Author: Лидл Р. Нидеррайтер Г.
Tags: алгебра математика теория конечных полей
ISBN: 5-03-000065-8
Year: 1988
Text
ББК 22.144
Л55
УДК 512.62
Лидл Р., Нидеррайтер Г.
Л55 Конечные поля: В 2-х т. Т. 1. Пер. с англ. — М.: Мир,
1988. — 430 с.
ISBN 5-03-000065-8
Монография известных математиков (Австралия, Австрия), отража-
отражающая многочисленные связи классического раздела алгебры — теории
конечных полей — с комбинаторикой, теорией кодирования, теорией
автоматов. Изложение отличается простотой и ясностью, большим числом
(около 600) примеров и упражнений, имеются комментарии исторического
характера. Книга входит в известиую энциклопедию математики и ее при-
приложений (под ред. Дж.-К. Роты); ряд ее томов переведен в издатель-
издательствах «Мир» и «Наука».
Русское издание выходит в двух томах.
Для математиков-прикладииков, инженеров-исследователей, аспиран-
аспирантов и студентов университетов.
1702030000—273
1 041 @1)—88
8—88, ч. 1
ББК 22.144
Редакция литературы по математическим наукам
ISBN 5-03-000065-8 (русск.)
ISBN 5-03-000064-Х
ISBN 0-20I-13519-1 (англ.)
© Cambridge University Press 1985 !
This book was originally published in 'j
the English language by Cambridge *
University Press of Cambridge, Eng- "
land.
© перевод на русский язык, с дополне-
дополнениями, «Мир», 1988
От редактора перевода
Конечные поля стали изучаться в начале XIX в. Этому пред-
предшествовали исследования выдающихся математиков XVII и
XVIII в. Но бесспорные заслуги в формировании этого понятия
принадлежат Гауссу и Галуа. Длительное время конечные поля
изучались и находили применение только в алгебре и теории
чисел, однако в последние десятилетия грани соприкосновения
теории конечных полей с разными областями математики и ее
прикладными разделами существенно расширились. Теория чи-
чисел, теория полей, теория групп, алгебраическая геометрия,
комбинаторика, теория кодирования — вот далеко не полный
перечень разделов математики, с которыми эта теория успешно
взаимодействует.
К настоящему времени по теории конечных полей и ее при-
приложениям накопился значительный материал, который разбросан
по многочисленным изданиям журнального типа, и вызывает
удивление, что до недавних пор ни у нас, ни за рубежом не было
монографии по теории конечных полей. Предлагаемая вниманию
читателей книга Лидла и Нидеррайтера восполняет этот пробел.
Хочется отметить ряд ее несомненных достоинств. Книга на-
написана простым и ясным языком, авторы избегают излишней
формализации, текст сопровождается большим числом примеров
и упражнений. В первой главе излагаются все необходимые
сведения из алгебры и теории чисел, а последняя содержит таб-
таблицы индексов, логарифмов Якоби, неприводимых и примитив-
примитивных многочленов. Исключительно ценными являются обширные
комментарии, которыми оканчивается каждая глава. Они вклю-
включают в себя исторические сведения и указывают связи рассма-
рассматриваемых вопросов с другими разделами математики. В этих
комментариях обсуждаются также различные подходы к изла-
излагаемому материалу. И наконец, книга содержит уникальную
по полноте библиографию, занимающую около четверти ее объема
и охватывающую практически все монографии и журнальные
статьи по этой тематике вплоть до 1983 г.
Все это делает книгу доступной для широкого круга чита-
читателей и весьма ценным справочным пособием для всех специа-
специалистов, исследования которых связаны с конечными полями.
От редактора перевода
Она также может быть эффективно использована при подготовке
студентов и аспирантов математических факультетов универси-
университетов и педвузов.
В процессе перевода в список литературы был добавлен ряд
названий. Они помещены отдельным списком и отмечены звез-
звездочкой. Добавлено также несколько примечаний, которые либо
имеют целью дополнить даваемую авторами историческую пер-
перспективу, либо носят характер уточнений.
Русское издание выходит в двух томах. Перевод первых шести
глав выполнен В. И. Петровым, остальных — А. Е. Жуковым.
В. И. Нечаев
От редактора Энциклопедии
Математика состоит главным образом из фактов, которые
можно представить и описать подобно любому явлению природы.
Эти факты, сформулированные явно в виде теорем или скры-
скрытые внутри доказательств, составляют основную часть приложе-
приложений математики и, вероятно, переживут все изменения матема-
математических вкусов и интересов.
Цель настоящей Энциклопедии — постараться осветить все
области математики. Непременным требованием к автору является
ясность изложения материала, доступность для неспециалистов,
а также наличие подробной библиографии. Тома Энциклопедии
объединяются в серии, которые соответствуют различным областям
современной математики; порядок выхода книг в отдельных
сериях не устанавливается. Число томов и серий будет по мере
надобности пересматриваться.
Мы надеемся, что наше предприятие будет способствовать еще
более широкому применению математики там, где без нее нельзя
обойтись, и сделает возможным ее применение в тех областях, где
она могла бы быть полезной, но куда еще не проникла ввиду
недостатка информации.
Джан- Карло Рота
Предисловие редактора серии
В большинстве книг по современной алгебре конечным полям
обычно уделяется лишь несколько страниц. Поэтому на первый
взгляд может показаться удивительным появление целой книги,
посвященной теории конечных полей, да> еще вышедшей в серии
«Энциклопедия математики и ее приложений». Одн*ако читатель
этой книги увидит, что ее авторы выполнили в высшей степени
своевременную задачу, собрав воедино различные линии развития,
обязанные своим возникновением данному предмету. В первую
очередь следует отметить бурно развивающуюся теорию коди-
кодирования (которой в этой серии уже была посвящена монография
Макэлайса). В настоящем издании теория кодирования трак-
трактуется в более широком контексте теории многочленов над конеч-
конечными полями, и при этом устанавливается ее связь с линейными
рекуррентными последовательностями и регистрами сдвига.
Что же касается «чистой» (т. е. теоретической) стороны, то
имеется большая область теории чисел, которая наиболее естес-
естественно описывается в терминах конечных полей. Многое из из-
изложенного здесь (например, тригонометрические суммы и урав-
уравнения над конечными полями) может служить образцом для
более общего случая, и авторы продвигаются так далеко, как это
только возможно при использовании лишь элементарных алгеб-
алгебраических методов. В результате книга может служить введением
в указанную область.
Но конечные поля обладают такими свойствами, которые при-
присущи далеко не всем алгебраическим объектам. Например, они
(как, впрочем, и конечные булевы алгебры) функционально
полны. Это значит, что любое отображение конечного поля
в себя можно представить с помощью некоторого многочлена.
Доказательство этого факта несложно (оно вытекает, например,
из интерполяционной формулы Лагранжа), однако при отыска-
отыскании многочленов, осуществляющих перестановки, возникает це-
целый ряд практических проблем. Такие перестановочные много-
многочлены используются в самых разных областях, и в данной книге
излагаются методы их отыскания. Настоящее издание, вполне
соответствуя своему назначению настольной книги для при-
прикладников, содержит множество разнообразных алгоритмов
Предисловие редактора серии
разложения многочленов на множители — как над большими,
так и над малыми конечными полями.
Обширные комментарии в конце каждой главы дают интерес-
интересную историческую перспективу, а исчерпывающая библиография
делает данный выпуск Энциклопедии настоящим справочником
по конечным полям,
Я. М. Кон
Памеле и Герлинде
Предисловие
Теория конечных полей — это ветвь современной алгебры,
ставшая за последние полвека весьма актуальной в связи с раз-
разнообразными приложениями, в том числе в комбинаторике,
теории кодирования и математической теории переключательных
схем. Начала теории восходят к XVII и XVIII в. и связаны с име-
именами выдающихся математиков Пьера Ферма A601 —1665), Лео-
Леонарда Эйлера A707—1783), Жозефа-Луи Лагранжа A730—1813)
и Адриена-Мари Лежандра A752—1833), которые внесли вклад
в структурную теорию простых конечных полей. Что же касается
общей теории конечных полей, то она началась с работ Карла-
Фридриха Гаусса A777—1855) и Эвариста Галуа A811—1832),
но привлекла внимание прикладников лишь в последние десяти-
десятилетия, когда резко возросло значение дискретной математики.
В данной монографии, первой книге, целиком посвященной
конечным полям, мы хотим представить оба аспекта этого пред-
предмета — как классический, так и прикладной. Таким образом,
читатель найдет здесь не только вопросы, представляющие собой
неотъемлемую сущность теории, но также и те результаты и тех-
технические приемы, которые важны главным образом в связи с их
использованием в приложениях. Ввиду обширности предмета на
выбор материала были наложены жесткие ограничения. Пытаясь
сделать книгу по возможности замкнутой в себе, мы воздержива-
воздерживались от включения в нее результатов и методов, принадлежащих
собственно алгебраической геометрии или теории полей алге-
алгебраических функций. Приложения описываются лишь в пределах,
позволяющих обходиться без слишком больших отступлений.
Для чтения книги требуются только знание основ линейной ал-
алгебры (в пределах первого курса) и некоторые элементарные
познания из анализа. Предварительное знакомство с абстрактной
алгеброй, безусловно, полезно, хотя все необходимые сведения
приводятся в гл. 1.
Глава 2 занимает в книге центральное место в силу того, что
знакомит с общей структурой конечных полей, а также с основ-
основными понятиями, используемыми во всей книге. Третья глава,
посвященная теории многочленов, тесно связана с четвертой,
рассматривающей алгоритмы разложения многочленов на мно-
Предисловие 11
жители, так что их целесообразно изучать вместе. Столь же
тесно связаны гл. 5 и 6, касающиеся тригонометрических сумм.
Главы 7 и 8 можно читать независимо друг от друга, они опира-
опираются в основном на вторую и третью главы. Приложения, пред-
представленные в девятой главе, базируются на материале из пред-
предшествующих глав. Глава 10 дополняет некоторые части гл. 2 и 3.
Каждая глава открывается кратким обзором ее содержания,
поэтому приводить этот обзор в предисловии необязательно.
Поскольку данная монография является частью энциклопедиче-
энциклопедической серии, мы стремились дать как можно больше информации
при заданном объеме, а это, в частности, привело к исключению
некоторых громоздких доказательств. Чтобы не усложнять
основной текст, мы вынесли библиографические ссылки в ком-
комментарии в конце каждой главы. Эти комментарии, кроме того,
снабжают читателя обзором литературы и сводкой дальнейших
результатов. В конце книги собрана воедино вся литература,
которая упоминалась в комментариях.
Для повышения привлекательности данной монографии как
учебного пособия мы поместили в подходящих местах текста
разобранные примеры и снабдили каждую главу (кроме послед-
последней) списком упражнений. Упражнения эти весьма разнятся по
сложности — от обычных задач до самостоятельных доказательств
ключевых теорем. Они включают также материал, не охвачен-
охваченный основным текстом.
Что касается перекрестных ссылок, то мы перенумеровали
все отдельные пункты основного текста последовательно по гла-
главам — независимо от того, определения ли это, теоремы, при-
примеры и т. п. Таким образом, например, «определение 2.41» отсы-
отсылает к п. 41 гл. 2 (который оказывается определением), а «заме-
«замечание 6.28» отсылает к п. 28 гл. 6 (который оказывается заме-
замечанием). Аналогично «упражнение 5.31» отсылает к списку упраж-
упражнений к гл. 5.
Нам доставляет огромное удовольствие выразить благодар-
благодарность профессору Джану-Карло Роте за то, что он предложил
нам написать эту книгу, и за его терпение в ожидании резуль-
результатов наших усилий. Мы признательны за помощь госпоже Ме-
лании Бартон, которая с большой тщательностью и умением
отпечатала нашу рукопись, и, наконец, мы благодарим весь пер-
персонал издательства Addison-Wesley за высокий профессионализм
при создании этой книги.
Р. Л ид л, Г. Нидеррайтер
Глава 1
Алгебраические основы
Эта вводная глава содержит обзор некоторых основных алге-
алгебраических понятий, которые используются в книге. В элемен-
элементарной алгебре применение арифметических операций (например,
сложения и умножения) с заменой конкретных чисел символами
обеспечивает возможность получения формул, которые при под-
подстановке чисел вместо символов дают решение частных числовых
задач. В современной алгебре уровень абстракции возрастает:
от обычных операций над действительными числами переходят
к общим операциям—процессам образования в некотором мно-
множестве общего вида из двух или более данных элементов некото-
некоторого нового элемента. При этом ставится цель изучить общие
свойства всевозможных систем, состоящих из множества и неко-
некоторого числа заданных на нем и определенным образом взаимо-
взаимодействующих операций, например множества с двумя бинарными
операциями, взаимодействующими подобно сложению и умноже-
умножению действительных чисел.
Мы рассмотрим лишь самые основные определения и свой-
свойства алгебраических систем (т. е. множеств с одной или несколь-
несколькими операциями на них), сознательно ограничив себя тем мини-
минимумом теории, который необходим для нашей основной цели —
изучения конечных полей. При этом некоторые стандартные
результаты мы сообщим без доказательства. В вопросе о множе-
множествах мы принимаем наивную точку зрения. Будем использовать
следующие числовые множества: Ы — множество натуральных,
Ж — целых, Q — рациональных, R — действительных и С —
комплексных чисел.
§ 1. Группы
Известны две операции на множестве Z целых чисел — сло-
сложение и умножение. Обобщим понятие операции на произволь-
произвольное множество.
Пусть S — некоторое множество, и пусть S x S обозначает
множество упорядоченных пар (s, t), где s ? S, t ? S. Тогда
произвольное отображение из S x S в S мы будем называть
(бинарной) операцией на множестве S. В этом определении мы
§ 1. Группы 13
требуем, чтобы образ каждой пары (s, t) ? S x S был непре-
непременно элементом множества S — это так называемое свойство
замкнутости операции. Под алгебраической системой или алге-
алгебраической структурой мы будем понимать некоторое множество S
с одной или несколькими операциями на нем.
В элементарной арифметике мы имеем дело с двумя опера-
операциями — сложением и умножением, важным свойством которых
является ассоциативность. Среди всевозможных алгебраических
систем, имеющих одну ассоциативную операцию, самыми изучен-
изученными и развитыми являются группы. Теория групп — один
из старейших разделов абстрактной алгебры, который к тому же
особенно богат приложениями.
1.1. Определение. Группой (G, *) называется некоторое мно-
множество G с бинарной операцией * на нем, для которых выпол-
выполняются следующие три условия:
1. Операция * ассоциативна, т. е. для любых а, Ь, с ? G
а * (Ь * с) = (а * Ь) * с.
2. В G существует единичный элемент (или единица) е, такой,
что для любого а ? G
3. Для каждого a (j G существует обратный элемент or1 ? G,
такой, что
а * от1 = а * а = е.
Если группа удовлетворяет также следующему условию:
4. Для любых а, Ь ? G
а * b = b * а,
то она называется абелевой (или коммутативной).
Группу (G, *) будем обозначать просто G. Легко показать,
что единичный элемент е группы G, а также обратный элемент а'1
для каждого данного элемента а ? G определяются однозначно
указанными выше условиями. Далее, для всех a, b ? G имеет
место равенство (а * b)-1 = b~l * or1. Для простоты мы часто
для групповой операции будем использовать мультипликатив-
мультипликативное обозначение • (как для обычного умножения) и вместо а * b
писать а-b или просто ab (называя этот элемент произведением
элементов а и Ь), Но необходимо подчеркнуть, что при этом мы
отнюдь не предполагаем, что операция и в самом деле является
обычным умножением. Иногда, однако, для групповой операции
бывает удобно использовать аддитивную запись и писать а + b
вместо а * b (называя этот элемент суммой элементов а и Ь),
О вместо е (называя этот элемент нулем) и —а вместо or1. Такие
14 Гл. 1. Алгебраические основы
(аддитивные) обозначения обычно резервируются для абелевых
групп.
Закон ассоциативности гарантирует, что выражение вида
аха% ... ап, где щ ? О, 1 < i < п, не содержит никакой двусмыс-
двусмысленности, так как независимо от расстановки скобок это выра-
выражение всегда представляет один и тот же элемент группы О.
Пусть а ? О и п ? IN. Будем применять запись
ап = аа ... а (п сомножителей а)
и называть элемент а" я-й степенью элемента а. Если же для
групповой операции применяется аддитивное обозначение +,
то вместо ап будем писать
па = а + а + ¦ ¦ • + а (п слагаемых а).
Используя обычные обозначения, мы получаем следующие пра-
правила:
Мультипликативные Аддитивные
обозначения обозначения
а~п = (а~1)п (—и) а = п (—а)
атап = ат+п та -\- па = (т -\- п) а
(ат)п = атп т (па) = (тп) а
Для п = 0 ? Ж полагаем а° = ев мультипликативных обозна-
обозначениях и Оа = 0 в аддитивных (здесь второй нуль является еди-
единичным элементом группы О).
1.2. Примеры
(i) Пусть О — множество целых чисел с операцией + (обыч-
(обычным сложением). Известно, что это ассоциативная операция
и что сумма двух целых чисел — однозначно определенное целое
число. Легко убедиться, что G — группа, в которой единичным
элементом является нуль 0, "а обратным для целого числа а —
противоположное число —а. Эту группу обозначают через 1.
(Н) Множество, состоящее из единственного элемента е с опе-
операцией *, определенной условием е * е = е, образует группу.
(ш) Пусть О — множество {0, 1, 2, 3, 4, 5\ остатков от де-
деления целых чисел на б, и для а, Ь ? G пусть а * Ь — остаток
от деления на 6 обычной суммы чисел а и Ь. Существование еди-
единичного элемента и обратных здесь очевидно, но для установле-
установления ассоциативности операции * требуются некоторые вычи-
вычисления. Полученную группу можно непосредственно обобщить,
заменив целое число б любым натуральным числом п. ?
Интересный класс образуют группы, в которых каждый эле-
элемент является степенью некоторого фиксированного элемента
§ 1. Группы 15
группы (при аддитивной записи говорят о кратном, а не о сте-
степени).
1.3. Определение. Мультипликативная группа G называется
циклической, если в ней имеется такой элемент а, что каждый
Элемент Ь ? G является степенью элемента а, т. е. существует
целое число k, такое, что Ь = ak. Этот элемент а называется
образующим группы О, Для циклической группы G применяют
обозначение О = (а).
Из определения сразу же следует, что каждая циклическая
группа коммутативна. Заметим также, что циклическая группа
может иметь не один образующий. Например, в аддитивной
группе Z образующим является как 1, так и —1.
Рассматривая аддитивную группу остатков от деления целых
чисел на п ? IN, обобщающую пример 1.2 (Ш), нетрудно заме-
заметить, что используемый там тип операции приводит к отношению
эквивалентности на множестве целых чисел. В общем случае
отношением эквивалентности на множестве 5 называется под-
подмножество R множества 5x5 упорядоченных пар (s, t), s,
i ? 5, обладающее следующими тремя свойствами:
(a) (s, s) ? R для всех s ? 5 (рефлексивность).
(b) Если (s, t) ? R, то (t, s) ? R (симметричность).
(c) Если (s, t), (t, u) ? R, то (s, u) ? R (транзитивность).
Элементы s, t ? 5 называются эквивалентными, если (s, t) ? R.
Наиболее простым примером отношения эквивалентности явля-
является равенство. Важно отметить, что любое отношение эквива-
эквивалентности на множестве 5 вызывает некоторое разбиение этого
множества, т. е. представление 5 в виде объединения его непу-
непустых попарно непересекающихся подмножеств. Собрав вместе
все элементы множества 5, эквивалентные некоторому фиксиро-
фиксированному элементу s ? 5, получим класс эквивалентности эле-
элемента s, обозначаемый символом
Ы = \t ? S\(s, t) ? R].
Совокупность всех различных классов эквивалентности и дает
требуемое разбиение множества 5. Заметим, что is] = it] в том
и только том случае, когда s и t эквивалентны, т. е. (s, t) ? R.
Пример 1.2 (iii) подводит к следующему понятию.
1.4. Определение. Пусть а и Ь — произвольные целые числа
ип — натуральное число. Будем говорить, что а сравнимо с Ь
по модулю п, и будем писать а = b (mod п), если разность а — Ь
делится на п, т. е. если а = b + kn для некоторого целого числа k.
Легко проверяется, что сравнимость по модулю п является
отношением эквивалентности на множестве Ж целых чисел.
Рефлексивность и симметричность его очевидны. Транзитивность
16 Гл. 1. Алгебраические основы
тоже проверяется несложно: если а = Ь + kn и Ь = с + In
для некоторых целых чисел k и /, то а = с + (k + /) п, так что
из а = b (mod n) и b = с (mod и) следует а = с (mod n).
Рассмотрим теперь классы эквивалентности, на которые отно-
отношение сравнимости по модулю п разбивает множество Ж (они
называются классами вычетов по модулю п). Ими являются мно-
множества
[0] = {..., — 2я, —п, 0, я, 2п, ...},
[1 ] = {..., —2я + 1, —я + 1, 1, я + 1, 2и + 1, ...},
[л — 1 ] = {..., —и— 1, —1, я— 1, 2я— 1, Зя— 1, ...}.
Мы можем определить на множестве {[0], [1 ], ..., In—1 ]}
классов вычетов по модулю п некоторую бинарную операцию
(которую мы снова обозначим знаком +, хотя она, конечно, не
является обычным сложением), положив
1а)+ [Ь) = ia + bl A.1)
где а и b — произвольные элементы соответствующих классов [а ]
и [Ь], а сумма а + b справа является обычной суммой чисел а
и Ь. Для того чтобы показать, что мы действительно определили
некоторую операцию, т. е. что наше определение корректно,
мы должны проверить, что класс вычетов la] + [b] однозначно
определяется классами [а ] и [6 ] и не зависит от выбора их пред-
представителей а и Ь. Доказательство этого мы оставляем читателю
в качестве упражнения. Ассоциативность операции A.1) следует
из ассоциативности обычного сложения. Единичным элементом
является [0], а обратным элементом для [а] будет [—а). Итак,
множество элементов {[0], [1], ..., [п—1 ]} образует группу
относительно операции +.
1.5. Определение. Группа, образованная множеством {[0],
[1 ], ..., [п — 1 ]} классов вычетов по модулю п с операцией A.1),
называется группой классов вычетов по модулю п и обозначается Ъп.
Группа Ж„ является циклической группой с образующим
элементом [1 ], и эта группа имеет порядок п в соответствии со
следующим определением.
1.6. Определение. Группа называется конечной (соответственно
бесконечной), если она состоит из конечного (соответственно бес-
бесконечного) числа элементов. Число элементов конечной группы
называется ее порядком. Для порядка конечной группы G будем
использовать обозначение \G\.
Существует удобный способ задания конечной группы —
в виде таблицы. Эта таблица, представляющая групповую опе-
операцию (она обычно называется таблицей групповой операции
§ 1. Группы 17
или таблицей Кэли группы), строится так: ее строки и столбцы
помечаются элементами группы и на пересечении строки, поме-
помеченной элементом а, и столбца, помеченного элементом Ь, ста-
ставится элемент аЬ.
1.7. Пример. Таблица Кэли группы Ze имеет вид
+ [0] [1] [2] [3] [4] [5]
[0J [0] [1] [2] [3] [4] [5]
[1] [И [2] [3] [4] [5] [0]
[2] [2] [3] [4] [5] [0] [1]
[3] [3] [4] [5] [0] [1] [2]
[4] [4] [5] [0] [1] [2] [3]
[5] [5] [0] [1] [2] [3] [4] ?
Каждая группа содержит некоторые подмножества, которые
сами образуют группу при той же групповой операции. Напри-
Например, таким свойством обладает подмножество {[0], [2], [4]}
группы Ze.
1.8. Определение. Подмножество Н группы G называется под-
подгруппой этой группы, если Н само образует группу относительно
операции группы G. Подгруппы группы G, отличные от триви-
тривиальных подгрупп \е\ и G, называется ее собственными подгруп-
подгруппами.
Легко проверяется, что множество всех степеней произволь-
произвольного элемента а группы G образует подгруппу этой группы,
1.9. Определение. Подгруппа группы G, состоящая из всех
степеней элемента а этой группы, называется подгруппой, порож-
порожденной элементом а, и обозначается символом (а). Эта подгруппа,
очевидно, циклическая. Если (а) — конечная подгруппа, то ее
порядок называется порядком элемента а. В противном случае а
называется элементом бесконечного порядка.
Таким образом, порядок элемента а равен наименьшему
натуральному числу k, такому, что ak = e. Нетрудно показать,
что любое целое число т, обладающее тем свойством, что ат = е,
делится на k. Если 5 — некоторое непустое подмножество груп-
группы G, то подгруппа Н группы G, состоящая из всех конечных
произведений степеней элементов из S, называется подгруппой,
порожденной множеством S, и обозначается символом (S), а
S называется множеством образующих подгруппы Н.
Для аддитивной группы Z целых чисел понятие сравнимости
по модулю п (где п — натуральное число) тесно связано с под-
подгруппой (п), порожденной элементом п, так как
а = b (mod п) ¦<=> а — Ь ? (я).
18 Гл. 1. Алгебраические основы
Таким образом, подгруппа (п) определяет отношение эквива-
эквивалентности на множестве Z. Эту ситуацию можно обобщить сле-
следующим образом,
1.10. Теорема. Если Н — подгруппа группы G, то отноше-
отношение Rh на G, определяемое условием
(а, Ь) ? RH <=> а = bh для некоторого h ? Я,
является отношением эквивалентности.
Доказательство тривиально. Соответствующие отношению RH
классы эквивалентности называются левыми смежными классами
группы О по подгруппе Я и обозначаются
аН = \ah\h ? Н\
(или а + Я = \а -\- h\h ? Н\, если О — аддитивная группа),
где а — фиксированный элемент группы G. Аналогично опре-
определяется разбиение группы G на правые смежные классы, по под-
подгруппе Я, которые имеют вид На — \ha\h ? Н\. Если О —
абелева группа, то ее левые смежные классы по подгруппе Я
совпадают с правыми.
1.11. Пример. Пусть G = Ж12, и пусть Я— подгруппа {[0],
[3], [6], [9]^. Тогда различными (левыми) смежными клас-
классами О по Н являются
[0] + Я = {[0], [3], [6], [9]},
[1] + Я={[1], [4], [7], [10]},
[2] + Я={[2], [5], [8], [И]}. D
1.12. Теорема. Если Н — конечная подгруппа группы G, то
каждый (левый или правый) смежный класс группы G по подгруппе Я
содержит столько же элементов, сколько Я.
1.13. Определение. Если подгруппа Я группы G такова,
что множество смежных классов G по Я конечно, то число этих
смежных классов называется индексом подгруппы Я в группе G
и обозначается через (G: Я).
Так как левые смежные классы группы G по подгруппе Я
образуют разбиение этой группы, то из теоремы 1.12 вытекает
следующий важный результат.
1.14. Теорема. Порядок конечной группы О равен произведе-
произведению порядка любой ее подгруппы Я на индекс (G : Я) этой под-
подгруппы в О. В частности, порядок любой подгруппы Я группы G
и ее индекс в G делят порядок группы О, и порядок любого эле-
элемента а ? О делит порядок группы G.
Подгруппы и порядки элементов для циклических групп
описываются несложно. Относящиеся к этому факты мы сумми-
суммируем в следующей теореме.
§ 1. Группы 19
1.15. Теорема.
(i) Каждая подгруппа циклической группы также является
циклической.
(ii) В конечной циклической группе (а) порядка т элемент ак
порождает подгруппу порядка m/НОД (k, m) (где НОД (k, m) —
наибольший общий делитель чисел k и т).
(ш) Если d — положительный делитель порядка т конечной
циклической группы {а), то (а) содержит единственную под-
подгруппу индекса d. Для любого положительного делителя I числа т
группа (а) содержит в точности одну подгруппу порядка I.
(i'v) Пусть I — положительный делитель порядка конечной
циклической группы {а). Тогда (а) содержит ц> (/) элементов по-
порядка I. (Здесь ф (/) — функция Эйлера, указывающая число
целых чисел k, I < k < /, которые взаимно просты с /.)
(v) Конечная циклическая группа (а) порядка т содержит
Ф (т) образующих (т. е. таких элементов аг, что (аг) = (а)).
Образующими являются те и только те степени аг элемента а,
для которых НОД (г, т) = 1.
Доказательство, (i) Пусть Н — подгруппа циклической
группы (а), такая, что Н Ф \е\. Если ап ? Н, то а~п ? Н;
поэтому Н содержит по крайней мере одну степень элемента а
с положительным показателем. Пусть d — наименьший поло-
положительный показатель, для которого ай ? Н, и пусть as ? Н.
Деление s на d дает s ~~ qd + г, 0 < г < d, q, r ? Z. Таким
образом, as (a~d)i ~ ar ^ H, что противоречит минимальности d,
если г Ф 0. Поэтому показатели всех степеней элемента а, при-
принадлежащих Н, кратны d, так что Н — (ad).
(ii) Положим d = НОД (k, m). Порядок группы (а*) — наи-
наименьшее натуральное число п, такое, что акп = е. Последнее
равенство справедливо тогда и только тогда, когда число т делит
число kn, т. е. тогда и только тогда, когда mid делит п. Наимень-
Наименьшее натуральное число п с таким свойством есть mid.
(iii) Если d задано, то (ad) является подгруппой порядка mid
группы (а) и потому имеет индекс d в (а) ввиду (ii). Если (а''} —
Другая подгруппа индекса d группы (а), то ее порядок равен
tnld, так что d = НОД (k, т) в силу (ii). В частности, d делит k,
так что ak ? (ad) и (а*) является подгруппой группы (ad).
Но так как обе группы одного порядка, то они совпадают. Вторая
часть вытекает из того факта, что подгруппами порядка / яв-
являются те и только те подгруппы, индексы которых равны mil.
(iv) Пусть | (а) \ = т и т — dl. В силу (ii) элемент ak имеет
порядок / в том и только том случае, если НОД (k, m) = d.
Поэтому число элементов порядка / равно количеству целых
чисел k, 1 < k < т, для которых НОД (k, m) == d. Значит,
k ~ dh, где 1 < h < /, и тогда условие НОД {k, т) = d эквива-
20 Гл. 1. Алгебраические основы
лентно условию НОД (h, /) = 1. Количество таких чисел h
равно ф (/).
(v) Образующими группы (а) являются те и только те эле-
элементы, порядки которых равны т, так что первая часть следует
из (iv). Вторая же часть вытекает из (Н). П
При сравнении структуры двух групп весьма важную роль
играют такие отображения одной группы в другую, которые
сохраняют их операции.
1.16. Определение. Отображение /: G -> Н группы G в груп-
группу Н называется гомоморфизмом группы G в Н, если оно сохра-
сохраняет операцию группы G. Это значит, что если * и • — опера-
операции в группах G и Н соответственно, то для-- всех a, b ? G имеет
место равенство / (а * b) = /(а) ¦/(&). Если, кроме того, / —
отображение на Н, то оно называется эпиморфизмом (или гомо-
гомоморфизмом ша»), и в этом случае Я называется гомоморфным
образом группы G. Гомоморфизм группы G в G называется эндо-
эндоморфизмом этой группы. Если / — взаимно однозначный гомо-
гомоморфизм группы G на группу Н, то он называется изоморфизмом,
и в таком случае говорят, что группы G и Н изоморфны. Изо-
Изоморфизм группы G на G называется автоморфизмом этой группы.
В качестве примера рассмотрим отображение / аддитивной
группы Z целых чисел на группу Zn классов вычетов по мо-
модулю п, определяемое условием / (а) = [а]. Тогда
/ (а + Ь) = [а + Ь] = Ы + [Ь] = / (а) + f (b)
для a, b ? Z,
так что / — гомоморфизм (точнее, эпиморфизм).
Если /: О -*• Н — гомоморфизм и е — единичный элемент
группы G, то из ее = е следует / (е) f (ё) = / (е), так что / (е) =
= е' — единичный элемент группы Н. Из равенства аа~г = е
получаем / (а) = (/ (а))-1 для всех а ? G.
Автоморфизмы группы G представляют особый интерес, в част-
частности, потому, что они сами образуют группу относительно обыч-
обычной композициих) отображений (это проверяется без труда).
Важными примерами автоморфизмов группы G являются ее вну-
внутренние автоморфизмы. Внутренний автоморфизм fa опреде-
определяется для фиксированного элемента а группы G условием
/a (b) = aba~l для всех b ? G. Очевидно, что /а — автоморфизм
группы G, и все внутренние автоморфизмы группы G получаются,
когда а пробегает все элементы группы G. Элементы b и aba'1
называются сопряженными, и если S — непустое подмножество
х) Композицией отображений tp: В -* С и г|з: А -* В называется отображе-
отображение / : А -* С (обозначаемое / = ф о г|з), которое определяется условием / (а) =
= Ф (ip (а)) для любого а ? G. — Прим. перев.
§ 1. Группы 21
в G, то множество aSa'1 = \asa~1 | s ? S\ называется сопря-
сопряженным с S. Таким образом, сопряженными с S множествами
в группе G оказываются образы множества S при всевозмож-
всевозможных внутренних автоморфизмах группы G и только они.
1.17. Определение. Ядром гомоморфизма /: G -> Н группы G
в группу Н называется множество
Кег/= {а 6 G\f(a) = е'},
где е' — единичный элемент группы Н.
1.18. Пример. Для гомоморфизма / : Z-> Zn, определен-
определенного условием f (а) = [а], ядро Кег / состоит из всех а ? Z,
для которых [а] = [0]. Так как это условие выполняется для
тех и только тех чисел а, которые делятся на п, то получаем, что
Кег / = (п) — подгруппа группы Z, порожденная числом п. ?
Легко проверить, что ядро Кег / гомоморфизма /: G -^>- Н
всегда является подгруппой группы G. Более того, эта под-
подгруппа Кег / обладает важным дополнительным свойством: для
любых а ? G и b ? Кег / имеет место включение aba'1 ? Кег /.
Это приводит нас к следующему важному понятию.
1.19. Определение. Подгруппа Н группы G называется нор-
нормальной подгруппой (или нормальным делителем) этой группы,
если ghg'1 ? Н для всех g ? G и h ? Я.
Ясно, что каждая подгруппа абелевой группы нормальна,
поскольку в этом случае ghg'1 = gg'xh = eh = п. Дадим два
критерия нормальности подгруппы.
1.20. Теорема, (i) Подгруппа Н группы G нормальна тогда
и только тогда, когда она совпадает со всеми своими сопряжен-
сопряженными подгруппами, т. е. тогда и только тогда, когда подгруппа Н
инвариантна относительно всех внутренних автоморфизмов
группы О.
(и) Подгруппа Н группы G нормальна тогда и только тогда,
когда для любого элемента а ? G левый смежный класс аН совпа-
совпадает с правым смежным классом На.
Важным свойством нормальной подгруппы является тот факт,
что множество (левых) смежных классов по ней можно наделить
групповой структурой.
1.21. Теорема. Если Н — нормальная подгруппа группы G,
то множество (левых) смежных классов группы G по подгруппе Н
образует группу относительно операции
(аН) (ЬН) = (ab) H.
1.22. Определение. Пусть Н — нормальная подгруппа груп-
ш.1 G. Тогда группа, образованная (левыми) смежными классами
22 Гл. 1. Алгебраические основы
группы G по подгруппе Н с операцией, введенной в теореме 1.21,
называется факторгруппой группы G по подгруппе Н и обозна-
обозначается через GIH.
Если факторгруппа Gl H конечна, то ее порядок совпадает
с индексом (G : Н) подгруппы Н в G. Таким образом, из тео-
теоремы 1.14 получаем, что для конечной группы G
| G/H | = (G : Н) = \G\l\H |.
Каждая нормальная подгруппа группы G естественным образом
определяет некоторый гомоморфизм этой группы, причем верно
и обратное утверждение.
1.23. Теорема (о гомоморфизме). Пусть /: G -> Gt == / (G) —
гомоморфизм группы G на группу Gj. Тогда ядро Кег / является
нормальной подгруппой группы G, причем группа Gx изоморфна
факторгруппе G/Ker /. Обратно, если Н — нормальная подгруппа
¦группы G, то отображение i|r. G -> G/Я, определяемое условием
¦ф (а) = а// для любого а ? G, является гомоморфизмом группы G
на GIH, причем Кег ij? = Я.
Выведем теперь для конечной группы одно важное соотно-
соотношение для мощностей х) классов сопряженных элементов, кото-
которое понадобится в § 6 гл. 2.
1.24. Определение. Пусть S — непустое подмножество груп-
группы G. Его нормализатором в группе G называется множество
N (S) = \а ? GlaSa-1 = S\. i
Если 5 = {b\, то N (\b\) будем называть нормализатором эле-
элемента Ь в G и обозначать N (Ь).
1.25. Теорема. Для любого непустого подмножества S группы О
нормализатор N (S) является подгруппой группы G, причем имеет
место взаимно однозначное соответствие между левыми смет- !
ными классами группы G по подгруппе N (S) и различными мно-
множествами aSa'1, сопряженными с S.
Доказательство. Очевидно, чтое ? N (S), и если а, Ь ? N E), \
то а~х и ab тоже принадлежат N E), так что N (S) — подгруппа i
G Д
группы G.
aSa-1
Далее,
= bSb-1 <
¦<
^s =
!=> a~xb
a^bSb-h
f N (S)
г = (а
<=> b
-Щ S (a-
f aN (S).
Таким образом, сопряженные с 5 множества aSa'1 и bSb'1 совпа-.
дают тогда и только тогда, когда элементы а и b принадлежат
-1) Мощностью конечного множества называется число элементов этого мно- i
П
) щ
жества. — Прим. перев.
§ 2. Кольца и поля 23
одному и тому же левому смежному классу группы G по под-
подгруппе N (S). Отсюда следует вторая часть теоремы. ?
Если собрать все элементы группы G, сопряженные с фикси-
фиксированным элементом а, то получим множество, называемое клас-
классом сопряженных с а элементов группы G или классом сопряжен-
сопряженности группы G, содержащим элемент а. Для некоторых элемен-
элементов соответствующие им классы сопряженности состоят из един-
единственного элемента (а именно из самого исходного элемента).
Таким свойством обладают элементы центра группы и только они.
1.26. Определение. Центром группы G называется ее под-
подмножество
C=\c?G\ca = ac для всех а ? G).
Без труда проверяется, что центр — нормальная подгруппа
группы G. Очевидно, что группа G является абелевой тогда и
только тогда, когда С = G. Несложный подсчет приводит к сле-
следующему важному равенству, которое иногда называют «урав-
«уравнением классов сопряженности».
1.27. Теорема. Пусть G — конечная группа с центром С.
Тогда имеет место равенство
где nlt ..., nh — мощности классов сопряженности группы G,
содержащих более одного элемента, так что nt ^ 2, и при этом
каждое число nt делит порядок \ G | группы G, 1 -^ i <; k.
Доказательство. Поскольку отношение «а сопряжено с 6»
является отношением эквивалентности на G, то различные классы
сопряженности группы G образуют разбиение множества G.
Поэтому порядок | G | группы G равен сумме мощностей различ-
различных классов сопряженности. Но имеется ровно | С | классов
сопряженности, состоящих из единственного элемента (они соот-
соответствуют элементам центра С), а мощности пъ ..., nh остальных
классов сопряженности превышают единицу. Отсюда и вытекает
требуемое равенство. Для доказательства того, что каждое из
чисел И| делит | G |, достаточно заметить, что nt — число элемен-
элементов, сопряженных с некоторым элементом at ? G, и потому
в силу теоремы 1.25 оно равно числу левых смежных классов
группы G по подгруппе N (аг), а индекс нормализатора по тео-
теореме 1.14 делит порядок |G| группы G. ?
§ 2. Кольца и поля
В большинстве числовых систем, используемых в элемен-
элементарной арифметике, имеется две различные бинарные операции:
24 Гл. 1. Алгебраические основы
сложение и умножение. Примерами могут хлужить целые, ра-
рациональные и действительные числа. Сейчас мы определим важ-
важный тип алгебраических структур, называемый кольцом, который
обладает основными свойствами указанных числовых систем.
1.28. Определение. Кольцом (R, +, •) называется множе-
множество R с двумя бинарными операциями, обозначаемыми симво-
символами + и •, такими, что
1.7? — абелева группа относительно операции +.
2. Операция ¦ ассоциативна, т. е. для всех а, Ь, с ? R
(ab) -с = а-(Ь-с).
3. Выполняются законы дистрибутивности, т. е. для всех
а, Ь, с ? R
а(Ь + с) = а-Ь + а-с и (Ь + с)-а = Ь-а + са.
Следует обратить внимание на то, что операции + и • не
обязательно являются обычными сложением и умножением.
Для краткости кольцо (R, +, •) будем обозначать одной бук-
буквой R, Единичный элемент аддитивной группы кольца R назы-
называется нулевым элементом (или нулем) кольца R и обозначается
символом 0, а обратный к элементу а этой группы обозначается
через —а. Вместо а + (—Ь) пишут обычно а — Ь, а вместо а-Ь —
просто ab. Из определения кольца получается общее свойство
аО = Оа = 0 для всех а ? R. Из этого в свою очередь следует,
что (—а) Ь = а (—b) = —ab для всех а, Ь ? R.
Простейшим примером кольца является, по-видимому, кольцо
обычных целых чисел. Рассматривая его свойства, нетрудно обна-
обнаружить среди них такие, которыми не обладает произвольное
кольцо. Таким образом, кольца допускают дальнейшую класси-
классификацию.
1.29. Определение.
(i) Кольцо называется кольцом с единицей, если оно имеет
мультипликативную единицу, т. е. если существует такой эле-
элемент е ? R, что ае = еа = а для любого а ? R.
(п) Кольцо называется коммутативным, если операция •
коммутативна.
(ш) Кольцо называется целостным кольцом (или областью ;
целостности), если оно является коммутативным кольцом с еди-
единицей е Ф 0, в котором равенство ab = 0 влечет за собой а = О
или b = 0.
(iv) Кольцо R называется телом, если R Ф Щ и ненулевые
элементы в R образуют группу относительно операции . i
(v) Коммутативное тело называется полем.
Поскольку наша книга посвящена полям, то особое внима- \
ние мы обратим на определение этого понятия. Прежде всего \
§ 2, Кольца и поля 25
поле есть множество F, на котором заданы две операции, назы-
называемые сложением и умножением и которое содержит два выде-
выделенных элемента 0 и е, причем О Ф е. Далее, поле F — абелева
группа по сложению, единичным элементом которой является О,
а элементы из F, отличные от 0, образуют абелеву группу по
умножению, единичным элементом которой является е. Две опе-
операции, сложение и умножение, связаны законом дистрибутивно-
дистрибутивности а (Ь + с) = ab + ас. Второй закон дистрибутивности (Ь +
+ с) а = Ьа + са выполняется автоматически в силу коммута-
коммутативности умножения. Элемент 0 называется нулевым элементом
(или просто нулем), а е — единичным элементом (или просто
единицей) поля F. В дальнейшем для единицы, как правило,
будем использовать символ 1.
Свойство, появляющееся в определении 1.29 (ш): равенство
ab = 0 влечет за собой а = О или Ь = О — будем выражать
словами «отсутствуют делители нуля». В частности, поле не имеет
делителей нуля, так как если ab = О и а Ф О, то умножение на
а дает Ь = а-10 = 0.
Проиллюстрируем понятие кольца следующими примерами.
1.30. Примеры
(i) Пусть R — абелева группа с групповой операцией +•
Определим умножение условием ab = 0 для всех a, b ? R. Тогда
R становится кольцом.
(ii) Целые числа образуют целостное кольцо, но не поле.
(ш) Четные числа образуют коммутативное кольцо без еди-
единицы.
(iv) Функции /: R -*¦ R образуют коммутативное кольцо
с единицей, если сумма / + g и произведение fg определяются
условиями (/ + g) (х) =f{x)+g (х) и (fg) (х) =f(x)g (х) для
любых х ? R.
(v) Множество всех B х 2)-матриц с элементами из R обра-
образует некоммутативное кольцо с единицей относительно операций
сложения и умножения матриц. П
Выше мы видели, что поле, в частности, является целостным
кольцом. Обратное, вообще говоря, неверно (см. пример 1.30 (ii)),
однако верно в случае, когда указанное целостное кольцо состоит
из конечного числа элементов (т. е. является конечным кольцом).
Порядком конечного кольца называется число элементов этого
кольца.
1.31. Теорема. Каждое конечное целостное кольцо является
полем.
Доказательство. Пусть элементы конечного целостного
кольца R суть аь а2, ..., ап. Для некоторого фиксированного
ненулевого элемента а ? R рассмотрим произведения ааи аа2, ....
26 Гл. 1 Алгебраические основы
аап. Они различны, так как если aat = аа}, то a (at — а,) = О,
и так как а Ф О, то щ — а} = 0, т. е. at = а,-. Таким образом,
каждый элемент в R имеет вид ащ и, в частности, е = ащ для
некоторого i, 1 <С i <; п, где е — единица R. Поскольку кольцо R
коммутативно, то также ща = е, так что элемент щ является
мультипликативным обратным к а. Таким образом, ненулевые
элементы кольца R образуют абелеву группу, т. е. R — поле.
?
1.32. Определение. Подмножество S кольца (R, +, ¦) назы-
называется подкольцом этого кольца, если оно замкнуто относительно
операций + и ¦ и образует кольцо относительно этих операций.
1.33. Определение. Подмножество / кольца R называется
{двусторонним) идеалом этого кольца, если оно является под-
подкольцом кольца R и для всех а ? J и г ? R имеет место ar ? J
и га ? J.
1.34. Примеры
(i) Пусть R — поле Q рациональных чисел. Тогда множе-
множество Z целых чисел является его подкольцом, но не идеалом,
так как, например, 1 ? Z, V2 ? Q, но V2-l = V2 ф Z.
(ii) Пусть R — коммутативное кольцо, а ? R, и пусть / =
= \га \г ? R\. Тогда / — идеал кольца R.
(Ш) Пусть R — коммутативное кольцо. Тогда наименьшим
идеалом, содержащим данный элемент а ? R, является идеал
(а) = \га + па\ г ? R, п ? Z\. Если кольцо R имеет единицу,
то (а) = \ra\r ? R]. П '
1.35. Определение. Пусть R — коммутативное кольцо.
Идеал / кольца R называется главным, если существует элемент
а ? R, такой, что J = (а). В этом случае / называют также
главным идеалом, порожденным элементом а.
Так как идеалы являются нормальными подгруппами адди- |
тивной группы кольца, то каждый идеал / кольца R определяет |
некоторое разбиение множества R на смежные классы по адди-
аддитивной подгруппе /, называемые классами вычетов кольца R
по модулю идеала J. Класс вычетов кольца R по модулю /, со-
содержащий элемент а ? R, будем обозначать через [а] = а + /,
так как он состоит из всех элементов R вида а + с, где с ? /.
Элементы a, b ? R, принадлежащие одному и тому же классу
вычетов по модулю / (т. е. такие, что а — b ? /), будем назы-
вать сравнимыми по модулю / и записывать это так; а = b (mod /)
(ср. с определением 1.4). Нетрудно проверить, что если а =
= b (mod /), то а + г = b + r (mod /), ar = br (mod /), га =
= rb (mod /) и па = nb (mod /) для любых г ? R и п ? Z.
Если, кроме того, г = s (mod /), то а + г = b + s (mod /) и
ar ~ bs (mod J).
I
§ 2. Кольца и поля 27
Прямой проверкой показывается, что множество классов
вычетов кольца R по модулю идеала / образует кольцо относи-
относительно операций + и ¦, определяемых равенствами
(a + J) + (b + J) = (a + b) + J, A.2)
(а + J) (Ь + J) = ab + J. A.3)
1.36. Определение. Кольцо классов вычетов кольца R по
модулю идеала / относительно операций A.2) и A.3) называется
факторкольцом кольца R по идеалу / и обозначается через R/J.
1.37. Пример (факторкольцо Z/(n)) '). Как и в случае группы
(ср. с определением 1.5), обозначим класс вычетов по модулю п
(п ? IN), содержащий число а ? Z, через [а]; этот класс также
может быть записан в виде а + (п), где (п) — главный идеал,
порожденный числом п. Элементами кольца Z/(n) являются
[0] = 0 + (л), [11=1+ (л), ..., [п — 1 ] = п — 1 + (л). ?
1.38. Теорема. Факторкольцо Z/(p) кольца Z целых чисел
по главному идеалу, порожденному простым числом р, является
полем.
Доказательство. В силу теоремы 1.31 достаточно показать,
что Z/(p) является целостным кольцом. Ясно, что его единицей
является [1 ] и что равенство [a] [b\ = [ab\ = [0] выполняется
в том и только том случае, когда ab= kp для некоторого целого
числа k. Но поскольку р — простое число, то оно делит произ-
произведение аЬ тогда и только тогда, когда оно делит по крайней мере
один из сомножителей. Следовательно, либо [а] = [01, либо
\Ь\ = [0], так что кольцо Z/(p) не имеет делителей нуля ?
1.39. Пример. Пусть р = 3. Тогда факторкольцо Z/(p) со-
состоит из трех элементов [0], [1 ] и [2]. Операции в этом кольце
можно задать таблицами (сложения и умножения), аналогичными
таблицам Кэли конечных групп (см. пример 1.7):
+ I [0] [1] [2] ¦ | [0] [1] [2]
[0]
[1]
[2]
[0]
[1]
[2]
[1]
[2]
[0]
[2]
[0]
[1]
№1
[1]
[2]
[0J
[0]
[0]
[0J
[1]
[2]
10J
[2]
[1]
Факторкольцо Z/(p) — наш первый пример конечного поля,
т, е. поля, содержащего конечное число элементов. Общая теория
таких полей будет развита позже.
Следует предостеречь читателя от ошибочного предположе-
предположения, что при образовании факторкольца обязательно сохраняются
все свойства исходного кольца. Так, например, свойство отсут-
г) Кольца такого вида часто называют кольцами вычетов. — Прим. черт.
28 Гл. 1. Алгебраические основы
ствия делителей нуля при этом не всегда сохраняется, что видно
на примере кольца Z/(n) при составном натуральном числе п.
Понятие гомоморфизма групп допускает очевидное обобще-
обобщение на случай колец. Отображение ф: R -> S кольца R в кольцо S
называется гомоморфизмом, если для любых а, Ь ? R
Ф (а + Ь) = ф (а) + ф (Ь) и ф (ab) = ф (а) ф (Ь),
Таким образом, гомоморфизм q>: R -*¦ S сохраняет обе операции
+ и • кольца R и индуцирует гомоморфизм аддитивной группы
кольца R в аддитивную группу кольца S. Множество
Кег ф = {а ? R | ф (а) = 0 ? S}
называется ядром гомоморфизма ф. Другие понятия, такие,
как изоморфизм и т. п., аналогичны приведенным в определе-
определении 1.16. Имеет место также теорема о гомоморфизме, аналогич-
аналогичная теореме 1.23 для групп:
1.40. Теорема (о гомоморфизме колец). Если ц> — гомомор-
гомоморфизм кольца R на кольцо S, то Кег ф — идеал кольца R, причем
кольцо S изоморфно факторкольцу i?/Ker ф. Обратно, если J —
идеал кольца R, то отображение я|з: R -> R/J, определяемое усло-
условием т|) (а) = а -f- / для всех а ? R, является гомоморфизмом
кольца R на R/J с ядром J.
Отображения могут быть использованы также для перенесе-
перенесения некоторой структуры с алгебраической системы на множе-
множество без структуры. Например, пусть R — кольцо, и пусть ф —
взаимно однозначное отображение множества R на множество Si
тогда с помощью отображения ф можно определить, на S кольце-
кольцевую структуру, которая превращает отображение ф в изомор-
изоморфизм. Более подробно, пусть s1 и s2 — два элемента множества S,
а гх и г2 — элементы кольца R, однозначно определяемые усло-
условиями ф (гх) = sx и ф (r2) = s2. Тогда, определив сумму sx + s2
как ф (ri + г2) и произведение SiS2 как ф (г^), обеспечим выпол-
выполнение всех нужных свойств. Полученную на S структуру можно
назвать кольцевой структурой, индуцированной отображением ц>.
При этом если кольцо R обладает какими-либо дополнительными
свойствами, например является целостным кольцом или полем,
то эти свойства наследуются и множеством S. Применим этот
принцип для получения более удобного представления конечного
поля Z/(p).
1.41. Определение. Для простого числа р обозначим через рр
множество {0, 1, ..., р — 1} целых чисел, и пусть отображение ф:
Z/(p) -> ?р определяется условием ф (tai) == а для а = 0,
1, ..., р — 1. Тогда множество fp со структурой поля, инду-
индуцированной отображением ip, называется полем Галуа порядка р
(часто оно обозначается также символом GF (р)).
§ 2, Кольца и поля
29
В соответствии с ранее сказанным отображение ф: Z/(p) -*¦ Fp
является изоморфизмом, так что ср([а] + [Ь]) — ф([а]) +
4- ф (lb ]) и ф ([а I [Ь ]) = ф ([а 1) ф ([Ь1). Нулем конечного поля
If будет 0, а единицей является 1, и его структура совпадает
со структурой поля Zl(p). Поэтому при вычислениях с элемен-
элементами поля FP применяется обычная арифметика целых чисел
с приведением по модулю р.
1.42. Примеры
(i) Рассмотрим поле Z/E), изоморфное полю Галуа Fe =
-¦- JO, I, 2, 3, 4|, с изоморфизмом, задаваемым соответствием
[0]->0, [1]->1, [2]->2, [3]->3, [4] -»-4. Таблицы опера-
операций + и • поля fb имеют вид
_|_
0
1
2
3
4
0
0
1
2
3
4
1
1
2
3
4
0
2
2
3
4
0
1
3
3
4
0
1
2
4
4
0
1
2
3
0
1
2
3
4
0
0
0
0
0
0
1
0
1
2
3
4
2
0
2
4
1
3
3
0
3
1
4
2
4
0
4
3
2
1
(П) Столь же прост и даже более важен пример конечного
поля Fa второго порядка. Элементами этого поля являются О
и 1, и таблицы операций имеют следующий вид:
+
0
I
0
0
1
1
1
0
о о
О 1
В таком контексте элементы 0 и 1 называются бинарными эле-
элементами.
Если Ь — произвольный ненулевой элемент кольца Z целых
чисел, то его аддитивный порядок бесконечен, т. е. из пЬ = О
следует п = 0. Однако в факторкольце Z/(p), где р — простое
число, аддитивный порядок каждого ненулевого элемента Ь
равен р, т. е. р — наименьшее натуральное число, для которого
выполняется равенство рЬ = 0. Это свойство приводит к следу-
следующему важному понятию.
1.43. Определение. Пусть R — произвольное кольцо. Если
существует такое натуральное число п, что для каждого г ? R
выполняется равенство пг = 0, то наименьшее из таких чисел п
(скажем, п0) называется характеристикой кольца R, а само R
называется кольцом (положительной) характеристики п0. Если
^ке таких натуральных чисел п не существует, то R называется
Кольцом характеристики 0.
30 Гл. 1. Алгебраические основы
1.44. Теорема. Если кольцо R ф {0} с единицей е и без дели-
делителей нуля имеет положительную характеристику п, то п —
простое число.
Доказательство. Поскольку кольцо R содержит ненулевой
элемент, характеристика п этого кольца больше или равна 2.
Если п — составное число, то п = km, где k, т ? Z, 1 < k,
т < п. Тогда 0 = пе = (km) е = (ke) (те), так что либо ke = 0,
либо те = 0 (поскольку в R нет делителей нуля). Значит, либо
kr = (ke) r = 0 для всех г ? R, либо тг = (те) г = 0 для всех
г ? R, что противоречит определению характеристики п. ?
1.45. Следствие. Характеристикой конечного поля является
простое число.
Доказательство. Учитывая теорему 1.44, достаточно показать,
что любое конечное поле F имеет положительную характеристику.
Рассмотрим в поле F элементы е, 2е, Зе, ..., кратные единице е.
Так как F содержит конечное число различных элементов, то
существуют натуральные числа k и т, 1 ^ k < m, такие, что
ke = те, так что (т — k) е = 0, и потому F имеет положитель-
положительную характеристику. ?
Конечное поле Z/(p) (т. е. Fp), очевидно, имеет характери-
характеристику р, в то время как кольцо Z целых чисел и поле Q рацио-
рациональных чисел имеют характеристику 0. Заметим, что в кольце R
характеристики 2 имеет место равенство 1а ~ а + а = 0, откуда
следует, что а = —а для всех а ^ R. Полезно следующее свой-
свойство коммутативного кольца простой характеристики.
1.46. Теорема. Пусть R — коммутативное кольцо простой
характеристики р. Тогда
(а + Ь)рп = аРп + Ьрп и (а- Ь)рп = аРп - Ьр"
для всех а, Ь ? R и п С IN.
Доказательство. Воспользуемся тем фактом, что для всех
I = -?-^- р-г—'—г = 0 (mod p).
k) 1-2-...-ft
tp\
Это следует из того, что биномиальный коэффициент! , —целое
число и при этом сомножитель р в числителе не может сократиться.
Поэтому по формуле бинома (см. упр. 1.8)
lp\ I p \
(а + bf = аР + I j J аР-Ч +...+[_ А аЬ"-' + Ьр = аР + ЬК
§ 2. Кольца и поля 31
Теперь индукцией по п устанавливается первое тождество, а из
него получаем
прп = ((а - Ь) + Ь)рп = (а - Ь)р" + ftp",
откуда следует второе тождество. Q
Теперь выясним, каким должен быть идеал М коммутатив-
коммутативного кольца R с единицей, чтобы факторкольцо R/M было целост-
целостным кольцом или полем. Для этого нам понадобятся некоторые
понятия из теории колец.
Пусть R — коммутативное кольцо с единицей. Элемент а ? R
называется делителем элемента b ? R, если существует элемент
с ? R, такой, что ас = Ь. Делители единицы называются обра-
обратимыми элементами. Элементы а и b из R называются ассоцииро-
ассоциированными, если существует обратимый элемент е ? R, такой, что
а = Ьг. Элемент с ? R называется простым элементом кольца R,
если он не является обратимым элементом и не имеет других дели-
делителей, кроме ассоциированных с ним элементов или обратимых
элементов. Идеал Р Ф R кольца R называется простым идеалом,
если для a, b ? R включение ab ? Р имеет место лишь в том слу-
случае, когда либо а ? Р, либо b ? Р. Идеал М Ф R кольца R
называется максимальным идеалом, если для любого идеала /
кольца R включение vVf s У влечет за собой J = М или / = R.
Наконец, кольцо R называется кольцом главных идеалов, если
оно является целостным кольцом и каждый идеал У кольца R
является главным, т. е. существует элемент а ? R, такой, что
/ = (а)= \ra\r 6 R\-
1.47. Теорема. Пусть R — коммутативное кольцо с едини-
единицей. Тогда
(i) Идеал М кольца R является максимальным тогда и только
тогда, когда факторкольцо R/M является полем.
(и) Идеал Р кольца R является простым тогда и только тогда,
когда факторкольцо RIP является целостным кольцом.
(iii) Каждый максимальный идеал кольца R является простым.
(iv) Если R — кольцо главных идеалов, то факторкольцо R/(c)
является полем в том и только том случае, когда с — простой
элемент кольца R.
Доказательство, (i) Пусть М — максимальный идеал коль-
кольца R. Тогда для а ? R, а ф. М, множество / - \аг + т \ г ?
(z R, т ? М\ является идеалом кольца R, содержащим М и от-
отличным от М, так что / = R. В частности, существуют такие
г С R и т ? М, что аг ~-\~ т = 1, где 1 — мультипликативная
единица кольца R. Это означает, что если а + М ф 0 + М, т. е.
класс вычетов а + М является ненулевым элементом фактор-
кольца RIM, то он обладает мультипликативным обратным, так
как (а + М) (г + М) = аг + М = A — т) + М = 1 + М. Следо-
32 Гл. 1. Алгебраические основы
вательно, R/M — поле. Обратно, пусть RIM — поле, и пусть
/ — такой идеал кольца R, что J э М, J ф М. Тогда для а ? /,
а ф. М, класс вычетов а + М имеет мультипликативный обрат-
обратный, так что (а + М) (г + М) = 1 + М для некоторого г ? R.
Это означает, что ar -j- m = 1 для некоторого m 6 М. Поскольку
/ — идеал, 1 ? ./, а значит, A) == R s /, откуда / = R. Таким
образом, М — максимальный идеал кольца R.
(ii) Пусть Р —• простой идеал кольца R. Тогда факторкольцо
RIP является коммутативным кольцом с единицей 1 -f- Р Ф 0 4-
+ Р. Пусть (а + Р) (Ь + Р) = 0 + Р; тогда ab ? Р. Так как
Р — простой идеал, то либо а ? Р, либо b ? Р, т. е. либо а -г
+ Я = 0 + Р, либо 6 + Р = 0 -j- P. Таким образом, фактор-
кольцо RIP не имеет делителей нуля и потому является целост-
целостным кольцом. Обратное получим сразу же, проведя указанные
рассуждения в обратном порядке.
(iii) Это утверждение следует из (i) и (ii), так как каждое поле
является целостным кольцом.
(iv) Пусть с ? R. Если с —¦ обратимый элемент, то (с) - R
и факторкольцо Rl(c) состоит из единственного элемента, так что
оно не может быть полем. Если с не обратимый и не простой эле-
элемент, то с обладает некоторым делителем а ? R, который не
является ассоциированным с с и не является обратимым элемен-
элементом. Заметим, что а Ф 0, так как если а=0, то с = 0 и о был бы
ассоциирован с с. Пусть с = ab, где b ? R. Мы утверждаем, что
а ф (с). Действительно, в противном случае а = cd = abd, где
d ? R, т. е. а A — bd) = 0. Так как а Ф 0, то bd = 1, значит,_
b — обратимый элемент, а это противоречит тому, что а не ассо-
ассоциирован с с. Следовательно, (с) s (a) s (R), где все включения
собственные, так что факторкольцо Rl(c) не может быть полем
ввиду (i). Итак, остается последний случай, когда с — простой
элемент кольца R. Тогда (с) Ф R, так как с не является обрати-
обратимым элементом. Далее, если /э(с) — идеал кольца R, то / —- (о)
для некоторого а ? R, поскольку R — кольцо главных идеалов.
Следовательно, с ? (а), так что а — делитель элемента с. Поэтому
а — либо обратимый элемент, либо ассоциирован с с, так что либо
J — R, либо / = (с). Это показывает, что (с) — максимальный
идеал кольца R. Отсюда следует в силу (i), что факторкольцо
R/(c) является полем. П
В качестве приложения этой теоремы рассмотрим случай
R = Z. Заметим, что Z — кольцо главных идеалов, так как
в силу теоремы 1.15(i) любая аддитивная подгруппа Z порож-
порождается единственным элементом. Простое число р подходит под
определение простого элемента, и, таким образом, из теоремы
1.47(iv) вытекает другое доказательство того известного факта,
что факторкольцо Z/(p) является полем. Отсюда следует, что
§ 3. Многочлены 33
(р) — максимальный и одновременно простой идеал кольца Z.
Для составного натурального числа п идеал (п) не является про-
простым в Z, и потому факторкольцо Z/(n) не является даже
целостным кольцом. Другие приложения будут приведены в сле-
следующем параграфе, когда мы будем рассматривать факторкольца
колец многочленов над полями.
§ 3. Многочлены
В элементарной алгебре рассматриваются выражения вида
а0 + ахх + ... + апхп, называемые многочленами (или полино-
полиномами). Здесь щ называются коэффициентами многочлена и обычно
являются действительными или комплексными числами, а х
рассматривается как переменная, т. е., подставляя вместо х
произвольное число а, получаем определенное число а0 + ща +
... + апап, называемое значением многочлена при х — а. Ариф-
Арифметика многочленов регулируется обычными правилами. Понятие
многочлена и связанных с ним операций можно обобщить на фор-
формальную алгебраическую ситуацию следующим образом.
Пусть R — произвольное кольцо. Многочленом (или поли-
полиномом) над R называется выражение вида
п
f(x) = 23 W = а0 + ахх -\ (- апхп,
(=0
где п — неотрицательное целое число, коэффициенты щ, 0 <^ i <!
< п, —элементы кольца R, а х — некоторый символ, не принадле-
принадлежащий кольцу R, называемый переменной (или неизвестной)
над R. В тех случаях, когда из контекста ясно, какая переменная
имеется в виду, мы для обозначения многочлена / (х) будем исполь-
использовать символ /. Для удобства будем считать, что член atx{ с at = 0
не обязательно выписывать. В частности, выписанный выше много-
многочлен / (х) можно записать в эквивалентной форме / (х) = а0 +
L aYx -f • • • + апхп + 0хп+' + ... + 0xn+h, где h — любое нату-
натуральное число. Поэтому при сравнении двух многочленов / (х) и
g (x) над R можно предполагать, что оба они содержат одни и
те же степени переменной х. Многочлены
23« g()t
(=0 1=0
чад R считаются равными тогда и только тогда, когда at = bi
Для 0 <; i -^ п. Определим сумму многочленов / (х) и g (x) ра-
равенством
i=0
34 Гл. 1. Алгебраические основы
а произведение многочленов
т п
f(x)=EaiXt и g(x)=%bjxt
(=0 /=0
равенством
т-\-п
f(x)g(x)= ? cftxft> где ch= 2 atbj.
Легко видеть, что множество многочленов с такими операциями
образует кольцо.
1.48. Определение. Кольцо, образованное многочленами над
кольцом R с введенными выше операциями, называется кольцом
многочленов над R и обозначается через R [х].
Нулевым элементом кольца R [х] является многочлен, все
коэффициенты которого равны 0. Он называется нулевым много-
многочленом и обозначается через 0. Из контекста всегда будет ясно,
обозначает ли символ 0 нулевой элемент кольца R или нулевой
многочлен.
п
1.49. Определение. Пусть / (х) = 2 щх1— многочлен над
1=0
кольцом R, не являющийся нулевым. Значит, можно предполо-
предположить, что ап ф 0. Тогда ап называется старшим коэффициентом
многочлена f (х), а0 — его постоянным членом и п — его степенью
(последняя обозначается символом п = deg (f (х)) = deg (f)). Для
удобства будем считать, что deg @) = —оо. Многочлены степени
<;0 называются постоянными многочленами (или константами).
Если кольцо R имеет единицу 1 и если старший коэффициент мно-
многочлена f (х) равен 1, то многочлен f (x) называется нормированным
(его называют также приведенным или унитарным).
Подсчет старших коэффициентов суммы и произведения двух
многочленов приводит к следующему результату.
1.50. Теорема. Пусть f, g 6 R lx]. Тогда
deg (f + g) < max (deg (f), deg (g)),
deg (fg) < deg (f) + deg (g).
Если R — целостное кольцо, то
deg (fg) = deg (/) + deg (g). A.4)
Если отождествить постоянные многочлены с элементами
кольца R, то R можно рассматривать как подкольцо кольца R [х].
Некоторые свойства кольца R наследуются кольцом R [х]. В еле-
§ 3. Многочлены 35
дующей теореме доказательство части (ш) опирается на равен-
равенство A.4).
1.51. Теорема. Пусть R— кольцо. Тогда
(i) R [х ] является коммутативным кольцом в том и только том
случае, если кольцо R коммутативно.
(И) R [х] является кольцом с единицей тогда и только тогда,
когда R — кольцо с единицей.
(iii) R [х] является целостным кольцом тогда и только тогда,
когда R — целостное кольцо.
В последующих главах мы почти всегда будем иметь дело
с многочленами над полями. Пусть F обозначает поле (не обя-
обязательно конечное). Понятие делимости применительно к кольцу
F [х] вводится следующим образом. Будем говорить, что много-
многочлен g ? F lx] делит многочлен / ? F [х], если существует
многочлен h ? F [х], такой, что / = gh. В этом случае будем
также говорить, что g — делитель многочлена /, а многочлен /
делится на g (или кратен g). Обратимыми элементами в кольце
F [х] являются делители постоянного многочлена 1, а следова-
следовательно, ими являются все ненулевые постоянные многочлены
и только они.
Как и в кольце целых чисел, в кольце многочленов над полем
существует деление с остатком.
1.52. Теорема (алгоритм деления). Пусть g=/=0— много-
многочлен из F [х], где F — поле. Тогда для каждого / ? F [х] суще-
существуют такие многочлены q, г ? F [х], что
f = qg+ г, где deg (r) < deg (g).
1.53. Пример. Рассмотрим многочлены / (х) = 2х? + х* +
¦]- 4х + 3 и g (х) = Зд:2 + 1 из кольца Fs [#!¦ Вычислим много-
многочлены q, r ? f5 lx] из теоремы 1.52, используя обычное деление
углом:
2хъ + х* + 4х + 3
х*+ х3 +4х+3
х* + 2Х2
_ х3 + Зх2 + 4х + 3
х3 -\-2х
Зх2 + 2х + 3
~ Зх2 +1
Зх2+1
4х3 + 2хг + 2х
2х + 2
Таким образом, q (х) = 4г* + 2х2 + 2х + 1, г (х) = 2х + 2, и,
очевидно, deg (r) < deg (g). ?
36 Гл. 1 Алгебраические основы I
Тот факт, что кольцо F 1х] допускает алгоритм деления, при- |
водит (стандартным рассуждением) к тому, что каждый идеал I
кольца F [х] главный. 1
1.54. Теорема. Кольцо F 1х] многочленов над полем F является .1
кольцом главных идеалов. Другими словами, для каждого идеала 1
/ Ф @) кольца F [х] найдется однозначно определенный норми-
нормированный многочлен g ? F [х], такой, что J = (g).
Доказательство. Согласно теореме 1.51 (Hi), F [х] является
целостным кольцом. Пусть / ф @) — идеал кольца F [х]. Пусть,
далее, h (x) — ненулевой многочлен наименьшей степени, содер-
содержащийся в J, b — старший коэффициент многочлена h (x) и
g (x) = b~lh (x). Тогда g — нормированный многочлен, содержа-
содержащийся в /. Если f — произвольный многочлен из /, то, применяя
алгоритм деления, найдем q, г ? F [х], такие, что f = qg - г
и deg (r) < deg (g) = deg (Л). Так как / — идеал, то г = /—
— Q8 € Л и по определению h должно быть г = 0. Поэтому много-
многочлен / делится на g, так что / == (g). Если gi ? F [х] — Другой
нормированный многочлен, такой, что / = (gi), то g = Cigi и
gi = c^g, где d, c2 ^ F [х]. Отсюда g = ^0$, так что сгсг = 1,
т. е. Ci и с2 — постоянные многочлены. Поскольку оба многочлена
g и gt нормированы, тоgx = g, и единственность g установлена. П
1.55. Теорема. Пусть flt ..., /„ — многочлены из F [х], не
все равные 0. Тогда существует однозначно определенный нормиро-
нормированный многочлен d ? F [х], обладающий следующими свойст-
свойствами:
(i) d делит каждый многочлен fit 1 -< i -< п;
(ii) любой многочлен g ^ F [х], который делит каждый из
многочленов ft, I <! i <; п, делит и многочлен d.
Более того, многочлен d может быть представлен в виде ;
d = bjt + ... + *„/„, где Ьи ..., Ьп 6 F 1х]. A.5)
Доказательство. Множество /, состоящее из всех многочленов
BHflaCi/x + ... + cnfn, rjifiCi, ..., сп ? F lx], является, как легко
убедиться, идеалом кольца F [х]. Поскольку не все/< равны нулю,
J Ф @), и по теореме 1.54 получаем, что / = (d) для некоторого
нормированного многочлена d ^ F [х]. Свойство (i) и представле-
представление A.5) сразу вытекают из определения многочлена d. Свойство
(ii) следует из A.5). Если dt — другой нормированный многочлен
из F [х], удовлетворяющий (i) и (ii), то из этих свойств получим,
что многочлены dt и d делят друг друга, так что (d) = (dx). Поэтому
в силу единственности, доказанной в теореме 1.54, dx = d. П
Нормированный многочлен d, появляющийся в теореме 1.55,
называется наибольшим общим делителем многочленов /х, .... /п
и обозначается НОД (/х, ..., /„). Если НОД (flt ..., fn) = 1, то
§ 3. Многочлены 37
многочлены /ь ..., /„ называются взаимно простыми. Они назы-
называются попарно взаимно простыми, если НОД (/<, fj) = 1 для
1 < i < j < п.
Наибольший общий делитель двух многочленов / и g из F [х\
мож-но найти при помощи алгоритма Евклида. Предположим без
ограничения общности, что многочлен g отличен от нуля и не
делит многочлен /. Тогда, применяя многократно алгоритм деле-
деления, получим
f = 4ig+rlt 0 < deg (r,) < deg (g),
g = Ч2Г1 + r2, 0 < deg (r2) < deg (rj,
Гх = д3г* + r3, 0 < deg (r3) < deg (r2),
rs-2 = qsrs-i + rs, 0 < deg (rs) < deg (r^),
rs-l — <Js+lrs'
Здесь qu ..., qs+1 и ru ..., rs — многочлены из F [x]. Так как
степень deg (g) конечна, то процедура должна закончиться после
конечного числа шагов. Если старший коэффициент последнего
ненулевого остатка rs равен Ь, то НОД (f, g) = fe"Vs.
Для нахождения НОД (fx, ..., fn) при п > 2 и при ненулевых
многочленах ft сначала определяют НОД (flt /2), а затем последб-
вательно находят, применяя алгоритм Евклида, НОД (НОД (flt
/2», /,) = НОД (flt f2, f,) и т. д.
1.56. Пример. Применяя алгоритм Евклида к многочленам
/ (*) = 2хв + х3 + х2 + 2 и g (х) = х* + х2 + 2х из F3 Ы, по-
получаем
2х« + я» + х% + 2 = Bх2 + 1) (х4 + х2 + 2х) + х + 2,
х4 + х2 + 2х = (х8 + х* + 2х+ 1) (ж + 2) + 1,
jc + 2 = (ж + 2) 1.
Следовательно, НОД (/, g) = 1, т. е. многочлены fug взаимно
просты. ?
Двойственным к понятию наибольшего общего делителя яв-
является понятие наименьшего общего кратного. Пусть /1( ..., /п —
ненулевые многочлены из F [ж]. Тогда можно показать (см.
упр. 1.25), что существует однозначно определенный нормирован-
нормированный многочлен т ? F [х], обладающий следующими свойствами:
(О т, делится на каждый многочлен ft, I -^ i <^ п; (и) любой
многочлен g ^ F [ж], который делится на каждый из многочле-
многочленов /ь 1 ^ / ^ п, делится на т. Многочлен т называется на-
наименьшим общим кратным многочленов fx, ..., /п н обозначается
38 Гл. 1. Алгебраические основы
НОК (fi, ..., /п)- Для двух ненулевых многочленов /, g ? F [х]
имеет место соотношение
crlfg = НОД (/, g) НОК (/, g), A.6)
где а — старший коэффициент произведения fg. Это соотношение
легко сводит вычисление НОК (/, g) к вычислению НОД (/, g).
Однако для трех и более многочленов прямого аналога фор-
формулы A.6) не существует. В этом случае для нахождения наимень-
наименьшего общего кратного применяется тождество
НОК (Л, .... /„) = НОК (НОК (Л, .... /„_!>, /„).
Простые элементы кольца F [х] обычно называются непри-
неприводимыми многочленами. Ввиду особой важности этого понятия
дадим еще одно его определение.
1.57. Определение. Многочлен f ? F [х] называется непри-
неприводимым (точнее, неприводимым над полем F или в кольце F 1х\),
если он имеет положительную степень и равенство / = gh, g,
h ? F [x], может выполняться лишь в том случае, когда либо g,
либо h является постоянным многочленом.
Короче говоря, многочлен положительной степени неприво-
неприводим над F, если он допускает лишь тривиальные разложения на ¦
множители. Многочлен положительной степени из F 1х], не яв- :
ляющийся неприводимым над F, называется приводимым над F.
Приводимость или неприводимость данного многочлена суще-
существенно зависит от того, над каким полем он рассматривается.
Например, многочлен xt — 2 ? Q [х] неприводим над полем Q
рациональных чисел, но приводим_над полем R действительных
чисел, так как х% — 2 = (х — т/2) (х + т/2~).
Неприводимые многочлены играют важную роль в устройстве
кольца F [х], поскольку каждый многочлен из F [х] может быть
записан и притом единственным способом в виде произведения
неприводимых многочленов. Для доказательства этого предложе-
предложения нам понадобится следующий результат.
1.58. Лемма. Если неприводимый многочлен f из F [х] делит
произведение ft ... fm многочленов из F [х], то по крайней мере
один из сомножителей fj делится на f.
Доказательство. Так как многочлен / делит произведение
f\ •¦¦ fm> то в факторкольце F lx]/(f) мы получаем равенство (/г +
+ @) ¦•¦ (fm + (f)) = 0 + (f)- Поскольку иа основании теоремы
1.47(iv) это факторкольцо является полем, то для некоторого
/. 1 < / •< т, должно выполняться равенство fj -f- (f) = 0 -f- (/),
а это означает, что многочлен / делит fj. Q
§ 3. Многочлены 39
1.59. Теорема (об однозначном разложении на множители).
Каждый многочлен положительной степени / ? F [х ] (где F —
поле) может быть представлен в виде произведения
f = afi...fk, A.7)
где а.6 F< /i> •¦•> /ь —различные нормированные неприводимые
многочлены из F be], a elt ..., ek— натуральные числа. Более
того, это разложение однозначно с точностью до порядка, в кото-
котором расположены сомножители.
Доказательство. Возможность представления любого непо-
непостоянного многочлена / ? F 1х] в виде A.7) доказывается индук-
индукцией по степени многочлена /. Случай deg (/) = 1 тривиален, так
как любой многочлен первой степени неприводим над F. Предпо-
Предположим теперь, что требуемое разложение установлено для всех
непостоянных многочленов из F {х] степени <п. Если deg (/) = п
и / неприводим над F, то / = a (a~lf), где а — старший коэффи-
коэффициент /, — требуемое представление, так как а/ — нормиро-
нормированный неприводимый многочлен из F [х]. Если же/ приводим,
го он допускает разложение / = gh, где g, h ? F be], 1 <
-' deg (g) < n, 1 <C beg (h) < п. По предположению индукции
можно g и h представить в виде A.7), а следовательно, можно
в таком виде представить и /.
Для доказательства единственности предположим, что / имеет
два разложения вида A.7):
f = afi...fk = bgdxi...gdrr. A.8)
Сравнение старших коэффициентов дает а = Ь. Далее, неприво-
неприводимый многочлен fi из F [х] делит правую часть равенства A.8),
и потому (ввиду леммы 1.58) он делит один из многочленов gf,
1 С j ^С г- Но многочлен gj тоже неприводим в кольце F [х],
так что gj = cfx, где с — постоянный многочлен. Так как gj
и /] оба нормированы, то gj = ft. Таким образом, мы можем
в равенстве A.8) сократить ft и gj и к полученному равенству
применить тот же прием. После конечного числа таких шагов
мы убедимся, что оба разложения в A.8) совпадают с точностью
До порядка сомножителей. ц
Разложение A.7) будем называть каноническим разложением
многочлена / в кольце F 1х]. Если поле F совпадает с полем Q
рациональных чисел, то существует метод Кронекера, позволяю-
позволяющий найти каноническое разложение за конечное число шагов.
Этот метод вкратце описан в упр. 1.30. Для многочленов над ко-
конечными полями алгоритмы разложения будут описаны в гл. 4.
Основным вопросом для многочленов из F [х] является вопрос
о том, приводим или неприводим данный многочлен над полем F.
40 Гл. 1. Алгебраические основы
Для наших целей особенно интересны многочлены, неприводимые
над простым полем fp. Чтобы найти все неприводимые нормиро-
нормированные многочлены данной степени п над полем Fp, можно сна-
сначала найти все приводимые нормированные многочлены степени п
над этим полем, а затем исключить их из множества всех нормиро-
нормированных многочленов степени п над fp. Однако, если числа р
или п велики, такой метод непригоден, и мы в § 2, 3 гл. 3 разовьем
более мощные методы.
1.60. Пример. Найдем все неприводимые многочлены сте-
степени 4 над полем f2 (заметим, что каждый ненулевой многочлен
из F2 1х] автоматически нормирован). Всего существует 24 =- 16
многочленов 4-й степени над F2- Такой многочлен приводим тогда
и только тогда, когда он имеет делитель 1-й или 2-й степени.
Найдем поэтому все произведения вида (а0 -f- ахх + агх% + л:3)(Ь0+
+ х) и (а0 + ахх + х2) (Ьо + Ьгх + х2), где щ, Ь^ 6 F2, — это
и будут все приводимые многочлены 4-й степени из F2 [jc] Исклю-
Исключив их из полного набора многочленов 4-й степени над F2, полу-
получим искомые неприводимые многочлены: /г (х) = х1 + х -t- 1, ¦
/2 (х) = х* + х3 + 1 и /, (х) = ** + х3 + х2 + х + 1. ?
Поскольку именно неприводимые многочлены над полем F \
являются простыми элементами кольца F [х], следующий резуль-
результат (одна часть которого уже была использована в лемме 1.58)
непосредственно вытекает из теорем 1.47(iv) и 1.54.
1.61. Теорема. Пусть / ? F [х]. Для того чтобы фактор-
кольцо F lx]/(f) было полем, необходимо и достаточно, чтобы
многочлен f был неприводим над полем F
С целью подготовки к следующему параграфу мы остано-
остановимся подробнее на строении факторкольца F [х\1 (/), где / —
произвольный ненулевой многочлен из F [х\. Это факторкольцо
состоит из классов вычетов [g] = g + (/)> гДе 8 € F lx], а опе-
операции вводятся формулами A.2) и A.3). Два класса вычетов g + (f)
и h + (/) совпадают в том и только том случае, когда g = h (mod f), !
т. е. когда многочлен g — h делится на /. Это равносильно требо- :
ванию, чтобы g и h давали один и тот же остаток при делении на /. '
В классе вычетов g + (f) содержится единственный многочлен '
г ? F 1х], для которого deg (r) < deg (/); этот многочлен просто
является остатком при делении g на /. Процесс перехода от g
к г называется приведением по модулю /. Единственность много-
многочлена г вытекает из того, что если существует многочлен гх ?
? g + (f), такой, что deg (rx) < deg (f), то разность г — гх должна
делиться на /, но поскольку deg (г — rx) < deg (/), то это воз-
возможно лишь при rt — г. Различные элементы, образующие фак-
факторкольцо F [x]/(f), можно теперь описать явно: а именно это
классы вычетов г -)- (/), где г пробегает все многочлены из F [х]
§ 3. Многочлены 41
степени, меньшей чем deg (/). Таким образом, если F = Fp и
deg (/) = п >- 0, то число элементов факторкольца Fp \x\l (f)
равно числу многочленов степени, меньшей п, в кольце Fp lx],
т. е. рп.
1.62. Примеры
(i) Пусть / (х) = х ? F2 lx ]. В этом случае рп = 2х много-
многочленов степени, меньшей 1, из §2 lx] определяют полный набор
классов вычетов, составляющих факторкольцо Т2 1х]1 (х), так
что это факторкольцо состоит из классов вычетов [0] и [1] и,
следовательно, изоморфно полю FV
(ii) Пусть / (х) = х2 + х + 1 6 Гг [х]. В этом случае фак-
факторкольцо F2 \х]1 (/) состоит из рп = 22 элементов [0], [1 ], [х],
\х + 1 ]. Для построения таблиц сложения и умножения этого
((закторкольца нужно произвести требуемые операции над много-
многочленами, определяющими соответствующие классы вычетов, а
затем, если нужно, привести результаты по модулю /. Мы полу-
получаем следующие таблицы:
+
[0]
[1]
[х]
[0]
[0]
[1]
[х]
[1]
[1]
[0]
и+п
[х]
[х]
[х]
[х+1]
[0]
[1]
U+1]
[х+1]
[х]
[1]
[0]
[0]
[1]
М
[х+11
[0]
[0]
[0]
[0]
[0]
[1]
[0]
[1]
м
[х+1]
1х]
[0]
W
[х+Ц
[П
[х+1]
[0]
[х+1]
[1]
[х]
Из этих таблиц видно, что факторкольцо Fa lxV(f) является
полем (это следует также из неприводимости многочлена f (x) —
---- х2 + х + 1 над полем Fa на основании теоремы 1.61). Это наш
первый пример конечного поля, число элементов которого не
является простым числом.
(iii) Пусть / (х) = хг + 2 ? F3 lx]. Тогда факторкольцо
Рз lx]/ (f) состоит из рп = З2 классов вычетов .[0], [1], [2],
lx], lx + 1], U + 2], [2x], [2jc+ 1], [2х; + 2]. Таблицы опе-
операций факторкольца F3 [x]/ (f) опять можно получить, производя
соответствующие операции над определяющими классы вычетов
многочленами с последующим приведением по модулю / (когда
э'го нужно). Поскольку Fs lx]/(f) — коммутативное кольцо, до-
достаточно найти лишь элементы таблиц операций, стоящие на
главной диагонали и над нею.
42
Гл. 1. Алгебраические основы
+
[0]
[1]
[2]
[x]
[x+l]
[x+2]
[2x]
[2x+1 ]
[2x+2]
[0]
[1]
[2]
[x]
[x+l]
[x+2]
[2x]
KJl
[0]
[0]
[0]
[0]
[1]
[1]
[2]
[1]
[0]
[1]
[2]
[2]
[0]
[1]
[2]
[0]
[2]
[1]
[x]
[x]
[x+l]
[x+2]
[2x]
[x]
[0]
[x]
[2x] [
[I]
[
[x+l]
[x+l]
[x+2]
[x]
[2х+1]
[2jc+2 ]
l*+l]
[0]
[x+l]
2x+2]
[x+l]
2x+2]
[x+2]
[x+2]
[x]
[x+l]
[2x+2]
[2x]
[2x+l]
[x+2]
[0]
[x+2]
[2jc+1]
[2^+1]
[0]
[x+2]
[2x]
[2x]
[2^+1]
[2x+2]
[0]
[1]
[2]
[x]
[2x]
[0]
[2x]
[x]
[2]
12H-2]
[x+2]
[1]
[2x+l]
[2x+l]
[2x+2]
[2x]
[1]
[2]
[0]
[jt-fl]
[x+2]
[2^+1]
[0]
[2x:+l]
[x+2]
[x+2]
[0]
[2*+l]
[2^+1]
[x+2]
[2x+2]
[2x:+2]
[2x]
[2x+1 ]
[2]
[0]
[1]
[*+2]
[x]
[x+l]
[2x+2]
[0]
[2x+2]
l^+l]
[2^+2]
[x+l]
[0]
[*+l]
[0]
Заметим, что факторкольцо F3 \x\l (f) не является полем (и даже :;
не является целостным кольцом). Это соответствует и теореме 1.61, 1
поскольку / (х) = х2 + 2 = (х + 1) (х + 2) приводим над F3- ? '':
Пусть снова F — произвольное поле и / (х) ? F [х]. Тогда i
замена переменной х в многочлене / (х) произвольным элементом ;
поля F обращает этот многочлен в корректно определенный эле- <
мент поля F. Точнее, если / (х) = а0 + atx + ... + апхп ? F 1х]
и b ? F, то, заменяя х на Ь, получаем элемент / (Ь) = а0 +
+ щЬ + ... + anbn ? F. Будем его называть значением много-
многочлена f (х) при х = Ь. Если в кольце F [х] имеется какое-либо
(полиномиальное) равенство, то, заменяя в нем х произвольным
фиксированным элементом b ? F, мы получаем равенство в поле F
(принцип подстановки).
1.63. Определение. Элемент b ? F называется корнем/ (или ,
нулем) многочлена /С F [х\, если f (b) — 0. I
Следующая теорема устанавливает важную связь между кор- |
нями и делимостью. |
1.64. Теорема. Элемент b ? F является корнем многочлена {
f ? F [х] в том и только том случае, когда многочлен х — b
делит /.
Доказательство. Применяя алгоритм деления (см. теорему 1.52),
можно написать / (х) = q (х) (х — Ь) + с, где q ? F lx], с С 'F.
§ 3. Многочлены 43
Подставляя элемент b вместо переменной х, получим f (b) = с,
откуда / (х) = q (х) (х — Ь) -\- / (Ь). Из этого равенства легко
следует доказываемая теорема. Q
1.65. Определение. Пусть b ? F — корень многочлена / ?
? F 1х]. Кратностью корня b называется такое натуральное
число к, что / (х) делится на (х — b)k, но не делится на (х —
— 6)*+'. При k = 1 корень b называется простым, а при k > 1 —
кратным.
1.66. Теорема. Пусть f ? F (х) и deg (/) = п > 0. Если
blt ..., bm ? F — различные корни многочлена / соответственно
кратностей klt ..., km, то f делится на произведение (х — fej)*1 ...
... (х — fem)*m- Следовательно, k^ -f ... + km^ « и многочлен {
может иметь не более п различных корней в поле F.
Доказательство. Заметим, что каждый многочлен х — bj,
1 ^С i ^ т, неприводим над F, так что (х — bj) i входит в ка-
качестве сомножителя в каноническое разложение многочлена f.
Таким образом, в это каноническое разложение входит произве-
произведение (х — 6Х) ! ... (л: — bm)km, и, следовательно, оно является
делителем многочлена /. Сравнивая степени, получаем, что kj_ +
i ... + km <> я, и неравенства т -^ &х + ... + km ^ n доказы-
доказывают последнее утверждение. ?
1.67. Определение. Производной многочлена / = / (х) =
^ а0 + ахх + а2л:2 + ¦¦• + апхп ? F 1х] называется многочлен
/' = /' (х) = ах + 2а2х + ... + папхп~х 6 F 1х].
1.68. Теорема. Корень b ? F многочлена f ? F 1х] является
кратным тогда и только тогда, когда он одновременно является
и корнем производной /' многочлена /.
Существует связь между несуществованием корней и неприво-
неприводимостью. Если f — неприводимый многочлен из Fix] степени
>2, то, согласно теореме 1.64, он не имеет корней в поле F. Обрат-
Обратное справедливо для многочленов степеней 2 и 3, но вовсе не обя-
обязательно для многочленов более высокой степени.
1.69. Теорема. Для неприводимости многочлена f ? F lx] сте-
степени 2 или 3 в кольце F 1х] необходимо и достаточно, чтобы он
не имел корней в поле F. .
Доказательство. Необходимость этого условия уже отмеча-
отмечалась выше. С другой стороны, если многочлен f не имеет корней
в поле F, но приводим в кольце F [х], то его можно записать в виде
f ~= gh, где g, h 6 F lx] и 1 < deg (g) < deg (A). Ho deg (g) +
+ deg (ft) = deg (f) < 3, откуда deg (g) = 1. Значит, g (x) =
— ax -f Ь, где a, b 6 F, а Ф 0. Но тогда элемент —bar1 является
44 Гл. 1. Алгебраические основы
корнем многочлена g, а значит, и многочлена / в F, что противо-J
речит предположению.
1.70. Пример. Пользуясь теоремой 1.69, можно найти непри-|
водимые многочлены степеней 2 и 3 в кольце Тг 1х], исключая из!
полной совокупности многочленов соответствующей степени, при»]
надлежащих данному кольцу, те многочлены, которые имеют корни
в поле Fa- Этим путем легко убедиться, что в кольце F2 ix ] имеется
всего один неприводимый многочлен степени 2, а именно / (х) =
= х2 + х + 1, и два неприводимых многочлена степени 3: fx (x) —
= Xя + X + 1 И h (*) = *3 + X2 + 1. [ ]
В математическом анализе хорошо известен метод построения
многочлена с действительными коэффициентами по его значениям
в заданных точках. Этот метод применим и к многочленам над
произвольным полем.
1.71. Теорема (интерполяционная формула Лагранжа). Пусть
п > 0, и пусть а0, %, ..., ап—различные и b0, bt, ..., bn —
произвольные элементы поля F. Тогда существует в точности один
многочлен f ? F Ix] степени -< п, такой, что f (at) = bt для
i = 0, 1 п. Этот многочлен имеет вид
f()ti(th)(h)
i=o *=о
Можно рассматривать также многочлены от нескольких пере-
переменных. Пусть R обозначает коммутативное кольцо с единицей,
и пусть Xi, ..., хп — символы, которые выступают в качестве
переменных. Образуем сначала кольцо многочленов R Uj], затем
кольцо многочленов R [xlt ха] = R [xl\ 1х2] и т. д., пока не
достигнем R [xlt ..., хп] = R [хи ..., хп^] 1хп]. Элементами
кольца R lxlt ..., хп] являются выражения вида
\ — V Ji
с коэффициентами cnv..in € #» причем суммирование распро-
распространяется на конечное множество n-наборов (i1, ..., /„) неотри-
неотрицательных целых чисел и соблюдается соглашение х] = 1, 1 <v!
<; / < п. Такое выражение называется многочленом от перемен-
переменных хъ ..., хп над кольцом R. Два многочлена fngmR lxt, ..., х„ 1
равны тогда и только тогда, когда равны все соответствующие коэф-
коэффициенты. При этом предполагается, что переменные хх, ..., хп
коммутируют (т. е. перестановочны) друг с другом, так что, на-
например, выражения xlxixzxl и х^х^х^ отождествляются.
§ 3. Многочлены 45
1.72. Определение. Пусть многочлен / ? R [xlt ..., хп] задан
выражением
/(*,, .... хп)= Е^...,^1 •••<"•
Если ас 1пф0, то uix...inx[l ...xl? называется членом мно-
многочлена /, a ix + ... + /„ — степенью этого члена. Степень мно-
многочлена / =т^= 0 (обозначаемая через deg (/)) определяется как
наибольшая из степеней его членов. Для / = О полагается
deg (/) = —оо. Если / = 0 или все члены / имеют одну и ту же
степень, то многочлен / называется однородным.
Любой многочлен / ? R [хи ..., хп] можно записать в виде
конечной суммы однородных многочленов. Степени многочленов
из/? {хг, ..., хп ] снова удовлетворяют неравенствам теоремы 1.50,
а если R —целостное кольцо, то справедливо равенство A.4),
так что R 1х1У ..., хп] тоже является целостным кольцом. Если
F — поле, то каждый многочлен положительной степени из
F [хъ ..., хп] снова может быть единственным образом представ-
представлен в виде произведения постоянного сомножителя и нормиро-
нормированных простых элементов кольца F [xlt ..., хп] (где нормиро-
ванность определяется подходящим образом). Однако здесь при
я 5» 2 не существует аналога для алгоритма деления, и F [xlt ...
..., хп] не является кольцом главных идеалов.
Важным классом многочленов от п переменных являются
симметрические многочлены.
1.73. Определение. Многочлен f ? R lxlt ..., хп] называется
симметрическим, если для любой перестановки ilt ..., /„ целых
чисел 1, ..., п выполняется равенство f (х^, ..., Xtn) = f (xu ...
..., хп).
1.74. Пример. Пусть z — переменная над кольцом R [xlt ...
• •., хп], и пусть g (г) = (г — xt) (z — ха) ... (г — хп). Тогда
g B) = г" - с^г"-1 + о-гг"-2 h (— 1)" а„,
где
ffft = оА (хъ -..., хп) = 2 xt...Xi (k = 1, 2, ..., п).
l<J1<...<ift<n
Таким образом,
ai = х1 + хш + ¦ • • + хп,
4- хгх3 -\ 1- хгхп + х2х3 + • • • + х2хп + • • • + xn_ixn,
... хп.
46 Гл. 1. Алгебраические основы
Поскольку многочлен g остается неизменным при любой пере-
перестановке переменных хг, х2, ..., хп, то все ok являются симметри-
симметрическими многочленами от этих переменных и каждый из них
однороден. Многочлен ок — ok(xlt ..., хп) ? R [хъ ..., хп] на-
называется k-м элементарным симметрическим многочленом от
переменных xt xn над R. Прилагательное «элементарные»
применяется ввиду так называемой основной теоремы о симметри-|
ческих многочленах, гласящей, что для каждого симметрического!
многочлена f ? R 1хг, .... хп] существует единственный много-§
членп ? R [*i, ..., хп], такой, чтоf (xlt ..., хп) = ft @i> ..., ап).
П
1.75. Теорема (формула Ньютона). Пусть оъ ..., ап — эле-
элементарные симметрические многочлены от переменных xlt ..., хп
над кольцом R, и пусть s0 = п ? N и sh = sh (хъ ..., хп) =
= х\ + ... + Хп 6 R [хи ..., хп] при k > 1. Тогда для k > 1
справедлива формула
Sft — Sft.jCTi + Sh_2CT2 h (— ly^'Sfc-m+lOm-l +
+ (-nm~-sh_mam = 0,
где m = min (k, n).
1.76. Теорема (формула Варинга). При тех же обозначениях,
что и в теореме 1.75, для k >- 1 имеет место равенство
где суммирование распространяется на все п-наборы (ilt ..., in)
неотрицательных целых чисел, удовлетворяющие условию ix +
+ 2i2 + ... + nin — k. Коэффициент при oj1 ... 0^п всегда яв-
является целым числом.
§ 4. Расширения полей
Пусть F — поле. Подмножество К поля F, которое само яв-
является полем относительно операций поля F, называется его
подполем. В этом случае поле F называется расширением поля К-
Если К ф F, будем К называть собственным подполем поля F.
Если К — подполе конечного поля Fp при простом р, то оно
должно содержать элементы 0 и 1, а значит, и все другие элементы
поля Fp в силу замкнутости поля К по сложению. Следовательно,
поле Fp не имеет собственных подполей. Так мы приходим к сле-
следующему понятию.
1.77. Определение. Поле, не содержащее собственных под-
подполей, называется простым полем.
§ 4. Расширения полей 47
Как показывает предыдущее рассуждение, любое поле порядка р
при простом р — простое поле. Другим примером простого поля
является поле Q рациональных чисел.
Пересечение любой непустой совокупности подполей данного
поля F — снова подполе поля F. Пересечение всех подполей поля F
называется простым подполем поля F. Очевидно, что оно является
простым полем.
1.78. Теорема. Простое подполе поля F изоморфно либо полю
fp при некотором простом числе р, либо полю Q, и в соответствии
с этим характеристикой поля F является либо р, либо 0.
1.79. Определение. Пусть К — подполе поля F и М — любое
подмножество поля F. Тогда поле /С (М) определим как пересе-
пересечение всех подполей поля F, содержащих одновременно К и М;
оно называется расширением поля К, полученным присоединением
элементов множества М. В случае конечного множества М =
— \Qlt ..., 9„| мы будем писать К (М) — К (9i, ..., 9„). Если М
состоит из единственного элемента 9 ? F, то поле L = К (9)
называется простым расширением поля /С, а 9 — образующим
(или порождающим) элементом простого расширения L поля К-
Очевидно, что К (М) является наименьшим подполем поля F,
содержащим одновременно К и М. Определим теперь один важ-
важный тип расширений.
1.80. Определение. Пусть К — некоторое подполе поля F и
О ? F. Если 9 удовлетворяет нетривиальному полиномиальному
уравнению с коэффициентами из поля К, т. е. если апВп + ... +
+ аг9 +* а0 = 0, где элементы at лежат в К и не равны нулю одно-
одновременно, то элемент 9 называется алгебраическим над К. Расши-
Расширение L поля К называется алгебраическим расширением поля /С,
если каждый элемент поля L является алгебраическим над К-
Пусть элемент 9 ? F является алгебраическим над К- Рассмот-
Рассмотрим множество ./ — {/(; К 1х] | / (9) = 0}. Легко проверить,
что J — идеал кольца /С 1х], причем J Ф @), так как 9 — алге-
алгебраический элемент над К- Но в таком случае, согласно теореме
154, существует однозначно определенный нормированный мно-
многочлен g ? /С [х], такой, что J совпадает с главным идеалом (g).
Важно заметить, что многочленg неприводим в К 1х]. Действи-
Действительно, во-первых, g имеет положительную степень, так как он
имеет корень 9, а во-вторых, если g — hth2 в К 1х], где 1 •<
< deg (ht) < deg (g), 1=1, 2, то из 0 = g (9) = hx (9) ft2 (9)
вытекает, что либо hlt либо h2 принадлежит идеалу J и, значит,
делится на g, а это невозможно.
1.81. Определение. Если элемент 9 поля F алгебраический
над подполем К этого поля, то однозначно определенный норми-
48 Гл. 1. Алгебраические основы
рованный многочлен g ? К 1х], порождающий идеал J = {f (~
? К 1х] | / (9) = 0[ кольца К 1х), называется минимальным
многочленом элемента 8 над полем К- Под степенью элемента 9
над полем К понимается степень его минимального многочлена g.
1.82. Теорема. Если элемент 8 поля F является алгебраиче-
алгебраическим над подполем К поля F, то его минимальный многочлен g
над К обладает следующими свойствами:
(i) Многочлен g неприводим в кольце К 1х],
(ii) Для многочлена f ? К 1х) равенство / (9) = 0выполняется
в том и только том случае, когда многочлен g делит /.
(iii) Многочлен g является нормированным многочленом наи-
наименьшей степени в кольце К 1х], для которого 9 является корнем.
Доказательство. Свойство (i) уже установлено, a (ii) вытекает
из определения g. Что касается (iii), то достаточно заметить, что
любой нормированный многочлен из К ix), для которого 9 яв-
является корнем, кратен g и, значит, либо равен g, либо имеет сте-
степень, превышающую степень g. Q
Отметим, что как минимальный многочлен алгебраического
элемента 9, так и степень этого элемента зависят от того поля К,
над которым рассматривается этот элемент, так что нельзя гово-
говорить о минимальном многочлене или о степени элемента 9, не
указывая поля К (если, конечно, это не ясно из контекста).
Если L — расширение поля /С, то L можно рассматривать как
векторное (или линейное) пространство над полем К- Элементы
поля L (т. е. «векторы») образуют по сложению абелеву группу.
Кроме того, каждый «вектор» а ? L может быть умножен на
вскаляр» г ? К, и при этом произведение га снова принадлежит L
(здесь га — просто произведение в смысле операции поля L эле-
элементов г и а этого поля). Наконец, выполняются законы г (а +
+ Р) = га + гр\ (г + s) а = га + sa, (rs) a = г (sa) и 1 а = а,
где г, s ? /С, а, р ? I.
1.83. Определение. Пусть L — некоторое расширение поля К- \
Если L, рассматриваемое как векторное пространство над /С,
имеет конечную размерность, то L называется конечным расшире-
расширением поля К- Размерность векторного пространства L над К
называется степенью поля L над К и обозначается [L : /(].
1.84. Теорема. Если L — конечное расширение поля К и М —
конечное расширение поля L, то М — конечное расширение поля К, i
причем
[М : К\ = Ш : I] [I : KL
Доказательство. Положим 1М : L] = т, [L : К\ = п, и пусть
{аи ..., ат\ —базис векторного пространства М над Lu |рь .;.
• • •» Pni — базис L над К- Тогда каждый элемент a ? М является
§ 4. Расширения полей 49
линейной комбинацией а = ул + ... + утат, где у{ ? I, 1 <
<^ i < т, и, записывая каждое yt через базисные элементы р^,
получим
т т ( п \ т. п
а = 2 Т*аг = ? ( ? ^Р; pi=SS '¦«vMm
[=1 1=1 \/=l / 1=1 /=1
где коэффициенты Гц лежат в К- Для доказательства теоремы
теперь достаточно доказать линейную независимость тп эле-
элементов Р/с,-, I < i < m, 1 < / < п, над полем К- Допустим, что
т п
Е Е %М<- = °
(=1 /=i
с коэффициентами su из К- Тогда
т
?
i
и из линейной независимости элементов осг, ..., ат над L мы за-
заключаем, что
п
? Sijfyj = 0 для 1 < i < m.
Но так как элементы рх, ..., р„ линейно независимы над К, мы
делаем вывод, что все s^ равны 0. ?
1.85. Теорема. Каждое конечное расширение поля К является
алгебраическим над К.
Доказательство. Пусть L — конечное расширение поля К,
\L : К] = т и 0 С L, Тогда т + 1 элементов 1, 9, ..., Вт поля L
являются линейно зависимыми над К, так что имеет место равен-
равенство а0 + «1 6 Н Ь атдт = 0 с коэффициентами at ? К, не
равными нулю одновременно. Но это означает, что 9 — алгебраи-
алгебраический элемент над /С. ?
Изучим строение простого расширения К (9) поля К, полу-
полученного присоединением к К некоторого алгебраического эле-
элемента. Пусть F — расширение поля /С, и пусть 9 ? F — алгебраи-
алгебраический элемент над /С. Оказывается, что К (9) — конечное (а по-
потому и алгебраическое) расширение поля К.
1.86. Теорема. Пусть 9 — элемент поля F, являющийся алге-
алгебраическим степени п над подполем К поля F, и пусть g — мини-
минимальный многочлен элемента 9 над К- Тогда
(О Простое расширение К (9) изоморфно факторкольцу
A lx)/(g).
00 IK (9) : /С) = п и {1,9,..., б"-1! — базис векторного
"* Зак. 222
50 Гл. 1. Алгебраические основы
пространства К (9) над полем /С.
(Ш) Каждый элемент а С /С (9) является алгебраическим
над полем К, и его степень является делителем п.
Доказательство, (i) Рассмотрим отображение х: К [х] -+
-*¦ К (9), определяемое условием х (/) = / (9) для всех / ? К [х\.
Очевидно, что х является гомоморфизмом колец. Заметим, что
Кег т = {/ ? К 1х] | / (9) = 0} = (g) в силу определения мини-
минимального многочлена. Пусть S — образ отображения т, т. е. мно-
множество значений *) многочленов от х с коэффициентами из поля К
при х — 9. Тогда по теореме о гомоморфизме колец (теорема 1.40)
получаем, что S изоморфно факторкольцу К [x]/(g). Но в силу
теорем 1.61 и 1.82(i) факторкольцо К lxV(g) является полем,
а следовательно, S — поле. Но поскольку К ? 5 s К @) и
0 € S, по определению простого расширения S = К (9) и (i)
доказано.
(И) Так как S = К @), то любой элемент а ? К (9) можно
записать в виде а = / (9) для некоторого / ? К 1х]. Применяя
алгоритм деления, находим многочлены q и г из К 1х], такие, что
/ = qg + г, где deg (г) < deg (g) = п. Тогда а = / (9) = q (9) •
¦ в Ф) + г F) = г (9), и потому а является линейной комбина-
комбинацией элементов 1, 0, ..., 0"—1 с коэффициентами из К- С другой
стороны, если для некоторых аг ? К имеет место равенство Oq 4-
+ ах0 Н Ь fln-iQ" = 0, то 9 является корнем многочлена
h (х) = а0 + ахх Н Ь an-i^"~' 6 К U1, и потому h в силу
теоремы 1.82 (И) кратен g. Но поскольку deg (h) < п — deg (#),
это возможно лишь при условии, что h = 0, т. е. что все а, равны 0.
Поэтому элементы 1, 9, ..., 9"~' линейно независимы над К,
что доказывает (ii).
(Hi) Поле К @) является конечным расширением поля К
ввиду (ii). Поэтому элемент а ? /С @) будет в силу теоремы 1.85
алгебраическим над К- Далее, К (а) — подполе поля К (в)-
Если d — степень элемента а над К, то из (ii) и теоремы 1.84 сле-
следует, что я = [/С (9) : К)= 1К (9) : КШ [К (а) :./С1, так что
d = [/С (а) : /С] делит п. О
Таким образом, элементами простого алгебраического расши-
расширения /С @) поля К являются значения многочленов от ж с коэф-
коэффициентами из поля К при х = 0. При этом любой элемент поля
К (9) может быть однозначно представлен в виде а0 + fli© + •••
... + ап-! в"-1, где at ? К, 0 < i < n—1.
Как подчеркивалось выше, в теореме 1.86 предполагается, что
поле К и элемент 0 принадлежат некоторому большему полю F.
Это необходимо для того, чтобы алгебраические выражения, содер-
содержащие 0, имели смысл. Но сейчас мы хотим построить простое
г) Многочлен над К можно рассматривать н как многочлен над F. — Прим.
перев,
§ 4, Расширения полей 51
алгебраическое расширение ajb ovo *), т. е. без ссылок на предва-
предварительно заданное большее поле. Идея этого построения содер-
содержится в п. (i) теоремы 1.86.
1.87. Теорема. Пусть многочлен f d К [х] неприводим над
полем К- Тогда существует простое алгебраическое расширение
поля К, образующим элементом которого является некоторый
корень многочлена /.
Доказательство. Рассмотрим фактор кольцо L = К 1х ]/(/), ко-
которое по теореме 1.61 является полем. Элементами кольца L
являются классы вычетов [А] = h + (/), где h ? К 1х]. Для
каждого а ? К мы можем построить класс вычетов [а], определяе-
определяемый постоянным многочленом а, и если а, Ь ? К различны, то
[а] ф \Ъ\, так как f имеет положительную степень. Отображение
av~* [а] дает изоморфизм поля К на некоторое подполе К.' поля L,
так что поле К' можно отождествить с К- Другими словами, мы
можем рассматривать поле L как расширение поля К- Для каж-
каждого многочлена h (х) *= а0 + atx + ... + атхт ? /С [*] в соот-
соответствии с правилами Действий с классами вычетов и учитывая
отождествление [at] — ait получаем
|А] = [а0 + ахх + ... + атхт] =
= К] + Ш [х] + ... + [ам] [*р = ао-+ а, [х] + ... + ат [х]т
Таким образом, каждый элемент поля L может быть записан как
многочлен от «переменной» [х ] с коэффициентами из /С. Так как
любое поле, одновременно содержащее /Си 1х], должно содержать
и каждый такой элемент [h], то L является простым расширением.
поля /С, получаемым присоединением элемента [х]. Если f (х) =
= b0 + bjx + ... + bnxn, то / (Ы) = bo + b1[x] + ... + Ьп[х]я =
= lb0 + Ьгх + ... + &„*"] = 1/1 = [0], так что 1х] является
корнем многочлена / и, следовательно, L есть простое алгебра-
алгебраическое расширение поля К- ?
1.88. Пример. В качестве примера формального процесса при-
присоединения корня, описанного в теореме 1.87, рассмотрим простое
поле F3 и многочлен / (х) = х* + х + 2 ? рз 1x1, который не-
неприводим над Fs. Пусть 9 = [х] — некоторый «корень» много-
многочлена /, т. е. класс вычетов х + (/) из факторкольца L = F3 lx ]/(/).
Другим корнем многочлена / в L является тогда 29 + 2, поскольку
f B9 + 2) = B9 + 2J + B9 + 2) + 2 = 92 + 9 + 2 = 0. Как
следует из теоремы 1.86 (И), простое алгебраическое расширение
L ~ F3 (9) состоит из девяти элементов: 0, 1, 2, 9, 9 + 1, 9 + 2,
26, 29 4- 1, 29 + 2. Таблицы операций для L можно построить
так же, как и в примере 1.62. ?
l) ab ovo — дословно «от яйца» (лат.), т. е. с самого начала. — Прим.
перев.
52 Гл. 1. Алгебраические основы
Заметим, что в рассмотренном примере мы могли бы вместо О
присоединить к полю F 3 корень 29 + 2 того же многочлена f
и получили бы то же самое поле L. Эта ситуация обобщается
следующим легко проверяемым результатом.
1.89. Теорема. Пусть а и р—два корня многочлена f ?
? К 1х], который неприводим над полем К. Тогда простые рас-
расширения К (а) и К ф) изоморфны, причем изоморфизм осущест-
осуществляется отображением, переводящим элемент а в р и оставляю-
оставляющим неизменными элементы поля К-
Теперь займемся такими расширениями поля К, которым
принадлежат все корни некоторого заданного многочлена над К.
1.90. Определение. Пусть многочлен f ? К [х] имеет поло-
положительную степень, и пусть F — некоторое расширение поля К.
Тогда говорят, что многочлен / вполне разлагается (split) в поле F,
если / можно записать в виде произведения линейных сомножите-
сомножителей из F [х], т. е. существуют такие элементы alt ..., ап ? F, что
f (х) = а(х — otj) ... (х — ап),
где а — старший коэффициент многочлена /. Поле F называется
полем разложения многочлена / над полем К, если / вполне разла-
разлагается в поле F и, кроме того, F = К (щ, ..., а„).
Ясно, что поле разложения F многочлена / над полем К яв-
является наименьшим из полей, содержащих одновременно,/( и все
корни многочлена /, в следующем смысле: никакое собственное
подполе поля F, являющееся расширением поля /С, не может содер-
содержать всех корней многочлена /. Повторным применением про-
процесса, описанного в теореме 1.87, можно получить первую часть
следующего предложения. Вторая часть является обобщением
теоремы 1.89.
1.91. Теорема (существование и единственность поля разло-
разложения). Если К — некоторое поле и f — многочлен положитель-
положительной степени из К [х ], то существует поле разложения многочлена f
над К- Любые два поля разложения многочлена f над К изоморфны,
и соответствующий изоморфизм оставляет неизменными элементы
поля К и осуществляет некоторую перестановку корней много-
многочлена /.
Поскольку изоморфные поля можно отождествить, мы можем
говорить о вполне определенном поле разложения многочлена /
над полем К- Оно получается присоединением к полю К конечного
числа алгебраических над К элементов, и потому (как можно
показать на основании теорем 1.84 и 1.86 (ii)) поле разложения
многочлена / над К является конечным расширением поля К- \
Чтобы продемонстрировать полезность полей разложения, .
воспользуемся ими для решения следующей задачи: как выяснить. ¦
§ 4. Расширения полей 53
имеет или нет данный многочлен кратные корни (см. определе-
определение 1.65)?
1.92. Определение. Пусть f ? К [х] — некоторый многочлен
степени п > 2, и пусть / (х) = а0 (х — аг) ... (х — а„), где а„ ...
,.., ап — элементы поля разложения многочлена / над полем /С.
Тогда дискриминант D (/) многочлена / определяется так:
D(/) = af-2 П (a,-a,J.
li/
Из определения D (/) ясно, что многочлен / в том и только том
случае имеет кратный корень, когда D(f) = 0. Заметим, что
дискриминант D(f), хоть он и определяется через элементы рас-
расширения поля К, на самом деле является элементом самого поля /С.
Для небольших п это можно показать простым подсчетом. Напри-
Например, если п = 2 и / (х) = ахг + Ьх + с = а (х — ах) (х — а2), то
D(f) = а2 К - а2J = а2 (К + а2J - 4alCg =
= а2 F2а — 4Ш),
откуда получается выражение, хорошо известное из теории квад-
квадратных уравнений:
D(ax2 + Ьх + с) = b* — 4ас.
Если п = 3 и / (х) = ах3 + 6х2 + сх + d = a (x — ax) (x —
a2) (* — a3). то
D(f) = а1 (с*! - a2J К - a3J (a2-a3J,
и несколько более сложный подсчет показывает, что
D(ax3 + bx2 + сх + d) =
= ЬЧг — 4ЬЧ — 4ас3 — 27аЧг + 18 abed. A.9)
В общем случае рассмотрим сначала многочлен s ? /С Ub ...
..., ж„], заданный выражением
s(jc,, .... *n) = ao2n-2 П (xi-х,J.
Тогда очевидно, что s — симметрический многочлен, и по основ-
основной теореме о таких многочленах (см. пример 1.74) его можно
представить в виде некоторого многочлена от элементарных сим-
симметрических многочленов alt ..., ап с коэффициентами из поля
К: s = h (alt ..., оп) для некоторого h ? К lxlt .... хп]. Если
/(х) = аох" -\- аххп-1 + ... + ап = ао(х — at) ... (х — ап) ? К[х],
то из определения элементарных симметрических многочленов
(см. снова пример 1.74) вытекает, что
*1 € К, 1<^<п.
54
Гл. 1. Алгебраические основы
Таким образом,
D (f) = s (<*!, ...
ап) = Н @! (аъ
ап),
. .., а„)) *=
Так как D (/) С ^. то возникает мысль, нельзя ли подсчитать
дискриминант D (/), не переходя к расширению поля К. Оказы-
Оказывается, это можно сделать, воспользовавшись понятием резуль-
результанта. Заметим сначала, что если многочлен / ? К \х\ задан
в виде / (х) = поХп + atxn~] + ... + ап, то мы не исключаем
возможности равенства нулю коэффициента а0, так что натураль-
натуральное число я не обязательно'является степенью многочлена /.
В таком случае мы будем называть число п формальной степенью
многочлена /; формальная степень п всегда не меньше настоящей
степени deg (/).
1.93. Определение. Пусть / (х) = сцхп + а^"-' + ... + ап 6
е К [х] и g(x) = boxm + Ьххт-Х + ... + bm С К Ы — два
многочлена с формальными степенями пит соответственно, п,
т ? IN. Тогда результант R (/, g) этих двух многочленов — это
определитель
• ап 0 О
а„0 ... О
R(f. 8) =
О
«1
... 0 a0 ax
о ь0
.. an
.. 0
.. 0
О
т строк
п строк
порядка т -f n.
Если deg (/) = n (т. e. a0 Ф 0) и / (x) = a0 (x — aj) ... (x — an)
в поле разложения многочлена / над К,, то R (/, g) можно также
задать формулой
A.10)
В этом случае очевидно, что равенство R (/, g) = 0 выполняется
тогда и только тогда, когда многочлены / и g имеют общий корень -
(т. е. / и g имеют общий делитель положительной степени в кольце
К Ы).
Теорема 1.68 наводит на мысль, что между дискриминантом
О (/) и результантом /?(/,/') имеется связь. Пусть f ? К lx], i
Комментарии 55
= n > 2 и старший коэффициент / равен а». Тогда и в са-
самом деле имеет место равенство
D(f) = (-l)n<n-1)/V/?(f, /'). A.11)
где производная /' рассматривается как многочлен формальной
степени п — 1. Последнее замечание требуется потому, что в слу-
случае поля К простой характеристики может оказаться, что deg(f) <
< п — 1 и даже что /' = 0. Но в любом случае равенство A.11)
выполняется, так что дискриминант D (/) можно найти, вычислив
определитель порядка 2п — 1с элементами из поля К.
Комментарии
§ 1. Определения и теоремы этой главы можно найти почти
в каждой из вводных книг по современной алгебре. Упомянем
некоторые из них: Birkhoff, MacLane [1], Fraleigh [1], Herstein
[4], Kochendorffer [11, Lang [4], Redei [10], van der Waerden [2]
(а также Калужнин [1*], Кострикин [1*], Курош [1*], Мн-
чина, Проскуряков [1*1, Скорняков [1*], Сушкевич [1*], Фад-
Фаддеев [1* ]. — Перев.)
Существуют и другие эквивалентные определения группы.
Например, группу можно определить как непустое множество G
с ассоциативной бинарной операцией, такой, что для любых
a, b С G уравнения ах = b и уа = Ь имеют решения в G. Важной
иллюстрацией понятия группы может служить (наряду с приве-
приведенными выше примерами) группа матриц, т. е. множество матриц
с элементами из некоторого поля, образующее группу относи-
относительно операции умножения матриц. Такие группы встретятся
нам в гл. 8. Другие важные примеры можно найти в упомянутых
руководствах (а также в книгах Hall [6], Каргаполов, Мерзля-
Мерзляков [1*], Курош [2*], Шмидт И*]. — Перев.)
Латинским квадратом называется квадратная таблица, в каж-
каждой строке и в каждом столбце которой ровно один раз встречается
каждый элемент некоторого множества. Таким образом, таблица
Кэли любой конечной группы является латинским квадратом.
Однако не каждый латинский квадрат можно рассматривать как
таблицу Кэли некоторой группы, так как не обязательно выпол-
выполнен закон ассоциативности. Подробнее о латинских квадратах
см, в § 4 гл. 9, а также в книге Denes, Keedwell [I ].
По поводу циклических групп можно легко доказать, что
любая бесконечная циклическая группа изоморфна аддитивной
группе Z целых чисел и любая циклическая группа порядка п
изоморфна аддитивной группе Zn вычетов по модулю п.
1) «Звездочкой» помечены работы, добавленные при переводе. — Прим. ред.
56 Гл. 1. Алгебраические основы |
Стоит упомянуть определения некоторых алгебраических си-1
стем, которые даже проще, чем группы, так как для них выпол-1
няется лишь часть аксиом группы. Так, множество с бинарной]
операцией называется группоидом; если же дополнительно пред-1
полагается ассоциативность операции, то это полугруппа. Полу-1
группа с единичным элементом называется моноидом. \
§ 2. Существуют разные определения кольца. Например, не-1
которые авторы опускают ассоциативность умножения, а струк-1
туру, введенную определением 1.28, называют ассоциативным!
кольцом. В определении целостного кольца иногда опускается!
требование существования мультипликативной единицы.
Первое абстрактное определение поля было дано Вебером
(Weber [3]). Конечные простые поля fp, где р — простое число,
были широко изучены еще Гауссом (Gauss [3 ]) в связи со сравне-
сравнениями в кольце Z целых чисел по простому модулю.
Характеристика поля совпадает с характеристикой его про-
простого подполя. Существуют поля простой характеристики, не яв-
являющиеся конечными. Примером может служить подходящее рас-
расширение поля fp, скажем, поле рациональных функций над fp
или алгебраическое замыкание поля fp (ср. с комментариями
к§ 4).
Многие свойства целых чисел можно перенести на соответ-
соответствующие главные идеалы в кольце Z. Это обусловлено тем фак-
фактом, что целое число а делит целое число Ъ в том и только том
случае, если главный идеал (а) содержит главный идеал (Ь).
Особый интерес представляют простые числа. Согласно обычному
определению, простым называется целое число >1, которое
не имеет нетривиальных делителей. Можно дать другое равно-
равносильное определение, назвав простым такое целое число >1,
которое делит произведение целых чисел лишь тогда, когда оно
делит один из сомножителей. Перефразируя для идеалов эти
характеризации простого числа, мы соответственно приходим
к определениям максимального и простого идеалов.
§ 3. При обычном определении многочлена как выражения
вида Оо + atx + ... + апхп обсуждения вопроса о связи коэффи-
коэффициентов at и переменной х обычно избегают. Однако существует
способ дать совершенно безукоризненное определение многочлена :
как элемента кольца многочленов. '
Чтобы дать такое определение, рассмотрим множество S всех "
бесконечных последовательностей вида '
(а0, аи .... ап, ...),
компонентами at которых являются элементы некоторого комму- ;
тативного кольца R с единицей 1, причем лишь конечное число
компонент а, может быть отлично от 0. Нетрудно убедиться, что
Комментарии 57
множество S образует коммутативное кольцо с единицей относи-
относительно следующих операций сложения и умножения:
(а0, аи ...) + (Ьо, Ьи ...) = (а0 + Ьо, ах + Ьъ ...),
(а0, аъ ...) ф0, Ьъ ...)
где (п + 1)-я компонента произведения равна aobn + аф^ + ...
... + anb0. Нулевым элементом кольца S является, очевидно,
(О, 0, ...). а единицей A, 0, 0, ...)•
Множество Р последовательностей вида (а0, О, О, ...), где лишь
первая компонента может быть отличной от 0, образует подкольцо
кольца S. Это подкольцо Р и заданное кольцо R изоморфны,
причем изоморфизм задается соответствием (а0, О, 0, ...) i—^ а0.
Поэтому мы отождествляем эти два кольца и пишем (а0, О, О, ...) =
= а0. Кольцо R, таким образом, можно рассматривать как под-
подкольцо кольца S, a S — как расширение кольца R.
Обозначим теперь через х последовательность @, 1,0, ...).
Легко проверить, что
хп = @, .... 0, 1, 0, ...) для п> 1,
где 1 является (п + 1)-й компонентой. Если, кроме того, поло-
положить х° = A, 0, 0, ...) = 1, то для любой последовательности
(ан, а1( а2, ...) из S
(а0, аи а2, ...) =
- (а0, 0, 0, ...) + @, аъ 0, ...) + @, 0, а2, 0, ...) + ... =
= (ао, 0, 0, ...) A, 0, 0, ...) + (аъ 0, 0, ...) @, 1, 0, ...) +
+ (oj, 0, 0, ...) @, 0, 1, 0, ...) + - =
= (а0, 0, 0, ...) 1 + (аи 0, 0, ...) х + (а2, 0, 0, ...) х2 + ... =
= а0 + агх + агх% + ... + а^хп = / (х).
Таким образом, элементами кольца S являются многочлены
f (x) (z R \х ], определяемые как бесконечные последовательности
с конечным числом ненулевых компонент.
Мы снова обращаем внимание, что главным соображением
в пользу такого определения многочлена / (х) над R является
прояснение связи между элементами из R и новым элементом х.
Переход от кольца R к кольцу 5 многочленов над R называется
кольцевым присоединением элемента х к кольцу R. Кольцо много-
многочленов R [х] можно считать также подкольцом кольца формаль-
формальных степенных рядов над кольцом R (оно будет введено в гл. 8).
Рассматривая свойства кольца Z целых чисел и кольца F [х ]
многочленов над некоторым полем F, нетрудно заметить неко-
некоторое сходство между ними. Действительно, оба типа колец отно-
относятся к одному и тому же классу — евклидовым кольцам. Евкли-
Евклидово кольцо — это коммутативное кольцо R, содержащее не менее
58 Гл. 1. Алгебраические основы
двух элементов и не имеющее делителей нуля, для которого су-
существует отображение v из множества ненулевых элементов
кольца R в множество неотрицательных целых чисел со следу-
следующими двумя свойствами: (i) если а, Ъ ? R, причем аЬ Ф О,
то v (ab) >- v (а); (и) для а, Ь ? R, где Ь Ф О, существуют эле-
элементы q, г ? R, такие, что а = qb + г, причем либо г = О, либо
v (r) <v'(?>). Нетрудно заметить, что Z является евклидовым
кольцом, где v(п) = \п\ для п ? Z, a F [х] является евклидо-
евклидовым кольцом, где v(/) = deg (/) для / ? F [х]. Справедлив такой
общий результат: любое евклидово кольцо является кольцом
главных идеалов.
Свойство, устанавливаемое теоремой 1.59, тоже сохраняется
и при более общих предположениях. Введем следующее опреде-
определение. Целостное кольцо, в котором выполняется теорема об одно-
однозначном разложении на простые сомножители, т. е. в котором
каждый отличный от нуля элемент, не являющийся делителем
единицы, может быть однозначно (с точностью до делителей еди-
единицы и до порядка сомножителей) представлен в виде произведе-
произведения простых элементов, называется факториальным кольцом или
кольцом с однозначным разложением на простые сомножители.
Таким образом, коротко говоря, теорема 1.59 утверждает, что
кольцо F [х ] многочленов над полем F является факториальным.
Более того, любое кольцо главных идеалов тоже является факто-
факториальным. Китайская теорема об остатках (см. упр. 1.37) является
частным случаем общего результата такого типа, доказанною
в книге Ленга Lang [4, ch. 2].
Много фактов о многочленах от одной или нескольких пере-
переменных содержится в книгах Redei [10] и van der Waerden
[2 ] и в монографии повышенного типа о многочленах Lausch,
Nobauer [I ].
§ 4. В этом параграфе основными являются теоремы 1.86
и 1.87. В сущности, можно сказать, что теорема 1.87 устанавли-
устанавливает один из наиболее фундаментальных результатов теории
полей. Этот результат, принадлежащий Кронекеру (Kronecker
[8]), гарантирует для любого непостоянного многочлена над
полем F существование такого расширения поля F, в котором
этот многочлен имеет корень. Более того, доказательство этой
теоремы не просто дает обоснование факта существования ука-
указанного расширения — оно дает также метод построения требуе-
требуемого расширения.
Можно классифицировать элементы расширения F поля К
по их отношению к полю К- Если в ? F, то простое расширение
К (9) поля К либо изоморфно полю К (х) рациональных функций
над К (называемому также полем частных кольца К 1x1), либо
(в силу теоремы 1.86) изоморфно факторкольцу К lx]/(g), где
g ? К 1х] — некоторый неприводимый многочлен, для которого
Упражнения 59
элемент 9 является корнем. В первом случае элемент 8 называется
трансцендентным над К, во втором, как нам уже известно, в яв-
является алгебраическим над К. Расширение F поля К, которое
не является алгебраическим, называется трансцендентным. При-
Примеров трансцендентных элементов можно привести сколько угодно.
Так, большая часть действительных чисел (например, е, я,
2>2~, ...) — это трансцендентные над полем рациональных
чисел Q числа.
Поля разложения существуют не только для одного непостоян-
непостоянного многочлена над полем К, но и для любой совокупности таких
многочленов. Поле разложения над К совокупности всех непо-
непостоянных многочленов из К 1х] называется алгебраическим замы-
замыканием К поля К. Это поле является алгебраическим расшире-
расширением поля К со следующим дополнительным свойством: любой
непостоянный многочлен из К \х) вполне разлагается в поле К..
Для случаев К = Q и К = ?р алгебраическое замыкание К
служит примером алгебраического расширения поля К, которое
не является конечным расширением этого поля.
Абстрактная теория расширений полей была развита в фунда-
фундаментальной статье Steinitz [1 ]. Более ранние исследования в этом
направлении проведены в работах Kneser [I], Kronecker [5], [8]
и Weber [31.
Упражнения
1.1. Доказать, что единичный элемент группы определяется однозначно.
1.2. Пусть О — мультипликативная группа. Доказать, что непустое под-
подмножество Н группы О является подгруппой этой группы в том н только том слу-
случае, когда нз а, Ь ? Н следует ab'1 ? Н. Если Н конечно, то указанное условие
можно заменить таким: нз а, Ь ? Я следует аЪ ? Н.
1.3. Пусть а — элемент конечного порядка k мультипликативной группы G.
Показать, что для т ? Z равенство ат = е выполняется тогда и только тогда,
когда k делнт т.
1.4. Длят ? N функция Эйлера ф (т) определяется как число натуральных
чисел k, не превосходящих т, которые взаимно просты с т. Доказать следующие
свойства этой функции (здесь m, n, s ? Ы и р — простое число):
(а) Ф 0»») = p»(i _ -L
(b) ф (тп) = ф \т) ф (п), если НОД (т, п) = 1;
(c) ф (т) = т A ^ .... A V где т = р'.1 ... р\г — разложе-
\ Pi I \ Рг I
ние /л на простые сомножители.
1.5. Найти ф D90) н ф G68).
1-в. Доказать следующее утверждение: если порядок группы равен ps,
где р — простое число, s ? IN, то порядок ее центра делится на р (использовать
теорему 1.27 — уравнение классов сопряженности).
1.7. Доказать, что в кольце R для всех а, Ь ? R имеет место' равенство
(~а) (б) Ь
60 Гл. 1. Алгебраические основы
1.8. Доказать, что в коммутативном кольце R для всех a, b ? R и п ?
справедлива формула
ГДе
k\(n-k)\
{формула бинома).
1.9. Пусть р ? Z — простое число. Для любого а ? Z, не делящегося
на р, показать, что р делнт число ар—1 — 1 (малая теорема Ферма).
1.10. Доказать, что для любого простого числа р имеет место сравнение
(р — 1)! = —1 (mod p) (теорема Вильсона).
1.11. Доказать, что если р — простое число, то I . ) =(—1)' (mod p)
для 0^/^р— 1, / ? Z.
1.12. Ферма высказал гипотезу, что для всех целых неотрицательных чисел п
число 22" + 1 является простым. Эйлер нашел противоречащий пример: число
641 делит 232 + 1. Подтвердить это, используя сравнения.
1.13. Доказать, что если mlt ..., т^ — натуральные попарно взаимно
простые числа, т. е. НОД (m,-, mj) = 1 для 1 < i < / ^ к, то для любых целых
чисел alt ..., а^ система сравнений у = a; (mod m,), i = 1, ..., k, имеет реше-
решение у, определенное однозначно по модулю т — т1 ... т^ (китайская теорема
об остатках).
1.14. Решить систему сравнений 5х = 20 (mod 6), 6х = 6 (mod 5), Ах ^
= 5 (mod 77).
1.15. Показать, что если R — коммутативное кольцо простой характери-
характеристики р, то при любых alt ..., as ? R
1.16. Вывести из результата упр. 1.11, что в коммутативном кольце R про-
простой характеристики р для всех а, Ь ? R имеет место равенство
(a__6)P-i=: ?] а'?-1-'.
/=о
1.17. Пусть F — поле и / ? F [ж]. Доказать, что совокупность многочленов
{& (/ (•*)) 18 6 ^ [¦*]} совпадает с кольцом F [х] тогда и только тогда, когда
deg(/)= 1.
1.18. Показать, что из равенства р% (х)—хф (х) = хгг (х), где р, q, r ?
? R [х], следует, что р = q = г = 0.
1.19. Пусть F — поле н f, g ? F [х]. Показать, что главный идеал (/)
содержится в главном идеале (g) тогда и только тогда, когда многочлен g делнт /.
1.20. Доказать следующее предложение. Если F — поле и многочлены /,
g ? F [х] взаимно просты и не являются постоянными одновременно, то суще-
существуют многочлены a, b ? F [х], такие, что deg (a) < deg (g), deg (b) < deg (/)
и af+ bg= 1.
1.21. Пусть для многочленов /х, ..., fn ? F [x], где F — поле, НОД (/j, ...
• ¦•, fn) = d, так что/(- = dgi, где gi ? F [x], i = 1, ..., п. Доказать, что много-
многочлены gj, ..., gn взаимно просты.
1.22. Доказать, что для многочленов /lf ..., fn ?\ F [х], где F — поле и
n ^ 3, справедливо соотношение
НОД ^, ..., fn) = НОД (НОД (/, /„.,), fn).
Упражнения 61
1.23. Пусть F — поле н /, g, h ? F [ж]. Доказать, что если / делит gh н
НОД (f, g) = 1, то / делнт h.
1.24. Применяя алгоритм Евклида, найти НОД (/, g) для следующих много-
чтенов / и g с коэффициентами из указанного поля F;
(a) F = Q, / (х) = х1 + 2ж6 + 2х2 — х + 2, g (х ) = ж6 — 2хъ — х* + ж2 +
+ 2* + 3;
(b) F = F8, / (дс) = ж' + 1, g (ж) = ж« + х3 + х + 1;
(c) F = Fa, / (х) = ж6 + ж + 1, g (ж) = ж» + ж6 + ж4 + 1;
(d) F = Fs, / (х) = ж« + 2ж6 + ж3 + ж* + 1, g '(ж) = 2ж« + ж6 + 2ж3 +
-!¦ 2х2 + 2.
1.25. Пусть /х, ..., /„ — ненулевые многочлены из /¦" [ж], где F — поле.
Доказать существование н единственность нормированного многочлена т ?
? F \х\ со свойствами наименьшего общего кратного многочленов /j, .,., fn.
(Указание. Рассмотреть пересечение главных идеалов (/х) П ••¦ П (fn)-)
1.26. Доказать соотношение A.6).
1.27. Пусть F — поле и Д, ..., fn 6 F \х\ — ненулевые попарно взаимно
простые многочлены. Показать, что НОК (/i, •¦., fn) = e^ ••• /п. гДе а — стар-
ший коэффициент многочлена ft ... fn.
1.28. Доказать, что для многочленов f1, ..., fn ? F [ж], где F — поле и
я >> 3, справедливо соотношение
НОК (/ъ ...,/„) = НОК (НОК (h /„_,), /»).
1.29. Пусть F — поле, /j, ...,/„ С ^ [ж] — ненулевые многочлены и для
каждого /;, 1 ^ i ^ я, задано каноническое разложение
где Oj g F, произведение распространяется на все неприводимые нормированные
многочлены р из F [ж] и ег' (Р) — неотрицательные целые числа, причем для
каждого i строгое неравенство е, (р) > 0 выполняется лишь для конечного числа
многочленов р. Для каждого р положим т (р) = min (ех (р), ..., еп (р)), М (р) =
= max (e1 (р), ..., еп (р)). Доказать, что
нод(/„ .... fn) = npm(p), нок(/„ .... /п) =
1.30. Метод Кронекера нахождения делителей степени <Cs непостоянного
многочлена / ? Q [я] состоит в следующем.
A) Можно считать, что / ? Z [ж] (учитывая возможность умножения много-
многочлена / на константу).
B) Возьмем s+ 1 различных чисел а0, ..., as ? Z, не являющихся корнями
многочлена /, и для каждого i, 0 ^ i ^ s, найдем все делители числа / (а;).
C) Для каждого (s+ 1)-набора (Ьп, ..., bs), где b-t — делитель числа f (aCj,
0 s^ i ^ s, найдем такой многочлен g ? Q [ж], чтобы deg (j) < s и j (a,) = hi,
0 sg; i ^ s (например, используя интерполяционную формулу Лагранжа из
теоремы 1.71).
D) Выясним, какие из этих многочленов g являются делителями исходного
многочлена /. Если deg (/)= n^l hs — наибольшее целое число, не превосхо-
превосходящее и/2, то многочлен / непрнводнм в кольце Q [ж] в том случае, когда ука-
указанный метод выявляет в качестве делителей / лишь постоянные многочлены g.
В остальных случаях метод Кронекера обязательно приводит к нетривиальному
разложению многочлена /.
Применяя затем тот же метод к полученным сомножителям и повторяя этот
процесс, мы получим в конце концов каноническое разложение многочлена /
в кольце Q [х].
Использовать указанную процедуру для нахождения канонического разло-
разложения многочлена
/(x) = -i-jc« !L.xs + 2xl~-xS + 5x* у-* € QH-
62 Гл. 1. Алгебраические основы
1.31. Построить таблицы сложения и умножения для факторкольца
F2 [*]/(**+ *а + ж). Определить, будет ли это кольцо полем.
1.32. Пусть [*+ lj — класс вычетов многочлена ж + 1 в факторкольце
F2 [ж]/(х* + 1). Найти классы вычетов, составляющие главный идеал ([*+ 1])
в указанном факторкольце.
1.33. Пусть F — поле н a, b, g ? F [ж], причем g Ф 0. Доказать, что
сравнение а/ = b (mod g) имеет решение / ? F [х] тогда и только тогда, когда
НОД (a, g) делнт многочлен Ь,
1.34. Решить сравнение (х% + 1) / (х) = 1 (mod (ж8 + 1)) в Fs [•*], если это
возможно.
1.35. Решить, если это возможно, сравнение
(ж* + х3 + *2 + 1) f (х) = ж2 + 1 (mod (ж8 + 1))
в F2 [ж].
1.36. Доказать, что факторкольцо R [ж ]/(** + х3 + х + 1) не может быть
полем, каким бы нн было коммутативное кольцо R с единицей.
1.37. Доказать, что если F — поле, glt ..., g^ — произвольные, a flt ..., fh—
ненулевые попарно взаимно простые многочлены нз F [х], то система сравнений
h = g,- (mod f;), i = 1, ..., fe, имеет единственное решение h ? F [x] по мо-
модулю I = fi ... /ft (китайская теорема об остатках для кольца F 1х]).
1.38. Подсчитать f C) для многочлена
f (х) = *«* + З*162 + 2JC4' + 2 ? F6 W-
1.39. Пусть ^ — простое число, щ, ..., ап ? Z и р не делнт а„. Показать,
что сравнение а0 + а^+ ...-\-апуп = 0 (mod р) имеет не более п различных
решений »/ по модулю р.
1.40. Доказать, что для простого числа р> 2 существует ровно два эле-
элемента а ? Fp, таких, что а2 = 1.
1.41. Показать, что многочлен/ ? Z [ж], такой, что/@) = /A) = 1 (mod 2),
не может иметь корней в Z.
1.42. Пусть р — простое число и f ? Z [ж]. Показать, что сравнение / (а) т
= 0 (mod р) выполняется для всех а ? Z в том и только том случае, если f (х) --
= (хр — х) g (х) + рЛ (я) для некоторых g, h ? Z [*].
1.43. Пусть р — простое число и с — элемент некоторого поля F. Пока-
Показать, что многочлен хр — с тогда и только тогда непрнводнм над F, когда
он не имеет корней в поле F.
1.44. Показать, что для многочлена / положительной степени над полем F
следующие условия эквивалентны:
(a) многочлен / непрнводнм над F;
(b) главный идеал (/) кольца F [х] является максимальным идеалом;
(c) главный идеал (/) кольца F [х] является простым идеалом.
1.45. Доказать следующие свойства производной многочленов над полем /¦:
(a) (/,+ ...+ /m)' = fJ+... + /-
(b) №' =
(, т) 21 /1^+1 «.
1.46. Пусть / — многочлен над полем F. Доказать, что если характеристика
поля F равна 0, то /' = 0 тогда и только тогда, когда / — постоянный многочлен;
если же F — поле простой характеристики р, то /' = 0 тогда и только тоща,
когда f (х) = g (хр) для некоторого многочлена g ? F [х].
1.47. Доказать теорему 1.68.
1.48. Доказать, что ненулевой многочлен / над полем F имеет кратные кории
(из некоторого расширения поля F) тогда и только тогда, когда / и /' не взаимно
просты.
Упражнения
63
1.49. Применить критерий, полученный в предыдущем упражнении, для
выяснения вопроса, имеют ли следующие многочлены кратные корни:
(a) / (ж) = ж* — 5х3 + 6ж2 + 4ж — 8 ? Q [ж];
(b) ! (х) = ж» + ж6 + х* + ж3 + 1 6 Fa [ж].
1.50. я-я производная /("' многочлена / над полем F определяется рекур-
рентно следующим образом: /'°* = /, /'"' = (/'"~'))' для п ^ 1. Доказать, что
для /, g ? F [ж] имеет место соотношение
(=0
<"-<¦)„('¦)
(формула Лейбница).
1.51. Пусть F — некоторое поле и k — натуральное число (если F — поле
простой характеристики р, то предполагается, что k < р). Доказать, что эле-
элемент Ь ? F является корнем кратности k многочлена / ? F [х] в том и только
том случае, если f{i) ф) = 0 для 0 < i < k — 1 и f{k) ф) Ф 0.
1.52. Доказать, что интерполяционную формулу Лагранжа (см. теорему
1.71) можно записать также в следующем виде:
где
1=0
*=0
1.53. Найти многочлен / g F5 [•*]. такой, что / @) = / A) = / D) = 1,
а / B) = / C) = 3.
1.54. Найти многочлен / ? Q [*] степени ^3, такой, что / (—1) = —1,
/ @) = 3, / A) = 3, / B) = 5.
1.55. Выразить многочлен s8 (xlt ж2, ж3, х?) = х\ + ж| + ж| -4- д;| 6 Гз t*i> *a>
дг3, х4] через элементарные симметрические многочлены от четырех переменных alt
о2. ая н а4 (см- пример 1.74).
1.56. Доказать, что подмножество К поля F является его подполем тогда
и только тогда, когда выполняются следующие условия:
(а) К содержит по крайней мере два элемента;
ф) если а, Ь ? К, то а — Ь ? К;
(с) если а, Ь ? К и Ь ф 0, то ab'1 ? /С.
1.57. Доказать, что расширение L поля /С является конечным расширением
в том и только том случае, если L может быть получено из К присоединением
конечного числа алгебраических над К элементов.
1.58. Доказать, что если 6 — алгебраический элемент над полем L, где
L — алгебраическое расширение поля К, то элемент 6 является алгебраическим
также над полем К- Это значит, что если F — алгебраическое расширение поля L,
то F — в то же время и алгебраическое расширение поля К-
1-50. Доказать, что если L — расширение поля К и степень [L : К] — про-
простое число, то единственными полями F, удовлетворяющими условию К ?= F Е
5 L, являются F = К и F = L.
1.60. Построить таблицы сложения и умножения для поля L = Гз Ф)
из примера 1.88.
1.61. Доказать неприводимость над F2 многочлена /(ж) = х*+д;+ 1 ?
S Fg [•*] и построить таблицы операций для простого расширения F2 F), где
0 корень многочлена /
0
р /
1.62. Вычислить дискриминант D (/) многочлена /не его помощью выяс-
выяснить, имеет или нет многочлен / кратные корни:
(a) / (х) = 2*3 - З*2 + х + 1 CQ [х];
(b) f (х) = 2х* + х9 + ж2 + 2х + 2 € Гз М-
1.63. Вывести формулу A.9) из A.11).
64 Гл. 1. Алгебраические основы
1.64. Доказать, что многочлены / и g из К [х] (К— поле) имеют общий
корень (из некоторого расширения поля К) в том и только том случае, если /
и g имеют общий делитель положительной степени из К [х].
1.65. Найти общие корни многочленов х7 — 2х* — Xs + 2 и хъ — Зх* — х +
+ 3 из Q [х].
1.66. Доказать, что если fug — многочлены из определения 1.93, то R (/,
g) = (-\)mn R (g. ft-
1.67. Пусть / и g—многочлены положительной степени над полем К,
и пусть в поле разложения многочлена fg над К имеем / (х) = а0 (х — щ) ...
... (х — а„), я0 фО, g (х) = Ь„ (х — Pj) ... (х — рт), Ьо Ф 0. Доказать, что
R (/. g) = (-1 Г" Ь% П / (Ру) = а™Ь1 П П («, - Р;),
/=i i=i /=i
где в качестве формальных степеней многочленов fag берутся соответственно
их степени пит.
1.68. Вычислить результант R (/, g) двух данных многочленов / И?(при
формальных степенях, совпадающих со степенями) и выяснить, имеют или иет
эти многочлены общие корни:
(a) / (х) = ха + х + 1, ? (х) = 2ж5 + ж2 + 2 € F3 И;
(b) /(ж) = ж*+*9+ 1, g(x) = x*+x*+ х+ 1 € Fa [л].
1.69. Для многочлена f ? К [xlt ..., хп] от п ^ 2 переменных над полем /С
нулем можно назвать такой л-набор (а1( ..., а„) элементов а,-, принадлежащих
некоторому расширению поля /(, для которого /(«], ..., ап) = 0. Пусть теперь
^ g (z К fat, ..., *nl и переменная ж„ фактически входит в многочлены / и g.
Тогда оба этих многочлена можно рассматривать как многочлены / (хп) и g (xn)
положительной степени от одной переменной хп из кольца К [хг, ..., xn_t] [xn].
Результант этих многочленов (при формальных степенях, совпадающих со сте-
степенями) R (f, g) = RXjl (/, g) тогда является многочленом от переменных
xlt ..., Xn-i- Показать, что многочлены / и g имеют общий нуль (at «n-i>
ап) тогда и только тогда, когда (л— 1)-набор (а1( ...,<xn_i) является нулем
результанта R (f, g).
1.70. Используя результат предыдущего упражнения, найти общие нули
многочленов / (х, у) = х (у2 — х)% + уъ и g (х, у) = г/4 + уг — х2 из Q [х, у].
Глава 2
Строение конечных полей
Это наиболее важная глава, так как в ней излагаются основ-
основные свойства конечных полей и описываются методы построения
конечных полей.
Наиболее известным примером конечного поля является поле
классов вычетов по простому модулю, т. е. факторкольцо Z/(p),
где р — простое число. Многие свойства этого поля сохраняются
и для произвольных конечных полей.
В § 1 устанавливается, что порядком каждого конечного поля
является некоторая степень простого числа и, наоборот, для каж-
каждой степени простого числа q = р", п ? IN, существует конечное
ноле, состоящее из q элементов. Более того, оказывается, что
все конечные поля с одним и тем же числом элементов изоморфны
друг другу и потому могут быть отождествлены.
В следующих двух параграфах даются сведения о корнях
неприводимых многочленов, позволяющие рассматривать каждое
конечное поле как поле разложения некоторого неприводимого
многочлена над его простым подполем, а также о следах, нормах
и базисах, определяемых конечным полем и его расширением.
В § 4 корни из единицы изучаются с точки зрения общей
теории полей (это понадобится в § 6, а также в гл. 5). В § 5 ука-
указываются разные способы представления элементов конечного
поля. И наконец, в § 6 даются два доказательства известной
теоремы Веддербёрна о том, что каждое конечное тело является
полем.
В последующих главах многие идеи и методы этой главы полу-
получат дальнейшее развитие.
§ 1. Характеризация конечных полей
В гл. 1 мы уже встретились с важным классом конечных по-
полей, т. е. полей, состоящих из конечного числа элементов. А именно
было установлено (теорема 1.38), что для каждого простого числа р
факторкольцо 7.1 (р) является конечным полем, состоящим из
Р элементов, которое может быть отождествлено с полем Галуа
Fp = GF (р) порядка р (см. определение 1.41).
5 Зак. 222
66 Гл. 2. Строение конечных полей
Поле Fp играет важную роль в общей теории полей, так как,
согласно теореме 1.78, каждое поле характеристики р должно
содержать изоморфное Fp подполе и потому может рассматри-
рассматриваться как расширение поля fp. Это замечание играет основную
роль в классификации конечных полей, поскольку характери-
характеристика каждого конечного поля является простым числом (след-
(следствие 1.45),
Установим прежде всего одно простое предложение о числе
элементов конечного поля.
2.1. Лемма. Пусть F — конечное пом, содержащее подполе К
\ем ~~
к:
из а элементов. Тогда F состоит из ат элементов, где т —
= IF: —
Доказательство. Поле F можно рассматривать как векторное
пространство над полем К- В силу конечности F это пространство
конечномерно. Если [F : К} = т, то F имеет базис над полем К,
состоящий из т элементов, скажем, Ьъ ..., Ьт. Таким образом,
каждый элемент поля F может быть однозначно представлен
в виде линейной комбинации atbi + ... + ambm, где аг, ..., ат ?
? К- Так как каждый коэффициент at может принимать q зна-
значений, то поле F состоит в точности из цт элементов. П
2.2. Теорема. Пусть F — конечное поле. Тогда оно состоит
из р" элементов, где простое число р является характеристикой
поля F, а натуральное число п является степенью поля F над его
простым подполем.
Доказательство. Так как поле F конечно, то его характери-
характеристика— некоторое простое число р (см. следствие 1.45). Поэтому
простое подполе К поля F изоморфно Fp, согласно теореме 1.78,
и, значит, содержит р элементов. Остальное вытекает из лем-
леммы 2.1. ?
Отправляясь от простых полей Fp, мы можем строить другие
конечные поля с помощью процесса присоединения корня, опи-
описанного в § 4 гл. 1. Если / ? Fp Ix] — неприводимый многочлен
степени я над Fp, то, присоединяя к Fp корень этого многочлена,
мы получим конечное поле из рп элементов. Однако на этом этапе
еще неясно, существует ли для каждого натурального числа п
неприводимый многочлен степени я из fp Ix]. Чтобы установить,
что для каждого простого р и каждого натурального я существует
конечное поле из рп элементов, мы используем другой подход,
подсказываемый следующей леммой.
2.3. Лемма. Если F — конечное поле из q элементов, то каою-
дый элемент а ? F удовлетворяет равенству а> — а.
Доказательство. Для а = 0 равенство а? = а выполняется
тривиально. Что же касается ненулевых элементов поля F, то
§ 1. Характеризация конечных полей 67
они образуют мультипликативную группу порядка q—1, так
что для каждого ненулевого элемента а ? F выполняется равен-
равенство сР~{ = 1, умножение которого на а приводит к требуемому
результату. Q
2.4. Лемма. Если F — конечное поле из q элементов и К —
подполе поля F, то многочлен х4 — х из К lx] вполне разлагается
в F [х] следующим образом:
& — х = П (х — а),
a(ZF
так что F является полем разложения многочлена &— х над
полем К-
Доказательство. Многочлен xi — х степени q имеет не более q
различных корней в поле F. В силу леммы 2.3 нам известно q та-
таких различных корней — ими являются все элементы поля F.
Таким образом, данный многочлен разлагается в поле F указан-
указанным в формулировке образом и не может вполне разлагаться
ни в каком меньшем поле. ?
Теперь мы в состоянии доказать главную характеризационную
теорему для конечных полей, основная идея которой содержится
в лемме 2.4.
2.5. Теорема (существование и единственность конечных по-
полей). Для каждого простого числа р и каждого натурального
числа п существует конечное поле из рп элементов. Любое конечное
поле из q — p" элементов изоморфно полю разложения многочлена
хя — х над полем Fp-
Доказательство. Существование. Для q = рп рассмотрим мно-
многочлен хч — х из Fp lx], и пусть F будет его полем разложения
над |Fp. Указанный многочлен имеет q различных корней в поле F,
так как его производная является постоянным многочленом
qxf>~x — 1 = —1 ф 0 из Fp lx] и в силу этого не может иметь
общих корней с х4 — х (см. теорему 1.68). Положим S = \а ?
С F | а» — а = 0}. Тогда S является подполем поля F, так
как (i) S содержит 0 и 1; (и) если а, Ь ? S, то по теореме 1.46
(а — b)i = cfl — Ья = а — Ь, а значит, а — 6 ? S; (ш) для
а, Ь ? S, Ьф 0, имеем (аЬ-х)ч = cfib-ч = ab~\ так что ab~x ? S.
Но, с другой стороны, многочлен х4 — х должен вполне разла-
разлагаться в S, так как поле S содержит все его корни. Таким обра-
образом, S = F, а поскольку S состоит из q элементов, то F является
конечным полем из q элементов.
68 Гл. 2. Строение конечных полей
Единственность. Пусть F — конечное поле из q = рп элемен-
элементов. Тогда F имеет характеристик)' р (теорема 2.2) и потому
содержит в качестве подполя поле fp. Из леммы 2.4 следует, что
F является полем разложения многочлена х" — х над полем fp.
Требуемый результат теперь вытекает из единственности (с
точностью до изоморфизма) поля разложения (теорема
1.91). ?
Доказанная в теореме 2.5 единственность позволяет говорить
о вполне определенном конечном поле данного порядка q (т. е.
о поле Галуа из q элементов). Будем обозначать его через fq,
где под q понимается степень некоторого простого числа р, кото-
которое является характеристикой этого поля (теорема 2.2).
2.6. Теорема (критерий подполя). Пусть Fq — конечное поле
из q = р" элементов (р — простое число). Тогда каждое подполе
поля fq имеет порядок рт, где т является положительным дели-
делителем числа п. Обратно, если т — положительный делитель
числа п, то существует ровно одно подполе поля fq из рт эле-
элементов.
Доказательство. Ясно, что любое подполе К поля fq должно
иметь порядок рт, где т — натуральное число, не превосхо-
превосходящее п. Из леммы 2.1 следует, что число q = рп должно быть
степенью числа рт, так что т обязательно делит число я.
Обратно, если т — положительный делитель числа я, то
рт — 1 делит число рп — 1, так что многочлен xptn-1 — 1 делит-
многочлен хрп~х — 1 в fp [х]. Следовательно, хРт — х делит
многочлен хр" — х = х4 — х в (FD [x]. Таким образом, каждый
корень многочлена х? — х является корнем многочлена xi — х
и, значит, принадлежит полю fq. Поэтому поле fq должно со-
содержать в качестве подполя поле разложения многочлена хрПг — х
над Fp, а из доказательства теоремы 2.5 мы видели, что такое
поле разложения имеет порядок рт. Если бы поле fq содержало
два различных подполя порядка рт, то эти подполя содержали бы
в совокупности больше чем рт корней многочлена хрт — х в по-
поле fq, а это невозможно. ГЦ
Доказательство теоремы 2.6 показывает, что если т — поло-
положительный делитель числа я, то в поле f „ имеется единственное
подполе порядка рт, и это подполе состоит в точности из корней
многочлена хр1" — х ? fp [х] в поле f n.
2.7. Пример. Подполя конечного поля F280 можно найти,
составив список всех положительных делителей числа 30. Отно-
§ 1. Характеризация конечных полей 69
шения включения между этими подполями указаны в следующей
диаграмме.
Р2зо
xi
ч
Согласно теореме 2.6, эти отношения включения равносильны
отношениям делимости соответствующих делителей числа 30. ?
Для конечного поля fv мы будем через F« обозначать мульти-
мультипликативную группу его ненулевых элементов. Следующий ре-
результат устанавливает одно важное свойство этой группы..
2.8. Теорема. Мультипликативная группа f% ненулевых эле-
элементов произвольного конечного поля fq циклическая.
Доказательство. Можно предположить, что q ^ 3. Пусть h =
-= pji ... рТ™ — разложение порядка h = q — 1 группы FJ на
простые сомножители. Для каждого i, I ^ i <^ m, многочлен
x''lPi — 1 имеет не более hlpt корней в поле fq. Поскольку hlpt <
< h, то в поле Fg имеются ненулевые элементы, не являющиеся
корнями этого многочлена. Пусть at — такой элемент; положим
b{ = at l . Тогда bi' =1, откуда следует, что порядок эле-
элемента Ь{ является делителем числа р{ и, значит, имеет вид /?,',
где 0 <; st < rt. С другой стороны,
так что порядок элемента ft,-равен р*. Покажем теперь, что эле-
элемент b = Ьфг ... Ьт имеет порядок h. Допустим, что это не так
и что порядок элемента b является собственным делителем числа Л,
а значит, делителем по крайней мере одного из т целых чисел
Mpi, 1 -< i < m, скажем hlpx. Тогда
1 = bh'pi = bi/Plbh2/pl ... ЬЧР%.
Теперь если 2 ¦< i ¦< m, то р\1 делит число hlpu так что bhilPi = 1.
Поэтому b\SPl = 1. Это означает, что порядок элемента bt должен
делить число hlpx, а это невозможно, так как он равен р^к Итак,
FJ — циклическая группа с образующим элементом Ь. ?
2.9. Определение. Образующий элемент циклической груп-
группы f*q называется примитивным элементом поля fq.
70 Гл. 2. Строение конечных полей
Из теоремы 1Л5 (v) следует, что поле fq содержит ц> (q — 1)
примитивных элементов, где ф — функция Эйлера. Наличием
в любом конечном поле примитивных элементов можно восполь-
воспользоваться, например, для доказательства того факта, что каждое
конечное поле является простым алгебраическим расширением
своего простого подполя.
2.10. Теорема. Пусть Fq— конечное поле и Fr— его конеч-
конечное расширение. Тогда fr является простым алгебраическим рас-
расширением поля fq, причем образующим элементом этого про-
простого расширения может служить любой примитивный элемент
поля fr.
Доказательство. Пусть ? — любой примитивный элемент по-
поля fr. Тогда очевидно, что fq (?) = fr. С другой стороны,
поле Fe (?) содержит 0 и все степени элемента ?, а значит, все
элементы поля fr. Следовательно, fq (?) = fr.
2.11. Следствие. Для каждого конечного поля fq и каждого
натурального числа п в кольце fq lx] существует неприводимый
многочлен степени п.
Доказательство. Пусть Fr — расширение поля fq порядка if,
так что lFr : Fg 1 = я. Согласно теореме 2.10, существует такой
элемент ? ? fr, что fr = fq (?,). Но тогда в соответствии с тео-
теоремами 1.82 (i) и 1.86 (п) минимальный многочлен элемента ?
над fq является неприводимым многочленом степени п в кольце
Fg lx]. О
§ 2. Корни неприводимых многочленов
В этом параграфе мы исследуем вопрос о множестве корней
неприводимого многочлена над конечным полем.
2.12. Лемма. Пусть f ? fq \x\— неприводимый многочлен
над конечным полем fq, и пусть а — корень этого многочлена
в некотором расширении поля fq. Тогда для многочлена h ? Fg \.x\
равенство h (а) = 0 выполняется в том и только том случае,
если многочлен f делит h.
Доказательство. Пусть а — старший коэффициент многочле-
многочлена /. Положим g (x) = a^fix). Тогда g — нормированный не-
неприводимый многочлен из Fg lx], причем g (a) = 0, а значит,
g — минимальный многочлен элемента а над fq в смысле опре-
определения 1.81. Остальное вытекает из теоремы 1.82 (И), ?
2.13. Лемма. Пусть /С fq 'lx] — неприводимый многочлен
степени т над fq. Тогда f (х) делит многочлен х^" — х в том
и только том случае, если число т делит п.
§ 2. Корни неприводимых многочленов 71
Доказательство. Допустим, что многочлен / (х) делит х"п — х.
Пусть а — некоторый корень многочлена / в поле разложения
этого многочлена над Fq. Тогда а"п = а, так что а ? F „.
Значит, простое расширение Fq (а) поля Fq является подполем
поля fqn. Но так как [fq (а) : FJ = т и [FдП : Fq] = п,
то из теоремы 1.84 следует, что число т делит п.
Обратно, если т делит я, то из теоремы 2.6 следует, что
поле F n содержит F т в качестве подполя. Если а — некоторый
корень многочлена / в поле разложения этого многочлена над Fq,
то lfq (а) : ?д] = т, так что Fq (<*) = F т. Следовательно,
а ? F п> значит, ао" = а и, таким образом, а — корень много-
многочлена х"" —х ? Fq [х]. Тогда в соответствии с леммой 2.12
мы заключаем, что / (х) делит многочлен хчп — х. ?
2.14. Теорема. Если / ? Fg lx] — неприводимый многочлен
степени гт, то в поле F т .содержится любой корень а много-
многочлена /. Более того, все корни многочлена f просты и ими являются
п) различных элементов а, а", <х«2, ..., aim~x поля F т-
Доказательство. Пусть а — произвольный корень много-
многочлена / в поле разложения этого многочлена над Fg- Тогда
!'Г„ (a) :Fq] = т, так что fq (a) = F т, и, в частности, а ?
? F т- Покажем теперь, что если р ? F m — какой-нибудь
корень многочлена /, то р<? — тоже корень этого многочлена.
Пусть / записан в виде / (х) = атхт + ... + агх + «о. где at ?
(z Fq, 0 <; i <; т. Применяя лемму 2.3 и теорему 1.46, получим
f W =ат$<>т + ... +аф« + ao = aWm + ..
= (omp'« + ... + аф + ао)« = f(№ = 0.
Поэтому элементы а, а«, а, ..., а^" являются корнями мно-
многочлена /. Остается доказать, что эти элементы различны. Допу-
Допустим обратное. Тогда а = a"k для некоторых целых / и k,
G < / < fe ¦< m — 1. Возводя это равенство в степень qm-k,
получим
Из леммы 2.12 тогда следует, что многочлен / (х) делит много
член х^т~к+1 — х, а по лемме 2.13 это возможно лишь в случае
когда число т делит т — k + / • Но так как 0<т — k + / < т
то мы получаем противоречие. П
2.15. Следствие. Если f ? Fg lx] — неприводимый многочлен
степени т, то его полем разложения над полем Fq является F т.
72 Гл, 2. Строение конечных полей
Доказательство. Из теоремы 2.14 следует, что многочлен /
вполне разлагается в поле fqm. При этом для некоторого корня а
многочлена / имеем fq (а, а", а«2, ..., aim~l) = fq (а). Но из
доказательства той же теоремы 2.14 видно, что f (a) = F я. ?
2.16. Следствие. Поля разложения любых двух неприводимых
многочленов одной и той же степени из кольца fq [x] изоморфны.
Введем более удобную терминологию для элементов, появляю-
появляющихся в теореме 2.14, не зависящую от того, является элемент
а € F т корнем некоторого неприводимого многочлена степени т
из fq [x] или нет.
2.17. Определение. Пусть f m — расширение поля fq, и
пусть а ? f т. Тогда элементы
а, а", а*2, ..., а«т~1
называются сопряженными с элементом а относительно поля fq.
Сопряженные с а ? f m относительно поля f элементы раз-
различны тогда и только тогда, когда минимальный многочлен эле-
элемента а над fq имеет степень т. Если же это не так, то степень d
минимального многочлена элемента а является собственным де-
делителем числа т, и тогда среди сопряженных с а относительно F9
элементов различными будут лишь элементы a, a", afl%, ...
..., avd~x, каждый из которых повторяется в ряду сопряженных
mid раз *).
2.18. Теорема. Элементы, сопряженные с элементом а ? FJ
относительно любого подполя поля fq, имеют один и тот же
порядок в группе f*q.
Доказательство. Так как, согласно теореме 2.8, fq — цикли-
циклическая группа, то этот результат следует из теоремы 1.15 (ii)
и того, что каждая степень характеристики поля fq взаимно
проста с порядком q — 1 группы fq. ?
2.19. Следствие. Если а — примитивный элемент поля Fq,
то примитивными также будут и все сопряженные с ним отно-
относительно любого подполя поля fq элементы.
2.20. Пример. Пусть а ? fu — корень многочлена / (х) =
= х* + х + 1 из Yz [x]. Тогда сопряженными с а относительно
поля f2 будут элементы а, а2, а* = а + 1 и ая = а2 + 1, каж-
каждый из которых является примитивным элементом поля Fi6.
l) Последнее вытекает из того, что ввиду а9"* = а совокупность а, aq, ...
..., aF инвариантна относительно возведения ее членов в степень q. —
Прим. перев.
§ 2. Корин неприводимых многочленов 73
Сопряженными же с а относительно поля ft являются лишь эле-
элементы а и а4 = а + 1. ?
Существует тесная связь между сопряженными элементами и
автоморфизмами конечного поля. Пусть f m — расширение по-
поля Fq. Назовем автоморфизмом о поля F т над Т такой авто-
автоморфизм поля (F т, который оставляет неподвижными элементы
поля fq. Точнее говоря, 0 — такое взаимно однозначное отобра-
отображение из fqm на себя, что 0 (а + Р) = а (а) -+- а ф) и а (оф) =
-= а (а) 0 (Р) для любых а, Р ? F4m, и 0 (а) = а для любых
а ? F,.
2.21. Теорема. Различными автоморфизмами поля fqm над fq
являются отображения о0, оъ ..., от_х, определяемые условиями
Oj (а) = а4', где а ? fqm, О -< / <; т — 1, и только они.
Доказательство. Для каждого отображения 0; и любых а, Р ^
f:_ fqm мы, очевидно, имеем Oj («Р) = а} (а) 0^ (р) и Oj (а + Р) =
-- Oj (a) + Oj (P) ввиду теоремы 1.46, так что 0^ является эндо-
эндоморфизмом поля Fqm. Кроме того, Oj (a) = 0 тогда и только
тогда, когда а = 0, так что 0^ — взаимно однозначное отображе-
отображение. Но поскольку Fgm — конечное множество, Oj является эпи-
эпиморфизмом, а следовательно, и автоморфизмом поля fqm. Кроме
того, по лемме 2.3 0^ (а) = а для всех а ? fq. Итак, каждое 0^
есть некоторый автоморфизм поля fqm над fq. При этом отобра-
отображения 0О, 01, ..., от_х различны, так как они переводят фикси-
фиксированный примитивный элемент поля fqm в разные элементы.
Предположим теперь, что 0 — любой автоморфизм поля Fgm
над fg. Пусть р — некоторый примитивный элемент поля fqm
и / (л;) — хт + ат_ххт-х + ... + aQ ? fq [x] — его минималь-
минимальный многочлен над fq. Тогда
О = а(Р« + а1Л_1р*-«+ ... +Оо) =
= 0 (Р)« + ат_го (р)"-1 + ¦ • • + оо.
так что элемент 0 (P) ? fqm тоже является корнем многочлена /.
Из теоремы 2.14 следует, что 0 (Р) = pi' для некоторого /, 0 ¦<
'С j ^ т — 1. Но так как 0 — гомоморфизм, то тогда для лю-
любого а ? Fgm получаем 0 (a) = а"' (поскольку любой элемент
а Ф 0 представим степенью элемента Р). ц
На основании доказанной теоремы ясно, что сопряженные
с данным элементом a ? Fgm относительно fq элементы можно
получить, действуя на а автоморфизмами поля fqm над fq.
Поскольку автоморфизмы поля fqm над fq образуют группу
относительно операции композиции отображений, то из теоре-
теоремы 2.21 следует, что эта группа является циклической группой
порядка т с образующим элементом ot.
74 Гл. 2. Строение конечных полей
§ 3. Следы, нормы и базисы
В этом параграфе мы снова будем рассматривать конечное рас-
расширение F = F^m конечного поля К = Fq как векторное про-
пространство над К (см.. гл. 1, § 4). Тогда размерность F над К рав-
равна т, и если {а1у ..., ат) — базис векторного пространства F
над полем К *)> то каждый элемент а ? F однозначно представим
в виде линейной комбинации
а = схах + • • • + стат, с} ?К, \ < j < т.
Введем важную функцию из F в К, которая, как мы позже уви-
увидим, оказывается линейной функцией.
2.22. Определение. Пусть К = Fg, F = F^m и а ? F. Опре-
Определим след 7tf/k (я) элемента а над К равенством
Если К — простое подполе поля F, то Ttf/к: (ос) называется
абсолютным следом элемента а и обозначается просто Ti> (a).
Другими словами, след Ti>//t (а) элемента а над полем К
есть сумма всех сопряженных с а относительно К элементов.
Дадим еще одно определение следа. Пусть / ? К 1х] — мини-
минимальный многочлен элемента а ? F = F^n над полем К = Fg.
Его степень d является делителем числа т. Назовем многочлен
g (х) = / (x)mfd из К [х] характеристическим многочленом эле-
элемента а над полем К- Согласно теореме 2.14, корнями много-
многочлена / в поле F являются элементы а, ос*, ..., а1* ""', поэтому,
учитывая замечание, следующее за определением 2.17, получаем,
что корнями многочлена g в поле F являются те и только те эле-
элементы, которые сопряжены с элементом а относительно поля К.
Отсюда
g(x) = xm + am_xxm~i + ... + а0 = (х - а) (х - а*) ... (х—а"'1),
B.1)
и сравнение коэффициентов дает
Тг>/К(а) = — ат_,. B.2)
В частности, получаем, что след Т1>/# (а) всегда является эле-
элементом поля К-
2.23. Теорема. Пусть К = Fg и F = Fqm- Тогда функция
следа Ttf/к: обладает следующими свойствами:
(О Tiy/к (а + Р) = TrF/K (а) + TrF//c (р) для всех а, р ? F;
(и) Ttf/k (са) = с1гр!к (а) для всех с ? К, а € F;
х) В дальнейшем мы будем часто называть его базисом поля F над К- —
Прим. перев.
§ 3. Следы, нормы и базисы 75
(ш) Тгр/к является линейным отображением из F на К,
где F и К рассматриваются как векторные пространства над
полем К',
(iv) Тг/г/х (а) = та для всех а ? К;
(v) Ttf/k (а?) = Ti>/*; (а) для всех а ? /\
Доказательство, (i) Используя теорему 1.46 для а, р ? /•",
получим
= а + р + а" + р» + • ¦ • + ^т~Х + Р?т"'
(ii) Для с 6 /С по лемме 2.3 <У = с Для всех / ^ 0. Поэтому
для а ? /¦"
(са) = са
= са + са« + ... + ca«m~1 = cTrF/K (a).
(iii) Из свойств (i) и (ii) с учетом того, что Ttf/к (а) € К
для всех а ? F, получаем,' что функция следа Ttf/k: является
линейным отображением из F в К. Остается установить, что это
отображение «на». Для этого ввиду (ii) достаточно доказать су-
существование элемента a ? F, такого, что Тгр/к (а) Ф 0. Ясно,
что Ivp/K. (a) = 0 тогда и только тогда, когда а является корнем
многочлена xim~l + ••• + ** + х ? К 1х] в поле F. Но так как
этот многочлен может иметь не более qm~l корней в F, а поле F
состоит из qm элементов, то нужный нам элемент в F существует.
(iv) Это равенство непосредственно вытекает из определения
функции следа и из леммы 2.3.
(v) Так как в силу леммы 2.3 для a ? F имеем aflm = a,
то TrF/K (а«) = а" + а?2 + ••¦ + a?m = TrF//c (a). ?
Функция следа Ttf/k не только сама является линейным
отображением из F на К, но может служить, для описания всех
возможных линейных отображений из F в К (т. е., в иной терми-
терминологии, всех линейных функционалов на F). Это описание имеет
то преимущество, что не зависит от выбора базиса.
2.24. Теорема. Пусть F — конечное расширение конечного по-
поля К (оба поля рассматриваются как векторные пространства
чад 1(), Тогда линейными отображениями из F в К являются
отображения Lp, p ? F, определяемые условием L$ (a) =
~ Tt>//? (р«) для всех а ? F, и только они. При этом если Р
и у — различные элементы поля F, то Lp Ф L4.
76 Гл. 2. Строение конечных полей I
Доказательство. Каждое отображение Lp в силу теоремы '¦
2.23 (ш) является'линейным отображением из F в К- При этом, ;
если р, у € F, р Ф у, то
Lp (а) - Lv (а) = TrF//c (Ра) - TvF/k (V«) = Tt>//C ((p - у) а) # О
для подходящим образом выбранного элемента а ? /•", так как '
Ti>/.k отображает F на /С; поэтому отображения Lp и Lv раз- ;
личны. Если К = Fq и /•" = fqm, то получим gm различных
линейных отображений Lp из F в К- С другой стороны, выбрав
определенный базис {с^, ..., am} векторного пространства F над ¦
полем К, мы можем получить любое линейное отображение из f
в К, отображая базисные элементы aj, / = 1, ..., m, в произ- ;
вольные элементы поля К- Это можно сделать qm различными ;
способами; следовательно, все линейные отображения из F в Л' '
исчерпываются отображениями Lp, P G F. [1
2.25. Теорема. Пусть F — конечное расширение поля К = F,r
Тогда для а ? F равенство Тг^ук (<*) = 0 выполняется в том
и только том случае, если имеет место равенство а = р* — р
для некоторого элемента р ? F.
Доказательство. Достаточность этого условия очевидна ввиду
теоремы 2.23 (v). Для доказательства необходимости допустим,
что а ? F = Fqm таково, что Ттр/% (а) = 0, и р — корень мно-
многочлена х" — х — а из некоторого расширения поля F. Тогда
р« — р = а и
О = Ti>//< (a) = a + «« + ... + a" =
= P?m - P.
так что р С F. D
Если рассматривается двухэтажная башня К S F S Е рас-
расширений полей, то композиция функций следа ведет себя очень
просто.
2.26. Теорема (транзитивность следа). Пусть К — конечное
поле, F — конечное расширение поля К и Е — конечное расшире-
расширение поля F. Тогда для всех а ? Е имеет место равенство
ltE!K(a) = Ti>//c(Tr?/F(a)).
Доказательство. Пусть К = Fq, IF : /Cl = т и [Е : F] = п,
так что [Е : К\ — тп согласно теореме 1.84. Тогда для а С I*
§ 3. Следы, нормы и базнсы 77
т—1 /л—1 \qt m—1 л—1
,•=0 \/=0 / (=0 /=0
тп—1
= 2 а«* = ТгВ/*(а). П
k=0
Другая интересная функция из конечного поля в его подполе
получается, если рассматривать произведения элементов, сопря-
сопряженных с некоторым элементом поля относительно данного под-
подпол я.
2.27. Определение. Для а ? F = ?qm и К. = fq определим
норму Nf/k (а) элемента а над полем К равенством
NF,K (а) = а-ач-ач2- ... •а«т~1 = а^-0/(ч-п.
Сравнивая в равенстве B.1) постоянные члены, получим вы-
выражение нормы Nf/k (а) через свободный член характеристиче-
характеристического многочлена элемента а над полем К'
NF/K(a) = (-1)та0. B.3)
В частности, получаем, что норма Nf/к (а) всегда является эле-
элементом поля К-
2.28. Теорема. Пусть К = F, и F = Fqm. Тогда функция
нормы Nf/k обладает следующими свойствами:
@ Nf/k («Р) = ^f/k («) ^f/k (P) для всех а, р 6 F;
(ii) Nf/k отображает F на К и F* на К*\
(iii) Nf/k (a) = ат для всех а ? К;
(iv) Nf/k (а<?) = Nf/k (а) для всех а ? F.
Доказательство. Свойство (i) вытекает непосредственно из
определения нормы.
(ii) Мы уже отмечали, что функция Nf/k отображает F в К.
Поскольку Nf/k (а) = 0 в том и только том случае, если а = 0,
то Nf//c отображает F* в К*- Свойство (i) означает, что отобра-
отображение Nf/k является гомоморфизмом мультипликативной груп-
группы F* в мультипликативную группу К* ¦ Так как элементами ядра
гомоморфизма Nf/k являются корни многочлена д;(<7'п—1 )/(<?—П —
— 1 € К ix], принадлежащие полю F, и только они, то порядок d
этого ядра удовлетворяет неравенству d < (qm — \)l(q — 1). Со-
Согласно теореме 1.23, образ отображения Nf/k имеет порядок
(чт — \)ld Зг q — 1. Значит, Nf/k отображает F* на К* и, сле-
следовательно, F на К-
(iii) Это свойство сразу вытекает из определения нормы и того
факта, что все элементы, сопряженные с а ? К относительно
поля К, равны а.
78 Гл. 2. Строение конечных полей
(iv) Учитывая, что Nf/k (а) € ^С для любого а ? /\ и при-
применяя @ и лемму 2.3, получим, что Nf/k («*) = Nf/k (а)? =
= Nf/k («)> и это доказывает (iv). ?
2.29. Теорема (транзитивность нормы). Пусть К — конечное ¦
поле, F — конечное расширение поля К и Е — конечное расширение
поля F. Тогда для всех a f E
Доказательство. В обозначениях теоремы 2.26 для а ? Е
получаем
NF/*(I4E/F(a)) =
:(«)• ?
Если (а,, ..., ат} — базис конечного поля F над некоторым
подполем К, то возникает вопрос о вычислении коэффициентов i
cj (a) 6 К, 1 < / < т, в однозначном представлении :
a = С! (а) ^ + ... + cm (a) am B.4)
элемента a ? F. Заметим, что су. a t—*-Cj (a) есть линейное отобра-
отображение из F в К, и потому, согласно теореме 2.24, существует
элемент p^ ? F, такой, что с/ (а) = Ti>/K (P,a) для всех а ? F.
Полагая a = a<, I < t < m, мы видим, что след Ttf/k (P/ot()
равен 0 при t =^= / и 1 при i = /. Кроме того, (Pj, ..., pm} — тоже
базис F над К, так как если
^iPi + • • ¦ + dmPm = 0 при dt?K, 1 <: i « m,
то, умножая на фиксированное а4 и применяя функцию следа
Тгр/к> получаем, что dt = 0. ,
2.30. Определение. Пусть К — конечное поле и F — его ко- ^
нечное расширение. Тогда два базиса {ах, .... ат} и {р\, ..., рт} j
поля F над К называются дуальными, если для 1 < /, j <. т i
0 при 1ф],
1 при 1 = 1. I
I
Выше было показано, что для любого базиса {аъ .... am} j
поля F над К существует некоторый дуальный базис {ръ ..., рга}- j
В действительности дуальный базис для базиса {аи ..., ат} !
определяется однозначно, так как из его определения видно, что j
коэффициенты cj (a), I < / < т, в B.4) для всех a ? F задаются i
равенством с/ (а) = ТгР/к; (Р/а), и по теореме 2.24 элемент,Р/ ? F
однозначно определяется линейным отображением Cj.
§ 3. Следы, нормы и базисы 79
2.31. Пример. Пусть а ? Fs — корень неприводимого много-
многочлена х3 + хг + 1 из F2 Ix]. Тогда {а, а2, 1 + а + а2} — базис
поля Fs над F2. Легко проверить, что однозначно определенным
дуальным к нему базисом снова будет {а, а2, 1 + а + а2}. Такой
базис, который дуален к самому себе, называется автодуальным.
Элемент as ? Fg можно однозначно представить в виде а8 =
— CjCt + с2а2 + с3 A + а + а2), где коэффициенты сг, с2, cs из F2
определяются равенствами
так что а5 = а2 + A + а + а2). ?
Различных базисов поля F над К существует довольно много
(см. упр. 2.37), но имеется два особенно важных типа базисов.
Один — это так называемый полиномиальный1) базис {1, а, а2,
,,., ат~х), образованный степенями образующего элемента а
поля F (как простого расширения поля К)- В качестве а часто
берется примитивный элемент поля F (см. теорему 2.10). Другим
важным типом базиса является нормальный базис, определяемый
некоторым подходящим образом выбранным элементом поля F.
2.32. Определение. Пусть К = Fq и F = fqm. Тогда базис
ноля F над К вида {а, а?, ..., а"т~1}, состоящий из подходящим
образом выбранного элемента а ? F и сопряженных с ним отно-
относительно поля К элементов, называется нормальным базисом
ноля F над К-
Базис {а, а2, 1 + а + а2} поля Fs над F2, рассмотренный
в примере 2.31, является нормальным базисом поля Fg над F2,
так как 1 -f- а + а2 = а4. Покажем, что нормальный базис су-
существует всегда. Доказательство этого факта опирается на две
леммы — одну о линейной независимости групповых гомомор-
гомоморфизмов определенного вида и другую о линейных отображениях.
2.33. Лемма (лемма Артина). Пусть г^, ..., tym—различные
гомоморфизмы некоторой группы G в мультипликативную груп-
группу F* произвольного поля F и аи ..., ат — элементы поля F,
не все равные нулю. Тогда существует такой элемент g группы G,
что
?)+ •¦• + "тУт (g) Ф 0.
х) Этот термин связан с тем фактом, что каждый элемент р ? F представ-
представляется в этом базисе значением при х = а некоторого многочлена /р (х) ? К М
степени, не превышающей, т — 1. — Прим. перев.
80 Гл. 2. Строение конечных полей
Доказательство. Применим индукцию по т. Случай от = 1
тривиален. Предположим, что т > 1 и что утверждение спра- '
ведливо для любых от — 1 различных гомоморфизмов. Теперь
возьмем указанные в лемме tylt ..., i|>m и аъ ..., ат. Если ах = 0,
то предположение индукции сразу приводит к нужному резуль-
результату. Поэтому пусть ах Ф 0. Допустим, что имеет место равенство
аЛ (g) + • • • + агАг(g) = 0 для всех g? G, B.5)
Так как фх Ф i|)m, то существует h ? G, такой, что ^ (/г) =#= i|)m (/г).
Тогда, заменяя §¦ на hg в B.5), получим
а* (Л) %(§¦)+¦••+ ат*т (Л) i|)m (g) = 0 для всех g?G.
Умножая на i|>m (Л), получим
Mi(§¦)+•••+ ^m-iV-i(g) + amfe(g) = 0 для всех g?G,
где bi = aji|)j (й) ij5m (Л), 1 < t < m — 1. Вычитая полученное
равенство из B.5), приходим к равенству
Cif 1 (§¦)+¦••+ Cm-i^mi(g) = 0 для всех
где с* = аг — 6;, 1 < i « m — 1. Hoca = ах — а^ (h) i|)m (й) ф
ф 0, так что получаем противоречие с предположением индук-
индукции. • ~]
Напомним теперь некоторые понятия и факты из линейной
алгебры. Пусть Т — линейный оператор (линейное преобразова-
преобразование) в конечномерном векторном пространстве V над (произволь-
(произвольным) полем К- Будем говорить, что многочлен / (х) = апхп -
... + CL\X-\- а0 из кольца К \х] аннулирует оператор Т, если
апТп + ¦•• + о.\Т + й0/ = О, где / — тождественный, а О — ну-
нулевой операторы в пространстве V. Однозначно определенный нор-
нормированный многочлен наименьшей степени, обладающий таким
свойством, называется минимальным многочленом оператора Т.
Он делит любой другой многочлен из К 1х], аннулирующий Т.
Известно, что минимальный многочлен оператора Т делит харак-
характеристический многочлен g (x) этого оператора (теорема Гамиль-
Гамильтона—Кэли), который задается равенством g (х) = det (xl — Т) 1)
и является нормированным многочленом степени, равной размер-
размерности пространства V. Вектор а ? V назовем циклическим векто-
вектором оператора Т, если совокупность векторов Tka, k = 0, 1, ....
х) Определителем det (Г) линейного оператора Г в конечномерном векторном,
пространстве V над полем К. называется определитель матрицы А этого опера-;
тора в произвольном базнсе. Если В — матрица оператора Т в другом базисе,
то В = SAS для некоторой невырожденной матрицы S, так что det {В) =-;
= det (А). — Прим. перев.
§ 3. Следы, нормы н базисы 81
порождает пространство V. Приведем известный результат из ли-
линейной алгебры.
2.34. Лемма. Пусть Т — линейный оператор в конечномерном
векторном пространстве V. Оператор Т обладает циклическим
вектором в том и только том случае, если его характеристиче-
характеристический многочлен совпадает с минимальным.
2.35. Теорема (теорема о нормальном базисе). Для каждого
конечного поля К и каждого его конечного расширения F существует
нормальный базис поля F над К-
Доказательство. Пусть К, = fq и F = Fqm, m ;зг 2. Из тео-
теоремы 2.21 и следующих за ней замечаний известно, что автомор-
автоморфизмы поля F над К исчерпываются различными автоморфиз-
автоморфизмами е, а, а2, ..., ат~1, где е—тождественный автоморфизм
поля F, а (а) = а* для любого а ? F, a а' означает /-кратную
композицию отображения ас самим собой. Поскольку a (a -f P) =
---- о (а) + а (Р) и о (са) = а (с) а (а) = со (а) для а, р ? F и
с ? К, отображение а можно также рассматривать как линейный
оператор в векторном пространстве F над полем К- Так как ат =
— е, то многочлен хт — 1 ? К \.х] аннулирует оператор о.
Из леммы 2.33, примененной к операторам е, а, а2, ..., а"*-1,
рассматриваемым как эндоморфизмы группы F*, следует, что
в кольце К \.х] не существует ненулевых многочленов степени,
меньшей т, которые аннулируют оператор а. Следовательно,
хт — 1 — минимальный многочлен линейного оператора а. По-
Поскольку характеристический многочлен оператора а является
нормированным многочленом степени /п, делящимся на мини-
минимальный многочлен этого оператора, то ясно, что характеристиче-
характеристическим многочленом оператора а тоже является хт — 1. Поэтому
в силу леммы 2.34 существует элемент а .? F, такой, что элементы
а, о (а), а2 (а), ... порождают пространство F. Отбрасывая по-
повторяющиеся элементы, мы видим, что элементы а, а (а), а2 (а),
ат—1 ^а) порождают F и, следовательно, образуют базис F
над /С. Так как этот базис состоит из а и сопряженных с ним отно-
относительно поля К элементов, то он является нормальным базисом
поля F над К. О
Другое доказательство теоремы о нормальном базисе будет
Дано в § 4 гл. 3. Оно использует так называемые линеаризованные
многочлены.
Введем одно понятие, которое позволит нам решить вопрос,
является ли данное множество элементов базисом некоторого
Расширения поля.
2.36. Определение. Пусть К — конечное поле и F — его рас-
расширение, имеющее степень т над К- Тогда дискриминантом
82 Гл. 2. Строение конечных полей
(a1( ..., am) элементов a\, ..., am ? F над К назовем сле-
следующий определитель порядка т:
Тгр/к(а^х2) •¦• TrF/K(a2«m)
• ¦ TrF/K (aOTaOT)
Из определения следует, что дискриминант AF/j< («i, .... am)
всегда является элементом поля /С. Теперь можно дать следующую
простую характеризацию базиса.
2.37. Теорема. Пусть К — конечное поле и F — его расши-
расширение степени т. Элементы {аъ ..., am} поля F образуют его
базис над К в том и только том случае, если Ар/к («ь •• )О
Доказательство. Пусть {а1( ..., ат} — базис поля F над К.
Докажем, что строки определителя AF/K (ai, ..., aOT) линейно
независимы; это и будет означать, что Af/k (ai, ..., am) Ф 0.
Допустим, что
CiTrF/K (aia/) + c2TrF/K (a2a/) + • • • + cmTrF//c (aOTa/) = 0
для 1 < / < m,
где Ci, ..., cm ? К. Тогда если р = ctat + ... + cma
Тгр/к (Pa/) = 0 для 1 < / « m, и так как элементы ai, ..., am
порождают пространство F, то это значит, что TrF/x фа) = О
для всех а ? F. Но это возможно лишь при р= 0, т. е. с^! +••¦
• •• + сгаага = 0, а это значит, что сг = с2 = ... = ст = 0.
Обратно, допустим, что AF/j< (ai, ..., am) Ф 0 и ciaj + •¦•
... + cmam =0 для некоторых clt .... cm ^ К. Тогда
daiay 4- ... + cmamctj = 0 для 1 <. / < m
и, применяя функцию следа, получаем
CiTrF/K («ia/) + • • • + cmTtFlK (ama/) = 0 для 1 < / <: m.
Но поскольку строки определителя AF/j< («i, ..., am) линейно
независимы, сх = ... = сш = 0. Поэтому элементы ах, ..., от
линейно независимы над полем /С. Q
Имеется и другой определитель порядка т, служащий той же
цели, что и дискриминант AF/k (ai, ..., ат). Но его элементами
являются элементы расширения F поля К = F,. Для данных
элементов аи ,.., ат поля F пусть А будет mXm-матрицей ()
где ац = af . Если через Лт обозначить матрицу, транспони-
транспонированную к матрице Л, то легко подсчитать, что в mxm-матрице
§ 3. Следы, нормы и базисы
83
В = А1 А на пересечении i-й строки и /-го столбца стоит элемент
Тг/7К («(«/)• Поэтому, переходя к определителям, получаем
Af/k («ь •••, am) = det (AJ.
Таким образом, теперь из теоремы 2.37 вытекает следующий
результат.
2.38. Следствие. Элементы {аи ..., ат} поля fqm образуют
базис этого поля над полем fq тогда и только тогда, когда опре-
определитель
cxj <x2 • ¦ • &т
О Q Q
af
„т—1
„т
-1
отличен от нуля.
С помощью полученного критерия нетрудно проверить, при-
приводит или нет данный элемент к нормальному базису.
2.39. Теорема. Для того чтобы степени (а, а4, а*', ...
,,., aim~1} элемента а ? fqm образовывали нормальный базис поля
fqm над полем Fq, необходимо и достаточно, чтобы многочлены
хп — 1 и ах-1 + а"хт-2 + ... + а"т~2х + а^"~1 из кольца
Fqm [x] были взаимно простыми.
Доказательство. При аг = а, а2 = а",
делитель из следствия 2.38 принимает вид
а
опре-
а а"
а* а
of1*2 а"т~1
а* а**
2
а" .
а
а"'
. . а^
.. а^2
а
B.6)
(после подходящей перестановки строк). Теперь рассмотрим ре-
результант R (/, g) многочленов / (х) = хт — 1 и g (х) = ахт~1 +
+ a,ixm~2 +... + aim~ х + а*"* с формальными степенями m
и от — 1 соответственно. Этот результант в соответствии с опреде-
определением 1.93 является определителем порядка 2т—1. Если
в этом определителе прибавить (т + 1)-й столбец к первому,
(т + 2)-й ко второму и т. д. и, наконец, Bт — 1)-й столбец
к (т — 1)-му, то в результате получится определитель, равный
произведению определителя диагональной матрицы порядка т — J
84 Гл. 2, Строение конечных полей
с элементами —1 по главной диагонали и определителя B.6).
Поэтому R (f, g) с точностью до знака равен определителю B.6).
Утверждение теоремы вытекает теперь из следствия 2.38 и того
факта, что R (f, g) Ф 0 тогда и только тогда, когда многочлены f
и g взаимно просты. ?
В связи-со сказанным выше упомянем без доказательства еще
один результат о нормальном базисе.
2.40. Теорема. Для каждого конечного поля F существует
нормальный базис этого поля над его простым подполем, который
состоит из примитивных элементов поля F.
§ 4. Корни из единицы и круговые многочлены
В этом параграфе мы исследуем поле разложения многочлена
хп — 1 над произвольным полем К, где п — натуральное число.
Кроме того, мы получим обобщение понятия корня из единицы,
хорошо известного для комплексных чисел.
2.41. Определение. Для натурального числа п поле разложе-
разложения многочлена хп — 1 над произвольным полем К называется
п-круговым (или п-циклотомическим) полем над К и обознача-
обозначается /(<">. Корни многочлена х" — 1 из поля К(п) называются
корнями п-й степени из единицы над К', множество этих корней
обозначим Е{п).
В том частном случае, когда К — поле рациональных чисел,
/С(п) представляет собой некоторое подполе поля С комплексных
чисел, а корни n-й степени из единицы имеют известную геометри-
геометрическую интерпретацию: они являются вершинами правильного
л-угольника, вписанного в единичную окружность с центром в на-
начале координат, в комплексной плоскости.
Для наших целей наиболее важен случай конечного поля К.
Однако основные свойства корней из единицы можно установить
без ограничительного предположения о конечности поля К-
Как показывает следующая теорема, структура множества ?(ft)
определяется соотношением между числом п и характеристикой
поля К- Говоря ниже о характеристике/; поля К, мы не исключаем
случая р = 0.
2.42. Теорема. Пусть п ? N и К — поле характеристики р.
Тогда
(i) Если р не делит п, то множество ?(п) является цикличе-
циклической подгруппой порядка п мультипликативной группы поля К(п)-
(и) Если р делит п и п = тре, где т, е ? N и р не делит т,
то К{п) — К(т), Е(п) — ?(т) и корнями многочлена хп — 1
в поле /С(п) являются т элементов множества ?<т), каждый из
которых имеет кратность ре.
§ 4. Корни из единицы и круговые многочлены 85
Доказательство, (i) Случай п = 1 тривиален. Для п $г 2
многочлен хп — 1 и его производная пхп~1 общих корней не имеют,
так как пхп~1 имеет единственный корень 0 в поле К(п)- Поэтому
по теореме 1.68 многочлен хп — 1 не может иметь кратных кор-
корней, так что множество ?(л) состоит из п элементов. Далее, если ?,
ц ? ?<">, то (й)" = ?" ('П")" = 1. так что й~' € ?(п)- Следо-
Следовательно, ?(п) — мультипликативная группа. Пусть п = р{1 ...
... ре/ — разложение числа п на простые сомножители. Тогда такое
же рассуждение, как и при доказательстве теоремы 2.8, приводит
к существованию для каждого /, 1 </<:/, элемента ос,- ? ?<п),
м ft/В. *
который не является корнем многочлена х ' — 1, так что эле-
П/Р1/ г,
мент р,- = ас имеет порядок pt , и, следовательно, Ein) —
циклическая группа с образующим элементом р = рх ... pt.
(ii) Это утверждение сразу вытекает из (i) и равенств хп — 1 =
¦--¦ хтре —\ = (хт — 1)р\ П
2.43. Определение. Пусть К — поле характеристики р и п —
натуральное число, не делящееся на р. Тогда образующий элемент
циклической группы Е<п> называется первообразным (или прими-
примитивным) корнем п-й степени из единицы над полем К-
Из теоремы 1.15 (v) мы получаем, что если р не делит п, то
существует ровно ф (п) различных первообразных корней п-й
степени из единицы над полем К- Если ? — один из них, то все
первообразные корни п-й степени из единицы над К имеют вид ?s,
где 1 < s < п, НОД (s, n) = 1. Большой интерес представляют
многочлены, корнями которых являются все первообразные корни
я-й степени из единицы над полем К и только они.
2.44. Определение. Пусть К — поле характеристики р, п —
натуральное число, не делящееся на р, и ? — первообразный ко-
корень п-й степени из единицы над К- Тогда многочлен
Q»W= П (x-V)
НОД (s, п) = 1
называется п-круговым (или п-циклотомическим) многочленом над
полем /(.
Ясно, что многочлен Qn (x) не зависит от выбора элемента ?.
Его степень равна ф (п), а его коэффициенты, очевидно, принад-
принадлежат n-круговому полю над К- Однако несложное рассуждение
показывает, что на самом деле они принадлежат простому подполю
поля К- Будем ниже использовать символ JT для обозначения
произведения, распространяющегося на все натуральные дели-
делители d натурального числа п
86 Гл. 2. Строение конечных полей
2.45. Теорема. Пусть К — поле характеристики pun —
натуральное число, не делящееся на р. Тогда
(i) х» - 1 = П Q«i (х);
d\n
(ii) коэффициенты п-кругового многочлена Qn (х) принадле-
принадлежат простому подполю поля К, если р — простое число, или
кольцу - целых чисел, если р = 0.
Доказательство, (i) Каждый корень п-й степени из единицы
над полем К является первообразным корнем d-й степени из
единицы над К ровно для одного натурального делителя d числа п.
А именно если ?,s — произвольный корень п-й степени из единицы
над К (где ? — некоторый первообразный корень п-й степени из
единицы над К), то указанное число d равно л/НОД (s, п), т. е. d —
порядок элемента Is в группе ?(п). Поскольку
Ш
s=l
формула в утверждении (i) получается собиранием тех множите-
множителей (х — ?s), Для которых ?s является первообразным корнем d-й
степени из единицы над К (для,каждого положительного делителя d
числа п).
(и) Это утверждение доказывается индукцией по п. Отметим,
что Qn (х) — нормированный многочлен. Для п = 1 имеем
Qx (х) = х — 1, и утверждение справедливо. Пусть теперь п > 1,
и допустим, что утверждение справедливо для всех Qd (x), 1 •<
< d < п. Тогда ввиду (i) получаем, что Qn (х) = (хп — 1)// (х),
где f (х) = IX Qd(x)- Из предположения индукции следует,
d | л, d<n
что / (х) — многочлен с коэффициентами из простого подпол я
поля К (при простом р) или из кольца Z (при р = 0). Применяя
обычное деление углом многочлена хп — 1 на f (х), где f (х) —
нормированный многочлен, легко убеждаемся, что коэффициенты
многочлена Qn (x) тоже принадлежат простому подполю поля К
(при простом р) или кольцу Z (при р = 0). ?
2.46. Пример. Пусть г — простое число и k ? IN. Тогда
Qrk (x)=\+ *'*-' + *2г*~' + • • • + ^(г-1) '*-',
так как по теореме 2.45 (i)
Qrk (дс) = __________ = ______
Для k = 1 имеем просто Qr (х) = 1 + х + х2 + ... + xr~x. Q
Явное выражение для n-кругового многочлена, обобщающее ¦
формулу из примера 2.46, мы дадим в § 2 гл. 3. Для приложений '
§ 4. Корин из единицы и круговые многочлены - 87
к конечным полям полезно знать некоторые свойства круговых
полей.
2.47. Теорема. Круговое поле /С(л) является простым алгебраи-
алгебраическим расширением поля К- Кроме того,
(i) Если К = Q, то 1К(п) : К] — ф (п), причем круговой много-
многочлен Qn неприводим над К (здесь Ф — функция Эйлера).
(и) Если К = Fq и НОД (q, п) = 1, то [/(<">: К\ =.d,
где d — наименьшее натуральное число, такое, что qd = 1 (mod n).
IJpu этом круговой многочлен Qn разлагается в произведение ф (n)ld
различных нормированных неприводимых многочленов из К 1х]
одной и той шее степени d и К(п) является полем разложения каж-
каждого из этих многочленов.
Доказательство. Если существует первообразный корень п-й
степени из единицы ? над К, то ясно, что /С(п) = К (?)¦ В про-
противном случае К — поле простой характеристики р, делящей
число п, и мы попадаем в ситуацию, описанную в теореме 2.42 (И),
и тогда К(п) = К(т), где п = тр", НОД (/л, р) = 1, так что снова
j((n) — /^ ^Qt поскольку существует первообразный корень т-й
степени из единицы ? над К-
Из остальных утверждений мы докажем лишь (И) как случай,
особенно важный для наших целей. Пусть tj — первообразный
корень п-й степени из единицы над Fq. Тогда Ц 6 F.ft в том и
только том случае, если tj* = tj, а это равенство эквивалентно
сравнению qk = 1 (mod n). Наименьшее натуральное число k,
для которого выполняется это сравнение, равно d, так что tj ?
6 F сг, но tj не принадлежит никакому собственному подполю
поля f d. Поэтому минимальный многочлен элемента tj над по-
полем К = Fq имеет степень d, и так как tj — произвольный ко-
корень многочлена Qn, то требуемый результат установлен. ?
2.48. Пример. Пусть К = Fu и Q12 (х) = х* — х% + 1 6
€ Гц [х]. В обозначениях теоремы 2.47 (ii) мы имеем d = 2.
Действительно, разложение многочлена Q12 (x) на неприводи-
неприводимые сомножители в кольце Гц 1х] имеет вид Qia (х) = (х2 +
+ 5jf -f- 1) (ж2 — 5х + 1)- Круговым полем /С(|2) является Гш-
Дальнейшую связь между круговыми и конечными полями
устанавливает следующая теорема.
2.49. Теорема. Конечное поле Fg является (q — \)-круговым
полем над любым из своих подполей.
Доказательство. Многочлен хд~1 — 1 вполне разлагается
в поле fq, так как его корнями являются как раз все ненулевые
элементы поля Fq. С другой стороны, ясно, что этот многочлен
не может вполне разлагаться ни в каком собственном подполе
88 Гл. 2. Строение конечных полей
поля Fq. Следовательно, Fq является полем разложения много-
многочлена хч~~х — 1 над любым из его подполей. П
Поскольку F? — циклическая группа порядка q — 1 (сог-
(согласно теореме 2.8), то для любого положительного делителя п
числа q— 1 существует циклическая подгруппа {1, а, ..., а"}
группы Fq порядка п (см. теорему 1.15 (iii)). Все элементы этой
подгруппы являются корнями п-й степени из единицы над любым
подполем поля Fq, а ее образующий элемент а является перво-
первообразным корнем я-й степени из единицы над любым подполем
поля F,.
Закончим параграф леммой, которая позже нам пригодится.
2.50. Лемма. Пусть d — делитель натурального числа п, 1 <
< d < п. Тогда п-круговой многочлен Qn (х) (если, конечно, он
определен над рассматриваемым полем) делит многочлен
(хп — \)l(xd ~ 1).
Доказательство. Из теоремы 2.45 (i) мы знаем, что Qn (л)
делит многочлен
к ' xd-\
Поскольку d — собственный делитель числа п, то многочлены Qn (л)
и xd — 1 не имеют (согласно той же теореме) общих корней, и,
следовательно, НОД (Qn (x), xd — 1) = 1, что доказывает наше
утверждение. П
§ 5. Представление элементов конечных полей
В этом параграфе мы опишем три разных способа представле-
представления элементов конечного поля Fq из q = рп элементов, где р —
характеристика Fq.
Первый способ основан на принципах, изложенных в § 4
гл. 1 и в данной главе. Заметим, что в силу теоремы 2.10 поле fq
является простым алгебраическим расширением простого поля F7,.
Действительно, если / — неприводимый многочлен степени п
из Fp lx], то по теореме 2.14 любой корень а этого многочлена
принадлежит полю Fpn = Fq, и потому Fq = Fp (а). Зн.ччит,
ввиду теоремы 1.86 каждый элемент поля F, можно однозн.ччно
представить в виде значения некоторого многочлена от х нал Fp
степени, не превосходящей п—1, при х = а. Мы можем т.чкже
рассматривать поле Fq как факторкольцо Fp [x]/(f).
2.51. Пример. Чтобы представить таким способом элементы
поля F9» будем рассматривать F9 как простое алгебраическое
расширение степени 2 поля Рз. получаемое присоединением
корня а неприводимого квадратного многочлена над F3, ск.чжем
f (х) = х2 + 1 С F3 Ы. Тогда f (а) = а2 + 1 = 0 в F9, и де-
девять элементов поля f9 можно задать в виде а0 + «!«, где а0,
§ 5. Представление элементов конечных полей
89
ах ? F3. Точнее, F9 = {0, 1, 2, а, 1 + а, 2 + а, 2а, 1 + 2а,
2 + 2а}. Таблицы операций для F9 можно построить так же, как
и в примере 1.62, причем корень а играет здесь ту же роль, ка-
какую там играл класс вычетов 1х]. ?
Другую возможность представления элементов поля fq дает
применение теорем 2.47 и 2.49. Поскольку поле F, является
(q — 1)-круговым полем над fp, мы можем построить его, найдя
разложение (q— 1)-кругового многочлена Qq_t ? Fp lx] на не-
неприводимые сомножители в Fp [х] (все они имеют одну и ту же
степень). Любой корень каждого из этих многочленов тогда яв-
является первообразным корнем (q— 1)-й степени из единицы над fp,
а значит, и примитивным элементом поля Fq. Таким образом,
поле Fq состоит из нуля и степеней этого примитивного элемента.
2.52. Пример. Чтобы применить этот способ для построения
поля F8, заметим, что F8 = FC8\ т. е. поле F9 является 8-круго-
вым полем над F3- Далее, следуя примеру 2.46, получаем, что
Qa (х) — xi -f I 6 IF3 [я]. Разложение многочлена Q8 на неприво-
неприводимые сомножители в F3 ix] выглядит так:
Q8 (х) = (х* + х + 2) (д* + 2х + 2).
Пусть ? — корень многочлена х2 + х -f 2; тогда он является перво-
первообразным корнем 8-й степени из единицы над F3- Поскольку F9 =
— IF3 (?)> т0 каждый ненулевой элемент поля f9 можно предста-
представить подходящей степенью элемента ?,, так что F9 = {0, ?, С2,
?8. S4» ?5, ?в. ?7. ?8} х). Мы можем свести ненулевые элементы поля Fs
в так называемую таблицу индексов, в которой указывается зна-
значение степени ?', соответствующее показателю /. Для установле-
установления связи с предыдущим представлением (пример 2.51) заметим,
что корнем многочлена х% + х + 2 ? f3 [x] является элемент
I = 1 -(- ос, где а2 + 1 = 0 (т. е. а — корень многочлена х% + 1.
как и в примере 2.51). Поэтому таблица индексов для поля Fj
имеет следующий вид:
i
1
2
3
4
V
1 +а
2а
1+2а
2
i
5
6
7
8
2
2
V
4-
a
+
l
2a
a
*) Иногда при таком представлении элементов поля Fq (в виде нуля и сте-
степеней примитивного элемента 0 для удобства вводят формальный символ *,
такой, что 5* = 0. Тогда произвольный элемент Р поля Tq представляется в виде
С , где Ъ — либо символ *, либо вычет по модулю q — 1. Это удобно для вы-
вычислений. — Прим. перев.
90
Гл. 2. Строение конечных полей
Из таблицы видно, что мы получаем, конечно, те же самые эле-
элементы, что и в примере 2.51, только в другом порядке. ?
Третий способ представления элементов конечного поля F9
осуществляется с помощью матриц. Пусть / (х) = Oq + агх + •¦¦
...+ ап-1хп~х + х" — нормированный многочлен положительной
степени п над некоторым полем (не обязательно конечным). Его
сопровождающей матрицей называется следующая квадратная
матрица порядка п:
0
1
0
0
0
1
0
0
0
... 0
... 0
... 0
—а0
—ах
—а2
0 0 0
Zn-1 )
Из линейной алгебры известно, что матрица А удовлетворяет
уравнению / (А) — О, где / (А) — «значение» многочлена / (х)
при х — А (будем называть его многочленом от матрицы А),
т. е.
ао1 + ахА + ... + ап.хЛ"-1 + Ап = О,
где / — единичная, а О — нулевая квадратные матрицы по-
порядка п.
Таким образом, если А — сопровождающая матрица норми-
нормированного неприводимого многочлена / степени п ? N над про-
простым конечным полем Тр, то / (А) = О, и потому матрица А мо-
может играть роль «корня» многочлена /. Отсюда следует, что эле-
элементы поля Fpn представляются всевозможными многочленами
над FP от матрицы А степеней, меньших п.
2.53, Пример. Как и в примере 2.51, пусть задан многочлен
f (х) — jc2 + 1 6 Fa lx]. Сопровождающей матрицей этого много-
многочлена является матрица
А =
0 2
1 0
Следовательно, поле F9 можно представить так:
F» = {О, /, 21, А, I + А, 21 + А, 2А, I + 2А, 2/ + 2А),
Или, в явном виде,
0 =
0 0
1/'
2/-
2 °
0 2
1 0
§ 6. Теорема Веддербёрна 91
1 2\ /2 2\ /0 1
1 1 \ /2 1
Если поле Fg задано таким образом, то вычисления в этом поле
проводятся по обычным правилам алгебры матриц. Например,
2 2\/1 1\ /0 1.
Аналогичным образом и метод, основанный на разложении
кругового многочлена Qg-1 на неприводимые сомножители в Fp[*l,
можно приспособить для того, чтобы он давал представление эле-
элементов поля F9 матрицами.
2.54. Пример. Как и в примере 2.52, пусть h (х) = х% + х -f
+ 2 С F3 1*1 — неприводимый делитель кругового многочлена
С?8 6 F3 lx]. Сопровождающей матрицей многочлена h является
матрица
/0 1
Н. 2
Поле F9 может быть представлено следующим образом:
F9 = {О, С, С\ С3, С\ С5, С, С7, С8},
где
0 0\ _/0 1 \ _/1 2
0 0/' С\1 2 ]' \2 2
2 2\ 4 /2 0\ 5_/0 2
2 0/' С*\0 2 /' С5==\2 1
2 1 \ / 1 1 \ /10
I Г7 — I 1 Г8 — I
1 I)' L ~\1 Oj' G ~\0 1
Вычисления проводятся по правилам алгебры матриц. Например,
2
§ 6. Теорема Веддербёрна 1)
Все результаты, полученные для конечных полей, справед-
справедливы также и для любых конечных тел в силу известной теоремы
г) Этот параграф может быть опущен без ущерба для понимания последу-
последующих глав.
92 Гл. 2. Строение конечных полей
Веддербёрна. Эта теорема утверждает, что если конечное кольцо
обладает всеми свойствами поля, кроме коммутативности умно-
умножения (т. е. если это кольцо является телом), то умножение в нем
должно также быть коммутативным. Мы приведем два доказатель-
доказательства этой важной теоремы. В первом из них, рассматривая какое-
либо подполе конечного тела, мы установим сначала одно число-
числовое соотношение, связывающее мультипликативную группу этого
поля с мультипликативной группой всего тела. Используя затем
это соотношение и некоторые сведения о круговых многочленах,
мы придем к противоречию, если только исходное тело не совпа-
совпадает с рассматриваемым полем. Прежде чем перейти к детальному
доказательству теоремы Веддербёрна, отметим несколько общих
соображений, которые мы будем использовать.
Пусть D — некоторое тело и F — его коммутативное подтело
(будем в дальнейшем называть F подполем тела ?>). Тогда D можно
рассматривать как (левое) векторное пространство над полем F
(аналогичная ситуация для полей была рассмотрена в § 4 гл. 1).
Если F = ?q и тело D имеет конечную размерность п над F,
то D состоит из qn элементов. Для мультипликативной группы
ненулевых элементов тела D примем обозначение D*.
Пусть G — некоторая группа и S — ее непустое подмножество.
Выше было введено понятие нормализатора N (Ь) элемента Ь ?
? G в группе G (см. определение 1.24). Из теоремы 1.25 следует,
что если G — конечная группа, то число элементов в классе
сопряженных с Ь элементов группы G равно индексу |0|/| N (Ь)\
нормализатора N (Ь) в группе G.
2.55. Теорема (теорема Веддербёрна). Каждое конечное тело
является полем.
Первое доказательство. Пусть D — конечное тело и Z =
= {г ? D \zd = dz для любого d ? D) — его центр. Нетрудно
проверить, что Z — поле. Тогда Z = fq, где q — некоторая сте-
степень простого числа. Так как телоО является векторным простран-
пространством над Z некоторой конечной размерности п, то D состоит из qn
элементов. Покажем, что D = Z, т. е. что п = 1.
Предположим противное, т. е. что п > 1. Пусть а ( D и
Na = {b 6 D \ab = ba). Тогда Na — тело, содержащее Z, и
потому состоит из qr элементов, где 1 < г < п. Покажем, что
число г делит п. Поскольку N1 — подгруппа группы D*, то число
qr — 1 делит q" — 1. Если п — rm + t, где 0 < t < г, то qn —
— 1 = <?"V — 1 = q* (qrm — 1) + {q* — 1)- Поскольку число qr — 1
делит как qn — 1, так и qrm — 1, то оно делит также и q* — 1. Но
а* —1 < qr,— 1, а значит, t = 0. Отсюда получаем, что число г
делит п.
Рассмотрим теперь уравнение классов сопряженности для
группы D* (см. теорему 1.27). Центром D* является группа Z*
§ 6. Теорема Веддербёрна 93
порядка q — 1. Если а ? D*, то Na — нормализатор элемента а
в группе D*. Поэтому любой класс сопряженности группы D*,
содержащий более одного элемента, состоит из (qn — l)/((f — 1)
элементов, где г — некоторый собственный делитель числа п,
1 <: г < п. Значит, уравнение классов сопряженности имеет вид
^jlnLt {2Л)
где rlt ..., rh — собственные делители числа п (не обязательно
различные), причем 1 < rt < п, 1 <: i < k.
Рассмотрим л-круговой многочлен Qn над полем рациональных
чисел. В силу теоремы 2.45 (ii) Qn (q) — целое число. Согласно
лемме 2.50, число Qn (q) делит (qn — l)i(qr' — l) при любом i,
I < i < k. Поэтому из B.7) получаем, что число Qn (q) делит
q — 1. Однако это приводит к противоречию. Действительно,
но определению
Qn(x)= П (x~Z%
НОД(8,п) = 1
где комплексное число С является первообразным корнем п-й
степени из единицы над полем Q рациональных чисел. Поэтому,
переходя к модулю комплексного числа Qn (q), получаем
\Qn(q)\= П \Я-?\> П
s=l s=l
НОД (s, n) = l
так как п > 1 и q $в 2. Это неравенство несовместимо с утвержде-
утверждением, что Qn (q) делит q — 1. Полученное противоречие означает,
что п = 1, т. е. D = Z, что и доказывает теорему. ?
Прежде чем приступить ко второму доказательству теоремы
Веддербёрна, установим несколько вспомогательных результатов.
Пусть D — конечное тело с центром Z, и пусть F — максимальное
подполе тела D, т. е. F — такое подполе тела D, что единственным
подполем этого тела, содержащим F, является само поле F. Тогда
F является расширением поля Z. Действительно, если бы существо-
существовал элемент z ? Z, z ф F, то, присоединяя z к F, мы получили бы
подполе тела D, содержащее F в качестве собственного подполя,
что противоречит максимальности F. Согласно теореме 2.10,
F = Z (|), где I 6 F* — корень некоторого нормированного не-
неприводимого многочлена f ? Z [х].
Если рассматривать тело D как векторное пространство над
полем F, то для каждого фиксированного элемента а ? D равен-
равенство
Та (d) = da для любого d ? D
94 Гл. 2. Строение конечных полей
определяет некоторый линейный оператор Та в этом векторном
пространстве. Рассмотрим теперь линейный оператор Т\. Если d —
какой-нибудь собственный вектор этого оператора, то для неко-
некоторого Я ? F* (соответствующего собственного значения) будем
иметь 7| (d) = d% = Яd, или did = Я. Отсюда вытекает, что
dF*d~x = F*, т. е. элемент d принадлежит нормализатору N (F*)
группы F* в группе D*. Обратно, если d ? N (/•"*), то did = %¦,
для некоторого Я ? F*, а это означает, что d — собственный век-;
тор линейного оператора Т\. Таким образом, мы доказали сле-
следующий результат. \
2.56. Лемма. Элемент d ? D* является собственным векто-
вектором линейного оператора Т% в том и только том случае, когда
он принадлежит нормализатору N (F*) группы F* в группе D*.
Если Я — собственное значение, соответствующее собствен-
собственному вектору d линейного оператора Г|, т. е. если d% = Яd, то
о = df (E) = / (Я) d.
Это означает, что Я должно быть корнем многочлена /. Если d0 —
другой собственный вектор, соответствующий тому же собствен-
собственному значению Я, то d^^Xdd^1 = Я, так что элемент Ь = dod~l
коммутирует с Я, а следовательно, и с каждым элементом поля
F = Z (Я). Если через Р обозначить множество значений много-
многочленов из F [х] при х = Ь, то легко проверить, что Р образует
конечное целостное кольцо, а значит (ввиду теоремы 1.31), Р —
конечное поле. Но поскольку Р содержит F, то ввиду максималь-
максимальности F имеем Р — F. В частности, получим, что b ? F, а так
как d0 = bd, то заключаем, что собственному значению Яне мо-
может соответствовать двух и более линейно независимых собствен-
собственных векторов. Теперь нам понадобится следующий результат из
линейной алгебры.
2.57. Лемма. Пусть Т — линейный оператор в конечномер-
конечномерном векторном пространстве V над полем К. Для того чтобы
пространство V имело базис, состоящий из собственных векторов
оператора Т, необходимо и достаточно, чтобы минимальный
многочлен оператора Т разлагался в поле К в произведение различ-
различных нормированных линейных сомножителей.
Так как / (|) = 0, то многочлен / аннулирует оператор Т\.
Кроме того, ввиду теоремы 2.14 f разлагается в поле F в произве-
произведение различных нормированных линейных сомножителей. Ми-
Минимальный многочлен оператора Т\ делит /, а следовательно,
тоже разлагается в F в произведение различных нормированных
линейных сомножителей. Поэтому по лемме 2.57 векторное про-
пространство D над F имеет базис, состоящий из собственных векто-
векторов оператора Т%. Но выше было показано, что каждому собствен"
§ 6. Теорема Веддербёрна 95
ному значению этого оператора может отвечать лишь одномерное
собственное подпространство. Следовательно, размерность т век-
векторного пространства D над F равна числу различных собствен-
собственных значений оператора Т\. Пусть ? = ?lf |2, ..., |т — различ-
различные собственные значения линейного оператора Т%, а 1 = dlt
d2, .¦¦, dm — соответствующие им собственные векторы, образую-
образующие базис векторного пространства D над F. Так как N (/•"*)
как группа замкнуто относительно умножения, то в силу леммы
2.56 произведение did) тоже является собственным вектором опе-
оператора Г|, соответствующим некоторому собственному значе-
значению ift, так что dtdjl = Ihdtdj, а поскольку dj% = ljdJt то отсюда
получаем d,-|/ = \kdi, или diljdj1 = \k- Это доказывает, что для
любого i, 1 < ( •<: /п, отображение, переводящее |/ в di^/dj1,
переставляет собственные значения tj между собой. Если ввести
многочлен g (х) = (х — ii) ... (х — |т), то сказанное выше озна-
означает, что его коэффициенты коммутируют с собственными векто-
векторами du ..., dm оператора Т\. Так как коэффициенты многочленаg,
очевидно, принадлежат полю F, а значит, коммутируют со всеми
элементами этого поля, то они коммутируют также и со всеми эле-
элементами D, поскольку каждый такой элемент может быть пред-
представлен в виде линейной комбинации собственных векторов dlt ...
,,.,dmc коэффициентами из F. Следовательно, коэффициенты много-
многочлена g принадлежат центру Z тела D. Но g (i) = О Х). Поэтому
ввиду леммы 2.12 многочлен / делит g. С другой стороны, выше
было установлено, что каждое собственное значение |j опера-
оператора Т% является корнем многочлена /. Значит, g = /. Тем самым
показано, что [F : Z] = [Z (|) : Z] = deg (/) = m. Но число m
в то же время является размерностью векторного пространства D
над полем F, поэтому размерность D над полем Z равна тг (тео-
(теорема 1.84). Поскольку эта размерность не зависит от поля F,
мы заключаем, что каждое максимальное нодполе тела D имеет
одну и ту же степень над полем Z. Придадим этому результату
следующую эквивалентную форму:
2.58. Лемма. Все максимальные подполя тела D имеют один
и тот же порядок.
Второе доказательство теоремы 2.55. Пусть D — конечное
тело, а 2, F = Z A) и / С Z [х] те же, что и раньше. Пусть Е —
произвольное максимальное подполе тела D. Тогда по лемме 2.58
поля Е и F имеют один и тот же порядок, скажем q. В силу леммы
Так как dfi (|) d^ = dt
%,) djx = JJ {
"i m
П (Si - S*.) =
96 Гл. 2. Строение конечных полей
2.4 как Е, так и F являются полями разложения многочлена хч — х
над Z. На основании теоремы 1.91 существует изоморфизм поля F
на Е, оставляющий на месте элементы из Z. При этом изоморфизме
образом элемента | является некоторый элемент ц ? Е*, являю-
являющийся корнем многочлена / в поле Е, так что Е = Z (ц). Рассмо-
Рассмотрим теперь линейный оператор Тц в векторном пространстве D
над F. Так как / (т)) = 0, то многочлен / аннулирует оператор Г,,.
Но поскольку / разлагается в поле F на линейные сомножители,
существует такой корень I ? F многочлена /, который является
собственным значением оператора Тц. Для соответствующего ему
собственного вектора d ? D мы получим тогда dn = Ы. Отсюда
ввиду того, что F = Z (к), получаем, что Е* = d~1F*d. Таким об-
образом, Е* является сопряженной с F* подгруппой группы D*.
Для произвольного элемента с ? D* множество значений
многочленов из Z [х] при х = с образует целостное кольцо, ко-
которое ввиду его конечности является полем (теорема 1.31). Поэ-
Поэтому каждый элемент группы D* содержится в некотором подполе .¦
тела D, а значит, и в некотором максимальном подполе телл D. :
Выше мы доказали, что каждый элемент группы D* принадлежит '¦
некоторой сопряженной с F* подгруппе. Число различных сопря-
сопряженных с F* подгрупп группы D* равно индексу нормализато-
нормализатора Af (F*) в группе D* (теорема 1.25), а так как F* cz N (F*),
то оно не превосходит числа \D* |/| F* |. Поскольку каждая со-
сопряженная с F* подгруппа группы D* содержит единицу тела D,
то объединение всех сопряженных с F* подгрупп содержит не
более
элементов. Но за исключением случая D* = F* это число меньше
\D* \. Значит, D = F, т. е. тело D является полем. ?
Комментарии
§ 1. Этой главой начинается собственно теория конечных
полей. Большинство руководств по абстрактной алгебре посвя-
посвящают конечным полям лишь несколько страниц. Наиболее об-
обширные из таких разделов можно найти в книгах Albert 131,
Berlekamp [4], Birkhoff, Bartee [1], Carmichael [4], Dornlioff,
Hohn [Ц, Herstein [41, Luneburg [21, Redei [10], [11] и von
Ammon, Trondle [1]. Общая теория полей подробно изложена
в книгах Browkin [2], Jacobson [2], Nagata [2] и Winter [П-
О конечных кольцах см. McDonald [1].
Понятие конечного поля в его общем значении (т. е. когда
имеются в виду не только простые поля Fp) впервые появляется
в 1830 г. в статье Галуа (Galois [1 ]) в связи с решением сравнений
Комментарии 97
по модулю р (т. е. уравнений над полем Fp) в подходящих расши-
расширениях поля Fp. К этому времени многие свойства простых ко-
конечных полей Fp были уже установлены Ферма, Эйлером, Ла-
гранжем, Лежандром и Гауссом (см. Gauss [1]). После исходной
статьи Галуа изучение «высших сравнений», как тогда назывались
уравнения над конечными полями, было продолжено в работах
Schonemann [3], Serret [1] и Dedekind [1]. Начатки теории со-
содержатся также в посмертно опубликованной работе Гаусса
(Gauss [4]). Изложение этой ранней работы по конечным полям
можно найти в сообщении Smith H. J. S. [Пив работах Serret [2],
Jordan С. [2] и Borel, Drach [1]. См. также заметку Nieder-
reiter [14] о ранней истории предмета. О развитии теории конеч-
конечных полей до 1915 г. см. книгу Dickson [40, ch. 8]. Впервые сов-
современная трактовка теории конечных полей появляется у Дик-
Диксона (Dickson [7]).
Самыми важными результатами этой главы являются тео-
теоремы 2.5, 2.6 и 2.8. Существуют разные доказательства этих тео-
теорем, и их можно найти в упомянутых выше источниках. Заметим,
что многие авторы используют для конечного поля (или поля
Галуа) порядка q обозначение GF (q). Часть, касающаяся един-
единственности, теоремы 2.5 впервые была доказана в общем виде
Муром (Мооге [1], [2]). Другое классическое доказательство
теоремы 2.5 приводится в статье Dickson [6]. См. также Szele [1].
В связи с леммой 2.4 заметим, что простая формула для JJ (х — а")
a?F
неявно содержится в работе Rados [5]; см. также относящиеся
к этому статьи Beeger [I ], Lubelski [I ] и Ore [3].
Метод, использованный при доказательстве теоремы 2.8, можно
применить и для доказательства следующего более общего утвер-
утверждения: каждая конечная подгруппа мультипликативной группы
поля циклична. Справедливо также обращение теоремы 2.8 (см.
упр. 2.10). В статье Gilmer [1] найдены все конечные коммута-
коммутативные кольца с единицей, в которых делители единицы образуют
циклическую группу. В статье Сиропа [1 ] конечные поля характе-
характеризуются свойствами порядков элементов мультипликативной
группы данного поля.
Примитивные элементы конечного поля ?р при простом
числе р рассматриваются также в элементарной теории чисел,
где они носят название первообразных корней по модулю р. За-
Задача нахождения первообразных корней по модулю р ставилась
еЩе Гауссом (Gauss [1]); см. также Desmarest [I], Frolov [I],
Jacob» [3], Schonheim 11], Stern [1] и Чебышёв [1]. Цассен-
ХаУз (Zassenhaus [4']) построил алгоритм для нахождения прими-
примитивных элементов любого конечного поля fq. О частном случае
поля Fp!, где р — простое число Мерсенна, см. также Miller,
Reed, Truong [1], Reed, Truong [1] и Reed, Truong, Miller [4].
98 Гл. 2. Строение конечных полей
Первая большая таблица первообразных корней была построена
Якоби (Jacobi 13]) в 1839 г. Более подробно о таких таблицах
см. в гл. 10. С примитивными элементами мы встретимся еще в связи
с так называемыми примитивными многочленами (см. § 1 гл. 3).
Дэвенпорт (Davenport [6]) показал, что если простое число р
достаточно велико, скажем р > р0 (п), и 8 — образующий эле-
элемент поля Fpn как простого расширения поля Fp, то в поле fv
найдется такой элемент а, что 8 — а является примитивным эле-
элементом поля Fpn. С другой стороны, для данного р > 2 сущест-
существуют расширение IFpn и образующий элемент 8 его как простого
расширения поля fp, такие, что ни один из элементов Ь% -\- с,
где Ь, с ? Fp, не является примитивным элементом поля Fpn.
Различные количественные улучшения и обобщения были полу-
получены в работах Carlitz [34], [41 ], Friedlander [I ] и Schwarz [7];
см. также Giudici, Margaglio [2 ] для случая квадратичного расши-
расширения поля Fg. Дэвенпорт и Льюис (Davenport, Lewis [3]) уста-
установили один результат о распределении примитивных элементов
в конечных полях, обобщающий результат, полученный Бёрджес-
сом (Burgess [2]) для простых полей Fp. Позднее Бёрджесс (Bur-
(Burgess [7]) улучшил результат Дэвенпорта и Льюиса для полей FP«,
а Карацуба [6] распространил его на общие конечные поля. В ста-
статье Stevens Н. [ 1 ] доказан один элементарный результат о распре-
распределении примитивных элементов. В работе Gerjets, Bergum [1]
изучено распределение примитивных элементов в поле FP2 с эле-
элементарной точки зрения. Простое доказательство существования
примитивных элементов с абсолютным следом 1 в конечном поле р9
характеристики 2 получено в статье Moreno О. [2]. Из результата
И. М- Виноградова (см. Виноградов И. М. [11 ]) следует, что для
данных целых чисел аи Ъ и всех достаточно больших простых чи-
чисел р существует целое число с, такое, что каждое из чисел с,
с + а, с + Ъ является первообразным корнем по модулю р.
Сегал [1 ] показал, что для данного целого числа г ^ 2 и всех
достаточно больших простых чисел р существует такое целое
число с, что каждое из чисел с + 1, с + 2, ..., с + г является
первообразным корнем по модулю р; этот результат был обобщен
Карлицом (Carlitz [68]). См. также Johnsen [I], Szalay
[2], Vegh [1], [2], [3], [4], [5], [6] и Виноградов И. М.
11,
81.
В работах Madden [1], Виноградов И. М. [5] и Сегал [1] изу-
изучается распределение примитивных элементов среди значений дан-
данного многочлена. Эрдёш (Erdos [1 ]) составил список нерешенных
проблем и полученных результатов о первообразных корнях по
модулю р. Для логарифма Якоби, определяемого с помощью
примитивных элементов (см. упр. 2.8), в книге Jacobi [2 ] построены
таблицы (для простых полей Fp, p < ЮЗ); более удобные для
вычислений таблицы приведены в работе Convay [1], см. такжг
гл. 10, § 1 и таблицу В. В статье Gauss [1] дана формула для
Комментарии 99
суммы всех примитивных элементов простого поля Fp, а в статье
Stern [1] дана аналогичная формула для суммы всех элементов
фиксированного порядка группы Fp. В работе Forsyth [1] полу-
получена формула для суммы k-x степеней всех примитивных элемен-
элементов поля Fp; см. также Czarnota [1], Шимичек (Szymiczek [1])
вывел формулу для суммы k-x степеней всех примитивных эле-
элементов произвольного конечного поля F?, и даже для суммы k-x
степеней всех элементов фиксированного порядка группы IF,.
В связи со следствием 2.11 заметим, что формула для числа
нормированных неприводимых многочленов степени п в кольце
Fq ix) будет получена в теореме 3.25. Это приведет к новому дока-
доказательству следствия 2.11 (см. замечания, следующие за при-
примером 3.26).
§ 2. Важная теорема 2.14 была доказана Галуа (Galois til).
Эта теорема выражает тот факт, что каждое конечное расшире-
расширение Fgm конечного поля Fg является нормальным расширением,
т. е. оно обладает тем свойством, что каждый неприводимый много-
многочлен из Fg [л;], имеющий хотя бы один корень в поле f^m, разла-
разлагается в этом поле на линейные сомножители. Справедлив и бо-
более общий результат: расширение произвольного поля К является
конечным нормальным расширением в том и только том случае,
если оно является полем разложения над К некоторого многочлена
из К 1х]. Теорема 2.14, кроме того, показывает, что любое ко-
конечное поле является совершенным полем, т. е. обладает следую-
следующим свойством: каждый неприводимый над этим полем многочлен
имеет лишь простые корни. В соответствии с известной характе-
ризацией совершенными являются поля характеристики 0 и те
поля простой характеристики р, для которых корень р-н степени
из любого элемента поля содержится в этом поле. Последнее
условие непосредственно и легко проверяется для конечных
полей (ср. с упр. 2.12).
Автоморфизм а поля fqm над fq, порождающий все авто-
автоморфизмы поля fqm над Fg (в соответствии с теоремой 2.21),
называется автоморфизмом Фробениуса поля fqm над fq. Группа
автоморфизмов поля Fem над f9 носит также название группы
Галуа поля fqm над полем fq. Эта группа играет основную роль
в теории Галуа. О теории Галуа см. Artin [8], Gaal [1], Jacob-
son [2], Lang [4, ch. 8], van der Waerden [2, ch. 8] (а также
Постников М. М. [1* ]. —'Перев.), а о том частном ее случае, ко-
который рассматривается здесь, см. Dickson [10] и Scarpis [3].
В силу теоремы 2.21 группа Галуа поля Fgm над Fq циклическая,
и, следовательно, F4m — циклическое расширение поля F4.
Неприводимые многочлены над конечными полями будут рас-
рассматриваться и в гл. 3 (особенно в § 2, 3 и 5).
§ 3. Результаты теоремы 2.25 и упр. 2.33 являются частными
случаями для следов и норм теоремы 90 Гильберта, справедливой
100 Гл. 2. Строение конечных полей
для любого конечного циклического расширения некоторого
поля (Hilbert [2]). См. также упр. 2.30 и 2.31 о других доказатель-
доказательствах теоремы 2.25. Об обобщениях теоремы 90 Гильберта см.
Albert [3, ch. 4], Bourbaki [1, ch. V, § 11], Jacobson [2] и Win-
Winter [1].
В связи с понятием автодуального базиса (см. пример 2.31)
заметим, что в статье Seroussi, Lempel [I ] показано, что поле F =
= ?дт тогда и только тогда имеет автодуальный базис над К =
= Fq, когда либо q четно, либо q я т оба нечетны. В той же статье
доказано, что поле F всегда имеет следоортогональный базис над К,
т, е. базис {ось ¦¦¦, аш}, такой, что Тг/г/к (а(а/) = 0 для / ф ].
Для случая q = 2 эти результаты были установлены раньше
в статье Lempel [2]. В книге MacWilliams, Sloane [2, ch. 4]
показано, что поле f^m имеет автодуальный нормальный базис,
если т нечетно. Для четного т это не всегда верно (см. упр.
2.41).
Доказательство леммы 2.34 приводится, например, в книге
Hoffman, Kunze [I, ch. 7]; указанное пособие можно рекомендо-
рекомендовать для справок и по другим вопросам линейной алгебры. Тео-
Теорема 2.35 является частным случаем общей теоремы о нормаль-
нормальном базисе для конечных расширений Галуа (см. Albert [3, ch. 4],
Berger, Reiner [1], Deur'ing [1], Jacobson [2], Redei [10, ch. 11],
Waterhouse [3 ]). Другое доказательство теоремы 2.35 вместе с фор-
формулой для числа различных нормальных базисов поля Fgm над fq
будет приведено в гл. 3 (см. теорему 3.73 и следующее за ней заме-
замечание). Теорема о нормальном базисе для конечных полей была
сформулирована Эйзенштейном (Eisenstein [6]) и частично дока-
доказана Шёнеманном (Schonemann [4]). Первое полное доказатель-
доказательство ее дал Гензель (Hensel [1 ]). См. также Krasner [2], где дается
иной тип доказательства. Таблицы нормальных базисов и дуаль-
дуальных базисов к полиномиальным и нормальным базисам построил
Конвей (Conway [1 ]) для полей характеристики 2; см. также гл. 10
(§ 1 и табл. В). О приложении теоремы о нормальном базисе к Tt'O-
рии кодирования см. Camion [1 ].
Мур (Moore [3]) представил определитель из следствия 2.38
в виде XI ( ? bjO.j 1, где произведение берется по всем ненулевым
m-наборам (Ь\, ..., bm) ? F", для которых ненулевой элемент bj
с наибольшим индексом равен 1. См. также лемму 3.51, где эта
формула доказывается проще. В статье Carlitz [85] доказано не-
несколько аналогичных равенств для определителей. Прямое дока-
доказательство следствия 2.38, не использующее формулу Мура,
было дано Диксоном (Dickson [2], [7, part I, ch. 4]). Теорема
2.39 была в эквивалентной форме доказана Дэвенпортом (DaYen-
port [9]). В этой же статье содержится доказательство теоремы
Комментарии 101
2,40. Для конечного поля F достаточно большого порядка этот
результат раньше был уже установлен Карлицом (Carlitz [35]).
Ленстра (Lenstra H. W. [ 1 ]) показал, что нормальный базис поля F,
состоящий из примитивных элементов, существует над любым
подполем этого поля. Если число т в теореме 2.39 является сте-
степенью характеристики поля fq, то утверждение теоремы выпол-
выполняется при более слабом предположении, а именно что след эле-
элемента а над fq отличен от нуля; об этом случае см. также Perlis
[1], Burde [5] и Childs, Orzech [1].
Эффективный алгоритм построения базисных векторов для
всех подпространств заданной размерности некоторого векторного
пространства над полем fq получен в статье Calabi, Wilf [1].
Некоторые комбинаторные задачи для векторных пространств
над конечным полем fq были рассмотрены в работах Baum,
Neuwfrth [1], Bu [1], Constantin, Courteau [1], Jamison [1],
Lee A. [1], Luh [1] и Wolfmann [1]. В статье Brawley, Hankins
1 ] дан перечень базисов векторного пространства, образованного
mXn-матрицами над fq, в соответствии с рангами базисных
матриц.
§ 4. Явная формула для кругового многочлена будет указана
в теореме 3.27. Результат теоремы 2.47 (i) был установлен впер-
впервые Кронекером(Кгопескег [1 ]). Другие классические доказатель-
доказательства принадлежат Арндту (Arndt [1]), Дедекинду (Dedekind [2])
и Лебегу (Lebesgue [3]). Доказательства этой теоремы можно
найти также в книгах Lang [4, ch. 8], Redei [10, ch. 8] и van
der Waerden [2, ch. 8]. Разложение круговых многочленов над
простыми полями Fp рассматривалось Гауссом (Gauss [4]),
Щёнеманном (Schonemann [3]) и Пелле (Pellet [5]) еще в XIX в.
См. об этом также Ballieu [1], Chowla, Vijayaraghavan [1], Go-
lomb [7], Guerrier [1], Lubelski [2], McLain, Edgar [1], Redei
[10, ch. 8] и van de Vooren-van Veen [1J. Случай произвольного
конечного поля fq рассмотрен в статье Rauter [2]. Из теоремы
2.47 (ii) и элементарной теории чисел следует, что круговой много-
многочлен Qn неприводим над полем Fg тогда и только тогда, когда q —
первообразный корень по модулю пап принимает значения 4, гк
или 2rk при простом нечетном числе г и неотрицательном целом
числе k. Подробнее о методах отыскания разложений круговых
многочленов над конечными полями см. в гл. 4, особенно в при-
примере 4.6. Упражнение 2.57 содержит список дальнейших свойств
круговых многочленов.
В статьях Reed, Truong, Miller [1 ], [2] развиты эффективные
методы вычисления корней некоторой степени из единицы в ко-
конечных полях специального вида; см. также Liu, Reed, Truong [1 ].
В работе Althaus, Leake [1] дана формула обращения матрицы
Вандермонда, элементами которой являются корни из единицы,
см. также Knuth [2, ch. I ].
102 Гл. 2. Строение конечных полей
§ 5. В дополнение к уже рассмотренным методам представле-1
ния конечных полей заметим, что конечные поля можно рассма-
рассматривать также как факторкольца кольца целых алгебраических
чисел по простым идеалам, — этой точке зрения придавал особое
значение Дедекинд (Dedekind [3]); см. также Burde [7] и Nieder-
reiter [14]. Цассенхауз (Zassenhaus [4j) дал алгоритм построения
конечных расширений поля Fq, а Ю. П. Васильев в [1] рассма-
рассматривает этот вопрос с точки зрения применения ЭВМ; см. также
Chor [1 ]. О представлении элементов конечных полей матрицами
см. Scognamiglio [1]. В этой связи интересны также работы Beard
[1], [2], [3], [4] и Beard, McConnel [1]. Некоторые результаты
о сопровождающей матрице многочлена, используемой в этом пара-
параграфе, можно найти в книге Hoffman, Kunze [I, ch. 7].
В статье Hohler [ 1 ] поле Fp* строится на базе простого поля Fp
способом, напоминающим построение комплексных чисел на базе
действительных. Дальнейшие представления элементов конечных
полей можно найти в работах Bartee, Schneider [1], Fadini [1],
Monnig [1 ], Neikirk [1 ]. Конечные поля, которые можно рассма-
рассматривать как подполя факторкольца Z/(m), были охарактеризо-
охарактеризованы в статье Nymann [1]. В работе Raktoe [1] показано, как
некоторые кольца, аналогичные кольцу многочленов над коль-
кольцом Z/(m), можно построить, исходя из конечных полей и колец
многочленов над конечными полями.
§ 6. В 1905 г. Веддербёрн доказал, что каждое конечное тело
является полем. Со времени исходной статьи Веддербёрна Wed-
derburn [I ] было дано много других доказательств этого резуль-
результата, и они допускают разветвленную классификацию в зависи-
зависимости от используемого аппарата: теории чисел, теории групп,
линейной алгебры, теории конечномерных алгебр или теории ко-
гомологий. В статье Веддербёрна приведено три доказательства
этого результата. Первое, основанное на линейной алгебре и тео-
теории минимальных многочленов, однако, как заметил Артин
(Artin [2]), оказалось ошибочным; см. Hinz [1 ], где это доказатель-
доказательство исправляется. Другие два доказательства основаны на сле-
следующей теоретико-числовой лемме: если п и Ь — такие целые
числа ^=2, что каждый простой делитель числа Ь" — 1 делит число
Ьт — 1 при некотором т, 1 < т < п, то либо п = 2 и Ь + 1 —
степень двойки, либо п = 6 и Ъ = 2 (см. Zsigmondy [I], Birk-
hoff, Vandiver [1 ], а также Artin [5]). Диксон в статье Dickson
[8] дал свое доказательство теоремы Веддербёрна (использующее
эту же лемму); при этом он отмечает, что Веддербёрн пришел
к своим последним двум доказательствам после того, как позна-
познакомился с доказательством Диксона.
Первое из приводимых нами доказательств теоремы 2.55 при-
принадлежит Витту (Witt [1 ]). Оно одно из самых коротких и изящ-
изящных. В последней его части можно избежать использования ком-
Комментарии 103
плексных чисел, воспользовавшись методами-элементарной тео-
теории чисел (см. Klobe [1 ] и Rogers К. [1 ])• Второе доказательство
принадлежит Тейлору (Taylor D. Е. [1]). Доказательство леммы
2,57 можно найти, например, в книге Hoffman, Kunze [I, ch. 6].
Многие доказательства теоремы Веддербёрна используют тео-
теорию групп. Так, доказательство Цассенхауза (Zassenhaus [2])
опирается на следующую лемму: любая конечная группа, в ко-
которой нормализатор каждой абелевой подгруппы совпадает с ее
централизатором, является абелевой. По поводу других теоретико-
групповых доказательств см. Brandis[l ], Kaczynski [I ] и Scott [I,
ch. 14]. В книге Blanchard [I, ch. 4] дается доказательство, ос-
основанное на теории когомологий. В статье Herstein [2] использо-
использована комбинация теоретико-кольцевых и теоретико-групповых
методов. Доказательство, использующее многочлены над телами,
предложено Артином (Artin [2]).
Доказательства теоремы Веддербёрна, основанные на теории
конечномерных алгебр и на результатах, аналогичных лемме 2.58,
можно найти в работах Blanchard [I, ch. 3], Bourbaki [2, ch. VIII,
§ 11], Nagahara, Tominaga [1] и van der Waerden [3, ch. 14].
Интересный вариант доказательства приводится в статье Joly [5],
где в решающем месте использована теорема Шевалле об уравне-
уравнениях над конечными полями (см. следствие 6.6).
Другие доказательства и комментарии к истории теоремы
Веддербёрна можно найти в работах Artin [4], Herstein [3, ch. 3],
[4] и Redei [10, ch. 8].
Известным обобщением теоремы Веддербёрна является сле-
следующий результат Джекобсона (см. Jacobson [1 ]): если в кольце R
для каждого элемента а ? R найдется натуральное число п (а) >
> 1, такое, что ап (а> = а, то R является полем. Доказательство
теоремы Джекобсона имеется также в работах Herstein [1 ],
12], [3, ch. 3], [4], Laffey [1], Nagahara, Tominaga [1], Ro-
Rogers K- 12] и Wamsley [1]. В другом направлении теорема Вед-
Веддербёрна была обобщена смягчением условия ассоциативности
умножения в конечном теле (Albert [2], McCrimmon [I ]). Харак-
теризация конечных простых полей в классе почти-колец (near-
rings) с единицей была дана в работах Clay, Malone [1] и Max-
son fl].
(Кох (Koh [1*]) получил оценки для числа невырожденных
квадратных матриц порядка п над произвольным конечным полем.
В работе Calmet [1*1 рассматриваются алгебраические алгоритмы
в конечных полях (типа алгоритмов для разложения многочленов
на множители, нахождения корней многочленов и т. п.). По те-
тематике второй главы имеются еще следующие работы: Barker [1* ],
Cohen [2*], [3*], [4*], Coppersmith [1* ], Coppersmith, Odlyzko,
Schroeppel [1*], Gerth [1*], Hellman, Reyneri [1*], Katze,
Rajwade [1*], [2*], Lempel, Seroussi, Winograd [1*1, Lempel,
104 Гл. 2. Строение конечных полей
Seroussi, Ziv [1*1, Mukhopadhyay [1*], Muskat, Williams 11*],
Pei, Wang, Omura [1*], Zeitler [1*], Кисловская [1*], Курба-
Курбатов [1* ] и Сейтенов [1* ]. — Перев. ]
Упражнения
2.1 Доказать, что многочлен х2 + 1 неприводим над полем Fu, и пока-
показать непосредственно, что факторкольцо Fn [х]/(х2-\- 1) состоит из 121 эле-
элемента. Доказать также, что многочлен х2-J- х-\- 4 неприводим над полем Гц,
и показать, что факторкольца Fn [х]/(х2 + 1) и Fn [д:]/(д:2 + х + 4) изоморфны.
2.2. Показать, что для каждого конечного поля, кроме F2, сумма всех его
элементов равна 0.
2.3. Пусть a, b— элементы поля Fa7l (n — нечетное число). Показать, что
из равенства а2 + ab + Ьг = 0 вытекает а = Ь = 0.
2.4. Найти все примитивные элементы поля F7.
2.5. Найти все примитивные элементы поля F17.
2.6. Найти все примитивные элементы поля Fe.
2.7. Записать все элементы поля F26 в виде линейных комбинаций базисных
элементов над полем F6. Затем найти какой-нибудь примитивный элемент р
поля F25 и для каждого элемента а ? Fj5 найти наименьшее целое неотрицатель-
неотрицательное число п, такое, что а = Р".
2.8. Если элементы мультипликативной группы F* поля Г представлены
в виде степеней фиксированного примитивного элемента b ? Fq, то сложение
в поле Wq облегчается введением так называемого логарифма Якоби *) L (п),
определяемого равенством
где случай bn = —1 исключается 2). Показать, что тогда всюду, где L опре-
определен, справедливо равенство
Ьт + bn =
Построить таблицу логарифмов Якоби для полей F, и F17.
2.9. Доказать, что любая конечная подгруппа мультипликативной группы F*
произвольного поля F циклична.
2.10. Пусть F — поле. Доказать, что если его мультипликативная группа F*
циклична, то F — конечное поле.
2.11. Пусть F — конечное поле и F* — его мультипликативная группа.
Доказать, что множество Н U {0} для любой подгруппы Н группы F* будет
подполем поля F в том и только том случае, если порядок группы F* равен 1
или простому числу вида 2Р — 1, где р — простое число.
2.12. Показать, что каждый элемент конечного поля Fq характеристики р
имеет в этом поле один и только одни корень р-й степени.
2.13. Показать, что если Fq — конечное поле нечетной характеристики,
то элемент а ? F* имеет в поле F? квадратный корень тогда и только тогда,
когда а<*-1)/2 = 1.
2.14. Доказать, что для данного натурального числа k элемент а ? F*
является k-й степенью некоторого элемента из поля f^ в том и только том
случае, если a(<?~1)/d = 1, где d = НОД (q — 1, k).
1) Некоторые авторы (например, Conway [1]) называют его логарифмом
Зеха (Sech). — Прим, перев.
2) В соответствии с соглашением в подстрочном примечании к примеру 2.52
для такого я, что Ьп = —1, полагается L (п) = *. — Прим. перев.
Упражнения 105
2.15. Доказать, что для любого k ? N каждый элемент поля Fq является
k-ii степенью некоторого элемента из этого поля в том и только том случае, если
НОД (q— 1, k)= 1.
2.16. Пусть ?q — конечное поле, k—положительный делитель числа
q — 1 и а — такой элемент поля Fq, что уравнение х = а не имеет решений
в Fq. Доказать, что это уравнение имеет решение в поле Г„т. если число т
делится на k, и что если k — простое число, то выполняется обратное ут-
утверждение.
2.17. Доказать, что для / ? Fq [х] верно равенство [/ (х) ]9 = f(x9).
2.18. Показать, что любой квадратный многочлен из Гд[л:] разлагается
над полем F.» на линейные множители.
2.19. Показать, что при а ? Fq и п ? N многочлен х9 —х + па делится
на х9 — х -j- а в кольце Г,,!*].
2.20. Найти все автоморфизмы конечного поля.
2.21. Пусть F — некоторое поле и отображение Т: F -*¦ F определяется
условием ? (а) = а" при а Ф 0 и W (а) = 0 при а = 0. Доказать, что W яв-
является автоморфизмом поля F тогда и только тогда, когда F состоит не более
чем из четырех элементов.
2.22. Доказать, что натуральное число п делнт число ц>(рп— l), где р —
простое число, а ф — функция Эйлера. (Указание. Воспользоваться следствием
2.19).
2.23. Пусть Fq — конечное поле характеристики р. Доказать, что много-
многочлен / ? Fq [х] обладает свойством /' (х) = 0 в том и только том случае, если f
является р-й степенью некоторого многочлена из Fq [x].
2.24. Пусть F — конечное расширение конечного поля К, причем [F : К] =
¦¦= т, и пусть
/ (*) = xd + ьл_/~х + • • • + ь0 е к м
— минимальный многочлен элемента а ? F над полем К. Доказать, что
TrF/K (о) = - (mid) bd_x и NF/K (a) = (-\)т b^'d.
2.25. Пусть F — конечное расширение конечного поля К и ос ? F. Пусть,
далее, отображение L: Р ? F'—> <x{i ? F является линейным оператором в поле F,
рассматриваемом как векторное пространство над К. Доказать, что характери-
характеристический многочлен g (x) элемента а над К совпадает с характеристическим много-
многочленом линейного оператора L, т. е. g (х) = det (xl — L), где / — тождествен-
тождественный оператор.
2.26. Рассмотрим ту же ситуацию, что и в упр. 2.25. Доказать, что TtF/K (а)
совпадает со следом линейного оператора L (т. е. с суммой диагональных эле-
элементов соответствующей оператору матрицы в произвольном базисе), и
ПР/К (а) = det (I).
2.27. Доказать свойства (i) н (ii) из теоремы 2.23, используя интерпрета-
интерпретацию TtF/K (а), полученную в упр. 2.26.
2.28. Доказать свойства (i) и (Hi) из теоремы 2.28, используя интерпре-
интерпретацию NF/K (а), полученную в упр. 2.26.
2.29. Пусть F — конечное расширение конечного поля К характеристики р.
Доказать, что для всех а ? F и л ? N имеет место равенство Trf^ (<хрП) =
2.30. Дать другое доказательство теоремы 2.25, рассматривая поле F как
векторное пространство над полем К и показав, сравнивая размерности, что
яДро линейного отображения Тг^^. совпадает с множеством значений линей.
106
Гл. 2. Строение конечных полей
ного оператора L в векторном пространстве F над полем К, где L ф) = р* — |} j
для всех Р ? F.
2.31. Дать другое доказательство необходимости условия в теореме 2.25,
показав, что если а, у ? F таковы, что 1тF,^ (а) = 0 и 1тF,^ (у) = —1, и
6j = а + а4 + • • • + а* , то элемент
удовлетворяет условию Р* — р = а.
2.32. Пусть F — конечное расширение поля К = Fq и а = Р? — Р для
некоторого р ? F. Доказать, что равенство а = У — ^ выполняется для у ? F
тогда и только тогда, когда Р — y g i(.
2.33. Пусть F — конечное расширение поля К = Fq. Доказать, что для
а ? F равенство Nf^ (a) = 1 выполняется в том и только том случае, если
а = Р'—' для некоторого Р ? F *.
2.34. Доказать, что 2j х9 —с= JJ (х — <
/=о
для всех с
= ^9* где
произведение берется по всем а ? F = F m, удовлетворяющим условию
2.35. Доказать, что для любого от ? N имеет место равенство
2.36. Рассматривая поле F m как векторное пространство над полем ?ч.
доказать, что для каждого линейного оператара L в этом векторном простратчве
существует однозначно определенный от-набор (Oq, a1? ..., am_i) элементов из
F„т. который обладает свойством
L (Р) = аор
+ ¦ • ¦ + ат^
Fgm.
для всех g
2.37. Доказать, что если учитывать порядок элементов базиса, то число
различных базисов поля F т как векторного пространства над полем Fq равно
(qm _ 1} {qm _ q) {qm _
2.38. Доказать, что если {сц, ..., am) — базис поля F = F m как вектор-
векторного пространства над полем К = Fq, то lrF/K (а,-) ф 0 хотя бы для одного i\
1 < ( < от.
2.39. Доказать, что существует нормальный базис {а, а4, ..., а*
поля F = Fqm над К = Fq, для которого lrF/K (a) = 1.
2.40. Пусть К — конечное поле, F = К (а) — его простое расширение сте-
пени я н / ? /( [х] — минимальный многочлен элемента а над К. Пусть, *
fix)
х — а
= Ро + Pi* -
Доказать, что дуальным к базису {l, a, ..., ап '} поля F над К является ба-j
зис {РоТ. PiY Pn-iY}-
Упражнения 107
2.41- Показать, что существует автодуальный нормальный базис поля F4
нал Гг> но не существует автодуального нормального базиса поля Fie над F2
(определение автодуального базиса см. в примере 2.31).
2.42. Построить автодуальный базис поля Fle над F2 (определение авто-
автодуального базиса см. в примере 2.31).
2.43. Доказать, что дуальный базнс к нормальному базису поля F т над Т„
снова является нормальным базисом.
2.44. Пусть F— расширение конечного поля К с базисом {аь .,., ат)
т
над К- Пусть, далее, элементы filt .... pm g F таковы, что рг- = JJ btftj для
/=1
1 < i < от, где btj g К- Пусть, наконец, В = (btj) — квадратная матрица
порядка от. Доказать, что
*F,K (Pi- • • - Pm) = [det (W AF/K («L • • • • «m).
2.45. Пусть К = Fq и F= Tqm- Доказать, что для любого а ? F имеет
место равенство
А,/к0, а ат-1)= П («''-«'О2.
0<»</<ш—I
2.46. Доказать, что для a g F = FqTn cm>2 и Я = Г, дискриминант
Ар/% A, а, ..., ат^') совпадает с дискриминантом характеристического много-
многочлена элемента а над полем К (см. определение 1.92).
2.47. Найти первообразные корни 4-й и 8-й степеней из единицы в поле F9.
2.48. Найти первообразный корень 9-й степени из единицы в поле Fle.
2.49. Пусть ? — корень я-й степени из единицы над полем К. Доказать,
2.50. Для я ^ 2 пусть ?i. ..., ?„ — все (не обязательно различные) корни
П'й степени из единицы над произвольным полем К- Доказать, что
при *=1> 2' •••' "-''
ПрИ А = о.
2.51. Показать, что 7(*2га) = 7('п) для произвольного поля К и нечетного
числа п.
2.52. Пусть 7( — произвольное поле. Доказать, что круговое поле К^
является подполем поля /(*"' для каждого положительного делителя d числа
я 6 IN. Найти минимальный многочлен над полем К{4) такого корня из единицы,
который может служить образующим элементом простого расширения К{12>
над {({*>.
2.53. Доказать, что если р — простое число, то р — 1 первообразных кор-
корчей /7-й степени из единицы над полем Q рациональных чисел линейно незави-
независимы над Q и потому образуют базис поля Q'p) над Q.
2.54. Пусть К — произвольное поле и п — натуральное число, большее
сДиницы. Доказать, что многочлен хп~1 + хп~2 + ... + х + 1 неприводим
наД К, лишь когда п — простое число.
2.55. Найти наименьшее простое число р, такое, что многочлен xw + хи +
-, ...+ х-\- 1 неприводнм над полем Fp.
2.56. Найти десять наименьших простых чисел р, таких, что многочлен
xp~l -f- хр~2-j- ,..+ *+ 1 неприводим над полем F2-
108 Гл. 2. Строение конечных полей
2.57. Доказать следующие свойства круговых многочленов над любым
полем, для которого они определены:
(a) Qmp (х) = Qm (xp)/Qm (х), если р — простое число и натуральное число т J
не делится на р;
(b) Qmp (x) = Qm (xp) для всех натуральных чисел от, кратных простому
числу р;
(c) Qmph (х) = Qmp (хР )> если Р — простое число и от, k ? IN;
(d) Qm (x) = Qn (—x), если n ^ 3 — нечетное число;
(e) Qn @) = 1, если п > 2;
(f) Qn (*"') *Ф(П) = Qn (x), если л > 2;
0, если л = 1,
(g) Qn A) =
p, если п — степень простого числа р,
1, если п имеет по крайней мере два различных простых
делителя;
0, если л = 2,
—2, если л = 1,
(h) Qn (-1) =
р, если п — удвоенная степень простого числа р,
1 в остальных случаях.
2.58. Дать представление с помощью матрицдля элементов поля Fg, исполь- j
зуя для этой цели неприводимый многочлен лг3 + х + 1 над полем F2- \
2.59. Пусть ? — примитивный элемент поля F= (Fle, такой, что f+ ?"!¦ s
+ 1 = 0. Для fe J> 0 запишем ? == V алгС , где ад; ^ F2> и пусть Ж^ — ;
= \Щ; )— квадратная матрица 4-го порядка с элементами m]j> = ak_^_i_l /_,1. f
Показать, что 15 матриц М^, 0 ^ fe ^ 14, и нулевая матрица 4-го порядка ойра- j
зуют поле (относительно операций сложения и умножения матриц над полем ^ * т
которое изоморфно F. Доказать, что для 0 ^ k ^ 14 след lrF (? ) равен гл®л\ \
матрицы Мь и совпадает с коэффициентом а^я-
Глава 3
Многочлены над конечными полями
Теория многочленов над конечными полями важна как для
исследования алгебраической структуры конечных полей, так
и для многочисленных приложений. При этом особую роль
играют неприводимые многочлены — простые элементы кольца
многочленов над конечным полем. Они необходимы для построе-
построения самого конечного поля и для проведения вычислений с эле-
элементами этого поля.
В первом параграфе вводится понятие порядка многочлена.
Важным фактом является связь между минимальными многочле-
многочленами примитивных элементов конечного поля (так называемыми
примитивными многочленами) и многочленами максимального
возможного для данной степени порядка. В § 2 представлены ре-
результаты о неприводимых многочленах, не рассмотренные в пре-
предыдущих главах. Третий параграф посвящен конструктивным
аспектам неприводимости, а также вопросу о нахождении мини-
минимального многочлена элемента из некоторого расширения поля.
В последних двух параграфах рассматриваются некоторые
специальные классы многочленов. Линеаризованный многочлен
характеризуется тем, что степень каждого его члена является
некоторой степенью характеристики поля. Теория таких много-
многочленов, интересная сама по себе, позволяет к тому же дать новое
доказательство теоремы о нормальном базисе. Двучлены (би-
(биномы) и трехчлены, т. е. двучленные и трехчленные многочлены
образуют другой класс, для которого тоже можно установить ряд
особых свойств, представляющих значительный интерес. Следует
напомнить, что в предыдущей главе было рассмотрено еще одно
полезное семейство многочленов — а именно круговые много-
многочлены (см. гл. 2, § 4). Некоторые дополнительные факты об этих
многочленах приводятся далее в § 2.
§ 1. Порядки многочленов и примитивные
многочлены
У каждого ненулевого многочлена / над конечным полем кроме
его степени deg (/) имеется еще одна важная целочисленная ха-
характеристика — его порядок. Определение порядка многочлена
основывается на следующем факте.
110 Гл. 3. Многочлены иад конечными полями
3.1. Лемма. Если / ? fq lx] —многочлен степени mj- I,;
удовлетворяющий условию f @) Ф 0, то существует namypo.in- *
ное число е < qm — 1, для которого двучлен хе — 1 делится на:
многочлен f (x).
Доказательство. В факторкольце Fq lx]l(f) содержится qm - 1
ненулевых элементов (т. е. классов вычетов по модулю идеала I 'и.
Поскольку каждый из qm классов вычетов х' + (/), / = 0, 1, ,
qm — 1, является ненулевым элементом этого фактор колны,
то должны существовать такие целые числа г и s, 0 < г < ], <
< qm — 1 что xs = xr (mod {f (x))). А поскольку многочлен х
взаимно прост с f (х), то х*~г = 1 (mod (/ (х))). Это означ;и-1,
что многочлен х*~Г— 1 делится на / (л;), где 0< s — r<?.qm — 1.
Так как многочлен х — 1 делится на любой ненулевой постоян-
постоянный многочлен, то в следующее определение можно включ.пь
и постоянные многочлены.
3.2. Определение. Пусть / ? Fq [х] — ненулевой мно:о-
член. Если / @) ф 0, то наименьшее натуральное число е, ,i m
которого многочлен f (х) делит хе—1, называется поряд/"«
многочлена f (х) и обозначается ord (/) = Ord (/ (х)). Если /t.i1
f @) = 0, то многочлен f {x) однозначно представим в виде / (х)
= xhg (х), где h ? IN, g ? fq lx] и g @) ф 0, и в этом случ.и.*
порядок ord (/) многочлена / определяется как ord (g).
Порядок многочлена / иногда называют также периодом I'.ui 1
экспонентой этого многочлена. Порядок неприводимого мнет- j
члена f допускает также следующую характеризацию. \
3.3. Теорема. Пусть f ? Fq lx] — неприводимый многочун[
степени т, удовлетворяющий условию f @) Ф 0, Порядок эп •••v> ¦
многочлена совпадает с порядком любого корня этого многочл< ч<1 ]
в мультипликативной группе F*m поля F m. i
Доказательство. На основании следствия 2.15 Fqm являе11'»|
полем разложения многочлена / над полем Fq- Все корни mhoi<>- ]
члена / имеют по теореме 2.18 один и тот же порядок в группе I,".
Пусть а ? F*m — какой-нибудь корень многочлена /. Тогда по
лемме 2.12 равенство ае = 1 выполняется в том и только мпч
случае, если многочлен f (х) делит хе — 1. Требуемый результат
вытекает теперь из определений ord (f) и порядка элемента «
в группе F*m. '"!
3.4. Следствие. Если f ? Fq lx] — неприводимый многоч ''«
степени т над полем Fq, то его порядок делит число qm — 1.
Доказательство. Если f (х) = сх, где с ? F?, то ord (f) = 1
и результат тривиален. В противном же случае результат вьчо-
кает из теоремы 3.3 и того факта, что Т*т — группа поря,1ка
qm — 1.
§ 1. Порядки многочленов и примитивные многочлены 111
Для приводимых многочленов утверждение следствия 3.4
не обязательно выполняется (см. пример 3.10). Существует еще
одна интерпретация порядка многочлена /, при которой с много-
многочленом / связывается некоторая квадратная матрица и ord (/)
совпадает с порядком этой матрицы как элемента некоторой
группы матриц (см. лемму 8.26).
С помощью теоремы 3.3 можно получить формулу для числа
нормированных многочленов данной степени и данного порядка.
Снова символом ср будем обозначать функцию Эйлера, введенную
в теореме 1.15 (iv). Удобна следующая терминология: если п —
натуральное и b — целое числа, причем НОД (п, Ь) = 1, то наи-
наименьшее натуральное число k, для которого Ьк = 1 (mod п),
называется показателем, которому принадлежит число b no мо-
модулю п (его называют также мультипликативным порядком числа b
по модулю п).
3.5. Теорема. Число нормированных неприводимых многочле-
многочленов из fq [х} степени т и порядка е равно ср (е)/т, если е :э= 2,
а т —- показатель, которому принадлежит число q no модулю е,
равно 2, если т = е = 1, и равно 0 во всех остальных случаях.
В частности, степень неприводимого многочлена из fq [x\ по-
порядка е должна совпадать с показателем, которому принадле-
принадлежит число q no модулю е.
Доказательство. Пусть/ — неприводимый многочлен из fq [x\,
причем / @) Ф- 0. Тогда по теореме 3.3 ord (/) = е в том и только
том случае, если все корни многочлена / являются первообраз-
первообразными корнями степени е из единицы над полем fq, т. е. если /
делит круговой многочлен Qe. По теореме 2.47 (ii) все нормирован-
нормированные неприводимые делители многочлена Qe имеют одну и ту же
степень, и этой степенью является наименьшее натуральное
число т, для которого qm = 1 (mod e). Число таких делителей
равно ср (еIт. Для т = е = 1 мы должны принять в расчет также
нормированный неприводимый многочлен f {х) — х.
Значения порядков многочленов удобно представить в виде
таблицы, по крайней мере для неприводимых многочленов (см.
§ 2 гл. 10). Так как каждый многочлен положительной степени
можно записать в виде произведения неприводимых многочленов,
то вычисление порядков многочленов значительно упрощается,
если знать, как находить порядок степени неприводимого много-
многочлена и произведения попарно взаимно простых многочленов.
Последующий материал посвящен как раз этим вопросам.
3.6. Лемма. Пусть с — натуральное число. Многочлен f ?
€ fq lx], удовлетворяющий условию f @) Ф 0, делит двучлен
хС — I в том и только том случае, если ord (/) делит число с.
112 Гл. 3, Многочлены над конечными полями
Доказательство. Если число е ¦= ord (/) делит с, то много-
многочлен f (х) делит х"— 1, а хе— 1 делит хс— 1, Обратно, если
многочлен / (х) делит хс — 1, то по определению порядка много-
многочлена с z=z е, так что можно записать с = те + г, где т ? Ы
и 0 < г < е, Так как хс — 1 — (х"и — 1) хг + (хг — 1), то много-
многочлен / (х) делит хг — 1 (поскольку делит остальные два члена
предыдущего равенства), а это возможно лишь при г = 0. Значит,
число е делит с.
3.7, Следствие. Если ех и е2 — натуральные числа, то наи-
наибольший общий делитель многочленов хе* — 1 и x"s — 1 в Fq lx)
равен xd — 1, где d = НОД (с,, <?2).
Доказательство. Пусть / (х) — нормированный наибольший
общий делитель многочленов xei — 1 и х'г — 1. Поскольку
xd — 1 — общий делитель этих многочленов, то хй — 1 делит/ (х).
С другой стороны, так как / (л') делит и хе% — 1, и хе* — 1, то по '
лемме 3,6 порядок многочлена / (х) делит как е1, так и е2. Следова-
Следовательно, ord (/) делит d, а значит, согласно лемме 3.6, многочлен
f (х) делит xd — 1, Объединяя полученные результаты, заключаем,
что / (х) = xd ~ 1. ? ¦'
Так как при определении порядка многочлена не учитывается
его сомножитель, равный степени переменной х, то нет необхо-
необходимости рассматривать степени таких неприводимых многочленов
g (x), для которых g @) — 0.
3.8. Теорема. Пусть п (z Ы и g (х) — неприводимый много-
многочлен над конечным полем характеристики р, такой, что g @) Ф
Ф 0. Тогда для многочлена вида f — gn
ord (/) - ord (gn) = p' ord (g),
где t — наименьшее целое число, для которого р' ^ п.
Доказательство. Положим с =¦ ord (g) и с — ord (/). Учиты- ;
вая, что делимость двучлена хс — 1 на многочлен f (x) влечет за
собой делимость хс — 1 на многочлен g (x), получаем в силу '
леммы 3.6 что число е делит с. Далее, многочлен g (ж) делит Xе -~ 1; ,
поэтому f (х) делит (хе — \)н, а значит, делит и (хе— I)" —'
= xept — 1. Таким образом, в силу леммы 3.6 число с делит ер1.
Учитывая доказанное ранее, получаем, что число с имеет вид1-
с = eps, где 0 -.<' s <J t. Заметим, что многочлен хе — 1 имеет'
лишь простые корни, так как по следствию 3.4 число е не делится
на р. Поэтому все корни многочлена xepS — 1 == (хе — l)pS имеют
кратность ps. Но так как многочлен f (х) = (g (х))" делит х"рЬ — Ь
то, сравнивая кратности корней, получаем, что ps js n, так что
s ;гз t. Таким образом, заключаем, что s = / и с = ер(. D
§ I. Порядки многочленов и примитивные многочлены 113
3.9. Теорема. Пусть gu ...,gh — попарно взаимно простые
ненулевые многочлены над полем fq, и пусть f = gx ... g%. Тогда
ord (/) = ord (gl ... gh) = HOK (ord У, ..., ord Ы)-
Доказательство. Нетрудно видеть, что для доказательства
теоремы достаточно рассмотреть лишь случай, когда gt @) Ф 0,
/ — 1, ..., k. Положим е = ord (/) и et = ord (gt), i = 1, ..., k,
и пусть с = HOK {ex, ..., eh). Тогда каждый многочлен gt (х),
1 < i < k, делит двучлен хС{ — 1 и потому делит хс — 1. В силу
попарной взаимной простоты многочленов gx, ..., gk получаем,
что / (х) = П gt (х) делит хс — 1. Учитывая лемму 3.6, мы видим,
что число е делит с. С другой стороны, / (х) делит хе — 1 и, сле-
следовательно, каждый многочлен gt (х), 1 <; i <; k, делит хе — 1.
Снова применяем лемму 3.6 и получаем, что каждое из чисел ег,
1 <С i <C k, делит е, а потому и с делит е. Это означает, что с = е.
В действительности, используя то же доказательство, можно
показать, что порядок наименьшего общего кратного нескольких
ненулевых многочленов равен наименьшему общему кратному
порядков этих многочленов.
3.10. Пример. Найдем порядок многочлена / (х) = х10 + х9 +
\- х3 + хг + 1 ? Fa \x\. Каноническое разложение его над
полем р2 имеет вид
f(x) = (*2 + х+ 1?(х* + х+ 1).
Так как ord (х2 + х + 1) = 3, то из теоремы 3.8 получаем, что
ord ((х3 + х + \f) = 12. Далее, ord (х* + х + 1) = 15, так что
из теоремы 3.9 получаем, что ord (/) = HOK A2, 15) = 60. За-
Заметим, что ord (/) не делит число 210 — 1 = 1023; это показывает,
что для приводимых многочленов следствие 3.4 не обязательно
выполняется. ?
На основании доказанного можно дать следующую общую
формулу для порядка многочлена. При этом предполагается, что
все рассматриваемые многочлены имеют положительную степень
и ненулевой постоянный член.
3.11. Теорема. Пусть fq— конечное поле характеристики р.
Если f = afi1 ... fkk — каноническое разложение в кольце fq [x]
многочлена f (х) ? Fg lx] положительной степени, такого, что
f (°) Ф 0 (т. е. а ? Fg, nu .... nh ? IN и fu ..., fh — различные
нормированные неприводимые многочлены из fq [x], отличные
°т х), то
ord (f) = ord (afi1... /?) = р'НОК (ord (/,), ..., ord (/*))>
" Зак. 222
114 Гл. 3, Многочлены над конечными полями
где t — наименьшее целое число, удовлетворяющее неравенству
р* > шах \пг, .,,, пк\. ;
Один из методов определения порядка неприводимого много-.
члена / из Fg [х], удовлетворяющего условию / @) Ф 0, основан.
на том факте, что порядок е многочлена / является наименьшим
натуральным числом, удовлетворяющим сравнению
хе = I (mod f (x)),.
Кроме того, согласно следствию 8,4, число е делит qm — 1, где
т — степень многочлена /. Предполагая, что qm > 2, будем исхо-
исходить из разложения числа qm — 1 на простые сомножители:
/
Для каждого/, l-^/^s, найдем вычеты одночленов х ~~1"р)
по модулю / (х) (т. е. остатки при их делении на / (х)). Обычно это
делается перемножением подходящим образом выбранного набора
вычетов по модулю / (х) степеней х, х", хч\ ..,, &т~Л переменной ж.
При этом, если окажется, что х ~^'pj ф\ (mod / (ж)), то число е
делится на p/J, а если x^~"!'^pJ = 1 (mod / (х)), то число е не де-
делится на pi*. В последнем случае мы выясняем, будет ли число е
Г—1 г, -2
делиться на pf , pf , ,,,, pi, вычисляя соответственно вычеты
по модулю / (х) следующих степеней переменной х:
or-i)tf у-Щ ur-i)/q
Такой подсчет проводится для каждого простого делителя pj
числа (f* — 1, и в итоге находится число е = ord (/).
Ключевым моментом указанного метода является разложение
на простые сомножители натурального числа qm — 1. Составлены
обширные таблицы для полного разложения чисел такого вида,
особенно для случая q = 2.
Существует связь между порядками некоторых многочленов,
которые можно получать друг из друга простыми алгебраиче-
алгебраическими преобразованиями. Типичным примером может служить
следующее преобразование.
3.12. Определение. Пусть дан многочлен
/ (х) = апхп + ап j*"-' + • • • + atx + % € Fe M
с ап Ф 0. Тогда возвратный (или двойственный) к нему многочлен
/* определяется так:
/• (X) = Xnf (-i) =
§ I. Порядки многочленов и примитивные многочлены 115
3.13. Теорема. Пусть f — ненулевой многочлен из fq [х]
и f* —возвратный к нему многочлен. Тогда ord (/*) = ord (/).
Доказательство. Сначала рассмотрим случай / @) ф 0. Тогда
утверждение вытекает из того факта, что многочлен / (х) делит
хе — 1 в том и только том случае, если многочлен /* (х) делит
хе — 1. Если же / @) = 0, то запишем / (х) = xhg (x), где h ?
?; IN , g 6 fq [*1 и 8 @) Ф 0. Тогда из ранее доказанного и из
определения порядка следует, что ord (/) = ord (g) — ord (g*) =
= ord (/*), где последнее равенство вытекает из равенства g* =
= f*. П
Имеется также тесная взаимосвязь между порядками много-
многочленов f (х) и / (—х). Поскольку для поля характеристики 2
имеем / (—х) = / (х), то достаточно рассмотреть лишь поля не-
нечетной характеристики.
3.14. Теорема. Для нечетного q пусть f ? Fqlx]—много-
Fqlx]—многочлен положительной степени, такой, что / @) Ф 0, и пусть е
и Е — соответственно порядки многочленов f (х) и f (—х). Тогда
Е — е, если е делится на 4, и Е = 2е, если е нечетно. Если же
е == 2Л, где h нечетно, то Е = е/2 в случае, когда все неприводимые
делители многочлена f имеют четный порядок, и Е = е в против-
противном случае.
Доказательство. Так как ord (/) = е, то многочлен / (х) делит
х2е — 1, а значит, многочлен / (—х) делит (—хJе — 1 = х2е — 1.
Поэтому число Е делит 2е (согласно лемме 3.6). Аналогично по-
показывается, что число е делит 2Е. Отсюда заключаем, что Е может
быть лишь одним из трех чисел: 2е, е или е/2. Если число е делится
на 4, то оба числа е и Е четны. Поскольку / (х) делит хе — 1,
f (~-х) делит (—х)е — 1 = хе — 1, так что Е делит е. Аналогично
показывается, что е делит Е, значит, Е — е. Если число е нечетно,
то многочлен / (—х) делит (—х)е — 1 = —хе — 1, а значит, делит
хе ~Ь 1. Но тогда / (—х) не может делить хе — 1 и потому выпол-
выполняется равенство Е = 2е.
Остается разобрать случай е — 2h, где h нечетно. Пусть много-
многочлен / является степенью неприводимого многочлена из Fq [x].
Тогда / (х) делит произведение (хн — 1) (xh + 1), но не делит
1, так как ord (/) = 2Л. Поскольку многочлены хн — 1 и
х'1 -f 1 взаимно просты, то / (ж) делит xh -\- 1. Значит, / (—х)
Делит многочлен (—x)h -\- 1 = —xh -4- 1, а следовательно, и хн— 1.
Это означает, что Е = е/2. Заметим, что по теореме 3.8 многочлен,
являющийся степенью неприводимого многочлена, имеет четный
порядок в том и только том случае, если сам неприводимый много-
многочлен имеет четный порядок (напоминаем, что характеристика
поля fq предполагается нечетной).
х-
116 Гл, 3. Многочлены над конечными полями
В общем случае пусть многочлен / имеет разложение / = /i ... Д,
где /,- = gi', bt ? IN, 1 < i < k, и gi, ..., gk — различные непри-
неприводимые многочлены из fq [x]. Поскольку многочлены Д, ...,fh-
попарно взаимно просты, то по теореме 3.9 имеем 2& -
= НОК (ord (Д), ..., ord ifh))- Это значит, что многочлены /{
можно так перенумеровать, чтобы ord (/,¦ (х)) — 2&,- для 1 ¦__
< i < / и ord (ft (x)) = hi для / + 1 < i < k, где все числа h-,
нечётны и НОК (ht, .... hh) = ft. На основании ранее доказанного
имеем ord (/, (—х)) = ht для 1 < i < / и ord (/, (—х)) = 2ht для
/ + 1 •< i < k. Поэтому в силу теоремы 3.9 получаем
Е = НОК (Al ..., hh 2hUl, .... 2Aft),
так что Е = h = е/2, если j = k, и Е = 2h = е, если / < Л.
Это доказывает последнюю часть теоремы. ;.]
Из леммы 3.1 и определения 3.2 вытекает, что порядок много-
многочлена степени т ^ 1 над fq не превосходит числа qm — 1. Ука-
Указанная граница достигается для важного класса многочленов,
а именно для примитивных многочленов. Определение примитив-
примитивного многочлена опирается на введенное в определении 2.9 понятие
примитивного элемента.
3.15. Определение. Многочлен / ? fq [x] степени т^\ на-
называется примитивным многочленом над полем fq, если он яв-
является минимальным многочленом над fq некоторого примитив-
примитивного элемента расширения F т поля fq.
' Таким образом, примитивный многочлен над Fq степени т —
это нормированный многочлен, который неприводим над '}',
и имеет корень а ? Fqm, который является образующим мульти-
мультипликативной группы рот поля F^. Примитивные многочлены
над Fq можно охарактеризовать еще так:
3.16. Теорема. Многочлен f ? Fq [x] степени т является
примитивным многочленом над F, в том и только том случае,
если он — нормированный многочлен, такой, что f @) ф 0 и
ord(/) = цт — 1.
Доказательство, Если / — примитивный многочлен над fq,
то он — нормированный многочлен, удовлетворяющий условию
f @) Ф 0. Поскольку / неприводим над Fg, то из теоремы 3.3
и того факта, что его корнем является примитивный элемент
расширения Fgm поля Fg, следует, что ord (/) = qm — 1.
Обратно, из условия ord (/) = цт — 1 следует, что т ^> 1 •
Далее, мы утверждаем, что многочлен / неприводим над F^-
Допустим, что он приводим над Fg. Тогда либо / является сте-
степенью некоторого неприводимого многочлена, либо он может бить
представлен в виде произведения двух взаимно простых много-
§ 1. Порядки многочленов и примитивные многочлены 11?
членов положительной степени. В первом случае пусть / = g6,
где многочлен g. ? Fq [х] неприводим над Тд, g @) Ф 0 и Ь $» 2.
Тогда в силу тефемы 3.8 порядок многочлена / должен делиться
на характеристику поля fq, но qm — 1 не делится на нее, и мы
получаем противоречие. Во втором случае пусть / = gtg2, где gt
и g2 — взаимно простые многочлены из Fq [x] положительных
степеней тг и тг соответственно. Если et = ord (gi), i = 1,2,
то по теореме 3.9 имеем ord (/) < еге%. Кроме того, в силу леммы 3.1
et < Я™1 — 1, t = 1, 2, так что
)<(<7m' — l)(qm* - l)<qm*+m> — \=qm—\,
и вновь приходим к противоречию. Следовательно, многочлен /
иеприводим над fq, и тогда из теоремы 3.3 и нормированное™ /
мы заключаем, что / — примитивный многочлен над f q. ?
Заметим, что требование / @) Ф 0 понадобилось лишь, чтобы
исключить случай неприводимого многочлена f (х) = х при q = 2
и m — 1. Другая характеризация примитивных многочленов
опирается на следующий вспомогательный результат.
3.17. Лемма. Пусть f ? fq [x\ — многочлен положительной
степени, удовлетворяющий условию f @) ф 0. Пусть г — наи-
наименьшее натуральное число, для которого степень хТ переменной х
сравнима по модулю f (x) с некоторым элементом из поля fq,
т. е. xr = a (mod / (*)), где элемент а ? FJ однозначно определен.
Тогда ord (/) = hr, где h — порядок элемента а в мультиплика-
мультипликативной группе FJ поля ?v.
Доказательство. Положим е = ord (/). Так как хе =
= 1 (mod / (х)), то мы получаем, что е ^> г. Поэтому можно напи-
написать е = sr + t, где s ( N и 0 < / < г. Тогда
1 = хе = xsr+f = asxl (mod / (*)), ¦¦ C.1)'
так что х* = a~s (mod / (х)), и потому в соответствии с определе-
определением числа г получаем, что / = 0. Из сравнения C.1) тогда видно,
что as = 1 (mod / (х)), т. е. as = 1, и потому s > h и e^-hr.
С другой стороны, xhr = ah = 1 (mod / (ж)), так что &г > е. Зна-
Значит, е -= hr. ?
3.18. Теорема. Нормированный многочлен / ? Fq [ж] степени
?п ^> 1 является примитивным многочленом над полем fq в том
и только том случае, если (—\)т f @) — примитивный элемент
поля f q и наименьшим натуральным числом г, для которого сте-
степень хг переменной х сравнима по модулю f (x) с некоторым эле-
элементом поля fq, является
118 Гл. 3. Многочлены над конечными полями
Если f — примитивный многочлен над fq, то имеет место сравне-
сравнение
хГ = (-1)"/@) (mod/(*)).'
Доказательство. Если многочлен / примитивен над Fq, то f
имеет корень а ? Fqm, который является примитивным элементом
поля Fgm. Вычислив норму Np m,f (ос) с помощью определения
2.27 и равенства B.3) и замечая, что / — характеристический
многочлен элемента а над полем fq, мы приходим к равенству
". C.2)
Из него вытекает, что порядок элемента (—\)т f @) в группе FJ
равен q — 1, т. е. (—\)т f @) — примитивный элемент поля \'ч.
Так как / — минимальный многочлен элемента а над полем f,,,
то из теоремы 1.82 (и) и равенства C.2) следует, что
так что г < (qm — l)/(q — 1) Но из теоремы 3.16 и леммы 3.17
следует, что qm — 1 = ord (/) -< (q — 1) г, так что г > (q™ —
- \)l(q - 1). Значит, г = (<Г -\)l(q - 1).
Обратно, допустим, что условия теоремы выполнены. Из
равенства г = (qm — 1 )/(<?'— 1) и леммы 3.17 тогда следует, что
числа ord (/) и q взаимно просты. Из теоремы 3.11 в таком случае
получаем, что многочлен / разлагается в произведение / = /i ... /а
различных нормированных неприводимых над fq многочленов
flt .... /ft. Если mt = deg {ft), то ord (/,-) делит qm' — 1, 1 < i < k
(на основании следствия 3.4). Поскольку qmi — 1 делит число
то число ord (ft) делит d, I < i < k. Из леммы 3.6 следует, что
ft (х) делит хй — 1 для 1 < t .<^, так что многочлен / (х) делит
Xй — 1. Если k > 2, то
d < (qmi+--+mh - \)l(q - 1) = (<f* - \)!(q - 1) = r,
что противоречит определению числа г. Таким образом, k = 1
и многочлен / неприводим над Fq. Если |J ? fqm — корень много-
многочлена /, то рассуждение, аналогичное приводящему к C.2),
приведет к тому, что (Jr = (—\)т f @), так что хТ i-
= (—l)m / @) (mod f (x)). А поскольку порядок элемента
(—l)m / @) в группе f*q равен q — 1, то из леммы 3.17 вытекает,
что ord (/) = qm — 1, так что в соответствии с теоремой 3.16
/ является примитивным многочленом над fq. []
3.19. Пример. Рассмотрим многочлен / (х) = х* + х3 + х* Н-
+ 2х + 2 ^ F3 [x]. Так как / неприводим над полем F,, то,
§ 2. Неприводимые многочлены 119
применяя метод, изложенный после теоремы 3.11, получим, что
ord (/) = З4 — 1 = 80. Следовательно, / — примитивный много-
многочлен над F8 (по теореме 3.16). В соответствии с теоремой 3.18
Xю = 2 (mod/(ж)). ?
§ 2. Неприводимые многочлены
Напомним, что многочлен / ? Fg [x ] неприводим над полем Fg,
если он имеет положительную степень и любое его разложение
на множители в кольце fq lx] обязательно содержит постоянный
многочлен (см. определение 1.57). Простейшие свойства непри-
неприводимых многочленов были рассмотрены в § 2 гл. 2.
3.20. Теорема. Для каждого конечного поля fq и каждого
я ? IN произведение всех нормированных неприводимых много-
многочленов над Fq, степень которых делит п, равно х*п — х.
Доказательство. По лемме 2.13 каноническое разложение
многочлена g (x) = xf — х в кольце fq [x] содержит те и только
те нормированные неприводимые многочлены над Fq, степень
которых делит число п. Так как g' (х) = —1, то из теоремы 1.68
вытекает, что многочлен g в его поле разложения над Fg не имеет
кратных корней, так что каждый нормированный неприводимый
многочлен над fqt степень которого делит п, встретится в канони-
каноническом разложении многочлена g в кольце fq [x] ровно один раз.
D
3.21. Следствие. Если Ng(d) — число нормированных непри-
неприводимых многочленов из fq\x\ степени d, то
qn = 2 dNq (d) для всех п ? N, C.3)
где сумма берется по всем положительным делителям d чис-
числа п.
Доказательство. Тождество C.3) получается из теоремы 3.20
сопоставлением степени многочлена g (х) = х?" — х с полной сте-
степенью канонического разложения многочлена g (x) на неприводи-
неприводимые сомножители. ?
Используя элементарные сведения из теории чисел, мы можем
получить из формулы C.3) точную формулу для числа нормиро-
нормированных неприводимых многочленов фиксированной степени из
кольца Fg lx]. Для этого потребуется одна арифметическая
Функция, называемая функцией Мёбиуса, которая определяется
так:
120 Гл. 3, Многочлены над конечными полями
3.22, Определение. Функцией Мёбиуса называется функция ц
на множестве IN, определяемая равенствами
1, если я = 1,
(—1)*, если п — произведение k различных простых
(Л) =
чисел,
0, если я делится на квадрат некоторого про-
простого числа.
Когда в формуле (8,3) мы использовали символ суммирова-
суммирования 2» это означало, что сумма распространяется на все положи-
положили
тельные делители d числа я 6 IN, Удобно использовать анало-
аналогичный символ и для произведения: П.
d\n
3.23. Лемма. Для п ? N функция Мёбиуса удовлетворяет
соотношению
_ 11, если я = 1,
d\n [О, если я > 1.
Доказательство, Для я > 1 мы должны принимать во внима-
внимание лишь те положительные делители d числа я, для которых
ji Щ Ф 0» т. е. для которых или d = 1, или d является произве-
произведением различных простых чисел. Таким образом, если plt ,,,, ph —
различные простые делители числа я, то
k
d\n i=l l<i,<i,<ft
• • • + Ил ••¦ Ph) =
i/ ¦ \i/ \n;
Случай же п — 1 тривиален. ?
3.24. Теорма ((|юрмула обращения Мёбиуса).
(i) Аддитивный вариант. Пусть h и Н — две функции из
множества Ы натуральных чисел в некоторую абелеву группу G
с аддитивной записью. Тогда равенство
Н (я) = Б А (Ф для всех я ? N C.4)
d\n
выполняется в том и только том случае, если выполняется ра-
равенство
ЕШЕ()Ш длявсех п
d\n d\n
C.5)
§ 2. Неприводимые многочлены 121
(ii) Мультипликативный вариант. Пусть h и Н — две функции
из множества N натуральных чисел в некоторую абелеву группу Q
с мультипликативной записью. Тогда равенство
Н (п) = Uh (d) для всех п ? N C.6)
d | п
выполняется в том и только том случае, если выполняется ра-
равенство
п(п)= ][ Я (d)M"/d> = ПЯAг)М'0 для всех п ? N.
d \n d\n
C.7)
Доказательство. Предполагая выполненным равенство C.4)
и используя лемму 3.23, получим
d\n d\n d\n I n_
| d
с \n In
d I —
I c
для всех п ? N. Обратное утверждение доказывается аналогично.
Доказательство части (ii) сразу же получается из доказательства
части (i) заменой сумм произведениями, а кратных — степенями.П
3.25. Теорема. Число Ng (п) нормированных неприводимых мно-
многочленов степени п в кольце Fg [x] задается формулой
di d|
Доказательство. Применим аддитивный вариант формулы обра-
обращения Мёбиуса к группе G = Z — аддитивной группе целых
чисел. Пусть h (п) = nNq (п) и Н (п) = qn для всех п ? N. Тогда
формула C.4) справедлива ввиду равенства C.3), и из C.5) полу-
получаем требуемую формулу. ?
3.26. Пример. Число нормированных неприводимых много-
многочленов степени 20 в кольце fq [x] равно
Nq B0) = -1- Ut A) <f + |х B) <?"• + V D) <?5 + |x E) ф +
п
122 Гл. 3. Многочлены над конечными полями
Следует отметить, что из формулы теоремы 8.25 можно полу-
получить еще одно доказательство существования хотя бы одного
неприводимого многочлена степени я в кольце Fg l*] для любого
я С N и любого конечного поля ТС} (ср. со следствием 2.11),
А именно, учитывая, что ц A) = 1 и fi (d) I> —1 для всех d ? IN,
получаем
Nq (n) > -i- («f - r~l - чп~2 - • ¦ • - ч) = Mf - т=т) > °-
В качестве другого применения формулы обращения Мёбиуса
получим явную формулу для я-кругового многочлена Qn (x).
8.27. Теорема. Для поля К характеристики р и натурального
числа п, не делящегося на р, п-круговой многочлен Qn (x) над /С
задается формулой
Qn (х) = П (xd - i)»1 <"/rf) = П (xn'd -- 1)" W.
d\n din
Доказательство. Применим мультипликативный вариант
формулы обращения Мёбиуса к мультипликативной группе О
ненулевых рациональных функций над полем К- Пусть h (n) —
— Qn (х) и Н («) = дг" — 1 для всех я ? N. Тогда из теоремы
2.45 (i) вытекает справедливость формулы C,6), а из C.7) полу-
получаем требуемый результат. П ^
3.28. Пример. Для полей К, для которых определен круговой
многочлен Qn, получаем
d | 12
(д-12 ]\ц (I) /дЛ JW B) /^4 |W C) /дЛ jw D) .
, /д.2 J\(i F) /д- ]Ш A2) _-
/ ri2 i \ / ra i \ *
^1 ^_?_j L^, — v* y® -J~~ 1 I]
Явную формулу из теоремы 3,27 можно использовать для
вывода основных свойств круговых многочленов (ср. с упр. 3.35).
В теореме 3.25 мы определили число нормированных непри-
неприводимых многочленов данной степени л в кольце Fq [x]. Теперь
получим формулу для произведения всех нормированных непри*
водимых многочленов данной степени п из кольца F4 lx].
8.29. Теорема, Произведение I (q, n; х) всех нормированных
неприводимых многочленов степени п из кольца fq lx] задается
формулой
1 (q, я; х) = П (xid - хI1 (пт *= П (xf/d - xf {dl
d\n din
§ 2, Неприводимые многочлены 123
Доказательство, Из теоремы 3.20 следует, что
х?" — х = П I (q,d; x).
d\ n
Применяя теперь мультипликативный вариант формулы обраще-
обращения Мёбиуса к мультипликативной группе О ненулевых раци-
рациональных функций над полем Fq и полагая h (п) = I (q, п; х)
и Я (п) = х*" — х для всех п С IN, мы получим требуемую фор-
формулу. ' ?
3.30. Пример. Для q = 2, п = 4 получаем
/ B, 4; х) = (хп - х)» I') (ж* — х)» <2> (г8 - жр '4> =
_ х16 — X _ Xй ~ 1 _
^ л* — л: ~ х8— 1 ~
= х™ + хв + хв + Xs + 1. D
Все нормированные неприводимые многочлены степени л нз
F,, [ж] можно найти, разлагая на множители многочлен / (q, n; х).
В этой связи было бы полезно представить / (q, n; x) в частично
разложенном виде. Это достигается с помощью следующей тео-
теоремы.
3.31. Теорема. Пусть I (q, n; х) то же, что и в теореме 3.29.
Тогда для натурального числа п > 1 имеет место формула
I (q, n; х) = П Qm (x), C.8)
т
где Qm (х) есть т-круговой многочлен над Fg и произведение бе-
берется по всем натуральным делителям т числа qn — 1, для кото-
которых п является показателем, которому принадлежит число q
по модулю т.
Доказательство. Для п > 1 пусть S — множество элементов
поля Fqn, которые имеют степень п над полем Fq. Тогда каждый
элемент а ? S имеет минимальный многочлен степени п над Fg
и, таким образом, является корнем многочлена / (q, п; х). С дру-
другой стороны, если |J — корень многочлена / (q, n; х), то он в то
же время является корнем некоторого нормированного непри-
неприводимого многочлена степени п из F, U1, а это значит, что (J ?
€ 5. Поэтому
/ (q, п; х) = П (х — а).
Если а ? 5, то а ? f*n, и, значит, порядок элемента а в этой
мультипликативной группе делит число qn — 1. Заметим, что
элемент у ? f*n является элементом какого-нибудь собственного
подполя fqd поля Fqn в том и только том случае, если y>d = у,
124 Гл. 3. Многочлены над конечными полями
т. е. если порядок элемента у делит число qd — 1. Поэтому поря-
порядок т элемента а из S должен быть таким, чтобы п было наимень-
наименьшим натуральным числом, таким, что qn = 1 (mod m), т. е, чтобы
п было показателем, которому принадлежит д по модулю т. Для
положительного делителя т числа q" — 1с таким свойством пусть
Sm будет множеством элементов порядка т из S. Тогда S является
объединением непересекающихся подмножеств Sm, так что можно
написать
/ (д, п; х) = П П (х — а).
ma€sm
Множество Sm состоит из всех элементов группы F*,t, имеющих
порядок т. Другими словами, Sm — множество первообразных
корней т-м степени из единицы над f'q. Тогда из определения
круговых многочленов (см, определение 2.44) следует, что
П (х — а) --= Qm (х),
a€'sm
и тем самым формула C,8) установлена, Q
8.82. Пример. Найдем все (нормированные) неприводимые мно-
многочлены степени 4 из кольца р2 [х]. Из равенства C.8) следует,
что / B, 4; х) = Q6 (x) Q15 (x). На основании теоремы 2.47 (и)
круговой многочлен Q5 (х) = хл + х3 -f хг + х -f 1 неприводим
в F2 Iх)- По той же теореме круговой многочлен Q15 (x) разла-
разлагается в произведение двух неприводимых многочленов из f2 lx]
степени 4. Поскольку Q5 (х + 1) = х* + х3 + 1 —• неприводимый
многочлен из F2 lx], этот многочлен должен делить Q15 (x), так
что
Q15 (х) = Xя + ^7 4- х5 + ж4 + х3 + х + 1 =
= (х* + ж1 + !) (^4 + х + 1).
Поэтому неприводимыми многочленами степени 4 из f\, [x] яв-
являются х* + х1 + хш + х + 1, х* + ^3 + 1 и х4 + * + 1
и только они. D
Неприводимые многочлены часто возникают как минимальные
многочлены элементов какого-нибудь расширения поля. Мини-
Минимальные многочлены были введены определением 1.81, а их основ-
основные свойства были установлены теоремой 1,82. Теперь примени-
применительно к конечным нолям мы отметим наиболее полезные факты
о минимальных многочленах.
3.83. Теорема. Пусть а — некоторый элемент из расширения
fqm поля fq, и пусть d — степень элемента а над fq, a g 6
q lx] —минимальный многочлен элемента а над [рд. Тогда.
(i) Многочлен g неприводим над fq, и его степень d делит
число т.
(
§ 3. Построение неприводимых многочленов 125
(И) Многочлен f ? fq [х] удовлетворяет условию f (a) = О
тогда и только тогда, когда многочлен g делит f.
(iii) Если f — нормированный неприводимый многочлен из
fq [х], такой, что f (а) = 0,' то f = g.
(iv) g (x) делит многочлены хча — х и хРт — х.
(v) Корнями многочлена g (х) являются элементы а, а,ч, ...
,.., aid~l, причем g (x)—минимальный многочлен над Fg каждого
из этих элементов.
(vi) Если афО, то порядок многочлена g равен порядку
элемента а в мультипликативной группе f*m поля f m.
(vii) g является примитивным многочленом над полем fq
тогда и только тогда, когда порядок элемента а в группе f*n
равен qd — 1.
Доказательство, (i) Первая часть вытекает из теоремы 1.82 (i),
а вторая — из теоремы 1.86.
(И) Это утверждение следует из теоремы 1.82 (ii).
(iii) Это утверждение сразу вытекает из (ii).
(iv) Это утверждение следует из (i) и леммы 2.13.
(v) Первая часть утверждения вытекает из (i) и теоремы
2.14, а вторая — из (iii).
(vi) Так как а ^ F*a, a F*<* — подгруппа группы Т*т, то
утверждение вытекает из теоремы 3.3.
(vii) Если g — примитивный элемент над F9, то ord (g) =
— qd — \t так что порядок элемента а в группе f*n равен qd — 1
в силу (vi). Обратно, если а — элемент порядка qd — 1 в группе
ff*m, а значит, и в f*d, то а — примитивный элемент поля F <г,
а следовательно, g — примитивный многочлен над fq согласно
определению 3.15. ?
§ 3. Построение неприводимых многочленов
Сначала мы опишем общий принцип получения новых непри-
неприводимых многочленов на основе известных. Этот метод опирается
на один вспомогательный теоретико-числовой результат. На-
Напомним, что если п — натуральное число и b — целое взаимно
простое с п число, то наименьшее натуральное число k, такое, что
bk = 1 (mod n),
называется показателем, которому принадлежит число b no мо-
модулю п. Заметим, что этот показатель делит любое другое нату-
натуральное число h, такое, что bh = I (mod «).
3.34. Лемма. Пусть s^-2 и е^2 — взаимно простые целые
числа, и пусть т — показатель, которому принадлежит число $
126 Гл, 3. Многочлены над конечными полями
по модулю е. Пусть, далее, t ;> 2 — целое число, простые делители '
которого делят е, но не делят (sm — 1)/е. Пусть, наконец, sm ~
=- 1 (mod 4), когда I кратно четырем. Тогда показатель, которому >
принадлежит число s по модулю et, равен mi, }
Доказательство, Применим индукцию по числу простых дели-.{
телей числа t, считая каждый делитель с его кратностью. Сначала
пусть t будет простым числом. Полагая d — (sm — \)!е, получим
sm _ ] _|_ ^ так что
$mt = A + deI =
В последнем выражении каждый член, кроме, первого и послед-
последнего, делится на et в силу свойства биномиальных коэффициентов,
указанного в доказательстве теоремы 1.46, Но и последний член
тоже делится на et, так как t делит е. Поэтому smt = 1 (mod et),
и, значит, показатель k, которому принадлежит число s по мо-
модулю et, делит mi. По определению показателя k s* = 1 (mod et),
так что s* = 1 (mod e), а отсюда по определению числа т полу-
получаем, что k делится на т. Поскольку / — простое число, делящее в,
то число k может быть равно лишь т или пй. Если k = m, то
$т = 1 (mod et), откуда sm — 1 = de = 0 (mod et), и, следова-
следовательно, t должно делить d, что невозможно. Значит, остается
единственная возможность k — mi.
Теперь предположим, что число i имеет по крайней мере два
простых делителя, и запишем / = ri0, где г — простой делитель
числа I. Подсказанному выше показатель, которому принадлежит
число s по модулю ег, равен тт. Если мы докажем, что каждый
простой делитель числа t0 делит ег, но не делит d0 = (smr — l)'er,
то из предположения индукции, примененного к /0, получим, что
показатель, которому принадлежит число s по модулю ert0 = et,
равен mrt0 = mi. Пусть г0 — простой делитель числа t0. По-
Поскольку каждый простой делитель числа / делит е, то, очевидно,
г0 делит ег. Снова запишем d т=- (sm — \Iе. Имеем smr — 1 ¦=
¦¦= с (sm — 1), где с = sm <r^!> -f ... + sm + i, так что d0 ¦=¦¦ с (s"' —
— 1I ег ¦= cdlr. Далее, так как sm = 1 (mod ё) и г делит е, то
г—1
sm ~ 1 (mod г), так что с = 1] sm?s; 0 (mod г). Таким образом,
»=о
с/г — целое число. Поскольку число г0 не делит d, то, чтобы дока-
доказать, что г0 не делит d0 = cdlr, достаточно показать, что г0 не
делит dr. Заметим, что sm = 1 (mod г0), так что с -=. г (mod ru).
Если г0 Ф г, то с/г = 1 (mod г0), и, значит, г0 не делит с/г. Теперь
пусть г0 — г. Тогда sf" = 1 -f br (mod r%) для некоторого b ? Z,
§ 3. Построение неприводимых многочленов 127
откуда sm' = A + br)i = 1 -f jbr (mod г2) для всех / > 0, и,
таким образом,
г—1
Это значит, что
^] = r + 6r ^=i-}(modr2).
/=о
Если г нечетно, то с/г = 1 (mod г), так что г0 = г не делит с/г.
Остается рассмотреть лишь случай г0 = г = 2. Тогда ^ кратно
четырем, и, значит, s = I (mod 4) по предположению. Так как
в этом случае с = s + 1, то мы получаем с = 2 (mod 4), а сле-
следовательно, с/г = с/2 = 1 (mod 2). Это вновь означает, что г0
не делит с/г. ?
3,35. Теорема. Пусть fi (x) fN (х)— все различные норми-
нормированные неприводимые многочлены из f g [x ] степени т и порядка
е, и пусть t^-2 — некоторое целое число, простые делители кото-
которого делят ё, но не делят (qm — \Iе. Пусть, наконец, qm =
'= 1 (mod 4), если t кратно четырем. Тогда fi{xf), ...,/w(*')
представляют собой все различные нормированные неприводимые
многочлены из fq [x] степени mi и порядка et.
Доказательство. Из условия теоремы следует, что е^> 2.
В соответствии с теоремой 3.5 нормированный неприводимый мно-
многочлен степени т и порядка е$2 в кольце Fq lx] существует
лишь тогда, когда т является показателем, которому принадле-
принадлежит число q по модулю е, и в таком случае N = ц> (е)/т. По лемме
3.34 показатель, которому принадлежит число q по модулю et,
равен mi, и так как из формулы, указанной в упр. 1.4 (с), вы-
вытекает, что ф (et)lmt — ф (е)/пг, то число нормированных непри-
неприводимых многочленов степени mt и порядка et в кольце fq [x]
тоже равно N. Поэтому остается показать, что каждый из много-
многочленов fj (х*), 1 -<! / <J N, неприводим в F9 U1 и имеет поря-
порядок et. Так как корни каждого многочлена /,- (х) являются перво-
первообразными корнями степени е из единицы над fq (по теореме 3.3)
то fj (x) делит круговой многочлен Qe (x) над Fq. Но тогда много-
многочлен /у (х() делит Qe (x*), и повторное использование свойства,
указанного в упр. 2.57(Ь), приводит к равенству Qe (х') = Qet (x).
Таким образом, многочлен /у (х*) делит Qet (х). По теореме 2.47(и)
степень каждого неприводимого делителя многочлена Q^ (x)
в Fg lx] равна показателю, которому принадлежит q по модулю et.
Этот показатель равен mt. Так как многочлен // {х') имеет сте-
степень mt, то он неприводим в кольце fq [x]. Кроме того, по-
поскольку fj {x() делит Qet (x), то порядок многочлена fj (xf) ра-
равен et. ?
128 Гл. 3. Многочлены над конечными полями
3.36, Пример. Неприводимыми многочленами степени 4 и но- j
рядка 15 в кольце F2 lx] являются х* + х + 1 и х* + xs -f 1,1
Поэтому по теореме 3.35 неприводимыми многочленами в F2 lx]i
степени 12 и порядка 45 являются xVi + х3 -f- 1 и хп -+ *•* + 1.J
А неприводимыми многочленами в F2 lx] степени 60 и порядка 2251
являются ж60 + х15 + 1 и хв0 + х45 + 1. Неприводимыми много-"
членами в Т2 lx] степени 100 и порядка 375 являются хш -f
+¦ х25 -f 1 и xlM + ж'5 + 1. ?
Случай t = 0 (mod 4) и qm -:-. 3 (mod 4) не охватывается тео-
теоремой 3.35. Здесь должно быть q = 3 (mod 4) и нечетное т. Ре-
Результат, относящийся к этому случаю, сложнее, чем теорема 3.35.
8.37. Теорема. Пусть Д (х), ..., fN (х) — все различные норми-
нормированные неприводимые многочлены из '?q lx ] нечетной степени т
и порядка е. Пусть q — 2аи — \ и t = 2bv, где а и Ь ^> 2 — целые,
а и, v — нечетные числа и при этом все простые делители числа t
делят е, но не делят {qm — i)le. Пусть k — наименьшее из чи-
чисел а и Ь. Тогда каждый из многочленов fj (xf) разлагается в произ-
произведение 2*-1 нормированных неприводимых многочленов gtj (x)
из Tq lx] степени tnt2l~k. Указанными 2*~~' N многочленамиgtj (x)
исчерпываются все различные нормированные неприводимые много-
члены из fq lx] степени mt2i~k и порядка е(.
Доказательство. Если v J> 3, то из теоремы 3.35 следует, что
/х (хс), ..., fN (xv) — все различные нормированные неприводимые
многочлены из Fq lx] нечетной степени mv и порядка ev. Таким
образом, мы сводим вопрос к рассмотрению лишь одного случая
t= 2b.
Итак, пусть t = 2Ь. Заметим, что здесь точно так же, как
и в доказательстве теоремы 3.35, устанавливается, что т — пока-
показатель, которому принадлежит число q по модулю е, N = ф (ёIт
и каждый многочлен fj(xr) делит Qet(x). По теореме 2.47 (Н)
круговой многочлен Qe< (x) разлагается в произведение различ-
различных нормированных неприводимых многочленов из fq lx ] сте-
степени d, где d — показатель, которому принадлежит число q
по модулю et. Так как qd = 1 (mod et), то qd ¦= 1 (mod e) и, зна-
значит, m делит d. Рассмотрим сначала случай а 1]>- Ь. Тогда q2m —
— 1 = (qm — 1) (qm -{- 1), и первый сомножитель делится на е,
а второй делится на t, поскольку из q = —1 (mod 2°) следует
q B? — 1 (mod t), так что q'n = (~-l)m = — 1 (mod /). Таким
образом, q2m = 1 (mod el), поэтому число d может быть равгю
только т или 2т. Если d = т, то qm = 1 ((mod et), откуда qm s
= 1 (mod t), что невозможно. Таким образом, d = 2т = m2b~~k'+h
так как в этом случае k = b.
§ 3. Построение неприводимых миогочлёнов 129
Теперь рассмотрим случай а < Ь. Индукцией по Л доказываем,
что для всех h ? N
C.9)
где до — нечетное число. Для Л = 1 получаем
q** = Bаи - \fn =
= 1 — 2a+lum + V С2ms| (— IJ"»-" 2nau" =
= 1 + ш2а+> (mod 2fl+2),
где ш = —ит. Если C.9) выполнено для некоторого Л ? IN,
то для некоторого с ? Z
^ | \- c2a+h+Y-
Это значит, что
qm*+l = A + ^2a+ft + c2a+H+1J = 1 + ш2а+й+' (mod 2a+h+2),
и, таким образом, доказательство формулы C.9) завершено.
Полагая в C.9) А = Ъ — а+ 1, получим, что ^т2ь~а+1 =
1 (mod 2Ь+'). Кроме того, из qm = 1 (mod e) следует qm2b~a+l =
I (mod е) и, значит, ^»2*-в+| ее 1 (mod L), где L = НОК B*+t, e).
Здесь число е четно, поскольку все простые делители числа t
делят е, однако е ф. О (mod 4), так как qm = 1 (mod e) и qm =
3 (mod 4). Поэтому L = e2b = et, и, значит, ^»2*-°+1 =
: 1 (mod е^). С другой стороны, полагая в C.9) h = Ь — а,
получаем
qm2b-4 = J _
откуда вытекает, что qm>lh~a =?= 1 (mod et). Следовательно, мы
должны иметь d = m2b~a+l = m2b—k+l, поскольку в этом случае
k — а. Поэтому формула d = m2b-'i+i = tnt2l-k справедлива
в обоих случаях.
Так как круговой многочлен Qet (x) разлагается в произведение
различных нормированных неприводимых многочленов из fq [x]
степени tnt2x~k, то и каждый многочлен fj (x1) разлагается в произ-
произведение таких многочленов. Сравнивая степени, получаем, что
число таких сомножителей равно 2fe~'. Поскольку каждый из
Указанных неприводимых сомножителей gtj (x) многочлена fj (x*)
делит Qet (x), то каждый многочлен gtj (x) имеет порядок et. Много-
Многочлены^ (х) с различными наборами индексов (i, /), 1 -< i < 2k~l,
' ^ / <^ Л^. различны, так как в противном случае один такой
многочлен, скажем g (х), делил бы многочлены //, (х() и //„ (х(),
130 Гл. 3. Многочлены над конечными полями
где /| ф |2, и тогда для любого корня р многочлена g (x) степень р<
была бы общим корнем многочленов //, (х) и //2 (х), что невоз-
невозможно. По теореме 3.5 число нормированных неприводимых много-
многочленов степени nit'I1^'" и порядка с( в кольце fq [ж] равно
<р {et)lmt2x~k = 2к~1(р (efji'mi ^ 2*-'ф (e)lm = 2*-1 N, и, следова-
следовательно, многочленами gtj (х) исчерпываются все такие много-
многочлены. Q
Теперь мы покажем, как из данного неприводимого много-
многочлена порядка с получить все неприводимые многочлены, порядки
которых делят с. Поскольку в их число обязательно войдет не-
неприводимый многочлен g (х) ~ х, то мы будем рассматривать
лишь те неприводимые многочлены g, для которых g @) Ф 0.
Пусть / — нормированный неприводимый многочлен из fq \x\
степени т и порядка е, такой, что / @) -ф 0. Пусть ct ? Fqm —
некоторый корень многочлена /, и для каждого t ? N пусть
gt € (Fg Ь — минимальный многочлен элемента ос' над (Fg,
Пусть Т --= \Ji, .... in} — множество натуральных чисел, таких,
что для каждого i ? N существует однозначно определенный
индекс I, 1 % 1 •< tt такой, что / 'z ijCf (mod e) для некоторого
целого числа b .> 0. Такое множество Т можно, например, по- '
строить следующим образом. Положим tt — 1, и, когда уже
построены ik, ..., tj_i, пусть tj будет наименьшим натуральным
числом, для которого tj =& ti'-f (mod е) при 1 -^ i < / и всех
целых Ь ^> 0. Эта процедура закончится через конечное число
шагов.
При введенных выше обозначениях получаем следующий об-
общий результат.
3,38. Теорема. Многочленами giv ..., gtn исчерпываются -ъу
различные нормированные неприводимые многочлены из fq h'l.
порядки которых делят число е, а постоянные члены отли <ны
от нуля.
Доказательство. Каждый многочлен gt. по определению нор-;
мирован и ненриводим в кольце f'q \x\ и удовлетворяет условию1,
gt. (()) ф 0. Кроме того, раз многочлен gti имеет корень а1*, поря-1
док которого в группе р*т делит порядок элемента а, то из тео-
теоремы 3.3 следует, что ord fe,-) делит е. :'
Пусть g — произвольный нормированный неприводимый много»
член из fq \х] порядка d, делящего е, такой, что g @) Ф 0. Если
Р -— какой-нибудь корень многочлена g, то из равенства prf — 1
следует, что ре =- 1, так что р — корень степени е из единицы
над (Fr Так как се — первообразный корень степени е из единицы
над Ро, то из теоремы 2.42 (i) получаем, что р = а' для некоторого
t ? Ш. Тогда из определения множества Т следует, что ( 55
§ 3. Построение неприводимых многочленов 131
ъз. hqh (mod ё) при некотором целом г, 1 -< i <; п, и целом Ь >- 0.
Поэтому р = af =(a^)?*. так что Р — корень многочлена gt?
(согласно теореме 2.14). А поскольку g— минимальный много-
многочлен элемента Р над fq, из теоремы 3.33 (iii) следует, что g = gt(.
Остается показать, что многочлены gt[, I ^ i -^ п, различны.
Допустим, что gt{ = gtj при i Ф /. Тогда at% и а> — корни много-
многочлена gti, так что а*з = (а^)?6 для некоторого Ь > 0. Отсюда
следует, что tj = ttqb (mod e), но так как, кроме того, t} =
= tjq° (mod e), то мы получаем противоречие с определением
множества Т. ?
Минимальный многочлен gt элемента а* ? fqm над Fg обычно
вычисляют с помощью характеристического многочлена ft этого
элемента надрд. Из рассуждения, следующего за определением
2,22, мы знаем, что ft = g^, где г = mlk и k —степень многочлена
gt. Поскольку многочлен gt неприводим в кольце Fg [x], число k
является показателем, которому принадлежит q по модулю d =
¦¦-- ord (gt); поэтому число d равно порядку элемента а* в группе
Рт, а этот порядок по теореме 1.15 (и) равен е/НОД (t, e). Зна-
Значит, число d, а также k и г можно легко определить.
Для вычисления характеристического многочлена ft элемента
а< € FgOT наД Fg существует несколько способов. Один из них
основан на использовании связи между многочленом ft и исход-
исходным многочленом /.
3.39. Теорема. Пусть f — нормированный неприводимый много-
многочлен степени т из fq [х]. Пусть а ? ?qm — какой-либо корень
этого многочлена, и для t ? Ы пусть ft — характеристический
многочлен элемента а* ? fqm над fq. Тогда
где <йь ..., щ — корни степени i из единицы над fq с учетом
их кратности.
Доказательство. Пусть a = аь а2) ¦¦•. ат — все корни много-
многочлена /. Тогда а{, ..., а« — корни многочлена ft с учетом их
кратности. Поэтому
т tn t
ft (x() = П {х* - aj) = П П (х - а.о)/) =
т t
= П П о)/ (<а]1х — at).
с1 /i
132
Гл. 3. Многочлены над конечными полями
Сравнивая коэффициенты в равенстве
получаем» что
t
П
X* - 1 = П (X - Uij),
/=.-1
= (—1)'+', так что
t m
M*0 = (-l)w</+I)n П (coj'i- -at) =
t t
=, (_- 1) m(t 11) П f(lO]'x) =- (— l)ffl <'+» П /((О/.*),
/==1 /=I
поскольку an , ,.., ©J пробегают в точности все корни степени t
из единицы над fq. Q
3.40. Пример. Рассмотрим неприводимый многочлен / (х) =
— х* -1г х + 1 ? F2 [x\. Чтобы вычислить /з, заметим, что корни
третьей степени из единицы над Ft суть 1, и и ы%, где о> — корень
многочлена х2 -f- x -f- 1, принадлежащий нолю Т^. Тогда
= (л-4 4- х +- 1) (о«4 4- сох + 1) (wV 4- шгх 4- 1) =
__ «-12 j «Д! _j ^8 1 ^.З 1 |
— А ~| ™ А )""' л ["" Л | I j
так что /з (х) ^ х4 4- л3 + л;а 4- # 4- 1. П
Другой способ отыскания характеристического многочлена fi
элемента а( базируется на теории матриц. Пусть / (ж) = х'" —
— am_i хт~[ — ... — агх — а0, и пусть А —сопровождающая мат-
матрица многочлена /, определяемая как т X m-матрица вида
0 0 ... О а0
1 0 ..¦ О ах
О 1 •¦• О а.
А =
00
1
Тогда / является характеристическим многочленом матрицы Л
в смысле линейной алгебры, т. е. / (х) -- (let (xl — Л), где / —
единичная м х /л-матрица над fq. Для каждого / ^ IN много-
многочлен /j является характеристическим многочленом для 1-й степе'
ни А* матрицы Л. Так, вычисляя степени матрицы А, можно
получить многочлены/|.
3.41, Пример. Интересно выяснить, какие из многочленом
ft являются неприводимыми в кольце Fg [x]. Из рассуждения.
§ 3. Построение неприводимых многочленов 133
предшествующего теореме 3.39, сразу следует, что характеристи-
характеристический многочлен ft элемента а* ? fqm над fq будет неприводим
в Fij 1*1 тогда и только тогда, когда он совпадает с минимальным
многочленом gt элемента а1 над Fg, т. е. когда deg (gt) = tn, а для
этого необходимо и достаточно, чтобы т было показателем, кото-
которому принадлежит q по модулю d = е/НОД (t, e). Рассмотрим,
например, случай q = 2, т = 6, е = 63. Так как показатель,
которому принадлежит число q по модулю какого-нибудь дели-
делителя числа е, должен быть делителем числа т, то кроме т воз-
возможны лишь показатели k = 1, 2, 3. Для них qk — 1 = 1, 3, 7,
так что сравнения qk = 1 (mod d) выполняются лишь при d —
— 1,3, 7. Таким образом, многочлен ft приводим в кольце Fa \x\
как раз в случаях, когда НОД (/, 63) = 9, 21, 63. Поскольку
достаточно рассмотреть лишь значения /, удовлетворяющие усло-
условию 1 -С t <J 63, то получаем, что многочлен ft неприводим в
кольце F2 lx] для всех значений t из указанного интервала, за
исключением / = 9, 18, 21, 27, 36, 42, 45, 54, 63. ?
На практике неприводимые многочлены часто появляются
как минимальные многочлены элементов какого-нибудь расшире-
расширения исходного поля. Если в проведенном выше рассуждении
в качестве f взять примитивный многочлен над fq, т. е. считать,
что е = qm — 1, то степени элемента а будут пробегать все не-
ненулевые элементы поля fqm. Поэтому описанный выше метод
можно применять для вычисления минимальных многочленов
над fq всех элементов мультипликативной группы f*m поля F т.
Прямой метод нахождения минимальных многочленов состоит
в следующем. Пусть 8 — образующий элемент поля fqm как
простого расширения поля Fq, так что {1, 6, ..., б1"-1} — ба-
базис fqm как векторного пространства над fq. Чтобы найти мини-
минимальный многочлен g элемента р ? F*m над F^i выразим сте-
степени р°, р1, ..., JJ"» через базисные элементы. Пусть для 1 < i <:
< т + 1
Запишем многочлен g в виде g (х) = стхт + ... + схх + с0. Нам
нужно, чтобы g был нормированным многочленом наименьшей
степени, удовлетворяющим условию g(§) = 0. Это условие g(f>) =
~ cmf>m 4- ... -f сф + с0 = 0 приводит к однородной системе
линейных уравнений
m+l
Ла-1Ьи = 0, j=\, 2, ..., m, C.10)
с неизвестными с0, сх, ..., ст. Пусть В — матрица коэффициентов
этой системы, т. е. некоторая (т -f 1) х m-матрица В = (й^),
134
Гл. 3, Многочлены над конечными полями
и пусть ее ранг равен г. Тогда размерность пространства решений
системы (ЗЛО) равна s = т h 1 —¦ г, и поскольку 1 -< г <. т,
то 1 <; s -С т. Поэтому мы можем произвольно задать значения
для s из т + 1 неизвестных с0, съ ..., ст, и тогда остальные не-
неизвестные определятся однозначно. Если s == 1, мы положим
ст — 1, а если s > 1, то положим ст — ст_% — ... — cm_s+2 ~
= lli a cm_g+i = 1.
3.42. Пример, Пусть в ? F«* — корень неприводимого много-
многочлена х* + .г
получаем
1
II 2
:]. Тогда для элемента р = 03 -|- 9*
Р°= 1,
= 1
в + в2
в -f- в2
в 4- в2
рв = 1 4- 0 + в2
Поэтому матрица В имеет вид
0s + в*,
as
fit
-f в4»
-| 8s -(- в4,
+ в*»
В
О О
о о
1 1 1
о
1
1
1
о
1 1
1 1
0 0 1
1 1 О
о
о
о
о
о
о
о
и ее ранг г равен 3. Значит, s ~ т + 1 — г ~- 4, и мы полагаем
с3 '= 1, св = с6 = d = 0, Остальные коэффициенты определяем
из системы C.10) и получаем с2 = 1» ct = 0, св ~ 1. Следова-
Следовательно, минимальный многочлен элемента р над F2 равен g (x) —
= х*+ х*+ I. О
Еще один метод нахождения минимальных многочленов основан
на теореме 3.33 (v). Если требуется найти минимальный много-
многочлен g элемента р ? Fqm над fq, то мы вычисляем степени р,,
Р», рг% ..., пока не получим наименьшее натуральное число d,
для которого p?d = р. Это целое число d является степенью
многочлена g, а сам этот многочлен задается формулой
g (Ж) = (Ж ^Р ) (Ж — Р«) ... (Х - §"^1).
Элементы р, р?, р*!, ,.., р/~' являются различными сопряжен-
сопряженными с р элементами относительно поля (Fq, a g — минимальный;
многочлен над fq любого из этих элементов.
§ 3. Построение неприводимых многочленов
135
3.43. Пример. Найдем минимальные многочлены над f2 для
всех элементов поля Fie- Пусть 9 6 Fie — корень примитивного
многочлена х* + х + 1 над F2. так что каждый ненулевой элемент
из поля Fie можно представить некоторой степенью элемента 9.
Для поля Fie получаем следующую таблицу индексов:
i
0
1
2
3
4
5
6
7
9
1
9
9s
9
1
9
9
1
i
i
+ 9
+ 92
s + 93
+ 9+93
i
8
9
10
11
12
13
14
9'
1-f
9-f
н
94
H
1 -
14
-92
-93
-9 + 92
- 92 + 93
_ e 4.92 _|_ 93
_ 92 4. 93
-93
Ниже указываются минимальные многочлены элементов р поля Fie
над полем f%:
ji = 0: gx (x) = х.
f» = 1: g2 (x) = x + 1.
p = в: различными сопряженными с 9 элементами относительно
Рг являются в, в2, в4, в8, и минимальный многочлен каж-
каждого из них равен
?з (*) = (х — 9) (х — в2) (х — 94) (х - 98) =
= х*+ х+ 1.
Р = 93: различными сопряженными с б3 элементами относи-
относительно F2 являются 03, в6, 9м, 9м = О9, и минимальным
многочленом каждого из них является
?4 (х) = (х — в3) (х — 9е) (х — 8е) (х — 912) =
Р =
в8: так как р4 = р, то различными сопряженными с 98 отно-
относительно Fa элементами являются 96, 910, и соответству-
соответствующий минимальный многочлен равен
?8 (х) = (х — 95) (х - 9") =
= X2 + Х+ 1.
07: различными сопряженными с 9' элементами относительно
Гг являются 97, в14, 928 = 913, в8в = 9", и соответству-
соответствующий минимальный многочлен равен
ge (х) = (х- 9') (х - 9») (х - 913) (х - 9") =
= Х*+ X3 + 1.
136 Гл. 3. Многочлены над конечными полями
Указанные элементы вместе с их сопряженными относительно F2
составляют поле Fie- Q
Важной проблемой является нахождение примитивных много-
многочленов. Один из подходов основан на том факте, что произведение
всех примитивных многочленов степени т над Fq равно круго-
круговому многочлену Qe, где е = qm — 1 (см. теорему 2.47 (ii) и
упр. 3.42). Поэтому все примитивные многочлены над fq сте-
степени т можно найти, применяя один из алгоритмов разложения
(см. гл. 4) к круговому многочлену Qe.
Другой метод опирается на построение какого-либо прими-
примитивного элемента поля F9m, для которого затем описанными выше
способами вычисляется его минимальный многочлен над fq (э*шт
многочлен и является примитивным). Для нахождения примитив-
примитивного элемента поля Fqm берут порядок qm — 1 этого элемента
в группе F*m и разлагают его на множители: qm — 1 = hx ... hh,
где натуральные числа hlt ...,/ift попарно взаимно просты. Если
для каждого hi, I <C i <C k, можно найти элемент а,- ? f*m по-
порядка hi, то произведение а = а1 ... ah имеет порядок qm — 1
и, следовательно, является примитивным элементом поля Fqm.
3.44. Пример. Найдем примитивный многочлен степени 4 над
полем (F3- Поскольку З4— 1 = 16-5, мы предварительно построим
два элемента группы Fsi соответственно порядков 16 и 5. Эле-
Элементы порядка 16 являются корнями кругового многочлена
Qie (¦*) — х8 + 1 € ?з W- Так как показатель, которому при-
принадлежит число 3 по модулю 16, равен 4, то Qu разлагается на
два нормированных неприводимых многочлена степени 4 из
F3 [x]. Далее
х& + 1 = (х* — IJ — х* = {х* — 1 + х2) (х4 — 1 — х2),
так что многочлен / (х) = х* — х2 — 1 неприводим над F3. и
Fei = Гз (Щ Для некоторого корня 6 многочлена f. Кроме того
в — элемент порядка 16 группы Fgi. Чтобы найти элемент а
порядка 5, запишем его в виде
а = а + 66 + ев2 + d63
с неопределенными коэффициентами а, Ь, с и d из F3- Так как
а10 = 1, то
1 = а»а = (а + 6в9 + ев18 + d(J27) (а + 60 + ев2 + d63) =
= (а — 68 + с63 — d93) (а + 69 + ев2 + с/03) =
= (а + ев2J — F8 + d63J =
= а2 + Bас — б2) в2 + (с2 — 26d) в4 — d26e =.
^ а2 + с2 — d1 + bd + (с2 + d2 — б2 — ас + bd) в2. ';
§ 3. Построение неприводимых многочленов 137
Сравнение коэффициентов дает
аз + С2 — d2 + 6d = 1, с2 + сР — Ь2 — ас + bd = О,
Полагая а = d = 0, получим Ьг = с2 = 1. Беря b = с = 1,
легко находим, что элемент а = 6 + в2 имеет порядок 5. Следова-
Следовательно, элемент ? = 8а = б2 + в3 имеет порядок 80 и, таким
образом, является примитивным элементом поля F81. Минималь-
Минимальный многочлен g элемента ? над fs равен
g (х) = (x-Q(x- ?3) (х - ?9) (х - ?27) =
= (X — в2 — б3) (X — 1 + 6 + в2) (Х — в2 + в3) (X —
_ 1 _ в + в2) =
= Ж4 + X3 + X2— X— 1,
и мы, таким образом, получили примитивный многочлен сте-
степени 4 над полем F3- ?
3.45. Пример. Найдем примитивный многочлен степени 6 над
f2. Поскольку 2е — 1 = 9-7, то сначала построим два элемента
группы F<h порядков 9 и 7 соответственно. Показатель, которому
принадлежит 2 по модулю 9, равен 6, так что круговой многочлен
Qe (¦*) — Xе + х3 + 1 неприводим над (р2. Корень 6 этого много-
многочлена имеет порядок 9 в группе F«, причем f6i = F2 F). Эле-
Элемент а ? F|4 порядка 7 удовлетворяет равенству а8 = а, так
5
что, записав а = Е а* в1'с коэффициентами а,- ? Гг. 0 -< г < 5,
1=0
получаем
5 /5 \ 8 5
ее = U а,в' = а8 = 2 а,в' = ? а.-в8' =
1=0 \i=0 / 1=0
= а0 + a,Q8 + а^1 + а3вв + а4в8 + «Бв4 =
= (а0 + о,) + а2в + а1в2 + а3Э3 + (а2 + аБ) в4 +
+ (а, + а4) в8,
и сравнение коэффициентов дает а3 = 0, % = а2, а4 = а2 + аБ.
Выбирая ай = а3 = а4 = 0, % = а2 = аъ = 1, получим, что а =
~ g .}_ g2 _|_ Q8 является элементом порядка 7. Таким образом,
? = аб = 1 + в2 является примитивным элементом поля F84-
Его степени равны ?2 = 1 + в4, ?3 = в2 + в3 -f в4, ?4 = 1 +
+ в2 + б5, ?8 = 1 + 8 + в8, ?в = 1 + в2 + в3 + в4 + в8. При-
Применяя тот же метод, что и в примере 3.42, найдем минимальный
многочлен g (х) = хв -f х* + х3 + х + 1 элемента ? над F2,
который, таким образом, является примитивным многочленом
над F2 степени 6. Q
Если примитивный многочлен g над F4 степени т известен,
то все остальные примитивные многочлены над fq той же степени
138 Гл. 3. Многочлены над конечными полями
можно получить, рассматривая некоторый корень 6 многочлена g
в поле fqm и находя минимальные многочлены над fq для всех
элементов вида 0', где t пробегает все натуральные взаимно про-
простые с qm — 1 числа, не превосходящие цт — 1. Вычисление этих
минимальных многочленов можно осуществить методами, описан-
описанными выше в этом параграфе.
Полезно выяснить, остается ли данный неприводимый над fq
многочлен неприводимым и над заданным конечным расширением
этого поля Fqm. Следующие результаты относятся к этому во-
вопросу.
3.46. Теорема. Пусть / — неприводимый многочлен над F<,
степени п и k ? DM. Тогда в кольце FqfcU] многочлен f разлагается
на d неприводимых сомножителей одной и той же степени nid,
где d = НОД (k, n).
Доказательство. Так как случай / @) = 0 тривиален, мы мо-
можем предположить, что f @) Ф 0. Пусть g — неприводимый дели-
делитель многочлена / из F?fc [х]. Если ord (f) = e, то, согласно тео-
теореме 3.3, также и ord (g) = е ввиду того, что корни многочлена g
являются в то же время и корнями /. По теореме 3.5 показатель,
которому принадлежит q по модулю е, равен п, и степень много-
многочлена g равна показателю, которому принадлежит qk по модулю е.
Степени q1, / = 0, 1, ..., рассматриваемые по модулю е, образуют
циклическую группу порядка п. Таким образом, из теоремы
1.15 (ii) вытекает, что показатель, которому принадлежит qk
по модулю е, равен nld, а значит, и степень многочлена g
равна nld. [3
3.47. Следствие. Неприводимый над полем F? многочлен сте-
степени п остается неприводимым над расширением Fqh этого поля
в том и только том случае, если числа п и k взаимно просты.
Доказательство. Это непосредственно вытекает из тео-
теоремы 3.46. П
3.48. Пример. Будем рассматривать примитивный много-
многочлен g (х) = х* -f х* + xs + х -f 1 над F2 из примера 3.45 как
многочлен над полем Fie- Тогда в обозначениях теоремы 3.46
мы имеем п = 6, k = 4, и, значит, d = 2. Поэтому многочлен g
разлагается в кольце Fie lx] на два неприводимых кубических
сомножителя. Примем обозначения из примера 3.45, и пусть
gx — тот неприводимый сомножитель многочлена g, корнем кото-
которого является ? = 1 + 92. Другими корнями многочлена gi
должны быть сопряженные с ?, относительно FM элементы С1*
и ?2М = ?4. Так как эти элементы сопряжены с ? также и относи-
относительно поля F4. то многочлен gx фактически принадлежит кольцу
Ft lx]. Далее, элемент Р = ?21 является первообразным куби-
§ 4. Линеаризованные многочлены 139
ческим корнем из единицы над F2, так что F4 = {0, 1, р, Р2}.
Получаем
gl (Х) = (jc — ?) (jc — ?4) (х - ?") =
= х3 + (? + ?4 + ?1в) х2 + (?8 + С» + ?») х + ?и.
Поскольку ?4 = 1 + б2 + 86 и ?" = 1 + е6, то ? + ?4 +
+ ?1в = 1. Аналогично находим, что ?б -f ?17 -f S20 = 1 • Сле-
Следовательно,
ft (X) = Ж3 + Ж3 + X + Р-
Деля многочлен g на ft, находим второй неприводимый сомножи-
сомножитель g2 многочлена g и получаем в итоге
g (х) = (г» + х2 + х + Р) (г* + х2 + х + р2)
— разложение многочлена g на неприводимые сомножители
в F4 [*], а значит, и в F16 [x]. Найденные неприводимые сомно-
сомножители многочлена g являются примитивными многочленами над
полем F4» но не над полем F14. На основании следствия 3.47
многочлен g над некоторыми другими расширениями поля F2
(например, над f32 или Fi2g) остается неприводимым. ?
§ 4. Линеаризованные многочлены
Специальный класс многочленов, вводимый в этом параграфе,
весьма важен как для теории, так и для приложений. Интересной
особенностью этих многочленов является структура множества
их корней, которая облегчает их нахождение. В дальнейшем
будем понимать под q, как обычно, некоторую степень простого
числа.
3.49. Определение. Многочлен вида
()
с коэффициентами из некоторого расширения F'т поля fq на-
называется q-многочленом над f m.
Если число q раз и навсегда зафиксировано или ясно из кон-
контекста, то L (х) также принято называть линеаризованным много-
многочленом. Этот термин объясняется следующим свойством таких
многочленов. Если F — произвольное расширение поля f m и
L (х) —линеаризованный многочлен (т. е. g-многочлен) над F т, то
Ьф + у) = L(P) + L(V) Для любых р, y G F, C.11)
L (ф) = cL (P) для любых, с С F4,P€ F. C.12)
140 Гл. 3. Многочлены над конечными полями
Равенство C.11) вытекает из теоремы 1.46, а C.12) — из того что
сч1 = с для с ? Fq и I ^г 0. Таким образом, если поле F рассма-
рассматривать как векторное пространство над полем Fq, то линеари-
линеаризованный многочлен L (х) индуцирует в этом пространстве не-
некоторый линейный оператор.
Следующий результат характеризует особенность множества
корней линеаризованного многочлена.
3.50. Теорема. Пусть L (х) — ненулевой q-многочлен над F ш.
и пусть расширение F s поля р т содержит все корни этого мно-
многочлена. Тогда каждый корень многочлена L (х) имеет одну и ту эюе
кратность, равную либо единице, либо некоторой степени числа q\
при этом если поле f s рассматривать как векторное простран-
пространство над полем fq, то указанные корни образуют некоторое под-
подпространство этого пространства.
Доказательство. Из C.11) и C.12) следует, что любая линей-
линейная комбинация корней многочлена L (х) с коэффициентами из
поля Fq снова является корнем этого многочлена, так что корни
многочлена L образуют векторное пространство (подпространство
пространства р Л. Если
п
Li \х) ^= ^j o*iX ,
1=0
то L' (х) = а0, так что многочлен L (х) имеет при а0 Ф 0 лишь
простые корни. Если же а0 = ах = ... = ah_x = 0, но ah Ф 0
при некотором k 5= 1, то, поскольку
i=k
мы видим, что L является qk-ft степенью некоторого линеаризован-
линеаризованного многочлена, имеющего простые корни. В таком случае
каждый корень многочлена L (х) имеет кратность qk. ?
Имеет место частичное обращение теоремы 3.50, которое дается
теоремой 3.52. Оно опирается на следующее свойство определи-
определителей, обобщающее следствие 2.38.
3.51. Лемма. Пусть plt P2.---.Pn — элементы, поля Fgm-
Тогда
Р.
h
РГ
pi
к
РГ •
й-?2
Рп
.. рГ1
аЯП~Х
• • Рп
п—1
П П
C.13)
§ 4. Линеаризованные многочлены
141
так что этот определитель отличен от нуля в том и только том
случае, если элементы plt р2, ¦.-, Рп линейно независимы над по-
полем fq.
Доказательство. Пусть Dn — определитель из левой части
равенства C.13). Докажем это равенство индукцией по п. Заметим,
что при п — 1 формула тривиальна, если пустое произведение
в правой ее части интерпретировать как 1. Теперь допустим, что
формула C.13) доказана для некоторого «^ 1. Рассмотрим мно-
многочлен
Pi
h
h
X
PI
Pi
P«
x4
...РГ1
... pf-'
... pf~l
nn—1
... У
Pf
.Pf
Pf
n
Xя
Разлагая этот определитель по последней строке, получим
1=0
где a, ? Fin, 0 <: i < n — 1. Предположим сначала, что эле-
элементы рь р2, .... рп линейно независимы над fg. Тогда D (рй) = 0
при 1 <С k <; п, и так как ?> (л;) является ^-многочленом над § т,
то все линейные комбинации с$\ + с2р2 + ... + спрп, где cft ?
? Fq, I -< Л < «, являются корнями многочлена D (х). Таким
образом, D (х) имеет ф различных корней, и мы получаем раз-
разложение
D(x)=Dn П U-ScftpftJ. C.14)
Если же рь р2, ..., Рп линейно зависимы над fq, то по предполо-
п
жению индукции Dn = 0 и J] bh$h = 0 для некоторых 6Ь ..., 6П
из поля Fy, не равных нулю одновременно. Отсюда следует, что
" i I п \ч!
S ^ftP* = S 6*Pfc ) =0 ДЛЯ / = 0,1,..., Я,
так что первые п строк определителя, представляющего много-
многочлен D (х), линейно зависимы над fq. Поэтому D (х) = 0, и ра-
равенство C.14) выполняется в любом случае. Отсюда получаем
я»+1 = я(рп+1) = о„е П
что и доказывает формулу C.13).
a
!42 Гл. 3, Многочлены над конечными нолями
3.52, Теорема. Пусть U — произвольное подпространство в< к-
торного пространства f т над полслг fq. Тогда для каждого
неотрицательного целого числа k .многочлен
I (х) = П (х - Р)'?*
является q-многочленом над полем р ,„.
Доказательство. Поскольку в результате возведения ^-мно-
^-многочлена над нолем f m в qk-m степень снова получаем ij-мвагочлен
над f т, то достаточно рассмотреть лишь случай k — 0. Пусть
IPl .,., р„| —базис векторного пространства U над fq. Тогда
определитель Dn левой части равенства C.13) отличен от нуля
по лемме 3.51; поэтому
I (х) = П (л- - р) ==
П
ввиду C.14), а это уже доказывает, что L (х) является ^-многочле-
^-многочленом над полем f „,. ?
Установленные нами свойства линеаризованных многочленов
приводят к следующему методу нахождения корней таких много-
многочленов. Пусть
L (х)
1=0
¦— некоторый cj-многочлен над полем f m и требуется найти все
его корни в некотором конечном расширении F поля р „,,
Как уже отмечалось выше, отображение L: p ^ F\—>L (P) С: F
является линейным оператором в векторном пространстве F над
полем Г,. Поэтому L можно представить некоторой матрицей
над полем fq. Пусть {Pi, ..., ря| — базис Р над полем |гч; тогда
каждый элемент р ? F можно задать в виде линейной комбинации
Р = 2j cj§j, WW Cj(zFg ДЛЯ
и, значит,
L Ф) = Е CjL (Pj).
§ 4. Линеаризованные многочлены 143
Теперь пусть
L(h) Ibp для l<t<«,
где bJh € fq Для ! < /. k < s, и пусть В = Fд) — квадратная
матрица порядка s над f,. Тогда
МР)=?<**Р*.
где коэффициенты <4 определяются условием
(сь ..., cs) В = (dx, .... ds).
В частности, уравнение L ф) = 0 эквивалентно условию
(сь ...,сг)В = @, ...,0). C.15)
Это однородная система из s линейных уравнений относительно s
неизвестных с%, ..., са. Если ранг матрицы В равен г, то система
C.15) имеет qs~r линейно независимых решений—-векторов
(си ..., cs). Каждое решение {сг cs) соответствует некоторому
корню
/=1
^-многочлена L (x) в поле F. Таким образом, задача нахождения
корней линеаризованного многочлена L, лежащих в поле F,
сводится к более легкой'задаче решения однородной системы ли-
линейных уравнений.
3.53. Пример. Рассмотрим линеаризованный многочлен
L (х) = х9 — Xs — ах ? F8 ix ], где а — корень примитивного
многочлена х2 + х — 1 над полем f3. Для нахождения корней
многочлена L (х) в поле F8i рассмотрим базис {1, ?, ?\ ?3}
поля Fsi как векторного пространства над полем f9, где ? — корень
примитивного многочлена х* + Xs + х% — х — 1 над Рз (ср.
с примером 3.44). Учитывая, что порядками элементов а и ?,
в мультипликативной группе Fm являются соответственно числа 8
и 80, получаем равенство вида а = ?10/, где / принимает значе-
значения 1,3,5 или 7; но поскольку ?20 + ?10 — 1=0, то мы можем
взять а = ?10 = — 1 + ? + I2 — ?3. Затем находим
L A) = -а = 1 - I - I2 + Z3,
f?"l =r L - , Г OLL. '¦— ——Г - L , г**
144 Гл. 3. Многочлены над конечными полями
и, следовательно, получаем, что
1 —1 —1 Г
0 _1 —1 _;
— 1 0 0 1
1 оо^:
Однородная система линейных уравнений C.15) имеет два ли-
линейно независимых решения, например @, 0, 1, 1) и (—1, 1, 0, 1),
Любое решение этой системы получается как линейная комбина-
комбинация указанных двух векторов с коэффициентами из ноля f3.
Следовательно, корнями многочлена L (х) в поле р8! являются
элементы 0, = 0, 02 = С2 + S3, 9з = —С2 — ?s, 04 — —1 + t +
I fs fl — 1 T f'fl— \ A T A T% T3 H - - 1 T
Г% 4. f-3 fl — 1 ТА- Г2 0 — 1 -I-- f ^ ^ Г2 П
— ь it» °8 " " * — ь г ь > "в ~ —life ь • I I
Этот метод нахождения корней можно применять и для более
общего класса многочленов, а именно для так называемых аффин-
аффинных многочленов.
3.54. Определение. Многочлен вида А (х) — L (х) — а, где
L (х) есть ^-многочлен над полем IF m, a a ^ f ,„, называется
аффинным д-многочленом над f m.
Элемент р из некоторого конечного расширения F поля f m
является корнем многочлена А (х) в том и только том случае,
если L (Р) == а. В обозначениях формулы C.15) равенство L ф) —
= а эквивалентно равенству
(си ...,са)В = (dlt .... de), C.16)
s
где a = J] dftpit- Система C.16) линейных уравнений разрешима
к=1
относительно съ ..., cs, и каждый ее вектор-решение (t\, ..., cs)
s
соответствует некоторому корню р = J^cfij многочлена А (х),
/=•1 '
лежащему в поле F.
Сравнительная легкость отыскания корней аффинных много-
многочленов подсказывает следующий метод нахождения корней про-
произвольного многочлена / (х) положительной степени над Fem
в некотором расширении F поля f m. Сначала находим какой-
нибудь ненулевой аффинный ^-многочлен Л (ж) над f4m, который
делится на / (х); он называется аффинным кратным, многочлена
f (x). Затем описанным выше способом получаем все корни много-
многочлена Л (х) из F. Поскольку среди этих корней находятся и корни
многочлена / (х) из F, то достаточно подсчитать значения / ф)
для всех корней р (: F многочлена А (х), и мы выделим все корни
многочлена / (х) в поле F.
§ 4. Линеаризованные многочлены 145
Остается выяснить лишь, как находить аффинное кратное А (х)
многочлена / (х). Существует следующий способ. Пусть п ;> 1 —
степень многочлена / (х). Для каждого t = 0, 1, ..., п — 1 вы-
вычисляем однозначно определенный многочлен rt (x) степени <;
^п—1, удовлетворяющий условию хч = rt (x) (mod/(ж)). За-
Затем находим такие элементы at ? Fqm, не все равные нулю,
п—1
чтобы линейная комбинация 2 airi (x) была постоянным много-
;=о
членом. С этой целью приравниваем нулю п — 1 коэффициентов
пои положительных степенях х1, 1 -< / <; п — 1, переменной х.
Так мы получаем однородную систему из п — 1 линейных уравне-
уравнений относительно п неизвестных а0, аь ..., an.L. Такая система
всегда имеет нетривиальное решение. Зафиксировав некоторое
нетривиальное решение (а0, аь ..., ап-1) этой системы уравнений,
п—1
мы получаем 2 atri (х) = а Для некоторого a ? Fqm. Это озна-
1=0
чает,, что
п—1 . п—1
Y Y (x) = a(mod/(x)),
f=0 t=0
так что
n—1
Л (x) = J] atx - a
t=0
есть ненулевой аффинный (^-многочлен над fqm, делящийся на
/ {х). Ясно, что этот многочлен А (ж) можно выбрать нормиро-
нормированным.
3.55. Пример. Пусть / (х) = х4 + 6V + 6жа + х + 6 ?
(Е F* 1х], где 6 — некоторый корень многочлена х% + ж + 1 ?
(г F2 Ix]. Требуется найти корни многочлена f (х), лежащие
в поле fu. Сначала найдем какое-нибудь аффинное кратное А (х)
многочлена / (х), применяя описанный выше метод при q = 2.
По модулю / (х) имеем х = х = г„ (х), х2 = х2~ гх (х), х* =
- QV + Вх2 + х + 6 = г2 (х), Xs = Вх9 + Вх2 + х + 6 = г3 (х).
Условие, состоящее в. том, что линейная комбинация аого (х) +
+ а^у (х) + а2г2 (х) + a3r3 (х) с коэффициентами аг ? F*
должна быть постоянным многочленом, приводит к следующей
однородной системе линейных уравнений относительно коэффи-
коэффициентов а0) а1( а2, а3:
ао + а2 + аз = 0,
% + 6 а2 + 8а3 == 0,
62а2 + 6а3 == 0.
146 Гл. 3. Многочлены над конечными полями
Выберем а3 = 1, и тогда получим а2 = б2, ах = О2, а„ = •>.
Таким образом, искомым постоянным многочленом является
а = аого (х) + щгх (х) + а2г2 (х) + а3г3 (х) = б2,
и, значит,
А (х) = аг>? + а^х* + а^2 + аох — а =
,.= Xs + 6V + 6V + Эх + в2.
Теперь подсчитаем корни аффинного 2-многочлена А (х)
в поле Рв4- Это значит, что для 2-многочлена
L (х) = Xs + 6У + 62л;2 + 6х
над fi мы должны решить уравнение L (х) = б2. Пусть ? — ка-
какой-нибудь корень примитивного многочлена х6 -\- х -\- \ над F->-
Тогда {1, & ?2, ?3, С4, И — базис поля FM над F,. Так как 6 —
произвольный первообразный корень третьей степени из единицы
над р2) то можно взять
е = pi = j + s + ?з + ^ + р>
Пользуясь тем, что б2 = 6 + 1 = S + S3 + S* + ?Б, получим
МО = С + ?3 + Е4 + S5.
L @ = е + S2 + l\
L (S2) = ?2 + S3 + ?* + е»,
L (Б*) = S5,
S2 + I3 + Б4.
0
0
0
0
0
0
1
1
0
1
0
0
0
1
1
0
0
1
1
0
1
1
0
1
1
0
1
1
0
1
1\
1'
1
0
1
о)
Таким образом, матрица В из C.16) имеет вид
В =
Из указанного выше представления элемента а = б2 получаем,;,
что вектор .Di, ..., ds) из C.16) равен @, 1, 0, 1, 1, 1). Теперь.';
нетрудно найти общее решение системы C.16): :
A, 0, 0, 0, 0, 0) +а1@, 1, 1, 1, 0, 0) +
+ о,A, 1. 1- О, 1, 0) +а3(\, 1, О, О, О, 0.,
где ах, а2, az — произвольные коэффициенты из поля F,- Ит1к,
корнями аффинного многочлена А (х) в поле Fe* являются r\i ~ '• ¦
§ 4, Линеаризованные многочлены 147
т., - I + ?'. % = С + S2 + l\ % = 1 + С2 + S4 + ?, % = l +
+ ?+?•+ S3, % = Sa + ?» + e», ti, = S3 + с*, % = 1 + I +
+ S3 + ?4 + ?5 = 6- Вычисляя значения / (т^) для / = 1, ..., 8,
получаем окончательно, что корнями многочлена / (х) в поле fM
являются элементы %, %, % и %. П
Рассмотренный метод отыскания корней аффинного много-
многочлена свидетельствует, в частности, о том, что эти корни образуют
в векторном пространстве некоторое аффинное подпространство
(или линейное многообразие), т. е. сдвинутое на некоторый вектор
подпространство этого векторного пространства. Но это можно
получить также и из других соображений вместе с утверждением,
касающимся кратности.
3.56. Теорема. Пусть А (х) — аффинный q-многочлен положи-
положительной степени над полем fqm, и пусть расширение fqS поля
§ qm содержит все корни многочлена А (х). Тогда все корни много-
многочлена А (х) имеют одну и ту же кратность, равную единице или
некоторой степени числа q. При этом корни многочлена А (х)
образуют некоторое аффинное подпространство векторного про-
пространства Fgs над полем Fq.
Доказательство. Результат о кратности доказывается так же,
как и в теореме 3.50. Теперь пусть А (х) = L (х) — а, где L (х)—
некоторый (jr-многочлен над fqm и а ? fgm, и пусть р ? fqS —
некоторый корень многочлена А (х). Тогда элемент у ? fqt
будет корнем многочлена А (х) в том и только том случае, когда
L (у) = а = L (Р), т. е. тогда и только тогда, когда L (у — Р) =
= 0. Последнее означает, что у ? р + U, где U — подпростран-
подпространство пространства \FqS над Fq, состоящее из всех корней много-
многочлена L (х). Таким образом, корни многочлена А (х) образуют
аффинное подпространство векторного пространства fqs. D
3.57. Теорема. Пусть Т — аффинное подпространство поля
Fqm, рассматриваемого как векторное пространство над полем
Fq. Тогда для каждого неотрицательного целого числа k многочлен
А (х) = П (х — уL"
является аффинным q-многочленом над Fgm.
Доказательство. Пусть Т = "л + U, где U — подпространство
векторного пространства Fqm и ц ? fqm. Тогда
L (х) = П (х — р)?*
Ре17
148 Гл. 3. Многочлены над конечными полями
— некоторый ^-многочлен над fqm (согласно теореме 3.52).
Далее,
А(х) = П(х- у/ = П (х - т) - 0)«* =L(x- ц),
и L (х — ц), как легко видеть, является аффинным q-многочленом
над полем fqm. ?
Обычное произведение линеаризованных многочленов не обя-
обязательно является линеаризованным многочленом. Однако компо-
композиция Lx (L2 (x)) двух ^-многочленов Lt (x) и L2 (x) над полем Г,,т
снова является ^многочленом. Вместо слова «композиция» будем
использовать выражение «символическое произведение». Итак,
мы определим символическое умножение равенством
Если рассматриваются лишь ^мн°гочлены наД полем Fq,
то без труда проверяется, что символическое умножение ком-
коммутативно, ассоциативно и дистрибутивно (по отношению к обыч-
обычному сложению). На самом деле множество <?-многочленов над fq
образует целостное кольцо относительно операций символического
умножения и обычного сложения. Но операцию символического
умножения можно связать и с обычной арифметикой многочленов
с помощью следующего понятия.
3.58. Определение. Многочлены
1(х) = 2 ai*' и ^ (х) — 2 аг**!
t=0 1=0
над полем fqm называются q-ассоциированными друг с другом.
При этом / (х) называется просто q-ассоциированным с L (х) много-
многочленом, a L (х) — линеаризованным q-ассоциированным с I (х) ¦>
многочленом.
3.59. Лемма. Пусть q-ассоциированными с q-многочленами
Lt (x) и L2 (x) над полем fq являются соответственно много-
многочлены lt (х) и /2 (х). Тогда многочлены I (ж) = 1г (х) 1% (х) и L (х) —
= LL (x) (g> L2 (x) являются q-ассоциированными друг с другом. ¦,
Доказательство. Равенства
I (х) = 2 atxl = 2 bjx' 2 chxk = lx {x) /2 (
i / k
И
i i \ k
§ 4. Линеаризованные многочлены 149
верны тогда и только тогда, когда в том и другом для каждого i
а* = S bjch. ?
Если Lx (x) и L (x) являются ^-многочленами над fq, то будем
говорить, что многочлен Lx (x) символически делит L (х) (или что
I (х) символически делится на Lt (%)), если L (х) = Lx (x) (g> L2 (x)
для некоторого д-многочлена L2 (x) над Fg- Из леммы 3.59 тогда
сразу вытекает следующий критерий символической делимости,
3.60. Следствие. Пусть q-ассоциированными с q-многочленами
I, (х) и L (х) над F9 являются многочлены 1г (х) и I (х) соответ-
соответственно. Тогда многочлен LL (x) символически делит L (х) в том
и только том случае, если многочлен 1г (х) делит I (х).
3.61. Пример. Пусть ^-многочлен L (х) над fq символически
делит многочлен хя — х, где т ? IN. Это значит, что существует
такой (/-многочлен Lx (x) над fq, что
/п _ х = L (х) ® U (х) = LL (х) ® L (х) = Lx (L (х)). C.17)
Этот факт можно использовать так. Пусть а — фиксированный
элемент из поля Fqm. Тогда аффинный многочлен L (х) — а
имеет по крайней мере один корень в поле fqm в том и только
том случае, когда Lt (а) = 0, а если Lx (а) = 0, то на самом деле
все корни многочлена L (х) — а принадлежат полю fqm. Действи-
Действительно, если р ? fqm — некоторый корень многочлена L (х) — а,
то I (Р) = а, и, подставляя Р вместо х в C.17), получим Lt (a) =
--- р* — р = 0. Обратно, если LL (а) = 0 ну — произвольный
корень многочлена L (х) — а в некотором расширении поля
F(/m, то L (у) = а, и, подставляя у вместо х в C.17), получим
у4' — у = Lx (а) = 0, так что y € F<2m- Чтобы найти многочлен
Ly (х), сначала находят ^-ассоциированный с L (х) многочлен / (х),
а затем, полагая 1г (х) = (хт — 1)// (х), переходят к линеаризован-
линеаризованному ^-ассоциированному с 1г (х) многочлену Lx (x). Доказанное
предложение в качестве частного случая содержит теорему 2.25.
Действительно, если взять в качестве L (х) многочлен Xя — х,
то оказывается, что LL (х) = х + х" + хч% + ... + х?т . П
Замечателен следующий факт: несмотря на серьезное различие
между операциями символического и обычного умножения, поня-
понятия делимости для линеаризованных многочленов, основанные на
этих разных операциях, оказываются эквивалентными.
3.62. Теорема. Пусть q-ассоциированными с q-многочленами
Li (х) и L (х) являются многочлены 1Х (х) и I (х) соответственно.
Тогда следующие свойства эквивалентны:
(i) многочлен Lx (x\ символически делит L (х);
150 Гл, 3, Многочлены над конечными полями
(ii) многочлен Lx (x) делит L (х) в обычном смысле;
(Hi) многочлен /г (х) делит I (х).
Доказательство. Так как эквивалентность (i) и (ш) была уста-
установлена следствием 3.60, то достаточно доказать эквивалентно! ть
(i) и (ii). Если многочлен Lx (x) символически делит L (х), то
L (х) = Lx (х) <g> U (х) = L2 (x) <g> L, (х) = L2 (LL (*))
для некоторого ^-многочлена Lt (x) над fq. Пусть
М) 2
(=0
тогда
L (х) = a0Lx (х) + а^Ц. (xf +---+anL1 (xf,
так что L (х) делит L (х) и в обычном смысле. Обратно, допустим,
что многочлен Lx (x) делит L (х) в обычном смысле. Тогда можно
считать многочлен Lx (x) ненулевым. Применяя алгоритм деле-
деления, запишем I (х) = k (х) /г (х) + г (х), где deg (г) < deg (/х), и
переходя к линеаризованным (jr-ассоциированным многочленам
(обозначаемым соответствующими большими буквами), получим
равенство L (х) = К (х) ® Lx (х) + R (х). Согласно уже дока-
доказанному, Lx (х) делит символическое произведение К (х) ® Lx (дг)
в обычном смысле, а следовательно, Lx (x) делит и R (х) в обычном
смысле. Но так как deg (R) < deg (LJ, то R (х) должен быть ну-
нулевым многочленом, а это доказывает, что многочлен Lx (x) сим-
символически делит L (х). 7]
Полученный результат можно использовать для установления
интересной взаимосвязи между неприводимыми многочленами и
неприводимыми делителями линеаризованных ^-ассоциированных
с ними многочленов.
3.63. Теорема. Пусть для неприводимого многочлена f (x) из
рд [х] линеаризованным ц-ассоциированным с ним многочленом
является F (х). Тогда степень каждого неприводимого делите, ш
многочлена F (х)/х в f, U1 равна порядку многочлена f (x).
Доказательство. Так как случай / @) = 0 тривиален, то
будем предполагать, что / @) Ф 0. Положим е — ord (/), и пусть
h (х) ? Fg ix] — некоторый неприводимый делитель многочлена
F (х)/х и d = deg (h). Тогда многочлен / (х) делит хе — 1, а сле-
следовательно (ввиду теоремы 3.62), многочлен F (х) делит х4 — *¦
Значит, и многочлен h (х) делит xq — х, а потому в силу теорем"
3.20 число d делит е.
С другой стороны, применяя алгоритм деления, можем начи-
сать х* — 1 =g (х) f(x) + г (х), где g (х), г (х) ? Fe Ы н
§ 4. Линеаризованные многочлены 151
deg (r) < deg (/)¦ Переходя к линеаризованным ^-ассоциирован-
^-ассоциированным с данными многочленам (обозначаемым большими буквами),
получим равенство
/ _ х = G (х) ® F (х) + R (х),
и так как h (х) делит оба многочлена ;г — х и G (x) ® F (х),
то h (х) делит и многочлен R (х). Если г (х) — ненулевой много-
многочлен, то он взаимно прост с / (х) ввиду неприводимости последнего,
поэтому (см. теорему 1.55) существуют такие многочлены s (x)
и k (х) из fq lx\, что
s(x)r(x) + k(x)f(x) = 1.
Обращаясь к линеаризованным ^-ассоциированным многочле-
многочленам, получим соответствующее равенство
S (*) <g> R (х) + К(х) ® F (х) = х.
Поскольку h (х) делит многочлены R (х) и F (х), то h (x) должен
делить и многочлен х, что невозможно. Следовательно, г (х) —
нулевой многочлен, так что многочлен / (х) делит ж1* — 1, и поэтому
(по лемме 3.6) число е делит й. Итак, мы доказали, что d = e. ?
Будем говорить, что ^-многочлен L (х) степени, большей 1,
над полем fq символически неприводим над fq, если в любом его
символическом разложении на множители L (х) = Lx (x) ® L2 (x),
где Lx (x) и L2 (x) суть ^-многочлены над fq, по крайней мере один
из сомножителей имеет степень 1. Символически неприводимый
многочлен в обычном смысле всегда приводим, так как любой
линеаризованный многочлен степени, большей 1, имеет нетри-
нетривиальный сомножитель х. Применяя лемму 3.59, сразу получаем,
что д-многочлен L (х) символически неприводим над fq в том
и только том случае, когда (jr-ассоциированный с ним многочлен
/ (х) неприводим над §?„.
Каждый (jr-многочлен L (х) степени, большей 1, над fq можно
символически разложить в символическое произведение символи-
символически неприводимых многочленов над fq, причем это разложение
по существу однозначно (в том смысле, что все другие такие симво-
символические разложения получаются из него перестановкой сомно-
сомножителей и умножением сомножителей на ненулевые элементы
поля fq). Используя соответствие между линеаризованными
многочленами и многочленами, ^-ассоциированными с ними, не-
нетрудно видеть, что символическое разложение ^-многочлена L (х)
иаД Fq можно получить, найдя сначала каноническое разложение
в fq \х} q-ассоциированного с ним многочлена / (х) и затем пере-
Ходя к соответствующему равенству для линеаризованных
«?-ассоциированных многочленов.
152 Гл. 3. Многочлены над конечными полями
3.64. Пример. Рассмотрим 2-многочлен L (ж) = хи + хь -\-
+ х2 + х над полем JFa; 2-ассоциированный с ним многочлен
/ (х) = х* + х3 + х + 1 имеет следующее каноническое разложе-
разложение: / (ж) = (х2 + х + 1) (к + IJ в F2 [x]. Поэтому символиче-
символическим разложением 2-многочлена L (х) на символически непри-
неприводимые 2-многочлены над !F2 является
L (х) = (х4 + ж2 + ж) <g> (ж2 + ж) ® (ж2 + ж).
Для двух и более g-многочленов над fq, не равных нулю одно-
одновременно, можно определить их наибольший общий символиче-
символический делитель как нормированный g-многочлен над f, наивысшей
степени, который символически делит все эти многочлены. Чтобы
сравнить это понятие с понятием обычного наибольшего общего
делителя этих многочленов, заметим сначала, что корнями наи-
наибольшего общего делителя заданных g-многочленов являются
общие корни всех этих многочленов. Поскольку пересечение под-
подпространств векторного пространства снова является подпро-
подпространством, то корни наибольшего общего делителя образуют
подпространство некоторого расширения fqm поля !Fg (рассматри-
(рассматриваемого как векторное пространство над полем Fq). Далее, при-
применяя к данным ^-многочленам первую часть теоремы 3.50, полу-
получаем, что все корни наибольшего общего делителя имеют одну
и ту же кратность, равную либо единице, либо некоторой степени
числа q. Поэтому из теоремы 3.52 следует, что наибольший общий
делитель данных g-многочленов сам является <7~многочлен<)М-
Но тогда из теоремы 3.62 вытекает, что наибольший общий дели-
делитель и наибольший общий символический делитель совпадают.
Эффективным способом нахождения наибольшего общего (симво-
(символического) делителя данных ^-многочленов над fq является пере-
переход к ^-ассоциированным с ними многочленам и нахождение их
наибольшего общего делителя; тогда линеаризованный ^-ассо-
^-ассоциированный с ним многочлен и будет наибольшим общим (сим-
(символическим) делителем данных ^-многочленов.
Согласно теореме 3.50, корни ненулевого ^-многочлена над JF,
образуют векторное пространство над fq. Эти корни обладают
еще одним дополнительным свойством: q-e степени этих корней
снова являются корнями 1)'. Конечномерное векторное простран-
пространство М над полем р9, содержащееся в некотором расширении
поля fq и обладающее дополнительным свойством, что q-n сте-
степень каждого элемента из М снова принадлежит М, назовем
q-модулем. На основе этого понятия можно установить следующий
критерий.
х) Если L (х) есть ^-многочлен над Fq, то L (хL = L (хч), так что есл
— корень L, то L (р9) = 0. — Прим. перев.
§ 4. Линеаризованные многочлены 153
3.65. Теорема. Нормированный многочлен L (х) тогда и только
тогда является q-многочленом над полем Fq, когда все его корни
имеют одну и ту же кратность, равную единице или некоторой
степени числа q, и эти корни образуют q-модуль.
Доказательство. Необходимость условия вытекает из теоремы
3.50 и сделанных выше замечаний. С другой стороны, из условия
теоремы на основании теоремы 3.52 следует, что многочлен L (х)
является ^-многочленом над некоторым расширением поля tq.
Пусть М — множество корней многочлена L (х). Из условия
теоремы получаем, что
для некоторого неотрицательного целого числа k. Поскольку М
является 9"м°ДУлем. то М = {р"| р ? М). Отсюда получаем
L (х)" = П {х" - рL'1 = П (xq - p)Qk = L (x").
Если
М*)= 2 «***'•
t=0
то
2 <4xf+' = L (х)" = L {х") - S ai/+l,
1=0 t=0
так что af = а,- для 0 <^ i -^ п, т. е. at ? fq. Поэтому L (х)
является <7"мн°гочленом над fq.
Любой ^-многочлен степени q над fq, очевидно, символически
неприводим над fq. Для g-многочленов степени >q над полем fq
понятие ^-модуля можно использовать для характеризации сим-
символически неприводимых многочленов.
3.66. Теорема, q-многочлен L (х) степени >q над полем fq
символически неприводим над Fq тогда и только тогда, когда он
имеет простые корни и эти корни образуют q-модуль М, не со-
содержащий других q-модулей, кроме {0\ и самого М.
Доказательство. Допустим, что многочлен L (х) символически
неприводим над Fq. Если бы он имел кратные корни, то в соответ-
соответствии с теоремой 3.65 его можно было бы записать в виде L (х) =
~ Lj (xf, где LL (x) —• некоторый ^-многочлен над !Fg степени,
большей 1. Но тогда L (х) = х" <g> LL (x), что противоречит сим-
символической неприводимости L (х). Таким образом, L (х) имеет лишь
164 Гл. 3. Многочлены над конечными полями
простые корни. Пусть теперь N — некоторый g-модуль, содер-
содержащийся в М. Тогда из теоремы 3.65 получаем, что L% (х1
= П (х — Р) — некоторый о-многочлен над fg. Поскольку мкч-
Р?#
гочлен La (х) делит L (х) в обычном смысле, то, согласно теор -М
3".6,2, он и символически делит L (х). Но так как многочлен L i с)
символически неприводим над fq, то степень deg (L2) должна
быть равна либо 1, либо deg (L), а это означает, что <7-модул:. V
либо совпадает с {0}, либо с М.
Чтобы доказать достаточность условия теоремы, предполоя..'м,
что L (х) = Lx (x) ® L2 (х) — символическое разложение L • ¦),
где Lx (х) и L2 (х) — некоторые ^-многочлены над Fq. Тогда мно-
многочлен Lt (х) символически делит L (х), а значит, согласно пч-
реме 3.62, он делит L (х) и в обычном смысле. Следовательно, ko;'!ih
многочлена Lt (x) просты и <7-модуль N, образованный этими ьчр-
нями, содержится в М. Поэтому N совпадает либо с {0}, либо с W,
deg (Lx) равна либо 1, либо deg (L). Значит, один из многочлемчв
Lx (x) или L2 (x) имеет степень 1, а это означает, что многоч.И'Н
L (х) символически неприводим над fq.
3.67. Определение. Пусть L (х) — ненулевой ^-многочлен н.ц
полем fqm. Корень ? этого многочлена называется q-n.epeoo6pa.4-
ным корнем над fqm, если он не является корнем никакого непу-
непулевого ^-многочлена над fqm более низкой степени.
К этому понятию можно подойти также с другой точки 3pei мч.
Пусть g (х) — минимальный многочлен элемента ? над полем i ,•-.-
Нетрудно видеть, что ? является ^-первообразным корнем Miicif-
члена L (х) над fqm тогда и только тогда, когда многочлен g (-V)
делит L (х), но не делит никакого ненулевого ^-многочлена более
низкой степени.
Для заданного элемента ? из какого-либо конечного расши-
расширения поля fqm всегда можно найти ненулевой ^-многочлен чач
Fqm, для которого ? является q-первообразным корнем над f ;"»•
Чтобы убедиться в этом, мы поступим так же, как и при пострче-
нии аффинного кратного. Пусть g (х) — минимальный многоч.юн
элемента t, над fqm, и пусть deg (g) = п. Найдем для
j = 0, 1, ..., п однозначно определенный многочлен г{ (х) <
пени deg (rt) < n — 1, такой что х" = rt (x) (mod g
Затем найдем элементы щ ? F т, не равные нулю
менно, для которых 2 airi (х) — 0. С этой целью прирав-
няем нулю коэффициенты при всех степенях х>, 0 <С / <^ п — •
и получим п условий, представляющих собой однородную си-
систему из п линейных уравнений относительно п + 1 неизвестных ;
§ 4. Линеаризованные многочлены 155
ао, аг, ..-, ссп. Такая система всегда имеет нетривиальное реше-
решение, и для любого такого решения (а0, аъ .'.., ап)
?(*) = JJ atxq = JJ аггг (дг) = 0 (mod #(*)),
1=0 i=0
а это значит, что L (х) — ненулевой g-многочлен над Fgm, деля-
делящийся на g(x). Выбрав щ так, чтобы многочлен L (х) оказался
нормированным многочленом наименьшей возможной степени,
мы убедимся, что ? является ^-первообразным корнем многочлена
L (х) над Fgm. Легко видеть, что этот нормированный ^-многочлен
L (х) над Tqm наименьшей положительной степени, который де-
делится на g (x), определяется однозначно; он называется мини-
минимальным q-многочленом элемента ? над tqm.
3.68. Теорема. Пусть ? — элемент из некоторого конечного
расширения поля fqm, и пусть М (х) — его минимальный ц-мно-
гочлен над fqm. Для того чтобы элемент ? был корнем ц-много-
члена К (х) над fqm, необходимо и достаточно, чтобы К (х) =
- L (х) ® М (х) для некоторого ц-многочлена L (х) над fqm.
В частности, при т = 1 это означает, что элемент ? является
корнем q-многочлена К (х) над fqm в том и только том случае,
если К (х) символически делится на М (х).
Доказательство. Если К (х) = L (х) ® М (х) — L (М (х)), то
сразу получаем, что К (?) = 0. Обратно, пусть
t
М (х) = JJ yjX4 , где Yt — 1. YjGiFg'".
/=о
и допустим, что элемент ? является корнем ^-многочлена
г k
А \Х) = 2^ O^kX ) Где Г ^^ f, GC& ^ [Г gW.
k=0
Полагая s = r — t и yj = 0 для / < 0, рассмотрим систему из
s f 1 линейных уравнений относительно s + 1 неизвестных ро>
Ро "Т" У1—ф\ -\~ yt—2$2 -\~ ' ' ' 4" yt—s Ps = at>
== ar.
156
Гл. 3. Многочлены над конечными полями
Ясно, что эта система имеет единственное решение (Р„,
где Р| ? f4m, О <. i <! s. Введем многочлены
Имеем
i=..O
и tf (х) = К (х) - L (М (л-)).
/•¦=0
r
h
q
s
V
2j
i 2j уi x'
i= 0 /=D
i
В силу выбора элементов р,- многочлен I? (,v) имеет степень < ¦ .
Но так как R (Q -¦ К Щ — L (М ("Q) — 0, то ня определен'' '
многочлена М (х) вытекает, что R (х) — нулевой многочлен,Сле-
многочлен,Следовательно, К (х) ==• L (М (х)) ^ L (х) ® М (х).
Обозначим теперь через NL число ^-первообразных над
корней ненулевого (/-многочлена L (х) над К-',,. Рассмотрим зада1.у
нахождения NL. Если g-многочлен L (х) имеет кратные кори-1.
то но теореме 3.65 можно написать L (х) -- Ll (x)Q, где Lx (x)
некоторый ^-многочлен над f4. Так как каждый корень мною-
члена L (х) является в то же время и корнем многочлена Lt (x), in
Nl = 0. Таким образом, можно предположить, что многочлен
L (х) имеет лишь простые корни. Если (leg (L (х)) --¦ 1, то, с.е-
видно, NL= 1. Если же L (х) — многочлен степени qn ? 1
и, кроме того, нормирован (это предположение не ограничиваем
общности), то пусть
I (х) =... /,! (х) 0 . . . 0 1п (х) ® . . . 0 Lr (х) 0 . . . ® 1Г (х)
— символическое разложение L (х) в символическое прои '¦
ведение различных нормированных символически неприводимые
^-многочленов 1г(х), ..., Lr (х) над р,г Мы получим число Л' .
вычитая из полного числа q" корней многочлена L (х) число так-1Ч;
корней этого многочлена, которые в то же время являются кор-
корнями каких-либо ненулевых (/-многочленов над fq степени, мень-
меньшей чем qn. Если t, — один из таких корней многочлена Uл'
и М (х) — его минимальный (/-многочлен над fq, то deg (M (х))
< д11, так что по теореме 3.68 многочлен М (х) символически дел>; i
§ 4. Линеаризованные многочлены 157
L (х). Отсюда следует, что М (х) символически делит один из
таких многочленов Ki (х), 1 < i < г, который получается из
символического разложения L (х) исключением одного символи-
символического сомножителя L* (х), и тогда, согласно теореме 3.68,
Ki (?) = 0. Поскольку каждый корень многочлена Ki (x) является
в то же время и корнем многочлена L (х), мы видим, что число NL
получается вычитанием из qn числа элементов ?, которые являются
корнями каких-либо многочленов Ki (x). Если степень многочлена
Li (х) равна qn', то степень (а значит, и число корней) многочлена
К-, (х) равна дп~. Если при s < г индексы ix, ..., is различны»
1 «С Ч^-г> то число общих корней многочленов Kt (х), ..., Ki, (х)
равно степени их наибольшего общего делителя, которая совпа-
совпадает со степенью их наибольшего общего символического делителя
(см. рассуждение после примера 3.64). Используя символические
разложения, находим, что эта степень равна
q«-»h—-nt
Применяя теперь комбинаторный принцип включения-исключения,
получаем окончательно, что
Это выражение можно интерпретировать и иначе. Пусть / (х)
есть ^-ассоциированный с L (х) многочлен. Тогда
— каноническое разложение многочлена I (х) в кольце Fq [x],
где /; (х) есть ^-ассоциированный с ?г (х) многочлен, 1 <; i <^ г.
Определим аналог функции Эйлера ср (см. упр. 1.4) для ненулевого
многочлена / (х) С Fg Ix], обозначая через Фд (/ (х)) = Фд (/)
число взаимно простых с / (х) многочленов степени, меньшей
deg (/), из Fq 1х\. Тогда из следующего результата вытекает,
что NL = Ф9 (/ (х)).
3.69. Лемма. Функция Фя (/), определенная выше для ненуле-
ненулевых многочленов f С fq Ух), обладает следующими свойствами:
(i) Ф,(/) = 1, если deg(/) = O;
(ii) Фд (fg) = Ф, (/) % (g), если НОД (/, g) = l;
(Hi) если deg (/) = п > 1, то
где п1, ...,пг— степени различных нормированных неприводи-
неприводимых сомножителей из канонического разложения многочлена f
6 ?ч 1х).
168 Гл. 3. Многочлены над конечными полями
Доказательство. Свойство (i) тривиально. Перейдем к свойству
(и). Положим Фд (/) = s и Фд (g) = t, и пусть /х, .,., /я (соотвп"-
ственно ^х, ...,яО — все многочлены из Fq [x], вз-аимно про-
простые с / (соответственно с g), степени которых меньше de^ (/)
(соответственно deg (g)). Если h ? fq lx] — многочлен стеш-пм.
меньшей чем deg (fg), взаимно простой с произведением fg, то ни
взаимно прост также и с каждым из многочленов / и g. Поэтому
найдутся однозначно определенные числа i и /, 1 <; i -< s, I
< / < t, такие, что h = ft (mod/) и h = g, (modg). С др>п>й
стороны, согласно китайской теореме об остатках для колым
Fg 1л;] (см. упр. 1.37), для каждой упорядоченной пары (t, /j.
1 -^ '¦ -^С s, 1 <; / <; t, существует однозначно определенный мно-
многочлен h (x) ? fg [х] степени deg (Л) < deg (fg), обладающий
свойством h = fi (mod /), h = gj (mod g). Отсюда следует, чго
h (x) взаимно прост с каждым из многочленов / (х) и g (x), a :«n:i-
чит, и с их произведением / (х) g (x). Поэтому существует взаимно
однозначное соответствие между st упорядоченными парами (:. /)
и многочленами h (х) ? fq ixl, такими, что deg (Л) < deg [fg)
и НОД (Л, fg) = 1. Следовательно, Ф, (fg) = st = Фд (/) Ф, iftj-
Для натурального числа е и неприводимого многочлена /• f.
С Fg ix] степени m число Фд (Ье) можно подсчитать непос]к'л-
ственно. Если многочлен h ? Fg [x] степени, меньшей 'к-ч
deg (be) = me, не взаимно прост с Ье, то он делится на b и потчму
имеет вид h = bg, где deg (g) < em — m. Такой многочлен g
в Fg [#] можно выбрать qem—m различными способами. Отсюда
ВЫТекаеТ, ЧТО Фд (Ье) = qem — qem-m — gem A — q~m). СВОЙСИЮ
(iii) теперь следует из (ii). У:
3.70. Теорема. Пусть L (х)—ненулевой q-многочлен над У,
и I (х) есть q-ассоциированный с ним многочлен. Тогда число .VL
q-первообразных над fq корней многочлена L (х) равно 0, если
L (х) имеет кратные корни, и равно Фч (I (х)), если L (x) uMivtn
простые корни.
Доказательство. Утверждение теоремы вытекает из леммы 3.69
и предшествующего ей рассуждения. !_"]
3.71. Следствие. Каждый ненулевой q-многочлен над Fy с про-
простыми корнями имеет хотя бы один q-первообразный над 1\
корень.
Выше было введено понятие ^-модуля. Полученные результаты
о «/-первообразных корнях можно использовать для построения
особого типа базиса для ^-модуля.
3.72. Теорема. Для q-модуля М размерности т >- 1 над •<!
существует такой элемент ? ? М, что {?, ?*, ??2, ..., t*"" I ~~
базис М над fq.
§ 4. Линеаризованные многочлены 169
Доказательство. Согласно теореме 3.65, L (х) = П (х — Р)
является ^-многочленом над fq. В силу следствия 3.71 этот много-
многочлен имеет ^-первообразный корень ? над Fg. Поэтому ?, ?«,
С2, •••, ?«т~' являются элементами ^-модуля М. Если бы они
были линейно зависимыми над Fg, то элемент ? был бы корнем
некоторого ненулевого <7-многочлена над fq степени <deg (L (х)) =
— <7т, что противоречит определению ^-первообразного над fq
корня многочлена L (х). Поэтому указанные выше т элементов
линейно независимы над Fq и, следовательно, образуют базис
«/-модуля М над Fq. ?
3.73. Теорема. В поле Fqm имеется ровно Фд (хт — 1) раз-
различных элементов ?, для которых (?, ?«, Z,, ..., ?*т~'} является
базисом Fgm над fq.
Доказательство. Так как поле fqm можно рассматривать как
7-модуль, то доказательство получается применением теоремы 3.72.
Здесь в силу леммы 2.4
Цх)= П (х - р) = х*т - х,
P€Fgm
и каждому q- первообраз ному над F, корню ? многочлена L (х)
соответствует базис указанного вида. С другой стороны, если
элемент ? ? Fqm не является ^-первообразным над f, корнем
многочлена L (х), то элементы ?, ?«, ?«2, ..., ?«m~' линейно зави-
зависимы над fq и, следовательно, не образуют базис в fqm над Fg.
Значит, число элементов ? ? Fqm, для которых {?, ?«, ?'2, ...,
?«от~'} является базисом Fgm над Fg, совпадает с числом ^-перво-
^-первообразных корней над Fg многочлена L (х), которое в силу тео-
теоремы 3.70 равно Ф, (хт — 1). П
Этот результат придает определенную законченность теореме
о нормальном базисе (ср. с определением 2.32 и теоремой 2.35).
Поскольку каждый из элементов ?, ?«, tj1, ..., {чт~~х порождает
один и тот же нормальный базис Fqm над Fq, то число различных
нормальных базисов Fqm над Fq равно A/т) Фд (хт — 1).
3.74. Пример. Подсчитаем число различных нормальных ба-
базисов поля F64 над Fa- Так как 64 = 2е, то это число равно
A/6) Ф2 (хв — 1). Из канонического разложения .многочлена
^-1 в кольце F2 lx]
хв — 1 = (х + IJ (х2 + х + IJ
и леммы 3.69 (ш) получаем, что
i) ( —~) =24.
160 Гл. 3. Многочлены над конечными полями
Следовательно, существуют четыре различных нормальных ба-
базиса F64 над F2. H
§ 5. Двучлены и трехчлены
Двучленом (биномом) называется многочлен, состоящий из двух
ненулевых членов, одним из которых является постоянный член.
Неприводимость двучлена можно охарактеризовать в явном аиле.
Для этого достаточно рассмотреть лишь нормированные нелиней-
нелинейные двучлены.
3.75. Теорема. Для натурального числа t ^> 2 и а ? F*q (>иц-
член х* — а неприводим над полем Fq тогда и только тогда, когда
выполнены следующие два условия:
(i) каждый простой делитель числа t делит порядок с эле-
элемента а в группе FJ, но не делит число (q — \Iе\
(Н) если t кратно четырем, то q = 1 (mod 4).
Доказательство, Пусть условия (i) и (и) выполнены. Тогда
на основании теоремы 3.35 из неприводимости в fq [х] линейного
многочлена f (х) = х — а порядка е следует неприводимость мно-
многочлена / (х') = х* — а в Fq [x].
Допустим, что условие (i) нарушено. Тогда существует про-
простой делитель г числа t, который либо делит число (q— 1)/е, либо
не делит число е, В первом случае (q — \)le = rs для некоторого
s С N. Подгруппа группы FJ, состоящая из r-х степеней элемен-
элементов этой группы, имеет порядок (q — \)lr = es и потому содержит
подгруппу порядка е группы FJ, которая порождается элемен-
элементом а. Это, в частности, означает, что а = Ьг для некоторого k Q
? FJ, а отсюда следует, что двучлен х1 — а = xtir — br имеет
нетривиальный делитель xti — Ъ. Остается случай, когда простой
делитель г числа t не делит ни (q — 1I е, ни е, а значит, не делит и
числа q — 1. В таком случае существует такое натуральное
число гъ что гхг = 1 (mod (q — 1)), и, следовательно, двучлен
х* — а = xiir — апг имеет делитель х'» — агк
Теперь допустим, что условие (i) выполнено, но (ii) нарушено.
Тогда t = 44 Для некоторого 4 С W и ? # 1 (mod 4). Но из (i)
следует, что число е четно, а так как е делит q — 1, то q должно
быть нечетным. Значит, q = 3 (mod 4), и из теоремы 3.37 следует,
что многочлен х* — а приводим в кольце fq lx]. Но это можно
доказать и непосредственно. Заметим сначала, что из условий
на е и q следует, что е = 2 (mod 4). Более того, а'1% = —^. гак
что х? — а = х( + а^1^+х = х< + ad, где d = (е/2) + 1 четно.
Далее,
а* = 4 B-'arf/2J = 4 B-1аУ+1 = 4с4,
§ 5. Двучлены и трехчлены 161
где с = B-lad/2)(t>+1)/4, а это приводит к разложению
х* — а = х4*' + 4с* =
= (x2t* + 2сх{? + 2с2) (я2'* — 2сх*> + 2с2). П
Если ц = 3 (mod 4), то мы можем записать q в виде q = 2Аи —
— 1, где Л > 2 и ц нечетно. Допустим, что условие (i) из тео-
теоремы 3.75 выполнено и число t делится на 2А. Запишем t = Bv,
где В = 2А~1 и v четно. Тогда число k из теоремы 3.37 равно А
я при f (х) — х — а многочлен / {х*) = х* — а разлагается в про-
произведение В нормированных неприводимых многочленов из Fg \x]
степени tlB = v. Эти неприводимые многочлены можно найти
в явном виде. Заметим, что, как и в последней части доказа-
доказательства теоремы 3.75, число d = (е/2) + 1 четно. Поскольку
НОД BВ, q — 1) = 2, то существует число г ? IN, такое, что
2Br = d (mod (q— 1)). Полагая b = ar ? fq, мы получим сле-
следующее каноническое разложение.
3.76. Теорема. Пусть а — отличный от нуля элемент конеч-
конечного поля fq, q — 2Аи — 1, где А — целое число, А ~^> 2, и и не-
нечетно. Пусть е — порядок элемента а в группе F*q и для натураль-
натурального числа t, кратного 2Л = 2В, выполнено условие (i) теоремы
3,75. Тогда двучлен х* — а разлагается в произведение В нормиро-
нормированных неприводимых сомножителей степени v = tlB:
в
х* - а = П (xv - bcjx»'2 - b2),
где b = ar, 2Br = е/2 + 1 (mod (q — 1)), а элементы ct cB —
корни многочлена
В/2
i\(B — 2i)\ tiTgW,
при этом все Cj лежат в Fq, 1 < / < В.
Доказательство. Для ненулевого элемента у из некоторого
расширения поля Fq
(х — у)(х + у1) = хг — Рх — 1, где р = у — ух.
Применяя утверждение и обозначения формулы Варинга (см.
теорему 1.76), получаем
Зак. 222
162 Гл. 3. Многочлены над конечными полями
В/2
= 2
Полагая Xj = у, х2 = —у» получаем
В/2
ув + 7-в = 2 (-1)' (Д-^-^'Д рв-2* (_1}, = F (р).
Если с; — корень многочлена F (х) из некоторого расширения
поля Ц-'д и yj — корень квадратного трехчлена х2 — с^х — 1 из
некоторого расширения поля F?, то 7/ — V/ = с/> так что vf *т~
+ у]~в = F (Cj) = 0, поэтому 7/В = —1- Так как q + 1 = 2fl«,
где ы нечетно, то y/+1 = (—1)" — —Ь откуда yf = —V/- Тогда
с) = (т/ - уТУ = у1- гГ = - чТх + v/ = с,.
так что с7- ^ Fa-
Так как F (х) — нормированный многочлен, то
в
F(x)= Щх-cj),
откуда
ув + у-в = F(p) = П (р _ 0) = П (v - v-^).
Это означает, что
в
Поскольку это равенство справедливо для любого элемента у
из любого расширения поля IFg (в том числе и для у = 0), мы
получаем полиномиальное равенство
в
Х2В + 1 = П (JC2 — CjJC — 1).
Подставляя в него b~xxvl2 вместо х и умножая на Ь2В, получаем
(полагая d = (е/2) + 1) разложение многочлена
xBv _j_ b2B = д* + й2Вг = jj/ _j_ дй = ж< _ а
(ср. с заключительной частью доказательства теоремы 3.75).
Полученные сомножители неприводимы в fq [x), поскольку
нам уже известно, что на основании теоремы 3.37 каноническое
разложение двучлена х* — а содержит В неприводимых много-
многочленов из F? \x\ степени v (см. рассуждение, предшествующее
теореме 3.76). D
§ 5. Двучлены и трехчлены 163
3.77. Пример. Разложим двучлен хы — 3 в кольце F7 lx].
Здесь q — 28 — 1, так что Л = 3, В = 4 и » = 6. Кроме того,
элемент а = 3 имеет в группе F? порядок е = 6, так что усло-
условие (i) теоремы 3.75 выполнено и можно применить теорему 3.76.
Имеем d = 4 и, решая сравнение 8г = 4 (mod 6), получаем г = 2.
Поэтому 6 = а2 = 2. Далее, многочлен F (х) = х* + 4л;2 + 2
имеет в поле F? корни ±1 и +3. Таким образом, получаем кано-
каноническое разложение многочлена хи — 3 в кольце F? ixh
хп _ з = (хв — 2л:8 — 4) (л;6 + 2х8 — 4) (х9 — х8 — 4) (х9 +
+ л;8 — 4). ?
Трехчленом называется многочлен из трех ненулевых членов,
одним из которых является постоянный член. Сначала мы рас-
рассмотрим такие трехчлены, которые являются аффинными много-
многочленами.
3.78. Теорема. Пусть а — ненулевой элемент конечного поля
fq характеристики р. Трехчлен хр — х — а неприводим в fq ix\
тогда и только тогда, когда он не имеет корней в поле fq.
Доказательство. Если {J — какой-либо корень многочлена
хр — х — а в некотором расширении поля lFg, то, согласно
доказательству теоремы 3.56, множеством корней многочлена
хр — х — а является р + U, где U — множество корней линеа-
линеаризованного многочлена (р-многочлена) х" — х. Но нам известно,
что U = Fp, так что
х» — х — а = П (х — р — Ь).
Допустим теперь, что трехчлен хр — х — а имеет делитель
g (z ?q lx], где 1 < г = deg (g) < p и g — нормированный мно-
многочлен. Тогда
g (X) = U (x - р - bt)
для некоторых Ьг ? Fp. Сравнивая коэффициенты при хг~х,
получаем, что ф + Ьх + ... + Ьг — элемент из поля F,. По-
Поскольку число г как элемент поля fq имеет мультипликативный
обратный элемент в этом поле, то р ? Fq. Итак, мы показали,
что если трехчлен х» — х — а нетривиально разлагается в кольце
Fq [л:], то он имеет корень в поле fq. Обратное же утверждение
тривиально.
3.79. Следствие. В обозначениях теоремы 3.78 трехчлен
хр — х — а неприводим в кольце fq lx ] тогда и только тогда,
когда TrF (а) Ф 0.
164 Гл. 3. Многочлены над конечными полями
Доказательство. По теореме 2.25 многочлен хр— х - а
тогда и только тогда имеет корень в поле fq, когда абсолютный
след Тгр (а) равен нулю. Остальное вытекает из теоремы 3.78 -1
Поскольку для любого Ь ? fq многочлен / (х) неприво.шч
над полем F, тогда и только тогда, когда непривбдим над ;,
многочлен / (Ьх), то приведенный выше критерий сохраняет силу
также и для трехчленов вида Ьрхр — Ьх — а.
Что же касается более общих трехчленов подобного вида,
степенью которых является не характеристика р исходного поля,
а некоторая ее степень рп, п > 1, то найденные выше критерии
для них уже недействительны. Однако в этом случае может быгь
установлена следующая формула разложения.
3.80. Теорема. Пусть Fg = F — конечное поле и fr = /( —
его собственное подполе. Если а ? F, = К, то трехчлен х^ — х —
— а имеет следующее разложение в кольце fq [x\:
Ч/г
хч-~х-а = П (хг — х — $)), (ЗЛЯ)
где $; — различные элементы поля fq, для которых TrF/K (p^) = и.
Доказательство. Пусть $j ? Fg — элемент, указанный в тео-
теореме, и пусть у — корень трехчлена хг — х — рг из некоторо! о
расширения поля fq. Тогда уг — у = fij, так что
а = TrF/K ф}) = TrF/K (у - Y) =
= (г - у) + (г - уУ + (уг - уУ + ¦ • ¦ + (г - уУ"г = г-ъ
т. е. элемент y является корнем трехчлена х9 — х — а. Поскольку
многочлен хг — х — ftj имеет лишь простые корни, то хг — х — Р/
делит трехчлен хч — х — а. А так как все трехчлены хг — х — р...
/ = 1, ..., qlr, попарно взаимно просты, то их произведение делит
многочлен х" — х — а. Сравнение степеней и старших коэффи-
коэффициентов многочленов в обеих частях формулы C.18) показывает,
что эти многочлены совпадают.
3.81. Пример. Пусть х9 — х — 1 —трехчлен из F9 lx]. Рас-
Рассматривая поле F9 как F3 («). где а — корень неприводимого
многочлена х2 — х — 1 ? f3 [x\, получим, что элементами поля
F», имеющими абсолютный след, равный 1, являются элементы
—1, а и 1 — а. Поэтому формула C.18) приводит к следующему
разложению:
*• _ х — 1 = (х3 — х + 1) (х3 — х — а) (х3 — х — 1 + а).
Так как все три сомножителя неприводимы в кольце Fe [xl.
то мы одновременно получили и каноническое разложение трех-
трехчлена х9 — х — 1 в F9 (х 1. О
§ 5. Двучлены и трехчлены 165
Наши познания о неприводимых трехчленах можно теперь
применить для того, чтобы, исходя из данных неприводимых
многочленов, строить новые.
3.82. Теорема. Пусть f (х) = хт + ат_ххт~х + ... + Оо —
неприводимый многочлен над полем Fq характеристики р, и
пусть b ? Fq. Многочлен f (xp — х — Ь) неприводим над по-
полем ?q тогда и только тогда, когда абсолютный след Тгр (mb —
—flm-t) отличен от нуля.
Доказательство. Допустим, что TrF (mb — am_,) Ф 0. Поло-
Положим К = ?я, и пусть F — поле разложения многочлена / над i(.
Если а ? F — корень многочлена /, то на основании теоремы 2.14
все возможные корни данного многочлена — это различные
элементы а, а», а, ..., а"т~~1; при этом F = К (а). Кроме того,
Тгр//< (а) = —am_i, согласно B.2), и, применяя теорему 2.26,
получаем, что
Тг, (а + Ь) = Ti> (Trm (а + Ь)) = 7гк (- ат_, + mb) ф 0.
На основании следствия 3.79 трехчлен хр — х — (а + Ь) непри-
неприводим над полем F. Поэтому [F ф) : F] = р, где р — корень
трехчлена хр — х — (а ¦+ Ь). Из теоремы 1.84 получаем, что
[F (р) : К) = IF ф) : F] [F : К] = рт.
Далее, так как а = р" — р — Ь, то а ^ К (р) и К (Р) = К (а,
р) = F ф). .Это значит, что [К ф) : К] = рт, и минимальный
многочлен элемента р над К имеет степень рт. Но ввиду того что
/ (Рр — р — Ь) — f (а) = 0, элемент р является корнем норми-
нормированного многочлена f (хр—х — Ь) ? К 1х] степени рт. Из
теоремы 3.33 (и) следует, что / (хр — х — Ь) — минимальный
многочлен элемента р над полем К, и потому по теореме 3.33 (i)
он неприводим над полем К — Fq.
Если же Тгр (mb — ат_х) = 0, то трехчлен хр — х — (а + Ь)
приводим над полем F, так что [F ф) : F ] < р для любого корня р
трехчлена хр — х — (а + Ь). Такое же рассуждение, как и выше,
показывает, что р является корнем многочлена / (хр — х — Ь)
и при этом [F (Р) : К) < рт, откуда вытекает приводимость мно-
многочлена / (хр — х — Ь) над полем К = ?q- ?
Для некоторых типов приводимых трехчленов можно устано-
установить вид их канонических разложений. Условия следующей тео-
теоремы включают в себя требование неприводимости некоторого
двучлена — вопрос, решаемый теоремой 3.75.
3.83. Теорема. Пусть задан трехчлен f (х) = хг — ах — b ?
€ Fg lx], степень г > 2 которого является степенью характери-
характеристики поля Fg, и пусть двучлен хг~1 — а неприводим над Fq.
166 Гл, 8. Многочлены над конечными полями !!
Тогда, трехчлен f (х) являемся произведением некоторого линей--
ного многочлена и неприводимого над Fg многочлена степени г — 1,-
Доказательство. Так как /' (х) == —а Ф О, то трехчлен f {ж):
имеет лишь простые корни. Если р — характеристика поля fqt
то / (х) является аффинным р-многочленом над fq. Поэтому на
основании теоремы 3.56 разность у двух различных корней трех-
трехчлена / (ж) является корнем /)-многочлена г/ — ах, а значит,
и корнем двучлена хг~1 —¦ а. Ввиду неприводимости этого дву--
члена и условия г -- 1 > 1 мы получаем, что элемент у не при-
принадлежит полю Fg, так что существует корень а трехчлена / (х),
не являющийся элементом ноля fq. Тогда <xq Ф а, причем а*
тоже является корнем / (х), поэтому, согласно сказанному выше»
разность а" - ¦ а является корнем неприводимого двучлена хг~1 —¦
— а над Ff, так что И", (а4 — а) : fq 1 == г — 1. Ввиду того
что Fq (а" — а) <= fq (а), степень т — [fq (a) : fq] кратна
числу г—1. С другой стороны, а — корень многочлена / (ж)
степени г, так что т <=С т- Но поскольку г > 2, то для т остается
единственная возможность, а именно т — г — 1. Таким образом,
минимальным многочленом элемента а над f'q является некоторый
неприводимый многочлен над fq степени г — 1, делящий трех-
трехчлен / (х). Отсюда сразу вытекает утверждение теоремы. Q
Для частного случая простых конечных полей можно среди
трехчленов определенного вида выделить примитивные много-
многочлены.
3.84. Теорема, Для простого числа р трехчлен хр —• х — а ?
С ?р 1х] в том и только moAi случае является примитивным
многочленом над Fp, если а — примитивный элемент поля Тр
и при этом ord (хр — х — 1) = (рр — 1)/(р — 1).
Доказательство. Допустим сначала, что f (х) == хр — х — а —¦
примитивный многочлен над Fp, Тогда по теореме 3,18 элемент а
является примитивным элементом поля рр. Если р — корень
многочлена g (х) — хр — х — 1 из некоторого расширения
поля рр, то
О = ag ф) = а (Р" — р — 1) = аР§р _ ар _ а = / (ар),
так что элемент а = ар является корнем неприводимого трехчле-
трехчлена f (х) и, следовательно, примитивным элементом поля Fpp.
Поэтому рг Ф 1 для 0 < г < (рр — 1)/(р — 1), так как в против-
противном случае мы получили бы аг*р~'» —- 1 для 0 < г (р — 1) <С
< рр — 1, что противоречит примитивности элемента а в поле f рр«
С другой стороны, согласно следствию 3.79, трехчлен g (x) непрй-
водим над Fp, так что
g(x)=>x»~x-l=(x - Р) (х - рр) .., (х - р^-1).
§ 5. Двучлены и трехчлены 167
Сравнение постоянных членов приводит к равенству
p(pp-l)l(p-i) = 1, откуда по теореме 3.3 следует, что порядок
многочлена g (х) = хр — х — 1 равен (рр — \I{р — 1).
Обратно, если выполнены условия теоремы, то элементы а
и р имеют в мультипликативной группе f*p порядки р — 1
и (рр — 1)/(Р — 1) соответственно. Далее,
(рр - 1)/(р — О = 1 + Р + Р2 + ... + Рр-1 =
= 1 + 1 + 1 + ... + 1 ЕЕ
ее р = 1 (mod (р - 1)),
так что числа р — 1 и (рр — 1)/(р — 1) взаимно просты. Поэтому
элемента = ар имеет порядок (р — 1)-(рр — 1)/(р — 1) = рр — 1
в группе F*p. Следовательно, а — примитивный элемент поля Fpp,
а значит, f (х) — примитивный многочлен над Тр. ?
3.85. Пример. Для р = 5 мы имеем (рр — \I{р — 1) = 781 =
= 11-71. Из доказательства теоремы 3.84 следует, что я781 ее
vi I (mod {хь — х — 1)), и так как я11 Ф 1 (mod {хъ — х — 1))
и х11 ф 1 (mod {хь — х — 1)), то получаем, что ord (хъ — х — 1) =
— 781. Далее, числа 2 и 3 являются примитивными элементами
поля F6, поэтому, согласно теореме 3.84, трехчлены хъ — х — 2
и хъ — х — 3 являются примитивными многочленами над по-
полем F5- D
Нетрудно видеть, что квадратный трехчлен х2 + х + а над
полем fq нечетной характеристики является неприводимым в коль-
кольце Fg \x] в том и только том случае, если элемент а не представим
в виде а = 4 — б2 ни для какого b ? Fq. Следовательно, су-
существует (q — 1)/2 различных выборов элемента а (~ fq, для ко-
которых квадратный трехчлен х2 + х + а неприводим над Fg-
И вообще число элементов а ? fq, для которых трехчлен хп +
+ х + а неприводим над Fg, как правило, асимптотически
равно qln согласно следующему результату.
3.86. Теорема. Пусть характеристика р конечного поля f ч
не делит числа 2га (п — 1), где га ? Ы , га > 2, и пусть число эле-
элементов а ? Fg, для которых трехчлен хп + х + а неприводим
над Fg, равно Тп (q). Тогда существует константа Вп, завися-
зависящая лишь от га, такая, что
Доказательство этой теоремы, опирающееся на тонкое иссле-
исследование некоторых групп Галуа, мы опускаем.
В определении 1.92 было введено понятие дискриминанта
многочлена. Ниже устанавливается точная формула для дискри-
дискриминанта трехчлена.
168 Гл. 3, Многочлены над конечными полями
3.87. Теорема, Дискриминант трехчлена хп + axk
E fq [х], где п > k i> 1, выражается формулой
D (х" + axk + 6) = (—1)"("-')/2/,*-i.
d = НОД (я,
Комментарии
§ 1. Разнообразный материал о многочленах над конечными
полями можно найти в монографиях Albert [3, ch. 51 и Beiie-
kamp [4], а также в вышедших совсем недавно книгах Blake,
Mullln ll ], MacWilliams, Sloane [21 и McDonald [1 ]. Результаты,
содержащиеся в этих книгах, имеют отношение ко всем парагра-
параграфам этой главы. Дальнейшие результаты о многочленах и неко-
некоторые дополнительные ссылки на материал, выходящий за рамки
нашей книги, будут приведены в конце комментариев к § 5,
Основные результаты, содержащиеся в лемме 3,1 и следствии
3.4, были доказаны еще Гауссом (Gauss [4]). Изучение порядка
многочлена было продолжено Серре (Serret [3 I) и Пелле (Pel-
(Pellet til), в последней статье можно найти теорему 3.5; см. также
Bachmann 14, ch. 71 и DIckson [7, part I, ch. 3], О теоремах 3.8
и 3,9 см., например, Ward [5]. Простой метод определения ord (/)
для неприводимого над простым полем f р многочлена / степени т
в случае, когда (рт — 1)/(р •— 1) — простое число, предложен
Гараковым в [2 1. Как уже отмечалось в основном тексте, порядок
многочлена (см. определение 3.2) иногда называют также перио-
периодом (Berlekamp [4]) или экспонентой (Albert 13], Dickson I7J)
этого многочлена. Понятие порядка многочлена от нескольких
переменных было введено Лонгом (Long [11, [21). Для многочле-
многочлена / (х) над fg, удовлетворяющего условию / @) Ф 0, наименьшее
натуральное число е, такое, что / (х) делит двучлен хе — с при
некотором с ? ?q, называется приведенным порядком этого много-
многочлена; его называют еще интегральным порядком (Bose, Chowla,
Rao [1 ]) нли субэкспонешпой (Hirschfeld [41, [5]) многочлена / (х).
Связь между порядком и приведенным порядком неприводимого
многочлена неявно указана в статье Ward [6]; ср. также с леммой
3.17.
Таблицы неприводимых многочленов и их порядков имеются,
например, в следующих работах: Chang, Godwin [1], Golomb
D, ch, 3], Marsh [1 1 и МсЕНесе 13] (см. также гл. 10 этой книги).
Ключевым моментом при отыскании порядков неприводимых
многочленов является разложение на множители чисел вида qm —-_1-
Укажем некоторые источники, где можно найти такие разложения.
Классические таблицы таких разложений имеются в работах
Cunningham» Woodall [1], Cunningham [1] и KraTtchik 111.
Комментарии 169
В статьях Lehmer D. Н. [4], [5] развит эффективный метод ре-
решета для делителей чисел вида qm — 1, а в статьях Lehmer D. Н.
[1 ], [2], [3], [7], [10]—различные методы для проверки на
простоту и разложения на множители чисел такого вида; см.
также Kraitchik [2] и Miller J. С. Р. [1]. В статье Brillhart,
Selfridge [I ] дается список полных разложений чисел вида 2т — 1,
а в работе Brillhart, Lehmer, Selfridge [1 ] приводятся дальнейшие
сведения о разложении чисел такого вида. Обзор различных ме-
методов разложения дается в работах Knuth [3, ch. 4] и Willi-
Williams Н. С. [2].
В связи с определением 3.12 отметим интересный класс само-
самовозвратных многочленов, т. е. таких многочленов /, для которых
/* = / (см. также упр. 3.13—3.15, 3.24 и 3.93). В статье Levine,
Brawley [1] определяется число нормированных неприводимых
самовозвратных многочленов данной степени (равной 2 или 4),
а в статье Carlitz [105] та же задача решается для многочленов
любой четной степени. По поводу дальнейших результатов о само-
самовозвратных многочленах см. также Fredman [I], Golomb [5],
Hong, Bossen [1], Miller R. L. [1] и Варшамов, Гараков [1].
В работах Knee, Goldman [1] и Levine, Brawley [1] изучаются
квазисамовозвратные многочлены, т. е. такие многочлены, для ко-
которых /* = ±/. В статье Albert [5] свойство двух неприводимых
многочленов одинаковой степени над F2 быть возвратными друг
к другу описывается при помощи многочленов, корнями которых
являются произведения корней исходных многочленов. В связи
с теоремой 3.14 см. Chang, Godwin [1]. В статье MacWilliams,
Odlyzko [1] связь между разложением многочлена и разложе-
разложением возвратного к нему многочлена использована для опровер-
опровержения гипотезы о корреляции конечных последовательностей
из поля F2.
Примитивные многочлены называются еще индексирующими
(indexing) многочленами (см. Alanen, Knuth [2] и Sugimoto [1]).
Конечно, такие многочлены тесно связаны с примитивными
элементами конечных полей. Ватсон (Watson E. J. ll ]) приводит
список, где указано по одному примитивному многочлену над F2
для всех степеней п ^ 100, а в статье Stahnke [1] —для всех
степеней п < 168. В статье Sugimoto 11] приводится таблица
примитивных многочленов над простыми полями Fp для 3 <
< р < 47. Списки примитивных многочленов имеются также
в следующих источниках: Alanen, Knuth [1], [2], Bussey [1],
12], Marsh [1 ], Peterson, Weldon [1], а также в гл. 10 настоящей
книги. В статье Bose, Chowla, Rao A ], [2] дается характеризация
примитивных многочленов степеней 2 и 3. Карлиц (Carlitz [96])
показал, что над полем fq существует в точности один примитив-
примитивный многочлен степени п лишь в случаях, когда q = 2, п <^ 2
или q = 3, п = 1. В статьях Beard [5] и Beard, West [1]
170 Гл. 3. Многочлены над конечными полями ¦
i
продолжено изучение примитивных элементов и примитивных !
многочленов, начатое Карлицом (Carlitz [35]), В работе Billurz
[1] доказан для примитивных многочленов аналог гипотезы Ар-
тина (Artin [1]) о первообразных корнях при определенном
предположении о местонахождении нулей конгруэнц-дзета-1'\ нк- ¦
ций (см. об этих функциях комментарии к §4 гл. 6). Это пре/пило-
жение было доказано Дэвенпортом (Davenport [7]) и в более i ii.il- "
ной форме А. Вейлем (Weil 11], B], [3]). В статье Brown. Za^-
senhaus [1] изучается относительная частота простых чисм />,
для которых заданный неприводимый над полем рациональны \ чи-
чисел Q многочлен с целыми коэффициентами будет примите ышч
многочленом по модулю р. Мирончиков [1] доказал связанный •
с теоремой 3.16 результат о том, что многочлен / ? F2 lx I не- ¦
приводим над F2, если deg (/) = 2т и ord (/) = 2т + 1, . ч- т J
четно. В работе Agou [12 ] получена характеризация неприводимых
многочленов заданного порядка, а значит, в частности, и прими-
примитивных многочленов. Теорема 3.18 доказана в работе Al.'iieii.
Knuth [2] для конечных простых полей. В статьях Hirschfebl 14 I.
[5] изучались подпримитшные многочлены, т. е. такие много'мсны
над полем fq некоторой степени т, которые имеют привед нный ¦
порядок (qm — l)/(q — 1). В соответствии с теоремой 3.18 к.'жлый
примитивный многочлен над fq является также подпримнтитплм.
§ 2. Первое крупное исследование о неприводимых г иш со-
сочленах и неприводимых делителях многочленов от одной перемен-
переменной над полем fq было проведено Диксоном (Dickson [7ji. ко-
который опирался на ранние работы Jordan С. [2], Pallet 17 I и
Serret [2], [4]. Теорема 3.25 была доказана еще Гауссом (Gauss
14]) для случая конечных простых полей; см. также Dedekii il 11 ]
и Schonemann [3]. Доказательства этой теоремы можно н.шти
также в следующих источниках: Albert [3, ch. 5], Baclim;iiin
[4, ch. 7], Berlekamp [4, ch. 3], Dickson [7, part I, ch. 2 I. Je-
ger [1], Serret [3], Simmons [1] и van de Vooren-van Veen 111.
Общая теория функций Мёбиуса и обращения Мёбиуса была раз-
развита Рота (Rota [1]). Некоторые общие принципы, лежащие
в основе подсчета числа неприводимых многочленов, были ука-
указаны Фредманом (Fredman [1]). Ленской [1] и Вильяме (Wil-
(Williams К. S. A1]) получили асимптотические формулы для числа
нормированных неприводимых многочленов над fq степени
^ п и степени п соответственно. Об абстрактной точке зрения-,
на такие формулы см. Knopfmacher [1], [2]. Карлиц (Carlitz I4i)l)
обобщил результат Диксона (Dickson [29]), дав асимптотическую
формулу для числа неприводимых многочленов над Fq с нокпто-
рыми заранее заданными коэффициентами; см. также Cohen S I).
[7], Dress [I ], Hayes [2], Uchiyama [1], 14], Williams К. S П51
и Варшамов [3], 15]. В статьях Levine, Brawley [1 ], Carlitz I IJ
и Fredman [1] изучается число нормированных неприводимых
Комментарии 171
самовозвратных многочленов фиксированной степени. Фредман
(Fredman [1 ]) обсуждает также подсчет числа неприводимых
многочленов других типов. В работе Golomb [6 ] установлено вза-
взаимно однозначное соответствие между неприводимыми многочле-
многочленами степени п над полем Fq и непериодическими ожерельями
из п бусинок q разных цветов и тем самым определено число таких
ожерелий. См. также статью Miller R. L. [1 ] одругих вычислитель-
вычислительных задачах.
В связи с теоремой 3.27 напомним, что ссылки на работы о кру-
круговых многочленах собраны в комментариях к § 4 гл. 2.
Формула для / (q, п; х) в теореме 3.29 по еуществу принадле-
принадлежит Дедекинду (Dedekind [1]); см. также Serret [2], [4], 15],
Diekson [3], 17, part, I, ch. 2], Bachmann [4, ch. 7] и Albert
13, ch. 5]. Карлиц (Carlitz [3]) доказал формулы для наимень-
наименьшего общего кратного (см. также Walker [1 ]) и для произведения
всех нормированных многочленов над fq фиксированной степени
(см. также Willims К. S. [26]). Последнюю формулу можно приме-
применить также при вычислении произведений характеристических мно-
многочленов для некоторых классов матриц над fq (см. Carlitz [104J).
Таблицы неприводимых многочленов можно найти в следую-
следующих источниках: Alanen, Knuth A], [2], Bussey [1], [2], Chang,
Godwin [1 ], Church [1 ], Golomb [4, ch. 3], Marsh [1 ], Mossige [11,
Peterson, Weldon [1 ], Гараков [З] и в гл. 10 настоящей книги.
В работе Conway 11 ] приведены фрагменты более полных таблиц
для конечных полей порядков рп < 1024 (р — простое число,
п > 2), в которых для каждого элемента такого поля указываются
его характеристический и минимальный многочлены над каждым
собственным подполем; см. также гл. 10 (§ 1 и таблицу В) этой
книги.
Неприводимые кубические многочлены были подробно изу-
изучены в следующих работах: Cailler [I ], Carlitz [103], Diekson [9],
129], Mirimanoff [1], Williams К. S. [32] и Гельфанд [1],
B]. О неприводимых многочленах четвертой степени см. Albert
C, ch. 5], Carlitz [73], [103], Diekson. [9], Leonard, Williams [11
и Skolem [4]. Ceppe (Serret 14], [5]) и Диксон (Diekson [3],
17, part I, ch. 3]) охарактеризовали такие неприводимые много-
многочлены, степени которых являются степенями характеристики ос-
основного конечного поля. В статье Golomb, Lempel [I I изучаются
неприводимые многочлены, задаваемые рекуррентными соотно-
соотношениями второго порядка. О неприводимых двучленах и трехчле-
трехчленах см. § 5 и комментарии к нему. Агу в статьях Agou [1 ], [3]
показал, что нормированный многочлен / (х) над fq степени п >- 1
неприводим над Fg тогда и только тогда, когда он делит коэффи-
коэффициенты следующего многочлена от у:
Г/2 Гл. 3. Многочлены над конечными полями
в работе Agou 13] он дает аналогичный критерий того, чтобы дан-
данный нормированный многочлен был степенью неприводимого
многочлена, В работе того же автора Agou 191 найден критерий
неприводимости над Fg многочлена / (g (ж)), где f, g ? Fg lx] —
нормированные многочлены, причем / (х) неприводим над IF-.
Этот критерий он использует в статьях Agou [9], [13], fi5j,
116] для характеризации неприводимых многочленов некоторых
en».; Li ,ных типов, таких, как / (хрГ — ах), f (хр—х — Ь)
и ,',< ! !<-• юбные неприводимые композиции изучаются также в § 5
эъ_->\ ; ,иы и в статьях Cohen S. D. [21, [10], Long [3], [4 I и Ore
[6j. u композициях вида / (x?) см, § 3.
Действие группы аффинных преобразований на множестве
всех неприводимых многочленов над fq рассматривалось в ра-
работе Dodunekov [1 ], а действие группы дробно-линейных преоб-
преобразований с коэффициентами из простого поля fp на множестве
неприводимых многочленов данной степени над Fp изучалось
в статьях Brahana [1], [21 и Hanneken [1], [2], f3J, [41, [51.
Действие той же группы при р =¦ 2 на множестве корней непри-
неприводимых над f2 многочленов рассматривается в работе Golomb [5].
Корнблюм (Kornbluni 11 1) доказал для кольца fq lx] аналог
теоремы Дирихле о простых числах в арифметической прогрес-
сии, а именно он показал, что если g и h — ненулевые взаимно
простые многочлены из fq lx], то сущеструет бесконечно много
нормированных неприводимых многочленов / (х) над Ff, сравни-
сравнимых по модулю h (x) с g (x), даже при дополнительном предполо-
предположении, что их степени (leg (/) принадлежат заданной арифметиче-
арифметической прогрессии. В статьях Artin [I I, Cohen S. D, [71, Hayes [_'l.
Johnsen {21 и Rhln 131 получены количественные уточнения эп>гп
результата, Дэвенпорт (Davenport 16]) применил результат Корн-
блюма для изучения примитивных элементов.
Карлиц (Carlitz [151, 195], [991) рассматривал распределение
неприводимых многочленов от нескольких переменных; эта за-
забота продолжена статьями Cohen S. D. UJ, [3] и Fredman [-I-
В статье Prabhu, Bose fi 1 предлагается способ оценки числа не-
неприводимых многочленов в кольце fq lx1, ..., хп] с заранее ia-
данными степенями по каждой переменной л:,-. Карлиц (Carlitz [1-1)
назвал многочлен от нескольких переменных факторизуемым-
если его можно разложить в произведение линейных сомножителей
над некоторым конечным расширением поля Fr В этой же ра-
работе найдено число факторизуемых многочленов и число неприво-
неприводимых факторизуемых многочленов данной степени над ' а-
Факторизуемые многочлены изучались также в работах Agou (< 1.
Carlitz 1151, Long [11, 12], [5] и Williams К. S. [14]. Об абсолют "•'
неприводимых многочленах от нескольких переменных см. ? ¦!
гл. 6.
Комментарии 173
§ 3. Теоремы 3.35 и 3.37 для конечных простых полей дока-
доказаны Серре (Serret [2]); см. также Albert [3, ch. 5] и Dickson [7,
part I, ch. 3]. Прямой метод получения неприводимых многочле-
многочленов данной степени и данного порядка исследовался Голомбом
(Golomb [8]). Теоремы 3.38 и 3.39 были доказаны в статье Day-
kin [61. Эта статья содержит и другие результаты о характеристи-
характеристических многочленах ft для степеней а* элемента а ? f4. Для
случая примитивного элемента а алгоритм вычисления характе-
характеристических многочленов ft был описан в работе Alanen, Knuth
[2]. Голомб (Golomb [6]) дал алгоритм нахождения минималь-
минимального многочлена для степени а* элемента а по минимальному
многочлену самого элемента а над F2; см. также Gordon [1 ].
В случае когда минимальный многочлен элемента а над F2 яв-
является трехчленом, см. также Bajoga [1 ] и Bajoga, Walbesser [I ].
Алгоритмы для нахождения минимальных многочленов обсуж-
обсуждаются также в книгах Berlekamp [4, ch. 4] и MacWilliams,
Sloane [2, ch. 4]. Таблицы характеристических и минималь-
минимальных многочленов см. в работе Conway [1]; ср. также с § 1
гл. 10. "
Критерии неприводимости для многочленов вида / (х*) уста-
установлены в статьях Agou [9], [10], [11 ], Butler [2], Cohen S. D.
12], Pellet [7], Petterson [3] и Serret [2 j, [3]. Связь между поряд-
порядками многочленов / (х*) и / (х) изучается в работах Berlekamp
[4, ch. 6] и Варшамов, Ананиашвили [1].
Другие классические методы построения неприводимых и
примитивных многочленов можно найти в работах Albert [3,
ch. 5], Dickson [3], [7, part I, ch. 3], Pellet [4], [5] и Serret [2].
Алгоритм построения всех неприводимых многочленов над ко-
конечным простым полем был предложен в статьях Popovici 11],
12]. В работах Rabin [1 ] и Calmet, Loss ll ] описаны вероятност-
вероятностные алгоритмы для построения неприводимых многочленов. Вар-
Варшамов и Антонян [1] описали метод построения новых неприво-
неприводимых многочленов над полем Fa. исходя из данного неприводимого
многочлена; см. также Варшамов [2]. В статьях Swift ll ] и Вар-
Варшамов [4] показывается, как строить неприводимые многочлены
наД F2> исходя из примитивных многочленов. В последней статье
содержится также теоретико-матричный метод построения всех
неприводимых многочленов, степени которых делят п, исходя
из некоторого неприводимого многочлена степени п. В работах
Lernpel [1] и Swift [1] описываются методы нахождения прими-
примитивных многочленов над полем F2, а Варшамов и Гамкрелидзе [1 ]
Указывают аналогичные конструктивные методы для случая произ-
произвольного конечного простого поля Fp. В статье Alanen, Knuth
l^J приведены алгоритмы для построения новых прими-
примитивных многочленов над Fn. исходя из одного такого много-
многочлена.
174 Гл. 3, Многочлены над конечными полями
Теорема 8,46 была доказана Пелле (Pellet [1]) для конечных
простых полей и Диксоном (Dickson 17, part I, ch. 3]) для произ-
произвольных конечных полей; см, также Agou 141,
§ 4. Многие результаты этого параграфа восходят к фунда-
фундаментальным статьям Ope (Ore [4J, 15], 16], [7]). Некоторые из
результатов Оре предвидел Релла (Rella [11), В статье Ore i4]
изучаются р-многочлены над произвольными полями характе-
характеристики р. Теория линеаризованных многочленов над конечными
полями была широко развита в работе Ore [5], там же обобщаются
некоторые результаты из статьи Dickson [3] и исследуется опе-
операция символического умножения. В статье Ore 16] изучение этих
вопросов продолжено, в ней дается также важное уточнение тео-
теоремы о нормальном базисе (см, теоремы 3.72 и 3.73). Та же тех-
техника применяется Артином (Artin [3]) для доказательства тео-
теоремы о нормальном базисе для некоторых бесконечных полей ха-
характеристики р. Дальнейшие ссылки, связанные с теоремой о
нормальном базисе, см, в комментариях к § 3 гл. 2, Формула из
леммы 3.51 установлена Муром (Мооге [3]). Ее простое доказа-
доказательство указано Диксоном (Dickson [80]).
Линеаризованные многочлены изучались также в работах
Carcanague 11], [2], Cariltz [21] и Vaughan Т. Р. [1]. Частные
классы линеаризованных многочленов появляются у Карлица
(Cariltz [7], [17], 120], [341, 135]). В статье Daykln [5] рассма-
рассматриваются аффинные многочлены и выясняются степени и число
их неприводимых делителей. Метод отыскания корней многочле-
многочленов на основе их аффинных кратных изложен в работе Berlekamp,
Rumsey, Solomon [1]. В работах Carlitz [21], [91], Ore [7],
Silva [1 ] и Vaughan Т. Р. [1 ] исследуются связи между линеари-
линеаризованными многочленами и циркулярными матрицами. О век-
векторных пространствах и линейных отображениях над конечными
полями см. Brawley, Carlitz, Vaughan [1 ], Burde [2], [5], Pele
til» Rella [11, Ulbrich HI и Vaughan T. P. [1], 12]. Питерсон
(Peterson 12)) применил результаты Пеле (Pele [11) в теории ко-
кодирования. В статье Jamison [1] линеаризованные многочлены
используются в задаче о покрытии векторного пространства на,п Ту
аффинными подпространствами. В работе Segre, Bartocci ill
линеаризованные многочлены над F2 применяются к конечным
проективным геометриям. Изложение теории линеаризованных и
аффинных многочленов можно найти в книгах Berlekamp 14.
ch. 11], MacWilliams, Sloane [2, ch. 4], McDonald [1, ch '21
и Redel [10, ch. 8]. Линеаризованные многочлены над более об-
общими полями, характеристики р изучались в работах Artin HI-
Crampton, Whaples [1], Krasner [1] и Whaples [11.
Теорема 3.63 доказана Ope (Ore [6]); см. также Zierler I-I-
Для частного случая, когда / (х) является примитивным много-
многочленом над fg (и тогда многочлен F (х)/х неприводим над i .¦!•
Комментарии 175
этот результат получен в статье Marsh, Gleason [I ]. Дальнейшие
результаты в этом направлении можно найти в работах Dickson
130], Mills [3] и Варшамов [2], [3], [5].
Формула для Ф„ (/) из леммы 3.69 (Hi) была получена Деде-
киндом (Dedekind [l ]) для простого числа q и Митчеллом (Mit-
(Mitchell О. Н. Ш) для общего случая. Дальнейшие результаты о
фд (/) имеются у Карлица (Carlitz [26], 128]). Групповая струк-
структура множества многочленов, подсчитываемых числом Ф?, была
исследована в статьях Claasen [1 ], [2]; см. также Smits [1].
В работе Cohen S. D. [4] рассматривается аналог функции Ф,, (/)
для многочленов от несколькиж переменныж. В статье Kuhne [3]
получена формула для числа нормированныж многочленов данной
степени d < deg (/), которые взаимно просты с данным многочле-
многочленом / ? ?р [х].
§ 5. Теорема 3.75 по существу была доказана Серре (Ser-
ret 121) для конечных простыж полей. Дальнейшие жарактериза-
ции неприводимых двучленов можно найти в работаж Albert
[3, ch 5], Capelli [1], [2], [3], Dickson [7, part I, ch. 3], Lowe,
Zelinsky [1 ], Redei 110, ch. 11 ] н Schwarz [4 J. Разложение в тео-
теореме 3.76 получено тоже Серре (Serret [2]); см. также Albert
{3, ch. 5] и Dickson [7, part I, ch. 3]. В статье Shiva, Allard [1 ]
рассмотрен один способ разложения двучлена х*к~г + 1 над по-
полем р2. Разложение двучлена х"-1 — а над полем Fq рассматри-
рассматривается в работе Dickson [30]; см. также Agou [14]. Шварц
(Schwarz [7]) получил формулу для числа нормированныж неприво-
неприводимых делителей фиксированной степени данного двучлена, а Ре-
Редей (Redei [9]) указал ее короткое доказательство; см. также
Agou [10], Butler [2] н Schwarz [4]. В статье Gay, Velez [I ] до-
доказана формула для степени поля разложения неприводимого
двучлена над произвольным полем (ранее она была установлена
Дарби (Darbi tl]) лишь для полей жарактеристики 0). В работе
Agou [4 ] изучается разложение неприводимого над Fg двучлена
в некотором расширении поля fg. Таблицы разложений двучле-
двучленов вида х" — 1 даются в статьяж Beard, West [2] и McEliece [3].
Разложение многочленов более общего вида g (x)* — а над ко-
конечными простыми полями рассматривается в работаж Ore [2]
и Petterson 13]. Приложения разложений двучленов можно найти
в статьяж Agou [10], Berlekamp [2] и Vaughan Т. Р. [1].
Теорема 3.78 и следствие 3.79 были впервые доказаны Пелле
(Pellet [1]). Неприводимость трежчлена хр — х — а над р„
при условии, что а ? Fp, была установлена еще Серре (Serret
12J. [3]). См. об этом также Dickson [3], [7, part I, ch. 3] и Al-
bjM't 2, ch. 5]. Теорема 3.80 доказана Диксоном (Dickson 13],
I', part I, ch. 3]), но для частного случая а = 0 она была уста-
установлена еще Матье (Mathieu [1 ]). Теорема 3.82 в общем виде была
176 Гл. 3. Многочлены над конечными полями
доказана Варшамовым [3], [5J; см, также Agou [9]. Случай b ¦
= 0 привлек внимание гораздо раньше. Соответствующий резуль-
результат (в случае 6 = 0) для простых конечных полей был сформули-
сформулирован Пелле в работе Pellet [Пи доказан им в статье Pellet [ч |
Многочлены вида / (хр — х) над Fp, где степенью многочлена /
является степень числа р, были изучены Серре (Serret [4], [51).
Случай b == 0 для произвольных конечных полей рассмотрев
Диксон (Dickson [7, part I, ch. 3]) и Альберт (Albert [3, ch. 51).
Изучались также и более общие типы многочленов, такие, ьчк
/ (хрг — ах), f (хр2г — ахрГ — Ьх) и другие; см, например, рабопл
Agou [9], [131, [14], [15]. [161, [17], [181, [19], 120], Co-
Cohen S. D. [10], Long [2], [3], [41, 15), Long, Yaughan 11], iJ]
и Ore [61. Теорема 3.83 обобщает результаты Диксона (Dicks-mi
130]) и Альберта (Albert 13, ch. 51). См. Schwarz [12] о дальней-
дальнейших результатах в этом направлении. Вопрос о числе корнсн
трехчленахг— ах — Ь ? fq [х], где г — степень характеристики
поля Fq, изучался в статьях Liang [I J, Segre [10] и Vilanova [i ]
Теорема 3.84 получена Диксоном (Dickson [7, part I, ch. 31).
Човла (Chowla S. 117]) высказал предположение, что для фик-
фиксированного натурального числа п ";$> 2 число неприводимых
над Fp многочленов вида хп + х + а ?; (Fp [x] асимптотически
равно pin ори р -*¦ оо. Он доказал это для случая п = 3. Этот слу-
случай рассмотрен также в статье Carlitz [103]. Леонард (Leonaid
[1]) обобщил это доказательство на случай п == 4 (см., кроме
того, Leonard [3]), а в работе Leonard 12j он доказал ослаблен-
ослабленную форму гипотезы Човлы для и = 5. В статье Williams К. S.
[13] гипотеза Човлы доказана для и <С 5. Общее доказательство
гипотезы Човлы (и нашей теоремы 3.86) получено Коэном (Со-
hen S. D. [5]) и Ри (Ree 11 ]). Коэн (Cohen S. D. [51) доказал даж«.'
более общий асимптотический результат о числе неприводимых
многочленов вида / (х) + ag (х) с заданными /, g ? IF, [x] и из-
изменяющимся а ? Fe. См. также Cohen S. D. [61, Hayes 16 I>•
Leonard [5]. Дальнейшие результаты о трехчленах вида а*" ¦
+ х + а над простым конечным полем р, имеются в работах
Mortimer, Williams [1], Sato, Yorinaga til, Uchiyaraa [81 »
Williams K- S. [13]. В статье Cazacu, Simovici, [1] дается алго-
алгоритм построения неприводимых трехчленов вида ах11 + х -+- 1
над конечными полями характеристики 2. Доказательства тео-
теоремы 3.87 имеются в работах Berlekamp [4, ch. 6] и Swan [I I-
Таблицы неприводимых трехчленов над полем ft имеют-'ч
в следующих источниках: Golomb [4, ch. 51, Golomb, Welcli-
Hales [1 ], Zierler [7] и Zlerler, Brillhart [i), 12]. В статье F»d-
ricksen, Wisniewski [1] рассматриваются специальные классы
неприводимых трехчленов над F2. Примитивные трехчлены над^ :
приводятся в статьях-Rodemich, Rumsey 111, Zierler 16] и Zit-'Г-
Комментарии 177
ler, Brillhart [1J, [21. Различные результаты о порядкаж треж-
членов над F2 и таблицы этиж порядков имеются в работах Go-
lomb [4, ch. 5], Golomb, Welch, Hales [11, Young [1], Zier-
ler [81 и Аракелов, Тененгольц tl ]. В статьях Bajoga [1 ] и Baj-
oga, Walbesser [1] изучаются элементы поля характеристики 2,
минимальные многочлены которых над F2 являются трехчленами.
Списки некоторыж неприводимыж трехчленов вида хп + х + а
над простым конечным полем имеются в статье Mortimer, Wil-
Williams [11.
Таблицы разложения трехчленов на множители имеются в сле-
следующих работах: Beard, West [3], Golomb [4, ch. 5], Golomb,
Welch, Hales [1 ], Zierler [7] и Zierler, Brillhart tl], [2]. Голомб
(Golomb [4, ch. 5]) выдвинул гипотезу, что степень каждого не-
неприводимого делителя трехчлена х2г+* + хг~х + 1, где г = 2",
над полем F2 делит число 6п. Эта гипотеза была доказана в статье
Mills, Zierler [I ], причем даже в более сильной форме (а именно
что каждая такая степень делит или 2п, или Зга, но не п), а затем
обобщена Карлнцом (Carlitz [112]) на случай произвольного ко-
конечного поля. Миллс (Mills [3]) доказал, что степень каждого
неприводимого делителя трехчлена хг+1 + х + 1, где г = qn,
над полем fq делит число Зп. Многие другие результаты подоб-
подобного типа можно найти в работах Golomb [4, ch. 5] и Marsh
Mills, Ward, Rumsey, Welch [1 ]. Вопрос о разложении трехчлена
х4 + ах2 + b над конечными простыми полями рассматривается
в статьях Carlitz [73], [103].
Теперь мы дадим обзор тех вопросов о многочленаж, которые
не были упомянуты в данной главе. Существует обширная лите-
литература об обобщениях классических вопросов теории чисел на
случай кольца многочленов fq [x]. Проблема представления
многочлена в виде суммы неприводимых многочленов (обобщенная
форма проблемы Гольдбаха для Fq lx]) рассматривается в статьях
Саг [2], Cherry [2], Hayes [1], [4] и Webb [1]. Представление
многочленов в виде суммы двух неприводимыж многочленов и не-
некоторого квадрата изучалось в работе Саг 16]; см. также Webb
'П. Проблема представления многочлена в виде суммы степеней
многочленов (проблема Варинга для Fq lx]) рассматривается
в статьях Саг [1], [3], 14], Joly [1], Kubota R. M. tl], Mat-
Matthews К. R. [1 ], F>aley [2] и Webb [2], 13]. Особенно интенсивно
изучался частный случай этой проблемы, касающийся представ-
представления многочлена в виде суммы квадратов; см. Carlitz [5], [8],
J3], [19], [26], [27], [116], Carlitz, Cohen [2], Cohen E. [1],
U|, Joly 12], Leahey [1], Stevens, Kuty [1], Verner tl], [2] и
Webb [2]. О представлениях квадратичными формами см. Саг-
z '54] и Carlitz, Cohen [3], а об одновременных представлениях
квадратичными и линейным! формами см. Carlitz [94]. Суммы
178 Гл. 3. Многочлены над конечными полями
степеней с полиномиальными коэффициентами рассматривались
в статьяж Carlitz, Cohen tl ] и Cohen E. [3], [4]. О более общчх
формах см. Carlitz [32 ] н Cohen Е. [4 ], [6 ]. Проблемы аддитивной
теории чисел в кольце fq [х] рассматривались в работах Car-
Carlitz 148] и Cheriy [1], [2], [3].
Функции Фч (см. лемму 3.69) и \iq (см, упр. 3.75) являются
частными примерами арифметических функций на множестве
Fg lx]. Такого рода функции систематически изучались Кяр-
лицом(Carlitz [1], [2], 13], [26], [28], [30], [36]); что же касается
функции Фд, то она рассматривалась еще Дедежиндом (Dedo-
kind [I ]). Аналог функции Фд для многочленов от нескольких пере-
переменных был изучен Коэном (Cohen S. D. [4]). Дальнейшие резуль-
результаты об арифметических функциях получены в работаж Carlitz [б I,
[14], [19], 120], Carlitz, Cohen [1], 12], Cohen E. [3], [6], Co-
Cohen S. D. [31, [4], Dress [1], Rhin !3],Shader [1], [4]nSilva [21.
Об абстрактном поджоде см. Knopfmacher [1], 12]. Аналог для
кольца Fq Ix] понятия совершенного числа изучался в статьях
Beard [61, Beard, Bullock, Harbin [1], Beard, Doyle, Mandd-
berg [1 ], Beard, Harbin [1 ] и Beard, O'Connell, West [1 ]. О сумме
делителей многочлена над F2 см. Canaday [1]. В статье Jolni-
sen [2] изучаются методы решета в кольце fq lx]. Связь меж-iy
арифметикой в fq [x] и современной алгебраической геометрией
появляется в работе Goss [3 ]. Квадратичный закон взаимности для
нормированных неприводимых многочленов над простым коноч-
коночным полем Fp доказал Дедекинд (Dedekind [1 ]), другое его дока-
доказательство дал Артин (Artin tl ]); см. также Vaidyanathaswamy [I I.
Высший закон взаимности для неприводимых многочленов нал
произвольным конечным полем fq был установлен Кюне
(Кйппе [1]) и еще раз доказан Шмидтом (Schmidt F. К. [21)
и Карлицом (Carlitz [1], 12], [4]); см. также Ore [6], РоскИпй-
ton [2], Schwarz [2] и Whiteman [I ]. Полиномиальные сравнения
изучались в работах Carlitz [7], [8], [91, [10], [11], 117]. Co-
Cohen E. [5], Rao К. N. [1], [2], [3], Shader [2], [3] и Лен-
Ленской [21.
Карлиц (Carlitz [7]) начал изучение функции я|зт (f) = П It —
— f(x)), где произведение берется повеем многочленам / (х) н i F«
степени, меньшей чем га. Это изучение было продолжено работами
Carlitz [10], [19], [201, [31] и Wagner [1]. О приложении* та-
таких функций см. Bundschuh [2], Carlitz [119], Geijsel [1], Wade
[11, [2], [3] и Wagner [2], [3]. В статье Carlitz [18] вшиятся
полиномиальные аналоги круговых многочленов, а в статье Car-
Carlitz [23] — аналоги многочленов Бернулли для конечныж полей.
Теорема типа теоремы фон Штаудта для таких многочленов была
доказана Карлицом (Carlitz [24 ]), она обобщает его же результаты
из статей Carlitz [16], [22]; см. также Carlitz [25], Dickey, Kai
ries, Shank [1}, Goss [1], [2] и Herget [11, [21.
Комментарии 179
В работе Carlitz [31] показано, что многочлены / ? fq lx],
обладающие для всех а ? fq свойством / (х + а) = f (x), имеют
вид / (х) — Jj ck (xf — x)k, где ck ? fq; см. также Dodunekov [2 ].
Обобщения на случай несколькнж переменных представлены
в статье Carlitz [119]. В статье Mullen 113] для фиксированных
а ? f*q и b ? fq дается характеризация многочленов / ? fq lx],
обладающих свойством / (Ьх + а) = bf (х) + а; случай b = 1 уже
рассматривался раньше в работе Wells [6]. Вагнер (Wagner 12])
на кольце Fq lx] определяет такие линейные операторы L, что
L(f + g) = L if) (mod g) для всех f, g ? ?q lx].
В статье Shehadeh [ 1 ] определяется наибольшее возможное
число последовательных нулей или единиц и их распределение
среди коэффициентов некоторых многочленов над f2, таких, как
многочлен (хп — \)lf (х), где / (х) — примитивный многочлен
над Fa степени k и п = 2к — 1.
Понятие равномерного распределения для последовательно-
последовательностей многочленов над конечными полями было введено в статье
Hodges [23]. Дальнейшие работы на эту тему: Dijksma [1 ],
[2], 13], [4], Hodges [26], [27], Kuipers [2], Kuipers, Scheelbeek
[1 ], Meijer, Dijksma [1 ] и Webb [4]. Равномерное распределение
m
в поле рядов Лорана 2 С(Х! над f q было введено Карлицом
(Carlitz [33]) и далее изучалось в работах de Mathan [1], [2],
f3l, Dijksma [2], [3], [41, Hodges [27], Kuipers [ll.Long, Webb
11], Meijer, Dijksma [1], Rhin [1], [2], [3] и Webb [4]. Изложе-
Изложение этих результатов можно найти в книге Kuipers, Niederreiter
11, ch. 5]. Близкие результаты по диофантовым приближениям
в поле рядов Лорана над конечным полем fq содержатся в ста-
статьях Bateman, Duquette [1], Carlitz [32], [33], Deshouillers [1],
121, [3], Dubois, Paysan-Le Roux [1], Grandet-Hugot [1], [2]
и Houndonougbo [2].
В работе Kustaanheimo, Qvist [1] построен аналог комплекс-
комплексного анализа для кольца Fq lx] (авторы вводят подходящее по-
понятие производной и доказывают, в частности, аналог условий
Коши—Римана).
Степанов [3* ] предложил новый подход к выводу асимптоти-
асимптотической формулы для количества неприводимых многочленов фик-
фиксированной степени над fq, часть коэффициентов которых задана.
Метод демонстрируется на примере многочленов четвертой сте-
степени с двумя фиксированными коэффициентами. В статье Вар-
шамова [ 1 • ] дается алгоритм построения неприводимого много-
многочлена данной степени над fq, имеющий полиномиальную слож-
сложность. Неприводимость некоторых трехчленов специального вида
исследована в работе Agou [2*]. Шпарлинскнй [4*] доказал, что
12»
180 Гл. 3, Многочлены над конечными полями
при фиксированном п и достаточно большом простом числе р
существует примитивный по модулю р многочлен степени п и
высоты Я (/) = О (р"/*'г+1>+8).Этот результат при п = 1 перехашт
в известные оценки И. М. Виноградова 18 ] для наименьшего ш рно-
образного корня по модулю р. Кроме того, там показывается чю
существуют примитивные многочлены, содержащие лишь п '2 •-
+ О A) ненулевых коэффициентов. В работе Саг 13*] получены
верхние и нижние оценки для количества многочленов степени V
над Fg, имеющих делитель степени п. Митькин [3* ] получил
нижние оценки для количества различных значений многоч-т-на
над простым полем Fp, уточняющие результаты Морделла (\W-
dell [16]). Бурке (Burke [1*])ввел понятие плотности множе-чна
многочленов над конечным полем и получил для него аналоги со-
соответствующих результатов, касающихся плотности множипв
целых чисел. Свойства плотности множеств многочленов нача-
начались также в работаж Саг [1*], [2*], [4*], [8*], [9*]. Эф-Jinn-
гер (Effinger [1*]) исследовал аналог проблемы Гольдбаха :ля
многочленов степени <;б.
По тематике третьей главы имеются также следующие раОимл:
Agou [1*], [3*], Beard, Sue [1*], Саг [6*], [7*1, Claasen II' I.
Hellegouarch [1*], Hensley [1*], Kaltofen [2*], Kaminski II'I.
Kashiwagi, Moriuchi [1*], Kashiwagi, Uchimura [1*1, Smits I I1 I.
[2*], Варшамов [1*], Варшамов, Кожевников [1*], Кюри и и
[2*], Маренич [1*] и Мурзаев [1*]. — ПеревЛ
Упражнения
3.1. Найти порядок многочлена (х2 + х + IM (xs + *+ 1) иаД полем J г.
3.2. Найтн порядок многочлена х1 — хл + х* — х2 + х над полем If а-
3.3. Найтн ord (/) для всех нормированных неприводимых многочж и»в /
степени 3 из F3 [x].
3.4. Доказать, что многочлен Xs + х7 + х3-\- х-\- 1 непрнводнм над ••'•<"*
F2. н найти его порядок.
3.5. Пусть f ? Wq [x] — многочлен степени т > 1, удовлетвори и чини
условию / @) Ф 0, и пусть корнн а,, ..., ат этого многочлена из его поля ] ¦¦ «-111"
жения над fq просты. Доказать, что ord (/) равен наименьшему натурал1 ш'му
числу е, такому, что ае{ = 1 для 1 ^ i ^ m.
З.в. Доказать, что ord (Qe) = е для всех чисел е, для которых опр«.1'-!1'н
круговой 'многочлен Qe g Fq [ж].
3.7. Пусть многочлен / непрнводнм над полем Fq, причем / @) ф 0, и n>cib
е — натуральное число, взаимно простое с q. Доказать, что ord (/) = е тсг.".ч и
только тогда, когда / делит круговой многочлен Qe.
3.8. Пусть / g Fq [x] — тот же многочлен, что н в упр. 3.5, и пусть Ь t:
^ N. Найтн общую формулу, устанавливающую связь между ord (/ ) и ог>! '/'¦
3.9. Пусть Fq — конечное поле характеристики р, и пусть / ? Fq I' I ~
многочлен положительной степени, такой, что / @) Ф 0. Доказать, 1|10
ord (/(*")) = р ord (f(x)).
ЗЛО. Пусть /—неприводимый многочлен нз Fq [x], такой, что /@) =*-"•
и пусть ord (/) = е и г — простое число, не делящее ц. Доказать, что
Упражнения 181
(i) если г делнт е, то каждый неприводимый делитель многочлена / (хг)
в Fg 1*1 имеет порядок ег;
(ii) если г не делит е, то один из неприводимых делителей многочлена / (хг)
в Fg 1*1 имеет порядок е, а остальные — порядок ег.
3.11. Используя упр. 3.10, доказать, что если f ? Fg U ] —многочлен
положительной степени, / @) =? 0 и г — простое число, не делящее q, то
ord(/(xr)) = '-orcl(/W).
3.12. Доказать, что возвратный многочлен (см. определение 3.12) к неприво-
неприводимому многочлену / над Fq, такому, что / @) Ф 0, тоже неприводнм над Fq.
3.13. Ненулевой многочлен f ? Fq [х] называется самовозвратным, если
I* -— /. Доказать, что если для неприводимых над Fq многочленов g и h много-
многочлен / ~ gh самовозвратен, то либо (i) h* = ag, где а ? FJ, либо (ii) g* = bg,
h* -= bh, где b — ±1.
3.14. Доказать, что если / — самовозвратный неприводимый многочлен из
р„ [х] степени т > 1, то т должно быть четным числом.
3.15. Доказать, что если / — самовозвратный неприводимый многочлен
из fq [х] степени >1 и порядка е, то каждый неприводимый многочлен из Fg [х]
степени d> 1, порядок которого делнт е, самовозвратен.
3.16. Показать, что многочлен х* + хь + х2 + х + 1 примитивен над
нолем F2-
3.17. Показать, что многочлен Xs + х* + *5 + * + 1 примитивен над
полем F2-
3.18. Показать, что многочлен хъ—дс+1 примитивен над полем Рз-
3.19. Пусть f ? Fg [x] — нормированный многочлен степени т > 1. До-
Доказать, что f примитивен над Fg тогда и только тогда, когда он является непри-
неприводимым делителем над Fg кругового многочлена Qd = Fq [х], где d = qm 1»
3.20. Найти число примитивных многочленов степени т над полем Fo.
3.21. Пусть натуральное число т ие является простым. Доказать, что не
каждый нормированный неприводимый многочлен над полем Fg степени т яв-
является примитивным многочленом над Fg.
3.22. Пусть т — простое число. Доказать, что все нормированные непри-
неприводимые многочлены над полем Fg степени т примитивны над Fg в том и только
том случае, если q = 2 и число 2т — 1 простое.
3.23. Пусть / — примитивный многочлен над полем Fg. Доказать, что
/ (О)/* — тоже примитивный многочлен над Fg.
3.24. Доказать, что самовозвратными (см. упр. 3.13) примитивными много-
многочленами над F2 являются лишь многочлены х + 1нх2+*+ 1,а над Fa — лишь
многочлен х + 1.
3.25. Доказать, что если многочлен / (х) неприводим в кольце Fg [x], то
многочлен / (ах+ Ь) тоже непрнводнм в Fg [*] для любых a, b ? Fg, а ф 0.
3.26. Доказать, что Л'д (я) < A/я) (qn — q), причем равенство имеет место
тогда и только тогда, когда я — простое число (Л'д (я) — число нормированных
неприводимых многочленов степени я в Fg [*]).
3.27. Доказать, что
3.28. Дать строгое доказательство того, что из C.5) вытекает C.4).
3.29. Доказать, что функция Мёбиуса ц для всех натуральных взаимно
простых чисел т и я удовлетворяет условию ц (тп) = \а (т) р, (я).
3.30. Доказать, что для всех натуральных чисел я имеет место равенство
2|i(d) _ ф(я)
2
182 Гл. 3, Многочлены над конечными полями
8.31, Доказать, что для каждого четного целого числа п > 2
J] ii (tf) ф («о = о.
а \п
3.32. Доказать равенство Jj In (d) 1 = 2 , где k — число различных п: ¦ ¦
d | п
стых делителей натурального числа и,
3,38. Доказать, что число N4 (я) из упр. 3.26 делится на cq, если п "^ J,
е — некоторый делитель числа q — I и НОД (eq, я) = 1.
3.34. Применяя явную формулу из теоремы 3.27, найти жруговые чпо\< ¦
члены Qn и <?зо-
3.85. Применяя явную формулу из теоремы 3,27, доказать свойства (а)
(f) кругового многочлена из упр. 2.57.
3.36. Доказать, что круговой многочлен Qn нсприводим над полем F,? щ и
условии, что НОД (q, я) == 1, в том и только том случае, когда показатель, кот1 •
рочу принадлежит q по модулю я, равен <р (я).
3.37. Пусть круговой многочлен Qn неприводим над полем F2- Доказать, ч:п
я должно быть либо простым числом, сравнимым с А:3 по модулю 8, либо ек-
ектенью такого числа. Показать также, что это условие не является достаточным.
3.38. Доказать, что круговой многочлен Q15 неприводим над каждым конеч-
конечным полем, над которым он определен.
3.39. Пусть я Q N. Доказать такое утверждение: для того чтобы существ' -
вало целое число Ь, взаимно простое с я и принадлежащее по модулю я п^каз ¦
телю <р (п), необходимо н достаточно, чтобы я было одним из чисел 1, 2, 4, />'
или 2рг, где р — нечетное простое число и г f N.
3.40. Теорема Дирихле о простых числах в арифметической' прогрессии
утверждает, что любая целочисленная арифметическая прогрессия Ь, Ь + п, ,
..., b 4- kit, .... где Ь ? 7,, п ? N и НОД (ft, и) = 1, содержит бесконечно
много простых чисел.
Применить эту теорему для доказательства следующего предложения: если
для натурального числа я существует конечное ноле Fq, такое, что НОД (q, n) =
= 1 н жруговой многочлен Qn неприводим над Г9, то число п может прииимат;-.
лишь следующие значения: 1,2, 4, // или 2//, где р — нечетное простое чнед»
и г f; N.
3.41. Доказать, что круговые многочлены Qu и Q2, над полем Fg нмекн
одну и ту же степень и неприводнмм над Fj.
3.42. Пусть Wq — конечное поле, с> 1, НОД (е, q) ~ 1 и т — показа-
показатель, которому принадлежит число q no модулю е. Домазать, что произведеня'1
всех нормированных неприводимых многочленов степени т и порядка е из Fq 1*1
является круговым многочленом QP над FV
3.43. Найти разложение многочлена х8* — х на неприводимые сомножители
в кольце F2 [x].
3.44. Вычислить многочлен / B, 6; х) по формуле из теоремы 3.29.
3.45. Вычислить многочлен / B, 6; х) по формуле из теоремы 3.31.
3.41. Домазать, что
/ (</, л; х) = П (х ~ \У1пМ для я > 1.
d\ n
3.47. Домазать, что над конечным полем нечетного порядЕа ц многочлен
^L(|+xCf+D/2 h(l_x)(«+D/2)
является квадратом некоторого многочлена.
3.48. Найти в кольце f\ [x] все неприводимые многочлены степени 6 V-
порядка 21, а тажже степени 294 и порядма 1029.
Упражнения 183
3.49. Найтн в кольце F3 lx] все нормированные неприводимые многочлены
степени 3 н порядка 26, а также степени 6 и порядка 104.
3.50. Тем же способом, что и в примере 3.41, выяснить, какие из много-
многочленов ft неприводимы в кольце Fg [х] для случая q = 5, т = 4, е = 78.
3.51. В обозначениях примера 3.41 доказать, что если t — такое простое
число, что t — 1 делнт число т — 1, то многочлен ft иеприводнм в кольце F2 [ж]
3.52. В обозначениях примера 3.41 для данного неприводимого многочлена
дж) = х3 — ж2 + х + 1 над полем Fa найти матричным способом многочлены /2
И /б-
3.53. Найтн многочлены /2 и /5 из предыдущего упражнения с помощью
теоремы 3.39,
3.54. Представить все элементы группы F|e через корень примитивного
многочлена х3 —х + 1 над Fa и найтн минимальные многочлены над Fa для всех
элементов поля F27-
3.55. Пусть в ? IFв4 — корень неприводимого многочлена х* + х + 16
? f2 [ж]. Найти минимальный многочлен элемента Р = 1 + в2 + в3 над по-
полем Гг.
3.56. Пусть в ? f"e4 — корень неприводимого многочлена х* + х* + х3 +
+ ж + 1 6 IF2 [ж]. Найти минимальный многочлен элемента Р = 1 + в + в5
над полем F2.
3.57. Найтн все примитивные многочлены степени 2 над полем Fa-
3.58. Найтн все примитивные многочлены степени 2 над полем IFV
3.59. Найти примитивный многочлен степени 3 над полем Fs-
3.60. Разложить многочлен g g Fa [*] из примера 3.44 в кольце F» [х]
для получения примитивных многочленов над полем F9.
3.61. Разложить многочлен g ? F2 [*] из примера 3.45 в кольце F8 [x]
для получения примитивных многочленов над полем F8.
3.82. Найтн корни следующих линеаризованных многочленов из полей
разложения этих многочленов:
(a) L (х) = х» + х* + х2 + х ? F2 [х];
(b) L (х) = х'<+х е F, [х].
3.63. Найти корни следующих многочленов в указанных полях, предвари-
предварительно определив их аффинные кратные:
(a) / (х) = х1 + х6 + *3 + *2 + 1 € F2 [jcI в FM;
(b) / (х) = х* + в*3 - г1 - (в + 1) х + 1 - в е F, [*] в F,»,, где в —
корень многочлена ха — х — 1 6 Fa [*Ь
3.64. Доказать, что для каждого многочлена / положительной степени над
нолем F qtn существует ненулевой ^-многочлен над Fgm. который делится иа f.
3.65. Доказать, что наибольший общий делитель двух или более ненулевых
^-многочленов над полем F_m снова является ^-многочленом, но их наименьшее
общее кратное не обязательно является (^-многочленом.
3.68. Найти наибольший общий делитель двух линеаризованных много-
многочленов:
(a) Lx (х) = *»* + *ie + х» + х* + х2 + х е F2 [xj,
L2 (х) = х32 + х* + х2 + х е F2 [x];
(b) Lx (x) = x243 — x« — x» + x3 + x e F3 [ж],
,fi7L2W = *81+*eFa[x].
•J.o/. Найти символическое разложение следующих линеаризованных мно-
многочленов на символически неприводимые сомножители иад указанными простыми
(a) L (х) = х32 + xi« + х» + х* + х2 + х С F2 [ж];
(b) L (х) = х»1 - х» — х3 - х С F3 [ж].
3.68. Доказать, что (^-многочлен Lx (х) иад полем F_m делит (^-многочлен
w над F?m в том и только том случае, если L (х) = Lt \x) ® Lt (x) для неко-
некоторого ^-многочлена L% (x) иад Fom.
184 Гл. 3. Многочлены над конечными полями
3.69. Доказать, что наибольший общий делитель двух или более аффин-
аффинных g-многочленов над полем F m, не равных нулю одновременно, является
аффинным д-многочленом.
3.70. Пусть At (х) = Z.J (х) — ах и А2 (х) = L2 (х) — а2 — два аффинных
g-многочлена над полем FqTn. Доказать, что если At (x) делит А2 (х), то ^-много-
^-многочлен Li (x) делит g-многочлен L2 (x).
3.71. Пусть f (х) ? Fq [х] — неприводимый многочлен, такой, что /@) ф
Ф 0, и пусть F (х) — линеаризованный ^-ассоциированный с ним многочлен.
Доказать, что многочлен F (х)/х неприводим в кольце Fq [x] тогда и только
тогда, когда / (х) является примитивным многочленом над Fq или отличается
от такого многочлена ненулевым постоянным множителем.
3.72. Пусть ?— элемент из конечного расширения поля F qm. Доказать,
что ? является корнем g-многочлена К (х) над F т тогда и только тогда, когда
К (х) делится на минимальный g-многочлен элемента ? над F„т.
3.73. Доказать, что для ненулевого многочлена / 6 Fq M
где сумма распространяется на все нормированные делители g ? Fq [x] много-
многочлена /, а функция Ф? введена перед леммой 3.69.
3.74. Для ненулевого многочлена / ? F, [х] и многочлена g ? IF<j [xl,
удовлетворяющих условию НОД (/, g) = 1, доказать, что g = I (mod/), где
л = ф,<П.
3.75. Определим функцию цд на множестве S ненулевых многочленов f
из кольца Wq [х ] следующим образом: ц<, (f) = 1, если deg (/) = 0; цд (/) - - О,
если / имеет хотя бы один кратный корень; \iq (f) = (—1)*, если deg (/) > I,
/ имеет лишь простые корни н k — число неприводимых сомножителей в кано-
каноническом разложении многочлена f в кольце Fq [x]. Доказать следующие свой-
свойства:
_, Г 1, если deg(/) = 0,
о SMg) = j
j0>ecJ№deg(/)>1;
(b) Ц? (fS) = И? (/) И« (8) Для всех /. S € S, таких, что НОД (/, g) - 1;
(c) ?<?deg <8)И? (//в) = Ф« (Я Для всех / 6 S;
(d) если if — отображение из S в аддитивную абелеву группу G, обладающее
свойством if (с/) = if (/) для всех с gF» и / ? S, и f (/) = J if (g) Для все*
/ € S, то * (/) = S N (//в) Ў (в) = S И? <в) ^ (//в) Для всех / 6 S.
Здесь 2 обозначает сумму, распространенную на все нормированные дели-
делители g ? ?q [x] многочлена /.
3.76. Доказать, что число различных нормальных базисов поля Т т над
Fq равно
d | т
при условии, что НОД (т., q) = 1 н показатель, которому принадлежит число Q
по модулю т, равен ф (т.).
3.77. Определение автодуального базиса было дано в примере 2.31. Покаэать>
что при нечетном числе т автодуальный базис поля F%m над F2 существует.
(Указание. Показать предварительно, что число различных нормальных бявисов
поля F%m над F2 нечетно, если нечетно число т.)
3.78. Доказать, что если г — простое число и а ? Fq, то либо двучлен
хг — а неприводим в кольце F'q \x\, либо он имеет корень в поле fq.
Упражнения 185
3.79. Доказать, что если г — нечетное простое число, я ? N и a f Fq,
то многочлен хг —а неприводим в кольце Fq [х] тогда и только тогда, когда
элемент а не является г-й степенью элемента из Fq.
3.80. Найти каноническое разложение над указанными простыми полями
следующих двучленов:
а) /(*) = *•+ 1 € F, W;
b / (х) = х2' - 4 6 Fit [xl;
(с) /(х) = х«-10 CF«U1.
3.81. Доказать, что в условиях теоремы 3.76 корни введенного там много-
многочлена F (х) просты.
3.82. Доказать, что результант двух двучленов хт — а и х" — b ъ кольце
F 1x1 задается выражением (— \)т (bm/d —an/d)d, где d = НОД (m, я). Здесь
тип рассматриваются как формальные степени этих двучленов (ср. с оп-
определением 1.93).
3.83. Пусть Ь — ненулевой элемент из простого поля Fp. Доказать, что трех-
трехчлен хр — х — Ь неприводим в кольце FрП [х] тогда и только тогда, когда п не де-
делится на р.
3.84. Доказать, что любой трехчлен вида хч — ах — b ? Fq [x] при а Ф 1
имеет корень в поле Fq.
3.85. Доказать такое предложение: если трехчлен хр — х — а неприводим
над полем tq характеристики р и Р — корень этого трехчлена в некотором рас-
расширении поля Fq, то трехчлен хр — х — af>p~x неприводим над полем Fq ф).
3.86. Доказать следующее предложение: если / (х) = хт + am_ixm~~l + ...
... \- а0 — неприводимый многочлен над полем Fq характеристики р и Ь — такой
элемент из Fq, что Тгр (mb — am_t) = 0, то многочлен f (хр — х — b) раз-
разлагается в произведение р неприводимых сомножителей над Fg степени т.
3.87. Доказать, что если тир — различные простые числа и число р по
т—\
модулю т принадлежит показателю т — 1, то многочлен \\ {хр — хI не-
f=0
приводим над полем Fp.
3.88. Найти каноническое разложение над указанными полями следующих
многочленов:
(a) / (х) — ха — ах — 1 С Fm [х], где а удовлетворяет равенству а3 =
= а + 1;
(b) f (х) = х9 — ах + а ? F, [х], где а удовлетворяет равенству а2 = а + 1.
3.89. Пусть А (х) = L (х) —а ? Tq [x] — аффинный р-многочлеи сте-
степени г > 2 и L (х) — такой р-многочлен над Fq, что многочлен L (х)/х неприво-
неприводим над полем Fq. Доказать, что А (х) является произведением линейного много-
многочлена н неприводимого многочлена иад Fq степени г — 1.
3.90. Доказать, что трехчлен хп + axk -\- b ? Fq [x], n> k^* 1, при
четном числе ц имеет кратные корни в том и только том случае, если оба числа
пик тоже четны.
3.91. Доказать, что степень каждого неприводимого делителя трехчлена
хт + дс —f— 1 в кольце F2 [x] делит число 2я.
3.92. Доказать, что степень каждого неприводимого делителя трехчлена
х" +I + х + 1 в кольце F2 [х] делит число Зя.
3.93. Доказать, что если / 6 F2 [xl — самовозвратный многочлен (см.
УПР- 3.13) положительной степени, то он делит некоторый трехчлен из F2 [xl
лишь в том случае, если ord (/) делится на 3. Доказать также, что обратное утверж-
утверждение справедливо, если многочлен / неприводим над полем F2.
186 Гл. 3. Многочлены иад конечными полями
__^— (
3.94. Доказать, что если d ? N — нечетное число, то круговой многочлен'
Qd € ЯР2 [*1 делит некоторый трехчлен из Fj [х] тогда и только тогда, когда d*
кратно трем.
3.95. Пусть / (х) — хп + ахк + Ь ? fq [х\, п > k S» 1, и пусть число
т ? N кратно ord (/). Доказать, что f (х) делит трехчлен g (х) = дст~*-
3.96. Доказать, что трехчлен х2п -\- хп -\- 1 иеприводим над полем Fs тогда'
и только тогда, когда я = 3fe для некоторого целого неотрицательного числа к.'
3.97. Доказать, что трехчлен xin-\- хп + 1 иеприводим над полем Fa тогда
и только тогда, когда п = 3*5т для некоторых целых неотрицательных чисел h
Глава 4
Разложение многочленов на множители
Любой непостоянный многочлен над заданным полем можно
разложить в произведение неприводимых многочленов. Если рас-
рассматриваемое поле конечно, то для фактического вычисления
неприводимых сомножителей данного многочлена положительной
степени над этим полем существуют весьма эффективные алго-
алгоритмы.
Наличие таких алгоритмов для многочленов над конечными
полями особенно важно для теории кодирования и для изучения
линейных рекуррентных соотношений в конечных полях. Но
и вне области конечных полей в алгебре и теории чисел имеется
много вычислительных задач, которые так или иначе связаны с раз-
разложением многочленов над конечными полями. В этой связи можно
упомянуть, например, разложение на множители многочленов над
кольцом целых чисел, отыскание разложений простых рациональ-
рациональных чисел в полях алгебраических чисел, вычисление группы Га-
луа некоторого уравнения над полем рациональных чисел и по-
построение расширений полей.
Здесь будет изложено несколько алгоритмов разложения много-
многочленов над конечными полями. Выбор конкретного алгоритма
обычно зависит от того, «малым» или «большим» является данное
конечное поле. В § 1 мы опишем те алгоритмы, которые более удоб-
удобны для «малых» полей, а в § 2 — те, которые лучше работают для
«больших» конечных полей. Некоторые из этих алгоритмов сводят
проблему разложения многочленов к задаче отыскания корней
некоторых других многочленов. Поэтому в § 3 вопрос об отыска-
отыскании корней многочленов рассматривается с вычислительной точки
зрения.
§ 1. Разложение многочленов над малыми
конечными полями
Для любого многочлена / ? fq [х] положительной степени
существует каноническое разложение в кольце fq \х] (тео-
(теорема 1.59). При построении алгоритма такого разложения, оче-
очевидно, достаточно ограничиться рассмотрением лишь нормирован-
188 Гл. 4. Разложение многочленов на множители
ных многочленов. Таким образом, нашей целью является пред-
представление нормированного многочлена / ? F, U1 положитель-
положительной степени в виде произведения
f = ft .-.ft. -.4.1,
где flt ..., fu — различные нормированные неприводимые дели-
делители многочлена / в кольце jpg [х], а ех, ..,, eh — натуральные
числа.
Прежде всего мы упростим свою задачу, показав, что указан-
указанную проблему можно свести к проблеме разложения многочлена
без кратных неприводимых сомножителей, т. е. такого много-
многочлена /, для которого в каноническом разложении D,1) все пока-
показатели ег, ..., eh равны единице (это равносильно отсутствию у мно-
многочлена / кратных корней). Для этого мы сначала найдем, приме-
применяя алгоритм Евклида, многочлен
d (х) = НОД (/ (х), f (х))
— наибольший общий делитель многочлена / и его производной /'.
Если d (х) = 1, то в силу теоремы 1.68 многочлен / (х) не имеет
кратных сомножителей х). Рассмотрим случай, когда d (x) ¦
= / (х). Тогда, очевидно, должно быть /' (х) — 0, а это значит,
что f (х) = g (х)р для некоторого многочлена g (х) ? fq l.v],
где р — характеристика поля Fg. Указанную процедуру редук-
редукции можно, если это необходимо, повторить применительно к мно-
многочлену^*) и т. д., пока не получим представление / (х) — h (x)n\
где h' (x) Ф 0.
Если же многочлен d (x) отличен от 1 и от/ (х), то он является
нетривиальным делителем многочлена / (х), и в этом случае много-
многочлен / (x)/d (x) не имеет кратных неприводимых сомножителей.
Мы придем к разложению / (х), разложив по отдельности много-
многочлены меньшей степени d (x) и / (x)ld{x). В случае если многочлен
d (x) все еще имеет кратные множители, мы для него повторяем
указанный процесс редукции.
Применив этот процесс нужное число раз, мы сведем исходную
проблему к задаче разложения некоторого числа многочленов,
не имеющих кратных неприводимых сомножителей. Канонические
разложения этих многочленов сразу же приведут к каноническому
разложению исходного многочлена. Эти соображения позволяют
нам сосредоточить свое внимание на многочленах, не имеющих
кратных неприводимых сомножителей. Следующая теорема яв-
является основной.
1) Речь идет о каноническом разложении. — Прим, перев.
§ 1. Разложение многочленов иад малыми конечными полями 189
4.1. Теорема. Если / ? fq lx]—нормированный многочлен
положительной степени и многочлен h ? Fq lx] удовлетворяет
условию h" = h (mod /), то
f{x)= П НОД if (x), h (x) - с). D.2)
Доказательство. Каждый наибольший общий делитель из
правой части равенства D.2) делит многочлен / (х). Поскольку
многочлены h (х) — с, с ? Fq, попарно взаимно просты, то
взаимно простыми являются и их наибольшие общие делители
с / (л;), т. е. сомножители правой части D.2), и, следовательно,
правая часть равенства D.2) делит многочлен / (х). С другой сто-
стороны, многочлен / (х) делит разность
h(x)i-h(x)= П (h(x)-c), .
и, значит, f (х) делит правую часть равенства D.2). Итак, обе
части D.2) являются нормированными многочленами, каждый из
которых делит другой, и, значит, они должны совпадать. ?
Вообще говоря, формула D.2) не дает полного разложения
многочлена /, поскольку многочлен НОД (/ (х), h (x) — с) может
оказаться приводимым в кольце Fq lx]. Если же h (x) =
= с (mod / (х)) для некоторого с ? Fq, теорема 4.1 вообще при-
приводит к тривиальному разложению / (х) и потому бесполезна.
Если многочлен Л (х) таков, что теорема 4.1 приводит к нетриви-
нетривиальному разложению многочлена / (х), он называется f-разлагаю-
щим многочленом. Любой многочлен h ? fq lx], обладающий
свойствами hi = h (mod /) и 0 < deg (Л) < deg (/), очевидно, яв-
является /-разлагающим. Чтобы на основе теоремы 4.1 получить
алгоритмы разложения, мы должны найти способы построения
/-разлагающих многочленов. Но уже на этом этапе ясно, что,
поскольку разложение, основанное на формуле D.2), связано
с вычислением q наибольших общих делителей, то прямое при-
применение этой формулы возможно лишь для малых конечных по-
Jleii fq (т. е. для небольших значений q).
Первый способ построения /-разлагающих многочленов исполь-
использует китайскую теорему об остатках для многочленов (см. упр. 1.37).
Допустим, что многочлен / не имеет кратных сомножителей, так
что f = fx ... fk — произведение различных нормированных не-
неприводимых многочленов над полем Тя. Тогда для любого k-
набора (си ..., ск) элементов поля fq, согласно китайской тео-
теореме об остатках, существует единственный многочлен h ?
J F lx], такой, что Л (х) = ct (mod /{ (х)), 1 < i <?, и deg (Л) <
(/)¦ Этот многочлен удовлетворяет условию
Л (х? = (f(=c( = h(х)(mod/e (x)), i=l, ..., k,
190 Гл. 4. Разложение многочленов на множители
и потому
У = /i(mod /), deg (Л) < deg (/). D.3)
С другой стороны, если многочлен h является решением сравне-
сравнения D.3), то из равенства
h(xy~h(x)= П (Л(ж)-с)
в силу попарной взаимной простоты сомножителей правой части
следует, что каждый неприводимый делитель многочлена / дол-
должен делить один и только один из многочленов h (x) — с. Таким
образом, каждое решение h (x), deg (h) < deg (f), сравнения D.3)
удовлетворяет системе сравнений h (х) = с* (mod ft (x)), i —
= 1, ..., k, для некоторого ^-набора (сх, ..., ск) элементов поля fq.
Следовательно, сравнение D.3) имеет ровно qk решений.
Чтобы найти эти решения, сведем сравнение D.3) к системе
линейных уравнений. Полагая deg (/) = п и вычисляя х{1> по мо-
модулю / (х), построим лхл-матрицу В = (Ьи), 0 < i, j < n — 1.
А именно
л—1
х1" = 23 btjxi(modf(x)), t = 0, 1, ..., я-1. D.4)
/=o
Тогда многочлен h (x) = а0 + atx +... +an_lxn~l ? Fq lx] будет
решением сравнения D.3) в том и только том случае, когда (а,„
%, ..-, fln-i) является решением системы линейных уравнений
(записанной в матричной форме)
(с0, аи ..., ап_1)В = (а0, ах, ..., ап_г). D.5)
Это следует из того факта, что равенство D.5) выполняется тогда
и только тогда, когда
h(x)= 2 ajxl= S S atbljXi =
1=0 /=o 1=0
n—1
= 23 atx'i = h(x)v (mod f(x)).
1=0
Систему D.5) можно записать в следующей эквивалентной форме:
(а0, а1( ..., ап_,) (В - /) = @, 0, .... 0), D.6)
где / — единичная пхга-матрица над Fq. Согласно доказанному
выше, однородная система D.6) имеет qk решений. Это означает,
что размерность пространства решений х) этой системы равна k.
х) Это пространство называют также аннулируемым пространством или
нуль-пространством матрицы В — /. — Прим. перев.
§ 1. Разложение многочленов иад малыми конечными полями 191
т е. числу различных нормированных неприводимых делителей
многочлена /, а ранг матрицы В—/ равен п — k.
Поскольку постоянный многочлен hx (х) = 1 всегда является
решением сравнения D.3), то соответствующий ему вектор A,
О ..., 0) всегда является решением системы D.6), в чем можно
убедиться также и прямой подстановкой. Кроме того, найдутся
еще непостоянные многочлены Л2 (х), ...,hh (x) со степенями, не
превосходящими п — 1, такие, что соответствующие им и много-
члену ht (x) векторы образуют базис пространства решений одно-
однородной системы D.6). Поскольку все многочлены Л2 (х), ..., hh (x)
непостоянны и удовлетворяют сравнению D.3), то они являются
/-разлагающими многочленами.
При таком подходе важную роль играет отыскание ранга г
матрицы В—/. Как было отмечено выше, г = п — k; поэтому,
найдя ранг г, мы тем самым находим число k = п — г различных
нормированных неприводимых делителей многочлена f. А это поз-
позволяет судить о том, до каких пор нужно продолжать процедуру
разложения.
Ранг матрицы В — / обычно определяется приведением этой
матрицы к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразо-
преобразований ее строк и столбцов. Однако, поскольку мы хотим в то же
время решить систему D.6), целесообразно применять лишь
преобразования столбцов, поскольку пространство решений этой
однородной системы инвариантно относительно таких преобразо-
преобразований. Итак, мы допускаем следующие элементарные операции:
перемена местами двух столбцов матрицы В — /, умножение
любого ее столбца на ненулевой элемент поля fq и прибав-
прибавление к любому ее столбцу другого столбца, умноженного
на любой элемент из fq. Ранг г матрицы В — / — это чис-
число ненулевых столбцов полученной матрицы ступенчатого
вида.
Вычислив г, мы найдем число k = п — г. Если k = 1, то мы
заключаем, что / — неприводимый многочлен над fq, и процедура
на этом заканчивается. В этом случае единственными решениями
сравнения D.3) являются постоянные многочлены, и пространство
решений системы D.6) состоит лишь из векторов вида (с, 0, ..., 0),
где с ? fq. Если же k > 2, то мы берем /-разлагающий базисный
многочлен Л2 (х) и находим наибольшие общие делители
НОД (/ (х), Л2 (х) — с) для всех с ? Fq. В результате получим
некоторое нетривиальное разложение многочлена / (х), даваемое
формулой D.2). Если использование многочлена Л2 (х) еще не
приводит к разложению многочлена / на k сомножителей, то пере-
переходим к следующему /-разлагающему базисному многочлену ha (x)
и находим НОД (g (x), h3 (х) — с) для всех с ? Fq и всех нетри-
нетривиальных делителей g (x) многочлена / (х), найденных по формуле
D.2) на первом этапе. Эта процедура продолжается до тех пор,
192 Гл. 4. Разложение многочленов на множители
пока мы не получим все k неприводимых сомножителей много-
многочлена / (х).
Описанный процесс должен в конечном счете привести к на-
нахождению всех неприводимых делителей многочлена / (х). Дей-
Действительно, если рассмотреть два различных нормированных
неприводимых делителя многочлена / (х), например {х (х) и /2 (х),
то рассуждение, следующее за сравнением D.3), показывает, что
для каждого /, 1 ¦< / < k, существуют элементы сл и c:i из
поля Fg, такие, что выполняются сравнения hj (x) = с л (той
/i С*)), hj (x) = С)% (mod f2 (х)). Допустим, что сЛ = cj2 для всех /.
1 ^ j -*C k. Тогда, учитывая, что любое решение h (х) сравнения
D.3) является линейной комбинацией базисных многочленов
Лх (х), ..., hh (x) с коэффициентами из fq, получаем, что для лю-
любого такого решения h (х) существует элемент с ? Fq, такой,
что h (х) = с (mod /х (х)), h (х) = с (mod /2 (х)). Но рассуждение,
которое привело к сравнению D.3), показывает, что существует,
в частности, и такое решение Л (х) сравнения D.3), что Л (х) г
= 0 (mod ft (х)) и h (х) = 1 (mod f% (x)). Полученное противоре-
противоречие доказывает, что сЛ Ф с]2 для некоторого /, 1 < / <: к (точ-
(точнее, для некоторого /, 2 <; / <; k, поскольку ht (x) = 1). Поэтому
многочлен hj (х) — сЛ будет делиться на ft (x), но не на /... (х).
Отсюда следует, что любые два различных нормированных не-
неприводимых делителя многочлена / (х) обязательно «отделимы»
друг от друга (в указанном смысле) некоторым базисным много-
многочленом hj (x).
Этот алгоритм разложения многочлена /, основанный на на-
нахождении /-разлагающих многочленов (путем решения системы
D.6) линейных уравнений) носит название алгоритма Берм-
кэмпа.
4.2, Пример. Разложим многочлен / (х) = х8 + х* + х* -'¦¦
+ Xs + 1 над полем F2, применяя алгоритм Берлекэмпа. Так
как НОД (/ (х), f (х)) = 1, то многочлен / (х) не имеет кратных
сомножителей. Нам требуется найти вычеты одночленов х1"
по модулю / (х) для q = 2 и i = 0, 1, ..., 7. Это приводит к сле-
следующим сравнениям по модулю / (х):
х° = 1,
X* =
Xе =
Xs =
хш =
Х1Ш =
Xй =
1
1
1 -
X
-\~х
X
f X
+ xs -
2 +х3 -
2
_|_ уЛ
ж4,
I A 1^ л t
J у4 1 уЪ _
Xе,
+^7,
§ 1, Разложение многочленов над малыми конечными полями
193
Поэтому 8х8-матрица В имеет вид
1 0 0 0 0 0 0 0 )
0 0 10 0 0 0 0
0 0 0 0 10 0 0
0 0 0 0 0 0 10
10 0 110 10
10 11110 0
0 0 10 1111
1 10 1 1 10 0;
D
а матрица В — / имеет
вид
( 0
0
0
0
1
1
0
1
0
1
0
0
0
0
0
1
0
1
1
0
0
1
1
0
0
0
0
1
1
1
0
1
0
0
1
0
0
1
1
1
0
0
0
0
0
0
1
1
0
0
0
1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
Несложные вычисления показывают, что матрица В—/ имеет
ранг 6 и векторы A, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0) и @, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 1)
образуют базис пространства решений однородной системы D.6),
соответствующей матрице В—/. Этим векторам соответствуют
многочлены hx (х) = 1 и h2 (х) = х + х2 + Xй + Xе + х1. Вы-
Вычисляя при помощи алгоритма Евклида НОД (/ (х), h2 (x) — с)
для элементов с ? F2, получаем, что НОД (/ (х), h2 (х)) = х* +
+ xh + х* + х + 1, НОД (/ (х), h2 (*)—1) = х2 + х + 1. В итоге
получаем следующее каноническое разложение многочлена / (х):
f (X) = (Xе + ХЬ + X* + X + 1) (X2 + X + 1).
?
Другой метод получения /-разлагающих многочленов связан
с построением некоторого семейства многочленов, в котором име-
имеется по крайней мере один/-разлагающий многочлен. Пусть снова f
обозначает произвольный нормированный многочлен степени
" > 1, не имеющий кратных сомножителей, и пусть / = /х ... fk —
его каноническое разложение в кольце Fg [x], причем deg (fj) =
~ nj для 1 ^ / ^ k. Если N — наименьшее натуральное число,
такое, что xiN = x (mod / (x)), то из теоремы 3.20 получаем, что
N ~ НОК (пъ ..., nk), при этом также нетрудно видеть, что N —
(ъ ., nh), при этом также нетрудно ви
степень поля разложения F многочлена / над F,
многочлен Т ?
13 Зак. 222
IF, [х] вида Т (х) = х + х" + хГ
Рассмотрим
194 Гл. 4. Разложение многочленов на множители
Положим Ti (х) = Т (х'~) для i ? BM. Следующий результат по-
показывает, что в рассматриваемом случае (когда многочлен / (х)
приводим в кольце fq lx] и не имеет кратных сомножителей)
среди многочленов Т) (х), 1 <<!' i <; n, найдется хотя бы один
/-разлагающий многочлен.
4.3. Теорема. Пусть многочлен без кратных сомножитемй
f ? Fg lx] приводим в Fg lx]. Тогда (во введенных выше обозначе-
обозначениях) по крайней мере один из многочленов Th 1 ¦<; i ^ п — 1,
является f-разлагающим многочленом.
Доказательство. Учитывая сравнения xqN = х (mod / (х)), ми
видим, что каждый из многочленов Ti удовлетворяет условию
Tf ~ Ti (mod /). Допустим теперь, что для всех многочленов Т„
1 < t <С п—1. разложение многочлена /, даваемое формулой
D,2), тривиально (при h = Tt). Это означает, что существуют эле-
элементы съ ..., сп_х ? Fg, такие, что Г,- (х) = ct (mod / (x)) для
i — 1, ..,, п— 1. Рассматривая с0 = N как элемент поля j'(/,
получаем сравнения Т (х1) = ct (mod / (x)), i = 0, 1, ..., л — 1.
Для любого многочлена
я—1
g(x)= E atxleFq[x)
степени меньше п мы имеем тогда
In—1 \ я—I л—I
Г (g (х)) = Г 2 а«х' = Е а;Т (ж«) = Е «^, (mod /(*)).
м'=0 / (=0 (=0
Полагая
c(g)= E a.Ci e?q,
получим
Г fe (х)) = с (g) (mod fj (x)), / = 1, .... Л. D.7)
Так как JV = НОК (nlt ..., nh), то по крайней мере одно из'по-
из'полых чисел Nlrij, скажем N/nlt не делится г) на характеристику
поля Fg. Пусть 0j — корень многочлена Д из поля разложения F\
этого многочлена над Fg- В силу теоремы 2.23 (ш) существует ')
многочлен gl ^ fq lx], "такой, что deg (ft) < deg (Д) и
Тг^/if (?1(в1))=1. D.8)
l) Так как НОД I— ,..., — ) = 1. — Прим, перев.
\ % «ft/
-) Учитывая, что Ft = F9 @j). — Прим. перев.
§ 1. Разложение многочленов над малыми конечными полнми 195
Ввиду того что k^-2 (по предположению), мы можем применить
китайскую теорему об остатках и получить такой многочлен
а g fq Ix ] степени меньше я, что
g = g1 (mod fx), g = 0 (mod /2). D.9)
Из D.8) и D.9) следует, что
^Fl/Fll(g(Qx))=h
так что из теорем 2.23(iv) и 2.26 получаем равенство
где F — поле разложения многочлена / над fq. Из определений
следа и элемента 0Х вытекает, что
Т (g (х)) = Nlnx (mod h (x)). '
Однако второе сравнение в D.9) приводит к сравнению Т (g(x)) =
= 0 (mod /2 (х)), и, поскольку число Nlnx как элемент поля fq
отлично от нуля, мы получаем противоречие с D.7). Это противо-
противоречие означает, что по крайней мере один из многочленов Tt,
1 < i < п — 1, является /-разлагающим. П
4.4. Пример. Разложим многочлен
/ (х) = xv _f_Xu _j_ д.13 _(_ хг% _(_ хп _(_ Д.М _|_жв +
Поскольку НОД (/ (ж), /' (х)) = х10 + ха + 1, то многочлен
/о (х) = / (х)/НОД (/ (х), f (х)) = х + хь + ж* + х + 1 ие имеет
кратных сомножителей. Разложим /0 (х) описанным выше методом,
найдя /0-разлагающий многочлен. Для этого будем приводить
по модулю /0 (х) степени х, ж2, х*, ж8, ..., пока не найдем наимень-
наименьшего натурального числа N, такого, что ж2ДГ = ж (mod /0 (х)).
Для упрощения записи условимся многочлен ? щх' обозначать
п-набором (вектором) (Оо, ах, ..., ап-1) из его коэффициентов;
в частности, /0 (ж) = A, 1, 0, 0, 1, 1,0, 1). Подсчет нужных сте-
степеней переменной ж по модулю /0 (ж) упрощается, если заметить,
что квадрат многочлена (щ, щ, ..., ав) по модулю /0 (ж) совпадает
(в векторной записи) с произведением вектора (оо, ах, ..., ав)
на квадратную матрицу порядка 7, образованную четными степе-
степенями переменной ж, а именно х°, ж2, ..., хх%, приведенными по мо-
Дулю /0 (х). Эта матрица получается из правых частей следующих
сравнений (по модулю /0 (х)):
х° = A, 0, 0, 0, 0, 0, 0),
ж2 = @, 0, 1, 0, 0, 0, 0);
13*
196 Гл. 4. Разложение многочленов на множители
х* = @, 0, 0, 0, 1, 0, 0),
х* = @, 0, 0, 0, 0, 0, 1),
= @, 1, 1, О, О, 1, 1),
х
8 =
x10 = A, 0, 1, 1, О, О, 1),
х12 = (О, 1, О, О, 1, О, 1).
Произведя теперь с помощью этой матрицы последовательные воз-
возведения в квадрат, получим (по модулю /0 (х))
х = @, 1, 0, 0, 0, 0, 0),
ж2 = @, 0, 1,0, 0, 0, 0),
х* ~ @, 0, 0, 0, 1, 0, 0),
ж3 = @, 1, 1, 0, 0, 1, 1),
х" = A, 1, 0, 1, 0, 0, 0),
х32 = A, 0, 1, 0, 0, 0, 1),
Xм = A, 1, О, О, О, О, 1),
x12S н A, 1, 1, О, 1, О, 1),
хш = A, 0, 0, 0, 0, 1, 0),
= @, 0, 1, 1, 0, 0, 1),
Хш
Таким образом, N = 10 и многочлен Т имеет вид
9
¦Т(х) = Т1(х)=%х*'= A, 1, 1, О, О, О, l)(mod/„(*))¦
/=о
Поскольку многочлен Тг (х) не сравним с константой по моду-то
/о (х), то он является /0-разлагающим многочленом. Находим
НОД (/о (х), 7\ (х) — с) для значений с = 0 и с = 1:
НОД (/0 (х), 7\ (х)) = НОД (A, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 1),
A, 1, 1, 0, 0, 0, 1)) =
= гв -4- х* -\- Xs Ч- ха -4- 1
НОД (/0 (х), Тх (х) - 1) = НОД (A, 1, 0, 0, 1, 1,0, 1),
(О, 1, 1, 0, 0, 0, 1)) =
и по формуле D.2) получаем
/о (х) = (х5 + х* + х3 + х2 + 1) (х2 + х + 1).
Второй сомножитель, очевидно, неприводим в Т2 [х]. Поскольку
число N = 10 является наименьшим общим кратным степеяеи
§ 1. Разложение многочленов над малыми конечными полями 197
неприводимых делителей многочлена /0 (х), а любое нетривиаль-
нетривиальное разложение первого сомножителя привело бы к значению N,
отличному от 10, то первый сомножитель тоже неприводим в F2 (х).
Теперь остается разложить многочлен НОД (/ (х), f (ж)) =
= Д.Ю _|_ Х8 _|_ 1. Нетрудно заметить, что ж10 + хв + 1 = (ж5 +
+ х* + IJ. причем многочлен ж5 + ж4 + 1 делится на непри-
неприводимый делитель хг+х+1 многочлена /0 (*)> так что ж5 + х* +
+ 1 = (х3+ х+ 1) (ха + х + 1), где многочлен ж3 + х + 1 тоже
неприводим над Fa lx]. Окончательно получим такое каноническое
разложение многочлена / (ж) в F2 1x1:
f (x) = (х5 + х* + ж3 + х% + 1) (ж3 + х + IJ (х2 + ж + I)8. ?
Следует, однако, заметить, что, вообще говоря, /-разлагающие
многочлены вида Tt могут не привести к полному разложению
многочлена /, поскольку они неспособны отделить те неприводи-
неприводимые делители fj многочлена /, для которых число Nlrij делится на
характеристику поля fq. В таком случае обычно сначала с по-
помощью /-разлагающего многочлена Tt находят частичное нетри-
нетривиальное разложение многочлена /, а потом ищут новые Tt для
каждого из полученных сомножителей. Так в конечном счете
получают полное разложение многочлена /.
Но существует модификация изложенного метода, когда вместо
многочленов Tt строятся связанные с ними многочлены Rt, ко-
которые способны отделить все неприводимые сомножители много-
многочлена / сразу. Предположим (без ограничения общности), что
/ @) ф 0. Пусть ord (/ (ж)) = е, так что / (ж) делит двучлен хе — 1.
Поскольку многочлен / (ж) не имеет кратных сомножителей, то на
основании следствия 3.4 и теоремы 3.9 числа е и q взаимно просты.
Пусть i — целое неотрицательное число; обозначим через tnt наи-
наименьшее натуральное число, удовлетворяющее сравнению
х'я1 = *'(mod/(*)). D.10)
Пусть теперь
Rt (х) = х1 + х"> + х'<>2 Н \- х<1т1~1
— многочлен над Fq. Поскольку сравнение D.10) эквивалентно
сравнению
iqmi = i (той е), D.11)
которое в свою очередь эквивалентно сравнению qm% =
= 1 (mod (е/НОД (е,»))), то отсюда следует, что число /п( является
показателем, которому принадлежит число q по модулю е/НОД (е,
198 Гл. 4. Разложение многочленов иа множители
i). Сравнивая определения многочленов Tt и Rh легко устанав-
устанавливаем *), что
Ясно, что для всех i справедливо сравнение I?? = I?,- (mod/),
так что многочлены Rt можно использовать вместо h в формуле
D.2). Покажем теперь, что многочлены Rt обладают указанным
выше свойством.
4.5. Теорема. Пусть приводимый над полем fq нормированный
многочлен f не имеет кратных сомножителей, и пусть f @) Ф О
и ord (/) = е. Тогда, используя вместо h (x) в формуле D.2) много-
многочлены Rt (х) = х1 + x{f + xiq + ... + xl"m'~ , 1 < i < е — 1,
где числа mt определяются условием D.10), можно отделить все
неприводимые сомножители многочлена f,
e—l
Доказательство, Пусть h (x) = ?а|Х* ? Fq ix] — решение
(=0
сравнения А (х)" = h (x) (mod (хе — 1)). Если рассматривать ин-
индексы коэффициентов а{ как вычеты по mod e, то ввиду взаимной
в—1
простоты чисел q и е получаем сравнение h (х) = ? аг1х{1г
(mod (хе — 1)), так как при i = 0, 1, ..., е — 1 числа iq пробе-
пробегают полную систему вычетов по mod е. А поскольку А (я)' —
е—1
— S сцх'9, то
i«=0
е—1 е—1
J] atx1" = S atgX1* (mod (xe — 1)). :
Рассматривая здесь показатели как вычеты по модулю е, мы ви-
видим, что соответствующие коэффициенты равны. Значит, а* ¦ -
= alq для всех I, так что для всех i выполняются равенства щ ~
= аи, — пц* = ... . Поскольку ггн — наименьшее натуральное чи-
число, для которого имеет место сравнение D.11), то
h(x)= ? atRt(x)(mo&(x'-\)),
где множество / содержит по одному представителю от каждого
класса эквивалентности при следующем определении отношения
эквивалентности <~: для ix, i2 6 Z считаем, что ix ~ ia тогда и
Так как Rt
mt—1 , . , , т.—1
/=o /=o
= Ri (x) (mod / (jt)). — Прим. перев.
§ 1. Разложение многочленов над малыми конечными полями
199
только тогда, когда имеет место сравнение lt = ид* (mod e) для
некоторого t ^ 0. Таким* образом, для подходящих элементов х)
е—1
Л (дг) = ? 6,#4 (ж) (mod (хе - 1)). D.12)
Пусть теперь fl (ж) и /а (ж) — два различных нормированных
неприводимых делителя многочлена / (ж) (а следовательно, и дву-
двучлена хе — 1). Согласно рассуждению, которое привело к сравне-
сравнению D.3), существует такое решение h (х) ? Fg [ж] сравнения
h (xf = h (x) (mod (xe — 1)), что deg (h (ж)) < e и при этом
h (x) = 0 (mod fx (x)), h (x) = 1 (mod /a (ж)). D.13)
Поскольку Ri = Ri (mod /), то из рассуждения, следующего за
сравнением D.3), вытекает существование таких элементов Сц,
Л a ? Fg, что /?, (ж) = с tx (mod /х (ж)) и Rt (ж) = сга (mod /2 (ж))
для всех t, 0 < i < е — 1. Если для всех этих i имеет место ра-
равенство Сц = Ci2, то из D.12) следует, что для некоторого с ? Fq
имеют место сравнения h (ж) = с (mod fx (ж)), h (ж) = с (mod /a (ж)),
но это противоречит сравнениям D.13). Поэтому должно быть
сп ?= С|2 для некоторого i, 0 < i < e — 1 (точнее, для некоторого i,
1 < i < е — 1, так как Ro (ж) = 1). В таком случае многочлен
Rt (x) — сп будет делиться на fx (ж), но не на /а (х). Следовательно,
используя этот многочлен Rt (ж) вместо h (х) в формуле D.2),
мы отделим ^ (ж) от /2 (ж). П
Из доказательства теоремы 4.5 видно, что все неприводимые
делители многочлена / могут быть отделены многочленами Rt,
где { пробегает ненулевые элементы множества /. Однако для на-
нахождения множества / требуется знать порядок е многочлена /;
прямой же подсчет числа е (т. е. без использования канонического
разложения многочлена /), как правило, чересчур громоздок.
Такая проблема не возникает в следующих двух частных слу-
случаях — двучлена / (ж) = хе — 1 и е-кругового многочлена / (ж) =
~ Qe (x), поскольку в обоих этих случаях, очевидно, ord (же — 1) =
= ord (Qe (x)) = е. Оказывается, что многочлены Rt очень удобны
Для разложения таких двучленов и круговых многочленов.
4.6. Пример. Найдем каноническое разложение кругового
многочлена Q52 (х) в кольце F3 U)• Согласно теореме 3.27,
о м - (*82-i)(*2-i) _
= Xм - X22 + X20 - X18 + Xм - X14 + X12 —
— X10 + X8 - Xе + X* - X2 + 1.
) Здесь Ь( = av если i ? J, и b{ = 0, если i ф. J. — Прим. перев.
200 Гл. 4, Разложение многочленов на множители
Рассмотрим теперь многочлен Rt (х) = х + х3 + х9 + х27 +#* ;.
+ х243. Ввиду того 1), что х2в = —1 (mod Qb2 (x)), получаем, что
R\ (х) = 0 (mod Q52 (x)), так что Rt не является C52-разлагающим
многочленом. Переходим к следующему многочлену R2 (х) = xs г
+ хв + х18. Для него получаем
НОД (Q82 (x), R2 (x)) = xe - х2 + 1,
НОД (Q82 (х), R2 (х) + 1) = х* + х* - х2 + 1,
НОД (QS2 (х), R2 (х) - 1) = ж12 + х10 - х8 + xe + х4 + х2 + ] -
= g (х),
так что из формулы D.2) следует равенство
QS2 (х) = (хв - х2 + 1) (хв + х4 - хг + 1) g (x).
Согласно теореме 2.47 (И), круговой многочлен Q82 (x) в кольце
F3 [x] разлагается в произведение четырех неприводимых сомно-
сомножителей степени 6. Так что остается только разложить много-
многочлен g (x). Поскольку R3 (х) = х3 + х9 + х27 + х81 + хш \-
+ х'29 = 0 (mod Q52 (x)), переходим к следующему многочлену
Я4 (х) = х1 + х12 + хм. Заметив, что х12 ее —х10 + Xs — х8 — х! --
— ж2 —/ (mod g (х)) и хм = —х10 (mod g (x)), получим, что
Rt (х) = х10 + х8 — хв — х2 — 1 (mod g (x)).
Поэтому
НОД (g (x), Rt (х)) = НОД (g (х), х10 + х8 — хв — х2 — 1) а 1,
НОД (g(x), Rt (x) + 1) = НОД (g (х), х10 + х8 - хв - х2) =
= Xе — X4 + X2 + 1,
НОД (g (x), Rt (x) - 1) = НОД (g (х), х" + ж8 - хв - жа + 1) -
= Х6 — Х4+1.
Таким образом, искомое каноническое разложение многочлена
Q52 (x) имеет вид
= (хл - х2 + 1) (Xе + х4 - хй + 1) (ж6 - х4 + ж2 + 1) (х* - х* + 1).
§ 2. Разложение многочленов над большими
конечными полями
Если Fg — большое конечное поле, т. е. число q велико» то
практическое применение методов предыдущего параграфа cta-
новится затруднительным. Хоть мы и можем, затратив определен-
J) Так как хш + 1 = (хт — 1)/(хм — 1) содержит все первообразные корчи
52-й степени из 1. — Прим. перев.
§ 2. Разложение многочленов над большими конечными полями 201
ные усилия, найти /-разлагающий многочлен, однако прямое ис-
использование основной формулы D.2) становится уже нереальным,
так как оно требует подсчета q наибольших общих делителей.
Поэтому для того, чтобы сделать возможным использование /-
разлагающих многочленов и для больших конечных полей, необ-
необходимо изыскать пути сокращения числа элементов с ? fg, для
которых в формуле D.2) нужно подсчитывать наибольшие общие
делители. Заметим, что в контексте, связанном с разложением
многочленов, мы будем считать порядок q конечного поля fq
«большим», если он существенно больше степени разлагаемого
многочлена.
Пусть снова / — произвольный нормированный многочлен сте-
степени п из кольца Fq [x], разлагающийся в произведение k
различных нормированных неприводимых сомножителей над по-
полем Fq. Допустим, что многочлен h ? Fg lx] удовлетворяет усло-
условиям hi = h (mod /) и 0 < deg (h) < я, так что он является f-
разлагающим многочленом. Поскольку различные наибольшие
общие делители из правой части формулы D.2) взаимно просты,
то ясно, что не более k из них могут быть отличны от 1. Задача
состоит в том, как a priori охарактеризовать те элементы с ? fq,
для которых НОД (/ (х), h (х) — с) Ф 1.
Одну из таких характеризаций можно получить, применяя
теорию результантов (см. определение 1.93 и последующие замеча-
замечания). Пусть R (/ (х), h (х) — с) — результант многочленов f (х)
и h (x) — с, где в качестве формальных степеней берутся степени
этих многочленов. Тогда НОД (/ (х), h (х) — с) Ф 1 в том и только
том случае, если R(f(x), h(x) — с) — 0. Так мы приходим к рас-
рассмотрению функции
F(y) = R (f (*), h (x) - у),
которая, очевидно, является многочленом степени, не большей л,
относительно переменной у (учитывая представление результанта
в виде определителя). Ясно, что НОД (/ (х), h (х) — с) Ф 1 в том
и только том случае, если элемент с является корнем многочлена
F (у) из поля Fg.
Многочлен F (у) можно найти непосредственно из его определе-
определения; для этого потребуется вычислить определитель порядка
не более чем 2л — 1, элементами которого являются либо элементы
из поля f q, либо линейные многочлены от у с коэффициентами из
и а- Однако во многих случаях предпочтительнее другой способ,
состоящий в следующем. Выберем л + 1 различных элементов
со> с,, ..., сп из Fq и подсчитаем результанты rt — R (/ (х), h (x) —
~~ cj)> i• = 0, 1, ..., л. Тогда тот единственный многочлен F (у)
степени не превосходящей п, для которого F (сг) = гь i = 0,
'• ¦¦•, п, можно получить с помощью интерполяционной формулы
202
Гл, 4. Разложение многочленов иа множители
Лагранжа (см. теорему 1.71). Этот метод имеет еще то преимуще-
преимущество, что если какие-либо элементы г,- равны нулю, то мы автома-
автоматически получаем корни многочлена F (у) из поля fq. Во всяком
случае вопрос о выделении тех элементов с ? fq, для которых
НОД (/(х), h (х) —с) Ф 1, теперь сводится к вопросу нахожде-
нахождения корней некоторого многочлена в поле fq. Вычислительный
аппарат для решения этой проблемы будет развит в следующем
параграфе.
4.7. Пример. Разложим многочлен / (х) = хв — Зх5 + 5х* —
— 9х3 — 5х2 + 6х + 7 над полем F23. Так как НОД (/ (х), /' (*)) =
= 1, то многочлен / (х) не имеет кратных сомножителей. Приме-
Применяя алгоритм Берлекэмпа, найдем степени х23' по модулю / (х)
для i = 0, 1, ..., 5. Это приводит к 6X6-матрнце
так что матрица В —
В- / =
1
5
-10
0
11
—3
-/
—
0
0
10
7
0
0
0
__1
10
9
4
—10
имеет вид
0
5 -
10
0
11
-3
0
-1
10
7
0
0 -
0
8
0
— 8
7
9
0
1
9
9
4
-10
0
2
1
10
7
2
0
8
0
—9
7
9
0
— 10
9
—11
2
—9
0
2
1
10
6
2
0
—10
с
— 11
2
-10
Приведение этой матрицы элементарными преобразованиями столб-
столбцов к ступенчатому виду показывает, что ранг г матрицы В — /
равен 3, так что многочлен / имеет k = 6 — г = 3 различных
нормированных неприводимых сомножителей над полем Fa8. Бааи<-'
пространства решений однородной системы D.6), соответствующий
матрице В — /, задается векторами /ц = A, 0, 0, 0, 0, 0), А§ г"
= @, 4, 2, 1, 0, 0)uhs = @, —2, 9, 0, 1, 1), которые соответствуют
многочленам ht (х) = 1, &2 (х) = ха + 2ж2 + Ах и А3 (х) = ** "~
§ 2. Разложение многочленов иад большими конечными полями
203
, X4, _|_ 9^2 — 2x. Возьмем теперь /-разлагающий многочлен Л2 (ж)
и рассмотрим многочлен от у
1
0
0
1
0
0
0
0
0
—3
1
0
2
1
. 0
0
0
0
5
-3
1
4
2
1
0
0
0
—9
5
з
—у
4
2
1
0
0
—5
—9
5
0
—у
4
2
1
0
6
—5
—9
0
0
—у
4
2
• 1
7
6
5
0
0
0
—у
4
2
0
7
6
0
0
0
0
—у
4
0
0
7
0
0
0
0
0
—у
Этот определитель можно вычислить непосредственно, и мы полу-
получим F (у) = у" + 4у6 + 3/ — 7у3 + Юуш +Пу + 7. Поскольку
многочлен / имеет три различных нормированных неприводимых
сомножителя в кольце F23 lx], то, как отмечалось выше, много-
многочлен F (у) может иметь не более трех корней в поле F23- Применяя
либо один из методов, рассматриваемых в следующем параграфе,
либо метод проб и ошибок, находим эти корни, равные соответствен-
соответственно 2, —3 и 6. Далее,
НОД (/ (ж), Аа (ж) - 2) = х2 - х + 7,
НОД (/ (ж), А, (х) + 3) = х- 4,
НОД {f (ж), /ц (х) - 6) = х3 + 2жа + 4ж - 6,
так что каноническим разложением многочлена / (х) в кольце
F23 [x] является
/ (ж) = (ж — 4) (ж2 — ж + 7) (ж8 + 2х% + 4х — 6). Q
Другой метод характеризации тех элементов с поля F,, для
которых нужно подсчитывать НОД (/ (ж), h (ж) — с) в формуле
D.2), основан на следующих соображениях. Пусть сохранены
те же обозначения, что и выше, и пусть С обозначает множество
всех тех с С ?q, для которых НОД (/ (ж), h (ж) — с) ф\. Тогда
из D.2) следует, что
/(*)= П НОД (/(ж), h(x)-c),
D.14)
так что многочлен / (ж) делит произведение П (h (ж) — с).
"ведем в рассмотрение многочлен
G(y) = П (у-с).
204 Гл. 4. Разложение многочленов на множители
Тогда многочлен / (х) делит G (h (x)), и многочлен G (у) можно оха-
охарактеризовать следующим образом,
4.8. Теорема. Среди всех многочленов g ? FQ [у], таких, что
f (х) делит g (h (x)), многочлен G (у) однозначно определяется
тем, что это нормированный многочлен наименьшей степени.
Доказательство, Мы уже показали, что нормированный много-
многочлен G (у) обладает тем свойством, что / (х) делит G (h (x)). Легко
видеть, что многочлены g ? Fq [у], такие, что / (х) делит g (h (x)),
образуют ненулевой идеал кольца Fq ly]. По теореме 1.54 этот
идеал является главным идеалом, порожденным некоторым одно-
однозначно определенным нормированным многочленом Go ? ?q \y].
Это значит, что многочлен Go (у) делит G (у), так что
G0(y)= П (у-с)
для некоторого подмножества Сх множества С. Следовательно,
/ (х) делит Go (h (x)) = П (h (x) — с), и, значит,
с 6 с,
/(*)= П НОД (/(*), h(x)-c). :
Сравнение с D,14) показывает, что СХ = С. Поэтому Go (у) =
= G (у), и теорема доказана. П
Этот результат можно использовать следующим образом. Пусть
т — число элементов множества С. Тогда запишем
G(y)= П (у-с) = %Ь}у1
с е с /=о
с коэффициентами bj ? Fq. Поскольку / (х) делит G (h (x)), то мы
получаем
т
2] bjh(x)i = 0 (mod/(*)).
/=о
Так как fem = 1, то это сравнение можно рассматривать как не-
нетривиальное соотношение линейной зависимости над полем Fg»
связывающее вычеты по модулю / (х) многочленов 1, h (х),
h (х)г, ..,, h (x)m. Согласно теореме 4.8, если произвести нормиро-
нормирование так, чтобы Ьт = 1, то такое соотношение линейной завиеи,-
мости определяется однозначно; поэтому вычеты по модулю / (х)
многочленов 1, h (x), h (х)г, ..., h {x)m~x линейно независимы над
Fq. Ограничение т < k (где k определено в начале параграфа) вы-
вытекает из D.14).
Поэтому многочлен G можно найти, если приводить по модулю
/ (х) степени многочлена h (x): I, h (x), h {x)%, .... пока не найдем
§ 2. Разложение многочленов над большими конечными полями 205
ту наименьшую степень h (х)т этого многочлена, которая линейно
зависит (над полем Fg) от предыдущих степеней. Коэффициенты
этого первого соотношения линейной зависимости в нормированной
форме (т. е. с коэффициентом 1 при h (x)m) и являются коэффициен-
коэффициентами многочлена G. При этом мы знаем, что для нахождения этого
соотношения линейной зависимости требуется рассмотреть лишь
степени многочлена h (х) не выше k-ш, где число k можно получить
из алгоритма Берлекэмпа. Элементами множества С являются
корни многочлена G, лежащие в поле Fg, и только они. Этот метод,
сводящий проблему нахождения элементов множества С к задаче
отыскания корней некоторого многочлена в поле fq, носит назва-
название алгоритма Цассенхауэа.
4.9. Пример. Рассмотрим снова тот же многочлен / (х) =
= ха — Зхъ + bxi — 9xs — 5х2 + 6х + 7 ? F23. Ы, что и в при-
примере 4.7. С помощью алгоритма Берлекэмпа мы уже нашли число
его неприводимых сомножителей k, равное 3, и /-разлагающий мно-
многочлен h (х) = х3 + 2хг + 4х ? F23 Ix]. Применим теперь ал-
алгоритм Цассенхауза для нахождения множества С тех элементов
с € F23. Для которых НОД (/ (х), h (х) — с) Ф 1. Мы имеем
h (х) ее х3 + 2х2 + Ах (mod / (х)),
h (хJ = 7хь + 7х* + 2xs — 2х2 — ^х — 7 (mod / (х)),
так что ясно, что h (хJ не зависит линейно от 1 и Л (х). Поскольку
число т элементов множества С не превосходит k = 3, то степень
h (x)s должна быть наименьшей степенью многочлена h (x), которая
линейно зависит от предыдущих степеней. Имеем
h (xf = —1 \х& — 1 Ijc* — х3 — 9х2 — 5х — 2 (mod / (х)),
и искомая линейная зависимость такова:
h (xf — 5Л (хJ + 1Ш (х) — 10 = 0 (mod / (х)),
следовательно, G (у) = у3 — 5г/2 + Ну — 10. Теперь, применяя
либо методы следующего параграфа, либо метод проб и ошибок, на-
находим, что корнями многочлена G в поле р2з являются элементы
2, —3 и 6. Каноническое разложение многочлена / в F23 k] на-
находится так же, как в последней части примера 4.7. Q
Приведем еще один метод, который основан на применении
матриц из многочленов. Хоть его схема более сложна, но зато
он представляет больший теоретический интерес. Под матрицей
из многочленов мы будем понимать матрицу, элементами которой
являются многочлены из кольца fq [x].
4.10. Определение. Квадратную матрицу из многочленов будем
называть невырожденной, если ее определителем является нену-
ненулевой многочлен, и унимодулярной, если ее определителем яв-
является ненулевой элемент поля fv
206
Гл. 4. Разложение многочленов иа множители
4.11. Определение. Квадратные матрицы из многочленов Р
и Q будем называть эквивалентными, если существуют такие'
унимодулярная матрица из многочленов U и невырожденная
матрица Е с элементами из поля fq, что Р = UQE.
Легко проверить, что введенное нами понятие эквивалентности
матриц из многочленов действительно является отношением экви-
эквивалентности в том смысле, что оно рефлексивно, симметрично и
транзитивно.
Мы видели в § 1, что существуют многочлены ft2, ...,ftA ?
6 Fg lx], 0 < deg (ftг) < deg (/), i = 2, ,.., k, которые вместе
с fti (x) = 1 являются линейно независимыми над полем р. ре-
решениями сравнения ft* = ft (mod f). Ясно, что многочлены ft,-
можно выбрать нормированными. Следующая теорема являегся
основополагающей.
4.12. Теорема. Пусть f = fx ... fh, где fx fh — различные
нормированные неприводимые многочлены из fq lx], и пусть
h2, ..., ftft С; Fg [х] — нормированные многочлены степени
<deg (/), которые вместе с hx = 1 являются линейно независимыми
над полем fq решениями сравнения ft* = ft (mod /). Тогда диаго-
диагональная матрица из многочленов
t 0 . . . О
) h . , . О
0 0
эквивалентна матрице из многочленов
А =
О О
-1 О
О —1
о о
—1
Доказательство. Из рассуждения, следующего из D.3), выте-
вытекает, что существуют элементы е13 ? f4, такие, что ht (x) '¦
= etj (mod fj (х)), 1 <; i, j < k. Обозначим k x ^-матрицу (c,j)
через Е. Покажем, что матрица Е невырожденна. Если бы это
было не так, то существовали бы такие элементы dlt ..., du € в~т
не все равные нулю, что
/=1,
*.
§ 2. Разложение многочленов над большими конечными полями 207
Это означало бы, что
k
E /=1, .... k,
k
откуда следовало бы, что 2 d-fti = 0 (mod /). HoTaKKaKdeg (Аг)<
< deg (/) для всех i, 1 < i < k, то на самом деле мы получили бы
равенство 2j ^Л = 0, которое противоречит линейной незави-
независимости многочленов hlt ..., hh.
Теперь заметим, что АЕ является невырожденной матрицей
из многочленов, так как det (АЕ) = (—1)*~'/ det (E). Поэтому мы
можем написать D = (D (АЕ)'1) АЕ, и теорема будет доказана,
как только мы покажем, что 0 = D (АЕ)'1 является унимодуляр-
ной матрицей из многочленов.
Пусть АЕ = фи), где btl ? fq lx]. Тогда, так как hx= \,
то bxj — fexj = f ~ 0 (mod fj) для 1 < / < k, а для 2 < i < k
имеем btJ = Нге^ — etj = h} — etj = 0 (mod fs) при 1 < j < k,
так что
btj = 0 (mod fj) для всех 1 < i, j < k. D.15)
Далее,
(AEy1 = det (AE) (Bu)i<{, {<k = det(?)/ (ВцI<{, /<*,
где Б^; — алгебраическое дополнение элемента btj матрицы АЕ,
так что
U=D (ЛЕТ1 =
Из D.15) следует, что Вг] = 0 (mod flfi), поэтому fiBtj делится
на /, и каждый элемент матрицы 11 является многочленом над по-
полем fq. Кроме того,
- det<D> - (~ '>*~'
- det (AE) ~~ det(?) '
т. e. det (U) — ненулевой элемент поля Fq. Значит, U — унимо-
Дулярная матрица из многочленов. ?
Теорема 4.12 обеспечивает теоретическую возможность нахо-
нахождения неприводимых делителей многочлена / путем приведения
матрицы А к диагональному виду. Сама же матрица А (число k
#и многочлены h2, ¦¦., hh из ее первого столбца) относительно легко
строится с помощью алгоритма Берлекэмпа. Однако алгоритм,
с помощью которого производится диагонализация матрицы А,
довольно сложен.
208 Гл. 4. Разложение многочленов на множители
Алгоритм диагонализации основан на применении следующих
элементарных преобразований: (i) перестановки любой пары строк
(столбцов) матрицы; (п) умножения любой строки (столбца) на
любой элемент группы f?; (iii) умножения любой строки (столбца)
на произвольный элемент поля Fq и прибавления результата
к любой другой строке (столбцу).
Элементарные преобразования для строк можно осуществить
умножением исходной матрицы слева на подходящим образом
выбранную унимодулярную матрицу из многочленов, тогда как
элементарные преобразования для столбцов можно осуществить
умножением исходной матрицы справа на подходящим образом
выбранную невырожденную матрицу с элементами из fq. По-
Поэтому новая матрица, получаемая применением любого элемен-
элементарного преобразования, всегда эквивалентна исходной пат-
патрице.
Можно показать, что матрица А эквивалентна такой матрице R
из многочленов, что для каждой ее строки степень диагонального
элемента больше степеней остальных элементов строки. Такую
матрицу R можно получить из А, произведя не более BЛ + k — 1)-
¦ (k— 1) элементарных преобразований, где Л = deg (Ла) -4 ...
- + deg(Afc).
Заметим, что диагональные элементы матрицы R можно пере-
переставлять, производя соответствующую перестановку строк и
столбцов. Таким образом мы можем получить матрицу S, которая,
обладая всеми свойствами матрицы R, обладает следующим до-
дополнительным свойством: deg (s^) ^г deg (sjj) для 1 < i •</*-" *•
где su — диагональные элементы матрицы S. Кроме того, умно-
умножением строк матрицы S на подходящие элементы из F% можно
добиться, чтобы многочлены stl были нормированными. Матрии\ 5
из многочленов, обладающую всеми этими свойствами, будем на-
называть нормализованной матрицей.
Диагональные элементы матрицы D из теоремы 4.12 тоже можно
переставить так, чтобы выполнялись неравенства deg (/,) $г deg ifj)
для 1 < / < / < k, В результате мы получим эквивалентную
матрицу, которую тоже обозначим D и которая будет диагональ-
диагональной и нормализованной. Можно показать, что из эк ви валентное г и
нормализованных матриц S и D вытекает, что deg (sti) = deg (/,)
для всех i, I < i < k. Отсюда следует, что степени различных не-
неприводимых делителей многочлена /совпадают со степенями диаго-
диагональных элементов матрицы S. Более того, если натуральное
число d является степенью некоторого диагонального элемента
(многочлена) sit матрицы S и если Sid} — квадратная подматрица
матрицы S, главная диагональ которой состоит как раз из we"
тех многочленов Su, степени которых равны d, то можно показать,
что определитель матрицы S^> равен определителю соответствую-
соответствующей подматрицы ?Hd> матрицы D. Поэтому det (Sid)) = gd, где gj
§ 2. Разложение многочленов над большими конечными полями 209
есть произведение всех многочленов ft степени d. Таким образом
мы приходим к частичному разложению многочлена /:
f = IJgd, D.16)
где произведение берется по всем натуральным числам d, явля-
являющимся степенями неприводимых делителей ft многочлена /.
В итоге матрица S позволяет получить следующие сведения
о нормированных неприводимых сомножителях ft многочлена /:
узнать степени этих сомножителей, число всех сомножителей
данной степени и произведение всех сомножителей данной сте-
степени. Поэтому если степени всех сомножителей ft различны, а это
значит, что различны степени всех диагональных элементов (мно-
(многочленов) sa матрицы 5, то разложение D.16) уже является кано-
каноническим разложением / в Fq lx]. .
Но если разложение D.16) еще не является каноническим раз-
разложением многочлена /, то мы можем продолжить его несколь-
несколькими путями. Например, можно применить один из рассмотрен-
рассмотренных ранее методов для разложения многочленов gd. А можно про-
продолжать алгоритм диагонализации с тем, чтобы в итоге полу-
получить диагональную матрицу D, эквивалентную нормализованной
матрице S.
Выберем второй путь и будем считать, что матрица D имеет
нормализованный вид. К упомянутым выше свойствам матрицы S
можно добавить еще одно, а именно что каждая ее подматрица S(d)
эквивалентна соответствующей подматрице D^ матрицы D. По-
Поэтому достаточно диагонализироватькаждую такую подматрицу Sid)
отдельно. В силу эквивалентности матриц 5<d> и D(d> найдутся
такие унимодулярная матрица из многочленов U и невырожден-
невырожденная матрица Е с элементами из поля Fq, что S<d> =
Мы можем тогда записать
= S(od) + Sld) x H (- Sdd)xd,
= U0+UlX+---+Umx>»,
где Srd), D{rd) и Uи 0 < г < d, 0 < t < т, — матрицы с элемен-
элементами из поля fq, Um ф 0 и Sad) = D(dd) = I — единичные ма-
матрицы соответствующего порядка. Сравнение матричных коэффи-
коэффициентов при высших степенях переменной х в обеих частях ра-
равенства 5<"> = UD^E дает / = UmIE, так что т = 0. Поэтому
и = Uo = ?-i и SW> EWWE
o и S EWE.
Сравнивая матричные коэффициенты при одинаковых степенях
переменной х в последнем равенстве, получаем S{d) = E~xD(i)E
Для всех г, 0 < г < d. Следовательно, матрицы S^d) и D{d) имеют
*4 Зак. 222
210 Гл. 4. Разложение многочленов иа множители
одинаковые характеристические многочлены, а значит, и одинако-
одинаковые собственные значения; кроме того, поскольку D{rd) — диаго-
диагональная матрица, то ее собственные значения совпадают с ее диа-
диагональными элементами. Поэтому эти диагональные элементы
можно найти как корни характеристического многочлена матрицы
Srd), причем все они должны принадлежать полю Wq. Таким овра-
зом, мы снова, как и в предыдущих способах, сводим проблему
разложения многочлена / к задаче отыскания корней некоторых
многочленов в поле fq.
Частичное разложение D.16) можно получить также совсем
другим способом. Расширим определение многочленов gd, обозна-
обозначая через gi, i^= 1, произведение всех нормированных неприво-
неприводимых многочленов степени i из Fq [x], которые делят много-
многочлен /. В частности, gt (х) = 1 в том случае, если многочлен /
не имеет в кольце Fg be] неприводимых делителей степени i.
Тогда мы можем написать
Ясно, что нужно рассматривать лишь те значения i, которые не
превосходят deg (/). Будем теперь, исходя из равенств
Гц (Х) = X, Ро (X) = f (X),
последовательно находить многочлены г„ (х), гх (х), ..,, а таЕже
^о (х), Ft (х), ... и dt (x)f d2 (x), .... используя для i ^ 1 следую-
следующие рекуррентные соотношения:
П (х) = ги1 (х)" (mod Fu (x)), deg (r,) < deg (F,^),
Этот процесс заканчивается, когда dt (х) — FU1 (x).
4.13. Теорема. В обозначениях, введенных выше, для всех i -1
имеет место равенство dt (х) = gt (x).
Доказательство. Учитывая делимость многочлена Ft_i на Л-,
прямой индукцией получаем, что
rt (х) = х^1 (mod Fj_! (x)) для всех j>1. D.17)
Докажем теперь при помощи индукции, что
Ft-i = П gj и di = gi для всех />1, D,18)
При i = 1 первое равенство выполняется, поскольку Fo = /. Чт0 I
касается второго равенства, то в силу D.17)
4 (х) = НОД (Fo (х), гг (х) — х) = НОД (/ (х), х» — х), J
1
§ 2. Разложение многочленов над большими конечными полями 211
и поскольку двучлен хч — х равен произведению всех нормиро-
нормированных линейных многочленов из кольца fq lx], то многочлен dx
является произведением всех нормированных линейных многочле-
многочленов из Fg [x], которые делят /, так что dx = ft. Теперь предполо-
предположим, что равенства D.18) выполняются для некоторого i~^> 1.
Тогда
Fi = Ft-i/dt = Ft^/gt= П g], D.19)
i>t+i
так что первое равенство из D.18) доказано для t+ 1. Кроме
того, из D.17) получаем
di+1 (х) = НОД (Ft (х), ri+x (x) -x) = НОД (Ft (x), /+' - х).
В силу теоремы 3.20 двучлен xql ' — х является произведением
всех нормированных неприводимых многочленов из fq [x], сте-
степени которых делят число i + 1 • Поэтому многочлен dl+l является
произведением всех нормированных неприводимых многочленов
из F4 [x], которые делят Ft и степени которых делят i + 1. Из
D.19) тогда следует, что dM = gi+1. D
В изложенном алгоритме самым сложным шагом (с вычисли-
вычислительной точки зрения) является нахождение многочлена rt путем
приведения многочлена г?_! по модулю F^_i. Общая техника со-
сокращения вычислительной работы при этом основана на предва-
предварительном нахождении вычетов по модулю Fi_x многочленов rt_lt
Л-ь rf-u ¦¦¦, r;_i (где 2е — наибольшая степень двойки, не прево-
превосходящая q) последовательным возведением в квадрат и приведе-
приведением по модулю Fj_j, с последующим перемножением того набора
полученных вычетов, который дает нужную нам степень г? i мно-
многочлена гых по модулю Ft_x. Например, чтобы получить вычет
степени rt_x по модулю F,_i, нужно перемножить вычеты степеней
16 4 2 п
ri~\, г,-_ь г,_! и г,-_! по модулю Ft-\.
Однако вместо техники повторных возведений в квадрат мы
могли бы для нахождения многочлена rt (x) по известному г{_х (х)
использовать матрицу В из алгоритма Берлекэмпа (см. § 1).
Пусть п = deg (/) н
'<-.(*)= "Б riV-
/=о
Определим вектор (sf\ s|u, ..., s\n~n) ? fg матричным равен-
^-ТВОМ-
\*1 , S( , . . . , St ) — \Г{—\, ti^i, . . ., Гi—i ) В, D.ZUJ
14»
212
Гл. 4. Разложение многочленов иа множители
где В — матрица порядка я из D.5). Если ввести многочлен
/=о
D.21)
то получим, что rt_x {х)ч = st (х) (mod/(x)), откуда rt_x (хL ~
= s,- (х) (mod Fi_x (х)), так что
rt(x) = si(x)(modFi_1(x)).
Поэтому если известна матрица В, то на каждом шаге i мы, зная
многочлен г;_х (х), можем найти многочлен rt (x) приведением по
модулю Fj_x (x) многочленов s, (x), получаемых из D.20) и D.21).
4.14. Пример. Рассмотрим тот же многочлен / (х) = хв —
— Зх8 + 5х4 — 9х3 — 5х2 + 6х + 7 ? F23 UL что и в примере
4.7. Тогда матрица В имеет вид
5 =
Начнем алгоритм с г0 (х) = х и /"„ (я) = / (х). Из D.20) и D.21)
получаем многочлен st (х) = —Юх8 — Зх* + 8х3 — х2 + 5, и, при-
приводя его по модулю Fo (x), находим rt (x) = sx (x). Согласно тео-
теореме 4.13, имеем gt (х) = йг (х) = НОД (Fo (х)г гг (х) — х) = х —
— 4. Кроме того, Ft (х) = Fo (x)ldx (x) = хв + х* + 9х3 + 4х2 +
+ Их + 4.
На втором шаге мы вновь применяем D.20) и D.21) для нахо-
нахождения многочлена s2 (х) = 5хъ — 8х4 + 9х3 — 10хг — 11, и при-
приведением его по модулю Ft (х) получаем г2 (х) = Юх4 + Юх3 —
— 7х2 — 9х — 8. Согласно теореме 4.13, g2 (х) = d2 (x) =
= НОД (Л (х), г2 (х) — х) = х% — х + 7. Кроме того, F% (x) =
= Ft (x)/d2 (x) = х3 -j- 2х2 + 4х — 6. Но, согласно первой части
D,18), все неприводимые делители многочлена F2 (x) имеют сте-
степени не менее 3, поэтому многочлен Рл (х) сам должен быть непри-
неприводимым в кольце F23 [*)> так чт0 8а (х) = F% (x). Таким образом,
мы получаем частичное разложение
/ (х) = (х — 4) (г2 — х-\-7) (х3 + 2х% + 4д: — 6),
1
5
-10
0
11
—3
0
0
10
7
0
0
0
j
10
9
4
— 10
0
8
0
— 8
7
9
0
—3
1
10
7
2
0
—10
—9
—11
2
—9
которое в данном случае уже оказывается каноническим разложе-
разложением многочлена / (х) в кольце р2я [х]. П
§ 3. Вычнслеине корней многочленов 213
§ 3. Вычисление корней многочленов
В предыдущих параграфах мы видели, что проблему канони-
канонического разложения некоторого многочлена над конечным полем
часто можно свести к задаче нахождения корней в этом поле не-
некоторого вспомогательного многочлена. Но вычисление корней
многочлена, безусловно, представляет и самостоятельный интерес.
Вообще говоря, мы ставим следующую задачу. Пусть задан
многочлен / ? Fr lx]; требуется найти его корни в некотором
расширении fq поля Fr. Однако достаточно рассмотреть ситуа-
ситуацию, когда нужно найти корни многочлена / ? Fg [x] положи-
положительной степени, лежащие в самом fq, так как многочлен над
подполем всегда можно рассматривать как многочлен над всем
полем.
Ясно, что каждый алгоритм разложения многочлена / в кольце
Fq [х], в частности, является и алгоритмом нахождения его кор-
корней в поле fq, так как эти корни определяются линейными сомно-
сомножителями канонического разложения / в кольце fq [x]. Поэтому
алгоритмы, рассмотренные в предыдущих параграфах этой главы,
можно использовать также и для нахождения корней. Однако эти
алгоритмы чаще всего являются не самым эффективным способом
вычисления корней многочлена, когда ставится именно такая за-
задача. Поэтому мы рассмотрим методы, более приспособленные для
этой цели.
В качестве исходного шага полезно выделить ту часть много-
многочлена /, которая содержит все его корни в поле Fg. Это достигается
вычислением НОД (f (х), хч — х). Ввиду того что двучлен хч — х
является произведением всех нормированных линейных много-
многочленов кольца Fg [jfli указанный наибольший общий делитель
равен произведению всех тех нормированных линейных многочле-
многочленов над Fq, которые делят /; поэтому его корнями являются те
и только те корни многочлена /, которые принадлежат полю Fq-
Учитывая это, можно без ограничения общности предполагать,
что все корни многочлена, для которого мы намерены найти корни
в поле Fq. принадлежат полю Fq и притом различны, т. е. что f
является произведением различных линейных нормированных
многочленов из Fq [x].
Один полезный метод нахождения корней многочленов мы
уже рассмотрели в § 4 гл. 3; он был основан на определении аф-
аффинного кратного для данного многочлена. Этот метод мы проил-
проиллюстрировали примером 3.55.
Переходя к другим методам, рассмотрим сначала случай про-
простого поля Fp- Как уже было отмечено, достаточно рассмотреть
лишь многочлены вида
/(*) = П (*-<:,).
г=1
214 Гл. 4. Разложение многочленов на множители
где clt ..., сп — различные элементы поля fp. Если чис.1) р
мало, то найти корни многочлена / можно просто методом пр • '> и
ошибок, т. е. простым вычислением всех значений / @), / ()i
...,f(p-l).
Если же число р велико, то можно применить следующий ¦ри-
ем. Пусть Ь ? Fp, где р нечетно. Рассмотрим равенство
f(x-b)= П(х-(Ь + Сг)).
t=i
Заметим, что многочлен f (х — Ь) делит двучлен хр — v
= х (x<p-W2 + 1) (х(р-{1/2 — 1). Если при этом х является дгли-
телем многочлена f (х — Ь), то / (—Ь) = 0, и нами найден ч.и\п
из корней многочлена /. Если жех не является делителем/ (х - '¦),
то ч
f(x-b) = НОД {f (х - b), x(p-')/2 + 1) НОД (f (х- Ь).
х(р-1)/2_ 1). A -2-2)
Равенство D.22) мы теперь используем следующим образом. 1 [рн-
ведем степень xip—l)i2 по модулю / (х — Ь) (например, приманки
технику последовательного возведения в квадрат, рассмотренi-:> to
вслед за теоремой 4.13). Если х(р—W2 ф. ±1 (mod / (х — Ь)\. то
равенство D.22) даст нетривиальное частичное разложение MH""i-
члена / (х — Ь). Заменяя х на х + Ь, мы получим нетривиален"*1
частичное разложение многочлена / (х). В довольно редком i.iy-
чае, когда х(р~1^2 = +1 (mod / (х — Ь)), можно использои.чть
другое значение Ь. Таким образом, изменяя по мере необходим1 vi и
выбор элемента Ь, мы можем найти либо некоторый корень мн'чо-
члена /, либо его нетривиальное частичное разложение. Продол-
Продолжая тот же процесс для полученных делителей многочлена / мм
в конечном счете получим все корни этого многочлена. Здесь mo,mii>
было бы заметить, что описанный алгоритм отыскания Kopnci
многочлена носит не детерминистический, а вероятностный ха]> -V--
тер, так как зависит 6т случайного выбора соответствующего ¦••ii>-
мента Ъ.
4.15. Пример. Найдем1 корни многочлена / (х) = х* — 7х*_
+ Зх4 — 7х3 + 4ха — х — 2 ? Fit ix], содержащиеся в поле ' it-
Такими корнями являются корни в этом поле многочм'на
g (х) = НОД (/ (х), х17 — х) и только они. С помощью алгоритм
Евклида находим, что g {х) = х* + 6х3 — 5х2 + 7х — 2. Д-14
отыскания корней многочлена g (x) воспользуемся алгоритм-|М-
описанным выше. Возьмем сначала b = 0; прямое вычислении1
показывает, что х<р~^^2 — х8 = 1 (mod g (x)), так что значение
b = 0 не приводит к нетривиальному частичному разложению
многочлена g (х). Возьмем теперь 6=1; тогда g (х — 1) = *'
+ 2х3 — Зх — 2 и х8 = —4х3 — 7х2 + 8х — 5 (mod g (x — !•»•
§ 3. Вычисление корней многочленов 215
и мы приходим к нетривиальному частичному разложению мно-
многочлена g (х — 1). Имеем
НОД (g (х — 1), х8 + 1) = НОД (х4 + 2х3 — Зх - 2,
— 4г* — 7х% + 8х — 4) =
= х2 — 7х + 4,
НОД (g (х — 1), х8 — 1) = НОД (х4 + 2г> - Зх - 2,
— 4Х3 —7хг+ 8х —6) =
= х2 — 8х + 8,
так что из равенства D.22) получаем разложение
g(x— I) = (х* — 7х + 4) (хг — 8х + 8),
которое после замены х на х + 1 приводит к следующему частич-
частичному разложению для g (x):
g (х) = (х* - 5х - 2) (х2 - 6х + 1) = gl (x) ft (x).
Чтобы разложить многочлены gt (х) и ft (#)> возьмем b = 2.
Тогда ft (* — 2) = х2 + 8х — 5 и х8 = — 8х + 2 (mod ft (x — 2)).
Далее,
НОД (gl (х - 2), Xs + 1) = НОД (х2 + 8х - 5, -8х + 3) =
= х + 6;
деление углом дает gi (х — 2) = (х + 6) (х + 2), откуда полу-
получаем
ft (х) = (х + 8) (х + 4).
Обращаясь к ft. (х), получаем, что ft (х — 2) = х2 + 7х = х (х +
+ 7), так что —2 — корень многочлена ft (x). Отсюда следует, что
ft (х) = (х + 2) (х - 8).
В итоге получаем следующее разложение g (x) на линейные мно-
множители: g (х) = (х + 8) (х + 4) (х + 2) (х — 8). Поэтому корня-
корнями многочлена g (x) (а значит, и многочлена / (х)) в поле F17 яв-
являются элементы —8, —4, —2 и 8. ?
Теперь мы построим алгоритм нахождения корней для случая,
когда конечное поле fq велико, но его характеристика р мала.
Как и выше, достаточно рассмотреть случай, когда
/(*)= П(х-Уг),
гДе Ть ..., уп — различные элементы поля fq. Считая, что q =
^ Рт, положим
т—1
S(x)= S хр>.
1=0
216 Гл. 4. Разложение многочленов на множители
Напомним, что для любого элемента у ? fq его абсолютный
след S (у) = ТГ(р (у) принадлежит простому подполю Fp (см.
определение 2.22). В силу теоремы 2.23(iii), уравнение S (у) . ¦ с
имеет рт~х решений у ?fq для каждого с ? fp, так что мы при-
приходим к равенству
х*-х = П (S(x)-c). D-JJ»
c?Fp
Поскольку многочлен / (х) делит хч — х, мы получаем, что
П
откуда
/(*)= П НОД(/(х), S(*)-c). D.-.Ч)
c?FP
Этот метод приводит к частичному разложению многочлена /ivi.
и при этом требуется вычислить всего р наибольших общих да-.ш-
телей. Поэтому если р мало, то указанный метод, безуслсмИ'ч.
пригоден.
Может, однако, случиться, что разложение D.24) тривиален''
(так будет, если S (х) = с (mod / (х)) для некоторого с ? I" / '•
В таком случае следует использовать другие вспомогател^шл-
многочлены, связанные с S (х). Пусть р — образующий элемент
поля Fg над Fp, так что {1, р, р2, ..., $т~1\ — базис F, над^- ¦ ,,-
Подставляя Р'ж, 0</<т—1, вместо х в D.23), получ.н-ч
Так как ф')" = Р', то
х9-х=$-1 П
= 6FP
Это приводит к следующему обобщению разложения D.24):
/(*)= П НОД(/(ж), S(px) — c) для любого /,
c6FP
0</<m-l. D- -'¦"»»
Покажем теперь, что если « = deg (/) ;> 2, то существует по Kp '"¦
ней мере одно значение /, 0 < / < т — i, для которого частично
разложение D.25) нетривиально. Предположим противное, %¦ ''¦
что все частичные разложения вида D.25) тривиальны. Тогда, i-14
каждого /, 0 < / <: т — 1, существует такой элемент Cj С T'J1
что
S ф'х) = cj (mod f(x)).
§ 3. Вычисление корней многочленов 217
В частности, для (различных!) корней yt и у2 многочлена / полу-
получаем
S (p/vi) = S (p/'va) = с} для всех /, 0 < / < т - 1.
В силу линейности следа это означает, что
TrFg (("^ - Y2) Р') = ° Для всех /, 0 « / < т - 1,
так что
TrIF, ((Vj - V2) a) = 0 для всех а ? Fg.
Применяя вторую часть теоремы 2.24, мы тогда заключаем, что
Yj — Ya = О- получая противоречие. Таким образом, по крайней
мере для одного значения /, 0 < / < т — 1, частичное разложение
D.25) нетривиально.
Образующий элемент Р поля fq над fv, используемый в раз-
разложении D.25), можно выбрать как корень какого-либо заданного
неприводимого многочлена степени т из кольца Fp lx]. Получив
нетривиальное разложение вида D.25), мы затем тот же метод
применяем к найденным нетривиальным сомножителям много-
многочлена /, используя другое значение /. Рассуждение, приведенное
выше, показывает также, что, перебирая разные значения /в D.25),
мы в конечном счете можем найти все корни многочлена /.
Пример 4.16. Рассмотрим поле fu = F2 (P). где р — неко-
некоторый корень неприводимого многочлена Xе + х + 1 из Fa 1*1. и
пусть
/ (х) = х*+ (р5 + р* + р3 + р2) х3 + (р5 + р4 + р2 + р +
+ 1) х2 + <р« + р3 + Р) х + (р3 + р) (Е Ffl4 Ы.
Используя сравнение
хв = (р» + р + 1) х3 + (Р4 + Р3 + р2) х2 + (Р6 + р3 + р2 +
+ 1) х + (р5 + р4 + р2 + 1) (mod / (х)),
получим последовательным возведением в квадрат следующие
сравнения по модулю / (х):
х= х,
х2 = х\
X* = (p»+p«+p»+pi)xl+ (р8+р4+
Р5*+(Р4+Р3+Р2+Р+1),
Таким образом, многочлен / (х) делит двучлен л^4 — х и, следова-
следовательно, имеет четыре различных корня в поле fu. Рассмотрим
218 Гл. 4. Разложение многочленов на множители
теперь многочлен S (х) = х + х2 + х4 + Xs + хи + хш. Из при-
приведенных выше сравнений получаем, что •¦
S (х) ЕЕ (р8 + Р3 + Р2 + р + 1) X3 + РУ + (р3 + р2) X +
+ (р8 + р2 + 1) (mod / <*)),
так что
НОД (/ (х), S (х)) = НОД {f (х), (р8 + р3 + р2 + р + 1) Xs +
+ р5ха + (р3 + р2) х + (р3 + ра + 1)) =
= х3 + (р* + р3 + р2) х2 + (р6 + р2 + 1) х + (Р3 + р2) = g {х)
и
НОД (/ (х), S (х) - 1) = НОД (/ (х), (р5 + Р3 + Р2 + Р +
+ 1) х3 + р5х2 + (Р3 + ра) х + (р3 + р2) ,-
= х + Р8.
Поэтому из D.24) получаем ,
f(x) = g(x)(x+^). D.26)
Чтобы найти корни многочлена g (x), мы теперь применим разло-
разложение D.25) с / = 1. Поскольку ц
S фх) = рх + Р2*2 + Р V + PV + Р1в*1в + P3V2 =
= Р* + pV + pV + (p3 + р2) х8 +
+ (р* + Р + 1) хи + (р8 + 1) х32, 'I
то из полученных выше сравнений вытекает, что
S (р*) = (р2 + 1) х3 + (Р3 + р + 1) ха + (р5 + р* + р3 +
+ ра + р + 1) х + (р* + р2 + р) (mod / (х)).
Так как многочлен g (x) делит / (х), то это сравнение выполняется
также и по модулю g (х), поэтому
S фх) = (р2 + 1) х3 + (р3 + р + 1) хг + (р8 + р* + Р8 +
+ ра + р + 1) х + ( р4 + ра + р) =
= (р8 + р2) ха + р3х + (р5 + р3 + р) (mod g (x)).
Таким образом,
НОД (g (x), S фх)) = НОД (g (х), (р» + р2) х2 + р3х +
+ (р6 + р3 + р)) =
= х2 + (р3 + 1)х + (р* + р3 + р2 4- Р) = Л (х)
и
НОД (g (x), S фх) - 1) = НОД (g (х), (р5 + р2) х2 + р3х +
+ (Р5 + Р3 + р + 1)) =
= х+(Р4 + Ра+ 1).
§ 3. Вычисление корней многочленов 219
Поэтому для / = 1 из D.25) получаем, что
g(x) = h (х) (х + (р4 + р2 + 1)). D.27)
Чтобы найти корни многочлена h (x), снова применим разложение
D.25), но возьмем/ = 2. Поскольку
S (рах) = р2х + рV + рV + р1вх8 + р32х1в + р84*32 =
= Р2х + PV + (ps + р2) х* + (р4 + р + 1) Xs +
+ (Р3 + 1) х1в + рг52,
то такой же подсчет, как и для S фх), дает
S (рах) = (р6 + ра + 1) х + (р5 + р3 + ра) (mod h (x)).
Поэтому
НОД (h (x), S (Р2*)) = НОД (h (х), (р6 + р2 + 1) х + рв +
+ Р3 + Р2) =
= х + (Р + 1),
НОД (h (x), S (р2х) — 1) = НОД (h (х), ф6 + р2 + 1) х +
+ рв + р3 + р2 + 1) =
= х + (р3 + р),
так что из D.25) для / = 2 мы получаем
D.28)
Объединяя D.26), D.27) и D.28), получаем следующее разложение
многочлена /:
f (х) = (х + р + 1) (х + р3 + р) (х + р4 + р2 + 1) (х + р8),
так что корнями многочлена / (х) в поле Fe4 являются элементы
Р+ 1,Р3 + Р, Р4 + Р2+ 1 ир6. ?
И наконец, мы рассмотрим проблему отыскания корней много-
многочлена для случая большого конечного поля Fq с большой харак-
характеристикой р. Как уже говорилось раньше, достаточно выяснить,
как находить корни многочленов вида
п
f(x)= П(х-7|)
i=i
с различными элементами уъ ..., уп ? Fq. Для выяснения во-
вопроса, будет ли данный многочлен / (х) иметь такой вид, достаточно
лишь проверить выполнение сравнения х4 = х (mod (/ (x)) (ср.
с первой частью примера 4.16). Мы можем предположить, что q —
наименьшая степень характеристики р, для которой выполняется
220 Гл. 4. Разложение многочленов иа множители
это сравнение. Многочлен / (х) зададим стандартным представле-
представлением
/() 2j j,
где a.j ? fq для 0 < / < п и ап = 1.
Нашей первой целью будет отыскание какого-нибудь нетри-
нетривиального делителя многочлена / (х). Чтобы исключить тривиаль-
тривиальный случай, предположим, что п ^> 2. Считая, что q = pm, рас-
смотрим многочлены
ft (х) = S ofV, * = 0, 1, . . ., m - 1, D.25);
так что /0 (х) = / (х) и /ft (jc) — нормированный многочлен над f,t
для каждого к, 0 <s k < m — 1. Нетрудно видеть, что для вс^х
i, 1 -й: / < п, и /г, 0 < k < m — 1,
(
/=о \/=о
так что
fk (х) = П (х - vf *), * = 0, 1, ... , т- 1.
Построим теперь многочлен
т—1
F(x)=n /*(*). D.30)
Это многочлен над полем Fp, так как ,
т—1 п п т—1 , п
F(x)=n П (х- vP ) =ПП(х- ТР ) = П Ft (х)т/аь
k =0 1=1 »=1 й=0 i=l
где Fj (jc) — минимальный многочлен элемента yt над полем F^.
a d,- — его степень (ср. с материалом, предшествующим теореме
2.23). Поэтому многочлены F{ (x) являются неприводимыми со-
сомножителями многочлена F (х) в кольце Fp [x], но некоторые из
них, вообще говоря, могут совпадать между собой. Значит, ка-
каноническое разложение многочлена F (х) в кольце fp [x\ им?ет
вид
F{x) = G1{x)...Gr(x), D.3D
где Gt (х), 1 <: t < г, — степени различных неприводимых много-
многочленов. Ft (x). Это каноническое разложение может быть получено
с помощью одного из алгоритмов, изложенных в § 2 этой главы-
§ 3. Вычисление корней многочленов 221
Поскольку многочлен / (х) = /0 (х) делит F (х), то из D.31) сле-
следует, что
/(*)= П НОД (/(*), Gt(x)). D.32)
формула D.32), как правило, дает нетривиальное частичное раз-
разложение многочлена / (х). Тривиальным оно является в том и
только том случае, когда НОД (/ (х), Gt (x)) = f (x) для какого-
нибудь t, 1 < t < г, что эквивалентно условию г = 1 1), и тогда
/ (х) делит Fi (х). Сравнение степеней показывает2), что п <: dt = т.
Кроме того, корни многочлена f(x) в этом случае все сопряже-
сопряжены относительно поля Тр. Таким образом, мы можем записать
(изменив, если нужно, нумерацию корней многочлена / (х))
Y* = vf*'. 1<;<я, где 0 = bt < Ь2.< ... < Ъп < т.
Положим Ьп+1 = т и d = min (bl+1 — bt). Ясно, что d < mln.
1<«
Могут встретиться следующие две возможности:
(A) bj+i — b{ > d для некоторого /, 1 < i < п;
(B) bi+l — bt = d для всех i, I < i < п.
В случае (А) заметим, что множеством корней многочлена / (х)
является
f - Vf • • • - 7f "}.
а множеством корней многочлена /d (x) является
/ Ь+d Ь.+d bn+d\
Из условия (А) следует, что эти два множества корней не совпа-
совпадают. Но, с другой стороны, поскольку bM — bt = d для неко-
некоторого i, 1 -^ ? -^ п, эти два множества корней содержат общий
элемент. Таким образом, многочлен НОД (/ (х), /d (x)) отличен
как от / (х), так и от 1. Следовательно, НОД (f (x), fd (x)) является
нетривиальным делителем многочлена / (д:). Нетрудно видеть так-
также, что в этом случае d < mln.
В случае (В) сравнение множеств корней многочленов / (х)
и fd (х) показывает, что / (х) = fd (x), так что НОД(/(х),
fh (х)) = 1 для всех k = 1, ..., d — 1. Кроме того, d = mln, так
что число п делит т, и, значит, bt = d (i — 1) для / = 1, ..., п.
Отсюда следуют равенства, у( = vf ('~ . i=h 2, . . ., п,
*) Так как если Gj (х) = F( (x) *, то Fj является минимальным многочленом
каждого корня у, многочлена /. — Прим. перев.
2) Так как Fi содержит все у/, 1 <: / ^ п. Если бы было йг <от, то все
V/ принадлежали бы IF d , что противоречит выбору q = pm. — Прим. перев.
222 Гл. 4. Разложение многочленов на множители
т. е. элементами у{ являются элементы, сопряженные с yt относи-
относительно поля F d, и только они. Следовательно, / (х) являегся
минимальным многочленом элемента у1 над F j и, значит, ни-
приводим над F <*•
Поэтому в соответствии со случаями (А) и (В) мы получием
следующие две возможности:
(A) Многочлен НОД (/ (х), /ft (х)) для некоторого к, 1 -^ Л <
< т/п, является нетривиальным делителем многочлена / (xi
(B) НОД (/ (х), fh (х)) = 1 для всех к = 1, ..., d - 1» где
d = m/«?jN, и / (х) = fd (х) — минимальный многочлен эле-
элемента Yi наД полем F_d-
Следовательно, в случае (А) наша цель отыскания нетриви-
нетривиального делителя многочлена / (х) достигнута.
В случае же (В) еще требуется дополнительное исследование.
Пусть р снова обозначает образующий элемент поля fq над f p.
Тогда Fpd(P) = Fq = F т> так чт0 элемент р имеет степень mid a- n
надполем f^. В частности, это означает, что $'ф.ТрЛ для всех/.
1 <; / <; п — 1. Пусть теперь коэффициенты а7- многочлена / (х)
таковы, что ajt Ф 0 для некоторого /0, 1 <; /0 -<; п — 1. Рассмо-
Рассмотрим многочлен
f (х) = Р Фх), D.33)
который является нормированным многочленом степени п над *q.
Так как рп~/о ф F d-, а аи € F^' T0> значит, коэффициент ври
х'« в многочлене f (х) не принадлежит полю F а- Поэтому f (x)
не является многочленом над полем f *, и, следовательно, если
указанную выше процедуру применить к многочлену f (x), то
случай (В) не может встретиться, и мы получим некоторый не-
нетривиальный делитель многочлена f (х). А поскольку / (х) -
— P"f (P~Ijs:). т0 каждому нетривиальному делителю многочлена
f (x) соответствует некоторый нетривиальный делитель много-
многочлена / (х).
Остается рассмотреть последнюю возможность: когда имеет
место случай (В) и коэффициенты а^ многочлена / (х) равны нулю
для всех /, 1 <С / <; п — 1. Это означает, что / (х) является дву-
двучленом хп + а0 ?Fp<j lx]. Здесь « не может делиться на р, так
как в противном случае мы имели бы / (х) = (xnlP -\- aff~l)p, что
противоречит неприводимости многочлена / (х) над полем Fprf*
Положим в этом случае
f (х) = Р фх + 1), D,34)
и тогда из того, что Р ф. f ^, сразу вытекает, что коэффициент
при хп~х в многочлене f (x) не принадлежит полю f^. Следова-
Комментарии 223
тельио, если описанную выше процедуру применить к многочлену
f (х), то не может встретиться случай (В), и мы получим некоторое
нетривиальное разложение многочлена / (х). Но поскольку / (х) =
- p"f (Р (х — 1))« каждому нетривиальному разложению мно-
многочлена f (x) соответствует некоторое нетривиальное разложение
многочлена / (х).
Итак, применяя этот алгоритм отыскания корней многочлена
f (x), мы должны поступать следующим образом. Сначала по-
построим многочлены fh (x) по формуле D.29) и многочлен F (х) ?
?lf [x] по формуле D.30). Затем, применяя алгоритм разложе-
разложения из § 2, находим каноническое разложение D.31) многочлена
F (х) в кольце fp [х\; это приводит к частичному разложению
D.32) многочлена / (х). Если это разложение оказывается три-
тривиальным, мы находим многочлены НОД (/ (х), fh (x)) для всех k,
1 <; k < mln. Если и это не приводит к нетривиальному разложе-
разложению многочлена / (х), мы заменяем многочлен / (х) многочленом
f (х) из формул D.34) или D.33) в соответствии с тем, является
/ (х) двучленом или нет. Как показано выше, применение того же
алгоритма к f (x) уже обязательно приводит к нетривиальному
разложению многочлена f (x), а следовательно, и многочлена / (х).
Как только нетривиальные делители многочлена / (х) найдены,
процедура повторяется с заменой многочлена /(х) полученными
его нетривиальными делителями, и так продолжается до полного
разложения многочлена / (х) на линейные сомножители, которые,
согласно теореме 1.64, и определяют корни этого многочлена.
Комментарии
§ 1. Алгоритм разложения, основанный на матрице В (алго-
(алгоритм Берлекэмпа), был впервые изложен в статье Berlekamp [3]
и воспроизведен в книге Berlekamp [4, ch. 6]. Возможность ис-
использования матрицы В из этого алгоритма для определения
числа нормированных неприводимых сомножителей многочлена /
была замечена еще раньше. В статье Petr [1 ] показано, что если
все неприводимые сомножители многочлена / различны (т. е.
в разложении D.1) ег = ... = eh = 1), то характеристический
многочлен det (xl — В) матрицы В равен произведению двучле-
двучленов (х"> — 1) ... (х"к — 1), где tii = deg (ft), i = 1, ..., k. Общий
случай был исследован Шварцом, показавшим в статье Schwarz [ 1 ],
к
что det (xl -B)=xm (Z1 - 1) ... (/* - 1), где m = Ц nt (e, - 1);
j=i
см. также Schwarz [11]. Результат, состоящий в том, что
Ранг матрицы В — / равен п — k, установлен Батлером (Butler
1П); другое его доказательство дано Шварцом (Schwarz [11]).
В статье Willett [5] число k интерпретируется как размерность
224 Гл. 4. Разложение многочленов на множители
векторного пространства линейных рекуррентных последователь-
последовательностей (см. гл. 8). Алгоритм Берлекэмпа излагается в следующих
работах; Childs [I, part II, ch. 12]. Collins [3], Knuth [3, ch 4|
LidI, Pilz [1, ch. 7], Mignotte [3] и Zimmer [2, ch. 2].
Алгоритмы, основанные на многочленах Tt (см. теорему 4..J)
и Ri (см. теорему 4.5), построены Макэлайсом (McEliece J2]).
В его же работе McEleice [3] приводятся таблицы разложения
двучленов х"—1, полученные применением этих алгоритмов.
Изложение этих и других алгоритмов разложения можно нййтн
также в работах Collins [3], Knuth [3, ch. 4], Lidl, Wiesenbauer
[1, ch. 2], Mignotte [3] и Zimmer [2, ch, 2].
Матрицу В можно также использовать для определения числа
ad различных нормированных неприводимых делителей степени d
A < d <; п) многочлена /. Шварц (Schwarz [11]) показал, чго
числа od удовлетворяют следующей системе линейных уравнении:
t НОД (/, d)od = n-hj, / = 1, 2, .... п,
d=\
где hj — ранг матрицы В1 — /. Частные случаи такой системы
рассматривались раньше в статьях Redei [9] и Schwarz [4], 17].
С помощью этой системы в статье Gunji, Arnon [I ] был построен
алгоритм для определения чисел ad. В статье Schwarz [13] для
числа ad получено следующее сравнение по модулю характери-
характеристики р поля f4:
dad = 2fi(d/0Tr(fl')(mod/>),
t\d
где fx — функция Мёбиуса, Тг (В') — след матрицы В', а сумма
распространяется на все положительные делители t числа d.
Частный случай этого сравнения для d = 1 был получен еще
в статье Schwarz [3 ]. В этой последней статье содержатся и другие
сравнения по модулю р для чисел ad, выраженные с помошью
п X «-матрицы А = (a(J), где ац — si+J- и sr обозначает сумму
r-х степеней корней многочлена /. В статье Schwarz [14] были по-
получены формулы, выражающие числа ad через ранги матриц,
связанных с матрицей А. В работе Horakova, Schwarz [I ] приво-
приводятся формулы, выражающие числа od через ранги циркулянтных
матриц, образованных коэффициентами многочлена /; по этому
поводу см. также Ward [10]. Связи между свойствами много-
многочлена / и соответствующей ему матрицы В были исследованы также
в работах Chen, Li [I ] и Т'ц [1 ]. Упомянем еще об использова-
использовании матрицы В в общем алгоритме разложения Кемпферта (Kf"iP'
fert [1 ]) и в полученных Симсом (Sims [1 ]) условиях, при которых
коммутативная конечномерная алгебра над конечным полем fq
является полем.
Комментарии 225
Отметим следующий полезный результат о числе неприво-
неприводимых сомножителей многочлена. Пусть над полем fq нечетной
характеристики задан многочлен / степени п>2с дискриминан-
дискриминантом D ф 0 (см. определение 1.92) и k — число его нормирован-
нормированных неприводимых сомножителей; тогда ц (D) = (—l)n~k, гдет) —
квадратичный характер поля Тд (см. пример 5.10). Впервые это
показал (для простых полей) Пелле (Pellet [2]), а затем в общем
виде доказал Штикельбергер (Stickelberger [2]); в литературе
этот результат известен как теорема четности Штикельбергера.
Доказательство этого результата можно также найти в следующих
работах: Berlekamp [4, ch. 61, Carlitz [67], Childs [1, part III,
ch. 151, Dalen [1], Hensel [2], Lubelski [21, Redei [6], [10,
ch. 11], Schwarz [31, Segre [10], Skolem [51, Swan [1] и Воро-
Вороной 12], а один частный случай этой теоремы был рассмотрен
в статье Dickson [9J. Различные варианты теоремы четности
Штикельбергера для случая поля fq характеристики 2 даются
в работах Stickelberger [2], Carlitz [44], Segre [10] и Berlekamp
[4, ch. 61, [10]. Еще Пелле (Pellet [2]) заметил, что теорему чет-
четности Штикельбергера можно применить для доказательства
квадратичного закона взаимности (см. теорему 5.17); см. также
работы Berlekamp [4, ch. 61, Childs [I, part III, ch. 16], Miri-
manoff, Hensel [1], Redei [10, ch. И] и Swan [1].
Мы уже встречались с разложениями многочленов из некото-
некоторых специальных классов. Так, в § 4 гл. 2 рассматривались кру-
круговые многочлены, в § 4 гл. 3 — линеаризованные и аффинные
многочлены и в § 5 гл. 3 — двучлены и трехчлены. По вопросу
о числе корней многочлена (а значит, и о числе его линейных сомно-
сомножителей) мы отсылаем читателя к § 1 гл. 6. Таблицы разложений
многочленов и списки неприводимых многочленов представлены
в гл. 10.
Вопрос о разложимости многочленов четвертой степени
изучался в работах Carlitz [70], [73], Giudici, Margaglio [1],
Leonard [31, Leonard, Williams [1], Skolem [4] и Гребенюк [I].
Разложимость многочленов вида / (х{) для неприводимых много-
многочленов / рассматривалась в статьях Agou [101, [111, Butler [2]
и Pellet [1 ]. Результаты о степенях делителей многочленов вида
8 (х) ~ а, полученные Ope (Ore [2]), были обобщены в статьях
Petterson [1], [21, [31, где изучались многочлены вида f (g (х)')
Для неприводимых многочленов / и им подобные композиции.
Разложения многочленов вида / (L (х)), где /—неприводимый,
a L — линеаризованный многочлены, изучались в работах Agou
14Ь [19], [20], Long [3], [4], Long, Vaughan [1 ], [2] и Варша-
м°в [3 ], [5 ]; аналогичные вопросы для многочленов от нескольких
переменных рассматривались в статьях Carlitz, Long [ 1 ] и Long
loj. В статье Daykin [3] находятся степени и число неприводи-
^ Зак. 222
226 Гл. 4. Разложение многочленов на множители
мых сомножителей многочлена вида (сх + d) xq — (ах + *>) над
полем Fr В работе Williams К- S, [25] получено разложение
так называемых многочленов Диксона (см. § 2 гл. 7), а в статье
Сергеева [1J — разложение многочленов близкого к ним вида.
Некоторые результаты о разложении многочленов Эйлера и
Бернулли над конечным простым полем получены в статье Brillhart
[1]. В работе Golomb, Lempel [1] изучалось разложение много-
многочленов, задаваемых рекуррентным соотношением второге порядка.
Фейт и Рис (Feit, Rees [1]) получили критерий разложимости
многочлена f?fq[x\ на линейные сомножители над fq и тер-
терминах сумм степеней корней многочлена /. Более ранние резуль-
результаты в этом направлении можно найти в статьях Schonemann 12],
Thouvenot, Chatelet [1] и Шатуновский [1]. В статье Craven,
Csordas [1] охарактеризованы такие последовательности (сп),
п = 0, 1, .... что если конечное поле F? является полем разложе-
разложения для многочлена 2 апхп, то оно является полем разложения и
для многочлена 2 спапхП-
Коэн (Cohen S, D, [5], [6]) изучал, как распределяются раз-
различные типы разложения среди многочленов вида / (х) -f иц (х)
при заданных f, g ?Fq 1х] и изменяющемся a ?F? (см. об
этом также Leonard [5]). Кроме того, Коэн (Cohen S. D. 171)
изучал также распределение типов разложения в классах вычетов
по модулю некоторого заданного многочлена и в множествах
многочленов фиксированной степени, некоторые коэффициенты
которых заранее заданы. Вильяме (Williams К. S. [11]) получил
асимптотическую формулу для числа N (q, d, s, ё) нормированных
многочленов данной степени d над полем fq, имеющих ривно s
различных неприводимых нормированных делителей степени е
над Fr В статьях Саг [5], [7] и Cohen S. D. [3] приводятся
асимптотические формулы для числа нормированных многочленов
заданной степени над fq, имеющих определенные типы разложе-
разложения; о случае, когда степень многочленов ограничена данным
натуральным числом, см. статью Gogia, Luthar [1]. В работе
Zsigmondy [2] найдено число нормированных многочленов данной
степени п над простым полем fp, имеющих заданное число раз-
различных корней в поле Fp, и для каждого d, 1 <; d -< п, подсчи-
подсчитано также число нормированных многочленов степени п над ?р<
не имеющих неприводимых делителей степени d.
При фактическом осуществлении какого-либо алгоритма раз-
разложения многочлена приходится выполнять различные операции
в рассматриваемом конечном поле. Например, чтобы сделать
нормированным многочлен /, требуется вычислить мультипли-
мультипликативный обратный элемент для старшего коэффициента этого
многочлена. Для эффективного выполнения в конечных полях
арифметических действий были изобретены различные цетоды-
Так, в работах Collins [1], Davida [1], Schonhage [1] и \Viii<?11
Комментарии 227
[6] рассматривается вопрос о вычислении мультипликативных
обратных элементов. Эффективные методы умножения элементов
поля разработаны в статьях Fiduccia, Zalcstein [1] и Winograd
[ 1 ], [2 ]; см. также Bini, Capovani [ 1 ]. Алгоритмы для вычисления
некоторых первообразных корней из единицы представлены
в работах Liu, Reed, Truong [1] и Reed, Truong, Miller [1], [2].
В статье Pohlig, Hellman [1 ] построен быстрый алгоритм для вы-
вычисления показателя г в равенстве Ьг = а при заданных а, Ь?
gf*, где b — примитивный элемент поля fq; об этом см. также
работы Herlestam, Johannesson [1], Pollard [31 и Zierler [9],
а также гл. 10, § 1 и табл. А настоящей книги. Обзор по арифмети-
арифметическим алгоритмам для конечного поля Fq дается в работе Mig-
notte [3]. Реализация арифметики конечных полей на переключа-
переключательных схемах рассматривалась в следующих работах: Bartee,
Schneider [1], Berlekamp [4, ch. 2], Gill [2, ch. 6], MacWilliams,
Sloane [2, ch. 3], Peterson, Weldon [1, ch. 7], Redinbo [11, Tanaka,
Kasahara, Tezuka, Kasahara [1] и Willett [6]; о реализации ее
на ЭВМ см. Calmet, Loos [2].
Полезным вычислительным изобретением является дискретное
преобразование Фурье для конечного поля Fq, введенное Поллар-
дом (Pollard [1 ]). Пусть Ь — некоторый элемент порядка d муль-
мультипликативной группы поля Fr Тогда конечная последователь-
последовательность ao,alf ..., ad_x элементов поля fq может быть преобразована
в конечную последовательность
d-l
A, = EajbCl\ i-0, 1, .... d-l.
При этом обратное преобразование задается формулой
а} = дГх 2 Аф-1', / = 0, 1, .... d-l.
i—0
Эти преобразования называются дискретными преобразованиями
Фурье. Оба они допускают быстрое вычисление, и при этом ра-
работают методы, аналогичные применяемым в теории быстрых
преобразований Фурье в обычном комплексном анализе. Дискрет-
Дискретное преобразование Фурье встречается в теории кодирования под
названием многочлена Мэттсона—Соломона (см. Mattson, Solomon
1П и MacWilliams, Sloane [2, ch. 8]). Поллард (Pollard [11)
показал, как можно использовать дискретные преобразования
^УРье для выполнения арифметических действий в поле Fr
Дальнейшие результаты о дискретном преобразовании Фурье
и его приложениях можно найти в работах Agarwal, Burrus [1],
«lahut [l], Fateman [11, Golomb, Reed, Truong [1], Liu, Reed,
iruong [11, [2J, McClellan, Rader [11, Nussbaumer [1, ch. 81,
15*
228 Гл, 4. Разложение многочленов на множители
Pollard [2], Preparata, Sarwate [1], Redinbo [1], Reed, S-::..ltz
Truong, Welch [1], Reed, Truong [1], [2], [3], Reed, Ir-i-mi1
Welch [1], Rice [1] и Sarwate [1], [2].
Осуществление какого-либо алгоритма разложения з ii-.mi-iit
также от действий с многочленами. Эффективные методы пере-
перемножения двух многочленов над конечным полем F? предлаг .м- 1?я
в работах Borodin, Munro [1], Rice [2], Schonhage [2] и 1<.ц.ч-л-
лыго [1]; см. также Fateman [1] и Pollard [1]. О вычш .ii-iwn
наибольшего общего делителя и об алгоритме Евклида для чип го-
членов от одной или нескольких переменных см. работы Ag<¦ 11 \2\
[5], Barnett [1], Blankinship [1], Bose N. К- П1, Brown \V S
[1], Collins [31, Dickson [331, Emre, Huseyin [1], Knul!' 1.4.
ch. 4], Maroulas, Barnett [11, McEliece, Shearer [1], Mos>' 11]
4i Vogt, Bose [1]. Дальнейшие результаты об арифметике vii-по-
членов можно найти в статьях Bhanu Murthy, Sampath [1],L.-1 !l|.
Михайлюк [1], [2] и Мурзаев [1]. Полезные сведения о го-.пчш-
миальных операциях над конечными полями можно найти г- ¦¦ле-
дующих книгах: Aho, Hopcroft, Ullman [1], Berlekamp [4, i h 21.
Birkhoff, Bartee [1, ch. 11], Borodin, Munro [1], Gill [2, < li fi].
Knuth [3, ch. 4] и Peterson, Weldon [1, ch. 7]).
§ 2. Алгоритм разложения, основанный на использовании
результантов, восходит к одному утверждению из первоге и ш-
ния книги Кнута Knuth [3, ch. 4]. Вычисление полиномиальных
результантов методом интерполяции предложено Коллинзов и "ell-
ins [2]). Алгоритм Цассенхауза был описан в статье ZassTih.iu1-
[5]. Алгоритм разложения с помощью диагонализации ii.m|mih
из многочленов был предложен Берлекэмпом (Berlekamp l'»l).
Алгоритм, основанный на теореме 4.13, взят из статьи Goh'Hih.
Welch, Hales [11; см. также Agou [8] и Knuth [3, ch. 4]. О в*р<»чт-
ностном алгоритме в этой связи см. Cantor, Zassenhaus [I]
В работах Zassenhaus [4], Kempfert [Пи Knuth [3, ih H
рассматривается алгоритм, состоящий в последовательном вы-
вычислении для данного многочлена /?F? lx] степени '¦' 2
без кратных сомножителей многочленов вида dt (х) = НОД •.' <*'•
хч1 — х) для i — 1,2, ..., \п12\. Если все dt равны 1, то мп'чи-
член / неприводим над полем fr Если же / -< L«/2J — на;! w|b"
ший индекс, для которого d-} Ф 1, то многочлен / приводи1-' ''••Л
Fq и dj является произведением всех его неприводимых ''"м.!*°"
жителей степени /'. Другие алгоритмы разложения можно 1М'}Т.И
в работах Arwin [2], Beard [5], Camion [2], [3], Rabin И '•
АнаниашЬили, Варшамов, Горовой, Пархоменко [1], Bapui.:v0Di
Остиану [1] и Дынькин, Агаронов Ц]. Сравнительное из>чсние
эффективности различных алгоритмов разложения многоч^1'110
предпринято в статье Moenck [1]. Методы определения с1^1'111
поля разложения многочлена над простым конечным полем
Комментарии 229
сматриваются в статьях Speiser [1] и Wegner [4]; случай произ-
произвольного конечного поля изучается в статьях Mignotte [1], [21,
[41-
Эффективные алгоритмы разложения многочленов над конеч-
конечными простыми полями могут служить хорошим инструментом
также и для разложения многочленов над кольцом Z целых
чисел. Здесь основной является следующая идея: сначала надо
разложить данный многочлен /?Z [x] по модулю надлежащим
образом выбранного простого числа р, а затем отсюда получить
разложение этого многочлена над кольцом Z. Берлекэмп (Вег-
lekamp [6], [7]) и Кнут (Knuth [3, ch. 4]) предлагают с этой
целью выбрать некий априорный максимум Во абсолютных вели-
величин для всех коэффициентов любых возможных делителей много-
многочлена / над Z, а затем взять простое число р > 2В0, учитывая,
что все делители многочлена / над кольцом Z целых чисел обяза-
обязательно встретятся среди найденных делителей этого многочлена
по модулю р. Относительно значений числа Во см. работы Childs
[1, part II, ch. 13], Knuth [3, ch. 4], Mignotte [4], Zassenhaus
[5] и Zimmer [2, ch. 2]. Цассенхауз в статьях Zassenhaus [5],
[6], [7] рассматривает р-адическую процедуру, в которой, исходя
из разложения многочлена / по модулю какого-либо меньшего
простого числа р, затем с помощью одной конструктивной версии
леммы Гензеля получается разложение / по модулю некоторой
степени рк, большей 2В0. Из дальнейших работ на эту тему см.
Kempfert [1], Lenstra, Lenstra, Lovasz [1] и Lloyd [1J, [2]; см.
также Childs [1, part II, ch. 13]. Обзоры по методам разложения
многочленов над кольцом Z целых чисел имеются в работах
Collins [3], Knuth [3, ch. 4] и Zimmer [2, ch. 2]. Однако следует
заметить, что многочлен /? z[x] может быть неприводимым над
полем рациональных чисел и в то же время приводимым по мо-
модулю р для всех простых чисел р. Пример такого многочлена был
указан еще Гильбертом (Hilbert [1]). Особенно простой пример
такого многочлена, а именно /(*) = **+ 1, предложил Шварц
(Schwarz [4 ]). Другие примеры имеются в работах Lee М. А. [ 1 ] и
Polya, Szego [I, sec. VIII, problem 129]). Существуют также мно-
многочлены над Z, не имеющие линейных делителей над полем рацио-
рациональных чисел, но имеющие хотя бы один линейный делитель
по модулю р для каждого простого числа р (см., например, Hasse
И], Skolem [3] и van der Waerden [1]).
Алгоритмы разложения для многочленов над полями ал-
алгебраических чисел были построены в статьях Lenstra А. К- [1]
и Weinberger, Rothschild [1]. Методы разложения многочленов
°т нескольких переменных над полем рациональных чисел или
"ад полями алгебраических чисел получены в работах Collins [3],
JJoses [1], Musser Ш, Viry [1], [2], Wang P. S. [1], [2], Wang,
Rothschild [1] и Weinberger, Rothschild [1].
230 Гл. 4. Разложение многочленов на множители
Дальнейшие результаты о матрицах из многочленов можно
найти в следующих источниках: Albert 13, ch. 3], Hoffman
Kunze [1, ch. 71, Krishnamurthy [1], Maroulas, Barnett II] и
Гантмахер [1, гл. 6].
§ 3. Методы, излагаемые в этом параграфе, развиты в работе
Берлекэмпа (Berlekamp [6]). Некоторые усовершенствования
получены в статье Moenck [ 1 ] для случая простого поля р
когда число р — 1 делится на большую степень двойки. Описанный
в § 4 гл. 3 алгоритм нахождения корней многочлена на основе
рассмотрения его аффинных кратных получен в работе Berlekamp,
Rumsey, Solomon [1 ]; см. также монографию Berlekamp [4,ch. 11].
Другой метод нахождения корней многочленов для конечных нолей
большой характеристики приводится в статье Rabin [ 1 ]; см. также
Cantor, Zassenhaus [1]. Реализация этих алгоритмов на ЭВМ
рассматривается в статье Calmet, Loos [21. В статьях Fray. Gil-
mer [1] и Mann [6] изучается теоретический вопрос о разреши-
разрешимости в радикалах полиномиального уравнения над Fr В послед-
последней из этих работ приводится также выражение для корней не-
неприводимого над полем F? многочлена /, степень которого не
делится на характеристику этого поля, через корни из единицы
над Fg и многочлены от коэффициентов /. В статье Presic [ 1 ]
для многочлена / с корнями в поле Fq указывается весьма
сложная формула, выражающая эти корни через примитивный
элемент поля tq. В статье Rados [4] приводится явное выражение
для многочлена НОД (/ (х), хр~х — 1), где р — простое число.
Особые приемы были развиты для нахождения корней много-
многочленов небольшой степени. Даже задача определения корней
квадратного уравнения х2 — a(;Fp lx], где р — простое число,
становится нетривиальной, если число р велико. Некоторые ме-
методы встречаются еще у Гаусса (Gauss [I, ch. 6]); см. также
Adleman, Manders, Miller [1], Chang [11,'Cipolla [1], [2], Leh-
mer D. H. [10], Pocklington [1], Sch5nheim [1], Shanks 12],
Smith H. J. S. [1], Tamarkine, Friedmann Ш, Tonelli [1]. L's-
pensky, Heaslet [1, ch. 10] и Vandiver [2]. Методы отыскания кор-
корней квадратных многочленов над конечными полями характери-
характеристики 2 приводятся в работах Berlekamp [4, ch. 6] и Berlekamp.
Rumsey, Solomon [1 ]. О многочленах третьей и четвертой степени
см. следующие работы: Arnoux [I, ch. 91, Arwin [1], Cailler [П.
Cauchy [31, Cordone [1], Dickson [31], Escott [1], Hirschfeld
[5, ch. 1], Mignosi [1], Mirimanoff [1], Oltramare [1], Sansone
[1], [2], [3], [4], [5], Scarpis [1], Segre [10], Williams, Zarnke
[1], Гребенюк [2], Иванов [1] и Матвеева [1]. О многочле"аХ
пятой степени см. работы Arwin [2] и Горбов и Шмидт [1]. Осо'
бые методы вычисления корней для многочленов малой степени
возникают также в связи с алгоритмами декодирования в злге-
Упражнения 231
браической теории кодирования; см., например, статьи Chien,
Cunningham [lj, Polkinghorn [1] и Блох [1]. Точные формулы
для корней двучленов над простыми конечными полями можно
найти в работах Cipolla [4], Dickson [40, ch. 7], Furquim de
Almeida [11, Lindgren [1] и Scorza [1]. Эффективный алгоритм
для нахождения корней двучленов над простым конечным по-
полем развит в статье Adleman, Manders, Miller [1]; относительно
случая произвольного конечного поля см. Mignotte [5]. В статье
Williams H. С. [1] рассматривается случай двучленов простой
степени над простым полем Fp-
Условия, при которых все корни многочлена из кольца fq [x]
принадлежат полю fq, найдены в работе Feit, Rees [1]. Частный
случай, когда число q простое, рассматривался в следующих ра-
работах: Sehonemann [2], Thouvenot, Chatelet Щи Шатуновский
[1]. В статье Mignotte [4] представлен быстрый алгоритм, с по-
помощью которого можно проверить, все ли корни многочлена /?
0'q lx] принадлежат полю Fr В работах Cipolla [5] и Mignosi
[21 приводятся формулы для корней многочлена / ?F? lx]
в случае, когда все эти корни принадлежат полю fq. Редей (Redei
111, ch. 5 J) указал многочлены вида / (х) — хч + akxk + а^х*-1 +
... + ao^F?U], где k -<(<?+ 1)/2, у которых все корни
принадлежат полю fq; см. также статью Redei [71 о более ранних
результатах в этом направлении. В статье Gerst, Brillhart [11
изучены условия, при которых многочлен / ?Z lx) разлагается
на различные линейные сомножители по модулю р, для многих
простых чисел р.; близкий пример приводится в статье Lubelski [3 J.
За результатами о числе корней многочлена в заданном конеч-
конечном поле мы отсылаем читателя к § 1 гл. 6 и комментариям к этому
параграфу.
[Григорьев [1*1, Ленстра (Lenstra [2*]) и Ван дер Газен и
Калтофен (van der Gathen, Kaltofen [1*]) построили алгоритмы
разложения на множители многочленов степени п от г переменных
над произвольным конечным полем Fr При этом в работах
первых двух авторов строится детерминированный алгоритм,
имеющий сложность, ограниченную многочленом от пг ид, ав по-
последней работе — вероятностный алгоритм, имеющий сложность,
ограниченную многочленом от пг и In q.
По тематике четвертой главы имеются также следующие ра-
работы: Calmet, Loos [1*1, Lenstra [1*1, Smeets [1*1, Кюрегян
H*] и Мурзаев [2* ]. — Перев.]
Упражнения
х12
эмпа
2. Разложить многочлен х1
помощью алгоритма Берлекэмпа.
4.1. Разложить многочлен х12 + х7 + х6 + х* + х3 + х2 + 1 над полем Т%
помощью алгоритма Берлекэмпа.
4.2. Разложить многочлен х1 + хв + хь- — х3 + х2 — х — 1 над полем Fa
о
232 Гл. 4. Разложение многочленов на множители
4.3. Пусть F4 = Fs (в); разложить многочлен хь + Qx4 + х3 -\- A -|- 0\ ^ ,
+ в над полем F4 с помощью алгоритма Берлекэмпа. '
4.4. Применить алгоритм Берлекэмпа для доказательства неприводимости
многочлена х® — х3 — х — I в кольце f3 [x].
4.5. Применить алгоритм Берлекэмпа для определения числа различны
нормированных неприводимых делителей многочлена л4 -\- 1 в кольце (Р \,\
для всех нечетных простых чисел р. '
4.6. Использовать многочлены 71,- из теоремы 4.3 для разложения много
члена хъ + х* + 1 над полем F3-
4.7. Найти поле разложения многочлена х8 + лгв -|— xs,+ х*-\- х3-\-х*-\-\
над полем Fs-
4.8. Найти поле разложения многочлена хй — х* — ж2 — х -\- 1 над полем F
4.9. Использовать многочлены Ri из теоремы 4.5 для разложения много-
многочлена из упр. 4.1 над полем FV
4.10. Найти каноническое разложение многочлена х8 + xs + х* -(- х3 -(- j
в кольце Fg [*], используя многочлены и;.
4.11. Найтн каноническое разложение кругового многочлена Qn (x) в кольце
F2 [*].
4.12. Разложить многочлен / (х) = х8 + л;3 + 1 над полем F2 и вычислить
ord (/(*)).
4.13. Разложить многочлен / (х) = л;9 -f- хн -\- х"' -\- х* -\- х3 -\- х -\- 1 иадпо-
чем F2 и вычислить ord (/ (х)).
4.14. Дать подробное доказательство того, что если / — ненулевой многочлен
над некоторым полем н d = НОД (/, /'), то многочлен fid не имеет кратных
неприводимых сомножителей. (Замечание, Считать ненулевые постоянные много-
многочлены многочленами без кратных сомножителей.)
4.15. Пусть / — нормированный многочлен положительной степени с це-
целыми коэффициентами, не имеющий кратных сомножителей. Доказать, что су-
существует лишь конечное число простых чисел р, таких, что /, рассматриваемый
как многочлен над полем Fp, имеет кратные сомножители.
4.16. Определить число нормированных многочленов из F? [*] степени
и ^ 1, не имеющих кратных неприводимых сомножителей.
4.17. Пусть / — нормированный многочлен над полем Fg,H пусть ft, ..-,gr—
ненулевые многочлены над F4, которые попарно взаимно просты. Доказать, ЧЩ,
г .1
если / делит произведение ft ... gr, то / = JJ НОД {/, ft).
1=1
4.18. Используя алгоритм Берлекэмпа, доказать следующий частный сяу*.;
чай теоремы 3.75: если об IF,! и t — простой делитель числа q — 1, то двучлен
х* — а неприводим в кольце Fq 1*1 тогда и только тогда, когда а" " ф1\
4.19. Пусть /— неприводимый многочлен степени п из F^Ul и я X*',
матрица В = (Ьц) определена условием D.4). Доказать, что характеристически
многочлен det (x I — В) матрицы В равен *" — 1.
4.20. Пусть многочлен / равен произведению k различных нормированных-
неприводимых многочленов ft, .,,, fh из Fq [x] степеней щ, ..., п^ соответственшо.-;
Положим deg (/) = n = /ij + ... -f- rtk и определим п X л-матрицу В = (оф'
условием D.4). Доказать, что характеристический многочлен det (xl — В) мят»,,
рицы В равен произведению (х х — l) . .. \х h —- l). ?
4.21. В обозначениях теоремы 4.3 доказать, что многочлены Г( не
ляют тех неприводимых сомножителей /,- многочлена /, для которых ч
N/tij делится на характеристику поля Fa.
4.22. Пусть /6F(? Iх] — нормированный многочлен степени п ^ 1-
делим многочлен от двух переменных A^F9 lx, у] равенством
h(x,y) = (y~x)(y-xi){y~-x42) ... (у - Хчп~Х) - f (у)
Упражнения 233
и представим его в виде
А (х, у) = sn_! (х) у"-1 Н h «I W У + «о (¦*)•
Доказать, что многочлен f тогда и только тогда неприводим над полем F^, когда f
пел к г каждый из многочленов s;-, 0 < / ^ п — 1.
4.23. Применить критерий из предыдущего упражнения для доказательства
приводимости многочлена х1 + Xs + х3 + х2 + 1 над полем F2-
4.24. Доказать, что квадратный многочлен f (х) = х2 + Ьх + с неприво-
неприводим над полем Fa тогда и только тогда, когда он делит трехчлен хч + х+ Ь.
4.25. Пусть f — неприводимый многочлен степени т из Fg [¦*] и ^ — его
корень в ноле f т. Доказать, что если g и А — ненулевые многочлены из W4 [x],
то многочлен А (х)т f (g (x)lh (x)) неприводим в Wq [x\ тогда и только тогда,
ко!да многочлен g (х) —Ш (х) неприводим в кольце F т [¦*]•
4.26. Применить метод, использованный в примере 4.7, для разложения
многочлена х* + Зл;3 + 4л;2 + 2х— 1 над полем FjS.
4.27. Применить метод, использованный в примере 4.7, для разложения
мноючлена х3 — 6х2 — 8х — 8 над полем Fig.
¦1.28. Применить алгоритм Цассенхауза для разложения многочлена х4 +
-- ;ir3 +- Ах2 + 2х — 1 над полем Fi».
4.29. Применить алгоритм Цассенхауза для разложения многочлена х3 —
— Га'2 — 8Х — 8 над полем Fid-
4.30. Применить алгоритм Цассенхауза для разложения многочлена хъ +
• 'Ах1 т 2ж3 — 6х2 + 5 над полем Fi?.
4.31. Разложить многочлен х* — 7х3 + 4л:2 + 2х-J-4 над полем Тц-
4.32. Разложить многочлен х* — Зл;3 + 4л;2 — 6* — 8 над полем F19.
4.33. Дать подробное доказательство того, что эквивалентность квадратных
ма i риц из многочленов, введенная в определении 4.11, рефлексивна, симметрична
и фанзитивна.
4.34. Применить метод, использованный в примере 4.14, для разложения
многочлена *3 — б*2 — %х — 8 над полем Fig-
4.35. Применить метод, использованный в примере 4.14, для разложения
многочлена хь + Зх4 + 2а;3 — бд;2 + 5 над полем Fu-
4.36. Применить метод, использованный в примере 4.14, для получения
часшчного разложения многочлена хч — 2л;6 — 4л;* + Зл;3 — 5л;2 -f- Зл; + 5 над
нолем Fn и завершить разложение другим методом.
4.37. Найти корни многочлена f (х) = хь — х* + 2л^ + л;2 — х — 2?
f '"ъ [х], содержащиеся в поле Fs-
4.38. Найти корни многочлена f (х) = хъ + бх* + 2л;3 — 6л;2 — 5х + 5 ?
•; Fi:i [х], содержащиеся в поле Fi».
4.39. Доказать, что все корни многочлена / (л;) = л;3 + 8л;2 + 6л; — 7^
'. F]<i [х] содержатся в поле Fis, и найти их.
4.40. JjycTb F32 = F2 (Р)> где р — корень неприводимого многочлена хь +
^-г- 1 над полем Fa- Доказать, что все корни многочлена f (х) = Xя + (Р4+
li:i + 1)*2+ р2л;+ (р*+ Р3+ P + l)€Fs2 W содержатся в поле F32. и
'"ЧИГИ ИХ.
4.41. Пусть F27 = F»(P), где р — корень неприводимого многочлена л;3 —
~ х -t- 1 над полем Гз- Доказать, что все корни многочлена f (х) = х3 + л;2 —
— ф2 — р + 1) х + (Р2 — 1) CF27 U1 лежат в поле F27. и найти их.
4.42. Пусть Fie9= Ги (Р). гДе Р — корень неприводимого многочлена
х~ - х — 1 над полем Fia- Найти корни многочлена f (х) = л;2 + CE + 1) х +
; Ф+ 5)^F169 [*]> содержащиеся в поле F169-
4.43. Пусть /6Fp [¦*) и *€Fp, где р — простое нечетное число. Дока-
зап,, что если f (х — Ь) — квадратный многочлен с постоянным членом с=/=0,
То разложение D.22) является нетривиальным в том и только том случае, если с
нс является квадратом какого-нибудь элемента из поля Fp.
234 Гл, 4. Разложение многочленов на множители
4.44. Пусть E — образующий элемент поля F = Т%т над Fs. Докач.пь
следующие утверждеиня:
(a) Существует число к, О ^ к ^.т — 1, такое, что Тг^, (E ) = 1,
(b) Для каждого »' = 0, 1, ..., m — 1 существует элемент «| ?/% такой, что
( E\ если TrF(p?)=O,
af + а,- = 1
IP'+P*. если TrF(f5') = l,
где число А определено условием (а),
m-i
(c) Если V == ? с# > ct € Fa. и TrF (у) = 0, то корнями многочлена
»=о
in—I m—1
*2+ ж + у являются элементы Jj ciai ш ' + J3 Ci'a»%
t=0 i=0
Глава 5
Тригонометрические суммы
В теории чисел тригонометрические (или экспоненциальные)
суммы являются важным инструментом для решения различных
проблем, связанных с целыми числами, которые часто не поддаются
решению другими методами. Такие суммы можно рассматривать
и в теории конечных полей, причем и здееь они оказываются
весьма полезными — например, при исследовании вопроса о числе
решений уравнений над конечными полями (см. гл. б), а также
в различных приложениях конечных полей.
При использовании тригонометрических сумм в теории конеч-
конечных полей главную роль играет некоторая специальная группа
гомоморфизмов, называемых характерами. Нужно различать два
типа характеров — аддитивные и мультипликативные — в за-
зависимости от того, с аддитивной или мультипликативной группами
данного конечного поля связаны упомянутые гомоморфизмы.
Тригонометрические суммы образуются из значений одного или
нескольких характеров, при этом возможно сочетание их с не-
некоторыми функциональными величинами. Когда суммируются
значения какого-то одного характера, то мы будем говорить о
сумме значений характера.
В первом параграфе мы получим основные соотношения для ха-
характеров, сначала рассматривая произвольную конечную абелеву
группу, а затем переходя к конечным полям. В § 2 будут изучаться
суммы Гаусса, бесспорно являющиеся самым важным типом три-
тригонометрических сумм для конечных полей, поскольку они свя-
связывают аддитивную и мультипликативную структуры конечного
поля. Они возникают также во многих вопросах алгебры и теории
чисел. С суммами Гаусса тесно связаны суммы Якоби, изучаемые
в третьем параграфе. Эти суммы особенно важны для приложений
к уравнениям над конечными полями (см. гл. б).
Суммы значений характеров с полиномиальными аргументами
(иногда называемые суммами Вейля) изучаются в § 4. Исследова-
Исследование проводится сугубо элементарными средствами, т. е. без при-
привлечения алгебраической геометрии. Однако этот «элементарный»
подход доведен до достаточной степени совершенства, так что
оказывается возможным получить все основные оценки для сумм
"ейля. Рассмотрение указанных сумм значений характеров идет
236 Гл. 5. Тригонометрические суммы
в тесной связи с детальным изучением некоторых типов уравнений
над конечными полями. Поэтому некоторые возникающие «сво-
«свободные концы» удастся связать лишь в гл. 6, где будут изучены
соответствующие уравнения.
В § 5 мы рассмотрим суммы значений характеров специального
вида, представляющие интерес для теории чисел, а именно суммы
Клостермана и суммы Якобсталя. В связи с одним результатом
о суммах значений квадратичных характеров в этом же пара-
параграфе рассматриваются разложения в непрерывные дроби ра-
рациональных функций над конечными полями.
§ 1, Характеры
Пусть G — произвольная конечная мультипликативная afie-
лева группа порядка | G | с единичным элементом \а. Характером х
группы G называется гомоморфизм из G в мультипликативную
группу U комплексных чисел, по модулю равных 1, т. е. такое
отображение %: G -»- V, что % (gigt) = % (gx) % (g2) для всех #,.
gt?G. Посколькух (У = X (У X (У. то должно бытьх (У ¦"
= 1. Далее, для каждого элемента g ? G
так что значениями характера х являются корни степени \G\
из единицы. Заметим также, что х (ё) X AГ1) = % (gg'1)
= 1 (У = 1. так чт0 X (g~1) = (X Ш))'1 = X (М) Ддя каждого
элемента g^G (здесь черта означает комплексное сопряжение).
Среди характеров группы G имеется тривиальный характер /о-
определяемый условием Хо (ё) = 1 Для всех g ? G; все остальные
характеры группы G называются нетривиальными. Каждому
характеру % группы G соответствует сопряженный характер х,
определяемый условием х Ш) = X (ё) Для всех ё € ^- Для данного
конечного множества характеров Xi, ¦•-. Хп группы G можно обра-
образовать их произведение %х ¦¦¦ Хп> полагая (Xi ... Хп) (ё) = Xi (#)¦¦•
•¦¦In ig) Для всех e?G- Если Xi = ¦• • = Хп = X. т0 произведе-
произведение Xi ... Хп будем обозначать %п и называть л-й степенью ха-
характера х- Очевидно, что множество G~ всех характеров группы G
образует абелеву группу относительно введенного умножения ха-
характеров. А так как значениями характеров могут быть лишь
корни степени \G\ из единицы, то группа G~ конечна.
Прежде чем перейти к установлению основных свойств харак-
характеров произвольной конечной абелевой группы G, рассмотрим
один важный частный случай, когда G — конечная циклическая
группа.
5.1. Пример. Пусть G — конечная циклическая группа по-
порядка п, и пусть g— ее образующий элемент. Легко убедиться.
§ 1. Характеры 237
что для произвольного фиксированного целого числа /, 0
^ / < п — 1, функция
х.
= е2ш,-к/п = cos 2njk/n + i sin 2njk/n, k = 0, 1 n — 1,
где i — мнимая единица, определяет некоторый характер груп-
группы G. С другой стороны, если % — произвольный характер груп-
группы G, то % (g) является некоторым корнем n-й степени из единицы,
скажем % (g) = e23tW« для некоторого /, 0 < / < п — 1, и, зна-
чит> ^ = fa. Поэтому группа характеров G~ циклической группы
G ••= (g) состоит из характеров %0, %ь ..., %„_!. П
5.2. Теорема. Пусть Н — некоторая подгруппа конечной абе-
левой группы G, и пусть \|) — характер группы Н. Тогда \|) можно
продолжить до некоторого характера группы G, т. е. существует
такой характер % группы G, что % (п) = \р (А) для всех п?Н.
Доказательство. Можно считать Н собственной подгруппой
группы G. Выберем такой элемент а ? G, что афН,ш пусть Н\ —
подгруппа группы G, порожденная множеством H{J{a). Пусть
т — наименьшее натуральное число, для которого ат?Н.
Тогда каждый элемент g ? Hi может быть однозначно представ-
представлен в виде g = aih, где 0 ^ / < я и /г ? Н. Определим на группе
#х функцию \|)! условием г^ (g) = шА|)(А), где ш — фиксирован-
фиксированное комплексное число, удовлетворяющее равенству &т == \|з (ат).
Покажем, что функция tyi является характером группы Hi. Пусть
gi = akht, где 0 <; k < т, ht ? Н, т. е. gt — еще один элемент
группы #ь Если / + k < m, то г^ (ggt) = ш/+*\|)(М1) =
= % ig) $i Ш- Если же / + k > m, то ggt = ai+k~m {amhhl),
так что
\|) (am) \|) (Л^) =
Очевидно, что ^ (h) = \|) (Л) для всех h ? Я. Поэтому если #i =
= G, то теорема доказана. В противном же случае мы продолжим
эту процедуру, пока через конечное число шагов не получим про-
продолжение характера -ф до группы G. ?
5.3. Следствие. Для любых двух различных элементов glt
ёг 6 G существует характер % группы G, такой, что % (gt) Ф
=* х te).
Доказательство. Достаточно показать, что для элемента А ==
~ figi1 ф Is существует характер % группы G, такой, что % (h) Ф
Ф 1. Но это вытекает из примера 5.1 и теоремы 5.2, если через Н
обозначить циклическую подгруппу группы G, порожденную
элементом h.
238 Гл. 5. Тригонометрические суммы
5.4. Теорема. Если % — нетривиальный характер конечной
абелевой группы G, то
2fe) = 0. E.1)
Если g ? G, причем g Ф 1G, то
S X (ё) = 0- F.2)
sc€g~
Доказательство. Поскольку % — нетривиальный характер
группы G, то существует элемент h ? G, такой, что % (Л) ф 1.
Поэтому
х(Л)
так как если элемент g пробегает группу G, то и произведение
пробегает группу G. Таким образом, мы получаем равенство
(X (h) - 1) S X («Г) = О,
отк уда следует E.1).
Что касается второй части, то заметим, что функция g, опре-
определенная равенством §(%) = % (g) для всех % ? G~, является
характером конечной абелевой группы G~. Этот характер нетри-
нетривиален, так как ввиду следствия 5.3 существует характер % ? 6",
такой, что % (g) Ф % AG) = 1. Поэтому из равенства E.1), приме-
примененного к группе G", получаем
S X(if)= S #<Х) = 0. ?
5.5. Теорема. Число характеров конечной абелевой группы G
равно \G\.
Доказательство. Это следует из того, что
|ОЛ|= S S х(«г)= S S x(sr) = |G|,
€
где в первом равенстве использовано E.2) и тот факт, что % A#) ^
= 1, а в последнем — E.1) и тот факт, что %0 (g) = 1. и
Утверждения теорем 5.4 и 5.5 можно объединить в следующие
соотношения ортогональности для характеров. Пусть % и ф
характеры группы G. Тогда
(°' если
, если
§ 1, Характеры 239
Первая часть получается применением E.1) к характеру %ij>,
вторая часть тривиальна.
Кроме того, если g и h — элементы группы G, то
если g — h.
Здесь первая часть получается применением E.2) к элементу gh'1,
а вторая часть вытекает из теоремы 5.5.
Теорию характеров часто применяют, чтобы получить выраже-
выражение для числа решений какого-либо уравнения в конечной абеле-
вой группе G. Так, пусть / — произвольное отображение декар-
декартовой степени G" = G х ... X G (п сомножителей) группы G в G.
Тогда на основании E.4) для фиксированного элемента h ? G
число N (h) л-наборов (gt, ...,gn) € G", Для которых / (glt ...
,м gn) = h, определяется равенством
NW = iw 23 ••• 23 23 %(f(gi, ¦¦¦,gn))%W). E.5)
Характер % группы G может быть нетривиальным на группе G,
но аннулировать при этом какую-либо подгруппу Я группы G
(в том смысле, что % (h) = 1 для всех h ? Н)- Множество харак-
характеров группы G, аннулирующих данную подгруппу Н, называется
аннулятором подгруппы Н в группе характеров G~ группы G.
5.6. Теорема. Пусть Н — подгруппа конечной абелевой груп-
группы G. Тогда аннулятор этой подгруппы в группе характеров G~
является подгруппой группы G" порядка |G|/|#|.
Доказательство. Обозначим аннулятор подгруппы Н в группе
характеров G" через А. Из определения аннулятора сразу сле-
следует, что А — подгруппа группы G". Пусть % ? А; тогда легко
видеть, что равенство \а (gH) = % (g) для g ? G задает характер \i
факторгруппы G/H. Обратно, если \i — некоторый характер группы
G/H, то легко видеть, что равенство % (g) == \i (gH) для g ? G
определяет некоторый характер % группы G, аннулирующий
подгруппу Н. При этом различные элементы из А соответствуют
различным характерам факторгруппы G/H. Поэтому между эле-
элементами подгруппы А и элементами группы характеров (GlH)~
факторгруппы GlH существует взаимно однозначное соответ-
соответствие, так что порядок подгруппы А группы G~ равен порядку
группы (G/H)'", который равен \G/H\ = |G|/|#| согласно тео-
теореме 5.5. ?
Переходя к конечному полю F<p сразу заметим, что в нем
имеется две очень важные конечные абелевы группы, а именно
аддитивная и мультипликативная группы этого поля. Поэтому
240 Гл. 5. Тригонометрические суммы
необходимо проводить четкое различие между характерами,
соответствующими этим двум группам. В обоих случаях мы при-
приведем явные формулы для характеров.
Рассмотрим сначала аддитивную группу поля Fq. Пусть р —
характеристика конечвого поля Fq; тогда простым полем, со-
содержащимся в fq, является Fp, которое мы отождествляем
с факторкольцом Z/(p). Пусть Tr: F9 ->- FP — функция абео- J
лютного следа из Fq в Fp (см. определение 2.22). Тогда функция уА,
определенная равенством j
Xi (с) = е2яСТг (с)/р для всех с?0> <~>-6)
является характером аддитивной группы поля Fq, так как для
любых съ с2 € fq мы имеем Тг (сх + с2) = Тг (ех) + Tr ii\).
так что Xi fa + C2i = Xi (ci) Xi (сг)- Вместо того чтобы говорить
«характер аддитивной группы поля Fq», будем в дальнейшем
употреблять термин аддитивный характер поля Fq- При эгим
характер, определенный равенством E.6), мы будем называть
каноническим аддитивным характером поля Fq- Любой аддитив-
аддитивный характер поля Fq можно выразить через канонический .ха-
.характер Xi-
5.7. Теорема. Пусть Fq — конечное поле и b ? Fq- Тогда
функция Хь. определенная равенством %ь (с) = Xi (be) для вегх
с ? Fq, является аддитивным характером поля fq. При этом
каждый аддитивный характер поля Fq совпадает с характером y.i
для некоторого b ? Fq-
Доказательство, Для clt c2 ? Fq
%ь (Ci + с3) = Xi (bct + bc3) = Xi (Ьст) Xi (bc3) = Хь (Ci) Хь (с2),
и первая часть установлена.
Поскольку, согласно теореме 2.23 (ш), функция Тг отобра-
отображает поле Fa на Fp, то Xi — нетривиальный характер. Поэтому
для а, b ? Fq, а Ф Ь, найдется элемент с ? Fq, такой, что
%Ь (с) Xi {be) Л1 u
так что Ха и Хь — различные характеры. Поэтому когда элемент b
пробегает поле F,, мы получаем q различных аддитивных харак-
характеров Хь- С другой стороны, согласно теореме 5.5, существует
ровно q аддитивных характеров поля Fq, так что этим списком
исчерпываются" все аддитивные характеры поля Fq. ¦¦'¦
Полагая b = 0 в теореме 5.7, мы получаем тривиальный ха-
характер Хо> обладающий свойством Хо (с) = 1 Для вс^х с ^ L1" ч\
Пусть Е — конечное расширение поля Fq, Xi — каноническим
аддитивный характер поля Fq и цг — канонический аддитивный
характер поля Е, определенный по аналогии с E.6), где функция
§ 1. Характеры 241
Тг, естественно, заменяется функцией абсолютного следа Тгя
из Е в Fp. Нетрудно видеть, что характеры %i и ^ связаны сле-
следующим равенством:
Хх (Тг?/Гв (Р)) = |ii (P) для всех Р??, E.7)
где Тг^/р — функция следа из ? в Fr Это вытекает из транзи-
транзитивности функции следа (см. теорему 2.26):
Tr? (pj = Tr (Tr?/F? (P)) для всех р 6 Я.
Характеры мультипликативной группы F? поля F, назы-
называются мультипликативными характерами поля F?. Поскольку
Fj — циклическая группа порядка q — 1 (см. теорему 2.8), то
ее характеры легко найти.
5.8. Теорема. Пусть g—некоторый фиксированный прими-
примитивный элемент поля Тд. Тогда для каждого /, 0 <! / <! q — 2,
функция %, определенная равенством
% (gk) = е2я W(«-i> для всех k, 0< & < <? — 2,
определяет некоторый мультипликативный характер поля Fr
При этом каждый мультипликативный характер поля F, совпа-
совпадает с характером % для некоторого /, 0 ^. j < q — 2.
Доказательство. Утверждение теоремы сразу вытекает из
примера 5.1. ?
Независимо от выбора примитивного элемента g в теореме 5.8
характер \|H всегда является тривиальным мультипликативным
характером, т. е. обладает свойством % (с) = 1 для всех с ? F*r
5.9. Следствие. Группа мультипликативных характеров ко-
конечного поля F,, является циклической группой порядка q — 1
с единичным элементом \|50.
Доказательство. Каждый характер % из теоремы 5.8, для
которого индекс / взаимно прост с числом q — 1, является обра-
образующим элементом группы {f*q)~ мультипликативных характеров
поля Fr ?
5.10. Пример. Пусть Ft — поле нечетной характеристики, и
пусть на его мультипликативной группе F^ задана действительно-
действительнозначная функция т), такая, что tj (с) — 1 для элементов с, являю-
являющихся квадратами некоторых элементов группы F?, и tj (с) = —1
Для всех остальных элементов с ? F,. Легко проверить, что tj
является мультипликативным характером поля Fr Он совпадает
с характером % из теоремы 5.8 при / = (q— 1J. Характер i\
аннулирует подгруппу группы F^, состоящую из квадратов эле-
'6 Зак. 222
242 Гл. 5. Тригонометрические суммы
ментов этой группы, и, согласно теореме 5.6, он является един-
единственным нетривиальным характером группы F», обладающим
таким свойством. Этот однозначно определенный характер п
называется квадратичным характером поля F?. Если q — про-
простое нечетное число, то с помощью квадратичного характера
— ) из элементарной тео-
теории чисел, полагая (—¦) =ц (с), где c?F,. Q
Соотношения ортогональности E.3) и E.4), примененные к ад-
аддитивным или мультипликативным характерам поля F9, при-
приводят к некоторым фундаментальным тождествам. Рассмотрим
сначала случай аддитивных характеров, для которых мы будем
использовать те же обозначения, что и в теореме 5.7. Тогда для
аддитивных характеров %а и %ь мы имеем
S —гт [ 0,
^Fg \q,
если афЬ,
если а = Ь.
В частности,
S %а{с) = О, если афО. E.9)
Далее, для элементов с, d ? F,,
В ыс)Ш)-\0' если сфй: E-
b$.fq \q, если c = d.
Аналогично для мультипликативных характеров \|з и т поля
имеет место соотношение
W)A 0> если
23 W)WA
c€F; U-L если \|) = т.
В частности,
2 ^(с?) = 0, если ^ф%. (S.12)
Если с, d ? F?, то
_, f 0, если сфй, ,, .,.
S^(c)\|)(d) = { . ' 5.13)
где сумма берется по всем мультипликативным характерам ^
поля F4.
§ 2. Суммы Гаусса 243
§ 2. Суммы Гаусса
дующим равенством:
§ 2. Суммы Гаусса
Пусть \|) — мультипликативный, а % — аддитивный характеры
поля Fg- Тогда сумма Гаусса 1) для поля F, определяется сле-
следующим равенством:
Абсолютная величина суммы Гаусса G (ф, %), очевидно, не
превышает числа q— 1, но, как правило, гораздо меньше, что
вытекает из следующей теоремы. Снова через \|>0 будем обозначать
тривиальный мультипликативный характер, а через %0 — три-
тривиальный аддитивный характер поля Fq.
5.11. Теорема. Пусть \|) — некоторый мультипликативный,
а% — аддитивный характеры поля fq. Тогда сумма Гаусса G (\|з, %)
удовлетворяет следующему соотношению:
q — 1, если ф = \|H, х = %о.
G(t|), х)= — !» ест ^ = ^о. %ФЪ» E.14)
О, если \f Ф \JH, х == Хо-
Хотели даее \|) ^fe \|H и % Ф %0, то
\G (\р, х)| = ЦП- E.15)
Доказательство. Первый случай из E.14) тривиален, третий
сразу вытекает из E.12), а во втором случае, согласно E.9),
Если же ф =? ф0 и х ф Хо. то
= 23 S
x) Суммы подобного вида называют тригонометрическими (или зкспонен-
ЧШльными), поскольку входящие в них характеры являются экспонеициальиыми
J?™ тригонометрическими) функциями, как это видно из примера 5.1, равенства
\ь.Ь) и теорем 5.7 и 5.8. — Прим перев.
16*
244 Гл. 5. Тригонометрические суммы
Введем новую переменную d, полагая во внутренней сумме
= d; тогда
х)Р = Е Е
d€F; Ue
= E t|)(
где в последнем равенстве использовано соотношение E,l'Jl.
Внутренняя сумма ввиду E.9) принимает значение д< при d - 1
и значение 0 при d Ф 1, Поэтому |G (i|), %)|2 = i|> A) <7 = fl, "
тем самым равенство E.15) установлено.
Изучая поведение сумм Гаусса при различных преобразо»-'"-
ниях аддитивных или мультипликативных характеров, можно
получить некоторые полезные тождества.
5.12. Теорема. Суммы Гаусса для конечного поля f4 удовлетво-
удовлетворяют следующим условиям:
(О G (t|), tab) = TJa) G (t|), хь) для аеГч, b?Fq;
(ii) G ($, %) = t|) (-1) G (t|), x);
(iii) G (ф, x) = * (-1) G (t|), x);
(iv) G (i|), %) G (ф, x) = ¦ (—1) q для ^ф %, %фъ>;
(v) G (-фр, хь) = G (i|3, Хо(б)) 5ля 6gF?. где р — характери-
характеристика поля fq и a (b) = bp.
Доказательство, (i) Согласно определению из теоремы б 7.
lab (с) = %i (abc) = хь (ас) для любого с ? fr Поэтому
G W, U)= S Ч> (с) tab (c)= E
Введем теперь новую переменную d, полагая d = ас. Тогда
= Е t|)(a-!d)x&(d) =
= t|) (a) E * (d) %ь (d) = t|) (a) G (f,
(ii) Согласно теореме 5.7, x = Хь Для подходящим образ'
выбранного элемента b ? F? и % (с) = Хг> (—с) = Х-ь (с) ДЯ
любого с ? F?. Поэтому, используя (i) при a = —1 и замечая-
что f (—1) = ±1, получаем
G «>, х) = G №. Х-ь) = W^) G (t|), хь) = * <-» С (¦• Й-
§ 2. Суммы Гаусса 245
(iii) Из (и) вытекает, что G ($, %) = $ (—1) G
ф (-1) G (f, x).
(iv) Комбинируя (iii) и E.15), получаем, что
G «>, x) G (*, X) = t (-1) G (f, x) G (f, x) =
(v) На основании теоремы 2.23 (v) Tr (a) = Tr (ap) для а ?
? fq, поэтому согласно E.6), Xi (a) = Xi (aP)- Таким образом,
для любого с ? F, получаем
Хб (с) = XI (ЬС) = XI (ЬрСр) = %а F) И,
а потому
G (f р, Хь) = 23 У" (с) %ь (с) = Е ф f (ср) Хо F) (С).
Но когда с пробегает группу Fj, cp тоже пробегает F», так что
отсюда вытекает требуемый результат. ?
5.13. Замечание. В связи с доказанными свойствами сумм
Гаусса представляет интерес значение ^ (—1). Очевидно, что
i|) (— 1) = ±1. Пусть т — порядок характера f в группе мульти-
мультипликативных характеров поля F9, т. е. т — наименьшее на-
натуральное число, обладающее свойством fm = f0- Тогда т делит
число q— 1, так как ^fl~l = t|30. Поскольку значениями харак-
характера f являются корни m-й степени из единицы, то значение —1
может получиться лишь в случае четного числа т. Если g — при-
примитивный элемент поля F9, то f (g) = ?, где ? — первообразный
корень m-й степени из единицы. Если m четно (и, значит, q не-
нечетно), то в силу примитивности g tj) (—1) = t|) (?^~^/2) =
= ?(«-i)/2 Полученное число равно —1 в том и только том слу-
случае, когда (q — 1)/2 = m/2 (mod m), т. е. когда (q — l)/m =
= 1 (mod 2). Поэтому ip (—1) = —1 тогда и только тогда, когда
т четно, a (q — l)/m нечетно. Во всех же остальных случаях мы
имеем if (—1) =1. ?
Суммы Гаусса возникают в самых разных областях. Рассмотрим
такой пример. Пусть f — мультипликативный характер поля F9;
тогда, применяя E.10), можно написать
246 Гл. 5. Тригонометрические суммы
для каждого с ? fq. Поэтому
всех с ? f;, (б.ill
где сумма берется по всем аддитивным характерам % поля Ы|
Это тождество можно рассматривать как разложение Фурье мулш|
типликативного характера 1|з по аддитивным характерам поля Й1
коэффициентами Фурье которого являются суммы Гаусса. 1я
Аналогично если % — аддитивный характер поля fq, я
применяя E.13), можем написать "jj
1
2 $(d)%(d) для всех с
Таким образом, получаем
X(с) = 7=Т 2° ^' %) *(с) ДЛЯ всех с € F?*' E>'7)
где сумма берется по всем мультипликативным характерам \|-
поля Fq. Это тождество опять можно рассматривать как разложе-
разложение Фурье ограничения аддитивного характера % поля fq на ?д
по мультипликативным характерам этого поля, причем коэффи-
коэффициентами Фурье снова являются суммы Гаусса. Таким образом,
для конечных полей суммы Гаусса служат инструментом для
перехода от аддитивной структуры к мультипликативной и об-
обратно.
Прежде чем устанавливать дальнейшие свойства сумм Гаусса,
мы изложим один полезный принцип общего характера. Пусть
Ф — множество всех нормированных многочленов над полем F,,
и Я — некоторая комплекснозначная функция, определенная наФ.
которая является мультипликативной в следующем смысле:
% (gh) = X(g)k (А) для всех g, h С Ф. E-18)
и, кроме того, удовлетворяет условиям
к A) = 1 и | % (g) |< 1 для всех g С Ф.
Обозначим через Фк подмножество множества Ф, состоящее из
многочленов степени k, и рассмотрим степенной ряд
§ 2. Суммы Гаусса
247
в комплексной области. Поскольку множество ФЛ содержит qk
многочленов, коэффициенты при гк по абсолютной величине не
превосходят qk, так что указанный степенной ряд сходится абсо-
абсолютно при \г\ <q~l. В силу E.18) и учитывая единственность
разложения на множители в кольце fq [х], мы можем написать
L(z)= ?
= П
где произведение берется по всем нормированным неприводимым
многочленам /из F? lx]. Это означает, что
L<z) = П A-Х (Л z*««'))-».
Теперь применим логарифмическое дифференцирование и резуль-
результат умножим на z. Получим
_dlogl(z)
Разлагая A — % (f) zdeg (?)) в геометрический ряд, получаем
z2 de« </> +
U deg (f) (к (f) zdee «Я
и, собирая одинаковые степени z, приходим к равенству
5=1
где
F.20)
E.21)
здесь сумма берется по всем нормированным неприводимым много-
многочленам /из Fq [х], степень deg (f) которых делит s.
Теперь предположим, что существует такое натуральное число t,
что
? % (g) = 0 для всех k > t.
ф
E.22)
248 Гл. 5. Тригонометрические суммы
Тогда, согласно E.19), L (г) является комплексным многочленом
степени, не превосходящей t, с постоянным членом, равным еди-
единице, так что его можно записать в виде
L (г) = A — щг) A — ш2г) ... A — щг), E:23)
где ©v. ©2» •••. ©t — некоторые комплексные числа. Это озна-
означает, что
dlogMz)
г—ъ— = ~
/=0 \т=1
и, сравнивая с E.20), получаем, что
Ls — — щ — ©1 — • • • — ш? для всех s ^ N. E.24)
В качестве приложения этого принципа, выражаемого равен-
равенством E.24), установим одно важное предложение. Пусть % —
аддитивный, а 1|з — мультипликативный характеры поля fq,
и пусть Е — некоторое конечное расширение поля fq. Тогда
характеры % и *|з можно «поднять» до поля Е, полагая %' ф) -
= % (Тгя/р (Р)) для любого р g ? и 1|з' (Р) = 1|з (Л^р (Р)) для
любого р ? Е*. Из аддитивности следа и мультипликативности
нормы вытекает, что %' — аддитивный, а 1|з' — мультипликатив-
мультипликативный характеры поля Е (будем называть их поднятиями до Е
характеров % и 1|з соответственно). Следующая теорема устанавли-
устанавливает важное соотношение между суммой Гаусса G (ф, %) в поле Гч
и суммой Гаусса G (i|j', %') в поле Е.
5.14. Теорема (теорема Дэвенпорта—Хассе). Пусть %^-ад-
%^-аддитивный, a tj) — мультипликативный характеры поля Fq, не
являющиеся одновременно тривиальными, и пусть Е — конечное
расширение поля F9, причем [Е : Fq] = s. Если %' и ¦ф' — под-
поднятия до поля Е характеров % и *|з поля fq соответственно, то
имеет место равенство
Доказательство. Для удобства распространим определение
мультипликативного характера ф на все поле fq, полагая т|) @) ¦¦¦-"
= 0. Воспользуемся обозначениями из рассуждения, приводящего
к равенству E.24); в частности, пусть Ф снова обозначает
§ 2. Суммы Гаусса 249
ство всех нормированных многочленов над Fq. Определим на
этом множестве комплекснозначную функцию X, полагая X A) = 1
и % (g) = 1|з (ck) % (ci) для любого непостоянного многочлена g ?
? Ф, представленного в виде g (ж) = хк — ctxk-x + ... + (—1)* сл.
Тогда для функции X легко проверяется свойство мультиплика-
мультипликативности E.18). Напомнив, что Фл обозначает множество много-
многочленов из Ф степени k, разобьем теперь для каждого k > 1 мно-
множество Фл иа подмножества, соответствующие фиксированным
значениям коэффициентов ct и ch многочленов g ? Фл. Так как
мощность такого подмножества, соответствующего паре (clt ck),
k2
равна qk~2, то
crch6
= ?*-2/ Е
1
А ввиду того что по крайней мере один из характеров % или i|>
нетривиален, либо из E.9), либо из E.12) получаем, что
Е ^ (g) = 0 Для всех * > 1.
6ф
Поэтому равенства E.22) выполняются при значении t — 1.
Кроме того, поскольку Фг состоит из многочленов вида х — с,
где с ? Fe, то
E
6F;
Таким образом, из E.19) получаем, что L (г) = 1 + G (f, %) z,
так что, согласно E.23), щ = —G (f, %). Теперь рассмотрим коэф-
коэффициент Ls степенного ряда E.20), соответствующий указанному
в теореме числу s. В силу E.21) и ввиду мультипликативности
функции X он должен иметь вид
где сумма берется по всем нормированным неприводимым много-
многочленам /из Fq [x], степень deg (/) которых делит s, а звездочка
означает, что при этом исключается многочлен / (х) = х. Поскольку
[Е : Fq] = s, то (по теореме 2.14) каждый из этих многочленов /
имеет deg (/) ненулевых различных корней в поле Е, и характе-
характеристическим многочленом над рд каждого корня р многочлена /
служит многочлен / (x)s/deg(/). Пусть
f (X)s/deg (/) = xs _ ClXs-l _J_ . . . _J_ (
250 Гл. б. Тригонометрические суммы
тогда Cj = Тгя/|р9 ф) и cs = Мб/j^ (P) согласно B.2) и B.3).
Поэтому
)) = ^ (с.) % (Cl) = t|) (NE/Fq (P)) % (Тгя/Гд (р)) =
так что
bs= ?*deg(/)Л
Когда / пробегает все нормированные неприводимые многочлены
из Fg ix] (кроме / (х) = х), степени которых делят s, элемент р
пробегает в точностн все элементы мультипликативной группы ?*
поля Е. Поэтому
L. = S ¦' (Р) %' (Р) = G (f, %'),
и, применяя равенство E.24), получаем
G W, %') = -(-G (t|), x))s,
что и завершает доказательство теоремы. ¦._!
Для некоторых частных характеров соответствующие им суммы
Гаусса удается вычислить в явном виде. Так, мы установим еще
несколько формул помимо тех тривиальных, список которых
приведен в E.14). Хорошо известна формула, получаемая для
квадратичного характера т|, определенного в примере 5.10.
5.15. Теорема. Пусть р — простое нечетное число, s ? IN
и fq — конечное поле порядка q = ps. Если г\ — квадратичный,
а %х — канонический аддитивный характеры поля fq, то
| (— I)8 q1'2, если р = 1 (mod 4),
G A1. 3d) = {(—l)«-i /у/2, если р = 3 (mod 4).
Доказательство, Применяя теорему 5.12 (iv) и учитывая, что
fj = т|, получим G (т|, %iY = ц (—1) q, а поскольку в силу заме-
замечания 5.13 т) (—1) = 1 при q = 1 (mod 4) и ц (—1) = —1 при
q = 3 (mod 4), то
( ± ql/2, если q = 1 (mod 4),
G (г), хО = ( ± iqm, если ^ = 3(mod4). (S25)
Главная сложность состоит в определении правильного знака.
Рассмотрим сначала случай s = 1. Пусть V — множество
всех комплекснозначных функций, определенных на множестве
FjS; оно представляет собой (р — 1)-мерное векторное простран-
пространство над полем комплексных чисел. Базис этого пространства
§ 2. Суммы Гаусса 251
можно, например, построить из характеристических функций Д,
/2, ..., /p_i элементов группы Fp, которые определяются усло-
условиями fj (с) = 1, если с = /, и fj (с) = 0, если сф j, j = 1,2, ...
..., р — 1. Из соотношения ортогональности E.11) легко вытекает,
что мультипликативные характеры t|%, ifo, .... $>р_2 поля Fp,
определенные в теореме 5.8, ввиду их лииейиой независимости
над Fp тоже образуют базис пространства V. Пусть ? = еРп1/1>;
определим линейный оператор Т иа пространстве V, задавая Th
для А ? V равенством
р-1
(Th) (с) = ? ?С*А (&) для с = 1, 2 р — 1. E.26)
Учитывая, что, согласно E.6) и теореме 5.7, t,ak = Ъ. (*)> полу-
получаем из теоремы 5.12 (i), что для каждого мультипликативного
характера ф поля §р_ справедливо равенство Щ = G (ф, Xi) "Ф-
Поскольку равенство t| = tj? имеет место лишь для тривиального
и квадратичного характеров, то матрица оператора Т в базисе
fo, %> ••¦. fp-2 имеет два диагональных ненулевых элемента,
а именно G (%, %t) = —1 (ввиду E.14)) ш G (ц, %,), и, кроме того,
семейство диагональных блоков вида
О G (t|, xi)
G (tj), %i) 0
соответствующих каждой паре tj), t| сопряженных характеров
(отличных от тривиального и квадратичного). При подсчете оп-
определителя этой матрицы мы от каждого такого блока на основа-
основании теоремы 5.12 (iv) получаем сомножитель
—G (if>, %i) G (ф, %i) = —if (—1) p.
Таким образом,
(Р-3)/2
det(T) = — G(t], %i)(—р)<р-з)/2 П %(—!)• E-27)
/=i
Далее, так как % (—1) = ff (—1) = (— 1)/, то
(Р-3)/2
Sip. I xi ~~— I '"II * *^ *^ '* — I ¦ ¦ II*" ' *" " ( I О*лс5)
.
Кроме того, поскольку
1, если р = 1 (mod 4),
t, если р = 3 (mod 4),
получаем из E.25), что
G(n v \ __ _i_/(p—i)«/4ni/2 /е оп\
252 Гл. 5. Тригоиометрические суммы
Учитывая равенства E.27), E.28) и E.29), получаем, что
det (Г) = ± (—1)(Р-')/2 ;<Р-1)г/4 (__1)<р-1) (р-3)/8 р(Р-2)/2 _.
= -(- (_1)(Р-1)/2/(р-1J/4+(Р-1> (Р-3)/4р(р-2)/2)
Т. в. !
det (Г) = ± (— 1р-1)/2 цр-1) (р-2>/2р(р-2)/2> р.10)
Теперь мы вычислим определитель det (Г), задавая матрицу
оператора Т в базисе Д, /2, ..., /p_i. Из E.26) находим, что
det (Г) = det ((?/*I<Л ft<p_.) = det (E/5/ <*-'>),<,. *<p_.) =
= ?»+*+-+<"-») det((?/ <*-1>I</( *<„_,) =
= det((?/ <*-»>),</. *<p_i),
т. e. det (T) является определителем Вандермонда. Поэтому
det(f)= П (С-С").
При б = enilP мы получаем
det(T)== f] F2
ftn+тфп-т _ g_(«-m)) _
I
П О"** П B/sinil^I).
l<m<n<p—1
Так как
p—1 n—1
n.=2 m=l
p-1 p-2
2
л=2 я=1
(р-2) (р-1) ^ _
"I 2^ / ~
р(р-1)(р-2)
2
го первое произведение равно
бР (Р-1) (Р-2)/2 = (—1)<Р—1) (р-2)/2 = (( — ЦР-2) (P-D/2 = (_])(р-1)/2.
Кроме того,
1<т<п<р—1
§ 2. Суммы Гаусса 253
так что
det (Г) = (—1)(р-1)/2/(р-1)(р-2)/2Л, где А > 0.
Сравнивая это выражение с E.30), мы видим, что в равенстве
E.29) всегда следует брать знак +¦ Это доказывает теорему для
случая s=l.
Общий случай сразу получается из теоремы 5.14 ввиду того,
что канонический аддитивный характер поля Fp поднимается
до канонического аддитивного характера поля fq (по формуле
E.7)), а квадратичный характер поля Тр поднимается до квад-
квадратичного характера поля J1,. ?
Учитывая формулы E.14) и теорему 5.12) (i), можно вывести
формулу, аналогичную указанной в теореме 5.15, для суммы
Гаусса G (ц, %) с любым аддитивным характером % поля Fq.
Получим теперь формулу для другого частного типа сумм
Гаусса, применимую для более широкого класса мультипликатив-
мультипликативных характеров, но требующую некоторого ограничения на основ-
основное поле. Будем использовать понятие порядка мультипликатив-
мультипликативного характера, введенное в замечании 5.13.
5.16. Теорема (теорема Штикельбергера). Пусть %х — кано-
канонический аддитивный характер поля JV, где q — некоторая сте-
степень простого числа, и пусть f — нетривиальный мультиплика-
мультипликативный характер того же поля, причем порядок т этого характера
делит число q + L Тогда
0+1
q, если т нечетно или -2-1— четно;
—q, если т четно, a -L-i— нечетно.
* п
Доказательство. Положим Е = F?» и F = Fg. Пусть у —
примитивный элемент поля Е, и пусть g = v*+1- Тогда g*-1 = 1,
так что g ? F; более того, g является примитивным элементом
поля F. Каждый элемент a f ?* можно записать в виде а = g!yk,
где 0 < / < q — 1 и 0 < k < q + 1. Так как ф (g) = f+1 (у) = 1,
то
/==0 k
fl|(Y)S
F=0 /=0
ЬЪЧЧ) Л %гФУк). E.31)
*=о ь € f*
254 Гл. 5. Тригонометрические суммы ¦Щ
Если Tjt — канонический аддитивный характер поля F, то, $Ж
гласно E.7), %i (Ьук) = %\ (Ifeif (byk)). Поэтому, учитывая tfj
орему 2.23 (ii) и E.9), получаем |1
—1, если --„„. х, , , ., ш
.7-1, если TTEfP(f) = 0. ®Щ
Поскольку по определению следа 7rEfP (ук) = ук + Y**» . в|
Тге/f (Y*) = 0 тогда и только тогда, когда y* {ч~1) = —I • (Sjfjj
Если число q нечетно, то последнее условие эквивалентов
равенству к = (q + 1I2, и тогда из E.32) получаем ,Щ
—1 при О
1 — 1 при к
Поэтому из E.31) следует, что
(?(*> %о = - t f*(vH-to-i)f(?+l)/2(Y) =
k=0
так как \|з (y) ф 1 и f«+l (y) = 1 ¦ Далее, поскольку т — порядок
характера ф, то значение ff<H-l>/2 (y) = —1 может получиться
лишь при четном т и нечетном (q + 1I т (так как тогда
t|j(»+i)/2 (у) = (t|,«/2 (y))(«+d/« = (_i)<»+D/« = _i, _ Перт). Во
всех же остальных случаях т|><гН>/2 (у) = 1. Поэтому для нечетного
числа q получим
q, если т нечетно или 7 ' четно, -Щ
—q, если т четно н -LJ— нечетно. Щ
"* 'И
Если же число q четно, то равенство y* (?—1) = —1 в E.3ад
эквивалентно равенству y*^' = 1, и единственным числом Щ
О <: к < q + 1, удовлетюряющим ему, является к = 0. Поэтом|
из E.32) получим, что |
—1 при l<!i
] — 1 при & = 0,
§ 2. Суммы Гаусса 255
а тогда из E.31) вытекает, что
Объединяя это с E.34), получаем искомый результат. ?
В заключение покажем, как можно использовать суммы
Гаусса для получения одного классического результата теории
чисел, а именно квадратичного закона взаимности. Напом-
Напомним (см. пример 5.10), что если р — нечетное простое число и ti —
квадратичный характер поля Fp, то для с ф 0 (mod p) символ
Лежандра (~) определяется равенством (—-) = Ц (с).
5.17. Теорема (квадратичный закон взаимности). Для лю-
любых различных нечетных простых чисел риг имеет место ра-
равенство
Доказательство. Пусть г\ — квадратичный и Xi — канониче-
канонический аддитивный характеры поля Fp; положим G = G (ц, %t).
Из E.25) вытекает, что О2 = (—iyp—Uf2p = p, так что
Gr = (О2) е-»)/2 О = pe-WG. E.35)
Пусть R — кольцо целых алгебраических чисел, т. е. R состоит
из всех комплексных чисел, являющихся корнями нормированных
многочленов с целыми коэффициентами. Поскольку значения
(как аддитивных, так и мультипликативных) характеров конечных
полей являются комплексными корнями из единицы, а каждый
такой корень является целым алгебраическим числом, то значе-
значения сумм Гаусса являются целыми алгебраическими числами.
В частности, G ? R. Обозначим через (г) главный идеал кольца R,
порожденный числом г. Тогда факторкольцо R 1{г) имеет харак-
характеристику г, и применение теоремы 1.46 дает
& = ( Е П (с) Хг (c)Y = Е Ч (с) %[ (с) (mod (г)).
Далее,
Е Пг(с)Ч
(с)%г(с) = G(n,%r) = n (r) G,
гДе в последнем равенстве использована теорема 5.12 (i), так что
& = t| (r) G (mod (r)).
256 Гл. 5. Тригонометрические суммы
Объединяя это с E.35), получаем
p(r-i)/2Q = т, (г) О (mod (r));
умножение на G приводит к сравнению
p(r-i)/2p = т) (г) р (mod (г)),
так как G2 = р. Поскольку обе части последнего сравнения
фактически являются элементами кольца Ж целых чисел, мм
получаем сравнение в этом кольце:
p(r-i)/2p = ц(г) р (mod r).
Поскольку число р взаимно просто с г, то отсюда получаем cj».in-
неиие
Далее, умножая на p(r~i)n, получаем в силу равенства р
= (—1)<р—')/2р и сравнения рг~1 = 1 (mod г) (см. упр. 1.9), !:ти
Поскольку р<г—1'/2 = ±1 (mod г) и знак + имеет место тс пи
и только тогда, когда число р сравнимо по модулю г с иекото|шч
квадратом, то
р(г-1)/2 = (^
Так как ц (г) = (—), то из E.36) получаем
(_1)(р-1) (г-1)/4 = (?.} (^ (modr).
Но целые числа, стоящие в разных частях этого сравнения, мо-
могут быть лишь ±1, поэтому ввиду того, что г ^ 3, сравнение вы-
выполняется лишь тогда, когда эти числа совпадают.
§ 3. Суммы Якоби
Если % — мультипликативный характер конечного поля ;.;•
то ои определен для всех ненулевых элементов этого поля. ^Д"
нако полезно распространить его определение на все поле '}./•
положив Я @) = 1, если X — тривиальный характер, и X @) = "¦
если X — нетривиальный характер. При таком доопределении
тривиален,
a \ 0, если к нетривиален.
§ 3. Суммы Якоби 257
Кроме того, теперь условие X (аъ аг) = X (а%) X (а2) выполняется
для всех аъ а2 ? fq.
Пусть заданы к мультипликативных характеров Хх, ..., Xh
поля Fq/и пусть ^афиксироваи некоторый элемент а ? Fg-
Определим сумму
h(К ¦ ¦ ¦. К) = Е К(Сх) ... h(ch),
где суммирование ведется по всем ^-наборам (съ ..., ch) элементов
поля F9, таким, что сх + ¦ ¦• + ск = а. Таким образом, эта сумма
содержит qk~l членов.
Если а Ф 0, то мы можем положить сх = аЬг с^ = abh.
Тогда &!+... + bk = 1, и мы получаем
Уо (Х1( ..., Л*) = Е ^i Hi) • • • К (abh) =
= (^ ... X*)(fl)A(Ai, ••¦- K). E.38)
В силу этого простого соотношения достаточно рассмотреть лишь
две суммы: /0 (къ ..., Xk) и J% (Хъ ..., Xk). Вторая из них более
важна для приложений, поэтому мы для нее будем использовать
более простое обозначение.
5.18. Определение. Пусть заданы к мультипликативных ха-
характеров Я1( ..., Хк поля fq. Тогда суммой Якоби для них на-
называется сумма
j(xt, ..., xh)= E МО ¦•¦ K(ch),
c1+-+ch=l
где суммирование ведется по всем ^-наборам (cj, ..., ch) элементов
поля Fg, таким, что сг + ... + с^ = 1.
Если k = 1, то «/ (Xj) = Xt A) = 1 для любого мультипликатив-
мультипликативного характера Хг поля Fg. Поэтому суммы Якоби представляют
интерес лишь для к ^ 2. Из определения сразу- вытекает, что
значение J (Х1г ..., Xh) ие зависит от порядка, в котором выпи-
выписаны характеры Xt. То же справедливо и для /0 (Хъ ..., Xh).
Сумма Якоби J (Xi, ..., Xh), а также и сумма Jo (Xlt ..., Xk)-
легко вычисляются, если некоторые из характеров Xt тривиальны.
5.19. Теорема. Если все мультипликативные характеры Хъ ...
¦¦¦> Xk поля fg тривиальны, то
J(Xlt ..., A*) = JO(XV ...,Xh) = qk~x • E-39)
Если же некоторые (но не все) из характеров Х( тривиальны, то
J (Хъ .... Xh) = Уо (Хъ ..., Xh) = 0. E.40)
'7 Зак. 222
258 Гл. 5. Тригонометрические суммы
Доказательство. Равенства E.39) очевидны, так как в обоих
случаях мы имеем сумму qk~x членов, каждый из которых равен 1.
Для доказательства E.40) предположим, что характеры выпи-
выписаны в таком порядке, что Яь ..., %h нетривиальны, а ЯЛ+Ъ ...
..., Xh тривиальны, где 1 < h < k — 1. Тогда
J(h Х0= 23 К{сг) ... h(ck) =
Для фиксированных элементов сь ..., ch ? Fg существует qk~*—'
решений (ch+I, ..., ch) уравнения сш + ... + cft = 1 — сх — ...
— ch. Поэтому
j{%ъ ...,ю = qk~h-x 23 ^i(ci) ¦¦¦ К(ch) =
= ^-ft-1/ 23 K(ci)) ¦¦¦ ( 23
где последнее равенство вытекает из E.37). Аналогичное рассуж-
рассуждение показывает, что и /0 й-ъ •¦•, К) = 0- LJ
Для исследования случая, когда все характеры Я^ нетриви-
нетривиальны, нам понадобится один результат, связывающий сумму
/0 (Ях Xh) с суммами Якоби.
5.20. Теорема. Пусть kt, ..., kh — мультипликативные ха-
характеры поля Tq, причем характер %h нетривиален. Если при
этом характер Ях ... %h тоже нетривиален, то
Jo (К, .... Яй) = 0, E.41)
если же характер Хг ... kk тривиален, то
¦ • •, 4-х)- E.42)
Доказательство. Так как случай k = 1 тривиален, то можно
считать, что к э= 2. Тогда
Л (К ¦ ¦ ¦ > К) = 23
f
23 ^-0
;6Fq
Поскольку (в силу нетривиальности Xh) Xh @) = 0» то, применяя
E.38), получаем
23 «f-a
S6F;
(a) =
§ 3. Суммы Якоби 259
= J (К K-i) E (^i ••• h-i) (-a) h (a) =
Теперь если характер Xt ... Хк нетривиален, то в силу E.12)
последняя сумма равна нулю и равенство E.41) доказано. Если
же характер Хг ... Хк тривиален, то последняя сумма равна q — 1.
Равенство E.42) тогда вытекает из следующих равенств: (А* ...
• ¦¦ ^ft-i) (—О — ^ft (—1) = ^k (—1); последнее из них обусловлено
действительностью числа Хк (—1), поскольку Хк (—IJ = Хк A) =
= 1. ?
В случае когда все характеры Xt нетривиальны, существует
важная связь между суммами Якоби и суммами Гаусса, которая
позволит нам вычислить абсолютные величины сумм Якоби.
5.21. Теорема. Пусть Хъ ..., Хк — нетривиальные мультипли-
мультипликативные, а% — нетривиальный аддитивный характеры поля F,}.
Тогда если характер Хг ... Хк нетривиален, то
к) - Q(h Ял х) , E.43)
если же характер Xi ... Хк тривиален, то
J(X1< ..., Xk) = -Xk(-l)J(Xlt .... Xft_0 =
±%)... G(Xk,%). E.44)
Доказательство. Ввиду нетривиальности каждого характера X
имеем Xf @) = 0, так что
G(Xh%)=
Поэтому
4
17*
260 Гл. 5, Тригонометрические суммы
Если характер Ах ... Xk нетривиален, то в силу E.41)/0 (Xlf
..., Xh) — 0, и на основании E.38) получаем
... G(%h, %) = J(K Xk) ? (h ... Xh)(a)%(a) =
= J(Xlf ..., Xk)G(X1 ... Xk, %).
Здесь G (Хг ... Xh, %) Ф 0 в силу E.15), поскольку характер
Х1 ... Яй нетривиален, и тем самым равенство E.43) доказано.
Если же характер Хг ... Xh тривиален, то ввиду E.38) имеем
Ja (Хг Хк) — J (Хъ ..., Aft) для всех а ? F?. и поэтому
-..,h)= L Ja(h, ...,ЯЙ) =
где в последней равенстве использовано E.37). Отсюда, применяя
E.42), получаем первое равенство из E.44). Кроме того, ввй|п-
нетривиальности характера Хх ... Хь_г мы можем применить
E.43) и получим
ч {—i)J(*i> ¦ • •. *ft-i) = с (я*... Хк.!, х)
G(lk, X)G(h, t)
\, X) ... G(^k. X).
используя на последнем шаге теорему 5.12 (iv). Таким образом,
доказано и второе равенство из E.44). U
5.22. Теорема. Пусть Хг, ..., Хк — нетривиальные мульти-
мультипликативные характеры поля fq. Тогда если характер Хх ... Я,,
нетривиален, то
У(ХЪ ...,Xk)\ = q<k-l)f2; E.45)
если же характер Xi ... Xh тривиален, то
\J(Xlt ...,Хь)\ = фк-2)/2. E.46)
Доказательство. Равенство E.45) вытекает из E.15) и E.43),
а равенство E.46) — из E.15) и E.44). L.J
5.23. Следствие. Если Хъ ..., Xh — нетривиальные мульти-
мультипликативные характерны поля fq и характер Хх ... Хк триви-
тривиален, то
§ 3. Суммы Якоби 261
Доказательство. Утверждение вытекает из E.42) и E.45). ?
5.24. Пример. Дадим еще одно доказательство квадратичного
закона взаимности (см. теорему 5.17), применяя свойства сумм
Якоби. Пусть р и г — различные простые нечетные числа, ц —
квадратичный характер, а %г — канонический аддитивный харак-
характер поля Fp и О = G (г), Xi). Определим сумму Якоби / для поля
§р равенством
/ = /ft, ..., ц) = 2 т](d) ... т] (сг).
¦ ++1
Поскольку т]^1 — тривиальный характер, то из второго равен-
равенства E.44) получаем
= ц (_i) р/ = j5/, где р = (-J)(p-i)/2p.
С другой стороны, G2 = р (из доказательства теоремы 5.17),
так что
_ jg(r+l)/2#
Сравнивая, получаем, что
j = p(r-D/2, E.47)
Теперь рассмотрим члены суммы /. Поскольку характер г\ при-
принимает лишь значения 0 и ±1, то каждый член суммы / является
целым числом. Если Сх = ... = сг = с, то с должно быть равно
r'1 G Fp. и соответствующий r-набору (с, .,.., с) член суммы /
имеет значение цг (г~1) = т] (г~1) = ц(г). Если же элементы с*
не все равны между собой, то существует г различных г-наборов,
получаемых из (сь ..., сг) циклическими перестановками. Со-
Соответствующие им члены суммы / должны совпадать, и, таким
образом, сумма этих г членов будет сравнима с нулем по модулю'/".
Разбивая сумму / на такие группы слагаемых, мы получим, что
/ = т] (г) (mod r). Вместе с E.47) это дает
p{r-l)/2 = ^ (Г
Завершение доказательства проводится так же, как и в теореме
5.17. ?
5.25. Пример. Докажем с помощью сумм Якоби, что каждое
простое нечетное число р, которое сравнимо с 1 по модулю 4,
представимо в виде суммы квадратов двух целых чисел. Поскольку
4 делит число р — 1, то из следствия 5.9 вытекает существование
мультипликативного характера X поля Fp, имеющего порядок 4
(определение порядка мультипликативного характера см. в за-
замечании 5.13). Тогда % может принимать лишь значения 0, ±1
и ±t, поэтому ясно, что для квадратичного характера г\ = Я2
/ (К п) = S Я- Ы т, (с2) = А + Bi,
+1
262 Гл. 5. Тригонометрические суммы
где Л и В — некоторые целые числа. На основании E,45i
р = | j (Я, п) |» = Л2 + В\
и утверждение доказано.
Заметим, что простое нечетное число р, сравнимое с 3 по мо-
модулю 4, нельзя записать в виде суммы двух квадратов целых
чисел, так как квадрат целого числа сравним по модулю 4 ли fin
с 0, либо с 1; поэтому Л2 + В2 никогда не может быть сравнимо ¦¦.4
по модулю 4. Что же касается единственного простого числа,
не рассмотренного выше, а именно р = 2, то оно, очевидно, явля-
является суммой двух квадратов целых чисел, поскольку 2 = 1Ш ¦
+ I2-
Существует аналог теоремы 5.14 для сумм Якоби. Будем снонл
употреблять понятие поднятия характеров, введенное перед т&>-
ремой 5.14.
5.26. Теорема. Пусть Xlt ..., Xh— мультипликативные ха-
характеры поля Fg, не все из которых тривиальны. Если
Х'и ..., X'k — соответственно поднятия характеров Хи ..
..., Xh до конечного расширения Е поля Fq, где [Е : fq) = s, то
J(X'U ...,Ху = (-1)<-1Х*-')у(Я,1, ...,Xk)s. E.W)
Доказательство. Заметим, что поднимая тривиальный лл-
рактер, получаем сиова тривиальный характер, а поднимая нетри-
нетривиальный, получаем нетривиальный. Поэтому если какой-лиСю
из характеров Xt тривиален, то обе части равенства E.48) равны
нулю, согласно E.40). Если все характеры Xlt ..., Xh нетриви-
нетривиальны и характер Хг ... Xk тоже нетривиален, то для некоторого
нетривиального аддитивного характера % поля fq из E.43) и
теоремы 5.14 следует, что
J(XU ...,Xk) =
Если же все характеры Xt нетривиальны, но характер Х± ... '¦«.
тривиален, то из E.44) и теоремы 5.14 вытекает, что
J (XI ..., Щ = LG (Х\, %') ... G (XI Г) =
^ %y ... G(Xh, %y =
§ 3. Суммы Якоби 263
= (_i)(s-.» *(_!)- (.-i) (_ 10(Я11 х) ... G(Kk, %))*=
= (-1)<-1)(*-о/(х1, ...,**)•. п
Для случая Л = 2, который часто встречается в приложениях
сумм Якоби, можно установить несколько результатов, представ-
представляющих особый интерес. Мы снова будем употреблять понятие
порядка мультипликативного характера, введенное в замечании
5.13.
5.27. Теорема. Пусть X — мультипликативный характер поля
fq, имеющий порядок т 2г 2, и пусть % — нетривиальный адди-
аддитивный характер того же поля. Тогда
G (Я, %)т = к (-1) qj (к, к) J (%, к2) ... J (X, к"-2). E.49)
Доказательство. Сначала допустим, что т ^ 3. Тогда из
E.43) получим
кч Для 1 <. / -^ т — /.
i ч
Перемножая между собой все эти т — 2 равенств, получим
Так как Хт — тривиальный характер, то Хт~1 = Я, откуда в силу
теоремы 5.12 (iv)
G (X, х) О (Л»-', %) = к (-1) q. E.51)
Перемножая равенства E.50) и E.51), получаем требуемый ре-
результат. Если же т = 2, то пустое произведение сумм Якоби
в правой части интерпретируется как 1, и тогда результат содер-
содержится в равенстве E.51). ?
Другой результат для к = 2 приводит к замечательному соот-
соотношению между суммами Гаусса. Для аддитивных характеров
будем употреблять обозначения, введенные в теореме 5.7.
5.28. Теорема (соотношение Дэвенпорта—Хассе). Пусть X и
$ ~ мультипликативные характеры поля fq, причем X имеет
порядок m^s 2, а характер f" нетривиален, и пусть Хь — не-
нетривиальный аддитивный характер того же поля. Тогда
т—1
264 Гл. 5, Тригонометрические суммы
5.29. Следствие. Пусть выполнены условия теоремы 5,28. То-
Тогда для нечетного т имеет место равенство
т—\
П
/0
П
/=0
а для четного т имеет место равенство
П (# %b) = (-1)««-') (т-2)/89(т-2 (^
/=0
где ц — квадратичный характер поля Fq.
Прежде всего мы выведем указанное следствие из теоре-
теоремы 5.28. Заметим сначала, что каждый характер \|)Я', 0 < .
/ <; т — 1, нетривиален, так как в противном случае характер
X) Wm = фт был бы тривиален, что противоречит пред-
предположению. Поэтому мы можем применить к равенству из тео-
теоремы 5.28 соотношение E.43), и это дает
т—\
— П
Переупорядочение членов приводит к следующему равенству:
т—\ т—1
П GWJ, хь) = G (Г, Хть) П G (Я/, %ь). E.54)
Если т — нечетное число, то
т—\ (т—1)/2
П G(y, Хь) = П С (W, Хь) С (Ят-/, Хь)-
/ /i
и так как Кт — тривиальный характер, то km-i = Я', поэтому,
применяя теорему 5.12 (iv), получаем
m-l (m-l)/2
W хь) = 9(т-1)/2 П ^(-i).
Согласно замечанию 5.13, Я(—1) = 1, поэтому
По (У, Хь) = 9(т-!)/2-
С учетом E.54) это дает E.52).
Если же число т четно, то, вновь применяя теорему 5.12 (iv),
получаем
т—\ (т—1I2
\tb) П
ii
§ 3. Суммы Якоби 265
(m-2)/2
Хь) П
(m-2)/2
Хь) П ^(-1
/
Из замечания 5.13 следует, что X (—1) = 1, если числЪ (q — \Iт
четно, и X (—1) = —1, если (q — \Iт нечетно; поэтому X (—1) =
= ^—])(*-1)М, Таким образом,
т-\ (т-2)/2
П G(Xi, хь) = фт~^Ю{ц, %ь) П (-1У (
/=1 /=2
(m-2)/8
и вместе с E.54) это дает E.53). ?
Известные доказательства теоремы 5.28 основаны на теории
алгебраических чисел или на теории конечных расширений поля
рациональных функций над полем Fq (называемых полями алге-
алгебраических функций над Fq). Но для некоторых частных случаев
удается дать и элементарное доказательство, например для случая,
когда \|з — квадратичный характер или когда число т является
степенью числа 2. Приведем эти доказательства.
Рассмотрим сначала случай, когда i|j совпадает с квадратичным
характером rj поля fq. В этом случае оба числа т и q должны быть
нечетными. Мы докажем равенство из теоремы 5.28, если убедимся
в справедливости эквивалентного ему равенства E.52). Преобра-
Преобразуем левую часть равенства E.52):
т—\ (т—1)/2
IIW. Хб) = О(т,, Хб) П
/=о /=i
(т—1
П
()/
Хь) П
(т1)/
-1)/2 П
/=i
согласно теореме 5.12 (iv). Поскольку в силу замечания 5.13
Я (—1) = 1 и г) (—1) = (_1)(«-п/2, то
П О(ф>, Хь) = Я{т~{)!2 (—I)»-1) («-O^G (т|, х*)-
П
/=о
Для правой части равенства E.52) получаем 1)
*) Под т как элементом поля Fq понимается вычет по модулю р, принад-
принадлежащий простому подполю Fp поля Fq. — Прим. перев.
266 Гл. 5, Тригонометрические суммы
согласно теореме 5.12 (i), так что остается показать, что
т, (т) = (— 1)««-«) <«-»/¦. E.65)
Пусть р — характеристика поля fq и q = ps. Так как квадратич-
квадратичный характер rj поля Fq можно получить поднятием (в смысле
теоремы 5.14) квадратичного характера % поля Fp, то
ц (т) = цр (NFg/Fp (m)) = цр (т*).
Пусть т = гх ... rt, где гг — простые нечетные числа (не обяза-
обязательно различные), которые отличны от р (поскольку т делит
число q — 1). Тогда
так как цр задается символом Лежандра (см. пример 5.10). Из
квадратичного закона взаимности (теорема 5.17) получаем
\ 1 / V. rt I
где
« = Г17 Л— +¦
2
и для квадратичного характера r\r. поля Fr.
Заметим, что
. = ps~~' -f- ps~~2 -f- • • • -f- p -f-1 = s (mod 2).
Кроме того, для двух нечетных чисел v и w
2 2 2 ~~ 2
так что
О— 1 , W — 1 _ VW— 1
2 I 2 = 2
Применяя это повторно, получаем
Это приводит к сравнению
от — 1 а — 1
ц5 = ^
§ 3. Суммы Якоби 267
и отсюда получаем
Но
-j-J = 1 для i=l, ..., t,
так как из q = 1 (mod т) следует q — 1 (mod rt). Таким образом,
равенство E.55), а значит, и соотношение Дэвенпорта—Хассе
для указанного частного случая установлены.
Теперь докажем соотношение Дэвенпорта—Хассе для случая,
когда число т является степенью числа 2. Если т = 2, то X
совпадает с квадратичным характером ц поля fq, и число q не-
нечетно. Из E.43) и теоремы 5.12 (i) получаем
Х2Ь)
Для фиксированного элемента d 6 F4 уравнение х — х* = d
имеет или два решения в поле fq (если 1 — Ы является квадра-
квадратом некоторого элемента из F?), или одно решение в Fq (если
1 — Ы = 0), или вообще не имеет решений в fq (если 1 — Ad
не является квадратом какого-либо элемента из fq). Отсюда
получаем, что число решений уравнения х — х2 = d в поле Fq
задается выражением 1 + т) A — Ы). Следовательно,
V
4F
= J(b n),
где на последнем шаге использовано равенство E.37). Таким об-
образом, для случая т = 2 соотношение Дэвенпорта—Хассе дока-
доказано.
Теперь пусть число т ^ 4 является степенью числа 2, и пред-
предположим, что соотношение Дэвенпорта—Хассе в форме E.53)
уже доказано для всех меньших степеней двойки. Воспользовав-
Воспользовавшись этим соотношением для степени числа 2, равной т/2, по-
получим ;
П(#, Хь)= Я С(#2/. Хь) Я
/=о 7=0 /=о
268 Гл. 5. Тригонометрические суммы
/2) ь) =
Так как, согласно теореме 5.12 (iv), G (ц, %ьJ = rj (—1) q и
в силу замечания 5.13 щ (—1) = (—1)<«~1)/2, то
т—1
П С(^/, X*) = (-1)<«-О/^е*-2)/2О(Г/2, %(т/2) 6)С(Г/2Г1, X(m^) b).
/=0
Пользуясь равенством E.53) при т = 2, получаем
2> Х(«/2) *) G (Ч>Ш/Ч Х(т/2) *) = G (TJ, X(m/2) b) G (^, ХтЬ),
а применение теоремы 5.12 (i) дает 1)
П(# Хь) ()/
E.56)
Сначала найдем tj B). Так как q% = I (mod 8), то существует
элемент у ? Fj« порядка 8. Тогда y4 = —1, откуда (у + yJ =
= y (y* + 1) + 2 = 2. Следовательно, 2 является квадратом
некоторого элемента поля Fq в том и только том случае, если
Y + У'1 € Fq> т- е. если (y + Y)* = Y + Y"- Последнее условие
эквивалентно равенству у? + У~ч = Y + Y~'>-a значит, и равен-
равенству (y*+1 — 1) (f~l — 1) = 0, Аэто означает, что либо -f+l = 1,
либо y* = 1 • Но поскольку элемент y имеет порядок 8, мы по-
получаем, что г) B) = 1 тогда и только тогда, когда q = ±1 (mod 8).
В остальных случаях ц B) = —1.
Чтобы найти г) (т/2), заметим, что если т За 8, то должно
быть 2) q = 1 (mod 8), т. е. rj (т/2) = 1. Если же т = 4, то q =
= 1 (mod 4), так что либо ц B) = 1 (если q = I (mod 8)), либо
tj B) = —1 (если q = 5 (mod 8)). В любом случае можно напи-
написать, что
tj [ — ) = (~l)w"" (m-°)/a. г
А отсюда и из E.56) вытекает справедливость равенства E.53),
Таким образом, соотношение Дэвенпорта—Хассе установлено для
случая, когда число т является степенью числа 2.
1) т/2 рассматривается как элемент поля Fq. — Прим. перев.
2) Порядок т = 2s, s ^ 3, мультипликативного характера % поля Fq ДОЛ'
жен делить число q — 1, согласно теореме 5.5, — Прим. перев
§ 4. Суммы значений характеров 269
§ 4. Суммы значений характеров
с полиномиальными аргументами
Пусть % — нетривиальный аддитивный характер поля Fq,
и пусть задан многочлен / ? Fq [x] положительной степени.
Рассмотрим сумму вида
которую называют иногда суммой Вейля. Задача точного вычисле-
вычисления таких сумм очень сложна. Поэтому обычно ограничиваются
оценкой абсолютной величины такой суммы.
Но для некоторых частных случаев удается провести исследо-
исследование этих сумм элементарным образом. Например, если / —
линейный многочлен, то из E.9) легко получить, что такая сумма
равна нулю. Исследование случая, когда /-является двучленом,
опирается на следующее соотношение между суммами Гаусса,
представляющее и самостоятельный интерес.
5.30. Теорема. Пусть п — натуральное число, % — нетри-
нетривиальный аддитивный характер поля Fq и % — мультипликатив-
мультипликативный характер того же поля, имеющий порядок d = НОД (п, q — 1),
Тогда
для всех a, b ? fq, аф 0.
Доказательство. Пусть т — нетривиальный аддитивный ха-
характер поля Fg, определенный условием г (с) — % (ас) для с ? Fq.
Тогда
2 %(ас" + Ь) = %ф) 2 X(ac») = %(b) 2 т(С). E.57)
C€F, *6Fg '?Fg
Согласно E.17),
т и = -~т 2G (*'т) *(сП) для с € ?< •
*
где сумма берется по всем мультипликативным характерам поля
Fg. Таким образом,
т(с-) = т@)+ У т(с»)= 1 -i-'jGtt, т) ^ Г (с).
q c€f; * e€F«
Внутренняя сумма в последнем выражении в силу E.12) либо
равна q—1 (если \|5П—тривиальный характер), либо равна 0
(если характер \j)" нетривиален). Характер же xf>" тривиален тогда
270 Гл. 5. Тригонометрические суммы
и только тогда, когда порядок характера \|э делит число d. По-
Поскольку характер К имеет порядок d, то все характеры \|j, порядки
которых делят число d, должны иметь вид \|з = Я', / = 0, 1, ....
d—1. Поэтому, учитывая E,14), получаем
23 т(С) = 1 + ? G(^, т) = ? G(%!, т).
Отсюда на основании E.57) и теоремы 5.12 (i) вытекает искомый
результат. UJ
5.31. Следствие. Если % — нетривиальный аддитивный ха-
характер поля Fq и НОД (п, q — 1) = 1, то
23
F
для любых a, b ? Fq, а ф 0.
5.32. Теорема. Пусть % — нетривиальный аддитивный ха-
характер поля ?д, п ? N и d = НОД (п, q — 1). Тогда
любых a, b ? Fq, а Ф 0.
Доказательство. Утверждение сразу вытекает из теоремы 5.30
и равенства E.15). О
Особенно простой вид принимает теорема 5.30 для п — 2 и
нечетного q. Этим можно воспользоваться при подсчете сумм ха-
характеров для любых квадратных многочленов над полем нечетной
характеристики.
5.33. Теорема. Пусть % — нетривиальный аддитивный ха-
характер поля Fq, где q нечетно, и пусть f (х) = а2*2 + сцх + во ?
€ fq M, а2 Ф 0. Тогда
23 X </ @) = X (ао - а? D02)"') т| (а2) G (л, X),
c6Fg
ц — квадратичный характер поля Fq.
Доказательство. Для с ? Fg
f(c) = агс.2 + а{с-\-ао = а2[с + ai (гаг)]2 + а0— а\Dа2)~'«
Таким образом, полагая ci = с + fli Bаг)~',
и применяя теорему 5.30, получим, что
23
€Fe
%(f (с)) = 23 X№ +Ь) = %(Ь)ц(а2)G(т|,
§ 4. Суммы значений характеров 271
Суммы значений характеров подобного вида можно вычислить
в явном виде также для случая, когда / является аффинным
р-многочленом над полем Fg (см. определение 3.54).
5.34. Теорема. Пусть конечное поле Fq имеет характери-
характеристику р и
/(*) = aTxPr + ar_lXPr-1 -\
— некоторый аффинный р-многочлен над fq. Тогда для любого
нетривиального аддитивного характера %ь, Ь ? F?, поля fq,
(в обозначениях теоремы 5.7) имеет место соотношение
= J х* (a) q, если Ьаг + ЬРаР-Х -\ + b^af'1 + ЬрГа{ = О,
| 0 в противном случае
Доказательство. Имеем
23 Хь0(с)) = хь(а) S
F F
g g
где
L (x) = baTxPr + bar_iXPr"-1 + 1- batxP + Ьа„х
есть р-многочлен над полем Fg- Если мы положим т (с) = %i (L (с))
для всех с ? Fq, то из C.11) следует, что т — аддитивный харак-
характер поля рч. Таким образом,
S = у = j ?. если т тривиален,
%i\ \ }} — ?j * ' \ 0 в противном случае.
C€F, c6Fg v y
Остается охарактеризовать те р-миогочлены L (х), для которых
характер т тривиален. Пусть q = ps, а Тг — функция абсолютного
следа из Fg в fp. Тогда в соответствии с определением E.6) ха-
характер т тривиален тогда и только тогда, когда
S—1
Тг (L (с)) = ? L (су1 = 0 для всех с ? F,-
/=о
Указанные равенства выполняются в том и только том случае,
когда имеет место полиномиальное сравнение
S—1
23 L (х)р' = 0 (mod (*« - х)). E.58)
Далее,
S—1 «—1 / Г .\р1 S—1 Г .
23 l (х)р! = 23 ( 23 baiXpl) = 23 23 fcp
/=0 /=0\{=0 / /=0 i=0
272 Гл. 5. Тригонометрические суммы
и поскольку при т = п (mod s) выполняется равенство сРт = с?"
для всех с ? fq, а также имеет место сравнение хрт = х?"
(mod (xq — х)), то
Е Ь Wp/ = S f t *"*"'af *"') *"* (mod (*• - *)).
/=0 fc=0 \!=0 /
Таким образом, сравнение E.58) выполняется тогда и только тогда,
когда
S bp*~'af~! = 0 для Л = 0, 1, .... s-1.
4=0
А это равенство выполняется тогда и только тогда, когда
= 0,
1=0
что и завершает доказательство. г]
Теорема 5.34 содержит, в частности (при р = 2, г = 1), фор-
формулу для вычисления сумм значений характеров того же вида,
что и в теореме 5.33, но для случая, который там не рассматри-
рассматривался, а именно для четного q,
5.35. Следствие. Пусть f (х) = агхг + агх + «о € F« U1.
где ^ четно, и пусть %ь, Ъ ? FJ, — нетривиальный аддитивный
характер поля fq. Тогда
%b(ao)q, если а2~оа\,
0 в противном случае,
Обратимся теперь к общему методу получения оценок для сумм
значений характеров с полиномиальными аргументами. Так как
случай линейного многочлена тривиален, то можно считать, что
степень многочлена не ниже двух. Следующий результат является
основным. Напомним, что поднятие %(s) аддитивного характера х
поля ?ч до расширения Е = fqS этого поля вводится при по-
помощи соотношения %(s> ф) = % (Tr^p (P)) для р ? Е.
5.36. Теорема. Пусть f ? fq lx] —многочлен степени п ^2,^
причем НОД (п, q) = 1, и пусть % — нетривиальный аддитивный
характер поля fq. Тогда существуют такие комплексные числа
<i>i, ..., <оя_1, зависящие только от f u%, что для любого натурпль-
ного числа s имеет место равенство
§ 4. Суммы значений характеров 273
Доказательство. Пусть / (х) = Ьпхп + ... + Ьхх + Ьо, где
Ьп Ф 0. Для фиксированного натурального числа k з* 1 тогда
E.59)
где
S/ (Xu . . ., Xk) = x[ + . . . + Л, 1 < / < П,
Для 1 < r <; Д: пусть аг = ar (*i, ..., xh) есть г-й элементарный
симметрический многочлен от переменных лег,, .... хТнад полем Fg
(см. пример 1.74). Тогда для / 2г 1 мы получим, используя фор-
формулу Варинга (см. теорему 1.76), равенство
Sj(XU ¦ ¦ •> **) =
где суммирование ведется по всем ^-наборам (»!, ..., ik) неотри-
неотрицательных целых чисел, таких, что t\ + 2/2 + ... + ^tft — /.
Для / = 1 мы имеем sj. (jci, ..., xft) = ax. Для 2 < / <; k суще-
существует одно решение уравнения ii + 2i2 + ••• + ^4 = /» в ко-
котором i) = 1, а все остальные ir равны 0; слагаемое, соответствую-
соответствующее этому решению, равно (—1)'~' jaj. Для остальных решений
уравнения t\ + 2i2 + ••• + ^t's = / обязательно i} = iJ+1 = ...
... = ik = 0, так что соответствующие им слагаемые могут содер-
содержать лишь симметрические многочлены ox, a2, .... ст^_х. Поэтому
Si (^i, . . ., Х^) = Ox,
s}(xlt ..., xh) = (—I)/-1 }aj + Gj(ai, .... a^i) прн 2</<k,
Sj(xx, ..., xh) = H}(ax, ..., ah) прн / > k,
где Gj — многочлен от / — 1 переменных, a Hj — многочлен от k
переменных над fq. Из E.59) тогда получаем, что
<*n-i) при
при 1<А<Я_,§
E.60)
где G — многочлен от п — 1 переменных, & Н — многочлен от k
переменных иад Fg-
Определим теперь функцию Я из множества Ф всех норми-
нормированных многочленов над полем fq в множество комплексных
чисел с модулем, равным единице, следующим образом. Положим
МО = 1. Далее, если многочлен g принадлежит подмножеству Фк
множества Ф, состоящему из многочленов степени к ^ 1, и раз-
разложение этого многочлена в поле его разложения над fv имеет
вид g (х) = (х — cti) ... (х — ак), то положим
Зак. 222
274 Гл. 5. Тригонометрические суммы
Заметим, что поскольку ar (alt ,.,, ah) ? Fg, I < г < jfe, To
из E.60) следует, что } (аг) + ... + f (ак) ? F,- Взяв дру^й
многочлен А из Ф, для которого Л (д:) = (х — Pi) ... (лс — рж),
получим
X (/ (ai) +... + / (cxft) + / (Рх) +-.. + / (ft.)) =
= % if М +••¦ + / Ы) % (/ (Рх) +... + / (PJ) =
= я. fe) я. (Л),
так что условие E.18) мультипликативности функции X выпол-
выполняется. Рассмотрим теперь сумму
для фиксированного k ^ п. Для многочлена
* (дг) = ж* + S (-1)г в^*-' = (х - «0 ... (х - ак) ? Фк
t=i
мы имеем 0Г (щ ак) — аТ, г — 1, .,., к, так что из EJ0)
следует, что
/(«0+ • • • +/(«*) = (-l^-'nftnfln + Gfe, • • -, %-i)-
Поскольку НОД (я, д) = 1, то 6 = (— \)n~l nbn Ф 0, а значит,
S X (^п) X (G (alf ..., ej) =
%(ban))
согласно E.9). Таким образом, условие E.22) выполняется при
t = п — 1. Поэтому из E.24) следует существование комплеЕс-
ных чисел «i, ..,, <ол_1, таких, что
L, = -eS«/, s=l, 2, .... F.61)
где Ls введено условием E.20).
Вычислим теперь Ls по формуле F.21). Согласно этой формуле,
где суммирование ведется по всем нормированным неприводимым
многочленам g из fq [x], степени deg (g) которых делят число s-
Для такого многочлена g пусть у ^ Е =¦- fq$ — некоторый его
§ 4. Суммы значений характеров 275
корень. Тогда многочлен gsfde«(s) является характеристическим
многочленом элемента у над fq, так что в силу B.1)
g(xY'de«<«> = (х — у)(х — f)(x — f2) ... (х—
откуда следует, что
Последнее выражение, очевидно, не изменится, если элемент у
заменить любым из различных сопряженных с ним элементов
1'*» Y*2. ¦¦•> уге8(в) —'; поэтому можно написать
g y
«(
= S
Но поскольку
то
и утверждение теоремы теперь вытекает из E.61). ?
5.37. Теорема. Все комплексные числа alt ..., <%_! из тео-
теоремы 5.36 по модулю равны q112.
Первоначально теорема 5.37 была установлена глубокими ме-
методами алгебраической геометрии. Более элементарное доказа-
доказательство было получено с использованием теории уравнений над
конечными полями. В следующей главе мы докажем более слабое
утверждение, а именно что | щ \ -< q1/2, / = 1, ..., п — 1 (см.
теорему 6,60), которое вполне достаточно для приложений к
оценке сумм значений характеров.
5.38. Теорема (теорема Вейля). Пусть f ? Fq[x]—много-
Fq[x]—многочлен степени п ^ 1, причем НОД (п, q) = 1, и пусть % — не-
нетривиальный аддитивный характер поля Fq. Тогда
S XV(с))
F,
18*
276 Гл. б. Тригонометрические суммы
Доказательство. Случай п = 1 тривиален. При п ^ 2 можно
применить теорему 5.36. Получим
? х (/ (с)) = —«1 — • • • — ©„_!.
Используя теорему 5.37 или более простое утверждение, что
и; | < qu'2, / = 1, ..., п — 1 (теорему 6.60), мы получаем требу-
требуемое неравенство. ?
Чтобы гарантировать выполнение теоремы Вейля, на много-
многочлен / приходится наложить определенное ограничение. Заметим.
что если НОД (п, q) > 1, т. е. если степень deg (/) многочлена /
делится на характеристику р поля fq, то могут возникнуть опре-
определенные осложнения. Рассмотрим, например, случай, когда
f (х) — хр — х и X = Xi — канонический аддитивный харатср
поля fq, определенный условием E.6). Тогда в силу свойства
функции абсолютного следа, полученного в теореме 2.23 (v),
Xi (/ (с)) ~ 1 Для всех с € F,, так что оценка в теореме Вейля
неверна при q 52 ра. В более общем случае аналогичная ситуация
возникает, когда многочлен / имеет вид / = gP — g + b, где
g € Fq [x] и b ^ (F,. Однако если / имеет вид, отличный от
приведенного, то оценка в теореме Вейля для такого многочлена /"
сохраняет силу, даже если его степень делится на характеристику р
поля fq (см. комментарии).
Применяя аналогичную технику, мы можем исследовать и
суммы мультипликативных характеров. При этом снова целесооб-
целесообразно расширить область определения мультипликативного ха-
характера ч|э поля fq до всего этого поля, положив гр @) = 0 для
нетривиального и t|? @) = 1 для тривиального характера i|".
Кроме того, следует заметить, что любой мультипликативный
характер ч|э поля F, можно поднять до расширения Е = f.t-
ПОЛЯ Fq, ВОСПОЛЬЗОВаВШИСЬ формулой \f(s) (P) = Ч|Э (N/j/p ф I)
для р ? Е.
5.39. Теорема. Пусть ч|э — мультипликативный характер ho-
рядка т > 1 поля Fq, и пусть f ? fq [x] — нормированный
многочлен положительной степени, который не является #г-й
степенью какого-либо многочлена. Пусть d — число различных
корней многочлена f в его поле разложения над f q, причем d ^ -¦
Тогда существуют такие комплексные числа а>\, •••, o>d_i. за'
висящие лишь от f и tf>, что для любого натурального числа s имеет
место равенство:
Доказательство. Мы пойдем тем же путем, что и при доказа-
доказательстве теоремы 5.36. Определим функцию Я, из множества Ф
§ 4. Суммы значений характеров 277
всех нормированных многочленов над полем Fq в множество
комплексных чисел с модулем, не превосходящим 1, положив
сначала Я A) = 1. Обозначив через Фк подмножество множестваФ,
состоящее из многочленов степени k, рассмотрим для многочлена
а ? Фк, k^>\, результант R (g, f) при формальных степенях,
совпадающих со степенями g и / (см, определение 1,93). Тогда
R (g> /) € F«. и мы положим X (g) = \f> (R (g, f)). Если разло-
разложение многочлена g в его поле разложения над fq имеет вид
g (х) — (х — a,i) ... (х— ah), то, согласно формуле A.10),
R (g> f) = f (ai) ••• / (aft)> так что можно написать
Тогда условие мультипликативности функции E.18), очевидно,
выполняется. Пусть
— каноническое разложение многочлена /в fq[x\, где Д, ...
.,., fr — различные нормированные неприводимые многочлены из
Т„ \х\. Согласно упр. 1.66, R (g, f) = (—1 )*»/?(/, g), где п =
-= cleg (/). Вновь применяя формулу A.10), получим
R (g. f) = (-1)*" /? (fi, gf1 • • • R ifr, gp. E-62)
Пусть di = deg (Д) для 1 ^ i ^ r, ?; — расширение поля Fq,
такое, что [?* : Fg] = dt , и рг — некоторый фиксированный
корень многочлена /г в Е(. Тогда все корни многочлена /; задаются
сопряженными с Р; относительно поля Fg элементами, так что
R (ft, е) = в(Рдg (PO • • • g(p*dil) = n?|/f,(f (p()), l <»< r.
С учетом E.62) мы получим
, E.63)
где ph = vf ((—1)*") и для 1 <; i ^ r T| — поднятие мультипли-
мультипликативного характера \|je« до поля JEV Так как по предположению
многочлен / не является т-й степенью другого многочлена, то
по крайней мере одно из чисел е{ не кратно т; значит, по крайней
мере один из характеров \|зе«, а следовательно, и характер xt
нетривиальны. Рассмотрим теперь сумму
S
ф
278 Гл, 5, Тригонометрические суммы
для k~^> d. Заметим, что d = dx + ... + dr. Пусть отображение 5:
Фк -*¦ Ei X ... X Ет определено условием
S (g) = (g (p,), .-, g фг)) Для g € Ф*.
Пусть задан r-набор (\>ь ,.., vr) ? Ех X ... X Ег. Каждый эле-
элемент Vj, 1 ¦< i ¦< г, можно представить в виде vt =ht ф(), где
hi € Fg [x]. Равенство S (g) = (vu ..., vr) выполняется тогла
и только тогда, когда многочлен g является решением системы
сравнений
g = hi (mod ft), i = 1, ,.,, r.
На основании китайской теоремы об остатках (см. упр. 1,37)
эта система сравнений имеет единственное решение О ^ fq \x\
степени deg (О) < dt + ... + dr = d. В таком случае все решения
g ? Фк этой системы имеют видg = Ffx ... fr + G, где/7 — произ-
произвольный нормированный многочлен над Fg степени k — d. По-
Поскольку существует ровно qk~d возможностей выбора этого мио-
гочлена F, то существует в точности qh~d таких многочленов
g ? ФА, что S (g) = (g (pi), .... g$,)) = (Vl, .... v,). Исполь-
Используя этот факт и равенство E.36), получаем, что
k—d I T<
так как хотя бы один из характеров тг нетривиален (как бы^о
отмечено ранее). Таким образом, условие E.22) выполнено при
t = d — 1. Поэтому из E.24) следует, что существуют комплекс-
комплексные числа шь ..., ?i)d_x, такие, что
d— 1
ls = — S ©л s= 1, 2, ....
/=i
Теперь подсчитаем Ls по формуле E.21), используя тот же
прием, что и при доказательстве теоремы 5.36. При Е = F.j»
получаем
и поскольку
§ 4. Суммы значений характеров 279
то можно написать
что и завершает доказательство. ?
5.40. Теорема. Все комплексные числа щ, ..,, atd-i из те-
теоремы 5.39 по модулю равны qlt*.
Замечания, сделанные после теоремы 5.37, справедливы также
и по отношению к теореме 5.40. В частности, элементарное дока-
доказательство более слабого утверждения, а именно что | «^ | <J qlfi,
I = 1, ,.., d — 1, будет дано в следующей главе (см. теорему
6.56).
5.41. Теорема. Пусть ф — мультипликативный характер по-
поля fq, имеющий порядок т > 1, и пусть f ? F, lx] — норми-
нормированный многочлен положительной степени, не являющийся
т-й степенью другого многочлена. Если d — число различных кор-
корней многочлена f в его поле разложения над Fg, то для каждого
а ? fq выполняется неравенство
Доказательство. Случай d = 1 легко проверяется, так что
можно предположить, что d >- 2. Тогда, применяя теорему 5.39,
получаем
Теперь, используя либо теорему 5.40, либо ее ослабленную
форму | щ | < qW, j = 1, ..., d — 1 (теорему 6.56), мы получаем
требуемое неравенство. П
В случае, который не покрывается теоремой 5.41 (а именно
когда многочлен / является m-й степенью некоторого другого
многочлена), приведенная в этой теореме оценка не всегда спра-
справедлива. Например, если / = gm и многочлен g ? Fq [x] не
имеет корней в поле Fg, то ф (/ (с)) = $т (g (с)) = 1 для всех
с € fq, так как ф — тривиальный характер, и поэтому оценка
в теореме 5.41, вообще говоря, неверна (левая часть равна а).
Случай, когда ф — квадратичный характер, будет подробно
рассмотрен в следующем параграфе.
280 Гл, 5, Тригонометрические суммы
§ 5. Дальнейшие результаты о суммах
значений характеров
Сначала рассмотрим один тип сумм значений характеров, ко-
который допускает исследование методами предыдущего параграфа
и представляет интерес для теории чисел,
5.42. Определение. Пусть % — нетривиальный аддитивный ха-
характер поля fq, и пусть a, b ? fq. Сумма вида
К (X; а, Ь)= 2 X (ас + Ье-1)
C€F*
называется суммой Клостермана.
Случаи, когда ab = О, тривиальны. Если а = b = 0, то
/С (%; a, b) = q — 1, а если лишь одно из чисел а или b равно О,
то К (%', а, Ь) = —1. Вообще заметим, что сумма Клостермана
всегда принимает действительные значения, так как если К, -~
= /С (%; а, Ь) и /С — его комплексно-сопряженное, то
К= S %(-ac-bc-i)= 2 %(а(-с) + Ь(-сГ1)=К,
поскольку элемент —с при этом тоже пробегает все множество FJ.
Как и в § 4, мы через %(s) будем обозначать поднятие аддитив-
аддитивного характера % до расширения Fqs поля Fq.
5.43. Теорема. Пусть % — нетривиальный аддитивный ха-
характер поля Fg и a, b ? Fq, причем ab Ф 0. Тогда существуют
такие числа щ и <о2> зависящие лишь от %, а и b (которые либо
оба действительные, либо комплексно-сопряженные), что для
каждого натурального числа s выполняется равенство
К (%<s>; а, Ь) = 2 XW (ay + by~l) = - «о? - ml
Доказательство. Метод доказательства тот же, что и для тео-
теорем 5.36 и 5.39. Определим функцию % из множества Ф всех
нормированных многочленов в множество комплексных чисел,
модуль которых не превосходит единицы, следующим образом.
Как и раньше, через Фк обозначим подмножество Ф, состоящее
из многочленов степени к. Положим X A) = 1. Далее, если много-
многочлен g ? Фк, к ;> 1, имеет вид
то положим % (g) = 0, если ск = 0, и
h(g) = % (ac\ + bck-id1), если ск ф 0.
§ 5. Дальнейшие результаты о суммах значений характеров 281
Легко проверить, что % (gh) = к (g) % (h) для всех g, h ? Ф.
Для k 2з 3
S 2 х tewS) = о.
так что условие E.22) выполнено при t = 2, Из E.19) получаем
E
При /С = К (%; а, Ь) имеем
Кроме того,
ф FF
так как внутренняя сумма равна q прн с2 = —а'гЬ и равна О
в остальных случаях. Таким образом, L (г) = 1 + /(г + <?г2 =
= A — щг) A — <огг), где шх и <о2 либо оба действительные числа,
либо комплексно-сопряженные, так как многочлен L (г) имеет
действительные коэффициенты. Согласно E.24),
Ls = —©1 — ©I Для всех s = 1, 2, .... E.64)
Остается оценить La. Из E.21) мы получаем
L. = S deg (gr) X (g»/***)) = 2 * deg (g) % (g«W>),
e s
где сумма берется по всем нормированным неприводимым много-
многочленам f из Fq [х], степень которых делит число s, а звездочка
означает, что из области суммирования исключается многочлен
g (х) = х. Каждый такой многочлен g имеет deg (g) различных
ненулевых корней в поле Е = fqs, и характеристическим много-
многочленом любого корня у многочлена g будет многочлен
g (*)«/<•<*(«) = (х — у) (х — у)... (х - V»5).
Пусть, скажем,
= х* _ ClXs-r + ... + (—I)8-1 cs_! (х) + (—l
Тогда с, = Тг?/Гч(Т), с8 = ^ ... ^"' и
282 Гл. 5. Тригонометрические суммы
Поэтому
так что
Ь* = ? * deg (g) К ipi**W) = ? *
«(v)=o
Если многочлен g пробегает указанную выше область суммиро-
суммирования, то элемент у пробегает в точности все элементы множества
Е*. Таким образом,
Ls = S Xw И + &1Г1) = К (%«; a, ft),
и требуемый результат вытекает из E,64). ?
5.44. Теорема. Числа щ и ю2 из теоремы 5.43 удовлетворяют
условию | ©! | = | од | = ?1/2.
Элементарное доказательство теоремы 5.44, использующее
теорию уравнений над конечными полями, дается в примере 6.63
для нечетного q.
5.45. Теорема. Если % — нетривиальный аддитивный харак-
характер поля Fg и один из элементов а, Ь ? F, не равен нулю, то
сумма Клостермана К (%', а, Ь) удовлетворяет неравенству
| К (%; а, Ь) |
Доказательство. В силу замечания, следующего за определе-
определением 5.42, результат тривиален, если одно из чисел а или b
равно нулю. Если же ab Ф О, то из теоремы 5.43 получаем
К, (%; а, Ь) = —<а% — <о2» так что требуемое неравенство вытекает
из теоремы 5.44. ?
Теорему 5.43 можно использовать для доказательства редук-
редукционной формулы, связывающей «поднятую» сумму Клостермана
К (%(s); a, b) для расширения f^ поля Fg, определяемую в этой
теореме, с суммой Клостермана К (%', о, Ь) для основного поля F9-
5,46. Теорема. Пусть % — нетривиальный аддитивный ха-
характер поля р„, и пусть a, b ? Fg, причем ab Ф 0, и К =
= /С (%; а, Ь). Тогда для любого натурального числа s имеет место
равенство
L*/2J
K(%M\a,b)= ^ (-If-'-'
l=o
где Ls/2J — наибольшее целое число, не превосходящее s/2.
§ 5, Дальнейшие результаты о суммах значений характеров 283
Доказательство. Симметрический многочлен х\ + х\ можно
выразить через элементарные симметрические многочлены хг +
4- х% и х%хг с помощью формулы Варинга (см. теорему 1.76).
Это дает
(-1)'»
где»! и i2 — неотрицательные целые числа. Полагая it = $ — 2/
и i2 = /> получим
LS/2J
2
г7
Теперь применим теорему 5.43 и подставим в полученное выше ра-
равенство хх = (Oj и хг = щ. Заметим, что <о?,+ ш* = —/( (X(s>;
a, fc) и он + и2 = —К, а также что {Ojcoa = q в силу равенства
1 + /Сг + ?г2 = A — coiz) A — <o2z). установленного при дока-
доказательстве теоремы 5.43. Отсюда сразу вытекает требуемая фор-
формула. ?
Для суммы Кластермана /C(s) = К (%(s); a, b) можно вывести
также рекуррентное соотношение. Из соотношения
и теоремы 5,43 сразу вытекает, что
#<•> = — КE-')Я - K(s-2>? для s > 2,
где мы полагаем К@) = —2 и /СA) = К = /С (%; а, Ь).
Если число ^ нечетно, то нетривиальные суммы Клостермана
можно связать с квадратичным характером т] поля fg. Мы снова
для удобства полагаем i\ @) = 0.
5.47. Теорема. Если % — нетривиальный аддитивный харак-
характер поля F, нечетной характеристики и a, b ? fq — элементы,
не равные нулю одновременно, то сумма Клостермана /С (%; а, Ь)
предстшима в следующем виде:
К (х: а, Ь)= 2 х (с) п (с2 - АаЪ),
где т) — квадратичный характер поля fq.
Доказательство. Если одно из чисел а или Ъ равно нулю,
то ^ (%'< а, Ь) = —1, что, как нетрудно убедиться, совпадает
со значением правой части равенства из формулировки теоремы.
Если же ab Ф 0, то можно написать
К (%; в, ь) = 2 г (ас + ье-*) = 2 х (<0 ^ D),
284 Гл. 5. Тригонометрические суммы
где N (d) — число элементов с ? F^, Для которых ас + be'1 = d.
Последнее уравнение эквивалентно квадратному уравнению
ас% — dc + b = 0. Следовательно, N (d) принимает значения 2,
1 или 0 в зависимости от того, принимает ли квадратичный харак-,
тер т| (d2 — Aab) значения 1, 0 или —1 соответственно. Другими
словами, N (d) = 1 + т| (d2 — Aab). Отсюда вытекает, что
К (х; а, Ь) = 2 % (d) A + г| (d2 - АаЬ)) =
= S X (d) + Ъ X(d) Ц (d2 -~ 4ab) =
d?Fq d?Fq
= S X (d) 4 (d2 - 4ab),
где на последнем шаге использовано равенство E.9). ?
Теперь мы перейдем к рассмотрению сумм, содержащих только
квадратичный характер ц поля fq, где q нечетно, и имеющих
полиномиальные аргументы, т. е. сумм вида
S n(f(c)), E.65)
ceFg
где / (z fq [x]. Случай линейного многочлена / тривиален, а для
квадратного многочлена / можно установить еще одну явную
формулу.
5.48. Теорема. Пусть над полем Fq нечетной характеристики
задан квадратный многочлен f (х) = а2х2 + ахх + а0, где а% Ф 0.
Если ц — квадратичный характер поля fq и d = а\ —
то справедлива формула
Л (f (с)) | ^ _ j^ ц ^ ecm d==Q^
Доказательство. Умножая сумму 2 Л (/ (с)) на Л D«1) = 1»
получаем
Для случая d = 0 результат получается сразу. Для d Ф 0 можно
написать
2 л
- <0 = -g + 2 (i + л Ф2 -
»6F
§ 5. Дальнейшие результаты о суммах значений характеров 285
и так как величина 1 + т| ф% — d) равна числу элементов с ? fq,
таких, что с2 = Ь% — d, то
S *| Ф2 - d) = -q + S (d), E.67)
6F
где S (d) — число упорядоченных пар ф, с), таких, что Ь, с ?
? Fg и fc2 — с2 = d. Чтобы решить последнее уравнение, по-
положим Ь + с = «, Ь — с = v и заметим, что между упорядочен-
упорядоченными парами ф, с) и (u, v) существует взаимно однозначное соот-
соответствие, поскольку q нечетно. Таким образом, S (d) равно числу
упорядоченных пар (u, v), где u, v ? Fg и «и = d; отсюда видно,
что S (d) = q — 1. С учетом E.66) и E.67) это дает требуемую
формулу. ?
5.49. Определение. Пусть т| — квадратичный характер поля
Fg нечетной характеристики, а ? F^ и п — натуральное число.
Сумма вида
Яп (а) = 53 Л (с"+' + ас) = 5j Л (р) Л (с" + а)
называется суммой Якобсталя.
Из теоремы 5.48 вытекает, что Н\ (а) = —1 для всех а ? FJ.
Вместе с суммой Якобсталя Нп (а) можно рассмотреть сходную
сумму
In (а) = 53 Л (сп + а), E.68)
которая связана с Нп (а) следующим образом.
5.50. Теорема. Для всех элементов а ? F?, где q нечетно,
и натуральных чисел п выполняется тождество
/.« (а) = In (a) + Нп (а).
Доказательство. Имеем
где N (d) — число элементов с ? F9, таких, что с2 = d. Но Л^ (d) =
= 1 + Ti (d), так что
Суммы /„(а) легко подсчитываются для л = 1 и п = 2.
Получаем /х (а) = 0 и /2 (а) = —1 для всех а 6 F«. где второе
равенство вытекает либо из теоремы 5.48, либо нз теоремы 5.50.
В общем же случае суммы /п (а) можно выражать через суммы
Якоби.
286 Гл. 5. Тригонометрические суммы
5.51. Теорема. Пусть fq — поле нечетной характеристики.
Тогда для всех а ? FJ и всех натуральных чисел п выполняется
равенство
In(a) = n(a)Z%i(-a)J(%l, ц),
где % — некоторый мультипликативный характер порядка d ¦—
— НОД (л, q — 1) поля Fq, а г\ — квадратичный характер этого
поля.
Доказательство. Сумму /п (а) можно представить в следующем
виде:
/«(«) = 21 П(с" + а)= 23 цф + а)Мф), E.69)
где М (Ь) — число элементов с ? Fq, таких, что с" = Ъ. Для
Ь Ф 0, используя E.13), получим
Согласно E.12), внутренняя сумма в последнем выражении равна
q — 1, если характер \|з" тривиален, и равна 0, если if" нетриви-
нетривиален. Но рассуждение из доказательства теоремы 5.30 показывает,
что характер \|зп тривиален тогда и только тогда, когда \|з = \>,
/ = 0, 1, ..., d — 1. Поэтому
й—1
М(Ь)=%М{Ь), E.70)
и так как М @) = 1, то равенство E.70) выполняется также и для
6 = 0. Объединяя E.69) и E.70) и применяя E.38), получаем
М«)= 23 *l(b + aJ3W(b) = r|(-lJ3 23 %1(Ь)ч(-Ь-а) =
»6Fe /=o /=o»6F9
= Ч Ы) 23 /- (W, ti) = t, (-1) S (Wti) (-a) / (%i, ц) =
/=o /«=o
d—\
= T)(a) S^H/(V, ti).
/=o
На основании E.40) член, соответствующий / = 0, можно опу-
опустить. D
5.52. Теорема. Пусть Fq — поле нечетной характеристики,
а ? F*q и п ? N. Тогда сумма Якобсталя #„ (а) равна нулю,
§ 5. Дальнейшие результаты о суммах значений характеров 287
если наибольшая степень числа 2, делящая число q — 1, делит
также п. В противном случае имеет место равенство.
Ни (а) = т) (а) К (-1) 2 tf/+» (а) J (Я2/+>, ц),
где d = НОД (и, q — 1), X — некоторый мультипликативный
характер порядка 2d поля Fq, ц — квадратичный характер этого
поля и J — сумма Якоби.
Доказательство. По теореме 5.50 имеем Нп (а) = Iin (a) —
— /п (а). Если наибольшая степень числа 2, делящая q— 1,
делит также п, то НОД Bn, q — 1) = НОД (п, q — 1), и из тео-
теоремы 5.51 следует, что Нп (а) — 0. В противном же случае
НОД Bn, q — 1) = 2d, так что из теоремы 5.51 получаем
2d—l
*,() i() §()(, Ц)
Поскольку характер X2 имеет порядок d, та же теорема 5.51 пока-
показывает, что
Это означает, что
Нп (а) - Ti (a) 2 ^2/+I (~а) J (%2>+1, ц) =
- т) (а) К (-1) 2 ^2/+I(«) J (№+i, П). П
Из этих результатов и теоремы 5.22 получаются следующие
оценки:
которые не хуже полученных из теоремы 5.41.
5.53. Пример. В примере 5.25 мы показали, что каждое про-
простое число р, сравнимое с 1 по модулю 4, можно представить
в виде р = Аг + В%, где А и В — целые числа. Легко видеть,
что одно из этих целых чисел, скажем А, должно быть нечетным,
а другое должно быть четным. Поскольку знак А можно выбрать
произвольным, то можно считать, что А = —1 (mod 4). Покажем
теперь, что это число А можно найти непосредственно, используя
подходящим образом взятые суммы Якобсталя.
Пусть X — мультипликативный характер порядка 4 поля Fp.
Тогда из равенства X3 — % и теоремы 5.52 следует, что
288 Гл. 5. Тригонометрические суммы
где Re / (X, г\) = ±A/2) Н% A), С другой стороны, в примере 6.25
мы видели, что р = (Re / (X, т))J + (Im / (X, т))J. Теперь пока-
покажем, что A/2) #2 A) = —1 (mod 4). Так как, согласно замечанию
5.13, т) (—1) = 1 для р = 1 (mod 4), то мы можем написать
(И
(P-D/2 (Р-1)/2
S т)(е)т](с2+1) + ?
1 1
(P-D/2
= 2
так что
Из теоремы 5.48 получаем
Р-1 (Р-0/2
~ 1 = S П(с2+1)= 1 +2 ?
откуда
Вычитая E.72) из E.71), получим
(Р-П/2
Для 1 < с < (р — 1)/2
(Л (с) — О (Ц (с2 + 1) — 1) = О (mod 4), если ц (с2 + 1)фО.
так как оба сомножителя слева четны. Таким образом,
(т) (с) — 1) т) (с2 + 1) = г, (с) — 1 (mod 4), если ц (с2 + 1) # 0.
Случай tj (с2 + 1) = 0 имеет место тогда и только тогда, когда
сг = —1 (mod p), а это сравнение имеет единственное решение С\-
1 •< сх -< (р — 1)/2. Следовательно,
(р—1)/Z (n—1W2
~2~ A) т 1 = 2д \*\ W — ) —
с=\
</»—1)/2
е=1
§ 5. Дальнейшие результаты о суммах значений характеров 289
Кроме того,
р—1 (р—1)/2
и ц (cL) = I2 (ct) = A, (cf) = А, (—1), так что
4- Н2 A) + 1 = Щ*- - X (-1) (mod 4).
Теперь из замечания 5.13 следует, что
1, если р = 1 (mod, 8),
( 1) > —1, если р ее 5 (mod 8),
причем
3 — р \ 1 (mod 4), если р ее 4 (mod 8),
2 ~ I —I (mod 4), если р ее 5 (mod 8),
так что A/2) Я2 A) + 1 = 0 (mod 4) и A/2) Я2 A) ее —1 (mod 4).
Значит, Л = A/2) #2 A).
Можно показать, что при нормировании Л = —1 (mod 4)
целое число Л определяется однозначно. Допустим, что р =
= Аг 4- -б2 = С2 + D2, где Л и С нечетны, а В и D четны. Если
/г, /г ? Z таковы, что Л = /iB (mod р), С = kD (mod p), то из
Л2 + В2 ее С2 + D2 ее 0 (mod р) следует, что h2 + 1 ее &2 +
-{- 1 ее 0 (mod р), откуда С = ±hD (mod p). Таким образом,
можно написать С = ±Ci, где Сх = hD (mod p). Тогда в равенстве
р2 = (Л2 + В2) (CJ + D-) = (ЛСХ + BDf + (ЛД — ВСХJ
числа в скобках справа кратны р. Деля обе части на р2, мы полу-
получаем выражение, представляющее единицу в виде суммы двух
квадратов целых чисел. Это возможно лишь в случае, когда 1 =
== (±1J + О2. Таким образом, AD ~ ВСг = 0, итак как НОД (Л,
В) = НОД (Ci, D) = 1, то Л = +СЬ откуда А — ±С Если,
кроме того, Л ее С ее —1 (mod 4), то Л = С; таким образом,
число Л однозначно определено.
Выше мы показали, что этим единственным целым числом А
является A/2) Н^ A), и тогда целое число В определяется одно-
однозначно с точностью до знака. Используя то же рассуждение, что
и в начале этого примера, нетрудно показать, что в качестве
числа В можно взять A/2) Я2 (а), где а — такой элемент поля Fp,
что п (а) = —1. D
Существует замечательная связь между суммами значений
квадратичного характера т| и алгоритмом разложения в непрерыв-
непрерывные дроби для рациональных функицй над полем F, (т. е. для
Дробей вида fig, где/, g ? Fq lx], g Ф 0). Нам понадобятся лишь
элементарные сведения из теории таких непрерывных дробей,
'9 Зак, 222
290 Гл. 5. Тригонометрические суммы
которая совершенно аналогична классической теории непрерыв-
непрерывных дробей для рациональных чисел. Алгоритм разложения
рациональной функции в непрерывную дробь является по суще-
существу алгоритмом Евклида, рассмотренным нами в § 3 гл. 1. Мы
слегка изменим обозначения с учетом потребностей настоящего
момента.
Пусть г0 и Г] — два произвольных многочлена из кольца
Fg [x], причем гх Ф 0. Применяя алгоритм Евклида, можно
написать г0 = Аог1 -\- г2, гг = Аггг + г.л и вообще
rt = A,ri+l-{-ri+t для i = 0, I s, E.73)
где 0 < deg (ri+1) < deg (rt) для i = 1, .... s, и rs+2 = 0. Здесь Ао,
Alt ..., As — некоторые многочлены над полем Fq. причем Ль ;.,, As
обязательно имеют положительные степени. Из равенств E.73)
получаем
для i = 0, 1, .... s-
и fs/rs+1 — As. Отсюда следует, что
1
-^-= А.
Гл}г% .
11. — А л L_
Г1 я i *
и, продолжая таким образом, в конце концов получим
~т~ = Ао -| ^ = [Ло, Alt A<i, ¦ ¦ ¦, As],
Al + --
где символ в правой части — это сокращенное обозначение pa i-
ложения в непрерывную дробь, даваемого средним членом равен-
равенства. Удобный способ вычисления рациональной функции, пред-
представленной непрерывной дробью, основан на следующей рекур-
рекуррентной процедуре. Определим многочлены Pt и Qt, i = —\.
0, ..., s, условиями
Р-х=\, Р0 = А0, Pj = Л,Р,_, + Р,_, для» = 1, . ...s, E.74)
Q-i = 0, Qo = 1, Qt = АДЬ_Х + Qt_t для i = 1, ..., s. E.75)
Ясно, что deg (P,_,) < deg (P*) для i = 1, ..., s и deg (Qi_i) <
< deg (Qt) для i' = 0, 1, ..., s. Следствия 5.55 и 5.58 ниже показы-
показывают, что Pi и Qt являются соответственно числителем и знаме-
знаменателем (несократимой) рациональной функции, представленной
§ 5. Дальнейшие результаты о суммах значений характеров 291
непрерывной дробью [Ао, Ах, ..., At]; будем Pt/Qt называть
приведенной формой непрерывной дроби [Ао, Ль ..., Аг]. Полезно
руспространить определение степени на множество всех раци-
рациональных функций, полагая степенью рациональной функции
р = fie число deg (р) = deg (/) — deg (q). При этом уславли-
уславливаются, что deg @) = —оо и —оо — п = —оо для любого п ? Z.
5.54. Лемма. Для любой рациональной функции р неотрица-
неотрицательной степени имеет место равенство
[Ао, Аъ .... А,.и Р1=^ЙЙ длЯ i==h •¦¦' S+L
Доказательство. Применим индукцию по /. Для i = 1 обе
части равны Ао + р. Если утверждение выполняется для не-
некоторого i, I ^ i <s+ 1, то, поскольку, Аг + р — раци-
рациональная функция положительной степени, получим, используя
предположение индукции и равенства E.74) и E.75),
[Ао, Ах At, р] = [Л0, Ах, ..., Аг_х, Л1 + р-»] =
(Aj+p-^Pjt + Piz Pj+p-^i pPi + Pji n
u
(.Ai -j~ p~*) Qi-% ¦*}" Qt-% Qt ~H P~ Qt-i pQt ~\~ Qt~i
5.55. Следствие. Для любого i, 0 •< / ^ s, имеет место ра-
равенство
[Ао, А\, ..., Ai] = Л .
Доказательство. Утверждение тривиально для i — 0. Для
1 < i ¦< s положим в лемме 5.54 р = At и используем E.74)
и E.75). ?
5.56. Лемма. Для любого i, 0 -^ i -^ s, имеет место равенство
где pt = ri+2/ri+1 — рациональная функция отрицательной сте-
степени
пени.
Доказательство. Доказываем по индукции. Для i = О
~ °+ Ро ~ °+ Т Т =
где на последнем шаге использовано равенство E.73). Предполагая
Доказываемое равенство выполненным для некоторого i, 0 <[
< i < s, получаем, в силу E.74) и E.75)
Q
19*
292 Гл. 5, Тригонометрические суммы
а из E.73) следует, что р7~' — Ai+X + pVfi. Таким образом,
согласно предположению индукции. Это завершает доказатель-
доказательство. ~'
5.57. Лемма. Для любого i, 0 <! i <^ s, имеет место равенство
PtQt-x - Pt-iQi = (-1)'-1-
Доказательство. Доказываем по индукции. Для i — 0 имеем
PoQ-i — -P-iQo — —1- Допустим, что равенство справедливо для
некоторого /, 0 <; i < s. Тогда, используя E.74) и E.75), получим
PuiQi - PtQui = (AuiPt + Pt-i) Qt - Pi (AuiQi + Qt-i) =
согласно предположению индукции. ":
5.58, Следствие. Для любого i, 0 -^ i <^ s, имеет место равен-
ство НОД(/>„ Qt) == 1.
Доказательство. Если для 0 < i < s положить dt — НОД (У-1,,
Qi), то из леммы 5.57 получаем, что многочлен dt делит (—II' '.
так что dt = 1.
Теперь мы можем рассмотреть приложения непрерывных
дробей к изучению сумм значений квадратичных характерчп
с полиномиальными аргументами. Пусть f (z Fq \х) — многочлен
положительной степени, не имеющий корней в поле f q нечетной
характеристики, и пусть G(x) = х" — х. Положим F (х)
= / (а*)(*~1)/2 и рассмотрим разложение в непрерывные дроби
следующих двух рациональных функций над Fq:
Щ^± = [А0, Аъ .... АЛ E.70)
и
1" / .А I 1
= [а0, аъ ..., at]. E.77)
G(x)
Ясно, что Ао = а0. Определим п/ как наибольшее целое число /.''.
такое, что At = а-ь для / = 0, I, ..., т. Равенства щ = s = t
не могут выполняться, так как в таком случае указанные раци-
рациональные функции совпадали бы. Следующий результат, однако,
показывает, что представляющие их непрерывные дроби весьма
близки.
5.59. Лемма. При указанных выше условиях имеет место
из двух возможностей: либо nf = s = / — I, либо nf = t = s —
§ 5. Дальнейшие результаты о суммах значений характеров 293
Доказательство. Определим Р, и Q; условиями E.74) и E.75)
и аналогично определим pt и qt, используя О/ вместо А} в E.74)
и E.75). Согласно следствиям 5.55 и 5.58, рациональные функции
PjQs и Pi^Qi соответственно являются приведенными формами
рациональных функций (F (х) — \)IG (х) и (F (х) + l)/G (x), за-
заданных разложениями E.76) и E.77), так что
0(х) №1 Pi(x) =
Ws W - НОД (F (х) — 1, G (х)) ' Pi w НОД (F (*) + 1, G (x)) '
E.78)
где &ь Ь2 € FJ- Каждый элемент с ? F9 является простым
корнем многочлена G (х), и других корней G (х) не имеет. С другой
стороны, для каждого с С IF<? по предположению / (с) Ф 0, так
что / (с)ч~1 = 1, и, следовательно, многочлен G (л?) делит / (ж)*-1 —
— 1 = (F (х) — 1) (F (х) + 1). Значит,
НОД (F(x)—l,G (*))-НОД (F(x)+ l,G (x)) = G (х),
и из E.78) вытекает, что
Qs (x) qt (х) = bG (х), где q = Ьф2 ? П. E.79)
Пусть П/ = п, и предположим, что п < s и п < ^. Согласно лемме
5.56.
с рациональными функциями рп+1 и Yn+i отрицательной степени.
Вычитая первое равенство из второго, получим
2 N
E80)
~GW = №„+1 + PrmQn) (?п
где числитель Л^ имеет вид
^ = Pn+lQn+l - -Pn+l^n+l + Pn+l (Pn+lQn — -Pn^n+l) +
+ Vn+1 (PnQn+l - ^n+l^n) + Pn+l?n+l (PnQn ~ РпЯп)-
Из определения числа п вытекает, что Pt — pt и Q, = gt для
' = —1, 0, ..., п. Следовательно, pn+iQn — PnQn+i = (—1)" и
PnQn+i — Pn+i<]n = (—1)"+1 в силу леммы 5.57, a pnQn — Pnqn =
— 0. Кроме того, простой подсчет с использованием E.74), E.75)
и леммы 5.57 показывает, что
Pn+iQn+i - ¦Pn+itfn+i = (—1)" (An+i - an+1).
Таким образом, мы получаем
N = (—1)" (Ап+1 - ап+1 + рп+1 - уп+1).
294 Гл. 5. Тригонометрические суммы
Поскольку из определения числа п следует, что Ап+1 Ф ат],
то deg (N) > 0. Сравнение степеней в равенстве E.80) дает с уче-
учетом неравенства п + 1 -< min \s, t\ и E.79), что
q < deg (G) + deg (N) = deg (Qn+1) + deg (qn+x) <
< deg (Qs) + deg (qt) = q.
Таким образом, здесь всюду должен стоять знак равенства. Пл-
этому deg(iV) = 0 и, следовательно, deg(^n+1) = deg (an+J).
Тогда мы получаем из E.75), что deg (Qn+i) = deg (qn+i) = ql'2,
а это противоречит предположению о нечетности числа q.
Таким образом, либо п = s, либо п — t. Допустим, что п = ч.
Тогда t > 3, и мы можем написать
F(x)-l _ Ps F(x) + l __ Ps+i + ys+iPa
G(x) Qs ' G(x) gs-n + ys+i4s
Снова вычитая первое равенство из второго, получим в силу
леммы 5.57
G{x) Qs (qs+i
и сравнение степеней дает
Ч = deg (Qs) + deg (qs+1) < deg (Qt) + deg (qt) = q
согласно E.79). Значит, deg (^s+1) = deg (qt), откуда s + 1 = t,
так как степень deg (qt) возрастает с i. Аналогично предположение
п — t приводит к тому, что t + 1 = s. Р
После этих приготовлений мы можем теперь без труда вывести
формулу для сумм значений квадратичного характера т| поля fq
нечетной характеристики, аргументом которого является много-
многочлен/ ? Fq ix]. Точный вид этой формулы зависит оттого, какой
из двух случаев леммы 5.59 имеет место.
5.60. Теорема. Пусть ц — квадратичный характер поля $,,
нечетной характеристики, и пусть f ? fq [x] — многочлен
положительной степени, не имеющий корней в поле fq. Тогда
F I—deg(Лs), если n} = t,
где многочлены As и at получаются соответственно из E.76) «
E.77).
Доказательство, Обозначим через N A) (соответственно
N (—1)) число элементов с ? Fq, таких, что ц (/ (с)) равно 1 (со-
(соответственно —1). Тогда
? 1] (f(c)) = N(\)-N(-l). EMD
F
Комментарии 295
Так как т| (/ (с)) = 1 тогда и только тогда, когда F (с) = / (с)<*~1^2 =
г 1, то N A) равно степени многочлена НОД (F (х) — 1, G (х)),
так что N A) = q — deg(Qs) в силу первого из равенств E.78).
Аналогично N (—1) = q — deg (qt). Если в лемме 5.59 имеет место
случай n/ = t = s — 1, то qt = Qt = Qsj и N A) — N (—1) =
= —deg (Qs) + deg (Qs_i) = —deg (As) согласно E.75). В случае
же я/ = s = t — 1 получаем JV A) — N (—1) = deg (qt) —
— deg (qt i) = deg (af). Результат вытекает теперь из E.81).
a
Заметим, что утверждения леммы 5.59 и теоремы 5.60 теряют
силу, если многочлен / имеет корни в поле F4. Рассмотрим, на-
например, случай / (х) = х. В этом случае сумма значений харак-
характера равна нулю, поскольку 2 ц (с) = 2 т| (с) = 0. С другой
стороны,
G(x) l ' i j> (З(д-) i > "
так что s = t = 1 и deg (As) = deg (af) = (q + l)/2.
Комментарии
§ 1. Характеры конечных абелевых групп подробно изучаются,
например, в книге Холла (Hall [6, ch. 13]) х). Факт, состоящий
в том, что конечная абелева группа имеет столько же характеров,
сколько и элементов (см. теорему 5.5), был впервые доказан
Вебером (Weber [2]). Нетрудно доказать, что группа характе-
характеров G~~ группы G изоморфна самой группе G (см. упр. 5.5). Особые
свойства квадратичных характеров поля Fp» при простом нечет-
нечетном числе р были установлены в работах Giudici [1 ], [2] и Hard-
man, Jordan [1]. В статье Cartier [1] изучаются квадратичные
характеры произвольного конечного поля Fg и квадратичные
характеры групп невырожденных матриц над Fg ¦ Пеллегрино
(Pellegrino [2]) изучал, как ведет себя квадратичный характер
поля р„ при дробно-линейных преобразованиях этого поля. Кар-
Карлиц (Carlitz [27]) получил аддитивные характеры фактор-
кольца Fq [x ]/(/). Общие обзоры по тригонометрическим суммам
см. в книгах Ниа [12] и Katz [4] 2).
§ 2. Суммы Гаусса для конечных простых полей были исполь-
использованы еще в работе Лагранжа (Lagrange [4]) о решении алгебра-
алгебраических уравнений (в старой литературе эти суммы часто назы-
1) См. также Шмидт [I*, гл. 9. 10]. — Прим. перев.
2) А также Виноградов [2*1 и Виноградов, Карацуба [1*1. — Прим. перев.
296 Гл. 5. Тригонометрические суммы
ваются «резольвентами» и «циклотомическими резольвентами-.).
Гаусс также упоминал о них и доказал формулу E,15) в своих
«Арифметических исследованиях» (Gauss |1, sec. VIII]); он же
установил некоторые из свойств, приведенных в теореме 5.12
(Gauss 12], 15]). Доказательства элементарных результатов о сум-
суммах Гаусса имеются в классических работах Коши (Cauchy [2],
[4]), Эйзенштейна (Eisenstein [1]), Якоби (Jacobi [1], [21),
Куммера (Kummer [3], 14], [5], [6]) и Лебега (Lebesgue [L'j).
Обзор этих ранних результатов можно найти в работах Biich-
mann [1], [2], Dickson, Mitchell, Vandiver, Wahlin [1, sec. \4\
и Smith H. J. S. 11 ]. Суммы Гаусса для конечных полей обпито
вида первым рассмотрел Штикельбергер (Stickelberger [1]). Ин-
Интересные замечания исторического характера имеются в работах
Berndt, Evans [4] и Weil [11]. Современные толкования разных
вопросов теории гауссовых сумм даются в работах Apostol \2],
Gras [1], Hasse 115], Ireland, Rosen [1], Joly [5], Lang [3], l">]
и Schmidt W. M. [3].
Теорема 5.14 доказана в статье Davenport, Hasse [1]. Наше
доказательство — это по существу доказательство Вейля (Weil
[6]), где с учетом работ Ireland, Rosen [I, ch. 11] и McElieoe.
Rumsey [1] сделаны некоторые упрощения. Другие доказатель-
доказательства этой теоремы можно найти в книгах Lang [5, ch. 11 и
Schmidt W. М. [3, ch. 2]; особенно элементарны доказательств;),
приводимые в работах Schmid [1] и Степанов [14]. Более общий
результат получен Делинем (Deligne [4]) применением кого-
когомологических методов. См. также статью Hayes [3], в которой
доказывается аналог теоремы Дэвенпорта — Хассе о суммах
Гаусса для факторкольца Fq [x ]/(/).
Выражение для квадратичной суммы Гаусса из теоремы 5.15
было впервые найдено Гауссом (Gauss [2]) для случая s = 1-
С тех пор появилось множество различных доказательств этой
теоремы. Приведенное в нашей книге доказательство, взятое из
статьи Waterhouse [2] и основанное на идеях Шура (Schur [3]).
имеет то преимущество, что использует по возможности лишь
алгебраические соображения. В доказательстве Шура приме-
применяется матрица (e2ruWm)i</, *<т, которая в дальнейшем изу-
изучалась в статьях Carlitz [80], где были найдены ее собственные
значения, и McClellan, Parks [1] и Morton [1], где были опреде-
определены ее собственные векторы. Другой подход к вычислению
квадратичных сумм Гаусса с использованием теории матриц был
предложен Карлицом (Carlitz [74]). См. также работы Bressoud
[1], Carlitz [106], Cauchy [5], Kronecker [2], Mordell [12] и
Shanks [1 ], где даются в основном алгебраические доказательства;
аналитические доказательства используются в работах Bambuh,
Chowla [1], Dirichlet [1], Estermann [2], Karamata, Tomic [11
Комментарии 297
Кгопескег [9], Landau [3], Mordell [1] и Weber [6], а также
в некоторых других. Во многих из этих работ вычисляется сумма
2J
п=0
которая, как нетрудно убедиться, совпадает с квадратичной сум-
суммой Гаусса для простого поля Тр. С другими доказательствами
можно познакомиться в книгах Apostol [2, ch. 8], Chowla S.
|16, ch. 2], Davenport [8, ch. 2], Landau [5, ch. 4], Lang [3,
ch. 4] и Боревич, Шафаревич [1, гл. 5]. В статье Berndt, Evans
[4] дается исчерпывающий разбор техники, применяемой при
вычислении квадратичных сумм Гаусса. В связи с теоремой 5.15
интересен следующий результат Човлы (Chowla S. [13], [14])
и Морделла (Mordell [13]) (см. также Narkiewicz [I, ch. 6]):
если р — простое нечетное число и -ф — мультипликативный
характер поля fp, то число G (г|з, %i) р~1/2 является корнем из
единицы лишь в том случае, когда ^ — квадратичный характер.
Обобщения этого результата на произвольные конечные поля
получены в статьях Evans [1 ] и Yokoyama [1 ]. См. также работы
Evans [8] и Stickelberger [1] по поводу близких результатов.
р-\
В статье Carlitz [81] показано, что сумма вида В = ^спеШп1р
п=\
при простом нечетном числе р и сп = ±1 удовлетворяет равенству
В | = р1/2 лишь в случае, когда В — квадратичная сумма Гаусса
для поля fp. Другая характеризация квадратичных сумм Гаусса
среди сумм вида В дается в работах Redei [7], [11, ch. 6]. В статье
Cavior [3] отмечается, что если в сумме В коэффициенты сп —
произвольные целые числа и выполнено условие | В | = р1^,
то сумма В тесно связана с квадратичной суммой Гаусса.
Теорема 5.16 принадлежит Штикельбергеру (Stickelberger [1 ]).
Ее доказательство приводится также в статьях Carlitz [71 ] и
Baumert, McEliece [1], при этом последняя содержит также
вычисления некоторых других сумм Гаусса специального вида.
Подобные же формулы можно найти также в работах Berndt,
Evans [1], [2], [4], Evans [1], Ishimura [1], McEliece [5] и
Myerson [5], однако некоторые из этих формул содержат неточ-
неточности.
Квадратичный закон взаимности (теорема 5.17) был установлен
Гауссом (Gauss [1]), который дал несколько его доказательств
(см. также Gauss [2], [4]). Одно из них основано на суммах
Гаусса (Gauss [2]); см. также Cauchy [2], Eisenstein [3], Hasse
A5, ch. 8] и Ireland, Rosen [1, ch. 6]. Некоторые рассуждения
в доказательстве теоремы 5.17 существенно упрощаются, если
использовать суммы Гаусса со значениями из конечных полей;
см. упр. 5.26 и 5.27, а также работы Burde [6], Hausner [1],
298 Гл. б. Тригонометрические суммы
Holzer [1, § 18, 19], Ireland, Rosen [1, ch. 71, Kbosterman 161.
Serre [1, ch. 1] и Zassenhatis 13]. Другой метод доказательства
квадратичного закона взаимности с помощью конечных полой
связан с разложением многочлена (хг — 1)/(# — 1) над простым
полем Fp. Эта идея восходит к посмертно опубликованной работе
Гаусса (Gauss [4]) и позднее неоднократно использовалась фак-
фактически в эквивалентных формах другими авторами (см. Pel let
[2], Mirimanoff, Hensel [1 ] и Swan [1 ]'). Этот тип доказательства
воспроизведен также в книгах Bachmann [4, ch. 7], Berlekanp
[4, ch. 6], Childs [1, part III, ch. 16] и Redei 110, ch. 11]. Дру-
Другие доказательства, использующие конечные поля, можно найти
в статьях Agou 16], Brewer [1], Chowla S. [18], Furquim de
Almeida [2], Lebesgue [4], Pellet [9],Skolem [6] и Решетуха [21;
см. также пример 5.24 в § 3. Систематический обзор различной
техники, используемой для доказательства квадратичного закона
взаимности, можно найти в работе Pieper [1]. В книге Bachmann
[4, ch. 6] представлена история различных доказательств. Ин-
Интересны также доказательства квадратичного закона взаимности
в недавно опубликованных статьях Brown Е. [1] и Frame [1].
Суммы Гаусса используются также при доказательстве высших
законов взаимности; см. Eisenstein [2] относительно кубичного
случая и Eisenstein [4] относительно биквадратичного случая.
Доказательство Эйзенштейна кубичного закона взаимности
воспроизводится в книгах Bachmann [I, ch. 14] и Ireland, Ro-
Rosen [1, ch. 9]; см. также Bachmann [1, ch. 13] по поводу
биквадратичного случая. Доказательство Джоули (Joly [4 Г)
кубичного закона взаимности тоже связано с суммами Гаусса.
При этом использование сумм Гаусса со значениями из конечного
поля вновь приводит к упрощениям (см. Burde [6], [9] относи-
относительно кубичного и биквадратичного случаев соответственно).
Доказательство кубичного закона взаимности, основанное на
конечных полях, приводится также в статье Skolem [6]. Суммы
Гаусса используются, кроме того, в законе взаимности, при-
принадлежащем Вестерну (Western [1]) и в так называемых раци-
рациональных законах взаимности, рассмотренных в статьях Evans
[9], Leonard, Williams [6] и Williams К- S. [34]. Об оценке роли
сумм Гаусса в законах взаимности см. Weil 111 ].
Интересные соображения об общих законах взаимности при-
приведены в книге Hasse [16] и обзорной статье Wyman [1 ]. Другой
тип законов взаимности, связанных с конечными полями, рас-
рассматривал "Дедекинд (Dedekind [1]), который установил квадра-
квадратичный закон взаимности для нормированных неприводимых
многочленов над конечными простыми полями; см. также Arlin
[1] и Vaidyanathaswamy [1]. Высший закон взаимности этого
типа для произвольных конечных полей был получен Кюне
(Kuhne [1]) и затем переоткрыт Шмидтом (Schmidt F. К- B1)
Комментарии 299
и Карлицом (Carlitz [1], [2]); см. также Carlitz [4], Ore [6],
Pocklington [2], Schwarz [2] и Whiteman [1].
Большое количество работ о суммах Гаусса с кубичными
характерами появилось в связи с давней гипотезой Куммера.
Куммер (Kummer [2]) на основании вычислений, проделанных
в статье Kummer [1], выдвинул гипотезу, что для мультиплика-
мультипликативного характера ij; порядка 3 простого поля Fp, гдер = 1 (mod 3),
числа попаданий величины G (г|з, Xi) P/2 B три подмножества
единичной окружности
L
i
—<\t\<l\
стремятся к отношению 3:2:1 при р -* оо. Однако более осно-
основательная вычислительная работа, проделанная многими
авторами (например, von Neumann, Goldstine [1], Beyer [1],
Lehmer E. [5], Cassels [2], Froberg [1]), склоняла к выводу, что
предельное отношение ближе к 1:1:1. Теоретические резуль-
результаты Морено (Moreno С. J. [1 ]) и Паттерсона (Patterson S. J. [3])
также указывали на это. Наконец, Хит-Браун и Паттерсон (Heath-
Brown, Patterson [1]) преуспели в доказательстве гораздо более
сильного утверждения, а именно что значения G (г|з, %i) p/2
распределены равномерно на единичной окружности, когда число р
пробегает все простые числа, сравнимые с единицей по модулю 3.
Это доказательство построено на более ранних работах Куботы
(Kubota Т. [5], [6]) и Паттерсона (Patterson S. J. [1], [2]).
См. также Deligne [5], где результаты Паттерсона рассматри-
рассматриваются с другой точки зрения. Более ранняя попытка А. И. Ви-
Виноградова [ 1 ] опровергнуть гипотезу Куммера оказалась не-
неудачной. Мэтьюз (Matthews С. R. [1]) доказал формулу, выска-
высказанную ранее Касселсом (Cassels [3], [4], [5]) в качестве гипо-
гипотезы, согласно которой значение кубичной суммы Гаусса над
простым полем Fp равно
где J (\|з, \|з) — сумма Якоби (см. § 3), а Я (\|з) — произведение
значений !р-функции Вейерштрасса. Простой алгоритм для вы-
вычисления этого выражения предложен в статье McGettrick [1].
О дальнейших результатах по кубичным суммам Гаусса см.
Hasse [15, ch. 20], Kratzel [1], Loxton [1], [2], [3] и Решетуха
IП. а также обзорную статью Berndt, Evans [4].
Мэтьюз (Matthews С. R. [2]) доказал справедливость формул,
предложенных Локстоном (Loxton [2], [3]) и Мак-Гетриком
(McGettrick [2]) в качестве гипотез и дающих значения биквадра-
тнчных сумм Гаусса G (\|з, %i) над простым полем Тр. Распредели
300 Гл, 5. Тригонометрические суммы
ние величины G (i|>, ул) Р'1/2 на единичной окружности исследовали
Хассе (Hasse 115, ch. 20]), Кубота (Kubota T. [4]), Лемер (U-ii-
mer E. |5]) и Ямамото (Yamamoto 11]), а затем Паттерсон (Pat-
(Patterson S. J. [4]) показал, что эти значения равномерно распре-
распределены на единичной окружности, когда р пробегает все простые
числа, сравнимые с 1 по модулю 4 и что аналогичная теорема
справедлива для сумм Гаусса любого высшего порядка. Дальней-
Дальнейшие результаты о биквадратичных суммах Гаусса можно найти
в работах Berndt. Evans [4], Hasse [15, ch. 20], Kratzel [1]
и Kubota Т. 14]. Другого типа результат о равнораспределен-
равнораспределенности для сумм Гаусса установил Смит (Smith JR. A. [3], [4b,
который показал, что если i|> пробегает все нетривиальные мулыи-
пликативные характеры простого поля Fp, то распределение р — 2
величин G (i|>, Xi) р~1/г на единичной окружности стремится к рил-
номерному распределению, когда р -*¦ оо (см. также Katz 14,
ch. 1]).
При доказательстве теоремы 5.17 мы отмечали, что значения
сумм Гаусса являются целыми алгебраическими числами. По-
Поэтому представляет интерес разложение на множители такого
значения (точнее главного идеала, порожденного таким значе-
значением) в кольце целых соответствующего поля алгебраических
чисел. Это было осуществлено в важной статье Штикельбергерп
(Stickelberger [1 ]). Некоторые результаты этой статьи излагаются
в работах Gras [1 ], Joly [5], Lang [3, ch. 4], [5, ch. 1 ]. В статье
Frohlich [2] предлагается другой метод доказательства. Штикель-
бергер в той же статье (Stickelberger [1]) получил некоторЕ>к'
сравнения для значений сумм Гаусса; см. также Dwork [2J и
Gras [1].
Результатом, представляющим большой теоретический инте-
интерес, является формула Гросса и Коблица (Gross, Koblitz [ID.
выражающая значение суммы Гаусса в виде некоторого npojH-
ведения значений р-адической гамма-функции; см. также Boyarskv
[1], Koblitz [3, ch. 3] и Lang [6, ch. 15].
Интересное мультипликативное соотношение между суммами
Гаусса, впервые установленное Якоби (Jacobi [2]), представлен»
следствием 5.29. Предположение Хассе (Hasse [15, р. 4651)
о том, что соотношения, выводимые из теоремы 5.12 (iv)) и след-
следствия 5.29, порождают все возможные мультипликативные соот-
соотношения между суммами Гаусса, было опровергнуто Ямамого
(Yamamoto [2]); см. также Yamamoto [4]. Другие тождеств.).
содержащие произведения сумм Гаусса, можно найти в работах
Boyarsky [I], Evans [7], Grant [1] и Helversen-Pasotto [1], 12].
[3], [4].
Суммы Гаусса возникают также и во многих других разделах
математики. Так, в теории чисел весьма эффективно исполь-
используются суммы Гаусса для факторкольца Z/(m) (m может быть
Комментарии 301
и составным числом). Они определяются с помощью какого-
нибудь аддитивного характера кольца Z/(m) и некоторого харак-
характера группы делителей единицы этого кольца. Развитая теория
таких сумм представлена в книге Hasse [15, ch. 20]. Такие суммы
рассматриваются также и в других источниках, например в кни-
книгах Apostol [2, ch. 8], Ayoub fl, ch. 5], Lang [3, ch. 4], [5,
ch. 3] и Narkiewicz [1, ch. 6]. Квадратичные суммы Гаусса
такого вида удовлетворяют закону взаимности, который был
сформулирован Коши (Cauchy [5]) и доказан Шааром (Schaar [1 ])
и Кронекером (Кгопескег [3]); см. также Bochner [I], Landsberg
|2] и Lerch [1]. Обобщения этого закона взаимности можно
найти в работах Berndt [I], Berndt, Evans [4], Guinand [1] и
Siegel [3]. Другие соотношения между квадратичными суммами
Гаусса для кольца Z/(m) и близкими к ним суммами приводятся
в статьях Carlitz [107], Chowla S. [1], [2] и Лепоп [1]. Суммы
Гаусса для кольца Z/(m) с ограниченной областью суммирования
рассматриваются в статьях Berndt, Evans [3] и Lehmer D. H. fll].
Суммы Гаусса для полей алгебраических чисел были введены
Гекке (Неске [1 ]). Об этой теории см. Hasse [10], Неске [4, ch. 8]
и Narkiewicz [I, ch. 6]. Дальнейшие результаты, в частности,
о законах взаимности для квадратичных сумм Гаусса этого типа
можно найти в работах Barner [2], Неске [2], [3], Kloosterman
[3], Kubota Т. [1], Kunert [1], Mordell [3], Shiratani [1] и Si-
Siegel [3]. Гауссовы суммы Гекке были затем обобщены Хассе
(Hasse [12], [13]), который рассмотрел так называемые гауссовы
суммы Галуа; см. также Kubota Т. [1], [2], Lakkis [1], [2], [3]
и более ранние работы Frohlich, Taylor [1], Martinet [1] и Tay-
Taylor M. J. [1 ], [2]. Еще один тип сумм Гаусса для полей алгебра-
алгебраических чисел был рассмотрен в работе Kubota Т. [3].
В статьях Carlitz [27] и Hayes [3] были рассмотрены суммы
Гаусса для фактор колец вида Fq [x ]/(/), а Шмид (Schmid 12])
ввел суммы Гаусса для колец векторов Витта над конечными
полями. В статье Schmid, Teichmuller [1] рассматриваются
суммы Гаусса еще для одного класса колец, построенного с по-
помощью конечных полей. Кондо (Kondo [1]) изучал суммы Гаусса
для колец матриц над конечными полями, а квадратичные суммы
Гаусса для таких колец рассматривались в статьях Porter [16],
[17]. Общая теория гауссовых сумм для конечных колец была
Развита Лампрехтом (Lamprecht [1], [2], [3]); см. также Kutzko
[1 ]. Суммы Гаусса для так называемых квадратичных характеров
конечных абелевых групп изучались Шпрингером (Springer [3]).
Ссылки на литературу по обобщениям сумм Гаусса см. в рабо-
работе Berndt, Evans [4].
Суммы Гаусса находят много приложений в теории конечных
полей, теории чисел и комбинаторике. О применении сумм Гаусса
Для определения числа решений некоторых уравнений над конеч-
302 Гл. 5. Тригонометрические суммы
ными полями см. гл. 6. Суммы Гаусса можно использовать для
получения унитарных представлений степени р для группы
характеров группы f*p (см. Burde [1]). В статье Yamada И]
изложено одно приложение сумм Гаусса к кривым ур — у
= хрп— 1 над простым полем fp. Морено (Moreno О. [11] ис-
использовал суммы Гаусса для определения числа элементов поля
?2т с абсолютным следом 0 и с заданным степенным характером.
Значение сумм Гаусса в доказательстве законов взаимности было
отмечено выше. Упомянем также следующие теоретико-числовые
вопросы, где используются суммы Гаусса: критерий того, яв-
является ли данный элемент вычетом (квадратичным или более
высокой степени) (Ankeny [3], Evans [6], Hasse [14], Hayashi
[2], Muskat [1], 13], Whiteman [81, Williams K- S. [31]), про-
проблема Варинга (Ayoub [1, ch. 4], Barrucand [1], Hardy, Little-
wood [2], [3], Landau [2, ch. 6], Vaughan R. С [1, ch. 4]}1),
проверка на простоту (Lenstra H. W. [21), L-функции Дирихле
и функциональные уравнения для них (Apostol [I], Ayoub [I,
арр. В], ChowlaS. [16, ch. 11, Hasse [11, ch. 1 ], Lang [5, ch. 3]),
функциональные уравнения для рядов Дирихле, соответствующих
модулярным формам (Shimura [I, ch. 3]), абелевы числовые поля
(Gras [I], Leopoldt [1]) и формулы для числа классов (Bergstrom
[1], Hasse [9]). Суммы Гаусса возникают в теории разностных
множеств (Berndt, Chowla [1], Berndt, Evans [1], Evans [4],
[10], Menon [2], Muskat, Whiteman [1 ], Yamamoto [3]) и в связи
с распределением весов в циклических кодах (Baumert, McEliece
[1], McEliece [5], McEliece, Rumsey [1], Niederreiter [8]). С по-
помощью сумм Гаусса в статье Auslander, Tolimieri [1] получено
интересное соотношение для конечных преобразований Фурье.
Суммы Гаусса появляются также в функциональных уравнениях
для дзета-функций, соответствующих некоторым представлениям
группы GL (n, Fg) невырожденных п X n-матриц над конечным
полем Fg (см. Springer [2]).
§ 3. Суммы Якоби / (Ях, ...., kh) для конечных простых полей
и при k = 2 упоминаются Якоби (Jacobi [1 ]) в его письме Гауссу.
Первыми публикациями, где они обсуждаются, являются статьи
Коши (Cauchy [2]) и Якоби (Jacobi [21), и, что окончательно
запутывает вопрос о приоритете, они встречаются также в по-
посмертно опубликованной работе Гаусса Gauss [5I. Указанные
источники наряду со статьями Cauchy [4], Eisenstein [1] н Le-
besgue [21 содержат уже все основные свойства таких сумм.
По поводу этих ранних работ см. также Bachmann [I], Dickson,
Mitchell, Vandiver, Wahlin [1, § 19], Smith H. J. S. [Пи Weil
[11]. Эквивалентные суммам Якоби тригонометрические суммы
для произвольных конечных полей при k — 2 были введены Км
1) См. также Виноградов [1*1. —Прим. перев.
Комментарии 303
мером (Kummer [6]). Новый этап изучения этих сумм начался
со статьи Штикельбергера (Stickelberger [1]). Суммы Якоби для
произвольного k ;> 2, кажется, появляются впервые в статьях
Вейля (Weil [6]) и Вандивера (Vandiver [16]). Доказательства
основных свойств сумм Якоби общего вида можно найти как
в этих двух работах, так и в статье Faircloth, Vandiver [1], Эти
свойства сумм Якоби излагаются в книгах Hasse [15] и Ireland,
Rosen [1], а также в статье Joly [5].
Мы уже говорили в § 2 о теореме 5.14, доказанной Дэвен-
портом и Хассе (Davenport, Hasse [1]). Аналогом этой теоремы
для сумм Якоби является теорема 5.26, которая была доказана
гораздо раньше Митчеллом (Mitchell Н. Н. [1]). Теорема 5.28
доказана в статье Davenport, Hasse [1], однако следствие 5.29
появилось (для случая простых конечных полей) еще в статье
Якоби (Jacobi [2]); о доказательстве теоремы 5.28 см. также Gras
Ц ] и Lang [5, ch. 2]. Элементарные доказательства теоремы 5.28
имеются в работах Berndt, Evans [1] и Hasse [15, ch. 20] (для
случая квадратичного характера) и в статье Berndt, Evans [2]
(для случая, когда т — степень двойки). В работах Berndt, Evans
12] и Gras [1] показано также, что задача нахождения элемен-
элементарного доказательства теоремы 5.28 может быть сведена к слу-
случаю, когда т — простое число.
Попытки вычисления сумм Якоби при k = 2 для характеров
малых порядков предпринимались многими авторами, нередко
в связи с циклотомией. Но во многих случаях еще остаются не-
неясности. Упомянем работы Berndt, Evans [2], Dickson [46],
Evans [2], [3], Ireland, Rosen [1], Ishimura [1], Lehmer E. [7],
18], Muskat, Zee [1], Tanner [1], [3] и Zee [1], [2]; наиболее
подробны работы Berndt, Evans [1] и Muskat [6]. Содержит
сведения по этому вопросу и обзорная статья Berndt, Evans [4].
Интересен результат, полученный Эвансом (Evans [1]): если X —
мультипликативный характер порядка k > 2 простого поля Fp,
то ни одна из степеней суммы Якоби / (К, ..., %)п, где п — не-
ненулевое целое число, не может быть действительным числом,
если число аргументов суммы Якоби превышает 1. Этот резуль-
результат улучшает полученный ранее результат Ёкоямы (Уокоуама [1 ]).
Если % — мультипликативный характер порядка т произволь-
произвольного конечного поля рд, то сумма Якоби / (Ял, Xs), очевидно,
является целым алгебраическим числом из m-кругового поля Q(m>
над полем Q рациональных чисел. Задача нахождения разложения
главного идеала, порожденного этим целым алгебраическим чис-
числом в кольце целых кругового поля <Q<m>, в этом случае проще,
чем в случае сумм Гаусса. Она была решена Куммером для случая
простого числа т в статьях Kummer [3], [6] и для составного т
в статье Kummer [7]. Современное изложение этих результатов
см. также в книге Lang [5, ch. I ] Сравнения для сумм Якоби
304 Гл. 5. Тригонометрические суммы
были получены Кронекером (Kronecker [6]) и Шверингом (Schwe-
ring [1]); см. также Parnami, Agrawal, Rajwade [2].
Как и суммы Гаусса, суммы Якоби рассматриваются и в друшх
разделах математики и ее приложений. Важность сумм Яююи
для полей алгебраических чисел стала очевидной после того,
как Вейль (Weil [7], [10]) показал, что из них получаются tjk
называемые характеры Гекке (или гроссенхарактеры) абелевых
расширений поля Q рациональных чисел; см также Deligne IIJ
и Lang [5, ch. 1J. Делинь (Deligne [4]) дает когомологическую
интерпретацию сумм Якоби; см. также Katz [5]. В статье Fro fi-
finch [1] рассматриваются так называемые якобиевы суммы Галуа
и их разложение. Холл (Hall [7]) определил суммы Якоби для
групповых колец над круговыми полями. Общую теорию сумм
Якоби для конечных колец развил Лампрехт (Lamprecht [3J):
см. также Kutzko [1]. Оно (Опо [8]) ввел суммы Якоби для ко-
конечных абелевых групп.
В примерах 5.24 и 5,25 указаны два теоретико-числовых
приложения сумм Якоби. Существует и множество других при-
приложений. Так, на суммах Якоби можно основать доказательство
кубичного закона взаимности (Ireland, Rosen [I, ch. 9], Joly [41,
Weil [11]), биквадратичного закона взаимности (Bachmann II,
ch. 13]), а также высших законов взаимности (Evans [9J, Leonard.
Williams [6], Western [1], Williams K. S. [34]). Суммы Я копи
можно использовать для установления критерия того, является .ш
данный элемент вычетом (см. Berndt, Evans [1], Evans [6], На^е
[14], Leonard, Mortimer, Williams [1], Muskat [2], [3], [51,
Western [2], Whiteman [8]). С помощью сумм Якоби можно полу-
получить результаты, аналогичные примеру 5.25; богатым источником
таких результатов являются работы Berndt, Evans [1], [21;
см. также Ireland, Rosen [I, ch. 8] и Leonard, Williams ['-'I.
Приложения сумм Якоби к проверке на простоту получены
в статьях Adleman [1 ], Adleman, Pomerance, Rumely [1 ] и Cohen,
Lenstra [1]. В статьях Carlitz [76] и Lehmer D. H. [91 суммы
Якоби применяются для изучения матрицы (ф (i — /))к*. /</>•¦ •
где г|) — мультипликативный характер простого поля fp. Ив.кмна
(Iwasawa II]) связал суммы Якоби с числами классов кругяшх
полей.
Что же касается приложений сумм Якоби в теории конечных
полей, то отметим, что они не только тесно связаны с суммами
Гаусса, но появляются также и при изучении других трш ¦>!•')-
метрических сумм; см., например, теоремы 5,51 и 5.52, а шкже
статьи Bemdt, Evans [1], [21, Leonard, Williams [4], Singh,
Rajwade [1] и Whiteman [14]. Приложения их к уравнениям
над конечными полями будут рассмотрены в гл. 6. Отметим да<"ь
лишь тесную связь между суммами Якоби и так называемыми
циклотомическими числами. Если Ь — примитивный нг
Комментарии 305
поля Fq и е — заданный натуральный делитель числа q— 1, то
циклотомическим числом (h, k)e порядка е называется число
упорядоченных пар (s, t), удовлетворяющих равенству
bes+h _j_ I
Связь между циклотомическими числами и суммами Якоби была
замечена еще Куммером (Kummer [4], [6]). Большинство иссле-
исследователей этой связи ограничились лишь случаем простого числа q;
см., например, Hall [7], Mitchell Н. Н. [1], Myerson [5], Раг-
nami, Agrawal, Rajwade [3] и Storer [2], [4]. Общий случай
рассмотрен в статьях Vandiver [14], [17]. О связи между цикло-
циклотомическими числами и суммами Якоби см. также работы Bach-
mann [I, ch. 15], Baumert, Fredricksen [1], Berndt, Evans [1],
Bruck [2], Dickson [26], [44], [46], Evans, Bill [1], Leonard,
Williams [5], Muskat [4], [6], [7], Muskat, Whiteman [1], Schwe-
ring [1], Storer [1], Whiteman [5], [9], [10], [11], [14] (см.,
кроме того, комментарии к §3 гл. 6 об оценке циклотомических
чисел и об их связи с уравнениями над конечными полями).
Некоторые из приведенных работ имеют отношение также к теории
разностных множеств. О приложениях сумм Якоби к этой теории
см. Baumert, Fredricksen [1], Berndt, Evans [1], Menon [2],
Muskat, Whiteman [1], Storer [1], Whiteman [10], [11] и Yama-
moto 13].
§ 4. Суммы значений характеров из теоремы 5.30, которые
в силу этой теоремы тесно связаны с суммами Гаусса, иногда
тоже называют суммами Гаусса. Их элементарная оценка, при-
приводимая в теореме 5.32, получена Харди и Литтлвудом (Hardy,
Littlewood [3]) для простых конечных полей, а для произвольных
конечных полей — в эквивалентной форме — Хуа и Вандивером
(Hua, Vandiver [1]); см. также Schmidt W. М. [3, ch. 2]. Не-
Некоторые улучшения удается получить, если брать числа п из
определенного множества (см. Митькин [5]). Эти суммы для
небольших значений п удается вычислить; см. Berndt, Evans [1],
121, а также обзорную статью Berndt, Evans [4]. Значения этой
суммы для п = 2 приводятся в теореме 5.33 и следствии 5.35.
Аналогичные суммы значений характеров с произвольным п
встречаются в аналитической теории чисел в связи с проблемой
Варинга о представлении натуральных чисел суммами п-х сте-
степеней; см. Ayoub [I, ch. 4], Barrucand [1 ], Hardy, Littlewood [2],
13], Kloosterman [4], Landau [2, ch. 6] и Vaughan R. С [1,
ch. 2, 4] x). Теорема 5.34 доказана Карлицом (Carlitz [120]).
Теоремы 5.38 и 5.41 были получены Вейлем (Weil [5 ]) на основе
его доказательства гипотезы Римана для кривых над конечными
нолями. В связи с этим вопросом см. комментарии к § 4 гл. 6.
х) См. также Виноградов [l*J. — Прим. перев.
Зак. 222
306 Гл. 5. Тригонометрические суммы
Как отмечалось в рассуждении, следующем за теоремой 5.38,
условия, наложенные на многочлен / в этой теореме, могут быть
ослаблены. Действительно, Карлиц и Утияма (Carlitz, Uchiyama
[ 1 ]) показали, что для справедливости теоремы достаточно, чтобы
многочлен / нельзя было представить в виде gp — g + b, где
g € Fg [x], b (z Fq n p — характеристика поля fq. Для много-
многочленов же / такого вида полученная в теореме оценка не обяза-
обязательно верна (см. снова рассуждение, следующее за этой теоре-
теоремой). Завершение нашего доказательства теоремы 5.38 в § 4 гл. 6
покажет, что это связано с нахождением хороших оценок .и и
числа решений уравнения у* — у = f (x) в расширении поля /,;.
Элементарный метод установления таких оценок принадлежит
Степанову1) [3], [5]; его упрощения получены Шмидгим
(Schmidt W. М. [3, ch. 2]) и Митькиным [1]. Связь между та-
такими оценками и теоремой 5.38 разъясняется также Шмидтом
(Schmidt W. М. [3, ch. 2]) и Постниковым [1]. Оценка, анало-
аналогичная полученной в теореме 5.38, приводилась в качестве ги-
гипотезы в статьях Hasse [5] и Mordell [6]. Ранее полученные
оценки для простых конечных полей имели вместо показателя 1/2
сначала показатель 1—2'-" + е для любого е > 0 (см. Hardy,
Littlewood [1] и, с небольшим улучшением, Катке [1]), а затем
1 — 1/п (Mordell [4] и, с небольшим улучшением, Davenport [11,1.
Как общая оценка теорема 5.38 является наилучшей из возмож-
возможных согласно результату Шмидта (Schmidt W. М. [3, ch. 2]).
Другие нижние границы для абсолютных величин таких сумм
значений характеров получены в следующих работах: Anderson,
Stiffler [1], Tietavainen [2], Карацуба [5], Книжнерман, Соко-
линский [1], Коробов, Митькин [1] и Митькин [3]. В статье
Cavior [3] определено число многочленов над простым полем Fp,
для которых соответствующая сумма равна по абсолютной вели-
величине числу рЧ%. Одони (Odoni [1]) получил один результат о
статистическом распределении величины 2j % (/ (с)) q~xi%.
В статьях Davenport, Heilbronn [1], Акулиничев [1], Вино-
Виноградов И. М. [5] и Карацуба [5] рассматривался случай f (х) ¦
= ахп + bx, a, b ? Fp, 2 < п ^ Р — 1. причем в последней
из названных работ показано, что
<(rt— 1)>/4рЗ/4
для нетривиального аддитивного характера % простого поля Ту
Эта оценка при п > 1 + р1/3 лучше, чем в теореме 5.38. Частные
случаи п = 3 и п = 4 рассматривались Карлицом (Carlitz [122],
[124]) и Морделлом (Mordell [28], [29]) соответственно. В статье
г) См, комментарии к § 4 гл. 6. — Прим. перев.
Комментарии 307
Birch [2] изучалось усредненное поведение таких сумм при п = 3,
когда аи b пробегают простое поле Fp. Для случая / (х) = ахр+1 +
+ Ьх 6 Fg I*!. гДе а Ф 0 и Р — характеристика поля §q, такие
суммы значений характера оценивались Карлицом (Carlitz [124],
1125]). Элементарное доказательство отмеченного выше резуль-
результата Карлица и Утиямы было получено Вильямсом (Willi-
(Williams К. S. [27]) для случая, когда число q четно и deg (/) <; 6.
Аналоги сумм значений характера из теоремы 5.38 изучались
также для факторколец Z/(m); см., например, статьи Chen J. R.
[1], Hua [1], [3], [6], [7], [9, ch. 1], 112] и Карацуба [4];
недавние уточнения см. в работах Chen J. R. [2], Когпег, Stable
[11, Loxton, Smith [1], Smith R. A. [6], Нечаев [7], Нечаев,
Топунов [1] и Стечкин [1].
Завершение нашего доказательства теоремы 5,41 в § 4 гл. 6
покажет, что содержащаяся в ней оценка зависит от нахождения
хороших оценок для числа решений уравнения ут = f (x) в рас-
расширениях поля Fg. Элементарный метод нахождения таких оце-
оценок принадлежит Степанову 12], [7] и Шмидту (Schmidt W. М.
[1], 13]); ср. с комментариями к§ 4 гл. 6 Менее точные оценки
для сумм значений характера из теоремы 5,41 ранее были уста-
установлены в статье Davenport [7], а для некоторых частных слу-
случаев— в работах Davenport II], [2], [3] и Виноградов И. М.
[11]. Оценка из теоремы 5.41 является наилучшей возможной
общей оценкой (см. Schmidt W. М. [3, ch. 2]). Случай, когда /
является трехчленом, был рассмотрен в статье Опо [7]. Относи-
Относительно результатов о сумме из теоремы 5.41 для случая, когда г|э —
квадратичный характер, см. также § 5 и примечания к нему.
Некоторыми авторами изучались так называемые гибридные
суммы, т. е. суммы вида
r№f,g G Fq 1х],$ — нетривиальный мультипликативный, а% —
нетривиальный аддитивный характеры поля Fq. Оказывается,
что такие суммы (если исключить тривиальные случаи) также
имеют порядок роста не более q1/z; см. Schmidt W. М. [3, ch. 2]
и Перельмутер [1], [2]. Подобные суммы рассматривал также
Вильяме (Williams К. S. [20]).
Интенсивному изучению подверглись суммы значений таких
характеров, аргументами которых являются многочлены от не-
нескольких переменных. Для случая двух переменных пусть / ?
С ?q [х, у] — многочлен степени п ^> 2, который невырожден
в том смысле, что нельзя с помощью невырожденного линейного
преобразования переменных перевести его в многочлен от одной
переменной. Для случая нетривиального аддитивного характера %
20*
308 Гл. 5, Тригонометрические суммы
поля Fg в статьях Hua, Min [2], [3] установлена граница Для
суммы значений этого характера
? %(f(c,d)),
имеющая порядок ^2-с2/«), и тем самым существенно улучшена
полученная раньше оценка Камке (Катке [1 ]). Для случая п = 3
Хуа и Мин (Hua, Min [2], [3]) получили еще лучшую границу —
порядка q&/4; см. также работу Davenport, Lewis [I I, где приведен
тот же результат. Наилучший возможный порядок q для случая
п = 3 получен в статье Bombieri, Davenport [I ], но для некоторых
специальных кубических многочленов это было показано ранее
Морделлом (Mordell [11], [18]). Суммы значений характеров
с кубическими многочленами от двух переменных рассматрива-
рассматривались также Карлицом (Carlitz [122]). Некоторые простейшие
гибридные двойные суммы, т. е. двойные суммы, содержащие
и аддитивный, и мультипликативный характеры, были изучены
в статьях Chowla S. [21 ] и Chowla, Smith [1 ]. Дэвенпорт и Льюис
(Davenport, Lewis [1]) получили оценку для суммы
? X (/ (сх, с2, с9))
наилучшего возможного порядка ц% в случае, когда % — тот же
характер, что и выше, а / — кубический многочлен над f,; от
трех переменных, который невырожден, т. е. не может быть пере-
переведен в многочлен от меньшего числа переменных никаким не-
невырожденным линейным преобразованием переменных; см. также
Mordell [15] о некоторых частных случаях.
Для произвольной суммы вида
где / € Fg [*i, •¦., *Д Бомбьери (Bombieri [3], [4]) доказал
аналог теоремы 5.36. Аналогичный результат для мультиплика-
мультипликативного характера установлен Перельмутером [3]. Нетривиаль-
Нетривиальные оценки для сумм S (/) были получены в статьях Min [2.1 »
Uchiyama [7], но настоящим достижением явилась фундамен-
фундаментальная статья Делиня (Deligne [3]), где была подтверждена
гипотеза Вейля для случая алгебраических многообразий над
конечными полями (ср. с комментариями к § 4 гл. 6). Из работы
Делиня вытекает, что если степень п многочлена / не делится на
характеристику р конечного поля fq и однородная часть степени »
многочлена / в некотором смысле невырожденна, то
I s (f) | < (п - \у
у
Комментарии 309
(см. Deligne [3], [6], Katz [4, ch. 5], Serre [3]), — справедли-
справедливость этого результата предугадал Бомбьери (Bombieri [4]).
Делинь (Deligne [4]) обобщил упоминавшийся выше результат
Карлица и Утиямы следующим образом: если многочлен / ?
С lFg l*i> ¦••>*/•] произвольной степени п нельзя представить
в виде g" — g + b, где g ? Fq [xlt .... xr], b ? F,, то
S (/) |< (n - 1)
I
Подробное исследование сумм S (/) проводится в книге Katz [4].
Легко показать, что средний порядок роста абсолютной вели-
величины | S (/) | равен qr/2 (см. Carlitz [47]). Оценки для многочле-
многочленов / специального вида были даны раньше, чем появилась упо-
упомянутая работа Делиня; см. Davenport, Lewis [1] для случая
кубического многочлена /, Mordell [14] для случая
f(xi, ..., хг) = ал1 + ... + arx/-j-bxi1 ... х/,
Mordell [24 ] для случаев
f(xu ¦-., xr) = (aiXi -f ... -f агхг) х?1 ... х?г
f(XU ..., Xr) = g(x\, ..., XJ),
где g—квадратный многочлен, и Опо [2] для случая, когда
многочлен f является полуинвариантом некоторой сзязной алге-
алгебраической группы. Если / — квадратичная форма, то суммы 5 (/)
можно вычислить в явном виде (см. упр. 6.27—6.30). О когомоло-
когомологических интерпретациях суммы S (/) см. Katz [4, ch. 3 ] и Sprin-
Springer [4]. Общий подход к этим суммам был осуществлен в статье
Опо [1]. Относительно сумм с мультипликативными характерами
и гибридных сумм, содержащих многочлены от нескольких пере-
переменных, см. работы Davenport, Lewis [1], Katz [4], Serre [3]
и Перельмутер [11], [12]. Суммы вида S (/) над факторкольцом
Z/(tn) рассматривались в следующих статьях: Loxton, Smith [2],
Архипов, Карацуба и Чубариков [1] и Чубариков [1] х).
Суммы, аналогичные рассмотренной выше сумме S (/), но
в которых r-наборы (й, ..., cr) ? FJ принадлежат какой-либо
кривой или многообразию из FJ, были впервые рассмотрены
Бомбьери (Bombieri [4]); см. также статьи Adolphson, Sperber [I ],
Bombieri [7], Chalk, Smith [1], Hooley [4], [5], [6], Laumon [1],
Milne [2], Serre [3], Smith R. A. [2], Williams K. S. [6] и Пе-
Перельмутер [9], а также детальный разбор в книге Katz [4].
Так называемые неполные суммы тоже розникают при огра-
ограничении на область суммирования, а именно когда суммирование
х) См. также Чубариков [1*], [2*], [3*]. —Прим. перев.
310
Гл. 5. Тригонометрические суммы
производится лишь по некоторым «интервалам» или «ящикам».
Неполные суммы в основном рассматривались для простых полей.
/V+Я
Относительно неполных сумм вида ?] % (/ (<?))> ГДО X — не-
тривиальный аддитивный характер простого поля Гр"или кольца
Z/(tn), а / — многочлен, см. работы Davenport, Heilbronn [11
Hua 111], [12, §14], Карацуба [3], [7], Коробов [2], [31, [1],
[5] и Лебедев [1 ]. О случае, когда /— многочлен от г перемен-
переменных и суммирование ведется по всем г-наборам (clt ..., сг) ? 1/,
где а; <; Cj <; bt для 1 << i <;' Л см. Mordell [22] и Serre 13].
Для неполных сумм с нетривиальными мультипликативными
характерами if> простого поля fp существует классическое нера-
неравенство И. М, Виноградова [1] и Пойи (Polya [1]) (см. также
Schur [2]):
н
Небольшие улучшения постоянного множителя были затем полу-
чены Ландау (Landau [1]) и И. М. Виноградовым [12]; см. также
Whyburn [2]. Тот факт, что порядком роста левой части может быть
число pll% log log р, был доказан Човлой (Chowla S. [3]) с исполь-
использованием расширенной гипотезы Римана и затем в статье Batem;in,
Chowla, Erdos [1] (без использования недоказанных предположе-
предположений); этим был улучшен результат из статьи Paley [1 ] для кольца
Z/(m). Верхняя граница указанного порядка роста была уста-
установлена Монтгомери и Боном (Montgomery, Vaughan [1]) в пред-
предположении, что выполняется гипотеза Римана для L-cpyHKHin'i
Дирихле. О приложениях неравенства Виноградова — Пойи в те-
теории чисел см. Hua [12, § 14]. Соколовский [1 ] показал, что для
любого мультипликативного характера \р простого конечного
поля Fp, p > 2, существует число iV" ^ IN, такое, что
ЛН-(р—1)/2
это улучшает результат из статьи Sarkozy [1]. Обобщение не-
неравенства Виноградова — Пойи на случай произвольных конеч-
конечных полей Fq, q = p", было получено Дэвенпортом и Льюисом
(Davenport, Lewis [3]), показавшими, что если if> — нетривиаль-
нетривиальный мультипликативный характер поля Fg, то
<g"/2(i -f log/?)",
где В — «ящик», состоящий из элементов с = cxax + ... +^»с<"'
удовлетворяющих условиям 0 <; Nj < cj <; Nj + Hj < p Д;1Я
Комментарии 311
I ,<;/<; n (где jalt ..., an} —базис поля Fq над простым под-
полем Fp, а Nj и Hj — заданные целые неотрицательные числа).
Оценки неполных сумм с мультипликативными характерами,
зависящие от числа Н слагаемых, были впервые получены Бёрд-
жессом (Burgess [ 1 ]) для квадратичного характера простого поля
Fp, а затем Вангом (Wang Y. [1], [2]) и Бёрджессом (Burgess
[2], [3], [5]) для произвольных нетривиальных мультиплика-
мультипликативных характеров простого поля Fp. Эти результаты имеют
следующий вид: для любого е > 0 существует число б > 0, такое,
что для простого числа р > р0 (е) и целого числа Н > pW4~>+e
справедлива оценка
N+H
<Нр~
для любых нетривиальных характеров г|> поля Fp и любых целых
чисел N (см. Burgess [2]). Аналог неравенства типа неравенства
Бёрджесса — Ванга для произвольного конечного поля Fq был
доказан впервые Дэвенпортом и Льюисом (Davenport, Lewis [3]);
дальнейшее его усиление получено в статьях Burgess [7], Fried-
lander [3] и'Jordan J. H. [3] (для частного случая q = р2) и
в статьях Burgess [10], Friedlander [2] и Карацуба [6], [8] для
общего случая Ч. Распределение значений неполной суммы
N+H
2j Ц (с), где т| — квадратичный характер простого поля Fp,
изучалось в статьях Davenport, Erdos [1], Montgomery [2],
N+H
Wolke [1]иУсольцев [1]. Неполные суммы вида 2] г|э (/ (с)),
где г|э — нетривиальный мультипликативный характер простого
поля Fp и / ? Fp [x], рассматривались в работах Burgess [6],
Виноградов И. М. [4] и Сегал [1]. Нижние границы для абсо-
абсолютных величин таких сумм при ^ = ц были найдены Карацу-
бой [9], Митькиным [3] и Степановым [11]. Неполные кратные
суммы для простого поля Fp с мультипликативными характерами
изучались в статьях Burgess [8], [9] для случая бинарных ква-
квадратичных форм и в статье Gillett [1 ] для случая произвольных
многочленов от нескольких переменных.
§ 5. Суммы Клостермана впервые появились в работе Kloos-
terman [1] в связи с представлением целых чисел квадратичной
формой. В этой работе содержится также оценка нетривиальных
сумм Клостермана для конечных простых полей Fp, имеющая
порядок р3/4 (см. также Estermann [1] и Salie [1]). Улучшенная
граница порядка р2/3 была получена в статьях Davenport [4 ]
х) Бёрджесс [10] и Фридлеидер [2] повторили результат Карацубы [6],
loj. Метод также заимствован у Карацубы. — Прим. перев.
312 Гл. 5. Тригонометрические суммы
и Salie [2]. Хассе (Hasse [5]) заметил, что оценка, указанная
в теореме 5.45, вытекает из гипотезы Римана для кривых над
конечными полями. Справедливость этой гипотезы была уста-
установлена Вейлем (Weil [1], [21, [3]), который затем доказал
в статье Weil [5] и упомянутую выше оценку для сумм Клостер-
мана. Доказательство Вейля теоремы 5.45 было упрощено Кар-
лицом и Утиямой (Carlitz, Uchiyama [I ]), которые к тому же
рассмотрели случай четного числа q, не изученный Вейлем. Два
доказательства теоремы 5.45 можно найти в книге Шмидта
(Schmidt W. М. [3, ch. 2]); они существенно опираются на метод
Степанова [4], [5].
Теорема 5.46 доказана в статье Carlitz [111]. Применяя много-
многочлены Диксона, определенные равенством G.6) (см. гл. 7), можно
переписать формулу из теоремы 5.46 в виде
К (%^; а, Ь) = - gt (- К, q) = (- IM gs (К, q).
Равенство в теореме 5.47 является частным случаем формулы
преобразования из статьи Jacobsthal [1 ]. Доказательства теоремы
5.47 можно найти также в работах Davenport [4], Salie 111,
Schmidt W. M. [3, ch. 2] и Williams K. S. [16]. Различные ра-
равенства для сумм Клостермана, а также сумм из произведений
сумм Клостермана содержатся в статьях Davenport 14], Leh-
mer, Lehmer [1], [3], Salie [1] и Whiteman [5]; см. также Kut-
zko [1 ], где предлагается иной подход. Некоторые из этих равенств
связаны с суммами Якобсталя. Карлиц (Carlitz [109]) изучил не-
некоторые элементарные свойства сумм Клостермана для поля Г,7
характеристики 2.
Поскольку уже само появление сумм Клостермана было свя-
связано с квадратичными формами, вряд ли следует удивляться тому,
что их можно использовать для изучения тригонометрических
сумм, содержащих квадратичные формы (см. Carlitz [45], [461,
[109], Chowla S. [20], Виноградов И. М. [4], Малышев [2 1).
Результат работы Carlitz [46 ] был обобщен в работах Carlitz [72 1
и Hodges [16]. В статье Dwork [11] суммы Клостермана рассма-
рассматриваются с точки зрения /г-адических когомологий.
Рассматриваются также суммы Клостермана для факторко-
лец Z/(m). Оценка для таких сумм, основанная на оценке Вейля,
была получена в статье Hooley [1]; см. также Estermann [-'il,
[4]. В статье Salie [1 ] получено точное значение для сумм К-10"
стермана в случае т = рк, где р — простое число и к ^> 2; см.
также Whiteman 12], Williams К- S. [19], [28] и Малышев [3,
гл. 2]. Клостерман (Kloosterman [2]) сделал важное наблюдение,
что суммы Клостермана для кольца Z/(m) появляются в связи
с коэффициентами Фурье модулярных форм. Эта замечательная
связь в дальнейшем широко использовалась; см., например, ра'
боты Bruggeman [I], Deshouillers, Iwaniec ll], Iwaniec П Ь
Комментарии 313
parson [1], Petersson [1 ], Rademacher [1 ], [2], Selberg [2],
Кузнецов H. B. [1 ], Линник [2], Малышев [4] и Проскурина [1 ],
[2]. Дальнейшие результаты о суммах Клостермана для фактор-
кольца Z/(m) можно найти в работах Hooley [21, Kloosterman [I ],
[2], Salie [1 ], Selberg [1 ], Smith R. A. [5] и Малышев [З, гл. 2].
Андрухаев [2 ] изучал суммы Клостермана для факторколец
кольца целых гауссовых чисел. Неполные суммы Клостермана изу-
изучались Клостерманом (Kloosterman [1], [2]) и Радемахером
(Rademacher [1]); см. также Hooley [3, ch. 2].
Обобщенные суммы Клостермана, определяемые в упр. 5.83,
были введены Дэвенпортом (Davenport [41). Для случая квадратич-
квадратичного характера -ф такую сумму называют также суммой Салье,
так как Салье (Salie [1 ]) впервые доказал для нее формулы, при-
приведенные в упр. 5.84 и 5.85 для простых конечных полей. Доказа-
Доказательства формул для сумм Салье можно найти также в работах
Lehmer D. Н. [6], Mordell [26], [28], [30], Williams К- S. [16],
[21 ], [22] и Малышев [3, гл. 2]. Суммы Салье играют важную
роль в изучении функции разбиения (см. Lehmer D. Н. [6]).
Оценка типа Вейля для обобщенных сумм Клостермана была полу-
получена Човлой (Chowla S. [22 ]) для случая, когда 1|з не является
квадратичным характером. Обобщенные суммы Клостермана по-
появляются также в статьях Carlitz [46], Hodges [16], Klooster-
Kloosterman [5] и Виноградов И. М. [5 ] и (в близкой форме) в работах
Кпорр [1], Rohrbach [1], Андрухаев [1 ] и Малышев [1], [3,
гл. 2], [4]. О дальнейших обобщениях сумм Клостермана, свя-
связанных с теорией модулярных форм, см. Bruggeman [1 ], Deshouil-
lers, Iwaniec [1 ], Rankin [1, ch. 5], Selberg [2] и Проскурин [1 ],
[3]. Другое важное обобщение сумм Клостермана для конечных
полей возникает при рассмотрении сумм вида21 (R (с)), где R —
рациональная функция над полем fq и суммирование ведется
по всем элементам с ? fg, для которых определено значение R (с);
см. Bombieri [4], Елистратов [7], Перельмутер [1 ], [2], [9]
и Степанов [5]. Гибридные суммы с рациональными функциями
изучались в статьях Mordell [27] и Перельмутер [1], [2], [91;
такие же и даже более общего вида суммы появляются в статье
Williams К- S.-120].
Кратные суммы Клостермана (или гиперсуммы Клостермана)
были введены Морделлом (Mordell [14]). В нетривиальном слу-
случае они имеют вид
Кг= Е X (a\Ci + ¦ ¦ • + Wr + bc
f
~l
где 1 — нетривиальный аддитивный характер поля fq, а аъ ...
¦ •¦, аг, Ь ? FJ. В статье Mordell [14] доказана оценка | Кг \ ^ <jr(r+1)/2
Для случая, когда q—простое число; см. также Carlitz [100]
314 Гл. 5. Тригонометрические суммы
и Smith R. А. [4]; некоторые улучшения для частных случаев
получены в работах Carlitz [100], [108]. Окончательная оценка
установлена Делинем (Deligne [4]). Это, безусловно, является
прямым обобщением теоремы 5.45. В работах Katz [4, ch. 2, ~> \
и Serre [3] обсуждаются предпосылки доказательства Делипя.
Бомбьери (Bombierl [7]) получил границу того же порядка pcvra
(относительно q), использовав лишь предварительные результат
из статьи Делиня Deligne [4]. О дальнейших результатах по крат-
кратным суммам Клостермана см. работы Carlitz [100], [113], KjI-
zko [1 ], Lehmer, Lehmer [4], McEliece, Rumsey [1 ] и Sperber 12].
Кратные суммы Клостермана для факторколец Z/(m) были рас-
рассмотрены в статьях Carlitz [98], Smith R. A. [3], [4], [5] и Wi'in-
stein [1 ]. О гибридных кратных суммах Клостермана см. De-
Deligne [4], Katz [4, ch. 5] и Mordell [26], [31]. Кратные тригоно-
тригонометрические суммы с другими рациональными функциями рас-
рассматривались в работах Carlitz [113], Katz [4, ch. 5], Lehmer,
Lehmer [1], Mordell [10], [27], [28], [31] и Sperber [1], 131.
Суммы Клостермана для невырожденных матриц над конечными
полями рассмотрены в статье Hodges [6], для кососимметриче-
ских матриц — в статьях Hodges [8], [25], для симметрических
и эрмитовых матриц — в статьях Hodges [3], [10], [17].
Теорема 5.48 была доказана Якобсталем (Jacobsthal [1], 12 Ji
для конечных простых полей. О приложениях формулы из этой
теоремы см. Hall [8, ch. 14] и Lehmer D. H. [8]. Суммы Нп (а)
и /„ (а) были впервые изучены Якобсталем (Jacobsthal [I ], [2]i —
главным образом, для случаев я = 1 и я = 2. Различные тожде-
тождества, связывающие эти суммы, были получены в работах Bermlt,
Evans [1], Lehmer E. [4], von Schrutka [1], Whiteman [6 1 и
Постников и Степанов [1 ]. Суммы Якобсталя вычислялись для не-
небольших значений п, часто одинаковым по существу способом, а
именно путем определения числа решений уравнений у2 = хп - а
в поле fq; так, для нетривиального случая, когда п = 4, а ¦ ¦ 1
и q — простое число, это было проделано еще Гауссом (Gauss [3 ])•
О дальнейших результатах см. работы Brewer [2], Chowla S. l»l.
Davenport, Hasse [1], Evans [2], [3], Hasse [15, ch. 10], Hud-
Hudson, Williams [1 ], Ireland, Rosen [1, ch. 11], Lehmer E. 111.
[4], [7], Leonard, Williams [7], Morlaye [2], Rajwade [3], It* I.
Singh, Rajwade [1], Whiteman [3], [6], Williams K- S. 1301
и Андрианов [ 1 ], причем особенное внимание следует обратить
на работы Berndt, Evans [I ], [2], которые содержат полную
информацию по данному вопросу. Некоторые сравнения по мо-
модулю р для значений сумм Якобсталя для простого поля fp были
установлены в работах Lehmer E. [6], Nashier, Rajwade [I 1 "
Whiteman [6]. Якобсталь (Jacobsthal [1]) доказал для сл>чая
Комментарии 315
простого поля рр неравенство | Н2 (а) | < 2рх>2, а Човла (Chow-
la S. [11 ]) показал, что в нем как постоянный множитель, так и
показатель являются наилучшими возможными. Нижняя граница
для числа max | Нп (а) | была установлена Постниковым и Сте-
Пановым [1 ]. Нижние границы для абсолютных величин сумм
Якобсталя можно также получить из нижних границ более об-
общих сумм значений характеров с полиномиальными аргументами
(см. комментарии к § 4). Для простых полей fp Карацуба [9]
показал, что равенство 1п (а) = р возможно для а ? (Fp, а По-
Постников и Степанов [1 ] показали, что равенство Нп{а) — р — 1
возможно для а ? (Fp, в обоих случаях при условии, что п имеет
порядок роста p/logp.
Теоремы 5.51 и 5.52 показывают, что суммы Якобсталя тесно
связаны с другими классическими тригонометрическими суммами,
например такими, как суммы Якоби; см. также Berndt, Evans [I ],
Lehmer Е. [7] и Singh, Rajwade [1 ]. Связь между суммами Якоб-
Якобсталя и так называемыми суммами Бревера рассматривается в ста-
статьях Berndt, Evans [2], Giudici, Muskat, Robinson [1], Robin-
Robinson S. F. [1 ] и Whiteman [13], [14], [15]. Обобщенные суммы
Якобсталя, т. е. суммы вида
где К и г|) — нетривиальные мультипликативные характеры про-
простого поля — Fp, рассматривались в статье Walum 11 ]. Двойные
суммы Якобсталя появляются в статье Lehmer, Lehmer [I ].
Применение сумм Якобсталя, описанное в примере 5.53,
содержится в статье Jacobsthal [2]. Доказательства того же ре-
результата имеются в работах Berndt, Evans [I ], Burde [4], Chow-
la S. [16, ch. 4], Hasse [15, ch. 10] и Whiteman [3], [6]. Целые
числа А и В из примера 5.53 появляются также в работах Bach-
mann [I, ch. 10], Chowla S. [16, ch. 5] и Whiteman [6]. Другие
приложения сумм Якобсталя к квадратичным разбиениям простых
чисел имеются в работах Berndt, Evans [I ], [2], Chowla S. [5],
[6] Hasse [15, ch. 10], Lehmer E. [4], Nashier, Rajwade [1],
Rajwade [3], Rosenberg [1], von Schrutka [1], Whiteman [3],
[6 I и Williams K- S. [29], [30]. Близкие к суммам Якобсталя
суммы тоже полезны для нахождения квадратичных разбиений
простых чисел; см. Berndt, Efyans [2], Brewer [2], [3] и White-
man [4], [13]. Связь между суммами Якобсталя и циклотомией
исследуется в статьях Giudici, Muskat, Robinson [1 ], Rajwade [3]
и Whiteman [3], [6], [14], а приложение сумм Якобсталя для
выяснения вопроса о том, будет ли данный элемент вычетом, встре-
встречается в статье Leonard, Mortimer, Williams [1]. Карлиц (Car-
Htz [50]) применил суммы Якобсталя для нахождения числа ре-
316 Гл. 5, Тригонометрические суммы
шений некоторых полиномиальных уравнений с числом перемен-
переменных, большим двух. Андрианов [1 ] установил связь между зна-
значением /3 A) для простого поля Fp и числом представлений числа р
в виде некоторой квадратичной формы от четырех переменных;
см. также статью Фоменко [1 ], где получен близкий результат.
Теорема 5.60 доказана Дэвенпортом (Davenport [10]). Лежа-
Лежащая в ее основе теория непрерывных дробей была развита еще
Артином (Artin [1 ]); о дальнейших результатах по непрерывным
дробям см. также de Mathan [3]. В статьях Baum, Sweet [I ], \'J I
установлены важные результаты о непрерывных дробях над ш»-
лем F2 при частичных дробях малой степени. В статье Houn-
donougbo [I ] изучается длина разложений рациональных функции
в непрерывную дробь. Приложения алгоритма разложения в не-
непрерывные дроби к теории кодирования рассматриваются в рабо-
работах Mills [4], Reed, Scholtz, Truong, Welch [1 ], Reed, Truong [4 I.
Reed, Truong, Miller [3 ], Welch, Scholtz [1 ] и Гоппа [1 ]. Специаль-
Специального вида непрерывные дроби для элементов поля fq изучаются
в статье Borho [1 ].
Среди тригонометрических сумм, содержащих квадратичный
характер г\, большое внимание уделяется так называемым суммам
Бревера, Рассмотрим многочлен Диксона gh (x, а) (см. G.6))
над конечным полем fq нечетной характеристики, где а ? FJ,
и образуем сумму Бревера:
Aft (а) = Ц г] (gh (с, а)).
c?Fq
Для частного случая а = 1 такие суммы были введены в статье
Brewer [2], а для общего — в статье Brewer [3]. Оказывается,
что Aft (а) = 0, если НОД (k, q2 — 1) = 1 (см. Chowla P. [2 1,
а также следствие 7.17). Значения сумм Бревера при малых зна-
значениях k можно найти в статьях Berndt, Evans 12], Brewer [2 1,
[3], Giudici, Muskat, Robinson [1], Leonard, Williams [4], Raj-
wade [7], Robinson S. F. [1], Whiteman [13], [14], [15] и Wil-
Williams K- S. [35], причем статья Berndt, Evans [2] является осо-
особенно обильным источником таких результатов. В этих статьях
можно также проследить связь сумм Бревера с квадратичными
разбиениями простых чисел и с циклотомией. Суммы Бревера
связанытакже с суммами Эйзенштейна, определяемыми в упр. Ь.ЬЬ,
которые были впервые введены в статье Eisenstein [5]; см. также
Berndt, Evans [2], Giudici, Muskat, Robinson [1 ] и Whiteman [15 I
о связи между этими двумя типами сумм значений характеров.
Для сумм с квадратичным характером и произвольными по-
полиномиальными аргументами Коробов [6] и Митькин [2] устано-
установили оценки, которые в некоторых случаях даже лучше оценок
Вейля из теоремы 5.41. Нижние оценки для абсолютных величин
таких сумм были найдены Книжнерманом и Соколинским 11 ]
Комментарии 317
и Митькиным [3 ], а для соответствующих неполных сумм —
Степановым [11 ]. Привлекает внимание случай, когда многочлен
является произведением различных нормированных линейных со-
сомножителей — в связи с распределением квадратичных вычетов;
см., например, Burde Ш, Davenport [I], Hasse [15, ch. 10],
Hopf [1 J, Yamauchi [1 ] и Виноградов И. М. [10]. Относительно
сумм значений квадратичных характеров с другими специальными
многочленами см. работы Birch [2 ], Chowla S, [19 ], Davenport [3 ],
Olson [1 ], Ono [3], Rajwade, Parnami [1 ], Rosenberg [1 ], Salie [3],
Williams [36], [37], [38], Абдуллаев [1], [2], Абдуллаев, Ко-
Коган [1], Тушкина [1] и Фоменко [1]. Перельмутер [10], [11],
[12] дает оценки для кратных сумм с квадратичным характером.
Связь между суммами значений квадратичных характеров и
распределением квадратичных вычетов и невычетов по модулю р
(или, более общо, квадратов и неквадратов в поле рд) отражена
в упр. 5.63 и 5.64. По этому вопросу мы отсылаем также к работам
Bergum, Jordan [1], Burde [4], Davenport [1], [3], Giudici [1],
Hardman, Jordan [1], Hasse [4], [15, ch. 10], Horf [1], Johnsen
[1], Katz [4, ch. 1], Koutsky [1], Pellegrino [1], Rocci [1 ],
Schmidt W. M. [3, ch. 3], von Grosschmid [1], Аладов [1 ] и Виног-
Виноградов И. М. [4]. В теории чисел широко изучались и другие типы
задач о распределении квадратичных вычетов и невычетов; см.,
например, работы Ankeny [1], Brauer A. [2], Burgess [1], Da-
Davenport, Erdos [1], Dorge [1], Elliott [2], Hua [12, § 14], Hud-
Hudson R. H. [2], [3], [5], Perron [1], Salie [3], Виноградов И. М.
[3], Гельфонд и Линник [1, гл. 9] и Усольцев [1 ]. О геометриче-
геометрическом подходе см. Raber [1 ] и Ralston [1 ]. В связи с вопросами,
затронутыми в упр. 5.65 и 5.66, см. работы Burde [1 ], [31, [7],
Davenport [2], [7], Janichen [1 ], Koutsky [2], Виноградов И. М.
[6], [11 ], Мороз [1] и Сегал [П. Брауэр (Brauer А. [1], [3])
доказал, что если заданы целые числа т, h ^ 2 и комплексный
корень т-й степени из единицы е, то для достаточно больших
простых чисел р, сравнимых с 1 по модулю т, и для любого муль-
мультипликативного характера "ф порядка т поля Fp найдется эле-
элемент с ? Fp, для которого "ф (с + 0 = е при всех / = 0, 1, ...
..., h — 1.0 близких результатах по распределению значений муль-
мультипликативных характеров, а также по распределению степеней
по модулю р или степеней в конечных полях см. работы Bier-
stedt, Mills [1 ], Brauer A. [4], [5], Brillhart, Lehmer, Lehmer [1 ],
Burgess [4], [6], [10], [11], Chowla, Chowla [2], Dunton [2],
Elliott [1], [3], [4], [5], Graham [1], Hua [12, § 14], Hudson R. H.
[1], [4], [5], [6], Jordan J. H. [1], [2], [4], [5], Lehmer, Leh-
Lehmer [2], Lehmer, Lehmer, Mills [1], Lehmer, Lehmer, Mills,
Selfridge [1], Metsankyla [1], Mills [2], Montgomery [1, ch. 13],
Norton [2], [3], [4], [5], [6], Rabung, Jordan [1], Singh [1],
15], Stephens [2], Stevens H. [1], Stevens, Kuty [1], Wang Y.
318 Гл. 5. Тригонометрические суммы
[3], Whyburn [1], Бухштаб И], Виноградов И. М. [2], [:j],
[7], 19] и Гельфонд, Линник [1, гл. 9]. Комбинаторные свойства
подгруппы группы F?, состоящей из т-х степеней, рассматри-
рассматриваются в работах Cameron, Hall, van Lint, Springer, van Til-
borg [1], Evans [5], Muskat, Street [1] и Street, Whitehead II ].
Тригонометрические суммы, аргументами которых являются
линейные рекуррентные последовательности, рассматриваю гея
в § 7 гл. 8.
[В работе Naranjani [1*], продолжающей аналогичные иссле-
исследования Бёрджесса (Burgess [6]), изучается распределение сте-
степенных невычетов по простому модулю в полиномиальных по-
последовательностях. В работах Hinz [1*], [2*], [3*], [4*] изу-
изучается распределение примитивных элементов по модулю про-
простого идеала в поле алгебраических чисел. Распределение последо-
последовательных квадратичных вычетов и невычетов исследовалось
Хадсоном (Hudson [1*], [2*]). Распределение значений символа
Лежандра в конечном поле исследовалось в работе Guerra, Uglii
[1* ]. Коэн (Cohen [2* ], [3* ], [4* ]) исследовал вопрос о распре-
распределении примитивных элементов и степенных вычетов, а также
пар последовательных примитивных элементов (т. е. отличаю-
отличающихся на 1) среди значений многочлена над конечным полем.
В работе Loxton, Vaughan [1*] получена оценка рациональной
q
тригонометрической суммы с многочленом 2] e2ni! (*5/' ¦
= 0(ql~l^e+1^), гдее—максимальная кратность комплексных кор-
корней многочлена f (х), и тем самым доказана гипотеза, выска-
высказанная в работе Loxton, Smith [1]. Стечкин [1* ] получил оценку
суммы Гаусса
V g2niakn/q
где ф (п) — функция Эйлера, с > О — абсолютная постоянная и
НОД (a, q) = 1. Митькин [2*] получил уточнение оценки Хуа
Ло-гена [12] для рациональных тригонометрических сумм, ко-
которые близки к полным суммам. Шмидт (Schmidt W. М, [1* 1.
[2* ]) подробно исследовал тригонометрические суммы с кубиче-
кубическими многочленами. Степановым в работах [1*], [2*], [1*1
получены новые оценки кратных тригонометрических сумм на
алгебраических многообразиях, обобщающие полученные ранее
оценки Бомбьери (Bombieri [4]) и Перельмутера [9] на случай
составного знаменателя тригонометрической суммы. В работе
Heath-Brown [1*] показано, что аналог оценки Делиня (DeligW
[3]) для рациональных тригонометрических сумм со знаменате-
знаменателем р2 может быть получен на основе довольно элементарных со-
соображений. В работе В. Шмидта (Schmidt W. М. [3*]) полученР
Упражнения 319
оценка кратной тригонометрической суммы с многочленом и
с простым знаменателем для случаев, не охватываемых оценкой
Делиня (Deligne [3]). Одони (Odoni [1* ], [2* ]) перенес статисти-
статистический подход, примененный им ранее к суммам Вейля (см.
Odoni [1 ]) на случай других сумм.
По тематике пятой главы имеются также следующие работы:
Bremser [I*], Cohen [I* ], Cohen, Lenstra [1*], Exponential-
summen (Kloosterman'sche Summen), Goldfeld, Sarnak [1*],
Hudson, Williams [1*], Monzingo [1*], Ozeki [1*], Si!varamak-
rishan, Vijayan [1*], Tietavainen [1*], Архипов, Карацуба,
Чубариков [1* ], [2* ], Архипов, Чубариков [1* ], Бронштейн
[1*], Голубева [1*], Глазунов [1*], Елистратов [1*], [2*]
Карацуба [1*], [2*], [4*], [5*], [6*], [7*], [8*], [9* ], Куз-
Кузнецов [1*], [2*], [3*], Митькин [4*], Перельмутер [1*], [2*],
Постников [1* ], Постникова [1* ] и Чубариков [1*], [2*], [3*].—
II е рев.]
Упражнения
5.1. Пусть G— конечная абелева группа, Н — ее собственная подгруппа
и g € G, g ф. Н. Доказать, что существует характер % группы G, который
аннулирует Н, но для которого %(g) ф 1.
5.2. Пусть Н — подгруппа конечной абелевой группы G, Доказать, что
аннулятор А подгруппы Н в группе характеров G~ группы G изоморфен фактор-
факторгруппе GIH и что факторгруппа G^/A изоморфна подгруппе Н.
5.3. Пусть G — конечная абелева группа и т ? N. Доказать, что элемент
g ? G является /n-й степенью некоторого элемента группы G в том и только том
случае, если х (g) = 1 для всех характеров % группы G, для которых хт — ТРИ-
виальный характер.
5.4. Пусть Gb ..., Gfe — конечные абелевы группы. Определим умножение
/г-наборов (gr ..., gft) и (hv ..., ftft), где gv h. ? Gt для 1 ^ i ^ k, равенством
Показать, что относительно этой операции множество всех таких fe-наборов
является конечной абелевой группой (она называется прямым произведением
групп Gx Gft и обозначается Gx ® ... ® G^). Доказать затем, что соответству-
соответствующая группа характеров (Gj ® ... ® 0^)Л изоморфна прямому пронзведению
G? <g> ... ® G?.
5.5. Применив структурную теорему о конечных абелевых группах, которая
в своей простейшей форме утверждает, что каждая такая группа изоморфна пря-
прямому пронзведению некоторых конечных циклических групп, доказать, что группа
характеров G~ конечной абелевой группы G изоморфна G.
5.6. Показать, что если Хо —аддитивный характер конечного поля Fg (в обо-
обозначениях теоремы 5.7), то % Хл = Ха ь для всех а' ^ ^ ^в' Показать таким
способом, без использования упр. 5.5, что группа аддитивных характеров поля Fq
изоморфна аддитивной группе этого поля.
5.7. Пусть Xi — канонический аддитивный характер конечного поля Fq
характеристики р. Доказать, что Xi \сР ) = Xi (с) Для всех с ? F4 и j ? N.
5.8. Пусть ф— мультипликативный характер порядка т конечного поля F?s»
где m, s ? N. Доказать, что ограничение характера \р на поле Fq является мульти-
мультипликативным характером порядка /n/НОД (m, (qs— l)/(q — 1)) поля Fq.
320 Гл, 5. Тригонометрические суммы
5.9. В обозначениях упр. 5.8 доказать, что ограничение характера ф наГ„
является тривиальным характером поля Fg в том и только том случае, когда т
делит число (qs — 1I (q — 1).
5.10. Пусты|; — мультипликативный характер поля Fg, и пусть ф' —его
поднятие до расширения F s поля F (определение поднятия характера см
я ч ,
в рассуждении, предшествующем теореме 5.14). Доказать, что ij> (c)= tys (с) для
любого с ? F*.
5.11. Доказать, что мультипликативный характер т поля F s совпадает
с поднятием ip' некоторого мультипликативного характера поля Fg тогда и только
тогда, когда т*" — тривиальный характер.
5.12. Пусть т ? IN, ц = 1 (mod ш) и | пробегает множество всех мульти-
мультипликативных характеров поля Fg, порядки которых делят т. Доказать, что При
этом соответствующее поднятие i>' до расширения F „ поля F пробегает миоже-
q q
ство всех мультипликативных характеров поля F s, порядки которых делят т.
5.13. Доказать, что аддитивный характер % конечного расширения Е поля F9
совпадает с поднятием некоторого характера поляр^тогда и только тогда, когда
он имеет вид % = ць для некоторого Ь ? F , где ц± — канонический аддитивный
характер поля Е (определение характера ць см. в теореме 5.7).
5.14. Пусть Гд— конечное поле. Доказать, что если с ? F*, то
2 ?
{, j, , если с — примитивный элемент Fg,
0 в противном случае,
где во внешней сумме d пробегает все положительные делители числа f —» 1,
а во внутренней ^ ' пробегает ф (d) мультипликативных характеров порядка d
поля Fg. Здесь ц обозначает функцию Мёбиуса (см. определение 3.22), а <р —
функцию Эйлера (см. теорему 1.15 (iv)).
5.15. Показать, что ц B) = (—l)**2)/8, где ti — квадратичный характер
поля Fg нечетной характеристики (определение ti см. в примере 5.10).
5.16. Пусть F9— конечное поле характеристики р и г ? N. Доказать, что
в обозначениях теоремы 5.7 для любого мультипликативного характера 1)>поляР<2
и любого b ? F имеет место равенство G (typ'', %Л = G (if, %p Fj), где р (Ь) =
= Ьр . Здесь G — сумма Гаусса.
5.17. Доказать, что для любого мультипликативного характера ф поля Fq
справедливо равенство
где х пробегает множество всех аддитивных характеров поля Fq.
5.18. Доказать, что для любого аддитивного характера % поля Fq спра-
справедливо равенство
% G ft, l) = {q-\)t A).
Ф
где ty пробегает множество всех мультипликативных характеров поля Fq.
Упражнения 321
5.19. Пусть s ? IN, q = ps, где p — простое нечетное число, и Т) — квадра-
квадратичный характер поля Fq. Доказать, что если %b (b ? (Fg) — аддитивный
характер поля IF,, определенный в теореме 5.7, то справедливо равенство
=Г) <*)(
5.20. Доказать, что если Т) — квадратичный характер поля Fq нечетной
характеристики, то в обозначениях теоремы 5.7 справедливо равенство
%б)=Ч(— о*)? для любых a, b?F*.
5.21. Применить квадратичный закон взаимности (см. теорему 5.17) для
вычисления символов Лежандра (-En") и ("«]")• Определение символа Ле-
жандра дается в примере 5.10.
5.22. Найти все простые числа р, для которых (—»1 = 1.
5.23. Найти все степени q простых нечетных чисел, для которых квадратич-
квадратичный характер Т) поля Fq удовлетворяет условию щ C) = 1.
5.24. Доказать, что квадратный многочлен *2 -f- ax + b над полем Fq не-
нечетной характеристики неприводим тогда и только тогда, когда Т) (а1 — 46) =
— —1, где т) — квадратичный характер поля Wq.
5.25. Выяснить, будет ли квадратный многочлен дс2 + 12* + 41 неприводимым
в кольце F227 [*]•
5.26. Пусть р н г — различные нечетные простые числа и s — такое нату-
натуральное число, что rs = 1 (mod p). Определим для целого числа k и элемента ?
порядка р группы (F*s элемент Gk ? F g равенством
где I — j — символ Лежандра. Доказать следующие свойства: (i) G^ = (— J G^,
(ii) G^ = (—l)'p~~''/'2/p! где правая часть равенства рассматривается как элемент
поля fr.
5.27. Использовать результат упр. 5.26 для доказательства квадратичного
закона взаимности (теоремы 5.17).
5.28. Пусть A.J, ..., %h — мультипликативные характеры поляГ^. Доказать,
что если характер %h нетривиален, а характер %г ... К^ тривиален, то справед-
справедливо равенство р
Здесь J — сумма Якоби.
5.29. Пусть Ях, ..., Я& — мультипликативные характеры поля Fq. Дока-
Доказать, что если хотя бы один из характеров %t нетривиален, 1 ^ i ^ k, то
2
= 0.
a^Fq
5.30. Пусть %i, ..., %ь — заданные мультипликативные характеры поля Fq.
Доказать, что имеет место равенство
= fo_ о
где сумма распространяется на все мультипликативные характеры Я поля Fg.
21 Зак. 222
322 Гл. 5. Тригонометрические суммы
с
5.31. Пусть % — нетривиальный аддитивный характер поля Fg и а, Ьъ
&й ? Fq. Доказать, что
у ylbcA Uc^lxW?1"', если 61= ... =ftfe»
-l. а-с —а * * к ^
в противном случае.
5.32. Используя соотношение E.16) и результат упр. 5.31, дать другое до-
доказательство формулы из теоремы 5.21, выражающей сумму Якоби J (к\, ..., Ад]
через суммы Гаусса. (Указание, Показать сначала, что при стандартном согла-
соглашении относительно ^@) (т. е. тф @) равно 0 для нетривиального и.равно 1 для
тривиального характера tf>) равенство E.16) выполняется для с= 0 и нетри-
нетривиального характера tf>.)
5.33. Использовать E.16) и результат упр. 5.31 для доказательства следу-
следующего утверждения. Пусть Хг ,..., Х^— мультипликативные характеры поля F,.,
причем Хъ ...,Х^ нетривиальны, a Xt ... Х^ тривиален. Тогда для любого нетр];-
виального аддитивного характера % поля Fg справедливо равенство
Mh, ¦ ¦ ¦> Н) = (l ~ j) G (Xlt X) ... G(Kh, X).
5.34. Доказать, что если Xh ..., %ь — нетривиальные мультипликативные,
а% — нетривиальный аддитивный характеры поля Fg, то справедливо равенетпи
1 -
J (Xi, . . ., Хь) = — G (Xx, %) . . . G (Xfc, x) G (Xi . . ¦ Xk, %).
5.35. Доказать, что если Xlt X%, X3, XXXZ и XtK3 — нетривиальные мульти-
мультипликативные характеры поля Fq, то
( 1* 2/ 1 1 2' 3/ ~~~* v 1> 3/ " 1 1 3* / *
5.36. Пусть Хъ ..., Х^ — нетривиальные мультипликативные характера
поля Fg и 1 ^ h ¦< k. Доказать, что если характер Хг ... %^ нетривиален, то
J (Ai, . . .j Xji) = J (Л^, • . ., r*}i) J \K\ . . . r*ii, X}i+\, ¦ ¦ ., Xfoj.
5.37. Пусть 4>3 и X1,..., Xh—мультипликативные характеры поля F,-.
причем Xi и Х^ нетривиальны, а Хг ... X^ тривиален. Доказать, что
J (Xi, . . ., Xft_i) = (X2 . . . Хц^х) (— 1) J (k2, . . ., Xk).
5.38. Пусть ¦»!)—мультипликативный характер порядка т~^2 поля F,-.
ах — нетривиальный аддитивный характер этого поля. Доказать, что
— qj (\|), . . ., if), если т делит к,
G (f >У.) J ("$' ¦¦¦>Ф) в противном случае,
где суммы Якоби зависят от к характеров ¦»(!.
5.39. Доказать, что сумма Якоби J (г\, ..., ц), зависящая от к квадратич-
квадратичных характеров t] поля Fg нечетной характеристики, задается формулой
f (_ 1)<* Й-1)+4)/4^(*-2)/2 при четном к>
J (tl, . . ., Tl) = <
^ ^— iу w " ^ч ' при нечетном к.
5.40. Доказать, что если X — мультипликативный характер нечетного пи-
рядка т ^s 3 поля Wq, то справедливо равенство
J(X, X2 r-1) = -<7(m-3)/2.
Упражнения 323
5.41. Пусть Я— мультипликативный характер порядка 3 поля Fq и % —
нетривиальный аддитивный характер того же поля. Доказать, что
G (Я, хK = qJ (К Я).
5.42. Доказать, что если т) и ij?— мультипликативные характеры порядков 2
и 3 соответственно поля (F.« и q = —1 (mod 6), то J (т), i|)) = q. (Указание. При-
Применить теорему 5.16.) ,
5.43. Доказать, что если ф—нетривиальный мультипликативный, а т) —
квадратичный характеры поля Fq нечетной характеристики, то J (¦ф, т)) =
= У D) J (Ф, ф).
5.44. Пусть т) — квадратичный характер поля Fq нечетной характеристики,
а г|> — такой мультипликативный характер этого поля, что характер t|>* нетри-
нетривиален. Доказать равенство
J (f, T)) = ф D) / (t, ft)),
воспользовавшись теоремой 5.28.
5.45. Доказать, что если характеры i|jи т) те же, что и в упр. 5.44, то ./ (i|),
fri) = ф D) / (f2, f2).
5.46. Доказать, что если Т) — квадратичный характер поля Fq нечетной
характеристики и ф — мультипликативный характер порядка не менее 3 этого
же поля, то справедливо равенство
Ч> A6) / A>, 1>) = Л(-0 ¦'(¦П. Ш
5.47. Доказать, что если характеры \р и Т) те же, что и в упр. 5.46, то
№ ф)) ^()(| f)
5.48. Пусть 1E— мультипликативный характер порядка 4 поля Fq, где
q = 1 (mod 4), и т) — квадратичный характер этого поля. Доказать, что / (iji,
f) = ¦ (-1) / (t. Л).
5.49. Пусть л — мультипликативный характер порядка 3 поля (Fn, где
q = 1 (mod 3). Доказать, что J (Я, Я) = А + В», где Л, В С Z, А = — 1 (mod 3),
В = 0 (mod 3) и ю — комплексный первообразный корень третьей степени из
единицы. (Указание. Применить теорему 5.27 и использовать сравнения в вольце
целых алгебраических чисел.)
5.50. Пусть Я — мультипликативный характер порядка 4 простого поля Fq,
где р = 1 (mod 4). Доказать, что J (Я, Я) = Л + &', где Л и В — целые числа,
такие, что А2 + В2 = р, причем Л = —1 (mod 4).
5.51. Доказать, что каждое простое число р вида р = 1 (mod 3) можно
представить в виде р = Л2 — АВ + В2, где Л, В g Z.
5.52. Для тех же мультипликативных характеров i и f, что и в теореме
5.28, доказать, что если число т нечетно, то соотношение Дэвенпорта—Хассе
(см. теорему 5.28) эквивалентно равенству
5.53. Пусть % — аддитивный характер поля Fq, а ^ — мультипливативиый
характер порядка m этого поля. Доказать, что
G (f, X)m = Ло + Лх? + ¦ ¦ ¦ + Лт.,?т-1.
где Ло, Лх, ..., Лт_! ? Z, а ? — комплексный первообразный корень т-й
степени из единицы.
5.54. Доказать, что если a, ft С F9, афЬ, и ч|>— нетривиальный мульти-
мультипликативный харавтер поля (F9, то
21*
324
Гл. 5. Тригонометрические суммы
5.55. Пусть 1|) — нетривиальный мультипликативный характер поля f4>
и пусть S — произвольное подмножество в Fq, состоящее из h элементов. Дока-
Доказать, что
2 "Ф (с + а) 2 = h(q — h).
5.56. Пусть Xlt X.2, Я3 — нетривиальные мультипликативные характеры
поля Fq и alt а2 ? Fq, ax Ф аг. Доказать, что
— %, если Кх%2 — нетривиальный характер,
— 1q — I, если ЯХЯ2 — тривиальный характер.
5.57. Пусть 1|) — мультипликативный характер порядка т > I поля f q
и а ? fq. Доказать, что
У ib (aen) = ( {
rip [0
в противном случае.
5.58. Пусть л ( N, а, ft f Fj И1|) — нетривиальный мультипликативной
характер поля Fg. Доказать, что
где Я — мультипликативный характер поля Fat имеющий порядок d = НОД (л,
<7-l).
5.59. Доказать, что если т) — квадратичный характер поля Fq, q = 3 (mod -1)
н / € Fq [x] — нечетный многочлен (т. е. / (—х) = —/ (х)), то
т) (/ (с)) = 0.
c?Fq
5.60. Пусть / (х) = а2х2+ ахд: + а$ (zFq [х], где ^ нечетно, и 02 Ф 0.
Доказать, что если ф— мультипликативный характер порядка не менее 3 поля f,,-,
а т) — квадратичный характер этого поля, то
(с)) =
(- d)n(d) J (f,
где d= d\ — 4a0a2.
5.61. Доказать, что для р-многочлена
L (x) = arxPr + ar^xPr~
^
=0
над полем F характеристики р условие ar + a^_| + ... + a^ + a?
(см. теорему 5.34) выполняется в том и только том случае, когда L (х) = М (*)р —
— М (х) для некоторого р-многочлена М. (х) над Тч.
5.62. В свйзи с теоремой 5.39 доказать следующий результат. Пусть т € N
и / € Wq[x] — нормированный многочлен положительной степени, являющийся
m-й степенью какого-либо многочлена (над некоторым расширением поля IFV-
Тогда существует нормированный многочлен g ? Fq [x], такой, что f = g •
5.63. Пусть av ..., ah — различные k элементов поля F нечетной
теристики, и пусть
равно I или —1. Пусть N (е±
eft — заданные k целых чисел, каждое из которых
eft) обозначает число элементов с QFq, таких.
Упражнения 325
что т) (с + Oj.) = е^. для 1 ^ / ^ к, где т) — квадратичный характер поля
Доказать, что
где 0 < А < ft/2.
5.64. Доказать неравенство
/ft —2
2*;v ^ 2 -
используя упр. 5.63 н оценки для сумм значений характеров. »
5.65. Пусть i|) — мультипликативный характер порядка т ^ 2 поля F?,
а,, ..., ah —¦ различные к элементов этого поля и е^,..., eft — заданные ft комплекс-
комплексных корней m-й степени из единицы. Пусть N (sv ..., eft) обозначает число эле-
элементов с 6 F_, удовлетворяющих условию 1|э (с + а.) = е. для 1 ^ / ^ ft. До-
Доказать, что
к
1 \Ч Г~[ A1—1/ Ч —2 2
где 0 ^ А ^ к/т.
5.66. Доказать неравенство
т
т ¦ т* Г ' т
используя упр. 5.65 н оценки для сумм значений характеров.
5.67. Пусть т н k — заданные натуральные числа. Доказать существование
такого действительного числа q0 (т., к), что для любого числа ц, являющегося
степенью простого числа и удовлетворяющего неравенству q ~^q0 (m, k), и для
любых элементов av ..., ah из поля F найдется такой элемент с ?IF , что каж-
каждый из элементов с + av ..., с + aft является т-й степенью некоторого элемента
из F^-
5.68. Пусть i|) — некоторый мультипликативный характер поля F ,, где
Р — нечетное простое число, а у ? FV* — элемент порядка 2 (р — 1). Определим
сумму Эйзенштейна Е (i|)) равенством
Доказать, что ? (i|)) не завнсит от выбора элемента у.
5.69. Доказать, что сумму Эйзенштейна (см. предыдущее упражнение)
можно также задать равенством
Г. Xi)
и ц, —каноническиеаддитивные характеры полей Fp и Fp, соответственно,
а'Ф —ограничение характера ф иа Fp. (Указание. Использовать соотношение
326 Гл. 5, Тригонометрические суммы
E.16) н свойства сумм Гаусса.) Для случая же, когда 1|э* — нетривиальный
характер, доказать, что Е A))) можно записать также в виде
W G(f*, Xi) '
5.70. Для элемента а конечного поля F q и мультипликативного характера if
поля F s, где s ? IN, определим обобщенную сумму Эйзенштейна Es("§; а) равен-
равенством
EsW; а)= 2 *(«)¦
Тг <а)=а
где суммирование распространяется на все элементы а, ? F s, для которых
Тг[г лг (а) = а- Доказать, что сумма Эйзенштейна является также и обобщсч-
r q*/v q
ной суммой Эйзенштейна, так как Е A|э) = ?2 A)); 2).
5.71. Пусть TQ — множество всех элементов а ( F s, для которых
Тг|г ,г (я) = 0- Доказать, что множество В элементов 8 g F „, обладающих
r q»l* q ч
свойством op g Го для всех а ? Го, совпадает с полем Fa.
5.72. Доказать, что обобщенную сумму Эйзенштейна Es (tj); а) можно тажже
задать равенством
где Х| и Ц[ — канонические аддитивные характеры полей Wq и F s соответственно,
а ф* — ограничение характера ф на 1F^. (Указание. Использовать соотношение
E.16), упр. 5.71 и свойства сумм Гаусса.) Для случая же, когда ф* •—нетри-
•—нетривиальный характер, доказать, что Es (tj); а) можно записать также в виде
, Xi) ¦
5.73. Доказать равенства
Es (t|)p; а) = Е, (t, a?), Es (f; а) = Es (t|>; а),
где р — характеристика соответствующих полей Fq и F s.
5.74. Доказать, что если s f F? н ij>— нетривиальный мультипликативны"
характер поля F ,, порядок ш которого делит число ^ + I, то имеет место
равенство
Ег A)); а) = (-l)(">9-4-»fm,
(Указание. Применить теорему 5.16 Штикельбергера.)
5.75. Пусть г}'— мультипликативный характер поля IF s и ij)* — его огра-
ограничение на fq. Доказать, что если характер 1))* нетривиален н а ? Fq, то | Es (f:
о) | = q<-s~^/2. (Указание. Воспользоваться результатом упр. 5.9.)
5.76. Доказать следующее свойство суммы Эйзенштейна: если ограничение if*
мультипликативного характера 1|) ноля F„* на F* является нетривиальным ха-
характером, то
?(fa) /(f*. f*) •
Упражнения 327
5.77. Доказать следующее свойство обобщенной суммы Эйзенштейна: если
ограничения 1))*, ..., i|)| мультипликативных характеров 1));, ..., -ф^поля F . на ОТ*
« *
нетривиальны, то для любого а ? Fq справедливо равенство
Е.(Ъ--- %; a) /(iff, ...,ny
5.78. Доказать, что если ограничение 1))* на F* мультипликативного харак-
характера ф поля IFp! является нетривиальным характером, то Е (¦фр~'~1) = —
где Tip — квадратичный характер поля Fp,
5.79. Доказать, что суммы Клостермана (см. определение 5.42) обладают
свойством К (%; а, Ь) = К (%; Ь, а) для всех a, b ? F4.
5.80. Доказать, что если а, Ь ? Fq и хотя бы один из элементов о и b не
равен нулю, то К (%; а, Ь) = К (f, ab, 1) = К (%; 1, а*)-
5.81. В обозначениях теоремы 5.43 доказать, что
К (%; а, бL + К (хD); а, *) + ЦК (%B); a, b) = 6q2 для а, Ь
5.82. Пусть Fq — поле нечетной характеристики, / и g — квадратные
многочлены над fq н % — нетривиальный аддитивный характер поля Fq. Выра-
Выразить сумму ^ X (/ (с) 8 (с)-1) через суммы Клостермаиа (здесь с пробегает все
с
элементы поля Fq, для которых g (с) Ф 0).
5.83. Пусть 1|)— мультипликативный, а % — аддитивный характеры поля Fq
и a, b ? Fq. Определим обобщенную сумму Клостермана равенством
К (f, f, а, Ь) = J]
Доказать, что если ab = 0, то такая сумма сводится к сумме Гаусса в следующем
смысле:
/fF)G(f, х), если а —0, ЬфО,
К(Ь х; а, Ь) = I f (a) G (f, %), если а =#0,6 = 0,
( Xo). еслн а = 6==0.
5.84. Доказать, что если т| — квадратичный характер поля Fq нечетной
характеристики и а, Ь ? W ч, причем n(ab) = — 1, то К (Щ, Т, а, Ь) — 0 для лю-
любого аддитивного характера % поля Fq.
5.85. Доказать, что если т| — квадратичный характер поля Fq нечетной
характеристики и а, Ь ? Fq, причем ab = d" для некоторого d ? Fq, то для
каждого аддитивного характера % поля F^ имеет место равенство
К (Л. Г, a, ft) = t| F) О (т,, х) (X Bd) + X (-Щ-
(Указание. Использовать соотношение E.16) и теорему 5.47.)
5.86. Доказать, что еслн х — нетривиальный адднтнвный характер поля Fq
нечетной характеристики, т) — квадратичный характер, а 1|)— мультипликатив-
мультипликативный характер порядка не менее 3 того же поля, то для 'a, b ? Fq, b Фй, имеет
место равенство
C??q
5.87. Показать непосредственно, что Hl (а) — Я1 A) для любого a ?F*t
где ц нечетно и Н1 (а) — сумма Якобсталя (см. определение 5.49). Вычислить
328 Гл. 5. Тригонометрические суммы
затем сумму Т] Нг (а) н, таким образом, получить другое доказательств
того факта, что Нх (а) = —1 для любого о ? Fq.
5.88. Пусть п ? IN — нечетное число и т| — квадратичный характер поля Г„
нечетной характеристики. Доказать, что для любого а ? Fq имеет место равен-
равенство
ство
где Нп (а) — сумма Якобсталя, а /п (а) определяется равенством E.68). {Заме-
{Замечание. Это снова доказывает, что Я] (а) = —1 для любого а ?F1\
5.89. Доказать, что для нечетного п ? N н любого а ? Fq, где q нечетно,
имеет место равенство
hn (а) = Ц (а) Я„ (а-1) + Я„ (а) + *) (а).
5.90. Доказать, что если а ? Fq, где ?еЗ (mod 4), то /4 (а) = —1.
5.91. Пусть р — такое простое число, что р = 1 (mod 4). Доказать, что
__[ — 1+2Л, если psl(mod8),
[-1—2А, если р = 5 (mod 8),
где А определяется условиями р = Аг + В2, Л, В ? Z, Л = 3 (mod 4).
5.92. Найти разложения в непрерывные дроби (см. рассуждение перо
леммой 5.54) рациональной функции (х& + х3 + хг + jc)/(jce + jc6 + х4 + х* + 1)
над полем Г2 н рациональной функции (xs — хъ— х* 4¦ х3 — хг — \I(хь—х8 —
— х% + 1) над полем Гз-
5.93. Доказать, что если многочлены Pi и Qi определены равенствами E,741
и E.75) соответственно, то справедливы равенства
PiQi-z —Pi-2.Qi = (~\I Ai, i=l, . . ., s.
5.94. Доказать, что
— -¦?r) =-deg(Q?-Q!4l), i=0, 1, .... s- 1,
где Pi и Qi определены равенствами E.74) и E.75) соответственно.
5.95. Доказать, что рациональные функции Pt/Qi, где Р; н Qj определены
равенствами E.74) и E.75), наилучшим образом приближают рациональную
функцию rls/r1 в том смысле, что если fig — такая рациональная функция нал
полем Fq, что для некоторого i, 0 ^ i ^ s — I, имеет место неравенство
то deg (g) > deg (Q,+1).
Глава 6
Уравнения над конечными полями
Мы рассмотрим здесь полиномиальные уравнения вида
h (хг хп) = /з (*ъ ¦••. хп), где /1( /2 ? F,Uj, ..., жп]. Под
числом решений такого уравнения в множестве F? мы будем по-
понимать число различных n-наборов (си ...,сп) ? F?» для которых
Д (съ ..., cn) = /2 (ci, ..., сп). Указанное уравнение часто пред-
представляют в следующей эквивалентной форме: / (хи ..., хп) = О,
где / = Д — /2. В некоторых частных случаях удается указать
точные формулы для числа решений, но в общем случае прихо-
приходится удовлетвориться оценками. Далее мы встретимся с приме-
примерами результатов каждого типа.
В первом параграфе приводятся некоторые классические тео-
теоремы о числе решений полиномиальных уравнений, такие, как
теоремы Кёнига—Радоша, Шевалле и Варнинга. Здесь устанав-
устанавливаются также элементарные верхние границы для числа ре-
решений и некоторые результаты об ожидаемом числе решений.
Второй и третий параграфы посвящены специальным классам
уравнений, а именно квадратичным и диагональным уравнениям
соответственно. Оказывается, что очень полезным инструментом
при изучении этих уравнений являются тригонометрические
суммы. Для квадратичных уравнений важную роль в облегчении
нахождения числа решений играет теория приведения квадратич-
квадратичных форм к диагональному виду.
В четвертом параграфе будет продемонстрирована зависимость
между оценками для числа решений некоторых уравнений и оцен-
оценками для сумм значений характеров. Изучение уравнений вида
Ут = / (х) иг/» — у = / (х) приводит к завершению доказатель-
доказательства важных неравенств для сумм значений характеров, рассмо-
рассмотренных в § 4 гл. 5 (см. теоремы 5.38 и 5.41). Методы, применяе-
применяемые для исследования указанных уравнений, довольно сложны,
но элементарны в том смысле, что не связаны с алгебраической гео-
геометрией и не требуют глубокого знания теории полей алгебраи-
алгебраических функций.
§ 1. Элементарные результаты о числе решений
Мы начнем с простейшего случая, а именно с полиномиаль-
полиномиального уравнения от одной переменной. Пусть / ? Fq lx] — много-
многочлен положительной степени от одной переменной. Рассмотрим
330 Гл. 6. Уравнения над конечными полями
уравнение / (х) = 0. Решениями этого уравнения в поле fq яв-
являются все различные корни многочлена /, лежащие в этом поле,
и только они. Как мы видели в § 3 гл. 4, многочлен НОД (/ (х),
х« — х) является делителем многочлена /, все корни которого
просты, причем это в точности все различные корни многочлена /,
лежащие в fq. Поэтому число решений уравнения / (х) —¦ 0
в поле fq равно степени многочлена НОД (/ (х), xf — x). Что же
касается фактического отыскания этих решений, то мы отсылаем
читателя к § 3 гл. 4.
Для определения числа решений уравнения / (х) = 0 в поле f\,
можно также использовать теорию матриц. Поскольку вопрос
о том, является ли нуль решением этого уравнения, выясняется
тривиально, то достаточно рассмотреть лишь ненулевые решения
этого уравнения. Этими решениями являются корни многочлена
НОД (/ (х), х«—{ — 1) (все они различны и принадлежат полю fq).
Поэтому мы без ограничения общности можем считать, что
deg (/) <С Ц — 1 ¦ Кроме того, поскольку М~1 = 1 для любого
элемента Ь ? F?, то ненулевые решения уравнения
/ (х) ^ай + а1Х-\ f- aq_2x^ + ач.гх^ = 0
в поле fq совпадают с ненулевыми решениями уравнения
(а0 + aq_x) + ахх + • • • + aq_^~2 = 0
в поле fg. Таким образом, можно даже предположить (без огра-
ограничения общности), что deg (/) .<^ q — 2.
Рассмотрим теперь многочлен
/ (х) = а0 + ахх + Ь а,_2х?-2 6 Fq {x).
Сопоставим с этим многочленом следующую квадратичную ма-
матрицу порядка q— 1:
а0 аг
F.1)
Такая матрица называется левой циркулянтной матрицей; в ней
каждая строка получается из расположенной над нею цикличе-
циклическим сдвигом на один элемент влево.
6.1. Теорема (теорема Кёнига—Радоша). Пусть
f (х) = а0 + ахх 4 (- ад_2х"~2 ? F, [х].
Тогда число ненулевых решений уравнения / (х) = 0 в пом fq
равно q— 1 —г, где г — ранг матрицы А, заданной форму-
формулой F.1).
§ 1. Элементарные результаты о числе решений
331
Доказательство. Пусть Ь%, ..., Ьч_г — различные элементы
группы F?; образуем из них матрицу Вандермонда
1
1
ы
... 1
• . • &,-!
Ы2 ьг2
Учитывая, что Ы—' == 1 для каждого Ь ? F|, получим
АВ =
ьт'НЫ) brf(b2)
bT2f{b2)
>f{bq-x)
Если N — число ненулевых решений уравнения / (х) = О
в поле fg, то можно считать, что, во-первых, N ^ q — 2 (слу-
(случай N = q — 1 возникает лишь если А — нулевая матрица
с г = 0) и, во-вторых, что элементы упорядочены таким образом,
что / (bt) ф 0 для 1 < i < q — 1 — N и / (bt) = 0 для q — N <
<; i -^ q — 1. Тогда элементы в последних JV столбцах матрицы
АВ все равны 0. Следовательно, ранг матрицы АВ не превосходит
числа q — 1 — N. С другой стороны, главный минор порядка
q — 1 — pj матрицы АВ равен
1
t
ьт2
1
bt
1
и—l
Oq—l—N
.-2
,-(q-2-
Oq-l—N
и потому он отличен от нуля (поскольку выписанный определи-
определитель Вандермонда образован различными элементами b~l, ...
.... b~li_N). Следовательно, ранг матрицы АВ равен q— 1 — N.
Но матрица В невырожденна ввиду того, что все элементы Ъг,..., Ьч_г
различны. Поэтому матрицы АВ и А имеют один и тот же ранг.
Итак, мы получаем, что г = q — 1 — N, или N = q — 1 — г.
U
332
Гл. 6. Уравнения над конечными полями
3
1
з
2
0
0
1
—3
2
0
0
3
з
2
0
0
3
1
2
0
0
3
1
—3
0
0
3
1
—3
2
0
3
1
з
2
0
6.2. Пример. Пусть / (х) = 3 + х — Зхг + 2х3 ? F7 lx]. Тог-
Тогда соответствующая матрица А имеет вид
А =
ее ранг г равен 6. Таким образом, по теореме Кёнига—Радоша
уравнение / (х) = О не имеет ненулевых решений в поле f7.
А поскольку и нуль, очевидно, тоже не является решением этого
уравнения, то уравнение / (х) = 0 вообще не имеет решений
в поле F7- Другими словами, многочлен / (х) неприводим над
полем F7.
Перейдем теперь к многочленам от нескольких переменных.
Некоторые элементарные результаты о числе решений уравне-
уравнения / (х\, ..., Хп) = 0 в fg удается установить для случая, когда
число п переменных больше степени многочлена / (степень много-
многочлена от нескольких переменных вводится определением 1.72).
6.3. Лемма. Пусть k — целое неотрицательное число. Тогда
V * _ ( 0» если k = О или k не делится на q — 1,
cPF I—1» есЛи ^ >0 « k делится на q— 1.
ч
Доказательство. При k — 0 применяем стандартное согла-
соглашение 0° = 1; тогда утверждение тривиально/ J] с0 = q = 0).
\c?Fq I
Если k ? IN и k делится на q — 1, то для любого с ? F? имеем
с* = 1, так что 2]с*= 2] ck = q— 1 = —1. Наконец, при
, 6;
k ? IN, не делящемся на q— 1, выберем в поле fq примитивный
элемент Ь. Тогда, применяя формулу суммы геометрической про-
прогрессии, получаем
= 0.
6.4. Лемма. Пусть / ? F,
меньшей чем п (q — 1). Тогда
[xlt ..., хп ] — многочлен степени,
f(Cl,
§ 1. Элементарные результаты о числе решений 333
Доказательство. Учитывая линейность, это равенство доста-
k k
точно доказать для одночлена Xi1 ... хпп, где k\ + ... + kn <
< п (q— 1). Из указанного неравенства вытекает существование
такого /, 1 < / < п, что 0 < kj Kq — 1. Поэтому
У Л А _ / у Л\ / у Ал __
в силу леммы 6.3. ?
6.5. Теорема (теорема Варнинга). Пусть / ? Fq [xlf . . .
..., хп] — многочлен от п переменных степени, меньшей чем п. Тогда
число решений уравнения f(xlt ..., хп) = 0 в FJ делится на ха-
характеристику р поля Fg.
Доказательство. Рассмотрим многочлен F = 1 —/""', ко-
который обладает тем свойством, что F (сх, .... сп) = 1, если
/ (сь .... сп) = 0, и F (сь ..., сп) = 0, если / (с1( .... сп) ф 0.
Тогда
S ^ (ск . ¦., с„) = N, F.2)
где N — число решений уравнения / (хи ..., хп) = 0 в F». С дру-
другой стороны, из условия deg (/) < п следует, что deg (F) <
<n (q—1), поэтому из леммы 6.4 вытекает, что сумма в F.2) рав-
равна нулю. Следовательно, число N, рассматриваемое как элемент
поля Fg, равно 0, а это и означает, что N делится на р. П
6.6. Следствие (теорема Шевалле). Пусть / ? fq [хъ ..•
...,хп] — многочлен степени, меньшей чем п, причем f @, ..., 0) = 0-
Тогда уравнение / {хг, ..., хп) = 0 имеет хотя бы одно нетривиаль-
нетривиальное решение в ?", т. е. существует такой п-набор (съ ..., сп) ^
€ F», (clt .... сп) ф @, .... 0), что / (си ¦¦•, сп) = 0.
Доказательство. Из условия / @, ..., 0) = 0 следует, что
число N решений рассматриваемого уравнения удовлетворяет
неравенству N ~^> 1. Применяя теперь теорему 6.5, получаем,
что N > р > 2. ?
Заметим, что условие deg (/) < п в теореме 6.5 и следствии 6.6
является наилучшим возможным. Сейчас мы построим такой много-
многочлен степени п от п переменных, для которого утверждения теорем
Варнинга и Шевалле не выполняются.
6.7. Пример. Пусть п ? IN, и пусть {аи ..., ап} — базис
ноля Е = W „ (как векторного пространства) над F . Положим
f(xu . .., *„) =
/=0
334 Гл. 6. Уравнения над конечными полями
Так как элементы а? , / = 0, 1, ..., п— 1, сопряжены с at отно-
относительно Fq (см. определение 2,17), то коэффициенты многочлена/
принадлежат полю fq. Ясно, что deg (/) = п. Для произвольного
п-набора (си ..., сп) ? fg положим у = схах + ... + спап ? Е.
Тогда
fiPi, . . ., сн) = П (afc, + • • • + atfcn) =
л-1 _ л-1
= П (CiOi Н (- CnOtn)?7 = Ц у'7 = N?/p (у).
Таким образом, равенство / (сь ,.., сп) = 0 эквивалентно равен-
равенству Ы^ур (y) = 0; последнее же имеет место лишь для эле-
элемента у — 0, т. е. при Сх = ... = сп = 0. Это значит, что урав-
уравнение / (дсх, ..., хп) = 0 имеет единственное решение @, ,.., 0)
в F™. Отсюда следует, что для многочлена / не выполняются ни
утверждение теоремы 6.5, ни утверждение следствия 6.6. [7!
Теорему Варнинга и теорему Шевалле нетрудно распростра-
распространить и на системы уравнений.
6.8. Теорема. Пусть Д, ..., /го ? fq [хи ..., хп ] — такие
многочлены от п переменных, что deg (Д) + • •. + deg (/то) < я.
Тогда число п-наборов (си ..., сп) ? F", для которых ft (cly ...
..., с„) = 0 при всех i, 1 < i < m, делится на характеристику р
поля fq.
Доказательство. Положим
и проведем для этого многочлена F то же самое доказательство,
что и в теореме 6.5. ?
6.9. Следствие. Пусть Д, ..., /го ^ F, [хь ...,х„] — такие
многочлены от п переменных, что Д @, ..., 0) = 0 для всех: t,
1 < i < m, ы deg (Д) +-..+ deg (/ro) < п. Тогда существует
ненулевой п-набор (сх, ..., сп) ^ fg, такой, что Д (сх, ..., сп) = 0
для еже I, 1 < i < т.
В теореме 6.11 мы покажем, что если в условиях теоремы 6.8
соответствующая система уравнений имеет по крайней мере
одно решение, то она имеет гораздо больше решений. Предвари-
Предварительно введем некоторые обозначения и понятия. Пусть 5 —
множество таких n-наборов (clf ..., сп) ? (F?, что Д (съ ..., сп) =г-
= 0 для всех i, I < i <: т. Будем через \Т\ обозначать мощ-
мощность (т. е. число элементов) конечного множества Т, так что,
например* | S | — число решений в fg системы уравнений
§ 1. Элементарные результаты о числе решений 335
ft (xlt ..., хп) = 0, i = 1, ..., т. Напомним (см. § 4 гл. 3) понятие
аффинного подпространства векторного пространства, под ко-
которым мы понимаем сдвиг некоторого подпространства этого век-
векторного пространства. Под размерностью аффинного подпростран-
подпространства по определению понимается размерность соответствующего
подпространства. Два аффинных подпространства назовем парал-
параллельными, если они получаются сдвигами одного и того же под-
подпространства.
6.10. Лемма. Пусть выполнены условия теоремы 6.8. Если Wi
и №2 — два параллельных аффинных подпространства размер-
размерности d = deg (fx) +...+ deg (/m) векторного пространства F?
над полем Fq характеристики р, то
11FX П <S | = | W, П 51 (mod p). *
Доказательство. Случай Wx = W2 тривиален, так что можно
предположить, что Wx Ф W2. Произведя соответствующим обра-
образом подобранное невырожденное линейное преобразование (ко-
(которое не может изменить степени многочленов ft), мы можем до-
добиться, чтобы аффинные подпространства Wt и W% определялись
условиями
Wx = {(cit ..., сп) € F? |с, = с2 = • • • = cn.d = 0},
w2 = \(Ci,..., сп) е fnq h = l, c2 = . • • = Cn.d = о}.
Рассмотрим многочлен
G(x{ хп) =
степени (n — d) (q — 1) — 1. Этот многочлен G принимает зна-
значение — 1 на аффинном подпространстве Wlt значение 1 на W%
и значение 0 во всех остальных точках пространства JF?. Теперь
положим
Для многочлена Я имеем
deg (Я) = d {q - 1) + (п - d) (q - 1) - 1 =
= п (q - 1) - 1 < п (q - 1),
при этом Я принимает значение —1 на множестве Wt f] S, зна-
значение 1 на Wt П 5 и значение 0 в остальных точках. Таким обра-
образом,
2 Н(съ ..., cn) = \Wt[\S\-\W1[\S\.
336 Гл. 6. Уравнения над конечными полями
С другой стороны, на основании леммы 6.4 эта сумма равна нулю.
Отсюда вытекает требуемый результат. , ]
6.11. Теорема. Пусть Д, ..., fm ? Fq [xlf ..., хп] — moKtie
многочлены, что d = deg (Д) +...+ deg (/m) < п. Если имеется
хотя бы один п-набор (сх, ..., сп) ? F", такой, что Д (съ ..., сп) -¦-
= 0 для всех i, I < i < т, то число N таких п-наборов удовлетво-
удовлетворяет неравенству N J> qn~d.
Доказательство. Рассмотрим два случая. В первом случае
предположим, что существует хотя бы одно аффинное подпро-
подпространство Wi размерности d векторного пространства }" над по-
полем F<j характеристики р, для которого | №х fl S\ Ф О (mod p).
В таком случае из леммы 6.10 мы получаем, что \W$ f| S\ щь
Ф 0 (mod p) для каждого аффинного подпространства W%, парал-
параллельного Wu так что \W2 П 5|>- 1. Представим теперь мно-
множество S решений в F" системы уравнений Д {хъ ..., хп) — 0i
i = 1, ..., /п, в виде объединения попарно непересекающижш
множеств: S = U (W f] S), где W пробегает все qn~d различных
w
аффинных подпространств, параллельных Wi (включая соответ-
соответствующее векторное подпространство). Тогда
W
Осталось рассмотреть случай, когда | W f| S | = 0 (mod p)
для всех аффинных подпространств W размерности d векторного
пространства F?. Так как по предположению N = \S\ "^ 1,
то существует натуральное число k, I < k < d, такое, что для
каждого аффинного подпространства V размерности k имеет место
сравнение \V f\ S\ = 0 (mod p), однако существует некоторое
аффинное подпространство U размерности k— 1, для которого
\U П S| =jzi= 0 (mod ;>). Зафиксируем одно из таких аффиннах
подпространств U. Рассмотрим теперь все аффинные подпростран-
подпространства V размерности k, содержащие U. Число таких V равно г)
qk_qk-\
Ч г
Для каждого такого аффинного подпространства V рассмотрим
теоретико-множественную разность V\U. Имеем
\(V\U) nS| = |KnS|-|t/n S|#
х) Каждая точка a g F"\U однозначно определяет такое V, причем все
Ц —ц точек из V\U определяют V. — Прим, перев.
§ 1. Элементарные результаты о числе решений 337
откуда следует, что |(К\?/) Г) 5| > 1. Поскольку множество U
и все разности V\U образуют разбиение множества (F", то
так как k < d. ?
6.12. Пример. Неравенство N >- qn~d из теоремы 6.11 опять
является наилучшим из возможных (даже для т = 1) в том смысле,
что для любых натуральных чисел d и п, d < n, существует такой
многочлен Д ? Fg U1( .... хп] степени d, что уравнение Д (л^, ,..,
хп) = 0 имеет ровно qn~d решений в f". Пусть многочлен g ?
6 Fg [*i> ••¦> ха} определен так же, как многочлен / из примера
6.7, но число п заменено на d. Тогда положим Д (хъ ..., хп) =
= g (xi, .... xd), так что переменные ха+ъ ..., хп не входят явно
в Д. Теперь тем же способом, что и в примере 6.7, можно показать,
что Д (clt ..., с„) = 0 в том и только том случае, если сх = ...
... = cd = 0. Поскольку при этом cd+i, ..., сп могут быть любыми
элементами поля fq, то уравнение Д (хъ ..., хп) = 0 имеет ровно qn~d
решений в fj. Q
Нетрудно также найти некоторые элементарные верхние гра-
границы для числа решений уравнения / (xlt ..., хп) = 0. Следующий
результат можно рассматривать как обобщение известной тео-
теоремы о том, что многочлен от одной переменной степени d ~^> 0
имеет не более d корней (ср. с теоремой 1.66).
6.13. Теорема. Пусть f ? Fq lxu ..., хп] — многочлен сте-
степени d ~^> 0. Тогда уравнение f (хъ ..., хп) = 0 имеет не более dqn~x
решений в f%.
Доказательство. Если d = 0, то многочлен / является ненуле-
ненулевой константой, и результат тривиален. Если d = 1, то уравне-
уравнение
/(*i хп) = а^х -\ + апхп + b = 0
имеет q"~l решений в |pj, так как по крайней мере один из коэффи-
коэффициентов at отличен от 0, так что соответствующая переменная xt
однозначно определяется значениями остальных переменных (ко-
(которые можно задавать произвольно). Результат, очевидно, верен
и для л = 1.
Таким образом, теорема верна в случае, когда d < 1 или
п = 1. Далее будем продолжать двойной индукцией. Пусть п > 1,
d > 1 и результат справедлив для ненулевых многочленов не бо-
более чем от п переменных степени, меньшей чем d, а также для
ненулевых многочленов менее чем от п переменных степени, ие
22 Зак. 222
338 Гл. 6, Уравнения над конечными полями
превосходящей d. Докажем, что результат справедлив для произ-
произвольного многочлена f {хъ ..., хп) от п переменных степени d.
Рассмотрим два случая.
Случай /. Многочлен / (хъ .,., хп) делится на хг — с при не-
некотором с ? fq. Тогда
/ (хъ ..., хп) = (хг — c)g (хъ ..., хп),
где g — ненулевой многочлен степени, равной d — 1. Используя
предположение индукции и элементарный подсчет, легко пока-
показать, что число N решений уравнения / (хх, ..., хп) = 0, лежащих
в F?, не превосходит числа tf'1 + (d — 1) qn~l = dqn~l.
Случай 2. Пусть многочлен fx (хх, ..., хп) не делится на хх — с
ии при каком с ? f ч. Тогда / (с, х2, ..., хп) — ненулевой много-
многочлен от п — 1 переменных степени» не превосходящей d, для лю-
любого с ? fq. По предположению индукции уравнение / (с, х%, ,..,
хп) = 0 имеет не более dqn~2 решений в (FJT1. Но поскольку суще-
существует q различных выборов элемента с ? fqr то число N реше-
решений уравнения / (хг, ..., хп) = 0 из F^ не превышает q-dq"~2 =
= dqn~l. G
6.14. Пример. Верхняя граница dqn~l, полученная в теореме
6.13, может представлять интерес лишь в случае, когда d < q.
В этом случае граница может действительно достигаться. Рас-
Рассмотрим, например, многочлен
/ (*i, •-., хп) = (хг — d) (xx — с%) ... (xt — cd),
где си с2, ..., cd — различные элементы поля fq. Степень много-
многочлена / равна d, и легко видеть, что уравнение / (жь ..., хп) — О
имеет ровно dqn~% решений в §". ?
В соответствии с определением 1.72 многочлен / называется
однородным многочленом (или формой), если все его члены имеют
одну и ту же степень. Для такого многочлена положительной сте-
степени уравнение / (хг, ..., хп) = 0 всегда имеет тривиальное ре-
решение @, ..., 0). Рассматривая нетривиальные решения (если они
имеются), можно для однородных многочленов получить неболь-
небольшое снижение верхней границы, найденной в теореме 6.13.
6.15. Теорема. Пусть f ^ fq l%i, ••-. хп ] — однородный
многочлен степени d >1, Тогда уравнение f {хх, ..., хп) — 0 имеет
не более d (qn~l — l) нетривиальных решений в fq.
Доказательство. Если либо d = 1, либо п = 1, то результат
очевиден. Продолжим доказательство двойной индукцией, как
и при доказательстве теоремы 6.13, Допустим, что п > 1, d > 1
и что результат верен как для непостоянных однородных много-
многочленов не более чем от п переменных степени, меньшей чем d,
§ I. Элементарные результаты о числе решений 339
так и для непостоянных однородных многочленов менее чем от п
переменных степени, не превышающей d. Возьмем однородный
многочлен / (хх, ..., хп) степени d от п. переменных и рассмотрим
два случая.
Случай 1. Пусть многочлен / (хъ ..., хп) делится на хх. Тогда
/ I V Y \ Y . GF (Y Y \
где g — непостоянный однородный многочлен степени, равной
d — 1 • Используя предположение индукции и элементарный под-
подсчет, легко обнаружить, что число нетривиальных решений урав-
уравнения / (хъ ..., х„) = 0 в F? не превосходит числа
(qn-i _ 1) _|_ (d—1) (<?*-' — 1) = d {qn~x — 1).
Случай 2. Многочлен f (xlt .... хп) не делится на хг. Тогда
/ (с, х2, ..., х„) является многочленом от п— 1 переменных сте-
степени d для любого с ? F», так что по теореме 6.13 уравнение
/ (хъ ..., хп) = 0 имеет не более (q — 1) dq"~2 решений {сх, ...,
сп) € 8>> ДОЯ которых сг Ф 0. Кроме того, /@, х%, ..., хп) яв-
является однородным многочленом степени d от п — 1 переменных,
так что из предположения индукции вытекает, что уравнение
/ (хх, ..., хп) = 0 имеет не более d (cf1-2 — 1) нетривиальных ре-
решений вида @, съ, .... сп) ? FJ. В итоге число нетривиальных
решений уравнения / (хг, ..., хп) = 0 в (F^ не превышает числа
(q - \)dqn~2 + d(q«-2 - 1) = d(q"~l - 1). Q
Исследуем теперь вопрос о среднем числе решений полиномиаль-
полиномиального уравнения. Для натурального числа d пусть Qd — множе-
множество всех многочленов / ? Fq [хъ ..., хп], степень которых не
превосходит d. Пусть ш (d) — число n-наборов (tlt ..., in) неотри-
неотрицательных целых чисел, для которых ix +...+ in <; d. Тогда мощ-
мощность |Qd| множества Qd равна ^m(d). Для / ? Qd обозначим
через N (/) число решений уравнения / (хх, ..., хп) = 0 в f°.
6.16. Теорема. В обозначениях, введенных выше, имеет место
равенство
1
\Od
Другими словами, среднее число решений в f^ уравнения f (#i, ...
•¦•> хп) = 0 (где f — многочлен положительной степени-^ d от п
переменных над полем Fq) равно qn~l.
22*
340 Гл. 6. Уравнения над конечными полями
Доказательство. Можно написать
S N{f)= ? ? 1= ' S Si.
Для «-набора (си ..., cn) ? F? все многочлены степени-<
f(xu ..., ж„) =
обладающие свойством / (clt ..., cn) = 0, можно получить, выби-
выбирая произвольно коэффициенты щ ,• , 0 < ix +¦••+ in < d,
а затем определяя свободный член ао о так, чтобы / (сх,..,, сп)~
= 0. Таким образом, число многочленов / ^ Qd, удовлетворяю-
удовлетворяющих условию / (сх, ..., сп) = 0, равно qa (d)-{. Поэтому
и искомый результат установлен. ?
Полиномиальное уравнение от п переменных имеет, таким об-
образом, в среднем qn~l решений в fg. Найдем теперь среднее ква-
квадратичное отклонение от найденного среднего значения.
6,17. Теорема, В обозначениях, введенных выше, имеет место
равенство
2
Другими словами, среднее квадратичное отклонение от среднего
значения <?""' числа решений в F" уравнения f (xlt ..., хп) = 0
(где f — многочлен положительной степени <С d от п переменных
над полем fq) равно qn~x — ф-2.
Доказательство. Вводя обозначения b = (Ъг, .... Ъп) С F» и
с = (clf ..., сп) ^ Fq, можно написать
S 1 =
€F«
/ (Ь)=0 / (с)=0
Если b = с, то из доказательства теоремы 6.16 мы видели, что
внутренняя сумма принимает значение q"> <<*>-'; если же b Ф с,
то равенства / (Ь) = / (с) = 0 приводят к системе из двух ли-
линейных уравнений ранга 2 относительно коэффициентов много-
§ 2. Квадратичные формы 341
члена /. Указанная система имеет q™ <d>~2 решений. Отсюда сле-
следует, что
S \
Q « b, c?P«
Применяя полученное равенство и теорему 6.16, получаем
и тем самым результат установлен. ?
Таким образом, среднее значение квадратичного отклоне-
отклонения (N (/) — д1"-1J равно qn~l — q"~2. Можно поэтому ожидать,
что в большинстве случаев величина | N (/) — q"-1 | имеет поря-
порядок <7<"-i)/2. в последующих параграфах мы встретимся с приме-
примерами, подтверждающими такое предположение.
§ 2. Квадратичные формы
Квадратичной формой (от п переменных) над полем fg назы-
называется однородный многочлен / степени 2 из кольца fq [хъ .... хп ]
или нулевой многочлен. Если число q нечетно (а этот случай пред-
представляет особый интерес), то смешанные члены bijXtXj (I < i <
< / <; п) можно представить в виде -у btjXiXj-\--к- bijXjXi, что
приводит к представлению
п
f \Хх, ..., хп) = 2j ®tj%iXji где аи = Oji,
i, /=1
для любой квадратичной формы / над fq. Тогда мы сопоставляем
с / квадратную матрицу порядка п
аи аш ... alnN
А = (аи) = « пп ааа ' • • °2п
\ат ат ... апп
342 Гл. 6, Уравнения над конечными полями
Матрица А называется матрицей коэффициентов квадратичной
формы / (или просто матрицей квадратичной формы /). Если
транспонированную к матрице М матрицу обозначить симво-
символом Мт, то в данном случае окажется, что АТ = А, т. е. ма-
матрица Л симметрическая. Если через х обозначить вектор-стол-
вектор-столбец из переменных хх, ..., хп, то легко видеть,что квадратичная
форма / представляется в виде матрицы хМх (т. е, / (хт) = хМх).
6,18. Пример. Рассмотрим квадратичную форму / (хх,хг) =
= 2х\ + ххх% + х\ от двух переменных (так называемую бинар-
бинарную квадратичную форму) над полем iF5. Матрица коэффициентов
квадратичной формы / равна
/2
л (
/2 3\ (х
х Ах = (хи х2) U 1 L
\О 1 / \X2 /
Если /—квадратичная форма над полем fq и Ъ ? ?q, то
для числа решений уравнения / (хъ ..., хп) = b в F? удается уста-
установить явную формулу. Для получения этой формулы мы сначала
с помощью линейного преобразования переменных приведем
квадратичную форму / к простейшему виду. Линейное преобразо-
преобразование переменных зададим матричным равенством х = Су, где С —
квадратная матрица порядка п над Fq, и у — вектор-столбец
из новых переменных уъ ..., уп. Если матрица С невырожденна,
то соответствующее линейное преобразование тоже называется
невырожденным.
6.19. Определение. Две квадратичные формы fug над про-
произвольным фиксированным конечным полем fq называются экви-
эквивалентными, если / может быть переведена Bg с помощью невырож-
невырожденного линейного преобразования переменных.
Нетрудно убедиться в том, что эквивалентность квадратичных
форм действительно задает отношение эквивалентности (т. е.
обладает свойствами рефлексивности, симметричности и транзи-
транзитивности). Кроме того, если квадратичные формы fug эквива-
эквивалентны, то для любого элемента b ? fq уравнения / (хъ ..., хп) =
= b и g (х\, ..., хп) = b имеют одно и то же число решений в F«
(ввиду того, что матрицу С можно использовать для задания вза-
взаимно однозначного соответствия между векторами-решениями
этих двух уравнений). При нечетном числе q матрицы коэффи-
коэффициентов А я В двух эквивалентных квадратичных форм fug
над (Fg связаны соотношением В = С1 АС, где невырожденная
§ 2. Квадратичные формы 343
матрица С задает соответствующее линейное преобразование
переменных (так как / (хт) = хМх = (Су)т А (Су) = ут(СМС) у =
т5 (т))
Уу ?)
Сначала мы изучим подробнее случай, когда число q нечетно
(т. е. поле F q имеет характеристику р > 2). Покажем, что каж-
каждая квадратичная форма над Fq эквивалентна некоторой диаго-
диагональной квадратичной форме а\х\ +...+ апх% над fq. Будем
пользоваться следующей терминологией: квадратичная форма /
над полем Fq представляет элемент а ? fq, если уравнение
/ (xi, ..., хп) = а имеет хотя бы одно решение в Fq-
6.20. Лемма. Если q нечетно и квадратичная форма от п
переменных f ? Fq lxlt ..., хп] при п ^> 2 представляет эле-
элемент й ? fj, то f эквивалентна квадратичной форме ах\ +
+ g (*г. •¦•. хп), где g— некоторая квадратичная форма над
Fq от п — / переменных.
Доказательство. По предположению существует n-набор ст =
= (сх, ..., с„) ? Fq, для которого / (clt ..., сп) = а. Поскольку
а Ф 0, то не все ct равны 0, поэтому можно найти невырожденную
лХп-матрицу С над Fq, первый столбец которой состоит из эле-
элементов си ..., с„ (т. е. равен с). Если применить к квадратичной
форме / линейное преобразование переменных, задаваемое матри-
матрицей С, то получим квадратичную форму от новых переменных
Уъ ¦¦•> Уп, У которой коэффициент при у\ равен / (съ .,., cn) = a
(так как в матрице В = СТАС = {bi}) элемент Ьц равен сМс =
= / (ст) = а). Это значит, что / эквивалентна квадратичной форме
вида
ау\ + 2Ь2у\У2 Н h ^bnyiyn + h (y2, ..-., у„) =
= а(У1 + Ь^гху% Н h bnor^nf + g (y2, .... yn)
для подходящим образом подобранных элементов Ь%, ..., bn ? Fq
и квадратичных форм hug над Fq. Невырожденное линейное
преобразование
Xi = yi + Ь2аГ% + • • • + Ьпа~1уп, х% = у2, ..., хп = уп
приводит тогда к квадратичной форме требуемого вида. • ?
6.21. Теорема. Каждая квадратичная форма над полем Fq,
где q нечетно, эквивалентна некоторой диагональной квадратич-
квадратичной форме.
Доказательство. Применим индукцию по числу п переменных.
Если п = 1, то квадратичная форма/(xj) = ацх\ уже диагональна.
Пусть теперь п >- 2, и предположим, что утверждение теоремы
справедливо для квадратичной формы от п — 1 переменных.
Пусть f (xlt ..., хп) — квадратичная форма от п переменных.
344 Гл. 6, Уравнения над конечными полями }
Теорема верна, если / — нулевой многочлен. Если же / Ф О,
то либо / имеет некоторый коэффициент ап Ф О и тогда она пред-i
ставляет элемент ait, либо все ап равны 0, i = 1, ..., п, но найдется;
такая пара (t, /), 1 < i < / < п, что аи = aJt Ф 0, и тогда /;'
представляет элемент 2аи Ф О, так как при сь = с, = 1, ск = О?
для всех k Ф i, / получаем / (cb ..,, сп) = 2ац. В любом случае /
представляет некоторый элемент ах ?_Тд, так что/ эквивалентна
квадратичной форме aixf + g (x2, ..., хп) согласно лемме 6.20.
По предположению индукции g эквивалентна некоторой диагональ-
диагональной квадратичной форме а^х\ +¦-.+ апх2п, так что / эквивалентна
диагональной квадратичной форме а\х\ +...+ 'anx'i. ?
Если квадратичная форма / ^ ?ч1хъ ..., хп] эквивалентна
диагональной квадратичной форме flixf +•¦¦+ апх2п, то может ok;i-
заться, что некоторые из коэффициентов at равны нулю. Поскольку
умножение какой-либо матрицы на невырожденную матрицу не
изменяет ранга исходной матрицы, то матрицы коэффициентов
эквивалентных матриц имеют один и тот же ранг. В частности,
число ненулевых коэффициентов at в полученной выше диагональ-
диагональной квадратичной форме совпадает с рангом матрицы А коэффи-
коэффициентов исходной квадратичной формы /. Если матрица А имоет
ранг, равный ее порядку п, то квадратичная форма / называется
невырожденной. Назовем определителем {детерминантом) det (/)
квадратичной формы f определитель матрицы ее коэффициентов.
Тогда для невырожденности квадратичной формы / необходимо
и достаточно, чтобы det (/) Ф 0.
Отметим одно полезное соотношение. Если квадратичные
формы / и g эквивалентны, причем / переводится Bg с помощью
невырожденного линейного преобразования переменных с ма-
матрицей С, то из равенства В = СТАС, связывающего матрицы
коэффициентов А я В квадратичных форм fug соответственно,
сразу вытекает равенство
det (g) = det (/) det (СJ. F.3)
Для ненулевой квадратичной формы / ? fq 1хъ ..., хп] экви-
эквивалентная ей диагональная квадратичная форма может быть за-
записана без ограничения общности в следующем виде: ахх\ +...
...+ dkx\, где 1 <J k < п и все а{, i = 1, ..., k, отличны от нуля.
Поскольку для любого Ь ? fq число решений уравнения щх\ +...
...+ аих\ =? b, лежащих в fj, является увеличенным в qn~k
раз числом решений того же уравнения в fkq, то в дальнейшем
достаточно изучить лишь случай k = п, т. е. случай невырожден-
невырожденной квадратичной формы.
В дальнейшем исследовании весьма полезными окажутся вво-
вводимая ниже функция и некоторые ее простейшие свойства.
§ 2. Квадратичные формы 345
6.22. Определение. Пусть Fq — произвольное конечное поле.
Определим целочисленную функцию v (x) на Fg условием
—1, если b^fg,
j — 1, если 6 = 0.
6.23. Лемма. Для любого конечного поля ?q справедливо ра-
равенство
52 » (с) = 0, F.4)
и для любого 6 ? fq имеет место соотношение
vi / ч / ч ( 0, если 1 <: k < т, .. _.
2j v (сх) ... v (cft) = | . F.5)
ci+-+cm=u ( и F) Gя1, «слы k = т,
где сумма распространяется на все си ..., ст ^ fq, такие, что
Доказательство. Равенство F.4) тривиально. Далее, для лю-
любого k, 1 <: k < m,
52 v &) ... v (ch) =
52 »(Ci) ... о (с*) 52 1 =
U (Cjt) . . . V (Cft) =
?j и(Са)) . . . / 2j u(c
согласно F.4). Если же k = m в F.5), то применим индукцию
по т. Случай т = 1 тривиален; допустим, что формула верна для
некоторого т > 1. Тогда в силу первой (доказанной) части F.5)
52 w(Ci) ¦•¦ v(cm)v(cm+1) =
cl+---+cm+cm+l=b
= 52 »(Ci) ... 0(Cm)[0(Cm+1)+l] =
v(c1)...v(cm)[v(b-c1 cm)+l] =
346 Гл. 6. Уравнения над конечными полями
Справедливость последнего шага вытекает из того, что выражение
в квадратных скобках равно нулю, если сг +..,+ ст Ф Ь, и
равно q, если сх +•¦•+ ст = Ь. Остальное вытекает из предполо-
предположения индукции. ?
В дальнейшем мы часто будем использовать обозначение
iV (...) для числа решений уравнения, указанного в скобках,
лежащих в декартовой степени основного конечного поля, учиты-
учитывая лишь те переменные, которые на самом деле входят в уравне-
уравнение. Так, N {пхх\ + а2х\ = Щ обозначает число решений указан-
указанного уравнения в f2q.
Теперь продолжим изучение квадратичной формы / над по-
полем fq при нечетном q. Как мы видели, достаточно найти число
решений N (/ (xlt ..., хп) = Ь) уравнения, указанного в скобках,
для невырожденной квадратичной формы /. При этом будем раз-
различать случаи четного и нечетного п. Рассмотрим сначала одно
уравнение специального вида.
6.24. Лемма. Пусть г\ — квадратичный характер поля fq
нечетной характеристики, b ? fq и аь а% ? IF?. Тогда
N {ахх\ + п2х\ = b) = q-\-v (b) щ (—a
Доказательство. Считая сх и с2 элементами поля Fq, получим,
используя E.37), соотношение
N (aix2i + a<2xt = b) = ? N {ахх\ = с,) N (а2х\ = с2) =
b
(fl2) 'Z Т](С2)
53 Л (QC2) =
c2=b
53 цфс-с2).
F
Теперь на основании теоремы 5.48 последняя сумма равна v (b) •
r\ (—1), и, таким образом, результат доказан. П
6.25. Замечание. Полученный выше результат показывает,
в частности, что уравнение ахх\ + а^х\ = b всегда имеет хотя бы
одно решение в F|. Но это можно было бы установить и следую-
следующим несложным рассуждением. Рассмотрим множества S =
= {aic?|ci С Fq) и Т = {Ь — ач.с\\с2 С Fq) при нечетном q;
§ 2. Квадратичные формы 347
их мощности | S | и | Т | равны (q + 1)/2. Поскольку | S | + | Т | >
> q, то S и Т должны иметь хотя бы один общий элемент, напри-
например с. Тогда с = а\с\ = Ь — a-ict для некоторых с\, Сч ? Fq.
Это значит, что a,cf + а2с\ = Ь. Ввиду того что при четном q
каждый элемент поля fq является квадратом некоторого эле-
элемента этого поля, замечание тривиально выполняется и для слу-
случая четного q. П
6.26. Теорема. Пусть f — невырожденная квадратичная форма
от четного числа п переменных над полем Fq, где q нечетно. Тогда
для любого b ? Fq число решений уравнения f (xlt .,., хп) = b
в fi равно
где r\ — квадратичный характер поля Fq и А = det (/).
Доказательство. Пусть а\х\ +...+ апх\ — диагональная ква-
квадратичная форма, эквивалентная /. Поскольку эквивалентным
квадратичным формам fug соответствует одно и то же значение
г| (А) в силу F.3), а также одно и то же число решений уравне-
уравнений / (хх, ..., хп) = а и g (#1, ..., хп) = а в Fq для любого а ?
? Fq, то утверждение достаточно доказать для уравнения а\х\ +...
...+ апх1 = Ь, где все at отличны от 0. Для т = п/2 и си ...
¦••¦> ст € Fg из леммы 6.24 и соотношения F.5) получаем
J} N(ахх\ + а2х1 =--сх) ... N(an_i*Li + апх„ = ст) =
Cl+...+cm=b
Е lq + v (CjO ti (—CiOa)] ... Iq + v (cm) r\ (—fln_iCn)] =
-l)maa ... an) ? y(d) ... v(cm) =
-2)/2 /, 1\«/2„ _ N I—i
6.27. Теорема. Пусть f — невырожденная квадратичная форма
от нечетного числа п переменных над полем Fq, где q нечетно.
Тогда для b ? Fq число решений уравнения f (хъ ..., хп) = b
в Fq равно
где г\ — квадратичный характер поля Fq и А = det (/).
Доказательство. Как и в теореме 6.26, указанную формулу
достаточно установить для уравнения aiX\ +•¦•+ апхп = Ь, где
348 Гл. 6, Уравнения над конечными полями
все а,- отличны от 0. Формула справедлива для п = 1. Для п
применим теорему 6.26 и получим при съ с2 6 Fg
а„х*п = Ь) =
= 53 N (ахх\ = с,) N (а2х% + • • • + апх2п = с2) =
4-9("-
где на последнем шаге мы воспользовались формулами E.37)
и F.4). Теперь получаем
53 r\(c)v(b-c)= 53 ti(c)[oF-c) + 1] = 9t|F),
и результат доказан. D
Дадим теперь еще одно доказательство теорем 6.26 и 6.27,
использующее метод доказательства леммы 6.24 и свойства сумм
Якоби. Как и раньше, достаточно рассмотреть уравнение axx\ +.,.
+ апх\ = Ь, где все щ отличны от 0. Обозначим через i|30 тривиаль-
тривиальный мультипликативный характер поля fq, и пусть % = ц
п N = N (flixf +...+ апх% = Ь). Тогда для си ..., cn?fq
N=
53
..+с
53
§ 2. Квадратичные формы 349
1
= Е Е Ь
ct+...+cn=b it in=0
• • to» К) Е
+
В силу E.38), E.39) и E.40) в этой сумме остаются лишь два члена,
а именно те, которые соответствуют n-наборам (t'x, ..., in), рав-
равным @, ..., 0) и A, ..., 1), так что
N = <f-' + 1\{аг ... с„)/ь(ц, ..... л), F.6)
где в сумму Якоби входит п экземпляров г\.
Для b Ф 0, применяя E.38), получим
..., п). F.7)
Если п четно, то можно применить E.44) и теорему 5.12 (iv),
и тогда для произвольного нетривиального аддитивного харак-
характера х поля Fq получаем
J(% ¦¦¦, Л) = -уС(т|, х)» = -±[О(л, XJf/2 =
= —J- h (-i) 9f/2 = -я{п-2I\ ((-1)П
Теперь из F.7) следует равенство
. ^ = /-'-^^((-1)^0, ... ап),
что согласуется с теоремой 6.26 при Ь Ф 0. Если же я нечетно,
то из E.43) н теоремы 5.12 (iv) получим
/ (л, .... л) = о (л, х)"-1 = [G (т,, %п{п-1)/2 = h (-1) 9](п-1)/2 =
= ^«-1)/ал((_1)<-')/я), F.8)
так что из F.7) вытекает
-1)/2tl((-l)('i-1)/2K ... ап),
что согласуется с теоремой 6.27.
Теперь рассмотрим случай 6 = 0. Если п четно, то можно
применить E.42), и тогда получим
Join, ->Ч) = (?— 1) Л (—1)/(т|, •.-, Л).
350 Гл. 6. Уравнения над конечными полями
где в последнюю сумму Якоби входит п — 1 экземпляров л\.
Таким образом, согласно F.8),
Jo(r\ Л) = (?-1)^)/М<-1)в/2).
и из F.6) получаем равенство
N=qn-x + (q-\)q^l\({~\f"al ... ап),
что согласуется с теоремой 6.26. Если же п нечетно, то, согласно
E.41), /0 (т], ..., г\) = 0; поэтому из F.6) следует, что N = qn'],
и это согласуется с теоремой 6.27. ?
6.28. Замечание. При нечетном числе q мы можем также найти
число решений в FJ уравнения h (хъ ..., хп) = Ь, где Ь 6 F9
и ft — многочлен над fq степени 2 (но не обязательно квадратич-
квадратичная форма). Можно написать h = / + g, где /— квадратичная
форма и deg (g) < 1. Применив невырожденное линейное пре-
преобразование, переводящее / в диагональную квадратичную форму,
получим уравнение
\ l • • • + bnxn = b A < k < n, все at Ф 0),
которое имеет то же число решений, что и исходное уравнение.
Если k < n, то без ограничения общности можно предположить,
что Ьп Ф 0. Тогда число решений этого уравнения равно q"~\
так как переменным хи ..., хп_г можно придать произвольные
значения из fq и по ним однозначно определить значение хп.
Если же k = n, то невырожденное линейное преобразование
Xl = yt — bt Ba;), i = 1, ..., п, приводит к уравнению щу\ -\-...
...+ апу2п = с для некоторого с ? fq, не изменяя числа решений.
Теперь число решений указывается теоремами 6.26 и 6.27. ~\
Перейдем теперь к случаю четного q, т. е. к случаю, когда
основным является конечное поле fq характеристики 2. Рассмо-
Рассмотрим тот же вопрос о числе N (f (Xi, ..., хп) = Ь) решений в F?
уравнения f (хи ..., хп) = Ь, где /—квадратичная форма над fq
от п переменных и b ? Fq. Будем применять ту же стратегию,
что и раньше, а именно приведем сначала / к эквивалентной ква-
квадратичной форме простейшего вида. Квадратичную форму /
от п переменных над полем характеристики 2 назовем невырожден-
невырожденной, если / не эквивалентна никакой квадратичной форме от мень-
меньшего, чем п, числа переменных (если такое определение приме-
применить к случаю нечетного q, то мы придем к тому же понятию
невырожденности, что и раньше). Снова достаточно изучить лишь
случай невырожденной квадратичной формы.
6.29. Лемма. Невырожденная квадратичная форма f (xlt ....
хп) от п ;> 3 переменных над полем Fq при четном q эквивалентна
ХЛ + g (¦% •••» хп)> где g — невырожденная квадратичная форма
над fq от п — 2 переменных.
§ 2. Квадратичные формы 351
Доказательство. Покажем сначала, что квадратичная форма /
эквивалентна некоторой квадратичной форме, в которой коэф-
коэффициент при х\ равен 0. Запишем
/(*!,...,*„)= 53 atjxtxj. F.9)
Если какой-нибудь коэффициент ati равен 0, то изменяя нумера-
нумерацию переменных, полагаем ап = 0, Поэтому можно предполо-
предположить, что все ац отличны от 0. Если при этом все ац равны 0
для i < /, то
/(*!, ..., хп) = ацл? -\ + аппх2п = {ai'hx + ¦ • • + a"JnXnf,
но это означает, что / эквивалентна квадратичной форме от одной
переменной, что противоречит невырожденности /. Поэтому най-
найдется aij Ф 0, i < /, и, изменяя соответствующим образом нуме-
нумерацию переменных, можно считать, что а23 ф 0- Выделяя теперь
члены /, содержащие х2, можно написать
/(хъ ..., хп) =
+ gl(Xu XS, ..., Хп),
и затем, применив невырожденное линейное преобразование пе-
переменных
х$ = аБ1 (anyi + Уз + ад^ Ч h «гпУп),
xt = ^ для i # 3,
перейти к эквивалентной квадратичной форме
«22#2 + Ms + g* Q/l» УЗ. -. #n)-
Пусть 6U обозначает теперь коэффициент при у\ в g2; тогда, при-
применив невырожденное линейное преобразование переменных
yt = zt для i ф 2,
получим эквивалентную квадратичную форму, в которой коэф-
коэффициент прн г\ окажется равным 0.
Теперь пусть квадратичная форма / задана равенством F.9),
причем аи = 0. Поскольку / невырожденна, все aXj не могут быть
равными нулю, так что можно предположить, что ахг Ф 0. Тогда
невырожденное линейное преобразование переменных
Хг = aTi {У% + йхаУз -\ г" ОщУп),
xt = Уг для i ф 2
352 Гл. 6, Уравнения над конечными полями
переводит / в квадратичную форму вида
УхУг + Е
2«/
которая в свою очередь с помощью невырожденного линейного
преобразования переменных
Hi = zt для i ф 1
переводится в квадратичную форму zxzt + g (z3, ..., zn), где g,
очевидно, — невырожденная квадратичная форма. Г.!
6.30. Теорема. Пусть f (хх, ..., хп) — невырожденная квадра-
квадратичная форма от п переменных над конечным полем р„ характе-
характеристики 2. Если число п нечетно, то f эквивалентна квадратичной
форме
Х
- • • • ~\~ хп-2хп-1
Если же п четно, то f эквивалентна либо квадратичной форме
Х-^Хъ I Х§Х^ -\- ... ~j~ Xn_iXn,
либо квадратичной форме
ХгХ% + *3*4 + ¦ • • + Хп-\Хп + х2 +
где а ? fq, причем Тгр (а) = 1.
Доказательство. Если п нечетно, то, применяя индукцию
по п и теорему 6.29, легко показать, что / эквивалентна квадра-
квадратичной форме вида хххг + xsxt + ... + xn_2xn-i + oxl, где а ?
? fq. Заменяя теперь хп на а-ч/2хп, получаем требуемую ква-
квадратичную форму.
Если же п четно, то, применяя индукцию по п и лемму 6.29,
можно показать, что / эквивалентна квадратичной форме вида
h Хп-гХп-2 + bxl-i + схп-\хп + dxl,
где Ь, с, d ? fq. В силу невырожденности / элемент с должен быть
отличен от 0, иначе равенство
позволило бы привести / к эквивалентной квадратичной форме от
меньшего, чем п, числа переменных. Если b — 0, то квадратичная
форма
cxn_ixn + dxl = (схп_! + dxn) xn
эквивалентна xn_iXn, и мы приходим к требуемому виду. Если же
ЬфО, то, заменяя хп.г на b-il2xn_x и хп на ?'Ч-Ххп, получаем,
§ 2. Квадратичные формы 353
что квадратичная форма Ьх2п—\ + схп—\хп + dx2n эквивалентна
Хп-\ + xn—ixn + axft для некоторого а ? Fq. Если при этом мно-
многочлен х2 + х + а приводим в кольце fq [x], то
х% + х + а = (х + сх) (х + с2)
для некоторых сх, с2 ? Fg, откуда
д&_1 + *n-i *n + a*n = (*n-i + CiJfn) (Jf«—i + c2xn),
что эквивалентно квадратичной форме xn_iXn. Если же многочлен
х1 + х + а неприводим в F9 [jc], то на основании следствия 3.79
получаем, что Тгр (а) = 1, и результат полностью установлен. ?
Ввиду инвариантности числа N {f (хг, ..., хп) = Ь) относи-
относительно перехода к эквивалентной / квадратичной форме можно
теперь сосредоточить внимание на квадратичных формах тех
специальных типов, которые указаны в теореме 6.30. При этом
мы снова воспользуемся функцией v (x), введенной определе-
определением 6.22.
6.31. Лемма. Пусть а ? Fg, где q четно, причем Тгр (а) =
= 1, и Ь С Fq. Тогда
N (*? + *!*, + axl = Ь) = q -v(b).
Доказательство. Так как в силу следствия 3.79 многочлен
х2 + х + а неприводим в кольце Fq lx], то
х% + х + а = (х + а) (х + а"),
где а ? Fq>, а ^ Fq, так что
/ (*i. х2) = х\ + ххх% + <ж% = (*i + ах2) (хх + а"х2).
Поэтому для произвольной упорядоченной пары (сх, са) ? F/
получаем
/(ci. с2) = (сх + ас*){Сх + аЧ2) == (сх + ас2) (ct + ас2)ч = (сг + ас&+К
Ввиду того что {1, а\ — базис поля Fq* (как векторного про-
пространства) над полем Fq, то между упорядоченными парами
(ci> с2) С IF? и элементами у = сг + ас2 ? f?i можно установить
взаимно однозначное соответствие. Поэтому число N (/ (xx, x2) =
= Ь) совпадает с числом элементов у ? Fq; для которых +1
= Ь. При 6 = 0 получаем
Если же b Ф 0, то
рядка q2 — 1 Ь"
элементов у ?
*•) = 6) = ?
23 Зак. 222
(f(x, 2) ) 7()
0, то поскольку FJ» — циклическая группа по-
пои Ь-"/^+1> = Ь«-' = 1, существует q + 1
F?>t таких, что ¦у*+1 = Ь. Это означает, что N (/ (jclf
1 = q — v{b). О
364 Гл. 6, Уравнения над конечными полями
6.32. Теорема. Пусть fq — конечное поле характеристики 2,
и пусть b ? Fg. Тогда для нечетного числа п число решений
уравнения
Х1Х2 4~ *3*4 ~Г" ' ' ' ~Ь ХП-2ХП-1 + ХП = Ь
в f1^ равно qn l. Для четного п число решений уравнения
„ у ! „ у _|_ -4-х X h
в fg равно qn~l + v (b) q(n~~2)f2. Для четного пи а ? fq, удовле-
удовлетворяющего условию Тгр (а) = 1, число решений уравнения
. , . . 2 2 .
xix% ~т~ хзх$ \ ''' р хп—1хп г" хп—1 ~р аХп == о
в Г? роено <f ~' - у (ft) 9(л~2)/2.
Доказательство. Так как уравнение л:2 = с имеет единственное
решение (в силу теоремы 2.21) в поле Fg характеристики 2 для
любого с ? Fg, то для нечетного п получаем
N (*А + л3х4 + • • • + *п-2*«-1 + x2n = b) = qn~\
поскольку для произвольно заданных значений переменных хи..-
¦ ¦-, хп_г значение переменной хп, удовлетворяющее уравнению
в скобках, определяется однозначно.
Теперь заметим, что число N (ххх% = Ь) равно q — 1 при Ъ Ф- О
и 2q — 1 при 6 = 0, так что в обоих случаях справедливо равенство
N (хгх% = b) = q + v (b). Поэтому для четного п, скажем п = 2т,
мы получим при си ..., ст ^ ?я
N (ххх2 + x3xt + ... + хп_гхп = Ь) =
= сг)... N (хп_гхп = ст) =
где мы воспользовались формулой F.5).
Осталось рассмотреть уравнение последнего типа. В этом
случае указанная в теореме формула числа решений в силу лш-
мы 6.31 справедлива для п = 2. Если же п > 4, то, используя
§ 3, Диагональные уравнения 356
результат предыдущего случая и лемму 6.31, получаем (при
Сг, С2 ? Fg)
jV (хгх2 + х3х4 + • • • 4- *„-!*„ + *Li + ax% = b) =
= Tl N (хгХг -]-...-)- Хп_зХп_2 = Cx) x
XN (xn-ixn + 4-i + axn = c2) =
_L q(n-2)t2
V (C2) =
где на последнем шаге мы воспользовались формулами F.4) и
F.5). D
§ 3, Диагональные уравнения
В предыдущем параграфе мы пришли к изучению уравнений,
содержащих диагональные квадратичные формы. Такие уравнения
являются частным случаем общего семейства так называемых
диагональных уравнений. Диагональным уравнением (над конеч-
конечным полем Fg) называется уравнение вида
кk = b, F.10)
где kly .... kn 6 IN, аг, ..., ап ? f*q и b ? Fq.
Число решений
N = N (ajx1 H 1- anxknn = Ь)
уравнения F.10) в F? можно выразить через суммы Якоби. Если
Си ¦¦¦, сп С Fg, то
N= 2J N (ад1 = Cl)...N (anxknn = с») =
++Ь
Из E.70) получаем
d—\ /
N (xk = с) = 23 ^ (с),
23*
366 Гл. 6. Уравнения над конечными полями
где к — мультипликативный характер порядка d = НОД (k,
q — \) поля fq. Для i = 1, ..., п пусть dt = НОД (klt q — \)
vl%i — мультипликативный характер порядка dt поля fq. Тогда
М-1 \ fdn~l . \
N= 1] 2) Я{' (аГ'О ... 2 # (а-'С„) =
ci+-••+"«=» \/.=о / \;п=о /
= ? • ¦ ¦ ? *,(' («Г') ... 4" (а) Е U1 (Сг)... ^ (с„) =
/i=0 /n=0 c1+.-.+cn=b
4,-1 <<„-¦
= 23 ... 2 М1 (ах)... Игп (an)Jb (к[\ ..., к'пп).
/.=о /п=о
Если (я, .... jn) = @, ..., 0), то J6 (Я?1, ..., Яяп) = qn~l соглас-
согласно E.38) и E.39). Если некоторые (но не все) jt равны 0, то
Jb (%[\ ..., к'пп) = 0 согласно E.38) и E.40). Поэтому
<fi-i rfn-' . . . .
N = qn~l+ ? ... ? ti1(a1)...i'nn(an)Jb(%!l1,...,Klnn)- F.11)
/.=i /n=i
Рассмотрим теперь два случая b = 0 и b Ф 0. Если b = 0, то из
E.41) вытекает, что если характер к^ ... кпп нетривиален, то
Jo (ki1, ..., кпп) = 0. Поэтому мы приходим к следующему ре-
результату.
6.33. Теорема. Число N решений в К диагонального уравнения
k k
Щ.Х\ * + •.. + ап%п ~ 0 задается формулой
N = qn-1 + 2 if1 (fll) ..Alnn(an)J0 (kl1, ...,k'nn),
Vi /n)€r
где kt —мультипликативный характер порядка dt = НОД {kt,
q — 1) поля Fq, l<^i-<n, и Т — множество всех п-наборов
(/i. ¦¦¦Jn) € Z", г^е 1 < /j < d< — 1, 1 < i < n, /na/CMJj, что
ki1 ... k^1 — тривиальный характер поля fq.
Если же Ь Ф 0, то, применяя E.38), получим, что
Это приводит к следующему результату.
6.34. Теорема. Если b ? FJ, то число N решений в fnq диа-
h k
ия a^xi1 + ... + апхпп = b зад
... 23 ^ (ЬаТ1) ... к'пп (ban1) J
гонального уравнения a^xi1 + ... + апхпп = b задается формулой
§ 3. Диагональные уравнения 357
где Я| — мультипликативный характер порядка dt = НОД (kt,
q — 1) поля fq.
6.35. Замечание. Выведенные выше формулы показывают, что
число N зависит не непосредственно от показателей ku а лишь
от наибольших общих делителей dt = НОД (ku q— 1). Можно
поэтому считать без ограничения общности, что в уравнении F.10)
показателями kt являются делители числа q — 1. ?
Из теорем 6.33 и 6.34 нетрудно получить оценки для числа N.
Пусть di, ..., dn — натуральные числа, и пусть М (а\, ..., dn) —
число л-наборов (jlt ..., /„) ? z", таких, что 1 < Д < dt — 1
при 1 < I < п и 0У4) + ... + (jn/dn) € Z.
6.36. Теорема. Число N решений в F? диагонального уровне-
k k
ния агх\х + ... + апХпп = 0 удовлетворяет неравенству
IN - (f-> | < М (dlt .... dn) (q - 1) qC-W,
где dt = НОД (klt q — 1), 1 < i < n.
Доказательство. Из следствия 5.23 и теоремы 6.33 вытекает
(в обозначениях этой теоремы), что
I N - q"~l \.<\T\(q- l)q(n-2^.
Группа мультипликативных характеров поля fq, согласно след-
следствию 5.9, циклична. Пусть к — образующий элемент этой группы.
В теореме 6.33 можно взять %t = %((>~1)!й1, i = 1, ..., п. Тогда
произведение
1>х l'n _ »(/i <4-\)ld1) + -+ (,n te-l)/^)
Л| ... /v/j —- Л
будет тривиальным характером в том и только том случае, если
(Шд + ... + (/А) € Z, так что | Т | = М D, -, 4). ?
6.37. Теорема. Пусть b ? F,. Тогда число Л? решений в р?
диагонального уравнения a1xi1 + ... + «Л71 = 6 удовлетворяет
неравенству
< [(й - 1)... (dn - 1) - A - <Г1/2) М D, ....
г5е dt = НОД (А,, ? — 1), 1 < i < п.
Доказательство. Из теорем 5.22 и 6.34 следует, что
IN ~ <f-> | < [(dt - 1)... (dn - 1) - | T |] ?<—•>/» +171 g<"-2>/2 =
= [(dx - 1)... (dn - 1) - A - <7-'/2)| 71]<7<»-»/2.
Остается только напомнить, что | 7 | = М (dx, ..., dn) на основа-
основании доказательства теоремы 6.36. ?
358
Гл. 6. Уравнения иад конечными полями
Ясно, что М (dlt ..., dn) < D — 1)... (dn — 1). ЧислоМ D,...
.,., dn) может равняться нулю, например, если одно из чисел dt
взаимно просто со всеми остальными. Чтобы это доказать, пред-
предположим для определенности, что НОД (dlt dt) = 1 при всех
i = 2, .... п. Если для некоторого я-набора (j\, ..., /„) ? z\
где 1</е<^ — 1 для l<t<n, имеем (jjd^ + ... + (jn/dn) =»
= tn ? z, то Д^а ... dn + /4i = mdx ... dn для некоторого / ^ z,
поэтому /idj ... dn = 0 (mod dx). Но НОД D, d^ ••• dn) = 1, зна-
значит, j\ = 0 (mod dj, что невозможно. Из теоремы 6.36 видно, что
если М D, ..., dn) = 0, то Л? = 9"-'.
Общую формулу для М (dlt ..., dn) можно получить следую-
следующим образом. Положим D = НОК (<4, ..., dn) и е (t) = e2ftit,
где ^ ? R; заметим, что
?>—1
ft=O
Поэтому
1, если ^+...+^
О в противном случае.
/1=0
u-r~ 1 I ••• I 7 e (in -r-
/n=o
d,_ -1
r=l
Поскольку для d ? N имеет место соотношение
d-\ , ,.
d, если h = и (mod a),
О в противном случае,
§ 3. Диагональные уравнения 359
то произведение в последнем выражении для М (dlt ..., dn) равно
dt ... dir, если h делится на НОК (dtl, ..., dlr) — Д^ ... ,г и равно О
в противном случае. Поэтому
М (dlt ..., dn) =
D—\ n
=(-i)"+4-22 (-vn-r 2 *г - аь=
A=0r=l 1<11<12<---<(г<п
Самая внутренняя сумма равна D/HOK (d( , .. , ds-), так что
МD 4) = Н)Я+У!НГ У I1"' lf ¦ F.12)
Теперь мы укажем ем^е оды« подход к оценке числа Л? =
= N (а^хх1 + ... + а хпп = б) решений диагонального уравне-
уравнения F.10) в fg, опирающийся на суммы Гаусса. Согласно E.5),
q ( i
где во внутренней сумме % пробегает все аддитивные характеры
поля Fg. Меняя порядок суммирования и отделяя часть, соответ-
соответствующую тривиальному характеру %0, получим
2xfe*>w2
360 Гл, 6. Уравнения над конечными полями
Применяя теперь теорему 5.30, получим
? X Ф) ( 2 Я{1 <fli)G М« X
где Яь как и раньше, обозначает мультипликативный характер
порядка di = ЙОД (kh q — 1) поля fq. Для внутренней суммы,
используя обозначения из теоремы 5.7 и применяя теорему 5.12 (i),
получим
= G (%[\ %1)...G {%[п, %1) S Хь (a) l[l (a)... # (a) =
= G (^, xi).- G Ф, %1) G (^ ... ft, xb),
так что
F.13)
Для случая b = 0 можно применить E.14); тогда
JV = ^-. + (l - -L) J] G (Я!1, Xai)... C(^, Xan), F.14)
(/r ¦•¦•/n)€r
где T — то же множество, что и в теореме 6.33. Полученную
в той теореме формулу теперь можно вывести из F.14), используя
теорему 5.12 (i) и формулы E.42) и E.44). Для случая ЬфО
формулу F.13) можно преобразовать в формулу из теоремы 6.34
применением теоремы 5.12 (i) и результата упр. 5.34.
Диагональное уравнение F.10) можно рассматривать также
как уравнение над некоторым конечным расширением поля fq,
§ 3. Диагональные уравнения 361
а не над самим Fg, как было до сих пор. Пусть Е = F^, где
s ? IN, — некоторое расширение поля Fg; обозначим через Ns
число решений в Еп диагонального уравнения F.10). Попытаемся
найти зависимость Ns от s в предположении, что все показатели k%
делят число q — 1.
Для случая b = 0 можно получить значение Ns из F.14).
Если цх — канонический аддитивный характер поля Е, то каждый
характер %at в F.14) должен быть заменен на цаг Но для а ? Fg
мы, согласно E.7), имеем ца ф) = %а (Тг^р (Р)) при всех р ? Е,
так что |л„ = (%аУ, где (%<,)' — характер, получаемый поднятием
характера %о поля Fq до ? (ср. с рассуждением, предшествующим
теореме 5.14). Кроме того, каждый характер ^ порядка ki в F.14)
должен быть заменен мультипликативным характером порядка kt)
поля Е. Но поскольку функция нормы (см. 'определение 2.27)
отображает Е* на F<J (по теореме 2.28 (ii)), то (надо учесть фор-
формулу (%гу (Р) = %t (NE/fq (Р)), Р € Е*) поднятый характер (%¦)'
имеет тот же порядок, что и kiy и, таким образом, характер %г
в F.14) можно заменить на (Яг)'. Поэтому, применяя F.14) и тео-
теорему 5.14, получаем
(/i-•¦¦•/n)€r
Таким образом, эта сумма имеет вид
iVs = vfH +v?-e»! coL F.15)
где алгебраические числа vlt ...,vt, щ, .... cou не зависят от s
и удовлетворяют условиям | v:, | = 9mft^2 и | atj \ = (/V/2 для неко-
некоторых mft, n/ 6 Z.
362 Гл. 6. Уравнения иад конечными полями
Для b Ф 0 значение Ns можно получить из F.13). Те же рас-
рассуждения, что и выше, приводят к формуле
jr2 -
ч
2 - 2
которая снова имеет вид F.15).
Оценки, полученные в теоремах 6.36 и 6.37, можно использо-
использовать для доказательства существования решений диагональных
уравнений (по крайней мере при достаточно больших q).
6.38. Пример. Пусть k — заданное натуральное число. Пока-
Покажем, что для каждого конечного поля f q с достаточно большим q,
скажем
q > 4" & - 1) (k - 2) + /?(fc-l)(?2-5& + 8)]2,
каждый элемент b ? Fq может быть представлен в виде суммы
двух k-x степеней элементов этого поля. Поскольку случай b — О
тривиален, рассмотрим случай b Ф 0, и пусть N — число решений
уравнения х\ + х\ = b в F|. При d = НОД (k, q — 1) из тео-
теоремы 6.37 следует, что
1 N — d |< [(d — IJ — A — <г|/2) М (d, d) ] 9|/2-
Теперь М (d, d) = d — 1 (согласно F.12) или исходя из определе-
определения числа М), поэтому с учетом того, что d <C k, получаем
| N - q |< [{d - IJ - A - (Г1/2) (d - 1) I ql/2 =
= (d — 1) (d — 2) (?'/2 + d — 1 <
§ 3. Диагональные уравнения 363
и, в частности,
N^q—{k—\)(k — 2) q1'2 — k + 1.
Теперь для достижения нашей цели достаточно лишь найти число
«о € R> такое, чтобы при q > и0 правая часть этого неравенства
была положительна. В качестве ы0 можно, например, взять и0 =
— to, где 4 — наибольший из корней квадратного многочлена
р — (k — 1) (k — 2) t — k + 1. Относительно случая k = 2 см.
также замечание 6.25. ?
Некоторые сведения о числе решений диагональных уравне-
уравнений могут быть получены и без использования тригонометриче-
тригонометрических сумм (в дальнейшем мы приведем несколько таких примеров).
При таком подходе часто используются арифметические свойства
полиномиальных коэффициентов; эти свойства можно вывести
из приводимой ниже леммы 6.39. В качестве побочного продукта
этого вспомогательного результата мы получим утверждение,
что все полиномиальные коэффициенты являются целыми числами
(что можно было бы доказать также комбинаторным путем).
Для простого числа р обозначим через Ер (г) наибольший целый
показатель /, такой, что pi делит число г ? IN. Через \_tj будем
обозначать наибольшее целое число, не превосходящее числа
t ? R.
6.39. Лемма. Для каждого целого неотрицательного числа т
и каждого простого числа р имеет место формула
где s — сумма коэффициентов р-ичного разложения числа т.
Доказательство. Если р' > т, то \_т/р1} = 0, так что указан-
указанный в формуле ряд содержит не более конечного числа ненулевых
членов. Первое равенство справедливо для 01 = 1. Для нату-
натурального числа h
Л_ | | Л—1 | _ f 1, если рс делит h,
p'J Lp»J |0 B противном случае.
¦ _Л_ | | Л—1 | _
Lp'J Lp»J
Отсюда для т ^ 1 получаем
ttl ftl OD
?p (ml) = ?p A -2 ... m) = 2JEP(h) = 2j2i [LV J ~
364 Гл. 6. Уравнения над конечными полями
Для доказательства второго равенства представим число т
в р-ичной системе: т = Ьири + Ьи_хри-Х + ... + Ьо, где 0 «:
-< bt < р для 0 < i < и. Тогда
Lfd=KpU~l+bu-ipu~2+¦ ¦ ¦ +ь%р
и \_m/plj = 0 для I > и. Складывая эти равенства, получим
оо
VI т I — /> Р*-1!/, Р — ! I _1_А —
1 = 1
_ m-s n
6.40. Следствие. ?Ъш т0, /«!, ..., тп — неотрицательные це-
целые числа и т = т0 + тг + ... + тп, то полиномиальный коэф-
коэффициент
т\
является целым числом.
Доказательство. Достаточно показать, что для каждого про-
простого числа р его степень, делящая знаменатель, делит и числитель.
Применяя неравенство
L*o + h + ¦ • • + U > UoJ + Ш + ¦ ¦ ¦ + IAJ
для t0, tx, ..., tn С R
и лемму 6.39, действительно получаем
- ?р (/по!) + ?р (
= Ep(m0\m1\...mnl). D
§ 3. Диагональные уравнения 365
6.41. Теорема. Число решений в F? диагонального уравнения
F.10) делится на характеристику р поля Fg при условии, что
где й-, = НОД (k,, q — 1) для i = 1, .... я.
Доказательство. Пусть N — число решений уравнения F.10),
и пусть N — то же число N, но рассматриваемое как элемент
ПОЛЯ fq. ПОЛОЖИМ
k k
G(xlt ..., хп) = ao-j-a1x,1-)- ¦•• +а„х„п, где ай= — Ь.
Так как N является также числом решений уравнения G (хи...
..„Хп) = 0в FJ, то
_ у
(<7-l)!
/U Ao! A,! ... hn\
ft0, ft,, ...,hn>o
2
(q-l)l
h0
)
fto+A,+ --+ftn=«-l
В силу леммы 6.3 во внимание следует принимать лишь те члены
внешней суммы, в которых ht положительны и ktht делятся на
Я — 1 для всех t, I ^C t ^ n. Но последнее условие эквивалентно
делимости hi на (q— l)/d,-. Поэтому
где через Я обозначено множество (п + 1)-наборов (h0, hu ..., hn)
Целых чисел, для которых h0 + hx -\- ... + Лп = <? — 1, h0^ 0
366 , Гл, 6. Уравнения над конечными полями
и для каждого i, 1 < i < п, число ht является положительным
кратным числа (q — l)/d*.
Теперь допустим, что выполняется неравенство F,16). Тогда
если (h0, hlt ..., hn) ? Н, то hi ^ (q — \)/dt для всех i, 1 -< t -< /t,
так что
а это невозможно. Таким образом, множество Н пусто, так что
N = 0 на основании F.17), а это означает, что число N делится
на р. ?
Если кг = ... = kn = d и d — делитель числа g — 1, то из
F.16) получаем неравенство п > d, и мы приходим к частному
случаю теоремы 6.5.
6.42. Теорема. Пусть р—характеристика поля Fy, klt '...
..., kn —заданные натуральные числа, аъ .... ап ? FJ, Ь ? Fq и
числа di = НОД (kt, q — 1) делят р — 1 для t = 1, ..., п, причем
__ _| + __ = 1.
Тогда диагональное уравнение F.10) с показателями степени kx,..-
..., kn имеет хотя бы одно решение в f'q.
Доказательство. Применим F.17) и заметим, что при условии
(l/dx) -)-... + (l/dn) = 1 множество Н состоит из единственного
(п + 1)-набора @, Л1( ..., hn), где ht = (q — \)/d( для 1 < i < Я-
Поэтому
(Я—1)! Л /п
Так как q = pT для некоторого г ? Ы, то
0 - 1 = (р _ 1) рГ-1 + (р — 1) р^-2 + ... + (р - 1)
есть представление числа q — 1 в р-ичной системе, так что
Ep((q-l)\)= Я-l-riP-D ^Ч^±
согласно лемме 6.39. Поскольку числа d% делят р — 1, то пред-
представление числа ht — (q — I)/dj в р-ичной системе имеет вид
так что
?p№v- — -
§ 3. Диагональные уравнения 367
Из равенства (l/dx) + ... + (l/dn) = 1 тогда следует, что
Ер (Aj!) +...+Ер (М = Ер ((q - 1)!),
а это означает, что число (q— 1)!/Лх! ... ЛП1 не делится на р.
Но поскольку все щ отличны от 0, то это значит, что N Ф О,
а следовательно, Я > 0. Q
В некоторых случаях этот метод удается применить и к урав-
уравнениям, не являющимся диагональными. Если в следующей тео-
теореме многочлен g является постоянным, то соответствующий ре-
результат будет следствием теоремы 6.42.
6.43. Теорема. Пусть р — характеристика поля fq, k —
положительный делитель числа р— 1 и <%,...,% 6 F?. Если
g 6 F? l*i. ¦••• *ftl —многочлен степени, меньшей чем k, то
уравнение
alX\ -| 1- akxkk = g(xt, .... xh)
имеет по крайней мере одно решение в F*-
Доказательство. Поступим так же, как при доказательстве
теоремы 6.41, используя те же обозначения и функцию G вида
Тогда
N = _
G(Xl, ...
2
cv ...,ck?
2
. xk) = с
M
+ •-•
2
+ ahck-~g(clt .
An' %' ••- Afe
... ^r1 =
... a/^
с
Если ft,
Ло deg (
»>
?)-
*j4 thk=fh~l
•ch€fq
0, TO
f Mi + ... -i
hftftfc«
< k
(At-
—i/
%
- 1),
368 Гл. 6. Уравнения над конечными полями
и из леммы 6,4 следует, что внутренняя сумма равна 0, так что
в нашей сумме остаются лишь члены, соответствующие h0 — 0:
*1
Согласно лемме 6.3, ненулевой член может получиться лишь в том
случае, если для каждого i, I <J i -^ k, натуральное число hi
делится на h = (q — \)/k. Поскольку h% + ... + hk = q — 1,
то это возможно лишь в случае hx — ... = hh = h. Таким образом,
# = (-1)*+' iq-l)l {ai...ahf.
Как и в доказательстве теоремы 6.42, показываем, что число
(q — 1)!/Л!* не делится на р. Это означает, что N Ф 0, а значит,
N > 0. ?
6.44. Следствие. ?слы & — положительный делитель числа
р — 1, где р — простое число, и fx (jq), ..., fk (xk) — многочлены
степени k над конечным полем fq характеристики р, то урав-
уравнение
... +fk(xh) = 0
имеет по крайней мере одно решение в F?-
§ 4. Метод Степанова—Шмидта
Рассмотрим специальные типы уравнений вида F (х, у) = 0,
где F ? Fg [x, у], для которых удается установить нетривиаль-
нетривиальные результаты о числе решений «элементарными» методами, т. е.
методами, не связанными с алгебраической геометрией или с ши-
широким использованием полей алгебраических функций. Нашей
основной целью будет доказательство ряда результатов, необ-
необходимых для оценки некоторых сумм значений характеров из
§ 4 гл. 5 (см. теоремы 5.38 и 5.41).
Первым типом уравнений, который мы рассмотрим, будут урав-
уравнения вида ут = f (x). Следующий результат служит исходной
точкой для исследования вопроса о числе решений таких урав-
уравнений.
6.45. Лемма. Пусть fq — конечное поле, f ? Fq lx], m —
положительный делитель числа q—1 и g = fii—u/m. Тогда
число N решений уравнения ут = f (x), лежащих в F|, задается
формулой
N=\T0\ + m\T1\,
§ 4. Метод Степанова—Шмидта 369
где То — множество корней многочлена f (х) в поле fq, а 7\ —
множество корней многочлена g (х) — 1 в F,,. Кроме того, | То | +
+ I 7\ I + I ^2 I = Я' г&е Т% — множество корней многочлена
g (x)m-1 + g (x)m~2 + ...+g(x)+l в fr
Доказательство. Будем различать решения (х = си у = е2)
уравнения ут = f (х), у которых с2 = О и у которых с2 Ф 0.
Число решений вида (clt 0) в точности равно То. Если же
с2 ф 0, то для решения (съ с2) имеем / (q) Ф 0, и поскольку
мультипликативная группа f^ поля Fg циклична (см. тео-
теорему 2.8), то / (сх) является m-ш степенью некоторого элемента
из fq в том и только том случае, когда g fa) = f (c1)i"~^/m = 1.
При этом если g (сг) = 1, то существует ровно т элементов сг ?
? IFJ, таких, чтос^=/ (q). Отсюда следует, что ДО = | Го | + /n | Гх |.
Легко убедиться в том, что множества То, Т1 и Г2 попарно не
пересекаются. С другой стороны, для каждого элемента с ? fq,
очевидно, выполняется равенство
O = f(cy-f (с) = / (с) (g (с) ~ 1) (g (c)«-> +
Отсюда вытекает, что каждый элемент поля fq принадлежит
одному из трех указанных множеств. Следовательно, | То | +
I Т\ I + | Т2 | = q. П
Ключевым пунктом элементарного метода Степанова и Шмидта
является построение некоторого вспомогательного многочлена,
кратными корнями которого являются заранее заданные элементы.
Доказываемая ниже лемма гарантирует, что такой вспомогатель-
вспомогательный многочлен является ненулевым. Будем применять следующие
терминологию и обозначения. Пусть К — произвольное поле.
Многочлен положительной степени F ? К [х, у] назовем абсо-
абсолютно неприводимым (над К), если он неприводим (т. е. не до-
допускает нетривиального разложения) над любым алгебраическим
расширением поля К- Через К (х) будем обозначать поле рацио-
рациональных функций над К, т. е. поле, состоящее из дробей вида
tig, /> g € К [х], gфO.
6.46. Лемма. Пусть f ? fq [x] — такой многочлен степени
k ;> 1 и т >- 2 — такой делитель числа q — 1, что многочлен
Ут—f (х) абсолютно неприводим. Положим g = fi<i-Wm, и
пусть Ах, /t2, ..., hm_x — многочлены вида
и
hi (х) = U eu {x)xii, 0 < i < т - 1,
/=о
24 Зак. 222
370 Гл. 6, Уравнения над конечными полями
где ег) ? fq [х] и deg (ei}) < qjm — k. Тогда если
К + htg + ... + hm-xgm~x = 0, F.18)
то все многочлены etj нулевые.
Доказательство, Сначала установим справедливость леммы
при дополнительном предположении, что / @) Ф 0. Положим
А (у, h Ki-i) = h0 + hxy 4 h hm^ym-\
Тогда многочлен
В (У!, ..., ym) = П А (уи h0, ..., /im.x)
является симметрическим многочленом от переменных уи ,.., ут.
По основной лемме о симметрических многочленах (см. пример 1.74)
многочлен В (ух, ..,, ут) можно выразить в виде многочлена от
элементарных симметрических многочленов стх (уг, ..,, ут), ...
••¦» ^т (Ун ¦¦¦, Ут)- Пусть ^ = 1, ?а, .... 1т — корни т-н степени
из единицы в поле f4; положим у, = %ty, 1 <; i ^ т. Из равенства
хт — I = (х—Ц) ...(х — 1т) получаем, что аь Цху, ..., l^y) —
= 0 для всех i, 1 < i < т — 1, и ат (^у, ..., ?„$) = —ут.
Поэтому В {^у, ..., ^мУ) является многочленом от ут; обозначим
его G (ут). Сравнивая степени у, получаем
т deg (G) = deg (В Aгу, .... 1ту)) < т (т — 1)
(здесь deg (G) — степень G как многочлена от ут). Отсюда сле-
следует, что deg (G) <; т — 1. Поэтому можно написать ,
т т— 1
П A (t,y; ho, ..., KUi = U Ct (Ao, ..., A^iT', ф.Щ
i=i i=o :
где каждый Сг (как многочлен от h0, ..., ftm_x) имеет степень,
не превосходящую т. Поскольку A (?,ig; ha, ..., hm_^) = 0 в силу
F.18) и gm = /«-', из F.19) вытекает, что
т—\
? с,(Ло /w)/(«-1)f = o.
1=0
Умножая это равенство на fm~l, получим
т— 1
S с, (A* ...,*„_,)№-!-' = о.
(=0
Рассматривая последнее равенство по модулю д:* и замечая, что
ht (х) = его (я) (mod x?), f (х)" = f @) (mod x*), получаем
IS Cl{em(x), ..., em.lt0(x))f(OYf(x)^-i = 0(mouxi).
§ 4. Метод Степанова—Шмидта 371
Но поскольку степень по х левой части не превосходит числа
т (q/m — k) + (tn — 1) k < q, то
m—1
откуда
m— 1
2 C, (e00 em_1>0) (tf-)' = 0. F.20)
(=0
В подходящем алгебраическом расширении поля F4 существует
элемент а, такой, что ат = f @). Тогда (ау)т — / (х) = f @) •
• (ут — / (О) / (х)), так что многочлен ут — / (О) / (х) абсо-
абсолютно неприводим (ввиду абсолютной неприводимости ут — / (х)).
Далее, многочлен ут — / (О) / (д:) (как многочлен от у над полем
fq {x)) имеет в некотором расширении поля fq (x) корень У.
Из F.20) получаем
S Сг(еоо, ...,вж^,в)У-'"'=-0.
1=0
Поэтому из F.19) следует, что
A1;00,,т.1>0)
Таким образом, А (&У; е00, ..., ет_ьо) = 0 для некоторого i,
0 <С i ^С т — 1, и после умножения на Ym~l получаем для этого t
равенство
too* + ^еыУ -+-•••+?* «w-i. о = 0.
Но У имеет степень т над полем F, (д:), так как многочлен
ут — I (О) / (д:) абсолютно неприводим, поэтому все многочлены
ет> е10, ..., ет_ио нулевые. Значит, мы можем разделить F.18)
на х? и с помощью такого же рассуждения доказать, что е01 =
= еп = ... = ет.1Д = 0. Продолжая таким же образом, получим,
что все eti — нулевые многочлены.
Остается показать, что общий случай можно свести к случаю
/ @) ф 0. Если k ^- q, то deg (etj) < 0 (по предположению), так
что etj = 0. Поэтому можно считать, что k < q, так что существует
некоторый элемент с ? fq, для которого / (с) Ф 0. Положим
/i (х) = f (х + с) и gt (х) = g (х + с); тогда многочлен г/т —
— Д (д:), очевидно, абсолютно неприводим, и в силу F.18)
где многочлены Лг (д: + с) снова имеют требуемый вид (но с дру-
другими многочленами ец (х)). Так как /х @) Ф 0, то установленный
24*
372 Гл. 6. Уравнения над конечными полями
выше результат приводит к равенству нулю всех многочленов etj,
так что все ht (x + с) равны 0, откуда следует, что все
многочлены hi нулевые, а значит, и все исходные многочлены сп-
справны нулю. П
При построении вспомогательного многочлена с заданными
кратными корнями нам понадобится удобный метод определения
кратности корней. Для поля характеристики 0 это успешно осу-
осуществляется при помощи производных, однако для поля простой
характеристики р метод производных можно применять лишь
в ограниченных пределах (ср. упр. 1.51). Например, у много-
многочлена хр все производные в точке 0 обращаются в нуль, тогда
как 0 является корнем всего лишь кратности р. Поэтому мы
введем усовершенствованные производные, так называемые ги-
гиперпроизводные, которые окажутся более полезными.
Пусть К — произвольное поле. Для целого неотрицательного
d
числа п и многочлена / (я) = J] %х; ? К [х] определим п-ю
/=о
гиперпроизводную Е<п> (/) равенством
?<«>(/) = ?<«>(!>;.
\/=0
Здесь мы применяем стандартное соглашение о биномиальных
коэффициентах, а именно считаем, что (М = 0 при п > /; это
гарантирует, что п-я гиперпроизводная является многочленом
над полем К- Если поле К имеет характеристику 0, то
EW (/) = -!-/(») для всех / ? К [х].
Ясно, что ЕМ является линейным оператором в том смысле,
что ?<»> (с/) = с?<"> (/) и ?<") (Л + /2) = ?<"> (Д) + Е^ (/2) для
всех с ? К и /, /i, /2 ? К [х]. Установим теперь некоторые фор-
формулы для гиперпроизводных, которые нам понадобятся в даль-
дальнейшем.
6.47. Лемма. Если /ь ..., Д 6 К \х\, где К — произвольное
поле, то
if 1г ...,/,)= Ц ?("»> (/i) ¦ ¦ ¦ E(nt) (/,). F.21)
'*! i ¦ ¦ ¦ t ** f *•""
Доказательство, Ввиду линейности ?<"' достаточно доказать
эту формулу для одночленов. Нетрудно видеть, что для многочле-
§ 4. Метод Степанова—Шмндта 373
нов fj (х) = xki, / = 1, ..., t, равенство F.21) эквивалентно ра-
равенству
/*!+...+*|\_ ^ /*Л (kt\.
\ п ) ?± W ¦"¦ W'
0
последнее легко доказывается сравнением коэффициентов при
хп в обеих частях равенства
6.48. Следствие. Если с ? К, то
Доказательство. Применим к многочленам ft {х) — х — с,
1 < / < t, лемму 6.47. Так как ?<Ч (х — с) = 1 и ?<"> (л: — с) =
= 0 для п > 2, то в сумме F.21) останутся лишь те члены, для
которых все nt принимают лишь значения 0 или 1. Число таких
членов равно / J, а каждый член равен (х—с){~п. ?
6.49. Следствие. Если 0<я<1 и /, w ? К 1х], где К —
произвольное поле, то
?(«> (Wft) = wif*-n,
где wx С К lx] и deg (щ) < deg (w) + n (deg (/) — 1).
Доказательство. Применяя F.21), получим
) (о,) ?("i) (f) ... ?("*) (/).
,nt>0
Здесь в правой части каждый член делится на /'"", так как не
менее t — /j из чисел nlt ..., nt равны нулю. Поэтому ?("> (wft) =
~ Wiff~n для некоторого wx ? К 1х]. Кроме того,
deg Ю = deg (?<«> (wf1)) ~(t — n) deg (/) <
< deg (w) + tdeg(f)~n-(t-n) deg (/) =
= deg (w) + n (deg (/) - 1). ?
6.50. Следствие. Пусть К — поле простой характеристики р,
и пусть задан многочлен вида h (x) = v (x, xpS), где v (x, у) ?
(Е К [х, у] и s ? N. Тогда п-я гиперпроизводная ?<"> (h) много-
многочлена h (х) для 0 < п < ps равна п-й частной производной много-
многочлена v (х, у) по х с последующей подстановкой у = xpS,
374 Гл. 6. Уравнения над конечными полями
Доказательство. Ввиду линейности ?<"> достаточно рассмо-
рассмотреть лишь случай, когда v (х, у) = х'ук. Заметим сначала, что
при 0 < п < ps биномиальный коэффициент
п } п \п — 1 /
делится на р. Таким образом, .
Ps~~n = О
в поле характеристики р. Поэтому, применяя лемму 6.47 с много-
многочленами /х (л;) == х>, /2 (л;) = ... = /й+] (х) = xpS, получим
:,--п хкР\
Такой же результат получится, если вычислить n-ю частную про-
производную многочлена v (х, у) по л; и затем произвести подстановку
y = xpS. ?
Следующий результат показывает, что гиперпроизводные яв-
являются подходящим инструментом для определения кратности
корней.
6.51. Лемма. Пусть f — многочлен над произвольным полем К-
Если элемент с ? К является общим корнем гиперпроизводных
?<«) 0 для п = 0, 1, ..., М — 1, то этот элемент является
корнем многочлена f кратности не менее М.
Доказательство. Пусть / (х) = а0 + а% (х — с) + ... + ad (x —
— c)d. Из следствия 6.48 получаем
р(п) If jvW п U (П "^ \ п (y r\ J _L ( \ п (г p\d—n
?¦ ' \1 \х)> — ап ~Г ^ п J «п+1 \х ~ С)~~Г • • • ~Г \п) ad Xх ~ с)
Подставляя х — с, получим ап — 0 для п = 0, 1, ..., М — 1,
так что степень (л; — с)м делит / (л;). Остальное вытекает из опре-
определения 1,65. D
Теперь мы в состоянии доказать основную лемму, в которой
строится нужный нам вспомогательный многочлен.
6.52. Лемма. Пусть f ? f4 \x] — такой многочлен степени
k .> 1 и т > 2 — такой делитель числа q — 1, что многочлен
ут—f (х)-абсолютно неприводим. Пусть, далее, g = f<i—i)/mf
В ? Fq Ix] — некоторый заданный многочлен степени г, 1 -^
<С г < tn, и Т — множество таких элементов с ? fq, для кото-
рых либо f (с) = 0, либо В (g (с)) = 0. Пусть, наконец, М —
такое натуральное число, что М ^ k + 1 и (М + ЗJ •<; 2q/m.
Тогда существует ненулевой многочлен h ? fq \x), такой, что
§ 4. Метод Степанова—Шмидта 375
каждый элемент с ? Т является его корнем кратности не менее М,
и при этом
Доказательство. Будем искать нужный нам многочлен в сле-
следующем виде:
т—1 и
h(x) = f(x)»% %еи(х)8(хух*1, F.22)
,=0 /=0
где etj — многочлены с коэффициентами из Fg, которые надо
определить, причем должно выполняться неравенство deg (ец) -<
< qlm — k, и где
|l J> F.23)
Найдем п-е гиперпроизводные многочлена Л для п = 0, 1, ...
..., М — 1. Заметим сначала, что поскольку g является степенью
многочлена /, то по следствию 6.49
где
deg(elJn)< deg(eu) + n(k — 1)<
^ Л k-\-n(k — \)'4,-l- + n(k—\)-\. F.24)
Можно считать, что h (x) = v (x, хч), где
v (x, y) = 23 2! f (x)M eu (x) g (xI y>,
i=O /=0
и так как М < q, то можно применить следствие 6.50 для 0 <
< п <; М — 1. Получим
т—1 и
?(«) (Л (х)) = / (х)м~п 23 23 etJn (x) g (хУ х<4. F.25)
1=0 /=0
Пусть В (х) = b0 + hx + ... + br_ixr-1 — хТ, где bt ^ Fq. Если
элемент с ? fq удовлетворяет равенству В (с) = 0, то
и тогда для любого % ^- 0 степень с' представима 1) линейной
Л—1
х) При I < г это очевидно, при ( = г+ 1 имеем с1 = c-cr = cj] б^с' =
i=o
Л—2 Г—1
2 6,cf+1 +6r-i 2j bicl и т. д. — Прим. перев.
1=0 1=0
376 Гл. 6. Уравнения над конечными полями
комбинацией степеней 1, с, ...,сг~х с коэффициентами из fq;
сс = S ьис(.
Поэтому для элемента с ? Fq, удовлетворяющего равенств}
В (g (с)) = 0, выполняется равенство
г—1
g(cY= % bug (су для t>0.
Подставляя в F.25) вместо х такое значение с и учитывая, что
с4 = с, получим
(?<») (ft)) (с) = / (с)*»— S S ei7n (с) g (с)' с/ =
,=0 1=0
где
m—1 и
stn(x) = S S bueijn(x)xi.
1=0 /=0
Чтобы получить равенство (?<"> (А)) (с) = 0, п = 0, 1, ..., М — 1,
для всех элементов с ? Ffi, удовлетворяющих равенству В (g (с)) =?
= 0, надо приравнять нулю все многочлены sin, 0 < t < r — 1.
0 ¦< п <; М — 1. Из F.24) следует, что
Поэтому если S обозначает суммарное число коэффициентов все!
многочленов stn, 0< ^<r — I, 0 -^ п ^ М — 1, то
Af—1
П=0
^ -Ш- M -f- rM — (M + k 4- 1) -\--n-r(k — 1) Ж2
/72 Ttl Z
ввиду F.23). Учитывая, что г < m, получаем неравенство
; +1) + гЖ(Л+1). F.26)
§ 4. Метод Степанова—Шмидта 377
Пусть А — суммарное число возможных коэффициентов всех
многочленов ei}, О <J i <J m — 1, 0 ^ j ^ и. Тогда в силу F.23)
^- - k) m(u+ \)>(q - кт)-^-(М + к + \) =
= -%-M + -
Так как М > k + 1, то
А>ЛгМ + Лг(к + 1)- 2rkM. F.27)
Условие, состоящее в равенстве нулю всех многочленов stn,
приводит к системе из S однородных линейных уравнений от А
коэффициентов многочленов etj. Если S < А, то такая система
обязательно имеет нетривиальное решение, а значит, найдутся
многочлены ei}, не равные нулю одновременно". Но в силу нера-
неравенств F.26) и F.27) неравенство S < А будет обязательно вы-
выполняться, если выполняется неравенство
-±-rM2(k + 1) + гМ (к + 1) < -2J- (к + 1) - 2rkM,
а для этого достаточно выполнения неравенства
которое эквивалентно неравенству
т
Последнее же заведомо выполняется в силу предположения, что
(М + 3)а < 2qlm.
Выбрав, как указано, многочлены ei7-, мы построим много-
многочлен h по формуле F.22). Этот многочлен отличен от нулевого,
поскольку в противном случае в силу леммы 6.46 мы получили бы,
что все etj равны 0, а это исключено. По построению многочлена Л
и в силу леммы 6.51, каждый элементе ? fq, такой, что В (g (с)) =
= 0, является корнем кратности не менее М многочлена Л. По-
Поскольку Л имеет сомножитель fM, то каждый элемент с ? Т
является корнем кратности не менее М многочлена Л. Кроме того,
из F.22) и F.23) следует, что
)
D
378
Гл, 6. Уравнения над конечными полями
Теперь мы установим предварительную оценку для числа ре-
решений уравнения ут = / (л;), которая справедлива для достаточно
больших значений q. Позднее этот результат будет улучшен в двух
направлениях, а именно будут ослаблены условия и уточнена
оценка (см. теорему 6.57).
6.53. Теорема. Пусть f ? fq [х] — такой многочлен сте-
степени k ^> 1 и т !> 2 — такой делитель числа q — 1, что много-
многочлен ут — / (х) абсолютно неприводим. Тогда если выполняется
неравенство q ;> \00mk2, то число N решений уравнения ут —
= f (х) в F| удовлетворяет неравенству
\N-q\<
Доказательство. Пусть h — многочлен, построенный в лемме
6.52. Так как h Ф 0, то из теоремы 1.66 следует, что (в обозначе-
обозначениях леммы 6.52) М \ Т | < cleg (h), и оценка степени cleg (h)
в лемме 6.52 дает
Теперь возьмем М = LB^/mI/2J — 3. Поскольку q >- lOOmk2, то
так что число М удовлетворяет всем условиям леммы 6.52. Учи-
Учитывая, что М ^> (g/m)l/2, получим
Т К ~0г Я
F.28)
Сначала возьмем в лемме 6.52 В (х) = х — 1. Тогда г = 1, и
в обозначениях леммы 6.45 | Т | = | То \ + | Ti |, так что из
F.28) следует неравенство
+ | Тх |< -?¦
Таким образом,
. F-29)
Теперь возьмем В (х) = xm-1 + xm~2 + ... + х + 1. Тогда ока-
окажется, что т = m — 1 и | Т | = | То | + | Г21, так что из F.28)
получаем
То\
Т2
Вновь применяя лемму 6.45, приходим к соотношению
| Щ = q - | То | - | Tt\ > -J- -
§ 4. Метод Степанова—Шмидта 379
так что
N ^ т | 7\ | > q - ikti&tq1'2,
и, учитывая F.29), мы получаем требуемый результат. ?
Условие абсолютной неприводимости многочлена ут — / (х)
можно задать в более удобном виде согласно следующему общему
критерию.
6.54. Лемма. Пусть К — произвольное поле, f ? К lx] — мно-
многочлен положительной степени и т ? Ы. Пусть
— разложение многочлена f в его поле разложения над К, где а ?
? К и <хь ..., ad — различные корни многочлена /. Для того чтобы
многочлен ут — / (х) был абсолютно неприводимым, необходимо
и достаточно, чтобы НОД (т, еъ ..., ed) = 1.
Доказательство. Покажем, что многочлен ут — / (х) не будет
абсолютно неприводимым в том и только том случае, когда НОД
(т, еь ..., ed) > 1. Допустим, что этот многочлен приводим над
некоторым алгебраическим расширением L поля К, причем можно
предположить без ограничения общности, что в поле L многочлен
ут — 1 вполне разложим, т. е. ут — 1 = (у — ^) ... (у — t,m).
Тогда
ут _/(х) = F(X, y)G(X, У),
где F, G ? L [х, у], deg (F) > 0, deg (G) > 0. Теперь рассмотрим
ут — ^ до как многочлен от у над полем рациональных функций
L (х). Если Y — корень этого многочлена в его поле разложения
над L (х), то
ут _f{x) = {y^. 1XY) ... (у - ?гаУ).
В силу единственности разложения для некоторого ненулевого
элемента а из I получим
F(x, y) = a(y-tJlY)...(y-ZJnY),
где /ь ..., /п ? {1, ..., т}, 1 •< л < т. Рассматривая обе части
этого равенства как многочлены от у и сравнивая постоянные
члены, получаем
а значит, К" ? L [дс]. Пусть w — наименьшее натуральное
число, для которого Yw ? L (х). Тогда w <; п < т, и каждое
« ? IN, такое, что Yu ^ L (ж), делится на до. В частности, число т
делится на до, так как Ym = / ? L (^). Полагая ^ = m/до > 1 и
Fm = g/ft при g, Л ? L [ж], h фО, получаем, что / = (gfhy,
откуда fhf = g'. Сравнивая кратности корней а,-, 1 <; i ¦< d,
380 Гл, 6. Уравнения над конечными полями
в обеих частях этого равенства, мы видим, что t делит каждое из
чисел et. Поэтому t делит НОД (т, еь ..., ed), так что НОД (т,
еъ ..., ed) > 1.
Пусть теперь, наоборот, е = НОД (т, еъ ..., ed) > 1 и Ki —
поле разложения многочлена / над К- В подходящем конечном
расширении поля К\ существует элемент р, такой, что Ре = а.
Положим s = т/е и *
Тогда
так что ут — / (л;) не является абсолютно неприводимым много-
многочленом. П
6.55. Лемма. Пусть wi, ..., ©„ — комплексные числа и В > О,
С > 0 — такие константы, что
| со? + ... + <й*п | < Cfis для всех s 6 N. F.30)
Тогда | со^-1 -^ В для / = 1, ..., п.
Доказательство. Пусть z — комплексная переменная. Для
достаточно малых значений | г |
s=l
так что
4-(°>i+ ••• +^)г5. F.31)
Ввиду F.30) ряд в правой части F.31) сходится для |г| < В'1.
Поэтому функция в левой части F.31) аналитическая в круге
| г | < В'1. Таким образом, 1 — шуг Ф 0 при | г | < В'1 и, сле-
следовательно, | со/1 < В для / = 1, ..., п. D
Теперь мы можем доказать первый главный результат, кото-
который обосновывает одно утверждение, высказанное в § 4 гл. 5.
6.56. Теорема. Комплексные числа Ш] а^-г из теоремы
5.39 удовлетворяют неравенству | to/1 -^ <у1/2 для / = 1, ..., d — 1 ¦
Доказательство. Предполагая, что выполняются условия тео-
теоремы 5.39, и используя ее обозначения, положим k = deg (/)
§ 4. Метод Степанова—Шмидта 381
Выберем г ? Ы так, чтобы цт ^ lOOmk2 и многочлен / вполне
разлагался в поле tqr:
где «i, ..., ad — различные корни этого многочлена. Поскольку /
не является m-й степенью какого-нибудь другого многочлена,
то число е = НОД (m, elf ..., ed) является собственным делителем
числа т. Пусть
g (х) = (х- агр1° ... (х - ad)ed!e ? Fqr[x],
так что / = ge. Зафиксируем число s(Nh положим Е = Fqrs,
X = \p(.rs)t T = Xе. Тогда мультипликативный характер Я поля Е
имеет порядок т, а т имеет порядок п = т/е > 1, так что
= S ^(g(Y)e)= S T(«r(Y)). F.32)
Пусть комплексное число р является первообразным корнем
п-й степени из единицы, и пусть для i = 0, 1, ..., п — 1 множе-
множество Ui состоит из всех a ? Е, таких, что т (а) = р1. Для фикси-
фиксированного ? ? Ux имеем а ? Ut тогда и только тогда, когда
а?~' ? Uo, что в свою очередь эквивалентно условию а?~* = Р"
для некоторого р ^ ?*. Пусть Лг- — число элементов у ? ?, для
которых g (у) ? f/j, т. е. ?~'f (у) = р" для некоторого р ^ ?*.
Пусть Bt — число решений уравнения уп = t,~'g (x) в Е% с нену-
ненулевым значением координаты t/. Тогда At = BJn. Пусть Nt —
полное число решений уравнения уп = t~'g (х) в ?2. Так как
НОД (п, eje eje) = НОД (т/е, eje edle) = 1,
то в силу леммы 6.54 многочлен уп — t~'g (x) абсолютно непри-
неприводим. Кроме того, т делит число q — 1, так что п делит число
qrs— 1, и можно применить теорему 6.53, из которой получаем
||^V для
Поскольку | В; — Nt | <; kle,
\Bt-qrs\^.5-^-nV2qrs/2 для
Запишем
тогда
К 5 4" п1^"/2 для 0 < i < п - 1.
382
Гл. 6. Уравнения над конечными полями
Из F.32) получаем
л—1
1=0
n—l
t=0
n—l
n—l
i=0
Из теоремы 5.39 следует, что
*4.
Поскольку это выполняется для любого s ? IN, то из леммы 6.55
получаем, что | со; | < qr/2, так что | со; | < ql/2 для всех /, 1 ¦;'
Оценка для сумм значений характеров в теореме 5.41 теперь
полностью доказана. Эту оценку можно использовать для уточ-
уточнения теоремы 6.53.
6.57. Теорема. Пусть и ( N а / f f? Ы — такой много-
многочлен положительной степени, что многочлен у'—/ (х), где t*
= НОД (т, q — 1), абсолютно неприводим. Тогда число N реше-
решений уравнения ут = f (x) в F| удовлетворяет неравенству
\N — q\^{t—l)(d—\)qV2.
где d — число различных корней многочлена f из его поля разложе-
разложения над Fg.
Доказательство. В силу E.70)
где k — мультипликативный характер порядка t поля Fq. Если
t = 1, то результат тривиален, так что можно считать, что t > 1 ¦
Пусть
/(х) = ah(х) = а(х- ax)ei ... (х- adL
где а ? Fg и аь .... ad— различные корни многочлена /. По-
Поскольку многочлен у* — / (х) абсолютно неприводим, то по лемме
6.54 НОД (t, еъ ..., ed) = 1. Для 1 < / < * — 1 характер л-'
имеет порядок г} > 1, где г,- делит ^, так что fx не может быть
rj-й степенью некоторого многочлена. Поэтому в силу теоремы 5.41
получаем, что
\N-q\ =
t—i
S S
/F
§ 4. Метод Степанова—Шмидта 383
Для завершения доказательства теоремы 5.38 нам нужно
теперь изучить уравнение вида у — у = / (х) над конечными
расширениями поля fq, которое связано с распределением следов
значений многочлена f. Ключевым пунктом здесь снова является
построение подходящего вспомогательного многочлена. Введем
следующее обозначение. Если заданы многочлен / над некоторым
конечным полем fq, элемент Ь этого поля и конечное расширение Е
поля fq, то через Т (Ь) обозначим множество таких элементов
у е Е, что ТтЕ/Гч Ц (у)) = Ь.
6.58. Лемма. Пусть заданы многочлен f (j fq[x\ положи-
положительной степени, причем НОД (deg (/), q) = 1, расширение Е =
= fqs поля Fq, где s :> 3, и элемент Ь ? fq. Пусть М — та-
такое натуральное число, кратное q, что 0 < М deg (f) <; ^s-a-i ,
где k = Ls/2J. Тогда существует такой ненулевой многочлен
h ? Fq [х], что каждый элемент у ? Т (Ь) является корнем
кратности не менее М этого многочлена, и при этом
deg (A) < Mqs~l + qs deg (/).
Доказательство. Положим g = ftk + /^*+1 + ... + /^~\
m = deg (/), и пусть m0 — меньшее из чисел т и q. Будем ис-
искать многочлен А в виде
h (х) = S S вч (х) g (jc)' х/^, F.33)
,=0 /=0
где ы = Mlq и е,7- — многочлены над fq, которые требуется
определить, причем deg (e,7) < mQqs~2. Поскольку
мы можем написать, что h (x) = v (x, xq ), где
1=0 /=0
Ввиду того что s -*С 2k -\- 1, получаем, что М <С qs~k~l ^ <у*,
так что можно применить следствие 6.50 для всех п, 0 < п .< Ж —
— 1. Тогда
?<») (А (х)) = S S в«;» (х) g (х)' xi"s, 0 < п < М - 1,
f=0 /=0
гдеег7-п (ж) = EW (еи (х)). Если v € Г F), то 6 = Tr?/F (/ (v)) =
~ G (у) + S (т). гДе G = f Л- f" + ¦¦. -\- ft ~ . Учитывая также,
что y«s = у, получим
(?<»> (А)) (у) =2S eWn (у) (b-G (у)У yi = rn (y),
f=0 /=0
384 Гл. 6. Уравнения над конечными полями
где
гп (*) = S S еип (х) ф - G(x))' xl, О < п < М - 1.
,-=о /=о
Для того чтобы гарантировать, что каждый элемент у ? Т (/>)
является корнем многочлена h кратности не менее М, достаточно
в силу леммы 6.51, чтобы были нулевыми все многочлены г„,
0 <; п <; М — 1. Поскольку и ~ Mlq ^C qk~l, то
deg Ы < maqs~2 + m(q- 1) qk~l + и <
< mo<7s-2 -\- m(q — l)qk~l + qh~x < m0qs~2 f mqk,
и, если /i ^- 1, то deg (rn) < m0qs~~~2 + /n</* — 1. Таким образом.
если через S обозначить суммарное число коэффициентов всех
многочленов гп, 0 <; п <; М — 1, то
S < М (mo<7s~2 + Щк) < Mmoqs~9- + Gs-1. F.3-1)
Суммарное же число А возможных коэффициентов всех много-
многочленов etj, 0 ¦<! t <J <7 — 1, 0 <^ / <: и, удовлетворяет неравенстгзу
А = q(и + \)m0qs-'2 = Mm0qs~2 + mo<7s~~! > Mmoqs-2 -f gs-'. F.35)
Условие, что все многочлены гп равны 0, приводит к системе из S
однородных линейных уравнений от А неизвестных коэффициен-
коэффициентов многочленов вц. Учитывая F.34) и F.35), получаем неравен-
неравенство S < А, означающее, что существует нетривиальное решение
этой системы; это решение определяет многочлены еи, не все
равные нулю.
Определив таким образом многочлены etj, мы определим много-
многочлен h по формуле F.33). Тогда, беря и = Mlq и т0 <! гп, полу-
получим, ЧТО
deg(h) < moqs-2 -\-m(q— \)qs~x + uqs < Mqs~l + mqs.
Остается лишь проверить, что h Ф 0. Это вытекает из того, что
ненулевые слагаемые
многочлена h имеют различные степени. Действительно,
deg (du) = deg (ei}) + imqs~x + jq\
так что для dfj Ф 0
¦ qs~l (im + jq) < deg (du) < qs~l + ^ (im + jq),
поскольку deg (eu) < mQqs~2 < qs~l, Поэтому для того, чтобы
доказать, что степени ненулевых многочленов dij различны,
достаточно показать, что если (i, /) Ф (i!, /'), где 0 <; i, !¦' ¦¦<¦¦
< q — 1, 0 < /, /' < и, то im + iq Ф i'm + j'q. Допустим, что
§ 4. Метод Степанова—Шмидта 385
im + jq = i'tn + j'q. Тогда im = i'm (mod q), и так как по пред-
предположению НОД (m, q) = 1, то i = i' (mod q), откуда следует,
что i = i' и /==/', а это невозможно. ?
На основе леммы 6.58 мы можем теперь найти предваритель-
предварительную оценку числа N (Ь) — | Т (Ь) |, т. е. числа элементов у ? Е,
удовлетворяющих условию Тг^ур (f (у)) = Ь. Позднее этот ре-
результат будет улучшен (см. теорему 6.61). Но и той оценки, ко-
которую мы сейчас получим, будет вполне достаточно для дока-
доказательства нашего второго главного результата, приводимого
ниже в теореме 6.60.
6.59. Теорема. Пусть f ^ Fq 1х] — многочлен степени я ;>
^ 1, причем НОД (п, q) = 1. Тогда для любого конечного расши-
расширения Е ¦= fqa поля fq число N (Ь) элементов у ? Е, для которых
Tr?/F (f (У)) = ^> удовлетворяет неравенству
\N(b)- qs~l | < 2«уs/2)+4 для любых b ? f,. F.36)
Доказательство. Если qs < n2q*, то тривиальная оценка
0 <; N (Ь) <; qs показывает, что неравенство F.36) выполняется.
Таким образом, можно считать, что <?s ^ n2q4. Если k = \_s/2J,
как в лемме 6.58 (где [(J — наибольшее целое, не превосходящее
t), то
*2(
так что число
является положительным кратным числа q. Ясно, что Мп <; qs-k-i >
так что все условия леммы 6.58 выполнены. Для многочлена h Ф 0,
построенного в этой лемме, по теореме 1.66 выполняется нера-
неравенство N (b) M <; deg (Л), и оценка степени deg (h), указанная
в лемме 6.58, дает
Так как
то
N (Ь) < q*~x + 2n2qk+l для всех Ь ? fq.
Поэтому
N(b) = tf- ? N(c)>q*-(q- l)qs~l-2(q~ l)n2qk+l>
25 Зак. 222
386 Гл. 6. Уравнения над конечными полями
так что в итоге
| N (Ь) - q*~l | < 2n2qk+2 < 2n2</<s/2>+2,
откуда вытекает неравенство F.36).
6.60. Теорема. Комплексные числа он, ..., ©„_! из теоремы
5.36удовлетворяют неравенствам | щ-1 < д^2для]' — 1, ..., п — 1,
Доказательство, Будем предполагать выполненными условия
теоремы 5.36. Тогда в обозначениях этой теоремы при Е = fqs
??%(/(?)) 2J?X(?/Ff(/(Y))LL ()%()
Если положить N (b) = qs~l + R (b), то ввиду F.36) \R (b)\ <
22(^+i , так что, применяя E.9), имеем
*/2)+6.
<&S \R(b)\<2n?q
Из теоремы 5.36 следует( что
| cof 4- • ¦ ¦ + <4-i | < 2n2q5qs/2 для всех s ? IN, ?
поэтому, учитывая лемму 6.55, получаем | ©/1 <J q112 для / =
= 1, .... я — 1. • О
Оценка для суммы значений характеров из теоремы 5.38
полностью доказана. Эту оценку теперь можно использовать для
уточнения теоремы 6.59.
6.61. Теорема. Пусть f ? р„ [х] — многочлен степени п ^ 1,
причем НОД (п, q) = 1. Тогда для b ? Fq число N (b) элементов
у ? ? = Fqs, Зля которых Тг^р (/ (у)) = 6, удовлетворяет
неравенству
Доказательство. На основании E.10)
где внутренняя сумма берется по всем аддитивным характерам %
поля fq. Меняя порядок суммирования и выделяя часть, соответ-
соответствующую тривиальному характеру %0, получим
2
V g
§ 4. Метод Степанова—Шмидта 387
откуда, согласно теореме 5.38,
так как ввиду х ф Хо поднятие x(s) характера % нетривиально. П
6.62. Следствие. Пусть f ? Fq [х] — многочлен степени п ^
> 1, причем НОД (п, q) = 1, и пусть Е — fqS, где s ? N.
Тогда число N решений уравнения у— у = f (х) в Е2 удовлетво-
удовлетворяет неравенству
I N - q* |< (q - 1) (п - 1) q*l\
Доказательство. Согласно теореме 2.25, для фиксированного
элемента у ? Е равенство р« — Р = / (т) выполняется при не-
некотором р ? ? в том и только том случае, когда Тг^ур (/ (у)) =
= 0. Кроме того, если для элемента у ? ? найдется такое р0 ? ?,
что выполняется равенство р| — р0 = / (у), то существует в об-
общей сложности q элементов р ? Е, удовлетворяющих условию
Р* — р = / (у), причем все они имеют вид р = р0 + с, где с ?
?Fq . Таким образом, N = qN @). Остальное вытекает из те-
теоремы 6.61. ?
6.63. Пример. В качестве дальнейшего приложения метода,
рассмотренного в этом параграфе, мы приведем доказательство
теоремы 5.44 для нечетного q. Будем использовать обозначения из
теоремы 5.43, и пусть Е = fqS. Тогда
К (X(s); a, b) = S ^ X (Tr?/r?(су + by-i)) = % М(с)%(с), F.37)
где М (с) — число элементов у ? Е*, таких, что Tr^yp (ay +
+ бу) = с. Если р0 — фиксированный элемент поля Е, удов-
удовлетворяющий равенству Тг?/р (р0) = с, то, согласно теореме
2.25, равенство Тг^/р (ay + by'1) = с выполняется в том и
только том случае, когда ау + by~l = р» — р + р0 для неко-
некоторого р ? Е, а это эквивалентно условию ау2 — (р« — р +
+ Ро) V + b = 0. Пусть iV — число решений уравнения ау2 —
—' (xi — х + р0) у + Ь — 0 в ?а. Тогда из доказательства след-
следствия 6.62 можно получить, что N — qM (с). При нечетном q
очевидные выкладки показывают, что N является также числом
решений г) уравнения у2 = (х4 — х + р0J — 4ab = / (х) в Ег.
Так как /' (х) = —2 (х" — х + р0), то многочлен / имеет лишь
х) Так как уравнения y2=f (х0) н ау* — («2 — «о + Ро) У + Ь = 0 для *0 g E
имеют в поле ? по одному решению, если f (х0) = 0, по два, если f (xa) — квадрат
некоторого элемента из Е*, и ни одного, если f (x0) не является квадратом
в поле Е. — Прим. перев.
25*
388 Гл, 6. Уравнения над конечными полями
простые корни (в силу теоремы 1.68, поскольку ab Ф 0). Отсюда
следует, что многочлен у2 —• / (х) абсолютно неприводим согласно
лемме 6.54. Поэтому из теоремы 6.57 получаем
| дг — gs | <; B<7 — 1) qs/2.
Таким образом, если записать М (с) = ^s~t -\- R (с) и вспом-
вспомнить, что М (с) = Nlq, то получим, что | R (с) \ <С 2qsi2. Вместе
с F.37) и E.9) это дает
а, Ь) | = 2 (?s~1 + R (с)) % (с) = ? R (с) % (с)
так что по теореме 5.43
Поскольку это неравенство выполняется для всех s— 1, 2, ...,
из леммы 6.55 получаем, что | ®} \ <; ql/2 для / = 1, 2. Более
того, в доказательстве теоремы 5.43 мы установили равенство
I (г) = 1 + Кг + qz% = A — ацг) A - щг),
из которого, в частности, вытекает, что щщ = </, Таким образом,
©11 == | ©2 | = <71/2- ?
Комментарии
§ 1. Первый важный результат о числе решений уравнений
над конечными полями принадлежит Лагранжу (Lagrange [2]);
он состоит в том, что многочлен от одной переменной степени
п ^ 0 над простым полем Fp имеет не более п корней. Это пред-
предложение справедливо, разумеется, для любого поля (см. теорему
1.66). Условия, при которых все п корней принадлежат основ-
основному полю Fg, получены Фейтом и Рисом (Feit, Rees [1]); см.
также Schonemarm [2], Thouvenot, Chatelet [1] и Шатуновский
[1] для случая, когда q — простое число, а также комментарии
к § 3 гл. 4. В статьях Mignosi [5], [6] изучаются такие элементы
Ь С Fg. Для которых многочлен f (x) + b ? Tq [х] имеет deg (/)
различных ненулевых корней в F9.
Теорема 6.1 доказана Кёнигом, а первое опубликованное из-
изложение появилось в статье Raussnitz [1]. Вскоре ее доказатель-
доказательства были получены Гегенбауэром (Gegenbauer [1]), Кронекером
(Кгопескег 17]) и Радошом (Rados [1]). Доказательства этой
теоремы можно также найти в работах Gegenbauer [6], [7] я
Redei [10, ch. 8], а также Tazawa [1 ] для частного случая. Близ-
Близкий результат, использующий вместо ранга циркулянтной мат-
матрицы сумму всех ее главных миноров фиксированного порядка,
Комментарии 389
установлен в статье Redei, Turan [1]. Как обобщение теоремы
Кёнига—Радоша можно рассматривать формулы, полученные в ра-
работах Horakova, Schwarz [1] и Schwarz [14], которые выражают
число нормированных неприводимых делителей данной степени
некоторого многочлена через ранги соответствующих матриц.
В работах Raussnitz [I], Segre [3], [4] и Vaughan Т. Р. [1]
показано, что через ранг циркулянтной матрицы можно выразить
также число таких решений уравнения f (х) — 0, f ? fq lx],
которые являются m-ми степенями элементов из (FJ. Гегенбауэр
(Gegenbauer [4]) получил аналогичное выражение для числа
общих ненулевых корней двух многочленов. Вопрос же о сущест-
существовании общих корней двух многочленов можно решить с по-
помощью теории результантов (см. § 4 гл. 1); в связи с этим см.
также Rados [3] и Vogt, Bose [1]. Гегенбауэр (Gegenbauer [2])
использовал результанты в формулах для числа общих ненулевых
корней двух многочленов, а также для числа различных нену-
ненулевых корней одного многочлена над простым полем Fp; см.
также Ore [1]. Другие типы формул для числа решений поли-
полиномиального уравнения / (х) = 0 в конечном простом поле см.
в статьях Bellman [1] и Cazacu [l].Ope (Ore [7]) указал
оценку для числа решений в поле Fp уравнения а0 + а^х + ...
• •¦+ ар_2хр~2 = 0, коэффициенты которого удовлетворяют неко-
некоторому линейному рекуррентному соотношению.
Для / ? fq \х ] число N решений уравнения / (х) = 0 в поле
fq можно определить по модулю характеристики р поля Fq с по-
помощью следующего простого закона, найденного Лебегом (Le-
besgue [1]):
N = 2 И — f(c)"~l] (modp).
Этот прием был затем развит в работах Cipolla [3], Dickson [191
и Hurwitz [1]. Другой подход был применен Шварцом (Schwarz
[3]), который показал, что если /—нормированный многочлен
без кратных сомножителей, то N = Тг (В) (mod р), где Тг (В)
обозначает след матрицы В = (btj), определенной выражением
D.4). Этот метод обобщен в статье Шварца Schwarz [13]; см.
также комментарии к § 1 гл. 4. Сравнение по модулю р для числа N
получено также в статье Mignosi [7]. Сравнения по модулю р
для числа общих корней конечного множества многочленов, ко-
которые не являются корнями никакого многочлена из другого ко-
конечного множества многочленов, можно найти в статье Mignosi
[3].
Много результатов о числе решений уравнения / (х) = О
получено для различных специальных классов многочленов /.
Так, о кубических многочленах / и многочленах / четвертой сте-
степени см. работы Bose, Chowla, Rao [3], Carlitz [103], Cazacu,
390 Гл. 6. Уравнения над конечными полями
Simovici [I], Cordone [l],Dickson [40, ch. 8], Leonard [3], [41.
Mirimanoff [1], Oltramare [1], Redei [51, [6], [10, ch. 11]
Schwarz [3], Segre [10], Skolem [1], [2], [4], Thouvenot [1],
Thouvenot, Chatelet [1], Вороной [1, гл. 1 ], [2] и Гребенюк [2].
Особенно простым является случай, когда / — двучлен; для про-
произвольного конечного поля Fq он был рассмотрен Дедекиндом
(Dedekind [1]), но для простых конечных полей он привлек
внимание исследователей значительно раньше (см. обширную
библиографию в книге Dickson [40, ch, 7]). Относительно трех-
трехчленов см. Leonard [2], Liang [1], Segre [10] и Vilanova [1].
О линеаризованных и аффинных многочленах / см. Berlekamp
[4, ch. 11], Liang [1], Segre [10] и Vilanova [1]. Карлиц (Саг-
litz [118]) доказал, что для q > kx > k% > ... > ks ^> 1 сущест-
существуют элементы щ, ..., as ? fq, такие, что многочлен aiXk* -f ...
-f asxk* -f 1 имеет по крайней мере s различных корней в поле fq.
Леонард (Leonard [ 11) получил с помощью доказательства из
работы Birch, Swinnerton-Dyer [1] асимптотическую формулу
для числа элементов Ь ? Fq, таких, что многочлен / (х) + b
имеет заранее заданное число корней в поле fq, в предположении,
что / является многочленом определенного вида. В статье White-
man [4] устанавливается зависимость между квадратичным раз-
разбиением простого числа р и числом решений квадратного и кубиче-
кубического уравнений над полем Fp. Методы отыскания корней много-
многочленов рассматриваются в § 3 гл. 4.
Следствия 6.6 и 6.9 принадлежат Шевалле (Chevalley [1]),
тогда как усиления, содержащиеся в теоремах 6.5, 6.8 и 6.11,
были вслед за тем установлены Варнингом (Warning [1]). Ре-
Результат следствия 6.6 был сформулирован Диксоном в статье
Dickson [28] и доказан там для однородных многочленов не выше
третьей степени, а в статье Dickson [32] — для любых однород-
однородных многочленов над полем F2- Доказательство теорем Шевалле—
Варнинга можно найти также в следующих источниках: Ах [1],
Greenberg [I, ch. 2], Ireland, Rosen [1, ch. 10], Joly 15],
Schmidt W. M. [3, ch. 4], Serre [1, ch. 1 ] и Боревич, Шафаревич
[1, гл.1 ]. Другое доказательство леммы 6.3 см. в работах Dick-
Dickson [2], [7, part I, ch. 4]; об аналогичной кратной сумме см.
Williams W. L, G. [5], а об аналоге суммы степеней для квадрат-
квадратных матриц см. Brawley, Carlitz, Levine [1]. Теорему Шевалле
можно использовать для доказательства теоремы Веддербёрна
(теорема 2.55); см. Joly [5] и McCrimmon [1]. По поводу других
ее приложений см. статьи Ах [2], Ах, Kochen [I], Carlitz [32]
и Львов [1]. Результаты типа теорем Шевалле—Варнинга для
систем уравнений имеются также в статье Segre [7]. В статье
Carlitz [65] показано, что если / ? fq [хг, ..., хп] —однород-
—однородный многочлен степени п и число N решений уравнения / (Хъ •••
Комментарии 391
..., *n) = 0 не делится на характеристику р поля Fq, то для каждого
многочлена g ? F? 1хъ ¦ ••> хп] степени, меньшей п, уравнение
f (хи ..., хп) = g (хг, ..., хп) имеет по крайней мере одно ре-
решение в F". Если же iV делится нар и при этом g @, 0, ..., 0) = 0,
то число решений уравнения f (хи ¦¦¦, хп) = g (xu ¦¦¦, хп) в F"
делится на р, и этот результат можно распространить на системы
аналогичных уравнений (см. Carlitz 187]). О близких к этому
результатах для случая deg (/) = п см. также Terjanian [1]
и Joly [5}. В статье Frattini [2] найдено условие, при котором
однородному уравнению удовлетворяют значения переменных,
отличные друг от друга и от нуля. Результаты Брауэра (Brauer R.
[ 1 ]) о системах однородных уравнений над произвольными полями
можно рассматривать как обобщение следствия 6.9. Другое обоб-
обобщение следствия 6.9 для однородных многочленов получено в
статье Fulton W. [1] о многообразиях над конечными полями.
Теоремы Шевалле—Варнинга для кольца Z/(pk) установлены
в работах Browkin [1] и Schanuel [1].
Важным усилением теоремы 6.5 является теорема Акса (Ах
[1 ]), состоящая в том, что если / ? Fe 1хъ ... хп] — многочлен
степени deg (/) = d <n и 6 — наибольшее целое число, которое
меньше nld, то число решений уравнения / (хъ ..., хп) = 0 де-
делится на ф; доказательство этого результата имеется также в ста-
статье Joly [5]. Обобщение указанного результата на случай си-
системы уравнений получено Катцом (Katz [1 ]). Близкий результат
содержится в статье Delsarte, McEliece [1 ]. О приложениях тео-
теоремы Акса см. Carlitz [110].
Однородные многочлены /, построенные в примере 6.7, назы-
называются норменными формами; они были введены Диксоном (Dick-
son [16], [28]). Карлиц (Carlitz [78]) исправил доказательство
Диксона (Dickson [ 163) и показал, что если для нечетного q ^
> 13 однородный многочлен / € F? f*i. *г> х3] третьей степени
обращается в нуль на F| лишь в точке @, 0, 0), то он должен
быть норменной формой. Системы уравнений, состоящие из нор-
менных форм, были изучены Карлицом (Carlitz [87]). Норменные
формы представляют собой частный случай так называемых фак-
торизуемых многочленов (см. Carlitz [12] и комментарии к § 2
гл. 3). В статье Terjanian [1 ] доказано, что если / ? fq [x\, ...
• ¦;Хп] — многочлен степенип, обращающийся в нуль на пя лишь
в точке @, ..., 0), то для каждого многочлена g ? fq 1хъ .... *nI
степени, меньшей п, существует хотя бы одно решение уравнения
/ (Х\, .... хп) = g {x\, ..., хп), лежащее в F"; см. также Joly [5].
Теорема 6.13 доказана Ope (Ore [1 ]); см. также Schmidt W. М.
[3, сп. 4] и Боревич, Шафаревич [1, гл. 1]. В работе
Schmidt W. М. [31 имеются также теоремы 6.15, 6.16 и 6.17.
Тот факт, что для ненулевого многочлена / ? f4 [xlt .... хп]
392 Гл, 6. Уравнения над конечными полями
число решений уравнения / (х\, ..,, хп) = 0 в F" не превышает
qn~l, был отмечен в статьях Min [2] и Lang, Weil [I ], а для ко-
конечных простых полей также в работе Ниа [9, ch, 2]. Обобщения
теоремы 6.13 на случай системы уравнений можно найти в работах
Chalk, Williams [1] и Schmidt W. M. [3, ch, 4].
Теоремы типа теоремы Кёнига—Радоша для полиномиальных
уравнений от нескольких переменных и для систем таких урав-
уравнений были установлены в работах Gegenbauer [5], Rados [21
и Segre [4], [5], [7]. Сравнения по модулю характеристики
поля ft, для числа решений уравнения f (х\, ..., хп) = 0 в [•"'„'
можно получить очевидным обобщением закона Лебега, упоминав-
упоминавшегося выше; см, Lebesgue [I], Hurwitz [I], Dickson [19] и
Segre [3], [4]. Элементарный подход к числу решений указанного
уравнения был использован в статье Cazacu [2]. Вандивер (Van-
diver [3]) получил выражение для числа решений уравнения
/ (хь ..., хп) = 0 через значения переменных xt, являющиеся
mj-ми степенями в группе FJ для 1 <; i <J п. Редей (Redei [3])
показал, что уравнение / (х1у ..., хп) = 0 в том и только том слу-
случае не имеет решений в F", если многочлен f~x — 1 является
линейной комбинацией многочленов от одной переменной вида
$ — Xt, 1 <; i' <1 п, с коэффициентами из кольца F? \%\, ¦¦¦, хп].
Робинсон (Robinson A. [I, ch, 2]) доказал, что если система
полиномиальных уравнений от нескольких переменных над коль-
кольцом Z такова, что она имеет не более т решений в каждом расши-
расширении поля Q, то для всех достаточно больших простых чисел р
система уравнений, получаемая из исходной лриведением коэф-
коэффициентов по модулю р, имеет не более т решений в каждом рас-
расширении поля fp; см. также Gilmer, Mott [1].
Множество элементарных результатов доказано для частных
типов уравнений от нескольких переменных. Об уравнениях, со-
содержащих однородные многочлены с непересекающимися мно-
множествами переменных см, Carlitz [62] и Segre [10], а о частном
случае факторизуемых многочленов см. Carlitz [58] и Willi-
Williams К- S. [14]. Карлиц (Carlitz [39]) показал, что число решений
уравнения х?1 ... х„п = f (Уи ¦¦-, Уг), где ть ..., тп € N —
взаимно простые числа, можно выразить через число решений
уравнения f = b, b ? f4; обобщения этого результата см. в
статьях Porter [9] и van Meter [2], [3]. Уравнения и системы
уравнений, содержащие элементарные симметрические много-
многочлены, рассматривались в работах Aberth [I], Carlitz [64i»
Fine [1], Mordell [7], Redei [11, ch. 6], Schwarz [15], Sed-
lacek [1 ] и Аванесов [1 ]. Уравнение/ (х) (у — г) + / (у) (г — х) +
+ / (г) (х — у) = 0 с многочленом / ^ fq lx] изучалось в статье
Ceccherini, Hirschield [1]. Определенное внимание привлекли
Комментарии 393
так называемые мультилинейные уравнения, k-линейным урав-
уравнением называется уравнение вида
• xlh "~Ь Й2*21 • ¦ • X2h "Т~ • • • ~Ь an*nl ¦ • • xnh — a
от kn переменных xtj, где аь ..., ап, а ? fq. О таких
уравнениях и системах уравнений см. Carlitz [56], Cohen E. [8],
Hodges [2], Joly [5], Porter [4], [5], [6] и van Meter [2]. Обоб-
Обобщения на случай, когда допускаются более высокие степени пе-
переменных xtj, можно найти в статьях Carlitz [39], Porter [7],
[9], [11] и van Meter [1], [2], [3]. О дальнейших элемен-
элементарных результатах по частным типам систем уравнений см.
работы Corson [I], Klein [1], [2], Mignosi [4], Serge, Bar-
tocci [1] н Бабаев, Исмоилов [1]. Число решений уравнения
det (*,;)i<i, /<л = а было получено в работах Jordan С. [7]
и Fine, Niven [1]; см. также Carlitz [58], [67] об аналогичных
уравнениях.
В статьях Ах [21, [3] и Fried, Sacerdote [1] рассматриваются
алгоритмы, позволяющие выяснить, будет ли данная система
уравнений от нескольких переменных разрешима не в одном ко-
конечном поле, а в целом семействе конечных полей. О матричных
уравнениях над конечными полями см. комментарии к § 2, а об
уравнениях, для которых неизвестными являются многочлены над
конечными полями, см. комментарии к гл. 3. Некоторые функцио-
функциональные уравнения над конечными полями изучаются в работах
Dickey, Kairies, Shank [1], Dunn, Lidl [1], Herget [1] и Lune-
burg, Plaumann [1 ].
§ 2. Уравнения над конечными полями, содержащие квадра-
квадратичные формы, рассматривались еще Лагранжем (Lagrange [3]),
который показал, что уравнение х2 + Ьуг = с, где Ь, с ? f*p
при простом числе р, всегда разрешимо в f%. Это было необходи-
необходимым шагом при доказательстве его известной теоремы о том, что
каждое натуральное число может быть представлено в виде суммы
четырех квадратов целых чисел. Простое доказательство разре-
разрешимости этого уравнения в замечании 6.25 принадлежит Коши
(Cauchy [1]), который нашел его, исходя из общего комбинатор-
комбинаторного принципа, переоткрытого впоследствии Дэвенпортом (Da-
(Davenport [5]). То же самое доказательство применил Диксон
(Dikson [43]). Вебер (Weber [5, § 64]) показал, что каждый эле-
элемент конечного поля можно представить в виде суммы двух квад-
квадратов. Формулы для числа решений уравнения *2 + byi = с
в F| приводятся в работах Hermite [I ], Libri. [I J, Lebesgue [1 ] и
Schonemann [1]. Более свежие результаты об этом уравнении
см. в статьях Singh [2], [3] и Somer [1]. Решения уравнения
ах'1 + Ьу% = с в Fp с малыми значениями х и у были исследованы
в статьях Mordell [9], Smith R. A. [1] и Williams К- S. [12].
394 Гл. 6. Уравнения над конечными полями
Вопрос о том, какие решения уравнения х2 + У2 = г2 являются
квадратичными вычетами, был изучен в статье Burde [8].
Лебег (Lebesgue [1]) установил формулу для числа решении
уравнения х\ + ... + х2п = Ь в §пр, а для произвольных диаго-
диагональных квадратичных форм над FP это было впервые сделано
Жорданом (Jordan С. [1]); см. также Jordan С. [2, § 197—2001
и Lebesgue [5]. Теорема 6.21 для простого поля Fp, p > 2, была
доказана Жорданом (Jordan С. [5], [6]); он же нашел число ре-
решений уравнения / = 0, где /— произвольная квадратичная
форма над таким полем. Обобщение указанной теоремы на слу-
случай произвольного конечного поля нечетной характеристики было
осуществлено Диксоном в статье Dickson [4]; в этой статье мо-
можно также найти теорему 6.30. О тех же результатах с иными
доказательствами см. также работы Bachmann [3, part II, ch. 71.
Berlekamp [4, ch. 16], Cohen E. [13], Dickson [7, part. I, ch. 4:
part II, ch. 7, 8], Hull [1], Ireland, Rosen [1, ch. 8], Joly [5].
Nagata [1] и Schmidt W. M. [3, ch. 4]. Метод, указанный в зл-
мечании 6.28 для произвольных многочленов степени 2 над по-
полем ?q, не пригоден для четного числа q, но число решений можно
найти и для этого случая (см. Carlitz [109]). Кантор (Kantor [l]l
определил число различных значений, представимых квадратич-
квадратичными формами над простым полем fp, p > 2.
Системы уравнений Д (xlt ..., хп) = bt ? fq,i=l, ..., к.
с квадратичными формами Д, ..., fh над fq изучались в статьях
Birch, Lewis [2], Birch, Lewis, Murphy [1], Carlitz [56], Lewb.
Schuur [l],Mordell [8], Nordon [1], [2], [3], Weil [8] и Демья-
Демьянов [2]. О системах, содержащих как квадратичные, так и ли-
линейные уравнения, см. Carlitz [101], [102], Cohen E. [101.
[11], [12], Fulton J. D. [9], Jung [1], [2], O'Connor [1], O'Con-
O'Connor, Pall [1] и Tietavainen [3]. В статьях Carlitz [101] и Tio-
tavainen [3] доказано предположение Коэна (Cohen E. [11 11
о том, что система уравнений над полем fq нечетной характери-
характеристики, состоящая из уравнения / (xlt .,., хп) = Ь, где / — не-
некоторая невырожденная квадратичная форма, и системы из '
линейных уравнений от переменных хг полного ранга, всегда раз-
разрешима в F", если п ^s 2/ + 2, но при п — 2t -\- 1 существуй ¦!
такие системы, которые не имеют решений в F". Карлиц получил
также аналогичный результат для поля характеристики 2 (Car-
(Carlitz [101]). Системы уравнений, содержащие квадратичные '•'•
билинейные формы, рассматривались в статьях Carlitz [56] "
Porter [1], [2], [3], [6], 115].
Карлиц (Carlitz [39], [43], [52], [63]) изучал уравнения
вида /(лгь ..., хп) = g (хъ .... хп), где / — квадратный много-
многочлен, a g — многочлен некоторого специального вида. Случай,
когда п = 3 или 4 и g (хъ ..., хп) = ахх ... хп + Ь, а, Ъ ? F7.
Комментарии 395
рассматривался в статьях Carlitz [50], [52], [75] и Rosati [1].
В работе Carlitz [43] рассматривалось уравнение f-Jz + •¦•
• •• + fin-ifin = b, где/,- — квадратичные формы, не содержащие
общих переменных. Другой частный тип уравнений, содержащих
квадратичные формы, рассмотрен Карлицом (см. Carlitz [47]).
О кубичных формах и формах четвертой степени см. работы
Campbell [1], [3], [8], [10], Carlitz [64], Cicchese [1], [2],
[3], [4], Davenport, Lewis [1], [4], [6], de Groote [1], [2],
Lewis [1], Lewis, Schuur [1], Mordell [5], [21], Segre [10] и
Манин [4, гл. 4], а также комментарии к § 3 и 4.
Содержащие квадратичные формы суммы значений характеров
из упр. 6.27—6.30 можно рассматривать как обобщения квадра-
квадратичных сумм Гаусса (ср. с. § 2 гл. 5). Впервые они были вычис-
вычислены для конечных простых полей, а также .для кольца Z/(m)
Жорданом (Jordan С. [4]) и Вебером (Weber [1 ]). О дальнейших
результатах см. работы Bachmann [3, part II, ch. 7], Braun [1],
Callahan, Smith [1], Carlitz [59], [109], Fulton J. D. [9],
Smith R. A. [4]. Линник [2] и Малышев [2], [3, гл. 1]. О
близких суммах значений характеров см. работы Carlitz [45],
[46], [109], [113], Опо [4], Porter [16], [17], Springer [3] и
ссылки на литературу в статье Berndt, Evans [4] по обобщениям
сумм Гаусса.
Обширная теория приведения и теория инвариантов для
квадратичных форм над конечными полями были развиты Диксо-
Диксоном в статьях Dickson [11], [12], [13], [18], [22], [24]. Ана-
Аналогичные результаты для систем квадратичных форм были уста-
установлены Диксоном в статьях. Dickson [20], [22], [27]. Эти теории
были распространены на формы высшей степени в работах Dickson
[15], [24], [29], [30], [34], [36], [37], [38], [39]. Итог этим ис-
исследованиям был подведен в книгах Dickson [35] и [42, ch. 19].
О продолжении этих работ см., например, статьи Glenn [1],
Hazlett [1], [2], [3], [4], Wiley [1], Williams W. L. G. [1],
[2], [3], [4] и обзор в книге Rutherford [1]. Более поздние ис-
исследования инвариантов форм над конечными полями содержатся
в работах Almkvist [I], Campbell [9], [11] и Carlitz [47], [53],
[59]. Нужно отметить, что понятие инварианта для таких форм
встречается еще у Гурвида (Hurwitz [Г]). Основная теорема 6.21
справедлива, разумеется, для любого поля характеристики, от-
отличной от 2, так как ее доказательство не использует конечности
основного поля; см. также Боревич, Шафаревич [1, алгебраиче-
алгебраическое дополнение]. Теория квадратичных форм над произволь-
произвольными полями характеристики 2 более сложна. Основными рабо-
работами по этому вопросу являются статьи Albert [1] и Arf [1],
причем в последней введен один важный инвариант. Об упрощен-
упрощенном подходе к инварианту Арфа см. Dieudonne [I], Dye [I],
KHngenberg, Witt [1], Springer [1], Tietze [1] и Witt [2].
396 Гл. 6. Уравнения иад конечными полями
Жмудь [ 1 ] нашел соотношение, связывающее инвариант Ар>|м
с обобщенными суммами Гаусса. В статье Meyer [1] представ.мчс
обзор результатов Диксона и Арфа с позиций их приложе.чий
к конечным полям. О квадратичных формах над конечными мо-
молями характеристики 2 см. также Campbell [2], [4], [5], |fi|,
[71, а о кубических формах над полем F2 см. Т'и [2]. В статье
Pless [2] рассмотрены билинейные формы над полями характери-
характеристики 2. О квадратичных формах над кольцом Fq lx] см. раб'пы
Byers [1] и Carlitz [69].
Приложения квадратичных и билинейных форм над конеч-
конечными полями к теории кодирования рассматриваются в статьях
Cameron, Seidel [1], Delsarte P. [31, Delsarte, Goethals 1:21.
Goethals [1], Lempel, Winograd [1] и Snapper [1]. О приложе-
приложениях к конечным геометриям см., например, работы Artin i7,
ch. 3], Cordes [1], [2], Dai, Feng [1], [2], Feng, Dai [1], Il'J,
Snapper [Пи Козел, Шаклеина [1]. О приложениях к алгебр.чм
над конечными полями см., например, Опо [5], [61. Каплпн
(Kaplan [1]) доказал закон взаимности (см. теорему 5.17), рас-
рассматривая число решений сравнения х\ + ... + xf = r (mod /').
Теорему 6.21 можно интерпретировать и следующим обратим:
каждая симметрическая матрица А над полем Fq при нечетном i/
подобна некоторой диагональной матрице D (в том смысле, что
D — С1 АС для некоторой невырожденной матрицы С над г",);
ср. с работами Newman [I, ch. 4) и Mateos Mateos [1]. Близкие
результаты о подобии, ортогональном подобии и т. п. имекш'я
в работах Albert [11, Porter [81, [13], Porter, Adams [1], Por-
Porter, Hanson [1], [21. В силу связи между квадратичными фор-
формами и их матрицами коэффициентов над полем Fq при нечетном q
число линейных преобразований, переводящих квадратичую форму
с матрицей коэффициентов А в эквивалентную квадратичную <|*)-
рму с матрицей коэффициентов 5, совпадает с числом невырож-
невырожденных матриц X, таких, что ХТАХ = В. Это число было опре-
определено Зигелем (Siegel [1]) и Карлицом (Carlitz [54]); для чет-
четного q число решений X матричного уравнения ХТАХ = В лля
симметрических матриц А и В было получено в статьях Feng.
Dai [11, [2] н Fulton J. D. [5], [71; о случае В = 0 см. Buckhi-
ester [2]. Случай матрицы X фиксированного (но не обязательно
полного) ранга рассмотрен в статье Hodges [21 ]. Кососиммегнри-
ческая матрица А определяется условием Лт = — А. Матричное
уравнение ХТАХ = В с заданными кососимметрическими мат-
матрицами А и В рассматривалось в статьях Carlitz [51 ] и Hoil^'s
[22]. Такое же матричное уравнение с другими типами матрии Л
и В рассматривалось в статьях Buckhiester [21, [3], [4], 151-
[6]. Об уравнении ХТХ = 0 см. Carlitz [114] и Perkins [11, 121-
В работе Hodges [9] рассматриваются матричные уравнения
Комментарии 397
Х1А + АТХ —- В для симметрической матрицы В и ХТА —
— А7Х = В для кососимметрической матрицы В.
Матричное уравнение
с различными неизвестными матрицами Хг, ..., Хп и заданными
матрицами А и В, которые либо обе симметрические, либо обе
кососимметрические, изучалось в статьях Mousouris, Porter [1],
Porter, Riveland [1] и Riveland, Porter [1], [2]. Портер (Porter
[12], [22]) обобщил матричные уравнения из статьи Hodges [9]
на случай нескольких неизвестных матриц. В работах Hodges [1 ],
[4] определено число решений матричного уравнения Xi + •••
...+ Хп = А, где Х} — либо симметрическая, либо кососимметри-
ческая матрица, см. также Porter, Mousouris [5]. Системы матрич-
матричных уравнений, содержащие симметрические й кососимметриче-
кососимметрические матрицы, изучались в статьях Hodges [17], [25].
Для матрицы А над полем fgz определим матрицу А*, при-
применяя к элементам матрицы А автоморфизм Фробениуса поля
?q' над Fq (т. е. заменяя каждый элемент а элементом а*) и
затем транспонируя полученную матрицу. Матрица А называется
эрмитовой, если А* = А. Матричное уравнение Х*АХ = 5,
где А и В — эрмитовы матрицы, изучалось в работах Carlitz,
Hodges [1], Fulton J. D. [6], Hodges [24] и Wan, Yang [1],
[2]; оно связано с эрмитовыми формами (см. Albert [1], Dick-
son [1]). Более общее уравнение
Х*п...Х\АХ1...Хп = В
с неизвестными матрицами Хи ..., Хп и заданными эрмитовыми
матрицами А и В рассматривалось в статье Mousouris, Porter
[2]. В работе Hodges [9] изучается уравнение Х*А + А*Х = В
с эрмитовой матрицей 5, а в статье Porter [20] — его обобще-
обобщение на случай нескольких неизвестных матриц. Системы матрич-
матричных уравнений, содержащие эрмитовы матрицы, встречаются
в статье Hodges [25]. Приложения эрмитовых форм к конечным
геометриям подробно изучены в статье Segre [11].
Матричное уравнение АХ = В рассматривалось в работах
Hodges [5], Porter [21] и Porter, Mousouris [2]. О несколько
более общем уравнении АХС = В см. в статьях Hodges [19],
Porter, Mousouris [2]. Работы Hodges [2], [18] посвящены
матричному уравнению XAY = В с неизвестными матрицами X
и Y. Дальнейшие обобщения можно найти в статьях Dalla,
Porter [1], Porter [10] и Porter, Mousouris [1], где изучается
уравнение АХг ... Хп = В, а также Dalla, Porter [2], Porter
[14] и Porter, Mousouris [1], где изучается уравнение Xt ...
XnAYt ... Ym = 5. В последней статье имеются также результаты
об уравнении АХг ... ХпС = В. В статье Porter, Mousouris [3]
398 Гл. 6. Уравнения над конечными полями
рассматривается матричное уравнение АХг ... Хп = BYX ... }",„.
Об уравнении ХА + CY = В и его обобщениях на случай боль-
большего числа неизвестных см. Hodges [28], [29], Plesken [1 I,
Porter [19] и Porter, Mousouris [4]. Об уравнении AXXX -j- ...
...+ AnXn = В и его обобщении см. Porter [18] и Hodges [;ю]
соответственно.
Многие работы посвящены так называемым инволютивным
матрицам, т. е. таким матрицам А, для которых Аг = /, где / —
единичная матрица. Число инволютивных матриц порядка п
над полем fq определено Ходжесом (Hodges [12]); см. также
Brawley [2]. Различные перечислительные задачи для специаль-
специальных классов инволютивных матриц решались в работах Brawley,
Levine [2], Fulton J. D. [1], [2] и Perkins, Fulton [1]. Вопрос
о числе решений некоторых уравнений от инволютивных матриц
рассматривался в статьях Fulton J. D. [3], [4] и Lewini1,
Brawley [1]. Об инволютивных матрицах над кольцом Z/(m)
см. Brawley, Gamble [1]. Матричное уравнение вида / (X) = О,
где / — заданный многочлен над полем fq, изучалось в статье
Hodges [11]; см. также Brawley, Mullen [1]. Ходжес (Hodges
[14]) определил число решений системы матричных уравнений
ахХ + bjY = cj, a2X2 + Ь%У% = с2/, где аъ а2, blt Ъ% ? :.;,
Ci, С2 6 fq-
Число nXn-матриц над простым полем fp, имеющих заданное
значение определителя, было подсчитано Жорданом (Jordan С.
[7]) и Файном и Нивеном (Fine, Niven [1]). Уравнения в определи-
определителях, содержащие неизвестные матрицы, изучались в статьях
Carlitz [51], [55], [60] и Hodges [13], [20]. В комментариях
к § 1 гл. 8 мы еще встретимся с результатами о числе матриц
некоторых типов, например заданного размера или ранга.
§ 3. Интерес к диагональным уравнениям (отличным от ли-
линейных и квадратичных) возник из теории циклотомии, где рас-
рассматривались уравнения вида axk + byk = 1. Эта теория вче-
ходит к Гауссу; в статье Gauss [1] рассматривается случай 'U-
кого -уравнения с k = 3, а в статье Gauss [3] — с k = 4. О дру-
других ранних результатах для этих случаев см. также Libri [2 I и
Lebesgue [1 ]. Связь такого уравнения для произвольного k с цнк-
лотомическими числами (см. комментарии к § 3 гл. 5) и суммами
Гаусса и Якоби была подробно изучена Куммером (Kummer [41.
[5], [6]). Классическое изложение этих результатов дал Бахмаи
(Bachmann [1]); о более поздних результатах см. Storer 111-
Математики прошлого века (кроме ранее упомянутых см. тавже
Carey [I], Pellet [8], Pepin [1] и Schwering [1]) рассматривали
лишь простые конечные поля Fp. Обобщение результатов Кум"
мера на случай произвольного конечного поля F, было полу-
получено Митчеллом (Mitchell Н. Н. [1], [2]). Интерес к цикло-
циклотомии был возрожден важными результатами Диксона (Dicksoii
Комментарии 399
[44], [45], [46], [47]). Вычисления циклотомических чисел
низкого порядка, начатые статьями Диксона, были продолжены
в работах Baumert, Fredricksen [I ], Berndt, Evans [1 ], Bruck [2],
Evans, Hill [1], Leonard, Williams [3], [5], Muskat [4], [6],
[7], Muskat, Whiteman [1], Parnami, Agrawal, Rajwade [3],
Storer [2], Wells, Muskat [Пи Whiteman [9], [10], [11].
О дальнейших результатах по циклотомическим числам, таких,
например, как, соотношения между ними, см. работы Baumert,
Mills, Ward [1], Hall [7], Hull [1], Kutzko [1], Myerson [5],
Redei [8], Storer [3], [4], Vandiver [9], [11], [12], [14],
[15], [17], [19], [20], [21], [22], Venkatarayudu [1] и Whi-
Whiteman [3], [5], [6], [14].
Уравнение axk + bxk = с рассматривалось также и незави-
независимо от теории циклотомии. Сколем (Skolem [3]) показал, что
для каждого простого числа р ф! уравнение ах3 + by3 = с
при заданных а, Ь, с ? Fp имеет решение в Ff; см. также Dun-
ton [1 ] и Nagell [1]. О случае k = 3 кроме уже упоминавшихся
работ Гаусса, Либри и Лебега см. также Cohen E. [9], Ireland,
Rosen [I, ch. 8], Pepin [1], Singh [4] и Vaidyanathaswamy
[2]. О случае k = 4 см. Parnami, Agrawal, Rajwade [1]. Резуль-
Результаты, относящиеся к случаю произвольного k, имеются в работах
Chowla I. [1], [3], Chowla S. [12], Ireland, Rosen [1, ch. 8],
Small [1], [2], [3] и Vandiver [3], [4], [13]. О связи уравнения
xk -|- yk = 1 над простым полем Fp с проблемой раскрашивания
графа см. Greenwood, Gleason [1].
Более общее уравнение axkt + byki = с было впервые рас-
рассмотрено в статьях Pellet [3] и Piurna [1 ]. О дальнейших резуль-
тах см. Chowla I. [2], Davenport, Hasse [1], Hua, Vandiver [3],
Mordell [5], Vandiver [5], [6], [9], [12], [14], [15], [17],
118], [19], [20], [21], [22], [23], [25], Whiteman [5] и Willi-
Williams K. S. [23]. Таблицы решений для таких уравнений постро-
построены в работах Lehmer, Vandiver [1], Pearson, Vandiver [1],
Selfridge, Nicol, Vandiver [1] и Vandiver [24]. В случае когда
одно из чисел kt равно 2, мы приходим к эллиптическим или ги-
гиперэллиптическим уравнениям (ср. с комментариями к § 4).
Об аналогичном трехчленном уравнении см. Albert [4].
Уравнение вида axk + byk + czk = d (чаще всего с а = b = 1,
с = ± 1, d = 0) широко изучалось в связи с последней теоремой
Ферма. Ранние результаты о существовании нетривиальных ре-
решений (т. е. решений с х, у, z Ф 0) этого уравнения над конеч-
конечными простыми полями для d = 0 получены в статьях СогпассЫа
И], Dickson [25], [26], Hurwitz [2], Mantel [2], Pellat [8],
Pepin [1], Schur [1] и Wendt [1 ]. Списки случаев, когда возмож-
возможно лишь тривиальное решение, приведены в статьях СогпассЫа
П] и Dickson [14], [17], [21]. Обзоры этих результатов можно
найти в следующих монографиях: Bachmann [6], Dickson [41,
400 Гл. 6, Уравнения над конечными полями
ch. 26], Mordell [2] и Ribenboim [2, ch. 12]. См. также деталь-
детальное исследование в книге Klosgen [1]. В статье Ankeny, Erdos
[1] указано условие, при котором уравнение хк + ук + zk — 0
имеет в Fp лишь тривиальные решения, а в статьях- Vandiver
[6], [10] изучается уравнение axk + byk + czk = 0 над произ-
произвольными конечными полями. Диксон (Dickson [48]) использовал
циклотомию для получения результатов о числе решений урав-
уравнения axk + byh + czk = d над простым полем Fp. Уравнение
вида ах* + by3 + cz3 = d изучалось в статьях Chowla, Cowles,
Cowles [1], [2], [3], [4], Cohen E. [7], [9], Lewis [2], Schup-
fer [1 ] и Selmer [1 ]. Об уравнении ж4 + у4 — г4 = 0 над полем
Fp см. Dickson [26]. Уравнение xk + yk + zk = 0 над полем
IFV, где k = q + 1 или к = q'° + 1, рассматривалось в статье
Ennola [1]. В работах Segre [11] и Hirschfeld [1] определяется
число решений уравнения x"+i + уч+1 + г*+> = 0 над полями
F<72 и fq4. Связи между диагональными уравнениями над ко-
конечными полями и диофантовыми уравнениями типа рассмотренного
в последней теореме Ферма широко исследовались Вандивером
(Vandiver [1], [3], [4], [13], [18], [21], [23]); см. также Khad-
zhiivanov, Nenov [1] по поводу недавних результатов.
Подход к диагональному уравнению F.10), основанный на
тригонометрических суммах, применялся еще Пелле (Pellet [6])
для случая, когда b = 0 и все к; равны друг другу. Метод, опи-
описанный для общего случая в § 3, был разработан приблизительно
в одно и то же время в статьях Furtado Gomide [1], Hua, Van-
Vandiver [1], [2] и Weil [6]. О дальнейших результатах, связанных
с применением тригонометрических сумм к уравнению F.10),
см. Ankeny [2], Faircloth [1], [2], Faircloth, Vandiver [2], Hua,
Vandiver [4], Ireland, Rosen [1, ch. 8, 10], Joly [3], [5], Mor-
Mordell [23, ch. 6], Pearson, Vandiver [1 ], Schmidt W. M. [3, ch. 4],
Whiteraan [7] и Боревич, Шафаревич [1, гл. 1]. Равенство F.15)
выражает тот факт, что дзета-функция гиперповерхности, опре-
определенной уравнением F.10), удовлетворяет предположениям
Вейля (см. Weil [6]); ср. также Ireland, Rosen [I, ch. Ill и
комментарии к § 4. О результатах, аналогичных теоремам 6.16
и 6.17, но когда среднее берется по уравнениям F.10) с фикси-
фиксированными значениями klt ..., kn и изменяющимися коэффици-
коэффициентами аъ ..., ап, см. Carlitz, Corson [1], [2] и Schmidt W. M.
[3, ch. 4]. Оценки для числа решений уравнения, F.10) можно
получить также и без использования тригонометрических сумм;
см. Mordell [5] и Schmidt W. М. [3, ch. 41. Асимптотическая
формула для числа решений уравнения F.10) была получена
Карлицом (Carlitz [34]). Вандивер (Vandiver [7]) построил ал-
алгоритм для нахождения решений этого уравнения. Гегенбауэр
(Gegenbauer [5]) рассматривал уравнение F.10) над простым
полем Fp, p > 2, для случаев, когда числа kt принимают знлче-
Комментарии 401
ния 1, 2 или (р — 1)/2. Результаты, касающиеся распределения
решений уравнения F.10) над простым полем Fp, получены в ста-
статьях Chalk [I], Tietavainen [7] и Williams К.. S. [23]. Оценка
числа решений уравнения F.10) при условии, что некоторые пе-
переменные х( имеют заранее заданные порядки в группе FJ, по-
получена Карлицом {Carlitz [37], [57]).
Тот частный случай уравнения F.10), когда все показатели kt
совпадают, привлек внимание главным образом в связи с пробле-
проблемой Варинга представления чисел суммами данного числа k-x
степеней. Рекуррентные формулы для числа решений такого урав-
уравнения были получены Лебегом (Lebesgue [1]) и Халлом (Hull
[1]). Сегре (Segre [10], [11]) при изучении таких уравнений
применял геометрический подход. О дальнейших результатах см.
Dickson [46], [47], [48], Hull [1], Myerson [2], [3], Willi-
Williams К- S. [17] и Демьянов [1]. Случай, когда* все ki равны 3,
рассмотрен в статьях Chowla, Cowles, Cowles [1], Myerson [1],
Segre [10] и Williams К. S. [1 ], о случае, когда все kt равны 4,
см. Myerson [1] и Segre [10], когда все kt равны 5, см. Hayashi
[ 1 ] и Segre [10] и, когда всей; = 7, см. Segre [10]. Случай, ко-
когда уравнение F.10) рассматривается над полем Fvz и общее зна-
значение всех kt является делителем числа q + 1, рассмотрен Карли-
Карлицом (Carlitz [71]). О связи с проблемой Варинга см. Hardy, Lit-
tlewood [3], [4], а также Ayoub [I, ch. 4], Ellison [1], Hua
[9, ch. 8], Huston [1], Kloosterman [4], Landau [2, part VI],
14], Siegel [2] и Vaughan R. С [1, ch. 2].
Результат, полученный в примере 6.38, по существу принад-
принадлежит Смоллу (Small [2]). Согласно замечанию 6.25, каждый эле-
элемент поля fv можно представить как сумму двух квадратов. За
исключением случаев q — 4 и 7, каждый элемент поля Fq мо-
можно представить также в виде суммы двух кубов; см. Skolern [3]
и Nagell [1 ] для случая простого q и Singh [4] для общего слу-
случая. Существуют примеры, когда некоторые элементы поля fq
не могут быть представлены в виде суммы какого бы то ни было
числа k-x степеней, поскольку все суммы k-x степеней могут со-
содержаться в каком-либо собственном подполе поля Fq. Так,
если q = ре, где р — простое число, то необходимым и достаточ-
достаточным условием представимости каждого элемента fq в виде суммы
k-x степеней является отсутствие у числа k делителей вида (q —
— l)/(pd — 1), где d— собственный делитель числа е или 1.
Это было доказано в статье Tornheim [ 1 ] для простого числа k
и в статье Bhaskaran [1] для произвольного натурального числа
k; см. также Anderson [1] и Joly [1], [5]. Проблема Варшт
состоит в нахождении наименьшего числа g (k, p) из натуральных
чисел п, таких, что любой элемент поля fp можно представить
в виде суммы из п k-x степеней. Эта проблема становится триви-
тривиальной, если d = НОД (k, р — 1) > (р — 1)/2. Для d < (р —
26 Зак. 222
402 Гл. 6. Уравнения над конечными полями
— 1)/2 Харди и Литтлвуд (Hardy, Littlewood [41) показали, что
g (k, р) < к; см. также Chowla, Mann, Straus [1], Dickson [47].
Joly [5], Landau [2, part VI] и Tornheim [1 ] о близких к этому
результатах. Первая оценка вида g (к, р) = О (кс) с показателем
с. < 1 была получена в работе Chowla I, [4]. В статье Dodson [2]
эта оценка улучшена до показателя с = 7/8, в работе
Tietavainen [13] получено с — 3/5 + е для любого
е > 0, и,, наконец, в статье Dodson, Tietavainen [1] показано,
что в предположении d < (р — 1)/2 всегда выполняется оценка
g (к, р) = О (kl/2 (log kf). Последняя оценка является наилуч-
наилучшей возможной в том смысле, что в той же самой статье построено
бесконечное семейство натуральных чисел к, таких, что
g (к, р) > (у^Ш — 1)/2для некоторого р, удовлетворяющего не-
неравенству d < (р — 1)/2. Другие результаты о числе g (k, p)
см. в работах Bovey [4] и Small [1 ], [3]. Аналогичный вопрос для
произвольных полей fq рассматривается в статьях Schwarz [5].
Steramler [1], Tietavainen [6] и Tornheim [1]. Случай более об-
общих колец рассмотрен в статьях Chinburg [1] и Joly [1]. В ра-
работе Odlyzko, Stanley [1] оценивается число подмножеств группы
Fp, для которых сумма k-х степеней элементов равна заданному
элементу поля Fp-
Условия, при которых диагональное уравнение агх\ + ...
...+ anxkn = b с данными коэффициентами at ? fq имеет решение
в F" для любого Ъ ? fq, были получены в работах Landau [2.
part VI], Dickson [47], Redei [3] и Chowla, Mann, Straus [1]
для простого q и в работах Schwarz [61, [8], [9], [10] и Tie-
Tietavainen [9] для общего случая. При b = 0 возникает вопрос
о нетривиальной разрешимости этого уравнения. Из следствия
6.6 ^вытекает, что нетривиальное решение (т. е. для которого
не все xt равны 0) существует, если п > k. Небольшие усиления
этого результата получены в статьях Dickson [47] (см. также
Davenport, Lewis [5], Docev, Diraitrov [1] и Joly 15]), Cray [1],
Lewis [3] и Tietavainen [9]. Обозначим через G (к, р) наимень-
наименьшее из натуральных чисел п, таких, что уравнение а^х\ Л- ¦¦¦
... + апхп = 0 имеет нетривиальное решение в Fp для любых %, ...
..., ап ? Fp- Важным достижением стал результат С. Човлы
(Chowla S. [9], [15]), который показал, что для любого е > 0
выполняется неравенство G (к, р) < B -f- e) log2 к для доста-
достаточно больших простых чисел к. Аналогичный результат был ус-
установлен в статьях Chowla, Shiraura [1] и Tietavainen [11, [2]
для всех достаточно больших нечетных чисел к. Верхняя граница
для чисел G (к, р) порядка log2 k была установлена Човлой
(Chowla S. [8], [10]) при условии, что элемент —1 является Л-й
степенью в поле FP; этот результат был обобщен на случай про-
произвольного поля Fq в работах Tietavainen [1], [2] и Heisler
Комментарии 403
[2]. В статье Tietavainen [11] установлен наилучший возможный
результат, а именно G (k, р) < A + е) log2 k для всех достато-
достаточно больших нечетных чисел k. В статье Dodson [2] показано,
что G (k, р) < &B/3) +е для всех достаточно больших четных
чисел k, не делящихся на р — 1, а в статье Tietavainen [16] по-
показатель улучшен до 1/2 + е. Аналогичные исследования для
кольца Z/(pr) были проведены в статьях Bovey [1], [2], [31,
Chowla S. [15], Chowla, Shimura [11, Davenport, Lewis [5],
Dodson [1J, [3], [4], Hardy, Littlewood [4], Hua [9, ch. 8],
Huston [1], Norton [1] и Tietavainen [12]1). Примеры, когда
уравнение atx\ + ... + anXn = 0 над полем Fp не имеет решения
(clt ..., сп) ? f", где все ct отличны от 0, можно найти в ра-
работах Gegenbauer [3] и Vandiver [81. Нижние границы для чи-
числа элементов поля fq, представимых в виде суммы ахх* + ...
+ апХп, получены в статье Chowla, Mann, Straus [1] (см. также
Mann [3, ch. 2]) для -простого числа q и в статье Diderrich, Mann
[1] для произвольного поля fq. В статьях Lehmer E. [2] и Kap-
Kaplan [1] результаты о числе решений уравнения х\ + ... + х„ =
= b в F" используются для исследования вопроса о вычетах и
изучения законов взаимности; см. также Williams К- S. [33].
В статье Hodges [15] рассматривается уравнение в определителях
вида аг det {Xt)k + ... + ап det {Xn)k = b, где Xlt ..., Xn —
неизвестные матрицы одного и того же порядка над полем Fq.
Теоремы 6.41 и 6.42 установлены в статьях Morlaye [1] и
Joly [5]. Метод их доказательства восходит к Лебегу (Lebesgue
[1]), который установил некоторые сравнения по модулю р для
числа решений диагональных уравнений над простым полем Pp.
Дальнейшие результаты этого типа получены в статьях Jofy
[31, [5] и Morlaye [1]. Теорема 6.43 доказана Карлицом (Саг-
litz [65]), который обобщил результат Шварца (Schwarz [6]),
полученный для случая, когда g — константа. Следствие 6.44
тоже было установлено Карлицом (Carlitz [65]). Уравнения
вида / (xt) +... + / (хп) = b ? Fp с произвольным многочленом
f над Fp рассматривались еще Диксоном (Dickson [47]); см. так-
также Hua [2] и Hua, Min [1]. Случай кубического многочлена /
более подробно изучался в работах,Ghent [1] и Hua [4], [51,
[8]. Уравнения вида /х (хг) + ... + /п (хп) = b ? ?q с произ-
произвольными многочленами /ь ...,/„ над fq рассматривались в ра-
работах Carlitz [43], Carlitz, Lewis, Mills, Straus [1] и Tietavainen
[11, [2], [61, [7], а в работах Carlitz, Corson [1], [2] рассматри-
рассматривался даже более общий случай, когда ft являются многочленами
*) См. также Карацуба [3* J, где выясняются условия разрешимости в кольце
гЧ уравнения х\ + ... + xkn = а. — Прим. перев.
26*
404 Гл. 6. Уравнения над конечными полями
от непересекающихся множеств переменных. Случай, когда ft —
некоторые рациональные функции, появляется в статьях Car-
Carlitz [43] и Brenner, Carlitz [1].
Системы двух диагональных уравнений исследовались в ра-
работах Corson [1], Davenport, Lewis [6], [7], Markovie [1], Spaek-
man [1] и Tietavainen [8]. Более общие системы диагональных
уравнений были рассмотрены в статьях Akhtar [I], Carlitz,
Wells [1], Davenport, Lewis [8], Hua [9, ch. 11], [10], Mill
[1], Redei [7], Spackman [1], [2], Tietavainen [1], [2], [61,
Wells [2], Карацуба [1], [2], Коробов [3], [7] и Линник [П.
В статье Tietavainen [6] показано, что система уравнении
п
2 utjx) = 0, i — 1, ..., t, над полем fq имеет нетривиальное
/=i
решение в F? для нечетного числа d = НОД (k, q— 1) > 1,
если п >- 2t (I + log2 (d — 1)). В статье Spackman [2] получены
результаты о распределении решений и о существовании «малых*
решений для систем диагональных уравнений. В статьях Tieta-
Tietavainen [1], [2], [6] рассматривались системы уравнений вида
п
Yi U) (xj) — 0. l" — 1. ¦•¦» t> гДе ft) — многочлены над полем F,,
/=i
обладающие свойством f(i @) = 0, и получены условия сущест-
существования нетривиального решения. Такие же системы над коль-
кольцом вычетов Z/(pr) рассматривались в работе van der Corput [II.
О результате, полученном в упр. 6.72, и его обобщениях см.
статьи Carlitz, Wells [1] и Wells [2].
§ 4. Метод, описываемый в этом параграфе, развит С. А. Сте-
Степановым 1), а усовершенствован и упрощен В. Шмидтом. Он
представляет собой успешную попытку доказать элементарным
путем результаты А. Вейля, который для той же цели использо-
использовал изощренную технику алгебраической геометрии. Этот метод
был впервые применен в статье Степанова [1], где был доказан
результат типа теоремы 6.53 для уравнения у2 = f (х) над про-
простым полем Fp с многочленом / нечетной степени (см. также
Елистратов [6 Г о более позднем результате того же типа). Затем
*) Как сообщил С. А. Степанов, говоря об истоках этого метода, нужно
отметить: 1) результат Н. С. Аладова [1] A896 г.) о числе решений сравнения
ф = х (х + 1) (mod р), полученный применением метода Лагранжа; 2) pa6oiy
Ю. И. Манина [1 ] A956 г.), в которой элементарным путем, моделирующим
более ранний и очень сложный метод Хассе—Вейля, получена оценка | Nр — р\'~^
< 2р'^2 для числа Np решений сравнения у2 = ха + ax + b (mod р) и 3) эЛ<-'
ментарное доказательство А. Г. Постникова A967 г.) оценки \Np — р\ С (Р~ '
+ 3)/2 для такого числа Np. Для получения этого результата Постников рассмо-
рассмотрел многочлен g (х) = 2/ (х) (l ± (/ (ж))(р-'!/2) + (хр — х) /' (х), где / (ж) -
= х3+ш:+ Ь, и доказал, что каждый корень многочлена F (х) = 1 ± (/ (х))
по модулю р является кратным корнем многочлена g (х). — Прим. перев.
Комментарии 405
для того же уравнения Степановым был получен результат тео-
теоремы 6.57 (см. Степанов [6]). В его статье [2] указанный метод
прилагается к более общему уравнению ут = f (х) над Fp, где
НОД (deg (/), т)=\. К уравнениям вида у4 —у — f (х) этот
метод впервые был приложен в статьях Степанова [3], [5]. Дру-
Другой элементарный метод решения этих уравнений был предложен
Митькиным 11]. Оба указанных типа уравнений являются част-
частными случаями уравнения
f(x, у) = ут + а1(х)у^ + • • • +ат (х) = 0, at (x) ? ГРМ-
В предположении, что многочлен / (х, у) неприводим над основ-
основным полем Fp, степень deg (am) = k взаимно проста с т и
deg (ai) < ik/m, 1 <; i <; m — 1, Степанов в работах [7], [8]
получил следующую оценку для числа N решений уравнения
f (х, у) = 0 в f2p: | N — р | <; Ср[/2, где константа С зависит
лишь от k и т; см. также Степанов [10]. Шмидт (Schmidt W. М.
[1 ]) показал, что указанные условия на многочлен / (х, у) влекут
за собой его абсолютную неприводимость; он обобщил результат
Степанова на случай произвольного поля fq, показав, что для
абсолютно неприводимого многочлена / (х, у) число N решений
уравнения / (х, у) = 0 в (F| удовлетворяет неравенству | N —
— q | <; Cql/2, где константа С зависит лишь от степени много-
многочлена /; см. также Schmidt W. М. [3, ch. 3]. Изложение метода
Степанова можно найти в его работах [9], [10], [12], [13]; ве-
весьма подробно этот метод разбирается также в монографии Шмидта
Schmidt W. М. [3].
Еще до результата Степанова нетривиальные оценки числа
решений уравнения ут = / (х) элементарными средствами были
получены Морделлом (Mordell [5]). Из оценок сумм значений
характеров, полученных Дэвенпортом (Davenport [1], [2], [3],
[7]), тоже получаются аналогичные результаты; см., кроме того,
замечания ниже об эллиптических и гиперэллиптических урав-
уравнениях. Идея использования гиперпроизводных ?(п) для иссле-
исследования функций над полями ненулевой характеристики при-
принадлежит Хассе (Hasse [7]), а также Тейхмюллеру (Teichmul-
ler [1]), который доказал основные свойства этих гиперпроиз-
гиперпроизводных. Другое доказательство леммы 6.55 (основанное на дио-
фантовых приближениях) см. в книге Lang [I, ch. 5]; ср. также
с упр. 6.68 и 6.69.
Подход с позиции алгебраической геометрии к уравнению
/ (*> У) = 0 состоит в том, что это уравнение рассматривается как
определяющее некоторую кривую в аффинном или проективном
пространстве над полем fq. Если многочлен / 6 fq lx, у]
абсолютно неприводим ш Ых — число Fq-рациональных точек на
проективной кривой (т. е. точек в однородных координатах,
406 Гл. 6. Уравнения над конечными полями
координатные отношения которых принадлежат полю Fg), то
справедлива оценка
| Nt — q — 1 |
где g — род данной кривой. Этот результат был сформулирован
Вейлем в работах Weil [1], [2] и подробно им доказан в статье
Weil .[3]. В статье Lang, Weil [I ] было отмечено, что коэффициент
2g в приведенном неравенстве нельзя в общем случае заменить
меньшим. Учитывая неравенство 2g < (d — 1) (d — 2), где d =
= deg (f) (см., например, Artin [9, ch. 16]), для числа N решений
уравнения f (х, у) — 0 в F| (т. е. для числа «конечных» точек
на соответствующей проективной кривой) получаем оценку
На такую оценку, однако, нельзя рассчитывать, если многочлен /
не является абсолютно неприводимым (см. упр. 6.64 и 6.65).
Покажем, как эти оценки связаны с так называемой гипотезой
Римана для кривых над конечными полями. Для s С N обозна-
обозначим через Ns число ^^-рациональных точек на проективной кри-
кривой, задаваемой уравнением f (х, у) = 0. Определим дзета-
функцию этой кривой равенством
s=l
где ряд сходится при | 11 < q'1 (это легко проверить с помощью
тривиальной оценки Ns < dqs), Вейль установил, что на самом
деле Z (t) — рациональная функция вида
Z(t)- LW
где L (t) — многочлен степени 2g с целыми коэффициентами и сво-
свободным членом 1. Если записать
L (/) = П A — a,tt),
то @^ будут целыми алгебраическими числами. Гипотеза Ри-
Римана (доказанная Вейлем) состоит в том, что | <Oj | = qX1'2 для
всех / = 1, ..., 2g. Рассуждение, аналогичное тому, которое
привело к формуле E.24), показывает, что
ч
Ns = qs -f- 1 — 2j ш/ Для каждого s ? IN,
а отсюда, учитывая гипотезу Римана, получаем, в частности,
указанную выше оценку для Иг. Кроме того, дзета-функция удов-
Комментарии 407
летворяет некоторому функциональному уравнению, из которого
следует, что числа ю^ можно разбить на пары комплексно-сопря-
комплексно-сопряженных.
Вслед за упомянутыми статьями Вейля появились и другие
доказательства гипотезы Римана для кривых над конечными по-
полями. Так, в статье Mattuck, Tate [1] решающее место дока-
доказательства Вейля было выведено из теоремы Римана—Роха;
см. аналогичное доказательство в статье Grothendieck [1]. Тео-
Теорема Римана—Роха используется также в доказательстве Бом-
бьери (Bombieri [5]), которое в остальных отношениях элемен-
элементарно; см. также Bombieri [61. Другие доказательства, а также
обзоры результатов Вейля можно найти в следующих источни-
источниках: Deuring [31, Joly [5], Lang [1, ch. 6], Monsky [1] и Swin-
nerton-Dyer [31. В статье Bombieri [1] показано, что число Ns
асимптотически равно qs при s->oo, при этом используется го-
гораздо более простая техника; см. также Andrews [Пи Chowla,
Hasse [I ]. Пименов [1 ] изучил распределение чисел Ns — (qs + 1)
для кривых рода g > 1. Исследование нулей дзета-функции
Z (t) было предпринято Елистратовым [4], [5]. В статье Armi-
tage [2] была отмечена связь между гипотезой Римана для кри-
кривых и геометрией чисел над полями рядов Лорана характеристики
р. Уточнения верхней границы для числа Nx были получены в ста-
статьях Ihara [1] и Манин [5].
Формально иной подход к уравнению / (х, у) = 0 базируется
на изучении расширения поля fq (х) рациональных функций над
полем fq, определяемого этим уравнением, т. е. на изучении
соответствующего поля алгебраических функций. Такая точка
зрения позволила Артину, Дэвенпорту и Хассе (см. Artin [1],
Davenport, Hasse [1] и Hasse [2], [4], [8]) доказать гипотезу
Римана для некоторых частных случаев даже раньше Вейля.
При таком подходе определяется некоторая функция ? (называ-
(называемая конгруэнц-дзета-функцией) по аналогии с дзета-функцией
Дедекинда для полей алгебраических чисел. Конгруэнц-дзета-
функция, однако, связана с дзета-функцией 2для соответствующей
кривой равенством Z, (и) = Z (q~u). Гипотеза Римана равносильна
утверждению, что действительные части всех нулей конгруэнц-
дзета-функции t, равны 1/2. Это совершенно аналогично до сих
пор не доказанной гипотезе Римана в классической аналитической
теории чисел, с той лишь небольшой разницей, что конгруэнц-
дзета-функция не имеет тривиальных нулей. Конгруэнц-дзета-
функция была введена Артином (Artin [1]) для случая квадра-
квадратичного расширения поля IFP (x) и Шмидтом (Schmidt F. К- [2],
[3]) для общего случая. Шмидт (Schmidt F. К. [3]) доказал, что
конгруэнц-дзета-функция t, удовлетворяет функциональному урав-
уравнению F (и) = F A — и), где F (и) = <7<в-о иЦи) и g — род
кривой. Хассе (Hasse [3]) установил, что если 8 — максимум
408 Гл. 6. Уравнения над конечными полями
действительных частей нулей функции ?, то для введенного выше
числа Ni справедлива оценка
I #i — q - 1 |< 2gq*,
а также что 1/2 <С 6 < 1, если g > 0. Верхняя граница для 0
была улучшена Дэвенпортом (Davenport [7]) еще до того, как
Вейль показал, что 8 = 1/2. Связь между гипотезой Римана для
конгруэнц-дзета-функции t, и точными оценками некоторых сумм
значений характеров была отмечена X'acce (Hasse [5]). Доказа-
Доказательства гипотезы Римана, использующие теорию полей алгебра-
алгебраических функций, были получены (посл.е Вейля) в работах Igusa
[Пи Roquette [1], [2]; см. также Eichler II, ch. 5] и Hasse [18].
Об общей теории конгруэнц-дзета-функций (или дзета-функций
для полей алгебраических функций над Тд) см. также книгу
Deuring [4, ch. 3]. Нижняя граница для рода g, зависящая от
степени соответствующего поля алгебраических функций над
полем Fq(x), была установлена в статье Armitage [1]. Что ка-
касается теории полей алгебраических функций над конечными
полями, то ее зачатки появляются еще у Кюне (Kiihne [2]). Своего
полного развития эта теория достигла в работах Artin [1],
Schmidt F. К- Ш, Sengenhorst [1] и Rauter [1], [2], что и при-
привело к отмеченным выше результатам.
Важным частным случаем рассмотренной выше проблемы
является случай эллиптических уравнений (эллиптических кривых,
полей эллиптцческих функций) над конечным полем fq. Этот
случай выделяется условием g = 1 и приводится при нечетном q
к виду уг = f (х), где степень многочлена / ? f4 lx] равна 3
или 4 и его дискриминант отличен от 0. Именно для этого случая
Хассе дал доказательство гипотезы Римана, аннонсировав его
в работах Hasse [4], [6] и приведя подробное доказательство
в статье Hasse [8]. В частности, он показал, что число N решений
в F| указанного уравнения удовлетворяет неравенству
| N — q + т) (а) | <
гдет) — квадратичный характер поля F» и а — коэффициент при х*
многочлена / (х). В статьях Artin [1 ] и Masse [2] гипотеза Римана
была доказана для некоторых частных полей эллиптических
функций; см. также Hasse [17]. Более слабые оценки для N были
получены в статье Mordell [5]. Элементарное доказательство
приведенной выше оценки для N было дано Маниным [1 ] для
случая простого числа q и deg 0 = 3; см. также Zimmer [1],
Гельфонд, Линник [1, гл. 10] и Елистратов [3]. Рациональность
дзета-функции эллиптической кривой можно установить довольно
просто (см., например, Robert [I, ch. 4]).
История эллиптических уравнений восходит к Гауссу (Gauss
[3]), который рассмотрел уравнение у% = ах* + Ь над полем Fp.
Комментарии 409
В последней записи своего дневника Гаусс поставил вопрос об
определении числа решений уравнения х"-уг + х2 + у2 = 1 в Fp\
Эта задача впервые была решена в статье Herglotz [ 1 ], но позднее
было замечено, что указанное уравнение легко преобразуется
в уравнение #а = 1 —*4;см., например, Ireland, Rosen [l,ch. 11].
Особое внимание привлекли эллиптические уравнения у2 = ах? +
+ Ь и уг = ах* + Ь; см. Davenport, Hasse [1], Frattini [1],
Hasse [15, ch. 10], Joly [5], Lehmer E. [4], Neumann O. [1],
Rajwade [2], [3] и Singh, Rajwade [1]. Случай у1 = ахг + bx
рассматривается в работах Davenport, Hasse [1], Hasse [15,
ch. 10], Joly [5], Lehmer E. [4], Morlaye [2], Rajwade [4]
и Singh, Rajwade [1] *). Некоторые другие частные случаи эл-
эллиптического уравнения с кубическим многочленом / рассмотрены
в статьях Baldisserri [1], Olson [1], Rajwade [1], [9], Rajwade,
Parnami [1], Williams K- S. [38], Абдуллаев 11], [2] и Тушкина
[ 1 ]. Ввиду очевидного тождества
N= ? О + Л </ (с)))
c€Fg
для числа N решений уравнения у*~ = f (x) в р| нахождение
числа N равносильно вычислению сумм значений характеров,
содержащих квадратичный характер г\. В соответствии с этим мы
отсылаем читателя также к § 5 гл. 5 и соответствующим коммен-
комментариям. Вопрос об условиях положительности числа N был рас-
рассмотрен в статьях Chatelet [1 ], [2], Frattini [I ] и Schmidt F. К-
[31; см. также Joly [5]. В статье Groote, Hirschfeld [1] опре-
определены возможные значения числа N для случая эллиптических
кубических кривых над полями F?, g <C 13. В статье Birch [2J
изучается поведение величины N для уравнения у% = х3 — ах — Ь
над простым конечным полем fp, когда а и Ь пробегают это поле.
Ёсида (Yoshida [1]) рассмотрел все эллиптические кривые над
полем f рт и нашел предельное распределение чисел N при т -*¦ со
для фиксированного простого числа р; обобщение этого резуль-
результата см. в статье Deligne [6]. Некоторые результаты о поведении
числа N, когда эллиптические кривые пробегают определенное
семейство, можно найти в статье Milne [2]. По поводу поведения
числа N решений сравнения у% = хг — Ах — В (mod p) при
фиксированных Л, В ? Z и изменяющемся простом р Тейтом
(Tate [1]), а также Берчем и Свиннертоном-Дайером (Birch,
Swinnerton-Dyer [2]) были выдвинуты важные гипотезы; о гипо-
гипотезе Тейта см. также Swinnerton-Dyer [1] и Tate [2], а кроме
того, Yamamoto, Naganuma, Doi [1]. Множество |урациональ-
ных точек на некоторой эллиптической кривой можно наделить
См. также Постникова [1*]. — Прим. перев.
410 Гл. 6. Уравнения над конечными полями
групповой структурой; см., например, Bedocchi [1] и Borosn,
Moreno, Porta [1], [2], где установлены некоторые свойства
этой группы. В статье Bedocchi [2] изучаются классы изоморфиз-
изоморфизмов эллиптических кривых над Fr Важные результаты по общей
теории полей эллиптических функций содержатся в работах
Deuring [2] и Waterhouse [1]. Обзоры по теории эллиптиче-
эллиптических уравнений имеются в работах Cassels [1] и Zimmer [2
ch. 11].
Уравнение вида у2 = f (x) над полем fq нечетной характе-
характеристики с произвольным многочленом / называется гиперэллип-
гиперэллиптическим уравнением. Мы не будем здесь касаться отмеченных
выше результатов об эллиптических уравнениях. Общая теория
гиперэллиптических уравнений впервые была развита Артином
(Artin [1]), который сформулировал также гипотезу Римана для
этого класса уравнений и показал, что в случае простого числа q
и deg (f) ;> 3 имеет место неравенство 1/2 <; 8 < 1, где 8 —
максимум действительных частей нулей конгруэнц-дзета-функ-
ции. Морделл для некоторых частных случаев гиперэллиптиче-
гиперэллиптических уравнений получил нетривиальные оценки числа N их
решений (Mordell [5]). Ввиду указанной выше связи между чис-
числом N и суммами значений характеров, содержащими квадратич-
квадратичный характер г\, результаты Дэвенпорта (Davenport [1], [3])
о таких суммах значений характеров тоже приводят к определен-
определенным оценкам для числа N. Непосредственно вслед за этими резуль-
результатами Дэвенпортом и Хассе (Davenport, Hasse [I ] была доказана
гипотеза Римана для уравнения у2 = ахт + Ь над полем \q
в случае, когда т делит число q— 1. Элементарный метод Сте-
Степанова [1], [6] для гиперэллиптических уравнений был до не-
некоторой степени усовершенствован Коробовым [6], Митькиным
[2] и Старком (Stark [1 ]), что позволяет в определенных случаях
внести небольшие улучшения в теорему 6.57. Возможное усиление
для случая у2 = хт + ах + b отмечено в статье Опо [7]. Число
решений некоторых специальных гиперэллиптических уравнений
было подсчитано в статьях Lehmer E. [4] и Rajwade [3], [5],
[6], [8]. См. также материал § 5 гл. 5 о сумме значений харак-
характеров 2j Ц (f (c)) и комментарии к этому параграфу. В статье
Митькина [4] изучалась разрешимость гиперэллиптических урав-
уравнений над простым полем Fp- В статье Davenport, Lewis f2]
изучался «дефект» N (Ь) — р, когда элемент Ь пробегает поле Тр;
здесь N (Ь) обозначает число решений уравнения у2 = f (x) -\ b
в Fp, где / ? Fp [x] —фиксированный многочлен. В статье
Stephens [1] доказана гипотеза из работы Chowla, Chowla [1]
о -существовании малых решений (относительно х) уравнения
у2 = (х + аг) ... (х + ап) над Fp при различных аъ ..., ап ? F,,-
Один частный случай был элементарными средствами разобран
Комментарии 411
в статье Singh [6]. В работе Segre [4] рассматривается система
из двух гиперэллиптических уравнений.
Что касается других частных случаев общего уравнения
/ (х, у) = О, то одним из них являются уравнения вида ут =
= f (х). Еще до Вейля такое уравнение рассматривалось в статьях
Davenport [2], [7], Davenport, Hasse [1 ] и Мог dell [5]. См. также
недавнюю работу Опо [8], в которой проводится элементарный
разбор еще одного случая. В статье Davenport, Lewis [2], упоми-
упоминавшейся в предыдущем абзаце, «дефект» N (Ь) — р рассматри-
рассматривался также для уравнения ys = f (x) + Ь над простым полем fp,
когда степень многочлена / равна 3 или 4. Елистратовым [1 ], [2]
был развит элементарный подход к гипотезе Римана для уравнения
уъ = I (x), deg (f) = 3. Частный случай уравнения вида ур — у =
= f (х) появляется в статьях Davenport, Hasse [Пи Yamada [I ].
В статье Carlitz [125] определяется число решений уравнения
ур — у = ахр+{ + Ьх в р|. Степанов в работе [4] доказал тео-
теорему 5.45 о суммах Клостермана, применив свой элементарный
метод к уравнению ур — у = ах + 1/лг; ср. также с примером 6.63
и работой Schmidt W. М. [3, ch. 2]. Морделл (Mordell [25])
охарактеризовал квадратные и кубические многочлены / ?
€ Fp lx, у] с помощью свойства, что если одна из переменных
принимает заранее заданное значение из fp, то получающееся
уравнение имеет по крайней мере одно решение в fp. Гоппа в ра-
работе [2] применил теорию кривых над конечными полями для
построения кодов; см. также Manin [5].
Первый имеющий важное значение общий результат об урав-
уравнениях / (хг, ..., хп) = 0 для л^-Зи системах таких уравнений
был получен Ленгом и Вейлем (Lang, Weil [I ]); его удобнее сфор-
сформулировать в терминах проективных многообразий. Если V —
некоторое абсолютно неприводимое многообразие в я-мерном
проективном пространстве над конечным полем fq размерности г
и степени d, то число Nx J^-рациональных точек многообразия V
удовлетворяет неравенству
(f |<(d - 1) (d - 2)<f-A/2) + А (п, г, d)<r-
где постоянная А (л, г, d) зависит лишь от указанных параметров.
Несколько более слабый результат примерно одновременно был
установлен Нисневичем [1]. Для случая кривой (г = 1) отсюда
легко получается указанная ранее оценка Вейля. Замечания по
поводу результата Ленга и Вейля можно найти в статье Segre [9].
Для случая гиперповерхности (г = п — 1) следующая нижняя
оценка была установлена Шмидтом (Schmidt W. М. [2]) при-
применением метода Степанова: если / ? Fq [x\, ..., хп] — абсолютно
412 Гл. 6. Уравнения над конечными полями
неприводимый многочлен степени d, то число N решений уравне-
уравнения / (xi, ..., хп) = О в fnq удовлетворяет неравенству
N > </»-> - (d - 1) (d - 2) qn-W) _ 6d2qn~2
при достаточно большом числе q. Подробнее о применении оценки
Ленга — Вейля к гиперповерхностям см. в книге Schmidt W. М.
[3, ch. 5]. Случай произвольной размерности рассматривается
в статьях Joly [5] и Schmidt W. М. [3, ch. 6]. Оценки Ленга —
Вейля для специальных классов многообразий были получены
в работах Carlitz, Wells [1] и Wells [2].
В статье Birch, Lewis [I ] с помощью оценки Ленга — Вейля
показывается, что если многочлен / ? fq 1хъ ..., хп] абсолютно
неприводим и однороден, то уравнение f (xlt ..., хп) = 0 имеет
более A/2) qn~x невырожденных решений в F" при достаточно
большом числе q (вырожденным называется такое решение в F?>
для которого все частные производные функции / равны нулю).
Дальнейшие результаты о невырожденных решениях таких урав-
уравнений можно найти в статье Lewis, Schuur [1], в частности для
случая кубического многочлена /. Этот случай рассмотрен также
в статьях Birch, Lewis [1] и Watson G. L. [1]. Конечные мно-
множества однородных многочленов одной и той же степени d > 1,
любая нетривиальная линейная комбинация которых имеет лишь
одну вырожденную точку, а именно @, ..., 0), были построены
Карлицом (Carlitz [66]). Однородные многочлены / над |Fg не-
небольшой степени, для которых уравнение / (х%, ..., хп) = 0 имеет
лишь вырожденные решения в fg, были охарактеризованы Лью-
Льюисом (Lewis [1]). Формулы для числа точек многообразия опре-
определенных типов были получены в работах Corson [1 ], Swinnerton-
Dyer [2] и Манин [2]; см. также Манин [4, гл. 4]. Оценки числа
решений системы уравнений / (xt) = f (х2) = ... = f (хт), где / ?
С fq \.х], при различных значениях xt были получены в статьях
Birch,,Swinnerton-Dyer [1] и Williams К- S. [24].
Теорию дзета-функций, имеющую такое значение для вопроса
о числе решений уравнений, можно обобщить и на многообразия.
Пусть V — многообразие, определенное в л-мерном аффинном
или проективном пространстве над конечным полем Fq, и пусть
Ns — число точек из f\ (соответственно число Т 8-рациональных
точек в случае проективного пространства), принадлежащих
многообразию V. Определим дзета-функцию на многообразии V
равенством
Z(V;t) =ехр 2 (Njs)P
\s=l
Комментарии 413
где ряд сходится при | t\ < q~n. Вейль (Weil [6]) сформулировал
некоторые предположения об этой дзета-функции, в частности,
что Z (V; t) является рациональной функцией от переменной t,
что она удовлетворяет некоторому функциональному уравнению
и что ее нули и полюсы имеют некоторые заранее заданные абсо-
абсолютные величины. Рациональность дзета-функции Z (V; t) была
доказана Дворком (Dwork [2]) с помощью р-адической техники;
см. также работу Dwork [1 ], где устанавливаются подготовитель-
подготовительные результаты. Позднее Гротендик (Grothendieck [2]) доказал
тот же результат средствами алгебраической геометрии. О ра-
рациональности дзета-функции Z (V; t) см. также работы Bruhat [1 ],
Dwork [9], Joly [5], Koblitz [2, ch. 5], [4], Milne [1, ch. 6],
Monsky [1] и Reich [1]. Метод Дворка был обобщен в статье
Kiefe [1 ], и с его помощью было доказано, что логарифмическая
производная от дзета-функции не только на многообразии, но
и на более общем множестве V является рациональной функцией.
Тот факт, что дзета-функция гиперповерхности, определяемой
диагональным уравнением, является рациональной функцией,
был отмечен еще Вейлем (Weil [6]); ср. также с F.15) и с при-
примером 6.49, а также с разбором этого случая в книге Ireland,
Rosen [I, ch. 11]. Для некоторых других частных случаев пред-
предположение Вейля о рациональности дзета-функции Z (V; t) было
доказано еще до Дворка в работах Carlitz [42], [56], Delsarte J.
[1], Furtado Gomide [1], Sampson, Washnitzer [1] и Weil [8].
Если V — невырожденное абсолютно неприводимое проектив-
проективное многообразие размерности г, то Вейль (Weil [6]) высказал,
далее, предположение, что рациональная функция Z (V; t) имеет
вид
4 po(t)P2(t) ...P2r(t) '
где каждое Ph — многочлен с целыми коэффициентами и по-
постоянным членом 1. Более того, PQ (t) = 1 — t, P2r (/) = 1 —
— qrt и
Ph(t)= П A - aMt) для О < h< 2r,
где аы — целое алгебраическое число, для которого | ahi | = qh/2.
Он предположил также, что степень Bh многочлена Ph можно
интерпретировать как число Бетти. Указанный вид дзета-функции
Z (V; t) ведет к следующему представлению числа Ns f 5-раци-
ональных точек на V, справедливому для любого натурального
числа s:
Ns = Л (-l)ft S ash{.
Л=0 (=1
414 Гл. 6. Уравнения над конечными полями
Критический разбор предположений Вейля с различных точек
зрения был проделан в следующих работах: Deuring [3], Joly [5],
Kleiman [l],Mazur В. [1], Milne [1, ch. 6], Monsky [1], Swin-
nerton-Dyer [3] и Tate [1 ]. Первая брешь была пробита Дворком
(Dwork [3], [5], [8]), который установил для случая гипер-
гиперпространств указанные выше разложение функции Z (V; t) и
интерпретацию чисел Bh, а также показал, что эта функция удо-
удовлетворяет функциональному уравнению
Z (у. 1 \ = ±qrki2tkZ{y. t)> k==? (-1)»ВА,
\ (ft ) ft=0
о чем тоже говорилось в предположениях Вейля; см. также Dwork
[61, [7], Ireland [1] и Monsky [1]. Предположения же Вейля
о коэффициентах многочленов Ph и об абсолютных величинах
чисел aht (так называемая гипотеза Римана — Вейля) до сих пор
остаются недоказанными. Указанные результаты Дворка для
гиперповерхностей были распространены на общий случай Гро-
тендиком (Grothendieck [2], [3]). Другие доказательства были
даны в статьях Lubkin [1 ], [2], а в статье Lubkin [3] было пока-
показано, что многочлены Ph(q-~hl4), О <; h -< 2г, являются квази-
самовозвратными. Гипотеза Римана — Вейля была доказана для
некоторых кубических гиперповерхностей в статьях Bombieri,
Swinnerton-Dyer [I ] (см. также Bombieri [2]) и Перельмутер [51,
для некоторых гиперповерхностей четвертой степени в статьях
Deligne [1] и Dwork [10], для абелевых многообразий в статьях
Weil [3], [4] и для некоторых других типов многообразий в
статьях Deligne [1], [2], Harder [1], Weil [9], Исковских [2] и
Манин [3]. И наконец, общая гипотеза Римана — Вейля была
доказана Делинем (Deligne [3]), который также отметил вы-
вытекающую из нее оценку для числа точек на многообразии. В ра-
работе Katz [3] дается великолепный разбор основных частей
доказательства Делиня; краткое изложение его можно найти
в статье Serre [2]. См. обобщения этой теории в работах Deligne
[6] и Lubkin [4], [5].
Для некоторых полиномиальных уравнений с числом перемен-
переменных п ;> 3 можно гораздо более элементарными средствами полу-
получить оценки для числа решений, которые ничуть не уступают
оценкам, полученным с использованием гипотезы Римана —
Вейля. Так, помимо очевидных примеров линейных, квадратных
и диагональных уравнений можно указать результаты Дэвенпорта
и Льюиса (Davenport, Lewis [4]) и Морделла (Mordell [111, [17],
[20], [21]), которые дают оценку N = р2 + О (р) для числа
решений ряда кубических уравнений / (х, у, г) = 0 над полем fp-
В статье Davenport, Lewis [4] получена оценка того же типа для
почти всех (за некоторыми тривиальными исключениями) урав-
Комментарии 415
нений вида zm = F (х, у) + b над простым полем Fp, где F —
однородный многочлен и Ь ? Fp. В статье Мог dell [7j получена
оценка N = рп~1 + О (pf"-1»^) для полиномиальных уравнений
от п <С 4 переменных над полем Fp, образованных линейными
комбинациями элементарных симметрических многочленов.
В статье Mordell [14] получена оценка N = рп~1 + О (рп/2) для
уравнений, близких к диагональным, над полем Fp с любым
числом п переменных. Перельмутер и Постников [1] рассмотрели
k k
уравнение вида /0 (у) + Д (у) ххг + ... + /п (#) *пп = 0 над про-
простым полем Fp и показали, что при определенных условиях на
/о. /i. ¦••> /п имеет место оценка Л/ = рп + О (рп/2); см. обобщение
этого результата в книге Schmidt W. М. [3, ch. 4].
Оценки Ленга — Вейля и Делиня для числа точек на много-
многообразиях можно использовать для установления некоторых ре-
результатов о распределении решений уравнения / (хг #п) = О
или системы таких уравнений (см. Chalk, Williams [1], Myerson
[4], Smith R. A. [2] и Williams K- S. [18]). Об общем принципе,
лежащем в основе доказательств таких результатов см. Mordell
[22] и Chalk [2].
Дальнейшие результаты о дзета-функциях многообразий можно
найти в следующих источниках: об абелевых многообразиях
см. Shimura, Taniyama [2, ch. 4] и Waterhouse, Milne [1 ]; о слу-
случае кубических поверхностей см. Swinnerton-Dyer [2] и Манин [4,
гл. 4]; о гиперповерхностях уравнений уг = / (хг, ..., хп) и
ур — у = f (xlt ..., хп) над Fp см. Перельмутер [4]; о гипер-
k k
поверхностях уравнения у" — у = f0 (х) + Д (х) Xi1 + ... + /п (х) хпп
над fq см. Кузнецов В. Н. [1]; см. также Bayer, Neukirch [1],
Dwork [4], [10], Schneider [1], Swinnerton-Dyer [1] и Taniyama
[1]. Полезные сведения из теории дзета-функций можно найти
в работах Mazur В. [1] и Thomas [1]. Кац (Katz [2]) и Коблиц
(Koblitz [1]) изучали поведение дзета-функции на семействе
многообразий. В статье Curtis [1] обнаружена связь между дзета-
функциями многообразий и теорией характеров некоторых конеч-
конечных групп. В статье Spackman [1] дается элементарное доказа-
доказательство предположений Вейля для многообразий, определяемых
парой диагональных уравнений. В статье Haris [1] отмечена
связь между результатами Дворка, касающимися предположений
Вейля, и абстрактными формулами Пуассона. Ленг (Lang [2])
изучает связь между точками на многообразиях над конечными
полями и точками на многообразиях над полями алгебраических
чисел. Дальнейшую информацию об абсолютно неприводимых
многочленах можно найти в работах Fredman [2], Schmidt W. M.
[3, ch. 5] и Williams К. S. [3].
Теория дзета-функций многообразий может быть расширена
до теории L-функций. Эти функции играют ту же роль для оценки
416 Гл. 6. Уравнения над конечными полями
сумм значений характеров, какую играют дзета-функции для
оценки числа точек на многообразиях. Пусть V — аффинное или
проективное многообразие над полем fq, и пусть %(s) — канони-
канонический аддитивный характер расширения f s поля f4. Опре-
Определим сумму значений этого характера
где Qs пробегает все точки многообразия V с координатами из F s
(соответственно, f 8-рациональные точки многообразия V в про-
проективном случае), а / — регулярная функция на V, так что / (Qs) ?
? F?s для всех точек Qs, например, / — многочлен над fr Соот-
Соответствующую L-функцию определим равенством
l
(C,/s)t*
Тот факт, что L-функции тоже являются рациональными функ-
функциями, был впервые доказан Гротендиком (Grothendieck [2],
[3]); см. также Bombieri [3], [4], Dwork [9], Hooley [6] и Пе-
рельмутер [6]. При подходящих ограничениях на V и / снова
можно сформулировать предположения Вейля. Некоторые из
них, например касающиеся функционального уравнения и раз-
разложения L-функций, доказаны Гротендиком (Grothendieck [2],
[3]); по поводу случая L-функций, связанных с полями алгебра-
алгебраических функций над fq, см. Weissinger [1]. Аналог гипотезы
Римана — Вейля был доказан лишь с помощью результатов
Делиня (Deligne [3], [4], [6]). Обзор результатов Делиня имеется
в статьях Katz [4] и Serre [3]. Дальнейшие результаты по
L-функциям можно найти в работах Adolphson, Sperber [1],
Bombieri [7], Hooley [6], Laumon 11] и Sperber [1], [3]. Ана-
Аналогичную теорию можно развить также и с помощью мультипли-
мультипликативных (а не аддитивных) характеров, а также для гибридных
тригонометрических сумм (см. Katz [4], Serre [3] и Перельмутер
[3]). Значение этих результатов для оценки тригонометрических
сумм обсуждалось в комментариях к § 4 и 5 гл. 5.
[Различные диофантовы уравнения в конечных полях рас-
рассматривались в работах Orzech [I*], Small [1*] и Snapper [I*].
Спэкман (Spackman [I* ]) получил рекуррентное соотношение для
последовательностей, связанных с числом решений некоторых
диагональных уравнений, и усилил результаты, полученные
в работе Myerson [4]. Хеллесет (Helleseth [1* ]) установил связь
между одной задачей теории кодирования и проблемой Варинга
в конечном поле. Стор и Волох (Stohr, Voloch [1*]) получили
новое доказательство оценки Вейля (Weil A. [2]) для числа
рациональных точек на кривой методом, аналогичным методу
Упражнения 417
Степанова [91, [10], а также получили некоторое ее уточнение.
Мазур [ 1 * ] вывел асимптотическую формулу для числа решений
системы сравнений
р-1
% ekkv = av(modp), v=l п (eh ? {0, 1}, k = 1, ..., р - 1).
*=i
где р — простое и /г — натуральное число. Одлыжко и Стэили
(Odlyzko, Stanley [1]) рассмотрели только последнее уравнение
этой системы и получили для него более точные результаты. Шпар-
линский [3* 1 другим методом получил аналогичное уточнение
для исходной системы. Конягин [1*1 дал неулучшаемую оценку
с асимптотически точным значением константы для числа решений
полиномиального сравнения n-й степени. При этом он использовал
результаты Стечкина [1] и Нечаева [7]. Хаксли (Huxley [1*1)
получил уточнение аналогичной оценки Нагеля (Nagell [1*])
для числа решений сравнения с многочленом, имеющим ненулевой
дискриминант.
К этому же кругу вопросов относится проблема Артина о ло-
локальном представлении нуля формой. Пусть р ^> 2 — простое
число, Qp — поле р-адических чисел, F (хъ ..., хп) — форма сте-
степени п от k переменных над Qp. Если уравнение F (хх, ..., хп) = 0,
X] 6 Qp. / = 1. •••> k, имеет ненулевое решение, то говорят, что
форма г нетривиально представляет нуль. Гипотеза Артина была
доказана при /г = 2 Минковским и Хассе, при /г = 3 — Демьяно-
Демьяновым [1* ] и Льюисом (Lewis [1* ]). Кроме того, Ершов [1 ], а также
Акс и Коген (Ах, Kochen [1 ]) в 1965 г. доказали, что при задан-
заданном п для всех р, за исключением конечного числа, гипотеза
Артина верна. А в 1966 г. гипотеза Артина была опровергнута
в работе Terjanian [1*], где доказано, что для нетривиального
представления нуля формой над Qp необходимо k >nl°e«20, в том
же году это утверждение было усилено Бровкиным (Browkin [1* ])
до k >• /г3-Е, е > 0. В 1981 г. Архипов и Карацуба [1*1 (см.
также [2*], [3*]) доказали, что необходимо условие к ~^>
>- exp (n/(log n)l+R), e > 0, т. е. для выполнения гипотезы Артина
требуется почти экспоненциальный рост числа переменных. Ана-
Аналогичная гипотеза для системы форм была также опровергнута
Архиповым [1*], [2*1, который доказал, что в этом случае k
должно расти экспоненциально, именно как 2". См. также Боре-
вич, Шафаревич [1].
По тематике шестой главы кроме отмеченных выше имеются
еще работы: Browkin [2*], Cheng [I*], Grytczyk, Tropak [1*]
и Григорьев [1*].—ПеревЛ
Упражнения
в.1. Найти число решений уравнения х6 + 2х* + х* + 1 = 0 в поле F&.
6.2. Найти число решений уравнения Xе — Зх6 — х* + х3 — х = 0 в по-
поле F,.
27 Зак. 222
418 Гл. 6. Уравнения над конечными полями
6.3. Пусть / ? Wq [xt, ..., хп] — многочлен степени, меньшей чем я, и
пусть (с^ С{п), (=1, ..., N, — решения уравнения f (xlt .,,, хп) = О, лежа-
лежащие в F". Доказать, что
N
2 ck(j — 0 для любых / н k, 1 < / < я, 0 < k < q — 2,
6.4. Многочлен f ? Fq [хг хп] степени я называется норменный много-
многочленом, если единственным решением уравнения / (хъ .,,, хп) = 0 в F" является
(О, ..., 0). (Объяснение такого определения содержится в примере 6.7.) Доказать,
что если / — норменный многочлен и g ? Fq 1хъ ,.,, хп] — произвольный много-
многочлен степени, меньшей чем я, то уравнение f (хг, .,., хп) = g(xx, ..., хп) имеет
по крайней мере одно решение в F".
8.5. Построить норменный многочлен степени 3 в кольце F2 [xlt х2, ха].
6.8. Доказать, что если однородный многочлен f ? Fq [хъ ..., хп] степени
d ^ 1 делится на некоторую переменную ж,-, то число решений уравнения
/ (х\, ..,, хп) = 0 в F" не превышает числа dqn~l — (d — 1) qn~2.
6.7. Доказать, что число ш (d), определенное перед теоремой 6.16, совпадает
/ + d\
с биномиальным коэффициентом I
8.8. Найти диагональную квадратичную форму, эквивалентную форме
+ 2.ад, — хм ? F8 [xlt хг, х3],
6.9. Найти диагональную квадратичную форму, эквивалентную форме
б| + З| + 4 З ? F l хг\.
| | + j2 гя Зхгхя ? Fn lxlt хг, хг\
6.10.' Найти число решений уравнения Ъх\ -\-х\ — 1хххг + хххъ + Ъх%х% = 2
в Ff.
6.11. Найти число решений уравнения 2xf — xi + х% — xLxz — 2л:,% = 2
в Fg.
в. 12. Найти число решений уравнения х\ — л:|-)-2л:| — хгх4 — хгхя-\-
+ 2х2х4 = 0 в F|.
8.13. Найти число решений уравнения х\ + х\ + х\ — хгх% — х2х3 +
+ %%=-! в Fg.
6.14. Найти число решений уравнения х\ + 2х\ — 2х| — 2хгхг +
+ 2хЛх3 = 1 в Ffs.
6.15. Найти число решений уравнения х\ — х\ — х\ + х,х„ + 2х,х„ —
+ 2ха = 0 в Ff.
6.16. Найти число решений уравнения х\ — х\ + х\ — хххг — хгх3 -\- х,ж4 +
+ хвх4 + хг + ж4 = 1 в F|.
в.17. Найти число решений уравнения х\ + х\ + хххг + xtx3 = 1 в F|.
6.18. Найти число решений уравнения х\ + х\ -j- xtx.A + ххх± + x2xt +
+ хяхА = 1 в F|.
8.19. Найти число решений уравнения в2ж| + вж| + хл -\-xxxs + ххх1к +
+ х2х3 = в в F|, где элемент 6 f Fi удовлетворяет равенству в2 = в + 1.
6.20. Найти число решений уравнения (в2 + в) х\ 4- х\ + ш\ + 6%% +
+ %хгХц-\- вх2х9 + (в + 1) хгж4 = 0 в F*, гдв| элемент и 4 F8 удовлетворяет
равенству в8 = в2 + 1.
6.21. Доказать лемму 6.24 тем же способом, который применялся для дока-
доказательства леммы 6.31.
6.22. Доказать, что если / — квадратичная форма от я>3 переменных
над полем F_, то уравнение/^,.,,, хп) = 0 имеет в F? хотя бы одно нетривиаль-
нетривиальное решение. Доказать также, что условие я ^ 3 не может быть заменено усло-
условием я :> 2.
6.23. Пусть f ? Fq [xlt ..., хп] — ненулевая квадратичная форма и b ? Fq-
Доказать, что уравнение f (х%, ..., хп) = Ь имеет решение в F1!, если (i) q четно
Упражнения 419
или (ii) q иечетио и ранг матрицы коэффициентов квадратичной формы / ие
меньше 2.
6.24. Доказать, что две невырожденные квадратичные формы /, g ?
€Fg l*i» ¦¦•> %1 ПРИ нечетном q эквивалентны тогда и только тогда, когда
r\ (det (/)) = щ (det (g)), где г\ — квадратичный характер поля Fq. (Указание.
Использовать лемму 6.20 и упр. 6,23).
6.25. Пусть F4 — конечное поле нечетной характеристики. Доказать, что
все невырожденные квадратичные формы f ? Fq [xlt х2], для которых уравне-
уравнение / (xltx^ = 0 имеет нетривиальное решение в F|, эквивалентны друг другу.
6.26. Пусть F4 — конечное поле нечетной характеристики. Доказать, что
каждая невырожденная квадратичная форма / ? Fq [xlt ..., хп] при нечетном п
эквивалентна квадратичной форме xtx2 + х9хх + • • • + Xn-2*n-i + axn для
некоторого а 6 Fq, а при четном л эквивалентна квадратичной форме Вд8+
+ *з*4+ •¦•+ *п-з*п-2 + *n-i+ aAi для некоторого а ? F*.
6.27. Пусть / — невырожденная квадратичная форма над полем Fq нечет-
нечетной характеристики от четного числа п переменных и пусть det (/) = Д. Дока-
Доказать, что для каждого нетривиального аддитивного характера % поля Fq спра-
справедливо равенство
где ц — квадратичный характер поля Fq.
6.28. Пусть условия те же, что и в упр. 6.27, только число п нечетно. Дока-
Доказать, что
сх
где G — сумма Гаусса.
6.29. Пусть / — невырожденная квадратичная форма от нечетного числа п
переменных над полем Fq характеристики 2. Доказать, что для каждого нетри-
нетривиального аддитивного характера % поля F? справедливо равенство
6.30. Пусть /—невырожденная квадратичная форма от четного числа п
переменных иад полем Fq характеристики 2. Доказать, что если % — нетривиаль-
нетривиальный аддитивный характер поля Fq, то имеет место соотношение
в котором е принимает значение 1, если / эквивалентна квадратичной форме
XiXg + *8*4+ ¦••+ *n-i*n. и значение —1, если / эквивалентна квадратичной
форме XjX%+ ХдГ4 + ... + xn_lxn-j- x2n_lJr ах\ для некоторого а С Fq, та-
такого, что Tiv, (а) — 1.
9 ¦
6.31. Пусть щ, Ьо ? Fq, где q нечетно, и пусть %, ..., ап С Fq, Ьг Ьп 6
€ Fq, где ftj ^= 0 хотя бы для одного i, I ^ i ^ п. Обозначим через N число
решений в F™ системы уравнений
• • + апх\ = а0,
. _ _ . • • + Ьпхп = &„¦
27*
420 Гл. 6. Уравнения над конечными полями
Положим а=а1...ап, b = b\a~l + •¦¦ + b2na~l и с = fr2, — aQb. Доказать,
что если Ь Ф 0 и с = 0, то
I дЯ~2, если я четно,
Л' = {
{ f-2 4- 9(«-3)/2(9 — 1I] ((—1)(/>-1)/2а&), если я нечетно,
где т| — квадратичный характер поля Fq.
6.32. Пусть Л' — число, определенное в упр, 6,31. Доказать, что если b Ф 0
и с Ф 0, то
( <f~2 + o(fI-~2)/2r|((—l)n/2ac), - если я четно,
N = I
| q"-~~'1 — <?('J~3)/2r)((— 1)(«~~-1)/2а&), если я нечетно.
6.33. Пусть Л' то же, что и в упр, 6.31. Доказать, что если Ь = с = 0, то
N _ j <?"~2 + v (во) ?(/>-2)/2т1 ((-1)"/2 а), если я четно,
i 9Я~2 + 9(п~1)/2т| ((—1)("~1)/2а0а), если л нечетно,
где v — функция, введенная определением 6.22,
6.34. Пусть N то же, что и в упр. 6.31. Доказать, что если b = 0 и с Ф 0,
то N=qn~2.
6.35. Пусть Fq — конечное поле нечетной характеристики, а0) bn ? Fq и
а1> ¦¦•' ап* ^1' ¦¦¦' ^n ^ f<r Обозначим через Л' число решений в К"системы
уравнений
о . . 2
1%У1 + h 6п«пУп = Ьо.
Положим а = аг ... ап. Доказать, что
г Иао) <?<3" *^2ц((—Цп^2ч), если я четно,
+ 0<3"^3>/2т)((— 1)("-')/2аоа, если я нечетно,
где т| — квадратичный характер поля Fq, аи — функция, введенная определе-
определением 6.22.
6.36. Пусть &!, ..., Ьп — различные элементы конечного поля F9 и a, b ? F?.
Доказать, что число N решений в F2" системы уравнений
+ bnxnyn = b
задается формулой
п
N = q2n~2 + qn~2 (q — 1) J] v (b — abi) +
+ f-2(v(a)v(b)+v(a) + v{b)),
где о — функция, введенная определением 6.22.
Упражнения 421
в. 37. Пусть Fg — конечное поле нечетной характеристики, е ? Fq, и а,
Ь, с, d ? ?*. Доказать, что число N решений уравнения axf + fe| + cx| =
= 2dx1x^xa + e в F| задается формулой
iV = f + 1 + q [Ц (а) + ^ ф) + т, (С) + ц (е)] т, (d*e - abc),
где т] — квадратичный характер поля Fq.
6.38. Пусть b— элемент конечного поля Fq, av ..., ат ? Fq и я=
где k, т ? N. Доказать, что число Л' решений fe-лннейного уравнения
. *2fc + • • • + amxn-h+i ¦¦¦ xn = b
в F? задается формулой
N = 9«~' + v F) 9-11,* -(q- 1)*-Ч"\
где функция f вводится определением 6.22.
6.39. Доказать, что уравнение х\ + х\ + л| = 0 имеет д2 решений в F^.
в.40. Доказать, что уравнение х}5 + х|2 + л:| + л:]8 = 0 имеет 1331 ре-
решение в Ffi.
6.41. Доказать непосредственно, что если НОД (А,-, ц — 1) = 1 для неко
торого I, то диагональное уравнение F.10) имеет qn~l решений в Fq.
6.42. Доказать, что для простого числа р, такого, чтор = l(mod 4), число N
решений уравнения х\ + х\ = 1 в F^ задается формулой
р — 1 + Ч.А, если р = 1 (mod 8),
N — \
p—1—2A, если p = 5(mod8),
где А — однозначно определенное целое число, удовлетворяющее условиям
А = —1 (mod 4), р = А2 + В8 для некоторого В ? Z.
6.43. Доказать, что для q = 1 (mod 6) н b € Fq число N решений уравне-
уравнения х\ -f- x\ = b в F^ задается формулой
N = q + 2i\ (b) Re {к (b) J (i\, X)],
где т] — квадратичный характер поля Fg, Я- — мультипликативный характер
этого поля порядка 3, а / — сумма Якоби.
6.44. Доказать, что для q = 1 (mod 4) и b ? F? число iV решений урав-
уравнения х\ + x| = b ъ F2q определяется формулой
q — 3 + 2 Re [Btfi (ft) + т] (b)) J (ц, Щ, если <7=l(mod8),
qr-j- i -f_ 2 Re [Bф F) — t] (ft)) J (r\, Щ. если <7s5(mod8),
где ц — квадратичный характер поля Fq, a if— мультипликативный характер
порядка 5 этого поля.
6.45. Пусть Fq — конечное поле характеристики р, q = ре и к — заданное
натуральное число. Доказать, что каждый элемент поля Fq представим в виде
суммы k-x степеней элементов этого поля в том и только том случае, если k не
делится на число (ре — l)/(pd — 0, каким бы ни был делитель d числа е, 1 ^
6.46. Вывести нз результата упр. 6.45, что при q> (к — IJ каждый эле-
элемент поля Fq может быть представлен в виде суммы k-x степеней элементов этого
поля.
422 Гл. 6, Уравнения над конечными полями
6.47. Для целого числа s > 1 пусть Р ? Е = F ., Р ф F . Доказать, что
уравнение
где %, .,., ап — элементы поля F9, не имеет решений в Еп.
6.48. Доказать, что при d% = .., = dn~ d имеет место равенство
где М (dt dn) обозначает число n-наборов (jt,.,., jn) ? Zn, таких, что 1 ^
< j, < dt - 1 для 1 < i < я и (/V4) + ... + (/„/</„) 6 Z.
6.49. Доказать, что если число N\ определено равенством F.15) и г — ком-
комплексная переменная, то функция
5 (г) = exp I 2J (Ns/s) z
\s=i /
является рациональной. Здесь
ехр(г)= fj (I/ft!) г*
ft=0
— показательная функция.
6.50. Доказать, что если Ns, s = 1, 2, ..., — такие комплексные числа, что
функция
(г) = exp I 2 Ws/S)г$
рациональна, то эти числа ^s представимы формулой типа F.15).
6.51. Пусть Fq — конечное поле нечетной характеристики, Ь ? Fg н / ?
€ F? [*i> ¦¦•• *nl — невырожденная квадратичная форма. Найти число Ns
решений уравнения / (xv ..., хп) = b в F"s, где s f N, и проверить, что это
число представнмо в виде F.15).
6.52. Для числа Ns, определенного в упр. 6.51, найти явное выражение
функции
s=l
в виде рациональной функции от г.
6.53. Пусть %, .... ап, b ? Fa и N (а1г ...,ап, Ь) обозначает число решений
k k
уравнения ахх{1 + ...+ апхпп = b в F", где ftj, .... ^ — фиксированные на-
натуральные числа. Доказать, что среднее значение величины N (%, ..., ап, Ь)
равно qn~l, т. е. что
. -«п
6.54. В обозначениях упр. 6.53 доказать, что
«х- ••••
где df = НОД (Л(, (/ — 1) для 1 < t < я.
Упражнения 423
6.55. Доказать, что число решений уравнения x\ + х\ + xjj = —2 в FjJ
является положительным кратным характеристики поля F?.
6.56. Пусть р — характеристика поля Wq и число d = НОД (k, q — 1)
делит р—1. Доказать, что диагональное уравнение ахх\ + ... + adx^ = Ь
имеет решение в Wdq для любых Ь ? f q и av .... ad € FJ.
в.57. Пусть р — характеристика поля Wq, к— положительный делитель
числа р — 1 и / ? Wq [xlt ..., Xkl — однородный многочлен степени к. Предпо-
Предполагая, что число решений уравнения / (xv .... *ft) = 0 в F* ие делится на р,
доказать, что для любого многочлена g ? Fq [*i х^\ степени, меньшей к,
уравнение / (xlt .... хц) = g (x1 х^) имеет по крайней мере одно решение
bF*.
6.58. Пусть р — характеристика поля F?, к — положительный делитель
числа р — 1 и g ? ?q [xlt ..., Xh\ — многочлен степени, меньшей к. Доказать,
что уравнение хх ... xh = g (xv ..., xft) имеет хотя бы одно решение в F*.
6.59. В условиях упр. 6.58 доказать, что уравнерие а^+ ...+ а6#| +
+ ах% ... xh = g (xv ..., xfe) имеет хотя бы одно решение в F^, если а ? F*,
Ч\, ¦¦•. <ih(zFq и по крайней мере один нз элементов а,-, 1 ^i ^ к, равен нулю.
в.вО. Для биномиальных коэффициентов (А 0</<я, доказать, что
где р — простое число, Ер (г) — наибольший из показателей /, для которых р^
делит число г ? N, a sm — сумма коэффициентов р-нчного разложения числа т.
6.61. Вывести из результата упр. 6.60, что если п = рк, к ? N и 1 ^ / ^л,
то
в.62. Доказать, что если р — простое число, то равенство Ер ( ( . j J = 0
выполняется для всех /, 1 ^ / ^ я, в том н только том случае, если число п
имеет вид п = mpt — 1, где I <«<рн(>0,
в.63. Доказать, что натуральное число к удовлетворяет условию НОД ( ( . ),
к} = 1 для всех я, к ^ я < 2k, в том и только том случае, если k = p* для
некоторого простого числа р и t ^ 0.
в.64. Доказать, что если Wq — поле нечетной характеристики и к g N,
то уравнение у2 = х2к имеет 2д — 1 решений в F|. (Указание. Воспользоваться
тем, что многочлен у2 — x2k не является абсолютио неприводимым).
6.65. Доказать, что для поля F?, где q = 3 (mod 8), уравнение у2 = 2х* +
+ 4хг + 2 не имеет решений в F|. (Указание. Воспользоваться тем, что многочлен
у2 — 2х* — 4ха — 2 является неприводимым, но не абсолютно неприводимым
над Wq.)
6.66. Доказать, что если т ? Ы и f ? Wч [х] — такой многочлен степени
k~^\, что НОД (т, к) = 1, то многочлен ут — f (х) абсолютно иеприводим.
424 Гл. 6. Уравнения над конечными полями
6.67. Обобщить теорему 6.57 следующим образом. Пусть т ? IN, f ?
€ Fq [х] — многочлен положительной степени, и пусть
f(x) = a(x-a1)^ ... (x-adfd
— разложение многочлена / в его поле разложення над Fg, где аъ ...,аа— раз-
различные корни f. Положим, t = НОД (т, q — 1) и D = НОД (t, еъ ..., е^), и пусть
г— число корней <хг-, принадлежащих полю Fq. Тогда число N решений урав-
уравнения у'п = f (x) в Ti удовлетворяет неравенству
| N — Dq + (D — 1) г | ^ (t —D) (d — 1) qx>%,
если элемент а является D-й степенью некоторого элемента из F!, и N = г в про-
противном случае.
6.68. Теорема Дирихле об одновременной аппроксимации утверждает, что
для произвольных действительных чисел tlt ,.., tn существует такой (п + 1)-
набор (s, tn1,..,, тп) ? 2""""' с произвольно большим числом s> 0, что для всех i,
1 ^ i ^ п, выполняется неравенство | ti •— (mils) | < s~"'™+1"". Применить эту
теорему для доказательства следующего утверждения: если %, ..., ш„—ком-
ш„—комплексные числа, то для любого е > 0 существует бесконечно много натуральных
чисел s, таких, что
6.69. Дать другое доказательство леммы 6.55, использовав результат
упр. 6.68.
6.70. В условиях теоремы 5,36 доказать, используя теорему 5.37, что для
каждого е > 0 существует бесконечно много натуральных чисел s, таких, что
, 11 еМп П nsf2
6.71. В условиях теоремы 5.39 доказать, используя теорему 5.40, что для
каждого е > 0 существует бесконечно много натуральных чисел s, таких, что
, Л в\ !Л 14 rfil2
6.72. Пусть Wq—конечное поле, ах, аг, Ьъ Ьг ? F^, причем
уравнений
и m, mt, m2 — натуральные числа. Доказать, что число N решений в Wq системы
удовлетворяет неравенству | N — ^l^^1^2, где С — некоторая константа, не
зависящая от q,
6.73. Доказать, что если %г — канонический аддитивный характер поля F?,
где q = 2s, то сумма Клостермана К (Xil '. 1) задается формулой
к (%п 1,1) = —1- [(-1 + * VW + (-1 -1 \П)%
Вывести отсюда, что | К (%i', 1. 1)
,1/2
Упражнения 425
6.74. Доказать, что если Е — конечное расширение поля Fq, то число N
элементов у ? ?*, таких, что Тгя,р (у) = Тгя,р (у'1) = 0, задается форму-
формулой
1 г
где [ix — канонический аддитивный характер поля Е и К — сумма Клостермана.
6.75. Доказать, что если Е = F?, где q = 2s, то число N элементов у ? ?*,
таких, что Тге (?) = Тгв (у'1) = 0, задается формулой
я
6.76. В условиях теоремы 5.43 доказать, используя теорему 5.44, что для
каждого 8 ;> 0 существует бесконечно много натуральных чисел s, таких, что
ББК 22.144
Л55
УДК 512.62
Лидл Р., Нидеррайтер Г.
Л55 Конечные поля: В 2-х т. Т. 2. Пер. с англ. — М.; Мир,
1988. — 822 с.
ISBN 5-03-000066-6
Монография известных математиков ^Австралия, Австрия), отража-
отражающая многочисленные связи классического раздела алгебры — теории
конечных полей — с комбинаторикой, теорией кодирования, теорией ав-
автоматов. Изложение отличается простотой и ясностью, большим числом
(около 600) примеров и упражнений, имеются замечания исторического
характера. Книга входит в известную энциклопедию математики и ее
приложений (под редакцией Дж.-К- Роты); ряд ее томов переведен в
издательствах «Мир» и «Наука».
Русское издание выходит в двух томах.
Для математиков-прикладников, инженеров-исследователей, аспи-
аспирантов и студентов университетов.
1702030000—274
Л 041@1)-88 8~т> Ч" » ББК 22Ш
Редакция литературы по математическим наукам
ISBN 5-03-000066-6 (русск.) © Cambridge University Press 1985
ISBN 5-03-000064-X This book originally published in
ISBN 0-201-13519-1 (англ.) the English language by Cambridge
University Press of Cambridge,
England
© перевод на русский язык, с допол-
дополнениями, «Мир», 1988
Глава 7
Перестановочные многочлены
Задача этой главы — дать обзор результатов о перестановоч-
перестановочных многочленах, т. е. таких многочленах, для которых соответ-
соответствующие полиномиальные функции являются перестановками
множества элементов данного конечного поля Fr Многочлены
такого вида существуют для любого fq, так как любое отображение
поля Fq в себя можно задать с помощью некоторого многочлена.
С перестановочными многочленами связан ряд естественных
вопросов. Во-первых, само выяснение того, является данный мно-
многочлен перестановочным или нет, представляет собой нетривиаль-
нетривиальную задачу. Критерии, полученные в § 1, могут эту задачу упро-
упростить. Однако общие условия для того, чтобы многочлен был пере-
перестановочным, оказываются достаточно сложными. Поэтому боль-
большой интерес представляют полученные в § 2 результаты о неко-
некоторых типах перестановочных многочленов.
Перестановочные многочлены индуцируют перестановки эле-
элементов конечного поля fq и, следовательно, соответствуют эле-
элементам симметрической группы Sf — группы всех подстановок
на множестве из q элементов. Таким образом1, если нам дан класс
перестановочных многочленов поля Fq, замкнутый относительно
операции композиции (или композиции с последующим приведе-
приведением по модулю хч — х), то мы можем поставить вопрос, какая
подгруппа группы Sq представлена этим классом. § 3 посвящен
исследованию такого рода задач.
Связь между перестановочными и исключительными много-
многочленами исследуется в § 4. При этом существенно применяется
теория уравнений над конечными полями.
Понятие перестановочного многочлена обобщается в § 5 путем
перехода к рассмотрению многочленов от нескольких переменных.
Так как отдельные многочлены от п ~^> 2 переменных не могут
индуцировать отображения векторного пространства F? в себя,
то здесь теряется связь многочленов с перестановками. Чтобы
восстановить эту связь, необходимо рассматривать системы много-
многочленов. Это приводит к понятию ортогональной системы много-
многочленов. Далее в этом параграфе изучаются основные свойства
перестановочных многочленов от нескольких переменных, а также
ортогональных систем.
438 Гл. 7. Перестановочные многочлены
§ 1. Критерии перестановочности многочленов
Многочлен / ? fq [х ] называется перестановочным многочле-
многочленом поля fq, если соответствующая ему полиномиальная функция
f'.fq-*- Fq, отображающая элемент с ? Fq в элемент / (с) ? Fq,
является перестановкой элементов поля Fr Очевидно, что если /
является перестановочным многочленом поля Fq, то для каждого
а ? fq уравнение / (х) = а имеет ровно одно решение в поле Fr
Ввиду конечности поля Fq перестановочные многочлены над ним
могут быть определены и другими способами.
7.1. Лемма. Многочлен f ? Fq lx) является перестановочным
многочленом поля Fq тогда и только тогда, когда выполняется одно
из следующих условий:
(i) функция /: с ь-^- f (с), с ? Fa, является отображением та»;
(ii) функция /: с ьн>- / (с), с ? f4, является взаимно однознач-
однозначным отображением;
(Ш) для любого а ? F9 уравнение f (x) — а имеет решение
в поле Fg;
(iv) для любого а ? fq уравнение f (х) = а имеет ровно одно
решение в поле Fq.
Если ф: Fg -*- ?q— произвольная функция, отображающая
F9 в Fg, то существует единственный многочлен g? Fqlx],
deg (g) < q, являющийся представлением отображения ф в том
смысле, что g (с) = ф (с) для всех с ? fq. Многочлен g можно
найти, вычислив соответствующий интерполяционный многочлен
Лагранжа (см. теорему 1.71), или с помощью формулы
?(*)= Е Ч>(с)A-(х-су-% G.1)
Если отображение ф задано в виде полиномиальной функции,
например ф: с ни* / (с), c?fq, для некоторого f ?Fqlx], то
искомый многочлен g может быть получен из многочлена / при-
приведением последнего по модулю хч — х1) согласно следующему
результату:
7.2. Лемма. Если f, g ? fq[x], то f (с) = g (с) для всех
с ? Fq в том и только том случае, когда f (x) = g (x) (mod (x4 —
-х)).
Доказательство. Согласно алгоритму деления многочленов,
мы можем записать f (х) — g (х) = h (х) (ж» — х) + г (х), где
Л, г ? Fq lx ] и deg (r) < q. Тогда / (с) = g (с) для всех с ? Fq
в том и только том случае, если г (с) = 0 для всех с ? fq; послед-
последнее эквивалентно тому, что г = 0. ?
х) Результат приведения многочлена / по модулю хч — х (см. определение
на стр. 40) обозначается через / (mod (хч — х)). — Прим. перев.
§ 1. Критерии перестановочности многочленов 439
Установим теперь один полезный критерий того, что данный
многочлен является перестановочным. Нам потребуется следую-
следующая лемма.
7.3. Лемма. Пусть а0. Щ< ¦¦¦ . «g-i — элементы поля F
Тогда следующие два условия эквивалентны:
(i) a0, ах, ..., aq_x все различны;
q.
0 для t = 0, I, ..., q-%
Доказательство. Для фиксированного i, такого, что О <J i
<С q — 1, рассмотрим многочлен
Тогда, полагая 0° = 1, получаем, что gt (at) — 1 и gt (b) = 0 для
всех Ь ? fq, b Ф at. Следовательно, многочлен
q-\ q-\ fq-l v
t=0 /=0 \ »"=0 I
отображает каждый элемент поля fq в 1 тогда и только тогда,
когда \а0, аг, ..., aq_^\ = fq. Так как deg (g) < q, из леммы 7.2
следует, что многочлен g отображает каждый элемент поля fq
в 1 тогда и только тогда, когда g (х) — 1, что эквивалентно усло-
условию (ii). ?
7.4. Теорема (критерий Эрмита). Пусть р — характеристика
поля Fq. Тогда многочлен f ?fq[x] является перестановочным
многочленом поля F, в том и только том случае, если выполняются
следующие два условия:
(i) многочлен f имеет ровно один корень в fq\
(ii) для каждого целого t, такого, что 1 < t < q — 2 и t ф 0
(mod р), результат приведения многочлена f (х)( по модулю х" — х
имеет степень d < q — 2.
Доказательство. Пусть / — перестановочный многочлен поля
F4. Тогда необходимость условия (i) очевидна. Приводя много-
многочлен / (хУ по модулю х4 — х, получаем некоторый многочлен
17—1
1] ftj'V, где bqll\ — — S / (cf no G.1). По лемме 7.3 Ь\% =0
для всех t = I, 2, ... , q — 2, откуда следует условие (ii).
Обратно, пусть выполняются условия (i) и (ii). Тогда из усло-
условия (i) следует, что 2 / (с)*—1 = —1, в то время как из условия
440 Гл. 7. Перестановочные многочлены
(ii) получаем, что 2 / (СУ ~ 0 для всех t, t ф 0 (mod p), 1 -<
<J t ^С Ц — 2. Из равенства
получаем, что 2 / (б1)' -- 0 для всех 1 < / -^q— 2; в то же время
для ? — 0 это равенство очевидно. Тогда из леммы 7.3 следует,
что / является перестановочным многочленом поля fq. П
7.5. Следствие. Если число d > 1 является делителем числа
q — 1, то над полем f q не существует перестановочного много-
многочлена степени d.
Доказательство, Если / ? Fq\x] и deg / = d, то deg (/(«-')
= q—1, и тогда дЛя /= (q— \)ld условие (ii) теоремы 7.4 не
выполняется. ?
Из доказательства теоремы 7.4 очевидно, что если многочлен
/ € fq 1*1 является перестановочным многочленом Поля fq,
то условие (ii) теоремы 7.4 выполняется и без ограничения ?^0
(mod p). Условие же (i) может быть заменено другими, например,
как в следующей теореме.
7.6. Теорема. Пусть поле f ч имеет характеристику р.
Тогда многочлен f ? fq lx ] является перестановочным многочле-
многочленом поля F9 в том и только том случае, если выполняются следую-
следующие два условия:
(i) многочлен f (jc)'~* (mod (x" —х)) имеет степень q—, 1;
(ii) для любого целого t, где 1 < t < q — 2 и t ф 0 (mod p),
многочлен f (x)' (mod (х4 — х)) имеет степень d ^ q — 2.
Доказательство. Необходимость условия (ii) следует из тео-
теоремы 7.4. В обозначениях, используемых при доказательстве этой
теоремы, получаем, что
Тогда если / — перестановочный многочлен поля fq, то bf-x^ = 1,
и, таким образом, условие (i) выполняется.
Обратно, пусть условия (i) и (ii) выполняются. Тогда, как
и в доказательстве теоремы 7.4, из условия (ii) следует, что
2] / (с)' = 0 для всех 0 ^ t <C q — 2, в то время как из условия
§ 2, Примеры перестановочных многочленов 441
(i) вытекает, что Е f (сУ>~1 Ф 0. Таким образом, многочлен
является ненулевым и постоянным. Если бы многочлен / не яв-
являлся перестановочным многочленом поля Fg, то, рассуждая
аналогично тому, как мы рассуждали при доказательстве леммы
7.3, можно было бы показать, что g (b) ----- 0 для некоторого b ?
? Fq, что невозможно. ?
Еще один критерий того, что данный многочлен является
перестановочным многочленом, можно получить, используя по-
понятие аддитивного характера конечного поля (см. § 1 гл. 5).
7.7. Теорема. Многочлен f?Fqlx] являеШся перестановоч-
перестановочным многочленом поля fq тогда и только тогда, когда
Е Х(/(с)) = 0 G.2)
для любого нетривиального аддитивного характера % поля fq.
Доказательство. Если / — перестановочный многочлен поля
Fq, а х — нетривиальный аддитивный характер этого поля, то
по формуле E.9)
Обратно, если через %0 обозначить тривиальный аддитивный
характер поля fq и считать, что равенство G.2) выполняется для
всех % Ф %0, то для любого а ? F, число N решений уравнения
/ (х) = а в поле fq определяется в силу E.10) равенством
N=i~
Следовательно, многочлен / является перестановочным много-
многочленом ПОЛЯ Fq. ?
§ 2. Примеры перестановочных многочленов
Несколько простых примеров перестановочных многочленов
можно получить с помощью следующих элементарных результатов.
7.8. Теорема, (i) Каждый линейный многочлен над полем fq
является перестановочным многочленом поля Fq.
(И) Одночлен хп является перестановочным многочленом поля
f, тогда и только тогда, когда НОД (п, q — 1) = 1.
442 Гл. 7. Перестановочные многочлены
Доказательство, (i) очевидно, (п) Одночлен хп является пере-
перестановочным многочленом поля fq тогда и только тогда, когда
отображение /: с нн>- сп, с ? Fg, является отображением «на»,
а это имеет место тогда и только тогда, когда НОД (п, q — 1) = !
(надо использовать теорему 1.15 (и)). П
7.9. Теорема. Пусть fq — поле характеристики р. Тогда
р-многочлен
L(x)= Еа,дг"' С №]
(=0
является перестановочным многочленом поля Fq в том и только
том случае, если многочлен L (х) имеет в поле fq единственный
корень, равный 0.
Доказательство. Из рассуждений, приведенных после опре-
определения 3.49, следует, что функция L: a—*-L (с), с ? fq, является
линейным оператором в р„ (рассматриваемом как векторное про-
пространство над полем Тр). Тогда отображение L является взаимно
однозначным в том и только том случае, если многочлен L (х)
имеет в поле fq единственный корень, равный 0. ?
Другие примеры перестановочных многочленов можно полу-
получить из приведенных выше результатов, если воспользоваться
тем, что множество перестановочных многочленов замкнуто отно-
относительно операции композиции (т. е. если / (х) и g (x) — переста-
перестановочные многочлены поля Fq, то / (g (x)) также является переста-
перестановочным многочленом ноля F9). Получаемый при этом класс
перестановочных многочленов описывается следующей теоремой.
7.10. Теорема. Пусть fq —конечное поле, г?Ы, НОД (г,
q — 1) = 1, и пусть s — положительный делитель числа q — 1.
Пусть, далее, g(x)?fq[x] — такой многочлен над полем fq,
что многочлен g (xs) не имеет ненулевых корней в поле fq. Тогда
многочлен f (x) = xr (g (xs))^~l)fs является перестановочным мно-
многочленом поля Fq.
Доказательство. Покажем, что многочлен / (х) удовлетворяет
условиям теоремы 7.4. Условие (i) выполняется очевидным обра-
образом. Чтобы доказать (и), возьмем t?Z, 1<^<^ — 2, и пред-
предположим сначала, что t не делится на s. Заметим, что / (x)f пред-
представляет собой сумму членов, показатели степени которых имеют
вид rt + ms, где m?Z, m >- 0. Так как НОД (г, s) = 1, эти
показатели степени не делятся на s и, следовательно, не делятся
на q — 1. Тогда степень многочлена / (хI (mod (xfl — х)) не пре-
превышает q — 2. Если t делится на s, скажем t = ks, где k ? IN, то
§ 2, Примеры перестановочных многочленов 443
Если положить h (х) = xrt, то, так как g (cs) Ф О для всех с ?
? Fq, мы получаем, что / (cf = h (с); кроме того, / @)' = h @).
Тогда по лемме 7.2 / (л:)' = xrt (mod (xo — х)), и так как rt не
делится на q — 1, многочлен / (хI (mod (х" — х)) является много-
многочленом степени, не большей чем q— 2. ?
Из замечания, сделанного после теоремы 7.9, следует, в част-
частности, что если f^Fqlx] — перестановочный многочлен поля
F9 и Ь, с, d ? Fq, с Ф 0, то /j (x) = cf(x + b) + d также является
перестановочным многочленом поля fq. Выбирая соответствую-
соответствующим образом константы Ь, с, d, можно получить многочлен ft (x)
в нормализованной форме. Последнее означает, что fx (x) является
нормированным многочленом и при этом /х @) = 0 и, если степень
п многочлена fx (x) не делится на характеристику поля fq, то
коэффициент при хп~~1 равен 0. Таким образом, можно ограничиться
изучением нормализованных перестановочных многочленов. Поль-
Пользуясь критерием Эрмита, можно получить все нормализованные
перестановочные многочлены произвольной фиксированной сте-
степени. Полный список таких многочленов степени не выше 5
приводится в табл. 7.1.
Таблица 7.1
X
xz
X3
X3
X*
X*
хь
хь
Xs
хь
X*
X*
хь
Хг'
Нормализованные
— ах
±3х
-+- агх* + а2*
— ах
+ ах
\ *>*
4- ах3 ± *2 + За2*
-)- ах3 -)- 5-1а2*
+ а*8 + За2*
— 2а*3 + а2*
перестановочные многочлены поля {Fa
(а-
(если
не квадрат)
он имеет в Fn единственный
корень, равный 0)
(а не
(а2 =
(а-
(а-
(а —
(а-
является четвертой степенью)
2)
не квадрат)
произвольный элемент)
не квадрат)
не квадрат)
са-
са-
q
са-
са-
q
q
са-
са-
са-
са-
са-
са-
са-
Ч
любое
= 0 (mod 2)
ф 1 (mod 3)
= 0 (mod 3)
= 7
ее 0 (mod 2)
ф 1 (mod 5)
= 0 (mod 5)
Q
= 7
= 7
= ±2 (mod 5)
= 13
= 0 (mod 5)
Для нечетных q мы можем охарактеризовать перестановочные
многочлены поля fq вида х(-ч+1)^2 + ах. Для этого обозначим
через ц квадратичный характер поля fq, удовлетворяющий стан-
стандартному условию т| @) = 0.
444 Гл. 7, Перестановочные многочлены
7.11. Теорема. Для нечетного q многочлен х<<Н-о/2 -f- ах ?
?Fq[x] является перестановочным многочленом поля Fq тогда
и только тогда, когда ц (а2 — 1) = 1.
Доказательство. Пусть / (х) = х<«+о/2 + ах. Покажем, что
соответствующее отображение / не является взаимно однозначным
тогда и только тогда, когда ц (аг — 1)^1. Если для некоторого
с ? fg выполняется равенство / (с) = / @) = 0, то а — —с<<?-~'>/2
и, следовательно, ц (а% — 1) = 0. Если найдутся элементы Ь, с ?
€ F|,- Ь Ф с, для которых / (Ь) = / (с) Ф 0, то
bc~l = (а + с<*-0/2) (а -[- few-')/2)-1.
Если ц (Ь) = т] (с), то Ь<«—0/2 = с<»~0/2 и> следовательно, b = с,
что противоречит выбору Ь Ф с. Таким образом, i] (fc) ф ц (с).
Не теряя общности, можно считать, что ц (Ь) = —1, ц (с) = 1.
Тогда ^-0/2= _i( с<?-о/2 = 1( откуда
-1 = П (Ы1) = Ti ((а + 1) (а - 1Г1) =
Обратно, предположим, что т] (а% — 4)^= 1, тогда или а% —
— 1=0, или т] (а2 — 1) = —1. В первом случае получаем, что
а = ± 1, а тогда найдется такой элемент с ? F|, для которого
с<?—0/2 — —а Отсюда следует, что / (с) = / @). Если же t] (а2 —
— 1) — —1_ положим b = (а 4 1) (а — I). Тогда ti (b) = —1,
и, таким образом, Ь^—О/г = — ]( а следовательно,
= (a— l)b = a + 1 =/A),
где b Ф 1. В обоих случаях / не является взаимно однозначным
отображением. ?
7.12. Замечание, Покажем, что ц (а2 — 1) = 1 тогда и только
тогда, когда
а= (с% + \)(с% — I)
для некоторого элемента c?F?, с2ф\. В самом деле, если
ц (а2 — 1) = 1, то а2 — 1 = Ь2 для некоторого b ? f*q. Отсюда,
если с — (а + 1) Ь'1, мы получаем, что с Ф 0, с2 Ф 1 и
(с2+ 1) (с2—I) = [(a + IJ + Ь2}[(а + IJ— ЬЧ'1 = а.
Обратно, если а = (с2 + 1) (с2 — I), с ? Fj, с2 =^ 1, то а2 —
— 1 = 4с2 (с2 — I) и, следовательно, ^ (аг — 1) = 1. ?
7.13. Теорема. Если а ? FJ, где g нечетно, то многочлен
Х((?+Ш2 -|_ ax we является перестановочным многочленом ни для
какого поля F г с г > 1.
§ 2. Примеры перестановочных многочленов 445
Доказательство. Если г четно, то результат вытекает из след-
следствия 7.5. Если г нечетно, то, полагая т — (q— 1)/2, получаем,
что дг = — 1 (mod (т + 1)), т. е. что qr = k (m + 1) + т для
некоторого k ? N. Заметим, что из соотношения k (т + 1) =
= т + 1 (mod ^) и того, что НОД (т + 1, ^) = 1, следует, что
k = I (mod g). В силу теоремы 7.4 достаточно показать, что мно-
многочлен
приведенный по модулю xq — х, имеет степень qr — 1. В самом
деле,
ft+m—1
(xm+l -f ax)k+m~l = У /А + от — 1 \
/=о
/=0
Для /^> т соответствующие показатели степени переменной х
не превосходят qr— 2. Как нетрудно заметить, при / <!/и — 2
соответствующие показатели степени х не меньше, чем qr, но и
не больше, чем 2qr — 3. Таким образом, после приведения этих
членов по модулю х4 — х мы получим одночлены степени, не
превосходящей qr — 2. Остается член, соответствующий / =
— m — 1 и равный
/k + m—l\ OT_, ffr_,
\ т-*~ 1 /
В этом случае достаточно показать, что указанный выше бино-
биномиальный коэффициент не делится на характеристику р поля fq.
Если через sn обозначить сумму цифр в /?-ичном представлении
числа п, то из соотношений h = 1 (mod q), m < q и т Ф О (mod p)
следует, что sft+m_x = sm_x + sh, и тогда по лемме 6.39 получаем,
что
р ((k + m — \\\ 1 ,„ , ч_п
?р I 1 „, 1 / / — « Г \Sni-l 1 sft — sft+m-l/ — и>
откуда следует утверждение теоремы. ?
Теорема 7.13 наводит на мысль о том, что многочлены над
полем F,, являющиеся перестановочными для всех конечных рас-
расширений поля Fq» встречаются, по-видимому, достаточно редко.
На самом деле многочлены с таким свойством имеют очень спе-
специальный вид, и их можно полностью описать,
446 Гл. 7. Перестановочные многочлены
7.14. Теорема. Многочлен f (x) ?Fq\x] является переста-
перестановочным многочленом для веех конечных расширений поля Fq
тогда и только тогда, когда его можно представить в виде f (x) =
¦- ах1' + Ь, где а Ф О, р — характеристика поля fq, ah —
некоторое неотрицательное целое число.
Доказательство. Достаточность непосредственно следует из
теоремы 7.8 и замечания к теореме 7.9. Для того чтобы доказать
необходимость, заметим сначала, что если / — перестановочный
многочлен поля Fq, то для любого с ? Fq уравнение / (х) — с
имеет единственное решение d ? f q. Тогда
f(x)-c=(x- d)k g (x),
где k ? IN, g^fqlx] и либо deg (g) = 0, либо g является про-
произведением неприводимых многочленов gi ?Fqlx), deg (gi) ^> 2.
Если для некоторого i число г делится на deg (gi), то gi имеет ко-
корень в f r и, следовательно, / не является перестановочным мно-
многочленом поля Y г. Таким образом, должно выполняться равенство
/ (х) — с = а (х — d)k, афО, G.3)
т. е. для любого с g fq найдется элемент d ? Fq. зависящий
от с, такой, что выполняется G.3). Беря с = 0ис= 1, полудаем
а (х — d0)* — а (х — dx)* = 1.
Заменяя х на х + dx, приходим к равенству
а (х + Ъ — 4)* — ах" = 1.
Применяя формулу бинома, получаем
= 0 (mod р), 0 < / < k. G.4)
Число k удовлетворяет неравенствам ph <; k < ph+[ для некото-
некоторого h ? Z, h ^ 0. Если k Ф ph, то, полагая / = ph, из леммы
6.39 получаем
где sn обозначает сумму цифр в /?-ичном представлении числа п.
Так как последнее соотношение находится в противоречии с G.4),
получаем, что k = ph. Утверждение теоремы следует теперь из
формулы G:3). ?
7.15. Следствие. Если многочлен f (х) ? fqlx} нельзя пред-
представить в виде ах" + Ь, то существует бесконечно много расши-
расширений F , поля fq, таких, что f (x) не является перестановочным
многочленом поля F_r-
§ 2. Примеры перестановочных многочленов 447
Доказательство. Если / не является перестановочным много-
многочленом поля fq, то он не может быть перестановочным многочле-
многочленом ни для какого поля вида f., г ? N. Если же / — перестано-
перестановочный многочлен поля fq, то доказываемый результат можно
извлечь из доказательства теоремы 7.14. ?
Введем теперь специальный класс многочленов, называемых
многочленами Диксона. Они обладают некоторыми интересными
свойствами и являются новыми примерами перестановочных много-
многочленов. Пусть хъ хг — переменные и ft ? N. Тогда, как мы видели
при доказательстве теоремы 5.46, из формулы Варинга следует, что
L*/2J
*?+4 = 2 тч (* 7 '){-XiXi)l (Xi+Xz)k~2i- G-5)
/=0
Это равенство выполняется для любого коммутативного кольца R
с единицей. Если а ? R, то определим многочлен Диксона gh (х, а)
над кольцом R формулой
^t (* 7 0(^0)/ дг*~2/- G-6)
2 j^t (* 7 0
/=0
Если перейти к полю комплексных чисел, то определенные выше
многочлены оказываются самым тесным образом связанными
с хорошо известными многочленами Чебышёва первого рода
Th (х) = cos (k arccos x). В самом деле, если мы в G.5) положим
хх = еш, х% = е~ш, то из G.6) вытекает, что 2 cos kQ — gh B cos в,
1) и, следовательно,
gh Bx, l) = 2Th (x). G.7)
В силу этой связи многочлены Диксона иногда тоже называют
многочленами Чебышёва. Тождество G.7) можно использовать
для определения многочленов Чебышёва первого рода Th (x)
над любым конечным полем характеристики, отличной от 2.
Рассмотрим многочлен Диксона gh (x, а) над полем F. Тогда
в поле рациональных функций над F справедливо равенство
8н(у + ~, а)=у«+-^Г, G.8)
которое получается из G.5) в результате подстановки xt = у,
х2 = а/у. Из определения многочленов Диксона также следует
формула
L*/2J
gk(x, aV) = 2 jzq-(~') (-аУbbb-«-*l>x*-v = b^gh(b~% a),
/=о
G.9)
448 Гл. 7. Перестановочные многочлены
которая справедлива для любых a, b ? F, b Ф 0. Следовательно,
если F ----- Fy, где q четно, то любой многочлен Диксона gh (x, а),
a?fg, может быть выражен через gk(x, 1). Если же F = 1Г„,
где q нечетно, то каждый многочлен Диксона gk(x, a), a ? Г?,
можно выразить как через gh (х, 1), так и через gk(x, с), где с —
произвольный фиксированный элемент поля IF,, не являющийся
квадратом. Для нечетного q в соответствии с формулой G.7)
многочлены Диксона gh (x, а) можно также выразить через много-
многочлены Чебышёва первого рода Тк (х). В самом деле, если элемент
Р ? fqt таков, что р2 = а, то из G.7) и G.9) следует, что
gk (*> а) = p*gA (р-'х, 1) = 2р*7\ (Bр)-' х).
Как правило, случай а = 0 не представляет большого интереса
в силу того, что gh (х, 0) — хк.
7.16. Теорема. Многочлен Диксона gk(x,a), a?F<|> является
перестановочным многочленом поля fq тогда и только тогда, когда
HOJX(k,q*~- 1)= 1.
Доказательство. Предположим, что для некоторых Ь, с g Fg
выполняется равенство gh(b, a) = gh(c, а). В этом случае мы
можем найти такие р, у ?р^, что р + ар~' = Ь, у + ау~] = с.
Тогда из G.8) вытекает равенство р* + akp~k = yk + aky~k;
следовательно, (р* — yk) фкук — ак) = 0, откуда р* = ук или
Р* = (ау~1)к. Если теперь НОД (к, ф— 1) — 1, то по теореме
7.8 (И) многочлен хк является перестановочным многочленом поля
fqi. При этом р = у пли р = ау~1. В обоих случаях получаем,
что b = с, т. е. 4Togft (x, а) — перестановочный многочлен поля Fq.
Предположим теперь, что НОД (k, q2 — 1) = d > 1. Если d
четно, то q нечетно, а к четно. Из G.6) следует, что gh (x, а) со-
содержит только четные степени х, поэтому gk (с, а) = gh (— с, а)
для всех с ? F<J, с Ф — с. Следовательно, gk(x, а) не является
перестановочным многочленом поля Fq. Если d нечетно, то суще-
существует нечетное простое число г, делящее d. Тогда г делит к, и,
значит, или q — 1, или q + 1 делится на г. Рассмотрим эти два
случая по отдельности. В первом случае уравнение хг = 1 имеет
г решений в поле Fq, т. е. существует элемент b g fq, b Ф 1, а,
для которого br = 1. Тогда Ьк = 1 и из G.8) следует, что
gh (b f afc-1, a) = 1 + ак = gh A + a, a).
Так как из равенства b + ab'1 = 1 + а вытекает, что или b — 1,
или b =-a, то мы получаем соотношение Ъ + ab'1 Ф 1 + а.
Следовательно, gh (x, а) не является перестановочным многочле-
многочленом поля fq. Во втором случае пусть Y € F*2 — решение урав-
уравнения х?+] = а. Так как уравнение хг = 1 имеет г решений в поле
?яг, то найдется элемент р ? fqt, р ф 1, ау'2, удовлетворяющий
§ 3, Группы перестановочных многочленов 449
равенству Рг = 1. Кроме того, р»+> =1 и р* = 1. Значит,
в силу G.8)
gk (У + ау'К а) - gh фу + а фу)'К а).
Далее, справедливы соотношения у -г ау~1 - у + у* ? F4 и
pY -L а (Р?Н = Р? + (Рт)" € Fv. a также р> -1- а фу)~~х ф у +
4 ау- поскольку иначе р — 1 или р = ау "г. Таким образом,
gk (x, а) опять не является перестановочным многочленом поля Fg-D
7.17. Следствие. Если a?f*v и НОД (fe, ^2 — 1) - 1, то
cf:f4
Оля любого нетривиального аддитивного или мультипликативного
характера % поля fq.
Доказательство. Так как по геореме 7.16 многочлен gk (x, и)
является перестановочным многочленом поля Fv, то
cGFn
и тогда этот результат следует из формулы E.9) или из E.37). П
Суммы значений характеров, появляющиеся в следствии 7.17,
в случае, когда % — квадратичный характер поля fq, q нечетно,
a k g N — произвольное число, подробно изучались и получили
название сумм Бревера (см. также комментарии к § 5 гл. 5).
В последнем параграфе настоящей главы мы рассмотрим много-
многочлены Диксона от нескольких переменных, являющиеся обобще-
обобщением многочленов вида G.6)
§ 3. Группы перестановочных многочленов
Перестановочные многочлены поля Fy. имеющие степень,
меньшую чем q, можно комбинировать друг с другом с помощью
операции композиции и последующего приведения по модулю
х1' — л'. Будем для удобства записывать эту операцию в виде
понимая под этим, что / (g (x)) = h (x) (mod (x9 — х)). Множе-
Множество перестановочных многочленов поля fq, имеющих степень,
меньшую чем q, образует группу относительно указанной выше
операции. Эта группа изоморфна симметрической группе Sq. т. е,
группе всех перестановок на множестве из q элементов. Таким
образом, симметрическую группу Sq и ее подгруппы можно пред-
представлять в виде групп перестановочных многочленов.
2 Зак. 243
450 Гл. 7. Перестановочные многочлены
7.18. Теорема. Если ^ > 2, то многочлен xq~2 вместе со всеми
линейными многочленами над полем fq порождает группу Sq.
Доказательство. Заметим, во-первых, что в силу теоремы 7.8
все указанные многочлены являются перестановочными много-
многочленами поля JFg- Известно, что каждую перестановку элементов
множества fq можно разложить в произведение транспозиций.
На самом деле достаточно рассматривать лишь транспозиции
вида @ а), а ? FJ, так как любую транспозицию (Ь с) ? Sq можно
представить в виде (he) — @ b) (Ос) (Ob), С другой стороны,
многочлен
/« (х) = — а2 Щх - ay-* -f а-')» - «1«~2
является представлением транспозиции @ а) и при этом является
композицией линейных многочленов и многочлена xv~2, ?
Выбор указанных в теореме многочленов в качестве образую-
образующих элементов группы Sq основывается на том, что они являются
достаточно простыми по форме многочленами. Из выражения
для fa (х) становится очевидным, что простая форма записи много-
многочлена и простота соответствующей перестановки — понятия не
эквивалентные.
7.19. Теорема. Если q > 2, а с — фиксированный примитив-
примитивный элемент поля fq, то симметрическая группа Sq порождается
многочленами сх, х + 1 и xq~2.
Доказательство. Пусть a, b g f*q; тогда а --- с\ b — с', где s
и t—некоторые натуральные числа, s > / ^ 1, Утверждение
теоремы следует теперь из равенств
(ах) = (csx) = (cx)s, (ax + Ь) = (ex)*-* (х + 1) (ex)*
и теоремы 7.18. ?
Развивая дальше этот подход, мы можем найти образующие
элементы знакопеременной группы Aq, которая является под-
подгруппой группы Sq, образованной всеми четными перестановками.
Далее будем называть перестановочный многочлен поля F<j
четным, если соответствующая ему перестановка элементов Fq
является четной.
7.20. Лемма. Пусть a g F, ,гдед>2. Тогда многочлены х + а
и (xf~2 + a)q~2 всегда являются четными перестановочными много-
многочленами, а многочлен ах является четным перестановочным много-
многочленом тогда и только тогда, когда элемент а является квадратом
некоторого элемента из f*q. Кроме того, многочлен хч~2 является
четным перестановочным многочленом тогда и только тогда, когда
q = 3 (mod 4).
§ 3. Группы перестановочных многочленов 451
Доказательство. Перестановка, соответствующая многочлену
v \- а, разлагается на ре~х циклов длины р, где q = ре, ар —
характеристика поля Fq. Тогда если либо р нечетно, либо q = 2е
и е > 1, то многочлен х + а является четным перестановочным
многочленом. Так как
((хч-°- + а)*-2) = {х"^2) (х + а) (х<>-2),
ю многочлен (х?-2 + а)"-2 является четным перестановочным
многочленом. Далее* многочлен ах индуцирует перестановку
элементов поля fq тогда и только тогда, когда а^О; в этом
случае (ах) — (cx)s, где с— примитивный элемент поля fq,
а а - cs. Перестановка, соответствующая многочлену сх, является
циклом длины q— 1. Тогда условие четности многочлена ах
следует из сказанного выше и того, что каждый элемент поля f e
является квадратом.
Если взять многочлен х4^2 и рассмотреть соответствующую
перестановку, то ее можно разложить на непересекающиеся транс-
транспозиции, содержащие все элементы поля fq, кроме 0, 1 и — 1.
Таким образом, эта перестановка разлагается на (q — 3)/2 транс-
транспозиций, если q нечетно, и на (д — 2)/2, если q четно. П
Определим теперь следующие классы перестановочных много-
многочленов поля fq для q > 2:
Каждое из этих множеств образует группу относительно операции
композиции многочленов с последующим приведением по модулю
хч — ж Эти группы имеют следующие порядки: | Lq | = q (q — 1),
ALq | = q (q — l)/2 для нечетных q, | ALq | = q (q — 1) для
четных q и \Qq\ = q. Группа Qq изоморфна аддитивной группе
поля Fg. Нетрудно доказать следующую теорему.
7.21. Теорема. Пусть q > 2, и пусть с—фиксированный
примитивный элемент поля fq. Тогда
(i) группа Lq порождается многочленами сх и х + 1;
(и) группа ALq порождается многочленами с?х и х + 1;
(Hi) знакопеременная группа Aq порождается своими подгруп-
подгруппами ALq и Qq;
(iv) знакопеременная группа Aq порождается многочленами
С2Х, X + 1 и (*»-* + I)"'2-
Если дан класс перестановочных многочленов поля Fq, замк-
замкнутый относительно операции композиции, то можно задаться
вопросом, какую подгруппу симметрической группы Sq представ-
452 Гл, 7. Перестановочные многочлены
ляет данный класс. Сначала изучим множество Р (а) (а — фикси-
фиксированный элемент поля fq) всех многочленов Диксона gh (х, а),
которые являются перестановочными многочленами поля fq.
Тогда
Р@)=Ш*, 0) | Л € М. НОД(*. д-1)=1\,
Р(а)= \gk(x, a)\k?H, НОЦф, аг - 1) = 1} Для а#0.
7.22. Теорема. Множество Р (а) замкнуто относительно опе-
операции композиции многочленов тогда и только тогда, когда а = 0,
1 или — 1.
Доказательство. Если а ? ft/, k, m?lN, то
gh (gm(y
am =
j, I II I r^ f\ 1 _ t у m * I
по G.8), а тогда
ghm (х, а) = gh (gm (x, а), ат). G.10)
Когда а Ф 0 и Р (а) замкнуто относительно операции композиции
многочленов, Togft (gm (х, а), а) ? Р (а), если НОД (к, ф — 1) =
= НОД (т, q2 — 1) = 1. Таким образом, gh (gm (x, а), а) =
=" ghm (x, а), и в силу G.10)
gh (gm (x, a), a'") = gh (gm (x, a), a).
Так как многочлен gm (x, а) не является постоянным, то
gh (х, ат) = gh (х, а).
Сравнивая коэффициенты при хк~2 для всех к > 1, получаем,
что ат = а для всех т, удовлетворяющих соотношению НОД (т,
ф — X) = 1. Следовательно, а = а, откуда вытекает, что а =
= ± 1.
Обратно, если а = 0, 1 или — 1, то в силу G.10) множество
Р (а) замкнуто относительно операции композиции многочленов.П
Таким образом, в трех случаях, когда а = \,а — — 1 и а = 0,
множество G (а) всех перестановок элементов Fg. представимых
с помощью многочленов из Р (а), является абелевой подгруппой
симметрической группы Sq. Изучим теперь строение группы G (а).
Пусть я — ± 1. Для любого с ? fq можно найти такой эле-
элемент у ? 'f*2, что с = у + ау~1. Тогда для k = m (mod (q2 — 1))
из G.8) получаем
gh (с, а) = gh (у + ау-К а) = yk + akyk = ym -f amy~m =
= gm(y + ay~{, a) + gm(c, a).
§ 3. Группы перестановочных многочленов 453
Следовательно, если НОД (ft, q% — 1) = 1, то gh (x, а) и gm (х, а)
индуцируют одну и ту же перестановку элементов поля fq. Таким
образом, если каждому классу вычетов числа ft по модулю q2 — 1
сопоставить перестановку элементов поля Fq, индуцированную
многочленом gh (х, а), то мы получим эпиморфизм R (q2 — 1) на
группу G (а), где R (q2 — 1) — приведенная группа классов выче-
вычетов по модулю q%—1, или, иначе говоря, группа обратимых
элементов кольца Zl{q%— 1). Теперь в силу теоремы 1,23 доста-
достаточно найти ядро К (а) этого эпиморфизма.
Если к ? К (а), то gh (с, а) = с для всех с ?ffq. Тогда если
элемент у такой же, как и выше, то ук + аку~к = у + ау~1.
Так как ак = а, то ук + ау~~к = у + ау~1, следовательно, либо
yk — у, либо ук = ау~1 и, таким образом,
либо /""' = 1> либо yk+i =a
для всех у^Тдг, таких, что у -\-ay~1 Qfq. G.11)
Это же условие оказывается достаточным для того, чтобы к ? К (а).
Теперь у + ау~] g fq тогда и только тогда, когда (у + af~')* =
= у t ay~l, а последнее эквивалентно тому, что "f~A = 1 или
У<м-1 = а. Пусть а = 1, и пусть ? — примитивный элемент поля
1г>. Тогда или у= t™ "+1), или у = S"^, где m, n ? Z.
Таким образом, из G.11) следует, что к ? К (а) тогда и только
тогда, когда fe является решением одной из следующих четырех
систем сравнений:
к = 1 (mod (q - 1)), f * = 1 (modfa-1)),
/г ее 1 (mod (q + 1)), I ft = - 1 (mod (q + 1)),
A: = - 1 (mod (q - 1)), f ft = - 1 (mod (^ - 1)),
k = 1 (mod (q + 1)), | ft = - 1 (mod (q + 1)).
Решая эти системы по модулю q2— 1, получаем, что
К A) = {1, q, — q, — 1} для четного q
и
К A) = {1, q, - q, - 1, 1 + (g3 - 1)/2, g + (Q2 - l)/2,
— ? + (<72 — l)/2, — 1 + {q% — \)I2\ для нечетного q
Случай а — — 1 исследуется аналогичным образом, и в этом
случае получаем, что
К (— 1) = |1, q\ при q = 3 (mod 4)
и
* (— 1) = \\,q, I +(?2-l)/2, g + (Я2 — 1)/21 при q =(l(mod 4).
Полученные результаты можно сформулировать в виде следующей
теоремы:
454
Гл. 7. Перестановочные многочлены
7.23. Теорема. Если а = ± 1, то группа G (а) изоморфна
факторгруппе R {q% — 1I К (а), где К (а) определено выше. При
этом IX A)| =2 для q == 2, |/(A)| =4 для четных q>2,
\К0)\ =4 для q = 3, \К(\)\ =8 для нечетных q > 3,
| К (— 1) | = 2, если 9 = 3 (mod 4), и | /С (— 1) | = 4, еслы q =
= 1 (mod 4). Группа G @) изоморфна R (q — 1) — группе обра-
обратимых элементов кольца вычетов по модулю q — 1.
Приведем еще один интересный класс перестановочных много-
многочленов. Пусть f , — расширение поля fq. Рассмотрим линеари-
линеаризованные многочлены L (х) вида
г—1
G.12)
По теореме 7.9 многочлен L (х) является перестановочным много-
многочленом поля F г тогда и только тогда, когда он имеет в F, един-
единственный корень, равный 0, т. е. тогда и только тогда, когда
линейный оператор, индуцированный многочленом L (х), в поле
F г, рассматриваемом как векторное пространство над полем fq,
является невырожденным. В свою очередь этот линейный опе-
оператор является невырожденным тогда и только тогда, когда для
любого набора элементов р0, Рь • • , Pr-i € ?qr, линейно неза-
независимых над полем fq, элементы у0 = L ф0), ух = L (рх), ...
• ••. Yr-i — ^ (Pr-i) также линейно независимы над полем fq. Теперь
из G.12) получаем
s=0
Пользуясь равенством fif = P(. и полагая at = as для t = s(mod r), j
получаем
г—1
Р a
Ус — Zj Р« as--i ¦
s=0
Если Aj и Аг — определители вида C.13), образованные соответ-
соответственно элементами р0, Pi, ... , Pr_i и Yo> Yi> •¦¦ > Vr-i. To
Д2 = Aj det (Л),
где Л — следующая матрица размера г х г:
9 *¦ 1
ft /Г* /J* *
A =
а0
а,
т_2 ¦•• «1
О2 г,*'
г-\ ¦ • ¦ «2
V-1
«Т «о
af
7-— 1
.. ag
§ 4. Исключительные многочлены 455
В силу леммы 3.51 многочлен L (х) является перестановочным
многочленом поля f qr тогда и только тогда, когда det(i4) Ф 0.
Множество многочленов вида G.12), являющихся перестано-
перестановочными многочленами поля L, образует группу относительно
операции композиции многочленов с последующим приведением
по модулю х^ — х. Эта группа известна как группа Бетти —
Мшпье. Приведем без доказательства следующую теорему.
7.24. Теорема. Группа Бетти — Матье изоморфна общей ли-
линейной группе GL (r, Fg), образованной невырожденными г X г*
матрицами над полем Fq относительно операции умножения
матриц.
§ 4. Исключительные многочлены
При изучении перестановочных многочленов, можно восполь-
воспользоваться некоторыми геометрическими идеями. Преимущество,
которое мы получаем от такого подхода, состоит в том, что появ-
появляется возможность применять очень сильную теорему Ленга —
Вейля (см. комментарии к гл. 6), которая дает оценку для числа
рациональных точек на абсолютно неприводимой кривой, заданной
над конечным полем.
Пусть дан многочлен f?fqix] степени d^>l; образуем
многочлен от двух переменных
имеющий степень d— 1. Пусть Е X Е — прямое произведение
двух экземпляров алгебраического расширения Е поля fq. Опре-
Определим алгебраическую кривую Сф над полем fq как подмножество
множества Е х Е вида
Cv=\(a, Ь)?Е\ ?|ф(а, 6) = 0},
где ф ? fq [х, у J — ненулевой многочлен от двух переменных
над полем fq. Точка (а, Ь), лежащая на кривой Сф, называется
рациональной точкой, если элементы а и Ъ принадлежат fq.
Разумеется, число рациональных точек на кривой всегда конечно,
так как множество fq X fq само конечно. Используя введенные
выше обозначения, получаем, что многочлен f (x) является переста-
перестановочным многочленом поля fq тогда и только тогда, когда Сф не
содержит рациональных точек, лежащих вне прямой у — х.
Напомним, что для любого поля К элементы кольца К \х, у]
единственным образом разлагаются на неприводимые многочлены
и что многочлен положительной степени из К \х, у\ называется
абсолютно неприводимым, если он неприводим над любым алгебра-
алгебраическим расширением поля К-
456 Гл. 7, Перестановочные многочлены /
7.25. Определение. Многочлен f(x)?fq[x] степени d>2
называется исключительным многочленом над полем Fq, если ни
один неприводимый делитель многочлена
не является абсолютно неприводимым.
Иными словами, многочлен / (х) является исключительным
многочленом над полем fq, если каждый неприводимый делитель
многочлена Ф (х, у) ? F, 1х, у ] допускает нетривиальное раз-
разложение на множители над некоторым алгебраическим расшире-
расширением поля Fq.
Следующая теорема устанавливает связь между перестановоч-
перестановочными и исключительными многочленами. Отметим сначала (без до-
доказательства), что любой исключительный многочлен является
«почти перестановочным» многочленом в следующем смысле.
7.26. Лемма, Пусть f (x) ?Fqlx] является исключительным
многочленом над полем fq степени d, и пусть через V (/) обозначено
число различных элементов в множестве {/ (с) | с ? fq) значений,
которые может принимать этот многочлен. Тогда V (/) ^> q —
— A (d), где A (d) — константа, зависящая только от степени d
многочлена f (x).
7.27. Теорема. Пусть Fq — поле характеристики р, a f (x) —
исключительный многочлен над полем Fq степени d, причем р ^>
^- В (d), где В (d) — некоторая константа, зависящая только от d.
Тогда многочлен f (x) является перестановочным многочленом
поля Fg.
Доказательство. Используя обозначения леммы 7.26, можно
представить V (/) в виде V (f) = q — w, где 0 < w -< A (d). Для
доказательства теоремы достаточно показать, что w = 0. Допу-
Допустим, что w > 1, и покажем, что в этом случае мы приходим к про-
противоречию.
Пусть различными элементами в множестве значений, которые
принимает / (х), будут элементы Ьъ Ь%, ... , bq_w, и пусть остав-
оставшиеся элементы поля Fg —это съ с2, ... , сш. Для i = 1, 2, ...
.... q — w обозначим через тг число решений уравнения / (х) = 6,-
q—W
в поле jrg; тогда J] mt = q. Кроме того, mi ^> 1 для любого
i — 1, 2, ... , q — w, а значит,
mt < w + 1 (i = 1, 2, ... , q — w). G.13)
В то же время для t = 1, 2, ... , w получаем
q—w
E f(c)' = 2 m(b].
§ 4, Исключительные многочлены 457
Если р > В (d), где В (d) — dA (d) + 2, то справедливы соотно-
соотношения q' — 2 > р — 2 > dA (d) > dw, а тогда для всех t = 1,
2, ... , ш можно записать
/ (X) = flo ~r й\ X -\~ • • • Т Щ—2Л
В силу леммы 7.3
23 /w'= ХМ° ? ^ = о.
Таким образом,
D { = 0 (* = 1, 2 а»). G.14)
Положим т = max (т1( ... , mq_w); тогда из G.43) получаем, что
1 <С m ^ w + 1. Если через Sj, I <C j ^ m> обозначить число
таких mi, для которых /иг == /, то sx + ... + sm = q — w и
m ^—ш m
23 (/ -- l)s; = 23 mi - Ъ Sj = </ - (9 - w) = ш. G.15)
/=1 1=1 /=1
Перенумеруем элементы 6^ ... , bq_w таким образом, что mx = ...
... = mSi = 1, m,i+i = ... = mSi+Si = 2, ... , m,i+...+,m_i+i = ...
... •¦- mSl+...-f-s =/и, тогда формула G.14) принимает вид
Л,= 2/ 2 б!=0 (/=1, 2, ..., ш).
Отсюда вытекает, что
* + 23(/-i) 23 И.
/=i (=!i+...+s^l+i
Так как 1 < t <; w < йЛ (d) < q — 2, то J], c< = 0, и, следо"
вательно»
234=23O"-i) I! ^ G-16)
Рассмотрим далее два многочлена
w m sj
g(x)=*Tl(x- ck), h(x) = П П (x - bs+...+s ,«)/-'.
ft=l /=2 (=1 v l I-* '
Из G.15) вытекает, что deg (g) = w, deg (A) = w. Обозначим
через gr и hr, 0 < r <; w, коэффициенты при xw~r соответственно
в ё (х) и ft (х). Пусть Gt и Ни 1 < t < w, обозначают суммы t-x
458 Гл. 7. Перестановочные многочлены
степеней всех корней многочленов g (х) и h (х) соответственно.
Тогда из G.16) получаем, что Gt = Ht для всех 1 ^ t -^ w. Из
формулы Ньютона (см. теорему 1.75) следует, что
t—\
It G,_igi + tgt = 0 A<*<ш). G.17)
Так как р ^> йА (d) + 2 > A (d) ^> ш, то коэффициент при gt
в G.17) отличен от 0. Значит, систему из w уравнений G.17)
можно однозначно разрешить относительно glt ... , gw и выразить
их через Gu ... , Gw, а именно gi = — Gx, g2 = (G\ — G2)/2 и т. д.
Аналогично получаем, что h\ = —¦ Ни /г2 = {Н\ — Яг)/2 и т. д.,
а так как Gt = Я, для всех 1 -< t < w, то отсюда вытекает, что
gr = /гг для всех 0 ¦<! г -^ ш. Таким образом, g (х) = /г (х), и
множество {с1( ... , сш} должно с точностью до порядка элементов
совпадать с множеством {bs,+i. ¦ •• , bq-w). Это, однако, невоз-
невозможно, так как по определению элементы bt отличны от ск. Тем
самым мы пришли к противоречию, что и завершает доказатель-
доказательство теоремы. ?
Предыдущая теорема показывает, что в конечном поле доста-
достаточно большой характеристики свойство многочлена быть исклю-
исключительным является достаточным для того, чтобы он был переста-
перестановочным многочленом. Определим теперь, при каких предполо-
предположениях свойство многочлена быть исключительным является
также и необходимым условием для того, чтобы этот многочлен
был перестановочным.
Утверждение, обратное к теореме 7.27, становится справедли-
справедливым при некоторых дополнительных условиях, которые можно
получить из теоремы Ленга — Вейля. Переформулируем эту
георему следующим образом. Пусть через N обозначено число
рациональных точек на кривой Сф, где cp^FgU, у] — абсо-
абсолютно неприводимый многочлен, deg (cp) = d. Тогда по теореме
Ленга — Вейля (см. примечания к § 4 гл. 6) справедливо нера-
неравенство
| N - q |< (d - 1) (d - 2) f1/2 + С (d), G,18)
где С (d) — некоторая константа, зависящая только от d. Для
наших целей нам понадобится более слабое утверждение, выте-
вытекающее из G.18).
7.28. Лемма. Существует последовательность klt k2, ... целых
положительных чисел, обладающих следующим свойством: если
Ф ? fq\х, у] — абсолютно неприводимый многочлен и q ^> kd,
где d — deg (<p), то либо Сф содержит некоторую рациональную
точку (а, Ь), афЬ, либо многочлен ф имеет вид с (у —х) для
некоторого с б fq.
§ 4. Исключительные многочлены 459
Доказательство. Для каждого d ? N выберем число kd таким
образом, чтобы выполнялось неравенство
q _ (d — 1) (d — 2) </i/2 — C(d) >d
iля всех <? > Atd. Тогда если ф — абсолютно неприводимый много-
многочлен степени d от двух переменных над полем fq, где q > &d, то
in G.18) следует, что Сф содержит по меньшей мере d + 1 рацио-
рациональных точек. Если многочлен ф отличен от с (у — х), то из его
неприводимости следует, что он не делится на у — х и, следова-
следовательно, <р (х, х) не является нулевым многочленом. Таким образом,
кривая Сф пересекает прямую у = х не более чем в d рациональ-
рациональных точках. Следовательно, Сф содержит хотя бы одну рацио-
рациональную точку (а, Ь), где афЬ. ?
Чтобы доказать следующую теорему, воспользуемся приве-
приведенными в начале этого параграфа понятиями алгебраических
кривых и их рациональных точек, а также их связью с переста-
перестановочными многочленами.
7.29. Теорема. Существует последовательность целых поло-
положительных чисел kt, k2, ... , такая, что для любого конечного поля
|}',, порядка q ;> kn, такого, что НОД (п, q) = 1, справедливо сле-
следующее утверждение: если f (x) ?fqlx] — перестановочный мно-
многочлен поля Fq, deg (/ (x)) = п >- 2, то он является исключитель-
исключительным многочленом над полем Fq.
Доказательство. Очевидно, что в лемме 7.28 числа kx, k%, ...
можно выбрать таким образом, что последовательность klt k2, ...
будет неубывающей, т. е. kt <; k.2 <C... . Пусть числа kn выбраны
указанным образом, и пусть / (х) g fq lx]— перестановочный
многочлен поля F4, удовлетворяющий условиям нашей теоремы.
Если
Ф (х, у) - (f (x) - f {y))l(x -y)?Vq[x,y\,
го алгебраическая кривая Сф не имеет рациональных точек, не
лежащих на прямой у = х. Предположим теперь, что многочлен
/ (дг) не является исключительным многочленом. Тогда многочлен
"I' {х, у) имеет абсолютно неприводимый делитель g (x, у) ?
(z?q\x, у]. Если g (х, у) — с (у — х), с ? fq, то для некото-
некоторого h (x, y)?Fq[x, у] выполняется равенство f (у) — f (х) =
"zz (у — х)'2 h (x, у). Тогда
/' (у) =2(y-x)h (х, у) + (у~ xf (dh (x, y)Idy),
", таким образом, /' (х) = 0, а это противоречит тому, что НОД (л,
ч) ~ 1. Следовательно, многочлен g (х, у) отличен от с (у — х).
Если d = deg (g), то q > kn > kd, а тогда из леммы 7.28 вытекает,
что g (а, Ь) — 0 для некоторой пары (а, Ь) ? Щ, а ф Ь. Отсюда
получаем, чтоФ {а,Ь)= 0 и тем самым приходим к противоречию. ?
460 Гл. 7. Перестановочные многочлены
Если НОД (n, q) > 1, т. е. если характеристика р поля fq
делит п, то утверждение теоремы 7.29 не всегда остается справед-
справедливым. Так, например, хр является перестановочным многочленом
поля Fq, однако равенство (хр — у")/(х — у) = (х — у)р~{ по-
показывает, что хр не является исключительным многочленом над
полем fq.
Если объединить теоремы 7.27 и 7.29, то можно получить
следующее описание перестановочных многочленов в случае ко-
конечных полей с достаточно большой характеристикой.
7.30.Следствие. Для любого целого п^-2 найдется константа
Кп> такая, что для любого конечного поля fq характеристики
Р i> Kn выполняется следующее утверждение: многочлен f (x) ?
?Fq [x] степени п является перестановочным многочленом поля
Fg тогда и только тогда, когда он является исключительным
многочленом над полем fq.
Следующий результат, который в конечном счете тоже выте-
вытекает из теоремы Ленга — Вейля, помогает выяснить, в каком слу-
случае для данного конечного поля не существует перестановочных
многочленов данной степени п.
7.31. Теорема. Существует последовательность целых поло-
положительных чисел klt k%, ... , обладающих следующим свойством:
каково бы ни было натуральное число п, если Fq — конечное поле
порядка q ~^> kn, НОД (п, q) = 1 и fq содержит корень п-й сте-
степени из единицы t, Ф 1, то не существует перестановочных много-
многочленов поля fq, имеющих степень п.
Доказательство. Пусть f$z?q\x] — произвольный много-
многочлен степени п; положим
Ф (х, у) = (f (х) - f {y))l(x - у).
Разлагая многочлен Ф на неприводимые сомножители сначала в
Wq [x, у], а затем над подходящими последовательными алгебра-
алгебраическими расширениями поля fq, получаем в итоге некоторое
алгебраическое расширение Е поля fq и разложение над Е
Ф = апё1...ёг, G.19)
где ап — старший коэффициент многочлена / (х), а каждый сомно-
сомножитель gi ? Е 1х, у] является нормированным no x и при этом
абсолютно неприводимым. Пусть ht, I ^ t ^ г, — однородная
часть наивысшей степени многочлена gt. Тогда
х ~У _ и и
х — у L ^
§ 4. Исключительные многочлены 461
так как левая часть этого равенства является однородной частью
наивысшей степени многочлена а^'Ф. Кроме того,
¦у _
...(х -
где Si, ... , ?n-i — отличные от 1 корни п-п степени из 1 в поле
f ( , которые все различны в силу теоремы 2.42 (i). Отсюда следует,
что многочлен х — t,y ? Fq \х, у ] делит в точности один из
сомножителей hb. Пусть для определенности это будет hx.
Пусть а — автоморфизм кольца Е [х, у], задаваемый формулой
Применим а к G.19) и заметим, что а (Ф) =Ф и а (ап) = ап,
так как Ф ? Fq lx, у] и ап ? fq. Следовательно, в силу един-
единственности разложения G.19) о переставляет многочлены gt,
так что a (ft) = gm для некоторого т, 1 < /и< г, а отсюда сле-
следует, что о (hi) = hm. Так как многочлен х — Z,y делит hlt то он
делит и hm = о (ftj), поскольку ст (х — t,y) = х — t,y. Отсюда выте-
вытекает, что т = 1, т. е. что ст (gt) — g±. Значит, все коэффициенты
многочлена gt лежат в fq и, таким образом, gx абсолютно непри-
неприводим над полем Fa-
Вновь в лемме 7.28 числа &j, k2, ... выберем таким образом,
чтобы они образовывали неубывающую последовательность kx ^
< k,, <: ... . Пусть d = deg (gt) и q >¦ kn > kd. Так как ht де-
делится на х — t,y и ? Ф 1, многочлен gx не может иметь вид gt =
-— с (у — х), с ? F9- Тогда из леммы 7.28 вытекает, что gt {a,
Ь) = 0 для некоторой пары (а, Ь) ? F|, а Ф Ь. Отсюда и из фор-
формулы G.19) получаем, что Ф (а, Ь) = 0. Следовательно, много-
многочлен / (х) не может быть перестановочным многочленом поля f q. ?
7.32, Следствие. Пусть fq — конечное поле и п ? Ы — чет-
четное число. Если q^> kn и НОД (n, q) = I, то не существует пере-
перестановочных многочленов поля Fq, имеющих степень п.
Доказательство, Положим в теореме 7.31 ? = — 1. ?
Так как мультипликативная группа поля Fq является цикли-
циклической группой порядка q— 1, то Fg содержит отличный от 1
корень л-й степени из единицы ? тогда и только тогда, когда
НОД (л, q— 1) > 1. Таким образом, из теоремы 7.31 вытекает
следующий критерий.
7.33. Следствие. Пусть п ? Ы. Если q ^ kn и НОД (п, q) —
~ 1, то перестановочные многочлены поля fqi имеющие степень п,
существуют тогда и только тогда, когда НОД (п, q— 1) = 1.
462 Гл. 7. Перестановочные многочлены
Доказательство. Необходимость следует из приведенных выше
рассуждений и теоремы 7.31. С другой стороны, если НОД (я,
q — 1) = 1, то из теоремы 7.8 (и) следует, что хп является пере-
перестановочным многочленом поля fq, причем deg (хп) = п. П
§ 5. Перестановочные многочлены от нескольких
переменных
Пусть п > 1, и пусть F, \хх, ..., хп] — кольцо многочленов
от п переменных над полем fq. Через F^ обозначим прямое про-
произведение п экземпляров поля Fq. Перестановочный многочлен
от п переменных над полем Ff/ естественно определить как такой
многочлен / ? F, [*!, ..., хп), для которого число решений урав-
уравнения / (х\, ..., хп) = а в F? одно и то же для всех значений
а ? Fq. Если обозначить это число решений через N, то должно
выполняться равенство N = qn~l. Действительно, |F?| = д" =
= 2 Л/= qN. Таким образом, мы приходим к следующему опре-
определению.
7.34. Определение. Многочлен / (xlt .... xn)?FgUi, ..., хп\
называется перестановочным многочленом от п переменных над
полем Fg, если для любого а ? Fq уравнение / (х1, ..., хп) = а
имеет ровно q"~l решений в f"q,
В случае п > 1 мы не можем сказать, что перестановочный
многочлен / (xlt ..., хп) над полем Fg индуцирует перестановку
элементов множества FJJ ввиду того, что соответствующее ото-
отображение не является отображением F"q в себя. Однако следующее
определение позволяет рассматривать отображения из Fq в FJ",
которые индуцируются системами многочленов от нескольких
переменных.
7.35. Определение. Система многочленов
называется ортогональной над полем Fq, если для каждого набора j
(а\, ..,, ат) ? F" система уравнений ¦]
k (Xi, ..., хп) = аъ ..., fm (хъ ..., хп) = ат ..]
имеет ровно qn"m решений в FJ. ¦.]
В частном случае, когда т = п, это означает, что ортогональ- |
ная система многочленов /,, ..., fn индуцирует перестановку |
элементов множества F"q. Применяя терминологию из определения |
7.35 к одному многочлену, мы можем сказать, что многочлен f 1
является перестановочным, если он сам по себе образует орто- j
§ 5. Перестановочные многочлены от нескольких переменных 463
тональную систему. Из определения 7.35 непосредственно сле-
следует, что любая непустая подсистема ортогональной системы мно-
многочленов сама является ортогональной. В частности, любой
многочлен, входящий в ортогональную систему, является переста-
перестановочным многочленом. С другой стороны, следующая теорема
показывает, что каждую ортогональную систему из т многочле-
многочленов от п переменных, где т < п, можно дополнить до ортого-
ортогональной системы, содержащей большее число многочленов. Для
этого, во-первых, заметим, что каждое отображение т: F? -*- ?q
можно представить с помощью некоторого многочлена g (xlt ,.,, хп)
над полем fq, который по каждой переменной имеет степень,
меньшую q. Этот многочлен задается следующей формулой:
О' (l'j, . . ., Хп) —
2 Т {Си ¦ ¦ ., Сп) A - (Xl - С,)?-1) . Л A _ (хп - Cnf-1).
(c,.....en)€F? G.20)
Нетрудно проверить, что g (tj, ..., с„) — т (сь ..,, с„) для всех
наборов (й, ..., сп) € fnq.
7.36. Теорема. Для любой ортогональной системы многочленов
fu •••> /m^FqUj, .... Хп], 1 <! /И < П, Над ПОЛвМ Fq И ЛЮ-
Сюго натурального числа г, 1 <! г <; п — т, найдутся многочлены
fm+i, ¦¦-, fm+r 6 Fg[*i хп], такие, что /,, ..., /m+r об-
образуют ортогональную систему над полем Fq.
Доказательство. Достаточно доказать теорему для г = 1.
Если (аи ..., ат) ? F™, то положим
S(alt ...,ат) = {{си .... cn)?fnq\ft{cu ..., сп) = ah 1 </ < т\.
По предположению каждое множество S (аг, ..., ат) содержит
ровно q"—m элементов. Теперь каждое множество S (аъ ..., йт)
разобьем произвольным образом на q попарно непересекающихся
подмножеств S (щ, ..., am, a), a ? fq, каждое из которых со-
содержит дп-т~1 элементов. Построим отображение т: F? -*¦ fq
следующим образом. Так как каждый набор {с\, ..., сп) € F?
принадлежит лишь одному множеству S {аг, ..., ат, а), положим
т (С1> •¦¦, сп) = а. В силу G.20) отображение т можно задать
'- помощью многочлена /m+1 (xlt ..., х„) над полем Fg. Этот мно-
многочлен и является искомым. ?
Необходимое и достаточное условие для того, чтобы система
многочленов была ортогональной, можно получить с помощью
характеров. Воспользуемся обозначениями для аддитивных ха-
характеров, введенными в теореме 5.7.
464 Гл. 7. Перестановочные многочлены
7.37. Теорема. Система многочленов flt .... fm ? Fq lxlt ...
..., xn\, 1 -^ m -^ n, является ортогональной системой над полем
Tq тогда и только тогда, когда <
23 n%bi(h (си • • •, сп)) ... ibn (fm (си ..., сп)) = О
для любых аддитивных характеров %ь , ..., %ь поля f9, где
(blt .... Ьп)Ф@, .... 0).
Доказательство. Для любого набора (а\, ..., ат) € FJ* обоз-
обозначим через /V (аь ..., ат) число решений системы уравнений
A (XU • ¦ ¦ > Jfn) = а1> ¦ • • i /m (-^li • • ¦ > *n) = flm
в F?- Если система многочленов /ь .... fm ортогональна над f4,
то из E.9) следует, что
Ij %ь (/l (й, • • •. Сп)) ¦ ¦ ¦ %b (fm (Си • • • , Сп)) =
S ^ (а,, .... ат) %b (at) ¦.. %ь (ат) =
т 1 т
("\ "m)?Fg
€F h ) U€F m /
ь
m
при условии, что хотя бы один элемент bt отличен от 0.
Обратно, если выполняются условия теоремы, то для любого
набора (п\, ..., ат) ? FJT из E.10) получаем
x ат)=~т-
/« (си • • •. с„)
6
771
^ 2
& (/l (Cl, ¦ ¦ ¦, C,,)) • • • %b (fm (Ci, .... С„)) =
l m
§ 5. Перестановочные многочлены от нескольких переменных 465
7-38. Следствие. Многочлен /?FgUi, ..., хп] является пе-
перестановочным многочленом над полем Fq тогда и только тогда,
когда
? %Ф(Сг, ..,<¦•»)) = О
для любого нетривиального аддитивного характера % поля Fq.
7.39. Следствие, Система многочленов /lt ..., fm ? Fq lxu ...
.,., х„], 1 < «г <; и, является ортогональной системой над полем fq
тогда и только тогда, когда для любого набора {Ь\, .... bm) ? FJT>
удовлетворяющего условию (by, ..., Ьт) Ф @, ..,, 0), многочлен
bji '¦ ... + 6m/m является перестановочным многочленом над
полем Fq.
Доказательство. Утверждение вытекает из теоремы 7.37,
следствия 7.38 и того, что %ь (с) = ул (be) для любых Ь, с ? Fg.D
Пусть (ж? — х\, ..., Хп — хп) —идеал в кольце fq \x\, ...
..., а'„], состоящий из всех многочленов вида
f I (А",, . . ., Хп) (х? - *,) + h gn (ДГЬ ¦ . •, Хп) D - Хп),
где g,, ..., gnf F9[jfi, ..., ха]. Тогда лемму 7.2 можно обоб-
обобщить следующим образом.
7.40. Лемма, (i) Для любого многочлена f ?Fqlxu ..., хп]
найдется единственный многочлен g?Fqlxt, ..., хп\, имеющий
по каждой переменной степень, меньшую чем q, и такой, что для
любого набора (с\, ..., с) G F? выполняется равенство f (с\, ...
••¦¦ О := gfa, .... сп).
(ii) Ясли /, g?F, Uj, ..., жп1, шо равенство f (q, .... с„) =
ff (i'i, ¦.., с„) выполняется для всех наборов (с\, ..., сл) ? F?
?И'«да и только тогда, когда f = g (mod (x\ — хи ..,, х1} — хп))-
(iii) Для любого многочлена f ?Fq[x1, ..., хп\ найдется един-
единственный многочлен gCFgUj, ..., хп), имеющий по каждой
временной степень, меньшую чем q, и удовлетворяющий соотно-
соотношению f = g (mod (A~xu ..., х9п - хп)).
, Ц°КАзательство. (i) Существование многочлена g следует из
G.20). Для доказательства единственности достаточно показать,
что если многочлен g^fq[xb ..., хп] имеет по каждой пере-
переменной степень, меньшую чем q, и g {сг, ..., сп) — 0 для всех
"иборов (си ...,сп)?Т", то g является нулевым многочленом.
Доказательство проведем индукцией по п. Заметим, во-первых,
что случай п = 1 следует из леммы 7.2. Пусть и > 2, и предпо-
предположим, что утверждение доказано для всех многочленов от и — 1
466 Гл. 7. Перестановочные многочлены
переменных. Если многочлен g€.Fg[xlt ..., хп\ является мно-
многочленом указанного вида, то мы можем записать
+ hi (х2, .... хп) xi + • • ¦ + Л?_1 (хъ .... хп) х\~\
где каждый из многочленов Л/ имеет по каждой из переменных
хг, ,,., хп степень, меньшую чем q. Пусть зафиксирован набор
(С2, ¦¦¦, сп) € $Т~Х¦ Из соотношения g (с, с2, ..., с„) — 0, кото-
которое должно выполняться для всех с ? fq, мы получаем систему
из q однородных линейных уравнений относительно hj (c2, . .
,.., сп), 0<^.j^q—1. Определителем этой системы является отлич-
отличный от нуля определитель Вандермонда, Отсюда следует, чю
hj (с2, ..., сп) = 0 для всех 0<!/^^ — 1, а в силу того, что
набор (с2, .... cn)?fq~l выбран произвольно, по предположе-
предположению индукции получаем, что все hj равны 0 и, следовательно,
(и) Пусть J = (х\ — х\, ..., хчп — хп). Если / = g (mod J),
то очевидно, что / (с1г .... сп) — g (clt ,.., с„) для всех набо;")и
(си .... сп) € fq- Обратно, пусть f (а, ..., сп) = g(ci, .... ¦-.!
для всех (й, .-., сп) € F». Соотношение х\ = х? (mod J), \
<^. i <C «. k > m ^j- 1, которое выполняется тогда, когда ':
= m (mod (^— 1)), позволяет получить многочлены flt g1. .-'ш
многочлены по каждой из переменных имеют степень, мены \ к»
чем q, и удовлетворяют соотношениям / = /, (mod J), i:
= gi (mod J). Тогда
..-, Cn) = g(Cu ¦¦ -, Cn) =gi(C1, . ..,< ¦
для всех наборов (ci, .... cn) ? fq. Теперь из п. (i) следует, чм)
к = й и. значит, f = g (mod J).
(iii) Этот пункт следует из пп. (i) и (и).
Однозначно определенный многочлен g из леммы 7.40 и i>
называется результатом приведения многочлена / по мод- 'К>
идеала J и обозначается / (mod (xf — хи ..,, х„ — л:„)). Теп-рь
мы можем следующим образом обобщить теорему 7.6.
7.41. Теорема. Пусть р — характеристика поля fq. Toedu
система многочленов flt ..., fn ? Fq \хг, ..., хп\ является орто-
ортогональной системой над полем fq тогда и только тогда, когда
выполняются следующие два условия:
(i) в многочлене
/Г1 ... r'(modD-*b .... х%-хп))
коэффициент при х\~1 ... xfT1 не равен 0;
§ 5. Перестановочные многочлены от нескольких переменных 467
(jj) в многочлене
fx1 ... fnn (modD - хи ..., х"п - хп))
коэффициент при х"~1 ... х1Г1 равен 0, если U, ¦¦-, tn — целые
числа, удовлетворяющие условиям 0 ^ tt ^ q — 1, l-^t-^я,
не все ti равны q — 1 и хотя бы одно tt не сравнимо с 0 по модулю р.
Доказательство. Пусть многочлены flt ..., fn образуют орто-
ортогональную систему над полем Fq, и пусть tlt ..., tn € Z — такие
числа, что 0 <; ti <; q '— 1 для 1 ¦<; i <^ п. Если через g обозначить
многочлен
fl1 ... fnn(тойD-*1, -.., xl-Xn)),
то в силу леммы 7.40 и формулы G.20) многочлен g (xlt ..., хп
имеет вид
g(xu ..., хп) = 2 (/(х ... fnn) (с, сп) •
. A - (Xl - Cl)«-i) ... A - (хп - спу~1).
Тогда коэффициент при х\~х ... хчп~1 в многочлене g равняется
(-1)" 23 (/'Х ••¦ f
= (-1)" 23 h (съ ¦ • •, с»)'1 • • • /»(ci, • • •, сп)'*
= (-1)"
(
Условия (i) и (ii) следуют теперь из леммы 7.3.
Обратно, пусть выполнены условия (i) и (ii). Тогда в силу
проведенных выше вычислений из (i) следует, что
Л Ш'1 ••¦ ЯГ1)(ci. ..., сп)ф0, G.21)
(«I. ....«„NF?
а из (ii) вытекает, что
23 (/i1 •¦¦ fnn)(ci сп) = 0
(«i.-.«»)€Fj
3*
468 Гл. 7. Перестановочные многочлены
для tu ..., /„ из условия (и). Используя равенство
? f(cu .... cnyf=( ? /(ClJ ...,cnyy>\
получаем, что
2 (/I1 .-. /пп)(й, .... с„) = 0 G.22)
для tlf ..., tn ? Z, таких, что О -С ti <! q — 1 при 1 <С i -^ я,
не все (t равны q — 1 и не все t-t равны 0. Равенство G.22) триви-
тривиально выполняется для tL = ... — tn = 0. Для того чтобы по-
показать, что многочлены /lf .... /„ g fq lxu .,., xn] образуют
ортогональную систему над полем F9, достаточно показать, что
N (аи .., ап) Ф0 для любого набора (аи .,., ап) ? Fq, где
через N (аъ .... ап) обозначено число решений системы уравнении
/1 (*1> • • • > хп) = а1> ¦ ¦ ¦ > /п (*1> • • • i *п) = ап.
в F?. Покажем, что если N (аи ..., ап) рассматривать как эле-
элемент поля Fq, то он отличен от 0. В самом деле, в силу G.21)
и G.22)
N (аи :..,ап) = (-1)" ? П [(ft (cu ..., Сп)-а-)^-Ц =
[/Г1 ... ГЧ
не все /j=<?—1
= (-1)" S (Л • • ¦ /Г1)(си .-.,сп)Ф0.
Результат, получаемый в следующей теореме, может быть ис-
использован для построения новых перестановочных многочленпн
на основе уже известных.
7.42. Теорема. Пусть многочлен f?fq \xx, ..., хп] имеем
вид
f(xlt ..., xn) = g(x1, ..., xm)-\-h(xm+i, ..., хп), 1<т<я.
Если хотя бы один из многочленов g или h является перестановоч-
перестановочным многочленом над полем Fq, то и f является перестановочным
§ 5. Перестановочные многочлены от нескольких переменных 469
многочленом над полем Fq. Если же q — простое число, то верно
и обратное утверждение.
Доказательство. Если а ? fq, то обозначим через N (а) число
решений уравнения / (х\, .... хп) = а в F?, а через L (а) и М (а)
обозначим соответственно число решений уравнений g (xlt ...»
хт) "•= а ип (xm+u ¦¦-, хп) = а. Тогда
N(a)= ? LiajMictz). G.23)
Предположим для определенности, что g является перестановоч-
перестановочным многочленом над полем fq. В этом случае для всех а ? fq
справедливо равенство L (а) = qm^x, и тогда из G.23) следует,
что
N (а) = qm~l 2 М (аг) = qm-\qn-m ^ qn-\t
Последнее означает, что / (хъ ..., хп) является перестановочным
многочленом над полем fq.
Пусть р — простое число, eCf (хг, ..., хп) — перестановочный
многочлен над полем Тр. Мы хотим показать, что в этом случае
или g, или Л является перестановочным многочленом над полем
?р. Из G.23) получаем, что
1] L (аг) М (аг) = р"~1 для любого элемента а ? Fp.
Если выписать эти равенства для значений а = —1,0, 1, ...
.., р — 2, то получится система линейных уравнений относительно
М (р — 1), М (р — 2), ..., М @). Пусть матрица этой системы
имеет вид (d,7)i<,r./<p, dti = L (i + j — 2), где » -f- / — 2 бе-
берется по модулю р. Пусть D — det (dt]). Если D Ф 0, то система
имеет единственное решение, а именно М (р—1) = М(р — 2) = ...
. — М @) = р"—-1. Отсюда следует, что Л является переста-
перестановочным многочленом над полем tp. Предположим, что D = 0.
Воспользуемся тем фактом, что D = +R, где R — результант
двух многочленов G (х) = хр — \ и Я (х) = L @) х»-1 -f
г L A) хр~2 + ... -f- L (р — 1) над полем рациональных чисел.
Тогда G (х) и Н (х) имеют общий корень в некотором расширении
поля рациональных чисел. Но G (х) = (х — 1) Qp (x), где Qp (x) —
неприводимый р-круговой многочлен (см. теорему 2.47 (i)), a
Н A) = рт ф q Следовательно, Qp (x) делит Я (х), т. е. Я (х) =
~~ L @) Qp (x). Приравнивая соответствующие коэффициенты, по-
получаем L (а) = L @) = pm-~l для всех а ? Fp; отсюда следует,
что §¦ является перестановочным многочленом над полем рР-П
7,43. Теорема. Если q — степень простого числа (но не про-
шое число), то для любого натурального т, 1 < т < п, найду-
тся такие многочлены g (хг, ..., хт) и h (хт+\, ..., хп) над по-
470 Гл. 7. Перестановочные многочлены
лем Fq, что g (х1г ..., хт) + h (хт+1, ..., хп) является переста-
перестановочным многочленом над полем Fq, но при этом ни g, ни h не
являются перестановочными многочленами над Fq.
Доказательство. По условию теоремы q = ре, где р — про-
простое число, а е>1. Порядок аддитивной факторгруппы Fq/Fp
равен г = ре~1. Построим систему элементов ах, ,.., ar ? fq,
выбирая в качестве at представителей из всех смежных классов.
Пусть L и М имеют тот же смысл, что и в теореме 7.42. В силу
G,20) существуют многочлены g (хг, ..., хт) и Л (л;т+1, ..., хп)
над полем Fq, такие, что L (а}) = A/r) qm для 1 < / < г, L (с) — 0
для всех остальных элементов с ? Fq и М @) = М A) = ...
... — М (р — 1) = (\/р) qn~m, a M (d) — 0 для всех остальных
элементов d ? fq. Ни g (xt, ..., хт), ни Л (jcm+i, ..., хп) не явля-
являются перестановочными многочленами над полем fq. Однако
g + Л — перестановочный многочлен над Fg. Действительно, лю-
любой элемент а ? fq можно единственным образом представить
в виде а = ctj -\- Ь, где 1 <J / <; г и b g FP. Отсюда следует, что
общее число решений уравнения
g(xlt ..., хт) + Л(хта+1, ..., хп) = а = aj + b
в FJ? равняется
Следующая теорема устанавливает полезное взаимно одно-
однозначное соответствие между ортогональными системами над по-
полем Fq, образованными т многочленами от и = mk переменных,
и перестановочными многочленами от k переменных над полем F, -t-
7.44, Теорема. Если п, т, k — натуральные числа, связанные
соотношением п — mk, то существует взаимно однозначное соот-
соответствие между ортогональными системами над полем Fq, '•«-
торые состоят из т многочленов над полем Fq, имеющих по каж-
каждой из п переменных степень, меньшую чем q, и перестановочными
многочленами над полем Fqm, имеющими по каждой из к перемен-
переменных степень, меньшую чем qm.
Доказательство, Пусть {щ, ,.., што) — базис векторного про-
пространства Е = F т над полем Fq. Каждый набор (yi, ..-, v*) G ^-'
однозначно определяет набор {с\, ..., сп) ? F? по формуле
Yi = C((_1)m+i«»i + С (,-_1) т+2®2 + ' • • +C,-m0)m, 1 <:1<Й.
Пусть многочлены flt ..., fm имеют по каждой из п переменных
степень, меньшую чем q, и образуют при этом ортогональную
систему над полем Fq- В силу G.20) и леммы 7.40 найдется един-
§ 5, Перестановочные многочлены от нескольких переменных 471
ственный многочлен g над полем Е, имеющий по каждой из своих к
переменных степень, меньшую чем qm, и такой, что
g(Yi. ¦••' Ya) = /i(c1' ¦•¦> Сп)Щ-\ h/m(Ci, •¦¦, сп)<ат G.24)
для всех наборов (уи ..., ук) ? Ек. Тогда g является переста-
перестановочным многочленом над полем Е. Действительно, для любого
а= щщ + ... + ат®т € Е, где ах, ..,, ат ? fq, равенство
а (уlt ¦¦-, Уk) = a выполняется тогда и только тогда, когда
"i • (t'i, , cn) = а}, где 1 -< / < т. Таким образом, имеется
'дп-т = (дп)к-1 решений вида (ylt ..., yh). С другой стороны, если
а данный перестановочный многочлен над полем Е, имеющий
по каждой из своих к переменных степень, меньшую чем qm, то
ортогональная система многочленов flf ..'., fm над полем fq
рассматриваемого типа может быть однозначно восстановлена
с помощью многочленов над полем F9. имеющих по каждой из
своих переменных степень, меньшую чем q. Это многочлены fu ...
..., /ш из формулы G.24), которые представляют собой координатные
функции относительно базиса \щ, ..., <йт\. ?
В частном случае m = n мы получаем такое простое следствие
из доказанной выше теоремы:
7.45. Следствие. Существует взаимно однозначное соответ-
соответствие между ортогональными системами над полем fq, кото-
которые состоят из п многочленов над полем Fq, имеющих по каждой
из п своих переменных степень, меньшую чем q, и перестановочными
многочленами от одной переменной над полем F ,„ имеющими сте-
степень, меньшую чем qn.
Нетривиальные примеры ортогональных систем можно полу-
получить с помощью следующего обобщения многочленов Диксона
(см. § 2). Для п ? N, а ? fq и (си ¦¦., сп) ? Fq рассмотрим
многочлен
г (съ .... сп, г) = гп+1 - ctzn + сггп~х -\
1- (— 1 )•» спг + (- 1 )«+'а G.25)
от переменной г над полем fq. Этот многочлен имеет п + 1 не
обязательно различных корней pif .... рп+1 в подходящем рас-
расширении полярд. Пусть теперь k ? IN; положим
rk (cu ... сп, г) = (г _ pf)... (г
Тогда
rft(?i, •• ., сп, 2) =
- 2"+'- a, (pf, .... p*+I)^+--.+(-lf+p р+)
где аг есть j-й элементарный симметрический многочлен от п + 1
переменных (ср. с примером 1.74). Так как а,- {и\, ..., икп+\)
472 Гл. 7. Перестановочные многочлены
является симметрическим многочленом от переменных ии ..., un_lt
то существуют многочлены gi'\ ,.,, gi"+IS от п + 1 переменных
над Z, такие, что
чаем
Учитывая, что р, pn+1 — корни многочлена G.25), полу-
полуMPi, .... pn+i) = Cj Для 1 <«<«>
"n+l (Pi. • • •. Pn+l) = Pi • • • Pn+1 = 0.
так что
of(pf, ..., P«+i) = fiio(c,, .... cn, а) для 1<
Подставляя полученные выражения в rk (clt ..., сп, г),
гк (си . . ., с„, z) = z"+1 ~ g[l) (с, сп, а) г" -|
•¦• + (-l)n gi'Hci, .... с„, a)z + (-l)"+V.
Многочлены
gil)(xi, . .., хп, а), 1 </<п,
являются многочленами от xt, ..., хп, а над Z и, таким образом,
являются многочленами над полем 1г'д от переменных жъ ..., .v».
Последние многочлены называются многочленами Диксона от п
переменных над нолем fq. Это определение можно сделать со-
содержательным для любого коммутативного кольца R с единицей.
Выберем а ? R. Если п — 1, то многочлен g[l) (x\, а) совпадает
с многочленом Диксона от одной переменной, определенным фо>
мулой G.6).
Явное выражение для многочленов gi" (x\, ..., хп, а) можно
получить из формулы Варинга (см. теорему 1.76). Например,
для п — 2 получаем
Через gh (а) обозначим систему, состоящую из многочленов
gii} (а'ь .."., хп,а), ..., gin) (xi, ..., хп, а). Справедливо следую-
следующее обобщение теорем 7.16 и 7.8 (и).
7.46. Теорема. Если а ? F?, то система gk(o) является
ортогональной системой многочленов над полем fq тогда и только
тогда, когда НОД (k, qs — 1) = 1 для всех s — 1, 2, .... и + 1-
Комментарии 473
Система gh @) ортогональна над fq тогда и только тогда, когда
НОД (k, Qs — 1) — I для всех s = 1, 2, ..., п.
Как было установлено выше, каждый многочлен, входящий
в ортогональную систему gh (а), является перестановочным много-
многочленом от п переменных над полем fq. Другой класс перестано-
перестановочных многочленов от нескольких переменных можно получить,
рассматривая линейные и квадратичные многочлены. Заметим,
во-первых, что свойство быть перестановочным многочленом над
полем Tq инвариантно относительно любых преобразований пере-
переменных вида
и
xt = 23 <*цУ1 + bu I <<» < п, G.26)
где аи, bj ? Fq, I < i, j < и, а матрица (ау) невырожденна.
Назовем два многочлена от и переменных над полем Fg эквива-
эквивалентными, если один из них может быть преобразован в другой
с помощью преобразований переменных вида G.26).
7.47. Теорема. Пусть f?Fq lxlt ..., хп\, причем deg (/) <2
и п ;> 2. Если q нечетно, то f шляется перестановочным много-
многочленом над полем fq тогда и только тогда, когда он эквивалентен
многочлену вида g (xlt ..., xn_i) + хп для некоторого g?
??qlx1, ..., д^п-il- Если же q четно, то f является перестано-
перестановочным многочленом над полем fq тогда и только тогда, когда
он эквивалентен или многочлену вида g(xlt ..., xn_i) + xn, или
многочлену вида g (хи ..., *„_0 -f х\, где g (xx, ..., xn-i) — не-
некоторый многочлен из fq\xx, ..., хп_х\.
Пусть q нечетно, f?Fqlxu .... хп] и deg (/) < 2, и пусть
А — матрица коэффициентов квадратичной формы, соответствую-
соответствующей многочлену / (см. § 2 гл. 6). Пусть А' — расширенная мат-
матрица, образованная матрицей А и еще одним столбцом, содержа-
содержащим коэффициенты линейных членов. Тогда из теоремы 7.47
легко следует, что / является перестановочным многочленом над
нолем F, в том и только том случае, если rg (A1) > rg (A).
Комментарии
§ 1. Изучение перестановочных многочленов как таковых
было начато в работе Эрмита (Hermite [2]), где рассматривался
случай конечных простых полей. Отдельные результаты из числа
первых в этом направлении можно также обнаружить в работах
Jordan С. [2], Serret [2]. Перестановочные многочлены произ-
произвольного конечного поля впервые изучались в работе Диксона
Dickson [2]. Основные результаты, полученные в этой работе,
можно также найти в монографии Dickson [7, part I, ch. 5].
474 Гл. 7. Перестановочные многочлены
История развития этой области до 1922 г. освещена в книге
Dickson [42, ch. 18]. Результаты современных исследований по
перестановочным многочленам представлены в книге Lausch,
Nobauer [I, ch. 4].
Тот факт, что любую функцию из fq в fq можно представить
с помощью многочлена над полем F4, был впервые отмечен Эрмитом
f'Hermite [2]) для простого q (см, также Weber [4, sec. 180],
Zsigmondy [31) и Диксоном (Dickson [2]) для произвольного q.
В той же работе Диксон показал, что условие 'deg (g) < q поз-
позволяет однозначно определить многочлен g, представляющий дан-
данную функцию. Различные методы получения многочлена g в яв-
явном виде обсуждались в работах Bernstein 121, Gill, Jacob [1],
Szekely, Mure^an [1], Wesselkamper [II. В работах Zsigmondy
13], Dickson [2] и Carlitz [86] было отмечено, что перестановочные
многочлены поля Тд можно получать, применяя интерполяцион-
интерполяционную формулу к функциям, осуществляющим перестановки эле-
элементов множества Fr Полиномиальные представления для функ-
функций из Fp в себя, принимающих лишь значения 0 и 1, рассматри-
рассматривались в статьях Carlitz [123] и Cazacu [1]. Весселькампер
(Wesselkamper [21, [3]) изучал аналогичные представления для
функций, определенных на подмножествах поля Fq.
Конечные поля являются полиномиально полными в смысле
следующего определения: кольцо R называется полиномиально
полным, если любая функция из R в себя может быть представлена
многочленом над R. Кемпнер (Kempner [1]) показал, что среди
колец вычетов Z/ (т) полиномиально полными являются только
конечные простые поля (см. также Bernstein [2]). В работе Redei,
Szele [I ] доказан более общий результат, а именно что среди не-
ненулевых коммутативных колец полиномиально полными являются
только конечные поля, а Хайслер (Heisler [1]) доказал тот же
результат, но без требования коммутативности. Общее обсуждение
полиномиально полных алгебраических структур можно найти
в книге Lausch, Nobauer [I, ch. II. Пользуясь более общим по-
понятием многочлена над кольцом R, Броули и Карлиц (Brawley,
Carlitz [2]) показали, что каждую функцию из R в себя можно
представить таким многочленом тогда и только тогда, когда R
является тривиальным кольцом порядка 1 либо 2 (т. е. когда
ab - 0 для а, Ь ? R) или когда R является кольцом пХп-мат-
риц над конечным полем F^ для некоторого п ? N. Полиноми-
Полиномиальные функции над кольцами последнего типа изучались также
в статье Brawley [51.
Некоторое внимание уделялось изучению функций, отобража-
отображающих кольцо Rm = Z/(m) в себя. Если т — составное число, то,
согласно отмеченному выше результату Кемпнера (Kempner [1]),
не всякую такую функцию можно представить многочленом над
кольцом Rm, Критерии для существования такого представления
Комментарии . 475
получены в работах Kempner [1], Redei, Szele 11], 12], Carlitz
[97]. Множество Рт всех функций из кольца Rm в себя, которые
могут быть представлены многочленами над Rm, само является
кольцом относительно обычных операций сложения и умножения
(Пункций. Простое применение теоремы о гомоморфизме колец
показывает, что кольцо Рт изоморфно факторкольцу Rm [x]/Im,
где /„, = |/ € Rm Ix 11/ (а) = О для всех а ? Rm}. Многочлены,
содержащиеся в идеале 1т, называются вычетными многочленами
по модулю т. Различные свойства этих многочленов изучались
в работах Aizenberg, Semion, Citkin 11], Kempner Ц], Litzin-
ger [1], Niven, Warren [1], Redei, Szele [1], Singmaster [1].
Дальнейшие результаты, касающиеся полиномиальных функций
над Rm, можно найти в работах Keller, Olson Ц], Nobauer [1],
Redei, Szele [2], Свойства вычетных многочленов над произволь-
произвольными кольцами рассматривались в книге Lausch, Nobauer [I,
eh. 31.
Одно из утверждений леммы 7,3, а именно что из условия (i)
следует условие (И), уже содержалось в лемме 6.3. Обратное ут-
утверждение, даже в более сильной форме, можно найтн в работе
Carlitz, Lutz [1]. Критерий, сформулированный в теореме 7.4,
для конечных простых полей был получен в по существу эквива-
эквивалентной форме в работе Эрмита Hermite [21; для случая произ-
произвольных полей он был получен Диксоном в работе Dickson 12].
В работе Rogers L. J. [2] отмечено, что в случае простого числа q
условие (и) необходимо проверять лишь для 1 < t < (q — l)/2,
однако при составном q это не так (см. Dickson 17, sec. 961).
Критерий Эрмита в явной форме, выраженный через коэффициенты
многочлена /, для простых полей fp приводится в работе London,
Ziegler [I ]. Следствие 7.5 было получено Диксоном для простого
числа q в работе Dickson [1], а для общего случая — в работе
Dickson [2]. Доказательство достаточности в теореме 7.6 можно
найти в статье Carlitz, Lutz [11. Другие критерии того, чтобы
многочлен был перестановочным многочленом, содержатся в ра-
работах de Polignac [1], Raussnitz [11, Vaughan T. P. [1].
По вопросу приложений перестановочных многочленов ко-
конечных полей к конечным проективным геометриям мы отсылаем
читателя к § 3 гл. 9 и комментариям к этому же параграфу.•
В работе Levine, Brawley [21 показано, как перестановочные
многочлены конечных полей можно использовать для построения
криптографических систем.
Перестановочные многочлены колец вычетов Z/(m) рассма-
рассматривались в работах Nobauer [1], [21, [41, [8] (см. также
Cavior [51, Keller, Olson [11, Niven [21, Zane [1]). Теорию пере-
перестановочных многочленов над некоторыми обобщениями колец
вычетов можно найти в книге Lausch, Nobauer [I, ch. 41. В ра-
работе Brawley, Carlitz, Levine [2] (см. также Matthews R. [1]),
476 Гл. 7, Перестановочные многочлены
а также в статье Brawley [4] изучались такие многочлены над f1,,,
которые индуцируют перестановки в кольце nXn-матриц над но-
нолем lFg, а в работе Brawley [3] рассматривался более общий слу-
случай, когда поле fq заменяется произвольным коммутативным коль-
кольцом с единицей, Човла (Chowla Р. [1]) и Корзатт (Corzatt HI)
исследовали многочлены, индуцирующие перестановки множеств
целых чисел. Рациональные функции, индуцирующие переста-
перестановки элементов поля fq, рассматривались в работах Redei 1-1 |,
Carlitz [86], Cohen S. D. [5], [6], [9], Gwehenberger 111,
Nobauer [81, [111. Последний автор рассматривал также случай
кольца вычетов Z/(m).
Перестановочные многочлены поля f q характеризуются свой-
свойством V (/) = q, где V (/) — мощность множества {/ (с) | с ?
? Fg}, т. е, множества значений, которые может принимать
данный многочлен f(x)?fq [xl на всех элементах поля fq.
Величина V (/) изучалась и для произвольных многочленов / (х) ?
€ Fg [*1- Для многочленов малых степеней можно получить
точные формулы, выражающие величину V (/); случаи линейных
и квадратичных многочленов являются совсем простыми, форму-
формулы для кубических многочленов и многочленов четвертой степени
специального вида можно найти в работах von Sterneck [1] и
Kantor [11. Човла поставил задачу получить оценки для величин
V (/) (Chowla S. [7]). Бёрч и Свиннертон-Дайер в работе Birch,
Swinnerton-Dyer [1] получили следующий замечательный ре-
результат: если f (x) ? Fg lx] — многочлен степени п ^> 1, который
является «общим» многочленом (в том смысле, что группа Галуа
уравнения / (х) = у над полем Fq(y), где fq — алгебраическое
замыкание поля (Fq, является симметрической группой Sn), то
п '—I
причем остаточный член зависит только от величины п. Для п :~ 4
результат аналогичного типа упоминается в работе Chowla S.
[7], а его элементарное доказательство можно найти в работе
McCann, Williams [21. Несколько раньше Бёрча и Свиннертона-
Дайера Утияма (Uchiyama [21) доказал следующий более слабый
результат: если п 1> 4 и многочлен [/ (х) — / (у) ]/(х — у) является
абсолютно неприводимым, то V (/) > q/2 при условии, что харак-
характеристика поля fq достаточно велика. Вильяме (Williams К- S.
[4]) оценил число «общих» многочленов над полем Fq фиксиро-
фиксированной степени п и получил точные формулы для малых п. Ре-
Результаты о среднем значении величины V (f), когда f пробегает
все нормированные многочлены фиксированной степени п над
полем tq, удовлетворяющие условию / @) = 0, можно найти в ра-
работах Carlitz [61], Uchiyama [31, [61; см. также Carlitz, Uchiyama
Комментарии 477
[1], Williams К. S. [4]. Случай, когда фиксированы коэффици-
коэффициенты при более высоких степенях переменной в многочлене / (х),
исследовался в работах Uchiyama [5] и Cohen S, D, [8]. Указан-
Указанный выше результат Бёрча и Свиннертона-Дайера был распро-
распространен Козном (Cohen S. D. [5]) на случай рациональных функ-
функций. Если / ? Fglx] и deg (/) = «> 1, то из того, что уравнение
/ (х) — d ? F4 может иметь в- Fq не более п решений, легко
вытекает, что V (/) > l(q—l)/nj + 1. В статье Carlitz, Lewis,
Mills, Straus [1 ] показано, что если V (/) = \_(д — 1)/«J + 1 1> 3,
а п строго меньше характеристики поля fq, то q = 1 (mod n),
и / имеет вид / (х) = а (х — Ь)п + с, где а, ,Ь, с ? fq. Дальней-
Дальнейшие обобщения этого результата можно найти в работах Mills [1 ],
Mordell [16] и Williams К. S. [5].
Число значений многочлена / (х) ? ?р1х], которые встреча-
встречаются в множествах вида {1, 2, ..., h), I <! h < p, изучалось
в статье McCann, Williams [1] в случае, когда f (x) — кубиче-
кубический многочлен, и в статье Williams К. S. [5] в случае, когда
многочлен [/ (х) — / (у) }/(х — у) не имеет нелинейных абсолютно
неприводимых делителей, Коэн (Cohen S. D. [7]) оценил среднее
число значений многочлена f??q lx], содержащихся в тех или
иных подмножествах поля fq. Полученные им результаты усили-
усиливают и обобщают более ранний результат Вильямса (Williams К- S,
[151). В случае когда / ? fp lx] — кубический многочлен, ко-
который не является перестановочным многочленом поля Fp, Mop-
делл в работе Mordell [19] получил оценку для наименьшего
неотрицательного вычета k по модулю р, не встречающегося в ка-
качестве значений многочлена /, а Бомбьери и Дэвенпорт (Bombieri,
Davenport [1]) нашли аналогичную оценку для общего случая.
В работе Tietavainen [5] указанная общая оценка улучшается:
а именно показано, что k < С (п) р1/2, где константа С (л) за-
зависит только от п = deg (/), Для случая п. — 4 результат Бомбь-
Бомбьери и Дэвенпорта был также получен Хадсоном (Hudson M, [1])
и Вильямсом (Williams К. S, [2]). Морделл в работе Mordell [191
также показал, что если / — многочлен положительной степени
над простым полем ?р, то минимальный неотрицательный вычет /
по модулю р, встречающийся среди множества значений много-
многочлена /, удовлетворяет неравенству / < npl/2 log р. Аналогичный
результат для случая произвольного поля Fq был получен в ра-
работе Cavior [4], а затем улучшен в статье Tietavainen [4]. Другие
результаты, касающиеся распределения элементов, входящих
в множество значений многочлена /, можно найти в работах Ма-
WL. E. [1], McCann, Williams [2], Tietavainen [7], Willi-
Williams К. S. [6], [8] и Перельмутер [8].
Связь между двумя многочленами над полем Fp, имеющими
одинаковую степень и совпадающие множества значений, иссле-
исследовалась в работе Williams К. S. [10] для случая квадратичных
478 Гл. 7, Перестановочные многочлены
многочленов и в работе McCann, Williams [3] для случая куби-
кубических многочленов. Связь между многочленами и рациональными
функциями, для которых заданы соотношения между множествами
их значений, исследовалась в работах Cohen S. D. [6], [9] и
Fried [1], [5]. Диксон в работе Dickson 123] положил начало
изучению таких многочленов над полем Fq нечетной характери-
характеристики, для которых множество принимаемых ими значений состоит
из одних квадратов, отличных от нуля, а Карлиц (Carlitz [29])
показал, что если такие многочлены / удовлетворяют условию
deg (/) = п. и q > (п — IJ, то / = g2 для некоторого g ? fq [x\.
Дальнейшие исследования в этом направлении, а также некоторые
приложения можно найти в работах Carlitz [77], [89], Redei
[21, Birch, Lewis [21. Результат, аналогичный результату ра-
работы Carlitz [29] и касающийся многочленов над полем fq, зна-
значения которых являются отличными от нуля d-ми степенями при
q = 1 (mod d), был получен в работе Carlitz [38]. В работе Ri-
benboim [1] изучались аналогичные многочлены над полями ал-
алгебраических функций с элементами конечного поля в качестве
констант. Редей в книге Redei [11, ch. 1] описал многочлены
над полем fq со значениями из некоторого подполя поля fq.
В статье Tanner [2] рассматривались такие многочлены над про-
простым полем нечетной характеристики, что / (с) = +1 для всех
с € П.
§ 2S Теорему 7.8 можно найти, например, в монографии Дик-
Диксона Dickson [7, part I, ch. 51. Цикловая структура отображе-
отображений, задаваемых одночленами, изучалась в работе Ahmad [11.
Теорема 7.9 встречается в работе Mathieu [11. Другие критерии
для того, чтобы линеаризованные многочлены являлись переста-
перестановочными многочленами, приводятся в § 3 настоящей главы и
в упр. 7.13 (см. также работу Carlitz [93]). В статье Payne [1]
ставится задача определить все такие 2-многочлены L (х) над
полем fq характеристики 2, что как L (х), так и L (х)/х являются
перестановочными многочленами поля fq. Теорема 7.10 доказана
Роджерсом (Rogers L. J. [11) для случая конечного простого поля
и Диксоном (Dickson [2]) для случая произвольного конечного
поля F9. Другие результаты о перестановочных многочленах ука-
указанного типа и родственных им многочленах можно найти в ра-
работах Ahmad [2], Dickson [7, part I, ch. 51, Fillmore [11, Noba-
uer [8], Wells [1], [31. Таблица нормализованных перестановоч-
перестановочных многочленов над Fq степени не выше 5 взята из книги
Dickson [7, part I, ch. 5]. Классификация таких перестановочных
многочленов, а также нормализованных перестановочных много-
многочленов степени 6 для поля рв нечетной характеристики проводится
в работе Dickson [21. Для случая простого числа q эти результаты
были получены еще в работе Dickson [11. Другой подход к ана-
анализу случая, указанного в 12-й строке табл. 7.1, для простых q
Комментарии 479
приводится в статье Chowla S, 123]. Классификация некоторых
типов перестановочных многочленов степеней 7 и 8 проведена
соответственно в работах Dickson [2] и Cavior [I |. Перестановоч-
Перестановочные многочлены поля Тд для q — 5 приведены в работе Betti U ],
для q = 7 — в работах Hermite[2], Brioschi И ], 13 J, Rogers L. J.
[1], Dickson 12], а для других малых значений q — в работах
Brioschi [1] и Dickson 111, 17, part I, ch, 51.
Теорема 7.11 получена в работе Niederreiter, Robinson [21.
Доказательство достаточности в этой теореме с условием ц (а2 —
— 1) = 1,. замененным его эквивалентной формой из замечания
7.12, было получено ранее в работе Carlitz [83]. Простая форма
этого условия приводится в упр. 7.9. Исследования перестано-
перестановочных многочленов поля fq вида xm+l + ах, где m — делитель
числа q — 1, а также некоторых других аналогичных многочленов
можно найти в работах Carlitz [83], [93], Carlitz, Wells 111,
Lausch, Nobauer [1, ch. 41, Niederreiter, Robinson [21, см.
также упр. 7.11. Теоремы 7.13 и 7.14 получены Карлнцом (Car-
(Carlitz [93]). В статьях Brioschi [1] и Grandi [2] изучались пере-
перестановочные многочлены поля рр вида xp"{~s + ax{p~l~~m1'2.
Вопрос о том, когда многочлен вида xp~s + axip~~s+{I2 + bx
может быть перестановочным многочленом простого поля FP,
исследовался в статьях Brioschi [2] и Grandi 111. Другие частные
случаи многочленов изучались в работах Carlitz [88] и Grandi [21.
Многочлены Диксона были введены в работе Dickson [2],
см. также монографию Dickson [7, part I, ch. 51. Теорема 7.16
получена в работе Nobauer [10]. Ослабленный вариант этого кри-
критерия установил ранее Диксон (Dickson [2]). Другое доказатель
ство достаточности приводится в статье Williams К- S. [25]
Следствие 7.17 было отмечено Човлой в работе Chowla P. [2]
Информацию о суммах Бревера можно найтн в примечаниях
к § 5 гл. 5 настоящей книги. Многочлены Диксона можно вы-
вычислять с помощью простой рекуррентной процедуры (см. упр.
7.15). Дальнейшие результаты, связанные с многочленами Дик-
Диксона, содержатся в работах Dickson 12], [7, part I, ch. 5],
Lausch, Nobauer [1, ch. 4], Williams K. S. [25]. Многочлены
Диксона как перестановочные многочлены кольца Z/(m) изуча-
изучаются в статьях Lausch, Muller, Nobauer [1], Mfiller [1], Nobauer
[81, [12]. Взаимосвязь между рациональными перестановочными
функциями (см. Redei [41) и многочленами Диксона была уста-
установлена Карлицом в работе Carlitz [86]. В статьях Carlitz [791
н Rosenberger [1] указаны некоторые приложения многочленов
Чебышёва. Общую информацию о многочленах Чебышёва можно
найти в книге Rivlin [1].
Значение многочленов Диксона особенно возрастает в связи
с известной гипотезой Шура (Schur [41) о том, что любой много-
многочлен / ? Z [х], являющийся перестановочным многочленом про-
480 Гл. 7. Перестановочные многочлены
стого поля fp (т. е. рассматриваемый по модулю простого р)
для бесконечного множества простых чисел р, может быть пред-
представлен в виде композиции двучлена ахп + b и многочлена Дик-
Диксона. Шур в своей работе Schur [4] рассмотрел случай, когда
deg (/) является простым числом, улучшив тем самым результат
Диксона из работы Dickson 12]. В работе Wegner [1] исследо-
исследовался случай, когда deg (/) является или произведением двух
нечетных простых чисел, нли степенью нечетного простого числа.
Курбатов [3] исследовал случай, когда deg (/) является или про-
произведением не более чем четырех нечетных простых чисел, или
произведением степеней двух нечетных простых чисел. В другой
своей работе [1] он показал, что если число п = pt ... pk, где
pi — различные нечетные простые числа и ни одно из pt не может
быть представлено как линейная комбинация с неотрицательными
целочисленными коэффициентами остальных чисел ри то гипотеза
Шура справедлива для случая deg (/) = п. И наконец, справедли-
справедливость гипотезы Шура была полностью доказана в работе Fried
12], где также был установлен аналогичный результат для много-
многочленов над полями алгебраических чисел. Более того, в этой
работе было показано, что если многочлен / ? Q \х\ является
композицией двучлена ахп + b и многочлена Диксона и если
степень deg (/) взаимно проста с числом 6, то многочлен / является
перестановочным многочленом поля fp для бесконечного мно-
множества простых чисел р (см. также упр. 7.34). Близкими по те-
тематике являются также работы Schur [4 1, Wegner [3], Fried [41,
[5], Niederreiter, Lo [1] и Курбатов [2]. Если R— коммута-
коммутативное кольцо с единицей и / ? R [х], то множество всех (про-
(простых) идеалов / кольца R, таких, что /, рассматриваемый по мо-
модулю /, является перестановочным многочленом факторкольца
R/J, называется (простым) перестановочным спектром много-
многочлена /. Эти понятия были впервые рассмотрены для случая R —
= Z в работах Nobauer [8], [9], а в общем случае в книге Lausch,
Nobauer [I, ch. 4]. Дополнительные замечания для случая R -= Z
можно найти в работе Narkiewicz [2]. Детальное исследование
случая, когда R является кольцом целых в поле алгебраических
чисел, было проведено Нидеррайтером и Ло в работе Niederrei-
Niederreiter, Lo [1].
Карлиц в работе Carlitz [82] рассмотрел перестановочные
многочлены поля Fq нечетной характеристики р, удовлетворяю-
удовлетворяющие дополнительным условиям
' (f(a) - /(&))<«-'>/2 = (а - 6)<«-'Ч ^ Ь$$ч,
и показал, что если deg (/) < q, то / (х) — схр/ + d, где с Ф^) -
ненулевой квадрат в поле fq, ad — произвольный элемент эг)го
поля (см. также работу Goldberg [1 ]). Обобщение на случай мно-
многочленов от нескольких переменных приводится в работе Carlitz
Комментарии 481
1841. Макконнел (McConnel [1]) обобщил результаты Карлица
из работы Carlitz 182] в другом направлении и доказал результат,
который можно сформулировать следующим образом: если G —
собственная подгруппа группы fq, то многочлен / ? fq [х],
deg (/) < Ц, удовлетворяет соотношению
(a-^b)-1(f(a)-f(b))?G- для любых a, b?fq, афЬ,
тогда и только тогда, когда / можно представить в виде / (х) =
cxpi I d, где с ? G, d ? fq и pi = 1 (mod m), a m является
индексом подгруппы О в группе fq. Другие доказательства этого
результата приводятся в работе Bruen [1] для случая простого
с/ и в работе Bruen, Levinger [1] для общего случая. В работах
McConnel [1]—[3] эти результаты обобщаются на\случай много-
многочленов от нескольких переменных. В статье Grundhofer [1] опи-
описываются все многочлены / ? fq [x], которые удовлетворяют
соотношению
(a-b)(f(fl)-f(b))?G, a, b?Wq, афЬ.
В работе Glazek [1] изучались перестановочные многочлены
поля Fqy коммутирующие со всеми автоморфизмами этого поля.
Если оба многочлена f (х) н / (х) + х являются перестановоч-
перестановочными многочленами поля р„, то f (x) называется вполне переста-
перестановочным многочленом поля fq. Это понятие впервые было введено
в статье Niederreiter, Robinson [I ] и было детально изучено в ра-
боте Niederreiter, Robinson [2]. Човла и Цассенхаус (Chowla,
Zassenhaus [1]) выдвинули следующую гипотезу: если f (x) ?
6 Z [x], deg (/) ^ 2, р —достаточно большое простое число и
многочлен f (x), рассматриваемый по модулю р, является пере-
перестановочным многочленом поля f р, то многочлен f (х) + ах ни
при каком а ? f*p не является перестановочным многочленом поля
F,,. В этой же работе выдвинута еще одна гипотеза: если f ? Z [х],
^е§ (/) ^ 2, р — достаточно большое простое число и многочлен
/ (х), рассматриваемый по модулю р, не является перестановочным
многочленом поля рР, то найдется элемент с ? fp, такой, что
многочлен f (x) + с является неприводимым над полем fp.
§ 3. Теорема 7,18 была получена Карлицом в работе Саг-
' itz, [49], Для случаев q = 5 и q = 7 этот результат был получен
раньше соответственно в статьях Betti Ц] и Dickson [2]. Аналог
теоремы 7.18, связанный с транспозициями в произвольных по-
•ях, приводится в работе Carlitz [90]. С теоремой 7.18 также свя-
связано понятие квазиперестановочного многочлена (crude permuta-
permutation polynomial) (см. Carlitz [93], а также упр. 7.22—7.24). Тео-
Ремы 7.19 и 7.21 получены в статье Wells [4 ]. Результат упр. 7.19
можно найти в работе Fryer [1 ]. Образующие групп Sg+i и Aq+1,
выраженные через рациональные функции над полем fq, приве-
приведены в работе Wells [4]. Подгруппы группы Sp, p — простое
4 Зак. 243
482 Гл. 7. Перестановочные многочлены
число, порожденные некоторыми перестановочными многочленами
поля ?р, изучались в статье Fryer [2].
Теоремы 7.22 и 7.23 получены в работе Nobauer [10]. Группа
G(l) исследовалась также в книге Lausch, Nobauer [I, ch. I I.
В статье Hule, Miiller [1 ] охарактеризованы группы G (а), являю-
являющиеся циклическими. Группы, аналогичные группам G (а), но
связанные с кольцами вычетов Z/(m), изучались в работах NoSau-
ег [2] (в случае а = 0) и Lausch, Miiller, Nobauer [1 ], Miiller [1 I,
Nobauer [12] (в случае а— ±1). Обобщения на случай несь'ки,-
ких переменных см. в примечаниях к § 5.
Группа Бетти—Матье впервые появляется в работах Hott i
[2], [3] и Mathieu [1). Затем эта группа была исследована Дик-
Диксоном (Dickson [2], [5], [7, part I, ch. 51). Им же в ргн'шп*
Dickson [2] получен следующий критерий: для того чтобы / (х\
являлся перестановочным многочленом поля f г, необходим о и
достаточно, чтобы det А Ф 0, В этой же работе установлено тн-
имно однозначное соответствие между элементами группы Бетти--
Матье и группы GL (г, fq). Тот факт, что эти две группы ню-
морфны (теорема 7.24), впервые установлен в работе Bottem.i ! 11
(см. также Carlitz [91 ]). Изоморфизм между алгеброй линеариш-
рованных многочленов вида G,12) и алгеброй гХг-матриц над
полем fq установлен в статьях Brawley, Carlitz, Vaughan III
и Vaughan Т. Р. [1]. Ограничение этого результата на грчииу
обратимых элементов снова приводит к теореме 7.24. В упомянуто»
выше работе Brawley, Carlitz, Vaughan [1] также изучалась
группа перестановочных многочленов, для которых коэффициенты
as в G.12) берутся из данного подполя конечного поля f r
Группы перестановочных многочленов, образуемые много-
многочленами из теоремы 7.10, а также связанными с ними многочле-
многочленами, изучались в работе Ahmad [2], Fillmore 11 ], Lausch, Noba-
Nobauer [1, ch. 4], Wells [1], [31. В работе Carlitz, Hayes [1] my-
чалась группа всех перестановочных многочленов поля f гс коэф-
коэффициентами из поля р^; Мэттьюз (Matthews R. [3]) перенес ли
результаты на случай многочленов от нескольких переменных.
Нидеррайтер и Робинсон (Niederreiter, Robinson [2]) показали, чну
перестановочные многочлены поля fq, q нечетно, вида ях*'+"/2 Ь*
образуют группу относительно композиции по модулю xfl х.
Результаты упр. 7.20 и 7.21 (а также аналогичные результаты,
показывающие, что большинство перестановок, которые перомо-
щают лишь очень малое число элементов поля fq, представляются
многочленами степени q — 2) можно найти в работе Wells 1Г>|.
Другие группы перестановочных многочленов кольца 2 i"D.
помимо упомянутых выше, изучались в статьях Nobauer [1]. {И.
Из свойства G.10) следует, что многочлены Диксона gk (x. и)
с а = 1 коммутируют относительно операции композиции так ж<?|
Комментарии 483
как и многочлены с а = 0, Этот результат породил многочислен-
многочисленную литературу, посвященную изучению многочленов /, g над
полем F, удовлетворяющих условию / (g (х)) = g (f (х)). Клас-
Классическими работами в этой области являются работы Fatou [1],
Julia [I 1, Ritt [2], в которых изучается случай, когда F является
полем комплексных чисел. Важным является понятие V-цепи,
означающее последовательность многочленов над полем F, не
являющихся постоянными и коммутирующих друг с другом,
в которой содержатся многочлены всех положительных степеней.
В статье Block, Thielman [1] описаны все V-цепи над полем
F --- R. Якобсталь (Jacobsthal [3]) показал, что с точностью
до естественной эквивалентности все V-цепи над полем F харак-
характеристики 0 —- это V-цепи, образованные многочленами Диксона
с а --= О или а = 1. Аналогичный результат для произвольного
поля F получен в работе Kautschitsch [1] (см. также Lausch,
Nobauer [I, ch. 4], Lidl [7]). Многочлены над полем Fq, комму-
коммутирующие с данным линейным многочленом, описаны в работе
Mullen [13]; случай нормированных линейных многочленов был
изучен ранее в статье Wells [6 ]. Другие результаты о многочленах,
коммутирующих с данным многочленом, можно найти в работах
Bertram [1], Воусе [1], Kautschitsch 12], Класс рациональных
функций над полем Fq, коммутирующих относительно операции
композиции, появляется в статье Redei [4].
Разложение многочленов на неразложимые многочлены (от-
(относительно операции композиции) и исследование свойств такого
разложения проводились в статье Ritt [1] для случая многочле-
многочленов над полем С. Обобщение на случай полей характеристики О
было сделано в работах Engstrom [3], Levi [1] (см. также Fried,
MacRae [1], Dorey, Whaples [1], Lausch, Nobauer [1, ch. 4]).
Некоторые результаты для полей ненулевой характеристики
содержатся также в работе Fried, MacRae [1]. Случай алгебраи-
алгебраически замкнутого поля изучался в статьях Fried [3] и Клячко [1 ].
Здесь снова важную роль играют многочлены Диксона. С этой
тематикой также связаны работы Bremner, Morton [I ], Crampton,
Whaples [1], Dorey, Whaples [1], Lausch, Nobauer [1, ch. 3],
Nobauer [71. Операция композиции многочленов по модулю
хд — х была использована в работах Carlitz [47], Cavior [2],
Mullen [1], [3], [5] при определении отношений эквивалент-
эквивалентности для многочленов по модулю х9 — х над полем fq.
§ 4. Исключительные многочлены были введены Дэвенпор-
том и Льюисом в работе Davenport, Lewis [2]. В этой же работе
была выдвинута гипотеза о взаимосвязи этих многочленов с пере-
перестановочными многочленами. В статье MacCluer [1] доказано,
что если / ? F9 1x1 — исключительный многочлен и deg (f) < 2р,
где р — характеристика поля fq, то / является перестановочным
многочленом поля fq. Коэн в работе Cohen S. D. [5] показал,
4*
484 Гл. 7. Перестановочные многочлены
что этот результат остается справедливым и без ограничений на
степень многочлена /, а также доказал аналогичный результат для
рациональных функций над полем fq. Ослабленный вариант
теоремы 7.27 может быть получен более элементарными методами;
в приводимом доказательстве теоремы 7.27 мы следуем работе
Williams К. S. [91. Лемма 7.26 была получена тем же автором
в работе Williams К- S. [51. Теорема 7.29 для случая поля fp, p
простое, была доказана Дэвенпортом и Льюисом (Davenport,
Lewis [2]). С небольшими изменениями этот же результат содер-
содержится в работах Bornbieri, Davenport [1] и Tietavainen [51.
Вильяме (Williams К- S. [51) заменил условие, что / является
перестановочным многочленом поля fp, условием V (/) — р 4
-\- О A). Теорема 7.29 в общем случае была доказана в работе
Hayes [51, в этой же работе была получена теорема 7.31. Более
сильный вариант теоремы 7.29, справедливый также и для рацио-
рациональных функций над полем fq, был получен в работе Cohen S. D.
[51. Известной задачей в этой области является вопрос о том,
остается ли следствие 7.32 справедливым, если условие НОД
(п, q) = 1 заменить условием НОД B, q) - 1. Если величина п
является степенью числа 2, то ответ, безусловно, положительный.
Единственными другими случаями, для которых опубликовано
решение этой задачи, являются случаи н= 6 (Dickson [21) и
п — 10 (Hayes [5]); обсуждение вопросов, связанных с этой за-
задачей, можно найти в работе Lidl [7].
В работе Fried [51 проведена классификация исключительных
многочленов и рациональных функций над конечными полями.
Вильяме (Williams К- S. [241) выразил число абсолютно непри-
неприводимых делителей многочлена [/ (х) — / (у) ]/(х — у) для до-
достаточно большого q через число пар (а, Ь) ? F|, о. ф Ь, для
которых f (a) = f (b). Он же в работе Williams К. S. [25] для
случая, когда / является многочленом Диксона, получил разло-
разложение многочлена [/ (х) — / (у) ]/(х — у) над алгебраическим за-
замыканием поля Fg, откуда, в частности, можно вывести условие,
при котором многочлен Диксона является перестановочным мно-
многочленом поля Fq- Дальнейшие замечания об исключительных
многочленах можно найти в работе Davenport, Lewis [21. Вильяме
(Williams К. S. [5]) назвал многочлен / экстремальным много-
многочленом индекса k, если I/ (х) — / (у) ]/(х — у) не имеет абсолютно
неприводимых делителей, кроме k линейных делителей, и пока-
показал, что V (}) = p/(k + 1) + 0A) для таких / ? FP U1 при
достаточно большом р. Частичное обращение этого утверждения
было доказано ранее в работе Mordell [16]. Все эти результаты
были улучшены и обобщены Коэном (Cohen S. D. [51).
§ 5. Тот факт, что каждое отображение из F? в fq можно
представить многочленом от п переменных над полем F4, имеющим
Комментарии 485
по каждой из переменной степень, меньшую чем ц, для случая
простого q был доказан Вебером (Weber [5, sec. 77]). Единствен-
Единственность такого представления (также для случая простого q) была
доказана Гурвицом (Hurwitz [1 ]). В общем случае как предста-
представимость, так и единственность такого представления (см. формулу
G.20) и лемму 7.40) были установлены Диксоном (Dickson [241).
Результаты, связанные с теоремой единственности, содержатся
в работе Mather [1]. Анализ взаимосвязи между отображениями
и многочленами можно также найти в работе Joly [51. Удобные
методы для вычисления полиномиального представления данного
отображения можно найти в работе Bernstein, Debely [11, а
также в более поздних работах Benjauthrit, Reed [1], [2],
Pradhan 11], Takahashi [1], Thayse [1], Yin [1]. В статьях
Varnum [11 и Lehti [1 ] для этих же целей предложены матричные
методы. Вычислительная сложность подобных, интерполяционных
процедур, а также сложность вычисления значений многочленов
была исследована в работе Strassen II], 12]; частный случай
элементарных симметрических многочленов изучался Михайлю-
ком [11, 12]. Выражения для характеристических функций под-
подмножеств из fp приводятся в работах Cazacu [21, [3] (см. также
Rosenberg [3]). В статье Pizzarello [11 приводится критерий того,
что многочлен от нескольких переменных над полем fq является
нулевым многочленом над некоторым конечным расширением
поля Fq- Отображения, определенные на подмножествах мно-
множества Fp, исследовались в работах Bernstein 12], Bernstein,
Debely [1]. Отображения из (Z/(m))n в Z/(m), а также их пред-
представления многочленами изучались в работах Bernstein II],
Bernstein, Debely [11, Carlitz [971, Kempner [21, Rosenberg [2].
Полиномиальные отображения подобного типа, являющиеся ну-
нулем по некоторому модулю, были исследованы в работах Kempner
12], Lausch, Nobauer И, ch. 31, Litzinger [11, Nobauer 13].
В статье Nobauer [5 ] показано, что все коммутативные кольца R
с единицей, для которых любое отображение из Rn в R может
быть представлено многочленом из R [х], являются конечными
полями. Это обобщает результат из работы Redei, Szele [1],
полученный для п = 1 (см. также Ceccherini [1]). Броули и
Карлиц (Brawley, Carlitz [2]), пользуясь обобщением понятия
многочлена, показали, что если R — ненулевое кольцо, ап^2,
то любое отображение из Rn в R можно представить одним из
таких «многочленов» от п переменных над кольцом R тогда и только
тогда, когда R является кольцом матриц над некоторым конечным
полем. Возможность представления симметричных функций от
счетного числа переменных многочленами над полем fq от счет-
счетного числа переменных изучалась в статье Metropolis, Nicoletti,
Rota [Ц.
486 Гл. 7. Перестановочные многочлены
Перестановочные многочлены от нескольких переменных и
ортогональные системы впервые в явном виде появились в рабо-
работах Карлица (Carlitz [471, [59]). Изучение этих понятий было
затем продолжено в статье Nobauer [61. Ортогональные системы
с п = 2 и простым q изучались Курбатовым и Старковым [1).
Ортогональные системы с т = п называются также перестановоч-
перестановочными полиномиальными векторами, так как они индуцируют пере-
перестановки элементов множества ftq. Теорема 7.36 принадлежит
Карлицу (Carlitz [59]); доказательство, приводимое нами, следует
работе Niederreiter [2|. Теорема 7.37 также была получена Кар-
лицом (Carlitz 147)), а следствие 7.39 принадлежит Нидеррай-
теру (Niederreiter [2]). Другие критерии того, что система орто-
ортогональна, можно найти в упр. 7.47 или в работе Niederreiter [2];
критерии для перестановочных многочленов содержатся в работе
Mullen [2|. В случае конечных простых полей можно привести
специальный критерий перестановочности многочленов (см. упр.
7.32 и работу Niederreiter [3]), Теорема 7.41 является улучше-
улучшением одного результата Лидла и Нидеррайтера (Lidl, Niederrei-
Niederreiter [1]). Первая часть теоремы 7.42 получена в работе Nobauer
[61; вторая часть для случая т = 1, п == 2 была доказана в ра-
работе Lidl [11, а для общего случая — в работе Lidl, Niederreiter
[11. Последняя содержит также доказательство теоремы
7.43. Теорема 7.44 доказана Нидеррайтером (Niederreiter [2]);
следствие 7.45 принадлежит Карлицу (Carlitz [47]), а в случае
/1=2 и простого q оно было также получено Курбатовым и Стар-
Старковым [1]. Эти результаты позволяют перечислить все ортого-
ортогональные системы, образованные многочленами над полем fq,
имеющими по каждой из переменных степень, меньшую чем q.
Это было сделано в статьях Carlitz [59], Niederreiter [2]. В ра-
работе Fried [4] теорема из статьи McCluer [1 1 перенесена на пере-
перестановочные полиномиальные векторы, причем показано, что
мы получаем перестановочный полиномиальный вектор в случае,
если система многочленов является в некотором смысле «исключи-
«исключительной». Формулы для выражения перестановок элементов мно-
множества F? через перестановочные полиномиальные векторы при-
приводятся в статье Lidl [2]. Перестановочные многочлены и пере-
перестановочные полиномиальные векторы над кольцами Zf(tn) изу-
изучались в работах Lidl [31, Nobauer [31, [61; случай колец более
общего вида рассматривался в книге Lausch, Nobauer [I, ch. 4].
Аналогичные вопросы для рациональных функций от нескольких
переменных рассматривались в работе Lidl [31.
Многочлены Диксона (или многочлены Чебышёва) от несколь-
нескольких переменных были введены в работе Lidl, Wells [11; там же
была доказана теорема 7.46. Явные формулы, а также производя-
производящие функции и рекуррентные формулы для многочленов Дик-
Комментарии 487
сона от нескольких переменных можно найти в работах Eier,
Lidl [И, Lidl [81, Lidl, Wells [1]. Ортогональные системы
gh (а) из теоремы 7.46 замкнуты относительно операции компо-
композиции тогда и только тогда, когда а = 0, а = 1 или а = —1.
Этот результат доказан Лидлом и Уэллсом (Lidl, Wells [1]) и
обобщает теорему 7.22. Теоретико-групповые исследования, ана-
аналогичные теореме 7.23, содержатся в статьях Lidl [4], [6],
Lidl, Miiller [11, Matthews R. [11. Для случая п = 2 системы
gk (а), для которых якобиан отличен от нуля во всех точках про-
пространства F|, были охарактеризованы в работе Lidl [5]; Мэттьюз
(Matthews R. [2]) проделал то же самое для случая произволь-
произвольного п. Предположение Лидла и Уэллса (Lidl, Wells [11), в со-
соответствии с которым многочлены Диксона от нескольких пере-
переменных играют ту же роль, которую играют многочлены Диксона
от одной переменной в гипотезе Шура (Schur [41) (см. приме-
примечания к § 2), было опровергнуто в статье Fried [41. Системы мно-
многочленов Диксона от нескольких переменных изучались также
н работе Matthews R. [21.
Теорема 7.47 получена Ниддеррайтером (Niederreiter [1]).
В случае нечетного ц этот же результат был независимо получен
Лидлом (Lidl [1]). Аналогичный критерий, сформулированный
п терминах рангов матрицы квадратичной формы и расширенной
матрицы, можно найти в работе Niederreiter [31. Муллен (Mul-
(Mullen [71, [81, [101) изучал локальные перестановочные многочлены
над полем F9 от п ^ 2 переменных, удовлетворяющие следующему
условию: если зафиксировать любые значения из fq для любых
и — 1 переменных, то получающийся при этом многочлен от од-
одной переменной является перестановочным многочленом поля fq.
Системы образующих для групп перестановочных полиномиаль-
полиномиальных векторов относительно операции композиции были получены
в работах Lidl [21 и Lidl, Niederreiter [11. Мэттьюз (Matthews R.
131) изучал группу перестановочных полиномиальных векторов
над полем f* с коэффициентами из fq. Приложение ортого-
ортогональных систем над полем FP к изучению силовских р-подгрупп
симметрических групп Spn появляется у Калужнина [11. Гудетейн
(Goodstein [11) показал, как с помощью операции композиции
получить все многочлены от нескольких переменных над полем fq.
Теория соответствий и допустимых многочленов, приводимая
в упр. 7.26—7.31, была развита Карлицом в работах Carlitz
11151, [1171, [1211. Понятие смежного класса для системы много-
многочленов (см. упр. 7.49) появляется в работе Niederreiter [21. Клас-
Классы эквивалентности для многочленов и систем многочленов из
f,, [xlt ..., хп\, рассматриваемых по модулю идеала (xf — xv, ...
• ••, Хп — хп), изучались Карлицом в работах Carlitz[47, [591,11101
(см. также Cavior [6], Mullen [11, [21, [31, (91). Аналогичные
488 Гл. 7. Перестановочные многочлены
понятия для матриц над конечными полями рассматривались
в работах Brawley, Mullen [1), Chao [1], Mullen [4], [6], 1111,
112].
Множества значений, принимаемых многочленами от несколь-
нескольких переменных, стали предметом специального исследования.
Кантор (Kantor [11) получил формулу для числа значений, при-
принимаемых произвольной квадратичной формой над полем fp,
где р — нечетное простое число. В статье Williams К- S. [31 полу-
получено достаточное условие для того, чтобы множество значений
многочлена над полем fq совпадало с F7. Асимптотические ре-
результаты о распределении значений многочленов над конечными
простыми полями были получены в работах Tietavainen [10],
Williams К. S. [7]. Частный случай элементарных симметриче-
симметрических многочленов был подробно изучен в работах Aberth [1],
Akhtar [I ], Fine [11. Другие результаты, связанные с элементар-
элементарными симметрическими многочленами, можно найти в работе
Birch [1|. Нижние границы для числа значений, принимаемых
диагональными формами, были получены в работах Chowla,
Mann, Straus [1 ] (см. также Mann [3, ch. 21) и Diderrich, Mann 111.
Диксон (Dickson [23], [28]) изучал однородные многочлены,
множества значений которых содержат только квадраты или
только кубы. Некоторые частные результаты о множествах значе-
значений, принимаемых системами многочленов, можно найти в рабо-
работах Redei [1), Redei, Weinert 111 и Перельмутер [71. Вопросы,
связанные с множествами значений, принимаемых многочленами,
имеют также непосредственную связь с вопросами решения урав-
уравнений в конечных полях (см. гл. 6).
[Потематике гл. 7 имеются также работы Nobaiier 11*], [2* ].—
Перев. 1
Упражнения
7,1. Пусть Ь С Wq —фиксированный элемент поля. Положим
i—0
Показать, что /& (а) = 0, если а ? F4, а ФЬ и /ь (Ь) — 1. Пользуясь формулой
( q — 1 \
G.1), показать, что ( . ) = ( --!)' (mod р), где 0 ^J i^ g - 1, up — харак-
характеристика поля F(/. (Замечание. Приведенное выше сравнение для биномиальных
коэффициентов можно также вывести из равенства (х - 1)' ~' -- (xq — \)/(х — 1).)
7.2. Доказать, что если q — простое число, то в условии (ii) теоремы 7.4
достаточно-рассматривать целые /, заключенные в пределах 1 ^ 1 ^ (q — l)/2.
Привести пример, показывающий, что в случае, если q -_ ре, е > 1, это не так-
7.3, Пусть q -= km + 1, k, m ? N. Показать, что многочлен хт^~{ является
перестановочным многочленом поля Fo тогда и только тогда, когда НОД (т лс
+ 1,А)= I.
Упражнения 489
7.4. Доказать, что многочлен вида хр — ахр над конечным полем Fq ха-
характеристики р является перестановочным многочленом поля Fq тогда и только
тогда, когда элемент а не является (р* —¦ р )-й степенью никакого элемента из F*q.
7.5. Пусть р — характеристика поля Fq, r ? IN, d — положительный дели-
делитель числа рг — 1 и а ? Fq. Показать, что многочлен вида x(xd — о)'р ~x''d
является перестановочным многочленом поля Fq тогда и только тогда, когда
элемент а не является d-й степенью никакого элемента из F*.
7.6. Пусть а ? Fq, q нечетно, г ? IN и НОД (г, </ — 1) = 1. Доказать, что
многочлен вида хг(ж''г'~" — аJ является перестановочным многочленом поля Fq
тогда и только тогда, когда а ф ±1.
7.7. Найти все перестановочные многочлены поля F7 вида хг(х3 — аJ,
где г ? IN, а ? F7.
7.8. Показать, что многочлен б*8 + Ъах3 + а2х является перестановочным
многочленом поля Fq, если q = ±2 (mod 5), а о — произвольный элемент поля Fq-
7.9. Показать, что многочлен х"+1'^2 + ах ? Fq \x] является перестановоч-
перестановочным многочленом поля Fq нечетной характеристики тогда н только тогда, когда
а -- 2 (с + с'1), где с — некоторый элемент из F^, с2 ф 1.
7.10. Найти наименьшее число М, такое, что для любого конечного поля Fq.
где q нечетно и q ^ М, найдется такой элемент а ? F1*, что многочлен вида
х<ч1 Н/2.|_ ах ЯВЛяется перестановочным многочленом поляТд-
7.11. Пусть т > I —делитель числа q — 1. Доказать, что
является перестановочным многочленом поля Fq тогда и только тогда, когда
(_о)т ф\ и
\(а г- с') (о -4- сО~1](?-1)/т ф с1'-' для всех 0 < / < / <т,
[.и- г —фиксированный первообразный корень т-Й степени из единицы в поле Г5.
7.12. Пусть q — р'', где р — нечетное простое число, а т = (q — l)/2.
Доказать, что НОД { ( , ), /»)=-¦! тогда и только тогда, когда / = 60 + 6jp +
... + fte-iPe~', где 0 ^ bt ^ (р — 1).'2, а 0 </<« — 1.
7.13. Пусть
п—1
1=0
Показать, что /(ж) является перестановочным многочленом поля Г
только тогда, когда
НОД S с/
7.14. Доказать, что если характеристика поля отлична от 2, то многочлен •
Диксона gk (x, а) можно формально представить в виде
— Ух% ~ Аа
490 Гл. 7, Перестановочные многочлены
7.15. Показать что многочлены Диксона удовлетворяют следующим равен-
равенствам :
8i (х, а) = х, g2 (х, а) = х2 — 2а,
gh+1 (x, a) = xgh (x, a) — agh_1(x, а) для ?>2.
7.16. Показать, что многочлены Диксона удовлетворяют соотношению
gk {ах, а2) = akgh (x,\).
7.17. Пользуясь обозначениями теоремы 5.46, показать, что суммы Kiu
стермана удовлетворяют равенству
/c(x(s); о, 6) = -&(-*. я),
где gs (x, q) — многочлены Диксона над полем действительных чисел.
7.18. Доказать, что знакопеременная группа Aq порождается своими под-
подгруппами Al.q и Qq (см. § 3 настоящей главы).
7.19. Пусть р — нечетное простое число. Доказать, что знакопеременная
группа Ар порождается перестановками, соответствующими многочленам х + 1
и тхр~2, где т — любой ненулевой элемент поля F р, являющийся квадратом,
если р = 3 (mod 4), и любой элемент поля Fp, не являющийся квадратом, если
р = ! (mod 4). В противном случае эти перестановки порождают всю симме-
симметрическую группу Sp.
7.20. Показать, что если q > 2, то любую транспозицию элементов поля Fn
можно единственным образом представить с помощью многочлена степени q — 2.
7.21. Доказать следующие утверждения: (i) если q = 2 (mod 3), q > 2,
то любой 3-цикл на fq можно единственным образом представить с помощью
многочлена степени q — 2; (ii) если q = 1 (mod 3), то все 3-циклы на Tq (кром«
2q (q — 1)/3 штук) можно представить с помощью многочленов степени q — 2,
7.22. Для конечного поля Тq, q > 2, определим квазиперестановочный много-
многочлен поля IFg как многочлен, являющийся композицией конечного числа много-
многочленов над Wq, которые или являются линейными многочленами, или равняются
xq . Доказать, что квазиперестановочный многочлен над полем Fq является
перестановочным многочленом расширения F r тогда и только тогда, когда !,
НОДBГ— 1, <7 —2)= 1.
7.23. Пусть / — квазиперестановочный многочлен поля fq, q > 4. Доказать,
что существует бесконечно много расширений Т г поля F_, для которых / яв-
является перестановочным многочленом, и бесконечно много расширений того же .
поля, для которых f не является перестановочным многочленом.
7.24. Показать, что квазиперестановочный многочлен поля fq, приведен-
приведенный по модулю xq — х, не обязательно является квазиперестановочным. Кроме
того, показать, что различные квазиперестановочные многочлены после при-
приведения по модулю xq — х могут совпадать.
7.25. Доказать, что группа G A) является гомоморфным образом группы
П (—1), где группы С (а) определены в теореме 7.23.
7.26. Под соответствием Г в поле Fg мы понимаем пару разбиений Ао.
.4,, .... Ah и Вв, Въ .... Bh поля Fg, где Л,- ф 0, Bt=f= 0, 1 < t < fc. Целое
число k называется рангом соответствия Г. Многочлен h Q Fq \x, у] называется
допустимым для Г, если А (а, Ь) = 0 при (о, Ь) ? Ai X Bi для некоторого i,
I =5$ 1^ ^ k, и h (а, Ь) Ф 0 в остальных случаях. Доказать, что допустимый много-
многочлен для Г вида h (х, у) — f (х) —g (у) существует тогда и только тогда, когда
k Ф q — 1 или k = q — 1 и при этом или Ао = 0, или В„ = 0. Доказать, что
если k = q — I, Ао ф 0, 5„ Ф 0, то допустимый многочлен для Г имеет вид
h(x, у) = A -f <*)«-') A -g(yf~]) + (/(х) ~g(y))"-],
где fug — некоторые многочлены над полем Fq.
Упражнения 491
7.27. Многочлен h ? Fg lx, у] называется допустимым, если он является
допустимым для некоторого соответствия в поле F(/. Два допустимых многочлена
называются эквивалентными, если они являются допустимыми для одного и того
же соответствия. Доказать следующие утверждения:
(i) два допустимых многочлена ht (х, у) и ht (х, у) являются эквивалентными
тогда и только тогда, когда
М*. У)Ч~Х = М*. У)* linod(x»-jc, f-y)Y,
(ii) число классов эквивалентности допустимых многочленов равно числу
соответствий.
7.28. Доказать, что если многочлены h{ (x, у) и h2 (x, у) являются допусти-
допустимыми для некоторого соответствия Г, то Л (х, у) ~ hi (x, у) Л2 (х, у) тоже является
допустимым многочленом для этого соответствия.
7.29. Доказать, что если многочлен Л (х, у) = g (х — у) является допустимым
для некоторого соответствия Г в поле Fq и число различных корней многочлена g
в поле Fq равняется целому числу т > 0, то т делит q, а ранг соответствия Г
равняется q!m.
7.30. Пусть f (х) и g (у) — многочлены над нолем Fq. Доказать, что много-
многочлен h (х, у) = / (х) g (у) является допустимым многочленом в каждом поле F .
г — 1,2, .... тогда и только тогда, когда хотя бы один из многочленов / или
g является постоянным.
7.31. Пусть /j (x), /2 (Jf). gi (у), g-z (у) — многочлены над полем Fq. Доказать,
что многочлен А (х, у) == /, (х) gl (у) -f- f2 (x) g2 {у) является допустимым в поле
? г, г = I, 2, ..., тогда и только тогда, когда НОД(/,,/2)= НОД (gt,g2)= '¦
7.32. Пусть / ? Z [х, х„), ар— простое число. Назовем / перестано-
перестановочным многочленом по модулю р, если он, рассматриваемый как многочлен над
полем Fp, является перестановочным многочленом над полем Fр. Доказать, что f
является перестановочным многочленом по модулю р тогда и только тогда, когда
каждое из сравнений
f (х{, ..., хп) = a (mod р), а = 0, 1, .... р — 1,
имеет хотя бы одно решение и
ai ан=°
для всех t ..= 1, 2, ..., р — 1.
7.33. Доказать, что многочлен ax" + b ? Z [.t], a ?= 0, является пере-
перестановочным многочленом по модулю р для бесконечного множества простых
чисел р тогда и только тогда, когда п нечетно.
7.34. Пусть gft (х, а) — многочлен Диксона над кольцом Z , причем а ф 0.
Показать, что g^ \х, а) является перестановочным многочленом по модулю р
для бесконечного множества простых чисел р тогда и только тогда, когда
ПОД (ft, б)==1.
7.35. Доказать, что многочлен f ? Z [х] является перестановочным много-
многочленом по модулю р для всех простых чисел р тогда и только тогда, когда / —
линейный многочлен со старшим коэффициентом, равным ±1.
7.36. Пусть 1 ^ т < п. Доказать, 'что многочлен / € Fl! U,, ..., хт] яв-
является перестановочным многочленом над полем Fq тогда и только тогда, когда
°н, рассматриваемый как элемент кольца Fq [xx, ..., хп], также является пере-
перестановочным многочленом над тем же полем.
7-37. Доказать первую часть теоремы 7.42, используя теорию характеров.
7.38. Пусть / 6 Fg [*i, ..,, хт] — перестановочный многочлен над полем
""</. и пусть g ? Fq [*m+i, ¦¦, хп], где 1 sg; m < п. Показать, что многочлен
1 Хп) =
492 Гл. 7. Перестановочные многочлены
является перестановочным многочленом над полем Fq тогда и только тогда, ког,ла
уравнение g(xm+l, ..., хп) — 0 не имеет решений в F'J~m.
7.39. Доказать, что многочлен
является перестановочным многочленом над полем Fq, если для некоторогч
I, 1 «5 i'^ л, выполняются соотношения а;- ф 0 н НОД (ki, q — I) = I.
7.40. Показать, что если f ? Fq \xt, ...,xn] является перестановочным
многочленом над полем Fq, т° перестановочными многочленами над этим полем
являются и все многочлены вида ft/+ с, где 6 ? р1*, с ? F ,
7.41. Показать, что если / ? Fq \xl,...,xn] является перестановочным
многочленом над полем Fq, то для всех k ? IN, удовлетворяющих условие>
НОД (k, q — I) = 1, многочлены /также являются перестановочными много-
многочленами над полем Fq.
7.42. Пользуясь обозначениями, введенными после теоремы 7.47, доказать,
что многочлен / ? Fq[x1 xn] является перестановочным многочленом нал
полем Fg тогда и только тогда, когда rg (Л') > rg (A).
7.43. Пусть f,g ? Fq [*i *n-iJ» и пусть число решений уравнения
/ (xi, ..., *h_i) =-0в F^~' не делится на q. Пусть многочлен А ? Fq \xx, .... хп]
таков, что Л(С[, ...,сп_,, хп) при любом выборе элементов Cj, ...,fn_i ? F;
является перестановочным многочленом от одной переменной хп поля Fq. По-
Показать, что тогда многочлен
не является перестановочным многочленом над полем Fq.
7.44. Пусть / ? Fg f*i, ..., Xn-il и ПРИ этом число решений уравнения
/ (я,, ..., хя_,) = 0 в F^ делится на q, а многочлен h такой же, как в упр. 7.43
Показать, что существует многочлен g ? Fq [x,, ..., хп„,], такой, что
является перестановочным многочленом над полем Fq.
7.45. Показать, что многочлен Диксона g^2) (x, у, а) задается формулой
1=0 /=0
7.46. Доказать обобщение теоремы 7.23 для многочленов Диксона от дву.\
переменных.
7.47. Доказать, что система многочленов /,, ..,,/,„ ? Fq \хг, .... хп], 1 «¦-
^ т sg п, является ортогональной над полем tq тогда н только тогда, когда
для всех перестановочных многочленов g(ylt ..., ут) от т переменных над по-
полем Fq многочлен
8 (/l(*l. • • •• Хп), ¦ ¦ ¦, fm(Xi, ¦ ¦ -, Хп))
является перестановочным многочленом от п переменных над полем Fo.
7.48. Доказать, что для любой системы многочленов /х, .. , /n+1 ? Fq [х,, ...
.. , хп] найдутся такие элементы blt ..., bn+1 ? Fg, не все равные 0, что bjx -f- ¦••
... + bn+lfn+1 не является перестановочным многочленом над полем Fg.
Упражнения 493
7.49. Смежным классом относительно системы многочленов [г, ..,, fm ?
? ?q \х\, ..-, хп], 1 ^ /я sj и, называется непустое подмножество пространства
р", элементы которого отображаются данной системой многочленов в единствен-
единственный элемент пространства FJ1. Пусть {/г ..., fm} является ортогональной систе-
системой над полем Fg. Доказать, что для многочлена g ? Fq [xlt .... хп) следующие
два условия эквивалентны: (i) многочлен g является перестановочным многочле-
многочленом над полем Гя, причем все смежные классы относительно системы {fx fm)
совпадают со смежными классами относительно многочлена g; (и)g ~ A(/j, ...
..., fm) (mod(xf — xv ...,** — жп)) для некоторого перестановочного многочлена
Л от т переменных над полем Fq.
Глава 8
Линейные рекуррентные последовательности
Большую важность ввиду их многочисленных применений
имеют последовательности над конечными полями, каждый член
которых, будучи элементом основного поля, некоторым простым
образом зависит от предшествующих ему членов. Такие последо-
последовательности легко получать с помощью рекурсивных процедур,
что, безусловно, является преимуществом с точки зрения удобства
вычислений. Кроме того, такие последовательности, как правило,
обладают полезными структурными свойствами. Практический
интерес представляет случай, когда члены последовательности
линейным образом зависят от фиксированного числа предыдущих
членов. Такие последовательности называются линейными
рекуррентными последовательностями. Они применяются в теории
кодирования (см. гл. 9), а также в различных областях электро-
электроники. Для большинства приложений в качестве основного поля
выбирается поле Fa, однако теория рекуррентных последователь-
последовательностей может быть развита для произвольного конечного поля.
В § 1 мы покажем, как можно технически осуществить полу-
получение линейных рекуррентных последовательностей с помощью
переключательных схем специального вида, называемых реги-
регистрами сдвига с обратной связью. Здесь же мы обсудим основные
периодические свойства таких последовательностей. В § 2 вво-
вводится понятие импульсной функции, т. е. последовательности,
порожденной импульсом. Эти функции представляют как теоре-
теоретический, так и практический интерес. Так, с их помощью полу-
получаются дальнейшие результаты о периодических свойствах ре-
рекуррентных последовательностей. Исследование периодичности
ведется также с использованием так называемых характеристи-
характеристических многочленов линейных рекуррентных последовательностей-
С помощью характеристических многочленов можно также полу-
получить явные формулы для членов линейной рекуррентной после-
последовательности. В этом же параграфе определяются последова-
последовательности максимального периода.
К теории линейных рекуррентных последовательностей можно
подойти как через линейную алгебру, так и через теорию идеалов
или теорию формальных степенных рядов. В § 3 представлен
подход, основанный на понятии формального степенного ряда.
§ I. Регистры сдвига с обратной связью 495
На этой основе в следующем параграфе вводится минимальный
многочлен линейной рекуррентной последовательности. Понятие
минимального многочлена очень важно для теории линейных
рекуррентных последовательностей, так как порядок минималь-
минимального многочлена определяет минимальный период соответствую-
соответствующей последовательности.
В § 5 мы будем исследовать множества, состоящие из всех
последовательностей, удовлетворяющих данному линейному ре-
рекуррентному соотношению. Полученные прн этом результаты ока-
оказываются полезными для изучения свойств таких операций на
множестве линейных рекуррентных последовательностей, как
операции почленного сложения или умножения двух последо-
последовательностей над произвольным конечным полем или операция
бинарного дополнения для последовательностей над полем F2
Мы рассмотрим также задачу нахождения минимальных периодов
последовательностей, порожденных данным линейным рекуррент-
рекуррентным соотношением. В § 6 представлены некоторые детерминантные
критерии, характеризующие линейные рекуррентные последо-
последовательности. Кроме того, в этом параграфе приводится алгоритм
Берлекэмпа—Месси для вычисления минимального многочлена
рекуррентной последовательности.
§ 7 посвящен вопросам распределения элементов основного поля
среди членов линейной рекуррентной последовательности. Здесь
основным инструментом исследования является метод тригоно-
тригонометрических сумм.
§ 1. Регистры сдвига с обратной связью.
Свойства периодичности
Пусть k — натуральное число, а а, а0, alt ..., %_! — заданные
элементы конечного поля Fg. Последовательность s0, s,.,... элемен-
элементов поля Fg, удовлетворяющая соотношению
sn+k = ak_lsn+h_l -\-ah_2sn+h_2-\ +aosn -\-a, n = 0, 1, . . .,
(8.1)
называется линейной рекуррентной последовательностью (k-го по-
порядка) над полем Fg. Первые члены s0, slt ..., sh_t однозначно
определяют всю последовательность и называются ее начальными
значениями. Соотношение вида (8.1) называется линейным ре-
рекуррентным соотношением (k-го порядка). В старой литературе
можно также встретить термин «разностное уравнение». Мы будем
называть линейное рекуррентное соотношение однородным, если
а = 0, в противном случае линейное рекуррентное соотношение
будет называться неоднородным. Соответствующая рекуррентная
последовательность s0, slt ... будет называться однородной (или
496 Гл. 8. Линейные рекуррентные последовательности
неоднородной) линейной рекуррентной последовательностью н,;л
полем Fq.
Линейные рекуррентные последовательности можно получат,
с помощью регистров сдвига с обратной связью. Это электронные
переключательные схемы специального вида, перерабатывающие
информацию, заданную в форме соответствующим образом пред-
представленных элементов поля. Регистры сдвига строятся из кон-
конструктивных элементов следующих четырех типов. Элементами
первого.типа являются сумматоры. Сумматор имеет два b:m>,..i
и один выход. Если на входе появляются два элемента поля .У.,,
то выходом является их сумма в полерч. Элементами второго iiin;i
являются усилители. Усилитель имеет один вход и один вы\<п
Если на вход поступает элемент поля fq, то на выходе усилит и. mi
появляется его произведение на некоторый постоянный элеж'нг
из поля Fij- Третьим типом конструктивного элемента является
увеличитель, который работает аналогично усилителю, но в окш-
чие от него прибавляет к поступающему на вход элементу т-кч-
торый элемент поля Fg- Элементом четвертого типа являгпи
элемент задержки (триггер). Он имеет один вход и один вымп.
а его работа регулируется внешними синхронизирующими часами
таким образом, что элемент поля fq, поступивший на вход в дан-
данный момент времени, появляется в качестве выхода в следующий
момент времени (т. е. на следующем такте работы). Мы не буюч
здесь касаться технической реализации описанных выше ит-
ройств. На рис. 8.1 показано, как эти элементы принято изобра-
изображать на схемах.
Сумматор Усилитель Увеличитель Элемент
(умножает на элемент а) (прибавляет элемент а) (триггер)
Рис. 8.1
Регистр сдвига с обратной связью строится путем соединения
конечного числа указанных выше конструктивных элементов
в замкнутую цепь таким образом, что никакие два выхода не
присоединяются друг к другу. На самом деле для получения
линейных рекуррентных последовательностей следует соединять
элементы конструкции довольно специальным образом. Регистр
сдвига с обратной связью, вырабатывающий линейную рекуррент-
рекуррентную последовательность, удовлетворяющую соотношению (8.1).
изображен на рис. 8.2.
В начале работы каждый элемент задержки Dj, / = О, 1, ....
k— 1, содержит некоторое начальное заполнение Sj. Если счи-
считать, что выполнение арифметических операций и передача сигна-
§ 1. Регистры сдвига с обратной связью
497
Рис. 8.2
лов по проводам происходят мгновенно, то на следующем такте
работы каждый элемент задержки Dj содержит заполнение s7-+1.
Продолжая этот процесс, мы видим, что выходом регистра сдвига
с обратной связью является последовательность элементов s0, su
&,, .., получаемых в последовательные моменты времени. Для
большинства приложений' используются однородные линейные
рекуррентные последовательности; в этом случае увеличитель
в конструкции соответствующего регистра сдвига не требуется.
8.1. Пример. Для того чтобы в поле Fs получить линейную
рекуррентную последовательность, удовлетворяющую однород-
однородному линейному рекуррентному соотношению sn+e = sB+5-}-
+ 2sn+i -j- sn+1 -f- 3sn, n = 0, 1, . . ., можно использовать регистр
сдвига с обратной связью, изображенный на рис. 8.3. Так как
а2 -— ая = 0, соответствующие соединения не нужны. П
Выход
Рис. 8.3
8.2. Пример. Рассмотрим однородное линейное рекуррент-
рекуррентное соотношение
f sn+3 4" sn+2 ~Г sn> 1 = 0, 1, . . .,
= s
n+4
над полем F2. Соответствующий этому рекуррентному соотноше-
соотношению регистр сдвига с обратной связью изображен на рис. 8.4.
¦¦I»
Выход
1
Рис. 8.4
498 Гл, 8. Линейные рекуррентные последовательности
Так как в поле F2 умножение на константу или сохраняет мно-
множимое (при умножении на 1), или обращает его в нуль (при умно-
умножении на 0), то в этом случае узел, соответствующий усилителю,
не требуется. Его функции исполняет простое наличие соедини-
соединительного проводника или его отсутствие. Таким образом, регистр
сдвига с обратной связью, вырабатывающий бинарную однород-
однородную линейную рекуррентную последовательность, может бит >
сконструирован с использованием лишь элементов задержки,
сумматоров и соединяющих проводников. ¦ j
Пусть s0, sJt ... — линейная рекуррентная последовательность
k-го порядка над полем F9, удовлетворяющая соотношению
(8.1). Как уже было отмечено, эту последовательность можно
получить с помощью регистра сдвига с обратной связью, изобра-
изображенного на рис. 8.2. Если п — целое неотрицательное чжму,
то через п тактов работы элемент задержки ?>/, / = 0,1, ..., k - - 1,
будет содержать заполнение sn+j. Таким образом, вектор S-,
= (s», Vn> .... sn+fc_i) естественно назвать вектором п-го состоя-
состояния линейной рекуррентной последовательности (или внутренним
состоянием регистра сдвига с обратной связью на п-м такте
работы). Вектор состояния s0 — (s0, s,, ..., ss_,) называется век-
вектором начального состояния.
Характерной особенностью линейных рекуррентных последо-
последовательностей над конечным полем является то, что такие после-
последовательности с некоторого момента (после, возможно, нерегу-
нерегулярного поведения в начале) проявляют свою периодическую
природу (т. е. они периодичны в смысле определения 8.3, см.
ниже). Прежде чем перейти к детальному изучению этого свойства
рекуррентных последовательностей, введем соответствующую н'р-
минологию и приведем несколько общих утверждений, кас.чю-
щихся периодических последовательностей.
8.3. Определение. Пусть S — произвольное непустое мно-
множество, н пусть Sq, slt ... — последовательность элементов "-'
множества S, Если существуют целые числа г > 0 и па~> О,
такие, что sn+r — sn для всех п ^ п0, то последовательность -Si.
Sj, ... называется периодической последовательностью, а г — пе-
периодом указанной последовательности. Наименьший из всех
возможных периодов периодической последовательности назы-
называется минимальным периодом последовательности.
8.4 Лемма. Каждый период периодической последовательности
делится на ее минимальный период.
Доказательство. Пусть г — произвольный период периодиче-
периодической последовательности s0, slt ..., и пусть гх -^ ее минимальный
период. Из этого следует, что sn+r — sn для всех п :з= п0, a s^r,
— sn для всех л > /tj при соответствующем выборе п0 и nv Если г
§ 1. Регистры сдвига с обратной связью 499
не делится на гг, то, применяя алгоритм деления целых чисел,
представим г в виде г = mrx + t, где т $s 1, 0 < t < rt. Тогда
для всех п >г max (п0, nt) получаем
rt+t = sn+ (m—I) /-,+* = • • ¦ = Sn±t>
откуда следует, что t также является периодом последователь-
последовательности sb, Sj, ... . Это противоречит тому, что гх — минимальный
период последовательности. ?
8.5. Определение. Периодическая последовательность s0,
sv ... с минимальным периодом г называется чисто периодиче-
периодической, если равенствоsB+r = sn выполняется для всех п = О, 1, ... .
Следующее условие, которое иногда встречается в литературе,
эквивалентно определению чисто периодической последователь-
последовательности.
8.6. Лемма. Последовательность s0, slt ... является чисто пе-
периодической тогда и только тогда, когда существует целое число
г > 0, такое, что sn+r = sn для всех п = 0, 1, ... .
Доказательство. Необходимость приведенного условия оче-
очевидна. Далее, если условие выполняется, то s0, su ... является
периодической последовательностью и, следовательно, имеет ми-
минимальный период rlt причем равенство sn+ri = sn справедливо
для всех п Ss п0 и некоторого п0 ? IN. Пусть теперь п — произ-
произвольное целое неотрицательное число, и выберем такое целое
т 5= гц, для которого т = п (mod r). Тогда sn+Tl = sm+74 =
— sm — sn, откуда вытекает, что последовательность s0, slt ...
является чисто периодической в смысле определения 8.5. ?
Пусть s0, Sj, ... — периодическая последовательность, а г —
ее минимальный период. Наименьшее неотрицательное целое
число п0, такое, что Sn+r = sB для всех п $г п0, называется пред-
периодом этой последовательности. Периодическая последова-
последовательность является чисто периодической, если ее предпериод
равен 0.
Вернемся теперь к линейным рекуррентным последователь-
последовательностям над конечными полями и установим основные результаты
0 свойствах периодичности у таких последовательностей.
8.7. Теорема. Пусть fq — произвольное конечное поле, a k —
некоторое натуральное число. Тогда каждая линейная рекуррент-
ная последовательность k-го порядка над полем f9 является пе-
периодической. При этом ее минимальный период г удовлетворяет
черте не шву г < qk, а в случае однородной последовательности —
неравенству г < qk — 1.
Доказательство. Заметим прежде всего, что существует ровно
Я Различных упорядоченных наборов по k элементов из поля F,.
500 Гл. 8. Линейные рекуррентные последовательности
Поэтому если рассмотреть совокупность векторов состояний s,,,,
0 < m < ?*, данной линейной рекуррентной последовательное!и
А-ro порядка над полем Fg, то для некоторых /, /, 0 </</-< !/*,
должно выполняться равенство sj = Sj. Из соответствующего
линейного рекуррентного соотношения и принципа математиче-
математической индукции можно получить равенство sn+J_t = sn для всех
п 1> i. Последнее означает, что наша линейная рекуррентная по-
последовательность является периодической последовательностью и,
если г — ее минимальный период, то г <С / — / <; qk. Рассмотрим
теперь однородную линейную рекуррентную последовательность.
Если ни один из ее векторов состояний не является нулевым
вектором, то, проведя аналогичные рассуждения с заменой </''
на qk — 1, можно получить неравенство г <; qk — 1. Если же
один из ее векторов состояний является нулевым вектором, то
все следующие за ним векторы состояний тоже являются нуле-
нулевыми векторами и, значит, последовательность имеет период
г = 1 <; qk — 1. Теорема доказана. ]
8.8. Пример. Верхняя оценка для г, полученная в теореме 8.7,
достижима. Это можно показать, рассмотрев линейную рекуррент-
рекуррентную последовательность первого порядка над полем fp (p — про-
простое число), задаваемую соотношением sn+1 = sn + 1, п ~ 0,
1, ..., и произвольным начальным значением so?fp. Если Fq —
произвольное конечное поле, a g — примитивный элемент этого
поля (см. определение 2.9), то однородная линейная рекуррентная
последовательность первого порядка над этим полем, задаваемая
соотношением sn+l = gsn, n = 0, 1, ..., sa Ф 0, имеет минималь-
минимальный период г = q — 1. Таким образом, доказана достижимость
верхней границы для г и в однородном случае. Позже мы покажем,
что в случае произвольного поля fq и любого целого к ~^> 1 суще-
существует однородная линейная рекуррентная последовательность
k-гп порядка над полем fq, имеющая минимальный период г
= qk — 1 (см. теорему 8.33). П
8.9. Пример. Нетрудно заметить, что минимальный период
однородной линейной рекуррентной последовательности первого
порядка над полем fq делит число q— 1. Однако для к $> -
минимальный период однородной линейной рекуррентной по-
последовательности к-хо порядка не обязан делить число qk — 1-
Так, например, можно проверить, что рекуррентная последова-
последовательность s0, slt ... над полем F5. задаваемая рекуррентным соот-
соотношением sB+2 = sn+1 + sn. n = 0, 1, ..., и начальными значе-
значениями so = 0, sa = 1, имеет минимальный период, равный 20. D
8.10. Пример. Линейная рекуррентная последовательность
над конечным полем является периодической последовательностью,
но не обязана быть чисто периодической последовательностью.
Для доказательства этого достаточно, например, рассмотреть
§ 1. Регистры сдвига с обратной связью
501
линейную рекуррентную последовательность So, slt ... 2-го по-
порядка над полем fq, задаваемую рекуррентным соотношением
sn+4 "" s»+!' п = °« *' •¦¦' и Условием So^h- 1 О
Следующий результат дает важное достаточное условие для
чистой периодичности линейной рекуррентной последователь-
последовательности.
8.11. Теорема. Пусть s0, slt ... —линейная рекуррентная по-
последовательность над конечным полем, удовлетворяющая линей-
линейному рекуррентному соотношению (8.1). Если коэффициент а0
в (8.1) не равен 0, то последовательность s0, slt ... является
чисти периодической.
Доказательство. По теореме 8.7 линейная рекуррентная по-
последовательность s0, su ... является периодической последова-
последовательностью. Если г — ее минимальный период, а п0 — предпе-
риод, то sn+r = sn для всех п ^- п0. Допустим, что в нашем случае
п{) J> 1. Из соотношения (8.1), полагая п = п0 + г — 1 и учиты-
учитывая, что а0 Ф 0, получаем
^
*-l;fr "~ ak-\sna+k-2+r — ¦ • ¦ — alSnB+r — а) —
= «о (sn0+*-i — а*-А0+*_2 — - - - - а^ - а).
Используя соотношение (8.1) для п = п0 — 1, приходим к та-
такому же выражению и для s,,0_i, откуда следует равенство
s,h-iTr ="• sno_i . Последнее противоречит тому, что п0 является
предпериодом последовательности ^,, slt ... . П
Пусть s0, slt ...—однородная линейная рекуррентная по-
последовательность степени k над полем Fq, удовлетворяющая
линейному рекуррентному соотношению
$n+h = «ft-iSn+h.! + aft_2sn+ft-2 H + aosn, n = 0, 1, .... (8.2)
где aj g Fg, 0 < / < k — 1. С этой линейной рекуррентной
последовательностью можно связать матрицу А над полем F,
размера k x k следующего вида:
А =
0 0 0 ... 0 а0
1 0 0 ... 0 ах
0 1 0 ... 0 а2
(8.3)
О 0 0 ... 1
Если k ~ 1, то под матрицей А понимается матрица А = (аа)
Размера 1x1. Заметим, что матрица А зависит только от линей-
линейного рекуррентного соотношения, определяющего данную ре-
кУРрентную последовательность.
502 Гл. 8. Линейные рекуррентные последовательности
8.12. Лемма. Ecauso,s1, ...—однородная линейная рекурречт-
ная последовательность над полем Fq, удовлетворяющая соотнп-
шению (8.2), а А — матрица, связанная с этой последователь-
ностью и задаваемая равенством (8,3), то для векторов состоянии
последовательности s0, sa, ... справедливо равенство
sn = s0An, п = 0, I, ... . (Ь.4)
Доказательство. Так как sn ~ (sn, sn+l, .,., sn+ft_i), то, как
нетрудно проверить, для всех п J> 0 выполняется paeenciBo
sn+1 = sn,4, откуда по индукции получается (8.4). i
Заметим, что множество всех невырожденных к X ^-матриц
над полем fq образует конечную группу относительно операции
матричного умножения. (Эта группа называется общей линейшч',
группой GL(k, Fg).)
8.13. Теорема. Пусть s0, st, ... —однородная линейная рекур-
рекуррентная последовательность k-го порядка над полем fq, таким,
что выполняется соотношение (8.2) и аа Ф 0. Тогда минимальный
период данной последовательности делит порядок связанной с ней
матрицы А, определенной формулой (8.3) и рассматриваемой /uj/c
элемент общей линейной группы GL(k, fq).
Доказательство. Так как det А — (—1)*—' а0 Ф 0, то ма-
матрица А действительно является элементом группы GL (k, F-;l-
Если т — порядок А как элемента группы GL (k, fq), то из леммы
8.12 получаем, что sn+m = s0An+m = s0An =sn для всех п^ 0.
Отсюда следует, что т является периодом рассматриваемой ре-
рекуррентной последовательности. Утверждение теоремы вытекает
теперь из леммы 8.4. '."I
Отметим, что приведенные выше рассуждения вместе с леммой
8.6 дают другое доказательство теоремы 8.11 для однородного
случая. Кроме того, из теоремы 8.13 следует, в частности, что
минимальный период последовательности s0, slt ... делит порядок
группы GL (k, fq), который, как известно, равен
Пусть теперь %, slt ... — неоднородная линейная рекуррентная
последовательность k-то порядка над полем f q, удовлетворяющая
соотношению (8.1). Заменяя в (8.1) п на п + 1 и вычитая из полу-
полученного равенства исходное равенство (8.1), получаем соотношение
. — bhsn+h + bft_isn+ft_! -f- ... -j- bosn, n = 0, 1, .... (8.5)
где Ьо = — a0, 6, = a^j — a3 для / = 1, 2, ..., Л — 1, 6ft ¦"¦
= ak-i + 1- Таким образом, последовательность s0, s,, ... можно
свести к однородной линейной рекуррентной последовательности
§ 2. Импульсная функция. Характеристический многочлен
503
/^ ...\г ])-го порядка над полем F,, и, следовательно, результаты,
полученные для однородных линейных рекуррентных последова-
последовательностей, дают информацию и для неоднородного случая.
Существует и другой подход к рассмотрению неоднородного
случая. Пусть s0, s,, ... — неоднородная линейная рекуррентная
последовательность к-то порядка над полем fq, удовлетворяющая
соотношению (8.1). Рассмотрим связанную с ней матрицу С над
юлем Fg, 'являющуюся квадратной матрицей размера (к + 1) х
/ (k г 1) следующего вида:
1
0
0
0
0
то полагаем
С
0
0
1
0
0
—
0
0
0
1
0
/1
-
. . . 0
... 0
.. . 0
... 0
... 1
а \
а0
а
аа
%
а2
ah
Если к = 1,
Введем модифицированный вектор состояния рекуррентной после-
последовательности, полагая
s'n = A, sn, sn+i sn+ft-i) для л = 0, 1, • • • •
Тогда, как нетрудно заметить, для всех п ^ О справедливо ра-
ненство s,'1+1 = s'nC, откуда по индукции получаем, что s'n =
s'0Cn для всех п ^> 0. Если в (8.1) коэффициент а0 отличен от 0,
то det С = (—I)*" а0 Ф 0, откуда следует, что матрица С яв-
является элементом группы GL (k + 1, fq). В этом случае, про-
проведя рассуждения,* аналогичные доказательству теоремы 8.13,
нетрудно показать, что минимальный период последовательности
s(h S[, ... делит порядок матрицы С, рассматриваемой как элемент
группы GL(k+ I, F,).
§ 2. Импульсная функция.
Характеристический многочлен
Из всех однородных линейных рекуррентных последователь-
последовательностей над полем fq, удовлетворяющих данному линейному ре-
кУРрентному соотношению k-то порядка вида (8.2), можно вы-
ДЭДить одну последовательность с максимальным значением мини-
л^1ЬГ0 пеРи°Да, называемую импульсной функцией или после-
' ""Стельностью, порожденной импульсом. Эта последовательность
504
Гл. 8, Линейные рекуррентные последовательности
обозначается d0, d^, ... и однозначно определяется начальными
значениями d0 = ... -- dh_, --¦ О, dh_x = 1 (d0 — 1 для А = li и
линейным рекуррентным соотношением
dn+h — afc-i<W-i -+- а|.-2^п+А-2 + ¦ • • + aodn, га = 0, 1 D.6)
8.14. Пример. Рассмотрим линейное рекуррентное соотноше-
соотношение
«п+5=-sn+1 f sn, и = 0, 1, . . .,
над полем F2. Импульсная функция d0, du ..., соответствующая
этому рекуррентному соотношению, представляет собой бинарную
последовательность
О, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 1, ...
и имеет минимальный период, равный 21. Регистр сдвига с обрат-
обратной связью, вырабатывающий эту последовательность, показан
на рис. 8.5. Эту последовательность можно рассматривать k;ik
Выход
Рис. 8,5
выходную последовательность указанного регистра сдвига, полу-
полученную при начальном заполнении следующего вида: все элементы
задержки, кроме последнего, в начальный момент времени яв-
являются пустыми (т. е. содержат заполнение 0), а в самый правый
элемент задержки засылается импульс (т. е. он содержит запол-
заполнение 1). Этим, кстати, и объясняются термины «импульсная
функция» или «последовательность, порожденная импульсом». ¦ "i
8.15. Лемма. Пусть dn, dlt ... —последовательность над по-
полем fq, являющаяся импульсной функцией, удовлетворяющей ре-
рекуррентному соотношению (8.6), и пусть А —связанная с ней
матрица вида (8.3). Тогда два вектора состояния йт и йп рекур-
рекуррентной последовательности d(), dlt ... совпадают в том и moA'>Ki>
том случае, когда Ат --- А".
Доказательство. Достаточность следует из леммы 8.12. Д-i"
доказательства необходимости предположим, что йт — йп. Из ли-
линейного-рекуррентного соотношения (8.6) получаем, что dm+f
— dn+< для всех t > 0, Из леммы 8.12 следует, что dtAm = cM"
для всех t ~'^> 0. Тогда в силу того, что векторы d0, d^ ...,iVi
образуют базис ^-мерного векторного пространства F? над
§ц, получаем требуемое равенство Ат — А".
§ 2. Импульсная функция. Характеристический многочлен 505
8.16. Теорема. Минимальный период однородной линейной ре-
рекуррентной последовательности над полем fq делит минимальный
период соответствующей импульсной функции.
Доказательство. Пусть s0, slt... — однородная линейная ре-
рекуррентная последовательность над полем Pq, удовлетворяющая
соотношению (8.2), a d0, ^.... — соответствующая импульсная
функция, и пусть А —матрица вида (8.3). Если г — минималь-
минимальный период последовательности dn, du ..., а п0 —» ее предпериод,
то dn+r = dn для всех п >- п0. Из леммы 8.15 следует, что Л"+г =
—- Ап для всех п ^> п0, а тогда по лемме 8.12 $n+r = sn для всех
п > «о- Следовательно, г является периодом последовательности
s0, slt ... .Из леммы 8.4 получаем теперь утверждение теоремы. ?
8.17. Теорема. Если последовательность d0, dlt ... является
импульсной функцией k-zo порядка над полем -IF, и удовлетворяет
соотношению (8.6) при а0 Ф 0, а А —• соответствующая матрица
вида (8.3), то тогда минимальный период этой последовательности
равен порядку матрицы А как элемента общей линейной группы
GL (k, F,).
Доказательство. Если г — минимальный период последова-
последовательности d0, dlt ..., то по теореме 8.13 г делит порядок матрицы А.
С другой стороны, по теореме 8.11 имеет место равенство d0 = dr.
Применяя лемму 8.15, получаем, что АТ = Л°, откуда следует
искомый результат. Q
8.18. Пример. Мы видели, что для линейного рекуррентного
соотношения sn+5 = sn+1 -f sn, n = 0, 1, ..., над полем F2> рас-
рассмотренного в примере 8.14, минимальный период соответствую-
соответствующей импульсной функции равняется 21, что совпадает с порядком
матрицы
А =
как элемента группы GL E, F2). Если вектор начального состоя-
состояния некоторой линейной рекуррентной последовательности над
полем F2, удовлетворяющей данному линейному рекуррентному
соотношению, совпадает с одним из 21 различных векторов со-
состояний, которые появляются в соответствующей импульсной
Функции, то минимальный период такой последовательности
снова равняется 21 (так как такая последовательность представ-
представляет собой сдвиг этой импульсной функции). Если для того же
рекуррентного соотношения в качестве вектора начального со-
0
1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
1
1
1
0
0
0
506 Гл. 8. Линейные рекуррентные последовательности
стояния выбрать вектор A, 1, 1, 0, 1), то мы получим бинарную
последовательность 1, 1, 1,0, 1, 0, 0, 1, 1, 1,0, 1, ... . Мини-
Минимальный период этой последовательности равен 7. Такой же
минимальный период будет иметь любая рекуррентная последова-
последовательность, удовлетворяющая этому соотношению и получающаяся,
если в качестве вектора начального состояния взять любой из
7 различных векторов состояний этой последовательности. Если
в качестве вектора начального состояния взять вектор A, 1,0, 1, 1),
то мы получаем бинарную последовательность 1, 1,0, 1, 1,0,
1, 1, ..., имеющую минимальный период, равный 3. Такой же
минимальный период получается, если в качестве вектора началь-
начального состояния рекуррентной последовательности взять любой
из трех различных векторов состояния этой последовательности.
Вектор начального состояния, равный @, 0, 0, 0, 0), порождает
последовательность с минимальным периодом 1. Таким образом,
мы рассмотрели все 32 возможности выбора вектора начального
состояния для рекуррентной последовательности, удовлетворяю-
удовлетворяющей нашему рекуррентному соотношению. ГЦ
8.19. Теорема. Пусть s0, sit ...—однородная линейная ре-
рекуррентная последовательность k-го порядка над полем Fh, a nn —
предпериод этой последовательности. Если существует k векторов
состояний* smv sm2, ..., smft, trij >- nQ A < / < k), которые ли-
линейно независимы над fq, то как сама последовательность s,,,
Sj, ..., так и соответствующая импульсная функция являются
чисто периодическими последовательностями, имеющими один
и тот же минимальный период.
Доказательство. Пусть г — минимальный период последо-
последовательности Sq, sb ... . По лемме 8.12 для 1 -,< / <1 k справедливо
равенство sm,Ar — sm.+r — sm., и, таким образом, Аг равняется
единичной k х А-матрице над полем Fg. Отсюда получаем sr —
= s,y4r = s0, откуда следует, что%, slt ... является чисто периоди-
периодической последовательностью. Аналогично если через дп обозна-
обозначить л-й вектор состояния соответствующей импульсной функции,
то dr = d0Ar = d0. Применив теперь теорему 8.16, получаем
утверждение теоремы. "J
8.20. Пример. Условие mj J> nn в формулировке теоремы 8.19
необходимо ввиду того, что существуют однородные линейные
рекуррентные последовательности ft-го порядка, не являющиеся
чисто периодическими, но содержащие k линейно независимых
векторов состояний. Пусть d0, dlt ... — рекуррентная последова-
последовательность 2-го порядка над полем Fq, являющаяся импульсной
функцией и задаваемая рекуррентным соотношением dn+i -~
'= dn+l, п — 0, 1, ... . Эта последовательность имеет вид 0, 1, 1.
1, ... . Очевидно, что векторы состояний d0 и dt линейно незаии-
§ 2. Импульсная функция. Характеристический многочлен 507
симы над F4, в то время как сама последовательность сЦ, йъ ...
не является чисто периодической (в данном случае п0 = 1). Утвер-
Утверждение, обратное утверждению теоремы 8.19, неверно. Чтобы
показать это, рассмотрим линейную рекуррентную последова-
последовательность 3-го порядка Sq, slt ... над полем рг> определяемую
рекуррентным соотношением sn+3 = sn, n = 0, 1, ..., с вектором
начального состояния s0 = A, 1, 0). Тогда как сама последова-
последовательность Sq, Sj, ..., так и соответствующая импульсная функция
являются периодическими последовательностями с минимальным
периодом, равным 3. В то же время любые три вектора состояния
последовательности s0, slt ... линейно зависимы над полем F2- П
Пусть s,,, s,, ... —линейная однородная рекуррентная после-
последовательность &-го порядка над полем fq, удовлетворяющая
линейному рекуррентному соотношению
sn+h = ah.iSn+k_! + ah_2sn+h_2 + • • • + aosn, n = 0, 1, . . ., (8.7)
где а/ ? F,, 0 <; / <J k —¦ 1. Многочлен
f (x) = x* - %_!**-' - %_2x*-2 a0 6 F, [x]
называется характеристическим многочленом данной линейной
рекуррентной последовательности. Ясно, что он зависит только
от линейного рекуррентного соотношения (8.7). Если А — ма-
матрица, определенная в (8.3), то легко заметить, что / (х) совпадает
с характеристическим многочленом матрицы А, как он опреде-
определяется в линейной алгебре, т. е. / (х) = det (xl — А), где / —
единичная матрица размера k X k над полем fq. С другой сто-
стороны, матрицу А можно рассматривать как сопровождающую
матрицу нормированного многочлена / (х).
В качестве первого применения понятия характеристического
многочлена рекуррентной последовательности покажем, как в од-
одном важном частном случае члены линейной рекуррентной после-
последовательности могут быть явно выражены через коэффициенты
многочлена f(x).
8.21. Теорема. Пусть s0, sx, ...—однородная линейная ре-
рекуррентная последовательность k-го порядка над полем fq и
f (х) —ее характеристический многочлен. Если корни ах, ..., ah
многочлена f (x) все различны, то
k
sn = SP.a/, n = 0, 1, .... (8.8)
e Pi. ¦•¦, Ph — различные элементы поля разложения много-
многочлена f (x) над полем fq, которые однозначно определяются на-
начальными членами рекуррентной последовательности s0, sIt ... .
508 Гл. 8. Линейные рекуррентные последовательности
Доказательство. Константы {5Ь ..., {5h можно определит!) ил
системы линейных уравнений
E^lPi = sn, л = 0, 1, .... Л- 1.
1=1
Так как определитель этой системы является определителем
Вандермонда, который отличен от нуля ввиду условий, наложен-
наложенных на аи ..., ah, то элементы §lt ..., рй определяются однозначно
и, как вытекает из правила Крамера, лежат в поле разложения
i> («1, ...,~aft) многочлена / (х) над полем fg. Теперь для того,
чтобы доказать равенство (8.8) для всех п J> 0, достаточно про-
проверить, удовлетворяют ли рекуррентному соотношению (8.7)
элементы из правых частей формулы (8.8) при р1( ..., рй, опреде-
определенных, как было указано выше. Но
Е P,a1+k - а*_, Б р/а/й+*-' - о*_2
для всех n ^> 0. Тем самым теорема доказана. ~
8.22. Пример. Рассмотрим линейную рекуррентную последо-
последовательность s,,, Sj, ... над полем f2, задаваемую рекуррентным
соотношением sn+i = sn+l + sn, n — 0, 1, .,., и начальными зна-
значениями su -= s1 = 1. Соответствующий характеристический мно-
многочлен равняется / (х) = х2 — х — 1 € F2 U']. Если F4 = F2 (a)i
то корнями " многочлена / (х) являются ау = а и аа = 1 -- а.
Учитывая начальные значения, получаем соотношения {5г + р2 ---
= 1, {5ха + р2 A + а) = 1 и, следовательно, рх = ее, р2 = 1 ¦ а.
Из теоремы 8.21 следует, что sn = ап+1 + A + а)"+' для всех
п >- 0. Так как Р3 = 1 для всех ненулевых р ? |р4, получаем,
что sn+3 = sn для всех п J> 0, что согласуется с тем, что минималь-
минимальный период этой последовательности равен 3. П
8.23. Замечание. Формула, аналогичная формуле (8.8), спра-
справедлива и в случае, когда кратность каждого корня многочленг
/ (х) не превосходит характеристики р поля Fr Рассмотрим этот
случай более подробно. Пусть a,, ...,am — различные корни
многочлена / (х), и пусть каждый корень а,, /= 1,2 т,
имеет кратность et «Ср. Пусть et — 1, если at — 0. Тогда
т
sa--= S Pt{n)a1, n = 0, 1, ...
1=1
где Р,-, / — 1,2, ..., т, — многочлен степени не более чем eit
коэффициенты которого однозначно определяются начальными
§ 2. Импульсная функция. Характеристический многочлен 509
значениями последовательности и лежат в поле разложения
многочлена / (х) над полем Fr При этом целое число п естествен-
естественным образом отождествляется с соответствующим элементом
поля fq. Читатель, знакомый с дифференциальными уравнениями,
заметит определенную аналогию с общим решением однородного
линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффи-
коэффициентами. ?
В случае когда характеристический многочлен является не-
неприводимым, элементы линейной рекуррентной последователь-
последовательности могут быть представлены с помощью соответствующей функ-
функции следа (определение функции следа и ее основные свойства
приведены во второй главе, см. определение 2.22 и теорему 2.23).
8.24. Теорема. Пусть s0, st, ... — однородная линейная рекур-
рекуррентная последовательность k-го порядка нцд полем К — Fq,
удовлетворяющая уравнению (8.7), а соответствующий характе-
характеристический многочлен f (x) является неприводимым многочленом
над полем К- Пусть а — корень многочлена f (x) в расширении
F -- F k поля К- Тогда существует однозначно определенный
элемент 0 ? F, такой, что
sn = TrF/K(Ban), л = 0, 1, ... .
Доказательство. Так как элементы {1, а, ..., а*~'} образуют
базис поля F над К, то можно задать однозначно определенное
линейное отображение L: F — К, полагая L (а11) = sn для п =
= 0, 1, ..., k — 1. По теореме 2.24 существует однозначно опре-
определенный элемент 8 ? F, такой, что L (у) = lrF/K фу) для всех
у ? F. В частности,
sn = TrF/KFa"), n = 0, 1 k — 1.
Остается показать, что элементы Ti>/k Fа"), п = 0, 1, ..., об-
образуют однородную линейную рекуррентную последовательность
с характеристическим многочленом f(x). Но если
/ (х) = x*~ ak_xx^ оо 6 К {х),
то, используя свойства функции следа, получаем
TrF/K Fa"+fe) - ak-\lTFiK Fa"+*->) a0TrF/K (ва«) =
= TrF/K (8a"+fe - а^всС^-*-1 ао8а«) =
Для всех п > 0. ?
Другие соотношения между линейными рекуррентными после-
последовательностями и их характеристическими многочленами могут
быть получены из следующего полиномиального тождества.
510 Гл. 8. Линейные рекуррентные последовательности
8.25. Теорема. Пусть s0, slt ...—однородная линейная ре-
рекуррентная последовательность k-го порядка над полем F9, удо-
удовлетворяющая рекуррентному соотношению (8.7) и являющаяся
чисто периодической последовательностью с периодом г. Пусть
f (x) — характеристической многочлен этой последовательности.
Тогда имеет место равенство
f{x)s(x) = {\- xr) h (x), (8,9)
где
s (х) = SoX1-1 + s^'-2 + (- sr_2x + sr_x 6 fq [x],
a—i k—i—i
% ? 6Fq[x], ah = ~\. (8.10)
()% ? +
/=0 1=0
Доказательство. Сравним коэффициенты при одинаковых сте-
степенях х в обеих частях равенства (8.9). Пусть с( (соответственно
dt) — коэффициент при х*, Q ^ t -4^ k -^- г — 1, в левой (соответ-
k
ственно правой) части равенства (8.9), Так как f(x) = — XI tyx*.
получаем
ct=— E atsr_^j, 0<*<* + r-l. (8.11)
0<»<*. 0</<л—1
(+i=t
Заметим, что линейное рекуррентное соотношение (8.7) может
быть также записано в виде
fc
Zl otsn+i = 0 для всех п>0. (8.1$)
(=0 "
Выделим теперь для отдельного рассмотрения следующие четыре
случая. Если k <C t <; г ¦— 1, то из (8.11) и (8.12) следует
h
ct = — ? «jSr-i-t+i = 0 = dt.
Если / < г — 1 и / < k, то из (8.11), (8.12) и периодичности нашей
последовательности получаем
/ *
ct = '— 2j alsr-l~t+i = 2j QiSr-l-t+l =
(=0 f=/-fl
* *—1—/
= 2j aisi-t-l = 2j ^(+t+lsi = ^1-
i=<+l (=0
Если />rn / > А, из (8.11) следует, что
«=f—r-H (=0
§ 2, Импульсная функция. Характеристический многочлен 511
Если г < t < k, то из (8.11) и периодичности нашей последова-
последовательности вытекает, что
/ Г—\
Ct = — 2j Otsr-l-t+i — — 2j ai+t-r+lsi —
»=/—r+i «=0
i=r (=0
A—1— ? b—l—t+r
— Z_ aM+lsi+r — ZJ
1=0 1=0
*—1—< *—1—i+r
«=0 »=0
Таким образом, теорема доказана. G
Лемма 3.1 утверждает, что для любого многочлена / (х) ?
€ F<? Гаг 1» / @) =у^ 0, найдется натуральное число е, такое, что
/ (х) делит хе — 1. Это приводит к понятию порядка многочлена
/ (х) (см. определение 3.2), который обозначается через ord (/ (х)).
8.26. Лемма. Пусть
f (х) = xk - ak_xxk-' - ah_2xk-2 a0 6 Fg [x],
к Г> 1, a0 Ф 0. Тогда ord (/ (x)) равняется порядку матрицы А,
определяемой формулой (8.3) и рассматриваемой как элемент
группы GL (k, Fq).
Доказательство. Ввиду того что А — сопровождающая ма-
матрица многочлена / (х), то / (х) в свою очередь является минималь-
минимальным многочленом матрицы А. Следовательно, если / — единич-
единичная k х А-матрица над полем F9, то равенство Ае = / для неко-
некоторого натурального числа е выполняется тогда и только тогда,
когда многочлен / (х) делит хе — 1. Искомый результат следует
теперь из определений порядка многочлена / (х) и порядка ма-
матрицы А как элемента группы GL (k, fq). D
8.27. Теорема. Пусть s0, slt ... — однородная линейная ре-
рекуррентная последовательность над полем Fq и f (х) ? fq [х ] —
характеристический многочлен этой последовательности. Тогда
минимальный период этой последовательности делит ord (/ (х)),
а минимальный период соответствующей импульсной функции
равняется ord (/ (х)). При этом если f @) Ф 0, то обе последова-
последовательности являются чисто периодическими.
Доказательство. Если / @) Ф 0, то в силу леммы 8.26 резуль-
результат является простой переформулировкой утверждений теорем
8-13 и 8.17. В этом случае чистая периодичность будет следовать
из теоремы 8.11. Если же /@) = 0, то представим f (х) в виде
/ (*) ¦ - xhg (х), где g @) Ф 0 (как в определении 3.2), и положим
512 Гл. 8. Линейные рекуррентные последовательности
in =¦ sn+h, п = 0, 1, ... . Если deg (g (х)) > О, то t0, tx, ... — одно-
однородная линейная рекуррентная последовательность с характери-
характеристическим многочленом g (х). Ее минимальный период совпадает
с минимальным периодом последовательности s0, s1( ... . Значит, ¦
как было показано выше, минимальный период последователь-
последовательности s0, sb ... делит число ord (g (х)) — ord (/ (x)). Соответствую-
Соответствующее утверждение для импульсной функции доказывается анало-
аналогичным образом. Если же g (х) — постоянный многочлен, то тео-
теорема становится тривиальной. ^~]
Заметим, что при / @) Ф 0 минимальный период импульсной
функции можно также получить из равенства (8,9) следующем
способом. Для импульсной функции, характеристический много-
многочлен которой равен / (х), многочлен h (х), появляющийся в фор-
формуле (8.10), равен просто —1. Значит, если г—минимальный
период импульсной функции, то на основании (8.9) / (х) дел и г
хг— j и> следовательно, г ;> ord (/ (х)). С другой стороны, па
основании первой части утверждения теоремы 8.27 г должен делить
ord(/(x)). Таким образом, получаем искомое равенство г
= ord(/(x)).
8.28 Теорема. Пусть %, $х, ... — однородная линейная рекур- i
рентная последовательность над полем fq с ненулевым вектор> >м '¦
начального состояния. Пусть ее характеристический многочлен
f (x) ?Fq [x] является неприводимым многочленом над полем F,,
и удовлетворяет условию f @) Ф 0. Тогда последовательность \„
slt ... является чисто периодической последовательностью и ее
минимальный период г равен ord (/(x)).
Доказательство. Из теоремы 8.27 вытекает, что рассматри-
рассматриваемая последовательность является чисто периодической и ос
минимальный период г делит ord(/(x)). С другой стороны,
из (8.9) следует, что / (х) делит (хг — \) h (х). Так как s (x), а ,;
следовательно, и h(x) являются ненулевыми многочленами и j?
так как deg (h (x)) < deg (/ (х)), то из неприводимости f \.\) "
вытекает, что многочлен / (х) делит хг— 1, и, значит, г
>ord(/(x)).
Дадим теперь другое доказательство следствия 3.4. Для удоб-
удобства приведем еще раз его формулировку.
8.29. Теорема. Пусть f (x) ? fq [x] — неприводимый мно-
многочлен над полем fq и deg (/ (х)) = k. Тогда ord (/ (х)) делит
qk — 1 •
ii
Доказательство. Не теряя общности, можно считать, чго i
f (х) является нормированным многочленом и / @) Ф 0. Рассмо- |
§ 2. Импульсная функция. Характеристический многочлен 513
трим однородную линейную рекуррентную последовательность
над полем fq с характеристическим многочленом / (х) и ненуле-
ненулевым вектором начального состояния. По теореме 8.23 эта последо-
последовательность является чисто периодической, и минимальный пе-
период этой последовательности равняется ord (/ (х)). Тогда в ней
встречаются ord (/ (x)) различных векторов состояний. Если
ord (/ (х)) меньше qk — 1, общего числа ненулевых ^-мерных век-
векторов над полем F,, то можно выбрать й-мерный вектор, который
не встречается в качестве одного из векторов состояния указанной
выше последовательности. Возьмем этот вектор в качестве век-
вектора начального состояния другой однородной линейной рекур-
рекуррентной последовательности над полем fq с тем же характери-
характеристическим многочленом / (х). Ни один из е = ord (/ (x)) различных
векторов состояния этой последовательности не равняется ни
одному вектору состояния предыдущей последовательности. В про-
противном случае эти две последовательности, начиная с какого-то
места, должны были бы совпадать, и тогда вектор начального
состояния второй последовательности должен был бы встретиться
в первой последовательности в качестве одного из ее векторов
состояния, что противоречит его выбору. Продолжая указанным
выше образом строить новые рекуррентные последовательности,
получаем разбиение множества, состоящего из qk — 1 ненулевых
^-мерных векторов над полем F^. на подмножества мощности е =
: ord (/ (л:)) каждое, что и доказывает утверждение теоремы. П
8.30. Пример. Рассмотрим линейное рекуррентное соотно-
соотношение sn+e = sn+i + sn+i + sn+i -f sn, n ^ 0, 1. ..., над полем
?-,. Соответствующий характеристический многочлен / (х) =
- а6 — х4 — х2 — х — 1 ? Fa lx] является неприводимым мно-
многочленом над полем f.,. Кроме того, / (х) делит х'п — 1 и не яв-
является делителем многочлена вида хе — 1 ни для какого 0 < е <
<21. Таким образом, ord (/ (х)) — 21. Импульсная функция,
соответствующая данному рекуррентному соотношению, имеет вид
0,0,0,0,0, 1,0, 1.0,0, 1,0, 0, 1. 1,0,0, 1.0, 1. 1,0,0,0,0,0, 1, ....
Как н должно быть, эта последовательность периодична с ми-
минимальным периодом г — 21. Если в качестве вектора началь-
начального состояния взять вектор @, 0, 0, 0, 1, 1), то мы получим би-
бинарную последовательность
°.0, 0,0, 1,1,1, 1,0, 1. 1.0, 1,0. 1,0, 1, 1, 1. 0, 1,0, 0, 0, 0, 1.1
с минимальным периодом г — 21. Если же в качестве вектора на-
начального состояния взять вектор @, 0, 0, 1, 0, 0), то мы получим
бинарную последовательность
°- 0, 0, 1,0, 0, 0, 1, 1,0,1, 1, 1. 1, 1, 1.0.0,1, 1. 1,0,0.0. 1.0, 0, ... ,
514 Гл. 8. Линейные рекуррентные последовательности
также имеющую минимальный период 21. При этом каждый из
ненулевых 6-мерных векторов над полем F2 появляется в качестве
вектора состояния в точности в одной из этих трех последова-
последовательностей. Если в качестве вектора начального состояния вчить
любой ненулевой вектор, то мы получим рекуррентную последо-
последовательность, имеющую минимальный период, равный 21, и совпа-
совпадающую с точностью до сдвига с одной из трех полученных выше
последовательностей.
8.31. Пример. Если многочлен f(x)?f4 [x\ степени k при-
приводим, то его порядок ord (/ (х)) не обязательно делит число qk — 1.
Чтобы показать это, рассмотрим, например, многочлен / (.v) -
— хъ -j- х 4- 1 ? f 2 lx). Этот многочлен приводим, так как
/ (х) = хь + х 4- 1 =¦ (х3 4- хг -\- 1) (ж2 + х + 1).
Из теоремы 8.27 и примера 8.14 следует, что ord (/ (x)) равен 21
и не является делителем числа 25— 1 = 31. П
Для приложений особый интерес представляют линейные
рекуррентные последовательности, имеющие очень большой ми-
минимальный период. Из теоремы 8.7 известно, что для однородной
линейной рекуррентной последовательности k-то порядка над
полем fq минимальный период не может превышать qh— 1.
Для того чтобы построить рекуррентную последовательность,
минимальный период которой в точности равен qk — 1, восполь-
воспользуемся понятием примитивного многочлена (см. определение 3.15).
8.32. Определение. Однородная линейная рекуррентная по-
последовательность над полем fq, характеристический многочлен
которой является примитивным многочленом над полем fq,
а вектор начального состояния — ненулевым вектором, назы-
называется последовательностью максимального периода над полем Г,.
8.33. Теорема. Каждая последовательность k-го порядка и
максимального периода над полем f4 является чисто периодиче-
периодической последовательностью, а ее минимальный период равняется
qk — 1, наибольшему из возможных значений, которое может
принимать минимальный период однородной линейной рекуррент-
рекуррентной последовательности k-го порядка над полем f4.
Доказательство. Тот факт, что рассматриваемая последова-
последовательность является чисто периодической последовательностью,
минимальный период которой равен qk — 1, есть следствие тео-
теорем 8.28 и 3.16. Остальное легко вытекает из теоремы 8.7. "]
8.34. Пример. Характеристическим многочленом рассмотрен-
рассмотренного в примере 8.2 линейного рекуррентного соотношения над
полем f2
sn+7 — sn+4 ~Г sn+3 ~Г sn+2 sn> Я — 0, 1, . . .,
§ 3. Производящие функции 515
является многочлен / (х) = х1 — х* — Xя — х2 — 1 ? F2 lx]. Так
как / (х) — примитивный многочлен над полем (F2, то каждая
реКуррентная последовательность с ненулевым начальным век-
вектором, задаваемая указанным линейным рекуррентным соот-
соотношением, является последовательностью максимального периода
над полем F2- Если в качестве вектора начального состояния
выбрать произвольный ненулевой вектор, то мы получим последо-
последовательность % sx, ..., имеющую в соответствии с теоремой 8.33
минимальный период 27 — 1 = 127. Таким образом, все воз-
возможные ненулевые векторы из F\ встречаются в качестве векторов
состояний этой последовательности. Любая другая последова-
последовательность максимального периода, получаемая из этого же линей-
линейного рекуррентного соотношения, представляет собой некоторый
сдвиг последовательности s0, sx ?
§ 3. Производящие функции
До сих пор при изучении линейных рекуррентных последова-
последовательностей мы пользовались понятиями линейной алгебры, ал-
алгебры многочленов и теории конечных полей. Использование ал-
алгебраического аппарата формальных степенных рядов позволит
нам получить другие замечательные результаты, связанные с ли-
линейными рекуррентными последовательностями.
Пусть дана произвольная последовательность s0, slt ... эле-
элементов поля Fr С этой последовательностью можно связать ее
производящую функцию от переменной х, которая является просто
формальным выражением вида
оо
G(x) = so + s1x + s2x2+ ^SnXn+... = J}SnXn, (8.13)
л=0
где х — формальная переменная. В основе этого подхода лежит
мысль, что в функции G (х) «собраны» в определенном порядке
все члены последовательности S,,, slt ..., так что функция G (х)
может некоторым образом отражать свойства этой последова-
последовательности. Название «производящая функция», строго говоря,
является неправильным, так как мы рассматриваем G (х) не как
Функцию аргумента х, а просто как некоторый формальный
объект (аналогично многочлены в сущности тоже можно рас-
рассматривать как формальные объекты, которые не следует пу-
путать с функциями). Термин «производящая функция» был пере-
перенесен сюда со случая последовательностей действительных или
комплексных чисел, где может оказаться, что ряд, аналогичный
'"¦ 13), сходится при подстановке некоторого действительного
или комплексного числа х0 вместо переменной х, что позволяет
приписать какое-то конкретное значение функции G (х0). В рас-
рассматриваемой же ситуации вопрос о сходимости или расходимости
6*
516 Гл. 8. Линейные рекуррентные последовательности
ряда (8.13) не возникает, так как мы рассматриваем G (х) как]
«иероглиф» последовательности s0, st
В общем случае выражение вида
00
В(лг) = &„ + М + &2х2+. • • ¦ + М"Н = S Ьпх»,
где bu, bt, ... — последовательность элементов из fq, называется
формальным степенным рядом (над полем fq). В таком кон-
контексте члены bu, Ьх, ... нашей последовательности называююч
также коэффициентами формального степенного ряда. Прилага-
Прилагательное «формальный» вновь отражает ту мысль, что сходимость
или расходимость этих выражений (какой бы смысл мы в это ни
вкладывали) не имеет никакого отношения к их изучению. Диа
формальных степенных ряда над fq
() Dm () 2
п=0 п=0
считаются равными, если Ьп = сп для всех п. = О, 1, .... Таким
образом, множество всех формальных степенных рядов над J$
находится во взаимно однозначном соответствии с множеством
всех последовательностей, состоящих из элементов поля Г,,
Может показаться, что мы ничего не выиграем от перехода к фор-
формальным степенным рядам. На самом деле «смысл существования»
этих объектов состоит в том, что мы можем наделить множеств!)
формальных степенных рядов над fq богатой и интересной ал- ||
гебраической структурой, причем совершенно естественным обра- "
зом. Это будет обсуждаться впоследствии.
Заметим, во-первых, что многочлен
р (х) = р„ + рхх -j \- phxk 6 F, [х]
тоже можно рассматривать как формальный степенной ряд над
Fq, отождествляя его с рядом
Р (х) = р0 + РхЛЧ 1- ркх" + ().**+> + О.дс*+а + • • • •
Введем теперь алгебраические операции сложения и умножения
формальных степенных рядов таким образом, чтобы они являлись
перенесением на множество формальных степенных рядов соот-
соответствующих операций, определенных на многочленах. Подроб-
Подробнее, если
В(х) = 23 Ьпх" и С(х)= 23 спхп
0
§ 3. Производящие функции 517
два формальных степенных ряда над F9, то определим их
сумму как формальный степенной ряд
л=0
а их произведение — как формальный степенной ряд
оо п
В(х)С(х) = ? dnx«, где dn = ? 6fecn_fe, я = 0, 1
л=0 fe=0
Если Б (х) и С (х) оба являются многочленами над fq, то опреде-
определенные выше операции совпадают со сложением и умножением
обычных многочленов. Здесь же надо отметить, что принцип
подстановки, который так полезен в алгебре многочленов, не
действителен для формальных степенных рядов по той простой
причине, что выражение В (а), где а — элемент поля Fr а В (х) —
формальный степенной ряд над fv может быть бессмысленным.
Это плата за то, что мы игнорируем вопросы сходимости рядов.
8.35. Пример. Пусть
оо
В (х) = 2 + х2 и С (х) = 1 + х + х2 + Ь х" + ••• = ? 1 -хп
л=0
— формальные степенные ряды над полем F3. Тогда
оо
Й(х\ 4- Г (х) — х 4- 2*2 -\- х& 4- • ¦ -4- хп 4- ¦ • ¦ = У! d xn
л=0
где dn = 0, di = 1, di = 2 и dn = 1 для всех п ;> 3, а
В (ж) С (х) - 2 + 2х + 0-х2 + 0-х3 + ... = 2 + 2х. Q
Очевидно, что сложение формальных степенных рядов над fg
является ассоциативной и коммутативной операцией. Формаль-
оо
ный степенной ряд 0 = ? 0-х" является нулем относительно
A=0
ОО
операции сложения. Если В (х) = Jj bnx" — произвольный фор-
л=0
мальный степенной ряд надр?, то обратным к нему относительно
00
операции сложения является степенной ряд ? (—Ьп) х", который
л=0
обозначается через —В (х). Обычно мы будем писать В (х) — С (х)
вместо В (х) + (-С (х)).
Очевидно, что н операция умножения формальных степенных
Рядов над fg является коммутативной операцией, а формальный
518 Гл. 8. Линейные рекуррентные последовательности
степенной ряд 1 = 1 + 0-х + Оде2 + ... + 0-хп + ... — единич-
единичный элемент относительно операции умножения. Умножение
является ассоциативной операцией, так как если
ОО 00 ОО
В (х) = Ц Ьпх", С (х) = Ц спхп, D {х) = ? dn*»,
п=0 п=0 п=0
то оба формальных степенных ряда
(В (х) С (х)) D (х) и В (х) (С (х) D (х))
равняются
n=0\(«, /, ft)€
где Z, (/г) — множество всех упорядоченных троек (г, /, Л), t > О,
/ ^ О, Л ^ 0, t + / + Л = п. Кроме того, справедлив закон
дистрибутивности
В (х) (С (х) + D (х)) =
ОО
00
s
\ft=0
/ "
\A=0
n=0 \*=0 / n=0 \*=0
= B(x)C{x) + B(x)D{x).
Тем самым мы показали, что множество всех формальных
степенных рядов над fq с введенными там операциями сложения
н умножения становится коммутативным кольцом с единицей.
Это кольцо называется кольцом формальных степенных рядов
над полем fq и обозначается через F^[[x]]. Кольцо многочленов
fq[x] является подкольцом кольца р,[[дс]]. Более сильное-
утверждение содержится в следующей теореме.
8.36. Теорема. Кольцо fq Ux]] формальных степенных рядов
над полем fq является областью целостности, которая содержит
кольцо многочленов Fq lx] в качестве подкольца.
Доказательство. Остается проверить, что fq [[x]] не содер-
содержит делителей нуля, т. е. что произведение двух элементов кольца ¦
IF, [[*]] равняется нулю тогда и только тогда, когда один из '•
§ 3. Производящие функции 519
сомножителей равен нулю. Предположим противное. Пусть
В \х) С (х) = 0, и при этом
В(х) = Ц Ьпх"ФО, С(х) = Ц спх"ф0
/1=0 и=0
лежат в fq [[х]]. Пусть k — наименьшее натуральное число.
для которого Ьк Ф 0, a m — наименьшее натуральное число,
для которого ст Ф 0. Тогда коэффициент при хк+т в произ-
произведении В (х) С (х) равняется Ькст Ф 0, а это противоречит то-
тому, что В (х) С (х) = 0. ?
Для приложений нам понадобится выяснить, какие из элемен-
элементов кольца fq [[x]] обратимы относительно операции умножения,
т. с. для каких элементов В (х) ? fq \[x]] найдутся соответ-
соответствующие элементы С (х) ? fq Цх]\, такие, что В (х) С (х) ~ 1.
Обратимые степенные ряды можно легко охарактеризовать.
8.37. Теорема. Формальный степенной ряд
В(х)= EM"€F,[[*]]
имеет обратный относительно операции умножения элемент тогда
и только тогда, когда Ь„ Ф 0.
Доказательство, Если
С(х)= ?сплг«
— такой элемент из fq [[ж|], что В (х) С (х) =¦ 1, то коэффи-
коэффициенты b0, bt, ... и с0, ct, ... должны удовлетворять следующей
бесконечной системе уравнений:
b<fo = 1,
bocx -+ btc0 = 0,
boc2 4 btd + b2c0 = 0,
bocn -\- Ьхсп_г -f f bnc0 - 0,
Из первого уравнения мы получаем, что обязательно Ьо Ф 0.
При этом если это условие удовлетворяется, то с0 однозначно
определяется из первого уравнения. Переходя ко второму урав-
уравнению, видим, что теперь можно однозначно определить сх. В об-
общем все коэффициенты с0. с,, ... можно рекурсивно определить из
первого уравнения и рекуррентного соотношения
п
с„ ~ — Ьо'1 Ц bkcn_k, n=l,2,... .
520 Гл. 8. Линейные рекуррентные последовательности
Получившийся формальный степенной ряд С (х) является обыч-
обычным к В (х) относительно операции умножения формальных го-
пенных рядов. !
Таким образом, если для В (х) ? fq [\х\] существует '""i-
ратный элемент относительно операции умножения формалы и\
степенных рядов, то этот элемент определен однозначно. O6o:-ii;i-
чим его через 1/В (х). Произведение А (х) (MB (x)), где А (.ос
€ Ffl 11*11. будет обычно записываться в виде А (х)/В (х). Так i..-к
fq IMl — область целостности, то для указанных выше выра-
выражений справедливы обычные правила оперирования с дробями
Элемент, обратный к элементу В (ж) относительно умножения,
или выражение А {хIВ (х) можно вычислить с помощью ал 1ч-
ритма, приведенного при доказательстве теоремы 8.37. Д.1я
подобных вычислений применимо также и обычное деление угл'-ч.
8.38. Пример. Пусть многочлен В (х) = 3 + х 4- хг рассма-
рассматривается как формальный степенной ряд над полем ?ь. По те-
тереме 8.37 В (х) обратим относительно операции умножения фор-
формальных степенных рядов. Вычислим MB (x) с помощью алгоритм;!
деления углом:
-...34-х4-х2
+
- 4х*
Таким образом, мы получили, что
3 4-х4-ха = 2 ' Х <riX a~2** + "- •
8.39. Пример. Вычислим А (х)!В (х) ? Рг [[*I. где
со
А (х) -= 1 4- х f х- -f ж3 J-... = Ц 1 -х",
л=0
а В (х) ~- 1 -I- х 4- Xs, Используя алгоритм деления углом, опу-
опуская члены с нулевыми коэффициентами н учитывая то, что п
поле F? выполняется равенство —1 — 4-1. получаем
. 1+х+х3
§ 3. Производящие функции 521
Таким образом,
1 + х + хг 4- х3
1 + X + X3
1 i a i ч i 7 i с—1
= 1 + дг -{- дг + ¦*¦' + ¦¦¦• ?
Для применения теории формальных степенных рядов рас-
рассмотрим теперь однородную линейную последовательность Л-го
порядка s0, S|, ... над полем fq, удовлетворяющую линейному
рекуррентному соотношению (8.7). Назовем многочлен
f* (*) = 1 - %_х* - afe_2x2 aoxk 6 F, M (8.14)
возвратным характеристическим многочленом х) этой последо-
последовательности. Характеристический многочлен / (х) н возвратный
характеристический многочлен /* (х) связаны,между собой соот-
соотношением /* (х) =¦ xkf A/х). Можно показать, что для произ-
производящих функций справедливо следующее фундаментальное ра-
равенство.
8.40. Теорема. Пусть s0, st, ... — однородная линейная ре-
рекуррентная последовательность k-го порядка над полем fq, удов-
удовлетворяющая линейному рекуррентному соотношению (8.7).
Пусть /* (х) ? Fq [х] — возвратный характеристический много-
многочлен этой последовательности, a G (х) ? Fq [[x]] — производящая
функция этой последовательности, определенная в (8.13). Тогда
имеет место равенство
где
ft—i /
rr tv\ ^ V n p v| /" Г fvl (O.IO)
g\X) = — ^j ?j "f+fe—i^f** С " Q \X\
1=0 1=0
a ah = —1. Обратно, если g {x) — производящий многочлен над
полем fq, deg (g (x)) < k, a f* {x) ? fq\x] задается равенством
(8.14), то формальный степенной ряд G (х) ? Fq [[х]\, задавае-
задаваемый равенством (8.15), является производящей функцией однород-
однородной линейной рекуррентной последовательности k-го порядка над
полем fq, удовлетворяющей линейному рекуррентному соотно-
соотношению (8.7).
1) В литературе этот многочлен называется также двойственным характе-
характеристическим многочленом. — Прим. перев.
522 Гл. 8. Линейные рекуррентные последовательности
Доказательство. Имеем
/* (x)G(x) = - ( ? %_„*") ( ? snx") =
\n=0 / ^n=0 ,'
ft-1 / / \ oo / /
= -S S at+k-jSi *' ~ 2 ( 2 Q<+w
/=0 \ i=0 / /=* \ i=j—k
2 B^fe+ (8.17)
Теперь, если последовательность % sly ... удовлетворяет (8.7).
то из (8.12) следует, что /* (ж) G (х) -- g (ж). Тогда в силу того,
что по теореме 8.37 /* (х) имеет обратный относительно опе-
операции умножения элемент в Fg [[*]], получаем справедливость
равенства (8.15). Обратно, из (8.17) следует, что произведение
/* (х) G (х) равняется многочлену степени, меньшей чем k, только
тогда, когда
А
2 aiSj_h+i — 0 для всех / > k.
Последнее как раз означает, что последовательность %, st
составленная из коэффициентов формального степенного ряда G (ж),
удовлетворяет линейному рекуррентному соотношению (8.7).._]
Приведенную выше теорему можно коротко сформулировать
следующим образом: существует взаимно однозначное соответ-
соответствие между однородными линейными рекуррентными последо-
последовательностями &-го порядка с возвратным характеристическим
многочленом f*(x) н дробями вида g(x)/f*(x), такими, чти
deg (g (x)) < k. Равенство (8.15) в этом случае может быть исполь-
использовано для вычисления членов линейной рекуррентной последо-
последовательности с помощью алгоритма деления углом.
8.41. Пример. Рассмотрим линейное рекуррентное соотноше-
соотношение
sn+i = sn+3 4~ sn+l ~Ь sn> /1 = 0, 1, ...,
над полем Рг- Соответствующий возвратный характеристический
многочлен имеет вид
/* (Д-) = 1 - х - *3 - хх = Н- х + х* + х* ? F2 [*J.
Если вектор начального состояния равен A, 1, 0, 1), то много-
многочлен g (х), определенный в (8.16), равен g (х) = 1 -f x2. Тогда
§ 3. Производящие функции
523
производящая функция G (х) рассматриваемой рекуррентной по-
последовательности может быть получена с помощью деления углом:
1
1+дг
' + **
1 4-х-
*•
¦X*
-х' + х5
X3
Xs
+ х5
¦х« + х7
х* + хь-
х* + ^
X8
Xе
X3
Таким образом,
что соответствует бинарной последовательности 1, 1, 0, 1, 1,
О, 1, ..., имеющей минимальный период 3. Импульсную функцию,
связанную с данным линейным рекуррентным соотношением,
можно получить, если положить g (х) = х3. Алгоритм деления
углом дает в этом случае производящую функцию
что соответствует периодической бинарной последовательности
О, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 1, ... с минимальным периодом,
равным 6. ?
Из равенства (8.15) можно получить другое доказательство
теоремы 8.25. Действительно, ввиду того что последовательность
s0, Sj, ... является чисто периодической последовательностью с
минимальным периодом равным г, ее производящая функция
G (х) может быть записана в виде
G (х) =
-I-
где s* (x) = So -f Si* + •¦¦ + Sr-iX'^1- С другой стороны, ис-
используя обозначения теоремы 8.40, из (8.15) получаем, что G (х) =
; g {x)if* (x). Приравнивая полученные выражения для G (х),
приходим к полиномиальному равенству /* (x)s* (х) = A —
хГ)§(х)- Если / (х) и s (х) такие же, как в (8.9), то
/ (х) s (х) = х*/* A /х) x'-'s* (l/x) = (x'-l) х*-1 g A /х).
524 Гл. 8. Линейные рекуррентные последовательности
Сравнивая (8.10) и (8.16), получаем
xk~lg A/х) = —п (х), (8.1И)
откуда и следует равенство (8.9).
§ 4. Минимальный многочлен
Хотя до сих пор мы этого не отмечали, очевидно, что линейная
рекуррентная последовательность удовлетворяет множеству дру-
других линейных рекуррентных соотношений помимо того, которое
определяет эту последовательность. Так, если последовательность
s0, sx, ... является чисто периодической последовательностью с
периодом г, то она удовлетворяет линейным рекуррентным соот-
соотношениям sn+r = sn (л = 0, 1, ...), sn+2r = sn (п = 0, 1, ...) и
т. д. Экстремальный случай представляет собой последователь-
последовательность 0, 0, 0, ..., которая удовлетворяет любому однородному
линейному рекуррентному соотношению. Следующая теорема опи-
описывает, как связаны между собой различные линейные рекуррент-
рекуррентные соотношения, которым удовлетворяет данная однородная
линейная рекуррентная последовательность.
8.42. Теорема. Пусть s0, s1( ... — однородная линейная рекур-
рентцая последовательность над полем fq. Тогда существует
однозначно определенный нормированный многочлен т (х) ? fq \x I,
обладающий следующим свойством: нормированный многочлен по-
положительной степени f (х) ? FP 1*1 является характеристиче-
характеристическим многочленом данной последовательности s0, slt ... тогда
и только тогда, когда f (х) делится на т (х).
Доказательство. Пусть /„ (х) ? Fq [x] —характеристический
многочлен однородного линейного рекуррентного соотношения,
которому удовлетворяет наша последовательность, и пусть п0 (х) ?
€ Fq \x] — многочлен вида (8.10), определяемый многочленом
/0 (х) и исходной последовательностью s0, s]( ... . Если d (x) —
нормированный многочлен, являющийся наибольшим общим де-
делителем многочленов /0 (х) и п0 (х), то мы можем записать /0 (х) =¦
= т (х) d (х), К (х) = b(x)d (х), где т (х), Ъ (х) С fq \x\. До-
Докажет, что т (х) и есть искомый многочлен. Очевидно, что т (х) -~
нормированный многочлен. Пусть теперь / (х) ? Fq [*1 — произ-
произвольный характеристический многочлен данной последователь-
последовательности, н пусть h (x) ?Fq lx] — многочлен вида (8.10), определя-
определяемый многочленом / (х) и данной последовательностью. Применяя
теорему 8^40, получаем, что для производящей функции G (х)
нашей последовательности имеет место равенство
Г, (у\ - 8'W — 8(х)
§ 4. Минимальный многочлен 525
где go (х) и g (x) — многочлены, задаваемые формулой (8 16).
Следовательно, g (х) /0* (х) = g0 (x) /* (х) и, используя (8.18), при-
приходим к равенству
h (х) /о (х) = — хА*е (f <*»-i?( 1/х) хА*е (h <*» f*Q A/x) =
, <x))-\g0 A/х) xdeS <f <*» /* A/Х) = h0 (X)f(x).
После деления обеих частей равенства на d (х) получаем
h (х) т (х) = b (x) f (х). Тогда в силу того, что т (х) и b (x) вза-
взаимно просты, т (х) делит / (х).
Предположим теперь, что / (х) ?fq [x] — нормированный
многочлен положительной степени, который делится на т (х),
т. е. / (х) = т (х) с (х), с (х) ? Fq \x]. Переходя к возвратным
многочленам, получаем /* (х) = т* (х) с* (х). Кроме того, имеет
место равенство h0 (х) т (х) = b (x) /0 (х). Отсюда, используя
соотношение (8.18), получаем
g0 (х) т* (х) = — xde« <ft <*»-% (l/x) xd*e <m <*» m
" (*)>-»6 (l/x)xdee(h
Так как deg (b (x)) < deg (m (x)), произведение первых двух
сомножителей (включая знак минус) в правой части приведенного
выше равенства является многочленом а (х) ? fq [x]. Следо-
Следовательно, справедливо равенство g0 (x) т* (х) = а (х)|/о (х). То-
Тогда из теоремы 8.40 следует, что производящую функцию G (х)
нашей последовательности можно представить в виде
П (у) = 8*№ — "W — а (*) с* (х) __ а (х) с* (х)
W /,'(*) ~т*(х)~ т*(х)с*(х) /• (х) '
Так как
deg (а (х) с* (х)) =deg (а (*)) + deg (с* (*)) <
< deg (т (х)) + deg (с (х)) = deg (/ (х)),
то из второй части теоремы 8.40 следует, что / (х) является харак-
характеристическим многочленом нашей последовательности. Очевидно,
что существует только один многочлен т (х) с указанными свой-
свойствами. ?
Однозначно определенный в теореме 8.42 многочлен т (х) ?
€ F<7 [x], соответствующий последовательности s0, s|t ..., назы-
называется минимальным многочленом этой последовательности. Если
s?t = 0 для всех n ^ 0, то минимальный многочлен этой последо-
последовательности равен 1. Для всех других однородных линейных
рекуррентных последовательностей т (х) является нормирован-
нормированным многочленом степени deg (m (*));> 0 н представляет собой
характеристический многочлен линейного рекуррентного соот-
соотношения минимально возможного порядка, которому удовлетво-
526 Гл. 8, Линейные рекуррентные последовательности
ряет наша последовательность. Другой метод вычисления мини-
минимального многочлена будет приведен в § 6 настоящей главы.
8.43. Пример. Пусть последовательность s0, sx, ... является
линейной рекуррентной последовательностью над полем f,,
определяемой рекуррентным соотношением
Sn+4 = sn+3 + Sn+i + Sn, П = О, 1, ...,
и вектором начального состояния A, 1, 0, 1). Для того чтобы
найти минимальный многочлен этой последовательности, будем
действовать так же, как при доказательстве теоремы 8.42. Мо-
Можно взять
/0 (х) = х* — ж3 — х — 1 = х* + х9 + х + 1 € F2 М-
Тогда из (8.10) следует, что h0 (х) — Xs -\- х. Наибольший общин
делитель многочленов /0 (х) и h0 (х) равен d (х) = хг + 1, и,
таким образом, минимальный многочлен последовательности $0,
su ... равняется т (х) — /0 (x)ld (х) = х2 + х + 1. Легко про-
проверить, что наша последовательность удовлетворяет линейному
рекуррентному соотношению
Sn+2 = Sn+1 + Sn. П = 0, 1, ...,
что находится в соответствии с общей теорией. Заметим, что
ord (m (х)) равен 3 и совпадает с минимальным периодом нашей
последовательности (ср. с примером 8.41). В теореме 8.44 мы пока-
покажем, что это справедливо и в общем случае. П
Минимальный многочлен играет ведущую роль при определе-
определении минимального периода линейной рекуррентной последова-
последовательности. Это видно, например, из следующего результата.
8.44. Теорема. Пусть s0, slt ...—однородная линейная ре-
рекуррентная последовательность над полем fq с минимальный мно-
многочленом m(x)?Fg lx]. Тогда минимальный период этой по-
последовательности равняется ord (m (х)).
Доказательство. Если г — минимальный период последова-
последовательности s0, Sj, .... а пп — ее предпериод, то sn+r = sn для всех
п ^> п0. Значит, наша последовательность удовлетворяет одно-
однородному рекуррентному соотношению
Sn+ne+r = Sn-i-n,, П = 0, 1, ... .
Тогда по теореме 8.42 многочлен т (х) делит многочлен хп'+г —
— хп« — хп« (хг — 1). Отсюда получаем, что т (х) имеет вид
т (х) = xhg (х), где h < щ, a g (х) С F, lx], g @) Ф 0 и g [x)
делит хг — 1. Из определения порядка многочлена следует, что
ord (т (х)) = ord(g (x)) •< г. С другой стороны, по теореме
8.27 г делит ord (т (х)), откуда и следует, что г — ord (m {x\). U
§ 4. Минимальный многочлен 527
8.45. Пример. Пусть % sb ... — линейная однородная по-
последовательность над полем Fa, удовлетворяющая рекуррентному
соотношению sn+5 = sn+1 + sn, n =-- 0, 1, ..., с вектором на-
начального состояния A, 1, 1,0, 1). Следуя методу доказательства
теоремы 8.42, возьмем /0 (х) = хь — ж.— 1 = хъ + х + 1 ?
? р2 [х]. Из (8.10) получаем, что Ло (х) = ж* 4 *3 + х2. Тогда
d (ж) = х2 -\- х -\- 1, и, таким образом, минимальный многочлен
т (х) нашей последовательности равен /0 (x)ld (х) = х3 + х2 + 1.
Так как ord (m (x)) = 7, то отсюда по теореме 8.44 получаем,
что минимальный период нашей последовательности равен 7
(ср, с примером 8.18). Q
Из приведенного только что примера видно, как можно на-
находить минимальный период линейной рекуррентной последо-
последовательности, не вычисляя ее членов. Этот метод особенно эффекти-
эффективен, если в нашем распоряжении имеется таблица порядков
многочленов. Так как такие таблицы обычно включают в себя
лишь сведения о порядках неприводимых многочленов (см. § 2,
гл. 10), для нахождения порядка данного многочлена необходимо
воспользоваться теоремами 3.8 и 3.9 (ср. с примером 3.10).
8.46. Пример. Метод, использованный в примере 8.45, мож-
можно также применять и в случае неоднородной линейной рекур-
рекуррентной последовательности. Пусть s0, slt ... — последователь-
последовательность над полем Fa> удовлетворяющая рекуррентному соотно-
соотношению
Sn+* = «п+8 + «п+1 + sn + 1, Л = 0, 1,...,
с вектором начального состояния A,1,0, 1). В соответствии
с (8.5) эту же последовательность можно получить с помощью
однородного линейного рекуррентного соотношения
sn+» = sn+3 + sn+2 + snt П = 0, 1, ...,
выбирая вектор начального состояния равным A, 1,0, 1,0). Дей-
Действуя так же, как в примере 8.45, находим соответствующий ха-
характеристический многочлен
/ (х) = хь + Xs + х* + 1 = (х + I)8 (х* + х + 1) ? F2 lx],
который в данном случае совпадает с минимальным многочленом
т (х) нашей последовательности. Так как по теореме 3.8
ord ((х + I)») = 4, a ord (х* + х + П = 3, из теоремы 3.9 следует,
что ord (т (х)) = 12. Поэтому последовательность s0) Si, ... яв-
является чисто периодической последовательностью с минимальным
периодом, равным 12. ?
8.47. Пример. Рассмотрим линейную рекуррентную последо-
последовательность %, slt ... над полем f2, задаваемую рекуррентным
соотношением
«п+4 = Sn+2 + Sn+1, Я = 0, 1, ....
528
Гл. 8. Линейные рекуррентные последовательности
с вектором начального состояния A, 0, 1, 0). Тогда
/ (х) = х* + х2 + х = х (х3 + х + 1) € F» 1*1
— характеристический многочлен нашей последовательности и.
в силу того, что ни х, ни Xs + х + 1 не является характеристичен.
ским многочленом этой последовательности, получаем т (х) ¦ ¦¦ ¦
= х* + х2 + х. Таким образом, последовательность s0, .sj, ...
является периодической, но не чисто периодической, а ее мини-
минимальный период равняется ord (m (х)) = 7.
8.48- Теорема. Пусть s0, st, ... — однородная линейная pe-
куррентная последовательность над полем f4, а Ь—некоторое]
натуральное число. Тогда минимальный многочлен тх (х) сд"инц-{
той последовательности S&, s6+i, ... делит минимальный миого-л
член т (х) исходной последовательности s0, s, Если sa,st, . . —\
чисто периодическая последовательность, то tnj (х) —¦ т (х).
Доказательство. Для того чтобы доказать первое утверждение,
в силу теоремы 8.42 достаточно показать, что любое однородное
линейное рекуррентное соотношение, которому удовлетворяет
исходная последовательность s0, slt ..., также справедливо и
для сдвинутой последовательности. Последнее очевидно. Для
доказательства второго утверждения рассмотрим однородное ли-
линейное рекуррентное соотношение
sn+b+h ~ ak-lsn+b+k-l
Я = 0, 1, ...,
которому удовлетворяет сдвинутая последовательность. Пусть
г — период последовательности s0, sb ..., так что sn+r — sn для
всех п > 0. Выберем целое число с, для которого сг > Ь. Тогда,
используя линейное рекуррентное соотношение, в котором п
заменено на п + сг — Ь, и учитывая свойство периодичности, по-
получаем, что
«п+й = cth-iSn+k-i -I + a<>sn, я > 0.
Последнее означает, что последовательность s0, %, ... удовле-
удовлетворяет тому же линейному рекуррентному соотношению, что и
сдвинутая последовательность. Применяя вновь теорему 8.42,
получаем, что mi (х) =-- т (х). ;3
8.49. Пример. Пусть s0, s,, ... — линейная рекуррентная по-
последовательность над полем F2, рассмотренная в примере 8.47.
Ее минимальный многочлен равен х* + х2 + х, в то время как
минимальный многочлен сдвинутой последовательности sx, >'_•. ¦••
равняется х3 + х + I и является делителем многочлена х1 !¦
+ х% + х. Этот пример показывает, что второе утверждение тео-
теоремы 8.48 может не выполняться в случае, если s0, slt ... не
является чисто периодической последовательностью. '3
§ 4. Минимальный многочлен 529
8.50. Теорема. Пусть f (x) ?fq \х\ — нормированный не-
неприводимый многочлен над полем fq, и пусть s0, slt ... — одно-
однородная линейная рекуррентная последовательность над полем
(р не являющаяся нулевой последовательностью. Если f (x) —
характеристический многочлен последовательности s0, ?t то
он равняется ее минимальному многочлену т (х).
Доказательство. Так как по теореме 8.42 минимальный
многочлен т (х) нашей последовательности должен делить
многочлен / (х), то в силу неприводимости / (х) получаем,
что либо т (х) = 1, либо т (х) ¦= f (х). Однако т (х) = I только
для нулевой последовательности. Отсюда вытекает утверждение
теоремы. Q
Существует общий критерий для определения того, является ли
характеристический многочлен линейного рекуррентного соот-
соотношения, определяющего данную линейную рекуррентную по-
последовательность, одновременно и минимальным многочленом
лой последовательности.
8.51. Теорема. Пусть s0, Sj,...— последовательность элементов
ноля Fq, удовлетворяющая линейному рекуррентному соотноше-
соотношению k-го порядка с характеристическим многочленом f (х) ? Fq \x].
Тогда f (x) совпадает с минимальным многочленом этой последо-
последовательности в том и только том случае, когда векторы состоя-
состояний s0, S], ..., sh-i линейно независимы над полем fq.
Доказательство. Предположим, что / (х) является минималь-
минимальным многочленом нашей последовательности. Если векторы Sq.Si, ...
..., sh_x линейно зависимы над полем fg, то найдутся элементы Ьй,
bi bfc-i € F9, не все равные 0, такие, что Ь„&„ + Ьг&г + ...
••• -г Ьц-\$к-1 — 0. Рассмотрим матрицу А из (8.3), соответствую-
соответствующую данному линейному рекуррентному соотношению. Умножая
все члены приведенного выше равенства на степени матрицы А,
из равенства (8.4) получаем
Ьи$п + Ь^п+1 + \- bh.iSn+h.! = 0, п = 0, 1, ... .
В частности,
Ksn — btsn+1 +...-(- bft-iSn+b,! = 0 для всех п -= 0, 1, ... .
Ьсли bj = 0 для всех 1 <; / -^ k — 1, то sn — 0 для всех п ^ 0,
чю противоречит тому, что минимальный многочлен / (х) рассмат-
рассматриваемой последовательности не является постоянным (т. в. имеет
положительную степень). Тогда пусть / ~^> 1 — наибольший ин-
индекс, для которого Ь} Ф 0. Отсюда вытекает, что последователь-
"ость s0, slf ... удовлетворяет однородному линейному рекуррент-
рекуррентному соотношению /-го порядка, где / < к. Это противоречит
предположению, что / (х) является минимальным многочленом.
\Ким образом, мы показали, что векторы s0, S! sA.x ли-
линейно независимы над полем Fq.
7 Зак. 243
-Л,, i
t .и-K- ?
530 Гл. 8. Линейные рекуррентные последовательности
Обратно, предположим, что sn, s1( .... sft_j линейно не: .i.u-
симы над Fq- Так как s0 Ф 0, минимальный многочлен наше < ,м>-
следовательности имеет положительную степень. Если /(>> ;ц>
является минимальным многочленом, последовательность s,,, .>|.
должна удовлетворять однородному линейному рекуррентному
соотношению т-го порядка с коэффициентами из §q для некотс ¦ ¦• ¦:ii
1 -<^ т < k. Пусть это соотношение имеет вид
5п+та ~ ат-1$п+гп-1 Г * ' ' 1 flflsn> /2 ~~ О, I, ... .
Однако отсюда следует равенство sm =-¦•¦ ат_л$т_х \- ... +• ....s,,,
что противоречит предположению о линейной независимости
ТОрОВ S0, Slt ..., Sn. , .
8.52. Следствие. Если последовательность %, s|( ... — •.«-
пульсная функция, соответствующая некоторому однородном,/ nt-
нейному рекуррентному соотношению над полем f q, то muhua'.i ?л- j
ный многочлен этой последовательности равен характерисг''.ч"- ¦
скому многочлену этого линейного рекуррентного соотноии чч ,
Доказательство. Поскольку импульсная функция обли :.ит }
тем свойством, что первые k ее векторов состояний линейно *.» «J- i
висимы, то сформулированное утверждение следует из теош-чи "¦
8 51. ~!^j
§ 5. Семейства линейных рекуррентных
последовательностей
Пусть / (х) ? Tq [x] — нормированный многочлен положи-
положительной степени. Через 5 (/ (х)) обозначим множество всех ( ш»-
родных линейных рекуррентных последовательностей над но-
лем fg с характеристическим многочленом f (х). Другими <¦¦№•
вами, S (/ (дг)) состоит из всех последовательностей над полем '^
которые удовлетворяют однородному линейному рекурренти"\'У
соотношению, определяемому многочленом/ (х). Если deg (/ (ли
- k, то S (/ (х)) содержит ровно qk последовательностей, соопм'Т-
ствующих выбору qk различных значений вектора началь!"""''
состояния.
Множество S (f (х)) можно рассматривать как векторное ¦ ip*»-
странство над fq, если определить соответствующим образом t¦ i:**-
рации над последовательностями элементов из поля Fq- I -lK-
если через о обозначена последовательность s0, slt ..., а через i
последовательность tn, tu ..., состоящие из элементов поля V
то определим их сумму a -j % как последовательность s0 '«¦
Sj -f tx,- ... . Далее, если c?fq, то произведение са опреД'"-1Я'
ется как последовательность вида csn, cs,, .. .Из рекуррентного
соотношения непосредственно следует, что множество S (/ с^'
замкнуто относительно операций сложения и умножения на
станту. Нетрудно проверить выполнение аксиом векторного
§ 5. Семейства линейных последовательностей 531
странства. Таким образом, S (/ (х)) действительно представляет
собой векторное пространство над полем Fq, Роль нулевого век-
хора играет нулевая последовательность — последовательность,
все члены которой равняются нулевому элементу поля fq. Так
как S (/ (х)) содержит цк элементов, размерность полученного
векторного пространства равняется k. Выберем k линейно неза-
независимых наборов длины k из элементов поля fq. Если обозначить
эти /г-наборы через ух, ..., уЛ, то k линейно независимых элемен-
элементов пространства S (/ (х)) можно получить, рассматривая после-
последовательности а, аА из S (/ (х)), такие, что вектор у^, 1 •<
.< / -^ к, является вектором начального состояния последова-
последовательности о,-. Наиболее естественным является выбор в качестве
Yi. ••¦> У ft стандартного базиса векторов
ех = A, 0, ..., 0), ег = @, 1, ..., 0), ..., е„ = @, .... 0, 1).
Другой базис пространства S (/ (х)), который часто бывает по-
полезным, получается при рассмотрении импульсной функции d0,
du ... из S (f (х)), если в качестве ylf ..., yh выбрать первые k
ее векторов состояний d0, db ..., dh_t.
Теперь рассмотрим соотношения между различными множест-
множествами S (/ (х)).
8.53. Теорема. Пусть f (х) и g (х) — два нормированных мно-
многочлена над полем fq, не являющиеся постоянными многочленами.
Тогда S (/ (х)) является подмножеством множества S (g (x)) в том
и только том случае, если f (x) делит g (x).
Доказательство. Предположим, что S (f (x)) s= S (g (x)). Рас-
Рассмотрим импульсную функцию, принадлежащую 5 (/ (х)). В силу
следствия 8,52 ее минимальный многочлен равен / (х). По предпо-
предположению она лежит также и в множестве S (g (x)). Следовательно,
по теореме 8.42 ее минимальный многочлен / (х) делит g (x).
Обратно, если / (х) делит g (x), a s0, st, ... — произвольная после-
последовательность из S (/ (х)), то по теореме 8.42 минимальный много-
многочлен этой последовательности т (х) делит / (х). Следовательно,
т (х) делит и g (х), и, применяя вновь теорему 8.42, получаем,
что последовательность s0, slt ... принадлежит S (g (x)). Таким
образом, S (/ (х)) является подмножеством множества S (g (x)). ?
8.54. Теорема. Пусть /х (х), ..., fh (x) — нормированные мно-
многочлены над полем fq, ни один из которых не является постоянным
многочленом. Если Д (х) fh (x) взаимно просты, то пересе-
пересечение
S(h(x))f\ ... f\S(fh(x))
содержит лишь нулевую последовательность. Если d (x) — нор-
нормированный многочлен, deg (d (x)) > 0, являющийся наибольшим
°бщим делителем многочленов fj_(x), .... fh (x), то
S(h(x))f]- u
7*
532 Гл. 8. Линейные рекуррентные последовательности
Доказательство. Минимальный многочлен т (х) любой по-
последовательности, лежащей в рассматриваемом пересечении, дол-
должен делить /, (х), ..., fh(x}- Если эти многочлены взаимно про-
просты, то т (х) =-- 1, а только нулевая последовательность шест
минимальный многочлен, равный 1. Во втором случае мы заклю-
заключаем, что от (х) делит d (х), а тогда но теореме 8.42 S (/, (х)) f] ...
...f) 5 (/л (х)) s S (d (x)). В свою очередь, обратное включение
S (d (x)) s S (/, (х)) П ¦•¦ П 5 (/л (x)) следует из теоре\п.|
8.53.
Обозначим через S (/ (х)) --)- S (g (x)) множество всех последо-
последовательностей вида о + т, где гг ? S (/ (х)), х ? S (g (x)). Это
определение, разумеется, можно распространить на любое ко-
конечное число слагаемых.
8.55. Теорема. Пусть ft (x), ..., fh (x) — нормированные мно-
многочлены над полем Tq, не являющиеся постоянными. Тогда
5 (А (х)) -j- ... i- S (fh (x)) == S (с (х)),
где с (х) — нормированный многочлен, являющийся наименьшим
общим кратным многочленов /, (х), ..., fh (x).
Доказательство. Достаточно рассмотреть случай h — 2, так как
общий случай легко получить по индукции. Прежде всего, заме-
заметим, что по теореме 8.53 последовательность из S (/х (х)) или
из S (/2 (х)) обязательно принадлежит н S (с (.г)). Отсюда следуог,
что S (/х (х)} + S (/о (х)) Е S (с (.г)). Сравним теперь размерносш
этих множеств как векторных пространств над полем Fq. Полагая
Vi = S (Д (х)), V2 == S (/а (х)), обозначая через d (x) нормиро-
нормированный многочлен, являющийся наибольшим общим делителем
/i (*)> ft (x)< и применяя теорему 8.54, получаем
dim (Vi -f Vt) = dim (Vt) + dim (Va) - dim (Vt (] V2) =
= deg (Д (x)) + deg (/2 (ж)) - deg (d (x)).
Но с (jc) = /j (x) /2 (x)/d (x), откуда
dim (Vx f K,) =. deg (c (x)) - dim (S (c (*))).
Таким образом, линейное подпространство S (/x (x)) -f S {/2 (x)) ?
s 5 (с (ж)) имеет ту же размерность, что и линейное пространство
S (с (х)), откуда следует равенство S (ft (х)) + S (/2 (х))
= S (с (х)). rJ
В частном случае, когда многочлены / (х) и g (x) являются
взаимна простыми нормированными многочленами над полем }</•
не являющимися константами, имеет место соотношение
S (/ (х) g (х)) = S (f (хУ) + S(g (х)).
Так как в этом случае из теоремы 8.54 следует, что S (/ (х)) П
A S(| (x)) содержит только нулевую последовательность, то.
§ 5. Семейства линейных последовательностей 533
говоря языком линейной алгебры, пространство S (/ (х) g (x))
является прямой суммой своих подпространств S (/ (х)) и S (g (x)).
Другими словами, любую последовательность о ? S (f (x) g (x))
можно единственным образом представить в виде а = ах + в.„
где a,€5tfW), a o2?S(g(x)).
Вспомним теперь, что S (/ (х)) является векторным простран-
пространством над полем fq и что размерность этого векторного про-
пространства равняется степени многочлена / (х). Это векторное про-
пространство обладает еще одним интересным свойством: если по-
последовательность s0, st, ... лежит в множестве S (/ (х)), то для
любого целого числа Ь ~^> О сдвинутая последовательность sb,
sb+1, ... также лежит в S (/ (х)). Это свойство немедленно выте-
вытекает из соответствующего линейного рекуррентного соотношения.
Мы сформулируем это свойство в виде утверждения о том, что
множество S (/ (х)) замкнуто относительно сдвига входящих в него
последовательностей. В совокупности перечисленные свойства
полностью характеризуют множества S (/ (х)).
8.56. Теорема. Пусть Е — некоторое множество последо-
последовательностей над полем fq. Тогда Е = S (/ (х)) для некоторого
нормированного многочлена f (х) ? fq [x], deg (/ (х)) > 0, в том
и только jnoM случае, если множество Е является конечномерным
векторным пространством над полем fq (относительно стандарт-
стандартных операций сложения последовательностей и умножения их
на константу), которое замкнуто относительно операции сдвига
последовательностей.
Доказательство. Как мы уже отмечали, условия этой тео-
теоремы являются необходимыми. Чтобы доказать их достаточность,
рассмотрим произвольную ненулевую последовательность а ? Е.
Если ст обозначает последовательность s0, s1( ..., a b ;> 0 — про-
произвольное целое число, то через а(Ь) обозначим сдвинутую по-
последовательность sb, sb+1, .... По предположению все последо-
последовательности а@), аA), аB), ... лежат в Е. Но Е — конечное мно-
множество, откуда следует, что существуют неотрицательные целые
числа i < /, такие, что а<1'> = а<>\ Отсюда вытекает, что исходная
последовательность а удовлетворяет однородному линейному ре-
рекуррентному соотношению sn+j = sn+i, n — 0, 1, ... . По тео-
теореме 8.42 последовательность о имеет минимальный многочлен
nv (х) ? Fq [х], и пусть k = deg (ma (x)). Тогда в силу теоремы
8.51 векторы состояний s0, Si, ... , s^ последовательности а
являются линейно независимыми над полем fq. Значит, последо-
вательности а@), аA), ..., а(*—1) являются линейно независи-
независимыми элементами пространства S (та (х)) и, следовательно, об-
образуют базис пространства S (та (х)). Так как а@>, аA), ...
.... of'-i) принадлежат также и векторному пространству Е, то
*-> (tno (x)) является линейным подпространством пространства Е.
534 Гл. 8. Линейные рекуррентные последовательности
Обозначим через Е* множество последовательностей, полученное
из Е путем отбрасывания нулевой последовательности. Проводя "
приведенные выше рассуждения для всех о?Е*, приходим )
к тому, что конечная сумма векторных пространств 2 5 (та \х))
о (- Е*
является линейным подпространством пространства Е. С друкж
стороны, очевидно, что Е s Jj S (та (х)) и, значит, Е
— 2 5 ("*„ (х)). Применяя теорему 8.55, получаем
Е = 2 S(ma(x)) = S(f(x)),
<J?E*
где / (х) — наименьшее общее кратное многочленов та (х). г а \
пробегает конечное множество Е*. \ '}
Из теоремы 8.55 следует, что сумма двух и более однородных ¦'
линейных рекуррентных последовательностей над полем ?;ч •
является однородной линейной рекуррентной последователь- *
ностью. Характеристический многочлен суммарной последова- j
тельности тоже легко получается из этой теоремы. В важных част- j
ных случаях минимальный многочлен и минимальный период »
суммарной последовательности можно непосредственно получить 1
из соответствующих характеристик суммируемых последоиа- j
тельностей. |
8.57. Теорема. Пусть ait i = 1, 2, ..., h, — однородные ли- J
нейные рекуррентные последовательности над полем fq, a nit (л'1 ^ J
б F<j [¦*] — соответствующие минимальные многочлены. Если
многочлены т% (х), ..., mh (х) попарно взаимно просты, то мини-
минимальный многочлен суммы 0t + ... + 0л решен произведению
тх (х) ... mh (x).
Доказательство. Для доказательства достаточно рассмотреть
случай h = 2, так как доказательство в общем случае легко по-
получить по индукции. Если один из многочленов тх (х) или тг (х)
является постоянным многочленом, равным 1, то результат три-
тривиален. Аналогично, если минимальный многочлен т (х) 6
б Fg fxj, соответствующий сумме ах-)¦- о2, является постоянным
многочленом, равным 1, то результат получается непосредственно.
Предположим, что все многочлены т1 (х), т,г (х), т (х) являются
многочленами положительной степени. Так как в силу теоремы 8 55
ai + СТ2 б S (nti (*)) + 5 (т., (х)) = S (тх (х) т» (х)),
то щ (х) делит тг (х) тг (х). Пусть ах — последовательность sn.
st, ..., а 02 — последовательность t0, tx, ..., и пусть
т (х) ~ хк — ah_iXk~~{ — • • • — а0.
§ 5. Семейства линейных последовательностей 535
Тогда
sn+k ~\~ tn+h ~ ak-l (sn+ft-l ~\~ ^n+ft-l) Т~ " ' ' "Г ao(sn "t" ^n)»
n = 0, 1, ...
Если мы положим
11п = Sn+k ah-lsn+k-l '" ' ' ' —a0sn =
= —tn+h + aft-l^n+fc-l + ' ' ' + Ootn, /1 = 0, 1, ...,
и вспомним, что S (m, (х)) и 5 (т2 (х)) являются векторными
пространствами над полем fq, замкнутыми относительно операции
сдвига входящих в них последовательностей (см. теорему 8.56),
то мы убедимся, что последовательность и0, иъ ... лежит как
в S (rrii (х)), так и в S (т2 (х)). По теореме 8.54 она является ну-
нулевой последовательностью. Отсюда следует, «что шх (х) делит
т (х) и т2 (х) делит т (х), а значит, и тх (х) тъ (х) делит т (х).
Таким образом, т (х) ~ т,\ (х) тг (х). П
Если минимальные многочлены тх (х), .... /лд (х) последо-
последовательностей a,, ..., ah соответственно не являются попарно
взаимно простыми, то для определения минимального многочлена
суммарной последовательности a = аг + ... + а/, необходимо
учитывать свойства исходных последовательностей olt .... oh.
Наиболее удобен подход, основанный на использовании произво-
производящих функций. Предположим, что Gt (х) ? Fg f lx]], i — 1, ...,
h, — производящие функции последовательностей ot. Тогда для
производящей функции G (х) суммарной последовательности о
справедливо равенство G (х) — Gx (x) +-...-(- Gh (x). По тео-
теореме 8.40 каждая производящая функция Gt (x) может быть
представлена в виде дроби, знаменатель которой является много-
многочленом, возвратным к многочлену mt (x). Сложим эти дроби, при-
приведя их предварительно к общему знаменателю, а затем, исполь-
используя вторую часть теоремы 8.40 и метод доказательства теоремы
8.42, найдем минимальный многочлен последовательности ст. При-
Применяя указанный подход, можно также получить другое дока-
доказательство теоремы 8.57.
8.58. Пример. Пусть стх — последовательность над полем !f2,
являющаяся импульсной функцией и принадлежащая множеству
5 (д;4 -f х9 4- х + 1), а стг — последовательность иад F2, являю-
являющаяся импульсной функцией и принадлежащая 5 (хь + х* + 1).
Тогда по следствию 8.52 соответствующие минимальные много-
многочлены равны
пц (х) = х* + xs + х + 1 = (л-2 + х + 1) (х + IJ € Га U1,
Щ (х) --- хь + хЧ1 = (х2 + х + 1) (х3 + х 4- 1) € F2 lx].
536 Гл. 8. Линейные рекуррентные последовательности
По теореме 8.40 производящая функция G (х) суммарной
довательности а = ах -(- пг равняется
ij \л f — , п ] - * \ /„ ; 1 \2 i 71л i II ] |Ч"'.
В силу второй части теоремы 8.40 возвратный к знаменателю мно-
многочлен /о (•*¦) = (*3 + л f* 1) (Jf + IJ, является характеристиче-
характеристическим многочленом для п. Из (8.18) следует, что соответствующий
многочлен ho (х) задается формулой h0 (х) — —х* {llxf — - х.
Так как fn (x) и hg (x) взаимно просты, то, используя метод дока-
доказательства теоремы 8.42, можно получить минимальный много-
многочлен т (х) последовательности о:
т (х) = (х3 + х + 1) (х + IJ.
Заметим, что т (х) является собственным делителем наибольшого
общего кратного многочленов тх (х) и т2 (х), которое равняется
(хг +• х -Ь 1) (х f IJ (г4 4- х | 1). ¦;]
Из информации о минимальных многочленах, которую дает
теорема 8,57, можно непосредственно получить полезный резуль-
результат о минимальном периоде суммарной последовательности.
8.59. Теорема. Пусть каждая из последовательностей аи j
= 1 h, является однородной линейной рекуррентной па.гс-
довательностью над полем fq с минимальным периодом rt и ми-
минимальным многочленом fni(x)?fq [x\. Если многочлены
тх (х), ..., mh (x) попарно взаимно просты, то минимальный пе-
период суммарной последовательности а — at -f- ... -f ah равняемся
HOK (гк .... rh).
Доказательство, Рассмотрим случай h = 2, так как обшин
случай легко получить по индукции. Тогда если г — минимальный
период последовательности а --=-- а1 -f аг, то по теоремам 8.44
и 8.57 г = ord (mt (x) /щ (х)). Применяя теорему 3.9, получагм.
что г является наименьшим общим кратным ord {mx (х)) и
ord (т% (х)), т. е. чисел гх и гг, . j
8.60. Пример. Рассмотрим последовательности ах и щ из
примера 8.58. Минимальные периоды последовательностей
стг и а2 равняются соответственно гх = Ьхй (тх (х)) — 6 и га
= ord (m2 (x)) = 21. Минимальный период последовательности
о — at + ст2 равняется г = ord (m (x)) = 14. При вычислении
порядков многочленов мы, разумеется, должны воспользоваться
теоремой 3.9. Таким образом, периоды последовательностей по-
получены без вычисления их членов. В нашем случае можно, конечно,
проверить полученные результаты с помощью непосредственного
§ б. Семейства линейных последовательностей 537
вычисления периода. Для этого вычислим члены соответствую-
соответствующих последовательностей:
0,0,0,1,1,1,0,0,0,1,1,1,0,0,0,1,1,1,0,0,0,1,1, ... rt = 6
0,0,0,0,1,1,1,1,1,0,1,0,1,0,0,1,1,0,0,0,1,0,0, ... гг = 21
a, t- а»: 0,0,0,1,0,0,1,1,1,1,0,1,1,0,0,0,0,1,0,0,1,1,1, ... г= 14
Заметим, что г является собственным делителем НОК (г-,, г2). П
8.61. Теорема. Пусть сть i = 1, 2, ..., А, — периодические
последовательности над полем fq, a rt — минимальные периоды
этих последовательностей. Если числа rlt ..., rh попарно взаимно
просты, то минимальный период суммарной последовательности
о, -}- ... + oh равен произведению гх ... rh.
Доказательство. Как и раньше, ограничимся рассмотрением
случая h = 2. Очевидно, что гхг2 является периодом суммарной
последовательности ст = Oj + ст2. Таким образом, минимальный
период последовательности а, равный г, должен делить произве-
произведение rvrt. Следовательно, г можно представить в виде г — dxd2,
где dx и d2 — положительные делители чисел rt и г3 соответ-
соответственно. В частности, йхгг является периодом последовательности о.
Если 01 обозначает последовательность s0, slt ..., а а2 — после-
последовательность to, tx, ..., то
S?i+dir2 + tn+dst = Sn + tn
для всех достаточно больших п. Но 4+<*ira = ^ для всех достаточно
больших п, отсюда получаем, что sn+l/ir2 = sn для всех достаточно
больших п. Следовательно, гх делит ахгг, а так как гх и г2 взаимно
просты, то гх делит dx, и, значит, dx ~ гх. Аналогично доказы-
доказывается и равенство d2 = г2. П
В случае конечного поля Гг можно ввести интересную опера-
операцию над последовательностями элементов этого поля, называе-
называемую операцией бинарного дополнения. Так, если а — последо-
последовательность над полем F2, то ее бинарное дополнение, обозначае-
обозначаемое через а, получается из ст заменой каждого элемента, равного 0,
на 1, а каждого элемента, равного 1, — на 0. Бинарное допол-
дополнение можно рассматривать как частный случай операции сло-
сложения последовательностей, так как последовательность а можно
получить, прибавляя к а последовательность 1, 1, 1, ... . Следо-
Следовательно, если о является однородной линейной рекуррентной
последовательностью, то и § является однородной линейной ре-
рекуррентной последовательностью. Очевидно, что минимальный
период 5 совпадает с минимальным периодом ст. Минимальный
многочлен последовательности а легко можно получить из мини-
минимального многочлена исходной последовательности ст.
8.62. Теорема. Пусть а — однородная линейная рекуррентная
последовательность над полем F2, a a — ее бинарное дополнение.
538 Гл. 8. Линейные рекуррентные последовательности
Представим минимальный многочлен m(x)?f2 [х] последова-
последовательности а в виде т (х) = (х + \)hmx (х), где h ^ О, т1 (х) ?
с F2 I-*]. Щ A) = 1. Тогда минимальный многочлен т (х) по-
последовательности а задается формулой
(хАг\)т(х), если h = 0;
т (х) =
тх{х), если h = 1;
т(х), если А> 1.
Доказательство, Пусть е — последовательность над полем f.,,
зсе члены которой равны 1. Так как а = а + е, а минимальный
многочлен последовательности е равен х + 1, случай /i = 0
следует из теоремы 8.57. Если /г ;> 1, то из теоремы 8.55 вытекаег.
что а = а + е ? S (m (х)). Тогда т (х) делит т (х). Если m (.v)
чвляется постоянным многочленом, равным 1, то а является ну-
нулевой последовательностью и а — е, а следовательно, теорема
в этом случае справедлива. Предположим теперь, что deg (т (х)) ] ¦
> 0. Из теорем 8.53 и 8.55 следует, что о = a -f e g 5 (m (x) •
• (х + 1)), и тогда т (х) делит m (х) (х + 1). Отсюда для h ;> 1
получаем, что либо т (х) = m (х), либо m (х) = (х -f 1)л—1 m, f.r).
Если /г > 1, то а = а + е ? S (т (х)), откуда следует, что
т (х) — т (х). Если же /i = 1, то пусть о— последователыг^счь
%> Sj, ..., а
тх (х) = х* + %_ixfc-1 И + а„
является многочленом положительной степенн (случай многочлена
нулевой степени тривиален). Положим
«п = sn+h + a^^Sn^j + • ¦ • + aosn, n = 0, 1, ... .
Так как т (х) = (х + 1) mj (x) — характеристический многочлен
последовательности s<>, s1( ..., то легко получить, что ип+1 ии
для всех п ^> 0. Следовательно, ып = и0 для всех /г ^- 0, и :игда
обязательно выполняется равенство и0 = 1, так как иначе ///, (х)
был бы характеристическим многочленом последовательности <т.
Таким образом,
sn+ft + 1 = «ft-iSn+fc-i + ¦ • • + ао^„ для всех п > 0.
Поскольку ffij A) = 1 + %_! -f ... + ап = 1, получаем
sn+fe + 1 = aft_x (sR+ft_! + 1) + • • • + «о (sn + 1) Для всех « > 0.
а это означает, что пг1 (х) является характеристическим много-
многочленом последовательности д. Таким образом, в случае h = 1
имеет место равенство т (х) = тх (х), что и завершает доказа-
доказательство теоремы. Li
Напомним, что S (/ (ж)) обозначает множество всех однород-
однородных линейных рекуррентных последовательностей над полем i,w,
с характеристическим многочленом / (х), где / (х) ? Fq [x] -
§ 5. Семейства лннейиых последовательностей 539
нормированный многочлен положительной степени. Мы хотим,
во-первых, найти те целые положительные числа, которые могут
встречаться в качестве минимальных периодов у последователь-
последовательностей из множества S (/ (х)), а во-вторых, определить, для сколь-
,шх последовательностей из S (/ (л:)) данное число может быть
минимальным периодом.
Запишем многочлен f (х) в виде / (х) — xhg(x), где h > О —
целое число, g(x)?fq [x], g@)=?0. Случай, когда g (x) яв-
является константой, тривиален, так как тогда каждая последова-
последовательность из S (/ (х)) имеет минимальный период 1. Если А^> 1,
;i g (x) является многочленом положительной степени, то, как
это было показано в замечаниях, следующих за теоремой 8.55,
каждая последовательность а ? S (/ (х)) может быть единствен-
единственным образом представлена в виде а = ог + а2, где ^ ( S (xh),
(Т> ? S (g (x)). Все члены последовательности аг, кроме, может
быть, конечного числа первых членов, равняются 0, Таким об-
образом, минимальный период последовательности а равняется
минимальному периоду последовательности оа. Далее, из данной
последовательности ст2 ? S (g (x)) можно получить qh различных
последовательностей из 5 (/ (л:)), прибавляя к аг любую из qh
последовательностей из S (xh). Следовательно, если гъ ..., rt —
минимальные периоды последовательностей из S (g (x)), a Nlt ,.,,
,\t — число последовательностей из S (g (x)), имеющих мини-
минимальные периоды, равные соответственно гх, ..., rj, то для каж-
каждого I, I -^ i <J t, существует ровно qhNt последовательностей
из множества S (/ (х)), имеющих минимальный период rt, и ника-
никаких других минимальных периодов у последовательностей нз
¦S {/ (х)) быть не может.
Пусть теперь h = 0; тогда / @) Ф 0, Предположим, сначала,
'по / (х) — неприводимый многочлен над полем fq. В этом слу-
случае из теоремы 8.44 и 8.50 мы получаем, что каждая последо-
последовательность из S (/ (х)) с ненулевым вектором начального состоя-
состояния имеет минимальный период, равный ord (/ (x)). Значит, одна
Последовательность из S (} (х)) имеет минимальный период 1,
я остальные qde?"(х)) — 1 последовательностей имеют мини-
минимальный период ord (/ (х)).
Далее, рассмотрим случай, когда / (д:) является степенью не-
неприводимого многочлена. Тогда представим / (х) в виде / (х) ~
Ш (х))ь, где g (x) ? Fg [д;] — нормированный неприводимый
Многочлен над полем fq, а &>2 — целое число. Тогда мини-
минимальный многочлен любой последовательности из множества
S (/ (.г)) с нулевым начальным вектором имеет вид (g (x))c, где
1 '¦¦-.' с <; Ь. По теореме 8.53
S (g (х)) = S ((g (х)У) <= ...sStfW).
Таким образом, если deg (g (x)) = k, то имеется qk — 1 последо-
540 Гл. 8. Линейные рекуррентные последовательности
вательностей из S (/ (х)) с минимальным многочленом g i.\),
q2k — gk последовательностей из S (f (x)) с минимальным mhoio-
членом (g (х)J н т. д. В общем случае для любого с — 1, 2, ,.,, /;
существует ровно qck — q(c~D * последовательностей из множе-
множества S (/ (х)), для которых минимальный многочлен равняеюя
(g (x))c. Объединяя полученные результаты с результатами тео-
теорем 3.8 и 8.44, получаем следующую теорему.
8.63. Теорема. Пусть f (x) = (g (x))b, где g (x) g fq lx] ¦ ¦
нормированный неприводимый многочлен над полем fq, g @) Ф 0.
deg (g (x)) = k, ord (g (x)) = e, b — натуральное число. Пусть
t — минимальное целое число, такое, что р* ;> Ь, где р — харак-
характеристика поля fq. Тогда S (f (x)) содержит следующее чис.ю
последовательностей со следующими минимальными периодами:
1 последовательность с минимальным периодом 1, qk — 1 после-
последовательностей с минимальным периодом е, а если b ^> 2, то
qkpi — qkp'~l последовательностей с минимальным периодом ер',
/ = 1, 2, ..., t— 1, и qkb — qkpt~l последовательностей с ми-
минимальным периодом ер*.
В случае когда f(x)?fq [x\ — произвольный нормирован-
нормированный многочлен положительной степени, / @) ^= 0, то начнем
с его канонического разложения
к
(g())
1=1
где gt (x) — различные нормированные неприводимые многочлены
над полем fq, a bt — целые положительные числа. Тогда из тео-
теоремы 8.55 следует, что
S (/ (х)) = S ((gl (x)Ni) + ¦ • ¦ + S ((gh (х))Ч
В самом деле, для каждой последовательности а из S (/ (х)) су-
существует единственное представление вида а= at + ... -f ah,
где ot g S ((gi (x))bi), 1 < i < h. Из, теоремы 8.63 известно, ка-
какие минимальные периоды могут иметь последовательности из
5 ((gi (*))*')• Аналогичные результаты для минимальных пе-
периодов последовательностей, лежащих в S (f (х)), можно полу-
получить, воспользовавшись теоремой 8.59.
8.64. Пример. Пусть
/ (х) = (хг + х + IJ (х* + х3 + 1) е F2 lx].
По теореме 8.63 $ ((х2 + х + IJ) содержит последовательность
с минимальным периодом 1, 3 последовательности с минимальным
периодом 3 и 12 последовательностей с минимальным периодом б.
В то же время S (х* + Xя + 1) содержит последовательность с ми-
минимальным периодом 1 и 15 последовательностей с минимальным
§ 5. Семейства линейных последовательностей 541
периодом 15. Значит, образуя все возможные суммы из последо-
последовательностей, входящих в 5 ((х2 + х + \)г) и 5 (х* + Xя + 1).
и пользуясь теоремой 8.59, получаем, что 5 (/ (л)) содержит 1 по-
следовательность с минимальным периодом 1, 3 последователь-
последовательности с минимальным периодом 3, 12 последовательностей с ми-
минимальным периодом 6, 60 последовательностей с минимальным
периодом 15 и 180 последовательностей с минимальным перио-
периодом 30. ?
Мы только что исследовали поведение линейных рекуррент-
рекуррентных последовательностей относительно операции почленного сло-
сложения. Аналогичную теорию можно развить и для операции поч-
почленного умножения, хотя сделать это гораздо труднее. Если
а—последовательность s0, slt ..., а т — последовательность
4, tt, ... над полем Fg, то определим их произведение ох как
последовательность soto, s^, .... Аналогично определяется про-
произведение любого конечного числа последовательностей. Пусть
S — векторное пространство над полем F9, состоящее из всех
последовательностей над полем F9 относительно обычных опера-
операций почленного сложения последовательностей и умножения по-
последовательностей на константу. Пусть ft (x), ..'., /А (х) — нор-
нормированные многочлены над полем F9, не являющиеся постоян-
постоянными, и пусть 5 (]г (х)) ... S (fh (x)) — подпространство про-
пространства 5, порожденное всеми произведениями вида at ... oft,
at ? S (ft (x)), i = 1, 2, ..., h. Тогда имеется следующий фун-
фундаментальный результат.
8.65. Теорема. Если f1 (х), ..., fh(x) — нормированные много-
многочлены над полем fq, не являющиеся постоянными, то существует
не являющийся постоянным нормированный многочлен g (x) ?
€ Fg Ix], такой, что
S(h(x))...S(fh(x))= S(g(x)),
Доказательство. Положим Е = S (Д (х)) ... S (fh (x)). Так как
в каждом 5 (/j (х)), 1 ^ ( ^ Л, содержится последовательность
с начальным членом 1, векторное пространство Е содержит нену-
ненулевую последовательность. Далее, Е порождено конечным числом
последовательностей и, значит, является конечномерным про-
пространством. Из того, что каждое множество 5 (ft (x)), i = 1, ..., h,
замкнуто относительно операции сдвига входящих в него после-
последовательностей, получаем, что Е обладает таким же свойст-
свойством, и тогда утверждение доказываемой теоремы следует из теоре-
теоремы 8.56. ?
8.66. Следствие. Произведение любого конечного числа линей-
ных рекуррентных последовательностей над полем Fg само яв-
является линейной рекуррентной последовательностью над fq.
Доказательство. Из замечания, приведенного после (8.5),
следует, что данную рекуррентную последовательность всегда
542 Гл, 8, Линейные рекуррентные последовательности
можно рассматривать как однородную рекуррентную последо-
последовательность. Тогда искомый результат содержится в теореме 8.6о.
Явно определить многочлен g (х), существование которого j i-
верждается в теореме 8.65, в общем случае совсем не просто.
Однако в ряде частных случаев это сделать легче.
Пусть /х (х), ..., //, (х) — многочлены нал полем fq, не явля-
являющиеся константами. Определим /х (х) v ... v fh (x) как нор-
нормированный многочлен, корни которого являются различными эле-
элементами вида а, ... ah, где а; — корень многочлена ft (x) нз пит и
разложения многочлена /х (х) ... fh (x) над полем fq. Элемент,
являющийся сопряженным (над f,) к произведению щ ... ссл,
сам является элементом такого же вида; отсюда следует, что
/i (x) v ... v fh (x) является многочленом над полем fh.
8.67. Теорема. Пусть ft (x), i — 1, 2, ..., h, — нормиро-
нормированные многочлены над полем fq, не являющиеся константами и
не имеющие кратных корней. Тогда
S (h (х)) ...S(fh (х)) = S (/х (х) v ... v fh (x)).
Для доказательства этой теоремы нам потребуется одна вспомо-
вспомогательная лемма. Предварительно введем несколько новых по-
понятий. Пусть F — конечное расширение поля fq, и пусть Sf -
множество всех последовательностей над полем F. Тогда Sy
является векторным пространством относительно операций по-
почленного сложения последовательностей и их умножения на к<»н-
станту (из поля F). В частности, $р = S. Если дано h подпро-
подпространств Vi, ..., Vh векторного пространства Sw, то определим
произведение Уг ... Vh как подпространство пространства «Sy.
порожденное всеми произведениями вида ах ... oh, где at g Г,-.
i = 1, ..., h. Если f (x) ? F [x] — нормированный многочлен,
не являющийся константой, то через Sj? (/ (x)) будем обозначать
векторное пространство над полем F, состоящее из всех однород-
однородных линейных рекуррентных последовательностей над полем /"
с характеристическим многочленом / (х),
8.68. Лемма. Пусть F — конечное расширение поля f'q, "
пусть fi (х), ..., fh (x) — нормированные многочлены над полем ':',•
не являющиеся постоянными. Тогда
S (h (х)) ...S(fh (x)) = S fl (S, (h (x))... SF(fh (x))).
Доказательство. Очевидно, что
S(fl(x))...S(fh(x))<=S П (SF(f1(x))...SF(fh(x))).
Чтобы доказать обратное включение, заметим прежде всею,
что для каждого i = 1, ..., h пространство S (ft (x)) порождас-т
Sf (fi (x)) над полем F, т. е. любая рекуррентная' последователь-
§ 5. Семейства линейных последовательностей 543
ность из SF (ft (х)) может быть представлена в виде линейной
комбинации рекуррентных последовательностей из множества
S (ft (х)) с коэффициентами из F. Тогда S (/, (х)) ... S (fh (x))
порождает SF (fx (x)) ... SF (fh (x)) над полем F. Пусть pt, ...
.... Pm — базис пространства 5 (fx (х)) ... S (/Л (х)) над fq, и пусть
со,, ..., Щ — базис F над F9, причем ©j ? fq. Тогда любой
элемент а ? SF (/i (х)) ... SF (fh (x)) может быть записан в виде
к т
а = ? ? CtjiOiPj,
где ctj?Fq. Пусть для каждого /= 1, ..., т последователь-
последовательность pj состоит из элементов rj0, Oi> •••» rn € Fg> и пусть по-
последовательность a?S — это s0, sb ... . Тогда для членов sn
последовательности а справедливо равенство*
к I m \
Sn = S I S Cifjn )Щ € F9. П = 0, 1
1=1 \/=1 /
Так как коэффициенты при каждом <л( лежат в fq, из определения
т
со,, ..., сой следует, что 2 с{/1П = 0 для всех п и 2 <; / ^ к
/=i
Значит,
а = g Cii«lPi 6 S Qx (x))... 5 {fh(x)),
что и завершает доказательство леммы. \2
Доказательство теоремы 8.67. Пусть F — расширение поля fq,
являющееся полем разложения многочлена Д (х) ... fh (x) над
полем Fg- Пусть для каждого i — 1, 2, ..., h элемент at пробе-
пробегает корни многочлена ft (x). Тогда по теореме 8.55
Заметим, что для подпространств Vx, V%, V3 векторного про-
пространства SF справедлив закон дистрибутивности:
vx (v, + v3) = ухчг + vxv3.
В самом деле, по закону дистрибутивности для последователь-
последовательностей Vx (V2 + V3) е VXV2 + VXV3. С другой стороны, оче
видно, что Vi.V, Е Ух (Vt + Vt), VXVZ s V, (Vt + V3) и, следо^
вательно, VXV% + VXV3 s Vx (V2 + V3). На основании закона
Дистрибутивности справедливо равенство
SF(fx(x))...SF(fh(x))= Ц SF(x — a1)...Sg.(x-ah).
«i «л
544 Гл. 8. Линейные рекуррентные последовательности
Нетрудно проверить, что
Sp(x — щ) ... Sr(x — ah) = SF(x — щ ... ah),
откуда по теореме 8.55
SF (Д (х)) ...SF (fh (x)) = 2 SF (x - а,... аА) =
Утверждение теоремы 8.67 следует теперь из леммы 8.68. ."|
Теорема 8.67 показывает, в частности, как находить характери-
характеристический многочлен для произведения однородных линейных
рекуррентных последовательностей в случае, рассматриваемом
в этой теореме. Другой подход может основываться на теореме
8.21. Для этого достаточно детально разобрать случай произведения
двух однородных линейных рекуррентных последовательностей.
Пусть последовательность s0, Sj, ... лежит в S (f (x)), а последо-
последовательность 4, 4. ••• лежит в S (g (х)). Если многочлен / i.v)
имеет лишь простые, корни а1, ..., ah, а многочлен g (x) и.моег
лишь простые корни р\, ..., рт, то по формуле (8.8)
k m
sn=I> bio], tn = ? сф1, п = 0, 1, ....
(=1 /=1
где коэффициенты bt и Cj лежат в конечном расширении поля
fq. Если Yii •¦¦• Тг — различные значения, которые могут при-
принимать произведения вида a$j, \ -^ i ^ k, 1 -^ / <С т, г"
km r
ип = sntn = ? ? V/(«,p/)" = ? drf, n = 0, 1, ...,
i=i /=i t=i
где du ..., dr — некоторые коэффициенты из конечного расши-
расширения поля fq. Пусть теперь
h(x) = f (х) v g (x) = xr - a,.!*1-' - a0 С Fg [*].
Тогда для п = 0, 1, ... получаем
un+f - ar_,Mn+r_, a^n = 2j dfv'^ (т^) = °>
i=i
и, таким образом, многочлен h (x) будет характеристическим мно-
многочленом последовательности ы0, щ, ..., являющейся произведе-
произведением последовательностей s0, slt ... и t0, ilt ....
8.69. Пример. Рассмотрим последовательность 0, 1, 0, 1 •¦¦
над полем ра с минимальным периодом 2 и минимальным много-
многочленом (х — IJ. Если мы умножим эту последовательность на
саму себя, то получим ту же самую последовательность. С другой
стороны, (х — IJ v (х — IJ = х — 1, что не является хараше-
§ 5. Семейства линейных последовательностей 545
ристическим многочленом последовательности, полученной в ре-
результате перемножения. Таким образом, равенство, доказанное
в теореме 8.67, может не выполняться, если некоторые из много-
многочленов fi (х) имеют кратные корни. ?
Для операции умножения последовательностей можно получить
аналог теоремы 8.61. По понятным причинам мы не будем рассмат-
рассматривать последовательностей, в которых все члены, кроме конеч-
конечного числа, равны 0.
8.70. Теорема. Пусть о(, i ¦= 1, 2, ..., Л,—периодические
последовательности над полем fq с бесконечным числом ненулевых
членов. Пусть минимальный период последовательности at равен
г-г. Если числа гх, ..., г^ попарно взаимно просты, то минимальный
период произведения ах ... оh равняется гх ... гд.
Доказательство. Ограничимся рассмотрением случая h = 2,
так как общий случай легко получается индукцией по Л. Как и
в доказательстве теоремы 8.61, нетрудно показать, что минималь-
минимальный период г последовательности аха2 должен иметь вид г = dxd2,
где dx — делитель числа rx, a d% — делитель числа г2. В частно-
частности, dxr2 является периодом последовательности ахаг. Таким
образом, если ах—это последовательность s0, sx, ..., а а2— после-
последовательность t0, tx, ..., то равенство
выполняется для всех достаточно больших п. Так как существует
целое число Ь, такое, что tn Ф 0 для всех достаточно больших
я ее b (mod r2), то для таких п получаем sn+dirt = sn. Зафикси-
Зафиксируем теперь достаточно большое п. По китайской теореме об
остатках можно выбрать такое целое число т ;> п, для которого
т = п (mod rt) и т = Ь (mod r2). Тогда
Sn = Sm = Sm_|_rf,r2 = S/t-j-d,rz>
и, таким образом, dxrt является периодом последовательности ах.
Следовательно, rt делит dxr%, а в силу того, что гх и г2 взаимно
просты, гх делит du откуда следует, что dx = гг. Аналогично
доказывается равенство d2 — r2. ?
Операцию умножения последовательностей можно использо-
использовать для описания соотношений между однородными линейными
рекуррентными последовательностями, характеристические много-
многочлены которых являются степенями друг друга. Рассмотрим слу-
случай линейных характеристических многочленов.
8.71. Лемма. Если с ? fqt с Ф 0, a k — целое положитель-
н°е число, то
S ((х — c)k) = S(x —c)S ((x — 1)*).
8 Зак. 243
546 Гл. 8. Линейные рекуррентные последовательности
Доказательство. Пусть последовательность s0, slt ... лежит
в S (х — с), а последовательность t0, tlt ... лежит в S ((х — 1)*)
Тогда sn = c"s0 для всех п = О, 1, ..., и
K w _i)ft-^n = о, « = 0,1,....
1=0
Отсюда
**"* /* \ ( \\k-if . _П
для всех /г = 0, 1, ..., и тогда
/ c\k-i xi _ (х _
\ » /
1=0
— характеристический многочлен последовательности s0t0, Sitlt „. .
Значит, векторное пространство S(x — c)S((x — \)к) являемся
подпространством пространства S ((х — с)*). Так как с ф ft,
первое векторное пространство имеет над полем Wq размерности к
и, таким образом, совпадает с пространством S ((х — с)*), KQfo-
рое имеет ту же размерность над fq. *...i
8.72. Теорема. Пусть f (x) ?fq [x] — нормированный мно-
многочлен, не являющийся константой и не имеющий кратных корйсй
и f @) Ф 0- Пусть k — целое положительное число. Тогда .,.-
Доказательство. Пусть F — поле разложения многочлена
/ (х) над полем Fq. Тогда если а пробегает все корни многочлена
/ (х), то по теореме 8.55
Используя лемму 8.71 и закон дистрибутивности, установленный
при доказательстве теоремы 8.67, получаем
SP ((/ (x)f) = ? S, ((ж - 1 )*) Sp(x-a) =
а
= S,((Jt- 1)*) ? SF(x-u) = SF((x-l)b)Sr(f(x)).
а
где последнее равенство следует из теоремы 8.55. Искомый ре-
результат вытекает теперь из леммы 8.68. .J
§ 6. Характеризация линейных последовательностей 547
§ 6. Характеризация линейных рекуррентных
последовательностей
Важной задачей является выяснение того, будет данная по-
последовательность элементов поля fq линейной рекуррентной по-
последовательностью нлн нет. С теоретической точки зрения этот
вопрос можно разрешить немедленно, так как линейные рекуррент-
рекуррентные последовательности над полем fq и только они являются
периодическими последовательностями. Однако периоды некоторых
линейных рекуррентных последовательностей (даже сравнительно
небольшого порядка) могут быть очень длинными, и на практике
часто бывает невозможным определить природу данной последо-
последовательности на основании лишь этого критерия. Другие способы
характеризации линейных рекуррентных последовательностей ис-
используют понятия линейной алгебры.
Пусть s0, sv ... — произвольная последовательность элементов
поля Tq. Для целых чисел п ^ 0, г ^- 1 введем понятие ганкелева
определителя
sn+2
связанного с этой последовательностью. Как мы увидим дальше,
линейные рекуррентные последовательности можно охарактери-
охарактеризовать в терминах обращения в нуль достаточного числа ганке-
левых определителей, связанных с этой последовательностью.
8.73. Лемма. Пусть s0, slt ... — произвольная последователь-
последовательность над полем Fq, и пусть п ^ 0, г ^ 1 — целые числа. Тогда
из равенств DJf! = D%+1) = 0 следует равенство D%+i = 0.
Доказательство. Для т>-0 введем вектор sm = (sm, Sjn+1, ...
., sm+r_,). Из равенства Dn} = 0 следует, что векторы sn, sn+i,...
•••> sn+r_j линейно зависимы иад полем fq. Если sn+1 $n+r-i
тоже линейно зависимы над Тф то мы тут же получаем равенство
^n+i = 0. В противном случае вектор sn является линейной
комбинацией векторов sn+i, .... sn+r_i. Пусть s'n — (sm,
smru ..., sm+r) для m >¦ 0. Тогда векторы Sn, Sn+i, ..., s'n+r,
будучи строками равного нулю определителя D^+", линейно
зависимы над полем ft. Если s«, Sn+i, ..., s'n+r-i линейно за-
Висимы над fq, то, применяя линейное отображение
L,: (ао, а,, ..., аг) ? fq+i v^(au ..., ar) ? frqt
получаем, что sn+1, sn+2, .... sn+r тоже линейно зависимы
НаД F, и, следовательно, D«+i = 0. В противном случае (если s^,
8*
548 Гл, 8, Линейные рекуррентные последовательности
Sn+i, ..., s!i+r—i линейно независимы) получаем, что вектор s'n..r
является линейной комбинацией s'n, Sn+i. ••¦> $'n+r-i> и тогда,
применяя линейное отображение
L2: (а0, аи ..., аг-\, аг) ? FJ+I н-^(а0, аь ..., а,_|) ? Fj,
получаем, что sn+r является линейной комбинацией векторов s,,,
sn+1, ... , sn+r_j. Но в рассматриваемом случае sn есть линейная
комбинация векторов sn+1, ..., sn+r_j. Таким образом, векторы
sn+j, ... , sn-fr-i. Sn+r, являющиеся строками определителя D'J\,
линейно зависимы над fq, откуда следует, что Z?nr|i = 0. _j
8.74. Теорема. Последовательность s0, slt ... элементов пол.чТч
является линейной рекуррентной последовательностью тогда и
только тогда, когда существует положительное целое число г, та-
такое, что DP — 0 для всех (кроме, может быть, конечного числа)
п > 0.
Доказательство. Предположим, что последовательность s0,
Sj, ... удовлетворяет однородному линейному рекуррентному соот-
соотношению &-го порядка. Для любого фиксированного п ^ 0 рас-
рассмотрим определитель /)),г+|) . В силу линейного рекуррентного
соотношения, которому подчиняются элементы последователь-
последовательности So, Sj, ..., (k + 1)-я строка определителя D{n+l) является
линейной комбинацией первых k строк, и, следовательно, О(„+]' '
— 0. Неоднородный случай сводится к однородному по формуле
(8.5). Необходимость доказана.
Докажем достаточность. Пусть k -f- I —¦ наименьшее нату-
натуральное число, такое, что D{n+X) = 0 для всех, кроме, может
быть, конечного числа п ;> 0. Если k -f- I = 1, то теорема дока-
доказана. Рассмотрим случай k^l. Тогда найдется целое т^-0,
такое, что Dln+l) = 0 для всех п > т. Если D(nJ = 0 для неко-
некоторого п0 .> т, то по лемме 8.73 D{nk} = 0 для всех п > п0, чго
противоречит выбору k+ 1. Следовательно, Z?i,fr) Ф 0 для )зсех
п^> т. Положим sn = (sn, sn+1, ..., sn+h). Заметим, что для всех
п > т векторы sn, sn+1, ..., sn+ft, будучи строками определи-
определителя Dn/e+" = 0, линейно зависимы над полем Fq. В силу ioi'O
что D^ Ф 0, векторы $п, sn+i, ...,sn+k_l линейно независимы
над fq, и, значит, sn+h является линейной комбинацией векторов
sn> sn+i> •••» Sn+h-i- По индукции легко получить, что для исех
п ;> т вектор sH является линейной комбинацией векторов sm,
Sm+i. ...-, sm+A_!. Последние представляют собой k векторов про-
пространства F4+l, а следовательно, существует ненулевой вектор
(а0, аи .,., ak) ? F^+1, для которого выполняются равенства
= Q при
§ 6. Характеризация линейных последовательностей 549
Отсюда вытекает, что
aosn + «isn+i + • ¦ ¦ + dhSn+h = 0 для всех п > т
или
aosn+m + aisn+m+i -f- • • • -f- aftsn+m+ft = 0 для всех п > 0.
Таким образом, показано, что последовательность s0, s1( ... удов-
удовлетворяет однородному линейному рекуррентному соотношению,
имеющему порядок не более чем т + k, П
8.75. Теорема. Последовательность s0, sv ... элементов из
поля fq является однородной линейной рекуррентной последова-
последовательностью с минимальным многочленом степени k тогда и только
тогда, когда D$r) = 0 для всех r^-k-j-luk-j-l — наименьшее
натуральное число, для которого выполняется это равенство.
Доказательство. Докажем необходимость. Если данная рекур-
рекуррентная последовательность является нулевой последователь-
последовательностью, то необходимость условий очевидна. В случае когда после-
последовательность отлична от нулевой, мы имеем k ~^> 1, и тогда D(P =
0 для всех г ^ k + 1, так как (k + 1)-я строка определителя
D{or) является линейной комбинацией первых k строк. В свою
•очередь из теоремы 8.51 следует, что Do' ф 0. Таким образом,
необходимость условий доказана для всех случаев.
Для доказательства достаточности допустим, что выполняются
приведенные условия для ганкелевых определителей. Пользуясь
леммой 8.73, индукцией по п можно показать, что D^P = 0 для
всех г ^> k + 1 и всех п ^ 0. В частности, Dn*+1) = 0 для всех
я ~^> 0, и тогда по теореме 8.74 последовательность s0, slt ... яв-
является линейной рекуррентной последовательностью. Если ее
минимальный многочлен имеет степень d, то, как мы уже показали
выше, Dor) = 0 для всех г >- d + 1 и d+ 1 является наимень-
наименьшим натуральным числом, для которого выполняется это равен-
равенство. Отсюда получаем, что d = k. D
Если известно, что однородная линейная рекуррентная после-
последовательность имеет минимальный многочлен степени k ^- 1,
то сам минимальный многочлен полностью определяется первыми
2& членами этой последовательности. Чтобы убедиться в этом,
запишем уравнения (8.2) для п = 0, 1 k— 1 н получим си-
систему из k линейных уравнений относительно неизвестных а0,
аъ ¦¦¦, aft_j, являющихся коэффициентами искомого минималь-
минимального многочлена. Определитель этой системы равняется Dafc),
и по теореме 8.51 Do*' Ф 0. Таким образом, рассматриваемая
система уравнений имеет единственное решение.
550 Гл. 8. Линейные рекуррентные последовательности
Важным вопросом является нахождение практического метода
для вычисления минимального многочлена данной однородной
линейной рекуррентной последовательности. Один такой метод
уже был предложен в процессе доказательства теоремы 8.42.
Этот метод предполагает предварительное знание характерна н-
ческого многочлена данной последовательности и основывается
на нахождении наибольшего общего делителя многочленов над
полем Fq. Ниже мы приведем и обсудим другой метод нахождения
минимальных многочленов. Этот метод представляет собой рекур-
рекурсивный алгоритм (так называемый алгоритм Берлекэмпа — Мессы),
который после конечного числа шагов дает искомый минимальный
многочлен при условии, что нам заранее известна верхняя гра-
граница для степени искомого минимального многочлена.
Пусть s0, Sj, ... — последовательность над полем F, и G (х)
оа
— ? snXn — соответствующая производящая функция. Для /
/1=0
= 0, 1, ... определим многочлены gj (x), hj(x)^Fq [x], целые
числа т.} и элементы Ь} ? fq следующим образом. Для / = 0
полагаем
g0 (х) = 1, Ло (х) = х, то = 0. (8.19)
Затем последовательно полагаем bj равным коэффициенту при
xl в gj (x) G (х) и
8ui(x)=gj(x)-bjhj(x),
| bjxxgj (х), если bj Ф 0, nij > 0,
.7+1 ( >~^xhj(x) в противном случае, (8.20)
—nij, если bj Ф 0, trij > 0,
ij -(- 1 в противном случае.
Если s0» %, ...—однородная линейная рекуррентная последо-
последовательность с минимальным многочленом степени k, то в резуль-
результате мы получим, что gth (x) равняется возвратному минималь-
минимальному многочлену. Таким образом, искомый минимальный много-
многочлен т (х) определяется равенством т (х) — xkgih (\lx). Если
заранее известно лишь, что (leg (т (х)) -< k, то положим г = Ik
+ 1/2 — w2ft/2J, где (j/J означает наибольшее целое число, не
превосходящее у. Тогда минимальный многочлен т (х) опреде-
определяется равенством т (х) = xrgih (l/x). В обоих случаях из алго-
алгоритма сразу же видно, что т (х) зависит только от первых 2А'
членов последовательности s0, sx, ... , s2fc_i. Следовательно, про-
производящую функцию G (х) в алгоритме можно заменить мною-
членом
2ft—I
G,k.i(*)= E snx".
0
§ 6. Характеризация линейных последовательностей
551
8.76. Пример. Первые 8 членов однородной линейной рекур-
рекуррентной последовательности над полем F3 порядка k <; 4 имеют
вид %, 2, 1,0, 1, 2, 1,0. Для того чтобы найти ее минимальный
многочлен, применим алгоритм Берлекэмпа — Мессн с много-
многочленом
G,(x) = 2х + х2 + х* + 2д* + х9 С ГзМ
вместо производящей функции G (х). В следующей таблице при-
приводятся промежуточные результаты, полученные в процессе
работы алгоритма.
/
0
1
2
3
4
5
6
7
8
gj(t)
+ jta
д. I д.2
+ Jt + Jt2
+ * + *a + 2jt3
И-*8
+ *2 + 2x» + x*
+ 2x + x*+2xa
hj (x)
X
X2
2x
2жа
2л^
2x + 2jta + 2X3
Ov2 _L OjC^ -4" 9у*
X + X4
0
i
i
0
1
—1
0
0
0
0
2
1
0
2
2
1
1
В этом случае г = [4 + 1/2 — m8/2j = 4 и, следовательно,
т (х) = ж* + Йж3 + х2 + 2ж. Таким образом, линейное рекур-
рекуррентное соотношение наименьшего порядка, которому удовлет-
удовлетворяет данная последовательность, имеет вид
sn+4 = sn+a + 2sn+)i -f- sn+1, n — 0, 1, ... . ?
8.77. Пример. Найдем однородную линейную рекуррентную
последовательность наименьшего порядка над полем Fa» первые
8 членов которой — это 1, 1, 0, 0, 1,0, 1, 1. Применим алгоритм
Берлекэмпа — Месси, используя многочлен G7 (х) — 1 + х + х* +
+ Xе + х1 ? р2 1*1 вместо производящей функции G (х). Этапы
вычисления приводятся в следующей таблице.
*»
0
0
1
1
0
0
1
2
3
1
0
1
1
1
0
0
0
552 Гл. 8. Линейные рекуррентные последовательности
В этом случае г - [4 + 1/2 — /ns/2J ~ 3 и, следовательно,
/и (х) — хя 4- х -\- 1. Таким образом, заданные элементы образуют
начальный отрезок однородной линейной рекуррентной после-
последовательности So, s[( ... , удовлетворяющей рекуррентному соот-
соотношению sn+3 = sn+1 +'sn, л — 0, 1, ... , и не существует рекур-
рекуррентной последовательности меньшего порядка, имеющей тот же
начальный отрезок.
Докажем теперь в общем случае, что после конечного числа
шагов алгоритм Берлекэмпа — Мест приводит к искомому мини-
минимальному многочлену. Для этого введем вспомогательные мном>-
члены tij (х), Vj(x)^Tq \x\. Определим их следующими рекур-
рекуррентными формулами:
«„(*) = 0, vo(x) = -l, (8.21)
Uj+l(x) = uI(x)~bfj(x),
\hjixuj(x), если bj^O, m/>0, (8.22i
¦/'+I ( xvj(x) в противном случае
для всех / ---¦ 0, 1, ... , Мы утверждаем, что для всех /Г> О
deg (gj (x)) < ~ (i + 1 - /л,-), (leg (А, (*)) < -^ (/ f 2 + m,-). (8.23)
Для /—0 это очевидно ввиду (8.19). Если неравенства (8.2.4)
доказаны для некоторого / ^> 0, то из (8.20) следует, что в случйс,
когда bj Ф 0, nij > 0,
deg (gi+1 (x)) < max (deg (g} (x)), deg (Ay (x))) <
<^.(/.|_2-|-/n/)=i-(/ + 2-/nJ+1).
В противном случае
degfe+i W) < -у (/ I ! от/) = у (/ -h 2 - m^+i).
Второе неравенство в (8.23) доказывается аналогичным образом-
Индукцией по / можно также доказать, что для любого /^ 0
выполняются неравенства
i (x))<-i(/ -\-т}). (8.2-1)
Для всех /^0 вспомогательные многочлены uj (x) и Vj (x) свя-
связаны с многочленами gj (х) и ^ (х) следующими соотношениям'^
gj (х) G (х) = uj (x) + bjx' (mod */+'). (8.23)
Aj (x) G (x) = vj (x) + jc/ (mod */+'). (8,2b)
§ 6. Характеризация линейных последовательностей 553
В самом деле, для /'= 0 (8.25) и (8.26) следуют из (8.19), (8.21)
и определения константы Ьо. Предполагая, что соотношения (8.25)
и (8.26) доказаны для некоторого /^ 0, получаем ¦
gj+1 (X) G (X) = gj (X) G (X) - bjhj (X) G (X) ЕЕ
= uj (x) + bjxi + cw*№ - bj (vj (x) + xl + duix'+i) =
где cJ+1, dj+x, ej+1 ?fq — некоторые подходящие коэффициенты.
Поскольку |/Иу|<!/, как это можно показать по индукции, то
из (8.24) получаем deg (uj+1 (x)) < /. Таким образом, ем яв-
является коэффициентом при х'+1 в gj+1 (x) G (х) и, следовательно,
0+1 ~ bj+i- Соотношение (8.26) для / ^- 0 доказывается анало-
аналогичным образом.
Далее, по индукции легко доказать, что» для всех / ;> О
hi (х) uj (x) - g} (x) vj (x) = x>\ (8.27)
Пусть теперь s (x), и (х) — многочлены над полем fq, связанные
соотношением s (x) G (х) = и (х) и условием s @) = 1. Тогда из
(8.26) следует, что
hj (X) U(X)-S (X) Vj (X) = S (X) (hj (X) G (X) - Vj (x)) ЕЕ
ее s (x) xi = xi (mod x>+1),
и тогда для некоторого Uj (x) ? Fq lx] получаем
hj(x)u(x)-s(x)Vj(x) = x'Uj(x), где Uj(O) = l. (8.28)
Аналогично, пользуясь (8.25), можно показать, что существует
Vj (х) 6 F,j 1х], для которого справедливо равенство
g,(х)и(х)¦- s(х)uj (х) = x'Vj(х). (8.29)
Предположим теперь, что минимальный многочлен т (х) дан-
данной однородной линейной рекуррентной последовательности удов-
удовлетворяет условию deg (m (х)) <; к. Пусть s (x) будет соответ-
соответствующим возвратным минимальным многочленом. Тогда s @) = 1,
deg (s (x)) <; k и из (8.15) мы получаем, что существует много-
многочлен и (х) ? F, [х\, для которого выполняются соотношения
s (х) G (х) = и (х) и deg (и (х)) < deg (т (х)) — 1 < k — 1. Поло-
жим в (8.28) /= 2k. Воспользовавшись (8.23) и (8.24), получаем
deg(A2fe (f)u(x)) < ~Bk + 2 -j- m2k) + k - 1 = 2k + -1
deg (s (x) v,h (x)) < k + 4- Bk + тш) = 2k+±
откуда
deg (A2ft (x) u(x) — s (x) v2k (x)) < 2k + -=- m.ih.
554 Гл. 8. Линейные рекуррентные последовательности
С другой стороны,
deg (h%h (х) и (х) - s (х) v%h (x)) = deg (x2kU%h (x)) > 2k,
и все эти неравенства совместимы лишь при т%к ;> 0. Вновь вос-
воспользовавшись соотношениями (8.23) и (8.24), нетрудно проис-
рить, что deg (gih (х) и (х)) < 2k — 1/2 — A/2) tnih и deg (s (x)-
• "8ft W)< 2k — 1/2 — (l/2)maft. Тогда из (8.29) вытекает, чк
deg (x2*F2ft (x)) = deg (?2ft (jc) и (jc) - s (*) «2fc (jc)) < 2k.
Но это возможно лишь при условии, что Vth (x) является нулевы
многочленом. Следовательно, из (8.29) вытекает, 4TOg2ft (#) и (х)
= s (х) и%к (х). Полагая / = 2k и умножая обе части равенства
(8.28) на gih (x), приходим к равенству
fhh (X) gth (X) U(X)-S (X) gih (X) Vlh (X) =
= * (X) (fhh (X) «2ft (Jf) - g№ (X) V2k (X)) = X2kU%k (X) gm (X).
Учитывая (8.27), получаем s (x) = U%k (x) gih (x), откуда выте-
вытекает, что и (х) = i/2ft (x) «2ft (x). Так как s (x) является возврат-
возвратным минимальным многочленом, из второй части теоремы 8.40
следует, что многочлены s (x) и и (х) взаимно просты. В силу этого
многочлен U2k (x) обязан быть константой, а так как по (8.28)
Uzh @) = 1> т0 ^2ft (х) = 1. Значит, s (x) = g2k (x) и соответ-
соответственно и (х) — u%k (х). Если deg (т (х)) = k, то
как и утверждалось ранее. Если же deg (т (х)) = t < k, то s (x),
= 8м (х)> и (х) — «я* (х)> Щ% >- 0. Очевидно, что max (deg (s (x)),
1 + deg (и (х))) < t, и из второй части теоремы 8.40 вытекает
t = max (deg (s (x)), 1 + deg (u (jc))).
Тогда из (8.23) и (8.24) следует, что
/ = max(deg(^2t(x)), I -f deg(uu (x)))< t + -| \ tnn.
Таким образом, mit равно 0 или 1. Кроме того, заметим, что
gj (х) = s (х) и bj = 0 для всех /;> 2t. Тогда т} = mat + /¦-
— 2t для всех / ^ 2t по определению /и^-. Полагая / = 2k, полу-
получаем t = k + A/2) /nat — 0/2)/n2ft, и так как /n2t равняется 0
или 1, то
t= [k+-j~-Tm2h\ ==r-
Таким образом,
что соответствует нашему утверждению.
§ 7. Распределение элементов 555
§ 7. Распределение элементов в линейных
рекуррентных последовательностях
В этом параграфе нас будет интересовать следующий вопрос
сколько раз встречается тот или иной элемент поля F9 на том
или ином отрезке линейной рекуррентной последовательности
над полем Fq. Для получения общих результатов в этом направ
лении займемся сначала детальным изучением свойств тритоне
метрических сумм, связанных с линейными рекуррентными по
следовательностями. Тогда станет очевидным, что в случае ли
нейных рекуррентных последовательностей с большим минималь
ным периодом на любом отрезке последовательности, составляю
щем ее полный период, а также на отрезках, являющихся суще-
существенной частью полного периода, элементы основного поля ветре
чаются приблизительно с одинаковой частотой.
Пусть s0, Sj, ... —линейная рекуррентная последовательность
?-го порядка над полем Fq, удовлетворяющая соотношению (8.1)
Пусть г — минимальный период этой последовательности, а п0 —
ее предпериод, т. е. sn+r = sn для всех п ~^> п0. Свяжем с этой по-
последовательностью целое положительное число R, определенное
следующим образом. Рассмотрим рекуррентную последователь-
последовательность, являющуюся импульсной функцией и удовлетворяющую
соотношению (8.6). Пусть тх — минимальный период этой после-
последовательности, а пх — ее предпериод. Положим тогда R = гг + пх.
Разумеется, R зависит только от линейного рекуррентного соот-
соотношения (8.1), а не от конкретного вида последовательности
s0, Sl ... Если s0, %, ... является однородной линейной рекуррент-
рекуррентной последовательностью с характеристическим многочленом
f (х) € FgU], то гг = ord (/ (х)), а если, кроме того, / @) Ф О,
то по теореме 8.27 R = ord (/ (x)). По той же теореме в однород-
однородном случае г делит гх и г <J R.
В тригонометрических суммах, которые мы собираемся рас-
рассматривать, будут использоваться аддитивные характеры поля
?q, изучавшиеся в гл. 5, которым будут приписаны веса, опреде-
определенные с помощью функции е (t) = e2Rii, где t — действительный
аргумент.
8.78. Теорема. Пусть s0, slt ... — линейная рекуррентная
последовательность k-го порядка над полем fq,r — ee минимальный
период, а п0 — предпериод. Пусть, далее, R — целое положитель-
положительное число, определенное выше. Если % — нетривиальный аддитив-
аддитивный характер поля Fq, то для любого целого числа h справедливо
неравенство.
и+г—1
2
%(sn)e(~)
для всех и>п0. (8.30)
556
Гл. 8. Линейные рекуррентные последовательности
В частности,
ы+г—1
У, X(Sn)
1/2
всех и
(8.31)
Доказательство. Заменив вектор начального состояния sr,
на вектор $и (что не влияет на верхнюю границу в (8.30)), мы
можем, не теряя общности, предположить, что последователь-
последовательность s0, slt ... является чисто периодической последовательностью
и что и — 0. Для произвольного вектора-столбца b = (b0, bt,
... , bi,-~\)T из пространства Ft и произвольного целого числа h
положим
ст(Ь; h) — o(b0, Ьъ ..., bk_x; h) =
г—1
= ^ %(bosn + btsn+l -\ f- bh_isni.h_!)
Общий член под знаком суммы, рассматриваемый как функция от
п, имеет период г. Поэтому мы можем записать
0 (Ь; h) = 2 X (feos"
2
n=0
Используя линейное рекуррентное соотношение (8.1), получаем
|0(Ь; Л)|-
-iSn+fc-i -f- bh_^a)e (j-y-
'n+l ~|
Е %(bh-ia0sn + (bo + bn-i
п=0
Это равенство может быть записано в виде
|0(Ь; Л)| = |0(ЛЬ; Л)|,
где А — матрица, определяемая формулой (8.3). По индукции
получаем, что
|ст(Ь; h)\ = |ст(Л/'Ь; Л)| для всех />0. (8.3-)
Пусть d — A, 0, ... , 0)т ? Fq — вектор-столбец, и пусть d.i»
db ... — векторы состояний импульсной функции d0, dlt ..• •
§ 7. Распределение элементов 557
удовлетворяющей (8.6). Тогда мы утверждаем, что два вектора
состояний дт и dn совпадают в том и только том случае, когда
дтд = And. Действительно, если dm = dn, то из леммы 8.15
следует равенство Атй = And. С другой стороны, если АтА —
-, ,4"d, то Am+i'd = Ап+1'дн, значит, Ат (A'd) = Ап ША) для
всех /С> 0. Но в силу того, что векторы d, Ad, АЫ, ... , Ak^ld
образуют базис векторного пространства fkq над полем fq, мы
получаем, что Л = А", откуда по лемме 8.15 следует, 4Todm = dn.
Все различные векторы последовательности d0, d^ ... исчерпы-
исчерпываются векторами d0, dlt ... , dR_t. Следовательно, как мы только
что показали, различными векторами среди последовательности
векторов d, Ad, A%d, ... являются в точности векторы d, Ad, ... ,
AR~ld. Воспользовавшись равенством (8.32), получаем
R\e(d; h)\>= ? |<т(Aid; h)|2< ? |a(b; A)|2, (8.33)
/=o ь
где последняя сумма берется по всем векторам b из пространства
fkq. В то же время
У|ст(Ь; h)f = ^o(b; АH(Ь; А) =
— S ь in в
r—I
X(<>o(Sm-Sn)-f-Mw-
him — n)\
-^—-' J =
0 (Sm — sn)) X (frl («
• • • X (^fc-1 (sm+ft-l — Sn+ft_i)) —
r—1
2 X
F
(8.34)
;
Заметим, что для с ? Fg из E.9) следует
S( 0, если c=?t О,
I о, если с = О,
558 Гл. 8. Линейные рекуррентные последовательности
Гаким образом, вклад в последнее выражение в формуле (8,3-1)
дают только те упорядоченные пары (т, п), для которых одновре-
одновременно выполняются равенства sm = sn 5пг+й_1 = sn+j,.,.
Однако в силу того, что 0 -^ т, п ^ г — 1, это возможно лишь
при т = п. Отсюда следует, что
Б|0(Ь;
Объединяя это равенство с неравенством (8.33), получаем
.1/2 ,,,„
что и доказывает (8.30). Неравенство (8.31) следует из (8.30),
если положить h = 0. "]
8.79. Замечание. Пусть % является нетривиальным аддитив-
аддитивным характером поля tq, и пусть \р — произвольный мультипли-
мультипликативный характер того же поля. Тогда сумму Гаусса
можно рассматривать как частный случай суммы из (8.30). ЧтоГш
показать это, выберем примитивный элемент g поля Fg и рассмот-
рассмотрим линейную рекуррентную последовательность s0, slf ... 1-го
порядка над полем F9, определяемую равенством s0 = 1 и рек|р-
рентным соотношением sn+1 = gsn, n = 0, 1, ... , Тогда г = R
— q — 1, а п0 = 0. Заметим, что if (g) = e (h/r) для некоторою
целого h. На основании этого мы можем записать
г—1 г—1
/1=0 /1=0
Если if является нетривиальным характером, то в этом случае
из равенства E.15) следует, что обе части соотношения (8,30)
совпадают. [V
Суммы, фигурирующие в теореме 8.78, брались по полному
периоду данной линейной рекуррентной последовательности.
Следующий результат позволяет оценивать суммы, берущиеся
по отрезку полного периода. Для этого нам потребуется такая
вспомогательная лемма:
8.80. Лемма. Для любых положительных целых чисел г и Л'
справедливо неравенство
г—1 N—1
Л=0 1=0
§ 7. Распределение элементов
559
Доказательство. Для г = 1 неравенство (8.35) тривиально.
Для г > 2
УАЧ-
| е (hNIr) — 1
1
: (A/r) — 1
sin я || Л/г |
= cosec л
Л !
Л
/¦ —
где I /1| означает расстояние от действительного числа t до бли-
ближайшего целого числа. Отсюда следует, что
г-1 I//2J
/=0
cosec л
N -
cosec-^- + N.
(8.36)
сравнивая суммы с соответствующими интегралами, получаем
1//2J |r/2J
VI яА я VI nh ,
У cosec — = cosec [¦- У cosec — <:
Л=2
L/-/2J
cosec
! cosec
L
я . Г
1- I
cosec — dx
Я/2
\- — |
cosec I d/ ---
л/г
п , г , , я ., я. г, 2г
= cosec log ctg -к— < cosec \- — log —.
т ' я б 6 Чт " г г п ья
Для г > 6 справедливо неравенство (я/г)'1 sin (я/г) > (п/6) •
• sin (л/6); следовательно, sin (л/г) ^- 3/г. Отсюда вытекает, что
L/-/2J
УяЛ.1, . / 1 1,я\ . с
cosec -р- < — г log г +• ( -д — log -у 1 г для г > 6,
", значит,
cosec — < — г log г ^~ -^ г для г >- 6.
Л=1
Для г = 3, 4, 5 неравенство (8.35) легко получить из (8.36).
Для г = 2 справедливость неравенства (8.35) проверяется не-
непосредственно. ?
8.81. Теорема. Пусть s0, slf ... — линейная рекуррентная
последовательность k-го порядка над полем fq, а числа г, пц и R
560
Гл. 8. Линейные рекуррентные последовательности
такие же, как и в теореме 8.78. Тогда для любого нетривиально- •
аддитивного характера % поля Fq справедливо неравенство
н-1-Л'—1
У
где и 5s- пп и 1 <; N < г.
Доказательство. Начнем с равенства
N
u-1-W —1
N — 1 г—1
_\_
Г
Л (я — н — j)
/--о
ь о
где
Оно справедливо, так как сумма по / равняется 1 при и ^ п ±
<С и -\- N — 1 и 0 при и f N <¦ п -41 и + г — 1. Переставляя
соответствующим образом члены, получаем
и-| /V—1 г—1 //V—1 \ /«+г—1
п=н А=0 \/=0
откуда в силу (8.30) следует
hn
u + N—l
r—1
/=o
u+r—1
hn
2
Л=0
N—1
/=0
Применяя теперь лемму 8.80, получаем искомое неравенств!)
I ¦
Следует отметить, что неравенства, полученные в теоремах
8.78 и 8.81, представляют интерес лишь в случае, когда мини-
минимальный период г последовательности s0, Sj, ... достаточно велик.
Для малых г эти результаты становятся слабее тривиальной оценки
С N для 1 <," N <Г. г.
Для получения нетривиальных утверждений г должно быть больше,
чем qkl2.
Пусть s0> Sx, ... — линейная рекуррентная последовательность
над полем fq, г — ее минимальный период, an, — ее предпериод.
Если Ь ? fq, то через Z (Ь) обозначим число таких п, п„ ¦< п •
<; п(, 4 г — 1, для которых sn = b. Иными словами, Z ф) рав-
равняется числу появлений элемента b ? Fq на полном периоде ли-
линейной рекуррентной последовательности.
§ 7. Распределение элементов 561
Если sn, Sj, ... является рекуррентной последовательностью
й-го порядка и максимального периода, то Z (Ь) можно определить
явно. В соответствии с теоремой 8.33 в этом случае г = qk — 1,
а па = 0. Тогда векторы состояний нашей последовательности
So, Si, .• , sr_i пробегают все ненулевые векторы пространства Т%.
Следовательно, Z (Ь) равняется числу ненулевых векторов про-
пространства Fg с b в качестве своей первой координаты. Элементар-
Элементарный подсчет показывает, что Z (Ь) — qh~x для всех Ь Ф 0 и Z @) =
q*-1 — 1. Таким образом, в последовательности максималь-
максимального периода над полем fq все элементы поля Fq встречаются на
полном периоде одинаково часто (с точностью до малого отклоне-
отклонения для нулевого элемента).
В общем случае столь равномерного распределения элементов
ожидать не приходится. Однако можно оценить разницу между
действительным числом появлений данного элемента и идеальным
числом rlq. Если г достаточно велико, это отклонение сравни-
сравнительно мало.
8.82. Теорема. Пусть ь0. slt ... — линейная рекуррентная
последовательность k-го порядка над полем f ч, г — ее минималь-
минимальный период, a R такое же, как и в теореме 8.78. Тогда для любого
элемента b ? fq
1/2V/2
Доказательство. Зафиксируем Ъ ? F9 и определим на F3
действительнозначную функцию б6 следующим образом: бь ф) = 1
и &ь (с) = 0 для всех с Ф Ь. В силу E.10) функцию бь можно
представить в виде
где с ? F(/, а сумма берется но всем аддитивным характерам
коля iF',y. Тогда
Z{b)= 2
X п=п„
Выделяя слагаемое, соответствующее тривиальному аддитивному
характеру поля f9, и помечая звездочкой сумму, в которой сум-
9 Зак. 243
Гл. 8. Линейные рекуррентные последовательности
мирование производится по всем характерам, кроме тривиаль-
тривиального, получаем
*<*»>•
Используя (8.31) и учитывая то, что существует q — 1 нетри-
нетривиальных аддитивных характеров поля |р7, получаем
I
ч
8.83. Следствие. Пусть s0, s,, ... — однородная линейная ре-
рекуррентная последовательность над полем fq иг — ее минималь-
минимальный период. Пусть минимальный многочлен этой последователь-
последовательности т (х) ? F4 \х ] имеет степень k >- 1 и удовлетворяет усло-
условию т @) Ф 0. Тогда для любого элемента h ? рч справедливо
неравенство
—) г/*-'2
1 (Ь) - —
v / q
Доказательство. По теореме 8.44 г = ord (m (ж)), Кроме того,
в силу замечания, предшествующего теореме 8.78, R = ord (m {х)).
Тогда искомый результат следует из теоремы 8.82, !.
Если линейная рекуррентная последовательность имеет не-
неприводимый минимальный многочлен, то другой метод, основан-
основанный на суммах Гаусса, приводит к несколько лучшим оценкам
В приводимом ниже доказательстве мы воспользуемся формулами
для сумм Гаусса из теоремы 5.11.
8.84. Теорема. Пусть s0, s,, ... -- однородная линейная рекур-
рекуррентная последовательность над полем fq и г - ее минимальный
период. Предположим, что минимальный многочлен этой после-
последовательности т (х) является неприводимым многочленом степени
k над полем F4 и при этом удовлетворяет условию т @) ^='0
Пусть h — наименьшее общее кратное чисел г и q — 1. Тогда
Z@)-
а при Ь Ф 0
ZF)--2
q"-
-l-q4*)
q"'3. (8.37)
7<*/2)-i. (8.38)
Доказательство. Положим К — fq, и пусть F — поле разло-
разложения многочлена т (х) над полем К- Пусть а ? F — корень :
§ 7. Распределение элементов 563
многочлена т (х); тогда афО, так как т @) Ф 0. По теореме
8.24 найдется 8 ? F, такой, что
sn = TrF/K(8а"), п = 0, 1, ... . (8.39)
Очевидно, что 8 ^= 0. Пусть Я' — канонический аддитивный ха-
характер поля К (см. E.6)). Тогда из соотношения E.9) вытекает,
что для любого фиксированного элемента b ? К
, если sn = b,
I, если sn Ф b,
что вместе с (8.39) дает
Т—\
/1=0
Если Я обозначает канонический аддитивный характер поля F,
то Я' и Я связаны между собой равенством Я' (Ti>/k (Р)) = Я (Р)
для всех Р g F (см. E.7)). Таким образом,
г—1
г—1
r {Ьс) 2 *(с9аП)- (8-40)
В силу E.17)
±
я<р)==
где Р ? F*, a суммирование производится по всем мультиплика-
мультипликативным характерам ty поля F. Для элемента с ? /С* получаем
г—1 г—1
п=0 ' п=0
г—1
п=0
Внутренняя сумма в последнем выражении является суммой чле-
членов геометрической прогрессии. Она равняется нулю, если f (а) Ф
^ 1 в силу того, что \р (а)г = tp (аг) = ф A) = 1. Таким образом,
564 Гл. 8, Линейные рекуррентные последовательности
нам необходимо суммировать лишь по множеству J, состоящему
из всех таких характеров f, для которых г|з (а) = 1. Поэтому
/•—1
к (сва") = -jf—f ^ 4'(c6)G(f, К).
q
Подставляя это выражение в (8.40), получаем
2 Г
€ к* -ф € J
H>6 J c? к* '¦
Если через f обозначить ограничение характера *|> на К*, то вну-
внутреннюю сумму можно рассматривать как сумму Гаусса нал
полем К с аддитивным характером %'ь(с) ~ k'(be) для с ? К.
Тогда
Пусть теперь b = 0. Если Xj является тривиальным аддитив-
аддитивным характером поля К, то сумма Гаусса G (*|>', Я,й) обращается
в 0 во всех случаях, кроме случая, когда ф' является тривиальным
характером. В последнем случае G (t|>\ k'h) - q— 1. Следова-
Следовательно, имеет смысл брать сумму в (8.41) по множеству А, состо-
состоящему из всех таких характеров *|>, для которых \|з (а) = 1 и f
является тривиальным характером. Тогда
•ф G А
Тривиальный мультипликативный характер дает в сумму вклад,
равный —1 и, следовательно,
, к),
я\ q{q\) /
где звездочка означает, что тривиальный мультипликативный
характер исключен из области суммирования, В силу того, что /-
является нетривиальным характером, получаем, что \G (ф, к)\ =¦
— qk>2 для любого нетривиального ф. Отсюда
2@)-
<8-42)
Обозначим через Я наименьшую подгруппу группы F*, содер-
содержащую а и К* • Элемент а в циклической группе F* имеет порядок j
4
§ 7. Распределение элементов 565
/•; следовательно, \Н\ = h, где h = НОК (г, ц — 1). Далее,
ip ? Л тогда и только тогда, когда \|з (Р) = 1 для всех $ ? Н.
Иными словами, А является аннулятором Я в группе (F*) (см.
стр. 239). Тогда по теореме 5.6
?± (8.43)
Теперь неравенство (8,37) непосредственно следует из (8.42;
и (8.43).
Рассмотрим случай Ь Ф 0. Вернемся к формуле (8.41) и заме-
заметим прежде всего, что аддитивный характер к'ь является нетри
виальным. Следовательно, тривиальный мультипликативный ха-
характер дает в сумму из (8.41) вклад, равный 1. Таким образом,
мы можем записать
Теперь G (\|з\ к'ь) = —1, если характер \|з' является тривиальным,
и \G (ф', Х'ь)\ = а112, если характер \|з' нетривиален. Отсюда сле-
следует, что
Z(b)-
г
— 1
— I
Так как / является аннулятором в (F*)~ подгруппы группы F*.
порожденной элементом а, то по теореме 5.6 |/| = (qk — 1)/г
Вместе с (8.43) это дает (8.38), что и завершает доказательство
теоремы. П
Можно также получить результаты, касающиеся распределе-
распределения элементов основного поля на отрезках последовательности,
меньших полного периода. Пусть s0, slt ... — произвольная линей-
линейная рекуррентная последовательность над полем Fg, г — ее мини
мальный период, а п0 — предпериод. Пусть Ь ? Fq — произволь-
произвольный элемент поля, No > п0 и 1 < N < г. Тогда через Z (b; No, N)
обозначим число таких п, No < п. ¦< No + N — 1, для которых
sn = Ь.
8.85. Теорема. Пусть s0, slt ... —линейная рекуррентная по-
последовательность k-го порядка над полем Fq, r — ее минимальный
период, а п0 — предпериод, и пусть число R выбрано так же,
как и в теореме 8.78. Тогда для любого элемента b ? fq справед-
справедливо неравенство
^(i -\f) (¦jr)
N < г.
566 Гл. 8. Линейные рекуррентные последовательности
Доказательство, Используя обозначения и метод доказатель-
доказательства теоремы 8.82, нетрудно получить равенство
А'о+А'—1
n—N,
В силу того, что имеется ровно q — 1 нетривиальных аддитив-
аддитивных характеров поля fq, из теоремы 8.81 получаем
N,+N—1
Z(b; No,
Метод доказательства теоремы 8.84 также может быть исполь-
использован для исследования распределения элементов поля fq n;i
отрезках последовательности, меньших полного периода
(см. упр. 8.69, 8.70 и 8.71).
Комментарии
§ 1. Теория линейных рекуррентных последовательностей
имеет очень давнюю историю. В гл. 17 книги Диксона Dickson [40 I
она прослеживается с 1202 по 1918 г. Первоначально внимание
уделялось линейным рекуррентным последовательностям целых
чисел, особенно знаменитой последовательности Фибоначчи Fo, Fu
F2, ... , определяемой условиями Fo = 0, Fj = 1 и соотношением
Fn+2 = ^n+i + fBi л = 0, I, ... . Позднее линейные рекуррент-
рекуррентные последовательности над полем действительных или комплекс-
комплексных чисел рассматривались в основном в связи с исчислением
конечных разностей. Интерес к линейным рекуррентным после-
последовательностям над конечными полями возник после того, как
линейные рекуррентные последовательности над Z стали рассмат-
рассматривать по модулю простого числа р, получая таким образом ли-
линейные рекуррентные последовательности над полем Тр. Начиная
с 50-х г. XX в., линейные рекуррентные последовательности над
конечными полями нашли важное приложение в теории кодиро-
кодирования и в электронике ввиду их связи с переключательными схе-
схемами. Краткий обзор истории развития этого направления за
период с 1918 г. можно найти в книге Selmer [3, ch. 21.
Важными классическими работами по теории линейных ре-
рекуррентных последовательностей являются работы Lucas [1 ] и
d'Ocagne [1 ]. Обзор этой тематики можно также найти в книгах
Lucas [2, ch. 17, 18] и Bachman [5, ch. 2]. Первый заметный
вклад в теорию линейных рекуррентных последовательностей
над конечными полями был сделан в статьях Mantel [1 ] для ел у-
Комментарии 567
чая простого поля Fp и Scarpis [2] для общего случая F,- Все
последующие работы вплоть до середины XX в. сконцентриро-
сконцентрированы вокруг линейных рекуррентных последовательностей над
кольцами Zh Z/(m) (см. Bell [I 1, Carmiehael [1 ], |2j, [3], Engstrom
[II, 121, Hall 111, [21, [31, [4], Ward [2], C], [41, [7], [8],
[9], A11, 1121, II4j, 116] и особенно фундаментальную работу
Ward [51). Кроме того, линейные рекуррентные последователь-
последовательности над произвольными полями рассматривались в работе Ward
II I, а линейные рекуррентные последовательности над произволь-
произвольными коммутативными кольцами — в статьях Ward [13], [15].
Основополагающей работой по современной теории линейных ре-
рекуррентных последовательностей над конечными полями является
работа Zierler 14 I. Обсуждение этой теории можно найти в книгах
Birkhoff, Bartee [I, ch. 13], Dornhoff, Hohn [1, ch. 8], Gill [21.
Golomb, [41. Limeburg, [21. Peterson, Weldoa ll ], а также в лек-
лекциях Selmer [3 1 и в обзорной статье Fillmore, Marx [I ]. По поводу
более подробной информации о последовательностях Фибоначчи
см. Baehmann [5, ch. 21, Jarden [1 ], Knuth [2, ch. 1 ] и Воробьев
II 1, а также журнал «Fibonacci Quarterly». Линейные рекуррент-
рекуррентные последовательности действительных или комплексных чисел
исследовались, в частности, в книгах Jordan Ch. [I, ch. 11],
Milne-Thomson U, ch. 13], Montel [1 J, Norlund [1, ch. 10], Гель-
фонд 11, гл. 5] и Маркушевич [1].
Описание технической реализации регистров сдвига с обрат-
обратной связью и составляющих их элементов приводится в работе
McCluskey [1]. В статье Roth [1] обсуждается эффективное
построение регистров сдвига с обратной связью с полем F2 в каче-
качестве основного поля. Связь между регистрами сдвига с обратной
связью и линейными рекуррентными последовательностями под-
подчеркивается в работах Golomb [4]. Peterson, Weldon [1 ] и Selmer
[31. Обсуждение работы регистра сдвига с обратной связью с точки
зрения теории переключательных схем и теории конечных автома-
автоматов можно найти в книгах Booth [I, ch. 8], Gill [21. Golomb
14, ch. 21, Zadeh, Polak [1, ch. 2], а с еще более общей точки
зрения — в § 5 гл. 9 настоящей монографии.
Теорема 8.7 в сущности была получена в работе Mantel II I.
Теорема 8.11 является частным случаем результата, доказанного
в статье Ward [15 ]. Матрица А из (8.3), являющаяся сопровождаю-
сопровождающей матрицей характеристического многочлена рекуррентной
последовательности, была введена в работе Brenner [1 ]; там же
можно найти доказательство теоремы 8.13. Позднее матричные
методы начали интенсивно использоваться при проведении ис-
исследований в этой области (см. Golomb [1 ], Birdsall, Ristenblatt
[11, Elspas 111, Friedland [1], Stern, Friedland [I ] и Mendelsohn
И]). Эти методы имеют то преимущество, что они могут быть
также применены к линейным рекуррентным последовательно-
568 Гл» 8. Линейные рекуррентные последовательности
стям над более общими алгебраическими структурами (см., на-
например, Niederreiter 16]). Вычислительные аспекты матричных
методов обсуждались в работах Kamal, Singh, Puri, Nanda ll]
и Latawiec [1 ].
Доказательства формулы для порядка группы GL (к, Тч)
можно найти, например, в книгах Artin [7, ch. 4], Carmichael
14, ch. 101, Dickson [7, part II, ch. 1] или Newman ll, ch. 7].
В них можно также обнаружить формулы для порядков других
матричных групп над полем IF,, таких, как специальные линей-
линейные группы, ортогональные группы или симплектические группы.
Теоретико-групповой аспект этих матричных групп обсуждается,
например, в работах Artin [5], [6], Carmichael 14, ch. 10], Cho-
valley [2], Dickson [7, part II], Dieudonne [2] и Dixon [1]. По-
Последние исследования по теории представлений таких групп
можно найти в статье Srinivasan 111. Формула для порядка
группы GL (к, fq) является частным случаем формулы для числа
т х «-матриц ранга г над полем fq, которая имеет вид
г—1
q(r*-r)/2jJ(qm-i _ \)(qn-i _ \)(д1+1 ... i)-if
1=0
где 1 <C r <C min (m, n). Этот результат для случая простоги q
был получен в работе Landsberg [1 ]. Доказательства этой формулы
можно найти также в работах Arghiriade, Peterfi [I ], Boros [1 I,
Fisher, Alexander [1 ]. В статье Porter, Riveland ll ] аналогичная
формула доказана для случая, когда задано фиксированное число
s < г линейно независимых строк в матрице. В работе Klein [31
рассматривается число т X «-матриц над полем fp, для которых
все миноры порядка min (т, п) или все миноры порядка не более
min (т, п) являются ненулевыми. Ли в работе Lee А. [1 ] показал,
что не существует матрицы размера (q — 1) х q над полем Г,,,
в которой все миноры порядков q — 1 и q — 2 являются ненуле-
ненулевыми. В работе Carlitz, Hodges 14] получено число прямоуголь-
прямоугольных матриц заданного ранга, у которых ранги подматриц имеют
предписанные заранее значения, а в работах Brawley, Carlitz 11 1
и Fisher, Alexander [1] получено число таких матриц с предпи-
предписанными значениями сумм по строкам и столбцам. Другие пере-
перечислительные задачи для прямоугольных матриц над полем {,,
изучались в работах Carlitz, Hodges [21, Daykin [21, Fulton J. О.
[8], [101, Hodges [7] и Kim [1 ]. Для квадратных матриц задан-
заданного порядка над полем fq рассматривались более специальные
перечислительные задачи. Так, в работе Buckhiester [11 определено
число таких матриц с заданными значениями ранга и следа (см.
также статью Johnson, Porter, Varineau [11, где рассматривается
случай полного ранга). Райнер (Reiner [1 ]) и Герстенхабер (Ger-
stenhaber [I 1) нашли число матриц, имеющих заданный характе-
Комментарии 569
ристический многочлен, а Карлиц и Ходжес (Carlitz, Hodges [3])
получили формулу для числа простых матриц. В статьях Fine,
Herstein [I ] и Gerstenhaber [I ] доказано, что имеется в точности
g,is-n нильпотентных п х n-матриц над полем fq, а в статье
Bollman, Ramirez [I ] получено число нильпотентных матриц над
Zl(tn) заданного порядка и ранга. Число циркулянтных матриц
с заданным рангом подсчитано в работе Berlekamp [2], а в ста-
статьях Carlitz [51], [541, Carlitz, Hodges [1] получены соответ-
соответственно число кососимметрических, симметрических и эрмитовых
матриц заданного ранга. Дальнейшее развитие этого направления
проведено в работе MacWilliams [31. В работе Brawley, Carlitz
[1 ] изучались те же вопросы с дополнительными ограничениями
на суммы по строкам и столбцам. Приложения полученных резуль-
результатов можно найти в статье MacDougall [1 ]. В статье Felt, Fine
11 1 определено число упорядоченных пар коммутирующих п х п-
матриц над полем fq, аналогичные вопросы рассматривались
Карлицом (Carlitz [92]). В работе Kung [1] получено число не-
невырожденных матриц, коммутирующих с данной блочно-диаго-
нальной матрицей. Эквивалентность и классы подобия для матриц
изучались в работах Brawley [I], Carlitz [1041, Carlitz, Hodges
13] и Gow [1 ]. В статье Brawley, Mullen [1 ] найдено число диа-
гонализируемых матриц, имеющих заданное число различных
собственных значений. Для фиксированной квадратной матрицы
А над полем fq Дайкин (Daykin [1 ]) определил число различных
матриц вида f (А), имеющих заданный ранг, когда / пробегает
Fq ul. По поводу результатов о числе решений матричных урав-
уравнений мы отсылаем читателя к комментариям к § 2 гл. 6 настоящей
монографии. С этими перечислительными задачами о матрицах
непосредственно связана задача перечисления подпространств
векторных пространств над полем fq. В этой связи Диксон (Dickson
[7, part I, ch. 4]) и Мур (Moore [4]) показали, что число г-мерных
подпространств «-мерного векторного пространства над полем F9
задается формулой
IKf-'-lMr-'-l)-1. гДе 1 <г<п.
1=0
Как определил Нивен (Niven [11), наименьшее общее кратное
порядков всех элементов группы GL (k, fq) равно р'М, где р —
характеристика поля fq, e — наименьшее целое число, для ко-
которого ре > k, a M — наименьшее общее кратное чисел q — 1,
Ч2 — 1, ... , qk — 1. Эти результаты были дополнены и обобщены
в работе Marshall [1]. Так, утверждение о том, что порядок
матрицы А в GL (k, fq) делит
570 Гл, 8, Линейные рекуррентные последовательности
можно усилить до утверждения, что этот порядок делит р'М.
Аналог результата Нивена для GL (к, Zl(m)) был получен в ра-
работах Davis A ] и Maxfield [1 ]. Кроме того, Нивен в той же pa6oit
Niven [11 получил алгоритм для определения порядка элеменг.1
из GL (к, Fo). Исследованию порядков матриц посвящены также1
работы Bolfman [1], Dai [1], Fillmore, Marx 111, Gaiu [1] и
Liineburg [2, ch. 32, 33].
Теория линейных рекуррентных последовательностей на;
конечными полями помимо применения к анализу и синтезу pi-
гистров сдвига с обратной связью имеет еще одно важное при-
применение, а именно в теории кодирования, особенно в теории
циклических кодов (см. § 2 гл. 9 настоящей монографии). Пер-
Первыми работами по связи линейных рекуррентных последователь-
последовательностей и регистров сдвига с обратной связью с теорией кодиро-
кодирования были работы Abramson [I J, Green, San Soucie [11, Huffman
[11, 12], Kasami [1 1, Mattson, Solomon [11, Peterson 11], Prange
[11, Stern, Friedland [11, Yale [1], Zetterberg [1 ] и Zierler [1],
[31. См. также Massey [3], Mykkeltveit [1 ], Zierler [5] и Габиду-
лин [1 1, а кроме того, монографии Ash [I, ch. 51, Lin [2, ch. 41 и
Peterson, Weldon [1 1. Приложения к вычислениям в fq и fq |vl
рассматривались в работах Bartee, Schneider [1 ], Berlekainp
[4, ch. 21, Bhanu Murthy, Sampath [11, Gill [2, ch. 61, Tanaka.
Kasahara, Tezuka, Kasahara [1 ] и Willett [61. Алгоритм Миньона
(Mignotte [1 1) для определения степени поля разложения много-
многочлена над полем f q также основывается на свойствах линейных
рекуррентных последовательностей. Другие связи линейных ре-
рекуррентных последовательностей с разложением многочленов на
множители можно найти в статье Willett [51. Свойства линейных
рекуррентных последовательностей 2-го порядка над конечными
простыми полями применялись в работе Niederreiter, Robinson
[1 ] для анализа конечных луп Бола. Применения линейных ре-
рекуррентных последовательностей над полем Р2 в криптографии
обсуждаются в работе Beker, Piper [11. Слоэн (Sloane [2]) упо-
упоминает о связях между криптографией и регистрами сдвига с об-
обратной связью. Обзор практических приложений линейных ре-
рекуррентных последовательностей дается в работах Golomb [3.
ch. I 1, [4, ch. 1 ]. О некоторых специальных приложениях после-
последовательностей максимального периода будет упоминаться ниже,
в комментариях к § 2 настоящей главы.
Линейные рекуррентные последовательности можно рассмат-
рассматривать и над более общими алгебраическими структурами. Уорл
(Ward [1 ]) изучал рекуррентные последовательности над произ-
произвольными полями, а позднее в работах Ward [13], [151 он начал
изучать линейные рекуррентные последовательности над комму-
коммутативными кольцами. Дальнейшие исследования по этим направ-
направлениям можно найти в работах Dade, Robinson, Taussky, Ward
Комментарии 571
[1 ], de Carli [1 J, Duparc [1 ], Robinson D. W. [4] и Shiue, Sheu
[11. Линейные рекуррентные последовательности над модулями
изучались в статьях Nathanson [5] и Niederreiter [5], [6]. Линей-
Линейные рекуррентные последовательности векторов рассматривались
в работах Bollman [I], Daykin [4], Selmer [3, ch. 7], Vince [2].
Свойства периодичности последовательностей над F<, и Z/(m),
удовлетворяющих рекуррентным соотношениям вида
sn+h = ah_x (л) sn+ft_a + ah_2 (n) sn+fe_3 -\ \- a0 («) sn,
где коэффициенты at (n) периодичны по п, изучали Нечаев [1 J,
[3] и Полосуев [1 ]. Свойства периодичности, получаемые из ре-
рекуррентных соотношений других типов, были получены Дюпар-
ком (Duparc [2]). Линейные рекуррентные последовательности
над полем Fq представляют собой одномерный случай в теории
линейных рекуррентных массивов над fq. Эта теория была развита
в работах MacWilliams, Sloane [I ], Nomura, Fukuda [1], Nomura,
Miyakawa, Imai, Fukuda [1], [2], [3], Sakata [1], [2].
§ 2. Особая роль, которую играет импульсная функция,
была отмечена еще в классической литературе по линейным ре-
рекуррентным последовательностям (см., например, Lucas [2, ch. 17]
и d'Ocagne [1]). Теоремы 8.16 и 8.19 были получены Уордом
(Ward [5]), а теорема 8.17 была доказана для простого q Спей-
сером (Speiser [1]). Другие результаты, имеющие отношение
к импульсным функциям, можно найти в работах Ajtai [I ], Kiss,
Bui Minh Phong [1 ], Robinson D. W. [2] и Selmer [3, ch. 3, 4].
Отметим в связи с теоремой 8.19, что Грот (Groth [1]) исполь-
использовал число линейно независимых векторов состояний для вве-
введения меры сложности на последовательностях над полем F2-
Понятие характеристического многочлена и основная идея
теоремы 8.21 восходят еще к Лагранжу (Lagrange [1], [5]),
который получил аналогичную теорему для линейных рекуррент-
рекуррентных последовательностей над полем действительных чисел. Ре-
Результат, приведенный в замечании 8.23, хорошо известен для
линейных рекуррентных последовательностей над полем действи-
действительных или комплексных чисел (см. Jordan Ch. [I, ch. 11],
iMilne-Thomson [1, ch. 13] и Маркушевич [1]). Нетрудно заме-
заметить, что этот результат может быть перенесен на случай конечных
полей при наличии ограничений на кратность корней характери-
характеристического многочлена. Но и без этих ограничений все же имеются
способы получения представления в явном виде для членов по-
последовательности (см. Fillmore, Marx [I ]). Положим в теореме 8.21
все $j равными 1. Получаемая при этом последовательность при-
привлекала внимание исследователей (см. Selmer [2], [3, ch. 5],
Ward [3], [4], Wegner [2], [4]). Теорему 8.24 можно найти у ван
Линта (van Lint [I, ch. 3]). Более сложная формула справедлива
Для случая, когда характеристический многочлен не имеет крат-
572 Гл. 8, Линейные рекуррентные последовательности
ных корней (см. Niederreiter 18] и упр. 8.41). Аракелов и Варша-
мов [1 ] показали, что n-й член однородной рекуррентной после-
последовательности й-го порядка над полем fq может быть предстар.'к-н
в виде
«в = go («) «О"! "Ь gh-1 (П) Sft.i,
где gi (n) ? Fq. Здесь же изучались выражения для gt (n). Алго-
Алгоритмы для вычисления sn при больших п обсуждаются в рабоюх
Gries, Levin [1], Miller, Brown [1], Pettorossi [11, Pettoro.-^i,
Burstall [1 ], Selmer [3, ch. 5], Urbanek [1 ], Wilson, Shortt II I.
Теорема 8.25 по существу получена Уордом (Ward 151). Резуль-
Результаты из линейной алгебры, использованные при доказательство
леммы 8.26, а именно то, что/ является минимальным многочленом
соответствующей сопровождающей матрицы, можно найти, на-
например, в книге Hoffman, Kunze [I, ch. 7]. Лемма 8.26 и теорема
8.27 непосредственно приводят к результатам о порядке сопровож-
сопровождающих матриц как элементов группы GL (k, fq), таким, напри-
например, как верхняя граница qk — 1 для порядка таких матриц,
полученная Гуптой (Gupta [1 ]). Линейные рекуррентные после-
последовательности, характеристические многочлены которых являются
трехчленами, изучались в работах Goldstein, Zierler [I ], Lunnon.
Pleasants, Stephens [1], Young [1] и Аракелов, Тененгольц 111.
Кумари (Kumari [1]) рассматривал другой специальный класс
линейных рекуррентных последовательностей.
Первое детальное изучение последовательностей максималь-
максимального периода (называемых также т-последовательностями или
(в электронике) псевдослучайными последовательностями (pseudo-
noise sequences)) было предпринято Голомбом (Golomb [1 I),
но там эти исследования ограничивались случаем последователь-
последовательностей над полем f2 (см. также Golomb [2], [4, ch. 3, 4, 6], Go-
Golomb, Welsh [1]). Более глубокое исследование таких последо-
последовательностей над произвольным полем Fg можно найти в работах
Zierler [4], Selmer [31. В статье Daykin, Dresel, Hilton [1] рас-
рассматривались последовательности 2-го порядка, имеющие макси-
максимальный период. Ряд работ был посвящен эффективным методам
построения последовательностей максимального периода (см. B.ill,
Spittle, Liu [1 ], Eier, Malleck [1J, Harvey [1 ], Lempel [1 ], Lempel,
Eastman [11, Mohrmann [1], [2], Scholefield [11, Surbock, Wein-
richter [1]). Различные обобщения последовательностей макси-
максимального периода встречаются в работах MacWilliams, Sloane 11 I.
Nomura, Miyakawa, Imai, Fukuda [1 ], [31, Sakata [1 ] и Нечаев 11 I.
Построение последовательностей де Брейна с использованием
последовательностей максимального периода (см. упр. 8.19) было
предложено Мантелем (Mantel [1]), см. также работу Rees Ill-
Существование (m, ^-последовательностей де Брейна для произ-
произвольных параметров тик было впервые доказано Мартином
Комментарии 573
(Martin [1 1), а частный случай т = 2 был изучен ранее в работе
Flye Sainte-Marie [I ]. Последовательности де Брейна получили
свое название после появления работы de Bruijn [1]. Другие
результаты о последовательностях де Брейна можно найтн, на-
например, в работах Arazi [2], Fredricksen [I ], Fredricksen, Kessler
A], Golomb [4, ch. 6], Golomb, Welch [1], Good [1], а также
в обзорной статье Fredricksen [2]. Связанное с этим понятие ко-
кодового кольца изучали Радченко и Филиппов [1], [2]. Другое
приложение к комбинаторике последовательности максимального
периода находят в теории разностных множеств (см. определе-
определение 9.75). Эти вопросы освещаются в работах Butson [I ], Golomb
C, ch. 4]. Laxton, Anderson [1 ], Selmer [3, ch. 6]. Работа Butson
11 ] содержит также приложение к построению матриц Адамара
(см. определение 9.86). Этой же тематике посвящена и работа
MacWilliams, Sloane [1]. В статье Bartee, Schneider [1] векторы
состояний последовательности k-то порядка над полем Fq, имею-
имеющей максимальный период, вместе с нулевым вектором использо-
использованы для описания элементов поля F k (см. также MacWilliams,
Sloane [1], Monnig [1]). Голомб (Golomb [1]) впервые начал ис-
использовать последовательности максимального периода в каче-
качестве генераторов псевдо-случайных чисел (см. также Golomb
[3, ch. 1], [4, ch. 3], Knuth [3, ch. 3], Niederreiter [7], [10],
[12], [13], Tausworthe [1] и Павлов, Походзей [1]. Некоторые
приложения последовательностей максимального периода к теории
кодирования встречаются в работах Green, San Soucie [1],
MacWilliams, Sloane [1 ], Weng [1 ], Yale [1 ], Zierler [3] и Грушко
[1]. По поводу других приложений последовательностей макси-
максимального периода отсылаем к работам Bartee, Schneider [1],
Golomb [3, ch. 2], Laxton, Anderson [1], Mohanty [1], Nadler,
Sengupta [1 ] и Сагалович [1 ].
§ 3. Использование производящих функций в теории линей-
линейных рекуррентных последовательностей над конечными полями
началось с работ Голомба (Golomb [1]) и Хаффмэна (Huffman
И 1, [2]). Затем этот подход более полно использовался в работах
Friedland [1], Richalet [1], Stern, Friedland [1], Zierler [4] и
Назаров [1]; см. также книги Luneburg [3, ch. 24, 25] и Selmer
[3, ch. 3], Формальные степенные ряды над полем F2, представ-
представляющие «почти периодические» последовательности, изучались
в работе Baum, Herzberg, Lomonaco, Sweet [1J. Более общие
последовательности, имеющие в качестве производящих функций
алгебраические функции над fq, появились в работе Furstenberg
Другой подход к линейным рекуррентным последовательно-
последовательностям над полем Fg основывается на теории идеалов — см. работы
Hall [3], Peterson 111, Laksov [1] и Ward [5]. Обзоры по этой
574 Гл. 8. Линейные рекуррентные последовательности
тематике можно найти в книгах Peterson, Weldon fl, ch, 71 и
Selmer [3, ch. 3]. В работах Hemmati, Costello [II и Ikai,
Kosako, Kojima 11], [2] применяется комбинированный подход
с использованием теории производящих функций и теории идеа-
идеалов в кольце fq lx J.
§ 4. Все основные результаты о минимальных многочленах
можно найти в работе Zierler [4]. Теорему 8,44 можно наиги
также в статье Friedland, Stern [I ]. Наше доказательство теоремы
8,42 имеет то преимущество, что оно является конструктивным
(см. также Willett [1 ]), Набросок более короткого, но неконструк-
неконструктивного доказательства приводится в упр. 8.25 (см. также Zierler
[4 ]). Другие подходы к понятию минимального многочлена можно
найти в работах Laksov [1 ] н Selmer [3, ch. 4]. Теорема 8.44 пред-
представляет собой важное связующее звено с теорией порядков много-
многочленов (см. § 1 гл. 3 настоящей монографии). Теорема 8.51 оче-
очевидным образом связана с детерминантным критерием из § 6
настоящей главы, где также содержится и другой метод нахожде-
нахождения минимальных многочленов.
Фитцпатрик (Fitzpatrick [1]) исследовал проблему получения
линейной рекуррентной последовательности над полем Fa задан-
заданного заранее периода с помощью рекуррентного соотношения
минимально возможного порядка. Много работ было посвящено
определению минимального периода последовательности Фибо-
Фибоначчи над FP или Z/(m) (см. Barrier [I], Catlin [I], Fulton, Morris
[1], Halton [1], Kluyver [1], Mamangakis [1], Robinson D. W.
[1], Stanley [1], [2], Tacklind [1], Vince [1], Vinson [1], Wall
[1]), а также более общих последовательностей 2-го порядка над
Wp или Zl(m) (см. Bundschuh, Shiue [2], Kiss, Bui Minh Phong
[f[, Robinson D. W. [3], Smith, Hoggatt [1], Sommer [2], |3|.
[4], Wyler[l], Yalavigifl], [2], Yalavigi, Krishna [1]). Исследо-
Исследования, касающиеся минимальных периодов линейных рекуррент-
рекуррентных последовательностей высших порядков над кольцами выче-
вычетов, проводились в работах Carmichael [2], [3], Engstrom 111-
[2], Hall [3], Ward [2], [5].
§ 5. Основополагающей работой по структуре векторных
пространств S (/ (х)) является работа Zierler [4], где получены
теоремы 8.53, 8.54, 8,55 и 8.56, а также результаты о минимальном
периоде суммарных последовательностей. Пространства S (J (х))
изучались также в работах Fillmore, Marx [ 1 ] и Selmer [3, ch. 3, 4|.
Операция бинарного дополнения изучалась в книге Selmer 13.
ch. 6]. В статье Kumar, Kumari [1] рассматривался эффект перо-
хода к бинарному дополнению только в одном или в двух местах
на длине одного периода. Теорема 8.63 была получена в работе
Ward [5] для случая конечных простых полей. Переход к произ-
произвольному / (х), описанный вслед за теоремой 8.63 (ср. с примером
8.64), можно также получить с помощью символического метода
Комментарии 575
из § 5 следующей главы, который пригоден и для более общего
случая. Распределение минимальных периодов в S (/ (х)), назы-
называемое также цикловой структурой пространства S (f (x)), об-
обсуждается в работах Fillmore, Marx [1], Selmer [3, ch. 4] и Zier-
Zierler [4]. Вопрос совпадения, возникающий в этом контексте,
был решен в работе Duvall, Kibler [1]. В статье Ward [9] изуча-
изучаюсь распределение минимальных периодов для глучая линейных
рекуррентных соотношений над Z/(m). Вопрос, какие значения
может принимать минимальный период линейной рекуррентной
последовательности k-го порядка над полем Fg при фиксированных
k и q, изучался в книге Lfineburg [2, ch. 32, 33].
Тот факт, что в результате почленного умножения линейных
оекуррентных последовательностей получается снова линейная
оекуррентная последовательность, был отмечен еще в статье
FOcagne [1], где исследовались последовательности действитель-
действительных чисел и был доказан более слабый вариант теоремы 8.67,
а именно, что для этого случая
S (h (х)) ... S(fh (x)) s S (h (x) v ... v h (x)).
Для конечных полей операция почленного умножения последо-
последовательностей впервые изучалась в книге Selmer [3, ch. 4]. Более
iщательное исследование этого вопроса было проделано в работе
Zierler, Mills[l], где были получены теоремы 8.67 и 8.72. В этой же
работе было показано, как использовать полученные результаты
для нахождения многочлена g (x) из теоремы 8.65 в общем случае.
Взаимосвязь между множествами S (/ (х)) и S ((/ (х))*1) изучалась
ч статье Fillmore, Marx [1]. Некоторые элементарные замечания
относительно операции почленного умножения последовательно-
последовательностей содержатся в работе Brousseau [1]. В статье Furstenberg
11] получен аналог следствия 8.66 для более общих типов после-
последовательностей над полем fq.
Операция над последовательностями, называемая децимацией
(decimation) или разрядкой, была предложена Голомбом (Golomb
[ I ]) и определяется следующим образом: если а — последова-
последовательность элементов s0, st, s2, ... из поля F9, a d ? N — натураль-
натуральное число, то разреженная последовательность a{d) состоит из
членов So, sd, s2d, ..., т. е. 0(rf) получается путем выбора каждого
d-ro члена исходной последовательности а, начиная с s0. Частные
случаи этой операции появлялись в работах Hall [3] и Ward [3].
Подробное исследование этой операции было проделано в работах
Golomb [2] и Zierler [4]. Основное внимание уделялось разрядке
последовательностей максимального периода ввиду того, что все
последовательности А-го порядка над полем fq, имеющие макси-
максимальный период, могут быть получены (с точностью до сдвига)
чз одной последовательности такого типа с помощью соответ-
соответствующей разрядки (см. Golomb [2], Selmer [3, ch. 5]). Дальней-
576 Гл. 8. Линейные рекуррентные последовательности
шее исследование свойств этой операции проводилось в работах
Arazi [11, Duvall, Mortick [1], Golomb [4, ch. 3, 4], Selmer 13,
ch. 5J, Surbock, Weinrichter [1], Willett [2] и Павлов, Походзей
[1]. Если f (x)— нормированный многочлен, не являющийся
константой, над полем fq и / @) Ф 0, то последовательность
ст ? S (/ (х)) называется характеристической последователь-
последовательностью для / (х), если 0<»> = ст. Это понятие было впервые введено
и исследовано в работе Gold [1]. В работе Willett [4] приведены
таблицы характеристических последовательностей для примитив-
примитивных многочленов над полем F2- В статье Willett [5] доказано, что
множество характеристических последовательностей для / (х) об-
образует подпространство пространства S (/ (х)) и размерность этого
подпространства равняется числу различных нормированных не-
неприводимых делителей многочлена f (х).
В работе Goka [1] рассматривалась операция перехода от по-
последовательности s0, st, s2, ... над полем F2 к последовательности
s0 + slt st + S;,, s2 + s3, ... сумм соседних членов. Эта операция
под названием «взятие производной» изучалась и в статье Nathan-
son 11]. Обратная к ней операция изучалась в работах Nathanson
[1], [2], а различные ее обобщения — в работах Nathanson
[3], [5J. Способы разложения периодических последовательно-
последовательностей над полем Fa рассматривались в статьях Hwang, Sheng,
Hsieh [1] и Weng [1].
§ 6. Подробную сводку соотношений между линейными ре-
рекуррентными последовательностями и ганкелевыми определите-
определителями можно найти в книге Polya, Szego [I, sec. VII, prob.
17—29]. Теорема 8.75 была впервые получена Кронекером (Кго-
necker [4]) для последовательностей над полем действительных
чисел, но его доказательство справедливо для любого поля.
Другие варианты теоремы Кронекера можно найти в работах
d'Ocagne [1], Maillet [1] и Perrin [1]. Обсуждение этих детерми-
нантных критериев можно также найти в работах Lfineburg
[2, ch. 26],Selmer [3, ch. 4] и Willett 13].
Алгоритм Берлекэмна—Месси был получен в работах Бер-
лекэмпа (Berlekamp [4]) и Месси (Massey [4J) в связи с одной за-
задачей из теории кодирования (см. § 2 следующей главы и коммен-
комментарии к нему в конце главы). Бартон (Burton [1 ]) упростил этот
алгоритм для случая поля fq при четном q. В статье Berlekamp.
Fredricksen, Proto [1] отмечено, что в то время как любых 2k
последовательных членов однородной линейной рекуррентной
последовательности над полем f,r имеющей минимальный мно-
многочлен степени k^?>l, будет достаточно для определения мини-
минимального многочлена, никакого числа членов, меньшего 2k.
не будет достаточно для его определения при условии, что q ф 2.
Если же q = 2, то 2k — 1 членов иногда может быть достаточно
для определения минимального многочлена, но 2k — 2 никогда не
Комментарии 577
будет достаточно. Дальнейшие замечания по этому вопросу,
относящиеся к случаю^ = 2, можно найти в работе Dillon, Morris
fl]. Густавсон (Gustavson [1]) оценил среднее число сложений и
умножений, требуемое алгоритмом Берлекэмпа—Месси. Обсужде-
Обсуждение этого алгоритма можно также найти в книге Dornhoff, Hohn
|1, ch. 9]. Еще ряд замечаний и ссылок по поводу этого же алго-
алгоритма можно найти в комментариях к § 2 следующей главы.
§ 7. Первой работой, посвященной распределению элементов
основного поля в рекуррентной последовательности, является
работа Scarpis [2], в которой изучается Z @) для линейных ре-
рекуррентных последовательностей 2-го порядка над полем р„
с нечетным q. Позднее в статье Ward [3] изучалось распределение
элементов в линейных рекуррентных последовательностях 3-го по-
порядка над полем fp. Случаи последовательностей более высокого
порядка рассматривались в работах Hall [3], [4]. Мощный метод
тригонометрических сумм был впервые применен для исследова-
исследования этих вопросов Коробовым [1]. Теоремы 8.78 и 8.81 являются
частными случаями результатов Нидеррайтера (Niederreiter [5J,
[6|). Оценку (8.31) в большинстве случаев можно улучшить (см.
упр. 8.66). Оценка, полученная в теореме 8.81, оказывается не-
улучшаемой (см. Niederreiter [5]). Другими работами по тригоно-
тригонометрическим суммам такого вида являются статьи Niederreiter
17], [8] и Нечаев [5], [6]. Случай более общих рекуррентных
соотношений рассматривался в работах Niederreiter [11] и Не-
Нечаев [2].
Простая формула для Z (Ь) в случае последовательности
максимального периода была впервые получена в работе Golomb
[ 1 ] для последовательностей над полем F2. Теорема 8.82 доказана
в статье Niederreiter [6]. Оценка такого типа была иолучена раньше
комбинаторными методами в работе Hall [4] для случая однород-
однородной линейной рекуррентной последовательности k-то порядка
над полем fp с неприводимым характеристическим многочленом.
Еще раньше Холл (Hall [3]) показал, что если в этом случае
минимальный период превосходит величину рк1%, то в последова-
последовательности обязан встретиться элемент 0. Селмер (Selmer [3,
eh. 5]) получил аналог результатов Холла для случая, когда
ц — 2 и характеристический многочлен является произведением
Двух различных неприводимых многочленов над полем F2- Теорема
8.84 доказана в работе МсЕНесе [5]: Распространение этого ме-
метода на случай, когда минимальный многочлен не имеет кратных
сомножителей, можно найти в работе Niederreiter [8]. Результат
теоремы 8.85 о распределенни элементов поля на отрезках рекур-
рекуррентных последовательностей длины, меньшей периода, был полу-
получен в работе Niederreiter [6 J. Там же было показано, что эта оценка
неулучшаема. Распределение элементов, принадлежащих данному
подмножеству поля Fq (например, принадлежащих множеству
Ю Зак. 243
¦>78 Гл. 8. Линейные рекуррентные последовательности
примитивных элементов поля fq), в линейных рекуррентных
последовательностях над полем Fq рассматривалось в следующих
работах: Niederreiter [6], Коробов [1], Нечаев [4], Нечаев,
Степанова [1] и Шпарлинский [1], Аналогичные вопросы для
последовательностей, удовлетворяющих более общим рекуррент-
рекуррентным соотношениям, изучались Нечаевым и Полосуевым [1].
Многие результаты из этой работы могут быть перенесены на
случай линейных рекуррентных последовательностей над кольцом
Zl(m) (см. Niederreiter [6], Нечаев [4]).
Голомб (Golomb [9]) рассматривал последовательности над
полем Fa с периодом (не обязательно минимальным), равным
2* — 1, в которых число появлений 0 и 1 такое же, как в мини-
минимальном периоде последовательностей k-то порядка, имеющих
максимальный период. В статье Hemmati, Costello [1] построены
чинейные рекуррентные последовательности над полем fq, для
которых Z @) = 0. Макэлайс (МсЕНесе [4]) получил значения
для Z (Ь) по различным модулям, равным степеням характери-
характеристики поля fq. Исследование распределения элементов в линейных
рекуррентных последовательностях небольших порядков было
проделано в работах Scarpis [2], Ward [3], Hall [2], а также
в появившихся позднее работах Bloom [I], Bruckner [I], Burr
[1], Shah [1], Zeckendorf [1]. Некоторые из этих работ охваты-
охватывают случай последовательностей над кольцом Z/(m). Результаты
о свойствах распределения элементов поля в линейных рекуррент-
рекуррентных последовательностях находят применение в теории кодирова-
кодирования (см. МсЕНесе [5], Niederreiter [8]), а также при получении
псевдослучайных чисел (см., например, Golomb [1], [4, ch. 3],
Niederreiter [7], [10]).
Линейные рекуррентные последовательности над полем fq,
для которых Z (Ь) имеет одно и то же значение для всех b ? fq,
привлекают особое внимание. Последовательность с таким свой-
свойством называется равномерно распределенной (uniformly distri-
distributed, equidistributed) над tq согласно определению, приведенному
впервые в работе Gotusso [1] (см. также Kuipers, Niederreiter
A, ch. 5]. Изучение равномерно распределенных линейных рекур-
рекуррентных последовательностей было начато в работах Kuipers,
Shiue [1], [2], [3], [4]. В них рассматривался случай последо-
последовательностей 2-го порядка над конечными простыми полями или
над кольцами вычетов Z/(m). В частности, последовательность
Фибоначчи является равномерно распределенной над Zl(m) тогда
и только тогда, когда т—степень числа 5 (по поводу доказа-
доказательства необходимости см. Kuipers, Shiue [4], а достаточности —
Niederreiter [4]). Равномерно распределенные линейные рекур-
рекуррентные последовательности 2-го порядка над кольцом Zl(m)
изучались в работе Nathanson [4] для случая простого числа т,
в работе Bundschuh, Shiue [1] для случая т, равного степени
Комментарии 579
iipocroro числа (см. также Webb, Long [1]), а также в работе
Bumby [1] для случая произвольного т. С этими исследованиями
также связаны статьи Bundschuh [1], Cavior [7], Shiue [1],
Shiue, Hu [1]. Равномерно распределенные линейные рекуррент-
рекуррентные последовательности 2-го и 3-го порядков над полем fq иссле-
исследовались в работе Niederreiter, Shiue [1], а последовательности
4-го порядка — в работах Niederreiter, Shiue [1], [2]. Найт и
Уэбб (Knight, Webb [1]) изучали равномерно распределенные
линейные рекуррентные последовательности 3-го порядка над
кольцом Zl(m). В статье Niederreiter, Shiue [1] показано, что если
линейная рекуррентная последовательность произвольного по-
порядка является равномерно распределенной последовательностью
1ад полем Wq, то ее минимальный многочлен обязан иметь по
меньшей мере один кратный корень, отличный от 0. В этой же
работе изучались последовательности, минимальные многочлены
которых разлагаются на множители некоторым специальным
образом. Результаты, касающиеся равномерно распределенных
линейных рекуррентных последовательностей произвольного по-
порядка над кольцом Zl(m), можно найти в работах Kuipers [3],
Niederreiter [11], Rieger [1], [2], [3].
Вопрос о частоте появления того или иного элемента поля
в линейной рекуррентной последовательности можно обобщить
следующим образом: какова частота появления того или иного
блока элементов среди блоков, составленных из стоящих подряд
членов данной последовательности. Для последовательностей
/г-го порядка над полем fq, имеющих максимальный период,
число появлений данного блока длины / <С k на отрезке последо-
последовательности длины, равной полному периоду, может быть опре-
определено непосредственно с помощью прямых комбинаторных под-
подсчетов (см. Golomb [1 ] для случая q = 2 и Zierler [4] для общего
случая). Дальнейшие результаты, касающиеся распределения
блоков, составленных из элементов основного поля, в линейных
рекуррентных последовательностях, можно найти в работах
Feng 11], Fredricsson [1], Jordan, Wood[l], Laksov [1], Lindholm
A], Selmer [3, ch. 5], Zierler [4]. Связь с псевдослучайными
числами, полученными с помощью линейных рекуррентных соот-
соотношений, изучается в работах Niederreiter [9], [12], [13]. С этой
же тематикой связан и вопрос о корреляционных функциях
последовательностей, нашедших важное применение в исследо-
исследованиях по электронике. Если s0, su ... и t0, tit ... — две последо-
последовательности над полем Fq, имеющие период г, а % — нетривиаль-
нетривиальный аддитивный характер Fq. то тогда соответствующая кросс-
корреляционная функция С (Л) определяется формулой
С (Л)- Sx(Sn)x(*n+fc).
п=0
580 Гл. 8. Линейные рекуррентные последовательности
где & = 0, 1, ..., г—¦ 1, а % означает сопряженный характер
(см. § 1 гл. 5 настоящей монографии). Если последовательности
s0, sx, ... и t0, tlt ... совпадают, то мы говорим об автокорреляцион-
автокорреляционной функции. Для последовательностей максимального периода
над полем F2 автокорреляционная функция изучалась в работе
Golomb [1]. На случай произвольного поля этот результат рас- |
пространил Цирлер (Zierler [4]). Кросс-корреляционная функция 1
для двух последовательностей максимального периода над по- |
лем Fa рассматривалась в статье Golomb [2]. Другие результаты 3
о корреляционных функциях можно найти в работах Feng [1],
Gold [2] , [3], Golomb [4, ch. 3, 4, 6], [5], Golomb, Welch [1],
Helleseth [2], Lee, Smith [1], Lempel, Cohn, Eastman [1], Ma-
ritsas [1], McEliece [7], Mohanty [1], Selmer [3, ch. 6], Ипатов
[1], а также обзор в статье Helleseth [1]. Некоторые корреля-
корреляционные свойства последовательностей над полем F2 изучались
также в работе MacWilliams, Odlyzko [1].
[Соболь [1*], [2*] использовал теорию линейных рекуррент-
рекуррентных последовательностей над конечным полем для построения
.последовательностей точек, равномерно распределенных в еди-
единичном s-мерном кубе с наименьшим возможным отклонением.
Шпарлинским [1*] показано, что для «почти всех» начальных
условий вычеты членов линейной рекуррентной последователь-
последовательности по простому модулю равномерно распределены. Подоб-
Подобные же результаты были получены Эгами (Egami [1*]) в связи
с одной задачей теории алгебраических чисел.
По тематике восьмой главы кроме указанных имеются еще
работы: Кисловская [1*] и Нечаев [1*]. — Перев.]
Упражнения
8.1. Построить регистр сдвига с обратной связью, реализующий линейное
рекуррентное соотношение
с с с с t e м ft 1
%+s—sn+4 4n+s sn+i "Г sn> n — u> *> ¦¦¦•
над полем Fa-
8.2. Построить регистр сдвига с обратной связью, реализующий линейное
рекуррентное соотношение
над полем F7.
8.3. Пусть г — период периодической последовательности s0, Si, ..., и пусть
/to — наименьшее неотрицательное целое число, для которого выполняется
равенство sn+r= sn при всех п > п0. Доказать, что щ совпадает с предпернодом
последовательности So, st
8.4. Определить порядок матрицы
'0 0 0—1
л='о 1 о 1
0 0 1—1
как элемента общей линейной группы GL D, F8).
Упражнения 581
8.5. Доказать результаты нз примера 8.18 с помощью методов § 5.
8.6. Пользуясь равенством (8.8), получить явную формулу для членов
линейной рекуррентной последовательности над полем Fg, определяемой рекур-
рекуррентным соотношением %+3 = — sn+1 -j- sn, n = 0, 1, ..., и начальными усло-
условиями s0 ¦— st = 1, s2 = О-
8.7. Пользуясь результатом, приведенным в замечании 8.23, получить
явную формулу для членов рекуррентной последовательности над полем F4.
определяемой рекуррентным соотношением sn+4 = «%+g + sn+1 + asn, n —
0, 1 где а — примитивный элемент поля Р4, и начальными условиями
s0 = Si = st = 0, s3 = 1.
8.8. Доказать, что члены sn, задаваемые формулой, приведенной в замечании
8.23, удовлетворяют однородному линейному рекуррентному соотношению
с характеристическим многочленом / (х).
8.9. Доказать результат, приведенный в замечании 8.23, для случая е% ^ 2,
i --- 1, 2 т, н е,- — 1, если о/ = 0.
8.10. Представить элементы линейной рекуррентной последовательности
над полем F2, определяемой рекуррентным соотношением %+8 = %+а + sn.
/1 — 0, •.,..., и начальными условиями s0 = 0, st = s2 = 1, с помощью подходя-
подходящей функции следа.
8.11. Доказать лемму 8.26, используя линейные рекуррентные последова-
последовательности.
8.12. Найти минимальный период последовательности, порожденной им-
импульсом и удовлетворяющей линейному рекуррентному соотношению Sn+i =¦
¦= sn+6 + s,l+5 + Sn+i + Sn, n — 0, 1 над полем F2.
8.13. Найти минимальный период последовательности, порожденной им-
импульсом, соответствующей линейному рекуррентному соотношению sn+u =
— sn+7+ sn+2 + sn+1 + sn, « = 0, 1 над полем F2.
8.14. Доказать теорему 8.27, пользуясь производящими функциями.
8.15. Найти линейную рекуррентную последовательность наименьшего
порядка над полем f'2, минимальный период которой равен 21.
8.16. Найти линейную рекуррентную последовательность наименьшего
порядка над полем F2, минимальный период которой равен 24.
8.17. Пусть г — минимальный период последовательности Фибоначчи над
полем Wq, т. е. последовательности, определяемой рекуррентным соотношением
•'н+2 ~ sn+i + sn, n ¦=-- 0, 1, ..., н начальными условиями s0 = 0, sx= 1. Пусть
Р — характеристика поля F<j. Доказать, что г = 20, если р = 5, г делит р — 1,
если р = ±1 (mod 5), г делит рг — 1 во всех остальных случаях.
8.18. Построить последовательность максимального периода над полем F3.
имеющую минимальный период, равный 80.
8.19. (т, ^-последовательностью де Брейна называется конечная последова-
последовательность s0, Si, . ,Sjv—i, содержащая N = m* членов, взятых из множества,
содержащего т различных элементов, такая, что все наборы длины k вида (sn,
sn+i, •••, Sn+ft-i). л = 0, 1 N — 1, где нижние индексы берутся по модулю N,
являются различными. Доказать, что если d0, dlt ... — последовательность k-ro
порядка, порожденная импульсом и являющаяся последовательностью макси-
максимального периода над полем F<j, то последовательность % = 0, sn= dn-i» I ^
^ 1 ^ qk— 1, является (q, ^-последовательностью де Брейна.
8.20. Построить B, ^-последовательность де Брейна.
8.21. Пусть В (х) = 2 — х + хя ? F7 [х]. Найти первые шесть ненулевых
членов формального степенного ряда \1В (х).
8.22. Пусть
Л (х) = -1 - х + х2, В (х) = 2 (-1)" *" € F, [[*]].
л=0
1аитн
первые пять ненулевых членов формального степенного ряда А (хIВ (х).
582 Гл. 8. Линейные рекуррентные последовательности
8.23. Рассмотрим линейную рекуррентную последовательность над по-
полем Fa, задаваемую рекуррентным соотношением sn+e = sn+4 ~Ь sn+«—%+i +
-f- sn, n = 0, 1, .,., н начальными значениями s0 = st = s4 = 1, s3 = s4 = —1.
Представить производящую функцию этой последовательности в виде (8,15)
8.24. Найти первые восемь членов последовательности, порожденной им-
импульсом и соответствующей линейному рекуррентному соотношению sn+5 —
= %+а "Ь %+г + sn, п = 0, 1 над полем F2- Воспользоваться операцией
деления углом.
8.25. Пусть «о, st, ... —однородная линейная рекуррентная последователь-
последовательность над полем Fg. Доказать, что множество всех многочленов f (x) = а^хк-{-
+ ... + <»!*+ а0 € Fg W> таких, что ahsn+h+ ¦¦¦ + aisn+1 + ао%= 0 для
всех /t = 0, 1, ,,., образует идеал в кольце Fg [дс]. Вывести отсюда, что суще-
существует однозначно определенный минимальный многочлен рекуррентной после-
последовательности.
8.26. Рассмотрим линейную рекуррентную последовательность над полем F2,
определяемую рекуррентным соотношением sn+8 = sre+?~b %+e ~Ь %+5 + $п< п --
= 0, 1, .... н начальными значениями s0 = sa = s4 = sb = se = 0, st = s» ---
= «7= 1. Используя метод доказательства теоремы 8.42, найти минимальный
многочлен данной рекуррентной последовательности.
8.27. Рассмотрим линейную рекуррентную последовательность иад по-
полем Fs, определяемую рекуррентным соотношением sre+4 = 3sn+2— sn+1 + sn,
n = 0, 1, ..., и начальными значениями % = % = s2 = 1, s3 = —1. Используя
метод доказательства теоремы 8.42, найти минимальный многочлен данной ре-
рекуррентной последовательности.
8.28. Показать, что однородная линейная рекуррентная последовательность
над конечным полем является чисто периодической последовательностью тогда
и только тогда, когда ее минимальный многочлен т (х) удовлетворяет условию
т @) Ф 0.
8.29. Пусть дана однородная линейная рекуррентная последовательность
над конечным полем и т (х) — ее минимальный многочлен. Доказать, что длина
предпериода данной последовательности равняется кратности элемента 0 как
корня многочлена т (х).
8.30. Доказать следствие 8.52, используя способ построения минимального
многочлена, приведенный в доказательстве теоремы 8.42.
8.31. Пользуясь критерием, полученным в теореме 8.51, найти минимальный
многочлен линейной рекуррентной последовательности над полем Рг, задава-
задаваемой рекуррентным соотношением sre+e = sn+3 + sn+2 + sn+l + sn, n= 0, 1, ...,
и вектором начального состояния A, 1, 1,0,0, 1).
8.32. Найтн минимальный период линейной рекуррентной последователь-
последовательности из упр. 8.26.
8.33. Найти минимальный период линейной рекуррентной последователь-
последовательности из упр. 8.27.
8.34. Найти минимальный период линейной рекуррентной последователь-
последовательности над полем F2, задаваемой рекуррентным соотношением sn+9 = sn+7+
+ sn+4 + sn+I + sn, n = 0, 1, ..., и начальными значениями s$ = Si = s% =
= se = s7 = 0, % = s4 = s5 = sg = 1.
8.35. Найтн минимальный период линейной рекуррентной последователь-
последовательности над полем F3, заданной рекуррентным соотношением %+s = sn+4 — sn+» ~Ь
~Ь sn+t 4~ sn, л = 0, 1, ..., и начальными значениями % = sx = 1, s2 = s3 = 0,
«4= —1- •
8.36. Найтн минимальный период линейной рекуррентной последователь-
последовательности иад полем F3, определяемой рекуррентным соотношением %+4 = sn+3 +
"Т" %+2 — % — 1, п = 0, 1, ..., и вектором начального состояния @, —1, 1,0).
8.37. Доказать, что линейная рекуррентная последовательность й-го по-
порядка So, Si, ... над полем F? имеет минимальный период, равный qk, только в
следующих случаях:
Упражнения 583
(a) k = 1, q — простое число, sn+1 = sn-\~ a, n = 0, 1, .,., a g F*;
(b) к = 2, ^ = 2, %+2 = sn + 1, п = 0, 1
8.38. Пусть дана однородная линейная рекуррентная последовательность
над полем Fq н т (х) ? гg [*J — ее минимальный многочлен, отличный от
константы. Пусть корни этого многочлена отличны от нуля и не являются крат
нымн. Доказать, что минимальный период данной последовательности равен
такому наименьшему натуральному числу г, при котором выполняется равенстве
аг = 1 для всех корней а многочлена т (х).
8.39. Доказать, что если однородной линейной рекуррентной последова
тельности о над полем F? соответствует минимальный многочлен / (х) g Fq [ж
и deg (f (x)) = п > 1, то любую последовательность из множества S (f (x)) можно
единственным образом представить в виде линейной комбинации исходной после
довательности а=а<-°) и последовательностей а'1', <И2', ..., а'""*, полученных
с помощью сдвигов исходной последовательности а, с коэффициентами из поля Wq.
8.40. Пусть f\(x), .,., fh(x) — попарно взаимно простые нормированные
многочлены над полем Fq, не являющиеся константами. Показать, что простран-
пространство S (ft (х) ... ^ (х)) является прямой суммой линейных подпространств
S (/, (*)), .... S (/ft (ж)).
8.41. Пусть %, si, ... —однородная линейная рекуррентная последователь-
последовательность над полем К = Fq, a f (х) — ее характеристический многочлен. Пусть
/ (х) — /j (х) ... fr (х), где fi (x) — различные нормированные неприводимые
многочлены над полем К. Пусть, далее, щ (i = 1 г) является фиксирован-
фиксированным корнем многочлена ft (x) в его поле разложения F; над К- Доказать, что
существуют однозначно определенные элементы вх ? Ft, ..., вг С Fr< Л"" кото-
которых выполняется равенство
sn = TrFi/K (e,«f) + ¦ • • + rrFr/K (ex). « = о, i,....
8.42. Пользуясь обозначениями, введенными в упр. 8.41, показать, что
f (х) является минимальным многочленом последовательности %, si, ... тогда
и только тогда, когда в{ ф 0 для всех i = 1, ..., г. Получить отсюда, что число
последовательностей в S (/(*)), минимальным многочленом которых является
/ (х), задается формулой (q 1— l)... (q r— l), где kt — deg(fi (x)), i = 1, .... r.
8.43. Пусть ctx и o2 — последовательности, порожденные импульсом, над
полем F2, связанные с линейными рекуррентными соотношениями %+в = sn+s 4
+ sn (n = 0, 1, ...) н sn+3 = %+i + sn (n = 0, 1, ...) соответственно. Найти
минимальный период последовательности ах + аш.
8.44. Пусть Oj — линейная рекуррентная последовательность над полем F»,
заданная рекуррентным соотношением sn+9 = sn+2 — %+i — %. n = 0, 1, ....
и вектором начального состояния @, 1,0). Пусть а2 — линейная рекуррентная
последовательность над тем же полем, заданная рекуррентным соотношением
%+5 = — s«+8 — sn+2 + sn, n = 0, 1, ..., и вектором начального состояния
A, 1, 1,0, 1). Пользуясь методом, приведенным в примере 8.58, найти мини
мальный многочлен последовательности о = ах + о2,
8.45. Найти минимальней период последовательности а из упр. 8.44.
8.46. Пусть дана однородная линейная рекуррентная последовательность
над полем F2 и х* + ж8 + х* -f* 1 € F2 [xj — ее минимальный многочлен. Найти
минимальный многочлен последовательности, являющийся бинарным дополне-
дополнением к исходной.
8.47. Пусть / (х) = х» + х1 + х* + *« + х2 + х + 1 € F2 [*]. Найти
минимальные периоды последовательностей из S (f (x)), а также число последо-
последовательностей, соответствующих каждому значению минимального периода.
8.48. Пусть f(x) = (х+ I)8 (** —х+ 1) € F8fxJ. Найти значения, кото-
которые могут принимать минимальные периоды последовательностей из множества
•S (f (х)), а также число последовательностей, соответствующих каждому нз этих
значений.
584 Гл. 8. Линейные рекуррентные последовательности
8.49. Пусть / (х) = х- — 2х( — х2 — 1 (Е F5 [*]¦ Найти значения мини-
минимальных периодов, которые могут встречаться у последовательностей из множе-
множества S (f (х)), а также число последовательностей, соответствующих каждому
из этих значений.
8.50. Найти нормированный многочлен g (x) ? (р3 [х], для которого
S (х + 1) S (х2 + х — 1) S (х2 — х - 1) = S (g (x)).
8.51. Найти нормированный многочлен g-(х) ? (р2 [х], для которого ,
S (х2 + х + 1) S (Xs + х* + 1) = S (g (x)).
8.52. Для нечетных q найти нормированный многочлен g (x) (E IFq [x],
такой, что
S ((х - IJ) S ((х - IJ) =r- S (g (х)).
Что будет, если q четно?
8.53. Доказать, что / V (gh) = (/Vg)(/v Л), где f,g,h € Fq [x] — мно-
многочлены, не являющиеся константами, при условии, что сомножители в правой ,
части приведенного выше равенства взаимно просты.
8.54. Рассмотрим последовательность над полем (ра, порожденную импуль-
импульсом и соответствующую линейному рекуррентному соотношению sn+4 = %+а +
+ %, п — 0, 1, ..., н линейную рекуррентную последовательность над тем же <
полем, задаваемую рекуррентным соотношением sn+1 = sn, n --= 0, 1, ..., и век-
вектором начального состояния @, 1, 1, 1). На примере этих последовательностей
показать, что аналог теоремы 8.59 для операции умножения последовательностей
не справедлив.
8.55. Пусть г (Е N, / (Е Fq [x], deg (/) > 0, и пусть аг (/) обозначает сумму
r-х степеней различных корней многочлена / (х). Доказать, что для многочленов "
/> S € IFqlx], не являющихся константами, справедливо равенство ar(f у g) =
—. аг (I) аг (g) при условии, что число различных корней многочлена / V g- рав-
равняется произведению числа различных корней многочлена / и числа различных
корней многочлена g.
8.56. Пусть s0, st, ... — произвольная последовательность элементов гюля
Fq, и пусть л ^ 0, г > I — целые числа. Доказать, что если ганкелевы определи-
определители ?>(Д2 и ?>,(гг~И) равны 0, то и Dj,r|, ^- 0.
8.57. Доказать, что последовательность s0, Si, ... над полем Fq является
однородной линейной рекуррентной последовательностью с минимальным много-
многочленом степени k тогда и только тогда, когда ?){,'' = 0 для всех «5=0 и k + 1
является наименьшим натуральным числом, для которого это выполняется.
8.58. Получить полное доказательство второго неравенства в формуле (8.23).
8.59. Доказать неравенства из формулы (8.24).
8.60. Дать полное доказательство формулы (8.26).
8.61. Доказать формулу (8.27).
8.62. Пусть первые 1С) членов однородной линейной рекуррентной после-
последовательности над полем (F2 порядка k ^ 5 равны соответственно
0, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1. С помощью алгоритма Берлекэмпа —Месси найти
минимальный многочлен этой последовательности.
8i63. Пусть первые 8 членов однородной линейной рекуррентной последо-
последовательности над полем (Fs порядка к ^ 4 равны соответственно 2, 1,0, 1, —2, 0,
—2, —1. С помощью алгоритма Берлекэмпа — Месси найти минимальный много-
многочлен этой последовательности.
8.64. Пусть первые 10 членов однородной линейной рекуррентной после-
последовательности над полем |F3 порядка k ^5 равны соответственно 1, —1,0,
—1,0,0,0,0, 1,0. С помощью алгоритма Берлекэмпа — Месси найти мини-
минимальный многочлен этой последовательности.
8.65. Найти однородную линейную рекуррентную последовательность наи-
наименьшего порядка над полем F5, первые 10 членов которой равны соответственно
2, 0, —1, —2, 0, 0, —2, 2, —1, —2.
Упражнения
585
8.66. Пусть выполняются условия теоремы 8.78, и пусть, кроме того, харак-
характеристический многочлен f (х) последовательности %, si, ... удовлетворяет усло-
условию /@)?=0. Доказать следующую формулу, являющуюся усилением (8.31):
( ^У'Ч'У'2 для всех и>0.
(Указание, Воспользоваться тем, что в (8.33) случай b = 0 можно исключить.)
8.67. Пусть выполнены условия теоремы 8.84, и пусть число г является
делителем числа (qk— l)/(g — 1), Пусть также {qk— \Iг и k будут взаимно
просты. Доказать, что Z @) = (</*"" — l) rl{qk — 1),
8.68. Пусть выполнены условия теоремы 8.84, и пусть q будет нечетным
числом, a h = (qk— l)/2. Доказать, что в этом случае в формуле (8.37) имеет
место равенство.
8.69. Пусть выполнены условия теоремы 8.84, a Z (Ь; Ыо, Ы) такое же,
как в теореме 8.85. Доказать справедливость следующего равенства:
Z(b; No, N)=-^-
\Nt+N ,
¦f(«);
8.70. Из результата, полученного в упр. 8.69, вывести неравенство
где ед = 0 при ft = q — 1 и ед = 2/5 при ft > q — 1.
8.71. Из результата, полученного в упр. 8.69, вывести для Ь ф 0 неравенство
«*-1
<drlog^+T
N(h-
Лг
__ i
Глава 9
Приложения конечных полей
Одной из основных областей приложения конечных i!u*ii-:
является теория кодирования. Эта теория берет свое 1!.ч:и;м.
в знаменитой теореме Шеннона о кодировании, В ней \ тер
ждается, что существуют коды, применение которых понмляс
передавать информацию с произвольно малой вероя';н<<пь<<
ошибки на скоростях, близких к пропускной способности ;:.'ina.i;i
Одной из целей алгебраической теории кодирования — м'ири;
кодов, исправляющих ошибки, и кодов, обнаружш ¦¦'¦шн:
ошибки, ¦— является поиск методов построения таких *\-чов.
В течение двух последних десятилетий на развитие ю-рш1
кодирования все больше и больо!е оказывают влияние ики<
разделы абстрактной алгебры, как теория конечных л -лон ;
теория многочленов над конечными полями, В частности, и.чжно*
вехой в этом направлении явилось описание избыточных к*а<*|
с помощью многочленов над полем Fr Тот факт, что ре ттрь
сдвига можно использовать для кодирования и декоди𠦦«шт.
информации, позволяет установить связь теории кодир'Н'.гшия
с теорией линейных рекуррентных последовательностей. П $
и 2, посвященных алгебраической теории кодирования, ыч oipa
ничимся обсуждением основных свойств блочных кодов и*-1""
средственно связанных с конечными полями, и не будем к :c:ii'<*>
задач технической реализации того или иного кода.
§ 3 содержит некоторые результаты, касающиеся
теории конечных волей в геометрии, а именно для
аффинных и проективных плоскостей, содержащих конечное* чист
точек и прямых.
§ 4 посвящен комбинаторике и содержит разнообразны1-1 "I'
ложения конечных полей в этой области, особенно в задач:-\ ч-1'1
нирования экспериментов,
В последнем, пятом параграфе мы приведем опре, ¦•.¦.¦к1"
линейной модулярной системы и покажем, как теория 411114
полей используется в теории линейных модулярных
Под системой можно понимать некоторое устройство, в i.'
в определенные моменты времени что-то поступает (нап'
материя, энергия, информация) и которое само в опред?-11'"'"
моменты времени что-то выдает. Например, мы можем на i'1'1'
§ 1» Лилейные коды 58?
представлять себе некоторую систему как электрическую сеть
в которую поступает электрический сигнал, а выходом являются
тек\тие показания приборов. Систему можно также представдят»
в виде сети переключательных элементов, входом которой яв
ляется установка входных переключателей, а выходом — кон-
фт ураиия горящих сигнальных лампочек.
Мы особо подчеркиваем, что приводимые ниже приложена
даются лишь для того, чтобы привести примеры использование
разнообразных свойств конечных полей. Поэтому эти примерь
касаются скорее алгебраических и комбинаторных аспектов при-
приложений конечных полей и оставляют в стороне вопросы практи-
практического использования. Так, например, мы не будем обсуждать
задачи анализа экспериментальных данных или вопросы анализа
и синтеза линейных модулярных систем, не будем мы также ка
сяться тех свойств геометрических конструкций, которые непо
(¦родственно не связаны с конечными полями,
§ 1, Линейные моды
Большое значение в настоящее время приобрели проблемы
передачи информации и, в частности, вопросы кодирования и
декодирования информации в целях ее надежной передачи по
«зашумленным» каналам. Обычно бывает необходимо передать
сообщение, состоящее из конечной последовательности символов,
являющихся элементами некоторого конечного алфавита. Если,
например, этот алфавит состоит из символов 0 и 1, то передавае-
передаваемое сообщение можно рассматривать как некоторое двоичное
число. В общем случае предполагается, что алфавит является
некоторым конечным полем. Передача конечной последователь-
последовательности элементов алфавита по каналу связи не обязательно осу-
осуществляется в «точном» виде в том смысле, что каждый бит инфор-
информации передается по каналу не изменяясь. Ввиду того что не су-
существует идеального канала без «шумов», получатель передавае-
передаваемого сообщения может получить искаженную информацию и
ошибочно истолковать переданные сигналы.
Одной из основных задач теории кодирования является стрем'
лс?нне к тому, чтобы вероятность ошибок, появляющихся в ре-
результате шума в канале связи, была сведена к минимуму. Методы
повышения надежности передачи сообщений в основном бази-
базируются на свойствах конечных полей.
Основной идеей алгебраической теории кодирования яв-
является передача избыточной информации вместе с тем сообщением,
которое необходимо передать. Это означает, что последователь-
последовательность символов, составляющая передаваемое сообщение, некото-
Рым специальным образом преобразуется в более длинную после-
последовательность.
588
Гл. 9, Приложения конечных полей
Простая модель системы связи изображена на рис. 9,1, .\\ы
Рис, 9,
предполагаем, что символы, составляющие исходное сообщение,
и символы, составляющие закодированное сообщение, являются
элементами одного и того же конечного поля fq. Кодирование
означает, что блок из к символов передаваемого сообщения
п±а,2 ... ah, а-г ? fq, заменяется кодовым словом с^ ¦¦¦ сп длины
п > к, которое образовано символами ct ? fq. Мы будем рас-
рассматривать кодовое слово как n-мерную вектор-строку с ? f'9.
Таким образом, отображение / па рис, 9,1 является функцией
из fg в f'g, называемой схемой кодирования, a g — функцией
из FJ в fq, называемой схемой декодирования.
Простая разновидность схемы кодирования возникает в слу-
случае, когда в сообщении каждый блок из k символов Oja2 ... О/,
кодируется кодовым словом вида
ага2 . . . cthch+1 ... сп,
где первые k символов совпадают с k символами исходного сооб-
сообщения и называются информационными символами, а дополни-
дополнительные п — k символов Ci ? Fq называются проверочными (или
контрольными) символами. Такую схему кодирования часто пред-
представляют в следующем виде. Пусть // — заданная (п — k) X п-
матрнца, образованная элементами поля fq и имеющая вид
Я - (.4 /„_*),
где А — матрица размера (п — k) x k, а 1п_и — единичная
матрица порядка п — к. Тогда проверочные символы гЛ+, CV
могут быть определены из системы уравнений
#ст -= О,
где с — кодовое слово, а т обозначает транспонирование. Урав-
Уравнения, образующие эту систему, называются проверочными уров~
нениями или уравнениями проверки на четность Ц.
1) Название берет свое начало в исследованиях по бинарным кодаку т. с.
кодам над полем Р2, — Прим. перев.
§ 1. Линейные коды 589
9.1. Пример, Пусть Я есть Зх7-матрнца над полем f\, сле-
следующего вида:
/1 0 1 1 1 0
// = [1101010
\1 1 1 0 0 0 1,
Проверочные символы можно найти из системы уравнений //ст = -¦
"О, считая с,, с», сл, с, заданными:
d -\ Сц | Сь-\-съ ^ О,
Ci -\- сг -|~ с,} -j- cfi =0,
Ci + с2 + с3 -\ - с-} = 0.
Тогда проверочные символы с5, гя, г7 можно выразить следующим
образом:
Съ =^1 -| С3 -|- С,,
Значит, схема кодирования в этом случае является линейным
отображением из ft в f\, которое имеет вид
(«,, «2, а3, di) -v
-»-(«i, «а. «3, а4, ах \- а3 -\ ай, а} ¦] а2 |- а4, а, -|- а2 -| аа). П
В общем случае в связи со схемами кодирования, задаваемыми
линейными отображениями, мы будем пользоваться следующей
терминологией,
9.2. Определение, Пусть Я — матрица над полем fg размера
(п — к) х п и ранга п — к. Множество С всех n-мерных векторов
с?§"{, таких, что //с — 0, называется линейным (п, k)-кодом
над нолем F(|. Число п называется длиной кода, a k — размер-
размерностью кода. Элементы множества С называются кодовыми сло-
словами (или кодовыми векторами), матрица Я называется провероч-
проверочной матрицей кода С, Если q ----- 2, С называется бинарным кодом,
•'•ели матрица Я имеет вид Я — (A /n_k), то код С называется
систематическим кодом..
Заметим, что множество С решений системы линейных урав-
уравнений НсТ -- 0 является 6-мерным подпространством векторного
пространства FJ- Так как кодовые слова образуют группу по
сложению, то С также называется групповым кодом. Кроме того,
^ можно рассматривать как нуль-пространство матрицы Я 1).
) То есть как ядро линейного отображения, задаваемого матрицей Н, или
Ч'рстранство решений однородной системы линейных уравнений с матри-
матрицей If — Прим. перев,
.90 Гл. 9. Приложения конечных полей
9.3. Пример (код с обшей проверкой на четность), Пусп,
/ ¦ 2, и пусть передаваемое сообщение имеет вид о, ... ак.
¦ шречелим схему кодирования / следующим образом:
где />| — Hi для i -- 1, ,.., k, a
bk+i
0, если J] а; — 0,
I, если 2j ai
i—i
(Следовательно, сумма всех элементов любого кодового слоин
t'i ... bh+l равна 0. Если сумма элементов полученного слона
равняется 1, то получатель узнает, что в процессе передачи в сооб-
сообщении появилась ошибка. Если положить п - к [ 1,ато полу-
полученный код является линейным (;;, и — 1)-кодом с проверочной
матрицей Н ¦-¦- A1 ... 1).
9.4. Пример (код с повторением). В коде с повторением тж-
юе кодовое слово содержит только один информационный сим-
iio.i й, и п — 1 проверочных символов с2 -~ ... --- сп == аг, ч. с.
символ а, повторяется еще « — 1 раз. Этот код является линей-
линейным («, 1)-кодом с проверочной матрицей // — (—1 /„_,).
Из проверочного уравнения Яст ---- 0, где Н — (А /,,.(,).
следует, что
In \
к—А/
где а --- а1 ... ah -— передаваемое сообщение, а с -- с\ ... с,
соответствующее кодовое слово. Это приводит к следующей
определению.
8.5. Определение. Матрица G — f/ft —ЛТ) размера k
называется канонической (или стандартной) порождающей in.'in
кодирующей) матрицей линейного (п, /?)-кода с проверок¦ i-¦¦"
матрицей И - (А /п-л)-
Из уравнений Яст - One &G следует, что матрицы Н"
и G связаны равенством
67/т - 0. I1' ''
Код С. совпадает с пространством строк канонической порож^-'11^'
щей матрицы G '). В более общем случае любая k X «-матриц ' ''¦
') То есть с образом линейного отображения, задаваемого матрицей "
Прим. персе.
§ 1. Линейные коды 591
(постоянство строк которой равняется С, называется порождаю-
порождающей матрицей кода С.
§,6. Пример. Каноническая порождающая матрица для кода
с проверочной матрицей Н из примера 9.1 имеет вид
'10 0 0 111
.0100011
(Ь= ' 0 0 1 0 1 0 1 ' • U
ч0 0 0 1 1 1 0,
9.7. Определение. Если с — кодовое слово, а у — слово, по-
lyieiinoe после передачи сообщения по зашумленному каналу,
-.") разность е - у — с --- е, ... еп называется вектором ошибок
(ли шумовым словом.
9.8. Определение. Пусть ж и у — два вектора пространства
". Тогда
(i) расстоянием Хэмминга d (ж, у) между векторами ж и у
•[.язывается число координат, которыми векторы ж и у отличаются
ipvi от друга;
(и) весом (Хэмминга) w (ж) вектора ж называется число нену-
ненужных координат этого вектора.
Таким образом, если ж — передаваемое кодовое слово, а у —
лолученное после передачи слово, то величина d (ж, у) дает число
ошибок:, появившихся при передаче слова ж. Ясно, что w (ж) =
d (ж, ©) и d (ж, у) == w (ж — у). Доказательство следующей
к'ммы оставляется читателю в качестве упражнения.
9.9. Лемма. Расстояние Хэмминга является метрикой в про-
"транапве р?, т. е. для любых ж, у, г ? F? выполняются следую-
¦ цис соотношения:
(i) id (ж, у) = 0 тогда и только тогда, когда ж -- у;
(п) d(x, у) = d(y, ж);
(ili) d (ж, г) < d (ж, у) + d (у, г).
При декодировании полученного слова у обычно стараются
'Мити кодовое слово с, для которого да (у — с) принимает наи-
наименьшее возможное значение, исходя при этом из естественного
предположения, что малое число ошибок встречается чаще, чем
большое. Таким образом, при декодировании мы ищем кодовое
"лово с, ближайшее в смысле расстояния Хэмминга к получен-
чому слову у. Это правило называется декодированием в ближай-
'нее кодовое слово,
9.10. Определение, Если t—некоторое натуральное число,
п> код С <= f'g называется кодом, исправляющим I ошибок, если
Для любого у (}_ PJJ найдется не более одного слова с ? С, такого,
Что d (у, с) < t.
592 Гл. 9. Приложения конечных полей
Если z?C— передаваемое кодовое слово и при передаче
появилось не более t ошибок, то d(y, с) -% t для полученного
слова у. Если С — код, исправляющий /ошибок, то для всех кодо-
кодовых слов z Ф с должно выполняться соотношение d (у, г) > /;
это означает, что с является ближайшим к у кодовым словом и
что декодирование в ближайшее кодовое слово дает правильный
результат. Таким образом, одна из задач теории кодирования
состоит в построении таких кодов, для которых кодовые слова
находятся па значительном расстоянии друг от друг?. С другой
стороны, естественно стремиться передать по возможности
больше информации в единицу времени. Согласование этих двух
тенденций составляет одну из проблем теории кодирования.
9.11. Определение. Число
dc ~ niin d(u, v) — min до (с)
u, v € С Офс € С
называется минимальным расстоянием (или просто расстоянием)
линейного кода С.
9.12. Теорема. Код С с минимальным расстоянием dc может
исправлять t ошибок, если dc ~^> 2/ -|- 1.
Доказательство, Шар Bt (ж) радиуса / с центром в точке ж ?
? fg состоит из всех векторов у ? f'g, таких, что d (ж, у) <-,; t.
Правило декодирования в ближайшее кодовое слово гарантирует,
что каждое полученное в результате передачи слово, содержащее
не более / ошибок, должно лежать в шаре радиуса t с центром
в переданном кодовом слове. Для того чтобы можно было испра-
вить / ошибок, шары радиуса t с центрами в кодовых словах ж
должны не пересекаться. Если и ? Bt (ж) и и ? Bt (у), ж, у ? С,
х ?= У} т0
d(x, y)<rf(x, u)-|-d(u, y)<2/,
что противоречит тому, что dc ^> 2t -)- 1. D
9.13. Пример. Код из примера 9.1 имеет минимальное рас-
расстояние dc = 3 и, следовательно, может исправлять одну ошибку.
Следующая лемма часто бывает полезна при определении
минимального расстояния кода.
9.14. Лемма. Для того чтобы линейный код С с проверочной
матрицей Н имел минимальное расстояние dc J^s + 1, необхо-
необходимо и достаточно, чтобы любые s столбцов матрицы Н были
линейно независимы.
Доказательство. Предположим, что найдутся s линейно за-
зависимых столбцов матрицы Я; тогда #ст =- 0 и w (с) -^ s для
некоторого с ? С, с Ф 0. Отсюда следует, что dc <sC s. Аналогично .
§ 1. Линейные коды 593
если любые s столбцов матрицы Я линейно независимы, то не
существует с ? С, с ф 0, с весом w (с) «Г s: следовательно,
da >* + L ц " ?
Опишем теперь простой алгоритм декодирования линейных
кодов. Пусть С является линейным (м, ft)-кодом над полем f'q.
Векторное пространство f'nqIC состоит из всех смежных классов
а ; С ~ {а + с | с ? С}, где а ? f'g. Каждый смежный класс
содержит q векторов. Можно считать, что пространство §1 раз-
разбивается на смежные классы по подпространству С, а именно
где а@) - 0 и s — qn~~~k - - 1. Вектор у принятого сообщения
должен лежать в одном из этих смежных классов, например
к аA) С. Если передаваемым кодовым словом было с, то для
вектора ошибок е получаем равенство
е = у - с ~ а<° -4- z?a<'> Ь ?
дли некоторого г ? С, Отсюда приходим к следующей схеме
декодирования.
9.15. Декодирование линейных кодов. Гели после передачи
получен вектор у, то все возможные значения вектора ошибок е
лежат в одном смежном классе с вектором у. Наиболее вероятным
вектором ошибок является вектор е, имеющий минимальный вес
среди всех векторов смежного класса, содержащего вектор у.
Тогда мы декодируем у как х — у — е.
Описанную выше процедуру можно реализовать с помощью
алгоритма декодирования по лидеру смежного класса.
9.16. Определение. Пусть С ?= fql — линейный (п, /г)-код, и
п\еть I'qlC — факторнространство пространства F?- Элемент
минимального веса в смежном классе a f- С называется лидером
смежного класса а -~ С. Если в смежном классе а -1- С несколько
векторов имеют минимальный вес, то в качестве лидера смежного
класса выбирается любой из них.
П\пь а*1), ..., a<s> — лидеры смежных классов, отличных or С,
и пусть с*1' ¦•= 0, сB\ .... с(Л —все кодовые слова из С. Рас-
с\Ю1ри.м следующую таблицу:
сп) с('2> ... с^4') } строка кодовых слов
остальные смежные классы
»94 Гл, 9, Приложения конечных полей
Если принято слово у -- а!'"> -\- с(/>, то получатель считает,
что вектор' ошибок е совпадает с а*1') — лидером соответствующего
смежного класса — и декодирует слово у как кодовое слово х =• ;
— у — е -¦- с<'">. Таким образом, у декодируется как кодовое
слово, стоящее в приведенной выше таблице в столбце, содер-
содержащем слово у. Смежный класс, содержащий вектор у, можно оп-
определить с помощью так называемого синдрома вектора у.
9.17. Определение. Пусть Н — проверочная матрица линей-
линейного (п, й)-кода С. Тогда вектор 5 (у) := Ну1 длины п — k на-
называется синдромом „вектора у,
9.18. Теорема. Если у, z ? f'q', то
(i) S (yj — 0 тогда и только тогда, когда у ? С;
(и) S (у) =~ S (z) тогда и только тогда, когда у + С -
= г 4 С.
Доказательство. Пункт (i) немедленно следует из определения
кода С через матрицу Н. Для доказательства п. (и) заметим, что
равенство S (у) =*: S (z) имеет место тогда и только тогда, когда
t/yT _ fjzr ИЛИ1 чт0 то же самое, когда // (у -— z)T - - 0, т, е.
V — z ? С. Последнее равносильно тому, что у i С - z + С, Н
Если е = у — с, с g С, у ? fq, то
S (у) == S (с + е) = S (с) -;- S (е) =-- S (е), (9.2)
т, е. векторы у и е лежат в одном смежном классе. Лидер этого
смежного класса имеет тот же синдром. Таким образом, полу-
получаем следующий алгоритм декодирования,
9.19. Алгоритм декодирования по лидеру смежного класса.
Пусть С ? F? — линейный (и, &)-код, и пусть у — принятый
вектор. Для того чтобы исправить ошибки, имеющиеся в у, вы-
вычислим S (у) и найдем такой лидер смежного класса е, синдром
которого равен S (у). Тогда декодируем у как х -;- у — е. Здесь
t — кодовое слово, находящееся на минимальном расстоянии от у.
9.20. Пример. Пусть С -— бинарный линейный D, 2)-код с по-
порождающей матрицей G и проверочной матрицей //:
/10 1 0\ /1110
G=:\o 1 1 \у я=Чо 1 о 1
Вели получено слово у ~" 1110, то можно просто посмотреть, где
оно встречается в приводимой на следующей странице таблице
смежных классов.
Однако для больших таблиц этот процесс требует большой
затраты времени. Следуя алгоритму, найдем сначала S (У.К
§ 1, Линейные коды
595
передаваемая информация 00 10 01 11
кодовые слова 0000 1010 0111 1101 ( |
1000 0010 1111 0101 ( )
0100 1110 ООП 1001 )
другие смежные классы
oooi юн оно поо (
\ 1
о
лидеры
смежных
классов
син-
синдромы
в нашем случае S (у) = Яут ¦¦¦¦• (,). Полагаем теперь, что ошибка,
наложившаяся на передававшееся кодовое слово, равняется
лидеру смежного класса 0100, имеющему тот же синдром
Тогда передававшееся кодовое слово скорее всего было сло-
словом 1010, а сообщение, которое передавали, имело вид 10. G
В случае линейных кодов с большими параметрами стано-
становится практически невозможным найти лидеров смежных классов,
Так, например, линейный E0, 20)-код над полем f.. имеет около 10е
смежных классов. Таким образом, чтобы преодолеть подобные
затруднения, необходимо строить специальные коды. Вначале
отмстим следующее обстоятельство.
9.2!, Теорема. В случае бинарного линейного (п, к)-кода с про-
проверочной матрицей Н синдром получаемого вектора у равняется
сумме столбцов матрицы Н, которые соответствуют тем коор-
координатам передававшегося кодового слова х, в которых появились
ошибки.
Доказательство, Пусть у ? F™ — полученный вектор, у --
-' х f- е, х ? С; тогда из (9.2) получаем, что S (у) ~- Яет. Пусть
«1. i.j, ... — координаты с ошибками, т. е. е = 0 ... 01^,0 ... 01,-Д,, .
отдя S (у) = h,y+ h,-, ~f ..., где h,- означает /-и столбец ма-
матрицы Н. П
Если все столбцы матрицы // различны, то наличие единствен-
единственной ошибки в 1-й координате полученного слова приводит к тому,
что S (у) — h,-, и, таким образом, одна ошибка может быть исправ-
исправлена. Локализация ошибок упрощается при использовании сле-
следующего класса кодов.
9.22. Определение. Бинарный код Ст% длины п -- 2т — 1,
т гЭ: 2, с проверочной матрицей Я размера т X Bт — 1) назы-
11*
596 Гл. 9, Приложения конечных полей
Бается бинарным кодом Хэмминга, если столбцы матрицы //
представляют собой двоичную запись чисел 1, 2, ..., 2т — 1,
9.23. Лемма. Бинарный код Ст является кодом размерности
2'" — га~- I, исправляющим одну ошибку.
Доказательство, По определению проверочной матрицы /-/
кода Сгп ее ранг равняется т. Кроме того, любые два столбца
этой матрицы линейно независимы. Так как матрица Н вместе
с любыми двумя столбцами содержит также столбец, равный их
сумме, то по лемме 9.14 минимальное расстояние кода Ст рав-
равняется 3. Таким образом, в силу теоремы 9.12 код Ст является
кодом, исправляющим одну ошибку. "_ .
9.24. Пример. Пусть С, является G,-1)-кодом Хэммннга с про-
проверочной матрицей
/0 0 0 1 1 1 Р
Н _. [0110011
\1 0 1 0 1 0 1
Если синдром полученного слова у равняется, например, S (у) ¦¦¦
;:" A 0 1)т, то отсюда мы заключаем, что имеется ошибка в пят"й
координате, так как 101 является бинарной записью числа 5.
Коды Хзмминга можно также определить и для небинарно:п
случая, т. е. над произвольным конечным полем F,;. Здесь про-
проверочная матрица Н имеет размер т X [(</'"— l)/(q— 1)] и
столбцы этой матрицы попарно линейно независимы. Такая
матрица определяет линейный ((с/'" — 1)/(</ — 1), (qm — l)/(q —
— 1) — т)-код с минимальным расстоянием, равным 3.
Опишем теперь некоторые соотношения между длиной п ко-
кодовых слов, числом k информационных символов и минимальным
расстоянием dc линейного кода С над полем Fq,
9.25. Теорема (граница Хэмминга). Пусть С — код над П"-
лем fq, исправляющий I ошибок и содержащий М кодовых ело",
an — длина этого кода. Тогда
м
Доказательство. Имеется ровно ( ) (q — l)m векторов над
полем Ff/ длины п и веса т. Все шары радиуса t с центрами в кодо!
вых словах попарно не пересекаются, и каждый из М тарой
содержит I
векторов пространства FJ, которое само содержит if векторов.
§ 1. Линейные коды
597
9.26. Теорема (граница Плоткнна). Для линейного (/?, к)-кода С
ми) полем ?,) с минимальным расстоянием dc выполняется не-
неравенство
dc
nq-
Доказательство. Пусть 1 <:. / -<.,. п таково, что С содержит
кодовое слово с ненулевой z'-и координатой. Пусть I) — под-
подпространство в С, состоящее из всех кодовых слов с i-i\ коорди-
координатой, равной 0. Тогда факторпространство C/D содержит ц эле-
элементов, которые соответствуют q возможностям выбора i'-й ком-
компоненты в кодом слове. Таким образом, из равенства |C|/|D| —
| СЮ I вытекает, что \D\ := q'1"^1, Подсчитывая сумму весов
кодовых слов из С, получаем, что она не превышает величины
nqL~] (if —- 1). Минимальное расстояние dc кода С равняется
минимальному весу ненулевого слова и, следовательно, должно
удовлетворять доказываемому неравенству, так как общее число
кодовых слов ненулевого веса равно q'< — 1.
9.27.Теорема (граница
•inai неравенство
Варшамова—Гилберта). Если выпол-
tt-2
2
«'=0
(q - I)'"
существует линейный (п, k'j-код над нолем F,, с минимальным
, не меньшим чем d.
Доказательство. Докажем эту теорему путем построения про-
проверочной (п — к) У л-матрнцы // искомого кода, В качестве
первого столбца матрицы Н выберем произвольный набор длины
и -- k элементов ноля fq, В качестве второго столбца возьмем
любой набор той же длины элементов f,t, подчиненный един-
единственному условию, чтобы он не равнялся произведению первого
столбца на элемент поля ру. Вообще предположим, что выбрано
i - I столбцов, причем любые d — 1 из них являются линейно
независимыми. Тогда имеется не более
2 '7 >
которые являются линейными комбинациями не более
l|fn> (I - 2 векторов из числа выбранных / — I вектор-столбцов.
'"•'¦ли выполняется неравенство, приведенное в условии теоремы,
т"|можно выбрать /-й столбец таким образом, чтобы он был ли-
'Цччк, независимым от любых d — 2 столбцов из числа первых
I "¦¦ 1 столбцов. Указанное построение можно проделать таким
598 Гл. 9. Приложения конечных полей
образом, что ранг матрицы Н будет равен п — к. По лемме 9.14
полученный в результате код будет иметь минимальное расстоя-
расстояние, не меньше чем d. г.
Для данного линейного кода С можно ввести понятие дуаль-
дуального кода. Пусть даны кодовые слова и — («lt ..., ип), v — (vb ...
,..,v,,)?fg. Тогда их скалярное произведение u-v определим
равенством u-v - i^o, ! ... i unvn. Если u-v ¦- 0, то слова ц
н v называются ортогональными,
9,28. Определение, Пусть С — линейный (п, &)-код над по-
полем fq. Тогда соответствующий дуальный (или ортогональный)
код С1 определяется как
C1==[u?fg U-V--0 для всех v^C),
Мы знаем, что код С является /г-мерным подпространством
/i-мерного пространства FJ; размерность же подпространства С1
равна п — k. Код С1 является линейным (п, п — Л)-кодом. Не-
Нетрудно показать, что его порождающей матрицей будет матрица
Н — проверочная матрица кода С. Соответственно проверочной
матрицей кода С является матрица G— порождающая матрица
кода С.
Важную информацию о коде можно получить, изучая вес
кодовых слов. Так, например, при определении вероятности
ошибки декодирования или при исследовании некоторых алго-
алгоритмов декодирования важно знать распределение весов кодовых
слов. Существует фундаментальная связь между распределением
весов в линейном коде и в его дуальном коде, которая устанавли-
устанавливается в теореме 9.32.
9.29. Определение. Пусть At обозначает число кодовых слов
с ? С веса i, где 0 -< i < п. Тогда многочлен
п
А(х, r/)== % AiXHf <
от двух переменных х и у над полем комплексных чисел назы-
называется нумератором весов или весовой функцией кода С,
Далее нам понадобится понятие характера конечного пиля
(см. гл. 5).
9.30. Определение. Пусть % — нетривиальный аддитивный ха-
характер поля tq, и пусть u-v обозначает скалярное произведение
векторов u, v ? f'q. Для фиксированного v ? ?'i определим;
отображение %v: F^ —>• С равенством
%v(u) = x(v-u), u?F?.
§ 1. Линейные коды 59У
рели V — векторное пространство над полем С комплексных чисел»
а f - отображение из F? в V, то определим отображение gf
р" _* У равенством
?f(u)= Б Xv(u)/(v), uglF;
v€F«
9.31. Лемма. Пусть Е — подпространство пространства F?
?' -- его ортогональное дополнение, /: FJ ->• I7 — отображены/
из векторного пространства f$ в векторное пространство V нао
полем С, а % — нетривиальный аддитивный характер поля fq
Тогда
Б gfW = \E\ ? /(v).
и € Е v € Я х
жазшпельство.
l(u)- Б Б Xv(u)/(v)= 1] Б X(v-a)/(v) =
Б /(vH- Б Б S x(c)/(v).
V ¦ II — С
Для (фиксированного v ^ ?х отображение u g E t—> v-u является
нетривиальным линейным функционалом на ?. Тогда, используя
формулу E.9), получаем
Применим теперь эту лемму в случае, когда V — простран-
пространство комплексных многочленов от двух переменных х, у, а ото-
отображение / определяется по формуле / (v) — хш {v)yn-w(v)^ где
к (v) обозначает вес вектора v g f%.
9.32. Теорема (тождество Мак-Вильяме). Пусть С — линей-
линейный (п, Щ-код над полем fq, а С1 — его дуальный код. Если А (х,
У) - весовая функция кода С, а А1 (х, у) — весовая функция кода
С', то
А^ (х, у) = д-"А (у-х, у f (д - 1)х).
Доказательство, Пусть /: FJ -*- С [х, г/1 — определенное выше
отображение; тогда весовую функцию кода С1 можно предста-
представить в виде
АНх, У)= S /(v).
600
Гл. 9. Приложения конечных полей
Пусть gr — отображение, заданное выше (см. определение 9.30)
Для v ?fq положим
| 1, если t»^=0,
10, если v = 0,
Тогда для и -=¦ («1, ,,., ип) € f 1 получаем
IP"
IT ?
i'x -f
П
(x(«jwu't"«/|
В случае когда ы{ = 0, справедливо равенство % (щи) = % @) =
-- 1, а следовательно, соответствующий сомножитель в последнем
произведении равен (q — 1) х г у. При щ Ф 0 соответствующим
сомножитель равняется
Таким образом,
gf (U) = (|/ - Х)И
Из леммы 9.31 следует, что
И наконец, |С| = qk по условию теоремы. Тем самым теорема
доказана. С
9.33. Следствие. В весовых функциях А (х, у) и А1 (х, у)
положим х ¦= z, у = 1. Полученные при этом многочлены обозна-
обозначим через А (г) и А1 (г) соответственно. Тогда тождество Мак'
Вильяме можно записать в виде
9.34, Пример. Пусть Ст — бинарный код Хэмминга длины
п = 2т —¦ 1 и размерности п. — т над Fs. Порождающей матри-
матрицей его дуального кода Cm является проверочная матрица И
§ 2, Циклические коды 601
к0-|л (,"„,. Эта матрица состоит из всех возможных ненулевых
столбцов длины т над полем IV Код Ст состоит из нулевого век-
вектора и 2Ш — 1 векторов веса 2т~1. Таким образом, весовая функ-
функция кода Ст равняется
По теореме 9.32 весовая функция кода Ст определяется формулой
А (X, у) = j^j [(у -L х)>> +- П (У - Jf)<" + »/2 (у , - JC)('-l)A'j.
П
Пусть /4 (г) =-- Л (г, 1), т. е. А (г) ¦= ?Лгг1'. Тогда нетрудно
1=0
проверить, что А (г) удовлетворяет дифференциальному уравнению
с начальным условием А @) == Ло = 1, Это эквивалентно соот-
соотношению
/Л, = I , _ , J - /!,-_! -- (n - t -r 2) Л,_2, i =: 2, 3, , , ,, n,
с начальными условиями Ло = I, Ax — 0. G
§ 2. Циклические коды
Циклические коды — это особая разновидность линейных
кодов, они отличаются достаточно хорошо изученной математи-
математической структурой и удивительно просты в реализации,
9.35, Определение. Линейный (л, &)-код С над полем fq
называется циклическим, если из того, что вектор (а0, at, .,., ап_х)
принадлежит С, следует, что его циклический сдвиг (ап_и а0, ...
•••> ап-г) принадлежит С.
С настоящего момента мы будем предполагать, что НОД (п,
Ф ' : 1. Обозначим через (хп — 1) идеал кольца fq \x\, порожден-
порожденный многочленом хп — 1 ? Fg [jc]. Тогда все элементы фактор-
кольца fq {х]/(хп — 1) можно представлять многочленами сте-
степени, меньшей чем я. Очевидно, что это факторкольцо изоморфно
F» как векторное пространство над полем fq, а изоморфизм
имеет вид
(а0, ах. ,. ., ап_г)**а0 + агх + • ¦ • + ^п-\Хп' '.
В силу существования указанного изоморфизма мы будем пред-
представлять элементы fq [х]/(хп — 1) или в виде многочленов сте-
Пе»и, меньшей чем п, которые рассматриваются по модулю
х" — 1, или в виде векторов или слов над полем fg. Умножение
602 Гл. 9. Приложения конечных полей
многочленов по модулю хп — 1 мы определяем обычным образоу
если / ? fq \х}/(хп — 1), glf g2 ? fq [ж I, то gtgt -- I означает
что gxgt = f (mod (xn — 1)).
Циклический (л, &)-код С можно получить путем умножены*
каждого сообщения, содержащего k информационных символов
(и которое мы отождествляем с многочленом степени, меньшей
чем к), на фиксированный многочлен g (x) степени n--k, гд<-
g (х) является делителем xtl— 1. Многочлены g (x), xg(x), ,
,,., xk~lg (x) соответствуют кодовым словам кода С. Порождающая
матрица кода С имеет вид
'?„ ft ¦•¦ 8n-k 0 0 ... 0
0 g0 gi ... gn-k 0 ... 0
vo о о ... о g0 gl ... gn_k/
где g (x) = g{) -\- gxx + ... --) gn-hXn~k. Очевидно, что строки ма-
матрицы G линейно независимы, и, таким образом, ранг матрицы d
равен к:— размерности кода С. Если
h (х) - (а-« - \I g(х) = h0 -| ht {x)-\ \- hhx\
то матрица
0 0 ... 0 hh Aft.! ... A»
0 ... 0 Aft Afc_! ... Ao 0
hh_x ... h0 0 ... 0
является проверочной матрицей кода С. Код с порождающей
матрицей Н, т. е. код, дуальный к коду С, также является цикл'
ческим кодом.
Так как мы отождествляем векторы (а0, аъ ..., an-i) наД 1;""
лем Fg и многочлены а0 -j- axx 4- ... 4- an_lx"~l над тем же 1\ч-
лем, то код С можно рассматривать как подмножество фактор-
кольца F, 1х\/(х" — 1).
9.36. Теорема. Линейный код С является циклическим тог^и
и только тогда, когда он будет идеалом кольца fq [х\/(хп — 1>-
Доказательство. Если С является идеалом и (а0, %, ..., an-i' ^
? С, то и
х-(а0 4- агх Н • • • -f- an_iXn~l) -= (an_i, a0, ..., ап_г) ? С.
Обратно, если из того, что (а0, аъ ..., ап_х) 6 С, следует, что i«
(an-i. ao. ¦¦¦,®n-z)?C, то для любого многочлена а (х) ?(¦
многочлен х-а (х) также принадлежит С, а следовательно. "
х%а (дс) ? С, х*а (х) ? С и т. д. Тогда для любого многочлен-'1
Ь (х) произведение Ь(х)-а(х) принадлежит С. Последнее озна-
означает, что С является идеалом. ' -!
§ 2, Циклические коды 60S
Каждый идеал кольца fq[x]/(xn— 1) является главным;
в частности, любой ненулевой идеал С порождается нормирован-
нормированным многочленом степени, меньшей чем п, и если обозначить этот
многочлен через g (%), то g (х) делит хп — 1.
9.37. Определение. Пусть С -- (g (x)) — циклический код.
Тогда многочлен g (х) называется порождающим многочленим
кода С, а многочлен h (х) - (хп— 1 )/#(*) называется провероч
ным многочленом кода С.
Пусть х" — 1 — Д (х) /2 (.t) ... /,„ (х) — разложение много-
многочлена х" — 1 на нормированные неприводимые многочлены над
полем F,r В силу предположения о том, что НОД (п, q) — 1.
получаем, что кратные сомножители в этом разложении отсут-
отсутствуют. Если многочлен ft (x) неприводим над полем f(]f то идеал
(/',• (.v)) является максимальным идеалом, а циклический код
порожденный многочленом ft (x), называется максимальным цик-
циклическим кодом. Код, порожденный многочленом (хп — l)/fi (х),
называется неприводимым циклическим кодом. Можно найти все
циклические коды длины п над fq, разлагая многочлен х" — 1
ц.1 множители указанным выше образом и выбирая в качестве
порождающего многочлена любой из 2т — 2 нетривиальных
нормированных делителей многочлена х"— 1,
Ноли h (х) — проверочный многочлен циклического кода С s
& ?,, \х\/(хп — 1), а у (х) б ?<, [х\1(хп — Г), то v (x) ? С тогда
и тлько тогда, когда v (х) h (х) ~ 0 (mod (хп — 1)). Многочлен
ч is) : о« [¦ ахх :\ ... -\ aii_iXk"~i, соответствующий передавае-
передаваемой информации, кодируется кодом С в многочлен w (х) — а (х)-
"Я(х), где g (x) — порождающий многочлен этого кода. Если
многочлен v (х), соответствующий принимаемой информации,
разделить на g (x), то получение ненулевого остатка означает
наличие ошибки в принятом сообщении. Каноническую порождаю-
порождающую матрицу кода С можно получить следующим образом. Пусть
'Ipfi (g (х)) п — k. Тогда существуют единственным образом
определяемые многочлены а7- (х) и г^ (х), такие, что deg (rj (x)) <
•:~. а ¦- k и
Следовательно, х> —rj (x) является кодовым многочленом; кодо-
кодовых! является и многочлен gj (х) ---- ж* (х> — rj (x)), взятый по
модулю х" — 1. Многочлены gj (дг), / - п — k, ..., п — 1, ли-
линейно независимы н образуют каноническую порождающую ма-
фмцу (/ft /?), где Ih — единичная матрица размера k X k,
л R — матрица размера k х (п — k), t'-я строка которой образо-
образована коэферицнентами многочлена rn—k-\+t (*)¦
9.Ш. Пример. Пусть п— 7, q ¦¦- 2. Тогда
л-7 — I •- (х -1 1) (а-3 -I- х I- I» (xs -h х'1 -!- I).
604 Гл, 9, Приложения конечных полей
Многочлен g (х) — х3 + х2 4 1 порождает циклический G,4)-кч;
с проверочным многочленом h (х) — х4 Н хя f х2 •-[- 1. Соответ-
Соответствующая каноническая порождающая матрица G и проверочная
матрица Н имеют вид .
1 ° ° ° 1 ° г\ /1 1 1 о 1 о о^
0100111V /iiiuiuu
0 = I 0 0 1 0 1 1 0
v0 0 0 1 0 1 1
Напомним полученный в гл, 8 результат о том, что если ) '-_
? Fq \x I — многочлен вида
/ (х) = /о + hx + • • • 4- /ftx*, U Ф 0, /л - 1,
то решениями линейного рекуррентного соотношения
к
являются чисто периодические последовательности с периодом,
равным п. Множество л-наборов, состоящих из первых п члетж
каждого такого решения и рассматриваемых как многочлены пи
модулю хп— 1, образует идеал, порожденный в кольце fq [лг|/(лг"-
—¦ 1) многочленом g (х). Здесь g (х) — многочлен степени п — А1,
возвратный к многочлену (х" — 1)// (дг) 1). Таким образом, mdj/ci-.--
использовать для получения кодовых слов в циклических кодах
линейные рекуррентные соотношения, причем этот процесс мояию
легко реализовать технически с помощью регистров сдвига.
9.39, Пример, Пусть / (х) -- х'Л I х I 1 — делитель мпог"-
члена х1 — 1 над полем F2- Соответствующее линейное рекуррент-
рекуррентное соотношение имеет вид ai+3 + ai+l + at = 0. Оно порождав!
циклический G,3)-код, который, например, кодирует слово 111
в слово 1110010. Порождающим многочленом в этом случае яг.-
ляется многочлен, возвратный к многочлену (х1 — 1)// (х), т. »¦
g (х) ^ х* -|- х3 -I- х2 Ч- 1. I
Циклические коды можно также описать путем задания корней
всех кодовых многочленов, перейдя в соответствующее расши-
расширение поля fq. Условие, что все кодовые многочлены делятся нн
порождающий многочлен g (x) циклического кода, означает просто,
что все кодовые многочлены должны принимать значение 0 ни
корнях многочлена g(x). Пусть а,, ..., as — элементы фиксиро-
фиксированного расширения поля F(|, а />,• (х), i ¦-¦¦ 1, ..., s, — мннимал ¦¦
ный многочлен элемента at над полем fq. Пусть п ? М таково, чт>
а'} --- 1 для всех i ~ 1, ..., s. Положим g (x) --¦ НОК (р\ (х), ¦
1) См. гл, 8, § 3. — Прим. перев.
§ 2. Циклические коды 605
,,, ps (x)). Тогда многочлен g (x) делит хп — 1. Если CgfJ —
циклический код с порождающим многочленом g (х), то v (x) ? С
тогда и только тогда, когда v (at) = О, i = 1, ..., s. В качестве
примера того, как связаны описания циклического кода с помощью
порождающего многочлена и с помощью кодовых многочленов,
докажем следующий результат. При этом используется понятие
эквивалентности кодов, определяемое в упр. 9.10.
9.40. Теорема. Бинарный циклический код длины п = 2т — 1,
порождающий многочлен которого является минимальным много-
многочленом над полем F2 для некоторого примитивного элемента
поля ?гт, эквивалентен бинарному (п, п — т)-коду Хэмминга.
Доказательство. Обозначим через а примитивный элемент
ПОЛЯ F2m. И ПУСТЬ
р (х) = (х ос) (х а ) ... \х <х )
— минимальный многочлен элемента а над полем Fa- Рассмотрим
теперь циклический код С, порожденный многочленом р (х).
Построим матрицу Н размера mxBm — 1), /-й столбец которой
имеет вид (с0, сх, ..., ст_х)т, где с, ? F2 и
а'~> = Yi ciai< i — 1. 2, ..., 2m — 1.
(=0
Если a = (a0, alt ..., an_x) и a (x) = a0 + axx + • • • + an_lxn-1 ?
€ Fa ix], то вектор #ат соответствует элементу а (а), выражен-
выраженному в базисе {1, a, ..., am~1}. Следовательно, равенство #ат = 0
выполняется только тогда, когда минимальный многочлен р (х)
делит а (х). Таким образом, матрица Н является проверочной
матрицей кода С. В силу того что столбцы матрицы Н представ-
представляют собой перестановку двоичной записи чисел 1, 2, ..., 2т — 1,
все они различны. Теорема доказана. П
9.41. Пример. Многочлен х* + х + 1 является примитивным
многочленом над полем F2, и, следовательно, его корнем будет
примитивный элемент a g Fie- Если для всех 15 элементов а> ?
? Fm, / = 0, 1, ..., 14, воспользоваться векторной записью,
выражая их в базисе {1, а, а2, а3], и из полученных векторов,
используя их как столбцы, образовать матрицу размера 4X15»
то мы получим проверочную матрицу кода, эквивалентного A5,
И)-коду Хэмминга. При этом сообщение вида (а0, аъ ..., а10)
кодируется в кодовый мцог,очлен
w (х) = а (х) (х* + х + 1),
гДе а (х) = а0 + ахх + ¦ ¦ ¦+ а1Охго. Предположим теперь, что
Многочлен v (х), соответствующий полученному сообщению, со-
*еРжит одну ошибку, т. е. что v (х) — w (х) + хе~1, в то время
Гл, 9. Приложения конечных полей
как передавалось сообщение, соответствующее многочлену w (x\
Тогда синдром равняется w (а) -\- ае^1 -- а1'. Отсюда получа-
получатель заключает, что в принятом сообщении на меси' е номером (¦
имеется ошибка,
9.42. Теорема. Пусть С s f'q lx \/(хп — 1) циклический
код с порождающим многочленом g (х), и пусть о:,, ..., an_ft ¦
корни многочлена g (х). В этом случае многочлен /fib, U* l/(.v"
— 1) является кодовым многочленом тогда и только тогда, коя hi
вектор (f0, /j, ..,, /n_i), образованный коэффициентами многочлена /,
лежит в нуль-пространстве матрицы
A 2 п—К
I «I «i . . . «) \
• ¦ • • • • (9.4.
I an-k al-k , . . a.n~l/
Доказательство. Пусть / (х) — /0 + fxx + ¦ • •+ /n-i*""'; тогда
/' (а,-) — /о + /)«,- + ¦ ¦ • + /„-la? = 0 для всех 1 < / < п — k,
а это значит, что
A, а,, ,.., а'Г1) (/о, fu .-., /я-|)т = 0, 1 < i < п - k,
тогда и только тогда, когда Я (/„, /х, ...,/„.О11 ^ 0. !
. Напомним (см. § 1), что для исправления ошибки в получен-
полученном слове у необходимо определить синдром этого слова. В слу-
случае циклического кода синдром, который является вектором
длины п — k, часто бывает возможно заменить другим более про-
простым объектом. Например, пусть а — примитивный корень н-й
степени из 1 в поле fqm, и пусть g (х) — порождающий много-
многочлен кода — является минимальным многочленом элемента '/
надполем fq. В силу того что уделит многочлен f?Fqlx]/(x" —
— 1) тогда и только тогда, когда / (а) — 0, матрицу Я из (9.^1
можно заменить матрицей Я вида
Я = A а а2 ... а"-1).
Тогда в роли синдрома выступает вектор S (у) = Яут, причем
S (у) =^ у (а), так как у = (j/0, ylt ..,, уп_г) можно рассматривать
как многочлен у (х) с коэффициентами yt. Далее, будем обозна-
обозначать через w передаваемое слово, через v — принимаемое слово,
а через w (х) и v (х) — соответствующие многочлены. Предполо-
Предположим, что е</> (х) = х>~1, 1 <' / -^ п, — многочлен ошибок, со-
соответствующий единственной ошибке, и пусть v = w - e(/) ¦
Тогда
v(a) = w (а) + е</> (а) == е</> (а) = а'-К
Величина е('-) (а) называется локатором ошибки. В этом случ<и*
синдром S (v) = а'*" однозначно определяет ошибку, так как
<?<»> («) ф еA) (а) при 1 < i, j < п и 1ф~\.
§ 2. Циклические коды
607
9.
.г1 •
мен"
--¦ л
члеч
iiepi
рожд
член
¦ /(
ВИД.'!
режде чем переходить к циклическим кодам общего вида,
штрим следующий пример.
43. Пример, Пусть элемент а ? fie — корень многочлена
х • 1 ? Т., [х]. Тогда минимальными многочленами эле-
ж а и а3 над нолем F2 являются соответственно mSl) (х)
3 4 3 2
1 и
(х)
х
4 4- х3 -)-
х -|- 1. Оба много-
¦( /пA) (а") и /п<3> (х) суть делители многочлена х1Ъ— 1, Те-
Темы можем определить бинарный циклический код С с по-
ающим многочленом g — т^т&К Так как g делит много-
/' ? |?2 1х]/(х15— 1) тогда и только тогда, когда /(се) --:
:/.3) -- 0, то матрицу Н в (9.3) можно заменить матрицей Н
Н =
1 a a2
\ 1 a8 ae
Ниже мы покажем (см. теорему 9.45 и пример 9.47), что мини-
минимальное расстояние кода С не меньше 5; следовательно, код С
может исправлять 2 ошибки. Код С является циклическим A5,7)-
кодом. Пусть
S, --
S3 —
г—о
1=0
— компоненты синдрома S (у) — Hvr. Тогда v ? С в том и только
том случае, когда S (v) — //vT — 0. В свою очередь это соотно-
соотношение равносильно тому, что St ^r S3 = 0, Если элементы ноля Fie
представить в двоичной векторной записи, т. е. вместо элемента а*
поместить соответствующий вектор-столбец, то указанная выше
матрица Я принимает вид
н =-.
1
0
0
0
1
0
0
o-
0
1
0
0
0
0
0
1
0
0
1
0
0
0
1
1
0
0
0
1
0
1
0
1
1
1
0
0
1
1
1
1
0
1
1
0
1
0
0
0
0
0
1
1
0
0
0
1
1
1
0
1
0
0
1
1
1
0
1
0
0
1
0
1
0
1
0
1
1
1
1
1
1
1
1
0
1
0
0
0
0
1
1
1
0
0
0
1
1
1
1
1
0
0
1
1
1
0
1
1
0
1
0
1
1
0
0
1
1
1
1
1
фи этом столбцы матрицы // определялись следующим образом:
гервые 4 координаты' 1-го столбца являются, коэффициентами
^ записи элемента 1 в виде 1 = 1 -а0 + 0-а1 + 0-а2 + 0-ая,
рвые 4 координаты 2-го столбца являются коэффициентами
,1 _;'а'Ч1сн элемента а в виде a — 0-a° + 1-a1 4 0-«а + O'Ct3
Последние 4 координаты 1-го столбца являются коэффи-
Д.
608 Гл. 9. Приложения конечных полей
циентамн в записи элемента 1 в виде 1 = 1-а° -\- 0-а1 + 0-а2 ¦
-|- 0-а:|, последние 4 координаты 2-го столбца являются коэффи-
коэффициентами в записи элемента а3 в виде се3 = 0-а° + 0-а1 -|- 0-а2 ¦
+ 1-а3 и т. д. Для вычисления используется соотношение а* ¦
т а -f 1 = 0.
Допустим, что полученный вектор v -- (vn, ..., vu) содержит
не более двух ошибок. Например, е (х) - х -г х"?, где О
-< «,, а., </ 14, ах Ф а2. Тогда
Si = а"' + a"*, S3 = а3а' -\- а3"*.
Пусть ц1 = а, т).г "¦-" аа= — локаторы ошибок; значит,
р р 3 3
О| =¦¦ Т]1 -4- Т|2, S3 == Tji Н- 1]2,
поэтому
С С3 С2 1С2
Оз —~ О[ ^" О \Ц\ ~\~ О]Т||,
а следовательно,
1 -I- 5,т1Г' Н- (S? 1 535Г') ПГ2 =- 0.
Если имеется 2 ошибки, то ijT и »|2~' являются корнями многочлепл
s (х) = 1 + Stx v (Si r S:iSTl) х1. (9.4)
Если имеется только одна ошибка, то Si --- i)i, Sj - ц\, а следова-
следовательно, S'i -\- S?, ~ 0, и тогда
s (лс) -= 1 -г SyX, (9,п)
Если ошибок нет, то S, -- S;) -; 0, и получено правильное кодо-
кодовое слово w.
Итак, в начале мы вычисляем синдром S (v) =- /fvr для полу-
полученного вектора v, затем найдем s (x) и, наконец, с помощью кор-
корней многочлена s (х) найдем ошибки. Если Sx Ф 0, то многочлен,
определенный формулой (9.5), имеет корень в поле Fie. Если
многочлен, заданный формулой (9.4), не имеет корней в поле рф-
то мы получаем, что вектор ошибок е (х) имеет более двух нену-
ненулевых компонент и, следовательно, эти ошибки нельзя исправит»
с помощью данного A5,7)-кода.
Пусть, например, полученное слово имеет вид
v = 1 0 0 1 1 10 0 0 0 0 0 0 0 0.
Тогда S (v) — ( сх) задается формулами
Si -¦= 1 -}- а3 т а4 у а5 --= а2 -[- а3.
S, = 1 га9 : а12 !- а15 - 1 г а3.
§ 2. Циклические коды 609
д\когочлен s (х) из (9.4) имеет вид
s (х) -= 1 Ь (а2 Ч- а3) х + 11 f а + а2 + а3 +
+ A + а8) (а2 1- а3)-1! х'г =
= 1 + (а2 -]- а3) ж + A + а + а3) А'2.
Методом проб и ошибок найдем, что корми многочлена s (х) рав-
7 у-, — 1 —1 7 14
няются а и а , Следовательно, т|] -¦¦¦ а, г\2 =: а , т, е, t^ =- се ,
1|., а". Таким образом, мы знаем, что ошибки должны нахо-
находиться на местах, соответствующих хп и хи, т. е. в 9-й и 15-й
компонентах вектора v. Переданное кодовое слово должно, сле-
ювателыю, иметь вид
w= 100111 00 1000001.
Кодовое слово w декодируется путем деления соответствующего
ему многочлена на порождающий многочлен g(x), В результате
мы получаем многочлен 1 + х* 1- хъ -\- хв и остаток, равный 0.
Таким образом, заключаем, что переданное сообщение имело
вид 1001011. ?
9.44, Определение, Пусть Ь — целое неотрицательное число,
и пусть а ? f т — примитивный корень п-и степени из 1, где т
является мультипликативным порядком числа q по модулю п.
Тогда кодом Боуза — Чоудхури—Хоквингема (или ЪЧХ-кодом)
длины п с конструктивным расстоянием d, 2 <J d -sC, n, над по-
полем IF'q называется циклический код, определяемый корнями
порождающего многочлена
аь, «*+>, ,,,, аб-М-2.
Коли через т(("> (х) обозначить минимальный многочлен эле-
элемента а' над полем fq, то порождающий многочлен g (x) соответ-
соответствующего БЧХ-кода имеет вид
g (х) = НОК (т<*> (х), m<*+'> (х), .... т<*+"-2> (ж)).
Важны также и некоторые частные случаи общего определения
9.44. Так, если Ь — 1, то соответствующий БЧХ-код называется
Ь11Х-кодом в узком смысле. Если п = qm — 1, то соответствую-
соответствующий БЧХ-код называется примитивным. Если п = q— 1, то
ЬЧХ-код длины п над полем fq называется кодом Рида — Соло-
Соломона.
9.45. Теорема. Минимальное расстояние БЧХ-кода с кон-
конструктивным расстоянием d не меньше, чем d.
Доказательство. БЧХ-код совпадает с нуль-пространством
"роверочной матрицы
1 ь
12 3,ч 243
610
Гл, 9, Приложения конечных полей
Покажем, что любые d — 1 столбцов этой матрицы линейно не-
независимы. Если мы рассмотрим определитель для любых d — 1
различных столбцов матрицы Я, то получим
a
a(
I 1
a
^tf-2)
a'*
п
# 0.
Следовательно, минимальное расстояние этого кода не меньше,
чем d.
9.46. Пример. Пусть mW (x) -¦¦¦ x4 f x |- 1 — минимальный
многочлен над полем F.? для примитивного элемента а ? F1(i.
Представим степени а1, 0 <.' i <; 14, в виде линейных комбина-
комбинаций элементов 1, а, а2, а3 и получим, таким образом, провероч-
проверочную матрицу Н для кода, эквивалентного A5,11)-коду Хэмминга:
'10001001101011 Г
010011010111100
001001101011110
0001001 10101 1 1 1
= A a «а a3 a* a5 ae a7 a8 a8 a10 a11 a12 a13 a14).
Этот код можно также рассматривать как БЧХ-код в узком
смысле над полем F» с конструктивным расстоянием d — 3 (за-
(заметим, что элемент а2 также является корнем многочлена /и*1' (х))
Минимальное расстояние этого кода также равно 3, поэтому он
может исправлять одну ошибку. Для того чтобы декодировать
полученный вектор v ? F20, нам надо найти синдром S (v) ~
— HvT. В данном случае для циклического A5,11)-кода этот син-
синдром определяется разложением элемента v (а) в базисе J1» о..
а2, а3}. Чтобы получить его, разделим v (x) на т<!> (х). Пусть.
скажем, v (х) --- а (х) /л(|> (х) + г (х), где deg (r (ж)) < 4; тогда
v (а) -- г (а), так что компоненты синдрома равняются коэффи-
коэффициентам многочлена г (х).
Например, пусть
, v = 0 1 0 1 10 0 0 10 1 1 10 1,
§ 2, Циклические коды 611
тогда г (л) =¦ 1 т- х н, следовательно,
S (у) -= Яут = A 1 0 0)т ^ I )- а.
Далее, нам надо найти вектор ошибки е веса w (e) <С 1, имеющий
Т(,т же самый синдром. Для этого мы должны определить /, О <С
..< j 14, такое, что о) -¦= /fvT. В нашем случае j ¦--- 4, т. е.
неполученном векторе v ошибочной является пятая координата,
и, таким образом, переданное слово имело вид
w--= 01010000101 1 101. ?
9.47. Пример. Пусть q -¦ 2, п — 15, d -¦ 4. Тогда многочлен
хх ¦ х : 1 является неприводимым над полем f2. а ег0 корни —
примитивные элементы поля Fie- Если а — один из этих корней,
то а2 также является корнем этого многочлена, а а3 — корень
многочлена х'1 + х3 + хг + х f 1. Тогда БЧХ-код в узком
смысле с конструктивным расстоянием d = 4 может порождаться
многочленом
g (X) ==" (X* + X + 1) (X* f Xя -1- X2 + X -|- 1).
.Чтит многочлен будет также порождающим для БЧХ-кода с кон-
конструктивным расстоянием d — 5, так как а* также является кор-
корнем многочлена х* + х -(- 1. Размерность этого кода равна 15 —
~ <b'g(g(x)) = 7. Этот код уже был детально изучен в примере 9.43. П
ЬЧХ-коды важны ввиду того, что для любого положительного
целого числа d можно построить БЧХ-код с минимальным рас-
расстоянием, не меньшим чем d. Для того чтобы получить БЧХ-
код с большим минимальным расстоянием, мы должны увеличить
его длину п и, следовательно, степень т расширения поля f~
над полем Fq. БЧХ-код с конструктивным расстоянием d > Ш + 1
будет исправлять t ошибок (и, разумеется, любое меньшее число
ошибок), но в то же время для того, чтобы получить код с таким
кодовым расстоянием, мы должны использовать кодовые слова
большей длины.
Опишем теперь алгоритм декодирования. ЪЧХ-кодов. Обозна-
Обозначим через w (х), v (х) и е (х) соответственно передаваемый кодовый
миоючлеи, принимаемый многочлен и многочлен ошибок; тогда
v (•*") ¦ w (x) -f e (х). Прежде всего нам надо найти синдром век-
вектора v
S(v) = //vT = (Sb, Sb+l, .,., Sb,«)T,
где
Sj = v («/) = w («/) -f e (a') = e (a/), b < / < b -f- d — 2,
tc.'ni имеется r -< i ошибок, то
() E
(=1
12»
612 Гл, 9. Приложения конечных полей
где аъ ,.,, а, — различные элементы из {0, 1, .,,, п — If. с\и-.-
менты i\i -- ай| ? f m называются локаторами ошибки, а ..11--
менты d?fg —значениями ошибки, Таким образом, для с\ш-
дрома вектора v получаем формулу
г
S,- = е (а') = 2 Cir\[, b < / < b -f d — 2.
(--1
Учитывая правила вычисления в поле ?дт, приходим к раьои-
ствам
(S crfX = E 4tif = S ^r,f = sk. г».б)
Нам надо найти неизвестные пары (щ, С[), i =- 1, .... г. Коорди-
Координаты S( синдрома S (v) можно считать известными, так как их
можно определить по полученному вектору v. В бинарном слу-
случае каждая ошибка полностью характеризуется величиной i|;,
так как в этом случае все г,- могут принимать лишь значение,
равное 1.
Следующим шагом декодирующего алгоритма является опре-
определение коэффициентов (Г/, задаваемых полиномиальным тожде-
тождеством
г г
П A1; - X) = ? (—l)'<Xr-i*'' = Or - Or-lX г ••¦ -\- (—IKcT^.
Таким образом, ст0 = 1, а аи ..., аг — элементарные симметри-
симметрические многочлены от %, ...,%. Подставляя v\t вместо х, полу-
получаем
(—l)rar + (^1)г"' or-it\i -\ (- (-1) 0,11Г' + Цг( = О,
t = 1, ..., г.
Умножая на с,-т); и суммируя эти равенства по всем i — 1, ..., г,
получаем
(-1/(JrSj + (-I/-1 0r^Si+1 -f • • • + (-1)o1SUr_l + SUr = 0,¦;
где | = b, b f 1, ..., b + r — 1.
9.48, Лемма. Система уравнений
Г
? tyt]J = 5/, / = Ь» 6-|- 1, .,., b + r—\,
i—i
относительно неизвестных ct разрешима, если щ являются раз-
различными элементами ад F*m-
§ 2. Циклические коды 613
Доказательство, Определитель этой системы уравнений рав-
равняется
I Т|| 42 ¦ • ¦ 4
\ Ь- 1 „* И „*
11! ¦ Щ • • ¦ Цг
= л*n*. • ¦ ti* П (т)/-л<)=5*о. ц;
/
9.49. Лемма. Система уравнений
(—• ] Y o,.Sj -¦{ (—\f~~x or_iSj+i -j- • • ¦ -j- (—1) cii5j+r_i -| Sj+r --- О,
/ = 6, Н- 1, • • •> b-\-r -- 1,
относительно неизвестных (—1)!'(Ть i = 1, 2, ..., г, однозначно
разрешима тогда и только тогда, когда в полученном слове имеется г
ошибок.
Доказательство. Матрицу, соответствующую этой системе
уравнений, можно представить в виде
Q Q С
Sh+l 5ft+2 ... Sb+r t = VDyr
I
•Ьь+аг-з/
где
'1 1 ... 1
¦*li % • • ¦ Ц,
,лГ'
'С,Т|»
?) =
0 0 ...
Матрица данной системы невырожденна тогда и только тогда,
когда матрицы V и D являются невырожденными. Матрица V
является матрицей Вандермонда; она невырожденна тогда и
только тогда, когда все т|ь i — 1, ..., г, различны. Матрица D
невырождеона тогда и только тогда, когда все щ и ct отличны от 0.
Оба условия выполняются в том и только том случае, когда в по-
лУчс1мюм векторе имеется г ошибок. П
Введем так называемый многочлен локаторов ошибки:
s(x) = ПA - r\tx) = Е (—\уо,х1,
0
614 Гл. 9. Приложения конечных полей
где ot определены выше. Корни многочлена s (х) равны ijf1, .,,, 1,. ',
Для того чтобы найти эти корни, можно воспользоваться проц,- •;/-
рой Ченя. Для этого нам надо, во-первых, узнать, является ,\\
число а"~"' локатором ошибки, т. е, является ли элемент с-.
— а-("-') корнем многочлена $(х). Чтобы проверить это, р,и-
смотрим сумму
— оги -f- а,,а2 ¦ ••• | (—\)rarar.
Если она равна —1, то а"~~! является локатором ошибки, i ,к
как в этом случае s (a) --¦¦ 0. В общем случае точно таким же ¦¦'";
разом проверяем элементы ап"~гп для т ¦ 1, 2, ...,//. В бинар'м.ч
случае обнаружение местонахождения ошибки равносильно се
исправлению. Приведем теперь полностью алгоритм декодиро-
декодирования БЧХ-кодов, обозначая при этом (—1)'а,- через т(.
9,50. Декодирование БЧХ-кодов. Предположим, что в неж-
нежданном кодовом слове w, закодированном с помощью БЧХ-К'-ы
с конструктивным расстоянием d ^г- 2/ { 1, появилось не бол«е /
ошибок.
Шаг 1, Находим синдром полученного слова v
5(v) = (Sb, Sb+1, .... 5Ь+(,_2)Т.
Пусть
Sr-^ tcm'i, fe</<ft-i d - 2,
i--1
Шаг 2. Находим максимальное число г <:' /, такое, что t и-
стема уравнений
SJ+r -f S^-+r_1T, -[ • • • -|- Sjtr = 0, b < / < b -l- r - 1,
относительно неизвестных т{ имеет невырожденную матрии\
коэс{хрициеитов. Тем самым получаем число появившихся оши-
ошибок. Построим многочлен локаторов ошибки
?' Т
s(A-)-= П A ¦- Л/*)= 23 T4Jf'.
1-1 «=0
Коэ(}хрициенты rt выражаем через Sj.
Шаг 3. Решаем уравнение s (х) == 0, подставляя в sn)
вместо х степени элемента а. Тем самым находим локаторы
ошибки г],- (процедура Ченя).
Шаг 4. Подставляем щ в первые г уравнений, образованнь1^
на шаге 1, и определяем значения ошибки с{. После чего из урав-
уравнения ш (х) ^ v (х) — е (х) находим переданное слово w.
9.51. Замечание. Заметим, что самым трудным шагом это!"
алгоритма является шаг 2. Имеются различные методы для с1"
реализации. Одним из них является использование алгоритг ¦
§ 2, Циклические коды
615
Ч
Берлекэмпа—Месс и из гл. 8 для определения неизвестных коэф-
коэффициентов tj в линейном рекуррентном соотношении для Sj. П
9.52. Пример. Рассмотрим БЧХ-код с конструктивным рас-
расстоянием d -- 5, который может исправлять любую одиночную
и 1 и двойную ошибку. В этом случае положим Ь == 1, п =: 15,
. 2. Если через tn{i) (х) обозначить минимальный многочлен
над полем рг элемента а'", где примитивный элемент а ? F18
является корнем многочлена х* -f x -|- 1, то
mvi) (Х) = тт (х) ^ тт (х) = 1 + х -f ж4,
() (л:) = т«12) (л:) === т<9.' (х) = 1 -[- д- --[ х2 -f- х3 + л4.
Таким образом, порождающий многочлен рассматриваемого БЧХ-
кода имеет вид
g (х) ---= т<'> (х) т№ (А-) _= 1 _|_ хА -f ж6 + х7 + ж8.
Эгот код является линейным A5,7)-кодом с проверочным много-
многочленом
А (х) = (ж15 — \)/g (х) -= 1 Ь х4 + Xй -Ь ж7.
ii качестве базиса этого A5,7)-БЧХ-кода возьмем векторы, со-
соответствующие многочленам
g (х), xg (х), x2g (х), х3g (х), x*g (х), x5g (х), х% g (х).
Таким образом, получаем порождающую матрицу
G ==
Предположим теперь, что полученное слово v имеет вид
1001001 1000010 0;
Т|л"да соответствующий многочлен и (х) имеет вид
V (X) = 1 + X3 + Xе + X1 + ХШ.
В соответствии с шагом 1 декодирующего алгоритма найдем его
синдром, воспользовавшись при этом для упрощения вычисле-
вычислений соотношениями (9,6):
Si = е (а) = v (а) = 1,
Ss = е(а2) = о (а2) = 1,
1
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
1
0
0
0
1
0
0
0
1
0
0
0
1
0
1
0
1
0
0
0
1
1
1
0
1
0
0
0
1
1
1
0
1
0
0
0
1
1
1
0
1
0
0
0
1
1
1
0
1
0
0
0
1
1
1
0
0
0
0
0
1
1
1
0
0
0
0
0
1
1
0
0
0
0
0
0
1
616 Гл. 9. Приложения конечных полей
S3 - - г (а3) =--- v (а3) ^ а4,
S4- e (a*) ;-- v (а4) -= 1.
Максимальная невырожденная система линейных уравнений см-
носительно неизвестных xt (шаг 2) имеет в этом случае вид
С -г 1 С т ¦• ¦ С
ИЛИ
т, [¦ т2 ¦:- а4,
Очевидно, что матрица этой системы невырожденна. Следова-
Следовательно, число встретившихся ошибок должно равняться 2, т, с-
г == 2. Решая эту систему уравнений, получаем т5 — 1, т2 = ч.
Подставляя эти значения в s (х) и считая, что т„ =-- 1, получаем,
что
s (х) - 1 \ х \ ах".
Так как корни этого многочлена лежат в f\%, то ц{1 — а8, r|i~'
г а* и, следовательно, t), •- а7, тJ ~ ~ а9. Отсюда мы делаем вы-
вывод, что ошибки появились в 8-й и 10-й компонентах переданного
слова. Исправив эти ошибки в полученном многочлене, получаем
ш (х) —- v (х) -- е (х) — A -)- х:! -[- хй -;¦¦ х"' А,- хш) — (х~ -f- х9) =
= 1 -! х3 |- х% \ X8 +¦ jc12.
Соответствующее кодовое слово —
10 0 10 0 10 0 10 0 10 0,
Исходную информацию (до кодирования) можно получить с по-
помощью деления исправленного многочлена (т. е, переданная1
кодового многочлена w (x)) на многочлену (х). В результате полу-
получаем
w (хIц (х) 1 ! х"л ! х\
что соответствует передаваемому сообщению 100 1 100. 1 I
§ 3. Конечные геометрии
Этот параграф посвящен применению теории конечных по-
полей в геометрии. В известном смысле теорию кодирования моЖ!'1'
также рассматривать и как раздел геометрии, и как раздел ком-
комбинаторики, так как в ней изучаются вопросы упаковки шар<|1!
в метрическом пространстве конечной мощности, как правил*',
в конечномерном векторном пространстве над полем fq.
Проективная плоскость состоит из множества точек и множеств-1
§ 3, Конечные геометрии 617
прямых, которые связаны между собой отношением инцидентно-
инцидентности. Это отношение позволяет для каждой точки и каждой пря-
прямой установить, лежит данная точка на данной прямой или нет.
Для того чтобы дать строгое определение, необходимо сформули-
сформулировать несколько аксиом.
9.58. Определение. Проективная плоскость определяется как
множество элементов, называемых точками, вместе с выделенными
подмножествами этого множества, называемыми прямыми, и
отношением /, называемым отношением инцидентности между
точками и прямыми и удовлетворяющим следующим условиям:
(i) каждая пара различных прямых инцидентна единствен-
единственной точке (т. е. для каждой пары различных прямых существует
единственная точка, лежащая на обеих прямых и называемая их
пересечением);
(и) каждая пара различных точек инцидентна единственной
прямой {т. е, для каждой пары различных точек существует един-
единственная прямая, содержащая обе эти точки, иначе — прямая,
прочодящая через эти точки);
(iii) существуют четыре точки, такие, что никакие три из них
не инцидентны одной и той же прямой (т. е. существуют четыре
точки, такие, что никакие три из них не лежат на одной прямой).
Отсюда следует, что каждая прямая содержит по меньшей
мере 3 точки и что через каждую точку проходят по меньшей
мере 8 прямые. Если множество точек проективной плоскости
конечно, то мы будем говорить о конечной проективной плоскости.
Ш трех приведенных выше аксиом нетрудно вывести, что усло-
условие (iii) выполняется и в случае, если в нем поменять местами
понятия «точка» и «прямая». Тем самым устанавливается принцип
Свойственности между точками и прямыми, из которого в свою
очередь можно получить следующий результат:
9.54. Теорема. Пусть II — конечная проективная плоскость.
Тогда
(i) существует целое число т *> 2, такое, что каждая точка
(прямая) плоскости П инцидентна в точности т -\- 1 прямым
(точкам) плоскости П;
(и) II содержит ровно nil + т -|- 1 точек (прямых).
9.55, Пример. Простейшая конечная проективная плоскость
получается при т -= 2, в ней через каждую точку проходят
Ровно 3 прямые и каждая прямая содержит ровно 3 точки. Всего же
'••Юскость содержит 7 точек и 7 прямых. Такая проективная
"•"•оскость называется плоскостью Фане; на рис, 9.2 приводится
се схематическое изображение. Плоскость содержит точки А,
"• с: D, Е, F и G и прямые ADC, AGE, AFB, CGF, СЕВ, DGB
lf ub.h. Так как для конечных плоскостей обычное геометрическое
618 Гл. 9. Приложения конечных полей
понятие «прямой» теряет смысл, подмножество DEF в конечной
проективной плоскости считается прямой.
Число т, появляющееся в теореме 9.54, называется
конечной проективной плоскости. Как мы увидим далее, конечные
проективные плоскости порядка т существуют для всех целых т,
имеющих вид т = рп, где р — простое число. Известно, что не
существует проективной плоскости порядка т = 6, однако не-
неизвестно, существует ли такая плоскость для т = 10. Для т 9
найден целый набор плоскостей с этим параметром, однако не
найдено еще ни одной плоскости, порядок которой не был бы сте-
степенью простого числа.
В обычной аналитической геометрии мы представляем точки
плоскости в виде упорядоченной пары действительных чисел
(х, у), а прямые — как множества точек, удовлетворяющих урав-
уравнению вида ах + by + с = 0 при условии, что числа а и h не
равны одновременно 0. Заменим теперь поле действительных чи-
чисел любым другим полем, в частности некоторым конечным полем.
Такой тип геометрии известен как аффинная геометрия (или ев-
евклидова геометрия). Тем самым мы приходим к понятию аффин-
аффинной плоскости.
9.56. Определение. Аффинной плоскостью называется троГка
(^, ?', /), состоящая из множеств точек !?, множества прямых 3?
и отношения инцидентности /. При этом должны выполняться
следующие условия:
(i) каждая пара различных точек инцидентна единственной
прямой;
(и) каждая точка Р??Р, не лежащая на прямой L$_SF.
лежит на единственной прямой М ? SB, которая не пересекается с L:
(iii) существуют четыре точки, такие, что никакие три из
них не лежат на одной прямой.
Доказательство следующей теоремы вытекает непосредственно
из определений.
9.57, Теорема. Пусть К — произвольное поле, и пусть &
обозначает множество упорядоченных пар (х, у), х, у ? К, а ЗР
§ 3. Конечные геометрии 619
состоит из таких подмножеств L множества 3*, элементы ко-
которых удовлетворяют линейным уравнениям, т. е. L ? SB тогда
и только тогда, когда найдутся такие элементы а, Ь, с ? К,
(fl> Ь) ф @, 0), для которых L = \(х, у) | ах + by + с — 0\.
Тонка Р ? ?Р инцидентна прямой L ? SB тогда и только тогда,
когда Р ? L. Тогда тройка (&, SB', I) с определенным выше отно-
отношением инцидентности является аффинной плоскостью и обозна-
обозначается через AG B, К)-
Нетрудно показать, что если |/С| = т, то. каждая прямая
в A G B, /С) содержит ровно т точек. Из AG B, 7() можно построить
проективную плоскость. Для этого надо добавить еще одну пря-
прямую. Верно и обратное: из любой проективной плоскости можно
получить аффинную плоскость, если удалить из проективной
плоскости одну прямую и все точки, принадлежащие ей. Пока-
Покажем это.
С этой целью несколько изменим обозначения для точек плос-
плоскости AG B, К)'- будем обозначать их через (х, у, 1), т. е. (х, у, г),
где 2=1. Тогда уравнение прямой принимает вид ах + by +
г сг = 0, где (а, Ь) Ф @, 0). Добавим к ?Р множество точек
U=\(\, 0, 0)}Ui(Jf, 1. 0)\х?К}
и образуем новое множество точек ?Р' = ?Р [} /.«,¦ Точки из Loo
можно представить с помощью уравнения z. ~ 0, поэтому мно-
множество Loo можно рассматривать как прямую. Добавим эту но-
новую прямую к множеству прямых SB и образуем новое множество
ЗЕ' - SB (j {Loo|. Естественным образом перенося на множества$•'
и SB' отношение инцидентности /, можно проверить, что тройка
(^Р',2', Г) удовлетворяет всем аксиомам проективной плоскости.
9.58. Теорема. Пусть AG B, К) = (^, S, I), и пусть
0" = 0»U{A, 0, 0)}U{(*. 1, Щх?К\ =^>LJL0o,
и отношение инцидентности I, перенесенное на множества 9*'
uSB', обозначено через Г. Тогда (^',2", /') является проективной
плоскостью и обозначается через PG B, /С).
9.59. Пример. Плоскость PG B, Fz) — проективная плоскость
над полем р2 — содержит 7 точек: точки @, 0, 1), A, 0, 1), @, 1, 1),
С 1, 1) с координатой z Ф 0 и три различные точки прямой z — 0,
а именно A, 0, 0), @, 1, 0), (I, I, 0). Нетрудно проверить, что плос-
плоскость PG B, F2) содержит также 7 прямых и что эта проективная
плоскость является на самом деле плоскостью Фано из при-
примера 9.55. ?
При построении PG B, /С) из AG B, /С) мы видели, что каждая
прямая из AG B, /С) должна пересечься с добавленной прямой Loo,
620 Гл. 9. Приложения конечных полей
т. е. что к каждой прямой из AG B, К) надо добавить по одной
точке. Прямая Lx также содержит т -\- 1 точек в случае, если
поле К содержит т элементов. Так как для любой степени про-
простого числа т ~ р" = q существует конечное поле fq, то спра-
справедлива следующая теорема.
9.60. Теорема. Для любой степени простого числа q = /У,
р — простое число, п ? IN, существует конечная проективная
плоскость порядка q, а именно PG B, fq).
Дополнительная прямая L^, добавленная к аффинной плос-
плоскости для того, чтобы получить проективную плоскость, иногда
называется бесконечно удаленной прямой. Если две прямые пере-
пересекаются по точке, лежащей на Lx, то они называются парил-
лельными.
Приведем теперь без доказательства две интересные теоремы,
которые справедливы для всех проективных плоскостей, имею-
имеющих аналитическое представление в терминах теории полей.
Два треугольника АА1В1С1 и &А2ВгС2 называются находящимися
в перспективе относительно точки О, если прямые Л1Л2, В^В.,
и СгСч проходят через точку О. Точки, лежащие на одной прямой,
называются коллинеарными.
9.61. Теорема (Дезарг). Если АА1В1С1 и аА2В2С2 находятся в
перспективе относительно точки О, то точки пересечения прямых
АгВх и А2Вг, /IjCx и Л2С2, В1С1 и В2С2 являются коллинеарными.
Эта теорема иллюстрируется рис. 9.3: точки пересечения со-
соответствующих прямых обозначаются через Р, Q и R и лежат на
одной прямой.
о
Рнс. 9.3.
9.62. Теорема (Папп). Если Alt Blt Сг — точки некото;"'й
прямой, а Л2, В,г, С2 — точки другой прямой, лежащей в той же
плоскости, и если прямые АгВ% и Л2ВХ пересекаются в точке Р,
А1Сг и A,iCl пересекаются в точке Q, а ВгСш и BiCl пересекаются
в точке R, то точки Р, Q и R коллинеарны.
Рисунок 9.4 является иллюстрацией к теореме Паппа.
§ 3. Конечные геометрии 621
Рис. 9.4.
приведенные выше теоремы играют важную роль в проективной
геометрии. Если теорема Дезарга справедлива в некоторой про-
проективной плоскости, то координаты точек этой плоскости можно
задать через элементы некоторого тела R. В этом случае каждая
точка задается упорядоченной тройкой (х0, хъ х%) трех однород-
однородных координат, где xt — элементы тела R, не равные одновремен-
одновременно 0. При этом тройка (ах0, ахх, ах%), 0 Ф а ? R, представляет
ту же самую точку. Таким образом, если тело R конечно и | R \ =
— т, то для каждой точки имеется т — 1 представлений. Поэ-
Поэтому, поскольку всего имеется т3 — 1 возможных троек коорди-
координат, общее число различных точек проективной плоскости равно
(т3 — \I(т — 1) = т% + т + 1.
Прямая определяется как множество таких точек, координаты
которых удовлетворяют одному из следующих уравнений: х0 +
+ агхх + а2х2 = 0, хх + (hx* —' 0 или х.г = 0 (щ g R). Таким
образом, плоскость содержит тг + т + 1 прямых, и можно не-
непосредственно проверить, что определенные таким образом точки
и прямые удовлетворяют аксиомам проективной плоскости.
Из теоремы Веддербёрна (теорема 2.55) нам известно, что
любое конечное тело является полем, а именно конечным полем fq.
В этом случае уравнение прямой можно записать в виде аохо +
+ а1х1 + агхг — 0, где числа щ не равны одновременно нулю,
при этом уравнение (шо) хо + (аа\) х\ + (оаг) х% = 0, где а ? FJ,
задает ту же самую прямую. Прямая, проходящая через точки
(#о. Уъ y.z) и (z0, zlt z2), может быть также опрелена как множество
точек с координатами (ау0 + bz0, аух + Ьгл, ауг + bz2), где
числа a, b ?tq не равняются одновременно 0. Всего суще-
существует q2 — 1 таких троек, а в силу того, что одновременное ум-
умножение элементов а и b на один и тот же ненулевой элемент за-
задает ту же самую точку, мы получаем, что наша прямая содер-
содержит q -\- 1 различных точек.
В проективной плоскости PG B, Fg) справедлива как теорема
Дезарга, так и обратное к ней утверждение; доказательство этого
622 Гл. 9. Приложения конечных полей
опирается на коммутативность операции умножения в поле Tq. В о<>
щем случае, когда координаты точек проективной плоскости являют-
являются элементами некоммутативного кольца, теорема Дезарга и ее обра-
обращение могут не выполняться. Отсюда становится ясной та важная
роль, которую играет в этом контексте теорема Веддербёрна.
Проективная плоскость, в которой справедлива теорема Де-
Дезарга, называется дезарговой плоскостью, в противном случае
плоскость называется недезарговой. Дезарговы плоскости по-
порядка т существуют только для чисел т, равных степеням про-
простых чисел, причем для каждого заданного числа т = р", где р -¦
простое число, существует с точностью до изоморфизма только
одна дезаргова плоскость порядка т. В конечной дезарговой
плоскости всегда можно ввести координаты, являющиеся элемен-
элементами некоторого конечного поля. Так как такое поле существует
только в случае, когда порядок т этой плоскости является сте-
степенью простого числа, то проективная плоскость, в которой каж-
каждая прямая содержит т + 1 точек, где число т не является сте-
степенью простого числа, обязана быть недезарговой плоскостью.
Неизвестно, существуют ли такие плоскости для т, не равного
степени простого числа. Если удастся доказать, что с точностью
до изоморфизма существует только одна конечная проективная
плоскость данного порядка т, то отсюда получится, что для т,
равного степени простого числа, проективная плоскость порядка т
обязана быть дезарговой. Это справедливо для т = 2, 3, 4, 5, 7, 8.
Для простого т известны только дезарговы плоскости. Однако
было показано, что для всех т — рп, п %¦ 2, кроме случаев т -¦ 4
и т = 8, существуют и недезарговы плоскости порядка т.
Из теоремы Паппа следует теорема Дезарга. Кроме того, если
в некоторой проективной плоскости справедлива теорема Паппа,
то кольцо, элементами которого являются координаты точек этой
плоскости, должно быть коммутативно относительно операции
умножения. Теорема Паппа справедлива в PG B, Tq) при лю-
любом q, равном степени простого числа. Теорема Паппа также спра-
справедлива и в любой конечной дезарговой плоскости.
Имеется существенное различие между свойствами плоскости
PG B, Fg) для четного q и плоскости PG B, Fg) для нечетного t/.
Это различие выражено в следующей теореме.
9.63. Теорема. Точки, образующие диагональ полного четы-
рехвершинниках) б PG B, tq), являются коллинеарными тогда
и только тогда, когда q четно.
*) Полным четырехвершишиком называется совокупность, состоящая из
четырех точек (вершин), лежащих в одной плоскости, нз которых никакие три
не лежат на одной прямой, н шести соединяющих нх прямых (сторон); его диаго-
диагональ состоит из точек пересечения несмежных, т. е. не имеющих общей вершины,
сторон. — Прим. перев.
§ 3. Конечные геометрии 623
Доказательство. Предположим, не теряя общности, что вер-
вершинами нашего четырехвершинника являются точки (I, 0, 0),
{0, 1, 0), @, 0, 1) и A, 1, 1). Шесть его сторон задаются соотноше-
соотношениями х> = 0, хх = 0, хх — х% = 0, х0 = 0, х0 — х% = 0, х0 —
— a'x = 0. В то же время диагональными точками являются точки
A, 1, 0). A» 0> 1) и Ф> 1' !)• Прямая, проходящая через первые две
точки, содержит все точки с координатами (а + b, a, b), где (а,
Ь) Ф @, 0). Нетрудно видеть, что третья точка лежит на этой пря-
\юй тогда и только тогда, когда а = 6иа + & = 0. В конечном
ноле Fg это выполняется лишь в том случае, когда характеристика
ноля равна 2. П
Иллюстрацией последнего случая может служить пример 9.55.
Пусть вершинами полного четырехвершинника являются точки С,
[), Е, G. В этом случае диагональными точками являются точки А,
F и В, которые лежат на одной прямой.
Введем теперь некоторые понятия, аналогичные известным
понятиям из аналитической геометрии. Ограничимся при этом
рассмотрением дезарговых плоскостей, координаты в которых
являются элементами конечного поля Tq.
Пусть две различные прямые заданы уравнениями
«01*0 + «11*1 + «21*2 = 0,
«02*0 + «12*1 + а%гХ% = 0.
Пусть Р — точка пересечения этих прямых. Все прямые, прохо-
проходящие через точку Р, образуют пучок, и каждая прямая из этого
||учка задается уравнением вида
(гап + saw) х0 + (raxl + san) x^ + (ran + sa2i) x% = 0,
где элементы г, s ? Fg не равны одновременно 0. Пучок содер-
содержит q + 1 прямых: две прямые, заданные уравнениями (9.7),
которые соответствуют случаям s"^= 0иг = 0, ид — 1 прямых,
соответствующих q — 1 различным значениям произведения rs'1,
где г ф 0, s Ф 0. Пусть имеется другой пучок прямых, проходя-
проходящий через точку Q Ф Р и задаваемый уравнением
(rb01 + s&02) х0 + (rbn + sbn) хг + (rb2l + sbi2) х.г = 0.
Проективное соответствие между прямыми этих пучков можно
задать следующим образом: прямая одного пучка, задаваемая
°арой (г, s), соответствует той прямой другого пучка, которая
задается той же парой параметров (г, s). Каждая пара соответ-
соответствующих друг другу прямых пересекается в единственной точке.
Исключение представляет случай, когда прямая PQ соответствует
624 Гл. 9, Приложения конечных полей ЯЁ
самой себе. Координаты точек пересечения удовлетворяют уран- *
нению
(а(Лх0 + апх1 + a2lxt)
— (атх0 + а1%хг + апхг) (Ьогхй + Ьахх -f- Ь.лх%) = О, Н> 8)
которое получается исключением параметров г us из уравнений
соответствующих пучков.
9.64. Определение. Множество точек, координаты которых
удовлетворяют уравнению (9.8), называется коникой. Если в ре-
результате установленного выше соответствия прямая PQ соответ-
соответствует сама себе, то коника называется вырожденной. В этом слу-
случае она состоит из 2q + 1 точек, которые образуют две перисс-
кающиеся прямые. Невырожденная коника состоит из q 1
точек, являющихся точками пересечения соответствующих пря-
прямых. Прямая, имеющая с коникой ровно одну общую точку, на-
называется касательной; прямая, имеющая с коникой две обшш
точки, называется секущей.
Уравнение, задающее невырожденную конику, является ква-
квадратным, поэтому прямая не может иметь с невырожденной ко-
коникой более двух общих точек. Возьмем одну точку невырождон-
ной коники и соединим ее прямыми с остальными q точками ко-
коники. Получившиеся прямые являются секущими. Так как череч
каждую точку проходит q + 1 прямых, то оставшаяся прямая
является касательной.
Таким образом, q + 1 точек невырожденной коники обла-
обладают тем свойством, что никакие три из них не лежат на одной
прямой. Можно доказать, что невырожденной коникой является
любое множество, состоящее из q -\- 1 точек проективной плос-
плоскости PG B, Fq), где q нечетно, обладающих тем свойством, что
никакие три из них не коллинеарны.
Следующая теорема, которую мы докажем только частично,
иллюстрирует разницу между свойствами коник в дезарговых
плоскостях четного и нечетного порядков.
9.65. Теорема, (i) В дезарговой плоскости нечетного поряд*
через каждую точку, не лежащую на невырожденной конике, ли
проходят две касательные к этой конике, либо не проходит ни
одной.
(и) В дезарговой плоскости четного порядка все касательные
к невырожденной конике пересекаются в одной точке.
Доказательство. Доказательство п. (и) служит примером того,
как свойства конечных полей используются в теории конечных
проективных плоскостей. Предположим, не теряя общности, что
три точки А = A, 0, 0), В = @, 1, 0) и С = @, 0, 1) являются
точками невырожденной коники, лежащей в дезарговой плоскости
§ 3. Конечные геометрии 625
четного порядка. Пусть касательные, проходящие через эти точки,
заданы соответственно уравнениями хх — к$х% = О, х2 — кгх0 =
= 0, х0 — Kxi = 0. Пусть Р — (t№, tit t2) — какая-либо другая
точка нашей коники. Ни одна из координат tt не может рав-
равняться 0, так как иначе точка Р лежала бы на одной из прямых,
проходящих через какие-нибудь две точки из множества \А, В, С\.
Последнее противоречило бы тому, что никакие три точки невырож-
невырожденной коники не лежат на одной прямой. Таким образом, пря-
прямую РА можно задать уравнением х\ — ^?Г'*2= 0, прямую
РВ уравнением х<2— ^<Г'л"о— 0, прямую PC— уравнением
л'и ~ hU xi — 0-
Рассмотрим уравнение прямой РА. Поскольку в качестве Р
мы взяли произвольную точку коники, отличную от точек А, В,
С, отношение titT1 пробегает все множество элементов поля fq,
отличных от 0 и k0. Так как
П (х — с) = х*-1 - 1, . .
го произведение всех ненулевых элементов поля Fq равняется
(--1)?. Тогда, если умножить произведение всех q — 2 возмож-
возможных значений отношения t\t^x на ko, то мы получим (—1)" = 1,
так как q четно. Таким образом.
к0 П t{t7l = 1, kx П i2t0l = 1, к> П WF1 - 1,
где произведение берется по всем точкам коники, отличным от Л,
В и С. Перемножая эти три равенства, получаем k0ktk2 = 1.
Следовательно, точки A, keklt kj), (k2, I, k^) и (k0k2, k0, 1) совпа-
совпадают. Значит, все три касательные, проходящие через точки А,
В и С, пересекаются в одной точке. А так как точки А, В и С
выбирались произвольно, то мы получаем, что любые три каса-
касательные нашей коники пересекаются в одной и той же точке. ?
Существуют интересные связи между перестановочными много-
многочленами конечных полей (см. гл. 7) и конечными проективными
плоскостями. Продемонстрируем одну из них.
^•66. Определение. Овалом в проективной плоскости PG B,
j ,,), где q четно, называется множество из q 4- 2 точек этой плос-
плоскости, никакие три из которых не лежат на одной прямой.
В качестве примера овала можно взять q + 1 точек, образую-
образующих невырожденную конику в PG B, Тя), где q четно, и добавить
к ним точку пересечения всех касательных этой коники (см. тео-
теорему 9.65 (п)). В следующей теореме указывается канонический
внд овала.
13 Зак. 243
626 Гл. 9. Приложения конечных полей
9.67. Теорема. Любой овал в проективной плоскости PG B, i ч),
где q четно и q > 2, может быть записан в виде
Л(/) = {(/(с), с, \)\c?Fq\\j\(l, О, 0), @, 1, 0)},
где f принадлежит Fq[x] и удовлетворяет следующим условиям
(i) / — перестановочный многочлен поля F такой, что
deg (J)<q и /@) = 0, /A)= 1;
(ii) для любого a ?Fq многочлен ga (х) — If (x + а) -
+ / (а) \/х является перестановочным многочленом поля Fq, при-
причем ga @) = 0.
Верно и обратное: каждое такое множество А (/) является овсычм.
Доказательство. Пусть D — овал в плоскости PG B, F.,).
Мы можем преобразовать координаты на плоскости таким обра-
образом, чтобы точки Р„ = A, 0, 0), Рг = @, 1, 0), Р2 = @, 0, 1)
и Р3 = A, 1, 1) были точками овала D. Тогда никакая другая
точка из D не лежит на прямой P0Pi- Следовательно, q точек
овала D, отличных от Ро и Р,, можно представить в виде [dlt
ci( 1), 1 <; i <^ q, где dt, ct ? Fq. Так как каждая прямая, про-
проходящая через точку Ро, содержит еще только одну точку овала D,
то Ci Ф Cj при I Ф /. Аналогично так как каждая прямая, прехо-
преходящая через точку Pt, также содержит еще только одну точку
овала D, то dt Ф dj при / Ф /. Таким образом,
\clt .,., cq\ = \du .... dq\ =F4.
И, следовательно, в силу G.1) существует перестановочный много-
многочлен f (х) поля F для которого / (pi) ----- dj, 1 <; / ^. q и deg (/) <
< q. Так как Р2, Р3 ?D, получаем, что /@) — 0, /A) - 1.
Значит, D — А (/), где / удовлетворяет условию (i).
Остается показать, что условие (ii) эквивалентно тому, что
никакие три точки из множества А (/)\{Р0, Pi} не лежат на одной
прямой. Последнее условие выполняется тогда и только тогда,
когда
/F) b 1
f(c) с 1
f(d) d 1
для всех различных Ь, с, d ? Fq. Это означает, что
[/ ф) + f (с)) ф + с) ф [/ ф) + f(d)\(b + d)-\
т. е. для любого a ?Fq выражение [/ (/) -+¦ / (а) ] (t + а)'1 при-
принимает различные значения из FJ при различных t нз поля f «¦
отличных от элемента а. Подставляя вместо / выражение х- о,
получаем, что многочлен
ga (х) = I/ (х 4- а) + f (а) Ух
§ 3. Конечные геометрии 627
задает перестановку элементов из F*. Так как deg (ga) < q — 2,
то из формулы G.1) получаем
g*(X)= S ga(c)(\-(X-Cy>-%
?f
Тогда, сравнивая коэффициенты при х"~х и применяя на послед-
последнем этапе лемму 7.3, получаем
0 = - 2 ga(c)=ga@)+ 2 ga(C) = ga@)+ 2 * =
«€F, C6F? u6FJ
= Я.@Н- 2 c = fo@).
c€F,
Отсюда следует, что ga (ж) является перестановочным многочле-
многочленом ПОЛЯ fq. ' ?
«—1
9.68. Следствие. Если f (х) = ?б{Хг', а А (/) — соответст-
i=i
вующий овал в проективной плоскости PG B, F,), <? четно и q > 2,
mo / обязательно имеет вид
(<?-2)/2
/(*)= 2 М2/-
Доказательство. Из условия (ii) теоремы 9.67 следует, что для
всех а ? Fq справедливо равенство
О = ga @) = h + &3a2 + &5a* + • ¦ • + Via*-2-
Отсюда следует, что Ъх = b3 = b& =...= &,_! = 0. D
9.69. Следствие. Множество A (xk), i < 6 < <?, является ова-
овалом в проективной плоскости PG B, Fg), где q > 2 четно, тогда
и только тогда, когда выполнены следующие условия: (i) НОД (k,
<?—!)= 1; (ii) НОД (fe — 1, q — 1) = 1; (iii) многочлен 1(х +
h l)fc + 1 ]/x является перестановочным многочленом поля fq.
Доказательство. В силу теоремы 7.8 (ii) условие (i) эквива-
эквивалентно условию (i) теоремы 9.67. Аналогично условие (ii) экви-
эквивалентно условию теоремы 9.67 для a = 0. Если a ? F#, то
ga (x) = l(x + a)* + a"]fx = a*-' [(a x + 1)* + l]/(a-«x) =
Таким образом, ga является перестановочным многочленом
поля fq тогда и только тогда, когда таковым является много-
многочлен gv Кроме того, если gt является перестановочным многочле-
13*
628 Гл. 9. Приложения конечных полей
ном поля f4, то из соотношений g1 @) ? fq, gx A) = 1 выте-
вытекает, что gx @) = 0 и, следовательно, ga @) = 0. г ,
Конструкцию, аналогичную проективной плоскости, можно
дать и в случае, когда размерность пространства больше, чем 2.
9.70, Определение. Проективным пространством нли т-прп-
странством, или проективной геометрией называется множеепзо
точек, в котором выделены некоторые подмножества точек, на-
называемые прямыми, удовлетворяющие следующим условиям:
(i) Существует единственная прямая, проходящая через лю-
любую пару несовпадающих точек.
(и) Прямая, пересекающая две прямые, являющиеся сторо-
сторонами некоторого треугольника, пересекает также и третью его
сторону.
(Hi) Каждая прямая содержит по крайней мере 3 точки.
(iv) ^-пространство определим следующим образом. 0-про-
0-пространство является точкой. Если Ао, .... Ak—точки, не лежа-
лежащие в одном (k — 1)-пространстве, то все точки, лежащие на пря-
прямых, проходящих через Ао и какую-нибудь точку (k — ^-простран-
^-пространства, заданного точками Alt ..., Ah, образуют ^-пространство.
Таким образом, прямая является 1-пространством, а все осталь-
остальные пространства определяются рекурсивно. Аксиома (iv) тре-
требует: если k < т, то не все точки рассматриваемого множеета
лежат в одном ^-пространстве.
(v) Рассматриваемое множество точек не порождает (гп — П-
пространство.
Мы будем говорить, что m-пространство имеет размерность т.
Если имеется ^-пространство, являющееся подпространством про-
проективного пространства более высокой размерности, то мы будем
называть его k-плоскостью. (т — 1)-плоскость проективного про-
пространства размерности т называется гиперплоскостью. 2-простран-
ство является проективной плоскостью в смысле определения 9.53.
Можно доказать, что в любой 2-плоскости любого проективного
пространства размерности не меньше 3 всегда справедлива тео-
теорема Дезарга (теорема 9.61). Теорема Дезарга может не выпол-
выполняться только в таких проективных плоскостях, которые нельзя
вложить в проективное пространство большей размерности.
Проективное пространство, состоящее из конечного числа то-
точек, называется конечным проективным пространством (конеч-
(конечной проективной геометрией, конечным т-пространством). По
аналогии с PG B, fq) можно построить конечное т-пространаво
PG (т, _fq). Определим точку как упорядоченный набор '*'п>
хх, ..., хт), где координаты xt лежат в Fg и не все одновременно
равняются 0. Набор вида (ах0, ах\, ..., ахт), где а ? F?, опреде-
определяет ту же самую точку, что и набор (х0, хх, ..., хт). Таким обра-
образом, PG (m, Fq) содержит (qm+l — !)/(</— 1) различных точек.
§ 3. Конечные геометрии 629
^-плоскостью в пространстве PG (m, fq) является множество
всех таких точек, координаты которых удовлетворяют системе
из т — k линейно независимых однородных линейных уравнений
«ю*о + ¦ • • + а1тхт = 0,
am-h, О*о -}••'+ ат-к, тхт — О
с коэффициентами ai;- ? Fg. С другой стороны, ^-плоскость —
это множество всех точек с координатами
(Voo ~b •••-(- ahxhlj, ..., а0хот -у . ¦ ¦ -\- ahxhm),
где элементы а,- ? ?я не все одновременно равны 0, а k + 1
заданных точек
V4X)! • ¦ • > хот)> • ¦ ¦ i (*йо> • ¦ ¦ I *йго)
линейно независимы. Последнее означает, что матрица
Х1т
0 ¦ • ¦ xhm/
имеет ранг k + 1. Число точек в А-плоскости равняется (qk+l —
—1)/(<7 — 1); прямая содержит q-\- 1 точек, а плоскость содержит
f + q + 1 точек. Нетрудно проверить, что PG (m, fg) удовлетво-
удовлетворяет всем пяти аксиомам т-пространства.
Мы знаем, что в поле F m+i любую степень первообразного
элемента а можно представить в виде многочлена от а степени
не выше т с коэффициентами из поля fq. Если
а' = атат + \- а0,
мы можем рассматривать а1' как точку пространства PG (m, fq)
с координатами (а0, ..., ат). Две степени а? и а'" задают одну и
ту же точку тогда и только тогда, когда для некоторого а ? FJ
выполняется равенство а' = аа', т. е. тогда и только тогда, когда
i = /(mod (qm+l — \)/(q — 1)).
^-плоскость S, содержащая k + 1 линейно независимых точек,
которые соответствуют степеням а'», ..., а*к, содержит все точки,
которые можно представить в виде J^arar, где элементы аг
r=Q
принадлежат fq и не все одновременно равны 0. Если положить
v — (qm+i — ц/^q— j^ то для каждого значения h = 0, 1, ...
v — 1 точки вида 2 ага'г+11 (гДе аг ? ^о и не все ат одновре-
г=0
630 Гл. 9. Приложения конечных полей
менно равны 0) тоже образуют fe-плоскость. Обозначим ^-плоскость,
соответствующую заданному значению h. через Sh. Тогда SB ¦¦
— So = S, так как av ?fq. Пусть /—наименьшее натураль-
натуральное число, для которого Sj = S. Тогда нз равенства SnJ =¦ S
для всех п ? N следует, что /делит v, т. е. что v — tj. Назовем
число/ циклом ^-плоскости S.
Если arf» определяет точку, принадлежащую fe-плоскости kS,
то этим же свойством обладают и точки, соответствующие пока-
показателям степени
d0, du + /, ..., d0 4 (t— 1) /
в силу того, что Snj = S для всех я = 0, 1, ..., t— 1, Другие
точки поверхности S можно задать с помощью степеней элемента a
со следующими показателями:
dlt dx + j, .... dt + (t-l)j,
где dfl — dfl не делится на /, если гх Ф гг. Число всех таких раз-
различных точек равно Ш = (</*+' — 1)/(</ — 1).
Если t}= (qm+l — 1)% — 1) и tu = (</*+' — \)l(q — 1) вза-
взаимно просты, то / = 1, / = v и все fe-плоскости имеют цикл :>.
Последнее выполняется в случае k — т — 1 н в случае k = 1
при условии, что т четно.
9,71. Пример. Рассмотрим проективную геометрию PG C, f -,),
которая содержит 15 точек, 35 прямых и 15 плоскостей; при этом
qm+i — 15, Используя в качестве элемента а ? Fie корень при-
примитивного многочлена х* + х + 1 ? (Fa [x], установим соответ-
соответствие между степенями элемента а и точками из PG C, F2):
а*, /С ==A,0, 1, 1)~а".
а11, ? = A, 1,0,0) - а1.
а0, М = A, 1,0, 1) ~"*7.
а1*, jV= A,1,1, 0)~а1П.
а8, О = A, 1, 1, 1) ~а1г.
Л = @,
В = @,
С= @,
D = @,
Е= @,
0,
0,
0,
1,
, 1,
0,
1,
1,
0,
о,
Плоскость
0)~
1)-
0)-
1)-
-а8,
-а2,
-ав,
- а1,
F =
а =..¦
н =
I =
J =
@, 1, 1,
@, 1, 1,
A,0,0,
A,0,0,
A,0, 1,
0)
1)
0)
1)
0)
^, alt a2gF2, (a0, alt аг)фф, 0, 0)\
совпадает с плоскостью, определяемой уравнением х3 = 0. Она
содержит точки В, D, F, H, J, L, N, и ее цикл равен 15, так же
как и цикл любой другой гиперплоскости. Плоскость
%, a2?fit (а0, аи а2)ф@, 0, 0)-
§ 4, Приложения к комбинаторике 631
совпадает с плоскостью, определяемой уравнением х0 = О, и
содержит точки А, В, С, D, E, F, G и т. д. Цикл прямой
{aoa« + aict8|ao, аг ? F2, (a0, ах)фф, 0)},
совпадающей с прямой AJK, равен 5, Обе прямые ABC и ADE
имеют цикл 15. Таким образом, указаны все 5+ 15+ 15== 35
прямых. ?
Конечной аффинной (или евклидовой) геометрией, обозначае-
обозначаемой через AG (m, F(J), называется множество ^-плоскостей (для
всех возможных k), которое остается, если из PG (т, F q) выбро-
выбросить некоторую гиперплоскость вместе со всеми ^-плоскостями,
содержащимися в этой гиперплоскости. Все выброшенные Л-пло-
скости называются бесконечно удаленными k-плоскостями. Те из
оставшихся ^-плоскостей, которые пересекаются по бесконечно
удаленной ^-плоскости, называются параллельными. Принято
выбрасывать гиперплоскость, определяемую уравнением хт — 0.
Тогда мы можем считать, что координата хт у всех точек из
AG (m, Fq) равняется 1, и рассматривать для этих точек только
остальные координаты. Так как PG (m, Fq) содержит qm~\-...
... \- ц г 1 точек, а удаленная гиперплоскость содержит qm~x + • ¦.
... 4- q + 1 точек, то AG (m, Fq) содержит qm точек.
Л-плоскость в AG (m, Fq) состоит из всех qk точек, коорди-
координаты которых удовлетворяют системе уравнений
«/о*о -г- • • • f au m_yXm_i + aim = 0, i = 1, . . ., т — k,
матрица коэффициентов которой имеет ранг т — k. В частности,
гиперплоскость задается уравнением
«о*<Н 1- вт'Л-1 + ат = 0,
в котором не все коэффициенты а0, ..., am_j равны 0. Если за-
зафиксировать коэффициенты а0, ..., ат_ъ а ат заставить пробе-
гать все множество элементов поля fq, то мы получаем пучок
параллельных гиперплоскостей.
§ 4, Приложения к комбинаторике
В этом параграфе мы опишем некоторые примеры использо-
использования конечных полей в комбинаторике.
Имеется тесная связь между конечными геометриями и так
называемыми схемами 1). Схемы, которые мы собираемся рас-
) В комбинаторной литературе термин design обычно переводят как «блок-
схема», но мы будем употреблять последний термин в качестве краткого синонима
Уравновешенной неполной блок-схемы, тем более что это не приводит к недора-
недоразумениям. — Прим. перев.
632 Гл. 9. Приложения конечных полей
сматривать, состоят из двух непустых множеств объектов и от-
отношения инцидентности между объектами, принадлежащими раз-
разным множествам. Так, например, объектами могут быть точки
и прямые, а отношение инцидентности определяет, лежит данная
точка на данной прямой или нет. Терминология, которая обычно
используется в этой области комбинаторики, берет свое начало
в статистических приложениях, точнее в теории планирования
экспериментов. Два типа объектов обычно называются элементами
и блоками. В приложениях, заложивших основы этой теории,
элементами обычно были сорта растений или удобрения. Число
элементов обычно обозначается через v, а число блоков — через Ь.
Схема, в которой каждый блок содержит одно и то же число
элементов, равное к, а каждый элемент инцидентен одному и тому
же числу блоков г, называется схемой инцидентности или так-
тактической конфигурацией. Очевидно, что
vr = bk. (9.9)
Если v = b и, следовательно, г = k, то соответствующая схема
инцидентности называется симметричной. Например, точки и
прямые проективной плоскости PG B, Fg) образуют симметрич-
симметричную схему инцидентности с v = b = q* -\- q -\~ I и г = k
= </+!. Свойство проективной плоскости, состоящее в том, что
каждая пара различных точек инцидентна единственной прямой,
приводит к следующему определению, обобщающему это свойство.
9.72. Определение. Схема инцидентности называется уравно-
уравновешенной неполной блок-схемой или (v, k, Ц-блок-схемой, если у '";
^.^ 2и каждая пара различных элементов инцидентна одному
и тому же числу блоков К. Далее для краткости будем называть
ее просто блок-схемой.
Если для любого фиксированного элемента ах подсчитать
двумя способами число всех различных пар (а2. В), где а2 Ф й\,
а В — блок, инцидентный паре {ах, аг), то мы приходим к тож-
тождеству
г (k— 1) = K(v— 1), (9.Ю)
которое должно выполняться для любой (v, k, Я)-блок-схемы.
Таким образом, из (9.9) и (9.10) следует, что параметры b и т
блок-схемы определяются значениями параметров о, k и X.
9.73. Пример. Пусть {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} — множество эле-
элементов, а подмножества {0, 1, 3}, {1, 2, 4}, {2, 3, 5}, {3, 4, 6}.
{4, 5, 0}, {5, 6, 1}, {6, 0, 2} образуют множество блоков. Отноше-
Отношение инцидентности между элементами и блоками определяется
очевидным образом. Тогда это симметричная блок-схема с о '-'
=.- ь --7, г --- k — 3 и ?. = 1. Эта схема эквивалентна плоскости
Фано из примера 9.55. В общем случае если k — 3, а к — 1. т0
§ 4. Приложения к комбинаторике 633
соответствующая блок-схема называется системой троек Штей-
Штейнера.
9.74. Пример. Блок-схему можно получить, выбирая в каче-
качестве элементов точки некоторой проективной или аффинной
геометрии, а в качестве блоков /-плоскости для некоторого фикси-
фиксированного t, 1 <; t < m, где tn — порядок соответствующей гео-
геометрии. В случае проективной геометрии PG (яг, Fq) параметры
соответствующей блок-схемы имеют вид
где прн / = 1 последнее произведение полагается равным 1.
Полученная блок-схема является симметричной, если t = т — 1,
т. е. если блоки являются гиперплоскостями проективной гео-
геометрии PG (m, fq). В случае аффинной геометрии AG (m, fq)
параметры соответствующей блок-схемы задаются формулами
nnm—t-\~i | ,—. т—t+i 1
1—. L> r==l|i—. Lt
t—l
где, как и выше, к = 1 при / = 1. В аффинном случае такая
блок-схема не может быть симметричной. ?
Схему инцидентности можно описать с помощью ее матрицы
инцидентности. Эта матрица, обозначаемая в дальнейшем через А,
имеет v строк и Ь столбцов, строки соответствуют элементам схемы,
а столбцы — блокам. Занумеруем элементы и блоки. Тогда если
1-й элемент инцидентен /-му блоку, то положим (i, /)-й элемент
матрицы А равным 1, в противном случае положим его равным 0.
Сумма элементов по каждой строке равняется г, сумма по каждому
столбцу равняется k.
Если А — матрица инцидентности (v, k, А,)-блок-схемы, то
скалярное произведение любых двух не равных между собой
строк матрицы А равняется к. Отсюда следует, что если через Лт
обозначить транспонированную матрицу А, то
к ...
к г ...
u % ...
634
Гл. 9. Приложения конечных полей
где / обозначает единичную матрицу размера уху, а / — матрин\
того же размера, все элементы которой равняются 1, Для того
чтобы найти определитель матрицы ААТ, вычтем сначала первый
столбец из всех остальных, а затем прибавим к первой строке
сумму всех остальных строк. В результате, используя (9.10).
получаем
= rk(r-
rk
к
к
0
г —
0
к
0
0
г —
к ...
0
0
0
0
О
Если v ¦= k, блок-схема становится тривиальной, так как в этом
случае каждый блок инцидентен всем у элементам. Если у > к.
то по (9.10) г > к, и тогда ранг матрицы ААГ равняется у. Ма-
Матрица А не может иметь меньший ранг. Таким образом, мы полу-
получаем соотношение
b > у.
(9.11)
Из (9.9) и (9.11) получаем также, что г ^ к.
Для симметричной (у, к, Я)-блок-схемы справедливо равен-
равенство г = k. Отсюда следует, что AJ = JA и что матрица А ком-
коммутирует с матрицей (г — к) / + %J = ААТ. Если у > k, то А —
невырожденная матрица, и потому АТА = ААТ = (г — К) I -¦
+ kJ. Отсюда следует, что любые два различных блока имеют ровна /-
общих элементов. Последнее свойство очевидным образом справед-
справедливо, если у = k.
Мы видели, что условия (9.9), (9.10), а также (9.11) являются
необходимыми для существования блок-схемы с параметрами v.
b, r, k, К, Однако эти условия не являются достаточными для су-
существования соответствующей блок-схемы. Так, например, из-
известно, что блок-схем с параметрами у = b — 43, г = k = 7
и К — 1 не существует.
Элементы и блоки симметричной (у, k, Я)-блок-схемы с к ^ 3
и Я = 1 удовлетворяют условиям, которым должны удовлетво-
удовлетворять точки и прямые конечной проективной плоскости. Верно и
обратное. Таким образом, понятия симметричной (v, k, \)-бмк-
схемы с k ^ 3 и конечной проективной плоскости эквивалентны-
Рассмотрим блок-схему из примера 9.73. Будем рассматри-
рассматривать элементы этой блок-схемы 0, 1,2, 3, 4, 5, 6 как целые числя
по модулю 7. Каждый блок этой схемы обладает тем свойством,
что разности между различными входящими в него элементами
пробегают все ненулевые вычеты по модулю 7. Это приводит
к следующему определению.
§ 4. Приложения к комбинаторике 635
9.75. Определение. Множество D = {йъ ,.., dh), состоящее из
k > 2 различных вычетов по модулю у, называется (у, к, Я)-
разностным множеством, если для любого d щк 0 (mod у) суще-
существует ровно К упорядоченных пар (dit dj), dt, dj?D, таких,
что di — dj = d (mod v).
Следующий результат устанавливает связь между разност-
разностными множествами, блок-схемами и конечными проективными
плоскостями.
9.76. Теорема. Пусть {dt, ..., dk} является (у, k, к)-разно-
стным множеством. Тогда если в качестве элементов взять все
вычеты по модулю v, а в качестве блоков—множества вида
то мы получим симметричную (у, k, %)-блок-схему с очевидным
отношением инцидентности.
Доказательство. Каждый вычет по модулю у, скажем а, встре-
встречается только в тех блоках, нижний индекс которых равен од-
одной из величин а — du ..., а — dh по модулю v. Отсюда полу-
получаем, что каждый элемент инцидентен одному и тому же числу
блоков, равному k. Каждая пара различных вычетов по модулю v,
скажем а я с, принадлежит одному блоку В% тогда и только тогда,
когда а = dt + t (mod v) и с = dj -\- t (mod v) для некоторых dt
n dj. Следовательно, a — с = dt — dj (mod v). Верно и обратное:
если пара (dt, dj) является решением последнего сравнения, то
оба элемента а я с встречаются в блоке Bt, где t = а ¦— dt (mod v).
По условию теоремы имеется ровно К различных решений вида
(dj, dj), поэтому выполнены все условия для существования сим-
симметричной (у, k, Я)-блок-схемы. ?
9.77. Следствие. Пусть {dt dh} является (v, k, \)-разно-
стным множеством с k Зг 3. Тогда вычеты по модулю v и блоки
Bt, t = 0, \, ..., v — 1, определенные в теореме 9.76, удовлетво-
удовлетворяют всем условиям, налагаемым на точки и прямые конечной
проективной плоскости порядка k — 1.
Доказательство. Сформулированное утверждение следует из
теоремы 9.76 и того, что симметричная (v, k, 1)-блок-схема с k > 3
является конечной проективной плоскостью. ?
Из теоремы 9.76 и соотношения (9.10) следует, что параметры
разностного множества у, k и % связаны тождеством k (k — 1) =
~ К (v — 1). Это тождество можно также получить непосредст-
непосредственно из определения разностного множества.
636 Гл. 9, Приложения конечных полей
9.78. Пример. Множество {0, 1, 2, 4, 5, 8, 10}, составленное
из вычетов по модулю 15, является A5, 7, 3)-разностным множе-
множеством. По теореме 9.76 блоки вида
Bt = {t, t + 1, / + 2, t + 4, / + 5, t + 8, t + 10},
/ = 0, 1, ..., 14,
образуют симметричную A5, 7, 3)-блок-схему. Ее блоки можно
отождествить с 15 плоскостями проективной геометрии PG'Vi,
F2), в то время как все 15 вычетов по модулю 15 отождествляются
с точками той же геометрии. Каждая из этих плоскостей является
плоскостью Фано PG B, Fa). Для каждого блока Bt все его пря-
прямые можно получить из прямой
U - Bt П В«_4 = \t, t+l, t + 4},
принадлежащей плоскости Bt, с помощью циклической переста-
перестановки
t ->. t + 1 -*t+2-*t-j-4-*t+.5-*t+ 10 -* f + 8 -W.
Например, прямые, лежащие в плоскости Во = {0, 1, 2, 4. 5,
10, 8}, имеют вид
{0, 1, 41, {1, 2, 51, 12, 4, 10}, {4, 5, 8}, {5, 10, 0}, {10, 8, 1;,
18, 0, 2\. ;.]
Примеры разностных множеств можно строить на основе ко-
конечных проективных геометрий. Отождествим, как и в рассужде-
рассуждении, предшествующем примеру 9.71, точки проективной геоме-
геометрии PG (m, Fg) со степенями элемента а, где а является при-
примитивным элементом поля F-m+i. причем показатели степени эле-
элемента а берутся по модулю v = (qm+l — 1)% — 1), Пусть S —
произвольная гиперплоскость в PG (m, fq). Тогда S имеет цикл i1.
и, таким образом, все гиперплоскости Sh = ahS, h = 0,, 1. ¦¦¦
..., v— 1, являются различными. А так как число всех гиперплос-
гиперплоскостей этого пространства равно у, то ими исчерпываются все ги-
гиперплоскости пространства PG (m, fq). Таким образом, приводи-
приводимый ниже список является полным списком всех гиперплоскостей
проективного пространства PG (m, fq) (в нем точки, лежащие на
соответствующей гиперплоскости, задаются соответствующим по-
показателем степени элемента а):
So: dt d% .., dh
S,: 4+1 <4+l ¦•¦4+1
Sv-i- ^ + v - 1 4 + o-l ... 4 + v - 1
§ 4, Приложения к комбинаторике 637
Здесь k — (qm — l)/(q — 1) — число точек одной гиперплоскости.
Если мы выделим те строки, которые содержат какое-то конкрет-
конкретное значение, скажем 0, то получим k гиперплоскостей, проходя-
проходящих через точку а0. Эти k строк имеют вид
dt — dx d2 — dj ... dk — dj
d% — dh d% — dh ... dh — dh
Каждая точка, отличная от а0, встречается в этих k гиперплоско-
гиперплоскостях столько раз, сколько имеется различных гиперплоскостей,
проходящих через две различные точки, а именно в к = (qm~l —
— 1)% — 1) из них. Таким образом, среди элементов, не стоящих
па диагонали, каждый ненулевой вычет по модулю v встречается
ровно % раз. Следовательно, {dlt ..., dk) является (у, k, ^-разно-
^-разностным множеством. Следующая теорема объединяет полученные
результаты.
9.79. Теорема. Точки любой гиперплоскости пространства
PG (m, Fq) образуют (v, k, К)-разностное множество с параме-
параметрами
_ дт+{ -1 . _ ят- 1 , _ д^ -1
U _ 1 * *v
9.80. Пример. Рассмотрим гиперплоскость проективного про-
пространства PG C, Fa) (см. пример 9.71), определяемую уравнением
a'i = 0. Она содержит точки А, В, С, Н, I, J, К- Эти точки можно
отождествить со степенями элемента а, причем соответствующие
показатели степени образуют A5, 7, 3)-разностное множество
{0, 2, 3, 6, 8, 13, 14). ' ?
Другим разделом комбинаторики, в котором применяется
теория конечных полей, является теория ортогональных латин-
латинских квадратов.
9.81. Определение. Таблица
L = (al}) =
называется латинским квадратом порядка п, если любая строка
н любой столбец этой таблицы содержат ровно по одному разу
каждый элемент из данного множества, содержащего п элементов.
Два латинских квадрата (а^) и (Ьц) порядка п называются орто-
гональными, если все п2 упорядоченных пар (а^, btj) различны.
638 Гл. 9. Приложения конечных полей
9.82. Теорема. Для любого натурального числа п существует
латинский квадрат порядка п.
Доказательство. Рассмотрим таблицу (а^), где atj = i
-f / (mod п), 1 <; ац <; п. Тогда из равенства atJ —- aih следует,
что i + / = i + k (mod n), т. е. / = k (mod n), откуда / = k,
так как 1 <; i, /, k -< л. Аналогично из равенства а,^ = afej- сле-
следует, что i = k. Таким образом, элементы каждой строки и каж-
каждого столбца все различны.
Ортогональные латинские квадраты впервые изучались Эйле-
Эйлером. Он выдвинул гипотезу, что не существует пары ортогональ-
ортогональных латинских квадратов порядка п, если п равно произведению 2
и нечетного числа. Эта гипотеза была опровергнута в 1959 г.
после того, как была построена пара ортогональных латинских
квадратов порядка 22.
Для некоторых значений п существует более двух взаимно
ортогональных латинских квадратов порядка п (т. е. таких ла-
латинских квадратов, каждая пара которых ортогональна). Ниже,
используя существование конечных полей порядка q, мы пока-
покажем, что если число п = q является степенью простого числа, то
существует q — 1 попарно ортогональных латинских квадратов
порядка q.
9.83. Теорема. Пусть а0 = 0, а%, а2, ..., aq_i — элементы
поля fq. Тогда таблицы вида
а0 % ... aq_x ^
(Xh(X% (Хъ(Хл —h- $1 ... dudi -f- dn -t
hi a x i x a x i q~x
aha% aha2 -f- ax ... aha% -f- aq_x
образуют множество из q — 1 попарно ортогональных латин-
латинских квадратов порядка q.
Доказательство. Каждая таблица Lk, очевидно, является лп-
тинским квадратом. Пусть a'/' = afta,_i + a;-_i есть (i, /)-й эле-
элемент латинского квадрата Lh. Если k Ф т, то предположим, что
для некоторых 1 <; i, /', g, h ^ q
(nW n(m)\ __ I (ft) (m)\ "
\aH . aii ) — \agh , Ogh )•
Тогда
+ ah-l> ^ra%-l + %-].)>
откуда
«ft («j-i — %-i) = ah-i — «i-i» «m (di-i — ag-i) = a.h-i — aJ-i-
§ 4. Приложения к комбинаторике
639
Так как ah Ф ат, получаем, что аг_х = ag_t, аА_х = а,-_х и, следо-
следовательно, i =-g,f = h. Таким образом, все упорядоченные пары
одинаково расположенных элементов в Lk и Lm являются различ-
различными, т. е, Lh и Lm ортогональны. ?
9.84. Пример. Ниже приводится множество из 4 попарно
ортогональных латинских квадратов порядка 5, построенных ме-
методом, указанным в теореме 9.83:
(О 1 2 3 4)
12 3 4 0
2 3 4 0 1
3 4 0 12
4 0 12 3
2 3 4
0
2
4
1
3
1
3
0
2
4
2
4
1
3
0
3
0
2
4
1
4
1
3
0
2
0 1
3 4 0 12
12 3 4 0
4 0 12 3
2 3 4 0 1
0 12 3 4
4 0 12 3
3 4 0 12
2 3 4 0 1
12 3 4 0
п
Следующий результат, рассматривающий случай латинских
квадратов порядка п, когда п не является степенью простого
числа, доказывается методом, аналогичным доказательству тео-
теоремы 9.83.
9.85. Теорема. Пусть qlt ..., q3
пусть
4i} = 0, а\1\
степени простых чисел, и
«2 ,
элементы поля fq. Определим s-наборы
bji — (flb , ,... ai ), где 0 -sC к <С г = min
1).
и пусть br+i, ..., bn_i, n = q1 ... qs, — все остальные s-наборы,
которые можно получить, беря в качестве i-й координаты эле-
элемент поля fqr На множестве этих s-наборов можно определить
операции покоординатного сложения и умножения. Тогда таблицы
вида
= !)•¦¦) г.
bo
bkbi
bkbi
bi
Ьфх~
Vh ...
Mi •¦•
fen-1
bkbi ~Ь ^n-i
bh.bn-i
bhb
ftyn-l
640 Гл. 9. Приложения конечных полей
образуют множество из г попарно ортогональных латинских
квадратов порядка п.
Схемы инцидентности и латинские квадраты используются
при планировании статистических экспериментов. Например,
пусть нам требуется сравнить урожайность п сортов пшеницы
на данном типе почвы. Пусть опытный участок представляет со-
собой прямоугольное поле, разбитое на п" участков. Даже если мы
будем очень тщательно выбирать опытное поле, все равно различ-
различные его участки будут отличаться по плодородию почвы. Поэтому
если засеять участки первого ряда одним сортом пшеницы, то
может оказаться, что именно первый ряд участков отличается
наиболее высоким плодородием почвы, и мы сделаем неправиль-
неправильный вывод о высокой урожайности этого сорта пшеницы. Наши
оценки будут более правильными, если засеять участки таким
образом, что один сорт пшеницы будет встречаться по одному
разу в каждом вертикальном и каждом горизонтальном рядах.
Другими словами, посев п сортов пшеницы надо провести таким
образом, чтобы получился латинский квадрат порядка п.
Часто бывает необходимо одновременно учесть и другие фак-
факторы, влияющие на урожайность. Пусть, например, мы хотим
использовать п различных видов удобрений и оценить эффектив-
эффективность их использования. Тогда мы распределим удобрения и сорта
пшеницы по п2 участкам таким образом, чтобы как размещение
удобрений, так и размещение сортов пшеницы определяли латин-
латинский квадрат порядка п и чтобы при этом каждый сорт пшеницы
и каждое удобрение «сходились» ровно на одном участке. Таким
образом, на языке комбинаторики латинские квадраты, соответ-
соответствующие размещению сортов пшеницы и размещению видов
удобрений, должны быть ортогональны. Аналогичные приме-
применения существуют и для уравновешенных неполных блок-схем.
В качестве еще одного примера применения теории конечных
полей к комбинаторике рассмотрим так называемые матрицы Ада-
мара. Эти матрицы используются в теории кодирования, в тео-
теории связи, а также в физике (в виде преобразований Адамара)
в задачах, связанных с определением веса, сопротивления, на-
напряжения и т. п.
9.86. Определение. Матрицей Адамара Нп называется (лХ«)'
матрица, элементами которой являются +1 и —1, удовлетворяю-
удовлетворяющая соотношению
HnHl = nl.
Так как Н~п = (litt) HTn, то справедливо также соотношение
#«#п = я/. Таким образом, любые,две различные строки, так же
как и любые два различных столбца матрицы #„, являются орто-
ортогональными.
§ 4. Приложения к комбинаторике
641
Адамар показал, что определитель любой действительной
(п хп)-матрицы М с элементами, по абсолютной величине ие
превосходящими 1, удовлетворяет неравенству | det М | <; пп?2.
В случае матрицы Адамара Нп мы имеем det (НпнЦ) = пп, так
что | det #„ | = пп/2, т. е. указанная верхняя граница дости-
достижима.
Одновременная смена знаков у всех элементов любой строки
или любого столбца не меняет свойств, определяющих матрицу
Адамара. Назовем матрицу Адамара Нп нормализованной, если
все элементы ее первой строки и первого столбца равны + 1.
Нетрудно показать, что порядок п матрицы Адамара (atj) может
лишь равняться 1, 2 или быть кратным 4. В самом деле, для всех
п >3
= n\
и при этом каждый член в первой сумме равен или 0, или 4. Су-
Существует, гипотеза, что для любого допустимого значения п су-
существует соответствующая матрица Адамара Нп.
9.87. Пример. Нормализованные матрицы Адамара низших
порядков имеют вид
Яа=(] _
1
1
1
1
1
—¦1
1
— 1
1
1
J
— 1
1
— 1
— 1
1
?
Приведем теперь конструктивный метод получения матриц
Адамара, использующий свойства конечных полей.
9.88. Теорема. Пусть %, ,.., ач — элементы поля
= 3 (mod 4), и пусть ц — квадратичный характер
Тогда матрица
1
bit
— 1
I,, Я =
ПОЛЯ fq.
Н
1
1
&18
1
I
bi
ьч
q3
_1
где bu = n (a} — at), 1 < i, j < q, i Ф /, является матрицей
Адамара порядка q + 1.
Доказательство. Так как все элементы матрицы Я равны ± 1,
то достаточно показать, что скалярное произведение любых
14 Зак. 243
642 Гл. 9. Приложения конечных полей
двух различных строк матрицы Н равняется 0. Скалярное произ-
произведение 1-й и (/+ 1)-й строк A <; i <; q) равно в силу E.12)
1+(-1)+2б„=2т,(^-а,)= Е Мс) = 0.
i+i i+i cgF*
Скалярное произведение (/ + 1)-й" и (k + 1)-й строк A <J i <
< k ^ q) в свою очередь равно
1 — Ьк1 - Ь(к + Е b,jbkJ =
I+t, k
= 1 - ц (at - аЛ) — tj (ак - щ) -f J3 tj (ау - а,) tj (а_, - ah) -.-.
в силу того, что г\ (—1) = —-1 для q = 3 (mod 4) (см. замечание
5.13), итого, что последняя сумма равна —1 (см. теорему 5.48). "J
Если Нп — матрица Адамара порядка п, то матрица
'#„ Н
\Нп —H
является матрицей Адамара порядка 2л. Следовательно, этим
методом можно получить матрицы Адамара порядка 2Л (q + 1),
где /i^O и число q = 3 (mod 4) является степенью простого
числа. Беря же в качестве исходной матрицу Нг из примера
9.87, можно получить матрицы Адамара порядка 2Л, h ^ 0.
§ 5. Линейные модулярные системы
Теория систем — это дисциплина, которая ставит своей целью
выработку единого абстрактного подхода и единого аппарата для
изучения поведения систем различных типов. Она представляет
собой" совокупность методов, технических приемов и алгоритм5
для решения задач, возникающих при анализе или синтезе си-
систем, при их распознавании, оптимизации и т. п. Основной ин-
интерес для специалистов по теории систем представляет математи-
математическая структура данной системы, а не ее физическая реализа-
реализация, область применения или то, какой является система — элек-
электрической, механической, экономической, биологической, хими-
химической и т. д. Для специалиста по теории систем существенным
является, линейна система или иет, является она системой с дис-
дискретным временем или с непрерывным временем, детерминирован-
детерминированной или стохастической, с дискретным или непрерывным про-
странством состояний и т. д.
Во введении к настоящей главе мы привели неформальное
описание систем. Приведем теперь строгое определение системы
§ 5, Линейные модулярные системы 643
с конечным числом состояний, которая представляет собой идеа-
идеализированную модель для большого числа физических приборов
и явлений. Идеи и методы, развиваемые для систем с конечным
числом состояний, оказываются полезными при решении разно-
разнообразных задач, появляющихся при исследовании нервной дея-
деятельности человека, анализе синтаксиса естественного языка,
конструировании вычислительных машин и т. п.
9.89. Определение. Полная детерминированная система Ж
с конечным числом состояний определяется следующими элемен-
элементами:
A) Конечным непустым множеством U — {ах, а2, ..., аА}, на-
называемым входным алфавитом системы Ж. Элемент множества U
называется входным символом.
B) Конечным непустым множеством Y = {р1( Р2> •¦•. РЛ> на-
называемым выходным алфавитом системы Ж. Элемент множества Y
называется выходным символом.
C) Конечным непустым множеством S — {аь аа, ..., аг}, на-
называемым множеством (внутренних) состояний системы Ж. Эле-
Элемент множества S называется (внутренним) состоянием системы.
D) Функцией перехода f (или функцией следующее состоя-
состояния), которая отображает множество всех упорядоченных пар
(ah a-) в множество S.
E) Функцией выхода g, которая отображает множество всех
упорядоченных пар (at, а}) в множество Y.
Систему Ж с конечным числом состояний можно рассматри-
рассматривать как некоторое устройство, вход, выход и внутреннее состоя-
состояние которого в момент времени / обозначаются соответственно
через и (t), у (t), s (t), причем эти величины определены лишь для
целых значений параметра / и принимают значения в множест-
множествах U, Y и S соответственно. Если заданы внутреннее состояние
и вход системы Ж в момент времени t, то внутреннее состояние
системы в момент t + 1 и ее выход в момент t определяются по
следующим формулам:
y(t) =g (s (/), и (/)).
Линейные модулярные системы образуют специальный класс
систем с конечным числом состояний. Для них входной и выход-
выходной алфавиты, а также множество внутренних состояний системы
наделяются структурой векторного пространства над конечным
полем Fg, а функции перехода и выхода являются линейными
Функциями. Линейные модулярные системы находят широкое
применение при управлении сетями компьютеров, для получе-
получения кодов, исправляющих ошибки, в генераторах случайных
чисел и т. д.
644 Гл. 9. Приложения конечных полей
9.90. Определение. Линейная модулярная система (ЛМС) J(
порядка п над полем fq задается следующими элементами:
A) й-мерным векторным пространством над полем fq, обозна-
обозначаемым через U и называемым пространством входов линейной
системы JC, Элементы этого пространства называются входами
и записываются в виде векторов-столбцов.
B) m-мерным векторным пространством над полем fq, обозна-
обозначаемым через Y и называемым пространством выходов линейной
системы Л. Элементы этого пространства называются выходами
и записываются в виде векторов-столбцов.
C) n-мерным векторным пространством над полем fq, обозна-
обозначаемым через S и называемым пространством (внутренних)
состояний линейной системы JC. Элементы этого пространства
называются (внутренними) состояниями системы и записываются
в виде векторов-столбцов.
D) Четырьмя характеристическими матрицами над полем fv:
С = {Clj)mXn» D = (dtj)mXk.
Матрица А называется основной характеристической матрицей
ЛМС JC.
E) Правилом, связывающим внутреннее состояние ЛМС в мо-
момент времени М- 1 и ее выход в момент времени t с внутренним
состоянием и входом ЛМС в момент времени t:
ЛМС над полем Fq может быть реализована с помощью пере-
переключательной схемы, построенной из сумматоров» усилителей и
элементов задержки (ср. с § 1 гл. 8). Нам будет удобно пользо-
пользоваться сумматорами, которые складывают более чем по два эле-
элемента поля. То есть сумматор имеет два или более вдодов
и единственный выход
У1 (t) = ut (t) + щ (t) + ... + ur (t).
Усилитель, соответствующий константе а ? Fg, имеет един-
единственный вход ых (t) € Ft и единственный выход yt (t) = a-Ut(t)-
Элемент задержки имеет единственный вход % (/) ? Fq и един-
единственный выход yt (t) = ux(t — 1). Схематически эти компоненты
изображены на рис. 9.5.
§ 5. Линейные модулярные системы
645
Сумматор
Усилитель
Элемент задержки U*{t)"
Рис. 9.5.
Опишем теперь, как можно получить схему переключатель-
переключательной сети, моделирующей работу данной ЛМС (см. рис. 9.6).
и,
Рас. 9.6.
1. Изобразить в виде прямых k входов системы, пометив их
символами иъ ..., uk, m выходов системы, пометив их симво-
символами уъ .:., ут, и п элементов задержки. Выходом i-ro элемента
задержки является st = Sj (t), а его входом является sj = Sj (t + 1).
2. Поместить сумматоры перед каждым выходом системы yt
и перед каждым элементом задержки.
646
Гл. 9, Приложения конечных полей
3. Входами сумматора, помещенного перед г-м элементом за-
задержки, являются сигналы Sj, проходящие через усилители с кон-
константами а1}, 1 <; i, / <С п, и сигналы uJt проходящие через уси-
усилители с константами btj, 1 <С / -< k.
4. Входами сумматора, соответствующего выходу системы vs.
1 ¦< t <C #i, являются сигналы Sj, проходящие через усилители
с константами cti, 1 -С / -"С л> и сигналы tij, проходящие черсч
усилители с константами dtj, 1 -<С. / <С к.
Если положить
у (t) =
5@ =
s(t f 1) =
\Uh/ \Ут
то переключательная схема, изображенная на рис. 9.6, функцио-
функционирует по законам, приведенным в определении 9.90 E).
9.91. Пример. Пусть характеристические матрицы ЛМС че>-
вертого порядка над полем F3 имеют вид
A = I л i i n > В —
С =
Тогда схема, реализующая данную ЛМС, изображена на рис. 9.7. {j
1
0
2
/0
,0
0
1
0
0
2
2
1
1
2
0
1
0
\/
1
0
Рис. 9.7.
§ 5. Линейные модулярные системы 647
Верно и обратное: любую переключательную схему, построен
ную из конечного числа сумматоров, усилителей и элементов за
держки над полем fq, можно следующим образом представить
как ЛМС над полем ?д (при условии, что каждый замкнутый кон
тур содержит по крайней мере один элемент задержки):
1. Выделить в данной переключательной схеме все элементы
задержки, все входы и выходы системы и пометить их так, как
это было сделано на рис. 9.6.
2. Проследить все пути от Sj к sj; иайти произведение констант
соответствующих всем усилителям, расположенным вдоль каж-
каждого такого пути, и сложить все полученные произведения. По-
Полученную сумму обозначить через ац.
3. Пусть через bi} обозначены аналогичные суммы, соответ-
соответствующие путям от Uj к s'i, через ctj — суммы, соответствующие
путям от Sj к yh а через d^ — суммы, соответствующие путям
ОТ Uj К уг.
Тогда данная переключательная схема является реализа-
реализацией ЛМС над полем Fg с матрицами А = (аи), В = (btJ).,
С = (ctj) и D = (dl}), элементы которых определены выше.
Состояния и выходы ЛМС зависят от начального состоя-
состояния s @) и последовательности входов u (t), t = 0, 1, ... . Эту
зависимость можно выразить явным образом.
9.92. Теорема (формула полной реакции). Если дана ЛМС
с характеристическими матрицами А, В, С, D, то
(i) 8@ = Л'8@)+ S А'-'-[ВиA), t= 1, 2, ....
(=0
(ii) y@ = Ci4's@)+ §Я(*-0м@. ' = 0, 1, ....
где
|D, если t = 0,
H^==\CA'-lB, если *>1.
Доказательство, (i) Пусть в определении 9.90E) t = 0, тогда
s(l) ;4s@) + B4@),
что доказывает (i) для t = 1. Предположим, что (i) выполняется
для некоторого t ^z- 1; тогда
= А
()+ S
т- е. (i) справедливо и для t + 1.
648 Гл. 9. Приложения конечных полей
(ii) В силу п. (i) и определения 9.90E) получаем, что
y(t)=C[ АЧ@) + ? Л'-'-'Ви(I) + Da(t) =
t
= САН @) + ? Н (t. -~ i) u (i),
где H (t— i) = СА'-'~1В для t — / > 1 и H {t — i) = D для
/ — / = 0. ¦ i
В силу теоремы 9.92 (ii) мы можем разложить выход произволь-
произвольной ЛМС на две компоненты: свободную компоненту
получаемую, когда и (/) = 0 для всех t ^> 0, и вынужденную
компоненту
У(/)вын= 2j // (< — 0 И («).
«=0
получаемую для случая s @) = 0. Если дана произвольная вход-
входная последовательность и (/), t = 0, 1, ..., и произвольное началь-
начальное состояние s @), то эти две компоненты можно определить п'>
отдельности, а затем сложить.
Оставшаяся часть этого параграфа будет посвящена изучению
поведения ЛМС в автономном случае, т. е. когда u (t) = 0 для
всех t ^> 0. Для этого нам окажутся полезными некоторые поня-
понятия из теории графов. Если дана ЛМС Ж порядка п над полем '}',,
с основной характеристической матрицей А, то графом состояний
системы Ж (или графом матрицы А) называется ориентированный
граф, имеющий qn вершин, которые поставлены во взаимно одно-
однозначное соответствие со всеми возможными внутренними состоя-
состояниями ЛМС^#. При этом вершины sx и s2 соединены дугой, иду-
идущей из Si в s2, тогда и только тогда, когда s2 = Asi. В этом слу-
случае мы говорим, что sx переходит в s2. Путем длины г в графе
состояний называется последовательность из г дуг bit b%, ..,, br
и г + 1 вершин v,, v.2< ..., vr+1, такая, что для всех i = I, 2, .... г
дуга bi направлена из вершины vt в вершину vui. Если все i'(
различны, за исключением того, что уг+1 — vx, то такой путь на-
называется циклом длины г. Если vt для любого j = 1, 2, ..., г - - 1
является единственной вершиной, переходящей в f;+i> a един-
единственной вершиной, переходящей в vx, является vr, то такой цикл
называется циклом без подходов. Так, на рис. 9.8 изображен цикл
без подходов длины 8.
§ 5. Линейные модулярные системы . 649
Рис. 9.8.
Порядок данного состояния s равняется наименьшему положи-
положительному числу t, такому, что A's = s. Таким образом, порядок s
совпадает с длиной цикла, содержащего s. Далее, пусть матрица А
невырожденна, т. е. det А Ф 0. Очевидно, что в этом случае со-
соответствующий граф состояний состоит из циклов без подходов.
Порядок характеристической матрицы А равняется наименьшему
положительному числу /, такому, что А* = /, где / — единичная
матрица размера пХп.
9.93. Лемма. Если tlt ..., th — все значения, принимаемые по-
порядками состояний некоторой ЛМС с невырожденной характери-
характеристической матрицей А, то порядок матрицы А равняется
НОК ft, ..., th).
Доказательство. Пусть t—порядок матрицы A, a f =
= НОК (tx, ..-, tk). Так как A's = s для всех s, то величина t
должна делиться на f. Кроме того, (А1' — /) s = 0 для всех s,
отсюда А1' = /. Таким образом, f ;> t и, следовательно, t = t'. П
9.94. Лемма. Пусть матрица А имеет вид
(Al °
где Ах и А2 — квадратные матрицы, а (s' 1 и [ ) — два
состояния, представленных в соответствии с разбиением ма-
матрицы А и имеющих порядки соответственно tx и t%. Тогда поря-
порядок состояния s = fSl) равняется t = НОК (h, t2).
Доказательство. Утверждение леммы непосредственно выте-
вытекает из того, что A* fSl ) = ( Sl ) тогда и только тогда, когда
^{s, = Sj и A'2s2 — s2. П
Пусть Сбудет ЛМС с невырожденной основной характеристи-
характеристической матрицей А. Тогда граф состояний системы Ж с точностью
До изоморфизма определяется формальной суммой вида
2 =; (Пъ tt) + (И2> **)-}-••'+ ("Л» ^л).
650 Гл. 9. Приложения конечных полей
где пара (nit tt) означает, что число циклов длины tt равно п,
2 называется цикловой суммой системы Ж (или матрицы А
а пара (пг, tt) называется ее цикловым членом. Предполагаете/
что цикловые члены перестановочны относительно операции
и при этом (nr, t) + («", t) = (п' + п", t).
Пусть матрица А имеет вид
А - [)
где Ai и Аг — квадратные матрицы, и пусть граф состояний, с
ответствующий матрице А%, i — 1, 2, имеет nt циклов длины /,
Таким образом, имеется mti состояний вида ( *l J порядка /
и n%t% состояний вида ( ) порядка t%. По лемме 9.94 граф со
стояний матрицы А должен содержать п1п2^/2 состояний порядк;
НОК (/i, t2) и соответственно
n^sM/HOK (h, t2) = га^НОД D, 4)
циклов длины НОК (ti, t2).
Произведение двух цикловых членов является цикловьп
членом, определяемым формулой
(tti, ti)-(n2, t2) = (Пх^НОД (tt, t2), HOK (tlt 4))-
Произведение двух цикловых сумм определяется как формаль-
формальная сумма всех возможных попарных произведений цикловы?
членов из соответствующих цикловых сумм. Другими словами
это произведение вычисляется в соответствии с законами дистрибу
тивности.
9.95. Теорема. Если
(Ai О
а цикловые суммы, соответствующие Ах и А2, обозначены чс
рез 1ц и 22, то цикловая сумма, соответствующая матрице А
равняется 2Иг-
2Игната задача — найти алгоритм для вычисления цикловоь
суммы, соответствующей ЛМС над полем fq с невырожденной
характеристической матрицей А. Для этого нам потребуются не-
некоторые понятия из теории матриц. Характеристический много
член квадратной матрицы М над полем fq определяется кал
det (xl — М). Минимальным многочленом т (х) той же матрицы М
называется нормированный многочлен минимальной степени над
§ 5. Линейные модулярные системы
651
полем Fg, такой, что т (М) = 0, где 0 — нулевая матрица. Есл;<
дан нормированный многочлен над полем fq
k-x
ап
g (x) = xk + йыг- -[-¦¦• + atx + «0,
то его сопровождающая матрица определяется как матрица видя
0 0 0 . . . 0 — а0
0 0 ... 0 —ах
0 10 , . . 0 —а.
0 0 0
—«/.-1
В этом случае многочлен g (x) является и характеристическим
и минимальным многочленом матрицы М (g (х)).
Пусть М — квадратная матрица над полем f q, a gx (x), .
•••> ёт (х) ~ ее нормированные элементарные делители. Тогда про
изведение gi (x) ...gw(x) равняется характеристическому много
члену матрицы М, и матрица М подобна матрице
0
M(gt(x))
0
о
о
о
M{gw(x))J
т. е. М — Р гМ*Р, где Р — некоторая невырожденная матрица
над полем fq. Матрица М* называется рациональной канониче-
канонической формой матрицы М, а подматрицы М (gt (x)) называются
элементарными блоками матрицы М*.
Пусть невырожденная матрица А является основной характе-
характеристической матрицей ЛМС над полем fq. Для того чтобы найти
ее цикловую сумму, матрицу А можно заменить подобной матри-
матрицей. Таким образом, вместо А можно рассматривать рациональ-
рациональную каноническую форму А* матрицы А. Применяя теорему 9.95,
по индукции получаем следующее. Пусть gt (x), ..., gw (x) — нор-
нормированные элементарные делители матрицы А, и пусть 2; —
цикловая сумма сопровождающей матрицы М (gt (x)). Тогда цик-
цикловая сумма 2 матрицы А*, а следовательно, и матрицы А оп-
определяется формулой
Пусть характеристический многочлен / (х) матрицы А пред-
представлен в виде
f(x) =
652
Гл. 9. Приложения конечных полей
где pj (х) — различные нормированные неприводимые многочлены
над полем fq. Тогда элементарные делители матрицы А имеют
вид
1, Pj (*)'»> ¦¦- Pj(x)
V*,
/= 1. 2, г,
где
/i > е& > • ¦ • > ejhi > 0. еп + «;Н + <?//,/ = е}.
Минимальный многочлен матрицы А равняется
Остается определить цикловые суммы элементарных блоков
М (gt (х)) матрицы А*, где gt (х) = р (х)е, а р (х) — некоторый
нормированный неприводимый делитель многочлена / (х). Сле-
Следующий результат позволяет решить поставленную задачу.
9.96. Теорема. Пусть р (х) — нормированный неприводимый
многочлен над полем fq, deg (р (х)) = d, и пусть th = ord (p (x)h).
Тогда цикловая сумма матрицы М (р (х)е) определяется формулой
В итоге мы получили следующий алгоритм для определения
цикловой суммы ЛМС Ж над полем fq с невырожденной основной
характеристической матрицей А:
С1. Найти элементарные делители матрицы А; пусть это бу-
будут многочлены gx (x), ..., gw (x).
С2, Пусть gi (х) = fi (x)mi, где ft (x) — нормированный не-
неприводимый многочлен над полем fq. Найти порядки /{" ¦
= ord fa (x)).
СЗ. Для i = 1, 2, ..., w и h = 1, 2, ..., mt найти порядки
4'' = ord(/j (x)h), воспользовавшись формулой 4° = t[iyph-
где р — характеристика поля fq, а сн — наименьшее целое число,
такое, что p°h > h (см. теорему 3.8),
С4. Пользуясь теоремой 9.96, найти цикловые суммы 2,-
для матриц М (gt (x)), i = 1, 2, ..., w.
С5. Тогда цикловая сумма 2 системы Ж задается формулой
9.97. Пример. Пусть основная характеристическая ма-
матрица ЛМС Ж над полем f2 имеет вид
@ 0 1 0 0
10 10 0
А =
I
0 110 0
0 0 0 0 1
0 0 0 11
Комментарии 653
В этом случае
gl (х) = х3 + х2 + х + 1 = (х + IK, h (х) = х + 1,
mi = 3,
g., (x) = х% + х + 1, /2 (ж) = ж2 + л; + 1, тг = 1.
Выполнив шаги С2 и СЗ, получаем /f11 = 1, til) = 2, t'3u = 4,
/j-1 — 3. Тогда по теореме 9.96
St= A, 1) + A, 1) + A,2) + A,4) =
= B, 1L- A,2) + A,4),
22= A, 1) + A,3)
и, следовательно,
2 = 2Х22 = [B, 1) + A, 2) + A, 4I [A, 1) + A, 3)] =
- B, 1) + A, 2) + B, 3) + A, 4) 4- A.В) + A, 12).
Таким образом, граф состояний ЛМС Ж содержит два цикла
длины 1, один цикл длины 2, два цикла длины 3 и по одному
циклу длин 4, б и 12. ?
Из шага С5 можно получить, что порядки состояний ЛМС Л
задаются формулой
нок Щ, <JJ, ....
для всех возможных комбинаций целочисленных значений пара-
параметров hlt ..., hw, 0 <; ht <; mt. Если мы хотим найти все возмож-
возможные значения порядков состояний системы .<#, не вычисляя пред-
предварительно ее цикловую сумму, то можно воспользоваться сле-
следующей теоремой.
9.98. Теорема. Пусть Ж — ЛМС с невырожденной основной
характеристической матрицей А. Пусть минимальный многочлен
матрицы А имеет каноническое разложение
m(x) = Pl(x?i... pr(xp,
и пусть 4;) = ord (pj (x)h). Тогда значения порядков состояний
системы JC — это все целые числа вида
где 0 < hj < bjt I < / < г.
Комментарии
§ 1. Теорема Шеннона, о которой говорится во введении к на-
настоящей главе, была получена в работе Shannon [1] (см. также
Shannon, Weaver [I 1). Эта работа знаменует начало теории ин-
информации как математической дисциплины. Доказательства этой
теоремы Шеннона, а также обоснования теории информации
654 Гл. 9, Приложения конечных полей
можно найти в книгах Abramson 12], Ash 11], Guia§u [1] (в по-
последней приводится подробная библиография по теории инфор-
информации), а также в монографиях МсЕНесе [6] и Wolfowitz |1].
Теория кодирования с точки зрения информации изучается в ра-
работах Balakrishnan [1], Gallager [I J, Ingels [1], Lucky, Salz
Weldon [1], McEliece [6], Slepian 14].
Первый нетривиальный пример кода, исправляющего ошибки,
над конечным полем появляется в фундаментальной работе Шен-
Шеннона (Shannon [1]). Этот код называется теперь G, 4)-кодом
Хэмминга, и его построение приписывается Хэммингу (см. Ham-
Hamming [11). Ранее в работе Friedman, Mendelsohn 11] изучались
коды длины 5 с минимальным расстоянием не меньше чем 2 над
алфавитом из 26 букв. Важный вклад в основание общей теории
линейных кодов был сделан в работах Golay [I], Hamming [I],
Muller [1], Reed 11], Slepian 11], [2], [3]. По поводу краткой
истории алгебраической теории кодирования мы отсылаем чита-
читателя к превосходному сборнику статей под редакцией Бленка
Blake [1J.
Детальное изучение алгебраической теории кодирования можно
найти в книгах Berlekamp [4], Blake, Mullin [1], Duske, Jflrgen-
sen 11 ], Lin 12], MacWilliams, Sloane [2] (последняя книга снаб-
снабжена обширной библиографией), а также в книгах МсЕПесе [6],
Peterson, Weldon [1], van Lint 11], von Ammon, Trondle [1]
if Удалов, Супруи [1]. Некоторые книги по прикладной алгебре
также содержат материал по алгебраической теории кодирова-
кодирования, см., например, книги Birkhoff, Bartee [I ], Dornhofi, Hohn
II], Lidl, Pilz [1], Lidl, Wiesenbauer [1]. Обзорами по теории
кодирования являются работы Berlekamp [8], Kautz, Levitt 11],
Sloane [1] и Добрушии [1]. Книги, вышедшие под редакцией
Берлекэмпа (Berlekamp [9]) и Манна (Mann [5]), представляют
собой интересные сборники работ по теории кодирования.
Коды Хемминга были введены в работах Golay [1 ] и Ham-
Hamming 11]. По поводу различных границ для кодов см. работы
Hamming 11] (граница Хэмминга), Plotkin 11] (граница Плот-
кина), Singleton [I J (граница Синглетона) (см. упр. 9.5), Gil-
Gilbert [1], Варшамов 11 ] (граница Гилберта—Варшамова). Тео-
Теорема 9.32 была получена в работе MacWilliams [1 ]. Приведенное
нами доказательство этой теоремы заимствовано у ван Лиита
(van Lint [I ]). Другие доказательства этой теоремы можно найти
в книгах Berlekamp [4, ch. 16], МсЕПесе [6, ch.7], а также
Chang, Wol? [1]. Аналог этого результата для нелинейных ко-
кодов приводится в работе MacWilliams, Sloane, Goethals II ).
Равенство из упр. 9.19 получено в работе Pless [1 ].
Широко изучались совершенные коды (см. упр. 9.8 и 9.9).
Помимо двух совершенных линейных кодов, приводимых в этих
Комментарии 655
пражнениях, существуют два совершенных линейных кода,
юлученных Голеем в работе Golay 11 ], а именно B3, 12)-код
над полем F2 и A1, 6)-код над полем Fs. В работе Tietavainen
|14] показано, что произвольный (линейный или нелинейный)
совершенный код CgF» нли содержит только одно кодовое
лово, или совпадает с F?, или является бинарным кодом с по-
1торением нечетной длины, или имеет те же параметры (т. е,
,,лину, число кодовых слов и минимальное расстояние), что и
здин из кодов Хэмминга или Голея (см. также Зиновьев, Леон-
Леонтьев [1 J и Tietavainen [15]). Известно, что любой код, параметры
шторого совпадают с параметрами одного из кодов Голея, сам
жвивалентен соответствующему коду Голея (см. Delsart, Goet-
ials [3], MacWilliams, Sloane 12, ch. 20]). В работах Lindstrom
1], Schonheim [2] и Васильев Ю. Л. [1] построены нелнней-
ibie совершенные коды с теми же параметрами, что и у кодов
Хэмминга. Прекрасные обзоры результатов, касающихся совер-
ленных кодов, содержатся в книгах MacWilliams, Sloane f2,
;h. 6] и в статьях van Lint [3], 14].
Взаимосвязь между теорией кодирования и комбинаторикой
пособствует развитию обеих дисциплин. Имеются многочислен-
многочисленнее примеры того, как техника, разработанная для одной из этих
областей, позволяет получать результаты, применимые в другой
области. Так, например, результат, эквивалентный границе
Хэмминга для кодов, был получен Pao (Rao С. R. [1 ]) еще за-
задолго до зарождения кодирования в связи с исследованием ком-
жнаторных схем. Много интересных результатов, связывающих
/еорию кодирования и комбинаторику, можно найти в работах
4ssmus, Mattson ll], 12], Blake [2], Cameron, van Lint II], 12),
MacWilliams, Sloane 12]. Конечные геометрии использовались
в работах Rudolph II], Lin [1 J, Delsarte P. [1 ], Sachar [1] и
ряде других для построения и анализа различных кодов. Гео-
Геометрия кодов подробным образом разбирается в монографии
Берлекэмпа (Berlekamp [4, ch. 15]) и в книге Peterson, Wel-
don [1, ch. 10].
§ 2. Циклические коды были введены в работе Prange [1].
Другими ранними работами по циклическим кодам являются
статьи Abramson A ], Green, San Soucie [1 ], Peterson, Brown [1 ],
Prange 12], Yale [1 ]. В работе Elspas, Short [1 ] изучалась связь
между циклическими кодами и каноническим разложением порож-
порождающего многочлена, а в работе Zetterberg 11] рассматривались
«приводимые циклические коды.
Связь между многочленами по модулю хп — 1 и циклическими
«одами длины п исследовалась Мак-Вильяме (MacWilliams [2]),
Питерсоном и Брауном (Peterson, Brown [I ]). Многочлены по
модулю хп — 1 также связаны с алгеброй циркулянтных матриц
656 Гл. 9. Приложения конечных полей
размера пхп (см. Karlin 11 J). Связь между линейными рекур-
рекуррентными последовательностями, регистрами сдвига и цикличе-
циклическими кодами исследовалась в работах Abramson [1J, Berlekamp
[4, ch. 5], Green, San Soucie [1], Peterson, Weldon [1, ch.<S|.
Prange [21, Yale [1], Zetterberg [1 ], Zierler 15].
Коды Боуза—Чоудхури—Хоквингема (БЧХ-коды) были вш--
дены в работах Hocquenghem И], Bose, Ray-Chaudhuri |1 1 для
бинарного случая и в работе Gorenstein, Zierler [1) для случая
произвольного конечного поля. Питерсон показал (см. Petersnii
[1J), что БЧХ-коды являются циклическими кодами. Другими ос-
основополагающими работами по БЧХ-кодам являются статьи
Bose, Ray-Chaudhuri 12] и Mattson, Solomon [1 ]. Обобщения тео-
теоремы 9.45 можно найти в работе Hartmann, Tzeng 11 ]. Результаты
о минимальном расстоянии и распределении весов в БЧХ-кодах
можно найти в работах Berlekamp 15], Goldman, KJiman, Smola
[1], MacWilliams, Sloane [2, ch. 9], Peterson 12] и Peterson,
Weldon 11, ch. 9].
Первый алгоритм для декодирования БЧХ-кодов был описан
Питерсоном в работе Peterson 11J. Другие декодирующие алго-
алгоритмы были предложены в работах Berlekamp [I], Forney |1],
Gorenstein, Zierler [1 ], Massey 12] до того, как Берлекэмп (Ber-
(Berlekamp [4]) и Месси (Massey 14]) получили свой эффективный
алгоритм (см. также § 6 гл. 8 настоящей монографии). Для слу-
случая малого числа ошибок этот результат был улучшен в работе
Chen С. L. [2]. Связь между, непрерывными дробями, алго-
алгоритмом Евклида и алгоритмом Берлекэмпа—Месси изучалась
в работах Mills [4], Reed, Scholtz, Truong, Welch [1 ], Reed,
Truong [4], Reed, Truong, Miller [3], Welch, Scholtz [1]. Алго-
Алгоритм Евклида и алгоритм Берлекэмпа—Месси могут быть также
использованы при декодировании кодов других типов (см. Goppa
[1], Helgert Ц], Mandelbaum 12], [3], Patterson N. J. [1], Ret-
ter tl], Sarwate 11], Sugiyama, Kasahara, Hirasawa, Narnekawa
[1], [2]). В работе Michelson [1J рассматривались вопросы деко-
декодирования БЧХ-кодов с помощью ЭВМ. Процедура Ченя ппаг 3
в 9.50) была описана в работе Chien [1].
Коды Рида—Соломона начали изучаться в работе Reed, So-
Solomon [1]. Дальнейшие результаты о кодах Рида—Соломона
и их декодировании можно най-ги в работах Liu, Reed, Truong 12],
MacWilliams, Sloane 12, ch. 10], Mandelbaum 11], Reed, Scholtz,.
Truong, Welch [1], Reed, Truong, Miller 13], Reed, Truong,
Welch [1 ]. В работе Blahut [1 ] приводится обзор применений дис-
дискретных преобразований Фурье при декодировании кодов Рида—
Соломона и ряда других кодов. Информацию о реверсивных кодах
(см. упр. 9.33) можно найти в книге MacWilliams, Sloane [2,
ch. 7] и в работе Massey [1]. Класс полиноминальных кодов,
включающий в себя БЧХ-коды и конечно-геометрические коды,
Комментарии ' 657
был введен в работе Kasami, Lin, Peterson [1] (см. также Del-
sarte P. [2], Gore, Cooper [1], Peterson, Weldon [1, ch. 10]).
Информацию о распределении весов в циклических кодах
можно найти в работах Baumert, McEliece И ], Berlekamp [4,
ch. 16]. Chen С. L. [1], Delsarte, Goethals A], Hartmann, Riek,
Longobardi [1], Hartmann, Tzeng, Chien [1], Helleseth, KJ0ve,
Mykkeltveit [1], MacWilliams, Seery [1], MacWilliams, Sloane
12, ch. 8], Peterson, Weldon [1, appendix D]. Подход к задаче
распределения весов, основанный на использовании гауссовых
сумм (см. Baumert, McEliece [1], McEliece [5], McEliece, Rum-
sey 11 I) приводит к получению общего неравенства для весов ко-
кодовых слов в циклических кодах (Niederreiter [8]).
§ 3. Наиболее исчерпывающий обзор но проективным гео-
геометриям над конечными полями приводится в работе Hirschfeld
15). Конечные проективные плоскости рассматриваются также
во многих книгах по проективной геометрии, таких, как напри-
например. Ваег [1], Blumenthal [11, Horadam [1], Hughes, Piper [1),
Pickert [1 ], Segre [6J, Veblen, Young [1 J. По вопросам конечных
геометрий особенно рекомендуем Albert, Sandier 11], Berman,
Fryer 11], Carmichael 14. ch. 11], Dembowski [2]. Hall 16],
18], Karteszi [1], Segre [2], Vajda [1], van Lint [2].
Плоскость Фано из примера 9.55 впервые появляется в ра-
работе Fano [1]. Отсутствие проективных плоскостей б-го порядка
вытекает из работы Tarry [1 ]. В работе Bruck, Ryser [I ] доказан
более общий результат, а именно если т = I, 2 (mod 4), то ко-
конечная проективная плоскость порядка т может существовать
только в том случае, если т можно представить в виде суммы ква-
квадратов двух целых чисел (см. также книгу Hall 18, ch. 12]).
Теорема 9.60 была получена в работе Veblen, Bussey [I ]. Свой-
Свойства коник н овалов более детально изучаются в книге Hirschfeld
15, ch. 7, 8 J; тем же можно найти доказательство теоремы 9.65 (i).
Теорема 9.67 и следствия из нее были получены в работах Segre
ll). [8] (см. также Hirschfeld 13]). Связь с перестановочными
многочленами исследуется в работе Hirschleld 12].
Для введения координат в конечной дезарговой плоскости
был использован один метод из работы Гильберта Hilbert 13].
Тех, кто интересуется задачей введения системы координат в про-
проективной плоскости, отсылаем к работам Albert, Sandier [1],
Hall 16], [8], где вводится понятие тернарного кольца. Специаль-
Специальный класс тернарных колец представляют системы Веблена—
Веддербёрна. Если умножение в системе Веблена—Веддербёрна
ассоциативно, то такая система называется почти-полём (near-
field). Каждое конечное поле является почти-полем; все конеч-
конечные почти-поля описаны в работе Zassenhaus [1]. Более подроб-
подробную информацию о почти-полях можно найти в работе Pilz [1].
Система Веблена—Веддербёрна, в которой выполняются оба за-
15 Зак. 243
658 Гл. 9, Приложения конечных полей
кона дистрибутивности, называется полу полем или неассоциа-
неассоциативным кольцом с делением (см. Albert [2]). Построение конеч-
конечных недезарговых плоскостей проводилось в работах Albert
Sandier [1], Hall 18], Hughes [1], Knuth 11 I.Neumann H [1 I,
Veblen, Wedderburn [1 ].
Конечные поля использовались в статье Crowe [I ] для построе-
построения конечных гиперболических плоскостей. Приложения конеч-
конечных геометрий к теории кодирования можно найти в работах
Assmus, Mattson [2], Berlekamp [4, ch. 15], Cameron, van Lint
[1], [2], Delsarte P. [1 ], Lin [1 ], Peterson, Weldon II, ch. 10],
Rudolph [1], Sachar [1].
§ 4. Большинство понятий, описанных в этом разделе, можно
найти в книгах по комбинаторике, см., например, Hall [8], Ry-
ser [1], Street, Wallis [1].
Определение уравновешенной неполной блок-схемы может
быть обобщено следующим образом. Схема инцидентности назы-
называется t-схемой с параметрами (v, k, Я), если v ^ к ^ t^ 1 и
каждое множество из t различных элементов инцидентно одному
и тому же числу блоков, равному Я. Тогда (v, к, Я)-блок-схема
совпадает с 2-схемой с параметрами (v, k, Я). Наиболее значитель-
значительной задачей в этой области является вопрос существования не-
нетривиальных ^-схем с t > 5 (тривиальной ^-схемой является та-
такая схема, в которой каждое множество из к различных элемен-
элементов является блоком).
Важное необходимое условие для существования симметрич-
симметричных уравновешенных неполных блок-схем было получено Бру-
Бруком, Райзером и Човлой, а именно: если симметричная (v, к, ?.)-
блок-схема существует, то
(i) если v четно, то к — Я является квадратом;
(Н) если v нечетно, то уравнение га = (к — К) хг т
+ (—1)<"-1)/2%2 имеет решение (х, у, г) в целых числах, не все
из которых равны 0.
Этот результат был доказан в работе Bruck, Ryser [ 1 ] для слу-
случая Я = 1 и в работе Chowla, Ryser [I ] в общем случае (см. также
Hall [8, ch. 10], Ryser fl, ch. 8], [31, Shrikhande [11). Другие
результаты по схемам можно найти в работах Bose R. С. [2],
Bridges, Ryser [I ], Cameron II], Cameron, van Lint [1 ], 12],
Dembowski [1 ], 12], Hanani 11 J, Hughes 12], Liineburg 11],
Ryser [2], van Lint, Ryser 11 J, Wilson [1 J, [2]. Связь между
схемами и теорией кодирования обсуждается в работах Assmus,
Mattson [1], [2], Blake [21, Cameron, van Lint 11 ], [2], Mac-
Williams, Sloane [2].
Разностные множества из теоремы 9.79 были открыты в ра-
работе Singer [1 ]. Поэтому они часто называются разностными
множествами Зингера. Прекрасные обзоры по разностным мно-
множествам содержатся в работах Baumert [I], Hall [5], [81, Mann
Комментарии 659
[31, 14], Storer [1 ]. Дальнейшие результаты можно найти в ра-
работах Вгиск 11], Evans, Mann ll], Gordon, Mills, Welch II],
Hall [7], Lehmer E. [3], MacWilliams, Mann [1], McEliece [1],
Menon [2], Turyn [1], Whiteman [12]. Приложение некоторых
разностных множеств Зингера к теории кодирования можно
найти в статье Graham, MacWilliams [I ]. Существуют интересные
связи между разностными множествами, с одной стороны, и сум-
суммами Гаусса, суммами Якоби и циклотомией, с другой стороны.
Эти связи отражены в работах Baumert [I, ch. 5], Baumert,
Fredricksen [1], Baumert, Mills, Ward [1], Berndt, Chowla [1 j,
Berndt, Evans tl], Chowla S. [4], Evans [4], [10], Hall [5], 17],
Lehmer E. [3], Mann [3], Menon [2], Muskat, Whiteman [1 J,
Storer [1], Whiteman [10], 111], Yamamoto 13].
По поводу латинских квадратов обычно ссылаются на книгу
Denes, Keedwell [1]; см. также Childs И ], Hall 18], Mann 12],
Ryser [1], Street, Wallis [1 ], Vajda 12]. Теорема 9.83 получена
в работе MacNeish [1 ] (см. также Mann [I ], 12], Ryser [1 ]). Ор-
Ортогональные латинские квадраты впервые изучались Эйлером
(Euler 11]), который выдчинул гипотезу о том, что для п = 2
(mod 4) не существует пары ортогональных латинских квадратов
порядка п. В работе Tarry [1 ] этот результат был подтвержден
для случая п = 6, однако Боуз и Шрикханд (Bose, Shrikhande [2])
опровергли гипотезу Эйлера, построив пару ортогональных ла-
латинских квадратов порядка 22. Вскоре после этого Паркер (Par-
(Parker A ]) нашел пару ортогональных латинских квадратов порядка
10. И наконец, в работе Bose, Shrikhande, Parker [11 показано,
что для любого п > 6 существует пара ортогональных латинских
квадратов порядка п. С этой тематикой связаны также работы
Bose, Shrikhande 13] и Parker [2]. В статьях Bose R. С. [1 ],
Stevens W. L. [1 ] показано, что конечная проективная плоскость
порядка п существует тогда и только тогда, когда существует мно-
множество из п — 1 попарно ортогональных латинских квадратов
порядка п. Необходимо отметить, что множество, состоящее
из взаимно ортогональных латинских квадратов порядка п,
не может содержать более п — 1 квадратов.
Вопросы применения схем инцидентности и ортогональных
латинских квадратов при планировании статистических экспери-
экспериментов обсуждаются в работах Mann 12], Raghavarao [I ], Vajda
[2]. Оригинальный подход к вопросам планирования эксперимен-
экспериментов можно найти в книге Fisher [1 ].
Матрицы Адамара исследуются во многих книгах по комби-
комбинаторике (см., например, Hall 18], van Lint [2]). При этом ис-
используются разные методы их построения (см. Baumert, Hall [I ],
Ehlich [1 ], Paley [31, Wallis, Street, Wallis [1 ]). Вопросы исполь-
использования матриц Адамара в теории кодирования изучались в ра-
работах Bose, Shrikhande [I ], Golomb, Baumert [1 ], MacWilliams,
15*
660 Гл. 9. Приложения конечных полей
Sloane [I, ch 2]. В последней книге также содержится обзор
их применения в других областях математики. Матрицы сходных
типов изучались в работах Belevitch [1], Butson [1], Delsarte,
Goethals, Seidel [1], Goethals, Seidel [1], MacWilliams [4],
Wallis, Street, Wallis [1 ].
§ 5. Прекрасными источниками сведений по системам с конеч-
конечным числом состояний (или просто конечным автоматам) и линей-
линейным модулярным системам являются книги Arbib, Falb, Kalman
II], Booth 11], Dornhoff, Hohn A, ch, 1, 8], Gill [1], [2], Har-
Harrison [1 ], Zadeh, Desoer [1 ], Zadeh, Polak [1, ch. 2]. В последней
книге содержится много ссылок на работы по линейным модуляр-
модулярным системам. Некоторые классические работы по данной тема-
тематике собраны в сборнике под редакцией Каутца (Kautz [1])
(см. также Crowell [1], Elspas [1], Friedland [1], Huffman [1]).
Условия, при которых конечный автомат можно реализовать в виде
линейной модулярной системы, изучались в работах Eichner 11 ]
и Hartfiel, Maxson [1], а также в ряде других работ. В статье
Matluk, Gill [I ] показано, как линейную модулярную систему
над кольцом Z/(tn) можно разложить на линейные модулярные
системы над конечными полями. Линейные модулярные системы
над кольцами 7,1 (т) изучались также в работе Bollrnan 12].
Калман (Kalman [1 ], [2]) изучал линейные модулярные системы
с точки зрения динамических систем. За детальным обсуждением
свойств рациональных канонических форм матриц отсылаем к ра-
работам Dornhoff, Hohn U, ch.7] и Herstein [4, ch. 6 J.
Кратко упомянем некоторые другие приложения конечных
полей. На арифметике конечных полей может быть основан тео-
теоретический анализ переключательных цепей (см. Green, Taylor
11], [3], Moisil llj—14], Moisil, Popovici [1], Murakami, Reed
[1], Rudeanu [1], Vaida [1]). Конечные поля используются при
вычислении переключательных функций (см. Benjauthrit, Reed)
И], [2], Davio, Deschamps, Thayse [1], Labunec, Sitnikov [1],
Pradhan [1 ], Takahashi [1 ], Thayse [1 ], Yin [1 ]) и общих логиче-
логических функций (см. Karpovsky [1]). Мендельсон (Mendelsohn 12])
использовал конечные поля для моделирования квазигрупповых
тождеств. Свойства конечных полей находят разнообразные при-
применения в криптографии (см. Beker, Piper [1], [2], Brawley,
Levine [1 ], Cooper [1 ], Diffie, Hellman [1 ], Hartwig, Levine [1 ].
Herlestam, Johannesson II], Hershey 111, Konheim [1], Kris-
hnamurthy, Ramachandran [1], Levine, Brawley 11], 12], Levine,
Hartwig [1.], Pohlig, Hellman [1 ], Sloane [2]). В статье Redinbo
[1] изучались приложения конечных полей к исследованию ма-
матричных процессоров, в работе Nicholson [1 ] они применялись
при вычислении конечных преобразований Фурье, а в работе
English [1 ] свойства конечных полей применялись к анализу
алгоритмов.
Упражнения 661
(В работах Tsfasman, Vladuts, Zink II*], Цфасман [1*] и
Влэдуц, Кацман, Цфасман [1*], основанных на идее работы
Гоппы [2 ] и оценках рациональных точек на кривых большого
рода над конечным полем (см. Манин [5], Шага [1 ]), были полу-
получены новые результаты, относящиеся к теории кодирования.
В работах Шпарлинского [2* ], [5* ] предложен один комбина-
комбинаторный метод, который применяется к некоторым задачам теории
кодирования.
По тематике девятой главы имеются также работы: de Vroedt
|1*J, Helleseth [I*], Lidl, Niederreiter |1*], Oberst, Dur 11*],
Tappe [1*J, Варшамов, Тененгольц [1*J, Вишневский [1*],
[2*], Гоппа [1*], [2*], Думер, Зиновьев [1*] и Сидельников
|1*], [2*]. — Перев.]
Упражнения
9.1. Найти все кодовые слова, определить минимальное расстояние и найти
проверочную матрицу бинарного линейного E,3)-кода, задаваемого порожда-
порождающей матрицей
/О 1 0 0 1\
G= 0 0 1 0 1 .
\1 0 0 1 1/
9.2. Доказать, что линейный код может обнаруживать s или меньшее число
ошибок тогда и только тогда, когда его минимальное расстояние d ^ s + 1.
9.3. Доказать, что расстояние Хэмминга является метрикой в простран-
пространстве Fnq.
9.4. Пусть Н — проверочная матрица некоторого линейного кода. До-
Доказать, что код имеет минимальное расстояние d тогда и только тогда, когда
любые d — 1 столбцов матрицы Н линейно независимы и при этом имеется d
лииейио зависимых столбцов.
9.5. Доказать, что если линейный (я, й)-код имеет минимальное расстояние d,
то и — k + I > d (граница Синглетона).
9.в. Пусть Gt — порождающая матрица линейного (nlf й)-кода с минималь-
минимальным расстоянием dx, a G2 — порождающая матрица линейного (я2, й)-кода с ми-
минимальным расстоянием d2. Показать, что линейные коды с порождающими
матрицами
(Gl
являются (щ + п2, 2й)-кодом н (ях + п2, й)-кодом с минимальными расстояни-
расстояниями min (dx, d2) и d > dt + dt соответственно.
9.7. Пусть даны натуральные числа k и d. Доказать, что если бинарный
линейный (я, й)-код имеет минимальное расстояние d = do, то
п > 4 + dt + ... + dft.x,
где di+1 = l(dt + 1)/2J, i: — 0, I k — 2. Здесь L*J обозначает наибольшее
целое число, не превосходящее х.
9.8. Код CEFJ называется совершенным, если для некоторого целого
числа t шары Bt (с) радиуса / с центром в кодовых словах с попарно не пере-
пересекаются и «заполняют» все пространство Wn4, т. е.
U t У ' ~~ ¦ д*
662 Гл. 9. Приложения конечных полей
Доказать, что в бинарном случае коды Хэмминга и коды с повторением нечетной
длины являются совершенными кодами.
9.9. Пользуясь определением из упр. 9.8, показать, что все коды Хэммин:.!
над полем Pq являются совершенными.
9.10. Два линейных (я, ?)-кода Сг и С3 над полем Тq называются эквива-
эквивалентными, если кодовые слова кода Сг можно получить из кодовых слов кода ','_.
с помощью некоторой фиксированной перестановки координат в словах из кода 6V
Пусть G — порождающая матрица линейного кода С. Показать, что любая пере-
перестановка строк матрицы G или любая перестановка столбцов этой матрицы при-
приводит к порождающей матрице некоторого линейного кода, эквивалентного
коду С.
9.11. Используя определение эквивалентности кодов из упр. 9.10, по-
показать, что бинарные линейные коды с. порождающими матрицами
являются эквивалентными.
9.12. Пусть С — линейный (л, ?)-код. Доказать, что размерность С равна
1L
9.13. Доказать, что для любого линейного кода С выполняется соотношение
= С.
9.14. Доказать, что для любых линейных кодов С1 и С2 иад полем Pq,
имеющих одинаковую длину, справедливо соотношение (С( + С2)^ = C^-f]C^ .
9.15. Пусть С — бинарный (я, 1)-код с повторением. Доказать, что код С '"
является (я, я — 1)-кодом с проверкой на четность.
9.16. Найти порождающую матрицу и все кодовые слова G,3)-кода, дуаль-
дуального к бинарному коду Хэмминга С3.
9.17. Определить дуальный код С1 для кода, определенного в упр. 9Л.
Получить таблицу смежных классов пространства F| по модулю Сх, найти лиде-
лидеров смежных классов и соответствующие синдромы. Если полученное слово
имеет вид у = 01001, то какой вид должно, по всей вероятности, было имиь
переданное сообщение?
9.18. Применяя теорему 9.32 к бинарному линейному коду С = {000, 01.1.
101, 110}, найти его дуальный код и нумераторы весов, а также проверить то-
тождество Мак-Вильяме.
9.19. Пусть С — бинарный линейный (л, &)-код с нумератором весов
п
А (х, у) = J] Л|*У-',
(=0
и пусть
А1 (х, у) = JJ Ai-x'y"-'
1=0
— нумератор дуального кода С1, Показать, что для г = 0, 1, ... справедливо
следующее равенство:
j=0 ( = 0 t=0
Упражнения 663
где
/=0
— числа Стирлинга второго рода, а биномиальный коэффициент (и) полагается
равным 0 для h > т и h < 0. Выписать в явном виде полученные тождества для
г = 0, 1,2.
9.20. Пусть п = (qm — 0/(<7 — ')> а Р — примитивный корень n-й степени
из единицы в поле F т, т. > 2. Доказать, что нуль-пространство матрицы
н = A р р2... р"-1)
является кодом над полем Fg с минимальным расстоянием d ^ 3 тогда и только
тогда, когда НОД (т., q — 1) = 1.
9.21. Пусть а — примитивный элемент поля F» с минимальным многочле-
многочленом х2 — х — 1 над полем F3. Найти порождающий многочлен БЧХ-кода иад
полем F3 длины 8 и размерности 4. Определить минимальное расстояние этого
кода.
9.22. Найти порождающий многочлен БЧХ-кода над полем Fa размерно-
размерности 12 с конструктивным расстоянием 5.
9.23. Определить размерность БЧХ-кода над полем F3, исправляющего
5 ошибок и имеющего длину 80.
9.24. Используя примитивный элемент а ? Fu с минимальным многочле-
многочленом а4 = a3 -f l, найти порождающий многочлен бинарного БЧХ-кода длины 15,
исправляющего 3 ошибки.
9.25. Найти порождающий многочлен g (x) для бинарного C1,31 —
— deg ? (х))-БЧХ-кода с конструктивным расстоянием d = 9.
9.26. Пусть т ч t — натуральные числа. Показать, что существует бинар-
бинарный БЧХ-код длины 2т — 1, который исправляет все комбинации по t или менее
ошибок, используя прн этом не более чем mt контрольных символов.
9.27. Описать A5, 13)-код Рида — Соломона над полем Flt, определив его
порождающий многочлен и число ошибок, которое этот код может исправлять.
9.28. Доказать, что минимальное расстояние кода Рида — Соломона с по-
порождающим многочленом
d—x
.*(*)= П (ж-о')
равно d.
9.29. Определить, является ли БЧХ-кодом код, дуальный произвольному
БЧХ-коду. Аналогично является ли кодом Рида—Соломона код, дуальный
произвольному коду Рида —¦ Соломона?
9.30. В примере 9.43 найти локаторы ошибок, зная, что синдром получен-
полученного вектора равен A0010110)т. Найти порождающую матрицу этого кода.
9.31. Пусть бинарный БЧХ-код, исправляющий 2 ошибки, имеет длину 31
и задается корнем а^ииогочлена xs -f х2 + I над полем Тзг. Пусть синдром полу-
полученного слова имеет внд A110011101)т. Найти многочлен ошибок.
9.32. Пусть а—примитивный элемент поля Fie. с4 = « + 1, и пусть
g (х) = х10 + х8 + х6 + х4 + х2 + х + 1 — порождающий многочлен бинарного
A5,5)-БЧХ-кода. Пусть получено слово v = 000101100100011. Определить пере-
переданное кодовое слово и сообщение, которое было закодировано.
9.33. Код С называется реверсивным, если из того, что (а„, alt ,.,, an_i) 6 С,
следует, что и (an_i о,, а„) 6 С.
664 Гл. 9, Приложения конечных полей
(a) Доказать, что циклический код С = (g (х)) является реверсивным тогда
и только тогда, когда обратная величина к любому корню многочлена g (х) также
является корнем многочлена g(x).
(b) Доказать, что произвольный циклический код над полем Wq является
реверсивным, если — I совпадает с некоторой степенью числа q по моду-
модулю п.
9.34. Пусть дан циклический (п, ?)-код, и пусть линейный (п — т, к —
— т)-код получен из него в результате вычеркивания т последних строк и т
последних столбцов в порождающей матрице этого кода, приведенной перед
теоремой 9.36, Показать, что получающийся при этом код, вообще говоря, не
является циклическим, но имеет минимальное расстояние, не меньшее, чем мини-
минимальное расстояние исходного кода. (Замечание. Такой (п — т, к — т)-код
называется укороченным циклическим тдом.)
9.35. Перечислить все точки и прямые в PG B, Ря). Нарисовать диаграмму
всех пересечений. Перечислить все точки прямой iM и указать семейства парал-,
дельных прямых в AG B, Fa)-
9.36. В PG B, F4) рассмотрим четырехвершишшк А — A, 1, 1 + р), В =
= @, 1, Р), С = A, 1, Р), D — A, 1 + Р, Р), где Р — примитивный элемент
поля F4, Найти диагональные точки этого четырех вершинника и проверить,
что они коллинеарны.
9.37. Доказать, что в PG B, F4) найдутся шесть точек, никакие три из
которых не лежат на одной прямой. Четыре из них совпадают с точками А, В, С
и D из упр. 9.36. Найти оставшиеся две точки.
9.38. Найти уравнение коники, которая образована точками А, В, С, D
из упр. 9.36 и точкой Е = A, 1 + Р, 1 4- Р). Определить касательные к этой
конике и найти точку нх пересечения.
9.39. Показать, что не все касательные к невырожденной конике в проек
тивном пространстве PG B, F5) пересекаются в одной точке.
9.40. Доказать, что если L — множество таких точек пространства PG B, F?).
что каждая прямая из PG B, Fq) содержит точку множества L, то | L | ^ q + 1,
причем равенство достигается тогда и только тогда, когда L является прямой
нашего пространства.
9.41. Доказать, что среди любых т+ 3 точек конечной проективной пло-
плоскости порядка т найдутся три коллинеарные точки. (Замечание, Тем самым
будет показано, что овал в пространстве PG B, F<j) при нечетном q содержит
максимальное число точек, обладающих тем свойством, что никакие три из иих
не лежат на одной прямой.)
9.42. Показать, что если в проективном пространстве PG B, Fq), где q
четно, у двух овалов более половины точек общие, то этн овалы совпадают.
9.43. Пусть q четно. Невырожденная коника в PG B, F<?) вместе с точкой
пересечения всех касательных к этой конике называется регулярным овалом.
Показать, что если q = 2 нли q -.-. 4, то любой овал в PG B, Гя) является регу-
регулярным.
9.44. Пусть q = 2h и 1 sg n < h. Доказать, что множество А (х-п) (см.
теорему 9.67) является овалом в PG B, Та) тогда и только тогда, когда НОД (п,
А)=1.
9.45. Пусть q = 2h, h > 1, рассмотрим PG B, f q) Показать, что
(a) если deg(f) = 2, то A (f) является овалом тогда и только тогда, когда
А (/) = А (х2);
(b) если deg(f) — 4, то А (/) является овалом тогда и только тогда, когда ft
нечетно и A (f) — А (х*).
9.46. Пусть А (/) такое же, как и в теореме 9.67, Тогда А (/) называется
трансляционным талом, если оно является овалом, а многочлен / индуцирует
эндоморфизм аддитивной группы поля IF,. Доказать, что А (/) является трансля-
трансляционным овалом тогда и только тогда, когда выполняются следующие условия:
(a) f (а + Ь) = / (а) + [ (Ь) для всех a, b g Ft,:
Упражнения 665
(b) / является перестановочным многочленом поля fq, deg (/) < <? и /A) =
1;
(c) / (х) х является перестановочным многочленом поля f,, со свободным
членом, равным 0. Доказать также, что если deg (/) < q, то / удовлетворяет
условию (а) тогда и только тогда, когда он является р-многочленом, где р —
характеристика поля Fg-
9.47. Пусть q = 2 и 1 ^ п <С h. Доказать, что А (х-п) является трансля-
трансляционным овалом В" PG B, Fq), если НОД («, А) = 1.
9.48. Определить число точек, прямых, плоскостей и гиперплоскостей
в пространстве PG D, (Fa). Сколько плоскостей проходит через данную прямую?
9.49. В PG D, Fa) найти все 3-пространства, проходящие через плоскость,
определяемую точками A, 0, 0, 0, 0), @, 0, 1, 0, 0) н @, 0, 0, 0, 1).
9.50. Показать, что число ^-плоскостей проективного пространства
PG (т, Fq), 1 ^ к < т, или, что то же самое, содержащихся в т-плоскостях
некоторой проективной геометрии более высокой размерности над полем fq,
равно
9.51. Показать, что система блоков
{1,2,3}, {1,4,7}, {1,5,9}, {1,6,8}, {4,5,6}, [2,5,8},
{2, 6, 7}, {2, 4, 9}, {7, 8, 9}, {3, 6, 9}, {3, 4, 8}, {3, 5, 7},
образует блок-схему и определить параметры у, b, r, k и Я этой блок-схемы.
9.52. Решить следующий частный случай задачи Киркмана о школьницах.
Учительница каждый день выводит на прогулку 9 девочек, построив их в три
ряда по три человека в каждом. Найти способ организовать прогулки таким
образом, чтобы в течение четырех дней подряд ни одна из девочек не встречалась
в одной тройке ни с одной своей одноклассницей более чем 1 раз.
9.53. Пусть в школе, где учится b мальчиков, имеется t спортивных команд
по к человек в каждой команде. Пусть команды организованы таким образом,
что каждый мальчик входит в одинаковое число команд и каждая пара мальчиков
тоже входит в одинаковое число команд. В какое число команд может при этом
входить один мальчик и сколько раз два мальчика могут входить в одну команду?
9.54. Доказать, что если у четно, то для симметричной (и, к, А.)-блок-схемы
величина k — к является квадратом.
9.55. Проверить, что {0, 1, 2, 3, 5, 7, 12, 13, 16) является разностным мно-
множеством по модулю 19. Определить соответствующие параметры у, к и Я.
9.56. Показать, что {0, 4, 5, 7} является разностным множеством по мо-
дулю 13, а связанная с этим разностным множеством проективная геометрия
совпадает с РП B, F3),
9.57. Доказать следующее обобщение теоремы 9.76. Пусть
№i dih], i = 1 s,
— система (у, k, Я)-разностных множеств.Тогда если все вычеты по модулю у
принять за элементы блок-схемы, то vs блоков вида
{dtl + t, ...,dlh+ /}, t = 0, 1, ,..,y — 1, i--l,...,s,
образуют (и, к, Ь)-блок-схему.
9.58. Пусть L(k) = Dр), где a\f = i + jk (mod 9), 0 ^ a(.*' < 9, 1 <
^ i, / ^ 9. Какие из матриц L(*!, k = 1,2, ..., 8, являются латинскими квадра-
квадратами? Являются лн Lt2' и L15' ортогональными?
9.59. Латинский квадрат порядка п называется нормализованным, если его
первый столбец и его первая строка представляют собой упорядоченное мно-
666 Гл, 9. Приложения конечных полей
Жество {1, 2, ..,, п). Сколько существует различных нормализованных латинских
квадратов порядка п для каждого я ^ 4?
9.60. Пусть L —латинский квадрат порядка т, образованный элементами
{1,2, ..., т}, а М — латинский квадрат порядка я, образованный элементами
{1, 2, .,., я}, С помощью L и М построить латинский квадрат порядка тп с эле-
элементами из множества {1, 2, ..,, т] X {1, 2, ..., «},
9.61. Построить три попарно ортогональных латинских квадрата порядка 4.
9.62. Доказать, что если п ^ 2, то существует не более чем п — 1 попарно
ортогональных латинских квадратов порядка п.
9.63. Магический квадрат порядка п образуется целыми числами от 1 до пг,
записанными в виде матрицы размера п X п таким образом, что сумма элементов
по любой строке, любому столбцу и по обеим диагоналям равняется одному
и тому же числу. Пусть А = (а;;) и В = (й,-у) — два ортогональных латинских
квадрата порядка «, образованные числами {0, 1, .... п -- 1}, Пусть при этом
сумма элементов, стоящих по каждой из диагоналей матриц А или В, равняется
п (п. — 1)/2. Показать, что М = (««i/ ~h 6j/ + 1) является магическим квадратом
порядка п. Построить магический квадрат порядка 4, используя два ортогональ-
ортогональных латинских квадрата, полученных в упр. 9.61,
9.64. Найти матрицы Адамара порядков 8 и 12.
9.65. Показать, что если Нт и Нп — матрицы Адамара, то существует ма-
матрица Адамара Нтп.
9.66. Показать, что из нормализованной матрицы Адамара порядка 4^,
t^2, можно построить симметричную D^— I, 2i— 1, t— 1)-блок-схему.
9.67. Доказать, что граф состояний ЛМС над полем F? с невырожденной
основной характеристической матрицей представляет собой цикл без подходов.
9.68. Показать, что графы состояний, соответствующие подобным основным
характеристическим матрицам над полем (F'q, являются изоморфными. (Замечание.
Две матрицы А и В над полем fq называются подобными, если существует не-
невырожденная матрица Р над полем F^. такая, что В = РАР~1.)
9.69. Пусть основная характеристическая матрица А ЛМС Ж над полем Fj
имеет минимальный многочлен вида (х + IN (ж8 + х + IK. Какие порядки могут
иметь внутренние состояния ЛМС Jtf
9.70. Найти порядки всех внутренних состояний ЛМС Л из примера 9.97.
9.71. Пусть основная характеристическая матрица А ЛМС Л над полем Fq
обладает тем свойством, что ее минимальный многочлен совпадает с ее характери-
характеристическим многочленом. Пусть минимальный многочлен матрицы А имеет вид
р (х)е, где р (х) — нормированный неприводимый многочлен над полем F?,
deg (р (х)) = d. He пользуясь теоремой 9.96, доказать, что цикловая сумма
ЛМС Ж задается формулой, приведенной в этой теореме,
9.72. Найти цикловую сумму ЛМС М над полем F3, определенной в при-
примере 9.91.
9.73. Доказать теорему 9.98.
Глава 10
Таблицы
В этой главе собраны некоторые таблицы, облегчающие вы-
вычисления в конечных полях, а также таблицы неприводимых
и примитивных многочленов над конечными полями. Описание
этих таблиц приводится соответственно в § 1 и 2.
§ 1. Вычисления в конечных полях
Операции умножения и деления ненулевых элементов поля Fg
можно выполнять, пользуясь аналогом понятия логарифма. При
этом вместо термина «логарифм» нам будет предпочтительнее
пользоваться термином «индекс». Если Ь — примитивный элемент
поля Fq. то для любого элемента а ? f*q существует единствен-
единственное целое число г, 0 <; г < q — 1, такое, что а = Ь''. Это число г
называется индексом элемента а (по основанию Ь) и обозначается
через ind6 (а) (или просто ind (а), если элемент Ъ фиксирован).
Индекс как функция (будем называть ее индексной функцией)
удовлетворяет следующим основным условиям:
ind (ас) = ind (a) + ind (с) (mod (q — 1)),
ind (ac~l) = ind (а) — ind (с) (mod (q — 1)).
Функция, обратная к индексной функции и соответствующая
взятию антилогарифма, называется экспоненциальной функцией
и обозначается через ехр6 или просто ехр. При этом выполняются
соотношения
ехр (г) = Ьт, ехр (ind (а)) = а, ind (ехр (г)) = г.
Имея таблицу функций ind и ехр для поля Fg, можно легко вы-
выполнять все четыре действия в поле Fg — сложение, вычитание,
умножение и деление. Для выполнения сложения и вычитания
в поле Fg это поле удобно рассматривать как векторное простран-
пространство над его простым подполем FP; для выполнения умножения
н деления в поле F, используются свойства функции ind, а та-
таблица функций ехр и ind позволяет переходить от одних обозначе-
обозначений к другим. В табл. А приводится полный список ненулевых
элементов и соответствующих им индексов для всех конечных
полей Fg, где q — составное число, не превосходящее 128. В ко-
668 Гл. 10. Таблицы
лонке, соответствующей значениям функции ехр, скобки и запя-
запятые, обычно используемые для записи вектора, соответствующего
заданному элементу
а = (аь .... ап) = а1Ь" + a2bn~2 + ... + ап, 0 < at <р,
поля fq, где q = pn, будут опускаться.
10.1. Пример. В качестве примера использования таблицы А
вычислим в поле р9 выражение
[(b + 1)+ Bb + 2)b](b + 2)-1 + Ь.
Используя ту часть табл. А, которая соответствует полю FB,
получаем
ind {Bb + 2) b) = ind Bb + 2) + ind (b) = 3 + 1 =
= 4 (mod 8),
B6 + 2) b = exp D) = 2.
Тогда (b + 1) + Bb + 2) 6 = b и
ind ([F + 1) + Bft + 2) b] (b + 2)-1) = ind (b) — ind F + 2) -
= 1 — 6 = 3 (mod 8),
[(b + 1) + Bb + 2) 6] (b + 2) = exp C) = 2fe + 2.
Таким образом, исходное выражение равно Bb + 2) -г b
о
Таблица В предоставляет другую возможность для выполнения
арифметических операций в конечных полях. Первые две ее ко-
колонки представляют собой таблицы логарифмов Якоби L (п) для
полей Fjfe, где 2 <; k <; 6 (определение логарифма Якоби см.
в упр. 2.8). Символ п -*¦ s здесь означает, что L (п) = s (относи-
(относительно некоторого фиксированного примитивного элемента Ь).
В случае когда характеристика поля равна 2, величина L @)
является неопределенной. Перемножение элементов Ьп произ-
производится обычным образом, т. е. bm-bn = bm+n сложение же их
производится по правилу
l)m J^ fon _ fom+L (n—m)
(указанному в упр. 2.8). Символ +, расположенный перед вели-
величиной п, здесь указывает на то, что элемент Ьп является при-
примитивным.
10.2. Пример. Используя табл. В, вычислим выражение
. фв _|_ ь%ъ _|_ bMj (! + bmyi + bm
в поле FM. Получаем: Ь6 + Ь2Ь = №+L A9> = Ью и fe40 + bu
= fc40+?D) = fe72 Так как 1 + ЬГо = 6iC5) = ft3lf T0
§ 1. Вычисления в конечных полнх 669
Далее, поскольку и аргумент функции L, и показатель степени
элемента Ь рассматриваются по модулю 63, то
?41 _|_ ?28 _. ?41+? (-13) __ ?4t+i E0) _ ?101 _ ?38>
что и является искомым результатом. Заметим, что полученный
элемент Ьш является примитивным элементом поля Fet- ?
В остальной части табл. В приводятся сведения о минимальных
и характеристических многочленах, а также о дуальных базисах.
Рассмотрим в качестве примера две следующие строки из таблицы
для поля Гв4 наД полем F2:
+ 20 -+• 26 [100001 ] 26 6 49 29 9 46 : 19
21 -*42 [101011] [11]
Символ laia2 ... ат] означает, что многочлен вида хт -г а1хт~{ +
-•• а2хт~2 + ... + ат является характеристическим многочленом
данного элемента относительно данного расширения поля. Так,
х6 + хь + 1 является характеристическим многочленом элемента
bi0 € Рв4 НЗД полем Рг> а *® + хь + х3 + х + 1 — характери-
характеристическим многочленом элемента Ьп ? Fei над F2. Если Ьп яв-
является образующим элементом данного расширения поля, то
множество чисел, расположенных между характеристическим
многочленом и двоеточием, описывает дуальный базис к поли-
полиномиальному базису, определяемому элементом Ьп. Если же
элемент Ь" не является образующим элементом расширения, то
в квадратных скобках приводится минимальный многочлен эле-
элемента Ь" относительно данного расширения (многочлен задается
описанным выше символическим способом). Например, Ьш яв-
является образующим элементом поля F64 над Fa. Тогда дуальным
базисом к полиномиальному базису {1, b20, bM, bm, bm, b100}
поляг F64 над F2 служит базис {Ьт, Ь\ bM,bw, be, bm). С другой
стороны, Ьи не является образующим элементом поля fM над Fa-
Минимальным многочленом элемента Ъ%х над полем F2 будет
х1 + х + 1; таким образом, Ьи ? F4- Если Ьп — не только обра-
образующий элемент данного расширения, но, кроме того, определяет
и некоторый нормальный базис этого расширения, то число, сто-
стоящее после двоеточия, указывает элемент, определяющий дуаль-
дуальный нормальный базис. Например, элемент Ь20 определяет нор-
нормальный базис
{Ь%\ (fe20J, (fe20L, (b20)8, (ft20)", (b20K2}
поля рв1 над полем Fa. a ег0 дуальный базис имеет вид
{bx\ (fe19J, {blbf, (bwf, (fe19I6, (fc19K2}.
Элементы подполей данного расширения (кроме подполя Рг)
обозначаются в табл. В заглавными буквами, значения которых
670 Гл. 10. Таблицы
выясняются при рассмотрении соответствующих минимальных
многочленов. Так, например, в таблице для поля Fe4 буквой X
обозначен элемент Ь'11 ? fA, а буквой D — элемент bm ? fh
§ 2. Таблицы непроводимых многочленов
В табл. С приводятся все нормированные неприводимые мнош-
члены степени п над простыми полями fp для малых значении
параметров п и р, а именно при р = 2 для всех п <; 11, при р - - ц
для п -^ 7, при р = 5 для л^5и при р == 7 для /г <; 4. Много-
Многочлен а^" + аххп~х + ... + йп сокращенно записывается в виде
афх ... ап, где о0 = 1. Левая колонка, помеченная значением
параметра п, содержит все нормированные неприводимые мною-
члены / степени п над полем FP. Правая колонка, помеченная
символом е, содержит соответствующее значение ord (/).
Таблица D содержит по одному примитивному многочлену
степени п над полем р2 Для каждого значения п <Г 100. В этой
таблице многочлен обозначается набором степеней его ненулевых
членов. Так, набор 610 обозначает многочлен хй + х + 1.
В табл. Е приводятся все примитивные многочлены вида
х2 + ахх + а2 над полями Fp, где 11 < р ¦< 31. Для простых
р < 11 все квадратичные примитивные многочлены можно полу-
получить из табл. С, выделяя те многочлены / над FP, Для которых
ord(/) = р2- 1.
В табл. F приводится по одному примитивному многочлену
степени п над полем Тр для всех в^-2 и р, таких, что р < 50
и рп < 108. Здесь многочлен хп -\- aiXn~l -f a^x" -f ... f "«
обозначается набором аха% ... ап.
Комментарии
§ 1. Таблица А взята из работы Alanen, Knuth [21. Первую
большую таблицу такого типа можно найти в работе Jacobi [3],
где приводятся примитивные корни по модулю р и соответству-
соответствующие им индексы для всех простых чисел р < 1000. Аналогичная,
но не столь полная таблица была построена ранее в работе СгеПе
[1]. В работе Desmarest [1] приводится список примитивных
корней по модулю р для всех простых чисел р < 10 000. В работе
Wertheim [Л] построена таблица наименьших положительных
примитивных корней по модулю р для всех простых чисел р <
< 6200. В работе Cunningham, Woodall, Creak [1] эта таблица
продолжена до значений р<25 409 (фрагменты этой таблицы можно
найти также в работе Albert [3, appendix I ]), а в работе Western,
Miller [4] она продолжена уже до значений р <^ 50 021. Литвер
Комментарии 671
и Юдина [1] вычислили по одному примитивному корню по мо"
дулю р для каждого простого числа р <; 1 001 321. В работе
Osborn [1] построена полная таблица всех примитивных корней
по модулю р для всех простых чисел р < 1 000, а в работе Haupt-
man, Vegh, Fisher [1] эта таблица продолжена для всех р <
< 5000. Вестерн и Миллер (Western, Miller [1]) построили та-
таблицы индексов относительно наименьшего положительного при-
примитивного корня по модулю р для всех р < 50 021 (см. также
работу Andree [1], где приводится еще одна таблица индексов
для конечных простых полей). Таблицы индексов для непростых
конечных полей приводятся в работах Bussey [1] , [2] (см. также
Albert [3 appendix III], где помещены фрагменты из этих та-
таблиц), и несколько позже в работе Alanen, Knuth |2] . Алгоритмы
для вычисления значений индексов рассматриваются в работах
Herlestam, Johannesson [1], Pohlig, Hellman {!], Pollard [3],
Zierler [9].
В табл. В приводится лишь часть вычислительных результатов,
полученных в работе Conway [1]. Логарифм Якоби был введен
в работе Jacobi [2], где также была приведена таблица его зна-
значений для всех конечных простых полей fp с р < 103. Другие
ссылки, связанные с вычислениями в конечных полях, можно
найти в комментариях к § 1 гл. 4.
§ 2. Таблица С взята из работы Church [1]. Список непри-
неприводимых многочленов небольшой степени над полями fp, p <; 19,
был приведен еще Жорданом (Jordan С. [3]). Таблица С была
несколько расширена Гараковым [3], поднявшим на единицу
границу для п и добавившим случаи р = 11 и п ^ 4. Другое
расширение этой таблицы было получено в работе Chang, God-
Godwin [1], где были рассмотрены случаи 11 ^ р <; 37 для п = 2
и 11 <; р <; 19 для п — 3. Некоторые неприводимые трехчлены
над Fp приводятся в работе Mortimer, Williams [1]. Таблицы
неприводимых многочленов над некоторыми непростыми конеч-
конечными полями были построены в работе Green, Taylor [2], где
были рассмотрены случаи п <; 5 для IF,,, п <; 3 для Тв и р8 и
и = 2 для Fie- Более широко (ввиду важности приложений) пред-
представлен в таблицах неприводимых многочленов случай поля F2.
Такие таблицы приводились в работах Golomb [1], [4, ch. 3]
и Гараков [1], однако они не покрывают табл. С. Марш
(Marsh [1]) составил список всех неприводимых многочленов
степени п ^ 19 над полем f% (см. также Albert [3, appendix IV]
и Peterson, Weldon [1, appendix С], где приводится часть этого
списка; в статье Mossige [1] рассмотрен случай 10 <; п <^ 20.
В книге Peterson, Weldon [I, appendix С] приводится по одному
неприводимому многочлену над полем Рг для каждого значения п,
17 ^ п <; 34 и каждого возможного порядка. Списки неприводи-
неприводимых трехчленов над полем f2 можно найти в работах Fredricksen,
672 Гл. 10, Таблицы
Wisniewski [1], Golomb [4, ch. 5], Golomb, Welch, Hales 11],
Zierler [7] и Zierler, Brillhart [1], [2],
Таблица D взята из работы Watson E. J. [lj, а табл. Е н F —
из работы Alanen, Knuth [2]. Небольшую таблицу примитивных
многочленов над конечными простыми полями fp, где р-<1 11,
можно также найти в монографии Dickson [7, part I, ch. 3J.
В статьях Bussey [1], [2] приводится по одному примитивному
многочлену степени п над fp для каждого « > 2 и р, таких, что
рп < 1000 (см. также Albert [3, appendix III) и Heuze [1J. В ра-
работе Alanen, Knuth [1] приводится по одному примитивному
многочлену степени п над полем fp для следующих значений р
и п: 11 <; р < 17, 3 ¦< п < 5. В работе Sugimoto [1] приводится
таблица примитивных многочленов над полем (Fp для 3 <; р <*,
< 47. Грин и Тэйлор (Green, Taylor [2]) рассматривали непро-
непростые конечные поля и привели по одному примитивному много-
многочлену для каждого из следующих случаев: п <; 11 для F4» n <С 7 •
для F8 и F9 и п < 5 для Fxe- В статье Beard, West [1] приводится
таблица примитивных многочленов специального вида. Таблица D
была расширена в статье Stahnke [1], где приведено по одному
примитивному многочлену над полем ft для каждого значения
п <; 168. Примитивные трехчлены над нолем Т., можно найти
в работах Rodemich, Rumsey [1], Zierler [6J и Zierler, Brill-
hart [1], [2].
Ллойд в работе Lloyd [1] привел таблицу канонического
разложения на множители для всех многочленов над полем J\
степени п <С 4 и над полем Fs степени п <С 3. Эта таблица была рас-
расширена в работе Lloyd [2], где были представлены все многочлены
над полем fp, p = 2, 3, 5, 7, степеней не больше, чем 11, 11, 8, 6
соответственно, а также в работе Lloyd, Remmers [1]. Таблицы
разложения на множители двучленов вида хп — 1 можно найти
в работах Beard, West [2] и McEliece [3J. Таблицы разложения
на множители трехчленов можно найти в работах Beard, West [3],
Golomb [4, ch. 5] Golomb, Welch, Hales [1], Mortimer, Wil-
Williams [lj и Zierler [7],
ТАБЛИЦА А
exp jnd
exp jnd
exp ind
exp ind
era7) ~
01
10
11
001
010
100
101
III
on
110
0
1
2
0
1
2
3
4
5
6
GFB4)
0001
0010
0100
1000
1001
1011
1111
0111
1110 -
0101
1010
IIOI
ООП
оно
1100
GFB
00001
00010
00100
01000
10000
01001
10010
01101
мою
11101
10011
01111
НПО
10101
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
J)
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
00011
00110
01100
11000
11001
noil
Mill
101II
00111
OHIO
11100
10001
01011
10110
00101
01010
10100
GFB6)
000001
000010
000100
001000
010000
100000
100001
100011
100111
101111
011111
111 110
011101
111010
010101
101010
110101
00ЮП
010110
101100
111001
010011
100110
101101
111011
010111
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
II
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
¦ ioi no
111101
омом
HOMO
001101
011010
110100
001001
010010
100100
101001
110011
0001II
001110
01 MOO
111000
OIOOOI
100010
100101
101011
IIOIII
0011 M.
011110
MI 100
011001
110010
000101
001010
010100
101000
110001
000011
000110
001100
011000
110000
CFB7)
0000001
0000010
OOOOIOO
0001000
0010000
0100000
1000000
0000011
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
0
1
2
3
4
5
6
7
(XXX) 110
(ХЮ1100
(X)l 1000
01IQ0O0
II00000
1001X111
0000101
0001010
0010100
0101000
1010000
01 (XX) 11
1000110
0001 Ml
0011 MO
0111100
111 1000
1110011
1I00I01
1001001
0010001
OIOOOIO
1000100
0001011
0010110
OIOIIOO
1011000
0110011
1100110
1001 Ml
0011101
Oil 1010
1110100
1101011
1010101
0101001
1010010
0100111
1001110
0011 Ml
01 П 110
II11100
1111011
II10101
1101001
1010001
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
exp
GFB7)
0100001
1000010
0000111
0001110
0011100
0111000
1110000
1100011
1000101
0001001
0010010
0100100
1001000
0010011
0100110
1001100
0011011
0110110
1101100
1011011
0110101
1101010
1010111
0101101
1011010
0110111
1101110
1011111
0111101
иною
1110111
1101101
1011001
0110001
1100010
1000111
0001101
0011010
0110100
1101000
1010011
0100101
1001010
0010111
0101110
1011100
0111011
ind
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95.
96
97
98
99
100
exp
6TB7
1110110
1101111
1011101
0111001
1110010
1100111
1001101
0011001
OIIOOIO
1100100
1001011
0010101
0101010
1010100
0101011
1010110
0101111
1011110
0111111
1111110
1111111
1111101
1111001
1110001
1100001
1000001
GFC2
01
10
21
22
02
20
12
11
G/чЗ3
001
010
100
102
122
022
220
101
ind
)
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
)
0
1
2
3
4
5
6
7
)
0
1
2
3
4
5
6
7
exp
GF03
112
222
121
012
120
002
020
200
201
211
Oil
110
202
221
111
212
021
210
GFC'
0001
0010
0100
1000
2001
1012
2121
2212
0122
1220
1201
1011
2111
2112
2122
2222
0222
2220
0202
2020
1202
1021
2211
0112
1120
0201
2010
ind
)
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
')
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
exp
GFC4
1102
0021
0210
2100
2002
1022
2221
0212
2120
2202
0022
0220
2200
0002
0020
0200
2000
1002
2021
1212
1121
0211
2110
2102
2022
1222
1221
1211
illl
0111
1110
0101
1010
2101
2012
1122
0221
2210
0102
1020
2201
0012
0120
1200
1001
2011
1112
0121
ind
)
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73 '
74
exp ind
exp ind
GF(S3)
exp ind
CFEJ)
1210
1101
0011
0110
1100
75
76
77
78
79
GFE2)
01
10
43
42
32
44
02
20
31
34
14
33
04
40
12
13
23
11
03
30
24
21
41
22
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
GFE})
001
010
100
403
132
223
031
310
304
244
241
211
411
16*
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
212
421
312
324
444
042
420
302
224
041
410
202
321
414
242
221
on
110
003
030
300
204
341
114
043
430
402
122
123
133
233
131
213
431
412
222
021
210
401
112
023
230
101
413
232
121
113
033
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
330
004
040
400
102
423
332
024
240
201
311
314
344
144
343
134
243
231
III
013
130
203
331
014
140
303
234
141
313
334
044
440
002
020
200
301
214
441
012
120
103
433
432
422
322
424
342
124
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74.
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
143
333
034
340
104
443
032
320
404
142
323
434
442
022
220
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
GF02)
0!
10
64
53
56
16
54
66
03
30
45
12
14
34
15
44
02
20
51
36
35
25
31
55
06
60
13
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1!
12
13
14
,15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
exp
GFO1
24
21
61
23
II
04
40
32
65
63
43
62
33
05
50
26
41
42
52
46
22
CF(I1:
01
10
•4
57
29
78
16
54
•9
•7
87
ind
!
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
!)
0
I
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
exp
GF{\
07
70
46
25
38
51
79
26
48
45
15
44
05
50
69
32
•1
27
58
39
61
62.
72
66
02
20
98
•3
47
35
21
•8
97
93
53
99
03
ind
1'J
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
exp
GF( 1
30
81
4'
65
37
41
85
8«
2»
88
0*
•o
17
64
92
43
•5
67
12
14
34
11
04
40
75
96
83
6*
42
95
73
76
•6
77
ind
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
exp
GF(\
06
60
52
89
1*
94
63
82
5*
59
49
55
09
90
2.1
18
74
86
9*
13
24
28
68
22
08
80
3*
71
56
19
84
7»
36
31
91
33
ind
i2)
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
ill
112
113
114
115
116
117
118
119
Символ 'означает элемент 10« поле F,
ТАБЛИЦА В
F4 над Fz Fs
о — * [oi] (Ч о —
+ 1-2A1J0:! + 1-
+ 2-1 [1I]1 0:2 +2-
+ 3-
+ 4 —
+ 5-
+ 6-
F,6 над F2
0- '@001) [I]
+ 1- 4[00U]I4 2 10:-
+ 2- 8 [0011I3 4 2 0: -
3-14[llll]14I0 12:11
+ 4— 1 [0011 ] 11 8 40: -
5-10@101] [1IJ
6-I3(lIIl]13 5 24: 7
+ 7- 9[I00IJ9 2101: 6
+ 8- 2[OO1I]7 I 80: -
9- 7[II11]7 5 81:13
10- 5@101] [11]
+ II — I2[100I]I2 1 58: 3
I2-1I[III1]11 10 48:14
+ 13- 6A001N 8104: 9
+ 14- 3 [1001] 3 4 52:12
F32 иад J
0 * A0011)
+ I-I9[IO111]16 3 6
+ 2- 7A0111I 612
+ 3-11 @1001H 28 25
-1-4 — 14 A0111] 2-12 24
-1-5-29@1111L 28 5
+ 6-22@1001H 25 19
+ 7- 2@0101J7 2017
+ 8-28A0111L 24 17
+ 9-15@1111) I 7 9
над F2
•(Hi) A)
5A01L35:1
3A01I63:2
2@11H6 3:-
6[I0I]256:4
1 [0IIJ0 3 5:-
4 [011H 5 6:-
над F4
[01] A)
[\X] 4 0: I
[1У] 8 0: 2
(У1] 2 5:13
[1*) 1 0: 4
[0У] [X]
[XI] 4 10:11
[XX]8 10:12
AУ) 2 0: 8
[XI] 1 10:14
[OX] [Y]
[YY]4 5: 6
[У1] 8 5: 7
[XX]2 10: 3
[YY] 1 5: 9
'¦2
(П
5 17: 1
10 3: 2
6 3: -
20 6: 4
14 9: -
12 6: -
10 3: -
9 12: 8
19 10: -
+ 10-27@1111)8 25 102818: -
+ 11-3 A1101J312 7 6 3:15
+ 12-13@1001H 19 7 24 12: -
+ 13-12A1101K0 17 28 24 12:29
+ 14- 4@0101]23 9 3 20 6: -
+ 15- 9A1011J6 20 5 19 10:11
r32
над F2
+ 16-25
+ 17-21
A0111)8
[01001] 0
+ 18-30[01 111] 2
+ 19-» 1
+ 20-23
+ 21-17
+ 22-6
[00101J9
[01111I6
[11101J7
[11101I5
+ 23-20A1011I3
+ 24-26
+ 25-16
[01001H
[00101K0
+ 26 —24[П101]29
+ 27-10
+ 28—8
+ 29-5
[11011J2
[00101I5
11011I1
17
3
14 28
14
18
10 24
18
3
7
5
19 20 25
6
24
10
7
5
3
5
18
18
19
14
18
14
12
25
9
6
20
3
12
25
17
18
17
28
9
14
24:16
17: -
20: -
17: -
5: -
17:23
6:30
5:21
24: -
24: -
24:27
18:26
12: -
9:13
+ 30-18 [11011J1 9 10 7 20:22
над F2
над f4
над
0- *
+ 1-8
+ 2-16
3-53
+ 4-32
+ 5-38
6-43
7-62
+ 8- 1
9-45
+ 10-13
+ 11-51
12-23
+ 13-10
14-61
15-44
+ 16-2
+ 17-41
18-27
+ 19-34
+ 20-26
21-42
+ 22-39
+ 23-12
24-46
+ 25-30
[010101]
[101101L4
[101101J5
[010111N0
[101101M0
[10O001]38
[010111M7
[001001]42
[101101K7
[010001]
[100001I3
[110011K7
[010111M1
[100111I0
[001001J1
[110101M1
[101101I1
[100001L1
[010001]
[100111K4
[100001J6
[101011]
[110011I1
[000011L0
[010111K9
[110011L4
43
23
47
46
33
31
35
29
58
53
46
43
28
29
28
23
[101]
3
14
62
7
7
36
58
24
56
3
58
59
56
46
46
7
[101]
49
6
62
49
[11]
28
29
61
49
6
6
53
24
[1]
54
45
43
27
23
23
0
54
46
55
46
46
0
31
45
53
43
29
47
46
29
62
53
43
3
23
18
6
56
46
36
36
12
33
49
47
29
36
24
9
9
23
24
36
45: -
27: -
0: -
54: -
43:52
0: -
49: -
45: -
23:41
48:11
0: -
23:17
35: -
3:15
27: -
58:13
53:20
46:19
33:22
0: -
0: -
6:25
[111]
[XXX]A1
[УУУ]31
[OKI] 0
[ ХХХ)Ы
[ЛГУ ]23
[0ЛГ1] 0
[00 X] 0
[УУУ]61
[101] 36
[УХХЩ
[XIY]55
[0У1] 0
[ XYX}43
[00 У) 0
[У01] 18
[ XXX]S9
IXYY ]53
[101] 9
[ ATA158
[AT Y ]29
54
45
6
27
56
12
56
54
27
49
48
24
49
49
3
45
14
54
28
35
[ATI] [A")
[У1ДГ]47
[1ATJ31
[ОХЦ 0
[У1ДГ]62
33
24
48
6
HI
27: 8
54:16
3: -
45:32
49: -
6: -
49: -
27: 1
45: 9
35: -
24:25
12: -
35: -
35: -
33:57
54: 2
28: -
27:18
56: -
7: -
48:50
12:58
24: -
3:11
[01]
\\A\ 8
[IS] 16
\FD\A1
[1С] 32
\CF) 4
\DE\1\
[?lj 2
\\A\ 1
[OS]
[AD) 8
MC]i6
[?F]42
[АЕЩ
[Л]4
[С* ]21
[IS] 2
[AD] 1
[ОС]
[BF] 8
[S?]16
[11] 42
[ВАЩ
[?S]4
[И>]21
[ЛС] 2
[1]
0: 1
0: 2
18:39
0: 4
27:59
36:15
9:25
0: 8
Ml
54:55
54:56
9:30
54:58
18:50
27: 6
0:16
54:62
IB)
45:46
45:47
0:21
45:49
9:41
18:60
54: 7
над F2
над
над 1
+ 26-20 [100111J0 14 55 29 3 46:34
27-18 [000101] [Oil]
28-59 [001001L2 14 49 0 35 7: -
+ 29-48 [000011]34 53 24 58 29 0: -
30-25 [110101K9 9 29 62 31 6:30
+ 31 -35 [011011J5 29 61 0 24 56:-
+ 32 - 4 [101101J2 53 29 27 58 54: -
33 - 58 [010111K0 55 23 53 33 0: -
+ 34-19 [100001I9 48 14 43 9 53:26
35-31 [001001J1 49 14 0 28 56: -
36-54@10001] [101]
+ 37-57 [110011M0 7 33 59 18 24:37
+ 38- 5 [100111] 5 35 61 23 48 43:40
39 - 22 [110101M7 18 23 47 55 33:39
+ 40 - 52 [100001M2 12 35 58 18 29:38
+ 41-17 [100111I7 56 31 53 12 58:10
42-21 [101011] [II]
+ 43- 6 [000011J0 46 3 23 43 0: -
+ 44-15 [110011J2 56 12 31 18 3:44
45- 9 [000101) [Oil]
+ 46-24 [000011I7 58 12 29 46 0: -
+ 47-49@11011L4 46 62 Q 12 28: -
48-29 [010111I5 59 43 58 48 0: -
49-47 [001001L2 56 7 0 14 28: -
+ 50 -60 [110011J5 35 48 61 9 12:50
51-11 [110101N0 9 43 55 59 48:51
+ 52-40 [100111L0 28 27 58 6 29:5
+ 53-3 [000011I0 23 33 43 53 0: -
54-36 [000101] [Oil]
+ 35-56@11011J2 23 31 0 6 14: -
56-55@01001J1 28 35 0 7 14: -
57-37 [110101K0 36 53 59 61 24:57
+ 58-33 [000011] 5 43 48 53 58 0: -
+ 59 -28 [011011I1 43 47 0 3 7: -
60 - 50 [110101]15 18 58 61 62 12:60
+ 61-14 [011011K7 53 55 0 33 35: -
+ 62- 7 [011011M0 58 59 0 48 49:-
[УЛТ]23 35 7: -
[OH] 0 54 27: -
[OOX] 0 35 7: -
[1AT]61 33 48:43
1X01K6 6 3:51
[IIX] 46 28 56: -
[ УУУ]55 27 45: 4
[0X1] 0 3 33: -
[УХХ]43 28 56: -
[00У] 0 28 56: -
[101] 18 45 54:36
[У1Х]59 24 12:44
[ УХУ]53 56 49: -
[X01] 9 33 48:60
[УХХ]58 7 14: -
(УХУ]29 14 28: -
[УХ1] [У]
[1УХ]47 12 6:29
[Х1У]31 3 33:37
[ОН) 0 27 45: -
[1УХ] 62 48 24:53
[ПУ] 23 14 28: -
[0У1] 0 33 48: -
[ООХ] 0 14 28: -
[Х1У]61 12 6:22
[У01] 36 48 24:30
[ХУХL6 7 14: -
[1ХУ]55 6 3:46
[011] 0 45 54: -
[ИХ] 43 7 14: -
[ООУ] 0 7 14: -
[XOI] 18 24 12:15
[1УХ] 59 3 33:23
[ПУ] 53 35 7: -
[У01] 9 12 6:39
[1IXJ58 49 35: -
[ПУ]29 56 49: -
[BF] 1 45:53
[ОЕ] [D]
[D\] 8 36:37
[?>Л]!6 36:38
[АВ]42 54:\2
[DD]32 36:40
[1С] 4 0:32
[EF]2l 9:51
[BE] 2 45:61
[Dt] I 36:44
[OA] [С]
[CB] 8 27:28
[CD] 16 27:29
[ДС]42 45: 3
[CF]32 27:31
[AE] 4 54:23
[II] 21 0:42
[DA] 2 36:52
[CB] 1 27:35
[OD] [F]
[FC] 8 18:19
[FF]16 18:20
[D?]42 36:57
[Fl]32 18:22
[BA] 4 45:14
[AB]2\ 54:33
[CD] 2 27:43
[FC] 1 18:26
[OF] [E]
[EE] 8 9:10
[?1] 16 9:11
[CA]42 27:48
[?в]32 9:13
[DD] 4 36: 5
[ДСJ1 45:24
[EF] 2 18:34
[ЕЕ] 1 9:17
ТАБЛИЦА С
Неприводимые многочлены по модулю 2
я = 1
10
t 1
I 1
fj = 2,
in
я = 3
1011
1101
я = 4
10011
11001
inn
я = 5
100101
101001
101111
11011!
111011
НПО!
я-6
1000011
1001001
1010111
1011011
1100001
11001II
1101101
1110011
1110101
ti = 7
10000011
1ЛПА1ЛЛ1
1 \J\JU l\J\J 1
10001111
10010001
10011101
10100111
10101011
e
1
1
I
e
3
e
¦j
7
e
15
15
5
e
31
31
31
31
31
31
e
63
9
21
63
63
63
63
63
21
e
-127
127
127
127
127
127
10111001
10111111
1000001
1ЛП1Л 1 1
IUUIUI 1
1010011
1010101
1100101
1 1 \J\J Ivl
1101111
111ППП1
llll UW 1
11110111
11111101
я = 8
100011011
100011101
* \J\J\f I 1 1 \J 1
100101011
100101101
100111001
100111111
I \J\/ * I 1 I I 4
101001101
101011111
101100011
10110010!
101101001
101110001
101110111
10111101!
110000111
1 i \J\f\J\J III
1100010!I
110001101
110011111
110100011
110101001
110110001
110111101
111000011
111001111
111010111
111011101
1l1100111
lilt \J\J ill
111110011
111110101
111111001
/1 = 9
1000000011
1000010001
1000010111
127
127
127
i -5-7
I L f
127
127
127
127
1"?*7
127
127
e
51
255
255
255
17
85
255
255
255
255
255
255
85
85
255
85
255
51
85
255
51
85
255
255
17
85
255
1
255
85
e
73
511
73
1000011011
1000100001
1000101101
1ЛЛГИ 1ЛЛ1 1
1001001011
looioiiooi
100101llll
1 \J\J I V J 1 1 11
1001100101
1AA11П1ПЛ1
1 \J\J 1 lUI Ш1
1001101111
1001110111
1001111101
1 \J\J 1 II 1 1 4/ 1
1010000111
1010010101
i W 1 \J\J i V i v '
1010011001
1010100011
1 \J 1 \J 1 vUv 1 1
1010100101
1010101111
1010110111
1010111101
1 \J ¦ \J ¦ ¦ ¦ I \J '
1011001111
101101000!
1011011011
1011110101
1011111001
1100000001
100010011
100010101
10001llll
1 \J\f\J i i I 1 1
100100011
100110001
100111011
101001001
10100111!
101011011
101100001
101101011
1101101101
1101110011
1101111111
1110000101
111 \J\J\f\J lUI
1110001111
1110100001
1110110101
111Л111ПЛ1
1 i t \J 1 1 t \JXJ 1
111000111
111001011
1111001101
1111010101
1111011001
511
511
511
4 I I
J 1 1
73
511
511
73
41 1
Jl 1
511
511
511
511
511
73
511
511
511
511
511
511
511
511
511
511
73
511
511
511
511
511
511
73
511
511
511
511
511
511
51!
511
511
73
511
<i i
.j 11
511
511
511
511
511
1111100011
1111101001
1111111011
я-10
10000001001
1 \j\j\j\j\j\j i \J\J i
loooooomi
1ЛГЮПО11П1 1
l\J\J\J\J\J 1 Ivl 1
10000011101
10000100111
10000101101
1 \j\j\j\j i \J i i \J 1
10000110101
10001000111
1 WVA_* 1 \ЛА/ lit
10001010011
10001100011
i \J\7\J I 1 \J\7\J 1 1
10001100101
10001101111
10010000001
lOOlOOO'Ol1
10010011001
1001010100!
10010101111
10011000101
lOOlIOOlOOl
10011010111
10011100111
1001110110!
10011110011
1 \/\J 1 t 4 t v/Л-г t *
10011111111
10100001011
10100001101
10100011001
1010001llll
10100100011
10100П0001
10100!11101
10101000011
10I0I01011I
10101100001
10101100111
t ЧУ 1 ^^ Ш 1 \SV 4 * *
10101101011
10110000101
10110001111
1011ОО1О11 1
lUI 1 \J\J luJ 1 1
10110011011
1011010000!
10110101011
10110111001
10111000001
511
511
511
e
1091
lUZJ
341
341
1023
xsyyx
93
341
34 Г
1023
1023
1023
1023
341
33
341
1023
341
1023
1023
341
1023
1023
93
1023
1023
341
1023
1023
1023
1023
1023
93
341
1023
1023
1023
1023
341
1023
341
341
341
Неприводимые многочлены по модулю 2
10111000111
10111100101
10111110111
10111111011
11000010011
11000010101
1000100011
11000100101
11000110001
1000110111
11001000011
1001001111
1001010001
11001011011
11001111001
1001111111
1010000101
11010001001
11010100111
11010101101
11010110101
11010111111
11011000001
11011001101
11011010011
11011011111
11011110111
11011111101
11100001111
1100010001
1100010111
11100011101
11100100001
!1100101011
11100110101
11100111001
11101000111
11101001101
11101010101
11101011001
11101100011
11101111011
11Ш1111Ю1
11110000001
11110000111
11110001101
11110010011
ПП0101001
11110110001
11111000101
1023
1023
1023
1023
1023
1074
33
1П9Ч
1UZ J
341
1023
1023
1023
341
1023
1023
1023
93
1023
93
341
1023
341
1023
341
1023
1023
341
1023
341
341
1023
1023
1023
93
341
1023
1023
1023
1023
1023
1023
341
1023
341
341
1023
1023
341
1023
341
11111011011
11111101011
11111110011
11111111001
11111111111
« = 11
100000000101
100000010111
100000101011
100000101101
100001000111
100001100011
100001100101
100001110001
100001111011
100010001101
100010010101
100010011111
100010101001
100010110001
100011000011
100011001111
100011010001
100011100001
100011100111
100011101011
100011110101
100100001101
100100010011
100100100101
100100101001
100100110111
100100111011
100100111101
100101000101
100101001001
100101010001
100101011011
100101110011
100101110101
100101111111
100110000011
100110001 111
100110101011
100110101101
100110111001
100111000111
100111011001
1023
341
1023
1023
11
e
2047
2047
2047
2047
2047
2047
2047
2047
2047
2047
2047
2047
2047
2047
89
2047
2047
2047
2047
2047
2047
2047
2047
2047
2047
89
2047
2047
2047
2047
2047
2047
2047
2047
2047
2047
2047
2047
2047
2047
2047
2047
100111100101
100111101111
100111110111
101000000001
101000000111
101A00010011
1 \J 1 \J\I\J\J 1 \J\J 1 1
101000010101
1П1ПЛЛ1П1ПЛ1
1U 1 \ЛЛ/1U1 \J\J I
101001001001
101001100001
101001101101
101001111001
101001111111
101010000101
101010010001
101010011101
101010100111
101010101011
101010110011
101010110101
loioi10101O1
101011011111
101011100011
101011101001
101011101111
101011110001
101011111011
101100000011
101100001001
101100010001
101100110011
101100111111
101101000001
101101001011
101101011001
101101011111
101101100101
101101101111
101101111101
101110000111
101110001011
101110010011
101110010101
101110101111
101110110111
101110111101
101II1001001
101111011011
101111011101
101111100111
2047
89
2047
2047
2047
2047
2047
1(M1
2047
2047
2047
2047
2047
2047
2047
2047
2047
2047
2047
2047
2047
2047
23
2047
2047
2047
2047
2047
2047
2047
2047
2047
2047
2047
2047
2047
2047
2047
2047
2047
2047
2047
2047
2047
2047
2047
2047
2047
2047
2047
101111101101
110000001011
110000001101
110000011001
110000011111
11A000110ОП1
1 i \Л/\Л/ I I uUU 1
110001010111
1 1ОПА1 ifWiOl
1 11ЛЛ/1 1 \J\J\J\J 1
110001101011
110001110011
110001110101
110010000101
110010001001
110010010111
110010011011
110010011101
110010110011
110010111111
110011000111
110011001101
110011010011
1100110Ш101
110011100011
110011101001
110011110111
110100000011
110100001111
110100011101
110100100111
110100101101
110101000001
110101000111
110101010101
110101011001
110101100011
110101101 111
110101110001
110110010011
110110011111
110110101001
110110111011
110110111101
110111001001
110111010111
110111011011
110111100001
110111100111
1101 111 10101
110:11111111
111000000101
2047
2047
2047
2047
2047
OQ
Й7
2047
1СЫ1
2047
2047
23
2047
2047
2047
2047
2047
2047
2047
2047
2047
2047
2047
2047
2047
2047
2047
2047
2047
2047
2047
2047
2047
2047
2047
2047
2047
2047
2047
2047
2047
2047
2047
2047
2047
2047
2047
2047
2047
89
2047
11000011101
11000100001
11000100111
1IO0OI0I0I1
11000110011
11000111001
111001000111
11001001011
I100I0I0I01
11001011111
11001110001
2047
2047
2047
2047
2047
2047
2047
2047
2047
2047
2047
Неприводимые многочлены по модулю
111001111011
111001111101
11101000000]
111010010011
111010011111
111010100011
111010111011
111011001001
111011001111
111011011101
111011110011
2047
2047
2047
2047
2047
2047
2047
89
2047
2047
2047
111011111001
111100001011
111100011001
111100110001
111100110111
111101011101
111101101011
111101101101
111101110101
111101111001
111110000011
2047
2047
2047
2047
2047
2047
2047
2047
2047
89
2047
2
11 1110010001
1111100101II
1IIII00I1011
111 110100111
111110101101
111110110101
111111 <Ю 1101
111111010011
111111100101
111111101001
111 111111011
2047
2047
2047
2047
2047
2047
2047
2047
2047
2047
89
я = 1
10
11
12
я = 2
101
112
122
п = 3
1021
1022
1102
1112
1121
1201
1211
1222
я-4
10012
10022
10102
10111
10121
10202
11002
11021
II101
1 МП
11122
11222
12002
12011
е
1
2
¦
е
4
8
8
е
26
13
13
13
26
26
26
13
е
80
80
16
40
40
16
80
20
40-
5
80
80
80
20
Неприводимые многочлены >
12101
12112
12121
12212
я ¦= 5
100021
100022
100112
100211
101011
101012
101102
101122
101201
101221
102101
102112
102122
102202
102211
102221
110002
110012
110021
110101
110111
110122
111011
111121
111211
111212
112001
112022
112102
11211.1
1 12201
112202
40
80
10
80
242
121
121
242
242
121
121
121
242
242
242
121
11
121
242
22
121
121
242
242
242
121
242
242
242
121
242
121
11
242
242
121
120001
120011
120022
120202
120212
120221
121012
121111
121112
121222
122002
122021
122101
122102
122201
122212
И = 6
1000012
1000022
1000111
1000171
1000201
1001012
1001021
1001101
1001122
1001221
1002011
1002022
1002101
1002112
1002211
1010201
1010212
1010222
1011001
10!1011
242
242
121
121
1 71
1 Z 1
242
121
1 л")
LAI
121
121
121
242
242
121
22
121
e
728
728
364
364
52
728
364
91
104
182
364
728
182
104
91
52
728
728
91
364
Ю модулю
ЮИО22
ЮП122
101200I
IO12O12
l ПI Jul I
1 U 1 IXii. 1
1012112
1020001
1020101
1020112
1020122
1021021
1021102
1021112
1021121
1022011
1022102
1022111
1022122
1100002
1100012
1100111
1 JO 1002
1 ШШ1 1
1 1 \J 1 U 1 1
1101101
1101112
1101212
1102001
1102111
1102121
1102201
1102202
1110001
1110011
1110122
1110202
1110221
1111012
1111021
Illllll
3
728
728
182
728
1Л4
728
52
52
728
728
364
56
728
91
364
56
182
728
728
56
364
728
19
364
728
728
364
91
91
364
728
364
364
728
728
182
728
182
7
1111112
II11222
1112011
1112201
111 J~t~i~*
I 1 i Zib.
1120102
1120121
1120222
1121012
1121102
1121122
1121212
1121221
1122001
1122002
1122122
1122202
1122221
1200002
1200022
1200121
1201001
1 ~>П1 1 1 1
1 Z.U 1111
1201121
1201201
1201202
1202002
1202021
1202101
1202122
1202222
1210001
1210021
1210112
1210202
1210211
1211021
1211201
1211212
728
728
91
182
im
728
91
728
728
728
104
728
364
91
104
104
728
364
728
56
364
364
1 R9
1 OZ
182
364
728
728
28
364
728
728
364
364
728
728
91
182
91
728
1212011
1212022
1212121
121212*2
1212212
1220102
1220111
1220212
1221001
1221002
1221112
1221202
1221211
1222022
1222102
1222112
1222211
1222222
n = l
10000102
10000121
10000201
10000222
10001011
10001012
10001102
10001111
10001201
10001212
10002112
10002122
10002211
10002221
10010122
10010222
10011002
10011101
10011211
10012001
10012022
10012111
10012202
10020121
10020221
10021001
10021112
10021202
10022002
91
728
14
728
728
728
182
728
182
104
104
728
364
728
728
104
364
728
e
1093
2186
2186
1093
2186
1093
1093
2186
2186
1093
1093
1093
2186
2186
1093
1093
1093
2186
2186
2186
1093
2186
1093
2186
2186
2186
1093
1093
1093
Неприводимые многочлены
10022021
10022101
10022212
10100011
10100012
10100102
1OIOO122
10100201
10100221
10101101
10101112
10101202
10101211
10102102
10102201
10110022
10110101
10110211
10111001
ll/t I I \J\J 1
10111102
IAI 1 1 I "> I
IUI 1 I 1Z1
10111201
10112002
10112012
10112021
10112111
10112122
10120021
10120112
10120202
10121002
10121102
10121201
10121222
10122001
10122011
10122022
10122212
10122221
10200001
10200002
10200101
10200112
10200202
10200211
10201021
1O2OIO22
10201121
10201222
1O2O2OI1
2186
2186
1093
2186
1093
1093
1093
2186
2186
2186
1093
1093
2186
1093
2186
1093
2186
2186
2186
1093
Z 1 SO
2186
1093
1093
2186
2186
1093
2186
1093
1093
1093
1093
2186
1093
2186
2186
1093
1093
2186
2186
1093
2186
1093
1093
2186
2186
1093
2186
1093
2186
10202012
10210001
10210121
10210202
10211101
10211111
10211122
10211221
10212011
10212022
10212101
10212112
10212212
10220002
1O22OIO1
10220222
10221122
10221202
10221212
10221221
10222012
10222021
10222111
10222202
10222211
11000101
11000222
1001022
1001112
1001211
1002012
1002022
1002121
1002202
1010001
1010022
1010121
1010221
1011111
11011202
11012002
11012102
1012212
1020021
1020022
1020102
1020112
1020201
1020222
1021111
1093
2186
2186
1093
2186
2186
1093
2186
2186
1093
2186
1093
1093
1093
2186
1093
1093
1093
1093
2186
1ЛПЭ
WJyj
2186
2186
1093
2186
2186
1093
1093
1093
2186
1093
1093
2186
1093
2186
1093
2186
2186
2186
1093
1093
1093
1093
2186
1093
1093
1093
2186
1093
2186
no модулю
11021122
11021201
11021212
11022101
11022122
11022211
11022221
11100002
11100022
11I00I2I
1I1OO2I2
11101012
11101022
11101102
11101111
11101121
11102002
11102111
11102222
11110001
III 1AA1")
1 1 1 IUUI JL
11110111
11110112
111 10211
11110222
11111011
11111021
II111201
11111222
111 12011
11112221
11120102
11120111
11120122
II120212
11120221
11121001
11121101
11121202
11122021
11122112
11122201
11122222
11200201
11200202
11201012
11201021
11201101
11201111
11201221
3
1093
2186
1093
2186
1093
2186
2186
1093
!093
2186
1093
1093
1093
1093
2186
2186
1093
2186
1093
2186
IUVJ
2186
1093
2186
1093
2186
2186
2186
1093
2186
2186
1093
2186
1093
1093
2186
2186
2186
1093
2186
1093
2186
1093
2186
1093
1093
2186
2186
2186
2186
11201222
11202002
11202121
11202211
11202212
11210002
11210011
11210021
11210101
4211001
11211022
11211122
11211212
11211221
11212012
11212112
11212202
11220001
11220112
11220211
1 IT? 1 (\"I
IIZZlUzi
11221102
П221П2
11221121
11222011
11222102
11222122
11222201
11222221
12000121
12000202
12001021
12001112
12001211
12002011
12002021
12002101
12002222
12010021
12010022
12010102
12010121
12010201
12010211
12011102
12011111
12011212
12011221
12012112
12012122
1093
1093
2186
2186
1093
1093
2186
2186
2186
2186
1093
1093
1093
2186
1093
1093
1093
2186
1OQ1
2186
Ivyj
1093
1093
2186
2186
1093
1093
2186
2186
2186
1093
2186
1093
2186
2186
2186
2186
1093
2186
1093
1093
2186
2186
2186
1093
2186
1093
2186
1093
1093
12012202
12012221
12020002
12020021
12020122
12020222
12021101
12021212
12022001
120221II
12022201
12100001
12100021
J 2100111
I2IOO222
12101011
12101021
1093
2186
1093
2186
1093
1093
2186
1093
21X6
2186
2186
2186
2186
2186
1093
2186
2186
Неприводимые многочлены по модулю
12101201
12101212
12101222
121O2OOI
I2I02I21
12102212
12II01U
12110122
12110201
i 2110212
12110221
12111002
12111101
12111202
12112022
12II21O2
12112121
2186
1093
1093
2186
2186
1093
2186
1093
2186
1093
2186
1093
2186
1093
1093
1093
2186
1211221!
I212OOO2
12120011
12120112
1212012!
12120211
12120212
12121012
12121022
I2I21IO2
12121121
12122012
12122122
I22OO1OI
12200102
12201011
12201022
2186
1093
2186
1093
2186
2186
1093
1093
1093
1093
2186
1093
1093
2186
1093
2186
1093
12201121
12201122
I22OI2O2
12201212
12202001
12202111
12202112
12202222
I221OOO2
12210112
12210211
12211021
12211201
12211211
12211222
12212012
12212102
3
2186
1093
1093
1093
2186
2186
1093
1093
1093
1093
2186
2186
2186
2186
1093
1093
1093
12212122
12212201
12212221
1222000!
12220012
12220022
12220202
I222IOO2
12221021
12221111
12221122
12221221
12222011
12222101
12222211
1093
2186
2186
2186
1093
1093
1093
1093
2186
2186
1093
2186
2186
2186
2186
Неприводимые многочлены no модулю 5
n-I
10
11
12
13
14
л = 2
102
103
111
112
123
124
133
134
HI
142
и-3
1011
1014
1021
1024
1032
1033
1042
1043
not
1 102
e
1
2
4
4
1
С
в
в
3
24
24
12
24
12
6
24
e
62
31
62
31
124 ¦
124
124
124
62
124
1113
1114
1131
1134
1141
1143
1201
1203
1213
1214
1222
1223
1242
1244
1302
1304
1311
1312
1322
1323
1341
1343
1403
1404
14I
1412
1431
1434
1442
1444
124
31
62
31
62
124
62
124
124
-i t
j i
124
124
124
31
124
31
62
124
124
124
62
124
124
31
62
124
62
31
124
31
« = 4
10002
10003
10014
10024
10034
10044
10102
mj i i
lull i
10122
10123
10132
10133
10141
10203
10221
10223
1023!
10233
10303
1031 1
10313
10341
10343
10402
10412
10413
10421
10431
10442
10443
11004
r
16
16
312
312
312
312
48
7R
! 0
624
624
624
624
39
48
39
208
78
208
48
156
208
156
208
48
624
624
156
156
624
624
312
11013
11023
11024
11032
11041
11042
11101
11113
11I4
1 J 1 "M
111 — *¦
11133
11142
11202
11212
11213
11221
11222
11234
11244
11301
11303
11321
11342
11344
11402
11411
1 1414
11441
11443
12004
12013
12014
12021
624
624
104
624
52
624
78
624
.312
\(\Л
i U*t
208
208
624
624
208
156
208
104
312
156
624
39
624
312
208
13
312
52
624
312
624
104
26
12022
12033
12042
12102
12121
12123
12131
12134
12201
!.ли
12211
12222
12224
12302
12311
12312
12324
12332
12333
12344
12401
12414
12422
12433
12434
12443
13004
13012
13023
13031
13032
13043
13044
624
624
624
208
13
624
52
312
39
f\ 1A
156
624
312
624
39
208
312
624
208
104
156
104
208
624
312
208
312
624
624
13
624
624
104
13102
13121
13124
13131
13133
13201
13203
13232
13234
I 1lA 1
I -*4l*» 1
13302
13314
13322
13323
13334
13341
13342
13401
13413
13423
13424
13432
13444
14004
14011
14012
14022
14033
lto34
14043
14101
14112
14123
208
52
312
26
624
78
624
624
3J
14Л
624
104
624
2(J8
312
7»
208
156
208
624
312
208
104
312
52
624
624
624
104
624
3f
208
2OS
Неприводимые многочлены по модулю 5
14134
14143
14144
14202
14214
14224
14231
14232
14242
14243
14301
14303
14312
14314
14331
14402
14411
14413
14441
14444
я = 5
100041
100042
IOOO43
100044
100102
100114
100124
100132
100143
100201
100212
100222
IOO231
100244
100304
100313
100323
100334
100341
100403
100411
100421
100433
100442
101022
Ю1О23
101032
104
624
312
624
312
104
156
208
624
208
156
624
624
312
78
208
52
624
26
312
е
1562
3124
3124
781
3124
781
71
3124
3124
1562
3124
284
1562
781
781
3124
284
781
1562
3124
1562
142
3124
3124
3124
3124
284
101033
101103
101104
101141
101142
101203
101204
101212
101213
101301
101302
101312
101313
101401
101402
101443
101444
102001
102004
102012
1O2OI3
102021
102024
I02I12
102114
10212!
102122
102131
102134
102202
IO22O3
10221I
102213
102242
102244
102302
IO23O3
102312
102314
102341
102343
10241I
102413
102423
102424
102431
102434
IO3OO2
103003
10301I
284
3124
781
1562
3124
3124
781
3124
284
1562
3124
284
3124
1562
3124
3124
' 781
1562
781
3124
3124
1562
781
3124
781
1562
3124
1562
781
3124
3124
1562
3124
284
781
3124
3124
3124
781
1562
284
1562
3124
3124
781
1562
781
3124
3124
1562
103014
103022
103023
103101
103104
103111
103112
103143
103144
10321I
103212
103221
103223
103232
103233
103313
103314
103322
103324
103332
103333
103401
103404
103413
103414
103441
103442
104021
104024
104031
104034
104101
104103
104111
104114
104202
104204
104241
104243
104301
104303
104342
104344
104402
104404
104411
104414
110004
110014
110041
781
3124
3124
1562
781
1562
3124
3124
71
1562
3124
1562
3124
3124
3124
3124
781
3124
781
3124
3124
1562
781
3124
781
142
3124
1562
781
142
71
1562
3124
142
781
3124
781
1562
3124
1562
3124
3124
781
3124
781
1562
71
781
781
1562
110123
110131
110142
110144
IO2O2
110213
110232
110243
110244
110301
110303
110322
110331
110333
110343
110403
110411
110421
II0432
110441
II0442
110444
111003
111013
111021
111022
111024
11IO32
II1044
111102
111114
111123
II1212
II1224
I11231
II1234
111301
111311
I11312
111324
111334
111401
111404
111423
111431
II1433
И 1442
112012
112023
112032
3124
1562
3124
781
284
3124
3124
3124
781
1562
3124
3124
1562
3124
3124
3124
1562
1562
3124
1562
3124
781
284
3124
1562
3124
781
3124
781
3124
781
3124
44
781
1562
781
1562
1562
3124
71
781
142
781
3124
1562
3124
3124
3124
3124
3124
112034
112104
1I2I13
112133
112142
1I2I43
112201
112212
112214
112234
112241
112243
11230!
112311
112313
112314
И 2323
112334
II2342
112422
112433
112441
113002
II3004
II3034
113044
II31O3
113111
1I3I34
II3142
113143
II32II
113222
113224
11323!
11324!
113243
113304
I133I2
11332!
113323
113324
113332
113342
113412
II3422
113434
114001
114011
1I40I2
781
781
3124
3124
3124
284
1562
3124
78!
781
1562
3124
1562
1562
3124
781
3124
7!
3124
3124
3124
1562
3124
78!
78!
781
3124
1562
78!
284
3124
1562
3124
71
1562
1562
284
78!
3124
1562
3124
781
3124
3124
3124
3124
781
1562
1562
3124
14014
14024
14033
14044
14102
14132
14141
14201
14204
14233
14242
14314
I432I
14322
14331
14343
14401
II4403
II4424
114431
114434
114442
I2OOO3
I2OOI3
120042
120104
120!II
120134
I20I41
120143
I2O2OI
120212
120222
120234
120242
120243
120244
I2O32I
120332
120343
120344
120401
120402
120424
120431
120432
120441
121002
121012
I2IOI3
781
781
3124
781
3124
3124
1562
1562
71
3124
3124
781
1562
3124
1562
3124
1562
3124
781
22
781
3124
3124
3124
3124
71
1562
781
1562
3124
1562
3124
3124
781
3124
3124
781
1562
3124
3124
781
1562
3124
781
1562
3124
1562
3124
3124
3124
121014
121023
121031
121043
121102
121103
121131
121144
121201
121202
121223
121232
121233
121244
121304
121334
121342
121413
121422
121424
121432
121441
122003
122004
122033
122043
122112
122123
122124
122132
122141
122142
122214
122224
122233
122301
122312
122333
122341
122344
122403
127414
122421
122422
122423
122434
122444
123014
123021
123033
781
3124
1562
3124
3124
284
1562
781
1562
3124
3124
44
3124
781
781
781
3124
3124
3124
781
3124
1562
3124
781
3124
3124
3124
284
781
3124
142
3124
781
781
3124
1562
3124
3124
1562
71
3124
781
1562
3124
3124
781
781
781
1562
3124
123034
123102
123113
123114
123133
123141
123142
123224
123231
123242
123303
123311
123331
123341
123344
123402
123411
123412
123413
123421
123433
123444
12400!
124011
124022
124023
124024
124034
124043
124114
124J3
124132
124133
124202
124203
124221
124231
124232
124244
124304
124313
124321
124402
.124412
124414
124423
124433
131H02
13OOI2
130043
Неприводимые многочлены по модулю
781
3124
3124
781
3124
1562
3124
781
1562
3124
3124
1562
1562
142
781
3124
1562
3124
3124
1562
284
781
142
1562
3124
3124
781
781
3124
11
3124
3124
3124
284
3124
1562
1562
3124
781
781
3124
1562
3124
3124
781
284
3124
3124
3124
3124
I3OIO3
130104
I3OI21
130133
130134
I30I44
130224
130233
130241
130242
130304
130313
130323
130331
130341
130342
130343
130401
130414
130431
130442
130444
I3IOO3
131011
131012
131013
131022
131034
131042
1311J
131121
131123
131133
131144
131201
131231
131243
1.31303
131304
131322
131332
131333
13134!
131402
131403
131434
131441
132001
132002
132032
3124
781
1562
3124
781
781
781
3124
1562
3124
781
3124
3124
1562
1562
3124
3124
142
781
1562
3124
781
3124
1562
3124
3124
3124
781
3124
3124
1562
3124
3124
781
1562
1562
3124
3124
781
3124
3124
44
1562
284
3124
781
1562
1562
:.*! 24
3124
132042
132102
1321II
132122
132123
132124
132131
132141
132204
132213
132232
132241
132244
132311
132321
132332
132413
132421
132422
132433
132443
132444
133011
133024
133031
133032
.133103
133112
133113
133114
133124
133132
133141
1.33202
133214
133234
133241
133244
133321
133334
133343
133403
133411
133412
133432
133443
133444
134004
134014
134021
3124
3124
1562
3124
3124
781
1562
1562
781
3124
3124
142
781
1562
1562
3124
3124
1562
284
3124
3124
71
1562
781
1562
3124
3124
3124
3124
781
781
284
1562
3124
781
781
1562
71
1562
781
3124
3124
1562
3124
3124
3124
781
71
781
1562
134022
134023
134031
134042
134103
134111
134113
134122
134132
134201
134212
134224
134302
134303
134324
134333
134334
134341
134411
1.34422
134432
134433
140001
140011
1.40044
140102
140114
140124
140133
140141
140143
140144
140202
140204
140223
140232
140234
140242
140303
140312
140333
I4034I
140342
140422
140434
140441
140443
141002
141012
141021
5
3124
3124
1562
3124
3124
1562
3124
284
3124
1562
3124
781
3124
284
781
3124
781
1562
22
3124
3124
3124
1562
1562
781
3124
781
781
3124
1562
3124
781
3124
781
3124
3124
781
3124
284
3124
3124
1562
3124
3124
781
1562
3124
284
3124
1562
141023
141024
141033
141041
141101
141104
141122
141132
141134
141143
141204
141213
141214
141221
141231
141313
141321
141331
141334
141403
141411
141422
142013
142022
142031
142033
142123
142132
142144
142204
142211
142212
142214
142222
142231
142243
142304
142311
142313
142331
142342
142344
142401
142412
142432
142442
142443
143001
143003
143031
3124
781
3124
1562
1562
71
3124
3124
781
3124
781
3124
781
142
1562
44
1562
1562
781
3124
1562
3124
3124
3124
1562
3124
3124
3124
781
781
1562
3124
781
3124
142
3124
781
1562
3124
1562
3124
781
1562
3124
3124
2Р
3124
1562
3124
1562
Неприводимые многочлены по модулю 5
143041
143113
143123
143131
143201
143213
143221
143.222
1562
3124
3124
1562
1562
3124
1562
3124
143224
143233
143243
143314
143321
143323
143334
143342
781
3124
3124
781
142
3124
781
284
143344
143402
143414
I4343I
143442
143443
144004
144011
781
3124
781
1562
3124
284
781
1562
I440I3
144014
I4402I
144032
144041
144102
144104
144121
3124
781
1562
3124
1562
3124
781
1562
144131
144134
144L3
144211
144223
144224
144234
144242
1562
11
3124
1562
3124
781
781
3124
144301
144304
144332
144343
144403
144433
144444
14?
78»
3124
3124
3124
3124
781
п = 1
10
11
12
13
14
15
16
л-2
101
102
104
113
114
116
122
123
125
131
135
136
141
145
146
152
153
155
1йЗ
164
166
л = 3
1002
1003
1004
1005
1011
1016
е
1
2
6
3
6
3
I
е
4
12
12
48
24
16
24
48
48
8
48
16
8
48
16
24
48
48
48
24
16
е
18
9
18
9
114
57
1021
1026
1032
1035
1041
1046
1052
1055
1062
1065
1101
ПОЗ
1112
1115
1124
1126
1131
1135
1143
1146
1151
1152
1153
1154
1163
1165
1201
1203
1214
1216
1223
1226
1233
1 Z,JJ
1242
1245
1251
1255
1261
1262
1263
1264
Неприводимые многочлены по модулю
38
19
342
171
114
57
342
171
342
171
114
171
342
171
342
57
38
171
171
57
114
342
171
342
171
171
38
171
342
57
171
57
171
171
1/1
342
171
114
171
114
342
171
342
1304
1306
1311
1314
1322
1325
1333
1334
1335
1336
1341
1343
1352
1354
1362
1366
1401
1403
1413
1416
1422
1425
1431
1432
1433
1434
1444
1446
1453
1455
1461
1465
1504
НОЛ
1 JVU
1511
1513
1521
1524
1532
1534
1542
1545
342
57
38
342
342
171
171
342
171
19
38
171
342
342
342
57
114
171
171
19
342
171
38
342
171
342
342
19
171
171
114
171
342
19
1 У
114
171
114
342
342
342
342
171
1552
1556
1563
1564
1565
1566
1604
1606
1612
1615
1621
1623
1632
1636
1641
1644
1653
1654
1655
1656
1662
1664
я = 4
10011
I00I2
10014
10023
IOO25
10026
IOO53
IOO55
10056
10061
10062
10064
10103
10106
10111
10112
10121
342
57
171
342
171
57
342
57
342
171
114
171
342
19
114
342
171
342
171
57
342
342
е
400
1200
1200
480
480
160
480
480
160
400
1200
1200
96
32
400
600
200
10135
10145
10151
10161
10162
10203
•10205
10211
10214
10224
10236
10246
10254
10261
10264
IO3O5
10306
ЮЗ 16
10322
10326
10333
10334^
10335
10343
10344
10345
10352
10356
10366
10405
10406
10412
10414
10422
10433
10443
10452
10462
10464
10503
10505
10515
7
2400
2400
200
400
600
96
96
200
1200
600
800
800
600
200
1200
96
32
800
1200
800
2400
240
2400
2400
240
2400
1200
800
800
96
32
1200
600
600
2400
2400
600
1200
600
96
96
2400
10524
10525
10531
10533
10536
10541
10543
10546
10554
10555
10565
10603
10606
10613
10621
10623
10632
10635
10636
10642
10645
10646
10651
10653
10663
11001
11003
11013
11026
11031
11042
11054
IIO56
11ПЛ7
1 1 VU?
11063
11101
11103
11105
11111
11112
11124
II134
1200
2400
80
2400
800
80
2400
800
1200
2400
2400
96
3?
2400
400
2400
240
2400
800
240
2400
800
400
2400
2400
400
480
2400
800
400
75
300
800
1200
2400
400
2400
2400
5
1200
75
240
11136
11141
11152
11153
11161
11163
11166
11201
11204
11213
11223
11225
11232
11233
11236
11241
11244
11245
11252
11254
11266
11321
11323
11324
11331
11332
11334
1Ш!
11355
11356
11362
11364
11365
11405
11406
11412
11415
11422
11423
11434
11443
11455
11463
11504
11511
11523
11533
11542
11545
11551
800
400
1200
2400
100
480
800
200
600
2400
2400
2400
60
2400
800
400
1200
2400
240
300
160
200
2400
150
400
300
600
200
2400
160
120
1200
2400
2400
800
1200
480
1200
2400
1200
2400
2400
2400
1200
50
2400
2400
75
2400
400
11556
11562
11566
11602
11605
11614
11625
11626
11631
11643
11646
11652
11653
11654
11664
11665
11666
12002
12006
12016
12025
12032
12044
12051
12055
12064
12066
12H1
12102
12116
12123
I2I26
12134
I2I35
12136
1214)
12142
12143
12151
12154
12165
12203
12205
-12213
12214
12224
12226
12231
12246
12253
Неприводимые многочлены
800
1200
160
240
2400
600
2400
800
40
2400
160
600
2400
300
600
2400
800
1200
160
800
2400
1200
75
100
2400
1200
800
200
600
800
2400
800
60
2400
800
400
1200
2400
100
240
480
2400
2400
480
1200
1200
800
400
800
2400
12266
12303
12304
12311
12323
12325
12332
12345
12346
12351
12354
12356
12361
12363
12365
12402
12403
12406
12412
12414
12421
12431
12435
12442
12454
12456
12462
12465
12466
12521
12522
12526
12531
12532
12534
12552
12553
12555
12561
12563
12564
12601
12612
12626
12636
12643
12644
12652
12655
12664
800
2400
240
200
2400
2400
120
480
800
100
600
800
200
2400
2400
1200
2400
800
15
1200
25
80
2400
1200
1200
800
300
2400
160
50
600
800
200
1200
300
600
2400
480
400
2400
120
400
150
800
800
2400
75
1200
2400
1200
12665
13004
13005
13011
13015
13022
13023
13031
13044
13053
13065
13103
13106
13115
I3I26
I3I35
13142
13151
13155
13N1
13166
13204
13205
13206
13213
13214
13215
13221
13225
13234
13242
13243
13252
13261
13264
13302
13311
13313
13323
13324
13331
13336
13345
13355
13364
13402
13404
13413
13421
13422
no модулю 1
480
1200
480
400
2400
300
2400
50
1200
2400
2400
2400
800
2400
800
2400
1200
400
2400
400
160
1200
2400
800
2400
300
480
400
2400
1200
240
2400
150
400
30
1200
400
480
2400
1200
50
800
2400
2400
75
600
600
480
80
300
13432
13434
13436
13441
13443
13445
13455
13456
13465
13501
13506
13512
13513
13516
13521
13522
13525
13533
13535
13544
13553
13556
13562
13611
13612
13616
13623
О624
13626
13641
13642
13644
13652
13654
13655
14004
14005
14015
14023
14034
14041
14052
14053
14061
14065
14103
14106
14111
14116
14121
1200
1200
800
20
2400
2400
2400
800
2400
80
800
600
2400
800
200
300
2400
480
2400
120
2400
800
600
40
1200
800
480
600
800
100
600
1200
75
600
2400
1200
480
2400
2400
1200
25
300
2400
400
2400
2400
800
400
160
400
14125
14132
14145
14156
14165
14204
14205
14206
I42I1
14214
14222
14232
14233
14244
14251
14255
14263
14264
14265
14302
14314
14325
14335
14341
14346
14353
14354
14361
14363
14402
14404
14415
14425
14426
14431
14433.
14435
14442
14444
14446
14451
14452
14463
14501
14506
14512
14523
14526
14534
14543
2400
1200
2400
800
2400
1200
2400
800
400
15
15
240
2400
1200
400
2400
24Ш
300
4X0
1200
150
2400
2400
25
800
2400
i:oo
400
480
600
600
2400
2400
«00
20
2400
2400
1200
1200
800
W
300
480
80
800
600
2400
800
120
480
Неприводимые многочлены по модулю 7
14545
14551
14552
14555
14562
14563
14566
14622
14624
14625
14631
14632
14634
14653
14654
14656
14661
14662
14666
I5OO2
15006
I50I4
15016
15021
15025
15034
15042
15055
15066
15101
15102
15115
2400
200
300
2400
600
2400
800
150
600
2400
100
600
1200
480
600
800
40
1200
800
1200
160
1200
800
100
2400
150
1200
2400
800
200
600
480
15121
15124
1513!
I5I32
15133
15144
15145
15146
15153
15156
15166
15203
15205
15216
15223
15236
15241
15254
15256
15263
15264
15303
15304
15311
15313
15315
15321
15324
15326
15335
15336
15342
100
240
400
1200
2400
60
2400
800
2400
800
800
2400
2400
800
2400
800
400
1200
800
480
1200
2400
240
200
2400
2400
100
600
800
480
800
120
15353
15355
15361
15402
15403
15406
15412
15415
15416
15424
15426
15432
15441
15445
15451
15462
15464
15511
15513
15514
15522
15523
15525
15541
15542
15544
15551
15552
15556
15601
15614
15615
2400
2400
200
1200
2400
800
300
2400
160
1200
800
1200
80
2400
50
30
1200
400
2400
120
600
2400
480
200
1200
300
25
600
800
400
1200
480
15622
15625
15633
15634
15646"
15656
15662
16001
16003
16012
16013
16024
16026
16032
16041
16056
16063
16101
16103
16105
16111
16113
16116
16122
16123
16131
16144
16146
16154
16161
16162
16201
1200
2400
2400
150
800
800
75
400
480
1200
2400
300
800
150
400
800
2400
400
2400
2400
100
480
800
1200
2400
400
240
800
150
10
1200
200
16204
16216
16222
16224
16231
16234
16235
16242
16243
16246
16253
16255
16263
16312
16314
163 L5
16321
16325
163-26
16341
16342
16344
16351
16353
16354
16405
16406
16413
16425
16433
16444
16452
600
160
240
300
400
1200
2400
60
2400
800
2400
2400
2400
120
1200
2400
200
2400
160
400
300
600
200
2400
75
2400
800
2400
2400
2400
1200
1200
16453
16462
16465
16504
16512
16516
16521
16526
16532
16535
16543
16553
16561
16602
16605
16614
16615
16616
16622
16623
16624
16633
16636
16641
16655
16656
16664
2400
1200
480
1200
1200
160
400
800
150
2400
2400
2400
25
240
2400
600
2400
800
600
2400
300
2400
160
40
2400
800
600
17
Зак. 243
Таблица
i
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
0
1
1
1
-t
1
1
4
4
3
2
6
4
5
I
5
3
5
5
3
2
1
5
4
3
6
5
3
2
6
D
0
0
0
0
0
0
3
0
0
0
4
3
3
0
3
0
2
0
0
0
0
3
0
2
2
0
0
4
2 0
1 0
1 0
1 0
2 0
1 0
1 0
1 0
1 0
1 0
1 0
31 3 0
32 7 5 3 2 1
33 6 4 1 0
34 7 6 5 2 1
35 2 0
36 6 5 4 2
37 5 4 3 2
38 6 5 1 0
39 4 0
40 5 4 3 0
41 3 0
42 5 4 3 2
43 6 4 3 0
44 6 5 2 0
45 4 3 1 0
46 8 5 3 2
47 5 0
48 7 5 4 2
49 6 5 4 0
50 4 3 2 0
1
51 6 3 I 0
52 3 0
53 6 2 1 t)
54 6 5 4 3 2 О
55 6 2 I 0
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
7
5
6
6
1
5
6
I
4
4
4
3
5
5
0
5
0
3
3
2
2
1
4
1
3
I
I
0
0
0
3
0
0
0
0
66 8 6 5 3 2
6? 5 2 1 0
68 7 5 1 0
69 6 5 2 0
70 5 3 1 0
71 5 3 1 0
72 6 4 3 2 I
73 4 3 2 0
74 7 4 3 0
75 6 3 I 0
76 5 4 2 0
77 6 5 2 0
78 7 2 1 0
79 4 3 2 0
80 7 5 3 2 1
81 4 0
82 8 7 6 4 1
83 7 4 2 0
84 8 7 5 3 1
85 8 2 1 0
86 6 5 2 0
87 7 5 1 0
88 8 5 4 3 1
89 6 5 3 0
90 5 3 2 0
91 7 6 5 3 2
92 6 5 2 0
93 2 0
94 6 5 1 0
95 6 5 4 2 1
96 7 6 4 3 2
97 6 0
98 7 4 3 2 1
99 7 5 4 0
100 8 7 2 0
ТАБЛИЦА Е
4
5
6
7
a,
p-
«i
2
2
2
2
p-
<4
11
13
я-2
fli
2
3
8
9
я-2
в!
4
-121
6
6
6
6
-169
120
168
-2J-3
1
4
7
10
_2J-3
a,
•5
¦7
*>A2O)/2
"l
7
7
7
7
</M168)/2
-16
"i
1
3
8
10
-24
«2
8
g
8
8
I
4
6
7
9
12
2
2
2
2
2
2
2
3
4
9
10
11
6
6
6
6
6
6
2
3
6
7
10
11
7
7
7
7
7
7
4
5
6
7
8
9
II
11
11
II
11
11
= 289 288-25-32
а2 at a2
I
6
7
10
11
16
3
5
8
9
12
14
3
3
3
3
3
3
5
5
5
5
5
5
2
6
8
9
11
15
1
4
5
12
13
16
6
6
6
6
6
6
7
7
7
7
7
7
1
3
4
13
14
16
2
7
8
9
10
15
10
10
10
10
10
10
11
11
11
11
11
11
2
3
5
12
14
15
4
6
7
10
11
13
12
12
12
12
12
12
14
14
14
14
14
14
P
a, a2
-19
n
= 2
q-
a
361
г
360
= 23-
a,
32-5
VC6O)/2
= 48
I
4
7
8
11
12
15
18
I
7
8
9
2
2
2
2
2
2
2
2
3
3
3
3
10
11
12
18
2
4
6
9
10
13
15
17
3
3
3
3
10
10
10
10
10'
10
10
10
3
4
6
9
10
13
15
16
1
6
7
8
13
13
13
13
13
13
13
13
14
14
14
14
11
12
13
18
4
5
6
9
10
13
14
15
14
14
14
14
15
15
15
15
15
15
15
15
23 я = 2 рJ9 528 = 24-311 у?E28)/2~8О
а, а2 о, а2 <>| <>2 "i "г
2
4
5
8
15
18
5
5
5
5
5
5
2
3
6
10
13
17
10
10
10
10
10
10
1
3
5
10
13
18
14
14
14
14
14
14
3
4
6
11
12
17
17
17
17
17
17
17
4
7
8
10
13
15
20
20
20
20
20
20
/>-23 я-2 9-529 528-24-3-ll
19
21
1
2
4
9
14
19
21
22
5
5
7
7
7
7
7
7
7
7
20
21
3
7
g
9
14
15
16
20
10
10
II
11
11
11
11
11
11
11
20 14 19 17 16 20
22 14 20 17 19 20
5
9
10
II
12
13
14
18
15
15
15
15
15
15
15
15
I
2
7
11
12
16
21
22
19
19
19
19
19
19
19
19
5
6
7
9
14
16
17
18
21
21
21
21
21
21
21
21
n-2 9-841 84O-23-3-5-7 $ (840)/2 - 96
5
7
11
14
15
18
22
24
1
2
9
14
15
20
27
28
2
2
2
2
2
2
2
2
3
3
3
3
3
3
3
3
I
7
10
14
15
19
22
28
3
5
9
10
19
20
24
26
g
g
8
8
8
8
8
g
10
10
10
10
10
10
10
10
6
9
10
11
18
19
20
23
I
3'
8
13
16
21
26
28
11
11
11
11
11
11
11
11
14
14
14
14
14
14
14
14
7
9
11
12
17
18
20
22
4
8
13
14
15
16
21
25
15
15
15
15
15
15
15
15
18
18
18
18
18
18
18
18
2
4
7
8
21
22
25
27
3
4
6
12
17
23
25
26
19
19
19
19
19
19
19
19
21
21
21
21
21
21
21
21
5
6
8
12
17
21
23
24
2
3
6
13
16
23
26
27
26
26
26
26
26
26
26
26
27
27
27
27
27
27
27
27
2 9-961 960-2*3-5 v?(96O)/2 -128
<*\ a2 "i "г ai a2 ai аг "i "г ai °г а\ ai
2
5
6
7
g
10
14
15
16
17
21
23
24
25
26
29
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
2
3
4
5
6
9
11
15
16
20
22
25
26
27
28
29
11
11
11
11
11
11
11
11
11
11
11
11
11
11
II
11
1
3
4
10
11
12
14
15
16
17
19
20
21
27
28
30
12
12
12
12
12
12
12
12
12
12
12
12
12
12
12
n
1
4
6
8
9
10
12
13
18
19
21
22
23
25
27
30
13
13
13
13
13
13
13
13
13
13
13
13
13
13
13
13
1
2
3
6
7
8
9
11
20
22
23
24
25
28
29
30
17
17
17
17
17
17
17
17
17
17
17
17
17
17
17
17
2
5
7
8
11
12
13
15
16
18
19
20
23
24
26
29
21
21
21
21
21
21
21
21
21
21
21
21
21
21
21
21
1
4
5
7
9
10
14
15
16
17
21
22
24
26
27
30
22
22
22
22
22
22
22
22
22
22
22
22
22
22
22
22
1
3
4
5
7
g
12
13
18
19
23
24
26
27
28
30
24
24
24
24
24
24
24
24
24
24
24
24
24
24
24
24
ХАБЛИЦА F
p"
"' 21
2'
2"
г''
)'
->*
2"
2IC>
212
2°
214
-,1".
3"
2I«
2"
-,20
221
,22
2»
2 24
7 ^"*
227
->2»
2м
З2
3'
з4
з5
з6
з7
3«
з9
з'°
3"
з12
3"
з14
з'5
З1*1
3"
з18
II
101
1001
01001
100001
0000011
1КЮО011
1X4I00001
Ш10О0ОО01
01000000001
110000010001
1100100000001
11000000000101
100000000000001
1010000000010001
00100000000000001
000000100000000001
1100100000000000001
00100000000000000001
010000000000000000001
1ОО0ОО0ОО0О0ОООО0О0О01
00001000000000000000001
110000100000000000000001
0010000000000000000000001
I1000100000000000000000001
110010000000000000000000001
оо|(юаюоооооооооооо(юооооо1
01ОООООООООООООООООООООООООО1
12
201
!002
10101
100002
1010001
00100002
010100001
1010000002
10000010001
100010000002
1000001000001
10000000000002
100000000010001
0000001000000002
10000000100000001
,100000000000100002
р"
52
SJ
54
55
5*
57
5s
5*
510
5"
512
72
73
7"
75
7'
77
78
79
7 ю
II1
II3
и"
IIs
II*
н7
и8
I32
I33
13"
135
13'
I37
I38
172
17'
17"
175
17'
177
а^ага\ ¦¦¦ ап
12
102
1013
00102
I0OO02
1000002
00101003
011000003
1010000003
10000000002
000010010003
13
112
поз
10004
110003
0100004
10000003
100001002
1100000003
17
105
0012
01109
100017
1000005
00010012
12
10 7
101 2
0101 11
101006
0010006
0110000 2
1 3
01 14
100 5
1000 14
10000 3
000100 14
р"
192
19'
194
195
19*
197
232
23'
23"
23s
236
292
29'
29"
295
29*
З!2
З!3
314
315
31*
372
37'
374
375
4I2
413
41"
4I5
432
43'
43"
43*
47г
47'
474
47 s
1 2
10 16
1002
0001 16
00001 3
010000 9
I 7
10 16
001 11
1000 18
10000 7
I 3
01 18
1002
0100 26
000013
1 12
0128
100 13
0100 20
10000 12
15
1024
0012
000132
1 12
0135
001 17
1000 35
13
0140
001 20
1000 40
1 13
10 42
100 5
000142
Литература
ABERTH О. [1] The elementary symmetric functions in a finite field of prime
order, Illinois J. Math. 8, 132—138 A964).
ABRAMSON N. M. [1] Error-correcting codes from linear sequential circuits,
Proc. Fourth London Symp. on Information Theory (C. Cherry, ed.), pp. 26—
40, Butterworths, London, 1961.
{2] Information Theory and Coding, McGraw-Hill, New York, 1963,
ADLEMAN L. M. [1] On distinguishing prime numbers from composite numbers,
Proc. 21st Annual Symp. on Foundations of Computer Science (Syracuse,
N. Y., 1980), pp. 387—406, IEEE Computer Society, Long Beach, Cal., 1980.
ADLEMAN L. M., MANDERS K., MILLER G. [1] On taking roots in finite
fields, Proc. 18th Annual Symp. on Foundations of Computer Science (Pro-
(Providence, R. I., 1977), pp. 175—178, IEEE Computer Society, Long Beach,
Cal., 1977.
ADLEMAN L. M., POMERANCE C, RUMELY R. S. 11 | On distinguishing
prime numbers from composite numbers, Ann. of Math. 117, № 1, 173—206
A983).
ADOLPHSON A., SPERBER S. [1] Exponential sums on the complement of
a hypersurface, Amer. J, Math. 102, 461—487 A980).
AGARWAL R. C, BURRUS С S. [1 ] Number theoretic transforms to implement
fast digital convolution, Proc. IEEE 63, 550—560 A975).
AGOU S. [1] Sur la decomposition de certains ideaux premiers, Publ. Dep. Math.
Lyon 7, no, 1, 41—46 A969).
[2] Formules explicites intervenant dans la division euclidienne des polynomes
a coefficients dans un anneau unitaire et applications diverses, Publ. Dep.
Math. Lyon 8, no. 1, 107—121 A971).
[3] Polynomes sur un corps fini, Bull. Sci. Math. B) 95, 327—330 A971).
[4] Sur I'irreductibilite des polynomes a coefficients dans un corps fini, C. R. Acad.
Sci. Paris Ser. A 272, 576—577 A971).
[5] Sur des formules explicites intervenant dans la division euclidiene des poly-
polynomes et leurs consequences, С R. Acad. Sci, Paris Ser. A 273, 209—211
A971).
[6] Une demonstration de la loi de reeiproeite quadratique, Publ. Dep. Math.
Lyon 9, no. 3, 55—57 A972),
[7] Sur I'irreductibilite de certains polynomes a plusieurs indeterminees et a coeffi-
coefficients dans un corps fini, Publ. Dep. Math. Lyon 12, no. 1, 5—12 A975).
[8] Factorisation des polynomes a coefficients dans un corps fini, Publ. Dep.
Math. Lyon 13, no. 1, 63—71 A976).
[9] Criteres a irreductibilite des polynomes composes a coefficients dans un corps
fini, Ada Arith. 30, 213—223 A976).
[10] Factorisation sur un corps fini F n des polynomes composes / (X^) lorsque
/ (X) est un polynome irreductible de F n [X], L'Enseignement Math. B) 22,
305—312 A976). P
[11] Factorisation sur un corps fini К des polynomes composes f (Xs) lorsque
f(X) est un polynome irreductible de К IX], С. R. Acad. Sci. Paris Ser.
*) При переводе работы отечественных авторов вынесены в отдельный
список; см. с. 790—798, 802—805. -- Прим. перев.
Литература 695
А 282, 1067—1068 A976).
[12] Polynomes irreductibles primitifs a coefficients dans un corps fini, Publ.
Dep. Math. Lyon 14, no. 4, 17—20 A977).
[13] Irreductibillte des polynomes f\XPn— aXf sur un corps fini F $, J. reine
angew. Math. 292, 191—195 A977).
[14] Factorisation sur un corps fini F n des polynoraes composes / (Xp —aX)
lorsque f (X) est un polynorae irreductible de F n [X], J. Number Theory 9,
229—239 A977),
[15] Irreductibillte des polynoraes / \XP —aXP — bXf sur un corps fini F s,
J. Number Theory 10, 64—69 A978).
[16] Irreductibillte des polynoraes f (x? '—aX^'—bX) sur un corps fini F s,
J. Number Theory 11, 20 A979).
[17] Sur le degre minimum de certains polynomes hyponormaux sur un corps fini,
Proc. Queen's Number Theory Conf. (Kingston, Ont., 1979), Queen's Papers
in Pure and Appl. Math., no. 54, pp. 115—118, Queen's Univ., Kingston,
Ont., 1980.
[18] Irreductibilite des polynoraes/ (J] T=oai^p ) sur un corps fini F s, Canad.
Math. Bull. 23, 207—212 A980).
[19] Sur la factorisation des polynomes / \XP r—aXpr — bX) sur un corps fini
F s, J. Number Theory 12, 447—459 A980).
[20] Sur une classe de polynoraes hyponormaux sur un corps fini, Acta Arith. 39,
105—111 A981).
\HMAD S. [1 ] Cycle structure of automorphisms of finite cyclic groups, J. Combi-
Combinatorial Theory 6, 370—374 A969).
[2] Split dilations of finite cyclic groups with applications to finite fields, Duke
Math. J. 37,-547—554 A970).
AHO A. V., HOPCROFT J. E., ULLMAN J. D. [1] The Design and Analysis
of Computer Algorithms, Addison-Wesley, Reading, Mass., 1975. [Имеется
перевод: АХО А., ХОПКРОФТ ДЖ-, УЛЬМАН ДЖ. Построение и анализ
вычислительных алгоритмов.—М.: Мир, 1979.]
AJTAI М. [1 ] Divisibility properties of recurring sequences, Compositio Math. 21,
43—51 A969).
AKHTAR S. [1] Values of symmetric functions, Panjab Univ. J. Math. (Lahore)
2, 43—61 A969).
ALANEN J. D., KNUTH D. E. [1 ] A table of minimum functions for generating
Galois fields of GF (p«), Sankhya Ser. A 23, 128 A961).
[2] Tables of finite fields, Sankhya Ser. A 26, 305—328 A964).
ALBERT A. A. [1] Symmetric and alternate matrices in an arbitrary field, I,
Trans. Amer. Math. Soc. 43, 386—436 A938).
[2] On nonassociative division algebras, Trans. Amer. Math. Soc. 72, 296—309
A952).
[3] Fundamental Concepts of Higher Algebra, Univ. of Chicago Press, Chicago,
1956. [Имеется перевод гл. 5 «Конечные поля»: В ки: Кибернетический
сборник, нов. сер., вып. 3. —М.: Мир, 1966, с. 7—49.]
14] On certain trinomial equations in finite fields, Ann. of Math. B) 66, 170—
178 A957).
[5] On certain polynomial systems, Scripta Math. 28, 15—19 A967).
ALBERT A. A,, SANDLER R. [1] An Introduction to Finite Protective Planes,
Holt, Rinehart and Winston, New York, 1968.
ALMKVIST G. [1 ] Invariants, mostly old ones, Pacific J. Math. 86, 1—13 A980).
ALTHAUS H. L., LEAKE R. J. [1 ] Inverse of a finite-field Vandermonde matrix,
IEEE Trans. Information Theory IT-15, 173 A969).
696 Литература
ANDERSON D. D. [1] Problem 6201, Araer, Math. Monthly 85, 203 A978); So»
lution, ibid. 86, 869—870 A979).
ANDERSON D. R., STIFFLER J. J. [1 ] Lower bounds for the maximum modiff
of certain classes of trigonometric sums, Duke Math. J. 30, 171—176 A963).
ANDREE R. V. [1] A Table of Indices and Power Residues for all Primes and
Prime Powers below 2000, W. W. Norton, New York, 1962.
ANDREWS G. E. [1] A note on the Bombieri—Selberg formula for algebraic
curves, Portugal. Math, 27, 75—81 A968),
ANKENY N. С [1 ] The least quadratic non-residue, Ann, of Math. B) 55, 65—72
A952).
[2 J Equations in finite fields, Proc. Nat. Acad. Sci. U. S. A. 40,1072—1073A954).
[3] Criterion for rth power residuacity, Pacific J. Math, 10, 1115—1124 (I960).
ANKENY N. C, ERDOS P. [1J The insolubility of classes of diophantine equa'
tions, Amer. J. Math. 76, 488—496 A954).
APOSTOL T. M. [lJ Dirichlet L-functions and character power sums, J. Number
Theory 2, 223—234 A970). I
[2J Introduction to Analytic Number Theory, Springer-Verlag, New York—
Heidelberg—Berlin, 1976.
ARAZI B, [1 ] Decimation of m-sequences leading to any desired phase shift, Ele-
Electron. Lett. 13, 213—215 A977).
[2] On the synthesis of de Bruiin sequences, Information and Control 49, 81—90
A981).
ARBIB M. A., FALB P. L,, KALMAN R. E. [1] Topics in Mathematical System
Theory, McGraw-Hill, New York, 1969. [Имеется перевод: КДЛМАН Р.,
ФАЛБ П., АРБИБ М. Очерки по математической теории систем. —М.:
Мир, 1971. J
ARF С. [1] Untersuchungen uber quadratische Formen in Korpern der Charakte-
ristik 2 (Teil I), J. reine angew. Math. 183, 148—167 A941).
ARGHIRIADE E., PETERFI I. [1] On matrices with elements from a finite
field (Romanian), Lucrar. Sti. Inst. Ped. Timisoara Mat.-Fiz. 1960, 19—23.
ARMITAGE J. V. [1 ] On the genus of curves over finite fields, Mathematika 9,
115—117 A962). t
[2] The product of N linear forms in a field of series and the Riemann hypothesis
for curves; Bull. Soc. Math. France Mem. 25, pp. 17—27, Soc. Math. France,
Paris, 1971.
ARNDT F. [1] Einfacher Beweis fiir die Irreduzibilitat einer Gleichung in der
Kreisteilung, J. reine angew. Math. 56, 178—181 A858).
ARNOUX G. [1 ] Arithmetique graphique. Introduction a l'etude des fonctions
arithrnetiques, Gauthier-Villars, Paris, 1906.
ARTIN E. flj Quadratische Korper im Gebiet der hoheren Kongruenzen, I, II,
Math. Z. 19, 153—206, 207—246 A924).
[2] Uber einen Satz von Herrn J. H. Maclagan Wedderburn, Abh. Math. Sem.
Univ. Hamburg 5, 245—250 A927).
[3] Linear mappings and the existence of a normal basis, Studies and Essays
Presented to R. Courant on His 60th Birthday, pp. 1—5, Interscience, New
York, 1948.
[4] The influence of J. H. M. Wedderburn on the development of modern algebra,
Bull. Amer. Math. Soc. 56, 65—72 A950).
[51 The orders of the linear groups, Comm. Pure Appl. Math. 8, 355—365 A955).
[6] The orders of the classical simple groups, Comm. Pure Appl. Math. 8, 455—
472 A955).
[7] Geometric Algebra, Interscience, New York, 1957. [Имеется перевод: АР-
ТИН Э. Геометрическая алгебра. — М.: Наука, 1969.]
[8] Galois Theory, 2nd ed., Univ. of Notre Dame Press, South Bend, Ind., 1966.
[Имеется перевод: АРТИН Э. Теория Галуа (укр.), — Киев: Радяиьека
школа, 1963.1
Литература 697
|9] Algebraic Numbers and Algebraic Functions, Gordon and Breach, New York,
1967.
ARWIN A, [1] Uber das Aufldsen der Kongruenzen von dera dritten und vierten
Grade nach einera Primzahimodulus, Lunds Univ. Arsskrift N. F. (Avd. 2)
12, no. 3 A915).
[2] Uber Kongruenzen von dem funften und hoheren Graden nach einera Prim-
Primzahimodulus, Ark. Mat. Astron. Fys. 14, no. 7 A919).
ASH R. [1J Information Theory, Wiley-Interscience, New York, 1965.
ASSMUS E, F., Jr., MATTSON H. F., Jr. [1] On tactical configurations and
error-correcting codes, J. Combinatorial Theory 2, 243—257 A967).
|2J Coding and combinatorics, S1AM Rev. 16, 349—388 A974).
AUSLANDER L., TOLIMIERI R. [1] Is computing with the finite Fourier
transform pure or applied mathematics? Bull. Amer. Math. Soc. (N. S.) 1,
847-897 A979).
AX J. [1J Zeroes of polynomials over finite fields, Arner, J. Math. 86, 255—261
A964).
[2] Solving diophantine problems modulo every prime, Ann. of Math. B)85,
161—183 A967).
[3] The elementary theory of finite fields, Ann. of Math. B) 88, 239—271 A968).
AX J., KOCHEN S. [1J Diophantine problems over local fields. I, Amer. J. Math.
87, 605—630A965). [Имеется перевод: АКС ДЖ., КОХЕН С. Диофантовы
проблемы иад конечными полями. — Математика, т. 9, № 5 A965), с. 3—26. J
AYOUB R. [1] An Introduction to the Analytic Theory of Numbers, American
Math. Society, Providence, R. I., 1963.
BACHMANN P. [1] Die Lehre von.der Kreistheilung, Teubner, Leipzig, 1872.
[2] Zahlentheorie, Band 2: Die analytische Zahlentheorie, Teubner, Leipzig,
1894.
|3J Die Arithmetik der quadratischen Formen, Teubner, Leipzig, 1898.
[4] Niedere Zahlentheorie, Erster Teil, Teubner, Leipzig, 1902.
[5] Niedere Zahlentheorie, Zweiter Teil, Teubner, Leipzig, 1910.
[6] Das Fermatproblem in seiner bisherigen Entwicklung, de Gruyter, Berlin,
1919; Springer-Verlag, Berlin—Heidelberg—New York, 1976.
BAER R. [l] Linear Algebra and Projective Geometry, Academic Press, New
York, 1952. [Имеется перевод: БЭР Р. Линейная алгебра и проективная
геометрия.—М.: ИЛ, 1955.]
BAJOGA В. G. [1] Generation of irreducible polynomials from trinomials over
GF B). II, Information and Control 37, 5—18 A978).
BAJOGA B. G., WALBESSER W. J. [1 ] Generation of irreducible polynomials
from trinomials over GF B), I, Information and Control 30, 396—407 A976).
BALAKRISHNAN A. V. [1] Communication Theory, McGraw-Hill, New York,
1968,
BALDISSERRI N. [1] Sul numero dei punti di cubiche ellittiche, a moltipli-
cazione complessa, ridotte modulo p, Boll. Un. Mat. Ital. E) 16A, 367—
373 A979).
BALL J. R., SPITTLE A. H., LIU H. T. [1] High-speed m-sequence genera-
generation: a further note, Electron. Lett. 11, 107—108 A975).
BALL1EU R. [1] Factorisation des polynomes cyclotomiques modulo un nombre
^ premier, Ann. Soc. Sci. Bruxelles Ser. I 68, 140—144 A954).
BAMBAH R. P., CHOWLA S. [1 ] On the sign of the Gaussian sum, Proc. Nat.
Inst. Sci. India Part A 13, 175—176 A947).
HARNER K. fl] Zur Fibonacci-Folge modulo p, Monatsh, Math. 69, 97—104
A965).
121 Zur Reziprozitat quadratischer Charaktersummen in algebraischen Zahlkor-
pern, Monatsh. Math. 71, 369—384 A967).
"ARNETT S. [1] Greatest common divisor of several polynomials, Proc. Cam-
Cambridge Philos. Soc. 70, 263—268 A971).
698 Литература
BARRUCAND P. [1] Soraraes de Gauss et series singuiieres de Hardy pour \v*
cubes, С R. Acad. Sci. Paris 250, 4249—4251 (i960).
BARTEE T. C, SCHNEIDER D: I. [i] Computation with finite fields, Infornia
tion and Control 6, 79—98 A963),
BATEMAN P. Т., CHOWLA S., ERDOS P. [1J Remarks on the size of L A, "/)
Publ. Math. Debrecen 1, 165—182 A950).
BATEMAN P. Т., DUQUETTE A. L. [1] The analogue of the Pisot-Vija>;i-
raghavan numbers in fields of formal power series, Illinois J. Math. 6, 594 -
606 A962).
HAUM L. E., HERZBERG N. P., LOMONACO S, J,, Jr., SWEET M. M. 11,'
Fields of almost periodic sequences, J. Combinatorial Theory Ser. A 22, 169
180 A977).
BAUM L. E,, NEUWIRTH L. P. [1 ] Decomposition of vector spaces over GF B)
into disjoint equidimensional affine spaces, J. Combinatorial Theory Scr.
A 18, 88—100 A975).
BAUM L. E., SWEET M. M, [1J Continued fractions of algebraic power series
in characteristic 2, Ann. of Math. B) 103, 593—610 A976).
[2] Badly approximable power series in characteristic 2, Ann. of Math. B) 105,
573—580 A977).
BAUMERT L. D, [1] Cyclic Difference Sets. Lecture Notes in Math., vol. 1*2,
Springer-Verlag, Berlin—Heidelberg—New York, 1971.
BAUMERT L. D., FREDRICKSEN H. [1] The cyclotomic numbers of order
eighteen with applications to difference sets, Math. Сотр. 21, 204—219 A967).
BAUMERT L. D., HALL M., Jr. [1J A new construction for Hadamard matrices.
Bull. Amer. Math. Soc. 71, 169—170 A965).
BAUMERT L. D., MCELIECE R. J. [1] Weights of irreducible cyclic coles,
Information and Control 20, 158—175 A972).
8AUMERT L. D., MILLS W. H., WARD R. L, [1 ] Uniform cyclotomy, J. Nttm-
ber Theory 14, 67—82 A982).
BAYER P., NEUKIRCH J. [1] On values of zeta functions and /-adic Etil"
characteristics, Invent. Math. 50, 35—64 A978).
BEARD J. Т. В., Jr. f 1J Matrix fields over prime fields, Duke Math. J. 39, 313 ¦
321 A972). i
[2J Matrix fields over finite extensions of prime fields, Duke Math. J. 39, 476¦¦
484 A972).
[3] The number of matrix fields over GF (q), Acta Arith. 25, 315—329 A974).
[4] A rational canonical form for matrix fields, Acta Arith. 25, 331—335 A974).
[5] Computing in GF (q), Math. Сотр. 28, 1159-1166 A974).
[6] Unitary perfect polynomials over GF (q), Atti Accad. Naz. Lincei Rend. U-
Sci. Fis. Mat. Natur. (8) 62, 417—422 A977). -
BEARD J. Т. В., Jr., BULLOCK А. Т., HARBIN M. S. [1] Infinitely manv
perfect and unitary perfect polynomials, Atti Accad. Naz. Lincei Rend. Ы.
Sci. Fis. Mat. Natur. (8) 63, 294—303 A977).
BEARD J. Т. В., Jr., DOYLE J. K., MANDELBERG K. I. [U Square-sep.j-
rable primes and unitary perfect polynomials, Atti Accad. Naz. Lincei Rend
Cl. Sci. Fis. Mat. Natur. (8) 68, 397—401 A980),
BEARD J. Т. В., Jr., HARBIN M. S. [1] Nonsplitting unitary perfect poly-
polynomials over GF (q). Atti Accad. Naz. Lincei Rend. Cl, Sci. Fis. Mat. Natur.
(8N6, 179—185 A979).
BEARD J. Т. В., Jr., MCCONNEL R. [1] Matrix fields over the integers mo-
modulo m, Linear Algebra Appl, 14, 95—105 A976).
BEARD J. Т. В., Jr., O'CONNELL J, R., Jr., WEST K. I. [П Perfect poly-
polynomials over GF (q), Atti Accad. Nar. Lincei Rend, Cl, Sci. Fis. Mat. Natur-
(8) 62, 283—291 A977), . .
BEARD J. T, B. Jr., WEST K. I. f 11 Some primitive polynomials of the third
kind, Math, Сотр. 28, 1166—1167 A974),
Литература 699
[2] Factorization tables for xn -r 1 over GF (q), Math. Comp 28, 1167—1168
A974)..
[3] Factorization tables for trinomials over GF (q), Math. Сотр. 30, 179—183
A976).
BEDOCCHI E. [1] Cubiche ellittiche su Fp, Boll. Un. Mat. Ital. E) 17B, 269—
277 A980).
[2] Classi di isomorfismo delle cubiche di FQ, Rend. Circ. Mat. Palermo B) 30,
397—415 A981).
BEEGER N. G. W. H. [1] Sur l'identite de M. G. Rados, Rend. Circ. Mat. Pa-
Palermo 51, 312—314 A927).
BEKER H,, PIPER F. С [1] Shift register sequences, Combinatorics (Swansea,
1981), London Math. Soc. Lecture Note Series, no. 52, pp. 56—79, Cambridge
Univ. Press, Cambridge, 1981.
[2] Cipher Systems. The Protection of Communications, Northwood Books,
London, 1982.
BELEVITCH V. [1] Conference networks and Hadamard matrices, Ann. Soc.
Sci. Bruxelles Ser. I 82, 13—32 A968).
BELL E. T. [1] Notes on recurring series of the third order,- Tdhoku Math. J. 24,
168—184 A925).
BELLMAN R. [1] A note on the solution of polynomial congruences, Boll. Un.
Mat. Ital. C) 19, 60—63 A964).
BENJAUTHRIT В., REED I. S. [1] Galois switching functions and their appli-
applications, IEEE Trans. Computers C-25, 78—86 A976).
[2] On the fundamental structure of Galois switching functions, IEEE Trans.
Computers C-27, 757—762 A978).
BERGER T. R., REUNER I. [1] A proof of the normal basis theorem, Amer.x
Math. Monthly 82, 915—918 A975).
BERGSTROM H. [1] Die Klassenzahlformel fur reelle quadratische Zahlkorper
mit zusammengesetzter Diskriminante als Produkt verallgemeinerter Gau^-
scher Summen, J. reine angew. Math. 186, 91—115 A944/45).
BERGUM G. E., JORDAN J. H. [1] The distribution of quadratic residues
in fields of order pa, Math. Mag. 45, 194—200 A972).
BERLEKAMP E. R. [1] On decoding binary Bose-Chaudhuri—Hocquenghem
codes, IEEE Trans. Information Theory IT-11, 577—579 A965).
[2] Distribution of cyclic matrices in a finite field, Duke Math. J. 33, 45—48
A966). ,
C) Factoring polynomials over finite fields, Bell System Tech. J. 46, 1853—1859
A967).
14] Algebraic Coding Theory, McGraw-Hill, New York, 1968. [Имеется перевод:
БЕРЛЕКЭМП Э. Алгебраическая теория кодирования. —М.: Мир, 1971.]
15] Weight enumeration theorems, Proc. Sixth Allerton Conf. on Circuit and
Systems Theory, pp. 161—170, Univ. of Illinois Press, Urbana, 111,, 1968.
[6] Factoring polynomials over large finite fields, Math. Сотр. 24, 713—735
A970).
17] Factoring polynomials, Proc. Third Southeastern Conf. on Combinatorics,
Graph Theory, and Computing (Boca Raton, Fla., 1972), pp. 1—7, Utilitas
Math., Winnipeg, Man., 1972.
3] A survey of coding theory, J. Royal Statist. Soc. Ser. A 135, 44—73 A972).
191 Key Papers in the Development of Coding Theory, IEEE Press, New York,
1974.
"°1 An analog to the discriminant over fields of characteristic two, J. Algebra 38,
Dr, 315-317 A976).
BbRLEKAMP E. R., FREDRICK.SEN H., PROTO R. C. [1 ] Minimum condi-
conditions for uniquely determining the generator of a linear sequence, Utilitas
Math. 5, 305-315 A974).
LEKAMP E. R., RUMSEY H., SOLOMON G. [11 On the solution of al-
algebraic equations over finite fields, Information and Control 10,553—564A967).
700 Литература
BERMAN G., FRYER К. D. [i] Introduction to Combinatorics, Academic Pu-<s
New York, 1972.
BERNDT В. С [i] On Gaussian sums and other exponential sums with perioiiic
coefficients, Duke Math. J. 40, 145—156 A973).
BERNDT B. C, CHOWLA S. [1] The reckoning of certain quartic and <xlic
Gauss sums, Glasgow Math. J. 18, 153—155 A977).
BERNDT B.C., EVANS R.J. [1 ] Sums of Gauss, Jacobi, and Jacobsthal. J. Num-
Number Theory 11, 349—398 A979).
[2] Sums of Gauss, Eisenstejn, Jacobi, Jacobsthal, and Brewer, Illinois J. Ma'h
23, 374—437 A979).
[3] Half Gauss sums, Math. Ann. 249, 115—125 A980).
[4J The determination of Gauss sums, Bull. Araer. Math. Soc. (N. S.) 5, 107-Il)()
A981); Corrigendum, ibid. 7, 441 A982).
BERNSTEIN B. A. [1] A general theory of representation of finite operati'Ws
and relations, Bull, Amer. Math. Soc. 32, 533—536 A926).
[2] Modular representations of finite algebras, Proc. International Math. Congress
(Toronto, 1924), vol. 1, pp. 207—216, Univ. of Toronto Press, Toronto, 1ЩИ.
BERNSTEIN B. A., DEBELY Y. N. [1J A practical method for the modul.ir
representation of finite operations and relations, Bull. Amer, Math. Soc. ;JS.
110—114 A932).
BERTRAM E. A, [1 ] Polynomials which commute with a Tchebycheff polynomi.il,
Amer. Math. Monthly 78, 650—653 A971).
BETTI E. [1] Sopra la risolubilita per radicali delle equazioni algebriche irri-
duttibili di grado primo, Ann. Sci. Mat. Fis. 2, 5—19 A851).
[2] Sulla risoluzione delle equazioni algebriche, Ann. Sci. Mat. Fis. 3, 49—115
A852).
[3] Sopra la teorica delle sostituzioni, Ann. Sci. Mat. Eis. 6, 5—34 A855).
BEYER G. fl] Ober eine Klasseneinteilung aller kubischen Restcharakter*1,
Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg 19, 115—116 A954).
BHANU MURTHY B. S., SAMPATH S. [1] An application of linear feedback
shift registers in the computation of polynomial arithmetic, Internet. J. Elec-
Electron. 45, 177—185 A978).
BHASKARAN M. [1J Sums of /nth powers in algebraic and abelian number fields,
Arch. Math. 17, 497—504 A966); Correction, ibid. 2Я, 370—371 A971).
BIERSTEDT R. G., MILLS W. H. A1 On the bound for a pair of consecutive
quartic residues of a prime, Proc. Amer. Math. Soc. 14, 628—632 A963).
BILHARZ H. fl] Primidvisor mit vorgegebener Primitivwurzel, Math. Ann. 114,
476—492 A937).
BINI D., CAPOVANI M. [1 ] Lower bounds of the complexity of linear algebras.
Inform. Process. Lett. 9, no. 1, 46—47 A979).
BIRCH B. J. [1] Waring's problem for p-adic number fields, Acta Arith, 9, 164
176 A964).
[2] How the number of points of an elliptic curve over a fixed prime field varit-.
J. London Math. Soc. 43, 57—60 A968).
BIRCH B. J., LEWIS D. J. [1] p-adic forms, J. Indian Math, Soc. 23, 11- S2
A959).
[2] Systems of three quadratic forms, Acta Arith. 10, 423—442 П965).
BIRCH B.J.,LEWIS D.J. .MURPHY T. G. [1J Simultaneous quadratic fori::-.
Amer. J. Math. 84, 110—115 A962).
BIRCH B. J., SWINNERTON-DYER H. P. F. [1J Note on a problem of Cho*!:i.
Acta Arith. 5, 417—423 A959).
[2] Notes on elliptic curves. II, J. reine angew. Math. 218, 79—108 A965).
BIRDSALL T, G., RISTENBLATT M. P. [1] Introduction to linear shift-register
"generated sequences, EDG Tech. Report No. 90, Univ. of Michigan Research
Institute, Ann Arbor, Mich., 1958.
BIRKHOFF G., BARTEE Т. С [1] Modern Applied Algebra, McGraw-Hill,
New York, 1970. [Имеется перевод БИРКГОФФ Г., БАРТИ Т. Современная
прикладная алгебра.—М.: Мир, 1976.]
Литература 701
BIRKHOFF G., MACLANE S. [i] A Survey of Modern Algebra, 4th ed., Mac-
millan, New York, 1977.
BIRKHOFF G. D,, VANDIVER H. S. [1J On the integral divisors of an — bn,
Ann. of Math. B) 5, 173—180 A904).
BLAHUT R. E. [1] Algebraic codes in the frequency domain, Algebraic Coding
Theory and Applications (G. Longo, ed.), CISM Courses and Lectures, vol. 258,
pp. 447—494, Springer-Verlag, Vienna, 1979.
BLAKE I. F. [1] Algebraic Coding Theory: History and Development, Dowden—
Hutchinson—Ross, Stroudsburg, Penn., 1973.
[21 Codes and designs, Math. Mag. 52, 81—95 A979).
BLAKE I. F., MULLIN R. С [1 ] The Mathematical Theory of Coding, Academic
Press, New York, 1975.
BLANCHARD A. [1] Les corps non commutatifs, Presses Univ. de France, Paris,
1972.
BLANKINSHIP W, A, [1] A new version of the Euclidean algorithm, Amer.
Math. Monthly 70, 742—745 A963).
BLOCK H. D., THIELMAN H. P. [1 ] Commutative polynomials, Quart, J. Math.
B) 2, 241—243 A951).
BLOOM D. M. [1] On periodicity in generalized Fibonacci sequences, Amer. Math
Monthly 72, 85S—861 A965).
BLUMENTHAL L. M. [1] A Modern View of Geometry, W. H. Freeman, San
Francisco, 1961.
BOCHNER S. [1] Remarks on Gaussian sums and Tauberian theorems, J. Indian
Math. Soc. 15, 97—104 A951).
BOLLMAN D. [1J Some periodicity properties of transformations on vector spaces
over residue class rings, J. Soc. Indust. Appl. Math. 13, 902—912 A965).
[2] Some periodicity properties of modules over the ring of polynomials with
coefficients in a residue class ring, SIAM J. Appl. Math. 14, 237—241 A966).
BOLLMAN D., RAMIREZ H. [1 ] On the number of nilpotent matrices over Zm,
J. reine angew. Math. 238, 85—88 A969).
BOMBIERI E. [1] Sull'analogo della formula di Selberg nei corpi di funzioni,
Atti Accad. Naz. Lincei Rend. Cl. Sci. Fis. Mat. Natur. (8) 35, 252—257
A963).
[2] Nuovi risultati sulla geometria di una ipersuperficie cubica a tre dimensioni,
Rend, Mat. e Appl. E) 25, 22—28 A966).
13] On exponential sums in finite fields, Les Tendances Geometriques en Algebre
et Theorie des Nombres, pp. 37—41, Edition du Centre National de la Recherche
Scientifique, Paris, 1966.
N] On exponential sums in finite fields, Amer. J. Math. 88, 71—105 A966).
[Имеется перевод: БОМБЬЕРИ Э. Об экспоненциальных суммах в конеч-
конечных полях. —Математика, т. 12, № 2, 1968, с. 58—87.)
15] Counting points on curves over finite fields (d'apres S. A. Stepanov), Semi-
naire Bourbaki 1972/73, Exp. 430, Lecture Notes in Math,, vol. 383, pp. 234—
241, Springer-Verlag, Berling—Heidelberg--New York, 1974.
16] Hubert's 8th problem: an analogue, Proc. Symp. Pure Math., vol. 28, pp. 269—
274, American Math. Society, Providence, R. I., 1976.
17] On exponential sums in finite fields, II, Invent. Math. 47, 29—39 A978).
BOMBIERI E., DAVENPORT H. [1 ] On two problems of Mordell, Amer. J. Math.
88, 61—70 A966). [Имеется перевод: БОМБЬЕРИ Э., ДЭВЕНПОРТ Г.
О двух проблемах Морделла. — Математика, т. 12, Ш 2, 1968, с.
49 gy 1
B°MBIERI E., SWINNERTON-DYER H. P. F. [1] On the local zeta function
R_ of a cubic threefold, Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa C) 21, 1—29 A967).
QUOTH T. L. [1] Sequential Machines and Automata Theory, Wiley, New York,
B°REL Ё., DRACH J. [1] Introduction a I'etude de la theorie dls nombres
et de l'algebre superieure, Nony, Paris, 1895.
702 Литература
BORHO W. [i J Kettenbruche ira Galoisfeid, Abh. Math. Sera. Univ. Hamburg 39
76—82 A973).
BORODIN A., MUNRO I. [1] The computational Complexity of Algebraic and
Numeric Problems, American Elsevier, New York, 1975.
BOROS E. A] On matrices with elements of a finite field (Romanian), Lucrar.
Sti. Inst. Ped. Timisoara Mat.-Fiz. 1961, 41—47.
BOROSH I., MORENO С J., PORTA H. [1] Elliptic curves over finite fields. I,
Proc. Number Theory Conference (Boulder, Colo., 1972), pp. 147—155, Univ ,
of Colorado, Boulder, Colo., 1972.
12] Elliptic curves over finite fields. II, Math. Сотр. 29, 951—964 A975),
BOSE N. K- [1] A criterion to determine if two multivariable polynomials иге
relatively prime, Proc. IEEE 60, 134—135 A972).
BOSE R. C. 11J On the application of the properties of Galois fields to the problem
of construction of hyper-Graeco-Latin squares, Sankhya 3, 323—338 A938).
[2] On the construction of balanced incomplete block designs, Ann. of Eugenics 9,
353—399 A939).
BOSE R. C, CHOWLA S., RAO С R. [1 ] On the integral order (mod p) of quadra-
quadratics x2 + ax + b, with applications to the construction of minimum functions
for GF (p2), and to some number theory results, Bull. Calcutta Math. Soc. 36,
153—174 A944).
[2] Minimum functions in Galois fields, Proc. Nat. Acad. Sci. India Sect. A 15,
191—192 A945).
[3] On the roots of a well-known congruence, Proc. Nat. Acad. Sci. India Sect.
A 15, 193A945).
BOSE R. C, RAY-CHAUDHURI D. K. [11 On a class of error correcting binary
group codes, Information and Control 3, 68—79 A960). [Имеется перевод:
БОУЗ Р. К,, РОЙ-ЧОУДХУРИ Д. К- Об одном классе двоичных rpytmo-
вых кодов с исправлением ошибок. — В ки.: Кибернетический сборАик,
вып. 2. — М.: ИЛ, 1961, с. 83—94.]
[2] Further results on error correcting binary group codes, Information and Con-
Control 3, 279—290 A960). [Имеется перевод: БОУЗ Р. К., РОЙ-ЧОУДХУ-
РОЙ-ЧОУДХУРИ Д. К. Дальнейшие результаты относительно двоичных групповых кодов
с исправлением ошибок. — В кн.: Кибернетический сборник, вып. 6, —
М.: ИЛ, 1963, с. 7—19.]
BOSE R. С, SHRIKHANDE S. S. [1 ] A note on a result in the theory of code
construction, Information and Control 2, 183—194 A959).
[2] On the falsity of Euler's conjecture about the non-existence of two orthogonal
Latin squares of order 4t+ 2, Proc. Nat. Acad. Sci. U. S. A. 45, 734—737
A959).
[3] On the construction of sets of mutually orthogonal Latin squares and the
falsily of a conjecture of Euler, Trans. Amer. Math. Soc. 95, 191—209 A960).
BOSE R. C, SHRIKHANDE S. S., PARKER E. T. [1] Further results on the
construction of mutually orthogonal Latin squares and the falsity of Euler's
conjecture, Canad, J. Math. 12, 189—203 A960).
BOTTEMA O. [1 ] On the Betti— Mathieu group (Dutch), Nieuw Arch. Wisk. B) 16,
no. 4, 46—50 A930).
BOURBAKI N. [1] Algebre, Ch. V, Actualites §ci. Ind., no. 1102, Hermann,
Paris, 1950. [Имеется перевод: БУРБАКИ Н. Алгебра. Многочлены и воля.
Упорядоченные группы. — М.: Наука, 1965.]
[2] Algebre, Ch. VIII, Actualites Sci. Ind., no. 1261, Hermann, Paris, 1958.
[Имеется перевод: БУРБАКИ Н. Алгебра. Модули, кольца, формы. —
М.: Наука, 1966.]
BOVEY J. D. [1] On the congruence а,ж*+ ... + asxks = N (mod p"), Acta
Arith. 23, 257—269 A973).
[2] Г* (8), Acta Arith. *25, 145—150 A974).
[3] A note on Waring's problem in p-adic fields, Acta Arith. 2», 343—351 A9?6).
Литература 703
|4] A new upper bound for Waring" s problem (mod p), Acta Arith, 32, 157—162
A977).
BOYARSKY M. [1] p-adic gamma functions and Dwork cohomology, Trans.
Amer. Math. Soc. 257, 359—369 A980).
BOYCE W. M. [1] On polynomials which commute with a given polynomial,
Proc. Amer. Math. Soc. 33, 229—234 A972).
BRAHANA H. R. [1] On cubic congruences, Bull. Amer. Math. Soc. 39, 962—969
A933).
12) Note on irreducible quartic congruences, Trans. Amer. Math. Soc. 38, 395—
400 A935).
BRANDIS A. [1] Ein gruppentheoretischer Beweis fur die Kommutativitat endli-
cher Divisionsringe, Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg 26, 234—236 A963).
BRAUER A. [1] Ober Sequenzen von Potenzresten, Sitzungsber. Preufl. Akad.
Wiss. Phys.-Math. Kl. 1928, 9—16.
[2] Ober den kleinsten quadratischen Nichtrest, Math. Z. 33, 161—176 A931).
[3] Ober Sequenzen von Potenzresten. II, Sitzungsber, Preufl. Akad. Wiss. Phys.-
Math. Kl. 1931, 329—341.
[4] Ober die Verteilung der Potenzreste, Math. Z. 35, 39—50 A932).
15] Combinatorial methods in the distribution of feth power residues, Proc. Conf.
Combinatorial Math, and Its Appl. (Chapel Hill, N. C, 1967), pp. 14—37,
Univ. of North Carolina Press, Chapel Hill, N. C, 1969.
BRAUER R. [1] A note on systems of homogeneous algebraic equations, Bull.
Amer. Math. Soc. 51, 749—755 A945).
BRAUN H. [1] Geschlechter quadratischer Formen, J. reine angew. Math. 182,
32—49 A940).
BRAWLEY J. V. [1 ] Enumeration of canonical sets by rank, Amer. Math. Monthly
74, 175—177 A967).
12] Certain sets of involutory matrices and their groups, Duke Math. J. Зв, 473—
478 A969).
[3] Polynomials over a ring that permute the matrices over that ring, J. Algebra
38, 93—99 A976).
[4] The number of polynomial functions which permute the matrices over a finite
field, J. Combinatorial Theory Ser. A 21, 147—154 A976).
[5] A note on polynomial matrix functions over a finite field, Linear Algebra
Appl. 28, 35—38 A979).
BRAWLEY J. V., CARLITZ L. [1] Enumeration of matrices with prescribed
row and column sums, Linear Algebra Appl. 6, 165—174 A973).
[2] A characterization of the я Х я matrices over a finite field, Amer. Math.
Monthly 80, 670—672 A973); Addendum, ibid. 80, 1041—1043 A973).
BRAWLEY J. V., CARLITZ L., LEVINE J. [11 Power sums of matrices over
a finite field, Duke Math. J. 41, 9—24 A974).
[2] Scalar polynomial functions on the я Х я matrices over a finite field, Linear
Algebra Appl. 10, 199—217 A975);
BRAWLEY J. V., CARLITZ L., VAUGHAN T. P. [1] Linear permutation
polynomials with coefficients in a subfield, Acta. Arith. 24, 193—199 A973).
BRAWLEY J. V., GAMBLE R. O. [1] Involutory matrices over finite commu-
commutative rings, Linear Algebra Appl. 21, 175—188 A978).
BRAWLEY J. V., HANKINS M. 11] On the distribution by rank of bases for
vector spaces of matrices over a finite field, Linear Algebra Appl. 39, 91—
D , 101 A981).
BRAWLEY J. V., LEVINE J, [1] Equivalence classes of linear mappings with
applications to algebraic cryptography. I, II, Duke Math. J. 3», 121—132,
133-142 A972).
I2I Equivalence classes of involutory mappings, Duke Math. J. 3», 211—217
BRAWLEY J. V., MULLEN G. L. [ЦА note of equivalence classes of matrices
over a finite field, Internat. J. Math, and Math. Scl. 4, 279—287 A981).
704 Литература
BREMNER A., MORTON P. [11 Polynomial relations in characteristic p, Quart
J. Math. B) 29, 335—347 A978).
BRENNER J. L. [1 ] Linear recurrence relations, Amer. Math. Monthly 61, 17] —
173 A954).
BRENNER J, L., CARLITZ L. [1] Covering theorems for finite nonabdian
simple groups. III. Solutions of the equation rxx2 + $t2 + yt~2 = a in a finite
field, Rend. Sem. Mat. Univ. Padova 55, 81—90 A976).
BRESSOUD D. M. [1] On the value of Gaussian sums, J. Number Theory 13
88—94 A981).
BREWER B. W. [1J On the quadratic reciprocity law, Amer. Math. Monthly 58,
177—179 A951).
[2J On certain character sums, Trans. Amer. Math. Soc. 99, 241—245 A%I).
[3] On primes of the form и2 + 5v2, Proc. Amer. Math. Soc. 17, 502--509
A966).
BRIDGES W. G., RYSER H. J. fl ] Combinatorial designs and related systems.
J. Algebra 13, 432—446 A969).
BRILLHART J. [1] Some modular results on the Euler and Bernoulli polvno-
mials, Acta Arith. 21. 173—181 A972),
BRILLHART J., LEHMER D. H., LEHMER E. [1] Bounds for pairs ol con-
consecutive seventh and higher power residues, Math. Сотр. 18, 397 -107
A964).
BRILLHART J., LEHMER D. H., SELFRIDGE J. L. [lJNew primnlity
criteria and factorizations of 2m ± 1, Math. Сотр. 29, 620—647 A975).
BRILLHART J., SELFRIDGE J. L. [1] Some factorizations of 2"± 1 and rela-
related results, Math. Сотр. 21, 87—96 A967); Corrigendum, ibid. 21, 751
A967).
BRIOSCHI F, [1] Des substitutions de la forme 0 (r) = e (rn~2 + ar{n'"':)
pour un nombre n premier de lettres, Math. Ann. 2, 467—470 A870).
[2J Un teorema nella teorica delle sostituzioni, Rend. Reale 1st. Lombardo Sci.
Lett. B) 12, 483—485 A879).
[3] Sur les fonctions de sept lettres, С R. Acad. Sci. Paris 95, 665--6ВД.
814—817, 1254—1257 A882).
BROUSSEAU A. [1 ] Recursion relations of products of linear recursion sequences,
Fibonacci Quart. 14, 159—166 A976).
BROWKIN J. [1] On zeros of forms, Bull. Acad. Polon. Sci. Set. Sci. ЛЫп.
Astronom. Phys. 17, 611—616 A969).
[2] Theory of Fields (Polish), Biblioteka Matematyczna, vol. 49, PWN, Warsaw.
1977.
BROWN E. [1] The first proof of the quadratic reciprocity law, revisited, Amer.
Math. Monthly 88, 257—264 A981).
BROWN H., ZASSENHAUS H. [1] Some empirical observations on prfmiiive
roots, J. Number Theory 3, 306—309 A971).
BROWN W. S. [1] On Euclid's algorithm and the computation of polynomial
greatest common divisors, J. Assoc. Comput. Mach, 18, 478—504 A971).
BRUCK R. H. Jl] Difference sets in a finite group, Trans. Amer. Math. Soc. 78,
464—481 A955).
[2] Computational aspects of certain combinatorial problems, Proc. Swiip-
Applied Math., vol. 6, pp. 31—43, McGraw-Hill, New York, 1956.
BRUCK R. H., RYSER H. J. Ц] The nonexistence of certain finite projeilivc
planes. Canad. J. Math. 1, 88—93 A949).
BRUCKNE'R G. [1] Fibonacci sequence modulo a prime p = 3 (mod 4), I'"i|)O"
nacci Quart. 8, 217—220 A970).
BRUEN A. [1] Permutation functions on a finite field, Canad. Math. Bull- '¦>.
595—597 A972).
BRUEN A., LEVINGER B. [1] A theorem on permutations of a finite
Canad. J. Math. 25, 1060—1065 A973).
Литература 705
BRIJGGEMAN R. W. [1] Fourier Coefficients of Automorphic Forms, Lecture
Notes in Math., vol. 865, Springer-Verlag, Berlin—Heidelberg—New York,
1981.
BRIJHAT F. [1] Lectures on Some Aspects of p-adic Analysis, Tata Institute
of Fundamental Research, Bombay, 1963.
BU T. [1] Partitions of a vector space, Discrete Math. 31, 79—83 A980).
BUCKHIESTER P. G. [1] The number of n X n matrices of rank r and trace a
over a finite field, Duke Math. J. 39, 695—699 A972).
[2] Gauss sums and the number of solutions to the matrix equation XAXT = 0
over GF By), Acta Arith. 23, 271—278 A973).
[3] The number of solutions to the matrix equation XAXr = C, A and С nonal-
ternate and of full rank, over GF {2y), Math. Nachr. 63, 37—41 A974).
[4] Rank r solutions to the matrix equation XAXr = C, A nonalternate,
С alternate, over GF {2y), Canad. J. Math. 28, 78—90 A974).
[5] Rank r solutions to the matrix equation XAXr — C, A alternate, over
GF By), Trans. Amer. Math. See. 189, 201—209 A974).
[6] Rank r solutions to the matrix equation XAXr = C, A and С nonalter-
nonalternate, over GF {2»), Math. Nachr. 63, 413—422 A974).
BUMBY R. T. Jl] A distribution property for linear recurrence of the second
order, Proc. Amer. Math. Soc. 50, 101—106 A975).
BUNDSCHUH P. [1] On the distribution of Fibonacci numbers, Tamkang J.
Math. 5, 75—79A974).
[2] Transzendenzmasse in Korpern formaler Laurentreihen, J. reineangew. Math.
299/300, 411—432 A978).
BUNElSCHUH P., SHIUE J.-S.: [1] Solution of a problem on the uniform distri-
distribution of integers, Atti Accad. Naz. Lincei Rend. Cl. Sci. Fis. Mat.
Natur. (8) 55, 172—177A973).
[2] A generalization of a paper by D. D. Wall, Atti Accad. Naz. Lincei Rend.
Cl. Sci. Fis. Mat. Natur. (8) 58, 135—144 A974).
BURDE K- [1] Verteilungseigenschaften von Potenzresten, J. reine. angew.
Math. 249, 133—172 A971).
[2] p-dimensionale Vektoren modulo, p. I, J. reine angew. Math. 268/269,
302—314 A974).
[3] Sequenzen der Lange 2 von Restklassencharakteren, J. reine angew. Math.
272, 194—202 A975).
f4J Ober allgemeine Sequenzen der Lange 3 von Legendresymbolen, J. reine
angew. Math. 272, 203—216 A975).
f5] p-dimensionale Vektoren modulo p. II, J. reine angew. Math. 278/279,
353—364 A975).
[61 Zur Herleitung von Reziprozitatsgesetzen unter Benutzung von endlichen
Korpern, J. reine angew. Math. 293/294, 418—427 A977).
I7| Potenzen von Galoisfeldern, J. reine angew. Math. 307/308, 194—220 A979).
[8] Pythagoraiche Tripel und Reziprozitat in Galoisfeldern, J. Number Theory 12,
278—282 A980).
[9] Ein Reziprozitatsgesetz in Galoisfeldern, J. Number Theory 13, 66—87
П981).
BURGESS D. A. [1] The distribution of quadratic residues and non-residues,
Mathematika 4, 106—112 A957). [Имеется перевод: БЕРДЖЕСС Д. А.
Распределение квадратичных вычетов и невычетов. — Математика, т. 2,
№ 6, 1958, с. 3—9.]
12] On character sums and primitive roots, Proc. London Math. Soc. C) 12,
179—192 A962). [Имеется перевод: БЕРДЖЕСС Д. А. О суммах харак-
характеров и первообразных корнях. — Математика, т. 7, № 4, 1963, с. 3—16.]
13) On character sums and L-series, Proc. London Math. Soc. C) 12, 193—206
A962). [Имеется перевод: БЕРДЖЕСС Д. А. О суммах характеров и
Ьрядах. —Математика, т. 7, № 4, 1963, с. 17—30.]
706 Литература
[4] A note on the distribution of residues and non-residues, J. London Mn'li
Soc, 38, 253—256 A963).
[5] On character sums and L-series. II, Proc, London Math. Soc. C) 13, 524
536 A963).
[6] On Dirichlet characters of polynomials, Proc. London Math. Soc C) |:i
537—548 A963).
[7J Character sums and primitive roots in finite fields, Proc, London Math. $"•¦
C) 17, 11—25 A967).
I8J On the quadratic character of a polynomial, J. London Math, Soc, 42
73—80 A967).
19] A note on character sums of binary quadratic forms, J. London Mutii
Soc. 43, 271—274 A968).
A0] A note on character sums over finite fields, J. reine angew. Math. 255
80—82 A972).
Ill] Dirichlet characters and polynomials, Труды международной конферщ-
иии по теории чисел (Москва, 1971); Труды Матем. ннст. нм. Стеклом
АН СССР, т. 132, 1973, с. 203—205.
BURR S, А. [1] On moduli for which the Fibonacci sequence contatins a comp-
complete system of residues, Fibonacci Quart. 9, 497—504 A971).
BURTON H. O. [1] Inversionless decoding of binary BCH codes, IEEE Traib.
Information Theory IT-17, 464—466 A971).
BUSSEY W. H. [1] Galois field tables for p" < 169, Bull. Amer. Math. Sn\
12, 22—38 A905.)
12J Tables of Galois fields of order less than 1000, Bull. Amer. Math. Soc. 16.
188—206 A909).
BUTLER M. С R. [1] On the reducibility of polynomials over finite fielik
Quart, J. Math. B) 5, 102-107 A954).
B| The irreducible factors of f \xm) over a finite field, J. London Math. Soc. №,
480—482 A955).
BUTSON A. T. [1] Relations among generalized Hadamard matrices, relat vc
difference sets, and maximal length linear recurring sequences, Can. il.
J. Math. 15, 42—48 A963).
BYERS G.C. [1] Class number relations for quadratic forms over GF [q, л I.
Duke Math. J. 21, 445—461 A954).
CAILLER С A] Sur les congruences du troisieme degre, L'Enseignement Ma!h
10, 474—487 A908).
CALABI E,, W1LF H. S. [1 ] On the sequential and random selection of subspaie-.
over a finite field, J. Combinatorial Theory Ser. A 22, 107—109 A977).
CALLAHAN R,, SMITH R. A. fl] L-function of a quadratic form, Trans. Amor
Math. Soc. 217, 297—309 A976).
CALMET J., LOOS R, [1] An improvement of Rabin's probabilistic algoritli/ii
for generating irreducible polynomials over GF (p), Inform. Process. Lett. II.
94—95 A980).
121 A SAC-2 implementation of arithmetic and root finding over lagre fiiu'.e
fields, Tech. Report, Univ. of Karlsruhe, 1983.
CAMERON P, J. [1] Extending symmetric designs, J. Combinatorial Thei>:>
Ser. A 14, 214—220 A973).
CAMERON P. J., HALL J. I., VAN LINT J. H., SPRINGER T. A., VAN
TILBORG H. C. A., [1] Translates of subgroups of the multiplicatnc
group of a finite field, Indag, Math. 37, 285—289 A975).
CAMERON P.-J., SE1DEL J. J. [1] Quadratic forms over GF B), Indag. Math
35, 1—8 A973).
CAMERON P. J., VAN LINT J. H. [1] Graph Theory, Coding Theory and
Block Designs, London Math. Soc. Lecture Note Series, no. 19, Cambridi,'^
Univ. Press, London, 1975. [Имеется перевод: КАМЕРОН П., ВАН
ЛИНТ ДЖ. Теория графов, теория кодирования и блок-схемы. — "¦
Наука. 1980.]
Литература 707
j2] Graphs, Codes, and Designs, London Math. Soc. Lecture Note Series, no. 43,
Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1980.
CAMION P. D J A proof of some properties of Reed—Muller codes by means
of the normal basis theorem, Proc. Conf. Combinatorial Math, and Its Appl.
(Chapel Hill, N. C, 1967), pp. 371—376, Univ. of North Carolina Press,
Chapel Hill, N. C, 1969.
[2] Un algorithme de construction des idempotents primitifs d'idfeaux d'algebres
sur F,,, С R. Acad. Sci. Paris Ser. A 291, 479—482 A980).
[3] Factorization des polyndmes de fq IX], Rev. CETHEDEC 1981, no 2,
5-21.
CAMPBELL A. D. Jl] Plane cubic curves in the Galois fields of order 2", Ann.
of Math. B) 27, 395—406 A926).
[2] Pencils of conies in the Galois fields of order 2", Amer. J. Math. 45, 401—
406 A927).
[3] Plane cubic curves in the Galois fields of order p", p > 3, Messenger of
Math. 58, 33—48 A928).
[4] The discriminant of the m-ary quadratic in the Galois fields of order 2",
Ann. of Math. B) 29, 395—398 A928).
|5J Nets of conies in the Galois fields of order 2", Bull. Amer. Math. Soc. 34,
481—489 A928).
|6] Pencils of quadrics in the Galois fields of order 2", Tdhoku Math. J. 34,
236—248 A931).
[7] Apolarity in the Galois fields of order 2", Bull. Amer. Math. Soc. 38,
52—56 A932).
[8] Plane quartic curves in the Galois fields of order 2", Tdhoku Math. J. 37,
88—93 A933).
[9] Pseudo-covariants of an n-ic in m variables in a Galois field that consists
of terms of this n-ic, Bull. Amer. Math. Soc. 39, 252—256 A933).
[10] Note on cubic surfaces in the Galois fields of order 2", Bull. Amer. Math.
Soc. 39, 406—410 A933).
[11] Pseudo-covariants of n-ics in a Galois field, Tdhoku Math. J 43, 17—29
A937).
CANADAY E. F. [1 ] The sum of the divisors of a polynomial. Duke Math. J. 8,
721—737 A941).
CANTOR D. G., ZASSENHAUS H. [1] A new algorithm for factoring polyno-
polynomials over finite fields, Math. Сотр. 36, 587—592 A981).
CAPELLI A. [1] Sulla rudittibilita delle equazioni algebriche I, Rend Accad.
Sci. Fis. Mat. Napoli C) 3, 243—252 A897).
f2] Sulla riduttibilita delle equazioni algebriche II, Rend. Accad. Sci. Fis.
Mat. Napoli C) 4, 84—90 A898).
[3] Sulla riduttibilita della funzione x11 — A in un campo qualunque di razio-
nalita, Math. Ann. 54, 602—603 A901).
CAR M, [i] Le probleme de Waring pour l'anneau des polyn6rnes sur un corps
fini, С R. Acad. Sci. Paris Ser. A. 273, 141—144 A971).
[2] Le probleme de Goldbach pour l'anneau des polyndmes sur un corps fini,
С R. Acad. Sci. Paris Sex. A 273, 201—204 A971).
[3] Le probleme de Waring pour I'anneau des polyndmes sur un corps fini, Sem.
Theorie des Nombres 1972—1973, Exp. 6, Univ. Bordeaux I, Talence,
1973.
14] La mdthode des sommes trigonometriques pour Fq IX], Jornees de Theorie
Additive des Nombres (Bordeaux, 1977), pp. 19—33, Univ. Bordeaux I,
Talence, 1978.
I5] Normes dans Fg [X] de polyndmes deFg» IX], C. R. Acad. Sci. Paris Ser.
A 288, 669—672 A979); Correction, ibid. 288, 1049 A979).
18*
708 Литература
[6J Sommes de carres et d'irreductibles dans FQ IX], Ann. Fac. Sci. Toulouse :>
129—166 A981).
[7] Factorisation dans Wq \X], С R. Acad. Sci. Paris Ser. I 294, 147—150
A982).
CARCANAGUE J. [1] Proprietes des ^-polynomes, С R. Acad. Sci. Paris Ser.
A 265, 415—418 A967).
[2] <?-polyn6mes abeliens sur un corps К, С R. Acad. Sci. Paris Ser. A 285,
496—499 A967).
CAREY F. S. [lj Notes on the division of the circle, Quart. J. Pure Appl.
Math. 26, 322—371 A893).
CARLITZ L. [1] The arithmetic of polynomials in a Galois field, Proc. Nut.
Acad. Sci. U. S. A. 17, 120—122 A931).
[2] The arithmetic of polynomials in a Galois field, Arner. J. Math. 54, 39 —
50 A932).
[3] On polynomials in a Galois field, Bull. Amer. Math. Soc. 38, 736—741
A932).
[4] On a theorem of higher reciprocity, Bull. Amer. Math. Soc. 39, 155—160
A933).
[5] On the representation of a polynomial in a Galois field as the sum of an
even number of squares, Trans. Amer. Math. Soc. 35, 397—410 A933).
[6] On polynomials in a Galois field: Some formulae involving divisor functions,
Proc. London Math. Soc. B) 38, 116—124 A935).
[7] On certain functions connected with polynomials in a Galois field, Duke
Math. J. 1, 137—168 A935).
[8] On the representation of a polynomial in a Galois field as the sum of an odd
number of squares, Duke Math. J. 1, 298—315 A935).
[9] A theorem on higher congruences, Bull. Amer. Math. Soc. 41, 844—846
A935).
110] On certain higher congruences, Bull. Amer. Math. Soc. 41, 907—914
A935).
[11] On certain equations in relative-cyclic fields, Duke Math. J. 2, 650—659
A936).
[12] On factorable polynomials in several indeterminates, Duke Math. J. 2,
660—670 A936).
[13] Sums of squares of polynomials, Duke Math. 3, 1—7 A937).
[14] An arithmetic function, Bull. Amer. Math. Soc. 43, 271—276 A937).
[15] Some formulae for factorable polynomials in several indeterminates, Bull-
Amer. Math. Soc. 43, 299—304 A937).
[16] An analogue of the von Staudt—Clausen theorem, Duke Math. J. 3, 503 -
517 A937).
[17] Criteria for certain higher congruences, Amer. J. Math. 59, 618—628 A937).
[18] A class of polynomials, Trans. Amer. Math. Soc. 43, 167—182 A938),
[19] Some sums involving polynomials in a Galois field, Duke Math. J.5, 941 —
947 A939).
[20] A set of polynomials, Duke Math. J. 6, 486—504 A940).
[21] Linear forms and polynomials in a Galois field, Duke Math. J. в, 730—
749 A940).
[22] An analogue of the Staudt—Clausen theorem, Duke Math. J. 7, 62—67
A940).
[23] An analogue of the Bernoulli polynomials, Duke Math. J. 8, 405—412 A941).
[24] The reciprocal of certain series, Duke Math. J. 9, 234—243 A942).
[25] The reciprocal of certain types of Hurwitz series, Duke Math. J. 9, 629—
642 A942).
[26J Some topics in the arithmetic of polynomials, Bull. Amer. Math, Soc. 48,
679—691 A942).
[27J The singular series for sums of squares of polynomials, Duke Math. J. "•
1105—1120 A947).
Литература 709
[28] Representations of arithmetic functions in OF [pn, x], Duke Math, J. 14,
1121—1137A947).
[29] A problem of Dickson's, Duke Math. J. 14, 1139—1140 A947).
130] Representations of arithmetic functions in GF [pn, x]. II, Duke Math. J. 15,
795—801 A948).
|311 Finite sums and interpolation formulas over GF [pn, x], Duke Math. J. 15,
1001—1012 A948).
[32] Some applications of a theorem of Chevalley, Duke Math. J. 18, 811— 81S
A951).
|35] Diophantine approximation in fields of characteristic p, Trans. Amer. Math.
Soc. 72, 187—208 A952).
[34] Some problems involving primitive roots in a finite field, Proc. Nat. Acad.
Sci. U. S. A. 38, 314—318 A952); Errata, ibid. 38, 618 A952).
[35] Primitive roots in a finite field, Trans. Amer. Math. See* 73, 373—
382 A952).
[36] Note on an arithmetic function, Amer. Math. Monthly 59, 386—387 A952).
[37] Sums of primitive roots in a finite field, Duke Math. J. 19, 459—469 A952).
[38] A problem of Dickson, Duke Math. J. 19, 471—474 A952).
[39] The number of solutions of certain equations in a finite field, Proc. Nat. Acad.
Sci. U. S. A. 38, 515—519 A952); Errata, ibid. 38, 618 A952).
[40] A theorem of Dickson on irreducible polynomials, Proc. Amer, Math
Soc. 3, 693—700 A952).
[41] Distribution of primitive roots in a finite field, Quart. J. Math. B) 4,
4—10 A953).
|42] Note on a conjecture of Andre Weil, Proc. Amer. Math. Soc. 4, 5—9 A953),
[43] Sone special equations in a finite field, Pacific J. Math. 3, 13—24 A953).
[44] A theorem of Stickelberger, Math. Scand. 1, 82—84 A953).
[45] A reciprocity formula for weighted quadratic partitions, Math. Scand. 1,
286—288 A953).
146] Weighted quadratic partitions over a finite field, Canad. J. Math. 5, 317—
323 A953).
147j Invariantive theory of equations in'a finite field, Trans. Amer. Math. Soc. 75,
405—427 A953).
148] A note on partitions in GF [q, *], Proc. Amer. Math. Soc. 4,464—469 A953)
[49] Permutations in a finite field, Proc. Amer. Math. Soc. 4, 538 A953).
150] Certain special equations in a finite field, Monatsh. Math. 58, 5—12 A954).
[51] Representations by skew forms in a finite field, Arch. Math. 5,
19-31 A954).
E2] The number of solutions of some equations in a finite field, Portug. Math. 13,
25—31 A954).
[53] A note on modular invariants, Nieuw Arch. Wisk C) 2, 28—31 A954).
[54] Representations by quadratic forms in a finite field, Duke Math. J. 21,
123-137 A954).
[55j A problem involving quadratic forms in a finite field, Math. Nachr. 11,
135—142 A954).
[56] Pairs of quadratic equations in a finite field, Amer. J. Math. 76, 137—154
A954).
157] Sums of primitive roots of the first and second kind in a finite field, Math.
Nachr. 12, 155—172 A954).
158] The number of solutions of some special equations in a finite field, Paci-
Pacific J. Math. 4, 207—217 A954).
E91 Invariant theory of systems of equations in a finite field, J. Analyse Math.
3. 382—413 A954).
lw] The number of solutions of a special quadratic congrunce, Portugal. Math.
14 914 1955)
On the number of distinct values of a polynomial with coefficients in a fi-
finite field, Proc. Japan Acad. 31, 119—120 A955).
710 Литература
[62] The number of solutions of certain types of equations in a finite field, Paci-
Pacific J. Math. 5, 177—181 A955).
[63] The number of solutions of some equations in a finite field, J. Math. Soc.
Japan 7, 209—223 A955).
[64] A special symmetric equation in a finite field, Acta Math. Acad. Sd.
Hungar. 8, 445—450 A955).
[65] Solvability of certain equations in a finite field, Quart. J. Math. B) 7,
3—4 A956).
[66] A note on nonsigular forms in a finite field, Proc. Amer. Math. Soc. 7,
27—29 A956).
[67] An application of a theorem of Stickelberger, Simon Stevin 31, 27—W
A956).
[68] Sets of primitive roots, Compositio Math. 13, 65—70 A956).
[69j Class number formulas for quadratic forms over GF [q, x], Duke Math. J. 2.4,
225—235 A956).
[701 A special quartic congruence, Math. Scand. 4, 243—246 A956).
[71 ] The number of solutions of a particular equation in a finite field, Publ. Math.
Debrecen 4, 379—383 A956).
[72J Weighted quadratic partitions over GF [q, x), Duke Math. J. 23, 493—505
A956).
[73] Note on a quartic congruence, Amer. Math. Monthly 83, 569—571 A956).
[74] A note on Gauss' sum, Proc. Amer. Math. Soc. 7, 910—911 A956).
[75] The number of points on certain cubic surfaces over a finite field, Boll. Un.
Mat. Ital. C) 12, 19—21 A957).
[76J Some cyclotomic determinants, Bull. Calcutta Math. Soc. 49, 49—51 A957).
[77] Some theorems on polynomials, Ark. Mat. 3, 351—353 A957).
[78] A theorem of Dickson on nonvanishing cubic forms in a finite field, Proc
Amer. Math. Soc. 8, 975—977 A957).
[79J Quadratic residues and Tchebycheff polynomials, Portugal. Math. 18, 193- -
198 A959).
[80] Some cyclotomic matrices, Acta Arith. 5, 293—308 A959).
[81 j A note on exponential sums, Acta Sci. Math. Szeged 21, 135—143 (I960).
[82] A theorem on permutations in a finite field, Proc. Amer. Math. Soc. 11.
456—459 A960).
[83] Some theorems on permutation polynomials, Bull. Amer. Math. Soc. 68.
120—122 A962).
[84] A theorem on «ordered» polynomials in a finite field, Acta Arith. 7.
167—172 A962).
[85] Some identities over a finite field, Quart. J. Math. B) 13, 299—303 A962).
[86] A note on permutation functions over a finite field, Duke Math, J. 29,
325—332 A962).
[87] Solvability of certain equations in a finite field, Acta Arith. 7, 389—39/
A962).
1Ш] A note on finite fields, Proc. Amer. Math. Soc. 13, 546—549 A962).
[89J Note on a problem of Dickson, Proc. Amer. Math. Soc. 14, 98—100 A963).
[90] A note on permutations in an arbitrary field, Proc. Amer. Math. Soc. 14,
101 A963).
[91] A note on the Betti—Mathieu group, Portugal. Math. 22, 121—125 A963).
[92] Classes of pairs of commuting matrices over a finite field, Amer. Math. Monthly
70, 192—195 A963).
|93J Permutations in finite fields, Acta Sci. Math. Szeged 24, 196—203 A963).
;'94] Simultaneous representations in quadratic and linear forms over GF [q, x\,
Duke Math. J. 30, 259—270 A963).
f95] The distribution of irreducible polynomials in several indeterminates, IHi-
nois J. Math. 7, 371—375 A963).
[96] A property of irreducible polynomials related to Mersenne primes, Univ.
Nac. Tucuman Rev. Ser. A 15, 43—46 A964).-
Литература 71)
|97] Functions and polynomials (mod p"), Acta Arith. 9, 67—78 A964).
[98] A note on multiple Kloosterrnan sums, J. Indian Math. Soc. 29, 197—200
A965).
rg9] The distribution of irreducible polynomials in several indeterminates II,
Canad. J. Math. 17, 261—266 A965).
| ioo] A note on multiple exponential sums, Pacific J. Math. 15, 757—765 A965).
1101] A conjecture concerning a certain system of equations in a finite field.
Rev. Roum. Math. Pures Appl. 11, 277—282 A966).
11021 A note on quadrics over a finite field, Duke Math. J. 33, 453—458
A966).
11031 A note on irreducible cubics mod p, Norske Vid. Selsk. Forh, (Trondheim)
40, 25—30 A967).
1104] Restricted product of the characteristic polynomials of matrices over a fi-
finite field, Illinois J. Math. 11, 128—133 A967).
[105] Some theorems on irreducible reciprocal polynomials over a finite field,
J. reine angew. Math. 227, 212—220 A967).
JJ06) A note on Gauss's sum, Le Matematiche (Catania) 23, 147—150 A968).
1107] Some formulas related to Gauss's sum, Rend. Sem. Mat, Univ. Padova 41,
222—226 A968).
A081 A note on exponential sums, Pacific J. Math. 30, 35—37 A969).
109] Gauss sums over finite fields of order 2", Acta Arith. 15, 247—265 A969).
! 1101 A theorem on sets of polynomials over a finite field, Acta Arith. 15, 267—
268 A969).
[Ill] Kloosterman sums and finite field extensions, Acta Arith. 16, 179—193
A969).
1112] Factorization of a special polynomial over a finite field, Pacific J. Math.
32, 603—614 A970).
113] Reduction formulas for certain multiple exponential sums, Czechoslovak
Math. J. 20, 616—627 A970).
A14] The number of solutions of certain matrix equations over a finite field,
Math. Nachr. 56, 105—109 A973).
|115| Correspondences in a finite field. I, Acta Arith. 27, 101—123 A975).
[116] A note on sums of three squares in GF [q, x], Math. Mag 48, 109—110
A975).
'117] Correspondences in a finite field. II, Indiana Univ. Math. J. 24, 785—
811 A975).
,118] A theorem on lacunary polynomials in a finite field, Amer. Math. Monthly
83, 37—38 A976).
A19) Some theorems on polynomials over a finite field, Amer. Math. Monthly
84, 29—32 A977).
П20] A theorem on linear exponential sums, Univ. Beograd. Publ. Elektrotehn.
Fak. Ser. Mat. Fiz. 577-598, 55—56 A977).
1121 ] Functions and correspondences in a finite field, Bull. Amer. Math. Soc. 83,
139—165 A977).
П22] A note on exponential sums, Math. Scand. 42, 39—48 A978).
1123] Polynomial characteristic functions for GF (p) and irregular primes, Rocky
Mountain J. Math. 8, 583—587 A978).
[124] Explicit evaluation of certain exponential sums, Math. Scand. 44, 5—16
A979).
'25] Evaluation of some exponential sums over a finite field, Math. Nachr. 96,
319—339 A980).
C-ARLITZ L., COHEN E. [1] Divisor functions of polynomials in a Galois field,
Duke Math. J. 14, 13—20 A947).
12] Cauchy products of divisor functions in GF [pn, x), Duke Math. J. 14, 707—
722 A947).
13) The number of representations of a polynomial in certain special quadratic
forms, Duke Math. J. 15, 219—228 A948).
712 Литература
GARLITZ L., CORSON H. H. [1] Some special equations in a finite field, Prix-
Nat. Acad. Sci. U. S. A. 41, 752—754 A955).
[2] Some special equations in a finite field, Monatsh. Math. 80, 114—122 AШ>)
CARLITZ L., HAYES D. R. [1] Permutations with coefficients in a subfield
Acta Arith. 21, 131 — 135 A972).
CARLITZ L., HODGES J. H. [1] Representations by Hermitian forms in a finite
field, Duke Math. J. 22, 393—405 A955).
[2] Distribution of bordered symmetric, skew and hermitian matrices in a finite
field, J. reine angew. Math. t95, 192—201 A956).
[3] Distribution of matrices in a finite field, Pacific J. Math. 6, 225—230 A95bj.
[4] Enumeration of matrices of given rank with submatrices of given rank, Li-
Linear Algebra Appl. 16, 285—291 A977).
CARLITZ L , LEWIS D. J., MILLS W. H., STRAUS E. G. [1J Polynomials over
finite fields with minimum value sets, Mathematika 8, 121—130 A961).
CARLITZ L., LONG A. F., Jr. [1] The factorization of Q(L(xt), .,., L (xk))
over a finite field where Q (xlt ..., xu) is of first degree and L (x) is linear,
Acta Arith. 32, 407—420 A977).
CARLITZ L., LUTZ J. A. [1] A characterization of permutation polynomials
over a finite field, Amer. Math. Monthly 85, 746—748 A978).
CARLITZ L., UCH1YAMA S. [1 ] Bounds for exponential sums, Duke Math. J. 24,
37—41 A957).
CARLITZ L., WELLS C. [1 ] The number of solutions of a special system of eoua-
tions in a finite field, Acta Arith. 12, 77—84 A966).
CARMICHAEL R. D. [1 ] On the numerical factors of the arithmetic forms a" -
± p, Ann. of Math. B) 15, 30—70 A913).
[2] On sequences of integers defined by recurrence relations, Quart. J. Pure Appl.
Math. 48, 343—372 A920).
[3] A simple principle of unification in the elementary theory of numbers, Ar.tr.
Math. Monthly 36, 132—143 A929).
[4] Introduction to the Theory of Groups of Finite Order, Ginn & Co., Boston,
1937; Dover, New York, 1956.
CARTIER P. [1] Sur une generalisation des symboles de Legendre—Jacobi, L'I'm-
seignement Math. B) 16, 31—48 A970).
CASSELS J. W. S. [1] Diophantine equations with special reference to elliptic
curves, J. London Math. Soc. 41, 193— 291 A966). [Имеется перевод: КАС-
СЕЛС ДЖ. Диофантовы уравнения со специальным рассмотрением эллип-
эллиптических кривых.—Математика, т. 12, № 1, 1968, с. 111 —160, № '2,
1968, с. 3—48.]
[2] On the determination of generalized Gauss sums, Arch. Math. (Brno) 5.
79—84 A969).
[3] On Kumrner sums, Proc, London Math. Soc. C) 21, 19—27A970). [Имеен-я
перевод: КАССЕЛС ДЖ. О суммах Куммера. —Математика, т. 16, № I.
1972, с. 157—164.]
[4] On cubic trigonometric sums, Actes du Congres International des Mathemati-
ciens (Nice, 1970), vol. 1, pp. 377—379, Gauthier-yillars, Paris, 1971.
[5] Trigonometric sums and elliptic functions, Algebraic Number Theory (S. IynjJ'
ga, ed.), pp. 1—7, Japan Soc. for the Promotion of Science, Tokjo. 1077.
CATLIN P. A. [1 ] A lower bound for the period of the Fibonacci series modulo m.
Fibonacci Quart. 12, 349—350 A974).
CAUCHY A.-L. [1] Recherches sur les nombres, J. de L'Ecole Polytechnique 9,
99—116 A813); Oeuvres (II), vol. 1, pp. 39—63, Gauthier-Villars, Paris, 1Я0».
[2] Memoire sur la theorie des nombres, Bull. Sci. Math, de M. Ferussac 12,
205—221 A829); Oeuvres (II), vol. 2, pp. 88—107, Gauthier-Villars, P-iris,
1958.
[3] Sur la resolution des equivalences dont les modules se reduisent a des nombres,
premiers, Exercises de Math. 4 A829); Oeuvres (II), vol. 9, pp. 298—341.
Gauthier-Villars, Paris, 1891.
Литература 713
[4] Memoire sur la theorie des nombres, Mem. Acad. Sci, Inst, de France 17 A840);
Ouevres (I), vol. 3, Gauthier-Villars, Paris, 1911.
[5( Methode simple et nouvelle pour la determination complete des sommes alter-
nees, formees avec les racines primitives des equations bin6mes, C. R. Acad.
Sci. Paris 10, 560—572 A840); J. Math. Pures Appl. 5, 154—168 A840); Oeuv-
res A), vol. 5, pp. 152—166, Gauthier-Villars, Paris, 1885.
CAV1OR S. R. [1] A note on octic permutation polynomials, Math. Сотр. 17,
450-452 A963).
121 Equivalence classes of functions over a fjnite field, Acta Arith. 10, 119—
136 A964).
[3] Exponential sums related to polynomials over the GF (p), Proc. Amer. Math.
Soc. 15, 175—178 A964).
[4] On the least non-negative trace of a polynomial over a finite field, Boll. Un.
Mat.Ital. C) 20, 120—121 A965).
[5] Uniform distribution of polynomials modulo m, Amer. Math. Monthly 73,
171—172 A966).
16] Equivalence classes of sets of polynomials over a finite field, J. reine angew.
Math. 225, 191—202 A967).
[7] Uniform distribution (mod m) of recurrent sequences, Fibonacci Quart. 15,
265—267 A977).
CAZACU С [1] Application of two-valued logic in the theory ofnumbers (Roma-
(Romanian), An. Sti. Univ. «Al. I. Cuza» Iasi Sect. I (N. S.) 6, 481—492 A960).
[2] Предикаты в конечных полях, An. Sti. Univ. «Al. I. Cuza» Iasi Sect. I (N. S.)
11, 221—238 A965).
[3] Предикаты с кванторами в конечных полях, An. Sti. Univ. «Al. I. Cuza»
Iasi Sect. I (N. S.) 13, 241—247 A967).
CAZACU C, SIMOVICI D. [1] A new approach of some problems concerning
polynomials Over finite fields, Information and Control 22, 503—511 A973),
CECCHERINI P. V. [1] Some new results on certain finite structures, Atti Accad.
Naz. Lincei Rend. Cl. Sci. Fis. Mat. Natur. (8) 58, 840—855 A974).
CECCHERINI P. V., HIRSCHFELD J. W. P. [1] On the number of zeros over
a finite field of certain symmetric polynomials, Canad. Math. Bull. 23, 327—
332 A980).
CHALK J. H. H. [1] The number of solutions of congruences in incomplete re-
residue systems, Canad. J. Math. 15, 291—296 A963).
[2] The Vinogradov—Mordell—Tietavainen inequalities, Indag. Math. 42, 367—
374 A980).
CHALK J. H. H., SMITH R. A. [1] On Bombieri's estimate for exponential
sums, Acta Arith. 18, 191—212 A971).
CHALK J. H. H., WILLIAMS K. S. [1] The distribution of solutions of cong-
congruences, Mathematika 12, 176—192 A965); Corrigendum and Addendum,
ibid. 16, 98—100 A969).
CHANG J. A., GODWIN H. J. [1] A table of irreducible polynomials and their
exponents, Proc. Cambridge Phiios. Soc. 65, 513—522 A969).
CHANG S. C, WOLF J. K. [I] A simple derivation of the MacWilliams identity
for linear codes, IEEE Trans. Information Theory IT-28, 476—477
A980).
CHANG T-H. [1 ] Losung der Kongruenz x2 = a (mod p) nach einern Primzahlmo-
dul p = 4n+ 1, Math. Nachr. 22, 136—142 A960).
CHAO C. Y. [1 ] On equivalence classes of matrices, Bull. Malaysian Math. Soc
_B) 4, 29—36 A981).
CHATELET F. [1 ] Classification des courbes de genre un, dans le corps des restes,
module p, С R. Acad. Sci. Paris 208, 487—489 A939).
12] Les courbes de genre 1 dans un charnp de Galois, С R. Acad. Sci. Paris 224,
rut, !616—1618 A947).
<-HEN C. L. [1] Computer results on the minimum distance of some binary eye
He codes, IEEE Trans. Information Theory IT-16, 359—360 A970).
714 Литература
12] High-speed decoding of BCH codes, IEEE Trans, Information Theory 1T-27
254-256 A981).
CHEN J. M., LI X. M. [1] The structure of the polynomials over the finit-
field defined by Q [/J-matrix (Chinese), Acta Math. Sinica 20, 294—297
A977).
CHEN J, R. [1] On the representation of a natural number as a sum of lerms
of the form x (x + 1) ... (x + k — \)lk\ (Chinese), Acta Math. Sinica 9, 264—
270 A959).
[2] On Professor Hua's estimate of exponential sums, Sci. Sinica 20, 711--71?
A977).
•;.HERLY J. [1] Addition theorems in Fq [x\, J. reine angew. Math. 293/294
223—227 A977).
[2] A lower bound theorem in Fq [x], J. reine angew. Math. 303/304, 253--264
A978).
[3] On complementary sets of group elements, Arch. Math. 35, 313—318 A980).
CHEVALLEY С [1] Demonstration d'une hypothese de M. Artin, Abh. Math.
Sem. Univ. Hamburg 11, 73—75 A936).
[2] Sur certains groupes simples, Tohoku Math. J. B) 7, 14—66 A955).
CHIEN R. T. [1] Cyclic decoding procedures for Bose—Chaudhuri—Hocquenghem
codes, IEEE Trans. Information Theory IT-10, 357—363 A964).
CHIEN R. Т., CUNNINGHAM B. D. [1] Hybrid methods for finding roots of
a polynomial with application to BCH decoding, IEEE Trans, Information
IT-15, 329—335 A969).
CHILDS L. [1] A Concrete Introduction to Higher Algebra, Springer-Verlag,
New York—Heidelberg—Berlin, 1979.
GHILDS L., ORZECH M. [1] On modular group rings, normal bases, and fixed
points, Amer. Math. Monthly 88, 142—145 A981).
DHINBURG T. [1] 'Easier' Waring problem for commutative rings, Acta Aritli.
35, 303—331 A979).
JHOR B.-Z, [1] Arithmetic of finite fields, Inform. Process. Lett. 14, 4 -6
A982).
CHOWLA I. fl] The number of solutions of a congruence in two variables, Proc.
Nat. Acad. Sci. India Sect. A 4, 654—655 A936).
[2] On the number of solutions of some congruences in two variables, Proc. Nat.
Acad. Sci. India Sect. A 5, 40—44 A937).
[3] Generalization of a theorem of Dickson, Proc. Nat. Acad. Sci. India Sect.
A 8, 223—226 A938).
[4] On Waring's problem (mod p), Proc. Nat. Acad, Sci. India Sect. A 13, 195 —
220 A943).
CHOWLA P. |1] On some polynomials which represent every natural number
exactly once, Norske Vid. Selsk. Forh. (Trondheim) 34, 8—9 A961).
[2] A new proof and generalkation of some theorems of Brewer, Norske Vid.
Selsk. Forh. (Trondheim) 41, 1—3 A968).
CHOWLA P., CHOWLA S. [1] On the integer points on some special hyper-elli-
hyper-elliptic curves over a finite field, J. Number Theory 8, 280—281 A976).
B] On kih power residues, J. Number Theory 10, 351—353 A978).
IHOWLA S. [1 ] Some formulae of the Gauss sum type, Tohoku Math. J, 30, 226 -
234 A929); Corrigenda, ibid, 32, 109-110 A930).
12] Some formulae of the Gauss sum type (IF), Tohoku Math. J. 32, 352-353
A930).
[3] A theorem on characters. II, J. Indian Math. Soc. 19, 279-284 A932)
[4] A property of biquadratic residues, Proc. Nat. Acad. Sci. India Sect. A 14
45—46 A944).
[5] A formula similar to Jacobsthal's for the explicit value of x in p — x2~- у
where p is a prime of the form 4k + 1, Proc. Lahore Philos. Soc. 7 A945)
[6] The last entry in Gauss' diary, Proc. Nat. Acad. Sci. U. S. A. 35, 244—24*
A949).
Литература 715
[7] The Riemann zeta and allied functions, Bull. Amer. Math. Soc. 58, 287—305
A952).
[8] Some results in number-theory, Norske Vid. Selsk. Forh. (Trondheim) 33,
43—44 A960).
[9] A generalization of Meyer's theorem on indefinite quadratic forms in five
or more variables, J. Indian Math. Soc. 25, 41 A961).
[10] On the congruence 2jf=1a,-*f = 0 (mod p), J. Indian Math. Soc. 25, 47—48
A961).
[li] On a formula of Jacobsthal, Norske Vid. Selsk. Forh. (Trondheim) 34, 105—
106 A961).
f!2] Some conjectures in elementary number theory, Norske Vid. Selsk. Forh.
(Trondheim) 35, 13 A962).
[13] On Gaussian sums, Norske Vid. Selsk. Forh. (Trondheim) 35, 66—67 A962).
[14] On Gaussian sums, Proc. Nat. Acad. Sci. U. S. A. 48, 1127—1128 A962).
[15] On a conjecture of Artin. I, II, Norske Vid. Selsk. Forh. (Trondheim) 36,
135—138, 139—141 A963).
[16] The Riemann Hypothesis and Hilbert's Tenth Problem, Gordon and Breach,
New York, 1965.
[17] A note on the construction of finite Galois fields GF (p«), J. Math. Anal. Appl.
15, 53—54 A966).
A8] An algebraic proof of the law of quadratic reciprocity, Norske Vid. Selsk.
Forh. (Trondheim) 3», 59 A966).
[19] On the class-number of the function field уг = f (x) over GF (p), I, II, Norske
Vid. Selsk. Forh. (Trondheim) 39, 86—88 A966); ibid. 40, 7—10 A967).
[20] Observation on a theorem of Stark, Norske Vid. Selsk. Forh. (Trondheim)
40, 34—36 A967).
[21 ] On some character sums, Norske Vid. Selsk. Forh. (Trondheim) 40, 62—66
A967).
B2] On Kloosterman's sum, Norske Vid. Selsk. Forh. (Trondheim) 40, 70—72
A967).
[23] On substitution polynomials (mod p), Norske Vid. Selsk. Forh. (Trondheim)
41, 4—6 A968).
CHOWLA S., COWLES J., COWLES M. [1] On the number of zeros of diagonal
cubic forms, J. Number Theory 9, 502—506 A977).
f2] Congruence properties of the number of solutions of some equations, J. reine
angew. Math. 298, 101—103 A978).
[3] The number of zeroes of **+ y*+ «r* in certain finite fields, J. reine an-
angew. Math. 299/300, 406—410 A978).
14] On the difference of cubes (mod p), Acta Arith. 37, 61—65 A980).
CHOWLA S., HASSE H. [1] On a paper of Bombieri, Norske Vid. Selsk. Forh.
(Trondheim) 41, 30—33 A968).
CHOWLA S., MANN H. В., STRAUS E. G. [1 ] Some applications of theCauchy—
Davenport theorem, Norske Vid. Selsk. Forh. (Trondheim) 32, 74—80 A959).
CHOWLA S., RYSER H. J. [1 ] Combinatorial problems, Canad., J. Math. 2, 93—
99 A950).
CHOWLA S., SHIMURA G. [1] On the representation of zero by a linear combi-
combination of 6th powers, Norske Vid. Selsk. Forh. (Trondheim) 36, 169—176
r A963).
CHOWLA S., SMITH R. A. [1] On certain functional equations, Norske Vid.
ru Selsk. Forh. (Trondheim) 40, 43—47 A967).
'-HOWLA S., VIJAYARAGHAVAN T. [1] The complete factorization (mod p)
of the cyclotomic polynomial of order p2— 1, Proc. Nat. Acad. Sci. India
ru Sect. A 14, 101—105 A044).
bJiOWLA S., ZASSENHAUS H. [1] Some conjectures concerning finite fields,
c Norske Vid. Selsk. Forh. (Trondheim) 41, 34—35 A968).
bJiURCH R. [1 ] Tables of irreducible polynomials for the first four prime moduli,
Ann. of Math. B) 36, 198—209 A935).
716 Литература
CICCHESE M. [1] Sulle cubiche di un piano di Galois, Atti Accad. Naz. Lincei
Rend. Cl. Sci, Fis. Mat. Natur. (8) 32, 38—42 A962).
[2] Sulle cubiche di un piano di Galois, Rend. Mat. e Appl. E) 24,291—330
A965).
[3] Sulle cubiche di un piano lineare S2 „, con q = 1 (mod 3), Atti Accad №iz
Lincei Rend. Cl. Sci. Fis. Mat. Natur. (8) 48, 584—588 A970).
[4] Sulle cubiche di un piano lineare S, „, con q = 1 (mod 3), Rend. Mat. F) 4
349—383 A971).
CIPOLLA M. [1J Un rnetodo per la risoluzione della congruenza di secondo grado
Rend. Accad. Sci. Fis. Mat. Napoli C) 9, 153—163 A903).
[2] Forrnule di risoluzione della congruenza binornia quadratica e biquadratka,
Rend. Accad. Sci. Fis. Mat. Napoli C) 11, 13—17A905).
[3] Sulle funzioni sirnmetriche delle soluzioni cornuni a piu congruenze secor.do
un modulo primo, Periodico di Mat. 22, 36—41 A907).
[4] Sulla risoluzione apiristica delle congruenze bmornie secondo un modulo
primo, Math. Ann. 63, 54—61 A907),
[5] Forrnule di risoluzione apiristica delle equazioni di grado qualunque in un
corpo finito, Rend. Circ. Mat. Palermo 54, 199—206 A930).
CLAASEN H, L. [1] The group of units in GF (q) [x]/(a (x)), Indag. Math. 3»,
245—255 A977).
[2] The multiplications in GF (q) [x]l(a (x)) considered as linear transforma-
transformations, Linear Algebra Appl. 22, 105—123 A978).
CLAY J. R., MALONE J. J., Jr. [1] The near-rings with identities on certain
finite groups, Math. Scand. 19, 146—150 A966).
COHEN E. [1 ] Sums of an even number of squares in GF [pn, x], I, II, Duke Matli.
J. 14, 251—267, 543—557 A947).
[2] Sums of an odd number of squares in GF[p", к], Duke Math. J. 15, 501—511
A948).
[3] An extension of Ramanujan's sums, Duke Math. J. 16, 85—90 A949).
[4] Sums of products of polynomials in a Galois field, Duke Math. J. 18, 425 -
430 A951).
[5] Rings of arithmetic functions, Duke Math. J. 19, 115—129 A952).
[6] Arithmetic functions of polynomials, Proc. Arner. Math. Soc. 3, 352—'iart
A952).
[7] Representations by cubic congruences, Proc. Nat. Acad. Sci. U. S. A. 39,
119—121 A953).
[8] Congruence representations in algebraic number fields, Trans. Amer. Malli.
Soc. 75, 444—470 A953).
[9] The number of solutions of certain cubic congruences, Pacific J. Math. 5.
877—886 A955).
[10] Simultaneous pairs of linear and quadratic equations in a Galois field, Ci-
nad. J. Math. 9, 74—78 A957).
[11] The number of simultaneous solutions of a quadratic equation and a p.'i'r
of linear equations over a Galois field, Rev. Roum. Math. Pures Appl. 8.
297—303 A963).
[12J Linear and quadratic equations in a Galois field with applications to gw-
metry, Duke Math. J. 32, 633—641 A965).
[13] Quadratic congruences with an odd number of surnrnands, Amer. Math. Mon-
Monthly 73, 138—143 A966).
COHEN H., LENSTRA H. W., Jr. [1] Primality testing and Jacobi sums, Im-
Import 82-18, Dept. of Math., Univ. of Amsterdam, 1982.
COHEN S. D. [1] The distribution of irreducible polynomials in several indetor-
minates over a finite field, Proc, Edinburgh Math. Soc. B) 16, 1—17 A9GS).
[2] On irreducible polynomials of certain types in finite fields, Proc. Cambridge
Philos. Soc. 66, 335—344 A969).
[3] Further arithmetical functions in finite fields, Proc. Edinburgh Math, So*-"-
B) 16, 349—363 A969).
Литература 717
[4] Some arithmetical functions in finite fields, Glasgow Math. J. II, 21—36
A970).
[5] The distribution of polynomials over finite fields, Acta Arith. 17, 255—271
A970).
f6] The distribution of polynomials over finite fields, II, Acta Arith. 20, 53—62
A972).
[7] Uniform distribution of polynomials over finite fields, J. London Math.
Soc. B) 6, 93—102 A972).
[8] The values of a polynomial over a finite field, Glasgow Math. J. 14, 205—
208 A973).
|9] Value sets of functions over finite fields, Acta Arith. 3», 339—359 A981).
A0J The irreducibility of compositions of linear polynomials over a finite field,
Compositio Math. 47, 149—152 A982).
COLLINS G. E. [1] Computing multiplicative inverses in GF (p), Math. Comp
23, 197—200 A969).
[2] The calculation of multivariate polynomial resultants, J. Assoc. Comput.
Mach. 18, 515—532 A971).
C] Computer algebra of polynomials and rational functions, Amer. Math. Monthly
80, 725—755 A973).
CONSTANTIN J., COURTEAU B. [1J Partitions lineaires arguesiennes d'un
espace vectoriel, Discrete Math. 33, 139—147 A981).
CONWAY J. H. [1] A tabulation of some information concerning finite fields,
Computers in Mathematical Research (R. F. Churehhouse and J.-C. Herz,
eds.), pp. 37—50, North-Holland, Amsterdam, 1968.
COOPER R. H. [1] Linear transformations in Galois fields and their application
to cryptography, Cryptologia 4, 184—188 A980).
CORDES C. M. [1J A note on Pall partitions over finite fields, Linear Algebra
Appl. 12, 81—85 A975).
[2] Some results on totally isotropic subspaces and five-dimensional quadratic
forms over GF (q), Canad. J. Math. 27, 271—275 A975).
CORDONE G. [1J Sulla congruenza generale di 4° grado secondo un modulo primo,
Rend. Circ. Mat. Palermo 9, 209—243 A895).
CORNACCHIA G. [1J Sulla congruenza xn + yn = г" (mod p), Giorn. Mat. Bat-
taglini 47, 219—268 A909).
CORSON H. H. [1 ] On some special systerrs of equations, Pacific J. Math. 6, 449—
452 A956).
CORZATT С. Е. [1] Permutation polynomials over the rational numbers, Paci-
Pacific J. Math. 61, 361—382 A975).
CRAMPTON T. H. M., WHAPLES G. [1] Additive polynomials. II, Trans. Amer.
Math. Soc. 78, 239—252 A955).
CRAVEN Т., CSORDAS G. [1] Multiplier sequences for fields, Illinois J. Math.
21, 801—817 A977).
CRELLE A. L. [1] Table des racines primitives etc. pour les nombres premiers
depuis 3 jusqu'a 101, precedee d'une note sur le calcul de cette table, J. reine
angew. Math. 9, 27—53 A832).
CROWE D. W. [1J The trigonometry of GF B2n) and finite hyperbolic planes,
Mathematika 11, 83—88 A964).
CROWELL R. H. [lj Graphs of linear transformations over finite fields, J. Soc.
Indust. Appl. Math. 10, 103—112 A962).
CUNNINGHAM A. J, С [1J Factorisation of (yb =F l)- У > 12, Messenger of
Math. 57, 72—80 A927).
CUNNINGHAM A. J. C, WOODALL H. J. AJ Factorization of yn ± 1, у =
= 2, 3, 5, 6, 7, 10, 11, 12 up to High Powers («), Hodgson, London,
CUNNINGHAM A. J. C, WOODALL H. J., CREAK T. G. [1] On least primi-
primitive roots, Proc, London Math. Soc. 21, 343—358 A923),
718 Литература
CUPONA G. [1] On periodic fields (Macedonian), Bull. Soc. Math. Phys. Масё-
doine 11, 5—8 A960).
CURTIS C. W. [1] Representation of finite groups of Lie type, Bull. Amer. Math
Soc. (N. S.) 1, 721—757 A979).
CZARNOTA A. [1] Congruences satisfied by a sum of powers of primitive roots
with respect to a prime modulus (Polish), Prace Mat, 8, 131—142 A963/04)
DADE E. C, ROBINSON D. W., TAUSSKY O., WARD M. [1] Divisors of re-
recurrent sequences, J. reine angew. Math. 214/215, 180—183 A964).
DAI Z. D. [1] The period of a circulant over a finite field (Chinese), Acta Math
Sinica 23, 70—77 A980),
DAI Z, D., FENG X. [1 ] Notes on finite geometries and the construction of PHIB
designs. IV. Some «Anzahb theorems in orthogonal geometry over finite
fields of characteristic not 2, Sci. Sinica 13, 2001—2004 A964).
[2] Studies in finite geometries and the construction of incomplete block designs.
IV. Some «Anzahl» theorems in orthogonal geometry over finite fields of
characteristic Ф 2 (Chinese), Acta Math. Sinica 15, 545—558 A965); Chinese
Math. Acta 7, 265—280 A965).
DALEN K. [1] On a theorem of Stickelberger, Math. Scand. 3, 124—126 A955).
DALLA R. H., PORTER A. D. [1] A consideration by rank of the matrix equa-
equation AXX ... Xn = B, Atti Accad. Naz. Lincei Rend. CI. Sci. Fis. Mat. Na-
tur. (8) 52, 301—311 A972).
[2] The matrix equation Ut ... UnAVf ... Vm = В over a finite field, Mrith.
Nachr. 57, 321—335 A973).
DARBI G. [1] Sulla riducibilita delle equarioni algebriche, Ann. Mat. Рига Appl.
D) 4, 185—208 A927).
DAVENPORT H. [1] On the distribution of quadratic residues (mod p), J. Lon-
London Math. Soc. 6, 49—54 A931).
[2] On the distribution of /-th power residues (mod p), J. London Math. Soc. 7,
117—121 A932).
[3] On the distribution of quadratic residues (mod p). II, J. London Math. Soc.
8, 46—52 A933).
On certain exponential sums, J. reine angew. Math. 169, 158—176 A933).
On the addition of residue classes, J. London Math. Soc, 10, 30—32 A935).
On primitive roots in finite fields, Quart. J. Math. 8, 308—312 A937).
On character sums in finite fields, Acta Math. 71, 99—121 A939).
[8] Multiplicative Number Theory, Markham, Chicago, 1967. [Имеется перевод:
ДЭВЕНПОРТ Г. Мультипликативная теория чисел. —М.: Наука, 1971.1
[9] Bases for finite fields, J. London Math. Soc. 43, 21—39 A968); Addendum.
ibid. 44, 378 A969).
[10] A property of polynomials over a finite field, Mathematika 22, 151—153
A975).
DAVENPORT H., ERDOS P. [1] The distribution of quadratic and higher n-*i-
dues, Publ. Math. Debrecen 2, 252—265 A952).
DAVENPORT H., HASSE H. [l]Die Nullstellen der Kongruenzzetafunktioiien
in gewissen zyklischen Fallen, J. reine angew. Math. 172, 151—182 A935).
DAVENPORT H., HEILBRONN H. [1] On an exponential sum, Proc. London
Math, Soc. B) 41, 449—453 A936).
DAVENPORT H., LEWIS D. J. [1] Exponential sums in many variables, Апнт.
J. Math. 84, 649-665 A962).
121 Notes on congruences (I), Quart. J. Math. B) 14, 51—60 A963).
[3J Character sums and primitive roots in finite fields, Rend, Circ. Mat. Palermo
B) 12, 129—136 A963).
[4] Notes on congruences (II), Quart. J. Math. B) H, 153—159 A963).
[5] Homogeneous additive equations, Proc. Royal Soc. London Ser. A 274, 443—
460 A963).
[6] Cubic equations of additive type, Phil. Trans. Royal Soc. London Ser. A Jol.
97—136 A966).
Литература 719
[7] Notes on congruences (III), Quart, J. Math. B) 17, 339—344 A966).
|8j Simultaneous equations of additive type, Phil. Trans. Royal Soc. London
Ser. A 264, 557—595 A969).
0AV1DA Q. 1. 11] Inverse of elements of a Galois field, Electron. Lett. 8, 518—
520 A972).
DAVIO M., DESCHAMPS J.-P., THAYSE A. [1] Discrete and Switching Fun-
Functions, McGraw-Hill, New York, 1978.
DAVIS A. S. [1] The Euler—Fermat theorem for matrices, Duke Math. J. 18
613-617 A951).
JAYKIN D. E. [1 ] On the rank of the matrix f\A) and the enumeration of certain
matrices over a finite field, J. London Math. Soc. 35, 36—42 A960).
|2| Distribution of bordered persymmetric matrices in a finite field, J. reine
angew. Math. 203, 47—54 (I960).
|3J The irreducible factors of (ex + d) xf— (ax + b) over GF (q), Quart. J.
Math. B) 14, 61—64 A963).
14] On linear sequences over a finite field, Amer. Math. Monthly 70, 637—642
A963).
15] Polynomials over a finite field, J. London Math. Soc. 40, 326—331 A965).
|6j Generation of irreducible polynomials over a finite field, Amer. Math. Mon-
Monthly 72, 646—648 A965).
DAYKIN D. E., DRESEL L. A. G., HILTON A. J. W. [1] The structure of se-
second order sequences in a finite field, J. reine angew. Math. 270, 77—96 A974).
DE BRUIJN N. G. [1 ] A combinatorial problem, Indag. Math. 8, 461—467 A946)
f)E CARLI D. J. [1] A generalized Fibonacci sequence over an arbitrary ring, Fi-
Fibonacci Quart. 8, 182—184. 198 A970).
DEDEKIND R. [1] Abriss einer Theorie der fiohern Congruenzen in Bezug auf
einen reellen Primzahl-Modulus, J. reine angew. Math. 54, 1—26 A857),
Gesarnmelte Math. Werke, vol. 1, pp. 40—66, Vieweg, Braunschweig, 1930.
[2] Beweis fur die Irreductibilitat der Kreistheilungsgleichungen, J. reine an-
angew. Math. 54, 27—30 A857); Gesammelte Math. Werke, vol. 1, pp. 68—71,
Vieweg, Braunschweig, 1930.
13] Uber den Zusammenhang zwischen der Theorie der Ideale und der Theorit
der hoheren Kongruenzen, Abh. Kgl. Ges. Wiss. Gottingen 23, 1—23 A878);
Gesammelte Math. Werke, vol. 1, pp. 202—230, Vieweg, Braunschweig,
1930.
DE GROOTE R. ]1 ] Les cubiques dans un plan projectif sur un corps de caracteri-
stique trois, Acad. Roy. Belg. Bull. Cl, Sci. E) 59, 1140—1155 A973).
[2] Les cubiques dans un plan projectif sur un corps fini de caracteristique 3,
Acad. Roy. Belg. Bull. CI. Sci. E) 60, 43—57 A974).
Г>Е GROOTE R., HIRSCHFELD J. W. P. [1 ] The number of points on an elliptic
cubic curve over a finite field, European J. Combin. 1, 327—333 A980).
DELIGNE P. [1] La conjecture de Weil pour les surfaces КЗ, Invent. Math. 15,
206—226 A972).
121 Les intersections completes de niveau de Hodge un, Invent. Math. 15, 237—
250 A972).
13] La conjecture de Weil. 1, Inst. Hautes Etudes Sci. Publ. Math. 43, 273—307
A974).
D 1 Applications de la formule des traces aux sommes trigonometriques, Cohomo-
logie Etale (Seminaire de Geometrie Algebrique du Bois—Marie SGA 4V2),
Lecture Notes in Math., vol.569, pp. 168—232, Springer-Verlag, Berlin-
Heidelberg—New York, 1977.
'5I Sommes de Gauss cubiques et revetements de SL B) (d'apres S. J, Patter-
Patterson), Seminaire Bourbaki 1978/79, Exp. 539, Lecture Notes in Math., vol.
, 770, pp. 244—277, Springer-Verlag, Berlin—Heidelberg—New York, 1980.
I61 La conjecture de Weil. II, Inst. Hautes Etudes Sci. Publ. Math. 52, 137—252
r,r,. A980).
¦-LSARTE J. flj Nombre de solutions des equations polyndmiales sur un corps
720 Литература
fini (d'apres A, Weil), Seminaire Bourbaki 1950/1951, Exp. 39, Benjamin
New York, 1966.
DELSARTE P. [1] A geometric approach to a class of cyclic codes, J. Cornbln;i
torial Theory 6, 340—359 A969).
|2] On cyclic codes that are invariant under the general linear group, IETF.
Trans. Information Theory IT-16, 760—769 A970).
[3] Bilinear forms over a finite field, with applications to coding theory, J. Com-
Combinatorial Theory Ser. A 25, 226—241 A978).
DELSARTE P., GOETHALS J.-M. [1] Irreducible binary cyclic codes of even
dimension, Proc, Second Chapel Hill Conf. on Combinatorial Math, and II-.
Appl. (Chapel Hill, N. C, 1970), pp. 100-113, Univ. of North Carolin.i
Press, Chapel Hill, N. C, 1970.
[2J Alternating bilinear forms over GF (q), J, Combinatorial Theory Ser. A 19,
26—50 A975).
[31 Unrestricted codes with the Golay parameters are unique, Discrete Mii'h
12, 211—224 A975).
DELSARTE P., GOETHALS J.-M., SE1DEL J. J. A) Orthogonal matrices *nli
zero diagonal II, Canad. J, Math. 23, 816—832 A971).
DELSARTE P., MCEL1ECE R. J. [1] Zeros of functions in finite abelian gfuii|.
algebras, Amer. J. Math. 98, 197-224 A976).
DE MATHAN B, [1] Sur un theorerne metrique d'equirepartition mod 1 <f''.!ls
un corps de series formelles sur un corps fini, C. R. Acad. Sci. Paris Sit
A 265, 289-291 A967).
|2] Theorerne de Koksrna dans un corps de series formelles sur un corps fini, Shii.
Delange—Pisot—Poitou 1967/68, Theorie des Nombres, Exp. 4, Secretariat
Math., Paris, 1969.
[3] Approximations diophantiennes dans tin corps local, Bull. Soc. Math. Frt'icc
Suppl. Mem. 21 A970).
DEMBOWSKI P. [1] Mobiusebenen gerader Ordnung, Math. Ann. 157, 179^2'>5
A964).
[2] Finite Geometries, Springer-Verlag, Berlin—Heidelberg—New York, lj|f'h-
DE'NES J., KEEDWELL A. D. [1] Latin Squares and Their Applications, Аса-
dernic Press, New York, 1974,
DE POLIGNAC C. [1J Sur la representation analytiqtie des substitutions, Hull.
Soc. Math. France 9, 59—67 A881).
DESHOUILLERS J.-M. [1] Sur la repartition modulo 1 des puissances d'un Hf-
ment de ft ((X)), Proc. Quenn's Number Theory Conf. (Kingston, O:it.,
1979), Queen's Papers in Pure and Appl. Math., no. 54, pp. 437—439, Quei-n ¦>
Univ., Kingston, Ont,, 1980. ' .
[2] La repartition modulo 1 des puissances de rationnels dans 1'anneau des w-
ries formelles sur un corps fini, Sem. Theorie des Nombres 1979—1980, Exp ;).
Univ. Bordeaux I, Talence, 1980.
[3J La repartition modulo 1 des puissances d'un element dans FQ ((X)), Re'1'11'
Progress in Analytic Number Theory (H. Halberstam and С Hooley, «i-.l.
vol. 2, pp. 69—72, Academic Press, London, 1981.
DESHOUILLERS J.-M,. IWAN1EC H. [1] Kloosterman sums and Fourier ef-
efficients of cusp forms, Invent. Math. 70, 219—288 A982).
DESMAREST E. [1J Theorie des nombres, Paris, 1852.
DEURING M. [1] Galoissche Theorie und Darstellungstheorie, Math. Ann. !•>'¦
140 — 144 A933).
[2J Die Typen der Multiplikatorenringe elliptischer Funktionenkorper, A-'H-
Math.'Sem. Univ. Hamburg 14, 197—272 A941).
[3] The zeta-functions of algebraic curves and varieties, J. Indian Math. Ь-н-
20, 89—101 A956).
[4J Lectures on the Theory of Algebraic Functions of one Variable, Lecture V»'
tes in Math., vol.314, Springer-Verlag, Berlin—Heidelberg—New i<irK-
1973.
Литература 721
DICKEY L. J., KAIRIES H.-H., SHANK H. S. |1J Analogs of Bernoulli polyno-
polynomials in fields Zp, Aequationes Math. 14, 401—404 A976).
D1CKSON L. E. [1] Analytic functions suitable to represent substitutions, Amer.
J, Math. 18, 210—218 A896).
[2] The analytic representation of substitutions on a power of a prime number
of letters with a discussion of the linear group, Ann. of Math. 11, 65—120,
161—183 A897).
131 Higher irreducible congruences, Bull. Amer. Math. Soc. 3, 381—389 A897).
[4] Determination of the structure of all linear homogeneous groups in a Galois
field which are defined by a quadratic invariant, Amer. J. Math. 21, 193—
256 A899).
5] Certain subgroups of the Betti—Mathieu group, Amer. J. Math. 22, 49—54
A900).
16 J Proof of the existence of the Galois field of order pr for every integer r and
prime number p. Bull. Amer. Math. Soc. 6, 203—204 A900).
17] Linear Groups with an Exposition of the Galois Field Theory, Teubner, Lei-
Leipzig, 1901; Dover, New York, 1958.
181 On finite algebras, Gottinger Nachr. 1905, 358—393.
[91 Criteria for the irreducibility of functions in a finite fifcld, Bull. Amer. Math.
Soc. 13, 1—8 A906).
110] On the theory of equations in a modular field. Bull. Atner. Math. Soc. 13,
8—10 A906).
[11] On quadratic, hermitian and bilinear forms, Trans. Amer. Math. Soc. 7,
275—292 A906).
[12] Invariants of binary forms under modular transformations, Trans. Amer.
Math. Soc. 8, 205—232 A907).
113] Invariants of the general quadratic form modulo 2, Proc. London Math. Soc.
B) 5, 301—324 A907).
[14] On the last theorem of Fermat, Messenger of Math. B) 38, 14—32 A908).
A5] On the canonical forms and automorphs of ternary cubic forms, Amer. J.
Math. 30, 117—128 A908).
[16] On triple algebras and ternary cubic forms, Bull. Amer. Math. Soc. 14, 160—
169 A908).
A7J On the congruence xn + у" + г" = 0 (mod p), Amer. Math. Monthly 15,
217-222 A908).
A8] Invariantive reduction of quadratic forms in the GF \2n], Amer. J. Math.
30, 263-281 A908).
П9] On higher congruences and modular invariants, Bull. Amer. Math. Soc. 14,
313—318 A908).
|20] On families of quadratic forms in a general field, Quart, J. Pure Appl. Math.
39, 316—333 A908).
B1] On the last theorem of Fermat. II, Quart. J. Pure Appl. Math. 40, 27—45
A908).
122] Rational reduction of a pair of binary quadratic forms; their modular inva-
invariants, Amer. J. Math. 31, 103—146 A909).
123] Definite forms in a finite field, Trans. Amer. Math. Soc. 10, 109—122
A909).
124] General theory of modular invariants, Trans. Amer. Math. Soc. 10, 123-158
A909).
125] On the congruence x" + /+г" = 0 (mod p), J. reine angew. Math. 135-
134—141 A909).
f26] Lower limit for the number of sets of solutions of xe -f У* + ze = 0 (mod p),
. J. reine angew. Math. 135, 181—188 A909).
2"J A theory of invariants, Amer. J. Math. 31, 337—354 A909).
|2«] On the representation of numbers by modular forms, Bull. Amer. Math. Soc.
15, 338—347 A909).
19 Зак. 243
722 Литература
[29J An invariantive investigation of irreducible binary modular forms, Tr.ins.
Amer. Math, Soc. 12, 1 — 18 A911).
[30] A fundamental system of invariants of the general modular linear group \m1!i
a solution of the form problem, Trans. Arner. Math. Soc, 12, 75—98 11411).
[31] Note on cubic equations and congruences, Ann. of Math. B) 12, 149 -152 i It» 11)
[32] On non-vanishing forms, Quart. J. Pure Appl, Math. 42, 162--171 A911).
[33] Congruencial theory of functions of several variables, Bull. Amer, Math.
Soc. 17, 293—294 A911),
[34] Proof of the finiteness of modular eovariants, Trans. Amer, Math. S(. 14,
299—310 A913).
|35] On Invariants and the Theory of Numbers, American Math. Society Ww
York, 1914.
[36] The invariants, seminvariants and linear covenants of the binary quirtii'
form modulo 2, Ann. of Math. B) 15, 114—117 A914).
137] Modular invariants of the system of a binary cubic, quadratic and linear
form, Quart. J. Pure Appl. Math. 45, 373—384 A914),
C8) Recent progress in the theories of modular and formal invariants and m ir.u-
dular geometry, Proc. Nat. Acad. Sci. U. S. A. 1, 1—4 A915).
|39] Projective classification of cubic surfaces modulo 2, Ann. of Math. r_>) 16,
139—157 A915).
[40] History of the theory of Numbers, vol. 1, Carnegie Institute, Washii.iilun,
D. C, 1919.
141] History of the Theory of Numbers, vol. 2, Carnegie Institute, Washii.glwi,
D. C, 1920.
D2] History of the Theory of Numbers, vol. 3, Carnegie Institute, Washington,
D. C, 1923.
[43] Ternary quadratic forms and congruences, Ann. of Math. B) 28, 33-4 3-Я
A927).
[44] Cyclotomy and trinomial congruences, Trans. Arner. Math. Soc. 37, Jt>J ¦¦¦
380 A935).
[45] Cyclotomy when e is composite, Trans. Amer. Math. Soc. 38, 187—200 A9.43).
[46] Cyclotomy, higher conrguences, and Waring's problem, Amer, J. Ma'h 57,
391—424 A935).
147] Cyclotomy, higher congruences, and Waring's problem П, Amer, J. Mith.
57, 463—474 A935).
148] Congruences involving only e-th powers, Acta Arith, 1, 161—167 A93<>>
DICKSON L. E., MITCHELL H, H., VAND1VER H. S., WAHL1N G. К Ml
Algebraic Numbers, National Research Council, Washington, D. C, l'-'2.'
DIDERRICH G. Т., MANN H. B. fl] Representations by fc-th powers in OF Wl.
J. Number Theory 4, 269-273 A972).
DIEUDONNE J. [11 Pseudo-discriminant and Dickson invariant, Pacific J. M.uh
5, 907-910 A955).
[2] La geometrie des groupes classiques, 3rd ed., Springer-Verlag, Berlin Hei-
Heidelberg—New York. 1971, [Имеется перевод: ДЬЕДОННЕ Ж. Геомпрня
классических групп. — М.: Мир. 1974,]
DIFFIE W.. HELLMAN М, Е. И] New directions in cryptography, IEEE 1'raiis.
Information Theory IT-22, 644—654 A976).
DIJKSMA A. [1] The measure theoretic approach to uniform distribution of se-
sequences in GF [q, x], Mathematics (Cluj) 11, 221—240 A969).
[2] Uniform distribution of polynomials over GF {q, x) in GF [q, x], Part '•
Indag. Math. 31, 376—383 A969).
[3] Uniform distribution of polynomials over GF {q, x) in GF [q, x], Part !'¦
Indag. Math, 32, 187—195 A970).
[4] Metrical theorems concerning uniform distribution in GF \q, x] and GF {ц. x]i
Nieuw Arch. Wisk. C) 18, 279—293 A970).
DILLON J. F., MORRIS R. A. [1 ] On a paper of E. R. Berlekamp, H. M. Fri-'U-
ricksen and R. C, Proto: «Minimum conditions for uniquely determii.ini!
Литература 723
the generator of a linear sequence» (Utilitas Math. 5 A974), 305—315), Uti-
litas Math. 5, 317—322 A974).
plRlCHLET G. L. [1] Ober eine neue Anwendung bestimmter Integrale auf die
Summation endlicher oder unendlicher Reihen, Abh. Konigl. Preuss. Akad.
Wiss. 1835, 391-407; Werke, vol. 1, pp. 237—256, Reimer, Berlin, 1889.
DlXON J. D. A ] The Structure of Linear Groups, Van Nostrand Reinhold, Lon-
London, 1971.
D'OCAGNE M, [1] Mernoire sur les suites recurrentes, J. de 1'Ecole Polyteehni-
que 64, 1 б 1 —224 A894).
DOCEV K., DIM1TROV D. [1] Certain properties of homogeneous equations in
finite fields (Bulgarian), Ann. Univ. Sofia Fac. Math. Mec. 64, 269—276
A969/70).
DODSON M. M. [1] Homogeneous additive congruences, Phil. Trans. Royal Soc.
London Ser. A 261, 163—210 A967):
|2] On Waring's problem in GF [p\, Acta Arith. 19, 147—173 A971).
[3] On a function due to S, Chowla, J. Number Theory 5, 287—292 A973).
|4] On Waring's Problem in p-adic fields, Acta Arith. 22, 315—327 A973).
DODSON M. M., TIETAVAINEN A. [1] A note on Waring's* problem in GF (p),
Acta Arith. 30, 159—167 A976).
DODUNEKOV S. M. [1] Существенно различные неприводимые полиномы над
конечным полем, Ann. Univ. Sofia Fac. Math. Мее. 66, 169—175 A971/72).
[2] Коды Гоппы, Ann. Univ. Sofia Fac. Math. Mec 68, 317—322 A973/74).
DOREY F., WHAPLES G. [1] Prime and composite polynomials, J. Algebra 28,
88—101 A974).
DORGE K. [1] 2ur Verteilung der quadratischen Reste, Jber. Deutsch. Math.-
Verein, 38, 41—49 A929).
DORNHOFF L. L., HOHN F. E. [1] Applied Modern Algebra, Macmillan, New
^ York, 1978.
DRESS F. [1] Fonctions arithmetiques sur l'anneau des polyndmes a coefficients
dans un corps fini, Sem. Delange—Pisot 1962/63, Exp. 13, Secretariat Math.,
Paris, 1967.
DUBO1S E., PAYSAN-LE ROUX R. [1] Approximations simultanees dans un
corps de series formelles, С R. Acad. Sci, Paris Ser. A 274, 437—440 A972).
DUNN К. В., LIDL R. [1] Iterative roots of functions over finite fields, Math.
Nachr., 115, 319—329 A984).
DUNTON M. [1] Nontrivial solutions of ax? + by3 = с (mod p), Norske Vid.
Selsk. Forh. (Trondheim) 33, 45—46 A960).
12] Bounds for pairs of cubic residues, Proc. Amer. Math. Soc. 16, 330—332 A965).
DUPARC H. J. A. [1] Periodicity properties of recurring sequences. I, II, Indag.
Math. 16, 331—342, 473—485 A954).
BJ Periodicity properties of certain sets of integers, Indag, Math. 17, 449—458
A955).
DUSKE J., JURGENSEN H. [1] Codiemngstheorie, Reihe Informatik, vol. 13,
Bibliographisches Institut, Mannheim, 1977.
DUVALL P. F., KIBLER R. E. [1J On the parity of the frequency of cycle lengths
of shift register sequences, J. Combinatorial Theory Ser. A 18, 357—361
A975).
DUVALL P. F., MORTICK J. С [1] Decimation of periodic sequences, SIAM J.
Appl. Math. 21, 367—372 A971).
UWORK B. [1] On the congruence properties of the zeta function of algebraic
varieties, J. reine angew. Math. 203, 130—142 A960).
1*1 On the rationality of the zeta function of an algebraic variety, Amer. J. Math.
82, 631—648 A960).
1JI On the reta function of a hypersurface I, Inst. Hautes Etudes Sci. Publ. Math.
Ui \2' 5~68 A968>-
i*I A deformation theory for the zeta function of a hypersurface, Proc. Interna-
19*
724 Литература
tional Congress of Math. (Stockholm, 1962), pp. 247—259, Institut Mi'iaa-
Leffler, Djursholm, 1963.
[5J On the zeta function of a hypersurface. II, Ann. of Math. B) 80, 227- L'I'J
A964).
[6] Analytic theory of the zeta function of algebraic varieties, Arithmetical Л1
gebraic Geometry (Proc. Conf. Purdue Univ., 1963), pp. 18—32, Hwpw
and Row, New York, 1965.
[7] On zeta functions of hypersurfaces, Les Tendances Geometriques en Al|i'hre
et Theorie des Nombres, pp. 77—82, Edition du Centre National ek In
Recherche Scientifique, Paris, 1966.
|8J On the zeta function of a hypersurface. Ill, Ann. of Math. B) 83, 457- "ilil
A966),
[9J On the rationality of zela functions and /.-series, Proc. Conf. Local Fi>\iN
(Driebergen, 1966), pp. 40—55, Springer-Verlag, Berling—Heidelberg—New-
York, 1967.
MO] p-adic cycles, lust. Ilautes Etudes Sci. Publ. Math. 37, 27—115 A969).
[11] Bessel functions as p-adic functions of the argument, Duke Math. J. 41, 711
738 A974).
DYE R. H. (I] On the Arf-invariant, J. Algebra 53, 36 ~~39 A978).
EHL1CH H. |1] Neue Hadamard-Matrizen, Arch. Math. 16, 34—36 A965).
E1CHLER M. [1 | Einfiihrung in die Theorie der algebraischen Zanlen und F nik-
tionen, Birkhauser Verlag, Basel, 1963.
EICHNER L. [1] Lineare Realisierbarkeit endlicher Automaten fiber enldirhi'ii
Korpern, Acta Inform. 3, 75— 100 A973).
EIER R., L1DL R. [1| Tschebyscheffpolynome in einer und zwei Variablen, Ahh
Math. Sem. Univ. Hamburg 41, 17—27 A974).
EIER R., MALLECK H. A] Anwendung von Multiplextechniken bei der Егеевдшя
von schnellen Pseudozufallsfolgen, Nachrichtentechn. Z. 28, 227—231 A475).
EISENSTE1N G. [1] Beitrage zur Kreistheilung, J. reine angew. Math. 27, 2'>9
278 A844); Math. Werke, vol. 1, pp. 45—54, Chelsea, New York, 1975.
B] Beweis des Reciprocitatssatzes fur die cubischen Reste in der Theorie flor
aus dritten Wurzeln der Einheit zusammengesetzten complexen ZaliH'i1,
J. reine angew. Math. 27, 289—310 A844); Math. Werke, vol. 1, p] . 59- *".
Chelsea, New York, 1975.
C) La loi de reciprocite tiree des formules de Mr. Gauss, sans avoir determine
prealablement le signe du radical, J. reine angew. Math. 28, 41—43 AM4);
Math. Werke, vol. 1, pp. 114—116, Chelsea, New York, 1975.
[4 | Lois de reciprocite, J. reine angew. Math. 28, 53—67 A844); Math. W'"ke.
vol. 1, pp. 126-140, Chelsea, New York, 1975.
E] Zur Theorie der quadratischen Zerfallung der Primzahlen 8n + 3, 7re 2
und In + 4, J. reine angew. Math. 37, 97—126 A848); Math. Werke, vol 2,
pp. 506—535, Chelsea, New York, 1975.
[6] Lehrsatze, J. reine angew. Math. 39, 180—182 A850); Math. Werke, vol. ''¦
pp. 620—622, Chelsea, New York, 1975.
ELLIOTT P. D, T. A. [1 ] Some notes on fc-th power residues, Acta Arith. 14, i">3
162 A968).
|21 A restricted mean value theorem, J. London Math. Soc. B) 1, 447—460 (lfwn).
131 On the mean value of f (p), Proc. London Math. Soc. C) 21, 28—96 AH7«).
|4J The distribution of power residues and certain related results, Acta Ant"-
17, 141-159 A970).
[5] A remark on the Dirichlet values of a completely reducible polynomial f:n(ld
p). J. Number Theory 13, 12-17 A981).
ELLISON W. J. [1J Waring's problem, Amer. Math. Monthly 78, 10—36 (lUTll-
ELSPAS В. Ill The theory of autonomous linear sequential networks, IRE Tri'i^
Circuit Theory CT-6, 45—60 A959). (Имеется перевод: ЭЛСПАС Б. Те>>!Ч1Я
автономных линейных последовательных цепей. — В кн.; Киберн. сбор':'|К-
вып. 7. — М.: ИЛ, 1963, с. 90—128.]
Литература 725
ELSPAS В., SHORT R. A. [1] A note on optimum burst-error-correcting codes,
IRE Trans. Information Theory 1T-8, 39—42 A962). [Имеется перевод:
ЭЛСПАС Б., ШОРТ Р. Об оптимальных кодах, исправляющих пакеты
ошибок. — В кн.: Теория кодирования. —М.: Мир, 1964, с. 83—96.]
EMRE E., HUSEYIN 6. [1] Relative primeness of multivariable polynomials,
IEEE Trans. Circuits and Systems CAS-22, 56—57 A975).
ENGLISH W. R. [1 ] Synthesis of finite state algorithms in a Galois field GF[p»],
IEEE Trans. Computers C-30, 225—229 A981).
ENGSTROM H. T. [1] Periodicity in sequences defined by linear recurrence rela-
relations, Proc. Nat. Acad. Sci. U. S. A. 16, 663—665 A930).
[2] On sequences defined by linear recurrence relations, Trans. Amer. Math.
Soc. 33, 210—218 A931).
[3] Polynomial substitutions, Amer. J. Math. 63, 249—255 A941).
ENNOLA V. [1] Note on an equation in a finite field, Ann. Acad. Sci. Fenn. Ser.
Al 314 A962).
ERDOS P. [1] Some recent advances and current problems in number theory,
Lectures on Modern Mathematics, vol. 3, pp. 196—244, Wiley, New York, 1965.
FSCOTT E. B. [1] Cubic congruences with three real roots, Ann. of Math. B) 11,
86-92 A910).
ESTERMANN T. [1] Vereinfachter Beweis eines Satzes von Kloosterman, Abh.
Math. Sem. Univ. Hamburg 7, 82—98 A930).
[2] On the sign of the Gaussian sum, J. London Math. Soc. 20, 66—67 A945).
[3] On Kloosterman's sum, Mathematika 8, 83—86 A961). .
[4] A new application of the Hardy—Littlewood—Kloosterman method, Proc.
London Math. Soc. C) 12, 425—444 A962).
EULER L. [1] Recherches sur une nouvelle espece de quarres magiques, Verh.
Zeeuwsch Genootsch. der Wetensch. Vissingen 9, 85—239 A782).
EVANS R. J. [1] Generalizations of a theorem of Chowla on Gaussian sums, Hou-
Houston J. Math. 3, 343—349 A977).
|2] Resolution of sign ambiguities in Jacob! and Jacobsthal sums, Pacific J.
Math. 81, 71—80 A979).
[3] Unambiguous evaluations of bidecic Jacobi and Jacobsthal sums, J. Austra-
Australian Math. Soc. Ser. A 28, 235—240 A979).
[4] Bioctic Gauss sums and sixteenth power residue difference sets, Acta Arith.
38, 37—46 A980).
15] Note on intersections of translates of powers in finite fields, Hokkaido Math.
J. 9, 135—137 A980).
[6] The 2Mh power character of 2, J. reine angew. Math. 315, 174—189 A980).
[7] Identities for products of Gauss sums over finite fields, L'Enseignement Math.
B) 27, 197—209 A981).
[8] Pure Gauss sums over finite fields, Mathematika 28, 239—248 A981).
0] Rational reciprocity laws, Acta Arith. 39, 281—294 A981).
[10] Twenty-fourth power residue difference sets, Math. Сотр. (to appear).
EVANS R. J., HILL J. R. [1] The cyclotomic numbers of order sixteen, Math.
Сотр. 33, 827—835 A979).
EVANS T. A.; MANN H. B. [1] On simple difference sets, Sankhyi Щ 357—364
A951).
FADIN1 A. [1] Un'interpretazione mediante algebre dei campi finiti di Galois di
ordine p", Rend. Accad. Sci. Fis. Mat. Napoli D) 19, 42—44 A952).
HAIRCLOTH О. В. f 1 ] Summary of new results concerning the solutions of equa-
equations in finite fields, Proc. Nat. Acad. Sci. U. S. A. 37, 619—622 A951).
12] On the number of solutions of some general types of equations in a finite field,
„, Canad. J. Math. 4, 343—351 A952).
'"AIRCLOTH О. В., VANDIVER H. S. [1] On multiplicative properties of a ge-
generalized Jacobi—Cauchy cyclotomic sum, Proc. Nat. Acad. Sci. U. S. A.
36, 260-267 A950).
726 Литература
[2] On certain diophantine equations in rings and fields, Proc, Nat, Acad bci
U. S. A. 38, 52—57 A952).
FANO G. [1] Sui postulati fondamentali della geometria proiettiva in unospa/ю a
un numero qualunque di dimension!, Giorn. Mat, Battaglini 30, 106 - -132
A892).
FATEMAN R. J, [1] Polynomial multiplication, powers and asymptotic anal<>i.s:
Some comments, SIAM J. Computing 3, 196—213 A974).
FATOU P. [1] Sur les fonctions qui admettent plusieurs theoremes de multMii';i-
tion, С R. Acad. Sci. Paris. 173, 571—573 A921).
FEIT W., FINE N. J. [1] Pairs of commuting matrices over a finite field, Duki
Math. J. 27, 91—94 (I960).
FEIT W., REES E. [1] A criterion for a polynomial to factor completely over I In-
integers, Bull. London Math. Soc. 10, 191 — 192 A978).
FENG K. Q. [11 Pseudo-random properties of linear shift register sequences (Oii-
nese), Acta Math. Sinica 19, 192—202 A976).
FENG X., DAI Z. D. |1 ] Notes on finite geometries and the construction of P3IB
designs, V. Some «Anzahb theorems in orthogonal geometry over finite fii'ld-
of characteristic 2, Sci. Sinica 13, 2005—2008 A964),
[2] Studies in finite geometries and the construction of incomplete block design-.
V. Some «Anzahl» theorems in orthogonal geometry over finite fields of cha-
characteristic 2 (Chinese), Acta Math. Sinica 15, 664—682 A965); Chinese Л1 nil
Acta 7, 392—410 A965).
FIDUCCIA С M., ZALCSTEIN Y. [1 ] Algebras having linear multiplicative com-
complexities, J. Assoc. Comput. Mach. 24, 311—331 A977).
FILLMORE J. P. [1] A note on split dilations defined by higher residues, Pmc.
Amer. Math. Soc. 18, 171-174 A967).
FILLMORE J. P., MARX M. L. [1] Linear recursive sequences, SIAM Rev. 10,
342—353 A968).
FINE N. J. [1J On the asymptotic distribution of the elementary symmetric fun-
functions (mod p), Trans, Amer. Math. Soc. 69, 109—129 A950).
FINE N. J., HERSTEIN I. N. [1] The probability that a matrix be nilpotcnt,
Illinois J. Math. 2, 499—504 A958).
FINE N. J., N1VEN I. [1 ] The probability that a determinant be congruent t" u
(mod m), Bull. Amer. Math. Soc. 50, 89—93 A944).
FISHER R. A, [1 ] The Design of Experiments, Oliver and Boyd, Edinburgh, 1942.
FISHER S. D., ALEXANDER M. N. [1] Matrices over a finite field, Amer. Maih.
Monthly 73, 639—641 A966).
FITZPATRICK G. B. [1] Synthesis of binary ring counters of given periods, J.
Assoc. Comput. Mach. 7, 287—297 A960).
FLYE SAINTE-MARIE С [1] Reponse a la question 48, L'lntermed. Math I.
107—110 A894),
FORNEY G. D., Jr. [1 ] On decoding BCH codes, IEEE Trans. Information Theory
IT-11, 549-557 A965).
FORSYTH A. R. [I ] Primitive roots of prime numbers and their residues, Messen-
Messenger of Math. B) 13, 169—192 A884).
FRALEIGH J. B. AJ A First Course in Abstract Algebra, Addison-Wesley, Read'-.!,'.
Mass., 1967.
FRAME J. S, [1 ] A short proof of quadratic reciprocity, Amer. Math. Monthly 45.
818—819 A978).
FRATTINI G. [1] Intorno ad un teorerna di Lagrange, Afti Reale Accad. Lined
Rend. (.4) 1, 136—142 A885).
[2] Sulle eongruenze omogenee e simmefriche con un numero primo di variabili.
Periodico di Mat. 29, 49^-53 A913).
FRAY R., GILMER R. [1 ] On solvability by radicals of finite fields, Math. Ann.
199, 279—291 A972).
FREDMAN M. L. [1] Congruence formulas obtained by counting irreducible.-.
Pacific J. Math. 35, 613—624 A970).
Литература 727
[2] The distribution of absolutely irreducible polynomials in several indetermi-
nates, Proc. Amer. Math. Soc. 31, 387—390 A972).
FREDRICKSEN H. [1] A class of nonlinear de Bruijn cycles, J. Combinatorial
Theory Ser. A 19, 192—199 A975).
[2] A survey of full length nonlinear shift register cycle algorithms, SIAM Rev.
24, 195—221 A982).
FREDRICKSEN H., KESSLER I. A] Lexicographic compositions and de Bruijn
sequences, J. Combinatorial Theory Ser. A 22, 17—30 A977),
FREDRICKSEN H., "WISNIEWSK1 R. [1] On trinomials /+r+l and
A.8/+3 „j. xk _j_ , [гге(}ис|ые over qf B), Information and Control 50, 58—63
A981).
FREDRICSSON S. A. [1] Pseudo-randomness properties of binary shift registci
sequences, IEEE Trans. Information Theory 1T-21, 115—120 A975).
FRIED M. [1] Arithmetical properties of value sets of polynomials, Acta Arith.
15, 91 — 115 A969).
|2| On a conjecture of Schur, Michigan Math. J. 17, 41—55 A970).
[3] On a theorem of Ritt and related Diophantine problems, J. reine angew.
Math. 264, 40—55 A973).
[4| On a theorem of MacCluer, Acta Arith. 25, 121—126 A974).
!5] Arithmetical properties of function fields (II). The generalized Schur problem,
Acta Arith. 25, 225—258 A974).
FRIED M., MACRAE R. E. [1] On the invariance of chains of fields, Illinois J.
Math. 13, 165—171 A969).
FRIED M., SACERDOTE G. [1] Solving diophantine problems over all residue
class fields of a number field and all finite fields, Ann. of Math. B) 104, 203—
233 A976).
FRIEDLAND B. [1] Linear modular sequential circuits, IRE Trans. Circuit Theory
CT-6, 61—68 A959).
FRIEDLAND В., STERN Т. Е. A] On periodicity of state in linear modular
sequential circuits, IRE Trans. Information Theory 1T-5, 136—137 A959).
FRIEDLANDER J. B. [1 ] A note on primitive roots in finite fields, Mathematika
19, 112—114 A972).
12] On the least ?th power non-residue in an algebraic number field, Proc. London
Math. Soc. C) 26, 19—34 A973).
13] Character sums in quadratic fields, Proc London Math. Soc. C) 28, 99—111
A974).
FRIEDMAN W. F., MENDELSOHN C. J. [1] Notes on code words, Amer. Math
Monthly 39, 394—409 A932).
FROBERG C.-E. [1] New results on the Kummer conjecture, BIT 14, 117—119
A974),
FROHL1CH A. [1 ] Non-abelian Jacobi sums, Number Theory and Algebra (H. Zas-
senhaus, ed.), pp. 71—75, Academic Press, New York, 1977.
[2] Stickelberger without Gauss sums, Algebraic Number Fields (A. Frohlich, ed.)
pp. 589—607, Academic Press, London, 1977.
FROHLICH A., TAYLOR M. J. [1] The arithmetic theory of local Galois Gauss
sums for tame characters, Phyl, Trans. Royal Soc. London Ser. A 298, 141—181
A980).
FROLOV M [1] Sur les racines primitives, Bull. Soc. Math. France 21, 113—128
A893), ibid. 22, 241-245 A894).
FRYER K. D. [I ] Note on permutations in a finite field, Proc. Amer. Math. Soc
6, 1-2 A955).
12] A class of permutation groups of prime degree. Canad J. Math. 7, 24—34 A955)
FULTON J D [1] Symmetric involutory matrices over finite fields and modula»
rings of integers. Duke Math. J. 36, 401—407 A969).
[2] Stochastic involutions over a finite field, Duke Math. J. 39, 391—399
A972).
728 Литература
[3] Characterization and enumeration of linear classes of involutions over afr'ue
field, Linear Algebra Appl. 6, 119-127 A973).
[4] Linear classes of involutions over fields of characteristic two, Linear Alg-.-bra
Appi. 6, 129—142 A973).
[5] Representations by quadratic forms of arbitrary rank in a finite field of cha-
characteristic two, Linear and Multilinear Algebra 4, 89—101 A976).
[6] Representations by Hermitian forms in a finite field of characteristic iwu,
Canad J. Math. 29, 169—179 A977).
17] Representations by quadratic forms in a finite field of characteristic t.vn.
Math. Nachr. 77, 237—243 A977).
[8] Generalized inverses of matrices over a finite field, Discrete Math. 21, 23 29
A978).
[9] Gauss sums and solutions to simultaneous equations over OF By), Acta Ariih.
35, 17—24 A979).
[10J Generalized inverses of matrices over fields of characteristic two, Linear
Algebra Appl. 28, 69—76 A979).
FULTON J. D., MORRIS W. L. [1 ] On arithmetical functions related to the Fibo-
Fibonacci numbers, Acta Arith. 16, 105—110 A969).
FULTON W. A ] A fixed point formula for varieties over finite fields, Math. Sciirul.
42, 189—196 A978).
FURQUIM DE ALMEIDA F. [1] On a formula of Cipolla (Portuguese), Sucuna
Brasil. Math. !, no. 10, 207—219 A946).
12] The law of quadratic reciprocity (Portuguese), Bol. Soc. Mat, Sao Paulo 3,
no. 1—2, 3—8 A948).
FURSTENBERG H. fl 1 Algebraic functions over finite fields, J. Algebra 7, 271 -
277 A967).
FURTADO GOMIDE E. [1] On the theorem of Artin—Weil (Portuguese), Bol.
Soc. Mat. Sao Paulo 4, 1—18 A949).
GAAL L. [1] Classlsal Galois Theory with Examples, Markham, Chicago, 1971
GAIU E. [1] Congruences of matrices having integer elements (Romanian), Gaz.
Mat. Fiz. Ser. A 11, 334—337 A959).
GALLAGER R. G. [1 ] Information Theory and Reliable Communication, Wiley,
New York, 1968. [Имеется перевод:* ГАЛЛАГЕР Р. Теория информации
и надежная связь.—М.: Советское радио, 1974. J
GALOIS E. [1J Sur ia theorie des nombres, Bull. Sci. Math, de M. Ferussac 13,
428—435 A830); J. Math. Pures Appl. 11, 398—407 A846); Oeuvres math..
pp. 15—23, Gauthier-Villars, Paris, 1897. [Имеется перевод: ГАЛУА Э.
Из теории чисел.—В кн.: Галуа Э. Сочинения. М.—Л.: ОНТИ, Ш6,
с. 35—47. ]
GAUSS С. F. [1] Disquisitiones Arithrneticae, Fleischer, Leipzig, l801;W*rke.
vol. 1, Konigl. Geseilschaft der Wissenschaften, Gottingen, 1863; Unter-
suchungen fiber Hohere Arithmetik (H. Maser, ed.), pp. 1—453, Springer,
Berlin, 1889; Yale Univ. Press, New Haven, Conn., 1966. [Имеется перевод:
ГАУСС К. Ф. Арифметические исследования. — В кя.: Гаусс К. Ф- Труды
по теории чисел. — М.; Изд. АН СССР, 1959, с. 7—583.]
[2] Summatio quarumdam serierum singularium, Comment. Soc. Reg. Sci, Got-
tingensis 1 A811); Werke, vol. 2, pp. 11—45, Konigl, Gesellschaft der Wis-
Wissenschaften, Gottingen, 1876; Untersuchungen fiber Hohere Arithmetik (H, Ma-
Maser, ed), pp. 463—495, Springer, Berlin, 1889. [Имеется перевод: ГАУСС К- Ф-
Суммирование некоторых рядов особого вида. — В кн.: Гаусс К- Ф. Труды
по теории чисел. — М.: Изд. АН СССР, 1959, с. 594—635.]
[3] Theoria residuorum biquadraticorum. Commentatio prima, Comment. Soc.
Reg. Sci. Gottingensis 6 A828); Werke, vol. 2, pp. 65—92, Konigl. Gesell-
Gesellschaft der Wissenschaften, Gottingen, 1876; Untersuchungen iiber Hlhere
Arithmetik (H. Maser, ed.), pp. 511—533, Springer, Berlin, 1889. [Имеется
перевод: ГАУСС К. Ф. Теория биквадратичных вычетов. Сочинение первое.--
Литература 729
В ки.: Гаусс К. Ф. Труды по теории чисел. —М.: Изд. АН СССР, 1959,
с. 655—685.]
[41 Analysis residuorum: Caput octavum. Disquisitiones generales de eongruen-
tiis, Werke, vol. 2, pp. 212—240, Konigl. Gesellschaft der Wissenschaften,
Gottingen, 1876; Untersuchungen fiber Hohere Arithmetik (H. Maser, ed.),
pp. ДО2—629, Springer, Berlin, 1889. [Имеется перевод: ГАУСС К. Ф. Учение
о вычетах. Общие исследования о сравнениях. — В кн.: Гаусс К- Ф. Труды
по теории чисел. — М.: Изд. АН СССР, 1959, с. 773—806.]
[5] Disquisitionum circa aequationes puras ulterior evolutio, Werke, vol. 2,
pp. 243—265, Konigl. Gesellschaft der Wissenschaften, Gottingen, 1876;
Untersuchungen fiber Hohere Arithmetik (H. Maser, ed.), pp. 630—652,
Springer, Berlin, 1889. [Имеется перевод: ГАУСС К- Ф. Дальнейшее разви-
развитие исследований о чистых уравнениях. — В ки.: Гаусс К- Ф. Труды по
теории чисел. — М.: Изд. АН СССР, 1959, с. 807—835.]
GAY D., VELEZ W. Y. [1] On the degree of the splitting field of an irreducible
binomial, Pacific J. Math. 78, 117—120 A978).
GEGENBAUER L. [1] Die Bedingungen ffir die Existenz einer bestimmten An-
zahl von Wurzeln einer Gongruenz, Sitzungsber. Wien Abt. II 95, 165—169
A887).
[2] Ober Congruenzen, Sitzungsber. Wien Abt. II 95, 610—617 A887).
[3] Ober ein Theorem des Herrn Pepin, Sitzungsber. Wien Abt. II 95, 838—842
A887).
[4] Zur Theorie der Congruenzen, Sitzungsber. Wien Abt. II 98, 652—672 A889).
[5] Zur Theorie der Congruenzen mit mehreren Unbekannten, Sitzungsber Wien
Abt. II 99, 790—813 A890).
F] Einige mathematische Theorerne, Sitzungsber. Wien Abt. II 102, 549—564
A893).
[7] Ueber Congruenzen in Bezug auf einen Primzahlmodul, Monatsh. Math,
Phys. 5, 230—232 A894).
GE1JSEL J. M. [1] Transcendence in Fields of Positive Characteristic, Mathema-
Mathematical Centre Tracts, vol. 91, Mathematisch Centrum, Amsterdam, 1979.
GERJETS M. S., BERGUM G. E. [1] The distribution of primitive roots in fields
of order p2, Bull. Calcutta Math. Soc. 68, 53—62 A976).
GERST I., BRILLHART J. [1] On the prime divisors of polynomials, Arner.
Math. Monthly 78, 250—266 A971).
GERSTENHABER M. [1] On the number of nilpotent matrices with coefficients
in a finite field, Illinois J. Math. 5, 330—333 A961).
GHENT K. S. [1] Sums of values of a polynomial multiplied by constants, Duke
Math. J. 3, 518—528 A937).
GILBERT E. N. [1] A comparison of signalling alphabets, Bell System Tech. J.
31, 504—522 A952).
GILL A. [1] Introduction to the Theory of Finite-State Machines, McGraw-Hill,
New York, 1962. [Имеется перевод: ГИЛЛ А. Введение в теорию конечных
автоматов. —М.: Наука, 1966.]
[2] Linear Sequential Circuits: Analysis, Synthesis, and Applications, McGraw-
Hill, New York, 1966. [Имеется перевод: ГИЛЛ А. Линейные последова-
последовательные машины. Анализ, синтез и применение. —М.: Наука, 1974.]
GILL A., JACOB J. P. [1] On a mapping polynomial for Galois fields, Quart.
Appl. Math. 24, 57—62 A966).
G1LLETT J. R. [1] Character sums of polynomials to a prime modulus, Proc.
London Math. Soc. C) 27, 206—221 A973).
G1LMER R. [1 ] Finite rings having a cyclic multiplicative group of units, Amer.
J. Math. 85, 447—452 A963).
GILMER R., MOTT J. L. [1] An algebraic proof of a theorem of A. Robinson,
Proc. Amer. Math. Soc. 29, 461—466 A971).
G1UDICI R. E. [1] Quadratic residues in GF(p%), Math. Mag. 44, 153—157
A971).
730 Литература
[2] Residui quadratic! in un campo di Galois, Atti Accad. Naz. Lincei Ri-i
Cl. Sci. Fis. Mat, Natur. (8) 52, 461—466 A972).
GIUDICI R. E., MARGAGLIO С [1 ] On the factorization of polynomials of !¦
fourth degree (Spanish), Sci. Valparaiso 147, 70^76 A976).
[2J A geometric characterization of the generators in a quadratic extension of
finite field, Rend. Sem. Mat. Univ. Padova 62, 103—114 A980).
GIUDICI R. E., MUSKAT J. В., ROBINSON S. F, [1 ] On the evaluation of Up-
wer's character sums, Trans. Amer. Math. Soc. 171, 317—347 A972).
GftAZEK K. [1 ] On weak automorphisms of finite fiels, Finite Algebra and Mil!;
pie-Valued Logic (Szeged, 1979), Colloq. Math. Soc. Janos Bolyai, vol. *.
pp. 275—300, North-Holland, Amsterdam, 1981.
GLENN O. E. [1 ] Theorems of finiteness in formal concomitant theory, moduli.' ¦
Proc. International Math. Congress (Toronto, 1924), vol. 1, pp. 331 —34."
Univ. of Toronto Press, Toronto, 1928.
GOETHALS J.-M. [1] Nonlinear codes defined by quadratic forms over GF[2\
Information and Control 3!, 43—74 A976).
GOETHALS J.-M., SEIDEL J, J. |1] Orthogonal matrices with zero diat>o:i.v
Canad. J. Math. 19, 1001—1010 A967).
GOGIA S. K,, LUTHAR I. S. [1 ] Norms from certain extensions of Fq (T), кл
Arith. 38, 325—340 A981).
GOKA T. A ] An operator on binary sequences, SIAM Rev. 12, 264—266 A970).
GOLAY M. J. E. [1] Notes on digital coding, Proc. IRE 37, 657 A949).
GOLD R. [1] Characteristic linear sequences and their coset functions, SIAM J
Appl. Math. 14, 980—985 A966).
[2] Optimal binary sequences for spread spectrum multiplexing, IEEE Trails
Information Theory IT-13, 619—621 A967).
[3] Maximal recursive sequences with 3-valued recursive cross-correlation fur
ctions, IEEE Trans. Information Theory IT-14, 154—156A968),
GOLDBERG M. [1 ] The group of the quadratic residue tournament, Canad. Math
Bull. 13, 51—54 A970).
GOLDMAN H. D., KLIMAN M., SMOLA H. [1] The weight structure of soit»
Bose—Chaudhuri codes, IEEE Trans. Information Theory IT-14, 167—16'.
A968).
GOLDSTEIN R. M., ZIERLER N. |1] On trinomial recurrences, IEEE Trans
Information Theory IT-14, 150—151 A968).
GOLOMB S. W. [1] Sequences with randomness properties, Glenn L. Martin G
Final Report, Baltimore, Md., 1955; reprinted in Golornb DJ.
|2] Structural properties of PN sequences, Technical Report, Jet Propulsion Lab
California Institute of Technology, Pasadena, Cal., 1958; reprinted in Golo:nl
[3] Digital Communications with Space Applications, Prentice-Hall, Englewood
Cliffs, N. J., 1964.
[4] Shift Register Sequences, Holden-Day, San Francisco, 1967.
[5] Theory of transformation groups of polynomials over GF B) with applicator.
to linear shift register sequences, Information Sciences 1, 87—109 A968).
[6] Irreducible polynomials, synchronization codes, primitive necklaces, and th
cyclotomic algebra, Proc. Conf. Combinatorial Math, and Its Appl. (Chai'i
Hill N. C, 1967), pp. 358—370, Univ. of North Carolina Press, Chapel Hil!
N.C., 1969.
[7] Cyclotomic polynomials and factorization theorems, Amer. Math. Monthly
85, 734—737 A978); Corrections, ibid. 88, 338—339 A981).
[8] Obtaining specified irreducible polynomials over finite fields, SIAM J- ¦*¦
gebraic Discrete Methods 1, 411—418 A980).
[9] On the classification of balanced binary sequences of period 2" — 1. 1ЕЫ
Trans. Information Theory IT-26, 730—732 A980).
GOLOMB S. W. BAUMERT L. D. [11 The search for Hadamard matrices, Amer
Math. Monthly 70, 12—17 A963).
Литература 731
GOLOMB S. W., LEMPEL A, [1] Second order polynomial recursions, SIAM J,
Appl. Math. 33, 587—592 A977).
GOLOMB S. W., REED I. S., TRUONG Т. К. [1] Integer convolutions over the-
finite field GF C 2" + 1); SIAM J. Appl. Math. 32, 356—365 A977).
GOLOMB S. W., WELCH L. R. [1] Nonlinear shift register sequences, Memo
20-149, Jet Propulsion Lab., California Institute of Technology, Pasadena,
Cal., 1957; reprinted in Golomb [4].
GOLOMB S. W., WELCH L. R,, HALES A. [1 ] On the factorization of trinomial?
over GF B), Memo 20-189, Jet Propulsion Lab., California Institute of Techno-
Technology, Pasadena, Cal., 1959; reprinted in Golomb [4].
GOOD I. J. [1 ] Normal recurring decimals, J.London Math. Soc. 21, 167—169A946)
GOODSTEIN R. L. [1) Polynomial generators over Galois fields, J. London Math
Soc 36, 29—32 A961).
GORDON В., MILLS W. H., WELCH L. R. [11 Some new difference sets, Canad
J. Math. 14, 614—625 A962).
GORDON J. A. [1] Very simple method to find the minimum polynomial of an
arbitrary nonzero element of a finite field, Electron. Lett. 12, 663—664 A976)
GORE W. C, COOPER A. B. [1] Comments on polynomial codes, IEEE Trans
Information Theory 1T-16, 635—638 A970).
GORENSTEIN D. C, Z1ERLER N. [I ] A class of error-correcting codes in p"*<
symbols, J. Soc. Indust. Appl. Math. 9, 207—211 A961). [Имеется перевод
ГОРЕНСТЕЙН Д., ЦИРЛЕР И. Класс кодов т рт символов с исправле-
исправлением ошибок. — В кн.: Кибернетический сборник, вып. 7.—М.: ИЛ,
1963, с. 80—89.]
GOSS D. [1 ] Von Staudt for F „ \T], Duke Math. J, 45, 885—910 A978).
12] Modular forms for Fr [7], J. reine angew Math. 317, 16—39 A980).
|3] The algebraist's upper half-plane, Bull. Amer. Math. Soc. (N. S.) 2, 391—415
A980).
GOTUSSO L. [1] Succession! uniformemente distribuite in corpi finiti, Atti Sem,
Mat. Fis. Univ. Modena 12, 215—232 A962/63).
GOW R. [1] The number of equivalence classes of nondegenerate bilinear and
sesquilinear forms over a finite field, Linear Algebra Appl. 4!, 175—181 A981).
GRAHAM R. L. [1 ] On quadruples of consecutive &th power residues, Proc. Amer.
Math. Soc. 15, 196—197 A964).
GRAHAM R. L., MACWILLIAMS F. J. [1 ] On the number of information symbols
in difference-set cyclic codes, Bell System Tech. J. 45, 1057—1070 A966).
[Имеется перевод: ГРЭХЕМ Р. Л., МАК-ВИЛЬЯМС ДЖ. О числе инфор-
информационных символов циклических кодов, задаваемых разностными множе-
множествами. — В кн.: Некоторые вопросы теории кодирования. — М., 1970,
с. 22—35.]
GRANDET-HUGOT М. [1 ] Une propriete des «nombres de Pisot» dans un corps de
series formelles, С R. Acad. Sci. Paris. Ser. A 265, 39—41 A967); Errata,
ibid. 265, 551 A967).
[2] Elements algebriques remarquables dans un corps de series formelles, Acta
Arith. 14, 177—184 A968).
GRANDI A. [1] Un teorema sulla rappresentazione analitica delle sostituzioni
sopra un numeroprimo di element!, Giorn, Mat. Battaglini 19, 238—244A881).
12] Genera I izzazione di un teorema sulla rappresentazione analitica delle sosti-
sostituzioni, Rend. Reale 1st. LombardoSci. Lett. B) 16, 101—111 A883).
GRANT H. S. [1] A generalization of a cyclofomic formula, Bull. Amer. Math.
Soc. 42, 550—556 A936).
GRAS G. [1 ] Sommes de Gauss sur les corps finis, Publ. Math. Fac. Sci. Besancon
1977—1978, no. 1.
GRAY J. F. [1] Diagonal forms of odd degree over a finite field, Michigan Math.
J. 7, 297—301 A960).
GREEN D H., TAYLOR I. S. [1] Modular representation of multiple-value
logic systems, Proc. IEE 121, 409—418 A974).
732 Литература
[2] Irreducible polynomials over composite Galois fields and their applications
in coding techniques, Proc. IEE 121, 935—939 A974).
[3] Multiple-valued switching circuit design by means of generalised Reed —
Muller expansions, Digital Process 2, 63—81 A976).
GREEN J. H., Jr., SAN SOUCIE R. L. A] An error-correcting endcoder and
decoder of high efficiency, Proc. IRE 46, 1741 — 1744 A958).
GREENBERG M. J. [1] Lectures on Forms in Many Variables, Benjamin, Ne%
York, 1969.
GREENWOOD R. E., GLEASON A. M. [1 ] Combinatorial relations and chromatic
graphs, Canad. J. Math. 7, 1—7 A955).
GRIES D., LEVIN G. [1] Computing Fibonacci numbers (and similarly defined
functions) in log time, Inform, Process. Lett. 11, no. 2, 68—69 A980).
GROSS B. H., KOBLITZ N. [1 ] Gauss sums and the p-adic Г-function, Ann. of
Math. B) 109, 569—581 A979).
GROTH E. J. [1 ] Generation of binary sequences with controllable complexity,
IEEE Trans. Information Theory IT-17, 288—296 A971).
GROTHENDIECK A. [1] Sur une note de Mattuck—Tate, J. reine angew. Math.
200, 208—215 A958).
[2] Formule de Lefschetz et rationality des fonctions L, Seminaire Bourbaki
1964/65, Exp. 279, Benjamin, New York, 1966; Dix exposes sur la cohomolo-
gie des schernas, Advanced Studies in Pure Math,, vol. 3, pp. 31—45, North-
Holland, Amsterdam, 1968.
[3] Cohomologie /-adique et fonctions L, Serninaire de Geometrie Algebrique du
Bois—Marie 1965—66 (SGA 5), Lecture Notes in Math., vol. 589, Springer-
Verlag, Berlin—Heidelberg—New York, 1977.
GRUNDHOFER T. [1] Ober Abbildungen mit eingeschranktern Differenzenpro-
dukt auf einem endlichen Korper, Arch. Math. 37, 59—62 A981).
GUERRIER W, J. [1] The factorization of the cyclotomic polynomials mod p,
Arner. Math. Monthly 75, 46 A968).
GUIASU S. [1] Information Theory with Applications, McGraw-Hill, New York.
1977.
GUINAND A. P. [1] Gauss sums and primitive characters, Quart. J. Math. 16,
59—63 A945).
GUNJI H., ARNON D. [1] On polynomial factorization over finite fields, Math-
Сотр. 36, 281—287 A981).
GUPTA H. [I ] On a problem in matrices, Proc. Nat. Inst. Sci. India A 30, 556—560
A964).
GUSTAVSON F. G. [1] Analysis of the Berlekamp—Massey linear feedback shifi-
register synthesis algorithm, IBM J. Res. Develop. 20, 204—212 A976).
GWEHENBERGER G. [1] Ober den Grad von rationalen Funktionen, die Permti-
tationen darstellen, Monatsh. Math. 75, 215—222 A971).
HALL M., Jr. [1 ] Divisibility sequences of third order, Amer. J. Math. 58, 577—581
A936).
[2] Divisors of second-order sequences, Bull. Amer. Math. Soc. 43, 78—80 A937).
[3] An isomorphism between linear recurring sequences and algebraic rings,
Trans. Amer. Math. Soc. 44, 196—218 A938).
D] Equidistribution of residues in sequences, Duke Math. J. 4, 691—695 A938)
[5] A survey of difference sets, Proc. Amer. Math. Soc. 7, 975—986 A956).
[6] The Theory of Groups, Macmillan, New York, 1959. [Имеется перевод:
ХОЛЛ М. Теория групп. — М.: ИЛ, 1962.]
[7] Characters and cyclotomy, Proc. Symp. Pure Math., vol. 8, pp. 31—4'*.
American Math. Society, Providence, R. I., 1965.
[8] Combinatorial Theory, Blaisdell, Waltham, Mass., 1967. [Имеется перевод:
ХОЛЛ М. Комбинаторика. — М.: Мнр, 1970.]
НALTON J. H. [1 ] On the divisibility properties of Fibonacci numbers, Fibonacci
Quart. 4, 217—240 A966).
Литература 733
HAMMING R. W. [1] Error detecting and error correcting codes, Bell System
Tech. J. 29, 147—160 A950). [Имеется перевод: ХЭММИНГ Р. В. Коды
с обнаружением и исправлением ошибок. — В кн.: Коды с обнаружением
и исправлением ошибок. —М.: ИЛ, 1956, с. 7—23,]
HANANI Н. [1] Balanced incomplete block designs and related designs, Discrete
Math. II, 255—369 A975).
HANNEKEN C. B. [1 ] Irreducible quintic congruences, Duke Math. J. 22, 107—
118 A955).
|2J Irreducible congruences over GF (p), Proc. Amer. Math. Soc. 10, 18—26 A959).
3) Irreducible sextic congruences, Duke Math. J. 26, 81—93 A959).
|4] Irreducible congruences of prime power degree, Trans. Amer. Math. Soc. 153,
167—179 A971)
|5| Irreducible congruences over GF B), Trans. Amer. Math. Soc. 193, 291—301
A974).
HARDER G. [1] Eine Bemerkung zu einer Arbeit von P. E. Newstead, J. reine
angew. Math. 242, 16—25A970).
11ARDMAN N. R.. JORDAN J. H. A) The distribution of quadratic residues
in fields of order p'\ Math. Mag. 42, 12—17 A969).
HARDY G. H., LITTLEWOOD J. E. [1] Some problems of «Partitio Numero-
rum»; I: A new solution of Waring's problem, Gottinger Nachr. 1920, 33—54.
|2 | A new solution of Waring's problem, Quart. J. Math. 48, 272—293 A920).
|3J Some problems of «Partitio Numerorum»; IV. The singular series in Waring's
problem and the value of the number G (k). Math. Z. 12, 161 — 188 A922).
D) Some problems of «partitio numerorum» (VIII): The number Г (k) in Wa-
Waring's problem, Proc. London Math. Soc. B) 28, 518—542 A927).
HARIS S. J. [1 ] Number theoretical developments arising from the Siegel formula,
Bull. Amer. Math. Soc. (N. S.) 2, 417—433 A980).
HARRISON M. A. [1] Lectures on Linear Sequential Machines, Academic Press,
New York, 1969.
HARTF1EL D. J., MAXSON С J. [1] A semigroup characterization of a linearly
realizable automaton over GF (p), J. Comput. System Sci. 14, 150—155 A977).
HARTMANN С R. P., RIEK J. R-, Jr., LONGOBARDI R. J. [1] Weight di-
distributions of some classes of binary cyclic codes, IEEE Trans. Information
Theory IT-21, 345—350 A975).
HARTMANN C. R. P., TZENG K. K. [1] Generalizations of the BCH bound,
Information and Control 20, 489—498 A972).
HARTMANN C. R. P., TZENG К. К-, CHIEN R. T. [I ] Some results on the mi-
minimum distance structure of cyclic codes, IEEE Trans. Information Theory
IT-18, 402—409 A972).
HARTWIG R. E., LEVINE J. [11 Applications of the Drazin inve se to the Hill
cryptographic system. Ill, IV, Cryptologia 5, 67—77, 213— 8 A981).
HARVEY J. T. [1] High-speed m-sequence generation, Electro Lett. 10, 480—
481 A974).
HASSE H. [1] Swei Bemerkungen zu der Arbeit «Zur Arithmetik der Polynome»
von U. Wegner in den Mathematischen Annalen, Bd. 105, S. 628—631, Math.
Ann. 106, 455—456 A932).
[21 Beweis des Analogons der Riemannschen Vermutung filr die Artinschen und
F. K, Schmidtschen Kongruenzzetafunktionen in gewissen elliptischeh Fallen,
Gottinger Nachr. 1933, 253—262.
13] Ober die Kongruenzzetafunktionen, Sitzungsber. Preuss. Akad. Wiss. Berlin
Math.-Phys. Kl. 17, 250—263 A934).
14] Abstrakte Begrflndung der komplexen Multiplikation und Riemannsche Ver-
Vermutung in Funktionenkorpern, Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg 10, 325—348
A934).
151 Theorie der relativ-zyklischen algebraischen Funktioncnkorper, insbesondere
bei endlichem Konstantenkcrper, J. reine angew. Math, 172, 37—54
A935).
734 Литература
[6] Zur Theorie der abstrakten elliptischen Funktionenkorper, Gottinger Nadir.
1935, 119—129,
[7] Theorie der hoheren Differentiate in einem algebraischen Funklionenkorper
mil vollkommenem Konstantenkorper bei beliebiger Charakteristik, J. reine
angew. Math. 175, 50—54 A936).
[8] Zur Theorie der abstrakten elliptischen Funktionenkorper. F, II, III, J. reine
angew. Math. 175, 55—62, 69—88, 193—208 A936).
[9] Produktformeln fur verallgemeinerte Gaufische Summen imd ihre Anwendung
auf die Klassenzahlformel fur reelle quadratische Zahlkorper, Math. Z. 46,
303—314 A940).
[10] Allgemeine Theorie der Gaufischen Summen in algebraischen Zahlkorper,
Abh. Deutsch. Akad. Wiss. Berlin Math.-Naturw. Ю. 1951, no. 1, 4—23.
[11] Ober die Klassenzahl abelscher Zahlkorper, Akademie-Verlag, Berlin, 1952.
1121 Gaufische Summen zu Normalkorpern flber endlich-algebraischen Zahlkor-
pern, Abh. Deutsch. Akad. Wiss. Berlin Math.-Naturw. Ю. 1952, no. 1,
1 —19,
|13] Artinsche Fiihrer, Artinsche L-Funktion und Gaufische Summen iiber end-
endlich-algebraischen Zahlkorpern, Acta Salmanticensia Ciencias Sec. Mat. 4,
1 — 113 A954).
114] Der 2«-te Potenzcharakter von 2 im Korper der 2"-ten Einheitswurzeln,
Rend. Circ. Mat. Palermo B) 7, 185—243 A958).
[15] Vorlesungen iiber Zahlentheorie, 2nd ed., Springer-Verlag, Berlin—Gottin-
gen—Heidelberg—New York, 1964. [Имеется перевод: ХАССЕ Г. Лекции
по теории чисел. — М. : ИЛ, 1953.]
|16] Bericht flber neuere Untersuchungen und Probleme aus der Theorie der al-
algebraischen Zahlkorper. Teil II: Reziprozitatsgesetz, 2nd ed., Physica-
Verlag, Wiirzburg, 1965.
[17] Modular functions and elliptic curves over finite fields, Rend. Mat. e Appl.
E) 25, 248—266 A966).
[18] The Riemann Hypothesis in Function Fields, Univ. of Pennsylvania Press,
Philadelphia, 1969.
HAUPTMAN H., VEGH E., FISHER J. [1] Table of all Primitive Roots for
Primes Less than 5000, Naval Research Laboratory, Washington, D. C, 1970,
HAUSNER A. [1] On the quadratic reciprocity theorem, Arch. Math. 12, 182—
183 A961).
HAYASHI H. S. [1] The number of solutions of certain quintic congruences.
Duke Math. J. 33, 747—756 A966).
[2] On a criterion for power residuacity, Mem. Fac. Sci. Kyushu Univ. Ser. A
27, 211-220 A973).
HAYES D. R. [1] A polynomial analog of the Goldbach conjecture, Bull. Amer.
Math. Soc. вв, 115—116 A963); Correction, ibid. 69, 493 A963).
[2] The distribution of irreducibles in GF\q, x], Trans. Amer. Math. Soc. 117,
101—127 A965).
[3] A polynomial generalized Gauss sum, J. reine angew. Math. 222, 13—
119 A966).
[4] The expression of a polynomial as a sum of three irreducibles, Acta Arith.
11, 461—488 A966).
[5] A geometric approach to permutation polynomials over a finite field, Duke
Math. J. 34, 293—305 A967).
[6] The Galois group of x" + x — t, Duke Math. J. 40, 459—461 A973).
HAZLETT O.C. [1] A symbolic theory of formal modular covenants, Trans.
Amer. Math. Soc. 24, 286—311 A922).
[2] Annihilators of modular invariants and covariants, Ann. of Math. B) 23,
198—211 A923),
[3] Notes on formal modular protomorphs, Amer. J. Math. 49, 181—188 A927).
[4] On formal modular invariants, J. Math. Pures Appi. (9) 9, 327—332
A930).
Литература 735
1EATH-BR0WN D. R., PATTERSON S. J. [lj The distribution of Kummer
sums at prime arguments, J. reine angew. Math. 310, 111—130 A979).
IECKE E. [1] Ober die ?-Funktionen und den Dirichletschen Primzahlsatz
fur einen beliebigen Zahlkorper, Gottinger Nachr. 1917, 299—318.
|2] Reziprozitatsgesetz und Gauflsclie Summen in quadratischen Zahlkorpern,
Gottinger Nachr. 1919, 265—278.
C) Eine neue Art von Zetafunktionen und ihre Beziehungen zur Verteilung der
Primzahlen. II, Math. Z. 6, 11—51 A920).
f4| Vorlesungen iiber die Theorie der algebraischen Zahlen, Akademische Ver-
lagsgesellschaft, Leipzig, 1923. [Имеется перевод: ГЕККЕ Э. Лекции по
теории алгебраических чисел.—М.-Л.: Гостехиздат, 1940.)
IE1SLER J. [1] A, characterization of finite fields, Amer. Math. Monthly 74,
537—538 A967); Correction, ibid. 74, 1211 A967).
12] Diagonal forms over finite fields, J. Number Theory 6,50—51 A974).
1ELGERT H. J. [1] Decoding of alternant codes, IEEE Trans. Information
Theory IT-23, 513—514 A977).
ELLESETH T. [I] Some results about the cross-correlation function between
two maximal linear sequences, Discrete Math. 16, 209—232 A976).
[2] A note on the cross-correlation function between two binary maximal length
linear sequences, Discrete Math. 23, 301—307 A978).
1ELLESETH Т., KL0VE Т., MYKKELTVEIT J. [1] The weight distribution
of irreducible cyclic codes with block length n, ((<?' — l)/N), Discrete Math. 18,
179—211 A977).
iELVERSEN-PASOTTO A. [I ] Serie discrete de GL C, Fq) et sommes de Gauss,
С R. Acad. Sci. Paris Ser. A 275, 263—266 A972).
[21 L'identite de Barnes pour les corps finis, Sem. Delange—Pisot—Poitou 1977/78,
Theorie des Nombres, Exp. 22, Secretariat Math., Paris, 1978.
[3] L'identite de Barnes pour les corps finis, C. R. Acad. Sci. Parft Ser. A 286,
297—300 A978).
[4] Darstellungen von GL C, Fq) und Gauflsche Summen, Math. Ann. 280,
1—21 A982).
1EMMATI F., COSTELLO D. J., Jr. [1] An algebraic construction for <?-ary
shift register sequences, IEEE Trans. Computers C-27, 1192—1195 A978).
IENSEL K- [I] Ober die Darstellung der Zahlen eines Gattingsbereiches fur
einen beliebigen Primdivisor, J. reine angew. Math. 103, 230—237 A888).
[2] Ober die zu einem algebraischen Korper gehorigen Invarianten, J. reine
angew. Math. 129, 68—85 A905).
1ERGETW. [1] Ober die Funktionalgleichung /(*) = dm~' 2jfco / (* +
+ ild) in den Korpern Zp, Manuscripta Math. 23, 131 — 141 A978).
[2] Bernoulli-Polynome in den Restklassenringen 2n, Glasnik Mat. C) 14, 27—
33 A979).
iERGLOTZ G. [1] Zur letzten Eintragung im Gauflschen Tagebuch, Ber. Math,-
Phys. Kl. Sachs. Akad. Wiss. Leipzig 73, 271—276 A921).
1ERLESTAM Т., JOHANNESSON R. [1J On computing logarithms overGF BP),
BIT 21, 326—334 A981).
TERMITE C. [1] Sur la theorie des formes quadratiques, II, J. reine angew.
Math. 47, 343—368 A854); Oeuvres, vol. 1, pp. 234—263, Gauthier-Villars,
Paris, 1905.
12] Sur les fonctions de sept lettres, С R. Acad. Sci. Paris 57, 750—757 A863);
Oeuvres, vol. 2, pp. 280—288, Gauthier-Villars, Paris, 1908.
'ERSHEY J. E. fl] Implementation of Mitre public key cryptographic system,
Electron. Lett. 16, 930—931 A980).
ibRSTEIN I. N. [1J An elementary proof of a theorem of Jacobson, Duke Math.
J. 21, 45—48 A954).
1*4 Wedderburn's theorem and a theorem of Jacobson, Amer. Math. Monthly 88,
249—251 A961).
736 Литература
[3] Noncommutative Rings, Cams Math. Monographs, no. 15, Math, As.-,oc
of America, Washington, D. C, 1968. [Имеется перевод: ХЕРСТЕЙИ И
Некоммутативные кольца. —М.: Мир, 1972,]
[4] Topics in Algebra, 2nd ed., Xerox College Publ., Lexington, Mass., 1У75.
HEUZE G. [1] Sur les corps finis, Math. Sci. Humaines 47, 57—59 A974).
HILBERT D. [1] Ober diophantische Gleichungen, Gottinger Nachr, 1897, 48-54.
[2] Die Theorie der algebraischen Zahlkorper, Jber. Deutsch. Math.-Verei:i. 4
175-546 A897).
[3] Grundlagen der Geometrie, Teubner, Leipzig, 1899; Open Court, Chicago,
1971. [Имеется перевод: ГИЛЬБЕРТ Д. Основания геометрии.—М.-Л.:
Гостехиздат, 1948.]
HINZ J. G. [1] Einige Bemerkungen zum Beweis eines Satzes von J. H. Д<к1а-
gan-Wedderburn, J. reine angew. Math. 290, 109—112 A977).
HIRSCHFELD J, W. P, [1] A curve over a finite field, the number of whose
points is not increased by a quadratic extension of the field, and sub-Hernii-
tian forms, Atti Accad. Naz. Lincei Rend. Cl. Sci. Fis, Mat. Natur. (Mj 42,
365—367 A967).
[2] Rational curves on quadrics over finite fields of characteristic two, Ni-nd.
Mat. F) 4, 773—795 A971).
[3] Ovals in Desarguesian planes of even order, Ann. Mat. Рига Appl, D) 102,
79—89 A975).
[4] Cyclic projectivities in PG (n, q), Teorie Combinatorie (Rome, 1973), vol. I,
pp. 201—211, Accad. Naz. dei Lincei, Rome, 1976.
[5] Projective Geometries over Finite Fields, Clarendon Press, Oxford, 1979.
HOCQUENGHEM A. [1] Codes correcteurs d'erreurs, Chiffres 2, 147—156 A959).
HODGES J. H. [1] Exponential sums for symmetric matrices in a finite field,
Math. Nachr. 14, 331—339 A955).
[2] Representations by bilinear forms in a finite field, Duke Math. J. 22, -197 -
509 A955).
[3] Weighted partitions for symmetric matrices in a finite field, Math. 7.. 66,
13—24 A956).
[4] Exponential sums for skew matrices in a finite field, Arch, Math. 7, 116 —121
A956).
[5] The matric equation AX = В in a finite field, Amer. Math. Monthlv 63,
243—244 A956).
[6] Weighted partitions for general matrices over a finite field, Duke Malh J-
23, 545—552 A956),
[7] Distribution of bordered matrices in a finite field, J. reine angew. Math-
198, 10—13 A957).
[8] Weighted partitions for skew matrices over a finite field, Arch. Math- 8,
16—22 A957),
[9] Some matrix equations over a finite field, Ann. Mat. Рига Appl. D) 44, 2-15
250 A957).
[10] Weighted partitions for Hermitian matrices over a finite field, Math. Nadir.
17, 93—100 A958).
[11] Scalar polynomial equations for matrices over a finite field, Duke Math J-
25, 291—296 A958).
[12] The matrix equations Хг — / = 0 over a finite field, Amer. Math. Monthly
65, 518-520 A958).
[13] Some determinantal equations over a finite field, Math. Z. 72, 355 '«"
A960),
[14] A note on systems of matrix equations over a finite field, Portugal. Math 21,
99—106 A962).
[15] Some polynomial equations for determinants over a finite field, Monatsii-
Math. 66, 322—330 A962).
[16] Generalized weighted m-th power partitions over a finite field, Duke Main. •>¦
29, 405—412 A962).
Литература 737
|17] Simultaneous pairs of linear and quadratic matrix equations over a finite
field, Math. Z. 84, 38—44 A964).
A8) A bilinear matrix equation over a finite field, Duke Math. J. 31, 661—666
A964).
|19) The matrix equation AXC — В over a finite field, Riv. Mat. Univ. Parma
B) 6, 79—81 A965).
B0] Determinantal equations related to Hermitian forms over a finite field, Mo-
natsh. Math. 69, 215—224 A965).
|21 j A symmetric matrix equation over a finite field, Math. Nachr. 30, 221—228
A965).
[22] A skew matrix equation over a finite field, Arch. Math. 17, 49—55 A966).
|23J Uniform distribution of sequences in GF{q, x), Acta Arith. 12, 55—75
A966).
[24] An Hermitian matrix equation over a finite field, Duke Math. J, 33, 123—
129 A966).
[25] Some pairs of matrix equations over a finite field, Scripts Math. 27, 289—•
301 A966).
[26] Uniform distribution of polynomial-generated sequences in GF [q, x], Ann.
Mat. Рига Appl. D) 82, 135—142 A969).
[27] On uniform distribution of sequences in GF{q, x} and GF [q, x], Ann. Mat.
Рига Appl. D) 85, 287—294 A970).
128] Note on some partitions of a rectangular matrix, Atti Accad. Naz. Lincei
Rend. Cl. Sci. Fis. Mat. Natur. (8) 5», 662—666 A975).
B9] Ranked partitions of rectangular matrices over finite fields, Atti Accad. Naz.
Lincei Rend. Cl. Sci. Fis. Mat. Natur. (8) 60, 6—12 A976).
|30] Note on a linear matrix equation over a finite field, Atti Accad. Naz. Lincei
Rend. Cl. Sci. Fis. Mat. Natur. (8) 63, 304—309 A977).
HOFFMAN K-, KUNZE R. [I] Linear Algebra, 2nd ed., Prentice-Hall, Engle-
wood Cliffs, N. J., 1971.
HOHLER P. [11 Eine zahlentheoretische Kpnstruktion der Galois-Felder GF (p2),
Elemente der Math. 31, 64—66 A976).
HOLZER L. [1] Zahlentheorie, vol. 1, Teubner, Leipzig, 1958.
HONG S. J., BOSSEN D. С fl] On some properties of self-reciprocal polyno-
polynomials, IEEE Trans. Information Theory IT-21, 462—464 A975).'
HOOLEY С [1] An asymptotic formula in the theory of numbers, Proc. London
Math. Soc. C) 7, 396—413 A957).
[2] On the distribution of the roots of polynomial congruences, Mathematika 11,
39-49 A964).
[3] Applications of Sieve Methods to the Theory of Numbers, Cambridge Univ.
Press, Cambridge, 1976.
14] On another sieve method and the numbers that are a sum of two ft-th powers,
Proc. London Math. Soc. CL3, 73—109 A981).
15] On Waring's problem for two squares and three cubes, J. reine angew. Math.
328, 161—207 A981).
J6] On exponential sums and certain of their applications, Journees Arithmeti-
ques 1980 (J. V. Armitage, ed.), London Math. Soc. Lecture Note Series,
rT^ no. 56, pp. 92—122, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1982.
HOPF H. [l] uber die Verteilung quadratischer Reste, Math. Z. 32, 222—231
A930).
"ORADAM A. F. [1J A Guide to Undergraduate Projective Geometry, Pergamon
Press Australia, Rushcutters Bay, N. S. W., 1970.
^ORAKOVA K., SCHWARZ S. fl] Циклические матрицы и алгебраические
уравнения над конечным полем, Mat.-Fyz. Casopis Sloven. Akad. Vied, 12,
36—46 A962).
"WNDONOUGBO V. fl] Developpement en fraction continue sur К (X). Fon-
ction profondeur, С R. Acad. Sci. Paris Ser. A 286, 1037—1039 A978).
*-0 Зак. 243
738 Литература
[2] Mesure de repartition d'une suite (в") dans un corps de seriesfoni:elles
sur un corps fini, С R. Acad, Sci, Paris Ser. A 288, 997—999 A979)
HUA L.-K. A ] On Waring's problem with polynomial summands, Amer. J. .Math
58, 553—562 A936).
[2J On a generalized Waring's problem, Proc. London Math. Soc. B) 43, 161 —
182 A937).
[3] On an exponential sum, J. London Math. Soc. 13, 54—61 A938).
[4] On Waring's problem with cubic polynomial summands, Science Ri-jiurls
National Tsing Hua Univ. 4, 55—83 A940).
[5J On Waring's problem with cubic polynomial summands, J. Indian .4aih.
• Soc, 4, 127—135 A940).
[6] On an exponential sum, J. Chinese Math. Soc. 2, 301—312 A940).
[7] Sur une somme exponentielle, С R. Acad. Sci. Paris 210, 520—523 A940).
f8 J Sur le probleme de Waring relatif a un polynome du troisieme degre, С R,
Acad, Sci. Paris 210, 650—652 A940),
[9] Аддитивная теория простых чисел. — Труды Матем. инст. им. Стек.ювп
АН СССР, т. 22, 1947.
[101 On the number of solutions of Tarry's problem, Acta Sci. Sinica 1, 1—76 f 1952).
[11] On exponential sums, Sci. Record (N. S.) 1, 1—4 A957).
[12] Die Abschatzung von Exponentialsummen und ihre Anwendung in der Z.nh-
lentheorie, Enzyklopadie der Math. Wissenschaften, Band IJ. Mcfl 13,
Teil I, Teubner, Leipzig, 1959. [Имеется перевод: ХУА JIO-I'IMI Меюд
тригонометрических сумм и его применения в теории чисел. Ч. Мир,
1964.]
HUA L.-K., MIN S. Н, HJ On the number of solutions of certain o-iujriionoes.
Science Reports National Tsing Hua Univ. 4, 113 — 133 A940),
BJ On a double exponential sum, Acad. Sinica Science Record 1, 23 -5 A942).
[3] On a double exponential sum, Science Reports National Tsing H .;¦ l.'niv 4.
484—518 A947).
HUA L.-K., VANDIVER H. S, [1] On the existence of solutions of urtain equ-
equations in a finite field, Proc. Nat. Acad. Sci. U. S. A. 34, 258- J<>3 A94M).
[2] Characters over certain types of rings with application to the theu/y of e411'
ations in a finite field, Proc. Nat. Acad. Sci. U. S. A. 35, 94—99 A9-19).
[3J On the number of solutions of some trinomial equations in я finite field, Proc.
Nat. Acad. Sci. U. S. A. 35, 477—481 A949).
[4] On the nature of the solutions of certain equations in a finite field, Pros: Nat.
Acad. Sci. U. S. A. 35, 481—487 A949).
HUDSON M. [1] On the least non-residue of a polynomial, J. London 4ath
Soc. 41, 745—749 A966),
HUDSON R, H. [IJ On the distribution of/t-th power nonresidues. Duke M.1U1 •'¦
39, 85—88 A972).
[2 J A bound for the first occurrence of three consecutive integers with equal <|uadr<i-
tfc character, Duke Math. J. 40, 33—39 A973).
[3] A note on Dirichlet characters, Math. Сотр. 27, 973—975 A973).
D] On the least A-th power non-residue, Ark. Mat. 12, 217—220 A974)
[5] Power residues and nonresidues in arithmetic progressions, Trans. Amer.
Math. Soc. 194, 277—289 A974), .
F] A sharper bound for the least pair of consecutive ?-th power non-resi«uK oi
non-pcipcipal characters (mod p) of order k > 3, Acta Arith. 30, 1.43 - I-*0
A976).
HUDSON R. H., WILLIAMS K. S. [1] Resolution of ambiguities in.the^valuar
tion of cubic and quartic Jacobsthal sums, Pacific J. Math. 99, 379-->°
A982).
HUFFMAN D. A. [1] The synthesis of linear sequential coding network*.
Third London Symp. on Information Theory (C. Cherry, ed.), pp. 71 -
Butterworfhs, London, 1956.
Литература 739
[*>] A linear circuit viewpoint on error-correcting codes, IRE Trans. Information
Theory IT-2, no. 3, 20—28 A956).
HUGHES D. R. [1] A class of non-Desarguesian projective planes, Canad. J
Math. 9, 378—388 A957).
[2] On ^-designs and groups, Amer. J. Math. 87, 761—778 A965).
HUGHES D. R., PIPER F. С [I] Projective Planes, Springer-Verlag, New
York—Heidelberg—Berlin, 1973.
HULE H., MOLLER W. B. [1] Cyclic groups of permutations induced by poly-
polynomials over Galois fields (Spanish), An. Acad. Brasil. Ci.45, 63—67 A973).
HULL R. [1] The numbers of solutions of congruences involving only ?-th po-
powers, Trans. Amer. Math. Soc. 34, 908—937 A932).
HURWITZ A. [1] Ober hohere Kongruenzen, Archiv Math. Phys. CM, 17—27
A903).
B] Ober die Kongruenz axe + bye -f rze = 0 (mod p), J. reine angew. Math. 136,
272—292 A909).
HUSTON R. E. [1] Asymptotic generalizations of Waring's theorem, Proc.
London Math. Soc. B) 39, 82—115 A935).
HWANG J. C, SHENG С L., HSIEH С. С. [1] On the'modulo-two-sum decom-
decomposition of binary sequences of finite periods, Internet. J. Electron. 39, 97—
104 A975).
IGUSA J. [1] On the theory of algebraic correspondences and its application to
the Riemann hypothesis in function fields, J. Math. Soc. Japan 1, 147—
197 A949).
IHARA Y. [1 j Some remarks on the number of rational points of algebraic curves
over finite fields, J. Fac. Sci. Univ. Tokyo Sect. IA 28, 721—724 A981).
IKAI Т., KOSAKO H., KOJIMA Y. [I] Subsequences in linear recurring se-
sequences, Electron. Commun. Japan 53, no. 12, 159—166 A970).
|2] Nonperiod-length subsequences including a cyclic subspace. Subsequences
in linear recurring sequences, Systems—Computers—Controls 2, no. 4, 34—
41 A971).
1NGELS F. M. [1] Information and Coding Theory, Intext Educ. Publ., San
Francisco—Toronto—London, 1971.
IRELAND K. [1J On the zeta function of an algebraic variety, Amer. J. Math.
89, 643—660 A967).
IRELAND K., ROSEN M. I. [1] Elements of Number Theory, Bogden & Quig-
ley, Tarrytown-on-Hudson, N. Y., 1972. (Имеется перевод расширеииого
издания 1982 г.: АЙЕРЛЭНД К., РОУЗЕН М. Классическое введение
в современную теорию чисел. — М.: Мир, 1987.]
1SHFMURA S. [1] On Gaussian sums associated with a character of order 5 and
a rational prime number p = 1 (mod 5), J. Tsuda College 8, 27—35
A976).
1 WAN I EC H. [1J Mean values for Fourier coefficients of cusp forms and sums of
Kloosterman sums, Journees Arithmetiques 1980 (J. V. Armitage, ed.), Lon-
London Math. Soc. Lecture Note Series, no. 56, pp. 306—321, Cambridge Univ.
Press, Cambridge, 1982.
1WASAWA K. [I] A note on Jacobi sums, Symposia Math., vol. 15, pp. 447—
459, Academic Press, London, 1975.
JACOBI С G. J. [1] Brief an Gauss vom 8. Februar 1827, Gesammelte Werke,
vol. 7, pp. 393—440, Reimer, Berlin, 1891.
[2] Ober die Kreistheilung und ihre Anwendung auf die Zahlentheorie, Monats-
ber. Konigl. Akad. Wiss. Berlin 1837, 127—136; J. reine angew. Math. 30,
166—182 A846); Gesammelte Werke, vol. 6, pp. 254—274, Reimer, Berlin,
[3] Canon Arithmeticus, Typis Academicis, Berlin, 1839; expanded edition,
Akademie-Verlag, Berlin, 1956.
JACOBSON N. [I] Structure theory for algebraic algebras of bounded degree,
Ann. of Math. B) 46, 695—707 A945),
20*
740 Литература
B] Lectures in Abstract algebra, vol. 3: Theory of Fields and Galois Theor\
Van Nostrand, New York, 1964,
JACOBSTHAL E, fl] Anwendungen einer Forrnel aus der Theorie der quadra-
tischen Reste, Dissertation, Berlin, 1906.
B] Uber die Darstellung der Primzahlen der Form An 4- I a Is Suminc zwt <¦¦
Quadrate, J. reine angew. Math, 132, 238—245 A907),
|3] Uber vertausdibare Polynome, Math, Z. 63. 243- 276 A955)
JAMISON R. E. fl] Covering finite fields with cosets of sukspaces, J, Combi;i-'
torial Theory Ser. A 22,-253—266 A977).
JANICHEN W. [I] Uber einen zahlentlieoretischeii Satz von Hurwitz, Math. 7.
17, 277—292 A923).
JARDEN D. [1] Recurring Sequences, 2nd ed., Riveoti Lematematika, Jeru-.i-
lem, 1966.
JEQER M. ]1] Irreduzible Polynome als kombinatorisdie Figuren, Elemeiili1
der Math. 28, 86—92 A973).
JOHNSEN J, [I] On the distribution of powers in finite fields, J, reine апегл
Math. 251, 10-19 A971).
B] On the large sieve method in GF \q, x], Mathematika 18, 172 -184 A97li
JOHNSON L. S., PORTER A. D., VARFNEAU V, J, (I] Communtators over
finite fields, Publ. Math. Debrecen 25, 259-264 A978),
JOLY J.-R. 11] Sommes de puissances d-iernes dans un anneau commutatif, Ada
Arith. 17, 37—114 A970).
B] Sommes de carres dans certains anneaux principaux, Bull. Sci. Math. B) 94.
85—95 A970).
13] Nombre de solutions de certaines equations diagonales sur un corps fini, C. R.
Acad. Sci, Paris Ser. A 272, 1549—1552 A971),
|4J Demonstration cyclotomique de la loi de reciprocite cubique, Bull. Sci, Math.
B) 96, 273—278 A972).
|5] Equations et varietes algebriques sur un corps fini, L'Enseignement Matii.
B) 19, 1 — 117 A973).
JORDAN C. A ] Sur les congruences du second degre, С R, Acad, Sci. Paris t>2,
687—690 A866); Oeuvres, vol. 3, pp. 363—365, Gauthier-Villars, Paris
1962.
12] Traite des substitutions et des equations algebriques, Gauthier-Villars, Pan-.
1870,
13] Sur la resolution des equations les unes par les autres, С R, Acad. Sci. P."-
ris 72, 283-290 A871); Oeuvres, vol. 1, pp. 277—284, Gauthier-Villr.r>.
Paris, 1961.
[4] Sur les sommes de Gauss a plusieurs variables, C. R. Acad. Sci. Paris 7Я.
1316-1319 A871); Oeuvres, vol. 3, pp. 367—369, Gauthier-Villars, Paris.
1962.
[5] Sur les formes reduites des congruences du second degre, C. R. Acad. Si'i.
Paris 74, 1093—1095 A872); Oeuvres, vol. 3, pp. 371—373, Gauthier-Vil-
Gauthier-Villars, Paris, 1962.
[6J Sur la forme canonique des congruences du second degre et le nombre de llur-1»
solutions, J. Math. Pures Appl. B) 17, 368—402 A872); Oeuvres, vol, 3,
pp. 375—409, Gauthier-Villars, Paris, 1962.
[7] Sur le nombre des solutions de la congruence |a,-(,| ~ A mod M. J. Math.
Pures Appl. F) 7, 409—416 A911); Oeuvres, vol. 3, pp. 543—550, GauthUT-
Villars,-Paris, 1962.
JORDAN CH. [1] Calculus of Finite Differences, Chelsea, New York, 1950.
JORDAN H. F., WOOD D. С. М. [1] On the distribution of sums of successive
bits of shift-register sequences, IEEE Trans, Computers C-22, 400—¦M"
A973). ,
JORDAN J. H. (I] Pairs of consecutive power residues or non-residues, O'l'10'
J, Math, 16, 310—314 A964),
Литература 741
|2| The distribution of cubic and quintic non-residues, Pacific J, Math, 16, 77—
85 A966).
|3] Character sums in Z(i)l(p), Proc: London Math. Soc. C) 17, 1 — 10 A967).
|4j The distribution of ki\\ power residues and nonresidues, Proc. Amer. Math.
Soc. 19, 678—680 A968).
[5] The distribution of A-th power»non-residues, Duke Math. J. 37, 333—340
A970).
JULIA G. |1] Memoire sur la permuiabilite des fractions rationnejles, Ann. Sci.
Ecole Norm. Sup. C) 39, 131—215 A922).
JUNG F. R. [1] Solutions of some systems of equations over a finite field with
applications to geometry, Duke Math. J. 3», 189—202 A972).
[2] On conies over a finite field, Canad. J. Math. 26, 1281—1288 A974).
KACZYNSKI T, J. [1] Another proof of Wedderburn's theorem, Amer. Math.
Monthly 71, 652—653 A964).
KALMAN R. E. [1] Mathematical description of linear dynamical systems, SIAM
J. Control 1, 152—192 A963).
|2| Algebraic aspects of the theory of dynamical systems, Differential Equations
and Dynamical Systems (J. K. Hale and J. P. LaSaJle, eds.), pp. 133—
146, Academic Press, New York, 1967.
KAMAL A. K., SINGH H., PURI S., NANDA N. K. [1] On the evaluation
of transition matrices in finite fields, Internat. J. Systems Sci. 6, 561—564
A975).
КАМКЕ Е. Ц] Zur Arithmetik der Polynome, Math. Z. 19, 247—264 A924).
KANTOR R. [1] Ober die Anzahl inkongruenter Werte ganzer, rationaler Funk-
tionen, Monatsh. Math. Phys. 26, 24—39 A915).
KAPLAN P. [1] Demonstration des lois de reciprocite quadratique et biquadra-
tique, J. Fac. Sci. Univ. Tokyo Sect. I 16, 115—145 A969).
KARAMATA J., TOMIC M., [1] Sur une inegalite de Kusmin—Landau relative
aux sommes trigonometriques et son application a la somme de Gauss, Acad.
Serbe Sci. Publ. Inst. Math. 3, 207—218 A950).
KARLFN M, [1] New binary coding results by circulants, IEEE Trans. Informa-
Information Theory IT-15, 81—92 A969).
KARPOVSKY M. G. |1] Finite Orthogonal Series in the Design of Digital Devi-
Devices, Wiley, New York, 1976.
KARTESZI F. II] Introduction to Finite Geometries, North-Holland, Amsterdam,
1976.
KASAMI T. [1] Systematic codes using binary shift register sequences, J. Info.
Processing Soc. Japan 1, 198—200 A960).
KASAMF Т., LIN S., PETERSON W. W. [1] Polynomial codes, IEEE Trans.
Information Theory IT-14, 807—814 A968),
KATZ N. M. [1] On a theorem of Ax, Amer. J. Math. 93, 485-499 A971).
12] Travaux de Dwork, Seminaire Bourbaki 1971/72, Exp. 409, Lecture Notes
in Math., vol. 317, pp. 167—200, Springer-Verlag, Berlin—Heidelberg-
New York, 1973.
13] An overview of Deligne's proof of the Riemann hypothesis for varieties over
finite fields, Proc. Symp. Pure Math., vol. 28, pp. 275—305, American
Math. Society, Providence, R. I., 1976.
HI Sommes exponentielles, Asterisque, no, 79, Soc. Math. France, Paris, 1980.
|5J Crystalline cohomology, Dieudonne modules, and Jacobi sums, Autornorphic
Forms, Representation Theory and Arithmetic (Bombay, 1979), Tata Inst.
Fund. Res. Studies in Math., vol. 10, pp. 165—246, Tata Institute of Funda-
Fundamental Research, Bombay, 1981.
KAUTSCHITSCH H. [1] Kommutative Teilhalbgruppen der Kompositionshalb-
gruppe von Polynomen und formalen Potenzreihen, Monatsh. Math. 74,
421—436 A970).
12] Ober vertauschbare Polynome mit vorgegebenen Gradzahlen, Arch. Math. 27,
611—619 A976).'
742 Литература
KAUTZ W. H. [1] Linear Sequential Switching Circuits—Selected Technical
Papers, Holden-Day, San Francisco, 1965,
KAUTZ W. H., LEVITT K- N. [1 ] A survey of progress in coding theory in (he
Soviet Union, IEEE Trans. Information Theory IT-15, 197—245 A969).
KELLER G., OLSON F. R. [1] Counting polynomial functions (mod p"), Duke
Math. J, 35, 835—838 A968).
KEMPFERT H. II] On the factorization of polynomials, J. Number Theory 1
116—120 A969).
KEMPNER A. J. [1] Polynomials and their residue systems, Trans. Amer. Math
Soc. 22, 240—266, 267—288 A921).
[2] Polynomials of several variables and their residue systems, Trans. Amer
Math. Soc, 27, 287—298 A925).
KHADZHIIVANOV N. G., NENOV N. D. Ц] Число нетривиальных решений
уравнения Ферма хп + у" = гп в поле Галуа. С. R. Acad. Bulgare Sci
32, 557-560 A979).
KIEFE С. [1] Sets definable over finite fields: their zeta-functions, Trans. Amer
Math. Soc. 223, 45—59 A976).
KIM J. B. [1] The number of generalized inverses of a matrix, Algebraic Theory
of Semigroups (Szeged, 1976), Colloq. Math. Soc. Janos Bolyai, vol. 20,
pp. 277—280, North-Holland, Amsterdam, 1979.
KISS P., BUI MFNH PHONG [1] On a function concerning second-order recur-
recurrences, Ann. Univ. Sci. Budapest. Eoivos Sect. Math. 21, 119—122
A978).
KLE1MAN S. L. [I] Algebraic cycles and the Weil conjectures, Dix exposes sur
la cohomologie des schemas, Advanced Studies in Pure Math., vol. 3, pp. 359—
386, North-Holland, Amsterdam, 1968.
KLEIN F. [1] Zur Theorie der linearen Kongruenzensysteme, J. reine angew.
Math. 159, 238—245 A928).
[2] Zur Theorie der Systeme von Potenzproduktkongruenzen, J. reine angew.
Math. 164, 141 — 150 A931).
[3] Uber rechteckige Matrizen, bei denen die Deterrninanten maximaler Reihe-
nanzahl teilerfremd zu einem Modul sind, Jber. Deutsch. Math.-Verein. 40,
233—238 A931).
KLFNGENBERG W., WITT E. Ц] Uber die Arfsche Invariante quadratischer
Formen mod 2, J. reine angew. Math. 193, 121 — 122 A954).
KLOBE W. [1] Uber eine untere Abschatzung der «-ten Kreisteilungspolynome
8„(г) = nd,n(zd - l)*1-^, J. reine angew. Math. 187, 68-69 A949).
KLOOSTERMAN H. D. [1] On the representation of numbers in the form ax-J-
+ bf-V сгг + dfl, Acta Math. 49, 407—464 A926),
[2] Asymptotische Formeln fur die Fourierkoeffizienten ganzer Modulforrnen,
Abh. Math. Sem, Univ. Hamburg 5, 337—352 A927).
[3] Thetareihen in total-reellen algebraischen Zahlkorpern, Math. Ann. 103,
279—299 A930).
14] On the singular series in Waring's problem and in the problem of the represen-
representation of integers as a sum of powers of primes, lndag. Math. 1, 51—56 A939).
[5] The behaviour of general theta functions under the modular group and (he
characters of binary modular congruence groups. If, Ann. of Math. B) 47,
376—447 A946),
[6] The law of quadratic reciprocity, fndag. Math. 27, 163-164 A965).
KLOSGEN W. |1] Untersuchungen uber Fermatsche Kongruenzen, Gesellschaft
fur Mathematik und Datenverarbeitung, no. 36, Bonn, 1970.
KLUYVER J. С [1] Problem 139 (Dutch), Wiskundige Opgaven 14, 278—280
A928).
KNEE D., GOLDMAN H. D. [1] Quasi-self-reciprocal polynomials and poten-
potentially large minimum distance BCH codes, IEEE Trans. Information Theory
IT-15, 118—121 A969).
Литература 743
KNESER A. [I] Arithmetische Begriindung einiger algebraischer Fundamental-
satze, J, reine angew. Math. 102, 20—55 A888).
KNIGHT M. J., WEBB W. A. [1] Uniform distribution of third order linear
recurrence sequences, Acta Arith. 36, 7—20 A980).
KNOPFMACHER J. [1] Abstract Analytic Number Theory, North-Hollang,
Amsterdam, 1975.
[2j Analytic Arithmetic of Algebraic Function Fields, Lecture Notes in Pure
and Appl. Math., vol. 50, Dekker, New York, 1979.
«NOPP M. F. [1] Automorphic forms of nonnegative dimension and exponential
sums, Michigan Math, J. 7, 257—287 A960).
KNUTH D. E. [1] Finite semi-fields and projective planes, J. Algebra 2, 182—
217 A965).
|2J The Art of Computer Programming, vol. 1: Fundamental Algorithms, Addi-
son-Wesley, Reading, Mass., 1968. [Имеется перевод: КНУТ Д. Е. Искус-
Искусство программирования для ЭВМ. т. 1. Основные алгоритмы. —М.: Мир,
1976.]
[3] The Art of Computer Programming, vol. 2: Seminumerical Algorithms, Addi-
son-Wesley, Reading, Mass., 1969; 2nd ed., Addison-Wesley, Reading, Mass.,
1981. [Имеется перевод: КНУТ Д. Е. Искусство программирования для
ЭВМ. т. 2. Получисленные алгоритмы. — М.: Мир, 1977,]
KOBLITZ N. [1] p-adic variation of the zeta-function over families of varieties
defined over finite fields, Compositio Math. 31, 119—218 A975).
[2] p-adic Numbers, p-adic Analysis, and Zeta-Functions, Springer-Verlag, New
York—Heidelberg—Berlin, 1977. [Имеется перевод: КОБЛИЦ Н. р-ади-
ческие числа, р-адический анализ и дзета-функции. — М.: Мир,
1982.]
[3] p-adic Analysis: A Short Course on Recent Work, London Math. Soc. Le-
Lecture Note Series, no. 46, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1980.
[4] The p-adic approach to solutions of equations over finite fields, Amer. Math.
Monthly 87, 115—118 A980).
KOCHENDORFFER R. [1] Introduction to Algebra, Wolters-Noordhoff, Gro-
ningen, 1972.
KONDO T. [1] On Gaussian sums attached to the general linear groups over fi-
finite fields, J. Math. Soc. Japan 15, 244—255 A963).
KONHEIM A. G. [1] Cryptography. A Primer, Wiley, New York, 1981.
KORNBLUM H. [1] Uber die Primfunktionen in einer arithmetischen Progres-
Progression, Math. Z. 5, 100—111 A919).
KORNER O., STAHLE H. [1] Remarks on Hua's estimate of complete trigono-
trigonometrical sums, Acta Arith. 35, 353-359 A979).
KOUTSKY K- [1) On the quadratic character of numbers and on the generalization
of a theorem of Lagrange on the distribution of quadratic residues (Czech),
Rozpravy Ceske Akad. Ved. 39 A930), no. 43.
12] On the distribution of power residues for a prime modulus (Czech), Cas. Pest.
Mat. Fys. 59, 65—82 A930).
KRAi'TCHIK M. [1] Recherches sur la theorie des nombres. IF: Factorisation,
Gauthier-Villars, Paris, 1929.
f2] On the factorization of 2" ± 1, Scripta Math. 18, 39—52 A952).
KRASNER M. [1] Sur la primitivite des corps p-adiques, Mathernatica (Cluj)
13, 72—191 A937).
'21 Sur la representation exponentielle dans les corps relativement galoisiens
.. de nombres p-adiques, Acta Arith. 3, 133—173 A939).
KRATZEL E. [1 ] Kubische und biquadratische Gauflsche Sumrnen, J. reine angew
Math. 228, 159—165 A967).
KRISHNAMURTHY E. V. [1] Exact inversion of a rational polynomial matrix
using finite field transforms, SIAM J. Appl. Math. 35, 453—464 A978).
744 Литература
KRISHN AMUR THY E. V., RAMACHANDRAN V. [lj A cryptographic system
based on finite field transforms, Proc. Indian Acad. Sci. Sect. A 89, no J
75—93 A980).
KRONECKER L. [1 ] Memoire sur les facleurs irreductibles de ('expression xn -¦ I
J. Math. Pures Appl. 19, 177—192A854); Werke, vol. I, pp. 75—92, Teubiirr"
Leipzig, 1895.
12] Sur une formule de Gauss, J. Math. Pures Appl. B) 1, 392-395 A856); WeiM\
vol. 4, pp. 171-175, Teubner, Leipzig, 1929.
C] Uber den vierten Gauss'schen Bevveis des Reciprocitatsgesetzes fiir die quadra-
tischen Reste, Monatsber. Preuss. Akad. Wiss. Berlin 1880, 686—698, 85-1
860; Werke, vol. 4, pp. 275-294, Teubner, Leipzig, 1929.
DJ Zur Theorie der Elimination einer Variabeln aus zwei algebraischen Q\<\
chungen, Monatsber. Preuss. Akad. Wiss. Berlin 188J, 535—600; Wake.
vol. 2, pp. 113—192, Teubner, Leipzig, 1897.
[5J Grundzuge einer arithmetischen Theorie der algebraischen Grossen, J. nv.w
angew. Math. 92, 1—122 A882); Werke, vol. 2, pp. 237—387, Teubner, Leip-
Leipzig, 1897.
[6] Zur Theorie der Abelschen Gleichungen, J. reine angew. Math. 93, 338—3'H
A882); Werke, vol. 4, pp. 131-162, Teubner, Leipzig, 1929.
G] Ober einige Anwendungen der Modulsysterne auf elementare algebrai^'iii1
Fragen, J. reine angew. Math. 99, 329—371 A886); Werke, vol. 3, pan I.
pp. 145—208, Teubner, Leipzig, 1899.
[8] Ein Fundamentalsatz der allgemeinen Arithmetik, J. reine angew. Math. 1IHI.
490—510 A887); Werke, vol. 3, part 1, pp. 209-240, Teubner, Leipzig, IbSN.
19] Summirung der Gauss'schen Reihen ^^Z^^e2^1111'1, J, reine angew. Мл1и.
105, 267—268 A889); Werke, vol. 4, pp. 295—300, Teubner, Leipzig, №!)
KUBOTA R. M. [1 ] Waring's problem for Fg [x], Dissertationes Math. 117, i- <ii>
A974).
KUBOTA T. [1 ] Uber quadratische Charaktersummen, Nagoya Math. J. 19, 15- 'J.'i
A961).
B) Local relation of Gauss sums, Ada Arith. 6, 285—294 A961).
[3] Ober eine Verallgemeinerung der Reziprozitat der Gauflschen Sumnien, Msi'li
Z. 82, 91 — 100 A963).
[4] Some arithmetical applications of an elliptic function, J. reine angew. Mnii1
214/215, 141 — 145 A964).
[5] On a special kind of Dirichlet series, J, Math. Soc. Japan 20, 193—-''7
A968).
F] Some results concerning reciprocity law and real analytic automorphic func-
functions, Proc. Symp. Pure Math., vol. 20, pp. 382—395, American Math. So-
Society, Providence, R. I., 1971.
KUHNE H. [1] Eine Wechselbeziehung zwischen Funetionen mehrerer Un'ii-<-
timmten, die zu Reeiprocitafsgesetzen fflhrt, J. reine angew. Math. 12-1.
121 — 133 A902).
[2] Angenaherte Auflosung von Congruenzen nach Primmodulsystemen in Zij-
sammenhang init den Einheiten gewisser Korper, J. reine angew. Math. I-".
102—115 A903)?
[3] Bemerkungen zu der Abhandlung des Herrn Hurwitz; Ober hohere Копц'1'1'
enzen, Archiv Math. Phys. C) 6, 174—176 A904).
KUIPERS L. A] A remark on a theorem of L. Carlitz, Mat. Vesnik 9, 113-I
A972). •
[2] A remark on asymptotic distribution in OF [pr, x\, Rev. Roum. Math. Pun1*
Appl. 18, 1217—1221 A973).
[3] Einige Bemerkungen /u einer Arbeit von G. J. Rieger, Elemente der Mil"-
34, 32—34 A979).
KUIPERS L., NIEDERREITER H. [1] Uniform Distribution of Sequent-
Wiley-Interscience, New York, 1974.
Литература 745
KU1PERS L., SCHEELBEEK P. A. J. [1] Uniform distribution of sequences
from direct products of groups, Ann. Sc. Norn,. Sup. Pisa 22, 599—606
A968).
KL'IPERS L., SHIUE J.-S. [1 ] On the distribution modulo m of sequences of gene-
generalized Fibonacci numbers, Tamkang J. Math. 2, 181 — 186 A971).
|2| A distribution property of a linear recurrence of the second order, Atti Accad.
Naz. Lincei Rend. Cl. Sci. Fis. Mat. Natur. (8) 52, 6—10 A972).
|.i] A distribution property of the sequence of Lucas numbers, Elemente der
Math. 27, 10—11 A972).
|4] A distribution property of the sequence of Fibonacci numbers, Fibonacci
Quart. 10, 375—376 A972).
KUMAR I. J., KUMARI M. [1] Local complementation of periodic sequences
over GF B), J. Combin. Inform. System. Sci. 6, 178—186 A981).
KUMARI M. [1] Concatenation properties of 6-sequences over GF B), J. Inform.
Optim. Sci. 2, 147—160 A981).
KUMMER E. E. [1] Eine Aufgabe, betreffend die Theorie der cubischen Reste,
J. reine angew. Math. 23, 285—286 A842); Collected Papers, vol. 1, pp. 143—
144, Springer-Verlag, Berlin—Heidelberg—New, York, 1975.
|2] De residuis cubicis disquisitiones nonnullae analyticae, J. reine angew. Math.
32, 341—359 A846); Collected Papers, vol. 1, pp. 145—163, Springer-Verlag,
Berlin—Heidelberg—New York, 1975.
|31 Ober die Zerlegung der aus Wurzeln der Einheit gebildeten complexen Zahlen
in ihre Primfactoren, J. reine angew. Math. 35, 327—367 A847); Collected
Papers, vol. 1, pp. 211—251, Springer-Verlag, Berlin—Heidelberg—New
York, 1975.
HI Allgemeine Reciprocitatsgesetze fur beliebig hohe Potenzreste, Monatsber.
Konigl. Akad. Wiss. Berlin 1850, 154—165; Collected Papers, vol. 1, pp. 345—
357, Springer-Verlag, Berlin—Heidelberg—New York, 1975.
|51 Memoire sur la theorie des nombres complexes composes de racines de l'unite
et de nombres entiers, J. Math. Pures Appl. 16, 377—498 A851); Collected
Papers, vol. 1, pp. 363—484, Springer-Verlag, Berlin—Heidelberg—New
York, 1975.
16] Ober die Erganzungssatze zu den allgemeinen Reciprocitatsgesetzen, J. reina
angew. Math. 44, 93—146 A852); Collected Papers, vol. 1, pp. 485—538,
Springer-Verlag, Berlin—Heidelberg—New York, 1975.
17) Theorie der idealen Primfaktoren der complexen Zahlen, welche aus den
Wurzeln der Qleichung со" = 1 gebildet sind, wenn и eine zusammenge-
setzte Zahl ist, Math. Abh. Konigl. Akad. Wiss. Berlin 1856, 1—47; Collected
Papers, vol. 1, pp. 583—629, Springer-Verlag, Berlin—Heidelberg—New
York, 1975.
KL'NERT D. [I] Ein neuer Beweis fur die Reziprozitatsformel der Gauflschen
Summen in beliebigen algebraischen Zahlkorpern, Math. Z. 40, 326—347
A936).
KUNG J. P. S. [1] The cycle structure of a linear transformation over a finite
field, Linear Algebra Appl. 36, 141 —-155 A981).
KUSTAANHEIMO P., QVIST B. [1] On differentiation in Galois fields, Suom.
Tiedeak. Toimituk. Helsinki Ser. A I 137 A952).
KUTZKO P. С [1] The cyclotomy of finite commutative P.I. R.'s, Illinois J. Math.
19, 1—17 A975).
1-AFFEY T. J. [1] Infinite rings with all proper subrings finite, Amer. Math.
Monthly 81, 270—272 A974).
LAGRANGE J.-L. [1] Sur 1'integration d'une equation differentielle a diffe-
differences finies, qui contient la theorie des suites recurrentes, Misc. Taurinen-
sia 1 A759); Oeuvres, vol. 1, pp. 23—36, Gauthier-Villars, Paris, 1867.
12] Nouvelle methode pour resoudre les problemes indetermines en nombres
entiers, Memoires Acad. Roy. Berlin 24 A770); Oeuvres, vol. 2, pp. 655—
726, Gauthier-Villars, Paris, 1868.
746 Литература
CJ Demonstration d'un theoreme d'arithmetique, Nouv. Memoires Acad, Rov
Berlin 1770, 123—133; Oeuvres, vol. 3, pp. 189—201, Gauthier-Villars
Paris, 1869.
|4J Reflexions sur la resolution algebrique des equations, Nouv. Memoires Ac;iri
Roy. Berlin 1770, 134—215; ibid. 1771, 138—254; Oeuvres, vol. 3, pp. 205-
421, Gauthier-Villars, Paris, 1869.
|5J Recherches sur les suites recurrentes dont les termes varient de plusieurs
manieres differentes, ou sur ('integration des equations lineaires aux diffe-
differences finies et partielles; et sur 1'usage de ces equations dans la theorie de.<
hasards, Nouv. Memoires Acad. Roy. Berlin 1775, 183—272; Oeuvres, vol. 4,
pp. 151-251, Gauthier-Villars, Paris, 1869.
LAKKIS К. П1 Die galoisschen Gauss'schen Sumrnen von Hasse, Bull. Soc. Math.
Greee 7, 183—371 A966).
[2] Die verallgemeinerten Gauflsehen Summen, Arch. Math. 17, 505—509 A966).
[3J Die lokalen verallgemeinerten Gauss'schen Summen, Bull. Soc. Math. Grece
8, 143—150 A967).
LAKSOV D. [1 ] Linear recurring sequences over finite fields, Math. Scand. 16,
181 — 196 A965).
LAL M. [1J On the separability of multivariable polynomials, Proc. IEEE 63.
718—719 A975).
LAMPRECHT E. [1J Allgemeine Theorie der Gauflschen Summen in endlichen
kommutativen Ringen, Math. Nachr. 9, 149—196 A953).
[2] Gauflsche Summen in endlichen Ringen und ihre Anwendungen, Bericht
Math.-Tagung (Berlin, 1953), pp. 179—185, Deutscher Verlag der Wissens-
chaften, Berlin, 1953.
[3J Struktur und Reiationen allgemeiner Gauflscher Surnmen in endlichen Rin-
Ringen, J. reine angew. Math. 197, 1—26, 27—48 A957).
LANDAU E. [1] Abschatzungen von Charaktersummen, Einheiten und Klassen-
zahlen, Gottinger Hachr. 1918, 79—97.
|2] Vorlesungen uber Zahlentheorie, vol. I, part 2, Hirzel, Leipzig, 1927.
[3] Uber das Vorzeiehen der Gauflschen Summe, Gottinger Nachr. 1928, 19—20.
[4] Zum Waringschen Problem. Ill, Math. Z. 32, 699—702 A930).
[5] Elementary Number Theory, 2nd ed., Chelsea, New York, 1958.
LANDSBERG G. [1] Ueber eine Anzahlbestimmung und eine damit zusammen-
hangende Reihe, J. reine angew. Math. Ill, 87—88 A893).
[2] Zur Theorie der Gaussschen Summen und der linearen Transformation der
Thetafunctionen, J. reine angew. Math. HI, 234—253 A893).
LANG S. [1] Abelian Varieties, Interscience, New York, 1959.
[2J Some theorems and conjectures in diophantine equations, Bull. Amer. Math.
Soc. 66, 240—249 A960).
[3] Algebraic Number Theory, Addison-Wesley, Reading, Mass., 1970.
[4] Algebra, Addison-Wesley, Reading, Mass., 1971. [Имеется перевод преды-
предыдущего издания: ЛЕНГ С. Алгебра. —М.: Мир, 1968. J
E) Cyciotomic Fields, Springer-Verlag, New York—Heidelberg—Berlin, 1978.
[6] Cyciotomic Fields, vol. 2, Springen-Verlag. New York—Heidelberg—Ber-
York—Heidelberg—Berlin, 1980.
LANG S., WEIL A. [1J Number of points of varieties in finite fields, Amer. J.
Math. 76, 819—827 A954).
LATAWIEC K. J. [1] On different time-domain solutions of the problem of ge-
generating shifted linear binary sequences, Problemy Uprav. i Teor. Infor-
macii 6, 223—230 A977).
LAUMON G". fl] Majorations de sornmes trigonometriques (d'apres P. Deligne
et N. Katz), Asterisque, no. 82—83, pp. 221—258, Soc. Math. France, Pans.
1981.
LAUSCH H., MULLER W. В., NOBAUER W. [1] Uber die Struktur einer
durch Dicksonpolynome dargestellten Permutationsgruppe des Restklassen-
ringes modulo n, J. reine angew. Math. 261, 88—99 A973).
Литература 747
LAUSCH H,, NOBAUER W. [1] Algebra of Polynomials, North-Holland, Am-
Amsterdam, 1973.
LAX TON R. R., ANDERSON J. A. A] Linear recurrences and maximal length
sequences, Math. Gaz. 56, 299—309 A972).
LEAHEY W. [1] Sums of squares of polynomials with coefficients in a finite
field, Amer. Math. Monthly 74, 816—819 A967).
LEBESQUE V. A. [1 ] Recherches sur les nombres. I, II, III, J. Math. Pures Appl.
2, 253—292 A837); ibid. 3, 113—131, 132—144 A838).
[2] Demonstration de quelques formules d'un memoire de M. Jacobi, J. Math.
Pures Appl. 19, 289—300 A854).
131 Demonstration de l'irreductibilite de 1'equation aux racines primitives de
Г unite, J. Math. Pures Appl. B) 4, 105—110 A859).
14] Note sur les congruences, С R. Acad. Sci. Paris 51, 9—13 A860).
15] Sur une congruence du deuxieme degre a plusieurs inconnues, C. R. Acad.
Sci. Paris 62, 868—872 A866).
LEE A. [1] Uber einige Extremalaufgaben bezflglich endlicher Korper, Acta
Math. Acad. Sci. Hungar. 13, 235—243 A962). .
LEE J. J., SMITH D. R. [1] Families of shift-register sequences with impulsive
correlation properties, IEEE Trans. Information Theory IT-20, 255—261
A974).
LEE M. A. [1 ] Some irreducible polynomials which are reducible mod p for all p,
Amer. Math. Monthly 76, 1125 A969).
LEHMER D. H. [1] Tests for primality by the converse of Fermat's theorem,
Bull. Amer. Math. Soc. 33, 327—340 A927).
121 An extended theory of Lucas' functions, Ann. of Math. B) 31, 419—448 A930).
13] Some new factorizations of 2" ± 1, Bull. Amer. Math. Soc. 39, 105—108
A933).
HI A photo-electric number sieve, Amer. Math Monthly 40, 401—406 A933).
15] A machine for combining sets of linear congruences, Math. Ann. 109, 661—•
667 A934).
16] On the series for the partition function, Trans. Amer. Math. Soc. 43, 271—¦
295 A938).
17] A factorization theorem applied to a test for primality, Bull. Amer. Math.
Soc. 45, 132—137 A939).
181 On certain character matrices, Pacific J. Math. 6, 491—499 A956).
[9] Power character matrices, Pacific J. Math. JO, 895—907 A960).
110] Computer technology applied to the theory of numbers, Studies in Number
Theory (W. J. LeVeque, ed.), pp. 117—151, Prentice-Hall, Englewood Cliffs,
N. J., 1969.
П1] Incomplete Gauss sums, Mathematika 23, 125—135 A976).
LEHMER D. H., LEHMER E. [1] On the cubes of Kloosterman sums, Acta
r Arith. 6, 15—22 A960).
|2] On runs of residues, Proc. Amer. Math. Soc. 13, 102—106 A962).
13] The cyclotomy of Kloosterman sums, Acta Arith. 12, 385—407 A967).
14] The cyclotomy of hyper-Kloosterman sums, Acta Arith. 14, 89—111
A968).
LEHMER D. H., LEHMER E., MILLS W. H. [1] Pairs of consecutive power
resudues, Canad. J. Math. 15, 172—177 A963).
1 EHMER D. H., LEHMER E., MILLS W. H., SELFRIDGE J. L. fl] Machine
proof of a theorem on cubic residues, Math. Сотр. 16, 407 415 A962).
LEHMER E. [1 ] On the quintic character of 2, Bull. Amer. Math. Soc. 55, 62-63
И The quintic character of 2 and 3, Duke Math. J. 18, 11—18 A951).
13] On residue difference sets, Canad. J. Math. 5, 425—432 A953).
f4] On the number of solutions of u* + D - w2 (mod p). Pacific J. Math. 5,
103-118 A955).
74« Литература
[5] On the location of Gauss sums, Math. Tables Aids Comput. 10, 194—202
A956).
[6] On Euler's criterion, J. Austral. Math. Soc. 1, 64—70 A959).
|7[ On Jacobi functions, Pacific J. Math. 10, 887—893 A960).
[8] Artiads characterized, J. Math. Anal. Appl. 15, 118—131 A966).
LEHMER E., VAND1VER H. S. A ] On the computation of the number of solu-
solutions of certain trinomial congruences, J. Assoc. Comput. Mach. 4, 505—51u
A957),
LEHT1 R. [1] Evaluation matrices for polynomials in Galois fields, Soc, Sci
Fenn. Comment. Phys.-Math. 22, no, 3, 1959.
LEMPEL A. 11 ] Analysis and synthesis of polynomials and sequences over GF B)
IEEE Trans. Information Theory IT-17, 297—303 A971).
[2] Matrix factorization over GF B) and trace-orthogonal bases of GF B"), SIAM
J. Computing 4, 175—186 A975).
LEMPEL A., COHN M., EASTMAN W. L. [1] A class of balanced binary se-
sequences with optimal autocorrelation properties, IEEE Trans. Information
Theory IT-23, 38—42 A977).
LEMPEL A., EASTMAN W. L. fl| High speed generation of maximal length
sequences, IEEE Trans. Computers C-20, 227—229 A971).
LEMPEL A., W1NOGRAD S. |i] A new approach to error-correcting codes-,
IEEE Trans. Information Theory IT-23, 503—508 A977).
LENSTRA A. K- [1] Lattices and factorization of polynomials, SIGSAM Bull. 15.
no. 3, 15-16 A981). /
LENSTRA A. K, LENSTRA H. W., Jr., LOVASZ L. [1J Factoring polynomial-
'with rational coefficients, Math. Ann. 261, 515—534 A982).
LENSTRA H. W., Jr. [1] Primitive normal bases for finite fields, unpublished
manuscript, 1977.
B] Primality testing algorithms (after Adleman, Rumely and Williams), Semi-
naire Bourbaki 1980/81, Exp, 576, Lecture Notes in Math., vol. 901, pp. 243-
257, Springer-Verlag, Berlin—Heidelberg—New York, 1981.
LEONARD P. A. 11 ] On constructing quartic extensions of GF (p), Norske Vid
Selsk. Forh, (Trondheim) 40, 96—97 A967).
B] On factorizations of certain trinomials, Norske Vid, Selsk. Forh. (Trondhein.l
42, 56—62 A969).
[3] On factoring quartics (mod p), J. Number Theory 1, 113—115 A969).
[4] A note on cubics over GF B"), Norske Vid. Selsk. Skr. (Trondheim) 1974.
no. 1.
[5] Factorization of general polynomials, J. Number Theory 6, 335—338 A974).
LEONARD P. A., MORTIMER B. C., WILLIAMS K- S. [1] The eleventh power
character of 2, J. reine angew. Math. 286, 213—222 A976).
LEONARD P. A., WILLIAMS K. S. [1] Quartics over GF Bn), Proc. Amer
Math. Soc. 36, 347-350 A972).
|2J A diophantine system of Dickson, Atti Accad. Naz. Lincei Rend. CI. Sei
Fis. Mat. Natur. (8) 56, 145—150 A974).
13] The cyclotomic numbers of order seven, Proc. Amer. Math. Soc. 51, 295--
300 A975).
141 Jacobi sums and a theorem of Brewer, Rocky Mountain J. Math. 5, 301-
308 A975); Erratum, ibid. 6, 509 A976).
EJ The cyclotomic numbers of order eleven, Acta Arith, 26, 365—383 A975).
|6J A rational" sixteenth power reciprocity law, Acta Arith. 33, 365—377. A977).
17] Evaluation of certain Jacobsthal sums, BolL.Un. Mat. Ital. E) 15, 717—
723 A978).
LEOPOLDT H.-W. [1] Zur Arithmetik in abelschen Zahlkorpern, J. reine angew
Math. 209, 54—71 A962). _.,
LERCH M [1] Zur Theorie der Gauflschen Summen, Math. Ann. 57, 554—*'
A903).
Литература 749
LEVI H. [1] Composite polynomials with coefficients in an arbitrary field of
characteristic zero, Amer. J. Math. 64, 389—400 A942).
LEVINE J., BRAWLEY J. V. [1] Involutory commutants with some appli-
applications to algebraic cryptography. I, II, J. reine angew. Math. 224, 20—43
A966); ibid. 227, 1—24 A967).
\2] Some cryptographic applications of permutation polynomials, Cryplologia 1,
76—92 A977).
LEVINE J., HARTWIG R. E. [1] Applications of the Drazin inverse to the
Hill cryptographic system. I, II, Cryptologia 4, 71—85, 150—168
A980).
LEWIS D. J. [1] Singular quartic forms, Duke Math. J. 21, 39—44 A954).
|2] Cubic congruences, Michigan Math. J. 4, 85^95 A957).
C) Diagonal forms over finite fields, Norske Vid. Selsk. Forh. (Trondheim) 33,
61—65 A960).
LEWIS D. J., SCHUUR S. E. [1] Varieties of small degree over finite fields,
J. reine angew. Math. 262/263, 293—306 A973).
LIANG J. J. [1] On the solutions of trinomial equations over finite fields, Bull.
Calcutta Math. Soc, 70, 379—382 A978).
L1BRI G. [1 ] Memoire sur la theorie des nombres, J, reine angew. Math. 9, 169—
188 A832).
f2J Memoire sur la theorie des nombres, J. reine angew. Math. 9, 261—276 A832).
L1DL R. [1] Ober Permutationspolynome in mehreren Unbestimmten, Monatsh.
Math. 75, 432—440 A971).
f2] Ober die Darstellung von Permutationen durch Polynome, Abh. Math. Sem.
Univ. Hamburg 37, 108—111 A972).
[3] Ober Permutationsfunktionen in mehreren Unbestimmten, Acta Arith. 20,
291—296 A972).
[4] Tschebyscheffpolynome und die dadurch dargestellten Gruppen, Monatsh.
Math. 77, 132—147 A973).
[5] Regulare Polynome fiber endlichen Korpern, Beitrage zur Algebra und Geo-
metrie 2, 55—59 A974).
F] Ober die Struktur einer durch Tschebyscheffpolynome in zwei Variablen
dargestellten Permutationsgruppe, Beitrage zur Algebra und Geometrie 3,
41—48 A974).
[7] Einige ungeloste Probleme bei endlichen Korpern, Math. Balkanica 4, 409—
414 A974).
[8] Tschebyscheffpolynome in mehreren Variablen, J. reine angew. Math. 273,
178—198 A975).
L1DL R., MOLLER W. B. A) Ober Permutationsgruppen, die durch Tsche-
byscheff-Polynome erzeugt werden, Acta Arith. .30, 19—25 A976).
LIDL R., NIEDERREITER H. [1J On orthogonal systems and permutation
polynomials in several variables, Acta Arith. 22, 257—265 A973).
LIDL R., PILZ G. [!] Angewandte abstrakte Algebra. I, II, Bibliographisches
Institut, Mannheim, 1982.
LIDL R., WELLS C. [1] Chebyshev polynomials in several variables, J. reine
angew. Math. 255, 104—111 A972).
LIDL R., WIESENBAUER J. [1) Ringtheorie und Anwendungen, Akademische
Verlagsgesellschaft, Wiesbaden, 1980.
LIN S. [1 ] On a class of cyclic codes, Error Correcting Codes (H. B. Mann, ed.),
pp. 131—148, Wiley, New York, 1968.
[2] An Introduction to Error-Correcting Codes, Prentice-Hall, Englewood Cliffs,
N. J., 1970.
LINDGREN H. A] Polynomial solutions of binomial congruences, J. Austral.
Math. Soc. 1, 257—280 A960).
LINDHOLM J. H. [1] An analysis of the pseudo-randomness properties of sub-
subsequences of long m-sequences, IEEE Trans. Information Theory 1T-14,
569—576 A968).
750 Литература
LINDSTROM В. |1] On group and nongroup perfect codes in q symbols, Math
Scand. 25, 149—158 A969).
LITZINQER M, [1 ] A basis for residual polynomials in n variables, Trans. Amer
Math. Soc. 37, 216—225 A935).
LIU K. Y., REED I. S., TRUONQ Т. К. [1] Fast number-theoretic transforms
for digital filtering, Electron. Lett. 12, 644—646 A976).
[2] High-radix transforms for Reed—Solomon codes over Fermat primes, IEEE
Trans. Information Theory IT-23, 776—778 A977).
LLOYD D. B. [1] Factorization of the general polynomial by means of its horrto-
morphic congruential functions, Amer. Math. Monthly 71, 863—870 A964).
[2J The use of finite polynomial rings in the factorization of the general poly-
polynomial, J. Res. Nat. Bur. Standards Sect. В 69, 189—212 A965).
LLOYD D. В., REMMERS H. [1] Polynomial factor tables over finite fields,
Math. Algorithms 2, 85—99 A967).
LONDON D., ZIEGLER Z. [1 ] Functions over the residue field modulo a prime,
J. Austral. Math. Soc. 7, 410—416 A967).
LONG A. F., Jr. [1] Some theorems on factorable irreducible polynomials, Duke
Math. J. 34, 281—291 A967).
f2] Classification of irreducible factorable polynomials over a finite field, Acta
Arith, 12, 301—313 A967).
[3] Factorization of irreducible polynomials over a finite field with the substi-
substitution хРГ — x for x, Duke Math. J. 40, 63—76 A973).
[4] Factorization of irreducible polynomials over a finite field with the substi-
substitution л/ — x for x, Acta Arith. 25, 65—80 A973).
[5] A theorem on factorable irreducible polynomials in several variables over
a finite field with the substitution xf — xL for xc. Math. Nachr. 63, 123—130
A974).
LONG A. F., Jr., VAUGHAN T. P. [1 ] Factorization of Q (h (T) (x)) over a fi-
finite field, where Q (x) is irreducible and h G) (x) is linear. II, Linear Algebra
Appl. 11, 53—72 A975).
[2] Factorization of Q (h (T) (x)) over a finite field, where Q (x) is irreducible
and h (T) (x) is linear. I, Linear Algebra Appl. 13, 207—221 A976).
LONG С. Т., WEBB W. A. [1] Normality in GF {q, x}, Atti Accad. Naz. Lincei
Rend. Cl. Sci. Fis. Mat. Natur. (8) 54, 848—853 A973).
LOWE R. D., ZELINSKY D. A ] Which Galois fields are pure extensions? Math.
Student 21, 37—41 A953).
LOXTON J. H. [1 ] Products related to Gauss sums, J. reine angew. Math. 268/269,
53—67 A974).
[2] On the determination of Gauss sums, Sem. Delange—Pisot—Poitou 1976-77,
Theorie des Nombres, Exp. 27, Secretariat Math., Paris, 1977.
[3] Some conjectures concerning Gauss sums, J. reine angew. Math. 297, 153—
158 A978).
LOXTON J. H., SMITH R. A. [1J On Hua's estimate for exponential sums.
J. London Math. Soc. B) 26, 15—20 A982).
f2] Estimates for multiple exponential sums, J. Austral. Math. Soc. Ser. A 33,
125—134 A982).
LUBELSKI S. [1J Zur Theorie der hoheren Kongruenzen, J. reine angew. Math.
162, 63—68 A930).
[2] Zur Reduzibilitat von Polynomen in der Kongruenztheorie, Acta Arith. 1,
169—183 A936).
[3] Uber zwei Wegnersche Satze, Izv. Akad. Nauk SSSR Ser. Mat. 5, 395—398
A941).
LUBRIN S. [1] On a conjecture of Andre Weil, Amer. J. Math. 89, 443—548
A967).
Литература 751
|2] A p-adic proof of Weil's conjectures, Ami of Math. B) 87, 105—194, 195- -
255 A968).
|3] A result on the Weil zeta function, Trans. Amer. Math. Soc. 139, 297—300
A969).
|4| Finite generations of lifted p-adic homology with compact supports. Gene-
Generalization of the Weil conjectures to singular, noncomplete algebraic varieties,
Algebraic Geometry (Copenhagen, 1978), pp. 317—373, Lecture Notes in
Math., vol. 732, Springer-Verlag, Berlin—Heidelberg—New York, 1979.
[5 | Finite generation of lifted p-adic homology with compact supports. Genera-
Generalization of the Weil conjectures to singular, noncomplete algebraic varieties,
J. Number Theory 11, 412—464 A979).
LUCAS E. A] Theorie des fonctions numeriques simplement periodiques, Amer.
J. Math. 1, 184—240, 289—321 A878).
|2| Theorie des nombres, Gauthier-Villars, Paris, 1891.
I 1,'CKY R. W, SALZ J., WELDON E. J., Jr. [1] Principles of Data Communi-
Communication, McGraw-Hill, New York, 1968.
1.ГН J. [1 ] On the representation of vector spaces as a finite union of subspaces,
Acta Math. Acad. .Sci. Hungar. 23, 341—342 A972).
LL'NEBURG H. [1] Transitive Erweiterungen endlicher Permutationsgruppen,
Lecture Notes in Math., vol. 84, Springer-Verlag, Berlin— Heidelberg—New
York, 1969.
|2| Galoisfelder, Kreisteilungskorper und Schieberegisterfolgen, Bibliographis-
ches Institut, Mannheim, 1979.
1.UN1EBURG H., PLAUMANN P. A ] Die Funktionalgleichung von Golab und
Schinzel in Galoisfeldern, Arch. Math. 28, 55—59 A977)
1 I NINON W. F., PLEASANTS P. А. В., STEPHENS N. M. |1] Arithmetic
properties of Bell numbers to a composite modulus, Acta Arith. 35, 1—16
A979).
MACCLUER С R. [1 ] On a conjecture of Davenport and Lewis concerning excep-
exceptional polynomials, Acta Arith. 12, 289-299 A967).
MACDOUGALL J. A. A] Bivectors over a finite field, Canad. Math. Bull.-24,
489—490 A981).
.WACNEISH H. F. 11) Euler squares, Ann. of Math. B) 23, 221—227 A922).
MACWILLIAMS F. J. [1] A theorem on the distribution of weights in a syste-
systematic code, Bell System Tech. J. 42, 79—94 A963).
12] The structure and properties of binary cyclic alphabets, Bell System Tech.
J. 44, 303—332 A965). [Имеется перевод: МАК-ВИЛЬЯМС ДЖ. Структура
и свойства бинарных циклических алфавитов. — В кн.: Киберн. сборник,
нов. сер., вып. 4. — М.: Мир, 1967, с. 7—42.1
I'M Orthogonal matrices over finite fields, Amer. Math. Monthly 76, 152- 164
A969).
14 1 Orthogonal circulant matrices over finite fields, and how to find them, J . Com-
Combinatorial Theory 10, 1-17 A971).
MACWILLIAMS F. J., MANN H. B. fl| On the p-rank of the design matrix
of a difference set, Information and Control 12, 474—488 A968).
MACWILLIAMS F. J., ODLYZKO A. M. A) Pelikan's conjecture and cyclo-
tomic cosets, J. Combinatorial Theory Ser. A 22, 110-114 A977).
MACWILLIAMS F. J., SEERY J. [1] The wight distributions of some minimal
cyclic codes, IEEE Trans. Information Theory IT-27, 796—806 A981).
MACWILLIAMS F. J., SLOANE N. J. A. A] Pseudo-random sequences and
arrays, Proc. IEEE 64, 1715—1729 A976).
12] The Theory of Error-Correcting Codes, North-Holland, Amsterdam, 1977,
[Имеется перевод: МАК-ВИЛЬЯМС Ф. ДЖ., СЛОЭН Н. ДЖ А. Теория
кодов, исправляющих ошибки. — М.: Связь, 1979.)
MACWILLIAMS F. J., SLOANE N. J. A., GOETHALS J.-M. [1J The Mac-
Williams identifies for nonlinear codes, Bell System Tech. J. 51, 803 819
A972).
752 Литература
MADDEN D. J. [1] Polynomials and primitive roots in finite fields, J. Number
Theory 13, 499—5J4 A981).
MAILLET E. |1J Des conditions pour que 1'eehelle d'une suite recurrente soit
irreductibje, Nouv. Ann. Math. C) 14, 152—157, 197-206A895).
MAMANGAK1S S. E, 111 Remarks on the Fibonacci series modulo m, Amer. Math
Monthly 68, 648—649 A961).
MANDELBAUM D. |1] On decoding of Reed—Solomon codes, IEEE Iran-
Information Theory IT-17, 707—712 A971).
|2] Some results in decoding of certain maximal-distance and BCH codes, Infor-
Information and Control 20, 232—243 A972).
[3] A method for decoding of generalized Goppa codes, IEEE Trans. Information
Theory 1T-23, 137—140 A977); Addition, ibid, 1T-24, 268 A978).
MANN M. B. [1] The construction of orthogonal Latin squares, Ann. Math. Sta-
Statist. 13, 418-423 A942).
B] Analysis and Design of Experiments, Dover, New York, 1949.
|3] Addition Theorems, Wiley-Interscience, New York, 1965.
[4] Recent advances in difference sets, Amer. Math. Monthly 74, 229—235 A967).
[51 Error Correcting Codes, Proc. Symp. Math. Research Center (Univ. of Wis-
Wisconsin, Madison, Wis., 1968), Wiley, New York, 1968.
[6) The solution of equations by radicals, J. Algebra 29, 551—554 A974).
MANTEL W. [1] Residues of recurring series (Dutch), Nieuw Arch. Wisk. B) 1,
172—184 A894).
[21 Problem 91 (Dutch), Wiskundige Opgaven 12, 213—214 A918).
MARITSAS D. Q, [11 On the statistical properties of a class of linear product
feedback shift-register sequences, IEEE Trans. Computers C-22, 961—962
A973).
MAROULAS J., BARNETT S. [1] Greatest common divisor of generalized poly-
polynomials and polynomial matrices, Linear Algebra Appl. 22, 195—210 A978).
MARSH R. W. [1] Table of Irreducible Polynomials over OF B) through Deg-
Degree 19, Office of Techn. Serv., U. S. Dept. of Commerce, Washington, D. С
. 1957.
MARSH R. W., QLEASON A. M. [1] Problem 4709, Amer. Math. Monthly 63,
669 A956); Solution, ibid. 64, 747—748 A957).
MARSH R. W., MILLS W. H., WARD R. L., RUMSEY H., WELCH L. R.
[1] Round trinomials, Pacific J. Math. 96, 175—192 A981).
MARSHALL J. B. [1 ] On the extension of Fermat's theorem to matrices of order n,
Proc. Edinburgh Math. Soc. B) 6, 85—91 A93У).
MARTIN M. H. [1 ] A problem in arrangements, Bull. Amer. Math. Soc. 40, 859--
864 A934).
MARTINET J. [1] Character theory and Artin L-functions, Algebraic Number
Fields (A. Frohlich, ed.), pp. 1—87, Academic Press, London, 1977.
MASSEY J. L. [Ц Reversible codes, Information and Control 7, 369—380 A964).
[2] Step-by-step decoding of the Bose—Chaudhuri—Hoequenghem codes, IEEE
Trans. Information Theory IT-I1, 580—585 A965).
[3] Some algebraic and distance properties of convolutional codes, Error Cor-
Correcting Codes (H. B. Mann, ed.), pp. 89—109, Wiley, New York, 1968.
[4] Shift-register synthesis and BCH decoding, IEEE Trans. Information Theory
IT-15, 122—127 A969).
MATEOS MATEOS F. [1 ] Classification of congruent symmetric matrices defined
over a finite field (Spanish), Qac. Mat. Madrid 30, 74—85 A97.8).
MATHER M. [1 ] The number of non-homogeneous lattice points in plane subsets.
Math. Proc. Cambridge Philos. Soc. 83, 25—29 A978).
MATHIEU E. [1] Memoire sur 1'etude des fonctions de plusieurs quantites, sur
la maniere de les former et sur les substitutions qui les laissent invariables,
J. Math. Pures Appl. B) 6, 241—323 A861).
MATLUK M. M., GILL A. [1] Decomposition of linear sequential circuits over
residue class rings, J. Franklin lnst. 294, 167—180 A972),
Литература 753
MATTHEWS С. R. [1] Gauss sums and elliptic functions. I. The Kummer sum.
Invent. Math. 52, 163—185 A979).
|2j Gauss sums and elliptic functions. II. The quartic sum, Invent. Math. 54,
23-52 A979).
MATTHEWS K. R. [I] Waring's theorem for polynomials over a finite field,
Dissertation, Univ. of Queensland, 1966.
MATTHEWS R, [1] Some generalisations of Chebyshev polynomials and their
induced group structure over a finite field, Acta Arith. 41, 323—335 A982).
f2] The structure of the group of permutations induced by Chebyshev polynomial
vectors over the ring of integers mod m, J. Austral. Math, Soc. Ser. A 32,
88—103 A982).
|3] Orthogonal systems of polynomials over a finite field with coefficients in
a subfield, Papers in Algebra, Analysis and Statistics (R. Lidl, ed.), Con-
Contemporary Math., vol. 9, pp. 295—302, American Math. Society, Providence,
R. I., 1982.
MATTSON H. F., Jr., SOLOMON G. [1] A new treatment of Bose—Chaudhuri
codes, J. Soc. Indust. Appl. Math. 9, 654—669 A961). [Имеется перевод:
МЭТТСОН X., СОЛОМОН Г. Новая трактовка кодов Боуза—Чоуд-
хури. — В кн.: Теория кодирования, М.: 1964, с. 7—29.)
MATTUCK А., ТАТЕ J. [I] On the inequality of Castelnuovo—Severi, Abh.
Math. Sem. Univ. Hamburg 22, 295—299 A958).
MAXFIELD M. W. [1] The order of a matrix under multiplication (modulo m),
Duke Math. J. 18, 619—621 A951).
MAXSON С J. [1] A new characterization of finite prime fields, Canad. Math.
Bull. 11, 381—382 A968).
MAZUR B. [1] Eigenvalues of Frobenius acting on algebraic varieties over finite
fields, Proc. Symp. Pure Math., vol. 29, pp. 231—261, American Math. So-
Society, Providence, R. I., 1975.
MCCANN K-, WILLIAMS K. S. [1] On the residues of a cubic polynomial
(mod p), Canad. Math. Bull. 10, 29—38 A967).
|2] The distribution of the residues of a quartic polynomial, Glasgow Math.
J. 8, 67—88 A967).
[3] Cubic polynomials with the same residues (mod p), Proc. Cambridge Philos.
Soc. 64, 655—658 A968).
MCCLELLAN J. H., PARKS T. W. [1] Eigenvalue and eigenvector decompo-
decomposition of the discrete Fourier transform, IEEE Trans. Audio Electroacoust.
AU-20, 66—74 A972),
MCCLELLAN J. H., RADER С. М. [1] Number Theory in Digital Signal Pro-
Processing, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, N. J., 1979.
MCCLUSKEY E. J. [ I ] Introduction to the Theory of Switching Circuits, McGraw-
Hill, New York, 1965.
MCCONNEL R. [I ] Pseudo-ordered polynomials over a finite field, Acta Arith. 8,
127—151 A963).
f2] Function over finite fields preserving m-th powers, Duke Math. J. 36, 465—
472 A969).
f3] Functions over finite fields satisfying coordinate ^-conditions, Duke Math.
J. 39, 297—312 A972).
MCCRIMMON K- [1] A note on finite division rings, Proc. Amer. Math. Soc. 23,
598—600 A969).
MCDONALD B. R. [1] Finite Rings with Identity, Dekker, New York, 1974.
^CELIECE R. J. [1] A generalization of difference sets, Canad. J. Math. 19,
206-211 A967).
12] Factorization of polynomials over finite fields, Math. Сотр. 23, 861—867
A969).
|3] Table of polynomials of period e over GF (p), Math. Сотр. 23, microfiche
stippl. Cl—C6 A969).
21 Зак 243
754 Литература
D] On periodic sequences from GF (if), J. Combinatorial Theory Ser,. A 10
80—91 A971).
[5] Irreducible cyclic codes and Gauss sums, Combinatorics (M. Hall, Jr.,
and. J. H. van Lint, eds.), pp. 185—202, Reidel, Dordrecht—Boston, 1975.
FJ The Theory of Information and Coding, Encyclopedia of Math, and Its
Appl., vol. 3, Addison-Wesley, Reading, Mass., 1977.
[7] Correlation properties of sets of sequences derived from irreducible cyclic
codes, Information and Control 45, 18—25 A980).
MCELIECE R. J., RUMSEY H. [1] Euler products, cyclotomy, and coding
J, Number Theory 4, 302—311 A972).
WCELIECE R. J., SHEARER J. B. [1] A property of Euclid's algorithm and
an application to Pade approximation, SIAM J. Appl. Math. 34, 611—615
A978).
MCGETTRICK A. D. 11] A result in the theory of Weierstrass elliptic functi-
functions, Proc. London Math. Soc. CJ5,41—54A972).
[2] On the biquadratic Gauss sum, Proc. Cambridge Philos. Soc, 71, 79—83
A972).
MCLAIN K. E., EDGAR H. M. [1] A note on Golomb's «Cyclotomic poly-
polynomials and factorization theorems», Amer. Math. Monthly 88, 753 A981),
viEIJER H. G., DIJKSMA A, [l]On uniform distribution of sequences in
OF [g, x] and OF {q, к), Duke Math. J. 37, 507-514 A970).
MENDELSOHN N. S. A) Congruence relationship for integral recurrences,
Canad. Math. Bull. 5, 281—284 A962).
[2] Algebraic construction of combinatorial designs, Congr. Numer. 13, 167—
168 A975).
MENON P. K. A] On Gauss's sum, J. Indian Math. Soc. 16, 31—36 A952),
[2] On certain sums connected with Galois fields and their applications to dif-
difference sets, Math. Ann. 154, 341—364 A964).
METROPOLIS N.. NICOLETTI G., ROTA G.-C. [1] A new class of symmetric
functions, Mathematical Analysis and Applications (L, Nachbin, ed.), Ad-
Advances in Math. Suppl. Studies, vol. 7B, pp. 563—575, Academic Press,
New York, 1981.
METSANKYLA R. [1] On Ath power coset representatives mod p, Ann. Acad-
Sci. Fenn. Ser. A 1 557 A973).
MEYER K. [1] Aquivalenz von quadratischen Formen iiber endlichen Kor-
pern, Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg 37, 79—85 A972).
MICHELSON A. M. [1] Computer implementation of decoders for several BCH
codes, Proc. Symp. on Computer Processing in Communications (Polyteclv
nic Inst. of Brooklyn, New York, 1969), pp. 401 —413, Polytechnic Press,
Brooklyn, N. Y., 1969.
MIGNOSI G. A] Risoluzione apiristica della equazione generale cubica in un
corpo numerico finito, Rend. Circ. Mat. Palermo 53, 411—427 A929).
|2] Sulla risoluzione apiristica delle equazioni algebriche in un corpo numerico
finito, Rend. Accad. Sci. Fis. Mat. Napoli C) 35, 218—233 A930).
C] Eliminazione nei sistemi di equazioni algebriche in un corpo finito, Scritti
matematici offerti a Luigi Berzolari, pp. 249—260, Istituto matematico
della Universita, Pavia, 1936.
[4] Risoluzione apiristica dei sitemi di equazioni algebriche nei corpi fittiti,
Atti Accad. Nar. Lincei Rend. Cl. Sci. Fis. Mat. Natur. (8) 2, 250—257
A947),
[5] Estensjone ai corpi finiti di una formula di Rados, Atti Accad. Naz. Lin-
Lincei Rend. Cl. Sci. Fis. Mat. Natur. (8) 7, 216—219 A949).
[6] Ancora sopra una estensione ai corpi finiti di una formula di Rados, Atti
Accad. Naz. Lincei Rend. Cl. Sci. Fis. Mat. Natur. (8) 7, 284—289 A949).
[7] Sulla enumerazione delle radici della piu generale equazione algebrica ш
un corpo finito, Convegno Reticoli e Geometrie Proiettive (Palermo—Mes-
(Palermo—Messina, 1957), pp. 99—108, Edizioni Cremonese, Rome, 1958.
Литература 755
MIGNOTTE M. [1] Suites recurrentes lineaires, Sem. Delange—Pisot—Poitou
1973/74, Theorie des Nombres, Exp. G14, Secretariat Math., Paris, 1975.
[2] Un algorithme sur la decomposition des polynomes dans un corps fini, C. R.
Acad. Sci. Paris Ser. A 280, 137—139 A975).
[3] Factorization des polyndmes sur un corps fini, Asterisque, no. 38—39,
pp. 149—157, Soc. Math. France, Paris, 1976.
[4] Algorithmes relatifs a la decomposition des polynomes, Theoret. Comput.
Sci. 1, 227—235 A976).
[5] Calcul des racines d-iemes dans un corps fini, С R. Acad. Sci. Paris Ser.
A 290, 205-206 A980).
MILLER J. C. P. [1] On factorisation, with a suggested new approach, Math.
Сотр. 29, 155—172 A975).
MILLER J. С P., BROWN D. J. S. [1] An algorithm for evaluation of re-
remote terms in a linear recurrence sequence, Comput. J. 9, 188—190 A966).
MILLER R. L. [1] Necklaces, symmetries and self-reciprocal polynomials.
Discrete Math. 22, 25—33 A978).
MILLER R. L., REED I. S., TRUONG Т. К. [1] A theorem for computing
primitive elements in the field of complex integers of a characteristic Mer-
senne prime, IEEE Trans. Acoust. Speech Signal Process. 29, 119—120 A981).
MILLS W. H. [i] Polynomials with minimal value sets, Pacific J. Math. 14,
225-241 A964).
[2] Bounded consecutive residues and related problems, Proc. Symp. Pure
Math., vol. 8, pp. 170—174, American Math. Society, Providence, R. I.,
1965.
[3] The degree of factors of certain polynomials over finite fields, Proc. Amer.
Math. Soc. 25, 860—863 A970).
f4] Continued fractions and linear recurrences, Math. Сотр. 29, 173—180 A975).
MILLS W. H., ZIERLER N. [1] On a conjecture of Golomb, Pacific J. Math.
28, 635—640 A969).
MILNE J. S. [1] Etale Cohomology, Princeton Univ. Press, Princeton, N. J.,
1980. [Имеется перевод: МИЛН ДЖ. Эгальные когомологии. — М.: Мир,
1983.]
[2] Some estimates from etale cohomology, J. reine angew. Math. 328, 208—
220 A981).
MILNE-THOMSON L. M. [1] The Calculus of Finite Differences, Macmillan,
London, 1933.
M1N S. H. [1] On a system of congruences, J. London Math. Soc. 22, 47—
53 A947).
12] On systems of algebraic equations and certain multiple exponential sums,
Quart. J. Math. 18, 133—142 A947).
MIRIMANOFF D. [1] Sur les congruences du troisieme degre, L'Enseignement
Math. 9, 381—384 A907).
MIRIMANOFF D., HENSEL K- [1] Sur la relation ^—\ = (-lf~h et la
loi de reciprocite, J. reine angew. Math. 129, 86—87 A905).
MITCHELL H. H. [1] On the generalized Jacobi—Kummer cyclotomic fun-
function, Trans. Amer. Math. Soc. 17, 165—177 A916).
[2] On the congruence cx^ + 1 = drf* in a Galois field, Ann. of Math. B) 18,
120—131 A917).
MITCHELL О. Н. [1] Some theorems in numbers, Amer. J. Math. 4, 25—38
A881).
MOENCK R. T. [i] On the efficiency of algorithms for polynomial factoring,
Math. Сотр. 31, 235—250 A977).
MOHANTY N. C. [i] Binary and ternary signals with small cross correlations,
Inform. Sci. 13, 35—50 A977).
MOHRMANN К. Н. [1] Erzeugung von binaren Quasi-Zufallsfolgen hoher
Taktfrequenz durch Multiplexen, Siemens Research and Development Re-
21*
756 Литература
ports 3, по, 4, 218—224 A974).
[2] Realisierung von Scramblern fur PCM-Signale hoher Taktfrequenz, Sie-
Siemens Research and Development Reports 6, no. I, 1—5 A977).
MO1SIL G. C. [1J L'emploi des imaginaires de Galois dans la fheorie des rneca-
nismes autornatiques, I—V, VII—IX (Romanian. French summary),Com. Acad
R. P. Romfne 4, 581—585, 587—589A954); ibid. 5, 959—963 A955); ibid
6, 505—508, 509—513, 621—623, 625—626, 1055—1058 A956).
[2] Synthese des schemas a relais ideaux, a l'aide des corps d'irnaginaires de
Galois (Romanian. French summary), Acad. R, P. Rornine. Bui. Sti. Sect
Sti, Mat. Fiz. 8, 429—453 A956).
[3] Sur la theorie algebrique de certains circuits electriques, J. Math. Pures
App!. (9K6, 313—324 A957).
[4J The Algebraic Theory of Switching Circuits, Pergamon Press, Oxford, 1969.
MOISIL G. C, POPOVICI С P. [1] Analyse et synthese des schemas a com-
mande directe, a l'aide des imaginaires de Galois (Romanian. French sum-
summary), Acad. R. P. Romine. Bui. Sti. Sect. Sti: Mat. Fiz. 8, 455—467
A956).
MONNIG P. [1J Ein Beitrag zur Darstellung endlicher Korper, Math.-Phys.
Semesterber. 17, 46—56 A970).
MONSKY P. [1] p-adic Analysis and Zeta Functions, Lectures in Math., Dept.
of Math., Kyoto Univ., 1970,
MONTEL P. [1] Lecons sur Ies recurrences et leurs applications, Gauthier-
Villars, Paris, 1957.
MONTGOMERY H. L. flJ Topics in Multiplicative Number Theory, Lecture
Notes in Math., vol. 227, Springer-Verlag, Berlin—Heidelberg—New York,
1971. [Имеется перевод: МОНТГОМЕРИ Г. Мультипликативная теория
чисел. — М.: Мир, 1974,]
[2J Distribution questions concerning a character sum, Topics in Number Theory
(Debrecen, 1974), Colloq. Math. Soc. Jaiios Bolyai, vol. 13, pp. 195—203,
North-Holland, Amsterdam, 1976.
MONTGOMERY H. L., VAUGHAN R. С [1] Exponential sums with multi-
multiplicative coefficients, Invent. Math., 43, 69—82 A977).
MOORE E. H. [1] A doubly-infinite system of simple groups, Bull. New York
Math. Soc. 3, 73—78 A893).
[2] A doubly-infinite system of simple groups, Math. Papers read at the Cong-
Congress of Mathematics (Chicago, 1893), pp. 208—242, Chicago, 1896.
[3J A two-fold generalization of Fermat's theorem, Bull. Arner. Math. Soc. 2,
189—199 A896).
[4] The Subgroups of the Generalized Finite Modular Group, Decennial Publi-
Publications, Chicago, 1903.
MORDELL L. J. [1] On a simple summation of the series ^"~у
Messenger of Math. 48, 54—56 A918).
[2] Three Lectures on Fermat's Last Theorem, Cambridge Univ. Press, Camb-
Cambridge, 1921.
[3] On the reciprocity formula for the Gauss's sums in the quadratic field,
Proc, London Math. Soc. B) 20, 289—296 A922).
[4] On a sum analogous to a Gauss's sum, Quart. J. Math. 3, 161—167 A932).
[5] The number of solutions of some congruences in two variables, Math. Z.
37, 193—209 A933).
[6] Thoughts, on number theory, J. London Math. Soc. 21, 58—74 A946).
f7J Note on the linear summetric congruence in n variables, Canad. J. Math.
5, 433—438 A953).
[8] Note on simultaneous quadratic congruences, Math. Scand. 5, 21—20
A957),
[9] On the number of solutions in incomplete residue sets of quadratic congruen-
congruences, Arch, Math, 8. 153—157 A957),
Литература 757
[Ю] On Lehmer's congruence associated with cubes of Kloosterman's sums,
J, London Math. Soc. 36, 335—339 A961).
[11] On a cubic congruence in three variables, Acta Arith. 8, 1—9 A962).
[121 The sign of the Gaussian sum, Illinois J. Math. 6, 177—180 A982).
[13] On a cyclotomic resolvent, Arch. Math. 13, 486—487 A962).
[14] On a special polynomial congruence and exponential sums, Calcutta Math.
Soc. Golden Jubilee Commemoration Volume, Part I, pp. 29—32, Cal-
Calcutta Math. Soc., Calcutta, 1963.
[15] On a cubic exponential sum in three variables, Amer. J. Math. 85, 49—
52 A963).
116] A congruence problem of E. G, Straus, J. London Math. Soc. 38, 108—
110 A963).
[17] On a cubic congruence in three variables (III), J. London Math. Soc.
38, 351—355 A963).
[18] On a cubic exponential sum in two variables, J. London Math. Soc. 38,
356—358 A963).
119] On the least residue and non-residue of a polynomial, J. London Math.
Soc. 38, 451—453 A963).
B0] On a cubic congruence in three variables. II, Proc. Amer. Math. Soc.
14, 609—614 A963).
[21 ] On the congruence ar* + by 8 + сг1 + dxyz = n (mod p), Duke Math. J.
31, 123—126-A964).
|22] Incomplete exponential sums and incomplete residue systems for congruences,
Czechoslovak Math. J. 14, 235—242 A964).
[23] Diophantine Equations, Academic Press, London, 1969.
B4] Some exponential sums in several variables, Monatsh. Math. 73, 348—353
A969).
[25] Cubic polynomials with the same residues mod p, Proc. London Math.
Soc. CJ1, 129—144 A970).
[26] On some exponential sums related to Kloosterman sums, Acta Arith. 21,
65-69 A972).
[27] A finite evaluation of a special exponential sum, Proc. Cambridge Philos.
Soc. 71, 75—78 A972).
[28] On rational functions representing all residues mod p, J. London Math.
Soc. B) 5, 166—168 A972).
[29] Rational functions representing all residues mod p. II, Proc. Amer. Math.
Soc. 35, 411—412 A972).
[30] On Salie's sum, Glasgow Math. J. 14, 25—26 A973).
[31 ] Some exponential sums, Труды международной конференции по теории
чисел (Москва 1971), Труды Матем. иист. им. Стеклова, 132, 30—34
A973).
MORENO С. J. [1] Sur le probleme de Kummer, L'Enseignement Math.
B) 20, 45—51 A974).
MORENO О. [i] Counting traces of powers over GF Bm), Cong. Numer. 29,
673—679 A980).
f2] On primitive elements of trace equal to 1 in GF Bm), Discrete Math. 41,
53—56 A982).
MORLAYE B. [1] Equations diagonales non homogenes sur un corps fini, С R.
Acad. Sci. Paris Ser. A 272, 1545—1548 A971).
12] Demonstration elementaire d'un theoreme de Davenport et Hasse, L'En-
L'Enseignement Math. B) 18, 269—276 A972).
MORTIMER B. C, WILLIAMS K. S. [1] Note on a paper of S. Uchiyama,
Canad. Math. Bull. 17, 289—293 A974).
MORTON P. [1J On the eigenvectors of Schur's matrix, J. Number Theory 12,
122—127 A980).
MOSES J. [1] Algebraic structures and their algorithms, Algorithms and Comp-
Complexity (J. F. Traub, ed.), pp. 301—319, Academic Press, New York, 1976.
758 Литература
MOSSIGE S. [1] Table of irreducible polynomials over GF B) of degrees 10,
through 20, Math. Сотр. 26, 1007—1009 A972).
MOUSOURIS N,, PORTER A. D. A] The symmetric matrix equation A','( ...
... X\AXX ... Xn =. B, Atti Accad. Naz, Lincei Rend. Cl. Sci. Fis. Mat
Natur. (8N2, 126—130 A977).
[2] The Hermitian matrix equation U*...UfAUl...Un — B, Rend. Mat.
F) 11, 387—392 A978).
MULLEN G. L. [1] Equivalence classes of functions over a finite field, Acta
Arith. 29, 353—358 A976).
[2] Permutation polynomials in several variables over finite fields, Acta
Arith. 31, 107—111 A976).
[3] Equivalence classes of polynomials over finite fields, Acta Arith. 31, 113
123 A976).
[4] Equivalence classes of matrices over finite fields, Linear Algebra Appl. 27»
61—68 A979).
[5J Weak equivalence of functions over a finite field, Acta Arith. 35, 259—
272 A979).
[6] Equivalence classes of matrices over a finite field, Internet. J. Math.
and. Math. Sci. 2, 487—491 A979).
G] Local permutation polynomials over Zv, Fibonacci Quart. 18, 104—108
A980).
[8] Local permutation polynomials in three variables over Zp, Fibonacci Quart.
18, 208—214 A980).
[9] Equivalence classes of sets of functions over a finite field, Acta Arith.
36, 323—329 A980).
[10] Local permutation polynomials over a finite field, Norske Vid. Selsk.
Skrifter 1981, no. 1, 1—4.
[11] Permutation matrices and matrix equivalence over a finite field, Internal.
J. Math, and Math. Sci. 4, 503—512 A981).
[12] Matrix equivalence over finite fields, Acta Arith. 41, 133—139A982).
[13] Polynomials over finite fields which commute with linear permutations,
Proc. Amer. Math. Soc. 84, 315—317 A982).
MULLER D. E. [1] Application of Boolean algebra to switching circuit design
and error detection, IRE Trans. Electron. Сотр. ЕС-3, 6—12 A954).
MULLER W. B. [1] Uber eine Klasse von durch Dickson-Polynome dargi1-
stellten Gruppen, Rings, Modules and Radicals (Keszthely, 1971), Colloq.
Math. Soc. Janos Bolyai, vol. 6, pp. 361—376, North-Holland, Amster-
Amsterdam, 1973.
MURAKAMI H., REED I. S, [1] Recursive realization of finite filters usiiu>
finite field arithmetic, IEEE Trans. Information Theory IT-23, 232—?-12
A977).
MUSKAT J. B. [1] On certain prime power congruences, Abh. Math. Se;:i.
Univ. Hamburg 26, 102—110 A963).
[2] On the solvability of x' = e (mod p), Pacific J. Math. 14, 257—?64
A964).
[3] Criteria for solvability of certain congruences, Canad. J. Math. 16, 343 —
352 A964).
[4] The cyclotomic numbers of order fourteen, Acta Arith. 11, 263—279A966).
[5] Reciprocity and Jacob! sums, Pacific J. Math. 20, 275—280 A967).
[6] On Jacobi sums of certain composite orders, Trans, Amer, Math. Soc. 134,
483—502 A968). J
[7] Use of computers in cyclotomy, Computers in Number Theory (A. O. L.
Atkfn and B. J. Birch, eds.), pp. 141—147, Academic Press, London, 1971.
MUSKAT J. В., STREET A. P. [1] Sum-free cyclotomic classes in finite
fields, Proc. Third Manitoba Conf. Numerical Moth. (Winnipeg, Man.,
1973), pp. 399—406, Utilitas Math,, Winnipeg, Man., 1974.
Литература 759
MUSKAT J. В., WHITEMAN A. L. [1] The cyclotomic numbers of order twen-
twenty, Ada Arith. 17, 185—216 A970).
MUSKAT J. В., ZEE Y.-C. [1] Sign ambiguities of Jacobi sums, Duke Math
J. 40, 313—334 A973).
MUSSER D. R. [1] Multivariate polynomial factorization, J. Assoc. Comput,
Mach. 22, 291—308 A975).
MYERSON G. [1] On the number of zeros of diagonal cubic forms, J. Number
Theory 11, 95—99 A979).
[2] A combinatorial problem in finite fields. I, Pacific J. Math. 82, 179—
187 A979).
[3] A combinatorial problem in finite fields. II, Quart. J. Math. B) 31, 219—
231 A980).
[4] The distribution of rational points on varieties defined over a finite field,
Mathematika 28, 153—159 A981).
[5] Period polynomials and Gauss sums for finite fields, Acta Arith. 39, 251 —
264 A981).
MYKKELTVEIT J. [1] Nonlinear recurrences and arithmetic codes, Information
and Control 33, 193—209 A977).
NADLER M., SENGUPTA A. [1] Shift-register code for indexing applications,
Comm. Assoc. Comput. Mach. 2, no. 10, 40—43 A959).
NAGAHARA Т., TOMINAGA H. [1] Elementary proofs of a theorem of Wed-
derburn and a theorem of Jacobson, Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg
41, 72—74 A974).
NAGATA M. [1] On the number of solutions of *| + x\ + ... + x\ ¦= a in a
finite field (Japanese), Sflgaku 14, 98—99 A969/63).
[2] Field Theory, Dekker, New York, 1977.
NAGELL T. [1] On the solvability of some congruences, Norske Vid. Selsk.
Forh. (Trondheim) 27, 1—5 A954).
NARKIEWICZ W. [1] Elementary and Analytic Theory of Algebraic Numbers,
Monografie Mat., vol. 57, PWN, Warsaw, 1974.
[2] Uniform distribution of sequences of integers, Journees Arithmetiques 1980
(J. V. Armitage, ed.), London Math. Soc. Lecture Note Series, no. 56,
pp. 202—210, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1982.
NASHIER B. S., RAJWADE A. R. [1] Determination of a unique solution
of the quadratic partition for primes p = 1 (mod 7), Pacific J. Math. 72
513—521 A977).
NATHANSON M. B. [1 ] Derivatives of binary sequences, SIAM J. Appl.
Math. 21, 407—412 A971).
[2] Integrals of binary sequences, SIAM J. Appl. Math. 23, 84—86 A972)
[3] Shift dynamical systems over finite fields, Proc. Amer. Math. Soc. 34, 591 —
594 A972).
[4] Linear recurrences and uniform distribution, Proc. Amer. Math. Soc. 48.
289—291 A975).
[5] Difference operators and periodic sequences over finite modules, Acta Math
Acad. Sci. Hungar. 28, 219—224 A976).
NEIKIRK L. I. [1] A geometric representation of the Galois field, Bull. Amer
Math. Soc. 14, 323—325 A908).
NEUMANN H. [1] On some finite non-desarguesian planes, Arch. Math, в»
36—40 A954).
NEUMANN O. [1] Uber die Kongruenz ax* + 1 = сгг (mod. p), Monatsber
Deutsch. Akad. Wiss. Berlin 11, 699—703 A969).
NEWMAN M. [1] Integral Matrices, Academic Press, New York, 1972.
NICHOLSON P. J. [1] Algebraic theory of finite Fourier transforms, J. Com~
puter and Syst. Sci. 5, 524—547 A971). .
NIEDERREITER H. [1 ] Permutation polynomials in several variables over
finite fields, Proc. Japan Acad. 46, 1001—1005 A970).
760 Литература
f2] Orthogonal systems of polynomials in finite fields, Proc. Amer. Math. Soc
28, 415—422 A971).
PJ Permutation polynomials in several variables, Acta Sci. Math. Szeged 33
53—58 A972).
|4J Distribution of Fibonacci numbers mod 5*, Fibonacci Quart. 10, 373—374
A972).
[5j Some new exponential sums with applications to pseudo-random numbers,
Topics in Number Theory (Debrecen, 1974), Colloquia Math, Soc. Janos
Bolyai, vol. 13, pp. 209—232, North-Holland, Amsterdam, 1976.
|6J On the cycle structure of linear recurring sequences, Math. Scand, 38, 53—
77 A976).
|7j On the distribution of pseudo-random numbers generated by the linear
congruential method. Ill, Math. Сотр. 30, 571—597 A976).
|8] Weights of cyclic codes, Information and Control 34, 130—140 A977).
[9] Statistical tests for linear congruential pseudo-random numbers, COMPSTAT
1978: Proceedings in Computational Statistics (Leiden, 1978), pp. 398—
404, Physica-Verlag, Vienna, 1978.
[10] Quasi-Monte Carlo methods and pseudo-random numbers, Bull. Amer.
Math..Soc, 84, 957—1041 A978).
[II] Verteilung von Resten rekursiver Folgen, Arch. Math. 34, 526—533 A980).
[12] Statistical independence properties of Tausworthe pseudo-random numbers,
Proc. Third Caribbean Conf. on Combinatorics and Computing (Cave Hill,
Barbados, 1981), pp. 163—168, Univ. of the West Indies, Cave Hill, Bar-
Barbados, 1981,
[13] Statistical tests for Tausworthe pseudo-random numbers, Probability and
Statistical Inference (W. Grossmann, G. С Pflug, and W. Wertz, eds.),
pp. 265—274, Reidel, Dordrecht, 1982.
[14] Richard Dedekind and the development of the theory of finite fields, Abh,
Braunschweig, Wissenschaftl. Gesellschaft 33, 183—187 A982).
NIEDERREITER H., LO S. К. [П Permutation polynomials over rings of
algebraic integers, Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg 49, 126—139 A979).
NIEDERREITER H,, ROBINSON К- Н. [1] Bol loops of order pq, Math. >
Proc. Cambridge Philos. Soc. 89, 241—256 A981).
[2] Complete mappings of finite fields, J. Austral. Math. Soc. Ser. A 33, 197—
212 A982).
NIEDERREITER H., SHIUE J.-S. [1] Equidistribution of linear recurring
sequences in finite fields, Indag. Math. 80, 397—405 A977).
[2] Equidistribution of linear recurring sequences in finite fields. II, Acta Arittt.
38, 197—207 A980).
NIVEN I. [1] Fermat's theorem for matrices, Duke Math. J. 15, 823—826
A948).
[2] Uniform distribution of sequences of integers, Trans. Amer, Math. Soc.
98, 52—61 A961).
NIVEN I., WARREN L. J. [1] A generalization of Fermat's theorem, Proc.
Amer. Math. Soc. 8, 306—313 A957).
NOBAUER W. [1] fiber Gruppen von Restklassen nach Restpolynomidealen,
Sitzungsber, Osterr. Akad. Wiss. Abt. II 162, 207—233 A953).
[2] Uber eine Gruppe der Zahlentheorie, Monatsh. Math. 58, 181 — 192 A954).
[3] Gruppen von Restklassen nach Restpolynomidealen in mehreren Unbestim-
mten,-Monatsh. Math. 59, 118-145 A955).
[4] Gruppen von Restpolynomidealrestklassen nach Primzahlpotenzen, Mo-
Monatsh. Math. 59, 194—202 A955).
[5] Bemerkungen uber die Darsfellung von Abbildungen durch Polynome uno
rationale Funktionen, Monatsh. Math. 68, 138—142 A964).
[6] Zur Theorie der Polynomtransformationen und Permutationspolynome, Маш,
Ann. 157, 332-342 A964),
Литература 761
[7] Uber die Vollideale und Permutationspolynome eines Galoisfeldes, Acta
Math. Acad. Sci. Hungar. 16, 37—42 A965).
(8) Uber Permutationspolynome und Permutationsfunktionen fur Primzahlpo-
tenzen, Monatsh. Math. 69, 230—238 A965).
[9] Polynome, welche fur gegebene Zahlen Permutationspolynome sind, Acta
Arith. 11, 437—442 A966).
[10] Uber eine JOasse von Permutationspolynomen und die dadurch dargestellten
Gruppen. J. reine angew. Math. 231, 215—219 A968).
fill Darstellungen von Permutationen durch Polynome und rationale Funktio-
nen, Ber. Math. Forschungsinst. Oberwolfach, vol. 5, pp. 89—100, Biblio-
graphisches Institut, Mannheim, 1971.
112) Uber Gruppen von Dickson-Polynomfunktionen und einige damit zusammen-
hangende zahlentheoretische Fragen, Monatsh. Math. 77, 330—344 A973).
NOMURA Т., FUKUDA A. [1] Linear recurring planes and two-dimensional
cyclic codes, Electron. Commun. Japan 54, no. 3, 23—30 A971).
NOMURA Т., MIYAKAWA H., IMAI H., FUKUDA A. [1] A method of con-
construction and some properties of planes having maximum area matrix,
Electron. Commun. Japan 54, no. 5, 18—25 A971).
B] Some properties of the vP-plane and its extension to three-dimensional space,
Electron, Commun. Japan 54, no. 8, 27—34 A971).
C] A theory of two-dimensional linear recurring arrays, IEEE Trans. Infor-
Information Theory IT-18, 775—785 A972).
NORDON D. [1] Zeros non singuliers des formes quadratiques, С R. Acad.
Sci. Paris. Ser. A 277, 295—297 A973).
[2] Zeros communs non singuliers de deux formes quadratiques, Sem. Theorie
des Nombres 1972—1973, Exp. 9, Univ. Bordeaux I, Talence, 1973.
[3] Zeros communs non singuliers de deux formes quadratiques, Acta Arith.
30, 109—119 A976).
NOJRLUND N. E. [1] Vorlesungen uber Differenzenrechnung, Springer, Berlin,
1924.
NORTON К. К. [1] Upper bounds for kth power coset representatives modulo n,
Acta Arith. 15, 161—179 A969).
|2] On the distribution of ftth power residues and non-residues modulo n, J.
Number Theory 1, 398—418 A969).
C] Numbers with small prime factors, and the least kth power non-residue,
Memoirs Amer. Math. Soc., no. 106, American Math. Society, Providence,
R. I., 1971.
14] On the distribution of power residues and non-residues, J. reine angew.
Math. 254, 188—203 A972).
[5] On character sums and power residues, Trans. Amer. Math. Soc. 167, 203—
226 A972); Erratum, ibid. 174, 507 A972).
16] Bounds for sequences of consecutive power residues. I, Proc. Symp. Pure
Math., vol. 24, pp. 213—220, American Math. Society, Providence, R. 1,,
1973.
NUSSBAUMER H. J. [1] Fast Fourier Transform and Convolution Algorithms,
Springer-Verlag, Berlin—Heidelberg—New York, 1981. [Имеется перевод:
НУССБАУМЕР Г. Быстрое преобразование Фурье и алгоритмы вычисле-
вычисления свертки.—М.: Радио и связь, 1985.]
NYMANN J. E. [1] Groups and fields in Zn, Elemente der Math. 30, 82—84
A975).
O'CONNOR R. E. [1] Quadratic and linear congruence, Bull. Amer. Math.
Soc. 45, 792—798 A939).
O'CONNOR R. E., PALL G. [1] The quaternion congruence lat = 6(modg),
Amer. J. Math. 61, 487—508 A939).
ODLYZKO A. M., STANLEY R. P. [1] Enumeration of power sums modulo
a prime, J. Number Theory 10, 263—272 A978).
762 Литература
ODONI R. W. К. [I] The statistics of Weil's trigonometric sums, Proc. Carr..
bridge Philos. Soc, 74, 467—471 A973).
OLSON L. D. A] Hasse invariants and anomalous primes for elliptic curvf.>'
with complex multiplication, J. Number Theory 8, 397—414 A976), '
OLTRAMARE G. [1] Considerations generales sur les racines des nombres pre
miers, J. reine angew. Math. 45, 303—344 A853).
ONO T. [1] Gauss transforms and zeta-functions, Ann. of Math. B) 91, 332—.
361 A970).
[2] A remark on Gaussian sums and algebraic groups, J. Math. Kyoto Unh
13, 139—142 A973).
[3] On certain numerical invariants of mappings over finite fields. I, Prc
Japan Acad. Ser. A 56, 342—347 A980).
D] On certain numerical invariants of mappings over finite fields. II, Proc
Japan Acad. Ser. A 56, 397—400 A980).
E] On certain numerical invariants of mappings over finite fields. Ill, Proc
Japan Acad. Ser. A 56, 441—444 A980).
[6] On certain numerical invariants of mappings over finite fields. IV, Proc
Japan Acad. Ser. A 57, 66—71 A981).
[7] On certain numerical invariants of mappings over finite fields. V, Proc,
Japan Acad. Ser. A 57, 121—125 A981).
[8] On a generalization of Jacobi sums, J. Fac. Sci. Univ. Tokyo Sect. IA 28
823—828 A981).
ORE 6. [1] Uber hohere Kongruenzen, Norsk Mat. Forenings Skrifter Ser. !
1922, no. 7.
[2] Uber die Reduzibilitat von algebraischen Gleichungen, Skrifter Norsk*
Vid. Akad. Oslo 1923, no. 1.
[3] Note sur une identite dans la theorie des congruences superieures, Rer.n
Circ. Mat. Palermo 48, 37—40 A924).
D] Theory of non-commutative polynomials, Ann. of Math. B) 34, 480—-У
A933).
[5] On a special class of polynomials, Trans. Amer. Math. Soc. 35, 559—5?!
A933); Errata, ibid. 36, 275 A934).
[6] Contributions to the theory of Unite fields, Trans. Amer. Math. Soc. 3f
243—274 A934).
[7] Some studies on cyclic determinants, Duke Math. J. 18, 343—354 A9Б1
OSBORN R, [1] Tables of Primitive Roots of Odd Primes Less than 10"*
Univ. of Texas Press, Austin, Tex., 1961.
PALEY R. E. A. C. A] A theorem on characters, J. London. Math. Soc, 7
28-32 A932).
[2] Theorems on polynomials in a Galois field, Quart. J. Math. 4, 52—'3-'
A933).
[3] On orthogonal matrices, J. Math. Phys. 12, 311—320 A933).
PARKER E. T. [1] Orthogonal Latin squares, Proc. Nat. Acad. Sci. U. S. Л
45, 859—862 A959).
[2] Construction of some sets of mutually orthogonal Latin squares, Proc. Am
Math. Soc. 10, 946—949 A959).
PARNAMI J. C, AGRAWAL M. K., RAJWADE A. R. [1] On the 4-рол<
stufe of a field, Rend. Circ. Mat. Palermo B) 30, 245—254 A981).
[2] A congruence relation between the coefficients of the Jacobi sum, Indian ¦'
Pure Appl. Math. 12, 804—806 A981).
[3] Jacobi sums and cyclotomic numbers for a finite field, Acta Arith. 41, I
13 A982).
PARSON L. A. [1] Generalized Kloosterman sums and the Fourier coefficient
of cusp forms, Trans. Amer. Math. Soc. 217, 329—350 A976).
PATTERSON N. J. [1] The algebraic decoding of Goppa codes, IEEE Trans-
Information Theory IT-21, 203—207 A975).
Литература 763
PATTERSON S. J. [1] A cubic analogue of the thcta series. I, II, J. reine
angew. Math. 296, 125—161, 217—220 A977).
[2] On Dirichlet series associated with cubic Gauss sums, J. reine angew
Math. 303/304, 102—125 A978).
[3] On the distribution of Rummer sums, J. reine angew. Math. 303/304,
126—143 A978).
14] The distribution of general Gauss sums at prime arguments, Recent Prog-
Progress in Analytic Number Theory (H. Halberstam and C. Hooley, eds.).
vol. 2, pp. 171 — 182, Academic Press, London, 1981.
PAYNE S. E. [1] Linear transformations of a finite field, Amer. Math. Mon-
Monthly 78, 659—660 A971),
PEARSON E. H., VANDIVER H. S. [1] On a new problem concerning tri
nomial congruences involving rational integers, Proc, Nat. Acad. Sci. U.S. A
39, 1278-1285 A953).
PELE R. L. [1J Some remarks on the vector subspaces of cyclic Galois extensions,
Acta Math. Acad, Sci. Hungar, 20, 237—240 A969).
PELLEGRINO G. fl] Sui campi di Galois, di ordine dispari, che ammettoro
terne di elementi quadrati (non quadrat!) consecutivi, Boll. Un. Mat. Ita!
E) 17B, 1482—1495 A930).
12] Sulle sostituzioni lineari, sui campi finiti di ordine dispari, che conservanc
oppure scambiano il carattere quadratico degli elementi transformati, Boll.
Un. Mat. Ital. F) IB, 211—223 A982).
PELLET A.-E. [1] Sur les fonctions irreductihles suivant un module premier
et une fonction modulaire, C. R. Acad. Sci. Paris. 70, 328—330 A870).
|2j Sur la decomposition d'une fonction entiers en facteurs irreductibles suivant
un module premier, С R. Acad. Sci. Paris 86, 1071—1072 A878).
[3J Resolution d'une classe de congruences, C. R. Acad. Sci. Paris 88, 417—¦
418 A879).
|4) Sur une classe d'equations dont toutes les ratines peuvent s'exprimer li-
neairement en fonction de l'une d'elles, Bull. Sci. Math. B) 4, 262—265
A880).
15] Sur les fonctions irreductibles suivant un module premier, C. R. Acad.
Sci. Paris 90, 1339—1341 A880).
16] Methode nouvelle pour diviser le cercle en parties egales, C. R. Acad. Sci.
Paris 93, 838—840 A881).
G) Sur les fonctions irreductibles suivant un module premier, C. R. Acad.
Sci. Paris 93, 1065—1066 A881).
18] Memoire sur la theorie algebrique des equations, Bull, Soc. Math. France
15, 61—103 A887).
19] Sur les fonctions reduites suivant un module premier, Bull. Soc. Math.
France 17, 156—167 A889).
PEPIN T. [1] Sur diverses tentatives de demonstration du theoreme de Fermat,
C. R, Acad. Sci. Paris 91, 366—368 A880).
pERKINS J. С [1] Rank r solutions to the matrix equation XXT = 0 over г
field of characteristic two, Math, Nachr, 48, 69—76 A971).
12] Gauss sums and the matrix equation XXT = 0over fields of characteristi'c
two, Acta Arith. 19, 205—214 A971),
1 tRKINS J. C, FULTON J. D. [1] Symmetric * involutions over fields of
characteristic 2, Duke Math. J. 38, 697—702 A971).
Ffc-RLIS S. [1] Normal bases of cyclic fields of prime-power degree, Duke Math.
J. 9, 507-517 A942).
Ft-RRIN R. [1] Sur la resolution des equations numeriques au moyen des sui-
DD tes recurrentes, С R. Acad. Sci. Paris 119, 990—993 A894).
FtRRON O. flj Bemerkungen iiber die Verteilung der quadratischen Reste,
Math. 2. 56, 122-130 A952).
FtTERSON W W [1] Encoding and error-correction procedures for the Bose—
Chaudhuri codes, IRE Trans. Information Theory 1T-6, 459-470 A960).
764 Литература
[Имеется перевод: ПИТЕРСОН У. Кодирование и исправление ошибок
для кодов Боуза—Чоудхури. — В кн.: Кибернетический сборник, вып. 6 —
М.: Мир, 1963, с. 25—54. J
[2] Sorrie new results on finite fields and their application to the theory of
BCH codes, Proc. Conf. Combinatorial Math, and Its Appl. (Chapel ЙШ
N. C, 1967), pp. 329—334, Univ. of North Carolina Press, Chapel Hill'
N. C, 1969.
PETERSON W. W., BROWN D. T. fl ] Cyclic codes for error detection, Proc
IRE 49, 228—235 A961).
PETERSON W. W., WELDON E. J., Jr. [1] Error-Correcting Codes, 2nd, ed,,
M. I. T. Press, Cambridge, Mass., 1972. [Имеется перевод: ПИТЕРСОН У.,
УЭЛДОН Э. Коды, исправляющие ошибки. — М.: Мир, 1976.]
PETERSSON Н. [1] Uber die Entwicklungskoeffizienten der automorphen For-
- men, Acta Math. 58, 169-215 A932).
PETR K. [1] Uber die Reduzibilitat eines Polynoms mit ganzzahligen Koeffi-
zienten nach einem Primzahlmodul, Casopis Pest Mat. Fys. 66, 85—94
A937).
PETTERSON E. L. [1] Eine Bedingung fur die irreduziblen Faktoren von ge-
wissen Polynomen modulo eines Primzahlprodukts, Jber. Deutsch. Math.'
Verein. 45, 169—172 A935).
[2] Uber einen Satz von 6. Ore, J. reine angew. Math. 172, 217—218 A935).
[3] Uber die Irreduzibilitat ganzzahliger Polynome nach einern Primzahlmodul,
J. reine angew. Math. 175, 209—220 A936).
PETTOROSSI A. f 1 ] Derivation of an О (A2 log я) algorithm for computing order-*
Fibonacci numbers from the О (k3 log я) matrix multiplication method, In-
Inform. Process. Lett. 11, no. 4—5, 172—179A980).
PETTOROSSI A., BURSTALL R. M. [I] Denying very efficient algorithms for
evaluating linear recurrence relations using the program transformation
technique, Acta Informatica 18, 181-206A982).
PICKERT G. [1] Projektive Ebenen, 2nd ed., Springer-Verlag, Berlin—Heidel-
Berlin—Heidelberg—New York, 1975.
PIEPER H. [Ij Variationen fiber ein zahlentheoretisches Thema von Carl Frie-
drich Gauss, Birkhauser-Verlag, Basel, 1978.
PILZ G. [1] Near Rings: The Theory and Its Applications, North-Holland, Am-
Amsterdam, 1977.
PIUMA CM. [1] Intorno ad una congruenza di modulo primo, Ann. Mat. Рига
Appl. B) 11, 237—245 A883).
PIZZARELLO G, [1J Sui polinomi in я indeterminate sopra un campo finite,
Ricerca (Napoli) D) 28, no. 3, 3—7 A977).
PLESKEN W. [1] Counting with groups and rings, J. reine angew. Math. 334»
40—68 A982).
PLESS V. [1J Power moment identities on weight distributions in error correcting
codes, Information and Control 6, 147—152 A963).
[2] On the invariants of a vector subspace of a vector space over a field of cha-
characteristic two, Proc. Amer. Math. Soc. 16, 1062—1067 A965).
PLOTKIN M. [1] Binary codes with specified minimum distances, IRE Trans.
Information Theory IT-6, 445—450 A960). [Имеется перевод: ПЛОТКИН М.
Двоичные коды с заданным минимальным расстоянием. — В ки.: Кибер-
Кибернетический сборник, вып. 7. — М.: ИЛ, 1963, с. 60—73.]
POCKLINGTON H. С. [1] The direct solution of the quadratic and cubic bino-
binomial congruences with prime moduli, Proc. Cambridge Philos. Soc. !•«
57—59 A917).
[2] Quadratic and higher reciprocity of modular polynomials, Proc. Cambridge
Philos. Soc. 40, 212—214 A944).
POHLIG S. C, HELLMAN M. E. [1] An improved algorithm for computing lo-
logarithms over GF (p) and its cryptographic significance, IEEE Trans. In-
Литература 765
formation Theory IT-24, 106—110 A978).
FOLKINGHORN F., Jr. [1 ] Decoding of double and triple error correcting Bose—
Chaudhuri codes, IEEE Trans, Information Theory IT-12, 480—481 A966),
POLLARD J, M. [1] The fast Fourier transform in a finite field, Math. Сотр.
25, 365—374 A971). [Имеется перевод: ПОЛЛАРД ДЖ. М. Быстрое пре-
преобразование Фурье в конечном поле. — В кн.: Макклеллан Дж. X., Рей-
Рейдер Ч, М. Применение теории чисел в цифровой обработке сигналов, —
М.: Радио и связь, 1983, с. 147—155.]
[2J Implementation of number-theoretic transforms, Electron. Lett. 12, 378—
379 A976).
|3J Monte Carlo methods for index computation (mod p), Math. Comp, 32, 918—
924 A978).
PULYA G. [1] Uber die Verteilung der quadratischen Reste und Nichtreste,
Gottinger Nachr. 1918, 21—29.
POLYA G., SZEGO G. [1 ] Aufgaben und Lehrsatze aus der Analysis. II, Springer,
Berlin, 1925. [Имеется перевод: ПОЛИА Г., СЕГЕ Г. Задачи и теоремы
из анализа, ч. 2. —М.: Наука, 1978.)
POPOVICI С. Р. [1] Целочисленные полиномы, неприводимые по модулю р,
Rev. Math. Pures Appl. 4, 369—379 A959).
[2] Irreducible polinomials modulo p (Romanian), Acad. R. P. Romfne Fil.
Iasi Stud, Cere. Sti. Mat. 11, 13—23 A960).
PORTER A. D. [1] Systems of bilinear and quadratic equations in a finite field,
Ann. Mat. Рига Appl, DN8, 21—29 A965),
[2] Systems of one quadratic and two bilinear equations in a finite field, Publ,
Math. Debrecen 13, 117—121 A966).
[3] Pairs of bilinear and quadratic equations in a finite field, Monatsh. Math.
70, 155-160 A966).
[4] Special equations in a finite field, Math. Nachr. 32, 277—279 A966).
[5] Trilinear equations in a finite field, Attf Accad, Naz. Lincei Rend. CI. Sci.
Fis. Mat. Natur. (8L0, 361—365 A966).
[6] Pairs of bilinear equations in a finite field, Canad. J. Math. 18, 561—565
A966).
[7] Some systems of equations in a finite field, Math. Z. 100, 141—145 A967).
[8] Orthogonal similarity for skew matrices in GF (q), Atti. Accad. Naz. Lincei
Rend. Cl. Sci. Fis. Mat. Natur. (8) 42, 757—762 A967).
[9] Generalized quadratic forms in GF (g), Arch. Math. 19, 615—620 A968).
[10] The matric equation AXt ... Xa = B, Atti Accad. Naz. Lincei Rend. Cl.
Sci. Fis. Mat. Natur. (8) 44, 727—732 A968).
[D] Simultaneous equations in a finite field, Publ. Math.Debrecen 16,99—110A969).
fl2] Some partitions of a skew matrix, Ann. Mat. Рига Appl. D)82, 115—120
A969).
ИЗ] Orthogonal similarity in a finite field, Math. Nachr. 40, 327—331 A969).
f 141 Generalized bilinear forms in a finite field, Duke Math. J. 37, 55—60 A970).
[15] Systems of four equations with a matric application in a finite field, Por-
Portugal. Math. 31, 121—131 A972).
16] A matrix form of an exponential sum, Rend. Mat. FM, 803—818 A972).
117] An exponential sum in a finite field, Publ. Math. Debrecen 20, 53—62 A973).
118] The matric equation AtX^ + ... + AmXm = В in GF (q), J. Natur, Sci.
and»Math. 13, 115—124A973).
[19] Some partitions of a rectangular matrix, Atti Accad. Naz. Lincei Rend. Cl.
Sci. Fis. Mat. Natur. (8) 56, 667—671 A974).
120] Some partitions of a Hermitian matrix. Linear Algebra Appl. 12, 231—239
A975).
B1 ] Solvability of the matrix equation AX = B, Linear Algebra Appl. 13, 177—
184 A976).
[221 Some partitions of a symmetric matrix. Math. Nachr. 84, 179—183 A978).
766 Литература
PORTER A. D., ADAMS J. [1] Similarity and orthogonal similarity in a finite
field, Duke Math. J. 35, 519—524 A968).
PORTER A. D., HANSON L. A. [1] Unitary similarity of normal matrices in
GF (q), Math. Nachr. 49, 351—357 A971).
[2( Orthogonal similarity of normal matrices in GF (q), Duke Math. J. 38, 795—
803 A971).
PORTER A. D., MOUSOURIS N. [1 ] Ranked solutions of some matric equations,
Linear and Multilinear Algebra в, 145—151 A978).
[2] Ranked solutions of AXC = В and AX = B, Linear Algebra Appl. 24,
217—224 A979).
[3] Ranked solutions of the matric equation AtXt = АгХ,, Internet. J. Math,
and Math. Sci. 3, 293—304 A980).
14] Exponential sums and rectangular partitions, Linear Algebra Appl. 29, 347—
355 A980).
f5] Partitions of a symmetric matrix over a finite field, Linear and Multilinear
Algebra 10, 329—341 A981).
PORTER A. D., RIVELAND A. A. [1 ] A generalized skew equation over a finite
field, Math. Nachr. 69, 291—296 A975).
PRABHU K. A., BOSE N. K. [1] Number of irreducible q-sry polynomials in
several variables with prescribed degrees, IEEE Trans. Circuits and Systems
CAS-26, 973-975 A979).
PRADHAN D. K. [1] A theory of Galois switching functions, IEEE Trans. Com-
Computers C-27, 239—248 A978).
PRANGE E. [I] Cyclic error-correcting codes in two symbols, Tech. Note
AFCRC-TN-57-103, Air Force Cambridge Research Center, Bedford, Mass.,
1957.
B] Some cyclic error-correcting codes with simple decoding algorithms, Tech1.
Note AFCRC-TN-58-156, Air Force Cambridge Research Center, Bedford,
Mass., 1958.
PREPARATA F. P., SARWATE D. V. [1J Computational complexity of Fourier
^transforms over finite fields, Math. Сотр. 31, 740—751 A977).
PRESIC M. D. [1 ] A method for solving equations in finite fields, Mat. Vesnik 7,
507—509 A970).
RABER N. C, [1] A geometric approach to counting distribution of squares in
a finite field, Geom. Dedicata 4, 297—303 A975).
RABIN M. O. [1] Probabilistic algorithms in finite fields, SIAM J. Computing •,
273—280 A980).
RABUNG J. R., JORDAN J. H. [1] Consecutive power residues or nonresidues,
Math. Сотр. 24, 737—740 A970).
RADEMACHER H. [1] The Fourier coefficients of the modular invariant J (%),
Amer. J. Math. 60, 501—512 A938).
[2] Fourier expansions of modular forms and problems of partition, Bull. Amer.
Math. Soc. 46, 59—73 A940).
RADOS G. [1 ] Zur Theorie der Congruenzen h5heren Grades, J. reine angew. Math.
99, 258—260 A886).
[2] Sur une theorie des congruences a plusieurs variables, Ann. Sci. Ecole Norm.
Sup. C) 27, 217-231 A910).
[3] Sur la theorie des congruences de degre superieur, Ann. Sci. Ecole Norm
Sup. C) 30, 395—412 A913).
[4] Ein Satz fiber Kongruenzen hoheren Grades, Acta Lit. Scient. Univ. Hung. I.
1—5 A922).
IS] Sur une'identite remarquable de la theorie des congruences binomes, Rend.
Circ. Mat. Palermo 46, 308—314 A922).
RAGHAVARAO D. [1] Constructions and Combinatorial Problems in Design
of Experiments, Wiley, New York, 1971. .
RAJ WADE A. R. [1 ] Arithmetic on curves with complex multiplication by V ~~2'
Proe. Cambridge Philos. Soc. 64, 659—672 A968),
Литература 767
[2] Arithmetic on curves with complex multiplication by the Eisenstein inte-
integers, Proc, Cambridge Philos, Soc. 65, 59—73 A969).
[3] On rational primes p congruent to 1 (mod 3 or 5), Proc. Cambridge Philos.
Soc. вв, 61-70 A969).
14 J A note on the number of solutions Np of the congruence уг = x3 — Dx (mod p),
Proc. Cambridge Philos. Soc. 67, 603—606 A970).
|5J The number of solutions of the congruence y% = x* — a (mod p), Indian J.
Pure Appl. Math. 4, 325—332 A973).
F] On the congruence ф = хь — a (mod p), Proc. Cambridge Philos. Soc. 74,
473—475 A973).
[7] Certain classical congruences via elliptic curves, J. London Math. Soc. B) 8,
60—62 A974).
[8] Notes on the congruence u2 = хъ — a (mod p), L'Ensetgnement Math. B) 21,
49-56 A975).
[9] The Diophantine equation уг = x(x2-\-2\Dx-\- 112D2) and the conjec-
conjectures of Birch and Swinnerton-Dyer, J. Austral. Math. Soc. Ser. A 24, 286—
295 A977).
(AJWADE A. R., PARNAMI J. С [1 ] A new cubic character sum, Acta Arith.
40, 347—356 A982).
RAKTOE B. L. [1] Generalized combining of elements from finite fields, Ann.
Math. Statist. 41, 1763—1767 A970).
RALSTON T. [ 1 ] On the distribution of squares in a finite field, Geom. Dedicata 8,
207—212 A979).
RANKIN R. A. [1] Modular Forms and Functions, Cambridge Univ. Press, Cam-
Cambridge, 1977.
.<AO C. R. [1] Factorial experiments derivable from combinatorial arrangements
of arrays, J. Royal Statist. Soc. Suppl. 9, 128—139 A947).
RAO K- N. [1] A congruence equation in GF [pn, x] and some related arithme-
arithmetical identities, Duke Math. J. 33, 783—789 A966).
[2] Some applications of Carlite's T)-sum, Acta Arith. 12, 213—221 A967).
[3] Algebras of quadratic residues (mod P) in GF[pn, x], Boll. Un. Mat. Ital.
D) 1, 680-686 A968).
RAUSSNITZ G. [1] Math. Natur. Ber. Ungarn 1, 266—278 A882/83).
RAUTER H. [1] Studien zur Theorie des Galoisschen Korpers uber dem Korper
der rationalen Funktionen einer Unbestimmten / mit Koeffizienten aus einem
beliebigen endlichen Korper von pm° Elementen, J. reine angew. Math. 159,
117—132 A928); Bemerkungen, ibid. 159, 228A928).
[21 Hohere Kreiskorper, J. reine angew. Math. 159, 220—227 A928).
REDEI L. [1] Ober einige Mittelwertfragen im quadratischen Zahlenkorper,
J. reine angew. Math. 174, 15—55 A936).
[2] LJber einige merkwflrdige Polynome in endlichen Korpern mit zahlentheore-
tischen Beziehungen, Acta Sci. Math. Szeged II, 39—54 A946).
[3] Zur Theorie der Gleichungen in endlichen Korpern, Acta Sci. Math. Szeged 11,
63—70 A946).
[4] Uber eindeutig umkehrbare Polynome in endlichen Korpern, Acta Sci. Matta.
Szeged 11, 85—92 A946).
[5] Uber die Gleichungen dritten und vierten Grades in endlichen Korpern, Acta
Sci. Math. Szeged 11, 96—105 A946).
[6] Bemerkung zu meinen Arbeit «Uber die Gleichungen dritten und vierten
Grades in endlichen Korpern», Acta Sci. Math. Szeged 11, 184—190 A947).
[7] Zwei Lflckensatze flber Polynome in endlichen Primkorpern mit Anwendung
auf die endlichen Abelschen Gruppen und die Gaussischen Summen, Acta
Math. 7», 273—290 A947).
18] Kurzer Beweis eines Satzes von Vandiver uber endliche Korper, Publ. Math.
Debrecen 1, 99—100 A949).
768 Литература
[9J A short proof of a theorem of S. Schwarz concerning finite fields, Casopis
Pest. Mat. Fys. 75, 211—212 A950).
[10] Algebra, Geest & Portig, Leipzig, 1959; Pergamon Press, London, 1967.
[II I Likkenhafte Polynorae uber endlichen Korpern, Btrkhauser Verlag, Basel -
Stuttgart, 1970; Akademiai Kiado, Budapest, 1973.
REDEI L., SZELE T. [1] Algebraisch-zahlentheoretische Betrachtungen ubur
Ringe. I, Acta Math. 79, 291—320 A947).
[2] Algebraisch-zahlentheoretische Betrachtungen uber Ringe. II, Acta Math. 82,
209—241 A950).
REDEI L., TURAN P. [1J Zur Theorie der algebraischen Gleichungen uber en-
endlichen Korpern, Acta Arith. 5, 223—225 A959).
REDEI L., WEINERT H. J. [I] Ein Gleichverteilungssatz fiirSystemehomogener
Linearformen modulo p, Acta Sci. Math. Szeged 27, 41—43 A966).
REDINBO G. R. [1J Finite field arithmetic on an array processor, IEEE Trans.
Computers C-28, 461-471 A979).
REE R. [I] Proof of a conjecture of S. Chowla, J. Number Theory 3, 210—212
A971); Erratum, ibid. 4, 223 A972).
REED I. S. [11 A class of multiple-error-correcting codes and the decoding scheme,
IRE Trans. Information Theory PGIT-4, 38—49 A954). [Имеется перевод:
РИД И. С. Класс кодов с исправлением нескольких ошибок и схема деко*
дирования. —В кн.: Кибернетический сборник, вып. 1. —М.: ИЛ, 1960,
с. 189—205.1
REED I. S., SCHOLTZ R. A., TRUONG Т. К-, WELCH L. R. [11 The fast de-
decoding of Reed—Solomon codes using Fermat theoretic transforms and con-
continued fractions, IEEE Trans. Information Theory IT-24, 100—106 A97ч.
REED I. S., SOLOMON G. [1] Polynomial codes over certain finite fields. J
Soc. Indust. Appl. Math. 8, 300—304 A960). [Имеется перевод: РИД И. С .
СОЛОМОН Г. Полиномиальные коды над некоторыми конечными полями
В кн.: Кибернетический сборник, вып. 7.—М.: ИЛ, 1963, с. 74 -70.1
REED I. S., TRUONG Т. К. [11 The use of finite fields to compute convolution.
IEEE Trans. Information Theory IT-21, 208—213 A975).
|2] Convolutions over residue classes of quadratic integers, IEEE Trans. Infor-
Information Theory IT-22, 468—475 A976); Correction, ibid. IT-23, 544 {1977».
[3] Fast Merserme-prime transforms for digital filtering, Proc. Inst. El«v!r.
Engrs. 12S, 433—440 A978).
[4] Simple proof of the continued fraction algorithm for decoding Reed—Soloru1"
codes, Proc. Inst. Electr. Engrs. 125, 1318—1320 A978).
REED I. S., TRUONG T. K., MILLER R. L. [1] Fast algorithm for computing
a primitive 2p+1pth root of unity in GF [BP — lJ], Electron. Lett. H.
493—494 A978).
[2] Simple method for computing elements of order 2*я, where n \1P~ — 1 I'll»
2<*<p+l, in GF [B" — 1 J], Electron. Lett. 14, 697—698 A97N-
[3] Decoding of B. C. H. and R, S. codes with errors and erasures using contirui1"
fractions, Electron. Lett. 15, 542—544 A979).
[4] A new algorithm for computing primitive elements in the field of Gaussian
complex integers modulo a Mersenne prime, IEEE Trans. Acoust. Spei'i"'1
Signal Process. 27, 561—563 A979).
REED I. S., TRUONG T. K., WELCH L. R. fl] The fast decoding of Rei-d
Solomon codes using Fermat transforms, IEEE Trans. Information ThuT>
IT-24, 497-499 A978). ,,
REES D. [11 Note on a paper by I. J. Good, J. London Math. Soc. 21, 169- 1>-
A946).
REICH D. [11 A p-adic fixed point formula, Amer. J. Math. 91, 835—850 A9t>9).
REINER I. [11 On the number of matrices with given characteristic polynomial.
Illinois J, Math. 5, 324-329 A961).
Литература 769
RELLA Т. [1] Lineare Operatoren in endlichen Kongruenzkorpern, Monatsh.
Math. Phys. 32, 139—150 A922),
RETTER С. Т. [1] Decoding Qoppa codes with a BCH decoder, IEEE Trans.
Information Theory IT-21, 112 A975),
RH1N G. [1] Quelques resultats metrk|ues dans tin corps de series formelles sur
un corps fini, Sem, Delange—Pisot—Poitou 1967''68, Theorie des Nombres,
Exp. 21, Secretariat Math., Paris, 1969.
|2J Generalisation d'un theoreme de I. M. Vinogradov a un corps de series for-
formelles sur un corps fini, С R. Acad. Sci. Paris Ser. A 272, 567—569
A971).
|3J Repartition modulo 1 dans un corps de series formelles sur un corps fini, Disser-
tationes Math. 95 A975).
RIBENBOIM P. [1 ] Polynomials whose values are powers, J. reine angew. Math.
268 269, 34—40 A974).
|2| 13 Lectures on Fermat's Last Theorem, Springer-Verlag, New York—Hei-
York—Heidelberg—Berlin, 1979.
RICE B. [1] Some good fields and rings for computing number-theoretic trans-
transforms, IEEE Trans. Acoust. Speech Signal Process. 27, 432--433 A979).
|2| Winogra-d convolution algorithms over finite fields, Cungr. Numer. 29, 827—
«57 A980).
R1CI1ALET J. [1 ] Operational calculus for finite rings, IEEE Trans. Circuit Theory
CT-12, 558—570 A965).
RIEGER G. J. [1] Sur les nombres de Cullen, Sein. Theorie des Nombres 1976—
1977, Exp, 16, Univ. Bordeaux I. Talence, 1977.
|2| Bemerkungen iiber gewisse nichtlineare Kongruenzen, Elemenle der Math 32,
113-115 A977).
[3] liber Lipschitz-Folgen, Math. Scand. 45, 168—176 A979).
R1TT J. F. [I] Prime and composite polynomials, Trans. Amer. Math. Soc. 23,
51 - 66 A922).
f2 | Permutable rational functions, Trans. Amer. Math. Soc. 25, 399—448 A923).
RIVELAND A. A., PORTER A. D. ||] The skew matric equation Л;, ... X\AXX ...
... Xn = B, Rend. Mat. F) 9, 633—638 A976).
|2| The skew matrix equation X'n ... X'lAXl ... Xn -- B, Atti Accad. Naz. Lin-
cei Rend. Cl. Sci. Fis. Mat. Natur. (8N0, 751—755 A976).
RIVLIN T. J. [1| The Chebyshev Polynomials, Wiley, New York, 1974.
ROBERT A. [1 ] Elliptic Curves, Lecture Notes in Math'., vol. 326, Springer-Verlag
Berlin—Heidelberg-Nt\v York, 1973.
ROBINSON A. [1] Introduced to Model Theory and to the Metamathematics of
Algebra, North-Holland, Amsterdam, 1963.
ROBINSON D. W. [1] The Fibonacci matrix modulo m, Fibonacci Quart. 1, no. 2,
29-36 A963).
|2J A note on linear recurrent sequences modulo in, Amer. Math. Monthly 73,
619-621 A966).
и] Iteration of the modular period of a second order linear recurrent sequence,
Acta Arith. 22, 249—256 A97273).
141 The rank and period of a linear recurrent sequence over a ring, Fibonacci
Quart. 14, 210—214 A976).
ROBINSON S. F. [I) Theorems on Brewer sums. Pacific J. Math. 25, 587—596
A968).
ROCCI E. [I) Sulla distribuztone dei residui quadratic! di un numero primo nella
serie naturale, Giorn. Mat. Battaglini 65, 112—134 A927).
RODEMICH E. R., RUMSEY H. [1| Primitive trinomials of high degree, Math.
Сотр. 22, 863—865 A968).'
ROGERS K. [11 Cyclotomic polynomials and division rings, Monatsh. Math. 69,
239—242 A965).
I2J An elementary proof of a theorem of Jacobson, Abh. Math. Sem. Univ. Ham-
Hamburg 35, 223—229 A971); Berichtigun?, ibid. 37, 268 A972).
770 Литература
ROGERS L. J. [11 On the analytic representation of heptagrams, Proc. London
Math. Soc. 22, 37—52 A890).
[2] Note on functions proper to represent a substitution of a prime number of
letters, Messenger of Math. B) 21, 44 -47 A891).
ROHRBACH H. [1J Die.Charaktere der binaren Kougruenzgruppen mod p-, Schr.
Math. Sem. Inst, Angew. Math. Univ. Berlin 1, 33^94 A932).
ROQUETTE P. [1 ] Riemannsche Vermutung in Funktionenkorpern, Arch. Math, 4
6—16 A953).
[2] Arithrnetischer Beweis der Riemannschen Vermutung in Kongruenzfunktionen-
кбгрегп beliebigen Geschlechts, J, reine angew. Math. 191, 199—252 A953).
ROSATI L. A. [1] Sul numero det punti dt una superficie cubica in uno spazio
Jineare finite, Boll. Un. Mat. Mai. C) 11, 412—418 A956).
ROSENBERG I. G. [1] Sums of Legendre symbols. I, II (Czech), Sb. Vysoke.
UcenI Tech. Brno 1962, no. 1—2, 183 — 190; no. 3—4, 311—314.
|2] Polynomial functions over finite rings, Glasnik Mat. C) 10, 25—33 A975).
[3] Characteristic polynomials in GF B) of zero-one inequalities and equations,
Utilitas Math. 7, 323—343 A975).
ROSENBERGER G. [1] Uber Tschebyscheff-Polynonie, Nicht-Kongruenzun-
tergruppen der Modulgruppe und Fibonacci-Zahlen, Math. Ann. 246, 193—-
203 A980).
ROTA G.-C. [1 ] On the foundations of combinatorial theory, 1. Theory of Moebius
functions, Z. Wahrscheinlichkeitstheorie 2, 340 368 A964). '
ROTH H. H. [I ] Linear binary shift register circuits utilizing a minimum number
(if mod-2 adders, IEEE Trans. Information Theory IT-11, 215-220 A965).
RUDEANU S. [1] L'emploi des imaginaires de Galois dans la theorie des meca-
nismes automatiques, X (Romanian. French summary). Acad. R. P. Romtne.
Stud. Cere. Mat. 9, 217—287 A958).
RUDOLPH L. D. [1] A class of majority-logic decodable codes, IEEE Trans
Information Theory 1T-13, 305-307 A967).
RUTHERFORD D, E. [IJ Modular Invariants, Cambridge Tracts in Math, and
Math. Physics, no. 27, Cambridge Univ. Press, London, 1932.
RYSER H. J. [1] Combinatorial Mathematics, Carus Main. Monographs, no. 14,
Math. Assoc. of America, New York, 1963. [Имеется перевод: РАЙЗЕР Г. ДЖ
Комбинаторная математика. —М.: Мир, 1966.]
[2] Symmetric designs and related configurations, J. Combinatorial Theory
Ser. A 12, 98—111 A972).
[3] The existence of symmetric block designs, J. Combinatorial Theory Ser.
A 32, 103—105 A982).
SACHAR H. [1 ] The Fv span of the incidence matrix of a finite projective plane,
Geom. Dedicate 8, 407—415 A979).
SAKATA S. [1 ] General theory of doubly periodic arrays over an arbitrary finite
field and its applications, IEEE Trans. Information Theory IT-24, 719—
730 A978).
f2J On determining the independent point set for doubly periodic arrays and
encoding two-dimensional cyclic codes and their duals, IEEE Trans. Infor-
Information'Theory IT-27, 556—565 A981).
SALIE H. [I ] Uber die Kloostermanschen Summen 5 (u, v\ q), Math. Z. 34, 91 —
109 A932).
[2J Zur Abschatzung der Fourierkoeffizienten ganzer Modulformen, Math. Z
36, 263—278 A933),
[3] Uber die Verfeilung der quadratischen Reste, Math. Z. 37, 594—602 A933).
SAMPSON J. H., WASHNITZER G. [1] Numerical equivalence and the zeta-
function of. a variety, Дтег. J. Math. 81, 735—748 A959).
SANSONE G. flj La risoluzione apirtstica delle congruenze biquadratiche, Atti
Accad. Naz. Lincei Rend. CI. Sci. Fis. Mat. Natur, FN, 573—578 A927).
Литература 771
|2] Nuove formule risolutive delle congruenze cubiche, Rend. Accad. Sci, Fis.
Mat. Napoli D) 35, 54—81 A929).
[3] La risoluzione apiristica delle congruenze cubiche, Ann. Mat. Рига Appl
D) 6, 127—160 A929).
|4J Sul problema della risoluzione apiristica delle congruenze di grado qualunqtie
rispetto ad un modulo primo, e la risoluzione apiristica delle congruenze
di quarto grado, Mem. Accad. Naz. Lincei F) 3, 220—260 A929).
[5] La risoluzione apiristica delle congruenze cubiche, Ann. Mat. Рига Appl,
D) 7, 1—32 A930).
SARKOZY A. [1] Some remarks concerning irregularities of distribution of se-
sequences of integers in arithmetic progressions. IV, Acta Math. Acad Sci
Hungar. 30. 155—162 A977).
SARWATE D. V. [1] On the complexity of decoding Goppa codes, IEEE Trans.
Information Theory IT-23, 515—516 A977).
[2] Semi-fast Fourier transforms over GF Bm), IEEE Trans. Computers C-27,
283—285 A978).
SATOM., YORINAGA M. [1 ] Numerical experiments on a conjecture of В. С Mor-
Mortimer and K. S. Williams, Proc. Japan Acad. 49, 791— 794 A973).
SCARPIS U. [1] Intorno alia risoluzione per radical! di un'equazione algebrica
in un campo di Galois, Periodico di Mat. C) 9, 73—79 A912).
[2] Succession) ricorrenti in un campo di Galois, Ann. Mat. Рига Appl. C) 18,
245—286 A912).
[3] Intorno aH'interpretazione della Teoria di Galois in un campo di razionalita
finito, Ann. Mat. Рига Appl. C) 23, 41—60 A914).
SCHAAR M, [1] Memoire sur la theorie des residue quadratiques, Acad. Roy.
Sci. Lettres Beaux Arts Belgique 24 A850).
SCHANUEL S. H. [1 ] An extension of Chevalley's theorem to congruences modulo
prime powers, J. Number Theory в, 284—290 A974).
SCHMID H. L. fl] Relationen zwischen verallgemeinerten Gauflschen Summen,
J. reine angew. Math. 176, 189-191 A937).
f2] Kongruenzzetafunktionen in zyklischen Korpern, Abh. Preuss. Akad. Wiss.
Math.-Naturw. Kl. 1941, no. 14, 1—30.
SCHMID H. L., TEICHMULLER O. [1] Ein neuer Beweis fur die Funktional-
gleichung der L-Reihen, Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg 15, 85—96 A943).
SCHMIDT F. K. [1 ] Allgemeine Korper im Gebiet der hoheren Kongruenzen, Disser-
Dissertation, Freiburg i. Br., 1925.
[2] Zur Zahlentheorie in Korpern von der Charakteristik p, Sitzungsber. Phys.-
Med. Soz. Erlangen 58/59, 159—172 A926/27).
[3] Analytische Zahlentheorie in Korpern der Charakteristic p, Math. Z. 33,
1—32 A931).
SCHMIDT W. M. [1 ] Zur Methode von Stepanov, Acta Arith. 24, 347—367 A973).
[2] A lower bound for the number of solutions of equations over finite fields,
J. Number Theory 6, 448—480 A974).
[3] Equations over Finite Fields: An Elementary Approach, Lecture Notes in
Math., vol. 536, Springer-Verlag, Berling—Heidelberg—New York, 1976.
SCHNEIDER P. [1] On the values of the zeta function of a variety over a finite
field, Compositio Math. 46, 133—143 A982).
SCHOLEFIELD P. H. R. [1] Shift registers generating maximum-length sequ-
sequences, Electronic Technology 37, 389—394 A960).
SCHONEMANN T. [1 ] Ueber die Congruenz x2 + y1 = 1 (mod p), J. reine angew.
Math. 19, 93—112 A839).
f2] Theorie der symmetrischen Functionen der Wurzeln einer Gleichung. All-
Allgemeine Satze fiber Congruenzen nebst einigen Anwendungen derselben,
J. reine angew. Math. 19, 289—308 A839).
f3] Grundzflge einer allgemeinen Theorie der hohern Congruenzen, deren Modul
eine reelle Primzahl ist, J. reine angew. Math. 31, 269—325 A846).
772 Литература
[4] Uber einige von Herrn Dr. Eisenstein aufgestelle Lehrsatze, J. reine angev
Math. 40, 185-187 (I860).
SCHONHAGE A. flj SchnelJe Berechnung von Kettenbruchentwicklungen, Acta
Informatica 1, 139—144 A971).
[2] Schnelle Multiplikation von Polynomen uber Korpern der Charakteristik 2,
Acta Informatica 7, 395—398 A977).
SCHONHE1M J. [1| Formulos pour resoudrc la congruence а-2 н1 a (mod P) duns
des cas encore inconnus et leur application pour determiner directement des
racines primitives de certains nombres premiers (Romanian. French summary),
Acad. R. P. Romfne Fil. Cluj. Stud. Cere. Mat. Fiz. 7, no. 1—4,51 A956).
[2] On linear and nonlinear single-error-correcting <7-nary perfect codes, Infor-
Information and Control 12, 23—26 A968).
SCHUPFER F. [1J Sli due proposizioni di teoria dei numert, Rend. Mat. e Appl.
E) 5, 246—251 A946).
SCHUR I. [1] Uber die Kongruei г xm + ym = zm(modp), Jber. Deutsch. Math.-
Verein. 25, 114—117 A916).
[2] Einige Bemerkungen zu der vorstehenden Arbeit des Herrn G. Polya: Ober
die Verteilung der quadrat'schen Reste und Nichtreste, Gottinger Nachr.
1918, 30—36.
[3] Uber die GauBschen Summen, Gottinger Nachr. 1921, 147—153.
[4] Uber den Zusammenhang zwischen einem Problem der Zahlentheorie und
einem Satz uber algebraische Funktionen, Sitzungsber. Preufl. Akad. Wiss.
Berlin Math.-Naturwiss. Kl. 1923, 123—134.
SCHWARZ S. fl] Contribution a la reductibility des polynomes dans la theorie
des congruences, Vestnik Kralovske Ceske Spol. Nauk. Trida Matemat. —
Pfirodoved. 1939, no. 7, 1—7.
[2J A contribution to the arithmetic of finite filds (Slovak), Prirodoved. Priloha
Techn. Obzoru Sloven. 1, no. 8, 75—81 A940).
[3] Sur le nombre des racines et des facteurs irreductibles d'une congruence donnee,
Casopis Pest. Mat. Fys. 69, 128—145 A940).
f4] A contribution to the reducibility of binomial congruences (Slovak), Casopis.
Pest. Mat. Fys. 71, 21—31 A946).
[5] On Waring's problem for finite fields, Quart. J. Math. 19, 123-128 A948).
f6] On the equation a,xf + a2xo + ... + akxhk + b = 0 in finite fields, Quart.
J. Math. 19, 160—163 A948).
[7] On thereducibility of binomial congruences and on the bound of the least
integer belonging to a given exponent mod p, Casopis Pest. Mat. Fys. 74,
1—16 A949).
[8] On equations of the form c,x'f + ... + csxks = с in finite fields (Slovak),
Casopis Pest. Mat. Fys. 74, 175—176 A949).
[9] On universal forms in finite fields, Casopis Pest. Mat. Fys., 75, 45—50 A950).
flOJ On a type of universal forms in discretely normed fields, Acta Set. Math.
Szeged 17, 5—19 A956).
[II] On the reducibility of polynomials over a finite field, Quart. J. Math. B) 7.
110—124 A956).
[12] Об одном классе многочленов над-конечным полем, Mat.—Fyz. Casopis
Sloven. Akad. Vied 10, 68—80 A960).
[13] О числе неприводимых факторов данного многочлена над конечным полем,
Czechoslovak Math. J. 11, 213—225 A961).
[14] Замечание об алгебраических уравнениях над конечным полем, Mat.-Fyz.
Casopis Sloven. Akad. Vied, 122,24—229 A962).
[15] On a system of congruences. A remark on the preceding paper of Sedlacek
Литература 773
(Slovak), Mat.-Fyz. Casopis Sloven Akad. Vied 13, 103—104 A963).
SCHWERING K. [1] Zur Theorie der arithmetischen Functionen, welche von
Jacobi i|)(a) genannt werden, J. reine angew. Math. 93, 334—337 A882).
SCOGNAMIGLIO G. [1 ] Algebre di matrici atte a rappresentare campi di Galois,
Giorn. Mat. Battaglini F) 2, 37—48 A964).
SCORZA G. [1] La risoluzione apiristica delle congruence binomie e la formula
di interpolazione di Lagrange, Atti Accad. Naz. Lincei Rend. Cl. Sci. Fis.
Mat. Natur. F) 3, 390—394 A926).
SCOTT^_W. R. [1] Group Theory, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, N. J., 1964,
SEDLA'CEK J. [11 Some remarks on the problem of W. Mnich (Czech), Mat.-Fys.
Casopis Sloven.Acad. Vied 13, 97—102 A963).
SEGRE B. [1] Sui A-archi nei pianifiniti di caratteristica due, Rev. Math. Pures
Appl. 2, 289—300 A957).
f21 Le geometric di Galois, Ann. Mat. Рига Appl. DL8, 1—97, A959).
[3] Sulla teoria delle equazioni e delle congruenze algebriche. I, II, Atti Accad.
Naz. Lincei Rend. Cl. Sci. Fis. Mat. Natur. (8J7, 155—161, 303—311
A959).
[4] Sistemi di equazioni nei campi di Galois, Convegno Teoria dei Gruppi Finiti
e Applicazioni (Florence, 1960), pp. 66—80, Edizioni Cremonese, Rome.
1960.
[5] Sul numero delle soluzioni di tin qualsiasi sistema di equazioni algebriche
sopra un campo finito, Atti Accad. Naz. Lincei Rend. CL Sci. Fis. Mat. Natur.
(8J8, 271—277 A960).
[6] Lectures on Modern Geometry, Edizioni Cremonese, Rome, 1961.
[7] Geometry and algebra in Galois spaces, Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg 25,
129—139 A962).
[8] Ovali e curve a nei piani di Galois di caratteristica due, Atti Accad. Naz.
Lincei Rend. Cl. Sci. Fis. Mat. Natur. (8K2, 785—790A962).
[9] Intorno ad una congettura di Lang e Weil, Atti Accad. Naz. Lincei Rend.
Cl. Sci. Fis. Mat. Natur. (8) 34, 337—339 A963).
[10] Arithmetische Eigenschaften von Galois-Raumen. I, Math. Ann. 154, 195—
256 A964).
[111 Forme e geometrie hermitiane, con particolare riguardo al caso finito, Ann.
Mat. Рига Appl. DO0, 1—201 A965).
SEGRE В., BARTOCCI U. [1] Ovali ed altre curve nei piani di Galois di carat
teristica due, Acta Arith. 18, 423—449 A971).
SELBERG A. [1] Uber die Fourierkoeffizienten elliptischer Modulformen nega-
tiver Dimension, Neuvieme Congres des Mathematiciens Scandinaves (Hel-
(Helsinki, 1938), pp. 320—322, Merc. Kirjapaino, Helsinki, 1939.
BJ On the estimation of Fourier coefficients of modular forms, Proc. Symp. Pure
Math., vol. 8, pp. 1—15, American Math. Society, Providence, R. I., 1965.
SELFRIDGE J. L., NICOL С A., VANDIVER H. S. [1] On diophantine equa-
equations which have no solutions, Proc. Nat. Acad. Sci. U. S.A. 42,264—266A956).
SELMER E. S. [1] The diophantine equation ax3 + by3 + сг3 = 0, Acta Math.
85, 203—362 A951).
[2] On Newton's equations for the power sums, Nordisk Tidskr. for Informations-
behandling (BIT) в, 158—160 A966).
[3] Linear Recurrence Relations over Finite Fields, Univ. of Bergen, 1966.
SENGENHORST P. [lj Uber Korper der Charakteristik p, Math. Z. 24, 1—39
A926); Bemerkungen, ibid. 26, 495A927).
SEROUSSI G., LEMPEL A. [1] Factorization of symmetric matrices and trace-
orthogonal bases in finite fields, SIAM J. Computing 9, 758—767 A980).
SERRE J.-P. [1] Cours d'arithmetique, Presses Univ. de France, Paris, 1970.
[Имеется перевод: СЕРР Ж.-П. Курс арифметики. — M.: Мир, 1972.]
[2] Valeurs propres des endomorphismes de Frobenius (d'apres P. Deligne),
774 Литература
Seminaire Bourbaki 1973/74, Exp, 446, Lecture Notes in Math,, vol 43]
pp. 190—204, Springer-Verlag, Berlin—Heidelberg—New York, 1975,
[3] Majorations des sornmes exponentielles, Asterisque, no. 41—42, pp. Щ |9fi
Soc. Math. France, Paris. 1977.
SERRET J.-A. [1] Cours d'algebre superieure, 2nd ed., Mallet-Bachelier, Paris
1854.
[2] Course d'algebre superieure, 3rd ed., Gauthier-Villars, Paris, 1866. [Имеется
перевод: СЕРРЕ И.-А. Курс высшей алгебры.—С.-Пб., М- Иэя
М. О. Вольф, 1897, J
[3] Mernoire sur la theorie des congruences suivant un module premier et sui-
vant une fonction modulaire irreductible, Mem. Acad. Sci. Inst. de France 35
617—688 A866).
[4] Determination des fonctions entieres irreductibles, suivant un module pre-
premier, dans le cas oil le degre est egal au module, J. Math. Pures Appl, B) 18
301—304 A873).
[5] Sur les fonctions entieres irreductibles suivant un module premier, duns le
cas ou le degre est une puissance du module, J. Math. Pures Appl, B) 18
437—451 A873).
SHADER L. E. [1] Arithmetical functions associated with unitary divisors in
GF [q, x]. I, II, Ann. Mat. Рига Appl. D) 88, 79—85, 87—97 A970).
[2] On the number of solutions of congruences and equations in GF [q, x], Por-
Portugal. Math. 30, 181—190 A971).
[3] On the number of solutions of a congruence in GF [q, x], Portugal. Math. 32,
9—16 A973).
[4] Closed form expressions for several Rammanujan sums, Portugal. Math, 32.
147—153 A973).
SHAH A. P. [1] Fibonacci sequence modulo m, Fibonacci Quart. 8, 139—141
A968).
SHANKS D. [1] Two theorems of Gauss, Pacific J. Math. 8, 609—612 A958).
[2] Five number-theoretic algorithms, Proc. Second Manitoba Conf. on Nume-
Numerical Math. (Winnipeg, Man., 1972), pp. 51—70, Utilitas Math., Winnipeg
Man., 1973.
SHANNON С E. [1] A mathematical theory of communication, Bell System Tech.
J. 27, 379—423, 623—656 A948). [Имеется перевод: ШЕННОН К. Мате-
Математическая теория связи. — В кн.: К- Шеннон. Работы по теории инфор-
информации и кибернетике. — М.: ИЛ, 1963, с. 243—332.]
SHANNON С. Е., WEAVER W. [1] A Mathematical Theory of Communication,
Univ. of Illinois Press, Urbana, 111., 1949.
SHEHADEH N. M. flj On the distribution of the coefficients of some polyno-
polynomials, SIAM J. Appl. Math. 18, 958—963 A968),
SHIMURA G. [1] Introduction to the Arithmetic Theory of Autornorphic Func-
Functions, Princeton Univ. Press. Princeton, N. J., 1971. [Имеется перевод:
ШИМУРА Г. Введение в арифметическую теорию автоморфиых функ-
функций. — М.: Мир, 1973.1
SHIMURA G., TANIYAMA Y. fl] Complex Multiplication of Abelian Varieties
and Its Applications to Number Theory, Math. Society of Japan, Tokyo.
SHIRATANI К [1] On the Gauss—Hecke sums, J. Math. Soc. Japan 18, 32—38
A964).
SHIUE J.-S.. [1 ] A remark of a paper by Bundschuh, Tamkaug J. Math, 4, 129 —
130 A973).
SHIUE J.-S., HU M. H. [1 ] Some remarks on the uniform distribution of a linear
recurrence of the second order, Tamkang J. Math. 4, 101—103 A973).
SHIUE J.-S., SHEU T. L. [1] On the periodicity of linear recurrence of secona
order in commutative rings, Tamkang J. Math. 4, 105—107 A9/8).
SHIVA S. G. S., ALLARD P. E. [1J A few useful details about a known technique
Литература 775
for factoring 1 + X'^-\ IEEE, Trans. Information Theory IT-16, 234—
235 A970).
sIlRIKHANDE S. S. [1] The impossibility of certain symmetrical balanced in-
incomplete block design, Ann. Math. Statist. 21, 106—111 A950).
SlHGEL C. L. [1 ] Uber die analytische Theorie der quadratischen Formen, Ann.
of Math. B) 36, 527—606 A935).
19] Generalization of Waring's problem to algebraic number fields, Amer, J.
Math. 88, 122—136 A944).
|3| Uber das quadratische Reziprozitatsgesetz in algebraischen Zahlkorpern,
Gottinger Nachr. I960, no. 1, 1—16.
SlLVA J. A. [11 A theorem on cyclic matrices, Duke Math, J. 18, 821—825 A951).
B | Representation of arithmetic functions in OF [pn, x] with values in an arbit-
arbitrary field, Duke Math. J. 19, 31—44 A952).
SI WMONS G. [1 ] On the number of irreducible polynomials of degree d over GF(p),
Amer. Math. Monthly 77, 743—745 A970).
SIMS С. С [1] The role of algorithms in the teaching of algebra. Topics in
Algebra (M. F. Newman, ed.), Lecture Notes in Math., vol. 697, pp. 95—
107, Springer-Verlag, Berlin—Heidelberg—New York*, 1978.
SINGER J. |1] A theorem in finite projective geometry and some applications
to number theory, Trans. Amer. Math. Soc. 43, 377—385 A938).
"iINGH S. |1] Bounds of cubic residues in A. P., Indian J. Pure Appl. Math. 1,
265—268 A970).
|2] The number of decompositions of an integer as a sum of two squares in
GF (pn), Indian J. Pure Appl. Math. 4, 606—611 A973).
13| Stufe of a finite field, Fibonacci Quart. 12, 81—82 A974).
|4| Analysis of each integer as sum of two cubes in a finite integral domain,
Indian J. Pure Appl. Math. 8, 29—35 A975).
151 Bound for the solutions of a Diophantine equation in prime Galois fields,
Indian J. Pure Appl. Math. 8, 1428—1430 A977).
|(>] Integer points on special hyper-elliptic curves in GF (p), Indian J. Pure
Appl. Math. JO, 1213—1215 A979).
SINGH S., RAJWADE A. R, |1] The number of solutions of the congruence
//- s r1 — a (mod p), L'Enseignernent Math. B) 20, 265—273 A974).
SINGLETON R. C. [1] Maximum distance ^-nary codes, IEEE Trans. Informa-
Information Theory FT-JO, 116—118 A964).
SINGMASTER D. fl] On polynomial functions (mod m), J. Number Theory 6,
345-352A974).
SKOLEM T. [1] Zwei Satze uber kubische Kongruenzen, Norske Vid. Selsk, Forh.
10, 89—92 A937).
|2| Die Anzahl der Wurzeln der Kongruenz r1 + ax + b =0 (mod p) fur die
verschiedenen Paare a, b, Norske Vid. Selsk. Forh. J4, 161—164 A942).
|3| Unlosbarkeit von Gleiehungen, deren entsprechende Kongruenz fur jeden
Modul losbar ist, Avh. Norske Vid. Akad. Oslo I J942, no. 4.
111 The general congruence of 4th degree modulo p, p prime, Norsk Mat. Tidsskr.
34, 73—80 A952).
I5| On a certain connection between the discriminant of a polynomial and the
number of its irreducible factors (mod p), Norsk Mat. Tidsskr. 34, 81—85
A952).
('4 Remarks on proofs by cyclotomic formulas of reciprocity laws for power Resi-
Residues, Math. Scand. 9. 229—242 A961).
Ы.ЕР1АМ D. [1] A note on two binary signaling alphabets, IRE Trans. Informa-
Information Theory IT-2, 84—86 A956).
'2I A class of binary signaling alphabets, Bell System Tech. J. 35, 203—234
A956), [Имеется перевод: СЛЕПЯ Н Д. Класс двоичных сигнальных алфа-
алфавитов. — В кн.: Теория передачи сообщений. — М: ИЛ, 1957, с. 82—113.]
I'3 I Some further theory of group codes. Bell System Tech. J. 39, 1219—1252 A960).
776 Литература
[4] Key Papers in (he Development of Information Theory, IEEE Press, New
York, 1974.
SLOANE N. J, A, 11 ] A survey of constructive coding theory, and a table of binary
codes of highest known "rate. Discrete Math. 3, 265-294 A972). (Имеется
перевод: СЛОЭН Н. ДЖ. А. Обзор конструктивной теории кодирования
и таблица двоичных кодов с наибольшими известными скоростями. — В кн.:
Кибернетический сборник, нов. сер., вып. 10. —М.: Мир, 1973, с. 5—32. |
|2) Error-correcting codes and cryptography, The Mathematical Gardner
(D. A. Klarner, ed.), pp. 346—382, Prindle, Weber & Schmidt, Boston, 1981
SMALL C. [I| Waring's problem mod n, Amer. Math. Monthly 84, 12—25A977).
|2J Sums of powers in large finite fields, Proc. Amer. Math. Soc. 65, 35—36 A977).
|3[ Solution of Waring's problem mod n, Amer. Math. Monthly 84, 356—359
A977).
SMITH C, HOGGATT V. E., Jr. [1] Primitive periods of generalized Fibonacci
sequences, Fibonacci Quart. 14, 343—347 A976).
SMITH H. J. S. [1 ] Report on the theory of numbers. Part II, Report of the Bri-
British Association for 1860, pp. 120 — 169; Collected Math. Papers, vol. 1, pp. 93—
162, Chelsea, New York, 1965.
SMITH R. A. [1] The circle problem in an arithmetic progression, Canad. Math,
Bull. 11, 175—184 A968).
B1 The distribution of rational points on hypersurfnres defined over a finite
field, Mathernatika 17, 328-332 A970).'
[3) On л-dimensional Kioosterman sums, C. R. Math. Rep. Acad. Sei. Canada 1,
173—176 A979).
[4] On «-dimensional Kioosterman sums, J. Number Theory 11, 324—343 A979).
[5] A generalization of Kuznietsov's identity for Klooslerman sums, C. R. Math.
Rep. Acad. Sci. Canada 2, 315—320 A980).
[6] Estimates for exponential sums, Proc. Amer. Math. Soc. 79, 365—368 A980).
SMITS T. H. M. [1J On the group of units of OF (q) \x]'(a (*)), Indag. Math. 44,
355—358 A982).
SNAPPER E. fl J Quadratic spaces over finite fields and codes, J. Combinatorial
Theory Ser. A 27, 263—268 A979).
SOMER L. A) Problem E 2377, Amer. Math. Monthly 79, 906 A972); Solution,
ibid. 81, 282—283 A974).
[2] Fibonacci-like groups and periods of Fibonacci-like sequences, Fibonacci
Quart. 15, 35—41 A977).
[3] The divisibility properties of primary Lucas recurrences with respect to pri-
primes, Fibonacci Quart. 18, 316—334 A980).
[4] Possible periods of primary Fibonacci-like sequences with respect to a fixed
odd prime, Fibonacci Quart. 20, 311—333 A982).
SPACKMAN K. W. [1] Simultaneous solutions to diagonal equations over finite
fields, J. Number Theory 11, 100—115 A979).
[2] On the number and distribution of simultaneous solutions to diagonal cong-
congruences, Canad. J. Math. 33, 421—436 A981).
SPEISER A. [1] Die Zerlegung von Primzahlen in algebraischen Zahlkorperfl,
Trans. Amer. Math. Soc. 23, 173—178 A922).
SPERBER S. [1] p-adic hypergeometric functions and their cohomology, Duke
Math. J. 44, 535—589 A977),
[2] Congruence properties of the hyperklooslerman sum, Compositio Math. 40,
3—33 A980).
[3] On the L-functions associated with certain exponential sums, J. Number
Theory 12, 141—153 A980).
SPRINGER Т. А. [Ц Note on quadratic forms in characteristic 2, Nieuw Arch.
Wisk. C) 10, 1 — 10 A962).
[2] The zeta function of a cuspidal representation of a finite group GLn (k). Lie
Groups and Their Representations (I. M. Gelfand, ed.K pp. 645—648, Aka-
demiai Kiado, Budapest, 1975.
Литература ¦ 777
[31 Caracteres quadratiques de groupes abeliens finis et sommes de Gauss, Collo-
que sur ies Formes Quadratiques (Montpellier, 1975), Bull. Soc. Math. France
Suppi. Mem. 48, 103—115 A976).
[41 Trigonometric sums, Green functions of finite groups and representations
of Weyl groups, Invent. Math. 36, 173—207 A976).
SR1NIVASAN B. [1] Representations of Finite Chevalley Groups, Lecture Notes
in Math., vol. 764, Springer-Verlng, Berlin—Heidelberg—New York. 1979.
STAHNKE W. [ 1J Primitive binary polynomials, Math. Сотр. 27, 977—980 A973).
STANLEY T. E. [1J A note on the sequence of Fibonacci numbers, Math. Mag. 44,
19—22 A971).
|2] Some remarks on the periodicity of the sequence of Fibonacci numbers, Fibo-
Fibonacci Quart. 14, 52—54 A976).
STARK H. M. [1| On the Riernann hypothesis in hyperelliptic function fields,
Proc. Symp. Pure Math., vol. 24, pp. 285—302, American Math. Society,
Providence, R, I., 1973.
STE1NITZ E. [1] Algebraische Theorie der Korper, J. reine angew. Math. 137,
167—309 A910).
STEMMLER R. M. [1] The easier Waring problem in algebraic number fields,
Acta Arith. 8, 447—468 A961).
STEPHENS N. M. [1 ] On a conjecture of Chowla and Chowla, J. Number Theory 9,
276-277 A977).
|2] Dirichlet characters and polynomials, Bull. London Math. Soc. 11, 52-54
A979).
STERN M. A. [1] Bemerkungen iiber hohere Arithmetik, J. reine angew. Math. 6,
147—158 A830).
STERN T. E., FRIEDLAND B, [1] Application of modular sequential circuits to
single error-correcting p-nary codes, IRE Trans. Information Theory IT-5,
114—123 A959).
STEVENS H. [1] Linear homogeneous equations over finite rings, Canad. J.
Math. 16, 532—538 A964).
STEVENS H., KUTY L. [1] Applications of an elementary theorem to number
theory, Arch. Math. 19, 37—42 A968).
STEVENS W. L. [1] The completely orthogonalized Latin square, Ann. of Euge-
Eugenics 9, 82—93 A939).
ST1CKELBERGER L. [1] Ueber eine Verallgemeinerung der Kreistheilung, Math.
Ann. 37, 321-367 A890).
[2] Uber eine neue Eigenschaft der Diskriminanten algebraischer Zahlkorper,
Verhandl. Ersten Intern. Math.-Kongr. (Zurich, 1897), pp. 182—193, Teubner,
Leipzig, 1898.
STORER T. [1] Cyclotomy and Difference Sets, Markharn, Chicago, 1967.
[2;* On the unique determination of the cyclotomic numbers for Galois fields and
Galois domains, J. Combinatorial Theory 2, 296—300 A967).
|3J Mixed cyclotomy, prime-power circulants, and cyclotomy modulo p -- ef + 1
for composite e, J. Number Theory 1, 280—290 A969).
[4] Extensions of cyclotomic theory, Proc. Symp. Pure Math., vol. 20, pp. 123—
134, American Math. Society, Providence, R. I., 1971.
STRASSEN V. [I] Berechnungen in partiellen Algebren endlichen Typs, Compu-
Computing 11, 181—196 A973).
[2] Computational complexity over finite fields, SIAM J. Computing 5, 324—
331 A976).
STREET A. P., WALLIS W. D. [1] Combinatorial Theory: An Introduction,
Charles Babbage Research Centre, Winnipeg, Man., 1977.
STREET A. P., WHITEHEAD E. G., Jr. [1] Sum-free sets, difference sets and
cyclotomy, Combinatorial Mathematics (D. A. Holton, ed.), Lecture Notes
in Math , vol. 403, pp. 109—124, Springer-Verlag, Berlin—Heidelberg—New
York, 1974.
778 Литература
SUGIMOTO E. |1] A short note on new indexing polynomials of finite fields
Information and Control 41, 243—246 A979),
SUG1YAMAY. KASAHARAM., HIRASAWA S., NAMEKAWA T. [1] A method
for solving key equation for decoding Goppa codes, Information and Cont-
Control 27, 87—99 A975).
[2] Further results on Goppa codes and their applications for constructing effi-
efficient binary codes, IEEE Trans. Information Theory IT-22, 518—526 A976).
SURBOCK F., WEINRICHTER H. [I J Interlacing properties of shift-register
sequences with generator polynomials irreducible over GF (p), IEEE Trans
Information Theory IT-24, 386—389 A978).
SWAN R. G. [1 ] Factorization of polynomials over finite fields, Pacific J. Math. 12
1099—1106 A962).
SWIFT J. D. [1 ] Construction of Galois fields of characteristic two and irreducible
polynomials, Math. Сотр. 14, 99—103 A960).
SWINNERTON-DYER H. P. F. [1] The conjectures of Birch and Swinnerton-
Dyer, and of Tate, Proc, Conf. Local Fields (Driebergen, 1966), pp. 132—
157, Springer-Verlag, Berlin—Heidelberg—New York, 1967.
[2] The zeta function of a cubic surface over a finite field, Proc. Cambridge Phi-
los. Soc. 83, 55—71 A967).
[3] Applications of algebraic geometry to number theory, Proc. Symp. Pure
Math., vol. 20, pp. 1—52, American Math. Society, Providence, R.I,, 1971.
SZALAY M. fl] On the distribution of primitive roots mod p (Hungarian), Mat.
La рок 21, 357—362 A970).
[2] On the distribution of the primitive roots of a prime, J. Number Theory 7,
184-188 A975).
SZEKELY I., MURESAN T. [1] Interpolation with respect to a prime modulus
(Romanian), Bui. Sti. Inst. Politehn. Cluj 8, 105—109 A965).
3ZELE T. [1] An elementary proof of the fundamental theorem for finite fields
(Hungarian), Mat. Lapok 7, 249—254 A956).
SZYMICZEK K. II iSurns of powers of generators of a finite field, Coiloq. Math. 20,
59—63 A969).
TACKLIND S. [ 1J Uber die Periodizitat der Losungen von Differenzenkongruenzen,
Ark, Mat. Astr. Fys. 30A, not. 22 A944).
FAKAHASHI I. [1] Switching functions constructed by Galois extension fields,
Information and Control 48, 95—108 A981).
TAMARKINE J., FRIEDMANN A. [1J Sur les congruences du second degre et
les nombres de Bernoulli, Mat. Ann. 82, 409—412 A906).
TANAKA H., KASAHARA M., TEZUKA Y., KASAHARA Y. [1] Computation
over Galois fields using shiftregisters, Information and Control 13,75—84A968).
TAN1YAMA Y. [1) Distribution of positive 0-cycles in absolute classes of an algeb-
algebraic variety with finite constant field, Sci. Papers Coll. Gen. Ed, Univ.
Tokyo 8, 123—137 A958).
TANNER H. W. L, [1] On the binomial equation x" — 1 = 0: Quinquisectkm,
Proc. London Math. Soc. 18, 214—234 A887).
|2] On some square roots of unity for a prime modulus, Messenger of Math.
(.2) 21, 139—144 A892).
[3] On complex primes formed with the fifth roots of unity, Proc. London Math,
Soc. 24, 223—272 A893).
TARRY G. [1-] Le problerne des 36 officiers, С R. Assoc. Francaise Avancement
Sci. Nat. 1, 122—123 A900); ibid. 2, 170—203 A901).
TATE J. [1] Algebraic cycles and poles of zeta functions, Arithmetical Algebraic
Geometry (Proc. Conf. Purdue Univ., 1963), pp. 93—110, Harper and Row,
New York, 1965.
|2| The arithmetic of elliptic curves, Invent. Math. 23, 179—206 A974).
Литература 779
fAUSWORTHE R. С. [1 ] Random numbers generated by linear recurrence modulo
two, Math. Сотр. 19, 201—209 A965). [Имеется перевод: ТАУСВОРТ Р.
Случайные числа, порождаемые линейными рекуррентными соотношениями
по модулю 2 — В кн.: Кибернетический сборник, нов. сер., вып. 16. —
М.: Мир, 1979, с. 62—79.]
TAYLOR D. Е. [1] Some classical theorems on division rings, L'Enseignement
Math. B) 20, 293—298 A974).
TAYLOR M. J. [1 ] Local Gauss sums, Sern. Theorie des Nombres 1978—79, Exp. 8,
Univ. Bordeaux I, Talence, 1979.
[2] Adams operations, local root numbers, and the Galois module structure of
rings of integers, Proc. London Math. Soc. C) 39, 147—175 A979).
TAZAWA M. [1] A theorem on congruence, Tdhoku Math. J. 32, 354—356 A930).
TEICHMULLER O. [1] Differentialrechnung bei Charakteristik p, J. reine angew.
Math. 175, 89—99 A936).
TERJANIAN G. [1} Sur les corps finis, С R. Acad. Sci. Paris Ser. A 262, 167—
169 A966).
THAYSE A. [1] Differential calculus for functions from (GF (p))n into GF (p),
Phillips Res. Rep. 29, 560—586 A974).
THOMAS A. D. [1] Zeta-Functions: An Introduction to* Algebraic Geometry,
Research Notes in Math., no. 12, Pitman, London, 1977.
THOUVENOT S. [1] Proprietes arithmetiques deductibles d'une presentation
simplified de la forrnule du binome, С R. Acad. Sci. Paris 254, 1550—1552
A962).
THOUVENOT S., CHATELET F. [1 ] Au sujet des congruences de degre superieur
a deux, L'Enseignement Math. B) 13, 89—98 A967).
T1ETAVAINEN A. [1 ] On the non-trivial solvability of some systems of equations
in finite fields, Ann. Univ. Turku Ser. AI 71 A964).
[2] On the non-trivial solvability of some equations and systems of equations
in finite fields, Ann. Acad. Sci. Fenn. Ser. AI 380 A965).
[3] On systems of linear and quadratic equations in finite fields, Ann. Acad.
Sci. Fenn. Ser. AI 382 A965).
D] On the trace of a polynomial over a finite field, Ann. Univ. Turku Ser.
AI 87 A966).
15] On non-residues of a polynomial, Ann. Univ. Turku Ser. AI 94 A966). ,
f6] On systems of equations in finite fields, Ann. Acad. Sci. Fenn. Ser. AI 386
A966).
7] On the solvability of equations in incomplete finite fields, Ann. Univ. Turku
Ser. AI 102 A967).
18] On pairs of additive equations, Ann. Univ. Turku Ser. AI 112 A967).
19] On diagonal forms over finite fields, Ann. Univ. Turku Ser. AI 118, no. 1 A968).
110] On the distribution of the residues of a polynomial, Ann. Univ. Turku Ser.
AI 120 A968).
Ill] On a homogeneous congruence of odd degree, Ann. Univ. Turku Ser. AI 131
A969).
112] On a problem of Ch owl a and Shimura, J. Number Theory 3, 247—252 A971).
ИЗ] Noteon Waring's problem (mod p), Ann. Acad. Sci. Fenn. Ser. AI 554A973).
114] On the nonexistence of perfect codes over finite fields, SIAMJ. Appl. Math. 24,
88—96 A973).
I' 5 ] A short proof for the nonexistence of unknown perfect codes over GF (q), q > 2,
Ann. Acad. Sci. Fenn. Ser. AI 580 A974).
116] Proof of a conjecture of S. Chowla, J. Number Theory 7, 353—356 A975).
TIETZE U. P. |1 ] Zur Theorie quadratischer Formen fiber Korpern der Charakte-
Charakteristik 2, J. reine angew. Math. 268/289, 388—390 A974).
ro.MELLI A. |1] Bernerkung fiber die Auflosung quadratischer Congruenzen,
Gottinger Nachr. 1891, 344—346.
TORNHEIM L. [1] Sums of n-th powers in fields of prime characteristic, Duke
Math. J. 4, 359—362 A938).
780 Литература
T'U К. С. [1 ] The structure of (^-matrices and the reducibility of polynomials over
a Galois field (Chinese), Acta Math. Sinica 17, 46—59 A974). «'
[2] Canonical forms of a class of ternary forms over GF B) (Chinese), Acta Math ¦
Sinica 23, 1 — 10 A980).
TURYN R. [1] Sequences with small correlation, Error Correcting Codes
(H. B. Mann, ed.), pp. 195—228, Wiley, New York, 1968.
UCHIYAMA S. [lj Sur les polyn6mes irreductibles dans un corps fini. I, Proc
Japan Acad. 30, 523—527 A954).
f2] Sur le nombre des valeurs distinctes d'un polynome a coefficients dans un '
corps fini, Proc. Japan Acad. 30, 930—933 A954).
[3] Note on the mean value of V (f), Proc. Japan Acad, 31, 199—201 A955),
[4] Sur les polynornes irreductibles dans un corps fini. II, Proc. Japan Acad. 31, ,
267—269 A955).
[5] Note on the mean value of V (f). II, Proc. Japan Acad. 31, 321—323 A955).
|6J Note on the mean value of V (/). Ill, Proc. Japan Acad. 32, 97—98 A956).
|7] On a multiple exponential sum, Proc. Japan Acad. 32, 748—749 A956).
[8] On a conjecture of K. S. Williams, Proc. Japan Acad. 48, 755—757 A970).
ULBRICH K.-H. [1] Ober Endomorphismen, deren MinirnaJpolynorn rnit dem
charakteristischen Polynom iibereinstirnrnt, J. reine angew. Math. 299/300,
385—387 A978).
URBANEK F. J. [1] An О (log n) algorithm for computing the «th element of
the solution of a difference equation, Inform. Process. Lett. 11, no. 2, 66—67
A980).
USPENSKY J. V., HEASLET M. A. [1] Elementary Number Theory, McGraw-
Hill, New York, 1939.
VAIDA D. [1] L'empJoi des imaginaires de Galois dans la theorie des rnecanismes
automatiques. VI (Romanian. French summary), Acad. R, P. Rornme, Bui,
Sti. Sect. Mat. Fiz. 8, 21—29 A956).
VAID'YANATHASWAMY R. [1] The quadratic reciprocity of polynomials mo-
modulo p, J. Indian Math. Soc. 17, 185—196 A928).
[2] The algebra of cubi'c residues, J. Indian Math. Soc. (N. S.) 21, 57—66 A957).
VAJDA S. [1 ] Patterns and Configurations in Finite Spaces, Hafner, New York,
1967.
[2] The Mathematics of Experimental Design, Hafner, New York, 1967,
VAN DER CORPUT J. G. 11 ] Sur un certain systeme de congruences, I, II, Indag
Math. 1, 168—176, 254—259 A939).
VAN DER WAERDEN B. L. [1 ] Noch eine Bemerkung zu der Arbeit «Zur Arith-
metik der Polynome» von U. Wegner in Math. Ann. 105, S. 628—631, Math
Ann. 109, 679—680 A934).
[2] Algebra, vol. 1, 7th ed., Springer-Verfag, Berlin—Heidelberg—New York
1966. [Имеется перевод 8-го издания A971): ВАН ДЕР ВАРДЕН Б. Л
Алгебра. — М.: Наука, 1979, с. 15—296.]
[3] Algebra, vol. 2, 5th ed., Springer-Verlag, Berlin—Heidelberg—New York
1967. [Имеется перевод: ВАН ДЕР ВАРДЕН Б. Л. Алгебра. -- М.: Наука
1979, с. 297—607.]
VAN DE VOOREN-VAN VEEN J. 11 ] On the number of irreducible equation;
of degree n in GF (p) and the decomposability of the cyclotomic polynomial-
in GF (p) (Dutch), Simon Stevin 31, 80—82 A957).
VANDIVER H. S. [1] Note on trinomial congruences and the first case of Fer
mat's last theorem, Ann. of Math. B) 27, 54—56 A925).
[2] Algorithms for the solution of the quadratic congruence, Amer. Math. Mont!i!y
38, 83—86 A929).
[3] Some theorems in finite field theory with applications to Fermat's last tiKlV
rem, Proc. Nat. Acad. Sci. U. S. A. 30, 362—367 A944).
[4] On trinomial congruences and Fermat's last theorem, Proc. Nat. Acad. Sci-
U. S. A. 30, 368—370 A944).
[5] New types of relations in finite field theory. I, II, Proc. Nat. Acad. Sci.
Литература 781
U. S. А. 31, 50—54, 189—194 A945).
f6| On the number of solutions of certain non-homogeneous trinomial equations
in a finite field, Proc. Nat. Acad. Sci. U. S. A. 31, 170—175 A945).
17] On the number of solutions of some general types of equations in a finite
field, Proc. Nat. Acad. Sci. U. S. A. 32, 47—52 A946).
(8] On classes of diophantine equations of higher degrees which have no solu-
solutions, Proc. Nat. Acad. Sci. U. S. A. 32, 101 — 106 A946).
19] Cyclotomy and trinomial equations in a finite field Proc. Nat. Acad. Sci.
U. S. A. 32, 317—319 A946).
110] On some special trinomial equations in a finite field, Proc. Nat. Acad.
Sci. U. S. A. 32, 320—326 A946).
Ill] Limits for the number of solutions of certain general types of equations in
a finite field, Proc. Nat. Acad. Sci. U. S. A. 33, 236—242 A947).
[12] Applications of cyclotomy to the theory of nonhomogeneous equations in a
finite field, Proc. Nat. Acad. Sci. U. S. A. 34, 62—66 A948).
(I3| Congruence methods as applied to diophantine analysis,'Math. Mag. 21, 185—
192A948).
1141 Cyclotomic power characters and trinomial equations in a finite field, Proc.
Nat. Acad. Sci. U. S. A. 34, 196—203 A948).
115] Quadratic relations involving the numbers of solutions of certain types of
equations in a finite field, Proc. Nat. Acad. Sci. U. S. A. 35, 681—685 A949).
116] On a generalization of a Jacobi exponential sum associated with cyclotomy,
Proc. Nat. Acad. Sci. U. S. A. 38, 144—151 A950).
117] On cyclotomy and extensions of Gaussian type quadratic relations invol-
involving numbers of solutions of conditional equations in finite fields, Proc. Nat.
Acad. Sci. U. S. A. 38, 981—991 A952).
i 18] New types of trinomial congruence criteria applying to Fermat's last theorem,
Proc. Nat. Acad. Sci. U. S. A. 40, 248—252 A954).
(I9J On trinomial equations in a finite field, Proc. Nat. Acad. Sci. U. S. A. 40,
1008—1010 A954).
[20] On the properties of certain trinomial equations in a finite field, Proc. Nat.
Acad. Sci. U. S. A. 41, 651—653 A955).
121] Relation of the theory of certain trinomial equations in a finite field to
Fermat's last theorem, Proc. Nat. Acad. Sci. U. S. A. 41, 770—775
A955).
122] On cyclotomic relations and trinomial equations in a finite field, Proc. Nat.
Acad. Sci. U. S. A. 41, 775—780 A955).
[23] Diophantine equations in certain rings, Proc. Nat. Acad. Sci. U. S. A. 42,
656—665 A956); Errata, ibid. 43, 252—253 A957).
f24j The rapid computing machine as an instrument in the discovery of new rela-
relations in the theory of numbers, Proc. Nat. Acad. Sci. U. S. A. 44, 459—464
A958).
125] On distribution problems involving the number of solutions of certain trino-
trinomial congruences, Proc. Nat. Acad. Sci. U. S. A. 45, 1635—1641 A959).
VAN LINT J. H. [1] Coding Theory, Lecture Notes in Math., vol. 201, Springer-
Verlag, Berlin—Heidelberg—New York, 1971.
12] Combinatorial Theory Seminar Eindhoven University of Technology, Lecture
Notes in Math., vol. 382, Springer-Verlag, Berlin—Heidelberg—New York,
1974.
f3] Recent results on perfect codes and related topics, Combinatorics, Part h
Theory of Designs, Finite Geometry and Coding Theory, Math. Centre Tracts,
no. 55, pp. 158—178, Math. Centrum, Amsterdam, 1974.
141 A survey of perfect codes, Rocky Mountain J. Math. 5, 199—224 A975).
VAN LINT J. H RYSER H J. [1 ] Block designs with repeated blocks, Discrete
Math. 3, 381—396 A972).
VAN METER R. G. [1] The number of solutions of certain systems of equations
in a finite field, Duke Math. J. 38, 365—377 A971).
782 Литература
[2] Generalized A-linear equations over a finite field, Math. Nadir. 53, 63— f>7
A972).
[3] The number of solutions of certain equations over a finite field Portugal
Math. 32, 119—124 A973).
VARNUM E. C. [1] Polynomial determination in a field of integers modulo />
J. Computing Systems 1, 57—70 A953).
VAUGHAN R. С [1] The Hardy—Littlewood Method, Cambridge Univ. Prc^
Cambridge, 1981.
VAUGHAN T. P. [1] Polynomials and linear transformations over finite fiebK
J. reine angew. Math. 287, 179—206 A974),
[2) Linear transformations of a finite field, Linear Algebra Appl. 8, 413—№>
A974).
VEBLEN O., BUSSEY W. H. [1] Finite projective geometries, Trans. Amer. Mrii
Soc. 7, 241—259 A906).
VEBLEN O., WEDDERBURN J. H. M. [1] Non-Desarguesian and поп-Рак.:-
lian geometries, Trans. Amer. Math. Soc. 8, 379—388 A907).
VEBLEN O., YOUNG J. W. [1] Projective Geometry, 2 vols., Ginn & Co., Bo-
Boston, 1938.
VEGH E. [1] Pairs of consecutive primitive roots modulo a prime, Proc. Amer.
Math. Soc. 19, 1169-1170 A968).
[2] Primitive roots modulo a prime as consecutive terms of an arithmetic pro
gression, J. reine angew. Math. 235, 185—188 A969).
[3] Arithmetic progressions of primitive roots of a prime. II. J. reine angcu
Math. 244, 108-111 A970).
[4] A new condition for consecutive primitive roots of a prime, Elemente rier
Math. 25, 113 A970).
[5] A note on the distribution of the primitive roots of a prime, J. Number
Theory 3, 13—18 A971).
[6] Arithmetic progressions of primitive roots of a prime. Ill, J. reine angw
Math. 256, 130—137 A972).
VENKATARAYUDU T. [1] The algebra of the <?th power residues, J. Indian
Math. Soc. 3, 73—81 A938).
VERNER L. [1] A singular series in characteristic p, Bull. Acad. Polon, Sci.
Ser. Sci. Math. 28, 957—961 A978).
[2] A singular series in characteristic p, Bull. Acad. Polon. Sci. Ser, Vi
Math. 27, 147—151 A979).
VILANOVA K- [1] О некоторых трехчленных уравнениях над конечными
полями. Труды Универс. Дружбы народов, т. 21, № 2, 1967, с. 17—31.
VINCE А. И] The Fibonacci sequence modulo .?, Fibonacci Quart. 18, 403—4<i7
A978).
[2] Period of a linear recurrence, Acta Arith. 39, 303—311 A981).
VINSON J. [1] The relation of the period modulo m to the rank of apparition
of m in the Fibonacci sequence, Fibonacci Quart. 1, no. 2, 37—45 A9'!3).
VIRY G. [1] Factorisation des polyn6mes a plusieurs variables a coefficient5
entiers, RAIRO Inform. Theor. 12, 305—318 A978).
[2] Factorisation des polynomes a plusieurs variables, RAIRO Inform. Theor, И.
209—223 A980).
VOGT W. G,, BOSE N. K. [1] A method to determine whether two polynomials
are relatively prime, IEEE Trans. Automatic Control AC-15, 379—380 A970».
VON AMMON U., TRONDLE K- [ 1 ] Mathematische Grundlagen der Codierun^.
Oldenbourg, Munich, 1974.
VON GROSSCHMID L. [1] Generalization of a theorem of Lagrange. Contribu-
Contribution to the theory of the distribution of quadratic residues (Hungarian).
Math, es Termesz. Ert. 38, 165-191 A918).
VON NEUMANN J., GOLDSTINE H. H. [1] A numerical study of a conjec-
conjecture of Kummer, Math. Tables Aids Comput. 7, 133—134 A953).
Литература 783
VON SCHRUTKA L. [1] Ein Beweis fur die Zerlegbarkeit der Prirnzahkn von
der Form 6/г + 1 in ein einfaches und ein dreifaches Quadrat, J. reine angew.
Math. 140, 252—265 A911).
VON STERNECK R. D. [1] Ober die Anzahl inkongruenfer Werte, die eine
ganze Funktion dritten Grades annimmt, Sitzungsber. Wien Abt. II, 118,
895—904 A907).
WADE L. I. [1] Certain quantities transcendental over GF (pn, x). I, II, Duke
Math. J. 8, 701—720 A941); ibid. 10, 587—594 A943).
12] Remarks on the Carlitz f-functions, Duke Math. J. 13, 71—78 A946).
[31 Transcendence properties of the Carlitz f-functions, Duke Math. J. 13, 79—
85 A946).
WAGNER С G. [1] On the factorization of some polynomial analogues of bino-
binomial coefficients, Arch. Math. 24, 50—52 A973).
[2J Linear pseudo-polynomials over OF \q, x]. Arch. Math. 25, 385—390 A974).
|3j Polynomials over OF (q, x) with integral-valued differences, Arch. Math. 27,
495—501 A976).
WALKER G. L. [1] Fermat's theorem for algebras, Pacific J. Math. 4, 317—
320 A954).
WALL D. D. [1] Fibonacci series modulo m, Amer. Math. Monthly 87, 525—
532 A960).
WALLIS W. D., STREET A. P., WALLIS J. S. [1] Combinatorics: Room
Squares, Surn-Free Sets, Hadarnard Matrices, Lecture Notes in Math., vol. 292,
Springer-Verlag, Berling—Heidelberg—New York, 1972.
WALUM H. [1] Some averages of character sums, Pacific J. Math. 18, 189
192 A966).
WAMSLEY J. W. [1] On a condition for commutativity of rings, J. London
Math. Soc. B) 4, 331—332 A971).
WAN Z., YANG B. [1] Notes on finite geometries and the construction of
PBIB designs. III. Some «Anzahl» theorems in unitary geometry over finite
fields and their applications, Sci. Sinica 13, 1006—1007 A964).
|21 Studies in finite geometries and the construction of incomplete block de-
designs. Щ. Some «Anzahl» theorems in unitary geometry over finite fields
and their applications (Chinese), Acta Math. Sinica 15, 533—544 A965); Chi
nese Math. Acta 7, 252—264 A965).
WANG P. S. [1] Factoring multivariate polynomials over algebraic numbe:
fields, Math. Сотр. 30, 324—336 A976).
12] An improved multivariate polynomial factoring algorithm, Math. Сотр. 32,
1215—1231 A978).
WANG P. S., ROTHSCHILD L. P. [1] Factoring multivariate polynomials
over the integers, Math. Сотр. 29, 935—950 A975).
WANG Y. [1] A note on the least primitive root of a prime, Sci. Record (N. S.) 3
174—179 A959).
|2] On the least primitive root of a prime (Chinese), Acta Math. Sinica 9, 432—
441 A959); Sci. Sinica 10, 1 — 14 A961).
[3] Estimation and application of character sums (Chinese), Shuxue Jinzhan 7
78—83 A964).
WARD M. (I J The algebra of recurring series, Ann. of Math. B) 32, 1—9 A931)
|2) The characteristic number of a sequence of integers satisfying a linear re-
recursion relation, Trans. Amer. Math. Soc. 33, 153—165 A931).
[3] The distribution of residues in a sequence satisfying a linear recursion rek
tion, Trans. Amer. Math. Soc. 33, 166—190 A931).
[4] Some arithmetical properties of sequences satisfying a linear recursion rela
tion, Ann. of Math. B) 32, 734—738 A931).
Г5] The arithmetical theory of linear recurring series, Trans. Amer. Math. Soc. 35
600—628 A933).
[61 Note on the period of a mark in a finite field, Bull. Amer. Math. Sof 40,
279—281 A934).
784 Литература
[7] An arithmetical property of recurring series of the second order, Bull. Amer
Math. Soc. 40, 825—828 A934).
[8] Note on an arithmetical property of recurring series. Math. Z. 39 211—214'"
A935).
(9| An enumerative problem in the arithmetic of linear recurring series Trans ••
Amer. Math. Soc. 37, 435—440 A935). ::
[101 On the factorization of polynomials to a prime modulus, Ann. of .Math !
B) 36, 870—874 A935). ' i!
111] The null divisors of linear recurring series, Duke Math. J. 2, 472—476 A936). ¦¦
|12J Linear divisibility sequences, Trans. Amer. Math. Soc. 41, 276—286 A937), '
[13| Arithmetic functions on rings, Ann. of Math. BK8, 725—732 A937). '
[14] The law of apparition of primes in a Lucasian sequence, Trans. Amer. Math.
Soc. 44, 68—86 A938),
[15] Arithmetical properties of sequences in rings, Ann. of Math. BK9, 210—
219 A938).
[16J Memoir on elliptic divisibility sequences, Amer. J. Math. 70, 31—74 A948),
WARNING E. [1] Bemerkung zur vorstehenden Arbeit von Herrn Chevalley»
Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg 11, 76—83 A936).
WATERHOUSE W. С [1] Abelian varieties over finite fields, Ann. Sci. Ecole
Norm. Sup. DJ, 521—560 A969).
[2] The sign of the Gaussian sum, J. Number Theory 2, 363 A970).
[3] The normal basis theorem, Amer. Math. Monthly 86, 212 A979).
WATERHOUSE W. C, MILNE J. S. [1] Abelian varieties over finite fields,
Proc. Symp. Pure Math., vol. 20, pp. 53—64, American Math. Society,
Providence, R. I., 1971.
WATSON E. J. [1] Primitive polynomials (mod 2), Math. Сотр. 16, 368 A962).
WATSON G. L. [1] Cubic congruences, Mathematika 11, 142—150 A964).
WEBB W. A. [1J On the representation of polynomials over finite fields as sums
of powers and irreducibles, Rocky Mountain J. Math. 3, 23—29 A973).
[2] Numerical results for Waring's problem in GF [q, x\, Math. Сотр. 27, 193—
196 A973).
[3] Waring's problem in GF [q, x], Ada Arith. 22, 207—220 A973).
[4] Uniformly distributed functions in GF \q, x\ and GF {q, x), Ann. Mat.
Рига Appl. D) 95, 285—291 A973).
WEBB W. A., LONG С. Т. [1] Distribution modulo ph of the general linear
second order recurrence, Atti Accad. Naz. Lincei Rend. Cl. Sci. Fis. Mat.
Natur. (8) 58, 92—100 A975).
WEBER H. [1] Ueber die mehrfachen Gaussischen Sumrnen, J. reine angew.
Math. 74, 14—56 A872).
[2] Beweis des Satzes, dass jede eigentlich primitive quadratische Form unendlich ,
viele Primzahlen darzustellen fahig ist. Math. Ann. 20, 301—329 A882). '
[3] Die allgemeinen Grundlagen der Galois'schen Gleichungstheorie, Math.
Ann. 43, 521—549 A893)/
[4] Lehrbuch der Algebra, vol. 1, Vieweg, Braunschweig, 1895.
[5] Lenrbuch der Algebra, vol. 2, Vieweg, Braunschweig, 1896,
[6] Uber Abel's Summation endlicher Differenzenreihen, Acta Math. 27, 225-
233 A903).
WEDDERBURN J. H. M. [1] A theorem on finite algebras, Trans. Amer. Math.
Soc. 6, 349—352 A905).
WEGNER U. |1J Uber die ganzzahligen Polynome, die fur unendlich viele Priin-
zahlmodiiln Permutationen liefern. Dissertation, Berlin, 1928.
[2] Uber ein algebraisches Problem, Math. Ann. 105, 779—785 A931).
[3J Uber einen Satz von Dickson, Math. Ann. 105. 790—792 A931).
[4] Uber das Verhalten der Potenzsummen der Wurzeln einer algebraischen
Gleichung hinsichtlich ihrer Gruppe, J. reine angew. Math. 173, 185—19°
A935).
Литература 786
WEIL A. [1 ] Sur les fonctions algebriques a corps de constantes fini, C. R. Acad.
Sci. Paris 210, 692—594 A940),
|2J On the Riemann hypothesis in function fields, Proc, Nat. Acad, Sci. U. S. A,
27, 346—347 A941).
|3J Stir les courbes algebriques et les varietes qui s'en deduisent, Actualites
Sci. Ind., no. 1041, Hermann, Paris, 1948.
|4] Varietes abeliennes et courbes algebriques, Actualites Sci. Ind., no. 1064,
Hermann, Paris, 1948.
|5J On some exponential sums, Proc, Nat. Acad, Sci. U. S. A. 34, 204—207
A948).
|6] Numbers of solutions of equations in finite fields, Bull. Arner. Math. Soc. 55,
4<J7—508 A949).
|7J Jacobi sums as «Grossencharaktere», Trans. Arner. Math. Soc. 73, 487—495
A962).
[8] Footnote to a recent paper, Amer. J. Math. 76, 347—350 A954),
|9] Abstract versus classical algebraic geometry, Proc. International Congress
of Math. (Amsterdam, 1954), vol. 3, pp. 550—558, North-Holland, Amster-
Amsterdam, 1956.
110] Somrnes.de Jacobi et caracteres de Hecke, Gottinger Nachr. 1974, 1 — 14.
ill] La cyclotomie jadis et naguere, L'Enseignement Math. B) 20, 247—263 A974).
WEINBERGER P. J., ROTHSCHILD L. P. [1] Factoring polynomials over
algebraic number fields, ACM Trans. Math. Software 2, 335—350 A976).
WE1NSTEIN L. [1] The hyper-Kloosterman sum, L'Enseignement МаЛ. BJ7,
29—40 A981).'
WE1SSINGER J. [1] Theorie der Divisorenkongruenzen, Abh. Math. Sem. Univ.
Hamburg 12, 115—126A938).
WELCH L. R., SCHOLTS R. A. [1] Continued fractions and Berlekamp's algo-
algorithm, IEEE Trans. Information Theory IT-25, 19—27 A979).
WELLS С [1] Groups of permutation polynomials, Monatsh. Math. 71, 248—262
A967).
|2| The number of solutions of a system of equations in a finite field, Acta Arith.
12, 421—424 A967).
13J A generalization of the regular representation of finite abelian groups,
Monatsh, Math. 72, 152—156 A968).
|4| Generators for groups of permutation polynomials over finite fields, Acta
Sci. Math. Szeged 29, 167—176 A968).
15] The degrees of permutation polynomials over finite fields, J. Combinatorial
Theory 7, 49-55 A969).
F] Polynomials over finite fields which commute with translations, Proc. Amer.
Math. Soc. 46, 347—350 A974).
WELLS J., MUSKAT J. B. [1] On the number of solutions of certain trinomial
congruences, Math. Сотр. 19, 483—487 A965).
WENDT E. [1] Arithmetische Studien fiber den «letzten» Fermatschen Satz, welcher
aussagt, dass die Gleichung an = bn + cn fur n > 2 in ganzen Zahlen nicht
auflosbar ist, J. reine angew. Math. 113, 335—347 A894).
WENG L.-J. [I ] Decomposition of от-sequences and its applications, IEEE Trans.
Information Theory IT-17, 457—463 A971).
^'ERTHEIM G. [1] Anfangsgrflnde der Zahlenlehre, Vieweg, Braunschweig, 1902.
WESSELKAMPER Т. С [1] Divided difference methods for Galois switching
functions, IEEE Trans. Computers C-27, 232—238 A978).
12] The algebraic representation of partial functions, Discrete Appl. Math. 1,
137—142 A979).
C1 The algebraic representation of partial functions, Proc. Ninth Internet.
Symp. on Multiple-Valued Logic (Bath. 1979), pp. 290—293, IEEE, Long
Beach, Cal., 1979.
WESTERN A. E. [1] An extension of Eisenstein's law of reciprocity. I, II, Proc.
London Math. Soc. B) 6, 16—28, 265—297 A908).
2 23 3aK. 243 ¦
786 Литература
[2] Some criteria for the residues of eighth and other powers, Proc. London Math
Soc. B) 9, 244—272 A911),
WESTERN A. E., MILLER J. С, Р, [1] Tables of Indices and Primitive Root,.
Royal Soc. Math. Tables, vol. 9, Cambridge Univ. Press, London, 1968.
WHAPLES Q. |1 ] Additive polynomials, Duke Math. J. 21, 55—65 A954).
WHITEMAN A. L. [1] On a theorem of higher reciprocity, Bull. Amer. Math
Soc. 43, 567—572 A937).
[2] A note on Kloosterman sums, Bull. Amer. Math. Soc. 51, 373—377 A94Б).
[3] Theorems analogous to Jacobsthal's theorem, Duke Math.^J. 16, 619—62ii
A949).
[4] Theorems on quadratic partitions, Proc. Nat. Acad. Sci. U. S. A, 36, 60—fifi
A950).
[5] Finite Fourier series and cyclotomy, Proc. Nat. Acad. Sci. U. S. A. 37, 373 -¦
378 A951).
[6] Cyclotomy and Jacobsthal sums, Amer. J. Math. 74, 89—99 A952).
[7] Finite Fourier series and equations in finite fields, Trans. Amer. Math. Sue.
74, 78-98 A953).
[8] The sixteenth power residue character of 2, Canad.J. Math. 6, 364—373A954).
19] The cyclotomic numbers of order sixteen, Trans. Amer. Math. Soc. 86, 401
413 A957).
110] The cyclotomic numbers of order twelve, Acta Arith. 6, 53—76 A960).
[11] The cyclotomic numbers of order ten, Proc. Symp. Appl. Math., vol. 10, pp
95—111, American Math. Society, Providence, R. I., 1960.
[12] A family of difference sets, Illinois J. Math. 6, 107—121 A962).
[13] A theorem of Brewer on character sums, Duke Math. J. 30, 545—552 A963)
[14] Theorems on Brewer and Jacobsthal sums. I, Proc, Symp. Pure Math., vol.
8, pp. 44—55, American Math. Society, Providence, R, I., 1965.
[15] Theorems on Brewer and Jacobsthal sums. II, Michigan Math. J. 12, 65—M)
A965).
WHYBURN С. Т. [1] The distribution of r-th powers in finite fields, J. reinc
angew. Math. 245, 183—187 A970).
[21 An elementary note on character sums, Duke Math. J. 37, 307—310 A971.!).
WILEY F. B. [1 ] Proof of the finiteness of the modular covariants of a system »f
binary forms and cogredient points, Trans. Amer. Math. Soc. 15, 431 —43S
A914).
WILLETT M. [1] The minimum polynomial for a given solution of a linear recur-
recursion, Duke Math, J. 39, 101—104 A972),
[2] The index of an m-sequenee, SIAM J. Appl. Math. 25, 24—27 A973).
[3] On a theorem of Kronecker, Fibonacci Quart. 14, 27—29 A976).
[4] Characteristic m-sequences, Math. Сотр. 30, 306—311 A976).
[5] Factoring polynomials over a finite field, SIAM J, Appl. Math. 35, 333—3J7
A978).
[6] Arithmetic in a finite field, Math. Сотр. 35, 1353—1359 A980).
WILLIAMS H. С [1] Some algorithms for solving x4 = N (mod p), Proc. Third
Southeastern Conf. on Combinatorics, Graph Theory, and Computing (Boca
Raton, Fla., 1972), pp. 451—462, Utilitas Math., Winnipeg, Man., 1972.
[2] Primality testing on a computer, Ars Combinatoria 5, 127—185 A978).
WILLIAMS H. C, ZARNKE С R. [1 ] Some algorithms for solving a cubic congru-
congruence modulo p, Utilitas Math. 6, 285—306 A974).
WILLIAMS K. S. [1] On the number of solutions of a congruence, Amer. Math.
Monthly 73, 44—49 A966).
[2] On the least non-residue of a quartic polynomial, Proc. Cambridge Philos.
Soc. 62, 429—431 A966).
[3] Eisenstein's criteria for absolute irreducibility over a finite field,
Math. Bull. 9, 575—580 A966).
[4] On general polynomials, Canad. Math. Bull. 10, 579—583 A967).
[5] On extremal polynomials, Canad. Math. Bull. 10, 585—594 A967).
Литература 787
[6] Pairs of consecutive residues of polynomials, Canad. J. Math. 19, 655—666
A967).
[71 A sum of fractional parts, Amer. Math. Monthly 74, 978—980 A967).
[8] Note on pairs of consecutive residues of polynomials, Canad. Math. Bull.
11, 79—83 A968).
[9] On exceptional polynomials, Canad. Math. Bull. 11, 279—282 A968).
[10] Quadratic polynomials with the same residues, Amer. Math. Monthly 75,
969—973 A968).
fll] Polynomials with irreducible factors of specified degree, Canad. Math. Bull.
12, 221—223 A969).
[12] Small solutions of the congruence ax1 + by2 = e(rnodfc), Canad. Math.
Bull. 12, 311—320 A969).
f 131 On two conjectures of Chowla, Canad. Math. Bull. 12, 545—565 A969).
|14] Note on factorable polynomials, Canad. Math. Bull. 12, 589—595 A969).
|15] Distinct values of a polynomial in subsets of a finite field, Canad. J. Math.
21, 1483—1488 A969),
A6] Finite transformation formulae-involving the Legendre symbol, Pacific J.
Math. 34, 559—568 A970).
|17] On a result of Libri and Lebesgue, Amer. Math. Monthly 77, 610—613 A970).
[18] A distribution property of the solutions of a congruence modulo a large prime,
J. Number Theory 3, 19—32 A971).
[19] Note on the Kloosterman sum, Proc. Amer. Math. Soc. 30, 61—62 A971).
[20] A class of character sums, J. London Math. Soc. B) 3, 67—72 A971).
121 ] On Salie's sum, J. Number Theory 3, 316—317 A971).
[22] Note on Salie's sum, Proc. Amer. Math. Soc. 30, 393—394 A971).
[23] Small solutions of the congruence а1х\г + о2д:|г + a0 = 0 (mod p), Proc.
Cambridge Philos. Soc. 70, 409—412 A971).
[24] Note on the number of solutions of / (xs) = / (x.,) = ... = / (xr) over a finite
field, Canad. Math. Bull, 14, 429—432 A971)T
[25] Note on Dickson's permutation polynomials, Duke Math. J, 38, 659—665
A971).
B6] Products of polynomials over a finite field, Delta (Waukesha) 3, no. 2, 35—37
A972).
[27] Exponential sums over GF B"), Pacific J. Math. 40, 511—519 A972).
128] The Kloosterman sum revisited, Canad. Math. Bull. 16, 363—365 A973).
129] Elementary treatment of quadratic partition of primes p = 1 (mod 7), Illinois
J. Math. 18, 608—621 A974).
[30] Note on a cubic character sum, Aequationes Math. 12, 229—231 A975),
131 ] On Euler's criterion for cubic nonresidues, Proc. Amer. Math. Soc. 49, 277—
283 A975),
[32] Note on cubics over GF Bn) and GF Cn), J. Number Theory 7, 361—365
A975).
133] Note on a result of Kaplan, Proc. Amer. Math, Soc. 56, 34—36 A976).
[34] A rational octic reciprocity law, Pacific J. Math. 63, 563—570 A976).
[35] Note on Brewer's character sum, Proc. Amer. Math. Soc. 71, 153—154 A978).
[36] Remark on an assertion of Chowla, Norske Vid. Selsk. Skrifter 1979, no, 1,
3-4.
[37] Problem E 2760, Amer. Math. Monthly 86, 128 A979); Solution, ibid. 87,
223—224 A980).
C8] Evaluation of character sums connected with elliptic curves, Proc. Amer.
Math. Soc. 73, 291—299 A979).
WILLIAMS W. L. Q, [I] Fundamental system of formal modular seminvariants
of the binary cubic, Trans. Amer. Math. Soc. 22, 56—79 A921).
[2] On the formal modular invariants of binary forms, J. Math. Pures Appl. (9) 4,
169—192 A925).
Vs 23*
,788 Литературм
[3] Fundamental systems of formal modular protomorphs of binary forms, Тгагъ
Arner. Math. Soc. 28, 183—197 A926),
|4J Formal modular invariants of forms in q variables, Proc. International Math.
Congress (Toronto, 1924), vol. 1, pp. 347—359, Univ. of Toronto Press To-
Toronto, 1928.
[5] A summation theorem in the theory of numbers, Trans. Roy, Soc. Canada
CJ6, 35—37 A932).
WILSON R. M. |IJ An existence theory for pairwise balanced designs, 1, II, j
Combinatorial Theory Ser, A. 13, 220—245, 246-273 A972),
[2] An existence theory for pairwise balanced de-sings. Ill - Proof of the e.\i-
stence conjectures, J. Combinatorial Theory Ser, A 18, 71 79 A975).
WILSON T. C., SHORTT J. |1] An O(log«) algorithm for computing general
order-ft Fibonacci numbers. Inform. Process, Lett, 10, mi, 2, 68 ^75 A980)
WINOGRAD'S, [1 ] Some bilinear forms whose multiplicative complexity depends
on the field of constants, Math, Systems Theory 10, 169 - 180 A977).
[2| On multiplication in algebraic extension fields, Theoret. Comput. Sci. 8
359-377 A979).
WINTER D. J. II] The Structure of Fields, Springer-Verlag, New York — Heidel-
Heidelberg — Berlin, 1974.
WITT E. [1] Uber die Kommutativitat endlicher Schiefkorper, Abh. Math, Sem.
Univ. Hamburg 8, 413 A931).
[2] Uber eine Invariante quadratischer Formen mod 2, J. reine angew. Math.
193, 119—120 A954).
WOLFMANN J, |11 Un probleme d'extremum dans les espaccs vectoriels binaire$,
Ann. Discrete Math. 9, 261—264 A980).
WOLFOWITZ J. [1| Coding Theorems of Information Theory, Prentice-Hall,
Englewood Cliffs, N, J., 1961. [Имеется перевод: ВОЛЬФОВИЦ ДЖ. Тео-
Теоремы кодирования теории информации. — М.: Мир, 1967.]
WOLKE D. [1] Eine Bemerkung uber das Legendre-Symbol, Monatsh. Math. 77,
267—275 A973).
WYLER O. [1] On second-order recurrences, Arner. Math. Monthly 72, 500-506
A965).
WYMAN B. F. [1 ] What is a reciprocity law?, Arner. Math. Monthly 79, 571—586
A972).
YALAV1OI С. С. [I] A conjecture of J. H. Halton, Math. Education Ser. A 4,
125—126 A970).
[2] Fibonacci series modulo m. Math. Education Ser. A 7, 48—54 A973).
YALAVIGI С. С, KRISHNA H. V. [1] Periodic lengths of the generalized Fibo-
Fibonacci sequence modulo p, Fibonacci Quart. 15, 150—152 A977).
YALE R. B, [1] Error correcting codes and linear recurring sequences, Report
34-77, M. I. T. Lincoln Laboratory, Lexington, Mass., 1958.
YAMADA T. [1] On the Davenport — Hasse curves, J. Math. Soc. Japan 20,
403—410 A968).
YAMAMOTO K, [1] On Gaussian sums with biquadratic residue characters, J,
reine angew. Math. 219, 200—213 A965).
[2] On a conjecture of Hasse concerning multiplicative relations of Gaussian
sums, J. Combinatorial Theory 1, 476—489 A966).
[3] On Jacobi sums and difference sets, J. Combinatorial Theory 3, 146 -Is'
A967).
[4] The gap group of multiplicative relationsnips of Gaussian sums, SyfflPl")'>ia
Math., vol. 15, pp. 427—440, Academic Press, London, 1975.
YAMAMOTO Y., NAGANUMA M., DOI K. [1] Experimental integer theory
(Japanese), Sflgaku 18, 95—103 A966).
YAMAUCHI M. [1] Some identities on the character sum containing .<'<•'
— 1) (x — A.), Nagoya Math. J. 42, 109- -113 A971).
YIN K- Z, [1] An inversion formula for switching functions (Chinese), J. M-itM-
Res, Exposition 1981, no, 1, 63—68,
Литература 789
НЖОУАМА А. [1]Оп the Gaussian sum and the Jacobi sum with its application,
Tohoku Math. J. B) 16, 142—153 A964).
YOSHIDA H. [1J On an analogue of the Sato conjecture, Invent. Math. 19 261 —
277 A973)-.
YOUNG F. H. |1J Analysis of shift register counters, J. Assoc. Comput. Mach 5,
385—388 A958).
ZADEH L. A., DESOER C. A. [1] Linear System Theory, McGraw-Hill, New
York, 1963. [Имеется перевод: ЗАДЕ Л., ДЕЗОЕР Ч. Теория линейных
систем. Метод пространства состояний. —М.: Наука, 1970.]
ZADEH L. A., POLAK Е. [1] System Theory, McGraw-Hill, New York 1969.
ZANE B. [1J Uniform distribution modulo m of monomials, Amer. Math. Monthly
71, 162—164 A964).
ZASSENHAUS H. [1J Uber endliche Fastkorper, Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg
11, 187—220 A936).
|2] A group-theoretic proof of a theorem of Maclagan — Wedderburn, Proc.
Glasgow Math. Assoc. 1, 53—63 A952).
[3 | The quadratic law of reciprocity and the theory of Galois fields, Proc. Glasgow
Math. Assoc. 1, 64—71 A952).
[4] Uber die Fundamentalkonstruktionen der endlichen Korpertheorie, Jber.
Deutsch. Math.-Verein. 70, 177—181 A968).
[5] On Hensel factorization, I, J. Number Theory 1, 291—311 A969).
|6] On Hensel factorization. II, Symposia Math,, vol. 15, pp. 499—513, Academic
Press, London, 1975.
|7| A remark on the Hensel factorization method, Math. Сотр. 32, 287—292
A978).
Z1\CKENDORF E. |l | Representation graphique des suites recurrentes modulo p
et premiers rcsultats, Bull. Soc. Roy. Sci. Liege 45, 13—25 A976).
ZEE Y.-C. [1J The Jacobi sums of orders thirteen and sixty and related quadratic
decompositions, Math. Z 115, 259-272 A970).
[2] The Jacobi sums of order twenty-two, Proc. Amer. Math. Soc. 28, 2Б—31
A971).
ZETTERBERG L.-H. 11J Cyclic codes from irreducible polynomials for correction
of multiple errors, IRE Trans. Information Theory IT-8, 13—21 A962).
[Имеется перевод: ЦЕТТЕРБЕРГ Л. X. Циклические коды, исправляющие
кратные ошибки и построенные с помощью неприводимых полиномов, —
В кн.: Теория кодирования. — М.: Мир, 1964, с. 40—64, J
ZIERLER N. [1 j Several binary-sequence generators, Tech. Report no. 95, M. I. T.
Lincoln Laboratory, Lexington, Mass., 1955.
12] On the theorem of Gleason and Marsh, Proc. Amer. Math. Soc. 9, 236-237
A958).
131 On a variation of the first-order Reed — Muller codes, Report 34-80, M. I. T.
Lincoln Laboratory, Lexington, Mass., 1958.
14] Linear recurring sequences, J. Soc. Indust. Appl. Math. 7, 31—48 A959).
[Имеется перевод: ЦИРЛЕР Н. Линейные возвратные последовательности.—
В кн.: Кибернетический сборник, вып. 6. — М,: ИЛ, 1963, с. 55—79.]
15] Linear recurring sequences and error-correcting codes, Error Correcting Codes
(H. B. Mann, ed.), pp. 47—59, Wiley, New York, 1968.
[6] Primitive trinomials whose degree is a Mersenne exponent, Information and
Control 15, 67—69 A969).
17] On x"+ x+ 1 over GF B), Information and Control 16, 502—505 A970).
|K] /Trinomials with non conjugate roots of the same prime order, J. Combinatorial
Theory Ser. All, 307—309 A971).
19] A conversion algorithm for logarithms on GF B"), J. Pure Appl. Algebra 4,
353—356 A974).
ZIERLER N. BRILLHART J. [1] On primitive trinomials (mod 2), Information
and Control 13, 641—564 A968).
790 Литература
[2] On primitive trinomials (mod 2), II, Information and Control 14, 566- r.ti'J
A969).
ZIERLER N., MILLS W. H. [1] Products of linear recurring sequences, J, Algebra
27, 147—157 A973).
ZIMMER H, G. [1 ] An elementary proof of the Riemann hypothesis for an elliptic
curve over a finite field, Pacific J. Math. 36, 267—278 A971).
[2] Computational Problems, Methods, and Results in Algebraic Number Theory,
Lecture Notes in Math., vol. 262, Springer-Verlag, Berlin — Heidelberg ' -
New York, 1972.
ZSIGMONDY K. [1] Zur Theorie der Potenzreste, Monatsh. Math. Phys. 3, 26".- .
284 A892).
[2] Ueber die Anzahl derjenigen ganzen ganzzahligen Functioncn /tten Grailos
von x, welche in Bezug auf cinen gegebenen Primznhlmodul eine vorgeschrii1-
bene Anzahl von Wurzeln besitzen, Sitzungsber. Wien Abt. II 103, 135—114
A894).
[3] Ueber wurzellose Congruenzen in Bezug auf einen Primzahlmodul, MonaNi.
Math. Phys. 8, 1—42 A897).
АБДУЛЛАЕВ И. [1] Эллиптические кривые и представление чисел квлтгр-
нарными квадратичными формами. — Докл. АН УзССР, К» 1, 1973, с. 3- 4
. [2] Эллиптические кривые н представление чисел некоторыми квадратичны*»:»
формами с четырьмя переменными.—Изв. АН УзССР. Серия физ.-м-н.
иаук., т. 18, № 1, 1974, с. 59—60.
АБДУЛЛАЕВ И., КОГАН Л, А. [1J Эллиптические кривые и представление чил-л
положительными квадратичными формами. —Докл. АН УзССР, № <i,
1971, с, 3—4.
АВАНЕСОВ Э. Т. [1] О проблеме В, Мниха. — Mat.-Fiz. Casopis Sloven. Aknd.
Vied, т. 15, 1965, с. 280—284.
АЙЗЕНБЕРГ Н. Н., СЕМИОН И. В., ЦИТКИН А. И. [1] Полиномиальны-.:
представления логических функций. — Автоматика и выч. техн.. Л° -.
1971, с. 6-13.
АКУЛИНИЧЕВ Н. М. [1] Оценки рациональных тригонометрических >.учч
специального вида.—Докл. АН СССР, т. 161, № 4, 1965, с. 743—745.
АЛАДОВ Н. С. [1J О распределении квадратичных и неквадратичных вычел1"
простого числа р в ряду 1, 2, ... , р — 1. — Матем. сборник, т, 18, вып. I.
1896, с. 61—75.
АНАНИАШВИЛИ Г. Г., ВАРШАМОВ Р. Р., ГОРОВОЙ В. П., ПАРХО.МЕН-
КО П. П. [1] К вопросу разложимости полиномов над полем GFB).--
Сообщ. АН ГССР, т. 41, М> 1, 1966, с. 129—134.
АНДРИАНОВ А. Н. [1] Представление чисел некоторыми квадратичными фер-
фермами в связи с теорией эллиптических кривых. — Изв. АН СССР. Серия
Матем., т. 29, № 1, 1965, с. 227—238.
АНДРУХАЕВ X. М. [1 ] Об одной сумме типа Клоостермана — В кн.: Некоторые
вопросы теории полей. — Изд. Сарат. универс: Саратов, 1964, с. 60—(¦•>¦
[2] Обобщение сумм Клостермана на поле Гаусса и их оценки. — Научи.
труды Краснодарского пед. инст., вып. 118, 1969, с. 29—40.
АРАКЕЛОВ В. А., ВАРШАМОВ Р. Р. [1J К исследованию алгебраической струк-
структуры периодических рекуррентных последовательностей. — Изв. А"
АрмССР. Серия матем., т. 6, № 5, 1971, с. 379—385.
АРАКЕЛОВ В. А., ТЕНЕНГОЛЬЦ Г. М. [1 ] Некоторые свойства рекуррентных
периодических последовательностей. — Труды ВЦ АН АрмССР и F-P°Bi[I"
ского гос. университета. Матем. вопросы киберн. и выч. техн., вып. (i. I9»
с. 18—28.
АРХИПОВ Г. И., КАРАЦУБА А. А., ЧУБАРИКОВ В. Н. [1] Кратны ¦.¦ три-
тригонометрические суммы. — Труды Матем. института им. В. А. Стскловй.
т. 151, 1980, с. 1—128.
Литература 791
БАБАЕВ Г., ИСМОИЛОВ Д. [1] О числе решений одной пары сравнений, —
Докл. АН ТаджССР, т. 22, № 7, 1979, с, 404—407.
БАССАЛЫГО Л. А. [1] Замечание о быстром умножении многочленов над по-
полями Галуа. — Пробл. передачи информ., т, 14, JSTs 1, 1978, с, 101—102.
БЛОХ Э. Л. [1J О методе декодирования для кодов Боуза — Чоудхури, исправ-
исправляющих тройные ошибки. —Изв. АН СССР. Серия техн. киберн., № 3,
1964, с. 30—37.
БОРЕВИЧ 3. И., ШАФАРЕВИЧ И. Р. [1] Теория чисел. — М.: Наука, 1985.
БУХШТАБ А. А. [1] О числах арифметической прогрессии, у которых все про-
простые множители малы по порядку роста. —Докл. АН СССР, т. 67, JNfs 1,
1949, с. 5—9.
ВАРШААЮВ Р. Р. |1 ] Оценка числа сигналов в кодах с коррекцией ошибок. —
Докл. АН СССР, т. 117, № 5, 1957, с. 739—741.
[2] Об одной теореме из теории приводимости полиномов. — Докл. АН СССР,
т. 156, № 6, 1964, с, 1308—1311.
[3] Об одном линейном операторе в поле Галуа и его приложении.—Studia
Sci. Hungar., v. 8, № 1—2, 1973, p. 5—19.
[4] Некоторые вопросы конструктивной теории приводимости полиномов над
конечными полями. — В кн.: Проблемы кибернетики, вып. 27. —М.: Физ-
матгиз, 1973, с. 127—134; исправления: вып. 28, с. 280.
[5] Операторные подстановки в поле Галуа и их приложение. — Докл. АН СССР,
т. 211, № 4, 1973, с. 768—771.
ВАРШАМОВ Р. Р., АНАНИАШВИЛИ Г. Г. [1] К теории приводимости поли-
полиномов в конечном поле. — В ки.; Абстрактная и структурная теория по-
построения релейных устройств, (под ред. М. А. Гаврилова). —М.: Наука,
1966, с. 134—138.
ВАРШАМОВ Р. Р., АНТОН ЯН А. М. [ 1 ] Об одном методе синтеза неприводимых
полиномов над конечными полями. — Докл. АН АрмССР, т. 66, К» 4,
1978, с. 197—199.
ВАРШАМОВ Р. Р., ГАМКРЕЛИДЗЕ Л. И. [1J Об одном методе построения при-
примитивных полиномов над конечными полями. — Сообщ. АН ГССР, т. 99,
№ 1, 1980, с. 61—64.
ВАРШАМОВ Р. Р., ГАРАКОВ Г. А. [1 ] К теории самодвойственных полиномов
над полем Галуа. Матем. вопр. киберн. и вычисл.техн. —Труды ВЦ АН
АрмССР и Ереван, гос. унив., вып. 6, 1970, с. 5—17.
ВАРШАМОВ Р. Р., ОСТИАНУ В. М. [1] Применение теории конечных полей
к теории корректирующих кодов и синтезу надежных релейных структур. —
В кн.: Теория конечных и вероятностных автоматов. — М.: Наука, 1965, с.
376—378.
ВАСИЛЬЕВ Ю. Л. [1] О негрупповых плотно упакованных кодах. — В кн.:
Проблемы кибернетики, вып. 8. —М.: Физматгиз, 1962, с. 337—339.
ВАСИЛЬЕВ Ю, П. [1 ] Описание конечных полей с помощью ЭВМ. — Киберне-
Кибернетика (Киев), № 5, 1979, с. 133—135.
ВИНОГРАДОВ А. И. [1 ] О кубической сумме Гаусса. — Изв. АН СССР. Серия
матем., т. 31, № 1, 1967, с. 123—148.
ВИНОГРАДОВ И. М. [1] Sur la distribution des residus et des nonresidus des
puissances.—Журн. физ.-матем. общ. при Пермском гос. унив., № 1,
1918, с. 94—98.
[2] On a general theorem conserning the distribution of the residue and non-
residues of powers. — Trans. Amer. Math. Soc, v. 29, 1927, p. 209—217.
f3) On the bound of the least non-residue of я-th powers. — Trans. Amer. Math.
Soc, v. 29, 1927, 218—226.
[4] Об одной тригонометрической сумме и ее приложениях в теории чисел. —
Докл. АН СССР, № 5, 1933, с. 195—204.
[5] О некоторых тригонометрических суммах и их приложениях.—Докл.
АН СССР, № 6, 1933, с. 249—254.
16] Новые приложения тригонометрических сумм. —Докл. АН СССР» т. 1,
792 Литература
№ 1, 1934, с. 10—14. , :
|7] Новые асимптотические выражения. - Докл. АН СССР, т. 1, № 2 1934
с. 49-51.
[8J Некоторые теоремы о распределении индексов и первообразных корней
Труды Матем. инст. им. В. А. Стеклова АН СССР, т. 5, 1934, с, 87—93,'
[9] Тригонометрические суммы, зависящие от составного модуля.—Докл"
АН СССР, т. 1, № 5, 1934, с, 225-229.
[10] Новые теоремы о распределении квадратичных вычетов. — Докл. АН СССР
т. 1, № 6, 1934, с. 289—290.
[111 Новые теоремы о распределении первообразных корней. —Докл. АН СССР
т. 1, № 7, 1934, с. 366—369.
[12J Новое усовершенствование метода оценки двойных сумм. —Докл. АН СССР
т. 73, № 4, 1950, с. 635-638.
ВОРОБЬЕВ Н. Н. [1J Числа Фибоначчи. — М.: Наука, 1969.
ВОРОНОЙ Г. Ф. [11 О целых алгебраических числах, зависящих от корня урав-
уравнения третьей степени. — СПб, изд. Акад. наук, 1894; см. также: Собр. соч.
в 3-х томах, т. 1, Клев, изд. АН УССР, 1952, с. 25—195.
[2] Об одном свойстве дискриминанта целых функций. Verhandl. Dritten Intern.
Math.-Kong. (Heidelberg, 1904), p. 186-189, Teubner, Leipzig, 1905; см.
также Собр. соч. в 3-х томах, т. 3, Киев; изд. АН УССР, 1953, с. 12—15.
ГАБИДУЛИН Е. М. [1] О кодах, инвариантных относительно линейных преоб-
преобразований.— Раднотехн. и электроника, т. 11, 1966, с. 433—438.
ГАНТМАХЕР Ф, Р. [1] Теория матриц. — М.: Наука, 1967.
ГАРАКОВ Г. А. [1] Алгоритм определения неприводимых двоичных полиномов
и их показателей. — Изв. АН АрмССР, серия физ.-мат. наук, т. 17, № 5t
1964, с. 7—16.
[2] Об одном свойстве первообразных элементов поля Z* —Докл. АН АрмССР,
т. 46, № 5, 1968, с. 213—216.
[3] Таблицы неприводимых полиномов над полем GF (р) (р ^ 11). —Матем.
вопр. киберн. и выч. техн. -- Труды ВЦ АН АрмССР и Ереван, гос. унив.,
вып. 6, 1970, с. 112-142.
ГЕЛЬФАНД С, И. [1] О неприводимых многочленах над конечным полем,—
Успехи мат. наук, т. 24, № 1 A969), с. 193—194.
[2] Представления полной линейной группы над конечным полем. — Матем,
сборник, т. 83. вып. 1, 1970, с. 15—41.
ГЕЛЬФОНД А. О. [1J Исчисление конечных разностей.—М.: Наука, 1967,
ГЕЛЬФОНД А. О., ЛИННИК Ю. В. [1 ] Элементарные методы в аналитической
теории чисел. — М.: Физматгиз, 1962.
ГОППА В. Д. [1] Декодирование и диофантовы приближения. — Пробл.
управл. и теор. информации, т. 5, 1976, с. 195—206.
[2] Коды на алгебраических кривых. — Докл. АН СССР, т. 259, N° 6, 1981,
с. 1289—1290.
ГОРБОВ А. Н., ШМИДТ Р. А. [1] Резольвента Клейна для уравнения 5-й ете*
пени над полем характеристики, делящей 5!. — Зап. науч. семинарии
ЛОМИ АН СССР, т. 46, 1974, с. 36—40.
ГРЕБЕНЮК Д. Г. [1] О целых алгебраических числах, зависящих от лепринч-
димого уравнения 4-й степени. — Бюлл. Ср.-Аз. гос. унив,, Ташкой:,
т. 11, 1925, с. 19—43.
[2] Применение комплексных чисел Вороного к решению сравнений четвертой
степени, — Труды Инст. матем. им. Романовского АН УзССР, вып. 2'>.
1962, с. 57—80.
ГРУШКО И. И. [1] Об одном подходе к вопросу о корректирующих возмож-
возможностях групповых кодов. — Радиотехн, и электр., т, 9, вып. 10, 1964, i'
1749—1756.
ДЕМЬЯНОВ В. Б. [1] О представлении нуля формами вида VajX", Докл.
АН СССР, т. 105, № 2, 1955, с. 203—205. '='
Литература 798
|2] Пары квадратичных форм иад полным дискретно-нормированным полем
с конечным полем классов вычетов, — Изв. АН СССР. Сер. матем , т. 20
№ 3, 1956, с. 307—324.
ДОБРУШИН Р. Л. [1] Survey of Soviet research in information theory, IEEE
Trans, Information theory, v. IT-18, 1972, p. 703—724.
ДЫНЬКИН В. Н., АГАРОНОВ ДА. [1 ] Метод разложения полиномов в конеч-
конечном поле, — Пробл. передачи информ., т. в, вып. 3, 1970, с. 82—86.
ЕЛИСТРАТОВ И. В, [1] О числе решений некоторых уравнений в конечных
полях. — В кн.: Труды молодых ученых.—Саратов; нзд. Сарат. унив.,
1964, с. 27—30.
12] О числе решений некоторых уравнений в конечных полях, — В кн.: Некото-
Некоторые вопросы теории полей. —Саратов: Изд. Сарат. унив., 1964, с. 48—69,
|3] Об элементарном доказательстве теоремы Хассе. — В кн.: Исследования
по теории чисел, вып. 1. —Саратов: Изд. Сарат. унив., 1966, с. 21—26.
[4] Число классов и расположение нулей 1 (м)-функции, — Волжский матем.
сборник, вып. 4, 1966, с. 58—65.
15] Некоторые вопросы теории алгебраических функций, — В ки.: Исследова-
Исследования по теории чисел, вып. 4. —Саратов: Изд. Сарат, уТнив,, 1972, с. 17—34.
[6] Одеика числа решений некоторого уравнения в конечном поле. —Докл.
АН ТаджССР, т. 17, Ш 8, 1974, с. 3—6.
[7] Элементарный подход к одеике рациональных тригонометрических сумм.
Литов. матем. сборник, т. 17, № 2, 1977, с. 91—110.
ЖМУДЬ Э. М. [1] Об одном инварианте квадратичных форм над полем Галуа
характеристики 2. — Вестн. Харьков, госуд. универ., № 177, Прикл.
матем. и мех., вып. 44, 1979, с. 77—86.
ЗИНОВЬЕВ В. А., ЛЕОНТЬЕВ В, К. [1] Несуществование совершенных кодов
над полями Галуа. —Пробл'. управл. и теор. информ., т. 2, We 2, 1973,
с, 123-132.
ИВАНОВ И, И, [1] О двух сравнениях. —Журн. Ленингр. Физ.-мат. общ.,
т. 1, 1926, с, 37—38.
ПЛАТОВ В. П. [1] К теории троичных последовательностей с идеальными
периодическими автокорреляционными свойствами. — Радиотехн. и элек-
электрон., т. 25, 1980, с. 723—727.
ПСКОВСКИХ В, А. II1 Проверка гипотезы Римаиа для некоторых локальных
дзета-фуикций. Успехи матем. наук, т. 28, вып. 3, 1973, с. 171—182.
КАЛУЖНИН Л. А. [1 ] La structure des p-groupes de Sylow des groupes symetri-
ques finis. — Ann. Sci. Ecole Norm. Sup. v. C) 65, 1948, 239—276.
КАРАЦУБА A. A. [1] Проблема Тэри для систем уравнений.—Матем. сб.,
т. 55, вып. 2, 1961, с. 209—220.
[2] О системах сравнений. — Изв. АН СССР. Серия, матем., т. 29, JSft 4, 1965,
с. 935—944.
[3] Асимптотические формулы для некоторого класса тригонометрических
сумм. —Докл. АН СССР, т. 169, № 1 1966, с. 9—11.
[4] Теоремы о среднем и полные тригонометрические суммы. — Изв. АН СССР,
серия матем., т. 30, N° 1, 1966, с. 183—206.
15] Об оценках полных тригонометрических сумм. — Матем. заметки, т. 1,
вып. 2, 1967, с. 199—208.
[6] Суммы характеров и первообразные кории в конечных полях. —Докл.
АН СССР, т. 180, № 6, 1968, с. 1287—1289.
17] О тригонометрических суммах.—Докл. АН СССР, т. 189, № 1, 1969,
с. 31—34.
18] Об оценках сумм характеров. — Изв. АН СССР. Серия матем., т. 34, № 1,
1970, с. 20—30.
|9] Об оценках снизу сумм характеров от многочленов. — Матем. заметки,
т. 14, вып. 1, 1973, с. 67—72.
КЛЯЧКО А. А. [1 ] Группы моиодромии полиномиальных отображений, — В кн:
Исследования по теории чисел, вып. 6.—Саратов: Изд. Сарат. унив.,
794 Литература
1975, с. 82—91.
КНИЖНЕРМАН Л. А., СОКОЛИНСКИЙ В, 3. [1] Некоторые оценки рацио-
рациональных тригонометрических сумм н сумм символов Лежандра. — Успехи
матем. наук, т. 34, вып. 3, 1979, с, 199—200.
КОЗЕЛ П. Т., ШАКЛЕИНА Т. А. [11 Число изотропных подпространств в прост-
пространстве с ортогональной метрикой. Вестн. Белорус, гос. унив., сер, 1, № 1,
1975, с. 11—15.
КОРОБОВ Н. М. [1 ] Распределение невычетов и первообразных корней в рекур-
рентных рядах. —Докл. АН СССР, т. 88, Ks 4, 1953, с. 603—606.
[2] Оценки тригонометрических сумм и их приложения. Успехи матем. наук,
т. 13, вып. 4, 1958, с, 185-192,
[3] Об оценке рациональных тригонометрических сумм. Докл. АН СССР,
т. 118, №, 2, 1958, с. 231—232.
[41 О нулях функции ? (s). — Докл. АН СССР, т. 118, №> 3, 1958, с. 431—432.
[5] Двойные тригонометрические суммы н нх приложения к оценке рациональ-
рациональных сумм. —Матем. заметки, т. в, вып. 1, 1969, с. 25—34.
[6] Оценка суммы символов Лежандра.— Докл. АН СССР, т, 196, № 4, 1971,
с. 764—767.
[7] О полных системах сравнений. — Acta Arith., v. 21, 1972, p. 357—366.
КОРОБОВ Н. М., МИТЬКИН Д. А. [1] О нижних оценках полных три-
тригонометрических сумм. —.Вестн. Моск. гос. уннв,, сер. матем. н мех,, 1977,
№ 5, с. 54—57.
КУЗНЕЦОВ В. Н. [1] Z-функции одного класса Артин—Шрайеровых на-
накрытий, — Матем. зап. Уральск, унив., т. 10, We 1, 1976, с. 24—36.
КУЗНЕЦОВ Н. В. [1] Гипотеза Петерсона для параболических форм веса
нуль и гипотеза Линннка, Суммы сумм Клостермана. Матем, сб., т. 111,
вып. 3, 1980, с. 334—383.
КУРБАТОВ В. А. [1] О полиномах, которые дают подстановки для беско-
бесконечно многих простых чисел, — Ученые зап. Свердловск, гос. пединст.,
т. 4, 1947, с. 79—121.
[2] Обобщение теоремы Шура относительно одного класса алгебраических
функций. —Матем. сб., т. 21, вып. 1, 1947, с. 133—141.
[3] О группе монодромни одной алгебраической функции. — Матем. сб., т. 25,
вып. 1, 1949, с, 51—94.
КУРБАТОВ В, А., СТАРКОВ Н. Г. [11 Об аналитическом представлении
подстановок. — Уч. записки Свердловск, гос. пединст., т. 31, 1965, с. 151 —
158.
ЛАБУНЕЦ В. Г., СИТНИКОВ О. П. [1] Гармонический анализ буле-
булевых функций н функций й-значной логнкн над конечными полями. — Изв.
АН СССР, серия техн. киберн., № 1, 1975, с. 141—148.
ЛЕБЕДЕВ С, С. Н] Об оценке одной тригонометрической суммы, —Вестн.
Моск. гос. унив,, сер, матем., мех., № 3, 1961, с. 22—28.
ЛЕНСКОЙ Д. Н, [1] К арифметике многочленов над конечным полем. —
Волжск, матем. сб., вып. 4, 1966, с. 155—159.
[2] К арифметике многочленов над конечным полем II. —В кн.: Исследования
по теории чисел, вып. 1. —Саратов; изд. Саратовск. уннв., 1966, с, 27—34,
ЛИННИК Ю. В. [1] Некоторые замечания об оценке тригонометрических
сумм. — Успехи матем, наук, т. 14, вып. 3, 1959, с. 153—160.
[2] Additive problemes and eigenvalues of the modular operators. International
Congress of Math. (Stockholm, 1962), Institut Mittag—Leffler, 1963, p, 270—
284.
ЛИТВЕР Е. Л., ЮДИНА Г, Е. [ 1 ] Первообразные корнн для простых
чисел первого миллиона и их степеней, — Матем, анализ и его првлож.,
вып. 3. — Ростов-на-Дону: изд. Ростовск. унив., 1971, с, 106—-109.
ЛЬВОВ И. В. [1] Одно приложение теоремы Шевалле—Варнинга в теорий
колец. —Матем. зап. Урал. гос. унив., т, 11, вып. 1, 1978, с. 110—!"¦*¦
Литература 795
МАЗУР Л. Е. [1J О последовательных вычетах и невычетах многочленов.
— Матем. заметки, т. 7, вып. 1, 1970, с. 97—107.
МАЛЫШЕВ А. В. [1] Обобщение сумм Клостермана и их оценки. — Вестн.
Леиингр. унив., сер. матем., мех. и астрон., № 13, вып. 3, 1960, с. 59—75.
[2] О суммах Гаусса и суммах Клостермана. —Докл. АН СССР, т. 133, № 5,
1960, с. 1017—1020.
[3] О представлении целых чисел положительными квадратичными фор-
формами. — Труды Матем. инст. им. В. А. Стеклова АН СССР, т. 65, 1962.
[4] О коэффициентах Фурье модулярных форм. Зап. научн. семинара Леиингр.
отделен. Матем. инст. им. Стеклова АН СССР, т. 1, 1966, с. 140—163.
МАНИН Ю, И. [1] О сравнениях третьей степени по простому модулю. —
Изв. АН СССР сер. матем., т. 20, № 5, 1956, с. 673—678.
[2] Об арифметике рациональных поверхностей. —Докл. АН СССР, т. 152,
№ 1, 1963, с. 47—49.
[3] Соответствия, мотивы и моиоидальные преобразования. Матем. сб., т. 77,
вып. 4, 1968, с. 475—507.
[4] Кубические формы. Алгебра, геометрия, арифметика. —М.: Наука, 1972.
[5] What is the maximum number of points on a curve over F2? — J. Fac. Sci.
Univ. Tokyo Sect. IA, v. 28, 1981, p. 715—720.
МАРКОВИЧ О. Ф. [1J Исследование особой суммы в системах варинговского
типа методом элементарного сглаживания. — Труды Куйбыш. пед. инст.,
т. 215, 1978, с. 30—37,
МАРКУШЕВИЧ А. И. [1] Возвратные последовательности.— М.: Наука,
1975.
МАТВЕЕВА М. В. [1] О решении уравнений третьей степени в поле харак-
характеристики 3.—Пробл. передачи информ., т. 4, вып. 4, 1968, с. 76—78.
МИРОНЧИКОВ Е. Т. [1] Класс кодов, исправляющих двойные ошибки, и их
реализация. —Авт., телем. и прибор., № 3, 1963, с. 251—255.
МИТЬКИН Д. А. [11 К оценке рациональной тригонометрической суммы
с простым знаменателем. — Вести. Моск. унив., сер. 1 матем., механика,
№ 5, 1972, с. 50—58.
[2] Оценка суммы символов Лежандра от многочленов четной степени. — Матем.
заметки, т. 14, вып. 1, 1973, с. 73—81.
[3] Об оценках снизу сумм символов Лежандра и тригонометрических сумм. —
Успехи матем. наук, т. 30, вып. 5, 1975, с, 214.
[4] Существование рациональных точек на гиперэллиптической кривой иад
простым конечным полем. — Вести. Моск. унив., сер. матем., механика,
т. 30, № 6, 1975, с. 86—90.
[5] Об оценках рациональных тригонометрических сумм специального вида. —
Докл. АН СССР, т. 224, № 4, 1975, с. 760—763.
МИХАЙЛЮК М. В. [1] О сложности вычисления элементарных симметриче-
симметрических функций в конечных полях. —Докл. АН СССР, т. 244, N° 5, 1979,
с. 1072—1076.
[2] Вычисление базиса симметрических функций в конечных полях. — Матем.
заметки, т. 30, вып. 2, 1981, с. 291—304.
МОРОЗ Б. 3. [1] О распределении степенных вычетов и невычетов. — Вестн.
Ленингр. унив., сер. матем., мех. н астрон., т. 16, № 19, 1961, с. 164—169.
МУРЗАЕВ Е. A. [1J О выделении кратных множителей многочленов над
конечными коммутативными полями. — Волжск, матем. сб., вып. 5, 1966,
с. 255—259.
"АЗАРОВ И. А. [1] Математический аппарат анализа и синтеза линейных
многотактных кодирующих схем.—Изв. Леиингр. электротех. инст.,
т. 39, 1959 с. 153—162.
НЕЧАЕВ В. И. [1 ] Группа неособенных матриц иад конечным полем и рекур-
рекуррентные последовательности. — Докл. АН СССР, т, 152, № 2, 1963, с. 275—
277.
796 Литература
[2] Неулучшаемая оценка тригонометрических сумм для рекуррентных фуик
ций с непостоянными коэффициентами. -Докл. АН СССР, т. 1S4, Н» 3
1964, с. 520—522. " '
[3] Линейные рекуррентные сравнения с периодическими коэффициентами •-
Матем. заметки, т. 3, вып. 6, 1968, с. 625—632.
[4J Рекуррентные последовательности, — Учен. зап. Московск. пед, ннст
т. 375, 1971, с. 103—123.
[5] Тригонометрические суммы для рекуррентных последовательностей эле-
элементов конечного поля. — Матем, заметки, т. 11, вып. 5, 1972, с. 597—607.
[6] Тригонометрические суммы для рекуррентных последовательностей —
Докл. АН СССР, т. 206, № 4, 1972, с, 811—814.
[7] Оценка полной рациональной тригонометрической суммы. — Матем. за-
заметки, т. 17, вып. 6, 1975, с. 839—849.
НЕЧАЕВ В. И., ПОЛОСУЕВ А. М. [1] О распределении невычетов и
первообразных корней в последовательности, удовлетворяющей конечно-
разностному уравнению с полиномиальными коэффициентами. — Вести,
Моск. унив., сер. матем., мех., № 6, 1964, с. 75—84.
НЕЧАЕВ В. И., СТЕПАНОВА Л. Л. [ 1J Распределение невычетов и пер-
первообразных корней в рекуррентных последовательностях иад полем алге-
алгебраических чисел. — Успехи матем. иаук, т. 20, вып. 3, 1965, с. 197—203.
НЕЧАЕВ В. И., ТОПУНОВ В. Л. [1 ] Оценка модуля полных рациональ-
рациональных тригонометрических сумм третьей и четвертой степени. — Труды Матем.
инст. им. В. А, Стеклова АН СССР, т. 1S8, 1981, с. 125—129.
НИСНЕВИЧ Л. Б. [1] О числе точек алгебраического многообразия в про*
стом конечном поле. Докл. АН СССР, т. 99, № 1, 1954, с. 17—20.
ПАВЛОВ А. И., ПОХОДЗЕЙ Б. Б. [I] Псевдослучайные числа, порождае-
порождаемые линейными рекуррентными соотношениями над конечным полем. —
Жури, вычисл. матем. и мат. физ., т. 19, № 4, 1979, с. 836—842.
ПЕРЕЛЬМУТЕР Г. И. fl] Оценка одной суммы с простыми числами.—
Докл. АН СССР, т. 144, №> 1, 1962, с. 48—51.
121 О некоторых суммах с характерами. Успехи матем. иаук, т, 18, вып. 2,
1963, с. 145-149.
[3| О проблеме оценки некоторых арифметических сумм. — В кн.: Некоторые
вопросы теории полей. —Саратов: изд. Саратов, унив., 1964, с. 6—15.
f4] О некоторых суммах и связанных с ними многообразиях. — В кн.: Труды
молодых ученых. —Саратов: изд. Сарат. унив., 1964, с. 69—72.
[5] Z-функция одного класса кубических поверхностей. — В кн.: Исследования
по теории чисел, вып. 1. —Саратов: нзд. Саратов, унив., 1966, с. 49—58.
[6] Рациональность L-функций одного класса алгебраических многообразий. —
В кн.: Исследования по теории чисел, вып. 1. — Саратов: изд. Сарат. унив.,
1966, с. 59—62.
f7] О наименьшем невычете пелиномя вдоль алгебраической кривой. — В кн.:
Исследования по теории чисел, вып. 3. — Саратов: Изд. Сарат. уиив., Ш'1'.
с. 64 --68.
[8] Об одной гипотезе К. Вильямса. - -Докл. АН СССР, т. 184, № 2, 19(>".
¦ с. 282—284.
f9] Оценка суммы вдоль алгебраической кривой. — Матем, заметки, т. 5.
вып. 3, 1969, с, 373—380.
[10] Оценка многократной суммы с символом Лежандра для кубического поли-
полинома. — В кн.: Исследования по теории чисел, вып. 6. —Саратов: ИуД-
Сарат. унив., 1975, с. 129—131.
[11] Оценка многократной суммы с символом Лежандра.—Матем. заметки.
т. 18, вып. 3, 1975, с. 421—427,
[12] Оценка многократной суммы с символом Лежаидра для полинома иечетаон
степени. — Матем. заметки, т. 20, вып. 6, 1976, с. 815—824.
ПЕРЕЛЬМУТЕР Г, И., ПОСТНИКОВ А. Г. [1] О числе решений одно:о
сравнения. — Acta Arith., v. 21, 1972, p. 103—110,
Литература 797
ПИМЕНОВ Н. В. [1] О колеблемости знака остатка в формуле для числа
точек алгебраической кривой. — Укр. матем. журнал, т. 28, Я» 4, 1976,
с, 546—551.
ПОЛОСУЕВ А. М. [11 Некоторые арифметические свойства рекуррентных
функций с переменными коэффициентами. —Матем. заметки, т. 1, вып. 1,
1967, с. 45—52.
ПОСТНИКОВ А. Г. [1] Эргодическне вопросы теории сравнений и теории
диофантовы.х приближений. — Труды Матем. инст. им. В. А. Стеклова
АН СССР, т. 82, 1966.
ПОСТНИКОВ А. Г., СТЕПАНОВ С. A. [I J К теории сумм Якобсталя. -
Труды Матем. инст. им. В. А. Стеклова АН СССР, т. 142, 1976, с. 208—214.
ПРОСКУРИН Н. В. |1] Формулы суммирования для общих сумм Клостер-
мана. Зап. научн. семинаров Ленингр. отдел. Матем. инст. им. Стеклова
АН СССР, т. 82, 1979, с. 103—135.
[2] О гипотезе Ю. В. Линннка. — Зап. научн. семинаров Ленингр. отдел.
Матем. инст. им. Стеклова АН СССР, т. 91, 1979, с. 94—118.
[3] Общие суммы Клостермана. —Препринт ЛОМИ ,R-3— 80, Ленннгр.
отдел. Матем. инст. им. Стеклова АН СССР, Л., 1980.
РАДЧЕНКО А. Н., ФИЛИППОВ В. И. [ 1 ] Сдвигающие регистры с ло-
логической обратной связью и их использование в качестве счетных и кодирую-
кодирующих устройств. — Автом. и телемех., т. 20, № 11, 1959, с. 1507—1514,
|2] Логическая обратная связь в сдвигающих регистрах. — Авт., телем. и
прибор., № 3, 1960, с. 257—267.
РЕШЕТУХА И. В. [1] Один вопрос теории кубических вычетов, —Матем.
заметки, т. 7, вып. 4, 1970, с. 469—476.
[2| Обобщенные суммы для характеров и их применения к законам взаимно-
взаимности. — Укр. матем. журнал, т. 23, Яг 2, 1971, с. 270—276.
САГАЛОВИЧ Ю. Л. [I] Последовательности максимальной длины как коды
состояний автомата. — Пробл. передачи информ.: т. 12, вып. 4, 1976, с. 70—
73.
СЕГАЛ Б. И. [1] Суммы характеров и их применение. -Изв. АН СССР,
серия матем., т. 5, Яг 4—5, 1941, с. 401—410.
СЕРГЕЕВ Е, А. [11 Расщепление полиномов /„ (х) над конечными по-
полями. — Научн. труды Кубанск, гос. унив., вып. 166, 1973, с. 20—33.
СОКОЛОВСКИЙ А. В. [11 Оценка снизу в «большом решете». — Зап. научн.
семинаров Ленинград, отдел. Матем. инст. им. Стеклова АН СССР, т. 91,
1979, с. 125—133.
СТЕПАНОВ С. А. [1] О числе точек гиперэллиптической кривой над про-
простым конечным полем. Изв. АН СССР. Серия матем., т. 33, Яв 5, 1969,
с. 1171 — 1181.
[2] Elementary method in the theory of congruences for a prime modulus.—
Acta Arith., v. 17, 1970, p. 231—247.
[3] Об оценке сумм Вейля с простым знаменателем. — Изв. АН СССР, серия
матем., т. 34, № 5, 1970, с. 1015—1037. Замечания к этой работе там же,
т. 35, № 4, 1971, с. 965—966.
14] Об оценке сумм Клостермана. -- Изв. АН СССР, серия матем., т. 3S, № 2,
1971, с. 308—323.
f5] Об оценке рациональных тригонометрических сумм с простым знаменате-
знаменателем. — Труды Матем. инст. им. В! А. Стеклова АН СССР, т. 112, 1971.
с. 346—371.
[6] An elemenraty proof of the Hasse—Weil theorem for hyperelliptic curves. —
J. Numbet Theory, v. 4, 1972, p. 118—143.
[7) Сравнении с двумя неизвестными. — Изв. АН СССР, серия матем., т. 36,
№ 4, 1972, с. 683-711.
[8] Конструктивный метод в теории уравнений над конечными полями (доклад
на Междуиар. шифер, по теории чисел, Москва, сент. 1971). — Труды
Матем. инст. им. В. А. Стеклова АН СССР, т. 132, 1973, с. 237—246.
798 Литература
[91 Рациональные точки алгебраических кривых над конечными полями, —
В кн.; Актуальные проблемы аналитической теории чисел. Труды летн,
школы по аиалит, теор. чисел, Минск, 1972. —Минск: Наука, и техн
1974, с. 223—243.
|Ю| Элементарный метод в теории уравнений над конечными полями. Ргос,
International Congress Math., Vancouver, В. С. 1974, vol 1, pp. 383—391,
Canad. Math. Congress, Montreal, Que., 1975.
111 | Об оценках снизу неполных сумм характеров от многочленов. — Труды
Матем. инст. В. А. Стеклова АН СССР, т. 143, 1977, с. 175—177.
|12| Уравнения над конечными полями. —Матем. заметки, т. 21, вып. 2, 1977,
с. 271—279.
f 131 Элементарный метод в теории алгебраических чисел.—Матем. заметки,
т. 24, вып. 3, 1978, с. 425—431.
114] К доказательству соотношений Давенпорта—Хассе.—Матем. заметки,
^ т. 27, вып. I, 1980, с. 3—6.
СТЕЧКИН С. Б. [1] Оценка полной рациональной тригонометрической сум-
суммы.— Труды Матем. инст. им. В. А. Стеклова АН СССР, т. 143, 1977,
с. 188—207.
ТУШКИНА Т. А. [1] Численный эксперимент по вычислению инварианта
Хассе для некоторых кривых. — Изв. АН СССР, серия матем., т. 29, № 5,
1965, с. 1203—1204.
УДАЛОВ А. П., СУПРУН Б. А. [1] Избыточное кодирование при пере-
передаче информации двоичными кодами. —М.: Связь, 1964.
УСОЛЫДЕВ Л. П. [1] Оценки больших уклонений в некоторых задачах
на неполную систему вычетов. — Докл. АН СССР, т. 143, № 3, 1962, с. 539—
542.
ФОМЕНКО О. М. [1 ] Применение формулы редукции Айхлера к представле-
представлению чисел квадратичными формами. —Матем. заметки, т. 9, вып. 1, 1971»
с. 71—76.
ЧЕБЫШЁВ П. Л. [1] Теория сравнений.—С-Пб.: тип. Имп. акад. наук,
1849; см. также: Поли. собр. соч., т. 1, М.—Л.: Изд. АН СССР, 1944,
с. 10—172.
ЧУБАРИКОВ В. Н. [1] О кратных рациональных тригонометрических сум-
суммах и кратных интегралах.— Матем. заметки, т. 20, вып. 1, 1976, с. 61—68.
ШАТУНОВСКИЙ С. О. [1] Об условиях существования п неравных корней
сравнения я-й степени по простому модулю. — Изв, физ.-мат. общества,
Казань, B), т, 12, 1902, с. 33—49.
ШПАРЛЙНСКИЙ И. Е. [1] Распределение невычетов и первообразных кор-
корней в рекуррентных последовательностях. —Матем. заметки, т. 24, вып. 5,
1978, с. 603—613.
Дополнительная литература
AGOU S. [1*] Degre minimum des polynomes /I Jj aixP I sur 'es corps finis
de caracteristique p > m. — Pacif. J. Math., v. 102, 1982, no 1, p. 1—8.
[2* ] Sur I'irreductibilite des trinomes xp+l —ax — b sur les corps finis Ft- —
Acta Arithmetiea, v. 44, 1984, no 4, p. 343—355.
[3*] Sur la 'factorisation des polynomes хр2г+рг+рг _ ахрГ+х — bx — с
sur les corps finis Fs, — Manuscripta math., v. 58, 1987, no 1/2, p. 141 — 154.
BAKER R. C. [1*] Small solutions of congruences. — Mathematika, v. 30,
1983, no 2, p. 164—188.
BARKER H. A. [1*J Sums and products tables for Galois fields. — Ant. J.
Math. Educ. Sci. and Technol., v. 17, 1986, no 4, p. 473—485.
Литература 799
BEARD J. Т. В., Jr., SUE H. M. [1*] Non-splitting unitary perfect polyno-
polynomials over GF (q). — Atti Accad. Naz. Lincei. Rend. Cl. Sci. Fis. Mat. Natur.,
v. 66, 1979, no 3, p. 179—185.
BREMSER P. S. [1*J A generalization of Gaussian sums to vector spaces over
finite fields. —Lin. Alg. and Appl., v. 81, 1986, p. 35—45.
BROWKIN J. [1*] On forms over p-adic fields. — Bull. Acad. Polon. Sci.,
Sex. sci. math. astr. et phys., v. 14, 1966, no 9, p. 489—492.
12*] On system of congruences. — Bull. Pol. Acad. Sci. Math., v. 31, 1983, no 5—8,
p. 219-226.
BURKE J. R. [1*] A notion of density and essential components in GF [p, x].
— Acta Arithmetica, v. 44, 1984, no 4, p. 299—306.
CALMET J. [1*] Algebraic algorithms in GF (q). — Discr. Math., v. 56, 1985,
no 2—3, p. 101—109.
CALMET J., LOOS R. [1*] Deterministic factorization of integral polyno-
polynomials. — Let. Notes Comput Sci., v. 144, 1982, p. 117—125.
CAR M. [1*] Sommes de carres dans Fq [x]. — Rozpr. Mat., 1983, no 215.
2*] Sommes de deux carres dans Fq \x\ et problerne divisaur. —Ann. Fac. Sci.
Toulouse Math., v. S, 1983, no 2, p. 89—108.
13*] Polynomes de Fq \x\ ayant un diviseur de degre donne. — Acta Arithm.,
v. 43, 1984, no 2, p. 131 — 154.
|4*| Sommes de carres de polynomes irreductibles dans Fq \x\. — Acta Arithm.,
v. 44, 1984, no 4, p. 307—321.
5* ] Ensembles de polynomes irreductibles et theoremes de densite. — Acta Arithm.
v. 44, 1984, no 4, p. 323—342.
F*] Polynomes irreductibles de Fq \x\ de la forme M + N on N est norme d'un
polynome de F'q2 [x]. — Rozpr. Mat., 1984, no 238.
17*] Le theoreme de Chen pour Fq [x]. — Rozpr. mat., 1984, no 223.
[8*] Sommes de puissances et d'irreductibles dans Fq [x]. — Ada Arithm., v. 44,
1984, no 1, p. 7—34.
[9*] Sommes d'un carre t d'un polyndme irreductible dans ?q \x]. — Ann. Fac.
Sci. Toulouse Math., v. 6, 1984, no 3—4, p. 185—213.
CHENG С L. [1*] Formulas for the solutions of quadratic equations over
GFBm). — IEEE Trans. Inform. Theory, v. 28, 1982, no 5, p. 792—794.
CLAASEN H. L. [1* ] More on the group of units in GF (q) [x]l(a (x)). — Delft.
Progr. Rept., v. 8, 1983, no 4, p. 274—291.
COHEN H., LENSTRA H. W., Jr. [1*] Primality testing and Jacobi sums. —
Math. Comput., v. 42, 1984, no 165, p. 297—330.
COHEN S. D. [1*] Quadratic residues and character sums over fields of square
order. — J. Number Theory, v. 18, 1984, no 3, p. 391—395.
12* | Primitive roots and powers among values of polynomials over finite fields.—
J. Rein. Angew. Math., v. 3S0, 1984, p. 137—151.
13* | Consequtive primitive roots in a finite field. — Proc. Amer. Math. Soc, v. 93,
1985, no 2, p. 189—197. ф
[4*] Consequtive primitive root in a finite field. II. — Proc. Amer. Math. Soc,
v. 94, 1985, no 4, p. 605—611.
COPPERSMITH D. [1*] Fast evaluation of logarithms in fields of characteristic
two. — IEEE Trans. Inf. Theory, v. 30, 1984, no 4, p. 587—594.
COPPERSMITH D., ODLYZKO A. M., SCHRQEPPEL R. A*1 Discrete algo-
algorithms in GF (p). — Algorithmica, v. I, 1986, no 1, p. 1—15.
DE VROEDT C. [1* ] A formula for the weight of the product of a set of vectors
belonging to the n-dimensional vector space over GF (q). — Delft. Progr.
Rept., v. 8, 1983, no 3, p. 195-199.
EFF1NGER G [1*] A Goldbach theorem for polynomials of low degree over odd
finite fields. —Acta Arithm., v. 42, 1983, no 4, p. 329—365.
EGAMI S, [1*] The distribution of residue classes modulo p in an algebraic number
field, - Tsucuba J. Math., v. 4, 1980, p. 9-13.
800 Литература
EXPONENTIALSUMMEN (KLOOSTERMAN'SCHE SUMMEN). — Tagungs-.'
ber. Math. Forschungsinst. Oberwolfach., 1984, no 19, 1—14.
GERTH F. [1*J An application of matrices over finite fields to algebraic rrum-'
ber theory. — Matli. Comput., v. 41, 1983, no 163, p. 229—234.
GOLDFELD D., SARNAK P. [l*]Sums of Kloosterman sums. — Anvent
Math., v. 71, 1983, no 2, p. 243—250.
GRYTCZUK A., TROPAK B. [1*] On the equation ф„ (x, y) =-= 0 in the Zn
field. -- Zesz. Nauk., WS1. w Zieionej Gorze, 1981, no 55, p. 15—18.
GUERRA L., UGH I E. [1*1 On the distribution of Legendre symbols in Galois
fields. — Discr. Math., v. 42, 1982, no 2-3, p. 197—208.
HEATH-BROWN D. R. |1*J Multiple exponential sum to modulus p~. ~
Canad Math. Bull., v. 28, 1985, no 4, p. 394—396.
HELLEGOUARCH J. |1* ] Loi de reciprocite critere de primalite dans Fq [t]. —
Math. Repts. Acad. Sci. Can., v. 8, 1986, no 5, p. 291-296.
HELLESETH T. [l*j On the covering radius of cyclic linear codes. —Discr
Appl. Math., v. 11, 1985, p. 157—173.
HELLMAN M., REYNERI J. M. [1*J Fast computation of discrete loga-
logarithms in GF (q). — Adv. Criptol. Proc. Crypt. 82: Workshop Theory and
Appl. Cryptogr. Tech п., Santa Barbara, Calif., 23--25 Aug. 1982, N.-Y,,
London, 1983, p. 3—19.
HENSLEY D. [1*] Dirichlet theorem for the ring of polynomials over GF B).—
Pacific J. Math., v. 123, 1986, no 1, p. 93-101.
H1NZ J. [I*] The average order of magnitude of least primitive roots in algebraic
number fields. — Mathematika., v. 30, 1983, no 1, p. 11—25.
[2*| Character sums in algebraic number field. — J. Number Theory, v. 17, 1983,
no 1, p. 52—70.
[3*J Character sums and primitive roots in algebraic number fields. —Monatsh
Math., v. 9S, 1983, no 4, p. 275-286.
[4*J Uber die Verteilung von primen primitiven Wurzlen in algebraischen Zahl-
korpern. —Monatsh. Math., v. 100, 1985, no 4, p. 259—275.
HUDSON R. H. [I*] On the first occurrence of certain patterns of quadratic
residues and non-residues. — Israel J. Math., v. 44, 1983, no I, p. 23—32.
[2*] A note on *-th power nonresidues. — Manuscripta Math., v. 42, 1983, p. 285—
288.
HUDSON R. H., WILLIAMS K. S. [1*J Binomial coefficients and Jacob!
sums. —Trans. Amer. Math. Soc, v. 281, 1984, no 2, p. 431—505.
HUXLEY M. N. [1*J A note on polynomial congruences. — Recent Progr.
Anal. Numb. Theory, 1981, p. 193—196.
KALTOFEN E. [1*] Factorization of polynomials, —Computing., 1982, Suppl.
no 4, p. 95—113.
[2*] Fast parallel absolute irreducibility testing.—J. Symb. Comput., 1985,
no 1, p. 57—67.
KAMINSKI M. fl*J A lower bound for polynomial multiplication. — Theor.
Comput. Sci., v. 40, 1985. no 2—3, p. 319—322.
KASHIWAGI H., MORIUCH1 T. [I*J A fast method fot arithmetic modulo a
polynomial over GF B) and its applications.—Conrt. Sci. and Technol.
Progr. Soc. Proc. 8-th Trienni. World Congr. Int. Fed. Autom. Contr., Kyoto,
1981, v. 1, Oxford, 1982, p. 237—242.
KASHIWAGI H., UCHIMURA T. [1*] A simple method for obtaining pri-
primitive pentanomials over GF B). —Trans-. Soc. Instr. Contr., Eng., v. 18.
1982, no 7, p. 747—750.
KATRE S. A., RAJWADE A. R. [1*J Complete solution of the cyclotomic
problem in Fq for any prime modulus m, q = pk, p = 1 (mod m). — Acta
Arithrn., v. 45, 1985, no 3, p. 183—199.
Литература 801
[2*] Unique determination of cyclotomic numbers of order five. — Manuscr.
Math., v. 53, 1985, no 1—2, p. 65—75.
KOH K. [1*] On the matrix ring over a finite field. — Linear Algebra and Appl.,
v. вв, 1985, p. 195-197.
LEMPEL A., SEROUSSI G., W1NOGRAD S. [1*] On the complexity of
multiplication in finite fields. — Theor. Comput. Sci., v. 22, 1983, no 3,
285—296.
LEMPEL A., SEROUSSI G., Z1V J. 11*] On the power of straight-line
computations in finite fields. — IEEE Trans. Inf. Theory, v. 28, 1982, no 6,
p. 875—880.
I.ENSTRA A. K. [1*1 Factorization of polynomials. - SIGSAM Bull., v. 18,
1984, no 2, p. 16—18.
|2*J Factoring multivariate polynomials over finite fields. —J. Comput. Syst.
Sci., v. 30, 1985, no 2, p. 235—248.
LEWIS D. J. [1*] Cubic homogeneous polynomials over p-adic number
fields. —Ann. Math., v. S6, 1952, no 3, p. 473-478.
LIDL R., NIEDERREITER H. [1*| Introduction to finite fields, and their
applications. — Cambrige University Press, 1986.
LOXTON J. H., VAUGHAN R. С [1*] The estimation'of complete expo-
exponential sums. — Canad. Math. Bull., v. 28, 1985, No 4, p. 440—454.
MONZINGO M. G. [1* J On elementary evaluation of Jacobsthal sum. — J. Num-
Number Theory, v. 22, 1986, no 1, p. 21—25.
MUKHOPADHYAY A. [1*J On the probability that the determinant of an
nXn matrix over a finite field vanished. —Discrete Math., v. 51, 1984,
no 3, p. 311—315.
MUSKAT J. В., WILLIAMS K. S. 11 * J Cyclotomy of order twelve over
OF (p2), pa = 1 (mod 12). — Carleton Math. Ser., 1985, no 217.
NAGELL T. [1*] Introduction to number theory. —Stockholm: Aimqvist and
Wiksell, 1951.
NARANJANI A. M. [l*]On Dirichlet characters of polynomial. — Acta
Arithm,, v. 43, 1984, no 3, p. 245—251.
NIEDERREITER H. [1*J Distribution properties of feedback shift register
sequences. — Проблемы управления и информ., т. IS, 1986, N9 1, с. 19—33.
NOBAUER R. [1*] liber die Fixpunkte von durch Dicksonpolynome darges-
tellten Permutationen. —Acta Arithm., v. 4S, 1985, no 2, p. 171—181.
|2*j liber die minimale Fixpunktanzahl von Dickson-Permutationen auf Galois-
feldern. — Monatsh. Math., v. 101, 1986, n'o 3, p. 193—210.
OBERST U., DOR A. [1*] A constructive characterization of all optimal
linear codes. — Led. Notes Math., 1985, no 1146, p. 176—213.
ODONI R. W. K. H*] Trigonometric sums of Heilbronn's type. — Math.
Proc. Cambrige Phil. Soc, v. 98, 1985, no 3, p. 389—396.
[2*] A note on trigonometric sums in several variables. — Math. Proc. Cambrige
Phil. Soc., v. 99, 1985, no 2, p. 189—193.
ORZECH M. [1*] Form of low degree in finite fields. —Bull. Austral. Math.
Soc., v. 29, 1984, p. 45—58.
OZEKI M. [1*] On certain generalized Gaussian sums. — Proc. Jap. Acad.,
A58, 1982, no 5, p. 223—226.
PEI D. J., WANG С. С, OMURA J. K. [1*] Normal basis of finite
/ield GF B«). — IEEE Trans. Inform. Theory, v. 32, 1986, no 2, p. 285—287.
SCHMIDT W. M. [1*] On cubic polynomials. I. Hua's estimate of exponen-
exponential sums. — Monatsh. Math., v. 93, 1982, no 1, p. 63—74.
|2*| On cubic polynomials. 2. Multiple exponential sums. — Monatsh. Math.,
v. 93, 1982, no 2, p. 141 — 168.
13* ] Bounds for exponential sums. — Acta Arithm., v. 44, 1984, no 3. p. 281—297.
S1VARAMAKRISHAN R., VIJAYAN B. K. [1*] On certain exponential and
character sums. — Led. Notes. Math., 1982, no 938, p. 138—156.
SMALL C. A*] Diagonal equations over large finite fields.—Canad. J. of
802 Литература
Math., v. 36, 1984, по 2, p. 249—262.
SMEETS В. [1*] On the number of polynomials over GF B) that factor in *
3 and 4 prime polynomials. — BIT (Dan.)r v. 2S, 1985, no 4, p. 667—674
SMITS T. H. M. [i*J On the group of units of GF (q) \x}I(a (x)), — Delft ;
Progr. Rept., v. в, 1981, no 4, p. 231—235.
[2*] On the group of units of GF (q) [x)l(a(x)), — Proc. Kon. Ned. Akad. Wetensch,,
A85, 1982, no 3, p. 355—358. ¦;
SNAPPER E. [1*] Finite fields, integral matrices, and Diophantine equations.—
Journ. of Algebra, v. 97, 1985, no 1, p. 267—277.
SPACKMAN K. W. [1*J Linearly requiring solution sequences for equation
over finite fields. — J. Number Theory, v. 18, 1983, no 2, p. 209—218.
STOHR K.-O., VOLOCH F. [1*] Weierstrass points and curves over finite
fields. — Proc. London Math. Soc, v. 52, 1986, no I, p. 1—19.
TAPPE J. [1*] Remarks on generalized cyclic codes. —¦ Bayrenth. Math. Schr,,
1984, no 16, p. 143—150.
TERJANIAN G. [1*J Un contre-exemple a une conjecture d'Artin, — Compt.
Rend. Acad. Sci., t. 262, 1966, p. 612.
TIETAVA1NEN A. [1*] Lower bounds for the maximum moduli of certain
character sums. — J. London. Math. Soc, v. 29, 1984, no 2, p. 204—210.
TODOROW J., JANICKE O. [1*J Darstellung mehrwertiger Funktionen
durch Reihenentwicklung nach orthogonalen Funktionensystemen flber end-
lichen Korpern. — Z. Elek. Inf. und Energietechn., В 13, 1983, no 1, S. 69—80.
TSFASMAN M, A., VLADUTS S. G., ZINK TJi. [1*] Modular curves, Shimura ,
curves and Goppa codes better than Varshamov—Gilbert bound.— Math.
Nachr., B. 104, 1982, S. 15—28.
VAN DER GATHEN J. [1*J Irreducibility of multivariate polynomials.—
J. Comput. and Syst. Sci., v. 31, 1985, no 2, p. 225—264.
VAN DER GATHEN J., KALTOFEN E. [1* ] Factorization of multivariate
polynomials over finite fields. — Math. Сотр., v, 4S, 1985, no 171, p. 251—261,
ZEITLER H. [1*1 Rechnen in endlichen Korpern. — Elem. Math., v. 38, 1983»
no 4, p. 89—93.
АРХИПОВ Г. И. [1*J О значении особого ряда в проблеме Гильберта—
Камке. —Докл. АН СССР, т. 259, 1981, № 2, с. 265-267.
[2*] О проблеме Гильберта—Камке. — Изв. АН СССР, сер. матем., т. 48, 1984,
№ 1, с. 3—52.
АРХИПОВ Г. И., КАРАЦУБА А. А. [1*] О локальном представлении
нуля формой. — Изв. АН СССР, сер. матем., т. 45, 1981, Л» 3, с. 948—961.
[2*] О представлении нуля формой в поле р-адических чисел. —Докл. АН
СССР, т. 262, 1982, № I, с. 11-13.
[3*] Об одной задаче теории сравнений. — Успехи мятем. паук, т. 37, 1982,
N° 5 B27), с. 161—162.
АРХИПОВ Г. И., КАРАЦУБА А. А., ЧУБАРИКОВ В. Н. [1*] Крат-
Кратные тригонометрические суммы и их приложения. - Изв. АН СССР, сер.
матем., т. 44, 1980, № 4, с. 723—781.
[2*] Особые случаи теории кратных тригонометрических сумм.—Изв. ЛИ
СССР, сер. матем., т. 47, 1983, Я» 4, с. 707—784.
АРХИПОВ Г. И., ЧУБАРИКОВ В. Н. [1*] Об арифметических условиях
разрешимости нелинейных систем диофантовых уравнений. — Докл. ЛИ
СССР, т.. 284, 1985, № 1, с. 6—21.
БРОНШТЕЙН Б, С. [1*] Неограниченность сумматорной функции од»'г"
обобщенного характера. — Уч. Зап. МГУ, сер. мат., т. 7, 1954, с. 212—220.
ВАРШАМОВ Р. Р. [1*] Общий метод синтеза неприводимых полиномов няд
полями Галуа. —Докл. АН СССР, т. 275, 1984, We 5, с. 41—44.
ВАРШАМОВ Р. Р., КОЖЕВНИКОВ Ю. А. [1*1 Решение на ЭВМ задач
построения полиномов в поле вычетов по модулю 2. — Сб. научн. трудов,
Литература 803
М., 1962. с. 170-175.
ВАРШАМОВ Р. Р., ТЕНЕНГОЛЬЦ Г. М. [1*] Об одном классе цикли-
циклических кодов. —Проблемы кибери., т. 22. М.: Наука, 1970, с. 157—166.
ВИНОГРАДОВ И. М. [1*] Избранные труды.—М.: Изд. АН СССР, 1952.
[2*] Метод тригонометрических сумм в теории чисел. —М.: Наука, 1971.
ВИШНЕВЕЦКИЙ А. Л. |1*| О цикличности расширенных кодов Гоппы.—
Пробл. передачи информ., т. 18, 1982, № 3, с. 14—18.
[2*] (L, gj-коды и бинарные формы. — Пробл. передачи информ., т, 19, 1983,
№ 4, с. 23—30.
ВЛЭДУЦ С. Г., КАЦМАН Г. Л., ЦФАСМАН М. А. [1*] Модулярные
кривые и коды с полиномиальной сложностью построения. — Пробл. пере-
передачи ииформ., т. 20, 1984, № 1, с. 47—55.
ГЛАЗУНОВ Н. М. [1*] О равнораспределенности значений сумм Клостер-
мана. — Докл. АН УССР, 1983, А, № 2, с. 9—12.
ГОЛУБЕВА Е. П. [1*] Связь сумм Салье с распределением целых точек на
гиперболоидах. —Зап. научн. сем. ЛОМИ, т. 116, 1982, с. 56—62.
ГОППА В. Я. [1*] Новый класс линейных корректирующих кодов.—Пробл,
передачи информ., т. 6, 1970, № 3, с. 24—30.
[2*] Рациональные представления кодов и (A, g)-коды: — Пробл. передачи
информ., т. 7, 1971, № 3, с. 41—49.
ГРИГОРЬЕВ Д. Ю. [1*] Разложение многочленов над конечным полем и ре-
решение систем алгебраических уравнений. — Зап. иаучн. сем. ЛОМИ АН
СССР, т. 137, 1984, с. 20—74.
ДЕМЬЯНОВ В. Б. [1*] О кубических формах в дискретно нормированных
полях,—Докл. АН СССР, т. 74, 1950, № 5, с. 889-891. '
ДУМЕР И. И., ЗИНОВЬЕВ В. А. [1*1 Некоторые новые максимальные
коды над полем Галуа OF D). — Пробл. передачи информ., т. 14, 1978,
№ 3, с. 24—34.
ЕЛИСТРАТОВ И. В. [1*] Об оценках тригонометрических сумм.—В кн.:
Исслед. по теор. чисел, вып. 6, Саратов: изд. Сар. унив., 1976, с. 38—49.
[2* ] Об оценках сумматорных функций возмущенных характеров Дирихле. —
В кн. Иссл. по теор. чисел, вып. 7, Саратов: йзд. Сар. ун., 1978, с. 29—58.
ЕРШОВ Ю. Л. [1*] Об элементарных теориях локальных полей. — Алгебра
и логика, т. 4, 1965, вып. 2, с. 5—30.
КАЛУЖНИН Л. А. [1*] Введение в общую алгебру. — М.: Наука, 1973.
КАРАЦУБА А. А. [1*] Оценки тригонометрических сумм особого вида н их
приложение. —Докл. АН СССР, т. 137, 1961, № 3, с. 513—514.
[2*] Аналог проблемы Варинга. — Вестник МГУ, 1962, № 1, с. 38—46.
[3* ] Проблема Вариига для сравнения по модулю, равному степени простого
числа. — Вестник МГУ, 1952, № 4, с. 28—38.
[4* J Системы сравнений и уравнения Варинговского типа. — Докл. АН СССР,
т. 165, 1965, № 2, с. 274—276.
[5*] Об одной асимптотической формуле. — Труды Моск. матем. общ., т. 18,
1968, с. 77—82.
[6*] Распределение степенных вычетов и невычетов в аддитивных последователь-
последовательностях. —. Докл. АН СССР, т. 196, 1971, № 4, с. 759—760.
[7*] Об одной арифметической сумме. —Докл. АН СССР, т. J99, 1971, № 4,
с. 770—772.
[8*] Об одной системе сравнений. — Матем. заметки, т. 19,1976, Не 3, с. 389—392.
19*] О распределении значений неглавных характеров. — Труды Матем. инст.
им. Стеклова АН СССР, т. 142, 1976, с. 156—164.
[10*] Основы аналитической теории чисел.—М.: Наука, 1983.
[11*] Метод тригонометрических сумм И. М. Виноградова. —Труды Матем.
иист. им. Стеклова АН СССР, т. 163, 1984, с. 97—103.
КАРГАПОЛОВ М. И., МЕРЗЛЯКОВ Ю. И. [1*] Основы теории групп.—
М.: Наука, 1972.
КИСЛОВСКАЯ Н. М. [1*] Циклические последовательности над конечным
804 Литература
полем — В сб. Динамич. системы и теория приближений. Владивосток
1979, с. 129—132.
КОНЯГИН С. В. [1*] О числе решений сравнения «-й степени с одним неиз-
неизвестным. — Матем. сбори., 1979, № 2, с. 171—187.
КОСТРИКИН А. И. [1*] Введение в алгебру. — М.: Наука, 1977.
КУЗНЕЦОВ В. Н. [1*] 2-функции некоторых Артии—Шрайеровых накры-
накрытий. — В кн. Иссл. по теор. чисел, вып. 5, Саратов: изд. Сар. унив. 1975
с. 74—81.
[2*] К гипотезе Э. Бомбьерн. — В кн. Исслед. по теории чисел, вып. 5, Саратов:
изд. Сарат. уиив., 1975, с. 81—93.
[3*] К вопросу оценки двумерных тригонометрических сумм. — В ки. Исслед.
по теории чисел, вып. 6, Саратов: изд. Сарат. унив., 1975, с. 92—100.
КУРБАТОВ В. А. [1*] О симметрической группе поля. — Уч. зап. Свердя,
гос. пед. и нет., вып. 8, 1952, с. 23—31.
КУРОШ А. Г. |1*] Курс высшей алгебры. — М.: Наука, 1975.
|2*] Теория групп. — М.: Наука, 1967.
ККЭРЕГЯН М. К. [1*1 Разложение полиномов иад конечными полями.—
Докл. АИ АрмССР, т. 81, 1985, № 2, с. 69—73.
[2* ) Об одном методе построения неприводимых полиномов над полями Галуа. —
Докл. АН АрмССР, т. 83, 1986, № 2, с. 58—61.
МАЗУР Л. Е. [1*] О некоторых кодах, исправляющих несимметрические
ошибки. — Пробл. передачи информ., т. 10, 1974, № 4, с. 40—46.
МАРЕНИЧ Е. Е. 11*] О числе неприводимых многочленов над конечным
полем. — В кн.: Математическая физика. — М.: Моск. гос. пед. ин-т
им. Ленина, 1986, с. 92—95.
МИТЬКИН Д. А. 11*] О величине сумм характеров от многочленов. —Ма-
—Матем. заметки, т. 31, 1982, №> 6, с. 827—835.
[2*] Об оценках и асимптотических формулах для рациональных тригонометри-
тригонометрических сумм, близких к полным. —Матем. сборник, т. 122, 1983, № 4,
с. 527—545.
[3* ] Многочлены с минимальным множеством значений и уравнение f (x) = f (у)
в простом конечном поле. —Матем. заметки, т. 38, 1985, № 1, с. 3—14.
[4*] Об элементарном доказательстве оценки А. Вейля для рациональных
тригонометрических сумм с простым знаменателем. — Изв. вузов. Матема-
Математика, 1986, № 6, с. 14—17.
МИШИНА А. П., ПРОСКУРЯКОВ И. В. [1*] Высшая алгебра. — М.:
Физматгиз, 1962.
МУРЗАЕВ Е. А. [1*] Об одном методе установления признаков неприводи-
неприводимости полиномов. — Уч. зап. Сарат. гос. пед, иист., вып. 23, 1956,
с. 107—114.
[2*] Об одном алгоритме для выделения корней многочлена, удовлетворяющих
заданному рациональному соотношению, и его приложениях к разложению
многочленов на неприводимые множители. — В кн. Исслед. по теория
чисел, вып. 1. Саратов, 1966, с. 35—48.
НЕЧАЕВ В. И. П*] Линейные сравнения по степени простого идеала я
(линейные рекуррентные последовательности. — Уч. зап. Моск. педаг.
Wt., т. 375, 1971, с. 124—132.
ПЕРБЛЬМУТЕР Г. И. [1*] Об особых точках нормальных накрытий Артина—¦
1ррайера. — В кн. Иссл. по теории чисел, вып. 6, Саратов, 1976, с. 119—
Я8'
[2*] Оценка двумерной суммы символов Лежаидра. — В кн.: Иссл. по теория
чисел, вып. 8, Саратов, 1982, с. 88—92.
ПОСТНИКОВ А. Г. [1*] Введение в аналитическую теорию чисел. — М.
Наука, 1971.
ПОСТНИКОВ М. М. [1*] Теория Галуа. — М.: Физматгиз, 1963.
ПОСТНИКОВА Л. П. [1*] Тригонометрические суммы и теория сравнений
Литература 805
по простому модулю.—М.: Изд, МГПИ им. Ленина, 1973.
СЕЙТЕНОВ СМ. [1*] Элементарная теория решеток подполей конечных по-
полей. —¦ В сб. Некоторые вопросы алгебраической теории чисел и конструк-
конструктивных моделей. — Алма—Ата, 1985, с. 71—80.
СИДЕЛЬНИКОВ В. М. [ 1 *] О спектре весов двоичных кодов Боуза—Чоуд-
хури—Хоквингема. — Пробл. передачи ннформ., т. 7, 1971, № 1, с. 14—22.
B* ] Об экстремальных многочленах, используемых при оценках мощности ко-
кода. — Пробл. передачи ннформ., т. 16, 1980, № 3, с. 17—30.
СИДОРЕНКО В. Р. [1*] Верхняя граница мощности <?-ичных кодов.—Пробл.
передачи информ., т. 11, 1975, № 3, с. 14—20.
СКОРНЯКОВ Л. А. [1*] Элементы алгебры. — М.: Наука, 1980.
СОБОЛЬ И. М. [1*] О распределении точек в кубе и приближенном вычислении
интегралов. — Журн. выч. мат. и мат. физ., т. 7, 1967, № 4, с. 784—802.
[2*] Многомерные квадратурные формулы и функции Хаара.—М.: Наука,
1969.
СТЕПАНОВ С. А. [1*] Об оценке рациональных тригонометрических сумм
вдоль кривой. — Докл. АН СССР, т. 277, 1984, № 5, с. 1077—1082.
[2*] Рациональные тригонометрические суммы вдоль криврй.—Зап. иаучн.
сем. ЛОМИ АН СССР, т. 134, 1984, с. 232—251.
[3*] О числе неприводимых a f, [«] многочленов специального вида. — Успехи
матем. наук, т. 40, 1985, № 4, с. 199—200.
[4*] Рациональные тригонометрические суммы на «алгебраическом многообра-
многообразии». — Матем. заметки, т. 39, 1986, № 2, с. 161—174.
[5* ] Об оценке рациональных тригонометрических сумм иа алгебраических
многообразиях. —Докл. АН СССР, т. 286, 1986, № 2, с. 298—301.
СТЕЧКИН С. Б. [1*]. Об оценке сумм Гаусса. — Матем. заметки, т. 17,
1975, № 4, с. 579—588.
СУШКЕВИЧ А. К- 11*] Основы высшей алгебры.—М.—Л.: ГИТТЛ, 1941.
ФАДДЕЕВ Д. К- [1*1 Лекции по алгебре. — М.: Наука, 1984.
ЦФАСМАН М. А. [1*] Коды Гоппы, лежащие выше границы Варшамова—
Гильберта — Пробл. передачи информ., т. 18, 1982, № 3, с. 3—6.
ЧУБАРИКОВ В. Н. A*1 Асимптотическая формула среднего значения кратной
тригонометрической суммы. — Матем. заметки, т. 23, 1978, № 6, 799—816.
12* ] Об асимптотических формулах для интеграла И. М. Виноградова и его
обобщений. —Труды Матем. иист. им. Стеклова АН СССР, т. 157, 1981,
с. 214—232.
[3*] Кратные тригонометрические суммы с простыми числами.—Докл. АН
СССР, т. 278, 1984, № 2, с. 302—304.
ШМИДТ О. Ю. [ 1 * ] Абстрактная теория групп. М.: ОНТИ, 1933 (а также в кн.:
Шмидт О. Ю.. Избранные труды (Математика). М.: Изд. АН СССР, 1959).
ШПАРЛИНСКИЙ И. Е. [I*] Распределение дробных долей рекуррентных после-
последовательностей. — Журн. выч. мат. и мат. физ., т. 21, 1981, № 6, с. 1588—
1591.
[2*] О некоторых свойствах линейных циклических кодов. —Пробл. передачи
информ., т. 19, 1983, № 3, с. 106—110.
[3* ] О скорости сходимости интерполяционного процесса Ньютона и мощности
некоторых кодов. — Усп. матем. наук, т. 39, 1984, № 2, с. 205—206.
[4*] О коэффициентах примитивных многочленов.—Матем. заметки, т. 38,
1985. № 6, с. 810—815.
[5*] О весовых спектрах некоторых кодов. — Пробл. передачи информ., т. 22,
1986, № 2, с. 43—48.
Указатель обозначений
*L множество комплексных чисел
DM множество натуральных (целых положительных)
чисел
Q множество рациональных чисел
R множество действительных чисел
Z множество целых чисел
\ah\h?H\ множество произведений ah, где h ? Н
А1 транспонированная матрица для матрицы А
det (Л) определитель матрицы Л
dim (V) размерность векторного пространства V
е (/) е%ш, где t?R
I ni z мнимая часть комплексного числа г
log а натуральный логарифм числа а
max \ky, ..., kn\ наибольшее из чисел kx, ..., kn
min \kx .,., kn\ наименьшее из чисел klt ..., kn
Re 2 действительная часть комплексного числа 2
rg (Л) ранг матрицы Л
(sL, s2, ..., sn) л-набор, или упорядоченное множество из п эле-
элементов sx, s2, ..., sn
Sn множество всех «-наборов вида (s1( ..., sn), где
Si?S, I < i < п
S1 х ... х Sn множество всех л-наборов вида (s1, .,., sn).
где Si ? Si, 1 <Г i <^ л
Тг (Л) след матрицы Л --- («j/)i < (. /<п. т.е. ах1 -J-•¦¦
... + а„,п
z ¦ комплексное число, сопряженное с числом -г
(т. е. г = а — Ы, если г — а -{- Ы, a, b ? R)
абсолютная величина числа 2 ? R или
числа z б С (т. е. |г| — ^ а2 -|- б2, если z
= а + 6t, а, Ь С R)
НОД (&1, ..., Л ) наибольший общий делитель чисел ku .,., Лв
Указатель обозначений • 807
НОК (къ .... kn) наименьшее общее кратное чисел kt, ..., kn
2 / (а) сумма значений / (а) по всем а ? А
? конец доказательства, примера или замечания
необходимо и достаточно, чтобы...
а = b (mod n) а сравнимо с ft по модулю п 15
(а) циклическая группа, порожденная элементом а
15, 17
аН левый смежный класс группы по подгруппе Н
(содержащий элемент а) 18
(а) главный идеал кольца, порожденный элементом а
26
[а], а -\-J класс вычетов кольца по модулю идеала J 26
[До, Ах, ..., As] непрерывная дробь, представляющая рациональ-
рациональную функцию 290
Ач знакопеременная группа степени q 450
AG B, К) аффинная плоскость иад полем /( 619
AG (т, Тд) конечная аффинная (или евклидова) геометрия
631
символ Лежаидра 242
Сх дуальный (или ортогональный) код для линей-
линейного кода С 598
deg (/) степень многочлена / 34, 45
D (f) дискриминант многочлена / 53
det (Г) определитель линейного оператора Т 80
det (/) определитель квадратичной формы / 344
D{p ганкелев определитель 547
d (х, у) расстояние Хэмминга между векторами х и у 591
dc минимальное расстояние линейного кода С 592
?" множество корней п-п степени из единицы над
полем К 84
Е (ф) сумма Эйзенштейна 325
Es (ij;; а) обобщенная сумма Эйзенштейна 326
Ер (г) 363
?<"' (/) n-я гиперпроизводная многочлена / 372
Fp поле Галуа порядка р (р — простое число) 28
У производная многочлена / 43
fq поле Галуа порядка q — рп (р простое, п ? IN) 68
F*g мультипликативная группа ненулевых элементов
конечного поля Fq 69
/* многочлен, возвратный (двойственный) к много-
многочлену f 114
F^Uxll кольцо формальных степенных рядов над по-
полем Fo 518
808 Указатель обозначений
h(x)v...yfh(x) 542
(G, *) группа с операцией * 13
\О\ порядок конечной группы G 16
(G : Н) индекс подгруппы Н в группе G 18
GjH факторгруппа группы G по нормальной под-
подгруппе Я 22
GF (р) поле Галуа порядка р (р — простое число) 28
GF (q) поле Галуа порядка q ¦ р" (р простое, п ? Ы) Ш
G~ множество (группа) характеров группы G 236
G ($, у) сумма Гаусса 243
gh (x, а) многочлен Диксона 447
GL (r, F',) общая линейная группа невырожденных г у г-
матриц над полем Fq 455
gtf* (x, х„, а) многочлен Диксона от п переменных 472
Нп (а) сумма Якобсталя 285
/ (п, q; x) произведение всех нормированных неприводимых
многочленов степени п из 1Г„ \х\ 122
1п (а) 285
J (Xj, ...Д/,) сумма Якоби 257
J0{\,....h) 257
Кег (/) ядро гомоморфизма / 21, 28
К (М) расширение поля К, полученное присоединением
элементов множества М 47
К алгебраическое замыкание поля К 59
К" //-круговое поле над К 84
К (х; а, Ь) сумма Клостермана 280
Кг кратная сумма Клостермана 313
К (ф, х; а> Ь) обобщенная сумма Клостермана 327
[L : К) степень поля L над К 48
?, (х) ® ?, (х) символическое произведение ^-многочленов 148
L (V, /; t) L-функция многообразия V 416
М (dt dn) 357
N (b) нормализатор элемента b группы 22
N (S) нормализатор подмножества S группы 22
Ш биномиальный коэффициент 60
Nf/k (а) норма элемента а поля F над подполем К 77
N4 (n) число нормированных неприводимых многочле-
многочленов степени «вГ, [х] 121
N (i (дг,, ... число решений уравнения / (xlt ..., хп) —Ь в f"
.... хп ) = 6 • 346
ord (/) порядок многочлена / над конечным полем 110
PG B, К) проективная плоскость над полем /С 619
PG (m, f"q) конечное проективное пространство, или проек-
проективная геометрия 628
Qn (x) n-круговой многочлен 85
Указатель обозначений 809
(R, + , •) кольцо с операциями + и • 24
R/J факторкольцо кольца R по идеалу ,/ 27
R \х 1 кольцо многочленов над кольцом R 34
R \хъ ...,хп] кольцо многочленов от п переменных над коль-
кольцом R 44
R (f, g) результант многочленов / и g 54
Ы класс эквивалентности элемента s (класс вычетов
по модулю п, если речь идет о сравнениях по
модулю п) 15, 16
(S) подгруппа группы, порожденная ее подмноже-
подмножеством S 17
S,, симметрическая группа степени q 449
5 (/ (х)) 530
5 (у) синдром вектора у 594
Тг/г/к (а) след элемента а поля F над подполем К 74
Ti> (а) абсолютный след элемента а поля F 74
\Т\ ¦ мощность конечного множества Т 334
Ш наибольшее целое число, не превосходящее t ? Р
363
и (Ь) специальная целочисленная функция на конеч-
конечном поле 345
V (/) число различных значений многочлена / 456
w (х) вес Хэмминга вектора х 591
zn группа классов вычетов по модулю п 16
2/(п) кольцо вычетов по модулю п 27
Z (V: t) дзета-функция на многообразии V 412
НОД (/i, ..., /„) наибольший общий делитель многочленов flt ...
.... /„ 36
НОК (/х, ..., /„) наименьшее общее кратное многочленов /lt ...,/„
37, 38
.-,«„,) дискриминант элементов аь ..., ат поля F над
подполем К 81, 82
>1 квадратичный характер 242
\k (а) сумма Бревера 316
,и (п.) функция Мёбиуса 120
oh (xlt ..., хп) k-й элементарный симметрический многочлен 46
ф (п) функция Эйлера 19, 59
Ф9 (/) аналог функции Эйлера для многочленов 157
X характер, сопряженный с характером % 236
Хо тривиальный аддитивный характер 240
X, канонический аддитивный характер 240
Хь аддитивный характер, определяемый равенством
Хь (с) = Xi (be) 240
Фо тривиальный мультипликативный характер 241
ij'i мультипликативный характер, определяемый ра-
810 Указатель обозначений
венством % (gk) -— е2л(/А/(?-1) (g- _ примитивный
элемент поля fq) 241
композиция отображений 20
произведение, распространяющееся на все нату-
натуральные делители d числа п 120
2.1 сумма, распространяющаяся на все натуральные
делители d числа п 120
<1\п
Предметный указатель
автоморфизм группы (automorphism
of a group) 20
-¦- — внутренний (inner) 20
— поля F над подполем К (of F
over К) 73
— Фробениуса (Frobenius) 99
алгоритм Берлекэмпа (Berlekamp algo-
algorithm) 192
— - Берлекэмпа—Месси (Berlekamp—
Masse у) 550
— декодирования (decoding) 593, 611
— деления (division) 35
— диагонализации (diagonal ization)
208
—- для определения цикловой суммы
ЛМС (procedure for determining the
cycle sum of an LMS) 652
— Евклида (Euclidian algorithm) 37
— Миньотта (Mignotte) 570
— разложения в непрерывную дробь
(continued fraction) 289
— Цассенхауза (Zassenhaus) 205
алфавит входной (input alphabet) 643
— выходной (output) 643
аинулятор подгруппы (annihilator of
a subgroup) 239
ассоциативность (associativity) 13, 24
базис поля F над подполем К (basis
of F over K) 74
автодуальный (self-dual) 79
дуальный (dual, complementary)
78
— — нормальный (normal) 79, 669
дуальный (dual) 669
— — полиномиальный (polynomial) 79
— — следоортогональный (trace-ortho-
(trace-orthogonal) 100
башня расширений полей (chain of
extension fields) 76
бином (binomial) 160
блок (block) 632
— элементарный (elementary) 651
¦блок-схема (block design) 631
— уравновешенная неполная (balan-
(balanced incomplete) 632
(v, ft, Я.)-блок-схема 632
вектор кодовый (code vector) 589
— начального состояния (initial state)
498
— л-ro состояния (я-th state) 498
— ошибок (error vector, error word) 591
— перестановочный полиномиальный
(permutation polynomial) 486
— циклический (cyclic) 80
векторы ортогональные (orthogonal ve-
vectors) 598
вес Хэмминга (Hamming weight) 591
вход ЛМС (input of a LMS) 644
выход ЛМС (output of a LMS) 644
геометрия аффинная конечная (finite
affine geometry) 631
— евклидова (euclidean) 631
— проективная (project!ve) 628
конечная (finite) 628
гиперплоскость (hyperplane) 628
гиперпроизводная (hyperderivative) 372
гипотеза Римана (Rierrrann hypothesis)
406
— Римана—Вейля (Riemann — Weil)
414
гомоморфизм (homomorphism) 20, 28
— на (on) 20
граница Варшамова—Гилберта (Gil-
(Gilbert—Warshamov bound) 597
812
Предметный указатель
— Плоткнна (Plotkin) 597
— Синглетона (Singleton) 661
— Хэмминга (Hamming) 596
группа (group) 13
— абелева (abelian, commutative) 13
— аддитивная (additive) 13
— бесконечная (infinite) 16
— Бетти—Матье (Betti—Mathieu) 455
— Галуа (Galois) 99
— классов вычетов по модулю п (of
integers modulo n) 16
— коммутативная (commutative, abe-
abelian) 13
— конечная (finite) 16
— общая линейная (general linear) 502
— циклическая (cyclic) 15
группоид (groupoid) 56
группы изоморфные (isomorphic groups)
20
двучлен (binomial) 160
декодирование в ближайшее кодовое
слово (nearest neighbor decoding)
591
деление углом (long division) 35
делитель единицы (divisor of the
identity, unit) 31
-- многочлена (of a polynomial) 35
- наибольший общий (greatest com-
common) 36
— нормальный группы (normal sub-
subgroup) 21
¦— элемента (of an element) 31
детерминант квадратичной формы (de-
(determinant of quadratic form) 344
децимация (decimation) 575
дискриминант многочлена (discrimi-
(discriminant of a polynomial) 53
— элементов поля F над подполем К
(of elements of F over K) 81
дистрибутивность (distributivity) 24
длина кода (length of a code) 589
дополнение бинарное (binary comple-
complement) 537
единица (identity, unity element) 13,25
закон взаимности квадратичный (law
of quadratic reciprocity) 255
замкнутость операции (closure proper-
property of an operation) 13
замыкание алгебраическое (algebraic
closure) 59
значение многочлена от x при x = с
(polynomial expression in c) 33
— начальное рекуррентной последова-
последовательности (initial value of a recurring
sequence) 495
— ошибки (error value) 612
идеал (ideal) 26
— главный (principal) 26
— максимальный (maximal) 31
— порожденный элементом (generated
by an element) 26
— простой (prime) 31
изоморфизм группы (isomorphism of
a group) 20
индекс подгруппы в группе (index of
a subrgoup in a group) 18
— (элемента) 667
касательная (tangent) 624
квадрат латинский (latin square) 55,
637
— магический (magic) 666
квадраты латинские ортогональные
(orthogonal latin squares) 637
класс смежный (coset) 18, 493
— сопряженности (conjugacy class) 23
— эквивалентности (equivalence class)
15
классы вычетов по модулю идеала /
(residue classes modulo 1) 26
— — no модулю п (equvalence classes
modulo n) 16
код бинарный (binary code) 589
— — Хэмминга (Hamming) 596
— БЧХ (Боуза—Чоудхури—Хоквин-
гема) (ВСН-code) 609
в узком смысле (narrow sense)
609
примитивный (primitive) 609
— групповой (group) 589
— дуальный (dual, orthogonal) 598
— исправляющий t ошибок (t error
correcting) 591
— линейный (linear) 589
— ортогональный (dual, orthogonal)
598
— реверсивный (reversible) 663
— Рида—Соломона (Reed—Solomon)
609
— с общей проверкой на четность
(parity-check) 590
— с повторением (repetition) 590
— систематический (systematic) 589
— совершенный (perfect) 661
— циклический (cyclic) 601
максимальный (maximal) 603
— — укороченный (shortened) 604
кольцо (ring) 24
Предметный указатель
813
— без делителей нуля (ring with no
zero divisors) 25
— вычетов (residue class ring, factor
ring) 27
— главных идеалов (principal ideal
domain) 31
— евклидово (euclidean ring) 57
— коммутативное (commutative ring)
24
— конечное (finite ring) 25
— многочленов (polynomial ring) 35
— полиномиально полное (polуnomial-
(polуnomially complete ring) 474
— положительной характеристики
(ring of positive characteristic) 29
— с делением неассоциативное
(nonassociative division ring) 658
— с единицей (ring with identity) 24
— с однозначным разложением
(unique factorization domain) 58
— тернарное (ternary ring) 657
— факториальиое (unique factorization
domain) 58
•— характеристики О (ring of characte-
characteristic 0) 29
— целостное (integral domain) 24
— целых алгебраических чисел (ring
of algebraic integers) 255
композиция многочленов (composition
of polynomials) 148
— отображений (of maps) 20
компонента вынужденная (forced com-
component) 648
— свободная (free) 648
коника (conic) 624
— вырожденная (degenerate) 624
— невырожденная (nondegenerate) 624
константа (constant) 34
конфигурация тактическая (tactical
configuration) 632
координаты однородные (homogeneous
coordinates) 621 ,
корень многочлена (root, zero of a po-
polynomial) 42
— — кратный (multiple) 43
— — ^-первообразный над F^ (g-pri-
rnitive over fqm) 154
простой (simple) 43
— первообразный по модулю p (pri-
(primitive root modulo p) 97
— n-й степени из единицы (n-th root
of unity) 84
.— _ — первообразный (primi-
(primitive) 85
коэффициент многочлена старший (lea-
(leading coefficient of a polynomial) 24
— полиномиальный (polynomial) 364
— формального степенного ряда (of
formal power series) 516
кратное аффинное многочлена (affine
multiple of a polynomial) 144
— наименьшее общее (least common
multiple) 37
кратность корня (multiplicity of a root)
43
кривая алгебраическая (algebraic curve)
455, 666
— эллиптическая (elliptic) 408
критерий подполя (subfield criterion)
68
— Эрмита (Herrnite's) 439
лемма ApTHHa(Artin lemma) 79
лидер смежного класса (coset leader) 593
ЛМС (линейная модулярная система)
(LMS) 644
логарифм Якоби (Jacobi's logarithm)
104, 668
локатор ошибки (error-location num
ber) 606
матрица Адамара (Hadamard matrix)
640
нормализованная (normalized)
641
— из многочленов (of polynomials) 205
невырожденная (nonsingular)
205
нормализованная (normalized)
208
— унимодулярная (unirnodular)
205
— инволютивная (involutory) 398
•— инцидентности (incidence) 633
— квадратичной формы (coefficient ma-
matrix of quadratic form) 342
— кодирующая (generator) 590
— кососимметрическая (skew-symmet-
(skew-symmetric) 396
— порождающая (generator) 590
— каноническая (canonical) 590
— проверочная (parity-check) 589
— сопровождающая (companion) 90,
132
— стандартная (canonical generator»
590
— характеристическая (characterizing)
644
основная (characteristic) 644
— эрмитова (Hermitian) 397
матрицы из многочленов эквивалент-
эквивалентные (equivalent matrices of poly-
polynomials) 206
— подобные (similar) 666
814
Предметный указатель
метод Кронекера (Kronecker's method)
61
многочлен (polynomial) 33, 44
— абсолютно неприводимый (absolu-
(absolutely irreducible) 369, 455
— аннулирующий (annihilate) 80
— ^-ассоциированный (conventional
^-associate) 148
— аффинный кратный (affine multiple)
144
— без кратных неприводимых сомно-
сомножителей (with no repeated factors)
188
— возвратный (reciprocal) 114
характеристический (characteri-
(characteristic) 521
— вполне перестановочный (complete
mapping) 481
— разлагающийся (split) 52
— вычетный (residue) 475
— двойственный (reciprocal) 114
— делящий g (dividing g) 35
— делящийся на g (divisible by g) 35
— Диксона (Dickson) 447, 472
— допустимый (admissible) 490
— исключительный (exceptional) 456
— квазиперестановочный (crude per-
permutation) 481, 490
— квазисамовозвратный (quasi-self-re-
(quasi-self-reciprocal) 169
— кратный (multiple) 35
— я-круговой (nth cyclotomic) 85
— линеаризованный (linearized) 139,
д-ассоциизованный (q- associate)
148
— локаторов ошибки 'error-locator) 613
— минимальный (minimal) %&, 80, 525
— неприводимый (irreducible) 38, 117
— нормированный (monic) 34
— нулевой (zero) 34
— однородный (homogeneous) 45, 338
— от переменных xlt ..., xn (in %, ...
....*„) 44
— перестановочный (permitation) 438,
462
локальный (local) 487
— — по модулю p (modulo p) 491
— подпримитивный (subprimitive) 170
—• порождающий (generator) 603
— постоянный (constant) 34
— приведенный (monic) 34
— приводимый (reducible) 38
— примитивный (primitive) 116
-- проверочный (parity-check) 603
— /-разлагающий (/-reducing) 189
— самовозвратный (self-reciprocal) 169
— символически делящий g (symboli-
(symbolically dividing g) 149
делящийся nag (divisible by g)
149
неприводимый (irreducible) 151
— симметрический (symmetric) 45
элементарный k-й (kth elementa-
elementary) 46
— унитарный (monic) 34
— факторизуемый (factoriable) 172
— характеристический (characteristic)
74, 80, 132, 507
— я-циклотомический (nth cyclotomic)
85
^-многочлен (^-polynomial) 139
— • аффинный (affine) 144
— минимальный (minimal) 155
многочлены ^-ассоциированные (q-asso-
(q-associates) 148
— взаимно простые (relatively prime
polynomials) 37
попарно (pairwise) 37
— допустимые эквивалентные (admis-
(admissible equivalent) 491
— перестановочные эквивалентные
(permutational equivalent) 473
множество разностное (difference ''set)
635
— Зиигера (Singer) 658
моноид (monoid) 56
НОД (наибольший общий делитель)
(gcd) 36
HOK (наименьшее общее кратное) (lcm
37
норма (norm) 77
нормализатор (normalizer) 22
нуль кольца (zero element of a ring) 24
— многочлена (root, zero of a poly-
polynomial) 42, 64
нуль-пространство матрицы (null space
of a matrix) 190
нумератор весов кода (weight enumera-
enumerator of a code) 598
область целостности (integral domain)
24
образ гомоморфный (homomorphic ima-
image) 20
образующий циклической группы (ge-
(generator of cyclic group) 15
овал (oval) 625
— регулярный (regular) 664
— трансляционный (translation) 664
операция бииариая (binar operation)
определитель гаикелев (Hankel deter-
determinant) 547
Предметный указатель
815
— квадратичной формы (of quadratic
form) 344
— линейного оператора (of linear ope-
operator) 80
отношение инцидентности (incidence
relation) 617
— сравнимости по модулю п (con-
(congruence modulo n) 16
— эквивалентности (equivalence rela-
relation) 15
переменная (indeterminate) 33
период последовательности (period of a
sequence) 498
— — минимальный (least) 498
fc-плоскости параллельные (parallel k-
flats) 631
плоскость аффинная (affine plane) 618
— дезаргова (Desargusian) 622
— недезаргова (поп-Desargusian) 622
— проективная (projective) 617
— — конечная (finite) 617
— Фаио (Fano) 617
fc-плоскость (ft-flat) 628
— бесконечно удаленная (at infinity)
631
подгруппа (subgroup) 17
— нормальная (normal) 21
— порожденная множеством (genera-
(generated by a set) 17
— ¦— элементом (generated by an ele-
element) 17
— собственная (nontrivial) 17
— тривиальная (trivial) 17
подкольцо (subring) 26
поднятие характера (character lifting)
248
подполе (subfield) 44
— простое (prime) 46
— собственное (proper) 46
— тела (of division ring) 92
— —¦ максимальное (maximal) 93
подпространства аффинные параллель-
параллельные (parallel affine subspaces) 335
показатель, которому принадлежит
число о по модулю р (multiplicative
order of о modulo р) 111
поле (field) 24
•— алгебраических функций (of algeb-
algebraic functions) 265
— Галуа (Galois) 28, 68
— конечное (finite) 27
— n-круговое (nth cyclotomic) 84
•— разложения (splitting) 52
•— рациональных функций (of rational
functions) 369
— совершенное (perfect) 99
— п-циклотомическое (nth cyclotomic)
84
— эллиптических функций (of elliptic
functions) 408
полином (polynomial) 33
полугруппа (semigroup) 56
полуполе (semifield) 658
порядок группы (order of a group) 16
— кольца (of a ring) 25
— конечной проективной плоскости
(of finite projective plane) 618
— многочлена (of a polynomial) 110
приведенный (integral order, sub-
exponent of a polynomial) 168
— состояния ЛМС (of state of a LMS)
649
последовательность де Бройна (de
Bruijn sequence) 581
— линейная рекуррентная (linear re-
requiring) 495
¦ — неоднородная (inhomogeneous)
495
однородная (homogeneous) 495
— максимального периода (maximal
period) 514
— периодическая (ultimately periodic)
498
— порожденная импульсом (impulse
response) 503
— псевдослучайная (pseudonoise) 572
— равномерно распределенная (uni-
(uniformly distributed, equidistributed)
578
— Фибоначчи (Fibonacci) 566
— характеристическая (characteristic)
576
— чисто периодическая (periodic) 499
m- последовательность (m-sequence) 572
почти-поле (near-field) 657
предпериод (preperiod) 499
преобразование Фурье дискретное (di-
(discrete Fourier transform) 227
приведение многочлена по модулю /
(reduction of a polynomial modulo [)
40
принцип двойственности (principle of
duality) 617
— подстановки (of substitution) 42
присоединение элемента кольцевое
(ring adjunction of an element) 57
проблема Вариига (Waring's problem)
177, 401
— Гольдбаха (Goldbach's) 177
произведение многочленов (product of
polynomials) 34
— символическое (symbolic) д-миого-
члеиов 148
— скалярное (dot) 598
816
Предметный указатель
— характеров (of characters) 236
— элементов группы (of elements of a
group) 13
производная (derivative) 43
пространство аннулируемое матрицы
(null space of a matrix) 190
— внутренних состояний (state) 644
— входов (input) 644
— выходов (output) 644
— проективное (projective) 628
конечное (finite) 628
/д-прострапство (m-space) 628
процедура Ченя (Chien search) 614
прямая (Пне) 617
- бесконечно удаленная (at infinity)
620
прямые параллельные (parallel lines)
620
разбиение множества (partition of a set)
15
разложение многочлена на множители
(factorization of a polynomial) 39
каноническое (canonical) 39
— р-чичное числа т (representation
of m to base р) 364
— (/-многочлена символическое (sym-
(symbolic factorization) 151
размерность кода (dimension of a code)
589
—• пространства (of a space) 628
разрядка (decimation) 575
расстояние конструктивное (designed
distance) 609
— минимальное (minimum) 592
— Хэмминга (Hamming) 591
расширение поля (field extension) 46
алгебраическое (algebraic) 47
конечное (finite) 48
нормальное (normal) 49
полученное присоединением эле-
элементов множества М (obtained by
adjoining the elements in M) 47
— — простое (simple) 47
— — трансцендентное (transcendental)
59
— — циклическое (cyclic) 99
регистр сдвига с обратной связью
(feedback shift register) 496
рефлексивность (reflexivity) 15
ряд степенной формальный (formal
power series) 516
секущая (secant) 624
символ входной (input symbol) 643
— выходной (output) 643
— информационный (message) 588
— контрольный (control) 588
— Лежандра (Legendre) 242
— проверочный (control) 588
симметричность (symmetry) 15
синдром вектора (syndrome of a vector)
593
система алгебраическая (algebraic sy
stem) 13
— Веблена—Веддербёрна (Veblen—
Wedderburn) 657
— линейная модулярная (ЛМС) (li-
(linear modular) 644
— ортогональная (orthogonal) 462
— полная детерминированная с конеч-
конечным числом состояний (complete
deterministic finite-state) 643
— троек Штейнера (Steiner triple) 633
след (trace) 74
— абсолютный (absolute) 74
слова ортогональные (orthogonal words)
598
слово кодовое (code word) 588
— шумовое (error word, error vector)
591
сложение в кольце (addition in a ring)
25
соответствие (correspondence) 490
соотношение Дэвеипорта—Xacce (Da-
(Davenport— Hasse relation) 263
— линейное рекуррентное (linear re-
recurrence) 495
неоднородное (inhomogeneous)
495
однородное (homogeneous) 495
соотношения ортогональности для ха-
характеров (orthogonality relations for
characters) 238
состояние внутреннее (state) 643, 644
— — регистра сдвига на я-м такте
(nth state vector) 498
спектр перестановочный (простой) ((pri-
((prime) permutation spectrum) 490
степень многочлена (degree of polyno-
minal) 45
— — формальная (formal) 54
— поля F над подполем К (degree of F
over K) 48
•- рациональной функции (degree of a
rational function) 291
— элемента 8 поля над подполем К
(degree of 8 over К) 48
— п-я характера %(nth power of x) 236
элемента a (n-th power of a) 14
структура алгебраическая (algebraic
structure) 13
— кольцевая, индуцированная отобра-
отображением ф (ring strusture induced
Предметный указатель
817
by ф) 28
— цикловая (cycle) 575
сумма Бревера (Brewer sum) 316, 449
— Вейля (Weil) 269
— Гаусса (Gaussian) 243
— значений характера (character) 235
— Клостермаиа (Cloosterman) 280, 490
кратная (multiple) 313
обобщенная (generalized) 327
— многочленов (of polynomials) 33
— Салье (Salie) 313
— тригонометрическая (exponential)
243
неполная (incomplete) 309
— цикловая (cycle) 650
— Эйзенштейна (Eisenstein) 325
обобщенная (generalized) 326
— экспоненциальная (exponential) 243
— элементов группы (of elements of a
group) 13
— Якоби (Jacobi) 257
— Якобсталя (Jacobsthal) 285
сумматор (adder) 496, 644
схема (design) 631
¦— декодирования (decoding scheme)
588
— инцидентности (tactical configura-
configuration) 632
—• — симметричная (symmetric) 632
— кодирования (coding scheme) 588
t-схема (/-design) 658
таблица групповой операции (group
operation table) 16
— индексов (index) 89
— Кэли (Cayley) 16
тело (skew field, division ring) 24
теорема Варниига (Warning's theorem)
333
— Веддербёрна (Wedderburn's) 92
— Вейля (Weil) 275
— Вильсона (Wilson's) 60
— Гамильтона—Кэли (Cayley—Hamil-
(Cayley—Hamilton) 80
— Дезарга (Desargue's) 620
— Дэвеипорта—Xacce (Davenport—
Hasse) 248
— Кёиига—Радоша (Konig—Rados)
330
— китайская об остатках (chinese re-
remainder) 60, 62
— об однозначном разложении на
множители (unique factorization) 39
— о гомоморфизме (homomorphism)
22, 28
нормальном базисе (normal ba-
basis) 81
симметрических многочленах (оп
symmetric polynomials) основная
(fundamental) 39
— Паппа (Pappus) 620
— Ферма малая (Fermat's little) 60
— четности Штикельбергера (Stickel-
berger's parity) 225
— Шевалле (Chevaley's) 333
— Штикельбергера (Stickelberger's)
253
тождество Мак-Вильяме (MacWilliams
identity) 599
точка (point) 617
— рациональная (rational) 455
точки коллинеариые (coll i near points)
620
транзитивность* (transitivity) 15
— нормы (of norm) 78
— следа (of trace) 76
трехчлен (trinomial) 163
триггер (flip-flop) 496, 644
увеличитель (constant adder) 496
умножение (multiplication) 25
— символическое (symbolic) 148
уравнение гиперэллиптическое (hyper-
elliptic equation) 410
— диагональное (diagonal) 355
— классов сопряженности (class) 23
— ft-линейиое (ft-linear) 393
— мультилинейиое (linear) 393
— проверочное (parity check) 588
— разностное (difference) 495
усилитель (constant multiplier) 496,
644
факторгруппа (factor group, quotient
group) 22
факторкольцо (factor ring, residue class
ring) 27
форма (form) 338
— квадратичная (quadratic) 341
бииариая (binary) 342
диагональная (diagonal) 343
— — невырожденная (nondegenerate)
344, 350
представляющая элемент (repre-
(representing an element) 343
— нормализованная (normalized) 443
— иормеииая (norm) 391
— приведенная (reduced) непрерывной
дроби (of continued fraction) 291
— рациональная каноническая (ratio-
(rational canonical) 651
формула бинома (binomial theorem) 60
— Вариига (Waring's formula) 46
«18
Предметный указатель
— Ньютона (Newton's formula) 46
— обращения Мёбиуса (Moebius inver-
inversion formula) 120
— полной реакции (general response
formula) 647
формы квадратичные эквивалентные
(equivalent quadratic forms) 342
функция автокорреляционная (auto-
(autocorrelation function) 580
— весовая кода (weight enumerator)
598
— выхода (output function) 643
— импульсная (impulse response se-
sequence) 503
— индексная (index function) 667
— кросс-корреляциониая (cross-corre-
(cross-correlation function) 579
— Мёбиуса (Moebius function) 120
— мультипликативная (multiplicative
function) 246
— переходная (next-state function) 643
— производящая (generating function)
515
— следующего состояния (next-state
function) 643
— Эйлера (Euler's function) 19, 59
— экспоненциальная (exponential fun-
function) 667
I-функция (L-function) 446
характер (character) 236
— аддитивный (additive) 240
канонический (canonical) 240
— квадратичный (quadratic) 242
— мультипликативный (multiplicative)
241
— нетривиальный (nontrivial) 236
— сопряженный (conjugate) 236
— тривиальный (trivial) 236
характеристика кольца (character stic
of a ring) 29
центр группы (center of a group) 23
К-цепь (V-chain) 483
цикл (cycle) 630
число среднее решений уравнения (ave-
(average number of solutions of an equa-
equation) 339
— циклотомическое (cyclotomic)
305
член многочлена (term of a polyno-
polynomial) 45
— цикловый (cycle) 650
элемент алгебраический (algebraic ele-
element) 47
— бесконечного порядка (of infinite
order) 17
— блок-схемы (variety) 632
— единичный (identity, unity element)
13, 25
— задержки (delay element) 496,
644
— образующий простого расширения
поля (defining element of a simple
extension of field) 47
— обратимый (unit) 31
— обратный (inverse element) 13
— порождающий простого расширения
поля (defining element of a simple
field extension) 47
— примитивный (primitive element)
69
— простой (prime element) 31
— трансцендентный (transcendental
element) 59
элементы ассоциированные (associate
elements) 31
— бинарные (binary) 29
— сопряженные (conjugate) 20
— — относительно подполя К (with
respect to K) 72
— сравнимые по модулю п (J) (con-
(congruent modulo n (J)) 15, 26
— эквивалентные (equivalent) 15
эндоморфизм (endomorphism) 20
эпиморфизм (epimorphism) 20
четырехверишииик полный (complete
quadrangle) 622
ядро гомоморфизма (kernel of homo-
morphism) 21, 28
Содержание т I
Глава 1. Алгебраические основы
§ 1. Группы. § 2, Кольца и поля, § 3. Многочлены. § 4. Расширение полей. Ком-
Комментарии, Упражнения.
Глава 2. Строение конечных полей
§ 1. Характеризация конечных полей. § 2. Корин неприводимых многочленов.
S3. Следы, нормы и базисы, § 4, Корни из единицы и круговые многочлены. §5.
Представление элементов конечных полей, § 6, Теорема Веддербёриа. Коммента-
Комментарии. Упражнения.
Глава 3, Многочлены иад конечными полями
§ I. Порядки многочленов и примитивные многочлены § 2, Неприводимые много-
многочлены. § 3. Построение неприводимых многочленов, § 4, Линеаризованные много-
многочлены. § 5. Двучлены и трехчлены. Комментарии, Упражнения.
Глава 4. Разложение многочленов на множители
§ I, Разложение многочленов иад малыми конечными полями. §2. Разложение
многочленов иад большими конечными полями. § 3. Вычисление корней много-
многочленов. Комментарии. Упражнения.
Глава 5. Тригонометрические суммы
§ 1. Характеры. § 2. Суммы Гаусса. § 3. Суммы Якобн. § 4. Суммы значений ха-
рактероа с полиномиальными аргументами. § 5. Дальнейшие результаты о сум-
суммах значений характеров. Комментарии. Упражнения.
Глава 6, Уравнения иад конечными полями
§1. Элементарные результаты о числе решений. §2. Квадратичные формы.
§ 3, Диагональные уравнения. § 4. Метод Степанова—Шмидта. Комментарии.
Упражнения.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Глава 7. Перестановочные многочлены 437
§ 1, Критерии перестановочности многочленов 438
§ 2. Примеры перестановочных многочленов 441
§ 3. Группы перестановочных многочленов 449
§ 4. Исключительные многочлены 455
§ 5. Перестановочные многочлены от нескольких переменных 462
Комментарии 473
Упражнения 488
Глава 8. Линейные рекуррентные последовательности 494
§ 1. Регистры сдвига с обратной связью. Свойства периодичности . . . 495
§ 2. Импульсная функция. Характеристический многочлен 503
§ 3. Производящие функции 515
§ 4. Минимальный многочлен 524
§ 5. Семейства линейных рекуррентных последовательностей 530
§ 6. Характеризация линейных рекуррентных последовательностей . . 547
§ 7. Распределение элементов в линейных рекуррентных последователь-
последовательностях 555
Комментарии 566
Упражнения 580
Глава 9. Приложения конечных полей 586
§ 1. Линейные коды 587
§ 2. Циклические коды 601
§ 3, Конечные геометрии 616
§ 4. Приложения к комбинаторике 631
§ 5. Линейные модулярные системы 642
Комментарии 663
Упражнения 661
Глава 10. Таблицы 667
§ 1. Вычисления в конечных полях 667
§ 2. Таблицы неприводимых многочленов 670
Комментарии 670
Таблицы 673
литература 694
указатель обозначений 800
предметный указатель, '.'.'.'.'.'. 811
содержание t.i 819
Уважаемый читатель!
Ваши замечания о содержании киигн, ее
оформлении, качестве перевода и другие про-
просим присылать по адресу: 129820, Москва,
И-110, ГСП, 1-й Рижский пер., д. 2, изда-
издательство «Мир».