюты В: 1) размещение на депозит; 2) проведе-
ние свопа с валютой А и размещение валюты А на депо-
зит.
Определить эффективность вариантов инвестирования.
Если исходная валюта В заимствуется по годовой про-
центной ставке iB, то общая эффективность такой операции
Н ~	+ Нт-
Пример 23. Определим в примере 21 эффективность
свопа с инвестированием заимствованной валюты В.
Валюту В всегда можно взять взаймы по верхней грани-
це диапазона процентных ставок, то есть 1В = 14% годовых.
Тогда общая эффективность операции ie •	— ig + ifm —
= 5 - 14 + 2 = —7% годовых, то есть операция убыточна.
Задача 23. Определить в задаче 21 эффективность сво-
па с инвестированием заимствованной валюты В.
§ 7.2.	КОНВЕРТАЦИЯ ВАЛЮТ ПО СХЕМЕ А -* В А
ПРИ ИЗВЕСТНОМ КУРСЕ А/В
Сумма в валюте А конвертируется в валюту В по курсу R8 и
инвестируется на срок t дней под iB% годовых. Через t дней
происходит обратная конвертация по будущему курсу Rf. Тог-
да доходность (убыточность) операции в виде эффективной го-
довой ставки процентов ie = (Bs(l + iBt/360)/Rf — l)360/f.
Форвардная маржа FM = R8 — Rf.
Тогда ie = /д(1 + FM/R/) +	. Реально FM/Rf много
Rft
- „	.	.	360FM .	.	.
меньше 1. Поэтому ie ~ iB +------; ie ~ iB + Hm-
Rft
Если осуществлялся своп с валютой В, то ifm — это эф-
фективность свопа.
Пример 24. Курс А/В: спот 29,55 - 29,65; 1 месяц
16 — 17. Ставки на денежном рынке на 1 месяц (t - 30
дней) равны по валюте А 5-7% годовых, по валюте В 12-14%
годовых. Рассматриваются следующие варианты инвести-
рования валюты А:
1) размещение на депозит;
2) проведение свопа с валютой В и размещение валюты
В на депозит.
335
Определим эффективность вариантов инвестирования.
1) Валюту А всегда можно разместить на депозит по
нижней границе диапазона процентных ставок с доходное*
тью 1е = 5% годовых.
2) Валюта А котируется с премией. Поэтому курс А/В
форвард 29,71 — 29,82. Схема конвертации А -* В -* А, то
есть продажа валюты А по курсу 29,55 (спот), размещение
валюты В на депозит под iq = 12% годовых на срок t — 30
дней и перевод полученной суммы в валюту А по курсу
Rf = 29,82 (форвард). FM = курс спот продажи валюты А
— курс форвард покупки валюты А = 29,55 - 29,82 - -0,27.
Доходность свопа в виде годовой ставки процентов
360FM	360х(- 0,27)	110,
Чт = ------- = ----------— 9 -0,11 (= -11% ГОДОВЫХ),
Тт Rft 29,82x30
то есть своп убыточен.
Общая доходность инвестирования ie ~	4- ifm = 12 +
+ (—11) - 1% годовых. Вариант 1 лучше.
Задача 24. В задаче 21 рассматриваются следующие
варианты инвестирования валюты А:
1) размещение на депозит;
2) проведение свопа с валютой В и размещение валюты
В на депозит.
Определить эффективность вариантов инвестирования.
Если исходная валюта А заимствуется по годовой про-
центной ставке 1д9 то общая эффективность такой операции
Ч я ~ 1а + ifm*
Пример 25. Определим в примере 22 эффективность
свопа с инвестированием заимствованной валюты А.
Валюту А всегда можно взять взаймы по верхней гра-
нице диапазона процентных ставок, то есть /д - 8% годо-
вых. Валюта А котируется с дисконтом. Поэтому курс А/В
форвард 20,29 - 20,36. Схема конвертации А -* В А, то
есть продажа валюты А по курсу 20,45 (спот), размещение
валюты В на депозит под = 3% годовых на срок t - 91
день и перевод полученной суммы в валюту А по курсу
Rf = 20,36 (форвард). FM = курс спот продажи валюты А
— курс форвард покупки валюты А - 20,45 — 20,36 — 0,09.
Доходность свопа в виде годовой ставки процентов
360FM	360x0,09 Л м t О0,	ч
=--------=----------» 0,02 (= 2% годовых).
Т Rft 20,36x91
Тогда общая эффективность операции ie *	— ip + ifm =
= 3 — 84-2 = —3 % годовых, то есть операция убыточна.
Задача 25. Определить в задаче 22 эффективность сво-
па с инвестированием заимствованной валюты А.
336
Глава 8
ПРИОБРЕТЕНИЕ ИНОСТРАННОЙ
ВАЛЮТЫ ДЛЯ ОПЛАТЫ
БУДУЩИХ РАСХОДОВ
Если иностранная валюта понадобится в будущем, то для
страхования неблагоприятного изменения курса валюты
можно заключить форвардную сделку по покупке требуемо-
го ее количества. Возможна также следующая операция: за-
нять на требуемый срок национальную валюту под ic% годо-
вых, купить необходимую иностранную валюту по курсу
спот R89 разместить купленную иностранную валюту на де-
позит под id% годовых на требуемый срок. Это операция «за-
нять — конвертировать спот — инвестировать».
Тогда стоимость приобретения иностранной валюты
ie « ic — i^. Эту величину можно пересчитать на эквивалент-
ное значение форвардной маржи FMe =» igR8t/360. Эквива-
лентный курс форвард продажи приобретаемой валюты (це-
на ее приобретения) Rf == R8 + FMe.
Пример 26. Курс А/В: спот 29,45 — 29,65; 3 месяца
35 — 40. Ставки на денежном рынке на £ = 91 день 5-7%
годовых (валюта А) и 12-14% годовых (валюта В). Опреде-
лим стоимость приобретения валюты А при операции «за-
нять — конвертировать спот — инвестировать» и эквива-
лентный курс форвард продажи валюты А.
Займ валюты В под ic == 14% годовых, обмен В на А по
курсу спот R8 - 29,65, валюта А кладется на депозит под
— 5% годовых на срок t = 91 день.
Стоимость приобретения валюты А равна ie ~ ic — id =
= 14 — 5 = 9% годовых. Эквивалентное значение форвард-
ной маржи FMe - igB8t/360 « 0,09x29,65x91/360 * 0,67.
Так как валюта А котируется с премией, то эквивалентный
курс форвард продажи валюты А равен Rf = R8 + FMe —
= 29,65 + 0,67 = 30,32.
Задача 26. Курс А/В: спот 34,50 - 34,60; 1 месяц
17 — 20. Ставки на денежном рынке на t = 30 дней 4-6%
годовых (валюта А) и 10-12% годовых (валюта В). Опреде-
лить стоимость приобретения валюты А при операции «за-
337
нять — конвертировать спот — инвестировать» и эквива-
лентный курс форвард продажи валюты А,
Пример 27. Курс А/В*. спот 20,65 - 20,73; 1 месяц
12 — 10. Ставки на денежном рынке на t = 30 дней 10-12%
годовых (валюта А) и 5-6% годовых (валюта В). Фирме че-
рез 30 дней потребуется валюта А. Рассматриваются вари-
анты:
1) купить валюту А по курсу форвард на 1 месяц;
2) приобрести валюту А при операции «занять — кон-
вертировать спот — инвестировать».
Определим менее затратный вариант.
1) Валюта А котируется с дисконтом. Поэтому курс фор-
вард продажи валюты А равен 20,73 — 0,10 = 20,63.
2) Займ валюты В под ic = 6% годовых, обмен В на А
по курсу спот R8 - 20,73, валюта А кладется на депозит
под « 10% годовых на срок t = 30 дней.
Стоимость приобретения валюты А равна ie - ic —	—
= 6 — 10 = —4% годовых (относительная экономия).
Эквивалентное значение форвардной маржи FMe =
= ieBet/360 = -0,04x20,73x30/360 « -0,07.
Эквивалентный курс форвард продажи валюты А равен
Rf = R8 + FMe = 20,73 + (—0,07) = 20,66. 1-й вариант яв-
ляется менее затратным.
Задача 27. Курс А/В\ спот 20,43 — 20,55; 3 месяца
45 — 35. Ставки на денежном рынке на t = 91 день 14-16%
годовых (валюта А) и 6-8% годовых (валюта В). Фирме че-
рез 91 день потребуется валюта А. Рассматриваются вари-
анты:
1) купить валюту А по курсу форвард на 3 месяца;
2) приобрести валюту А при операции «занять — кон-
вертировать спот — инвестировать». Определить менее за-
тратный вариант.
338
Глава 9
ПРИОБРЕТЕНИЕ ОБОРОТНОГО
КАПИТАЛА
Если фирме требуются средства в некоторой валюте, она мо-
жет взять займ в этой валюте или взять взаймы другую ва-
люту, конвертировав ее в требуемую валюту. Обратная кон-
вертация по истечении срока займа может быть проведена
по сложившемуся курсу спот или для страхования валютно-
го риска с проведением свопа.
Пример 28« Курс А/В*, спот 29,50 — 29,75; 3 месяца
65 — 70. Фирме требуются средства в валюте В на 3 месяца
(t = 91 день). Банк может предоставить валюту В по став-
ке 14% годовых. Рассматриваются следующие варианты:
1) займ валюты В в банке;
2) займ валюты А (процентная ставка = 5% годовых)
и приобретение валюты В через своп.
Определим менее затратный вариант.
1) Стоимость этого варианта равна —14% годовых.
2) Стоимость займа валюты А равна = —5% годовых.
Определим результат свопа с валютой В. Это своп с коти-
рующей валютой. Валюта А котируется с премией. Поэто-
му курс A/В форвард 30,15 - 30,45. Схема конвертации
А -♦ В -♦ А, то есть продажа валюты А по курсу 29,50
(спот) и одновременная ее покупка по курсу Rf = 30,45
(форвард). FM = курс спот продажи валюты А - курс фор-
вард покупки валюты А — 29,50 — 30,45 = —0,95.
Доходность свопа в виде годовой ставки процентов
360FM	360х(—0,95)	1О0/	ч
ifm =-------=---------—-—— ” -0,12 (= —12% годовых),
Rft 30,45x91
то есть своп убыточен.
Общая стоимость этого варианта 1д 4- ifm = —0,05 +
4- (—0,12) - —0,17 (= —17% годовых). Наименее затратным
является 1-й вариант.
Задача 28. Курс A/В: спот 34,70 - 35,15; 1 месяц
25 — 30. Фирме требуются средства в валюте В на 1 месяц
(t - 30 дней). Банк может предоставить валюту В по став-
ке 12% годовых. Рассматриваются следующие варианты:
1) займ валюты В в банке;
339
2) займ валюты А (процентная ставка 1д = 3% годовых)
и приобретение валюты В через своп.
Определить менее затратный вариант.
§ 9.1. ЭФФЕКТИВНОСТЬ ПОКРЫТИЯ
ЗА СЧЕТ МЕСТНОЙ ВАЛЮТЫ РАЗНИЦЫ
В ПРОЦЕНТНЫХ СТАВКАХ ПО ЗАЙМУ
И ДЕПОЗИТУ В ИНОСТРАННОЙ ВАЛЮТЕ
Если фирме в некоторой стране предоставлены от родитель-
ской компании, находящейся за рубежом, оборотные средст-
ва в иностранной валюте, то возможным дополнительным
вариантом служит размещение полученных средств на депо-
зит на зарубежном рынке и займ необходимых средств в ме-
стной валюте на местном рынке.
В этом случае стоимость приобретения оборотного капи-
тала в местной валюте ie = ief — ldf -I- iCh + где ief — стои-
мость займа в иностранной валюте, — доходность депози-
та в иностранной валюте, ich — стоимость займа в местной
валюте, iff — эффективность пЬкрытия за счет местной ва-
люты разницы в процентных ставках по займу и депозиту в
иностранной валюте.
Экономия или убыток при приобретении единицы иност-
ранной валюты за национальную представляет собой фор-
вардную маржу FM. Тогда = FM(ief — tdf)/R8.
Пример 29. Курс А/В\ спот 29,65 — 29,75; 1 месяц
18 — 22. Фирма в стране В получила средства в валюте А
от родительской компании в стране А на 1 месяц (f = 30
дней) для использования в качестве оборотного капитала.
Ставки на денежном рынке на 1 месяц: 12-14% годовых
(валюта В, местный рынок), 5-7% годовых (валюта А, ры-
нок страны А). Полученная валюта А будет положена на
депозит в стране А, а валюта В будет заимствована на ме-
стном рынке. Определим стоимость приобретения оборот-
ного капитала в валюте В.
Валюта А получена под ief = 7% годовых и положена
на депозит в стране А под = 5% годовых. Валюта В за-
имствована на местном рынке под ich = 14% годовых. Ва-
люта А котируется к валюте В с премией. Курс спот
R8 = 29,75, форвардная маржа FM - 0,22.
Поэтому эффективность покрытия за счет валюты В раз-
ницы в процентных ставках по займу и депозиту в валюте
А равна iif = FM(ief - ldf)/Rs - 0,22(0,07 - 0,05)/29,75
“ 0,0001 (= 0,01% годовых) (мы уходим от сильной валю-
ты А к слабой валюте В).
340
Тогда стоимость приобретения оборотного капитала в
местной валюте ie - i€f — idf + ich + kf = 7 ~ 5 + 14 + 0,01
= 16,01% годовых.
Задача 29. Курс А/В: спот 34,30 - 34,45; 3 месяца
55 - 60. Фирма в стране В получила средства в валюте А
от родительской компании в стране А на 3 месяца (t — 91
день) для использования в качестве оборотного капитала.
Ставки на денежном рынке на 3 месяца: 10-12% годовых
(валюта В, местный рынок), 3-5% годовых (валюта А, ры-
нок страны А). Полученная валюта А будет положена на
депозит в стране А, а валюта В будет заимствована на ме-
стном рынке. Определить стоимость приобретения оборот-
ного капитала в валюте В.
Пример 30. Курс А/В*. спот 20,18 - 20,30; 3 месяца
18 — 15. Фирма в стране В получила средства в валюте А
от родительской компании в стране А на 3 месяца (t = 91
день) для использования в качестве оборотного капитала.
Ставки на денежном рынке на 3 месяца: 3-5% годовых (ва-
люта В, местный рынок), 6-8% годовых (валюта А, рынок
страны А). Рассматриваются следующие варианты:
1) своп с валютой В;
2) положить валюту А на депозит в стране А, а валюту
В заимствовать на местном рынке.
Определим наименее затратный вариант.
1) Валюта А получена под ief = 8% годовых. Своп с ко-
тирующей валютой В. Валюта А котируется с дисконтом.
Поэтому курс А/В форвард 20,00 — 20,15. Схема конверта-
ции А -» В -* А, то есть продажа валюты А по курсу 20,18
(спот) и одновременная покупка валюты А по курсу
Rf = 20,15 (форвард). FM — курс спот продажи валюты А
- курс форвард покупки валюты А = 20,18 - 20,15 = 0,03.
Доходность свопа в виде годовой ставки процентов
360ВМ	360x0,03 Л z Л Ло/	ч
lfm = ------ = --------- ® 0,006 (= 0,6% годовых), то
1 Rft 20,15x91
есть сам своп доходен. Тогда общая стоимость операции
ie = 8 - 0,6 = 7,4% годовых.
2) Валюта А получена под ief = 8% годовых и положена
на депозит в стране А под idf = 6% годовых. Валюта В за-
имствована на местном рынке под 1сь = 5% годовых. Ва-
люта А котируется к валюте В с дисконтом. Поэтому курс
спот Rs = 20,30, форвардная маржа FM - -0,15. Тогда эф-
фективность покрытия за счет валюты В разницы в про-
центных ставках по займу и депозиту в валюте А равна
iif = FM(ief - idf)/Rs - -0,15(0,08 - 0,06)/20,30 « -0,0001
(= —0,01% годовых) (мы уходим от слабой валюты А к
сильной валюте В).
341
Тогда стоимость приобретения оборотного капитала в
местной валюте ie = ief — I# +	= 8 — 6 + 5 + (—0,01) =
— 6,99% годовых. 2-й вариант является наименее затрат-
ным.
Задача 30. Курс A/В: спот 20,68 - 20,74; 2 месяца
11 — 8. Фирма в стране В получила средства в валюте А от
родительской компании в стране А на 2 месяца (t в 61
день) для использования в качестве оборотного капитала.
Ставки на денежном рынке на 2 месяца: 4-6% годовых (ва-
люта В, местный рынок), 7-9% годовых (валюта А, рынок
страны А). Рассматриваются следующие варианты:
1) своп с валютой В;
2) положить валюту А на депозит в стране А, а валюту
В заимствовать на местном рынке.
Определить наименее затратный вариант.
342
Глава 10
ПОКУПКА ОБОРУДОВАНИЯ
ДЛЯ ОРГАНИЗАЦИИ
ПРОИЗВОДСТВА ЗА РУБЕЖОМ
Если фирма собирается организовать производство за рубе-
жом на оборудовании, закупаемом в стране размещения про-
изводства за валюту этой страны, необходимо выбрать мо-
мент закупок и вариант валютных расчетов.
Одним из возможных вариантов является закупка обору-
дования раньше, чем начнется его установка, и хранение в
течение соответствующего времени (потребуются дополни-
тельные расходы на хранение).
Другой вариант действий — закупка оборудования непо-
средственно перед моментом его установки (следует учиты-
вать возможность роста цены оборудования вследствие ин-
фляции). При каждой закупке могут использоваться различ-
ные варианты валютных расчетов.
Пример 31. Курс А/В*. спот 29,35 — 29,60; 6 месяцев
70 — 80. Фирма из страны А собирается организовать про-
изводство на своем филиале в стране В через полгода (182
дня) с использованием оборудования, изготовленного в
стране В. Оплата оборудования должна быть произведена в
валюте В. Рассматриваются следующие варианты:
1)	занять валюту В на пол года, купить оборудование
сейчас, купить валюту В за валюту А на по л год а по курсу
форвард для возврата займа;
2)	занять валюту А на полгода, купить на нее валюту В
и приобрести оборудование сейчас;
3)	занять валюту А на полгода, купить на нее валюту В
и инвестировать ее, через полгода приобрести оборудова-
ние;
4)	купить валюту В на полгода по курсу форвард.
Дополнительные расходы на хранение оборудования в
течение 6 месяцев, по оценкам, составят 1% от его стоимо-
сти. Ставки на денежных рынках на полгода: 10-12% го-
довых (валюта В), 5-7% годовых (валюта А). Определим
финансовую эффективность каждого варианта.
343
1)	Стоимость займа валюты В равна 12% годовых. Ва-
люта А котируется с премией. Тогда курс A/В форвард
30,05 — 30,40. t = 182 дня. Курс покупки спот R8 = 29,35,
форвардная маржа FM = 0,70. Тогда эффективность (доход-
ность) форвардной покупки в виде годовой процентной став-
360FM	360x0,70 Л , ко/	х
ки =----------—------------« 0,05 (= 5% годовых).
тт Rst 29,35x182
Найдем затраты на хранение оборудования в пересчете
на годовую процентную ставку. За 182 дня расходы 1%, за
360 дней расходы х%. Поэтому 182/360 = 1/х. Отсюда
х — 360x1/182 • 2% годовых. Стоимость варианта равна
12 - 5 + 2 = 9% годовых.
2)	Стоимость займа валюты А равна 7% годовых, рас-
ходы на хранение оборудования составят 2% годовых. Сто-
имость варианта равна 7 + 2 = 9% годовых.
3)	Стоимость займа валюты А равна 7% годовых, до-
ходность инвестирования валюты В равна 10% годовых.
Стоимость варианта равна 7 + (—10) = -3% годовых, то
есть этот вариант является доходным.
4)	Доходность этого вариант равна 5% годовых (см. 1-й
вариант). Лучшим является 4-й вариант.
Задача 31. Курс А/В: спот 34,45 — 34,70; 6 месяцев
50 — 65. Фирма из страны А собирается организовать про-
изводство на своем филиале в стране В через пол года (182
дня) с использованием оборудования, изготовленного в
стране В. Оплата оборудования должна быть произведена в
валюте В. Рассматриваются следующие варианты:
1)	занять валюту В на по л го да, купить оборудование
сейчас, купить валюту В за валюту А на полгода по курсу
форвард для возврата займа;
2)	занять валюту А на полгода, купить на нее валюту В
и приобрести оборудование сейчас;
3)	занять валюту А на полгода, купить на нее валюту В
и инвестировать ее, через полгода приобрести оборудова-
ние;
4)	купить валюту В на полгода по курсу форвард.
Дополнительные расходы на хранение оборудования в
течение 6 месяцев, по оценкам, составят 0,5% от его стои-
мости. Ставки на денежных рынках на полгода: 9-11% го-
довых (валюта В), 6-8% годовых (валюта А). Определить
финансовую эффективность каждого варианта.
344
Глава 11
УЧАСТИЕ В КОНКУРСЕ
НА ПОЛУЧЕНИЕ КОНТРАКТА
В ИНОСТРАННОЙ ВАЛЮТЕ
Если фирма участвует в конкурсе на получение контракта в
иностранной валюте, которую в случае успеха предполагает-
ся конвертировать в национальную валюту для финансиро-
вания соответствующих разработок, то при выборе варианта
валютных расчетов нужно учитывать как возможность по-
лучения контракта, так и возможность неудачи.
Пример 32. Курс А/В: спот 29,55 — 29,70; 3 месяца
50 — 75. Ставки на денежном рынке на t - 91 день: 5-7%
годовых (валюта А) и 12-14% годовых (валюта В). Фирма
из страны А изучает возможность принять участие в кон-
курсе в стране В на получение контракта стоимостью
50ОООО денежных единиц В через 3 месяца (t = 91 день) с
момента подачи заявки. В случае получения контракта
500000 денежных единиц В будут конвертированы в валю-
ту А для финансирования необходимых разработок. Рас-
сматриваются следующие варианты:
1)	занять валюту В на 3 месяца, купить валюту А по
курсу спот и положить на депозит;
2)	ждать результаты конкурса и в случае получения
контракта поменять валюту В на валюту А по будущему
курсу спот;
3)	заключить форвардную сделку по покупке валюты А
на 3 месяца.
Определим ожидаемые финансовые результаты по каж-
дому варианту при получении контракта и при неудаче, ес-
ли курс спот на этот момент будет:
а)	29,85 - 29,95;
б)	30,50 - 30,70.
1)	Займ в размере 500000 денежных единиц В. Зная на-
ращенную сумму S = 500000 денежных единиц В, срок
t « 91 день, процентную ставку /д « 14% годовых, найдем
первоначальную сумму Рд = S/(l + /д^/ЗбО) = 500000/
(1 + 0,14x91/360) « 482910,34 денежных единиц В (имен-
но столько фирма получит на руки в случае займа).
345
При конвертации по курсу спот 29,70 в момент подачи за-
явки сумма купленной валюты А равна Гд — 482910,34/29,70
« 16259,61 денежных единиц А. Эта сумма помещается на
депозит под - 5% годовых. Через t « 91 день будет по-
лучена сумма = Рд(1 + i^f/360) - 16259,61(1 +
+ 0,05x91/360) • 16465,11 денежных единиц А.
При неудаче на конкурсе и будущем курсе спот 29,85 — 29,95
для возврата занятой валюты В потребуется 500000/29,85
= 16750,42 денежных единиц А, Убытки от операции рав-
ны 16465,11 — 16750,42 = -285,31 денежных единиц А,
При неудаче на конкурсе и будущем курсе спот 30,50 — 30,70
для возврата занятой валюты В потребуется 500000/30,50
х 16393,44 денежных единиц А. Прибыль от операции рав-
на 16465,11 — 16393,44 = 71,67 денежных единиц А.
2)	В случае неудачи на конкурсе фирма ничего не теря-
ет. При получении контракта и будущем курсе спот 29,85
- 29,95 располагаемая сумма 500000/29,95 « 16694,49 де-
нежных единиц А. При получении контракта и будущем
курсе спот 30,50 — 30,70 располагаемая сумма 500000/30,70
« 16286,64 денежных единиц А.
3)	Валюта А котируется с премией. Поэтому курс А/В
форвард 30,05 — 30,45. При получении контракта распола-
гаемая сумма 500000/30,45 == 16420,36 денежных единиц
А. При будущем курсе спот 29,85 — 29,95 упущенная вы-
года 16694,49 — 16420,36 в 274,13 денежных единиц А.
В случае неудачи на конкурсе и будущем курсе спот
29,85 — 29,95 фирме придется купить валюту А по курсу
30,45 (курс форвардного контракта) и одновременно про-
дать ее по курсу 29,85. Убытки от этой операции равны
16420,36 — 500000/29,85 » —330,06 денежных единиц А.
В случае неудачи на конкурсе и будущем курсе спот
30,50 - 30,70 фирма купит валюту А по курсу 30,45 (курс
форвардного контракта) и одновременно продаст ее по кур-
су 30,50. Прибыль от этой операции равна 16420,36 -
500000/30,50 « 26,92 денежных единиц А.
Задача 32. Курс А/В*. спот 34,50 — 34,70; 6 месяцев
80 — 95. Ставки на денежном рынке на t - 182 дня: 4-6%
годовых (валюта А) и 9-11% годовых (валюта В). Фирма
из страны А изучает возможность принять участие в кон-
курсе в стране В на получение контракта стоимостью
700000 денежных единиц В через 6 месяцев (t — 182 дня) с
момента подачи заявки. В случае получения контракта
700000 денежных единиц В будут конвертированы в валю-
ту А для финансирования необходимых разработок. Рас-
сматриваются следующие варианты:
1)	занять валюту В на 6 месяцев, купить валюту А по
курсу спот и положить на депозит;
346
2)	ждать результаты конкурса и в случае получения
контракта поменять валюту В на валюту А по будущему
курсу спот;
3)	заключить форвардную сделку по покупке валюты А
на 6 месяцев.
Определить ожидаемые финансовые результаты по каж-
дому варианту при получении контракта и при неудаче, ес-
ли курс спот на этот момент будет:
а)	35,10 - 35,25;
б)	35,70 - 35,95.
Пример 33. Курс А/В-. спот 20,35 - 20,50; 3 месяца
15 — 12. Фирма из страны В изучает возможность принять
участие в конкурсе в стране А на получение контракта сто-
имостью 600000 денежных единиц А через 3 месяца с мо-
мента подачи заявки. В случае получения контракта
600000 денежных едициц А будут конвертированы в валю-
ту В для финансирования необходимых разработок. Для
страхования валютного риска фирма приобретает опцион
на поставку через 3 месяца валюты А в обмен на валюту В
по следующей цене: 1 денежная единица А равна = 20,20
денежных единиц В с выплатой премии Р = 0,05 денеж-
ных единиц В за 1 денежную единицу А. Определим ре-
зультат приобретения опциона при неудаче на конкурсе,
если курс спот на этот момент будет:
а)	20,25 - 20,37;
б)	20,06 - 20,13.
Если через 3 месяца курс A/В составит 20,25 — 20,37,
то опцион не реализуется. Убытки равны размеру уплачен-
ной премии 600000x0,05 = 30000 денежных единиц В.
Если через 1 месяц курс А/В составит 20,06 — 20,13, то
фирма купит валюту А по курсу 20,13 и реализует опцион
по эффективному курсу обмена 20,20 — 0,05 = 20,15. При-
быль от этой операции равна 600000(20,15 — 20,13) = 12000
денежных единиц В.
Задача 33. Курс A/В- спот 21,15 - 21,30; 2 месяца
10 — 8. Фирма из страны В изучает возможность принять
участие в конкурсе в стране А на получение контракта сто-
имостью 800000 денежных единиц А через 2 месяца с мо-
мента подачи заявки. В случае получения контракта
800000 денежных единиц А будут конвертированы в валю-
ту В для финансирования необходимых разработок. Для
страхования валютного риска фирма приобретает опцион
на поставку через 2 месяца валюты А в обмен на валюту В
по следующей цене: 1 денежная единица А равна = 21,05
денежных единиц В с выплатой премии Р = 0,03 денеж-
ных единиц В за 1 денежную единицу А. Определить ре-
347
зультат приобретения опциона при неудаче на конкурсе,
если курс спот на этот момент будет:
а)	21,10 - 21,15;
б)	20,90 - 21,00.
348
Глава 12
ДЕПОЗИТНО-КРЕДИТНЫЕ
ОПЕРАЦИИ БАНКА
При проведении депозитно-кредитных операций банк для
страхования валютного риска может использовать валютный
своп.
§ 12.1. ВОЗМОЖНАЯ СТАВКА ПО ДЕПОЗИТУ
В ИНОСТРАННОЙ ВАЛЮТЕ
Если банку предлагают депозит в иностранной валюте, он
может разместить привлеченные средства в местной валюте,
проведя для исключения валютного риска соответствующую
операцию своп. Ставка по депозиту в иностранной валюте
может быть определена на основе эффективности операции,
уменьшенной на величину процентной маржи.
Пример 34. Курс А/В\ спот 29,35 — 29,50; 3 месяца
30 — 40. Банку предложен депозит в валюте А на 3 месяца
(91 день). Банк предполагает разместить эти средства на
рынке валюты В. Ставки на рынке валюты В на 3 месяца
10-12% годовых. Процентная маржа банка 1% годовых.
Для страхования валютного риска банк может осуществить
с валютой В операцию своп. Определим возможную ставку
банка по депозиту в валюте А.
Валюта А котируется с премией. Поэтому курс А/В фор-
вард 29,65 — 29,90. Схема конвертации А В А, то есть
банк продаст валюту А другому банку по курсу 29,35 (спот)
и одновременно купит ее у третьего банка по курсу Rf = 29,90
(форвард). FM = курс спот продажи валюты А — курс фор-
вард покупки валюты А = 29,35 — 29,90 = —0,65.
Доходность свопа в виде годовой ставки процентов
360FM	360х(-0,65)	А AO ,	Q0/
J = ------- = -----S--’-X -0,08 (= -8% годовых),
1m Rft 29,90x91	'
то есть своп убыточен.
Валюта В будет размещена под 10% годовых. Общая эф-
фективность операции 10 — 8 = 2% годовых. Процентная
маржа банка 1% годовых. Поэтому ставка банка по депо-
зиту в валюте А равна 2 — 1 = 1% годовых.
349
Задача 34. Курс А/В: спот 34,70 - 35,05; 6 месяцев
40 — 55. Банку предложен депозит в валюте А на 6 меся-
цев (182 дня). Банк предполагает разместить эти средства
на рынке валюты В. Ставки на рынке валюты В на 6 меся-
цев 12-14% годовых. Процентная маржа банка 1% годо-
вых. Определить возможную ставку банка по депозиту в
валюте А.
§ 12.2. ВОЗМОЖНАЯ СТАВКА ПО КРЕДИТУ
В ИНОСТРАННОЙ ВАЛЮТЕ
Если в банк поступила заявка на кредит в иностранной ва-
люте, свободных средств в которой у него нет, он может ку-
пить эту валюту на валютном рынке, проведя для исключе-
ния валютного риска соответствующую операцию своп. Став-
ка по кредиту в иностранной валюте может быть определена
на основе стоимости операции для банка, увеличенной на
величину процентной маржи.
Пример 35. Курс А/В*. спот 20,55 — 20,70; 3 месяца
20 — 25. В банк поступила заявка на кредит в валюте А на
3 месяца (91 день). Банк в данный момент имеет свобод-
ные средства в валюте В. Ставка банка по депозиту в валю-
те В на 3 месяца равна 9% годовых. Процентная маржа
банка 0,5% годовых. Определим возможную ставку банка
по кредиту в валюте А.
Для страхования валютного риска банк может осущест-
вить с валютой А операцию своп. Валюта А котируется с
премией. Поэтому курс А/В форвард 20,75 — 20,95. Схема
конвертации В А В, то есть банк покупает валюту А
по курсу R8 = 20,70 (спот) и одновременно продает ее по
курсу 20,75 (форвард). FM — курс форвард продажи валю-
ты А - курс спот покупки валюты А = 20,75 - 20,70 =
0,05.
Доходность свопа в виде годовой ставки процентов
36O.F*Af 360x0,05 л л- /<ю/	\
lfm в-----=----------— ® 0,01 (== 1% годовых), то есть
rm Rst 20,70x91
своп является доходным.
Стоимость операции для банка с учетом стоимости ва-
люты В равна 9 — 1 = 8% годовых. Процентная маржа бан-
ка 0,5% годовых. Тогда возможная ставка банка по креди-
ту в валюте А равна 8 + 0,5 » 8,5% годовых.
Задача 35. Курс А/В*. спот 20,15 — 20,35; 2 месяца
25 — 30. В банк поступила заявка на кредит в валюте А на
2 месяца (61 день). Банк в данный момент имеет свобод-
350
ные средства в валюте В. Ставка банка по депозиту в валю-
те В на 2 месяца равна 10% годовых. Процентная маржа
банка 0,1% годовых. Определить возможную ставку банка
по кредиту в валюте А.
351
Глава 13
ОПРЕДЕЛЕНИЕ КУРСА ПОКУПКИ
И ПРОДАЖИ ВАЛЮТЫ
ДЛЯ КЛИЕНТА БАНКА
Если фирма-импортер (экспортер) обращается в банк с заяв-
кой на покупку (продажу) иностранной валюты, для нее это
просто форвардная операция (аутрайт), гарантирующая от
непредвиденного изменения курса покупаемой (продаваемой)
валюты. Банк для исключения валютного риска может про-
вести с продаваемой (покупаемой) валютой своп.
Курс продажи (покупки) валюты при этом может быть
определен на основе теоретического курса форвард с некото-
рым увеличением (при продаже валюты фирме) или умень-
шением (при покупке валюты у фирмы) для обеспечения до-
хода банка.
§ 13.1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ КУРСА ПОКУПКИ ВАЛЮТЫ
ДЛЯ КЛИЕНТА БАНКА
Пример 36. Фирма-импортер обращается в банк с за-
явкой на покупку валюты А через 3 месяца (91 день) в об-
мен на валюту В, На валютном рынке на момент заключения
сделки курс A/В: спот 29,35 - 29,50; 3 месяца 35 - 45.
Ставки на денежном рынке на t — 91 день: 5-7% годовых
(валюта А) и 12-14% годовых (валюта В). Прибыль банка
должна составлять 0,5% от суммы сделки в валюте В. Оп-
ределим курс форвард продажи валюты А для фирмы.
Банк для исключения своего валютного риска может
провести своп с валютой А: займ валюты В под Ir = 14%
годовых, конвертация ее в валюту А по курсу спот
Rs — 29,50, размещение валюты А на депозит под (д = 5%
годовых с одновременным заключением форвардной сдел-
ки по продаже валюты А фирме.
Проценты, получаемые от депозита валюты А, предпо-
лагается обменять на валюту В с помощью форвардной сдел-
ки с другим банком по курсу форвард Rfb == 29,35 + 0,35 -
= 29,70. Норма прибыли за 91 день равна 0,5%, а за 360
352
дней - g%. Отсюда 91/360 = 0,5/g, то есть g = 360x0,5/91
« 2% годовых.
Тогда курс форвард продажи валюты А для фирмы ра-
вен Bs(l + iBt/360 + g) - B^i^/360 = 29,50(1 + 0,14x91/
360 + 0,02) - 29,70x0,05x91/360 « 30,76.
Задача 36. Фирма-импортер обращается в банк с заяв-
кой на покупку валюты А через 3 месяца (91 день) в обмен
на валюту В. На валютном рынке на момент заключения
сделки курс А/В-. спот 20,15 - 20,25; 3 месяца 15 - 20.
Ставки на денежном рынке на t = 91 день: 2-4% годовых
(валюта А) и 5-7% годовых (валюта В). Прибыль банка
должна составлять 0,1% от суммы сделки в валюте В. Оп-
ределить курс форвард продажи валюты А для фирмы.
§ 13.2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ КУРСА ПРОДАЖИ ВАЛЮТЫ
ДЛЯ КЛИЕНТА БАНКА
Пример 37. В условиях примера 36 фирма-экспортер
обращается в банк с заявкой на продажу валюты А через 3
месяца (91 день) в обмен на валюту В. Определим курс фор-
вард покупки валюты А у фирмы.
Банк для исключения своего валютного риска может
провести своп с валютой В: займ валюты А под i а = 7%
годовых, конвертация ее в валюту В по курсу спот Rs -
29,35, размещение валюты В на депозит под Iq == 12% го-
довых с одновременным заключением форвардной сделки
по покупке валюты А у фирмы.
Проценты, получаемые от депозита валюты В, предпо-
лагается обменять на валюту А с помощью форвардной
сделки с другим банком по курсу форвард = 29,50 +
0,45 = 29,95. Тогда курс форвард покупки валюты А у фир-
мы равен Bs(l + iflf/360) - В/ь(£д*/360 + g) = 29,35(1 +
+ 0,12x91/360) - 29,95(0,07x91/360 + 0,02) « 29,11.
Задача 37. В условиях задачи 36 фирма-экспортер об-
ращается в банк с заявкой на продажу валюты А через 3
месяца (91 день) в обмен на валюту В. Определить курс
форвард покупки валюты А у фирмы.
353
Глава 14
АНАЛИЗ ДОХОДНОСТИ
МЕЖДУНАРОДНОГО
ПОРТФЕЛЯ ЦЕННЫХ БУМАГ
Доходность каждой конкретной ценной бумаги (пакета од-
нородных ценных бумаг, рассматриваемых как единое це-
лое) в портфеле международных инвестиций будет опреде-
ляться ее доходностью на соответствующем национальном
рынке (в соответствующей национальной валюте), а также
изменением курсов валют инвестиций к валюте инвестора
при покупке, в моменты получения дивиденда и на момент
анализа (или продажи).
Пример 38. Инвестор из страны А в начале года при-
обрел акции компании из страны В номиналом 100 денеж-
ных единиц В по рыночной цене 200 денежных единиц В
(в тот момент курс А/В был 29,50). В течение года по ак-
циям был выплачен дивиденд из расчета 10% годовых (в
тот момент курс А/В был 29,65). В конце года инвестор
продал акции по цене 290 денежных единиц В (в тот мо-
мент курс А/В был 29,75). Определим доходность инвести-
рования без учета реинвестирования дивиденда.
Доходность инвестирования в акции в валюте В равна
г в — доходность за счет изменения цены акции + дивиденд =
= (290 - 200)/200 + 0,1x100/200 = 0,5 (50%).
Пересчитаем все в валюте А (валюте инвестора). Соот-
ветствующие суммы в валюте В нужно разделить на курс
А/В в тот момент. Цена покупки 200/29,50 • 6,78, диви-
денд 0,1x100/29,65 « 0,34, цена продажи 290/29,75 * 9,75.
Тогда доходность инвестирования в акции в валюте А
равна г& — доходность за счет изменения цены акции + ди-
виденд = (9,75 - 6,78)/6,78 + 0,34/6,78 » 0,488 (48,8%).
Задача 38. Инвестор из страны А в начале года приоб-
рел акции компании из страны В номиналом 50 денежных
единиц В по рыночной цене 150 денежных единиц В (в тот
момент курс А/В был 34,30). В течение года по акциям был
выплачен дивиденд из расчета 15% годовых (в тот момент
курс А/В был 34,25). В конце года инвестор продал акции
354
по цене 190 денежных единиц В (в тот момент курс А/В
был 34,15). Определить доходность инвестирования без уче-
та реинвестирования дивиденда.
Если момент выплаты дивиденда совпадает с моментом
продажи акций, то доходность инвестиций r=p+d+c=
~ р + d + AR(1 + р + d)/R$ =:p4-d4-(l+p + d)(R\ ~ Rq)/Rq.
Здесь р — доходность вследствие разности цен продажи и
покупки (прироста капитала) в валюте инвестирования,
d — доходность вследствие дивиденда (доход на капитал) в
валюте инвестирования, Rq и Ri — курсы валют инвестиро-
вания и инвестора в начале и в конце операции инвестиро-
вания (периода анализа).
Если при расчетах используется курс валюты инвестора
к валюте инвестирования, то формула принимает следую-
щий вид: r=p + d + c= p + d + (l+p + d)(RQ - Ri)/Ri.
Эти формулы используют для анализа доходности порт-
феля международных инвестиций, если в течение рассмат-
риваемого периода не происходило движения наличности
как внутри портфеля (реструктуризация), так и за счет из-
менения (оттока или притока) инвестированного капитала.
Пример 39. В портфеле инвестора из страны А имеют-
ся акции трех компаний: «Альфа» (страна А), «Бета» (стра-
на В), «Гамма» (страна С).
Вид акций	Количество акций	Цена одной акции в местной валюте в начале месяца	Цена одной акции в местной валюте в конце месяца
«Альфа»	500	25,03	25,72
«Бета»	300	43,02	44,15
«Гамма»	400	38,75	37,15
Курсы валют: А/В 20,15 (начало месяца) и 20,10 (ко-
нец месяца), А/С 19,82 (начало месяца) и 19,95 (конец ме-
сяца). Определим доходность портфеля акций по составля-
ющим и в целом.
Найдем значения составляющей текущей доходности за
счет изменения курсов акций в национальных валютах:
Pi = (25,72 - 25,03)/25,03 » 0,028 (= 2,8%);
р2 = (44,15 - 43,02)/43,02 « 0,026 (= 2,6%);
р3 = (37,15 - 38,75)/38,75 » -0,041 (= -4,1%).
d = 0 (в рассматриваемом периоде дивиденд не выпла-
чивался). Значения составляющей текущей доходности за
счет изменения курсов валют в пересчете на валюту инвес-
тора с = (1 + р)(В0 - Bi)/Br.
с± - 0;
с2 == (1 + р2)(Яо - R1)/R1 = (1 + 0,026)(20,15 - 20,10)/
20,10 « 0,003 (= 0,3%);
355
с3 = (1 + Рз)(Яо " RM. = (1 + (—0,041))(19,82 - 19,95)/
19,95 « -0,006 (= -0,6%).
Общая доходность каждого вида акций в валюте инвес-
тора (валюте А) за месяц:
Fl « pi == 2,8%;
r2 = Р2 + с2 = 2,6% + 0,3% в 2,9%;
г3 = РЗ + с3 = -4,1% + (—0,6 %) = -4,7 %.
Вид акций	Рыночная цена в начале месяца		Рыночная цена в конце месяца	
	Национальная валюта	Валюта А	Национальная валюта	Валюта А
«Альфа»	12515	12515	12860	12860
«Бета»	12906	640,5	13245	658,96
«Гамма»	15500	782,04	14860	744,86
Сумма		13937,54		14263,82
Количество акций умножается на цену этого вида ак-
ций в начале и в конце месяца соответственно. Так получа-
ются числа во 2-м и 4-м столбцах. Разделив эти числа на
курсы А/В и А/С, мы получим числа во 3-м и 5-м столб-
цах соответственно. В последней строке указаны суммы чи-
сел соответствующих столбцов. Результаты округляем до
двух цифр после запятой. Доходность портфеля акций в ва-
люте инвестора (валюте А) за месяц равна г = (14263,82 —
- 13937,53)/13937,53x100% « 2,3%.
Задача 39. В портфеле инвестора из страны А имеют-
ся акции трех компаний: «Альфа» (страна А), «Бета» (стра-
на В), «Гамма» (страна С).
Вид акций	Количество акций	Цена одной акции в местной валюте в начале месяца	Цена одной акции в местной валюте в конце месяца
«Альфа»	800	12,15	13,07
«Бета»	600	20,12	20,78
«Гамма»	700	26,52	25,44
Курсы валют: А/В 6,75 (начало месяца) и 6,44 (конец
месяца), А/С 7,34 (начало месяца) и 7,53 (конец месяца).
Определить доходность портфеля акций по составляющим
и в целом.
356
Ответы
1. При продаже 1 денежной единицы валюты А будет получено
29,75 денежных единиц валюты В, а при покупке 1 денежной
единицы валюты А надо потратить 29,85 денежных единиц валю-
ты В. 2. 1487,5 денежных единиц валюты В. 3. 2985 денежных
единиц валюты В. 4- В/А 34 - 35. 5. 1,16 - 1,17. 6. 0,028 — 0,030.
7. 34,21 - 35,34. 8. 29,63 - 29,87. 9- 35,90 - 36,40. 10. 31,13;
1,18; 31,16; 1,21. 11. 8% годовых. 12. 3,6% годовых. 13. 6% го-
довых. 14. 4% годовых. 15. 1,7% годовых. 16. —1,3% годовых.
17. —7% годовых. 18. 1,7% годовых. 19. а) Опцион реализуется,
эффективный курс обмена 35,35; б) отказ от реализации опциона,
эффективный курс обмена 35,25. 20. а) Опцион реализуется, эф-
фективный курс обмена 35,50; б) отказ от реализации опциона,
эффективный курс обмена 35,55. 21. 10% годовых; 7% годовых.
22. 3% годовых; —0,08% годовых. 23. —5% годовых. 24. 4% го-
довых; 1,4% годовых. 25. —5,08% годовых. 26. 8% годовых;
34,83. 27. Займ в банке. 28. Займ в банке. 29. 14,02% годовых.
30. Своп. 31. 3-й вариант. 32. 1) В случае выигрыша конкурса
располагаемая сумма 19496,62 денежных единиц А. При неудаче
на конкурсе и будущем курсе спот 35,10 - 35,25 убытки равны
446,4 денежных единиц А. При неудаче на конкурсе и будущем
курсе спот 35,70 — 35,95 убытки равны 111,22 денежных единиц А.
2) В случае неудачи на конкурсе фирма ничего не теряет. При по-
лучении контракта и будущем курсе спот 35,10 - 35,25 распола-
гаемая сумма 19858,16 денежных единиц А. При получении кон-
тракта и будущем курсе спот 35,70 — 35,95 располагаемая сумма
19471,49 денежных единиц А. 3) При получении контракта рас-
полагаемая сумма 19635,34 денежных единиц А. При будущем
курсе спот 35,10 — 35,25 упущенная выгода 222,82 денежных еди-
ниц А. В случае неудачи на конкурсе и будущем курсе спот 35,10
— 35,25 убытки 307,68 денежных единиц А. В случае неудачи на
конкурсе и будущем курсе спот 35,70 — 35,95 прибыль равна 27,5
денежных единиц А. 33. Если курс А/В составит 21,10 — 21,15,
то опцион не реализуется. Убытки равны размеру уплаченной пре-
мии 24000 денежных единиц В. Если курс А/В составит 20,90 -
21,00, то прибыль равна 16000 денежных единиц В. 34. 6% годо-
вых. 35. 8,6% годовых. 36. 20,59. 37. 20,12. 38. 76,7%; 77,3%.
39. 7,6%; 8,3%; -5,9%; 5,1%.
357
Программа учебного курса
«Валютные расчеты»
1.	Курсы валют, котировка, пункт, полная котировка, прямая
и косвенная котировки, кросс-курс.
2.	Расчет кросс-курса А/С на основании курсов А/В и С/В.
3.	Расчет кросс-курса В/С на основании курсов А/В и А/С.
4.	Расчет кросс-курса А/С на основании курсов А/В и В/С.
5.	Курсы спот и форвард. Форвардная маржа. Премия и дис-
конт. Теоретический курс форвард.
6.	Точное и приближенное значения теоретической форвард-
ной маржи.
7.	Форвардные сделки. Форвардная сделка по покупке валю-
ты, котируемой с премией.
8.	Форвардная сделка по покупке валюты, котируемой с дис-
контом.
9.	Форвардная сделка по продаже валюты, котируемой с пре-
мией.
10.	Форвардная сделка по продаже валюты, котируемой с дис-
контом.
11.	Валютный своп. Своп с котируемой валютой, его результаты.
12.	Своп с котирующей валютой, его результаты.
13.	Валютный опцион. Call-опцион: цена исполнения, премия,
эффективный курс обмена, условие отказа от реализации.
14.	Put-опцион: цена исполнения, премия, эффективный курс
обмена, условие отказа от реализации.
15.	Инвестирование капитала. Конвертация валют по схеме
В -* А -* В при известном курсе А/В. Доходность операции.
16.	Конвертация валют по схеме А -* В -* А при известном
курсе А/В. Доходность операции.
17.	Приобретение иностранной валюты для оплаты будущих
расходов. Операция «занять — конвертировать спот — инвести-
ровать» . Эквивалентное значение форвардной маржи, эквивалент-
ный курс форвард продажи приобретаемой валюты.
18.	Приобретение оборотного капитала.
19.	Эффективность покрытия за счет местной валюты разни-
цы в процентных ставках по займу и депозиту в иностранной ва-
люте.
20.	Приобретение оборудования для организации производст-
ва за рубежом.
358
21.	Участие в конкурсе на получение контракта в иностран-
ной валюте.
22.	Депозитно-кредитные операции банка. Возможная ставка
по депозиту в иностранной валюте.
23.	Возможная ставка по кредиту в иностранной валюте.
24.	Определение курса покупки валюты для клиента банка.
25.	Определение курса продажи валюты для клиента банка.
26.	Анализ доходности международного портфеля ценных бу-
маг.
359
Задачи для контрольной работы
по курсу «Валютные расчеты»
1-10. а) Известны курсы А/В f — g и С/В h — k. Найти
на основании этих данных курс А)С.
б) Известны курсы A/В f - g и А/С h — k. Найти на ос-
новании этих данных курс В/С.
в) Известны курсы A/В f — g и В/С h - k. Найти на осно-
вании этих данных курс А/С.
Вариант	f	g	h	k
1	34,65	34,85	29,15	29,26
2	34,70	34,94	29,23	29,39
3	34,26	34,48	29,34	29,48
4	34,35	34,45	29,45	29,61
5	34,56	34,69	29,52	29,68
в	34,67	34,81	29,64	29,72
7	34,12	34,23	29,71	29,90
8	34,24	34,35	29,28	29,41
9	34,43	34,57	29,37	29,52
10	34,87	34,99	29,17	29,31
11-20. Известны курс А/В спот f — g и форвардная мар-
жа h ~ k (срок t дней). Найти курс форвард. Определить ре-
зультат форвардной сделки по покупке валюты А. Опреде-
лить результат форвардной сделки по продаже валюты А.
Определить результат свопа с валютой А. Определить резуль-
тат свопа с валютой В.
Вариант	f	g	h	k	t
11	34,65	34,85	15	26	91
12	34,70	34,94	23	35	61
13	34,26	34,48	13	5	182
14	34,35	34,45	14	17	30
15	34,56	34,69	23	20	31
16	34,67	34,81	12	15	60
17	34,12	34,23	19	14	90
18	34,24	34,35	29	34	180
19	34,43	34,57	32	30	91
20	34,87	34,99	12	17	61
360
21-30. Курс А/В равен g. Средние ставки межбанковских
кредитов на срок t дней равны 1д% годовых, iB% годовых.
Определить точное и приближенное значения теоретическо-
го курса форвард и теоретической форвардной маржи.
Вариант	f	t		
21	34,65	91	2	9
22	34,70	61	3	10
23	34,26	182	4	12
24	34,35	30	6	9
25	34,56	31	7	13
Вариант	f	t		
26	34,67	60	8	12
27	34,12	90	9	14
28	34,24	180	10	15
29	34,43	91	11	14
30	34,87	61	12	17
31-40. а) Приобретен опцион на покупку через 1 месяц
валюты А по следующей цене: 1 денежная единица А равна
R денежных единиц В с выплатой премии Р денежных еди-
ниц В за 1 денежную единицу А. Определить результаты
сделки, если через 1 месяц курс А/В составит: 1) f — g;
2) h — k.
б) Приобретен опцион на продажу через 1 месяц валюты
А по следующей цене: 1 денежная единица А равна Т де-
нежных единиц В с выплатой премии Р денежных единиц В
за 1 денежную единицу А. Определить результаты сделки,
если через 1 месяц курс А/В составит 1) f — g; 2) h — k.
Вариант	f	g	h	k	R	T	P
31	34.65	34,85	34.15	34.26	34.37	34,37	0.01
32	34,70	34.94	34.23	34.39	34.58	34.58	0.02
33	34,26	34,48	34.34	34.57	34.53	34,31	0.03
34	34,35	34.45	34.45	34.61	34,58	34.42	0,04
35	34,56	34.69	34.52	34.63	34,65	34.54	0.05
36	34,67	34.81	34,64	34,72	34.74	34.65	0.08
37	34,12	34,23	34,71	34,90	34,47	34,47	0.06
38	34,24	34.35	34.28	34.41	34,39	34,25	0.09
39	34,43	34.57	34,37	34,52	34.54	34.40	0.07
40	34,87	34,99	34,17	34,31	34,65	34,65	0,04
41-50. Известны курс А/В спот f — g и форвардная
маржа h - k (срок t дней). Ставки на денежном рынке на
срок t дней равны:	годовых (валюта A), iB% годовых
(валюта В).
а)	Рассматриваются следующие варианты инвестирова-
ния валюты В: 1) размещение на депозит; 2) проведение сво-
па с валютой А и размещение валюты А на депозит. Опреде-
лить эффективность вариантов инвестирования.
б)	Рассматриваются следующие варианты инвестирова-
ния валюты А: 1) размещение на депозит; 2) проведение сво-
361
па с валютой В и размещение валюты В на депозит. Опреде-
лить эффективность вариантов инвестирования.
в)	Определить стоимость приобретения валюты А при опе-
рации «занять — конвертировать спот — инвестировать» и
эквивалентный курс форвард продажи валюты А.
г)	Фирме требуются средства в валюте В на срок t дней.
Рассматриваются следующие варианты: 1) займ валюты В в
банке; 2) займ валюты А и приобретение валюты В через
своп. Определить наименее затратный вариант.
д)	Фирма в стране В получила средства в валюте А от
родительской компании в стране А на срок t дней для ис-
пользования в качестве оборотного капитала. Ставки на де-
нежном рынке на срок t дней: 1в% годовых (валюта В, ме-
стный рынок), 1д% годовых (валюта А, рынок страны А).
Рассматриваются следующие варианты: 1) своп с валютой
В; 2) положить валюту А на депозит в стране А, а валюту В
заимствовать на местном рынке. Определить наименее за-
тратный вариант.
е)	Фирма из страны А собирается организовать произ-
водство на своем филиале в стране В через t дней с исполь-
зованием оборудования, сделанного в стране В. Оплата обо-
рудования должна быть произведена в валюте В. Рассмат-
риваются следующие варианты: 1) занять валюту В на
t дней, купить оборудование сейчас, купить валюту В за ва-
люту А на t дней по курсу форвард для возврата займа;
2) занять валюту А на t дней, купить на нее валюту В и
приобрести оборудование сейчас; 3) занять валюту А на
t дней, купить на нее валюту В и инвестировать ее, через
t дней приобрести оборудование; 4) купить валюту В на
t дней по курсу форвард. Дополнительные расходы на хра-
нение оборудования в течение t дней, по оценкам, составят
q% от его стоимости. Определить финансовую эффектив-
ность каждого варианта.
ж) Фирма из страны А изучает возможность принять уча-
стие в конкурсе в стране В на получение контракта стоимо-
стью S денежных единиц В через t дней с момента подачи
заявки. В случае получения контракта S денежных единиц
В будут конвертированы в валюту А для финансирования
необходимых разработок. Рассматриваются следующие ва-
рианты: 1) занять валюту В на t дней, купить валюту А по
курсу спот и положить на депозит; 2) ждать результаты кон-
курса и в случае получения контракта поменять валюту В
на валюту А по будущему курсу спот; 3) заключить форвард-
ную сделку по покупке валюты А на t дней. Определить ожи-
362
даемые финансовые результаты по каждому варианту при
получении контракта и при неудаче, если курс спот на этот
момент будет: i) с — d; ii) w — v.
з)	Фирма из страны В изучает возможность принять уча*
стие в конкурсе в стране А на получение контракта стоимо-
стью S денежных единиц А через t дней с момента подачи
заявки. В случае получения контракта S денежных единиц
А будут конвертированы в валюту В для финансирования
необходимых разработок. Для страхования валютного рис-
ка фирма приобретает опцион на поставку через t дней ва-
люты А в обмен на валюту В по следующей цене: 1 денеж-
ная единица А равна R денежных единиц В с выплатой пре-
мии Р денежных единиц В за 1 денежную единицу А. Оп-
ределить результат приобретения опциона при неудаче на
конкурсе, если курс спот на этот момент будет: i) с — d;
ii) w - v.
и)	Банку предложен депозит в валюте А на t дней. Банк
предполагает разместить эти средства на рынке валюты В.
Процентная маржа банка q% годовых. Определить возмож-
ную ставку банка по депозиту в валюте А.
к)	В банк поступила заявка на кредит в валюте А на
t дней. Банк в данный момент имеет свободные средства в
валюте В. Процентная маржа банка q% годовых. Опреде-
лить возможную ставку банка по кредиту в валюте А.
л)	Фирма-импортер обращается в банк с заявкой на по-
купку валюты А на t дней в обмен на валюту В. Прибыль
банка должна составлять д% от суммы сделки в валюте
В. Определить курс форвард продажи валюты А для фир-
мы.
м) Фирма-экспортер обращается в банк с заявкой на про-
дажу валюты А через t дней в обмен на валюту В. Прибыль
банка должна составлять д% от суммы сделки в валюте В.
Определить курс форвард покупки валюты А у фирмы.
Вариант	f	g	h	k	t	Ia		S
41	34.65	34,85	55	65	91	2-4	9-11	550000
42	34.70	34.94	36	47	61	3-5	10- 12	670000
43	34.26	34.48	90	99	182	4-6	12 - 14	760000
44	34.35	34.41	8	13	30	6-8	9-11	840000
45	34,56	34.69	15	23	31	7-9	13 - 15	920000
46	34,67	34,81	18	24	60	8-10	12 - 14	630000
47	34.12	34.23	39	45	90	9-11	14 - 16	590000
48	34.24	34,35	78	90	180	10 - 12	15 - 17	870000
49	34.43	34.57	22	30	91	11 - 13	14 - 16	960000
50	34,87	34,99	28	37	61	12 - 14	17 - 19	740000
363
Вариант	Ч	с	d	W	V	R	Р
41	0.1	35.05	35,16	35.55	35.75	35.37	0.01
42	0.2	34.90	34.99	35.48	35.60	35.58	0,02
43	0.3	35.05	35.15	35.48	35,60	35.33	0,03
44	0.9	34.37	34.42	34,57	34.61	34,48	0.04
45	0.7	34.61	34.70	34,93	34.99	34,75	0,05
46	0.8	34.74	34.84	35.15	35.23	34,94	0,08
47	0.6	34,37	34.42	34,71	34,90	34,47	0.06
48	0.4	34.90	34.99	35,48	35.60	34.99	0.09
49	0.55	34.57	34.61	34.90	34,99	34.89	0.07
50	0,45	35,05	35,15	35,48	35,60	35,33	0,04
51 <-60. Инвестор из страны А в начале года приобрел ак-
ции компании из страны В номиналом F денежных единиц
В по рыночной цене G денежных единиц В (в тот момент
курс А/В был равен с). В течение года по акциям был вы-
плачен дивиденд из расчета q% годовых (в тот момент курс
А/В был равен d). В конце года инвестор продал акции по
цене Н денежных единиц В (в тот момент курс А/В был ра-
вен w). Определить доходность инвестирования без учета ре-
инвестирования дивиденда.
Вариант	с	d	W	F	G	Н	Ч
51	35.05	35,16	35.55	60	130	140	12
52	34.90	34.99	35.48	70	90	110	11
53	35.05	35.15	35.48	80	120	140	13
54	34,37	34.42	34.57	90	110	120	14
55	34.61	34.70	34.93	40	60	90	17
55	34.74	34.84	35.15	30	70	80	16
57	34,37	34.42	34,71	55	80	90	18
58	34.90	34.99	35.48	85	110	140	19
59	34,57	34.61	34.90	45	75	95	20
80	35,05	35,15	35,48	20	45	75	9
61-70. В портфеле инвестора из страны А имеются ак-
ции трех компаний: «Альфа» (страна А), «Бета» (страна В),
«Гамма» (страна С).
Вид акций	Количество акций	Цена одной акции в местной валюте в начале месяца	Цена одной акции в местной валюте в конце месяца
«Альфа»	W	т	п
«Бета»	V	t	2
«Гамма»	и	У	X
Курсы валют: А/В f (начало месяца) и g (конец месяца),
А/С h (начало месяца) и k (конец месяца). Определить до-
ходность портфеля акций по составляющим и в целом.
364
Вариант	f	ё	h	k	W	V	U
в1	34.65	34.85	12.55	12.65	900	550	700
62	34.70	34.94	9.36	9.47	670	430	800
63	34.26	34.48	19.90	19.99	760	680	330
64	34.35	34.41	2,80	3.13	840	420	780
65	34.56	34.69	11.15	11;23	920	690	550
66	34.67	34.81	18.18	18.24	630	420	780
67	34.12	34.23	1.39	1.45	590	910	770
68	34.24	34.35	2.78	1.90	870	520	680
69	34.43	34,57	4.22	4.30	960	400	810
70	34,87	34,99	15,28	15,37	740	380	990
Вариант	m	n	t	z	У	X
61	5,05	5,16	3,55	3,75	8,37	9,01
62	5,90	5,99	3,48	3,60	9,58	9,02
63	3,07	3,15	5,48	5,60	10,33	10,03
64	4,37	4,42	3,57	3,61	14,48	14.04
65	4,61	4,70	3,93	3,99	13,75	13,05
66	4,74	4,84	5,15	5,23	3,94	4,08
67	3,37	3,42	4,71	4,90	12,47	12,06
68	4.90	4,99	5,48	5,60	7,99	8,09
69	4,57	4,61	3,90	3,99	5,89	6,07
70	3,05	3,15	4,48	4,60	6,33	6,04
365
Литература
Ковалев В. В. Введение в финансовый менеджмент. — М.: Фи-
нансы и статистика» 1999.
Просветов Г. И. Анализ хозяйственной деятельности предпри-
ятия: Задачи и решения. — М.: Издательство РДЛ, 2005.
Просветов Г. И. Бизнес-планирование: Задачи и решения. —
М.: Издательство РДЛ, 2005.
Просветов Г. И. Математика в экономике: Задачи и решения.
— М.: Издательство РДЛ, 2004.
Просветов Г. И. Математические методы в экономике. — М.:
Издательство РДЛ, 2004.
Просветов Г. И. Математические модели в экономике. — М.:
Издательство РДЛ, 2005.
Просветов Г, И. Цены и ценообразование: Задачи и решения.
— М.: Издательство РДЛ, 2005.
Просветов Г. И. Эконометрика. Задачи и решения. — М.: Из-
дательство РДЛ, 2004.
366
Содержание
Предисловие ........................................... 3
Раздел!.
ФИНАНСОВАЯ МАТЕМАТИКА
ГЛАВА 1. Основные понятия финансовой математики ....... 8
ГЛАВА 2. Простые ставки ссудных процентов ............ 10
2.1.	Математическое дисконтирование ................ 11
2.2.	Английская, немецкая и французская практики начис-
ления процентов ..................................... 11
2.3.	Случай изменения простой ставки ссудного процента.	12
ГЛАВА 3. Простые учетные ставки ...................... 14
ГЛАВА 4. Сложные ставки ссудных процентов ............ 16
4.1.	Математическое дисконтирование ................ 17
4.2.	Случай, когда период начисления не является целым чис-
лом ................................................. 17
4.3.	Случай изменения сложной ставки ссудного процента ...	18
4.4.	Начисление сложных процентов несколько раз в году.
Номинальная процентная ставка ....................... 19
4.5.	Непрерывное начисление сложных процентов ...... 19
ГЛАВА 5. Сложные учетные ставки ...................... 20
ГЛАВА 6. Учет инфляционного обесценения денег ........ 21
6.1.	Уровень (темп) инфляции. Индекс инфляции ...... 21
6.2.	Ставка, учитывающая инфляцию, для случая простых
процентов. Формула Фишера............................ 22
6.3.	Ставка, учитывающая инфляцию, для случая сложных
процентов ........................................... 23
ГЛАВА 7. Сравнение операций .......................... 26
7.1.	Нахождение эквивалентной простой процентной ставки
для простой учетной ставки .......................... 26
7.2.	Нахождение эквивалентной простой процентной ставки
для сложной процентной ставки ....................... 27
7.3.	Нахождение эквивалентной простой процентной ставки
для номинальной сложной процентной ставки ........... 28
7.4.	Нахождение эквивалентной сложной процентной ставки
для номинальной сложной процентной ставки. Эффек-
тивная сложная процентная ставка..................... 28
367
7.5.	Нахождение эквивалентной номинальной сложной про-
центной ставки для сложной процентной ставки ........
ГЛАВА 8. Модели финансовых потоков .....................
8.1.	Основные понятия ................................
8.2.	Нахождение наращенной суммы для простой ренты пост-
нумерандо ...........................................
8.3.	Нахождение наращенной суммы для простой ренты пре-
нумерандо ...........................................
8.4.	Нахождение современной стоимости для простой рен-
ты ..................................................
8.5.	Определение величины отдельного платежа простой рен-
ты ..................................................
8.6.	Определение срока простой ренты .................
8.7.	Определение процентной ставки простой ренты......
8.8.	Отложенная рейта ................................
8.9.	Сведение общей ренты к простой ренте ............
8.10.	Наращенная сумма общей ренты ...................
8.11.	Современная стоимость общей ренты ..............
8.12.	Преобразование простой ренты в общую ренту .....
8.13.	Простая бессрочная рента .......................
8.14.	Общая бессрочная рента..........................
8.15.	Бессрочная рента пренумерандо ..................
ГЛАВА 9. Арифметика ипотеки ............................
9.1.	Вариант 1: аннуитет .............................
9.2.	Вариант 2: справедливый, но не очень удобный ....
9.3.	Вариант 3: простой, но грабительский.............
9.4.	Вариант 4: «хвост», погашаемый в конце срока ....
ГЛАВА 10. Ломбардный кредит.............................
10.1. Расчеты «от ста», «меньше ста», «выше ста» ....
10.2. Расчет ломбардного кредита ....................
ГЛАВА 11. Средний срок погашения ссуды одному кредитору
ГЛАВА 12. Начисление процентов на сумму вклада до востре-
бования ...............................................
ГЛАВА 13. Реальная ставка доходности с учетом налога ...
13.1.	Средняя ставка налога .........................
13.2.	Случай простой процентной ставки ..............
13.3.	Случай простой учетной ставки .................
13.4.	Случай сложной процентной ставки ..............
ГЛАВА 14. Доходность удержания комиссионных ............
14.1.	Расчет эффективной ставки простых процентов при вы-
даче ссуды по простой процентной ставке..............
14.2.	Расчет эффективной ставки сложных процентов при вы-
даче ссуды по простой процентной ставке .............
14.3.	Расчет эффективной ставки сложных процентов при вы-
даче ссуды по сложной процентной ставке .............
368
Ответы ................................................. 58
Программа учебного курса «Финансовая математика» ....... 59
Задачи для контрольной работы по курсу «Финансовая математика» 61
Раздел II.
ЗАДАЧИ ФИНАНСОВОГО МЕНЕДЖМЕНТА
ГЛАВА 1. Что такое финансовый менеджмент?............... 68
ГЛАВА 2. Основные понятия, используемые при составле-
нии финансовой отчетности ............................. 70
2.1.	Бухгалтерский баланс ............................ 70
2.2.	Активы .......................................... 70
2.3.	Пассивы ......................................... 71
2.4.	Собственный капитал.............................. 71
2.5.	Отчет о движении денежных средств ............... 72
2.6.	Счет прибылей и убытков ......................... 72
2.7.	Расчет прибыли .................................. 72
ГЛАВА 3. Оценка запасов товарно-материальных ценностей 74
3.1.	Метод оценки запасов ФИФО ....................... 74
3.2.	Метод оценки запасов ЛИФО ....................... 76
3.3.	Метод оценки запасов по средневзвешенной......... 77
3.4.	Влияние различных методов оценки запасов на расчет
прибыли .............................................. 78
ГЛАВА 4. Амортизация ................................... 80
4.1.	Метод равномерного начисления износа ............ 80
4.2.	Метод начисления износа с сокращающейся балансовой
стоимости ............................................ 81
4.3.	Метод суммы годичных чисел ...................... 83
4.4.	Сравнение методов начисления амортизации ........ 83
ГЛАВА 5. Расчет задолженности на конец отчетного перио-
да .................................................... 85
5.1. Расчет дебиторской задолженности на конец отчетного
периода ......................................... 85
5.2. Расчет кредиторской задолженности на конец отчетного
периода ......................................... 85
ГЛАВА 6. Анализ результатов деятельности предприятия ...	87
6.1.	Интерпретация документов финансовой отчетности .. 87
6.2.	Суть анализа финансовых коэффициентов ........... 87
6.3.	Эффективность использования ресурсов............. 88
6.3.1.	Коэффициент оборачиваемости активов ...... 88
6.3.2.	Ликвидность .............................. 89
6.3.3.	Влияние хозяйственных операций на уровень лик-
видности ........................................ 91
6.4.	Рентабельность................................... 94
6.4.1.	Скидка с цены (уценка) ................... 95
6.5.	Оценка финансовых результатов деятельности предприя-
тия .................................................. 96
369
ГЛАВА 7. Облигации....................................... 98
7.1.	Основные определения ............................. 98
7.2.	Основной метод оценки стоимости облигаций ........ 99
7.3.	Норма прибыли облигации........................... 99
7.4.	Доходность облигации при погашении в конце срока .... 100
7.4.1.	Метод средних ............................. 101
7.4.2.	Метод интерполяции......................... 101
7.5.	Доходность отзывных облигаций ................... 102
ГЛАВА 8. Акции ......................................... 105
8.1.	Привилегированные акции.......................... 105
8.2.	Обыкновенные акции............................... 106
8.3.	Оценка стоимости акций .......................... 108
8.4.	Акции нулевого роста ............................ 108
8.5.	Акции нормального роста ......................... 109
8.6.	Акции избыточного роста ......................... 110
ГЛАВА 9. Доходы инвесторов .............................. 112
9.1.	Инвестиционные коэффициенты ..................... 112
9.1.1.	Прибыли и дивиденды ...................... 112
9.1.2.	Доход за счет роста рыночной стоимости акций ... 113
9.2.	Структура капитала .............................. 114
9.2.1.	Гиринг (леверидж) ........................ 115
9.2.2.	Влияние гиринга на прибыль акционеров..... 115
ГЛАВА 10. Анализ каналов формирования прибыли .......... 118
ГЛАВА 11. Временные ряды ............................... 123
11.1. Анализ аддитивной модели ....................... 123
11.2. Анализ мультипликативной модели ................ 127
ГЛАВА 12. Экспоненциальное сглаживание ................. 130
12.1. Простая модель экспоненциального сглаживания ... 130
12.2. Экспоненциальное сглаживание с поправкой на тренд ... 131
ГЛАВА 13. Учет затрат .................................. 133
13.1.	Центры затрат .................................. 133
13.2.	Центры прибыли ................................. 134
13.3.	Нормативные и фактические затраты ............. 134
ГЛАВА 14. Составление финансовой сметы ................  135
14.1.	Возможные подходы к составлению финансовой сметы... 135
14.2.	Общая финансовая смета ........................ 136
14.2.1.	Кассовая консолидированная смета ........ 136
14.2.2.	Смета текущих расходов .................. 139
14.2.3.	Сметный отчет о прибылях и убытках....... 140
14.2.4.	Сметный баланс........................... 141
ГЛАВА 15. Сметный контроль ............................. 143
ГЛАВА 16. Факторы производства и затраты ............... 146
16.1. Факторы производства .......................... 146
370
16.2. Классификация затрат .......................... 146
ГЛАВА 17. Анализ безубыточности ....................... 149
17.1.	Ограничения анализа безубыточности ............ 149
17.2.	Точка безубыточности .......................... 149
17.3.	Возможное значение прибыли или убытка.......... 150
17.4.	Альтернативные стратегии бизнеса .............. 151
17.5.	Анализ чувствительности ....................... 151
17.6.	Влияние изменений цены реализации на объем продаж 152
ГЛАВА 18. Принятие краткосрочных решений .............. 155
ГЛАВА 19. Ценообразование ............................. 157
19.1.	Проблемы ценообразования ...................... 157
19.2.	Влияние затрат на ценообразование ............. 158
19.3.	Ценообразование по схеме двойного тарифа ...... 158
19.4.	Ценовая дискриминация .........................1	159
19.4.1.	Условия осуществления и цели ценовой дискри-
минации ......................................... 159
19.4.2.	Ценовая дискриминация первой степени ... 159
19.4.3.	Ценовая дискриминация второй степени ... 160
19.4.4.	Ценовая дискриминация третьей степени .. 161
ГЛАВА 20. Методы оценки инвестиций в условиях определен-
ности ................................................. 163
20.1.	Альтернативные издержки по инвестициям ........ 163
20.2.	Метод чистой приведенной стоимости ............ 164
20.3.	Метод внутренней нормы доходности ............. 166
20.4.	Сравнение методов чистой приведенной стоимости и вну-
тренней нормы доходности ............................ 167
20.5.	Метод окупаемости ............................. 168
20.6.	Учетный коэффициент окупаемости инвестиций .... 169
ГЛАВА 21. Налогообложение и инвестиционные решения .... 172
21.1.	Влияние налогов на величину чистой приведенной стои-
мости инвестиционного проекта ....................... 172
21.2.	Прибыли или убытки от продажи имущества ....... 174
21.3.	Налоговые льготы, направленные на стимулирование ин-
вестиций ............................................ 175
ГЛАВА 22. Сравнение инвестиционных проектов с разными
сроками реализации .................................... 176
ГЛАВА 23. Замена оборудования.......................... 178
ГЛАВА 24. Оценка чистой приведенной стоимости инвестици-
онного проекта в условиях инфляции .................... 180
ГЛАВА 25. Лизинг ...................................... 182
25.1. Преимущества и недостатки лизинга ............. 182
25.2. Сравнительный анализ эффективности лизинга и банков-
ского кредитования покупки основных средств .... 182
371
ГЛАВА 26. Зарубежные инвестиции ....................... 185
26.1. Требуемая доходность в иностранной валюте ..... 185
26.2. Чистая приведенная стоимость зарубежных инвестиций 186
ГЛАВА 27. Применение математического ожидания и стан-
дартного отклонения для оценки риска ................. 187
ГЛАВА 28. Дерево решений............................... 189
ГЛАВА 29. Принятие решений ............................ 194
29.1.	Принятие решений без использования численных значе-
ний вероятностей исходов .......................... 194
29.1.1.	Максимаксное и максиминное решения ..... 194
29.1.2.	Минимаксное решение	............. 195
29.1.3.	Критерий Гурвица ....................... 196
29.2.	Принятие решений с использованием численных значе-
ний вероятностей исходов .......................... 197
29.2.1.	Правило максимальной	вероятности ....... 197
29.2.2.	Максимизация ожидаемого дохода.......... 198
29.2.3.	Ожидаемая стоимость полной информации .. 199
ГЛАВА 30. Анализ инвестиционных проектов, поддающихся
дроблению ........................................ 201
ГЛАВА 31. Дерево вероятностей инвестиционного проекта .... 203
ГЛАВА 32. Форвардные ставки ........................... 206
ГЛАВА 33. Стоимость капитала........................... 208
33.1.	Стоимость облигаций, выпущенных инвестором .... 208
33.2.	Стоимость кредита.............................. 208
33.3.	Стоимость акционерного капитала ............... 209
33.4.	Средневзвешенная стоимость капитала ........... 209
ГЛАВА 34. Сравнительный анализ вариантов финансирова-
ния .................................................. 212
34.1. Прибыль на акцию .............................. 212
34.2. Точка безразличия ............................. 213
ГЛАВА 35. Модель оценки финансовых активов ............ 215
35.1.	Вложение капитала в различные ценные бумаги ... 215
35.2.	Основные предположения модели оценки финансовых ак-
тивов .............................................. 215
35.3.	Теорема разделения ............................ 216
35.4.	Рыночный портфель ............................. 216
35.5.	Взаимосвязь между уровнем риска инвестиций и требуе-
мой нормой прибыли ................................. 217
35.6.	Учет инфляции ................................. 218
ГЛАВА 36. Линейная регрессия........................... 219
36.1.	Простая модель линейной регрессии ............. 219
36.2.	Ошибки ........................................ 221
372
36.3.	Коэффициент корреляции Пирсона. Коэффициент детер-
минации ............................................. 221
36.4.	Предсказания и прогнозы на основе модели линейной ре-
грессии ............................................. 223
36.5.	Основные предпосылки в модели парной линейной рег-
рессии .............................................. 224
36.6.	Процедура испытания гипотез .................... 224
36.7.	Испытание гипотезы	для оценки линейности связи . 226
36.7.1.	Испытание гипотезы для оценки линейности свя-
зи на основе оценки коэффициента корреляции в
генеральной совокупности ....................   226
36.7.2.	Испытание гипотезы для оценки линейности свя-
зи на основе показателя наклона линейной рег-
рессии ........................................ 227
36.8.	Доверительные интервалы в линейном регрессионном
анализе ............................................. 229
36.9.	Регрессия и Excel .............................. 230
ГЛАВА 37. Факторные модели ............................. 233
37.1. Однофакторные модели ........................... 233
37.2. Многофакторные модели .......................... 236
ГЛАВА 38. Теория арбитражного ценообразования .......... 238
38.1. Арбитражный портфель ...............*........... 238
ГЛАВА 39. Производные финансовые инструменты ........... 241
39.1. Опционы ........................................ 241
. 39.2. Call-опционы ................................... 242
39.3.	Put-опционы .................................... 242
39.4.	Стеллаж ........................................ 243
39.5.	Стрэнгл ........................................ 245
39.6.	Спрэд .......................................... 245
39.7.	Варранты........................................ 246
39.8.	Права .......................................... 247
39.9.	Фьючерсы ....................................... 248
ГЛАВА 40. Управление запасами .......................... 250
40.1.	Основные понятия ............................... 250
40.2.	Основная модель управления запасами ............ 250
40.3.	Модель экономичного размера партии ............. 252
40.4.	Скидка на количество ........................... 253
40.5.	Модель производства партии продукции ........... 254
40.6.	Модель планирования дефицита ................... 255
40.6.1.	Случай невыполнения заявок .............. 256
40.6.2.	Случай выполнения заявок ................ 257
40.7.	Неопределенность и основная модель управления запаса-
ми .................................................. 258
40.8.	Уровневая система повторного заказа............. 259
40.8.1.	Достижение минимальной стоимости ........ 259
40.8.2.	Достижение минимального уровня обслужива-
ния ............................................ 262
40.9.	Циклическая система повторного заказа .......... 263
373
40.10.	Другие вопросы управления запасами ........... 264
40.11.	Имитационное моделирование ................... 264
40.12.	Применение имитационных моделей в теории управле-
ния запасами ........................................ 266
ГЛАВА 41. Слияние предприятий ......................... 268
ГЛАВА 42. Анализ движения и технического состояния основ-
ных средств ........................................... 270
ГЛАВА 43. Анализ сбалансированности денежных потоков ... 273
ГЛАВА 44. Методы рейтинговой оценки финансового состоя-
ния предприятия ....................................... 276
44.1. Метод суммы мест .............................. 277
44.2. Таксонометрический метод ...................... 278
ГЛАВА 45. Трансфертное ценообразование на предприятиях
со сложной структурой ................................. 280
Ответы ................................................ 282
Программа учебного курса «Задачи финансового менеджмента» 287
Задачи для контрольной работы по курсу «Задачи финансового
менеджмента» ....:..................................... 294
Раздел III.
ВАЛЮТНЫЕ РАСЧЕТЫ
ГЛАВА 1. Курсы валют .................................. 318
1.1.	Основные понятия ............................... 318
1.2.	Прямая котировка................................ 318
1.3.	Косвенная котировка ............................ 319
ГЛАВА 2. Кросс-курсы валют ............................ 320
2.1.	Расчет	кросс-курса А/С	на основании курсов	А/В и	С/В	320
2.2.	Расчет	кросс-курса В/С	на основании курсов	А/В и	А/С	320
2.3.	Расчет	кросс-курса А/С	на основании курсов	А/В и	В/С	321
ГЛАВА 3. Курсы спот и форвард ......................... 322
3.1. Форвардная маржа ............................... 322
3.2. Точное и приближенное значения теоретической форвард-
ной маржи ...................................... 323
ГЛАВА 4. Форвардные сделки ............................ 325
4.1.	Форвардная сделка по покупке валюты, котируемой с
премией.............................................. 325
4.2.	Форвардная сделка по покупке валюты, котируемой с
дисконтом ........................................... 326
4.3.	Форвардная сделка по продаже валюты, котируемой с
премией.............................................. 326
4.4.	Форвардная сделка по продаже валюты, котируемой с
дисконтом ........................................... 327
374
ГЛАВА 5. Валютные свопы .................................. 328
5.1. Своп с котируемой валютой, его результаты ......... 328
5.2. Своп с котирующей валютой, его результаты ......... 329
ГЛАВА 6. Валютные опционы ................................ 331
6.1. Call-опцион ....................................... 331
6.2. Put-опцион ........................................ 332
ГЛАВА 7. Инвестирование капитала ......................... 333
7.1. Конвертация валют по схеме В -» А -* В при известном
курсе А/В ...................................... 333
7.2. Конвертация валют по схеме А -* В А при известном
курсе А/В ...................................... 335
ГЛАВА 8. Приобретение иностранной валюты для оплаты
будущих расходов ...................................... 337
ГЛАВА 9. Приобретение оборотного капитала ................ 339
9.1. Эффективность покрытия за счет местной валюты разни-
цы в процентных ставках по займу и депозиту в иност-
ранной валюте .................................. 340
ГЛАВА 10. Покупка оборудования для организации производ-
ства за рубежом ....................................... 343
ГЛАВА 11. Участие в конкурсе на получение контракта в ино-
странной валюте ....................................... 345
ГЛАВА 12.	Депозитно-кредитные операции	банка ........... 349
12.1. Возможная ставка по депозиту в иностранной валюте ... 349
12.2. Возможная ставка по кредиту в иностранной валюте . 350
ГЛАВА 13. Определение курса покупки и продажи валюты
для клиента банка ..................................... 352
13.1. Определение курса покупки валюты для клиента банка 352
13.2. Определение курса продажи валюты для клиента банка 353
ГЛАВА 14. Анализ доходности международного портфеля
ценных бумаг ............................... 354
Ответы ............................................... 357
Программа учебного курса «Валютные расчеты* .......... 358
Задачи для контрольной работы по курсу «Валютные расчеты*.. 360
Литература ........................................... 366
375
ПРОСВЕТОВ Георгий Иванович
ФИНАНСОВЫЙ
МЕНЕДЖМЕНТ
Задачи и решения
Учебно-методическое
пособие
Лицензия ИД № 00834 от 25 января 2000 г.
Сдано в набор 24.01.2005. Подписано в печать 21.04.2005.
Формат 84x108 1/32* Гарнитура «Школьная».
Печать офсетная. Тираж 700 экз.
Заказ № 628.
Научный редактор В. М. Трояновский.
Оригинал-макет подготовлен с использованием редакционно-
издательского комплекса на базе ПЭВМ «Макинтош».
Начальник редакции В.М.Дубилът.
ООО «Издательство РДЛ».
119991, Москва, ул. Вавилова, д. 30/6.
Телефон/факс: (095) 135-98-93.
E-mail: rdl@rinet.ru
Отпечатано с готовых диапозитивов
в Загорской типографии.
141300, Московская область, г. Сергиев Посад,
пр. Красной Армии, д. 212Б.
Этот файл был взят с сайта
http://all-ebooks.com
Данный файл представлен исключительно в
ознакомительных целях. После ознакомления с
содержанием данного файла Вам следует его
незамедлительно удалить. Сохраняя данный файл
вы несете ответственность в соответствии с
законодательством.
Любое коммерческое и иное использование кроме
предварительного ознакомления запрещено.
Публикация данного документа не преследует за
собой никакой коммерческой выгоды.
Эта книга способствует профессиональному росту
читателей и является рекламой бумажных изданий.
Все авторские права принадлежат их уважаемым владельцам.
Если Вы являетесь автором данной книги и её распространение
ущемляет Ваши авторские права или если Вы хотите
внести изменения в данный документ или опубликовать
новую книгу свяжитесь с нами по email.