АКАДЕМИЯ НАУК СССР

РЕДКОЛЛЕГИЯ СЕРИИ «НАУЧНО-БИОГРАФИЧЕСКАЯ ЛИТЕРАТУРА»
И ИСТОРИКО-МЕТОДОЛОГИЧЕСКАЯ КОМИССИЯ
ИНСТИТУТА ИСТОРИИ ЕСТЕСТВОЗНАНИЯ И ТЕХНИКИ АН СССР
ПО РАЗРАБОТКЕ НАУЧНЫХ БИОГРАФИЙ ДЕЯТЕЛЕЙ
ЕСТЕСТВОЗНАНИЯ И ТЕХНИКИ:
Л. Я. Бляхер,А. Т. Григоръян, Б. М. Кедров,
Б. Г. Кузнецов, В. И. Кузнецов, А. И. Купцов,
Б. В. Левшин, С. Р. Микулинский, Д. В. Ознобишин,
3. К. Соколовская (ученый секретарь), В. Н. Сокольский,
Ю. И. Соловьев, А. С. Федоров (зам. председателя),
И. А. Федосеев (зам. председателя),
Н. А. Фигуровский (зам. председателя),
А. А. Чеканов, С. В. Шухардин, А. П. Юшкевич,
А. Л. Яншин (председатель), М. Г. Ярошевский

A. H. Боголюбов
Гаспар 9ГОНЖ
1746—1818
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»
МОСКВА
1978

Б 74 Боголюбов А. Н. Гаспар Монж.— М.: Наука, 1978.—
184 с, илл.
Книга посвящена жизни ж деятельности французского
ученого, внесшего важный вклад в создание
начертательной, аналитической и дифференциальной
геометрий. Гаспар Монж был видным деятелем Французской
революции — членом Якобинского клуба, морским
министром, создавал оборонную промышленность,
принимал деятельное участие в организации науки и
высшего образования во Франции.
Ответственный редактор
академик И. И. АРТОБОЛЕВСКИЙ
Алексей Николаевич Боголюбов
Гаспар Монж
(1746—1818)
Утверждено к печати редколлегией
научно-биографической серии Академии наук СССР
Редактор В. А. Никифоровский
Редактор издательства Н. Б. Прокофьева
Художественный редактор И. В. Разина
Технический редактор Я. Н. Плохова
Корректоры Л. С. Агапова, О. В. Лаврова
ИБ № 7378
Сдано в набор 13.07.78. Подписано к печати 20.11.78. Т-18148.
Формат 84xl08V32. Бумага типографская № 2. Гарнитура обыкновенная.
Печать высокая. Усл. печ. л. 9,66. Уч.-изд. л. 9,9. Тираж 30 000 экз.
Тип. зак. 737. Цена 35 коп.
Издательство «Наука». 117485, Москва, В-485, Профсоюзная ул., 94а
2-я тип. издательства «Наука». 121099, Москва, Г-99, Шубинский пер., 10
J 054(02)^-78 б5—78НП © Издательство «Наука», 1978 г.

Глава первая
Бон. Мезьер. Париж
На востоке Франции, в Бургундии, герцоги которой
когда-то оспаривали право владения всей Францией, в
пределах современного департамента Кот л'Ор расположен
небольшой городок Бон. Богатая виноградниками
местность, родина знаменитого бургундского, славится своей
красотой. Здесь 10 мая 1746 г. родился Гаспар Монж.
Предки ученого издавна жили в Савойе, в той ее
части, которая впоследствии отошла к Швейцарии.
Достаточно - широко распространенная фамилия Монж имеет
поэтому провансальское звучание (Monge — monachus —
монах). Около 1660 г. в местечке Сен-Жуар-Ан-Фосиньи
жил крестьянин Монж, у которого было два сына.
Старший из них унаследовал поле отца, а младший стал
приходским священником. 24 июня 1718 г. у Клода Монжа
родился сын Жак, которому пришлось батрачить чуть ли
не с детства. В 1737 г. Жак Монж обосновался в Боне.
Здесь он сначала работает по найму, немного занимается
ремеслом, затем становится бродячим торговцем. Около
1751 г. у него есть постоянное место на рынке, он
расширяет свою торговлю, а в 1755 г. он уже член
конфедерации лавочников в приходе церкви кордельеров и
жезлоносец этой конфедерации.
В своей лавке Жак Монж торговал всем понемногу,
но потом перешел на железоскобяные товары: это было
ближе к его ремеслу, поскольку, прежде чем стать
торговцем, он был точильщиком. В 1744 г. Жак Монж
женился на дочери каретных дел мастера Пьера Руссо —
Жанне. Возможно, этот брак и ввел его в среду
«солидных» лавочников Бона.
Едва ли у Жака Монжа было какое-либо
образование, в лучшем случае он умел читать и писать. Но
сыновьям он передал не только свой глубокий природный
5

ум. Жак Монж использовал все возможности, чтобы дать
им самое лучшее образование, которое было доступно
тогда для представителей общественных низов.
У супругов Монж было пятеро детей. Гаспар был
старшим. Второй сын, Луи, впоследствии оказался одним
из трех участников экспедиции Лаперуза, которым
удалось вернуться во Францию \ Он был затем профессором
математики и астрономии. Младший сын, Жан, стал
профессором математики, гидрографии и навигации. То, что
в годы «старого порядка» из семьи третьего сословия
(причем низших слоев) вышло трое ученых, было
явлением совершенно исключительным.
Во второй трети XVIII в. началась промышленная
революция — появились новые машины, которые могли
заменить уже не только физическую силу человека, а его
руку, его уменье. К этому времени все развитые в
техническом отношении страны принципиально были готовы
к промышленной революции: изобретения машин,
заменяющих руку человека, следуют одно за другим почти
одновременно в Англии и России, в Германии и Чехии,
в Италии и во Франции. Однако — и это явилось
наиболее существенным обстоятельством — в странах Западной
и Восточной Европы не было тех социальных условий,
которые сложились в Великобритании: здесь «бескровная
революция XVII века» способствовала образованию
резервной армии труда, не говоря уже о неограниченных
возможностях колониальных рынков и о капиталах,
постоянно «приплывавших» в страну в результате
ограбления тех же колоний. В других европейских странах, и в
частности во Франции, дело обстояло иначе.
Франция в целом была аграрной страной, однако
важное место в народном хозяйстве занимала
промышленность. В начале второй половины XVIII в. во
французском языке появляется слово «индустрия» в его
современном значении. «До второй доловины XVIII в. слово
1 Экспедиция 1785—1788 гг. под командованием Лаперуза имела
целью изучение Тихого океана, а также условий китобойного
промысла и торговли пушными товарами в Северной Америке,
Китае и Японии. Экспедицию составляли два судна:
«Астролябия» под командованием Лянгля и «Буссоль», которым
командовал Лаперуз. Луи Монж был в составе экипажа «Астроля-
. бии». Экспедиция погибла после февраля 1788 г.
6

«индустрия» означало «ловкость», «умение жить» и, в
расширенном понятии — любой способ добывать деньги.
Слово «индустрия», в нашем современном смысле, т. е.
в значении «преобразование сырья с целью сделать его
используемым, непосредственно применяемым», еще не
появилось. То, что мы называем «индустрией»,
называлось «коммерцией». Коммерция включала все то, что
понимается под обменом, обращением собственности, а
также и то, что теперь называется индустрией. А тогда,
когда хотели быть точными, говорили об «искусствах и
ремеслах», о «фабриках»; словом, о том, что называется
индустрией сейчас» 2.
В середине века «индустрия» становится важным
занятием; вместе с тем начинают обращать внимание на
технику. Развивается текстильная промышленность,
которая работает не только на внутренний рынок: большую
роль играет экспорт в Италию, Испанию, Португалию, в
португальские и испанские колониальные владения в
Америке, а также французские колонии. Повышенный спрос
на ткани стимулирует изобретательскую мысль. Так, в
1745 г. некий Андре представил на рассмотрение в
Парижскую академию наук машину для прядения хлопка, льна,
шерсти и конопли; она была одобрена Академией, но о ее
практическом применении не известно ничего. В те же
годы Вокансон 3 изобрел машину для выработки шелковых
тканей со сложным рисунком. Начинают применяться во
Франции и английские машины. Развивается также
черная металлургия — Франция должна избавиться от ввоза
шведского железа, которое становится практически
недосягаемым из-за непрерывных войн с Англией. Особое
значение приобретают артиллерийская техника,
фортификация и инженерное искусство. Войны и подготовка к
ним требовали повышенного внимания к сооружению
крепостей, нужны были и военные инженеры. Член
Парижской академии наук маршал Вобан4 из числа пехотных
2 Mousnier R. Progrès scientifique et technique au XVIIIe siècle.
Paris, 1958, p. 269—270.
3 Жак Вокансон (Vaucanson, 1709—1782) — выдающийся механик.
Изобрел ряд автоматов. С 1741 г.— инспектор королевских
шелковых мануфактур. Член Парижской академии наук (1748). На
базе его коллекции машин была создана в Париже
Консерватория искусств и ремесел.
4 Себастьен де Петр де Вобан (de Vauban, 1633—1707) с 1699 г,
7

офицеров, архитекторов и строительных подрядчиков
готовил военных инженеров. В качестве руководств
применялись два сочинения Белидора 5 («Инженерная наука» и
«Гидравлическая архитектура») и трехтомный труд Фре-
зье6 («Теория и практика резания камней и дерева...
или трактат о стереотомии»).
10 мая 1748 г. в г. Мезьер (в Арденнах, на р. Маас)
открылась Инженерная школа. Мезьер был выбран не
случайно. Его первоклассная крепость — одна из первых во
Франции — выдержала много осад, и укрепления этого
города считались образцовыми. Школа была открыта
буквально явочным порядком: опираясь на не совсем ясное
решение военного министра о необходимости готовить
инженеров к экзамену, директор Мезьерского инженерного
округа Шатийон (1699—1765) основал школу, в которой
инженеры-волонтеры могли бы совершенствовать свои
познания в арифметике, геометрии, тригонометрии,
механике, гидравлике и иных науках, в черчении планов и
соответствующей практике инженерного искусства. Занятия
проводились 6 дней в неделю, четыре дня посвящались
изучению теории — математики и архитектуры, два дня —
практическим работам. Впрочем, вскоре режим школы был
изменен: на теоретические занятия отводились три
утренних часа, а вечерние часы посвящались практическим
занятиям. Как вступительные, так и выпускные
экзамены единолично принимал у себя на дому
правительственный экзаменатор математик Камю7. В 1750 г. было
стоял во главе инженерного дела Франции. Член Парижской
академии наук (1699). Построил 33 крепости, модернизировал
300 крепостей, руководил более чем 50 осадами. Военный
писатель и публицист.
s Бернар Форест де Белидор (de Belidor, 1697—1761)
самостоятельно изучил математику и инженерное дело. Был военным
инженером, позже — профессором математики. С 1756 г.— член
Парижской академии наук. «Инженерная наука» («La science
des ingénieurs») опубликована в 1729 г., «Гидравлическая
архитектура» в четырех больших томах - в 1737-1753 гг. Она
содержала вопросы гидротехнического строительства, общее
строительство, механику, описание машин.
6 Амеде Франсуа Фрезье (Frézier, 1682—1733) — военный
инженер. Его «Стереотомия» содержала, в частности, основы
начертательной геометрии.
7 Шарль Камю (Camus, 1699—1768) — член Парижской академии
наук (1727). Занимался вопросами теории зацепления и теории
трения.
8

разрешено проводить выпускные экзамены в стенах
школы 8. С этой школой связан первый период деятельности
Гаспара Монжа.
Учиться Гаспар Монж начал с шести лет, когда отец
определил его в школу ораторианцев г. Бона. Эта школа,
существовавшая уже в XV в., в 1624 г. была отдана
монахам ордена ораторианцев 9 для обучения и воспитания
детей. Монж скоро стал гордостью школы, его
экзаменационная работа 1762 г. напечатана в виде тетради
большого формата на 25 страницах и хранится в магистрате
г. Бона. На первой странице сообщается, что Гаспар Монж
отвечал на вопросы по арифметике, алгебре, по
пропорциям и логарифмам, а также по геометрии и блестяще
решил задачи. После успешного окончания школы как
лучшего ученика учителя рекомендовали Гаспара Монжа
в Коллеж Св. Троицы в Лионе, также принадлежавший ора-
торианцам, куда он и был принят в 1762 г. Вскоре,
несмотря на молодость, он получил в этом коллеже место
преподавателя физики, которое и занимал до 1764 г. Ора-
торианцы уговаривали Монжа вступить в орден, чтобы
обеспечить для коллежа талантливого преподавателя, но
Монж, по совету отца, отказался.
Лето 1764 г. Монж прожил дома и в дни отдыха
вместе с одним из своих друзей начертил план Бона.
Случилось, что через Бон проезжал подполковник
инженерной службы дю Виньо, помощник командира Мезь-
ерской школы. Случайно он увидел план, ему был
представлен Монж, и дю Виньо предложил Монжу поступить
в Мезьерскую школу на отделение кондукторов,
предупредив, что он не будет там получать никакого
вспомоществования. Отец Монжа решил пойти и на эти
дополнительные расходы.
К этому времени и Мезьерская школа, и Инженерный
корпус претерпели уже некоторые изменения. Сперва в
школе преподавали лишь офицеры, затем начали
принимать и гражданских лиц. В частности, в 1752 г. место
преподавателя математики получил крупный математик
8 Enseignement et diffusion des sciences en France au XVIIIe
siècle. Paris, 1972, p. 568, 571.
9 Орден ораторианцев, основанный в 1558 г. в Риме, в 1611 г. был
переведен во Францию; ему поручалось руководство школами.
Ораторианцами могли быть и лица, не дававшие монашеских
обетов.
9

аббат Боссю 10. С его приходом уровень математического
преподавания в школе сразу же повысился. Боссю ввел
учение о перспективе, элементы анализа бесконечно
малых, а также динамику и гидродинамику в новом (для
того времени) изложении. Число учеников в школе до
1762 г. не превышало 30 человек; с этого года
контингент их был увеличен до 50 человек. Обязательным
условием поступления в школу было дворянское
происхождение. «Преодолев этот барьер рождения, кандидаты,
ставшие аспирантами, отбирались экзаменатором. Этот
последний каждый год являлся объектом многочисленных
нажимов со стороны важных лиц, заинтересованных в
некоторых кандидатах, но, кажется, ему постоянно
удавалось сохранять объективность своих суждений, и он
отстаивал свою независимость со значительной энергией;
во всяком случае, это подтверждается изучением
многочисленных экзаменационных отчетов» и. В 1764 г.,
постоянно больной, Шатийон передал командование школой
дю Виньо. При нем Монж и поступил в Мезьерскую
школу. Ему исполнилось к этому времени 18 лет.
Как уже указывалось, обязательным условием поступ
ления в школу было благородное происхождение или хотя
бы (для детей крупной буржуазии) «благородная» жизнь
родителей. Естественно, сын Жака Монжа такого
доказательства представить не мог, поэтому приняли его на
отделение кондукторов. Отделение это незадолго перед
тем было переведено из Седана в Мезьер и придано
Инженерной школе. Его назначением было готовить
мастеров и производителей работ — кондукторов. Сюда
принимали унтер-офицеров и детей мастеровых. Ученики
кондукторского отделения, которым руководил плотничий
мастер Марион, изучали элементы алгебры и геометрии,
черчение, изготовляли модели различных систем сводов 12.
Практика построения сводов не была случайной задачей
для XVIII в.; это был почти единственный строительный
10 Шарль Боссю (Bossut, 1730—1814) — преподаватель Мезьерской
школы, затем — экзаменатор инженеров (после Камю). Член
Парижской академии наук (1768). Позже — член Французского
института, экзаменатор Политехнической школы. Работал в
области математики, гидродинамики, издал также «Очерк истории
математики» (1802).
11 Enseignement et diffusion des sciences en France..., p. 582.
12 См.: Arago F. Oeuvres completes, t. II. Paris, 1854, p. 431—432,
10

объект, которым занимались и инженеры, и математики,
и физики. Особенно важную роль проектирование и
сооружение сводов играло в военно-инженерном деле, в
фортификации. Задача проектирования сводов явилась
побуждающим толчком для Монжа, когда он задумался над
вопросами создания теории ортогонального
проектирования. Монж пришел в школу с хорошей математической
подготовкой и с опытом преподавания, правда
небольшим. Естественно, отделение кондукторов мыслилось им
лишь как переходная ступень к самой школе;
продвижение его было ускорено решением одной из важных задач
фортификации. Требовалось разместить укрепления
таким образом, чтобы обороняемый пункт не мог быть
разрушен артиллерией противника, расположенной в
соответствующих точках окрестности. Задача решалась
практически, с помощью нивелирования и расчетов.
Монж быстро решил задачу, и сначала его решение
даже не посмотрели, справедливо полагая, что у
соискателя не было физической возможности выполнить ее из-за
необходимых сложных вычислений. Монж настоял, чтобы
его решение проверили; кончилось тем, что офицеры
вынуждены были сдаться перед очевидностью: молодой
ремесленник при решении задачи использовал собственный
метод, замечательный со всех точек зрения. Так
появилась на свет начертательная геометрия, наука, которую
позже в «Журнале» Политехнической школы Монж
определил следующим образом: «Искусство представлять на
листе бумаги, имеющем только два измерения, предметы,
имеющие три размера, которые подчинены точному
определению» 13.
Не подлежит сомнению, что Монж самостоятельно
пришел к идеям этого геометрического направления, хотя
назвать его основоположником нельзя: теория
проектирования и элементы начертательной геометрии уже
существовали; заслуга Монжа в том, что он из разрозненных
методов, элементов теории отдельных задач и не всегда
корректных способов изображения создал новую отрасль
геометрии.
После этого Монж был зачислен в штат
преподавателей школы и стал ассистентом Боссю. Забегая вперед,
13 АиЪгу Р. V. Monge le savant ami de Napoléon Bonaparte, 1746-«
1813. Paris, 1954, p. 14—15,
11

отметим, что с начертательной геометрией не все
проходило гладко, так же как и с попытками применить
математику к решению инженерных задач в XVIII в.
Практики — архитекторы, механики, мастера — очень
ревниво относились к этим попыткам: они владели
производственными секретами, с помощью которых зарабатывали
себе пропитание, и уступать место «математикам» не
собирались, утверждая, что математика — наука хорошая,
но совершенно не применима к практическим нуждам,
а тем более — к строительству. Так произошло и с Мон-
жем: «стараниями» практиков на протяжении 20 лет
своего преподавания в Мезьерской школе он так и не мог
начать преподавание начертательной геометрии в
применении ее к изображению деревянных конструкций.
Итак, 1 января 1769 г. Монж был назначен
репетитором учеников и ассистентом Боссю с окладом 900
ливров в год. Летом того же года профессору физики
аббату Нолле 14 ввиду его преклонного возраста
потребовался ассистент, и на это место назначили Монжа. 24
апреля 1770 г. Нолле скончался, и Монж унаследовал его
кафедру. Между тем после смерти Камю
правительственным экзаменатором инженеров был назначен Боссю,
и его кафедра математики перешла также к Монжу. С
этого времени он получает жалованье по двум кафедрам в
размере 1800 ливров в год.
В 1765 г. на должность начальника школы был
назначен один из директоров фортификаций, Рамсо де Роль-
кур (1720—1776), при котором уровень школы
значительно повысился. Благодаря его помощи Боссю получил
место экзаменатора; он же обратил внимание и на Монжа.
После смерти Нолле он обратился с письмом к военному
министру с просьбой не посылать в Мезьер на должность
профессора физики члена Академии наук (Боссю и Нолле
были академиками), поскольку Монж сможет, обеспечить
высокий уровень преподавания.
14 Жан Антуан Нолле (Nollet, 1700—1770) — физик. Сотрудник
Реомюра, работал в его лаборатории над изучением статического
электричества. Читал в Париже публичный курс
экспериментальной физики. Профессор университетов в Турине и Бордо. Член
Лондонского королевского общества (1734) и Парижской
академии наук (1735). Профессор физики в Мезьерской школе (1761)^
Один из основоположников французской экспериментальной
физики,
12

Таким образом, Гаспар Монж, 24-летний профессор
Мезьерской школы, преподает там математику (включая
механику) и физику и, кроме того, ведет занятия по
резанию камней, хотя теорию этого предмета читает
другой преподаватель — Леклерк. Как указывает Дюпен,
именно резка камней и ее приложения к архитектуре
и фортификации дали возможность Монжу развить свои
методы начертательной геометрии. Используя уже
сделанное в этом направлении, он настойчиво работает над
созданием новой науки, глубоко изучая математику. Уже к
1768 г. Монж имеет серьезные познания в анализе
бесконечно малых и геометрии. О новой науке —
начертательной геометрии— он не пишет: она еще долгие годы будет
представлять «производственный секрет» Мезьерской
школы, однако уже в 1769—1770 гг. появляются его первые
математические мемуары. Он работает над теорией
разверток и издает работу по вариационному исчислению,
развивая идеи Эйлера и Лагранжа. На заседании
Парижской академии наук 31 августа 1771 г. был заслушан
мемуар Монжа о развертках кривых двоякой кривизны.
27 ноября того же года Монж прочел на заседании
Академии наук в присутствии Д'Аламбера «Мемуар об
интегрировании некоторых дифференциалов». В результате
уже 8 апреля 1772 г. молодой профессор Мезьерской
школы по представлению Д'Аламбера, Кондорсе и Боссю был
избран членом-корреспондентом Парижской академии
наук.
Все же основным занятием Монжа в Мезьерской школе
была педагогическая деятельность. К этому времени
школа претерпела еще одну реорганизацию. Курс был
установлен в два года. В течение первого триместра первого
года учащиеся изучали резку камня и дерева, в течение
второго — архитектуру, перспективу и физику, химию и
естествознание. В июле начинались практические занятия,
а в октябре проводился экзамен, после которого
учащиеся вступали во второй год обучения, посвященный
вопросам укрепления, нападения и защиты укрепленных мест.
По окончании школы следовал еще один экзамен,
сдаваемый экзаменатору; выдержавшие экзамен назначались в
инженерный корпус, а не выдержавшие оставались в
школе еще на один год для повторения курса. На курс
принимались 15—20 человек, поэтому классы были
небольшие и работать с учениками профессору было нетрудно,
13

Дом Монжа в Мезъере
В течение первых лет пребывания в школе Монж
читал теоретический и экспериментальный курс физики,
химию, математику, резку камня, теорию перспективы и
теней. Учащиеся чертили довольно много эпюр и
эскизов, выполняя их в соответствии с требованиями Монжа.
Как преподаватель Монж не был красноречив, иногда
заикался, но этот недостаток перекрывался точностью и
продуманностью изложения. Ясность доказательств
углублялась его выразительной жестикуляцией. Когда он
говорил о плоскости, линии, точке, то соединял слово с
жестом, и его руки постоянно находились в движении^ Монж
работал с учениками не только в школе: он водил их на
экскурсии «на природу» и на близлежащие заводы и в
мастерские, одновременно обучая и воспитывая их.
«Случалось иногда, чтобы поскорее попасть с учениками на
какой-либо завод, Монж, не тратя времени на
разыскивание дорог и мостов, переходил вброд широкий ручей,
не прерывая при этом своих объяснений» Молодые люди,
окружавшие его, также не замечая препятствий на своем
пути, продолжали внимательно слушать; так велика
14

была магия его влияния на их умы!» 15. Мезьерская школа
все более и более становилась «школой Монжа».
В мезьерский период жизни Монжа случились два
события, в значительной степени повлиявшие на его
дальнейшую судьбу: 17 сентября 1775 г. умер его отец, и это
было большим ударом для Монжа. Вторым событием была
женитьба Монжа. У своего друга Тиссерана Монж
познакомился с его родственницей, молодой вдовой кузнечного
мастера. Завязалось знакомство и через некоторое время
Монж сделал предложение, однако невеста попросила с
браком подождать: после е.е мужа остались
незавершенные дела, которые ей не хотелось взваливать на плечи
Монжа. «Пусть это Вас не расстраивает,— ответил ей
Монж,— мне случалось решать и более сложные задачи!»
12 июня 1777 г. в Рокруа было совершено
бракосочетание Гаспара Монжа и Марии Катерины Юар (вдовы Ор-
бон). Брак оказался счастливым, у жены были
спокойный, ровный характер и доброе сердце. В марте 1778 г.
у них родилась дочь Жанна Шарлотта Эмилия, в июне
1779 — Луиза Франсуаза.
Материальное положение Монжа к этому времени
улучшилось: в 1775 г. он получал уже 2400 ливров, а к
концу 1776 г.— 3000 ливров. Кроме того, его жена
унаследовала деньги и мастерскую, и Монжу пришлось заняться
ее делами. Вскоре работа с металлом входит в круг его
интересов. В те же годы он начинает серьезно
интересоваться химией: в 1779 г. организует в Мезьерской
школе физический кабинет, а также химическую
лабораторию, которой уделяет столько времени, что его ученики
утверждают, будто мадам Монж немного ревнует к ней
мужа.
Все же основную и самую важную роль в научном
творчестве Монжа в мезьерский период жизни играет
математика. В эти годы он развивает идеи начертательной
геометрии и находит для них многочисленные
приложения. Одновременно работает в области анализа, теории
поверхностей, физики и химии, i Из письма к Кондорсе
видно, что Монж начал интересоваться задачами,
приводящими к уравнениям в частных производных: он связывает
15 Dupin С h. Essai historique sur les services et les travaux
scientifiques de Gaspard Monge. Paris, 1819, p. 9.
15

эти уравнения с порождаемыми заданным способом
поверхностями. Эти вопросы позже составят объект его
важных исследований.
После избрания членом-корреспондентом Академии
наук Гаспар Монж заметно расширяет круг своих
интересов — он занимается вопросами практической техники,
вступает в масонскую ложу, путешествует. В мае 1774 г.
он сопровождает маршала Кастри в Бельгию, и с этого
времени тот начинает покровительствовать ему. Тогда же
завязывается дружба Монжа с Пашем — домашним
учителем в семье Кастри. Некоторое время спустя с
начальником Мезьерской школы Рамсо Монж едет на воды
в Бареж, где проводит три месяца.
Если подытожить исследования Монжа,
опубликованные на протяжении чрезвычайно плодотворных лет его
работы в Мезьерской школе, их окажется немного: мемуар
о барометрических опытах, выполненных Монжем
совместно с Д'Арсе в 1774 г. (опубликован в 1776 г.), пять
мемуаров по теории дифференциальных уравнений в
частных производных (опубликованы также в 1776 г.) и два
мемуара (опубликованных в 1780 г., но написанных ранее)
по теории уравнений в конечных разностях и о
свойствах некоторых поверхностей с применением к теории
теней и полутеней. Его начертательная геометрия еще и не
опубликована, но о ней знают, и Монж/широко известен
как выдающийся геометр. Создание начертательной
геометрии явилось достаточным основанием для избрания
Монжа в число членов Академии наук. 12 января 1780 г.
по предложению Боссю, Вандермонда16 и Кондорсе17
Монж был избран адъюнктом по классу геометрии на
место Вандермонда, который стал действительным
членом; через два дня это избрание было утверждено
королем. Таким образом, 15 января 1780 г. Монж впервые
расписался в книге присутствия Академии наук.
16 Александр Теофил Вандермонд (Vandermonde, 1735—1796) —
математик и политический деятель, активный участник
Французской революции, член Парижской академии наук (1771),
директор Консерватории искусств и ремесел (1782). Исследовал
теорию алгебраических уравнений.
17 Мари Жан Антуан Никола Кондорсе (Gondorcet, 1743—1794) —
писатель, политический деятель, геометр. Работы в области
интегрального исчисления, задачи трех тел, теории вероятностей.
Член Парижской академии наук (1769), непременный секретарь
16

Жена Монжа Мария Катерина
Но участие в заседаниях Академии наук требовало
постоянного присутствия в Париже, поэтому (по
ходатайству Боссю) военный министр разрешает Монжу каждый
год шесть месяцев жить в Париже. Лекции в Мезьерской
школе в течение этих шести «парижских» месяцев читает
его брат, Луи Монж, профессор Парижской военной
школы, принявший, очевидно, новое назначение без особой
радости. На протяжении пяти лет, с 1780 по 1784 г.,
Монж живет на два дома: с ноября по май — в Париже,
с мая по октябрь — в Мезьере. Такое положение не
устраивало руководство Мезьерской школы, поскольку про-
Академии (1775). Председатель Комиссии мер и весов (1774—
1791). Президент Законодательного собрания (1791).
17

фессор отсутствовал как раз в те месяцы, когда в школе
проводилось теоретическое обучение, и не мог влиять на
преподавание, тем более что Луи Монж постарался как
можно скорее вернуться в Париж: уже в конце 1781 г.
он опять преподает в Парижской военной школе, где его
лекции слушает Наполеон Бонапарт. В 1784 г. Гаспар
Монж навсегда распрощался с Мезьерской школой,
передав свои обязанности Ферри.
За эти годы в семье произошли два события
(радостное и печальное) : в 1780 г. у Монжей родилась третья
дочь — Аделаида, а в июне следующего года в Боне
умерла его мать. Это еще более ослабило те узы, которые
связывали его с Арденнами.
Уход из Мезьера и потеря жалованья не особенно
отразились на материальном положении Монжа,
поскольку после смерти в 1783 г. Безу, по ходатайству Вандер-
монда, место экзаменатора морской и артиллерийской
гвардии было передано Монжу, хотя на него претендовал
и Боссю. Это обстоятельство привело к охлаждению
отношений между учеными, и оба они, по-видимому,
уклонялись от совместной работы в комиссиях Академии.
А комиссий было много; едва ли не каждому
академику приходилось быть универсалом. Так, Монж между
февралем и маем 1780 г. представил отчеты:
«относительно одной модели экипажа, о двух математических
мемуарах Лежандра, о давлении ветра, о машине для
очистки портов, о возможности летать, подобно птицам,
о машине для обмолота зерна, о системе для подъема
воды. В декабре того же года он составил справку о
движении рек и об исчислении вероятностей. Между
январем и маем 1781 г.—рапорты о различных типах
насосов, об исключительном морозе 1776 г., о машине
для подъема судов, о ветряной мельнице, о способах
предупреждения разрушений, производимых горными
потоками, об осях для повозок, о пользе вод Безье» 18. Но
ведь одновременно с академическими занятиями Монж
читает лекции, занимается своими исследованиями, экза-»
менует моряков, путешествует.
В конце 1781 г. книгоиздатель Панкук получил
правительственное разрешение на публикацию улучшенного
издания «Энциклопедии». Монж принимает участие в ре-
18 АиЪгу Р. V. Monge..., р. 38.
18

дактировании этого издания как физик. Несколько позже
то же издательство начало выпускать «Физический
словарь» (т. I вышел в 1793 г.). Здесь Монж был не только
редактором, но и автором ряда статей, к сожалению не
подписанных.
Интересно, что приблизительно с 1783 г. он, не
оставляя математических занятий, проявляет все больше
интереса к химии и металлургии. В своей лаборатории в
Мезьерской школе Монж еще до знаменитых опытов
Лавуазье обнаружил, что вода представляет соединение
кислорода и водорода. Он доказал это, синтезируя воду и
замеряя количество входящих в реакцию кислорода и
водорода и полученной воды. Лавуазье в своем мемуаре
о синтезе воды (выполнено совместно с Лапласом),
признал приоритет Монжа.
В следующем году Монж занимается
воздухоплаванием — пробует в качестве наполнителя шара применять
водород и окись углерода. Опыты братьев Монгольфье в
июне 1783 г. и профессора Шарля (27 августа 1783 г.)
вызвали во Франции большой интерес. 21 ноября 1783 г.
на воздушном шаре поднялись на высоту 1000 м Пилатр
де Розье и Д'Арлан, их путешествие длилось 25 минут.
Через несколько дней, 1 декабря, Шарль и Роберте
достигли высоты 2000 м.
В 1785 г. Монж занимается статикой. Экзаменуя
морских кадетов, он убедился, что те получают
недостаточные познания в механике. Лето 1786 г. семья Монжа
по приглашению морского министра Кастри проводила в
его резиденции — замке Брюйер. Здесь Монж и написал
свой первый трактат 19.
Трактат состоит из четырех частей, посвященных
сложению и разложению сил, моментам, центрам тяжести
и равновесию машин. Первую часть Монж начинает
изложением основных принципов механики твердого тела и
аксиом сложения сил, действующих на одну точку. Затем
он изучает действие сил, приложенных к телу различным
образом: параллельных и не параллельных между собой.
В первом случае он, в частности, рассматривает и
действие двух равных и параллельных сил, направленных в
противоположные стороны. Однако к понятию пары сил
19 Traité élémentaire de statique à l'usage des collèges de la
Marine. Paris, 1788.
19

он не приходит. Как известно, это понятие впервые было
сформулировано Пуансо в «Элементах статики» (1803).
При рассмотрении сложения сил, направленных как
угодно в пространстве, Монж сперва формулирует правило
параллелограмма, основываясь на лемме об
эквивалентности двух равных по величине сил, действующих в одном
направлении по касательным к некоторому кругу. Он
обобщает это правило на п сил и излагает правило
параллелепипеда для пространственного сложения сил.
Вторая часть трактата посвящена теории скалярных
моментов относительно точки, прямой или плоскости;
Монж доказывает здесь ряд теорем.
В третьей части излагается теория центров тяжести.
Здесь Монж пользуется геометрическими методами: при
определении центров тяжести фигур и геометрических
тел — классическими, а при определении центра тяжести
корпуса корабля применяет метод, подобный
графическому интегрированию.
Четвертая часть трактата посвящена равновесию
простых машин и подразделяется на три главы: в первой
рассматривается равновесие сил, взаимодействующих при
помощи веревок, во второй — равновесие рычага, в
третьей — равновесие на наклонной плоскости.
«Машиной называется,— пишет Монж,— любое
приспособление, предназначенное для переноса действия
некоторой определенной силы в точку, не находящуюся на
направлении силы, таким образом, что эта сила может
передвигать тело, к которому она непосредственно
приложена. При этом движение происходит по направлению,
отличному от направления силы» 20. Как видим, Монж
придерживается еще старой теории, имевшей тогда
повсеместное распространение, в соответствии с которой основное
назначение машины — подъем или перемещение тяжестей.
Однако в трактате намечена и иная идея, которую он
развил впоследствии,— о машине как о приспособлении,
служащем для преобразования движений.
При рассмотрении равновесия блоков и систем блоков
Монж пренебрегает трением и считает также, что
веревки или нити идеально гибки и нерастяжимы, и замечает,
что его рассуждения не могут быть распространены на
тяжелую нить. Затем он переходит к рассмотрении) уело-
2° Traité élémentaire de statique,,., p. 123—124,
20

вий равновесия рычагов произвольной формы, подвижных
относительно какой-либо точки, принадлежащей
рассматриваемому рычагу. Здесь он вычисляет соотношение сил
и реакцию в точке, применяет свои выводы к случаю
прямолинейного рычага, невесомого и весомого, к
случаям блока, полиспаста, ворота, зубчатых колес, домкрата и
исследует их не только как теоретик (хотя его
геометрические рассуждения безукоризненны), но и как практик.
Такой инженерный подход выгодно отличает трактат Мон-
жа от других учебников того времени. В последней
главе он рассматривает равновесие на наклонной плоскости
и применяет полученные результаты к случаям винта
и клина, заканчивая ее формулировкой принципа
виртуальных перемещений, на котором строятся все положения
относительно равновесия машин. Очень существенно, что
свои рассуждения Монж основывает на предположении,
что все машины состоят из простых. Позже он выскажет
совершенно иные предположения, но пока его статика — это
статика «простых машин».
Мы видели, что задачи, которыми занимаются
академики, очень тесно связаны с практикой. Монж по самому
свойству своего ума был практиком: его теоретические
рассуждения всегда строились на прочном практическом
основании. Но в Академии наук были и чистые
теоретики, которым также приходилось заниматься
практикой.
Известно, что XVIII столетие было веком, когда
творчество философов определяло развитие общественной
мысли, однако это столетие одновременно было и весьма
«практическим»: на протяжении трехсотлетнего
существования Парижской академии наук едва ли когда-либо
приходилось столько времени и энергии уделять
практическим вопросам, как именно в XVIII в.
В XVIII в. интерес к машинам становится
повсеместным. И в знаменитой французской «Энциклопедии», и в
других энциклопедических словарях того времени
машинам уделяется много внимания и места. Однако само
понятие машины не было определено, и что такое машина,
понимали далеко не все. В самой «Энциклопедии»
описанию машин посвящено много статей, однако их уровень
невысок: авторы не поняли сущности происходившего в
то время промышленного переворота, остановившись на
стадии ремесленного и в лучшем случае мануфактурного
производства.
21

Еще в 1711 г. академик Реомюр (1683—1757) по
заданию Парижской академии наук начал собирать
материалы о машинах, которые затем стали выходить в издании
академии под названием «Описание искусств и ремесел».
Сам он не дожил до начала публикации; с 1761 по
1789 г. вышла 121 часть «Описаний», содержавших
свыше 1000 таблиц. С научной точки зрения уровень этого
издания значительно выше соответствующих статей
«Энциклопедии».
В начале 80-х годов Академия наук начала
подготовку к изданию полного описания искусств и ремесел.
Когда в 1786 г. оказалось, что редакторы отстают с
составлением и редактированием статей, в их число ввели Мон-
жа и Ассенфратца 21; они, в частности, составили
описание профессий плотника и каретника. В следующем году
Монж получает новое поручение, опять-таки
практического, даже, скорее, инженерного характера. По просьбе
военного министра Парижская академия наук назначила
комиссию для обследования фабрик Крезо, которыми
руководил отставной артиллерийский капитан де Вандель.
В нее вошли академики Лавуазье, Фуркруа, Монж, Бер-
толле, Вандермонд и Перье, изобретатель и фабрикант,
построивший первую паровую машину во Франции; кроме
того, жены Фуркруа и Лавуазье. Последняя была
сотрудницей своего мужа и принимала участие в его
исследованиях.
Математики Монж и Вандермонд и инженер Перье
занялись обследованием доменных печей и машин
металлургического производства. Эти вопросы давно
интересовали Монжа: в мае 1786 г. он прочел в Академии наук
мемуар, представленный им совместно с Вандермондом и
Бертолле, в котором были сведены результаты их
экспериментального исследования изменения свойств железа,
стали и чугуна в металлургическом процессе. Можно
сказать, что металлургия начала интересовать Монжа с тех
пор, когда он неожиданно стал владельцем кузнечных
мастерских. Причем занимался он не только технологией,
Жан Анри Ассенфратц (Hassenfratz, 1755—1827) — физик и
техник. Активный участник революции, один из первых членов
Якобинского клуба, профессор общей физики в
Политехнической школе (1795). Автор ряда учебников. Вместе с Кассини и
Монжем соавтор «Физического словаря» (т. I — ÏV. Париж,
1816-1821).
-22

физикой и химией металлургических процессов, но и
улучшением условий труда и вопросами его интенсификации.
Итак — математика, физика, химия, металлургия,
механика. В 80-х годах Монж не только известный
преподаватель, он — один из крупнейших ученых Франции
предвоенных лет. В 1790 г. ему 45 лет, Монж на
вершине своей научной славы: уже заложены основы
большинства его научных теорий.
Может показаться, что Монж в эти годы
разбрасывался, переходил от науки к науке, не сосредоточивая
внимания на каком-либо одном научном направлении. Но
Монж был универсалом, ученым XVIII в., и полностью
принадлежал этому веку. Тогда не было резкой грани
между математикой, механикой и физикой, их обычно
преподавали одни и те же лица. Химия еще находилась
в состоянии становления, занимала промежуточное
положение между алхимией и физикой. Границы физики
были очень неопределенными: к ней часто относили
сведения по минералогии, ботанике и зоологии. Вопросами
техники, как мы видели, приходилось заниматься едва ли
не всем академикам. Поэтому, если Монж и выделялся
среди современников-ученых, то лишь своим ярким талантом,
бурной деловитостью и постоянной увлеченностью.

Глава вторая
В годы революции
Тем временем во Франции сложилась
революционная ситуация. Французское общество делилось на три
сословия, из которых два первых пользовались всеми
правами. Третье сословие, составляющее примерно 90%
населения, не было единым. К нему относились и богатые
купцы, и банкиры, и провинциальные торговцы, мелкие
лавочники, и крестьяне, и, наконец, нарождающийся
сельский и городской пролетариат, который вместе с
крестьянами, городскими ремесленниками и мелкими торговцами
составлял большинство населения страны. Тяжелое бремя
абсолютистско-феодального строя несла на своих плечах
трудовая Франция, в то же время этот строй не давал
возможности развиваться капиталистическим
отношениям, в чем была кровно заинтересована французская
крупная буржуазия, также представлявшая третье сословие.
Положение еще более усложнилось после неурожая 1788 г.,
в результате которого в ряде провинций вспыхнули
восстания. Торгово-промышленный кризис лишил заработка
ремесленников. Необходимость реформ стала ясной даже
представителям высших сословий, и Людовик XVI
вынужден был дать согласие на созыв Генеральных штатов,
которые не собирались почти 175 лет.
Генеральные штаты, имевшие функции
совещательного органа, открылись в Версале 5 мая 1789 г. Их
назначением было оказать помощь правительству в разрешении
финансовых трудностей. Но сразу же выявились
противоречия между представителями сословий: третье
сословие требовало преобразовать Генеральные штаты в высший
законодательный орган власти. Попытки договориться ни
к чему не привели, и 17 июня депутаты третьего
сословия объявили себя Национальным собранием, а 9 июля —
Учредительным. К ним присоединились и некоторые пред-
24

ставители первого и второго сословий. В поддержку
Учредительного собрания выступил народ Парижа, начались
столкновения с войсками. 14 июля 1789 г. восставший
народ захватил государственную тюрьму — крепость
Бастилию. Началась революция.
Монж принял революцию с восторгом: он сам вышел
из низших слоев третьего сословия, ему довелось
испытать всю несправедливость старого строя. Он вступает в
Патриотическое общество 1789 г., но не оставляет ни
занятий в Академии наук, ни педагогическую и
исследовательскую работу. 8 мая 1790 г. по докладу Талейрана
Законодательное собрание принимает решение установить
новую систему единиц мер и весов, основанную на
десятичной системе, что отвечало интересам нации и было
шагом на пути ликвидации остатков феодализма,
поскольку в каждой провинции Франции были свои системы мер и
весов, исторически сложившиеся и отражавшие
феодальные отношения. Монж принял деятельное участие в этом
предприятии, хотя многочисленные занятия и не позволяли
уделить ему достаточно времени. Работа была выполнена,
и академики Борда 4, Лагранж и Монж 29 мая 1793 г.
доложили о ней Академии наук. Однако затруднения
экономического и политического порядка заставили отложить
введение десятичной системы до 1799 г.
На протяжении 1790 и 1791 гг. Монж почти не живет
в Париже. Как экзаменатор флота он организует в
важнейших портах Франции 12 школ для подготовки
гидрографов 2 — мероприятие, для того времени чрезвычайно
важное,— и одновременно проводит экзамены. Он
становится все более убежденным сторонником революции:
в 1791 г. вместе со своими друзьями Монж вступает в
Народное общество Люксембурга, затем — в Якобинский
клуб.
1 Шарль Борда (Borda, 1733—1799) — математик, морской
инженер и геодезист. Член Парижской академии наук (1756).
Исследования в области теории сопротивления жидкости, движения
снарядов, наилучшей формы судов. Определил длину
секундного маятника в Париже (1792). Провел измерение дуги
меридиана между Дюнкерком и Барселоной (совместно с Деламбром и
Мешеном).
2 Гидрографическая служба занималась изучением океанов и
морей для нужд мореплавания: съемкой берегов, составлением
карт, определением рельефа дна, вопросами мореходной
астрономии, метеорологии и гидрологии и рядом практических
вопросов,
25

Тем временем события развивались. 26 августа 1789 г.
Учредительное собрание приняло «Декларацию прав
человека и гражданина», но король не утвердил ее.
Попытка реакции остановить революцию была сорвана
выступлением парижан 5—6 октября, заставившим короля
переехать из Версаля в Париж; туда же перенесло свои
заседания и Учредительное собрание. В 1789—1791 гг. оно
осуществило ряд реформ, заложивших во Франции
основы буржуазного общественного строя.
21 июня 1791 г. королевская чета бежала из Парижа.
Их бегство было частью подготовленного монархистами
плана восстановления абсолютной монархии: вслед за этим
должна была начаться иностранная интервенция. Однако
вблизи границы, в местечке Варенн, король был
задержан крестьянами и уже как пленник народа возвращен
в Париж.
В конце сентября 1791 г. Учредительное собрание
самораспустилось, его место с 1 октября заняло
Законодательное собрание, правящую партию в котором
представляли фельяыы —' партия крупной буржуазии и
примыкающей к ней части дворянства. Левая часть собрания была
представлена двумя группировками якобинцев,
жирондистами и монтаньярами.
Предупреждая сговор интервентов, Франция 20 апреля
1792 г. объявила войну Австрии. Решение не было
достаточно продуманным, против него возражали монтаньяры
во главе с Робеспьером. Практически армия была в руках
контрреволюционного генералитета и офицерства. Вскоре
к Австрии присоединилась Пруссия. Ввиду явной
измены правительства под давлением народных масс
Законодательное собрание приняло 11 июля 1792 г. декрет,
объявивший: «Отечество в опасности». Началась всеобщая
мобилизация, проходившая в атмосфере большого
народного воодушевления.
В ночь на 10 августа 1792 г. в Париже началось
восстание, к которому примкнули и федераты —
революционные ополченцы, прибывшие в столицу из провинции.
Король был свергнут.
Свидетелем июньских и августовских событий был
молодой офицер Наполеон Бонапарт, находившийся в эти
дни в Париже. Когда перепуганный грозной
демонстрацией Людовик XVI «поклонился толпе из окна, к
которому подошел в красной фригийской шапке (одной из эм-
26

блем революции), Наполеон сказал с презрением: «Какой
трус! Как можно было впустить этих каналий! Надо было
смести пушками 500—600 человек — остальные
разбежались бы!»... 10 августа... он снова на улице и снова
повторяет этот эпитет по отношению к королю, а
революционных повстанцев обзывает «самой гнусной чернью».
Конечно, он не мог, стоя в толпе и глядя на штурм
Тюильри 10 августа 1792 г., знать, что французский трон,
с которого в этот момент сгоняют Людовика XVI, тем
самым очищается именно для него, Бонапарта, так же
как стоявшие вокруг него массы, восторженными криками
приветствовавшие рождение республики, не могли
подозревать, что этот незаметный, затерянный в толпе, худой,
маленький молодой офицер в поношенном сюртуке
задушит эту республику и станет самодержавным
императором. Но интересно отметить этот инстинкт, заставлявший
Наполеона уже тогда думать о картечи как о наиболее
подходящем способе отвечать на народные восстания» 3.
Итак, правительство было низвергнуто и монархия
уничтожена. Новым правительствам стал Временный
исполнительный совет, образованный из министров,
избранных Законодательным собранием. По предложению Кон-
дорсе, морским министром был избран Монж, правда,
очень небольшим числом голосов.
Почему остановились на кандидатуре Монжа?
Очевидно, потому, что он на протяжении почти 20 лет был
связан с флотом, что были известны его республиканские
убеждения и энергичный характер. Все же для такой
работы он не подходил — ему пришлось руководить
Морским министерством всего несколько месяцев, до 10
апреля 1793 г.
На протяжении семи с небольшим месяцев Монж
немного сделал для флота, да и мог ли он что-либо
сделать? «Французский флот, полностью дезорганизованный
в результате эмиграции кадров, мятежа и неподчинения
экипажей и арсеналов, испытывавший трудности
рекрутирования, играл в войне лишь второстепенную роль:
операции престижа в Средиземном море, у берегов Италии,
окончившиеся поражением у Сардинии (декабрь 1792),
поражение же при подавлении восстания на Антильских
островах. Затем следует казнь Людовика XVI, на которой
3 Тарле Е. В. Наполеон. М., Изд-во АН СССР, 1957, с. 18—19.
27

Письмо Mo к Кондорсе от 14 февраля 1772 г.
Монж присутствует, наблюдая из окон Морского
министерства (именно он подписал решение суда как
президент Совета, поскольку министры председательствовали
по очереди), и объявление войны Англии. Флот,
парализованный все теми же слабостями, с которыми Монж
не мог или не умел бороться, не был в состоянии
Сражаться с британским флотом. Все же у Монжа хватило
мудрости заставить отказаться от весьма
фантастического проекта вторжения в Индию; он поручил флоту
28

охрану берегов, что оказалось трудной задачей
вследствие восстания Вандеи...
Атакуемый со всех сторон и обвиняемый в
неспособности заставить флот играть активную роль, Монж
попросил о замене: «Если Республика захочет, я буду
конторщиком в одном из моих бюро, но я не могу более
руководить министерством и прошу назначить преемника».
Без обсуждения 10 апреля Монжа заменяют его
секретарем, и в тот же день он возвращается в Академию
наук, где не мог заседать, пока был министром, и по
которой, несомненно, скучал» \
Следующие четыре года Монж занимается
организацией оборонной промышленности, вопросами подготовки
кадров, продолжает научные исследования в различных
областях, принимает деятельное участие в политической
жизни страны.
Положение революционной Франции в 1793 г. не было
стабильным. Правда, первое наступление австро-прусской
коалиции потерпело крах: 20 сентября 1792 г. плохо
обученные и плохо вооруженные отряды революционных
войск под Вальми наголову разбили войска интервентов.
В тот же день открылись заседания Конвента, который
был избран на основе всеобщего избирательного права.
Конвент принял декреты об установлении во Франции
республики и упразднении монархии. После победы под
Вальми революционные войска быстро очистили территорию
страны от оккупантов и, развивая наступление по всему
фронту, перешли границы Франции. В ответ реакционные
правительства Англии, Испании, Голландии и других
стран, использовав как предлог казнь Людовика XVI,
присоединились к коалиции. К весне 1793 г. новую коалицию
возглавила Англия.
В марте 1793 г. французские войска, которыми
командовал генерал Дюмурье, потерпели поражение в Бельгии.
Бои вновь начались на французской территории. Подняла
голову и внутренняя контрреволюция: в марте 1793 г.
вспыхнуло восстание в Вандее. Резко обострился вопрос
об обороне завоеваний революции; число защитников
Республики было доведено до 1200 тыс., а оружия не
хватало, к тому же не было и пороха, так как французские
мастерские вырабатывали порох на импортной селитре.
4 Taton R. L'oeuvre scientifique de Monge. Paris, 1951, p. 34—35.
29

Еще в 1777 г. Лавуазье предложил использовать в ка--
честве сырья для производства пороха отечественную
селитру. В письме от 8 июня 1779 г. Монж сообщил
Лавуазье об азотистых землях в Мезьере и о селитре,
которую он нашел на своем дворе. На протяжении 1792
и 1793 гг. идут поиски селитры, деятельное участие в
которых принимает Монж; в конце января 1794 г.
Комитет общественного спасения организовал в Гренелле
большую мастерскую по производству пороха, Монж в ней
провел ряд экспериментов для установления наилучшего
соотношения составляющих порох компонентов — серы,
селитры и угля.
Одновременно он работает над
усовершенствованием технологии изготовления вооружения; много
времени ему приходится уделять и вопросам культуры.
Декретом 17 августа 1792 г. были закрыты 22
французских университета, в том числе Парижский, как
изжившие себя5. Действительно, с XIV по XVIII в.
университеты во Франции находились в состоянии непрерывного
упадка. Ко времени революции они состояли из
четырех факультетов — богословского, юридического,
медицинского и свободных искусств. Преподавали там по
старинке, схоластически. Студенты на занятия не ходили,
а дипломы получали за особую плату; среди
профессоров попадались просто неучи.
Университеты не были заменены другими учебными
заведениями. Из учреждений университетского типа остался
один Коллеж де Франс, который по декрету 13 июля 1793 г.
был взят на государственное содержание. Из старых школ
остались Горная школа, основанная в 1778 г., Школа мостов
и дорог и некоторые другие; все они подверглись
реорганизации.
8 августа 1793 г. была закрыта Академия наук. Это
мероприятие, имевшее целью покончить со старой
системой науки и образования, не отвечало запросам науки:
ученые, особенно в те революционные годы, нуждались
в общении, совместном обсуждении важных вопросов.
Поэтому почти сразу же вслед за закрытием Академии по
инициативе Лавуазье возникает Свободное народное обще-
5 В 1803 г. в Париже был восстановлен медицинский факультет,
в 1804 г.— юридический, 17 марта 1808 г. все учебные заведения
Франции были объединены в один Французский университет.
ЯП

ство развития наук, в которое вошли многие академики,
в том числе Монж и Прони, однако официального
признания оно так и не получило. Были организованы
комитеты и комиссии по вопросам народного образования,
искусства, охраны памятников; в некоторых из них Монж
принимает деятельное участие.
24 ноября 1793 г. Конвент принял декрет о введении
нового, республиканского летосчисления и о новом
календаре. Летосчисление начиналось со дня первого
заседания Конвента и провозглашения республики, т. е. 22
сентября 1792 г. С этого же числа начинался первый
осенний месяц — вандемьер 6.
Несколько ранее, 7 сентября 1793 г., Комитет
общественного спасения, который к этому времени из органа,
подчиненного Конвенту, стал фактическим
правительством и органом якобинской диктатуры, поручил Монжу,
Вандермонду и Бертолле составить руководство для
оружейников по производству стали. Монж даже был
освобожден от должности экзаменатора флота, и на его место
назначен его брат, Луи. Однако он продолжал работу в
Комиссии мер и весов, в секции, которая занималась
установлением единицы длины. (По предложению
Академии наук за основную единицу длины была принята
1/40 000 000 часть земного меридиана.) К концу 1793 г.
эта секция должна была получить результаты измерений
Деламбра, однако он вместе с другими членами комиссии
попал в плен к испанцам. Все же Монж от имени
Комиссии мер и весов выступил 19 января 1794 г. перед
Конвентом и доложил о полученных к этому времени
результатах.
Нужно сказать, что некоторые обстоятельства не
благоприятствовали той напряженной работе, которую
проводил Монж. Еще в 1791 г. Марат издал брошюру
«Современные шарлатаны, или письма об академическом
шарлатанстве» (написанную им в 1784 г.), где, в
частности, говорилось: «Математики; к числу лучших
относятся Лаплас, Монж и Кузен; люди-автоматы,
привыкшие следовать некоторым формулам и прилагать их
вслепую, подобно лошади, которая, приводя в движение
6 Названия месяцев предложил Фабр Д'Эглантен (три осенних
месяца — вандемьер, * брюмер и фример; три зимних — нивоз,
плювиоз, вантоз; три весенних — жерминаль, флореаль,
прериаль; три летних — мессидор, термидор, фрюктидор).
31

мельницу, делает некоторое число оборотов, прежде чем
остановится.
Монж знаменит своим счастьем; благодаря ему он
получил место экзаменатора инженеров только за то, что
научил считать маршала де Кастри».
Брошюра «не имела последствий», в конце концов она
выражала личное мнение Марата. Однако на заседании
Якобинского клуба 15 мая 1793 г. было поставлено под
сомнение поведение Монжа на посту морского министра,
и Монжу пришлось оправдываться. Он получил
поддержку от Комитета общественного спасения, по поручениям
которого он работал и в составе которого пост военного
министра занимал его ученик по Мезьерской школе,
«организатор побед французской революции» — Лазар Кар-
но7. Вторичное обвинение, предъявленное ему в конце
1793 г., было сформулировано в более резких тонах: его
обвинили в том, что он эмигрировал в первый год
революции. На этот раз не помогло вмешательство Комитета
общественного спасения, и Монжу пришлось обращаться
за подтверждением своей лояльности в Парижскую и
Арденнскую директории. Окончательное решение было
объявлено в письме министра юстиции от 8 жерминаля
года II (28 марта 1794 г.), в котором удостоверялось,что
гражданин Монж вычеркнут из списков эмигрантов.
Решение Якобинского клуба по делу Монжа было вынесено
еще раньше, 31 декабря 1793 г., и 18 января 1794 г. он
был избран на две декады одним из трех секретарей
клуба, а 14 июня того же года — вице-президентом клуба
на такой же срок. Как увидим дальше, через год, уже
после термидора, Монж будет вторично обвинен, но
на этот раз — в чрезмерной преданности якобинским
идеям.
Существенную роль сыграл Монж в обеспечении
вооружением сражающихся армий Республики. Он
занимался одновременно вопросами металлургии стали и
самим изготовлением ружей и пушек. В ряде
распоряжений, составленных Монжем и подписанных членами Ко-
7 Лазар Никола Маргерит Карно (1753—1823) — выдающийся
французский математик, механик и военный деятель. Окончил
Мезьерскую школу. Военный министр (1793), президент
Конвента (1794), член Директории. В 1816 г. был изгнан
правительством Людовика XVIII из Франции как «цареубийца». Основные
работы по анализу, геометрии, механике машин.
32

митета общественного спасения Карно и Прие, были
запланированы важные мероприятия в этом отношении.
Так, распоряжением от 9 сентября 1793 г. в Лангр, Му-
лен и Шательро были посланы комиссары для
инспектирования производства кавалерийских сабель. Затем Монж
послал инспекторов, чтобы установить годность железа
для производства ружей и пушек. Под его руководством
реорганизуются кузницы и железоделательные
мануфактуры — переходят на производство оружия.
Интересно, что Монж налаживает производство
взаимозаменяемых деталей 8. Так, в железоделательной мануфактуре в
Шарлевиле изготовлялись детали ружей, часть их
перевозилась в Париж и там из них собирались ружья.
В Париже изготовление ружей было доведено до
1000 штук в день.
С нехваткой ружей было покончено, что же касается
пушек, то для вооружения армии и флота не хватало
б тыс. штук. Чтобы ускорить их изготовление, Монж
создал новые литейные мастерские на базе доменных
мануфактур. Он конструирует модели для отлива
пушек, улучшает организацию труда в литейных
мастерских, заботится об обеспечении литейщиков продуктами
питания. Работал Монж и над новой технологией, в
частности заменил земляные формы формами из песка, чем
существенно упростил и ускорил технологический
процесс.
В январе 1794 г. по распоряжению Комитета
общественного спасения в Париже организуются революционные
курсы для рабочих, чтобы обучить их новым методам
изготовления пушек, селитры и пороха. Монж принял
участие в создании этих курсов, входил в комиссию по
составлению программы, вместе с Ассенфратцем и Перье
обучал слушателей; в 1794 г. выпустил для курсов
руководство «Описание искусства изготовления пушек».
Еще одним из направлений его оборонной
деятельности стали аэростаты. Он принял участие в Комиссии
воздухоплавания, созданной по приказу Конвента в инже
1793 г. 23 марта 1794 г. Монж вместе со своей дочерью
Эмилией поднимается на воздушном шаре. Через десять
дней, 2 апреля, по его докладу Конвент принимает
решение организовать Корпус воздухоплавателей (26 июня
8 Впервые изготовление ружей на основе взаимозаменяемости
деталей было организовано в 1761 г. в России на Тульском
оружейном заводе, в США — в 1798 г.
2 А. Н. Боголюбов
33

Лазар К ар но
того же года первый французский военный воздушный
шар поднялся в воздух).
Нужно сказать, что Монж работал все время с
крайним напряжением сил, физических и духовных.
Положение с питанием было очень тяжелым, и Монж не мог,
да и не хотел иметь какие-либо преимущества перед
рабочими. Каждое утро он отправлялся по мануфактурам с
пайком хлеба под мышкой. Никакого другого питания нэ
протяжении дня он не получал, и в конце концов этого
не выдержал даже его очень крепкий организм. Однажды
жена прибавила к хлебу кусок сыра, но Монж
запротестовал: «Право же, вы ввязываете меня в скверную историю;
ведь я рассказывал вам, что, когда на прошлой неделе я
проявил некоторое чревоугодие, мне пришлось с горечью
услышать, как депутат Ниу с загадочным видом говорил
окружающим: «Монж перестает стесняться: глядите, он
ест редиску» 9.
Arago F. Biographie de Gaspard Monge. Mémoires de l'Académie
des sciences, XXIV. Paris, 1854, p. XLIV.
34

К осени 1793 г. революционные войска на всех
фронтах перешли в наступление. Потерпел поражение
монархический мятеж в Вандее. В декабре англичане были
вынуждены эвакуировать Тулон — крупный военно-морской
порт. Весной 1794 г. бои шли уже на территории
противника. 26 июня 1794 г. войска генерала Журдана разбили
интервентов под Флерюсом и вышли к границам Рейнской
области, Бельгии и Голландии. В этой битве впервые
участвовала французская воздухоплавательная часть:
появление в воздухе воздушного шара вызвало панику
среди врагов.
Якобинская диктатура решила основные задачи
буржуазной революции, однако выполнить свои задачи до
конца она не смогла. Так, «французская буржуазия
в самом начале революционной бури решилась отнять
у рабочих только что завоеванное право ассоциаций.
Декретом от 14 июня 1791 г. она объявила все рабочие
коалиции «преступлением против свободы и декларации
прав человека», караемым штрафом в 500 ливров и
лишением активных прав гражданина на один год. Этот
закон, втискивающий государственно-полицейскими
мерами конкуренцию между капиталом и трудом в рамки,
удобные для капитала, пережил все революции и смены
династий. Даже правительство террора оставило его
неприкосновенным» 10. Эта непоследовательность и
явилась одной из причин разгрома якобинской диктатуры.
Диктатура не удовлетворила действительных нужд
беднейших слоев населения как в городе, так и в деревне.
В результате в недрах самого якобинского движения
началось расслоение. Около июля 1794 г. возник новый
заговор против руководителя диктатуры Робеспьера и
его сотрудников. 27 июля того же года (9 термидора
II года) они были арестованы и на следующий день
казнены.
Начались преследования якобинцев. Монж опять
попал в список подозреваемых, но на этот раз как
слишком рьяный якобинец, и вынужден был спасаться.
Переменились и обстоятельства: с внешней опасностью было
покончено, ориентация правительства резко изменилась;
революционный дух, который насаждал Монж в своих
мануфактурах, становился не только излишним, но ж
10 Маркс К. Капитал, т. 1. М., Госполитиздат, 1967, с. 751—752.
35 2*

просто нежелательным; нужда в производстве оружий
уменьшилась, постепенно за ненадобностью начинают
закрываться мастерские, и заинтересованности в Монже,
как в организаторе оборонной промышленности, уже нет.
В ноябре 1794 г. был закрыт Якобинский клуб, а в мае
1795 подписан декрет об аресте Монжа. Около двух
месяцев Монж скрывается в Париже и лишь 22 июля при
содействии его зятя, Никола Жозефа Мюре (мужа
Эмилии) , удается снять с него обвинение.
Конвент закрыл Академию наук, были закрыты и все
высшие и средние специальные школы. А вопрос кадров,
проблема создания корпуса республиканских
специалистов, стал одним из самых серьезных, тем более что
большинство военных инженеров, подготовленных в
дореволюционных школах, эмигрировало. Еще
правительством якобинской диктатуры был поднят вопрос о
необходимости организации специальной технической школы.
11 марта 1794 г. был опубликован декрет Конвента,
в котором, между прочим, объявлялось об организации
Комиссии общественных работ. «Эта Комиссия,—
говорилось в декрете,— должна заняться организацией
Центральной школы общественных работ, а также определить
экзамены и конкурс для лиц, которые пожелают получить
занятие в руководстве этими работами». Монж принял
самое действенное участие в организации школы. Позже
он скажет одному из своих учеников: «Я устроил ее так,
как захотел».
9 ноября 1794 г. утвержден список преподавателей
школы: Бертолле, Фуркруа, Шапталь, Лагранж, Прони,
Гюйтон, Ассенфратц, Ферри, Вокелен и др. В 22
провинциальных городах состоялись конкурсы по приему,
вступительные экзамены проводились по арифметике,
основам алгебры и по геометрии; всего в школу был
принят 391 человек. Затем из числа студентов были
отобраны 50 человек и из них создана группа «аспирантов-
преподавателей», руководство которой принял на себя
Монж. По его мысли выпускники этой группы должны
были составить костяк будущего преподавательского
коллектива школы. Первым президентом школы по
предложению Монжа был избран Лагранж (4 декабря
1794 г.). По уставу школы президент менялся каждый
месяц; вторым президентом на следующий месяц стал
Монж.
36

Курс обучения в Центральной школе общественных
работ по ее первому учебному плану состоял из двух
циклов — математических и физических наук. Первый цикл
включал анализ с приложениями к геометрии и механике
и начертательную геометрию, которая, в свою очередь,
подразделялась на чистую начертательную геометрию,
учение об архитектуре и фортификацию. К геометрии
относилось и черчение. Цикл физических наук состоял из
физики и химии. Впервые в учебный план были
включены лабораторные работы, выполнение которых
предусматривалось в особых помещениях; для чертежных работ
также были устроены специальные залы.
Продолжительность обучения в школе была
установлена в три года (при учебных занятиях по девять часов
в день). Так как первый набор в школу был чрезвычайно
разнородным, то по ряду предметов были организованы
пропедевтические курсы. Каждый из преподавателей,
читавших эти курсы, представлял для рассмотрения и
утверждения план-схему своего предмета. Монж и его
ученик Ашетт и читали в школе курс начертательной
геометрии. При школе был создан совет усовершенствования,
в задачу которого входило как рассмотрение и
утверждение учебных материалов, так и административная
деятельность. По предложению Монжа эти направления
работы совета были разделены между различными его
заседаниями, которые попеременно посвящались
административной и научно-учебной деятельности школы; в
последнем случае зачитывались научные сообщения,
которые затем публиковались в «Бюллетене обучения».
Все учащиеся школы были разбиты на три отделения,
чтобы в какой-то степени создать группы, более или
менее равные по уровню знаний. Первая секция слушала
полный курс наук, а вторая и третья, в которые вошли
более подготовленные учащиеся,— ускоренный. Все
учащиеся делились на бригады, для руководства которыми
были отобраны 25 учеников из числа «аспирантов». В
течение первых трех месяцев курса все три секции
слушали курс начертательной геометрии, который Монж считал
11 Жан Никола Пьер Ашетт (1769—1854) родился в Мезьере.
Принимал участие в аэростатических опытах (1792). Профессор
факультета наук (1810—1816). Член Французского института
(1831).
37

необходимым для всех учащихся; в дальнейшем его
должны были читать лишь на первом курсе.
Монж входил во все детали организации и
преподавания этой новосозданной школы. Сам он на протяжении
одного месяца (нивоза) прочел 24 лекции сжатого курса
начертательной геометрии. В следующем месяце —
несколько лекций по метеорологии и акустике. Затем,
в жерминале и флореале, для всех учащихся школы
прочел введение в курс начертательной геометрии.
Одновременно начал работать над составлением курса
применения анализа к геометрии, который предполагал
прочесть после окончания курса начертательной геометрии,
и тогда же начал публиковать в виде серии отдельных
лекций.
30 октября 1794 г. (9 брюмера III года) была
основана вторая школа, названная Нормальной, для подготовки
преподавателей. Открылась она 21 января 1795 г. В ее
организации Монж также принял участие, однако этой
школе он посвятил значительно меньше внимания, чем
Школе общественных работ.
Открытие Нормальной школы ознаменовалось лекцией
Лапласа по математике. Следующая публичная лекция
была посвящена физике, а третью Монж посвятил
начертательной геометрии. Так впервые состоялась лекция по
начертательной геометрии для широкой публики.
Учебников не было, поэтому лекции стенографировались.
Стенограммы расшифровывались, проверялись
профессорами, размножались, и, таким образом, через четыре дня
учащиеся получали проверенный текст лекции. Так,
в частности, были записаны и лекции Монжа.
Один из учеников Монжа, Фурье, оставил его
словесный портрет того времени: как и полагается доброму
республиканцу, он говорил своим ученикам «ты», у него
был «сильный голос, он очень деятелен, предприимчив...
Наука, которую он излагает в своих лекциях, интересна,
он подает ее со всей возможной ясностью... Речь его
непринужденная, чаще всего очень точная. Он не только
достоин уважения по своим глубоким познаниям —
говорят, что он очень почтенный во всех отношениях,
общественных и частных» 12. А внешность его — самая
12 АиЪгу Р. V. Monge le savant ami de Napoléon Bonaparte, 1746—
1818. Paris, 1954, p. 157.
38

обыкновенная. Другой из учеников Монжа, Дюпен13,
так описывает внешность Монжа: «Высокий, сильный,
мускулистый. Лицо широкое и короткое, напоминает льва.
Глаза, большие и живые, сверкают из-под густых
черных бровей, которые подчеркивают широкий и высокий
лоб, оттененный глубокими морщинами,
свидетельствующий о большом уме. Это замечательное лицо обычно
бывало спокойным — лицом человека, погруженного в
размышления».
Нормальная школа не была долговечной: ее закрыли
уже в середине мая 1795 г. Она не имела ни достаточно
четкого плана, ни разработанных программ. Монж,
положивший ей начало, не располагал ни временем, ни
возможностями, чтобы уделять ей много внимания. Почти
одновременно с ней закрылись школы навигации и
морской артиллерии, основанные в самом конце 1794 г.
Пережила их лишь Центральная школа общественных работ,
которая 1 сентября 1795 г. была переименована в
Политехническую школу.
Монж ничего не жалел для «своей» школы. Он
отдавал жалованье в пользу нуждающихся студентов; позже,
когда прекратил преподавание, отдавал пенсию. Как
преподаватель Монж славился умением, ясно и отчетливо
излагать самые трудные вопросы. Лагранж сказал как-то
после одной из его лекций: «До тех пор, пока я не
слушал Монжа, я не знал, что уже знал начертательную
геометрию». А ученик Монжа Бриссон утверждал, что
«другие профессора говорили лучше Монжа, но никто не
преподавал так хорошо, как он. Жесты, поза, модуляция
голоса — все служило ему для развития мыслей. Он
всегда следил за глазами слушателей и знал, как угадать
степень понимания каждого из них; он повторял свои
доказательства, в некоторых местах изменял их».
По идее Монжа, Политехническая школа должна была
готовить не профессоров математики, а. инженеров
различных специальностей, которые имели бы солидную
научную и практическую подготовку. 22 октября 1795 г.
была установлена связь Политехнической школы с отра-
13 Пьер Шарль Дюпен (Diipin, 1784—1873) окончил
Политехническую школу, морской инженер, главный инженер флота,
профессор Консерватории искусств и ремесел (1819), член
Парижской академии наук (1818). Работал в области
дифференциальной геометрии, механики, статистики, экономики.
39

елевыми техническими училищами: с Артиллерийским
училищем, Инженерной и Горной школами, а также со
Школой мостов и дорог. Продолжительность обучения в
Политехнической школе была сокращена до двух лет,
затем выпускники школы поступали в одну из отраслевых
школ также с двухгодичным сроком обучения.
Контингент учащихся Политехнической школы в первые годы ее
существования составляли выходцы из мелкой городской
буржуазии и из крестьян, дети чиновников и офицеров.
Школа очень ревниво относилась к сохранению своих
республиканских традиций: даже после термидорианской
реакции начало каждого учебного года отмечалось
собраниями, пением революционных гимнов; ежегодно
учащиеся сажали во дворе школы «дерево свободы». Все это
происходило не без влияния Монжа.
В октябре 1794 г. была учреждена Консерватория
искусств и ремесел, созданная на базе коллекций
выдающегося механика Вокансона. Она находилась в ведении
Комиссии сельского хозяйства и техники, состоявшей из
шести ученых, в том числе и Монжа. Консерватория
имела технический музей и помещения для чтения
публичных лекций. Кроме коллекции Вокансона, в консервато^
рию были переданы машины, находившиеся в
распоряжении Академии наук, а также коллекции Филиппа
Орлеанского и Королевского технического кабинета. По
уставу, в консерватории должны были храниться модели,
чертежи и описания всех машин, применяемых во
Франции, образцы изделий промышленности и т. д.
26 октября 1795 г. создается Французский институт.
Монж со своими коллегами по Академии наук занимается
его организацией. По первоначальному предположению
Институт должен был быть научной организацией. Он
состоял из трех классов: физических и математических
наук, моральных и политических наук, литературы и
изящных искусств. По первому классу Монж и Прони
представляли механические искусства, Бертолле и Кройтон —
химию, Лагранж и Лаплас — математику.
В августе 1795 г. Конвент принял новую конституцию,
так называемую конституцию III года. В соответствии с
этой конституцией, законодательную власть должны были
осуществлять Совет пятисот и Совет старейшин; в
качестве органа исполнительной власти была организована
Директория в составе пяти директоров, одним из которых
40

был избран Карно. В соответствии с решениями Совета
пятисот и Совета старейшин были одобрены все
мероприятия по организации Института, получившего
наименование Национального института наук и искусств. В
качестве местопребывания его была назначена зала кариатид в
Лувре. 4 апреля 1796 г. (15 жерминаля IV года)
состоялось первое заседание. Свой первый рапорт Институту,
зачитанный 15 апреля 1796 г., Монж посвятил
модификации оптического телеграфа Шаппа 14.
Как видим, в революционные годы во Франции была
произведена полная перестройка высшего и среднего
образования. В новой системе важное место заняла
Политехническая школа, которая стала центром развития
математики и математического естествознания, заменив в
этом отношении университеты. Она сумела сохранить
ведущее место едва ли не до нашего времени, во всяком
случае все крупные математики Франции XIX в. или
окончили Политехническую школу, или принадлежали к
корпорации ее преподавателей. В этом — большая
заслуга Монжа, который основал Политехническую школу на
строгом фундаменте теории, и притом самой современной.
Годы революции были, таким образом, для Монжа
наполнены чрезвычайно интенсивной общественной и
практической деятельностью: организация оборонной
промышленности, составление руководств и обучение рабочих,
организация системы образования, участие в различных
комиссиях. Не оставлял он и занятия наукой: в
революционные годы он в сущности подвел итоги своим
исследованиям в области начертательной, аналитической и
дифференциальной геометрии и не только внес существенный
вклад в развитие этих наук, но и составил учебники, по
которым учились поколения политехников.
Политехническая школа осталась для Монжа на всю
жизнь его привязанностью. Как пишет Д'Окань, «Монж
до самой своей смерти сохранил привязанность к науке,
к Политехнической школе, к Наполеону» 15.
14 Первая линия оптического телеграфа братьев Шапп была
устроена в 1794 г. (из Парижа в Лилль), а первое извещение по ней
получено Карно 1 сентября того же года; в нем говорилось, что
в этот день французские войска очистили от австрийских
оккупантов город Конде.
15 D'Ocagne Maurice. Hommes et Choses de science, propos familiers.
Paris, 1930, p. 105.

Глава третьи
Развитие начертательной геометрии
Лекции по начертательной геометрии Монж впервые
прочел для слушателей первого набора Нормальной
школы. Это был первый публичный курс начертательной
геометрии, которая до революции представляла нечто вроде
производственного секрета Мезьерской школы.
Стенограммы лекций были отредактированы автором и напечатаны
в «Журнале» Нормальной школы (т. I—IV за 1795 г.);
первое издание книги осуществлено в 1798 г.
Обычно имя Монжа связывается с созданием
начертательной геометрии; это не совсем так. Монж лишь
завершил и привел в систему то, что было сделано в этом
направлении до него, и добавил многое из результатов
собственных исследований.
Происхождение начертательной геометрии тесно
связано с практикой: она представляет собой наиболее
практический раздел математики, результат раздумий
архитекторов, камнерезов, художников и инженеров.
Прообраз ортогонального проектирования, лежащего в
основе начертательной геометрии,— план. Планами
пользовались еще архитекторы Ближнего Востока при
возведении зданий и застройке городов. К III тысячелетию
до н. э. относится статуя Гудеи, известная под
названием «Архитектор с планом». Сохранился вавилонский
план города. Греки заимствовали построение планов у
вавилонян или у египтян и передали эти практические
познания римским архитекторам. Витрувий указывает,
что архитектор при сооружении здания пользуется
следующими видами изображений: ихнографией,
орфографией и скенографией. «Ихнография есть надлежащее и
последовательное применение циркуля и линейки для
получения очертаний плана на поверхности земли.
Орфография же есть вертикальное изображение фасада и
картина внешнего вида будущего здания, сделанная с
42

надлежащим соблюдением его пропорций. Равным
образом скенография есть рисунок фасада и уходящих вглубь
сторон путем сведения всех линий к центру, намеченному
циркулем» \
Работы, подобной классическому труду Витрувия,
средневековые архитекторы не оставили: важные для
архитекторов познания в геометрии и механике были их
производственным секретом, который не доверялся
непосвященным; сама структура цехового ученичества не
допускала «разглашения» профессиональных тайн.
Но если архитекторы и могли скрывать свои секреты,
то этого не могли делать живописцы, которые
пользовались методом, подобным скенографии Витрувия, или его
вариантами: они уже не удовлетворяются плоскостным
изображением фигур, а начиная с Джотто стремятся в
плоскости создать иллюзию пространства. Теорию и
практику перспективы развивают Брунеллески, Баттиста Аль-
берти, Пьеро делла Франческа. Ярким примером
сознательного пользования законами перспективы может
служить «Тайная вечеря» Леонардо да Винчи, написанная
на торцевой стене монастырской трапезной и как бы
соединяющая пространство трапезной с пространством
изображения.
Великий немецкий художник, математик и теоретик
живописи Альбрехт Дюрер очень близко подошел к
открытию начертательной геометрии: он не только развил
теорию перспективы, но и значительно продвинулся в
разработке основ ортогонального проектирования. В
четвертой книге геометрического трактата «Четыре книги о
пропорциях» (1528) он приводит примеры проектирования
фигуры на две и три плоскости. Дюрер не пишет
сборника рецептов, он рассуждает, как геометр, хотя часть своих
познаний он, несомненно, заимствовал у итальянских
коллег.
Один из трактатов Дюрера — «Руководство к
укреплению городов» (1527) —посвящен теории фортификации.
Его интересы в этом отношении несколько напоминают
интересы молодого Монжа и в определенной степени
подчеркивают значимость фортификации как побуждающего
начала в развитии теории ортогонального проектирования.
1 Витрувий. Десять книг об архитектуре. М., Изд-во Всесоюзной
академии архитектуры, 1936, с. 26.
43

Дюрер решил также задачу построения теней от куба.
На гравюре «Меланхолия» он изобразил обтесанный
камень, «намекнув» тем самым на одну из важнейших
строительно-технологических задач того времени —
обработку камней. Чтобы выложить свод или арку, требовались
камни сложной формы; этой проблемой стали
интересоваться архитекторы и инженеры начиная с XVI
столетия. Так, Филибер де л'Орм в первом томе
«Архитектуры» (1567) дает геометрические пояснения правил
резки камней и сообщает некоторые сведения об
архитектурном рисунке. Однако способы, сообщаемые им, сложны и
малоинтересны, а доказательства — недостаточны. В
«Архитектуре сводов» (1643) Франсуа Деран пользуется в
своих рассуждениях методом ортогонального
проектирования и излагает технику архитектурного черчения.
В 1640 г. геометр Жирар Дезарг (1591—1661)
опубликовал коротенькую брошюру, в которой изложил
основы архитектурного черчения и теории резки камней.
Брошюра эта, сыгравшая основополагающую роль в
становлении начертательной и проективной геометрии, была
написана трудным языком. Тем не менее ее все же
прочитали и прокомментировали; поняли Дезарга,
по-видимому, только Ферма, Паскаль и Декарт. Декарт (1596 —
1650) в «Геометрии» (1637) развил метод ортогональных
координат, послуживший основой аналитической и
-начертательной геометрии. В 1674 г. математик Клод Франсуа
Милье Дешаль (1621 — 1678) опубликовал «Курс или мир
математики», одна из глав которого была посвящена
некоторым практическим приемам изображений.
Непосредственным предшественником Монжа был военный
инженер Фрезьер (1682—1773). Его сочинение «Теория и
практика разрезки камня и дерева, или руководство по
стереотомии» напечатано в Страсбурге в двух томах в
1738—1739 гг. Фрезьер прекрасно понял, какие
перспективы открывает ортогональное проектирование для
выполнения технических работ, но все же не сумел уяснить
так, как это сделал Дюрер, геометрической сущности
проблемы. Он проектирует предмет на две поверхности —
горизонтальную и вертикальную; построение линии
пересечения поверхностей он проводит, используя вспомога*-
тельные секущие параллельные плоскости. Практическая
направленность книги вытекает из самого ее названия.
Так возникли и развивались учение о перспективе и
44

Г ас пар Монж
ортогональное проектирование; оба эти учения тесно
связаны с изобразительным искусством и являются примером
применения математики к решению художественных
задач. Более удалены от математики изобразительные
проектирования типа аксонометрии, которые возникли как
паллиатив проектирования в среде, далекой от
сознательного использования математики. Примером могут служить
перспективные построения древнерусских иконописцев2.
Монж был математиком и инженером; он понял, что
для развития техники необходимо создать строго научную,
математически точную систему графических изображений,
с помощью которой можно было бы переносить на
плоскость пространственные структуры и, наоборот,
воспроизводить в реальном материале и в реальных условиях
проект, возникший в уме архитектора или инженера и
изображенный им на плоскости. Эта идея, учитывающая спо-
2 Раушенбах Б. В. Пространственные построения в древнерусской
живописи. М., «Наука», 1975.
45

собность человека мыслить образами, оказалась
чрезвычайно плодотворной и определила становление высшего
технического образования и его дальнейшее развитие по
крайней мере на последующие 200 лет.
Обусловленность идей Монжа событиями начавшегося
промышленного переворота несомненна: учение о
машинах интересовало его во всяком случае не меньше, чем
инженерно-фортификационное искусство, и само
возникновение курса построения машин было обязано одному из
разделов начертательной геометрии Монжа.
* Монж был геометром широкого плана — первым из
плеяды великих геометров XIX в., которые полностью
«перекроили» эту древнейшую отрасль математики. Он
занимался вопросами начертательной и проективной
геометрии, разрабатывал аналитическую и
дифференциальную геометрию и некоторые вопросы высшей геометрии;
даже в его исследованиях по математическому анализу
чувствуется влияние геометрических идей. J
К своим идеям он пришел не сразу; они возникали и
развивались на протяжении четверти столетия. Что
касается генезиса идей начертательной геометрии, которая
в определенной степени явилась катализатором других
геометрических идей, то они возникли у Монжа,
по-видимому, в 1765 г. и к концу его пребывания в Мезьере,
т. е. к 1784 г., приобрели стройную форму научного
направления. Они были опубликованы впервые в 1794—
1795 гг., но едва ли есть основание предполагать, что
Монж работал над их развитием на протяжении этого
десятилетия. Наоборот, в статье о теории поверхностей,
написанной Монжем в 1775 г.3, имеется, как на это
указал Лориа4, отчетливое отражение полностью
приведенной в систему начертательной геометрии; речь идет о
проблеме XIII, состоящей в определении поверхности с
помощью трех кривых линий. Есть и косвенные
доказательства. Так, в курсе проективной геометрии,
составленном учеником Монжа Лакруа 5 и опубликованном в том
3 Mémoire sur plusieurs genres de surfaces courbes particulièrement
sur celles des surfaces dèveloppables, avec une application à la
Théorie des Ombres et des Pénombres (présenté le 11 Janv.
1775).— Mém. div. sav., 1780, t. IX, p. 435-438.
4 Loria G. Storia délia geometria descrittiva. Milano, 1921.
5 Сильвестр Франсуа Лакруа (Lacroix, 1765—1843) —ученик
Монжа по Мезьерской школе, преподаватель военных учебных за-
46

же, 1795 г., причем до окончания публикации лекций
Монжа, содержится уже стройное, систематизированное
изложение, полученное от Монжа в годы учебы Лакруа.
Самостоятельностью курс Лакруа не грешит!
Впервые курс начертательной геометрии Монж
прочитал в Нормальной школе, тогда же его лекции начали
выходить отдельными выпусками. Всего вышло 13
выпусков. Первые 9 выпусков Ашетт свел затем в отдельную
книгу, которая и была издана в 1799 г. Третье издание,
полностью совпадающее со вторым, вышло в свет в 1811 г.;
в нем были лишь незначительные исправления, и в
качестве добавления приложена статья Ашетта. Четвертое
издание (1820) содержало текст 1799 г. и, кроме того,
текст трех последних лекций Монжа в Нормальной
школе.
Курс начертательной геометрии, прочитанный в
Политехнической школе, отличался от курса Нормальной
школы и имел некоторые принципиальные особенности.
Сама структура этого курса, который Монж считал
важнейшим предметом подготовки инженеров, тесно увязана
с технической практикой; кроме того, Монж
совершенствовал его, так сказать, «на ходу». Первая программа
(резюме курса, который предполагалось прочитать в
течение года) является первым документом этого курса.
Затем в течение жерминаля и флореаля (1795 г.) всем
студентам Политехнической школы Монж прочитал
двухмесячный курс, посвященный основам начертательной
геометрии. Наконец, от прериаля по фример (с 20 мая
по 21 декабря 1795 г.) он читал студентам первого года
обучения курс стереотомии. Позже повторил его вместе
с Ашеттом. Но в мае 1796 г. Монж выехал в Италию и
по возвращении больше не читал начертательной
геометрии, полностью передав ее Ашетту.
Такова краткая история устной и письменной
публикации курса начертательной геометрии ее основоположником.
Особенный интерес представляет программа первых
24 лекций, прочитанных «Революционным курсам». Она
опубликована Ашеттом в «Журнале» Политехнической
ведений, затем профессор Нормальной и Политехнической
школ, член Парижской академии наук (1799). По его
учебникам училось несколько поколений студентов во Франции и
других европейских странах.
47

школы; Р. Татон в книге о Монже опубликовал и саму
рукопись Монжа. Программа состоит из семи разделов,
последовательность которых уясняет основное
направление идей Монжа. Содержание ее следующее.
I. Основные принципы (лекции 1—4).
1. Изложение теории проекций. Способы, упрощающие
ее применение.
2. Способы построения пересечения поверхностей,
касательных и плоскостей, нормальных к кривым линиям,
нормалей и плоскостей, касательных к искривленным
поверхностям.
3. Примеры применения изложенных принципов к
решению некоторых вопросов, относящихся к форме тел п
к их взаимным положениям.
4. Образование, свойства и построение
развертывающихся поверхностей и поверхностей двоякой кривизны.
И. Резка камней (лекции 5—8).
1. Устройство сводов и камней сводов; изложение
условий, которым они должны удовлетворять.
2. Разборка сводов на камни (своды из мелкого камня,
из кирпичей, из пиленого камня). Условия, которым
должна удовлетворять такая разборка относительно
устойчивости, прочности камня, относительно общих условий.
3. Способы, при помощи которых каждому из камней,
входящих в состав сооружения, придается форма,
необходимая для того, чтобы они, будучи уложены на свое
место, произвели необходимое действие.
4. Применение метода проекций для достижения
указанной цели.
III. Резка дерева (лекции 9—12).
1. Общие предписания плотничного дела (деревянные
плиты, доски, ступени, машины, суда).
2 и 3. Способы, при помощи которых каждой части
придается та форма, которую она должна иметь: в случае,
если часть — прямая (чего требуют способы обмера и
обтесывания дерева) ; в случае, если часть — кривая.
4. Применение метода проектирования для двух
последних случаев.
IV. Тени (лекции 13 и 14),
1. Геометрическое определение тени, которую
отбрасывает произвольно заданное тело на любую заданную
поверхность, полагая, что светящееся тело является
единственной точкой.
48

2. Определение тени и полутени от произвольного тела
на любую поверхность в предположении, что размеры
светящегося тела являются конечными и что форма его
задана.
V. Перспектива (лекции 15 и 16).
1. Линейная перспектива; геометрическое построение
перспективы любого тела, заданного своей формой и
положением на таблице, также заданной формой и
направлением.
2. Воздушная перспектива; об интенсивности оттенков
поверхностей объектов, находятся ли они в тени или
освещены, учитывая их положение как относительно
светящегося тела, так и относительно глаза, который их
видит, а также несовершенство зрения.
VI. Топография (лекции 17—20).
1. Методы точного определения положения основных
точек на большой карте.
2. Методы заполнения с помощью планшетки для
объектов, которые требуют определенной точности, по
буссоли, если срочность не позволяет воспользоваться
иными способами.
3. Различные приемы нивелирования.
4. Искусство изображать на картах формы и
пересечения местности.
VII. Машины (лекции 21—24).
1. Представление способов, с помощью которых можно
преобразовать поступательное движение в движение по
окружности и наоборот, движение по окружности в
возвратно-поступательное движение и наоборот,
обратно-поступательное движение в поступательное движение и
наоборот.
2. Представление способов облегчения движений всех
видов.
3 и 4. Описание основных машин, приводимых людьми,
животными, силами, заимствованными у природы,
подобно текущей воде, падающей воде, ветру и водяному
пару 6.
Таково содержание программы, составленной Монжем.
Оно значительно шире наименования самого предмета и
охватывает не только геометрию, но и некоторые новые
прикладные и технические науки. У него, очевидно, была
Taton Я. L'oeuvre scientifique de Monge. Paris, 1951, p. 93—95.
49

идея создания общего графического метода решения
технических задач, и его «начертательная геометрия» шире
своего названия, как, впрочем, это было и с другими
науками, возникшими в связи с промышленной революцией,
в частности с механикой машин, которая так «вписалась»
в первоначальную программу Монжа. Это явствует и из
предисловия («Программы»), которое Монж предпослал
своему курсу. Он утверждает, что целью подготовки
специалистов является обучение их «пользованию
всевозможными инструментами, предназначенными для того, чтобы
вносить точность в работу и измерять ее степень»,
расширение знаний явлений природы, необходимое для
прогресса промышленности, распространение знания способов,
применяемых в технике, и знания машин,
предназначенных для сокращения ручной работы. Для этого нужно
дать народному образованию новое направление.
«Прежде всего нужно приучить пользоваться
начертательной геометрией всех способных молодых людей, как
богатых, для того чтобы они были в состоянии употреблять
свои капиталы с пользой — равно для себя и для
государства, так и тех, у которых образование является
единственным богатством, чтобы они могли увеличить цену
своего труда» 7.
Итак, начертательная геометрия — это язык,
необходимый инженеру, создающему проект. Ее вторая цель —
«выводить из точного описания тел все, что неизбежно
следует из их формы и взаимного расположения. В этом
смысле — это средство искать истину; она дает
бесконечные примеры перехода от известного к неизвестному» 8.
И далее: «Народному образованию будет дано полезное
направление, если наши молодые специалисты привыкнут
применять начертательную геометрию к графическим
построениям, необходимым во многих областях, и
пользоваться ею для построения и определения элементов
машин, при помощи которых человек, используя силы
природы, оставляет за собой только работу разума.
Не менее полезно распространять знания о явлениях
природы, которые можно тоже заставить служить на
пользу делу» 9,
7 Монж Гаспар. Начертательная геометрия. Пер. В. Ф. Газе. М.,
Изд-во АН СССР, 1947, с. 9—10.
8 Там же, с. 10.
9 Там же, с. 10—12.
50

Начертательная геометрия как универсальный предмет
осталась лишь в нескольких документах, написанных
самим Гаспаром Монжем и Ашеттом. Как мы увидим, в
конце концов и сам Монж пришел к выводу, что
одним курсом нельзя охватить такого большого количества
идей и методов: то, что было возможно на исходе
третьей четверти XVIII в., уже не годилось для начала XIX в.,
когда промышленный переворот охватил и Францию. То,
что мог сделать сам Монж, уже было не под силу его
ученикам, да и надобности в этом больше не было:
бурное развитие промышленности стимулировало и быстрое
развитие наук и их дифференциацию, которая была
особенно характерна для начала XIX в. Отсюда определение
предмета начертательной геометрии: «Начертательная
геометрия преследует две цели: во-первых, дать методы
для изображения на листе чертежа, имеющего только два
измерения, а именно длину и ширину, любых тел
природы, имеющих три измерения — длину, ширину и высоту,
при условии, однако, что эти тела могут быть точно
заданы.
Во-вторых, дать способ на основании точного
изображения определять формы тел и выводить все
закономерности, вытекающие из их формы и их взаимного
расположения» 10.
Первый раздел «Начертательной геометрии» посвящен
изложению метода проекций. Монж начинает с
изображения точки и исследует возможные способы определения
ее положения в пространстве. Прежде чем перейти к
ортогональному проектированию, он определяет положение
точки относительно трех точек в пространстве,
положение которых известно, затем — относительно трех
заданных прямых. Так, если точка находится на некотором
расстоянии от первой прямой А, то, следовательно, она
находится на поверхности кругового цилиндра, осью
которого является А, а радиус основания равен заданному
расстоянию. Если, кроме того, искомая точка находится
на некотором другом (также определенном) расстоянии
от иной прямой В, это означает, что она лежит и на
поверхности второго кругового цилиндра, осью которого
служит В. Следовательно, точка находится на линии
пересечения обоих цилиндров, которая, очевидно, является кри-
10 Там же, с, 13,
51

вой двоякой кривизны. Вводя затем подобным образом
третий цилиндр с осью С, расстояние которой от точки
задано, мы приходим к определению пересечений кривой
двоякой кривизны с цилиндром; таких пересечений в общем
случае будет восемь. Итак, искомая точка может быть
одной из восьми и для точного определения ее положения
необходимо задать еще некоторые дополнительные
условия.
Исходя из этого рассуждения, Монж приходит к
выводу, что определять положение точки в пространстве
следует не относительно трех точек или трех линий, а
относит ельно трех плоскостей. Таким способом, пишет он,
пользуются при применении алгебры к геометрии. Но в
начертательной геометрии, «которая начала применяться
гораздо раньше и значительно большим числом людей,
и притом людей, время которых дорого, методы еще более
упростились; вместо того, чтобы рассматривать три
плоскости, научились при помощи проекций ограничиваться
рассмотрением только двух плоскостей» il.
Очень интересно то обстоятельство, что Монж не
только указывает на применение алгебры к геометрии; он
говорит о том, что существует принципиальное сродство
между идеями алгебры и геометрии; до него никто так
отчетливо не высказывался в этом отношении. При этом
он оказывается в явно неблагоприятном положении:
исходит не из общих идей, а из конкретных идей
начертательной геометрии; увидеть в них алгебру в конце
XVIII в. было нелегко. Правда, Монж не различает
алгебру и анализ и пользуется обоими этими терминами.
Однако в его рассуждениях различие между дискретным
и непрерывным (в понятиях XVIII в.) несущественно,
равно как и в механике статика есть частный случай
динамики; зафиксированное положение тела является
всего лишь сечением совокупности его положений в
движении.
Выдвигая в качестве основного при построении
начертательной геометрии метод проекций, Монж сразу же
делает оговорку о его применимости: «...если тело
ограничено,— пишет он,— или одной кривой поверхностью...
как, например, в случае поверхности шара, или
прерывной совокупностью многих частей различных поверхно-
Монж Гаспар. Начертательная геометрия, с. 20—21.
52

стей, как это имеет место в случае тела, выточенного на
токарном станке,— этот принцип становится не только
неудобным для применения и не дающим правильного
представления, но и неплодотворным и недостаточным» 12.
Поэтому его приходится дополнять вторым принципом,
относящимся к образованию кривых поверхностей; в
соответствии с ним нет ни одной поверхности, форма и
положение которой не могли бы быть определены точным
и полным заданием ее образования.
Но здесь следует принять во внимание еще третий
«принцип» — опыт исполнителя. Так как форма и
положение кривой поверхности задаются построением в
некоторой точке образующей кривой, то: «1) поскольку
каждая кривая поверхность может быть образована
бесконечным числом способов — от умения и проницательности
чертежника зависит выбрать из всех возможных способов
образования тот, при котором образующая кривая будет
наиболее простой и который требует наименее
утомительных рассуждений; 2) долговременная практика
показывает, что, вместо того чтобы рассматривать для каждой
кривой поверхности лишь один из способов ее
образования, что требовало бы изучения законов движения и
изменения формы образующей, во многих случаях
значительно проще рассматривать одновременно две разные
образующие и задать для каждой точки построение двух
образующих кривых» 13. Иначе говоря, в этом случае
следует построить две проекции двух различных
образующих, проходящих через любую точку поверхности;
при этом одна из поверхностей выбирается произвольно.
Раздел завершается изложением девяти примеров.
Второй раздел «Начертательной геометрии» посвящен
изучению построения касательных плоскостей и
нормалей к кривым поверхностям. Монж определяет
касательную плоскость как плоскость, проведенную через две
касательные к образующим в точке их пересечения;
прямую, проведенную через точку касания перпендикулярно
к касательной плоскости, он называет нормалью к
поверхности. В преамбуле раздела Монж указывает на
прикладную важность этой теории; примеры он заимствует из
архитектуры и живописи. В первом случае он рассматри-
12 Там же, с. 28.
13 Там же, с. 32.
53

вает обтесанные камни, предназначенные для кладки
сводов, и грани их соприкосновения между собой.
«Одно из условий, которым должно удовлетворять
положение граней соприкосновения, состоит в том, чтобы
они были перпендикулярны между собой и расположены
перпендикулярно к поверхности свода. При значительном
уклонении от этого условия не только были бы нарушены
общепринятые законы, без которых пострадала бы
сторона эстетики, но и самый свод стал бы менее прочным
и менее долговечным; так, если бы одна из граней
соприкосновения была бы наклонной к поверхности свода, то
один из двух смежных клинчатых камней имел бы тупой,
а другой — острый угол; во взаимодействии, которое оба
эти клинчатые камня о.казывали бы друг на друга, эти
два угла обладали бы различным сопротивлением; в силу
хрупкости материала острый угол мог бы дать трещину,
что изменило бы форму свода и сократило долговечность
здания» 14.
Второй пример относится к живописи. В живописи
Монж различает две совершенно различные стороны.
Живопись представляет собой, во-первых, собственно
искусство, т. е. результат точного знания природы. вещей,
способа их воздействия на человека. Другую сторону
живописи Монж называет ремеслом — здесь речь идет
собственно о ее технике. «Когда известны форма и
положение предмета, свойства, число и положение тел, которые
могут его освещать... когда фиксировано положение
глаза зрителя, когда, наконец, хорошо установлены и
известны все обстоятельства, могущие влиять на зрение, то
оттенок изображения каждой точки на видимой
поверхности этого предмета будет совершенно определенным. Все,
что связано с цветом оттенка и его яркостью, зависит от
положения касательной плоскости в этой точке по
отношению к освещающим телам и глазу зрителя... Всякое
ослабление и всякое усиление изменило бы наружный
вид предмета, исказило бы его формы, произвело бы пе
тот эффект, которого ожидает художник» 15.
Следовательно, художник, равно как и архитектор, должен
использовать методы начертательной геометрии — рассматривать
положение касательных плоскостей и обе кривизны по-
14 M оною Гаспар. Начертательная геометрия, с. 46.
15 Там же, с. 47.
54

верхностей в каждой их точке; в этом случае он точнее
и сознательнее подошел бы к своей цели.
Не следует забывать, что в конце XVIII в. своды
были важнейшим типом перекрытия, а в искусстве
царили Буше, Фрагонар и Ватто. О возможности геометрии
Пикассо Монж, конечно, не мог и подозревать.
Монж рассматривает построение касательных
плоскостей в заданных точках кривых поверхностей на четырех
примерах, затем переходит к установлению условий,
определяющих положение касательной плоскости, и вводит
новое условие: точка, через которую надо провести
плоскость, лежит не на поверхности, а вне ее.
Соответствующие примеры Монж берет из фортификации и
живописи.
«При изложении общих принципов фортификации,—
пишет он,— прежде всего полагают, что местность,
окружающая крепость, горизонтальна во всех направлениях
на расстоянии пушечного выстрела и не имеет никаких
возвышенностей, которые могли бы предоставить
некоторые преимущества осаждающему; затем, в этом
предположении, разрабатывается трассировка главной
крепостной ограды, люнетов, крытых ходов, передовых верков...
Наконец, если применить эти принципы к случаю, когда
окружающая местность имеет какую-либо высоту,
которой осаждающие могли бы воспользоваться и от которой
надо защитить крепость, остается воспользоваться еще
одним новым соображением. Если имеется только одна
высота, то в этой местности выбирают две точки, через
которые проводят плоскость, касательную к высоте, от
которой желательно защититься; эта касательная
плоскость называется плоскостью дефилады; всем частям
крепости придают тот же рельеф над плоскостью дефилады,
который они имели бы над горизонтальной плоскостью,
если бы местность была горизонтальной..; укрепленный
район при этом обладает теми же преимуществами, что и
в предыдущем случае. Что касается выбора двух точек,
через которые должна проходить плоскость дефилады, то
они должны удовлетворять двум следующим условиям:
1) чтобы угол, составленный этой плоскостью с
горизонтом, был бы возможно меньшим... 2) поднятие
укрепления над естественной местностью должно быть также
возможно меньшим, дабы постройка требовала меньших
работ и расходов.
55

Если в окрестности крепости имеются Две высоты, от
которых требуется защитить укрепления, плоскость де-
филады должна быть одновременно касательной к
поверхностям этих двух высот; для фиксирования ее
положения остается только одно свободное условие, которым и
пользуются, а именно: на местности выбирают точку,
через которую должна пройти эта плоскость так, чтобы
она как можно лучше удовлетворяла условиям,
изложенным в первом случае» 16. Не лишено интереса то
обстоятельство, что, как мы уже знаем, эта задача
фортификации явилась первой, которая была решена Монжем и с
которой в сущности и началась разработка основ
начертательной геометрии и ее упорядочение.
В качестве второго примера Монж приводит принцип
построения ярких точек на картине так, чтобы восприятие
картины зрителем было оптимальным: «Положение яркой
точки определяется для каждой поверхности условием,
чтобы падающий луч света и отраженный луч,
направленный к глазу зрителя, лежали в одной плоскости,
перпендикулярной касательной плоскости в этой точке, и
составляли бы с этой плоскостью равные углы, так как
блестящая точка поверхности играет роль зеркала и отражает
по направлению к глазу часть изображения светящегося
предмета. Определение этой точки требует крайней
точности, и даже, если рисунок выполнен с величайшей
правильностью, если видимые контуры проведены с
математической точностью, малейшая ошибка в положении
блестящей точки вызовет неверное впечатление при
рассматривании формы» 17.
После таких вступительных замечаний Монж
переходит к определению касательных плоскостей к кривым
поверхностям, проведенных через точки, не лежащие на
поверхности. Он решает задачу — через заданную прямую
провести плоскость, касательную к поверхности
заданного шара. Решение дается двумя способами и приводит к
открытию ряда замечательных свойств круга, сферы,
конических сечений и кривых поверхностей второго
порядка.
Следующие задачи (2—6) служат примерами
применения общего метода.
16 Монж Гаспар. Начертательная геометрия, с. 62—63.
17 Там же, с. 63—64.
56

Третий раздел книги посвящен теории пересечения
кривых поверхностей. Эта теория получила особенно
важное значение для развития построения машин.
Рассматривая пересечение таких поверхностей, Монж замечает,
что последовательность точек, общая для обеих
поверхностей, будет в общем случае кривой линией; в
частности, она может выродиться в прямую линию или лежать
в одной плоскости; наиболее общим случаем будет
кривая двоякой кривизны. Он указывает при этом, что
можно установить соответствие между операциями алгебры и
методами начертательной геометрии. В алгебре способ
исключения неизвестных приводит к одному уравнению
с одним неизвестным, аналогично в начертательной
геометрии кривые и поверхности могут принимать различные
положения, но образующиеся при этом новые объекты
будут выражаться соответствующим уравнением. «Для
наиболее эффективного изучения математики ученик
должен как можно раньше привыкнуть чувствовать
соответствие между операциями анализа и геометрии; с одной
стороны, он должен уметь записывать аналитически все
те движения в пространстве, которые он может себе
представить, с другой — представлять себе постоянно в
пространстве движущуюся картину, записью которой
является каждая из аналитических операций» 18.
При изложении самого способа построения Монж
пользуется системой вспомогательных плоскостей. В
некоторых случаях, чтобы получить более легкое и изящное
решение, можно вместо этого пользоваться
совокупностью кривых поверхностей; иногда — системой
горизонтальных плоскостей. Наконец, для случая двух
поверхностей вращения, оси которых лежат в одной плоскости,
но не параллельны друг другу, самым подходящим будет
применение системы сферических поверхностей, общий
центр которых находится в точке пересечения осей.
Следующие задачи посвящены построению
касательных к линиям пересечения поверхностей, построению
разверток пересечений различных поверхностей, способу
Роберваля построения касательной к кривой, заданной
законом движения образующей точки.
В четвертом разделе собраны прикладные задачи
начертательной геометрии. Здесь Монж опять обращается
18 Там же, с. 92.
57

к общеобразовательному значению этой науки, которое,
по его мнению, должно постоянно возрастать. Был ли он
прав в этом отношении? На этот вопрос можно ответить,
лишь учитывая то время, когда была высказана мысль.
Сейчас мы так свыклись с изобразительным значением
начертательной геометрии, что часто не отдаем себе
отчета в том, что техническое черчение — это не что иное,
как применение методов начертательной геометрии к
решению некоторых практических задач из области
машиностроения, строительства, транспортной техники или
какой-либо другой отрасли. Но в конце XVIII в. это
было чем-то вроде энциклопедии общей техники; кроме
того, изучение начертательной геометрии развивало у
учащихся пространственное воображение, совершенно
необходимое инженеру.
Первые три задачи имеют скорее теоретический, чем
практический интерес: это нахождение центра и радиуса
шара, поверхность которого проходит через четыре
произвольно заданные точки в пространстве; вписание шара в
заданную треугольную пирамиду; построение проекции
точки, расстояние которой до трех заданных точек
известно. Четвертая и пятая задачи относятся к
картографии. Любопытна шестая задача, где Монж вводит в
рассуждение технические новинки конца XVIII в.
«Генерал армии, стоящей перед лицом врага, не имеет карты
местности, занимаемой последним; она ему нужна, чтобы
составить план предпринимаемой атаки. В его
распоряжении имеется аэростат. Он поручает инженеру
подняться на аэростате и принять все необходимые меры к тому,
чтобы составить карту и дать приближенную
нивелировку; но он имеет основание думать, что, если аэростат
будет менять свои положения над местностью, враг
догадается о его намерениях; поэтому он позволяет инженеру
подниматься на разные высоты в атмосфере, если это
нужно, но не разрешает менять положение над землей.
Инженер имеет угломерный инструмент, снабженный
также и отвесом. Спрашивается, как он может исполнить
приказание генерала?» 19 Далее Монж приводит
рассуждения, разъясняющие решение задачи, которое (по его
словам) настолько просто, что не требует рисунка.
19 Монж Гаспар. Начертательная геометрия, с. 152.
58

Пятый раздел книги посвящен исследованию
некоторых теоретических вопросов, касающихся кривизны
пространственных кривых и кривизны поверхностей. Монж
указывает на необходимость этой теории для
профилирования кулачков и зубьев зубчатых колес. В XVIII в.
«кулаки вращающихся валов» выходили буквально «из-
под топора», и, как известно, до конца века
подавляющее количество зубчатых колес было деревянным, в том
числе колеса карманных часов, «яиц». Правда, в работах
Гука, Лагира, Камю и Эйлера уже полностью был
выяснен вопрос относительно профилирования зубьев
зубчатых колес, но те, кто строил машины и изготовлял
колеса, не читали ни Гука, ни Камю, ни тем более Эйлера.
Поэтому и соответствующие утверждения Монжа не
являются категорическими.
Но само построение эвольвенты и эволюты и
выводимые из этой операции положения значительно обогащают
начертательную геометрию Монжа. При этом он
рассматривает пространственные кривые не как развитие теории
плоских кривых: кривые двоякой кривизны в его
геометрии являются отображением соотношений, реально
существующих в природе. Тем более это касается
поверхностей, являющихся геометрическим местом эволют двоякой
кривизны; в ряде рассуждений Монж приходит к
достаточно простому и общему способу построения любой
эволюты кривой двоякой кривизны для случая задания
заключающей ее поверхности: для этого достаточно
«через точку на кривой протянуть нить касательно к
поверхности и наложить эту нить на поверхность, натягивая
ее, ибо в силу натяжения нить примет направление
кратчайшего расстояния между концами кривой и уложится,
следовательно, по одной из эволют» 20. Таким образом,
оказывается, что каждую кривую двоякой кривизны
можно воспроизвести с помощью непрерывного движения.
После изложения теории кривых двоякой кривизны и
в качестве частного случая плоских кривых Монж
переходит к доказательству теоремы о кривых поверхностях:
каждая поверхность имеет в любой своей точке только
две кривизны; каждая кривизна имеет свое собственное
направление, свой собственный радиус, а две дуги, по
которым эти кривизны измеряются, перпендикулярны друг
20 Монж Гаспар. Начертательная геометрия, с. 165.
59

другу на поверхности. При этом он пользуется
исключительно геометрическими соображениями. Он делит все
поверхности (с точки зрения кривизны) на три класса:
к первому относятся те, которые во всех своих точках
не имеют никакой кривизны (т. е. плоскости) ; ко
второму — поверхности, имеющие в каждой данной точке
единственную кривизну; к третьему — поверхности,
имеющие в каждой точке две различные кривизны, которые
могут изменяться независимо одна от другой (в частном
случае, например, в случае сферы, обе кривизны равны
между собой).
Монж неоднократно подчеркивает, что изложение
теории кривизны поверхностей облегчится, если к решению
этой задачи применить математический анализ, но он
пользуется геометрическими методами как более
удобными для приложений. Действительно, после изложения
теории он переходит к некоторым практическим
применениям, важнейшим из которых является резка камней.
В связи с понятием кривизны поверхностей Монж
приходит к определению развертывающихся
поверхностей, которые, собственно, и нужны ему для приложений.
Он рассматривает нормали искривленной поверхности как
линии пересечения двух совокупностей
развертывающихся поверхностей, каждая из которых перпендикулярна к
заданной поверхности и пересекает ее по кривой,
которая одновременно является линией кривизны кривой
поверхности и развертывающейся поверхности. При этом
каждая из развертывающихся поверхностей первой
совокупности пересекает все поверхности второй
совокупности по прямым линиям и под прямыми углами. Это
последнее обстоятельство оказывается весьма
существенным для практических применений.
Действительно, при построении сводов применяют так
называемые клинчатые камни. Грани соприкосновения
этих камней должны выполняться с очень высокой
точностью, ибо давление передается от одного камня к
другому нормально к их поверхностям соприкосновения, и
необходимо, чтобы оно распределялось равномерно. Этому
условию удовлетворяют плоские грани, но они не всегда
возможны. Иногда условия архитектуры нарушаются,
если камни соприкасаются не по кривым поверхностям;
однако в этом случае нужно выбирать наиболее простые
поверхности, изготовление которых достаточно просто и
60

может быть выполнено с наибольшей точностью. Такими
и будут, очевидно, те, что образуются движением прямой
линии, и особенно развертывающиеся поверхности.
Поэтому грани соприкосновения клинчатых камней и
следует выполнять из развертывающихся поверхностей.
Не знавшие геометрических законов архитекторы в
наиболее простых случаях путем наблюдения приходили
к достаточно правильным решениям. Так, при
сфероидальной поверхности свода они разделяли клинчатые
камни меридианами и параллелями и таким образом
добивались перпендикулярности граней между собой и к
поверхности свода. В более сложных случаях такое
решение было недостаточным.
В очерках «Теория теней» и «Теория перспективы»
Монж приводит теории, непосредственно вытекающие из
его учения о начертательной геометрии. Он отмечает, что
ее следует рассматривать с двух точек зрения. Это, во-
первых, метод исследования для достижения требуемых
результатов; во-вторых, метод представления предметов.
При изображении предмета, чтобы судить о его
действительной форме, часто бывает необходимым знать его
тень, что достигается с помощью теории теней. Это дает
возможность избежать необходимости изображать
предмет в двух проекциях, так как одна проекция с тенями
может дать полное впечатление об объекте. Понятие тени
предполагает, что некоторое тело стоит на пути лучей,
распространяющихся от светящейся точки; таким
образом, речь идет о некотором пространстве. Однако,
замечает Монж, в начертательной геометрии рассматривается
не пространство, а лишь его проекция на какую-либо
поверхность.
Монж рассматривает построение тени для случая,
когда источник света бесконечно удален и лучи можно
считать параллельными; он пользуется здесь той же
теорией развертывающихся поверхностей, которую развил
ранее.
«Мы ограничимся,— пишет он,—той частью теории
теней, которая занимается геометрическим определением
контуров теней, нам остается рассмотреть ее другую
часть, относящуюся к определению интенсивности
оттенков, придаваемых различными частями затененных
поверхностей для лучшего изображения на рисунках света
и тени, являемой данными предметами в действитель-
61

Титульный лист первого издания «Начертательной геометрии»
M о ною а
ности. Чтобы охватить подобный вопрос во всем его
объеме, уже недостаточно ограничиться рассмотрением,
как мы это делали до сих пор, светящегося тела, тела
непрозрачного и поверхности, на которую падает тень,
но также нельзя не принимать во внимание различные
дополнительные обстоятельства; мы должны рассматри-
62

вать предметы вместе со всем, что их окружает в
действительности, и учитывать, помимо прочих вещей, также
и положение наблюдателя и изменения, которые может
испытать свет на пути к его глазу,— только тогда мы
можем передать все ощущение картины, на которую
направлен его взгляд» 21.
К начертательной геометрии Монжа примыкает его
«Теория перспективы». Однако между этими двумя
разделами курса, который Монж читал в Политехнической
школе и в Высшей нормальной, есть существенная
разница. Начертательная геометрия представляет собой не
что иное, как классическую геометрию в применении к
некоторым построениям. Теория перспективы является
принципиально новым разделом геометрии; впоследствии
Понселе построит на ее основании проективную
геометрию и таким образом выйдет за пределы классических
идей.
Монж был последним геометром-классиком и первым,
кто заметил, что с геометрией и ее построениями не все
обстоит гладко. Правда, его подход к идеям теории
проектирования не нов: мы находим подобные мысли у
Дюрера, у Дезарга и у некоторых других геометров;
начиная, вероятно, с Николая Кузанского они постоянно
ищут новые решения. Для творчества Монжа также
характерна именно всегдашняя неудовлетворенность
полученными результатами: лишь только ему удается
изложить начертательную геометрию (на которую он
возлагал все свои надежды и которая для него являлась
энциклопедией технических знаний), как он передает ее
своему ученику Ашетту, а сам переходит к новым идеям
о взаимосвязях геометрии и анализа.
Выше мы видели, что история перспективы
начинается с творчества художников раннего Возрождения: уже
Джотто пробует дать на плоскости видимость
пространства. «Искусство перспективы,— пишет Монж,—
заключается в изображении на картине, форма и положение
которой известны, предметов, также заданных по форме
и положению, такими, как они кажутся глазу с
определенной точки зрения» 22. Монж подчеркивает различие
между чисто геометрической задачей линейной перспек-
21 Монж Гаспар. Начертательная геометрия, с. 211.
22 Там же, с. 212.
63

тивы, состоящей в точном изображении на картине
положения каждой воспроизводимой точки, и физической
задачей воздушной перспективы, имеющей дело с
передачей на картине оттенков света и тени. «На основании
только что данных определений легко понять, что
линейная перспектива сводится к построению сечения данной
поверхностью пирамиды, вершина и основание которой
заданы. Глаз является вершиной; основанием служит
рассматриваемая им поверхность предмета, который мы
изображаем в перспективе, линия обвода — лучом зрения,
а секущей плоскостью является сама картина» 23.
Теория перспективы не была новшеством: еще
Альбрехт Дюрер разработал ее основы; в некоторых местах
Монж повторяет его положения и выводы. Тем не менее
на всей работе лежит характерная печать творчества
Монжа: он точен, тщательно подбирает слова и
определения, очень экономен в чертежах и постоянно ставит
перед читателем задачи, решить которые нетрудно, но
решение это требует и внимания, и работы мысли.
Изложив основы линейной перспективы, Монж
переходит к воздушной перспективе, которую излагает весьма
тщательно, подчеркивая при этом ее экспериментальный
характер: «Мы далеки от мысли, что то, что мы
собираемся изложить, представляет знаконченное учение; это
лишь отдельно высказанные мысли, предназначенные к
тому, чтобы открыть более или менее новые пути; мы
хотели бы, чтобы из наших попыток выросли более
глубокие исследования и чтобы они стали для науки началом
некоторых будущих успехов» 2\ И для математика, и для
художника наиболее важна задача создания образа и
воздействия образа на наблюдателя. Монж изучает
освещенность с точки зрения физики и физиологии. Он
учитывает сопротивление среды распространению светового
луча, оценивает отражение света от гладкой и
шероховатой (матовой) поверхности. Говоря об отражении света
от матовой поверхности, он указывает на слабую
изученность вопроса и пробует построить удовлетворительную
теорию этого явления. Далее рассматривает случай
сферической поверхности: несмотря на то что освещенность
23 Там же, с. 213.
24 Там же, с. 223—224.
64

поверхности одинакова, сила света будет тем меньше, чем
ближе к нормали направление светового луча. В качестве
примера Монж приводит Луну, которую рассматривает
как матовую поверхность, отражающую солнечные лучи.
Поскольку Луна не имеет атмосферы, то из-за ее
сферической поверхности мы видим возле ее краев под тем же
углом зрения большие поверхности, чем в ее центре, и,
следовательно, освещенность Луны у краев
представляется нам большей, чем в центральной части.
Затем Монж указывает, что очень существенно
изучить, как масса воздуха влияет на свет на его пути
от освещенного предмета к глазу. При этом часть лучей
вообще не доходит до глаза наблюдателя, поскольку
отклоняется встречающимися на пути молекулами воздуха;
кроме того, к основным лучам примешиваются посторонние
лучи голубоватого цвета. Аналогичное явление
происходит с предметами, находящимися в тени.
«Рассмотрим два ряда одинаковых предметов,
простирающихся на большое расстояние; пусть один из них
состоит из освещенных предметов, другой из предметов,
погруженных в тень. Освещенность предметов,
составляющих первый ряд, будет ослабевать по мере их удаления;
если предположить, что они белого цвета, то их белизна
будет становиться менее яркой и будет, кроме того,
изменять свой цвет совсем незаметным образом при
переходе от одного предмета к соседнему, и весьма ощутимо
на протяжении всего ряда она приобретает голубоватый
оттенок; в то же время тень предметов, составляющих
второй ряд, будет ослабевать в интенсивности,
приближаясь, однако, не к белому, но к голубому цвету. Если
оба ряда рассматриваемых предметов простираются
исключительно далеко, то наступит такой момент, когда
белизна освещенных предметов и чернота находящихся
в тени, все время убывающая с переходом в синеву,
сольются в цвете атмосферы. Мы наблюдаем подобное
явление, рассматривая высокие горы... их покрытые
снегом и сверкающие вершины, их сильные тени, столь резко
выраженные при рассмотрении с небольшого расстояния
в ясный день,— все почти совсем гаснет и растворяется
в лазури неба» 25.
25 Монж Гаспар. Начертательная геометрия, с, 233—234
3 А. Ц. Боголюбов 65

Лекции завершаются разделом, посвященным
изменению цвета под влиянием условий освещения. «Если мы
сидим утром, перед восходом солнца, при прекрасном
голубом небе у открытого окна и перед нами на столе
горит свеча и лежит лист бумаги, то бумага будет
освещена одновременно свечой и светом, уже разлитым в
атмосфере, который посылает нам воздух. Если мы при
этих обстоятельствах поместим какое-либо тело так,
чтобы оно заслонило часть лучей, идущих от свечи на
бумагу, то падающая на нее тень будет освещена только
атмосферой; она покажется нам голубой, что и есть на
самом деле, потому что свет, отраженный атмосферой,—
голубой; но если мы погасим свечу и бумага будет
целиком освещена только этим голубым светом, мы тем не
менее не поколеблемся назвать эту бумагу белой; если
рядом находится другой лист бумаги голубого оттенка,
он нам покажется таким же белым, как и первый» 26.
Как видим, геометрия переходит в теорию искусства,
а геометрические построения тесно связаны с
проблемами изображения. Монж был не только ученым — он был
практиком и поэтому ближе других подошел к решению
комплексных проблем, равно относящихся к той или
иной области человеческой деятельности; поэтому,
возможно, начертательная геометрия именно у него
приобрела свою классическую форму., Действительно, чтобы
предпринять какие-либо технологические операции над
телом, имеющим вполне определенную форму, нужно
найти адекватное изображение этой формы; в противном
случае любое решение будет частным и не сможет
привести к созданию соответствующей теории. {Монж был
совершенно прав, когда считал предмет начертательной
геометрии не только основным, но и ведущим при
подготовке инженера: в то время не было ни прикладных,
ни технических наук, не было и вычислительной техники,
и единственно, что могло придать силу рассуждениям
инженера, была возможность выполнения графических
построений, в какой-то степени решавших данную
задачу. Таким образом, у начертательной геометрии в
исполнении и в понимании Монжа была двоякая роль: она,
во-первых, подменяла собой определенный свод
технических познаний, была в некотором роде «энциклопедией
26 Там же, с, 239,
m

техйики>>; во-вторых, oÈà дайала в руки инженера ряд
графических методов решения задач. Наконец, с
начертательной геометрией был создан общепонятный язык
техников, очень скоро получивший международное значение.
Однако, кроме своего практического применения,
начертательная геометрия несет еще одну важную
функцию, на которую указал в свое время ученик Монжа
Дюпен: она является графической традицией
рациональной геометрии. Геометрия имеет дело с предметами,
ориентированными в трехмерном пространстве; целью
начертательной геометрии в таком случае является
представление в воображении пространственных форм, их
сочетаний и операций над ними. Мы говорим здесь о
геометрии конца XVIII — начала XIX в., с которой имели
дело математики до опубликования революционных идей
Н. И. Лобачевского. Ум человека приучается
представлять пространственные образы не как индивидуальные
образования — точки, линии, поверхности и тела,
существующие в идеальном абстрактном пространстве, а как
совокупности, которые можно приближать друг к другу,
комбинировать; можно предвидеть результаты их
пересечений. Для геометрии той эпохи идеи эти несли с
собой новую мысль; они послужили стимулом к
созданию новой геометрии, одним из основоположников
которой явился сам Монж.
Мы видели, что основной задачей, поставленной Мон-
жем, было представление трехмерных тел природы на
двумерной поверхности. Второй его задачей было
определить для подобного представления математические
соотношения, основанные на форме и положении тел.
К решению он подходит планомерно, детально
разбирая построение точки, линии, поверхности. Именно этой
чланомерности не было у его предшественников; они
предлагали либо теоретические исследования, которым
трудно было найти практическое применение, либо ряд
проверенных рецептов, которые следовало выучить на
память без рассуждений.
Монж не стал относить положение изучаемых
объектов к фиксированным точкам или к прямым линиям; его
метод заключается в том, что он относит объекты к
плоскостям, перпендикулярным между собой, тогда каждая
точка и каждая линия проектируемого объекта также
проектируются на эти плоскости. В некоторых простей-
67
3*

ших случаях принцип проектирования упрощается. Так,
плоскость полностью определяется прямыми линиями,
«следами» на плоскостях проектирования; сфера —
двумя проекциями ее центра и большого круга;
цилиндр — своим пересечением с одной из плоскостей
проектирования и проекцией его сечения.
Следующей задачей, поставленной Монжем, было
изображение сочетаний точек, линий и поверхностей. При
построении плоскостей Монж рассматривает три случая:
плоскости, параллельные между собой,
перпендикулярные и наклонные. Естественно, в первом случае ему
приходится определять расстояние между плоскостями, а в
последнем — величину наклонения.
Затем Монж переходит к изучению линий и
плоскостей, которые занимают относительно кривых
поверхностей какие-либо важные положения; главными из них
являются касательные плоскости и нормали. Монж
разработал графические методы изображения подобных
плоскостей и линий исходя из таких предположений:
точки, через которые следует провести нормаль и
касательную плоскость, заданы на поверхности; вне
поверхности заданы одна точка нормали и две точки
касательной плоскости. Он специально занимается также
случаями, когда касательная плоскость проведена к одной,
двум или трем сферам.
Дальнейшим усложнением являются
комбинирование кривых поверхностей и построение их пересечений.
Эти пересечения, а равно и практические применения
построений Монж выполняет с большой элегантностью.
Изложение курса завершают построения,
выполняемые в развитие основных идей. Однако Монжа не
удовлетворяло пассивное изучение его предмета, от своих
учеников он требовал активности, чтобы они решали и
такие задачи, которые выходили за пределы курса. Это
стремление ввести учащегося в творческую лабораторию
ученого особенно характерно для Монжа. Он не создал
научной школы, но среди его учеников оказалось много
крупных ученых, продвинувших вперед и математику и
механику. Его начертательная геометрия очень быстро
перестала быть ведущим предметом в системе
преподавания, но, несмотря на это, именно с ней была связана
важнейшая задача высшего технического образования,
выполненная уже в XIX в.,— становление прикладной и
технической механики.

Глава четвертая
Вклад в аналитическую геометрию
Применение алгебры к геометрии и развитие
координатного метода обычно связываются с именами Декарта
и Ферма. Однако они творили не на пустом месте.
Отдельные идеи были высказаны раньше — учеными арабо-
язычных стран и западноевропейскими схоластиками.
Координатным методом пользовался уже Орем (1323—
1382) для изображения возрастающих и снижающихся
величин. В алгебре Омара Хайяма (1048—1113) и в
«линейной алгебре» Рафаэля Бомбелли (ок. 1530 — ок. 1572)
отдельные положения были развиты достаточно
глубоко \ Все же лишь Ферма и в особенности Декарт
развили определенную систему этой отрасли математики.
При изучении математики Декарт был поражен, что
каждое доказательство в геометрии Евклида требовало
специального подхода — система не имела общего метода.
Геометрия древних была чрезвычайно абстрактной и
настолько связанной с фигурами, что зачастую понять ее
положения можно было лишь ценой большого
напряжения ума. Что касается алгебры, то она была так связана
правилами и формулами, что решение, как правило,
оказывалось темным и непонятным. Следовательно,
заключает Декарт, нужно выбрать из этих двух важнейших
частей математики все самое лучшее и отбросить темное
и трудное для понимания. Он решил применить алгебру
к геометрии, чтобы полностью использовать ее общие
методы, таким образом «стандартизировать» рассуждения
и затрачивать минимальный труд с наибольшей пользой.
Так возникла «Геометрия» Декарта.
1 См.: Матвиевская Г. П. Рене Декарт. М., «Наука», 1976, с. 157—
197.
69

Сочинение Декарта не было легким, впрочем, он и не
добивался ясности и четкости в своем изложении. По его
мнению, достаточно было дать построения и
доказательства, предоставив читателю самому дополнить
недостающие рассуждения. В одном из своих писем он сравнил
себя с архитектором, который чертит планы и
предписывает то, как должна быть выполнена работа, однако
исполнение самой работы оставляет плотникам и
каменщикам.
Важность труда Декарта для дальнейшего развития
математики заключалась в том, что он произвел реформу
в математике, слив воедино идеи алгебры и геометрии
в новое научное направление. До него чаще
пользовались не алгеброй для решения геометрических задач,
а геометрией для решения алгебраических (как,
например, Омар Хайям). Лишь у Декарта алгебраический,
метод приобретает значение точного и общего метода
математики.
Начинается «Геометрия» Декарта с указания, что все
геометрические задачи можно свести к определению длин
отрезков. Декарт находит в геометрии те же действия
сложения, вычитания, умножения, деления и извлечения
корня, что и в арифметике, и на этом основании дает
общие правила для аналитического решения задач
геометрии. Существенно важным является то, что у
Декарта применение координат носит иной характер, чем у
его предшественников и у Ферма.
«Геометрия» состоит из трех книг. В первой Декарт
останавливается на основных положениях своей теории,
подвергая при этом резкой (и несправедливой) критике
сочинения древних. Здесь же он выводит уравнения
кривых. Вторая книга посвящена более подробному
рассмотрению кривых, частными видами которых являются
геометрические места, найденные им в первой книге. Декарт
приводит также классификацию алгебраических или, по
его терминологии, геометрических кривых. Не имея
возможности построить общую теорию кривых третьего и
высших порядков, он ищет, во-первых, такие кривые,
которые можно построить механическим способом, а во-
вторых, простейшие кривые п-то порядка.
Существенное значение имеет правило для
определения нормалей к алгебраическим кривым. В конце второй
книги Декарт пытается распространить свою аналитиче-
70

скую геометрию на пространство, при этом проектирует
пространственную кривую на две взаимно
перпендикулярные плоскости, но допускает ошибку, утверждая, что
нормали к двум плоским кривым, проведенные через
проекции точки кривой, являются проекциями нормали
к пространственной кривой.
Содержанием третьей книги «Геометрии» являются
способы графического решения уравнений.
Трактат Декарта был нелегок для восприятия и уже
вскоре после выхода книги в свет математики приступили
к его комментированию. Наиболее важную работу в этом
направлении выполнил профессор Лейденского
университета Франц Схоотен (1615—1660). Он перевел
«Геометрию» на латинский язык и опубликовал ее в 1649 г.
с комментариями Ф. Дебона, И. Гудде, Я. де Витта и
своими.
В 1655 г. Джон Валлис (1616—1703) издал «Трактат
о конических сечениях, изложенных по новому способу»,
в котором применил алгебраическое исчисление к
изучению конических сечений. Впервые он ввел
отрицательные координаты и правильно ими пользовался. Затем,
в 1659 г., голландский математик и политический
деятель Ян де Витт (1625—1672) приложил ко второму
латинскому изданию «Геометрии» мемуар под названием
«Начала кривых линий», в котором говорилось, что все
предшествующие авторы, занимавшиеся теорией
конических сечений, пользовались пространством, чего делать
не следовало. В первой книге мемуара де Витт дал
кинематические приемы образования эллипса, параболы и
гиперболы и доказал, что каждое коническое сечение
обладает диаметром, пересекающим хорды сопряженного
направления под прямым углом, во второй книге провел
исследование аналитических уравнений.
Работа де Витта была несколько усовершенствована
и дополнена в «Новых началах конических сечений»
(1679), автор которой Филипп де Лагир (1640—1717)
был профессором математики и архитектуры в
Парижском королевском коллеже. Лагир исходил из
определения эллипса и гиперболы с помощью сумм и разностей
радиусов (векторов) и указал, что в случае направления
одного из фокусов в бесконечность оба эти конические
сечения вырождаются в параболу. Он исследовал затем
геометрические места с помощью алгебраического метода
71

и использовал их для графического решения уравнений.
Важное усовершенствование ввел Антуан Паран
(1666—1716). В 1700 г. он прочитал в Пария^ской
академии наук мемуар, в котором впервые ввел
прямоугольную систему координат в пространстве, в частности дал
общее уравнение сферы. Академия наук оказалась
настолько близорукой, что отказалась напечатать его
мемуар. В следующем мемуаре (1702) Паран пользуется
прямоугольной пространственной системой координат для
доказательства того, что гиперболоид вращения может
быть порожден вращением некоторой прямой линии около
другой прямой. В заметке 1702 г. Паран рассматривает
в той же системе координат спиральную линию.
В 1704 г. Ньютон опубликовал в качестве приложения
к своей «Оптике» мемуар под названием «Перечисление
кривых третьего порядка». Важность этой работы
состояла в том, что в ней координатный метод был
распространен на изучение кривых третьего порядка. Ньютону
принадлежит также приоритет в изображении полярных
координат, которые впервые встречаются в его «Методе
флюксий». Однако эта работа, написанная в 1671 г.,
была опубликована лишь в 1736 г., после того, как Якоб
Бернулли (1654—1705) в 1691 г. издал мемуар, в
котором изложил применение полярных координат.
Определенный вклад в создание аналитической
геометрии принадлежит также Якобу Герману (1678—1733),
который в течение 1725—1731 гг. работал в
Петербургской академии наук. В нескольких статьях Герман решил
ряд задач, относящихся к теории конических сечений.
Важный вклад в развитие аналитической геометрии
принадлежит петербургскому академику Леонарду Эйлеру
(1707—1783). В 1748 г. он опубликовал второй том
«Введения в анализ бесконечных», в котором дал
впервые подробное изложение аналитической геометрии на
плоскости с подробным исследованием кривых второго
порядка. Кроме того, в «Приложении о поверхностях»
Эйлер впервые рассмотрел аналитическую геометрию в
пространстве и предложил классификацию поверхностей
второго порядка.
В первых главах своей работы Эйлер вводит
декартовы координаты, прямоугольные и косоугольные,
устанавливает связь между линией и ее уравнением,
предлагает классификацию линий. Затем приводит формулы
72

преобразования координат, в частности декартовых
прямоугольных координат
х = р cos0 — q sinG + g,
у = р sinB + q COS0 + /,
т. е. параллельного переноса и поворота осей координат.
В следующих главах средствами алгебры он
классифицирует кривые по порядкам и определяет, сколько точек
пересечения с прямой может иметь алгебраическая
кривая тг-го порядка и сколько коэффициентов содержит ее
общее уравнение.
Переходя затем к классификации конических сечений,
Эйлер указывает на три типа их в зависимости от
поведения кривой на бесконечности; рассматривая уравнение
у2 = а + $х + чх2, он разбирает случаи, приводящие к
эллипсу, параболе и гиперболе. Исходя из подобной же
идеи поведения кривой на бесконечности проводит
исследование кривых третьего и четвертого порядков и
предлагает их классификацию. Затем исследует формы
кривых по соответствующим уравнениям, поведение
кривой в окрестности точки, вводит понятия кривизны,
радиуса кривизны, круга кривизны, классифицирует особые
точки.
Отдельные главы посвящены теории симметрии на
плоскости, геометрическим преобразованиям подобия и
аффинности, графическому решению уравнений,
геометрической теории трансцендентных кривых.
«Приложение о поверхностях» содержало ряд
вопросов пространственной аналитической геометрии. Эйлер
исследует здесь восемь октантов относительно системы
пространственных ортогональных координат, поверхности
вращения, цилиндрические и конические поверхности,
круговой и эллиптический цилиндр, круговой конус и
шар. Существенное место в «Приложении» занимает
преобразование ортогональных пространственных координат
при помощи так называемых углов Эйлера. Затем он
выводит общее уравнение поверхности второго порядка с
тремя переменными, исследует условия, при которых оно
представляет ту или иную поверхность. Таким образом,
здесь впервые дается изложение проблем плоской и
пространственной аналитической геометрии в достаточно
полном объеме.
73

Вопросами аналитической геометрий занимались й
другие геометры. Существенный вклад в аналитическую
геометрию в пространстве внес Александр Клеро (1713—
1765) — самый молодой академик в истории науки (он
был избран в Парижскую академию наук в 18-летнем
возрасте). В трактате «Исследования кривых двоякой
кривизны» (1731) Клеро предлагает уравнения ряда
поверхностей и выясняет, что для описания
пространственной кривой необходимо иметь два таких уравнения. Он
дал уравнения сферы, цилиндра, параболоида,
эллипсоида и двуполостного гиперболоида.
Петербургский академик Андрей Иванович Лексель
(1740—1784) в четырех мемуарах изложил основы
сферической геометрии, которой до него практически не
было. В основу его исследований положены свойства
кругов, построенных на сфере; наибольшую известность
получила его теорема о геометрическом месте высот
сферических треугольников, имеющих общее основание и равные
площади. В мемуаре, опубликованном в 1783 г., Лексель
рассмотрел ряд свойств конических сечений.
Немецкий философ и физик академик Иоганн Генрих
Ламберт (1728—1777) посвятил теории конических
сечений ряд страниц своего трактата о свойствах кометных
орбит (1761); он исследовал многочисленные свойства
конических сечений, в особенности эллипс и гиперболу,
и приложил затем свои геометрические рассуждения к
решению ряда вопросов астрономии.
Таковы важнейшие этапы истории аналитической
геометрии в XVIII в.
Монж заинтересовался вопросами аналитической
геометрии около 1768 г. Следует отметить, что в XVIII в.
не существовало резких границ между применением
алгебры и анализа к решению задач геометрии —
областями, которые сейчас относятся к начертательной и
проективной геометрии. Все это характеризует и
геометрическое творчество Монжа, у которого нередки пересечения
самых различных идей и методов. В 1768 г. Монж
получает уравнение конуса вращения около произвольной
оси; он еще не пользуется развитым координатным
методом.
Впервые систематическое изложение аналитической
геометрии было дано Монжем в его «Листках анализа в
приложении к геометрии». Здесь Монж возвращается к
74

тем же задачам, с которых он начал свой курс
начертательной геометрии, только теперь рассматривает их с
другой точки зрения. Как отмечает Татон, «кажется, что
это подобие в плане предназначено, чтобы указать на
параллелизм, существующий между двумя методами
решения одних и тех же задач, которые он и изложил
последовательно» 2. Подходя с различных точек зрения к
решению аналогичных проблем, Монж не только
указывал на различные геометрические методы, которые могут
привести к подобным результатам; как педагог, он
старается облегчить своим слушателям путь к
овладению теми инженерными проблемами, с которыми они
встретятся позже в своей практической деятельности.
Это стремление к прикладным методам позволяет видеть
в Монже одного из первых представителей прикладной
математики, которая получила свое развитие уже
значительно позже, в XIX в.
Но одновременно Монж поднимает и ряд важных
теоретических проблем, также нашедших свое развитие
позже. Вот как пишет об этом Татон (об исследовании
восьмой проблемы) : «Заданы две плоскости; следует
найти проекции их пересечения»,— здесь мы видим
совершенно ясный способ изложения плюккеровых
координат 3. Монж исключает последовательно х, у, z в
уравнениях двух плоскостей и, обозначая буквами, как и
в своем мемуаре относительно разверток, детерминанты
второго порядка, которые появляются в качестве
коэффициентов, получает три уравнения проекций в виде
ly—mx + v = 0,
mz—ny-\-'k=0,
пх—lz+\i = 0
при условии IX + m^+nv^Q. И он заключает: «Вот в
такой общей форме и оказывается наиболее удобно
выражать уравнения прямой линии, заданной в пространстве.
2 Taton R. L'oeuvre scientifique de Monge. Paris, 1951, p. 120.
3 Юлиус Плюккер (Plucker, 1801—1868) — немецкий математик и
механик. Учитель Ф. Клейна. Основные работы Плюккера
относятся к аналитической и проективной геометрии. Он развил
геометрию комплексов, ввел обобщенные однородные и
тангенциальные координаты, а также однородное уравнение для
произвольной кривой в так называемых трехлинейных координатах.
75

Из шести постоянных I, т, п, К, \х, v, которые входят в
них, лишь четыре являются необходимыми. Одна из них
всегда определяется уравнением условия l%-\-m\i + nv = 0,
другая является произвольной, и можно располагать их
подобно тому, как, приравнивая к нулю некоторые
величины, можно облегчить операции анализа».
Плюккеровы координаты Монж применяет к
большинству рассмотренных им проблем, но так как он не
владеет еще обозначением детерминантов, то
вынужден пользоваться достаточно сложными вычислениями,
которые можно было бы упростить при помощи более
общих обозначений.
Следует все же отметить, что, несмотря на
элегантность методов Монжа, некоторые из них не приводят к
искомым результатам наиболее простым из возможных
способов. В частности, он получает косинус угла между
двумя плоскостями как отношение между длинами
перпендикуляров, опущенных соответственно из некоторой
точки, и определяет кратчайшее расстояние между
двумя прямыми, вычисляя разность расстояний от
начала до двух плоскостей, параллельных между собой и
проведенных через эти две прямые.
Метод, которым он пользуется, для нахождения
общего перпендикуляра к двум прямым, является,
несомненно, именно тем, который был ясно предложен в плюкке-
ровой геометрии. В общем, речь идет о нахождении
пяти уравнений, которые определяют шесть однородных
координат искомой прямой. Иначе говоря, кроме
соотношения, которое существует предположительно между
этими шестью величинами, ортогональность
относительно двух заданных прямых дает еще два и два условия
пересечения — два других; это и приводит к пяти
необходимым уравнениям для определения координат искомой
прямой. Монжу удалось выполнить очень элегантное
исключение и получить расстояние от двух заданных
прямых в симметрической функции их координат в
соответствии с классической формулой плюккеровой
геометрии» 4.
Таким образом, Монж почти на 60 лет предупредил
введение координат, приписываемых обычно Плюккеру.
4 Taton R, Op. cit., p. 122—123.
76

Монж дал аналитической геометрии новое направление
и, в сущности, завершил работу над ее созданием.
Следующим этапом было издание учебника
аналитической геометрии в соавторстве с Ашеттом в 1802 г.
Дело в том, что совет усовершенствования
Политехнической школы решением от 29 апреля 1801 г. утвердил
новую программу курса «Применение алгебры к
геометрии» для первого года обучения. Начальные параграфы
курса посвящены основным определениям. Сперва
вводится понятие координатных осей и определяется
положение точки. Выводится система уравнений точки
х = а, у=Ъ, z = c.
Затем выводятся уравнения прямой линии: «Уравнения
прямой линии, расположенной в пространстве,
выражают отношение, которое существует между
координатами х, у, z точки, произвольно расположенной на этой
прямой» 5. Приводятся задачи; через точку, заданную в
пространстве, провести прямую, параллельную другой
заданной прямой; найти уравнение прямой, проведенной
через две точки, заданные в пространстве.
Весьма существенно, что Монж не начинает изучение
аналитической геометрии с геометрии на плоскости, он
рассматривает геометрию в пространстве и сразу же
вводит три координатные оси. Тем самым плоская
геометрия получается у него как частный случай геометрии
пространственной и, кроме того, устанавливается
(отмеченное выше) сродство между идеями начертательной и
аналитической геометрии.
При выводе уравнения плоскости указывается, что
если она двумя своими проекциями задана на две
координатные плоскости, то ее можно рассматривать как
порождаемую одной из этих проекций, движущейся
параллельно самой себе в направлении другой проекции.
Подобные кинематические рассуждения вообще
свойственны Монжу. Вывод уравнения плоскости
сопровождается задачей: провести плоскость через три точки,
заданные в пространстве.
Монж отмечает, что треугольник, образованный
прямыми, которые соединяются по две, спроектированный
5 Monge et Hachette. Application de l'algèbre à la géométrie. Des
surfaces du premier et second degré. Paris, an XIII (1805).
77

на три координатные плоскости, может быть определен
величинами проекций. Площади этих проекций
определяются выражениями 1/2 L, 1/2 M 1/2 N. Объем
пирамиды, основанием которой является заданный треугольник,
а вершина совпадает с началом координат, равен к/6.
Тогда Lx + My + Nz-{-k = Q,
где
L = y '(z"-z'") + y"(z"-z') +y'"(z'-z"),
k = x\y"z'"-y'"z") +x»Wf'z'~y'zf") +x'"(y'z"-y"z').
Относительно площади плоской фигуры доказывается
следующая теорема: квадрат площади плоской фигуры
равен сумме квадратов площадей ее проекций на
три ортогональные координатные плоскости. Авторы
пользуются двумя леммами: площадь проекции
некоторой плоскости фигуры равна произведению ее
площади на косинус угла между плоскостями; сумма
квадратов косинусов углов, образованных плоскостью с
тремя плоскостями проекций, равна единице.
Доказательство самой теоремы становится очевидным.
Параграф V посвящен преобразованиям координат.
Относящаяся к нему вторая задача выполняется по Эйлеру.
Если заданы две системы прямоугольных координат
Oxyz и Ox'y'z', которые имеют одно и то же начало, то
положение второй системы определяется тремя углами
<р=(Ох, 01),
•ф=(0ж', 01),
где 01 является пересечением плоскостей Оху и Oxyf.
Монж останавливается еще на двух способах
представления: в первом случае он пользуется четырьмя
координатами — полярным расстоянием точки M от
начала координат и углами а, [}, ч» которые линия ОМ
образует с координатными осями Ox, Оу, Oz. При этом
со82а+соз2р+со82у=1. Второй способ представления
связан с пространственной системой полярных
координат. В этом случае координатами являются длина лу-
ча OM^z, угол ф, который луч образует со своей
78

проекцией на координатную плоскость хОу, и угол г|),
образуемый проекцией с осью Ох.
Параграф VI озаглавлен: «О центре и о
диаметральных плоскостях поверхности». Понятие центра
поверхности вводится Монжем для обозначения точки, в
которой все хорды поверхности, проходящие через нее,
делятся на две равные части. Под диаметральной
плоскостью он понимает, плоскость, которая делит хорды,
параллельные между собой, на две равные части. Из
этих определений следует, что если какая-либо
поверхность имеет центр, то все диаметральные плоскости,
которые она может иметь, обязательно будут проходить
через него.
Параграф VII посвящен теории поверхностей второго
порядка. В качестве исходного уравнения принимается
выражение
ах2 + by2 + cz2-\-dxy + cyz + fxz + gxJrhy-\-kzJr 1 = 0.
Приступая затем к исследованию поверхностей
второго порядка, являющихся основной темой работы,
авторы доказывают теорему: любая поверхность второго
порядка может быть порождена двумя различными
способами с помощью круга переменного радиуса, центр
которого передвигается по диаметру поверхности, а
плоскость остается параллельной самой себе. Таким образом,
на поверхности второго порядка нет точки, через которую
нельзя было бы провести две окружности, полностью
лежащих на поверхности. Проводя соответствующее
исследование для конкретных случаев, можно убедиться,
что:
1) эллипсоид пересекается по кругу плоскостью,
проходящей через ось 26 и составляющей с плоскостью ху угол,
тангенс которого равен
.£■■/ а2— Ь2 -.
а у Ъ*~с*">
2)- однрполостный гиперболоид пересекается по кругу
плоскостью, проходящей через ось 2а и наклоненной к
плоскости ху под углом, тангенс которого равен
а* + с2 '
79

3) двуполостный гиперболоид пересекается по кругам
плоскостями, параллельными той, которая проходит
через ось 26 и наклонена к плоскости ху под углом, тангенс
которого равен
а V Ь2 —С2 '
Итак, для любого случая угол, образуемый
плоскостью, пересекающей поверхность по кругу, с
плоскостью ху, имеет в качестве тангенса двойное значение;
более того, доказывается, что все параллельные сечения
любой поверхности второго порядка подобны и имеют
центры на диаметре, что и доказывает характер
порождения поверхностей второго порядка 6.
Как видим, общие условия, полученные в первых
параграфах, используются затем для решения проблем,
связанных с поверхностями второго порядка. В
параграфе VIII исследование последних распространяется на те
случаи, когда центр уходит в бесконечность.
Утверждается, что шесть условий, выражающих связь трех
плоскостей по две, вместе с тремя условиями взаимной
ортогональности составляют систему из девяти уравнений, что
и дает возможность отнести поверхность к системе
ортогональных координат, в которой плоскости отсчета
являются диаметральными плоскостями, и свести, таким
образом, ее уравнение к виду
Lx2+My* + Nz2-1 = 0.
При этом, естественно, случай бесконечно удаленного
центра рассматривается отдельно. Точное доказательство
этого положения, выполненное Ашеттом и Пуассоном,
помещено в приложении к книге.
Доказательствами сопровождаются и другие
положения. В частности, доказывается, что для каждого
типа поверхностей второго порядка с центром
существуют два направления круговых сечений, что и позволяет
определить два типа поверхностей с помощью круга
переменного радиуса, центр которого передвигается по
диаметру и плоскость которого параллельна
фиксированной плоскости. Доказательство довольно сложно, но оно
дает возможность показать для каждой точки существова-
6 Monge et Hachette. Op. cit., p. 41.
80

ниё двух Кругов, расположенных полностью на
поверхности.
Что касается теории, относящейся собственно к
исследованию поверхностей второго порядка с центром,
удаленным на бесконечность, то для этого случая общее
уравнение поверхности второго порядка
ах2 + by2 + cz2 + dxy + cyz + fxz + gx + hy + kz +1 = 0
соответствует частичному соотношению
ac+bf-\-cd=^abc-\-def.
В этом случае рассматривается триэдр, оси которого
параллельны осям основной системы координат, а началом
служит одна из действительных вершин поверхности;
таким образом, можно получить новый вид приведенного
уравнения
pz2 + p'y2—4рр'х = 0.
В соответствии со знаками коэффициентов при z и у
появляются новые типы поверхностей второго порядка —
эллиптический параболоид и гиперболический
параболоид 7. Оба параболоида образуются перемещением
параболы, вершина которой скользит по параболе,
расположенной в перпендикулярной плоскости. Кроме
того, гиперболический параболоид можно рассматривать
как частный случай однополостного гиперболоида;
образуется он двумя различными способами движением
прямой, которая перемещается по трем фиксированным
прямым, параллельным одной и той же плоскости.
Таким образом, рассматриваемая поверхность обладает
двумя направляющими плоскостями, соответствующими
двум системам образующих. Но эти две поверхности
можно получить также, перемещая круг переменного
радиуса параллельно одной и той же плоскости. С помощью
начертательной геометрии оказывается возможным
пояснить построение и взаимные соотношения между
различными элементами, характеризующими эти пять видов
поверхностей второго порядка.
Таково содержание учебника аналитической
геометрии Монжа и Ашетта. Есть все основания предполагать,
7 Monge et Hachette. Op. cit., p. 49.
81

что книга написана Монжем в развитие его идей, Ашетт,
по-видимому, только редактировал ее, поскольку в те
годы Монж напряженно занимался административными
делами и не располагал временем даже для
редактирования своих трудов.
Этой работой не ограничивается вклад Монжа в
аналитическую геометрию. На протяжении нескольких лет он
публикует в «Журнале» Политехнической школы статьи,
имеющие непосредственное отношение к применению
алгебры к геометрии. Следует еще раз отметить, что у Моника
(равно как и у других современных ему геометров) еще
нет четкого разграничения идей, и зачастую одну и ту
же работу можно с равным правом отнести и к
аналитической, и к начертательной геометрии, тем более что он
высказывал идеи, развитые в проективной и в других
направлениях чистой геометрии. Дж. Лорна8 указывал,
что Монж придал аналитической геометрии тот вид,
который она имела вплоть до последнего времени; он
систематически применял уравнение плоскости, ввел важное
понятие семейства поверхностей и, изучая некоторые
специальные семейства, нашел связь между теорией
поверхностей и интегрированием дифференциальных уравнений
в частных производных.
Геометрическое направление исследований Монжа не
было случайным. С, одной стороны, оно отвечало
настоятельной потребности практики (и практиков) — создать
правила, с помощью которых можно было бы на листе
бумаги изображать любые объекты технического
творчества, наглядно показывая их сущность и, таким
образом, обеспечивая быстрое и корректное решение задачи; с
другой — надо было обосновать полученные решения,
доказать их истинность. Аналитическая и дифференциальная
геометрии Монжа имели практические корни и
развивались на основе одних и тех же, или, во всяком случае,
аналогичных задач.
Монжу принадлежит еще один существенный вклад
в геометрию: некоторые его работы и отдельные
замечания дают основание считать его одним из
предшественников проективной геометрии. Вскоре после
«Начертательной геометрии» Монжа была опубликована «Геомет-
8 Loria G. Il passato e il présente délie principali teorie geometriche.
Storia e bibliografia. 4 éd. Padova, 1931, p. 18.
82

рия положения» Лазара Карно (1803); эти две работы
подготовили почву для создания чистой геометрии в
первой половине XIX в.
При изучении аналитической геометрии Монжа —
Ашетта бросается в глаза ее направленность —
аналитическая геометрия трех измерений. Это обстоятельство
важно учитывать при анализе геометрического
творчества Монжа. Действительно, его первые идеи были
связаны с проблемой изображения на двумерной плоскости
пространственных фигур. Для этого было необходимо их
более глубокое исследование, а также исследование
соотношений между ними — тогда плоская задача
аналитической геометрии становится частным случаем общей
пространственной. Вот как об этом говорит М. Шаль:
«Прием, с помощью которого Монж преобразовывал фигуры
трех измерений в фигуры на плоскости, т. е.
прямоугольное проложение [проектирование] на две
перпендикулярные плоскости, которые потом совмещаются, дает
способ открывать множество предложений плоской
геометрии о фигурах, происходящих от совокупности обоих
проекций. Нет чертежа в начертательной геометрии,
который не выражал бы какой-нибудь теоремы геометрии
на плоскости. В большую часть таких теорем входят
параллельные между собой линии, перпендикулярные к
прямой, означающей пересечение двух плоскостей; но
посредством перспективного [проектирования] фигуры на
другую плоскость можно сделать эти линии сходящимися в
одной точке и сообщить теореме полную общность» 9.
Затем Шаль показывает, что подобным образом можно
доказать много теорем плоской геометрии; кроме того,
это с достаточной простотой приводит к установлению
свойств конических сечений и кривых любого порядка.
Действительно, уже само понятие сечения какого-либо
тела родственно понятию проектирования. Так, если
вертикальный цилиндр, имеющий в основании некоторое
коническое сечение в горизонтальной плоскости, пересечь
произвольной плоскостью и построить вертикальную
проекцию кривой сечения, то получим новое коническое
сечение; при этом касательные к кривым являются
проекциями касательных к кривой пересечения цилиндра и
9 Шаль М. Исторический обзор происхождения и развития
геометрических методов, т. 1. М., 1883, с. 220,
83

плоскости. Если с помощью этих проекций искать точки
встречи касательных в пространстве с одной из
плоскостей проекций, можно установить, что точки эти лежат
на следах секущей плоскости на плоскостях проекций.
Отсюда следует общее свойство двух конических сечений,
представляющих проекции конического сечения в
пространстве: если через точку встречи двух общих
касательных к двум произвольным коническим сечениям на
плоскости провести произвольную секущую, которая встретит
каждую из кривых в двух точках, и если в этих
точках провести к кривым касательные, то касательные к
первой кривой встретят касательные ко второй в четырех
точках, расположенных попарно на двух постоянных
прямых, положение которых не зависит от положения
секущей, проводимой через точку пересечения общих
касательных к двум коническим сечениям.
Таким образом, в трудах Монжа был развит метод,
названный Шалем методом преобразования фигур,
основной задачей которого являлось преобразование фигур трех
измерений в плоские фигуры. Но и этим не
ограничивается творчество Монжа. Его геометрия приводит к
возможности бесконечного множества преобразований плоских
фигур. Монж в сущности создал геометрию трех
измерений, показав, как от нее переходить к плоской геометрии
и наоборот; более того, он одним из первых, если не
самым первым, развил особый способ доказательств такого
типа преобразований.
Еще одной особенностью геометрии Монжа (и притом
главным образом аналитической) является ее
аналитичность: рассуждения почти совсем не требуют чертежей.
Это находит свое отражение и в теоремах
начертательной геометрии, которая, несмотря на то что была
задумана и выполнена как теоретическое обоснование
международного языка техников — языка, связанного с
пространственным воображением и с изображением на
плоскости пространственных сочетаний фигур, тем не
менее удовлетворяется (по крайней мере в изложении
Монжа) минимальным количеством чертежей. Ученики
Монжа отмечали, что на лекциях он не столько пользовался
доской, сколько выразительными жестами, и все было
понятно: пространственные построения создавались на
глазах у слушателей. Этому способствовала, конечно, ясная
и отчетливая манера изложения, «аналитичность», свой-
§4

ственная Монжу, помогавшая ему «переводить» язык
геометрических фигур на язык анализа. Вероятно, это было
не случайно: в те же годы Лагранж издал
«Аналитическую механику» и одним из ее достоинств считал именно
отсутствие чертежей. «В Политехнической школе
сохраняется предание, что Монж в замечательной степени
обладал способностью представлять в пространстве самые
сложные формы и усматривать их взаимные соотношения
и самые скрытые свойства, прибегая при этом только к
помощи жестов; движение его рук удивительно помогало
изложению, не всегда быстрому, но всегда проникнутому
истинным красноречием, свойственным предмету, т. е.
ясностью, отчетливостью, богатством и глубиной мысли» 10.
Последние работы Монжа, относящиеся к
аналитической геометрии, были опубликованы в 1816 г. Принимая
во внимание состояние здоровья Монжа в эти годы,
следует полагать, что написал он их значительно раньше.
Здесь Монж рассматривает в применении к частному
случаю пересечение двух поверхностей второго порядка,
описанных около третьей.
Аналитическая геометрия Монжа принадлежала уже
не XVIII, а XIX в.: идеи Декарта, которые развивались
геометрами на протяжении более 100 лет, были заменены
идеями Монжа, после чего это направление математики
стало самостоятельным.
30 Шаль М. Цит. соч., с. 238—239,

Г л а ва пятая
Исследования
по дифференциальной геометрии
Дифференциальная геометрия возникла позже, чем
начертательная и аналитическая. Если идеи
начертательной геометрии можно обнаружить у представителей
древних культур Средиземноморья, а некоторые мысли,
явившиеся основанием для создания аналитической
геометрии, были высказаны математиками эпохи эллинизма, то
дифференциальная геометрия как наука возникла лишь в
XVIII в., когда развитие физики и механики
потребовало более глубокого изучения кривых и поверхностей,
а развивающийся математический анализ обеспечил
возможность подобного изучения. Объекты расположены в
пространстве, а траектории движущихся объектов
представляют собой кривые, поэтому математики XVIII в.,
творчество которых было неразрывно связано с
практикой, часто встречались с задачами, не разрешимыми
методами дискретной математики.
Однако некоторые идеи, приведшие впоследствии к
созданию дифференциальной геометрии, были высказаны и
в древности.
В античн ж математике значительное место занимали
исследования касательных и нормалей к кривым, свойств
конических сечений, определение площадей и объемов.
Основные положения в этом направлении имеются в
трудах Евклида, Аполлония, Архимеда.
В XVI в. Герард Кремер (Меркатор), Педро Нуньес
(Нониус), Симон Стевин, Виллеброрд Снеллиус
высказали некоторые идеи дифференциальной геометрии.
Франсуа Виет, восстановивший одно из сочинений
Аполлония, впервые развил мысль о выражении площади
кривой посредством ряда. Он предложил преобразование
сферического треугольника в другой треугольник,
стороны и углы которого известным образом соответствуют
86

сторонам и углам данного треугольника. Это учение
было впоследствии развито Снеллиусом.
В XVII в. заложены основы исчисления бесконечно
малых. Задачи механики, астрономии, геодезии и
некоторые специальные технические проблемы (например,
вычисление объема винных бочек) потребовали развития
новых математических методов; одновременно возникли и
связанные с этим новые задачи геометрии.
Кеплер в «Стереометрии винных бочек» первым
применил в геометрии бесконечно малую величину; ему же
принадлежат первые идеи понятий экстремальных
значений. Ученик Галилея — Кавальери в «Геометрии наде-
лимых» (1635) предложил новый способ нахождения
геометрических величин, пригодный для определения
площадей, объемов и центров тяжести тел. Гюльден повторил
правило Паппа Александрийского и применил его для
решения некоторых трудных вопросов.
Над решением одной из важнейших задач начала
XVII в.— нахождением касательной к кривым линиям —
трудились виднейшие геометры эпохи. Решения этой
задачи предложили Декарт и Ферма, почти одновременно с
ними Роберваль создал способ построения касательных,
основанный на принципе сложения движений. Ферма
также решил ряд геометрических задач: определил площади
парабол всех порядков, нашел объемы и центры тяжести
параболоидов и других тел, решил задачу о спрямлении
кубической параболы и некоторых других кривых.
Существенный вклад в становление аналитических
методов в геометрии внес Блез Паскаль. Ему принадлежит
глубокое исследование свойств циклоиды. Дезарг, имя
которого мы связываем с важными теоремами,
относящимися к начертательной, проективной и дифференциальной
геометрии, занимался исследованием конических сечений.
Он рассматривал различные сечения конуса, получаемые
при изменении положения секущей плоскости. Ему
также принадлежит новый подход к коническим сечениям:
он рассматривал их как видоизменения одной и той же
кривой. По-видимому, Дезаргу следует приписать
открытие эпициклоиды и применение ее для профилирования
зубьев зубчатого колеса.
Гюйгенс сделал ряд открытий в геометрии: он
предложил спрямление циссоиды, определил величину
поверхности гиперболических и параболических коноидов. Ему
87

принадлежит одно из решений задачи о цепной линии и
задачи о кривой равных расстояний. Результаты
глубокого изучения свойств плоских кривых опубликованы им
в 1673 г. (III глава «Horologium Oscillatorium»).
Исследования Гюйгенса по спрямлению кривых развил затем
Чирнгауз, который дал пример образования кривых путем
огибания движущейся прямой. Он указал, что кривые
можно описать острием, натягивающим нить, которая,
будучи укреплена в двух неподвижных точках, скользит
по нескольким другим точкам или навертывается на
некоторые известные кривые. Он классифицировал кривые
по числу их фокусов и по их свойствам, а также
показал способ проведения касательных к кривым,
построенным описанным способом.
В своих исследованиях эти ученые пользовались
геометрическими методами, хотя у большинства из них уже
была идея непрерывности описываемого процесса.
Впервые это было осуществлено в работе Ньютона
«Аналитическая геометрия» (написана в 1671 г., издана в 1736).
Он ввел понятие центра кривизны, указал, что круг с
центром в центре кривизны и с радиусом, равным
радиусу кривизны, является кругом, наиболее близко
совпадающим с кривой в точке их контакта. Кривизна такого
круга обратна его радиусу и равна кривизне кривой.
Ньютону принадлежит также формула для определения
кривизны кривых.
Приблизительно с 1684 г. начали изучение кривых
Якоб и Иоганн Бернулли. В 1691 г. И. Бернулли
получил некоторые новые результаты о развертках кривых.
Еще в 1682 г. Чирнгауз ввел понятие каустических
кривых. В 1692 г. Бернулли получил уравнения некоторых
из этих кривых. Затем он занялся решением задачи о
нахождении системы траекторий снарядов, выстреленных
из пушки с одной и той же начальной скоростью, но
под разными углами наклона. Задача эта сводилась к
определению обвертки системы парабол. Бернулли показал,
что эта обвертка также является параболой с фокусом у
жерла пушки. В том же 1692 г. Лейбниц дал общий
метод нахождения обвертки системы кривых. В 1728 г.
И. Бернулли решил проблему геодезических линий в
достаточно общей форме; мемуар Бернулли послужил
исходным пунктом для исследований Монжа в области
дифференциальной геометрии.
88

В 1700 г. Паран впервые представил искривленную
поверхность уравнением с тремя переменными. В мемуаре
он привел уравнения сферы и ее касательной плоскости,
уравнения различных поверхностей третьего порядка и
кривых двоякой кривизны, проходящих через точки,
соответствующие наибольшим и наименьшим
ординатам, а также построение точек перегиба для некоторых
кривых.
Развитие общей теории пространственных кривых
было выполнено Клеро. Он ввел в научный оборот
понятие кривой двоякой кривизны, обозначая таким образом
кривые, которые проектируются на две перпендикулярные
плоскости. Геометрически он представлял кривую как
пересечение двух поверхностей; аналитически уравнение
каждой поверхности выражалось зависимостью от трех
переменных. Клеро изучил касательные к кривым
двоякой кривизны; он указал на то обстоятельство, что
пространственная кривая может иметь бесконечное число
нормалей, расположенных в плоскости, перпендикулярной
касательной. Клеро принадлежат также определения длин
дуг пространственных кривых и величин некоторых
площадей на поверхностях. Таким образом, Клеро выполнил
задачу перенесения уже известных ранее результатов
дифференциальной геометрии в плоскости на общий,
пространственный случай.
Следующий шаг в развитии теории пространственных
кривых сделал Эйлер. До 1760 г. он занимался теорией
плоских кривых и единственным исключением был цикл
работ о геодезических линиях, опубликованный в 1728—
1736 гг. Эйлер вывел дифференциальное уравнение
геодезических линий и применил его к некоторым
поверхностям вращения. Он указал, в частности, что при
развертке цилиндра или конуса на плоскость соответствующие
геодезические линии переходят в прямые. В 1736 г. он
ввел понятия длины дуги s и радиуса кривизны р в
качестве координат плоской кривой; в другой работе
показал, что точка, которая движется по поверхности без
ускорения, движется по геодезической линии.
От этих исследований Эйлер переходит, с одной
стороны, к вариационному исчислению (1744), а с другой —
к исследованиям в области теории поверхностей и теории
кривых. Оба эти направления были обусловлены его
исследованиями по механике. В работе «Исследования uq
§9

кривизне поверхностей» (1767) он, в частности,
доказывает теорему о кривизне нормального сечения поверхности
/ + £ + (/-g) cos2a '
где г — радиус кривизны нормального сечения, f ж g —
экстремальные значения г, а a — угол между
рассматриваемым нормальным сечением и одним из нормальных
сечений экстремальной кривизны.
В работах 1770—1771 гг. Эйлер начал исследовать
развертывающиеся поверхности и вывел соответствия
между координатами х, у некоторой точки
развертывающейся поверхности и координатами t, и той точки плоскости,
с которой совпадает рассматриваемая точка поверхности
после ее развертывания. Эта задача была обусловлена
практикой картографии.
В 1774 г. Эйлер начал заниматься теорией
пространственных кривых. Он представлял их параметрическими
уравнениями x = x(s); y = y(s); z = z(s), где s — длина
дуги.
Для изучения свойств кривых ввел понятие
сферической индикатрисы, получил аналитическое выражение
для радиуса кривизны. Эйлеру принадлежит также более
общее выражение радиуса кривизны для случая, когда
s не является независимой переменной.
Таково было состояние работ в области
дифференциальной геометрии в последней четверти XVIII в. К
этому времени Монж уже создал основы начертательной
геометрии и в связи с развиваемыми идеями начал
исследования по теории кривых и теории поверхностей. Связь
была логической: для решения задач отображения
пространственных кривых и поверхностей на плоскость
следовало изучить их положение в пространстве трех
измерений.
В 1771 г. Монж не только владел результатами работ
геометров, выполненных до него, но создал
собственные концепции. Еще в 1768 г. он набросал решение
задачи об определении профилей двух кулачков, из
которых один закреплен, а другой вращается вокруг
точки Р, которая движется по кругу с центром в точке А,
т. е. существует заданное соотношение между вращением
второго кулачка вокруг Р и вращением АР. Эта задача
эквивалентна отысканию системы двух кулачков, касаю-
ю

щихся друг друга и вращающихся вокруг двух
-закрепленных точек А и Р таким образом, что закон
преобразования движения вращения одного в другое является
заданной функцией.
Монж сводит задачу к дифференциальному уравнению с
помощью простых рассуждений, основанных на теории
представления кривых в полярных координатах. В
письме к Боссю от 22 января 1769 г. он сообщает о
предпринятых им исследованиях, развивающих идеи Клеро по
теории пространственных кривых. В частности, Монж
пишет:
«Размышляя последнее время о том, что получается с
несколькими изогнутыми поверхностями, которые
побуждают двигаться одни по другим для порождения
эпициклоид на всех видах поверхностей, я нашел развертки
кривых двоякой кривизны. Я установил, что любая кривая,
какой бы природы она ни была, имеет бесконечное число
разверток; их совокупность образует изогнутую
поверхность, природа которой зависит от характера заданной
кривой. После того как поверхность построена, для
получения одной из составляющих ее разверток следует
провести через произвольную точку развертки нить в
направлении любой касательной к поверхности, прижать ее
свободно к последней, и полученная таким образом
кривая (как показал И. Бернулли, она кратчайшая из тех,
которые можно провести по этому направлению и по этой
поверхности) будет одной из разверток. Это — план
небольшого мемуара, который я просил Рамсо представить Вам
и в котором я определяю точки наклона кривых двоякой
кривизны.
Вам известно, что подобные кривые есть двух видов:
если четыре принадлежащие им точки находятся
последовательно в одной и той же плоскости, то они теряют
одну из своей кривизны, что не может произойти без
наклонения; если три из этих точек оказываются на одной
прямой линии/ то они теряют обе кривизны. Последний
случай был известен, и чтобы найти абсциссу, которая
соответствует этому двойному наклонению, следовало
найти значение х такое, чтобы ddy и ddz одновременно
равнялись 0 или °°; но я не видел нигде, как
определяется первый случай.
Я не знаю, являются ли эти идеи новыми и имеют
ли они какую-либо полезность, по я был бы польщен,
91

если бы они оказались справедливыми и если бы Вы не
отказали бросить взгляд на мемуар» 1.
Речь идет о первом варианте большого мемуара
(представленного Парижской академии наук в 1771 г.)
о развертках кривых двоякой кривизны. Как известно,
одновременно с геометрическими изысканиями Монж
занимался вопросами вариационного исчисления и
дифференциальными уравнениями с частными производными;
по его мысли, эти занятия должны были дать ему
математический аппарат для решения поставленных таким
образом проблем.
Проблема дифференциальных уравнений с частными
производными, равно как и проблема обыкновенных
дифференциальных уравнений, возникла в связи с задачами
физики и отчасти техники. Это не воспринималось как
вторжение в чужую область, скорее наоборот, поскольку
и физика и техника в самом широком смысле на
протяжении всего XVIII в. относились к математическим
наукам. Задачи ставились математиками и ими же
решались. Поэтому первые положения теории
дифференциальных уравнений с частными производными были
сформулированы как интересные математические задачи и
появились впервые в 1734 г. в мемуаре Эйлера и в 1743 г.
в «Трактате динамики» Д'Аламбера. Но действительное
становление теории связано с проблемой колебания
струны. В 1746 г. Д'Аламбер опубликовал статью, в которой
произвел исследование дифференциальных уравнений
с частными производными. Эйлер в мемуаре «О
колебаниях пружин» подошел к решению задачи несколько
иначе, чем это сделал Д'Аламбер, хотя в методологии и
следовал Д'Аламберу. Затем в работе 1754 г. он
утверждает, что
y = 0(cf + x)+^(cf—x)
при произвольных Ф и г|) является решением уравнения
с2 др дх1
Эйлер, Даниил Бернулли и Д'Аламбер отстаивали
различные точки зрения относительно функций и воз-
1 Цит. по кн.: Taton R. L'oeuvre scientifique de Monge. Paris, 1951,
p. 166—167.
92

можности их представления в виде рядов. Спор по этому
поводу длился более десяти лет. В 1759 г. в него
вмешался Лагранж, однако и следующее десятилетие не
принесло существенных результатов. Эйлер, Д'Аламбер и
Лагранж вплотную подошли к развитию теории
тригонометрических рядов, но не сделали решающего шага. Хотя
согласие не пришло, был достигнут и положительный
результат: развитие теории нагруженной струны,
волнового уравнения и рассмотрение задачи о потенциале
позволили составить и решить некоторые уравнения с
частными производными; Эйлер в теории звука и теории
колебания стержней пришел к дифференциальным
уравнениям с частными производными четвертого порядка.
Разрешить их до конца века не смогли.
Важный шаг в развитии теории уравнений с
частными производными был сделан Лагранжем, в частности,
он ввел терминологию в общую теорию
дифференциальных уравнений с частными производными. В 1779 г. он
предложил способ решения линейных уравнений первого
порядка с частными производными, сведя их решение к
системе обыкновенных дифференциальных уравнений.
Монж исследования в области теории
дифференциальных уравнений с частными производными начал в 1770 г.,
но опубликовал их значительно позже. Как уже отмечалось,
Монж был геометром и к решению поставленных задач
подходил с точки зрения не анализа, а геометрии. Его
математические исследования — это поиски
математического аппарата для решения задач прикладной
геометрии.
В области теории дифференциальных уравнений с
частными производными ему принадлежат весьма
плодотворные идеи. Так, он обнаружил, что задачи теории
кривых связаны с обыкновенными дифференциальными
уравнениями, а теории поверхностей — с
дифференциальными уравнениями в частных производных. Свою
концепцию характеристик Монж высказал впервые при
исследовании нелинейных дифференциальных уравнений; она
явилась следствием предложенной им геометрической
интерпретации уравнений.
В письме к Кондорсе от 2 сентября 1771 г. Монж
указывал на соотношения, существующие между
семействами поверхностей и уравнениями с частными
производными. «Я заметил,— пишет он,— что искривленные по-
93

верхноети можно легко подразделить на классы, каждый
из которых имел бы свое дифференциальное уравнение
в частных производных, например:
02 adz , "1 общее уравнение цилиндров
dx * dy ~~ Je произвольным основанием,
ybz xdz \ общее уравнение поверхностей вращения,
dx ~~" ciy == ^ J отнесенных к трем осям,
xàz ydz 1 общее уравнение конусов с
произвольна; dy J ным основанием и т. д.
(буквой ô обозначается дифференциал в случае, если
единственной переменной является х, а д — в случае,
когда единственная переменная — у).
Я понимаю здесь под наименованием конических
поверхностей такие, которые образованы при помощи
прямой, которая, имея одну закрепленную точку, движется
по произвольной заданной кривой плоской или
двоякой кривизны. Такой вид поверхности является не
чем иным, как примером более общего класса, уравнение
которого оказывается более сложным. Представьте себе,
что все элементы винтовой поверхности продолжаются
касательными. Совокупность их, если так можно
выразиться, образует поверхность, которая подобна
коническим поверхностям, поскольку является развертываемой,
иначе говоря, ее можно так расположить на плоскости,
что ее части будут соприкасаться, однако отличается она
тем, что не имеет единственной точки в качестве
вершины, а сама является формообразующей винтовой
поверхностью» 2.
В дальнейшем эти идеи были развиты Монжем в ме-
муаре, представленном в Академию наук в 1771 г.,
также в «Листках по применению анализа» и в «Анализе
в применении к геометрии». В мемуаре говорилось о
теории поверхностей и теории пространственных кривых.
До Монжа понятие радиуса кривизны относилось к
теории плоских кривых, а рассмотрение эволюты плоской
кривой как огибающей нормалей связывалось с
исследованием эвольвент данной плоской кривой. Было известно
2 Цпт. по кн.: Taton R. Op. cit., p. 192—193.
94

также, что эволюта представляет собой геометрическое
место центров кривизны плоской кривой.
Клеро сделал попытку перейти от плоской
дифференциальной геометрии к пространственной. Монж поступает
принципиально иначе: он рассматривает
пространственную задачу как более общую, чтобы затем от нее
перейти к плоской. Он проводит исследование кривых двоякой
кривизны, находит все геометрические характеристики,
присущие таким кривым. Он вводит «линию полюсов»
(ось кривизны), показывает затем, что поверхность,
образованная линиями полюсов, развертывается на плоскость.
При этом оказывается, что данная пространственная
кривая имеет не одну, а бесконечное множество эволют и
все они лежат на поверхности полюсов. Оказывается, что
геометрическое место центров кривизны пространственной
кривой также лежит на поверхности полюсов, но не
совпадает ни с одной из эволют, если только кривая не
плоская; лишь в этом случае одна из эволют является
геометрическим местом центров кривизны. Для
доказательства того, что каждая из эволют является
кратчайшей из всех линий, которые можно провести на
поверхности полюсов между двумя точками, принадлежащими
эволюте, Монж прибегает к своеобразному способу. Он
начинает сгибать бесконечно тонкую прямолинейную
полоску, накладывая ее на поверхность полюсов. При
переходе через полярную ось она образует с осью равные
углы; тем же свойством обладают эволюты кривой.
Поэтому при развертывании поверхности полюсов на
плоскость каждая эволюта становится прямой линией, иначе
говоря, кратчайшим расстоянием на поверхности полюсов.
Эти идеи Монжа, очень остроумные и, несомненно,
послужившие дальнейшему развитию геометрии, не
вполне корректны: он не дает точных определений вводимым
им геометрическим образованиям и обращается с ними
достаточно свободно. Пользуясь методом изгибания с еще
большей «легкостью», он получает также уравнение
геодезической линии произвольной поверхности.
Относительно эволюты развертывающейся
поверхности Монж дает следующие положения.
1. Ребро возврата развертывающейся поверхности
является кратчайшей линией на поверхности эволюты.
2. Элемент развертывающейся поверхности можно
рассматривать как элемент поверхности конуса, имеющс
%

го своей вершиной соответствующую точку ребра
возврата, а осью — прямолинейную образующую эволюты.
3. Если эволюта представляет собой цилиндрическую
поверхность, то образующие исходной развертывающейся
поверхности находятся под постоянным углом к
соответствующим образующим эволюты.
В мемуаре дается затем аналитическое изложение
этих результатов и устанавливается условие
существования особых точек кривой.
Следующим этапом исследований Монжа в области
дифференциальной геометрии явился мемуар «Об
экскавации и наполнении», написанный в 1776 г.3 Здесь он
рассматривает проблему, связанную с фортификацией:
следует изъять из одного места определенное количество
земляной массы и перевезти его в другое, причем
операция должна быть выполнена наиболее
производительным образом — произведение количества земли на
расстояние переноса должно быть минимальным. Несмотря
на техническое оформление, мемуар в своей важнейшей
части имеет чисто геометрические цели, впрочем, об этом
заявляет и сам автор.
Монж предполагает, что плотность земли постоянна.
Каждая частица земли должна перемещаться по
прямолинейной траектории, поэтому задача сводится к следующей
проблеме: необходимо найти такую систему прямых,
чтобы через каждую точку пространства, занимаемого
некоторым объемом земли, проходила одна и лишь одна
прямая системы; каждая прямая включала бы часть или
точку, принадлежащую пространству, занимаемому
вторым объемом; чтобы объемы, выделяемые какой-либо
поверхностью из извлекаемой и нагружаемой массы, были
равны между собой и чтобы интеграл J J J D (г) dv (г —
расстояние между соответствующими точками обоих
пространств, dv — элемент извлекаемого объема 25) имел
минимальное значение.
Задача решается сперва для плоских контуров
равной площади. Семейство прямых зависит от одного
параметра; тогда требование минимума для интеграла по
объему становится излишним. Приравнивая выражения для
3 Mémoire sur la théorie des déblais et des remblais.— Mém. de
J'Açad, des Sci, Paris, 1781 (publ. 1784), p. 666-704
96

элементарных площадок, вырезаемых из обеих площадей,
получим обыкновенное дифференциальное уравнение,
интеграл которого содержит одну произвольную
постоянную.
Затем Монж рассматривает общий случай системы
прямых в пространстве, которая по условию зависит от
двух параметров. Он устанавливает некоторые
положения, в частности выводит условие пересечения двух
бесконечно близких прямых и определяет, что существуют
лишь два направления для данной прямой, которые могут
удовлетворить этому условию. Иначе говоря, среди всех
линейных поверхностей, образованных прямыми
системами, имеются только два семейства развертывающихся
поверхностей, которые разбивают пространство на
элементарные призматические тела, грани которых, как
правило, не ортогональны друг к другу.
В исключительном случае эта ортогональность имеет
место, и Монж приходит к выводу, что только в этом
случае существуют поверхности, ортогональные ко всем
прямым семейства. Он связывает исследуемые семейства
поверхностей с дифференциальными уравнениями с
частными производными, нелинейными и линейными, первого,
второго и даже третьего порядков.
Основным трудом Монжа по дифференциальной
геометрии, где обобщены не только его работы, но и
исследования других геометров конца XVIII в., является
его курс «Приложение анализа к геометрии». Едва ли
было бы верным сводить все значение курса к
проблемам теории кривых и теории поверхностей: в нем
подняты многие вопросы аналитической и чистой геометрии,
проблемы технических применений геометрии; многие
теоремы и методы, изложенные в курсе, развивают идеи
кинематической геометрии. Применение кинематических
методов к воспроизведению геометрических образов
наблюдается у Монжа довольно часто, поскольку, как мы
знаем, он был не только геометром, а также механиком
и инженером; исходные положения его обычно связаны
с технической практикой, и в своих теоретических
изысканиях он ищет практических приложений. Следует
отметить и то обстоятельство, что Монж одним из первых
понял кинематическую сущность машины, разложил
машину (более или менее удачно) на кинематические
элементы и указал основания принципов построения машин;
4 А. Н. Боголюбов
97

для эпохи технической революции XVIII в., по
преимуществу революции машинной, это было немалой заслугой.
Как уже упоминалось, первым вариантом курса
«Приложений анализа к геометрии» была запись лекций Мон-
жа, прочитанных им в Политехнической школе и
печатавшихся отдельными выпусками под заглавием «Feuilles
d'analyse appliqué à la géométrie» в 1795 г. Некоторые
лекции вторично публиковались в «Журнале»
Политехнической школы, где были напечатаны также некоторые
работы Монжа, дополняющие курс и впоследствии
включенные в него.
При жизни Монжа вышло в свет также второе
издание «Листков» (1801). В третье издание в качестве
введения включена краткая работа Монжа и Ашетта
«Приложение алгебры к геометрии», о которой речь шла в
предыдущей главе. Вся книга получила новое название —
«Приложение анализа к геометрии» (1805); затем вышло
и четвертое издание (1809). В 1850 г. появилось пятое
издание, исправленное, с дополнениями Лиувилля. На
русском языке трактат Монжа вышел в 1936 г. под
редакцией, с предисловием и примечаниями М. Я.
Выгодского.
Вступительный параграф I посвящен общим
положениям относительно касательных и нормалей к кривым
поверхностям. Здесь Монж решает две задачи: «Дано
уравнение кривой поверхности, на которой взята произвольная
точка; найти: 1) уравнение касательной плоскости в этой
точке, 2) уравнение нормали к поверхности в той же
точке».
Параграфы II, III и IV содержат выводы уравнений
цилиндрических, конических поверхностей, а также
поверхностей вращения. Во всех этих случаях общее
уравнение искомых поверхностей выводится сперва из
рассмотрения касательной плоскости; затем используются
свойства кривых двоякой кривизны. Очень существенно
для способа изложения Монжа то, что он не вводит
никаких определений и не дает терминологических
пояснений. Лишь в ходе доказательства есть указание:
«...плоскость будет касательной, если взятая на плоскости точка,
бесконечно близкая к данной, в каком бы направлении
она ни была взята, находится также на кривой
поверхности, т. е. если дифференциальное уравнение плоскости,
взятое для точки с координатами х\ у', z', тождествен-
98

но с дифференциальным уравнением поверхности, взятым
для той же точки» 4.
Параграф V «О поверхностях, образованных
движением прямой, которая всегда горизонтальна и постоянно
проходит через одну и ту же вертикаль» интересен тем,
что изложение начинается непосредственно с нескольких
технических примеров. Как указывает Монж, «Общее
свойство поверхностей, о которых идет речь, не зависящее
от природы кривой, направляющей движение
образующей, состоит в том, что если через точку касания
провести к касательной плоскости горизонталь, то эта прямая
всегда проходит через вертикаль, так как является
образующей прямой в одном из ее положений» 5. Затем
указывается другое отличительное свойство, состоящее в том,
что если пересечь поверхность какой-нибудь плоскостью,
проведенной через вертикаль, то в сечении получится
горизонтальная прямая. Затем Монж решает задачу об
определении уравнения конкретной поверхности при
заданном уравнении кривой двоякой кривизны. В качестве
примеров приводятся уравнения дуги свода и верхней
поверхности круговых перил.
Всем поверхностям, рассмотренным в параграфах II —
V, соответствуют линейные уравнения в частных
дифференциалах; в дальнейшем рассматриваются поверхности,
которые выражаются уравнениями более высоких
порядков.
В параграфе VI вводится несколько новых понятий.
Сперва Монж рассматривает кривую поверхность,
уравнение которой может быть представлено в виде F(x, у, z,
а)=0, где а — некоторый параметр; при изменении а в
пределах от -\-°° до —°° получается бесконечное
множество поверхностей: поверхность, огибающую это
множество, Монж называет огибающей. Если
продифференцировать уравнение F(x, у, z, а)=0 по а (считая его
единственным переменным), получается уравнение кривой
касания
Линия касания, определенная этими уравнениями,
называется характеристикой огибающей. Одна и та же оги-
4 Монж Г. Приложение анализа к геометрии. М.—Л., ОНТИ, 1936,
с. 74—75.
5 Там же, е. 101.
99
4*

бающая может иметь несколько различных характеристик;
эти понятия и исследуются в параграфе. В следующем
параграфе отыскиваются уравнения некоторых огибающих.
Параграфы VIII, IX и X посвящены исследованию
поверхностей, образованных с помощью движения
некоторых геометрических элементов относительно других; для
этих поверхностей определяются общее уравнение,
уравнение их характеристик и уравнение их ребер возврата.
Кинематическое происхождение поверхностей специально
подчеркивается Монжем. Так, он пишет: «Представим
себе в пространстве две параллельные кривые двоякой
кривизны и положим, что прямая, оставаясь параллельной
неподвижной плоскости, движется так, что она все время
опирается на эти две кривые; таким образом, характер
движения этой прямой будет определен, и кривая
поверхность, образованная движением прямой, уже в силу того
только, что она получена указанным образом, будет
обладать некоторым свойством, не зависящим от природы
обеих кривых, которые направляют движение прямой;
аналитическое выражение этого свойства даст общее уравнение
поверхностей, полученных с помощью указанного способа
образования» 6. Монж показывает затем, что уравнение
такого рода поверхности будет включать частные
дифференциалы второго порядка. Уравнение характеристики
можно получить общим методом из заданного
дифференциального уравнения. Аналогично содержание и следующего
параграфа, посвященного теории поверхности,
образованной движением прямой, проходящей через ось z.
В параграфе XII дается понятие развертывающейся
поверхности. Так называет Монж поверхность,
обладающую тем свойством, что, «считая ее гибкой и
нерастяжимой, мы можем, изогнув такую поверхность, наложить ее
на плоскость, с которой она будет соприкасаться тогда
всеми ее точками, не образуя ни разрывов, ни складок» 7.
Примером могут служить цилиндрические и конические
поверхности: они являются частными случаями подобных
поверхностей, которые имеют некоторые общие
характерные свойства. Определяя далее развертывающуюся
поверхность как огибающую бесконечной
последовательности плоскостей, удовлетворяющих двум неизменным усло-
6 Монж Г. Приложение анализа геометрии, с. 155.
7 Там же, с. 178.
100

виям и различающихся между собой лишь третьим
условием, Монж указывает, что «так как огибаемая здесь
является переменной по положению плоскостью, то ясно,
что характеристика огибающей, т. е. пересечение двух
последовательных огибаемых, есть прямая линия; таким
образом, искомая огибающая образована движением
некоторой прямой; но более того, так как две
последовательные характеристики будут всегда на одной и той же
огибаемой, то из всех положений образующей прямой
каждые два последовательные находятся в одной и той же
плоскости и пересекаются где-либо в некоторой точке.
Последовательность этих точек пересечения образует
кривую двоякой кривизны — ребро возврата
развертывающейся поверхности, к которой образующая всегда
является касательной» 8. Таким образом, развертывающиеся
поверхности можно определить так же, как образованные
движением прямой, которая не перестает быть
касательной к некоторой кривой двоякой кривизны.
Интересно, что после аналитического исследования
развертывающихся поверхностей Монж находит нужным
связать их теорию с теорией теней, т. е. с проективной
геометрией: «Если предположим, что некоторое
непрозрачное тело, данное по форме и положению, освещено
некоторым светящимся телом, также данным по форме и
положению, то поверхности, ограничивающие тень и
полутень, вызываемые внесением непрозрачного тела в
освещенную среду, являются двумя полостями
развертывающейся поверхности, охватывающей поверхности двух
тел; линиями же касания развертывающейся поверхности
с поверхностями двух тел являются, с одной стороны, та
кривая, которая на поверхности непрозрачного тела
отделяет освещенную его часть от неосвещенной, с
другой — та кривая, которая на поверхности освещенного
тела отделяет часть, освещающую другое тело, от части,
не могущей посылать ему лучи света» 9.
В параграфе XIII Монж обобщает исследование
кривой поверхности, выполненное ранее (в параграфе IX).
Речь идет о кривой поверхности, огибающей
пространство, пробегаемое другой данной поверхностью постоянной
8 Там же, с. 181—182.
Q Там же, с. 197.
101

формы, которая без вращения движется вдоль
совершенно произвольной кривой двоякой кривизны. Разница
заключается лишь в том, что в первом случае кривая,
направляющая движение огибаемой, была начерчена на
данной поверхности так, что из трех проекций этой
кривой только одна была произвольной, а во втором —
направляющая совершенно произвольна.
Следующий параграф посвящен исследованию
поверхности, произведенной движением данной кривой двоякой
кривизны постоянной формы, которая не вращаясь
движется вдоль некоторой другой совершенно произвольной
кривой. Здесь Монж опять подчеркивает кинематический
характер образования поверхности: «Кривая двоякой
кривизны движется без вращения, если в продолжение всего
движения каждая из ее касательных остается
параллельной самой себе. Каждая из точек этой кривой пробегает
некоторую линию, и элементы всех этих линий, описанные
в одно и то же время, параллельны и равны друг другу.
Если мы представим себе, что образующая находится в
первоначальном положении, а затем перенесена в какое-
нибудь другое положение, т. е. в одно из тех, которые
она принимает последовательно при своем движении, то
все ее точки опишут равные и подобные дуги кривых
линий, соответствующие касательные к которым будут
параллельны между собой; все эти дуги будут
находиться на кривой поверхности, произведенной движением
образующей, и если предположим, что какая-либо из этих
дуг движется без вращения так, что точка, в которой
она пересекает образующую, не сходит с этой
образующей, то эта дуга будет последовательно совпадать с
дугами, описанными всеми другими точками, и не сойдет,
следовательно, с кривой поверхности; таким образом,
называя направляющей кривую, которую пробегает
некоторая точка образующей, можно с равным правом сказать,
что рассматриваемая нами поверхность образована
движением образующей, которая, не меняя формы и не
вращаясь, движется вдоль направляющей, или что эта
поверхность образована движением направляющей, которая,
не меняя формы и не вращаясь, движется вдоль
образующей» 10.
10 Монж Г. Приложение анализа к геометрии, с. 204—205.
102

При исследовании всех описанных поверхностей Монж
пользуется в сущности одним и тем же приемом: сперва
он находит уравнение в частных дифференциалах
второго порядка, затем в виде двух уравнений в частных
дифференциалах первого порядка и, наконец, в виде
уравнения в конечных разностях. Такая схема решения дает
ему возможность достаточно глубоко изучить
поверхности, а также их особенности. Сами поверхности
возникают, как мы видели, в результате взаимного движения
некоторых геометрических элементов.
Следующие параграфы трактата освещают некоторые
теоретические вопросы дифференциальной геометрии;
кроме того, проводится исследование некоторых
поверхностей, из которых в сущности лишь поверхности
параграфов XXI и XXVI возникают в результате движения.
В параграфе XV Монж исследует две кривизны
кривой поверхности. Установив, что каждая кривая
поверхность имеет в каждой из своих точек две кривизны,
направления которых находятся в двух нормальных
плоскостях, он при помощи построения нормалей к
поверхности получает линии первой и второй кривизны.
Продолжая рассуждения, показывает, что таким путем
можно получить ряд всех линий первой кривизны,
которые разделят кривую поверхность на зоны переменной
ширины; то же самое относится и к ряду всех линий
второй кривизны. Зоны переменной ширины, полученные
в первом и во втором случае, будут перпендикулярны
между собой; таким образом, эти два ряда кривых
разделят поверхность на элементы, которые можно считать
прямоугольными.
В качестве примера Монж рассматривает
произвольную поверхность вращения: «Если от одной из ее точек
мы перейдем в плоскости меридиана к точке бесконечно
близкой, то две последовательные нормали пересекутся,
так как обе они расположены в плоскости одного и того
же меридиана. Если мы перейдем от первой точки к
точке бесконечно близкой в направлении параллели, то две
последовательные нормали снова пересекутся, так как обе
они пройдут через одну и ту же точку оси. Но при
переходе от одной точки к другой в каком-либо другом
направлении обе нормали пересекут ось в различных точках
и не будут встречаться друг с другом. Следовательно,
меридианы являются линиями одной кривизны, а парал-
403

лели — линиями другой. Каждый из меридианов
пересекает все параллели под прямыми углами, и обратно, и два
ряда этих линий делят кривую поверхность на элементы,
которые можно считать прямоугольными» и.
Продолжая анализ, Монж указывает, что каждой
линии кривизны соответствует развертывающаяся
поверхность, нормальная к кривой поверхности и являющаяся
геометрическим местом всех нормалей, проходящих через
одну и ту же линию кривизны. Если построить такие
развертывающиеся поверхности для всех линий первой и
второй кривизны, то они разделят пространство на
бесконечно узкие элементы, ограниченно удаляющиеся в
направлении нормали; эти элементы ограничиваются
четырьмя попарно перпендикулярными плоскостями и
четырьмя бесконечной длины прямолинейными ребрами.
В качестве примера приводится поверхность свода:
«Наиболее естественно при разделении ее швами на плиты
взять в качестве швов развертывающиеся поверхности,
нормальные к поверхности свода и отстоящие друг от
друга для каждой из двух последовательностей на
конечное расстояние, зависящее от свойств материала. Эти
швы были бы все перпендикулярны поверхности и
перпендикулярны друг другу; следовательно, плиты имели
бы только прямые углы. Швы, образованные движением
прямой линии, принадлежали бы к числу тех, которые
называются линейчатыми, и, следовательно, их легко
было бы сделать. Кроме того, если бы эти швы были видны
на поверхности свода, то они образовали бы кривые,
перпендикулярные между собой. Эти кривые, вид
которых зависит от самой природы поверхности, сделают
более заметной образующую; наконец, эти линии разделят
поверхность свода на прямоугольные части, которые
могут быть использованы для стройной и соответствующей
природе поверхности росписи» 12.
Подобными рассуждениями Монж определяет и
образование полостей поверхностей центров кривизны
ребрами возврата первого и второго семейства
развертывающихся поверхностей, образованных нормалями. Если две
полости центров кривизны пересекаются, кривая их
пересечения будет геометрическим местом центров сфери-
11 Монж Г. Приложение анализа к геометрии, с. 228—229.
12 Там же, с. 232.
104

ческой кривизны поверхности. Каждая из касательных к
кривой пересечения обеих полостей будет нормальна к
поверхности, в которой обе кривизны будут иметь один и
тот же центр и один и тот же радиус. Кривая,
которая пройдет через все эти точки,— кривая сферических
кривизн, определяется уравнением:
[(l+q2)r-2pqs+(l+p2)]t2=4 (rt-s2) (l+p2+q2).
Линия сферических кривизн является эвольвентой линии
центров сферической кривизны. Следовательно, если
закрепить нить в одной из точек пересечения двух
полостей центров, а затем, натянув нить, наворачивать ее на
это пересечение так, чтобы прямолинейная часть нити все
время была касательной к этой кривой, то одна из точек
нити пробежит линию сферической кривизны. Развивая
эти рассуждения, Монж приходит к важному выводу:
любая поверхность может быть образована двумя
непрерывными движениями натянутой нити, навертываемой на
полости поверхности центров, подобно тому, как плоская
кривая может быть произведена движением точки
натянутой нити, навертываемой на эволюту кривой.
Параграф XVI посвящен исследованию линий
кривизны поверхности эллипсоида. Монж выводит уравнение
поверхности эллипсоида и, дифференцируя его дважды,
получает уравнения линий кривизны. Пример
практического использования этих геометрических теорий Монж
опять находит в практике сооружений. Интересно, что
в этом и некоторых других параграфах переплетаются
идеи дифференциальной и аналитической геометрии и
показывается приложение их в строительной механике
(которой тогда еще не существовало). Монж указывает, что
для покрытия некоторого пространства сводом с
основанием в виде эллипса наиболее подходящей поверхностью
была бы поверхность половины эллипсоида, один из
главных эллипсов которого совпадал бы с основанием свода.
Если последний следует соорудить из плит, то
разделение на плиты надо выполнять при помощи линий
кривизны; тогда швами будут развертывающиеся
поверхности, нормальные к своду.
Вертикальная ось свода не должна быть равной
одной из горизонтальных; она может быть больше их,
меньше их или же занимать промежуточное между ними
положение* «Высокий свод обладает, вообще говоря, боль-
105

шей прочностью и большей величественностью, и если
покрываемая сводом площадь сама находится на большой
высоте, то, для чего бы ни было предназначено
сооружение, нужно воспользоваться именно высоким сводом,
потому что, когда сооружение находится высоко, его
вертикальные размеры кажутся меньше, чем они в
действительности, и поэтому свод всякого другого рода выглядел
бы слишком придавленным» 13. Следующее замечание
Монжа относится непосредственно к современной ему
практике. «В настоящее время,— пишет он,— внимание
привлечено к сооружению двух совещательных залов
Законодательного собрания. Условия помещений, которыми
до сих пор можно было располагать для устройства
подобных залов, заставляли углублять амфитеатр в меньшей
степени в том направлении, куда обращено лицо оратора,
чем в стороны от него. Однако опыт показал, что голос
доносится на большее расстояние вперед, и поэтому это
расположение как раз обратно тому, которое следовало бы
предпочесть. Из всех же удаленных форм, которые можно
было бы придать амфитеатру, нет ни одной формы,
которая была бы проще и изящнее, чем форма эллипсоида.
В Законодательном собрании должно быть сооружение
для бюро, перед которым располагается трибуна для
оратора. Поместив это бюро в одной из вершин
эллипса, можно обеспечить ему достаточное для удобства
работы место... Зал, в котором нет ни трибуны, ни чего-
нибудь другого, нарушающего правильность, можно было
бы украсить колоннами, каждой из которых отвечала бы
полоска свода, идущая вдоль восходящей линии
кривизны. Эти полосы, вертикальные при своем начале,
искривлялись бы вокруг одной или другой омбилической
точки 14, чтобы затем спуститься снова отвесно на
противоположные колонны. Они пересекались бы
перпендикулярно другим полосам. Промежутки между этими полосами
могли бы быть сделаны прозрачными для того, чтобы
13 Монж Г. Приложение анализа к геометрии, с. 258.
14 Омбилическими Монж называет точки кривой поверхности,
две из которых расположены над плоскостью х, у, а две
другие — под нею. Вокруг этих четырех точек скапливаются линии
обеих кривизн: по одну сторону — одного рода, по другую —
другого. Эти линии стягиваются по мере того, как
приближаются к омбилическим точкам, а когда достигают их, то переходят
из одного рода в другой (см.: Монж Г. Приложение анализа к
геометрии, с. 248—249).
106

освещать зал, и для того, чтобы давать выход воздуху.
Это застекление было бы гораздо менее фантастично, чем
в круглых нишах готических церквей. Наконец, две
люстры, подвешенные в омбилических точках свода, в точках
подвеса которых свод представляется сходящимся,
служили бы для ночного освещения зала» 15.
Общая теория, изложенная в предыдущих
параграфах, развивается затем в применении к конкретным
случаям: кривой поверхности, у которой все линии одной из
кривизн расположены в плоскостях, параллельных
некоторой данной плоскости (параграф XVII) ; поверхности,
один из радиусов кривизны которой постоянен (параграф
XVIII) ; поверхности, оба радиуса кривизны которой в
каждой точке равны между собой и направлены в одну
сторону (параграф XIX) ; поверхности, оба радиуса
кривизны которой всегда равны между собой и имеют
противоположные знаки (параграф XX). В последнем случае
Монж получает уравнение поверхности и указывает на
ее свойство: если обвести ее часть непрерывным или
разрывным контуром, то из всех поверхностей, проходящих
через контур, ее площадь внутри контура будет
наименьшей.
Чтобы проинтегрировать полученное уравнение, Монж
производит его анализ: находит уравнения характеристик,
интегрирует их и таким образом приходит к искомому
решению. Получив интеграл уравнения поверхности,
указывает, что построение этого интеграла равнозначно
нахождению способа образования искомой поверхности. То
построение, которое он предлагает для этого случая,
осуществляется с помощью бесконечно близких кривых. Он
начинает с построения эвольвенты для кривой двоякой
кривизны, взятой произвольно в пространстве: эта
эвольвента является одной из линий кривизны искомой
поверхности. С помощью радиусов эвольвенты определяется
второй центр — центр второй кривизны для той точки
поверхности, центром первой кривизны которой является
точка касания с кривой. Продолжая это довольно
сложное пространственное построение, Монж получает все
точки искомой поверхности.
Этот пример — последний для поверхностей,
задаваемых уравнениями в частных дифференциалах второго по-
15 Монж Г. Приложение анализа к геометрии, с. 259—261.
107

рядка. Далее Монж переходит к рассмотрению
нескольких поверхностей, задаваемых уравнениями в частных
дифференциалах третьего порядка, из которых описывает
лишь некоторые, интересные по своей простоте и
практическим приложениям.
Сперва он описывает поверхность, произвольно
образованную движением некоторой прямой: «Движение
некоторой прямой в пространстве определено, если указано,,
что эта прямая должна постоянно опираться на три
заданные кривые двоякой кривизны... Вид поверхности
зависит от вида трех кривых, управляющих движением
образующей; но каковы бы ни были эти кривые, все
поверхности, таким образом полученные, имеют общее
свойство, которое может быть выражено аналитически и для
которого мы непосредственно разыщем выражения: 1) в
частных дифференциалах третьего порядка; 2) в
дифференциалах второго порядка; 3) в дифференциалах
первого порядка; 4) в конечных количествах» 16.
Получив уравнения искомой поверхности указанными
способами, Монж определяет затем уравнение
соответствующей характеристики; оно должно иметь столь же
высокую алгебраическую степень относительно dy/dx, как
и порядок исходного уравнения. Затем он интегрирует
уравнения в общем виде.
Приведем названия следующих параграфов: «О
кривой поверхности, все нормали которой являются
касательными к поверхности сферы» (параграф XXII); «О
кривой поверхности, огибающей последовательность сфер
переменного радиуса, центры которых расположены на
некоторой кривой» (параграф XXIII); «О кривой
поверхности, все нормали которой являются касательными к
конической поверхности произвольного основания»
(параграф XXIV) ; «О кривой поверхности, все нормали
которой являются касательными к некоторой
развертывающейся поверхности» (параграф XXV); «О кривой
поверхности, огибающей пространство, пробегаемое сферой
переменного радиуса, центр которой пробегает кривую
двоякой кривизны» (параграф XXVI).
В этих параграфах описывается некоторая кривая
поверхность, построение которой подчинено определенным
условиям. Рассматривая сперва образование поверхно-
Монж Г. Приложение анализа к геометрии, с. 338—339.
108

стей, их особенности, их геометрические параметры,
Монж переходит затем к выводу уравнения для
описываемых частных случаев. Так, например, в начале
параграфа XXVI он пишет: «Предположим, что некоторая сфера
переменного радиуса движется таким образом, что ее
дентр пробегает какую-нибудь кривую двоякой кривизны
и что величина ее радиуса зависит от положения центра;
эта сфера пробежит пространство, огибающая которого
есть поверхность, которой мы сейчас займемся. Я мог бы
привести несколько примеров поверхностей, образованных
таким образом; наиболее замечательной из них является
поверхность витой колонны, которая есть не что иное, как
огибающая пространства, пробегаемого сферой
переменного радиуса, центр которой пробегает винтовую линию с
вертикальной осью» 17. Монж выписывает уравнение
подвижной сферы, взятой в качестве огибаемой, получает
уравнение характеристики, для чего дифференцирует
уравнение сферы, и в результате ряда преобразований
приходит к искомым уравнениям поверхности, которые и
подвергает достаточно кропотливому исследованию.
Параграф XXVII — последний в книге — озаглавлен
«Об эволютах, радиусах кривизны и различного рода
перегибах кривых двоякой кривизны». В предыдущих
параграфах Монж исследовал нахождение эволют для
рассмотренных частных случаев кривых. Теперь он ставит общую
задачу — показать, что любая кривая (и плоская, и
двоякой кривизны) имеет бесчисленное множество эволют,
причем все они — кривые двоякой кривизны, а также
найти уравнения эволют по данным уравнениям
эвольвент. С помощью некоторых вспомогательных теорем он
выводит важные положения относительно эволют. Так, он
утверждает, что «плоская кривая имеет... бесчисленное
множество эволют, которые находятся все на поверхности
цилиндра, основанием которого служит эволюта, лежащая
в плоскости кривой; все эти эволюты являются линиями
двоякой кривизны, за единственным исключением той...
которая служит основанием цилиндрической
поверхности». Далее: «...всякая кривая, начерченная на
поверхности некоторой сферы, имеет геометрическим местом своих
эволют поверхность конуса, вершина которого находится
в центре сферы и основание которого зависит от приро-
47 Там же, с. 516.
109

ды кривой; иоо все плоскости, перпендикулярные к
элементам кривой, перпендикулярны также и сферической:
поверхности и проходят, следовательно, через центр
сферы». И, наконец: «...кривая, не являющаяся ни плоской,,
ни сферической, имеет геометрическим местом своих
эволют развертывающуюся поверхность, у которой два
последовательных прямолинейных ребра пересекаются в
некоторой точке, но три точки, подряд взятые, в одной точке
не встречаются. Последовательность этих точек
пересечения образует кривую, которая, как легко видеть,
никогда Ht) может быть плоской, ибо тогда развертывающаяся
поверхность, все ребра которой являются не чем инымг
как касательными к этой кривой, свелась бы к
плоскости» 18.
Прежде чем перейти к аналитическому истолкованию
полученных результатов, Монж еще раз возвращается к
основаниям теории развертывающихся поверхностей. Он
указывает, что развертывающиеся поверхности состоят из
системы бесконечного множества продолженных до
бесконечности прямых, из которых каждые две соседствующие
прямые лежат в одной плоскости. Он рассматривает
далее три случая развертывающихся поверхностей: случай
цилиндрической поверхности с любым основанием; случай
конической поверхности также с любым основанием;
общий случай, при котором все прямые встречаются
последовательно друг с другом в ряде точек, система
которых образует кривую двоякой кривизны. Эта последняя
полностью характеризует поверхность, к которой она
принадлежит, так как поверхность есть не что иное, как
геометрическое место ее касательных; она является
границей развертывающейся поверхности: ни одна из
прямых, из которых составлена поверхность, не может
пройти по ту сторону кривой, к которой она обращена
вогнутостью. Наконец, эта кривая является для
развертывающейся поверхности тем же, чем точка возврата для
обыкновенной кривой. Иначе говоря, она служит ребром
возврата для развертывающейся поверхности.
В последующем аналитическом исследовании Монж
находит уравнение нормальной плоскости, проведенной
через определенную точку кривой, уравнение
развертывающейся поверхности, уравнение ребра возврата раз-
Монж Гаспар. Приложение анализа и геометрии, с. 557, 559, 560.
110

вертывающейся поверхности, уравнение любой эволюты
кривой двоякой кривизны. Затем он определяет радиус
кривизны, точки простого и двойного перегиба кривых.
В качестве добавления к трактату приложены два ме-
муара: «Об интегрировании уравнений с частными
производными первого порядка с тремя переменными» и
«Построение уравнения вибрирующей струны». Первый мему-
ар относится к построению и интегрированию уравнений
характеристик; содержание мемуара связано с
содержанием книги. Что касается второго мемуара, то сам Монж
говорит о нем следующее: «Если произвольные функции,
дополняющие интегралы уравнений в частных
производных, все состоят из одного и того же количества, иначе
говоря, если поверхности, соответствующие этим
уравнениям, имеют лишь одну характеристику, то в таком
случае всегда можно определить те формы, которые должны
иметь функции, чтобы поверхность проходила через
столько же произвольно заданных кривых, сколько
есть функций, или была описана около такого же числа
произвольно заданных поверхностей, или была бы
нормальна к этим последним и чтобы эта операция не
вызывала иных трудностей, кроме алгебраического
исключения. Но, если произвольные функции составлены из
различных количеств, тот же процесс для определения
каждой из них приведет к уравнению в конечных
разностях. Все эти уравнения должны быть
проинтегрированы, и их интегрирование включает новые произвольные
функции, которые должны быть определены с помощью
других условий. Я полагал, что было бы удобно дать
первый пример такой операции, и я выбрал пример
уравнения вибрирующей струны, не столько по тому
интересу, который возбуждает вопрос, исследованный с большим
успехом выдающимися геометрами, и к которому я не
предполагаю возвращаться, как по причине легкости,
которая представляет условия, накладываемые обычно при
его исследовании; таким образом, моей целью является
чистая аналитическая геометрия» 1&.
Как видим, в трактате Монж переводит геометрию на
язык анализа, одновременно делает много замечаний,
относящихся к разным направлениям геометрии, к механи-
Monge G. Application de l'Analyse a la Géométrie. Paris, 1809,
p. 415.
111

ке, архитектуре, к практике строительного и
фортификационного производства. Книга не потеряла своей свежести
до настоящего времени и полезна не только геометрам и
математикам. Вместе с тем Монж не совсем точен и
не все его положения корректны, что и отметил М. Я.
Выгодский в своих комментариях 20.
Монж не оставлял и позже своих занятий
дифференциальной геометрией. Если ознакомиться со списком его
работ, выполненных уже после 1800 г., то многие из
них полностью или по отдельным результатам относятся
к дифференциальной геометрии. Но, кроме
опубликованных работ, осталось большое неизданное научное
наследие. Так, М. Шаль в примечании XXX к
«Историческому обзору происхождения и развития геометрических
методов» ссылается на мемуар Монжа 1808 г. «О
взаимных поверхностях». По Монжу, если обозначить через х,
у координаты точки плоской кривой, то координаты
соответственной точки взаимной кривой будут: х=р; у —
= рх—у; p = dy/dx. Взаимность состоит в том, что одна
из них получается из другой так же, как вторая из
первой. Аналогично, если точка кривой поверхности имеет
координаты х, z/, z, а дифференциальное уравнение
поверхности dz = pdxJrqdy, то координаты взаимной точки
будут
х=Р\ У'=Ч', zf=px+qy—z,
а их место — поверхность, взаимная с данной. Как
указывает Шаль, эти поверхности являются взаимными
полярами относительно параболоида вращения с уравнением
xZjry2 = z. Таким образом, взаимные поверхности Монжа
можно рассматривать как преобразующиеся одна в
другую с помощью принципа двойственности 2i.
Все же наиболее важная работа по созданию
дифференциальной геометрии была выполнена Монжем в
предреволюционные годы и в процессе чтения лекций в
Политехнической школе, когда этот курс и получил свое
оформление.
20 Монж Г. Приложение анализа к геометрии. Комментарии,
с. 583—696.
21 См. Шаль М. Исторический обзор происхождения и развития
геометрических методов, т. 1. М., 1883, с. 366—367.

Глава шестая
Италия. Египетский поход
В соответствии с конституцией Франции 1795 г. был
образован новый орган исполнительной власти —
Директория; тем самым крупная буржуазия открыто взяла
власть в свои руки. Положение Директории не было
устойчивым: с одной стороны, она вынуждена была
бороться против монархистов, позиции которых внутри
страны постепенно усиливались, с другой — подавляла
революционное движение. Это неустойчивое положение в
определенной степени стабилизировалось благодаря победам
войск Французской республики.
Основная борьба на суше проводилась с Австрийской
империей, в которую в то время входило большинство
провинций Северной Италии. Здесь французская армия
под командованием Наполеона Бонапарта очень быстро
добилась решающих успехов. Бонапарт (1769—1821) был
назначен командующим итальянской армией после того,
как 13 вандемьера III года разгромил восстание
монархистов против Конвента. 23 февраля он получил
назначение и 11 марта выехал к армии. «Эта первая война,
которую вел Наполеон, окружена была всегда в его
истории особым ореолом. Его имя пронеслось по Европе
впервые именно в этом [1796] году и с тех пор уже не
сходило с авансцены мировой истории. «Далеко
шагает, пора унять молочца!» — эти слова старика Суворова
были сказаны именно в разгаре итальянской кампании
Бонапарта» \
Перед Бонапартом стояла трудная задача: армия была
плохо вооружена и плохо снабжена; казнокрадство в
интендантском ведомстве, как, впрочем, и в<о всех других,
достигло при Директории размеров вебывалых. Армия в
1 Тарле Е. & Наполеон. M.s Изд-во АН СССР, 1U57, с 35.
i/25 А, Н. Боголюбов ИЗ

47 тыс. человек жила неизвестно где и питалась
неизвестно чем. Дисциплина все время падала. Бонапарту
предстояло в возможно короткий срок создать
боеспособную армию. И он это сделал. Жесткими мерами он
восстановил дисциплину и в первую очередь повел борьбу с
воровством. Кроме того, он обещал солдатам накормить
и одеть их за счет противника: он считал, что война
должна кормить сама себя.
9 апреля Наполеон перешел Альпы, и уже в первой
половине мая значительная часть Северной Италии была
оккупирована. Наступил час расплаты, причем основное
бремя контрибуций пало не на Австрию, а на
итальянцев, которые и сами не прочь были избавиться от
австрийских властей.
14 мая 1796 г. Моыж получил от генерального
секретаря иностранных дел Директории письмо следующего
содержания: «Министр поручил мне, гражданин, сообщить
Вам, что исполнительная Директория избрала Вас вместе
с другими учеными и художниками для поездки с целью
осмотра и отбора в странах, покоренных победоносными
армиями Республики, всех произведений искусства и
науки, которые Вы сочтете достойными включить в наши
музеи и библиотеки...» 2. Так была создана комиссия;
в нее вошли два академика, Монж и Бертолле 3, и
четыре художника. Впрочем, Монж тоже не был чужд
искусству, так как в свое время был членом комиссии
искусств и принимал участие в составе жюри по живописи.
30 мая 1796 г. правительственная комиссия выехала
из Парижа и через Турин 5 июня прибыла в Милан
(который был взят 15 мая). Члены ее были
представлены главнокомандующему; когда дошла очередь до Монжа,
то он с удивлением узнал, что стоит перед тем бедным
артиллерийским офицером, который в 1792 г, приходил к
нему в Морское министерство. Об этом ему сказал сам
Бонапарт.
Работа комиссии в Италии была самым настоящим
разбоем и, к чести Монжа, сам он (едва ли не
единственный среди представителей организованного мародерства)
не получил для себя никакой материальной выгоды. Он
2 Цит. ао кн.: Aubry Р. V Monge le savant ami de Napoleon
Bonaparte. Paris, 1954, p. 167.
8 Клод Луи Бертолле (Berthollet, 1748—1822) » химик, члеь Па*
рижской академии ааук с 1780 г»
114

так же глубоко верил в идеалы революции, как и в
трудные годы борьбы Республики за существование. И,
наконец, он считал, что французская армия иесет
итальянцам освобождение от тирании и фанатизма. Его
любимой песней была Марсельеза, он сам ее пел и очень
любил, когда ее исполняли в его присутствии.
Тем временем приобретения комиссии росли. В
Парме (которая не имела никакого отношения к военным
действиям и сохраняла строгий нейтралитет) взяли 14
полотен, в том числе одно полотно Корреджо, в Болонье —
35 картин, в том числе «Святую Цецилию» Рафаэля;
затем последовали Флоренция и Рим. В Рим прибыли
29 июля; к этому времени собрали уже 107 картин,
среди которых были произведения Микеланджело, Тициана,
Веронезе, затем редкие издания, папирусы,
манускрипты Леонардо да Винчи. Август и сентябрь, которые
комиссия провела в Риме, были для нее небезопасны:
римляне открыто выражали возмущение реквизицией их
национальных сокровищ. На папское правительство была
наложена контрибуция в 50 млн. ливров, в счет которой
были изъяты драгоценности и произведения искусства:
бюсты Гомера и Брута, скульптуры «Амур и Психея»,
«Умирающий гладиатор», «Аполлон Бельведерский»,
«Дискобол» и много других, разбиты папские тиары Юлия II,
Павла III, Климента VIII и Урбана VIII. На
протяжении 1797 г. из Рима было отправлено пять конвоев с
драгоценностями и произведениями искусства.
Монж особенно интересовался рукописями и редкими
изданиями; отобрал он некоторые книги и для
Политехнической школы. Для себя не брал ничего; жене послал
из Рима трехтомное издание Данте, которое ему удалось
там купить.
В середине июня 1797 г. Монж по поручению
Бонапарта ездил в Неаполь для ознакомления с
политическим состоянием города. Он посетил раскопки Помпеи и
Геркуланума, побывал в окрестностях Везувия. По
возвращении в Рим принял участие в завершении дел
комиссии; 4 июля из Рима был отправлен последний
конвой с произведениями искусства, и через несколько дней
Монж выехал через Флоренцию, Болонью, Парму в
Милан, где встретился с Бонапартом, который попросил его
остаться в Италии еще на некоторое время.
По-видимому, идея о походе в Египет в это время уже владела
115
5*

Бонапартом, и некоторые беседы его с Монжем касались
именно египетского вопроса.
Тем временем во Франции опять подняли голову
роялисты, которые решили подготовить низвержение
Директории. В Совете пятисот правые значительно усилились,
не было согласия и в самой Директории: Бартелеми
сочувствовал монархистам, Карно был против крайних мер,
а три остальные директора не решались ничего
предпринять.
Вмешался Бонапарт. Он послал одному из директоров,
Баррасу, захваченный у монархистов в Триесте портфель
с документами, подтверждавшими измену в
правительстве, и 3 млн. золотых для усиления власти (а также
генерала Ожеро). В ночь на 18 фрюктидора (4 сентября
1797 г.) Баррас приказал арестовать Карно и Бартелеми;
последний был схвачен, а Карно успел бежать. Были
произведены массовые аресты роялистов; авторитет
Бонапарта, спасшего Республику, заметно возрос.
Ученик Монжа, «организатор побед Французской
революции», Лазар Карно как «умеренный» бежал в
Швейцарию. Позже он как «республиканец» окажется врагом
Империи, а в 1814 г. как «якобинец и цареубийца»
будет пожизненно изгнан пз Франции.
17 октября 1797 г. Бонапарт заключил в Пассерано
мир (документы которого были датированы в Кампофор-
мио). Для передачи Директории документов он выбрал
Монжа и начальника своего штаба генерала Бертье,
которых и послал в Шриж. Путешествие на этот раз
длилось восемь дней, и в полночь с 25 на 26 октября
эмиссары командующего итальянской армией прибыли в
Париж; в 6 часов утра они вручили правительству текст
мирного договора. Однако Директория не пришла в
восторг: договор был заключен без участия и без влияния
директоров и к тому же после фрюктидора были
желательны новые победы. Но пришлось сделать хорошую
мину при плохой игре, и 31 октября в Люксембургском
дворце состоялся торжественный прием эмиссаров: Монж
и Бертье вошли в зал с оливковыми ветвями в руках,
директорам их представил министр иностранных дел Та-
лейран.
После речи Бертье выступил Монж. который «говорил
со всей горячностью, всей восторженностью своего
патриотизма. Он умело пользовался революционной фразео-
116

логией, воззвал к галлам, к древним, к грекам,
употребляя звучные слова. Он бросил упрекг- Англии, вскользь
упомянул Индию и Египет, заклеймил «суеверие». С
ловкостью похвалил Бонапарта. Он говорил о прошлом,
настоящем и будущем... еще не подозревая о том, какой
путь заставит его пройти его глубокое чувство дружбы
к будущему императору» \
На следующий день состоялась свадьба дочери Монжа
Луизы с членом Совета пятисот Жозефом Эшассерио,
который был немногим моложе своего тестя.
Затем Монж вернулся в Политехническую школу. Еще
29 сентября Совет школы избрал его директором, в
должность он вошел 2 ноября. В тот же день он
присутствовал на заседании Института: слушался доклад о новом
проекте телеграфа, предложенном Бреге и Бетанкуром.
Было также объявлено, что освободилась вакансия члена
Института по секции механических искусств из-за
бегства Карно в Швейцарию. Список кандидатов открыл
Бонапарт, который и был избран не без активного
вмешательства Монжа. 26 декабря 1797 г. Бонапарт в мундире
академика занял свое место между Монжем и Бертолле.
Он неоднократно принимал участие в заседаниях
Института и на одном из них сделал доклад о «Геометрии
циркуля» Маскерони 5. Во втором семестре 1799 г.
Бонапарт исполнял обязанности президента Института.
Весь январь 1798 г. Монж работал над
совершенствованием программ Политехнической школы; однако и па
этот раз ему не удалось вернуться к научным занятиям.
28 декабря 1797 г. в Риме вспыхнуло восстание и в
присутствии французского посла Жозефа Бонапарта был убит
генерал Дюпо. Бертье получил приказание наказать
виновных и 10 февраля 1798 г. вошел вс главе армейского
корпуса в Рим. Со своей стороны Директория для
расследования этого дела 31 января 1799 г. создала
экстраординарную комиссию в составе Монжа, Дону и Флорана.
Монж сдал дела по Политехнической школе Гюйтону-
Морво и 5 февраля выехал в Италию, откуда
предполагал вскоре вернуться, однако «второе итальянское
путешествие» привело его в Египет. Комиссия прибыла в Рим
k Цит. по кн.: АиЪгу Р. V. Op. cit., р. 213.
5 Лоренцо Маскерони (1750—1800) — итальянский геометр.
Получил известность своими исследованиями о геометрических
построениях с помощью только циркуля.
117

22 февраля; тем временем еще 15 февраля Бертье
произвел в Риме «революцию» — низложил папу и «передал
власть» пяти консулам.
Решено было возложить на Италию не только бремя
содержания армии, но и стоимость проектировавшегося
египетского похода, для чего нужны были немалые
деньги. Чтобы обеспечить финансовую сторону этого
предприятия, Бертье приказал конфисковать личные
коллекции, в том числе и коллекции, принадлежавшие
папскому престолу. Массена, который принял от Бертье
командование оккупационной армией, от имени Директории
предложил ввести в Риме французскую конституцию
III года. Комиссии не оставалось ничего другого, как
призвать население Рима голосовать за эту конституцию
и обеспечить ее введение. Незаконнорожденная Римская
республика просуществовала с большим скрипом восемь
месяцев и девять дней; ответственность за нее пытались
потом взвалить на Монжа и Дону. Конечно, ни тот, ни
другой не обладали политическим талантом, но они
проявили умеренность и предвидение, не говоря уже о том,
что оба не имели никаких личных интересов.
«Французские комиссары скромно устроились в помещениях
старой французской Академии живописи. Питались они
вместе; их скромное застолье напоминало банкеты в замке
Пассерано лишь тем, что Монж, прежде чем сесть за
стол, во весь голос пел «Марсельезу» 6.
Первым консулом Республики комиссары назначили
знаменитого археолога Висконти 7. Они старались привить
населению республиканский дух, устраивали спектакли,
празднества. Для этого переводились трагедии
французских писателей или же ставились пьесы местных
авторов соответствующего содержания.
Индифферентность, а порой и враждебность римлян к
республике имели, очевидно, глубокие основания.
Республика была навязана завоевателями. С введением
конституции положение трудящегося населения не улучшилось,
а буржуазии и зажиточных слоев ухудшилось. Римля?1е
п Arago. Gaspard Monge. Paris, 1965, p. 91.
7 Эннио Квирино Висконти (1751—1818) был библиотекарем
Ватикана (1771), хранителем Капитолия. После ликвидации
Римской республики бежал во Францию, получил место директора
Луврского музея. Выполнил ряд важных работ в области
классической археологии.
118

не могли без горечи смотреть, как расхищалось и
вывозилось во Францию и.к национальное достояние: только в
адрес Директории было отправлено иь Рима 500 ящиков
с произведениями искусства весом около 5000 тонн. А
кроме того, каждый из оккупантов не забывал и себя!
Эти обстоятельства не могли Fie волновать
академиков, ставших правителями, обремененных обязанностями,
но не имевших особых прав — права имела армия. В
письмах Монжа и Дону президенту Директории постоянно
сквозит одна и та же мысль: «Если вы хотите, чтобы
этот народ стал свободным, не заставляйте его
истощаться и обескровливаться сверх меры. Продовольствие и
финансы — вот самые трудные вопросы. Казнокрадство и
налоги являются в Италии единственными реальными
причинами недовольства; необходимо устранить первую
причину и снизить вторую как можно скорее. Учитывая
35 миллионов, уплаченных папой, страна эта уже
доставила нам 70 миллионов; это — огромная сумма!» Дону
пишет в письме от 6 жерминаля VI года:
«Несправедливо и неполитично слишком умножать изъятия подобного
рода [изъятия предметов искусства]. Самые уважаемые
патриоты страны относятся к этому с горечью;
согласимся, что на их месте мы не были бы менее
чувствительны. Надо, чтобы предел был всему, даже правам
победителя» 8.
Монж был ответственным за отбор произведений
искусства. И это неблаговидное по самой своей сущности
дело он проводил так, что оставил nt себе хорошую
память даже у тех, кто подвергался контрибуции. Изъятие
предметов искусства он пытался оправдывать высокими
идеалами революции, но ни для кого и для себя в том
числе, не разрешал нечестности.
Тем временем события разворачивались. Директория,
озабоченная «излишним» и очень быстрым возвышением
Бонапарта, решила перевести его из Италии и назначила
главнокомандующим армии, которая должна была
действовать против Англии. Вот тут-то он и выступил со
своим «египетским» проектом. Он предложил вместо высадки
в Ирландии (что было первым замыслом Директории) за
хватить Египет и создать плацдарм для дальнейшего на
ступления на Индию. После некоторого обсуждения пред
• А га go. Op» cit., р, 96,
И9

ложение Бонапарта было принято: в случае победы
Франция приобретала важную колонию и контроль над
Средиземным морем. А в случае поражения?
«...Директории казалось столь полезным избавиться от человека,
внушавшего ей подозрения и которого она не была в
состоянии удержать в желательных ей границах, что она
уступила, наконец, настояниям Бонапарта, отдала приказ
о походе в Египет, дала ему командование и подготовила
таким образом события, которые хотела предупредить» 9.
Экспедиция была задумана Наполеоном широко: учтя
опыт итальянского похода, а также внутреннее и
внешнее положение Египта, который теоретически подчинялся
турецкому султану, на самом же деле был собственностью
удельной вольницы мамелюкских феодалов, он решил,
кроме армейских частей и, конечно, флота, включить в
состав экспедиции большую группу ученых, врачей,
художников и писателей. Одним из первых в этот список
попал Монж.
Нельзя сказать, чтобы Монж был особенно обрадован
этой честью: еще со времен первой поездки в Италию
он ознакомился с проектами Наполеона, очевидно,
принимал участие в их разработке и лучше, чем кто-либо
другой, представлял все трудности и опасности этого
предприятия. Он продолжал работать по заданиям
Бонапарта, однако в письме от 15 марта 1798 г. сделал
приписку: «Вы обязательно хотите, дорогой Генерал,
чтобы я в моем возрасте занимался приключениями,
свойственными молодому возрасту. Никакое предложение не
было бы для меня более лестным, чем служить под
Вашим командованием и способствовать всеми моими
слабыми силами тому благу, которое Вы стремитесь доставить
нашей родине и всему миру. Однако у меня уже нет
необходимой для этого активности, и я нужнее сейчас в
Париже, чтобы сделать то, что никто другой не сделает
[речь идет о реорганизации Политехнической школы].
Я оставил в Париже жену, которая уже немолода,
одинока. Я не имею права сделать ее несчастной; для нее
ожидание уже более не составит очарования.
Предоставьте же мне среди прочих смертных восторгаться
Вашими талантами, оценивать Ваши успехи и петь Вашу
славу» 10.
9 Талейран. Мемуары. М., 1959, с. 153.
10 Aubry P. Op. cit., р. 226—227.
120

<&
а,
о
VO
«а
о
ад
Й
со
S
Si
6 А. Н. Боголюбов

По-видимому, это письмо не произвело особого
впечатления на Бонапарта, не любившего возражений и во
всяком случае не считавшегося с ними. В письме от 2
апреля он пишет Монжу, что поручает ему совместно с
Десэ произвести погрузку в порту Чивита-Веккья и не
забыть захватить с собой арабскую типографию. 5 апреля
он сообщает, что экспедицию будет сопровождать треть
сотрудников Института и они повезут с собой
инструменты всех видов. По настоянию Бонапарта Директория
15 апреля освободила Монжа от его полномочий в Риме
и придала его египетской экспедиции. Что касается
семейных дел Монжа, то Бонапарт решил их по-своему.
Он пошел в Бурбонский дворец, где размещалась
Политехническая школа и находилась директорская квартира
Монжа, с визитом к его жене. Слуга принял его за
студента, о чем и доложил хозяйке дома. Мадам Монж
спросила главнокомандующего, куда хотят увезти ее мужа и
неужели его хотят убить, невзирая на почтенный возраст.
Бонапарт ответил, что он увозит Монжа, чтобы тот не
умер от скуки в Риме. В конце концов он вынудил ее
согласиться на отъезд мужа, пообещав все же перед
экспедицией отпустить Монжа «на побывку» домой. Своих
обязательств Бонапарт обычно не выполнял, не выполнил
и на этот раз.
Следует отметить, что экспедиция сохранялась в
строгой тайне, чтобы предупредить возможное нападение
британского флота. Как пишет Араго, о ней знали всего
десять или двенадцать человек, и Монж в том числе. Даже
замещавший Бонапарта генерал Клебер до самого выхода
в море не знал действительного назначения похода. Что
касается научного сопровождения экспедиции, то его
организовал в Париже по поручению Бонапарта Бертолле.
«Мы не знаем,— говорил знаменитый химик,— в каком
направлении отправится армия. Мы знаем, что
командование примет генерал Бонапарт и что мы образуем
научную комиссию, предназначенную исследовать те
отдаленные земли, которые завоюют наши легионы». На основании
этой туманной декларации 46 лиц, принадлежавших к
Политехнической школе или окончивших ее...
ходатайствовали как об особой милости о зачислении в состав
таинственной экспедиции» и. Конечно, немаловажную роль
11 Arago. Op. cit., p. 99—100.
122

сыграло и то обстоятельство, что в составе экспедиции
были Монж и Бертолле.
26 мая 1798 г. фрегат «Отважная» («La Courageuse»),
на котором был и Монж, вышел в открытое море вместе
с другими судами, принадлежавшими дивизии Десэ.
Одновременно вышли флотилии из Тулона, Марселя, Аяччо
и Генуи; экспедиционный флот под командованием
Бонапарта состоял из нескольких сот судов, на которых
размещались 40 тыс. человек. Был пущен слух, что
французская эскадра намерена двинуться на запад, к
Гибралтару, а поэтому английский адмирал Нельсон
сконцентрировал свои корабли у западной оконечности
Средиземного моря; это дало возможность судам Бонапарта
беспрепятственно идти на восток. 9 июня 1798 г. 500
французских судов подошли к Мальте, а 11 июня Мальта
капитулировала. Одним из первых мероприятий
французских властей, выполненных по инициативе и настоянию
Монжа, было создание в столице Мальты (г. Ла-Валет-
те) Центральной школы, в которой стали
преподавателями 3 выпускника Политехнической школы и 5 местных.
Кроме того, были открыты 15 начальных школ.
19 июня вновь подняли паруса и 1 июля подошли к
Александрии; тут Бонапарту опять повезло. Как
оказалось, Нельсон, узнав о взятии Мальты, пошел к
Александрии, куда пришел раньше Бонапарта: его суда была
быстроходнее французских. В Александрии французов не
оказалось, тогда Нельсон, не теряя времени, двинулся на
восток, к Стамбулу, поскольку, по его предположению,
Бонапарт должен был направиться именно туда. Это и
спасло эскадру Бонапарта от разгрома; 2 июля была
произведена высадка, затем захвачена Александрия, и через
несколько дней армия двинулась в поход через пустыню
вслед за отступавшими мамелюками. 20 июля произошла
«битва у пирамид», мамелюки были разгромлены и
бежали на юг. Армия Бонапарта вошла в Каир. Монж и
Бертолле сопровождали Бонапарта. Есть сведения, что во
время одной из стычек с мамелюками Монж стрелял
прямой наводкой из пушки: очевидно, ему понадобилось
практическое подтверждение теоретических познаний в
области артиллерии.
Каир был занят 23 июля, а 1 августа произошло
событие, в определенной степени изменившее планы
Бонапарта: Нельсон все-таки нашел французскую эскадру и
123

уничтожил ее в сражении под Абукиром; тем самым
экспедиционная армия оказалась начисто отрезанной от
метрополии. Бонапарт использовал свой старый прием: он
наложил на население контрибуцию, переложив расходы
по содержанию армии на плечи египтян. Правда, у него
были с собой 300 тыс. ливров — вся наличность
римского монетного двора — и на миллион ливров
драгоценностей, также «захваченных» им из Рима, но он не хотел
неожиданностей. Контрибуция была взыскана, не всегда
это проходило бескровно.
По прибытии в Каир Монж сразу же приступил к
организации Египетского института. Он подыскал здания
для института и типографии и занялся устройством
мастерских, необходимых для обеспечения армии: литейной
мастерской для производства снарядов, селитряных и
пороховых мельниц. В августе начал выходить
«Египетский курьер», который печатался в типографии Монжа
раз в две декады.
20 августа Бонапарт подписал приказ об организации
Египетского института. Монж, Бертолле, Сент-Илер, Ка-
фарелли и Корта собрались во дворце Гасана Кашефа,
чтобы написать устав института и выбрать из числа
участников экспедиции — ученых, архитекторов, инженеров,
экономистов, а также военных — членов нового
института. В соответствии с уставом, написанным Монжем,
целью института было способствовать прогрессу и
просвещению в Египте, поискам, изучению и публикации
сведений о природе, индустрии и истории Египта,
исследованию вопросов, выдвинутых правительством. Институт
состоял из четырех секций: математики, физики,
политической экономии, литературы и искусства. В первую
секцию вошли 12 ученых, в том числе Монж, Бонапарт,
Мела, Фурье, Сай, Андреосси и др. В секцию физики
вошли, в частности, Бертолле и Сент-Илер.
Первое заседание института состоялось в Каире 23
августа; для участия в нем прибыли и ученые,
оставшиеся в Александрии. Монж был избран на три месяца
президентом института; он выступил с речью, в которой
рассказал о задачах, стоявших перед институтом. Вице-
президентом был избран Бонапарт, а непременным
секретарем — Фурье. В тот же день перед членами института
были поставлены задачи: улучшение производства хлеба,
очищение нильской воды, изучение возможностей изготов-
124

Титульный лист первого тома «Египетской декады»
ления пороха на основе местных ресурсов, изучение
устройства водяных и ветряных мельниц, а также
вопросы, касающиеся права и образования. Основан журнал
института «Египетская декада», в котором должны были
печататься мемуары сотрудников. Здесь, в частности,
были опубликованы и некоторые работы Монжа: «Мемуар
125

относительно оптического феномена, известного под
именем миража» (доклад, прочитанный им 28 августа 1798 г.),
сообщение относительно образчика камня из каирской
крепости, сообщение о фонтане Моисея. Публиковались
в «Декаде» и статьи по вопросам сельского хозяйства
и египетских древностей. Монж стремился привлечь к
участию в работе института и египтян, однако
особенной дружбы между оккупантами и оккупированными
опять не получилось. Французы смотрели на египтян как
на полудикарей, которых нужно было «поднять» до
определенного культурного уровня, не учитывая (или не зная)
их давних и глубоких культурных традиций. Ни Монж,
ни другие академики, ни, конечно, Бонапарт не знали о
древнеегипетской культуре, поскольку в то время, в конце
XVIII в., иероглифическое письмо не было
расшифровано. Не было тогда известно и о египетской математике,
о том большом вкладе, который сделали арабоязычные
народы в становление современной науки.
Египетский институт, задуманный и созданный
выдающимися учеными, просуществовал недолго, но оставил
в науке важный след. В частности, результатом его
деятельности явились 24 тома трудов и 12 томов «Описания
Египта», вызвавших большой интерес изображениями и
описаниями древнеегипетских памятников. Результатом
деятельности французских ученых явилось также
становление египтологии как науки. В августе 1799 г. при
земляных работах возле Розетты была найдена базальтовая
плита («Розеттский камень») с надписью на греческом и
древнеегипетских языках. Двуязычная надпись дала
возможность Т. Ф. Шампольону впервые в 1822 г.
дешифровать египетские иероглифы.
В программу института входило много проблем,
затрагивавших животрепещущие интересы Египта. Узнав
об этом, начали посещать заседания института и
египтяне. Одной из проблем, поставленной самим Бонапартом,
было сооружение канала, который соединил бы Красное и
Средиземное моря. О существовании такого канала в
Древнем Египте, соединявшего дельту Нила с Красным
морем, знали, но не знали ни времени его сооружения,
ни его трассы, давно засыпанной песками, (Как стало
известно позже, сооружение его относилось к середине
II тысячелетия до н. э.) Надо было провести
необходимые изыскания, но сделать это оказалось непросто: бе-
126

дуины контролировали значительно большие площади,
чем французы, и удаляться от населенных мест было
опасно.
После разгрома французской эскадры под Абукиром
положение Бонапарта ухудшилось. Если раньше
правительство Турции — Высокая Порта мирилась с
оккупацией Египта, где она и так не имела реальной власти,
то теперь решила вмешаться в конфликт. Не без влияния
англичан Селим III объявил войну Франции и призвал
египтян к восстанию.
Восстание разразилось 21 октября 1798 г. Население
с оружием в руках бросилось избивать французов. Был
разгромлен генеральный штаб, уничтожено его
имущество. В городе погибло около 300 французов, главным
образом оказавшихся изолированными от воинских
соединений.
Положение института оказалось критическим: дворец
Гасана Кашефа, в котором он был размещен, находился
в миле от главной квартиры. Сначала решили
пробиваться к главной квартире, но по настоянию Монжа остались
во дворце. Монж принял на себя командование обороной:
из ножей и инструментов сделали копья, у всех входов в
здание соорудили баррикады. Осада продолжалась двое
суток. Роль Монжа была отмечена впоследствии на одном
из заседаний института: «Ваше благоразумие, Ваша
твердость, Ваше присутствие духа нас спасли». На третий
день восстание было жестоко подавлено: убито свыше
2000 арабов и феллахов; затем несколько дней подряд
казнили по нескольку человек в день. Разгромлены
некоторые близлежащие селения, жители которых
примкнули к восставшим.
Дворец института сильно пострадал, и заседания часто
проводились в саду. Последние два месяца 1798 г. Монж
занимался организацией госпиталя на 400 больных,
устройством французской школы в самом Каире,
устройством форта у садов института. Обязанности президента
он передал, как это и было предусмотрено уставом,
вице-президенту — Бонапарту.
22 декабря 1798 г. Монж в письме к дочери Луизе
пишет о канале: «Уже установили трассу древних
каналов от Красного моря до Каира и проследили их путь
вплоть до Суэца. То, что сделали римляне, что сделали
после них калифы, мы также сможем сделать, и мы от-
127

К. Л. Бертолле
кроем для Египта торговую дорогу из Индии...» 12. Как
мы уже знаем, канал был проложен на много веков
раньше, чем это казалось в то время французам.
В конце декабря была составлена экспедиция для
проверки состояния укреплений, занятых французскими
гарнизонами, а также уточнения древней трассы канала.
Вместе с Бонапартом поехали генералы Бертье и Кафа-
релли, неразлучные Монж и Бертолле, инженеры, ученые,
военные. Экспедицию сопровождали 200 пеших и 100
конных гидов, армейское подразделение и две или три
батареи. Результаты экспедиции оказались обнадеживающими.
Тем временем турецкая армия, имевшая целью
разбить Бонапарта, двинулась в Сирию. Бонапарт решил
предупредить события и пошел навстречу. В феврале
1799 г. французская армия через Синайскую пустыню
направилась к Палестине. Поход проходил в крайне
тяжелых условиях; труднее всего переживалась нехватка
воды.
12 Цит. по кн,; АиЪгу Р. V. Op. cit., р. 261.
m

Быстрым ударом были взяты Эль-Аршп и Газа,
и 4 марта 1799 г. французы подошли к Яффе. Город
был взят штурмом в течение двух дней, дома и лавки
разграблены, большинство населения и сдавшиеся в плен
турецкие солдаты уничтожены. Естественно, все это не
подняло авторитет Бонапарта, и наступление начало
выдыхаться. 19 марта армия подошла к Акру и осадила
его. Для Бонапарта взятие этой крепости было крайне
важным: он думал здесь сделать основную базу и
ключевую позицию по пути к Индии. Взять ему Акр,
однако, не удалось, несмотря на ряд ожесточенных атак;
осажденные отнюдь не хотели после яффской резни
сдаваться на милость победителя. Положение усугубило еще
одно обстоятельство: в Яффе началась чума, эпидемия
задела и французскую армию.
Среди заболевших оказался и Монж. Что у него было,
осталось невыясненным: чума, тяжелая форма
дизентерии или холера. Врачи слабо разбирались тогда в
инфекционных болезнях. Монжу в это время уже исполнилось
53 года, но, по-видимому, он унаследовал от родителей
крепкий организм. Нельзя сбрасывать со счетов и
самоотверженную помощь Бертолле, который не отходил от
друга и старался применить все свои медицинские познания.
Монж проболел три недели; по выздоровлении его
хотели перевезти в Назарет, в коптский монастырь, но он
отказался, чем спас свою жизнь: французы,
оказавшиеся в Назарете, были поголовно умерщвлены.
Положение в Акре сложилось для французов
неблагоприятно; в начале второго месяца осады Джезар-паша,
командовавший гарнизоном, уже подумывал о сдаче: не
хватало артиллерии, кончались запасы продовольствия и
амуниции, не было снарядов и пороха. Но в это время
английский адмирал Сидней Смит разгромил французский
конвой с питанием и амуницией; все это попало в
конечном итоге в Акр, в распоряжение Джезара. Кроме
того, в Акр прибыл соученик Бонапарта по Бриеннской
школе военный инженер Фелиппо, убежденный роялист,
ненавидевший Бонапарта. Его инженерные познания,
а также знакомство с тактикой Бонапарта сильно
помогли осажденным. К тому же в Дамаске сосредоточились
крупные силы турецкой армии под командованием паши
Абдаллы, и французы, таким образом, оказались между
двух огней.
129

Бертолле ухаживает за больным Монжем в Сирии. Фрагмент
барельефа на памятнике Бертолле в Аннеси
Отступление началось 21 мая. Обратный путь, в
самый разгар лета, оказался еще более тяжелым. В Каир
возвратились 14 июня 1799 г.— через 125 дней после того,
как его покинули. В сирийском походе погибло 5300
человек. Для покрытия этих потерь Бонапарт просил у
Директории 6000 солдат, а также пушки, ружья,
инструменты. Однако Директория помочь ему не могла:
положение Франции резко ухудшилось; войска Суворова
очистили Италию от французов, на других фронтах военные
действия велись уже у границ Франции. Внутреннее
экономическое положение в стране было плохим,
процветали казнокрадство и коррупция. Немногочисленные
известия, проникавшие в Египет через английскую
средиземноморскую блокаду, были все менее и менее
утешительными, ответственность за все беды возлагалась на
Директорию.
Чтобы «примирить разногласия, принять
командование армией, разбить врагов и получить благословение
соотечественников» 13, Бонапарт решает возвратиться во
13 См.: Ardgo. Op. cit., p. 130.
130

Францию, о чем конфиденциально знакомит лишь узкий
круг приближенных. 15 августа Монж и Бертолле
узнают о цели поездки и о том, что Бонапарт берет их с
собой. Времени на подготовку к отъезду было немного;
уже в ночь на 18 августа выехали из Каира, спустились
к Нилу, где и пересели на суда. Водой добрались до
Александрии, куда прибыли 22 августа. Монж и
Бертолле вместе с Бонапартом и штабными офицерами
взошли на борт фрегата «Мюирон»; Мюрат, Ланн и еще
несколько генералов разместились на фрегате «Каррер».
Путешествие, продолжавшееся полтора месяца, было
трудным и опасным, поскольку английская эскадра
полностью контролировала Средиземное море. Было решено
не сдаваться в плен и в случае критического положения
взорвать корабль. Эту миссию по поручению Бонапарта
взял на себя Монж.
Однако все обошлось, и 9 октября 1799 г. они
высадились на французскую землю.
Путь в Париж проделали на почтовых лошадях.
Монж и Бертолле так обносились, что люди на почтовых
станциях удивлялись, зачем генерал везет с собой таких
оборванцев. 13 октября (21 вандемьера) 1799 г.
Директория уведомила Совет пятисот, что генерал Бонапарт
возвратился во Францию. Эта весть была принята
Советом, а затем и всем Парижем с радостным
возбуждением. По мере приближения к столице путешественников
начали встречать депутации от населения и гарнизонов.
16 октября 1799 г. Бонапарт со своими спутниками
прибыл в Париж.
Так через 20 месяцев Монж возвратился домой.

Глава седьмая
Политехническая школа.
Теория построения машин
В Париже Монж не позволил себе даже короткого
отдыха. В тот же день он присутствовал на заседании
Совета усовершенствования Политехнической школы,
а 18 октября явился в Институт.
События разворачивались во все убыстряющемся
темпе: 18 брюмера (9 ноября) была ликвидирована
Директория, а на следующий день уничтожен парламент —
Совет старейшин и Совет пятисот. К власти пришли три
консула, т. е. фактически началась единоличная
диктатура Первого консула — Бонапарта; два других
консула — Сийес и Роже-Дюко — были не более как
исполнители воли диктатора. В соответствии с «Конституцией
VIII года Республики», разработанной под руководством
Бонапарта, в его руках сосредоточилась вся власть.
Первый консул получил право назначить Сенат из 80
членов и всех гражданских и военных должностных лиц,
начиная с министров; Сенат, в свою очередь, назначал
членов двух законодательных органов (Трибуната и
Законодательного корпуса) в составе 400 человек. Кроме
того, правительство Первого консула назначало членов
Государственного совета.
24 декабря 1799 г. Бонапарт назначает пожизненных
сенаторов, в числе которых были, в частности, Монж,
Лагранж, Лаплас. Монж окончательно уходит с поста
директора Политехнической школы, оставив за собой
профессуру и место члена Советов школы —
административного и усовершенствования. В Политехнической
школе он читает курсы приложения алгебры и анализа к
геометрии, продолжает исследования в этих направлениях.
В отсутствие Монжа его жена подготовила и напечатала
второе издание «Начертательной геометрии», что явилось
для Монжа приятной неожиданностью. Редакторскую
132

работу по этому изданию, включая исправление опечаток
и ошибок, выполнили его ученики Ашетт и Лакруа.
Жан Никола Пьер Ашетт был наиболее близким
учеником Монжа и в определенной степени наследником его
идей. Он родился в 1769 г. в Мезьере, учился в Мезьер-
ской школе и с момента открытия Политехнической
школы работал ассистентом Монжа по кафедре
начертательной геометрии. В годы египетской экспедиции Ашетт по
поручению Монжа преподавал начертательную геометрию.
В соавторстве с Ашеттом Монж написал трактаты о тенях
и перспективе, явившиеся продолжением курса
начертательной геометрии, лекции по приложению алгебры к
геометрии и некоторые статьи по дифференциальной
геометрии и физике. В частности, Ашетт принял участие в
разработке классификации поверхностей второго
порядка. Ему принадлежит разработка идей Монжа в области
теории построения машин: он составил программу
соответствующего курса и написал учебник «Элементарный
курс машин» (1811). В течение ряда лет (с 1804 по
1816 г.) Ашетт был редактором и сотрудником
«Журнала» Политехнической школы.
Ашетт следовал Монжу во многих направлениях и,
в1 частности, принимал участие в аэростатических
опытах Гастона де Морво в 1792 г.
Французская республика серьезно отнеслась к
воздухоплаванию: уже в самые первые годы ее существования
начались изыскания практического и военного
использования аэростатов, чем занимался и Монж. Впервые
аэростатика как учебный и инженерный предмет в поле
зрения Политехнической школы попала в 1796 г., когда в
Медоне организовали специальную воздухоплавательную
школу для подготовки инженеров географической службы;
12 учеников Политехнической школы были направлены в
нее для усовершенствования.
В первые годы существования Политехнической
школы ее программы менялись неоднократно, и Монжу с
сотрудниками нелегко было добиваться стабильности
научного и учебного уровня. Незадолго до возвращения
Монжа из Египта проект перестройки школы обсуждался
на Совете пятисот. Один из депутатов выступил с
порицанием «глупого намерения обучать всему и требовать
от учеников школы, чтобы они знали все». В
особенности он ополчился против «совершенно бесполезных пред-
133

метов», таких, как дифференциальное и интегральное
исчисления.
По проекту, составленному Монжем в декабре 1799 г.,
был принят Устав Политехнической школы. Число
учащихся установлено в 300 человек, а их возраст — от 16
до 20 лет; превышение возраста допускалось лишь для
тех, кто провел несколько лет в рядах действующей
армии, охраняя завоевания Республики. Длительность
обучения устанавливалась в два года. Первый год
посвящался изучению начертательной геометрии и ее приложений;
второй — практике. Был организован Совет
усовершенствования школы, в состав которого вошли директор,
преподаватели и экзаменаторы, три члена Французского
института, представители ведомств. Учащиеся получали
содержание артиллерийских сержантов (98 сантимов в
день).
Представляет интерес учебный план Политехнической
школы на 1800 г. На рубеже XVIII и XIX столетий в
плане первого года обучения было 85 лекций чистого и
прикладного анализа, 120 лекций начертательной
геометрии и 18 лекций по курсу элементов машин. План
второго года обучения включал: анализ — 40 лекций,
механику — 80 лекций, гражданское строительство и
фортификацию — по 60 лекций, архитектуру — 36 лекций и
горное дело — 18 лекций. Как видим, в это время наука
о машинах уже начинает выделяться из общего курса
начертательной геометрии. В постановке этого курса
заключается одна из исторических заслуг Монжа.
Первая работа Монжа, посвященная машинам, была
опубликована в 1786 г. в виде нескольких разделов его
учебника статики для морских школ. Монж указывает,
что сила, изменение направления которой и является
целью машины, обычно называется мощностью. При этом
сопротивлением называют или то тело, которое должна
передвинуть машина, или силу, которая уравновешивает
мощность с помощью машины. Можно считать, что
машины состоят из трех простых, а именно; из канатов,
рычага и наклонной плоскости. Поэтому можно установить
условия равновесия для этих трех простых машин и
применить полученные результаты к определению
равновесия машин любой сложности. Очевидно, здесь речь идет
о тех машинах, которые заменяли только физическую
силу человека: других машин, которые к этому времена
134

интенсивно развивались в Англии и определили
начавшийся там во второй четверти века промышленный
переворот, Монж еще не знал, поскольку Франция в общем
удовлетворялась машинной техникой прошлого века. Как
видим, Монж здесь еще придерживается старого,
общепринятого учения о том, что все машины состоят из простых
машин.
Однако, несмотря на отсталость в развитии
машинного производства, основная тенденция развития машин и
непригодность учения о простых машинах в качестве
всеобъемлющей теории уже волновала ученых. Первым
это заметил Эйлер, который указал на то
обстоятельство, что главное в машинах не равновесие, а движение,
следовательно, и изучать их следует в процессе
движения, т. е. необходимо заниматься динамикой машин.
Эйлер установил возможность членения машин по
функциональному признаку. Ему принадлежат также идея
коэффициента полезного действия и мысль о выделении
учения о движении (т. е. кинематики) в отдельную
отрасль механики.
Основополагающая работа по динамике машин была
создана учеником Монжа Карно.
Лазар Карно — «организатор побед Французской
республики» — родился в Нолэ в 1753 г. В 1771 г. поступил
в Мезьерскую инженерную школу, где и встретился с
Монжем. В 1784 г. получил премию Дижонской
академии наук за работу о Вобане. Капитан королевского
инженерного корпуса, Карно с большим энтузиазмом
принял революцию и был представителем Па-де-Кале в
Законодательном собрании, а затем в Конвенте. С 1793 г.
был членом Комитета общественного спасения, ему были
поручены организация и руководство армиями
Республики. Он создал 14 армий, разработал планы кампаний,
осуществлял руководство ими. Был президентом
Конвента, затем вошел в состав Директории, где ведал
военными делами.
Научные труды Карно относятся к анализу,
геометрии и механике. В своих «Размышлениях о метафизике
исчисления бесконечно малых» (1797) Карно подверг
аналитическому исследованию основания исчисления
бесконечно малых, разобрал различные способы его
обоснования, подверг критике теорию аналитических функций
Лагранжа, высказал мысль о том, что правильность ре-
135

Зультатов математического анализа можно доказать с
помощью теоремы, гласящей, что при отбрасывании в
выкладках тех или иных бесконечно малых всегда
происходит взаимное погашение ошибок. В своих
геометрических работах Карно высказал ряд положений,
относящихся к проективной геометрии и топологии.
Теорией машин Карно занимался еще в самом
начале своей научной деятельности. Его «Опыт о машинах
вообще» опубликован в 1783 г. и переиздан в 1803 г. под
названием «Основные принципы равновесия и движения».
Начиная исследование с общих принципов механики,
Карно приходит к выводу, что основой изучения машины
должно быть движение. Затем, развивая в некотором
смысле идеи Эйлера о динамике машин, Карно все же
не смог отказаться от общепринятого мнения и полагал,
что всякая машина может быть сведена к рычагу. Тем
самым, отказавшись предварительно от «метафизического
и темного» понятия силы, Карно приводит
принципиальное построение машин к простым машинам, т. е. к
равновесию тех же самых сил. Он замечает, что «одно из
самых интересных свойств машин, которое, как мне
представляется, еще не было замечено, заключается в том,
что для того, чтобы понудить их произвести наибольшее
возможное действие, необходимо... чтобы движение
изменялось равномерно» ±.
Карно был первым, кто изучал понятие силы инерции;
он вывел уравнение движения машины и уяснил
взаимоотношения между движениями, происходящими в машинах,
и силами, их производящими.
Монж вновь возвратился к изучению машин уже в
годы Французской революции. Теперь он смотрел на них
иначе: к этому привело его как практическое
ознакомление с машинами в годы работы в Академии наук, а
затем в первые годы революции, когда ему пришлось
вплотную заняться технологией изготовления вооружения,
так и знакомство с работой Карно. Как указал Карно,
машина связывает воедино понятия силы и движения.
Идея преобразования силы лежала в основе статики
простых машин, и ею нетрудно было пользоваться при
изучении машин, целью которых была замена физической
1 Carnot L. Principes fondamentaux de l'équilibre et du mouvement.
Paris, 1803, p. XX.
136

силы человека; для изучения технологических машин,
заменивших руку человека: текстильных,
металлообрабатывающих и т. д.— эта идея просто ничего не давала.
Однако ни скорости, ни ускорения еще не играли роли в
этих «новых» машинах, поэтому Монж естественно
должен был прийти к идее преобразования движений, т* е.
получения на ведомом органе машины движения,
отличного по своему виду от того, который двигатель передает
ведущему звену машины — приемнику.
Следом за тем возникает идея элементарной машины.
Элементарная машина — это еще не механизм, ибо она
не имеет четкого определения, поэтому в числе
элементарных машин могут быть (и были) и механизмы, и
совокупности механизмов (т. е. «сложные» машины), и,
наконец, сочетания звеньев, которые мы сейчас относим к
кинематическим парам. Но элементарная машина — это
уже не простая машина. Ее основное назначение — не
преобразование силы, а преобразование движения, по
самой своей сущности она не имеет никакого отношения
к статике, а относится скорее к динамике. Затем, что
весьма важно, элементарных машин не три и не пять,
а уже свыше ста, и число их увеличивается на глазах,
поскольку новые изобретения влекут за собой появление
и новых элементарных машин. Таким образом,
разложение машины, по Монжу, должно привести не к
совокупности простых машин, а к одной или нескольким
элементарным машинам.
Уже в первом документе об организации
Политехнической школы, представленном Конвенту 3 вандемьера
III года (24 сентября 1794 г.), содержалось сообщение
Монжа, уточняющее цели школы и направление ее
научной и учебной работы. Монж указал, в частности, что в
курсе первого года обучения следует выделить два
месяца на изучение элементов машин, применяемых на
общественных работах. «Мы понимаем,— говорилось в этом
сообщении,— под элементами машин приспособления,
с помощью которых можно получить из движений одного
вида движения иного вида, преобразуя таким образом
движение по прямой, вращательное и
возвратно-поступательное движения. Ясно, что самые сложные машины
являются лишь результатом комбинаций некоторых из
этих первичных приспособлений, а следовательно, надо
лишь позаботиться о том, чтобы перечисление последних
137

Медаль с изображением Гаспара Монжа
было полным» 2. По предположению Монжа курс
построения машин должен был составить часть курса
начертательной геометрии, из которого он в действительности и
вырос. Таким образом, современный курс теории машин
и механизмов, выросший из курса построения машин,
генетически связан не с механикой, а с геометрией, и
именно с начертательной. Во введении к курсу
начертательной геометрии Монж указывает, что особенно важным ее
назначением является изображение и определение
элементов машин, «при помощи которых человек, используя
силы природы, не занимается, если можно так
выразиться, в своих действиях иной работой, кроме работы
своего ума» 3.
2 Цит. по кн.: Lanz et Bethencourt. Essai sur la composition des
machines. Paris, 1808, p. V.
3 Monge G. La géométrie descriptive. Paris, 1811, p. IX.
138

При составлении первого учебного плана
Политехнической школы было предусмотрено, что каждый из
профессоров составит план-схему пропедевтического курса
по своему предмету. Монж в своем плане отвел на
изучение машин четыре последних занятия. В
окончательном варианте эти занятия имели следующую цель:
«1. Изображение приспособлений, при помощи
которых можно преобразовать поступательное движение в
движение по кругу, и наоборот; движение по кругу в
движение возвратно-качательное, и наоборот; возвратное
движение в движение поступательное, и наоборот.
2. Изображение приспособлений, применяемых для
выполнения всех видов движений.
3 и 4. Описание основных машин, приводимых в
движение с помощью силы человека, силы животных, а
также сил природы, например текущей или падающей воды,
ветра или водяного пара».
В «Журнале» Политехнической школы Монж пишет:
«Силы природы, имеющиеся в распоряжении человека,
определяются тремя различными элементами — массой,
скоростью и направлением движения. Лишь изредка эти
три элемента, о которых идет речь, имеют качества,
необходимые для выполнения заданной цели; поэтому
машины и имеют основным своим назначением
преобразование имеющихся в распоряжении сил в иные силы,
которые смогли бы выполнить необходимую работу.
Всякая машина состоит из ряда элементарных частей,
причем каждая имеет свою частную задачу, которую
можно выполнить в зависимости от обстоятельств
различными способами. Полное перечисление всех способов
изменения сил и описание различных вариантов, с
помощью которых можно получить одинаковые изменения
сил при разных обстоятельствах, обеспечат техникам
наилучшие возможности при выполнении
соответствующих работ» 4.
Здесь заключена еще одна идея Монжа: неявно
сформулированная задача синтеза механизмов (облегчение
труда конструктора как конечная цель исследования).
Идея эта была гениальной догадкой, взглядом в будущее.
Ближайшие последователи Монжа отступились от этой
4 Цит. по кн.: Dupin Ch. Discours... prononcé aux funérailles de
M. Hachette Paris, 1834, p. 9—10.
139

задачи из-за ее «бесперспективности» и даже не
упоминали о ней, за исключением, по-видимому, Бетанкура,
который оценил ее важность и использовал при построении
своего курса.
Мысли Монжа в отношении науки о машинах были
развиты Ашеттом и двумя испанцами — инженером
Августином Бетанкуром и математиком Хосе Марией Лан-
цем, долгое время жившими во Франции и имевшими
отношение как к Политехнической школе, так и к
Французскому институту.
Несмотря на то что программа курса построения
машин была в общих чертах подготовлена, он все еще
оставался в рамках курса начертательной геометрии. Только
в декабре 1806 г. Ашетт получил официальное
предложение подготовить курс построения машин. Основные
положения программы полностью соответствовали идеям
Монжа, и программа, несомненно, была составлена под
его руководством:
1. Действие двигателя, приводящего машину в
движение, прилагается в точке, которая вследствие этого
описывает круг или прямую линию. В результате
получается вращательное или поступательное движение.
2. Движущаяся точка, пробежавшая некоторый
отрезок пути по окружности или по прямой, может быть
принуждена движущей силой вернуться в исходное
положение, двигаясь в обратном направлении по той же линии;
так получаются круговое и прямолинейное возвратные
движения.
3. Обозначая R — прямолинейное непрерывное
движение, г — прямолинейное возвратное движение, С —
круговое непрерывное движение, с — круговое
возвратное движение (качание), получаем десять комбинаций из
четырех букв: RR, Rr, RC, Rc, Cr, СС, rc, ce, rr, Ce,
соответственно которым рассматриваются десять
элементарных преобразований движений.
Программа, составленная Ашеттом,— это первый
документ науки о машинах, развивающий идеи Монжа,
и в то же время первый документ, относящийся к
преподаванию механики машин в высшей школе: до этого
ни в одной школе курс машин не читался и лишь при
изложении некоторых специальных предметов
(архитектура, горное дело, гидротехника, военно-инженерное дело)
о применяемых машинах давались сведения описатель-
140

ного характера. Ланц и Бетанкур в своей книге приводят
текст программы.
«О силах, применяемых для движения машин, и о
способах их определения. Силы, получаемые от животных,
от воды, ветра и от сгораемых субстанций.
Об элементарных машинах, о круговом движении,
о движении прямолинейном, о движении возвратном;
о формах машин, при помощи которых эти движения
комбинируются по два; распределение этих машин на десять
серий; объяснение таблицы, в которой все известные
машины распределены на десять серий.
Объяснение основных машин, применяемых на
строительстве.
Приложение теории теней и раскраски к черчению
машин.
Работа, требуемая от учащихся.
Учащиеся должны начертить в туши с раскраской:
1. Толкатели, приводимые кулачками.
2. Винт с треугольной и прямоугольной нарезкой.
3. Цилиндрическое зубчатое или червячное
зацепление.
Должны пояснить эпюры следующих машин:
1. Коническое зацепление.
2. Всасывающий и нагнетающий насосы.
3. Нория прямая и наклонная.
4. Водоподъемная машина.
5. Конный привод.
6. Архимедов винт.
7. Крыло ветряной мельницы.
8. Огне действующая машина.
9. Машина для забивки свай.
10. Землечерпалка» 5.
К программе приложена составленная Ашеттом
таблица элементарных машин, состоявшая из 10 рядов,
разделенных поперечными колонками. В клетках,
образованных пересечением рядов и колонок, были изображены
схемы элементарных машин.
Одновременно с Ашеттом разработкой идей Монжа
занялись Ланц и Бетанкур. Они составили более
расширенную таблицу элементарных машин и описали их в
сопровождающей таблицу книге. 12 августа 1808 г. Совет усо-
5 Lanz et Bethencourt. Op. cit., p. 4.
141

вершенствования Политехнической школы заслушал
сообщение Ашетта о программе курса, рассмотрел
представленные материалы: программу и таблицу Ашетта,
книгу и таблицу Ланца — Бетанкура — и предложил
издать в одной книге все эти материалы в качестве
руководства для учащихся школы. Так родился первый учебник
по теории механизмов и машин.
План и содержание «Курса построения машин» Ланца
и Бетанкура отличаются от варианта, предложенного
Ашеттом. Ашетт предусматривал 10 типов
преобразований движения, производимых при помощи
«элементарных машин»; Ланц и Бетанкур учли 21 преобразование.
Составленная ими таблица состояла из 20 колонок и
21 строки; пересечения строк и колонок определяют
характерные особенности соответствующей «элементарной
машины».
Как указывают авторы, «движения,
применяемые в искусствах, бывают или прямолинейными, или
круговыми, или следуют по какой-либо кривой линии;
они могут быть непрерывными или
возвратно-поступательными, и, следовательно, их можно комбинировать по
два 15 различными способами или же 21 способом, если
каждый способ движения комбинировать также и с
самим собой. Назначением каждой машины является
преобразование или передача одного или нескольких из
21 движения» 6.
Клетки, полученные в результате пересечения строк
и колонок, были заполнены не все. Для первого издания
авторы нашли лишь 134 элементарные машины.
Определения их нет, поэтому к элементарным машинам
отнесены механические системы, которые сейчас можно считать
кинематическими парами и машинами. Впрочем,
большинство элементарных машин составляют механизмы;
их немногим более 120. Если даже принять во внимание,
что авторы учли не все механизмы, которыми владела
машинная техника того времени, все же приходится
признать, что число их незначительно.
Таким образом, Монжу принадлежит несомненная
основополагающая роль в деле становления науки о
машинах; важность этой роли была совершенно ясна уже его
ученикам и современникам, и ее значение для развития
Lanz et Bethencourt. Op. cit., p. 1.
142

машиностроения не только во Франции, но и в других
странах Европы было весьма существенным.
Монжу также принадлежит вклад в общую механику.
Впервые ему пришлось заниматься механикой в Мезьер-
ской школе, когда ему поручили преподавание физики.
В 1780 г. он начал преподавать гидрографию на кафедре
гидродинамики в Лувре; задачей этой кафедры было
распространение практических знаний в области
гидравлики. В 1783 г. после назначения Монжа экзаменатором
флота он оставляет преподавание в Лувре, однако
полученный там опыт использует при составлении пособия
для морских коллежей по механике. Курс Монжа,
вышедший в 1788 г., переиздавался восемь раз; последнее
издание вышло в 1846 г.; кроме того, он неоднократно
переводился на иностранные языки. Курс состоит из
краткого введения и четырех частей, посвященных
сложению и разложению сил, теории моментов, учению о
центрах тяжести и о равновесии машин.
Первая часть начинается изложением аксиом
сложения сил, действующих на одну точку. Затем автор
переходит к сложению сил в различных случаях: сложение
параллельных сил — двух равных сил одного
направления, двух неравных сил одного направления, любого
числа параллельных сил одного направления, параллельных
сил любого направления. Переходя затем к случаю
сложения двух паралельных сил противоположного
направления, Монж исходит из равновесия фигуры,
составленной двумя параллельными силами одного направления и
силой, направленной противоположно результирующей
этих двух сил. Интересно, что для случая параллельных
сил, равных и противоположно направленных, Монж
приходит к выводу, что, для того чтобы привести их
(т. е. пару сил) в равновесие, следовало бы приложить
перпендикулярно линиям их действия на бесконечном
расстоянии нулевую силу. При этом он указывает, что
это — не абсурдно, однако выполнить этого нельзя.
Реального же равновесия можно достигнуть, прилагая две
силы бесконечно большим числом способов; таким
образом, Монж уравновешивает пару сил другой парой сил
противоположного направления. В 1803 г. вышли из
печати «Элементы статики» Пуансо, и в следующих
изданиях курса Монж свое изложение приводит в
соответствие с учением о парах сил.
143

Книга завершается принципом виртуальных
перемещений, который формулируется следующим образом:
«Если две мощности уравновешиваются при помощи
точек опоры, которые обеспечивает некоторая машина, то
они будут относиться друг к другу обратно тем
пространствам, которые им пришлось пройти по своим
направлениям, если бы равновесие оказалось бесконечно мало
нарушенным» 7.
Таким образом, и здесь Монж выступает как один из
основоположников прикладной науки. Даже в этой книге,
написанной, вообще говоря, на основе старых позиций,
Монж проводит новые мысли, которые впоследствии были
им развиты в учении о машинах.
Интересно проследить развитие идей Мошка. Хотя они
относятся к различным областям знания, можно найти
идеи, объединяющие его разнообразное творчество. Очень
существенным и в значительной степени
основополагающим является вклад Монжа в становление технических
наук, которые впоследствии, уже в XIX в., определили
развитие высшей технической школы.
Монжу принадлежит учебник-монография «Описание
искусства производства пушек» 8, которая, несмотря на
свое сугубо практическое назначение, может служить
образцом строго научного и в то же время популярного
изложения.
Книга состоит из двух частей: первая содержит две
главы, посвященные изготовлению железа и бронзы;
вторая часть посвящена описанию технологии
изготовления пушек.
Учащимся даются элементарные познания о горном
искусстве, о железных рудах и способах их добычи;
затем описывается доменный процесс. В зависимости от
состава руды в результате доменного процесса получается
чугун различного качества — следует оценить его
пригодность для производства пушек. Монж описывает
испытания, производимые на заводе Крезо, который в то
время был крупнейшим во Франции металлургическим
заводом. «Для этого,— пишет он,— отливают брус в три
7 Monge G. Traité élémentaire de statique a l'usage des collèges de
la Marine. Paris, 1788, p. 227.
8 Monge G. Description de Fart de fabriquer les canons. Paris, an
11, 1794.
144

квадратных дюйма и около пятнадцати или восемнадцати
дюймов длиной; этот брус вводят одним из его концов в
чугунную коробку, заделанную в прочной стене;
внутренность коробки является точкой опоры для бруса. На
другой конец бруса при помощи скобы из железа
прикрепляют рычаг, изготовленный из кованого железа и
несущий на расстоянии от точки подвеса в шесть футов
шесть дюймов чашку весов. Эту чашку нагружают
последовательно гирями до тех пор, пока нагрузка не сломает
брус. Если брус сможет выдержать 1500 фунтов на чаше
весов до излома, то плавка может быть использована для
изготовления артиллерийских орудий» 9.
Таким образом, в процесс изготовления вводятся
элементарные расчеты, основанные пока на заводском опыте.
Техническая наука (как видно на этом примере)
возникает не как результат использования некоторых
познаний, полученных теоретическим и экспериментальным
путем, а наоборот, она создает базу для развития
прикладного знания.
Доменные печи того времени имели небольшую
мощность и, как правило, малые размеры, поэтому плавка
велась на древесном угле. Монж указывает, что для
получения металла высокого качества предпочтительнее
применять сосновый и еловый уголь. Только на заводе
Крезо есть три домны по сорок футов высотой, плавка
на которых производится на каменном угле. Однако
каменный (по терминологии Монжа — земляной) уголь
нельзя применять без предварительной обработки.
Затем Монж знакомит читателя с принципами
производства кокса.
Следующая глава посвящена производству кованого
железа. На соответствующих процессах можно применять,
утверждает Монж, лишь древесный уголь; в качестве
примера он приводит отличное качество шведского железа,
которое вырабатывается на сосновом и еловом древесном
угле. Касаясь затем некоторых особенностей производства
железа в Штирии и Англии, Монж останавливается на
тех случаях, когда в результате процесса получается
фосфористое железо; указывает на его свойство
красноломкости. В последнем разделе главы рассмотрено
производство стали. Монж указывает на различие между
9 Ibid., р. 19—20.
145

сталью, полученной путем проковки, и науглероженной
(цементованной) сталью, дает некоторые сведения о
термической обработке стали. «Сталью называется
очищенное железо, абсорбировавшее уголь; стали различаются
между собой главным образом по количеству угля,
которое оказывается соединенным с железом, и по характеру
распределения угля в массе железа» 10.
Вторая глава посвящена изготовлению бронзы. Монж
разбирает плавку и свойства меди, олова, выработку
бронзы. Отдельный раздел посвящен выработке пушечной
бронзы из материала колоколов, которые оказались в
годы революции важным источником цветных металлов.
Монж достаточно подробно разбирает технологический
процесс очистки колокольной бронзы, которая содержит
значительно больше олова, чем пушечная (до 25%), что
обусловливается назначением колоколов. Такой высокий
процент олова значительно ухудшает прочность бронзы
и увеличивает ее хрупкость.
Во второй части книги изложены способы
изготовления пушек. В первых трех разделах рассказывается об
отливке в земляные и песочные формы. (Монж
познакомился с литейным делом на практике и стремился
усовершенствовать технологию литья, еще будучи
владельцем литейной мастерской. Переход от земляных форм к
формам из песка был в то время прогрессивным, так как
давал возможность провести несложную механизацию и
сократить сроки выдачи готовых пушек.) Очень большое
внимание Монж уделяет описанию способов сверления
пушек и соответствующего механического оборудования.
Он указывает, что для лучшей центровки следует
вращать не сверло, а пушку и поэтому следует
соответствующим образом перестроить сверлильные установки. В
качестве примера описывает процесс изготовления
артиллерийских орудий, принятый в литейных Шайо. «В этих
литейных,— пишет он,— в качестве двигателя
установлена огнедействующая машина; однако все прочее
оборудование мастерской точно такое же, какое подошло бы к
любому двигателю, если только он имеет достаточную
мощность.
Огнедействующая машина приводит в движение
четыре чугунных зубчатых колеса, которые находятся во
10 Monge G. Op. cit., p. 30.
146

взаимном зацеплении. Каждая из осей этих колес
оканчивается квадратом. На продолжении осей
устанавливается заготовка пушки, поддерживаемая двумя захватами,
из которых один установлен под сужением шишки
казенной части орудия, а второй — под началом раскрытия
ствола. При отливке ствола устраивают на конце шишки
казенной части квадратный шток тех же размеров, что
и на осях колес. Ствол устанавливают таким образом,
чтобы квадрат казенной части соответствовал квадрату
вала колеса; затем протягивают железную муфту с
квадратным отверстием той же величины таким образом, чтобы
она охватила с одной стороны квадрат казенной части,
а с другой — вала колеса. Таким образом, колесо,
вращаясь, будет передавать свое движение соответствующему
стволу. Паровая машина может одновременно вращать
четыре орудийных ствола...» и. К руководству
приложены технические условия (разработанные еще в 1786 г.)
и альбом чертежей с деталировкой описываемых
приспособлений.
Как видим, педагогическое творчество Монжа
охватывает создание руководств не только по предметам
теоретического и прикладного знания, но и по техническим
наукам, которые в те годы еще только начинали
зарождаться. Основополагающая роль Монжа в этом
отношении связана и с его ролью в деле организации высшего
образования на совершенно новых основаниях.
Несомненно, что европейское высшее техническое образование
генетически связано именно с Политехнической школой —
«школой Монжа» по преимуществу.
11 Ibid., р. 38.

Глава восьмая
Последние годы жизни
Развитие французской промышленности всегда
интересовало Монжа. Находясь на переднем крае науки и
техники, он, естественно, не мог не обратить внимание и
на французскую экономику, которая значительно
отставала от конкурирующей английской. К концу века в
Англии уже завершился промышленный переворот; она имела
достаточно развитую промышленность, паровые машины
в Англии насчитывались сотнями, а во Франции —
единицами; в Англии машины строились с помощью машин
же на специальных заводах, тогда как во Франции
продолжало господствовать мануфактурное производство.
Оказалось, что даже французские изобретения
эксплуатировались в Англии, поскольку во Франции для этого
не было ни возможностей, ни умения.
В конце 1801 г. Монж вместе с Шапталем \
занимавшим тогда пост министра внутренних дел, а также с
Бертолле основали Общество для поощрения
национальной промышленности, призванное популяризировать
развитие промышленности. Как метод привлечения
общественного внимания использовались выставки: первая
выставка французской промышленности была открыта в
Париже в 1806 г.
Летом 1803 г. Монж посетил Мезьер; по возвращении
в Париж занялся подготовкой к печати сводной работы
о Египте, однако долго этим заниматься ему не пришлось:
21 августа он был назначен вице-президентом Сената,
а 28 сентября — сенатором Льежа. Дело в том, что
декретом от 4 января 1803 г. были организованы так
1 Жан Антуан Клод Шапталь (Chaptal, 1756—1823) — химик, член
Французского института, один из основателей Политехнической
школы.
148

называемые сенатории — сенатские округа, с помощью
которых Бонапарт хотел закрепить свое влияние в
провинциальных центрах. С этой точки зрения Льеж —
важнейший промышленный центр Бельгии, известный
своими чугунолитейными мануфактурами, занимал особое
место и должен был специализироваться на изготовлении
пушек. В соответствии с буквой декрета сенаторы
должны были проводить в своих округах по крайней мере три
месяца в году. Задачи сенатской администрации были в
основном экономические и сводились к выполнению
специальных поручений Первого консула.
Разрабатывая военные планы, Бонапарт
предусмотрел и восстановление личных наград, отмененных
Революцией. 30 октября он учредил орден Почетного легиона;
по списку гражданских лиц первым, получившим этот
орден, был назван Монж. А через шесть дней, 5 ноября,
Монж прибыл в свой округ. Однако дело с производством
пушек оказалось значительно более сложным, чем это
казалось на первый взгляд, тем более что жители округа
не изъявляли особого восторга по поводу включения его
в границы Франции. Бонапарт же настойчиво и
безотлагательно требует пушек (в письмах от 9 и 21 ноября,
затем 5 и 15 декабря). Монж отвечает не поставкой
3 тыс. пушек, а лишь письмами: ни он, ни его помощник
Перье не успели за такой короткий срок реорганизовать
льежские мануфактуры. В их распоряжении всего одна
домна, мало квалифицированных рабочих. Зимние дни
коротки, к тому же погода настолько испортилась, что
работать приходится в непролазной грязи. С тревогой он
пишет жене, что раньше чем через шесть месяцев не
сможет удовлетворить требований Первого консула, однако
опасается, что к этому времени Бонапарт уже не будет
нуждаться ни в нем, ни в Перье.
Но у Бонапарта уже новые заботы. Еще в 1802 г. пост
Первого консула был объявлен пожизненным. Теперь
пришло время поставить все точки над «и»: 2 мая 1804 г.
на заседании Трибуната трибун Каре выдвигает проект
закона о том, чтобы руководство Французской
республикой было вверено попечению наследственного
императора. Рассматриваются три вопроса: предпочтительнее ли
наследственное правление избираемого; удобно ли
установить наследственное правление в современный момент;
каким путем установить наследственное правление.
149

В Трибунате против проекта Каре выступил лишь Карно,
произнесший свою знаменитую речь, в которой привел
аргументы против восстановления монархии. В
Государственном совете оказалось значительно больше
противников проекта, чем этого можно было ожидать. Однако
вопрос практически уже решен: 28 флореаля XII года
(18 мая 1804 г.) провозглашается новая конституция,
в соответствии с которой Наполеон объявляется
императором.
Монж вернулся в Париж «как генерал, проигравший
сражение». Около года он живет в Париже, принимает
участие в заседаниях Сената, Французского института,
работает в Политехнической школе. 14 мая 1804 г. он
получил большой офицерский крест Почетного легиона.
С начала 1805 г. Наполеон дает ему новые поручения.
Так, в середине февраля Монж начинает работать над
изучением возможности проведения канала, чтобы
направить воды реки Урк к Парижу. В процессе работы
проект расширяется: нужен канал для грузового движения
между Маасом и Эной. В следующем году по проекту
Монжа начинается сооружение канала.
В мае Монж едет на три месяца в Льеж, где
возобновляет работы по изготовлению пушек, на этот раз с
большим успехом: производительность мастерских
значительно повышается.
20 мая 1806 г. Наполеон назначает Монжа
президентом Сената, сроком на один год. Следующие два года —
Монж в апогее своей славы. Он получает титул графа
Пелузского, майорат в Пруссии, 100 тыс. франков для
покупки имения. Ему поручаются сложнейшие задания.
Так, в октябре 1808 г. он консультирует проект
воздушного десанта в Англию (на 100 монгольфьерах диаметром
по 100 м). Как известно, проект не увенчался успехом:
все специалисты отозвались отрицательно относительно
возможности его осуществления.
6 февраля 1808 г. непременный секретарь класса
математических наук Французского института Деламбр2
2 Жан Батист Жозеф Деламбр (Delambre, 1749—1822) —
астроном, академик. Вычислил орбиту планеты Уран, работал в
Комиссии мер и весов, принимал участие в градусном измерении
Парижского меридиана. Вместе с Мешенем издал в трех томах
труд «Основания метрической десятичной системы» (1806, 1807,
1810). Написал ряд работ по истории астрономии до XVIII в.
150

прочел на заседании Государственного совета
«Исторический рапорт о прогрессе математических наук с 1789 г.
и об их современном состоянии»3. При чтении
присутствовала делегация Института, в составе которой среди
других были Лагранж, Монж и Бертолле.
Очень интересна оценка в рапорте состояния
промышленности страны, в частности машиностроения.
Напомним, что к началу XIX в. Англия имела уже
достаточно развитую машиностроительную
промышленность. Относительно Франции Деламбр пишет:
«Мастерские братьев Перье и Шайо были первыми и остаются
почти единственными во Франции, в которых можно
построить машины любого рода. Здесь было изготовлено
большинство паровых насосов, распространенных по
Империи, большое число разнообразных насосов, прессов,
ножниц, цилиндров для изготовления бумаги; они
отливают из чугуна или меди любые детали, изготовляют
каландры, машины для гравирования по медным
цилиндрам, а также цилиндрические печатные машины по
заказу лучшей французской фабрики печатных тканей. К ним
же обращаются по поводу изготовления каруселей,
машин для пряжи хлопка и пр.» 4 На территории Франции
было еще 17 мастерских, изготовлявших инструмент,
металлоизделия, детали часов, изредка — несложные
машины. Поэтому следует признать, что создание Монжем в
революционные годы оружейной промышленности было
отнюдь не легким делом и его жалобы на отсутствие в
Льеже достаточного числа квалифицированных рабочих
не грешили против истины.
Как уже указывалось, 1808 год был для Монжа годом
наибольшего взлета; затем начался спад. В начале
1809 г. у него отнялась рука, и он вынужден был
оставить преподавание в Политехнической школе. Правда,
к марту он поправился, но состояние здоровья оставляло
желать лучшего. Несмотря на это, он продолжает
занятия наукой: работает над геометрией и
дифференциальными уравнениями, над химией и металлургией, в
письмах многочисленным корреспондентам высказывает
мысли по разным вопросам. Хотя геометрия составляет
3 Delambre. Rapport historique sur les progrès des sciences
mathématiques depuis 1789, et sur leur état actuel. Paris, MDCCCX (1810).
4 Delambre. Op. cit., p. 245.
151

наиболее существенную часть его научного творчества,
он остается энциклопедистом, как и большинство ученых
XVIII в.; однако идеи его относятся больше к XIX в.:
Монж является одним из основоположников науки
XIX в.— науки, тесно связанной с запросами техники и
практики в самом широком смысле этого слова.
В мае—июне 1810 г. по распоряжению Наполеона
Монж председательствует в комиссии, которой поручено
изучить модель ракеты; тогда же в Венсевне проводятся
соответствующие эксперименты. В личном письме
Наполеон спрашивает его мнение относительно тосканской
железной промышленности, о железных рудах острова
Эльбы и относительно производства пушек. В 1811 г.
в лаборатории Политехнической школы вместе с Бертол-
ле и Лапласом Монж ставит химические опыты, по
поручению Французского института он дает заключение на
мемуар о скафандре, в 1812 г.— на монографию Ассен-
фратца относительно металлургии чугуна, железа и стали.
Тем временем экономическое положение Франции все
ухудшалось. Несмотря на то что Наполеон значительно
расширил ее границы, создал цепь вассальных государств
и в сущности командовал всей Европой, кроме Англии и
России, Францию в экономическом развитии начали
опережать и Россия, и страны Средней Европы. Во
Франции развивалась лишь военная промышленность: все
производство работало на нужды армии. К тому же
армия не демобилизовалась, численность солдат под
ружьем все время наращивалась в основной своей части за
счет деревни и пригородов.
Наполеон побеждал, но не везде. Испанские события,
знаменитая защита Сарагосы, взятой 27 января 1809 г.
ценой гибели едва ли не всего населения города, были
моральным поражением Наполеона: оказалось, что плохо
вооруженные крестьянские отряды могут наносить
поражения армиям, считавшимся непобедимыми. События
1812 г. закончились военным разгромом Наполеона,
причем в России, как и в Испании, существенную помощь
регулярной армии оказали партизанские отряды.
16 октября 1813 г. вблизи Лейпцига началась «битва
народов», окончившаяся 19 октября поражением и
отступлением Наполеона. На поле битвы осталось 65 тыс.
французов и 60 тыс. солдат союзных армий — русских,
австрийцев, немцев. Через два месяца союзники перешли
152

Гаспар Монэю — сенатор. С картины Ж. Нежона
Рейн и вступили в пределы Франции. 26 декабря
Наполеон объявил, что все сенаторы и члены
Государственного совета как чрезвычайные комиссары должны выехать
в военные округа. В обязанность им вменялось
обеспечить новый набор в армию и собрать обычные и
экстренные налоги для содержания армии. Монж, которому к
тому времени исполнилось 68 лет, 28 декабря отправился
в 25-й военный округ.
7 А. Н. Боголюбов
153

Положение в стране было трудным, а роль,
предписанная сенаторам,— незавидной. Страна пролила много
крови на полях бесчисленных сражений. Правда, рабочие
предместья пока еще лишь роптали. Несмотря на
тяжелое положение, они не желали иностранной интервенции
и возвращения старого порядка, уничтоженного в
революционные годы. Деревня тоже боялась потерять то, что
было завоевано в конце века. «Для крестьянства в его
подавляющей массе Бурбоны означали возрождение
феодализма с властью сеньеров, с несвободой земли,
с отнятием как церковных, так и конфискованных у
эмигрантов земельных имуществ, раскупленных буржуазией
и крестьянами в эпоху революции. Под страхом
лишиться с таким трудом завоеванного права на безраздельное
владение своими участками земли крестьянство готово
было и дальше терпеть все последствия завоевательной,
грабительской внешней политики Наполеона» 5. Иначе
обстояло дело с буржуазией, испытывавшей трудности в
условиях непрерывных войн: быстро уменьшался
внутренний рынок, а вслед за военной катастрофой
Наполеона исчезал и внешний; доходы становились
неустойчивыми, а возможности для развития промышленности, за
исключением военной, непрерывно снижались.
Монж делал все возможное в своем округе, однако
военное командование, которое более реально оценивало
положение, вскоре начало готовиться к эвакуации.
12 января 1814 г. Монж вывез из оружейной
мастерской Льежа древесину для изготовления ружей, затем
распорядился начать эвакуацию пушечной мастерской
вместе со штатом рабочих. Через два дня он выехал из
Льежа — на несколько часов раньше командующего
военным округом Макдональда и его штаба.
По возвращении Наполеона с Эльбы Монж прибыл в
Тюильри в первый же день, 20 марта 1815 г. В течение всех
Ста дней он находился при Наполеоне. 7 апреля Карно,
получивший пост министра внутренних дел, пригласил
своего старого профессора принять участие в работах Совета
промышленности и благосостояния. Правда, этот Совет
оказался недолговечным: состоялось всего восемь или
десять заседаний.
28 апреля Наполеон вместе с Монжем посетил Поли-
5 Тарле Е. В. Наполеон. М., Изд-во АН СССР, 1957, с. 349.
154

техническую школу — Наполеон в первый и последний
раз (22 июня 1815 г. он во второй раз отрекся от
престола) ; в Париж возвратился Людовик XVIII. Закон
24 июля об изгнании не коснулся Монжа, но вскоре
начались преследования «цареубийц» — лиц, которые
подписали указ о казни Людовика XVI. Это обеспокоило
Монжа — он в бытность морским министром в качестве
очередного председателя правительства поставил свою
подпись под указом. 9 октября 1815 г. Монж в
последний раз появился в Институте. Затем он уезжает в
Бельгию в имение бывшего эмигранта барона де Флотте.
21 марта 1816 г. Монжа вместе с 13 другими
академиками исключили из Французского института. Тогда же была
закрыта Политехническая школа (которую затем
реорганизовали и вновь открыли в январе 1817 г.). Оба эти
обстоятельства уже не могли особенно затронуть Монжа:
он быстро слабел физически, убывали и умственные силы.
28 июля 1818 г., .в 9 часов вечера, в возрасте 72 лет
Гаспар Монж скончался. 30 июля гроб был перенесен в
церковь св. Томаса Аквината. Похоронен Монж на
кладбище Пер-Лашез. Официальных похорон не было, но
многие члены Французского института, товарищи и
ученики пришли проводить Монжа в последний путь. Среди
них был старый друг Бертолле, который произнес речь
над могилой, затем Лаплас, Гумбольдт, Лакруа, Прони,
Ларрей, Коста, Жоффруа Сент-Илер, офицеры
инженерной службы, писатели, ученые. Лишь два члена
Института — Боек и Юсар — решились прийти в форме. Учащимся
Политехнической школы, «политехникам», было
запрещено присутствие на похоронах, но в первое же
воскресенье они принесли цветы на могилу «отца политехников».
По их инициативе была организована подписка на
сооружение памятника на могиле Монжа; в 1819 г. один из его
ближайших учеников, Шарль Дюпен, опубликовал
«Исторический очерк о службах и научных работах Гаспара
Монжа».
Жена Монжа пережила его на 24 года.
7*

Глава девятая
Научное наследие
Монж был ученым-энциклопедистом; кроме того, он
был политическим и общественным деятелем, педагогом,
организатором науки и военной промышленности.
Нелегко собрать воедино и проследить дальнейшее развитие
идей и направлений науки и техники, которыми он
занимался. Однако главный вклад он сделал в геометрию.
Чем бы ни приходилось заниматься Монжу, он всегда
возвращался к геометрии, ей посвящены его первая и
последняя публикации, и прежде всего он был геометром:
даже развитие инженерного образования Монж мыслил
лишь на солидном геометрическом фундаменте. Поэтому
мы остановимся лишь на развитии его идей в области
начертательной, аналитической, дифференциальной и
проективной геометрии, на теории построения машин и
организации высшего технического образования. Во всех этих
направлениях творчество Монжа вошло как составная часть
в «золотой запас» общечеловеческой науки и культуры.
Геометрия
Обычно имя Монжа связывается со становлением
начертательной геометрии. Мы видели, что это не так.
Начертательная геометрия в основных своих идеях
существовала и до Монжа: известен был координатный метод,
ортогональное проектирование и его применение к
построениям планов и чертежей. Однако не было ни общей
теории, ни ясных и четких способов ее применения на
практике. Монж создал начертательную геометрию как
математическую науку, свел воедино, в одну логическую
систему, отдельные законы, теоремы и правила, извест-
156

ные до него, и, кроме того, сделал геометрию основным
предметом в высшей технической школе. Как указывает
Шаль, начертательная геометрия явилась общей теорией
направлений техники, связанных с геометрией: она
приводит к небольшому числу отвлеченных принципов и к
удобным и достоверным построениям все геометрические
действия, относящиеся к технике. Этим не исчерпывается ее
значение: «Начертательная геометрия,— говорит Шаль,—
будучи графическим переводом общей рациональной
геометрии, послужила светочем при изыскании pi
истолковании результатов геометрии аналитической; по
характеру своих приемов, имевших целью установить строгое
и полное соотношение между фигурами, действительно
начерченными на плоскости, и телами, воображаемыми в
пространстве, она ближе ознакомила с геометрическими
формами; она дала возможность представлять их скоро
и точно и тем удвоила наши средства исследования в
науке о пространстве» *.
Идеи Монжа обусловили дальнейшее развитие целого
ряда направлений геометрии и в ряде случаев
подчеркнули их различие между собой. Однако он не стремился
к «чистоте» исследования; возможно, этим и объясняется
некоторая некорректность его доказательств и
рассуждений. Он связывает с геометрией идеи теории
дифференциальных уравнений, переводит геометрические
положения на язык анализа, в работах по применению к
геометрии алгебры и анализа часто пользуется развитыми им
ранее идеями начертательной геометрии. Монж сумел
связать пространственное восприятие с аналитическими
представлениями, которые, как заметил Ф. Клейн, у него
не самоцель, а этап; за ними следуют новые
пространственные представления.
Идеи Монжа развивают его ученики и
последователи. Один из слушателей по Мезьерской школе — Жан
Менье, в 1776 г. представил Парижской академии наук
мемуар о кривизне поверхностей (опубликованный
в 1785 г.). Он исходил из положения, что кривизна
поверхности полностью определяется заданием частных
производных до второго порядка включительно. Менье
ввел термин «радиус кривизны»; ему принадлежит
1 Шаль М. Исторический обзор происхождения и развития
геометрических методов, М., 1883, с. 218.
157

теорема относительно радиуса кривизны произвольного
сечения, он развил теорию линейчатых поверхностей.
Его математическое творчество находилось под влиянием
идей Монжа. Менье еще до революции получил чин
генерала инженерного корпуса и был избран членом
Парижской академии наук; академик-генерал погиб,
защищая Майнц от прусских войск.
О другом ученике Монжа, Лазаре Карно, речь шла
выше. Как и Монж, это был в равной степени ученый и
общественно-политический деятель Французской
республики. В «Геометрии положения» (1803) Карно развил
идею о том, что геометрию следует освободить от уз
анализа и дать ей возможность развиваться самостоятельно;
это совсем не похоже на интегральные идеи Монжа,
однако именно так зародилась синтетическая геометрия.
Монж понимал начертательную геометрию в широком
смысле слова (géométrie descriptive — описательная
геометрия). Позже ее значение сузилось. Ученик
Монжа Сильвестр Франсуа Лакруа в курсе «Дополнение
к элементам геометрии» (1796) в сущности лишь
повторил прослушанные им лекции Монжа, не внеся
ничего нового. Однако его учебники и педагогическая
деятельность способствовали дифференциации начертательной
геометрии, окончательному выделению ее из состава общей
геометрии. В 1822 г. «Трактат по начертательной
геометрии» издал Ашетт. Не лишено интереса, что с первого
года основания (1809) в Петербурге Института
инженеров путей сообщения ученик Монжа по Политехнической
школе Шарль Потье начал там читать начертательную
геометрию. Его курс «Трактат начертательной геометрии
для употребления в Институте путей сообщения» (на
французском языке) был опубликован в 1816 г. Сразу
же репетитор Института путей сообщения Я. А.
Севастьянов перевел его на русский язык. В 1817 г. Потье
издал на французском языке «Приложение
начертательной геометрии к искусству черчения», которое в
следующем году также было переведено на русский язык.
В 1818 г. Потье и Севастьянов издали в соавторстве
«Начальные основания разрезки камней».
Первым самостоятельным сочинением по
начертательной геометрии на русском языке были «Основания
начертательной геометрии» Севастьянова; в 1830—1831 гг.
он же опубликовал «Приложение начертательной геомет-
158

рии к рисованию. Теория теней, линейная перспектива и
оптические изображения. Приложение начертательной
геометрии к воздушной перспективе и к гномонике».
Яков Александрович Севастьянов (1796—1849) своими
трудами очень много сделал для распространения в
России знаний по начертательной геометрии. Он окончил
Институт путей сообщения в 1814 г. и был назначен
репетитором по начертательной геометрии к Потье.
В 1824 г. он стал профессором, а в 1836 г. помощником
директора Института.
В Германии продолжателем и популяризатором идей
Монжа был Г. Шрайбер, опубликовавший «Учебник
начертательной геометрии» и некоторые другие
оригинальные и переводные работы.
Исследования по дифференциальной, аналитической
и синтетической геометрии развивались в первой
половине XIX в. параллельно и зачастую разрабатывались
одними и теми же лицами. В течение первого десятилетия
века оба печатных органа Политехнической школы —
«Журнал» и «Корреспонденция» — широко
пропагандировали геометрические работы: здесь печатали свои
произведения Монж, Ашетт, Лефрансе, Пюиссан и др. В
«Элементах анализа геометрического и алгебраического в
приложении к разысканию геометрических мест» (1809)
швейцарского математика Симона Люилье впервые были
приведены уравнения прямой линии и плоскости в
нормальной форме.
Дальнейшее развитие идей аналитической геометрии
связано с деятельностью Жергонна и Понселе. Жозеф
Диаз Жергонн считал себя последователем Монжа.
Артиллерист по образованию, он служил в годы революции
артиллерийским офицером, но уже с 1795 г. занялся
преподаванием математики, а затем и астрономии; в 1810 г.
основал первый во Франции математический журнал
«Анналы чистой и прикладной математики», в котором
вел раздел, посвященный аналитической геометрии.
Жергонн начал развивать приложение аналитической
геометрии к решению классических задач элементарной
синтетической геометрии. Много сил он посвятил проблеме
координатных систем, в частности указал на тот факт,
что число возможных координатных систем бесконечно
велико, а также на такие системы, которые могут
выразить естественные свойства кривых. Он предложил коор-
159

динатную систему, в которой в качестве координат точки
на кривой принимаются радиусы кривизны самой кривой
и ее эволюты в соответствующих точках. В результате
некоторые кривые, уравнение которых в обычных
координатах достаточно сложно, выражаются в такой
«естественной» координатной системе весьма просто. В
частности, уравнение циклоиды в естественной системе будет:
R2-\-R/2 = 16a, а логарифмической спирали R/=R.
Изобретение естественных систем координат не
принадлежало исключительно Жергонну. Еще в 1740 г.
Л. Эйлер предложил определять кривые при помощи
некоторых величин, естественно присущих им, подобных,
например, радиусам кривизны. Позже вопрос
рассматривался Ампером, Лакруа, а также Л. Карно, который в
«Геометрии положения» исследовал вопрос о
координатных системах. После Жергонна этим вопросом занимались
еще несколько геометров; в определенной степени он был
завершен в трудах Эрнесто Чезаро (1859—1906).
Значительно большее влияние на дальнейшее
развитие геометрии имела проблема двойственности, которая
поставлена одновременно Жаргонном и Понселе, что
вызвало спор и конфликт между обоими учеными.
Жан Виктор Понселе окончил Политехническую школу
в 1810 г., где учился у Монжа. Затем по окончании
Инженерной школы в Метце в 1812 г. был отправлен в
действующую армию, в Россию. Его военная карьера
оказалась недолгой: 18 ноября в бою под Красным он был
взят в плен и до июля 1814 г. находился в Саратове, где
и создал свой знаменитый трактат о проективных
свойствах фигур. Одновременно он написал трактат об
аналитической геометрии, опубликованный лишь в 1862 г., хотя
задумал его как введение к первому трактату,
вышедшему в свет в 1822 г. По возвращении во Францию Понселе
в своих геометрических исследованиях полностью
переходит к синтетическим методам. Спор о двойственности
между ним и Жергонном возник в 1826 г.
Еще в 1818 г. Понселе опубликовал в «Анналах»
Жергонна свои взгляды относительно аналитической
геометрии и синтетических методов. Признавая, что
аналитическая геометрия превосходит обычную геометрию
общностью методов, он считал, что существенным является не
применение алгебры и координатного метода, а
свойственный последнему принцип непрерывности или неиз-
160

менности математических соотношений. В соответствии с
этим принципом метрические свойства, открытые для
некоторой фигуры, сохраняют свое значение без
каких-либо модификаций, за исключением перемены знака, для
всех фигур, которые можно считать образовавшимися из
первоначальной.
Понселе далее предположил, что этот принцип
можно распространить и на объекты чистой геометрии.
Он вывел с помощью принципа непрерывности новые
теоремы и высказал ряд существенных положений, но
самого принципа не доказал. Отстаивая значимость
синтетических методов, Понселе начал спор с приверженцами
аналитической геометрии, в частности с Жергонном. Спор
этот испортил немало крови участникам, но в конечном
итоге не дал никому победы — правы были обе стороны.
Но в выигрыше оказалась, несомненно, геометрия.
Поначалу спор не выходил за рамки дружеской
дискуссии. Жергонн ссылался на то, что аналитическая
геометрия — наука новая, развивается в соответствии с
идеями Монжа, а следовательно, возможны
усовершенствования ее методов. Однако в 1826 г. возник вопрос о
приоритете. Жергонн отметил, что при помощи аналитических
методов можно доказать принцип двойственности в
плоской геометрии относительно точек и линий: каждая
теорема не теряет своей значимости, если в ней поменять
местами слова «точка» и «линия». Тогда же он начал
публиковать в своих «Анналах» пары подобных теорем.
Понселе возразил, что открытие принципа двойственности
принадлежит ему и что принцип этот является
непосредственным следствием соотношений, существующих в
чистой геометрии между полюсом и полярой относительно
конического сечения.
Существенный вклад в развитие аналитической
геометрии внес Габриэль Ламе, причем в самый ранний период
своей научной деятельности. Он окончил
Политехническую школу в 1818 г. и, следовательно, не мог слушать
Монжа. Но, будучи учеником ближайших последователей
Монжа, несомненно, находился под влиянием
знаменитого геометра. В год окончания Политехнической школы
(который совпал с годом кончины Монжа) Ламе издал
«Исследование различных методов, применяемых для
решения задач геометрии». Он предложил, в частности,
обозначать левую часть уравнения одной буквой; таким
161

образом, некоторое геометрическое место можно выразить
уравнением в форме Е = 0.
Ламе указал также на очень существенный принцип
сочетания уравнений геометрических мест:
результирующее уравнение выразит также некоторое геометрическое
место, определяемое точками пересечения двух исходных
мест. Правда, как и его последователи, он ограничился
случаем, когда результирующее уравнение линейно.
Так, для двух мест Е=0, Е'=0, имеющих одну и ту же
степень, результирующее уравнение запишется как
тЕ+т'Е' = 0
и будет представлять кривую или поверхность, или
геометрическое место более высокого порядка, проходящее
через пересечения двух составляющих мест.
Работа Ламе значительно расширила объем задач
аналитической геометрии, она включила в нее
систематическое изучение семейств кривых и поверхностей. Монж
нашел огибающие семейств поверхностей, а Лагранж указал
на тот факт, что особое решение дифференциального
уравнения обычно соответствует огибающей
интегральных кривых. Монж же исследовал линии кривизны; в
своей дифференциальной геометрии он изучил
аналитическими методами свойства семейств кривых и поверхностей,
однако до работы Ламе последние элементарными
способами не изучались и еще не вошли в состав
аналитической геометрии. Все же важность идей Ламе для
развития геометрии была оценена лишь через 10 лет — после
того, как вопросами аналитической геометрии занялся
Коши.
Огюстен Коши был также учеником Монжа. Он
окончил в 1807 г. Политехническую школу, затем Школу
мостов и дорог и до 1813 г. работал в должности
путейского инженера. Лишь с 1813 г. он полностью посвятил себя
научной и педагогической работе. Его лекции по
применению анализа к геометрии (1826) явились образцом для
дальнейших лекционных курсов. Он ввел в курс
нормальную форму уравнения линии и плоскости, предложенную
ранее Люилье, продолжил изучение и классификацию
поверхностей второго порядка, завершив тем самым
исследования Эйлера, Монжа и Ашетта. Еще Жергонн
пытался улучшить результаты Эйлера и Монжа по вопросу
ортогональных преобразований; в его «Анналах» в 1824—
162

1825 гг. был опубликован мемуар на эту тему
швейцарского математика Шарля Штурма; позже этот вопрос
вошел в круг интересов Коши.
Идеи Монжа в области теории поверхностей также
были продолжены и развиты его учениками; в этом
направлении работали Ашетт, Жергонн и Лакруа,
получившие ряд новых результатов, которые очень скоро
были связаны с практическими приложениями. Важные
исследования выполнил Дюпен. Он вначале служил
корабельным инженером и, подобно Монжу, умел видеть
единство теории и практики. Его геометрический трактат
«Развитие геометрии» (1813) имел подзаголовок —
«с приложением к устойчивости кораблей, экскавации и
насыпке грунта, фортификации, оптике и так далее». Ему,
в частности, принадлежит введение так называемой
индикатрисы Дюпена, а также теорема о том, что три
семейства ортогональных поверхностей пересекаются друг с
другом по линиям кривизны на каждой поверхности.
Дюпен развил учение Монжа о конгруэнтности линий.
Если конгруэнция ортогонально пересекается семейством
поверхностей, как, например, в случае оптики, где в
качестве линий принимаются лучи света, а в качестве
поверхностей — поверхности волн, то она называется
нормальной. Исходя также из результатов Монжа
французский физик Этьен Луи Малю, окончивший
Политехническую школу в 1796 г., доказал, что нормальная
конгруэнция линий, исходящих из одной точки, остается таковой
и после отражения или преломления световых лучей.
Ученик Монжа, выпускник Политехнической школы —
Теодор Оливье для начертательной и дифференциальной
геометрии нашел новое и очень многообещающее
применение: он разработал геометрическую теорию зацепления
и в качестве общего метода получения любых
пространственных зацеплений предложил способ огибающих
поверхностей. Он также доказал возможность существования
как скользящих, так и катящихся систем при любом
расположении осей вращения.
Работы Оливье находятся уже на грани
дифференциальной и кинематической геометрии. Выше указывалось,
что и у самого Монжа были кинематико-геометрические
идеи; развивать их пришлось его ученикам. Выпускник
Политехнической школы 1818 г. Этьен Бобилье написал
мемуар о геометрических законах движения. Коши изу-
163

чил бесконечно малые движения неизменяемой фигуры
на плоскости и в пространстве. Он доказал, что любое
перемещение некоторой фигуры в плоскости можно
получить, связывая фигуру с кривой, катящейся по другой
кривой, а также сформулировал теорему об общем случае
пространственного движения тела: его можно
представить как вращение около некоторой оси и перенос вдоль
нее.
Важную роль в деле создания французской
геометрической школы выполнил ученик Монжа—Мишель Шаль.
В 1837 г. он опубликовал «Исторический обзор
происхождения и развития методов геометрии», где говорил, что
математики начали считать геометрию отжившей наукой,
которая уже не принесет никакой пользы. Далее он
доказывал, что геометрия может решить и такие задачи,
перед которыми отступает анализ. В этих задачах лучшие
результаты дает применение синтетических методов.
Шаль занимался различными направлениями
геометрии. Он исследовал алгебраические образы высшего
порядка и связал их с геометрией. Независимо от немецких
ученых построил синтетическую проективную геометрию
и включил в нее метрическую геометрию. В середине
века он — ведущий геометр Европы, «учитель
европейских геометров». Шаль внес существенный вклад и в
кинематическую геометрию. Он был первым из ученых,
который начал «наводить там порядок». В 1830 г. он
высказал основные геометрические свойства систем, которые
в процессе движения остаются подобными самим себе.
Шаль разработал метод построения нормалей к
механически воспроизводимым кривым. Ему принадлежит
общая теорема, описывающая движение тела в
пространстве: тело можно перевести из одного положения в другое
одним винтовым движением. Шаль обобщил также
теорему Коши 1827 г. о перемещении фигуры в плоскости и
дал метод построения мгновенных центров вращения для
фигур, находящихся в движении; этот метод облегчил
определение радиусов кривизны целого ряда
механически воспроизводимых кривых.
Мы коснулись лишь работ важнейших геометров
школы Монжа. Его непосредственными учениками и
ближайшими продолжателями были и другие ученые.
Естественно, было бы несправедливым преувеличением
приписывать Монжу становление «новой» геометрии.
164

Чрезвычайно важную, уникальную роль сыграл в
геометрии Эйлер, так же как едва ли не во всех других
направлениях математики и математического естествознания.
Соответствующие публикации Эйлера были до и после
публикаций Монжа. Так, в частности, исследование
пространственных кривых, которое Монж выполнил
одновременно геометрическими и аналитическими методами,
начиная с 1771 г. Эйлер развил чисто аналитически.
Однако никому до Монжа и после него не удалось создать
такую блестящую школу. Монж сумел заинтересовать
геометрией многих молодых исследователей и направить их
по тому же пути, по которому шел сам. Влияние
французской геометрической школы чувствовалось не только
во Франции: мощная немецкая геометрия середины XIX в.
развивалась не без воздействия идей Монжа и его
последователей. В некоторых направлениях влияние этой
школы чувствуется и в настоящее время.
Теория построения машин
Второе направление, становление которого как науки
связано с именем Монжа,— научное исследование машин.
Сам Монж сделал в этом отношении немного, но его
гениальная догадка о структуре машин определила
развитие учения о машинах едва ли не на столетие вперед.
Как сказал Дюпен, «Монж с превосходством гения в
строках элементарной программы наметил для описания
машин порядок, который оказался простым, ясным и
величественным. Это была программа курса, читаемого Ашет-
том в Политехнической школе. Позже она была
разработана, с одной стороны, Ланцем и Бетанкуром, а с
другой— Ашеттом». В произведениях этих ученых и нашли
свое отражение идеи Монжа.
Вплоть до конца XVIII в. науки о машинах
практически не было; ее заменяли отчасти описательное
машиноведение (которое относилось к математике), отчасти —
статика простых машин. Последняя в какой-то степени
могла служить паллиативом теории при построении
мельниц и подъемно-транспортных устройств, заменявших
физическую силу человека. Машины эпохи
промышленного переворота оказались полностью в распоряжении изоб-
ретатедей? которым пе могла помочь никакая теория; ее
165

просто не существовало. Гениальные догадки Эйлера,
а затем Карно, понявших, что существенным для
машины является не равновесие сил, а процесс движения, не
смогли разрешить вопроса о составе машин: Эйлер и
Карно считали, что машины состоят из простых машин. Что
тут сыграло основную роль — термин или привычка,
сказать трудно, но, во всяком случае, к концу XVIII в. в этой
области создалось трудное положение: изобретатели и
инженеры ушли далеко вперед, и наука безнадежно отстала.
В годы, когда Монжу приходилось жить за пределами
Франции, его кафедра в Политехнической школе, как мы
знаем, поручалась Ашетту. Ашетт сам был очень
загружен и лишь к декабрю 1805 г. смог начать работу над
курсом построения машин. В декабре 1806 г. он
подготовил и представил Совету усовершенствования
Политехнической школы проект программы курса построения
машин. Сущность этой программы заключалась в том, что
с первых же уроков учащимся показывали (и
доказывали) , что машина — это не статическая, а динамическая
система, знакомили их с силами, действующими на
машину, со структурой машин и графическими методами
изображения и исследования машин. Ашетт составил
первую структурную таблицу — таблицу «элементарных
машин» (механизмов) и положил ее в основу
преподавания курса,
Как уже говорилось, Ланц и Бетанкур составили
таблицу элементарных машин, также исходя из принципов
Монжа, но вместо 10 приняли 21 строку, согласно числу
преобразований движений. В соответствии с таблицей они
составили «Курс построения машин». Совет
усовершенствования Политехнической школы (Монж принимал в его
работе самое действенное участие вплоть до 1809 г.)
12 августа 1808 г. принял решение издать все эти
материалы в одной книге в качестве учебника. Так по идее
и под наблюдением Монжа были положены основы науки,
которая впоследствии получила название теории
механизмов и машин, или механики машин.
Книга Ланца и Бетанкура трижды переиздавалась и
прослужила основным учебником по курсу построения,
машин в высших школах Европы более 40 лет. Не все
в ней было приемлемым даже для того времени,
Отмечались недостатки курса: непоследовательность в
изложении, неясность понятия «элементарная машина», отсутст-
166

вие логики в членении таблицы: строки подчинены
жесткому правилу, а колонки оказывались совершенно
произвольными. Указывалось на отсутствие данных для
расчетов, разбросанность структурно-подобных механизмов по
разным разделам книги.
Но сторонники и критики «Курса построения машин»
не оспаривали того, что именно в ней был поставлен ряд
проблем, критическое осмысление которых породило
современную науку о машинах. Монж и его последователи
не смогли полностью выяснить сущность понятия
механизма, однако одну из его сторон — передачу и
преобразование движения — изучили очень глубоко. Они выяснили
кинематическую сущность понятия «механизм» и впервые
поставили во главу угла идею синтеза — принцип
построения ма,шин.
Через три года после выхода в свет «Курса
построения машин» Ашетт издал учебник по курсу
Политехнической школы — «Элементарный курс машин». Книга
состоит из трех глав: первая посвящена принципам
построения машин, вторая — элементарным машинам, а третья,
согласно идеям Монжа,— машинам, применяемым на
строительных работах. В соответствии со своей таблицей
Ашетт распределяет все элементарные машины на 10
серий. Основывается он на том, что каждый механизм
любой сложности «построен из простых механизмов,
являющихся комбинациями двух из четырех движений:
кругового непрерывного, прямолинейного непрерывного,
кругового возвратного, прямолинейного возвратного». У Ашет-
та уже достаточно четко прослеживается мысль о
структуре машины и механизма: в каждой элементарной
машине он различает три движения. Первое связано с
движителем или со звеном, воспринимающим движение; по его
мнению, оно может быть только прямолинейным. Затем,
та часть машины, которая воспринимает движение от
ведущего звена и передает его ведомому, может
двигаться прямолинейно или по кругу. Наконец, сопротивление,
или рабочий орган машины, может двигаться также
прямолинейно или по кругу.
В определенной степени к школе Монжа примыкает
и профессор Павийского университета Джузеппе Антонио
Борньи (1781—1863). Его основной труд, посвященный
науке о машинах, «Полный курс механики в приложении
к технике» вышел в 1818—1820 гг. в восьми томах. Раз-
167

вивая структурную идею Ашетта (несколько ранее
выдвинутую Эйлером), Борньи устанавливает, что в каждой
машине можно различить такие части: приемник,
передачу, модификаторы, основание, регуляторы и рабочие
органы (операторы).
Монж и его ученики строили курс построения машин
как часть курса геометрии, Борньи же считает
прикладную механику частью технологии; в этом нашло свое
отражение распространение машинного производства,
которое поставило перед наукой о машинах не только
механические, но и технологические и эксплуатационные
задачи. В дальнейшем это обусловило выделение из
курса построения машин машиноведения, описательных
курсов машин, деталей машин, механической технологии и т. д.
Работа Борньи, кроме общего учения о построении машин,
включала также описание машин, применявшихся в
различных отраслях производства.
По мнению Рело 2, Борньи хотел выработать систему,
которую можно было бы противопоставить системе Мон-
жа. Это не совсем так. Предложенная Борньи схема
является лишь развитием идей Монжа, их вариантом. Все
сочинение Борньи проникнуто понятием машины именно
как приспособления, предназначенного для передачи и
преобразования движения. «Большинство машин,— пишет
Борньи,— состоит из разных частей, которые служат
следующим целям.
1. Восприятие действия двигателя.
2. Передача этого действия на некоторое расстояние.
3. Преобразование движения в один из четырех
элементарных видов.
4. Изменение направления движения.
5. Модификация обеих составляющих движения, силы
и скорости, уменьшение одной из них за счет
увеличения другой.
6. Регулирование движения.
7. Уничтожение или ослабление сил пассивных
сопротивлений.
8. Выполнение операции, предназначенной для данной
машины.
Есть машины, в которых один простой орган выпол-
2 См.: Reuleaux F. Theoretische Kinematik, Bd. 1. Braunschweig,
1875, S. 13—14
168

няет несколько функций, но есть много и таких, где лишь
одна из функций выполняется сложными способами».
Тут же он отмечает: «Имя машины принадлежит только
соединениям органов, построенным для приема и
передачи движения... само название машины несет в себе идею
движения» 3.
Поэтому отрывать Борньи от школы Монжа, как это
делает Рело, нельзя. Наоборот, он написал свой курс в
развитие идей школы Монжа и исходя из ее принципов.
Так были заложены основы кинематики механизмов.
Позже Виллис определил понятие механизма, П. Л. Че-
бышев начал изучение шарнирных механизмов и развил
аналитический метод приближенного синтеза механизмов,
Рело создал теорию кинематических пар, на базе которой
впоследствии было построено учение о структуре
механизмов. Не говоря уже о том, что эти и другие ученые в
своих исследованиях исходили из идей школы Монжа
или из критики этих идей, большую роль в создании
механики машин выполнили и ученики Монжа и ученики
его учеников. Поэтому в истории механики машин
Парижская политехническая школа занимает очень
важное место.
При создании динамики машин основополагающее
значение имели труды Карно, Пуассона, Пуансо, Понселе и
Кориолиса. Все они были учениками Монжа. С. Д.
Пуассон окончил Политехническую школу в 1800 г. Его
важнейшие работы относятся к аналитической механике и
математической физике, одним из основоположников
которой он стал. Для механики машин большое значение
имел его «Курс механики», изданный в 1811 г. в двух
томах. Во втором томе курса (издание 1833 г.)
опубликована статья Пуассона «О применении живых сил к
вычислению движения машины», в которой
рассматривается построение в общем виде уравнения движения
машины. Статья является в некоторой части развитием
работы Карно, который поставил эту проблему.
Л. Пуансо окончил Политехническую школу в 1796 г.
В 1803 г. опубликовал «Основы статики», в которой
обобщил и развил геометрические идеи Монжа. Книга явилась
своеобразным протестом геометров против аналитиков во
3 Borgnis J.-A. Traité complet de mécanique appliquée aux arts.
Traité des mouvements des Fardeaux. Paris. 1819, p. 15.
169

главе с Лагранжем; в ней содержится одно из самых
блестящих обобщений теоретической механики, к
которому, как мы видели выше, не смог прийти Монж. Речь
идет о теории пар.
Но Пуансо сделал шаг дальше — он пришел к
понятию силового винта, рассматривая совокупность
результирующей сил, направленной перпендикулярно плоскости
действия пары, и самой пары. Далее, в мемуаре «Новая
теория вращения тел» (1834) он решил задачу о
движении тела в общем виде. Исследуя возможные движения
твердого тела, пришел к выводу, что их можно свести к
двум типам — поступательному и вращательному. Он
указал на параллелизм, существующий между понятиями
статики и кинематики: если заменить в утверждениях
статики слова «сила», «пара сил» словами «скорость
поступательного движения», «скорость вращательного
движения», то соответствующие теоремы статики
преобразуются в теоремы кинематики. Таким образом, Пуансо,
используя понятие силового винта, введенное им в статике,
доказывает теорему о том, что всякое движение твердого
тела в пространстве сводится к вращению этого тела
вокруг оси и поступательному движению по ее
направлению.
Особенно плодотворными для развития кинематики
оказались теоремы Пуансо о полоидах и об аксоидах для
случая пространственного движения. Эти теоремы явились
обобщением результатов, полученных ранее И. Бернулли
и Моцци. Затем тем же вопросом занялся Шаль. В
сущности, учение о полоидах (или, пользуясь современной
терминологией, о центроидах) явилось важнейшим при
создании кинематической геометрии. Кроме того, оно дало
в руки инженера способ для создания передаточных
механизмов и оценки их относительного значения.
Младший современник Пуассона и Пуансо — Г. Г.
Кориолис окончил Политехническую школу в 1810 г.
Интересно, что в области механики машин он работал
параллельно с Понселе и пришел к аналогичным
результатам. В 1829 г. он опубликовал «Вычисление действия
машин», в котором применил методы аналитической
механики к теории машин. Он ввел некоторые термины, в
том числе понятие работы. Кориолис указал, что из трех
составляющих машины первая (приемник, или двигатель)
является объектом динамики. Вторая (привод) — объект
170

геометрии в связи с механикой. Изучение орудий Корио-
лис относит к области технологии.
Одной из первых задач динамики машин, решенных в
начале XIX в., была задача маховика — одна из
важнейших задач механики машин того времени. Первое решение
ее дал ученик Монжа — Навье, окончивший
Политехническую школу в 1804 г. Задача оказалась сложной, и
Навье внес в нее некоторые упрощения. Он предположил,
что к кривошипу, составляющему одно целое с
маховиком, приложена постоянная внешняя сила, действующая
попеременно в одну и другую сторону. Он считал, что
коромысло и поршень лишены массы и что длина
шатуна — -бесконечно большая. Навье воспользовался для.
расчета маховика законом живой силы.
Навье предложил аналитическое решение задачи о
маховике, Кориолис — графическое. Он опубликовал свое
решение в 1832 г. в «Журнале» Политехнической
школы. . .
Очень весомым был вклад в науку о машинах,
сделанный Понселе. Механикой он начал заниматься в 1824 г.,
когда получил место профессора в Инженерной школе
в Метце. Первый прочитанный им курс прикладной
механики был издан тогда же литографским способом.
Понселе — один из основоположников механики
машин, особенно их динамического исследования. На его
начальных работах еще чувствуется влияние Ашетта и
Борньи. В первой части своего курса он.занимается
исследованием общих законов движения и выводит
уравнение живых сил в применении к машинам. Во второй
рассматривает передачу и преобразование движений в
машинах. При изучении передаточных механизмов он уже
не удовлетворяется их описанием, а группирует их по
некоторым характерным свойствам. В третьей части
Понселе излагает учение о полезных и вредных сопротивлениях
и о моментах инерции. Курс Понселе постоянно улучшался,
модернизировался; он в значительной степени повлиял на
разработку динамики машин в XIX в. Понселе улучшил
метод расчета маховика, определил понятие
коэффициента неравномерности, разработал предпосылки для создания
метода касательных усилий, на основе теоремы Шаля и
принципа возможных перемещений создал способ
определения касательной приведенной силы и графический
метод определения избыточной силы.
171

Мы коснулись лишь важнейших результатов,
полученных учениками и последователями Монжа.
Естественно, в процессе своего развития современная теория
механизмов и машин далеко ушла от первых попыток внести
порядок в изучение машин и осмыслить их сущность.
Все же идеи Монжа, высказанные им в конце XVIII в.,
оказались чрезвычайно жизненными. Доказательством
этого служит цитата из самого современного учебника
механики машин: «Основными задачами синтеза
механизмов, имеющими особенно важное значение в технике,
являются следующие:
1) преобразование вращательного движения вокруг
одной оси во вращательное движение вокруг другой оси;
2) преобразование вращательного движения вокруг
одной оси в поступательное движение вдоль некоторой
заданной прямой, и наоборот;
3) преобразование поступательного движения вдоль
одной заданной прямой в поступательное движение вдоль
другой заданной прямой, и наоборот;
4) воспроизведение одной из точек звеньев рычажного
механизма требуемой траектории, воспроизведение
заданных углов поворота ведомого звена, движения ведомого
звена с остановками» 4.
Три первые задачи были поставлены Монжем.
Организация
высшего технического образования
Важным элементом наследия Монжа являются его
педагогические идеи и труды по созданию высшей
технической школы.
Попытки ввести техническое образование
предпринимались еще в XVII в.: отдельные школы, готовившие
техников, были во Флоренции, в Дании и во Франции.
Однако лишь в XVIII столетии основываются технические
школы для подготовки инженеров: военных, морских,
горных и путейских, т. е. по специальностям, которые
обеспечивали «государственную» службу. Такие школы почти
одновременно возникают в России, Германии, Франции.
4 Артоболевский И. И. Теория механизмов и машин. М., «Наука».
1975, с, 406.
m

Так, в 1700 г. в Москве открылась Инженерная школа,
в 1701 г. там же — знаменитая Навигацкая школа, в
которой преподавали бывший профессор Абердинского
университета Генри Фарварсон, Стефен Гвинн и Ричард
Грис, несколько позже начал преподавать математику
Л. Ф. Магницкий. В 1715 г. на базе школы в Петербурге
открылась Академия морской гвардии.
Со второй четверти XVIII в. число технических школ
увеличивается. Так, в 1740 г. в Париже архитектор Блон-
дель основал Строительное училище, в 1745 г. открылась
Горная школа в Брауншвейге, в 1747 г.— Школа мостов и
дорог в Париже, в 1748 г.— Школа королевского
инженерного корпуса в Мезьере. Ко второй половине века
относится организация ряда горных школ, имеющих
мировую известность,—во Фрейберге (1765), Петербурге
(1774), Клаустале (1775), Париже (1778); к концу века
число инженерных школ в Европе становится уже
значительным.
Однако было бы неправильным в какой-то степени
сравнивать эти школы с современными высшими
техническими заведениями. Инженерам приходилось вести
работы, пользуясь несложными тихоходными машинами,
расчет которых сводился к условиям статического
равновесия между движущей силой и сопротивлением; понятия
о коэффициенте полезного действия не было, да оно и не
требовалось, так как не был нужен учет потерь при
расчете водяного колеса — важнейшего источника
механической энергии в XVIII в. Поэтому математическая
подготовка инженера была элементарной.
Обучение в высших технических школах, в том числе
и французских, состояло в изучении некоторых
практических правил, элементарной математики и описательных
сведений, относящихся к архитектуре, гидравлике,
фортификации и т. д. Прикладных наук не существовало, они
начали возникать лишь в результате промышленного
переворота и реорганизации высшего технического
образования, когда в них почувствовалась настоятельная
потребность.
Если заглянуть в учебники по инженерному делу,
вышедшие в течение столетия (а было их очень немного),
можно обнаружить, что даже лучшие из них, как,
например, «Инженерная наука» и «Гидравлическая
архитектура» Бедидора, являются в основном описательными кур-
173

сами; формулы встречаются в них крайне редко. Еще
в 1805 г. парижский архитектор и член Совета
общественных работ Шарль Виель опубликовал труд под названием
«О беспомощности математики для обеспечения прочности
сооружений», в котором, в частности, указывал: «В
архитектуре для прочности зданий абсолютно не необходимы
сложные вычисления, переполненные цифрами и
алгебраическими выражениями с их «степенями», их
«корнями», их «показателями», их «коэффициентами»».
Но даже и в таком состоянии технические школы были
центрами, своего рода катализаторами развития
прикладного знания. В 1747 г. во Франции была основана Школа
мостов и дорог под руководством Ж. Р. Перроне. В этой
школе не читались регулярные лекции, но составлялись
и распространялись записки, по которым учащиеся могли
познакомиться с правилами ведения строительных и
дорожных работ. Кроме того, проводились собеседования
между учащимися и опытными инженерами и между
практиками и учеными.
Монж приступил к модернизации системы обучения
инженеров в Мезьерской школе. Он объединил в своих
руках преподавание математики и физики, поэтому ему
удалось перестроить учебный план так, чтобы учащиеся
получали определенный комплекс знаний, который затем
смогли использовать в практической работе. Важное место
заняла начертательная геометрия, которая заменила
практические приемы, не всегда легкие для запоминания и не
всегда применимые и, кроме того, не обладавшие
общностью решения: каждый конкретный случай требовал
своего подхода, и зачастую молодой инженер становился в
тупик, не зная, как поступить в определенной ситуацри.
Политехническая школа явилась новым, высшим
этапом в развитии технического образования; на протяжении
первых двух десятилетий существования ее планы и
учебные программы менялись неоднократно. Сперва
задуманная как строительное учебное заведение (Центральная
школа общественных работ), она все более и более
математизируется и становится центром общенаучной
подготовки инженеров, которые после прохождения ее курса
специализируются затем в одной из отраслевых
технических высших школ. Здесь впервые учащиеся встретились
с настоящей математикой и с настоящей теоретической
наукой; Монж добился того, что начертательная гсомет-
174

рия и геометрия вообще стали важнейшими, иногда даже
определяющими предметами учебного курса.
Влияние Политехнической школы на систему
образования не ограничилось Францией, где эта школа
оказалась одним из важнейших центров математической
подготовки. Ее влияние на становление высшего
технического образования в европейских странах началось еще при
жизни Монжа.
В ноябре 1802 г. в Мадриде открылась Школа
инженеров дорог, каналов и мостов. Ее основатель — Бетанкур
был одним из первых, кто воспринял идеи Монжа в науке о
машинах и развил их далее в направлении, указанном
Монжем. Бетанкур был хорошо знаком с Перроне и с
Парижской школой мостов и дорог, поэтому в мадридской
школе нашли свое отражение идеи Перроне и Монжа.
В качестве профессоров Бетанкур пригласил лучших
испанских математиков. Учебный курс, как и в
Политехнической школе, был рассчитан на два года: в течение
первого года учащиеся изучали механику, гидравлику,
начертательную геометрию, ведение земляных работ,
черчение; курс второго года посвящался изучению
строительных материалов, производству работ при строительстве
мостов, путей и каналов как судоходных, так и
ирригационных, а также производству ремонтных работ.
Мадридская школа просуществовала недолго: 2 мая
1808 г. она была разгромлена наполеоновской
артиллерией, а в 1814 г. упразднена за ненадобностью. Средства
школы переданы вновь учрежденной кафедре тавромахии
(тавромахия — бой быков). Школа была вновь
восстановлена в 1820 г., в 1823 г. опять распущена и окончательно
восстановлена в 1834 г. Существует она и в настоящее
время.
В ноябре 1808 г. Бетанкур был принят на русскую
службу и 15 сентября 1809 г. назначен начальником но-
воучреждаемого Института инженеров путей сообщения.
Преподавателем математики назначили академика
В. И. Висковатова, с 1810 г. профессорами института
стали ученики Монжа по Политехнической школе —
К. И. Потье и М. Г. Дестрем; позже к ним
присоединились (также воспитанники Политехнической школы)
П. П. Базен и А. Я. Фабр. В 1811 г. Бетанкур перестроил
план преподавания. Он разделил всех учащихся на
четыре бригады. В четвертой бригаде, являвшейся как бы под-
175

готовительным курсом, изучали арифметику, алгебру и
геометрию, кроме того, воспитанники должны были
сделать три копии проектов и три топографических плана.
Курс третьей бригады включал тригонометрию,
приложение алгебры к геометрии, дифференциальное и
интегральное исчисления, геодезию, начертательную геометрию.
К экзамену воспитанники должны были подготовить два
чертежа сооружений пером, два — красками или тушью,
четыре чертежа фасадов зданий и одну перспективу.
Вторая бригада перед началом курса работала на практике.
Курс состоял из механики, гражданской архитектуры;
изучались также резка камней и плотничное искусство.
К экзамену требовалось подготовить проекты по резке
камней, плотничному искусству и архитектуре. Первая
бригада также начинала курс с практики. Курс состоял
из приложений механики к устойчивости зданий и к
машинам (из гражданского и военного строительства). По
каждому из технических курсов учащиеся должны были
составить по два проекта.
Так отразились идеи Монжа при создании испанской
и русской школ для подготовки инженеров-путейцев.
И там и здесь был использован опыт Политехнической
школы, но применительно к условиям обеих стран (в
которых сооружение путей сообщения было первостепенной
и важной технической задачей) они стали школами
специальными.
Бросается в глаза резкое различие между программами
горного и путейского институтов: горный полностью
принадлежал XVIII столетию. После Политехнической школы
испанский и русский институты были первыми учебными
заведениями, в которых преподавалась начертательная
геометрия по Монжу.
Первым политехническим институтом в Средней
Европе стал Пражский, основанный в 1806 г. на базе Школы
гражданских инженеров, преподавание в котором в
определенной степени было подобным Парижской
политехнической школе. Организатором и первым директором его
был выдающийся чешский ученый, механик и
машиновед Ф. И. Герстнер. В 1815 г. был основан
Политехнический институт в Вене, в 1825 г.— Политехническая
школа в Карлсруэ, в 1827 г.— высшие технические
школы в Мюнхене и Нюрнберге, в 1828 г. — в Дрездене,
в 1831 г.— в Ганновере, в 1840 г. — Политехническая
176

школа в Штуттгарте. Все эти учебные заведения в
определенной степени копировали Парижскую
политехническую школу. Вся система образования в этих школах
строилась на базе глубокой общеобразовательной
подготовки по высшей математике, механике, физике, химии.
Важное значение приобрели начертательная геометрия и
основанное на ней техническое черчение; преподавались
они по Монжу.
Однако, как в Испании и России, германские высшие
технические школы очень быстро начали «отходить» от
своего прообраза — Парижской политехнической школы.
С научной точки зрения они сравнялись с
университетами и стали центрами, где создавались прикладная и
техническая наука. Но система образования стала иной, на
что повлияло и экономическое положение европейских
стран в связи с проходившим промышленным переворотом,
и их социальная структура, и влияние университетов,
которые в Германии занимали иное, более значительное
положение, чем во Франции.
Голландские и бельгийские технические школы также
испытали сильное влияние Политехнической школы.
В Швеции Политехнический институт организовал
приглашенный для этой цели ученик Монжа — Т. Оливье.
Подобное наблюдалось и в других странах.
Не избежали влияния Политехнической школы и
Соединенные Штаты Америки. Здесь первым техническим
учебным заведением была Вест-Пойнтская военная
академия, основанная по решению Конгресса в 1802 г.
В 1817 г. она была преобразована по французскому
образцу: принятая система обучения напоминала
Политехническую школу. По образцу Вест-Пойнтской военной
академии создавались и другие высшие технические
школы США.
Таким образом, влияние педагогических идей Монжа
оказалось весьма значительным и как бы ни расценивать
дальнейшее развитие высших технических школ, каждая
из которых приобрела свое собственное лицо,
существенная роль начертательной геометрии в инженерном
образовании осталась неизменной и вряд ли изменится.

Литература
Основные работы Монжа
1. Mémoire sur la détermination des fonctions arbitraires dans les
intégrales de quelques équations aux différences partielles.— Mém.
Turin, années 1770—1773, t. 5, pt. 2, p. 16—78, Turin, 1776.
2. Second mémoire sur le calcul intégral de quelques équations aux
différences partielles.— Ibidem, p. 79—122.
3. Mémoire sur la construction des fonctions arbitraires qui entrent
dans les intégrales des équations aux différences partielles.—
Mém. div. savantes, année 1773, t. 7, pt. 2, p. 267—300, 1776.
4. Mémoire sur la détermination des fonctions arbitraires qui
entrent dans les intégrales équations aux différences partielles.—
Ibidem, p. 305—327.
5. Réflexions sur un tour de cartes.— Ibidem, p. 390—412.
6. Mémoire sur les fonctions arbitraires continues ou discontinues
qui entrent dans les intégrales des équations aux différences
finies.— Mém. div. savantes, 1780, t. 9, p. 345—381.
7. Mémoire sur les propriétés de plusieurs genres de surfaces
courbes, particulièrement sur celles des surfaces développables, avec
une Application à la Théorie des Ombres et des pénombres.—
Ibidem., p. 382—440.
8. Mémoire sur la théorie des déblais et des remblais.— Hist. Acad,
sci., (1781), pt. 2, 1784, p. 666—704.
9. Mémoire sur les développées, les rayons de courbure et les
différents genres d'inflexions des courbes à double courbure.— Mém.
div. savantes, 1785, t. 10, p. 511—550.
10. Sur l'expression analytique de la génération des surfaces
courbes.—Mém. Turin, 2e sér., années 1784—1785, t. I, pt. 1. Turin.
1786, p. 19—30.
11. Sur l'intégration de i'équation aux différences partielles
ddz ddz ddz
L -t-2~ + M 7 i -\-N -г— = 0 dans laquelle les coefficients
L, M, N sont quelcon ques.— Ibidem, p. 31—33.
12. Mémoire sur le résultat de l'inflammation du gaz inflammable et
de l'air déphlogistiqué dans les vaisseaux clos.— Hist. Acad, sci.,
(1783), Paris, 1786, p. 78—88.
13. Mémoire sur une méthode d'intégrer les équations aux
différences ordinaires, lorsqu'elles sont élevées et dans les cas où
leurs intégrales complètes sont algébriques.— Ibidem, p. 719—724.
178

14. Mémoire sur Intégration des équations aux différences finies
qui ne sont pas linéaires.— Ibidem, p. 725—730.
15. Mémoire sur l'expression analytique de la génération des
surfaces courbes.—Hist, Acad, sci., (1784), Paris, 1787, p. 85—117.
16. Mémoire sur le calcul intégral des équations aux différences
partielles.— Ibidem, p. 118—192.
17. Supplement où l'on fait voir que les équations aux différences
ordinaires, pour lesquelles les conditions d'intégration ne sont
pas satisfaites, sont susceptibles d'une véritable intégration, et
que c'est de cette intégration que dépend celle des équations aux
différences partielles élevées.— Ibidem, p. 502—576.
18. Traité élémentaire de statique à l'usage des collèges de la Marine.
Paris, 1788; 2 éd. Paris, 1795; 3 éd. Paris> 1799; 4 éd. Paris, 1801;
5 éd. Paris, 1810; 6 éd. Paris, 1826; 7 éd. Paris, 1835; 8 éd. Paris,
1846.
19. Mémoire sur le fer considéré dans ses différents états métalliques
(avec Vandermonde et Berthollet).— Hist, Acad, sci., (1786),
Paris, 1788, p. 132—200.
20. Mémoire sur l'effet des étincelles électriques, excitées dans l'air
fixe.— Ibidem, p. 430—439.
21. Mémoire sur quelques effets d'attraction ou de répulsion
apparente entre les molécules de matière.—Hist, Acad, sci., (1787),
Paris, 1789, p. 506—525.
22. Mémoire sur la cause des principaux phénomènes de la
météorologie.— Annales de chimie. 1790, t. V. Paris, p. 1—71.
23. Mémoire sur quelques phénomènes de la vision.— Annales de
chimie, 1789, t, III, Paris, p. 131—147.
24. Observations sur le mécanisme du feutrage.— Annales de chimie,
1790, t. VI, Paris, p. 300—311.
25. Sur la théorie du calorique.— Journal gratuit, 1790, t. 14, p. 26, 32,
41—44, 49—53, 66—67, 81—83.
26. Rapport fait à l'Académie le 19 mars 1791, sur le choix d'une
unité de mesure (avec Borda, Lagrange, Condorcet).— Hist. Acad,
sci., (1788), Paris, 1791, p. 7—17.
27. Rapport fait à l'Académie des sciences sur le système général des
poids et mesures (avec Borda et Lagrange).— Hist. Acad, sci.,
(1789), Paris, 1793, pp. 1—18.
28. Avis aux ouvriers en fer sur la fabrication de l'acier (avec
Berthollet et Vandermonde).—J. phys., 1793, t. 43, Paris, p. 373—386.
29. Description de l'art de fabriquer les canons, faite en execution de
l'arrêt du Comité de Salut Public du 18 pluviôse de l'an II. Paris,
an II.
30. Développement sur l'enseignement à l'École Centrale des travaux
publics (avec Fourcroy) ; en annexe au Rapport de Fourcroy.
Paris, 1794.
31. Texte des leçons de géométrie descriptive données à l'École
Normale.— Seances des Écoles Normales, revues par des professeurs.
Paris, 1795, t. 1, p. 49-64; p. 278-285; p. 401—413; t. 2, p. 149—
171; p. 338-368; t. 3, p. 61—106; p. 332-356; t. 4, p. 87—99; 291—
313; t. 7 (débats), p. 28—34; p. 63-74; p. 141—151.
32. Feuilles d'Analyse appliquée à la géométrie à l'usage de l'École
Polytechnique, 28 feuilles. Paris, 1795; 2 éd. Paris, an IX (1801),
34 feuilles.
179

33. Stéréotomie.— Journ. Êc. Polyt, 1795, 1 cahier, pp. 1—14.
34. Sur les lignes de courbure de la surface de l'ellipsoïde.— J.
École polytechn., 1796, cahier 2, p. 145—165.
35. Géométrie descriptive. Leçons données aux Écoles Normales, l'an
III (1799); 3 éd. Paris, 1811; 4 éd. Paris, 1820; 5 éd. Paris, 1827;
6 éd. Paris, 1838; 7 éd. Paris, 1847.
36. Des courbes à double courbure.— J. École polytechn., 1799, cahier
6, Paris, p. 345—364.
37. Notice sur la fabrication du fromage de Lodézan, connu sous le
nom de Parmézan.— Annales de chimie, 1799, t. 32, p. 287—295.
38. Mémoire sur le phénomène d'optique connu sons le nom de
mirage.— Decade égyptienne, 1799, t. I, Gaïre, p. 37—46.
39. Observation sur la fontaine de Moyse.— Ibidem, t. 3, p. 272—277.
40. Mémoire sur la surface courbe dont toutes les normales sont
tangentes à la surface d'une même sphère.— J. École polytechn.,
1802, cahier 11, p. 28—58.
41. Mémoire sur la surface courbe dont toutes les normales sont
tangentes à une même conique à base arbitraire.— Ibidem, p. 58—86.
42. Application d'algèbre à la géométrie (avec Hachette).— Ibidem
p. 143—169.
43. Application de l'algèbre à la géométrie à l'usage de l'École
impériale Polytechnique (avec Hachette). Paris. 1805.
44. De l'intégrale de l'équation différentielle à deux variables
dy
y = xFp—//?; F et f étant des fonctions quelconques de p = jzr- —
Correspondance sur l'École polytechn. an XIII (1805), 4 p. 73—74.
45. Mémoire sur la surface courbe dont toutes les normales sont
tangentes à une même surface développable quelconque.— J.
École polytechn., 1806, cahier 13, p. 1—40.
46. Second mémoire sur la surface courbe qui enveloppe l'espace
parcouru par une sphère variable de rayon, et dont le centre
parcourt une courbe à double courbure quelconque.— Ibidem," p. 41—
59.
47. Feuilles d'Analyse..., 5 éd., sous le titre Application de l'Analyse
à la Géométrie, comprenant en 1-re partie paginée à part une
réédition de l'Application d'Algèbre à la Géométrie, Paris, 1807; 4 éd.,
Paris, 1809; 5 éd., Paris, 1850 (avec une mémoire de Gauss et les
notes de Liouville).
48. Analyse appliquée à la géométrie. Problème: trouver l'équation
de la surface développable qui a pour arête de rebroussement une
courbe à double courbure dont on connaît l'équation aux
différences ordinaires.— Correspondence sur l'École polytechn., 1807, t. I,
7, 8, Paris, p. 209—211.
49. Des relations qui existent entre les coordonnées des points où trois
droites rectangulaires, passant par le centre de la sphère,
coupent la surface de cette aphère.— Ibidem, p. 211—213.
50. Sur la théorie des ombres et la perspective, sur les points
brillantes des surfaces courbes (avec Hachette).—Ibidem, p. 295—
305.
51. Sur quelques propriétés de la pyramide triangular.—
Correspondence sur l'Ecole polytechn., 1808, t. 1,10, p. 440—444, Paris.
52. Sur la pyramide triangular.— Correspondence sur l'Ecole
polytechn., 1809, t. II, 1, p. 1—6, Paris.
180

53. Essai d'application de l'Analyse à quelques questions de
géométrie élémentaire.— J.Ecole polytechn., 1809, cahier 15, 68—117.
54. Construction de l'équation des cordes vibrantes.— Ibidem,
p. 118-145.
55. Sur les équations différentielles des courbes du second degré.—
Correspondence sur l'Ecole polytechn., 1810, t. II, 2, p. 51—54,
Paris.
56. Sur la pyramide triangular.— Correspondence sur l'Ecole
polytechn., 1811, t. II, 3, p. 263—266, Paris.
57. Des surfaces du second degré (avec Hachette).—Correspondence
sur l'Ecole polytechn., 1812, t. II, 4 p. 313—319, Paris.
58. Des propriétés générales des surfaces du second degré.— Ibidem,
p. 319—329. ч
59. Sur le diamètres principaux des surfaces du second degré, de la
grandeur de ces diamètres.— Correspondence sur l'Ecole
polytechn., 1813, t. IL 5, p. 415—417, Paris.
60. Note sur la solution de M. Giorgini et sur les quadrilatères
gauches.— Ibidem, p. 445—446.
61. Du centre de similitude de deux courbes semblables.—
Correspondence sur l'Ecole polytechn., 1814, t. III, 1, p. 4—5, Paris.
62. Démonstration d'un théorème de géométrie analytique.—
Correspondence sur l'Ecole polytechn., 1815, t. III, 2, p. 152—159, Paris.
63. Solution graphique de l'équation du troisième degré.— Ibidem,
p. 200—204.
64. Théorème de géométrie.— Correspondence sur l'Ecole polytechn.,
1816, t. III, 3, p. 289—302, Paris.
Работы Мошка, переведенные на русский язык
1. Монж Г. Искусство лить пушки. СПб., 1804.
2. Монж Г. Начальные основания статики или равновесия
твердых тел для водоходных училищ. СПб, 1803:
Начальные основания статики. СПб, 1825.
Элементарный курс статики. М., 1847.
3. Монж Гаспар. Приложение анализа к геометрии. Под
редакцией, с примечаниями и с приложением статьи («Возникновение
дифференциальной геометрии» М. Я. Выгодского. М— Л., ОНТИ,
1936.
4. Монж Гаспар. Начертательная геометрия. Комментарии и
редакция Д. И. Каргина. М., Изд-во АН СССР, 1947.
Литература о Монже
1. Гаспар Монж. Сборник статей к 200-летию со дня рождения.
М., Изд-во АН СССР, 1947.
2. Рынин Н. А. Материалы к истории начертательной геометрии.
Л., 1938.
3. Рынин Н. А. Начертательная геометрия. Ортогональные
проекции (Метод Монжа). Пгр., 1916.
4. Выгодский М. Я. Возникновение дифференциальной
геометрии,— Архив истории науки и техники. М., 1935, вып. 6, с. 63—
96.
181

Ь. Староселъская-Йикитина О. Очерки По истории науки и
техники периода Французской буржуазной революции 1789—1794.
М.—Л., 1946.
6. История математики с древнейших времен до начала XIX
столетия. Под ред. А. П. Юшкевича. Т. III. Математика XVIII
столетия. М., «Наука», 1972.
7. Taton R. L'oeuvre scientifique de Monge. Paris, 1951.
8. Brisson. Notice historique sur Gaspard Monge. Paris, 1818.
9. Dupin Ch. Eloge historique sur les services et lés travaux
scientifiques de Gaspard Monge. Paris, 1819.
10. Arago F. Biographie de Gaspard Monge, lue à la séance publique
du 11 niai 1846.— Mémoires de l'Académie des sciences. Paris.
1854, t. XXIV, p. I—GLVII; Tiré à part, Paris, 1853; Oeuvres
complètes de Arago, t. II, 1854, p. 426—592; Monge. Paris, 1965.
То же на русском яз.: Биографии знаменитых астрономов,
физиков и геометров, т. I. СПб., 1859, с. 499—589.
11. АиЪгу Р. V. Monge le savant ami de Napoleon Bonaparte. Paris,
1954.
12. D'Ocagne M. Hommes et choses, propos familiers. Paris, 1930.,
p. 99—105: Gaspard Monge, père des polytechniciens.
13. Launay L. Un grand Erançais: Monge, fondateur de l'École
Polytechnique. Paris, 1933.
14. Cartan E. Gaspard Monge. Sa vie, son oeuvre.— C.r. Acad. sci.,
1946, t. 223, Paris, p. 1049—1054.
15. Cartan E. Gaspard Monge, sa vie, son oeuvre. Paris, 1948.
16. Sergescu P. La vie et l'oeuvre de Gaspard Monge.— Sciences,
1947, № 54, p. 288-310.
17. Boyer С. B. History of analytic geometry. New York, 1956.
18. Fourcy A. Histoire de l'École Polytechnique. Paris, 1828.
19. Cantor M. Vorlesungen tiber Geschichte der Mathematik, Bd. 4
(1759—1799). Leipzig, 1908.
20. Chasles M. Aperçu historique sur l'origine et le développement
des méthodes en géométrie, partialiérement de celles qui se
rapportent à la géométrie moderne. Bruxelles, 1837. Русский
перевод: Шаль M. Исторический обзор происхождения и развития
геометрических методов. М., 1883.
21. Coolidge J. L. A History of geometrical methods. Oxford, 1940;
2 éd., 1947.
22. Coolidge J. L. A History of the conic sections and quadric surfaces.
Oxford, 1945.
23. Klein F. Vorlesungen tiber die Entwicklung der Mathematik in
19 Jahrhundert Bd. I, Berlin, 1926; Bd. II, Berlin, 1927. Русский
перевод (только 1-го тома) : Клейн Ф. Лекции о развитии
математики в XIX столетии, ч. I. М.—Л., ОНТИ, 1937.
24. Loria G. Storia délia geometria descrittiva délie origini sin ai
giorni nostri. Milano, 1921.
25. Loria G. Il passato e il présente délie principali teorie geometri-
che. Storia e hibliografia. 4 éd. Padova 1931.
26. Loria G. Storia délie mathematiche, 3 vis. 1929, 1931, 1933; 2 éd.
Milano, 1950 (unico volume).
27. Loria G. Guida allô studio délia storia délie mathematiche. 2 éd.
Milano, 1946.
28. Montucla. Histoire des Mathématiques,, t. 3. 2 éd. Paris, 1802.
182

29. Nielsen N. Géomètres français du dix-huitième siècle.
Copenhague — Paris, 1935.
30. Nielsen N. Géomètres français sous la Révolution. Copenhague,
1929.
31. Obenrauch F.-J. Geschichte der darstellenden und projectiven
Géométrie. Brtinn. 1897.
32. Struik D.-J. Outline of a history of differential geometry.— lis,
t, 19, 1933, p. 92-120; t 20, 1934, pp. 161-191.
33. Struik D.-J. A concise history of mathematics. New York, 1948,
2 vis. Русский перевод: Стройк Д. Я. Краткий очерк истории
математики. М., Изд-во АН СССР, 1964.
34. Kline Morris. Mathematics in Western Culture. New York, 1953.
35. Kline Morris. Mathematical thought from ancient to modern
times. New York — Oxford, 1972.
36. Bochner S. The role of mathematics in the rise of science.
Princeton, 1966.
37. Mousnier R. Progrès scientifique et technique au XVIII siècle.
Paris, 1958.
38. Enseignement et diffusion des sciences en France au XVIII siècle.
Talon R. (Ed). Paris, 1964.

Оглавление
Глава первая
Бон. Мезьер. Париж 5
Глава вторая
В годы революции 24
Глава третья
Развитие начертательной геометрии 42
Глава четвертая
Вклад в аналитическую геометрию 69
Глава пятая
Исследования по дифференциальной геометрии .... 86
Глава шестая
Италия. Египетский поход ИЗ
Глава седьмая
Политехническая школа. Теория построения машин . . 132
Глава восьмая
Последние годы жизни 148
Глава девятая
Научное наследие 156
Литература 178