ИЗДАТЕЛЬСТВО
« М ИР»

Р. Маттук
ТЕЙНМАНОВСКИЕ ДИАГРАММЫ В ПРОБЛЕМЕ МНОГИХ ТЕЛ
A GUIDE
ТО FEYNMAN
DIAGRAMS
IN
THE MANY-BODY
PROBLEM
by
Richard D. Mattuck
Н. С OERSTED INSTITUTE
UNIVERSITY OF COPENHAGEN, DENMARK
McGRAW-HILL PUBLISHING COMPANY LIMITED
LONDON
NEW YORK — TORONTO — SYDNEY
1967
ПЕРЕВОД С АНГЛИЙСКОГО
Г. Л. КРАСКО
и
Р. А. СУРИСА
под редакцией
В. Л. БОНЧ-БРУЕВИЧА
Издательство
«МИР»
Москва
1969

УДК 530.145
Книга Маттцка представляет собой введение в диа-
диаграммные методы современной теории многих, тел В весьма
ясной и доступной форме изложены основные идеи метода;
сформулированы важнейшие теоремы Метод иглюстри-
руется примерами, содержащими чвное решение ряда
важнейших задач физики систем многих частиц.
Книгу можно рекомендовать студентам теоретикам и
экспериментаторам, а также научным работникам и пре-
преподавателям, специализирующимся по физике твердого
тела и знакомым с основами квантовой механики.
Редакция литературы по физике
Инд 2-3-2
*42—69

Предисловие
редактора перевода
Методу функций Грина или, общее, методам теории
поля в задаче многих тел в известном смысле повезло: пер-
первые монографии на эту тему были написаны практически
сразу же после создания самих методов. Однако это были
книги, написанные теоретиками для теоретиков. В той же
манере выдержано и большинство учебников, написанных
в последующие годы. При всей очевидной их полезности
и даже необходимости ясен и недостаток: предлагать экс-
экспериментатору знакомиться по таким книгам с современной
теорией многих тел — это примерно то же, что заставлять
студента изучать основы квантовой механики начиная с аб-
абстрактного гильбертова пространства. Логически — безуко-
безукоризненно, методически — бессмысленно. Между тем техника
теории поля давно уже переросла рамки «теории для тео-
теории», и знакомство с ее элементами сейчас необходимо,
вероятно, не меньше, чем знакомство со стандартным аппа-
аппаратом волновых функций и матричных элементов.
Автор книги, профессор Копенгагенского университета
Маттук, взял на себя нелегкий труд написать книгу как раз
нужного типа. В ней излагается, в сущности, язык —едва ли
не самый популярный язык современной теории многих тел,
основанный на систематическом использовании графических
методов. Овладев этим языком (что предлагаемая книга
вполне позволяет сделать), читатель будет подготовлен
к чтению современной литературы по физике систем многих
частиц —как монографий сугубо теоретического характера,
так и оригинальных статей. Автор в максимальной мере
использует одно из основных достоинств диаграммного ме-
метода — его наглядность. В этом смысле, пожалуй, поставлен
своего рода рекорд — по-видимому, до сих пор никому еще
не удавалось с полной четкостью определить понятие фун-
функции Грина с помощью игры в детский бильярд!
Ясно понимая (и подчеркивая в своем предисловии), что
данная книга составляет лишь первый этап в овладении
современными методами теории многих тел, автор рекомен-
рекомендует после каждой главы литературу для дальнейшего чте-
чтения. Некоторые из указываемых им сочинений не переведены

6 Предисловие редактора перевода
на русский язык и не всегда доступны; по этой причине
было сочтено целесообразным расширить список литературы.
Даны также дополнительные ссылки в тексте книги (автор,
на наш взгляд, вполне обоснованно избегает сложных
выкладок непринципиального характера, отсылая читателя
к более «тяжеловесным» трудам).
Можно надеяться, что живо и увлекательно написанная
книга Маттука найдет широкую аудиторию. Ее можно реко-
рекомендовать студентам (теоретикам и экспериментаторам),
интересующимся физикой твердого тела, а также экспери-
экспериментаторам и инженерам-физикам любого возраста. Особенно
следует обратить на нее внимание преподавателей физиче-
физических и физико-технических факультетов. Перевод книги вы-
выполнен Г. Л. Краско (предисловие и гл. 1 — 8) и Р. А. Су-
рисом (гл. 9—16, приложения и ответы на задачи).
В. Л. Бонч-Бруевич

Предисяовае автора
к русскому изданию
Мне было очень приятно узнать, что готовится издание
моей книги на русском языке. Книга посвящена теории
многих тел — одной из наиболее зачаровывающих областей
современной физики, и я рад, что русские читатели смогут
разделить со мной энтузиазм, которым нельзя не проник-
проникнуться, заглянув в эту область. Кроме того, издание пере-
перевода предоставляет мне благоприятную возможность выра-
выразить признательность русским физикам за тот фундамен-
фундаментальный вклад, который они внесли в теорию многих тел.
Их работы существенно использовались в книге. Я особенно
хотел бы упомянуть прекрасное описание многочастичных
систем с помощью элементарных возбуждений, предложенное
Ландау, и поистине новаторскую работу Галицкого и Миг-
дала, в которой они показали, как можно проанализировать
такие возбуждения, используя функции Грина. Эти идеи
проложили изящный и универсальный путь к пониманию
систем многих частиц и расчету их свойств; они и состав-
составляют фундамент, на котором построена вся книга.
Наконец, мне очень приятно поблагодарить профессора
Бонч-Бруевича за тот труд, который он па себя взял, по
редактированию перевода.
Ричард Ц. Маттук
Копенгаген, 27 февраля 1969 г.

Из предисловия автора
Эта книга написана для неспециалистов, т. е. физиков-
экспериментаторов и тех теоретиков, которые не боятся, что
их застанут врасплох за чтением чего-то легкого.
Большинству неспециалистов известно, что в настоящее
время теория многих тел является очень модной и что она
позволяет получать множество фундаментальных результатов
во всех областях физики. К сожалению, предмет этой по-
появившейся недавно теории исключительно сложен, а книги
написаны на уровне, совершенно недоступном среднему
экспериментатору или теоретику, не работающему в этой
области.
Цель настоящей книги состоит в том, чтобы заполнить
определенный педагогический пробел с помощью несложного
введения в один-единственный аспект теории многих тел —
метод фейнмановских диаграмм. Поскольку слово „неслож-
„несложный" вместе со своими родственниками „элементарный",
„вводный" или „для пятилетнего возраста" в прошлом произ-
произносилось в связи с довольно устрашающими сочинениями,
я, пожалуй, поясню, что оно означает здесь. Во-первых, оно
означает, что, насколько я знаю, настоящая книга проще
чего бы то ни было другого уже написанного на тему о со-
современной теории многих тел. Это определяет верхнюю гра-
границу понятия „несложный". Нижняя граница устанавливается
с помощью системы, изображенной на фиг. 5. Этот класси-
классический пример автор придумал, чтобы объяснить главные
идеи проблемы. Вся первая часть книги существенным обра-
образом построена на аналогии с этим примером.
Поскольку книга не подпадает ни под одну из обычных
категорий, имеет смысл во избежание недоразумений ясно
сформулировать, чем она не является. Она не является сама
по себе „учебником" по теории многих тел, а представляет
собой просто элементарное введение в учебники, уже суще-
существующие в этой области. Она не подготовит читателя
к штурму новейшей литературы, а лишь позволит ему только
мельком подсмотреть, что делается в этой литературе. Она
научит читателя выполнять расчеты, связанные с задачей
многих тел не в большей степени, чем лекции из музыкального

10 Из предисловия автора
лектория научат сочинять музыку; она может, однако,
помочь читателю осознать все изящество и значение этих
расчетов.
Короче говоря, это не пособие к обычному „элементар-
„элементарному курсу теории многих тел", потому что такой курс имел бы
своей целью подвести начинающих к моменту, когда они
окажутся в состоянии выполнять расчеты и решать настоя-
настоящие задачи в этой области. Эту книгу скорее следует рас-
рассматривать главным образом как руководство по „домаш-
„домашнему обучению" для неспециалистов, пытающихся получить
хоть какое-то представление о фейнмановских диаграммах
и о том, зачем они вообще нужны в физике многих тел.
И, наконец, эта книга может служить (для тех, кто любит
начинать с чего-то простого) дополнительным пособием
к учебнику по теории многих тел.
Теперь несколько слов о том, как построена книга. Поль-
Пользуясь масштабом, заданным другими книгами на эту тему,
ее можно разделить на три части: детский сад, начальная
школа и средняя школа.
Программе детского сада соответствуют гл. 1—6. Они
содержат введение к основным идеям проблемы на уровне
где-то между книжками об известном Диснеевском утенке
Доналде и «American Journal of Physics». Квантовая диа-
диаграммная техника развивается здесь по аналогии с прозрач-
прозрачным классическим примером. Сначала детально рассматри-
рассматриваются тривиальные одночастичные системы; это дает воз-
возможность читателю прочувствовать метод, показывая ему,
каким образом следует подходить к проблемам, которые он
и сам легко может решить с помощью элементарной кван-
квантовой механики. Так же бесхитростно вводятся и многоча-
многочастичные диаграммы. Кроме того, читатель найдет здесь крат-
краткое введение в метод вторичного квантования. Но это
факультативно; в первой части книги метод существенно не
используется.
Руководство для детского сада может рассматриваться
и как самостоятельная книга для тех, кто хочет узнать лишь
столько, сколько необходимо, чтобы не дрожать в благого-
благоговейном ужасе, когда специалист по теории многих тел по-
покрывает всю доску фейнмановскими диаграммами.
Главы 7—16 соответствуют уровню начальной школы.
Содержание их —от вторичного квантования до сверхпрово-
сверхпроводимости—обычно для большинства других книг по теории
многих тел. Однако изложение здесь значительно более эле-
элементарно и несколько ограничено. Это означает главным
образом, что, во-первых, из физических свойств системы рас-

Из предисловия автора 11
сматриваются только энергии основного и возбужденного
состояний и, во-вторых, аналитические свойства функций
Грина не рассматриваются вообще. Вместо этого автор скон-
сконцентрировал усилия исключительно на том, чтобы вырабо-
выработать у читателя способность чувствовать сами диаграммы,
их физический смысл и научить его различным приемам
суммирования, необходимым при работе с диаграммами.
Новым с точки зрения педагогики в этих главах является
то, что все расчеты полностью проводятся с помощью диа-
диаграмм — вплоть до того момента, когда решение с языка
диаграмм переводится на язык интегралов; в этом месте
автор просто постулирует численный результат, отсылая чи-
читателя за подробностями интегрирования к подходящей книге
или статье.
Приложения 1-Х составляют содержание третьей части
книги — средней школы. Она начинается с краткого обзора
дираковского формализма и содержит более или менее стро-
строгий вывод правил построения диаграмм.
В конце каждой главы дается несколько коротких упраж-
упражнений; ответы к ним помещены в конце книги.
Все, что выделено в тексте мелким шрифтом и вер-
вертикальной линейкой, предназначено для факультативного
чтения.
Эта книга выросла из серии лекций, которые автор читал
в течение 1962 — 1965 гг. для студентов, изучающих физику
твердого тела в Копенгагенском университете. Среди многих
людей, которые оказывали мне в это время поддержку,
я хочу особенно поблагодарить профессора Г. Йенсена как
за предоставленную мне возможность проникнуть в эту об-
область—теорию многих тел, так и за многочисленные беседы
с ним, наполнявшие меня чувством уверенности. Я также
очень благодарен проф. М. Пилу за его критику рукописи
на ранних стадиях и за доброжелательное к ней отношение.
Я хотел бы отметить очень ценные замечания по улуч-
улучшению рукописи, сделанные проф. О. Таулесом из Бирмин-
гамского университета и д-ром А. Тэйлором из Универси-
Университета в Ливерпуле. •
Из моих коллег мне хочется особенно поблагодарить,
во-первых, Б. Йохансена из NORDITA за бесконечно долгие
и оживленные дискуссии по теории многих тел, которые мы
вели вдвоем, и за чтение и критику рукописи в целом и,
во-вторых, Ф. Грейзена из Голландской высшей технической
школы за ту необыкновенную внимательность, с которой
он прочел первый полный вариант книги, указал на бесчис-
бесчисленные ошибки — в противном случае они остались бы

12 Из предисловия актора
незамеченными — и за многие ценные советы. Я также благо-
благодарен Р. Лоту за его исключительно полезную критику.
Кроме того, я хотел бы поблагодарить проф. Дж. Брауна,
чьи лекции по теории многих тел в Институте Нильса Бора
A960—1961 гг.) послужили для меня отправной точкой.
И, наконец, я признателен моему брату проф. Артуру Мат-
туку (Массачусетский технологический институт) за исклю-
исключительно полезные советы и моей жене Алисе Маттук за
внимательное чтение и критику шуток.
Ричард Д. Маттук

Глава I
ДИАГРАММЫ ФЕЙНМАНА И ЗАДАЧА
МНОГИХ ТЕЛ
§ /. Что такое задача многих тел и для чего нужны
фейнмановские диаграммы
Разумной отправной точкой при рассмотрении проблемы
многих тел мог бы служить следующий вопрос: сколько
нужно тел, чтобы возникла проблема? Проф. Дж. Браун
отмечал, что лица, интересующиеся точными решениями,
могут найти ответ на этот вопрос, заглянув в историю. Для
ньютоновской механики XVIII века задача трех тел была
неразрешимой. С рождением общей теории относительности
(где-то около 1910 г.) и квантовой электродинамики A930 г.)
стали неразрешимыми задачи двух и одного тела. В совре-
современной квантовой теории поля неразрешимой оказывается
задача нуля тел (вакуума). Так что если мы интересуемся
точными решениями, то ни одного тела — это уже слишком
много.
Конечно, фактически совершенно точные решения нас не
интересуют; соответственно попытаемся поставить вопрос
получше. Пусть мы имеем систему большого числа частиц,
таких, например, как молекулы воды в стакане с водой,
протоны и нейтроны в ядре свинца или молекулы кислорода
в баллоне с газообразным кислородом. Система такого рода
схематично показана на фиг. 1. Проблема, которой мы будем
интересоваться, состоит в том, чтобы объяснить наблюдае-
наблюдаемые свойства системы, зная, как ведут себя составляющие
ее частицы. Так, например, нам хотелось бы рассчитать
теплоемкость воды, или магнитный момент ядра, или сжи-
сжимаемость кислорода.
Прежде всего надо понять, что наличие в системе мно-
многих частиц само по себе еще не приводит к задаче многих
тел. Представьте себе, например, что частицы не взаимодей-
взаимодействуют друг с другом. Так приблизительно обстоит дело
в баллоне с кислородом, если плотность газа достаточно

14 Глава 1
низка и вследствие этого молекулы находятся так далеко
друг от друга, что столкновения между ними очень редки.
Видно, что в этом случае каждая частица ведет себя неза-
независимо от других, поэтому можно просто исследовать пове-
поведение каждой частицы в отдельности. (Заметьте, что в си-
системе тождественных невзаимодействующих бозонов или фер-
мионов движение частиц коррелировано, поскольку волновая
функция всей системы симметрична или антисимметрична.
Тем не менее при выполнении расчетов частицы можно счи-
считать независимыми, а соответствующую симметризацию про-
провести в конце.) Иными словами, мы имеем дело здесь не
с одной задачей многих тел, а скорее со многими задачами
Фиг. 1. Система многих тел.
одного тела. Разумеется, для тождественных частиц все эти
задачи одинаковы.
Настоящая задача многих тел возникает в системе ча-
частиц, взаимодействующих друг с другом. Здесь мы уже не
можем считать частицы независимыми, а должны принимать
во внимание невообразимо сложное влияние, которое каждая
частица оказывает на поведение всех остальных. Кроме газов,
почти все физические системы принадлежат к этому типу —
молекулы в жидкости, электроны в твердом теле, протоны
и нейтроны в атомном ядре и т. п.
Таким образом, мы приходим к следующему опреде-
определению:
Задача многих тел состоит в изучении влияния взаимо-
взаимодействия между частицами на поведение составляемой ими
системы.
Например, мы интересуемся влиянием, которое взаимо-
взаимодействие оказывает на величину энергии основного и возбу-
возбужденного состояний, термодинамические характеристики,
электрические и магнитные свойства и т. д. В общем случае

Диаграммы Фейнмана и задача многих тел 15
задача многих тел предельно трудна благодаря невероят-
невероятной запутанности движения частиц в системе со взаимо-
взаимодействием.
Одним из наиболее удачных ранних методов решения
задачи, который используется и до сих пор, был мегод кано-
канонических преобразований. Он состоит в переходе в уравне-
уравнении Шредингера к новой совокупности координат, вследствие
чего член, описывающий взаимодействие, становится неболь-
небольшим. Принципиальный недостаток этого метода состоит в том,
что он не столь универсален, как хотелось бы, и это иногда
затрудняет его использование. Именно отсутствие универ-
универсального метода держало теорию многих тел в колыбели
вплоть до 50-х годов.
Положение радикально изменилось в 1956—1957 гг., ко-гда
в серии новаторских работ было показано, что методы кван-
квантовой теории поля, уже ставшие знаменитыми благодаря
успешному их применению в физике элементарных частиц,
могут служить унифицированным и мощным оружием штурма
задачи многих тел. Новый ключ открывал многие двери, и
в течение короткого времени эта идея была использована
в теориях ядра, сверхтекучести, сверхпроводимости, электро-
электронов в металле, фононов, ферромагнетиков, плазмы, атомов,
молекул и т. д. За последние 10 лет теория многих тел до-
достигла совершеннолетия, и стало возможным осуществление
все более и более многочисленных увлекательных и фунда-
фундаментальных исследований природы вещества. Она проникла
столь глубоко в столь многие области современной физики,
что для всех физиков стало необходимым приобрести хотя бы
элементарные сведения о ней. Наша цель и состоит в том,
чтобы дать эти минимальные сведения.
В этой книге мы уделим основное внимание теоретико-
полевому методу, известному как метод функций Грина. Он
основывается на той идее, что для нахождения важных физи-
физических характеристик системы нужно знать отнюдь не де-
детальное поведение каждой частицы, а скорее только усред-
усредненное поведение одной или двух типичных частиц. Вели-
Величины, описывающее это усредненное поведение, называются
соответственно одночастичной и двухчастичной функциями
Грина.
Рассмотрим сначала одночастичную функцию Грина.
В системе со взаимодействием, очевидно, безнадежно пы-
пытаться детально описать чудовищно сложное движение ча-
частицы между двумя точками в пространстве. Но мы можем
описать движение „в среднем", задавая вероятности (или
в квантовых системах амплитуды вероятности) движения.

16 Глава 1
Так, одночастичная функция распространения, или функция
Грина G (r2> t2; rb /i), определяется как вероятность (ампли-
(амплитуда) того, что некоторая частица в системе придет в точку г2
в момент времени /2, если она начала двигаться („распро-
(„распространяться") из точки rj в момент t{. Двухчастичная функ-
функция Грина определяется аналогичным образом. С помощью
этих двух функций можно описать физические свойства си-
системы многих тел.
Метод вычисления функций Грина, которым мы будем
пользоваться, — это метод диаграмм Фейнмана. Чтобы дать
беглое представление о том, что такое эти диаграммы, рас-
рассмотрим следующий простой пример. Человек, выпивший
лишнего, прощается со своими приятелями в точке г{ и по
дороге домой в точку г2 он может навестить один или не-
несколько баров — бар А, В, С и т. д. Мы ищем вероятность
Р (Г2> ri) того, что он попадет домой. Эта вероятность, кото-
которая и есть как раз функция Грина (время мы для простоты
опускаем), равна сумме вероятностей различных маршрутов,
по которым человек может прийти из точки rj в г2, взаимо-
взаимодействуя по пути с различными барами. Если предположить
для простоты, что различные события происходят независимо,
то искомая вероятность оказывается равной Ро(г2, rj) (вероят-
(вероятность того, что человек „свободно" дойдет из Г] в г2, т. е.
не будет останавливаться в барах) плюс Р0(гА, г^ X Р(А) X
X Р0(г2, гд) (вероятность того, что он дойдет „свободно"
от Г] до бара А, умноженная на вероятность того, что он
выйдет из бара А и будет в состоянии продолжать движе-
движение, и умноженная на вероятность свободного следования
в точку г2), плюс Р0(гв, г{) X Р(В)Х Ро(г2, Гв) (вероятность
маршрута Г] — бар В — г2), плюс и т. д., плюс Р0(гА, г{) X
X Р(А) X Р0(гв, гА) X Р(й) X Р0(г2, гв) (вероятность мар-
маршрута Г! — А — В — г2), плюс и т. д. Таким образом мы полу-
получаем функцию Грина в виде бесконечного ряда „возмущений"
Р (г2, г,) = Ро (г2, г,) + Ро (гА, г,) Р (А) Ро (г2, гд) +
+ Ро(гв, r,)P(S)P0(r2, гв)+ ...
+ Po(rA,rl)P(A)Po(rB,rA)P(B)Po(r2,rB)+ .... A.1)
Каждый член этого ряда можно представить в виде диа-
диаграммы следующим образом: изобразим величину />o(r/> ri)
(вероятность свободного движения из точки гг в точку rs)
сплошной линией г, » г,-, а Р (X) (вероятность благо-
благополучного ухода из бара X) — кружком (х)ш Тогда ряд можно

изобразить в виде
Диаграммы Фейнмана и задача многих тел 17
A.2)
Поскольку каждому элементу диаграммы соответствует опре-
определенный множитель, эта запись полностью эквивалентна
выражению A.1). Она имеет, однако, огромное преимуще-
преимущество, так как выявляет физический смысл ряда, давая нам
„карту", помогающую проследить всю последовательность
взаимодействий пьяного человека на пути от Г! до г2.
В системе многих тел вместо движения пьяного человека,
взаимодействующего с различными барами, мы имеем дви-
движение частицы, взаимодействующей с другими частицами си-
системы. Изобразим взаимодействие между частицей в точке г
и частицей в точке г' волнистой линией
Г уллллллллл/ Г'
A.3)
Тогда, подобно случаю пьяного человека, функцию Грина
G (r2, t2', fi, ^i) можно представить в виде суммы всех диа-
диаграмм, изображающих частицу, начавшую движение в точке Г[
в момент t\, провзаимодействовавшую нуль, один или более
раз с другими частицами системы и окончившую свой путь
в точке г2 в момент t2'
Гг. h
2. h
г, г
r\t
\TJ\l\/\J\f J
6
9
A.4)
Диаграмма а показывает „свободное" движение из rb tx
в r2, t2. Диаграммы б и в изображают частицу, испытывающую
2 Р. Матгук

18 Глава 1
единичное столкновение с другой частицей. На диаграм-
диаграммах г и <Э — два столкновения и т. д. (Детальная интерпре-
интерпретация этих диаграмм более трудна, чем в случае с пьяным
человеком, поэтому мы отложим ее до гл. 4.) Как и для
функции Грина пьяного человека, каждая диаграмма в A.4)
соответствует определенному члену в разложении функции
Грина по степеням возмущения (мы рассмотрим это в гл. 4).
Подобные же диаграммы используются и в случае двухча-
двухчастичной функции Грина.
Картинки, из которых построена схема A.4), называются
фейнмановскими диаграммами в честь человека, который их
придумал, — Ричарда П. Фейнмана. Он использовал такие
диаграммы в своей работе по квантовой электродинамике,
за которую получил Нобелевскую премию. Диаграммы Фейн-
Фейнмана очень широко применяются в физике элементарных
частиц.
Каким именно образом диаграммы используются при
фактическом вычислении функции Грина, мы рассмотрим
в конце этой главы. Сначала, однако, изложим вкратце ме-
метод канонических преобразований. Это позволит нам создать
необходимый фон для понимания важности новой техники,
позаимствованной из квантовой теории поля.
§ 2. Метод канонических преобразований
Сформулируем сначала количественно наши замечания
относительно системы N невзаимодействующих частиц. Пусть
эти частицы обладают массами шь пг2, ..., гпм, и пусть они
помещены в не зависящее от времени поле внешней силы F(r),
которому соответствует потенциал V (г). Наша задача — выяс-
выяснить, каково будет поведение частиц. В классическом случае
система описывается N независимыми уравнениями движения
dh.
F(r,) = m,-^, /=1, 2, .... N, A.5)
решения которых имеют вид
В квантовомеханическом случае уравнения A.5) заменяются
уравнением Шредингера
: Пт, , ГЛ Р 11 == / i Л j. 11 1 == * Г~ l/\l*i)» A.ОЯ)
j=i

Диаграммы Фейнмана и задача многих тел 19
Н, *? и Е суть соответственно гамильтониан, волновая функ-
функция и энергия всей системы; Hh p,, V (г,) —гамильтониан,
импульс и потенциальная энергия одной частицы. Если за-
записать W в виде произведения (для простоты пренебрегая
требованиями симметрии)
ЧЧг, г*) = 11/*, (г,) О-66)
и подставить в уравнение A.6а), то окажется, что последнее
разделится на N одночастичных уравнений Шредингера
При этом полная энергия равна в точности сумме одноча-
одночастичных энергий
*( ()
Таким образом, как в классической, так и в квантовой ме-
механике невзаимодействующих частиц мы имеем N независи-
независимых уравнений. Это как раз и означает, что проблема сво-
сводится к N задачам одного тела.
В реальной задаче многих тел, как мы уже видели, ча-
частицы взаимодействуют друг с другом. Это значит, что
в классическом случае необходимо решить N связанных
уравнений
N
S^r^m,-^, i=l,2,...,N, A.7)
где F{rt, Г/) есть сила взаимодействия между двумя части-
частицами. В квантовом случае появляется одно уравнение Шре-
дингера, переменные в котором уже не разделяются:
N г о т N
(< Ф I)
= ЕЧ(ги ..., rN), A.8)
где V (гг, г,; р{, ps) — потенциальная энергия взаимодействия
двух частиц, в общем случае зависящая от импульсов.
Для дальнейшего было бы удобно ввести различие между
„слабым" и „сильным" взаимодействиями. Мы будем назы-
называть взаимодействие „слабым", а соответствующий член в A.8)
„малым", если оно приводит лишь к небольшому возмуще-
возмущению решения для невзаимодействующей системы, т. е. если
его можно учесть в конечном порядке обычной теории
2*

20 Глава 1
возмущений. Если же с взаимодействием нельзя справиться
таким простым образом, то мы будем называть его „силь-
„сильным" или „большим". Большинство взаимодействий, с кото-
которыми приходится иметь дело, относятся к типу сильных.
Рассмотрим, например, кулоновское взаимодействие между
электронами в металле. Потенциальная энергия его имеет
вид
Если вычислять энергию основного состояния системы, рас-
рассматривая взаимодействие как возмущение, то получается
результат
Ео = Ео] + Е(о} + оо + оо + оо +
т. е. бесконечности во всех порядках теории возмущений,
кроме первого! (Следует отметить, что существуют некоторые
взаимодействия, небольшие по величине, но все же такие,
что их нельзя рассматривать как малые возмущения. К ним
относится, например, слабое притяжение между электронами,
приводящее к сверхпроводимости. В соответствии с принятой
нами классификацией такие взаимодействия также будут
называться „сильными".)
Попытку проследить за движением системы N сильно
взаимодействующих частиц можно уподобить, грубо говоря,
усилиям болельщика, который пытался бы смотреть баскет-
баскетбольный матч с N мячами. Поэтому в ранних работах по
теории многих тел пытались свести дело к задаче одного
тела, отделавшись от взаимодействия. Для этой цели надо
либо сделать вид, что взаимодействия вовсе не существует,
либо, более легально, избавиться от него с помощью какого-
либо преобразования. В классическом случае такое преобра-
преобразование подразумевает переход к новой совокупности коор-
координат, в которых уравнения движения A.7) становятся при-
приближенно независимыми. Например, в простых ситуациях
иногда оказывается возможным ввести такие новые коорди-
координаты Rft, определяемые равенствами
r, = r,(Ri, R2, ..., Rb ..., RN), A.9)
что в новых переменных уравнения A.7) примут вид
Малая величина

Диаграммы Фейнмана и задача многих тел 21
Величины Mk называются „эффективными массами". Урав-
Уравнения A.10) определяют совокупность N почти независимых
задач „одного тела", которые можно решить более или менее
точно, а оставшееся малое взаимодействие h(Rk, R;) учесть
с помощью теории возмущений. „Тела" теперь являются,
конечно, не настоящими, а скорее фиктивными.
Идею о превращении системы взаимодействующих реаль-
реальных частиц в систему приближенно невзаимодействующих
фиктивных тел легко проиллюстрировать, рассматривая две
взаимодействующие частицы в гравитационном поле. Пусть
массы этих частиц будут пги ш2; координаты гь г2; гравита-
гравитационные силы Fl = mlg, F2 = m2g, а сила их взаимодействия
F (rj — r2). Частицы подчиняются уравнениям движения
F, + F(r1-r2) = m,rI,
F2 — F (rj — r2) = m2r2.
Задача сводится к двум независимым задачам одного тела,
если перейти к новым координатам:
(nil + пг2) R = Ш\ХХ + ff72f2, R — координата центра масс,
Г = Г; — Г2, Г — относительная координата.
Складывая уравнения A.11), мы получаем
'k. A.13)
Умножая одно уравнение на т2, а второе на тх и вычитая
второе из первого, находим
F(r) = -M-r A.14)
Таким образом, мы имеем два новых независимых уравнения:
одно — для фиктивной частицы с эффективной массой (гп\ + пг2),
находящейся в центре масс R, а второе —для фиктивной
частицы с эффективной массой mxm4{mx-\- ш2) и координатой,
равной относительной координате г.
Однако новые невзаимодействующие фиктивные тела не
всегда похожи на частицы. Рассмотрим, например, хорошо
известный случай одномерной цепочки из N атомов, показан-
показанной на фиг. 2, в которой между ближайшими соседями дейст-
действуют гармонические силы. Классическое уравнение движения
для такой системы имеет вид
- 2keun + ke(un+i + «„_,) = m^-, A.15)

22 Глава 1
где ип — смещение я-го атома из положения равновесия,
kc — упругая постоянная, т — масса атома. Преобразова-
Преобразование A.9) в данном случае есть просто преобразование Фурье
un=liUke-iknd. A.16)
к
Подстановка этого выражения в A.15) приводит к независи-
независимым уравнениям типа A.10)
ЬО, A.17)
которые имеют решения
/7 — А /у ft /--I __ ~| / ?_ /1 r»(~\c br1\ /1 1 ON
*^ & "~~ ¦*'¦&*-' j '-'-'fe — I/ \ ¦"¦ — HJo /vc* I • \ 1 • 1 О /
Если все величины Лй, кроме одной, равны нулю, то A.16)
принимает вид
"rt = л^^ • (.1. 1У)
Это есть синусоидальное продольное колебание, или „звуко-
„звуковая волна" с частотой а{ и длиной волны X — 2n/k, распро-
/i-l п п + 1
Фиг. 2. Цепочка из гармонически связанных атомов.
страняющаяся по цепочке. Таким образом, фиктивные „тела"
здесь представляют собой волны, а не частицы.
В квантовом случае часто можно поступать таким же
образом; надо произвести каноническое преобразование над
гамильтонианом Н, чтобы член с взаимодействием стал
малым. Попробуем ввести новые координаты Rfe и импульсы Pft
с помощью соотношений
Г( = rt (Rl> •••> Rfc> •••> °ЛЛ *b •••> *ft> •••> P' NJ> ,. _..
Рг = Рг (Ri> •••> Rjvi Pi> •••» Pyv)-
Заметим при этом, что по определению канонического пре-
преобразования новые координаты R;, Рг должны удовлетворять
тем же каноническим соотношениям коммутации, что и rh p,,
т. е.
[r,lP,] = Md,,, [r,,r,J = O, [р„р/] = О. A.20а)

Диаграммы Фейнмана и задача многих тел 23
Получаем
Я = У Я (р„ г,) +| У V (г„ г;; р„ Р/) -»
2
- A.21)
Ч, m Малая величина
Если это можно сделать, то проблема сводится к совокуп-
совокупности ./V приближенно независимых задач одного тела
с малым возмущением V. Уравнения A.22) описывают неза-
независимые фиктивные тела в квантовом случае. Полная энер-
энергия квантовой системы равна сумме энергий фиктивных тел
E=%E'q. A.23)
я
Простой пример преобразования A.21) дает нам квантовая
система двух взаимодействующих частиц. Эта система под-
подчиняется уравнению (в предположении отсутствия гравита-
гравитационного поля)
ЯЧ'(гь r2) = ?W(r,, г2), A.24)
где
Переходя к координатам центра масс и относительным коор-
координатам [см. A.12)], находим
Я = Я (R) + Я (г),
где
^ 1 Пт). A.26)
ОТ] + /И2
Отсюда следуют два уравнения Шредингера
описывающих два фиктивных объекта типа частиц, таких же,
как и в соответствующем классическом случае.
Преобразование A.21) можно проделать и для случая
цепочки атомов на фиг. 2 (подробнее см. [68] или [28]).

24 Глава 1
Гамильтониан цепочки (в пренебрежении концевыми эффек-
эффектами) имеет вид
N I 2 \ ЛГ
в=1
/3=1 Я=1
Первый член здесь описывает совокупность независимых
гармонических осцилляторов (по одному в каждой точке,
соответствующей положению атома), в то время как второй
член отвечает взаимодействию между каждым атомом и его
ближайшими соседями. Оказывается, что преобразование
A.20) в этом случае принимает вид
и
cos qna — -^-ar^sm
Ж qs,mqnd + ?Pqcosqnd), A.30)
где
@^ = 1/ —-(I— cosqa). A-31)
Величины *%?q и SPq подчиняются каноническим правилам
коммутации
в чем можно убедиться, подставив выражения A.29) и A.30)
в A.20 а) и полагая г,- = мг. Используя в выражении A.28)
соотношения A.29), A.30) и A.32), получаем после ряда скуч-
скучных вычислений
Это есть сумма обыкновенных гамильтонианов гармониче-
гармонических осцилляторов с различными частотами. Заметим, что
обычно вместо A.29) и A.30) совершается преобразование
ue '
которое не приводит к полному расцеплению гамильтониана:
остаются перепутанными колебания с волновыми векторами q

Диаграммы Фейнмана и звдача многих тел 25
и — ц. В результате же преобразования A.29) и A.30) гамиль-
гамильтониан оказывается полностью расцепленным на сумму не-
независимых частей. Уравнение Шредингера для ^-го осцил-
осциллятора и собственные значения его энергии хорошо известны:
2m 2 qpq jq
A.34)
так что полная энергия и полная волновая функция системы
равны
Ч-РФ' ...ф' ... (L35)
Я \ Яо Я *
Таким образом, независимые „фиктивные тела" в данном слу-
случае суть просто квантованные продольные звуковые волны.
Полезно вспомнить, как получаются результаты A.34)
с помощью методов операторной алгебры (см., например,
[49]). В этом случае над Я' производится дополнительное
преобразование, использующее операторы b и bq:
.-,/¦
2Й 1'
г—т— г— A-36)
к
Как легко проверить с помощью соотношений коммутации
A.32), операт
коммутации:
A.32), операторы Ь и bf подчиняются следующим правилам
\bq, b\r\ = bqq>, A.37a)
[bq, bq\ = 0, A.376)
К bfq] = 0. A.37в)
Используя в A.34) преобразование, обратное A.36), и ра-
равенство A.37 а), получаем новые гамильтониан и уравнение
Шредингера
Н» = fito, [b\bq + у), Я^; = Ечф,. A.38)
С помощью соотношений A.37а) — A.37в) и A.38) можно по-
показать (см. [49]), что если г|з0 есть собственная функция

26 Глава 1
оператора Н", отвечающая наинизшей энергии, то другие
собственные функции имеют вид
^=^ = -p4=(^)n^, «, = 0,1,2,... A.39а)
(-фи — сокращенная запись функции г|з(„ ^). Соответствующие
им энергии суть
что совпадает с выражением A.34). Можно также установить
следующие важные свойства операторов Ь, характеризующие
их действие на собственные функции оператора энергии:
M\ = /«7iVb A.406)
b\bqtynq = M\- A.40в)
Заметим, что дополнительное преобразование A.36) превра-
превращает оператор Н' из A.33) в
н"=
ч ч , ч
при этом уравнение Шредингера принимает вид
п ^пч>- пЧг V •••~'с ?пч<пЧ1 V""
где
YW v-^VK, •••1К--" A-42)
§ 3. Элементарные возбуждения
Результаты последнего параграфа показывают, каким
образом классическую или квантовую задачу многих сильно
взаимодействующих тел часто удается решить с помощью
преобразования системы к совокупности почти независимых
или точно независимых, как в рассмотренных нами простых
случаях, фиктивных тел. Существует более современный (но
эквивалентный) способ рассмотрения этих фиктивных тел,
который обладает тем преимуществом, что дает единую
картину систем многих частиц. Он основывается на пред-
представлении об элементарных возбуждениях и отражает точку
зрения, которая будет проводиться через всю книгу.

Диаграммы Фейнмана и задача многих тел 27
Чтобы понять, что такое элементарные возбуждения и
какое они имеют отношение к фиктивным телам, рассмотрим
частный случай — фонон. Вспомним сначала, что световые
волны можно рассматривать как квантованные осцилляторы
излучения или считать, что они состоят из частиц („квантов"),
называемых фотонами, каждый из которых имеет энергию йсо.
Это наводит на мысль рассматривать и звуковые волны
аналогичным образом ')• Посмотрев внимательно на резуль-
результат A.34), мы увидим, что звуковую волну с волновым векто-
вектором q не обязательно объявлять фиктивным телом (гармони-
(гармоническим осциллятором) с квантованной энергией Е' — Ьа X
X (« +-J-). Вместо этого можно было бы рассматривать ее
и как совокупность nq квантов с энергией йсо? каждый плюс
основное состояние с энергией — йсо?. Эти кванты звуковой
волны называются фононами. Подобно фотонам, они ведут
себя в значительной мере как частицы (т. е. частицы в кван-
товомеханическом смысле слова — они не обязательно лока-
локализованы, хотя и могут быть локализованы; см. [28]). Здесь
необходимо отметить, что фонон обычно называют „квантован-
„квантованной звуковой волной", но в соответствии со сказанным выше
это неверно. С данным nq связана только одна квантованная
звуковая волна с волновым вектором q (это и есть фиктив-
фиктивное тело с энергией ?'),но существует много — пд — фононов
с волновым вектором q. Поэтому более правильно называть
фонон квантом или частицей звука.
Величина йсо^, очевидно, представляет собой наименьшую
порцию энергии возбуждения над основным уровнем (энер-
(энергия которого есть уйю^. Так как фонон несет эту наименьшую
энергию, его и рассматривают как элементарное возбуждение.
Тогда „сложное возбуждение" есть просто возбуждение, со-
содержащее много фононов.
Фононная точка зрения на звуковую волну предполагает
новую интерпретацию волновой функции и операторов b\, bq.
Функция ^nqi,nqi nqt... в A.42) описывает, очевидно, систему
из п фононов с волновым вектором qx\ n фононов с вол-
волновым вектором q2 и т. д. Поэтому, как следует из фор-
формул A.40), оператор b\ создает фонон с волновым вектором q,
а оператор bq уничтожает его; произведение же b\bq есть
„оператор числа" фононов с волновым вектором q.
ред.
') Эта идея впервые была высказана И. Е. Таммом A931 г.). — Прим.

28 Глава 1
Важная особенность фононов в противоположность кван-
квантованным звуковым волнам состоит в том, что полная энергия
системы не равна сумме энергий всех фононов, хотя, как
видно из A.35), она равна сумме энергий всех квантованных
звуковых волн. Иными словами, соотношение A.23) для
фононов несправедливо. Действительно, из формулы A.41)
видно, что полная энергия получается, если к энергии фоно-
фононов добавить еще энергию основного состояния. Таким
образом, выражение A.41) приводит к представлению о любом
возбужденном состоянии системы как построенном из основ-
основного состояния и совокупности независимых фононов, опи-
описывающих энергию возбуждения.
Этот результат, обнаруженный нами в случае фононов,
оказывается предельно общим. В настоящее время ясно, что
для большинства систем многих тел возможно перейти
от системы сильно взаимодействующих частиц к совокупности
почти независимых элементарных возбуждений над основным
состоянием. Таким образом, по аналогии с A.41) мы можем
написать преобразование A.21) в виде
i i, j
->Н' = ?0 + 2ъчA\Aq + /(... Ak ... 4-). A-43)
1 Малая величина
Здесь Eq есть энергия основного состояния системы взаимо-
взаимодействующих частиц, е' — энергия элементарного возбуждения,
А\, Aq и A\Aq — операторы рождения, уничтожения и числа
элементарных возбуждений. (Зависимость е' от волнового
вектора q часто называют „законом дисперсии" или „спектром
возбуждения".)
Малый по величине член в A.43) описывает взаимодей-
взаимодействие между элементарными возбуждениями. С ним связаны
уширения Ае' уровней энергии е'. В соответствии с прин-
принципом неопределенности Д?Д/~й; это означает, что элемен-
элементарные возбуждения имеют время жизни т ~6(Де')~\ Время
жизни должно быть, конечно, достаточно большим (т. е. ширина
уровня йтг должна быть много меньше z'q), чтобы элемен-
элементарные возбуждения можно было считать хорошо опреде-
определенными и независимыми друг от друга.
Элементарные возбуждения часто разбивают [52] на две
основные категории — коллективные возбуждения и квази-
квазичастицы, хотя эта классификация далеко не универсальна.

Диаграммы Фейнмана и задача многих тел 29
(Некоторые авторы, например Тер-Хаар [62], называют все
элементарные возбуждения квазичастицами.) Коллективные
возбуждения представляют собой кванты, связанные с кол-
коллективными движениями макроскопических групп частиц
в системе, т. е. с движениями системы как целого. Приме-
Примерами коллективных возбуждений могут служить:
1. Фононы. В периодических атомных структурах, таких,
как кристалл, коллективные движения представляют собой
звуковые волны. Соответствующие возбуждения, как уже
обсуждалось выше, суть кванты звука или фононы.
2. Плазмоны. В электронном газе в металле возникают
волнообразные флуктуации электронной плотности, подобные
звуковым волнам. Они образуют приближенно независимые
фиктивные тела, известные как „плазменные колебания".
Кванты этих колебаний представляют собой коллективные
возбуждения; их называют плазмонами.
3. Магноны. В ферромагнетиках существуют регулярные
флуктуации плотности спинового момента, называемые „спи-
„спиновыми волнами". Коллективные возбуждения в этом случае
суть кванты спиновых волн, известные как магноны.
4. Ядерные кванты. В ядре происходят различные коле-
колебательные и вращательные движения. Связанные с ними
кванты и представляют собой в данном случае коллективные
возбуждения.
Коллективные возбуждения похожи на реальные частицы
не более, чем волны на воде похожи на молекулы воды.
Напротив, квазичастицы очень напоминают реальные частицы.
Дело здесь, грубо говоря, в следующем: если одна частица
движется через систему, она притягивает или расталкивает
частицы вокруг себя и оказывается окруженной „облаком"
взбаламученных частиц, подобным облаку пыли от копыт
скачущей лошади из ковбойского фильма. Реальная частица
плюс связанное с ней облако и образуют квазичастицу. Как
облако пыли скрывает лошадь, так и облако из частиц
„экранирует" реальную частицу, значительно ослабляя дей-
действие ее силового поля. Поэтому квазичастица только слабо
взаимодействует с другими квазичастицами и может рас-
рассматриваться как почти независимая от них. Присутствие
облака приводит также к различию свойств квазичастицы
и реальной частицы, например квазичастица может иметь
свою эффективную массу. [Следует отметить, что в квантовом
случае частицы в облаке находятся в виртуальных энерге-
энергетических состояниях. Дело в том, что при столкновениях
между рассматриваемой частицей и другими частицами (т. е.
при столкновениях, „встряхивающих" облако) энергия, как

30 Глава 1
правило, не сохраняется; см. абзац после диаграммы D.47).
Несмотря на виртуальность состояний, само облако пред-
представляет собой физически реальный объект.] Вот некоторые
примеры квазичастиц:
1. Квазиэлектрон. Электрон в электронном газе с одно-
однородным фоном положительного заряда отталкивает от себя
другие электроны и, таким образом, оказывается окруженным
положительным экранирующим облаком. Электрон плюс
экранирующее облако и образуют квазиэлектрон. Эффектив-
Эффективное взаимодействие между двумя квазиэлектронами — экра-
экранированное взаимодействие — более слабое (более коротко-
короткодействующее), нежели первоначальное кулоновское взаимо-
взаимодействие.
2. Полярон. Электрон, двигаясь в непроводящем полярном
кристалле, взаимодействует с ионами кристаллической ре-
решетки, смещая их из равновесных положений и приводя,
таким образом, к локальному возбуждению звуковых волн,
т. е. фононов. Полярон представляет собой электрон плюс
облако фононов.
3. Квазинуклон. Несмотря на мощное короткодействующее
взаимодействие между нуклонами в ядре, они ведут себя
во многих отношениях так, как если бы они были независимы
друг от друга (на это указывает успех оболочечной модели
ядра). Почти независимыми частицами в данном случае
являются не сами нуклоны, а нуклоны, окруженные облаками
из других нуклонов, т. е. квазинуклоны.
4. Электрон проводимости. Электрон, взаимодействующий
с периодическим полем фиксированных ионов решетки, не
окружен облаком в том смысле, как об этом говорилось
выше. Тем не менее влияние периодического поля может
быть описано с помощью понятия эффективной массы,
поэтому электроны проводимости можно рассматривать как
некоторый простейший вид квазичастицы.
Имеется также небольшое число элементарных возбуж-
возбуждений, которые не очень легко укладываются в рамки нашей
классификации, хотя их часто относят то к одной, то к дру-
другой категории. Один из примеров — это экситон, который
представляет собой пару „связанный электрон + дырка" и
движется сквозь кристалл как водородоподобный „атом".
Его часто называют коллективным возбуждением. Другой
пример — боголон, или „квазичастица Боголюбова", предста-
представляющая собой линейную комбинацию электрона в состоя-
состоянии ( + k, f) и „дырки" в состоянии ( — k, j ). Боголон —это
элементарное возбуждение в сверхпроводнике. Возбуждения
типа боголонов существуют также в некоторых четно-четных

Диаграммы Фейнмана и задача многих тел 31
ядрах, которые во многих отношениях напоминают сверх-
сверхпроводники.
Важно отметить, что в физической системе может суще-
существовать более одного вида элементарных возбуждений.
Например, в электронном газе в металлах имеются как
квазиэлектроны, так и плазмоны, а в ядре одновременно
существуют квазинуклоны и колебательные и вращательные
коллективные возбуждения. Таким образом, в общем случае
правую часть выражения A.43) можно записать в виде
Н' = Ео + 2 *qA\Aq + S чВ\Вк + Малые члены. A.44)
Квазичастицы Коллективные
возбуждения
§ 4. Метод квантовой теории поля
Описание сильно взаимодействующей системы многих тел
как совокупности приближенно независимых элементарных
возбуждений над основным состоянием очень привлекательно
своей простотой. Однако проблемы, действительно возни-
возникающие при определении энергий основного состояния и эле-
элементарных возбуждений, огромны. Метод канонических
преобразований достаточно прост, когда речь идет о двух
частицах или о фононах; он был даже с большим успехом ис-
использован и в некоторых гораздо более сложных случаях — до-
достаточно вспомнить, например, развитую Бомом и Пайнсом
теорию квазиэлектронов и плазмонов в электронном газе
(см. [53]) или теорию коллективных возбуждений в ядре по
Бору и Моттельсону (см. [64]). Но, как производить это
преобразование в общем случае, рецепта не существует;
поэтому применять метод часто бывает трудно.
Чего бы нам по существу хотелось — это найти система-
систематический способ вычисления энергии основного состояния и
энергий и времен жизни элементарных возбуждений. В серии
революционизирующих работ, появившихся в 1955—1957 гг.
(а также в некоторых более ранних, но менее известных рабо-
работах), было показано, что квантовая теория поля, до сих пор
ограниченная рамками только физики элементарных частиц,
дает как раз такой систематический метод, который мы
ищем. Она не только указывает единый способ вычисления
энергии основного состояния и энергии и времен жизни
квазичастиц, но и позволяет непосредственно вычислять мно-
многие другие характеристики системы. Дадим здесь общий
обзор нового метода.

32 Глава 1
Роль главных героев в этом теоретико-полевом подходе
к задаче многих тел играют функции Грина') системы.
В сущности, это обобщения обычных функций Грина, хорошо
известных каждому старшекурснику. Они появляются в раз-
разных формах и размерах —одночастичные, двухчастичные, ..
..., «-частичные, опережающие, запаздывающие, причинные,
для нулевой температуры, для конечной температуры, с дей-
действительным временем, с мнимым временем —широкий ассор-
ассортимент для различных ситуаций и вкусов. Существует три
главные причины такой популярности функций Грина в на-
настоящее время:
1. Через них непосредственно выражаются важнейшие
физические характеристики системы.
2. Они имеют простой физический смысл.
3. Их можно вычислять с помощью систематического ме-
метода, позволяющего опираться на физическую интуицию.
Возьмем, например, одночастичную функцию Грина
G (г2, /2; гь ^i)- Это есть амплитуда вероятности того, что
если мы впустим частицу в точку Г[ в момент времени tx и
позволим ей некоторое время сталкиваться (взаимодейство-
(взаимодействовать) с другими частицами, т. е. двигаться сквозь систему,
то мы сможем снова наблюдать ее в момент /2 в точке г2.
Функция Грина G непосредственно выдает энергии и вре-
времена жизни квазичастиц. Она позволяет также найти рас-
распределение частиц по импульсам, спинам, вычислить плот-
плотность частиц и сверх того используется при расчете энергии
основного состояния. Все это возможно проделать и при
отличной от нуля температуре с помощью температурного
варианта функции G.
Двухчастичная функция Грина G2 представляет собой
амплитуду вероятности найти одну частицу в пространст-
пространственно-временной точке r3, t3, другую — в точке r4, tA, если их
впустили в точки rb t\ и r2, t2. У этой функции тоже много
различных талантов. Она непосредственно дает энергии и
времена жизни коллективных возбуждений, а также магнит-
магнитную проницаемость, электрическое сопротивление и целый
сонм других неравновесных характеристик как при нулевой,
так и при отличной от нуля температуре.
Есть еще одна теоретико-полевая величина, называемая
вакуумной амплитудой. Она играет менее существенную роль
в теории многих тел, но тем не менее довольно важна.
') Иногда вместо „функция Грина" говорят „функция распростране-
распространения". Сам автор пользуется последним термином В советской литературе
первый термин более употребителен, поэтому при переводе мы использо-
использовали его, — Прим. ред.

Диаграммы Фейнмана и задача многих тел 33
Вакуумную амплитуду при нулевой температуре можно
использовать для расчета энергии основного состояния, а ее
тезка для конечных температур дает статистическую сумму
большого канонического ансамбля, с помощью которой можно
определить все равновесные характеристики системы.
Как же вычисляются функции Грина? Есть два эквива-
эквивалентных способа. Первый из них состоит в решении це-
цепочки дифференциальных уравнений, которым удовлетворяют
эти функции. Одночастичная функция G\ подчиняется диф-
дифференциальному уравнению, содержащему и неизвестную
двухчастичную функцию G2; в уравнение для G2 входит
G3, •¦•• Это означает, что мы вынуждены сражаться с „бес-
„бесконечной иерархией" зацепляющихся нелинейных дифферен-
дифференциальных уравнений. На практике мы обычно разрубаем
гордиев узел, делая какую-нибудь аппроксимацию для G2
в первом уравнении и просто отбрасывая все остальные
уравнения цепочки. Метод дифференциальных уравнений не
будет обсуждаться в этой книге; тот, кто им интересуется,
найдет соответствующие ссылки после гл. 14 в списке лите-
литературы для дальнейшего чтения.
Другой метод состоит в разложении функции Грина (или
вакуумной амплитуды) в бесконечный ряд теории возмуще-
возмущений и в приближенном вычислении суммы этого ряда.
Обычный способ вычисления — суммирование всех членов до
второго или третьего порядка — неприменим для функции
Грина, так как ряд сходится слишком медленно. Действи-
Действительно, иногда оказывается, что все члены ряда бесконечны!
Поэтому вместо обычной процедуры поступают так: сумми-
суммируют члены определенного типа во всех порядках вплоть до
бесконечного. Это называется частичным или выборочным
суммированием. Новая теория возмущений бесконечного по-
порядка радикально отличается от той, которой мы ежедневно
пользуемся, и для ее применения требуется новая техника.
Эта техника и есть метод диаграмм Фейнмана, который сей-
сейчас будет вкратце описан.
§ 5. Диаграммы Фейнмана и теория возмущения
бесконечного порядка
Легко найти примеры из ежедневной жизни, показываю-
показывающие, каким образом диаграммы могут оказаться полезными
при суммировании бесконечного ряда. Возьмем, например,
простую геометрическую прогрессию
s = i+T+T + i+ik+"'=2> (L45)
3 Р. Маттуь.

34 Глава 1
Если представить каждый член ряда в виде прямоугольника
с площадью, равной зьачению этого ".ч-на, то соотношение
A.45) можно изобразить в виде
О ™
?
D
A.46)
Эта диаграммная форма имеет то преимущество, что она
выявляет структуру ряда A.45) таким „физическим" образом,
который делает процедуру суммирования очевидной даже
десятилетнему ребенку.
Почти та : се идея лежит и в основе фейнмановского
диаграммного метода. В § 1 этой главы было показано, как
можно разложить одночастичную функцию Грина в ряд
теории возмущений, каждый член которого состоит из слож-
сложных цепочек различных сомножителей. Аналогично тому,
как это было сделано выше, когда каждое число изобра-
изображалось прямоугольником, в случае функции Грина каждый
множитель представляется в виде прямой или волнистой
линии. Это остается справедливым и для других теоретико-
полевых величин, и на схеме A.47), кроме „пузырей" для
одночастичной функции Грина, мы изобразили также неко-
некоторые характерные диаграммы, возникающие в разложениях
теории возмущений для двухчастичной функции (например,
„лестница") и вакуумной амтитучы („устрица" и „кольца"):
O\s\s\s\s\/\A
11.47)
1-й порядок 2-йпорядок „устрица"
> „ •—' 3-Й ПОРЯДОК
„КОЛЬЦА"
„ПЫЗЫРИ"
„ЛЕСТНИЦА"
Подобно тому как каждый прямоугольник выявляет „струк-
„структуру" соответствующего члена прогрессии A.45), так и ка-
каждая фейнмановская диаграмма делает понятной структуру
того члена ряда, который она изображает. Однако в отличие
от случая A.46) размеры или форма диаграммы Фейнмана
не имеют значения. Вместо этого (как и в случае электри-
электрических цепей) существенно лишь то, каким образом различ-
различные линии соединены друг с другом, т. е. важна топология
диаграммы.

Диаграммы Фейнмана и задача многих тел 35
Именно эта топология и служит ключом к теории возму-
возмущений бесконечного порядка. После того как ряд теории
возмущений записан в диаграммной форме, оказывается,
что все диаграммы можно разделить на классы, каждый из
которых характеризуется своей топологической структурой.
Примерами классов служат хотя бы „пузырьковые" диа-
диаграммы всех порядков или все „кольца". По такому прин-
принципу и сгруппированы, в частности, диаграммы A.47). Далее
выясняется замечательный факт: диаграммы определенных
классов (и, следовательно, члены ряда теории возмущений)
можно легко просуммировать вплоть до бесконечного по-
порядка. Например, можно найти сумму пузырьковых диа-
диаграмм всех порядков
лллл/'Л
ллллА
A-48)
поскольку, как оказывается, члены ряда теории возмущений,
соответствующие этим диаграммам, образуют простую гео-
геометрическую прогрессию. Это и есть частичное суммирова-
суммирование, упоминавшееся в конце предыдущего параграфа; оно
приводит к аппроксимации нового типа для G, о которой
там говорилось. Таким образом, ряды теории возмущений
для различных функций Грина и вакуумной амплитуды
удается приближенно вычислить путем суммирования до бес-
бесконечного порядка некоторых типов диаграмм. Метод частич-
частичного суммирования составляет основу техники, которую мы
будем применять на протяжении всей этой книги ').
Кроме своей полезности как инструмента вычислений,
фейнмановские диаграммы обладают и другими привлека-
привлекательными чертами. Одна из них, уже отмечавшаяся в § 1,
состоит в том, что диаграммы непосредственно выявляют
физический смысл представляемых ими членов ряда теории
возмущений, другая —в том, что они позволяют с первого
взгляда установить смысл очень сложных аппроксимаций
по тому, какой тип диаграмм был отсуммирован. Благодаря
') Как можно показать, метод частичного суммирования сводится
к разложению в ряд не самой функции Грина, а уравнения для нее.
Этот прием типичен для многих приближенных методов, используемых
не только в теории многих тел, но и, например, в теории нелинейных
колебаний и т. д,.~Прим. ред.

36 Глава 1
этому в физике появился новый язык, и часто можно встре-
встретить фразы вроде „лестничное приближение" или „кольцевая
аппроксимация" даже в тех статьях, где нет никаких диа-
диаграмм. И, наконец, нельзя устоять перед живописным очаро-
очарованием самих диаграмм. В их рядах, кроме уже упоминав-
упоминавшихся, находятся и такие персонажи, как „ожерелье",
„картошка" и „головастик" плюс бесчисленные множества
других, еще не получивших имен. Коллектив, который они
образуют, можно было в действительности назвать „теорией
возмущений в смешных картинках".
В следующих двух главах мы собираемся показать, как
можно с помощью диаграмм вычислить функцию Грина для
классической системы, содержащей только одну частицу,
и для ее квантового аналога. Затем мы увидим, как та же
техника позволяет найти энергию основного состояния и
элементарных возбуждений в системе многих тел.
Литература для дальнейшего чтения:
Тер-Хаар [62],
Паттерсон [51],
Пайнс [53].
• Упражнения
1. Доказать соотношение коммутации A.37а).
2. Убедиться в правильности соотношений A.38).
3. Чему равно выражение б^з '•
4. Вывести соотношение A.40в) из A.40а) и A.406).
5. Чему равны выражения
6. Сколько имеется фононов в состоянии атомной цепочки, описы-
описываемом волновой функцией 1?о о 2 о з оо...'
7. Чему равна полная энергия системы в упражнении 6?

Глава 2
КЛАССИЧЕСКИЕ КВАЗИЧАСТИЦЫ
И ФУНКЦИЯ ГРИНА ДЕТСКОГО БИЛЬЯРДА
§ 1. Физическая картина квазичастиц
Мы уже видели, что квазичастица — это один из типов
элементарных возбуждений в системе многих тел; физически
она представляет собой частицу, окруженную облаком дру-
других частиц. Эта точка зрения была проиллюстрирована раз-
различными примерами — от квазиэлектрона до квазилошади.
Теперь мы собираемся более детально исследовать анатомию
квазичастицы на примере типичного члена этого семей-
семейства — квазииона в классической жидкости. Затем мы опре-
определим функцию Грина для классической квазичастицы и
покажем, как ее можно вычислить с помощью диаграмм,
воспользовавшись методом частичного суммирования.
Представим себе классическую жидкость, образованную
из равного количества положительных и отрицательных
ионов, движущихся и сталкивающихся друг с другом (фиг. 3).
Сосредоточим наше внимание на каком-нибудь типичном
(+)-ионе. Из-за сильного кулоновского взаимодействия этот
ион, двигаясь, притягивает к себе ( —)-ионы. Некоторые из
них на время приклеиваются к ( + )-иону, затем благодаря
столкновениям отлетают, заменяются другими ( —)-ионами
и т. д. Таким образом вследствие взаимодействия этот типич-
типичный ( + )-ион [а следовательно, и любой ( + )-ион] в среднем
будет окружен „шубой", или „облаком" из ( —)-ионов, как
показано на фиг. 3 внутри пунктирных линий. Разумеется,
каждый ( —)-ион подобным же образом будет иметь шубу
из ( + )-ионов. Эта шуба из зарядов противоположного знака
экранирует собственный заряд иона, в результате чего его
взаимодействие с другими ионами — также заэкранирован-
заэкранированными — оказывается значительно более слабым, чем в отсут-
отсутствие экранировки. Таким образом, ноны, одетые в шубы,

38 Глава 2
ведут себя почти независимо друг от друга и представляют
собой квазичастицы в данной системе. Так же обстоит дело
и во многих других системах взаимодействующих частиц;
соответственно и в общем случае можем написать
г-. , „Шуба", или „облако" ,, /n i\
Реальная частица + - J да'угих '^^ - Квазичастица B.1)
Иногда это же соотношение записывается с помощью более
мощной терминологии, заимствованной из квантовой тео-
теории поля:
Голая" частица + "Шуба"' или= »°Детая"> или „физическая", или (С) 9ч
" облако „перенормированная" частица \~-*>
Например, в квантовой электродинамике „голый" электрон,
взаимодействуя с фотонным полем, окружается облаком
_ "*V''- "'n еще одна
- + /' - ! КВАЗИЧАСТИЦА
+ /
КВАЗИЧАСТИЦА /
Фиг. 3. Квазичастицы в жидкости, образованной из положи-
положительных и отрицательных ионов.
виртуальных фотонов и становится „одетым". Равным обра-
образом и взаимодействие между реальными частицами назы-
называется „затравочным", а о слабом взаимодействии между
квазичастицами говорят как об „эффективном" или „одетом",
или „перенормированном" взаимодействии.
Будем теперь производить „мысленный" расчет. Пусть
преобразование A.9) выполнено. Тогда мы увидим, что коор-
координата квазичастицы R; включает в себя координату реаль-
реальной частицы гг плюс координаты г; (/ ф i) всех других частиц
системы. Очевидно, переменные rt (/ ф i) будут описывать
экранирующее облако, поэтому естественно называть облако
частью квазичастицы.
Следует отметить, что каждая „голая" частица предста-
представляет собой одновременно как „сердцевину" квазичастицы,
так и временный ..член" облака нескольких других квази-

Классические кеазичастицы 39
частиц. Поэтому, желая представить себе всю систему как
состоящую из квазичастиц, мы должны быть очень осторожны,
так как при этом каждую частицу придете? учитывать более
одного раза. По этой причине понятие квазичастицы при-
применимо только, если говорят одновременно о небольшом
числе квазичастиц —небольшом по сравнению с полным
числом частиц в системе. В гл. 8 мы покажем, что этот
критерий справедлив также и в квантовом случае.
Имея перед глазами такую интуитивную картину, мы
можем теперь составить себе представление о некоторых
свойствах квазичастиц. Во-первых, в общем случае остается
все же небольшое взаимодействие между квазичастицами.
Его можно описать, вводя величину хр — среднее время
жизни квазичастицы в состоянии с импульсом р, пока
столкновение с другой квазичастицей не выбросит ее из
этого состояния. Следовательно,
Квазичастица имеет время жизни тр. B.3)
Чтобы приближение квазичастиц молено было считать хоро-
хорошим, время жизни должно быть достаточно велико. Легко
видеть также, что благодаря усредненной шубе из частиц
квазичастица может иметь „эффективную", или „перенорми-
„перенормированную", массу, которая отличается от массы реальной
частицы. (Понятие эффективной массы, однако, применимо
не всегда.) Это означает, что свободная квазичастица (т. е.
квазичастица в отсутствие внешнего поля) обладает новым
законом дисперсии
е'=2& вместо е = ^. B.4)
Разность
^квазичаст "ист. част == ^^собств \^^)
называется собственной энергией квазичастицы. Последнее
выражение есть следствие того факта, что голая частица,
взаимодействуя со средой, образует облако, а облако в свою
очередь действует обратно на частицу, возмущая ее движе-
движение. Таким образом, частица в некотором смысле взаимо-
взаимодействует сама с собой через среду окружающих ее частиц.
Этими представлениями о собственной энергии можно поль-
пользоваться даже в тех слуиаях, когда понятие эффективной
массы неприменимо. Энергию и время жизни квазичастицы

40 Глава 2
можно найти с помощью одночастичной функции Грина,
которой мы займемся в следующем параграфе. Примеры
квазичастиц уже приводились в § 3 гл. 1.
§ 2. Функция Грина классической квазичастицы
Квазичастицы в системе можно описывать с помощью
одночастичной функции Грина. Посмотрим, что она собой
представляет в классическом случае. Пусть имеется система
многих частиц; рассмотрим движение одной частицы под
влиянием постоянной внешней силы F, приложенной к системе,
как показано на фиг. 1. Пусть движение начинается в точке Г[
в момент времени t{. Если нет столкновений с другими части-
частицами, то движение („распространение") частицы к точке r2, t2
подчиняется уравнению
{C-^ B-6)
Если же между частицами есть взаимодействие, то по-
появляются столкновения, и частица движется по очень непра-
неправильной траектории, не описываемой уравнением B.6). Луч-
Лучшее, что можно сделать в этой ситуации, это говорить
о вероятности попадания частицы из одной точки в другую.
Так мы приходим к определению классической функции Грина
Р^ъ ^2> ri> ^i) = Плотность вероятности (вероятность на единицу
объема) того, что если частица в момент tx поме-
помещена в данную систему в точку Г! то она будет
найдена в точке г2 в более поздний момент
времени t2. B.7)
Для дальнейшего, когда мы будем пользоваться фурье-
преобразованием, удобно определить Р также и для t2<t{:
P(r2, U; г„ *,) = (). B.8)
На фиг. 4 графически показана качественная картина
поведения этой функции Грина в случаях с взаимодействием
и без взаимодействия. Плотность вероятности отложена по
вертикальной оси, а значения t2 и произвольной компоненты
координаты г2 —по горизонтальным осям. В отсутствие
взаимодействия величина Р изображается вертикальной
поверхностью, т. е. равна нулю всюду, кроме линии
г2 — Г] — j(F/m) (t2 —1{J, на которой она равна бесконечности.
Иначе говоря, Р есть б-функция Дирака
гь *,) = в[(г2-г,)-!(?)&-*,)*]. B.9)

Классические квазичастицы 41
Это есть функция Грина в отсутствие взаимодействия — сво-
свободная функция Грина.
Включим теперь взаимодействие между частицами. Тогда,
как качественно показано на фиг. 4, поверхность размоется.
БЕЗ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
(СВОБОДНОЕ ДВИЖЕНИЕ)
Фиг. 4. Классическая функция Грина.
Схематически показано поведение только для одной компоненты коорди
нагы Гг.
Проследим за величиной (г2 — п) — положением максимума
функции Р в системе с взаимодействием. Для некоторых
типов взаимодействия окажется, что
для максимального.
значения Р. B.10)
Если это действительно так, то величина (г2 — Г|) ведет себя
как координата квазичастицы с эффективной массой пС.
Рассмотрим теперь наибольшую высоту Р как функцию t2.
Из-за „размытия" положения частицы значение Рмакг падает
от оо при t<i = i\ сначала бесконечно быстро, а затем более
медленно. Если это более медленное убывание имеет экспо-
экспоненциальный вид
Л,.кс(г2,
B.11)
то величину т можно отождествить со временем жизни квази-
квазичастицы; очевидно, чтобы картина квазичастиц имела смысл,
это время должно быть довольно большим. Таким образом,

42 Глава 2
если при вычислении функции Р мы обнаруживаем, что она
ведет себя, как указано выше, то это значит, что система
может описываться в терминах квазичастиц, и можно опре-
определить их эффективную массу и время жизни.
§ 3. Вычисление функции Грина с помощью диаграмм
Фактический расчет функции Грина Р очень сложен.
Однако все основные принципы его легко проиллюстрировать
на простом примере, в котором система многих тел заме-
заменена совокупностью фиксированных рассеивающихся цен-
центров.
Наш пример — это детский бильярд, изображенный на
фиг. 5. Шарик выталкивается в точку гг в момент времени t{
и движется через систему, рассеиваясь на различных центрах.
Мы ищем вероятность P(r2, t2; rb t{) того, что шарик до-
достигнет точки Гг в момент t<i-
Механизм рассеяния предполагается таким, что 1) если
шарик попадает на заштрихованный кружок животного А,
то с вероятностью Р{А) он рассеивается, а с вероятностью
1 — Р(А) проскакивает мимо, не рассеиваясь, и 2) распре-
распределение вероятностей траекторий и скоростей шарика после
рассеяния на центре А не зависит от траектории и скорости
до рассеяния, т. е. шарик теряет „память" о том, как он
попал в А.
[Есть много способов, с помощью которых можно при-
приближенно удовлетворить этим требованиям. Например, за-
заштрихованный кружок мог бы быть круглым колышком,
который движется вверх —вниз и потому приподнят над
поверхностью бильярда в течение доли времени Р(А) и на-
находится вровень с поверхностью (т. е. не может служить
преградой шарику) в течение остального времени. Или круг-
круглый колышек мог бы быть неподвижным, т. е. всегда выдви-
выдвинутым наверх, и находиться где-то внутри заштрихованного
кружка, при этом отношение его диаметра к диаметру кружка
должно быть равно Р{А). Потери памяти можно добиться,
приделав к каждому колышку „тасующее" устройство, на-
например, вроде быстро вращающегося зубчатого колесика.
Выбор метода и необходимых деталей из детского конструк-
конструктора представляется читателю в качестве упражнения. Для
дальнейшего это не существенно!]
Простоты ради исключим для начала время из числа
аргументов и рассмотрим просто величину Р (г2, г,) — вероят-
вероятность того, что частица начнет двигаться из точки г1 и при-

типичный
РАССЕИВАЮЩИЙ
ЦЕНТР
КОЛЛИМАТОР
ТОЧКА
ПРОБНАЯ
ЧАСТИЦА
ускоряющие
механизм
Фиг. 5. Классический детский бильярд для иллюстрации одно-
частичной функции Грина и вакуумной амплитуды.

44 Глава 2
дет в точку г2 независимо от времени. По определению
вероятности, P(r2, rj) есть сумма вероятностей всех возмож-
возможных траекторий шарика, который под действием пружины
выходит из точки ri и влетает в г2. Шарик может, например,
двигаться из г, „прямо" в г2 (т. е. не рассеиваться по дороге)
или двигаться от точки п к жирафу, рассеиваться на нем
и падать в г2. Возможно также рассеяние с переходом от
жирафа к обезьянке и снова в точку г2. Или можно два
раза рассеяться на жирафе, прежде чем попасть в точку г2.
И так далее.
Рассчитаем сначала вероятность того, что шарик пройдет
сквозь систему по любой траектории. Пусть Ро(Г/, г*) есть
вероятность того, что шарик выходит из точки rt и путе-
путешествует до г^ не рассеиваясь по дороге ни на одном из
животных („свободная функция Грина"). Простейший путь
шарика из г^ в г2 —без рассеяния [вероятность этого пути
равна Р0(г2, г,)]. Другой путь —из г, к жирафу в точку rG
[вероятность P0(rG, Г])], рассеяние на жирафе [вероятность
Р (G)] и затем свободное движение из rG в г2 [вероятность
Л>(Г2> г0)]. Поскольку при рассеянии в точке rG шарик теряет
память, все эти вероятности независимы друг от друга, и
суммарная вероятность всей траектории в точности равна
произведению вероятностей каждой из ее частей:
P{(ri->ra)> (рассеяние в rG), (r0 -> Г2)} =
= P0(rG, rl)P(G)PQ(r2, ra). B.12)
[Заметим, что процесс, при котором шарик движется из rt
в г0, не рассеивается в rG и продолжает двигаться в г2, не
включен в выражение B.12); он учитывается в свободной
функции Грина Ро(г2, г{}.] Вероятности других траекторий
вычисляются подобным же образом.
Полная вероятность Р(г2, п) равна сумме вероятностей
различных траекторий. В результате находим
Р(г2, г,) = Р0(г2, г,) + Р0(го, r,)P(G)P0(r2, rG) +
+ Po(rM, r,)P(M)P0(r2, rM) +
+ Po(rG, r1)P(G)P0(ro, rG)P(G)P0(r2, rG)+ ..., B.13)
где символ G отвечает жирафу, М — мартышке и т. д. То,
что мы здесь получили, есть, очевидно, разложение функции
Грина в ряд по возмущениям, а величины Р(А) играют ту же

Классические квазичастицы 45
роль, что и матричные элементы возмущения энергии Vki
в квантовомеханическои теории.
На этот ряд, однако, трудно смотреть. Ключ к тому, как
легче его прочитать, можно найти в журнале «Classic Comics»,
где сложные классические писатели переведены на язык кар-
картинок. Попробуем составить „словарь картинок" и, таким
образом, сопоставим диаграммы и различные вероятности
(табл. 1).
Диаграммный словарь для функции Грина
детского бильярда
Таблица 1
Слово
о«-,
Ро(гГ rd
Диаграмма
Р
It и
Р(А)
Тогда ряд B.13) можно представить в виде
Гг
B.14)
Уравнения B.14) и B.13), конечно, полностью эквивалентны
друг другу —одно переводится в другое с помощью сло-
словаря табл. 1. Но картинка обладает тем преимуществом,
что она вскрынает физический смысл соотношения B.13),
непосредственно показывая, как частица выстреливается

46 Глава 2
из точки гь испытывает различные столкновения и в конце
концов попадает в точку г2. Перед нами предстает яркая и
систематическая картина, из которой видно, что полная ве-
вероятность равна сумме вероятностей, связанных со всеми
возможными путями или „историей" движения частицы в си-
системе. Заметим, что величины rb r2, rQ, ... на диаграммах
можно интерпретировать как точки в реальном пространстве,
если перерисовать диаграммы так, чтобы эти точки распо-
располагались как и на фиг. 5:
B.15)
Важно обратить внимание на следующее: в переводе
на язык диаграмм фраза „сумма вероятностей различных
путей, по которым частица может прийти из точки rt
в точку г2, взаимодействуя с различными рассеивателями"
звучит так: „сумма всевозможных различных диаграмм, со-
состоящих из кружков с буквами посередине, соединенных
сплошными линиями, которые начинаются в точке г^ и кон-
кончаются в точке г2". Действительно, существует только одна
диаграмма, соответствующая каждому физическому пути
частицы в системе.
Как же можно вычислить эту сумму? Если предположить,
что величины Ро большие, скажем 1/2 или около того, а раз-
различные взаимодействия Р(А) слабые, например порядка 1/10,
то диаграммы более высокого порядка (под порядком мы
имеем в виду полное число актов взаимодействия) будут
давать последовательно меньший вклад, и, как и в обычной
теории возмущений, мы можем получить приближенное ре-
решение, учитывая в ряде только члены первого или первого
и второго порядков. Таким образом, приближение нулевого
порядка соответствует невозмущенному случаю, когда ча-
частица свободно движется из точки г} в г2. Принимая во вни-
внимание возможность существования возмущающего взаимо-
взаимодействия с различными животными (рассеяния) — каждый
раз только с одним —мы получаем приближение первого

Классические квазичастицы 47
порядка
B.16)
Разрешив два взаимодействия, приходим к приближению
второго порядка и т. д. Если же, с другой стороны, один
или несколько членов взаимодействия Р(А) велики (т. е.
рассеяние в точке А сильное), то этот метод становится
практически неудобным, так как ряд сходится слишком мед-
медленно, и, чтобы получить хороший результат, надо сумми-
суммировать члены вплоть до исключительно высоких порядков.
Существует, однако, другой способ аппроксимации, кото-
которым можно воспользоваться в случае сильного взаимодей-
взаимодействия. При этом мы не ограничиваемся вторым порядком,
а суммируем все диаграммы до бесконечного порядка. Пред-
Предположим, например, что велика только вероятность Р(М),
остальные же малы. Тогда диаграммы мартышки оказы-
оказываются доминирующими, и ряд можно аппроксимировать
суммой только таких повторяющихся диаграмм
B.17)
Переведя каждый элемент диаграмм в нужную вероят-
вероятность, легко записать и соответствующий ряд
Р (Г2, Г,) « Ро (Г2, Г,) + Ро (ТМ, Г,) Р (М) Ро (Г2, Гд,) +
+ Р0(гж, r,)P(Af)Po(rA,, rA))P(M)Po(r2, гЛ)+ .... B.18)
Заметим теперь, что этот бесконечный ряд легко сумми-
суммируется, ибо он представляет собой просто геометрическую
прогрессию:
Р (г2, г,) « Ро (г2, г,) + Ро (гм, г,) Р (М) Ро (г2, гм) X
X [1 + Р (М) Ро (гд,, тм) + Р {МУ Ро (гд,, гЛ1J +...] =
B.19)
1-Р(М)РЛтм,гм)

48 Глава 2
Таким образом мы получили приближенное решение для
гриновской функции P(r2, Tj), которое годится и в случае
сильного взаимодействия.
Эта новая аппроксимация, предполагающая суммирова-
суммирование ряда теории возмущений до бесконечного порядка
по выбранному классу повторяющихся диаграмм (т. е. чле-
членов), называется частичным или выборочным суммированием.
Она существенно отличается от обычной аппроксимации.
Она лежит вне пределов привычной теории возмущений и
может быть использована и в тех случаях, когда член
взаимодействия велик и обычное приближение низших по-
порядков не работает. Именно это качество и делает новую
технику очень ценной там, где необходимо справиться
с сильным взаимодействием, присущим задаче многих тел.
Как будет вскоре показано, метод частичного суммирования
лежит в основе расчета квантовомеханической функции
Грина.
Описанная диаграммная техника легко обобщается и
на зависящую от времени функцию Грина P(r2, rb t2 — t^
(мы написали t2 — tu так как сила не зависит от времени и
поэтому функции Грина могут зависеть только от разности
времен). Пусть Po(f/, гг, tj~t{) есть вероятность того, что
частица выходит из точки rt в момент времени tt и, ни с кем
не взаимодействуя по пути, приходит в точку Г/ в момент t/
(это есть „свободная функция Грина"). Обозначим через Р{А)
член взаимодействия, полагаемый для простоты не завися-
зависящим от времени. Тогда, считая, что время возрастает в по-
положительном направлении оси у, мы можем составить но-
новый диаграммный словарь (табл. 2), а ряд теории возмуще-
возмущений примет вид
I
(G)rcX
+
(G)rc,tc
B.20)
[Подобно ряду B.15), эти диаграммы можно, по крайней
мере в одномерном случае, изобразить в координатной

Классические квазичастицы 49
Словарь для зависящей от времени функции Грина Габлица 2 -4
детского бильярда
Слово
Диаграмма
Г""
системе, где переменная / играет роль ординаты, а г —роль
абсциссы.] Выписывая теперь соответствующий ряд, необхо-
необходимо помнить, что величина tA может принимать все
значения от t\ до t2, поэтому каждая диаграмма в действитель-
действительности изображает бесчисленное множество диаграмм с раз-
различными значениями tA, и все их мы должны просуммиро-
просуммировать. Иными словами, надо проинтегрировать по всем tA.
В результате получаем
Р (г2, г„ t2 - ti) = Ро (г2, г„ t2 - tx) +
, гь ta-t,)P(G)P0(r2, rQ, h-tQ) +
--- + •••• B.2D
От неприятных интегралов, фигурирующих в этом выра-
выражении, можно избавиться, если обратить внимание на то,
что они представляют собой „свертки". С помощью пре-
преобразования Фурье их можно превратить в простые произ-
произведения. Определим фурье-трансформанту функции Грина
Pq(T], r{, ю) соотношением
Р0(г„ г„ t,-tt) = -^ \ dfoe-'^'rUp^r,, n, со) B.22)
4 P.

60 Глава 2
[аналогично вводится и P{rh ru со)]. Тогда первые два члена
в выражении B.21) принимают вид
+ ОО
XP(G) i-
-f OO -f OO
= l2^ 1 da J rfco'po(ro. Гь OX
— OO —OO
-j-OO
XP(G)Po(r2,rG)co)e+?(<B'<'-<By J dtae~ifo{(u'-
=— Г
2я J
2лб(<в'—(В)
). B.23)
[Отметим, что мы можем интегрировать по ta от — оо
до + оо, так как условия B.8) автоматически ограничивают
интегрирование областью ti<t2.] Проведя аналогичные вы-
выкладки для остальных членов и применив в конце обратное
преобразование Фурье, получим
Р(г2, гь ю) =
Р0(г2, ru co) + Po(rG, г„ cu)P(G)P0(r2, г0,
B.24)
Это не сложнее, чем ряд B.13) для вероятности, не завися-
зависящей от времени. Точно так же, как и раньше, мы можем
здесь использовать трюк с частичным суммированием. Таким
образом, учет зависимости функции Грина от времени
не создает особых трудностей. Заметим, что диаграммный
ряд для фурье-трансформант можно получить и непосред-
непосредственно, если воспользоваться переработанным изданием
„словаря", приведенного в табл. 2. В этом издании (табл. 3)
диаграммы сопоставляются трансформантам функций Грина.

Классические квазичастицы 51
Фурье-трансформпрованный словарь для функции Грина Таблица 3 4
детского бильярда
Слово
Р(г.,г;,«,)
Рл (г,, г., со)
Диаг >амма
Wrj
О)
Г/
Р(А)
Следовательно, все диаграммы для ряда B.24) в точности
такие же, как и в случае B.20), — надо лишь стереть все
аргументы t, заменив их на ю. Таким образом, имеем
B.25)
со +
ф
+
| со
Фактически мы не будем применять описанный метод
для исследования классических квазичастиц —это увело бы
нас слишком далеко в сторону. Вместо этого мы лучше
перейдем непосредственно к квантовому случаю.
Упражнения •
1. Выпишите диаграммный ряд для функции Грина Р (г2, гО, предпо-
предполагая, что рассеяние как на мартышке, так и на льве велико, в то время
как остальные взаимодействия слабые. Учтите все члены второго порядка
и пару членов третьего порядка. Сколько всего диаграмм в ге-м порядке?
2. Переведите несколько первых членов ряда из упражнения 1
на язык функций.
3. Вычислите указанную выше функцию Грина с помощью частичного
суммирования, предполагая, что все величины Рй (п, г,-) = е.
4. Считая, что все Ро (п, г/) = с, обобщите результаты предыдущих
упражнений с учетом рассеяния на всех животных.

Глава 3
КВАНТОВЫЕ КВАЗИЧАСТИЦЫ И КВАНТОВАЯ
ФУНКЦИЯ ГРИНА ДЕТСКОГО БИЛЬЯРДА
§ 1. Квантовомеханическая функция Грина
В этой главе мы рассмотрим простейшую из всех извест-
известных задач квантовой теории поля. Мы назовем ее задачей
о квантовом „детском бильярде", ибо она составляет точный
квантовый аналог классического устройства, обсуждавшегося
в предыдущей главе, и описывается диаграммным рядом
точно того же вида, что и B.25). Эта задача почти три-
тривиальна, и ее можно решить в течение микросекунды, поль-
пользуясь элементарной квантовой механикой. С помощью диа-
диаграмм это делается немного дольше, но, как и их класси-
классические братья, о которых мы говорили в связи с фиг. 5,
они обладают огромным достоинством, иллюстрируя все
основные принципы и не заводя при этом читателя в тря-
трясину математики.
Начнем с определения квантовой функции Грина в общем
случае, а затем покажем, что она собой представляет в слу-
случае свободных частиц и квазичастиц. Квантовым аналогом
классической функции Грина (в предположении, что гамиль-
гамильтониан не зависит от времени и, следовательно, функция
Грина зависит только от разности времен) служит выражение
JG(r2, r,, t2-t1)h>ti = iG+(r2, гь h-tx) =
= Амплитуда (плотности) вероятности того,
что если в момент t\ в систему со взаимо-
взаимодействием в основном состоянии добавлена
частица в точку гь то в момент t2 система
будет находиться в своем основном состоя-
состоянии с добавленной частицей в точке г2. C.1)
Множитель i здесь поставлен из чисто декоративных сооб-
соображений (так условились), а индекс „ + " означает, что t2>t\.
(Точное значение слова „добавленная" обсуждается в § 2

Квантовые квазичастицы БЗ
гл. 9.) Использование амплитуды вероятности, а не просто
вероятности составляет характерную черту квантовой меха-
механики [см. соотношение C.26)]. Амплитуде вероятности C.1)
соответствует плотность вероятности
Р (г2, гь t2 - t{) = G + (г2, г,, h ~ ti)' G+ (r2, г„ t2 - h).
Отметим, что в момент t2 наблюдается не обязательно
„та же самая" частица; в системах тождественных частиц,
с которыми мы обычно будем иметь дело, слова „та же
самая" не имеют смысла. Отметим также, что, кроме выра-
выражения „частица в точке rj", существует и более точное:
„частица, волновая функция которой есть собственная функ-
функция оператора координаты б (г— г,)".
Величина G+, определяемая равенством C.1), называется
„запаздывающей" функцией Грина. По определению она
равна нулю при ^^^i- Существует также „опережающая"
функция Грина G~, которая конечна при t2^t{, это мы
обсудим в гл. 4.
Фактически более удобно работать с функцией G, опре-
определенной эквивалентным образом через произвольные одно-
частичные собственные функции ^(г), а не через собствен-
собственные функции оператора координаты. Тогда
iG (&2> k\, t2 —1\) = Амплитуда вероятности того, что если
в момент t\ в систему с взаимодействием
в основном состоянии добавлена частица
в состоянии 0А[ (г), то в момент t2 система
будет находиться в своем основном состоя-
состоянии с добавленной частице"! в состоянии
C.2)
При ^2^^1 по определению
iG+(k2,kltt2-U)tl<t=Q. C.3)
В качестве фк(г) удобно выбрать собственные функции не-
невозмущенного одночастичного гамильтониана #(рг, г,) [см.
формулу A.21)], который мы будем обозначать через Яо
//o = ^-+t/(r)=-1^rVr2+C/(r) (й=1), C.4)
при этом
Если U (г) = 0, то мы имеем случай свободной частицы
V* 1 1
Я&() k
, &.(r) e, Ek
= . C.5)
2т

54 Глава 3
Здесь Q — нормировочный объем. Мы будем обычно пола-
полагать й=1. Кроме того, для простоты мы здесь пренебрегли
спином.
[Обратите внимание на обозначение: в выражении C.4)
индекс k (ku k2 и т. д ) обозначает всевозможные квантовые
числа, необходимые для определения произвольной собствен-
собственной функции гамильтониана. Определенные собственные
функции будут отмечаться индексами р, например фр (r),
ФРг(г), ФРз(г)> ¦¦¦ или Для краткости фх(г), ф2(г), ... (после-
(последовательность функций — приблизительно в порядке возра-
возрастания энергии). В частном случае, когда U (г) = 0, k есть
волновой вектор, и мы будем писать k (или k, а, если учи-
учитывается спин).]
Определение C.2) описывает „распространение" частицы
из состояния фк (г) в состояние фк (г). Заметим, что если
к\ = къ то частица распространяется только во времени.
Вычислим сначала свободную функцию Грина Go" (ника-
(никаких возмущений нет). Пусть в момент времени t\ волновая
функция свободной частицы есть фк (г). Тогда
Ъ(г,Ц = фк1(г). C.6)
Согласно уравнению Шредингера, зависящему от времени,
в более поздний момент времени t2 волновая функция будет
иметь вид
^(г,^ = фк>{т)е-1г^2-и\ C.7)
где ek — одночастичная энергия, фигурирующая в уравнении
C.4). Таким образом, амплитуда вероятности того, что ча-
частица в момент t2 находится в состоянии фк , равна просто
компоненте г|з(г, t2) вдоль фк, т. е.
J dH (r, t2) ф1 (г) = е~1Е^ С»"'») J й\фк, (г) ф12 (г) . C.8)
Отсюда по определению функции G+ ')
Go+ (k2, ku h - U) = - iQt,-tle~te^ ('«""'«teftA =
= KkfiZ{ku h-U), C.9)
') Отметим, что для фермионов все уровни ниже энергии Ферми е
(см. стр. 71—73) заполнены, поэтому „распространяться" может только
частица с eAj > e^.

Квантовые квазичастицы 55
где
H-W''^™ ДЛЯ ''*'" C.10)
= t
'-'¦ [0, если t2<ti.
Множитель Qt2-t, учитывает тот факт, что по определению
C.3) G+ = 0 при t2<t\. Отметим также, что в соответствии
с C.3) Go+ = 0 и при t2 = ti.
Как и в случае функции Грина классического детского
бильярда, нам удобно работать с фурье-трансформантой
выражения C.10), т. е. с функцией
-f со
Go (k, со) = - i J rf^2-^i)e;2-^e"°('2~'^e"fe*^-'i) =
— со
(м-е&) {h-U)
= (-1)
е
ш — е.
C.12)
Из-за экспоненты, осциллирующей на бесконечности, эта
функция недостаточно хорошо определена. Одна из уловок,
с помощью которой можно обойти эту трудность, состоит
в добавлении к аргументу со в экспоненте члена /б, где
б — положительное, бесконечно малое число, причем бХоо = оо.
В результате член е'°° стремится к нулю, и мы получаем
i(M+ie-eft)°o
G0+(fe, ©) = Lt-x--! —г-т- = -7гг. C.13)
Обычным оправданием этой процедуры служит тот факт,
что, переходя к фурье-трансформанте Go (k, а), мы снова
получаем как раз Go (k, t) (см. приложение I). (Более стро-
строгий анализ требует привлечения „обобщенных функций" или
„распределений".) Следует отметить, что, хотя член гб прин-
принципиально важен для деталей реального расчета, наши рас-
расчеты будут либо слишком простыми, либо слишком поверх-
поверхностными, чтобы стоило о нем беспокоиться.
Видно, что фурье-трансформанта свободной функции Грина
имеет полюс при (т. е. бесконечно близко к) ю = гк — энергии
частицы, добавленной в состоянии фк. Это оказывается

E6 Глава 3
довольно общим свойством; действительно, можно показать
(см. приложение VIII), что
Полюсы G+ (k, l, со) — фурье-трансформанты одночастичной функ-
функции Грина — появляются при значениях со, равных разности энер-
энергий возбужденных состояний системы из N + 1 взаимодействую-
взаимодействующих частиц и энергии основного состояния системы из N взаимо-
взаимодействующих частиц. C.14)
Этим свойством и объясняется необыкновенная важность
функции Грина в теории многих тел.
Обратимся теперь к функции Грина при наличии взаимо-
взаимодействия. Аналогично классическому случаю, обсуждавше-
обсуждавшемуся в гл. 2, квантовые квазичастицы ведут себя подобно
свободным частицам, за исключением того, что они обладают
новой энергией e'k вместо &k и временем жизни tft. Поэтому
мы ожидаем, что, если добавленная частица ведет себя как
квазичастица, одночастичная функция Грина будет иметь
тот же вид, как и свободная функция Грина, с заменой гк
на г'к и введением экспоненциально затухающего множителя
с постоянной времени xk
0:вазичаст(к, h - U) = - 1е~1г'^~^е~^~1^х\ C.15)
(Более общее выражение обсуждается в гл. 8.) Этой функции
соответствует фурье-трансформанта
GKBa3U4acT {k, Си) = ; —г- . C.1 6)
Очевидно, для того чтобы эти выражения имели смысл, время
жизни квазичастиц должно быть велико, а ширина энерге-
энергетических уровней т~' [см. абзац после формулы A.43)] —
мала по сравнению с самими значениями энергии
TJT'<e'*. C-17)
[Более точные условия для т^ определяются неравенством
(8.21).]
Таким образом, если найдена функция G+ и она имеет
такой вид, как указывалось выше, то систему можно описы-
описывать в рамках простой картины квазичастиц. Таким системам
присвоен титул „нормальных". С другой стороны, даже если
оказывается, что система принадлежит к менее распростра-
распространенной „аномальной" разновидности, когда формула C.16)
несправедлива [как, например, одночастичная система, описы-
описываемая соотношением D.39), или сверхпроводящая система
в гл. 15], мы все еще можем вычислять энергии возбужден-
возбужденных состояний по правилу C.14).

Квантовые квазичастицы 57
В случае нормальных систем по-прежнему можно связы-
связывать полюсы квазичастичной функции Грина C.16) с энер-
энергиями возбужденных состояний системы [как в C.14)], рас-
рассматривая энергию как комплексную величину с действитель-
действительной частью e,'k и (малой) мнимой частью — гг~':
Комплексные энергии такого же типа мы встречаем и в слу-
случае атома в возбужденном состоянии фп с энергией еп. В от-
отсутствие взаимодействия с другими атомами или с излуче-
излучением волновая функция атома имеет вид
Ч>„@ = й,е-'Ч (ЗЛ8а)
Если включить слабое взаимодействие, возникает сдвиг энер-
энергии (которая становится равной eQ и, кроме того, состояние
атома начинает меняться (состояние фп начинает затухать).
Таким образом, волновую функцию приближенно можно за-
записать в виде
Ч>»@ ~ Фпе^е~т-= фпе«~1х~" ')', C.186)
что как раз совпадает с выражением C.18а), если заменить
там действительную энергию еп комплексной е'п — h~[.
§ 2. Квантовый детский бильярд
Для иллюстрации принципов теории мы вычислим теперь
функцию Грина простой системы, состоящей из одной ча-
частицы в присутствии внешнего возмущения, сохраняющего
импульс. Эта система представляет собой точный квантовый
аналог детского бильярда. Разумеется, в системе из одной
частицы не могут существовать квазичастицы в смысле
„реальная частица плюс облако из других частиц". Однако,
как уже говорилось в § 3 гл. 1 в связи с электронами про-
проводимости, мы можем довольно свободно рассматривать ча-
частицу как одетую самим внешним возмущающим потенциалом.
В квантовом детском бильярде единственная свободная
частица подвергается действию одновременно двух возму-
возмущающих потенциалов Vm и Vl~ аналогов двух различных
животных—рассеивателей в классическом бильярде. Невоз-
Невозмущенные гамильтониан, волновые функции и энергии опре-
определяются выражениями C.5). В качестве возмущения вы-
выберем потенциал, зависящий от скорое и:
V (р) = Vu + Vl = Mp2 + Lp4 = - MV2r + LVr4. C.19)

58 Глава 3
Здесь М и L — действительные константы; предполагается,
что М > L.
Этот странный „потенциал", выбранный нами из-за его
необыкновенной математической простоты, может травмиро-
травмировать некоторых читателей. Конечно, он не из тех потенциа-
потенциалов, с которыми встречаешься на улице и которые в боль-
большинстве случаев имеют знакомый вид V (г). Тем не менее до-
довольно легко искусственно построить возмущение вида C.19).
Например, гамильтониан, описывающий движение центра
инерции свободного атома водорода, есть Я = р2/(т + те), где
т — масса протона, а те — масса электрона. Его можно пред-
представить в виде суммы
2т
2т (те + т)т и
и рассматривать второй член ее, как если бы это был „воз-
„возмущающий потенциал". Подобным же образом член с р4
может появиться как релятивистская поправка при разло-
разложении релятивистского гамильтониана
V ° ; 2т0 8т30<?
Действительно, если считать, что это есть гамильтониан
центра инерции свободного атома водорода с то = т + те, то
те) с
П1с
8 (m
За исключением несущественного постоянного члена, это вы-
выражение как раз имеет вид C.19). Зависящие от скорости
потенциалы действительно появляются в задаче об элек-
электроне в магнитном поле (К~А-р) и в ядерной физике.
Проблема теперь состоит в вычислении энергии свобод-
свободной частицы, подвергающейся действию возмущения V (р).
Рассмотрим сначала обычное, общепринятое решение.
Так как М 3> L, мы можем в качестве первого шага прене-
пренебречь членом ~L. Тогда V (р) «* Мр2 и
Я-^ + Мр2. C.20)
Поскольку возмущение имеет тот же вит, что и невозмущен-
невозмущенный гамильтониан Я0 = р2/2/и, возмущенные волновые функ-
функции совпадают с прежними j>k, а новая энергия есть

Квантовые квазичастицы 59
Для сравнения с выражением A.21) этот результат можно
получить путем тривиального „канонического преобразования"
2+О. C.22)
Таким образом, можно считать, что гамильтониан Но описы-
описывает зачаточные „квазичастицы" с видоизмененным законом
дисперсии C.21). [В этом простом примере „фиктивные тела"
из соотношения A.21) и квазичастицы A.43) представляют
собой одно и то же.]
Посмотрим теперь, как повлияет добавление члена ~L.
Собственные функции остаются теми же, что и для Яо, и мы
получаем
VV = Ьк*фк. C.23)
Отсюда следует, что полная энергия частицы есть
Решим теперь ту же тривиальную задачу с помощью
одночастичной функции Грина и посмотрим, как можно по-
получить энергии „квазичастицы" e'k и е?' из полюсов функции
Грина. Для этого требуется сначала построить для функции
Грина ряд теории возмущений, аналогичный ряду B.21) в слу-
случае классического детского бильярда. Мы получим его из
таких же физически интуитивных соображений, как и в клас-
классическом случае. (Строгий математический вывод приведен
в § 4 этой главы.)
В соответствии с инструкциями, данными в определении
функции Грина, в момент t\ частица вводится в систему
(в данном случае —первоначально пустую) в состоянии
фк](т) — Q~1/2exp(zk, • г) и распространяется сквозь систему,
рассеиваясь нуль, один или более раз на внешних потен-
потенциалах
или VL = Lp\ C.25)
По определению C.2) функция Грина iG+ (k2, кь U—t{) есть
как раз амплитуда вероятности того, что частица в момент t2
окажется в состоянии ^(r) = Q~'/2exp(ik2-r). Аналогично рас-
рассеянию на животных, амплитуда Ш+ равна сумме амплитуд
вероятностей для всех возможных путей движения частицы
по системе из состояния <?д> в состояние фк.

60 Глава 3
[Знакомый пример этого — переход атома или атомного
ядра из состояния / в состояние / при испускании фотона.
Пусть прямой переход i—>f запрещен, но атом может релак-
сировать через промежуточные состояния / или т. Тогда
полная амплитуда вероятности перехода есть амплитуда пере-
перехода (г-*/-*/) плюс амплитуда (i-*m->f). Заметим, что
Полная вероятность (г -> /) =
== | Амплитуда (t->/->/) +Амплитуда (г -> т -> f) \2=?
^Вероятность (г -> /-> f) + Вероятность (/ ~> т ->/); C.26)
см. также [19].]
Простейший способ распространения частицы в системе —
это свободное движение без взаимодействия. Амплитуда ве-
вероятности этого процесса равна как раз свободной функции
Грина ibk^Go (ki, U — t\), такой же, как и в выражениях C.9),
C.10). Другой путь — попасть в момент tl в состояние фк,
в момент tM рассеяться потенциалом VM, перейдя при этом
в состояние фк, и затем свободно двигаться в этом состоя-
состоянии вплоть до момента времени t2- [Может показаться стран-
странным, что мы говорим о рассеянии частицы потенциалом Vм
в момент tM или о рассеянии частицы данным потенциалом
несколько раз, хотя на самом деле потенциал присутствует
все время. Это, однако, есть просто результат того факта,
что, строя ряд теории возмущений, мы фактически разлагаем
полную функцию Грина на примитивные компоненты, каждая
из которых описывает мгновенное рассеяние на потенциале.
В конце мы интегрируем но всем временам, как показано
в C.28), и суммируем по всем последовательностям процес-
процессов рассеяния, как в C.30), и таким образом снова „соби-
„собираем функцию Грина воедино".] Для этого второго пути
амплитуда вероятности будет равна по аналогии со случаем
классического детского бильярда произведению амплитуд
независимых процессов, которые происходят на данном пути.
(В независимости этих процессов можно убедиться, замечая,
что частицу, рассеянную из состояния j>l в состояние j>k,
нельзя отличить от частицы, перешедшей в <j>k из другого
состояния ф[Г. Иными словами, частица в состоянии фк „не
помнит" каким образом она туда попала —как и в класси-
классическом детском бильярде.)
Первому из указанных независимых процессов — свобод-
свободному движению в состоянии фк от tl до tM соответствует
амплитуда iGo {ku tM — tx), вычисляемая по формуле C.10).
Амплитуду второго процесса — рассеяния в момент tM на

Квантовые квазичастицы 61
потенциале VM с переходом из состояния фк в состоя-
состояние фк — можно вычислить по обычной нестационарной тео-
теории возмущений следующим образом. Пусть с{ есть ампли-
амплитуда вероятности того, что в момент t0 система находится
в состоянии ф{. Тогда в более поздний момент времени t
скорость изменения какой-нибудь определенной величины сь
скажем ср, под влиянием возмущения V будет равна
где Vpi~ матричный элемент V между состояниями фр и фг
[см., например, в работе [13] соотношение A4 — 57) при h= 1].
В рассматриваемом процессе при t0 — tM система определенно
находится в состоянии фк , поэтому ct — &lk . Возмущающий
потенциал V = Vм. Следовательно, отнесенная к единице вре-
времени амплитуда вероятности перехода из фк в Ф=Фк, в мо-
момент tM (t здесь также равно tM) есть
(* =¦'«)-" iVMkJii = - *¦ J dWk2 (r) VM*ki (r) =
= + Ш J а*гф1Г-фк1 = - iMk\\2k. C.27)
Множитель 6/уг, указывает на сохранение импульса в про-
процессе рассеяния. Амплитуда последнего процесса есть
iGo~(k2, t2 — tM)- Полная амплитуда равна свертке
ГАмплитуда 1
+ 0
= l J
C.28)
Рассеяние на потенциале Vм могло бы произойти в любой
промежуточный момент времени ti<tM<t2, почему мы и
проинтегрировали по tM. Отметим, что 8-функция в Go"
[см. C.10)] автоматически ограничивает область интегриро-
интегрирования интервалом ti<tM<t2-
Равным образом может произойти и взаимодействие с VL.
Оно описывается матричным элементом
также сохраняющим импульс. Есть еще процессы второго
и более высокого порядка, в которых частица „сталкивается"
с Vм и Vi любое число раз. В результате получаем (после

Глава 3
сокращения на i) следующий ряд для функции Грина:
G (k, ti — ^i) = Go (к, ii — t\) ~\~
+ J dtMGt (k, tM - U) VMkkGt (k, U - tM) +
— oo
-f-OO
J ^
— oo
+ ldtMdt'M... +fdtMdtL... + ... +
tMdt'Mdtl... + ... C.30)
(мы положили здесь k, = k2 = k, так как импульс сохраняется).
Так же как и в случае классического детского бильярда,
в этом ряду можно избавиться от интегралов, переходя
к фурье-трансформантам. Тогда, подобно B.24), имеем
G+(k, a)) = G0+(k, co) + [Go+(k, co)j2 VMkk + [g0+ (k, co)]2K^ +
+ [Go+f V\k + 2 [Go+]3 VmuVLu + [Go+f Vlkk +
+ [G0+]4^+ .... C.31)
Воспользуемся теперь тен же трюком, что и в класси-
классическом случае, и составим словарь для перевода рядов на
язык диаграмм. Примитивные диаграммы показаны в табл. 4.
Сравните ее с табл. 2 для (г, ^-пространства и с табл. 3
> Диаграммный словарь для квантовой функции Грина Табаица 4
детского бильярда
m+
(K
Слово
(k2,
1 e
k,,
,-i
О-пространство
Диаграмма
h~U l[kt,f,
•J- , kl'!
«G+
/Go+ (k,
(к, &))-простраистпо
Слопо Дм;
(k2, кь «>) ш
' I
in
I
к
ачма
k2
к,
m

Квантовые квазичастицы 63
для (г, ш)-пространства! [Соотношения C.30), C.31) также
можно записать в переменных (г, t) или (г, со), но в данном
случае пользы от этого было бы слишком мало.]
С помощью вновь составленного словаря легко записать
диаграммный ряд, соответствующий выражениям C.30) и C.31),
= к
Линиям здесь можно приписать либо индексы t — для ряда
C.30), либо индексы со — в случае ряда C.31). Очевидно,
в данном случае это есть сумма всех возможных различных
диаграмм.
Далее, поскольку мы предположили, что М >> L, всеми
взаимодействиями с VL можно пренебречь и тогда ряд C.32)
приближенно запишется в виде
C.33)
Это есть точный аналог частичной суммы по всем мартыш-
мартышкиным диаграммам B.17). Как и в том случае, суммирова-
суммирование легко осуществляется, так как ряд опять представляет
собой геометрическую прогрессию. Переводя диаграммы C.33)
на язык слов с помощью табл. 4 [в переменных (к, со)], со-
сона i и опуская для краткости аргументы, находим
кращая
G+(k, co
G
= 6o [1 + Go Vukk +{Go
для
GoV
Mkk
C.34)

64 Глава 3
Этот же результат удобно получить, значительно сэкономив
чернила, путем манипулирования с самими диаграммами,
что вполне законно, ибо в (к, (о)-пространстве каждой части
диаграммы соответствует некоторый множитель. Так, равен-
равенство C.34) можно переписать в виде
1 -
1 -
или после перевода
G+(k, со)
м
kk
C.35)
C.36)
Это и есть результат C.34). (Заметьте: маленькие кусочки
линий, подсоединенные к блоку (д?) , сами по себе не имеют
смысла. Они только показывают, куда нужно приладить
линии гриновских функций!)
Наконец, подставляем выражения для Go и Vm и полу-
получаем
G+(k, со) = ' .. = г Лг,»!. -л • C-37)
<o-ek + i6~VMkk со - {гк + Mk2) + (б
Сравнивая это с функцией Грина квазичастицы C.16), нахо-
находим, что
1т
C.38)
Иначе говоря, взаимодействие с VM „одело" частицу,
превратив ее из „голой" частицы в „квазичастицу" с изме-
измененным законом дисперсии г'к [см. C.38)] и бесконечным вре-

Квантовые квазичастицы 65
менем жизни. Сравнение с формулой C.21) показывает, что
это в точности тот же результат, который получается и при
непосредственном решении уравнения Шредингера!
Теперь, немного успокоившись, мы обнаруживаем, что
на результат, который непосредственно получается в три
строчки, мы потратили три страницы! Кажется, что это не
дает особых оснований для восторга. Не стреляли ли мы
из пушки по воробьям? Разумеется, нет! Мы рассматриваем
игру в квантовый детский бильярд только как прозрачный
пример, позволяющий разъяснить общие принципы. Большая
игра с многими частицами нам еще предстоит!
На самом деле в этом простом случае можно поступить
значительно лучше, а не просто произвести частичное сум-
суммирование C.33). Действительно, мы можем просуммировать
все диаграммы C.32)
1 +
*(L]
«®
1
-1
или после перевода
G+(k, со) = ——г—
©)
VLkk)
откуда следует, что
C.39)
C.40)
C.41)
как и должно быть в соответствии с C.24). Это показывает,
что мы могли бы с таким же успехом с самого начала рас-
рассматривать выражение V = VM+ VL единым образом и пред-
представлять его одной диаграммой (v) . Разбиение же потен-
5 Р. Маттук

66 Глава 3
циала на две части было сделано просто для того, чтобы
стала более очевидной параллель с классическим детским
бильярдом.
§ 3. Исчезновение неприятных расходимостей
Важно отметить одну слабость описанного метода. Гео-
Геометрическая прогрессия C.34) сходится только при
\GoVMkk <1; это неравенство означает, что
— sk + 'б
или
со < гк - Mk2.
Но чтобы получить соотношения C.38), необходимо поло-
положить <d = ek + Mk2, т. е. приравнять как раз тому значению,
при котором ряд начинает расходиться! Это типичный при-
пример такого рода расходимостей, которые досаждают диа-
диаграммному методу. Обычное домашнее средство против
них —принять без доказательства, что выражение для функ-
функций Грина справедливо и при значениях со, лежащих
в области расходимости. Это можно назвать „гипотезой ис-
исчезновения неприятных расходимостей".
Во многих случаях удается оправдать эту гипотезу с по-
помощью другого способа вычисления функций Грина. В на-
настоящем случае это как раз можно сделать. Надо лишь
в качестве невозмущенного гамильтониана в C.4) взять вы-
выражение
а не просто р2/2пг, как в C.5). Свободная функция Грина
для этого нового гамильтониана находится с помощью тех же
соображений, которые привели нас к формуле C.13); таким
образом,
Go+'(k, со) = --г-! г . C.44)
[ )
Это есть в точности результат C.37), что и оправдывает
применение последнего соотношения для всех со.
Есть и другое указание на то, что расходимости упомя-
упомянутого типа являются в значительной мере ложными [37].
Именно если производить частичное суммирование не в со-,
а в ^-пространстве, то расходимость не возникает (по край-
крайней мере в этом простом случае). Так, например, используя

Квантовые квазичастицы 67
выражение C.30) и табл. 3 и суммируя только члены, содер-
содержащие взаимодействие VM, мы получаем
G+(k, t2-ti)= - ie"
t, и
C.45)
Это есть как раз фурье-трансформанта функции C.37); она ос-
остается конечной при всех значениях величины — iVMk (t2 — ti).
Наконец, следует упомянуть, что, хотя рассмотренная
здесь задача и тривиальна, Эдварде показал (см. [3]), что
такого же типа диаграммную технику можно применить и
к нетривиальным одночастичным системам. Так, с ее помо-
помощью можно вычислить уровни энергии и времена жизни
электрона в жидком металле (в предположении об отсут-
отсутствии взаимодействия с другими электронами).
§ 4. Откуда на самом деле берется диаграммное
разложение функции Грина?\
Результаты этой главы были получены по аналогии со
случаем классического детского бильярда. Поскольку такие
интуитивные аргументы могут показаться некоторым чита-
читателям чем-то вроде заклинаний, мы теперь грубо покажем,
каким образом в этом одночастичном случае можно полу-
получить диаграммное разложение функции G+ из уравнения
Шредингера. (Вывод для системы многих тел дается в при-
приложениях.)
Первое, в чем необходимо убедиться, — это что величины
Go и G+ суть на самом деле функции Грина. Напомним,
что если мы имеем дифференциальное уравнение вида
Li|j(x, t) = f{x, t), C.46)
5*

68 Глава 3
где L — линейный дифференциальный оператор, не завися-
зависящий явно от х и t, то соответствующая функция Грина G
удовлетворяет уравнению
LG(x-x', t-t') = 6(x-x'N(t-t'). C.47)
Далее невозмущенное уравнение Шредингера можно запи-
записать следующим образом:
1 V-79 | • I
Это есть уравнение вида C.46) [с f(x, t) = 0]; следовательно,
функция Грина должна удовлетворять уравнению
t'). C.49)
Произведем преобразование Фурье
G(x-x',t- t') = J -(Цге'-мх-хос (k) t - f). C.50)
Подставляя это в уравнение C.49), получаем
Полагая теперь, что G — свободная функция Грина [см.
C.10)]
G = Go (k, t-t')=- iQt-t'e~lsk v~!'], C.52)
и воспользовавшись равенствами
^ = f{0N(x), C.53)
мы обнаружим, что уравнение C.51) удовлетворяется. Это
и показывает, что Go" есть действительно функция Грина.
Подобным же образом уравнению Шредингера с возму-
возмущающим потенциалом вида F (V) [как в C.19)]
1 ш v2 +1 ж ~ v (
соответствует уравнение для функции Грина (в к-простран-
стве)
[-^-+i^--K(k)JG+(k, t-t') = b{t-t'). C.55)
Решение его можно записать в виде интегрального уравнения
G + (k, *-O=G0+(k, t-t') +
+ J dt"Gt (к, / -1") V (к) G+ (к, t" - t'). C.56)

Квантовые квазичастицы 69
В этом легко убедиться, подставляя соотношение C.56)
в уравнение C.55) и используя равенство C.51) при G = Go-
Наконец, итерируя C.56), мы получаем для G+ разложение
в ряд теории возмущений
G+(k, t-t') =
= G0+(k, t-t')+ I dt"Gt(k, t-t")V(k)Go+(k, t"-0 +
— со
+ OO -{-OO
dt"dt'"GtVGoVGo + .... C.57)
— OO — OO
Оно в точности совпадает с рядом C.30). Перевод на язык
диаграмм выполняется немедленно с помощью словаря
табл. 4.
Заметим, что функция Грина для системы многих тел
подчиняется уравнению типа C.47), но при этом оператор L
нелинеен.
Литература для дальнейшего чтения:
Фейнман, Хибс [19],
Бьеркен, Дрелл [5],
Фейнман [18].
Упражнения
1. Одномерная система, первоначально пустая (как и система в § 2
настоящей главы), помещается во внешнее поле типа гармонического ос-
осциллятора с характеристической частотой а>0 [см. A.34)]. Выпишите одно-
частичную функцию Грина системы и ее фурье-трансформанту, предпола-
предполагая, что одночастичные состояния описываются собственными функциями
гармонического осциллятора.
2. К системе (из упражнения 1) прикладывается гипотетический внеш-
внешний возмущающий потенциал вида
Рассчитайте вызванную этим возмущением амплитуду вероятности пере-
перехода из состояния Фь в состояние Фг, где Фи и Ф1 — собственные функции
гармонического осциллятора.
3. Выпишите диаграммный ряд для функции Грина системы из упраж-
упражнения 1 с возмущением из упражнения 2 и вычислите функцию Грина,
суммируя все члены вплоть до бесконечного порядка (предположите, что
существует только одна частица).
4. Каковы закон дисперсии и время жизни квазичастицы в системе
из упражнения 3?
5. Вычислите фурье-трансформанты членов первого порядка в разло-
разложении C.3.0) и покажите, что соответствующие члены имеются и в ряду
C.31).
6. С помощью соотношений C.53) убедитесь, что функция Gq~ удо-
удовлетворяет уравнению C.51) для функции Грина,

Глава 4
КВАЗИЧАСТИЦЫ В ФЕРМИ-СИСТЕМАХ
§ /. Метод функций Грина в системах многих тел
Итак, мы определили квантовую функцию Грина при
t2>t\, показали, как она выглядит для свободных частиц
и квазичастиц, и вычислили ее с помощью частичного сум-
суммирования в задаче о квантовом детском бильярде (одна
частица при натачии возмущения, сохраняющего импульс).
В настоящей главе описанная техника будет обобщена на
случай системы многих тел.
Рассмотрим для начала систему N невзаимодействующих
фермионов во внешнем поле. В сущности это лжемногоча-
стичная система, ибо, как указывалось в гл. 1, в отсутствие
взаимодействия между частицами мы имеем фактически за-
задачу одного тела. Тем не менее такая „тривиальная" система
прокладывает путь к воистину многочастичному случаю.
Во-первых, на ее примере мы увидим, как можно очень
просто описывать ферми-системы с помощью небольшого
числа частиц над уровнем Ферми и небольшого числа уда-
удаленных частиц или дырок под уровнем Ферми Во-вторых,
мы познакомимся с языком проблемы многих тел, т. е.
с формализмом чисел заполнения или вторичным квантова-
квантованием. На самом деле мы не начнем говорить на этом языке
вплоть до второй половины книги, но простой пример помо-
поможет нам уже теперь выучить несколько наиболее легких
слов. Наконец, этот пример покажет нам, как можно обоб-
обобщить определение функции Грина на случай t2<ti. В этом
интервале времени возникает кажущийся парадокс: частица
наблюдается в системе до того, как она туда попала! Ока-
Оказывается, что в этом случае функция Грина описывает рас-
распространение удаленных частиц или „дырок"; последние изо-
изображаются на диаграммах стрелками (|), обращенными
вниз.

Квазичастицы в ферми-системах 71
В качестве иллюстрации реальной системы многих тел
мы рассмотрим ферми-системы с парным взаимодействием
(без внешнего потенциала). Речь может идти, например, об N
электронах или ядрах в макроскопическом ящике. Вводя
специальную диаграмму ^>~w^ для двухчастичного взаимо-
взаимодействия, можно и в этом случае представить функцию Грина
в виде бесконечного ряда диаграмм и приближенно вычи-
вычислить его с помощью частичного суммирования. Некоторые
из таких частичных сумм перечислены в табл. 5.
Некоторые важнейшие аппроксимации, Таблица 5 -4
которым соответствуют частичные суммы
Типы суммируемых
диаграмм Название аппроксимации
«Пузыри» Приближение Хартри
«Пузыри» и открытые Приближение Хартри —
«устрицы» Фока
«Кольца» Приближение случайных
фаз (RPA)
«Лестницы» Лестничная аппроксимация
Приближения Хартри и Хартри — Фока самые грубые;
они приводят к квазичастицам с бесконечным временем жизни.
Приближение случайных фаз (RPA) дает энергии и времена
жизни квазичастиц в электронном газе высокой плотности,
в то время как лестничная аппроксимация хороша для си-
систем малой плотности, например для ядерной материи.
В этой главе будут подробно обсуждаться только прибли-
приближения Хартри и Хартри —Фока; две другие аппроксимации
рассматриваются в гл. 10.
§ 2. Система невзаимодействующих ферми-частиц
во внешнем поле: частицы и дырки
Рассмотрим сначала способ описания ферми-систем с по-
помощью частиц и дырок. Пусть мы имеем одну частицу
в поле U (г); энергии ее определяются из уравнения C.4),
а соответствующие собственные функции суть <j>k(r)(= j>Pi,
Фр2, ...) [см. замечание по поводу обозначений после фор-
формулы C.5)!]. Уровни энергии могут быть представлены, как
на фиг. 6, где для простоты система считается невыро-
невырожденной.

72 Глава 4
Энергия одной частицы в основном состоянии есть ePl.
Если мы поместим теперь в систему еще Л; — 1 частиц (не
взаимодействующих друг с другом), как, например, при за-
заполнении электронами атомных энергетических уровней, то
обнаружим, что в соответствии с принципом Паули в ка-
каждом состоянии не может быть больше одной частицы. Вся
• «8
P,
Рб
= P, • «5 ^ >
ft •
р, —•— €а —е-
P, • «| •
а-основное ^-возбужденное ^-основное г-возбужденное
СОСТОЯНИЕ СОСТОЯНИЕ СОСТОЯНИЕ СОСТОЯНИЕ
ОБЫЧНОЕ ОПИСАНИЕ ДЫРОЧНО-ЧАСТИЧНОЕ
ОПИСАНИЕ
Фиг. 6. Ферми-система без взаимодействия.
система обладает наименьшей энергией, когда состояния за-
заполняются одно за другим, начиная от дна (как показано
на фиг. 6, а для случая N — 5). Наивысший заполненный
одночастичный уровень называется уровнем Ферми; ему от-
отвечает энергия е^.
В случае, когда U (г) = 0, частицы свободны, и индекс k
обозначает импульс, или, точнее, волновое число. Тогда
в основном состоянии свободные частицы заполняют в к-про-
странстве сферу радиусом kP=Y^meF' величина kP назы-
называется фермиевским импульсом, заполненная область — сфе-
сферой Ферми, а ее поверхность — поверхностью Ферми. При
U (г) ф 0 k представляет собой совокупность трех индексов
(для простоты мы пренебрегаем спином), которые, вообще
говоря, уже нельзя интерпретировать как компоненты им-
импульса. В этом случае поверхность Ферми уже несферична,
и число kP становится вектором к^ (читателю, незнакомому
с этими положениями, можно порекомендовать книгу [55]1)).
') См. также [72]. — Прим ред.

Квазичастицы в ферми-системах 73
Различные возбужденные состояния системы образуются,
если удалить частицу из какого-либо состояния под уровнем
Ферми и поместить ее в состояние над уровнем Ферми, как
показано на фиг. 6, б. При этом, чтобы избежать трудностей
и не рисовать всех частиц, которые оставались на своих
местах при возникновении возбужденного состояния, удобнее
изображать только перенесенные частицы и оставшиеся после
них пустые состояния. Об этих пустых состояниях говорят
как о дырках: например, на фиг. 6, б символ р3 отвечает со-
состоянию дырки. Тогда основное состояние будет изобра-
изображаться, как на фиг. 6, в, а возбужденное, состоящее из
одной частицы и одной дырки, — как показано на фиг. 6, г.
Такое описание называется дырочно-частичным. Заметим,
что „частицы" в новом смысле существуют только над по-
поверхностью Ферми. В тех случаях, когда могут возникнуть
недоразумения, мы будем отличать частицу — компоненту
пары „частица — дырка" от обычной частицы, выделяя слово
„частица" курсивом в разрядку. Например,
частица — компонента пары „частица — дырка". Существует
только над поверхностью Ферми. ,. ...
частица — обычная частица. Существует как над, так и под ^ " '
поверхностью Ферми.
Так как дырка в состоянии <j>k представляет собой фак-
фактически результат удаления частицы из системы, она отве-
отвечает также и удалению энергии гк. Поэтому энергия дырки
отрицательна, и мы имеем
ef р = - ег D.2)
Пространственная зависимость волновой функции дырки
будет, очевидно, в точности такой же, как и у удаленной
частицы. Следовательно, зависящая от времени волновая
функция дырки в состоянии фк есть
г|>@ДЫР = ^Г;(-еЛ в,<еР D.3)
(строгое доказательство см. в работе [27]). Свяжем теперь
изменение знака перед ekt с множителем t, а не с гл. Тогда
мы сможем рассматривать дырку как частицу, движущуюся
во времени в обратную сторону. К этому выводу не следует
относиться как к теоретическому обоснованию возможности
построить машину времени. Речь идет просто о способе опи-
описания. Его впервые применил Фейнман в своей теории по-
позитронов ').
') До Фейнмана эта идея была высказана Г. А. Зисманом [73]. —
Прим ред.

74 Глава 4
§ 3. Букварь формализма чисел заполнения
(вторичного квантования)
(При первом чтении этот параграф можно пропустить!)
Хотя формализм чисел заполнения, или, как его часто называют,
вторичное квантование" понадобится нам сколько-нибудь существенно
только после гл. 7, для лучшей ориентации неплохо было бы посвятить
ему несколько страниц уже сейчас. Этот формализм представляет собой
нечто вроде системы обозначений „для производства переписи". Эта си-
система исключительно удобна, если мы хотим проследить за тем, что
происходит в системе многих частиц. Подробности будут изложены
в гл. 7.
Полные волновые функции основного и возбужденного состояний си-
системы невзаимодействующих частиц, как уже упоминалось в гл. 1 [см.
выражение A.66)], представляют собой произведения одночастичных вол-
волновых функций. Однако, поскольку мы имеем дело с тождественными
фермионами, это произведение должно быть антисимметризовано, и пра-
правильная волновая функция есть детерминант Фока — Слэтера
D.4)
Здесь через Фк обозначены одночастичные функции C.4). Если частицам
позволено взаимодействовать друг с другом или с внешним возмущаю-
возмущающим потенциалом, то точные волновые функции системы уже не имеют
вида D.4), а представляют собой линейные комбинации функций Ф
? А ®ь (г, ..., г ). D.5)
• . kN
Таким образом, волновые функции Фь . . системы без взаимодей-
" К2 KN
ствия используются в качестве базисных при описании системы с взаимо-
взаимодействием.
Эти выражения довольно неуклюжи, и было бы желательно найти
более компактный способ записи их. Заметим, что в силу неразличимости
частиц главная информация, которая содержится в выражении D.4), со-
состоит в том, сколько частиц находится в каждом из одночастичных со-
состояний. Поэтому мы так же хорошо можем определить состояние системы
без взаимодействия, записав Ф в виде
Ф , (Т . . . Г \ = Ф it ... X \
fej,*..tKjy\ 1* ' N / tip , tin tip v 1' ' ' '' N )
или (для краткости)
% kf/(rv .... r,v) = lV пр2 npt. ¦••>•> D-6>
это означает, что в состоянии Ф„ находится и частиц, в состоянии Ф„
находится npi частиц и т д., причем nk = О или 1 в соответствии с прин-
принципом Паули. Эта система обозначений использует так называемые числа
заполнения. Она аналогична той, что принята для спецификации распре-
распределения электронов в атомах по оболочкам; например, символ
(IsJ BsJ BрУ обозначает, что имеются два электрона в состоянии Is

Квазичастицы в ферми-системах 75
(один — со спином вверх, другой — со спином вниз), два электрона в со-
состоянии 2s и т. д. Мы уже встречались с такими обозначениями, говоря
о фононах; см. A.42). [Заметим, однако, что в формуле A.42) величина nq
могла быть равна любому целому числу, а не только 0 или 1 Это свя-
связано с тем, что фононы подчиняются статистике Бозе — Эйнштейна.]
С помощью чисел заполнения волновую функцию основного состоя-
состояния на фиг 6, а можно записать в виде
-IV W W W W °Ра- V 0й,...,0, 0,...), D.7)
а возбужденное состояние на фиг. 6, б описывается функцией
ftl-Pl *2 = р2 h = Pi *4 = р5 *5 = Рв =
В дальнейшем для краткости мы будем в индексах опускать букву р,
оставляя только цифры. Тогда
Ф = | я,, п2, пу ....и.,...). D.9)
Например, функция D.7) запишется в виде
Фо = Иь 12, 1з, U, h, 06, 07, 08, ...).
Важно отметить, что, подобно исходным детерминантам Фока — Слэтера,
волновые функцчи, выраженные через числа заполнения, образуют пол-
полную ортогональную систему Поэтому
ХФ»,. ••¦.-«. -('. *N) = \{nx-\W-- DЛ°)
Как и в случае D.5), функции | п.у ..., п^ ...) можно использовать в ка-
качестве базисных для описания волновых функций системы с взаимодей-
взаимодействием
*- 2 ^ . ...[*,,..., *,,...). D.11)
Далее, в большинстве интересующих нас задач лишь немногие из частиц
меняют свои положения по сравнению с основным состоянием: мы имеем
дело главным образом со слабо возбужденными состояниями. Следова-
Следовательно, выписывать все неизменившиеся единицы в волновой функции,
как, например, в формуле D.8), почти так же полезно, как брать с собой
в двухдневное путешествие всю имеющуюся одежду. Можно избежать
лишнего багажа, если рассматривать основное состояние D.7) как „нуль"
или так называемый ферми-вакуум нашей системы и указывать в аргу-
аргументах функции | ...) только изменения по сравнению с основным со-
состоянием. Тогда основное состояние (ферми-вакуум) будет записываться
так, как если бы оно вовсе не содержало частиц;
Фо=[О); D.12)
см. фиг. 6, в. С этой точки зрения возбужденное состояние на фиг. 6, б
содержит частицу [см. D.1)!] и дырку соответственно над и под уров-

76 Глава 4
нем г^ (фиг. 6, г), а волновая функция этого состояния есть
Ф-Из. >?>• D.13)
Здесь индексы Лир означают дырку и частицу, а сама система обо-
обозначений называется „дырочно-частичной".
В формализме чисел заполнения квантовомеханические операторы
имеют новый вид. Представим себе исходную одночастичную си-
систему в низшем энергетическом состоянии, описываемом функцией
(г)( = ф (х)\. С помощью чисел заполнения эту функцию можно запи-
записать в виде
Фиск = 0i (г) = 11000...). D.14)
Пусть теперь система подвергается действию некоторого возмущения, опе-
оператор энергии которого есть V (г, р). Оно может вызвать переход, ска-
скажем, в состояние Фг, так что
Фкон = 0з (г) = 1001000...). D.15)
Таким образом, будучи записано в этом формализме, действие опера-
оператора V проявляется в уничтожении частицы в состоянии Ф\ и создании
частицы в состоянии Фъ. Это наводит на мысль, что если мы определим
два основных оператора: ci /краткая запись с„ \ который уничтожает
частицу в Ф1 (= Фр \ и ct, который рождает частицу в Ф{, то мы сможем
записать все операторы в виде различных комбинаций этих двух основ-
основных. ^Заметим, что эти операторы похожи на фононные операторы bg
и bq; см. A.36) и дальше.] Так оно и есть на самом деле.
Посмотрим сначала подробнее, как действуют операторы с:
ci\nv n2>--" nv •••)-ni\nv п2 п,-!,...).
+ ч \ D.16)
С- j nit П2, ..., nt, .. .^— A — «;) | Л|, П2, ..., И; + 1, . . .).
Множитель nt означает, что оператор ct не может уничтожить частицу
в состоянии Ф1, если там вообще нет частиц и действовать не на что;
множитель A-й;) означает, что оператор с\ не может создать еще
одной частицы в уже занятом состоянии (для простоты мы опустили
множители ± 1; см. гл. 7). Например,
с3\ 11111000 ...) = | 1101100 ...),
с2 | 0000 ...) = 0,
с„|00... 1/ ...>== б„/ | 00 —>,
4l 11111000...) = 0, D-17)
4|00 ...) = |0100...),
c+|00...0m...) = |00...1m...)
При частично-дырочном описании необходимо ввести операторы рож-
рождения и уничтожения для дырок: &t, bt [не пугать с фопонными опе-
операторами A.36)!] и аналогично для частиц: а\, at. При эчо*1 если ki < kpt

Квазичастицы в ферми-системах 77
то оператор cj уничтожает частицу под уровнем Ферми, создавая таким
образом дырку. Следовательно,
при h, ^> kp С. — п. — оператор ун [чтожения частицы
%i <C kp С^ — bi — оператор рождения дыркн;
t + D-18>
при ft; > kp С; — а(- — оператор рождения частицы,
i ^ F ^i = ^i — оператор уничтожения дырки.
Такой переход к операторам ч а с т и ц ьг-дырки можно выразить ком-
компактно в виде преобразования
с, = 6, . а, + 6. . bt
, к{-кр . kp-ki .. (i
где
_ ( 1 для X > О,
Х~{0 для X < О.
Вот простые примеры того, как работают эти операторы:
D.20)
Чтобы выразить другие операторы через с (или а и 6), надо лишь
потребовать следующее: пусть <5стаР есть оператор в прежних обозначе-
обозначениях, а ©ч-3 —тот же оператор в формализме чисел заполнения (или
частиц-дырок), тогда матричные элементы оператора в4'3, вычисленные
с помощью волновых функций в формализме чисел заполнения (или ча-
частиц-дырок), должны быть такими же, как и у оператора 0стаР, „обложен-
„обложенного" детерминантами Фока — Слэтера. Рассмотрим сначала одночастич-
ный случай, когда детерминант сводится просто к функции Ф{. Тогда мы
должны иметь
@0... lt ...|<ЭЧ-3|... 1/ ...) = @г|<Эсгарк/> D.21)
Немного созерцания в буддистском стиле, и мы увидим, что поставлен-
поставленному условию удовлетворяет выражение
®4-3=S0m»d"n- D-22)
mn
Действительно, используя соотношения D.17) и D.10), мы получаем
mn
-%. D.23)

78 Глава 4
Пользуясь формулами D 18), можно представить выражение D 22) также
в частично-дырочном формализме Оказывается, что полученный резуль-
результат справедлив и для систем с произвольным числом частиц
Гамильтониан любой системы можно выразить в формализме чисел
заполнения или частиц-дырок. Пусть, например, гамильтониан, записан-
записанный с помощью старой неандертальской системы обозначений, отвечает
системе с внешним возмущающим потенциалом
неандер = 2 [j^ + U (r<)J + ^] V (г«) D.24)
"° #1 (возмущение)
и одночастичные функции Фк удовлетворяют уравнению
[ж+и(г)]**"е***- D25)
Тогда как показано в гл 7,
m, n> k m> k m< k
n<k n>k
P P
m, n < *
Для системы взаимодействующих частиц со старым гамильтонианом
D-27)
мы получаем
k I m> к
n<kp
' "' Vktmnbibkbrmbrn. D 28)
fe I m n < ft
F
Величины Vkimn определены равенством D 42)
Следует помнить что в случае системы с взаимодействием волновые
функции представляют собой линейные комбинации D.11).

Квазичастицы в ферми-системах 79
§ 4. Функция Грина для системы невзаимодействующих
ферми-частщ во внешнем возмущающем поле
До сих пор мы работали с функцией Грина, определен-
определенной только для положительной разности времен, т. е. для
t2>tx. Этого было достаточно для решения сверхпростой
задачи о квантовом детском бильярде, но не в более слож-
сложных случаях. Для общей трактовки надо обобщить наше опре-
определение на времена t2<ti. Конечно, это звучит странно,
ибо кажется, что мы будем описывать частицу, распростра-
распространяющуюся во времени в обратном направлении. Однако,
как уже объяснялось в связи с соотношением D.3), такая
частица из „машины времени" есть не плод научной фан-
фантастики, а просто удаленная частица или „дырка". Иными
словами, частица, движущаяся вспять во времени от мо-
момента t\ к t2 (t2<ti), в точности эквивалентна дырке, дви-
движущейся во времени вперед от t2 к tx.
В результате приходим к следующему определению:
iG{k2, ku t2-ti)ti<t=tG~(kb ku t2-ti) =
— ( ~ 1) X Амплитуда вероятности того,
что если в основном состо-
состоянии системы с взаимодей-
взаимодействием в момент t2 удаляется
частица из состояния Фь
«2
(т е возникает дырка в со-
состоянии Ф^), то в момент ti
система будет в основном
состоянии, в котором удалена
частица из Фк (т е появи-
появилась дырка) D.29)
По аналогии с C.3) G~ определяется при t2>tx (но не при
t2 = tj) следующим образом:
-iG'{k2, ku fs-Ц.^О. D.30)
Таким образом, G~ есть дырочная функция Грина. [Множи-
[Множитель (—1) по сравнению с C.1) возникает из-за того, что
мы имеем дело с фермионами; см. гл. 9. Функцию G назы-
называют „опережающей".]
Понятие „дырка" подразумевает здесь „удаление частицы",
т. е. имеет более общий смысл, чем в § 2 настоящей главы.
Там мы рассматривали систему без взаимодействия, поэтому
частицы могли удаляться только из области k<kP, и все
дырки отвечали значениям k<kF. Однако в основном состо-
состоянии системы с взаимодействием в соответствии с формулой
D.11) частица может находиться с конечной вероятностью

80 Глава 4
и в области над уровнем Ферми. Следовательно, мы можем
удалить частицу или создать дырку (в этом более общем
смысле) и при k>kP. Пусть „дырочная функция Грина" G~
определена, как указывалось выше, для t2<t\. Тогда сво-
свободная функция Go" отлична от нуля лишь при k<kP, но
в полной функции G~ значения k могут быть любыми.
Для свободной дырки те же соображения, что и в слу-
случае C.8) 1), по отношению к „однодырочному" состоянию
D.3) дают
D.31)
для t2 = tl.
Фурье-трансформанта этого выражения имеет вид
Go (k, соНм_^_.б, ek<eF. D.32)
Предположим теперь, что мы включили внешний возму-
возмущающий потенциал V (г) [отличный от U (г) — части невоз-
невозмущенного гамильтониана] и хотим найти, скажем, одно-
частичную функцию Грина G+ (къ k\, t2 — t{), или G+ (k2, k\, со).
Она будет равна сумме амплитуд вероятности всех траек-
траекторий, по которым частица может двигаться в системе,
взаимодействуя нуль или более раз с потенциалом V (г).
Ранее мы уже выписали ряд для функции Грина и перевели
его на диаграммный язык. Сейчас мы все сделаем шиворот-
навыворот, т. е. запишем сначала диаграммы, а потом пре-
превратим их в функциональный ряд. Для этой цели нам будет
необходим видоизмененный словарь (подобный табл. 4), в ко-
котором есть линии, идущие вниз, для дырочных функций
Грина (он приведен в табл. 6). Обратите внимание на об-
обратный порядок времени на диаграммах для дырочных
функций Грина! Разумеется, это есть следствие того факта,
что для дырок t2<ti. Причина, по которой этот диаграм-
диаграммный метод называется „методом Голдстоуна", будет указана
в § 5 гл. 9.
Матричный элемент энергии взаимодействия VM заслу-
заслуживает того, чтобы о нем немного поговорить. Он дается
выражением
j> D.33)
') В соответствии со сказанным в примечании на стр. 54 соотноше-
соотношение C 8) и функция G,J~ в C.9) описывают движение ч аст и ц ы, так как

Диаграммный словарь для многофермионной системы в возмущающем внешнем поле
о (метод Голдстоуна)
Таблица 6
(ft, ^-пространство
Слово
Диагоамма
(k, ©)-пространство
Слово
Диаграмма
G+ (k2, й„ h~tx
(частица), см C 2)
*,,*,
iG+ (k2, ku ©)
*!
G~ (k2, klt h-t,
(дырка), см. D.29)
*2, «2
iG (k2, ku w)
а,
V*,[ *B l)]
\ — 0 для ^2— ^l) (свободная частица)
/Go-(*. /2-/,) =
= ef,-f, ехР [ «fe^-'i)]
( = — 1 для^2 = ^) (свободнаядырка)
к,
(взаимодействие с внешним возму-
возмущением), см. D.33)
или
4 возможности
\
/Л*
или
возможности
\
6 б

82 Глаза 4
Четыре различные возможности, показанные в табл. 6, та-
таковы: а —рассеяние частицы [вспомните D.1)!] из состоя-
состояния ф1 в состояние фк; б —рассеяние с переходом частицы
из состояния ф[, где e;<eF, в состояние фк с ek>eF (таким
образом, создаются частица в состоянии фк и дырка
в состоянии ф{); в — и т. д.
I Отметим, что эти четыре возможности соответствуют в данном случае
четырем членам взаимодействия в дырочно-частичном гамильтониане
D 26).
Конечно, после взаимодействия в состоянии к появляется
не обязательно та же частица, которая занимала состояние
1, — в системе неразличимых частиц это не имеет смысла.
Тем не менее ради чисто словесной простоты принято опи-
описывать взаимодействия так, как если бы частицы были
различимыми; читатель все время должен иметь в виду, что
это есть не более, чем просто способ выражаться.
С помощью табл. 6 легко изобразить диаграммный ряд
для функции G+ в виде суммы всех возможных различных
диаграмм, которые можно построить из последовательности
точек — взаимодействий, соединенных линиями частиц или
дырок, причем входящая линия отвечает состоянию klt
а выходящая — состоянию k2:
h h ii t2 tr
/с,
кг
+ {
кг ,
t (
It 4 ,
t\
кг
i
q + H
V *¦¦
кг
+ (
>t' <
k2
i
P
' + <
q
\
\ 1
i
\
t\ fl «I <1 I,
12 3 4
D.34)
[Заметим, что в соответствии с формулой C.9) диаграмма /
исчезает при k2?=k\.] Физический смысл линий, соответ-
соответствующих дыркам, можно понять, посмотрев на диаграмму 4.
Частица в состоянии &i(= фк) появляется в системе в мо-
момент времени tx. В момент f потенциал выбивает частицу
из состояния / в состояние k2, создавая таким образом
частицу в k<i и дырку в /. В момент t частица в со-
состоянии k\ сталкивается с дыркой (в состояние /), в резуль-

Кввзкчаеткцы в фермк-скстемах 83
тате чего происходит взаимная аннигиляция, а частица
в состоянии k2 продолжает распространяться по системе до
момента t2.
Следует отметить, что во многих диаграммах рассматри-
рассматриваемого ряда нарушается принцип запрета Паули. Напри-
Например, при k\ — k2, на диаграмме 4 присутствуют две частицы
в одном и том же состоянии k{. Такие диаграммы надо
учитывать. Основания к тому обсуждаются в конце прило-
приложения VII (см. также § 6 этой главы).
Забавно попробовать навести бухгалтерию на процессы, описываемые
диаграммой 4, с помощью дырочно-частичной системы обозначений, считая,
что Я, дается выражением D.26). Последовательность событий будет такая-
1. Помещаем частицу в состояние k\ в момент tt:
2. В момент f один из членов в Я, действует на систему, создавая
частицу в состоянии k2 и дырку в /:
[Обратите внимание: при &2 = &, мы имеем a?J 1^, lj1), что равно нулю
в соответствии с D.20). Тем не менее диаграмма 4 из D.34), описывающая
этот процесс, не дает нулевого вклада! Как только что упоминалось, эта
диаграмма — нарушитель принципа Паули, и ее тем не менее следует
учитывать (см § б настоящей главы)].
3. В момент t оператор Я, действует снова, уничтожая дырку в /
и частицу в k\\
4. В момент t2 убираем частицу:
a \V V I lbVl^f V 10) D 35)
Изображенный выше диаграммный ряд можно записать
и словами, если воспользоваться словарем табл. 6. Опуская
множитель /, получаем в (k, ^-пространстве
G+ {k2, ku h ~ ti) = Go+ (ku h - tiNktkl +
-f-oo
— oo
-f oo -f oo
dt \dt> ••• + •••
q>kp —oo —oo

84 Глава 4
или в (k, и)-пространстве (для краткости мы опускаем аргу-
аргумент со)
G+ (k2, ki) = bkikfit (ki) + Go+ (kt) Vk2klGt (k2) +
q>kp
+ S Go+ (ki) Vikfio (/) VhiGo (k2) + .... D.37)
Kkp
Мы не забыли здесь просуммировать по всем возможным
промежуточным состояниям q, I и т. д. Действительно, одна
диаграмма, например с буквой q, на самом деле предста-
представляет бесчисленное множество диаграмм, в каждой из кото-
которых фигурируют различные значения q (q>kP сокращенно
обозначает eQ>eF и т. д.).
Интервалы интегрирования в формуле D.36) автоматически ограни-
ограничиваются 8-функциями, входящими в G и G~. Так, на диаграмме 3
из D.34) все линии соответствуют функциям Грина частиц, поэтому
мы видим, что 11 < t < f < t2. На диаграмме 4, поскольку линия / пред-
представляет функцию Грина дырки, t должно быть больше V, и мы находим:
если tt < t < t2, то — оо </'</, в то время как если t2 < t < + оо, то
-схэ </'<f21).
Однако, начав вычислять эти интегралы по времени, вы придете
в ужас от мелькания осциллирующих на бесконечности экспонент — в точ-
точности так же, как и при выводе формулы C.12). Чтобы избавиться от
этого, следует заменить пределы интегрирования ± оо на ±ооA— /т)),
где т) — положительная, бесконечно малая величина [как и 6 в случае
C.13)], такая, что т)Х°° = °°. Эта замена обосновывается строгим выводом
разложения для функции Грина [см. приложение V, особенно соотно-
соотношение (V.11)].
Могло бы показаться, что измененные пределы доставят нам хлопоты
при выполнении преобразования Фурье от D.36) к D.37). Действительно,
пределы ± оо были необходимы, чтобы получить б-функции б (е> — е>'),
как в формуле B.23). Оказывается, однако, что вновь возникающие инте-
интегралы, которые имеют вид
т
г,
где Tt = — оо A — /т)), а Г2= + оо A —/т)), также представляют собой
законные б-функции, так что фактически трудностей не возникает.
Рассмотрим теперь простой пример, показывающий, как
вычислять функцию G+ с помощью частичного суммирования.
') Строго говоря, в методе Голдстоуна диаграммы „упорядочены по
времени" (см. стр. 182, 183), поэтому для диаграммы 4 из D.34) t{<t'< t,
tx < t < t2. Есть и другие аналогичные диаграммы, но для них — оо < f < tt
и (или) t2 < t < оо. Эти диаграммы можно добавить к диаграмме 4, и
в результате мы получим указанный выше интервал интегрирования.

Квазичастицы в ферми-системах 85
Положим k{ = k2 = k (k>kF), и пусть потенциал таков, что
матричные элементы Vkm и Vтк (помните: m<kP сокращенно
означает ет<ер{) велики, а все остальные— малы. Тогда
функцию Грина D.34) можно аппроксимировать суммой сле-
следующих диаграмм:
к, to '
к, со
т к » +-
к +
ИЛИ
G+(k, со) =
G+ (k, «.)] - VkmVmkG- (m, «)
D.38)
D.39)
e> - em - F
Этот результат, очевидно, не имеет квазичастичного вида
C.16). Однако в соответствии с правилом C.14) полюсы G +
дают энергии возбужденных состояний возмущенной системы.
Таким образом, пренебрегая членами с /б (в этом простом
расчете они не имеют значения), мы получаем
откуда
со - &к -
I Vkm I2
е>-еш
= 0,
со = е =
еь + е„
•4|Пт12,
D.40)
D.41)
fem I
В случае слабого взаимодействия, когда Vkm—>0, правые
части D.41) превращаются в гк, ет. Однако формулы остаются
в силе и при сильном взаимодействии, когда матричный
элемент Vkm порядка или больше расстояния между уро-
уровнями гк — гт.
Эксперты, посмотрев на соотношения D.41), скажут, что
это просто формулы для новых энергий одночастичной двух-

86 Глава 4
уровневой системы, помещенной в возмущающее поле.
Конечно, мы могли бы предсказать этот результат с самого
начала, ибо наша система в действительности одночастич-
ная — по предположению частицы не взаимодействуют друг
с другом. Опять, о чем уже упоминалось в связи с кванто-
квантовым детским бильярдом, это обстоятельство нельзя рас-
рассматривать как демонстрацию того, что „мощная" диаграм-
диаграммная техника дает лишь более сложный метод получения
тривиальных результатов. Речь идет скорее о сверх-простой
иллюстрации общих принципов.
В следующем параграфе мы перейдем к настоящей задаче
многих тел.
§ 5. Система взаимодействующих ферми-частиц
Представим себе теперь настоящую систему многих частиц.
Пусть она состоит из N фермионов, взаимодействующих
посредством двухчастичных сил с потенциалом V (| г, — Г/|),
зависящим только от расстояния между частицами |г, — Г/|.
Для простоты предположим, что внешних полей «ет, поэтому
одночастичные волновые функции и энергии суть просто
фк = Q~'2exp(гк • г) и ek = k2j2m [см формулы C 4) и C.5)].
Наша задача — построить с помощью диаграмм ряд теории
возмущений для функции Грина этой системы, вычислить
его путем частичного суммирования и испытать результат
на „квазичастичность".
Первое, что нам понадобится, — это амплитуда вероят-
вероятности процесса, в котором две частицы — одна в состоянии фт,
а вторая в состоянии ^„ — сталкиваются друг с другом и
рассеиваются, переходя соответственно в состояния фк и </>/.
Аналогично амплитуде взаимодействия Vki D 33), искомая
величина представляет собой просто матричный элемент
УЫтп = } ^ 1 d^l (Г) Г, (О V ( | Г - V | ) фт (Г) фп (ГО = Vtknm.
D.42)
Так же как и в случае (г, ^-пространства [см. A.3)], рас-
рассматриваемое взаимодействие можно представить на диа-
диаграмме в виде волнистой линии
I j
= (— i)-*Vkimn- D.43)
/ Я \ z
m н

Квазкчасткцы в фермк-скстемах 87
Здесь левая точка пересечения, или „вершина", отвечает
рассеянию одной частицы из m в к, а правая „вершина" —
рассеянию другой частицы из п в 1. [Большинство авторов
изображают взаимодействие в виде пунктирной линии
мы, однако, всегда будем использовать волнистую линию
D.43).]
Множитель 1/2 в D 43) появляется из соотношения D 28) для Я, I
Позднее он исчезнет в соответствии с правилом D 60) |
Пользуясь дырочно-частичным описанием, можно изобра-
изобразить матричный элемент D.43) в более подробном виз,е
\ m 4 n
П
m n m
a 5 6
D.44)
Диаграмма а описывает обычное рассеяние двух частиц
из состояний m, n в состояния к, 1. На диаграмме б ча-
частица в состоянии <j>m сталкивается с частицей в состоянии фп
ниже уровня Ферми. В результате частица выбивается из фп
и возникают дырка в фп и частица над поверхностью
Ферми в состоянии <?/. В то же время исходная частица
переходит в состояние фк. И так далее.
Обратите внимание диаграммы D 44) в точности соответствуют опре- I
деленным членам взаимодействия в гамильтониане D 28) I
9W Исключительно важно уяснить себе последовательность
индексов в матричном элементе V'kimn и их изображение на
диаграмме: к —линия, выходящая из левой вершины; 1 —ли-
—линия, выходящая из правой вершины, ш —линия, входящая
в левую вершину; п —линия, входящая в правую вершину.
Есть простое мнемоническое правило — нужно только за-
запомнить шаг фокстрота, левая налево, правая направо, левая
направо, правая налево'
Взаимодействие V (| г — г'|) сохраняет полный импульс
и спин, так как оно зависит только от модуля разности
| г — г' | и, следовательно, не может изменить положения

88 Глава 4
центра инерции двух сталкивающихся частиц или перебросить
их спины. Таким образом,
k + l = m + n, ak + at = ат + ап. D.45)
Если интерпретировать стрелки на диаграммах D.44) как
указатели направления „течения импульса", то соотноше-
соотношения D.45) показывают, что импульс, „втекающий в точку
взаимодействия", равен импульсу, „вытекающему" из нее.
Удобно включить это в систему обозначений, полагая
m-q n+q
2 m~o, n + q, /n, /г»
D>46)
Запись матричного элемента в виде Vq обосновывается соот-
соотношением G.70). Все это предполагает, что, какой бы сложной
ни была цепь процессов столкновения, импульс в начале
цепи равен импульсу в конце. Это видно, например, на диа-
диаграмме второго порядка
h
D.47)
Рассматриваемая картина аналогична течению тока по цепи
без стоков или источников: ток, входящий в цепь, равен
току, выходящему. Поэтому надо рассматривать только функ-
функции Грина G (k, I, /2 — /i) при к = 1.
Здесь важно отметить, что, хотя при столкновениях и
сохраняется полный импульс, энергия не сохраняется. На-
Например, мы видим, что для нижнего взаимодействия на диа-
диаграмме D.47) энергия на входе (в единицах й2/2т) равна
k2 + l2, в то время как на выходе она составляет (k — qf +
+ (/ + qJ. Здесь, следовательно, мы имеем дело с виртуаль-
виртуальными, а не с реальными процессами рассеяния.
Теперь мы можем построить ряд теории возмущений для
одночастичной функции Грина G+• Для этой цели надо со-
составить сумму всех возможных различных диаграмм, со-
состоящих из последовательности взаимодействий D.43), соеди-
соединенных линиями частиц или дырок так, чтобы частица,
входящая в систему, и частица, выходящая из нее, находились
в состоянии к. Одной из таких последовательностей отвечает

Квазичастнцы в ферми-снстемах 89
диаграмма D.47). Она изображает рассеяние частицы из к
в к —q с одновременным выбиванием частицы из 1 в 1 + q
(т. е. рождение частицы в состоянии l + q и дырки в со-
состоянии 1). В более поздний момент времени V частица
в k —q загоняет частицу, находящуюся в l + q обратно
в дырочное состояние I (вызывая таким образом аннигиляцию
пары частица — дырка), а сама рассеивается в состояние к.
Это есть процесс второго порядка, ибо он связан с двумя
актами взаимодействия.
Могут также иметь место несколько процессов первого
порядка. Хотя они и проще процесса D.47), так как включают
лишь один акт взаимодействия, интерпретировать их физи-
физически значительно труднее. Посмотрим, к каким процессам
первого порядка может привести взаимодействие D.44). По-
Поскольку начальное состояние одной частицы и конечное
состояние другой есть к, закону сохранения полного импульса
удовлетворяют только следующие диаграммы:
\лллл/\л/\ \\ллл/\лл? Nwvww/ V/wvw\/
12 3 4
D.48)
\млллл/ *wwvV \wwwv/ y
5 6 7 8
Такие диаграммы, как
Ч v
WwwV и т. д., D.49)
к'
Ч
не разрешены, так как они содержат частицу и дырку
в одном и том же состоянии I, что невозможно: по опреде-
определению, частицы существуют только выше, а дырки —только
ниже kF. Можно показать, что не появляются также и
диаграммы /, 3, 5 и 8 из D.48).
Чтобы в этом убедиться, достаточно воспользоваться гамильтониа-
гамильтонианом Я] в виде D 28) Слагаемое в Яь соответствующее диаграмме 1,
РаВ"° Vklklatataka, D 50)'
Действуя на состояние с волновой функцией входящей частицы Ф^,
мы в соответствии с правилами D 20) находим
Q- D 51)

90 Глава 4
Аналогичным образом не дают вклада и диаграммы 3, 5 и 8. Заметим,
что член в Я,, соответствующий, например, диаграмме 2, имеет вид
в соответствии с D 20) это дает
[Не следует думать, что на диаграммах 1 — 4 из D.48) „ни-
„ничего не происходит" лишь потому, что частицы и дырки
возникают точно в тех же импульсных состояниях, в кото-
которых они находились до рассеяния. Это было бы справедливо,
только если бы мы имели дело с классическими частицами.
На самом же деле в нашем квантовом случае все-таки что-то
происходит: две частицы входят в систему в состояниях к, 1,
взаимодействуют друг с другом, но вместо того, чтобы рас-
рассеяться в новые состояния, отличные от к, 1, они просто
попадают снова в те же состояния к и 1. То же происхо-
происходило и в квантовом детском бильярде, когда потенциал Vмк.
рассеивал частицу из состояния к опять в состояние к.]
Воспользовавшись диаграммами 2, 4, 6 и 8 из D.48),
изобразим теперь возможные процессы первого порядка. Это
можно сделать только одним способом — соединив выходя-
выходящую и входящую 1-линии (в противном случае с диаграм-
диаграммой оказались бы связанными как частица, так и дырка,
что противоречило бы определению одночастичной функции
Грина или мы должны были бы ввести еще другие линии
взаимодействия и процесс оказался бы более высокого
порядка). Таким образом, мы получаем
wvw/ }
( \\лллл/
t,
D.54)
пузыри
Y|k
D.55)
ОТКРЫТЫЕ УСТРИЦЫ
[Закрытые устрицы уже появлялись в A.47).]
Процессы, изображаемые „пузырями", можно интерпре-
интерпретировать физически следующим образом: частица входит
с импульсом к в момент времени t, выбивает частицу из
состояния 1(|1|<&Д затем немедленно (в тот же момент t)
возвращает эту частицу в состояние 1 и продолжает свобод-

Квазичастицы в фермк-скстемах 91
ное движение в состоянии к. Следовательно, дырка, создан-
созданная в состоянии I, живет только нуль секунд, и никакой
сопровождающей ее частицы просто нет. Конечно, мгновен-
мгновенные процессы вроде этого изобразить невозможно, и картинка
с „пузырем" является чисто схематической. Этот процесс
называется также рассеянием вперед, потому что после рас-
рассеяния частица движется в том же направлении (т. е. в со-
состоянии с тем же импульсом), что и до рассеяния. [Напом-
[Напомним еще раз замечание после формулы D.53): действительно,
что-то „произошло" в этих процессах рассеяния вперед!]
Эти „пузыри" выглядят так странно, что может показаться
неестественным приписывать им физический смысл. Дело
здесь вот в чем. Если в случае классического детского биль-
бильярда каждая диаграмма описывала некоторый реальный фи-
физический процесс, то квантовые диаграммы описывают только
то, что можно было бы назвать квазифизическими процес-
процессами. Это будет еше обсуждаться в следующем параграфе.
А в конце приложения VII мы строго докажем, что „пузырь"
представляет собой вполне законную диаграмму.
Процессы, описываемые „открытыми устрицами", не-
несколько похожи на те, которые изображаются „пузырями".
Есть, однако, и разница. Она состоит в том, что здесь происхо-
происходит быстрая замена действующих лиц: в момент времени t
влетающая частица одновременно а) соударяется с частицей
в состоянии 1, б) создает на мгновение дырку в 1 и в) ме-
меняется местами с частицей из I. Диаграммы D.55) часто
называют обменными диаграммами первого порядка, а о са-
самих этих процессах говорят как об обменном рассеянии.
Мгновенные дырочные линии в пузырях и в открытых устри-
устрицах называются нераспространяющимися.
Отметим, что ситуация, показанная на диаграммах D.54)
и D.55), носит общий характер. Иными словами, каждый
раз, когда на диаграмме появляется взаимодействие вида
D.43), существует и другая возможная диаграмма, в кото-
которой импульсы двух выходящих (или входящих) частиц ме-
меняются местами. Обычно это изображают так:
Например, диаграмма 5 из D.63) —обменная по отношению
к диаграмме 4.
Посмотрим теперь, как вычисляются вклады от этих
диаграмм. Рассмотрим сначала пузыри. С помощью словаря

92
Глава 4
табл. 6 и
t
t
2
к
\
равенства
Kk
X [/Go"
D.
i
О,
43)
+ ОО
i
t —
находим
/)]x[/Go+(k, h
)]X[
D.56)
Здесь, как и в выражении D.36), мы проинтегрировали по
„промежуточным" временам t и просуммировали по „проме-
„промежуточным" импульсам 1. Дополнительный множитель ( —1)
спереди появляется из-за того, что диаграмма содержит
одну „фермионную петлю", именно О- [Фермионной петлей
называется любая совокупность сплошных линий на диа-
диаграмме, по которой можно, двигаясь в направлении стрелки,
вернуться в исходную точку, не отрывая карандаша от бу-
бумаги. Например, линии I, 1 + q на диаграммах D.47) обра-
образуют фермионную петлю.] Это один из тех назойливых
„фазовых множителей", которые появляются при строгом
математическом построении теории (см. конец приложе-
приложения VII). Еще один множитель (— 1) возникает из-за того,
что линии функции Грина в пузыре соответствует величина
/Go" (I, t-t) = iX ie~ietx0 = - 1. D.57)
В выражении D.56) можно перейти к фурье-трансформан-
там в точности так же, как и в случае детского бильярда
B.23). Это дает
(- 1). D.58)
Множитель (—1) после Vkiu возникает в силу формулы D.57)
и соответствует нераспространяющейся пузырьковой линии
как в (к, со)-, так и в (к, /)- пространстве. Обратите внимание:
мы не можем получить выражение D.58), просто воспользо-
воспользовавшись словарем табл. 6 для (k, со)-пространства! Это по-
потому, что пузыри (и открытые устрицы) представляют собой
особые случаи.
Подобным же образом для перевернутого пузыря мы
имеем
1
( \ллллл
(- l)[/Go+(k, со)]2 ? (--L)viklk{- 1). D.59)

Квазичастицы в ферми-системах 93
Но, как видно из формулы D.42), ]/ыы = Уши, следовательно,
обе такие диаграммы эквивалентны. Этот вывод имеет до-
довольно общий характер и мы можем сформулировать сле-
следующее правило:
Если мы образуем новую диаграмму иэ данной путем поворота
одной или более ее линий взаимодействия на 180°, тоновая диа-
диаграмма будет тождественна исходной. Поэтому все повернутые
диаграммы можно опустить, одновременно умножая правую
часть D.43) на 2.
Так, например, из диаграмм
D.60)
¦\л7 хК/\
D.61)
надо сохранить только первую.
Подобно D.59), для открытой устрицы мы получаем
D'62)
Kkp
Множитель 2, рекомендуемый правилом D.60), здесь уже
учтен.
Энергетический параметр w у линии функции Грина, вы-
выходящий из вершины на диаграммах D.59) и D.62), такой
же, как и у входящей. Этот частный случай иллюстрирует
общее правило сохранения энергетического параметра. То
же самое мы видели и в модели детского бильярда B.23)
и B.25). Это есть просто следствие того факта, что гамиль-
гамильтониан не зависит от времени, и потому функция Грина
зависит лишь от разности времен. В результате появляются
б-функции 2яб(со/ —со), как в формуле B.23). Сохранение
энергетического параметра можно учесть в обозначениях
диаграмм в (к, оо)-пространстве
k-q
to - ?
к, ш
D.62a)

94 Глава 4
Все импульсы и энергетические параметры, кроме входя-
входящих и выходящих, называются „промежуточными". Так, на
диаграмме D.62 а) промежуточными являются импульсы q и 1
и энергетические параметры р и е. Заметим, что каждой вол-
волнистой линии удобно приписать энергетический параметр,
хотя само взаимодействие и не зависит от со.
Не путайте энергетический параметр линии с энергией частицыХ
Например, на линии к, со энергетический параметр есть со,
в то же время как энергия частицы ek = k2/2m. Кроме того,
энергетический параметр сохраняется, а энергия данной ча-
частицы — нет.
Теперь мы можем собрать воедино всю информацию из
табл. 6, соотношений D.43), D.57) и правила D.60) и соста-
составить полный словарь для системы многих ферми-частиц
с взаимодействием. Этот словарь приведен в табл. 7. Теперь
полный ряд для G+ есть просто сумма всех возможных диа-
диаграмм, таких, как D.47), 4.54) и т. д. В гл. 9 будет пока-
показан систематический способ перебора всех возможностей;
здесь же мы только изобразим несколько характерных диа-
диаграмм [для простоты в (к, (о)-пространстве]:
к,
к.ш
+
ЧЛЛЛЛЛ
лл/wv
1
-V-O
ЧЛЛЛЛ/Ww
лллл! т
ллллл/v
(ЛМЛЛЛМ.
fWWWW
УЛЛЛЛЛ
VV/V\A
VWWWVV
D.63)

Диаграммный словарь для многофермионной системы с взаимодействием
в отсутствие внешнего поля (метод Голдстоуна)
Таблица 7 -4
(к, ^-пространство
(к, ©(-пространство
Слово
Диаграмма
Слово
Диаграмма
г'С* (к, t2 - ti) [см. C.2), D.29)]
к#'2 к1"'
iG± (к, ш)
t,(o
«G
«Go
o+ (k, t2 -
(k, t2-,
-0-
ч)
В, ,е '
ts—ti
».(..-
к
'l
i:
/Go+ (k,
iGo" (k>
m"! -
0)) =
Ш — I
Ш —
i
ik + /6
i
Bk-ib
Ik
Нераспространяющаяся линия
Нераспространяющаяся линия
° V 2 ^ 1 0, | к | > kp 4"^
или
, \k\<kf
iG0 (k) =
I 0, I к I > kp
к
О или
Множитель (— 1)
Каждая
фермион-
ная петля
Пример
Множитель — 1
Каждая
фермион-
ная петля
Пример
— iVklmn или ~ iVq [см. D.42), C4.46)] ;
а
— iVklmn или ~ qV
m
у
f
dt
Все промежуточные
к, t
i f
l' J
dw
Все промежуточные
к, to

96 Глава 4
Такие диаграммы часто называют собственно-энергетическими,
так как они описывают взаимодействие частицы с много-
многочастичной средой, которая в свою очередь обратно воздей-
воздействует на частицу, изменяя ее энергию [см. замечание после
соотношения B.5)]. Следует отметить, что многие авторы
изображают эти диаграммы в лежачем положении
1
_г
Диаграммы можно интерпретировать физически еще и
с другой точки зрения. Посмотрим на диаграммы в (к, /)-про-
странстве в определенный момент времени t0
D.64)
В момент t0 в системе, кроме „голой" частицы, существуют
еще две „виртуальные" частицы плюс одна дырка, возникшие
в процессе второго порядка г, две частицы и дырка от сле-
следующего процесса второго порядка д и т. д., частица плюс
три пары частица — дырка, возникшие в процессе восьмого
порядка, изображаемом „пуделем" (диаграмма е), — типичном
процессе высшего порядка. Иными словами, на диаграммах
показаны все частицы и дырки, выбиваемые „голой" части-
частицей, пока она продирается сквозь сферу Ферми. Поскольку
(как будет доказано в гл. 11) функция Грина D.64) описы-
описывает квазичастицы, диаграммы выявляют состав облака из
частиц и дырок, окружающего „голую" частицу и превра-
превращающего ее в квазичастицу.
Соотношение D.63) с помощью табл. 7 можно записать
на языке функций в виде
G+(k, «) =
со
J 2 Vkpkp(-l)
Go+(k,a)J 2 Vkmmk(~l)+
m<kf
D.65)

Квазичастицы в ферми-системах 97
§ 6. „Квазифизическая" природа диаграмм Фейнмана
В случае классического детского бильярда каждая инди-
индивидуальная диаграмма в ряду теории возмущений для функ-
функции Грина описывала реальный физический процесс. Исполь-
Используя „физическую интуицию", основанную на аналогии с клас-
классическим случаем, мы построили диаграммное разложение
C.32) для квантовой функции Грина в одночастичной системе
и D.34) и D.63) — в системах многих частиц без взаимодей-
взаимодействия и с взаимодействием. Наш интуитивный метод факти-
фактически очень похож на тот, которым пользовался Фейнман,
впервые вводя диаграммы в квантовую электродинамику [18].
Однако к настоящему времени читатель уже несомненно
убедился, что диаграммы Фейнмана описывают процессы,
значительно менее „реальные", нежели те, что соответствуют
диаграммам в случае классического детского бильярда. На-
Например, рассматривая одну частицу во внешнем поле, трудно
было себе представить, каким образом частица могла бы
рассеяться потенциалом несколько раз, ведь она все время
находилась под влиянием потенциала! Далее в случае системы
невзаимодействующих фермионов появлялись диаграммы,
в которых игнорировался принцип запрета Паули. В системе
с взаимодействием мы встретились с простыми пузырями
и с устрицами, которые на первый взгляд вообще не допу-
допускали никакой физической интерпретации с позиции „здра-
„здравого смысла". Наконец, мы обнаружили, что диаграммы
более высокого порядка описывают скорее „виртуальные",
чем реальные процессы.
Тем не менее положение не так уже плохо, как могло бы
показаться на первый взгляд. Дело в том, что нефизическими
свойствами обладают только индивидуальные диаграммы,
а не их сумма как целое. Действительно, полная функция
Грина G+ описывает настоящий физический эксперимент,
например упругое рассеяние одного нуклона на ядре, нахо-
находящемся в основном состоянии [64]. Это означает, что нефи-
знческие аспекты возникают как следствие определенного
способа разложения функции Грина в ряд теории возмуще-
возмущений. Аналогичная ситуация возникает и при разложении
зависящего от времени периодического электрического сигнала
Е (t) в ряд Фурье
?(*)= S Aneimt>T.
Сам сигнал — действительная величина, но все его компо-
компоненты комплексные и, следовательно, „нефизические".
7 Р. Маттук

98 Глава 4
Из-за нефизических свойств диаграмм Фейнмана многие
авторы вовсе не дают им никакой физической интерпретации,
а просто рассматривают их как мнемонический аппарат, поз-
позволяющий написать любой член ряда теории возмущений.
Однако диаграммы так образно говорят „о чем-то физиче-
физическом", что кажется несколько несправедливым отказываться
от какой-бы то ни было физической их интерпретации. Как
отмечается в книге [32], обратившись к истории физики, мы
найдем только один мнемонический аппарат —„силовые линии"
Фарадея, — который по своей интуитивной силе мог бы срав-
сравниться с фейнмановскими диаграммами. Поэтому мы будем
придерживаться компромиссной линии: „будем говорить"
о диаграммах так, как если бы они были физическими, помня
при этом, что на самом деле они только кажутся таковыми,
а фактически являются квазифизическими.
Так как диаграммы для квантовой функции Грина опи-
описывают только квазифизические процессы, в то время как
диаграммы классического детского бильярда описывают про-
процессы настоящие, остается еще один важный вопрос: как
можно оправдать построение квантовых разложений по ана-
аналогии с классическими? Очевидно, единственный удовлетво-
удовлетворительный ответ на поставленный вопрос —вывод диаграмм-
диаграммного разложения непосредственно из уравнения Шредингера.
Для одночастичного случая это проделано в конце гл. 3.
Такое обоснование можно дать и в случае системы многих
тел, но, к сожалению, путь так долог и проходит по такому
лабиринту, что средний неспециалист скорее всего совер-
совершенно в нем заблудится. Именно по этой причине мы и
предпочитаем в основном тексте пользоваться интуитивным
подходом, а строгий вывод привести в приложениях. Однако
для тех, кому очень уж не по себе от интуитивных аргу-
аргументов, мы предлагаем следующую альтернативу:
ВАЖНО!
Те читатели, которые хотели бы, прежде чем двигаться
дальше, посмотреть строгий вывод многочастичных диаграмм,
должны оставить прямой путь через книгу и пройти по сле-
следующему маршруту:
§ 6 гл. 4-* гл. 7 (вторичное квантование) -*¦§ 1 и 2 гл. 9
(математическое определение функции Грина)—*¦ приложения
II — VII (вывод диаграммI)-»! 7 гл. 4 и дальше.
Остальные читатели могут переходить прямо к § 7.
') Следует опустить приложение III и все, что относится к „вакуум-
„вакуумной амплитуде" или к „конечной температуре".

Квазичастицы в ферми-системах
§ 7. Квазичастицы в приближениях Хартри и Хартри — Фока
Обратимся к самым простым из всех типов частичного
суммирования — к приближениям Хартри и Хартри — Фока.
Представим себе гипотетическую систему без внешнего по-
потенциала, но с взаимодействием между частицами, которое
проявляется главным образом в процессах рассеяния вперед
(тогда обе частицы после взаимодействия имеют те же им-
импульсы, что и до него). Найдем для этого случая закон дис-
дисперсии элементарных возбуждений (квазичастиц). Расчет будет
сводиться к приближенному вычислению функции Грина
путем отбора в D.63) наиболее важной для данной системы
совокупности диаграмм и последующего суммирования всех
таких диаграмм вплоть до бесконечного порядка.
Запишем сначала матричные элементы энергии взаимо-
взаимодействия Vkimn, фигурирующие в формулах D.43) и D.44).
Главную роль играет член, ответственный за сильное рас-
рассеяние вперед; поэтому
Vkimn = bmkbnl Vkikf + Wumn (™ Ф k, П ф 1). D.66)
Большая Малая
величина величина
Таким образом, среди диаграмм D.48) наиболее важными
являются диаграммы 1—4, описывающие рассеяние вперед.
Соответственно и в сумме D.63) будут доминировать диа-
диаграммы, в которых каждое взаимодействие относится к этому
типу. Попробовав несколько вариантов, мы убедимся, что
единственные диаграммы такого типа — это как раз диа-
диаграммы, содержащие только пузыри. Следовательно, функ-
функцию Грина можно аппроксимировать частичной суммой по
всем повторяющимся пузырям:
к
1
X 1 + 1 у лл/ф + 1 X
1 - | X
- (л~О)
D.67)

100 Глава 4
Подставляя сюда функции Грина из табл. 7, получаем
Ш+ (к, со) = —] , D.68)
[iG+ (к, 0)] - (- 1) 2 (-Миш) (-1)
Kkp
или
G+ (к, со) - i . D.69)
Kkp
Сравнивая это выражение с формулой C.16), видим, что мы
имеем здесь дело с долгоживущими „многочастичными"
квазичастицами; их закон дисперсии и время жизни даются
равенствами
в* = Ч + 2 Vkikt, Ч = j = оо. D.70)
Величина 2 Уш/ есть „собственная энергия" квазичастицы
в том смысле, как об этом говорилось после соотношения
B.5).
Результат D.70) имеет простой физический смысл. Прежде
всего заметим, что у диаграммного ряда D.67) в точности
такой же вид, как и у ряда C.33) для одной частицы, дви-
движущейся во внешнем поле, причем величина
.л/wvO =(-0 2 (-i)Vkiki{-\) D.71)
Kkp У '
играет ту же роль, что и
^~iVMkk- D-72)
Таким образом, выражение D.71) можно интерпретировать
как вероятность перехода фь~*Фк ПРИ рассеянии на „эффек-
„эффективном внешнем потенциале" оэфф. Этот потенциал легко
найти, расписав подробнее выражение D.71) с помощью D.42):
^kljfl() % JlMOH. D.73)
Kkp (Kkp J
Сравнение с D.33) показывает, что величина в фигурных
скобках и равна как раз иэфф. Так как |^>/(г'I2 есть плот-

Квази*аетицы в ферми-системах 101
ность вероятности обнаружить в точке г' частицу, находя-
находящуюся в состоянии i>h то уэфф представляет собой, очевидно,
средний потенциал, создаваемый в точке г всеми частицами
сферы Ферми. (В данном случае, поскольку функции ф[ суть
плоские волны, потенциал оэфф не зависит от г.)
Напомним, что для квантового детского бильярда энергию
квазичастиц C.38) можно найти как с помощью диаграм-
диаграммного метода, так и непосредственно из уравнения Шредин-
гера с гамильтонианом C.20). В настоящем случае легко
написать уравнение Шредингера с собственными значениями
энергии e'k, просто считая внешний потенциал равным »Эфф:
С-) = в'Л«. D-74)
Легко проверить, что это правильно: умножим обе части
уравнения на ^(г) и проинтегрируем — в результате получим
соотношение D.70).
Выводя с помощью интуитивных соображений уравнение
D.74), мы считали функции fk заданными (плоские волны).
Однако если их рассматривать как собственные функции,
подлежащие определению, то уравнение D.74) превратится
в не что иное, как знаменитое уравнение Хартри. Напомним,
что в силу D.73) потециал »эфф зависит от всех fk. Это озна-
означает, что последние функции надо вычислять самосогласо-
самосогласованно, т. е. подставить выбранные <j>k в оэфф, найти из урав-
уравнения D.74) новые функции fk, подставить их в оЭфф, опять
вычислить из D.74) <$>к и т. д., пока функции фк не перестанут
существенно меняться. В данном случае в отсутствие внеш-
внешнего поля мы немедленно находим, что правильные функ-
функции фк суть плоские волны. Однако в системе с внешним
потенциалом, например в атоме, должна проводиться полная
процедура самосогласования. Дальнейшую дискуссию на эту
тему см. в § 1 гл. 11.
Осталось сделать лишь маленький детский шажок, и мы
получим квазичастицы в приближении Хартри —Фока (HF).
Пусть в рассматриваемой гипотетической системе обменное
рассеяние так же важно, как и рассеяние вперед, т. е.
Vklmn = ^mk^nlVklkl + bmfinkVktik + Малые члены. D.75)
Тогда в приближенное выражение для функции Грина надо
включить и открытые устрицы. Частичная сумма вычисляется

102 Глава 4
при этом так же, как и в случае C.39):
43
t
II ^ I
III I
1-
Перевод с помощью словаря табл. 7 дает
G+(k, (d) = ^
Выражение D.77) имеет квазичастичный вид, причем
D.76)
D.77)
D.78)
Это есть энергия и время жизни квазичастицы в приближе-
приближении Хартри — Фока. Величина Vlkki представляет собой
хорошо известный „обменный член". Как и в случае прибли-
приближения Хартри, мы можем теперь построить уравнение Шре-
дингера, содержащее эффективный внешний „обменный" по-
потенциал. Мы получим не что иное, как уравнение Хартри —
Фока. [Отметим, что в нашем случае, когда внешнее реаль-
реальное поле отсутствует, плоские волны представляют собой
самосогласованные решения уравнения Хартри — Фока, так же
как и в случае уравнения Хартри D.74).] Следует упомянуть,
что вследствие грубости приближения Хартри — Фока время
жизни квазичастиц оказывается бесконечным. Более точные
аппроксимации, учитывающие диаграммы типа D.47), при-
приводят к конечным временам жизни.
§ 5. Квазичастицы Хартри — Фока в ядерной материи
В реальных физических системах взаимодействие оказы-
оказывается значительно более сложным, чем в гипотетической
модели предыдущего параграфа, когда учитывается только

Квазичастицы в ферми-системах 103
„рассеяние вперед и обмен". Тем не менее аппроксимацию
Хартри — Фока можно использовать как очень грубое „пер-
„первое приближение" для функции Грина. Сейчас мы покажем
это на примере ядерной материи.
Ядерная материя — это не то, из чего состоит ядро. Это
есть нечто гипотетическое, состряпанное следующим образом
(подробности см. в книге [64])')¦ На основе „капельной"
модели ядра Вайцзекер построил известную „полуэмпириче-
„полуэмпирическую массовую формулу" для энергии связи ядра
E{N,Z)=- л
Ядерн ые Поправка
силы за счет поверхности
2'l ±a4(N-ZJ/A. D.79)
Кулоновские
силы Поправка за счет
принципа Паули
Здесь N и Z — числа нейтронов и протонов соответственно;
А — N + Z; а, — константы, определяемые путем подгонки ве-
величины D.79) к известным значениям массы ядер. В первом
члене параметр — ах есть энергия связи одного нуклона,
расположенного достаточно глубоко внутри ядра (т. е. не
вблизи поверхности). Она обусловлена ядерными силами
притяжения и оказывается порядка — 15,9 Мэв. Второй, тре-
третий и четвертый члены в формуле D.79) —это поправки, учи-
учитывающие соответственно наличие поверхности ядра, куло-
кулоновские силы между протонами и принцип Паули.
Если бы не было кулоновских сил, если бы число нукло-
нуклонов было сголь велико, что ядро имело бы размеры, скажем,
кокосового ореха и, следовательно, поверхностным членом
можно было бы пренебречь по сравнению с первым слагае-
слагаемым в D.79), и если бы числа протонов и нейтронов были
одинаковыми (yV = Z), то мы имели бы дело с простой систе-
системой, энергия связи которой пропорциональна числу нукло-
нуклонов А. Такая гипотетическая система, состоящая из огромного
числа протонов и равного ему числа нейтронов, взаимодей-
взаимодействующих с чисто ядерными силами (без кулоновских), и
называется ядерной материей. Эта система представляет
большой интерес, потому что расчет энергии связи ядра
с использованием некоторой модели ядерных сил дает, оче-
очевидно, параметр — аи и результат можно сравнить с экспе-
экспериментальным значением — 15,9 Мэв.
') См также [69]. — Прим ред.

104 Глава 4
Допустим, что потенциальная энергия взаимодействия
нуклонов имеет вид простого потенциала Юкавы
-Ir-r'l/a
V—V*S[7=?W D.80)
(Ясно, что такое чистое притяжение есть научная фантастика,
ибо оно привело бы к сжатию ядерной материи в точку.
Последнего можно избежать, если, как описано в § 4 гл. 12,
добавить в потенциал „твердую сердцевину".) Величина а
(~10~13сл) называется „радиусом" взаимодействия; экспо-
экспонента становится очень малой при |г — г'|>а.
Энергию квазичастиц в приближении Хартри — Фока можно
вычислить [101 по формулам D.78) и D.80). Заметим, что
плотность точек в k-пространстве есть Q/BnK, где Q — нор-
нормировочный объем (который мы полагаем равным 1 см3).
Переходя от суммирования к интегрированию по правилу
2W
i
получаем
<УУш). D-82)
Матричный элемент Vkimn вычисляется с помощью соотно-
соотношений C.5), D.42), D.45) и D.80):
И„—|г—г' 1/а
ri3rdzrfPl (k-m)-(r-r') ± ft
агате \r-r'\/a °k+l-
,m+n 4nVoa3(>k+l,m+n ,. oo\
1 + (к - mJ a2 i + (k2 + m2 - 2km cos 9) a2 '
где 0 —угол между кит. Следовательно,
VlkM=- 1+{12
Мы можем вычислить энергию е^ для случая малых к, раз-
разлагая выражение D.84) в ряд по степеням к вблизи точки
к = 0 и подставляя результат в D.82). Член, линейный по к,
исчезает, и в результате получаем
«i--? + V@' + ywft2-Vro + -j Ъ Г*2- D-85)
4l+2mVB)J

Квазичастицы в ферми-системах 105
Здесь кр
D-86)
о
Очевидно, мы получили квазичастицы с эффективной массой
т*= 1+2^B)- D-87)
Соотношение D.87) справедливо также для случая \k\^kP,
когда величина а достаточно мала, так что kFa -С 1 (это не
слишком хорошее допущение, если речь идет о настоящей
ядерной материи!). Тогда выражение D.87) имеет простой вид
lim т= j^ . D.88)
kFa « 1 1 _ _± mvQa5kp
§ 9. Квазичастицы в электронном газе и приближение
случайных фаз
Реальный металл состоит из примерно 1023 см~3 положи-
положительно заряженных ионов, расположенных в виде правиль-
правильной решетки, и примерно 1023 см~ъ электронов, движущихся
более или менее свободно вокруг этих ионов. Ионы совер-
совершают колебания около своих положений равновесия („коле-
(„колебания решетки"). Такая сложная система ставит перед спе-
специалистом по задаче многих тел довольно скверные проблемы.
Чтобы облегчить себе существование, этот специалист часто
постулирует утопический металл, в котором ионы непод-
неподвижны, а положительный заряд их размазан таким образом,
что образует постоянный, однородный положительный фон,
на котором и движутся электроны. Предполагается, что
взаимодействие электронов чисто кулоновское. Эта воздуш-
воздушная мечта теоретика называется „электронным газом".
Рассмотрим сначала электронный газ в приближении
Хартри — Фока. Кулоновский потенциал и его матричный
элемент [см. G.71)] даются выражениями
Vir, r') = ir^> D.89а)

106 Глава 4
Здесь, простоты ради, опущен спин и принято Q = 1 ел3.
Отметим, что выражение D.896) [или D.89а)] имеет вид D.83)
[или D.80)] при а->оо. Иначе говоря, кулоновский потен-
потенциал имеет вид потенциала Юкавы с „бесконечным радиу-
радиусом" взаимодействия. С другой стороны, часто говорят, что
потенциал Юкавы — это экранированный кулоновский потен-
потенциал, а множитель ехр(— г/а) в D.80) именуют „экранирую-
„экранирующим фактором". Заметим также, что матричный элемент
D.89) становится бесконечным при k = m, в то время как
выражение D.83) при этом остается конечным.
Энергию квазичастиц можно вычислить точно так же,
как и в случае ядерной материи. Небольшое упрощение
возникает из-за того, что пузырьковые диаграммы в ряду
D.76) компенсируются фоном положительного заряда (см.
§ 4 гл. 10). Таким образом,
HF (ЭЛЕКТРОННЫЙ ГАЗ)
-i D.90)
Выражение для энергии квазичастиц при этом принимает
вид [55]
2т ' 2я I ' kk
¦ -k
2
In
F
k-
k-k
p
D.91)
Мы интересуемся главным образом квазичастицами вблизи
k = kF, так как именно они в основном принимают участие
в физических процессах. При этом эффективную массу можно
найти, разлагая энергию ъ'к в ряд по разности (k — kpy.
здесь k = | к |.
Для системы невзаимодействующих частиц
k\
Сравнивая формулы D.92) и D.93), мы можем определить
эффективную массу равенством
кр

Квазичастицы в ферми-системах 107
Подставляя сюда функцию г'к из D.91), получаем
(электронный газ)
= "¦ D.95)
Этот результат, конечно, абсурден. Из него следует, напри-
например, что для прохождения электронов сквозь металл не
надо накладывать никакого электрического напряжения,
т. е- что все металлы — сверхпроводники!
Можно указать причину, по которой кулоновское взаимо-
взаимодействие в отличие от потенциала Юкавы приводит к нуле-
нулевой эффективной массе на поверхности Ферми. Она состоит
в том, что, как уже отмечалось, кулоновский потенциал об-
обращается в бесконечность при нулевой передаче импульса.
Приближение Хартри — Фока непригодно для рассмотрения
таких сингулярных взаимодействий.
Физически это связано с тем, что в данном приближении
влияние всех других частиц на пробную частицу сводится
к не зависящему от времени среднему полю. Но мы знаем
из § 1 гл. 2, что квазичастица есть „голая" частица
плюс облако, которое в некотором смысле „следует" за ней.
Приближение Хартри — Фока дает нам, таким образом,
то, что могло бы быть названо „статической" частью
этого облака, но не позволяет ухватить его „движущуюся"
часть.
Обычно об этом обстоятельстве говорят, как о пренебре-
пренебрежении „корреляциями". Это означает, что в приближении
Хартри — Фока не учитывается движение других частиц, ко-
которое „скоррелировано" с („следует" за) движением „голой"
частицы. Как уже упоминалось в § 1 гл. 2, можно ожидать,
что эти корреляции приводят к „экранированию" взаимо-
взаимодействия между частицами, делая его значительно более
слабым. Диаграммный метод, который мы сейчас (очень
кратко) обсудим, позволяет рассчитать этот эффект экрани-
экранирования.
Каким образом можно учесть корреляции с помощью
диаграмм? Очевидно, корреляционные эффекты должны со-
содержаться в тех диаграммах, которые мы опустили в при-
приближении Хартри — Фока. Конечно, все отброшенные диа-
диаграммы учесть невозможно, но мы можем по крайней мере
просуммировать наиболее важные из них.
Оказывается (это будет показано в § 4 гл. 10), что в пределе
электронного газа высокой п/от-ости наиболее существенны
диаграммы, появляющиеся в следующей аппроксимаьии

108 Глава 4
для функции Грина:
^лллл
D.96)
Эти диаграммы называются „кольцевыми", так как образо-
образованы из повторяющихся частей типа
Ч .о
q,O)
D.97)
все они имеют кольцеобразную структуру. Аппроксимация
D.96) называется „приближением случайных фаз" или RPA.
В гл. 10 будет показано, что ряд D.96) можно просум-
просуммировать и получить следующий результат:
1
q, (о
D.98)
Здесь
q, а> _
.'WWW
1 -
D.99)

Квазичастицы в ферми-системах 109
Переводя последнее выражение на язык функций и рассма-
рассматривая предел при ю = 0 и малых q, мы получаем
малые q, ш = 0
= - гУэфф (q) = - y^j- , Л - постоянная. D.100)
Чтобы понять физический смысл соотношения D.98), срав-
сравним его с результатом приближения Хартри — Фока D.90).
Видно, что эти выражения одинаковы с точностью до замены
нд йялял D.101)
Иначе говоря,
У(Ч) = ~^2~ заменяется на УЭфф (q) = q2 +д/' D.102)
Величина F^(q) называется эффективной энергией взаимо-
взаимодействия (в пределе при со = 0 и малых q в приближении
RPA). Она определяется выражением того же вида, что и
матричный элемент D.83), и, следовательно, должна соот-
соответствовать эффективной энергии взаимодействия, имеющей
в r-пространстве вид простого потенциала Юкавы D.80):
^(r) = 4ne2^—. D.103)
В противоположность „дальнодействующему" кулоновскому
потенциалу, который убывает с расстоянием как 1/г, этот
потенциал при г ^> к~ убывает экспоненциально и, следова-
следовательно, имеет малый радиус действия ~ А, см. Его назы-
называют „экранированным" потенциалом.
Именно такого экранированного взаимодействия мы и
ожидали на основании физических аргументов § 1 гл. 2.
Реальный электрон отталкивает от себя другие электроны;
в результате положительный фон оголяется, так что за элек-
электроном эффективно „следует" облако положительного заряда
шириной Я. Это превращает электрон в квазиэлектрон:
положительное облако „экранирует" собственный заряд элек-
электрона, существенно уменьшая таким образом его взаимо-
взаимодействие с другими частицами системы на расстояниях, пре-
превышающих Я.
Поскольку соотношение D.98) имеет формально тот же
вид, что и D.90), энергию квазичастицы легко вычислить,
подставляя в D.82) величину 1/Эфф(к — 1) и считая член

110 Глава 4
с Vkiki равным нулю:
е
1 < kF
D.104)
Эффективная масса вычисляется теперь так же, как и для
потенциала Юкавы. В простом случае больших % (kPl~l < 1 —
условие, которое на самом деле в электронном газе не вы-
выполняется) аналогично D.88) находим эффективную массу
DЛ05)
Очевидно, она конечна. Таким образом, учет эффектов кор-
корреляции (экранирования), описываемых кольцевыми диа-
диаграммами, приводит к физически разумному результату.
(Значение т* в приближении RPA, когда со ф 0 и величина q
не мала, дано в § 4 гл. 10.)
Упражнения
1. В системе свободных частиц создается дырка в одночастичном
состоянии Фь (r) = Q~1/'2e'k"r. Чему равен импульс дырки?
2 Для системы из пяти частиц, показанной на фиг. 6,
а) вычислите выражение с^с^с^с^ | 11111000 ...);
б) запишите функцию | 1101100100 ...) в дырочно-частичных обо-
обозначениях;
в) найдите сумму 2 ekctck I 1111100 ... >.
3. Пусть мы имеем систему невзаимодействующих частиц, к которой
прикладывается внешний возмущающий потенциал, такой, что
матричные элементы Vkm, Vmk, Vkv V lk (m < kp, I > kp k> kp)
велики, а все остальные малы. Найдите О (kt=k, k2 ¦= k, <a)
4 Покажите, чго в системе фермионов, взаимодействующих с сохра-
сохранением импульса, следующие диаграммы не разрешены:
д

Квазичастицы в ферми-системах 111
5. Рассмотрите диаграмму 5 в правой части D.63):
а) поставьте обозначения к линиям, используя закон сохранения
импульса в явном виде;
б) покажите, что процессы рассеяния при каждом взаимодействии
виртуальные.
6. Переведите выражение D.62а) на язык функций. От каких перемен-
переменных оно зависит?
7. Покажите, что
к, ш
ЛЛЛЛЛ.
лл/\л/У
\лллпХ
к, а,
Пусть мы имеем гипотетическую систему, в которой наиболее важны
процессы рассеяния вперед, процессы обменного рассеяния D.58),
D.62) и двойного рассеяния D.62а). Найдите с помощью частичного
суммирования приближенное выражение для функции Грина. Не
пытайтесь вычислять интегралы!

Глава 5
ЭНЕРГИЯ ОСНОВНОГО СОСТОЯНИЯ
И ВАКУУМНАЯ АМПЛИТУДА
§ /. Смысл вакуумной амплитуды
Одна из первых задач теории многих тел, возникающая
перед теоретико-полевой диаграммной техникой, состоит
в вычислении энергии основного состояния Ео системы взаимо-
взаимодействующих фермионов. Эта величина непосредственно свя-
связана с экспериментально измеряемыми характеристиками,
например с энергией связи металла или ядерной материи.
Теоретический расчет ее —нелегкая работа! Все взаимодей-
взаимодействия велики, ухватить их трудно, а наивный подход просто
топит вас в пучине бесконечностей. Так, в случае ядра
взаимодействие с твердой сердцевиной приводит к „равенству"
Vшт.—°° и делает гамильтониан взаимодействия бесконеч-
бесконечным. Задача об электронном газе не лучше: бесконечности
возникают здесь во всех порядках теории возмущений, начи-
начиная со второго.
Диаграммные методы, рассматриваемые в этой главе,
дают нам изящный способ обращения с такими неприятными
объектами, как ядерное и электронное взаимодействия.
В обоих случаях удается произвести частичное суммирова-
суммирование бесконечных рядов бесконечно больших членов и полу-
получить конечный результат! Для этого надо уметь в общем
виде записывать член и-го порядка обычного ряда теории
возмущений для Ео, т. е. ряда
m Ф О
где Wo, Wm — энергии основного и возбужденных состояний
невозмущенного гамильтониана, а Фо и Ф,п — соответствующие
волновые функции. Пользуясь стандартной стационарной
теорией возмущений, выражение для общего члена ряда
получить трудно. Существует, однако, нестационарная
техника, которая дает наглядный рецепт записи искомого

Энергия основного состояния 113
члена п-то порядка, —это метод разложения вакуумной
амплитуды.
Вакуумная амплитуда R(t) определяется следующим обра-
образом. Пусть Фо есть волновая функция основного состояния
невозмущенной системы, определяемая равенством D.12)
(т. е. Фо есть „ферми-вакуум"). Тогда R (t) — амплитуда вероят-
вероятности того, что если в момент t = 0 система находилась
в состоянии Фо и было включено внешнее поле и (или)
взаимодействие между частицами, то в момент t система
опять будет в состоянии Фо. Иначе говоря, R(t) есть ампли-
амплитуда перехода „ферми-вакуум" — „ферми-вакуум".
Следует отметить, что вакуумная амплитуда и функция
Грина — совершенно разные вещи. Функция Грина описывает
динамику одной частицы в одночастичном состоянии <f>k под
влиянием взаимодействия с другими частицами, а вакуумная
амплитуда имеет дело с динамикой всей системы частиц
в многочастичном состоянии Фо под влиянием внутренних
взаимодействий.
Определим вакуумную амплитуду более детально. Пусть
при t — О система находится в состоянии, описываемом функ-
функцией Фо- Если нет никаких взаимодействий, то в момент t
волновая функция будет иметь вид OQe~tW«t, где Wo — энергия
основного состояния. Если теперь при ^ = 0 включается
взаимодействие, то система начинает совершать переходы
из Фо во все возможные iV-частичные состояния. Мы ищем
амплитуду вероятности R(t) того, что по прошествии времени t
система попадет в (претерпевшее временную эволюцию) основ-
основное состояние с волновой функцией Ooe~'Wat. Пусть состояние
системы через время t будет ^ (t). Оно должно получаться
из основного состояния Фо с помощью некоторой операции
f/(O®o. E.2)
которую можно рассматривать как определение „оператора
эволюции во времени" U(t) (см. приложение II). Амплитуда
вероятности R (t) есть просто скалярное произведение величин
'™ и W)
R (t) = (Фое-"Ч ?(*))=/ Ф*ое'щ'и (t) Фо rfr, ... drN ^
= (Ф0\1/ (t) | Фо> eiw"f = Вакуумная амплитуда. E.3)
Вакуумная амплитуда играет важную роль в теории; дело
в том, что, зная ее, мы можем вычислить энергию Ео основ-
основного состояния с помощью теоремы
?о=^о+ lim i~^R(t), E.4)
8 Р, Матт>к

114 Глава 5
где ri — бесконечно малая величина. (Доказательство см.
в приложении III.) Таким образом, если мы можем найти
диаграммное разложение для R(t), то диаграммный ряд
для Ей получается по формуле E.4).
Диаграммное разложение R(t) в ряд теории возмущений
несколько сходно с соответствующим разложением для функ-
функции Грина. Однако оно значительно сложнее, так как, кроме
диаграмм, состоящих только из одной части („связанные
диаграммы"), в него входят и диаграммы, построенные из
двух и более частей („несвязанные диаграммы"). К счастью,
оказывается, что логарифм R в соотношении E.4) как раз
равен сумме только связанных диаграмм. Это знаменитая
теорема о связанных группах. Пользуясь ею в соотноше-
соотношении E.4), мы получаем обычный ряд теории возмущений
Рэлея — Шредингера, равно как и общее правило записи
члена п-го порядка.
В этой главе мы рассмотрим сначала аналог вакуумной
амплитуды в случае классического детского бильярда. Далее
мы покажем, как можно рассчитать с помощью диаграмм
вакуумную амплитуду и энергию основного состояния одной
квантовой частицы в возмущающем внешнем поле. Наконец,
метод будет обобщен на системы многих частиц. Его при-
приложения к электронному rasy и к ядерной материи даны
в гл. 12. Желающие могут перейти к ним сразу после этой
главы.
§ 2. Вакуумная амплитуда детского бильярда
Детский бильярд на фиг. 5, который мы использовали
для иллюстрации расчета одночастичной функции Грина,
может также служить классическим аналогом при описании
вакуумной амплитуды. Перед тем как выстреливают частицу,
она находится в „основном состоянии" или в „вакууме"
в точке О. Ускоряющий механизм выталкивает частицу через
коллиматор, после чего она испытывает ряд взаимодействий
с различными рассеивающими центрами, влетая, в конце
концов, в одну из точек г2, г3, . .., г6 или, может быть,
в исходную точку О. (В дальнейшем положение точки О
будет обозначаться через г0. Векторы гь г2 будут служить
переменными, указывающими начальную и конечную коорди-
координаты частицы, т. е. теперь они уже не фиксированы, как
показано на фиг. 5.)
В данном случае роль классического аналога вакуумной
амплитуды играет вероятность P(r2 = r0, t2=t; rt = г0, tl = 0)

Энергия основного состояния 115
того, что если в момент ti = 0 пробная частица находилась
в своем „основном состоянии" в точке rt = г0, то в момент
времени t2 = t она вернется туда же — в „основное состояние"
в точку г2 = Го- Чтобы сделать задачу попроще, опустим
сначала время в аргументе и рассмотрим просто величину
Р (г2 = г0, Г[ = г0), или, короче, Р (г0, г0); это есть вероятность
того, что частица вылетает из точки rt = г0 и независимо от
времени возвращается в Г2 = го. Величину Р (г0, г0) можно
разбить на сумму вероятностей различных траекторий, по
которым частица может двигаться по полю бильярда и все же
возвращаться в точку О. Первая возможность состоит в том,
что частица вовсе не выталкивается, продолжая лежать
в точке О. Следующая возможность: пружинка срабатывает,
но недостаточно сильно, чтобы вытолкнуть частицу из кол-
коллиматора, так что она опять падает в точку О. Далее,
частица может вылететь из коллиматора, отскочить от хвоста
жирафа снова в коллиматор и скатиться в О и т. д. Пусть
Ри — вероятность того, что пружинка не срабатывает,
Р0(Г/, г,) — вероятность того, что частица выходит из точки г{
и путешествует до г;-, не рассеиваясь ни на одном из живот-
животных, а Р {А) — „член взаимодействия", равный вероятности
того, что если частица подлетает к животному А, то она
рассеивается на нем. Далее, предполагая вероятности неза-
независимыми, мы получаем, как и в случае функций Грина,
+ P(O)PQ(rL,ro)P(L)P0(ro,rL)+ ... +
+ Р(О) Ро(га, г0) Р (G) Po(ra, r0) P (G) Р0(го, го)+.... E.5)
[Заметим, что величина Р(О) есть вероятность рассеяния
с уходом частицы из точки О; она равна как раз 1 — Ри, т. е.
вероятности того, что пружинка срабатывает.] Воспользо-
Воспользовавшись табл. 1, запишем ряд E.5) с помощью диаграмм
Р(г0, го) =
E.6)
Здесь символ @) обозначает рассеяние в точке О. Этот ряд
можно вычислить с помощью частичного суммирования
8*

116 Глава 5
аналогично тому, как делалось в выражениях B.17)— B.19),
но мы не станем себя этим утруждать.
В более общем случае с учетом времени диаграммный
ряд, как следует из табл. 2, принимает вид (здесь мы нару-
нарушили условие, что время возрастает в положительном напра-
направлении оси у\)
(Т)
Го, *) =
E.7)
это эквивалентно соотношению
Р (г0. r0, t) =
t
+ Ро (г0, т0, t) Р (О) +
J dtoP0 (та, т0, ta~O)P(G) Ро (г0, та, t -ta) P@) + .... E.8)
Простая модификация модели со временем позволяет
получить более точный аналог квантовой вакуумной ампли-
амплитуды. Эта модификация состоит в том, что пружинка может
срабатывать произвольное число раз в течение интервала
времени @, t) (а не нуль или один раз при ? = 0, как раньше).
Тогда, если частица вернулась в точку О до момента вре-
времени t, появляется вероятность того, что она снова будет
выстрелена и снова вернется назад, пока время t не истекло.
Если интервал t достаточно велик, то такие процессы могут
повторяться много раз, и их можно изобразить диаграммами
следующего вида:
E.9)

Энергия основного состояния 117
Это так называемые несвязанные диаграммы. С учетом их
ряд для P(r0, r0, t) принимает вид
PiXo, r0, t) = Pa +
+ ... (G
E.10)
Перейдем теперь к квантовомеханическому случаю.
§ 3, Квантовая вакуумная амплитуда для системы,
состоящей из одной частицы
Расчет квантовой вакуумной амплитуды аналогичен только
что рассмотренной классической задаче. Рассмотрим сначала
простейшую ситуацию: пусть ферми-система состоит из одной
частицы во внешнем поле и имеет невырожденные энергети-
энергетические уровни. Примером может служить электрон в поле
одномерного гармонического осциллятора. Пусть невозмущен-
невозмущенный гамильтониан есть
i ~~ ~9^T "I" " v )»
E.11)
его собственные функции и собственные значения обозначим
через фк(г) и &k- Будем нумеровать одночастичные волновые
функции и энергии в порядке возрастания последней: фи
ф2, ..., еь е2, ... . Основной уровень соответствует частице
с волновой функцией ф{; при этом все другие более высокие
состояния не заняты; в формализме чисел заполнения это
означает, что Фо = | 1!; 02) 03> ...). Соответствующая энергия
основного состояния WQ равна, очевидно, как раз е^ Энергия

118 Глава 5
Ферми тоже равна е^ Типичное возбужденное состояние
такой системы —одна частица в состоянии с волновой функ-
функцией фк и ни одной частицы в других состояниях: ФВ03б =
= 10ь 02, ..., Ц, ...). В дырочно-частичных обозначениях
волновая функция основного состояния есть Ф0 = |0), а в ти-
типичном возбужденном состоянии мы имеем дырку с волно-
волновой функцией ф) и частицу с волновой функцией фк. 08036 =
= | li, lfe). Отметим, что в рассматриваемой одночастичной
системе существует лишь одно возможное состояние дырки,
например ф{.
Пусть теперь к гамильтониану Яо добавлено возмуще-
возмущение 1/(г). Вакуумная амплитуда есть амплитуда вероятности
того, что если при ^ = 0 система находится в основном со-
состоянии Фо и на нее действуют нуль или более раз потен-
потенциалом V {г), то в момент времени / она будет находиться
в состоянии Фое~1^«К Аналогично случаю детского бильярда
величина R(t) опять равна сумме амплитуд вероятностей
всех различных путей, по которым система может, выйдя
из состояния Фо и взаимодействуя с потенциалом V (г) нуль,
один или более раз, вновь вернуться в состояние Фо. Как
видно из диаграммы а из E.12), в нулевом порядке вообще
ничего не происходит:
а-нулевой порядок 5- 1-й порядок 6-2-й порядок г-3-й порядок
E.12)
В первом порядке в момент tx потенциал V (г) может под-
поднять частицу из состояния фь создав таким образом дырку,
и немедленно вернуть частицу назад, уничтожив дырку.
Это показано на диаграмме б из E.12) [ср. с диаграммой
D.54)!]. Во втором порядке [диаграмма в из E.12)] потен-
потенциал V (г) может забросить частицу в момент времени tx
в состояние с волновой функцией фк, создав таким образом
одновременно дырку и частицу в фк, а в момент t2 рас-
рассеять частицу назад в фи разрушив дырку и частицу,
и т. д. Процессы третьего порядка показаны на диаграм-

Энергия основного состояния 119
мах г из E.12); в четвертом порядке возможны следующие
процессы:
E.13)
[Обратите внимание, что на двух последних диаграммах
E.13) имеются по две линии частиц и по две линии дырок
между моментами времени t2 и tz, хотя наша одночастичная
система может содержать не больше одной частицы и
одной дырки. Легко показать, однако, что эти диаграммы
в точности компенсируются несвязанными диаграммами типа
диаграмм E.17). Например, множитель (—1), возникающий
из-за дополнительной фермионной петли, приводит к ком-
компенсации последней диаграммы в E.13) диаграммой четвер-
четвертого порядка в E.17). В сказанном легко убедиться, рас-
расписав диаграммы в соответствии с табл. 6. Тем не менее
такие диаграммы необходимо учитывать, хотя в них и нару-
нарушается принцип сохранения числа частиц. Это нужно для
доказательства теоремы о связанных группах, изложенной
в следующем параграфе. То же относится и к диаграммам,
в которых нарушается принцип Паули.]
Процессы E.12) и E 13) удобно описывать в дырочно-частичиом фор-
формализме, пользуясь гамильтонианом //, из D 26). Так, в первом порядке
Н, действует в момент U V\\b\b\ I 0) = Vn | 0). E.14)
Во втором порядке оператор Н\ действует в момент tu создавая и*
ферми-вакуума ч а с т и ц а — дырка
\№ E 15)
В момент /2 оператор Hi действует снова, уничтожая пару и возвращая
систему в состояние вакуума:
| H> E.16)

120 Глава S
Диаграммы E.12) и E.13) часто называют диаграммами
поляризации вакуума, так как они изображают все виртуаль-
виртуальные процессы, происходящие в ферми-вакууме в результате
действия возмущающего потенциала [см. абзац после соот-
соотношения D.47)].
Помимо процессов E.12) и E.13), надо учитывать и про-
процессы более высокого порядка, состоящие из нескольких
законченных процессов низшего порядка, например
"О
2-й порядок
4-й порядок
5-й порядок
E.17)
Эти разъединенные, или „несвязанные", диаграммы анало-
аналогичны классическим диаграммам E.9).
Чтобы изобразить все диаграммы п-то порядка, нарисуем
вертикально п точек, обозначив их буквами tlt t2, ..., tn,
и соединим их всеми возможными „топологически различ-
различными" (см. ниже) способами так, чтобы в каждую точку
входила и из каждой точки выходила одна линия. Напри-
Например, в третьем порядке мы получаем следующие шесть диа-
диаграмм:
'.О
'¦О
'¦О
о
о
E.18)
Две диаграммы топологически эквивалентны, если одну из
них можно получить из другой путем деформации без изме-
изменения порядка точек по вертикали; в противном случае диа-
диаграммы различны. Проиллюстрируем это на примере диа-

Энергия основного состояния 121
грамм четвертого порядка:
а, б или в. E.19)
(Направления стрелок на диаграммах очень важны! Воз-
Возможные деформации легко представить себе, вообразив, что
вместо точек и линий мы имеем пуговицы, соединенные
резиновыми шнурками с прикрепленными к ним головками
стрелок. Такие диаграммы можно деформировать во всех
трех пространственных измерениях.)
В конце концов, как и в случае детского бильярда, диа-
диаграммное разложение для вакуумной амплитуды оказывается
в точности равным сумме всех диаграмм типа приведенных
выше:
#=1 +
+•••+ + \ / + * ) +
E.20)
Здесь символ 1 означает, что в невозмущенном случаз
амплитуда вероятности найти систему в основном состоянии
равна 1. Это есть аналог величины Ри в классическом слу-
случае. Сравним ряд E.20) с соответствующим классическим

122 Глава 5
выражением E 10). С помощью табл. 6 можно перевести
эти диаграммы на язык функций
о
t t
VlpVpl J dtl J dt2 Go+ (p, h-tx) Go (I,ti-t2)+...
1 0 0 '2>tl
t t
uVn \dtA dt2Go{\,tl-U)Go{\,t2-tA+ .... E.21)
n n t2>ti
о о
Мы просуммировали здесь по всем индексам состояний и
проинтегрировали по всем промежуточным временам от 0
до t, так как каждая диаграмма фактически изображает
бесконечно большое число диаграмм с различными индексами
состояний и с различными временами tlt t% и т. д.
§ 4. Теорема о связанных группах для системы,
состоящей из одной частицы
Рассмотрев внимательно многоголовое чудовище E.20),
мы обнаружили два типа голов: связанные диаграммы,
каждая из которых представляет собой одно единое целое,
и „несвязанные", состоящие из двух или более раздельных,
но внутренне связанных частей. Обсудим теперь знаменитую
теорему, которая позволит нам совершить подвиг Геракла —
отрубить все несвязанные головы. Это так называемая тео-
теорема „о связанных группах". Она гласит, что
In R (t) = 2 всех связаниых диаграмм =
E.22)
Доказательство основывается на том факте, что, грубо
говоря, вклад от несвязанной диаграммы пропорционален
произведению вкладов от различных ее частей. Рассмотрим,

Энергия основного состояния 123
например, член в выражении E.21), пропорциональный КцКц:
s-\ t t t t
h X -
nVu J dU | dh Go Go = VnGo* J d'i J dt* ;
0 0 <2><i 0 0 2 '
= ViiGo J dt\ j dt2X-j = (где ^ > или < ^i)
f -nlxlV (dtG-
о о
(мы воспользовались здесь тем фактом, что в рассматри-
рассматриваемом случае функция Go" не зависит от времени). В общем
случае оказывается, что вклад несвязанной диаграммы из п
одинаковых частей L в точности равен A/n!) X L".
Подобная факторизация имеет место и для неидентичных
частей, если сначала просуммировать по всем возможным
последовательностям времен, которым они соответствуют.
Например, три диаграммы в формуле E.18) можно просум-
просуммировать следующим образом (для краткости мы опускаем
множитель i):
X Gt{k,tc-tb)G0 (l,tb-tc)G0 {l,ta-ta)X
X \Qt -t$u~t + 6f -f Qt -t + 6f _f Qt -t 1 = ^) ;
L с о о й с а а о ct с с oJ ^^^У
E.24)

124 Глава 5
где
1 если %>0,
О если
E.25)
Функции 0 позволяют удобно записать последовательность
времен во всех трех диаграммах. Посмотрев внимательно,
можно увидеть, что при tc>tb член в квадратных скобках
равен 1, независимо от значения ta. Это означает, что инте-
интеграл по ta не зависит от интегралов по tb и te, поэтому
тройной интеграл разбивается на произведение двух частей,
как показано выше.
Комбинируя эти результаты, мы находим, что амплитуду R
можно записать в виде
О
0-0
2!
о
3!
> 2. ПО ВСЕМ СВЯЗАННЫМ ДИАГРАММАМ
E.26)
Отсюда немедленно следует соотношение E.22), и теорема
о связанных группах доказана.

Энергия основного состояния 125
§ 5. Вычисление энергии основного состояния
для системы, состоящей иэ одной частицы
Важность только что полученного результата состоит
в том, что энергию основного состояния, зависящую в соот-
соответствии с соотношением E.4) лишь от логарифма R,
?0 = е,+ lim i-?r\nR{t), E.27)
мы можем записать в виде суммы только по связанным
диаграммам
?о = е, +
+ lim / -тг
О'*
E.28)
В миогочастичном случае важность теоремы о связанных группах
определяется более глубокой причиной, а именно: если бы мы не восполь-
воспользовались этой теоремой, мы обнаружили бы, что ряд теории возмущений
для энергии сильно расходится — пропорционально числу частиц при
N -> оо; СМ. [9].
Теперь можно получить выражение для энергии основного
состояния, переведя диаграммный ряд на язык формул с по-
помощью табл. 6. При этом равенство E.28) принимает вид
t t .
KBi \dt\ [ dt2iGo{p,t2-ti)iGo{l, tx - t2) + ... 1.
о о'1*'1 I
E.29)
Этот ряд можно вычислить, если подставить сюда функции
G из табл. 6, помня, что „фермионной петле" соответствует
множитель (—1). Так,
О = (- IX- 0 Vn J dU (-1) = - iVnt,
о
E.30)
lim

126 Глава 5
Второй член дает
рф\ О О
t t-t,
= (_П2(_Л2 У у у [ Jl f j/j / \p-4V~el)(*2-'l) /К Ч1\
D ?!= 1 О О
Интегрируя, беря производную и переходя к пределу, по-
получаем для ?о2>
.. . d
hm i—rr
i(ep — в,) / (ep — 8]) J '
ИЛИ
При этом осциллирующая экспонента изводится, так как
величины (б! — Ер) и бесконечно малая т) положительны. (Заме-
(Заметим, что величина ц выбрана таким образом, что ц X °° = оо.)
Продолжая в том же духе, находим члены третьего и чет-
четвертого порядков:
p, q Ф
у
(Ъ1-г1,){гх-гч)(е.х-ът) Zi (e, - е„J (е, - eq)
P. q,r Ф \ p, Q ф \
viPvP9vav" у vVziInIiL
(e,-ep) (e,-e?J
Р.ЯФ 1
Мы получили не что иное, как хорошо известный ряд
теории возмущений Рэлея — Шредингера до четвертого по-
порядка!

Энергия основного состояния 127
Если бы этот результат из обычного учебника мы рас-
рассматривали как конечный продукт тщательно разработанной
теории вакуумной амплитуды, то можно было бы справед-
справедливо заключить, что боевая ракета была построена лишь
для того, чтобы подбить маленького воробушка. Однако
наша цель не в том, чтобы вновь строить теорию возму-
возмущений, которую можно найти в любом учебнике и которой
по причине конечности человеческой жизни никто никогда
не воспользуется, если надо брать члены дальше, скажем,
27-порядка. Мы хотели бы создать более экзотическую тео-
теорию и использовать ее до бесконечного порядка. Диаграммы
как раз и позволяют это сделать, давая систематический
способ записи члена п-го порядка в разложении для Ео.
Чтобы понять, в чем он состоит, рассмотрим сначала
члены третьего порядка E.33) и сравним их с соответствую-
соответствующими диаграммами в ряду E.28). Произведение множителей
Vqu УpQ и У\Р, соответствующих вершинам на первой диа-
диаграмме третьего порядка, как раз равно числителю первого
члена ?о3) (с точностью до множителя — i, связанного с пра-
правилами вычисления вакуумной амплитуды). Так же обстоит
дело и со второй диаграммой третьего порядка. Легко по-
показать, что отсюда следует общее правило: числители чле-
членов п-го порядка в разложении Ео в ряд теории возмуще-
возмущений получаются из соответствующих диаграмм для вакуум-
вакуумной амплитуды путем сопоставления каждой вершине
множителя Vц. Чтобы найти знаменатели, проведем тонкие
горизонтальные пунктирные линии между двумя последова-
последовательными (во времени) вершинами и каждой такой линии
сопоставим множитель
! = . E.35)
^1
По всем линиям ды По всем линиям ча-
чарок, пересекаемым го- стиц, пересекаемым
ризонтальной пунк- горизонтальной пунк*
тирной линией тирной линией
Например,
E.36)
81-8,7 у, 8, - 8
Далее умножим результат на (—l)ft+1, где h есть число ды-
дырочных линий на диаграмме — это даст нам правильный

128 Глава 5
знак. И, наконец, просуммируем по всем индексам частиц.
Эти правила (которые можно строго доказать, исходя из раз-
разложения вакуумной амплитуды) приводят к правильным
результатам для обоих членов третьего порядка; читатель
может легко проверить, что так же обстоит дело и во всех
порядках. [Последний член в выражении E.34) для четвер-
четвертого порядка получен суммированием обеих „рукавиц"
в E.13).]
Теперь мы уже можем понять, каким образом прибли-
приближенно вычисляется ряд теории возмущений, даже если воз-
возмущение Н\ велико и надо суммировать диаграммы опре-
определенного типа вплоть до бесконечного порядка. Пусть
возмущающий потенциал столь велик, что с помощью обыч-
обычного метода, т. е. обрывая ряд на нескольких первых чле-
членах, приличный результат получить невозможно. Но пред-
предположим, например, что большими оказываются только
матричные элементы потенциала между основным состоя-
состоянием 1 и первым возбужденным состоянием 2, т. е. заметны
лишь элементы Vi2 и F2i> а все остальные Vи, Vi3, V3U l/33, .. .
малы. Тогда ряд теории возмущений можно аппроксимиро-
аппроксимировать частичной суммой только по тем особым диаграммам,
в которых все вершины соединяются линиями „1" и „2".
Это значит, что энергия Еа сводится к сумме следующих
диаграмм:
E.37)
Диаграммы нечетного порядка вообще не появляются. Из 16
диаграмм шестого порядка мы изобразили только 3 типич-
типичные. Пользуясь уже известными правилами и замечая, что

Энергия основного состояния 129
мы получаем
\Хм1
(е,_е2) Х2(е,-е2) X (е,-е2)
+ !J^_l!
(ei - е2) X 2 (е, - е2) X (е, - е2) X 2 (е, - е2) X (е, - е2)
^(е1-е2)Х2(81-е2)ХЗ(е,-82)Х2(е1-е2)Х(е1-е2) А
Это выражение можно привести к более знакомому виду,
если добавить и вычесть слагаемое Ej/2, а также вынести
за скобки множитель '/г (ei — е2):
ei + e2 . e,-e2 Г 2[К121г 21K,2|4 . 41 У1216 . ]
tQ~ 2^2 [1+(е]-е2J (е.-е,I ^ (е.-е,)» ""%J'
E.39)
Ряд, заключенный в скобки, представляет собой как раз
разложение квадратного корня. Таким образом, окончательно
мы имеем
" +ёХА- E-40)
Итак, мы нашли энергию основного состояния в случае силь-
сильного возмущающего взаимодействия. Для этого пришлось
произвести частичное суммирование ряда теории возмущений
с учетом членов всех порядков.
В данном случае полученный результат не столь заме-
замечателен, как могло бы показаться на первый взгляд. Его
можно было бы получить и гораздо проще, непосредственно
диагонализуя гамильтониан по уровням I и 2 [см. G.64)].
Этот одночастичный пример, как и другие уже рассмотрен-
рассмотренные нами, очевидно, слишком прост, чтобы продемонстри-
продемонстрировать на нем мощь диаграммной техники; его следует рас-
рассматривать лишь как ясную иллюстрацию общего метода.
§ 6. Система многих тел
Метод, с помощью которого мы рассмотрели задачу
об одной частице, можно обобщить и на случай системы
многих частиц (без внешнего потенциала). Воспользуемся
для этого диаграммами взаимодействия D.43) и D.44). Тогда
вакуумную амплитуду можно представить в виде суммы
всех возможных последовательностей взаимодействий, которые
9 Р Маттук

130 Глава 5
начинаются и оканчиваются в основном состоянии („ваку-
(„вакууме") системы многих тел:
E.41)
Энергия основного состояния снова дается суммой только
связанных диаграмм; ее можно записать в виде
E.42)
Диаграммы E.42) расшифровываются с помощью совершенно
таких же правил, что и в одночастичном случае. Формули-
Формулировку их мы отложим до гл. 12; здесь же ограничимся только
кратким упоминанием нескольких распространенных аппрок-
аппроксимаций для энергии основного состояния, ?0, которые можно
получить из ряда E.42).
Простейшее приближение — это приближение Хартри —
Фока (HF). Оно сводится к тому, что от ряда остается
только сумма двойного пузыря и устрицы:
E.43)

Энергия основного состояния 131
Чтобы расшифровать эти диаграммы, надо знать лишь три
простых правила. Мы их сейчас приведем: 1) каждой линии
взаимодействия соответствует множитель Vkimn, 2) каждой
дырочной линии и каждой фермионной петле сопоставляется
множитель (—1); 3) все выражения умножаются на '/2, так
как диаграммы симметричны. Помня, что все линии здесь
дырочные, находим
?o(hf> = 2u e« + lf 2j Vkiki — -2 2u Vikkt- E.44)
k < kp k,i<kp k, i <kp
Приближение, справедливое в случае электронного газа вы-
высокой плотности (приближение случайных фаз, или RPA),
эквивалентно частичному суммированию всех „кольцевых"
диаграмм во втором и более высоких порядках
+ о—о +
I V4vwwwy дчл/V +
E.45)
Для ядерной материи мы имеем „лестничное приближение",
в котором учитывается частичная сумма всех лестниц:
E.46)
Читатель, желающий теперь ознакомиться с вычислением
энергии основного состояния электронного газа по Гелл-
Манну — Бракнеру и с теорией ядерной материи Бракнера,
может переходить прямо к гл. 12.

132 Глава 5
• Упражнения
1. Переведите на язык функций последнюю из диаграмм E.13).
2. Являются ли диаграммы в приведенных ниже парах топологически
эквивалентными или различными?
3. Пусть мы имеем систему из N (N велико) невзаимодействующих
фермионов во внешнем поле U (г). К гамильтониану добавляется возму-
возмущение V (г). Изобразите все диаграммы вплоть до четвертого порядка
в разложении вакуумной амплитуды.
4. Примените правила, которые приведены в абзаце, содержащем со-
соотношения E.35) и E.36), к диаграммам E.13) и убедитесь, что вклад
последних в энергию дается выражением E.34) (вклад двух „рукавиц"
объедините в одно слагаемое).
5. Покажите, что для системы в отсутствие внешнего поля, но с взаи-
взаимодействием, сохраняющим импульс, диаграммы пятого и шестого порядка
В ряду E.41) отсутствуют,

Глава 6
ДИАГРАММНЫЕ МЕТОДЫ
В ЗАДАЧЕ МНОГИХ ТЕЛ
С ВЫСОТЫ ПТИЧЬЕГО ПОЛЕТА
Этой главой завершается часть книги, соответствующая
программе детского сада. Мы довольно подробно разобрали,
как работают диаграммные методы квантовой теории поля
в случае простых одночастичных систем, а также сумели
коснуться и хода событий в задаче многих тел. Все шаги
были «обоснованы» с помощью «ссылок на мартышку», т. е.
по аналогии с детским бильярдом и его животными (см.
фиг. 5). Формализм чисел заполнения (вторичного квантова-
квантования) существенно не использовался.
Теперь мы переходим к курсу начальной школы. Это
означает, что вторичное квантование будет использоваться
серьезнее, будет показано больше фокусов с диаграммами,
рассмотрено больше настоящих многочастичных систем
и будет меньше мартышек. Но, прежде чем продолжать,
неплохо было бы остановиться на минутку и бросить взгляд
на всю область в целом. В табл. 8 перечислены основные
персонажи квантовой теории поля и те роли, которые они
исполняют в задаче многих тел.
Различные теоретико-полевые величины 3 — 7 можно найти,
либо решая дифференциальные уравнения, которым они удов-
удовлетворяют, либо суммируя бесконечные ряды теории возму-
возмущений с помощью диаграмм Фейнмана. В этой книге рас-
рассматривается только последний способ. Вот основные его
черты.
1. Теоретико-полевая характеристика —назовом ее М (это
может быть функция Грина, вакуумная амплитуда и т. д.) —
разлагается в ряд нестационарной теории возмущений
Здесь М есть значение величины М в отсутствие взаимо-
взаимодействия, а слагаемые МA\ М<2), ... описывают эффекты

134 Глава 6
взаимодействия в первом, втором и т. д. порядке. Это раз-
разложение можно получить с помощью «интуитивных» методов,
как мы делали до сих пор, или с помощью строгой проце-
процедуры, требующей - использования вторичного квантования
(п. 1 и 2 табл. 8). Мы не предполагаем, что члены более
высокого порядка малы по сравнению с членом нулевого
порядка; действительно, в системах многих частиц из-за
сильного взаимодействия они оказываются значительными,
а иногда бесконечными!
Квантовая теория поля в задаче многих тел
Таблица 8
Элементы теории поля
Их роль в теории многих тел
1 Система обозначений с по-
помощью чисел заполнения
(§ 3 гл 4, гл 7)
2 Операторы рождения и
уничтожения (§ 3 гл. 4, гл. 7)
3. Одночастичная функция
Грина (функция распро-
распространения) (гл. 2 — 4, 8—11,
15)
4 Вакуумная амплитуда
(гл 5, 12)
5. Двухчастичная функция
Грина (гл. 13)
6 Вакуумная амплитуда при
коночной температуре (гл.
14)
7. Функция Грина при конеч-
конечной температуре (гл. 14)
Позволяет выразить произвольное
состояние системы многих тел
Элементарные операторы, из кото-
которых строятся все другие операто-
операторы, характеризующие систему мно-
многих тел
Позволяет вычислить энергии квази-
квазичастиц, распределение частиц по
импульсам и их концентрацию,
энергию основного состояния
Дает энергию основного состояния
Позволяет вычислить энергии кол-
коллективных возбуждений, электро-
электропроводность, другие неравновес-
неравновесные свойства
Дает равновесные термодинамичес-
термодинамические свойства системы
Позволяет найти температурную за-
зависимость всех характеристик, пе-
перечисленных g п. 3 настоящей
таблицы
2. Каждому члену разложения сопоставляется некоторая
диаграмма Фейнмана. Например:
а) одночастичная функиия Грина
-VWV
э
4* • • ч

Диаграммные методы 135
б) вакуумная амплитуда
в) поляризационная функция Грина (особый случай двух-
двухчастичной функции Грина; см. гл. 13)
Каждой из прямых и волнистых линий соответствует опре-
определенный множитель. Выписав все эти множители, можно
полностью восстановить исходный ряд теории возмущений,
приведен 1ый в п. 1. В принципе теорию возмущений для
системы многих частиц можно построить и без помощи диа-
диаграмм, так же как можно путешествовать в джунглях Ама-
Амазонки без карт. Однако если ими все же пользоваться, то
вероятность «уцелеть» будет значительно больше.
3. Ряд теории возмущений вычисляется приближенно
путем суммирования диаграмм определенного типа (т. е.
членов ряда теории возмущений, соответствующих этим диа-
диаграммам) вплоть до бесконечного порядка. Это и есть зна-
знаменитое «частичное» или «выборочное» суммирование. Вычи-
Вычисление частичной суммы обычно сводится к тому, чтобы
показать, что она выражается через определенный сумми-
суммируемый бесконечный ряд или эквивалентна некоторому
интегральному уравнению, которое кто-нибудь уже решил.
Например:
а) одночастичная функция Грина — частичная сумма по
повторяющимся пузырям и открытым устрицам
G-
ллл/W*)
дает квазичастнцы Харгри —Фока;

136 Глава 6
б) вакуумная амплитуда— частичная сумма только по
кольцевым диаграммам
In/? « A +
дает энергию основного состояния для электронного газа
высокой плотности;
в) поляризационная функция Грина —частичная сумма
по повторяющимся «парным пузырям»
/\ + /wJy J- ^лллУ
ЛЛ/VV
определяет закон дисперсии плазмонов.
Важный момент состоит в том, что, хотя рассматривае-
рассматриваемая методика и использует ряд теории возмущений, она
все же существенно отличается от обычной теории возму-
возмущений. В последней предполагается, что возмущение мало,
и потому абсолютные величины последовательных слагаемых
убывают с ростом их порядка
м@)» м0)» мB)» мC)» ... .
Иными словами, последовательность членов соответствует
их порядкам, и мы можем оценить точность приближения
по тому, до какого порядка производилось суммирование.
В теории многих тел, напротив, возмущение, как правило,
велико, и указанное упорядочение слагаемых по величине
не имеет места. Как уже упоминалось, бывают случаи,
когда некоторые члены, взятые в отдельности, оказываются
бесконечными. Поэтому задача состоит в том, чтобы сгруп-
сгруппировать члены ряда по некоторым типам, выбрать тот тип,
который вроде бы дает наибольший вклад, и просуммиро-
просуммировать все слагаемые этого типа по всех порядках.
Конечно, это каверзное дело. Теперь уже невозможно
в общем случае оценить точность результата. При отборе
главных членов ряда решающую роль играют физи шские
соображения; иногда, однако, их выбор определяется и мате-
математическими возможностями. (В качестве обоснования по-
последней процедуры можно услышать слова: «Но это, конечно,
лучше, чем вовсе не суммировать!») В некоторых случаях,

Диаграммные методы 137
как, например, в задаче об электронном газе высокой плот-
плотности, метод приводит к результатам, которые в принципе
являются точными. Во многих случаях результаты можно
проверить, используя какие-либо другие методы. Такие про-
проверки, как правило, дают хорошее согласие.
Следует, однако, признать, что математические основы
метода еще поняты не до конца (см. [33]). Например, чтобы
отделаться от расходящихся частей ряда, необходимо иногда
привлекать «гипотезу исчезновения неприятных расходи-
мостей» (§ 3 гл. 3). Некоторые утверждают, что радиус
сходимости рядов теории возмущений равен нулю, однако,
как оказывается, частичное суммирэвание дает результаты,
справедливые в довольно широкой области. Поэтому у нас
есть все основания ожщагь, что когда-чи )удь диаграммная
техника будет математически обоснована до конца.

Глава 7
ФОРМАЛИЗМ ЧИСЕЛ ЗАПОЛНЕНИЯ
(ВТОРИЧНОЕ КВАНТОВАНИЕ)
§ 1. Преимущество формализма чисел заполнения
С языком вторичного квантования, на котором написана
современная физика многих тел, мы познакомились в его
простейшем виде в § 3 гл. 4 (последний следует прочитать
теперь, если это не сделано раньше). Как мы видели, глав-
главные элементы этого языка суть волновые функции системы
«I, «2,..., nh ...), которые говорят нам, сколько частиц nt
находится в каждом одночастичном состоянии </>,- (г), и опера-
операторы с]\ с(, рождающие и уничтожающие частицы в этом
состоянии. Добавим теперь несколько подробностей — ровно
столько, сколько надо, чтобы понять, как на самом деле
используется этот аппарат. Однако тем, кто пожелал бы
познакомиться со всеми доказательствами и обозреть пред-
предмет во всех его регалиях, мы советуем заглянуть в книги
Ландау и Лифшица [38] или Дирака [14]. Читатель лучше
поймет сокращенные обозначения, используемые в этой
главе, если он сначала познакомится с приложением I.
Иногда простые вещи довольно устрашающе выглядят
в представлении вторичного квантования. Поэтому неплохо
было бы понять, почему именно им пользуются все специа-
специалисты по задаче многих тел.
Первая причина в том, что этот аппарат позволяет рас-
рассматривать системы, содержащие переменное число частиц.
Правда, в большинстве систем, с которыми нам приходится
иметь дело при нулевой температуре, число частиц фикси-
фиксировано. Поэтому может показаться, что такой подход столь же
полезен, как пара брюк с пятью штанинами. Оказывается,
однако, что формализм становится исключительно гибким, если
позволить числу частиц N меняться на промежуточных этапах
расчета и фиксировать его только в конце. Например, мы
можем по желанию добавлять и исключать пробную частицу,

Формализм чисел заполнения 139
как это делалось при определении функции Грнна, или
пользоваться дырочно-частичным формализмом, в котором
число частиц и дырок переменно. [Конечно, в статистической
механике (гл. 14) использование систем с переменным числом
частиц N просто банально.]
Вторая причина— в свойствах симметрии ферми- и бозе-
систем. Работая по-старому, мы всегда должны думать об
этих сложностях —о том, чтобы волновая функция была
должным образом симметризована. В методе вторичного
квантования, однако, операторы рождения и уничтожения
подчиняются определенным правилам коммутации, в которые
уже «заложены» все свойства симметрии системы. Исполь-
Используя только эти правила, мы автоматически избавляемся и
от симметризации и от мигрени.
§ 2. Волновая функция системы многих частиц
в формализме чисел заполнения
Представим себе систему N тождественных фермионов
(бозоны появятся в § 7 настоящей главы), которые в об-
общем случае взаимодействуют друг с другом и с внешним
полем. В § 3 гл. 4 мы видели, что такую систему
можно описать с помощью совокупности базисных функций
|П[, ..., nt, ...), где символ п{ обозначает nt частиц в не-
невозмущенном одкочастичном состоянии, волновая функция фг
которого есть собственная функция оператора энергии.
На самом деле в качестве одночастичных функций здесь
можно взять любую ортонормированную систему, напри-
например, собственные функции оператора координаты (§ 6 настоя-
настоящей главы); тогда nt будет обозначать щ частиц в точке г,.
Это говорит о том, что в общем случае функции
[«h ..., пь ¦ ¦ •) не совпадают с собственными функциями
гамильтониана системы взаимодействующих или невзаимо-
невзаимодействующих частиц; выбор их определяется соображениями
удобства. Пока что мы будем пользоваться теми же одно-
частичными функциями, что и в § 3 гл. 4, т. е. функциями ф,
которые удовлетворяют уравнению Шредингера
где

140 Глава 7
а а и а' —спиновая координата и спиновое квантовое число
соответственно. При U (г) ¦= 0 это уравнение имеет решение
1
!? ° G.2)
где т) —спиновая собственная функция. Как правило, для
краткости мы не будем писать индексы а и а', включая их
соответственно в к и г. Уровни энергии, отвечающие равен-
равенствам G.1) или G.2), были схематически показаны на фиг. 6, а.
Пусть теперь имеется N тождественных невзаимодей-
невзаимодействующих фермионов с гамильтонианами G.1). Тогда полный
гамильтониан системы и уравнение Шредингера для нее
имеют вид
Яо=2Яг, #оФ(г, г„) = ?Ф(г„ .... г„), G.3)
где
Уравнение G.3) имеет решение
Ф
ft,, •..,
Однако, поскольку система состоит из тождественных фер-
фермионов, ее волновая функция должна быть антисимметрич-
антисимметричной, т. е. должна менять знак при перестановке координат
любых двух частиц. Этого можно добиться, сконструировав
новую функцию Ф в виде суммы
или
¦ G.7)
В первом выражении Р есть оператор перестановки, кото-
который меняет местами кооординаты г; всеми возможными
способами, начиная с некоторого стандартного их располо-

Формализм чисел заполнения 141
жения; ур— — 1 для нечетного числа перестановок, и ур = + 1
для четного числа их. Последняя форма записи — это хорошо
известный детерминант Фока —Слэтера; тот факт, что Ф = 0
при совпадении любых двух чисел kt, означает, что в любом
состоянии не может находиться более двух частиц (принцип
запрета). Заполнение уровней происходит так, как описыва-
описывалось в § 2 гл. 4, а энергия любой совокупности заполненных
уровней определяется выражением G.5).
Кое-какие каверзы связаны со знаком определителя G.7).
Например, в системе двух частиц, одна из которых нахо-
находится в состоянии fpl [ = </>i; см. замечание относительно
системы обозначений после выражения C.5)!], а другая —
в состоянии фз, волновая функция есть Ф/г,=|_ ?2=,3( = Ф13) или
Ф&,=з, fe=i ( = Фз|)- ^ силу тождественности частиц эти функ-
функции, очевидно, представляют одно и то же состояние, но
в соответствии с G.7) они отличаются знаком. Чтобы исклю-
исключить эту двусмысленность, мы всегда будем писать Ф
со стандартной последовательностью различных k
Ф*,<*2 <...<*„, G.8)
приписывая этой функции знак „ + ". Таким образом, выра-
выражение Ф31 более не может появиться.
Как указывалось в § 3 гл. 4, существует компактный
способ записи Ф
Ф*,.*2. ....*„ (ГР Г2----' Гы)=Фп{ „,.... (ГР Г2-'--. «\) =
= (г„ г2, ..., rN\nu ..., щ, ...). G.9)
Последнее выражение есть просто другая запись функ-
функции Ф, стоящей после первого знака равенства. Вели-
Величины щ указывают числа частиц в одночастичных состоя-
состояниях <f>k-(r)> см. G.2). Будем пока считать число частиц
фиксированным, так что
2rc, = JV. G.10)
i
Для краткости аргументы гь ..., rt, ... обычно будут опу-
опускаться, так что равенство G.9) примет вид
Лица, знакомые с формализмом Дирака (см. приложение I),
узнают в выражении G.11) вектор состояния в абстрактном
пространстве; непосвященные могут рассматривать это просто
как сокращенную запись функции G.9). Простые примеры
величин G.11) уже приводились в гл. 4 [см. D.7) и D.8)].

142 Глава 7
В выражении G.9) или G.11) нет ничего таинственного.
Его можно рассматривать как новое обозначение для неко-
некоторой старой волновой функции или как результат простой
замены переменных k\, ..., kt на числа заполнения nt. Дей-
Действительно, эту замену можно выразить явно:
N
«1=2 8*,./. G-12)
Например, если волновая функция системы двух частиц есть
<B*1-1.a,-3 = |1i0213040506...), G.13)
ТО 2
»1=2в*,.1 = в|.|+вз,1 = 1 G-14)
и т. д. Однако переход от функции Ф^ k к
\п\, п2, . . ., «;, . . .) не есть унитарное преобразование, разве
что в тривиальном смысле, когда матрица преобразования
единичная. Чтобы это пояснить, рассмотрим случай N = 2
с частицами в состояниях </>? и ф/. Тогда в соответствии
с GЛ1) |00... 1, ... 1, ...> = Oftl_J>^./. G.15)
Это значит, что роль „преобразования" играет просто соот-
соотношение
|оо... 1,... 1, ...;= 2 а*,, .а*,./Ф*,*„ G.16)
к, < к,
откуда видно, что коэффициенты преобразования как раз и
образуют единичную матрицу. Следует особо отметить, что
переход к числам заполнения ни в каком смысле не есть
унитарное преобразование от „координатного пространства"
к „пространству чисел заполнения". В этом можно убедиться,
явно указав в G.16) зависимость от г
Фо, о, ...,\1 к, ...(г,, г2)= 2 бй„ А„/Фа.аЛп. г2). G.17)
Важно помнить, что функции \пи ..., nh ...) орто-
ортогональны и нормированы, потому что ортогональны и норми-
нормированы функции Ф^ ..., kN, .... Это можно записать различ-
различными эквивалентными способами
п
2,
''V'l2 "'« V П2 "Г
. Л.Ф - - (г., ..., г.,)Ф (г.,
Л п., п„, ... V 1' ' ЛГ/ «,, п„. --Л 1'
' б ' . . .6 .... G.18)

Формализм чисел заполнения 143
До сих пор мы имели дело с системами, содержащими
фиксированное число частиц, и производили лишь сравни-
сравнительно тривиальную замену переменных в волновой функ-
функции. Сделаем теперь важный шаг и, хотя число частиц N
в реальной системе фиксировано, позволим ему меняться
от 0 до оо. В результате появляется система базисных
функций, показанная в табл. 9.
Полная система базисных функций, используемых Таблица 9 ^
во вторичном квантовании
N Фкг k2, .... kN =\nv n2 "/••••>
I 000 ...)
2, Ф3, ... I 100...), I 0100 ...), 100100 ...), ...
D13, Ф23.... 11100...), 1101000...), |01100...),...
Состояние, описываемое функцией Фо или |000...), без
единой частицы называется „истинным вакуумом". Сово-
Совокупность всех функций \пи ..., щ, ...) (или Ф^ k^
в табл. 9 образует полную ортогональную систему в об-
обобщенном гильбертовом пространстве, в котором число
частиц переменное. Это гильбертово пространство можно
изобразить следующим образом:
0
1
2
Фо
Фь
Ф12
ОБОБЩЕННОЕ ,„„„ >
ГИЛЬБЕРТОВО —
пространство
I0O100...)
10100...)
+
101100...)
I10100-.)
f,ioo...> G.19)
Совокупность функций Ф часто называют „базисом чисел
заполнения", а о формализме в целом иногда говорят как
о „представлении чисел заполнения". Обратите особое вни-
внимание: мы получили этот новый базис не в результате уни-
унитарного преобразования (как, например, бывает при переходе
от координатного представления к импульсному), а в ре-
результате 1) тривиальной (хотя и удобной) замены перемен-
переменных kt на га, и 2) обобщения гильбертова пространства на
случай произвольного числа частиц (это не тривиально).
Далее, из-за того, что мы вправе использовать любую

144 Глава 7
систему одночастичных функций, полученный базис чисел
заполнения не единственно возможный. По этой причине
лучше было бы говорить о „базисе чисел заполнения энер-
энергетических состояний", имея в виду, что одночастичные
функции суть собственные функции оператора энергии, или
о „базисе чисел заполнения координат" (если используются
собственные функции оператора координат; см. § 6 настоя-
настоящей главы) и т. д. В любом случае, однако, каждый базис-
базисный вектор отвечает определенному значению «,-, т. е. nt есть
хорошее квантовое число.
До сих пор рассматривались только системы независимых
фермионов без какого бы то ни было возмущающего взаимо-
взаимодействия. В присутствии такого взаимодействия функции
|Л[, ..., щ, ...) уже не совпадают с собственными функ-
функциями полного гамильтониана системы, и правильные соб-
собственные функции должны выражаться как линейные ком-
комбинации типа
? = Фо + S Лк1Фк1 + 2 Aku к1Фкь к,+ ... =
kt ki < k,
- S A |n, nt, ...). G.20)
ni "(• ••• ' l
§ 3. Операторы в формализме чисел заполнения
Как указывалось в § 3 гл. 4, все операторы в новом
формализме можно выразить через операторы рождения и уни-
уничтожения частиц с\, с., определяемые соотношениями D.16).
В этих определениях, однако, не учитывался множитель ±1,
который надо ввести в силу условия антисимметрии. Иными
словами, операторы с+ и с1 должны обладать следующим
свойством: если они действуют в некоторой последователь-
последовательности на волновую функцию так, что в результате происхо-
происходит лишь перестановка двух частиц, то волновая функция
должна изменить знак. (Вот один из примеров такой после-
последовательности:
| 1100 ...)->|0110...)->| 1010...)->| 1100...).)
Немного подумав, мы увидим, что нас устроили бы сле-
следующие определения:
с] п., .. ., га,, .. .\= (— 1) 'A — га.) 1га,, . .., п, + 1, .. Л,
с. In, ,1 ) = (-1)^га.|га1 п--\ ) G>21)

Формализм чисел заполнения 145
Здесь
(_ IJ/ = (_ i)["i+«2+ •¦¦ +"/-iJ. G.22)
Таким образом, мы получили по множителю (—1) на каждую
частицу (каждое занятое состояние), стоящую в волновой
функции слева от состояния I. Например,
ct\ . .., 0., .. .) = 0, с+| . .., 1., .. .) = 0,
СзИШЮОО ...)= +111011000 ...),
с+| 1110100...)= -111111000...), G.23)
4ciclc2ctci 11100 .. . > = c\cf\с2с\ 10100...) =
= — 11100 . . .) (обмен частицами).
Одно из приятных свойств операторов ct состоит в том,
что, действуя ими многократно на состояние „истинного ва-
вакуума" (состояние без единой частицы), можно воссоздать
все другие состояния. Так,
Ф* * ъ = ctct ¦•• ct 1000...),
ИЛИ
|я„ п2, .. .) = (с;) (С+) .. . 10000 ...). G.24)
Например,
|011000...) = (с+)°DI(с|I(с1Т ••• 1°° •.•) = ^СЛ00 •••>•
G.25)
Есть еще одно важное свойство операторов ct, ct — они
„эрмитово сопряжены" друг с другом. В этом можно убе-
убедиться, построив для них матрицы (используя в качестве
базисных функций \пи п2, ..., nh ...))
(га,, п2, ..., п\,... \с.\пи п2, . .., щ, . . .)= о1—""
0
0
1
0
, , , rt n G-26)
\ • • • h •••
Ю Р. Маттук

146 Глава 7
0
1
0
0
,, п2, ...,«;, ... | с+1 га,, га2,
(... и ...
видим, что
c'==(c')t> G.28)
где „t" означает эрмитово сопряженное. Отсюда также сле-
следует, что операторы с\ и с. неэрмитовы и потому не отве-
отвечают наблюдаемым величинам.
Легко, однако, построить из с\ и с(. эрмитов оператор.
Перемножение выписанных выше матриц показывает, что
{c\c$ = c\cv G.29)
и, следовательно, оператор с1"с(. эрмитов. Эта комбинация
G.30)
характеризует исключительно важную наблюдаемую вели-
величину и называется оператором числа частиц (N — оператор
полного числа частиц). Чтобы выяснить его свойства, по-
подействуем им на некоторые типичные векторы состояний:
c]ct\nv п2, ..., 1;, ...) = (-1J<с+|га,, га2, ..., 0,, ...) =
= (-1J'+2'|«„ пъ ..., 1„ ...> =
= (+1)\пи «а, ••-, Ь, ¦¦¦)•
Аналогично
с\сг\пх, п2, ..., 0., ...) = 0|га1, п2, ..., 0{, ...),
так что в общем случае
c\cl\nv n2, ..., пр ...) = л.|га,, га2, ..., п{, ...). G.31)
Таким образом, собственное значение оператора числа ча-
частиц, принадлежащее состоянию </>;, есть как раз число за-
заполнения этого состояния. Следовательно, в представлении
чисел заполнения все операторы числа частиц диагональны

Формализм чисел заполнения 147
и волновые функции системы \пи пъ ..., щ, ...) суть соб-
собственные функции всех операторов й\, п2, ..., пь ....
Операторы с\, с. подчиняются следующим важным фер-
мионным правилам коммутации:
2) [си ck]+ = 0, G.32)
3) [Ct, cj]+ = 0.
Это легко доказать с помощью определений G.21):
..., Пи ..., Пк, . . .) =
= (-\fknkcl\n\, . . ., щ, . . ., /ife-1, . . .) =
., nh ..., nk, ...)= G.33)
= (-lfinlck\nl, ..., щ-\, ...,пь ...) =
Лишний множитель (—1) в четвертой строчке появился из-за
того, что слева от состояния k стало на одну частицу
меньше. Складывая соотношения G.33), получаем второе
правило G.32); другие правила можно установить подобным
же образом.
Важность этих соотношений „антикоммутации" объясняется
тем, что в них уже „заложены" все свойства антисимметрии.
Поэтому, используя их в нужных местах, мы не должны
беспокоиться не только о симметрии самих волновых функ-
функций, но даже и о неудобных множителях (— l)s. В качестве
примера вычислим матричный элемент (Фо I скс"[ | ФА где Фо
есть волновая функция основного состояния ферми-системы
без взаимодействия [см. D.7)] и предполагается, что k, l>kF.
Обычные вычисления дают
« = ew, G.34)
где N — число частиц в системе. Используя соотношения ком-
коммутации, мы получаем
<Фо | V+1 Фо) = <Ф016Ы - cfck | Фо) = бы - <Ф01 c\ck | Фо) = Ьы. G.35)
Последний член здесь исчезает, так как с^|Ф0) = 0 (k~>kF,
но в состоянии, описываемом функцией | Фо), нет частиц над
kF). Таким путем мы избежали появления множителя ( — IJ.
10*

148 Глава 7
Посмотрим теперь, каким образом можн° выразить обыч-
обычные квантовые операторы через с] и с,. Имеет смысл на-
напомнить те соображения, которые приводились в § 3 гл. 4.
Мы требуем равенства матричных элементов операторов, вы-
вычисленных, с одной стороны, в формализме чисел заполне-
заполнения и, с другой стороны, в старом формализме пещерного
человека. Например, в одночастичнои системе оператор & (г, р)
с матричными элементами
r)d3r G.36)
в представлении чисел заполнения имеет вид
©ч-3 = 2адсг G.37)
к, I
Это легко проверить [см. D.23)]:
<00 ... 1; ...|<9Ч-3|00 ... 1у ...) =
2 |00 ... 1, ...) =
2
...|с+с,
2<9*,АА* = 0/г G-38)
k, I
Соотношение G.38) можно обобщить на случай N частиц.
Пусть мы имели оператор
N
©=2©(г„ Рд, G.39)
например он может отвечать потенциальной энергии во внеш-
внешнем поле
V(ru ..., г*) = S У (г,). G.40)
Такие операторы называются одночастичными, так как они
представляют собой сумму операторов, каждый из которых
действует отдельно на одну частицу. Тогда можно показать
(доказательство довольно сложно; см. [14]), что по-прежнему
имеет место соотношение G.37), причем величины &и, как и
раньше, определяются выражением G.36). Таким образом,
мы получили ценный результат: в представлении чисел за-
заполнения одночастичные операторы имеют вид, не завися-
зависящий от N. [Сравните с формулой G.39), где число N содер-
содержится явно!]

Формализм чисел заполнения 149
Аналогично можно показать, что двухчастичный оператор
N
@= 2 <9(Г( Pi', Г/, ру), G.41)
как, например, потенциал взаимодействия
N
V(ru ..., tn) = ± >? Vfr-r,), G.42)
'. /=¦!
(<?=/)
принимает вид
©ч. з = V q ctc+c c G.43)
где
W ^в И G.44)
(обратите внимание на измененный порядок индексов k, I
у операторов с, cfl). Отметим, что результаты G.37) и G.43)
остаются справедливыми и в случае бозонов.
§ 4- Гамильтониан и уравнение Шредингера
в формализме чисел заполнения
Переведем на язык вторичного квантования гамильто-
гамильтониан системы JV тождественных фермионов во внешнем поле
U (г) (для бозонов получается такой же результат). Пусть
частицы взаимодействуют посредством двухчастичного по-
потенциала вида G.42), и пусть сверх того имеется еще внеш-
внешний возмущающий потенциал V (г). В обозначениях камен-
каменного века мы имеем
н = S [ш + U <г'>] + Й? V ('« - г/> + 2 V (г, р,). G.45)
_i 1,1 J
Hq Hi Hi
Первый член здесь имеет вид одночастичного оператора 6
из G.39). Поэтому в соответствии с выражениями G.36) и
G.37)
k, I
Если функции фк выбраны так, чтобы они были собствен-
собственными функциями оператора p2[2tn + U (г), принадлежащими

150 Глава 7
собственным значениям еь то [см. соотношение A.22) в при-
приложении I]
"о = 2 еЛФ, = S efcCtCfc. G'47)
к, I к
Подобным же образом с помощью равенства G.43) перево-
переводится и оператор Н{:
k, I, m, n
где
h'?k (f) # (r') ^ (r - r') *m ^r) !>n (r')- G-49)
Наконец, согласно G.37), оператор Я2 принимает вид
Н2 = Ъ Vkiclcv ?ы = J W* « ^ (r' P) Ь (г)- G.50)
ft, г
Заметим, что в соотношениях G.49) и G.50) символ Фг
сокращенно обозначает интегрирование по г и суммирование
по спиновым квантовым числам. Таким образом, в предста-
представлении вторичного квантования гамильтониан Н записы-
записывается в виде
n + VVkiClCr G.51)
к k, I, m, n k, I
Решим для практики уравнение Шредингера #VF = ?W
в формализме чисел заполнения для нескольких тривиаль-
тривиальных случаев. Предположим сначала, чго Vinmn = 0 и Vkl = 0,
тогда
2 '). G.52)
Обычно это уравнение записывают в форме G.3). Легко ви-
видеть, что решение G.52) есть
|Ч')=|п„ пъ ..., п„ ...). G.53)
Действительно, в соответствии с G.31)
1 nk> ¦•¦> = Se4nfc|n1, ..., nk, ...). G.54)
к
Собственные значения энергии, очевидно, равны
? = 2еЛ. G.55)
к

Формализм чисел заполнения 151
Это есть сумма энергий отдельных частиц —тот же резуль-
результат, что и в G.5).
Другой простой пример дает нам система N свободных
частиц при наличии возмущения C.19):
G.56)
Согласно C.27) и C.29), мы имеем
Vkl = {Mk* + Lk*Nkt. G.57)
Следовательно, оператор G.51) в данном случае имеет вид
н=2 шс^
k,l
2 \Ч- G-58)
Очевидно, это есть просто гамильтониан системы частиц
с энергиями
К = ir- + Mft2 + Lit4 G.59)
— в точном соответствии с формулой C.24). Собственные
функции гамильтониана G.58) даются выражением G.53),
а собственные значения энергии суть
? = 2е?я4- G-6°)
k
Третий пример относится к системе из одной частицы,
на которую действует возмущающее внешнее поле V (г).
В этом случае уравнение Шредингера имеет вид
HXV = (Но + V) Ч' = ЕЧ,
где
#<Л = еА. G.61)
Соответственно для энергии получается секулярное уравнение
det[(e( — ENtj + Уи] = 0. G.62)
В сверхпростом случае, когда все матричные элементы
Vц = 0, кроме VРд и V'др, уравнение G.62) принимает вид
(е, - Е) (е2 - Е) ... " ™
V qp &q ?¦
решение его для 1ф р, q есть
E = Bt, G.63)

152 Глава 7
в противном случае
Е = i?±!L ± I. /(е^ _ е?J +1 ^ р_ G64)
Посмотрим теперь, как решается эта задача в формализме
чисел заполнения. Мы имеем
Я| Ч) = \Ъгкс\ск + S VVHI 47 = Я Чг). G.65)
Поскольку имеется всего одна частица,
|?> = 2^100 ... 1/ ...)• G.66)
Подставляя это выражение в уравнение G.65) и умножая
слева на @0 ... 1,- .. . |, получаем
21Л/[А/,/-Яд,/] = 0, G.67)
где
i ft ••• У1/ kJ kl\--- i ¦¦¦] к l\--- I •••)
=*sfitl + Vtf. G.68)
Очевидно, отсюда сразу вытекает уравнение G.62).
В реальной задаче многих тел мы чаще всего будем
иметь дело со случаем, когда внешний потенциал равен нулю,
а потенциал взаимодействия зависит только от расстояния
между парами частиц. Тогда гамильтониан Я имеет вид G.51)
при Vki — 0» а величины ek и <j>k определяются соотноше-
соотношениями G.2). Найдем для этого случая матричные эле-
элементы Vktmn- Воспользовавшись выражениями G.49) н G.2)
(следует помнить, что k = k, а) и просуммировав по спиновой
переменной, получаем
= ¦ "'У4/ dh | dh'V (r - г') е-' Kk-no-r+a-iD-n. G.69)
Формула упростится, если выразить V через фурье-транс-
форманту Vq:
Vfeu,, ..., паА = q Qala3Q<]2eiV(k—wfik+l, т+п>
ИЛИ
Здесь б-функции выражают сохранение спинового момента
(так как в оператор V спин не входит) и полного импульса

Формализм чисел заполнения 153
(энергия взаимодействия V зависит только от разности г —г'
и потому не может сместить центр инерции). Отметим, что
оператор энергии взаимодействия в формуле G.51) сохраняет
также и число частиц, так как выражается через одинако-
одинаковое число операторов рождения и уничтожения.
В кулоновском случае, когда V (г — г') = е2/\ г' — г |, можно
показать (см. [55]), что
6„ п 6_ _ 4яе2
•tr g|03 (T2fl4 ____А
V kOi па, — q i jc_m i2 uk + l,m+ni
ИЛИ
4яе2 1
' m+q, (Ti, n—q, ог; ma3, na, = OatofijitSt 7г~ "п" ' G.71)
Мы используем эти соотношения в гл. 12, когда будем
рассматривать задачу об электродном газе.
§ 5. Дырочно-частичный формализм
В § 3 гл. 4 было показано, каким образом можно изба-
избавиться от большей части лишнего багажа в схеме чисел
заполнения, если принять основное состояние ферми-системы
без взаимодействия за „вакуум" и описывать отклонения
от него в терминах частиц и дырок. Поскольку эта про-
процедура была рассмотрена довольно подробно, мы добавим
здесь лишь несколько замечаний.
Прежде всего, так как частицы в дырочно-частичном
формализме существуют только выше уровня Ферми eF,
а дырки — только ниже его, мы можем написать
Кдыр ^ Кч а ст. G.72)
Во-вторых, в простых примерах D.20) мы пренебрегали пра-
правильным знаком, который должен возникнуть из-за множи-
множителя (—1) ' в формуле G.21). На практике этой проблемы
молено избежать, если расширить соотношения коммутации
G.32) на предмет учета дырок. Воспользуемся соотноше-
соотношениями G.32) и введем туда операторы а и Ь, определяемые
равенствами D.18) и D.19). Полная совокупность правил
для всех этих операторов примет вид
К' аЛ+ = V К> ai\+ = К' а1]+ = °>
[Ьп, Ь$]+ = 6тг>, [Ьт, bp]+ = [bfm, bfp}+ = 0, G.73)
[аь bm]+ = [ak, bm\+ = [at, bm}+ = [at, bm\+=Q

154 Глава 7
[чтобы получить последнюю строчку, мы воспользовались
неравенством G.72)]. Пусть, например, надо вычислить сред-
среднее значение (O\bibt\O), где функция | 0) описывает ферми-
вакуум. Попытаться явно включить сюда множитель (— IJ'
было бы довольно хлопотно. А с помощью соотношений G.73)
все получается очень просто:
@ | bibl I 0) = @ | Ьы ~ blbi | 0) = б«. G.74)
Подобно G.35), последний член здесь равен нулю, ибо
в ферми-вакууме нет дырок. [Общий метод вычисления
матричных элементов типа G.74) состоит в том, чтобы, при-
применяя соотношения коммутации, последовательно переносить
все операторы уничтожения ая и bk направо, где они дей-
действуют на волновую функцию ферми-вакуума и дают нуль.
Это может оказаться очень утомительным; более простой
метод, использующий теорему Вика, излагается в прило-
приложении VI.]
Довольно просто переписать многочастичный гамильто-
гамильтониан G.47), G.48) и G.50) в дырочно-частичной схеме. Поль-
Пользуясь определениями D.18) и D.19) и правилами G.73), мы
получаем
#о= 2 вк- 2 Zkbtbk+ 2 гка\ак. G.75)
к < kp k<kF k>kp
Оператор btbk есть как раз оператор числа дырок; следова-
следовательно, второй член здесь явно показывает, что дырки обла-
обладают отрицательной энергией. Первый член есть просто
энергия ферми-вакуума. Подобным же образом находим
ffl=T S ^«ш»аМа*А» + Т S V klmn^AamK+ ¦ • •
k,l,m n>kp k, I, m>kp
n<kp
.. . + у У^ Vkimnbibkblbt G.76)
k, I, m, n<ttp
#2= 2, Vmna*man+ 2 Vmnm
tl<kp
+ 2 Vmnbman + 2 Vmnbmbl. G.77)
m < kp m, n<.kp
n>kp

Формализм чисел заполнения 155
Наконец, следует заметить, что по той же причине, по какой
отрицательна энергия дырки [см. D.2)], справедливы и соот-
соотношения
Импульс дырки = — к,
г G-78)
Спин дырки = — ст. ч
§ 6. Формализм чисел заполнения и собственные функции
одночастичного оператора координаты
До сих пор мы пользовались базисными функциями, пред-
представляющими собой собственные функции одночастичного
гамильтониана, т. е. оператора энергии. Однако нет такого
закона, который бы запрещал использовать любую удобную
систему одночастичных функций, например собственных функ-
функций оператора импульса или координаты. Рассмотрим случай,
когда в качестве базисных берутся собственные функции
оператора координаты г. Эта схема оказывается очень
полезной.
Одночастичный оператор координаты приводит нас к сле-
следующей задаче на собственные значения:
r6(r-R) = R6(r~R).
G.79)
Здесь собственное значение R есть координата любой точки
пространства, а б —дельта-функция Дирака, описывающая
частицу, находящуюся точно в точке R. Формулы G.3) и G.7)
дают оператор Но полной энергии N частиц и антисимметри-
зованную собственную функцию этого оператора. Аналогично
мы имеем теперь оператор центра инерции системы N частиц
G.80)
с собственной функцией
A1 (г г \— '
и'я,,дг .... rnVi> ¦¦¦> tn) (д,,
6(r,-R,) ... 6(rv-R,)
; ;
6(r,-RyV)...6(rA/-R.v)
G.81)
(Конечно, это не есть собственная функция //0!) Для простоты
мы опустили спин.

156 Глава 7
Переход к схеме чисел заполнения производится следую-
следующим образом [ср. D.6) или G.9)]:
= \nXi, nXt, ..., nx., ...). G.82)
Здесь символ пх. означает пх. частиц в одночастичном со-
состоянии б (г — хг), т. е. пх. частиц в точке х (для ферми-си-
стемы, как и раньше, пх. = 0 или 1). Таким образом, функция
|ях,» Пх , • ¦ •> Их-, • • •) описывает распределение частиц в про-
пространстве.
Аналогично операторы рождения и уничтожения здесь
суть с+, сх ; они соответственно рождают и уничтожают
частицу в точке х,-. Эти операторы обычно записывают в не-
неудачной форме, в которой они выглядят, как обычные волно-
волновые функции:
\J> (Xj) ^ сх. — рождает частицу в точке X;,
G.83)
\J> (Xj) ^ cXi — уничтожает частицу в точке X;.
Операторы г|з+(х) и \|з(х) играют главную роль в квантовой
теории поля. Комбинация
п (\\ = ill1" (x) ili (x) G 84^
представляет собой оператор числа частиц; собственные
функции его имеют вид G.82). Поскольку собственные зна-
значения этого оператора равны числам частиц в точке х, он,
очевидно, представляет собой просто оператор плотности
частиц.
Легко показать, что операторы t|)+(x;), г|з(х;) связаны
с операторами с\, с( из G.21) тем же самым преобразова-
преобразованием, которое переводит собственные функции б (г — R) в функ-
функции фк{г). Так, мы имеем
б (г - х,-) = 2 Л А (г),
или
loo... 1*.... оо...> = 24й1°° ••• и ... оо ...>,
1 'ft
или

Формализм чисел заполнения 157
откуда
-к*,)-2 л;Л. G-85)
k
Коэффициент Aik равен
-x(.) = ^(x(.). G.86)
Применяя это преобразование, легко показать, что гамиль-
гамильтониан G.51) выражается через полевые операторы следую-
следующим образом:
Я = J йЧ^ (х) [ - ^ V2 + U (х)] ф (х) +
+ у { J rf3x dH'V (x - х') ^ (х) i|j+ (xO ф (х') ф (х). G.87)
Например, подставляя операторы G.85) в первый член Н
(полагая х = хг)
и используя соотношение G.86), мы получаем
но = % c\ct J d\j>k (x.) е^; (х() =
G.89)
к
это есть наш прежний результат G.47).
Преобразование G.85) позволяет выделить в операторах
„частичную" и „дырочную" части
^ас.(х«Н^„ыр(хг).
ГДе 'Фчаст^.-') рожДает частицу в точке х., 1|здыр(хг) уничто-
уничтожает дырку и т. д.
§ 7. Бозоны
Повесть о числах заполнения легко переписать так, чтобы
главным ее героем стал бозон. Результаты, которые при
этом получаются, очень похожи на формулы A.37) —A.42).
Это не случайно: ведь фононы —тоже бозоны. Мы имеем:

158 Глава 7
1. Функция Ofe[ kN(ri, ...,rN) из формулы G.6) за-
заменяется симметризованнои комбинацией
= ФЯ, n,, ...(fi. ...,rw) = <r ,rN\nu ¦•¦,nh ...); G.91)
здесь
n, = 0, 1, 2, 3
2. Операторы ct, сг переопределяются следующим обра-
образом:
\\nv ..., nt, ...)=Vn, + l \nv .... я^ + 1, ...),
l, . .., «г .. .)= Vnt \fli, ..., И,- 1, . ..)•
3. Соотношения коммутации G.32) заменяются на
б) [сг, с,]_=0, G.93)
в) \с\, с\]_ = 0.
4. В случае бозонов нет дырок, а поэтому нет и дырочно-
частичного формализма.
5. Одно- и двухчастичные операторы остаются такими
же, как и в случае фермионов; следовательно, остается
в силе и выражение для гамильтониана ').
Литература для дальнейшего чтения:
Ландау, Лифшиц [38],
Дирак [14],
Шве6ер [61],
ШриффЕР [58].
Ч Это несправедливо для фононоа, когда гамильтониан взаимодей-
взаимодействия может включать в себя произведение любого числа операторов
рождения и уничтожения (см, [67], а также гл. 16).

Формализм чисел заполнения 159
Упражнения •
1. Вычислите c,CjC2 | 111000...).
2. Вычислите (^\с\сх\^), где | W) = А | 100...) 4- В | 111000 ...). [Не
забудьте, что (T^I^F) (см. приложение I, формулу A.18)), и ис-
используйте выражение G.18).]
3. Проверьте правила коммутации G.32) для специального случая,
когда функция I1?) определена, как в упражнении 2 [т. е. по-
покажите, например, что {с^с^Л- c\c^j |vf)=0 и т. д.].
4. Выпишите гамильтониан в форме вторичного квантования для си-
системы, описанной в упражнении 1 к гл. 3. Выберите в качестве
базисных собственные функции гармонического осциллятора.
5. Система из упражнения 1 к гл. 3 подвергается воздействию воз-
возмущения из упражнения 2 к гл. 3. Найдите вид энергии возмущения
в представлении вторичного квантования.
6. Вычислите в представлении вторичного квантования гамильтониан
взаимодействия для системы фермионов (без внешнего поля), в кото-
которой энергия взаимодействия между частицами имеет вид А6 (гг — г/).
Спином можно пренебречь.
7. Проверьте дырочно-частичные правила коммутации G.73).
8. Проверьте правильность выражения G.75).

Глава 8
ГРАНИЦЫ ПРИМЕНИМОСТИ
КВАЗИЧАСТИЧНОГО ОПИСАНИЯ
§ 1. Когда квазичастичный подход терпит неудачу
В качестве первого приложения метода вторичного кван-
квантования попытаемся выяснить некоторые аспекты квазича-
квазичастичной картины, которые остались туманными во время
полукачественных рассуждений в первой части книги. На-
Напомним прежде всего утверждение из гл. 1: было сказано,
что в большинстве систем многих тел исходный гамильто-
гамильтониан с сильным взаимодействием между частицами
Я = 5] Яо (р„ г(.) + у
I i, i
/или Я = >]е,с+с, + у 2
\ k k,l,m,n
можно преобразовать к виду
H' = E0+Iie'qAfqAq + f(...,Aq, . .., Aq, ...). (8.2)
Малая величина
Выражение (8.2) описывает систему приближенно независи-
независимых элементарных возбуждений с энергиями е' над основ-
основным состоянием Ео, слабо взаимодействующих друг с дру-
другом (малый член /). Это было проиллюстрировано для кол-
коллективных возбуждений на примере перехода к картине
фононов. Было замечено, однако, что в общем случае слиш-
слишком трудно перейти от гамильтониана (8.1) к (8.2) с помощью
канонического преобразования, вот почему мы и обратились
к квантовой теории поля; последняя позволяет прямо опре-
определять величины е' через полюсы функции Грина G (q, ©).
В частности, все наши примеры квазичастиц рассматривались
с помощью этого метода.

Границы применимости 161
Чтобы лучше понять соотношение между каноническим
преобразованием и методами квантовой теории поля, полезно
было бы иметь какой-нибудь простой пример, показывающий
как преобразование (8.1)—>(8.2) осуществляется в случае ква-
квазичастичных возбуждений в фер^и-системах. В § 2 этой
главы мы приведем как раз такой пример — модельную систему
с „чисто хартриевским" гамильтонианом, которая допускает
несложную точную трактовку как с помощью теоретико-по-
теоретико-полевого метода, так и канонического преобразования. Оба
метода дают один и тот же ответ: элементарные возбужде-
возбуждения оказываются совокупностью п квазич а стиц и рав-
равного им числа квазидырок (плюс член взаимодействия).
На примере этой простой модели можно понять, почему
число квазич а с т иц и квазидырок п должно быть значи-
значительно меньше полного числа N голых частиц в системе.
Это следует из анализа гамильтониана взаимодействия.
Чтобы квазичастичная картина была обоснованной, взаимо-
взаимодействие должно быть слабым; оказывается, что оно мало,
только если n<^.N. Лишь в этом случае мы можем говорить,
что полная энергия возбуждения равна сумме энергий ин-
индивидуальных квази частиц и квазидырок.
Другое ограничение квазичастичного подхода состоит
в том, что он пригоден только для квази ча с тиц и дырок
вблизи поверхности Ферми. Дело в том, что при увеличе-
увеличении разности между |к| и kF время жизни квази частиц
и дырок становится слишком малым.
Отметим один важный момент, который может вызвать
значительную путаницу, слово „квазичастица" в случае ферми-
систем используется в двух разных смыслах. В том смысле,
как мы его употребляем здесь [см. (8.2)], оно означает эле-
элементарное возбуждение над основным состоянием, при этом
есть два типа фермионных квазичастиц: квази част иц ы и
квазидырки. Существует, однако, „интуитивное" определе-
определение квазичастиц, введенное Л. Д. Ландау (см. [1]), которое
очень близко к картине классических квазиионов, изобра-
изображенных на фиг. 3. Согласно Ландау, всю систему взаимо-
взаимодействующих частиц в основном состоянии можно предста-
представить себе как заполненную квазичастицами вплоть до по-
поверхности Ферми: имеется N квазичастиц Ландау — по одной
на каждую затравочную частицу. При этом возбужденные
состояния образуются, когда квазичастицы Ландау выби-
выбиваются и'з сферы Ферми и, таким образом, создаются квази-
частицы и дырки — те самые, с которыми мы имеем дело.
Такая картина хороша, пока мы остаемся достаточно про-
проницательными и отдаем себе отчет в условиях ее примени-
11 Р. Маттук

162 Глава 8
мости. Во-первых, она имеет смысл только для квазичастиц
Ландау вблизи поверхности Ферми; в противном случае время
жизни слишком мало. Так что, хотя мы и говорим „N ква-
квазичастиц Ландау", это имеет только формальный смысл, по-
поскольку реально можно говорить лишь о тех квазичастицах,
у которых волновое число | k | близко к kF. Отсюда следует
также, что если nh есть число квазичастиц Ландау в состоя-
состоянии к, то слова „nk = 0 для |к|>?^ и пк—\ для |k|<fef"
имеют смысл только вблизи поверхности Ферми. Наконец,
хотя мы и говорим об основном состоянии как о „заполнен-
„заполненном N квазичастицами Ландау вплоть до \V\ = kF'\ мы не
можем исследовать свойства основного состояния в рамках
такой модели; в частности, энергия основного состояния не
равна сумме энергий квазичастиц Ландау.
Последнее ограничение квазичастичного подхода — это его
непригодность на интервалах времени, следующих сразу же
после того, как затравочная частица введена в систему:
должно пройти некоторое время, пока она успеет „одеться".
Это требует добавления к функции Грина поправочного члена,
который мы рассмотрим в последнем параграфе настоящей
главы.
§ 2. Система ф ер ми-частиц, допускающая
точное решение: чисто хартриевская модель
Пусть мы имеем систему N фермионов в отсутствие внеш-
внешнего поля, причем взаимодействие между частицами про-
проявляется только в рассеянии вперед:
Vklmn — V klklbmkbnl (8.3)
[сравните с формулой D.66), когда энергия взаимодействия
лишь приближенно относилась к этому типу]. Подставляя
этот матричный элемент в общее выражение для гамильто-
гамильтониана G.51), получаем
Н = Ц Vfo +i-? Vklklc\c\ckcv (8.4)
k kl
Для системы с полным гамильтонианом G.51) можно найти
лишь приближенные значения энергий квазичастиц. Мы
увидим, однако, что в случае простого модельного гамиль-
гамильтониана (8.4) решение получается точное.
Модельный гамильтониан (8.4) будет называться „чисто
хартриевским", ибо, как мы увидим, его действие сводится
только к появлению „эффективного поля Хартри" [рассмат-
[рассматривавшегося ранее в связи с формулой D.73)]. Наша цель —

Границы применимости 163
получить решение задачи в виде (8.2), т. е. показать, что
энергия системы складывается из энергии основного состоя-
состояния и совокупности почти независимых элементарных воз-
возбуждений (в данном случае — квазичастиц) над основным со-
состоянием. Проделаем это, сначала пользуясь непосредственно
диаграммным методом, а потом получим тот же результат
с помощью канонического преобразования.
Энергии взаимодействия (8.3) отвечают только следую-
следующие простые диаграммы:
(8.5)
[мы воспользовались здесь диаграммами D.44)]. Следова-
Следовательно, это единственные диаграммы, которые дают вклад
в энергию основного состояния E.42):
1
Ео = Wo
(к #/>
Действительно, немного повозившись, легко убедиться, что
с помощью только элементов (8.5) нельзя построить никаких
других диаграмм из ряда E.42). [Отметим, что все линии
функций Грина на этих диаграммах, так же как и на диаграм-
диаграммах D.54) и D.55), дырочные. Не лишне также обратить
внимание на то, что диаграммы в квадратных скобках не
удовлетворяют принципу запрета, ибо содержат одновременно
по две дырочные линии в состоянии к.] Вычислим теперь Ео,
воспользовавшись выражением E.44). Получим
Vkiki- (8-6)
k<kp k.Kkp
[Как видно из E.44), диаграммы с к = 1 взаимно уничтожаются;
штрих у суммы означает, что к=?Ч.]
Определим теперь энергии квазичастиц г'к через полюсы
функции Грина. Последняя в рассматриваемом случае точно
равна сумме только пузырей:
(8.7)
11-
ллллл/J
/vwwT J

164 Глава 8
Действительно, никакие другие диаграммы ряда D.63) нельзя
построить с помощью только элементов (8.5). [Сравните
с выражением D.67)! Там функция Грина лишь приближенно
равнялась сумме пузырей.]
Ряд (8.7) уже был просуммирован ранее [см. D.67)], и
для энергии квазичастиц мы получили [см. D.70)]
2
Kkp
k>kF,
(8.8)
В случае квазидырок суммирование тоже несложно:
- к| ¦
|к к
4-
к
к
к
ЛЛЛЛЛ
/*>
ЛЛЛЛ/Г
лллл/)
к |к"
— 1
к
л<I
(8.9)
Диаграммы в квадратных скобках взаимно уничтожаются,
и мы получаем
' . \\' xr U ^У U
&k —¦ Bft ~г ^j V klkh ™ "^ ™F»
г<*р (8.10)
т^ = оо.
Результаты (8.6), (8.8) и (8.10) можно объединить и пред-
представить в форме гамильтониана (8.2)
k<kP
i<kp
k>kp\ Kkp J k<kp\ Kkp J
+ /(..., Ak, ..., At, .... Bk, .... Bl, ...). (8.11)
Здесь At, Ak, Bk, Bk суть операторы рождения и уничтоже-
уничтожения квазичастиц и квазидырок соответственно. Знак „ — "
поставлен перед членом с bIb^ потому, что в соответствии

Границы применимости 165
с отношением D.2) энергия дырки (а следовательно, и ква-
квазидырки) отрицательна. Функция f описывает взаимодей-
взаимодействие между квазичастицами [см. (8.15)].
Попытаемся теперь получить тот же результат с помо-
помощью метода канонического преобразования. Для этого надо
найти такое преобразование, которое превращало бы выра-
выражение (8.4) во что-нибудь вроде (8.11). Это был бы частный
случай преобразования (8.1) —>-(8.2). Трудность с методом
преобразования становится очевидной немедленно. С чего
надо начинать? В отличие от диаграммного метода у нас
нет кулинарной книги, которая давала бы необходимые ре-
рецепты. Однако, как и в примере с фононами, оказывается,
что требуемое здесь преобразование исключительно не-
несложно—фактически это просто преобразование D.19), пере-
переводящее выражение (8.4) на язык обычных дырочно-частич-
ных операторов:
t +
cl = Bki-kFai +
(8-12)
Прежде чем выполнять это преобразование, попробуем
несколько покрутить выражение (8.4), дабы представить его
в более прозрачном виде. Из правил коммутации G.32) сле-
следует, что
С!СХС1 = - clcfiki + cXcAcv (8.1 з)
Подставляя это в (8.4), получаем
+т
>шЖФг (8-14)
ы
[Второе и четвертое слагаемые в ферми-системе взаимно
компенсируются, так как оператор c\ckc\ck, действуя на
произвольную волновую функцию вида G.20), дает тот же
результат, что и с\с^. пк равно только 0 или 1.] Подставляя
операторы ск из (8.12) в выражение (8.14), используя тот

166 Глава 8
факт, что bkb\=\ — b\bk, и группируя члены, получаем
Н' =
bkb\=\ — b\bk,
k < kP k, к kP
k>kp\ Z < ft/7 / ft < kp \ Kkp
1 v1' i/ + + V i/ + «.+ «.
— / v a a a ct — / v а а и и ¦
2 ^Л klkl к к I I XJ ft'ft' ft ft « «
kl> kp k>kp
ft. г < fef
Сравнение выражений (8.15) и (8.11) показывает, что квази-
квазичастичные операторы At, Ak в этом простом случае оказы-
оказываются обычными операторами частиц а\, ak, а операторы
квазидырок — операторами дырок b\, bk. Последний член
(в квадратных скобках) описывает взаимодействие между
квазичастицами и квазидырками. Видим, таким образом,
что в результате канонического преобразования получается
(8.15), т. е. тот же ответ, что и с помощью диаграмм.
Тем самым иллюстрируется эквивалентность диаграммного
метода и метода преобразований.
§ 3. Почему число квазичастиц должно быть малым
Как объяснялось в гл. 1, чтобы квазичастичная картина
была пригодной, член взаимодействия должен быть малым;
в противном случае нельзя рассматривать квазичастицы как
независимые. В гл. 2 [после выражения B.2)] указывалось,
что число квазичастиц п должно быть значительно меньше N,
числа реальных частиц. Попробуем теперь объединить эти
требования, показав на примере чисто хартриевской модели,
что неравенство п <С N как раз и составляет условие сла-
слабости взаимодействия. Следует отметить, что этот результат
справедлив в общем случае для систем, содержащих квази-
квазичастицы. Чисто хартриевский частный случай рассматри-
рассматривается только ради упрощения выкладок.
Пусть модельная система находится в возбужденном со-
состоянии
IS,, lg8, ..., !?„; 1?,, .... 1/"), (8.16)

Границы применимости 167
содержащем п частиц и п дырок. [Отметим, что функция
(8.16) есть точная собственная функция системы, потому что
в гамильтониане (8.15) фигурируют только операторы числа
частиц и дырок.] Вклад в энергию этого состояния от
каждого члена (8.15) рассчитывается следующим образом
/введем обозначение е'—е. + 2 Vblh,\:
{ * * KkF мы)
k>kp k>kp ' " ' "
*» _
= 2|Ч + 2 ^йг) = «(ёЧаст + Л/1/). (8.17)
*, V '<*/> /
Здесь N — число реальных частиц в системе (равное числу
состояний ниже поверхности Ферми), ёчаст — среднее значе-
значение энергии возбуждения частиц, V — среднее значе-
значение Vkiki- Аналогично находим \н[ описывает взаимодействие
квазичастиц в гамильтониане (8.15)]
2 e*btbk I 40 ~ п (ёдыр + NV),
k
4)~n2V, (8.18)
?о~ Wo + \ VN2.
Мы интересуемся величиной энергии остаточного взаимодей-
взаимодействия между квазичастицами по сравнению с энергиями
самих квазичастиц или дырок. Отношение этих энергий
составляет
Здесь сделано предположение, что мы имеем дело с обыч-
обычным случаем сильного взаимодействия, встречающимся в си-
системах многих частиц, когда NV > ёчаст. Следовательно,
можно считать, что гамильтонианы (8.11) и (8.15) описывают
почти независимые квазичастицы, только когда число квази-
квазичастиц мало по сравнению с полным числом частиц в си-
системе.
Теперь самое время явно показать, почему нужно быть
осторожным, используя описанную в § 1 настоящей главы
модель „квазичастиц Ландау". Допустим, мы наивно счи-
считаем, что система взаимодействующих частиц в основном
состоянии „заполнена" до уровня Ферми квазичастицами

168 Глава 8
с энергией e'k [см. (8.10)], так же как система невзаимодей-
невзаимодействующих частиц заполнена истинными частицами. Тогда
для энергии основного состояния получаем
?о= 2 4+ X Vklkh (8.20)
к < kp k, К кр
что неверно, как можно видеть, сравнивая выражения (8.20)
и (8.6). Вклад от взаимодействия здесь в два раза больше,
чем нужно. Это еще одно свидетельство „двойного учета",
о котором уже говорилось в связи с формулой B.2). Именно
мы учитывали взаимодействие Vkiki дважды — один раз
в эффективном поле, действующем со стороны частицы в со-
состоянии / на частицу в состоянии k, а другой раз в эффек-
эффективном поле, действующем со стороны k на /. Когда же мы
пользуемся выражением (8.15) и считаем, что п <С N, мы
избегаем двойного учета.
§ 4. Грубый расчет времени жизни квазичастицы
Второе ограничение, о котором мы упоминали, состоит
в том, что квазичастичный подход терпит неудачу, когда
энергии квазичастиц слишком сильно отличаются от энергии
Ферми. Чтобы понять это, рассмотрим сначала критерий
C.17). В ферми-системе, когда мы имеем дело с частице-
подобными возбуждениями над е'р (энергией Ферми системы
с взаимодействием) и дыркоподобными возбуждениями
ниже eF, энергия, фигурирующая в критерии, должна отсчи-
тываться от е'р, т. е.
JL^-e',. (8.21)
В чисто хартриевской модели xk = оо [см. (8.10)], поэтому
критерий удовлетворяется для любых к. Но это несправед-
несправедливо в общем случае. Мы же сейчас собираемся показать,
что в большинстве ферми-систем время жизни квазичастицы
удовлетворяет соотношению
i~«J. (8.22)
Следовательно, когда энергия г'к слишком далека от ъ'р,
время жизни хк оказывается слишком коротким, чтобы удо-
удовлетворить неравенству (8.21), и квазичастичная картина
становится непригодной. Соотношение (8.22) будет получено

Границы применимости 169
более строго в гл. 11; здесь мы дадим лишь грубое квази-
квазидоказательство его.
Время жизни квазичастицы в состоянии с импульсом к
равно обратной величине вероятности переходов, отнесенной
к единице времени, — вероятности рассеяния квазичастицы
с уходом ее из состояния к за счет столкновений с другими
квазичастицами. Сделаем вид, что столкновения между ква-
квазичастицами напоминают столкновения между реальными
частицами (на самом деле это не так, ибо взаимодействие
между квазичастицами может быть „запаздывающим", т. е.
может зависеть от времени, даже когда „голые" частицы
взаимодействуют мгновенно; см. § 4 гл. 10). Приняв эту
гипотезу, вычислим вероятность перехода из состояния kj
(\ki\^kF). При типичном акте взаимодействия данная ча-
частица сталкивается с частицей в состоянии |к2|^&/7, в ре-
результате чего появляются частицы в состоянии к3 и к4; при-
причем вследствие сохранения импульса
к4 = к, + к2 - к3. (8.23)
Вероятность перехода есть
Wk, ~ | <Яс2 | d% | Vku *,+*,-*,. *,. ftl I2, (8.24)
где матричные элементы VМтп даются соотношением D.42).
При вычислении интегралов (8.24) нужно принять во вни-
внимание, что в соответствии с принципом Паули все состоя-
состояния ниже kF заняты, поэтому
|к3|>^, \^\>кР\ (8.25)
далее в силу закона сохранения энергии
k\ + Щ = k\ + k\. (8.26)
Соотношения (8.25) и (8.26) вместе означают, что
k\ + k\ > 2kp. (8.27)
Рассмотрим сначала предельный случай, когда | k, \ = kP. Тогда
из неравенства (8.27) следует, что kl^kp. Ho|k2K&/?; это
означает, что | к21 = кР. Подобным же образом | к31 = | к4 \ = kP.
Иными словами, все импульсы лежат на сфере Ферми.
Допустим теперь, что |k1| = feF + 6, где kP S> б>0. Тогда
в силу неравенства (8.27) \k2\^kP — б. Равным образом,
поскольку |k2|s^^/7, то, чтобы выполнялось соотноше-
соотношение (8.26), величины | к31 и | к41 должны быть меньше kF + 6.
Следовательно, все импульсы лежат в шаровом слое

170 Глава 8
толщины б = | к! | — kF около сферы Ферми. Допустим, что в по-
поведении потенциала V нет никаких странностей; тогда легко
показать, что интеграл по к2, взятый по объему данного
шарового слоя, дает множитель ~ 4nkF (| ki | — kF). Такой же
множитель получаем и от интеграла по к3, поэтому
Wkl~{\kx\-kFf. (8.28)
Но
Следовательно,
±=Wk~{ek-tpJ, (8.30)
чем и „оправдывается" оценка (8.22), в предположении, что
квазичастицы взаимодействуют, грубо говоря, так же, как
и реальные частицы.
Отметим, что в специальном случае модельного взаимо-
взаимодействия (8.3) мы имеем к, = к3; при этом легко показать,
что в соответствии с приведенными выше соображениями
область интегрирования имеет нулевой объем, так что W=0,
и, следовательно, время жизни бесконечно в согласии
с результатом (8.10).
§ 5. Общая форма записи функции Грина
для квазичастицы
Квазичастичная формула C.15) достаточно хороша для
описания квантового детского бильярда и приближения
Хартри — Фока; в случае более сложных ситуаций ее надо
несколько обобщить. Прежде чем вводить более общее выра-
выражение, вспомним, что нам известно о функциях Грина.
В соответствии с выражениями C.2) и D.29) одночастич-
ная функция Грина определяется равенством
G(k2, ku t2-t,) =
= G + (k2, kb t2-ti)h>h + G~(k2, kx, t2-tx)u<ti, (8.31)
где
Ш (k2, k\, t2 — t\) — Амплитуда вероятности того, что если
в момент времени t\ к системе взаимо-
взаимодействующих частиц в основном состоя-
состоянии добавляется частица в состоянии Фк ,
то в момент /2 система будет находиться
в основном состоянии, а добавленная
частица — в состоянии Фк\, (8.32а)

Границы применимости 171
— iG (&2> ^i> ^2 — ^i) = Амплитуда вероятности того, что если
в момент времени t2 к системе взаимо-
взаимодействующих частиц в основном со-
состоянии добавляется дырка в состоя-
состоянии Фк , то в момент tx система будет
находиться в основном состоянии,
а добавленная дырка — в состоя-
состоянии **,: (8.326)
(Знак „ —" перед функцией G~ ставится только для фер-
мионов; для бозонов надо писать +iG~.)
Функции G* для случая свободных частиц даются выра-
выражениями C.9), C.13), D.31), D.32). Эти результаты можно
записать в компактной форме, если ввести функции
1 для х > 1 | + б, ek > eF
n ^ i> ^k — \ x ^ (8.33)
U для х <. i (, — о, е^ < Вр
Тогда, используя выражение (8.31) и полагая t = t<2. — tx, мы
получаем
Go(k, t)=-i [e,9e._е„е-'е*' - в_(вер_е,е-'е*'1 (8.34)
(относительно слагаемого /б см. приложение IX).
В гл. 3 мы доказали из физических соображений, что
в системах, описываемых с помощью квазичастиц, функция
Грина G выглядит так же, как и Go; надо лишь заменить гк
на г'к и ввести время жизни хк [см. C.15)]. Однако этот
рецепт не совсем верен, ибо он не учитывает того факта,
что, когда голую частицу вводят в систему, ей требуется
некоторое время, скажем tc, чтобы „одеться". Иначе говоря,
частица не будет вести себя как квазичастица до тех пор,
пока разность t2 — tj не станет больше tc. Далее можно
показать, что квазичастичное выражение для функции Грина
становится несправедливым, когда t2 — t\ S> xk, где xk — время
жизни. По этой причине надо записывать функцию Грина
в виде суммы „чисто квазичастичной" функции и поправоч-
поправочного члена, который будет важен при t<tc и t>xk.
Еще один вопрос возникает в связи с тем, что может
оказаться невозможным добавить в ферми-систему „целую"
частицу в состояние <f>k, так как это состояние может быть
уже занято — целиком или частично— другой частицей. Так,
еСли мы попытаемся добавить частицу в состояние k<kF

172 Глава 8
к системе невзаимодействующих частиц, то мы увидим, что
это невозможно, так как названное состояние уже занято;
поэтому в данном случае G = 0. В системе с взаимодействием
состояния k, как показано на фиг. 10, заняты частично.
Чтобы учесть это обстоятельство, необходимо ввести ампли-
амплитудный множитель Zfc<l.
Неплохо было бы включить в определение функции Грина
также и „квазидырочную" часть аналогично тому, как дыроч-
дырочная часть была введена в свободную функцию Грина
[см. (8.34) и (8.35)].
Из этих соображений получаем (t = t2 — t{)
,e \k k ) _
eF
г, t). (8.36)
Здесь 0< Zfe <! 1 (Zk не зависит от t\), e^, —энергия Ферми
для системы с взаимодействием, a F (k, ?) —поправочный
член. Фурье-трансформанта функции Грина имеет вид
Окваэнчаст (k, СО) = Т—-~ 7—^7 + F ik' <*)• (8-37)
ш-е. + i 26 , , - 1] х.
Следует помнить, что квазичастицы хорошо определены,
только если выполняется условие (8.21), т. е.
Наконец, несколько слов о подозрительном поправочном
члене F. Скептикам может показаться, что в него упаковано
так много грехов, что квазичастичное выражение становится
бесполезным. Это неверно, так как мы, разумеется, требуем,
чтобы слагаемое F не содержало ничего, что могло бы ском-
скомпенсировать член с Zk(ll). Существуют также определенные
„правила сумм", которым эта поправка должна удовле-
удовлетворять [см. (9.25)], но в других отношениях никаких осо-
особенных ограничений на нее не накладывается. Есть осно-
основание ожидать, что функция F достаточно регулярна и,
по-видимому, мала. Можно показать, что она описывает
коллективные возбуждения в системе, но мы не будем здесь
этим заниматься.

Границы применимости 173
Литература дпя дальнейшего чтения:
Нозьер [48],
Абрикосов, Горьков, Дзялошинский [1],
Фаликов [16],
Упражнения •
1. С помощью правил, приведенных в табл. 7, докажите, что в выра-
выражении (8.9) диаграммы в квадратных скобках компенсируют друг друга.
2. Проверьте правильность соотношения (8.15).
3. Энергия и время жизни квазичастиц в электронном газе даются
(в приближении RPA) выражением A0.46). Принимая rs = 1 (случай
высокой плотности), оцените по порядку величины, как далеко от поверх-
поверхности Ферми квазичастичная картина все еще пригодна.
4. Покажите, что выражение (8.37) вытекает из (8.36).

Глава 9
ОПЯТЬ ОБ ОДНОЧАСТИЧНОЙ
ФУНКЦИИ ГРИНА
§ /. Вторичное квантование и функция Грина
В предыдущих главах мы использовали интуитивный
подход к квантовой функции Грина, определив ее физически
и получив ее диаграммное разложение в ряд теории возму-
возмущений по аналогии со случаем детского бильярда. Хотя
способ такого рода и хорош для того, чтобы быстро войти
в курс дела, он имеет очевидные ограничения. Поэтому
в настоящей главе мы собираемся провести более строгое
рассмотрение функции Грина с помощью метода вторичного
квантования.
Введя операторы c\{t) и ck(t), рождающие и уничтожаю-
уничтожающие частицу в момент времени t, мы сможем написать про-
простое и компактное математическое выражение для функции
Грина. Привыкнув к нему, мы увидим, что работать с ним
намного легче, чем со словесным определением (8.31), (8.32),
и что выражение это существенно облегчает понимание
свойств функции Грина. Оно вскрывает также и суть диа-
диаграммного разложения, так как может быть представлено
в виде ряда теории возмущений, причем каждому слагае-
слагаемому этого ряда соответствует одна из построенных нами
ранее диаграмм.
В последней части этой главы мы посмотрим, как можно
несколько упростить ряд теории возмущений, принимая
во внимание „топологию" диаграмм.
§ 2. Математическое выражение для одночастичной
функции Грина
Функцию Грина G можно представить в виде одного из
двух компактных выражений
G(kv kv tz-t,)= - / <Ч'0|7- (cj*2L,('i)} |^o>. (9-1)

Опять об одночастичной функции Грина 175
ИЛИ
G (г2) г„ h -h)=- I <% | T ft (r2, t2)^(ru f,)} I Vo>. (9.2)
Мы будем рассматривать только первую форму; те же рас-
рассуждения годятся и для второй. Будет изучен смысл каждой
величины из выражения (9.1) и будет показано, что это выра-
выражение в точности совпадает с определением (8.31), (8.32).
Прежде всего Wo есть точная волновая функция основ-
основного состояния системы N взаимодействующих частиц. Опе-
Операторы ck(t) и c\{t) уничтожают и рождают частицу в со-
состоянии с импульсом к в момент времени t. Более точно,
это есть обычные операторы ck, c\ в представлении Гейзен-
берга (см. [58]):
\
где Н — гамильтониан системы с взаимодействием [например,
оператор G.51)]. Фигурирующие в выражениях (9.3) экспо-
экспоненциальные операторы определены в приложении II, (П.З).
Наконец, виковский оператор упорядочения во времени Т
определяется следующим образом:
Т {A (^i) В (^г) • • •} = (~ 1)Р X Операторы, перегруппированные
так, что время уменьшается слева
направо, если никакие из двух
времен не совпадают,
= (— 1)р X Операторы, перегруппированные
так, что в случае совпадающих
времен все операторы с+ (или а+,
или Ь) стоят слева от опера-
операторов с (или а, или 6+). (9.4)
Здесь Р есть число перестановок, необходимых для приве-
приведения операторов в требуемый временной порядок, отпра-
отправляясь от того порядка, в котором они стоят в скобках.
Таким образом,
= -4,dK(Q, *2<v (9-5)
[Обратите внимание: множитель (— 1)р в случае бозе-частиц
отсутствует.] Следовательно, функцию Грина G можно пере-
переписать в виде
G = G+{k2,kut2-tl)=-iClro\ck,(t2)ci{tl)\yiro), t2>tl,

176 Глава 9
Рассмотрим сначала случай t2>t\. Подставляя сюда фор-
формулы (9.3), имеем
яЧ ^^- (9-7)
В+ А
Выражение ехр(— iHt) представляет собой оператор вре-
временной эволюции системы (см. приложение II). Поэтому
ехр(— ifiti)\ Ч^) есть волновая функция основного состояния
в момент времени tv а с^ ехр(—/Я^)] Тл есть волновая
функция такого состояния, которое получено путем доба-
добавления к основному состоянию системы в момент времени t{
одной частицы с одночастичной волновой функцией <j>k. Сле-
Следовательно, выражение
А = е-ш fc-toct е-*/и, | \роу (9.8)
есть волновая функция системы в момент времени t2 при
условии, что в момент времени t\ к ней добавлена частица
с волновой функцией фк.
Смысл функции Bf явствует из выражения
""'\^0> (9.9)
[см. приложение I, (I. 18)]. Это есть, очевидно, комплексно
сопряженная волновая функция системы с одной частицей
в состоянии <j>k, добавленной к основному состоянию в мо-
момент времени t2. Следовательно,
G = В А = Компонента функции В вдоль А =
= Амплитуда вероятности того, что состояние си-
системы в момент t2 при условии, что в момент tx
к системе была добавлена частица в состоянии Фк ,
совпадает с состоянием той же системы, полу-
полученным добавлением одной частицы в состоянии Фк
в момент времени t2. (9.10)
Эта формулировка, очевидно, есть просто попытка переска-
пересказать определение (8.32а) с набитым ртом. Применяя тот же
метод к функции G~ в (9.6), приходим к определению (8.326).
Тем самым доказывается полная эквивалентность равенств
(9.1) и (8.32). Те же рассуждения годятся и в случае (9.2)
в применении к операторам г|з(г) и г|з1'(г), определяемым со-
соотношениями G.83).
Используемый здесь формализм показывает, что процесс
„добавления частицы в состоянии фк" не так прост, как
могло бы показаться. Рассмотрим, например, специальный

Опять об одночастичной функции Грина 177
случай одночастичной системы, находящейся в точном основ-
основном состоянии
|Чу = Я| 1000... ) + D\ 0100 ...), (9.11)
где
|В|2 + |?>|2=1, |В|2>0, (9.12)
и представим себе, что мы пытаемся добавить в момент
/i = 0 частицу в низшем одночастичном состоянии <j>{. Тогда
Cie-mo|4fo> = ci|4ro> = 0 + Dl И00 ...). (9.13)
Отсюда видно, что „добавление частицы" сопряжено с уда-
удалением „части" старой частицы, пребывавшей в состоянии фх
в б-компоненте волновой функции | Ч'д); при этом частицу
можно добавить, только если для нее есть свободное место
в D-компоненте.
Положим теперь ^ = 0, t2 = t и найдем функцию G(l, I, t)
сразу после добавления к системе частицы в состоянии фг
(т. е. пусть t —> 0+)
lim G(l, I, 0= lim - '(^oh @
+
= - i\ D |2 @100 ...|0100...)= - 2'|D|2. (9.14)
При этом мы использовали соотношение G.18).
Согласно (9.12), | D |2 меньше единицы. Отсюда явствует,
что даже сразу после добавления частицы в состоянии
с волновой функцией ф{ вероятность обнаружить ее там
меньше единицы, ибо названное состояние уже было занято
в | Ч'о) с вероятностью | В |2. В самом деле, если D = 0, то,
согласно (9.14), G = 0 (частица не распространяется) просто
потому, что при этом невозможно добавить частицу в со-
состоянии <j>x к | Ч^о) — нельзя уехать в уже набитом автобусе.
Одночастичная система представляет собой, конечно, спе-
специальный случай, однако [используя для Ч/о выражение G.20),
а не (9.11) и разбивая его на две части, в одной из которых
«ft, = I, а в другой tik, = 0] можно убедиться в том, что
так же обстоит дело и в системе многих тел. Именно по
этой причине в выражение для функции Грина квазичастицы
(8.36) и вводят перенормировочный множитель Zk.
В качестве упражнения полезно посмотреть, как выра-
выражение (9.1) в случае отсутствия взаимодействия переходит
в формулу (8.34) для функции Грина свободной частицы.
12 Р. Мапуи

178 Глава 9
Гамильтониан и волновая функция основного состояния си-
системы без взаимодействия имеют вид
Я0=ЕерС?Ср) Яо|Фо>=Дер|Фо>, |Ф0> = | 111... 1,000...).
(9.15)
Вычислим функцию Go, полагая ^ = 0, t2~t'-
Go+(fe, /) = - г<Фо|е+г%^Г(Яо(с1|Фо)е,. (9.16)
Используя очевидные обозначения, имеем
4|Фо) = (-0ЛГ|Ф0> i*>Vv (9Л7)
Таким образом, k должно быть больше, чем kF. Далее
яо|фО) 1,> =
Поэтому, согласно приложению II, формула (II. 7),
еЛ А . (9.19)
\p<kp
Наконец, действуя оператором e.xp{iHot), получаем
Go (ft, t)=- 1\-6рЬ^~1^\ (9.20)
что совпадает с (8.34).
Пользуясь функцией Грина (9.1), легко получить среднее
по основному состоянию от любого одночастичного опера-
оператора G.37)
(Wo\ @\ Wo) = f2©fti lim G (/, ft; t). (9.20a)
и <->o
С помощью функции Грина молено найти также и энергию
основного состояния системы (см. [64] или [60]).
§ 3. Спектральная функция')
Анализ математических свойств функции Грина, в осо-
особенности ее „аналитических свойств", проводится с помощью
специального инструмента, называемого „спектральной функ-
функцией" Л* (к, ш). Проф. Шриффер называет эту функцию „по-
') Автор использует термин „функция спектральной плотности". Мы,
однако, будем придерживаться более широко употребляемого в советской
литературе термина „спектральная функция". — Прим. перев.

Опять об одночастичной функции Грина 179
лисменом", указывающим вам на то, что вы где-то нару-
нарушили правила в вычислениях с функциями Грина. В настоя-
настоящей книге, однако, мы не собираемся производить каких-
либо детальных расчетов в задаче многих тел. Поэтому
для наших целей эта функция не нужна. Тем не
менее, поскольку в литературе эти „полисмены" встречаются
гораздо чаще, чем сами функции Грина, стоит потратить
время на то, чтобы познакомиться с их формой. За деталями
следует обратиться к приложению VIII и к книге [52].
Идея такая же, как и при разложении любой зависящей
от времени функции f (t) в интеграл по частотам
f{t)= Г F{a)etatda. (9.21)
Здесь функция F (ш) определяет „спектр" f(t). Соответствую-
Соответствующее выражение для функции Грина системы в отсутствие
внешнего потенциала (см. приложение VIII) есть
G (k, t)=-ij d®A+ (к, со) е" {а+м\ t > О,
(9-22)
ш, t<0,
где ц — химический потенциал, причем
гЭнергия основного со-т гЭнергия основного ео-т
_ стояния системы N I I стояния системы N—\ pN pN—l.
И* = взаимодействующих взаимодействующих I ^0 *-"? »
1-частиц J 1-частиц J /g tws
А± (к, ш) есть „спектральная функция", аналогичная F (ш)
в выражении (9.21).
Преобразование Фурье соотношения (9.22) приводит к ра-
равенству
_ ,. ч f , Л Л (к, и') , А (к, и') I /п пл\
G (к, ш)= dm \ —¦—г-тгН——,—!-J—Чг f, (9.24)
v> ' j (со — со — (х + гб ' и + со — (.i — гб J ' v '
о
называемому „разложением Лемана" для функции Грина.
Спектральная функция обладает следующими важными
свойствами:
12*

180 Глава 9
а) А (к, в)^0 и действительны,
Г г А - i (9-25)
б) И (к, ш) + А (к, (u)Jrfco= 1 („правило сумм").
О
Спектральная функция для свободных частиц есть
б-функция
Af (k, @) = В±гк+гр6 (± © - в* + Ц). (9.26)
Подставив это выражение в соотношения (9.22) и (9.24), мы
получим Go (к, t) и Go (к, со). Для квазичастиц б-функция
размывается и приобретает лоренцевскую форму
Л^вазичаст (к, ю) = ^ ~ ) ' "' " , { ,2 + D (к, ш), (9.27)
ч
где D{k, ш) — поправка, необходимая для того, чтобы удо-
удовлетворялось правило сумм. Подстановка этого выражения
в соотношения (9.22) и (9.24) сразу дает функцию Грина для
квазичастиц, (8.36); см. [60].
Одна из основных причин популярности спектральных
функций состоит в следующем. Предположим, что мы при-
приближенно вычисляем G (к, ш) путем частичного суммирования
некоторого класса диаграмм. Вообще говоря, приближенное
выражение G (к, ш) может обладать и неправильными „ана-
„аналитическими свойствами", в результате чего, пользуясь им
для вычисления некоторых свойств системы, мы можем по-
получить физически бессмысленный результат. Выход из поло-
положения состоит в том, чтобы использовать приближенное
значение функции Грина G (к, ш) для вычисления спектраль-
спектральной функции А±:
А+(к, со — ц) = — — Irn G(k, со), ш>ц,
, (9.28)
А {к, ц - со) = + -I- Irn G (k, со), ш<ц.
ЭХ
Если функция Л* удовлетворяет условию „а" из (9.25), то,
подставив ее в соотношение (9.22) или (9.24), мы получим
функцию Грина с заведомо правильными аналитическими
свойствами (так как к ним имеет отношение только усло-
условие „а"). Если не выполняется правило „б" то, как и в слу-
случае (9.27), можно добавить поправочное слагаемое. Другое
дело, как его найги фактически [64].

Опять об одночастичной функции Грина 181
§ 4. Вывод разложения для функции Грина в задаче
многих тел
Разложение функции Грина в ряд теории возмущений
в гл. 3 и 4 было получено в основном по аналогии со слу-
случаем детского бильярда. Не грех бы позаботиться, однако,
чтобы апелляция только к мартышкиным аргументам не
привела нас к мысли о том, что диаграммная техника есть
либо а) забава для детского сада, либо б) продукт черной
магии. С этой целью мы наметим идею строгого доказа-
доказательства такого разложения для случая одной частицы, опи-
описанного в § 4 гл. 3. Доказательство в многочастичном слу-
случае значительно более сложно. Оно, однако, не необходимо
для понимания остального материала книги и потому отне-
отнесено в приложения II —VII. (Мы будем время от времени
ссылаться на некоторые их части, которые могут быть про-
прочитаны отдельно.) Набросок такого доказательства содер-
содержится в приложении II, где показано, как полное диаграм-
диаграммное разложение вытекает из зависящего от времени уравне-
уравнения Шредингера.
Вероятно, большинство читателей, заглянувших сейчас
в это приложение, найдут его настолько непривлекательным,
что удовлетворятся мартышкиной трактовкой.
§ 5. Топология диаграмм
Чтобы развить общие методы работы с диаграммами,
надо иметь способ систематического построения всех диа-
диаграмм гс-го порядка. К нему мы сейчас и обратимся.
Начнем с простейшей ситуации, например когда мы имеем
N фермионов во внешнем поле. Ряд для функции Грина G
в этом случае имеет вид D.34). Чтобы получить все диа-
диаграммы я-ro порядка, изобразим п жирных „вершин" в верти-
вертикальном ряду и пометим их индексами t\, ..., tn, кроме того,
изобразим две тощие „внешние точки" и пометим их индек-
индексами ty и to [см. (9.29), диаграмма а]. Соединим теперь точки
всеми возможными „топологически различными" (в смысле
Голдстоуна — см. ниже) связанными способами так, чтобы
в каждую точку входило и из каждой точки выходило
по одной линии. Для случая п = 3 это показано в (9.29),

182 Глава 9
диаграммы б —ж'):
1г •
In
кг
m
9
3 и
(9.29)
[Термин „связанный" означает, что диаграмма состоит только
из одного куска. См. приложение VII, (VII. 1).]
Под „топологически различными" способами (в смысле
Голдстоуна) мы понимаем следующее. Представим себе точки
в виде кругляшков из затвердевшей жевательной резинки,
и пусть они соединены друг с другом резиновыми шнурками
с прикрепленными к ним головками стрелок. Тогда две
диаграммы топологически эквивалентны (в смысле Голд-
Голдстоуна), если одну из них можно получить из другой путем
деформации без изменения порядка точек по вертикали.
В противном случае диаграммы называются различными.
Например, диаграммы ж и з эквивалентны, и обе отличаются
от диаграммы и. Последняя совпадает с г. Очевидно,
имеется п\ диаграмм n-го порядка2). Отметим, что „все топо-
топологически различные способы соединения п точек" отвечают
„всем физически различным путям, по которым частица может
пройти сквозь систему, рассеявшись п раз".
Этот „метод Голдстоуна" можно значительно упростить,
если направленной линии сопоставлять полную функцию
Грина G = G+ + G~ [см. (8.31) и (9.6)], а не отдельно G +
или G~¦ Это соответствует „методу Фейнмана". Тогда в сум-
') В (9.29) показаны только те диаграммы, для которых tl<t[ и
t2 > t'3. Возможны также и другие диаграммы, для которых t\ < ty < t'3
и (или) t\ < t2 < t'3
2) Зто верно только для /[</[,..., tn<t2. Их будет значительно
больше, если мы включим случаи /, < tx < tn и t{ < t2 < tn.

Опять об одночастичной функции Грина 183
мах по промежуточным состояниям, нумеруемым, скажем,
индексом /, мы автоматически получаем Gq для l>kF и GJ"
для KkF. Таким образом, больше нет необходимости рисо-
рисовать дырочные линии, ибо любая направленная линия есть
линия частицы при l> kF и линия дырки при I < kF. Более
того, не имеет значения и временной порядок точек. Следо-
Следовательно, ряд D.34) принимает вид
кг
/с,
(9.30)
Другими словами, диаграммы Голдстоуна упорядочены во
времени, а диаграммы Фейнмана не упорядочены1).
Это позволяет сэкономить массу художественной работы —
одна трехвершинная диаграмма (9.30), например, топологи-
топологически эквивалентна (в фейнмановском смысле) шести диаграм-
диаграммам б —ж в (9.29J)! Правило построения диаграммы и-го
порядка становится теперь тривиальным— просто рисуется п
вершин и две внешние точки и через них проводится верти-
вертикальная линия. Уравнение (9.30) можно записать в виде
(опуская для краткости аргумент со)
G (fe, k{) = bklkfio (/г,) + Go(Zfi) Vk2k,Go {Ц +
по всем q
G0{ki)VqklGo{q)Vk*Go{k2)+
(9.31)
Построение диаграмм в случае взаимодействующих фермис-
нов в отсутствие внешнего поля [см. D.63)] значительно
сложнее. Чтобы получить все диаграммы «-го порядка, нари-
нарисуем п извилистых линий с двумя вершинами на обоих концах
каждой из них и две внешние точки
(9.32)
') В методе Голдстоуна интегрирование по времени проводится по
интервалам, допускаемым временным порядком в диаграмме, в то время
как в методе Фейнмана оно проводится в интервале от — ооA — щ\ до
+ оо A — it]) (см. примечание на стр. 84).
2) Плюс все диаграммы с иным порядком следования времен, о кото-
которых упоминалось в приме 1аннях на стр 182.

184 Глава 9
Соединим все точки друг с другом направленными линиями
всеми связанными, топологически различными (в смысле
Голдстоуна) способами так, что каждая вершина будет иметь
одну входящую и одну выходящую линию и в одну внешнюю
точку будет входить, а из другой выходить одна линия.
Заметим, что, согласно D.60), деформированные диаграммы
типа D.61) не являются топологически различными в смысле
Голдстоуна и рисовать следует только одну из них.
Рассмотрим для иллюстрации поправки к функции Грина
второго порядка. Число различных связанных диаграмм,
возникающих в соответствии с правилом (9.32), даже в столь
низком порядке ослепительно или, может быть, подавляюще
в зависимости от того, как вы смотрите на вещи — эстети-
эстетически или практически. Несколько типичных диаграмм имеют
вид
G2-
2-й порядок :
лллл/j
ллллл/ J
УЛЛЛЛ/ГЛ
э
p-q
р\/р + ...
»лллл/
—О
(9.33)
Проведя некоторое время наедине с этими сюрреалисти-
сюрреалистическими картинками, нетрудно сообразить, что многие из них
можно отбросить. Прежде всего вследствие закона сохране-
сохранения импульса диаграммы б, г, з, и, к, м содержат частицу
и дырку с одинаковыми импульсами. Однако это невозможно

Опять об одночастичной функции Грина 185
в силу G.72). Таким образом, этих диаграмм нет. (Такие
диаграммы называют „аномальными" или „не сохраняющими
импульса". Они дают вклад, если система неоднородна, на-
например в присутствии внешнего поля, или находится при
конечной температуре.) Далее, если мы примем метод Фейн-
Фейнмана [см. (9.30)], в котором каждой линии соответствует
полная функция Грина G и упорядочение во времени значе-
значения не имеет, то е == <Э, ж = л. Следовательно, из всего
ряда (9.33) „выживают" только следующие диаграммы:
порядок —
—О
—О
ЛЛЛЛ
(9.34)
4 5
или
Сг2-й по
рядок ¦
+
/ +
/wvQ
V +
+
0 +
У
(9.35)
При этом последний набор представляет собой не более чем
традиционный способ изображения диаграмм (получаемый
путем изготовления их из резиновых шнурков с последующим
растягиванием вверх и вниз так, чтобы главная линия
выпрямилась). Ясно, что равенства (9.34) и (9.35) топологически
эквивалентны в смысле Фейнмана. Отметим, что в методе
Фейнмана направление стрелок не определяет линию частицы
или линию дырки, а указывает просто направление импульса.
Обратите внимание на важную роль стрелок! Именно из-за
них диаграммы 2 и 3 в наборе (9.34) оказываются тополо-
топологически различными!
Вычислим типичную диаграмму второго порядка с помо-
помощью метода Фейнмана. Используя табл. 7, мы получаем
в (к, /^пространстве [относительно пределов интегрирования

186 Глава 9
по времени см. абзац (мелкий шрифт), следующий за форму-
формулой D.37)]
^ЛЛЛЛЛЛЛЛЛ,
k- q Л
члллАллллУ
_ J dtdtfliG0(k,t-tl)][-iVq]X
q, p — oo (I — ill)
X [/Go (k - q, t' - t)\ [/Go (p, t - t')\ X
X [/Go (p + q, V - /)] [ - iVq] [/Go (k, t2 - t%
(9.36)
Отметим, что порядок времен в функции Грина Go обычный:
время у конца направленной линии минус время у начала.
Напомним, что выражение (9.36) представляет собой на самом
деле две объединенные диаграммы <Э и е из (9.33).
Множитель (—1) появился из-за присутствия фермионной
петли
I i . Фермионные петли были определены сразу же
после выражения D.56). Например, диаграммы а, б, з в (9.33)
имеют по две петли, диаграммы в, г, д, е, и, к — по одной,
а другие —ни одной. (См. конец приложения VII.)
Фурье-трансформанта выражения (9.36) имеет вид
ю- е
p + q
--?-х
р. ч
X [/Go (k - q, со - в)] [/Go (р, р)] [Шо (р + q, Р + в)] [ - iVqf. (9.37)
Видно, что энергетические параметры со, е, р и т. д. сохра-
сохраняются в вершинах так же, как и импульсы. Это связано
с появлением в результате интегрирования б-функций типа
2я6(со' — со) из формулы B.23).
Отметим, что энергетический параметр следует сопоста-
сопоставлять как функции Грина, так и линии взаимодействия.
В некоторых случаях элемент Vq на самом деле зависит от г
(это „частотно зависящее" или — в (q, ^-пространстве — „за-
„запаздывающее" взаимодействие). Наконец, обратим внимание
на то, что необходимо производить интегрирование или сум-

Опять об одночастичной функции Грина 187
мирование по всем промежуточным импульсам и энергиям,
причем слово „промежуточный" означает исключение из сумм
и интегралов тех частот и импульсов, которые совпадают
с значениями к и со на входящей или выходящей линии.
И еще одно замечание. Мы можем избежать рассмотрения
„не распространяющихся" линий как специального случая,
что было сделано в табл. 7, используя следующее соглашение:
—-iG0(k, e)=-l, k<kF,
(9.38)
= 0, k>kP.
(На самом деле этот интеграл равен —-[ для k<kF и +-|
для k>kF. Альтернативно можно было бы ввести в опре-
определение Go специальный фазовый множитель, как это описано
в приложении IX. Лицам, которых такие соглашения травми-
травмируют, рекомендуем по-прежнему рассматривать не распро-
распространяющиеся линии как особый случай!)
Таким образом, например,
к, ы
= [/Go(к, со)]2 2j J -fH ~ iV^i) UGoil 8)] =
= [/G0(k, со)]2 2 (~iVmi)(-l), (9.39)
что совпадает с результатом D.62).
§ 6. Правила построения диаграмм для одночастичной
функции Грина
Мы достигли теперь момента, когда можно уже сформу-
сформулировать в окончательной форме правила построения и вычи-
вычисления диаграмм того типа, который будет использован
в двух последующих главах. Эти диаграммы описывают
систему взаимодействующих фермионов в отсутствие внешних
полей и всегда будут строиться в (к, со)-пространстве с по-
помощью метода Фейнмана. Искомые правила состоят в сле-
следующем:
1. Для получения диаграммы n-го порядка строим п
извилистых линий с вершинными точками и две внешние
точки, как это показано в (9.32).
2. Соединяем все вершины и внешние точки друг с дру-
другом направленными линиями всеми связанными, топологи-

188 Глава 9
чески различными (в смысле Фейнмана) способами. Каждой
вершине должна отвечать одна входящая и одна выходящая
линии; в одну внешнюю точку должна входить, а из другой
выходить одна линия. Две диаграммы топологически раз-
различны, если, будучи сделаны из резиновых шнурков, они
не могут быть переведены друг в друга путем деформации.
3. Каждой линии, в том числе и волнистой, сопоставляем
импульс к (это есть сокращение для совокупности к, о, где
0 —спин) и энергетический параметр со, так что сумма импуль-
импульсов (и энергетических параметров) всех входящих в вершину
линий равна соответствующей сумме всех выходящих линий.
Отбрасываем все „аномальные" или „не сохраняющие
импульсы" диаграммы, т. е. те, которые содержат электрон
и дырку в одном и том же состоянии.
Применение этих правил приводит к следующему ряду:
э
(9.40)
4. Вычисляем диаграммы, пользуясь словарем табл. 10

Диаграммный словарь для многофермионнои системы Таблица 10
со взаимодействием в отсутствие внешнего поля
(метод Фейнмана)
Элемент чиагоаммы
Множитель
к,
или к, <
Ш (к, со)
к, ш I или к, ш |
iG0 (к, со) ¦¦
причем
i uk>k
bk>k =+».
=-в,
-1, fe<^
0, k> k.
m
или — iVg [для зависящего
от времени взаимодействия следует
брать УЫтп(г) или Vq (в)]
Каждая фер- Пример:
мионная
петля
Каждый промежуточный энерге-
энергетический параметр со
r_rfffl_
J 2я
Каждый промежуточный им-
импульс к
d3k
к
(включая и суммирование по спинам)

19 0 Глава 9
Примеры применения этих правил будут даны в следую-
следующих главах. Прежде чем перейти к ним, не лишне указать,
что не все строят диаграммы так, как мы. Некоторые „гра-
„графологи" используют сокращенные диаграммы, в которых
волнистые линии взаимодействия заменены точками или
маленькими квадратиками. Например,
ИЛИ
о
или
(9.41)
Отметим, что такая сокращенная диаграмма заменяет
несколько диаграмм Фейнмана. (См. [67] или [29] по поводу
диаграмм с точками и [1] касательно диаграмм с квадра-
квадратами.)
§ 7. Модифицированный формализм функций Грина,
в котором используется химический потенциал \х
Только что описанный формализм может оказаться не-
несколько неудобным при реальных вычислениях, так как, если
не принять особых мер предосторожности, можно получить
для функции Грина G приближения, которые дают непра-
неправильное число частиц в системе.
Чтобы понять это, установим связь между функцией
Грина G и полным числом частиц N. Последнее есть сред-
среднее по основному состоянию системы с взаимодействием от
оператора полного числа частиц <2.'^lc\ck (множитель 2 обу-
k
словлен спином)
c\c
\ck |
- 2
c\c
\ck |
(9.42)
Величина, стоящая под знаком суммы, легко выражается
через G {k2, kh t2 — t1), если в формуле (9.6) положить t2 = t,
ti = 0, k1 = k2 = k и устремить t к нулю слева. В результате
получим искомое соотношение
J ^J ^ G (к, ф-'«.
—ЙИт J
(9.43)
Предположим теперь, что некоторая рассматриваемая
система состоит из No частиц. Представим себе, что путем

Опять об одночастичной функции Грина 191
частичного суммирования какого-то класса диаграмм в (9.40)
мы получили приближенное выражение для G; подставим
его в соотношение (9.43), дабы проверить, выполняется ли
равенство N = No. Ясно, что приближенная функция Грина
будет зависеть от Nq. Действительно, она выражается через
„свободную" функцию Грина Go, которая зависит от kF;
последняя величина в свою очередь связана с УУ0 соотно-
соотношением
N° = 2 X 1 = W I й"к = 1^ > или ** = C^oOi- (9-44)
k<kp ' k<kp
Отметим, что энергия Ферми
Таким образом, N будет функцией от yvo. Однако в силу
того, что выражение для функции G было приближенным,
нет никакой гарантии, что N совпадет с УУ0-
Этой трудности можно избежать, не изменяя развитого
выше формализма, либо с помощью обсуждавшегося в § 3
метода спектральных функций, либо с помощью описанной
в § 1 гл. 11 самосогласованной теории возмущений. Оказы-
Оказывается, однако, что гораздо проще несколько видоизменить
развитый выше формализм. Модификация состоит в исполь-
использовании „большого канонического ансамбля" при нулевой
температуре (случай конечных температур описан в гл. 14).
Дело сводится к тому, что мы больше не рассматриваем
систему как изолированную с определенным числом ча-
частиц yvo- Вместо этого приводим ее в контакт с резервуаром
частиц, разрешив ей терять или приобретать частицы. Таким
образом, на протяжении всех вычислений число частиц N
есть величина переменная. Химический потенциал системы (J.
[см. (9.23)] фиксирован, но неизвестен. Его значение нахо-
находится в конце всех вычислений из условия N = No. В этом
случае модифицированный гамильтониан имеет вид [48]
где
Я 'Y7 сЧЧ с
1 2 JU kltnnClCkCmCn>
klmn
a N — оператор полного числа частиц.

192 Глава 9
Основное состояние модифицированного невозмущенного
гамильтониана #о находят, подбирая число частиц и способ
заполнения уровней так, чтобы минимизировать энергию.
Легко видеть, что это приводит к требованию, чтобы все
уровни вплоть до гк = \х, т. е. до /г? = ]/ 2ш\х, были заполнены.
Соответствующее число частиц есть N = (Зя2)~' {2m\if2. Одно-
частичная функция Грина, соответствующая гамильто-
гамильтониану Но, есть
о (к, со) = , 6k = { (9.47)
ш - {гк ~ v) + lbk 1-1 для гк<\х.
Все правила построения диаграмм остаются такими же, какие
указаны в табл. 10, с той лишь разницей, что функцию Go
теперь следует заменить на Go-
В указанном методе приближенная функция Грина зави-
зависит от (j., так что после подстановки ее в выражение (9.43)
функцией от \х становится и N. Определив теперь величину \х
из уравнения
( N0, (9.48)
мы можем быть гарантированы, что получим правильное
число частиц. [Отметим, что найденное таким путем зна-
значение \х зависит от энергии взаимодействия Н\. В системах
без взаимодействия (Hi=0) точная функция Грина G равна
просто Go, и, используя соотношения (9.47), (9.43) и (9.48),
мы получаем
Таким образом, химический потенциал \i равен гР — энергии
Ферми (в системе без взаимодействия), определяемой ра-
равенством (9.45).]
Литература для дальнейшего чтения:
Пайнс [52],
Шульц [60
Ш
ц [
Шриффер
58],
лес [64
Таулес [65 ,
Браун [11],
Изли [15],
Нозьер [48],
Андерсон [2],
Абрикосов, Горьков, Дзялошинский [1],
Клейн [35],
Киржниц [69].

Опять об одночастичной функции Грина 193
Упражнения 9
't('l)c/('2L('4 К0ГДЯ /2>^ И
1. Найдите 7 |cft (.^ ^ \/а; "ш v'3;j' ""¦«•¦ -2^ 'з
2. Вычислите дыро'.ную часть функции Грина (9.6) в отсутствие
взаимодействия и покажите, "то она равна дырочной части выражения
(8.34) [используйте соотношения типа (9.15) —(9.20)].
3. Проверьте, что если соотношение (9.26) подставить в (9.22) и (9.24),
то полу"атся правильные выражения для функций Грина свободной
частицы.
4. Покажите, что диаграммы к и ж в (9 33) содержат частицу и дырку
в одном и том же состоянии.
5. Какие из приведенных диаграмм топологически эквивалентны
в смысле Фейнмана?
а 6 в
6. Используя индексы, явно учитывающие сохранение импульса,
выпишите в (к, со)-пространстве феинмановскую диаграмму ж в (9.33).
7. Проверьте соотношение (9.20а).

Глава 10
УРАВНЕНИЕ ДАЙСОНА, ПЕРЕНОРМИРОВКА,
ПРИБЛИЖЕНИЕ СЛУЧАЙНЫХ ФАЗ
И ЛЕСТНИЧНОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ
§ /. Общие методы частичного суммирования диаграмм
Как мы уже отмечали, обычная теория возмущений оказы-
оказывается беспомощной, сталкиваясь с сильными, сингулярными
потенциалами взаимодействия в системах многих частиц.
В таких типичных случаях, как электронный газ или ядер-
ядерная материя, почти все слагаемые в разложении функции
Грина или вакуумной амплитуды оказываются расходящи-
расходящимися. Поэтому, желая получить сколько-нибудь разумный
результат, мы вынуждены выходить за рамки обычной теории
возмущений и использовать метод частичного суммирования
диаграмм. В первой половине книги мы уже встречались
с простыми примерами применения этого метода.
В настоящей и следующей главах мы собираемся рас-
раскрыть некоторые общие трюки частичного суммирования,
которые стали непременной частью большинства работ, ис-
использующих аппарат функций Грина. Эти трюки могут про-
произвести на непосвященных довольно обескураживающее
впечатление, поскольку бесконечное число бесконечных рядов
диаграмм появляется только для того, чтобы затем улету-
улетучиться, как пар, пока не останутся только две диаграммы!
Однако, несмотря на всю загадочность, этот метод чрезвы-
чрезвычайно прост —дело сводится к суммированию геометриче-
геометрических прогрессий, — и только сопутствующие заклинания
придают всему этому мистический характер.
Общие методы частичного суммирования для вычисления
функции Грина ферми-системы с взаимодействием в отсут-
отсутствие внешних полей перечислены в табл. 11.
Процесс суммирования, указанный в п. 2 — 4 табл. 11,
называют часто „перенормировкой" [см. B.2)]. Например,
в результате перенормировки взаимодействия возникает более
простой ряд, в котором все линии взаимодействия уже не
содержат никаких „поляризационных частей", а все они

Уравнение Дайеона, перенормировка 195
Общие методы частичного суммирования Таблица 11 *
Общий тип суммируемых диаграмм Результат
1. Все диаграммы, содержащие по- Уравнение Дайеона
вторения неприводимых соб-
собственно-энергетических частей.
(Суммирование полное.)
2. Все диаграммы с «поляризацион- «Одетые», «эффективные» или «пе-
ными частями», вставленными в ренормированные» взаимодей-
линии взаимодействия ствия
3. Все диаграммы с «собственно- «Одетые» или «перенормирован-
энергетическими частями», вста- ные» линии частиц или дырок
вленными в линии свободных ча- (самосогласованная теория воз-
стиц или дырок мущений)
4. Все диаграммы с «неприводимыми Одетые вершины
вершинными частями», вставлен-
вставленными на место голых вершин
одетые. То же самое относится и к линиям, описывающим
частицы, и к вершинам.
С чисто внешней точки зрения наиболее удивительный
результат такого рода суммирований состоит в колоссальном
упрощении вида ряда. Не следует думать, однако, что это
просто „искусство для искусства". Суть дела в том, что
суммирование бесконечного ряда расходящихся слагаемых
приводит к новому ряду, каждый член которого уже коне-
конечен. Мы увидим этот замечательный эффект при изучении
электронного газа высокой плотности.
Другая существенная особенность частичного суммиро-
суммирования состоит в том, что результат его поддается непосред-
непосредственно физической интерпретации. Например, одеванию
взаимодействия отвечает просто его экранирование, а одетая
одночастичная линия соответствует квазичастице.
Следует, наконец, отметить, что табл. 11 выглядит не-
несколько более впечатляюще, чем это есть на самом деле.
Именно, на практике, слова „все диаграммы" в каждом
случае приходится заменять на „один или два типа диа-
диаграмм". В некоторых предельных случаях это приводит
к превосходным приближениям. Например, в электронном
газе высокой плотности основной вклад дают „кольцевые"
диаграммы („приближение случайных фаз", или RPA), в то
время как в фермионном газе низкой плотности, подобном
ядерной материи, основной вклад обусловлен „лестничными"
13*

196 Глава 10
диаграммами. И даже не в предельных случаях суммиро-
суммирование одного или двух типов диаграмм полезно, поскольку
оно дает возможность избежать расходимостей.
§ 2. Уравнение Дайсона
Техника частичного суммирования, использованная при
получении простых приближении Хартри D.67) и Хартри —
Фока D.76), может быть обобщена для вывода чрезвычайно
удобного точного выражения для функции Грина, известного
под именем уравнения Дайсона. В указанных приближен-
приближенных методах частичное суммирование оказалось возможным
благодаря тому, что мы имели дело с повторением простых
частей диаграмм, подобных ./vw\Q и <???, нанизанных
на основную направленную (к, (в)-линию, как жемчужины
в ожерелье. Рассмотрение полной функции Грина (9.40) по-
показывает, что она представляет собой ожерелье из повто-
повторяющихся простых частей и может быть просуммирована
подобным образом.
Выясним более точно, что мы понимаем под „простой
частью", или, как ее называют на модном в литературе
языке, „собственно-энергетической частью", или „неприво-
„неприводимой собственно-энергетической частью" '). Введем сначала
определения.
Собственно-энергетическая часть — любая диаграмма без
внешних (т. е. входящих и выходящих) линий, которую
можно вставить в линию частицы (или дырки).
Примеры:
(ЮЛ)
Два маленьких обрубка линий в каждой из этих диаграмм
показывают, где именно к ним подсоединяется линия частицы.
Эти диаграммы, как видно в (Э.40), вставлены различными
способами в линию частицы.
Неприводимая собственно-энергетическая часть — соб-
собственно-энергетическая часть, которую нельзя разбить на две
') В литературе используется также термин „массовый оператор". -*•
Прим перев.

Уравнение Дайсона. перенормировка 197
несвязанные собственно-энергетические части путем удаления
одной линии частицы или дырки.
Примеры:
A0.2)
Части, которые можно разбить на две указанным способом —
подобные диаграммам 3 и 5 в A0.1),— называются „приво-
„приводимыми".
В случае D.67) мы суммировали все диаграммы, содер-
содержащие повторения собственно-энергетической части Q
в результате чего получилось
1
A0.3)
В выражении D.76) суммирование проводилось с учетом двух
неприводимых частей (/wwQ и <?2?> что дало
A0.4)
Подобным же образом можно суммировать и с учетом трех
неприводимых частей
(VWV\
ЛЛ/V/v *¦
1 ПК |
A0.5)

198 Глава 10
Наконец, в общем случае можно просуммировать по всем
повторениям всех неприводимых собственно-энергетических
частей:
>
+ xt + ••• +
или
— 1
A0.6)
(Ю.7)
Здесь (s) есть сумма всех неприводимых собственно-энерге-
собственно-энергетических частей — полная неприводимая собственно-энерге-
собственно-энергетическая часть или массовый оператор:
A0.8)
В переводе на язык функций, согласно табл. 10, это означает
1
G (к, <о) =
— ek — 2 (к, со) + ibk
где
-Я(к,
A0.9)
A0.10)

Уравнение Дайсона, перенормировка 199
В системе без взаимодействия 2 (к, (в) = 0. Отметим, что при
суммировании диаграмм A0.3) —A0.6) необходимо было огра-
ограничиться суммой по повторениям неприводимых собственно-
энергетических частей. Если бы мы суммировали по повто-
повторениям приводимых частей, то каждая диаграмма учиты-
учитывалась бы дважды в силу того, что, как это можно усмо-
усмотреть из диаграмм 3 и 5 из A0.1), приводимые части сами
содержат повторения.
Соотношение A0.7) или A0.9) называется уравнением
Дайсона. Это есть основное уравнение, из которого исходят,
вычисляя функцию Грина. Оно точное, потому что все вхо-
входящие в (9.40) диаграммы получаются либо из неприводи-
неприводимых собственно-энергетических частей, либо из повторений
неприводимых собственно-энергетических частей, и все они
были учтены нами при суммировании. Таким образом, сум-
суммирование здесь не частичное, а полное. Но не давайте себя
одурачить всеми этими рассуждениями и не думайте, что
если выражение A0.7) точное, то это и есть решение задачи!
Все, что было сделано — это проведено суммирование по по-
повторениям неприводимой собственно-энергетической части;
сумма же A0.8) по всем неприводимым частям по-прежнему
неизвестна, и, к несчастью, вычислить ее в общем случае
невозможно. Можно, однако, найти ее с различной степенью
точности. Например, в низшем порядке для (е) мы получаем
приближение Хартри — Фока
B) * |/wvvQ + ^ A0.11)
Путем сравнения точного выражения для функции Грина
A0.7) с приближением Хартри A0.3) или Хартри —Фока A0.4)
легко установить физический смысл массового оператора
2 (к, со). По аналогии с соображениями, приводившимися по
поводу соотношения D.73), можно говорить, что выражение
2 (к, (о) описывает обобщенное „эффективное поле", или
„эффективный потенциал", который действует на частицу
с импульсом к вследствие взаимодействия ее со всеми осталь-
остальными частицами системы. Это поле, конечно, значительно
сложнее хартри-фоковского из-за своей частотной зависи- •
мости, отражающей движение облака, окружающего квази-
квазичастицу [см. второй абзац после D.95)].
Важно заметить, что уравнение Дайсона в форме A0.7)
справедливо только в специальном случае системы в отсут-

200 Глава 10
ствие внешних полей (который мы и будем главным образом
рассматривать); при этом диаграммы можно вычислять
в (к, ш)-пространстве. Существует, однако, и более общая
форма уравнения Дайсона, содержащая все то, что нахо-
находится и в разложении (9.40):
A0.12)
Справедливость этого уравнения можно доказать с помощью
итераций
лллл/j
лллл/j
л/wv .
A0.13)
Уравнение A0.12) сводится к A0.7) в указанном выше
специальном случае пространственно однородной системы.
Действительно, тогда вклад от каждой диаграммы дается
просто произведением величин, отвечающих каждой из со-
составляющих ее частей. Соответственно
или
G(k, co) = G0(k, <o) + G(k, <оJ(к, <o)G0(k, со), A0.14)
что и приводит к выражению A0.7) или к формуле A0.9).
Что же касается уравнения A0.12), то оно справедливо и

Уравнение Дайеона, перенормировка 201
тогда, когда диаграммы не факторизуются. Например,
в(к, ^-пространстве
A0.15)
или
/G(k, *2-'i) = 'G0(k, h-tx) +
dt'dt"iG0{k, t2-t"){-i)Z{k, t" -t')iG{k, t'-tx).
A0.15a)
В отличие от алгебраического уравнения A0.14) последнее
уравнение — интегральное.
Другим примером использования уравнения A0.12) служит случай
системы во внешнем поле Тогда
*G(ft2, ft,; ш) = /О0(/г2, щNЛ2,e| +
+21 ^(^^V'"'^^^ (u)iG(k,kl; со). A0.16
ft, ft'
Заметим, что, как уже говорилось на стр. 185, разложение (9.40) вклю-
включает в себя и аномальные диаграммы. Если рассматривать G (ft2, k\\ со)
как элемент некоторой матрицы с индексами k2 и kb то понимаемое как
матричное выражение A0.7) по-прежнему будет служить решением ма-
матричного уравнения A0.16) [39].
Собственно-энергетические диаграммы можно явно вы-
вычислять с помощью словаря табл. 10 [см., например, A0.29)].
Однако тогда нам придется выполнять все интегрирования
по промежуточным энергетическим параметрам. Сокращен-
Сокращенный метод, позволяющий этого избежать, требует нового
словаря, подобного тому, который используется при вычи-
вычислении энергии основного состояния (см. табл. 12). Эти пра-
правила описаны в книге [65] и в статьях [35, 42].
§ 3. Квазичастицы в ферми-системе низкой плотности
(лестничное приближение)
В качестве примера вычисления собственно-энергети-
собственно-энергетической части мы кратко опишем развитую Галицким (см. [52]'))
') См. также [741 — Прим.

202 Глава 10
теорию систем частиц, взаимодействующих посредством
короткодействующих сил отталкивания. Радиус действия сил
обозначим через а, а среднее расстояние между ними —
через г0. Слова „низкая плотность" означают, что ajrQ<^ 1.
Подобная теория может качественно описывать ядерную ма-
материю (см. § 4 гл. 12), где а/го~-з, коль скоро мы прене-
пренебрегаем притягивающей частью ядерного взаимодействия.
Она неприменима в случае Не3, где а/го>1.
Оценим сначала порядок величин различных диаграмм
для неприводимой собственно-энергетической части и выяс-
выясним, какие из них наиболее существенны. Оказывается, что
каждой дырочной линии соответствует множитель kPa, так что
~ КрО,
и т д.
A0.17)
Далее, поскольку плотность частиц п
[см. (9.44)], a rl=l/n, то kpa~a/r0,
равна "з л 2 X kp
т. е. й^а <С 1. Следова-
тельно, в пределе низкой плотности наиболее существенны
те диаграммы, которые содержат лишь одну дырочную ли-
линию. Таким образом, собственно-энергетическую часть при-
приближенно можно представить в виде суммы
••• A0.18)
Это и есть „лестничные диаграммы".
Суммирование лестничных диаграмм можно выполнить
с помощью так называемой t- или /(-матрицы. Она опре-

Уравнение Дайсона, перенормировка 203
деляется рядом
= |лллл| +
A0.19)
/^-матрица удовлетворяет уравнению, аналогичному уравне-
уравнению Дайсона:
P/ «' q - p', ы - e'
P''*' q-p',w-e'
(ллллллл| + * '
"t A020)
в чем легко убедиться с помощью итераций [так же, как
это делалось при выводе соотношения A0.13)]. Перевод гра-
графического уравнения A0.20) на язык функций дает
К (р', е', р, е; q, со) =
= Vp-p' + 11 %ку ^pVp'Go (P", в") Go (q - р", со - е") X
Х/С(р", е", р, е; q, со). A0.21)
[В некоторых простых случаях, например для потенциала
парного взаимодействия A2.41) или для факторизующегося
потенциала [58], Л>матрицу можно вычислить явно.]
Подставляя выражение A0.19) в A0.18), получаем
A0.22)
Найдем сначала приближенное выражение для К,, восполь-
воспользовавшись уравнением A0.21). Далее этот результат под-
подставим в выражение A0.22) для 2 и полученный таким об-
образом массовый оператор —в уравнение Дайсона. Все это
приводит к функции Грина квазичастицы, имеющей вид (8.37)
при k, близких к kF\ при этом эффективная масса и время
жизни квазичастицы вблизи поверхности Ферми оказываются
равными
l] ±=^k\a\k-kP)\ A0.23)
Заметим, что результат для времени жизни согласуется с со-
соотношениями (8.30) и (8.29).

204 Глава 10
§ 4. Квазичастицы в электронном газе
высокой плотности (приближение случайных фаз)
В § 9 гл. 4 мы ввели понятие об электронном газе —
системе N электронов, движущихся на фоне размазанного
положительного заряда. В голубых мечтах теоретика это
есть модель металла. При нулевой температуре электронный
газ характеризуется единственным безразмерным парамет-
параметром rs, который равен, грубо говоря, среднему расстоянию
между электронами, измеренному в боровских радиусах.
Более точно rs определяется равенством
электрон / 3 4
где п есть плотность электронов, аа—боровский радиус.
В соответствии с этим параметром значения п можно раз-
разбить на несколько характерных интервалов (фиг. 7).
вигнеровская
реальные металлы решетка
0 1 10 20 Г
высокая промежуточная низкая плотность
илошность плотность г I
(/¦»/¦ I
1 ^киы *'ц1пев'
Фиг. 7. Классификация электронного газа по плотности.
Пока что удалось успешно освоить только две области.
Первая — это область высоких плотностей, где кинетическая
энергия ЕКИН электронов много больше потенциальной энер-
энергии их взаимодействия Епотен, так что последняя играет роль
относительно слабого возмущения. Вторая область —это об-
область малых плотностей, где потенциальная энергия уже
настолько превосходит кинетическую, что система перестает
быть пространственно однородной, и точки, в которых плот-
плотность электронного газа имеет максимумы, образуют объемно-
центрированную кубическую решетку, называемую вигне-
ровской. Интересная промежуточная область, отвечающая
реальным металлам (ri= 1,8 -ь 5,6), до сих пор устояла перед
атакой теоретиков, хотя и здесь достигнут некоторый про-
прогресс (см. [23, 261 )• По выражению Монтролла, здесь физик
подобен мыши, откусывающей маленькие кусочки от края
черствого куска сыра и не имеющей возможности добраться
до свежей его сердцевины. В настоящем параграфе, исполь-

Уравнение Дайсона, перенормировка 205
зуя технику теории многих тел, мы рассмотрим левый край
этого куска сыра, т. е. предел высокой плотности.
Гамильтониан системы электронов на фоне размазанного
положительного заряда имеет вид
k k, i, m, i
T П положительный "f" /i электроны —положительный > A0.25)
фон фон
где матричные элементы Vklmn=Vq определены равенством
G.71). Гамильтониан можно упростить, так как слагаемое
с Vo выпадает ич второй суммы, сокращаясь с соответствую-
соответствующими слагаемыми в двух последних частях гамильтониана.
Величину Vo легко вычислить с помощью выражения G.69).
Опуская для простоты спиновые индексы, мы имеем
Таким образом, слагаемое с Vo оказывается равным
Л V t - _JiV f + _ Л V t _
2 Zjcickckci~ 2 2uCiCiC><Ck 2 Z^Ckck '
?^да?^. A027)
При получении этого результата мы использовали (8.13),
кроме того, мы воспользовались соотношением G.30) и тем
обстоятельством, что в большой системе А'2 >> N. Результат
A0.27) в точности совпадает с бесконечной энергией стати-
статического однородно распределенного отрицательного заряда.
Точно такой же энергией самодействия обладает и положи-
положительный однородно распределенный заряд фона, в то время
как энергия взаимодействия электронов с этим фоном равна
величине A0.27), умноженной на 2, и имеет противополож-
противоположный знак. Таким образом, все эти энергии взаимно уничто-
уничтожаются, и слагаемое с Vo выпадает из A0.25):
q, m, n
id Ф 0)
Перейдем теперь к рассмотрению квазичастиц в таком
газе, используя уравнение Дайсона A0.7). Типичная диа-

206 Глава 10
грамма для неприводимой собственно-энергетической части
A0.8) есть
Ч
k-q,
ш — е
да-
ллЛгчлгУ
ч. р
X
-. (Ю.29)
Переходя от суммы по q к интегралу, мы обнаруживаем,
что из-за множителя q4 в знаменателе это выражение рас-
расходится при q = 0 [см. соображения, приводящие к формуле
A2.19)]. Таким образом,
= оо
A0.30)
Анализ высших порядков приводит к тому же выводу: боль-
большинство диаграмм расходится. Казалось бы, это довольно
обескураживающее начало. Положение, однако, можно
спасти, проведя частичное суммирование. Отметим сначала,
что все расходящиеся диаграммы в любом порядке обла-
обладают тем свойством, что линии взаимодействия отвечает
один и тот же импульс передачи q, так как каждая такая
линия дает в подынтегральное выражение множитель ljq2.
Это так называемые кольцевые диаграммы
Я ,
A0.31)
Ясно, что именно эти „главные" диаграммы вносят основной
вклад в неприводимую собственно-энергетическую часть 2.

Уравнение Дайсона, перенормировка 207
Поэтому мы можем формально аппроксимировать 2 суммой
таких колец
= Конечная величина + ОО + ОО + ОО +
A0.32)
Сюда включена и диаграмма „открытая устрица". „Пузырь"
первого порядка выпал, так как ему соответствует значение
q = 0 [см. D.54) и D.46)], а в гамильтониане A0.28) такое
слагаемое отсутствует. Таким образом, пузырь уничтожился
положительным фоном. Самое замечательное состоит в том,
что эту бесконечную сумму бесконечных слагаемых можно
вычислить и результат оказывается конечным! Это приводит
к так называемому „приближению случайных фаз" (RPA),
хорошо работающему в пределе высоких плотностей, где
гл<1 (в § 3 гл. 12 приведены соображения, показывающие,
откуда берется это ограничение).
Суммирование колец проводится легко. Выделим в каждой
диаграмме A0.32) множитель, соответствующий функции
Грина свободной частицы (это не совсем очевидно для
„устрицы", ибо, согласно правилам табл. 10, она предста-
представляет особый случай, но такое выделение для нее все же
законно). Получим
+ /wwV + • • •
JWVV
_ kq
A0.33)
Двойная волнистая линия отвечает „эффективному взаимо-
взаимодействию" в приближении случайных фаз, о котором уже
говорилось в § 9 гл. 4, и интерпретируется как „экраниро-

208 Глава 10
ванное" взаимодействие между двумя частицами
/t + ,лллЛ/ + ...
л/vw
; О-
ЭЛЕКТРОН-ДЫРОЧНАЯ ПЕТЛЯ"
/\ " Т/ „4iii.njrwii ,Ц01ги1ПНI lltrlJIM
.лллА/
Диаграммы вида /, 2, 3, ..., имеющие одну входящую и
одну выходящую линии взаимодействия, называются поляри-
поляризационными диаграммами. Дело в том, что они показывают,
как это взаимодействие приводит к „виртуальной поляри-
поляризации" среды всеми возможными способами. Например,
диаграмма 2 в A0.34), рассматриваемая в (г, ^-пространстве,
при условии, что нижний конец „электрон-дырочной петли"
лежит при г,, tu а верхний — при г2, /2. описывает при
tl<t<t2, как отрицательный электрон и положительная
дырка разделяются в пространстве, образуя „виртуальный
диполь". (Разумеется, при t>tx координаты частицы и дырки
четко не определены. Это, однако, не меняет сути дела —
проста виртуальный диполь становится „рыхлым".)
Уравнение A0.34) можно переписать на языке функций:
V V
K(qC0) ^ = A035>
,C0)= 1 + l/^(q>a) = eRpA(q,a)
где
ч А
/no(q,<B)= , { }*•« A0.36)
Выражение A0.35) имеет вид взаимодействия между двумя
зарядами в диэлектрике с зависящей от частоты, или, как
говорят, „обобщенной", диэлектрической проницаемостью
Это, конечно, не простое совпадение. Диэлектрические
свойства среды появляются именно из-за ее поляризации
полем, а сумма диаграмм A0.34) как раз и описывает поля-
поляризацию электронного газа полем одного из них. В отличие

Уравнение Дайсона, перенормировка 209
от голого потенциала Vq выражение КЭфф (q, со) зависит ог
частоты со. В (q, ^-пространстве, переход к которому осуще-
ствляется с помощью преобразования Фурье, взаимодействие
оказывается зависящим от времени, что связано с инерцией
поляризационного заряда.
Используя правила вычисления диаграмм, указанные
в табл. 10, можно вычислить по(ц, со):
d3k de t i
-mo(q, со) = 2 X(-l) J
A0?38)
Множитель 2 возник из-за суммирования по спинам, а — 1 —
вследствие присутствия в диаграмме фермионной петли.
Этот интеграл вычислен в книге [60] ') путем контурного
интегрирования. Предельное значение при со = 0 и малых q
окатывается равным
Ло (малые q, « = 0) = ^-, А2 = ^- , A0.39)
F
где /г — плотность электронного газа, a eF = k2F/2m.
Теперь можно вычислить КЭфф при со = 0 и малых q.
Полагая Q=l и опуская для простоты спин в выражении
G.71), имеем
Vq = ~-. A0.40)
Подставляя это выражение и A0.39) в формулу A0.35),
в этом предельном случае получаем
КэФФ«ра) Илые q, со = 0)=-^~, A0.41)
так что
iW) ~ 4 e~v- A0-42)
Таким образом, мы пришли к экранированному кулоиовскому
взаимодействию. (Более правильное выражение можно naiiTii
в книге [60].) Это проясняет физический смысл эффективного
взаимодействия: голый потенциал A0.40) виртуально поля-
поляризует среду и поляризационное облако экранирует этот
потенциал, превращая его в значительно более слабое эф-
эффективное взаимодействие. (Это есть просто взаимодействие
между квазичастицами; см. дискуссию, следующую за фор-
формулой B.2), и работу [16].)
Теперь мы можем приступить к вычислению собственно-
энергетической части 2RPA(k, ю), представленной диаграммами
') См также [8, 69]. — Прим ред.
14 Р Маттук

210 Глава 10
A0.33). Переводя их на язык функций, с помощью выраже-
выражения A0.35) получаем
k, со) = 2 1~ [(-0Уэффо?ра)(я, со)] [/Go(k-q, co-y)] =
q
= Г _*!SL Г J?L 4пе2!ПО 4Я^
J Bя)» J 2 ^U^
ПО 4Я^
eRpA(q,Y) со - Y - e&_fl + t6k_q ' ^U^
Несмотря на тот факт, что все диаграммы в A0.32), за ис-
исключением устрицы, которые мы суммировали для получения
этого выражения, были расходящимися, окончательный ре-
результат A0.43) конечен! Дело в том, что в отличие от голого
взаимодействия, стремящегося к бесконечности при q->0,
эффективное взаимодействие, как видно из соотношения
A0.41), остается конечным при q-»0.
Изучим сначала собственно-энергетическую часть A0.43)
в простом предельном случае, когда для УЭфф используется
статическое приближение A0.41). С помощью табл. 10 получаем
I k-ql <kp
= -i f dH Ые2 A0 44)
1 J BjiK (k-l)* + V • l J
111 < kF
Подставляя это выражение в уравнение Дайсона A0.9), мы
приходим к квазичастицам с энергией
,' k* 4 f dH 4ле2
е+ J
f
J BлK
1 К kF
45)
Эффективная масса в этом случае в (довольно нереалисти-
нереалистическом) пределе больших к определяется выражением D.105).
Вычисление A0.43) с полным частотно зависящим потен-
потенциалом КЭфф (q, со) — дело довольно хлопотное и здесь обсу-
обсуждаться не будет (для справки см. [52]). После подстановки
окончательного результата в уравнение Дайсона оказывается,
что функция Грина G (к, со) имеет „квазичастичный" вид
(8.37), и при k, близких к kF,
Ь2 kkB
;inrs+0,203)^ +const,
-kv A0-46)
"m '

Уравнение Дайсона, перенормировка 211
Используя соотношение D.94), находим, что эффективная
масса вблизи поверхности Ферми равна
т = т [ 1 - 0,083rs (In rs + 0.203)]. A0.47)
Далее выполняется критерий существования квазичастиц
(8.38), так как
lim
k — kp
A0.48)
В результате мы пришли к квазиэлектрону, уже упоми-
упоминавшемуся в § 3 гл. 1; он состоит из голого электрона и
положительного экранирующего облака. Это можно пред-
представить себе и иначе —в терминах электронов и дырок.
Электрон своим кулоновским потенциалом расталкивает дру-
другие электроны из прилегающей к нему области. Следова-
Следовательно, можно сказать, что этот электрон окружен „дыроч-
„дырочным облаком" или, как обычно говорят, электрон сопрово-
сопровождается „корреляционной дыркой".
§ 5. „Одетый", или „эффективный", потенциал
взаимодействия в общем случае
Очевидный путь обобщения концепции „эффективного
взаимодействия" в приближении случайных фаз состоит
в учете всех поляризационных диаграмм (диаграмм, содер-
содержащих одну входящую и одну выходящую волнистые линии
взаимодействия) в сумме для УЭфф вместо того, чтобы брать
только „электрон-дырочные петли" A0.34). Таким образом
мы получаем обобщенный эффективный (или „одетый", или
„перенормированный") потенциал взаимодействия
= ЛЛЛЛ
JT -JF-
A0.49)
Ряд A0.49) оказывается возможным просуммировать
точно таким же образом, каким из разложения (9.40) было
14*

212 Глава 10
получено уравнение Дайсона A0.7). Для этого определим
сначала „поляризационную часть" ').
Поляризационной частью называется любая диаграмма
без внешних линий взаимодействия, которую можно вста-
вставить в линию взаимодействия.
Примеры:
A0.50)
Неприводимой называется поляризационная часть, которую
нельзя разбить на две несвязанные части п^ гем удаления одной
линии взаимодействия.
Примеры:
A0.51)
(Заметьте, что (^) не есть поляризационная часть!) В соот-
соответствии с этим диаграммы 2 и 5 в A0.50) являются при-
приводимыми поляризационными частями, а другие диаграммы —
неприводимыми. Введем сумму всех неприводимых поляри-
поляризационных частей, полагая
— in(q, с) =
A0.52)
тогда легко получить уравнение для одетого потенциала
взаимодействия, аналогичное уравнению Дайсона A0.7) или
A0.12):
= •/wwv A0.53)
1-
') В советской литературе употребляется гакже термин поляриза-
поляризационный оператор. — Прим. ред.

Уравнение Дайсона, перенормировка 213
ИЛИ
A0.54)
В аналитической форме эти диаграммные уравнения имеют вид
эфф (Я- «) =
Vo
A0.55)
+ Vqn (q, и) е (q, ш) '
Уравнения A0.53) и A0.55) представляют собой обобщение
результатов A0.34) и A0.35), полученных в приближении
случайных фаз.
Отметим, что приближение случайных фаз, в котором
при вычислении поляризационной части используется только
диаграмма у , справедливо лишь тогда, когда обменное
взаимодействие много меньше прямого. Если же обменное
взаимодействие существенно, то в поляризационную частьМ
надлежит включить и диаграммы типа 3 из A0.50) [диа-
[диаграмма 3 обменная; она соответствует прямой диаграмме 2
в A0.50)]. Таким образом, мы прихоаиг к следующему
приближению для л:
АЛА
t ••• A0.55а)
Используя эффективный потенциал, можно чрезвычайно
сильно упростить разложение для собственио-знергешческой
части. Рассмотрим какую-нибудь произвольную неприводи-
неприводимую диаграмму для собственно-энергетической части, скажем
обменную диаграмму второго порядка
A0.56)
[Все эти диаграммы одинаковы; см. (9.35).] В разложении
для 2 наряду с диаграммами A0.56) имеются и такие, кото-
которые отличаются от них только заменой одной из волнистых
линий, скажем верхней, на что-то более сложное. Такие

214 Глава 10
диаграммы можно сгруппировать, заключив в скобки:
0 =
A0.57)
Так как значение диаграммы для данного импульса и энер-
энергетического параметра равно произведению значений соста-
составляющих ее частей, мы можем вынести за скобки общий
множитель; получим
-wi/ + ~wV + -wJ/ ^~+
A0.58)
Здесь мы использовали соотношение A0.49). Точно так же,
как и в A0.57), можно выделить все такие суммы, которые
приводят к замене в первой диаграмме каждой последова-
последовательности голого взаимодействия эффективным. Это дает
ДИАГРАММЫ ТИПА
O
xvwO
U/w/У И Т.Д. АНОМАЛЬНЫЕ
A0.59)

Уравнение Дайсона, перенормировка 215
и т. д., что приводит к следующему разложению:
A0.60)
Таким образом, мы приходим к значительно более простому
ряду, в котором нет ни одной линии взаимодействия, явно
содержащей поляризационные части, и все линии взаимо-
взаимодействия одетые. Следует подчеркнуть, что при построении
таких диаграмм нельзя включать поляризационные части,
поскольку все они уже учтены заменой -ww на яж»«. На-
Например, диаграмма
A0.61)
совершенно незаконна, так как она уже включена в диа-
диаграммы
! A0.62)
Литература для дальнейшего чтения:
Шульц [60],
Пайнс [52],
Пайнс [53],
Таулес [64],
Таулес [65],
Абрикосов, Горьков, Дзялошинский [1],
ШриффЕР [58],
Изли [15],
Клейн [351,
[34],
Киттель [34],
Бьеркен, Дрелл [5]
ШвЕбЕР [61],
Киржниц [69],
Мигдал [78].
}¦
I о
Перенормировка
квантовой электродинамике —
основные определения.

216 Глава 10
<• Упражнения
1. Какие из приведенных диаграмм представляют собой диаграммы
для собственно-энергетической части? Какие из них приводимы и какие
неприводимы?
а 5 6
2. Напишите диаграммное уравнение Дайсона в (к, со)-пространстве
и выражение для неприводимой собственно-энергетической части для
системы невзаимодействующих фермиоиов во внешнем поле. Переведите
этот результат на аналитический язык. [Используйте равенство (9.30)
вместе с рассуждениями, сопутствующими соотношениям A0.12), A0.13),
A0.16).]
3. Постройте несколько первых диаграмм в разложении для функции
Грина в приближении случайных фаз
4. Пусть имеется система фермионов, потенциал отталкивающего
взаимодействия между которыми есть А6(т. — тХ Используя результат
упражнения 6 из гл. 7, найдите точное выражение для /(-матрицы.
(В этом случае К есть функция только q и со.)
5. Какие из нижеследующих диаграмм поляризационные? Какие
из них приводимы, а какие неприводимы?
О
в
6. Выразите приближенную поляризационную часть, представленную
суммой A0.55а), через ^-матрицу и переведите результат на аналитиче-
аналитический язык (Вам понадобится /(-матрица, отвечающая взаимодействию
частицы с дыркой. Она дается равенством типа A0.19) с той лишь разни-
разницей, что одна сторона лестницы представляет собой дырочную линию.)

Глава 11
САМОСОГЛАСОВАННАЯ
ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ
И СУЩЕСТВОВАНИЕ ПОВЕРХНОСТИ ФЕРМИ
§ /. Одетые линии частиц и дырок или „одевание скелетов"
В предыдущей главе мы видели, как можно украсить
ряд для функции Грина, если выразить его через неприво-
неприводимую собственно-энергетическую часть 2, которую в свою
очередь представить через одетый, или „эффективный", по-
потенциал взаимодействия. Сейчас мы собираемся провести
еще одну косметическую операцию над 2 с помощью частич-
частичного суммирования диаграмм, в которых линии содержат
собственно-энергетические части. При этом получится ряд,
который уже не будет содержать линий с собственно-энер-
собственно-энергетическими частями; все функции Грина заменятся на одетые.
Результат такого суммирования называется „самосогласован-
„самосогласованной теорией возмущения". Она будет далее использована
для вывода условий существования квазичастиц и для
выяснения того, каким образом в системе сильно взаимо-
взаимодействующих ферми-частиц возможно существование резкой
поверхности Ферми. В конце настоящей главы мы обсудим
дальнейшее упрощение рядов для функции Грина, дости-
достигаемое путем частичного суммирования диаграмм для так
называемых „вершинных частей".
В диаграммный ряд для 2 входят подпоследователь-
подпоследовательности типа
fWVVX
A1.1)

218 Глава 11
Здесь каждая из линий частиц содержит все больше и больше
собственно-энергетических вставок. Аналогично тому, как это
было сделано в случае A0.59), легко убедиться, что сумми-
суммирование ряда в скобках приводит просто к первой диаграмме
из ряда A1.1), в которой свободные функции Грина заме-
заменяются точными:
A1.2)
Первая диаграмма рядов такого типа часто называется
„скелетной", так что процесс перенормировки здесь заклю-
заключается в одевании костей скелета мясом собственно-энерге-
собственно-энергетических частей — работа своего рода „мясника наоборот".
Этот трюк можно проделать и над всем рядом, что при-
приводит к более простому ряду
A1.3)
1
4
Опять-таки следует помнить, что ни одну диаграмму нельзя
учитывать дважды. Например, диаграмма
незаконна, так как все такие диаграммы уже включены
в диаграмму 3 ряда A1.3).
Точные функции Грина, входящие в разложение A1.3),
конечно, неизвестны — их надо найти из уравнения Дайсона
A0.7). Это означает, что уравнения A1.3) и A0.7) следует
рассматривать одновременно, и для нахождения точной функ-
функции Грина решать их нужно „самосогласованно". Таким
образом, сначала мы вычисляем собственно-энергетическую
часть A1.3) с голыми линиями, затем подставляем этот
результат в A0.7) для того, чтобы получить одетую функцию
Грина в первом приближении, затем опять вычисляем мас-
массовый оператор A1.3), используя первое приближение для

Самосогласованная теория возмущений 219
функции Грина, и т. д. и т. д. до тех пор, пока все не пере-
перестанет изменяться, т. е. результат не станет „самосогласо-
„самосогласованным". Такая процедура носит название самосогласован-
самосогласованной теории возмущений. В первом приближении имеем
где
A1.4)
Это есть общая теоретико-полевая форма уравнения Хартри —
Фока. Как уже говорилось после формулы D.74), последнее
применимо и для системы, находящейся во внешнем поле.
Доказательство того, что приближение A1.4) полностью эквивалентно I
обычному приближению Хартри—Фока, см. в работе [26] |
В специальном случае отсутствия внешнего поля функция
Грина D.77) оказывается самосогласованным решением урав-
уравнения A1.4) и задачи о реальном самосогласовании не
возникает.
Можно перенормировать одновременно как функцию
Грина [см. A1.3)], так и потенциал взаимодействия [см. A0.60)],
так что вместо (И.З) для собственно-энергетической части
получается следующий ряд:
(П.5)
В литературе двойные линии часто заменяются одинарными,
при этом подразумевается, что все линии, отвечающие функ-
функциям Грина и потенциалу взаимодействия, одетые. Проведем,
например, самосогласованный расчет в A1.5) в первом по-
порядке. Подставив собственно-энергетическую часть
в уравнение A0.7), получим
_ I
A1.7)

220 Глава 11
Мы приходим, по сути дела, к приближению Хартри — Фока,
где вместо статического взаимодействия фигурирует „дина-
„динамическое" с потенциалом, зависящим от частоты. Если при
этом используется перенормированный потенциал ч=я=:
в приближении случайных фаз, то говорят о „приближении
Хартри — Фока с учетом запаздывания" [64].
§ 2. Существование квазичастиц в случае
применимости теории возмущений
В гл. 10 было показано, что квазичастицы существуют
в двух предельных случаях —ферми-газе высокой и низкой
плотности. Существуют ли они в других системах, например
в электронном газе обычной для металлов плотности или
в жидком Не3? С помощью разложения по одетым скеле-
скелетам A1.3) оказывается возможным доказать, что квази-
квазичастицы существуют в любой ферми-системе, к которой
применима теория возмущений [т. е. в которой справедливо
разложение функции Грина (9.40)]. Это так называемые
нормальные системы; „аномальные" системы, подобные сверх-
сверхпроводникам и ферромагнетикам, рассматриваются в § 4
гл. 15 и в работе [45]. Найдем сначала общий вид функции
Грина G вблизи энергии Ферми в нормальной системе,
а затем докажем, что существуют квазичастицы.
Согласно A0.7), самосогласованное уравнение для функ-
функции Грина имеет вид
1
г-
или
G(k, to)=a_e _s (k'a)_/s (k a) . (П.8)
Здесь собственно-энергетическая часть (?) определяется ря-
рядом A1.3). Величины 2Д и S7 представляют собой соответ-
соответственно действительную и пнимую ее части. Сначала мы
постулируем определенную форму для S7 вблизи энергии
Ферми, а затем проверяем, совместима ли она с самосогла-
самосогласованными уравнениями A1.8) и A1.3).

Самосогласованная теория возмущений 221
Чтобы получить указание на то, какую форму выбрать,
рассмотрим сначала вклад нескольких первых диаграмм
в самосогласованном разложении A0.8). Мы будем исполь-
использовать описанный в § 7 гл. 9 модифицированный формализм
с химическим потенциалом ц, так как именно таким путем
легче всего прийти к самосогласованному результату. (Ока-
(Оказывается, что параметр ц, есть просто энергия Ферми системы
с взаимодействием г'р.) Мнимые части диаграмм „пузырь" и
„открытая устрица" равны нулю. Первая диаграмма второго
порядка дает
lim Im I Л ~ (со — цJ.
КллгУ
Исходя из этого, предположим теперь [42], что функция 2/
имеет следующую предельную форму:
lim 27 (к, со) = sgn (ц - со) Ck (со - цJ,
где
величина Cj, ^ 0 и действительна,
sgn(n —<в) = —1, со>ц,,
. 1 ^ (п-9)
= +1, со<ц. v
(Относительно изменения знака при со = ц см. [48].) Тогда
функция Грина A1.8) принимает вид
, ©)¦=
Можно показать, что выражение A1.10) представляет со-
собой самосогласованное решение для G. Подставим его в раз-
разложение A1.3). Тогда окажется [42], что
jimlmfPI^ ~(со-цJ A1.11)
и вообще
1, 2, 3, .... A1.12)

222 Глава 11
Следовательно, мнимая часть неприводимой собственно-
энергетической части имеет вид
lim 2, ~ (со —цJ,
что и предполагалось в A1.9). Это доказывает, что выра-
выражение A1.10) действительно представляет собой искомое
самосогласованное решение для функции Грина. Оно спра-
справедливо для любых систем, в которых справедливо разло-
разложение (9.40).
Если справедливо выражение A1.10) для функции Грина,
то легко показать, что в такой системе существуют квази-
квазичастицы [44]. Для этого получим сначала выражение для
энергии одночастичного возбуждения Ek, а затем найдем
время жизни этого возбуждения хк и покажем, что оно удо-
удовлетворяет условию (8.38).
Согласно равенству C.14), энергию возбуждения системы
можно определить, найдя полюсы функции Грина A1.10):
со — Ej, — 2д(к, со) — i sgn (ц —- со) Cj, (со —-цJ = 0. A1.13)
Одно очевидное решение этого уравнения имеет вид
причем вектор к должен удовлетворять уравнению
ц-еА-2^(к, ц) = 0. A1.14)
Уравнение A1.14) определяет поверхность в к-простран-
стве —сферу, радиус которой мы обозначим через к0. В от-
отсутствие взаимодействия 2 = 0, а параметр ц равен энергии
Ферми eF. Поэтому величина к0 в точности совпадает с kF —
фермиевским импульсом системы без взаимодействия. При
наличии взаимодействия 2 ф 0 и, как будет показано, ве-
величина к0 в точности равна к^, —фермиевскому импульсу
системы с взаимодействием (см. § 3 гл. 11).
Уравнение A1.13) можно решить и в том случае, когда со
и к близки к ц и к0 настолько, что слагаемым (со — ц,J можно
пренебречь. Тогда равенство A1.13) принимает вид
со-еА-2д(к, со) = О. A1.15)
Решение этого уравнения при заданном к, сй = ?ь есть энер-
энергия одночастичного возбуждения как функция к для системы
с взаимодействием. Предполагая, что вещественную часть 2Д
можно разложить в ряд вблизи к0 и ц, мы получаем
[(Vft)feo + (V&SAO J (к ~ ко)
1

Самосогласованная теория возмущений 223
Чтобы найти мнимую часть энергии [т. е. „ширину" или
обратное время жизни уровня Ек; см. обсуждение в связи
с формулой C.18)], необходимо продвинуться до второго по-
порядка, т. е. учесть в A1.13) мнимую часть 27 — величину
второго порядка. Простейший путь состоит в том, чтобы
разложить 2# и Е7 вблизи Ек (а не вблизи к0 и \х)
2Л(к, со) = 2Л (к, Ек) + (^-)е (со -Ек)+
= sgn di-Ek) Ск {Ek-\iJ + ...
Подставляя A1.17) в A1.13) и пользуясь равенством A1.15)
при со = Ек, находим
Таким образом, мы получили энергию возбуждения и время
его жизни.
Подставив выражения A1.17) и A1.15) (при со = ?ft) в фор-
формулу A1.8), получим функцию Грина вблизи к0 и |х
G(k, ©) = ^ +/(к, а). A1.19)
Здесь
[ШУ' (IL20)
J- = sgn Oi - ?,) Z*C* (?ft - |iJ, A1.22)
a f(k, ©) —поправка, обусловленная опущенными в разло-
разложении A1.17) слагаемыми более высокого порядка. Вместе
с этой (неизвестной) поправкой выражение A1.19) точное.
Полагая \i = е'р [см. дискуссию после уравнения A1.14)] и
сравнивая выражение A1.19) с (8.37) и (8.38), убеждаемся,
что функция G (к, а) имеет точно такой вид, которого сле-
следует ожидать при наличии квазичастиц. Таким образом, мы
доказали, что, если справедлива теория возмущений, в си-
системе существуют квазичастицы. Единственное дополнитель-
дополнительное допущение, которое при этом использовалось, состоит

224 Глава 11
в том, что вблизи точки (ко, ц) собственно-энергетическая
часть 2 (к, со) представляет собой гладкую функцию и может
быть разложена в степенной ряд1).
§ 3. Существование поверхности Ферми в системе
с взаимодействием
Чтобы оценить всю глубину загадки, связанной с нали-
наличием поверхности Ферми, обратимся сначала к функции рас-
распределения по импульсам п^ для системы невзаимодействую-
невзаимодействующих фермионов при Т = 0 в отсутствие внешних полей (фиг. 8).
Эта функция есть вероятность заполнения состояния с им-
импульсом к (голой) частицей. На поверхности Ферми \V.\ — kP
Фиг 8. Функция распределения
по импульсам для системы не-
взаи моде ист в ующи х фермионов
Фиг. 9. Наивное представление о
виде функции распределения голых
частиц по импульсам в ферма-
системе с взаимодействием.
рассматриваемая функция претерпевает скачок, который и
определяет поверхность в k-пространстве. Далее, в типичной
системе с взаимодействием, такой, скажем, как электронный
газ, средняя энергия взаимодействия двух частиц сравнима
с энергией Ферми (в электронном газе V =» 7 эв, aef«5 эв).
Наивные физические интуитивные соображения должны, ка-
казалось бы, привести к выводу, что столкновения, обуслов-
обусловленные включением столь сильного взаимодействия, выши-
вышибают частицы из-под поверхности Ферми, забрасывая их
в незанятые состояния над ней и приводя, таким образом,
к полному „смазыванию" скачка, как это видно на фиг. 9.
Однако опыт показывает, что для электронов в металлах
б V\ k
разрыв непрерывности вблизи \V.
существует с точ-
точностью до 10~ эв\
Эта загадка была решена Мигдалом (см. [52]) и Латтинд-
жером [39]. Названные авторы показали, что скачок nk cy-
') В силу нелинейности уравнения Дайсона это решение не обяза-
обязательно единственное. Соответственно доказательство, здесь полу генное,
представляет скорее „наведение" на правильный результат. — Прим ред.

Самосогласованная теория возмущений 225
ществует и в системе с взаимодействием, при этом, однако,
величина скачка меньше 1. Доказательство основывается
на том, что функцию распределения п^ голых частиц по им-
импульсам можно получить непосредственно из одночастичной
функции Грина. Это легко увидеть, если принять во внима-
внимание, что nk представляет собой среднее от оператора c\ck
по основному состоянию системы с взаимодействием | гР0)
Воспользовавшись выражением (9.6) для функции Грина и
полагая в нем tx = 0, t2~t и k\ = k2, находим, что nk можно
выразить через функцию Грина следующим образом:
пк=> -i lim G(k, t), A1.24)
t-*o~
где символ 0~ означает бесконечно малое время, предше-
предшествующее моменту ^ = 0.
Фиг. 10. Функция распределения голых частиц по импульсам
в ферми-системе с взаимодействием.
Равенство A1.24) позволяет, в частности, найти функцию
распределения в системе, к которой применима теория воз-
возмущений. Функция G(k, ©) определяется в такой системе
соотношением A1.19), а применяя к ней преобразование
Фурье, получаем
G (k, t) = - iZk {ад^е-^-^ -
- е-^-я^-'^^} + F (к, 0, A1-25)
где F(k, t) есть фурье-трансформанта поправки /(к, со).
Подставляя A1.25) в A1.24), получаем
nk = Zk%-Eh + F (к, 0"). A1.26)
Предположив, что функция F (к, 0~) непрерывна вблизи
к = к0, мы приходим к функции распределения, имеющей на
поверхности Ей = !¦*> т. е., согласно A1.16), как раз при к = к0
скачок, величина которого есть Z^. На фиг. 10 изображена
15 P.
i |ук

226 Глава 11
зависимость nk от к0 в предположении изотропного взаимодей-
взаимодействия, когда поверхность Ферми остается сферической. Срав-
Сравнивая это распределение с изображенным на фиг. 8, видим, что
величины ко и ц естественно назвать фермиевским импульсом
и энергией Ферми для системы с взаимодействием. Таким
образом, если взаимодействие таково, что теория возмущений
справедлива, поверхность Ферми существует и в системе
с взаимодействием.
Убедительным подтверждением изложенного выше дока-
доказательства было бы экспериментальное измерение кривой
на фиг. 10. Вычисления [12] показывают, что величина
скачка Z*o существенно отличается от единицы. Например,
для металлического Na она составляет примерно 0,5. Измере-
Измерения такого рода, однако, нельзя произвести ни одним из ме-
методов, использующих низкие энергии, например путем опре-
определения спектров мягкого рентгеновского излучения. Дей-
Действительно, указанные методы позволяют найти только
функцию распределения квазичастиц, которая почти совпадает
с функцией распределения для свободных электронов (взаимо-
(взаимодействие между квазичастицами почти отсутствует; см. пред-
предпоследний абзац § 1 гл. 8).
Для измерения функции распределения nk голых частиц
требуются энергии, большие по сравнению с энергией меж-
межэлектронного взаимодействия, т. е. достаточно большие, чтобы
„раздеть" эти электроны. Одну из возможностей дают экс-
эксперименты по электрон-позитронной аннигиляции, при кото-
которой испускаются гамма-кванты с энергиями порядка мега-
вольт. К сожалению, наблюдение функции распределения nk
затрудняется, по-видимому, эффектами электрон-позитронной
корреляции [25]. Другой возможностью является исследова-
исследование комптоновского рассеяния жестких рентгеновских лу-
лучей [54].
§ 4. Одетые вершины
Ранее мы видели, как можно упростить рйд Для неприводимой соб-
собственно-энергетической части путем „перенормировки" взаимодействия
(§ 5 гл. 10) и функций Грина (§ 1 гл. 11). В настоящем параграфе будет
показано, как еще одно упрощение сводит весь ряд всего к двум сла-
слагаемым. Это достигается путем перенормировки вершинных частей. Обыч-
Обычное определение вершинной части следующее:
Вершинной частью называется любая диаграмма без внешних линий,
которую можно вставить вместо вершины (т. е. можно привязать к двум
линиям частиц и к линии взаимодействия).

Самосогласованная теория возмущений 227
Примеры:
A1.27)
Неприводимой вершинной частью называется диаграмма, которую
нельзя разбить на две несвязанные части путем удаления одной линш
частицы (или дырки) или одной линии взаимодействия.
Примеры:
A1.28)
Простая вершина заменяется неприводимой вершинной частью следующим
образом:
ВЕРШИНА -
¦•..*¦ НЕПРИВОДИМАЯ
ВЕРШИННАЯ
ЧАСТЬ
A1.29)
Введем сумму всех неприводимых вершинных частей
A1.30)
Тогда несложно показать, что неприводимая собственно-энергетическая
часть его есть просто
A1.31)
Справедливость этого легко усмотреть из разложения
A1.32)
15*

223 Глава 11
Отметим, что одетой оказывается только одна из вершин, так как одева-
одевание обеих означало бы двукратный учет диаграмм. Например, две диа-
диаграммы
A1.33)
выглядят как вершинные вставки в верхнюю и нижнюю вершины соот-
соответственно. Однако это чисто оптический обман. В действительности обе
эти диаграммы топологически эквивалентны и, следовательно, представ-
представляют собой одну и ту же диаграмму, как это видно из тождества A0.56).
Этим мы подытожим необходимые правила игры в диаграммы — нужно
быть совершенно трезвым, чтобы не учитывать диаграмму дважды!
Литература для дальнейшего чтения:
Пайнс [521,
Фаликов, Хейне [16],
Латтинджер [41],
Таулес [65],
ШвЕбЕР [61],
бьеркен, дрелл [6],
Мигдал [78].
Упражнения
1. Какие из приведенных диаграмм не следует включать в разложе-
разложение A1.3) и почему? Какие из них не надо включать в A1.5) и почему?
а о
2. Пусть мы имеем некую гипотетическую систему, неприводимая
собственно-энергетическая часть которой вблизи поверхности Ферми имеет
вид
2 (к, со) » Лео + / sgn ([* - со) В (со - [*J,
причем А < 0, В > 0, а параметр ц предполагается известным. Найдите
вид функции Грина. К,акой имеется скачок на поверхности Ферми?

Глава 12
ЭНЕРГИЯ ОСНОВНОГО СОСТОЯНИЯ
ЭЛЕКТРОННОГО ГАЗА И ЯДЕРНОЙ МАТЕРИИ
§ /. Обзор
В гл. 5 мы видели, как с помощью теории возмущений
можно получить энергию основного состояния одной частицы
во внешнем поле. Этот метод был основан на диаграммном
разложении вакуумной амплитуды, из которого диаграммное
разложение энергии основного состояния получалось пре-
предельным переходом E.4). [Строгое доказательство, не исполь-
использующее идеи о детском бильярде (как в гл. 5), содержится
в приложениях II — VII.] Было показано, как проводится
частичное суммирование диаграммного разложения энергии
основного состояния в простейшем случае, когда имеются
всего два уровня, и был брошен беглый взгляд на задачу
многих тел.
Теперь мы займемся деталями вычисления энергии основ-
основного состояния системы многих частиц в отсутствие внешнего
поля. Диаграммные правила в этом случае в значительной
степени те же, что и для одной частицы, так что мы их
просто сформулируем без всяких фанфар и сосредоточим свое
внимание на приложении их к задачам об электронном газе
и о ядерной материи. Как было установлено Гелл-Маном и
Бракнером, главный вклад для электронного газа в пределе
высокой плотности дают „кольцевые диаграммы", каждая из
которых сама по себе бесконечна. Они использовали трюк —
суммирование всех диаграмм данного порядка; это привело
к логарифмическому ряду, который можно бы то просуммиро-
просуммировать, и результат получился конечным. Позднее было показано,
что он точен. Случай ядра (низкая плотность) будет рас-
рассмотрен очень кратко, потому что проблема эта значительно
более сложная и до сих пор полностью не решенная. Мы
просто покажем с помощью /(-матрицы, как можно осуще-
осуществить суммирование „лестничных диаграмм", каждая из

230 Глава 12
которых сама по себе бесконечна, и на простом примере
проиллюстрируем, как такое суммирование приводит к конеч-
конечному результату.
§ 2. Диаграммы для энергии основного состояния
Согласно E.42), ряд для энергии основного состояния
имеет вид
?о = Wo + ОЮ +
A2.1)
В этом разложении мы опустили два типа диаграмм:
1. Все диаграммы, получающиеся поворотом одной или
более линий взаимодействия на 180°. Это приводит к уничтоже-
уничтожению множителя 1/2 у потенциала взаимодействия [см. D.60)].
Однако, когда диаграммы полностью симметричны, как, на-
например, в случае „двойного пузыря" или „устрицы" или двух
диаграмм второго порядка, поворот всех линий взаимодей-
взаимодействия не приводит к новым диаграммам, и множитель 1/2
не исчезает.
2. Все („аномальные") диаграммы, не сохраняющие
импульс (см. стр. 185).
Примерами отброшенных диаграмм служат следующие:
A2.2)
ПОВЕРНУТЫЕ
АНОМАЛЬНЫЕ
Отметим, что здесь важен порядок линий взаимодействия во
времени (как это видно уже в случае одной частицы в § 3

Энергия основного состояния электронного газа 231
гл. 5). Следовательно, мы не можем использовать фейнма-
новское соглашение, рассмотренное в § 5 гл. 9. Таким обра-
образом, две диаграммы топологически эквивалентны, только
если одну из них можно перевести в другую путем дефор-
деформаций, не меняющих временного порядка актов взаимо-
взаимодействия. Например,
A2 3)
Мы дадим рецепт вычисления энергии основного состоя-
состояния, аналогичный рецептам из „поваренной книги" диаграм-
диаграммных правил для функции Грина. Фактическое доказательство
этих правил крайне сложно и утомительно, однако сами они
столь же просты, сколь и использовавшиеся ранее, и никак
не будут травмировать читателя.
ДИАГРАММНЫЕ ПРАВИЛА ДЛЯ ВЫЧИСЛЕНИЯ ЭНЕРГИИ ОСНОВНОГО
СОСТОЯНИЯ В ОТСУТСТВИЕ ВНЕШНЕГО ПОЛЯ
1. Рисуют N горизонтальных волнистых линий так же,
как и в случае функции Грина, но без внешних точек.
2. Все вершины соединяют направленными линиями так,
чтобы в каждой вершине была одна входящая и одна выхо-
выходящая линии. Это делается всеми возможными, топологи-
топологически различными способами, приводящими к связанной диа-
диаграмме. (Допускаются только такие деформации, которые
сохраняют временной порядок.)
3. Каждой сплошной линии приписывают импульс к ( = к, а).
В каждой вершине импульс сохраняется. Отбрасывают все
аномальные диаграммы.
4. Между каждой последовательной парой волнистых
линий взаимодействия проводят тонкие пунктирные горизон-
горизонтальные линии. Например,
A2.4)
5. Вычисление диаграмм производят в соответствии со
словарем табл. 12.

232
•^Диаграммный словарь
для энергии основного состояния ферми-системы
с взаимодействием в отсутствие внешнего поля
Таблица 12
Элемент диаграммы
Множитель
Пунктирная линия
¦И
[2-21
[„Дырки Частицьи
- I
2 =Сумма значений е&
Дырки дЛя всех дырочных
линий, пересекающих
пунктирную линию
2 = Сумма значений е&
Частицы дЛЯ всех линий ча-
частиц, пересекающих
пунктирную линию
Взаимодействие
Vklmn или Vq
m q
Каждая дырочная линия
-1
Каждая фермиониая петля
Пример:
Полностью симметричная диаграмма
Пример:
Каждый импульс частицы (дырки) к
1/2
J щ
Частицы: k > кр, k > kf
Дырки: к < кр, k < k.

Энергия оснорного состояния электронного газа 233
Приведем примеры:
1. Двойной пузырь
(две фермионные петли, две
дырочные линии, диаграмма
симметрична)
= (-1Lх|х
A2.5)
k.Kkp
2. Устрица =
(одна фермионная петля, две дырочные
линии, диаграмма симметрична)
V
lkkl-
k,t<kF
k+q
4.
k + q
A2.6)
. A2.7)
. A2.8)
Применим теперь этот диаграммный метод вычисления
энергии основного состояния к задачам об электронном газе
высокой плотности и о ядерной материи.
§ 3. Энергия основного состояния электронного газа
высокой плотности. Теория Гелл-Манна и Бракнера
В § 9 гл. 4 мы определили электронный газ как „голубую
мечту" теоретиков, интересующихся металлами,— систему
из /V электронов, движущихся на фоне однородного поло-
положительного заряда и взаимодействующих посредством чисто
кулоновских сил. Газ характеризуется средним расстоянием
между электронами rs. Гамильтониан системы имеет вид
A0.25). Мы показали, как с помощью суммирования кольце-

234 Глава 12
вых диаграмм можно вычислить в пределе высокой плот-
плотности {rs<\) эффективную массу квазичастиц и время их
жизни. Здесь мы в том же предельном случае исследуем
энергию основного состояния.
Простейшая аппроксимация для энергии основного состоя-
состояния дается приближением Хартри — Фока, которое в отсут-
отсутствие внешнего поля приводит просто к поправке первого
порядка теории возмущений. На языке диаграмм это при-
приближение можно записать в виде [см. A2.1)]
A2.9)
Такая грубая аппроксимация не учитывает того факта,
что из-за кулоновского отталкивания электроны стремятся
держаться подальше друг от друга, т. е. их движение
коррелировано. Корреляционная энергия определяется сле-
следующим образом:
¦Сгорр — jC точная GHF =
A2.10)
Вычислим сначала энергию в приближении Хартри —Фока.
Воспользуемся соотношениями G.75), A2.5) и A2.6); тогда
выражение A2.9) принимает вид
Енъ= У Ч+\ У \Уш1-УыЛ- A2.11)
к<к
к I < к,
Первое слагаемое (здесь мы явно учитываем спин) равно
Х 2т Х BяK J
_J Ъп
к<кр
2л2т
к <kr
A2.12)
где множитель 2 появляется из-за суммирования по спину,
Q — объем кристалла, a Q/BnK есть плотность состояний
в k-пространстве. Импульс Ферми kP находится из условия
k<k.

Энергия основного состояний электронного газа 235
так что, используя равенство A0.24), мы получаем
° ~ " X — (Зл2 —-J ' = —'— ридберг/электрон- A2.14)
Л N 2т 5
Слагаемое с Vkiki = VQ=o, согласно A0.28), равно нулю
(оно уничтожается вследствие взаимодействия с положи-
положительно заряженным фоном). Оставшееся слагаемое дает
(множитель 2 из-за спина)
2 I г й ]2 4яе2 г г
|k-i
k, i
0,916
ридберг/электрон A2.15)
(см. [55]I)- Следовательно,
ЕНР /2,21 0,916 \
= —5 ридберг/электрон A2.16)
N \r2s rs )
Обратимся теперь к корреляционной энергии. Первую диа-
диаграмму в A2.10) можно вычислить по формуле A2.7). Сумма
по спинам дает множитель 4. Переходя от суммы к интегралу,
выражая все импульсы в единицах kF и используя равен-
равенство A2.13), для энергии получаем
9- J
" <?2 + q • (k - 1
lk + q|>! |q-ll>l A2Л7)
Подобным же образом диаграмма A2.8) дает
1
16^ J ~^~ J "" J ** '(k-1 + qJ
т ic_5 'a2 J ' "¦ ' ' "N2
X 2 .— /¦ _ .ч pudберг!электрон. A2.18)
Рассмотрим сначала интеграл A2.17). Очевидно, что главный
вклад в него дают малые значения q. Из-за ограниченности
области интегрирования значения векторов к и 1 лежат
в слое около ферми-поверхности, толщина которого порядка q.
1) См. также [69] —Прим ред.

236 Глава 12
При малых q подынтегральное выражение ведет себя как q~l,
a J d\ | d4 ~ q2, так что
J <? J 9
A2.19)
Причина этой расходимости заключается в дальнодействую-
щем характере кулоновского взаимодействия. Экранирован-
Экранированный кулоновский потенциал A0.41) конечен при q = 0 и
поэтому привел бы к конечному результату.
С помощью аналогичных рассуждений для диаграммы
A2.18) находим
N
X
для малых
dq
•* q для больших q
= Конечная величина = 0,046 ридберг\'электрон- A2.20)
Причина того, что диаграмма
расходится, в то время
как диаграмма
конечна, состоит в том, что в первой
из них каждая линия взаимодействия переносит импульс q,
чему соответствует множитель V2 ~ 1ДД в то время как
в последней импульс q переносится только одной линией
взаимодействия, что дает множитель l/q2.
В третьем порядке мы имеем диаграммы
ЕC) =
к-1
A2.21)
Они распадаются на классы соответственно тому, отве-
отвечает ли импульс q всем трем, двум или одной волнистым
линиям. Рассуждения, аналогичные приводившимся в связи
с диаграммами второго порядка для малых q, дают
A2.22)

Энергия основного состояния электронного газа 237
где А, В и С — некоторые постоянные. Заметьте множитель rs.
Три слагаемых в формуле A2.22) соответствуют диаграммам
трех типов, и мы опять обнаруживаем, что наиболее расхо-
расходящейся из них оказывается диаграмма с одним и тем же
импульсом передачи q для всех волнистых линий взаимо-
взаимодействия.
Так обстоит дело во всех порядках, и ряд теории возму-
возмущений для корреляционной энергии можно представить в виде
= А12>
= 0,046
A2.23)
Все слагаемые можно расположить таким образом (см. диа-
диагональные линии), чтобы в каждом порядке расходимости они
образовывали ряд по степеням rs. Это означает, что в пределе
высокой плотности, т. е. для малых rs, в каждом порядке
расходимости мы можем ограничиться слагаемыми низшего
порядка по rs. Таким образом,
(Высокая
плотность)
- 0,046 + А о J * + г А О) J
f d4
J Ч
A2.24)

238 Глава 12
Очевидно, это есть сумма по кольцевым диаграммам, по-
подобным диаграммам A0.31), с которыми мы уже встречались
при рассмотрении функции Грина в аналогичном случае.
Из-за того, что в сумме A2.24) существен временной
порядок взаимодействий, суммирование здесь не удается
провести так же просто, как в случае функции Грина. Чтобы
найти эту сумму, Гелл-Манн и Бракнер использовали трюк,
позволивший им просуммировать сначала все диаграммы
в каждом порядке теории возмущений. После этого уже
легко было вычислить и сумму по всем порядкам теории
возмущений. Соль состоит в использовании функции
A2.25)
и ее фурье-трансформанты
+ ОО
Q»= J eltu"Fq{t)dt. A2.26)
— оо
Оказывается, что последняя связана с поляризационной
частью низшего порядка no(q, а») [см. A0.36)J соотношением
Q?(") = if^Jlo(q. <<?")• A2.27)
Упомянутые авторы показали, что полный вклад всех кольце-
кольцевых диаграмм в п-ы порядке теории возмущений выражается
через эту функцию следующим образом:
?(п В +°° (-1)" Г Cr Q (uI"
= — f<7#q [ йн —?_|— A2.28)
где В и С — численные множители.
Корреляционная же энергия есть просто сумма вкладов
всех порядков
р _°1 с(п)
^корр
= 0,046 + 2j1v
-0,046 + —j j G^q J rf«2j-—-|-'"' I . A2.29)
s -oo « = 2 " "*
До сих пор при осуществлении разного рода частичных
суммирований мы сталкивались с геометрическими прогрес-
прогрессиями и с разложениями в ряд квадратных корней. Рассма-
Рассматриваемая теперь частичная сумма кольцевых диаграмм,

2
и-2
Энергия основного состояния электронного газа 239
, представляет собой логарифмический ряд и легко вычис-
вычисли
+ ^^j для pjpj-<L A230)
Интегрирование дает
-^ = о,О622 In rs - 0,096 + & (г,), A2.31)
где
&(rs)—>0 при rs-*0.
Таким образом, мы получили точное выражение для энергии
в пределе высокой плотности.
В изложенных уравнениях использовалось обычное пред-
предположение о том, что результат частичного суммирования спра-
справедлив и в области малых q, где, согласно неравенству
в формуле A2.30), ряд расходится (см. § 3 гл. 3). Это пред-
предположение было подтверждено сначала в работе [52], где
тот же результат был получен без использования теории воз-
возмущений, а затем в работе [52]. В последней статье исполь-
использовался метод, основанный на вычислении „обобщенной ди-
диэлектрической проницаемости" е(к, со) [см. A0.37)].
§ 4. Беглый взгляд на теорию ядерной материи
Бракнера
Понятие ядерной материи было дано в § 8 гл. 4. Там
упоминалось, что энергия связи на частицу (равная энергии
основного состояния, если за нуль принять энергию системы
без взаимодействия) составляет примерно — 16 Мэв. Сейчас
мы очень кратко покажем, каким образом можно вычислить
эту величину диаграммным методом. Читатель, интересую-
интересующийся деталями, найдет очень ясное изложение вопроса
в книге [15]').
Для этих вычислений необходимо иметь потенциал взаимо-
взаимодействия между нуклонами, более реалистический, чем про-
простой потенциал Юкавы D.80). Опыты по рассеянию при
См. также [78]. — Прим. ред.

240 Глава 12
высоких энергиях показывают, что истинный потенциал пред-
представляет собой, грубо говоря, сумму бесконечного коротко-
короткодействующего потенциала отталкивания (твердая сердцевина)
и короткодействующего хвоста, отвечающего притяжению
(фиг. 11). Несмотря на свой устрашающий вид, отталкива-
тельная часть ядерного потенциала „слаба" в том смысле,
что плотностям нуклонов в тяжелых ядрах отвечают средние
расстояния между нуклонами, равные ~ 1,1 • 10~13 см, что
V(r)
- 1600 Мэв
Фиг. 11. Вид энергии взаимодействия двух нуклонов (схема-
(схематически).
V — потенциальная энергия; г — расстояние между нуклонами.
втрое превосходит радиус сердцевины. Это означает, что
ядерная материя подобна фермионному газу низкой плот-
плотности, причем объем, занятый сердцевиной, составляет
V27 часть полного объема.
Энергию основного состояния можно вычислить с по-
помощью разложения A2.1). Как уже отмечалось в § 1 гл. 5,
наличие твердой сердцевины приводит к тому, что матрич-
матричные элементы Vkimm а следовательно, и все слагаемые ряда
теории возмущений оказываются бесконечными. Тем не менее,
так же как и в случае электронного газа, можно провести
частичное суммирование главных диаграмм и получить конеч-
конечный результат. Для электронного газа высокой плотности
главными оказываются кольцевые диаграммы. В ядерном
газе низкой плотности наибольший вклад в энергию дают
диаграммы только с двумя дырочными линиями [см. дискус-
дискуссию в связи с разложением массового оператора A0.17)].

Энергия основного состояния электронного газа 241
Приближенный ряд для энергии основного состояния, вклю-
включающий диаграммы только такого типа, имеет вид
A2.32)
Техника суммирования таких „лестничных" диаграмм ста-
становится ясной, если подробно выписать несколько первых
из них (см. табл. 12 и помни о множителе '/г для симме-
симметричных диаграмм!):
VUU>
i, 1 < kf
* ЦтпУ mni/ '
A2.33)
A2.34)
m, n> k
i, I < kp
in, n, p, q >
' ijmn' mnpqV pqis X
X
A2i35)
и т. д. Эту сумму можно вычислить, вводя не зависящую
от частоты /(-матрицу, аналогичную (но не идентичную!) ча-
частотно зависящей /(-матрице, введенной в § 3 гл. 10:
Kmnu = Vmatl+ ? Vmnp,KpUI B< + B ¦!.„ _8; ¦ A2.36)
P,l>kp i ! р I
Уравнение A2.36) представляет собой аналог уравнения A0.21),
использовавшегося при вычислении функции Грина. Выпи-
16 Р. Маттук

242 Глава 12
шем его для специального случая m = i, n = j и будем ите-
итерировать:
1Н! = Vim
2i
D,l s,q>k ' ; р (/ v ' ' 6 </'
A2.37)
Суммируя это выражение по всем i, j<kP и сравнивая
результат с фор'-улами A2.33^ - A2.35), легко убедиться,
что
2 ~t
i, I<kr
Подобным лее образом
так что
Итак, энергию основного состояния можно выразить через
/(-матрицу. Ня первый взгляд это не такое уж большое до-
достижение, поскольку молено было бы ожидать, что из-за
бесконечности матричного элемента Vijki, входящего в урав-
уравнение A2.36), бесконечными окажутся и величины Ki/ki-
Весьма примечательно, однако, что ото неверно. Можно
показать, что уравнение A2.36) решается даже для потен-
потенциала твердой сердцевины и /^-матрица оказывается конеч-
конечной. Следовательно, выражение A2.40) представляет собой
хорошее первое приближение для энергии основного состо-
состояния.
Простым примером бесконечного потенциала V, приво-
приводящего к конечному значению К, служит „спаривающее
взаимодекствие",
Vmntl = %bm -A, -/. Х~>оо> A2.41)

Энергия основного состояния электронного газа 243
соответствующее взаимодействию частиц только с противо-
противоположными импульсами. Здесь через х обозначена бесконеч-
бесконечная константа. Легко видеть, что в этом случае выражение
= Конечная величина при v —> оо
f+T
i
2(8 -8.)
ч>кР ' A2.42)
и удовлетворяет уравнению A2.36), в чем легко убедиться
простой подстановкой A2.41) и A2.42) в A2.36), если учесть,
что гк = e_fe = k2/2m.
Метод улучшения приближения, состоящий в учете опу-
опущенных в A2.32) нелестничных диаграмм высших порядков,
становится совершенно ясным, если заметить, что прибли-
приближение A2.40) выглядит аналогично обычному приближению
первого порядка теории возмущений
О—О +
(Vwi-Vtni) A2.43)
с той лишь разницей, что матричные элементы Vijki заме-
заменены на Kijkt- Введем теперь новое „эффективное взаимо-
взаимодействие", равное Кцкь которому отвечает диаграмма
A2.44)
Тогда формулу A2.40) можно представить в диаграммном
виде:
Wo+ О--О + СО A2.45)
Способ учета диаграмм высшего порядка, гарантирующий
то, чго все они окажутся конечными, состоит просто в за-
1Ь*

244 Глава 12
мене «wa на во всех обычных диаграммах. Таким
образом,
---0
(Отметим, что здесь отсутствуют диаграммы второго порядка,
подобные
(ТО
так как они уже включены в диаграммы О"'О и <~3> •
Все это подробно обсуждается в работе [15] ])-)
Обратите внимание, что в действительности при вычислениях харак-
характеристик ядерной материи используется метод „неопределенной одноча-
стичной энергии", в котором к невозмущенному гамильтониану Яо доба-
добавляется, а из гамильтониана взаимодействия вычитается некоторый
одночастичный потенциал. Этот метод описан в работах [15, 52].
Литература для дальнейшего чтения:
Пайнс [53],
Киттель [34],
Таулес [64],
Изли [15],
Броут, Керрезерс [9],
Киржниц [69].
Мигдал [78],
Галицкий [79].
Упражнения
1. Проверьте, что две последние диаграммы в A2 2) аномальные.
2. Выпишите выражение для первой диаграммы в правой части A2 21).
3. Проведите суммирование следующего ряда диаграмм для энергии:
См. примечание на стр. 239. — Прим. ред.

Глава 13
КОЛЛЕКТИВНЫЕ ВОЗБУЖДЕНИЯ
И ДВУХЧАСТИЧНАЯ ФУНКЦИЯ ГРИНА
§ 1. Введение
До сих пор мы имели дело в основном с квазичастич-
квазичастичными возбуждениями систем многих тел. Обратимся теперь
ко второму из двух типов элементарных возбуждений, опре-
определенных в гл. 1, —к коллективным возбуждениям. Как там
было отмечено, кванты коллективных возбуждений связаны
с коллективным движением системы как целого; к их числу,
например, относятся фононы —кванты звуковых волн. По-
Подобно квазичастицам, коллективные возбуждения обладают
некоторыми корпускулярными свойствами, однако в отличие
от квазичастиц они совершенно не похожи на частицы,
образующие данную систему.
Следует отметить здесь, что несмотря на то, что кол-
коллективные возбуждения нельзя описать с помощью пред-
представления о „голой частице плюс облако", используемого
для описания квазичастиц, мы часто слышим такие выра-
выражения, как „одетый" плазмой или „одетый" фонон. Дело
в том, что если коллективные возбуждения взаимодействуют
друг с другом (или с другими элементарными возбуждениями
системы), то данное коллективное возбуждение может ока-
оказаться окруженным облаком элементарных возбуждений,
что и приводит к образованию „одетого" или „квазикол-
„квазиколлективного" возбуждения.
Коллективные возбуждения можно рассматривать с по-
помощью функции Грина F, отвечающей распространению
„флуктуации плотности" или „поляризации" и представляю-
представляющей собой частный случай двухчастичной функции Грина.
Так же как энергии и времена жизни квазичастиц находятся
из полюсов одночастичных функций Грина, энергии и вре-
времена жизни коллективных возбуждений определяются полю-
полюсами поляризационной функции Грина F. Эту новую функцию
Грина F можно представить в виде диаграммного разло-
разложения, которое оказывается в точности равным сумме по
всем „поляризационным частям", появляющимся при вычи-
вычислении эффективного потенциала взаимодействия A0.49).

246 Глава 13
Вычисление F для электронного газа высокой плотности
в приближении хаотических фаз (т. е. путем суммирования
только повторяющихся „парных пузырей") показывает, что F
описывает коллективное возбуждение, называемое „свобод-
„свободным плашоном". Учет диаграмм высших порядков приво-
приводит к „одеванию" плазмонов, т. е. к перенормировке их
энергии и к появлению конечного времени жизни ').
§ 2. Двухчастичная функция Грина
В классическом случае двухчастичная функция Грина
P(r4/4, iy3, г2^2, г^О определяет вероятность того, что если
одна частица была введена в систему в момент времени t\
в точку гь а вторая — в момент времени /3 в точку г3, то
в более поздние моменты времени одна частица окажется
в точке (г2^2), а другая — в точке (г4?4). Эту вероятность можно
найти как сумму вероятностей движения названных частиц
по всем различным путям с учетом рассеяния их друг на
друге. Таким образом (см. модель на фиг. 5), это можно
представить с помощью диаграмм
Ш
r,t.
®
A3.1)
') Это не вполне точно, поскольку вследствие затухания Ландау
время жизни плазмона оказывается конечным уже в наинизшем при-
приближении. — Прим, перев.

Коллективные возбуждения 247
Здесь линия отвечает столкновению частиц друг
с другом. Если теперь линии сопоставить ве-
вероятность рассеяния Ps (в данном случае Ps= 1), то тогда
эти диаграммы можно вычислить методом, подобным тому,
который использовался в одночастичном случае.
Квантовомеханическую двухчастичную функцию Грина
G2(r4^4> •••> Mi) также можно определить как амплитуду
вероятности того, что если одна частица была введена в си-
систему в момент времени t\ в точку ri, а вторая — в момент
времени t3 в точку г3, то в более поздние моменты времени
одна частица окажется в точке (г2/2), а другая — в точке (г4/,).
Эту функцию можно представить в виде диаграммного раз-
разложения, подобно тому как это делалось в случае детского
бильярда. Очевидно, Ьч представляет собой сумму ампли-
амплитуд всех возможных виртуальных процессов, в которых
частицы взаимодействуют с системой и друг с другом. Введем
сокращенные обозначения, полагая (r^^^^l и т. д. Тогда
указанное разложение примет вид
-/G2D, 3, 2, 1) =
4.4,4
Э
A3.2)

248 Глава 13
Так же как и в одночастичном случае, имеются и другие
возможности, отвечающие другим порядкам следования вре-
времен. Например, функция
определяется как амплитуда вероятности того, что если
в точку (r^i) введена частица, а из точки (г2^>) частица уда-
удалена (т. е. введена дырка), то в точке 0У3) будет обнаружена
дырка, а в точке (г4/4) — частица. Это можно представить
с помощью диаграммного разложения
-/G2D, 3, 2, 1) =
. 3
э +...
A3.3)
Такая форма двухчастичной функции Грина называется функ-
функцией Грина „частицы— дырки"')•
Все возможные определения G2, отвечающие всем воз-
возможным порядкам следования времен, содержатся в следую-
следующем компактном выражении:
3, 2, 1)=-/
A3.4)
где г|з+(г, t) и г|з(г, t) — операторы рождения и уничтожения
частицы в момент времени t в точке г [см. G.83)], 1%) —
волновая функция основного состояния с учетом взаимодей-
взаимодействия, а Г —оператор упорядочения во времени, описанный
в § 2 гл. 9.
Для функции G2D, 3, 2, 1) оказывается возможным на-
написать аналог уравнения Дайсона и использовать его для
1) Иногда ее называют двухчастичной функцией Грина в канале
частица — дырка. — Прим перев.

Коллективные возбуждения 249
определения различных свойств системы (см. [64] или [21]).
Здесь, однако, мы обсудим только одну специальную форму
G2, а именно „поляризационную функцию Грина".
§ 3. Поляризационная функция Грина (функция Грина
для флуктуации плотности)
Как уже говорилось в § 1 настоящей главы, коллектив-
коллективные возбуждения соответствуют регулярным изменениям
плотности, т. е. „флуктуациям плотности" в многочастичной
среде. Кажется вполне правдоподобным, что такие волны
могут описываться функцией Грина, определяющей их рас-
распространение от точки к точке, подобно тому, как одноча-
стичная функция Грина описывает распространение частицы.
Такую функцию Грина легко получить из выражения A3.4)
для G2, положив (г3, ^з) = (г4. U) и (ri> ^i) = (r2. h)- Это при-
приводит к функции Грина для флуктуации плотности
FC, [) = (-i)(WQ\T{^C)^C)^([)^A)}\WQ). A3.5)
[Согласно определению оператора Г —см. (9.4),— для совпа-
совпадающих времен оператор i|)+(r, t) должен всегда стоять слева
от г|з(г, t), как это и записано.]
Физический смысл F можно выяснить, замечая, что
p(r, f) = *+(r, 0Ф(г, t) =
= е'нУ (г) e~iHte+iHtty (r) e~iHt = e+'Htty* (r) г|з (г) е~ш, A3.6)
согласно G.84) и (9.3), есть просто оператор плотности (точнее
говоря, числа частиц) в точке г, t. Следовательно, функ-
функцию F можно переписать в виде
/7(г2-г„ t2-t1)=-iD'Q\T{p(r2, *2)р(г„ f1)}|4r0) =
W. A3.7)
причем последнее равенство есть следствие соотношения
р(г, *) = Ф+(г, *Жг, /)=[ф+(г, ^)^(г, /)]+ = Р+(г, t). A3.3)
Таким образом, функция F создает „возмущение плотности"
в точке (гь ti) и переносит его в точку (r2, t2). [Мы пола-
полагаем, что гамильтониан Н не зависит от времени и система
однородна (отсутствуют внешние поля), так что функция F
зависит только от разности временных и пространственных
переменных.]
Диаграммное разложение для F можно немедленно полу-
получить из разложения для Gi, A3.3), полагая там (г3, /3) =

250 Глава 13
= (r4, t4) и (Г[, tl) = (r2, Ь2), т. е. соединяя в каждой диаграмме
свободные концы. Таким образом,
A3.9)
Это есть не что иное, как сумма „поляризационных частей"
[см. A0.50K, вследствие чего функция F и называется поля-
поляризационной функцией Грина.
Переходя в выражении A3.9) к (к, ш)-пространству, легко
вычислить этот ряд. Надо лишь воспользоваться уравнением
A0.49) для эффективного потенциала взаимодействия. Таким
путем получаем
( /vw ) 2
A3.10)
Следовательно, подставляя A0.53) в A3.10), находим
A3.11)
или
Vkn (к, (о) е (к, со) '
A3.12)
где было использовано соотношение A0.55). Таким образом,
функция Грина для флуктуации плотности, или „поляриза-

Коллективные возбуждения 251
ционная функция Грина", выражается через сумму всех не-
неприводимых поляризационных частей л и связана с обоб-
обобщенной диэлектрической проницаемостью е(к, со).
§ 4. Функция Грина для коллективных возбуждений
Так как квазичастицы схожи со свободными частицами,
физические рассуждения приводят нас к выводу (см. гл. 3),
что их функция Грина должна быть подобна функции Грина
свободной частицы, правда, с другим законом дисперсии и
с отличным от нуля затуханием. В случае коллективных
возбуждений физическая интуиция не столь полезна, так как
они не имеют никакого отношения к свободным частицам.
Однако если обратиться к какому-нибудь хорошо извест-
известному случаю, например к фононам, то становится возмож-
возможным угадать общий вид функции Грина коллективных воз-
возбуждений.
В решетке с чисто гармоническим межатомным взаимо-
взаимодействием A.28) фононы описывают точные собственные со-
состояния системы. Фононная функция Грина введена в гл. 16
сразу же после уравнения A6.41). В соответствии с этим мы
можем полагать, что, когда коллективные возбуждения опи-
описывают точные собственные состояния системы, общий вид
функции F (к, со) следующий:
(*)-'* №?* (ШЗ)
щ k <в — a>fe + го <в + a>k — <
Здесь функция Bk не зависит от частоты со, а щ задает за-
закон дисперсии возбуждений. Это выражение называется сво-
свободной функцией Грина коллективных возбуждений, вслед-
вследствие чего мы приписали ей индекс „О". Она представляет
собой аналог функции Грина свободной частицы Go [см.
(8.35)], однако в отличие от последней имеет как положи-
положительно-частотную, так и отрицательно-частотную составляю-
составляющие. И, уж конечно, частота &k совершенно отлична от ek
( = k2/2m).
Если же коллективные возбуждения не отвечают точным
собственным состояниям системы, т. е. если они могут взаи-
взаимодействовать либо друг с другом, либо с другими элемен-
элементарными возбуждениями, то мы сталкиваемся с чем-то по-
подобным квазичастицам. Взаимодействие между возбужде-
возбуждениями приводит к перенормированному закону дисперсии &'k
и к конечному времени жизни xk (достаточно большому,
чтобы вся картина оставалась справедливой). Таким обра-

252 глава 13
зом, выражение A3.13) заменяется аналогом формулы (8.37)
для функции Грина квазичастицы:
^одетая (к, ©) = — уг — , где < ©?. A3.14)
w -co,;, +2iak[Tk xk
Это и есть функция Грина одетого коллективного возбуж-
возбуждения.
Согласно формулам A3.13) и A3.14), полюсы поляриза-
поляризационной функции Грина определяют энергии коллективных
возбуждений. Это имеет простой физический смысл, который
можно выяснить, рассмотрев точное выражение A3.12) для
F (к, со). Полюсы F (к, со) отвечают, очевидно, таким значе-
значениям (к, со), при которых обобщенная диэлектрическая про-
проницаемость обращается в нуль. Это означает, что в системе
могут происходить колебания плотности в отсутствие вы-
вынуждающих внешних полей, подобные, например, резонанс-
резонансным колебаниям в идеальном контуре (без сопротивления)
или колебаниям гитарной струны без трения. Это и есть
коллективные колебания.
Общие условия, при которых функция F (к, со), [см.
A3.12)], приобретает форму функции Грина коллективных
возбуждений A3.14), можно найти, разлагая выражение
A3.12) вблизи его полюсов, точно так же, как это делалось
в § 2 гл. 11 для G (к, со). Разобьем прежде всего поляри-
поляризационную часть л на действительную и мнимую части
v A3Л5)
Определим Qk как решение уравнения
1 + ^пл(к, Qfe) = 0, A3.16)
аналогичного уравнению A1.15) для квазичастиц, и разложим
nR в ряд около Qfe, считая, что ял есть медленно меняющаяся
функция не от со, а от со2 (то, что это именно так, мы уви-
увидим на примере, который рассмотрим в следующем пара-
параграфе):
я* (k, ©) = ^(k, QA) + (|^(со2 - Q|) + .... A3.17)
Подставляя это разложение в формулу A3,15), получаем
f(k, ffl)^X7^rf X
A3.18)

Коллективные возбуждения 253
Ясно, что это выражение имеет форму функции Грина
A3.14) затухающих коллективных возбуждений, справедли-
справедливую при условии
1
§ 5. Плазмоны и квазиплазмоны
Удобным объектом для рассмотрения коллективных воз-
возбуждений служит электронный газ высокой плотности, так
как в этом случае, согласно результатам § 4 гл. 10 и § 3
гл. 12, оказывается применимым приближение случайных фаз.
Это означает, что из суммы всех неприводимых поляриза-
поляризационных частей можно оставить только одну диаграмму
A0.36):
= - от0 (к, со) =
=-i{nOR+inO!). A3.20)
Подстановка ее в выражения A3.11) и A3.18) дает
Р ,и ч 2й* яр (k, QQ 1
Г RPA (К, СО) = -у~- X Тд^ г X
A3.21)
Чтобы выяснить, удовлетворяется ли при этом условие
A3.19), и найти частоты Qk, нужно вычислить функцию
Ло (к, со). Дело сводится к взятию интеграла A0.38) (см. [60])').
Некоторые результаты можно выразить с помощью фиг. 12.
Оказывается, что в незаштрихованной части графика яо/ = О
и, следовательно, условие A3.19) несомненно выполняется.
Решение уравнения A3.16) для полюсов Q.k в этой области
представлено в виде жирной кривой. [Величина сор есть
классическая „плазменная" частота, т. е. частота коле-
колебаний плотности электронного газа (см. [55]).] Сравнивая
выражение A3.21) с формулами A3.13) и A3.14), видим,
таким образом, что здесь мы имеем дело с функцией Грина
коллективных возбуждений с бесконечным временем жизни
и с законом дисперсии Qk. Такие возбуждения носят назва-
название свободных плазмонов и представляют собой второй тип
') См. также [8, 69, 79].- Прим. ред.

254 Глава 13
возбуждений электронного газа (первый тип — это кпазн-
электроиы).
Сопоставим теперь функции Грина свободного или „го-
„голого" плазмона пунктирную вертикальную линию. Тогда ее
(а =
кг
2m.
m
Фиг. 12. Закон дисперсии плазмонов (жирная кривая).
диаграммное разложение, согласно A3.11) и A3.20), имеет
вид
A3.22)
RPA
Если к разложению (J добавить поляризационные части
высших порядков, то они будут описывать взаимодействие
плазмонов друг с другом и с квазиэлектронами, приводящее
к превращению голого плазмона в „одетый", или в „квази-
плазмон" с конечным временем жизни. В этом легко убе-
убедиться, если в разложении поляризационной функции Грина
учесть, например, диаграмму 0:
A3.23)

Коллективные возбуждения 255
Перегруппировывая слагаемые этого разложения и исполь-
используя соотношение A3.22), получаем
е
+ ~У * ~j +. н +
: +...
A3.24)
Т 0
A3.25)
Здесь последняя (двойная) линия соответствует одетому
плазмону. Таким образом, поляризационная часть W играет
такую же роль, как и неприводимая собственно-энергетиче-
собственно-энергетическая часть в одноэлектронной функции Грина, одевая плаз-
мон так же, как собственно-энергетическая часть одевает
электрон.
Литература для дальнейшего чтения:
Райм; [55],
Пдйнс [53],
Шульц [60],
Пайнс [52],
Киржниц [69],
Галицкни [74].

256 Глава 13
• Упражнения
1. Пусть речь идет о таком взаимодействии, при котором в разложе-
разложении A3.2) наибольшую роль играют процессы рассеяния лестничного типа.
Выпишите ряд по таким процессам (игнорируя для простоты лестничные
диаграммы с „пересечениями") и получите в диаграммной форме инте-
интегральное уравнение для С2. Выразите результат через /("-матрицу A0.19).
2 Просуммируйте ряд A3 22) для плазмонной функции Грина в при-
приближении случайных фаз и покажите, что результат имеет форму A3.11) с
3. Просуммируйте ряд для одетых плазмонов:
а) не проводя перегруппировки [как в A3.23)];
б) после перегруппировки [см. A3.24)].
в) Воспользовавшись ответом к задаче 2, докажите, что оба
результата совпадают.

Глава 14
ФЕРМИ-СИСТЕМЫ ПРИ КОНЕЧНЫХ
ТЕМПЕРАТУРАХ
§ 1. Обобщение случая Г = 0
Рассмотренные до сих пор задачи — исследование возбу-
возбужденных состояний (т. е. элементарных возбуждений) и вы-
вычисление энергии основного состояния системы — были физи-
физически нереалистичными в том смысле, что система многих
тел предполагалась находящейся при нулевой температуре.
Это прекрасное приближение для ядер, энергии которых
велики по сравнению с обычными тепловыми энергиями
(порядка 1/40 эв), и для твердых тел при чрезвычайно низ-
низких температурах. Однако для ядер в горячей плазме и
в звездах или для твердых тел в обычных условиях прибли-
приближение Т = 0 может оказаться очень плохим. При конечных
температурах система распределена статистически по всем
своим возбужденным состояниям. Это означает, что „сред-
„среднее" по основному состоянию (%) I ... | %)), которое исполь-
использовалось для вычисления функций Грина при Т = 0, следует
заменить средним по большому каноническому ансамблю.
Тех, кто только-только овладел сложной диаграммной
техникой при Т = 0, зрелище поднимающей свою ужасную
голову температуры может заставить, как Архимеда, вос-
воскликнуть: „Не трогай моих диаграмм!" Самое, однако, за-
замечательное состоит в том, что учет температуры действи-
действительно „не тронет" диаграмм. При Г>0 они строятся точно
так же, как и при Т = 0. Разница между двумя этими слу-
случаями заключена только в словаре, с помощью которого
прямые и волнистые линии переводятся на обычный язык.
Это позволяет без лишних хлопот получить теорию при ко-
конечных температурах из теории при Т = 0.
Возьмем, например, одночастичную функцию Грина &
при конечной температуре. С ее помощью среди прочих
вещей можно найти температурную зависимость закона дис-
17 Р MdTTjh

258 Глава 14
Персии квазичастиц, функцию распределения частиц по
импульсам и т. д. Диаграммное разложение для & имеет
тот же вид, что и при Г = 0. Разница состоит лишь в том,
что каждой направленной линии сопоставляется статистиче-
статистический множитель, время заменяется мнимой переменной, а из
энергии вычитается химический потенциал м-.
Другой пример — статистическая сумма Z, представляю-
представляющая собой ключ к равновесной термодинамике системы
многих частиц. Любую величину — энергию, энтропию, дав-
давление и т. д.— легко вычислить, коль скоро найдена стати-
статистическая сумма Z. Мы покажем, что значение Z пропор-
пропорционально вакуумной амплитуде при конечной температуре,
и, следовательно, статистическую сумму можно найти с по-
помощью тех же диаграмм, которые используются для вычи-
вычисления энергии основного состояния Ео.
§ 2. Статистическая механика в представлении
вторичного квантования
Поскольку метод вторичного квантования относится к си-
системам, в которых число частиц N, вообще говоря, не фикси-
фиксировано, мы должны использовать статистический метод, при-
пригодный для задач с переменным числом N, например метод
большого канонического ансамбля. При этом имеется в виду,
что наша система помещена в резервуар, образованный ча-
частицами того же сорта, что и система, и находящийся при
температуре Т. Система имеет возможность отдавать и по-
получать частицы или энергию из резервуара.
Пусть гамильтониан системы, Я, задается выражением
G.51). Так как число частиц /V переменно, собственные
функции | Ч^) гамильтониана Н будут зависеть от N. Пусть
собственной функции | х?{) отвечает число частиц N{ и энер-
энергия Et. Тогда
Вероятность того, что система (рассматриваемая как член
ансамбля) будет обнаружена в состоянии | 1Рг), дается фор-
формулой

Ферми-системы при конечных температурах 259
Здесь ц — химический потенциал, равный энергии, требуемой
для удаления из системы одной частицы; $=\/kf (k — по-
постоянная Больцмана). Знаменатель Z в выражении A4.2)
называется статистической суммой системы с переменным
числом частиц, а числитель рг — функцией распределения.
Эти величины удобно выразить через статистический оператор
p = e-Btff-nJV)f A4.3)
где N — оператор числа частиц. Тогда
P.-WpTO. A4.4)
Z-Spp, *-,-2Ц^. A4.5)
Чтобы найти среднее значение любого оператора (д, нужно
вычислить его взвешенное среднее
A4.6)
Например, средняя энергия есть
Е = (Н)= ' -Br?,-^.r--f^-lnZ) • A4-7)
В выражении A4.6) фигурируют точные многочастичные соб-
собственные функции |1Рг). Поскольку в общем случае они не-
неизвестны, следует использовать тот факт, что значение шпура
не зависит от выбора представления, и работать в каком-
либо более удобном базисе, скажем | Ф„). В качестве по-
последнего обычно выбирают собственные функции системы
без взаимодействия. Тогда
Используем теперь приведенные выше соотношения для бы-
быстрого (хотя, возможно, выглядящего несколько таинственно!)
вывода некоторых хорошо знакомых нам результатов для
системы невзаимодействующих фермионов. В этом случае
гамильтониан и собственные функции имеют вид
Яо = S Vfo. |Ф,) = \п[, п^ п[,...). A4.9)
17*

260 Глава 14
Функция распределения равна
= Пе~Р1е™\ A4.10)
к
где \х0 — химический потенциал (равный энергии Ферми) си-
системы без взаимодействия (индекс „0" обозначает отсутствие
взаимодействия в системе). Статистическую сумму можно
представить в виде
Zo-SpPo- |Рю-^ ^ ke о *. A4.11)
Первому слагаемому этой суммы отвечает набор
[п[, ..., п[, ...}={0, 0, 0, ...},
второму —{1, 0, 0, 0, . ..} и т. д., так что
7 -I 4-(>-P(erlieL-(>-P(erW4- p-Bfei-|xo)/)-|3(e2-|Xo) _L _
= П[1+е~р(8*"^о)]. A4.12)
При этом мы использовали то обстоятельство, что nk = 0
или пк= I.
Отсюда можно вычислить среднее значение всех опера-
операторов для систем без взаимодействия. Например, среднее
число частиц с импульсом k в этой системе (заметим, что
операторы р и c\ck диагональны в представлении собствен-
собственных функций | Ф(-> гамильтониана Я, так что (Ф,|р |Ф;) = 0
при / Ф j и т. д.) будет
•••• nk> ••• кК|л{ ni, ...NX
Вклад дает только то слагаемое, для которого
(..., n'k, ... \c$ck\ ...,<,...)=! (т. е. лА =

Ферми-системы при конечных температурах 261
Поэтому
e-4*k-v0) v тт -ЧТ^о)»*
Ъ ЦгР(вг,о)- 04.14)
Сумма произведений в этом выражении равна единице [см.
формулу A4.12)], и мы приходим к окончательному результату
т. е. к хорошо известному распределению Ферми. Оно по-
получено здесь элегантным, но довольно неприятным способом.
Вычислим еще одно полезное среднее (с/;с|). Мы имеем
Ы\ = Wo - <<&>„ = * - К = -Р(еДл = ^ A4Л6)
§ 3. Функция Грина при конечных температурах
Функция Грина системы N взаимодействующих частиц
при нулевой температуре в отсутствие внешних полей имеет
вид
G(k, Ь-Ь)= - i(V0\T [ск(к)с$(и)}\ЧоУ, A4.17)
она представляет собой, очевидно, среднее значение (мате-
(математическое ожидание) оператора Т {cfc (t2)ct{t\)} по основному
состоянию. Следовательно, функцию Грина при конечных
температурах можно получить усреднением того же самого
оператора по ансамблю систем при температуре Т. Согласно
соотношению A4.6), это дает
~ l Spp • U4.1SJ
Наша цель состоит в вычислении этой функции и с ее
помощью — характеристик системы. Было бы прекрасно,
если бы GT можно было разложить по диаграммам так же,
как это делалось в случае функции G, и использовать затем
метод частичного суммирования. Однако для функции GT
этого сделать не удается. Диаграммное разложение можно
тем не менее построить для модифицированной функции

262 Глава 14
Грина, называемой термодинамической (или чаццбаров-
ской)'). Последняя определяется равенством
${Ь, т2-гх)~ - i{T {ck(T2)cl{xx))), A4.19)
где
0 (т) _ e(H-\xN) t0e-(H-[iN) т
И
0<Т|, Т2<ГР, Т — действительная величина.
Очевидно, функцию & можно получить из Gr путем следую-
следующих замен:
A4.20)
it-*-т. v
Так как параметр т действителен, то t = — ix — чисто мни-
мнимая величина. Поэтому & называют также „функцией Грина
с мнимым временем". Отметим, что оператор упорядочения
во времени Т в A4.19) означает, что все операторы распо-
расположены в порядке уменьшения т слева направо.
Причина, по которой функцию & можно разложить
в тот же диаграммный ряд, что и G (для Т — 0), состоит
в следующем. Как показано в приложении II, диаграммное
разложение для G представляет собой фундаментальное след-
следствие зависящего от времени уравнения Шредингера. Ста-
Статистический оператор р удовлетворяет уравнению Блоха
-|Е- (// —м.Л^)р, A4.21)
в чем можно убедиться, продифференцировав соотноше-
соотношение A4.3). Между этим уравнением и нестационарным урав-
уравнением Шредингера имеется полное соответствие:
Ч'ч->р, H*->H-\xN, it*-+$.
Это и указывает на то, что, совершив всюду замену A4.20),
мы можем построить теорию для конечных температур, осно-
основывающуюся на уравнении Блоха, таким же образом, каким
на основании уравнения Шредингера была построена теория
для температуры Т — 0 При этом, в частности, оказывается,
что & можно разложить в ряд теории возмущений, пред-
представляющий собой почти идентичный двойник ряда теории
возмущений для функции Грина при нулевой температуре.
') Автор употребляет термин „функция Грина с мнимым временем""
При переводе, однако, использовались термины, принятые в отечествен-
отечественной литературе „термодинамическая" или „мацубаровская" функция
1'рина. — Прим переа

Ферми-системы при конечных температурах 263
[См. в приложении IV формулы (IV. 14) —(IV. 19) и в прило-
приложении V формулы (V. 15) — (V. 17).]
Несмотря на нефизически звучащий термин „мнимое время",
получить физическую информацию из ?? так же легко, как
и из GT. Дело, во-первых, в том, что замена #-># —[xiV
приводит лишь к сдвигу одночастичной энергии на ц, так как
Во-вторых, хотя расчет дает & как функцию от т, этот ре-
результат всегда можно выразшь через реальное время путем
замены т на //, или, говоря более точно, путем аналити-
аналитического продолжения на ось действительного времени.
Некоторое затруднение вызывает то, что значения tj и т2
в выражении A4 19) ограничены интервалом от 0 до р. (При-
(Причина этого изложена в приложениях IV и V.) Это создает
трудности при переходе к (к, со)-пространству, так как при
фурье-преобразовании требуется интегрировать по т от — оо
до + оо. Указанная трудность устраняется, если включить
в наш зверинец еще одну функцию Грина о?период- Она почу-
чается периодическим повторением В от — оо до + оо, т. е.
оо
Период (к, т) = j ^ е-'ш«т^(к, «,„), A4.22)
П= —оо
где
& (к, со„) = 1 J еш«т^ (к, т) йт, A4.23)
-Р
ЯЯ It А С\А\
«•» = -?-• A4.24)
Функция ^период (к, т) равна ??(к, г) в интервале (— р, +р\
и периодически повторяется в интервалах (+ р, + Зр),
(+Зр, + 5р), ..., (—Зр, — р), .... [Заметим, что разность
т = т2 —Т[ заключена в интервале (— р, + р), так как вели-
величины %i и т2 пробегают интервал @, р).] Таким образом,
фурье-трансформанта функции ^период есть &{к, со„).
Четные значения п выпадают из ряда для <??ПеРиод благо-
благодаря так называемому „квазипериодическому" граничному
условию
^период (к, т)=-??пе1Ш0Д(к, т + р) для т<0. A4.25)

264 Глава 14
Справедливость его легко проверить, воспользовавшись свой-
свойством шпура 5рЛВ = 5рВЛ. Полагая т' — т>0, мы имеем
^период (к, Т - Т') = у SP в"» W-Mcl (ТО С, (т) =
= -j- Sp ck (т) е-Р W-i*wc+ (тО =
N)ck{T;) е-№-^к\(т'), A4.26)
или
^период (к, Т-Т')= ~ Период (к, Т + р-тО, A4.27)
что при т' = 0 совпадает с условием A4.25). [Знак минус по-
появился благодаря тому, что операторы ck (т) так же, как
и ck, антикоммутируют друг с другом.] Подставляя соотно-
соотношение A4.25) в A4.22), видим, что все слагаемые с чет-
четными п действительно обращаются в нуль. Таким образом,
A4.24) заменяется на
_ Bи +1) л -_.
ю„ = р . A4.28)
(В случае бозонов выпадают слагаемые с нечетными п.)
Рассмотрим теперь термодинамическую функцию Грина
свободной частицы. Используя определение A4.19) и соотно-
соотношения A4.15) и A4.16) (где ц.о заменено на ц), с помощью
тех же рассуждений, которые приводят от (9.15) к формуле
(9.20), получаем
[+Д]МЛ-Ч A4.29)
Физический смысл этого результата можно понять, сравнив
его с обычной функцией Грина (8.34) при Т = 0. Не считая
сдвига начала отсчета энергии на величину (г и замены //
на т, основное различие между этими функциями состоит
в том, что вместо функций ®e,k-tF и 9е/?-еА появляются стати-
статистические множители f* и /J. Это соответствует размазке
9-функций (фиг. 13). Теперь „дырка" интерпретируется не
просто как состояние под ферми-поверхностью, не занятое
частицей, а более общим способом. [См. абзац, следующий
за формулой D.30).] Именно дырке соответствует та часть
функции &о, которая отлична от нуля при t2<Ti. Поэтому
можно утверждать:
При Т > 0 в состоянии с одним и тем же векто-
вектором к могут одновременно находиться и элек-
электрон и дырка. A4.30)

Ферми-системы при конечных температурах 265
Если теперь периодически продолжить функцию <??0
(индекс „период" с этого момента мы будем опускать) на
все значения т, то, подставив выражение A4.29) в A4.23),
получим
ffo(k. «>«) = J , A4.31)
п k ^
где ю„ определяется равенством A4.28).
Как показано в п. 3 приложения V, функцию Э можно
разложить в ряд теории возмущений, который оказывается
9tF-t
Фиг. 13. Статистические множители частичной (/^) и дырочной [fk ]
частей термодинамической функции Грина.
близнецом соответствующего ряда для G при нулевой тем-
температуре. Отсюда следует, что $ выражается с помощью
тех же диаграмм, что и G:
ЛЛ/nQ
кЛ/\Л/ + ...
A4.32)
Теперь, однако, согласно утверждению A4.30), следует учи-
учитывать и „аномальные" диаграммы (см. стр. 185). Правила
вычисления этих диаграмм в случае конечных температур
приведены в словаре табл. 13. [Относительно того, почему
в этом случае перед V опускается мнимая единица i, см.
в приложении IV формулы (IV. 13) и (IV. 19).]
Уравнение Дайсона для & в диаграммном виде в точ-
точности совпадает с A0.7), так что
со„) =
(СО — I
A4.33)

266 глава 14
Простейшим примером служит приближение Хартри—Фока
при конечной температуре. Ему отвечает неприводимая соб-
собственно-энергетическая часть S, представленная диаграм-
диаграммами A0.11). Расчет с помощью табл. 13 дает
-Z(k, со„)= | ОР + С? =
Р
-p. A4.34)
Подставляя это в выражение A4.33), видим, что при конеч-
конечной температуре мы имеем дело с хартри-фоковскими квази-
квазичастицами с энергией
p-V+l) . A4.35)
по всем р
Эффективное иоле, которое „видит" частица с импульсом к,
модифицируется теперь за счет того, что при конечной тем-
температуре некоторые из создающих его частиц находятся
выше поверхности Ферми. Это обстоятельство отражается
фигурирующим в формуле A4.35) статистическим множите-
множителем. Таким образом, энергии квазичастиц оказываются за-
зависящими от температуры через множитель р = 1/kT — хоро-
хороший пример довольно странно звучащей в квантовой меха-
механике концепции: „температурно зависящие энергетические
уровни". (Истинные уровни системы от температуры, ко-
конечно, не зависят.)
Приведенное выше выражение можно сделать „самосогла-
„самосогласованным", заменив в правой части формулы A4.35) ер на е'
и превратив его тем самым в запутанное уравнение для г'.
Графически это означает, что из разложения A1.3) для не-
неприводимой собственно-энергетической части мы оставляем
только два первых слагаемых:
^ A4.36)
§ 4. Вакуумная амплитуда при конечной температуре
Вакуумная амплитуда при нулевой температуре опреде-
определялась соотношением
^°К A4.37)

Диаграммные
при конечной
словарь для
температуре
системы взаимодействующих
в отсутствие внешнего поля
(к, Т)-простпанство
Элемент диаграммы
к -п- или
11 о
1 °
ч,
Множитель
1» (к, Т)
фермионов
Элемент
к, шп
(
диаграммы
fr ИЛИ |i
к о) \ пространство
Таблица 13 <
Множитель
т| , 1° ^
к | или к |
О1 ' т
-<*ь-Мх к.о,п "ли
\ (к, со„) = - ¦
2ге + 1 . 1
Шп = —s я. Р=^Г7
о
^*^ или
к к
^—•
к I
уухлллллллллл/^
m
ш
Фермионная петля
Пример
Фермионная петля
Пример
- 1
-1
Промежуточные к, т
k О
Промежуточные к, а>п

268 Глава 14
Теперь для наших целей требуется явное выражение для
амплитуды, в котором используется оператор U [см. прило-
приложение V, формула (V. 13)] при /о=0:
R(t)= <Ф0|О @|Фо> = <Фок'я^-'«|Фо). A4.38)
Здесь использовано соотношение (IV. 1) из приложения IV.
Вакуумная амплитуда при конечной температуре опреде-
определяется формулой
RT = (U(t)H, A4.39)
где символ ( H обозначает усреднение по ансамблю не-
невзаимодействующих частиц при температуре Т. Эта вели-
величина, как и функция GT [см. A4.18)], не очень удобна. Более
подходящей оказывается функция, которая получается из RT
с помощью преобразования A4.20):
Si (р) = <с7(р))„ = (<Р M>-uWe-e <я-м% A4.40)
Отметим тут же, что статистическая сумма оказывается
пропорциональной <$?(р). В самом деле,
Z = Sp е-Р ш-»>» = Sp e-P w.-^>?/ (p)f
Zo = Sp e-P (H.-^), " )
так что
|7 A4.42)
Следовательно, согласно соотношению A4.7), среднюю энер-
энергию системы можно легко представить в виде
^^). A4.43)
Ясно, что это есть доказанный при ТфО аналог теоремы E.4):
. A4.44)
)
Как показано в приложении V [формула (V. 19)], функ-
функцию ^?(р) можно разложить в ряд, подобный ряду для R(t)
при Т = 0. Это означает, что вид диаграммного разложения,

Ферми-системы при конечных температурах 269
соответствующего Г>0, остается прежним:
= 1 +
+ +
OwwO
A4.45)
Заметим, что сюда следует включить и аномальные диа-
диаграммы. Приведем примеры вычисления диаграмм с исполь-
использованием табл. 13:
Р
A4.46)
О к. I
X
W
о о
-^ ^-t')GT2-Ti.
A4.47)
Разложение для средней энергии (Е) можно получить
из A4.45) с помощью соотношения A4.43). Здесь опять оказы-
оказывается справедливой теорема о разложении по связанным
группам, и мы имеем
... A4.48)
Для вычисления этого ряда требуется новый словарь. За
деталями и примерами мы отсылаем читателя к работе [7].

270 Глава 14
Литература для дальнейшего чтения:
Шульц [60],
Таулес [64],
Латтинджер, Уорд [40],
Абрикосов, Горькой, Дзялошинский [1],
Блох [7].
• Упражнения
1. Вырачите среднее число частиц N через статистическую сумму,
2. Используя результат упражнения 1, выразите химический потен-
потенциал ц0 ферми-системы без взаимодействия при температуре Т через
среднее число частиц (по условию равное No).
3. Проверьте справедливость выражения A4.29).
4. Проверьте справедливость выражения A4.31).
5. Переведите на язык температурных функций [в (k, cort)-npocTpancTBe]
четвертую диаграмму разложения A4.32).

Глава 15
ДИАГРАММНЫЙ МЕТОД В ТЕОРИИ
СВЕРХПРОВОДИМОСТИ
§ /. Введение
Хорошо известно, что ниже некоторой критической тем-
температуры ThP~l -i- 10°К большое число металлов и сплавов
претерпевает переход в новую фазу, называемую сверхпро-
сверхпроводящим состоянием (см. обзоры [56, 66] '))• Эффектные
физические свойства этого состояния, такие, как нулевое
электрическое сопротивление и идеальный диамагнетизм,
поставили явление сверхпроводимости на одно из централь-
центральных мест в современной теории многих тел.
Как теперь известно, механизмом, ответственным за
возникновение сверхпроводимости, является притяжение
между двумя электронами, возникающее вследствие обмена
„виртуальными фононами". В результате этого притя-
притяжения электроны с противоположными спинами и им-
импульсами спариваются. Волновая функция основного со-
состояния такой системы представляет собой суперпозицию
„незацепляющихся" друг за друга функций, как, напри-
например, \0к,ь 0-ы> W> 1-Ы-. •••/' ПРИ эт0м паРы одноча-
стичных состояний ф+kh Ф~н либо заняты, либо пусты.
Оказывается, что если учесть такое спаривание, то закон
дисперсии элементарных возбуждений („боголонов") имеет вид
а не Ek — k2/2tn" — гр, как для свободных частиц. Таким
образом, спектр возбуждений системы имеет „энергетическую
щель" А. Это и делает сверхпроводник невосприимчивым
к тому рассеянию, которое обусловливает электрическое
сопротивление нормального металла.
') См. также [80]. — Прим. ред.

272 Глава 15
Существует несколько способов вычисления энергии основ-
основного и возбужденных состояний сверхпроводника Ео и Ek.
Самый первый способ Бардина, Купера и Шриффера (БКШ),
который будет бегло нами описан, основывается на вариа-
вариационном методе решения уравнения Шредингера для системы
электронов с мгновенным притягивающим взаимодействием.
(Истинное взаимодействие оказывается запаздывающим.)
Величины Ео и Ек можно получить и диаграммным методом,
и именно на этом мы сосредоточим здесь свое внимание.
Диаграммный метод, пригодный для описания сверхпро-
сверхпроводимости, отличается от того, который мы до сих пор ис-
использовали. Сначала мы покажем, что обычные диаграмм-
диаграммные методы при всей их мощи не имеют достаточно сильных
мышц, чтобы осилить случай сверхпроводимости. В самом
деле, мы увидим, что из-за спаривания электронов обычная
диаграммная теория возмущений оказывается совершенно
неприменимой.
Из этого трагического положения существует несколько
эквивалентных выходов. Один из них, описанный ниже, ис-
использует матричную функцию Грина <§(к, со), которая уже
содержит в себе спаривание. Эта функция имеет вид
G (kf) F \
/» -G(-kJ' <15Л>
где G — обычная функция Грина, a F — так называемая ано-
аномальная функция Грина, определяющая амплитуду вероят-
вероятности рождения или уничтожения пары частиц в системе.
Матричную функцию Грина ®, подобно обычной функции
Грина G, можно представить в виде бесконечного ряда диа-
диаграмм и с ее помощью найти энергию боголона Ek.
Преимущество диаграммного метода в теории сверхпро-
сверхпроводимости заключается в том, что он позволяет учитывать
запаздывающий характер межэлектронного взаимодействия,
обусловленного фононами. Это дает возможность браться
за решения задач, недоступных обычному методу БКШ, и
создает основу для значительно более общей формулировки
теории сверхпроводимости.
§ 2. Гамильтониан системы взаимодействующих
электронов и фононов
В рассмотренных до сих пор примерах мы использовали
утопическую модель металла, представляющего собой ящик,
в котором на фоне размазанного статического положитель-

Диаграммный метод в теории сверхпроводимости 273
ного заряда (соответствующего положительным ионам) дви-
движутся электроны. Для наших нынешних целей эта модель
слишком идеализирована. Для объяснения сверхпроводимости
следует принять во внимание, что образующие кристалли-
кристаллическую решетку положительные ионы могут колебаться отно-
относительно своих положений равновесия. Таким образом, в наш
"ДебАЙ
Фиг. 14. Закон дисперсии для продольных и поперечных мод
голых фононов.
ящик необходимо ввести еще кванты колебаний решетки —
фононы.
Гамильтониан системы невзаимодействующих фононов
имеет вид [см. A.41)]
A5.2)
где Qq — частота фонона с импульсом q и поляризацией X
(q == q, X), a Bq и Bq — операторы рождения и уничтожения
фонона. Грубо говоря, фононы описывают одно „продольное"
колебание с частотой Qq и два „поперечных" с частотами
?lj и Qj. Воспользуемся моделью, в которой положительные
ионы решетки, взаимодействующие друг с другом посред-
посредством кулоновских сил, колеблются на фоне статического
отрицательного заряда, соответствующего электронам (это
не то же самое, что модель „пружинок" на фиг. 2, так как
кулоновские силы имеют дальнодействующий характер!).
Пвенебрегая при этом взаимодействием ионов с электронами,
мы получаем частоты, представленные на фиг. 14, где
^Дебай ~ 1А .
Частота
A5.3)
М
18 Р. Маттуг,

274 Глава 15
где Ze — заряд иона, /V —число ионов в 1 см3, М — масса
иона, есть ионная „плазменная" частота. Она равна собст-
собственной частоте колебаний ионов, которой они обладали бы,
будучи размазаны в виде желе на фоне однородного стати-
статического отрицательного заряда (модель „желе"). Тот факт,
что Q,—>QP при q—>0, физически неправилен: надо было бы
получить, что Q, —> 0 при q—>0. Ошибка связана с прене-
пренебрежением взаимодействием с электронами. Учет последнего
приводит к „одеванию" продольных фононов электронным
облаком; при этом их частоты переиормируются так, что
Qq ~ q при малых q (приложение X).
Пусть теперь электроны и фононы в нашем ящике взаимо-
взаимодействуют друг с другом. Тогда гамильтониан системы
в пренебрежении фонон-фононным взаимодействием прини-
принимает вид
где
я
— il своб.
электронов
электронов
**кулон ~
1
к.
1
+
а
к
а
Я
к',
, а'
кулон
U и.
VKc
К
+ Я своб
фононов
а'
:к'-К,о'Ск +
+
**¦ электрон- 1
фононный
аСк, аСй'а'>
A5
A5
A5
•4)
•5)
.6)
,( т) A5.7)
фононов ^^ \ ^ '
Гр S
фононный к, к', q
а
Вывод гамильтониана взаимодействия A5.8) читатель может
найти в книгах [58, 60] ')• Мы написали этот гамильтониан,
используя модель желе, в которой электроны взаимодейст-
взаимодействуют только с продольными фононами и
4яе>
У
а частота Qp дается формулой A5.3). Гамильтониан A5.8)
описывает процесс, в котором электрон, испуская или погло-
поглощая фонон с волновым вектором q, рассеивается из состоя-
состояния к в к'.
') См. также [81]. — Прим. ред.

Диаграммный метод в теории сверхпроводимости 275
§ 3. Краткий обзор теории БКШ ')
А. ГАМИЛЬТОНИАН БКШ
Глупо было бы надеяться, что достаточно долгое созер-
созерцание гамильтониана A5.4) может само по себе привести
к разгадке секрета сверхпроводимости. Ключ к ней нужно
взять у природы. Некоторые из важных наводящих сообра-
соображений следуют из эксперимента [43]:
1. Сверхпроводимость встречается у чрезвычайно разно-
разнообразных металлов и сплавов.
2. Характерная для сверхпроводящей фазы энергия связи
очень мала и составляет величину порядка 10~4 эв/атом.
3. Явление сверхпроводимости связано с электронами
в тонком слое вблизи поверхности Ферми. Толщина этого
слоя порядка kTKp, где Ткр — температура перехода в сверх-
сверхпроводящее состояние (~ 1-г-1О°К). Эти электроны назы-
называют „сверхпроводящими".
4. Движение электронов, отстоящих друг от друга на
расстояниях порядка или меньше „длины когерентности"
(~ 10~4 см), оказывается сильно коррелированным.
5. Изотопический эффект, состоящий в том, что темпера-
температура Гкр оказывается обратно пропорциональной корню из
массы иона решетки, указывает на огромную роль, которую
играет в сверхпроводимости электрон-фононное взаимодей-
взаимодействие.
Из п. 1 видно, что детали структуры металла не играют
определяющей роли в сверхпроводимости. Это означает, что
в первом приближении мы можем пренебречь периодическим
потенциалом решетки и связанными с ним искажениями
ферми-сферы. Мы видели, что кулоновское отталкивание
между электронами обусловливает лишь нормальное квази-
квазичастичное поведение. Таким образом, согласно п. 5, мы ищем
такое взаимодействие между электронами через фононы,
которое могло бы привести к появлению нового типа корре-
корреляции, указанной в п. 4. Физически такое взаимодействие
могло бы быть следствием того, что а) один электрон втяги-
втягивает в свою окрестность положительный ион и деформирует
решетку, рождая тем самым фононы [это и есть электрон-
фононное взаимодействие A5.8)], и б) эта деформация дей-
действует на второй электрон, т. е. последний поглощает
фонон. Поскольку это взаимодействие проявляется во вто-
втором порядке, оно не присутствует в явном виде в гамильто-
') См. гл 4 в работе [56].
18*

276 Глава 15
ниане A5.4). Однако Фрелих [20] показал, что его можно
выделить с помощью некоторого сложного канонического
преобразования гамильтониана Н (см. [34] или [57]). В ре-
результате преобразования получаем
Л прообраз = "квази- т "экраниро- "Г
электронный ванный кулон.
"Г Л электрон Т Л одетых Т •••, A5.10)
фонон- фононов
электронный
где
"квазиэлектронный ^^ ^kPk, o^k, а \"я 2т*
k, а
"одетых фононов == ^j "®fc \ k к ' о
#экран.кулон+ =.-^ ^kqC\'-q^'Ck^q,oCbfk'o- A5.12)
+ электрон-фонои- k, k , q
электронный ff, ff'
причем потенциал БКШ-взаимодействия 7*kq определяется
соотношением
Экранированное Экранированное электрон-
кулоновское фонон-электронное
взаимодействие взаимодействие
(взаимодействие Фрелиха)
Плазмонное слагаемое здесь опущено, так как оно нас не
интересует. В выражении A5.11) подразумевается, что элек-
электронная энергия перенормирована с учетом вклада взаимо-
взаимодействия A5.12) в первом порядке. Таким образом, новая
величина ek есть энергия квазиэлектрона в приближении
Хартри — Фока. Для простоты мы будем предполагать, что
ее можно выразить через эффективную массу m'. Отметим,
что энергия отсчитывается от уровня Ферми. Матричный
элемент Mq пропорционален экранированной константе
электрон-фононной связи, a &k есть частота продольного
фонона, перенормированная за счет взаимодействия с элек-
электронами (см. приложение X).
Исследуем подробнее потенциал БКШ-взаимодействия T'kq-
Среднее значение ha>q составляет величину порядка 0,025 эв,

Диаграммный метод в теории сверхпроводимости 277
в то время как среднее значение разности гк — ek+q для
электронов в тонком слое у поверхности Ферми — порядка
4 • 10~4 эв (см. п. 3). Стало быть, в среднем фрелиховское
слагаемое в Tkq отрицательно (что соответствует притяжению
между электронами). Далее в металлах, которые всегда
остаются нормальными, матричный элемент Mq электрон-
фононного взаимодействия мал и доминирует кулоновское
отталкивание. Поэтому потенциал БКШ-взаимодействия ока-
оказывается положительным и электроны отталкиваются друг
от друга. Однако в сверхпроводящих металлах (т. е. таких,
которые переходят в сверхпроводящее состояние при доста-
достаточно низких температурах) матричный элемент Mq велик,
так что преобладает фрелиховское слагаемое и потенциал
БКШ-взаимодействия оказывается отрицательным. Это озна-
означает, что в сверхпроводниках между всеми электронами
внутри тонкого слоя вблизи поверхности Ферми действуют
силы притяжения. (Заметим, что в сверхпроводниках эти
силы притяжения присутствуют всегда независимо от того,
перешел ли металл в сверхпроводящее состояние или нет.)
Б. СПАРИВАНИЕ И РЕДУЦИРОВАННЫЙ ГАМИЛЬТОНИАН
Купер исследовал, к чему приводит такое притяжение.
Его результат состоит в следующем. Рассмотрим два элек-
электрона с волновой функцией, соответствующей суперпозиции
двухчастичных состояний ) 1^, 1-/^) ( f и | означают напра-
направление спина вверх и вниз, a \\a\>kP). При наличии при-
притяжения они образуют связанное состояние независимо
от того, сколь мало взаимодействие. Волновая функция свя-
связанного состояния имеет характерные размеры порядка 10" см
и энергия этих электронов оказывается меньше той, которой
они обладали бы в отсутствие взаимодействия. Следова-
Следовательно, указанное притяжение приводит к неустойчивости
распределения Ферми: системе, оказывается, энергетически
более выгодно образовать некоторое коррелированное состоя-
состояние, в котором каждый электрон в состоянии kf „спарен"
со своим товарищем в состоянии — \l\ (куперовская пара).
Понятие „спаривание" достаточно ясно для двух элек-
электронов. Однако, что это означает для N электронов? БКШ
предположили, что волновая функция ХУО основного состоя-
состояния сверхпроводника не есть более линейная комбинация
всех волновых функций невзаимодействующей системы
I «ь «2 щ, ...), а образуется из волновой функции со-

^78 Глава 15
стояний, в которых электроны содержатся только в купе-
ровских парах:
i^>=...v.?,it.../-V"-v-i-""""- >'A5Л4)
где nki = n_k, для всех kr Это можно записать в сокра-
сокращенной форме
ТО= 2 А...,Щг ...\NU ..., Nt, ...), Ni = 0, 1, A5.15)
где \Ni, ..., Mlt ...) означает следующее: Mi пар в состоя-
состоянии kif, — kij, N2 пар в состоянии k2f, — к2| и т. д. (Можно
заметить, что это предположение о парах неочевидно и,
по словам Купера, „глубоко загадочно".)
Если ограничиться волновой функцией | Чг0) такого типа,
то можно видеть, что в матричных элементах гамильто-
гамильтониана Я, A5.12), между двумя состояниями |/Vi, ..., Nh...)
отличными от нуля оказываются только те слагаемые, в кото-
которых операторы с?п, cka также встречаются в виде пар. Это
позволяет нам отбросить все остальные слагаемые и записать
гамильтониан A5.11) и A5.12) в „редуцированной" или
„парной" форме:
Яред = 2 2 ebbtbk-% Vkk-bt'bk (Vkk'^V-k', *. -*, k), A5.16)
k kk'
где операторы пар
действуя на состояние \МЬ ..., Nh ...), рождают или уни-
уничтожают куперовские пары. Отметим, что вид первого сла-
слагаемого в гамильтониане A5.16) обосновывается тем, что
его действие на волновую функцию пары приводит к тому же
результату, что и действие оператора A5.11).
В. СВЕРХПРОВОДНИК ИЗ ДВУХ ЧАСТИЦ
Волновая функция основного состояния | Ч'о) сверх-
сверхпроводника должна удовлетворять уравнению Шредингера
?0|?0). A5.18)
Прежде чем сформулировать результат решения этого уравне-
уравнения, полученный БКШ, имеет смысл рассмотреть тривиаль-
тривиальный случай „сверхпроводника из двух частиц", что поможет

Диаграммный метод в теории сверхпроводимости 279
нам разобраться в том, каким образом отрицательное сла-
слагаемое в Яред приводит к коррелированному основному со-
состоянию (п. 4) с энергией, лежащей несколько ниже энергии
нормального состояния (п. 2). Пусть имеются два электрона
и шесть волновых состояний, каждому из которых отвечает
энергия е0:
ktf :rU Vf ^M kit =Г1<4 8°" A5.19)
Пусть далее Vkw — V (константа). Тогда
В отсутствие взаимодействия (V = 0) волновая функция и
собственные значения энергии в обозначениях A5.15) суть
|Ф,) = |Ц„ 0,0), | Ф2> = I 0, Ц„ 0), |Ф3> = |0, 0, Ц,>,
„Сверхпроводящему" состоянию, согласно A5.15), отвечает
волновая функция
\W) = Ai\lkl, 0, 0) + Л2|0, Ц2, 0) + Л3|0, 0, 1*,). A5.22)
Задача легко решается, если ввести матричные обозначе-
обозначения, используя в качестве базиса волновые функции нор-
нормального состояния. Тогда
/1 0 0\
<Ф,|2ео2^|Ф;>=2ео 0 10, A5.23)
\0 0 1/
1 1 14
111. A5.24)
*¦* ~ *' " Vi 1 J
Таким образом, матричное уравнение Шредингера A5.18)
принимает вид
([ ° °\ Iх 1 1\](АЛ (АЛ
2е0 0 1 Ol-Hl 1 1 I \ А2 \ = Е\А2 \, A5.25)
\0 0 1/ \1 1 1 / J V Л3/ \Л3/
и собственные значения оказываются равными
?• = 260, 2е0, 2ео-ЗУ. A5.26)
Видно, что последнее собственное значение энергии на 3V
меньше, чем энергия нормального состояния, — это и есть

280 глава 15
энергия „сверхпроводящего" состояния Соответствующая
ему волновая функция есть
|?>=-^=-[|Ц„ 0, 0> + |0, 1*„ 0) + |0, 0, Ца>]. A5.27)
Ясно, что в этом состоянии электроны в высшей степени
коррелированы: во-первых, они всегда спарены и, во-вторых,
три возможные волновые функции образуют смесь с равными
весами 1:1:1.
Г. РАСЧЕТ SHFPTHH ОСНОВНОГО СОСТОЯНИЯ ПО МЕТОДУ БКШ
Чтобы решить уравнение A5.18) для реального сверх-
сверхпроводника, содержащего N частиц, БКШ предположили,
что взаимодействие Vkk' в гамильтониане A5.16) имеет про-
простой вид
( V (постоянное), если к, к' лежат в слое вблизи поверх-
yku, —\ ности Ферми таком, что (—Йис) < efe, гк, < + йис, A5 28)
( 0 вне этого слоя
Величина Лсос представляет собой среднюю энергию фонона
~ 10~2 эв. Оказалось, что в этом случае хорошим прибли-
приближением для волновой функции основного состояния служит
выражение (см [56])
|^о) = ПК+^)|О>, A5.29)
где
Например, в случае только одного парного состояния
\Wo) = ulu2\Ol, 02> + и,о2|0,, l2> + 0i«2|li, 02) + у,у2|1ь 12).
A5.29а)
Величина vk есть амплитуда вероятности того, что состояние
пары kf, — k| занято. Она дается выражением
I t[H A5-30)
где
Ек = Уг\ + &1, A5.31)
[2йсосехр[- -щ^у] для к в слое,
Л (при малых K) = j L \ ' ¦> A0.dZ)
\ 0 для к вне слоя.
Здесь N @) — плотность состояний на поверхности Ферми.

Диаграммный метод в теории сверхпроводимости 281
Зависимость величины v\ от ek представлена на фиг. 15.
Так как v\ есть как раз вероятность заполнения состоя-
состояния kf (или —14), мы видим, что вблизи энергии Ферми нет
никакого разрыва, т. е. поверхности Ферми в сверхпровод-
сверхпроводнике не существует (см. гл. 11).
Следует отметить, что волновая функция A5.29) пред-
представляет собой смесь состояний с 0, 2, 4, 6, .. ., N — 2, N,
N + 2, М + 4, ... частицами, так что N не является здесь
хорошим квантовым числом. Физически это неправильно.
-^3 -10 "зв
Фиг 15 Вероятность заполнения голой частицей состояния
с анергией ek в основном состоянии сверхпроводника
Однако, используя соотношения A5.30) —A5.32), можно по-
показать, что главный вклад в | \Р0) дают только те компо-
компоненты A5.29), которым соответствуют числа частиц, крайне
близкие к N, а вклад других компонент очень мат, так что
здесь не возникает никаких неприятностей.
Для энергии основного состояния при малых V БКШ по-
получили следующее выражение:
?о = ?о (нормальной - 2N @) (йсосJ ехр Г - * 1. A5.33)
фазы) L Jv \Ю) V J
Таким образом, в результате притягивающего взаимодей-
взаимодействия энергия понижается.
Д. РЕШЕНИЕ ДЛЯ ВОЗБУЖДЕННЫХ СОСТОЯНИИ БОГОЛОНЫ
Возбужденные состояния системы можно найти путем
диагонализации Яред с помощью канонического преобра о-
вания Боголюбова — Валатина. Последнее определяется сле-
следующим образом:
а?""«с**-°*с-**. Ч " икс-н + vkcw A5-34)

282 Глава 15
Подставляя эти выражения в Яргд [где первое слагаемое за-
заменено на A5.11)] и используя A5.30), A5.31), получаем после
некоторых преобразований
Яред = ?о+ 2 Я*(а+ай + р#д + Малые слагаемые. A5.36)
Сравнивая этот результат с формулами A.43) и A.44), ви-
видим, что мы имеем здесь дело с совокупностью почти неза-
независимых элементарных возбуждений. Они называются бого-
любовскими квазичастицами или боголонами (см. § 3 гл. 1).
Операторы числа таких квазичастиц суть a?ctfe и ft$k, а их
энергии определяются формулой A5.31)
+ А2,. A5.37)
Важно понять смысл операторов а| и р|. Согласно A5.34),
а| рождает боголон с импульсом к и спином f (так как опе-
оператор с-щ удаляет из системы частицу с импульсом — к и
спином \, что эквивалентно добавлению частицы в состоя-
состояние kf). Аналогично оператор р| рождает боголон с импуль-
импульсом — к и спином \. Энергии A5.37) отвечает собственное
состояние с одним боголоном
или
Таким образом, основное состояние |ЧГО) сверхпроводника
ведет себя подобно „вакууму" для боголонов. (Дальнейшую
дискуссию см. в книге [58].)
Закон дисперсии боголонов имеет энергетическую щель
на поверхности Ферми, равную А (фиг. 16). Кривая, изобра-
изображенная на фигуре, построена, согласно выражению A5.37),
с щелью А/г, определяемой соотношением A5.32). Величины k\
и k2 представляют собой внутренний и внешний радиусы
введенного в A5.28) слоя вблизи поверхности Ферми. Раз-
Разрывы, появляющиеся в точках k\ и k2, обусловлены предпо-
предположением, принятым в A5.28). Их нельзя рассматривать как
реальные физические эффекты! Отметим, что в случае нор-
нормального металла (А/г = 0)
I Ч I =
2т*
¦- еР
Символ абсолютного значения используется здесь потому,
что удаление электрона из-под поверхности Ферми с е&<0
приводит к увеличению энергии системы.

Диаграммный метод в теории сверхпроводимости 283
Из фиг. 16 ясно, что если в нормальном металле для
возбуждения квазиэлектрона на поверхности Ферми требуется
нулевая энергия, то в сверхпроводнике для возбуждения бого-
( 4 )
лона необходима минимальная энергия Л
10
~4
эв
).
Именно это обстоятельство и обусловливает удивительную
Фиг. 16. Закон дисперсии боголонов (все очень преувеличено^).
Сплошная кривая — сверхпроводник; пунктирная кривая —нормальный ме-
металл.
устойчивость сверхпроводящего состояния относительно рас-
рассеяния электронов, приводящего к возникновению сопроти-
сопротивления в случае нормального металла.
§ 4. Неприменимость теории возмущения к задаче
о сверхпроводнике
В гл. 10 мы видели, что закон дисперсии квазичастиц
в случае нормальной ферми-системы можно получить из одно-
частичной функции Грина. Попытаемся теперь найти тем же
методом закон дисперсии для квазичастиц в сверхпровод-
сверхпроводнике (боголонов). Можно ожидать, что в этом случае функ-
функция Грина будет чем-то вроде
G(k,
A5.40)
действительно, это выражение имеет полюс, приводящий
к закону дисперсии боголона A5.37).
Будем предполагать сначала, что разложение для функ-
функции Грина имеет обычный вид (9.40), где в качестве потен-
потенциала взаимодействия фигурирует выражение A5.13) (оно
предполагается отрицательным, ибо мы имеем дело со сверх-
сверхпроводником). Попытавшись теперь провести вычисления G

284 Глава 15
обычным способом, мы потерпим неудачу, так как обнару-
обнаружим, что в разложении (9.40) [или A0.8) для массового опе-
оператора] возникают классы диаграмм, суммирование которых
приводит к нестабильному результату. Это — диаграммы,
в которых пары частиц с равными, но противоположными
импульсами (так называемые куперовские пары) испытывают
многократное рассеяние друг на друге. Примером такого
класса служит заключенная в скобки последовательность
в разложении собственно-энергетической части
A5.41)
Здесь волнистая линия -~ww означает потенциал БКШ-
взаимодействия T'kq. Эту последовательность лестничных
диаграмм можно просуммировать с помощью уравнения
A0.20) для /(-матрицы и соотношения A0.22) с полным им-
импульсом q = 0 (см., например, [58]). Оказывается, что ^-ма-
^-матрица в силу отрицательности Tkq имеет два чисто мнимых
полюса ± /а. Вблизи этих полюсов /(-матрица имеет вид
= O, co) =
ю + щ
ю —
A5.42)
Переходя с помощью фурье-преобразования к ^-пространству,
находим
= O, t) = ce~at + c'e+at
A5.43)
Второе слагаемое этого выражения при t-*oo неограничено
возрастает, что и доказывает нестабильность полученного
решения. Отсюда, согласно соотношению A0.22), автомати-
автоматически следует плохое поведение и массового оператора 2, что
и указывает на неприменимость обычной теории возмуще-
возмущений в случае сверхпроводника *).
В действительности нет никакой необходимости получать
все это столь окольным путем — к тому же выводу можно
прийти просто на основании замечания, приведенного в связи
') Этот вывод правилен, строго говоря, только в случае бесконечно
большого сверхпроводника (см. [45]).

Диаграммный метод в теории сверхпроводимости 285
с фиг. 15. В самом деле, в случае сверхпроводника поверх-
поверхность Ферми отсутствует, поэтому, согласно результатам
§ 3 гл. И, теория возмущений здесь неприменима. Другой
способ убедиться в этом — разложить энергию основного со-
состояния A5.33) в ряд
Ео = Ео (нормальной ~ 2./V @) (ЙСОСJ X
фазы)
A5.44)
Разложение же, основывающееся на теории возмущений,
имеет вид
a2V2+ ... . A5.45)
Здесь каждое слагаемое стремится к нулю при V -+0, в раз-
разложении же A5.44) каждое слагаемое при V—>0 стремится
к бесконечности [хотя их сумма, согласно A5.33), остается
конечной!]. Иначе говоря, Ео есть „неаналитическая" функ-
функция V, и ее нельзя разложить в ряд теории возмущений.
Указанную трудность можно сформулировать в виде общего
утверждения, что методы теории возмущений (использова-
(использовавшиеся на протяжении всей книги) применимы только тогда,
когда возмущенное состояние качественно подобно невозму-
невозмущенному (или „имеет ту же симметрию"). Это означает, что,
какой бы фазовый переход ни испытала система: газ ->
жидкость, жидкость-*кристалл, парамагнетик—>ферромагне-
парамагнетик—>ферромагнетик или нормальный металл -> сверхпроводник, — теория воз-
возмущений оказывается неприменимой, поскольку такой пере-
переход связан с качественным изменением системы. (Общее
обсуждение теории фазовых переходов см. в работе [45].)
Эти соображения можно проиллюстрировать с помощью
простого классического примера. Рассмотрим мраморный
шарик в кольцевой канавке и будем полагать, что он не
испытывает трения (фиг. 17). Угол, определяющий устойчи-
устойчивое положение шарика 8(F/mg) в зависимости от внешней
силы F и его собственного веса tng, можно разложить в ряд
теории возмущений по степеням F
= arctg—).
Это разложение дает математически верный результат в об-
области | F/mg |< 1 или — я/4<0< + я/4. Физически, однако,
очевидно, что разложение это отказывает при | 9 | > 90, когда

286 Глава 15
шарик испытает „фазовый переход", упав с канавки и по-
покатившись в угол А или В. Таким образом, используя даже
весь бесконечный ряд, т. е. формулу arctg(F/mg), мы при-
придем к неправильному результату.
Математическую причину того, что диаграммное разло-
разложение для G оказывается несправедливым, легко понять
A
у'
у'
у''
1
в\во\
-V, \
lJ
mg
\
—w<*
в
Фиг. 17. Классическая система, иллюстрирующая непримени-
неприменимость теории возмущений в случае фазового перехода.
с помощью результатов приложения V [см. (V. 12)]. Там от-
отмечается, что разложение несправедливо, если
<ФО|ЧУ = О. A5.47)
Это просто означает, что основное состояние системы с вза-
взаимодействием ортогонально к основному состоянию системы
без взаимодействия, т. е. они имеют различную симметрию.
§ 5. Краткий обзор формализма Намбу
Наводящее соображение о том, как построить теорию
возмущений, чтобы она приводила к основному состоянию
сверхпроводника, вытекает из того, что БКШ смогли полу-
получить это состояние только благодаря введению „загадочного"
предположения о парном характере волновой функции сверх-
сверхпроводника [см. A5.14) и A5.15)]. Если бы удалось как-
нибудь втиснуть это предположение в рамки теории возму-
возмущений, мы смогли бы получить функцию Грина A5.40) для
боголона.
Чтобы сделать это, необходимо ввести аномальные функ-
функции Грина F и F , отвечающие уничтожению или рождению

Диаграммный метод в теории сверхпроводимости 287
куперовской пары в сверхпроводящем основном состоянии
(см. [58, 59]). Альтернативные методы предложены в рабо-
работах [52, 30]'). Аномальные функции Грина определяются
следующим образом:
F(k, 0= - iCPo\T{ck+(t)c-n{O)}\4o), A5.48)
РЦк, 0= - i^^K^cUmW)- A5-49)
Волновая функция | XYO) отвечает здесь основному состоянию
сверхпроводника и должна рассматриваться как функция
типа A5.29): число частиц в основном состоянии строго не
фиксировано, но распределение по числу частиц имеет резкий
пик при среднем значении N (см. дискуссию после формулы
A5.32) и книгу [58]). Физически FJ' есть амплитуда вероят-
вероятности того, что если в момент времени t = 0 к системе до-
добавлен электрон из куперовской пары с импульсом к и спи-
спином f, а в момент t добавлен электрон с импульсом —к и
спином |, то в момент t система по-прежнему будет нахо-
находиться в основном состоянии.
Существуют два эквивалентных способа включения этих
новых функций Грина в диаграммный формализм. Первый
связан с введением новых диаграмм для F и Ff (см. [1]).
Во втором, предложенном Намбу, используются прежние
диаграммы с той разницей, что из функций F, F+ и G строится
матричная функция Грина2). Мы очень бегло обсудим метод
Намбу.
Матричная функция Грина Q определяется как
t] F(k>0
0 -G(-K,-
A5.50)
Свободная функция Грина получается заменой волновой
функции системы Чг0 на волновую функцию в отсутствие
') См также [82] В этой работе было получено асимптотически точ-
точное решение задачи с потенциалом A5 28). — Прим ред.
2) Обобщение метода varpii-шых функций Грина на случай любого
фазового перехода в системе фермионов обсуждается в работе [45].

288 Глава 15
взаимодействия Фо. Это дает в (к, со)-пространстве
©о (к, со) =
со — efe + '6
О
о
1
со + гк + гб
A5.51)
Легко получить разложение © в ряд теории возмущений.
Для этого надо прежде всего выразить все операторы через
двухкомпонентные фермионные спинорные операторы
Тогда матричная функция Грина приобретает компакт-
компактную форму
Qt (k, t) = — i (Wq I T (Y, (к t) VF+ (к 0)] | ^o) A5.53)
а гамильтониан БКШ A5.10) принимает вид
к к, к', q
Здесь т, суть матрицы Паули
'0 1\ /0 -i\ /1 0\ /1 0\
1 oj' %2 = \i о/' Тз = (о -I/1 1l = (o ij" (l5-55)
[Обратите внимание: подставив операторы A5.52) в гамиль-
гамильтониан A5.54) и перемножив матрицы, мы приходим к гамиль-
гамильтониану A5.10) с некоторыми дополнительными слагаемыми.
Эти слагаемые можно скомпенсировать специальным выбо-
выбором (So (см. [58])]. Таким образом, будучи выражены через
спинорные операторы, функция Грина й и гамильтониан Н
имеют ту же форму, что и G и Я для нормальной системы.
Поэтому для й можно составить тот же диаграммный ряд,
что и для G:
• A5.56)
Разница состоит лишь в том, что теперь следует использо-
использовать новый словарь (табл. 14), в котором различным линиям
соответствуют матрицы.

Диаграммный метод в теории сверхпроводимости 289
Таблица 14 <
Диаграммный словарь для сверхпроводников
(формализм Намбу)
Диаграмма
Функция
и пи
i<S (k, ю)
30 (к, со) = /
гб
соИ
ю2 - е| + гб '
k+q k-q
к q к'
Потенциал взаимодействия
БКШ
Каждая вершина: т3
Волнистая линия: —iVk
Фермионная петля
Пример:
(—1) X Шпур от произведения функций
Грина ©о и операторов т3, образую-
образующих петлю
Например, для диаграммы низшего порядка мы имеем
к,
к', си'
к, со
к'-к =[i€b(k, co)]2X
X
~~
', со')т3.
A5.57)
Очевидно, здесь также применимы все трюки с частичным
суммированием диаграмм.
19 Р, Маттук

290 Глава 15
Уравнение Дайсона имеет вид
1 . /4 _
A5.58)
а потенциал взаимодействия и функции Грина можно пере-
перенормировать, что приведет к соотношениям A0.60), A1.3)
или A1.5) с той лишь разницей, что все диаграммы следует
вычислять с помощью словаря Намбу (табл. 14).
Метод Намбу приводит к элементарным возбуждениям —
боголонам — с законом дисперсии A5.37) в низшем порядке
самосогласованной теории возмущений, в которой учиты-
учитываются два первых члена разложения A1.3). Таким образом,
следует совместно решить два матричных уравнения
1
[Ч
A5.59)
Переводя это с помощью табл. 14 на язык функций, получем
где в отличие от выражения A5.57) массовый оператор Ж
определяется одетой функцией Грина ©. Решая уравне-
уравнение A5.60) с взаимодействием БКШ, находим
G(k, со) =
A5.61)
где величины ик, vk и Aft совпадают с аналогичными вели-
величинами [см. A5.29), A5.30) и A5.32)] в решении БКШ. Таким
образом, метод Намбу приводит к функции Грина, первое
слагаемое которой имеет вид A5.40).
Физический смысл двух слагаемых в выражении A5.61)
становится ясным, если произвести каноническое преобразо-
преобразование Боголюбова непосредственно в функции Грина. Ис-
Используя соотношения A5.35), мы получаем
О (k, t)^-i(W0\T{cH(t)c

Диаграммный метод в теории сверхпроводимости 291
(Слагаемое с произведением о^р*. равно нулю.) Здесь опера-
операторы ak (t), pfe (t) и т. д., так же как и с^ в выражении (9.3),
берутся в представлении Гейзенберга. Используя соотно-
соотношения A5.38) и A5.39) и совершая преобразование Фурье,
мы приходим как раз к выражению A5.61). Это показывает,
что первое слагаемое в A5.61) описывает а-боголоны, а вто-
второе— р-боголоны [см. дискуссию после формулы A5.37)].
§ 6. Рассмотрение эффектов запаздывания
в формализме Намбу
Как теория БКШ, так и только что проделанные нами
вычисления, базирующиеся на методе Намбу, страдают
одним дефектом — фрелиховское взаимодействие рассматри-
рассматривается в них как мгновенное. В действительности, поскольку
фонону для перехода от одного электрона к другому тре-
требуется определенное время, это взаимодействие оказывается
запаздывающим (т. е. зависящим от времени). Единственный
способ учесть это запаздывание —с самого начала рассма-
рассматривать фононы в рамках теории поля. Это означает, что
в качестве исходного надо брать не канонически преобра-
преобразованный гамильтониан A5.10), а прежний гамильтониан
A5.4), содержащий точную энергию электрон-фононного
взаимодействия. Тогда, чтобы вычислить функцию Грина,
необходимо ввести специальные диаграммы для свободных
фононов и для электрон-фононного взаимодействия.
Для нормальной системы взаимодействующих электронов
и фононов эта программа реализована в приложении X.
Там показано, что вычисление электронной функции Грина
в этом случае выполняется так же, как и для прямого
электрон-электронного взаимодействия, с той лишь разницей,
что кулоновское взаимодействие заменяется на комбиниро-
комбинированное, представляющее собой сумму кулоновского и запаз-
запаздывающего (фрелиховского) взаимодействий:
1^ ^ = Ywww\/
A5.63)
КОМБИНИРОВАННОЕ КУЛОНОВСКОЕ ФРЕЛИХОВСКОЕ
ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ
Диаграмма фрелиховского взаимодействия отвечает испу-
испусканию виртуального фонона (..роошоо,) одним электроном и
поглощению его другим электроном. Эти диаграммы приве-
19*

292 Глава 15
дены в (к, ^"Пространстве, чтобы продемонстрировать их за-
запаздывающий характер.
Как показано в приложении X, БКШ-взаимодействие
представляет собой просто статическую аппроксимацию ком-
комбинированного взаимодействия. Следовательно, можно грубо
утверждать, что если в комбинированном взаимодействии
преобладает отталкивание, то система будет нормальной,
если же преобладает притяжение, то система будет сверх-
сверхпроводящей.
Учет запаздывания при вычислении электронных функций
Грина сверхпроводника в методе Намбу (табл. 14) сводится
просто к замене БКШ-взаимодействия комбинированным
A5.63). Все вычисления проводятся так же, как и в § 5
настоящей главы.
Такие вычисления с учетом запаздывания [58] привели
к щели, зависящей от энергии, что хорошо согласуется
с результатами по туннельному эффекту для свинца.
Литература для дальнейшего чтения:
Тинкхем [66],
Шриффер [58, 59],
Беляев [4],
Пайнс [52],
Абрикосов, Горьков, Дзялошинский [1],
Таулес [64]
Электрон-фононное взаимодействие
Приложение X,
Пайнс [53],
Шульц [60],
Пайнс [52],
Шриффер [58, 59],
Боголюбов [89].
Упражнения
1. Показать, что операторы 2 2 zt$Pk и —J BkPkacka B пространстве
k k, a
парных вочновых функций A5 14) действуют одинаково
2. Показать с помощью G.32), что боголониые операторы A5 34) обла-
обладают фермионными соотношениями коммутации (например, доказать, что
[ak, <4,] = 6AjS,,).
3 Какова энергия сверхпроводника в состоянии ауЗ^а^ | У0)?
4 Проверить, что функция Грина A5.53) эквивалентна A5 50).
5. Проверить, что первое слагаемое в гамильтониане A5 54) с точ-
точностью до бесконечной постоянной эквивалентно квазиэлектронному
гамильтониану A5.11).
6. Используя формализм Намбу, выпишите выражение для диаграммы
типа „пузырь", входящей в A5 56)
7 Проделайте подробно боголюбовское преобразование в функции
Грина A5.62).

Глава 16
ФОНОНЫ С МНОГОЧАСТИЧНОЙ
ТОЧКИ ЗРЕНИЯ
В § 2 гл. 1 мы нашли энергию основного состояния и
закон дисперсии фононов, применяя к гамильтониану ре-
решетки A.28) каноническое преобразование A.29), A.30) и
A.36). В данной главе будет показано, как можно получить
те же результаты с помощью диаграммной техники. Это
чрезвычайно простой пример использования диаграммного
метода для описания системы бозонов.
Прежде всего гамильтониан A.28) переписывается в виде
суммы невозмущенного гамильтониана, описывающего очень
простой вид коллективного возбуждения, называемого эйн-
эйнштейновским фононом, и гамильтониана возмущения, описы-
описывающего сильное взаимодействие между эйнштейновскими
фононами. Учет этого взаимодействия приводит к тому, что
эйнштейновский фонон оказывается окруженным облаком
других эйнштейновских фононов. Это облако „одевает" его,
превращая в обычный фонон. Таким образом, мы имеем
Голый эйнштейновский , Облако других _ Эйнштейновский _
фонон эйнштейновских фононов квазифонон
= Обычный фонон.
Следовательно, обычный фонон можно интерпретировать как
квазичастицу — особый вид „коллективного возбуждения". Это
аналогично интерпретации соотношения A3.24), где мы по-
получили одетый плазмон, или квазиплазмон:
Голый плазмон + ?%™x™7ZZo\ = Квазиплазмон,
или, как показано в приложении X, одетый фонон, или
квазифонон, можно определить символически равенством
Голый фонон + Электронное облако = Квазифонон ').
') Дальнейший текст этой главы представлиет собой статью автора,
опубликованную им в журнале Annals of Physics, 27, № 2 A964). —
Прим. ред.

294 Глава 16
Фонон рассматривается как квазичастица, представляющая собой
эйнштейновский фонон, одетый в результате взаимодействия с другими
эйнштейновскими фононами. Функция Грина эйнштейновского фонона
вычисляется путем точного суммирования бесконечного ряда диаграмм
для собственно-энергетической части, и ее полюсы определяют хорошо
известный закон дисперсии фононов. Альтернативный вывод показывает,
что эта функция Грина имеет смысл и вне области сходимости ряда.
Легко вычисляется и энергия основного состояния путем суммирования
диаграмм вакуумных флуктуации, причем каждая из диаграмм имеет
кольцевой вид. Необычная простота встречающихся здесь диаграмм делает
приведенные вычисления идеальной иллюстрацией применения техники
теории поля к задаче многих тел.
§ /. Введение
Обычно при теоретико-полевом рассмотрении [47] фонон
считается голой частицей, которая из-за столкновений с дру-
другими фононами или электронами превращается в одетую
частицу, т. е. в квазичастицу. Это приводит к затуманива-
затуманиванию того факта, что фонон сам по себе есть квазичастица
особенно простого вида — эйнштейновский фонон, одетый в
результате взаимодействия с другими эйнштейновскими фо-
фононами. Наша цель заключается в детальном развитии этой
точки зрения путем демонстрации того, как с помощью точ-
точного суммирования собственно-энергетических диаграмм для
эйнштейновского фонона и кольцевых диаграмм можно
получить закон дисперсии фононов и энергию основного
состояния. Это рассмотрение представляет собой, по-види-
по-видимому, простейший из существующих примеров приложе-
приложения техники квантовой теории поля к задаче многих тел и
служит идеальной с педагогической точки зрения иллюстра-
иллюстрацией тех достоинств, которые делают диаграммный метод
популярным: возможность работать с бесконечным рядом
теории возмущений (т. е. способность справиться со случаем
сильной связи, находящимся вне пределов досягаемости обыч-
обычной процедуры теории возмущений), его в высшей степени
систематический и, так сказать, „автоматический" характер,
живая иллюстративная привлекательность и замечательная
способность приводить к результатам, справедливым вне об-
области сходимости.
Гамильтониан модельной системы записывается в виде
суммы невозмущенного гамильтониана, отвечающего сово-
совокупности независимых колебаний решетки с одинаковой ча-
частотой (эйнштейновские фононы), и гамильтониана возмуще-
возмущения, описывающего сильную связь между фононами. После
стандартного канонического преобразования функцию Грина

Фононы с многочастичной точки зрения 295
эйнштейновского фонона можно представить в двух различ-
различных формах:
G(k, О=-*<ч>о1ПМО*
и
D(k, t)= -i($0\T{lb_k(t) + bl(t)][bk{0)
где b\ и Ьк — операторы рождения и уничтожения эйнштей-
эйнштейновского фонона. Эти функции Грина вычисляются путем
точного суммирования диаграмм всех порядков для собс-
собственно-энергетической части. Полюсы полученной таким об-
образом одетой функции Грина определяют перенормирован-
перенормированные частоты эйнштейновских фононов, т. е. хорошо извест-
известный закон дисперсии фононов. Будет показано, что с мате-
математической точки зрения легче иметь дело с D-формой
функции Грина (так как здесь отпадает необходимость сум-
суммирования диаграмм с линиями, направленными в обратную
сторону), однако при физической интерпретации возникает
больше трудностей. Несмотря на то, что получающееся выра-
выражение для функции Грина кажется неприменимым в некото-
некоторых областях из-за расходимостей, альтернативный вывод
показывает, что фактически оно должно быть справедливо
везде. В следующем параграфе вычисляется энергия основ-
основного состояния путем точного суммирования бесконечного
ряда кольцевых диаграмм (оказывается, что это просто раз-
разложение корня "j/l — х)-
Следует подчеркнуть, что, хотя излагаемая здесь точка
зрения и нова, конечный результат не нов, и процедура,
используемая для его получения, не проще обычно приме-
применяемой техники канонического преобразования. Мы следуем
теоретико-полевому маршруту, во-первых, для того, чтобы по-
показать, сколь хорошо фононы укладываются в квазичастичные
представления о веществе, возникшие в последние десять
лет [62], и, во-вторых, для демонстрации крайне простой
модельной системы, где техника теории многих тел оказы-
оказывается прозрачной, а результат точным.
_ § 2, Гамильтониан связанных эйнштейновских фононов
Рассмотрим линейную цепочку из N атомов, расположен-
расположенных на расстоянии d друг от друга, и пусть константа
гармонического взаимодействия равна -у/ясо^. Гамильтониан

296 Глава 16
цепочки можно представить в виде
^ 2 , N
AJ 2m ' 4
где рг и ыг — операторы импульса и смещения атома в точке /.
При этом мы пренебрегаем влиянием концов цепочки. Выра-
Выражение A6.1) можно переписать в представлении вторичного
квантования, если ввести операторы рождения и уничтоже-
уничтожения кванта возбуждения 1-го осциллятора, т. е. Ь? и Ъс.
A6.2)
(мы положили здесь 15= 1). Результат имеет вид
Я - соо 2 (btbt + у) - -^ 5] {bi + bt)(bl+l + bUx). A6.3)
i i
Далее, производя фурье-преобразование
находим
(t ±)^-ikd(bk + bU)(b-k + bi). A6.5)
Используя тот факт, что операторы bk удовлетворяют бозев-
ским соотношениям коммутации
[Ьк,ЬЬ\--Ьые, [bk,bk>U = [bl, bl]. = 0, A6.6)
последнее слагаемое в A6.5) можно преобразовать таким
образом, чтобы суммирование в нем проводилось лишь по

Фононы с многочастичной точки зрения 297
области fe>0. В результате приходим к требуемой исходной
форме гамильтониана ')
Я = «>о2(й*й* + т)—Т 5]созЫ(&* + btk){b-k + bt) =
к k>0
= Я0 + Я,. A6.7)
Невозмущенный гамильтониан Яо есть гамильтониан всех
осцилляторов решетки с операторами числа частиц b\bk и
общей частотой со0. т. е. гамильтониан голых эйнштейновских
фононов. Взаимодействуя друг с другом благодаря возму-
возмущению Н\, они превращаются в одетые, а их частота ста-
становится зависящей от k, т. е. эти фононы переходят в обыч-
обычные. Задача состоит в отыскании нового закона дисперсии сой
и энергии основного состояния Ео-
Так как оператор Hi того же порядка, что и Яо, теория
возмущений здесь неприменима, во всяком случае, в своей
обычной форме. Стандартное решение, приводимое в учеб-
учебнике [68], сводится к каноническому преобразованию этого
гамильтониана. Определяя новые операторы
можно переписать гамильтониан Я в виде
Я = 1Г 2 K«k + (l-cosfc*)^fc-2}. A6.9)
k>0
Вводя бозевские операторы а\ и ak с помощью соотношений
I ~ш / ®0 / t 4- \
Фи =**^~ 1 / i ft —1— /7~ I
_ " A6.10)
получаем
Ясно, что этот гамильтониан отвечает совокупности квази-
квазичастиц с операторами числа частиц afkak, с законом дисперсии
-coskd A6.12а)
') См. примечание на стр. 158.

298 Глава 16
и с энергией основного состояния
,-f-. A6.126)
Все эти соотношения хорошо известны для фононов.
Покажем теперь, как эти точные результаты можно полу-
получить с помощью диаграммного метода теории многих частиц.
Закон дисперсии будет найден в § 3 и 4, а энергия основ-
основного состояния — в § 6 настоящей главы.
§ 3. Определение функции Грина эйнштейновского
фонона
Теоретико-полевой метод определения элементарных воз-
возбуждений системы многих тел сводится к нахождению функ-
функции Грина, полюсы которой непосредственно дают энергии
возбужденных состояний [22] '). Функцию Грина для эйн-
эйнштейновского фонона можно определить двумя способами.
Простейшее определение с точки зрения физической интер-
интерпретации есть
G(k,t)=-i(^o\T{bk(t)bi(O)}\%), A6.13)
где bk{t) — оператор bk в гейзенберговском представлении
Ht. A6.14)
Оператор Г —виковский оператор упорядочения во времени
для бозонов; он имеет следующие свойства.
T{A{l')B{t)}=A{t')B{t), i'>t,
= B(t)A(f), t'<t. { '
Волновая функция | г|з0) есть точная волновая функция основ-
основного состояния системы взаимодействующих эйнштейновских
фононов, или „вакуум с взаимодействием". Физический смысл
введенной выше функции Грина состоит в следующем. Она
определяет амплитуду вероятности того, что если в момент
времени / = 0 в вакуум с взаимодействием был внесен эйн-
эйнштейновский фонон в состоянии k, то после его „распростра-
„распространения" по системе в момент времени t (t>0) мы будем на-
наблюдать эйнштейновский фонон в состоянии k. В отсутствие
') См также [83] —Прим ред.

Фононы с многочастичной точки зрения 299
взаимодействия G (k, t) превращается в свободную функцию
Грина
Go (k, t) = - / {в, <0 | Ьк (О Ь\ @) 10) + в., @ | Ь\ @) bk (t) | 0» =
= - iQte-te#, A6.16)
где | 0) есть волновая функция вакуума без взаимодействия
(т. е. состояния без эйнштейновских фононов). Нам понадо-
понадобится также вспомогательная функция Грина, описывающая
„обратное" во времени распространение в отсутствие взаимо-
взаимодействия:
Go" = - i@ | Т {bt(t) bk @)} | 0)я _0 = - iQ-fe+mt. A6.17)
Более удобно работать с фурье-трансформантами этих функций
Go(&, со) = jdte«*Go(k,t)=+ a_a0 + l6, A6.18)
Go" (*.»)- I^Go-(M)=--^^5, A6.19)
— оо
где б есть положительное бесконечно малое число, необхо-
необходимое для устранения слагаемых, осциллирующих при ?->-оо.
Другая функция Грина, с большим трудом поддающаяся
физической интерпретации, но более удобная с математиче-
математической точки зрения, определяется выражением
D(k, t) = - 1(%\Т[фкЮФЦ0)}\Ъ0), A6.20)
где операторы
tk = bk + bf_k, Ц-ь1 + Ь_к-ф_к A6.21)
пропорциональны фурье-трансформанте оператора смещения
здесь использовано соотношение A6.2). Функцию D(k, t)
трудно интерпретировать с точки зрения эйнштейновских
фононов. Можно считать, однако, что она отвечает рас-
распространению „волны смещения" в вакууме с взаимодейст-
взаимодействием. Свободная функция Грина равна
D0{k, t)= -г[0(е-"°°' + е_,е+"о°<], A6.23)

300 Глава 16
а ее фурье-трансформанта есть
1
2соо
со — соо + ib со + (Од — ib со — (Од + 2г бш0
A6.24)
Видно, что Do описывает распространение как вперед, так
и назад во времени; именно поэтому ее использование не-
несколько упрощает расчеты.
§ 4. Вычисление функции Грина путем точного
суммирования диаграмм
Функции Грина можно вычислять как путем решения
дифференциальных уравнений, которым они удовлетворяют
(см. [31], гл. 3 и 4), так и путем разложения их в ряд тео-
теории возмущений, выраженный с помощью диаграмм, с по-
последующим суммированием отдельных бесконечных совокуп-
совокупностей диаграмм [10, 64]. Последний способ имеет преиму-
преимущество: у него систематический характер и высокая степень
автоматизма. Именно его мы сейчас и рассмотрим. Будет
видно, что в изучаемом случае можно провести суммирова-
суммирование всех диаграмм и получить точный результат.
Наиболее поучителен с физической точки зрения вывод
закона дисперсии с помощью функции Грина G (k, t). Ее
можно представить в виде разложения Дайсона
тг т2
J Л, ... j dtn
Г, Т,
x
G{k,t)= lim
Im Г, ~Т2
[x@\T{H](t])...Hi(tn)bk(t)bi@)}\0)
(-1Oл!Х
dtnX
Ту Г,
X @| Г{//,(/,) ... //,(<„)} I 0>
, A6.25)
где Ьк (t) есть оператор в представлении взаимодействия
"W A6.26)
и
2
р>0
Vp = — -^r cos pd.
A6.27)
A6.28)

Фононы с многочастичной точки зрения 301
Условимся сопоставлять оператору bf (b) линию выше (ниже)
линии взаимодействия, направленную вверх (вниз), если
частица находится в состоянии с импульсом + р (— р); тогда
четыре слагаемых в //, (t) можно представить графически
-p
iwwvJ
A6.27а)
Мы видим, что имеются четыре типа взаимодействия
между эйнштейновскими фононами: 1) два эйнштейновских
фонона (один в состоянии с импульсом р, а другой в состоянии
с импульсом —р) сталкиваются в момент времени t и взаимно
уничтожаются; 2) в момент t происходит аннигиляция одного
эйнштейновского фонона в состоянии с импульсом р с одно-
одновременным рождением нового эйнштейновского фонона в со-
состоянии с импульсом р и т. д. Согласно обычному рецепту
теории поля, матричным элементам сопоставляются диа-
диаграммы. Тогда разложение A6.25) можно представить в виде
суммы всех возможных последовательностей диаграмм, соот-
соответствующих таким взаимодействиям с входящим и выхо-
выходящим голым эйнштейновским фононом:
iG (k, t) =
к
+
к
к
к
ЛЛЛ/
ъ
к
A6.25а)
Эти собственно-энергетические диаграммы показывают, что
эйнштейновский фонон одевается облаком других эйнштей-
эйнштейновских фононов с тем же или противоположным импульсом.
(Отметим, что в отличие от электронной функции Грина по-
поворот волнистой линии взаимодействия на 180° не приводит
к новой диаграмме.) После перехода к (к, <в)-пространству

302 Глава 16
путем преобразования Фурье эти диаграммы можно вычи-
вычислить согласно следующим правилам:
1 Линии (+ k), направленной вперед во времени, сопостав-
сопоставляется множитель iG0 (k, со).
2 Противоположно направленной линии (—k) сопоставляется /jg 29\
множитель iGq (k, со).
3. Волнистой линии взаимодействия сопоставляется множи-
множитель — iVk.
Наиболее поучительно произвести суммирование с по-
помощью уравнения Дайсона. Определим неприводимую соб-
собственно-энергетическую диаграмму для эйнштейновского фо-
нона как диаграмму, которую нельзя представить в виде
двух частей, соединенных положительной ^-линией. Таким
образом, диаграммы 2 к 4 из A6.25а) неприводимые, в то
время как диаграммы 3 и 5 приводимые. Тогда, суммируя
все приводимые собственно-энергетнческие части, можно
показать, что функция G {k, t) удовлетворяет уравнению Дай-
Дайсона (диаграмма а)
-к
Как видно, 2 (диаграмма 6) есть сумма всех неприводимых
собственно-энергетических частей. Опуская для удобства
бесконечно малую добавку и пользуясь правилами A6.29) и
выражением A6.19), легко вычислить 2:
A6.30)
Из уравнения Дайсона
iG(k, со) = tGo + (/Go) (— /2) (iG) A6.31)
с помощью соотношений A6.18), A6.28) и A6.30) немедленно
получаем
со + соо м - — i
G (k, со)
со2 — Юу (I — cos kd)
A6.32)

Фононы с многочастичной точки зрения 303
Перенормированные частоты эйнштейновских фононов даются
полюсами функции Грина G (k, ю). Эти полюсы суть
—coskd,
A6.33)
что в точности совпадает с законом дисперсии фононов A6.12).
Вывод закона дисперсии с помощью функции Грина D(k, t)
математически более прост, но лишен прелести непосредствен-
непосредственной физической интерпретации. Функцию D(k, t) можно разло-
разложить в ряд A6.25), подставив вместо bk(t) и bt(O) опера-
операторы 4>k(t) и фЦО), при этом гамильтониан возмущения Я,
будет иметь вид
tfi@ = pS/p&,(*)^(*). A6.34)
Диаграммное разложение в этом случае представляется
в виде
ID (k, t) =
Правила вычисления следующие:
1. Каждой линии сопоставляется множитель iDo(k, (о).
2. Каждой волнистой линии сопоставляется множитель — iVk.
В (k, ю)-пространстве это дает
Ш (к, ©) = tDo {1 + Шо (- IVk) + (Ш0J (- iVkf +...] =
откуда
D(k, ©)=-
2con
со — o>q A — cos kd)
A6.37)
что опять-таки приводит к правильному закону дисперсии
фононов.
§ 5. Проблема сходимости
Во всех предыдущих рассуждениях мы игнорировали то
обстоятельство, что суммируемый ряд сходится, только если
величина, степени которой суммируются, по модулю меньше

304 Глава 16
единицы. Это условие ограничивает область частот, в кото-
которой справедливы полученные нами функции Грина. Так, выра-
выражение для G (k, ю) применимо, если частота ю удовлетворяет
условиям
\VkGo\<l, A6.38а)
IGoSKl. A6.386)
Неравенство A6.38а) есть следствие выражения A6.30), а не-
неравенство A6.386) возникает в результате суммирования,
приводящего к уравнению Дайсона A6.31). Далее формула
для D(k, ю) применима, лишь если
\VkD0\<U т.е. |cuoCos<W|<|gJ-g)o|. A6.39)
Это типичные трудности со сходимостью, преследующие тео-
теорию многих тел. Домашним лекарством против этого служит
обычно предположение, что функции Грина можно аналити-
аналитически продолжить на все значения ю. Часто это утверждение
удается обосновать, получив тот же результат без использо-
использования теории возмущений. Общего доказательства до сих
пор не существует [33].
В рассматриваемом случае с помощью непосредственного
канонического преобразования самой функции Грина можно
показать, что результаты справедливы и вне области схо-
сходимости. Рассмотрим для простоты функцию D(k, ю). Пусть в
есть оператор преобразования от представления обычных
фононов к представлению эйнштейновских фононов. Тогда
если | у) есть волновая функция основного состояния в пред-
представлении обычных фононов, то
6|Y> = Ko>. A6.40)
Подставляя это соотношение в A6.20) и используя опре-
определение A6.10), получаем
D (k, t) = -i {у\<д-хТ {фк (t) ф! @)} 6 | у) =
^-i(y\T{e-^k(tN6-^1@)в) |Y) =
— — г — \ще й + у_(б R }, A0.41)
откуда
D {k, w) = -j ?7-7— •
@ — COt + 2@Юл

Фононы с многочастичной точки зрения 305
Это выражение в точности совпадает с A6.37), однако здесь
не налагается никаких ограничений на ю. Таким образом,
мы показали, что в рассмотренном прозрачном примере
(а, возможно, и в более темных случаях) метод квантовой
теории поля можно считать оправданным.
§ 6. Энергия основного состояния
Энергию основного состояния системы многих частиц
с взаимодействием можно найти, воспользовавшись следую-
следующей теоремой ([10, 64]) '):
Im <
Hm -?-In<i|>o
< al
A6.42)
Здесь ?"о есть энергия основного состояния в отсутствие
взаимодействия, а 0 (t) — оператор рассеяния
U(t) = e+iH°fe-iHt. A6.43)
Величина (г|H| U {t) |я|з0) есть диагональный матричный элемент
матрицы рассеяния, вычисленный для вакуума с взаимо-
взаимодействием. Его можно представить[10,64] в виде разложения
= S Чт~ I dU...\dtn(O\T {Я, (*,) ... Я, (*„)} | 0). A6.44)
ra = 0 0 0
Это разложение можно изобразить графически как сумму
по всем топологически различным „вакуумным диаграммам".
Логарифм от него есть просто сумма по всем связанным
диаграммам
nJ
') См также гл. 5 и 14. — Прим. ред.
20 Р. Манул

306 глава 16
Эти кольцевые диаграммы подобны тем, которые фигурируют
в приближении случайных фаз (но много проще последних).
Их можно вычислить либо с помощью правил A6.29), либо
A6.35) (оба способа приводят к одному и тому же ре-
результату). Вычисляя каждую диаграмму, выполняя диффе-
дифференцирование и предельный переход, требуемый соотноше-
соотношением A6.42), находим, что вклад каждой диаграммы в энергию
определяется согласно следующим правилам:
1 Каждой волнистой линии сопоставляем множитель Vk
2 В каждом из я —1 интервалов между последовательными
взаимодействиями диаграммы «-го порядка рисуем горизон-
горизонтальную линию Затгм каждому пересечению горизонтальной пс ^g\
линии с парой вертикачьных линий диаграммы сопоставляем ^ ' '
множитель —(Во
3 Суммируем по всем k
Выполняя вычисления согласно этим правилам, получаем
VI по связанным _ у L __ ..2 Г 1 1 , ,,з Г 1 , 11 _
2и диаграммам ~ 2л \vk~Vk [ j^j -jrVk[ ^2щ^ -t Ba,aJ J ~~
^iW]l A6-46)
Согласно выражению A6 5), имеем
' во- A6.47)
k k>0
Комбинируя результаты A6.28), A6.46) и A6.47), находим
окончательно
г с , V
L — t,Q + ^, по связанным диаграммам ¦=
V1 ( 1 1 1 15
к> 0 __
И0 |Л -'"' - V Ш*
... > =
k>0 k
что совпадает с выражением A6.12).
Интересно отметить, чго в отличие от случая суммиро-
суммирования для функций Грина здесь не возникает никаких труд-
трудностей с сходимостью, так как coskd всегда меньше единицы.
Это отличается и от суммирования при вычислении энергии
основного состояния в приближении случайных фаз, где
приходится предполагать, что результат суммирования лога-
логарифмического ряда можно продолжить в область расходи-
расходимости [24].

ПРИЛОЖЕНИЯ

ПРИЛОЖЕНИЕ I
ФОРМАЛИЗМ ДИРАКА
ПРИЛОЖЕНИЕ II
ОПЕРАТОР ВРЕМЕННОЙ ЭВОЛЮЦИИ U(t)
ПРИЛОЖЕНИЕ III
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЭНЕРГИИ ОСНОВНОГО СОСТОЯНИЯ
С ПОМОЩЬЮ ВАКУУМНОЙ АМПЛИТУДЫ
ПРИЛОЖЕНИЕ IV
ОПЕРАТОР U{t) И ЕГО РАЗЛОЖЕНИЕ
ПРИЛОЖЕНИЕ V
РАЗЛОЖЕНИЯ
ДЛЯ ОДНОЧАСТИЧНОЙ ФУНКЦИИ ГРИНА
И ВАКУУМНОЙ АМПЛИТУДЫ
ПРИЛОЖЕНИЕ VI
ВЫЧИСЛЕНИЕ МАТРИЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
С ПОМОЩЬЮ ТЕОРЕМЫ ВИКА
ПРИЛОЖЕНИЕ VII
ВЫВОД ДИАГРАММНОГО РАЗЛОЖЕНИЯ
ДЛЯ ФУНКЦИИ ГРИНА И ВАКУУМНОЙ АМПЛИТУДЫ
ПРИЛОЖЕНИЕ VIII
СПЕКТРАЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ
ПРИЛОЖЕНИЕ IX
КАК ИСПОЛЬЗОВАТЬ ДОБАВКУ ib
ПРИЛОЖЕНИЕ X
ФУНКЦИЯ ГРИНА ЭЛЕКТРОНА В НОРМАЛЬНОЙ
ЭЛЕКТРОН-ФОНОННОЙ СИСТЕМЕ

Приложение I
ФОРМАЛИЗМ ДИРАКА
Существуют три наиболее популярные формулировки кван-
квантовой теории — волновая механика Шредингера, матричная
механика Гейзенберга и метод абстрактного векторного
пространства Дирака. Все они эквивалентны, однако форму-
формулировка Дирака имеет определенные преимущества, будучи
более компактной и общей, чем две других. Мы покажем,
что уравнения метода Дирака находятся в той же связи
с уравнениями методов Шредингера и Гейзенберга, как век-
векторное равенство типа А + В = С с соотношениями Ах + Вх =
= СХУ Ау + Ву = Су и Аг + Вг = Сг (т. е. это другая форма
записи векторного равенства через компоненты в некоторой
ортогональной системе единичных базисных векторов). Мы
будем иметь дело с одночастичной системой; обобщение на
случай системы многих частиц очевидно.
В методе Шредингера состояние системы в момент вре-
времени t описывается волновой функцией и комплексно сопря-
сопряженной с ней функцией
•Ф(г, t), tf(r, t), (I.I)
а динамическим переменным отвечают дифференциальные
операторы
г, V,, а = а(г, -/Vr),
например оператор энергии
Я=--2^ + У(г) (Й=1). A.2)
Волновая функция удовлетворяет временному уравнению
Шредингера
^. A.3)
Наблюдаемые значения любого оператора а суть его собст-
собственные значения аг, определяемые уравнением
а&(г) = а,й(г), A.4)

310 Приложения
где ^ — соответствующие собственные функции. Они удо-
удовлетворяют соотношениям ортогональности
>! (г) ф (г) оРг = бг. A.5)
Вероятность наблюдения собственного значения аг равна
\Ai(t)\2, где А{(t) — коэффициент при <j>{{r) в следующем раз-
разложении волновой функции:
т. е.
A.6)
В матричном методе Гейзенберга функции г|з и я|з* заме-
заменяются на матрицы-столбцы и матрицы-строчки
A-7)
Их можно получить из я|з и я|з*, выбрав какую-нибудь полную
систему ортогональных функций r\k (г) (в качестве таковых
обычно выбираются собственные функции некоторого шре-
дингеровского оператора р). Тогда
Аналогично динамические
виде квадратных матриц
A.8)
переменные представляются в
«и
«21
«12
«22
A.9)

Приложение I 311
где
«и= J4(r)a(r, Vr)n;(r)#r. (I. 10)
Матрица-столбец A.7) удовлетворяет уравнению
Яц ЯB ..."
.. I Я2] Я22
A.11)
аналогичному уравнению A.3). Уравнение для собственных
значений A.4) принимает вид
«22 ... || Т2 | = fl I Г2 |, AЛ2)
а соотношение ортогональности A.5) —вид
A.1
Вероятность наблюдения величины аг по-прежнему дается
квадратом модуля \At(t)\2, причем At{t) определяется соот-
соотношением вида A.6), в котором вместо ft и я|з подставлены
матрица-строчка и матрица-столбец, а интеграл отсутствует.
Развитый Дираком метод абстрактного векторного про-
пространства представляет собой по сути дела обобщение век-
векторов и тензоров в обычном пространстве. По этой причине
обратимся сначала к последним. Рассмотрим обычную дву-
двумерную плоскость. Как хорошо известно, в ней можно по-
построить векторы и тензоры, обладающие следующими свой-
свойствами:
/. Сложение:
А + В = С = Некоторый вектор. A.14 а)
2. Скалярное произведение А а В:
А • В = | А 11 В | cos дДВ = с =
= „Компонента А вдоль В1' = (I. 14 6)
= Число или „скаляр",

312 Приложения
а) нормированный вектор А:
А • А = [ A i2 = 1;
б) ортогональные векторы А и В:
А- В = 0;
в) ортонормированная система А,:
А( • А/ = б(/.
3. Умножение на тензор D:
В = DA (растяжение и вращение вектора). A.14 в)
Для вычислений удобно выбрать произвольную пару ортого-
ортогональных и нормированных („ортонормированных") векторов
в качестве „базисных"— обозначим их и, и щ — и выразить
все остальные векторы и тензоры через их компоненты или
„представителей" в этом базисе. Коль скоро это сделано,
вектор превращается в матрицу-столбец, а тензор — в квад-
квадратную матрицу
«.-Ой, ivDu^m, Da
u2-Du2/ \Dn D22J
и с ними можно работать, используя обычные правила мат-
матричной алгебры. Подстановка их в соотношения A.14) дает
(Л„ А2)!В] ) = Л,5, + А2В2 = с, (I. 16 б)
DtlDl2\f АЛ / DuAt + DI2A2\
)[) { J [-
f f
b2I \d21d22)[a2
Конкретные числа, которые появляются в матрицах, зависят,
конечно, от того, какие именно векторы U] и щ были вы-
выбраны в качестве базиса.
Основные отличия между абстрактным векторным про-
пространством Дирака и обычным пространством заключаются,
во-первых, в том, что дираковское пространство имеет беско-
бесконечное число измерений, и, во-вторых, дираковские векторы
(называемые кет-векторами | А)) комплексны, и поэтому каж-
каждый из них имеет комплексно сопряженный бра-вектор

Приложение ! 313
(А | = | А). (Более точно, бра-вектор эрмитово сопряжен кет-
вектору [14].) Дираковские векторы обладают свойствами,
аналогичными свойствам обычных векторов; см. A.14 а) —
-A.14в):
/. Сложение:
\А)+\В) = \С). A.17 а)
2. Скалярное произведение ] А) и ] В):
<Л|В> = С = Число. A.17 6)
а) нормированный вектор:
<Л|Л>= 1;
б) ортогональные векторы | А) и | В):
в) ортонормированная система | At):
3. Умножение на линейный оператор а:
\В) = а\А). A.17 в)
Кроме того, в дираковской алгебре возникают еще три но-
новых понятия, не существующих в обычной векторной алгебре:
4. Операторное произведение векторов \ А) и \ В):
р = | А) {В I = Линейный оператор, (I. 17 г)
так как
р | /?> = I Л><В | /?> = Вектор.
5. Умножение на единичный оператор:
Если | т);) ортонормированная система, то оператор
(или J |Th><Tk|Ab
единичный'). В самом деле,
Si %) <Лг1лу> = S h«) &tj = I f\i),
так что
S)(|= 1. (I. 17д)
') Чтобы этот оператор был единичным, требования ортонормирован-
ности, строго говоря, недостаточно. Необходимо еще, чтобы система
функций была полной. —Прим. перев.

314 Приложения
Поэтому получаем
6. Комплексное сопряжение:
Оператор а можно представить в виде
а = Rea + ilma,
так что
a = Re a — ilma.
Далее | А) = (A |. Поэтому можно показать, что для получе-
получения комплексно сопряженного от любого произведения бра-
векторов, кет-векторов и операторов необходимо заменить
каждый множитель комплексно сопряженным с ним и обра-
обратить их порядок. Например,
Ш= (MB), (Р\а = а\Р),
), ^=pa „т.д.
Используя эту новую алгебру, Дирак построил квантовую
механику, совершенно аналогичную механикам Шредингера
и Гейзенберга. Состояние системы описывается абстрактным
вектором и комплексно сопряженным с ним вектором
ЖО), <Ф@1. A.18)
а динамическим переменным отвечают абстрактные линей-
линейные операторы
г, р, а(г, р), (I. 19)
например, оператор энергии
# = JJ^ + I/(r). (I.20)
Вектор состояния удовлетворяет уравнению
Наблюдаемые значения а суть его собственные значения ait
определяемые уравнением
a|U> = a/IU>, (I-22)
где собственные векторы | ф() удовлетворяют соотношению
ортонормировки')
бг/. A.23)
1) Если оператор а самосопряженный, См. [38]. — Прим. перев.

Приложение I 315
Например, оператор координаты г порождает уравнение на
собственные значения
г|г,) = г,|г,>, A.24)
причем
(rjr/) = 6(r/-r/)
(отметим, что г{ принимает непрерывный ряд значений).
Вероятность наблюдения собственного значения at равна
\At{t)f, причем
Метод абстрактного векторного пространства Дирака на-
находится в такой же связи с методами Шредингера и Гейзен-
берга, как обычная векторная алгебра [см. соотношения A.14)]
с векторной алгеброй, выраженной в определенном базисе
[см. соотношения (I. 16)]. Таким образом, волновая механика
Шредингера представляет собой просто дираковскую форму-
формулировку в абстрактном векторном пространстве, выраженную
в базисе собственных функций оператора координаты. Это
означает, что базисные векторы [соответствующие векторам U]
и щ в (I. 15)] суть собственные векторы | г;) оператора коор-
координаты г, определяемые уравнением A.24), а все другие
векторы и операторы выражены через свои компоненты вдоль
векторов | гг). Такое представление часто называют „коорди-
„координатным" '). Можно показать, что шредингеровская волновая
функция есть просто компонента дираковского вектора со-
состояния |ф(^)) в г-представлении
ф(г, 0-<г|ф@), Ф*(г, О = <Ч>(О1г>, A.26)
что аналогично соотношению (I. 15а).
Шредингеровские операторы определяются следующим
образом (см. [14, 46]):
<r'|a(r, p)|r> = a(r, _jVrN(r'-r), (I.27)
что аналогично соотношению (I. 156). Например, дираковское
уравнение на собственные значения (I. 22) можно превратить
в A.4), умножая A.22) слева на (г | и вставляя единичный
оператор
Это дает
') Или г-представлением, — Прим. перев.

316 Приложения
ИЛИ
J cPrka (rk, - /Vrt) б (г, - г) (rk | &> = at (r \ ф().
Следовательно,
а (г, -#r) fc(r) = а,*, (г). A.29)
Подобным же образом, чтобы получить матричный метод
Гейзенберга, надо просто выразить дираковские векторы и
операторы в некотором произвольном базисе, скажем | г^).
Тогда, согласно A.28), компонента т|з4 из A.7) есть
= (Ц k
= J dh (цк | г) (г | ф) = J rf3^; (г) ф (г), A. 30)
что в точности совпадает с соотношением A.8), а матричный
элемент оператора akl из A.9) есть
= (Л J а (г, р) I Л(> = J ^Зг ^r' Dk I r') (f I а (г, p) | r) <r 14l) =
= J dh dh\ (г') а (r, - /V) б (r' - г) т], (r) =
r)a(r, -iVr)r!;(r), A.31)
что совпадает с соотношением (I. 10). Уравнение (I. 31) пока-
показывает, что ('y\ii\a\rii) есть стенографический способ записи
обычных гейзенберговских матричных элементов.
Приложение II
ОПЕРАТОР ВРЕМЕННОЙ ЭВОЛЮЦИИ U(t)
Это приложение служит первым шагом в лабиринте рас-
рассуждений (приложения II —VII), необходимых для вывода
диаграммного разложения вакуумной амплитуды и функции
Грина на основе зависящего от времени уравнения Шредин-
гера. Чтобы свести к минимуму риск заболеть по дороге
аппендицитом'). мы начнем с построения диаграммы этого
') Игра слов: по-английски Appendicitis — ашк-ндицит, Appendix — при-
приложение. — Прим. перев.

Приложение II 317
лабиринта. (Отметим, что приложение III сюда не включено,
хотя некоторые его результаты используются.)
зависящее от времени уравнение Шредингера
ОПЕРАТОР ВРЕМЕННОЙ
ЭВОЛЮЦИИ U ДАЕТ
ФОРМАЛЬНОЕ
РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ
Шредингера
(ПРИЛОЖЕНИЕ II)
ОПЕРАТОР 0 ДАВТ
ФОРМАЛЬНОЕ
РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ
Шредингера в
.ПРЕДСТАВЛЕНИИ
взаимодействия"
(ПРИЛОЖЕНИЕ IV)
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ
УРАВНЕНИЕ ДЛЯ U
(приложение IV)
ВАКУУМНАЯ
АМПЛИТУДА,
ВЫРАЖЕННАЯ
ЧЕРЕЗ О
(ПРИЛОЖЕНИЕ IV)
функция Грина,
выраженная
ЧЕРЕЗ U
(приложение V)
разложение, и
в ряд теории
ВОЗМУЩЕНИЙ
(ПРИЛОЖЕНИЕ IV)
РЯД ТЕОРИИ ВОЗМУЩЕНИИ
ДЛЯ ВАКУУМНОЙ АМПЛИТУДЫ
( ПРИЛОЖЕНИЕ IV)
РЯД ТЕОРИИ ВОЗМУЩЕНИЙ
для функции Грина
I приложение V)
теорема Вика
(приложение VI)
теорема Вика
(приложением!)
ДИАГРАММНОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ
ДЛЯ ВАКУУМНОЙ АМПЛИТУДЫ
(ПРИЛОЖЕНИЕ VII)
ДИАГРАММНОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ
для функции Грина
I ПРИЛОЖЕНИЕ If II )
Займемся теперь оператором временной эволюции U(t — tQ).
Пусть *? (t0) и ^@ — волновые функции в начальный момент t0
и в более поздний момент t. Тогда оператор временной эво-
эволюции определяется как оператор, который, действуя на Ч^о).
переводит ее в ^(t):
4(t)=U(t-toL{to), (П. la)

318 Приложения
или в обозначениях Дирака
\^(t)) = U(t-to)\V(to)). A1.16)
Мы можем найти формальное выражение для U(t — t0),
используя тот факт, что функция *? удовлетворяет времен-
временному уравнению Шредингера
-ШЧ @ = -|-т (П. 2а)
или в обозначениях Дирака
) ±V) (И.26)
Здесь предполагается, что гамильтониан Н не зависит от вре-
времени. Тогда
U(t~to) = e-'"v-»^i-iH(t-to) + ^TH2(t-toJ+ ...; (и.3)
смысл экспоненциального оператора определяется приведен-
приведенным разложением. Правильность разложения (II. 3) можно
проверить, подставив его в соотношение (II. 16) и продиффе-
продифференцировав. Получим
= -itf | ?(*)>, (П. 4)
что находится в соответствии с уравнением (II. 26).
Посмотрим, как действует оператор U(t — t0). В качестве
примера возьмем систему, которая в начальный момент
to = O находится в состоянии с волновой функцией ^„ — соб-
собственной функцией гамильтониана Н, так что
Я | %,> = ?„! Ч^). (II. 5)
Требуется найти функцию
\4(t)) = e-4"\Vn). (II. 6)
Она равна
?
±
(И.7)

Приложение III 319
Здесь же будет уместным вычислить и функцию
= (Чя\е™. (II. 8)
Это можно сделать, воспользовавшись операцией комплекс-
комплексного сопряжения (I. 17е):
(V (t) | = | Ч@> = е~1Ш | Чп) = е~1^ | Чя) = e+lV <?„ |. (II. 9)
Приложение III
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЭНЕРГИИ ОСНОВНОГО
состояния с помощью вакуумной
АМПЛИТУДЫ
(Читатели, руководствующиеся диаграммой, приведенной
в приложении II, при первом чтении могут перескочить
через настоящее приложение.)
Мы хотим доказать, что
E0=W0+i\-^-\nR(t)\ , (III. 1)
где Ео и Wo суть энергии основного состояния системы
с взаимодействием и без него соответственно, а т) — поло-
положительная бесконечно малая величина, такая, что т)Х°° = °о.
Начнем с вакуумной амплитуды, определенной соотноше-
соотношением E.3). Ее можно представить в виде
/?(О = в+'^<Фь16/(О|Фо> = е+»^<Фо|е-'я'|Фо>, (III. 2)
где использовано выражение (П.З) для оператора временной
эволюции. Перепишем теперь это выражение с помощью
точных собственных функций | Ч?п) гамильтониана Н. Вос-
Воспользовавшись тем, что
есть единичный оператор [см. (I. 17д)], находим
\ Фо) =
<Фо I ?„> (Чп I Фо) e~lEnt. (III. 3)

320 Приложения
Беря логарифм от обеих частей равенства, дифференцируя
и переходя к пределу, получаем
Г->оо
(Фо
. (III. 4)
Г->оо
Так как по определению величина т)Г->оо при Г->оо, все
экспоненты обращаются в нуль. Медленнее всего стремится
к нулю экспонента с наименьшим значением Еп, т. е. с Яо;
поэтому играет роль только слагаемое с п — 0, что дает
/тут с\
(HI-Б)
Отсюда немедленно следует теорема (III. 1).
Необходимо отметить, что переход к пределу в соотно-
соотношениях (III. 4) и (III. 5) возможен, только если
<Фо1^о)^0. (III. 6)
Если симметрия волновых функций | Ч^) и | Фо), отвечающих
основному состоянию системы с взаимодействием и без него,
оказывается различной, то эти функции взаимно ортого-
ортогональны, т. е. (Фо1%) = О и теорема (III. 1) не выполняется.
Это отвечает ситуации, когда исходная однородная система
без взаимодействия претерпевает фазовый переход, обусло-
обусловленный взаимодействием. Так обстоит дело, например, если
включить притягивающее взаимодействие между ранее не
взаимодействовавшими электронами в электронном газе.
В этом случае произойдет фазовый переход в сверхпроводя-
сверхпроводящее состояние и формулу (III. 1) нельзя будет использовать
для получения энергии нового основного состояния [45].
Приведенное в этом приложении доказательство взято
из книги [64] и было выбрано нами из-за его математиче-
математической простоты. Более „физический" путь вывода той же фор-
формулы связан с использованием „адиабатической теоремы"
(см. [61]). При этом предполагается, что 1) в системе без

Приложение IV 321
взаимодействия, находящейся в основном состоянии, происхо-
происходит медленное(адиабатическое) включение потенциала взаи-
взаимодействия, не приводящее к переходам в возбужденные со-
состояния, и 2) основное состояние системы с взаимодействием
получается непрерывным образом из основного состояния
системы без взаимодействия по мере включения потенциала
(адиабатическая гипотеза). В первом методе предположению 1
соответствует предельный переход с комплексным временем,
так как именно наличие мнимой добавки исключает все воз-
возбужденные состояния, предположению 2 отвечает условие
(фо|^го)^=О- Действительно, последнее подразумевает пере-
перекрытие волновых функций основного состояния системы
в присутствии взаимодействия и без него.
Приложение IV
ОПЕРАТОР O(t) И ЕГО РАЗЛОЖЕНИЕ
/. Нулевая температура
Оператор U приходится двоюродным братом оператору
временной эволюции U (приложение II). Очень часто так
называют его самого, ибо, как мы увидим, он определяет
зависимость волновой функции от времени в „представлении
взаимодействия". Оператор U полезен тем, что непосред-
непосредственно через 0 выражаются вакуумная амплитуда R и функ-
функция Грина G. Это означает, что если бы мы нашли разло-
разложение для U в ряд теории возмущений, то автоматически
получили бы и разложение для R и G.
Оператор U определяется выражением
0(t, fo) = e<W?/ (/-дгг"«'' = е*'гш"-(«>гш''«. (IV. 1)
Следует подчеркнуть, что здесь нельзя просто сложить пока-
показатели экспонент, так как операторы Я и Но не коммутируют
друг с другом! В самом деле, используя разложение (II. 3),
получаем
в то время как
еА+В = ! +(Л + В) + ^_{А2 + АВ + ВА+ Д2) + _ _
Эти операторы не равны, поскольку АВ ф В А.
Разложение для U можно получить, итерируя интеграль-
интегральное уравнение, вытекающее из дифференциального уравнения
21 Р. Маттук

322 Приложения
для 0; последнее же получается из уравнения Шредингера.
Первый шаг состоит в переходе в уравнении Шредингера
§r (IV. 3)
и его формальном решении (II. 1)
\ЧМ) = иЦ-ШЧа0)) (IV. 4)
к представлению взаимодействия. Для произвольного опера-
оператора 6 это преобразование имеет вид (см. [58])
@(t) = e+iH°t6e-iH°t, (IV. 5)
а для произвольного вектора состояния | Y) находим
|$@>-e+"W| ?(*)>. (IV. 6)
Цель преобразования состоит в том, чтобы избавиться от
явного присутствия оператора Яо в уравнении (IV. 3). Вос-
Воспользовавшись указанным преобразованием, можем привести
уравнение (IV. 3) к виду
-А|?@> = - »я,@1^@>, (iv. 7)
в чем легко убедиться непосредственной проверкой. Вместо
формулы (IV. 4) мы получаем теперь
): ^ (IV. 8)
[Отметим, что, согласно (IV. 1) и (IV. 5), О ф СЛ] Подставляя
соотношение (IV. 8) в уравнение (IV. 7) и исключая |^(^о)).
приходим к основному уравнению для оператора U
-l-tU{t,h)=-iHl{t)U{t,tQ). (IV. 9)
Разложение для U(t, t0) можно получить, интегрируя
уравнение (IV. 9), а затем итерируя его:
t
U (t, t0) = U (to, to)-ij Я, (*,) 0 (tu t0) dtl =
и
= U (t0, t0) - Ш (to, to) J Я, (U)dtx +
n
+12 j dtt J dUH\ (ti) Hi (t2) U (h, to) =
и и
t t t,
— 1 — * J" Hi^dU + i2 j dtlldtJii{tl)Hl(ta)+ .... (IV. 10)

Приложение IV 323
Согласно (IV. 1), здесь 0(t0, ^o)=J- Порядок сомножителей
существен, поскольку операторы Н\ (t^) и /У, (/2) не коммути-
коммутируют друг с другом. Дайсон показал (см. [61]), что слагае-
слагаемое гс-го порядка можно переписать так, чтобы все перемен-
переменные /; принимали значения от /0 до /:
1
\dtl
dtnfix (/,)... Я, (/„)
п
t t
-i- J dtx ... J Л„ГО [Я, (/,) ... Я, (*„)], (IV. 11)
где оператор TD означает „даисоновское упорядочение во вре-
времени", т. е. установление такого порядка операторов в квад-
квадратных скобках, чтобы временные аргументы их уменьшались
слева направо. Таким образом, во втором порядке мы имеем
TD [Я, (/,) Я, (/2)] = h-tfii (* 1) Я, (h) + Bt,-tfii (fa) Hi (/,), (IV. 12)
где функция 8 определена соотношением E.25). Так как мы
предполагаем, что гамильтониан Я содержит четные степени
операторов рождения и уничтожения, оператор TD здесь
совпадает с обычным виковским оператором упорядочения
во времени (9.4). Поэтому в дальнейшем индекс D мы будем
опускать. Подстановка соотношения (IV. 11) в (IV. 10) при-
приводит к следующей форме разложения для 0 {t, t0):
00 t t
G{t,ta)^^-\dtx... \dtnT{Hx{u)...HAtn)l (iv. 13)
n=0
2. Конечные температуры
Для случая конечных температур оператор U можно
определить и разложить в ряд совершенно так же, как это
делалось в случае нулевой температуры. Он используется
для нахождения термодинамических функций Грина и ваку-
вакуумной амплитуды при конечных температурах (см. гл. 14).
Как показано в приложении II, при Г = 0 оператор 0 и
его диаграммное разложение можно получить из временного
21*

324 Приложения
уравнения Шредингера. В случае Т ф О основой всего слу-
служит уравнение Блоха A4.21)
|§-=-(Я-цЛ0р. (IV. 14)
Его можно вывести из уравнения Шредингера (IV. 3) путем
следующих замен:
й-*Р, H-+H-pN, ^->р. (IV. 15)
Поэтому оператор U при Т ф О можно получить из (IV. 1),
совершив указанные замены:
б (р) = е+Р <».-и*>е-Р (и-|»ло, (IV. 16)
где fY0 —*¦ Ро положено равным нулю. (Отметим, что, поскольку
ро = l/kT0, эта величина никогда не может быть отрицатель-
отрицательной.) Подобным же образом определяется „представление
взаимодействия" для произвольного оператора 0 при Т Ф О
(йго-йЛ/), (IV. 17)
например, имеем
Я, (т) = ех <я°-йМЯ,е-т (Яо-цло. (IV. 18)
Наконец, произведя замены (IV. 15) в разложении (IV. 13),
мы приходим к разложению оператора 0 при Т Ф О
(-1)"
п-0 О
• • • J
Приложение V
РАЗЛОЖЕНИЯ ДЛЯ ОДНОЧАСТИЧНОЙ
ФУНКЦИИ ГРИНА И ВАКУУМНОЙ АМПЛИТУДЫ
/. Разложение для функции Грина при Г = 0
Одночастичную функцию Грина можно разложить в ряд
теории возмущений с помощью оператора 0, определенного
выражением (IV. 1). Мы ограничимся разложением функции
G+ {k2, k\, h~ ti), так как случай функции G" можно рас-
рассмотреть подобным же образом. Используя метод, изложен-

Приложение V 325
ный в работе [64], докажем сперва, что функцию G+ можно
выразить через 0 следующим образом:
G+(k2, ku *2-*i)= Hm Q(T2,Tx,kbb,t2-U), (V.I)
r(lj)
где
o_-4%\r{u(T2,Tl)ek2(t2)el(tl)}\o0)
(Ф„|?/(Г2, Г,)|Ф0>
Так как мы имеем дело с функцией G+, то в выражении
(V. 2) следует полагать t2>ti, далее мы считаем, что T2>t2,
Г,<^, т. е.
T2>t2>ti>Tl. (V.3)
Оператор cfe есть обычный оператор ck в представлении
взаимодействия; см. формулу (IV. 5). Бесконечно малая вели-
величина г\ такова, что т^ X °° = оо.
Напомним, что функция G+ определяется выражением (9.6)
G+ (fe, ku h -U)=- ГО,,-,, (Vo | ck2 (t2)c{ (U)| Ч'о). (V.4)
Поэтому для доказательства теоремы (V. 1) нам придется
исхитриться и от операторов ck в (V. 2) в представлении
взаимодействия перейти к фигурирующим в (V. 4) опера-
операторам ck в представлении Гейзенберга (9.3), а от волновой
функции основного состояния системы без взаимодействия
| Фо) перейти к волновой функции | Ч'о) с учетом взаимодей-
взаимодействия. Начнем с того, что разобьем оператор U на произ-
произведение
U (Т2, Г,) = U (T2, t2) U (t2, h) U (tu Г,). (V. 5)
Справедливость такого разбиения следует из определения
(IV. 1). Подставляя это в соотношение (V. 2) и перегруппи-
перегруппировывая члены в соответствии с порядком следования вре-
времен (V. 3) (после чего символ Т можно опустить), получаем
-1(фо\и(г2, t2)ek2(t2) и(<2, <,L,(<Qи(<„ г,)|ф0)
Представив оператор 6k{t) в явном виде и опять используя
выражение (IV. 1) для U, можем выразить величину Q не
через оператор 0, а через U:
-le+tV'IT'-T'\<!>o\U(T2-ti)ckU(t2-tl)ctU{tl-Tl)\%)
4 г')(ФЦ/(ГГ)|Ф) 'К }

826 Приложения
Учитывая далее выражение (II.3) для U, получаем
(V.8)
где теперь фигурируют операторы ck в представлении Гей-
зенберга. Вставляя в это выражение единичный оператор,
записанный с помощью точных собственных функций гамиль-
гамильтониана Н, 21 Ч'п) (^« 1> находим
<фо
I фо)
-(
(V,-s»r,)
(V.9)
Предельный переход осуществляется таким же образом, как
и в формулах (III. 4) и (III. 5). Из всех слагаемых остаются
лишь те, у которых m = О и п = 0; эти слагаемые в числи-
числителе и знаменателе сокращаются и теорема (V. 1), таким
образом, доказывается.
Итак, разложение для G+{k2, klt t2 — /i) в ряд теории
возмущений получается просто путем подстановки разложе-
разложения (IV. 13) для 0 в формулы (V. 1) и (V.2)
G(k2, ku *2-f,) =
oo
OO
n-0
«1
-0"
ft!
-oo A—IT))
Г //' Г '
J 1 "• J n
(V.10)
Верхний индекс „ + " здесь опущен, так как результат (V. 10)
остается справедливым и для функции G~.
Следует особо подчеркнуть, что для получения путем
предельного перехода из соотношения (V. 9) разложения (V. 1)
необходимо соблюдать условие (III. 6), т. е. для того, чтобы
разложение G в ряд теории возмущений было возможно,
обязательно должно выполняться условие (см. § 4 гл. 15)
tO. (V. 11)

Приложение V 327
2. Разложение для вакуумной амплитуды при Т = О
Вакуумную амплитуду легко выразить через оператор б
R (t - t0) = в*™-'-» <Ф01U (t - t0) | Фо> =
= (<$0\U(t,t0)\Ou); (V. 12)
при этом мы использовали соотношения (П. 7) и (П. 9). Сле-
Следовательно, взяв матричный элемент от обеих частей разло-
разложения (IV. 13), мы получим искомое разложение вакуумной
амплитуды в ряд теории возмущений
... я,
n=.O
(V. 13)
3. Разложение в случае конечных температур
Как уже упоминалось в § 3 гл. 14, разложение термо-
термодинамической функции Грина
можно получить точно таким же образом, как и функции
Грина при Г = 0. По аналогии с (V. 1) и (V. 2) мы получаем
где символ ( H обозначает усреднение по ансамблю не-
невзаимодействующих систем при температуре Т, а опера-
оператор U (р) определяется формулой (IV. 16). Тогда, используя
разложение (IV. 19), находим
(-1)"
п = 0
*{.../*:
*
^-. (V. 16)
n-Q

328 Приложения
Отметим еще полезное выражение A4.40) для вакуумной
амплитуды при конечной температуре
Эта величина, очевидно, есть просто знаменатель в выраже-
выражениях (V. 15) и (V. 16), так что для нее мы имеем разложение
л=0
Приложение VI
ВЫЧИСЛЕНИЕ МАТРИЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
С ПОМОЩЬЮ ТЕОРЕМЫ ВИКА
Чтобы получить что-нибудь хорошее из разложения (V. 13)
для R(t — t0) или из разложения (V. 10) для G(k2, kbt2 — tl),
надо вычислить входящие в эти выражения матричные эле-
элементы. Сперва мы сделаем это утомительным обычным ме-
методом, а затем покажем, как можно сэкономить время,
используя некоторый трюк, называемый „теоремой Вика".
Рассмотрим для простоты систему из N невзаимодей-
невзаимодействующих частиц во внешнем поле, гамильтониан кото-
которой есть
Я U 1 Н
= П о + П 1,
где
В представлении взаимодействия Н\ имеет вид
Н (t\ = p+ Mat V Т/ г*С P~iH«f —
к, /
гЧ ы к i
к, I
= S Vkl Щ (t) d, (t) + а\ (t) Щ (t) + Ък (t) d, @ + Ък (t) 5; (/)].
(VI. 2)

Приложение VI 329
Зависимость операторов 6\{t) и с,@ от времени можно
найти следующим образом. Мы имеем
ф + ?[Н0, [Но, ct]]t*+ ...; (VI.3)
здесь мы использовали разложение экспоненты (П.З). Для
коммутатора получаем
[Яо> cj = S ek (c*ckct - с{с\ск). (VI.4)
Однако, согласно соотношению G.32),
Поэтому
[/7q, Cl\ == ~~" ^?j 6^0^ lCfy ~~*
k
Подставляя этот результат в разложение (VI.3), находим
:<7-W + -2T
или
Подобным же образом получаем выражения для о^раторов
a{t) и B(t)
at(t) = ate+^, b\{t)- ftk
(VI.8)
Воспользуемся теперь этими результатами для вычисления
некоторых матричных элементов, возникающих в числителе
разложения (V.10). Слагаемое нулевого порядка достаточно
просто. Положим t2>tl. Тогда для k\>kP и k2>kF
[см. G.35)]. Это выражение совпадает с функцией Грина
свободной частицы iGt{fa, fa, h~t\).

830 Приложения
Пусть t2 > t\ > tx (в дальнейшем вместо t\ мы будем пи-
писать t), a k\>kP и k2>kP, тогда слагаемое первого порядка
в числителе (V.10) имеет вид
It
или, используя соотношения (V.2) и (V.7), получаем
МО),
где символ |0) обозначает ферми-вакуум. Матричные эле-
элементы вычисляются с помощью соотношений коммутации
G.73) путем систематического протаскивания всех операто-
операторов уничтожения направо, где они, действуя на вакуум,
согласно формуле D.20), дают нуль. Таким образом, первый
матричный элемент равен
-**..*6«.*,-0. (VI. 11)
Второе и третье слагаемые в выражении (VI. 10) равны нулю,
так как числа уничтожаемых и рождаемых в них частиц и
дырок не одинаковы. Четвертое же слагаемое есть
Следовательно, окончательный результат имеет вид
Л1A = Ffofe.e *" ' *" ' + zjVkke 6fti,*i« (VI. 13)
Обладая неограниченным терпением, бесконечной энергией и
полным отсутствием воображения, мы могли бы слепо про-
продираться вперед и вычислять слагаемое второго, третьего и
более высоких порядков, тупо используя соотношения ком-
коммутации, как это делали выше. Существует, однако, значи-
значительно более простой способ, в котором используется тео-
теорема Вика,

Приложение VI 331
Теорема Вика основывается, по сути дела, на той же
идее протаскивания операторов уничтожения направо, где
они, действуя на ферми-вакуум |0), дают нуль. Основным
понятием, используемым в этой теореме, служит нормальное
произведение операторов — в нем все операторы уничтожения
стоят справа. Оно определяется следующим образом:
N[ABCfDFfGf ...] = {-if [CfFj'Gf ... ABD ...]. (VI.14)
Здесь Р — число перестановок соседних операторов, которые
необходимо сделать, чтобы перейти от порядка, заданного
в левой части равенства, к „нормальному порядку" в пра-
правой части равенства. Например,
[&h (W (*2) aj, Ш-Щ (t2) л+
^)- (VI-15)
Отметим, что для нормального произведения операторов
временной порядок несуществен, так же как несущественно
и взаимное расположение различных операторов рождения
(или уничтожения), коль скоро мы снабдили его правильным
знаком.
Важная роль нормального произведения операторов свя-
связана с тем обстоятельством, что
@\N [ABCfD ...]|0> = 0. (VI.16)
При наличии хотя бы одного оператора уничтожения это
следует из соотношения D.20). Если имеются только опера-
операторы рождения, то (VI. 16) также справедливо, так как
<OK=^JO> = ° и т. д.
Необходимо ввести понятие спаривания, или свертки, двух
операторов
АВ = T[AB]-N[AB]. (VI.17)
Это есть разность между Г-упорядоченным и нормальным
произведениями. Например, для ^2>^i имеем
dk(t2)dft(t:) = a*(f2)o'('i)-(-l)a!
= (ок а]+ а}ак)е-(е*'*-"'*=;
= 8Л,«-"*('*-'1\ (VI. 18)

332 Приложения
Таким же образом, используя соотношение (9.4), находим
&k(h)a\(h) = О для*2 < h ,
для
=ит.д.= 0.
Ясно, что свертка есть уже просто число, а не оператор.
Поэтому, взяв матричный элемент от обеих сторон равенства
(VI. 17) и воспользовавшись соотношением (VI. 16), получим
выражение
Я = <0| Т{АВ) |0> , (VI.20)
представляющее собой сокращенную форму записи формул
(VI. 19). Сравнивая (VI.20) с (9.1), видим, что свертка есть
просто невозмущенная функция Грина, умноженная на i.
Наконец, надо определить нормальное произведение опера-
операторов со свертками, например
N[ABCDEFGH] - (- l)FACEFN[BDGH]. (VI.21)
Теорема Вика утверждает, что Г-произведение операто-
операторов можно разбить на сумму нормальных произведении без
сверток, с одной или более свертками и полностью сверну-
свернутых операторов
7[UVW ...XYZ] = N[UVW ... XYZ] +
+ N[UVW... XYZ] + N[UVW... XYZ] +
+ N[UVW... XYZ ] + N\UVW... X YZ) +
(VI. 22)

Приложение VI 333
Последняя строка в (VI.22) содержит только нормальные
произведения полностью свернутых операторов. Мы видим,
что соотношение (VI.17) есть просто частный случай этой
теоремы (общее доказательство см. в книге [64]1)). Если те-
теперь взять диагональный по ферми-вакууму матричный эле-
элемент от обеих сторон соотношения (VI.22), то нормальные
произведения неполностью свернутых операторов на основа-
основании (VI. 16) обратятся в нуль, и в результате получим
@\T{UVW...XYZ}\Oy = UVW...XYZ + UVW...XYZ
= Сумма произведений всех полностью свернутых операторов (VI. 23)
Соотношение (VI.23) избавляет нас от большого коли-
количества нудной работы при вычислении матричных элементов.
Чтобы проиллюстрировать, как работает эта теорема, вы-
вычислим с ее помощью матричные элементы (VI.9) и (VI.9а),
найденные ранее старым методом. Используя соотноше-
соотношения (VI 23), (VI. 18) и (VI. 19) для матричного элемента (VI.9)
(напомним, что мы полагаем ki>kF и k2 > kP*), получаем
Skuk2e 'V'w,>p (VI.24)
Для первого слагаемого в (VI.9а) при t2>t>tl находим
(VI.25)
См также книгу [84] — Прим ред

334 Приложения
Второе и третье слагаемые в (VI.9а) опять-таки обращаются
в нуль, а четвертое составляет
<0\T{bk(t)S](t)dk2(t2)at(tO}\0> =
= К Л, »te—O4-W + 0 + 0.
(VI.26)
Подстановка выражений (VI. 25) и (VI. 26) в (VI. 9а) приво-
приводит к тому же результату, который мы получили раньше,
т. е. к (VI.13). (В действительности этот пример, пожалуй,
слишком прост —истинная мощь метода проявляется в выс-
высших порядках.)
Приложение VII
ВЫВОД ДИАГРАММНОГО РАЗЛОЖЕНИЯ
ДЛЯ ФУНКЦИИ ГРИНА
И ВАКУУМНОЙ АМПЛИТУДЫ
В приложениях II, IV —VI мы видели, как можно раз-
разложить функцию Грина и вакуумную амплитуду в ряд тео-
теории возмущений и как вычислять матричные элементы с по-
помощью теоремы Вика. Осталось показать, как представить
ряд теории возмущений в диаграммной форме.
Мы приведем лишь набросок процесса перевода ряда
теории возмущений (V. 10) на язык диаграмм в простейшем
случае N невзаимодействующих фермионов во внешнем поле.
Диаграммное разложение для этого случая было получено
в первой части книги с помощью шуточных рассуждений и
имело вид D.34). Теперь мы должны показать, как можно
представить фигурирующие в разложении матричные эле-
элементы (VI. 9), (VI. 9 а) с помощью диаграмм. Иначе говоря,
надо еще раз вывести разложение D.34).
Метод становится совершенно прозрачным, если вспом-
вспомнить, что свертка (VI.20) есть просто функция Грина, ум-
умноженная на L Следовательно, каждая свертка в (VI.23)
будет представлена на диаграммах направленной линией.
Если мы добавим к этому, что каждому матричному элементу
взаимодействия Vki в присутствии внешнего поля нужно
сопоставить точку, то способ построения диаграмм станет
очевидным. Диаграммы для матричных элементов М@)и МA),
вытекающие соответственно из формул (VI. 9), (VI. 24)и (VI. 9а),

Приложение VII 335
(VI. 25), (VI.26), имеют вид
h
h
о*
(VII. 1)
Л/
@)
м
A)
Первые две диаграммы в точности совпадают с диаграм-
диаграммами, фигурирующими в разложении D.34) для G+.
Однако третья диаграмма в разложении D.34) отсутствует.
Она принадлежит семейству „несвязанных" диаграмм, и
минутой позже мы покажем, как от нее избавиться. Смысл
диаграмм ясен из (VII.1): каждая из них находится в одно-
однозначном соответствии с неисчезающим матричным эле-
элементом ряда теории возмущений (V. 10) для G.
[Следует заметить, что в разложении (V.10) каждая диаг-
диаграмма л-го порядка входит с множителем (— if/nK Множи-
Множитель (- i)n можно учесть, если каждой точке вместо вели-
величины Vki сопоставлять — iVki- Что же касается га' в знамена-
знаменателе, то он исчезает благодаря тому, что имеется га' различных
способов упорядочения времен ip ..., t'n, каждый из которых
вносит одинаковый вклад после интегрирования по времени.]
Продолжая процесс вычисления [с помощью правила
(VI. 23)] матричных элементов высших порядков, входящих
в числитель разложения (V.10), получаем
Числитель
выражения*-»
для Q
О
r-J
о
о
о
(VII.2)
Легко видеть, что подобно тому, как это делалось при вы-
вычислении вакуумной амплитуды E.23) и E.24), несвязанные
диаграммы можно выделить в отдельный множитель, так
что разложение (VII. 2) примет вид
Числитель
выражения =
для G
1*0-0
1 +
о.
о
о
•8
(VII. 3)

S36 Приложения
Ряд в скобках есть просто диаграммное разложение E.20)
для вакуумной амплитуды.
Обратимся теперь к знаменателю разложения (V.10). Со-
Согласно (V.13), он совпадает с разложением для вакуумной
амплитуды, и мы можем написать
Знаменатель
выражения = 1
для G
О
о
(VII.4)
Таким образом, знаменатель в точности сокращается с рядом
в квадратных скобках в числителе. Это означает, что все
несвязанные диаграммы исчезают, и мы находим
г> __.
Числитель G
Знаменатель G
••• (VII. 5)
что и доказывает правильность разложения D.34). Получен-
Полученный результат часто называют „теоремой о разложении
функции Грина по связанным группам".
Точно так же, используя теорему Вика (VI. 23), можно
получить из (V. 10) следующее диаграммное разложение функ-
функции Грина G для системы взаимодействующих фермионов
с гамильтонианом взаимодействия типа Н} [см. G.48)]:
_ Числитель G
Знаменатель G
ОО <
L~O + ~~v/
(VII. 6)
Этот результат подтверждает формулу D.63).
Отметим, что диаграмма типа „пузырь" D.54 а) в разло-
разложении (VII. 6) появилась из следующего члена первого по-

Приложение VII 337
рядка в числителе G:
М^аим = - I J dt 2 (-{] Vklmn X
(
k,m>kp
I, n<kp
. (VII. 6a)
Ей отвечает произведение сверток Ъ1 с б+, а? с dk и ат
с а^; см. D.54 а).
/. Замечание по поводу фермионной петли
Если мы попытаемся вычислить третью диаграмму из
(VII. 1), используя словарь табл. 6, то найдем
/г к
l). (VI 1.7)
Сравним это с результатом, полученным излагаемым здесь
методом. Рассмотрим второе слагаемое в выражении (VI. 13),
соответствующее этой диаграмме, и введем при этом мно-
множитель — i перед V'ьъ, дабы учесть множитель (— гI, кото-
который вносит диаграмма 1-го порядка в разложение (V.10).
Тогда
(l)Sie*.w'-w. (VII. 8)
Этот результат отличается от выражения (VII.7) множите-
множителем — 1. Такая ситуация типична, и можно показать, что
для получения правильного знака необходимо приписать
каждой фермионной петле множитель — 1. Поэтому диаг-
диаграмма (VII. 7), содержащая одну фермионную петлю О, по-
получает дополнительный множитель — 1. Это правило можно
вывести путем тщательного анализа числа перестановок,
которые необходимо совершить при использовании соотно-
соотношения (VI.23) и каждая из которых приводит к возникно-
возникновению множителя — 1. Доказательство его — довольно хит-
хитрое—подробно проведено в работе [15]1)-
') См также [84] —Прим ред.
22 Р Manj к

338 Приложения
2. Замечание по поводу диаграмм, в которых
нарушается принцип Паули
Уже отмечалось, что при kt = k2 в диаграмме 4 из разло-
разложения D.34) нарушается принцип Паули. Если взглянуть на
разложение (VII. 2) для числителя G, то обнаружится, что
эта диаграмма в действительности взаимно уничтожается
с другой, уже несвязанной. Действительно,
, Си
= IGt {ku <o)iGo (I, <o) iGo (ku со), (VII. 9)
„и,Ш,ш =(- l)iGo(ku
(VII. 10)
причем множитель — 1 появился благодаря присутствию
фермионной петли. Тем не менее диаграммы, нарушающие
принцип запрета, приходится удерживать для того, чтобы
доказать „теорему о разложении функции Грина по связан-
связанным группам", (VII.5). [Ср. замечания после формулы E.13)
по поводу диаграмм, в которых нарушается закон сохране-
сохранения импульса.]
Приложение VIII
СПЕКТРАЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ
Для краткости мы выведем выражение только для функ-
функции А+(к, со); выражение для функции Л" (к, со) получается
точно таким же способом. Пусть 4% и Еп — точные соб-
собственные функции и энергии гамильтониана Н системы из N
взаимодействующих частиц. Функцию Грина G+(k, t) можно
представить в виде суммы по этим точным функциям, если
в выражение (9.7) для нее вставить единичный оператор
(см. приложение I):
¦JV+I

Приложение VIII 339
и положить ti — 0, t2 = t:
(VIII.
Фурье-преобразование последнего выражения дает
G+(k, со) = ^|(С|)а0|2—^-^Т?. (VIII. 2)
Отсюда видно, что полюсы G+ появляются при значениях со,
равных разности энергий возбужденных состояний системы
из N + 1 взаимодействующих частиц и энергии основного
состояния системы из N взаимодействующих частиц. Анало-
Аналогичное доказательство справедливо и в общем случае.
Появившиеся разности энергий можно выразить с по-
помощью химического потенциала, определенного формулой
(9.23), следующим образом:
pJV+l pN _
tn — Co —
Для больших N (это верно для электронного газа или ядер-
ядерной материи, но не для конечных ядер!) мы имеем
лм-i n (VIII. 4)
Отсюда
G+(k, 0- - ^аКсОпоРв"^'-^)'. (VIII. Б)
Так как энергетические уровни расположены очень близко
друг к другу, то от суммирования можно перейти к инте*
грированию, введя спектральную функцию
А+(к, <в)Лв= 3 l(ct)n0P. (VIII. 7)
22*

340 Приложения
ИЛИ
А+(к, со) = 21D1о!2б(со-со,!0). (VIII. 8)
Эта функция определена только для со^О, так как, со-
согласно выражениям (VIII. 3) и (VIII. 4), юп0>0. Она опре-
определяет вероятность того, что состояние l^o) с одной добав-
добавленной частиней с импульсом к есть точное собственное
состояние системы из N + \ частиц, причем энергия его
лежит в интервале между со и со + da. Подставляя (VIII. 7)
в (VIII. 5) и (VIII. 6), получаем
G+(k, f)=-xej A+(k, co)^M<o+li)'rfco, (VIII. 9)
о
т. е.
G+(k, «)-! da/m™f+i&-t (VIII. 10)
о
что совпадает с выражениями (9.22) и (9.24).
Приложение IX
КАК ИСПОЛЬЗОВАТЬ ДОБАВКУ й
Простейшим примером использования добавки /б при
работе с функцией Грина служит обратное преобразование
Фурье от Go(k, со) [см. C.13)] к Go (k, t) (здесь t = t2-tl)
[см. C.10)]. Это преобразование имеет вид
/->+ iu i\ Г ^ю „-IcW/->+с*, ,л Г ^ю е~"° /ту i\
Go (к, г) — -х— е Go («) ю) = -т; ;—г-. (IX. 1)
j /к J &л со — е, + to
— оо — оо
Подынтегральное выражение содержит полюс при со = ek — ib.
Интеграл можно вычислить, если провести интегрирование
') Вообще говоря, определение спектральной функции (VIII 8) при-
пригодно и для систем, не обладающих квдзинепрерывным спектром,—Прим
перев.

Приложение IX 341
по контуру, охватывающему этот полюс:
ш- ПЛОСКОСТЬ
(IX. 2)
Согласно теореме о вычетах,
вычет в и-м полюсе =
-2я/ Ii
. 3)
Интеграл по большой полуокружности исчезает, так как
/>0, согласно определению C.1) для G + , и поэтому „обре-
„обрезающий" множитель е~ш в (IX. 1) стремится к нулю. Следо-
Следовательно,
-J
da)
2л со — ek + (б
(IX. 4)
опуская уже не нужную бесконечно малую добавку, полу-
получаем
Г'Ч
Go" (k, t)=- иГ'
(IX. 5)
что совпадает с результатом C.10).
Этим методом можно воспользоваться для вычисления
фурье-трансформанты Go(k, со); см. (8.35). Здесь t<0, и по-
потому контур должен проходить в верхней полуплоскости.
Этим методом можно вычислить и интеграл, входящий
в выражение (9.38), если использовать в определении G
обрезающий множитель ехр (/ют|) (где г\ — положительная
бесконечно палая величина, такая, что rj X °о = оо);

342 Приложения
в результате имеем
" rfco е1^ \ - 1, k<kP,
Мы использовали здесь контур интегрирования, замыкаемый
в верхней полуплоскости.
Приложение X
ФУНКЦИЯ ГРИНА ЭЛЕКТРОНА В НОРМАЛЬНОЙ
ЭЛЕКТРОН-ФОНОННОЙ СИСТЕМЕ
Гамильтониан системы взаимодействующих электронов и
фононов определяется выражением A5.4). Для вычисления
функции Грина электронов в такой системе к словарю
табл. 10 следует добавить выражения для энергии электрон-
фононного взаимодействия и для функции Грина невзаимо-
невзаимодействующих фононов. Первое из них в аппроксимации
„желе" имеет вид A5.8). Второе [см. в гл. 16 выражение,
следующее сразу за формулой A6.41)] есть
1 1 2Я„
°^>Сй) = "с^О йГ ~ о а - /6 = 2 - О2 • Q ' ^Х<1)
Функция Грина (X. 1) очень похожа на функцию Грина элек-
электрона, но с той лишь разницей, что здесь добавлена „отри-
„отрицательно частотная" часть. [Выбор множителя в числителе
выражения (X. 1) есть вопрос удобства (см. [60]).] Эти вели-
величины можно представить с помощью диаграмм, как пока-
показано в табл. 15.
11 Диаграммный словарь для фононов Таблица 15
Диаграмма Функция
Свободный фонон Йй„
Ьииоооооо ' со2
(q. и)*
со2 -
Электрон-фононное взаи- 4ле2 Г Z2N
модействие ~ 'Й= ~' ~~~j у 2QpM

Приложение X 343
Разложение функции Грина G имеет вид
(Х.2)
Заметим, что здесь опущены все диаграммы типа „пузырь",
так как
q=o =0
(Х.За)
= 0.
(X. 36)
Результат (Х.За) следует из тех же соображений, кото-
которые приведены сразу после формулы A0.32). Что же касается
результата (X. 36), то здесь нужно иметь в виду, что фонон
с импульсом q = 0, т. е. с бесконечной длиной волны, отве-
отвечает трансляции всего кристалла как целого. Эта диа-
диаграмма исключается, если просто зафиксировать положение
кристалла ')•
Наиболее примечательно в разложении (Х.2), то, что
фононные линии (и точки, отвечающие вершинам) входят
в диаграммы точно таким же образом, как и линии куло-
новского взаимодействия. Это означает, что мы имеем
') Это не вполне точно На самом деле, если речь идет об акусти-
акустических фононах, рассматриваемая диаграмма обращается в нуль вслед-
вследствие обращения в нуль матричного элемента электрои-фоионного взаимо-
взаимодействия [см. выражения (Х.21) и (Х.23)]. Это в свою очередь есть след-
следствие того, что при трансляции кристалла как целого энергия взаимо-
взаимодействия электронов с решеткой не меняется. — Прим. перев.

344 Приложений
эффективное электрон-электронное взаимодействие, возникаю-
возникающее вследствие испускания и поглощения виртуальных фоно-
нов. Это и есть взаимодействие, на которое обратил внимание
Фрелих и которое мы рассматривали в п. А § 3 гл. 15. На
диаграммном языке имеем
у\лллл/\л/
(Х.4а)
КМЛ0Н06СК0Е ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ
(Х.46)
фрелиховское взаимодействие
(ЭЛЕКТРОН-ФОНОН-ЭЛЕКТРОН)
Обращаясь к табл. 15, мы замечаем, что взаимодействие
(Х.46) зависит от частоты со и потому оказывается запазды-
запаздывающим.
Симметрия, с которой взаимодействия (X. 4а) и (X. 46)
входят в разложение (X. 2), позволяет нам с помощью неко-
некоторой ловкости рук провести предварительное частичное сум-
суммирование; в результате ряд оказывается таким же простым,
как и в случае отсутствия фононов. Перепишем сначала это
разложение в факторизованной форме
О
Введем комбинированное взаимодействие
(Х.5)
(Х.6)

Приложение X 345
Это приводит к разложению
•••> (X. 7)
которое в точности совпадает с разложением (9.40), спра-
справедливым в отсутствие взаимодействия с фононами.
Так же как и в гл. 10, можно провести частичное сум-
суммирование ряда (X. 7). Уравнение Дайсона для функции G
имеет вид
1
(Х.8)
- (Г)
где неприводимая собственно-энергетическая часть есть
(Х.9)
Здесь можно легко провести те же перенормировки, что и
в выражении A0.8). Одетое комбинированное взаимодействие
определяется уравнением
(X. 10)
где
соответствует сумме всех неприводимых поляри-
поляризационных частей (которые нельзя разбить на две части пу-
путем удаления линии комбинированного взаимодействия)
Л) =
(Х.11)

346 Приложения
Это есть аналог выражений A0.54) и A0.52). Так же как
это было сделано в § 1 гл. 11, можно одеть линию, соот-
соответствующую свободной функции Грина. Перенормироваи-
ный ряд тогда не будет содержать уже никаких вставок
в линии, отвечающие взаимодействию и функции Грина, и
все взаимодействия и свободные функции Грина станут оде-
одетыми:
(X. 12)
Решением уравнения (X. 10) служит, очевидно,
/VWVWV
V00OOO0OOV
(X. 13)
Отсюда следует, что одетое комбинированное взаимодействие
есть сумма экранированного кулоновского взаимодействия
и экранированного взаимодействия Фрелиха. Отметим, что
если заменить
петлей низшего порядка из разложе-
разложения (X. 11), то слагаемое в знаменателе, описывающее экра-
экранирование, будет равно просто сумме кулоновскои и фонон-
ной частей.
В литературе (см. список в конце гл. 15!) одетое комби-
комбинированное взаимодействие изображается обычно в другой
форме, более сложной, но поддающейся несколько более
прямой физической интерпретации. Определим:

Приложение X 347
1) одетое кулоновское взаимодействие
= -wwwv +
чЛЛЛЛ/U
1- [Л]
(X. 14)
2) одетую фононную линию
00000000
= Ш0006Т
+ И И (А * (А М И
= оооооооо" + [А] + [Л) [Л) у
или
О'ШИ'ДД _
00000000
000006W
(X. 15)
1-

348 Приложения
3) одетое электрон-фононное взаимодействие
1-
(X. 16)
[Обрубки линий в соотношении (X. 16) оставлены только
для того, чтобы показать, где присоединяются электронные
и фононные линии. Отметим, что (•) не есть обычная одетая
вершина, подобная A1.30), так как она содержит вставки
только в фононную ветвь.] Тогда с помощью простои диа-
диаграммной алгебры можно показать, что
(Х.17)
Таким образом, одетое комбинированное взаимодействие
складывается из одетого кулоновского и одетого фононного
взаимодействий.
Посмотрим, чему равно взаимодействие (X.17) в прибли-
приближении случайных фаз, когда
= 0
Тогда одетой кулоновской линии соответствует просто эффек-
эффективный потенциал Кэфф в приближении случайных фаз, опре-
определяемый соотношением A0.35):
RPA
(q, со) =
6RPA(q, со) •
(X. 18)
Одетая фононная линия (см. литературу, указанную в конце
гл. 15) определяется выражением
тплжги
RPA
iD(q, ©) = -
t/
RpA
(q,
со2 - со* + i
(X. 19)

Приложение X 349
где <j>q — фононная частота, перенормированная за счет воз-
возникновения электронного облака. Она определяется выра-
выражением
~ q (при малых q). (X. 20)
Это значительно более респектабельное поведение для про-
продольных фононов, чем то, которое показано на фиг. 15. За-
Заметим, что с точностью до несущественного множителя
VeRpA(q, 0) выражение (X. 19) совпадает с функцией Грина
свободных фононов (X. 1), в которой частоты Од заменены
на Ид. Энергия одетого электрон-фононного взаимодействия
задается выражением
®rpa ^-ig^(q) = -rZ^-w. (X.21)
8RPA
Это есть экранированное взаимодействие, которое, очевидно,
значительно меньше затравочного.
Мы можем использовать найденные результаты и запи-
записать выражение для энергии одетого комбинированного взаи-
взаимодействия (X. 17) в виде
RPA
PA(q, ш)= -/
еКРА(Ч, 0)/ со2 - со-+ ,бша 92eRPA (q, со) }
Ясно, что это выражение описывает запаздывающее взаимо-
взаимодействие. Здесь уместно связать полученные нами резуль-
результаты с выражением A5.13) для энергии электрон-фонон-элек-
трониого взаимодействия, используемого Бардином, Купером
и Шриффером. Последнее выражение представляет собой
просто статическую аппроксимацию формулы (Х.22), в ко-
которой диэлектрическая проницаемость eRPA(q, со) заменяется
своим статическим пределом при со->0
8RPA(q, co)-^8(q)=l + ^, (X.23)
а частота и в функции Грина для фонона положена равной
е — efe_a. Такая замена в формуле (Х.22) приводит как раз
к выражению A5.13).

360 Приложения
Отметим, что первое слагаемое в (X. 22), описывающее
фрелиховское взаимодействие, отрицательно при малых со.
Таким образом, критерий сверхпроводимости при наличии
комбинированного взаимодействия опять-таки сводится
к тому, что фрелиховское слагаемое должно превосходить
кулоновское. В случае нормальных систем, с которыми мы
имеем дело в этом приложении, доминирует кулоновское
слагаемое.
Вычислим теперь функцию Грина электрона, используя
следующее приближение для собственно-энергетической
части:
(X. 24)
Здесь одетое комбинированное взаимодействие wwaw. опре-
определяется выражением (Х.22). Имеем
2 (к, «>) = /j-9$-Go(k + q, <о + е)[|?эфф(яI2Д(Я, е) +
+ ^Эфф(я, е)]. (Х.25)
Вычисления проведены в книге [58]. Они приводят к закону
дисперсии квазичастиц с эффективной массой, которая вблизи
поверхности Ферми равна
т* = т + 6ткулон + 6тфонон. (X. 26)
Здесь 6ткулон определяется выражением A0.47), а
бшфонон = т-Aд) г,Ш[^5 J, (X.27)
причем X есть параметр экранирования в приближении слу-
случайных фаз A0.39). Этого результата и следовало ожидать:
масса голого электрона перенормируется частично за счет
сопровождающего его облака других электронов, частично
за счет облака фононов.
Когда в комбинированном взаимодействии доминирует
фрелиховское слагаемое, приведенное выше вычисление
функции Грина электрона становится несправедливым, так
как система переходит в сверхпроводящее состояние. В этом
случае для вычисления функции Грина электрона следует
использовать метод Намбу, описанный в § 6 гл. 15.

ОТВЕТЫ К УПРАЖНЕНИЯМ
Глава 1
1. Имеем
Используя формулу A.32), немедленно получаем равенство A.37а).
,, 3q2, О^, 0, ...
,.0^,0,0,... = °-
5,ч'1„. 6,,. o,,, o. o.
^ 3 / 5 V 2
ь ^ Oi0>....
в. Пять фононов.
Q
1.
Глава 2
«Ч «2
гг г2
В /г-м порядке 2" диаграмм.
2. Р (г2, г,) = Ро (г,, гО + Ро (гт, г,) Р (т) Ро (г2, г,„) +
+ Л> (г/, г,) Р (/) Ро (r2l Г/)+Р, (гт, г,) Р (т) Ро (гт, г,„) Р (т) Ро (г2,

352 Ответы к упражнениям
3. Р(г2. г,) = с + <:2 [Р(т) + РA)]+с3 [Р (тУ + Р (т) Р (!) -г
+ Р{1)Р (га) + Р (IJ] + с4 . . = с {1 + с [Р (т) + Р AI +
+ с2 [Р (от) + Р (I)]2 + ...} = -
1 - с [Р (т) + Р (I)} •
4. Р (г2> п) = -^ .
\-сУ,Р{а)
а
Глава 3
1. В этом случае функция U (г) в формуле C.4) равна просто — raton.\;"
и е,'е = (^ + 2") щ, где й = 0, 1, 2, .... Функция Грина соответствует от-
отсутствию взаимодействия и равна
-I (k+~) и, « -(,)
G+(A ^ /) = - «9в V 2/
o+(*, со) = [со - (й + у) «о +]
2. Имеем
таким образом
3. Диаграммное разложение здесь имеет тот же вид, что и C.33),
с той лишь разницей, что знак „«" заменяется на „ = " Диаграмме
(т) соответствует функция
а направленные линии отвечают функциям Грина из упражнения I.
Таким образом,
4. e; = fA + y
5. См. выражение B.23).
Глава 4
1. Импульс дырки равен — (с.
2. а) Сзсьс4сбсз I 11111000 ...) = О,
б) | 1101100100...) = |l?, IP),
в) с\ск\ 11111000 ...) = | 11Ш000...)при? <kft и =о при k> кр.

Поэтому
| 11111000 ...)=
Ответы к упражнениям 353
111000 .. .}¦
3. Уравнение D.39) с дополнительным членом —[ Vki\2 (<в — е2 + ib)~
в знаменателе.
4. См. диаграммы тэт (933) и последний абзац на стр. 184.
к Ч
б) Энергия ие сохраняется:
-*! + .?! ^ '
2п 2т ^
6. [/Go+ (к, со)]2 X F (к, со), где
F (к, со) = У
2т
2т
1-е) X
X (— iVqf X (— 1) X IG+ A + q, р + е) X iGq A, р).
Это выражение — некоторая функция к и со.
7. В силу сохранения импульса н энергетического параметра напра-
вленная линия, соединяющая две диаграммы вида
, должна иметь
индексы к, со. Отсюда немедлеиио следует результат.
8. См формулы A0.5), D.7G) и D.77), а также выражение для функ-
функции F (к, со) из упражнения 6.
Глава 5
t
dt0 f dt
,
0
X(-/)FlpX/G0-(l, t2-t3)X(-i)Vql X
X iG0+ (q, tA - t2) X (-i) Vlq X (Go- A, /j - /4) X (- /) KpI.
2. а) Эквивалентные.
б) Различные.
в) Различные.
3. Диаграммы точно такие же, как и в случае E.12) и E.13), с той
разницей, что все индексы 1 заменяются на т, где т такое, что еш < ер>
а ер — энергия Ферми.
5. В обоих случаях в одном и том же состоянии имеются частица
и дырка, что невозможно.
р. Манук

364 Ответы к упражнениям
Глава 7
1. с^ъ 1111000 ...) = (— 1) 10010100 ...).
2. (? | с\сх | *F) = (А* A00 ... | + В' A11000 .. .|) с\сх {А 1100 ...> +
+ В |Ш00...)) = Л2 + В2.
3. с,cj | Ч'>+ с+с, | «F) = - Л | 0100 ...) + Л | 0100 ...)= 0.
4. Пользуясь равеиством G.47) и значениями е* из ответа к упраж-
упражнению 1 из гл. 3, получаем
5. Пользуясь равеиством G.50) в совокупиости с ответом к упражне-
упражнению 2 из гл. 3, ямеем
Я2 = 5] В (k + i-K «§6wcJC/ = 5] В (* + уK «3ctc*.
/и k
6. Пользуясь соотношениями G.69) (в предположении Q=l), получаем
Vkimn-A J Аег[(к-т)+A-пI-г = Bя)Мб(к + 1, т + п).
Следовательно,
к--з- = Bя)зу1 2 <?_
т, и, (j
Глава 8
(- 1) (- 1).
к =[-Шо (к, <*)]*(-iVkkkk)(-\).
к
Вторая пара диаграмм компенсируется точно так же.
.2 ,, .2 ,2
К ККр К , Кр
Это отиошеине мало (<0,1), если k/kp<2.
Глава 9
»• г W ((>) ct (У 4 (У) = (-1) х (-1) х
5. а и б.

Ответы к упражнениям 365
6.
(к —q, со —е) X
X iG0 (р, Р) X /Go (p + q, P + е).
Глава /О
1. б, в—собствеиио-энергетические части, б — неприводимая, в — при-
приводимая.
2.
«"+ (I
iG(k2, *,,
2
/, m
*2m X [- iVml] X
со).
3. Cm. D.96).
4. Пользуясь формулой A0.21) при Vk — А, находим
^ Go (p, e) Go (q - p, со - e)] ,
/С (q, со) =
что можно проверить прямой подстановкой в A0.21).
5. а, г —поляризационные части, а — неприводимая, г —приводимая.
6.
k'+q
чЛк-
¦в,
к+ч\ /
\/к,
— in (q, со) = — m0 (q.
X
X /Go (к + q, Y + ») X /Go (k' + q, y' + со) X (- i) К (к', y', К YJ 4. »).
(Множитель 4 из-за спииа.)
23*

356 Ответы к упражнениям
Глава 11
1. Диаграмму б учитывать не следует, так как она уже включена
в диаграмму 4 из A1.3). Ни одну из них ие следует включать в разло-
разложение A1.5), так как диаграммы а и б уже содержатся в третьей,
а в — во второй диаграмме правой части A1.5).
2. G(k, со) = A-
Скачок на поверхности Ферми равен A—Л)
Глава 12
о
-i
i[ko-(k-ko)]X
- У (-O3(-1KF
3,гЗ
1
X
q, k, i, m т/ +ч v ""
3. Первая диаграмма вычислена в A2.7). Вторая
k + q
^^/ i\4
2
ч, ft, '
vi
(s.+г. — е, , — е, \
V k ' I к+q l—q)
(-U3 У
т < k г
+ е, — е. — е,
' ( ft f G l—q
Эта диаграмма с я пузырями содержит множитель в скобках в гс-й сте-
степени. Следовательно, мы имеем геометрическую прогрессию, суммирова-
суммирование которой дает
У
--V2
2 ч
где

Ответы к упражнениям 357
Глава 13
+... =
+
ЛПЛР
t
i
ш
3.
а)
1 -
+ 4/\J~J I + ./WW
..-Jj/'
\ -* v/NJ%/\/ I + ^, ч/'У
в) Подстановка выражения для Д, из упражнения 2 приводит к а.
I
I
Глава 14
2. Согласно A4.12), In Zo = V jn (| + e
к
Следовательно, Л"о = ^ \e
ft
ft (ek »

358 Ответы к упражнениям
5.
k-q
p + q
k, <о„)]2Х
X
r°^k~ ч> Q« ~ 8"<)х
р, q m, i = — о
X i&o (Р, Р<) X iS-o (р + q, Р/ + 8,„) X (- Vq)\
Глава 15
= 2
cHcnc
c-Hc-Ч I • • •
rt_ftv = 0 „ли
[a*. «ft'] = ukuk
3. E =
0 -
с
S0(k, Q)]2X
о
X
J d%ny Тз (~ iVk>o) Sp [Хб x /<S°(k'' w')]-

ЛИТЕРАТУРА
1. Абрикосов А. А., Горькое Л. П., Дзялошинский И. ?., Методы кванто-
квантовой теории поля в статистической физике, Физматгиз, М., 1962.
2 Anderson P. W., Concepts in Solids, New York, 1963.
3 Beeby J. L., в книге Lectures on the Many-Body Problem, ed. E. R. Cai-
aniello. Vol. 2, New York, 1964.
Electrons in Disordered Systems.
4. Беляев С. Т., в книге The Many-Body Problem (Les Houches), New
York —Paris, 1959.
Introduction to the Bogoliubov Canonical Transformation Method.
5 Bjorken J. D., Drell S. D., Relativistic Quantum Mechanics, New York,
1964.
6 Bjorken J. D., Drell S. D., Relativistic Quantum Fields, New York, 1965.
7. Block С, в книге Lectures on the Many-Body Problem, ed. E. R. Caiani-
ello, Vol. 1, New York, 1962.
General Perturbation Formalism for the Many-Body Problem at Non-
Nonzero Temperatures.
8. Бонч-Бруевич В. Jl., Тябликов С. В., Метод функций Грииа в стати-
статистической механике, Физматгиз, М., 1961.
9. Brout R., Carruthers P., Lectures on the Many Electron Problem, New
York, 1963.
10. Brown G. ?., Lectures on Many-Body Problems, NORDITA, Copenha-
Copenhagen, 1961,
11. Brown G. ?., Nucl. Phys. (Proc. Int. School of Physics, Varenna — co-
course 23), New York, 1963.
Collective Motion and the Application of Many-Body Techniques.
12. Daniel E., Vosko S. H., Phys. Rev., 120, 2041 A960).
Momentum Distribution of an Interacting Electron Gas.
13. Dicke R., Wittke /., Introduction to Quantum Mechanics, Addison-Wes-
ley, Reading, 1960.
14. Dirac P. A. M., The Principles of Quantum Mechanics, 3 rd Ed., 4 th Ed.,
Oxford, 1947, 1958. (Имеется перевод: Дирак П. А. М., Принципы
квантовой механики, М., 1960.)
15. Easlea В. R, Lectures on the Many-Body Problem and its Relation to
Nuclear Physics, University of Pittsburg, 1963.
16. Falikov L., Heine V., Adv. Phys., 10, 57 A961).
The Many-Body Theory of Electrons in Metals or Has a Metal Really
Got a Fermi Surface?
17. Falkoff D., в книге The Many-Body Problem (Bergen School Lectures),
Ed. С Fronsdal, New York, 1962.
The W-body Problem.
18. Feynmann R. P., Quantum Electrodynamics, New York, 1962. (Имеется
перевод: Фейнман Р., Квантовая электродинамика, изд-во «Мир»,
1964.)
19. Feynman R. P., Hibbs A. R., Quantum Mechanics and Path Integrals,
New York, 1965. (Имеется перевод: Фейнман Р., Хибс А., Квантовая
механика и интегралы по траекториям, изд-во «Мир», 1968.)

360 Литература
20. Frohhch II., Proc Roy. Soc, A215, 291 A952).
Interaction of electrons with Lattice Vibrations.
21. Галицкий В. M, Phvska (Suppl.), 2tj, 174 (l9fc>0); in Report oi The
International Congress on Many-particle physics (June I960).
Collective Exitations in Fermi Systems.
22. Галицкий В. М., Мигдал А В., ЖЭТФ, 34, 139 A958).
23. Geldart D. J. W., Houghton А , Vosko S. #., Canad. Journ. Phys., 42,
1938 A964).
Exchange Corrections and the Convergence of the Perturbation Ex-
Expansion for the Momentum Distribution Function for an Interacting
Electron Gas at Metallic Densities.
24. Gell-Mann M., Brueckner K. A., Phys. Rev., 106, 364 A957). (Имеется
перевод в сб. «Проблемы современной физики», № 1, ИЛ,
1958.)
25 Hatano A., Kanazawa H., Mtzuno Y, Progr. Theor. Phys., 34, 875 A965).
Electron Interaction and Positron Annihilation in Electron Gases.
26 Hedin L., Phys. Rev., 139, A796 A965)
New Method for Calculating the One-Particle Greens Function with
Application to the Electron Gas Problem.
27. Heisenberg W., Ann. Phys., 10, 888 A931).
28. Hojgamd Jensen H., в книге Phonons and Phonon Interactions (Arhus
Lectures, 1963), New York, 1964.
The Free Phonon Field.
29 Hugenholiz N. M, Rep. Progr Phys, 28. 201 A965). (Имеется перевод:
Гугенгольц И., Квантовая теория систем многих тел, изд-во «Мир»
1967.)
Quantum Theor> of Many-Body Systems.
30 .Johansson В., Physica, 32, 2164 ('1966).
Symmetry-breaking Average and Field Theoretic Method in Super-
Superconductivity.
31. Kadanoff L., Baym G., Quantum Statistical Mechanics, New York, 1962.
(Имеется перевод. Каданов Л., Бейм Г., Квантовая статистическая ме-
механика, изд-во «Мир», 1964 )
32. Kaempffer F. A, Concepts in Quantum Mechanics, New York, 1965.
(Имеется перевод: Кемпфер Ф., Основные положения квантовой ме-
механики, изд-во «Мир», 1969 )
33 Katz A , в книге Lecture Notes on the Many-Body Problem (Bergen
School), New York, 1962.
The Analytic Structure of Many-Body Perturbation Theory.
34. Kittet C, Quantum Theory of Solids, New York, 1963. (Имеется пе-
перевод: Киттель Ч., Квантовая теория твердых тел, изд-во «Наука» М.,
1967)
35. Klein А., в книге Lectures on the Many-Body Problem, Ed. E. R. Caia-
niello, Vol. 1, New York, 1962.
Theory of Normal Fermion Systems.
36 Kumar К, Perturbation Theory and the Nuclear Many-Body Problem,
Amsterdam, 1962. (Имеется перевод: Кумар К-, Теория возмущений и
проблема многих тел для атомного ядра, изд-во «Мир», 1964.)
37. Kurki-Suonio К, Phys Lett., 14, 298 A965).
A Note on the Partial Summation of Graphs in Many-Body Theory.
38. Ландау Л., Лифшиц Е., Квантовая механика, Физматгиз, М
1963.
39. Luftinger У. М , Phys. Rev., П9, 1153 (I960)
Fermi Surface and Some Simple Equilibrium Propel ties of a System
of Interacting Fermions.

Литература 361
40 Luttinger J. M , Ward I. С, Phys Rev , I IS. 1417 A960).
Ground Stale Energy of a Matiy-Fermion System 11.
41. Luttinger J. M., в книге The Fermi Surface, eds. W. Harrison and
M. В Webb, New York, 1960.
Theory of the Fermi Surface.
42. Luttinger J. M., Phys. Rev, 121, 942 A961).
Analytic Properties of Single Particle Propagators for Many-Fermion
Systems.
43. Lyrtton E. A , Syperconductivity, London, New York, 1962. (Имеется пе-
перевод: Линтон Э., Сверхпроводимость, изд-во «Мир», 1964.)
44 Mattuck R. D , Phys. Lett., 11, 29 A964).
Lifetime of Quasi Particles in Fermi System
45. Mattuck R. D., Johansson В , Adv. Phys., 17, 509 A968).
Quantum Field Theory of Phase Transitions in Fermi Systems.
46. Messiah A., Quantum Mechanics, Vol. 1, 2, Amsterdam, 1961.
47 Мигдал А. В., ЖЭТФ, 34, 1438 A958).
48. Nozieres P., Theory of Interacting Fermi Systems, New York, 1964.
49 Park D., Introduction to the Quantum Theory, New York, 1964.
50. Parry W., Turner R., Rep. Progr. Phys., 27, 23 A964).
Green Functions in Statistical Mechanics.
51. Patterson J. D., Amer. Journ Phys., 32, 269 A964).
Modern Study of Solids.
52. Pines D., The Many-Body Problem, New York, 1961. (Имеется перевод:
Пайнс Д., Проблема многих тел, ИЛ, 1963.)
53. Pines D., Elementary Excitations in Solids, New York, 1963. (Имеется
перевод: Пайнс Д., Элементарные возбуждения в твердых телах,
изд-во «Мир», 1965.)
54. Platzman P. M, Tzoar N., Phys. Rev., 139, А410 A965).
Я-Ray Scattering From an Electron Gas.
55. Raimes S., The Wave Mechanics of Electrons in Metals, North-Holland,
Amsterdam, 1961.
56 Rikayzen G., Theory of Superconductivity, New York — London, 1965.
57. Schrieffer J. R., в книге The Many-Body Problem (Les Houches), New
York —Paris, 1959.
Theory of Superconductivity.
58. Schrieffer J. R., Theory of Superconductivity, New York, 1964.
59. Schrieffer J. R., в книге Phonons and Phonon Interactions, Ed. Thor
Bak, New York. 1964.
Electron-Phonon Interaction and Superconductivity.
60 Schultz T. D., Quantum Field Theory and the Many-Body Problem, New
York, 1964.
61. Schweber S. S., An Introduction to Relativislic Quantum Field Theory,
Illinois, 1961. (Имеется перевод: Швебср С, Введение в релятвнет-
скую квантовую теорию поля, ИЛ, 1963.)
62. Тег llaar D., Cont. Phys., I, 112 A959—1960).
Some Recent Developments in the Many-Body Problem.
63. Ter Haar D., в книге Fluctuation, Relaxation and Resonance in Magne-
Magnetic Systems, Edinburgh, 1962.
On the Use of Green's Functions in Statistical Mechanics.
64. Thouless D. J., The Quantum Mechanics of Many-Body Systems, New
York, 1961. (Имеется перевод: Таулес Д., Квантовая механика си-
систем многих частиц, ИЛ, 1963.)
65. Thouless D. У., Rep. Progr. Phys., 27, 53 A964).
Green Functions in Low Fnergy Nuclear Physks
66. Tinkham M., в книге Low Temperature Phys>ics, New York, 1962.
Superconductivity.

362 Литература
67. Van Hove L., Hugettholtz N.. Howland L, Quantum Theory of Many
Particle Systems, New York, 1961.
68. Ziman J. M., Electrons and Phonons, Oxford, 1962. (Имеется перевод:
Займам Дж., Электроны и фононы, ИЛ, 1962.)
69. Киржниц Д. А., Полевые методы теории многих частиц, Гостехиздат,
М., 1963.
70. March N. Н., Joung W. Н., Sampanthar S., The Many-Body Problem in
Quantum Mechanics, Cambridge, 1967.
71. Ambegaokar V., в книге Astrophysics and the Many-Body Problem, 1962
Brandeis Lectures, Vol. 2, New York, 1963.
Green's Functions in Many-Body Problems.
72*. Лифшиц И. М., Каганов М. И., Усп. физ. наук, 419 A959); 78, 411
A962); 87,989 A965).
73*.3исман Г. А., ЖЭТФ, 10, 1163 A940); 11, 631 A941).
74*. Галицый В. М., ЖЭТФ, 34, 151 A958).
75*. Мигдал А. Б., ЖЭТФ, 32, 399 A957).
76*. Sawada К., Phys. Rev., 106, 372 A957). (Имеется перевод в сб. «Проб-
«Проблемы современной физики», № 1, 47, 1958.)
77*. Nozieres P., Pines D., Phys. Rev., Ill, 442 A958).
78*. Мигдал А. Б., Теория конечных ферми-систем и свойства атомных
ядер, М., 1965.
79*. Галицкий В. М., Одиочастичиый спектр иеидеальиого ферми-газа, в сб.
«Применение методов квантовой теории поля к задачам многих тел»,
под ред. А. И. Алексеева, Гостехиздат, М., 1963.
80*. Шенберг Р., Сверхпроводимость, ИЛ, 1955.
81*. Займан Дж., Принципы теории твердого тела, изд-во «Мир», 1968.
82*. Боголюбов Н. Н., Зубарев Д. Н., Церковников Ю. А., ДАН СССР,
117, 778 A957).
83*. Бонч-Бруевич В. Л., ЖЭТФ, 31, 522 A956).
84*. Ахиезер А. И., Берестецкий В. Б., Квантовая электродинамика, Физ-
матгиз, М., 1952.
85*. Алексеев А. И , УФН, 73, 41 A961).
86*. Фрадкин Е. С, ЖЭТФ, 36, 1286 A959).
87*. Зубарев Д. Я., УФН, 71, 71 A960).
88*. Тябликов С. В., Бонч-Бруевич В. Л., Теория возмущений для двухвре-
менных температурных функций Грина, М., 1962.
89*. Боголюбов Н. Н., ЖЭТФ, 34, 58 A958).

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие редактора перевода 5
Предисловие автора к русскому изданию 7
Из предисловия автора .... 9
Глава 1. Диаграммы Фейимана и задача многих тел 13
§ 1. Что такое задача многих тел и для чего нужны фейнма-
новские диаграммы .... ... .... 13
§ 2. Метод канонических преобразований 18
§ 3. Элементарные возбуждения . 26
§ 4. Метод квантовой теории поля . 31
§ 5. Диаграммы Фейнмана и теория возмущения бесконеч-
бесконечного порядка 33
Упражнения 36
Глава 2. Классические квазичастицы и функция Грина детского
бильярда 37
§ 1. Физическая картина квазичастиц 37
§ 2. Функция Грииа классической квазичастицы 40
§ 3. Вычисление функции Грина с помощью диаграмм ... 42
Упражнения 51
Глава 3. Квантовые квазичастицы и квантовая функция Грина дет-
детского бильярда . ..... 52
§ 1. Кваитовомеханическая функция Грина .... 52
§ 2. Квантовый детский бильярд ..... 57
§ 3. Исчезновение неприятных расходимостей 66
§ 4. Откуда на самом деле берется диаграммное разложение
функции Грина?! . . 67
Упражнения .... 69
Глава 4. Квазичастицы в ферми-системах 70
§ 1. Метод функпий Грииа в системах многих тел . 70
§ 2. Система невзаимодействующих ферми-частиц во внеш-
внешнем поле: частицы и дырки . . 71
§ 3. Букварь формализма чисел заполнения (вторичного
квантования) .... 74
§ 4 Функция Грииа для системы невзаимодействующих фер-
ферми-частиц во внешнем возмущающем поле .... 79
§ 5. Система взаимодействующих ферми-частиц 86

364 Оглавление
§ 6. «Квазифизическая» природа диаграмм Фейнмана ... 97
§ 7. Квазичастицы в приближениях Хартри и Хартри — Фока 99
§ 8. Квазичастицы Хартри — Фока в ядерной материи . . 102
§ 9. Квазичастицы в электронном газе и приближение слу-
случайных фаз 105
Упражнения ПО
Глава 5. Энергия основного состояния и вакуумная амплитуда . . .112
§ 1. Смысл вакуумной амплитуды 112
§ 2. Вакуумная амплитуда детского бильярда 114
§ 3. Квантовая вакуумная амплитуда для системы, состоя-
состоящей из одной частицы 117
§ 4. Теорема о связанных группах для системы, состоящей
из одной частицы . . .... 122
§ 5. Вычисление энергии основного состояния для системы,
состоящей из одной частицы 125
§ 6. Система многих тел 129
Упражнения 132
Глава 6. Диаграммные методы в задаче многих тел с высоты птичь-
птичьего полета . . .... 133
Глава 7. Формализм чисел заполнения (вторичное квантование) . . 13S
§ 1. Преимущество формализма чисел заполнения .... 138
§ 2. Волновая функция системы многих частиц в формализ-
формализме чисел заполнения ..... 139
§ 3. Операторы в формализме чисел заполнения 144
§ 4. Гамильтониан и уравнение Шредингера в формализме
чисел заполнения ...... 149
§ 5. Дырочно-частичный формализм 153
§ 6. Формализм чисел заполнения и собственные функции од-
ночастичного оператора координаты 155
§ 7. Бозоны 157
Упражнения 159
Глава 8. Границы применимости квазичастичного описания .... 160
§ 1. Когда квазичастичный подход терпит неудачу .... 160
§ 2. Система ферми-частиц, допускающая точное решение:
чисто хартриевская модель ... 162
§ 3. Почему число квазичастиц должно быть малым . . . 166
§ 4. Грубый расчет времени жизни квазичастицы .... 168
§ 5. Общая форма записи функции Грина для квазичасгицы 170
Упражнения 173
Глава 9. Опять об одночастичпой функции Грина 174
§ 1. Вторичное квантование и функция Грина 174
§ 2. Математическое выражение для одночастичной функции
Грина . . . 174
§ 3. Спектральная функция ... 178
§ 4. Вывод разложения для функции Грина в задаче многих
тел . 181
§ 5. Топология диаграмм 181

Оглавление 365
§ б. Правила построения диаграмм для одночастичноп функ-
функции Грина . . . 187
§ 7. Модифицированный формализм функций Грина, в кото-
котором используется химический потенциал ц ..... 190
Упражнения . . 193
Глава 10. Уравнение Дапсона, перенормировка, приближение случай-
случайных фаз и лестничное приближение 194
§ 1. Общие методы частичного суммирования диаграмм . 134
§ 2. Уравнение Дайсона 196
§ 3. Квазичастицы в ферми-системе низкой плотности (ле-
(лестничное приближение) 201
§ 4. Квазичастицы в электронном газе высокой плотности
(приближение случайных фаз) 204
§ 5. «Одетый», или «эффективный», потенциал взаимодей-
взаимодействия в общем случае 211
Упражнения 216
Глава 11. Самосогласованная теория возмущений и существование по-
поверхности Ферми . . 217
§ 1. Одетые линии частиц и дырок или «одевание скелетов» 7
§ 2. Существование квазичастиц в случае применимости те-
теории возмущений . . . ... ... 220
§ 3. Существование поверхности Ферми в системе с взаи-
взаимодействием 224
§ 4. Одетые вершины 226
Упражнения ... 228
Глава 12. Энергия основного состояния электронного газа и ядерной
материи 229-
§ 1. Обзор . 229
§ 2. Диаграммы для энергии основного состояния .... 230
§ 3. Энергия основного состояния электронного газа высо-
высокой плотности. Теория Гелл-Манна и Бракнера . . . 233
§ 4. Беглый взгляд на теорию ядерной материи Бракнера 239
Упражнения ... 244
Глава 13. Коллективные возбуждения и двухчастичная функция Грина 245
§ 1. Введение 245
§ 2. Двухчастичная функция Грина 246
§ 3. Поляризационная функция Грина (функция Грина для
флуктуации плотности) 249
§ 4. Функция Грииа для коллективных возбуждений . . .251
§ 5. Плазмоны и квазиплазмоны 253
Упражнения ... 256
Глава 14 Ферми-системы при конечных температурах 257
§ 1 Обобщение случая Т = 0 .... 257
§ 2. Статистическая механика в представлении вторичного
квантования . . ... 258
§ 3 Функция Грина при конечных температурах .... 261
§ 4. Вакуумная амплитуда при конечной температуре . 266
Упражнения 270

366 Оглавление
Глава 15. Диаграммный метод в теории сверхпроводимости . . . 271
§ 1. Введение . . 271
§ 2. Гамильтониан системы взаимодействующих электронов
и фоноиов 272
§ 3 Краткий обзор теории БКШ 275
§ 4. Неприменимость теории возмущения к задаче о сверх-
сверхпроводнике . . 283
§ 5. Краткий обзор формализма Намбу 286
§ б. Рассмотрение эффектов запаздывания в формализме
Намбу 291
Упражнения 292
Глава 16. Фононы с многочастичной точки зрения 293
§ 1. Введение 294
§ 2. Гамильтониан связанных эйнштейновских фононов . . 295
§ 3. Определение функции Грииа эйнштейновского фонона 298
§ 4. Вычисление функции Грина путем точного суммирова-
суммирования диаграмм 300
§ 5. Проблема сходимости 303
§ 6. Энергия основного состояния 305
ПРИЛОЖЕНИЯ
Приложение I. Формализм Дирака 309
Приложение II. Оператор временной эволюции U{t) 316
Приложение III. Определение энергии основного состояния с помощью
вакуумной амплитуды 319
Приложение IV. Оператор U(t) и его разложение 321
1. Нулевая температура 321
2. Конечные температуры 323
Приложение V. Разложения для одиочастичной функции Грииа и ва-
вакуумной амплитуды 324
1. Разложение для функции Грииа при Т = 0 324
2. Разложение для вакуумной амплитуды при Г = 0 . . . 327
3. Разложение в случае конечных температур 327
Приложение VI. Вычисление матричных элементов с помощью теоремы
Вика 328
Приложение VII. Вывод диаграммного разложения для функции Гри-
Грииа и вакуумной амплитуды 334
1. Замечание по поводу фермионной петли 337
2. Замечание по поводу диаграмм, в которых нарушается
принцип Паули 338
Приложение VIII. Спектральная функция 338
Приложение IX. Как использовать добавку iS 340
Приложение X. Функция Грииа электрона в нормальной электрон-фо-
ионной системе 342
Ответы к упражнениям 351
Литература 359

Р. Маттук
ФЕИНМАНОВСКИЕ ДИАГРАММЫ
В ПРОБЛЕМЕ МНОГИХ ТЕЛ
Редактор Е. И. МАЙКОВА
Художник А. В. Шипов
Художественный редактор
Е. И. Подмарькова
Технический редактор М. П. Грибова
Сдано в производство 14/V1I 1969 г.
Подписано к печати 27/Х1 1969 г.
Бумага № 1 60x90716=11,5 бум. л.
23 печ. л.
Уч.-изд. л. 19. Изд. № 2/5030.
Цена 1 р. 55 к. Зак. 238.
ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР»
Москва, 1-й Рижский пер., 2.
Ордена Трудового Красного Знамени
Ленинградская типография № 2
имени Евгении Соколовой
Главполиграфпрома
Комитета по печати при Совете Министров
СССР. Измайловский проспект, 29,