Н.Н. Попов, Б. С Расторгуев, А.В.Забегаев
 РАСЧЕТ КОНСТРУКЦИЙ на динамические специальные нагрузки

Я.Н. Попов, Б.С. Расторгуев, А.В.Забегаев
 РА СЧЕТ КОНСТРУКЦИИ на динамические и специальные нагрузки
 Допущено
 Государственным комитетом СССР по народному образованию в качестве учебного пособия для студентов
 строительных специальностей высших учебных заведений
 Москва
 «Высшая школа» 1992

ББК 38.5 П 58УДК 624.01
 Рецензенты: кафедра «Строительные конструкции» Всесоюзного заочного политехнического института зав. кафедрой д-р -техн. наук, проф. Ю. В. Зайцев; д-р техн. наук, проф. А. И. Цейтлин зав. отделом динамики сооружений ЦНИИСК им. В. А. Кучеренко
 Попов Н. Н. и др.
 П58 Расчет конструкций на динамические и специальные нагрузки: Учёб, пособие для вузов по спец. «Пром. и гражд. стр-во» Н. Н. Попов, Б. С. Расторгуев, А. В. Забегаев.— М.: Высш. шк., 1992. — 319 с.: ил.
 ISBN 5-06-002095-9
 В пособии рассмотрены методы расчета на действие взрывных нагрузок железобетонных конструкций и сооружений: балок, колонн, мембран и висячих оболо чек, несущих систем производственных зданий, а также методы расчета балок и плит на интенсивные ударные воздействия.
 Методы расчета учитывают работу конструкций в упругой и пластической стадиях.
 33050000004309000000—037 ББК 38.5
 П 00101—92 219-91 6С405
 ISBN 5-06-002095-9 © н. Н. Попов, Б. С. Расторгуев, А. В. Забегаев, 1992

ОГЛАВЛЕНИЕ
 Предисловие 5
 Введение 7
 Основные буквенные обозначения ... 15
 Глава I. Кратковременные динамические нагрузки на сооружения . 16
 1.1. Общие положения . J6
 1.2. Взрывные нагрузки 17
 1.2.1. Параметры воздушной ударной волны и нагрузки от нее.
 1.2.2. Характер изменения давления и нагрузки при горении ГВС
 в помещении. 1.2.3. Взрывные волны в грунтах. 1.2.4. Расчетные нагрузки от взрывных воздействий. 1.3. Ударные нагрузки ... . ... 35
 Глава 2. Прочностные и деформативные свойства материалов и конструкций при динамических нагружениях . : 38
 2.1. Диаграммы деформирования материалов 38
 2.1.1. Арматура. 2.1.2. Бетон.
 2.2. Сцепление арматуры d бетоном 54
 2.3. Диаграммы деформирования стержневых конструкций ... 57
 2.4. Предельные состояния конструкций, воспринимающих. кратковременные динамические нагрузки 63
 2.5. Нормирование предельных состояний стержневых элементов 65
 Глава 3. Расчет конструкций на действие взрывной нагрузки, как системы с одной степенью свободы . 72
 3.1. Общие положения .... 72
 3.2. Расчет массивных жестких элементов на деформируемых связях . 73
 3.2.1. Система с произвольной восстанавливающей силой. 3.2.2. Система с упругопластической восстанавливающей силой без упрочнения. 3.2.3. Система с упругопластнческой восстанавливающей силой с линейным упрочнением. 3.2.4. Система с жесткопластической восстанавливающей силой.
 3.3. Методы сведения расчета конструкций к системе с одной степенью
 свободы .... 83
 3.3.1. Метод Бубнова—Галеркина. 3.3.2. Вариационный метод.
 3.4. Расчет шарнирно опертой железобетонной балки 93
 3.4.1. Упругая стадия. 3.4.2. Пластическая стадия.
 Глава 4. Расчет балочных железобетонных конструкций 110
 4.1. Общие положения 110
 4.2. Методы учета диссипативных сил 110
 4.3. Общие зависимости для упругих однопролетных балок с произвольно закрепленными концами 114
 4.3.1. Действие стационарной динамической нагрузки. 4.3.2. Действие набегающей ударной волны.
 4.4. Расчет шарнирно опертой балки на действие динамической нагрузки, равномерно распределенной по пролет . 122
 4.4.1. Упругая стадия. 4.4.2. Пластическая стадия
 4.5. Исследование влияния набегания ударной волны на работу Шарнирно опертой балки в упругой стадии . 130
 3

Глава 5. Методы расчета с учетом динамического взаимодействия конструкций 138
 5.1. Расчетные схемы систем из дзух элементов . . 138
 5.2. Работа верхнего элемента в упругой стадии .139
 5.3. Работа верхнего элемента в пластической стадии . . 146
 Глава 6. .Численный метод динамического расчета стержневых элементов 149
 6.1. Общие положения 149
 6.2. Расчетные соотношения для стержня , 153
 6.3. Примеры расчетов .... 161
 Глава 7. Динамический расчет висячих конструкций 169
 7.1. Типы висячих покрытий и основные положения расчета отдельной
 ванты 169
 7.1.1. Висячие покрытия. 7.1.2. Уравнения движения гибкой нити.
 7.1.3. Статический расчет нити.
 7.2. Динамический расчет упругой нити 180
 7.2.1. Анализ уравнения движения нити. 7.2.2. Расчет нити с неподвижными концами. 7.2.3. Расчет нити с податливыми опорами.
 7.3. Вариационный метод расчета вантовых конструкций .... 198
 7.3.1. Основы метода. 7.3.2. Расчет отдельных вант. 7.3.3. Расчет сеток. 7.3.4. Расчет тонких упругих пластинок.
 7.4. Динамический расчет вант в пластической стадии . .210
 Глава 8. Расчет железобетонных конструкций на высокоинтенсивные
 ударные воздействия ... 218
 8.1. Экспериментальные данные о поведении железобетонных конструкций при интенсивных ударных воздействиях 218
 8.2. Особенности деформирования ... 233
 8.3. Местное действие удара на изгибаемые элементы . 234
 8.3.1. Балки. 8.3.2. Плиты.
 8.4. Общее действие удара на изгибаемые элементы . 250
 8.4.1. Балки. 8.4.2. Плиты.
 Глава 9. Динамический расчет несущих систем зданий и сооружений 290
 9.1. Расчетные динамические модели несущих систем ..... 290
 9.2. Динамический расчет плоских стержневых систем с распределенными параметрами .... 292
 9.3. Двухпролетная неразрезная балка 305
 9.4. Поперечные рамы одноэтажного производственного здания 312
 9.5. Поперечные рамы многоэтажного производственного здания 314
 Литература 319

ПРЕДИСЛОВИЕ
 Учебное пособие посвящено специальному разделу динамики сооружений, который в последнее время привлекает все большее внимание инженеров-проектировщиков и научных работников. Это объясняется тем, что взрывные и ударные нагрузки на конструкции и сооружения все чаще встречаются в различных областях строительства, нередко приводя к большому материальному ущербу и гибели людей.
 Специфика таких нагрузок, выражающаяся в высокой интенсивности и малой продолжительности действия, обусловливает ряд существенных особенностей поведения строительных конструкций пластические деформации, локальное разрушение, влияние скорости нагружения на прочностные и деформативные свойства материалов и т. п., что в свою очередь, приводит к необходимости разработки специальных подходов к динамическому расчету конструкций.
 Особенностью книги является то, что в ней рассмотрен широкий спектр особых динамических воздействий волны, возникающие при взрывах обычных и ядерных зарядов, газовоздушных смесей, удары, имеющие место в аварийных и других ситуациях, и т. п., а также изложение на современном уровне разнообразных методов динамического расчета, позволяющих с разной в зависимости от потребностей практики точностью получать необходимые решения.
 Книга восполняет значительный пробел, имеющийся в настоящее время в учебной литературе по строительным конструкциям.
 В книгу включены в основном собственные разработки авторов, вошедшие в ряд нормативных документов и справочную литературу.
 Недостаток литературы по этой актуальной проблеме затрудняет подготовку инженеров и аспирантов, отвечающую современным требованиям.
 5

Пособие будет полезно также инженерам-проектировщикам, решающим задачи расчета строительных конструкций на интенсивные динамические воздействия.
 Введение и гл. 2 и 3 написаны авторами совместно; гл. 1 написана Н. Н. Поповым; гл. 4, 5, 6, 9— Б. С. Расторгуевым; гл. 8 — А. В. Забегаевым; гл. 7 — Н. Н. Поповым и Б. С. Расторгуевым.
 Авторы выражают глубокую благодарность рецензентам: коллективу кафедры «Строительные конструкции» Всесоюзного заочного политехнического института зав. кафедрой д-р техн. наук, проф. Ю. В. Зайцев и д-ру техн. наук, проф. А. И. Цейтлину за ценные замечания и рекомендации,, способствующие улучшению книги.
 Авторы

ВВЕДЕНИЕ
 Кратковременные динамические нагрузки на строительные конструкции вызываются взрывными и ударными воздействиями.
 Взрывные нагрузки возникают вследствие действия ударной волны при взрыве ядерных или обычных боеприпасов, в результате аварий на предприятиях химической, нефтяной, пищевой и других отраслей промышленности, при взрывах газовоздушных и пылевоздушных смесей и т. п.
 Ударные нагрузки могут быть вызваны ударами снарядов, бомб, ракет и других объектов военной техники. Наряду с этим в последние годы постоянно возрастает число интенсивных ударных воздействий в гражданском, промышленном, гидротехническом, энергетическом строительстве как следствие аварийных ситуаций.
 Ниже рассмотрены основные особенности работы строительных конструкций главным образом, железобетонных при взрывных и ударных воздействиях.
 9 Взрывные нагрузки. Изучение взаимодействия волны взрыва с сооружением было начато с появлением взрывчатых веществ и направлено на определение расстояния от центра взрыва до преграды, на котором происходит разрушение сооружений, и расстояний, на которых сооружения не получают повреждений, представляющих опасность для людей.
 В результате проведенных обширных экспериментов были получены зависимости для расчета сооружений, расположенных в различных средах воздухе, грунте, воде, позволяющие решать эти задачи. Так, для расстояния от центра взрыва г, на котором взрывная волна наносит сооружению поражения заданной интенсивности, была предложена формула
 r kVc, В.1
 где С — масса заряда взрывчатого вещества, кг; k — коэффициент пропорциональности, принимаемый в зависимости от условий размещения и величины заряда, а также от предполагаемого характера повреждения.
 Эмпирический подход к указанной проблеме в значительной мере был вызван ее сложностью, отсутствием данных о параметрах взрыв-
 7

ных волн и их взаимодействия с сооружением, а также отсутствием теоретических основ динамического расчета конструкций. Тем не менее на определенном этапе полученные зависимости позволили решать практические задачи применительно к существовавшим конструктивным решениям сооружений. Зависимости типа В. 1 не утратили своего значения и в настоящее время. С их помощью оценивается степень повреждения зданий и сооружений, находящихся на заданном расстоянии от центра взрыва при производстве взрывных работ. Например, при взрыве открытого заряда массой С 10 т при k 400 сооружение не будет иметь повреждений, при k 100 наблюдаются случайные повреждения остекления, а при г 30 ... 40 произойдет полное разрушение остекления и частичное повреждение рам, дверей, легких перегородок.
 Параллельно с экспериментальным велось теоретическое изучение вопроса в части математического описания движения конструкций сооружений, испытывающих импульсивное воздействие. Основой для этого послужили методы решения уравнений колебаний упругих систем, разработанные выдающимися математиками XVIII ... XX вв. Одним из основоположников расчета конструкций на кратковременные динамические нагружения считается акад. А. Н. Крылов.
 В дальнейшем совместными усилиями советских и зарубежных ученых был достигнут значительный прогресс в этом направлении. Особенно интенсивно началась разработка методов расчета сооружений на действие взрывных нагрузок после второй мировой войны в связи с необходимостью проектирования надежных и экономичных убежищ, способных обеспечить защиту от ядерного оружия. К этому времени были получены зависимости для определения необходимых для расчета параметров этого типа взрывных волн интенсивность, продолжительность.
 Расчет конструкций строился исходя из дифференциальных уравнений динамического равновесия упругих систем. Например, необходимые расчетные параметры прогибы, усилия балок постоянного сечения могут быть найдены из решения дифференциального уравнения
 EI 2-М- «£ px,t, В.2
 дх dt н где у дс, t — динамический прогиб балкй; EI — изгибная жесткость сечения; т — погонная масса; р—действующая динамическая нагрузка.
 Для практических целей динамическая нагрузка заменялась эквивалентной статической, вызывающей в конструкции такие же усилия, как и динамическая. Величина ее определялась из выражения Рэкв kdp, где р — максимальное давление в взрывной волне; kd — динамический коэффициент, определяемый из решения дифференциального уравнения.
 Проведенные испытания железобетонных конструкций на действие взрывных нагрузок показали, что их фактическая несущая способность превышает теоретическую, определенную расчетом в упругой ста¬
 8

дии. Причина недооценки несущей способности в рамках модели идеально упругого тела состоит в том, что при интенсивных кратковременных нагрузках в большинстве конструкций возможно пластическое деформирование конструкций без обрушения.
 Динамический расчет с учетом упругой и пластической стадий работы связан со значительными математическими трудностями. Однако бблыиая часть их может быть преодолена при использовании предпосылок, основанных на модели жесткопластического тела. В этом случае полностью пренебрегают упругими деформациями. Конструкция считается недеформируемой, пока усилия в каком-либо сечении не станут равными предельному значению и не возникает возможность образования пластических деформаций. После §того начинается перемещение конструкции. Пластические деформации сосредоточены в пластических шарнирах или на участках конечной длины.
 Такая модель впервые была применена А. А. Гвоздевым при расчете балок и опертых по контуру плит на мгновенный импульс. В дальнейшем она была использована многочисленными исследователями при расчете арок, оболочек, мембран и т.п. Однако область приложения полученных решений ограничивается конструкциями из материалов, допускающих достаточно большие пластические деформации. Для железобетонных конструкций, пластическая составляющая деформаций которых относительно невелика, расчет в рамках модели жесткопластического тела приводит к существенным погрешностям и может применяться только для предварительной оценки прочности.
 В связи с этим возникла необходимость в разработке методов динамического расчета конструкций с учетом работы материала как в упругой, так и в пластической стадии. При разработке таких методов применительно к железобетону рассматривался комплекс вопросов, играющих наиболее важную роль при проектировании: определение внутренних усилий и перемещений; установление предельных состояний и способов их нормирования; расчет сечений.
 Наибольшее распространение получили методы, основанные на использовании диаграмм сопротивления. Эти диаграммы характеризуют прочностные и деформативные свойства железобетонных конструкций и их сечений при внешних силовых водействиях. Для изгибаемых элементов функцией сопротивления является зависимость изгибающего момента от прогиба или кривизны. Практически возможные случаи работы под нагрузкой изгибаемых железобетонных конструкций охватываются следующими диаграммами: упруго — идеально — пластиче¬
 ской с упрочнением или без упрочнения, диаграммой хрупко разрушающегося материала; криволинейной зависимостью.
 Наибольшее развитие получили методы расчета железобетонных конструкций, ‘армированных сталью с физическим пределом текучести, функция сопротивления которых представляется диаграммой Прандтля без упрочнения. Эта схема включает упругий и идеально пластический участки. Расчет конструкции в упругой стадии базиру¬
 9

ется на общих методах динамики упругих систем; основной его целью является получение начальных условий для последующих стадий.
 В пластической стадии конструкция может быть представлена системой, состоящей из «жестких» элементов, соединенных пластическими шарнирами зонами.
 Исходя из диаграммы идеального упругопластического материала получены формулы для расчета широкого класса конструкций: балок, плит, колонн, оболочек и т. п. Формулы экспериментально проверены и применяются в практике проектирования.
 В последние годы в связи с проблемой экономии металла в строительную практику внедряются арматурные стали, отличающиеся повышенной прочностью. Такие стали обладают малой деформативностью и применение их в сооружениях, рассчитываемых на кратковременною динамическую нагрузку, не допускалось вследствие опасности хрупкого обрыва арматуры и обрушения конструкции.
 Методы динамического расчета, основанные на использовании диаграммы Прандтля, оказались непригодными для оценки динамической прочности железобетонных элементов с высокопрочной арматурой, диаграмма сопротивления которых криволинейна. Проведенные в последние годы эксперименты с железобетонными элементами, армированными высокопрочной арматурой с предварительным натяжением и без него позволили обосновать целесообразность и выявить условия применения таких конструкций.
 Разработаны методы их расчета в приближенной и более точной постановке. В первом случае непрерывная диаграмма сопротивлеш.я М
 представляется кусочно-линейной функцией. Такая аппроксимация позволяет свести расчетный математический аппарат к ряду линейных дифференциальных уравнений, составленных для отдельных участков кривой. Более точный подход строится непосредственно на нелинейных уравнениях, универсальных аналитических методов решения которых, как известно, не существует. Поэтому расчетные формулы могут быть получены в замкнутом виде лишь для некоторых частных законов изменения динамической нагрузки во времени, например для внезапно приложенной постоянной нагрузки.
 Проводятся исследования железобетонных конструкций, в которых высокопрочная арматура применяется совместно с мягкими сталями. В этом случае даже при обрыве высокопрочной арматуры не произойдет обрушения конструкции вследствие большой деформативности мягких сталей.
 Одним из важнейших в динамических расчетах железобетонных конструкций является вопрос об установлении и способах нормирования предельных состояний. Расчет конструкций и сооружений на кратковременную нагрузку производится по первой группе предельных состояний. Конкретная формулировка дается с учетом свойств материалов, видов конструкций, исходя из эксплуатационных требований, предъявляемых к сооружениям. При этом рассматриваются три состояния,
 10

описывающие работу конструкции во всем диапазоне прочностных свойств, и разработаны методы их нормирования с помощью углов раскрытия в пластических шарнирах, перемещений, а также деформаций бетона и арматуры.
 Развитие методов динамического расчета железобетонных конструкций неразрывно связано с изучением поведения арматуры и бетона при скоростных нагружениях. В настоящее время влияние скорости деформирования на прочностные свойства бетона и арматуры учитывается двумя способами.
 Первый способ как наиболее простой вошел в практику проектирования. Он основан на использовании в расчетах динамических сопротивлений материалов, значения которых находят умножением статических сопротивлений на коэффициент динамического упррчнения.
 Второй способ, более отвечающий физической сущности явления, строится на введении в расчет аналитических зависимостей, связывающих механические характеристики материалов со скоростью деформирования. Способ более сложен и, как правило, требует применения ЭВМ.
 Все рассмотренные методы являются достаточно простыми; вместе с тем они несвободны от недостатков, а поэтому не впрлне соответствуют современному уровню знаний. Причина такого несоответствия кроется в несовершенстве принятых исходных предпосылок, к основным недостаткам которых прежде всего относятся: а использование идеализированных диаграмм деформаций, б полная предопределенность формы перемещений конструкции в упругопластической и пластической стадиях. С помощью этих методов получаются лишь параметры, характеризующие заданные предельные состояния прогибы и т.п., для наиболее простых расчетных случаев, а работа арматуры и бетона в процессе деформирования конструкций остается вне поля зрения проектировщика.
 В настоящее время предпринимаются попытки к разработке методов расчета конструкций с более полным учетом специфических особенностей железобетона и его деформирования при кратковременном воздействии динамических нагрузок большой интенсивности. При построении этих методов исходят из действительных диаграмм деформирования бетона включая нисходящую ветвь и арматуры и, используя закон плоских сечений, получают нелинейные дифференциальные уравнения.
 Подобный подход к решению динамических задач позволяет получить полную информацию о напряженном состоянии элемента с момента приложения нагрузки до его разрушения.
 Как видно из приведенного обзора, к настоящему времени разработаны инженерные методы динамического расчета железобетонных элементов, способные в той или иной мере удовлетворить нужды проектирования. Однако практика их применения показала, что несущая способность, определенная из расчета, во многих случаях оказывается существенно ниже фактической величины, полученной из натурных динамических испытаний конструкций в составе сооружения. ч Причина
 11

такого несоответствия состоит в следующем. При расчете введением упругих и пластических связей сооружение расчленяется на отдельные конструктивные элементы. Для каждого из них выполняется динамический расчет описанными выше методами, не учитывающими совместной работы конструкций в сооружении. Вне поля зрения оказывается податливость опор рассматриваемого элемента, возникающая вследствие деформативности ниже расположенных конструкций и грунтового основания.
 Между тем расчеты показывают, что перемещения прогибы элемента на податливых опорах мягкие грунты на 20 ... 25 меньше, чем перемещения того же элемента на несмещаемых опорах. Кроме того, на прочности железобетонных балочных конструкций благоприятно сказывается ограниченность горизонтального смещения опорных сечений, в результате которой возникает распор. Однако вместе с повышением прочности распор существенно снижает деформативность конструкций, поэтому его влияние при динамических нагрузках меньше, чем при статических.
 В настоящее время происходит переход от изучения деформирования отдельных конструкций к изучению систем конструктивных элементов, например, несущих систем зданий и сооружений промышленного назначения, испытывающих действие внутренних и внешних взрывных нагрузок. Вследствие сложности проблемы такого расчета разрабатываются приближенные и уточненные методы. В приближенных методах сооружение рассчитывается по плоской схеме, используется приведение к системам с конечным числом степеней свободы. В уточненных методах сооружение рассматривается как система с распределенными параметрами, учитывается пространственная работа здания.
 • Ударные нагрузки. Основными отличиями ударных воздействий от взрывных является взаимодействие ударяющего тела с конструкцией, ограниченная площадь приложения нагрузки, малое время действия, волновые процессы, возникающие в конструкции, и т. п. В соответстствии с этим при расчетах рассматривают местное и общее действие удара. Местное действие характеризуется возникновением локальных деформаций и разрушений проникание, в том числе с образованием воронки, откол бетона с тыльной поверхности конструкции, пробивание. Общее действие сопровождается значительными общими деформациями, которые могут привести к обрушению.
 Ввиду большой сложности учета явлений, сопровождающих местное действие удара и связанных главным образом с распространением волн, для расчета используют в основном эмпирические зависимости.
 Теоретические решения получены для весьма ограниченного круга практических задач и чаще всего базирующихся на рассмотрении одномерных волн. Основой для расчетов в этом случае является волновое уравнение

где и — смещение частиц; с0 l — скорость распространения уп-
 V Ро
 ругих волн; р0 — начальная плотность материала конструкции; Е — модуль упругости среды.
 Для расчета на общее действие удара обычно используются общие методы динамики сооружений. Одной из первых пригодных для практического использования зависимостей явилась формула, предложенная X. Коксом на основе баланса кинетической и потенциальной энергии в середине прошлого века:
 где тах— максимальный прогиб шарнирно опертой балки, загруженной ударной нагрузкой в середине пролета; yst — статический прогиб той же балки от сосредоточенной силы; Н — высота падения груза.
 Формула В.З была уточнена С. П. Тимошенко, который учел потерю энергии при абсолютно неупругом ударе ударником массой Ms, а также влияние массы балки Мь
 Формула В.4 до настоящего времени нередко используется в расчетах конструкций. Однако это решение, позволяя установить максимальный упругий прогиб, не дает возможности найти усилия в сечениях, что необходимо знать для оценки прочности конструкции, а также прогибы и скорости точки балки в процессе ее деформирования. Поэтому наряду с энергетическим использовались и другие подходы. Так, В. Сен-Венан впервые рассмотрел колебания упругой балки при действии сосредоточенной динамической силы на основе технической теории изгиба.
 В дальнейшем это решение пытался усовершенствовать Релей, принявший во внимание инерцию поворота сечений, однако эта попытка оказалась недостаточной, чтобы-сблизить теоретические и опытные результаты.
 Более детально вопросы удара по балкам изучались в работах С. П. Тимошенко. В одной из них помимо инерции поворота был учтен взаимный сдвиг сечений, что позволило отразить волновую природу распространения возмущений в упругой балке, загруженной сосредоточенной кратковременной динамической силой:
 У так У st Ь V yst “Ь 2 Hysfi
 В.З
 У max yst
 ylt 2 Hyst
 35 Ma
 В-4
 В.5
 13

где р и А — радиус инерции и площадь поперечного сечения балки; Е, G — модули упругости и сдвига материала балки; —момент инерции сечения; т — погонная масса балки; k — коэффициент, зависящий от формы сечения. Впоследствии этот подход был распространен Миндлиным на плиты.
 С. П. Тимошенко предложил также учесть местные деформации в месте контакта ударника с упругой балкой. Для этой цели км был использован контактный закон Г. Герца, связывающий контактную силу с взаимным смещением двух упругих тел. В результате получено уравнение, которое носит название уравнение Тимошенко:
 где v0 — начальная скорость удара; Р — контактная сила; а
 Из формулы В. 6 находят зависимость контактной силы Р от времени, которую в дальнейшем используют для определения усилий и перемещений.
 Решение уравнения В.6 в пределах упругой работы материала конструкции и ударника дает результаты, близкие к опытным. Таким образом, учет местных деформаций «реабилитирует» техническую теорию изгиба.
 К сожалению, разработанные методы расчета на удар конструкций из идеальных материалов неприемлемы для железобетонных конструкций, материал которых далек от идеального и обнаруживает под нагрузкой нарушение сплошности трещины, различное влияние скорости деформирования на работу бетона при растяжении и сжатии и т.п.
 Несмотря на важность указанной проблемы, теоретические методы, учитывающие особенности деформирования железобетона, до настоящего времени отсутствовал. В последние годы проведены значительные экспериментальные исследования, которые предоставляют физическую основу для построения инженерных методов.
 t 3,5...
 оо
 i2
 i2 л2 a t —1 dti
 В.6
 VEIm; I — пролет балки.

ОСНОВНЫЕ БУКВЕННЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ
 ф Внешние нагрузки
 g — статическая распределенная нагрузка р динамическая распределенная нагрузка Р — динамическая полная нагрузка F — сосредоточенная динамическая сила Ар — избыточное давление во взрывной волне Ms — сосредоточенная масса ударника v0 — начальная скорость удара в момент начала контакта ударника с конструкцией а — диаметр ударника или контактной зоны ф Усилия, напряжения и деформации в сечениях элементов М — изгибающий момент N,Q — продольная и поперечная силы C7.S, — нормальные напряжения в арматуре и бетоне
 еь, 8s — относительные деформации бетона и арматуры ф Характеристики материалов
 6 Rbd — расчетные статическое и динамическое сопротивление бетона сжатию
 Rbt Rbtd — расчетные статическое и динамическое сопротивление бетона растяжению
 Js.eb as,u — предел упругости, временное сопротивление арматуры °у, о Oy,d — статический и динамический пределы текучести арматуры Rs,Rsd— расчетные статическое, и динамическое сопротивление арматуры растяжению
 Еъ £s — начальный модуль упругости бетона при сжатии и растяжении и модуль упругости арматуры Ebd — динамический модуль упругости бетона ф Динамические и статические характеристики конструкции
 т — погонная масса
 со — круговая частота собственных колебаний Bt D — изгибная и цилиндрическая жесткости tj, w — поперечные перемещения и — продольные перемещения к — 1 г — кривизна К, U — кинетическая и потенциальная энергии конструкции W — работа внешней силы
 I — пролет конструктивного элемента А — площадь сечения, передачи местной нагрузки Ь — ширина сечения стержневого элемента h — высота сечения стержневого элемента h0 — рабочая высота сечения стержневого элемента 6 — толщина плиты или оболочки И ц — коэффициент процент армирования
 ф — угол раскрытия пластического шарнира

ГЛАВА 1
 КРАТКОВРЕМЕННЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ НАГРУЗКИ НА СООРУЖЕНИЯ
 1.1. Общие положения
 • Динамической называют такую нагрузку, при действии которой силы инерции, тела, получающего перемещения, приобретают существенное значение и должны учитываться расчетом наряду с другими силами, действующими на конструкцию. По характеру действия динамические нагрузки разделяют на периодические и непериодические.
 • Периодические нагрузки действуют на конструкцию многократно и изменяются чаще всего по гармоническому закону. Такие нагрузки могут быть вызваны действием различных механизмов машин, станков и т. п., располагаемых в сооружениях, а также вблизи них. Расчет на эти нагрузки сводится обычно к определению уровня колебаний и исключению случаев резонанса. При этом, как правило, допускается работа конструкции только в упругой стадии.
 • Особую категорию динамических воздействий составляют сейсмические нагрузки, возникающие в сооружении при колебаниях основания.
 • В отличие от периодических кратковременные динамические нагрузки действуют на конструкцию обычно однократно и характеризуются высокими давлениями и малой продолжительностью действия от миллисекунд до нескольких секунд. В гражданском и промышленном строительстве кратковременные динамические нагрузки возникают главным образом под влиянием взрывных и ударных воздействий взрывные волны, удары, вызванные падением тяжелых тел на перекрытия зданий и т. п.. Результат таких воздействий на конструкцию зависит в общем случае от взаимодействия конструкций с взрывной волной, ударяющим телом и т. п. Расчет конструкций на эти воздействия обычно производится с целью обеспечения их прочности, При этом во многих случаях в конструкции могут быть допущены значительные пластические деформации.
 В дальнейшем рассматриваются непериодические интенсивные кратковременные динамические нагрузки взрывные и ударные, с которыми в последние годы все чаще приходится иметь дело проектировщикам. Расчет на эти нагрузки в значительно меньшей степени освещен в литературе, чем расчет на периодические воздействия.
 16

1.2. Взрывные нагрузки
 Кратковременные динамические нагрузки во многих случаях возникают в результате действия на конструкцию взрывных волн, распространяющихся в воздухе, грунте, воде. Взрывные волны обычно образуются вследствие взрыва.
 • Взрывом называют процесс быстрого выделения энергии, вызванный внезапным изменением состояния вещества или изменением его параметров. Состояние вещества изменяется в результате быстрого протекания химической взрывчатое вещество или ядерной реакции. Такой процесс называют детонацией.
 • Взрывные нагрузки характеризуются законом изменения давления во времени. При этом их основными параметрами являются максимальное давление, время его нарастания и продолжительность действия нагрузки.
 Взрывные волны, возникающие при детонации, распространяются в виде ударных волн, на фронте которых скачкообразно изменяется давление, плотность, температура, скорость движения частиц среды. Ударные волны в воздухе возникают также при взрыве баллонов со сжатым газом, паровых котлов и т. п. В грунте волны распространяются в виде волн сжатия, в которых происходит постепенное изменение этих параметров. Параметры волн давление, время действия, скорость распространения и т. п. зависят от источников энергии взрыва, массы заряда, вида окружающей среды воздух, грунт, вода, интенсивности протекания химической реакции режима горения и др.
 Если рассматривать газовоздушные смеси ГВС, то согласно современным представлениям различают два режима горения: дефлаграционный и детонационный.
 • Дефлаграционное горение чаще всего может иметь место во взрывоопасных производственных зданиях в результате воспламенения смесей горючих газов, паров и твердых веществ с воздухом. Распространение фронта пламени в однородной горючей среде при отсутствии преграды происходит вследствие послойного разогрева по механизму теплопроводности и диффузии от продуктов сгорания со скоростью, не превышающей 15 ... 20 мс, т. е. сравнительно малой по сравнению со скоростью звука. Учитывая, что при дефлаграционном горении ГВС во взрывоопасных зданиях так же, как и при денотации, могут наблюдаться разрушения, его принято называть взрывным горением.
 • При детонационном горении взрыве ГВС скорость распространения фронта пламени составляет 1500 ... 2500 мс. На фронте пламени образуется ударная волна, характеризуемая скачкообразным изменением параметров. Механизм горения принципиально отличается от дефлаграционного: инициирование химической реакции осуществляется путем быстрого разогрева в результате адиабатического сжатия среды. В узком слое перед фронтом пламени имеет место аналогичный режим. При выходе детонационной волны, на фронте которой давление
 17

достигает 1,5 ...2,0 МПа, на границу с атмосферой в последней генерируется воздушная ударная волна с давлением на фронте 1,0 ... 1,5 МПа. По мере ее распространения в атмосфере давление будет падать и скорость ее фронта, которая была сверхзвуковой, снижаться до скорости звука.
 Характер формирования взрывной волны отличается при взрывах обычных В В и взрывном горении ГВС. В связи с этим их параметры в том и другом случаях будут существенно отличны.
 1.2.1. Параметры воздушной ударной волны и нагрузки от нее. Как уже отмечалось, воздушная ударная волна образуется при детонации твердого взрывчатого вещества, ГВС, ядерном взрыве, взрыве баллонов со сжатым газом, паровых котлов и т.п.
 Основной задачей расчета является определение параметров ударной волны на расстоянии R от центра взрыва при заданной массе заряда С или энергии взрыва. К таким параметрам относятся рис. 1.1 перепад давления на фронте ударной волны Л?ф, т. е. превышение давления над атмосферным р0 Арф рф — Pq, время действия фазы сжатия т, в течение которого текущее давление в волне pt превышает атмосферное pt Ро амплитуда фазы разрежения Аее длительность т_. Кроме того, необходимо уметь рассчитывать изменение давления во времени Apt. Значение давления Арф позволяет по теоретическим зависимостям определить скорость распространения ударной волны D мс, скорость движения сжатого воздуха на фронте иф мс, его температуру Гф, плотность воздуха рф кгм3, скорость звука аф. Кроме того, при обтекании ударной волной сравнительно небольших преград на лобовой их части происходит торможение потока снижение скорости мф до нуля. В результате давление здесь дополнительно к Арф возрастает на величину А?ск скоростной напор. Эта величина также рассчитывается теоретически.
 Определение А?ф МПа при взрыве тротила массой С кг на расстоянии R м осуществляется по экспериментальным зависимостям, полученным на основе теории подобия:
 а при воздушном взрыве
 Арф 0,084 VCЯ0,271 0,7 СЯ»; 1.1
 т 1,5.10-31С.К£. 1.2
 Импульс давления в фазе сжатия МПа-с, отнесенный к поверхности фронта волны площадью 1 м2:
 i 4KCtf; 1.3
 Рис. 1.1. График зависимости давления во времени в фиксированной на местности точке
 18

б при наземном взрыве
 Д рф 0,1 Vc R 4- 0,43 VC IR 1,4 CR3; 1.4
 т1,7-10-aVCIR; 1.5
 t 6,31 CR. 1.6
 Формула 1.4 графически представлена на рис. 1.2.
 Из формул 1.1 и 1.4 видно, что при наземном взрыве Д?ф, т и i больше, чем при воздушном. Это объясняется тем, что при наземном взрыве энергия распределяется в полусфере, тогда как при воздушном— в сфере. Формулы 1.4, 1.5 и 1.6 получены при подстановке в 1.1,
 1.2, 	1.3 удвоенной массы заряда, т. е. 2 С.
 Для фазы разрежения расчетными зависимостями являются для наземного взрыва
 А р. -0,031С?; 1.7
 т_0,161С. 1.8
 Отметим, что т_ всегда существенно больше т. Для ВВ, отличающихся от тротила, формулы 1.1 ...1.8 также справедливы, если величину С в них умножить на коэффициент а, равный отношению удельной энергии этого ВВ к удельной энергии тротила. Так, для аммонитов а « 0,8 ...1,2, для гексогена а « 1,4.
 Для ГВС аж 0,7 ...1,0 в зависимости от характеристики смеси. При этом формулы справедливы для таких R, где Арф 0,5 МПа.
 Для ядерного взрыва С принимают равным половине тротилового эквивалента ядерного заряда. Зная Л?ф, по теоретическим зависимостям рассчитывают:
 D 340V1 8,ЗДрф; 1.9
 иф 8-106 АрфDi 1.10
 Rjm
 Рис. 1.2. График зависимости избыточного давления на фронте ударной волны Арф от мощности С и расстояния R до центра наземного взрыва
 19

рф 1,25 6Л?ф 0,72Арф 0,72; 1.11
 Тф 288 1,0 10 Дрф Дф 0,726А?ф 0,72; 1.12
 аф 340 Тф288; 1.13
 Д?ск 2,5 Арф1Арф 0,72. 1.14
 Результаты расчета- по указанным формулам приведены в табл. 1.1.
 • При подходе ударной волны с давлением Арф к жесткой непроницаемой преграде стенке происходит ее отражение, в результате чего навстречу падающей волне будет распространяться отраженная удар-
 Таблица 1.1. Параметры на фронте воздушной ударной волны
 д рф—рфр°’ МПа
 D, мс
 V мс
 Рф, кгм3
 V к
 V мс
 РСК. МПа
 0,000
 340
 0
 1,250
 288
 340
 0
 0,001
 341
 2,3
 1,258
 289
 341
 3,31 ю-6
 0,01
 354
 22,6
 1,335
 296
 345
 3,42-10-4
 0,02
 367
 43,6
 1,42
 303
 349
 1,34-10-3
 0,03
 380
 63
 1,5
 310
 353
 2,99-10-3
 0,04
 392
 82
 1,58
 316
 356
 5,16.10-3
 0,05
 404
 99,2
 1,65
 323
 360
 7,58-т-3
 0,06
 426
 115
 1,73
 329
 364
 0,0109
 0,08
 439
 146
 1,88
 341
 371
 0,0196
 0,1
 460
 200
 2,14
 364
 383
 0,0417
 0,12
 480
 200
 2,14
 364
 383
 0,0417
 0,14
 500
 224
 2,27
 375
 389
 0,0558
 0,16
 519
 247
 2,39
 385
 394
 0,0703
 0,18
 537
 268
 2,50
 395
 400
 0,0886
 0,2
 555
 287
 2,61
 405
 404
 0,106
 0,225
 576
 313
 2,74
 418
 411
 0,132
 0,25
 596
 336
 2,86
 431
 417
 0,159
 0,275
 616
 358
 2,99
 442
 423
 0,186
 0,3
 635
 378
 3,09
 455
 528
 0,219
 0,35
 672
 417
 3,29
 480
 439
 0,285
 0,4
 707
 453
 3,49
 503
 450
 0,359
 0,45
 740
 486
 3,66
 527
 461
 0,427
 0,5
 772
 518
 3,81
 552
 471
 0,507
 0,55
 802
 548
 3,95
 575
 481
 0,593
 0,6
 832
 576
 4,08
 600
 491
 0,673
 0,7
 888
 630
 4,32
 649
 511
 0,858
 0,8
 940
 680
 4,53
 697
 530
 1,05
 0,9
 990
 727
 4,72
 742
 546
 1,25
 1,0
 1040
 772
 4,89
 787
 562
 1,4
 2,0
 1430
 1120
 5,85
 1250
 710
 3,66
 3,0
 1730
 1380
 6,29
 1720
 832
 6,04
 4,0
 1990
 1610
 6,66
 2180
 936
 8,46
 5.0
 2220
 1800
 6,72
 2650
 1030
 10,95
 20

ная волна. Ее параметры рассчитывают из условия, что на преграде, а следовательно, на ее фронте скорость течения воздуха равна нулю. Перепад давления на ее фронте Лр0тр “ Ротр—Ро вблизи преграды и на самой стенке становится в 2 ... 8 раз больше Арф в зависимости от Д?ф. Определение A?0fp МПа осуществляют по теоретической зависимости
 А отр 2Арф 6Д?фД?ф0,72. 1.15
 • Перейдем теперь к рассмотрению вопроса об определении нагрузки на здания. Для этого прежде всего необходимо знать, как меняется давление в ударной волне во времени Ар . Это давление с достаточной
 для практики точностью для фазы сжатия аппроксимируется зависимостью
 лр лрф I—. 1-16
 п 1,0 Д?ф3.
 На рис. 1.3 показан закон изменения Ар t для волны различной интенсивности. Для не слабых волн изменение давления резко отличается от линейного. Основное снижение давления происходит вблизи фронта ударной волны. В таком случае при расчете сооружений целесо¬
 21

образно линеаризовать нагрузки, т. е. вместо формулы 1.16 использовать зависимость
 Др0 Арф 1 — 0, 1.17
 где 0 —эффективное время действия ударной волны рис. Г.4.
 Если максимальная деформация конструкции наступает в конце фазы сжатия или после ее окончания, то 0 определяется из условия равенства импульсов давлений, изменяющихся соответственно, согласно законам 1.16 и 1.17 сравните на рис. 1.4 кривые и 2. Тогда
 0 2тл 1. 1.18
 Иногда полученное из расчета время достижения конструкцией, максимального перемещения значительно меньше на порядок и больше времени т. В этих случаях принимают, что давление изменяется по касательной к действительной кривой Ар t в точке t 0 кривая 3 на рис. 1.3. Тогда эффективное время
 Рис. 1.4. График изменения давления ударной волны
 — действительная кривая; 2 — равновеликая по импульсу; 3 — образованная касательной к действительной кривой
 0 тл.
 1.19
 Нагрузка на элементы стены здания будет зависеть не только от параметров волны Арф и 0, но и от геометрических размеров самого здания: высоты Я, ширины В и длины L.
 При набегании волны на здание будет происходить как бы постепенное «погружение» его в волну. Характерные этапы рассмотрены ниже рис. 1.5:
 • Отражение ударной волны от передней стенки. При этом давление на ней мгновенно поднимается до Аотр рис. 1.5, а; 1.6По формуле
 а II
 ЛРе
 1
 Г Рр
 МогеТ
 , Рог
 8
 Арсбт_
 ДРу
 Дротр
 APq
 Рис. 1.5. Схемы взаимодействия ударной волны взрыва с сооружением:
 а — начало взаимодействия; б — обтекание сооружения ударной волной; в — погружение сооружения в ударную волну
 22

1.17 с заменой Дрф на Д?0тр определяют изменение во времени давления отражения Д7отр.
 О Переход к режиму обтекания волной передней стенки. Это вызвано распространением от границ стенки волны разрежения «разгрузки». Давление при этом постепенно снижается от Д?0бт Д° АРобт Д?ф Л?Ск рис. 1.5, б, 1.6. Время установления режима обтекания
 и«2,5Яаф 1.20
 где Н — меньшая из величин; Н или В2.
 Изменение Д?обт во времени, т. е. Д?0бт 0 рассчитывают по формуле 1.17 с заменой Дрф на Д?0бт Характер изменения нагрузки на переднюю стенку соответствует линии ABC на рис. 1.6.
 Рис. 1.6. График зависимости давления на фронтальной стене преграды конечных размеров от времени пунктиром показано отражение от бесконечной преграды
 Рис. 17. График зависимости давления на тыльную стену преграды от времени
 • Нагружение волной боковых стенок и перекрытия рис. 1.5, б. Принимается, что на них действует ударная волна с давлением на фронте Арф и время нагружения бок LID.
 • Затекание ударной волны за тыльную стенку рис. 1.5, в и 1.7. Оно начинается через время бок LID и заканчивается ко времени
 ылбокзат-5-, 1-21
 где Н равно наименьшему: Н или В2.
 Максимальное давление, действующее на тыльную стенку, приблизительно равно Д?ф. Изменение нагрузки на заднюю стенку характеризуется линией А1 В1 С на рис. 1.7.
 Рассмотренный характер распределения давления на стенки здания справедлив для так называемой «длинной» ударной волны. Это такая
 23

волна, эффективная длина которой, равная D0, существенно больше линейного размера здания L D0L 10. Это условие выполняется только при ядерном взрыве. При взрыве обычных ВВ или ГВС длина ударной волны D0 соизмерима или даже меньше L, в связи с чем необходимо учитывать, что интенсивность волны вблизи задней стенки меньше, чем у передней, т. е. Д?ф С Л?ф. Это происходит потому, что дополнительное расстояние L, пройденное волной, будет теперь соизмеримо с расстоянием от центра взрыва ?, в связи с чем на этом участке будет происходить естественное снижение амплитуды волны.
 Для определения Д?ф, т_, V в зоне задней стенки необходимо в формулы 1.1 ... 1.6 подставить вместо R величину ?? L. На боковых стенках и перекрытии давление от Арф до Л?ф можно приближенно принять меняющимся по линейному закону.- По значению Дрф с помощью формулы 1.16 определяют показатель степени л, а с помощью формулы 1.18 или 1.19 для ударной волны в зоне задней стенки с давлением Ар рассчитывают 0. Так как Ар то
 6 0.
 На рис. 1.8 дан совмещенный график нагрузок на переднюю линия ABC и заднюю линия АВС стенки здания. Разность нагрузок будет характеризовать сдвигающие усилия, действующие на здание.
 Изложенная методика расчета давлений и нагрузок на стенки здания хотя и является упрощенной, но позволяет с достаточной для практики точностью спроектировать здание, обладающее необходимой дадежностью, в условиях, когда на него могут действовать воздушные ударные волны. В реальных условиях характер воздействия волны более сложен. Так, через проемы окна, двери и т. п. будет происходить
 24

затекание волны внутрь помещения. При необходимости это может быть учтено с помощью существующих расчетных пособий по воздействию воздушных ударных волн на сооружения.
 1.2.2. Характер изменения давления и нагрузки при горении ГВС в помещении.
 • Характерной особенностью горения ГВС является тот факт, что фронт химической реакции, т. е. фронт горения в отличие от детонации, распространяется со скоростью существенно меньшей, чем скорость звука. Это означает, что выделение энергии происходит весьма медленно. Такое горение называют дефлаграционным. Основными характеристиками такого горения являются скорость нормального нетурбулизйрованного горения смеси ин и степень расширения продуктов сгорания е, характеризующая увеличение объема сгоревшего газа по сравнению с первоначальным объемом смеси при атмосферном давлении за счет роста температуры. В свою очередь, ин и е зависят от концентрации горючей составляющей в смеси. Наибольшие значения ин и е достигаются при концентрации, близкой к стехиометрической. Для большинства ГВС, характерными являются такие величины: ин — 0,25 ... 0,5 мс; е 6 ... 8. При горении ГВС в замкнутом и полузамкнутом объеме помещении, процесс можно полагать квазистатическим. Это означает, что во всех точках пространства кроме зоны, примыкающей к отверстиям в наружном ограждении давление? t в рассматриваемый момент времени будет одним и тем же, и оно зависит только от времени. Это обусловлено сравнительно небольшими скоростями движения газовой среды по сравнению со скоростью звука в ней. При таком соотношении любое возмущение на фронте пламени т. е. выделение энергии, успевает за короткий срок несколько раз пробегать расстояние от фронта до стенки, выравнивая во всех точках давление. Характерная скорость движения потока ГВС перед фронтом пламени w определяется соотношением w — а е — 1 «н, а видимая скорость пламени — ипл агиНу т. е. близка к w. Входящая в эти зависимости величина а является коэффициентом интенсификации горения. Он характеризует увеличение скорости горения ГВС по сравнению с ии в связи с турбулизацией потока перед фронтом пламени при обтекании им всевозможных преград колонн, оборудования и т.п., а также в связи с локальным искривлением самого фронта горения пламени автотурбулизация. Диапазон изменения а для помещений цехов широк, а 2,0... 15,0.
 • Рассмотрим вначале физическую сущность процесса повышения давления при горении ГВС в замкнутом сферическом объеме при точечном центральном зажигании. Вначале пламя распространяется со скоростью ипп — агин. За время t пламя распространяется на расстояние от центра г ипл t агип t. При этом площадь фронта горения будет Аил -• 4яг2 4лаен„02- За промежуток времени dt сгорит объем ГВС dV0 Апла uHdt. В результате повышения температуры при горении
 Написано проф. А. В. Мишуевым.
 25

гТ77тТтТ
 Рис. 1.9. Схема процесса взрывного горения при точечном центральном зажигании
 этот объем увеличится в е раз и составит dVr —■ edV0 рис. 1.9. Тогда приращение объема газов за время dt составит dV dVr — dV0 или dV asul е2 е — 1 t2dt. Расширение объема dV0 до величины dUr ed,V0 приведет к сжатию остального как сгоревшего, так и несгоревшего газа, повышая в нем давление пропорционально объему dV, т. е.
 dp __ у dV Р V
 - — у a3 Uh е2 е— I2 dt,
 Уо
 1.22
 где у — показатель адиабаты газа; у « 1,3.
 Если приближенно положить, что все величины, входящие в формулу 1.22, постоянны практически они меняются за время горения, то уравнение 1.22 можно проинтегрировать. При этом получим, что нарастание давления от р0 до максимальной величины ?тах, достигаемой к концу горения при г г0, происходит по кубическому закону
 Ар О
 А Ртах
 : Р 0 — Ро Ртах
 —Ро _L3 С Ро Wo
 где р t — текущее давление в момент рис. 1.10; t0 — время окончания горения.
 1.23
 времени t 0 t0
 1.24
 t0 « W Vоа е «„.
 Максимальное давление в замкнутом объеме помещении
 Ртах Ро УН Ро е— 1; 1.25 Рта х Ртах Ро У 1 3,
 где х UrV0 — степень загазованности помещения, т. е. отношение объема горючей смеси Vr к свободному за вычетом объема преград объему помещения V0. Отметим, что если
 Л , 1П г . бы в замкнутом объеме происходило
 Рис. 1.10. График изменения дав- jl
 ления при взрывном горении во не Дефлаграционное горение, а дето-
 времени нация, то давление во всем объеме
 26

после нескольких пробегов волны опять установилось бы равным Ртах, только время было бы в несколько сотен раз меньше, чем t0.
 ■ Таким образом, основной особенностью характера изменения давления в помещении при горении ГВС является постепенное и сравнительно медленное нарастание давления до максимального по одному и тому же закону во всех точках пространства. При детонации же ГВС давление поднимается на фронте мгновенно. При этом во всех точках оно разное и только после нескольких пробегов волны давление бсреднится и станет одинаковым и равным рту т. е. той же величине, что и при горении. Для большинтва ГВС характерным значением ртах при jt 1,0 является величина рт 0,7 ... 1,0 МПа, т. е. ртах в 7 ... ... 10 раз превышает атмосферное давление.
 Такое давление создает нагрузку, существенно превышающую несущую способность конструкций стен, перекрытий и т. п. промышленных и тем более обычных зданий. Очевидно такое большое давление допускать нельзя. Поэтому при проектировании промышленных зданий со взрывоопасными производствами предусматривается ряд конструктивных и планировочных мероприятий, направленных на предупреждение возможности возникновения взрыва. Этот вопрос решается прежде всего при разработке технологического процесса производства. Однако в случае, когда та или иная степень вероятности взрыва сохраняется, для снижения нагрузки необходимы строительные мероприятия. Основной их целью является снижение давления при взрывном горении ГВС до безопасного для людей и конструкций уровня. Это давление избыточное принято называть допустимым и обозначать РДои.
 Значение ДРдоп определяется назначением и конструктивными особенностями здания и в большинстве случаев составляет 3... 5 кПа. Но поскольку А?д0п в 100 ... 300 раз меньше избыточного давления Д?тах достигаемого в случае, когда вся энергия при горении ГВС остается в помещении, встает вопрос о том, какой принцип строители должны использовать, чтобы достичь столь внушительного снижения давления. Этим принципом является отвод энергии в процессе горения ГВС за пределы помещения, т. е. в окружающую атмосферу. Для этого необходимо в наружных ограждениях здания иметь такое количество отверстий, которые могли бы обеспечить пропуск требуемого количества как сгоревшего, так и холодного газа. Эти отверстия принято называть сбросными.
 _ Для обеспечения давления в помещении АрД0П Па объем истекающего в атмосферу газа за время горения t0 должен в 1... е раз превышать свободный объем помещения V0 м8. Расчетной зависимостью для определения потребной площади сбросных отверстий А0 м2, при которой в помещении избыточное давление не превысит рД0П, является
 Л«4У2заЫнре_1д. 1.26
 Формула 1.26 справедлива при А?доп 20 кПа. Здесь р — плотность газов, истекающих из сбросных отверстий, кгм3.
 27

Для помещения, линейные размеры которого , В, L близки друг к другу, р принимают равной плотности для холодной смеси, р0 1,25 кгм3. Для вытянутых помещений LУНВ 10 и равномерного распределения сбросных отверстий на наружном ограждении через некоторые отверстия будут истекать продукты сгорания с плотностью р0е, через другие — холодная смесь с плотностью р0. При этом расчетная эффективная плотность газов р может быть оценена зависимостью
 Р° . Р0 W УШ 12 , ГГ7Ч
 Р —р«—г -4—1 ,27
 Если сбросные отверстия сосредоточены в одном конце вытянутого помещения, то при зажигании ГВС вблизи отверстий р р0е, при зажигании у глухого конца р р0-
 При большой вытянутости помещения LrНВ 10 процесс уже нельзя считать квазистатическим, он будет волновым, и описывается уже другими уравнениями.
 Входящий в зависимость 1.26 коэффииент интенсификации а зависит от множества факторов. Приближенно он может быть вычислен по формуле
 Д л.
 а 2а0е15 А , 1-28
 где а0 — коэффициент интенсификации, обусловленный турбулизацией горения при перетекании газа из одного помещения в другой через существующий между ними проем с площадью отверстия со0; 2М— сумма площадей, наружной поверхности преград в помещении колонны, станки, трубы, баки и т. п.; А — суммарная площадь стен
 наружных, пола и потолка помещения. Коэффициент зависит от зна¬
 чения о0со, где о — площадь поперечного сечения стены с проемом, разделяющей смежные помещения. Его определяют с помощью табл. 1.2.
 Формула 1.28 справедлива при а 15.
 Таблица 1.2. Значения коэффициента интенсификации
 ШоСО
 а0
 00©
 ®0
 сооа»
 а0
 0
 1,0
 0,10
 1,70
 0,40
 1,10
 0,005
 1,25
 0,15
 1,50
 0,45
 1,07
 0,010
 1,50
 0,20
 1,35
 0,50
 1,04
 0,025
 2,1
 0,25
 1,25
 0,60
 1,0
 0,050
 1,95
 0,30
 1,20
 0,80
 1,0
 0,075
 1,80
 0,35
 1,15
 1,00
 1,0
 28

Следует отметить, что потребная площадь отверстий Л0, определяемая по зависимости 1.26, практически не зависит от степени загазованности помещения если ее значениележит в пределах х 1е ...1.
 Рассмотрим вопрос о том, как обеспечить значение отверстий А0 в процессе горения ГВС в помещении. В нормальных условиях эксплуатации зданий этих отверстий, как правило, нет. Они должны появляться в процессе горения ГВС. С этой целью проемы для отверстий в
 Рис. 1.11. График изменения давления в помещении при взрыве горючей газовоздушной смеси во времени:
 оЬ — изменение давления в помещении до вскрытия ПК; bed — то же, в замкнутом помещении при закрытых ПК; beg—изменение давления при сравнительно малом открытии ПК точка b — начало вскрытия ПК; bfg—изменение давления при остеклении; ef — падение давления при сравнительном большом открытии ПК; fg — рост давления в связи с интенсивным ростом площади фронта пламени
 обычных нормальных условиях перекрываются устройствами, которые легко сбрасываются при сравнительно низких давлениях, вскрывая отверстия. Такие устройства называют легкосбрасываемыми конструкциями JICK или предохранительными конструкциями ПК. Эти устройства подразделяются на инерционные и безынерционные.
 • Инерционные ПК представляют собой плиты размером ахЬ, выполненные из сравнительно легкого материала, массой т 50 ... 150 кгм2. Они перекрывают проемы на вертикальных наружные стены или горизонтальных ограждениях покрытия зданий. При этом они имеют крепление, которое должно разрушиться, т. е. ПК должно начать вскрываться, при давлении АрВск Адоп обычно А?вск 1»5 ... ... 2,5 кПа. До момента вскрытия ПК давление в помещении изменяется так же, как в замкнутом объеме см. ob на рис. 1.11. После раз¬
 29

рушения крепления при А?В1.„ необходимо, чтобы текущее избыточное давление hpt см. кривую bcfg не превышало А?доп. Это достижимо, если к моменту времени прирост объема горячего газа за счет горения будет меньше объема газа холодного или горячего, вытекающего из вскрывающихся отверстий. Необходимая степень вскрытия отверстия проема я, зависящая от пройденного ПК к моменту t пути, которая гарантирует условие А? i С А?дон, будет
 Фактическая же степень вскрытия проема зависит ота, b, т, А?вск, Ардоп и определяется по формуле
 Время горения t0 определяется по формуле 1.24 при х 1,0. Необходимо, чтобы г? г. Если г?, то это приведет к нарушению условия безопасности, т. е. Ар t Ардоп. При этом рекомендуются следующие мероприятия:
 увеличить линейные размеры ПК, т. е. а и Ь
 применить более легкий материал для ПК, т. е. уменьшить т;
 обеспечить срабатывание ПК при более низком Д?вск.
 Расчеты и эксперименты показывают, то выполнение условия ■ф гарантирует выполнение другого условия: к концу горения
 время на рис. 1.11 ПК пройдет такой путь, при котором перекрываемое ПК отверстие будет полностью вскрыто. А это, в свою очередь, означает, что Ар tf0 А?доп см. точку g на рис. 1.11.
 Принцип работы безынерционных ПК прост. Они вскрываются при Арвск практически мгновенно. Это возможно, когда т мало. В качестве ПК в этом случае используются стекла в виде глухого остекления или вскрывающихся створок. Отметим, что степень разрушения стекол, т. е. степень вскрытия отверстий для ПК в виде глухого остекления всегда меньше единицы и тем меньше, чем толще стекла, меньше а, b и больше рядов остекления. Поэтому предпочтительнее в качестве ПК принимать остекление в виде вскрываемых створок, заботясь при этом о надежном их вскрытйи при Арвск. Для безынерционных ПК можно принимать А?вск А?доп, т. е. более высоким, чем для инерционных.
 На практике определенный интерес представляет определение максимального избыточного давления Артах в помещении, в котором известно количество проемов, степень их вскрытия или другими словами,
 аЬ
 1.29
 2 А рВскЬ А Рдоп—А 0
 X
 аЪт
 1.30
 где А 3mg для ПК на вертикальной плоскости А 0.
 30

известна суммарная площадь сбросных отверстий А0. В этом случае максимальное избыточное давление Па
 А Рт.х 16 VoV Ко
 ■77- а2“н е I2 Р
 Аб
 1.31
 Из формулы 1.31 видно, что на величину Л7тах решающее влияние оказывают не только параметры ГВС ин и е, но и конструктивные мероприятия, т. е. площадь отверстий А0 и внутрицеховое оборудование, влияющее на величину коэффициента интенсификации горения а.
 Для расчета конструкций здания на прочность в качестве исходных величин используют давление Л7доп или при заданной величине отверстий А о величину Л ртах вычисленную по 1.31. Время нарастания до этого давления рассчитывают с помощью формулы
 ■ °П А Ртах
 13
 1.32
 где t0 — полное время горения, см. формулу 1.24; Л7тах — максимальное избыточное давление в конце горения.
 Значение А?ДОп A7max и t позволяет определить нагрузки на несущие конструкции здания и тем самым решить вопрос о мероприятиях по обеспечению их взрывобезопасности, т. е. устойчивости к динамическим нагрузкам, возникающим при горении ГВС.
 1.2.3. Взрывные волны в грунтах. Специальные сооружения, в особенности убежища, часто располагают ниже поверхности грунта заглубленные, подземные.
 Динамическая нагрузка на такие сооружения возникает вс л е д ств и е воз д е й ст в и я
 взрывных волн, распространяющихся в грунтах.
 • При воздушном и наземном взрывах волны в грунтах образуются в результате распространения по поверхности грунта воздушной ударной волны рис. 1.12. Параметры волны сжатия в грунте зависят от параметров порождающей ее воздушной ударной волны и характеристик грунта.
 Деформативные свойства грунтов характеризуются диаграммой деформаций, т. е. зависимостью напряжения а от относительной деформации е. Как показывают исследования, при распространении взрывных волн интенсивностью до 1,5 МПа расчетная диаграмма деформаций грунта представляет собой две прямые линии рис. 1.13. Первый участок, соответствующий упругим деформациям грунта, наблюдается в мягких грунтах до давления 0,15 МПа; второй участок соответствует упругопластическим деформациям т. е. при разгрузке возникают
 Рис. 1.12. Схема взаимодействия сжатия с сооружением
 волны
 31

Рис. 1.13. Расчетная диаграмма деформаций грунта:
 сплошной линией показано нагружение, пунктирной — разгрузка
 Рис. 1.14. График изменения волны сжатия в грунте
 остаточные деформации. Наклоны прямых определяются’ модулями деформации грунта: упругости Е0 и упругопластических деформаций Ег. Обычно вместо модулей деформаций Е0 и Еj используют скорости распространения волн: упругих
 з0 -VElv
 и упругопластических
 ai V iP
 где р — плотность грунта.
 Значения а0 и ах для различных грунтов приведены в табл. 1.3. Вследствие различия скоростей а0 и аг и наличия остаточных деформаций в грунте с глубиной увеличивается время нарастания максимального давления и уменьшается его значение. Если на поверхности грунта давление в воздушной ударной волне изменяется по закону
 Ар t Арф 1 — 0,
 Таблица 1.3. Скорость распространения волн сжатия в грунте
 Вид грунта
 Плотность грунта, р тм3
 Скорости 1 нения в
 viipyrnx
 а0
 распростраюлн, мс
 упругопластических а
 Песчаный, нарушенной структуры
 1,6
 200
 100
 Песчаный, ненарушенной структуры
 1,7
 500
 250
 Суглинок, супесь ненарушенные
 1,7
 700
 350
 Глима насыпная
 1.8
 300
 150
 Глина плотная
 2
 1500
 500
 32

то на глубине z давление в волне сжатия рис. 1.14
 1.33
 — при е01
 где 0Х, — время нарастания давления
 1.34
 Дрх — максимальное давление на глубине
 1.35
 Формула 1.35 получена в предположении, что модуль деформаций грунта при разгрузке £р Е0 рис. 1.14.
 Достигнув сооружения, волна сжатия оказывает вертикальное Дрп давление на покрытие и горизонтальное Дрг на стены см. рис.
 где £б — коэффициент бокового давления, для песка k 0,35, для супеси и суглинка — 0,6, для глины — 0,75, для водонасыщенных грунтов — 1,0.
 Расчет конструкций заглубленных сооружений на действие взрывной волны, распространяющейся в грунте от взрыва тротилового заряда, расположенного также в грунте, можно производить на эквивалентную статическую нагрузку МПа, величину которой вычисляют по эмпирической формуле
 где £гр—коэффициент, зависящий от свойств грунта, для песка естественной влажности £гр 0,0011, для насыщенного водой песка £гр 0,0013, для глины естественной влажности £гр 0,0014; £заб — коэффициент забивки, зависящий от глубины заложения заряда; при взрыве заряда на глубине h 5 г0 коэффициент £заб 1, при взрыве на поверхности грунта—0,2, при взрыве заряда, заглубленного на его высоту 0,5; С — масса заряда, кг; R — расстояние от центра заряда до преграды, м; о — круговая частота первой формы собственных колебаний преграды, вычисляемая без учета влияния прилегающего к ней грунта, с-1; f Р — коэффициент, учитывающий зависимость нагрузки от угла Р между нормалью к преграде и направлением движения волны, при 15 г0 R 25 г0 принимают Р 1, при
 1.12.
 Горизонтальная динамическая нагрузка на стены
 Д?г 6АР . 2
 1.36
 и и С23
 Я — грзаб —цГ ю Р.
 1.37
 2 Зак. 882
 33

R 25 r0 — P 0,30,7_cos P; r0 — средний радиус тротилового заряда, м; г0 0,053 С.
 Формула 1.37 справедлива при условии
 VCJT юоо,
 Т
 де Т 2яо — период собственных колебаний конструкции без уче а грунта.
 1.2.4. Расчетные нагрузки от взрывных воздействий. Как следует из вышеизложенного, действительные законы изменения взрывных нагрузок во времени весьма сложны и разнообразны, поэтому при динамических расчетах они заменяются обобщенными законами.
 Рис. 1.15. Расчетные законы изменения динамической нагрузки во времени:
 а — при мгновенном нарастании; б — при отражении; в — при постепенном нарастании
 • Наиболее часто используемые законы изменения нагрузки во времени представлены на рис. 1.15, где р t — погонная интенсивность нагрузки на конструкцию, равная произведению избыточного давления Apt на площадь участка, с которого собирается нагрузка на данную конструкцию.
 Эффективное время действия нагрузки 0 рис. 1.15, а, б определяется по формуле 1.19. Время 0 находят: для воздушной ударной волны рис. 1.15, б по формуле 1.20; принимая 0Х обт, для волны сжатия в грунте— по формуле 1.34. Для взрывных нагрузок, не рассматриваемых в этом разделе, значения 0 и 0Х находят в справочной литературе.
 Принимаемые для расчетов функции р t зависят от расположения конструкции относительно направления движения фронта волны, заглубления в грунт.
 Зависимости, описывающие мгновенно возрастающие, а затем убывающие нагрузки рис. 1.15, а, б, применяют при расчете конструкций на действие воздушных ударных волн приходящих и отраженных; нагрузки первого вида рис. 1.15, а — для конструкций покрытий и боковых стен сооружений, нагрузки второго вида рис. 1.15, б— для конструкций фронтальной стены. Нагрузки, изменение которых во времени показано на рис. 1.15, в, принимаются для расчета конструкций, находящихся натыльной стороне сооружения, в замкнутом помещении при затекании волны через проемы; под слом грунта
 34

1.3. Ударные нагрузки
 • Ударом называют явление, происходящее в механической системе в результате динамического контакта ее с ударником, характеризуется резким изменением скоростей ее точек за весьма малый промежуток времени и кратковременным действием весьма значительных сил.
 Ударные нагрузки на строительные конструкции разделяют на эксплуатационные и аварийные.
 • Эксплуатационные ударные нагрузки обычно возникают в конструкциях, несущих различное специальное оборудование молоты, штамповочное оборудование и т. п., действующее обычно многократно. В таких конструкциях допускается работа материала только в упругой стадии.
 • Аварийные ударные нагрузки характеризуются высокой интенсивностью и действуют на конструкцию главным образом однократно, в связи с чем обычно допускается возникновение значительных пластических деформаций и локальных повреждений.
 В отличие от взрывных нагрузок, распределенных по поверхности конструкции, ударные нагрузки действуют в ограниченной контактной зоне.
 Аварийные ударные нагрузки в последние годы все чаще встречаются в различных областях строительства. В промышленном строительстве к таким нагрузкам относят падения тяжелых грузов на перекрытия и др. Масса падающего груза может достигать нескольких тонн, а его скорость в момент начала соударения v0 15 ... 20 мс. Интенсивные ударные нагрузки могут возникать и как следствие промышленных взрывов ГВС, ЛВС. В этих случаях возможны удары, вызванные обрушением вышерасположенных конструкций, потерявших прочность в результате воздействия взрывной нагрузки. При разлете элементов оборудования скорость удара v0 может достигать 100 мс. Скорости ударов, вызываемых обрушающимися элементами, значительно ниже и обычно не превосходят 15 ... 20 мс.
 ф В энергетическом строительстве имеют место ударные воздействия, характерные для промышленного строительства в целом. Однако при расчете сооружений АЭС и АТЭЦ необходимо учитывать ряд дополнительных видов аварийных ударных воздействий, к которым относят: падение самолета на защитную оболочку ядерного реактора при авиакатастрофе, удары объектами, приносимыми ураганами, внутренние удары элементами оборудования при аварийных ситуациях в системах обеспечения реактора и т. п. Масса падающего на конструкцию самолета может достигать 90 т, а скорость — 250 ... 300 мс.
 • К объектам транспортного строительства, подвергающимся интен сивным ударным воздействиям, относят различные сооружения на дорогах. Относительно частыми являются удары транспортных средств в опоры путепроводов, эстакад, фонарные столбы и т. п. Масса транспортного средства может исчисляться тоннами, а скорость достигать
 ‘2
 35

десятков мс. Кроме того, аварийным ударам подвергаются защитные сооружения в зонах камнепадов и т. п.
 • В гидротехническом строительстве ударам подвергаются опоры морских и речных сооружений при навале судов, конструкции морских нефтегазопромысловых сооружений и т. п. Для морских нефтегазопромысловых сооружений серьезную опасность могут представлять удары падающих объектов элементов бурового оборудования массой до 20 т и др.. Скорости удара v0 в стадии эксплуатации могут достигать 30 мс. Ударам в этих сооружениях подвергаются железобетонные плиты платформ и элементы типа куполов в нижней части сооружения.
 • В гражданском строительстве к аварий¬
 ным относят нагрузки, возникающие в период монтажа здания. Они могут быть горизонтальными и вертикальными. Удары могут иметь место при неудачном маневрировании монтажного крана, выходе из строя монтажных приспособлений обрыве строп и т. п..
 Скорости ударов v0 составляют 1 ... 10 мс
 и более, масса ударника равна массе переносимой или падающей конструкции.
 • Специальные защитные сооружения также
 рассчитывают на ударные воздействия авиационных бомб, снарядов. Начальная скорость удара v0 при ударе
 авиабомбы достигает 250 мс, а снарядов — 1000 мс. При этом масса
 бомб может превышать 250 кг.
 Ударные воздействия на строительные конструкции в настоящее время принято классифицировать по начальной скорости удара в момент начала контакта ударника с конструкцией и по количеству поглощенной при ударе энергии.
 • В зависимости от начальной скорости v0 различают удары с малыми скоростями мс, десятки мс; с высокими скоростями сотни мс, со сверхвысокими скоростями тысячи мс. Первые две категории относят к механическим ударам; при сверхскоростных ударах, встречающихся, например, в ракетной технике, возможен переход материалов в иное агрегатное состояние, поэтому описание удара возможно только с позиций термодинамики.
 • В зависимости от количества поглощенной при ударе энергии параметра, интегрально учитывающего ряд других важных факторов удара различают удары резкие, промежуточной резкости и нерезкие мягкие. В первом случае поглощенная конструкцией часть подводимой энергии значительно превышает часть, поглощенную ударником, таким образом, ударник при резких ударах может считаться недеформируемым. Во втором случае доли энергии, поглощенной ударником и конструкцией, сопоставимы. Наконец, при нерезких ударах энергия, поглощенная ударником, значительно превышает долю энергии, поглощаемой конструкцией. Очевидно, что при расчете в первых двух слу¬
 Рис. 1.16. График изменения давления при ударе по деформируемой конструкции во времени
 36

чаях необходимо учитывать взаимодействие ударника с конструкцией: в последнем случае конструкция может считаться недеформируемой в процессе удара, а действие удара заменено импульсивной локальной нагрузкой Pt, не зависящей от деформаций конструкции.
 Большинство аварий от ударных воздействий, характерных для промышленного, гражданского и другого строительства, относится к низкоскоростным ударам, резким или промежуточной резкости. Удары по конструкциям защитных сооружений являются высокоскоростными.
 Для теоретической оценки ударного воздействия на конструкции в большинстве случаев используется зависимость сосредоточенной контактной силы Р от времени t, характер которой для резкого удара по недеформированной конструкции представлен на рис. 1.16. Время действия ударной нагрузки составляет несколько миллисекунд.
 Зависимость «Р — t» в общем случае определяется взаимодействием ударника с конструкцией и зависит от вида конструкции, физикомеханических свойств обоих тел, формы носовой части ударника индентора, начальной скорости удара v0, наличия прослоек из других материалов в зоне контакта и других факторов, точный учет которых на стадии проектирования крайне затруднен. Приступая к расчету, инженер обычно располагает лишь сведениями о массе ударника т и начальной скорости удара v0. Поэтому в качестве исходных параметров удара в практических расчетах целесообразно использовать эти параметры, а также величину ударного импульса тяи0. Такой подход и принят в дальнейшем.

ГЛАВА 2
 ПРОЧНОСТНЫЕ И ДЕФОРМАТИВНЫЕ СВОЙСТВА МАТЕРИАЛОВ И КОНСТРУКЦИИ ПРИ ДИНАМИЧЕСКИХ НАГРУЖЕНИЯХ
 2.1. Диаграммы деформирования материалов
 При разработке методов расчета железобетонных конструкций на действие кратковременных динамических нагрузок возникает необходимость исследовать напряженно-деформированное состояние элементов во всех стадиях их работы — с момента приложения нагрузки до разрушения. При этом необходимо учитывать влияние на деформативные и прочностные свойства материалов высоких скоростей деформирования и начального напряженного состояния, вызванного статическими нагрузками. Последний фактор особенно важен для конструкций взрывоопасных производственных зданий, в которых уровень начальных эксплуатационных напряжений может быть довольно высоким.
 ф Одним из наиболее эффективных методов изучения напряженно-деформированного состояния железобетонных элементов на всех стадиях их работы является метод, основанный на использовании реальных диаграмм деформаций а — в бетона и арматуры. Такой подход основан на положении, что свойства любых материалов могут быть представлены в виде обобщенных аналитических зависимостей между напряжениями и деформациями.
 В последние годы в результате многочисленных исследований были предложены зависимости, характеризующие диаграмму деформаций бетона и арматуры, учитывающие не только их основные свойства, но и скорость приложения нагрузки, последовательность воздействия, состояние окружающей среды и т. д.
 Рассмотрим диаграммы деформаций арматурной стали и бетона.
 2.1.1. Арматура. Различают два вида диаграмм растяжения стали: «условную» и «истинную». В первом случае напряжения с момента приложения нагрузки до разрыва определяют исходя из начальной площади поперечного сечения образца, во втором случае вычисляют напряжения исходя из действительной площади поперечного сечения, изменяющейся в процессе деформирования. Поскольку предельные деформации арматурной стали в период ее работы в составе железобетонного элемента вплоть до разрушения редко превосходят 2 ... 3
 38

в расчетах принято использовать «условную» диаграмму растяжения стали.
 В настоящее время в качестве арматуры железобетонных конструкций применяют как малоуглеродистые стали, у которых диаграмма деформаций as — es характеризуется явно выраженной площадкой текучести и большим относительным удлинением при разрыве рис. 2.1, а, так и углеродистые и низколегированные стали с гладкими диаграммами деформаций без площадки текучести и сравнительно малым относительным удлинением при разрыве рис. 2.1, б.
 Основные характерные точки этих диаграмм физический и условный предел текучести, предел прочности и др. нормированы. Однако во
 Рис. 2.1. Диафрагмы деформирования сталей:
 а — с физическим пределом текучести; б — то же, с условным
 многих случаях для расчета железобетонных конструкций необходимо знать законы, связывающие напряжения и деформации во всех стадиях работы материала. Описать одним уравнением всю диаграмму в пределах от as 0 до os oStU, затруднительно в силу разных закономерностей связи между напряжениями и деформациями на упругом, упругопластическом и пластическом участках. Поэтому действительную диаграмму представляют состоящией из отдельных участков. Так, диаграмма деформаций арматурных сталей с физическим пределом текучести рис. 2.1, а заменяется диаграммой, состоящей из трех прямых рис. 2.2, а, а если пластические деформации невелики, что обычно имеет место в изгибаемых оптимально армированных и внецентренно сжатых железобетонных элементах, — из двух прямых диаграмма Прандтля, рис. 2.2, б.
 Для арматурной стали с условным пределом текучести рис. 2.1,6 диаграмма деформаций может быть представлена диаграммой, состоящей из прямого и криволинейного участков рис. 2.2, в. Широко применяют способ, согласно которому криволинейный участок заменяется двумя прямыми отрезками рис. 2.2, г: первый — от предела упругости crs,ej, принимаемого равным 0,8 а0?2, до условного предела текучести а0,2, и второй — от условного предела текучести до временного сопротивления арматуры JS,U или сопротивления, соответствующего некоторой нормирующей величине crs,0, принимаемой в преде¬
 39

лах а0 2 crS0 JStU и устанавливаемой из эксплуатационных требований например, начала разрушения сжатого бетона. Ряд исследователей предлагает аппроксимировать полную кривую упругопластических деформаций двумя прямыми, проходящими через точку с
 координатами е0,002 а0,2 рис. 2.2, д. Диаграммы деформа-
 S
 ций арматурных сталей исследовались главным образом при статических нагрузках.
 Рис. 2.2. Расчетные диаграммы деформирования сталей:
 а, б — с физическим пределом текучести; в, г, д—с условным пределом текучести; е — зависимость диаграммы деформаций стали с физическим пределом текучести от скорости деформирования
 Систематическое изучение динамических свойств сталей началось в конце прошлого века Гопкинсон, а при высоких скоростях ,деформирования — в 30-х годах Н. Н. Давиденков, А.А. Ильюшин. К настоящему времени накопилось много экспериментальных исследований, проводившихся на одноосно нагруженных образцах в различных режимах нагружения. В результате этих исследований было установлено, что влияние динамического нагружения на механические свой-
 40

ства стали существенно зависит от вида статической диаграммы s —
 — es, отражающей состав стали, способ изготовления и обработ и. Динамическое упрочнение в сталях проявляется при напрял ;ниях, связанных с пластическими деформациями после достижения с изического или условного предела текучести, т. е. когда происходят взаимные смещения частиц, перестройка внутренней структуры. На модуле упругости и пределе прочности всех арматурных сталей динамическое нагружение отражается в значительно меньшей степени.
 • Скорость деформаций наиболее влияет на предел текучести мало углеродистой горячекатаной арматурной стали с физическим пределом текучести классов A- I, A- 11, A-111. Для этих сталей наблюдается также существенное увеличение длины площадки текучести с повышением скорости деформирования, что связано с большим повышением предела текучести по сравнению с пределом прочности.
 На основе обработки экспериментов предложена упрощенная модель диаграммы деформаций механических свойств малоуглеродистых арматурных сталей в координатах js, es, es рис. 2.2, е. Из графика следует, что статическая диаграмма аппроксимируется ломаной OACDE, динамическая диаграмма as — es для некоторой скорости — ломаной OiAtCi DtEit для скорости г8 102 ... 103 с-1 — может быть представлена диаграммой Прандтля 0и, АиУ Еи.
 Малоуглеродистая сталь работает упруго до некоторого напряжения, называемого верхним динамическим пределом текучести. После его достижения напряжения уменьшаются и стабилизируются на некотором уровне, названном нижним динамическим пределом текучести. Особенно заметно проявление верхнего предела текучести называемого «зубом текучести» при испытании точеных, хорошо центрированных образцов. При испытании арматуры периодического профиля без обточки и особенно при недостаточном центрировании образцов верхний динамический предел текучести проявляется в значительно меньшей степени и может вообще отсутствовать. У точеных образцов наблюдалось более интенсивное повышение прочностных характеристик с увеличением скорости деформирования, что объяснялось удалением при обточке более дефектного наружного слоя металла, а также уменьшением влияния концентраторов, создающих в арматуре периодического профиля сложное напряженное состояние.
 Опыты показали, что предел текучести малоуглеродистых арматурных стержней, упрочненных вытяжкой, растет с увеличением скорости деформирования es значительно медленнее, чем у образцов из сталей в исходном состоянии. Так, для скорости es 0,1 с-1 предел текучести у арматуры класса A-III, упрочненной вытяжкой, повысился па 10,5 , а у той же стали без упрочнения — на 23 . При этом разница пределов текучести вытянутых и невытянутых образцов при статических испытаниях составила 151 МПа, при динамических es
 0,1 с-1 — 104,8 МПа, что свидетельствует о достаточной эффектив¬
 41

ности механического упрочнения арматуры при ее работе в условиях повышенных скоростей деформаций.
 Для сталей с условным пределом текучести высоколегированных и термически упрочненных влияние динамического нагружения сказывается меньше, чем у малоуглеродистых сталей. Условный предел текучести при скорости деформирования es 0,2 с-1 повышался у стали класса Ат-IVc на 13 , а у стали класса Ат-УН — на 9 . Увеличение предела прочности при этой скорости составило для арматурной стали класса Ат-IV с — 5 , для стали класса At-VII — 2 .
 В реальных железобетонных конструкциях перед воздействием динамической нагрузки практически всегда имеется некоторое напряжение в продольной рабочей арматуре от статической нагрузки. Исследования показали, что предварительное нагружение статической нагрузкой арматурной стали до значений as 0,5 ... 0,8 as ei маловлияет на ее динамические характеристики, так же не обнаружено влияние предварительного натяжения арматуры на эти величины.
 Несмотря на обширные испытания, до настоящего времени какихлибо закономерностей в изменении динамического предела текучести в зависимости от химического состава, способа приготовления и обработки стали установить не удалось. Трудность нахождения истинных закономерностей динамического деформирования металлов заключается в том, что при современных методах исследований получаемые экспериментальные данные не позволяют раскрыть полностью физические процессы, протекающие в материалах при больших скоростях деформирования. Поэтому имеющиеся в литературе многочисленные аналитические зависимости между динамическим пределом текучести и скоростью деформирования, основанные на экспериментальных данных, не являются общими и, как правило, справедливы лишь для конкретных условий, в которых определялась та или иная величина.
 Для определения динамического предела текучести арматурной стали в настоящее время применяются логарифмические, линейные, степенные зависимости. В 1928 г. Л. Прандтль на основе физической теории пластического течения предложил формулу для динамического предела текучести
 w»,d 0tf,e criln -г- . 2-1
 V е80
 где ау, о — статический предел текучести; es,0 — скорость деформирования при статическом нагружении.
 Константу Oj подбирают так, чтобы значения aVtd, подсчитанные по формуле 2.1, были достаточно близки к экспериментальным значениям в широком диапазоне изменения es. С учетом формулы 2.1 была предложена эмпирическая зависимость
 . ?.,«я. lft In-ii, 2.2
 V ео 42

где k 0,017 — для нижнего динамического предела текучести и k 0,024 — для верхнего предела текучести при е 0,5 с
 -1.
 Ы0“б с-1.
 Для определения Rsd широко применяют также степенную зависимость
 Rs,d Rslalks,vRs.
 2.3
 Приняв в формуле 2.3 для стали класса A-III п 4 и а 0,01311, получим
 Я.. я.10,3384 84.
 2.4
 Поскольку при расчете железобетонных конструкций на кратковременные динамические воздействия скорости деформирования обычно измеряются в небольшом диапазоне например, при взрывных на-
 Рис. 2.3. График зависимости коэффициента динамического упрочнения сталей от скорости деформирования
 Рис. 2.4. График зависимости коэффициента упрочнения арматурных сталей различных классов от скорости деформирования
 гружениях е 102 ...10° с-1, то в этом диапазоне криволинейные зависимости 2.3 и 2.4 могут быть линеаризованы, что упрощает расчет.
 При ударных нагружениях скорости деформирования могут быть существенно выше 10° ... 102 с-1. При таких скоростях влияние этого фактора может быть существенным, причем при es 10° с-1 наблюдается более интенсивный рост динамического предела текучести рис. 2.3.
 • Динамический предел текучести Rsd в расчетах железобетонных конструкций чаще всего определяют умножением статического предела текучести Я8 на коэффициент динамического упрочнения стали eD, отвечающий соответствующей скорости деформирования
 Rstd ks4v Rs- 25
 43

Значение kStV можно принимать по графику рис. 2.4. Формула 2.5 получена при постоянной скорости деформирования es — const. Однако при воздействии динамической нагрузки скорость деформаций конструкций обычно переменная. Для возможности использования эмпирических зависимостей, полученных при постоянных скоростях деформирования, учитывают малое влияние изменения скорости деформирования на прочностные характеристики стали например, для стали класса A-III увеличение es в 10 раз приводит к повышению на 3 ... 5 . Поэтому при использовании формул 2.1 ... 2.4‘ или графиков рис. 2.4 можно скорость деформирования принимать равной среднему значению
 МО МО. 2.6
 где t — время достижения рассматриваемой деформации.
 В современных исследованиях пытаются проникнуть в глубь механизмов, определяющих характер процессов, которые протекают в материале под нагрузкой.
 Наблюдаемое повышение предела текучести стали при больших скоростях деформирования связывается со свойством запаздывания пластических деформаций стали. Это свойство состоит в том, что сталь в течение определенного времени сохраняет состояние упругости при нагружениях, превышающих статический предел текучести.
 • Время, в течение которого напряжение в стали достигает динамического предела текучести, принято называть временем запаздывания пластических деформаций.
 В последние годы предложен ряд теорий, объясняющих некоторые из важнейших физических явлений, происходящих в металлах в стадии пластических деформаций, в том числе явление запаздывания.
 • Среди этих теорий наибольшее распространение получила теория дислокаций, устанавливающая связь между пластической деформацией кристаллических материалов и их атомным строением. На основании теории дислокаций получена зависимость, связывающая время запаздывания пластических деформаций т время конца упругой стадии с динамическим пределом текучести ат при одноосном напряженном состоянии, в произвольном режиме загружения
 т
 jCT“d0o“o, 2.7
 о
 где оу0 — статический предел текучести; a, t0 — константы получены из эксперимента: для сталей классов А-I, A-II, A-III соответственно а 17; 20; 25; t0 0,895; 0,5; 0,32 с. Зависимость справедлива, если начальные напряжения равны нулю и ат аи0.
 Вследствие большой величины а использование формулы 2.7 при практических расчетах затруднительно. Однако во многих случаях достаточную точность дает прием, основанный на замене функции Оц в промежутке 0 ...т линейной функцией.
 44

Использование такого приема позволило получить коэффициенты kStV для определения динамического предела текучести сталей классов А-I, A-II, A-III соответственно в виде
 kStV 1,07 ©iи; kstV 1,059 соо. ks v 1 047 со1,
 где со — круговая частота основного тона собственных колебаний железобетонной конструкции.
 При практических расчетах железобетонных элементов на кратковременную динамическую нагрузку обычно допускают, что общий характер диаграмм деформаций стали при медленном и быстром нагружении в основном сохраняется. Поэтому используют диаграммы деформаций, аналогичные статическим, но с изменением основных параметров, например с повышенным пределом текучести.
 2.1.1. Бетон. Бетон представляет собой материал,.состоящий из цементного камня, включающего кристаллический сросток, гель и большое количество пор и капилляров, содержащих пары и жидкость, в котором хаотично расположены зерна крупного и мелкого заполнителя. В таком неоднородном материале нагрузка создает сложное напряженное состояние, а диаграмма деформаций оь — е6, полученная в результате испытаний бетонных образцов, является нелинейной, содержащей в общем случае криволинейные восходящий и нисходящий участки. Однако опыты показали, что несмотря на то, что такие диаграммы зависят от многих факторов вида бетона, его состава, соотношения свойств компонентов, степени сцепления между цементным раствором и крупным заполнителем, их деформативных характеристик, скорости нагружения общий характер их сохраняется.
 Важно также то, что диаграммы, полученные при одноосном сжатии бетонных образцов, близки по форме диаграмме оь — е6, полученной для сжатой зоны изгибаемых и внецентренно сжатых элементов.
 На диаграмме аъ — ebt полученной при сжатии бетонного образца, принято выделять три основные стадии: стадию упрочнения, разупрочнения и разрушения соответственно участки ОЛ, АВ и ВС, рис. 2.5..
 В первой начальной стадии — упрочнения — возникают упругие деформации и деформации линейной ползучести. Сплошность образца не нарушается, структура уплотняется. При некотором напряжении в бетоне Rl,crc возникают микроскопические трещинки отрыва, которые в дальнейшем приводят к нарушению сплошности образца участок А В. Это состояние может быть надежно зарегистрировано па
 Рис. 2.5. Диаграмма деформирования бетона при статическом нагружении
 45

снижению скорости ультразвуковых колебаний, распространяющихся поперек действия сжимающих напряжений.
 • При возрастании напряжений от Л°,сгс до ?сгс микротрещины развиваются и происходит процесс разупрочнения бетона. В этой стадии кривизна диаграммы оь — гъ возрастает, в бетоне появляются пластические деформации. Эти деформации, связанные с процессом микроразрушений структуры бетона, обусловливают появление нелинейной ползучести.
 • При напряжениях, больших Rvb СГС, в бетоне развиваются пластические деформации, связанные с образованием больших поверхностей разрыва стадия разрушения.
 При испытаниях на обычных прессах разрушение образца обычно происходит после достижения деформацией в бетоне значения гъи, т. е. диаграмма состоит только из одной возрастающей ветви. Деформация еь и является устойчивой характеристикой бетона, она изменяется для обычных классов бетона в небольших пределах еЬчЫ 0,0018 ... 0,0025, увеличиваясь с ростом прочности бетона.
 Если испытания проводятся с постоянной скоростью деформирования dzdt const, то после достижения максимального значения напряжений на кривой аь — гь обнаруживается нисходящий участок CD см. рис. 2.5, и дальнейшее нарастание деформаций сопровождается падением внешней нагрузки. Особенно четко регистрируется ниспадающая ветвь у бетонов более низкой прочности.
 Исследования показывают, что если восходящая ветвь является стабильной характеристикой бетона, то нисходящая ветвь очень чувствительна к условиям опыта. С ростом прочности бетона участок нисходящей ветви и соответствующая предельная деформация уменьшается.
 • На диаграмму деформирования бетона в конструкциях изгибаемых, сжатых оказывают влияние дополнительные факторы: неоднородное напряженно-деформированное состояние, стесненность развития деформаций разрушения, поперечная и продольная арматура и т. п. Поэтому предельные параметры нисходящей ветви изменяются в широких пределах: предельная деформация при разрушении гь,т 0,003 ... 0,007 и отвечающее ей напряжение Rb т 0,85 ... 0,3
 Рассмотренные диаграммы были получены при низких скоростях нагружения, характерных для статических нагрузок.
 • Влияние повышенных и высоких скоростей деформирования на прочностные и деформативные свойства бетона проявляется в изменении диаграммы деформаций и в повышении предела прочности. При увеличении скорости диаграмма деформаций бетона несколько изменяется, приближаясь на возрастающем участке к прямой линии.
 • Увеличение предела прочности бетона обусловлено главным образом, изменениями в характере его трещинообразования. Для разрушения бетона, т. е. образования сплошных трещин отрыва, требуется достаточное развитие процесса микротрещинообразования и дости¬
 46

жение определенной предельной деформации. Чем короче вре’ i нагружения, тем большее напряжение необходимо приложить, чтг jbi образовались трещины отрыва и материал разрушился. Эксперт штальным подтверждением сказанному является зависимость коэффициента Пуассона от скорости деформирования, показанная на р ic. 2.6. Значение этого коэффициента при некотором сжимающем напряжении, близком к 0,5 RbJ с увеличением скорости деформирования уменьшается, что может быть объяснено задержкой развития микротрещин и запаздыванием неупругих деформаций.
 Рис. 2.6. График зависимости ко- Рис. 2.7. График зависимости коэффи-
 эффициента Пуассона при сжатии циентов динамического упрочнения бе-
 скорости деформирования тона от влажности:
 — сжатие; — растяжение; —
 влажный бетон; 2 — сухой бетон
 • Динамическая прочность бетона зависит от свойств применяемых материалов, особенностей структуры бетона, содержания влаги, вида напряженного состояния и т. п. Например, неоднородность микроструктуры бетона и первоначальные дефекты особенно крупные снижают динамическую прочность бетона в большей степени, чем статическую. Опытами установлено также, что чувствительность бетона к скорости деформирования зависит от соотношения жесткостей заполнителя и цементной матрицы. Влияние скорости деформирования относительно выше для бетонов низкой прочности по сравнению с высокопрочными. Динамическая прочность бетона при увеличении содержания в нем влаги повышается рис. 2.7, тогда как статическая снижается. С увеличением возраста бетона его чувствительность к скорости деформирования уменьшается. Как динамическая, так и статическая прочность бетона, твердеющего в условиях сухого жаркого климата, на 10 ... 15 ниже, чем прочность бетона, твердеющего в нормальных температурно-влажностных условиях.
 Большинство опытов при опредеделении динамической прочности бетона выполнено при одноосных напряженных состояниях сжатие, растяжение. Превышение динамической прочности бетона над статической характеризуется коэффициентом динамического упрочнения
 47

btV Rb,vRb bt,v RbivJRbt
 2.8
 Обобщенные экспериментальные данные о динамической прочности тяжелых бетонов средних классов при сжатии приведены в виде графика на рис. 2.8, а. Характерной особенностью зависимости Rbd —
 Рис. 2.8. Графики зависимости коэффициентов динамического упрочнения бетона от скорости деформирования:
 а — при сжатии; б — при растяжении; — область им пульсиых нагружений; 2 — то же, ударных
 — еь является заметное повышение значений коэффициента динамического упрочнения kbv при скоростях гь 1с1, что имеет особо важное значение при ударных нагружениях.
 На рис. 2.8, б приведены в обобщенном виде полученные разными авторами результаты опытов с бетонами при одноосном растяжении.
 48

Из рисунка видно, что, как и при сжатии, имеет место резкое увеличение коэффициента динамического упрочнения kbUv при гы 1 с-1, причем степень этого увеличения намного выше, чем при сжатии. Необходимо отметить, что прочность при растяжении играет значительно более важную роль в расчетах железобетонных конструкций на ударные воздействия, нежели, например, при статических нагрузках, так как она в ряде случаев определяет прочность конструкции например, при отколе.
 Влияние размера заполнителя на динамическую прочность невелико, однако при прочих равных условиях Rbtd Для бетонов с мелким заполнителем выше, чем с более крупным.
 • В ряде экспериментов изучалась динамическая прочность бетона на сжатие при изгибе. Опыты показали, что чувствительность бетона к скорости деформирования в сжатой зоне изгибаемых элементов выше, чем в одноосно сжатых, но ниже, чем в растянутых.
 В реальных конструкциях бетон обычно работает в условиях многоосного напряженного состояния, даже в простой балке продольная и поперечная арматура создает «обойму» для бетона, в результате чего бетон верхней зоны работает в условиях стесненного сжатия. Специальные опыты с бетонными образцами, статически обжатыми в поперечном направлении с подверженными статическому и динамическому сжатию в продольном, показали рис. 2.9, что чувствительность прочности бетона к скорости деформирования зависит от уровня бокового обжатия. При общей тенденции прочности к повышению коэффициент динамического упрочнения с увеличением уровня бокового обжатия несколько снижается.
 Учет влияния скорости на прочность и деформативность бетона, находящегося в условиях стесненных поперечных деформаций, созданных косвенным армированием в виде сеток или спиралей, может быть осуществлен путем введения коэффициентов динамического упрочнения, так как общий характер диаграмм оь — гь сохраняется рис. 2.10. Динамическая прочность Rb,red,d и предельная сжимаемость ebtUrpd в этом случае определяются по формулам
 Rb,redd Rbb,v “I” Vxytyd Rstxyks,v 29
 5,«.red 2,414 M10-3, 2.10
 где H-x? — коэффициент косвенного армирования; pd, f, ks — коэффициенты, определяемые по СНиП 2.03.01—84.
 • При ударных нагрузках, действующих на ограниченный участок конструкции, большую роль играет местное динамическое сопротивление бетона. Проведенные экспериментальные исследования показали, что динамическая прочность бетона при местном смятии может определяться по формуле
 b,ioc,d Ь»ос 211
 49

где kbV — коэффициент динамического упрочнения бетона, принимаемый по графику на рис. 2.8, а Rbjoс — статическая прочность бетона при местном смятии СНиП 2.03.01—84.
 Исследования, имеющие целью выявление влияния скорости на прочность бетона при многоосном напряженном состоянии, пока весьма ограничены и ориентированы на определенные условия, а результаты их нередко противоречивы. Поэтому для практических целей в этих случаях обычно используют статические соотношения, а
 Рис. 2.9. График зависимости прочности бетона при динамическом сжатии 02 от уровня статического бокового обжатия Qi и а3:
 — Еб10-6 1с; 2 — еъ 10—2 1с; 3 —
 ёь-10° 1с
 Рис. 2.10. Диаграммы деформирования центрально-сжатых колонн с косвенным армированием при статическом и динамическом нагружении:
 I — динамика; — статика; — Хх 0,054; 2—jixi 0,031; 3 — jLixy 0,02; 4 — М-ху 0
 влияние скорости деформирования учитывают введением соответствующих коэффициентов динамического упрочнения, полученных для одноосных напряженных состояний.
 • Деформативность бетона зависит от скорости деформирования в значительно меньшей степени, нежели прочность. Опыты многих авторов показывают, что предельные относительные деформации бетона при сжатии гьи, eb m от скорости практически не зависят. Эти результаты получены при испытании образцов на действие быстровозрастающих динамических нагрузок. В опытах на специальных прессах, обеспечивающих постоянную скорость деформирования, было получено увеличение предельных динамических деформаций бетона при повышенной скорости деформирования.
 Имеются опытные данные об увеличении предельной растяжимости бетона при скоростях гы 1 cwl.
 • Значение динамического модуля деформации, соответсвующего максимуму напряжения при динамическом нагружении, несколько выше
 до 30 , чем при статическом. Вместе с тем начальный модуль
 50

упругости повышается лишь до 5 ... 10 . Имеются опытные данные
 о снижении предельных сдвиговых деформаций бетона до двух раз с увеличением скорости деформирования. Этим в значительной мере может быть объяснена относительно более низкая сопротивляемость железобетонных конструкций поперечной силе при динамических воздействиях по сравнению со статическими.
 В реальных конструкциях динамическому нагружению взрыву, удару предшествует статическая нагрузка, вызывающая определенные структурные изменения в бетоне элемента. Результаты специальных исследований этого фактора показывают, что при более высоком уровне статического нагружения заметной становится задержка развития микротрещин, и, как следствие, увеличивается динамический модуль деформаций.
 ■ Из этого следует, что факторы, влияющие на динамическую прочность и деформативность бетона весьма разнообразны, а влияние их неоднозначно. Даже приближенный учет всех этих факторов в реальном проектировании крайне затруднен, поэтому в расчетах железобетонных конструкций они учитываются обобщенно, путем введения соответствующих коэффициентов в параметры диаграмм деформирования бетона и подбора аналитических выражений, наилучшим образом отвечающих опытным данным.
 • В расчетах для диаграмм чаще всего применяют полиномы от 2-й до 5-й степеней, диаграмму Прандтля, экспоненты и т. п. В ряде случаев используют две различные функции для восходящей и нисходящей ветвей диаграммы. Этот способ позволяет более полно учесть влияние различных факторов на нисходящую ветвь.
 При использовании кубического полинома получим
 айа1-а2рМ2азрь N3
 2.12
 где коэффициенты находятся из условий
 dob
 d гь
 Еь при еь 0; оь еь.« Rb
 dob
 deb
 0 при eb eb,H.
 Рис. 2.11. Расчетная диаграмма деформирования бетона
 Обычно кубический многочлен не позволяет нормировать нисходящую ветвь. Этот недостаток устраняется при использовании полиномов 4-й и 5-й степеней, но их применение приводит к усложнению расчетных зависимостей. Удобно использовать диаграммы оь — гь из трех функций рис. 2.11: линейные функции для участка упругих деформаций и для нисходящей ветви, дробно-линейную для нелинейного
 51

участка восходящей ветви, т. е.
 I Еьгь при 0еьеь,
 °ь 1 ■ f686 Г при еь,егеьеь,и; 2.13
 I 1аеь— еь,ег v
 Кь—Еьгь — гь,и при ebiUebeb,
 m
 Где аа1Г-вГ7; Pvb.u 1—6h6m—1;
 eb,u eb,el
 V _ Ь . e Rbel . £ _ b,m . £ eb,m
 vb.u —- , Ч,еГ-——. °k-——. °m ;
 еь, и tb Кь еь,и
 Rb,ei — предел упругой работы бетона; для статической диаграммы Rb.ei Rcrc для динамической диаграммы Rbfei Rrc d. Поскольку параметрические точки восходящей ветви диаграммы изменяются пропорционально повышению призменной прочности, можно записать
 Rcrc.d kbtVRcrcy Rrc,d — kbvRcrc • 214
 Влияние скорости деформирования чаще всего учитывается введением в расчетные формулы для диаграммы оь — еь коэффициентов динамического упрочнения в функции от е. Например, для сжатия график, приведенный на рис. 2.8, а, может быть представлен в аналитической форме в виде
 ь. о 1 0,49 ёУ4. 2.15
 При переменной скорости деформирования можно принимать
 еь еь , 2.16
 где t — время достижения деформации гъ на восходящей ветви диаграммы.
 • В последние годы делаются попытки учитывать влияние скорости
 деформирования путем приспособления тех или иных аналитических зависимостей, заимствованных из механики разрушения и других близких дисциплин. К числу таких попыток относится использование упруго-вязкопластической модели для описания поведения бетона при ударном сжатии. Влияние скорости деформирования на параметры разрушения учитывается введением характеристики одноосного упрочнения Нк, которая является функцией некоторой «эффективной» скорости деформирования:
 tei WAE0r W,y02Y 2.17
 где Wx и W2 — весовые функции, вводимые для описания двух различных механизмов разрушения — порового и микротрещинообразования; е0 и Yo — октаэдрические нормальные и сдвиговые скорости деформации.
 52

Таким образом, динамическое упрочнение аппроксимируется функцией
 Hr — R Q -f С2 In ееу С3 In ееу2,
 2.18
 где R — кубиковая прочность бетона; Сх, С2 С3 — параметры, подбираются так, чтобы наилучшим образом удовлетворить экспериментальным данным.
 Вместе с тем ряд авторов отмечает, что классические модели, включающие вязкость, недостаточно отвечают природе явления. В большей степени ей отвечают модели, включающие сухое трение.
 • Другой подход заключается в использовании порового механизма без учета сопротивления сдвигу. Однако сравнение опытных данных с теоретическими показало весьма ограниченную применимость этой модели к бетону.
 Для описания зависимостей динамической прочности на растяжение от скорости нагружения аы весьма популярна зависимость, базирующаяся на теории распространения трещин в твердых телах
 где п — эмпирический коэффициент, п 16 ... 18.
 Для коэффициента динамического упрочнения бетона при растяжении была также предложена полуэмпирическая формула
 где А и В — коэффициенты, определены на базе опытов с бетонами различного состава, А 0,082 и В 0,042; obttU и оы — прочность и скорость при статическом нагружении.
 Позднее была предложена модель, связывающая свойства цементной матрицы, заполнителя и сцепление между ними с энергией, затраченной на разрушение бетона. В результате получено выражение
 здесь ис — энергия разрушения одной трещины; dc — коэффициент трещинообразования.
 Для диапазона скоростей гы 10_3 ... 210° предложены такие формулы:
 при сжатии
 ht, ud К1,, 1
 2.19
 2.20
 bb.v V“с °ь«. d uc бы, dacabt uc „, 2.21
 kbtV 1,58 - 0,35 lgt 0,07lgx2;
 2.22
 при растяжении
 kbUu 1,42-0,15 lg x0,01 lgx2,
 2.23
 где т — время нагружения, мс.
 53

Для предельной деформации zbt,ud предложена зависимость, основанная на концепции предельной нормальной энергии деформации при разрушении
 224
 где Uud — энергия деформации при разрушении; Ed — динамический модуль упругости; А — площадь поперечного сечения образца; Cj — скорость распространения продольных волн.
 Значения предельных деформаций, полученные по этой формуле, практически совпадают с экспериментальными данными.
 ■ Приведенные данные показывают, что, несмотря на возросшую активность исследователей, к настоящему времени, отсутствует закон деформирования бетона, учитывающий особенности его рабты при быстрых нагружениях. Попытки теоретически обосновать влияние скорости деформирования пока носят весьма разрозненный характер и требуют экспериментального определения ряда коэффициентов. Поэтому до создания обоснованных теорий влияние скорости деформирования целесообразно учитывать наиболее простыми средствами, например путем умножения статических характеристик на коэффициенты динамического упрочнения, определяемые по формулам 2.8.
 • В последние годы в качестве перспективного материала конструкций, воспринимающих ударные воздействия, интенсивно изучается фибробетон, представляющий бетон, армированный по всему объему и до 3 ... 5 хаотично расположенными короткими отрезками фибрами стальной проволоки или полимерных материалов.
 Усиление бетона фибрами приводит к существенному повышению его сопротивления трещинообразованию и разрушению и, как следствие, к резкому повышению ударной прочности. При этом сильно возрастает энергопоглощающая способность бетона.
 Вместе с тем использование дополнительной арматуры приводит к удорожанию конструкций, поэтому вопрос о применении фибробетона должен решаться на основе технико-экономического анализа. Наиболее целесообразно применять этот вид бетона в конструкциях, в которых по условиям эксплуатации не допускаются значительные местные Деформации и повреждения.
 2.2. Сцепление арматуры с бетоном
 В последние годы предпринят ряд специальных исследований этого фактора при ударных нагружениях, показавших, что сцепление арматурных стержней и проволоки периодического профиля существенно повышается с увеличением скорости деформирования, тогда как сцепление гладких стержней и проволоки, а также арматурных пучков практически от нее не зависит. Такой вывод представляется закономерным, так как главным фактором в сцеплении является механическое
 54

зацепление арматуры за бетон, прочность которого зависит от развития микротрещин. Задержка их развития при быстрых нагружениях приводит к повышению прочности.
 В отличие от статических нагружений касательные напряжения, действующие по поверхности стержней периодического профиля, концентрируются у границы заделки или трещины рис. 2.12. До самого разрушения выдергивания эпюра _
 т носит треугольный характер. Диапа- JL зон распространения напряжений т для , гладких стержней при ударном выдер- а гивании их из бетона при той же длине заделки значительно шире и мало отличается от статических нагружений.
 С увеличением прочности бетона относительная чувствительность сцепления к скорости деформирования падает рис. 2.13. Опыты показывают, что этот фактор зависит не только от прочности бетона, но и от деформаций арматуры б.
 При малых деформациях б превышение динамической прочности над статической доходит до 2 для бетона низкой прочности и до 1,5 — высокой, тогда как при больших б это увеличение составляет соответственно 1,4 и 1,2. Вместе с тем общий характер диаграмм т — б не изменяется по сравнению со статическими нагружениями и может быть успешно аппроксимирован упругопластической зависимостью.
 Как видно из рис. 2.13, «жесткость» сцепления угол наклона касательной к
 графику в начале координат увеличивается с увеличением скорости нагружения.
 На расстояние между трещинами сгс при быстрых нагружениях по сравнению со статическими нагружениями влияют два дополнительных фактора: уменьшение за счет повышения предельных напряжений сцепления и увеличение за счет повышения прочности бетона на растяжение.
 Теоретические исследования сцепления при высоких скоростях нагружения крайне ограничены. На основании опытных данных предложена следующая зависимость между статическими и динамическими напряжениями сцепления
 Рис. 2.12. Распределение напряжений сцепления по длине стержня:
 а — гладкие стержни удар, статика; 6 — стержни периодического профиля удар
 1l То TdTo4,
 2.25
 55

где xd и xd — динамические; т0 и т0 — средние статические напряжения сцепления и скорость нагружения.
 Коэффициент ц для диапазоне смещений 6 0 ... 2 мм:
 л°71,г561. 2.26
 где R — кубиковая прочность бетона.
 Использование зависимостей типа 2.25 в практических расчетах весьма затруднительно, поэтому более целесообразно, учитывая аналогию между статической и динамической диаграммами т — 6, прини-
 Рис. 2.13. График зависимости напряжений сцепления от деформаций выдергивания арматуры из бетона:
 а — Rb23 МПа; б — Rb55 МПа; — стержни периодического профиля; 2 — гладкие стержни
 мать в качестве расчетной идеальную упругопластическую диаграмму и учитывать влияние скорости деформирования повышением статических значений т0:
 т1 kBbond т0. 2.27
 Аналогичным образом может быть учтено повышение жесткости сцепления при ударных нагружениях.
 Приведенных данных о влиянии скорости нагружения на сцепление арматуры с бетоном оказывается недостаточно для внесения в явном виде коррективов в формулы жесткости сечений конструкций. Вместе с тем в распространенных формулах для динамической изгиб-
 56

ной жесткости стержневых элементов с трещинами рассматриваемый фактор учитывается обобщенно, вкупе с другими особенностями. До постановки и проведения специальных экспериментов такой подход представляется наиболее приемлемым.
 2.3. Диаграммы деформирования стержневых
 конструкций
 • Диаграммы деформирования конструкций характеризуют зависимость усилия от деформации: зависимость изгибающего момента М от кривизны х 1г для изгибаемых элементов, зависимость продольной силы N от продольной деформации г для центрально сжатых элементов.
 Для внецентренно сжатых элементов обычно используют зависимость «изгибающий момент — кривизна» при различных фиксированных продольных силах. На характер диаграмм влияют различные факторы: класс арматуры, процент армирования, физико-механические свойства бетона и арматуры и др. Продольная сила действует вдоль продольной оси, проходящей через центр тяжести приведенного сечения.
 • Рассмотрим внецентренно сжатый элемент прямоугольного сечения рис. 2.14, армированный сталью с физическим пределом текучести 1-й случай. Если выполняется условие
 I U 2.28
 где I - xh0 — относительная высота сжатой зоны при разрушении бетона, lR — граничное значение относительной высоты сжатой зоны, то диаграмма «М — х» при фиксированной продольной силе N предсталяется в виде графиков рис. 2.15 соответствующих 1-му случаю разрушения, когда в арматуре развиваются пластические деформации. Величины х и определяются по формулам СНиПа при динамических сопротивлениях бетона и арматуры
 N Rbtd bx ?sc,d As — Rs,dsy 2.29
 где о 0,85—0,008 Rbb.v
 57
 п5
 б .
 1
 м
 Nl
 N5-R9j As
 Рис 2.14. Схема усилий и напряжений в нормальном сечении внецентренно сжатого элемента

В формуле 2.29 динамические сопротивления бетона и арматуры вычисляются по статическим сопротивлениям с принятой степенью обеспеченности расчетные, нормативные и т. п.. В формуле 2.30 используются расчетные статические сопротивления RS1 Rbl так как эмпирические коэффициенты определены при этих сопротивлениях.
 На графиках рис. 2.15 участок 0—1 соответствует работе элемента без трещин, участок 1—2 — работе элемента с трещинами в растянутой зоне, участок 2—4 — работе элемента в стадии пластического течения арматуры.
 Протяженность пластического участка 2—3 зависит в основном от значения £; при уменьшении пластические деформации возрастают. Все эти участки можно принимать с достаточной точностью прямолинейными и поэтому диаграммы деформирования полностью определяют параметры характерных точек.
 Моменты внутренних сил находят относительно оси, проходящей через ось действия продольной силы, которая приложена в центре приведенного сечения.
 Изгибающий момент, воспринимаемый сечением при образовании трещин,
 MCrc,d Rbt,d Wpi Mr, 2.31
 где Wpi — момент сопротивления приведенного сечения для крайнего растянутого волокна с учетом неупругих деформаций растянутого бетона; г — расстояние от центра тяжести приведенного сечения до ядровой точки, наиболее удаленной от растянутой зоны;
 Г red A red»
 где A red, Wred — площадь и момент сопротивления приведенного сечения.
 Кривизна при образовании трещин
 СГС 2.32
 где В — жесткость приведенного сечения без трещин,
 В Еьй I Ted
 Для пластического участка 2—3 диаграммы момент внутренних сил постоянен и может определяться при достижении напряжения в сжатом бетоне величины Rbd. Его величина равна
 Mu,d Rb,d bxzb—0,5x Rsc, Aszb—a Ra,d Aah0—zb, 2.33
 где zb — расстояние от сжатой грани до оси действия продольной силы.
 Рис. 2.15. График зависимости —х» для
 изгибаемых и внецентренно сжатых элементов
 58

При совпадении этой оси с геометрической zb hi2. При определении кривизны хеЬ соответствующей началу текучести арматуры, учитывают, что в этой стадии распределение напряжений в бетоне сжатой зоны обычно близко к линейному, особенно при динамическом нагружении. Приняв это условие, запишем условие равновесия сечения
 , ть 0,5 bxei asAs — os ei As N, 2.34
 где ab — напряжение в крайнем сжатом волокне сечения.
 Представим его в виде
 — vb£beb,
 где vb — коэффициент, учитывающий упругопластические свойства бетона.
 Используя формулы 2.13, получим
 1 при 0 еьеьг;
 1 при ebebebu;
 ГГ ; Г uFn b.el °Ь о, и’ о ос
 1аеь— e6.eJ .JO
 vb,uP — Р ПРИ eb,uebebim.
 eb
 Считая справедливым закон плоских сечений, имеем
 es,ei xd п _ °а,el — . в. el с »
 0—xel s
 о, Es е;, в 8s ej •
 h0—Xel
 Из формулы 2.34 получим уравнение для £cJ
 v6 ?i2Fan fiH —1 el —
 L a,el J
 _fa i «——I2 0, 2.36
 L es,el J
 где
 Ea As A - a -TV N
 a -r-i , Ц тг . u ir ’ a 1“ -
 b.d 6Л, ’ 6A, ’ A« ’ Коэффициент vb, определяемый по формулам 2.35, зависит от
 _ Bg.el Set
 6 1 -Irt
 Поэтому уравнение 2.40 решается последовательными приближениями. Первое приближение можно определить из квадратного уравнения, которое получается при vb 1. Кривизна при достижении текучески в растянутой зоне равна
 _ з,е1 ъ8,е1
 61 Ао-1 А0 I —1
 59

Для кривизны справедлива также формула
 ег е1е1 , 2.37
 1 — el
 ГДе гъ,е1 — деформация сжатого бетона в момент возникновения текучести в растянутой арматуре. Значение Eb et можно найти по приближенной формуле:
 гъ.е1 -гЬи, 2.38
 mR,d
 где Mxtd — предельный момент внутренних сил сечения при граничной высоте сжатой зоны х h0 г1и 0,003 — среднее значение
 предельных деформаций бетона.
 Моменты в-формуле 2.38 вычисляются относительно центра тяжести растянутой арматуры.
 Предельную кривизну при начале раздробления сжатого бетона определяют по формуле
 и-гт- 2.39
 где £ — относительная высота сжатой зоны при разрушении, равная в соответствии с 1.33
 ljt- Rs,dlL-Rs,ci I Rb,d. 2.40
 Значение предельной деформации еЬ ш зависит, как показывают опыты, от содержания арматуры и может определяться из выражения
 гъ,т 14,5 — 31 — 1,52110”3. 2.41
 Полученные величины для характеристик точек диаграммы позволяют определить изгибные жесткости элемента в стадии с трещинами. Жесткость элемента на участке диаграммы 1—2
 В ц,с Mcrc,d 2 42
 Xel Исгс
 Часто при расчетах возможно объединение участков 0—1 и 1—2, и тогда осредненная жесткость в упругой стадии находится из выражения
 Si MuJxel. 2.43
 Упрощенная расчетная диаграмма приведена на рис. 2.16.
 • При внецентренно сжатых и переармированных изгибаемых элементах, когда
 I 6. 2.44
 деформирование элемента может происходить без трещин или с трещинами в растянутой зоне, но при работе арматуры только в упругой
 стадии. Расчеты показывают, что в этих случаях жесткость после об¬
 60

разования трещин в растянутой зоне изменяется незначительно по сравнению с жесткостью элемента без трещин. Поэтому при динамических расчетах жесткость элементов при условии 2.44 принимают равной
 — Eb,d
 red•
 Диаграммы деформирования элементов, армированных сталями с условным пределом текучести, изображены на рис. 2.17. Участок 0—1 соответствует упругой работе арматуры до os aset 0,8 a0f2,
 ил
 arctfB,
 l
 I
 I
 I
 Рис. 2.16. Упрощенная расчетная диаграмма «М—х» элемента, армированного сталью с физическим пределом текучести
 Рис. 2.17. Расчетная диаграмма элемента, армированного сталью с условным пределом текучести
 участок 1—2 — от os osei до os a0,2, участок 2—3 — от os a0,2 до as aStU. При расчете участки 0—1—2 заменяются обычно одним 0—2, что мало влияет на точность расчетов рис. 2.18.
 Значение момента Mei можно определить из выражения 2.33 при Rs,d 1,1о2 соответствующую кривизну Kei находят при г3а ao2 400£s. Для точки 3 момент MUtd и кривизну хи определяют из выражений 2.33 2.39 при RStd oSu.
 Временное сопротивление высокопрочной стали может быть принято равным
 Яви Ло2 Лв,
 где т 1,2; 1,15; 1,1 соответственно для сталей классов A-IV, A-V, A-VI.
 • После начала разрушения бетона сжатой зоны происходит снижение момента внутренних сил и на диаграмме деформирования М —х появляется нисходящая ветвь участок 3—4у характеризующаяся жесткостью В3. Расчет в этой стадии разрушения позволяет определять полную несущую способность конструкции и используется для расчета конст¬
 Рис. 2.18. Упрощенная диаграмма элемента, армированного сталью с условным пределом текучести
 61

рукций по состоянию 1в. Проведенные расчеты показали, что учет нисходящей ветви диаграммы М — х заметно влияет на несущую способность при 0,35.
 Жесткость Ва элемента на нисходящей ветви в стадии разрушения
 В3 МиМт t 2.45
 где хт; Мт — кривизна и момент, соответствующие некоторой точки нисходящей ветви например, в ее конце. При определении этих величин учитывают, что уменьшение момента внутренних сил происходит вследствие уменьшения высоты сечения при раздроблении слоев сжатого бетона. Несмотря на увеличение кривизны, в растянутой арматуре происходит разгрузка: уменьшаются деформации es, и напряжение а3 так как снижается полное усилие в бетоне сжатой зоны.
 • Рассмотрим напряженно-деформированное состояние элемента на нисходящей ветви, когда рабочая высота сечения h01 С • Деформация бетона крайнего сжатого волокна равна предельной величине при разрушении гЬт. Деформацию растянутой арматуры определяют по формуле
 Ьт 01 ХтпХт
 где хт — высота сжатой зоны бетона в стадии разрушения.
 Арматуру в сжатой зоне не учитывают, так как сопротивляемость ее может существенно снизиться вследствие потери устойчивости.
 Обозначим через es0 и as0 деформацию и напряжение в арматуре в конце пластической стадии. Напряжение в арматуре в стадии разрушения
 У3 so
 где
 As es0 6 s es0 ЬтпФ 01
 Тогда
 s0 EssO H Hqi 246
 Эпюру напряжений в сжатом бетоне принимают прямоугольной с сопротивлением
 Rb 0,5 Rb Rbm.
 Из условия равновесия сечения
 Rbbx osAs N Получим уравнение для £m xh0:
 1т — 0,
 62
 2.47

где
 N
 Rbbhoi
 Кривизна
 т — Ьт т ЬтФ01 т •
 Момент внутренних сил относительно оси приложения продольной силы
 Мт ЯьЬхт zbl — 0,5 хт asAs h01—zM, 2.48
 где гЪ1 — расстояние от крайней сжатой грани сечения до оси действия продольной силы; as находится согласно 2.46.
 Для изгибаемого элемента
 При расчетах целесообразно принимать hol — 0,65 ... 0,7 h0.
 2.4. Предельные состояния конструкций, воспринимающих
 кратковременные динамические нагрузки
 • К сооружениям, предназначенным для восприятия кратковременных динамических нагрузок, в зависимости от назначения предъявляют различные требования. Если такая нагрузка является для сооружения эксплуатационной и многократно повторяющейся например, взрывные камеры, то в конструкциях не должны возникать остаточные деформации. Если же указанная нагрузка является аварийной взрывоопасные производства или расчетной, действующейоднократно специальные защитные сооружения, то в конструкциях допускаются значительные остаточные деформации, которые в железобетонных элементах сопровождаются образованием и развитием трещин. Материал в наиболее напряженных сечениях доводится до разрушения, вследствие чего конструкции могут стать непригодными для дальнейшей нормальной эксплуатации, но они выполнили свою функцию, сохранив жизнь людей и оборудование. В то же время полное использование прочностных свойств материалов позволяет получить наиболее экономичные конструктивные решения сооружений.
 • В последние годы к ряду сооружений предъявляется требование выдержать немногократно-повторные 5...6 интенсивные динамические воздействия. При этом конструкции должны удовлетворять заданным эксплуатационным требованиям исключается обрушение, но допускаются ограниченные пластические деформации.
 • Кроме основных к конструкциям иногда предъявляют дополнительное требование по ограничению величин раскрытия трещин или ограничению перемещений.
 Мт — 1 0,5 £m.
 63

• Расчет железобетонных конструкций производится по методу предельных состояний. Расчет специальных сооружений на особые сочетания нагрузок ведется по первой группе предельных состояний для предотвращения:
 1а — возникновения остаточных деформаций;
 16 — потери несущей способности.
 Состояние 1а устанавливается для конструкций, в которых не допускаются остаточные деформации, вызывающие необходимость ремонта или замены конструкций. Это предельное состояние приходится назначать, например, для конструкций при эксплуатационных многократных повторных импульсивных воздействиях.
 Состояние 16 устанавливается для конструкций, в которых могут быть допущены значительные остаточные деформации и локальные разрушения. При этом для продолжения эксплуатации здания потребуется восстановительный ремонт конструкций или их замена. Если нельзя обеспечить требование предельного состояния 1 б, т. е. возможна потеря несущей способности конструкции, то считается, что в ней возникло состояние 1 в. Это состояние может устанавливаться для отдельных конструкций, разрушение которых не приводит к ущербу для производства и не вызывает выход из строя всего сооружения. Расчет по состоянию 1 в производится также для тех конструкций, несущая способность которых существенно меньше, чем основных.
 Основным предельным состоянием для большинства конструкций при однократных взрывных воздействиях является состояние 16.
 Требования, устанавливаемые согласно предельному состоянию 1а, исключают не вообще остаточные деформации, а только те, которые могут затруднить дальнейшую эксплуатацию здания. Допустимые деформации конструкций возникают, если арматура работает только в упругой стадии, а деформации сжатого бетона находятся на восходящем участке диаграммы аь — еь, т.е. удовлетворяются условия
 4И-. ьь,и- 2.49
 S
 В конструкциях, рассчитываемых по предельному состоянию 16, допускаются пластические деформации в арматуре и деформирование бетона на нисходящем участке диаграммы деформирования. При этом ставится дополнительное требование, исключающее обрыв арматуры. Условия расчета имеют вид
 ®6,т 2.50
 В непереармированных изгибаемых и внецентренно сжатых по 1-му случаю конструкциях пластически разрушающихся, рассчитываемых по состоянию 16, возникают зоны пластических деформаций пластические шарниры.
 Состояние 1в возникает, если гь гЬ т происходит разрушение сжатого бетона или г es,m произошел обрыв арматуры.
 64

Для примера предельные состояния железобетонной балки, армированной сталью с физическим пределом текучести, представлены на диаграмме «изгибающий момент — кривизна» рис. 2.19. Точка 1 соответствует предельному состоянию 1а. В этот момент напряжение в арматуре достигает предела текучести. Точка 2 соответствует предельному состоянию 16, когда арматура находится в состоянии пластического течения, а деформации крайнего сжатого волокна достигли еьт. При дальнейшем увеличении кривизны происходит постепенное раздробление сжатого бетона и снижение несущей способности конструкции вплоть до ее полного разрушения состояние 1в.
 • При расчете на аварийные . ударные воздействия к конструкциям должны предъявляться требования, обеспечивающие прочность как при общем, так и при местном действии удара.
 Требован и я, обеспеч ивающие
 прочность конструкций при общем действии удара, не отличаются от сформулированных ранее для импульсивных нагрузок.
 Наряду с этим должно быть предотвращено наступление следующих предельных состояний, обусловленных местным действием удара:
 1а м — исключающее откол и допускающее ограниченные локальные деформации в зоне соударения;
 16 м — исключающее откол и допускающее локальные деформации и местные разрушения в зоне соударения;
 1в м — допускающее откол и значительные местные разрушения.
 Условие ограничения локальных деформаций в зоне соударения
 а ам, 2.51
 где а — глубина проникания; аи — допустимая глубина, проникания,
 определяемая условиями эксплуатации конструкции.
 Условие, исключающее откол,
 б 6S, 2.52
 где б — толщина плиты или оболочки; 6S — минимальное пороговое
 значение толщины плиты или оболочки, при которой еще не происходит откол.
 2.5. Нормирование предельных состояний
 стержневых элементов
 При расчете конструкций необходимо вводить критерии, определяющие достижение расчетного предельного состояния. Например для статических нагрузок критериями предельного состояния, обеспечивающими конструкцию от разрушения, являются условия прочности.
 Рис. 2.19. Схема предельных состояний железобетонного балочного элемента
 3 Зак. 882
 65

При расчете конструкций на особое сочетание нагрузок, включающее взрывное воздействие, условия достижения предельных состояний 1а, 16, являющиеся деформационными, устанавливаются на основании ограничений на деформации сжатого бетона и растянутой арматуры.
 Непосредственное применение сформулированных условий предельных состояний возможно, если методы расчета позволяют получать деформации бетона и арматуры конструкций во всех стадиях работы. Относительно просто эти величины определются в центрально-растянутых и центрально-сжатых элементах. Определение деформаций бетона и арматуры в изгибаемых и внецентренно сжатых элементах возможно лишь точными методами, в которых используются действительные диаграммы деформирования материалов.
 В практике проектирования специальных сооружений обычно используются приближенные методы, основанные на идеализированных диаграммах деформирования конструкций. Эти методы позволяют находить усилия Му Q, N в сечениях конструкций и их перемещения прогибы, углы поворота. Данные величины и используются в качестве нормирующих параметров предельных состояний.
 • Предельное состояние 1а обычно нормируют усилиями, принимая в качестве предельных усилия, соответствующие началу пластической стадии. Для пластически разрушающихся конструкций предельным является момент внутренних сил Mlltd, при достижении напряжениями в растянутой арматуре динамического предела текучести, и условие расчета по предельному состоянию 1а записывается для всех сечений в виде
 IМ х, таж Ми dx, 2.53
 где х — координаты сечений конструкций; тах — время достижения изгибающими моментами максимальных значений.
 • Для нормирования предельного состояния 16 обычно применяют деформационные параметры: прогибы, отношение прогиба к пролету, отношение предельного прогиба к упругому, углы раскрытия в пластических шарнирах, кривизны.
 Нормирование отношением прогибов часто применяют для однопролетных шарнирно опертых балок, условие прочности которых представляется в виде
 УтахУо ku УиУо
 где уи — предельный прогиб балки, т. е. прогиб перед началом разрушения бетона сжатой зоны; у0 — упругий прогиб, т. е. прогиб в момент возникновения текучести в растянутой арматуре; утах — максимальный прогиб, полученный из динамического расчета балки.
 Значения ku могут быть определены по графику рис. 2.20. Для предельного состояния 1а справедливо условие ku 1. Проведенные исследования показали, что для широкого класса пластически разрушаю¬
 66

щихся железобетонных конструкций балки, рамы, арки, оболочки, плиты и др. наиболее удобно в качестве нормирующей величины принимать углы раскрытия в пластических шарнирах.
 Использование этих величин при расчете прочности железобетонных конструкций было предложено А. А. Гвоздевым, который в результате анализа многочисленных экспериментов с железобетонными балками получил значения предельных углов раскрытия в пластических шарнирах гм 0,04 ... 0,08. Угол м зависит от процента армирования, причем с его увеличением значение гм уменьшается. Xsjf
 В последующих испытаниях балок на действие динамических нагрузок значение ги уточняли. В результате испытаний однопролетных, шарнирно-опертых балок при hl8 ...
 ... 112 была предложена формула
 0,035 при £0,018;
 1
 0,2 при I 0,018,
 где Е — относительная высота сжатой зоны в сечении с пластическим шарниром, определяемая по статическим расчетным сопротивлениям бетона и арматуры.
 Угол раскрытия трещин по этой формуле •соответствует достижению бетоном сжатой зоны предельной деформации при разрушении еь,т. Он определен с учетом деформаций балки как в пластической, так и в упругой стадии. Поэтому при динамическом расчете угол раскрытия t в пластическом шарнире определяют с учетом деформаций конструкции в упругой стадии. Эту деформацию вводят в виде некоторого условного угла раскрытия ге, который мог бы образоваться при деформировании конструкции в упругой стадии по пластической схеме. Например, для шарнирно опертой балки
 Pel 4 yj I,
 где у0 — прогиб балки в упругой стадии.
 Расчеты конструкций показывают, что нормировать предельное состояние большинства конструкций более удобно по пластическим углам раскрытия typi в пластических шарнирах, т. е. углами, которые возникли за время работы конструкции только в пластической стадии. Условие прочности конструкций, в которой образуется п пластических шарниров, имеет вид
 tyi i 1» 2, ..., tty 2.54
 где f — пластический угол раскрытия в i-м пластическом шарнире, полученный из динамического расчета.
 ч
 —
 0,1 0,2 0,5 Ofi 0,5 £ ±
 Рис. 2.20. График зависимости предельных значений относительных прогибов для железобетонной шарнирно опертой балки
 3
 67

• Для определения предельного пластического угла раскрытия рассмотрим участок конструкции вблизи зоны, в которой развиваются пластические деформации арматуры и бетона рис. 2.21, а.
 Длину пластической зоны обозначим lph взаимный поворот концевых сечений пластической зоны tp. Угол складывается из углов раскрытия трещин, образующихся в пластической зоне. При расчетах
 вместо пластической зоны рассматривают пластический шарнир, сосредоточенный в среднем сечении пластической зоны, причем угол раскрытия в пластическом шарнире равен углу г рис. 2.21, б. Так как
 ГрМ 1Р1. то
 V Ipllrpl Хр, Ipi,
 где Kpi 1 lrpi — кривизна пластической зоны.
 В предельном состоянии, когда деформации в сжатом бетоне достигают предельных значений еЬШ,
 Kpi — Kei 2.55
 где кривизны xu, xet определяют по формулам 2.37, 2.39, тогда
 ♦pi и — el lPi• 2.56
 Длина пластической зоны lpi зависит от напряженно-деформированного состояния элемента конструкции и в настоящее время может быть определена лишь на основе экспериментов.
 Р С 1 0,9 6, U A j4 А,. 2.57
 где Nu — предельное значение продольной силы при центральном
 сжатии; Е — относительная высота сжатой зоны при разрушении;
 10 — длина примыкающего к пластическому шарниру участка элемента, на котором изгибающий момент сохраняет знак; h0 — рабочая высота сечения; С — коэффициент, для пролетных сечений С 1, для опорных сечений С 0,7.
 Значение 0 зависит от изменения изгибающего момента по пролету балки и принимается равным для балки:
 Шарнирно опертой ... Защемленной на обоих концах:
 сечение в середине пролета . 0,5
 сечение на опорах 0,25
 О
 Рис. 2.21. Схема деформации участка балки в пластической зоне: а — действительная; б — расчетная
 68

Защемленной одним концом, шарнирно опертой дру-
 Неразрезной:
 сечемие на средних опорах . сечения в пролетах
 г им концом: сечение в пролете сечение на защемленной опоре
 0,7 0,3
 0,5 0,5
 Углы раскрытия ypi характеризуют локальные повреждения конструкции и их использование позволяет проследить процесс последовательного развития пластических деформаций в конструкции.
 О Для обобщенной характеристики способности конструкции к восприятию кратковременной динамической нагрузки применяются также энергетические критерии, нормирующим параметром в которых является полная энергия на разрушение конструкции. В частности, для конструкции, в которой образуются пластические шарниры, энергия пластического деформирования принимается равной
 Внешнее воздействие характеризуется суммой кинетической энергии и работы динамической нагрузки на перемещениях конструкции.
 В теории сейсмостойкости находят широкое применение параметры—отношение полных или пластических перемещений к упругому, которые позволяют оценивать способность конструкций и сооружений к пластическому деформированию.
 В условии 2.50, обеспечивающем растянутую арматуру от обрыва, величина es,m принимается равной
 где — предельное относительное удлинение арматуры при разрыве.
 ■ Если не удовлетворяется условие 2.54, то считается, что в конструкции возникло состояние 1в, характеризуемое полным или частичным разрушением конструкции.
 • Предельное состояние по пригодности к нормальной эксплуатации конструкций, деформации которых ограничиваются, нормируют перемещением, обусловливающим условия эксплуатации сооружения.
 Металлические конструкции из низкоуглеродистых сталей на однократное действие динамической нагрузки рассчитываются так же с учетом пластических деформаций. Однако в этих конструкциях развитие пластических деформаций, как правило, не приводит к разрушению сечения, как в железобетонных. Предельные состояния характеризуются обычно чрезмерными прогибами, при которых возможно нарушение связей с примыкающими конструкциями.
 • Нормирование предельных состояний железобетонных конструкций, подверженных аварийным ударным воздействиям, базируется на тех же принципах, что и импульсивно нагруженных конструкций, однако имеет ряд особенностей, связанных с местным деформированием
 wpi2Mu.dlh.
 s»m 0,6 Es,u»

и др. Так, для нормирования предельного состояния 1а при общем действии удара непосредственно по конструкции может быть использовано условие 2.53, однако предельный момент Mud в критическом испытывающем удар сечении должен быть определен с учетом ослабления этого сечения за счет внедрения ударника и дополнительного нарушения структуры бетона под ним. Например, для балок с одиночной арматурой
 Mu.d Rs,d As К — х2, 2.58
 здесь — площадь сечения арматуры; Л0 h0 — «шах — рабочая высота сечения, уменьшенная против номинальной h0 на глубину проникания; хх — коэффициент, учитывающий дополнительное хрупкое раздавливание бетона под индентором; х — высота сжатой зоны;
 х pRs.JiRb.d 2.59
 i — коэффициент армирования; х — коэффициент, учитывающий снижение осевой прочности сжатого бетона вследствие нарушения его структуры при предварительном поперечном локальном нагружении, х 1...0,5.
 Опыты показывают, что при ударе значительно большую опасность, нежели при распределенных воздействиях, представляет потеря прочности по наклонным сечениям. Так, для шарнирно опертых балок возможно разрушение от среза сечения примерно в третях пролета см. рис. 8.8, обусловленное влиянием на распределение поперечных сил высших форм колебаний. Для исключения потери прочности при расчете по предельным состояниям 1а и 16 должно выполняться условие
 IQ . 1 Qu.d , 2.60
 где Q ху t — динамическая поперечная сила; QUid — предельная поперечная сила, определяемая для балок при номинальных размерах сечения, так как опасное сечение в этом случае обычно не совпадает с критическим.
 Условие 2.60 приобретает особую значимость при нормировании предельных состояний железобетонных колонн, подвергающихся поперечным ударам, разрушение которых обычно происходит от среза сечения. В этом случае при определении Qud должно учитываться ослабление сечения, подобно тому как это сделано при определении Mud в балках.
 Оценка местной прочности железобетонных плит и оболочек, не имеющих поперечной арматуры, при расчетах по предельным состояниям 1а и 16 осуществляется из условия 2.51. Если же конструкция имеет насыщенную поперечную арматуру в зоне удара, то ее местная прочность будет исчерпана к моменту прекращения сопротивления, оказываемого поперечной и продольной арматурой, движению выбиваемого ударом бетонного конуса. В запас прочности целесообразно в качестве предельной назначать величину нормального смещения конуса
 70

yu,d соответствующего началу обрыва поперечных стержней, пересекаемых боковой поверхностью конуса. Условие прочности
 2.61
 где у — максимальное динамическое перемещение конуса, определяемое из динамического расчета.
 Для металложелезобетонных защитных оболочек АЭС условием прочности в предельном состоянии 16 является ненарушение сплошности металлической облицовки при условии пробивания железобетонной оболочки, т. е. при невыполнении неравенства
 где Ьр — минимальное пороговое значение толщины плиты или оболочки, при которой еще не происходит ее пробивание. Условие прочности в этом случае можно принять в виде 2.61, где yud — предельное перемещение выбитого конуса, соответствующее началу нарушения сплошности облицовки.
 Нормирование предельного состояния 1в плит и оболочек, выполняющих функции ударозащиты основных конструкций на местное действие удара, может быть осуществлено с использованием параметра остаточной скорости
 где vre8 — остаточная непосредственно после пробивания скорость выбиваемого бетонного конуса; vreStCr — критическая остаточная скорость удара, вызывающая в конструкции ту или иную степень повреждёний в соответствии с устанавливаемым для нее предельным состоянием.
 2.62
 fres,cr
 2.63

ГЛАВА 3
 РАСЧЕТ КОНСТРУКЦИЯ НА ДЕЙСТВИЕ ВЗРЫВНОЙ НАГРУЗКИ, КАК СИСТЕМЫ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ
 3.1. Общие положения
 Инженерные конструкции балки, рамы, плиты с точки зрения динамики сооружений представляют собой системы с бесконечным числом степеней свободы. Расчет конструкций в такой постановке приводит к необходимости использования бесконечных рядов для упругих конструкций или численных методов расчета с применением ЭВМ для нелинейно деформируемых конструкций. Эти методы изложены в последующих главах.
 Системы с конечным числом степеней свободы и, в частности с одной степенью, возникают в динамике сооружений обычно в результате приведения расчетной схемы конструкции к динамически более простой. Такое приведение осуществляется различными методами, но принципиально результат всех этих методов один: системы с бесконечным числом степеней свободы, какими являются любые деформируемые тела, заменяется системой с конечным числом степеней свободы.
 Необходимое число степеней свободы зависит от условий расчета и типа конструкции. Например, для вибрационных расчетов в резонансной стадии требуется знание частот колебаний конструкций. Чем более высокие частоты необходимы, тем больше приходится принимать степеней свободы. При расчете же конструкций на действие кратковременных, непериодических сил обычно требуется определить максимальные перемещения и усилия, для чего достаточно знание закона движения конструкции в начальные моменты времени. На это движение существенно влияют, как правило, только низшие частоты, и поэтому в данном случае достаточно ограничиться небольшим числом степеней свободы и часто лишь одной.
 Методы приведения конструкций к системе с конечным числом степеней свободы можно разбить на две группы. В одной группе методов приведенная расчетная схема получается путем замены непрерывно распределенной по конструкции массы одной или несколькими сосредоточенными массами. Такой прием особенно целесообразен для конструкций, у которых наряду с распределенной массой имеются значительные сосредоточенные массы, например балка с прикрепленными к
 72

ней тяжелыми грузами, массивный фундамент, расположеннь i на грунте или виброизоляторах.
 В другой группе методов ограничение числа степеней свобо ы конструкции осуществляется путем выбора из всего множества фо м перемещений, определяемых дифференциальным уравнением задачи, нескольких форм, играющих определяющую роль в рассматриваемом процессе. Особенно целесообразен этот метод для расчета на действие кратковременных нагрузок, когда требуется определить усилия в конструкциях.
 При расчете конструкций весьма эффективно используются коэффициенты динамичности, позволяющие свести динамический расчет к статическому путем замены динамической нагрузки некоторой эквивалентной статической. Различают два коэффициента динамичности: коэффициент динамичности перемещения и нагрузки.
 • Коэффициент динамичности перемещения k определяется как отношение максимального перемещения системы при динамической нагрузке .Ушах к перемещению системы y8t, вызванному статической нагрузкой, равной по величине максимальному значению динамической нагрузки:
 • Коэффициент динамичности нагрузки kD определяется как отношение величины статической нагрузки Pst к максимальному значению динамической Ртах d, которые вызывают в системе одни и те же усилия перемещения:
 Для линейно-деформируемых систем оба коэффициента динамичности равны kv kf. Для нелинейно-деформируемых систем в которых сила и перемещение связаны нелинейной зависимостью эти коэффициенты не равны kv Ф kf. При этом для систем с «жесткой» восстанавливающей силой kv kf, а для систем с «мягкой» восстанавливающей силой kv kf.
 При расчете нелинейно деформируемых конструкций более удобным является использование коэффициента динамичности по нагрузке kv. По его значению определяется величина эквивалентной статической нагрузки
 3.2. Расчет массивных жестких элементов на деформируемых связях
 Рассмотрим систему с одной степенью свободы в виде сосредоточенной массы т, прикрепленной деформируемой связью к неподвижной опоре рис. 3.1. Для усилия в связи R, называемого восстанавливающей силой, в дальнейшем примем законы деформирования, наиболее часто встречающиеся в практике.
 Упъ У st-
 3.1
 3.2.
 3.2а
 73

Рис. 3.1. Упругопластическая система с одной степенью свободы
 Уравнение движения изображенной на рис. 3.1 системы, подверженной действию внешней динамической нагрузки Р , получается на основании принципа Даламбера из условия равновесия всех сил, включая силы инерции
 d2y dt:
 Pt—m Ry 0. 3.3
 m
 dt2
 т. e.
 m-LRy Pt.
 at2
 3.2.1. Система с произвольной восстанавливающей силой. Рассмотрим движение системы с одной степенью свободы, у которой восстанавливающая сила при нагрузке, т. е. при росте перемещения, является произвольной функцией R у перемещения у см. рис. 3.1. При разгрузке предполагаем линейную зависимость R от у вида
 Ry с у — yR,
 где yR утах — R утахс, утах — максимальное перемещение системы при 0; с — жесткость системы при разгрузке.
 В этом случае уравнение движения системы имеет такой вид: при нагрузке
 3.4
 при разгрузке
 т- сУУн р0. 3.5
 При произвольных зависимостях R уг и Р t уравнение 3.4 может быть проинтегрировано лишь численными методами. В настоящее время имеются стандартные программы решения на ЭВМ дифференциальных уравнений широкого класса. В случае, когда нагрузка Р t является мгновенно приложенной постоянной во времени, т. е. Р t Р — const, уравнение 3.4 интегрируется в квадратурах.
 Учитывая, что

получим
 Ух
 о
 Найдя отсюда
 Т tYiRWJy-POf
 dt _ -1 Г т
 Z “ У
 dyl
 у dy
 о
 yf рУ i - J R I будем иметь
 0‘iTs— , 3-7
 ° 1 PyiDt- Rydy
 w О
 Постоянные интегрирования Dx и D2 найдем из начальных условий: t 0, у1 0, 0. Тогда из 3.6 и 3.7 получимDx D2 0. Максимальное перемещение системы, достигаемое в момент, когда
 — 0, определим из уравнения
 Pyx J R у dy. 3.8
 0
 В качестве примера примем выражение для восстанавливающей силы в виде
 R у ky 3.9
 где п — некоторое число.
 В этом случае получим из формулы 3.8
 У max ; Rym п I P. 3.10
 Найдем коэффициенты динамичности по формулам 3.1 и 3.2. Учитывая, что
 тГ: p™d p pst ky™ n Vp
 найдем
 kfSsss. Л »•, 3.11
 Уч
 0 Р
 -я1. 3.12
 max
 Значения kf и kv при различных значениях п приведены в табл. 3.1.
 75

7 иблица 3. 1. Значение коэффициента динамичности
 tl
 0,2
 0,5
 0,6 1
 2 3
 5
 10
 ч
 2,49
 2,25
 2,09
 2
 1,73 1,59
 1,43
 1,27
 К 1,2 1,5 1,8
 2
 4 3 6
 11
 ■ Из таблицы следует, что величины коэффициентов динамичности существенно зависят от значения п, определяющего характер восстанавливающей силы. При п . 1 «мягкая» восстанавливающая сила kf К ПРИ я 1 «жесткая» восстанавливающая сила kf Лг.
 Движение системы в области разгрузки описывается уравнением
 3.5 при начальных условиях:
 шах У2 У шах Утах’ У2 — О, где та х — время достижения максимального перемещения системы» определяемое из 3.7 при yL у тах.
 Уравнение 3.5 является линейным и поэтому его решение можно легко получить.
 Рассмотрим движение системы, вызванное действием только мгновенного импульса i. В этом случае перемещение в области нагрузки находим из уравнения 3.4 при условиях Р t 0, уг0 0;
 2
 У 0 ’т- Тогда из 3.6 Dx Уравнение для определения максимального прогиба получаем из 3.6 при 0.
 Ул1 , 2
 Для системы с восстанавливающей силой вида 3.9 значение максимального прогиба
 3,3,
 3.2.2. Система с идеальной упругопластической восстанавливающей силой без упрочнения. Предполагается, что восстанавливающая сила R у имеет вид ломаной линии рис. 3.2 и состоит из двух отрезков прямых, первый из которых наклонный отвечает упругой, а второй горизонтальный — пластической стадии работы, т. е. при
 У — Уо я у су;
 С
 при
 у — R у R0 const.
 С
 Точка над функцией означает дифференцирование по времени.
 76

Прочность идеальной упругопластической конструкции характеризуется величиной предельного перемещения уиУ так как в пластической стадии усилие в конструкции остается постоянным, т. е. должно быть соблюдено условие У Уи-
 Принимая в 3.3 R су, получаем уравнение движения системы для упругой стадии:
 9. 314
 а2
 Для пластической стадии найдем уравнение, полагая в 3.3 R у R0:
 m-SRoPt. 3.15
 at£
 Таким образом, при расчете идеальной упругопластической системы уравнение 3.3 распадается на два линейных дифференциальных уравнения.
 Решение уравнения 3.14 имеет вид
 1 t
 y-i — A sin о t -- В cos dt -j f Рт sinD£ — т dt9 3.16
 m со 0
 где А и В — постоянные находим из начальных условий; при нулевых начальных условиях А В 0; о Уст — круговая частота собственных колебаний системы.
 Выражение 3.16 справедливо до момента времени t0, при котором
 У Uo Уо Roc.
 При t tо справедливо уравнение 3.15, решение которого имеет вид
 к J р 0 dt—R0 t—10 j yi t0; 3.17
 у — l J p dt -R- o—■ 1ft « Iv зл8
 m L. и J J
 Максимального перемещения система достигает в момент времени тах. когда уг tmax 0
 У max Уг тах-
 Рассмотрим более подробно расчет системы при Р t Р0 const и при у1 0 0, yt 0 0. Тогда из 3.16 имеем
 уг 1 — cos ю t. 3.19
 С
 77
 Рис. 3.2. Диаграмма деформирования идеальной упругопластической системы

Момент t0 конца упругой стадии находим из выражения
 СУ л 1 — cos cat R0, т. е. 3.20
 о t0 arc cos 1 — j •
 Отсюда следует, что в системе возникают пластические деформации, если R0P0 2.
 При t U имеем
 и РоО . о о . Г 20 1
 yito —— sine - —5 1 .
 С с у R0
 3.21
 Из выражений 3.19 и 3.21 получим перемещение системы в пластической стадии:
 3.22
 Время достижения максимального перемещения, определяемое из уравнения уг t 0, равно
 f —f I VPqRq 1 о оо
 ш1_р0 • 3-23
 Подставив 3.23 в 3.22, после элементарных преобразований по¬
 лучим выражение для максимального перемещения системы
 «max — . 3.24
 ■max с 21_ро V
 Из полученных выражений следует, что система работает в пластической стадии, имея конечные перемещения, если
 0,5?о Ро ?о 3.25
 При Р0 0,5 R0 система работает только в упругой стадии и ее
 максимальное перемещение
 «шах 2 Р0С. 3.26
 Найдем выражения для коэффициентов динамичности системы. Коэффициент динамичности нагрузки для упруго пластической системы в соответствии с формулой 3.2.
 К ЯоJV 3.27
 Из 3.24 и 3.27 получим выражение для kv в зависимости от упругопластического прогиба:
 К • 3.28
 0 1-0,5, v
 78

Коэффициент динамичности перемещения принимают равным
 kf max
 yst
 3.29
 3.30
 где yat Р0с.
 Используя формулу 3.24, выразим коэффициент k через kt:
 Формулы 3.27 и 3.30 позволяют легко проверить несущую способность системы. По заданным величинам динамической нагрузки Р0 и предельной восстанавливающей силы R0 находят коэффициент kD. По формуле 3.30 определяют коэффициент kf и проверяют условие прочности
 Ут ах —kfPjc У и • 3.31
 При расчете конструкции на заданную динамическую нагрузку Р устанавливают предельное отношение уу0, и, определив по формуле 3.28 kVi находят Psi P0kv, по которой подбирают сечение.
 Рис. 3.3. Зависимость коэффициента динамичности от максимального перемещения при воздействии на систему постоянной силы
 На рис. 3.3, 3.4 представлена зависимость kv от перемещений для различных видов нагрузок.
 3.2.3. Система t упругопластической восстанавливающей силой с линейным упрочнением. В этом случае восстанавливающая сила имеет вид
 R у су при 0 у у0 ,
 С
 R у Cl Яо 1 — -7ПРИ у Уо-
 3.32
 79

Уравнение движения 3.3 системы распадается на два линейных дифференциальных уравнения:
 cyipw
 при 0 « Уо т Сгу2 Р t—R0 1 — -yj при уг у0.
 3.33
 3.34
 При решении этих уравнений необходимо соблюдать условие непрерывности перемещения и его скорости, т. е.начальными значениями для уравнения 3.34 будут перемещения и скорость, полученные из решения уравнения 3.33.
 2
 1,8
 1,6
 1,2
 Ю
 0.8
 0,6
 0,4
 0,2
 О
 r
 У
 T
 y
 If
 w
 У
 Щ
 p
 -1
 V
 ✓
 7
 t
 1—
 V
 1
 i
 1
 1 1 1
 Ута 1
 V
 2
 10
 2 Ч 6 8 10 12 14 16 18 ЬТ
 Рис. 3.4. Зависимость коэффициента динамичности от показателя экспоненты при различных значениях максимального перемещения
 Решение уравнения 3.33 при Р £ Р0 const и нулевых начальных условиях уг 0 0, ух 0 0 было получено выше. Используя формулы 3.20 и 3.21, получим начальные условия для уравнения 3.34:
 при t tо Уг to Roc;
 к 0 -7 о —1 • 3.35
 В этом случае решение уравнения 3.34 запишем так:
 У W VЧг -1 sin ®»7
 _«а.1__Рй.С08ю1Г 3.36
 С Ro J Ci
 где ■ У cjm; t t — t0.
 80

Определив время достижения максимального перемещения из уравнения у2 0 0, после преобразований получим выражение для мак¬
 симального перемещения системы:
 1
 Усилие, возникающее при этом в конструкции, равно
 3.37
 3.38
 Зависимость коэффициента динамичности kv от максимального перемещения при воздействии на упругопластическую систему с линейным упрочнением постоянной силы приведена на рис. 3.5.
 Рис. 3.5. Зависимость коэффициента динамичности от максимального перемещения при воздействии на упругопластическую систему с линейным упрочнением внезапно приложенной силы
 3.2.4. Система с жесткопластической восстанавливающей силой.
 При расчете конструкций, в которых возможно возникновение пластических деформаций, значительно превосходящих упругие, иногда пренебрегают работой конструкции в упругой стадии, учитывая ее движение только в пластической стадии. При этом предполагают, что конструкция будет находиться в покое до тех пор, пока внешняя динамическая нагрузка не достигнет величины, равной предельному упругому значению R0 восстанавливающей силы. В этом случае уравнение движения системы имеет вид
 т Р0—3.39
 at2
 81

Интегрирование этого уравнения при нулевых начальных условиях дает
 fP0 dt-M; 3.40
 т
 dt
 о
 ту I 341
 0 0 1
 Из уравнения 3.39 следует, что для остановки системы необходимо, чтобы, начиная с некоторого момента времени, Р f было меньше R0. Поэтому если жесткопластическая система приведена в движение постоянной во времени нагрузкой, то перемещение системы получит бесконечное значение.
 Рассмотрим нагрузку, изменяющуюся по закону Р t Р0 1 —g, где Р0 R0. Тогда из 3.40 и 3.41 получим
 £-• 342
 3-43
 Время достижения максимального перемещения находим из условия
 о-
 dt
 max 20l-A-. 3.44
 Подставив тах в 3.43, получим величину максимального перемещения
 2Р002 , RoV о л
 v™—1 - тг 345
 Отсюда коэффициент динамичности нагрузки равен
 з-4б
 Для случая жесткопластической системы с упрочнением имеем
 R У R0 су, 3.47
 и уравнение движения системы принимает вид
 m cy Pt-R0. 3.48
 at2
 При постоянной во времени нагрузке Р Р0 решение уравнения 3.48 запишется так:
 У po-R„ 1—cosXf.
 где к Vcm — параметр частоты колебаний.
 82

Максимальное значение прогиба _ 2Ро-Я« _
 У max
 2 Я0
 3.49
 С
 Отсюда
 Н
 Уо Лс.
 1 -- 0,5 у у0
 где
 3.3. Методы сведения расчета конструкций к системе с одной степенью свободы
 Приближенный динамический расчет конструкций как систем с одной или несколькими степенями свободы сводится к решению дифференциальных уравнений 2-го порядка. Рассмотрим два наиболее распространенных метода получения этих уравнений.
 3.3.1. Метод Бубнова — Галеркина. Этот метод, предложенный И. Г. Бубновым и развитый Б.Г. Галеркиным, применяют при решении краевых задач дифференциальных уравнений в частных производных. Особенно широко его используют в тех случаях, когда уравнение нельзя решить методом Фурье переменные не разделяются или если собственные функции представляются громоздкими выражениями.
 Согласно методу Бубнова — Галеркина, решение дифференциального уравнения в частных производных
 где L — дифференциальный оператор; w х t— функция, удовлетворяющая некоторым граничным и начальным условиям, представляют в виде
 где Xt х — известные функции «координатные», которые выбираются так, чтобы они удовлетворяли всем граничным условиям задачи и их набор был достаточно «полным» в том смысле, что они позволяют представить в виде рядов достаточно широкий класс функций; yt — неизвестные функции времени. Аналитически условие полноты системы функций Xt х выражается так: если для некоторой функции г х при всех Хг х выполняется равенство
 то г х 0.
 При практическом использовании метода в выражении 3.50 учитывается конечное, часто небольшое число членов и даже один.
 L w О,
 w х, у S Hi 0 xi
 3.50
 J Xt x T x dx 0,
 0
 3.51
 83

Подставим формулу 3.50 в выражение L до и потребуем выполнения системы равенств согласно 3.51 при г L до:
 J L У1 0 хг xJ X х dx 0,
 1.
 п,
 3.52
 ИМЙШ-
 которые благодаря полноте системы Xjx обеспечивают удовлетворение исходного уравнения с тем большей точностью, чем больше взято членов в сумме 3.50. Равенства приводят к системе обыкновенных дифференциальных уравнений для функции У1 it.
 Применим метод Бубнова — Галеркина к решению уравнения движения упругой балки.
 Уравнение движения конструкций получают из уравнений равновесия, в которые в соответствии с принципом Даламбера к внешним нагрузкам добавлены силы инерции.
 Рассмотрим балочные конструкции. Обозначим через до ху t — прогиб сечения балки с координатой х в момент времени t, вызванный действием статической и динамической нагрузок; Р » Ч — интенсивности распределенных динамической и статической нагрузок; т — масса балки на единицу длины.
 Уравнения динамического равновесия элемента балки рис. 3.6 имеют вид
 Рис. 3.6. Усилия в элементе балки
 д Q I d2w —— — p q—m , 0
 дх г dt
 дМ
 дх
 отсюда
 д2М d2w 4 T mTF px •
 3.53
 Уравнение 3.53 является простейшим, так как в нем не учтен ряд факторов: влияние деформаций сдвига и инерции вращения, которые
 значительны в балках относительно большой высоты pj-
 Для упругой балки
 d2w
 L w EI
 М —EI
 dw
 дх4
 -т
 дх2
 d2w
 dt2
 ■р х, t 0.
 3.54
 При решении ограничимся только одним членом ряда в выражении 3.51.
 84

Представим нагрузку в виде
 р С. О pf О fi ,
 3.55
 где р — некоторое фиксированное значение интенсивности нагрузки. Для прогиба балки примем выражение
 где Xst х — функция форма прогибов, равна перемещениям балки от действия статической нагрузки интенсивностью pfx дг.
 Такой прием возможен, поскольку, как показывает анализ точных решений, изменение по пролету усилий и прогибов приблизительно подобно их изменению от статического действия нагрузки, причем это подобие выполняется в течение большого промежутка времени, включающего моменты достижения конструкцией наибольших усилий и перемещений.
 Функцию Xst лг определяем из уравнения
 Подставляя формулу 3.58 в уравнение 3.54 и используя условие
 Уравнение 3.59 удобно использовать в безразмерном виде. Если положить
 W , t у t Xst х,
 3.56
 EIXv х pfг х
 3.57
 с соответствующими граничными условиями. Представим Xst х в виде
 Хл х Хх,
 w х, t yt-§- X х.
 3.58
 I
 L w х, 0 X 0 dx 0,
 находим
 У 0 0 у 0 © 0,
 3.59
 где
 3.60
 0
 И X2 W dx
 3.61

то
 dy
 У
 Ш- 3 62
 ds2
 Рассмотрим несколько примеров. Распределение нагрузки по пролету балки примем равномерным, т. е. fix 1, а функцию прогибов X х найдем из уравнения
 X™ х 1. 3.63
 Для балки с шарнирно опертыми концами при х 0 и х IX 0, X 0.
 Из уравнения 3.63 находим
 Л-Т¥т-; 364
 из уравнения 3.60 имеем
 _ 12Г ЁТ 9,876 ГЁТ ,оАгч
 со —iz I —1 1 . 3.65
 131 рут. 12ут
 Для балки с жесткозащемленными концами при х 0 и х I X 0, X 0. В этом случае получим
 366
 «Ж. 3.67
 2 у т Рут V 7
 Для балки с упругозащемленными концами при х 0 М — — ПРИ х М k где k — коэффициент жесткости заделки. Отсюда имеем граничные условия для функции прогибов: JC о X 0, X X; при х I X 0, X” — X.
 После вычислений получим
 х II т-1х НГ Yl JY ъ’ 3-68
 О
 где
 k 2 , kl
 Vi ; V2 ; « —
 r 2 k r 2 k El
 г
 О 	г2 1
 2 V т ’
 12
 5 	k
 1 —
 62 fe«J . 3.69
 1,33331,7381 0,4523 Jfe2
 0,4563— 2 ft2

Случай k О соответствует шарнирным опорам; k оо — жестким опорам.
 В табл. 3.2 приведены значения г, г2 при некоторых значениях k.
 Таблица 3. 2. Значения коэффициента частоты
 k
 0
 1
 5
 10
 20
 100
 оо
 Г2
 97,56
 148,74
 163,25
 298,14
 350,6
 414,33
 500
 Г
 9,87
 11,55
 12,77
 17,26
 18,72
 20,35
 22,4
 Изгибающий момент равен
 М х, t -у . 3.70
 ■ Таким образом, динамический расчет упругих конструкций сводится к решению уравнения 3.62, зависимость которого от свойства конструкции проявляется только в величине частоты колебания со. В рассмотренных примерах частоты колебаний балки см. формулы 3.65 и 3.67 почти совпадают с низшими-частотами колебаний балок, определенными в строгой постановке. Это объясняется тем, что статическая форма прогибов X х близка к форме собственных колебаний балки с низшей частотой. Указанное обстоятельство можно использовать при приближенных динамических расчетах довольно широкого класса конструкций. При этом перемещения и усилия находятся умножением их некоторых статических значений на функцию времени yt, определяемую из у равнения 3.62. Значение частоты со можно принять равным частоте собственных колебаний, для которой форма колебания подобна статической форме перемещения конструкции от нагрузкираспределенной по поверхности конструкции аналогично динамической. Значения частот собственных колебаний можно принимать по имеющимся литературным и справочным данным.
 Далее рассмотрим расчет тонкой прямоугольной пластинки под действием кратковременной нагрузки, вызывающей большие упругие прогибы. В таких пластинках под действием поперечной нагрузки наряду с чисто изгибными напряжениями возникают мембранные напряжения.
 Напряжения от изгиба и мембранные сравнимы по величине, если отношение стрелы прогиба w пластинки к ее толщине 6 находится в
 пределах 5. Если 5, то напряжениями изгиба можно
 пренебречь и рассмотреть пластинку как гибкую мембрану. Такие пластинки относятся к геометрически нелинейным, в которых изменение положения точек тела в результате деформирования влияет на напряженное состояние.
 87

Будем считать, что один из размеров пластинки значительно превышает другой. Если условия закрепления пластинки вдоль большей стороны одинаковы, то участки пластинки, достаточно удаленные от короткого края, будут изгибаться по цилиндрической поверхности. Тогда задача сведется к расчету балки-полоски единичной ширины с пролетом , равным длине короткой стороны пластинки.
 Уравнение колебания гибкой балки-полоски
 D т . _N ■,, 3.71
 дх4 di дх2 Г V где D — цилиндрическая жесткость пластинки; N t — продольная сила, вызываемая удлинением средних волокон.
 При выводе уравнения 3.71 были опущены продольные силы
 d2u
 инерции тЭто допущение приводит к тому, что продольная сила не зависит от координаты х и может быть определена из выражения
 Nt ± и , t-u О, t -L J g2 dx j , 3.72
 где и , t и и о, t — горизонтальные перемещения концов полоски. Выражение для изгибающего момента
 М 3-73
 Нагрузку примем равномерно распределенной. Концы полоски будем считать упругозащемленными и упругоподатливыми в горизонтальном направлении. Граничные условия можно записать:
 при х 0 w 0; М — k ; N си 0, ;
 дх
 при х 1 ш 0; M N —cul,t,
 где k и с — коэффициенты жесткости.
 Тогда выражение для продольной силы примет вид
 3.74
 771 375’
 о
 11
 о
 2 Е 6
 cl
 При несмещаемых концах полоски с оо и £ 1
 88

Найдем приближенное решение уравнения 3.71 методом Бубнова
 — Галеркина. Выражение для прогиба примем в виде
 3J6
 где X х — см. формулу 3.68, т. е. является формой статического прогиба балки без учета удлинения средних волокон.
 Из формулы 3.68 имеем
 X 12 lBlt 3.77
 где
 °5 Yi jj-j; Yi:
 2-fA
 у2 —; k — . п 2 k D
 Очевидно, что функция у t определяет прогиб середины балкиполоски. Из формул 3.75 и 3.76 найдем
 3.78
 где
 О
 X 0,3714—0,7 Yi—0.5 Y2 О»5 YiY -у
 Представив нагрузку в виде р pf , подставим выражение 3.76 в уравнение 3.71 и после вычислений, согласно методу Бубнова — Галеркина, получим
 t
 Ny j XXdx ..
 j « »,♦’? ji »■ IV 3.79
 m J X2dx
 где
 l 12 J Xdx
 O’ —
 3.80
 89

л — Г ХЧх — —
 I• . 144 7
 23 2 У 7 у2
 72 21 60
 Vi
 20
 , Vi , Vi У2
 Величина со равна частоте колебания балки при отсутствии мембранных напряжений.
 Уравнение 3.79 запишем в безразмерном виде: d2y
 d t
 где
 у ; ’
 a 6 Aj 1 —у2 . wst
 BBt ’ T 6 ’
 wst pX 12 D — наибольший статический прогиб балки от действия нагрузки интенсивностью р без учета мембранных усилий.
 Нелинейные свойства конструкции, обусловленные возникновением мембранных напряжений, проявились в нелинейности разрешающего уравнения 3.81.
 Коэффициенты в формулах 3.78 и 3.81 в зависимости от условий закрепления концов полоски:
 при шарнирном опирании k 0, Vi 0, v2 1 и при v 0,3
 2,73 А7 . п- £6 2
 а —1— ; N 4,95 у2;
 I 2 т
 при жестком защемлении
 л 0,615
 k оо; 7il; 7-0; а —— ;
 N 4,8 у2. 3.82
 2 ii
 3.3.2. Вариационный метод. В вариационных методах расчета ис ходят не из дифференциальных уравнений движения конструкции, а непосредственно из вариационных принципов, выражающих общие законы механики. Например, движение механических систем, на которые действуют потенциальные силы, подчиняется принципу Гамильтона.
 • Согласно принципу Гамильтона, система движется в промежутке времени от t до t2 таким образом, что интеграл
 yK-U Wdt 3.83
 90

принимает стационарное значение К — кинетическая энергия системы; U — потенциальная энергия; W — потенциал внешней нагрузки.
 Перемещение системы ищется в виде ряда 3.50 по полной системе координатных функций:
 где Хк х — известные функции, удовлетворяющие граничным условиям задачи координатные функции.
 Так как движение системы определяется функциями ук , то их называют обобщенными координатами. Значения энергий, входящие в формулу 3.83, являются функциями обобщенных координат, и условия стационарности интеграла приводят к уравнениям Лагранжа 2-го рода:
 Рассмотрим однопролетную балку пролетом , на которую действует динамическая нагрузка интенсивностью р .х, . Начало осей координат расположим в середине балки. Прогиб обозначим w х, . При малых значениях прогибов выражение для кривизны имеет вид
 Предполагая, что для каждого сечения балки известна зависимость между изгибающим моментом и кривизной
 найдем выражение для кинетической и потенциальной энергий балки: кинетическая энергия
 п
 w х, t 2 yk t Xk x,
 k
 3.84
 3.87
 -42
 потенциальная энергия деформаций балки 2 1р
 3.88
 — 12 О
 Потенциал внешней нагрузки
 12
 3.89
 -12
 91

Пусть зависимость изгибающего момента от кривизны представлена многочленом нечетной степени:
 м 2 У -2В„, 3.90
 п 1,3,.. Р Вп — коэффициенты, могут быть как постоянными числами, если рас сматривается балка постоянной по пролету жесткости, так и функция ми от х для балки переменной жесткости.
 Из формул 3.86, 3.88 и 3.90 получим
 и‘ У s £rA,fe зш
 — 2 п 1,3,...
 Выражение для прогиба w х t будем искать в виде одного члена ряда 3.84:
 X, 0 У 0 х х. 3.92
 Следует иметь в виду, что принятие формы перемещения, не изме¬
 няющейся в процессе деформирования конструкции, является довольно приближенным,так как в действительности форма прогибов может существенно меняться. Это особенно характерно для случая, когда зависимость М М 1р является «мягкой». Поэтому излагаемый расчет позволяет получить только приближенные значения прогибов.
 Найдем выражения для скорости и кривизны сечения балки:
 w ytX х; 3.93
 wxx ytXx.
 Подставляя 3.87, 3.89 и 3.91 и 3.85 и учитывая 3.93, получаем уравнение движения балки:
 » 2 394
 п 1,з,
 72
 1
 где Fn — J BnXyldx-,
 т 1 -12 12 12 Ьг ХЧх Pi J pXdx.
 — 12 —2
 3.95
 Найдем величины коэффициентов для шарнирно опертой балки постоянной жесткости по пролету, на которую действует равномерно распределенная нагрузка интенсивностью pf t. В качестве координатной функции в формуле 3.92 примем X х cos jx. В этом случае
 92

A Bn яМ»1 I , 14 n
 ml 1
 где „ cosn11 d I
 Я2
 nil 71
 л1П 2
 при n 1 fi— -ir®
 4 m 4
 2
 Если диаграмма деформаций материала балки, например, подчиняется закону о Ехъ — -Езб3» то зависимость изгибающего момента от кривизны М — В3 х8, где Вх Exbh22 Въ E2bhb80.
 Уравнение 3.94 примет вид
 У Fjy — F3f3 4р t лт, 3.96
 гпр г . г 3 я8 Дз
 А 1 4 ’ 3 “ •
 г т 4 Is т
 Пусть нагрузка р t постоянна во времени р tp. В этом случае первый интеграл уравнения 3.96 при нулевых начальных условиях имеет вид
 3.97
 2 2 4 пт 9
 Отсюда получаем уравнение для определения максимального прогиба балки
 1ж b-f-AP 3.98
 2 4 пт
 Если уравнение 3.98 не имеет положительных корней, то это свидетельствует о разрушении балки.
 3.4. Расчет шарнирно опертой железобетонной балки
 3.4.1. Упругая стадия. Уравнение движения балки в этой стадии имеет вид 3.53.
 Предполагаем, что в результате действия статической нагрузки q х в бетоне растянутой зоны наиболее напряженных участков балки возникли трещины. Такое предположение обычно справедливо для балочных конструкций с ненапрягаемой арматурой, которые рассматриваются в данной книге.
 93

Представим прогиб и изгибающий момент в виде сумм:
 W х, О y3t х у X, ty, М х, t Mst х Md дс, 0.
 где Уst , M8t х — прогиб и изгибающий момент, вызываемые действием только статической нагрузки q х; у .х, ty Md .х, t — прогиб и изгибающий момент от действия динамической нагрузки.
 Подставив эти выражения в уравнение 3.53 и учитывая, что
 — d2 Mst dx q xy получим уравнение
 Для участков балки с трещинами в растянутой зоне справедлива завйсимость
 где В — жесткость балки, определяется по формуле 2.43.
 Распространим зависимость 3.100 на остальные участки балки. Тогда из формулы 3.99 получим уравнение для динамического прогиба балки
 Прогибы и усилия от действия статической нагрузки находят по теории железобетона согласно СНиП 2.03.01—84.
 Ниже рассматриваются методы определения прогибов и усилий, вызываемых динамической нагрузкой.
 Для приведения балки к системе с одной степенью свободы применим метод Бубнова—Галеркина, согласно п. 3.3.1. Как показано выше, при динамических нагрузках, распределение которых по пролету во времени не меняется, наибольшую точность дает форма прогибов, полученная от действия статической нагрузки с таким же законом изменения по пролету, как и динамическая.
 Динамическую нагрузку представим в виде
 3.99
 3.100
 3.101
 Усилия в сечениях балки от полной нагрузки будут равны
 М ху t M8tx Md ху t
 Q , t Qst x Qd x, ty
 3.102
 где
 P x, t pfL x f 0,
 3.103
 94

где р — некоторое фиксированное часто наибольшее значение динамической нагрузки; ft х, f t — функции, характеризующие изменения нагрузки по пролету и во времени.
 Для прогиба балки примем выражение
 у х, t р F х Т t, 3.104
 где F х — функция форма прогибов, равна перемещениям балки от действия статической нагрузки интенсивностью f1 х.
 Функцию F х определяют при решении уравнения
 в dF х врIV до _3 Ю5
 dx4
 Она должна удовлетворять граничным условиям на концах балки, зависящим от вида опорных закреплений.
 Функцию Т , описывающую перемещение конструкции во времени, обычно называют функцией динамичности. При расчете конструкции в упругой стадии основное значение имеет ее наибольшая величина, называемая коэффициентом динамичности.
 Подставим формулу 3.104 в уравнение 3.101, получим ошибку, так как выражение 3.104 не является точным решением уравнения
 3.101:
 L х, t РВ Fw х Т 0 mp F х Т t-pfг х t
 Р Т 0 h mf t F x-U x f 0j.
 Согласно методу Бубнова — Галеркина,
 i
 L дс, t F x dx ■- 0. 3.106
 Из равенства 3.106 получим дифференциальное уравнение для функции Т :
 Tt о2Г со2 f , 3.107
 где
 i
 J fi х F х dx
 02-j . 3.108
 m J F2 x dx
 о
 Значение со является круговой частотой колебаний балки и зависит от вида опорных закреплений.
 Для балки с шарнирно опертыми концами граничные условия:
 при х 0их1у 0;
 М — В-0, m. е. F 0, F 0.
 дх
 95

Найдем F х из условия 3.105 при fi х 1:
 BFiv 1; BF111 х х Сг;
 ЯЯ‘ х -С1х С2;
 BF х - ■Ci -£-■ С2х С3;
 о 2
 fl7 дс —-f Сх — С2 ——Ь Сах 4- С4.
 24 о I
 Из граничного условия F 0 0, F” 0 0 следует
 С4 С2 0.
 Из условий F I 0, F I 0 получим
 — С4 0, Ci —,
 iL—LJLc.i-0. с3А
 24 2 6 3 3 24
 Таким образом,
 fw-T?5-T-W-T 3109
 Заметим, что аналогичное выражение без вывода было дано в ви¬
 де формулы 3.64.
 Подставив выражение 3.109 в 3.108, получим
 310
 Изгибающий момент и поперечная сила в балке равны:
 М х, t -BL -рГ х Г -fi- Цх-хг Т 0 3.111
 при гр-по;
 Qx,t-L.£-l-2xTl 3.112
 дх 2
 при х 0, Q0, 0 -f-7’ . 3.113
 Найдем решения уравнения 3.107 для двух законов изменения нагрузки во времени, наиболее часто встречающихся в расчетах.
 При этом начальные значения Г 0 и Г 0 определяют из условия, что прогиб балки и скорость ее перемещения равны нулю.
 96

p w-
 Из выражения 3.104 имеем
 Т 0 0; Т 0 0. 3.114
 Нагрузка вида см. рис. 1.15, а
 р 1—— приО0;
 I е v 3.115
 0 при 0.
 При 0 f Т 1 — 0 и уравнение 3.107 примет вид
 Т 0 о2Т о2 1 — tlQ при 0 0. 3.116
 Как известно, решение неоднородного дифференциального уравнения равно сумме общего решения соответствующего однородного уравнения и некоторого частного решения уравнения 3.116.
 Общее решение уравнения
 Т t о2 Г 0 0
 имеет вид
 Т t A sin со В cos о,
 где А, В — произвольные постоянные.
 Частное решение
 Т 1 — 0,
 т. е. решение уравнения 3.16 можно представить в виде
 Т t — A sin со В cos о t 1 — tQ.
 Постоянные А и В находим из начальных условий 3.114. Имеем Т0 В1, т. е. В — 1:
 Т 0 соЛ — 10 0; А 100.
 Таким образом,
 Т 1 — 0 — cos at sin соо0 3.117
 при 0 t 0.
 Найдем максимальное значение функции 3.117, т . е. ее значение в момент времени i max. тогда Т t 0. Время тах находим из уравнения
 Tt — о sin ш cos со 0 0. 3.118
 0
 Для решения этого уравнения выразим sin cot и cos сot через tg ot2 по формулам
 4 2 tg со 2
 sin со —1— ;
 l 	tg2©2
 4 1 —tg» со U2
 cos со —.
 ltgG2
 4 Зак. 882 97

Подставив эти выражения в уравнение 3.118, получим
 tgcomax2 со0. 3.119
 т. е. сощах 2 arctg со0.
 Максимальное значение функции динамичности найдем, приняв в формуле 3.117 сотах по формуле 3.119:
 Т тах kd 2 — arctg СО0СО0, 3.120
 где kd — коэффициент динамичности при расчете конструкции в упругой стадии.
 Формулы 3.119 и 3.120 справедливы, если тах 0, т. е.
 когда нагрузка продолжает действовать при достижении конструкцией максимальных перемещений. Условия этого случая находят из выражения 3.119:
 °тах 2 arctg CD0 СО0.
 Отсюда следует
 со0 2,33. 3.121
 При со0 2,33 нагрузка прекращает действие прежде, чем конст¬
 рукция получит максимальные перемещения.
 При t 0 дифференциальное уравнение для функции динамичности, которую обозначим 7 t, получается из выражения 3.107 при f t 0:
 t со27 0, 0. 3.122
 Начальные условия для уравнения 3.122 определяют из условий непрерывности перемещения конструкции и скорости ее движения в момент прекращения действия нагрузки, т. е. при 0
 7е Г0; Тх 0 Т 0.
 Из формулы 3.117 имеем
 Т 0 — cos со 0 sin со0 со0;
 Т 0 —10 со sin со0 cos co0co0. 3.123
 Решение уравнения 3.122 имеет вид
 7 A sin со — 0 В cos со — 0, 3.124
 откуда
 7 соА cos со — 0 — В sin со — 0.
 Учитывая начальные условия, получим
 В Т9; А— Г0. 3.125
 О
 98

Время достижения максимального перемещения определяют из уравнения 7 тах 0. т. е.
 tg Ю дах — 0 ЛВ.
 3.126
 Подставив выражение 3.126 в 3.124, получим после преобразования значение коэффициента динамичности при соб С 2,33
 TltmaxkdVA B
 —5— f 4 si
 00 У
 sin4 to 0 — sin ю 62
 2
 3.127
 Значение коэффициента динамичности при нагрузке вида 3.115 при любых значениях со0 можно найти по графику рис. 3.7.
 0
 Рис. 3.7. Зависимость коэффициента динамичности в упругой стадии от ©0 для мгновенно нарастающей нагрузки
 Рассмотрим далее нагрузку вида см. рис. 1.15, б:
 р«
 р 1
 о,
 О01,
 0101 02 0, е.
 3.128
 Обозначим функцию динамичности при 0 t 0Х через 7 , при 01 t 0 через Т2 t и при t 0 через Т3 . Уравнения для этих функций получают из уравнения 3.107 при функциях f , соответственно равных
 4
 h 0 0i; ft t l-t- 0i 0,; 3 t o.
 99

Решения этих уравнений при удовлетворении условий непрерывности и 7 t будут иметь такой вид:
 Ti t tQi—sin ta 0X;
 3.129
 T2t 1-
 где
 , — —I sino—в,5. 3.130
 02 L ©0x tt02J 0 01
 T3 t A sin со t — 0 В cos со t — 0, 3.131
 1 , 1 , 1 f cos со 0
 A j- — 1—— cos 00-
 co02 V o0i O02 J 1
 В —5 1 ?— sinco02
 100 CO 02 2
 O0J
 sin со 0 0 0i
 •Функция динамичности может достигать максимального значения при 0А t 0. В этом случае коэффициент динамичности равен kd Т2 тах, где тах находят из уравнения
 П0 —-g7cosw ftn»-fr-‘osmax °-
 При нагрузке большой продолжительности, когда можно принять 0о оо:
 sin-Д со 0Х.
 3.132
 Коэффициент динамичности при различных соотношениях 020i дан на рис. 3.8. Для нагрузки вида рис. 1.15, б при 0 оо и Лр0бт Дротр 0,5 значения kd определяют по графику рис. 3.9.
 Рис. 3.8. Зависимость коэффициента дина- Рис. 3.9. Зависимость коэффи-
 мичности в упругой стадии от co0i для на- циента динамичности в упру-
 грузки с нарастанием гой стадии от co0i для нагруз¬
 ки с отражением
 100

■ Из полученных выше формул для коэффициентов динамичности можно сделать ряд выводов о характере воздействия динамических нагрузок. Значения коэффициентов динамичности зависят не от абсолютных значений временных характеристик нагрузки 0, 0Х, 02, а от безразмерных величин о0, 00, О02.
 Определим, при каких значениях параметра 00, характеризующего продолжительность действия внезапно возникающей нагрузки вида рис. 1.15, а, ее можно считать постоянной во времени, т. е. 0 оо. Для этого из формулы 3.120 определим, при каких значениях коэффициент динамичности близок к kd 2, который получается при 00 оо. Легко получить из 3.120, что при 00 50 будет 1,95
 kd 2. Таким образом, при практических расчетах конструкций в упругой стадии нагрузку можно считать постоянной во времени при 00 50.
 Большинство взрывных нагрузок являются не мгновенно возрастающими, а нарастают постепенно в течение некоторого промежутка времени 0Х. Из формулы 3.132 видно, что с уменьшением параметра 00 коэффициент динамичности растет и при шОО kd-2. Оценим величины а0ь при которых нагрузку можно считать мгновенно возрастающей. Из формулы 3.132 получим, что при О0 1, 1,95 kd
 2, т.е. нарастающая во времени нагрузка может считаться мгновенно возрастающей при О0Х 1.
 При возрастании 00 коэффициент динамичности уменьшается, стремясь к единице. Из формулы 3.132 получаем, что при О0Х 15 будет 1 kd 1,07, т. е. при 00 15 действие динамической нагрузки может рассматриваться как действие статической нагрузки.
 Часто в расчетах встречаются динамические нагрузки, время действия которых прекращается значительно раньше времени достижения конструкцией максимальных упругих перемещений. Расчеты показывают, что при 00 я2 действие нагрузок можно рассматривать как
 действие мгновенного импульса i j р t dt.
 о
 Изгибающий момент в среднем сечении балки и поперечная сила у опоры, определяемые с учетом действия статической, равномерно распределенной нагрузки интенсивностью qy рассчитываются по формулам
 3.102, 3.111, 3.112:
 М t МРТ t Mq 3.133
 Qt QpTt Qq, 3.134
 где Мр pt78, Mq ql28 Qp pH2, Qg ql2.
 Условие прочности по нормальному сечению
 Mpkd Mq Mudy 3.135
 где Mud — предельный момент внутренних сил в среднем сечении балки, определяемый согласно п. 2.6.
 101

Максимальная поперечная сила на опоре
 О — кл -1- —
 V 2 d 2
 3.136
 3.4.2. Пластическая стадия.
 ф Пластическая стадия возникает после того, как напряжения в растянутой арматуре сечения в середине пролета балки достигают динамического предела текучести и в арматуре начинается пластическое течение. Такое состояние сечения называют пластическим шарниром. Его принято изображать в виде обычного шарнира, в котором приложен постоянный сосредоточенный момент. При расчете железобетонных конструкций положение пластических шарниров предполагается неизменным. После образования шарнира пластичности балка превращается в механизм, состоящий из абсолютно жестких дисков полубалок, соединенных шарниром пластичности.
 1. Расчет на мгновенно возрастающую нагрузку вида 3.115
 pt р — т.
 Прогиб балки в упругой стадии с учетом действия статической нагрузки интенсивностью q
 w х, t pF x Т t yst x,
 где Fx —— — лс —;
 12 В V 2 2 T t 1 —0— cos со t sin co0 со;
 я2 1 7Г 0 I —.
 2 f m
 Прогиб в середине пролета балки
 ’тз57т’г“т
 Изгибающий момент в середине пролета балки в упругой стадии от действия динамической и статической нагрузок
 М 0 МРТ 0 М„, 3.141
 где Мр рР18; Мд qP8.
 Определим время конца упругой стадии. Вначале рассмотрим случай, когда балка армирована сталями, не упрочняющимися при быстрых нагружениях классы A-IV и выше. Тогда условие конца упругой стадии записывается в виде
 М т МРТт Мя Mu,d 3.142
 или Т т км Mud — М9Мр,
 где х — время конца упругой стадии.
 3.137
 3.138
 3.139
 3.140
 102

Коэффициент kM принято называть коэффициентом динамичности по изгибающему моменту. Этот коэффициент входит во все расчетные зависимости, по которым определяется момент внутренних сил
 MUtd Мр kM Мд 3.143
 и подбирается сечение.
 Если известны конструкция балки и величина статической нагрузки, то при заданном коэффициенте kM определяется динамическая нагрузка
 МР MUtd — Мд1км Р 8МрР. 3.144
 Уравнение для определения времени конца упругой стадии имеет вид
 1 —cos со т sinfaT км. 3.145
 0 00
 Если продолжительность 0 действия нагрузки достаточно велика 00 10, то можно пренебречь величиной
 т , sin со т 0 0 0
 и определять т из уравнения
 1 — cos сот kMy 3.146
 т. е. от arc cos 1 — Им-
 Для балки, армированной сталями, упрочняющимися при быстрых нагружениях классы А-I, A-II, A-III, время кона упругой стадии будем определять приближенным способом. Если известны коэффициенты упрочнения для стали, принимаемые, например, по рис. 2.4, при г8 0,06, то применяют уравнение 3.145, в котором при определении км по формуле 3.142 момент внутренних сил принимают при напряжениях в растянутой арматуре, равных: RStd k8v Rs и в бетоне kbv Rb при kbtV 1,2.
 Коэффициент kSiV может быть уточнен. Для этого после определения времени т из формулы 3.145 при кц MUfd — МдМр находят по формуле 2.6 скорость деформации и по графикам см.
 рис. 2.4 находят новое значение kStV.
 Изгибающий момент в шарнире пластичности
 Mu.d МРГ т Мд. 3.147
 Прогиб и скорость перемещений балки в конце упругой стадии:
 Wo х рТ т F х ysi -i-j ; 3.148
 w0x pFxtT
 dt t x
 c , Ч Г . 1 —COS 0 T
 pF Jt CD Sin CD T I 0 0
 103
 3.149

В пластической стадии, т. е. после образования в среднем сечении балки пластического шарнира, прогиб балки рис. 3.10
 у х, 0 w0 х ф t X,
 0 х 12, 3.150
 где ф — угол поворота половины балки, который находится из решения уравнения движения балки в пластической стадии.
 Это уравнение выводится на основе принципа возможных перемещений, согласно которому приравнивают нулю сумму работ всех действующих на балку сил на
 возможных перемещениях. Такой подход обычно применяют в кине¬
 матическом методе предельного равновесия. В динамических задачах к нагрузкам дополнительно вводят силы инерции.
 Уравнение работ для половины балки
 12 12
 J р t q 6 фxdx J —тфх 6 фЫх—Af06 ф 0; о о
 3.151
 где М0 MUtd — Mq, Mq qPI8.
 Уравнение 3.151 выражает равенство нулю моментов всех сил относительно опорного шарнира. Из этого уравнения следует, что
 т. е. движение балки происходит таким образом, что сумма моментов от динамической нагрузки и сил инерции сохраняет постоянное значение. Если, например, динамическая нагрузка превосходит несущую способность, т. е. р t 8 М0Р, то тогда ф 0 и превышение динамической нагрузки над несущей способностью балки компенсируется силами инерции. Влиянием этих сил объясняется возможность кратковременного восприятия конструкцией динамической нагрузки высокого уровня. Однако при этом могут возникнуть большие пластические деформации, т. е. необходимо, чтобы она обладала возможностями для свободных перемещений.
 Представим уравнение 3.151 в виде
 mз » р t а АД Q f соч
 Рис. 3.10. Расчетная схема шарнирно опертой балки в пластической стадии:
 — прогиб в упругой стадии; 2 — прогиб в пластической стадии

Отсчет времени будем вести от начала пластической стадии, гда Р 0 р 6-у. i. 153
 где 61 — т0.
 Подставив 3.153 в уравнение 3.152, получим
 3154
 Примем начальные условия при 0 ф О, Ф Фо-
 Начальную угловую скорость ф0 определим из условия равенства количеств движения в конце упругой и в начале пластической стадии: 1 12 1
 J ту х, т dx 2т J q0xdx f mw0xdx,
 о оо
 отсюда
 Фо
 4 л . pls со г
 У w0xdx зов , 3.155
 1—COS со т 0 ,
 r sin от . 3.156
 со 0
 Интегрируя уравнение 3.154, получим
 Р0 6-МФ°. 3.157
 Ф 0 6 —.Ы Y—-£- Фо. 3.158
 Максимальный угол поворота будет достигнут в момент времени шах» при котором ф 0. Приравнивая выражение 3.157 нулю, найдем
 тав b-kM jб-М
 ев-Л 6-ЛЛ - 3-159
 Максимальный прогиб среднего сечения балки, который возник за время работы балки в упругой и пластической стадиях,
 «тах « Фтах. 3.160
 105

Учитывая формулы 3.148, 3.158, 3.159, получим после преобразований
 5 р4
 У max
 384 В
 kfUat
 3.161
 где
 k, kM 0,591 б—Aim—ri- s 0,28rs, 3.162
 3 a 0 S max.
 Отсюда видно, что kf равно отношению прогиба балки, вызванного действием только динамической нагрузки, к упругому прогибу, вызванному статической нагрузкой интенсивностью ?, т. е. kf является коэффициентом динамичности по перемещениям см. п. 3.2.1.
 Для проверки прочности балки необходимо знать величину угла раскрытия в шарнире пластичности.
 Имеем
 тах —2 Фшах
 Учитывая формулы 3.161 и 3.162, получим
 р3 ,и и ч _ р3
 19,2 В
 kf — км
 19,2 В
 3.163
 3.164
 где k — kf
 км
 коэффициент динамичности по углу раскрытия.
 Из формул 3.162 и 3.145 видно, что коэффициент kf при законе изменения нагрузки во времени вида 3.115 зависит только от двух
 параметров и 00. Это об¬
 стоятельство дает возможность строить графики, существенно облегчающие расчет. На рис. 3.11 представлены графики, для определения коэффициента динамичности по перемещениям kf.
 Полученные зависимости справедливы при условии т max 9» т- е. если остановка конструкции происходит раньше, чем нагрузка прекращает свое действие. При несоблюдении этого условия необходимо рассмотреть движение конструкции в пластической стадии после прекращения действия нагрузки, т. е. решить уравнение 3.152 при р 0.
 0,5 0,6 0J 0,8 09 1,0 1 1,2 V W 1,5
 Рис. 3.11. Зависимость коэффициента динамичности по перемещению 0,1 kf от коэффициента kM для шарнирно опертой балки при мгновенно нарастающей нагрузке
 106

Графики на рис. 3.11 показывают, что при нагрузке достаточной продолжительности, когда 00 300, значения коэффициентов kf мало изменяются с ростом 00, и они будут близки к значениям kf при 00 оо. Поэтому получим расчетные формулы при действии на конструкцию мгновенно возрастающей и постоянной во времени нагрузки, т. е. при 0 оо. В этом случае расчетные зависимости существенно упрощаются. Для их получения необходимо в выражениях 3.157 и 3.158 принять 0 оо, 61. Тогда
 Ф км—1 Фо‘»
 га3
 12 Лр 1 № . 1
 Ф zr Af— 1 — Фо.
 ml3 Выражения для времени остановки конструкции и максимального угла поворота будут следующими:
 , _ у „ml3
 max 24MPkM-l
 _ qjm3
 ттах —
 48MP Af — Учитывая формулы 3.155 и 3.156, получим
 1.08 sin со т
 s atr.
 м-О
 kf kMll 0,694 . 3.165
 км1 0694 MlM,
 где kM 1 — cos от, причем км 1.
 Определим опорную реакцию балки. Поперечная сила на опоре в конце упругой стадии, определенная из выражения 3.136 при kd км Mu,d — МдМру равна
 Q — Mu,d —Мд 8 ql 4 Mu.d д j00
 2 р2 2 •
 Эта величина совпадает с опорной реакцией Q р0112, вызываемой нагрузкой, равной несущей способности балки р0 8 MUtdP.
 При деформировании в пластической стадии опорная реакция сохраняет постоянное значение 3.166, не зависящее от значения динамической нагрузки.
 Расчет прочности балки по наклонным сечениям производится на действие поперечной силы, определяемой по формуле 3.166. При этом следует исходить из условия, чтобы поперечная арматура работала только в упругой стадии.
 107

2. Расчет на нагрузку вида 3.128
 р y при о еь
 О 1 1 м,
 Р 1 LJnpH 0 0х 02 0.
 При расчете конструкции по состоянию 16 следует учитывать, что пластическая стадия может возникнуть как на участке возрастания нагрузки t 01 так и на участке падения нагрузки t 0j. Вследствие
 Рис. 3.12. Зависимость коэффициента динамичности по перемещению kf от коэффициента км для шарнирно опертой балки для нагрузки с нарастанием
 этого расчетные выражения значительно усложняются. Поэтому здесь приведены без вывода необходимые для расчета выражения с использованием графиков.
 Максимальный угол раскрытия в шарнире пластичности определяется по формуле 3.164, в которой коэффициент динамичности по перемещениям kf находят по графикам рис. 3.12. На этих графиках часть кривой kf сплошной линией соответствует работе балки в пластической стадии, а пунктирной — работе только в упругой стадии. Эти части примыкают друг к другу в точке с абсциссой kMo В пластической стадии при км кмо кривые fey, начиная с некоторого значения км, резко возрастают. Этот участок соответствует потере конструкцией несущей способности, так как незначительное повышение
 108

нагрузки вызывает большие деформации. Из графиков видно, что с увеличением 00, т. е. с уменьшением динамического эффекта нагрузки, участок, соответствующий пластической стадии балки, уменьшается. При 00 2я и при О02 100 различие в величинах нагрузок, вызывающих в балке предельные состояния 1а и 16, не превышает 10 . Поэтому при О0Х 2л и при О02 100 расчет конструкций целесообразно проводить только в упругой стадии предельное состояние 1а, так как учет пластических деформаций не дает экономического эффекта.
 Приведенными графиками можно пользоваться и при расчете конструкций по предельному состоянию 1а.
 Условие работы балки в упругой стадии имеет вид км лм, где km принимают по графикам рис. 3.12 в зависимости от оЭя.
 Тогда
 км -МУ- аМч kM0, 3.167
 Мр
 т. е. MUid kMo Мр Мд.
 По величине внутренних сил MUtd подбирают сечение балки.

ГЛАВА 4
 РАСЧЕТ БАЛОЧНЫХ ЖЕЛЕЗОБЕТОННЫХ КОНСТРУКЦИИ
 4.1. Общие положения
 Вгл. 3 был применен упрощенный метод динамического расчета балочных конструкций, основанный на использовании фиксированной формы прогибов. Этот же метод может быть применен при стационарных динамических нагрузках, распределение которых по поверхности конструкции не меняется во времени, и для конструкций, у которых частоты собственных колебаний значительно отличаются друг от друга. При этих условиях упрощенный метод позволяет с достаточной точностью находить максимальные усилия и деформации в конструкции, необходимые для расчетов на прочность.
 Однако этот метод не определяет действительное распределение усилий в течение всего процесса деформирования, начиная с момента приложения нагрузки, так как формы прогибов и усилий не меняются во времени. В некоторые моменты времени это распределение существенно отличается от полученного при максимальных деформациях, что может оказать влияние на конструкцию, и особенно на ее опорные закрепления. Поэтому требуется применение более точных методов расчета, основанных на представлении конструкции как системы с конечным теоретически бесконечным числом степеней свободы. В этих методах используют дифференциальные уравнения движения, учитывающие ряд дополнительных факторов, обусловливающих сопротивление конструкции деформированию. Одним из таких факторов являются диссипативные силы, вызывающие рассеяние энергии при колебаниях.
 4.2. Методы учета диссипативных сил
 Действию нагрузок оказывают сопротивление кроме внутренних сил еще диссипативные силы, вызывающие рассеяние энергии в сооружениях при колебаниях. Эти силы, являющиеся неконсервативными, разделяют на внешние и внутренние.
 • К внешним диссипативным силам относятся аэродинамические и сопротивления, возникающие при деформациях основания сооружения.
 • Внутренние силы или внутреннее трение вызываются микропластическими деформациями частиц материала конструкций и трением в
 110

соединениях элементов конструкционный гистерезис. Влияни всех этих сопротивлений на работу конструкций различно и зави лт от многих факторов. Например, при относительно малых динам ческих циклических нагрузках интенсивно влияют на диссипацию энергии слабые связи между элементами, осуществляемые посредством сухого трения. При определенных условиях трение в соединениях может рассеять энергию в несколько раз большую, чем внутреннее трение в материале конструкции. Аэродинамическое сопротивление для обычных конструкций незначительно и его можно не учитывать.
 • Рассеяние энергии вследствие внутреннего трения и конструкционного гистерезиса происходит при колебаниях конструкций. Поэтому эти процессы в отдельных конструкциях при упрощенных расчетах, сводящих конструкцию к системе с одной степенью свободы, обычно не учитывают. В методе, когда выделяется отдельно упругая стадия работы конструкции и для нее учитывается несколько форм колебаний, силы затухания принимаются на основе используемых в динамике сооружений феноменологических моделей. Учет этих сил особенно важен для сооружений, состоящих из многих элементов, так как до достижения максимальных перемещений сооружения происходят колебания отдельных элементов.
 В настоящее время в динамике сооружений получили наибольшее распространение две модели внутреннего трения: комплексная жесткость гипотеза Е. С. Сорокина и вязкое сопротивление гипотеза Фохта. Модель комплексной жесткости нашла широкое применение при расчетах конструкций на гармонические воздействия. Однако распространение этой теории на действие произвольных динамических нагрузок считается необоснованным вследствие ее физической некорректности: в системе возможен приток энергии, приводящий к неустойчивым решениям. Кроме того, комплексная модель мало пригодна для расчета колебаний, возникающих при взрывных воздействиях, так как в первых циклах колебаний сдвиг фаз заметно отличается от принятого в теории.
 Поэтому в задачах расчета конструкций на взрывные нагрузки наиболее применима модель вязкого трения Фохта, согласно которой диссипативные силы пропорциональны скорости движения конструкции
 — су. Тогда уравнение движения системы с одной степенью свободы будет иметь вид
 ту dy су р t.
 Решение этого уравнения содержит выражение, описывающее затухающие свободные колебания. Учет рассеяния энергии в такой системе обоснован, если взрывная нагрузка р t нарастает во времени постепенно и за время нарастания давления происходит несколько циклов колебаний системы. В остальных случаях, в частности, при мгновенно возрастающей нагрузке затухание колебаний можно учитывать при использовании расчетной модели конструкции в виде системы с
 111

несколькими п степенями свободы. Уравнение ее движения в матричной форме имеет вид
 т у суШ у pt, 4.1
 где т, с, Ik — матрицы масс, затухания и жесткости; у, ? — векторы перемещений и нагрузок.
 Свободные колебания системы без учета внутреннего трения описываются уравнением
 т у г у 0, 4.2
 которое имеет решения, соответствующие гармоническим колебаниям: yi 11,2,..., л,
 где иг и1Ь игг,..., uni— t-я форма собственных колебаний; qt t — функции времени, удовлетворяющие уравнениям:
 Ш и, со? т ui 4.3
 qt сofqt 0, 4.4
 .где a— частота собственных колебаний по t-й форме собственных колебаний.
 Любое решение уравнения колебаний системы может быть представлено в виде суммы
 у 2 “«. 4.5
 i
 где qt t — главные координаты.
 Уравнение 4.4 определяет независимые главные координаты системы без внутреннего трения.
 В системе с вязким трением 4.1 при матрице затухания с общего вида дифференциальные уравнения для главных координат не являются независимыми, т. е. уравнения колебаний не разделяются в главных координатах. Однако, как показывают эксперименты, в большинстве сооружений, не содержащих специальных демпфирующих устройств, осуществляются независимые колебания по собственным формам. При этом значения параметров затухания обычно зависят от формы собственных колебаний от номера гармоники.
 Экспериментальные данные показывают, что эти параметры могут возрастать с ростом номера гармоники обычно для консольных конструкций, убывать или оставаться приблизительно постоянными.
 При использовании модели вязкого трения широко применяется условие пропорционального демпфирования Релея, согласно которому матрица затухания представляется в виде суммы
 lc рх ml р2 Ш, 4.6
 где plf р2 — коэффициенты.
 112

В этом случае для главных координат получаются независимые уравнения
 qiyiUiQi dt, 4.7
 п
 где dt 2 uhiph; k 1
 Vi — Рг®. 4.8
 щ
 Здесь — коэффициенты потерь, зависящие от частот собственных колебаний, что не позволяет вводить произвольные значения yt при i 2; р2 — коэффициенту, зависящие от заданных значений уг и Тг-
 Выражения для матриц затухания, обеспечивающие существование независимых главных координат при произвольных характеристиках затухания, получены отечественными и зарубежными исследователями.
 Учитывая, что модель вязкого трения не полностью отражает причины диссипации энергии, при практических расчетах конструкций перемещения обычно определяют формулой 4.5, а для главных координат используют уравнения 4.7 с экспериментально найденными коэффициентами потерь
 При расчетах на взрывные нагрузки разложение формулы 4.5 по формам собственных колебаний часто не используется. В этом случае для учета рассеяния энергии необходимо вводить в уравнения движения диссипативные силы.
 Рассмотрим конструкцию с распределенными параметрами балки, плиты и т. п., уравнение движения которой без учета влияния внутреннего трения имеет вид
 Ly ту р , 4.9
 где L — дифференциальный оператор сил сопротивления.
 Для такой конструкции получено выражение для диссипативных сил в интегральной форме
 i
 Rm С х, у s, t ds, 4.10
 о
 где
 Cx,sSv»®X«Xi; 4.11
 i
 Xt — собственная функция, соответствующая частоте собственных колебаний со.
 Уравнение движения конструкции представляется тогда в виде
 Ly R ту р t.
 113

Действие фундаментов сооружения на основание вызывает еще один вид диссипативного сопротивления, внешнего по отношению к сооружению. К проблеме динамического взаимодействия сооружения с основанием приводят многие практические задачи проектирования фундаментов и для ее решения применяются различные методы. При деформации основания диссипация энергии происходит вследствие распространения в грунтовом массиве волн сжатия от подошвы фундамента и расчетная модель основания должна учитывать эти процессы. Данному условию в наибольшей степени соответствует модель основания как инерционного полупространства и методы, основанные на решениях динамических контактных задач для нестационарных воздействий. В последние годы были разработаны такие относительно простые методы для упругого основания. Они основаны на использовании функций, описывающих колебания основания от некоторых «единичных» воздействий. Анализ перемещений круглого штампа показал, что сопротивление упругого полупространства хорошо моделируется в общем случае двумя последовательно соединенными упруговязкими одномассовыми системами, причем во многих случаях модель основания может быть представлена одной упруговязкой связью. Возможность такой идеализации неоднократно подтверждалась точными решениями на различные воздействия.
 4.3. Общие зависимости для упругих однопролетных балок
 с произвольно закрепленными концами
 4.3.1. Действие стационарной динамической нагрузки.
 • Под упругой понимается стадия работы балки до достижения напряжениями в растянутой арматуре физического предела текучести, или до начала разрушения сжатого бетона в переармированной конструкции. Конец упругой стадии на расчетной диаграмме рис. 2.16 характеризуется точкой с параметрами MUydl Ket Mrei.
 Предполагается, что до начала действия динамической нагрузки балка нагружена статическими силами, от которых в средней части балки возникли трещины. Обозначим: у , t — динамический прогиб сечения балки с координатой х в момент времени , вызванный действием динамической нагрузки; р x,t — интенсивность динамической нагрузки; т — погонная масса балки. Основной характеристикой жесткости балки в упругой стадии является изгибная жесткость В. Эта величина переменна по длине балки, где имеются зоны с трещинами и без них.
 При динамическом расчете будем принимать жесткость, постоянную по длине балки. Значение этой жесткости может совпадать с жесткостью наиболее напряженного сечения или, более точно, равно некоторой осредненной приведенной жесткости, получаемой усреднением жесткостей по длине элемента.
 114

Обозначив В В1у имеем
 Mx,i-Blr. 4.12
 Ось координат Ох совмещаем с геометрической осью балки.
 Уравнение колебаний балки в упругой стадии имеет вид без учета инерции вращения и деформаций сдвига
 д2М . д2у , п л 1 оч
 4-я —— Rp, 4.13
 дх2 dt и
 где R — диссипативные силы вследствие внутреннего трения в материале балки. Учет внутреннего трения при расчете конструкций на импульсные нагрузки целесообразен, если требуется точное решение уравнения колебаний путем разложения по формам собственных колебаний. Диссипация энергии вызывает затухание колебаний высших гармоник, что улучшает сходимость рядов и позволяет получить более обоснованные решения.
 Рассмотрим стационарную динамическую нагрузку, распределенную по пролету. Ее можно представить в виде
 рх, Q pfixfQ, 4.14
 где р — наибольшее значение динамической нагрузки; f х, f t — функции, характеризующие изменение нагрузки по пролету и во времени.
 При стационарных воздействиях удобно применять прием выделения статического действия динамической нагрузки. Расчеты показали, что при таком решении требуется меньшее число членов ряда по сравнению с обычным решением.
 Представим решение уравнения 4.13 в виде
 У У1 У 415
 где
 у у pFx f t
 B1F™x f1x. 4.16
 Функция F равна перемещениям балки от статической нагрузки ин¬
 тенсивностью . Диссипативные силы в формуле 4.13 определяем по уравнениям 4.10, 4.11. После постановки выражений 4.15, 4.16 в 4.13 получаем следующее уравнение для функции у2:
 Bi-TTm -Sr 2-i-mpFxft, 4.17
 дх4 dt2
 115

где
 R2 т J С дс, s у2 s, 0 ds;
 0
 Rimf tly,iiXixFi; 4.18
 i
 1
 Ft J Fs Xis ds, 4.19
 О
 здесь Ft—коэффициенты разложения функции прогибов по собственным функциям балки X ортонормированным.
 ■ Величина Rx в формуле 4.17 учитывает диссипацию энергии, возникающую вследствие деформаций конструкции, вызываемых статическим прогибом У.
 Функцию у2 ищем в виде ряда
 Уг х, 0 2 ХпхТп t. 4.20
 fl
 Из формул 4.17, 4.18 следуют уравнения для функций Тп t
 Тп упипТп соТп-уп дп Fnf i — Fn f . 4.21
 Решение уравнения 4.21 удобно выразить через начальные значения Тп 0, Тп 0 с помощью частных решений Г , Т t соответствующего однородного уравнения, удовлетворяющих специальным начальным условиям:
 Т 0 1, П00;
 П0 0, П 0 1.
 Обозначив правую часть уравнения 4.21 через
 fn 0 —Тп Fn t — Fni 0. 4.22
 будем иметь
 Тп t тп 0 п 0 Тп 0 Т t J „ т п t - т dx, 4.23
 о
 где
 Тпг 0 cos ont -f 1Ып sin со„ ; 4.24

 Tl t еУп °п sin юп;
 Тп 0,5 y„; й„ onVl— Тп. 4.25
 116

Частные решения удовлетворяют соотношениям
 ft1’0 -oW;
 ft t cos vnt— sin й„ t . 4.26
 V 0Л Начальные значения в формуле 4.23 определяют из начальных условий для решения уравнения 4.13. Для динамических нагрузок, не сводящихся к мгновенному импульсу, эти условия обычно нулевые, т. е. при t О
 Hi Уг 0; У Уг 0- 4.27
 Тогда будем иметь
 Fxf0 2ХпхТп00;
 П
 Fxf0Xnxtn 0 0.
 п
 Отсюда находим
 Тп 0 - 0fn; ft 0 - f 0 Fп, 4.28
 где Fn вычисляют по формуле 4.19.
 Приведем формулу для диссипативных сил в балке, которая следует из уравнений 4.11, 4.16, 4.20:
 Pds X, t -mp 2 IF, f t ft 01 7, 0,- Xt x. 4.29
 i
 Кусочно-линейные функции изменения динамических нагрузок
 см. рис. 1.15 имеют кусочно-постоянные первые производные ,
 поэтому f t 0 всюду, кроме точек разрыва f t. Для того чтобы
 можно было использовать формулу 4.23 для всех , необходимо функ¬
 цию f t выразить через обобщенную дельта-функцию 6 . Имеем: ф нагрузку с мгновенным нарастанием см. рис. 1.15, а из формулы 3.115
 1 — при 0 0;
 в
 0 при tQ4,
 — при 0 0; 4‘30
 0
 ,0 при 0;
 fit

 -i-6-0, 0 1, 0 ;
 117

• нагрузку с постепенным нарастанием см. рис. 1.15, в из формулы 3.128
 ft
 при 0 t 0Х;
 t ©1
 1 t — 0i02 при 0 01 02 0;
 О при t 0;
 1
 ft
 е,
 при 0 t 0;
 при 0х- t 0;
 02
 3 при 0;
 nt -i;-kHt-Q2kHt-e f00, О 10х.
 4.31
 Функции 4.23_представляем в виде Тп FnTn t, где безразмерные функции Тп t равны:
 • для нагрузки вида 3.115
 при 0 0; при t 0
 Тп 0 -п1 t -5- Пг 0-П -01-
 7 п rTi
 0 а„
 • для нагрузки вида 3.128 при О t 01
 4.32
 ?п0 -4-Тп-г2- I
 0i
 при 0 t 0
 01 Ии
 4.33
 f•, “ —5-n”0ifT _e
 e. .
 Tn t—Qj , 1-Г“«-в, VnL ёг 0. Шп J’
 4.34
 118

при t 6
 Тп 0 _ еГ П t it k П2 8l
 После преобразований выражение 4.23 получает вид
 4.35
 Тя 0 Fn — 0 J т Пг ■-т d т .
 которое удобно применять при произвольной функции.
 4.3.2. Действие набегающей ударной волны. Предположим, что давление во взрывной волне, подошедшей к балке со стороны опоры с координатой х 0, изменяется по закону р pf . Примем допущение, что давление в волне не затухает при ее распространении вдоль пролета балки и не меняется время действия. Обозначим скорость движения волны через а и время ее действия через 0. В каждой точке пролета с координатой х волна начинает действовать с момента времени t ха, поэтому закон изменения динамической нагрузки по пролету балки и во времени определяется по формуле р .х, t — pf t — ха, 0 х .
 Давление в каждом сечении х действует в течение времени, определяемом из соотношения
 В момент t нагрузка будет действовать в сечениях с координатами
 Отсюда следует, что при t 0 и t Iа загружен участок балки О х — волна набегает на балку; при t На, t 0 и 0
 На загружен участок 0 a t—0 I — волна сходит с балки;
 при t 0 На—волна ушла за пределы балки.
 Характер распределения нагрузки по пролету конструкции зависит от соотношения между длиной волны а0 и пролетом . При а0 в течение времени На 0 динамическая нагрузка загружает весь пролет балки. При а0 в промежутке 0 tlta вся волна загружает участок балки длиной а0.
 Приведем формулы для динамической нагрузки, возникающей при набегании ударной волны, т. е. при , принимаемой согласно формуле 4.30.
 т. е. при ха t 0.
 119

-fbnrUT
 f
 Рис. 4.1. Эпюры динамической нагрузки при движении взрывной волны:
 а — набегание волны на балку; 6 — сход волны с балки
 at
 х
 L
 а а-в
 к
 • Набегание волны при t С На, t С 0 рис. 4.1, а:
 • сход волны с балки при t На, 0 t . 0 На рис. 4.1, б:
 ,,_° при 0 jc а 0;
 U—at—хав при а—0 х .
 • Загружение всего пролета балки при ав , На . t С 0
 рис. 4.2, а:
 f х, 1 — at — х а0 при 0 х . 4.38
 • Загружение участка пролета балки при а0 С I, 0 С f С 1а
 рис. 4.2, б:
 О
 fx,t 1—at—xaQ .0
 при 0 х а — 0;
 при at—0 х at; 4.39
 при atCxl.
 f
 1-
 f
 Рис. 4.2. Эпюра динамической нагрузки при движении взрывной волны:
 а — загружение всего пролета балки; б — загружение части пролета
 120

Рассматриваемая задача относится к проблеме действия подвижных нагрузок и представяет значительный интерес. После постановки задачи о движении груза по невесомой балке в середине прошлого века задача Виллиса — Стокса решению различных задач этой проблемы уделяли внимание многие ученые.
 Эффективным методом исследования движения невесомого груза по балке оказалось решение по формам собственных колебаний, которое применимо и для случая движения ударной волны.
 Для расчета балки на действие набегающей волны необходимо решить уравнение 4.13 при р pf t — ха. Представим решение в виде ряда
 у х, 0 О
 и получим уравнение
 где
 7n YnWn7,n®a7,n — fn 0.
 fn t ft- -S- Xnxdx.
 4.40
 4.41
 4.42
 Начальные условия задачи нулевые; они соответствуют состоянию балки до подхода волны. Найдем общие выражения для функций 4.42 при воздействии ударной волны. Обозначим
 Хп0 sl9 Хп х dx; XISl St 2xXn x dx. 4.43
 s, st
 Тогда при использовании формул 4.36 ... 4.39 имеем
 fn t 1 - у Si, S2 Si. S2. 4.44
 Если a0 , то, учитывая формулы 4.36 ... 4.38, найдем
 1 —n0 0, at - Х„и 0, at при t — ;
 0 а0 а
 1 —— хп0 0,1 Хп1 0,1 при - t 0;
 V 0 ав а
 li Xk0at-Q,l Xnla t — 0, 4.45
 fn 0
 0
 121

При а0 из формул 4.36 ... 4.37, 4.39 будем иметь
 1 at-I—-т- ХЬ1’ 0, at при 0;
 0 а и
 1 —f Х0 И-0’ Те Xl а at
 при 0 t — ;
 при A-L— •
 О
 при 0 —Л
 12
 Конкретные значения функций 4.42 зависят от вида собственных функций балки, т. е. от условий закрепления ее концов.
 Отметим особенности учета затухания разных форм собственных колебаний. При импульсных нагрузках с относительно быстрым нарастанием максимальные значения усилий и перемещений возникают в моменты времени, меньшие полупериода первой формы колебаний. Поэтому колебания по этой форме, а следовательно, и затухание, не проявляются, и при расчетах на такие нагрузки следует принимать 0. Затухание первой формы необходимо учитывать при расчетах на действие нагрузок с относительно большим временем нарастания, т. е. превосходящим период колебаний по первой форме. Очевидно, что приведенные зависимости справедливы также для любых конструкций, если для них имеются собственные функции в аналитической или табличной форме например, неразрезные балки, рамы.
 4.4. Расчет шарнирно опертой балки на действие динамической нагрузки, равномерно распределенной по пролету
 4.4.1. Упругая стадия. В упругой стадии формулы для динамического прогиба балки находим из формул 4.15, 4.16, 4.20, 4.30 ...
 4.35, учитывая, что
 4.47
 4.48
 лБ УI Вгп6
 4.49
 122

В результате имеем
 ух- 0тяГ ,,т т ‘ 4-50
 1. з
 где Тп t — определяются по формулам 4.32 ... 4.35.
 Найдем изгибающий момент и поперечную силу
 п Л sin х
 i- У —4-5
 п 1, 3,...
 п я
 cos X
 Qx 0-уО 1 —у- тп 0 . 4.52
 При определении максимальных перемещений и усилий используем функции и коэффициенты динамичности, определяющие динамические значения величин по отношению к их статическим значениям. В рассматриваемом случае имеем
 У, шах 0 У УрТ1 О 4.53
 Мг. тах 0 М, -L , МрТм 0; 4.54
 Ql, max QpTQ О,
 где
 Ур— — ; Мр ■£-, Qp — ;
 р 384 В, р 8 7 2
 г, 0-01.004 У Тп 0; 4.55
 Гл-0 1.032 ’ 1Па 12 Гп0; 4.56
 7«0 0 0.811 -„О. 4.57
 11, 3,...
 Максимальные значения функций динамичности см. формулы 4.55...4.57 определяют коэффициенты динамичности км
 На рис. 4.3 приведены графики функций динамичности в зависимости
 123

от параметра времени т coj для нагрузки с мгновенным нарастанием вида 4.30 при двух значениях параметра длительности действия нагрузки со10. При этом учитывались по три члена в рядах п 1,3,5, значения коэффициентов потерь были приняты равными уг 0, у3 Те 0,1. Высшие гармоники п 3 и 5 оказывают заметное влия-
 Рис. 4.3. Функции динамичности шарнирно опертой балки при упругом расчете
 ние только на функцию Tq, а на функцию Тм они влияют лишь в начальные моменты времени, изменяя даже ее знак. Для Ту справедливо выражение
 TfftT1t l- т — 1 sinT
 — cos т
 Ох 0 01 0
 Значения коэффициентов динамичности:
 При oi 0 I kf I kM
 Отсо10. 4.58
 50
 1,93
 1,97
 1,76
 5 1,45 1,48 I 1,29
 Для поперечной силы коэффициенты динамичности на И ... 13 меньше, чем для изгибающего момента и прогиба. Это объясняется большим влиянием на Tq затухания высших гармоник.
 Как видно, учет высших гармоник позволяет уточнить максимальные значения усилий и выявить возможные их величины обратного знака. Эти данные могут оказать влияние на армирование конструкции и ее опорные закрепления. Расчеты показывают, что при кратковременной динамической нагрузке с мгновенным нарастанием коэффициенты динамичности уменьшаются с уменьшением параметра со10.
 124

При фиксированном времени действия нагрузки 0 уменьшение коэффициента динамичности пропорционально уменьшению частоты колебаний конструкции, т. е. так же, как и при сейсмических воздействиях, пропорционально увеличению периода собственных колебаний конструкции. Этот эффект объясняется относительным уменьшением продолжительности динамического нагружения, а при сейсмическом воздействии еще удалением от области преобладающих периодов колебаний грунта. Поэтому при проектировании сооружений, подвергающихся действию ударных волн, следует отдавать предпочтение низкочастотным конструкциям или применять специальные мероприятия, позволяющие уменьшать частоты собственных колебаний.
 Динамический характер воздействия определяется собственными колебаниями конструкции, которые обусловливают повышение динамических перемещений и усилий на первом максимуме колебаний. Поэтому, если обеспечить затухание собственных колебаний в переходном режиме, то можно добиться существенного снижения динамического действия нагрузки.
 Условие расчета балки по предельному состоянию 1а имеет вид
 Mst — изгибающий момент в рассматриваемом сечении от действия статической нагрузки.
 Из формул 4.59, 4.53 следует
 Прочность балки по наклонному сечению находят из условия
 где QUtd — предельная поперечная сила в наклонном сечении балки при динамических сопротивлениях бетона и арматуры.
 При обеспечении прочности балок от поперечных сил необходимо учитывать возможность хрупкого разрушения железобетонных балок по наклонному сечению, что было получено при специальных испытаниях.
 4.4.2. Пластическая стадия.
 • Под пластической стадией понимают деформирование конструкции при развитии пластических деформаций в растянутой арматуре. Полный прогиб балки в пластической стадии обозначают через у2 х, ty кривизна равна
 l»max i MUtd AIst,
 где tx находят из уравнения
 1»ша х
 4.59
 Тм М 0;
 4.60
 Тм i км,
 4.61
 где
 км М0Мр, Мр рР8.
 4.62
 Qs “I” Qmax 0 — Qs “Ь Qp Tq Qu,d»
 4.63У
 125

Время ti конца упругой стадии находят из уравнения
 Мх -L , МрТм h М» 4.64
 т. е.
 Тм h kM. 4.65
 При расчете конструкций в пластической стадии применим метод стационарных пластических зон, т. е. деформации балки считаются развивающимися в пределах некоторой зоны постоянной длины. При
 этом форма пластических прогибов конструкции задается и сохраняется неизменной. Эту форму прогибов принимают совпадающей с первой формой собственных колебаний упругой конструкции. Тогда
 У2 X, t Ф2 0 sin -у- х. 4.66
 Обозначают длину пластической зоны через lvX и координату ее начала через А рис. 4.4. Длину пластической зоны определяют из условия эквивалентности работы внутренних сил в конце упругой и в начале пластической стадии и представляют в виде равенства возможных работ этих сил, т. е.
 —д
 J Мх х, х 6 х dx I M06ndx. 4.67
 О А
 Учитывая только один член ряда в формуле 4.51, имеют
 Mlх,Л Мр4у—у 7 siny• 4-68
 Вариацию кривизны принимают равной
 . я
 О X Sin X.
 I
 Тогда из формулы 4.67
 h Ti il cos-2А-.
 яа Я Значение f х 7 х с большой точностью совпадает с выражением 4.56. Поэтому, учитывая выражение 4.64, получают
 я Л 8 л ас
 ГТ1 1 1 11 I 1 Г ПPit
 Рис. 4.4. Расчетная схема балки с учетом пластической зоны

отсюда
 Ml 0,22 и lpi l — 2 Д 0,56, 4.70
 Введенная пластическая зона является условным участком балки, на котором внутренние силы оказывают сопротивление деформированию балки.
 Уравнение движения балки в пластической стадии находят на основе принципа возможных перемещений J р t — ту2 б ydx— J Л40 6 х dx 0, о о
 б 	у sin — ху б к sin — я. 4.71
 2 v
 Отсюда
 Ф2 — 4-72
 я п
 где км определяют по формуле 4.62.
 Условия сопряжения упругой и пластической стадий имеют вид
 I Уг х, tdx 1 Ух х, ti dx, 4.73
 о 	о
 где согласно формуле 4.50
 п я
 а пi sin X
 yix,h pFxft j- Sn0; 4.74
 1 п 1,3...
 S 	tfnt®n- 4.75
 В результате получим
 Ф20 2 l ft, Ур-
 476
 При нагрузке вида 3.115 при t 0
 фг 0.i£f - JLr‘i3 б2 1Ц11 Ф20 - Ф.О, 4.77
 л ml 60 2 J
 где б2 1 — j0 — kM.
 Функцию Ф2 записываем в виде
 М0Ур20.
 127

где
 ф2 т, 0 0,5 б2-s2 rs, 4.78
 г 1- V ML. 4.79
 C0J 0 п л 1,2, ...
 Кривизна балки в пластической зоне равна
 , 0 7- sin 7 0- 4.80
 Условие прочности по предельному состоянию 16 имеет вид
 4-81
 где время t2 определяют из уравнения
 5fc o.
 Максимальный прогиб среднего сечения балки У 2 max ypkf
 где _
 kf Ф2 г
 Коэффициент fey, равный отношению прогиба балки от динамической нагрузки к статическому прогибу уру является коэффициентом динамичности по перемещению.
 При статическом нагружении Ф2 0, 1 и из формулы 4.72, 4.62 следует равенство метода предельного равновесия М0 Мр
 рР8. Это соотношение получается только при длине пластической
 зоны, определяемой по формуле 4.70, следующей из выражения 4.67, определяющего длину пластической зоны, работа внутренних сил в пределах которой эквивалентна работе предельного момента в пластическом шарнире, используемом в методе предельного равновесия. Использование пластической зоны позволяет оценить значение опорной реакции балки. Если принять линейное изменение момента на участке до начала пластической зоны, то
 n М о 4,54 М о
 _ Л _ ’
 Эта величина близка к значению опорной реакции от несущей способности балки Ро 8М0РУ Rq 4М0. Реакция балки сохраняет постоянное значение в пластической стадии независимо от величины динамической нагрузки. Поэтому допущение пластических деформаций позволяет не только увеличить воспринимаемую динамическую, нагрузку за счет сил инерции, но и приводит к уменьшению усилий, передаваемых на опорные конструкции.
 128

Определим входящие в полученные формулы 4.75 функции Sn t; которые зависят от вида нагрузки. Для нагрузки с мгновенным нарастанием вида 3.115, используя формулы 4.32, 4.15, найдем: при 0 t 0
 Sn 01
 С0п в
 On 0
 Г2 0;
 1в
 76
 14
 12
 10
 8
 6
 4
 2
 При t 0
 5„0 н-Л2грпПг0
 0п 0
 П2,О-7’г0
 Оп0
 гг оt -0,
 Оп 0
 0,6 0,7 Ofi 0,9 1fl 1,1 1,2 1,3 14 15 16 км
 Рис. 4.5. Зависимость коэффициентов динамичности балки kj от коэффициента лг:
 — при учете трех членов в рядах; при учете одного чле¬
 на
 где
 Tj,2 t sin Ор„ 42. .
 On V1 —Y П
 Для нагрузки с постепенным нарастанием вида 3.126 будем иметь: при 0 t 0х
 On 01
 при ©1 t : 0
 s„ —Ц-по
 f2 0
 УпЬ_ J2 t. Wn 01
 1
 On 0
 On 02
 Wn 01
 Уп№Р —0il—“TT f2 to
 On U1
 Пг t—0i
 при t 0
 S„
 -Vf«2 -V-V tn2
 On 0i 4 “l “2 I
 ТпРп?«2-01
 Л n2 -0-TnPnX
 On “2
 rA20 TnMv— e I
 I №„0 O„02 J
 On 0J
 На рис. 4.5 построены графики kf — kM при двух значениях параметра 00 50 и 5. Сплошными линиями проведены графики, полученные при учете в рядах трех членов п 1,3,5 при 0, у3 уь
 5 Зак. 882
 129

0,1; пунктирные — при учете одного члена при уг 0. Время конца упругой стадии определялось из уравнения 4.61 с использованием графиков функции Тм на рис. 4.3. При 00 5 в обоих случаях получены практически одинаковые результаты; при 00 50 имеется некоторое расхождение в значениях kfy доходящее до 25 .
 Преимущество метода пластических зон заключается в более обоснованном критерии предельного состояния 4.81, так как предельные кривизны определяются с большей достоверностью, чем предельные углы раскрытия в пластических шарнирах.
 4.5. Исследование влияния набегания ударной волны
 на работу шарнирно опертой балки в упругой стадии
 Влияние набегания волны проявляется для конструкций больших пролетов, как, например, для стропильных конструкций одноэтажных промышленных зданий I 18, 24 м и больше. Важное значение имеет также соотношение между длиной волны ад а — скорость движения волны и пролетом конструкции. Как следует из данных п. 4.3.2, при набегании волны происходит постепенное нагружение конструкции в течение времени а, увеличивается полное время действия волны на конструкцию до величины 0 На, распределение динамической наггрузки по пролету делается неравномерным. Для оценки влияния этих факторов требуется проведение специальных расчетов.
 Для упругой стадии в п. 4.3.2 получены общие зависимости, учитывающие различные соотношения между параметрами ударной волны и балки.
 При
 v -м • п я
 Хп У — sin — X функции 4.43 имеют вид
 Находим функции fnt 4.42 по формулам 4.45, 4.46.
 130

При а0 I
 х lJL, 0е —. Г а
 4.82
 При а0 из формулы 4.46 следует, что выражения п при 0 й На t 0 На совпадают соответственно с формулами в первой и третьей строчках 4.82. При 0 t На
 Как видно, эффект движения волны по конструкции проявляется в гармонических воздействиях с частотами ппа1.
 Решение уравнения 4.41 при полученных функциях fn , удовлетворяющее начальным условиям и условиям сопряжения на границах различных временных интервалов, можно представить в виде
 Безразмерные функции Тп и их производные Тп определяются в зависимости от значений параметров по следующим формулам.
 При а0 .
 • При набегании волны: 0 а
 4.83
 4.84
 Тп П1 ?_Vn я Ch1 cosmnt D«sinont
 18n—tQ Anl cos fnt Bnl sin„, 4.85
 fl,0 ®n5Al,0.
 где
 C‘ -1 e„ Л‘, D«l T„C1 H——
 COn 0
 4.86
 tin a
 I
 131

№- i-i-vЭ-тл. d l—v2 yv, pno„olI
 Vn —,
 U»n
 511 D1 p„-1-YnCAl cos®„-C‘l pn-‘
 YnOAu sinw„0 g-T’nV L_-_
 con 0
 v„ sin„ Bn1 cos fnt.
 • .При загружении всей балки: На t 0
 fn n2 Cj,2 cos «„ — нDj,2sinon x
 x —He-:fn“n-H £2 —1— cosгл —;
 0
 Ti2 co„S2 ;
 S2 02рГ‘-Тп2 coscon -„ -C2,pn-‘ Y2’ sin„-„ ‘.-.У »»
 СOn О
 где
 th—, En 1 — cosnnl -fe„ l— cosn;
 a a0
 c2 71 fH - £,2». 1 -cos n л A-;
 о
 D? si1 „ Yn cn2 ‘mc°sen;t P„.
 • При сходе волны с балки: 0 t 0 Па
 тп Т3 С3cosсоп-0 D3 sin«n X X t—0е—v„w„-0 _j_ j _j__—C0Sг jc—cos
 a0 0
 An COS fnt — 0 sin fn t—0;
 t30 onS3,0; s3 D3P71 -Y„ ci3 cos ш„ -0-
 -WPn1 Yn3 sin«n-0e--e-.
 СОЛЯ
 Vn —An sin„—9 Bncosfnt — Q,
 132
 4.87
 4.88
 . 4.89
 4.90
 4.91

где
 43 -
 Бп
 1—v„
 dfnQ
 С3 Тп2 0 - А 3 - en -L- cos п я;
 D3 S2 0 v„Ci3 vnfi3 p„.
 • После ухода волны с балки: t 0 la th
 тп ri4 C,4cos w„ t-th
 DhA sinc0„ t — tk
 4 o„s4 0;
 S4 Di4,p7‘-ynCnA cos®,,-„- C4P„-’ T„D4 sin ш„ .-„ j e-W4
 4.92
 4.93
 где
 C4 n3 M, M4 53 th yn C4 P„.
 При a0 .
 • При набегании волны и 0 t 0 справедливы формулы 4.85, 4.87.
 Для процесса загружения всей балки зависимости изменяются. Представим формулу 4.83 в виде
 fn 0 —
 Prf ■si4-Ь4-94
 тогда при 0 t На
 Tn Tl Cn2 cosw„t-Q Dn2 sin©„ -0 Лп2 cosn flj,2 sin„; 4.95
 n2’0 -co„520;
 S2 D,2p„-‘ -YnC2 cos®n-0-C‘2p„- YnDn2 sin-01 e-“n-0
 vn — Ah2 sin fj Bn cos fnt; 4.96
 133

где
 Л2 _ — Vn Ь пЬ _ d2 _ — vn —VnVn»i
 1 Dn — “ а а
 _ j _ sin fn 8 . _ 1—cosn6.
 1 fn 0 ’ fn 0
 C2 - f1 0 - Л,2 cos fn 9-fi2 sin „ 0;
 £«2 SV 0 YnC2 vn Л,2 sin fnQ — Bn2 cos fn 0 p„.
 • При сходе волны с балки На tH t 0 На справедливы формулы 4.90, 4.91, в которых надо заменить t — 0 на t— tH. Для
 моментов времени t tu 0 На сохраняются формулы 4.92, 4.93.
 В результате для расчета в упругой стадии будем иметь:
 yix,t - v -L Sin If- хТп t; 4.97
 я В n° I
 n 1,2,3...
 yXtJ£L£L V _L_ 4.98
 5fl rt3
 Mix, o-nr 2Tsln-TLjtf»; 4-99
 яз Лз I
 n
 Qi . -r 2 cos T1 n °- 4’100
 n
 В рассматриваемой задаче основными безразмерными параметрами являются
 6i —, б2 —. 4.101
 1 аб ’ 2 1щ У ’
 Для остальных параметров имеем
 ЗХ с р а ЛЯ л 1 л
 Vn— б2, п0 — ,
 Л Ol O1O2 OjOj
 При расчетах целесообразно все величины определять в зависимости от безразмерного времени т о, при этом
 Юц t п2 т, fnt л62лт.
 Влияние эффекта движения волны на работу конструкции оценим на конкретном примере. Рассмотрим балку покрытия одноэтажного промышленного здания пролетом 18 м. Вследствие наружного взрыва вдоль балки распространяется ударная волна со скоростью а 350 мс Арф « 10 кПа и со временем действия 0 0,1 с. При
 134

шаге поперечных рам 2 — 6 м и балке двутаврового сечения из бетона класса В40 получим oj 30 с-1. Тогда значения параметров 4.101 равны б10,514; 620,648 и о103.
 Выражения 4.99, 4.100 представим в виде
 Mtx, 0 х;
 Q,x, t-TQ, х,
 где
 £; р Дрф2;
 Тм 0,516 sin пп Тп т; 4.102
 п3
 Tq 0,405 V —cos ппТп т. 4.103
 Отметим, что в рассматриваемом случае при п 2 будет шга 122,17; со2 120; v2 1,018. т.е. гармоническое воздействие, обусловленное влиянием движения волны, находится почти в резонансе
 Рис. 4.6. График функции динамичности ТмУ для балки:
 а — при набегании волны; б — при сходе волны
 со 2-й гармоникой Так как 6А 1, то осуществляется первый случай, когда имеется процесс загружения всей балки. Для безразмерного времени т имеем:
 • набегание волны 0 т 162 1,543;
 • загружение всей балки 1,543 т OjB 3;
 • сход волны с балки 3 т OjB 162 4.543.
 Функции динамичности 4.102 вычислялись с учетом пяти членов
 рядов. На рис. 4.6 построены эпюры функции динамичности Тм для моментов в различные моменты времени. Особенно характерен процесс набегания волны т 1,5 на рис. 4.6, а, когда в зависимости от
 135

положения фронта волны £ф б2т 0,648 т существенно меняются эпюры моментов. При т 1,25, например, в балке возникают моменты разных знаков. На усилия и деформации в балке при набегании волны существенно влияют высшие гармоники и особенно вторая, которая выделяется вследствие отмеченного выше совпадения частот. При загружении всей балки т 2; 2,25, ... 3 вначале происходит более интенсивный изгиб второй половины балки, затем несимметрия изгиба по-
 Рис. 4.7. График функции динамич- Рис. 4.8. График функции динамичности по моменту для трех сечений ности Tq для опорных сечений балки
 балки:
 — Тм 0,25 т; — Тм 0,5 т;
 Тм 0,75т
 ловины балки постепенно уменьшается, но не исчезает. При сходе волны с балки рис. 4.5, б наблюдается уменьшение моментов в сечениях без характерных изменений в эпюрах моментов.
 В течение процессов полного загружения и схода волны с балки происходит изменение формы эпюр моментов. Важно отметить, что значение коэффициентов динамичности по изгибающему моменту км 1,17 практически совпадает с его значением при одновременном загружении всей балки кА 2 1 — arctg о10о101 1,167. Это свидетельствует о том, что даже существенные отличия в процессе деформирования конструкции на начальном этапе оказывают незначительное влияние на максимальные значения изгибающих моментов. Отличие проявляется в положении сечения с максимальным усилием.
 На рис. 4.7 приведены графики коэффициентов Тм для трех сечений балки, которые также позволяют выявить особенности деформирования разных участков балки. На рис. 4.8 построены графики функций динамичности Tq для опорных сечений £ 0 и £ 1. В период набегания волн происходят высокочастотные колебания поперечных сил, особенно характерные для опоры £ 1. Здесь происходит изменение
 136

знака поперечной силы, которое свидетельствует о том, что при набегании волны опорная реакция на опоре, к которой распространяется ударная волна, принимает значения обратного знака. Вследствие этого при относительно малой статической нагрузке возможен отрыв конца балки от опоры, для предотвращения которого необходимы специальные конструктивные мероприятия. При расчете балки в пластической стадии могут возникнуть трудности, обусловленные движением пластической зоны по длине балки. При ударной волне достаточно большой длительности 6L 1 можно принять допущение о стационарности пластической зоны. Тогда расчетные зависимости находятся изложенным выше методом.

ГЛАВА 5
 МЕТОДЫ РАСЧЕТА С УЧЕТОМ ДИНАМИЧЕСКОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ КОНСТРУКЦИЯ
 5.1. Расчетные схемы систем из двух элементов
 . Все конструкции входят в состав зданий или сооружений как несущие или ограждающие элементы. Восприятие действующих нагрузок происходит последовательно соединенными системами этих элементов, как, например: «плиты перекрытий или покрытия — колонны с фундаментами» при вертикальной нагрузке, «стеновые панели — колонны — каркас» при горизонтальной нагрузке. При динамических нагрузках происходи г особое взаимодействие элементов системы вследствие взаимного влияния колебательных процессов отдельных элементов. Взаимодействие основания и фундаментов приводит к перемещениям всего сооружения, что вызывает дополнительные силы инерции, существенно изменяющие при определенных условиях полное динамическое воздействие.
 Учет взаимодействия всех элементов сооружения приводит к слишком большим вычислительным трудностям. Для практических расчетов часто достаточно ограничиться исследованием работы систем из двух элементов, в которой один элемент опирается на другой. Эти системы можно разделить на две группы.
 • К первой группе относят системы, состоящие из деформируемых конструкций, опирающихся на смещаемые жесткие элементы — колонны с фундаментами.
 • Вторая группа образуется из взаимодействующих деформируемых элементов: стеновые панели и колонны; плиты перекрытий покрытия и ригели. Расчетной схемой рассматриваемых конструкций является цепная двухэлементная система. Взаимодействие элементов приводит к появлению дополнительных сил инерции.
 В дальнейшем рассмотрим систему, в которой верхним элементом является балочная конструкция. Расчетной схемой является система, состоящая из однопролетной балки, опирающейся на сосредоточенные массы т0, расположенные на деформируемых связях рис. 5.1. Для системы первой группы т0 равно массе жесткого элемента, закон деформирования связей принимаем в виде
 R0 с0и t сх и , 5.1
 где с0, сг — коэффициенты; и t — перемещение опорных масс.
 138

Как отмечалось в п.4.2, зависимость 5.1 применима для описания сопротивления грунтового основания. Для системы второй группы т0 равно приведенной массе нижнего элемента и в выражении 5.1 будем принимать сг 0, а с0 — жесткость элемента. При получении расчетных зависимостей используем упрощенный метод, основанный на задании фиксированной, статической формы прогибов элементов. ГТ I I I I 1 1 I ГГ1 pt Если F0 х — функция прогибов нижнего элемента, то
 - С П dx т01Щ-
 I
 О
 °
 uft
 Рис. 5.1. Расчетные схемы системы из двух элементов
 где т0 — погонная масса элемента; х0 — координата сечения с максимальным прогибом.
 Ограничимся исследованием работы системы при условии, что нижний элемент деформируется только в упругой стадии, для верхнего элемента возможна упругая и пластическая стадии. Интенсивность динамической нагрузки р t pf •
 5.2. Работа верхнего элемента в упругой стадии
 Полное перемещение верхнего элемента-балки
 , лг, t и t pF х Т О,
 5.2
 где F дг — статическая форма прогибов, определяемая из уравнения 3.105. Условия закрепления концов балки принимаем произвольными, но одинаковыми для обеих опор.
 Подставив выражение 5.2 в уравнение движения балки 3.101 и проведя преобразования согласно методу Бубнова — Галеркина, получим
 Г С02 т W2 ftу и ,
 5.3
 где
 or
 J F dx о
 m j F2 dx
 о
 Величина со равна частоте колебаний, соответствующей принятой форме прогибов, и может быть принята равной низшей частоте собственных колебаний.
 139

Уравнение движения опорной массы
 Q 0, t — R0 — т0и - 0, 5.4
 где Q 0, t — поперечная сила на опоре балки
 Q0,tTt.
 Зависимости 5.1 ... 5.4 приводят к следующей системе уравнений
 и тцл ?о и — хГ 0;
 М Т д2Т a2ft, 5.5
 где
 „ _ с „ _ с0 2 _ со2т
 г — , Г0 — — 00, 1 »
 Щ Щ р
 pi
 Х о •
 2 т0
 Начальные условия при t 0 и и Т Т0. ф Представим перемещение массы в виде
 uf-ELut,
 2 с0
 где U — функция динамичности для опорной массы.
 Тогда из формулы 5.5 получим систему уравнений для функций динамичности U и Т t
 U fiU — г0Т 0; k2U Т д2Т со2 ,
 где к2 — со2 mil2 с0.
 • Найдем общее решение соответствующей однородной системы. Полагая U0 Cest,T 0 Besi получим системы
 С s2 г г0 — г0В 0;
 Ск2S2 В s2 о2 0, 5.6
 откуда следует
 s2 rts го s2 to2 со2 s2 0. 5.7
 т2
 Обозначим корни системы 5.6
 si ai Piw и s2 а2р2
 140

В результате вычислений найдем U0 Cj sin Рхо С2 cos рх ot еаш Cs sin p2 Ct cos P2 «0 e0; T0 B1 sin pjco B2 cos Pj at eaat B3 sin p2 oat B4 cos p2 at
 где Ct — произвольные постоянные; Bt выражается через Ct согласно формуле 5.6; ait рг — корни уравнений
 а2 — р2 1 «1 п2 а а2 — Р2 —
 — 2аР2 п2 2а а2 — Р2 п3 0, 5.8
 02 а2 г2 2а 1 пх п3 п2а1п2 4а; 5.9
 п2 —; п3 . 5.10
 о2 со2 о 2 т0
 Все расчетные зависимости получим при мгновенно возрастающей динамической нагрузке вида 3.115 для интервала времени 0 t 0. Тогда частное решение системы 5.6 будет
 Tl 1 Т Ul 1 тГ Т •
 • После удовлетворения начальным условиям получим 1 Н— rii V Dt cos Pi ut—
 nlO0 e
 — sin PxtoO eai“; 5.11
 Tt 1 X A, cos p« сot—Bi sin po0 eatwt,
 0
 i 1,2
 где
 Dt CA hi
 P. c?d?
 Pi O0
 . — di
 Я1
 Pi CI Pi №t “b 9? ив
 _ Si
 0
 Pi cidh
 Pi Л? ?f «00
 Si
 ri
 Pi “0
 diatai — Piftj;
 - Pi Pi; a2
 «i — «г2
 •l b2— 2P2 a2 —
 «i;
 141

h, bt a?-p?2a,Mi;
 qt at a,? — p,? — 2afpгг;
 £»i fidi, li Shi fiQil
 §i id-i “b fiCif rt fiii
 ?i «i «12 ai — Pi.
 Рг n2 2 a,.
 При расчетах требуются довольно трудоемкие вычисления при нахождении корней системы уравнений 5.8, 5.9. Преобразуем их к более удобной для вычислений форме. Уравнение 5.8 представим в виде
 a2 — Р2 rtj л2а 1 п3 а2 — Р22 п, п2а— — 2 ар2 п2 2а 0. 5.12
 Из уравнения 5.9 имеем
 2а 1 пг п3 п2а — а2 — р2 п2 4а — п2.
 Подставим это выражение в 5.12 и после преобразований получим
 п2 2a а2р22 — п2 а2 р2 - 2алх 0, 5.13
 которое решается совместно с уравнением 5.9.
 Преобразованная система 5.9, 5.13 имеет дополнительное решение: a 0, р 1, которое в расчетах не должно учитываться. Уравнение 5.13 позволяет сделать ряд выводов о значениях корней ах, х2. Анализ графиков функции из формулы 5.13 показывает, что должно быть ах 0, а2 0. Можно показать, что если есть одно из решений системы 5.9, 5.13, то второе решение равно
 а2 — 0,5 п2 — ах. 5.14
 Таким образом, непосредственно из системы 5.8, 5.9 или 5.9, 5.13 достаточно найти лишь одно решение ах, рх. Если сх 0, т. е. гх 0, то из формулы 5.7 следует, что корни могут быть только мнимыми. Тогда аь 0 и из формулы 5.8 Для величин Р получаем уравнение
 Р4 - Р2 1 пх и3 пг 0. 5.15
 Затухание колебаний при этом, естественно, отсутствует. Если на опорах балки нет сосредоточенной массы т0 0, то при т0 —0 получим Р2 1 Х2 1.
 Для системы первой группы, состоящей из балки, опирающейся на колонны, т0 обозначает массу колонны и фундамента, функция
 142

—
 Ci раИф,
 5.16
 5.1 дает значения усилия под подошвой фундамента. Ее коэффициенты можно принять равными
 paiAb 2D
 где Лф — площадь подошвы фундамента под колонны, D — сторона подошвы фундамента, р, ах — характеристики грунта основания плотность и скорость распространения упругопластической волны в грунте. Описываемый процесс взаимодействия сооружения с грунтом характеризуется следующими тремя безразмерными параметрами
 “1
 со D
 s, ■
 2Ло
 S2
 ml
 рЛфО 2 m.s
 где ms т0 0,5 ml.
 Величины 5.10 выражаются через эти параметры по формулам
 „2
 5.17
 1— S2 Si
 rt,
 2s0
 1 -s2
 n3
 So
 1 So
 5.18
 Прогиб и усилия в балке определяются по формулам
 У Ур Т t, Mi Мр Т ty Qi — QpT ,
 где уру Мр, Qp — прогиб, изгибающий момент и поперечная сила, вызываемые статическим действием нагрузки Р. Продольная сила в любом сечении колонны равна — R0 — mh у и, где mh у —
 масса фундамента и части колонны до рассматриваемого сечения.
 ■ Проведенные расчеты показали, что от значения s0 зависят как характер изменения во времени всех усилий и перемещений, так и их наибольшие величины.
 При малых s0 s0 1 наибольшие значения усилий и перемещений в балке достигаются не при первом, а при последующих в основном при втором максимумах колебаний; при больших значениях s0 наибольшие значения достигаются при первом максимуме рис. 5.2.
 С ростом s0 происходит увеличение коэффициентов динамичности для всех величин. При больших значениях s0 s0 4 влияние смещения сооружения на работу его элементов венно и может не учитываться.
 • Отметим механизм влияния смещения опор на работу конструкций сооружения. После начала движения сооружения ускорения положительны и дополнительные силы инерции уменьшают динамическую нагрузку; этим обусловливается снижение Т t на первом максимуме ко¬
 Рис. 5.2. График функции динамичности упругой балки со смещающимися опорами:
 J—s01, 00 50; 2 — 5013, об —
 50
 несущест-
 143

лебаний. На втором этапе движения сооружения, когда ускорения отрицательны, силы инерции увеличивают нагрузку и повышают значение функции Т t на втором максимуме. Это значение зависит от степени затухания колебаний и длительности действия нагрузки. Если затухание отсутствует сх 0, то значение Т t на втором максимуме увеличивается до величины коэффициента динамичности конструкции на несмещаемых опорах. Поэтому снижение усилий в элементах сооружения при его смещениях происходит в основном вследствие затухания колебаний, обусловливаемых вязким сопротивлением в формуле 5.1, которое учитывает распространение энергии в грунтовом массиве. Отметим, что длительность действия нагрузки оказывает большее влияние на работу конструкций со смещаемыми опорами, чем с несмещаемыми, так как движение опор увеличивает время достижения вконструкции максимальных усилий.
 ■ Результаты проведенных расчетов показывают, что смещения опор могут оказать существенное влияние на работу конструкции, приводя к уменьшению усилий и деформаций. Учет этого фактора часто позволяет объяснить увеличение действительной несущей способности конструкции, определенной при испытаниях, по сравнению с расчетной. При проектировании сооружений варьированием значений параметров 5.17 можно добиться получения наиболее экономичного решения.
 Влияние смещения опор сооружения существенно зависит от входящей в параметр s0 скорости распространения волн в грунте alf которая характеризует податливость основания. При расположении сооружения на нескальных, неводонасыщенных грунтах, когда ах 300... ...350 мс, обычно проявляется влияние податливости основания. При скальных грунтах основания или когда характеристики сооружения со, Лф, ... таковы, что параметр s0 3 ...4, целесообразно устройство специальных конструктивных мероприятий, обеспечивающих вертикальные смещения опор конструкций с обязательными демпфирующими приспособлениями. Такие конструкции, обеспечивающие движение сооружения, можно отнести к кинематическим устройствам. Они снижают перемещения уже на первом максимуме колебаний.
 Для кинематических систем могут использоваться различные специальные конструкции фундаментов, применяемых для сейсмозащиты зданий виброизоляторы на пружинах, подушки слоистой конструкции и т.п.. Более простым может быть устройство податливых прослоек непосредственно под опорными частями конструкций покрытия и перекрытий.
 Различные специальные устройства, снижающие динамический эффект импульсной нагрузки, могут обеспечить ее восприятие без локальных повреждений и остаточных деформаций, что особенно важно при повторных нагружениях.
 Получим зависимости для системы второй группы, состоящей из двух изгибаемых элементов. При сг 0 п2 0 значения величин
 144

Pi, определяемые из уравнения 5.15, равны
 о 	2 1 4 4
 4
 5.19
 где п3 — вычисляют по формулам 5.10. Коэффициенты функций динамичности 5.11
 Ai—n 1—Р2iDi В
 где ах — pf Рг; а2 — ах. Функции динамичности 5.11
 5.20
 Приведем числовую оценку параметров системы для часто реализуемых случаев,когда частота нижней конструкции существенно больше частоты верхней стеновые панели и колонны, плиты перекрытий и ригели. При этом обычно для масс выполняется обратное соотношение.
 Примем со0со — 5 пх 25 и п3 3.
 Тогда Рх 0,943, Р25,302 а10,943 со, со25,302 со; nxDх 1,0327, nxD2 0,0327; Лх 0,99594; А2 0,00406.
 ■ Как видно, движение обоих конструкций происходит в основном с частотой оь близкой к частоте колебаний верхней конструкции, и значения их функций динамичности близки друг другу. Влияние частоты колебаний нижней конструкции на деформирование системы почти не проявляется. Эти особенности объясняются тем, что время нарастания реакции верхней конструкции на нижнюю велико по сравнению с периодом колебаний нижней конструкции и поэтому передача динамической нагрузки на нее происходит в квазистатическом режиме. Коэффициент динамичности для нижней конструкции совпадает с
 t _- 1,0327 cos0Х
 sin щt COjS
 145

коэффициентом динамичности для верхней конструкции, т. е. зависит только от параметра со0. Поэтому учет влияния верхней конструкции может привести к снижению расчетной нагрузки на нижнюю конструкцию.
 • Возможны также системы, в которых частота колебаний нижней конструкции существенно меньше верхней например, стены и несущая система здания. Для масс этих конструкций обычно выполняется обратное соотношение.
 Примем со0со 0,2 пх 0,04, п3 0,1.
 Тогда Рх 0,19; Р2 1,05; nxDx 1,034; nLD2 0,034; Ах 0,097; А2 0,903. Отсюда следует, что движение обоих конструкций происходит независимо, с разными частотами, близкими их собственным значениям сон 0,19 со со0, сов 1,05 со. Поэтому при расчете системы, у которой со0со 0,2, ее конструкции можно рассматривать как отдельные элементы.
 5.3. Работа верхнего элемента в пластической стадии
 В качестве верхнего элемента рассмотрим шарнирно опертую балку. Время конца упругой стадии определяется и уравнения
 о
 Для пластической стадии принимаем упрощенную систему с пластическим шарниром в середине балки. Тогда полные перемещения верхнего элемента в пластической стадии будут
 у2 х, t - и t pF х Т tt ф X,
 0 	х 2.
 Уравнение движения балки в пластической стадии имеет вид
 т-г«-Нг“- 521»
 Уравнение движения опорной массы совпадаете уравнением 5.4,
 где
 р ml ... ml2 •• ,.v
 Q«u - —ut—g-40.
 • В результате получаем следующую систему уравнений: mru схи с0и 0,25т2ф 0,5pi 1 — tQ;
 — и ф 1 kM,
 I Т mla 0 где mt 0,5 ml км MJMV.
 146
 5.22

Начальные условия: при t tx:
 и и0, ии0, ф 0, ф ф0,
 2Cq
 u0ut1Vt1;
 2 с0
 V ti «1 lP,£i a«£г sin P« 0
 i 1,2
 a.st, 1
 4-Рг£—ajDj cos Pi mtte ‘ —
 00
 p3 0 V
 Фо r l
 ™ 305 v 7
 ri 2 Pi4i aiBisinpiat1iBi—aЛгcosp wЛ“‘ .
 С00
 • Решение системы 5.22 представляется в виде
 Ф _ у- Ci sin у2со С2 cos у2 со7 х
 х eytU,TJlTkMT2 BB 5-23
 ы0 Сх sinY2w С2 cosy2d -£Ll_Jl- 3kM - -Lf 5.24
 8c0 e c0o 0
 где t t — t, Yu Уг — корни уравнения
 1 0,25 n3 уг пх 0; z, Yi Y2; У
 7i — HV
 Формулы для коэффициентов Ciy Bt даны в книгеН.Н. Попова, Б. С. Расторгуева «Вопросы расчета и конструирования специальных сооружений». М., 1980. Там же приведены выражения для коэффициентов динамичности kf.
 По полученным зависимостям были проведены обширные расчеты, в которых варьировались в широких пределах характеристики конструкций и грунта основания. Для примера на рис. 5.3 представлены графики коэффициентов динамичности kf при некоторых значениях параметров s0, sl9 s2, со0. Значение kMo соответствует границе между упругой и пластической стадиями.
 Из графиков рис. 5.3 видно, что перемещение сооружения заметно влияет на деформации балки при времени действия нагрузки, когда
 147

00 100. Особенно значительное снижение пластических деформаций в балке наблюдается при малых значениях параметра s0 s0 1.
 В результате анализа результатов расчетов получены рекомендации о возможности снижения коэффициентов динамичности на 35 для конструкций сооружений на основаниях из нескальных грунтов при расположении фундаментов выше уровня грунтовых вод. В системе из двух изгибаемых элементов при со0со 5 верхний элемент рассчитывается в пластической стадии как балка на неподвижных опорах. В течение времени работы ее в пластической стадии опорные
 Рис. 5.3. Зависимость коэффициентов динамичности по перемещениям балки kf со смещающимися опорами от км при 513,0, 2 23:
 а — 0025; б —00100; в — 00200; — s00,33; 2 — s«0,66; 3 — s0 I; 4 — при
 неподвижных опорах
 реакции не возрастают, и поэтому максимальные деформации и усилия в нижнем элементе достигаются в момент образования пластического шарнира в верхнем элементе. Отсюда следует, что расчетную нагрузку для нижней конструкции можно принять равной ркм, где км — коэффициент динамичности по моменту для верхней конструкции. Если эта конструкция обладает большим запасом пластических деформаций и возможностью развития значительных перемещений, то возможно существенное снижение расчетной нагрузки на нижнюю конструкцию.
 Особенности работы рассматриваемых систем можно использовать для разработки специальных устройств, снижающих динамическую нагрузку на конструкцию гасители динамических нагрузок. Например, для заглубленного специального сооружения таким устройством может быть прослойка из податливого материала между конструкциями и окружающим грунтом пластмассы, легкие и ячеистые бетоны и т.п.. Снижение динамических нагрузок на конструкции несущих систем зданий колонны, ригели осуществляется, если применять пластически разрушающиеся стеновые панели, плиты перекрытий и покрытия.

ГЛАВА 6
 ЧИСЛЕННЫЙ МЕТОД ДИНАМИЧЕСКОГО РАСЧЕТА СТЕРЖНЕВЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
 6.1. Общие положения
 Приближенный метод, использованный для расчета шарнирно опертых балок, основан на идеализации свойств железобетона и конструкций из него. Это затрудняет и иногда делает невозможным распространение этого метода на стержневые элементы общего вида. В случае закреплений концов от поворотов жестких или податливыхсущественное влияние оказывает последовательность развития трещин и неупругих деформаций материалов во времени и по пролету, вызывающее перераспределение усилий во всех стадиях работы. Это явление, хорошо изученное в статике, мало исследовано при импульсивных нагружениях.
 Особую сложность вызывают задачи расчета элементов при совместном действии поперечных и продольных динамических сил, при повторных динамических нагрузках и т.п., т. е. когда возможны последовательно сменяющиеся процессы нагружения и разгрузки в части или по всей конструкции. В этих условиях способ кусочно-линейной аппроксимации диаграмм деформирования неприменим.
 Полный учет реальных свойств железобетонных конструкций в условиях действия произвольных динамических нагрузок может быть произведен только в численных методах расчета,основанных на использовании ЭВМ. Развитие вычислительной техники позволяет в настоящее время производить расчеты физически и геометрически нелинейных конструкций во всех стадиях работы.
 • Рассмотрим метод динамического расчета стержневых элементов, позволяющий решать широкий круг задач. Имеем стержень с осью произвольного очертания, постоянного поперечного сечения, расположенного на опорах с сосредоточенными массами, и с податливыми закреплениями концов рис. 6.1. На стержень действуют статические и динамические нагрузки.
 • Статические нагрузки: вертикальная равномерно распределенная по длине элемента q, продольные силы на концах Nstyl, Nsti2.
 • Динамические нагрузки: поперечные нормальные к оси стержня р дс,, продольная сила Nda на конце х ; среди поперечных на¬
 149

грузок могут быть и сосредоточенные силы. Нагрузки действуют в плоскости симметрии сечения стержня, ширина сечения переменна по высоте. Законы изменения динамических нагрузок во времени произвольные. Диаграммы деформирования бетона и арматурной стали учитывают начальное статическое нагружение, влияние скорости дефор¬
 мирования и возможность чередования процессов нагружения и разгрузки. Для бетона учет начальных напряжений производится сдвигом динамической диаграммы так, чтобы она проходила через точку ев.н рис. 6.2.
 Рис. 6.2. Диаграмма деформирования бетона:
 — при первом нагружении; — при разгрузке; — при последующих нагружениях
 Восходящая ветвь 0—1—2 диаграммы сжатия принята одинаковой для всех сечений стержня, нисходящие ветви 2—3 могут быть различными. Динамическое нагружение учитывается введением динамической диаграммы abd — гм, построенной в зависимости от ожидаемой средней скорости деформаций крайних волокон сжатой зоны. Динамическая диаграмма растяжения бетона принята идеальной упругопластической.
 Деформирование бетона в области изменения аь и е6 под кривой деформирования аь — гь происходит по линейному закону. Последую¬
 150

щие нагружения осуществляются согласно начальной диаграмме деформирования.
 Наиболее общий случай напряженно-деформированного состояния сечения включает зоны сжатия и растяжения с трещиной. В нормативных методах расчета определяют средние значения кривизны и продольной деформации на участках с трещинами. При этом в качестве расчетного рассматривается сечение с трещиной, а неравномерность деформации арматуры и бетона учитывается коэффициентами г6. Действительные значения коэффициента существенно отличаются от нормативных, так как они корректируют погрешности расчетных предпосылок: отсутствие растянутого бетона над трещиной, прямоугольная эпюра напряжений в сжатом бетоне и т. п. Если при расчете принимаются диаграммы деформирования бетона и арматуры, близкие к действительным, и учитывается зона растянутого бетона над трещиной, то на коэффициент s влияет только работа растянутого бетона между трещинами и его значение изменяется в небольших пределах г;5 1... 0,7, причем непосредственно после образования трещин
 1.
 Экспериментальные данные свидетельствуют, что при динамическом нагружении изменяется распределение деформаций арматуры между трещинами, приводящее к снижению значений коэффициента JS. Поэтому для применения метода расчета, основанного на использовании эмпирических коэффициентовs, и т. п., необходимо проведение обширных экспериментов для получения значений этих коэффициентов при различных динамических режимах нагружения.
 • Рассмотрим методику определения напряженно-деформированного состояния и характеристики жесткости стержневых элементов без использования дополнительных эмпирических коэффициентов. Экспериментальной основой метода являются только диаграммы деформирования бетона и арматурной стали. Учитывается зона растянутого бетона над трещиной, учет влияния растянутого бетона между трещинами производится с использованием средних усилий в растянутой арматуре на участке между трещинами. Средние усилия в арматуре
 Fm 0,5 Ft F2,
 где Fly F2 — соответственно усилия в арматуре в сечении с трещиной и посередине между трещинами.
 Напряжения в растянутом бетоне olV среднего сечения принимают равномерными по высоте. Приближенно из условия равновесия растянутой части блока между сечениями с трещиной и посередине между трещинами
 Fi F2 abV xcrc,
 где хсте — глубина трещины.
 Тогда
 Pi Pm0abVxerC9
 151

т. е. в сечении, где усилия в арматуре равны средним, напряжения в растянутом бетоне на высоте хстс равны 0,5 otf. Значения растягивающих напряжений в бетоне можно считать равными:
 — Rbt — при образовании трещин;
 о — при достижении в растянутой арматуре предела текучести.
 Между этими значениями изменение o?t принимают по линейному закону.
 Выразим
 оГ oMV
 через деформации арматуры esl. Если считать, что трещины образуются при esl гЫа, то
 о,?’ - —kRbt’
 где
 0,5eslej_ ПрИ lselEsl e6u;
 — I £biu ese l
 I 0 при 8slesel;
 esel oyEs 0 — деформация нижней арматуры, соответствующая пределу текучести при растяжении.
 Принятый подход для учета влияния растянутого бетона отличается от применяемого в настоящее время метода, основанного на теории В. И. Мурашева, тем, что вместо средних деформаций арматуры определяются средние усилия напряжения в ней. Для их определения достаточно знать напряжения в растянутом бетоне в сечении между трещинами. Эти напряжения могут быть легко установлены, что позволяет непосредственно находить средние параметры деформированного состояния элемента только из условия равновесия.
 Таким образом, растянутые зоны с трещинами рассматриваются как сплошные зоны с растягивающими напряжениями, согласно рис. 6.3.
 Для арматуры используются динамические диаграммы деформирования osd — es, в которых предусмотрены процессы разгрузки и последующего нагружения рис. 6.4.
 Внутренние усилия М и N во всех сечениях стержня определяют по отношению к его произвольной продольной оси моментной. При этом сжимающие напряжения и продольные силы приняты положительными, также как и деформации сжатия. Считается справедливым закон плоских сечений, т. е. продольная деформация некоторого волокна с координатой у по отношению к моментной оси
 г г0 XI,
 где е0, х — продольная деформация и кривизна моментной оси.
 152

Исходя из данных предпосылок разработана методика определения диаграмм деформирования изгибаемых М f х и внецентренно сжатых М f х, N элементов во всех стадиях работы, вплоть до разрушения.
 Проведенные сопоставления результатов расчетов с экспериментальными данными и с расчетами по формулам СНиП II-21—84 показали высокую точность методики. Поэтому ее предпосылки положены в основу метода динамического расчета стержней с использованием ЭВМ.
 6.2. Расчетные соотношения для стержня
 Законы изменения динамических нагрузок во времени и по пролету, диаграммы деформирования бетона и арматуры задаются дискретно с линейной интерполяцией. Уравнения движения элемента и геометрические соотношения принимаем с учетом продольных перемещений и геометрической нелинейности. Обозначим через wx, , иху t ординаты и абсциссы точек моментной оси стержня в деформированном состоянии.
 Они равны
 W Ху t Z0 х w ху t и .X, Х0 дс и х, ,
 где20 л:, Х0 — координаты оси недеформированного стержня; w л:,, и x,t — поперечные и продольные перемещения оси вдоль осей Ох и Oz, которые складываются из статических wx ху и х и динамических w2 х, , и2 х, перемещений. Обозначим углы наклона сечений элемента к оси Oz в начальном и деформированном состоянии
 Рис. 6.3. Расчетное напряженное состояние сечения
 Рис. 6.4. Диаграмма деформирования арматурной стали:
 — при первом нагружении;
 — при разгрузке; —
 при последующем иагружении
 153

х соответственно 0О, в л:, ; они равны углам наклона моментной оси к оси Ох,
 поэтому
 dw
 -: я
 дХ0 ди
 Ось Ох наклонена к горизонтали под углом ф.
 Уравнения движения элемента с учетом принятых знаков для усилий Рис. 6.5. Элемент деформиро- рис. 6.5, записанные в виде проекций ванной оси стержня всех сил на оси Qz и 0х имеют такой
 вид:
 —— Q cos 0 — N sin 0 — mw Q cos ф -f p cos 00; 6.1
 ds ds
 -2— Q sin 0 н—— N cos 0 mu я sin ф psin 00; 6.2
 ds ds
 dM d s
 Граничные условия при податливых закреплениях:
 М 0, 0 -gi 10 0, t — в0 01; М , t - g2 0 , t - 0О ;
 6.3
 N 0, t cos 0 0, t f Q 0, t sin 0 0, - - ct lu 0, t — X0 01
 N , t cos 0 , t- Q , t sin 0 , t c2 и , t — X0 f AIsU2 Ndt 6.4
 Q 0, 0 cos0 0, t — N 0, 0 sin 0 0, t mi w0, t
 dx w 0, t — Z001 ex w 0, ;
 — Q , cos 0 , 0 jV , sin 0 , m2w , t
 d2 Iw , - Z0 e2w , , 6.5
 где gi9 cit dt — коэффициенты жесткости; et — коэффициенты затуха¬
 ния; ml, m2 — сосредоточенные массы опор.
 Начальные условия:
 w , 0 ■ Z0 х wx х; и х, 0 — Х0 л: их х w х, 0 - и л:, 0 0. 6.6
 154

Продольная деформация оси, кривизна и деформации волокон сечения:
 д s д 0 л
 е0 — ; — ; 6.7
 д s0 д s
 е х, у, t е0 дс, 0 0 х, 0. 6-8
 где s0 — начальная длина стержня.
 Изгибающий момент и продольная сила в сечениях:
 М , 0 а6 b у ydy 6.9
 А
 N х, t f оь b у dy 2ijsiyi; 6.10
 Л
 где £ — площадь сечения i-й арматуры и ее координата.
 Поставленную задачу решают шаговым методом по явной схеме с использованием конечных разностей для производных, когда определяющими величинами являются перемещения некоторых сечений элемента.
 Стержень разделяют на сегменты длиной As0 в начальном состоянии сечениями с номерами k 0, 1, ..., rt. Номер сегмента совпадает с номером правого сечения, длина k-ro сегмента после деформирования k 1, 2, п. Уравнения движения для внутренних сечений
 записывают с использованием центральных разностей. Для момента времени, характеризуемого числом j tj Af получают при k 1, 2, ..., г- 1:
 Qfcicos 1—Qk-icos 0ft-i — Wfci sin 0ft1 — sin 0ft—i
 Asft q cos p pk cos 0ft mi k, j;
 6.11
 Qfei sin 0fti— Qft_ sin 0ft_ Nk1 cos0ft1 — cos 0
 Asft1 Asft q sin cp ph sin 0ft — m и k, , где Qi Qi, ; Nt N i, j; 0£ 0 i, и т.п.
 Поперечные силы равны:
 QjMj1—И_1А5;1 A5, k 1, 2,..., п — 1; ,g
 Qo М1-Ж0А51; Qn Mn-Mn.tSn.
 Для крайних сечений справедливы соотношения:
 М0 М 0, -gl 0Х-0ОО; Mn g2 0„ — 0» п; 6.13
 Aocos 0o Qo sin 0О —сг и0—Xoo--Nst,i, 6.14
 N„ COS 0n -- Qn sin 0„ С2 ип —ДГщ st,2
 QoCose0—N0sme0m1w0o,dlw0—Zooe1w0,j;
 —Q„ cos 0„ Nn sin 0„ m2w n, j da wn —zon e2w n, j.
 155

Длина деформированного сегмента
 Ash w k, j — wk — l,2 u k, j — и k — I,2.. 6.16
 Аналогично находят начальные углы наклона сечений 0О ft в зависимости от координат Z ft, Х0 к. Продольная деформация моментной оси стержня и ее кривизна в соответствии с формулами 6.7 равны:
 ео . —lAsft1 — As0 Ash—As02As0; x k, j - 0Л1, -0O kl—Qk — 1, —Q0k—1 JAskAsk1; k 1,2,3, ..., n
 4 n, j — As„ — As0As0;
 x 0, - 01, - 0O1 - 00, - 0O 0ASl;
 X n, j — 0n, —0O n—0n— 1, — 0O n — 1As„.
 Для определения усилий M ky , Nk, j k 0, 1, n сечения разбивают на горизонтальные слои. Для середины каждого слоя и уровней расположения арматур находят деформации
 еЛ, i, j е0е, х к, «,
 и по диаграммам abd — еь, asd —es — соответствующие напряжения.
 Интегралы в формулах 6.9, 6.10 заменены суммами. Для ускорений используют центральные разности
 w kt j w ft, j 1 — 2w ft, j w ft, j — 11Д2;
 u ft, j luky j 1-2m ft, j U ft, j — 1 At2.
 Подставив эти величины в уравнения 6.1, 6.2, получают следующие формулы для определения перемещений в следующий момент времени:
 w ft, j -4 1 2wky j — w ft, j — 1 w ft, jAt2m
 u ft, j f 1 2u ft, j — u ft, j — 1 u ft, A2m, 6.20
 где w ft, , u ft, — обозначают выражения в левых частях уравнений 6.11.
 Углы наклона сечений
 Ч 0, — ASi—As0As0;
 6.19
 156

Поперечные перемещения крайних сечений находят с использованием граничных условий 6.15 и уравнений движения 6.1, записанные в односторонних разностях: при k О
 Qi cos 0х — Q0 cos 0O—Nx sin 0jV2 sin OAs q cos Фр0 cosx X0O mw0, ; при k n
 Qn cos 0Л — Qn_ cos 0Л_ — Nn sin 0n Nn-i sin Qn-iVsn Q cos ф pn cos 0n mw n j.
 Для левого конца k 0
 Qi cos 0 — Nx sin 0j — mxw09j dj w0, — Z00 е09 q cosp Po cos 0O. ASj — mAs 0, 0,
 или
 mjmAsjJa; 0, 0, di0, j Qx cos 0X — Nx sin 0X
 q cosy p0 cos 0O Asx dx Z00.
 Использовав для w 0, j и w 0, j центральные разности, получают
 w 0, j 1 Qi cos0x — Nx sin0x dYZ00
 q cos ф Po cos 0O ASimASi 2w0y j—w 0, —1A2 ex w 0, j — l2Atlm1ms1At2 e12Atd1. 6.21
 Аналогично, для правого конца k п
 —Qn-i cos ©__ sin 0n_x — m2w nj d2 wny j — Z0n e2w ny j q cosypn cos 0nAs„ — mwn, Asn 0. Отсюда
 w n,j 1 — Qn_ cos 0n_ Nn-i sin 0n_ d2z0n qcos ф pn cos 0n Asn m2mAsn 2wn, — 6.22
 — w г, j — 1A2 e2w г, j — 12АД m2 mA sn Af2
 --eJ2kt d2 .
 Усилия M, jV в крайних сечениях, определенные по формулам 6.9, 6.10 в зависимости от деформаций, должны совпадать со значениями усилий, выраженных через перемещения концов граничными условиями 6.13, 6.14. Усилия в явном виде выражают через дефор¬
 157

мации е0 и х. Для этого используют справедливые для любого сечения представления с учетом формулы 6.8
 где D, G,B — характеристики жесткости элемента;
 D-jdA; G J ydA; B y2dA, 6.24
 D; В — соответственно, осевая и изгибная жесткости сечения в упругопластической стадии; G— изгибно-осевая жесткость, отличная от нуля при несовпадении оси, проходящей через физический центр тяжести сечения с выбранной моментной осью.
 Координата физического центра тяжести удовлетворяет уравнению G 0 и тогда из формулы 6.23 N e0D, М — хВ, т. е. каждое усилие вызывает соответствующую ему деформацию, что упрощает расчет отдельного сечения. Однако для конструкций, работающих в упругопластической стадии, положение физического центра тяжести сечений будет переменным по длине конструкции. Это обстоятельство затрудняет формулировку задачи расчета конструкции и поэтому более целесообразно использование единой моментной оси для всех сечений, когда справедливы формулы 6.23.
 Эти зависимости применяют для удовлетворения граничным условиям 6.13, 6.14.
 Рассмотрим конец стержня при х О, тогда
 Выразим деформацию е0 0 через горизонтальные перемещения. Из соотношения cos 0 No МО Dо x0Go; M0e00 G0 х 0 В0, где согласно формуле 6.19
 6.25
 6.26
 ds
 cos 0О
 “l—о д5 _ “1— “о Asx cos 0О
 тогда

В качестве неизвестных принимают 0О 0 0, , и0 и О, , которые определяют из условий
 Мо gi во — 0ои; Л?0 cos0o f Qo sin 0О — Cj ы0—
 х00 Nstl. 6.28
 Преобразуем левые части этих уравнений, используя формулы 6.25 ... 6.27 и соотношение Q0 Мх—М0 Asx. Имеем
 M0 — l G0 —««Go As0 cos 0О I Д«0 cos Asi
 01 001 — 0oo — 0oau u0at2 — bi,
 S1
 где au BJAsi, a12 GoAsocos0o;
 b 0i — 0oi — 0ool-77 l T 1 ft n
 As0 cos 0O
 N0 cos 0O Qo sin 0O N0 cos 0O sin 0O -—sin 0O
 Д Sj Д Sj
 e„ 0 Do cos 0O x 0 G0 cos 0O - e„ 0G« x 0 B0 Д Sj
 - — sin 0q e00 Ax x 0 Л2- — sin 0o 0021 4Ui22—b2,
 Д Sj A Sj
 где a21 AJAsx a22 VAs0 cos 0O;
 Ax -D0cos 0M— G°ASin 9° ;
 Д sx
 л n Л ?Bosin0o
 A2 Go cos 0O— —“ L ;
 Д sx
 b2 0i-001-000 -4 l “-1— 4i- sin 0U.
 Д Si V A socos “о A si
 В результате условия 6.28 приводят к системе уравнений
 00 Яц i «Ла гх; 6.29
 0021 “Ь «О 22 2
 где rx bx gi0oo; г2 b2 CiX00 ЛГ„,.
 Отсюда
 00 г» 2 Cl-.a22 . 30
 1
 Ц0 all gl rlg21 t 6ЗП
 S1
 где Si an gx а22сх — a12a21.
 159

Все значения, входящие в правые части равенств, принимают вычисленными на предыдущем шаге счета. На данном шаге необходимо,
 чтобы значения 0О, определенные по формулам 6.30 и 6.18, совпадали. Из этого условия
 “Ч 0 “1 — «о tg 0О. 6.32
 Таким образом, удовлетворение граничным условиям для поперечных перемещений 6.15 и углов поворота 6.13 концевого сечения сводится к определению поперечных перемещений двух соседних сечений конца стержня w0 и wx.
 Для второго конца стержня при х I
 Nn е0 nDn xnG n;
 М„ е0 nGn х п Вп, 6.33
 где
 - ек-1-0оп-1-0оп 1
 л • I ц 1 ин — J. ЗП J А у
 Д sn A sn
 e0rt l 2- 1 _i I “-1
 Д б0 Д s0 cos 0П Д s0 cos On
 un
 Д s0 cos 0n
 так как cos 0n un —
 Граничные условия: _
 Мп g2 0n - 00n; 6.34
 Nn cos 0n Qn sin 0n c2 un — X0nNst2 Nt.
 В результате преобразований
 Mn — 0Л6П — unb12 rfi;
 А1 п cos 0n Qn sin 0n 0n2i 7122 d2,
 где
 ii ВпAsn bi2 GJAs0 cos 07l, di 0n-i-0o.n-i -§„,.-fr- i A Un G»;
 Д sn As0cos 0„ b2 i44Asn; b22 i43As0 cos 0n;
 Ai Gn cos 0„ —— sin 0„;
 A3 Д, cos 0„ -I- —sin 0n;
 Д sn
 Фг 0n-i-0o.n-i-0onl Xе- 1 Ts7Ln- 3- sin 0n-4
 Asn V cos 0n Asn
 160

Граничные условия 6.34 сводят к уравнениям
 0nbii giunbn г3;
 0121 Un Ьгг сг г4, где r3 dj gAn 4 d2c2X0n — JVst2 — JVd t.
 6.35
 Jjl »
 S2
 „ _ r 11 gg —гзЬп
 71 »
 6.36
 6.37
 где S2 — Ьц gz P 22 “b 2 12 21
 С использованием выражения 6.18 находят формулу для поперечного перемещения соседнего сечения
 На основе сформулированных предпосылок разработана программа STERG на языке ПЛ1. В результате проведенных расчетов и в соответствии с имеющимися в литературе рекомендациями получено следующее: достаточная точность расчетов обеспечивается при числе сегментов разбиения стержня п 20; устойчивость счета достигается при интервале времени, удовлетворяющем условию
 В результате расчета выдаются значения: перемещений продольных и поперечных, углов поворота сечений, усилий моментов, продольных и поперечных сил, деформаций и напряжений в арматуре и в бетоне в серединах слоев сечений, а также вертикальных и горизонтальных составляющих опорных реакций.
 Следует отметить, что полную характеристику напряженно-деформированного состояния конструкции дают деформации и напряжения материалов.
 6.3. Примеры расчетов
 Приведем несколько примеров расчета по программе.
 1. Стальная балка с поперечным сечением в виде идеального двутавра.
 Площадь каждой полки Ах 103 м2; расстояние между их центрами тяжести h 0,18 м, модуль упругости Es 2 • 10® кНм2. Расчетный пролет 1,38 м, погонная масса т 0,09 тм. Принятое в программе железобетонное сечение сводится к идеальному двутавру, если Аз1 А82 Аг и ширина сечения b О. Расчеты проведены в упругой стадии для оценки точности методики.
 Динамическая нагрузка принята равномерно распределенной по пролету, мгновенно возрастающей и постоянной во времени т. е. 0 х. Статическая нагрузка не учитывается.
 wn-i — ип — Un—i tg 0n.
 6.38
 At 0,3 ...0,5 Axa0 a0 V Ebqpb.
 6.39
 6 Зяк ЯА2
 161

Балка разделена на п 20 участков, Ад: 0,069 м; для шага счета согласно 6.33 имеем
 2-108 0,069
 а0 ——— 5064 мс; At 0,4 • 5,4» 10в с.
 7,8
 Принимаем Ы 5 • 106 с.
 Изгибная жесткость сечения
 5004
 EI 2 • 108 . ю-з . 0,092 • 2 3,24 • 103 кН • м2.
 Балка расположена горизонтально р 0.
 Концы балки свободны относительно продольных перемещений, т. е. сх с2 0; смещения опор отсутствуют dx d2 1020. Рассматриваем шарнирно опертую балку.
 Рис. 6.6. График изгибающего момента и прогиба упругой балки
 В этом случае g2 0. Интенсивность динамической нагрузки принята ро 45 кНм. Статические значения усилий и прогиба от этой нагрузки
 Мр 45 • 1,3828 10,71 кН • м; Qp 45-1,382 31 кН;
 Ур 5 . 45 . 1,384384 • 3,24 • 103 6,56 • 104 м 0,656 мм.
 Круговая частота собственных колебаний
 д2 _ _
 о1 ——1 983,4 с-;
 1,382
 3,24-Ю3 0,09
 соответствующий период колебаний
 Тг 2л983,4 0,0064 с.
 На рис. 6.6 представлены графики изменения во времени момента М12, , и прогиба до 2, , полученные расчетом на ЭВМ. Прогиб и изгибающий момент достигают в момент времени tm 0,0032 с максимальных значений; wm wml2 1,313 мм, Mml2 22 кН • м. Коэффициенты динамичности для прогиба и момента близки к kj 2:
 kf 1,3130,656 2,002; kM 2210,71 2,054.
 Как видно, изменение во времени прогиба и изгибающего момента, полученное расчетом, с большой точностью соответствует точным выражениям п. 44.
 МИ2, t Мр1 — coscojO; ш2, t 1р1 — coso.
 162

Изменение во времени поперечной силы Q0, t заметно отличается от изменения прогиба, максимальное значение поперечной силы 52,7 кН. Коэффициент динамичесности для поперечной силы
 kQ 52,731 1,7 kM.
 Такое же значение k0 получается и при вычислениях с помощью рядов п. 4.4. v
 2. Внецентренно сжатые железобетонные элементы. Экспериментальными образцами являлись железобетонные стойки прямоугольного сечения длиной
 1,5 м с симметричнойарматурой класса A-III. Образцы нагружались статическими продольными силами и поперечными динамическими силами, приложенными в третях пролета. Динамические силы создавались в специальной гидродинамической установке гидродомкратом, машинное масло в который подавалось под давлением из гидроаккумулятора. При этом создавалась нагрузка с постепенным нарастанием продолжительностью 0,1...0,18 с. Образец двигался с переменной скоростью, изменявшейся в пределах v— 0,03...1 мс. Значение нагрузки в этой установке зависит от сопротивляемости образца и может приниматься равной опорным реакциям, зафиксированным в эксперименте.
 Рассмотрим образец с размерами h 0,24 м, b 0,153 м, Л0 0,203 м, а 0,023 м, I 1,38 м, As As 1,01 см2.
 Стержень разбит на п — 20, Ад: 0,069 м. Сосредоточенные силы Рк 0,5?2Ддг приложены в сечениях к 7 и k 13. Суммарная опытная реакция элемента Rt задана таблицей:
 .с 1
 0 0,005 0,01 0,015 0,02 0,03 0,04 0,05
 0,06
 0.065J 0,07
 R
 0 7 113,2 33,3 46,7 73,3 jl06,7 1133,3
 158,3
 166 160
 Продольная сила Nst 300 кН. Начальная опытная деформация еьо — г8 28,5 • 10-5. Исходя из выражения
 bo N8tEbAred
 определяют Еь — 2,8 • 107 кНм2. Учитывая относительно небольшую скорость деформаций в начале динамического нагружения, принимают Ebd Еь. Статическая и динамическая прочность бетона Rb 30,6 МПа, Rbd 36 МПа. Восходящая ветвь диаграммы бетона задана
 еь- Ю3 —0,08—0,07 0,0 j 0,5 0,72
 1 1,25 1,5
 1,55 2
 2,2
 сть-Ю-4, кНм2 j—0,12— 0,2б 0,0 1,4 2
 2,7б 3,1 3,3
 3,5 j 3,57
 3,6
 Характеристики нисходящей ветви бетона приняты разными для средней части элемента и приопорных участков, где имеется поперечная арматура: к 1...3; 17...19, еЬт 4 • 103, оЬт 2,7 • 104, при к 4...16 еЬт 3,6 X X 10—3, оЬт 3 • 104.
 Статические и динамические пределы текучести арматуры R8 450 МПа, Rsd — 540 МПа, Es 2 • 10 кНм. Динамическая диаграмма арматуры задана:
 г.-10»
 -0,08
 —6 —4 —2 —0,27
 0
 0,22
 2
 4
 6 8
 оя-10-6, кНм2
 —6,5
 —6,2—5,7 —5,4 —5,4
 0
 4,5
 4,5
 5,7
 2,2 6,5
 Погонная масса элемента т 0,09 тм. Поперечное сечение разбито на
 6 слоев, тогда г0 —0,1, гх —0,08, z2 0,097. Шаг счета А 5 • 10—® с. Начальные перемещения, вызванные статическими продольными силами, при¬
 И 163

няты равными wx Л 0, Uik, определяемая по формуле их еьо0,5 — , изменяется в пределах их0 19,665 • 10-5, Mi20 —19,665 • 10_6 с шагом 1,967 • 10-ь м.
 Экспериментальные и расчетные графики прогиба, опорной реакции R0t деформации арматуры esl представлены на рис. 6.7...6.9. Как видно, для расчетной опорной реакции, наблюдается возникновение колебаний, начиная с момента t 0,03 с. Это объясняется возрастанием скорости перемещений стойки после образования трещин растяжения. Согласно рис. 6.9, начальная деформа-
 Рис. 6.7. Графики эксперимен- Рис. 6.8. График опорной реакции
 тальных и расчетных прогибов стойки:
 СТОЙКИ: _ опытная; —расчетная
 — опытный; — расчетный
 ция сжатия арматуры сменяется растяжением после t 0,025 с. Исходя из расчетных графиков изгибающего момента и кривизны в сечении под динамической силой рис. 6.10, построена диаграмма деформирования элемента рис. 6.11. Для всех величин опытные и расчетные значения хорошо согласуются друг с другом до момента времени t 0,055 с. Расчетом получено, что при t 0,055 с
 Рис. 6.9. График экспериментальных и расчетных деформаций арматуры:
 — опытные; — расчетные
 м.
 кНм
 м-
 4 0
 -0,04
 J0
 -0,05
 20
 -0,02 s J
 X i
 10
 -0,01
 1 1 1
 t 0c
 1 1
 1 2 3 4 5
 6 7
 Рис. 6.10. График изгибающего момента и кривизны в сечении стойки под силой
 возникает стадия разрушения, сопровождающаяся текучестью в растянутой арматуре и дефоргмированием сжатого бетона на нисходящей ветви в четырех пластических зонах между силами сечения k 7, 9, И, 13. При t 0,063 с в этих зонах происходит разрушение части сжатого бетона и деформирование сечений осуществляется на нисходящей ветви диаграммы деформирования рис. 6.11. В эксперименте процесс разрушения стойки начался несколько позже, вследствие чего наблюдается некоторое расхождение в экспериментальных и расчет¬
 164

ных данных. Учитывая недостаточно полную информацию об опытных характеристиках материалов и нагрузки и значительное влияние на процесс разрушения малых изменений исходных данных, можно считать, что расчет позволяет получать достоверную информацию о работе конструкций во всех стадиях деформирования.
 3. Покрытие специального сооружения пролетом 9 м. Покрытие выполнено из железобетонного свода постоянной толщины h 0,3 м, со стрелой подъема 1,25 м. Очертание оси свода принято по окружности, конструкция опирания его краев на стены сооружения соответствует шарнирному закреплению.
 Динамическая нагрузка принята равномерно распределенной по поверхности свода и мгновенно возрастающей, время действия 0 1 с. Максимальная интенсивность нагрузки р0 300 кНм2. Статическая нагрузка, образуемая из собственного веса свода и грунтовой обсыпки, равна g
 - 30 кНм2.
 Для расчета выделена полоса свода единичной ширины, которая рассматривается как арка прямоугольного поперечного сечения Ъ X h 1 X 0,3 м.
 Геометрические характеристики оси арки: 9 м, 1,25 м, радиус оси
 я- -s-7® «.
 центральный угол 0О arcsiru— 0,5419, длина оси S 2?0О 9,456 м.
 2 R
 Бетон класса В25: Rbn 18,5 МПа; Rbtn 1,6; Еь 3 • 104 МПа; Rvcrc 0,351gl8,5 0,175 • 18,5 11,44 МПа.
 Динамические характеристики: Rbd 12 • 18,522,2; Rbtd 1,2 X
 X 1,6 1,92; Rrcd 13,7; Еы 1,1 • 3 • 104 3,3 • 104; гЫп 1,923,3 X
 X 104 0,58 • 10-4; ebcrc 13,73,3 • 104 0,415 • 103.
 Деформация, соответствующая максимальному напряжению, ebn 2 X X 10—3; нисходящую ветвь определяют предельной деформаций еЬп 3,5 X
 X 10-3 и напряжением Rbm 0,8Rbd 17,8 МПа.
 Диаграмма деформаций бетона задана таблицей:
 гь-103
 1 0,1
 —0,058
 0
 0,41 б
 0,6
 0,8
 1
 I1’2
 1,4
 1,6
 2
 ab103, кНм2
 —1 92
 —1,92
 0
 13,7
 16,6
 118,8
 20
 1 21
 21,6
 22
 22,2
 Арматура принята класса A-III с характеристиками: Es 2 • 105 МПа, Rsn 390 МПа, Rsd 1,2 • 390 470 МПа, Racd 1,1 • 390 430 МПа; временное сопротивление сгям 650 МПа.
 Диаграмма деформации арматурной стали задана:
 е —0,1
 —о, 0б—о, оз—о, о 1 г—о, оо23б о
 0,002150,0120,03
 0,06
 0,1
 а8- 103,кНм2 —650
 —650 —600 —470 —470 0
 430 430 650
 650
 650
 Армирование арки принято симметричным с As А 3,04 • 103 м2 8022. Погонная масса т 3 тм.
 165
 Рис. 6.11. Диаграмма деформирования момент — кривизна сечения стойки

Ц.иТ
 Рис. 6.12. График изменения во времени радиальных wr и тангенциальных
 и? перемещений оси арки:
 при жестких закреплениях концов; при податливых закреплениях
 Начало оси координат хОг совмещено с левой опорой, ось Ог направлена вниз. Координаты оси арки определяются по формулам при 0 х 12
 z -tfsinp0 0 — Л — ; х 12 — cosp0 0,
 где 0 — угловая координата сечения 00 0О; Фо — угол между горизонтальной осью и опорным сечением
 яшфо R — fR 0,8567, ф0 1,0289.
 Коэффициенты жесткости в граничных условиях 6.3...6.5 приняты равными в соответствии с закреплениями концов:
 при шарнирно-опертых концах gi g2 0;
 при несмещаемых концах относительно вертикальных перемещений dx — d2 1020, ег е2 0;
 Рис. 6.13. График изменения во времени изгибающих моментов в арке: при жестких закреплениях; при податливых закреплениях
 166

щщогвс
 МХ;0,012с
 Ось aprnt
 Рис. 6.15. График изменения во времени продольной силы в арке:
 — при жестком закреплении; 2 — при податливом закреплении
 °
 бъ9,2МПа
 б‘75МПа fl—- 5
 ВЩНПа
 б67НПа
 Е7 Ь6
 у ts0,026с 16
 7.1
 -57
 t0,036c —51
 6.9
 Рис. 6.16. Эпюры напряжений в сечениях арки:
 а — jc—5 — податливые закрепления; 6 — xlf5 — жесткие закрепления; в — дг2 — податливые закрепления; г — jc—2 — жесткие закрепления
 относительно горизонтальных перемещений рассмотрены два случая: ие смещаемые концы сг с2 Ю20 и податливые, причем коэффициенты жесткости приняты равными погонной осевой жесткости арки
 Ci с2 EbdbhS 3,3 • 10’ • 1 • 0,39,46 10е кНм.
 Арка разделена на п 40 участков, ДS0 9,45640 0,2365 м; поперечное сечение разбито на 6 полос.
 Шаг счета Д 5 • 10-® с. Учитывая относительно малое значение статической нагрузки, в динамическом расчете она не учитывалась.
 167

В результате проведенных расчетов получено, что арка удовлетворяет условиям прочности при обоих видах закрепления концов относительно горизонтальных перемещений жесткое и податливое, причем при податливом закреплении напряженно-деформированное состояние арки близко к предельному. Особенности деформирования конструкции можно выявить из рассмотрения рис. 6.12...6.16, на которых представлены расчетные данные о перемещениях, усилиях и напряжениях для двух сечений арки при х 12 и х 5.
 Согласно рис. 6.12 и 6.13 максимальные значения радиальных перемещений и изгибающих моментов в податливо закрепленной арке существенно больше, чем в жестко закрепленной. Наблюдается важная особенность в деформировании арки, связанная с отличием частот колебаний радиальных перемещений середины арки д: 12 и остальных величин. Радиальные и тангенциальные перемещения сечения при х 1Ь и изгибающие моменты в обоих сечениях изменяются во времени с близкими частотами колебаний. Такая асинхронность в колебаниях арки обусловлена наложением двух первых симметричных форм колебаний, так как изгиб арки происходит по второй форме колебаний. Об этом свидетельствуют эпюры моментов, представленные на рис. 6.14. Первая форма колебаний арки реализуется при наличии продольных деформаций и особенно, когда возможны горизонтальные перемещения податливых опор. Продольные силы почти постоянны по длине арки и изменяются во времени по специфическому закону рис. 6.15, что объясняется зависимостью продольных деформаций от тангенциальных и радиальных перемещений. В жестко закрепленной арке наблюдается колебание продольной силы, вызвавшее существенное уменьшение ее значений на некотором интервале времени t « 0,03 с, которое связано с уменьшением в эти моменты перемещений. Подобное колебание силы в податливо закрепленной арке отсутствует вследствие интенсивного увеличения радиальных перемещений.
 На графиках изменения во времени продольных сил проявляется влияние высокочастотных колебаний, вызываемых продольными колебаниями арки.
 Особенности работы арки наиболее полно характеризуются значением напряжений и их распределением в сечениях рис. 6.16. В жестко закрепленной арке напряжения в бетоне и арм?пуре для большинства моментов времени являются сжимающими, растяжение небольшой интенсивности возникает в интервале времени 0,026, в котором наблюдается уменьшение продольной силы. Напряжения в бетоне и арматуре существенно меньше предельных.В податливо закрепленной арке см. рис. 6.16, айв существенно возрастает влияние изгиба, максимальные напряжения возникают в сечении х 12 при t 0,036 с. Как видно, бетон деформируется в пластической стадии и ob тах 21,2 МПа близко к предельному сопротивлению Rbd 22,2 МПа. Максимальные растягивающее и сжимающее напряжения в арматуре существенно меньше значения предела текучести, т. е. осуществляется случай 2 внецентренного сжатия.

ГЛАВА 7
 ДИНАМИЧЕСКИЙ РАСЧЕТ ВИСЯЧИХ КОНСТРУКЦИИ
 7.1. Типы висячих покрытий и основные положения расчета отдельной ванты
 7.1.1. Висячие покрытия.
 • Среди многообразия типов висячих конструкций значительное место занимают те конструкции, в которых рабочими элементами являются гибкие несущие ванты. В покрытиях система несущих вант образуется из отдельных вант, расположенных радиально или параллельно, или из пространственной сетки вант.
 Система вант является конструкцией геометрически изменяемой, принимающей свою форму под действием внешней нагрузки. В таких конструкциях геометрическая неизменяемость осуществляется с помощью специальных устройств: напрягаемых вант, натягивающих несущие ванты, и жестких железобетонных покрытий, укладываемых на ванты. Геометрическая неизменяемость покрытия может быть повышена за счет увеличения собственной массы покрытия, выбора формы ячеек вантовой сетки и т. п.
 • Опорные конструкции осуществляются обычно в виде опорного контура, в котором закрепляются ванты. Опорный контур является замкнутой жесткой конструкцией круг, эллипс, прямоугольная рама и т. п., воспринимающей горизонтальные составляющие натяжения вант, передавая на опоры только вертикальные усилия. При отсутствии опорного контура горизонтальные силы могут восприниматься контрфорсами или оттяжками. При применении опорного контура необходимо стремиться к тому, чтобы основные нагрузки вызывали в нем только сжимающие усилия. Поэтому при осесимметричной нагрузке наиболее целесообразной формой опорного контура является круг.
 • Круглая в плане вантовая конструкция наиболее часто выполняется по одной из следующих схем:
 а конструкция с радиальной системой вант, закрепленных в наружном сжатом опорном контуре и во внутреннем растянутом кольце рис. 7.1, а;
 б шатровая конструкция с радиальной системой вант, закрепленных в наружном сжатом опорном контуре и во внутреннем растянутом кольце, которое приподнятой опирается на стойку рис. 7.1, б.
 169

• Прямоугольные в плане вантовые конструкции с замкнутым опорным контуром целесообразно применять при относительно небольших пролетах, так как в этом случае в опорном контуре возникают большие изгибающие моменты. Эти моменты могут быть устранены с помощью опорной ванты, передающей усилия на углы опорной рамы.
 Рис. 7.1. Конструкция вантового покрытия при круглом плане:
 а — без промежуточных опор; б — с промежуточными опорами
 Систему несущих вант в прямоугольных в плане вантовых конструкциях выполняют в виде отдельных параллельных вант рис. 7.2, а или в виде пространственной сетки рис. 7.2, б.
 Для вант следует использовать материал, имеющий достаточно высокую прочность на растяжение. Желательно, чтобы материал имел высокий модуль упругости, хорошо сопротивлялся коррозии и имел небольшую собственную массу.
 Рис. 7.2. Конструкция вантового покрытия при прямоугольном плане:
 о —■- в виде отдельных вант; б — в виде пространственной ортогональной сетки
 Опорный наружный контур обычно возводится из сборного или МОНОЛИТНОГО железобетона, внутреннее растянутое кольцо см. рис. 7.1— из металла.
 Покрытия по вантам выполняют из железобетонных или армобетонных плит, штампованных стальных настилов, деревянных панелей, а также тканевых и других материалов.
 170

• Наряду с вантовыми конструкциями находят применение тонкие пластинки и мембраны, выполняемые из стальных листов. Эти конструкции используют для покрытий, а также для инженерных сооружений бункеров, силосов, резервуаров.
 • Расчет висячих конструкций обычно слагается из расчета вант, мембран и опорных конструкций. В данной работе рассматривается только расчет несущих вант и мембран.
 Как отмечалось выше, при расчете конструкций на действие кратковременной динамической нагрузки возникает необходимость исследовать работу конструкции во всем диапазоне ее прочностных свойств.
 Для изготовления несущих вант, мембран и гибких элементов опорных конструкций наиболее выгодны материалы, обладающие большой прочностью на растяжение. В настоящее время для вант наибольшее распространение получили: а стальные канаты; б арматурные пучки и пряди из высокопрочной проволоки; в горячекатаная стержневая арматура, не подвергаемая после проката вытяжке классов A-III, A-IV, A-V; упрочненная вытяжкой в холодном состоянии класса A-III в; термически упрочненная после проката классов Ат-VI, At-V.
 Наряду со сталью могут найти применение новые пластические материалы, обладающие высокой прочностью на растяжение.
 Стальные канаты и пряди для устранения неупругих деформаций подвергают предварительной вытяжке.
 Для стальных пластинок и мембран применяют малоуглеродистые и низколегированные стали. Использование высокопрочных сталей нецелесообразно, так как толщина назначается из условия производства работ и коррозионной стойкости 4 ... 6 мм.
 На рис. 7.3 показаны диаграммы напряжений-деформаций удлинений, применяемых для вант сталей, полученные при стандартных статических испытаниях на растяжение до разрыва. При больших скоростях деформирования диаграммы а — е отличаются от статических и зависят от скорости нагружения и свойств материалов. Особенно сильно скорость деформирования влияет на малоуглеродистые стали, у которых происходит довольно значительное повышение предела текучести см. п. 2.2. Изображенные диаграммы можно разбить на две
 Рис. 7.3. Диаграммы напряжений-деформаций сталей, применяемых для вант:
 1 — сталь класса A-III, 2 — сталь А-П1в, 3 — сталь AT-V, 4 — проволока класса B-II, 5 — пряди и канаты
 171

группы, отличающиеся друг от друга главным образом значением пластических деформаций.
 • Горячекатаные стали, в том числе термически упрочненные, обладают диаграммой деформаций, включающей упругую и значительную пластическую часть es 6 ... 14 . Разгрузка в этих сталях после определенного напряжения происходит по закону, отличному от закона нагружения, вследствие чего в материале после разгрузки возникают остаточные деформации.
 Рис. 7.4. Расчетные диаграммы напряженийдеформаций сталей
 Холоднотянутая высокопрочная проволока, а также изготовляемые из нее стальные канаты, пряди и пучки сохраняют линейную зависимость между деформацией и напряжением до момента, близкого к разрушению, пластические деформации при этом не превышают е8 2 ... 3 .
 Наряду с рассмотренными диаграммами а — е, характерными для сталей, возможны для новых материалов из сплавов, пластмасс и иные, в том числе плавно меняющиеся, криволинейные диаграммы.
 Обычно при расчетах действительные диаграммы а — е заменяются упрощенными, которые достаточно полно характеризуют свойства материала и могут быть представлены простыми математическими выражениями. Наиболее распространенные упрощенные расчетные диаграммы приведены на рис. 7.4.
 7.1.2. Уравнения движения гибкой нити. Приведем вывод уравнений движения гибкой деформируемой нити в плоскости ее провисания. Предположим, что в момент начала движения t 0 форма ее провисания определяется уравнением у у0 х. Перемещение точек нити
 172

разложим на горизонтальную и x,t и вертикальную w х t составляющие. Обозначим силу натяжения нити через N х, t. Рассмотрим элемент нити длиной As, при 0 она была равна As0 рис. 7.5. Проецируя на вертикальную ось все силы, включая инерционные, действующие на элемент, получим
 N х Дх, t sin а х Д xyt —
 — N л:, t sin а х, t
 I Л Л
 ру Дх m Д so ——, о г1
 Рис. 7.5. Схема движения элемента нити
 где ру — вертикальная составляющая нагрузки; а — угол между осью Ох и касательной к нити; т — масса единицы длины нити.
 Нагрузку считаем распределенной по пролету нити.
 Учитывая, что
 As0 Дхcos а0х, 7.1
 где а0 х а .х, 0 — угол между осью Ох и касательной к начальному положению нити, получим
 д2 w д .. . ч ,
 — N sm а Ру.
 dt2 дх у
 7.2
 cos а0 jc
 Аналогично проецируя все силы на горизонтальною ось, получим
 д2 и д »г 4 1
 N cos а рх.
 dt2 дхУ
 cos а0 jc
 Выразим угол а через составляющие перемещения и и w.
 Из рис. 7.5 имеем
 As sin а у0 х Ах — у0 х w х Ах, t — w х, t
 As cos a и x Ax, t Ax — ux t.
 Очевидно, что
 As I e As0y
 где e — относительное удлинение нити.
 Из уравнения 7.4 с учетом формул 7.1 и 7.5 получим
 д w д у о
 sin а:
 дх
 1
 18 ди дх
 д х
 cos а0 л:;
 1 8
 cos а0 л:.
 7.3
 7.4
 7.5
 7.6
 7.7
 173

Найдем выражение для относительного удлинения е элемента нити, используя общую зависимость е от компонентов деформации. Считая, что е мало по сравнению с единицей, получим в рассматриваемом случае
 ‘7Т Ш Т7 Л “-тГтШ
 д у I ду дх дх ду
 dw dw I . ди ди
 1 . ди , ди . - sin a0 cos a0 cos a0 - sin a0 cos a0
 J V дх dy J
 дх dy
 ,dw , dw . . , 1 I du .
 cos a0 H sin a0 sin a0 — cos a0 f
 9 at dy J 2 d x
 , du . 2 1 . 2
 —— sin „ — l-г-cosa0H—— sin a0
 dy J 2 dx dy dw 1 du V? , 1 d w
 sin a,. ,
 di0 2 ds0 2 ds0
 д и
 cos a0 —— ds0
 d
 где — — дифференцирование по начальной длине нити.
 jSq
 • В дальнейшем будем рассматривать только пологие нити. Под пологими понимаются такие нити, для которых выполняется условие cos a0 х « 1.
 Отсюда следует, что
 d у0 д д
 sin а0 « —— и
 d х ds0 d х Пренебрегая значением , получим
 „ d и . d 10 dw . dw d и
 1 dw 2
 2 дх
 d х d x d x 2 d x J d x , 1 dw dw ■ g d _ ди I 1 Г d Уо ” I2 7 8
 2 dx dx d x j dx T 2 dx J 2 dx В нитях, нагруженных равномерно распределенной нагрузкой, условие пологости выполняется при f0l 0,125,где f0 — стрела начального провиса; I— пролет нити.
 При начальной прямолинейном положении нити у0 0
 e - 7.9
 дх 2 дх 17
 В этих формулах сохранены квадраты величин, характеризующих угол поворота элементов нити, значения этих величин в гибких конструкциях являются одного порядка с относительными удлинениями.
 174

Это обстоятельство говорит о том, что в гибких нитях существует нелинейная связь между нагрузкой и перемещениями, т. е. в конструкции возникает геометрическая нелинейность.
 Пусть нить в начальном горизонтальном положении предварительно натянута до достаточно большого значения N0 и действующая равномерно распределенная динамическая нагрузка направлена вертикально. Если ее значение невелико, то она вызывает малые перемещения и деформации, и сила натяжения нити может считаться постоянен2
 ной и равной N0. При этом из формулы 7.7 cos а 1 и из 7.3 0» откуда при нулевых начальных условиях и 0.
 Из формулы 7.6 sin а - и из формулы 7.2 получим известное уравнение колебаний струны
 d2w КТ d2w .
 т N0 p. 7.10
 dt2 дх v 1
 При известных граничных и начальных условиях это уравнение легко решается методом разложения в ряды по собственным функциям.
 В общем случае соотношения 7.2, 7.3, 7.6, 7.7, 7.8 приводят к системе из двух нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных, решение которых сопряжено с большими математическими трудностями.
 Еще большие трудности возникают при расчете различных конструкций, состоящих из систем вант.
 Однако в ряде довольно распространенных случаев благодаря возможности принятия некоторых упрощающих расчет предпосылок решение указанных уравнений может быть получено в замкнутом, удобном для расчета виде. Это относится прежде всего к вантам с небольшим начальным провисом.
 Для выбора и оценки предпосылок предварительно рассмотрим расчет упругой нити на действие статической нагрузки.
 7.1.3. Статический расчет нити. Начало координат расположим в середине пролета. Длину пролета обозначим через . Считаем, что начальный провис у0 л: вызван собственной массой нити. При выводе расчетных зависимостей учтем влияние горизонтальных перемещений концов вант. Такое обстоятельство может иметь место, например, в вантовой конструкции, в которой горизонтальные составляющие усилий в вантах воспринимаются оттяжками или контрфорсами. Будем считать, что усилия в ванте вызывают в опорной конструкции горизонтальную реакцию Q, связанную с перемещением конца ванты линейной зависимостью:
 Q -cUy 7.11
 где с — коэффициент жесткости опорной конструкции, равный силе, вызывающей в конструкции единичное перемещение.
 175

Рассмотрим нагрузку, равномерно распределенную по длине проекции нити на ось Ох: ру р, рх — 0. Из формул 7.2 и 7.3 получим уравнения равновесия нити, приравняв силы инерции нулю:
 —— N sin а р 0; 7.12
 d х
 N cos а 0. 7.13
 d х
 Интегрируя формулы 7.12 и 7.13, находим
 N sin а — рх Ci, 7.14
 N cos а Н,
 где Cj и Н — постоянные величины.
 Очевидно, что Н является натяжением в середине нити распор. Из формулы 7.14 имеем
 N2 Н2 Сг — рх2; 7.15
 tga Сх - рхН. 7.16
 Из уравнений 7.6 и 7.7 получим
 d w _j_ dfo
 ■ d x d x 717
 tga . 7.17
 d и
 17T
 Рассмотрим случай, когда значением можно пренебречь.
 Условия, при которых выполняется это предположение, будут указаны ниже на основе полученного решения.
 Таким образом,
 tg a —— Г 718
 d х d х
 и из формулы 7.16 получаем
 d w Ci — px d у0
 дх И dx
 Отсюда имеем
 w С1дсрА22- —го Х С2.
 И
 Постоянные Сх и С2 находим из условий: при х ±2 w 0, откуда получаем Сх — 0, С2 pl28 Я,
 w
 -£-—х2—у0х. 7.19
 2 Н
 176

Горизонтальное перемещение и находим из уравнения 7.8, в котором г NtEA, т. е. из уравнения
 du _ Ун рЧг Р2х2 1
 dx ЕА 2Н
 ттг‘- 720»
 где А — площадь поперечного сечения ванты.
 Представим у х в виде
 У о о У ,
 где о — стрела начального провиса; 0 1.
 Интегрируя формулу 7.20, находим
 рх VH2 phс2 Н2 In Рх f Н2р2х2 —
 2 рЕА
 6 Н°- 2
 где
 со л: г a:2 dx.
 Постоянную С2 и распор Н определяем из условий: при х 0 и 0 при х 12 Н — — си. Отсюда получаем:
 С3 — InН —ш0;
 2рЕА 2
 2 рЕА
 ij №l H4n-£L l l
 fHi-0-JГ- 7-2
 48 Я2 Обозначив
 5 р2Я, 7.22
 получим следующее уравнение для определения £:
 1KTF in i КТТ -т- £4-
 37
 4£Л о Г ЛЧ1 4ЕА
 pi
 rHT0E‘JfLt 7-23
 Зная значение можно найти из формулы 7.22 распор и из 7.15 силу натяжения:
 NH 7.24
 177

Выражение для у0 х при fol10 ... Г8, когда собственный вес можно считать распределенным по длине проекций нити на ось ох, принимают в виде
 j, 7.25
 т. е.
 64л3
 ’ “ ■
 31
 Тогда со 12 — со 0 — 83 и формулу 7.23 можно представить в виде
 г vt¥in гкгт-f- • 16--i 7-2б
 Левая часть уравнения учитывает упругие деформации нити и изменение усилия по ее длине.
 Выражение для горизонтального перемещения будет
 №
 2рЕА
 15т-11е’т-е-
 ■T-fjJT-f 164-р- 7 27
 Рассмотрим некоторые частные случаи.
 • Рассмотрим нить с неподвижными концами, приняв с оо.
 Расчеты показывают, что при малых значениях f0l величина настолько ничтожна, что можно принять
 ТТ21. in£2jTTT2£.
 Значит, сила натяжения постоянна по длине нити.
 Тогда из формулы 7.26 получим
 тубТТГ-гёЕ-1. 7-28
 3pl dpi3
 откуда, учитывая формулу 7.22, имеем уравнение для определения распора Н:
 Яз JЕА_ рН2 J41 ЕА д 29
 31 24
 В частности, при 0 0
 я У. 7.30
 178

Рассмотрим случай нерастяжимой нити, приняв Е оо, тогда из формулы 7.26 получим уравнение для I
 -Lp_i6JLj£-. 7.31
 Для нерастяжимой нити с неподвижными концами с оо, отсюда
 £ 40, т. е. Н pl28 о. 7.32
 При этом из уравнений 7.19, 7.25 и 7.27 следует w 0, и 0.
 Для оценки влияния растяжимости нити на величины напряжений, возникающих в ней, на рис. 7.6 построены графики зависимости о от о при двух значениях г pH А 21 и 210 МПа и при значениях модуля упругости Е 2,1 • 105 и Е оо нерастяжимая нить. Напряжение определяют по формуле
 а HIA р1121А,
 где £ находят из уравнений 7.28 и 7.32.
 Из рис. 7.6 видно, что растяжимость нити существенно влияет на напряжения при малых значениях 0, причем это влияние зависит и от напряжения. Так, при малых напряжениях а 100 МПа растяжимость следует учитывать при fjl 0,03, при напряжениях 350...450 МПа влияние растяжимости сказывается при f0l 0,075.
 Рис. 7.6. Зависимости напряжений в растяжимой и нерастяжимой нитях от f0l:
 I — PlA 210 МПа; £«; 2 —
 Р1А 210 МПа, £2,Ы06 МПа; 3 — РЦА 21 МПа, £ «; 4 —
 РЛ 21 МПа; £ 2,1105 МПа
 Рис. 7.7. Зависимости относительного пере¬
 мещения нити wl от о:
 — Р£Л 10-4; 2 —
 Р1ЕА 10-3
 Рис. 7.8. Зависимости отношений перемещений wu от foil:
 — Р£Л10-4; 2 — PljEA — 10 3
 179

На рис. 7.7 изображены значении максимальных относительных вертикальных перемещений wml при х 0 при тех же двух значениях г 21 и 210. На рис. 7.8 приведены графики отношений максимальных величин вертикальных и горизонтальных перемещений wmlum, из которых видноj что вертикальные перемещения при вертикальной нагрузке значительно больше горизонтальных. При fjl 0,10 wm 10 ит.
 Расчеты показывают, что в рассмотренных пологих нитях с f0l 0,125 максимальное значение dad пренебрежимо мало по сравнению с единицей рис. 7.9.
 Отметим, что когда не требуется знания перемещений, то статический расчет нити производят на основании уравнений статики изгибающий момент в любой точке нити равен нулю.
 7.2. Динамический расчет упругой нити
 7.2.1. Анализ уравнения движения нити. Исследование работы йити при действии статической нагрузки, проведенное выше, позволяет принять ряд допущений, существенно упрощающих расчет стальной нити на действие динамической нагрузки.
 Графики на рис. 7.8, 7.9 показывают, что при fjl 0,125 и вертикальной нагрузке горизонтальные перемещения нити значительно меньше вертикальных и величина дидх пренебрежимо мала по сравнению с единицей. Вследствие этого при расчете пологих нитей с f0l
 0,125 можно не учитывать горизонтальные силы инерции и считать справедливым равенство, аналогичное 7.18,
 tga 44, 7.33
 д х d х
 где ухх у0х wCTx — уравнение провисания нити от действия статической нагрузки интенсивностью р.
 Кроме того, при fjl 0,125 можно считать, что cos ахх 1, где ах — угол между осью Ох и касательной к нити, получившей провис от действия статической нагрузки.
 Динамическую нагрузку будем считать направленной вертикально. Интенсивность ее обозначим через qx, t. Начало координат поместим в левом конце нити.
 Тогда при указанных предпосылках из формулы 7.3 получим
 —— N cos a 0, 7.34
 дх
 т. е. Nx, tcosax, t — Ht.
 180
 fol:
 1 - PlEA 10-3; 2 — PllEA 10-«

Из формул 7.34, 7.2 и 7.33 получаем уравнение движения пологой нити
 Н t-?-iaqxy tP Н It -7-0i
 d t2 д x д хг
 qx, p. 7.35
 Распор Ht выразим через перемещение, используя формулу 7.8. Выражение для удлинения нити 7.8 с учетом удлинения от статической нагрузки Est может быть представлено б виде
 ■ д и , 1 д w д w , 2 d ух г Н - — . 7.36
 дх 2 дх дх dx v 9
 Учитывая формулу 7.34, имеем
 е NEA HEAcosa. 7.37
 Интегрируя уравнение 7.36 по пролету нити с учетом формулы 7.37, получим
 Я. V dx HS
 ЕА
 о
 е« иЛ -«0. 0
 J cos а ЕА
 Т 738
 о
 где S — длина деформируемой нити, для стальных нитей можно принять S S0, S0 — первоначальная длина нити, для пологих нитей можно принять S0 7.
 Тогда для нити с неподвижными концами получим
 Г 2ii W Hst Hd. 7.39
 UQ 0 щ О X 0 X J
 0
 Подставив уравнение 7.39 в 7.35, получим
 д w и I и d2w 1 Л 1 .
 т st У1 р1-
 н
 d2w , и d2w . Л 1 и i-
 s 1М_д_У1H«yi ■pq•
 Из формул 7.12, 7.13 и 7.18 уравнение статического равновесия нити может быть записано в виде
 HstWi у р 0.
 Тогда будем иметь
 d2w и d2w . г, d2w . ш п лп
 т Ня1 - Hd b у j а. 7.40
 dt2 1 дх2 d дх2 4 v 7
 181

В уравнение 7.40 входит член Hstr зависящий от величины
 статической нагрузки. Это свидетельствует о неприменимости для гибких нитей принципа независимости действия сил, что является следствием нелинейной связи между нагрузкой и перемещением геометрическая нелинейность.
 Уравнение 7.40 допускает точное решение методом Фурье. Учитывая условия при х 0, х , w 0, напишем выражение в виде ряда
 wxt V aht sinx. 7.41
 kw1 Разложим начальный провис ухх и нагрузку в ряд по синусам:
 УЛх V ftSin-—х, 7.42
 kl,2t...
 q QkSin-x. 7.43
 1,2,...
 Подставив выражения 7.41...7.43 в 7.40, получим Cl d2akt . kn г, л2 v kn
 т
 iKl • ЯП гг П т £.2 .ЛЯ
 L-sin х—Hst k2ah sin х —
 2 I i
 k l ,2,... 1,2,...
 2 ft,ofc iksin-xl 2 1 ,2,... J fc l,2,...
 Jfc Я
 Sin X.
 откуда
 m _d0 fJd t flft t я , 7 44
 dta 2
 Пользуясь формулой 7.39, выразим через функции aht.
 Из выражений 7.41 и 7.39 получим
 ffd0 j 2 flfc C0S Т S n °n cos T-
 Учитывая равенства
 j cos — дсcos —xdx 0 при кфп
 Л a k Я j cos2 jcd —,
 J 2
 o
 получим

Из выражения 7.39
 Hst EA — est —astA.
 7.46
 Подставив формулы 7.45 и 7.46 в 7.44, получим бесконечную систему нелинейных дифференциальных уравнений
 7.47
 Для удобства введем безразмерные величины: 2kt ahtll fhft т x;
 X2 nEAI4S0ml ah 4qhS0nEA. Тогда выражение 7.37 можно представить в виде
 7.48
 гк k2 zh Г1й V nzn zn 2ri„ -f 0,405estzh ah, 7.49
 • При действии на ванту динамической нагрузки ее перемещение будет образовываться комбинацией различных форм движения, представленных в ряде 7.41. При этом нагрузка, распределенная по пролету по какой-либо форме, может вызвать другую ортогональную ей форму движения. Пусть, например, нагрузка распределена по закону
 sin yx. Если при каком-то k Ф т Ф 0, то из формулы 7.49 видно, что в уравнении для zk появится член вида ykZm, который будет играть роль нагрузки в k-м уравнении и приведет к возникновению zk даже при ак 0.
 Если же ак 0 и цк 0, то легко видно, что выражение 7.49 при нулевых начальных условиях имеет только нулевое решение. В частности, симметричная относительно середины пролета нагрузка при симметричном начальном провисе не может вызвать колебаний несимметричной формы. В нити с ухх 0 нагрузка также будет вызывать только те формы колебаний, для которых ак Ф 0.
 При расчете конструкций с бесконечным числом степеней свободы важнейшее значение имеет выделение тех элементарных форм движения, сумма которых имеет определяющее значение при вычислении перемещений и усилий.
 L п где точка означает дифференцирование по т. Напряжение в нити
 п 1
 183

Величиной, характеризующей в некоторой степени влияние на суммарное движение какой-либо простейшей формы, вызываемой данной нагрузкой, может явиться частота колебаний конструкций по этой форме.При этом наибольшую роль, как правило, играют формы, обладающие наименьшими частотами.
 А. Р. Ржаницыным были исследованы частоты колебаний упругой нити с провисом и нагрузкой, изменяющимися по пролету по закону
 синуса с одной полуволной sin jc.
 При этом частота колебания нити по этой же форме оказывается больше частоты колебаний формы при двух полуволнах, если жесткость ЕА превосходит определенную величину, зависящую от нагрузки и провиса. Это обстоятельство связано с тем, что нерастяжимая нитьне может колебаться по той же форме, что и провис от статической нагрузки. Формы ее колебаний должны образовываться несколькими полуволнами. Поэтому на перемещения нити, обладающей малой растяжимостью, будут оказывать большое влияние формы с несколькими полуволнами.
 • Влияние растяжимости упругой нити на ее работу может быть оценено расчетом нити на действие статической нагрузки. Приведенные в предыдущем разделе графики см. рис. 7.6 и 7.7, полученные при расчете нити на действие равномерно распределенной статической нагрузки, показывают, что растяжимость нити оказывает существенное влияние на значения напряжений и перемещений при fjl 0,03... ...0,08. При fjl 0,1 влияние растяжимости нити сказывается незначительно и она может рассчитываться на статические нагрузки как нерастяжимая. В связи с этим следует ожидать, что при действии на рассмотрениную нить равномерно распределенной динамической нагрузки при fjl 0,03...0,08 ее перемещения будут в основном определяться первым членом ряда 7.41 формой колебаний с одной полуволной. При fjl 0,1 на перемещение нити будут влиять формы с несколькими полуволнами, т. е. в ряде 7.41 надо учитывать несколько членов.
 В дальнейшем будем рассматривать такие случаи расчета нити, когда в ряде 7.41 необходимо учитывать не больше двух членов, т. е. выражение для перемещения имеет вид
 w х, t I sin-yx т- z3 sin -у- xj. 7.51
 В этом случае из формулы 7.49 получим следующую систему для симметричной нагрузки:
 2г 0,4056 zx гuQ ах; 7.52
 З,645е5г3 9з -- il3Q
 где
 Q 18т3г3 z? 9zl. 7.53
 184

Напряжение в ванте из формулы 7.50
 7.54
 Предварительно необходимо выявить условия, при которых можно в расчетах учитывать один и два члена ряда. Результаты числового решения системы 7.52, 7.53 показывают, что при малых значениях т3 второй член выражения 7.51 сильно влияет на величины перемещений нити. Причем при некоторых соотношениях между Л1 и Лз за коны изменения во времени функций zxt и z3t подобны друг другу.
 Учитывая это, найдем решение системы 7.52, которое можно представить в виде:
 где Yx, 7з, ф, т — определяются из формул 7.52, и 7.48. Из выражения 7.53
 Q 2Yi 18ЛзТз1 — coscpx -f vf 9v§l — соэфх2.
 7.56
 Подставив 7.56 и 7.55 в формулу 7.52, получим:
 ViP2coscpT 0,405esfVi ni2niYi 181 зТзЖ1 — cosxcp
 4- lYi 9y1 Yi2ti1Yi 18з1 1 — coscpx2 v1Vi 9y§ X X 1 — coscpx3 ax;
 73ср2со8фХ 90,405esY3 Th2Yi 18r3Y3l 1 — coscpx 9r 3yi 9y§ Y32tuYi 18ЛзТз11 — cosyx2 9y3Yi
 9уз1 — соэфх3 a3.
 Это уравнение можно решить приближенно. В равенствах обратим в нуль свободные члены и коэффициенты при со5фТ. В результате получим систему нелинейных уравнений:
 0,405eYi Oli 1,5Yi2tuYi I81I3Y3 0,53гц 5Yi X х Yf 9y§ a,; 7.57
 0,405estV3 Чз 1,5y32t1iYi 18л3Y3 0,53ti3 5у3 X X vf 9vl a39; 7.58
 Zi Yil — соэфх; z3 Y3O — СОЭфх,
 7.55
 W2-0,405e.,fYl — гц 2yi 2tiYi 18тэ —
 7.59
 — Тзф2—0,405egtY3—n3 2Y32r1Yi f I81I3Y3 —
 7.60
 185

Уравнения 7.57 и 7.58 позволяют определить.ух и у3. Для определения ф имеем два уравнения, которые в общем случае, очевидно, не могут быть удовлетворены. Однако в некоторых частных случаях значения ф, определенные из формул 7.59 и 7.60, могут быть равны. Это обстоятельство будет свидетельствовать о том, что в этих случаях система 7.52 имеет решение вида 7.55. Решением формулы 7.55 можно пользоваться также и в тех случаях, когда фх и ф2, определяемые из формул 7.59 и 7.60, близки друг к другу до 15.
 Уравнения 7.57, 7:58 удобно решить методом последовательных приближений. Запишем систему в таком виде:
 0,405cs,Yi Чг l,5vi21Vi 18лзТз h; 7.61
 .0,405csy3 т3 1»5y32t1y1 18т Зу 3 а2, 7.62
 где
 i а1 — 1.5ThYi — 0,5 27Тз 5?х у? 9уз; а2 — 1.5»1зТ1 —°.5 l27n3Y3 5у3 Yi Эуз. 7.63
 Из формул 7.61, 7.62 имеем
 0,405e8tYi _ а»—°.405еэу8 1.5Yi ЛэЬбТз
 откуда
 1,5аа—0,405е8Г1з Т1 ОгП1Па 7 б4
 1,5-f 0,405estt,
 Используя формулу 7.63, найдем
 ОгЛх — адз с — е,
 с a39 — аз; 7.65
 е 2,511x73 — Л 3YiYi 9y§. 7.66
 Первое приближение, которое во многих случаях дает достаточную точность, выберем так, чтобы
 аг ах а2 аз9; е 0.
 При этом из формулы 7.64
 __ 1 »5аэ9--0,4058113 Yilc j qj
 3 1, 5ai 0,405esfTi
 Уравнение 7.61 запишем в виде
 0,405e3tY 2iii7i 1811зУз 3y? 27t3YiY3 ax —
 — 1,5tiiY? • 7-68
 186

Подставив формулу 7.67 в 7.68, получим после преобразований
 Ь2у Ьхух Ь0 0, 7.69
 где
 а 4,5т, 27 5аа 90,405е„щ3 ? ?
 3 11 18 иб ООбет,
 b. 2tii 0,405es, 18thTs 1 W90.405e.ffl. . 7.71
 1,5 0,405 „Т 6 18»Ь2»£ а 7.72
 1,5а, 0,405е811
 Найдем условия существования решения вида 7.55. Для упрощения выражений пренебрегаем в формулах 7.59, 7.60, 7.69 малыми значениями при 0 л3 27, в результате чего получим:
 Ф? — Лг — 2Yi0liYi9TfeY3; 7.73
 Yi
 ф2 — Лз 2ys TliYi 9тьУз; 7- 74
 Ys
 Ь2 4,511; 2г?; q0 — а. 7.75
 Из формул 7.69 и 7.75 имеем
 Yl 0,222гц У 0,222th2 0,222. 7.76
 Из формулы 7.67
 Y3Yi ТТ- 7-77
 9ах 1,5ах
 Решение системы 7.52 в виде 7.55 существует, если
 Ф? 1 7.78
 Как отмечалось выше, решением формулы 7.55 можно пользо¬
 ваться и в том случае, когда условие 7.78 выполняется приближенно. Поэтому полагаем
 Ф? Лф2, 7.79
 где Д — величина, близкая к единице.
 Обозначим
 Хх аз®1. Хз ЛзЛх- 7.80
 Тогда из формул 7.65 и 7.77 получим:
 с аТцх,9— Хз;
 -■7Нг-?—•• 7-8
 187

или
 Из формул 7.73, 7.74, 7.77 и 7.79 будем иметь
 — tli 9д 18Д—2 уз,
 Yi
 Ч‘Т-ТТХ’“9Ь,,Л ,18Д-2Л-Т1 ь
 Решая это уравнение относительно Хз получим
 У _ Xi YiОбббт Т —18Д —2 У .782.
 9 0,666 9Л — 0,666 18Л — 2 Vi 1
 При заданных значениях Xi, ai, А выражения 7.82 и 7.76 дают зависимость между Хз и Ль которая позволяет оценить необходимое при расчетах количество членов ряда 7.41.
 При Д 1 имеем
 у Xl Tl 0,66611 Ti— 16 gg.
 А3 9т1 0,666л,-1,6671
 В качестве примера применения зависимости 7.82 рассмотрим ванту, нагруженную равномерно распределенной внезапно приложенной постоянной во времени динамической нагрузкой.
 При этом коэффициенты ряда 7.43
 Як 4?яг, k 1, 3, 5,...,
 т. е. из формулы 7.48
 ах 16qS0nbEAt а3 ах3. 7.84
 Получим выражения для rji и Л з Для случая статической равномер¬
 но распределенной нагрузки интенсивностью р. В этом случае из формулы 7.19 имеем
 yix y0x wttx ——lx—x2 -i- lx—x 7.85
 2ttst I
 где ? определяют из уравнения 7.26.
 Учитывая легко проверяемое разложение
 пп
 Е ——■ 7-86
 г1,3,5, ...
 получим коэффициенты ряда 7.42:
 fx 0,258?, 3 У27 0,00955?, 7.87
 т. е. 0,258?, Лз Л27 0,00955?.
 Из формулы 7.84 имеем Xi 13.
 188

На рис. 7.10 построены две области 1 и 2 заштрихованные, ограниченные кривыми Хз ХзОъ» соответствующими Д 0,72 и Д 1,32, т. е. внутри этих областей фх и ф2 отличаются друг от друга не больше чем на 15. Для области 1 принято ах 0,157 • 104, для области 2 — ах 0,314 • 10-4. При этом напряжения в ванте в зависимости от значения изменяются в пределах: в области 1 — а 200...250 МПа, в области 2 — а 400...
 ...500 МПа.
 Слева от областей 1 и 2 область 1 фх Ф2; справа область 2 Ф1Ф2.
 При этом в области 1 второй член выражения 7.51
 г3 незначительно влияет на перемещения и напряжение ванты. В областях
 1 и 2 член с z3 составляет 30...40 общей величины перемещения. В области 2 на перемещение ванты большое влияние оказывает второй член 7.51 и начинают влиять другие члены ряда 7.41.
 Из рис. 7.10 видно, что влияние члена с z3 на перемещение ванты с уменьшением величины нагрузки начинает сказываться при меньших значениях к1.
 Влияние второго члена выражения 7.51 на напряжение в ванте значительно меньше, чем на его перемещение. В областях 1 и 2 напряжения, вычисленные с учетом первого члена 7.51, отличаются от величин напряжений, вычисленных с учетом двух членов, всего на 11 независимо от напряжения.
 Из рис. 7.10 видно, что условия, при которых можно ограничиться при расчетах одним первым членом выражения 7.51, зависят от начального провиса и нагрузки аг. Так, для ах 0,157 • 10“4 первый член дает достаточную точность при 0,04, а для 0,314 X X 104 — при tj 0,06.
 ■ Меныаее влияние членов ряда 7.41 с k 1 на напряжения пго сравнению с их влиянием на перемещения нити является отличительной чертой работы гибких конструкций по сравнению с работой линейно деформируемых конструкций типа балок, плит и т. п., у которых члены рядов, соответствующих высшим формам колебаний, оказывают на усилия значительно большее влияние, чем на перемещения.
 Это обстоятельство делает возможным широкое применение вариационных методов при динамическом расчете вантовых конструкций
 Рис. 7.10. Область влияния второго члена ряда на перемещения

2,Л,
 Рис. 7.11. График функций Zix, 23т при 143
 Ti27, czi 0,157 -10“4 a3ai3:
 z,t; z2x
 когда основной задачей расчета является определение напряжений в вантах.
 На рис. 7.11, 7.12 построены графики зависимостей т и z3x, полученные в результате точного решения системы уравнений 7.52 на ЭВМ. Из графиков видно, что влияние z3x на перемещения увеличивается с возрастанием значения начального провиса , при этом характер изменения во времени функции z3x приближается к функции 2it. При tj3 0 влияние г3 на перемещение в соответствии с рис7.10 начинает проявляться при меньших значениях гц, чем при гг 0.
 Рис. 7.12. График функций гit, z3x при Лз0, а 0,157 10“ a3 ai3:
 г,т; z2t
 190

■ Пример 1. Найдем зависимости zxt и г3т при ах 6qlnbEA 0,157 X X 10-4, а3 ах3, ii 0,05; т3 0.
 Из рис. 7.10 видно, что при решении системы 7.52 можно пользоваться выражением 7.53.
 Рис. 7.13. Перемещения нити при тi0,05 и гз0 в различные моменты времени величины перемещений увеличены в 20 раз
 Из формул 7.76 и 7.81 находим Ух —0,22 2-0,05
 0,00279
 yf .
 01112 0,222
 0,157-10- 0,05
 0,00279;
 27
 0,05 1 —— ——0,005 1 — 0,00117. 1,5 V27 Из формул 7.59 и 7.60 имеем
 ц1 0,05 f 0,00558 • 2 • 0,05 0,00556; фх 0,0745; : 9 • 4 • 0,05 • 0,00279 0,00502; ф2 0,0710;
 т. е.
 zx 0,00279 1z3 0,001771
 cos 0,0745 т;
 — cos 0,0710 т.
 Полученное приближенное решение совпадает с точным решением, изображенным на рис. 7.12, на котором точками отмечены отдельные значения приближенного решения. На рис. 7.13 построены формы перемещения нити в различные моменты времени.
 7.2.2. Расчет нити с неподвижными концами. Рассмотрим пологую нить с неподвижными концами, на которую действуют равномерно распределенные по пролету нагрузки: статическая р и постоянная во времени динамическая q. В этом случае х3 127, и из рис. 7.10 следует, что при rt 0,08 можно пользоваться при расчете одним первым членом ряда 7.41.
 Выражение для перемещения принимаем в виде
 w г 0 sin — х.
 Напряжение в ванте из формул 7.54 и 7.53
 E2xlz z2,
 7.88
 7.89
 191

где
 Л1 foil wstl.
 Уравнение движения ванта получаем из формул 7.52 и 7.53 при 23 0, zx z:
 г 2л? 0,405estz Зт2 г3 ах. 7.90
 При постоянной правой части аг может быть легко найдена максимальная величина z т. е. в момент времени тт, когда z 0. Для этого z представим в виде
 1 d г2 • d г
 2 d г d г
 и проинтегрируем уравнение 7.90 по z, учитывая нулевые начальные условия. Получим
 га2 туг 0,202e,tz2 iv3 0,25 г4 ахг. 7.91
 Приняв 2 0, получим следующее уравнение для определения
 максимальной величины г, знание которой во многих случаях достаточно для расчета нити:
 Л? 0,202est2 iv2 0,25 - а,. 7.92
 Известно, что решение уравнения 7.90 при аъ не зависящей от т, выражается через эллиптические функции Якоби. Для приближенного определения зависимости z zx в промежутке от т 0 до т тт можно воспользоваться выражением
 г 71 — costpx, 7.93
 где 7 и ф — постоянные, определяемые из формулы 7.90.
 Для их определения подставим 7.93 в 7.90 и, использовав обычные тригонометрические тождества, получим
 7Ф2 cos фт 2г2 0,405 est 7 1 —cos фт
 372 2 cos фт Н— cos 2фт j
 731 cos фт cos 2фт —cos Зфтj av
 Это уравнение можно решить приближенно, обратив в нуль свободный член и коэффициент при cos фт. В результате получим
 2л? 0,405e6t 7 4,5лх72 2,573 ах;
 15
 7Ф2 — 2ЛI 0,405est 7—6лх72 — Y3 0,
 4
 Ф2 2л? 0,405est 6лх7 7 yl 7.95
 192
 т. е.

Определив у из формулы 7.94, находим р из выражения 7.95. Максимальное значение z принимаем при фттах яттах яср
 гтах 2у. 7.96
 Из формул 7.94 и 7.96 можно получить уравнение для определения гтах
 Л 0,202estzmax M25iax 0,312ax i. 7.97
 Оно незначительно отличается от уравнения 7.92.
 В качестве примера получим выражения для динамического провиса и напряжения первоначально горизонтальной ванты т 0 при отсутствии статической нагрузки est 0.
 Из формул 7.92 и 7.84 найдем максимальную величину провиса:
 max V 4at 0,595 V qlEA. 7.98
 Напряжение в ванте из формул 7.89
 3 л2 2 F 3
 а -т- Ezzmax
 4
 1 £J-JL 0,87 l liE . 7.99
 V 1.52-4 У Аг Пользуясь этими выражениями, оценим влияние динамичности приложения нагрузки на перемещения и напряжения вантовых конструкций. Как известно, это влияние обычно характеризуется коэффициентами динамичности, представляющими собой отношения перемещений или напряжений, вызываемых в конструкции динамической и статической нагрузкой равной величины.
 Выражения для относительного провиса и напряжения в ванте при статическом действии нагрузки q получим из формул 7.19, 7.28 и 7.30
 г ql8H 14 1 4 М 0,3б ; 7.100
 ,t VЯ Р Е 24 Л2 0,347 Vqа РЕМа. 7.101
 Используя формулы 7.98...7.99, найдем коэффициенты динамичности для провиса kf и для напряжений kQ:
 ma xst 1,655, ka olost 2,51. 7.102
 ■ Таким образом, коэффициенты динамичности ванты для перемещений и напряжений не равны друг другу. В этом заключается отличие работы нелинейно деформируемых конструкций от линейных, в которых, как известно, эти коэффициенты динамичности равны друг другу, причем для рассматриваемой динамической нагрузки kf kG — 2.
 Значения коэффициентов по формулам 7.102 показывают, что для ванты kfi 2, ka2. Такие соотношения для коэффициентов динамичности являются характерными для конструкций, жесткость кото¬
 7 Зак. 882
 193

рых повышается с ростом деформации, что и наблюдается для вантовых конструкций.
 • Вследствие неравенства коэффициентов динамичности для перемещений и напряжений в таких конструкциях оценку влияния динамичности нагрузки полезно производить с помощью коэффициента динамичности для нагрузки k0, который представляет собой отношение величин статической и динамической нагрузок, вызывающих в конструкции одинаковые деформации и напряжения. Такой коэффициент удобен при расчетах. Для рассматриваемой ванты из равенства
 2maxzet, т. е. 0,595 у 0,36 -L,
 получим kv 4,5.
 Повышение коэффициентов динамичности свидетельствует о некотором снижении эффективности работы вантовых конструкций при действии динамических нагрузок.
 Полученные величины коэффициентов динамичности относятся к первоначально горизонтальной ванте при отсутствии статической нагрузки. В общем случае значения коэффициентов динамичности kf и ka оказываются более близкими друг к другу.
 При определении провиса ванты от действия динамической нагрузки заданной величины необходимо решать кубическое уравнение 7.92. Это уравнение удобно использовать при решении обратной задачи — по известному значению допускаемого напряжения материала ванты о8 определить значение динамической нагрузки, которую может воспринять ванта. Для этого из формулы 7.89 определяем величину допускаемого упругого провиса:
 г0 -т,1 У Ti 0,405 os—ostE. 7.103
 Подставив формулу 7.103 в 7.92 и учитывая выражение 7.84, получим уравнение для допускаемой динамической нагрузки:
 4J7r-1T- Кч? 0,202es z0 щгЬ 0,258. 7.104
 ID Решение уравнения 7.90 при произвольной функции ахт может быть выполнено лишь приближенными методами. В качестве такого метода целесообразно применить способ численного решения, основанный на замене дифференциального уравнения конечно-разностным. Запишем уравнение 7.90 в виде
 -7-7 fz, т т — 2-Ц1 0,405e3t 2—Зг l22—г3
 а т3
 и разобьем ось времени на участки одинаковой длины Дт точками Ът т 1,2, .... Последовательные значения функции zт в моменты времени ттгт zxm, отличающиеся друг от друга на Дт, находят из выражений
 гт1 Zm Дzm, Azm AZm_, Д2Zm_.
 194

Для нахождения второй разности А2- удобно воспользоваться формулой Штермера ограничившись, например, тремя членами
 Агт.г Ат2 fm fl-, f3m__a где r_i,r_32 — 2-я и 3-я разности функции rm A2m.
 Весь процесс вычислений сводится в табл. 7.1.
 Таблица 7. 1. Значения конечных разностей
 т
 г
 Az
 А 2
 Г
 Г1
 г
 Г
 Ч
 Г
 АгА
 Г1
 32
 Z2
 А2
 Г
 А г2
 И
 52
 Г3
 52
 Т3
 3
 А2г2
 гш
 5
 Az3
 Г1
 72
 Г3
 72
 4
 A
 Г4
 1
 A г4
 Г1
 9 2
 гз
 92
 Ч
 25
 J А224
 1
 Г I
 Для начала счета необходимо иметь четыре значения zm в первые моменты времени. Эти величины могут быть найдены из решения линейного дифференциального уравнения, полученного из формулы 7.90 отбрасыванием нелинейных членов г2 и г3. Вначале движения вследствие малости z эти члены обычно пренебрежимо малы. Счет ведут до момента времени т71, при котором впервые наступает Дгп 0, значение zn будет являться максимальным значением решения гт. В этом случае определяется весь закон изменения функции zт.
 Если динамическая нагрузка является мгновенно приложенной, то при решении уравнения 7.90 в промежутке от т 0 до тт л4 также можно пользоваться выражением 7.93. При выводе уравнений
 7
 195

для у и ф воспользуемся методом Бубнова — Галеркина. Подставив выражение 7.93 в 7.90, получим
 Ф cos фт 2г J 0,405est у 1 — cos рт
 ЗтiY3 — 2cospxH—— cos 2рт Y3 1_С05фХ__
 у 2 2 J 2 4
 3 1 —соз2фт — соэЗфт —ах.
 Согласно этому методу у и ф находят из уравнений
 я я
 ф ф
 j Ф dx 0, Ф cos ф т d т - 0. о о
 Произведя преобразования, получим
 я
 2г10,405е87 4,5т1у2 2,5у8 -2-f атdv, 7.105
 11 o’
 Я
 Тф2 —2ri0,405esfv—6riiY2 у3 атсозфтт. 7.106
 4 л •»
 0
 В частном случае, когда нагрузка изменяется во времени по закону
 уравнения 7.105 и 7.106 имеют такой вид:
 24f 0,40567 4,5 2,5т3 ах l 7.107
 уф2—2л? 0,405estv—6rjiY2—-7- Y3—“ • 7.108
 4 71 о ф
 Выразив из формулы 7.107 ф через у и подставив в уравнение 7.109, получим уравнение для определения у.
 При нулевом начальном провисе и Est 0 получим
 Y3 —— 1 —V
 7 2,5 I 2 0 ф Г
 о 15 о 4ot
 ТФ —Y —Q ■
 4 71 0 ф
 ■ Пример 2. Рассмотрим ванту с неподвижными опорами при следующих данных: 10 м, А 10 см2, о 0,06 м, материал ванты — сталь класса А-1 с пределом текучести а0 300 МПа. На ванту действует равномерно распределенная статическая нагрузка интенсивностью р 20 Нсм.
 196

Определим значение внезапно приложенной постоянной во времени динамической нагрузки, вызывающей в ванте напряжение а0 300 МПа.
 Находим вначале значение перемещений и напряжений в ванте от действия статической нагрузки.
 Из формулы 7.19 при х 0 имеем
 Л1 ». о 6, 7-109
 где определяют из уравнения 7.28
 з_1бА 7.110
 Напряжение вычисляют по формуле
 ast р121А. 7.111
 Решая 7.110 при рИЕА 20 • 1032,1 • 10? • 10 104 и fjl 0,06,
 получим 0,2426.
 Из 7.109 и 7.111 имеем
 Л1 0,0607, ost 4120 Нсм2 41,2 МПа.
 Находим значение предельного упругого относительного провиса из формулы 7.103
 0 —0,060710,003684 0,405300 — 41,22,1 • Щ 0,0040.
 Из уравнения 7.104 определяем допускаемое значение динамической нагрузки 04 0,152 • 104
 q 2,1 • 105 • 1016 • Ю3 64 Нсм.
 7.2.3. Расчет нити с податливыми опорами. Если опорные конструк¬
 ции являются податливыми, то закрепленные в них концы вант могут смещаться в горизонтальном направлении. При выводе расчетных формул в этом случае необходимо учесть влияние на вертикальные перемещения нити горизонтальных перемещений ее концов рис. 7.14. Будем считать, что значения усилия в ванте и горизонтального перемещения конца ванты связаны линейной зависимостью, т. е. имеем следующие граничные условия:
 Н —cul, t, н си0, 0. 7.112
 где с — коэффициент жесткости опорной конструкции.
 Подставив уравнение 7.112 в 7.38 и приняв s0 , получим
 -7гКтШ7Г2»;4 71,3
 о
 197
 Рис. 7.14. Перемещения нити с податливыми опорами

где
 Р 1 2 ЕА1с. 7.114
 Выражение 7.113 отличается от 7.39 только постоянным коэффициентом р.
 Поэтому все полученные выше выражения будут справедливы и при расчете вант со смещаемыми концами, если во всех формулах заменить модуль упругости Е величиной
 £ Еф. 7.115
 Из формул 7.115 и 7.114 видно, что Е £, т. е. горизонтальное смещение концов нити эквивалентно уменьшению ее жесткости. Это обстоятельство приводит как бы к увеличению влияния «растяжимости» нити на ее работу, и поэтому, как следует из п. 7.2.1, для нити
 со смещаемыми концами увеличивается влияние первого члена ряда
 7.41 на перемещение по сравнению с нитью с неподвижными концами.
 Получим расчетные выражения для нити со смещаемыми концами под действием равномерно распределенной нагрузки, когда ее вертикальные перемещения определяются по формуле 7.87
 w lz sin -у- х.
 Из формулы 7.89 напряжение в ванте
 ° 7.116
 4р
 Горизонтальное перемещение конца нити определяют из выражения
 ы0,0— — 0,5е„р-1
 С С
 4-1£т112т1’гг2- 7117
 5 Р
 В частности, при постоянной во времени динамической нагрузке и при 0, est 0 получим из 7.92 и 7.116 максимальные величины вертикального перемещения и напряжения:
 гтах К40,595Кру-1; 7.118
 __ пЕ -2 0,87
 max — Zmax — 3 V р
 7.3. Вариационный метод расчета вантовых
 конструкций
 7.3.1. Основы метода. Расчет отдельного ванта на действие динамических нагрузок сводится к решению системы нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных, решение которых в
 7.119
 198

МтпйШПИ
 Рис. 7.15. Расчетная схема ванты
 общем случае связано с большими трудностями. Еще большие затруднения возникают при расчете вантовых конструкций, образуемых системами вант. Поэтому при практических расчетах вантовых конструкций приходится использовать приближенные методы и, в частности, вариационный метод. По этому методу исходят не
 из дифференциальных уравнений движения, а из наиболее общего закона движения механических систем — принципа Остроградского— Гамильтона, рассмотренного в п. 3.3.2. При этом уравнения движения конструкции получаются из уравнений Лагранжа 2-го рода. Если перемещение системы представить в виде
 W 2 aft tXh х, то уравнение 3.85 будет иметь вид
 d дТ . dU dW
 7.120
 dt дак
 дак
 дак
 k 1, 2,п.
 7.121
 7.3.2. Расчет отдельных вант. Как показано выше, уравнение движения пологой ванты может быть решено с помощью рядов по синусам. В этом случае, если применить к расчету ванты вариационный метод,
 k л
 приняв в формуле 7.120 Xkx sin— х, то для функций ак t из
 формулы 7.121 получится система дифференциальных уравнений, совпадающая с системой 7.47.
 Ниже расчет отдельной ванты вариационным методом приводится в качестве примера применения метода.
 Рассмотрим отдельную пологую ванту, нагруженную статической рх и динамической qx, t нагрузками, симметричными относительно середины ванты и распределенными по ее длине по закону рис. 7.15
 рх ро Pi — Ро2х1
 О 2; 7.122
 Ях, 0 qS l7i0 — 7о02.
 Аналогичный закон распределения принимаем для массы
 пгх щ0 тх — т02х1. 7.123
 Уравнение кривой начального провисания нити вызванного действием статической нагрузки принимаем в виде
 х sin — х.
 7.124
 199

Выражение для вертикального перемещения
 w х, ta t sin -у- х. 7.125
 В рассматриваемых пологих нитях деформация и напряжение могут считаться постоянными по длине. Тогда выражение для относительной деформации нити может быть получено без привлечения зависимости 7.36
 AS j j 1 -£г Щ мТ dx — f У j w02d x
 0 0
 r _ I V ljyf asin2jfxdx—y H-sinxdx
 о 0
 0
 “Я1 J2Sin2T XdXJfi 2a°2-
 Тогда
 и напряжение в ванте будет
 8 -j- 2а а2 7.126
 а а., Ег т„ 2а а2, 7.127
 что совпадает с ранее полученным выражением 7.89.
 Найдем выражения для кинетической и потенциальной энергий. Кинетическая энергия
 Ч 2 . 2
 7 2 J m2 dx a2 jm0 тх—Шо-у- sin2xdx о о
 ilLm0 т,- т„ -L. 7.128
 Потенциальная энергия деформации ванты с учетом формул 7.126 и 7.127
 е
 U A J dx j ade Al o8te -у- e2j
 0 7
 2a -fa2 a -Ц- . JL 4W 4а« a. 7.129
 200

Потенциал внешней нагрузки
 2 12
 W —2 jp 9aydjc — 2а j Гр0 й Pi —Ро о о
 ?1—?о-у- sin-у- xdx -JPo7o l—jj-
 Pi?i--a. 7.130
 Подставив формулы 7.128...7.130 в 7.121, при k 1 получим уравнение движения ванта:
 -а я‘££- 2 f 0,405Jа 3а2 а3
 7.131
 d 2 4 т
 _ 4 р д nAsatf
 пт ml2
 где
 т т0 т1 — т0 - J
 pp0l-— —Рь 7.132
 Л я
 70 7ol - —7i •
 V я л
 Если на конструкцию действует только статическая нагрузка, то приравняв в 7.131 ускорение нулю и положив q 0, f0l oat
 — ан н — начальное натяжение ванты, получим алгебраическое уравнение для определения статического провиса:
 0,405 ——j aai -f 3ffli2st flsj
 7.133
 лЕА 7о2
 _ 4 р л2Аан0
 я I2
 Напряжение в ванте от действия статической нагрузки
 a.t и Н—7- 2Да.« -Г alt. 7.134
 В уравнении 7.127 f 0 ast, a ast может определяться по формуле 7.134.
 Вычислим второй член в правой части 7.131
 —tг1 “IT а« 2оав‘ оЛо ав
 л2Аа„ о я4 0405 j ast 3 .
 201

Учитывая формулу 7.133, получим
 яМст»,2 4рл. 7.135
 Поэтому в правой части уравнения 7.131 сокращаются два члена, и уравнение движения ванты под действием динамической нагрузки будет:
 d а , Л ЕА Гпей , п АПК aat 1г „ , , „з1— я
 Г2Р 0,405 а 3а2 а31 4gL° . 7.136
 4 m4 Д £ J я m
 d t2
 Введем безразмерные величины:
 a 2 nEA f L
 ZT’ -T TT;
 __ 16ql . „ _ 16pi
 T — it у ОС — , ОСgt — •
 Л пьЕА 81 я5 ЕА
 7.137
 Тогда уравнения 7.131 и 7.133 будут иметь такой вид:
 z 2т2 0,405astEz Зтz2 z3 ос; 7.138
 2то 0,405oHEzst 3r0z2st z ast — 0,405a Hr0E. 7.139
 Рассмотрим некоторые частные случаи. Пусть статическая и динамическая нагрузки равномерно распределены по пролету. Тогда в формулах 7.132 и 7.133 надо принять
 Po Pi Qo ?i» то т и из формулы 7.127 получим
 т т0 р р01 q q0.
 В этом случае, как и следовало ожидать, 7.138 полностью совпадает с ранее полученным уравнением 7.90. Найдем из формул 7.139 и 7.134 значения статического провиса и напряжения при Ло 0. Получим
 z.i Vt 0,373 vP0lEA;
 3
 asl Ezt 0,343 V p12EIA. 7.140
 Сравнение 7.140 с точными выражениями 7.100 и 7.101 показывает, что ошибка при определении провиса составляет около 4, а при определении напряжения всего около 1. Этот факт подтверждает сделанное выше замечание о том, что при расчете гибких нитей погрешность в форме перемещения меньше влияет на значение напряжения, чем на значение провиса.
 Рассмотрим отдельную ванту круглой в плане вантовой конструкции с радиальной системой вант рис. 7.16.
 202

Среднее кольцо будем считать настолько малым, что размерами и массой кольца можно пренебречь и считать его сосредоточенным в точке. Масса и нагрузка являются переменными по длине ванты, изменяясь по линейному закону, для получения которого нужно в формулах 7.122 и 7.123 положить рг qx 0, т1 0. При этом получим из формулы 7.127 т 0,297т0, р 0,363?0, q
 0,363о и выражения 7.127 будут иметь вид:
 X2 82 ЕАт0Р; а 0,0l9q0lEA, о, 0,019 р01ЕА. 7.141
 Найдем статический провис и напряжения при а„ О,
 Ло О
 zat Vsi 0,267 У р01ЕА-,
 рЬМ
 ost —Ezlt0,176„
 » 4 Г а
 7.142
 При действии на ванту постоянной во времени динамической нагрузки с т 0 и ost О максимальные величины провиса и напряжения будут равны:
 Рис.
 7.16. Расчетная схема круглой плане вантовой конструкции
 Zmax — V —0424q0lEA
 з 7.143
 W 0,445 qTEA
 Следует отметить, что на движение ванты с рассмотренной нагрузкой в еще большей степени, чем при равномерно распределенной нагрузке, будут влиять формы колебаний с несколькими полуволнами. Поэтому формулы 7.141...7.143 дают необходимую при расчетах точность лишь для достаточно пологих вант при fjl 0,05...0,07.
 7.3.3. Расчет сеток. Рассмотрим прямоугольную в плане вантовую конструкцию с несущими вантами в виде пространственной сетки рис. 7.17. Расстояние между вантами равно апх и Ып2у где пг и п2 — число расстояний между вантами на стороне а и Ь. Предполагаем, что пх 3, л2 3. Площади поперечных сечений всех вант считаем одинаковыми и равными А. Статическую р и динамическую qt нагрузки считаем равномерно распределенными по площади сетки.
 203

Принимаем выражение для вертикального перемещения в виде
 w zt sin — jc sin —у 7.144
 a b
 и уравнение начальной поверхности провисания
 х, yf sin — л1 sin у, 7.145
 а о
 где f — начальная стрела провисания в центре конструкции.
 1
 an,
 a r
 Рис. 7.17. Расчетная схема прямоугольной в плане вантовой конструкции
 Предполагаем деформацию каждой ванты постоянной по ее длине и найдем выражения для удлинений ванты. Рассмотрим ванту длиной а при yi ibn2. Для нее перемещения
 Щ х, Уд sin — sin -Ш- ;
 а п2
 £ J • Я • Л
 wx, Уи t — z sin— sin CL tl2
 и удлинение будет
 а Ai 1 f 1 zf cos2— х sin2 —— d x —
 V a2 a n2
 о
 a — 1 f 1 cos2 — sin2 — dx — 2fz z2sin2. 7.146
 J r a2 a n2 4a n9
 o
 Начальная длина ванты
 Sj a -£- sin2 — . 7.147
 4 a nt
 204

Относительное удлинение ванты
 el-x — 2fz z2sini-. 7.148
 Si а 4 а2 п2
 Аналогично для ванты длиной b при х janL
 г 2z z sin2 . 7.149
 Напряжения в вантах
 Osti Ostj 7.150
 где asii и asty — напряжения в вантах, вызванные статической нагрузкой, которые предполагаем распределенными по тем же законам, что и формулы 7.148, 7.149, т. е.
 1 . о 1 JT 2 • О Л
 Ostiast sin2 ; ast aj sin2——;
 П2 It
 „1 _ 4f 2 A; cS? - №„»,.
 4a
 Кинетическая энергия конструкции
 a b
 mz2
 7.151
 2
 о о
 J J sin2 — x sin2 -у- у Ax Ay z2, 7.152
 где m — масса на единицу площади.
 Потенциальная энергия деформации вант
 _jL£2,z, _5l ,_ы 2,2 2у 2 sin-t-
 Я24оФ л4 FA
 2zz2 -2zz2y
 «i—i
 in
 У sin4 7.153 -1 я
 Входящие в это выражние суммы могут быть с достаточной точностью при « 3 и п2 3 заменены интегралами, т. е.

Подставив эти выражения в формулу 7.153, получим после преобразований
 U
 256
 Потенциал внешней нагрузки
 а b
 О1П ан2Я. -V 2г г2
 а о J
 •5-4Тг№’-
 3л2 А 32
 Зл4 Е А п2
 W — q t р z j j sin — x sin у d x d у ■ о о
 7.154
 7.155
 Подставляя выражения 7.152, 7.134 и 7.135 в уравнение Лагранжа, получим
 Зл4 ЕА п2 L пх ЗтаЬ
 П2 I ni
 а 63
 2f
 7St ft2
 0,4051 —
 _ 16gQp ЗлМ
 л2 т
 АтаЬ
 z3f
 . 7.156
 Перемещение от действия только статической нагрузки находится из выражения
 Зл4 ЕА п,
 X
 2o-f
 I аи 0,4051 —
 16 аЪ ci1 па
 J±
 а3
 1,62р-
 irr
 Зяг А0
 I Zsl “Ь 3qZj -f- Zst
 «нЧ , °н2я1
 4 аЬ а Ъ
 где aiu, а,’, f0 — начальные напряжения и провис.
 206
 7.157

В данном случае также справедливо выражение, аналогичное popмуле 7.135. Поэтому уравнение движения примет вид
 Зл4 ЕЛ 16та b
 X
 0,405
 2 i
 z Зz2 г3 1МИ 7158 л 2т
 где f — f0 zst и а5Г находят из выражения 7.151, в котором статический провис определяют из уравнения 7.157. Приведем выражение для статического провиса при 0 0, он1 ан2 0
 7.3.4. Расчет тонких упругих пластинок. К конструкциям с геометрической нелинейностью относятся также тонкие упругие пластинки и мембраны. В тонкой упругой пластинке прогибы могут быть сравнимы с толщиной пластинки и даже в несколько раз превосходить ее. Если пластинка изгибается не по типу балочной плиты, то ее срединная поверхность будет подвергаться сильному растяжению, вследствие чего в средних точках поперечного сечения пластинки будут возникать напряжения, сравнимые по значению величины с максимальными напряжениями изгиба. Такое обстоятельство наблюдается обычно в пластинке, для которой wh 15, где w,h — прогиб и толщина пластинки.
 Если выполняется соотношение wh 5, то сопротивлением пластинки изгибу можно пренебречь и рассматривать ее как гибкую мембрану.
 В этих случаях жесткость пластинки возрастает с ростом прогиба, и он перестает быть пропорциональным интенсивности нагрузки.
 Расчет таких конструкций на действие динамических нагрузок может быть выполнен приближенно также вариационным методом. Покажем применение этого метода на примере расчета в упругой стадии квадратной мембраны и круглой тонкой пластинки.
 Рассмотрим квадратную мембрану толщиной h со сторонами длиной
 2 а, жестко закрепленную по контуру. Действующую динамическую нагрузку предполагаем равномерно распределенной интенсивностью qt.
 Обозначим через w вертикальное перемещение точек срединной поверхности мембраны, через и и v — горизонтальные перемещения в направлении осей Ох и Оу.
 z 0,446 у
 ЕА цоз лхб»
 pab
 7.159
 207

Выражения для перемещений, удовлетворяющие условиям на контуре и условиям симметрии, примем следующие:
 jv пх пи
 w zL t cos — cos —— ;
 2 a 2 a
 uz2 t sin —- cos ; 7.160
 a 2 a
 ,v . nu nx
 v z2 t sin —— sin .
 a 2 a
 Воспользуемся выражением для потенциальной энергии деформа: ции мембраны при значении коэффициента Пуассона v 0,25
 UJL jzl. A_J.7fbN JW .j-g-Ь;1. 7.161
 7,5 I 64 a 6a 4 9 J V 7
 Потенциал внешней нагрузки
 W I 4tzlcoscosAxAy-£-z1t. 7.162
 —a —a
 Вследствие малости горизонтальных перемещений пренебрегаем горизонтальными силами инерции.
 Кинетическая энергия
 а а -о т . . m zf
 1 j j _Jj_cos2cos2-g-dA:dy -z. 7.163
 —a —a
 Из уравнений Лагранжа 7.121
 0.
 dZz
 откуда
 z2 0,147z?a. 7.164
 Подставив выражения 7.161, 7.162, 7.164 в первое уравнение
 7.121 и учитывая формулу 7.164, получим уравнение движения мембраны
 г ..2.;97£ 2з 6У.£_ 7.165
 та3 л2 т
 Растягивающее напряжение в центре мембраны
 a 0,616£z?a2. 7.166
 Полученное уравнение 7.165 относится к тому виду, который был
 рассмотрен выше при расчете вантовых конструкций.
 208

При действии внезапно приложенной постоянной во времени на¬
 грузки q максимальная величина прогиба находится из выражения
 г, 1,30 VqalEh.
 Максимальное напряжение в центре мембраны
 37
 al,035£j -g-
 • Рассмотрим движение круглой пластинки радиусом R и толщиной Л, заделанной по контуру под действием равномерно распределенной нагрузки q t. Будем считать, что прогибы пластинки сравнимы с ее толщиной, и поэтому учтем деформацию изгиба и деформацию срединной плоскости.
 Форму изогнутой поверхности представим в виде
 MrJ 2ГЖ01 г2R22, 7.167
 т. е. так же, как для случая малых прогибов при статической нагрузке. Для радиальных смещений положим
 urtt rR — rz20 rzzt 1. 7.168
 Пренебрегая радиальными силами инерции, получим
 z2 1,185z??3; z3 — l,75z??4.
 Потенциальная энергия деформации пластинки с учетом деформации изгиба и деформации срединной плоскости будет
 и“-ж1°’244-й- 7j69
 где D — цилиндрическая жесткость.
 Потенциал нагрузки и кинетическая энергия равны:
 R
 V - 2я J q t zt 1 J rdr q t zlt 7.170
 0
 Я • 2 n2 9
 r mz f r2 4 nR mz i
 т2пг-1ё,Лг—ЙГ1 7Л71
 0
 Подставив эти выражения в уравнение Лагранжа, получим следующее уравнение движения:
 - _320D_ _52D_z3_5iU_ m
 1 3 mR mRh 3m
 Радиальный изгибающий момент
 Mr -D -L.-£ - Г1 v-3 v1.
 r dr r dr J R L ?J
 209

Радиальная нормальная сила: при г — О
 .. Eh Г ди . 1 дш У . u 1 1,185£Лг?
 _ 1—v2 д г 2 д г 1 VrJ 1— v Я ’
 при Г R
 0,565£Лг
 _ 1 —V ?2 ’
 Для достаточно тонкой пластинки в уравнении 7.172 можно пренебречь членом с zL, который учитывает влияние изгибной деформации..Тогда получим уравнение движения круглой мембраны
 4,33 Eh з 1,67 1704
 2 _j Z qt. 7.173
 1 1 —v8 mR т 4 W При действии постоянной во времени нагрузки найдем максимальную величину прогиба
 г, 1.151ЛЯ«£Л. 7.174
 7.4. Динамический расчет вант в пластической
 стадии
 При действии на вантовую конструкцию интенсивной динамической нагрузки в ней могут быть допущены остаточные деформации. В этом случае расчет вант следует производить с учетом работы материала в пластической стадии.
 Учет пластических деформаций обычно приводит к существенному повышению несущей способности конструкции. Методы расчета конструкции за пределом упругости в основном определяются деформативными свойствами материалов и особенно их поведением при больших скоростях деформирования. Экспериментальные исследования показывают, что скорость деформирования особенно сильно сказывается на изменении механических характеристик мягких сталей, и в меньшей степени это влияние проявляется для углеродистых или упрочненных сталей.
 Расчет конструкций с учетом влияния скорости деформирования на свойства материала связан с большими трудностями. Поэтому при динамическом расчете конструкций из материалов, на которые существенно влияют скоростные эффекты, часто используется диаграмма деформации материала, аналогичная статической, но с измененными основными параметрами, например с повышенным пределом текучести для стали. Величина повышения динамических напряжений определяется приближенно по скорости деформации с использованием экспериментальных данных п. 2.2.
 210

• Рассмотрим пологую нить из материала, кривая деформации которого представляется билинейной диаграммой см. рис. 7.4, определяемой То, Е0, Ex.
 Поскольку в рассматриваемых пологих нитях f0l 0,125 усилие по длине нити может считаться постоянным, напряжение предела упругости а0 возникает одновременно по всей длине нити. Время конца упругой стадии 0 — т01 в этом случае определяется из выражения 7.50:
 0st -J- Е n2zn т0 г„ т0 2г„ а0,
 п 1 ,2,...
 где т0 — безразмерное время 7.48.
 Перемещение и скорость нити в конце упругой стадии
 W X, to W0 х w0 X.
 О I
 Перемещение нити в пластической стадии обозначим через vx,t. Используя формулу 7.39, получим для пластической стадии
 н 0 Но АА 2у2 dx H0 Hd, 7.175
 2SQ И дх V дх J
 где Ио а0А;
 Угх Уох wstx w0x yix w0x. 7.176
 Уравнение движения нити в пластической стадии получим из формулы 7.35.
 т “аГ Hd t -JJ- У Р 90- 7.177
 Уравнения 7.175 и 7.177 аналогичны формулам 7.39 и 7.40. Поэтому решение их может быть проведено рассмотренным выше методом. Выражение для vx, t запишем в виде
 ». МО sin7.178
 Л-1,2.... 1
 Подставив уравнение 7.178 в 7.175 и 7.177, получим систему обыкновенных дифференциальных уравнений:
 т Т кг1Г Яв bh W Л1
 -Hdbktghqh rh; 7.179
 Hd Л5‘ 2 bnbn 2gn, 7.180
 211

где gh tk zfeT0 — коэффициент разложения в ряд Фурье функции £2-; Я ь» rk — коэффициенты разложения в ряд динамической и статической нагрузок.
 Начальные условия при t t0 будут следующие:
 ьк О,
 d d
 Относительно решения полученной системы уравнений 7.179, 7.180 полностью справедливы сделанные выше замечения при решении систем 7.44, 7.45. Однако при решении систем 7.179, 7.180 можно ограничиться меньшим количеством членов в ряде 7.178, чем при решении системы 7.44.
 • Рассмотрим подробнее расчет нити из идеального упругопластического материала, кривая деформации которого представляется диаграммой Прандтля без упрочнения см. рис. 7.4.. В этом случае нужно положить в предыдущих выражениях Ех 0. Из формулы 7.179 получим системы линейных дифференциальных уравнений:
 k2nH» bkt gh qk rh. 7.181
 Введем безразмерные величины
 Ун t bktl; о I k2n2HJl2m 7.182
 Ль gJl Цк Zh то«
 Уравнение 7.181 и начальные условия при t t0 будут иметь такой вид:
 —«Л; 7.183
 d t2 ml
 Ун 0; -7- XZfcT0. 7.184
 d t
 Решение уравнения 7.183 при условии 7.184, как известно, будет
 У к 0 — Zfc т0 sin Oft t—t0
 Oft
 j 4h Urh aht—udu
 -£- zh x0 sin aht—t0
 v Tq
 t
 ■ J qk u sin оЛ — u d и. 7.185
 212
 Oft t
 COk ml

При постоянной во времени нагрузке имеем
 — гк то sin щ t — 0
 7.186
 Предельное состояние пластически деформирующейся нити характеризуется относительным удлинением е. Значение е, которое в рассматриваемых случаях принимается постоянной по длине нити, определяется из выражения, аналогичного формуле 7.36:
 Интегрируя формулу 7.187 по пролету, как это было проделано в п. 7.1.1, получим для нити с несмещающимися концами
 • Пусть нагрузкой на ванту являются равномерно распределенные статическая р и динамическая q нагрузки. В этом случае, когда f0ll
 0,08, при расчете как в упругой, так и в пластической стадии достаточно учитывать по одному члену рядов. Из формулы 7.80 определяем перемещение z0, соответствующее концу упругой стадии:
 где ti определяется по формуле 7.87.
 Из формулы 7.91 может быть определена скорость перемещения ванта в конце упругой стадии:
 7.187
 7.188
 Отсюда, учитывая формулы 7.175 и 7.180, находим
 Be» 4S“ У, n2’ntn--2g„ e0
 41
 7.189
 п 1,2....
 zt0z0 — »hn? 0.405 aat
 7.190
 г0 2т0К2К atr0—ii0,202et22—i1z3 —0,25zJ 7.191
 Учитывая, что ry p, 7, получим из формулы 7.186

Определим время достижения вантовой максимальной пластической деформации из уравнения 0, т. е.
 - t
 tm— 4 p--q I 7.193
 з- й —Т1— г°
 д3 Н0
 Из формул 7.193 и 7.192 определяют величину максимального перемещения уту выражение для которого может быть представлено в виде
 lXzoig 7.194
 2 Г а0 2
 Из формулы 7.189 находят максимальное относительное удлинение
 ет е0Ут1Ут 2г1х2о. 7.195
 4
 Значение величины гт не должно превосходить допустимой величины относительного удлинения гп.
 • Изложим кратко метод расчета пологой нити из материала, кривая деформации которой представляется плавной кривой. Такие кривые деформации могут быть хорошо описаны многочленом вида
 х v 7.196
 k
 Получим расчетные зависимости для нити из такого материала при действии равномерно распределенной динамической нагрузки интенсивностью qt. Считаем справедливыми использованные выше предпосылки и применим вариационный метод.
 Уравнение кривой провисания нити
 vx,t f-i-ytsin-yX, 7.197
 где — начальный провис нити в середине пролета; yt — перемещение средней точки ванты.
 Кинетическая энергия
 Т mly24.
 Потенциальная энергия деформации ванты

Учитывая полученную раньше формулу для относительного удлинения 7.126
 е -22
 получим
 и А11 тт-£гкууук1- 7199
 k 1
 Потенциал внешней нагрузки
 iv 2
 W qy.
 Я
 Подставив полученные выражения в уравнение Лангранжа 7.121, получим уравнение движения нити
 m -2- « У ек 2fy yk — , 7.200
 d tz я
 R 1
 где
 •‘-««‘-5-Г-
 Примем например,
 о £, е — £2е2, 7.201
 где £х • 0, Ег0 рис. 7.18.
 Тогда уравнение 7.201 примет вид
 У У. акУк — Я, 7.202
 Я
 k 1
 где
 «1 22г1; а2 3fo — 43е2; а3 2» 52» 2 7.203
 я4£1Л44; е2 яв£2Л16в.
 При постоянной во времени динамической нагрузке из формулы
 7.202 легко получается уравнение для определенной максимальной величины у:
 • 7-2о4
 к-f- I я
 Рассмотрим первоначально горизонтальную нить, т. е. положим в
 7.203 f 0. Тогда
 «1 «г «4 — 0; аз ей «в ег
 215

и уравнение 7.204 примет вид
 я
 7.205
 В безразмерных значениях формула 7.205 записывается в виде
 Наименьший положительный корень уравнения 7.206 является максимальным значением относительного прогиба. Если уравнение 7.206 не имеет положительных корней, то это свидетельствует о том,
 маций материала вант
 что скорость перемещения ванты не может обратиться в нуль, т. е. произойдет ее разрыв. Возможность разрушения ванты обусловливается принятым законом деформирования материала 7.201, имеющего ниспадающую ветвь см. рис. 7.18. При этом предельные значения напряжения и соответствующей ему деформации равны:
 Используя уравнение 7.206, можно найти предельное значение нагрузки, которую способна воспринять нить, не разрушившись. Для этого рассмотрим график функции p z рис. 7.19. Максимум при
 0 функция pz получает при zn У 0,6р. Величина его равна
 При фт0 уравнение 7.206 имеет два положительных корня, при фш 0 один и при Фт 0 положительные корни отсутствуют. Поэтому условие Фт 0 определяет предельно возможное значение нагрузки:
 фг z3 — jJz6 — г? 0,
 7.206
 где
 7.207
 Рис. 7.18. Диаграмма дефор-
 Рис. 7.19. График функции фг
 Сто £i4Ei; е0 £i2£2.
 7.208
 7.209
 iPn 0,186р32.
 216

Предельное значение перемещения
 г„ VW.
 Из формул 7.126 и 7.206 находим предельные значения деформации и напряжения в ванте:
 е„ -£-20,9-fi-;
 4 Е 2
 оп Ег гп — Е2 г 0,09£f£2.
 Сравнение этих уравнений с формулой 7.208 показывает, что предельное значение нагрузки не соответствует предельному напряжению материала ванты и что ванта способна работать на ниспадающей ветви кривой деформации рис. 7.18.

ГЛАВА 8
 РАСЧЕТ ЖЕЛЕЗОБЕТОННЫХ КОНСТРУКЦИИ НА ВЫСОКОИНТЕНСИВНЫЕ УДАРНЫЕ ВОЗДЕЙСТВИЯ
 8.1. Экспериментальные данные о поведении железобетонных конструкций при интенсивных ударных воздействиях
 Как следует из изложенного во введении и гл. 1, теоретическое описание поведения железобетонных конструкций при интенсивных ударных воздействиях разработано лишь для высокоскоростных ударов телами относительно малой массы и представлено в основном эмпирическими и полуэмпирическими зависимостями. Значительное увеличение видов и числа низкоскоростных интенсивных ударных воздействий аварийного характера, встречающихся на практике, потребовало проведения широких экспериментальных исследований, которые и были выполнены в последние годы в разных странах, в том числе в СССР, однако систематизации и анализа результатов этих исследований до настоящего времени не проводилось. Поэтому рассмотрим обобщенные экспериментальные данные о поведении конструкций при ударном нагружении. В последующих параграфах приведены методы расчета основных типов железобетонных конструкций.
 Принято различать местное и общее действие удара на конструкции.
 • Местное действие уДара вызывает локальные деформации в зоне удара, происходящие обычно до или в самом начале общего деформирования конструкции.
 • Общее действие удара связывают с деформированием конструкции в целом как и при взрывных нагрузках.
 • Под локальными деформациями понимают проникание ударника в тело конструкции рис. 8.1, а с возможным образованием входной воронки, откол бетона рис. 8.1, б, обусловленный отражением от тыльной поверхности конструкции волн растяжения, и пробивание, которое может быть следствием соединения входной и откольной воронок рис. 8.1, в или так называемого «динамического продавливания» рис. 8.1, г, когда роль проникания в процессе разрушения относительно невелика.
 При местном действии возникают также контактные явления, характеризующиеся законом изменения контактной силы Р от проникания ударника в тело конструкции а. Знание этого закона необходимо не только для определения глубины проникания, но и для правиль¬
 218

ного определения общей реакции конструкции, т. е. с помощью зависимости «Р — а» осуществляется связь между местным и общим действием удара.
 Примерами общего деформирования могут быть изгиб балок рис. 8.2, а и плит см. рис. 8.14.
 Характер деформирования и разрушения зависит от типа конструкции.
 г
 ЯШ,
 Рис. 8.1. Схемы местного разрушения железобетонных плит
 • Рассмотрим результаты экспериментов с железобетонными балками. В процессе деформирования балка проходит, как и при статическом нагружении, три стадии: до образования трещин; после образования трещин до достижения текучести в продольной растянутой арматуре; после достижения текучести до разрушения. Вместе с тем при ударном нагружении имеет место ряд существенных особенностей. В общем случае они зависят от динамических свойств конструкции обычно характеризуемых низшей собственной частотой ох, отношения масс ударника и балки MsMbl скорости удара v0t времени соударения и ряда других факторов. Вместе с тем опыты показывают, что особенности поведения железобетонных балок проявляются одинаково в достаточно широком диапазоне изменения ©lf MJМъ, v0.
 Прежде всего отметим, что волновые процессы имеют место
 лишь в начале общего движения и обычно не оказывают существенного влияния на большие упругопластические деформации балок. Отметим также особый характер трещинообразования, отличный от наблюдаемого при сосредоточенных статических, а также распределенных импульсивных взрывных воздействиях. При ударе трещины сосредотачиваются на коротком участке под местом контакта, а не распространяются на весь участок, где М Мсгс Мсгс — момент образования трещин рис. 8.2, б. При этом возможны два механизма трещинообразования : откольный и изгибно-сдвиговый.
 Рис. 8.2. Характер трещинообразования железобетонных балок при ударном а и статическом сосредоточенном б нагружениях
 219

• Откольный механизм разрушения. В этом случае вначале возникает подковообразная трещина откола, концы которой ориентированы под углом « 45° к оси балки, а сразу же вслед за ней — нормальные трещины изгиба в зоне, ограниченной трещиной откола рис. 8.3, а. Такой характер имеет место при относительно высоких начальных скоростях удара v0 v0 15 мс. В балках без поперечной арматуры возникающий откол может привести к пробиванию конструкции ударником рис. 8.3, в. В балках с поперечной арматурой отколу бетонной
 i - iOllHKC
 Ц-Пмс
 Рис. 8.3. Откольный а и изгибно-сдвиговый б характер трещинообразования; пробивание балок, не имеющих поперечной арматуры в
 пробки препятствуют хомуты, работающие на растяжение. Требования СНиП 02.03—84 обеспечивают наличие достаточного для недопущения откола количества хомутов даже при их установке только по конструктивным соображениям s ЗЛ4; при этом на длине проекции откольной трещины на горизонталь обычно оказывается несколько поперечных стержней, соединенных с верхней и нижней продольной арматурой. Сказанное позволяет сделать важный вывод, что в большинстве случаев откол и пробивание в балках могут не учитываться.
 • Изгибно-сдвиговый механизм разрушения имеет место при весьма низких скоростях удара и0 15 мс. В этом случае вначале образуются нормальныетрещины изгиба, а сразу же за ними — наклонные трещины, обусловленные совместным действием изгиба и сдвига рис. 8.3, в. Волновые процессы в этом случае слабо влияют на деформирование, что отчетливо видно из ударных испытаний балочек из оптически активного материала методом динамической фотоупругости. Из рис. 8.4 следует, что в начальные моменты удара распределение напряжений аналогично статическому. Превышение главным растягивающим напряжением динамической прочности бетона на растяжение приводит к возникновению трещин в материале.
 Несмотря на отмеченные различия в природе возникновения трещин, можно констатировать, что они оказывают практически одина-
 220

новое влияние на дальнейшее деформирование балки. Учитывая это обстоятельство, а также очень малое время трещинообразования по сравнению с общим временем деформирования конструкции, можно считать, что нормальные и наклонные трещины по обоим механизмам
 t 0,026 мкс
 о
 t -0,607икс
 U0,087мкс
 о
 t-0,694Mkc
 t 0,173 мкс
 о
 ММОмкс
 i s0,260nkc О
 t • 1,730мкс
 t 0,34 7мкс
 t 0£97 мкс
 ts 2,17 0 мкс
 t 5,100 мкс
 О
 Рис. 8.4. Кинограмма ударного деформирования балки из оптически активного материала
 образуются одновременно до начала общих деформаций конструкций. Такой подход, как правило, не приводит к серьезным ошибкам.
 Наряду с трещинами внизу зоны контакта в верхней зоне шарнирно опертых балок примерно в третях пролета возникают нормальные трещины изгиба см. рис. 8.2, а. Эти трещины обусловлены влиянием высших форм колебаний при центральном ударе — главным образом
 221

третьей. При следующем движении эти трещины закрываются; их влияние на окончательные прогибы балок невелико.
 Описанный качественный характер трещинообразования балок подтверждается многочисленными опытами в достаточно большом диапазоне низших собственных круговых частот о 60...450 радс, отношений масс ударника и балки MJml 0,33...3,0, а также скоростей удара рис. 8.5.
 Начальное ослабление трещинами зоны под площадкой контакта в значительной мере определяет и дальнейшее поведение балки, т. е. деформации концентрируются в зоне между границами наклонных трещин. При дальнейшем движении трещины раскрываются, достигается текучесть в арматуре. Стадию работы конструкции до достижения динамического предела текучести в продольной арматуре при общем деформировании будем, как и при взрывных нагружениях, называть условно-упругой.
 В дальнейшем наступает пластическая упругопластическая стадия работы, заканчивающаяся обычно разрушением. Характер разрушения при ударном нагружении также обладает рядом особенностей и зависит от большего числа факторов, нежели при статических или распределенных импульсивных воздействиях. Важную роль, наряду с содержанием продольной арматуры, играет в этом случае содержание и тип поперечной арматуры. В общем случае в балке образуются три пластических шарнира при гладкой продольной арматуре, рис. 8,6, а или два наклонных пластических шарнира и пластическая зона при продольной арматуре периодического профиля, рис. 8,6, б. Возможно также образование только нормального пластического шарнира или зоны рис. 8,6, в. Опыты показывают, что при значительном содержании поперечной арматуры малом шаге хомутов s наклонные трещины не раскрываются, и наклонные пластические шарниры не образуются, все деформации сосредотачиваются в нормальных сечениях. Уменьшение содержания поперечной арматуры увеличение s позволяет наклонным пластическим шарнирам развиваться т. е. обеспечивается текучесть в хомутах и продольной арматуре в наклонной трещине, что благоприятно сказывается на работе балки. Действительно, сопоставление характера разрушения балок рис. 8.6, б и в, отличающихся только объемным содержанием поперечной арматуры, показывает, что в первом случае балка обрушилась после разрыва чродольной арматуры в критическом нормальном сечении, а во втором обрушения не произошло, хотя конструкция и получила значительные прогибы.
 Важным фактором является также тип хомутов. Наиболее предпочтительны замкнутые хомуты, прикрепленные к верхней и нижней продольной арматуре. Такая арматурная решетка способствует распределению контактного воздействия на больший объем бетона и обеспечивает улучшение работы бетона сжатой зоны за счет стеснения поперечных деформаций. «Обжатие» хомутами позволяет реализовать полную диаграмму «аъ—еь» бетона с учетом нисходящей ветви, а также;
 222

1 г с ял м v
 CmamuHu
 Л Л 1
 Ч Г ГГ-
 4,6Mtc
 Л Д I4U.К VMJ
 v0e,oMic
 Л Д
 чУ 1
 Vo-10,7lc
 Л Л f
 1
 VB12,2lc
 Ь A t
 V0 13,7 мс
 Рис. 8.5. Влияние начальной скорости удара на характер трещинообразования и разрушения железобетонных балок
 “
 Рис. 8.6. Схемы разрушения балок:
 а — с гладкой продольной арматурой; б — с продольной арматурой периодического профиля с образованием наклонных пластических шарниров; в —то же, без образования наклонных пластических шарниров
 223

использовать резервы, связанные с более полной реализацией диаграммы деформирования нижней продольной арматуры вплоть до ее разрыва, рис. 8.6, в. Незамкнутые хомуты менее эффективны.
 При ударе в середине пролета разрушение происходит вследствие поворота нормальных и наклонных сечений под местом удара см. рис. 8.6; при нанесении удара ближе к опоре возможен срез бетона
 Pit
 Рис. 8.7. Разрушение балки, загруженной ударной нагрузкой в V I
 по наклонной трещине со стороны короткой части пролета, что объясняется возрастающим влиянием поперечных сил рис. 8.7. Наклон трещин к оси балки в последнем случае отличается от 45°, характерного для центрального удара, и примерно пропорционален соотношению участков пролета балки.
 Эксперименты показали, что разрушение балок может также происходить в начале нагружения только по наклонным сечениям, в результате среза бетона примерно в третях пролета рис. 8.8. Это явление нетрудно объяснить, если проанализировать соответствующую
 224

эпюру динамических поперечных сил, максимум которой приходится как раз на треть пролета. Характерно, что в балках, разрушившихся таким способом, шаг хомутов был в средней части пролета определен из конструктивных соображений в предположении только распределенной нагрузки, т. е. балки рассчитывались без учета особенностей ударного нагружения.
 ■ Таким образом, влияние содержания поперечной арматуры на несущую способность железобетонных балок оказывается неоднозначным:
 1 увеличение содержания поперечной арматуры ограничивает возможность развития наклонных пластических шарни- ркН ров 2 уменьшение содержания поперечной арматуры замкнутых хомутов снижает эффект стеснения поперечных деформаций бетона сжатой зоны и ограничивает резервы, связанные с реализацией нисходящей ветви диаграммы «аь — еь» и полной диаграммы «о8 — е8» продольной арматуры; 3 уменьшение содержания поперечной арматуры снижает сопротивление балок срезу по наклонным сечениям от действия динамической поперечной силы.
 Очевидно, должен существовать оптимум хш процента армирования по объему для каждой конкретной конструкции, определенный с учетом упомянутых факторов.
 Еще одним важным фактором при резких ударах является форма индентора головная часть ударника. Можно ожидать, что острый клиновидный индентор при ударе достаточно глубоко проникнет в балку, уменьшив таким образом рабочую высоту ее критического сечения; с другой стороны, очевидно, что при плоском инденторе штампе внедрение, а следовательно, и потери кинетической энергии на местное деформирование будут минимальными, т. е. наибольшая возможная энергия будет затрачена на общее деформирование балки.
 Опыты показали, что внедрение клиновидного индентора обычно невелико, так как ему препятствует верхняя продольная арматура, соединенная с хомутами и служащая своеобразным амортизатором удара. Это не приводит к резкому снижению рабочей высоты критического сечения. Динамический же эффект удара плоским индентором оказывается значительно выше, нежели клиновидным. На рис. 8.9 показаны опытные зависимости контактной силы от времени для двух указанных видов индентора при прочих равных условиях. Из рис. 8.9 видно, что интенсивность нагрузки при плоском штампе выше, а
 500
 Рис. 8.9. Зависимость «Р—Ы при ударах плоским 1 и клиновидным 2 иденторами:
 - расчетные эави-
 - опытные кривые; снмостн
 8 Зак. 882
 225

продолжительность действия ниже, чем при клиновидном с углом раствора 90°.
 Другие формы индентора цилиндрический и т. п. занимают промежуточное положение между двумя упомянутыми.
 К аналогичному выводу приводит сопоставление опытов с балкамиблизнецами: прогибы балок, испытанных ударником с плоским индентором, оказываются выше, чем с клиновидным.
 Рис. 8.10. Влияние предварительного локального поперечного нагружения на осевую прочность бетона при сжатии:
 1 — плоский индентор; 2 — клиновидный иидентор
 ■ Таким образом, удар плоским индентором представляет наиболее невыгодный случай и должен быть принят в качестве расчетного.
 Другой особенностью влияния местного действия на общие деформации конструкции является снижение прочности бетона при продольном сжатии при достижении определенного уровня поперечного предварительного локального нагружения. Это явление связано с нарушением структуры бетона, как следствием местной реакции конструкции. На рис. 8.10 показаны графики зависимости продольной силы от предварительного поперечного вдавливания в долях от разрушающего Рх для плоского и клиновидного инденторов. Графики показывают, что при превышении максимальным поперечным усилием значения 0,5 для плоского и 0,8Рх для клиновидного индентора происходит снижение осевой прочности сжатого бетона до значений « 0,5МЭТ, при PmaxPi близких к 1 здесь N3т — предельное осевое усилие сжатия в предварительно ненагруженном образце.
 Все рассмотренные выше особенности относятся к балкам, непосредственно воспринимающим действие ударной нагрузки. Вместе с
 226

тем имеют место случаи, когда динамическая нагрузка передается на балку в виде реакции, например, от ребер панелей в сборном перекрытии см. рис. 8.26, на главную балку — от второстепенных в монолитном перекрытии и т. п.
 Опыты с балочными образцами, динамическая нагрузка на которые передается через другую конструкцию например, металлическую балку-траверсу, рис. 8.11, а, показали, что местное смятие в этих случаях практически не проявляется, а разрушение по характеру близко к
 ч
 1
 н
 £
 5
 А
 м
 А
 разрушению при импульсивном взрывном воздействии, т. е. с одним пластическим шарниром в зоне максимального момента рис. 8.11, в, нормальные трещины в верхней зоне балки, вызываемые высшими формами колебаний при непосредственном ударе, в этом случае не проявляются рис. 8.11, б.
 • Поведение железобетонных
 колонн и стоек при интенсивных поперечных ударах исследовано в значительно меньшей степени, нежели балок, хотя, как следует из гл. 1, эти конструкции весьма часто подвергаются рассматр иваемым воздействи я м.
 К настоящему времени достаточно подробно исследована лишь работа железобетонных фонарных стоек кольцевого сечения
 при ударах автомобилей. Основным типом разрушения в этом случае является срез бетона от поперечной силы на участие между бампером и заделкой основания стойки. Особенности поведения зависят от начальной скорости удара. При v0 40 кмч вначале образуются горизонтальные трещины, а затем наклонная трещина, которая, развиваясь, приводит к разрушению стойки рис. 8.12, а. Если заделка в основании нежесткая и допускает горизонтальное смещение, то характер разрушения близок к балочному рис. 8.12, б. При 50
 v0 60 кмч сразу же после начала контакта с жесткой частью ударником-двигателем образуются диагональные трещины рис. 8.12, в, после чего бетон дробится на мелкие куски, а верхняя часть стойки сдвигается относительно основания.
 • В отличие от стержневых железобетонных элементов, прочность которых определяется, главным образом, общим деформированием, поведение железобетонных плит и оболочек должно рассматриваться как с позиций общего, так и местного действия удара. В последнем случае помимо проникания, откола и пробивания необходимо рас¬
 Рис. 8.11. Трещинообразование и разрушение балки, ударная нагрузка на которую передается через другую конструкцию
 8
 227

сматривать зависимость «контактная сила — проникание», осуществляющую, как и в балках, связь между местным и общим действием удара.
 Большинство экспериментов выполнено для высокоскоростных ударов артиллерийские снаряды и т. п.. Установлено, что при достаточно большой толщине плиты или оболочки имеет место лишь проникание ударника в конструкцию, которое может сопровождаться образованием входной воронки с выбросом из нее частиц разрушенного бетона. Уменьшение толщины плиты при неизменных остальных параметрах приводит к возникновению радиальных трещин на тыльной
 Рис. 8.12. Разрушение железобетонных фонарных консольных стоек кольцевого сечения
 поверхности плиты; дальнейшее уменьшение толщины конструкции приводит к возникновению откола бетона с тыльной поверхности. Как уже указывалось, это явление вызвано сложными волновыми процессами, которые упрощенно можно объяснить так. При ударе в конструкции поперек ее толщины распространяется волна сжимающих напряжений. При отражении от свободной тыльной поверхности происходит перемена знака напряжения, интенсивность же падающей на границу и отраженной волн одинакова. Возникшая таким образом волна растяжения распространяется в направлении от тыльной поверхности плиты. Если ее интенсивность в какой-либо точке в течение некоторого, весьма малого промежутка времени, называемого временем задержки разрушения т3р, превысит динамическую прочность бетона при растяжении, происходит откол бетона см. рис. 8.1, б. Существует так называемая пороговая толщина плиты 6S, т. е. минимальная толщина плиты, при которой еще не происходит откола. При дальнейшем уменьшении толщины плиты откол переходит в пробивание плиты ударником. Если ударник имеет острую головную часть, то входная воронка может соединяться с откольной см. рис. 8.1, в; при плоской
 228

носовой части входная воронка обычно невелика по объему и имеет место так называемое чистое пробивание или «динамическое продавливание» см. рис. 8.1, г. Существует пороговая толщина пробивания 6Р, занижение против которой толщины конструкции приведет к пробиванию плиты; очевидно, в общем случае 6Р bs.
 Наряду с пороговыми толщинами конструкции 6S и 6Р в качестве критериев откола и пробивания используются соответствующие критические скорости удара исг8 и vCi.tP.
 Влияние формы носовой части ударника индентора на глубину проникания в бетон а относительно невелико. На рис. 8.13 показаны полученные в результате статистической обработки относительные ве-
 Рис. 8.13. Влияние формы индентора на глубину проникания ударника
 личины проникания для разных типов инденторов. Из рисунка видно, что отклонения от эталона цилиндрический индентор составляют —7... 15, т. е. находятся в пределах разброса прочности бетона. Это несколько расходится с результатами испытаний балок, в которых проникание остроконечных ударников сдерживается верхней продольной арматурой; в плитах такая арматура обычно отсутствует, однако бетон в плитах и оболочках при местном нагружении находится обычно в более благоприятных по сравнению с балками условиях трехосного напряженного состояния.
 Сказанное о плитах и оболочках относится к ударникам малого диаметра и относительно малой массы. Разрушение от местного действия высокоскоростного удара обычно определяет предельное состояние конструкций.
 Проведенные в последние годы исследования плит и оболочек при низкоскоростных ударах телами большей массы показали, что влияние общих деформаций в этих случаях более значительно, нежели при высокоскоростных ударах.
 Из упомянутых опытов следует, что при низкоскоростных ударах тяжелыми ударниками достаточно большого диаметра при больших db имеют место те же местные повреждения и разрушения, что и при высокоскоростных, однако в большинстве случаев они сопровождаются развитой системой трещин на нижней поверхности конструкции в зоне, ограниченной диаметром dx d. Эта зона существует независимо от граничных условий шарнирное, жесткое опирание по контуру, точечное закрепление в углах и т. п. и свидетельствует об умень¬
 OL‘-W
 229

шении доли кинетическои энергии, затрачиваемой непосредственно на проникание, откол или пробивание, т. е. о более благоприятных условиях работы конструкций при местном действии удара. Заметим, что использование фибробетона в качестве материала плит и оболочек позволяет, в силу его высокой связности и хорошей работы на растяжение и сдвиг, исключить в ряде случаев местное разрушение и рассматривать только общее деформирование конструкций.
 4t2
 г
 1 4
 1
 1 V _ .
 А
 Рис. 8.14. Характер разрушения железобетонных плит
 Опыты также показали, что увеличение dб при прочих равных условиях переводит характер разрушения от резкого удара из местного в общий рис. 8.14. Сопоставление опытных данных для ударов с низкими скоростями и0 75 мс позволяет сделать вывод, что в этом случае Ь8 и 6Р очень близки друг к другу. При этом пробивание обычно носит характер динамического продавливания, так как проникание ударника в тело конструкции очень мало. Аналогичный тип пробивания зафиксирован при аварийном падении самолета на железобетонную оболочку, нагрузка Pt на которую, как уже указывалось, может быть приведена к импульсивной.
 • При общем деформировании плит если местного разрушения не происходит имеют место, как и в балках, три стадии напряженно-деформированного состояния: до образования трещин; после образования трещин до достижения текучести в продольной арматуре; после достижения текучести в продольной арматуре. Граница между первыми двумя стадиями в большинстве случаев размыта, так как трещины в ограниченной зоне диаметром, примыкающей к зоне контакта, обычно образуются до начала общего движения как и в балках.
 230

Характер образования магистральных трещин линий образования пластических шарниров зависит главным образом от граничных условий и скорости удара. На рис. 8.15, а показана схема образования трещин в неармированных опертых по контуру плитах из раствора. Кольцевые трещины имеют место при малых скоростях удара; с увеличением v0 радиус кольцевой трещины уменьшается, сходясь в ко-
 Рис. 8.15. Характер трещинообразования плит при общем действии удара:
 а — плита из раствора; б — железобетонная плита при различных условиях опирания; 1 — при ударном нагружении, 2 — при статическом нагружении
 нечном счете в точку при малых d. При очень низких скоростях кольцевая трещина выходит на границы плиты, а схема трещинообразования близка к статической.
 На рис. 8.15, б приведены экспериментальные схемы трещинообразования и разрушения железобетонных плит с различными условиями опирания при низкоскоростных ударах. Из них видно, что общее разрушение имеет место вследствие образования линейных пластических шарниров стадия III напряженно-деформированного состояния.
 Все приведенные данные относятся к плитам, не имеющим поперечной арматуры. В последние годы в конструкциях АЭС применяют мощные железобетонные плиты и оболочки с поперечным армированием, которые имеют также внутреннюю облицовку в виде тонкостенной металлической оболочки, соединенной с основной конструкцией анкерами. Опыты показывают, что поперечное армирование, как и в
 231

балках, препятствует отколу; разрушение обычно происходит в результате пробивания железобетонной и металлической конструкций.
 К сожалению, имеющиеся к настоящему времени данные об общем поведении железобетонных оболочек малочисленны, разноречивы и не позволяют систематизировать их подобающим образом для разработки теоретических моделей.В этом направлении необходимы дальнейшие экспериментальные и теоретические исследования.
 Значительные исследования проведены в последние годы применительно к удару, вызванному падением самолета на защитную обо-
 Рис. 8.16. Установка для испытания железобетонных плит:
 — пусковая установка; 2 — ракетный снаряд; 3 — испытываемая железобетонная плита;
 4 — опора; 5 — пункт управления
 лочку ядерного реактора. Согласно требованиям Международного агентства по атомной энергии МАГАТЭ, при проектировании защитных оболочек необходимо учитывать два вида подобного удара: 1 удар истребителя массой 10...20 т, обладающего большой скоростью v0 до 250 мс и имеющего жесткую часть — двигатель в средней части фюзеляжа, и 2 удар тяжелого гражданского самолета массой до 90 т, обладающего меньшей v0 и несущего жесткие массивные двигатели на крыльях. Предполагается, что удар в большинстве возможных случаев будет нанесен деформируемым телом — фюзеляжем.
 На рис. 8.16 показана одна из установок для испытаний железобетонных плит при воздействиях типа падения самолета. Удар осуществляется специальным ракетным снарядом, представляющим тонкостенную цилиндрическую оболочку, запускаемым с горизонтальной направляющей.
 Опыты показали, что разрушение железобетонных оболочек куполов как с металлической облицовой, так и без нее происходит исключительно по типу динамического продавливания с образованием бетонной пробки в виде усеченного конуса. После среза бетона дальней¬
 232

шему движению пробки препятствует поперечная арматура, а также облицовка и продольная арматура. Последние действуют по типу мембраны. Эти силы противодействия совместно с инерционными силами тормозят выбитый конус вплоть до полной остановки если не наступает разрыва облицовки. При этом длина пути конуса внутрь конструкции достигает 30 см, а осевые деформации растяжения облицовки — 2. Таким образом, и арматура, и облицовка могут испытывать значительные пластические деформации.
 8.2. Особенности деформирования
 Анализ приведенных экспериментальных данных позволяет сформулировать ряд основных особенностей деформирования, необходимых для разработки физических и математических моделей деформирования железобетонных изгибаемых элементов при интенсивных ударных воздействиях.
 • При расчете железобетонных балок:
 местные разрушения в виде откола и пробивания не учитываются, в связи с чем балки рассчитываются по прочности только на общее действие удара;
 наиболее невыгодное нагружение имеет место при ударе плоским индентором при прочих равных условиях;
 волновыми процессами в продольном направлении при низкоскоростных ударах можно пренебречь вследствие их малого влияния на величину упругопластического прогиба;
 в общем случае необходимо учитывать три стадии деформирования балок: до образования трещин; после образования трещин до достижения текучести в продольной арматуре; после достижения текучести до разрушения;
 поскольку трещины в теле балки образуются под площадкой контакта обычно до или в самом начале общего движения балки по обоим механизмам трещинообразования, можно считать, что балка с самого начала деформируется с нормальными и наклонными трещинами в зоне под площадкой контакта;
 при разработке упрощенных расчетных моделей можно рассматривать две стадии работы балки: условно-упругую до достижения динамического предела текучести в продольной рабочей арматуре и пластическую упругопластическую. В последнем случае должна быть учтена возможность образования помимо нормальных и наклонных пластических шарниров, включающих как продольную, так и поперечную арматуру;
 • При расчете железобетонных плит и оболочек:
 необходим расчет как на местное проникание, откол, пробивание, так и на общее действие удара;
 характер разрушения местный, общий зависит от ряда факторов и в первую очередь от начальной скорости удара и отношения диаметра контактной зоны к толщине конструкции;
 233

при рассмотрении общего действия удара в общем случае следует рассматривать три стадии деформирования конструкции: до образования трещин; после образования трещин до достижения текучести в продольной рабочей арматуре; после достижения текучести до разрушения;
 в приближенных расчетах плит на общее действие низкоскоростного удара можно пренебречь стадией работы плиты до образования трещин, так как уже в самом начале движения образуется зона хаотично расположенных трещин на тыльной стороне плиты, примыкающая к зоне контакта ударника с плитой.
 8.3. Местное действие удара на изгибаемые элементы
 8.3.1. Балки. Как было указано выше, откол и пробивание не характерны для балок, всегда имеющих поперечную арматуру. Учет местного действия сводится к определению зависимости «Я — а», необходимой как для определения максимальной глубины проникания ата х» так и для адекватного описания общего деформирования балок.
 Эксперименты, проведенные с балочными образцами, показали, что зависимость «Я — а» определяется рядом факторов: прочностью бетона, содержанием верхней продольной и поперечной арматуры, фор-
 Рис. 8.17. Экспериментальные а и расчетные б, в диаграммы «Р—а»:
 — для статических нагружений; 2 — для ударных нагружений
 мой индентора, наличием прокладок из других материалов в зоне контакта и т. п. При этом диаграмма «Р — а» для ударно нагруженных образцов носит линейный характер практически вплоть до разрушения бетона рис. 8.17, а. В этом заключается существенное отличие диаграммы при ударе от статической, носящей выраженный упругопластический характер. Это отличие отвечает общей тенденции «ох¬
 234

рупчивания» бетона при быстрых нагружениях, связанной с задержкой развития микротрещин.
 Анализ экспериментальных диаграмм свидетельствует о том, что наиболее близко отвечающей опытным данным является идеализированная диаграмма, показанная на рис. 8.17, б. Начальный вогнутый участок, соответствующий обмятию поверхностного слоя бетона, может во внимание не приниматься. Недостатком указанной диаграммы является неопределенность при установлении значения Р0. Поэтому в качестве расчетной целесообразно принимать упрощенную диаграмму, показанную на рис. 8.17, в. Согласно этой диаграмме, при Р Рх контактная зона балки работает упруго и обеспечивает упругий отскок ударника; при Р Рх происходит ее хрупкое разрушение, после чего ударник продолжает движение вместе с конструкцией. При этом в критическом сечении рабочая высота уменьшается на ха, где х — коэффициент, учитывающий дополнительное уменьшение рабочей высоты за счет раздробления бетона под ударником. Неучет подскока ударника при Р Рг идет в запас прочности балки при однократном ударе.
 Поскольку в практических расчетах представляет интерес лишь первый полуцикл движения ударника до прекращения контакта с конструкцией при Р Ях, влиянием диссипации энергии в контактной зоне можно пренебречь.
 Принятая расчетная диаграмма характеризуется двумя параметрами: предельным значением контактной силы и угловым коэффициентом kx, характеризующим жесткость контактной зоны, или Рг и предельной величиной проникания ах.
 • Контактный закон, таким образом, имеет вид
 It, а при Р,;
 1 1 0 при РРг.
 Опыты показали, что значения kx для ударных и статических отвечающих упругой работе бетона нагружений близки между собой во всем диапазоне варьируемых параметров. Это позволяет использовать для определения kx аппарат решения статических контактных задач теории упругости. Так, для плоского абсолютно жесткого индентора расчетный случай
 с л А g 2
 1 In 2А,—da—djA—ff4A,4 —9d24Я4 ’ 1 где
 Д ™1ь k V —— ; Л А.
 ЗА— 1А1 1—2v 1v а
 а — половина размера штампа в продольном направлении; d0 0,527, dx 0,716 и d2 0,245 — постоянные; v 0,2 для тяжелого бетона; Еъ — начальный модуль упругости бетона; с
 235

ftjnfeje°p — экспериментальный коэффициент, учитывающий особенности работы бетона, продольной и поперечной арматуры.
 Формула 8.2 справедлива при к 2; в практике проектирования железобетонных балок обычно hb 2...3, поэтому для стандартных инденторов 2а Ь К г0,56 4...6, таким образом условие применимости выполняется.
 Зависимость с cR для балок без верхней продольной и поперечной арматуры афинно-подобна зависимости Еъ EbR. Таким образом, целесообразно в формуле 8.2 вместо Еь ввести Еь сЕь коэффициент с при этом оказывается постоянным, а его средние значения составляют 0,15. Балки, имеющие верхнюю продольную и поперечную арматуру, обладают и большей контактной жесткостью; коэффициент с в этом случае должен рассматриваться как функция не только прочности бетона, но и содержания арматуры ц и ц,.
 На основании опытных данных для стандартного индентора
 cR 1,75с, 8.3
 где cR — значение с для балок, содержащих верхнюю продольную и поперечную арматуру.
 Формула 8.3 получена для ц 0,5...0,8, 0,25... ...0,41 иА, 3...4. При 0 хь 0,25 отношение сс может приниматься по линейной интерполяции в пределах 1...1,75. При увеличении к, т. е. при сокращении относительной длины площадки контакта, отношение cR уменьшается, тем не менее можно рекомендовать 8.2 и для больших к, поскольку в этом случае она дает переоценку контактной силы, что идет в запас прочности конструкции.
 С учетом изложенного формула 8.2 принимает вид
 kt , 8.4
 1п2А,—d0 —djl?—dJ4A,4 — 9d24X v
 где Д 3,5A£g3ft — 1Л 11.
 Для к 8 вместо выражения 8.4 можно использовать приближенную формулу
 кг я6Л1п2Х d0. 8.5
 Переходя теперь к определению предельного значения контактной силы Яь отметим , что характер местного разрушения бетона под площадкой передачи нагрузки идентичен при статическом и низкоскоростном ударном нагружениях, однако Pi,dyn существенно превышает статический аналог Р1М, причем это превышение более заметно для бетонов низких классов.
 Опыты показывают, что увеличение контактной прочности достигается главным образом за счет повышения прочности бетона при высокой скорости деформирования. Вклад верхней продольной и поперечной арматуры оказывается примерно одинаковым при статических и ударных испытаниях около 0,15.
 236

Наиболее простой и надежной для определения является формула
 Fd уп kft kVtb Rloc Aloc k Rloc d Zoc»
 гДе kvb — коэффициент динамического упрочнения бетона см. гл. 2;
 — коэффициент, учитывающий вклад верхней и поперечной арматуры в сопротивление местному смятию; для стандартного индентора и л 0,5...0,8, xw 0,25...0,5 можно принять кц 1,15, для элементов без поперечной арматуры fc 1, в промежуточных случаях 0 0,25 —
 по интерполяции; Ri0Ctd
 kv,bRioc — динамическое сопротивление неармированного бетона местному смятию; Rb,loc Rbyloc;
 Vioc AAloc А — расчетная площадь смятия; для плоского индентора А Ыр 1р 2а 2 Ь
 Aioc 2 ab.
 В отсутствие надежных данных о влиянии скорости деформирования на прочность бетона при двухосном напряженном состоянии, имеющем место в данном случае, в запас прочности можно принимать kv J для одноосного сжатия.
 Более точное решение может быть получено при рассмотрении контактной динамической задачи с прослойкой. Роль прослойки играет верхний слой бетона за пределами арматурной решетки.
 К сожалению, аппарат этих задач для материалов типа бетона к настоящему времени разработан недостаточно.
 8.3.2. Плиты. При ударе жесткого тела о плиту в ней возникает несколько типов волн возмущений, распространяющихся с различными скоростями. В общем случае имеют место продольные и поперечные волны, а также волны сдвига рис. 8.18. За волнами нагружения следуют волны разгрузки, а при отражении от границ раздела сред например, «бетон — воздух» — отраженные волны.
 Эти возмущения вызывают в конструкции очень сложное напряженное состояние, интенсивность которого быстро снижается во времени. Ситуация осложняется особенностями работы бетона и арматуры см. гл. 3. Поэтому разработка удовлетворительных физических и математических моделей, учитывающих хотя бы основные характерные черты рассматриваемых процессов, представляет чрезвычайно сложную проблему, решение которой пока получено лишь для наибо¬
 Рис. 8.18. Распространение волн напряжений в плите:
 р — прямая продольная волна сжатия; 5 — прямая поперечная волна сдвига; рр — отраженная продольная волна; ps — отраженная поперечная волна; к — коническая волна
 237

лее простых случаев. Превалирует же эмпирический или полуэмпирический подход, позволяющий на основе статистической обработки экспериментальных данных получить простые и достаточно надежные расчетные зависимости.
 Еще до второй мировой войны для высокоскоростных ударов военными инженерами в разных странах были получены эмпирические формулы, учитывающие большинство основных параметров удара формулы Петри, Нобиле, березанская, корпуса военных инженеров и др.. Например, в нашей стране широкое распространение получила формула для глубины м внедрения цилиндрического ударника в тело плиты бесконечной толщины
 а 0kX-F— v0l 8.7
 d2
 где к — коэффициент, характеризующий физико-механические свойства среды, для тяжелого бетона низких классов к 0,9 • 106; X — коэффициент, зависящий от формы головной части ударника, X 1,3 для снарядов с острой головной частью и X 1,0 для снарядов с тупой головной частью; F — вес ударника, Н; d — диаметр ударника.
 Наиболее известным результатом, полученным за рубежом, является формула Национального оборонного исследовательского комитета MDRC, основанная на экспериментальных исследованиях, выполненных в 1943—1946 гг. в США с большим количеством видов бетона:
 «т20: 88
 Я т2А 8-9
 где к — коэффициент, зависящий от прочности бетона, который вна¬
 чале определялся подбором; N — коэффициент, учитывающий форму головной части ударника, N 0,72 для плоской головной части, N 0,84 для тупой; N 1,0 для сферической и N 1,14 для острой головной части; Р — в фунтах 1 ф 0,453 кг; d — в дюймах 1 дюйм 2,54 см; v0 — в футах в секунду 1 фс 0,305 мс.
 Для пороговых толщин откола и пробивания при 0,056 у 0,33 формулы NDRC будут иметь такой вид:
 2,121,36 — для 0,65 11,75; 8.10
 d d d
 1,321,24— для 1,35 —13,5; 8.11
 d d d
 238

для d6 0,33 путем экстраполяции получено
 а
 d
 0,65;
 8.12
 а
 d
 1,35.
 8.13
 ВЫСОКИХ v0
 сотни мс и
 малых d 0,008...0,15 м, свойственных пулям и артиллерийским снарядам, и достаточно хорошо согласуются друг с другом в этих диапазонах. Их общим недостатком является чересчур грубый учет свойств мишени т. е. плиты единым коэффициентом. Лишь в 1966 г. П. Кеннеди, пытаясь усовершенствовать формулы 8.8, 8.9, установил, что k пропорционален прочности бетона на растяжение. Выразив ее через цилиндрическую прочность на сжатие Rc фунтдюйм2, он получил
 180
 k г-. 8.14
 V ’с
 До настоящего времени формулы 8.8...8.13 с учетом выражения 8.14 широко применяют за рубежом. Однако попытки распространить их на случаи аварийных ударных воздействий, отличающихся значительно более низкими скоростями v0 250 мс с, большими массами до десятков тонн и отношениями dб, потерпели неудачу. Выяснилось, например, что при dб 2 теоретическое значение а, вычисленное по формулам 8.7 и 8.8, может в 8...9 раз превышать опытное. Как следствие, возрастает ошибка в определении 6Я и Ьр. Этому нетрудно найти объяснение, если вспомнить п. 8.1, что при больших dб проникание практически отсутствует, а пробивание носит характер динамического продавливания и Sp« 6S, т. е. разрушение носит иной характер, нежели при ударе артиллерийским снарядом.
 В результате в последние годы строительными фирмами, занимающимися главным образом возведением зданий АЭС, а также научноисследовательскими организациями проведены экспериментальные исследования и предложен ряд расчетных формул для расчета плит при резких ударах аварийного характера.
 Хорошее соответствие опытным данным дает формула Комитета по атомной энергетике Франция для пороговой толщины пробивания плиты при резких ударах:
 6p 0,765?-3y24t 8J5
 где R — кубиковая прочность бетона.
 239

Формула 8.15 охватывает значительное число опытов, в том числе с тяжелыми ударниками большого диаметра. Эта же формула относительно критической скорости удара, вызывающей пробивание конструкции, может быть представлена в другом виде:
 ver. р 0,616Rcy 2 рб 8.16
 где р — плотность бетона.
 Комитетом по атомной энергетике получена эмпирическая формула для остаточной скорости vres, которой обладает бетонная «пробка» после ее выбивания из плиты:
 ipj-t»§ — u,V„j12, 8.17
 где Ft — вес выбитой бетонной лробки.
 По мере накопления опытных данных предпринимаются попытки их анализа, обобщения и получения более точных расчетных зависимостей .
 Несмотря на наблюдаемый прогресс в оценке местного действия удара, практически все предложенные формулы обладают рядом серьезных недостатков. В частности, почти во всех не выдерживается соотношение размерностей, т. е. отсутствует элементарная физическая основа, диапазон действия большинства формул ограничен; с другой стороны, попытки получить единые обобщенные формулы часто терпят наудачу из-за различия в поведении конструкций при высоко- и низкоскоростных ударах. Существенно сдерживает возможность расчетной оценки последствий удара малое число опытных данных при малых v0 и значительных d6.
 В связи с последним обстоятельством в МИСИ им. В. В. Куйбышева были проведены испытания железобетонных плит при низкоскоростных ударах в значительном диапазоне dб 1,0...3.7. Результаты этих опытов, а также других исследований приведены на рис. 8.19, а, б. На базе этих данных с помощью анализа размерностей и регрессионного анализа были получены расчетные формулы для двух диапазонов начальных скоростей удара:
 -Ё£-2,019Л?-°-з439 дЛЯ у075; 8.18
 d d
 - 1.429WQ-0-5673
 для 75 и« 150; 8.19
 0,9432ЛQ-0-5530
 I d
 здесь N — коэффициент, учитывающий форму головной части ударника, для плоского индентора N 1,0, для конусообразного с большим углом при вершине N 1,07, для сферического N 1,18, для
 240

конусообразного с малым углом при вершине N 1,26; v0 — скорость, мс; Q 104?d3Msug —безразмерный параметр.
 На рис. 8.19, а, б представлены графики зависимостей 8.18 и 8.19 при N 1. Из рисунков видно, что формулы 8.18 и 8.19 хорошо согласуются с опытными данными. Поле над графиком «bjd —
 — Q» представляет область параметров, где местные разрушения отсутствуют. Область между графиками «bjd — Q» и «6pld — Q» см. рис. 8.19, б соответствует откольному разрушению, нижняя часть поля графика характеризует пробивание конструкций.
 Рис. 8.19. Опытные данные по отколу и пробиванию железобетонных плит и графики «6а?—Q» для у075 мс а и 75у0150 мс б
 Как следует из графика на рис. 8.19, б, область откола при v0
 75 мс выделить графически невозможно, так как в силу разброса характеристик удара и прочности конструкции случаи откола и пробивания сливаются, что заставило рекомендовать единую зависимость 8.18.
 Формулы 8.18 и 8.19 свободны от указанных выше недостатков, имеют физическую основу и покрывают необходимый диапазон аварийных резких ударных нагрузок и0 150 мс. Ограничением для этих формул является процент армирования продольной арматурой ы 1,5, а также отсутствие поперечной арматуры ыи; 0.
 • Остановимся на задачах расчета конструкций защитных оболочек ядерных реакторов. На оболочку могут действовать аварийные ударные воздействия как снаружи падение самолета при авиакатастрофе, удары объектами, переносимыми ураганами, и т. п., так и изнутри разлет фрагментов оборудования при авариях и т. п.. Как уже указывалось в гл. 1, падение самолета обычно относят к нерезким ударам, заменяемым импульсивной нагрузкой Pt, однако в ряде случаев, когда жесткая часть — двигатель—расположена в передней части самолета военный истребитель, удар может быть промежуточной резкости и даже резким. Скорость удара достигает в этом случае 250 мс,
 241

масса ударника 20 т. Остальные виды удара обычно относятся к резким. Наиболее тяжелым режимом загружения для конструкций АЭС при внутреннем воздействии признан удар оторвавшейся лопастью турбины при М8 « 300 кг и и0 150 мс.
 Расчет оболочки при ударе снаружи производится в несколько этапов. Вначале проверяют условие пробивания железобетонной оболочки, толщина которой назначена из других соображений биологической защиты и т. п..
 Если 6 6Р или v0 и0 сг, то образуется бетонная пробка, которая продолжает движение вместе с ударником. Остаточная скорость Vres пробки может быть определена по одной из известных формул,
 Рис. 8.20. К расчету железобетонной защитной оболочки АЭС:
 — металлическая обшивка; 2, 3 — внутренняя продольная арматура; 4 — хомуты; 5 —
 анкеры
 например 8.17. Движению пробки препятствуют поперечная, а также продольная арматура в наклонном сечении и металлическая мембрана облицовка, закрепленная анкерами в бетоне оболочки. Исчерпание несущей способности имеет место в начале нарушения сплошности мембраны.
 Для описания движения пробки предложено несколько расчетных моделей. Наиболее простым является представление в виде системы с одной степенью свободы рис. 8.20, б. Проецируя действующие силы на вертикальную ось, получим уравнение движения такой системы
 MFy 0, 8.20
 IIй
 где у — вертикальное смещение «пробки» относительно остальной конструкции; М — масса «пробки» с добавлением массы самолета при неупругом ударе; F — удерживающая сила связей.
 Начальные условия для выражения 8.20
 при t 0 у 0; у vTes. 8.21
 242

Усилие F складывается из следующих составляющих:
 F — Fsw Ч F8ех Fsin Fa,
 8.22
 где Fsw — удерживающая сила, создаваемая поперечной арматурой; Fs,ex и Fs,in — удерживающие силы, создаваемые соответственно продольной арматурой у наружной и внутренней сторон оболочки; Fa — удерживающая сила, создаваемая металлической облицовкой.
 Опыты показывают, что в гибкой арматуре и облицовке достигаются большие пластические деформации, в связи с чем упругой стадией работы металла можно пренебречь.
 В этом предположении усилие в хомутах, пересекаемых поверхностью конуса, может быть принято постоянным и равным
 где Asw — площадь сечения одного хомута; sx и s2 — расстояния между хомутами во взаимно перпендикулярных направлениях в серединной поверхности оболочки; иг2 — радиусы верхней и нижней поверхностей конуса.
 Первый множитель в формуле 8.23 представляет распределенное по поверхности оболочки усилие, воспринимаемое хомутами, второй — площадь проекции боковой поверхности конуса на горизонталь.
 Следует отметить, что, несмотря на большую относительную деформативность при использовании арматуры класса A-II предельные относительные деформации г8з11 0,14, для A-III eStU 0,06, ресурс работы поперечных стержней весьма ограничен. В гл. 2 отмечалось, что напряжения сцепления арматуры с бетоном при высокоскоростных нагружениях концентрируются у берегов трещины; за пределами зон концентрации напряжений арматура работает совместно с окружающим ее бетоном и ее деформации близки к нулю, т. е. длина базы деформирования весьма мала и может быть определена как расстояние 1аП между центрами тяжести эпюр напряжений сцепления сверху и снизу от трещины; 1ап 2z4.T; обрыв хомутов произойдет в момент, когда перемещение конуса достигнет значения
 Полагая для оболочки толщиной 1,2 м z4.T 0,1 м, получим ух « « 0,028 м 2,8 см для поперечных стержней из стали класса A-II и 1,2 см для поперечных стержней из стали класса A-III.
 Сопротивление продольной арматуры начинает заметно проявляться после достижения динамического предела текучести в поперечных стержнях. В месте пересечения наклонной трещиной и на смежных участках в бетоне имеет место изгиб продольных арматурных стержней рис. 8.20, а, так называемый «нагельный эффект». При работе этой арматуры в упругой стадии удерживающая сила, создаваемая
 Fsw A°wR-d nrl-rf,
 8.23
 Si S2
 Уiee. u
 0,28гц. т для стали класса A-I1; 0,12гц. т для стали класса A-III.
 243

одним стержнем, равна 12£ss3, где 18 — осевой момент инерции стержня; — длина зоны изгиба. Значение последнего параметра пока точно не определено, особенно при быстрых нагружениях, хотя можно ожидать, что это значение будет существенно меньше, чем при статических воздействиях. В этих условиях следующие за упругими пластические деформации будут сосредоточены на небольшом участке, а напряженное состояние в пределах трещины — близким к осевому растяжению. Пренебрегая по малости другими деформациями по сравнению с пластическими и учитывая вышесказанное, можно принять удерживающее усилие в продольной арматуре при выполнении ее в виде ортогональных сеток с одинаковым шагом стержней s постоянным и равным:
 для арматуры у внешней стороны оболочки
 F ех 2яг,; 8.24
 S
 для арматуры у внутренней стороны
 Fa,ln Rs’d_Asin 2яг„ 8.25
 S
 где ASt6X и А81п — площади стержней одного направления соответственно у наружной и внутренней поверхностей.
 Пренебрегая по малости упругими деформациями облицовки» удерживающую силу Fa получим как вертикальную составляющую осевого растягивающего пластического усилия. При одинаковом в обоих направлениях шаге анкеров s, крепящих облицовку к оболочке, будем иметь
 Fa я«. d 2л r2sin JarctgJ. 8.26
 График функции 8.22, полученный после подстановки в нее 8.23...8.26, показан на рис. 8.20, в. Резкий перепад, связанный с обрывом хомутов, в действительности отсутствует, так как в силу статистической природы прочности и деформативности разрыв всех хомутов не происходит одновременно и функция Fsw после достижения ух уменьшается постепенно по мере выключения все большего числа хомутов пунктир на рис. 8.20, в. Для упрощения расчета нисходящий участок можно не учитывать, что идет в запас прочности.
 Таким образом, уравнение 8.20 является нелинейным и должно быть переписано в виде
 м —hFay Fsw Ft,ех ;. in при ууг 8.27
 at2
 м —н Fa у - Fs ex FSt in при у yv 8.28
 а2
 244

Начальные условия для формулы 8.28 определяются условиями непрерывности перемещения и скорости в момент достижения значения уг.
 Уравнения 8.27 и 8.28 решаются численными методами и дают решения, достаточно хорошо согласующиеся с экспериментальными данными.
 Предельное состояние конструкции будет достигнуто, если будет нарушена сплошность облицовки, т. е. если ее максимальные деформации в момент остановки «пробки» в какой-либо точке превысят предельное значение е8 Ц. Время остановки тах может быть определено
 ИЗ условия ytmax 0.
 Расчет защитных оболочек, имеющих как внутреннюю, так и на ружную облицовку, может быть осуществлен по аналогии с изложенным. При этом условие пробивания верхней облицовки может быть выражено через критическую скорость удара эмпирической формулой
 .- •■’-«•у-» 8.29
 где ks — константа пробиваемости, для стали k8 1,0.
 Перейдем к теоретической оценке откола в железобетонных плитах. Рассмотрим одномерный случай — распространение плоской волны. Такая картина может иметь место при ударе плоским индентором при значительном dб и в ряде других случаев.
 При ударных нагружениях см. гл. 2 используем для бетона модель упругохрупкой среды. Поведение материала при нагружении в упругой области описывается соотношениями
 ai 2р,е; а2 аа vl — v, 8.30
 где Ji — главные нормальные напряжения; X и х — постоянные Ляме; v — коэффициент Пуассона.
 Таким образом, при нагружении в волне напряжений создается напряженное состояние ог; а2 — а3 аах, вызывающее деформации е е2 е3 0.
 Проведенными исследованиями установлено, что для описания весьма интенсивных волн нагружения в среде с внутренним трением может быть использован аппарат теории упругости.
 В случае упругих волн справедливо следующее уравнение движения:
 д2и 1 ди
 дх с dt2
 при условиях
 РоСо Роv2p X 2л Еу Ег 0; р0сЬ Еь, ау ог 0, где и — смещение частиц среды; р0 — ее начальная плотность; с0 — скорость распространения упругих волн; с0 У ЕЬ1 р0.
 8.31
 8.32
 8.33
 245

Решение уравнения 8.31 имеет вид
 и fic0i — х f2c0t х. 8.34
 Произвольные функции х и 2 определяются начальными и граничными условиями и соответствуют волнам, распространяющимся в направлении возрастания х и в противоположном направлении.
 В случае распространения волны их f2c0t х вниз по плите ось х направлена вверх, точка х 0 на нижней поверхности плиты после отражения будем иметь волну с перемещением и2 fic0t — х. Суммарные перемещения и напряжения тыльной поверхности плиты под местом удара х 0 имеют вид
 и иг и2 f2c0t хсоО; 8.35
 Ox Ebf2 c0t — f co01. 8.36
 Если правый конец свободен от напряжений ох 0, то из формулы 8.361
 fZ Ы f c0t,
 т. e. отраженный импульс напряжений имеет ту же форму, что и падающий, но противоположный знак растяжение. Этим и объясняется возникновение отраженной волны растяжения. Исходными данны¬
 ми для расчета откола являются параметры импульса удара на лицевой стороне конструкции и среды.
 Опыты показывают, что при ударе по железобетонным конструкциям недеформируемым ударником форма ударного импульса близка к прямоугольной. Характеризуя прямоугольный импульс интенсивностью напряжений а и длиной волны к с0Т где Т — длительность волны, рассмотрим процесс распространения и отражения волн, пренебрегая вначале затуханием волн в бетоне.
 Возьмем точку на расстоянии х от ненагруженного торца элемента рис. 8.21, а. Начало нагружения в этой точке соответствует моменту прихода фронта волны нагрузки
 tx b- х1с0, 8.37
 где Ь — толщина плиты.
 Напряжения, равные —а «минус» означает сжатие, действуют до окончания прохождения волны сжатия или до начала прохождения отраженной волны. Очевидно, указанный момент времени t2 соответственно будет
 t2 t1-- С°Т— ti T при х Х2;
 со
 t2txL при хСк2. 8.38
 Со
 246

Рис. 8.21. Распространение и отражение одномерных волн в плите
 После окончания действия волны сжатия при х К2 сечение оказывается ненагруженным вплоть до прихода фронта отраженной волны растяжения в момент
 з U 2х — Ксо, 8.39
 после чего через сечение х проходит волна растяжения продолжительностью Т до момента
 U з Т. 8.40
 Если х К2, то начиная с момента 3 «хвост» волны сжатия и «го¬
 лова» волны растяжения компенсируют друг друга.
 Тогда
 , tt J:t при х Х2. 8.41
 С0
 После этого в сечении х действуют только растягивающие напряжения до момента времени
 и и Л-fc-fr 3 JL при х Х2. 8.42
 Со с0
 Таким образом, фаза растяжения для данного сечения составляет tt — tз, т. е.
 т 4 — t3 Т при х J А.2; 8.43
 т t4 — t3 2хс0 при х XI2. 8.44
 247

На рис. 8.21, б показан характер распространения во времени волн напряжений для четырех сечений по толщине конструкции при к Ы 2.
 Обратимся к вопросу о критерии откола. В гл. 2 отмечалось, что с увеличением скорости деформирования прочность бетона повышается, причем особенно это заметно при растяжении. Чем выше скорость, т. е. чем короче время нагружения, тем большие напряжения необходимо приложить, чтобы повреждения микротрещины накопились в количестве, достаточном для последующего макроразрушения в данном случае, откола. Справедливо и обратное утверждение: чем выше уровень нагружения а, тем меньшее время требуется для критического накопления повреждений.
 Таким образом, если а не превосходит статического значения Rbh то разрушения не произойдет. Если же а Rbty то возможность откола связана с условием
 т3.р т, 8.45
 где т3.р — время задержки разрушения, определяемое для тяжелого бетона из эмпирической зависимости, полученной с учетом высоких t 1 скоростей деформирования:
 lgx3.p 0,25— у 0,252 9091 10 8-46
 т3. р 1, oRbt 1,1;
 здесь т — определяется по формулам 8.43 и 8.44, с.
 Если условие 8.45 выполняется, т. е. продолжительность фазы растяжения больше времени, в течение которого бетон способен выдержать данный уровень напряжений, то происходит откол. Глубина откола 6 х в этом случае может быть определена из условия 8.44 при т т3.р
 б т3.р Со2. 8.47
 Из формулы 8.43 и рис. 8.21, б также следует, что если т3.р
 7 то откола не произойдет.
 Поскольку т3.р и соответствующие им напряжения в бетоне а
 Rbt связаны между собой, целесообразно в качестве обобщенного критерия откола принять значение предельного импульса растягивающих напряжений 0 сгт3.р. Тогда условие откола будет выглядеть так:
 I ат 0. 8.48
 Условие 8.48 может быть получено и на основании теории накопления повреждаемостей, получившей широкое распространение в механике разрушения, т. е. имеет ясную физическую природу. Тем не менее необходимо отметить, что зависимости 8.45 и 8.47 дают хорошее ♦приближение в среднем, так как распределение прочности бе¬
 248

тона на растяжение по толщине плиты является случайной величиной, и сама прочность обладает достаточно большим разбросом.
 Если форма импульса строго прямоугольная, то в конструкции возникает одна поверхность откола, что часто и наблюдается в опытах. Однако реальный импульс обычно имеет наклонные фронтальный и концевой участки; последнее обстоятельство может вызвать вторичные поверхности откола вблизи тыльной поверхности плиты, выражающиеся в сбросе защитного слоя бетона.
 Полученные зависимости достаточно хорошо согласуются с опытными данными для относительно тонких плит, в которых затухание волн напряжений по мере их распространения в материале не оказывает существенного влияния на параметры откола. В более толстых плитах, используемых обычно для восприятия интенсивных ударов, этот фактор, как правило, следует принимать в расчет. Очевидно, что с увеличением расстояния, пройденного волной, ее интенсивность будет падать; учет диссипации энергии может быть осуществлен умножением интенсивности прямоугольного импульса а на некоторую функцию рассеяния Фл;.
 График прохождения волн сжатия и растяжения через сечение на расстоянии х от тыльной стороны плиты для этого случая показан на рис. 8.21, в. Продолжительность фазы растяжения в этом случае, как и ранее, определяется формулами 8.43 и 8.44. Напряжения в моменты времени t3 и 4:
 В качестве зависимости Фл; может быть рекомендована функция типа Фх - екх.
 К сожалению, надежные данные для установления параметров функции Флг к настоящему времени отсутствуют. Вместе с тем имеются опытные результаты, свидетельствующие о том, что диссипация энергии волн может быть весьма существенной. Так, в экспериментах с фибробетонными плитами, подвергнутыми удару со скоростью и0 — 150 мс, интенсивность импульса в плоской волне упала вдвое по сравнению с начальным при прохождении расстояния лишь в 15 см по толщине плиты.
 Показанная картина распространения и затухания волн позволяет объяснить наблюдаемые в опытах различия в характере местного разрушения плит при одинаковых параметрах воздействия. Действительно, в толстых плитах путь, проходимый падающей, а затем отраженной волной, достаточно велик, интенсивность волны растяжения заметно снижается и оказывается недостаточной, чтобы преодолеть сопротивление бетона отколу. С уменьшением толщины плиты путь, проходимый волной, сокращается, диссипация энергии не столь зна¬
 а х, t9 а Ф b -V х при х Х2
 1а лг, t3 а Ф X—х при хХ2 ах,t4 а Ф Ь х при х Х2 и jc Х2.
 8.50
 8.49
 249

чительна, нежели в предыдущем случае, энергии импульса достаточно, чтобы произвести откол. Из приведенных выше рассуждений о характере распространения волн следует, что дальнейшее уменьшение толщины плиты приводит к увеличению глубины откола, который в конечном счете переходит в динамическое продавливание, т. е. в пробивание.
 Заметим, что помимо указанного случая прямоугольньго импульса в зависимости от конкретных условий соударения могут возникать импульсы другой формы — трапециевидный, треугольный и т. п. В этих случаях возможно возникновение нескольких поверхностей откола по толщине плиты, так называемый множественный откол.
 8.4. Общее действие удара на изгибаемые
 элементы
 8.4.1. Балки. Для расчета железобетонных балок на общее действие удара до последнего времени использовались в основном классические модели упругие, жесткопластические. Учет волновых эффектов в упругих моделях осуществлялся путем включения в рассмотрение инерции поворота и сдвига. Взаимодействие ударника с конструкцией обычно не учитывалось из-за слабой изученности поведения контактной зоны; расчет на реальную ударную нагрузку заменялся расчетом на импульсивную сосредоточенную нагрузку Pty параметры которой определялись по тем или иным приближенным соображениям.
 Как отмечалось ранее, этим моделям присущ ряд существенных недостатков. Поэтому в последние годы предпринимаются попытки предложить расчетные модели, учитывающие особенности работы конструкций во всем диапазоне прочностных свойств вплоть до полного разрушения. Их можно разделить на четыре группы:
 1 упрощенные модели, сводящие балку к упругой или упругопластической системе с одной или несколькими степенями свободы и сосредоточенной массой массами;
 2 модели, базирующиеся на классических представлениях балок как систем с распределенными параметрами, в которых учет особенностей деформирования железобетона осуществляется специальными приемами;
 3 модели, использующие представления балок в виде дисковосвязевых систем;
 4 модели, базирующиеся на численных методах.
 • В моделях первой группы возможности учета многочисленных особенностей поведения железобетона сильно обеднены приближенным представлением работы конструкции. Для системы с одной степенью свободы эти особенности обычно находят выражение в одном параметре — жесткости поддерживающей пружины и, в отдельных случаях, — в коэффициенте приведения массы.
 • Модели второй группы развивались главным образом применительно к упругой работе железобетонных балок. Делались также по¬
 250

пытки учесть изменение напряженного состояния в сечениях и по пролету конструкции на основе классического волнового уравнения Тимошенко. К сожалению, взаимодействие ударника с конструкцией не учитывалось.
 • Модели третьей группы могут дать хорошую аппроксимацию поведения балки, однако степень приближения зависит от выбора расчетной схемы.
 Конечноэлементные и другие близкие модели, причисленные к четвертой группе, получают в настоящее время широкое распространение в трудах отечественных и зарубежных исследователей. Наиболее серьезным недостатком этих методов пока является отсутствие надежных данных о работе бетона в конечных элементах, в том числе при сдвиге, в условиях стесненных деформаций, при многоосном напряженном состоянии и т. п. Предложенные модели не учитывают взаимодействие ударника с конструкцией. Хорошо отражая общее поведение конструкции, они могут давать далекое от действительности представление о местной реакции и наоборот. Таким образом, являясь перспективными, конечноэлементные модели пока не могут служить серьезной основой для практических рекомендаций по расчету.
 Методы расчета конструкций как систем с одной степенью свободы рассмотрены в гл. 3. Приведенные решения в основном относятся к импульсивным нагрузкам с конечной продолжительностью действия. В соответствии с изложенным, такой подход может быть использован и для расчета конструкций на действие нерезких ударов. Однако эти методы не могут дать информацию об особенностях процесса деформирования конструкций от начала удара до разрушения, которая, как следует из экспериментов см. п. 8.1, особенно важна для ударных воздействий. Поэтому для получения более надежных теоретических данных необходимо использовать более точные методы, базирующиеся на моделях второй — четвертой групп.
 Методы расчета на импульсивную нагрузку шарнирно опертых балок, основанные на моделях второй группы, т. е. как систем с распределенными параметрами, изложены в гл. 4. В настоящем параграфе дано развитие этих методов применительно к расчету железобетонных балок на действие резких ударов. Кроме того, приведен метод расчета, базирующийся на представлении балки в виде дисково-связевой системы, учитывающий основные особенности поведения железобетонной конструкции и позволяющий не только определять несущую способность, но и напряженно-деформированное состояние в критических сечениях на всех этапах деформирования после образования трещин.
 Численный метод расчета стержневых элементов, основанный на конечно-разностной схеме, приведенный в гл. 6, также может быть использован для расчета на различные типы удара.
 Для применения указанных методов к задачам удара необходима их трансформация с целью учета взаимодействия ударника с конструкцией в соответствии с п. 8.2. Такой подход с использованием экс¬
 251

периментально подтвержденного контактного закона позволяет избежать неопределенности в задании контактной силы; эта величина определяется из динамического расчета на основе рассмотрения совместного движения ударника и конструкции, что существенно повышает точность теоретических результатов.
 Рассмотрим основные положения метода расчета балки как системы с распределенными параметрами. Поставленная задача вначале решается в наиболее полной постановке, т. е. с учетом инерции поворота и сдвига, а затем приводится упрощенный вариант, основанный на технической теории и дающий в большинстве случаев достаточную точность.
 Получим уравнения движения во всех трех стадиях деформирования, используя вариационный метод см. п. 3.3.2.
 • Стадия работы балок без трещин. Будем рассматривать прогиб балки как сумму прогибов от изгиба ух и взаимного сдвига у2 сечений
 Использование такого представления в вариационном методе позволяет получить решение, близкое к решению Тимошенко, т. е. учесть волновые эффекты. Прогибы ух и у2 представим в виде
 Хп — n-я форма собственных колебаний балки, удовлетворяющая заданным граничным условиям.
 В отличиеот распределенных импульсивных воздействий см. п. 3.3.2 при расчете на удар нельзя ограничиться одним членом ряда, так как в данном случае существенную роль могут играть высшие формы колебаний, особенно в начальные моменты движения.
 Выражение для кинетической энергии имеет вид
 где т — погонная масса балки; Ared и Ired — приведенные площадь и момент инерции поперечного сечения балки, определяемые согласно СНиП 02.03—84. Первое слагаемое в выражении 8.53 учитывает инерцию поступательного движения, второе — инерцию вращения элементов балки.
 У У1 Уч.-
 8.51
 оо
 оо
 Ух 2 Тп 0 X; Уг 2 тп . 8-52
 где Тп и Тп — соответствующие n-й форме искомые функции времени;
 8.53
 252

Потенциальная энергия
 . х о . ха
 U—— Mdx —— С Mdx
 28. J 2S„ -5T.S Mdx-kr‘ ?
 х -f- а О
 а -Г- Q2d— С Q’dx, 8.54
 2£0 -J 2D0 _J
 —а jt-fa
 где fi0 и fi0— изгибные, aD0 и D0 — сдвиговые жесткости сечений под площадкой контакта и вне ее; х — координата сечения, через которое проходит ось площадки контакта ось удара; а — как и ранее, половина длины площадки контакта; к — коэффициент, учитывающий форму поперечного сечения, для прямоугольного сечения к 1,2. Значения В0 и D0 определяют по формулам
 Во EbIred; 8.55
 D0 GbAredt 8.56
 где Gb — начальный модуль сдвига бетона, Gb « 0,4£ь.
 Значения В0 и D0 находят по формулам 8.55 и 8.56 с учетом пониженной высоты сечения за счет внедрения ударника
 ht h — ха,
 где х — коэффициент, учитывающий дополнительное раздавливание бетона под ударником.
 Входящие в формулу 8.54 изгибающие моменты М и поперечные силы Q для сечений под площадкой контакта и вне ее
 М- В0М -В0; 8.57
 дх2 дх2
 Q -J?— q L .ftl Ш 8.58
 D0 дх3 ’ D0 д Xs
 Работа контактной силы F
 W Ftyx t Ftyix, t Угху tI. 8.59
 Используя обычную процедуру, т. е. подставляя 8.53, 8.54 и 8.59 в уравнения Лагранжа 3.85, легко получить систему линейных дифференциальных уравнений относительно обобщенных координат, которыми в данном случае являются функции Тп и Тп. Поскольку жесткости В0 и D0 являются функциями ос, потенциальная энергия является функцией времени, то полученная система имеет переменные коэффициенты.
 253

Для учета взаимодействия ударника с конструкцией упомянутая система уравнений должна быть дополнена уравнением движения ударника на перемещении ух, ос рис. 8.22:
 МШх, 0 УгхЛ
 а - -F 8.60
 ускорением свободного падения по малости пренебрегают.
 В качестве контактного закона используем зависимость 8.1. Полученную систему решаем на ЭВМ, причем на каждом шаге по времени должны быть скорректированы не только значения В0 и D0, но и формы собственных колебаний балок ступенчато-переменной жесткости. Вместе с тем, в п. 8.1 указывалось, что проникание даже клиновидного индентора сравнительно невелико и не может существенно повляить на изменение потенциальной энергии. Пренебрегая, таким образом, снижением жесткости балки на участке контакта, вместо формулы 8.54 получим
 8.61
 а система уравнений движения с постоянными коэффициентами будет иметь такой вид:
 2 Tn‘iinlin yi 7,xln v Тп11п—Дха 0; л1
 П 1
 1 1
 2 	Tnfann EnJ S T’nXnn-f Тпгпп—А„а0;
 п 1 п 1 п 1
 Vrxn 2 x,» 6,n 2 »Xm-Ai« 0; 8 62
 П 1
 п 1
 п 1
 Тп пп 4“ 7n nn £nn Тппп — Дпа0;
 п 1 1 1 1 1
 2 tnXnx2 nXni oga0,
 Пв1
 1 1
 254

где
 i 1,2,..., я 1,2,...; tol kxlM8
 при начальных условиях:
 при 0 Т1 ...ТпТ1...Тп 0
 8.63
 Если условия закрепления концов балки обеспечивают ортогональность собственных форм Хп шарнирное опирание, жесткое защемление и др., то система 8.62 может быть упрощена.
 Уравнения 8.62 будут справедливы до момента образования трещин, определяемого откольным или изгибно-сдвиговым механизмом.
 Полученные решения для балки без трещин будут также справедливы, если до момента образования трещин наличествует контакт ударника с балкой, т. е. выполняется условие
 В противном случае, начиная с момента , когда условие 8.64 начинает не выполняться, необходимо рассмотреть свободное движение балки. Для этого в формуле 8.62 необходимо принять а 0 и исключить последнее уравнение. Начальными условиями при t t являются условия непрерывности прогибов и скоростей точек балки. Если максимальное значение контактной силы Fтах превышает
 предельное значение Fu то, начиная с момента времени 7, определяемого из условия
 ударник движется совместно с балкой. Для описания движения системы «ударник — балка» достаточно в выражении для кинетической энергии 8.53 добавить член, учитывающий энергию движения груза:
 Ft ka 0 или а 0.
 8.64
 Ft - кЦ Flt
 8.65
 8.66
 256

кроме того, при t t F 0, таким образом система уравнений движения принимает следующий вид:
 оо оо оо
 Тnxin Em Фш Тпн_п Фш Лт О»
 п— 1 п 1 11
 8.67
 Тп fann “Ь Inn пп Тп Хпп “Ь “Фт I пЛтт О
 П 1 1 1 п 1
 оо оо оо Т1 in т 2 Xln 1л п 1 П 1 п 1
 ОО ОО ОО 71 ПП “1“ nn ”Ь 71 7171 f 7171“ 71 Хт171 О,
 П 1 П 1 П 1
 где
 n M8Xf хХпх.
 Начальные условия для формулы 8.67 выражают условия непрерывности прогибов и скоростей.
 Входящие в выражения для коэффициентов системы 8.67 изгибная и сдвиговая жесткости определяются с учетом возможного снижения рабочей высоты и ширины прямоугольного сечения за счет хрупкого разрушения
 Л0Ло — ; b b — 2as, 8.68
 где — коэффициент, учитывающий дополнительное уменьшение рабочей высоты сечения за счет образования продуктов дробления бетона под поверхностью индентора; по опытным данным 1,3 для плоского индентора; хг 1,75 для цилиндрического и 2,0 для клиновидного индентора; b — уменьшенная ширина сечения за счет скола бетона за пределами арматурной решетки; а3 — защитный слой хомутов.
 Приведенный метод позволяет получить необходимые расчетные параметры деформирования балки и изменение контактной силы.
 • Стадия работы балки с трещинами. Для описания движения балки в этой стадии используют тот же подход, что и ранее, с тем отличием, что изгибная и сдвиговая жесткости сечений балки Вх и Dx на участке
 256

с трещинами снижаются по сравнению со сплошными сечениями см. п. 2.5 и определяются по формулам:
 г» Лп Z
 «. I ф» 8-69
 Es v £5
 Di GbAredk9 8.70
 где zx — плечо внутренней пары сил в нормальном сечении балки; ф5 — коэффициент, учитывающий неравномерность деформаций растянутой арматуры за счет работы бетона на растяжение на участках
 между трещинами; г?ь — коэффициент, учитывающий неравномер¬
 ность деформаций сжатой зоны бетона; v — коэффициент, учитывающий неупругую работу бетона сжатой зоны; Аъ — площадь сечения сжатой зоны бетона, Аъ Ьх х — высота сечения сжатой зоны; k — коэффициент, учитывающий снижение сдвиговой жесткости вследствие образования трещин.
 Для ударных воздействий, характеризующихся высокой концентрацией напряжений и деформаций в зоне удара и упругой работой бетона вплоть до начала падения его сопротивления, можно принять i5s 1. Значение х определяют из условия равновесия сечения; для сечения с одиночной арматурой
 л; R8yd AJRbd ?о, 8.71
 где о0,5—коэффициент полноты эпюры напряжений.
 Выражение для потенциальной энергии при iFmax Z, начиная с момента образования трещин, принимает вид
 иЬг Т M‘dxkTM‘d’‘-kj мы
 0 X — Pi р2
 х —pi ГРо . 1ъ
 2БГ 5 Qidx Q2dx• 872
 0 X— pt XPg
 где рх и ра — расстояния от сечения, в котором наносится удар, до правой и левой границ зоны трещин. Формулы для кинетической энергии и работа внешней нагрузки остаются прежними, однако функции Хп в формуле 8.62 определяются для конструкции, имеющей ступенчато-переменную изгибную и сдвиговую жесткость.
 Учитывая сказанное и вновь используя уравнение Лагранжа и уравнение движения ударника, получим
 ОО ОО ОО
 2 Тп хщ ?in ТпЩп — Аха 0;
 Г -1 11 П 1
 9 Зак. 882
 257

2 nn 5nn 2 Тпкпп 2 ТпГпп — Лпа — О
 п 1 п 1 1 1
 ОО оо .. оо
 7х1 n2 Xln “f 1п iXm—Aia 0;
 л 1 л 1 п — 1
 2 Тпкпп хпп 5дд Тппп — Дпа0;
 п — 1 п 1 п 1
 00 00
 2 Тп Хпх 2 » “ ■§« 0, 8.73
 П 1 1
 где
 Рг
 Ч» Вох;х;Лс-Вв-В1 XXadx; 8.74
 О 7— Pi
 п п п
 Xtn-rlxiXndx-—— j 8.75
 0 X — Pi
 Остальные обозначения те же, что и в формулах 8.62.
 Начальными условиями для зависимостей 8.73 являются условия непрерывности прогибов и скоростей в конце стадии работы без трещин и в начале стадии работы с трещинами.
 Система 8.73 решается на ЭВМ с применением стандартных подпрограмм. Для вычисления расчетных параметров у уУ М, Q с необходимой точностью следует установить порядок систем, который зависит от места приложения ударной нагрузки по пролету балки, условий закрепления концов и конкретного параметра, подлежащего определению. Так, при центральном ударе по свободно опертой балке удовлетворительная точность при определении максимального прогиба достигается уже при п 3, тогда как при определении М w Q требуется значительно большее п.
 Если к моменту образования трещин контакт ударника с балкой прекратился, то для описания движения балки с трещинами можно использовать систему 8.73, положив в ней а 0 и исключив последнее уравнение. Как и ранее, начальными условиями в этом случае являются условия непрерывности перемещений и скоростей точек балки.
 Согласно экспериментальным данным см. п. 8.1 в верхней зоне балок в начальный период движения возникают трещины, обусловленные высшими формами колебаний, которые закрываются при дальнейшем движении балки вниз. Несмотря на это, изгибная жесткость
 258

сечений несколько снижается, что может быть учтено введением коэффициента 0, определяемого СНиП II-21—75. Расчеты показали, что этот фактор не оказывает существенного влияния на значение максимального прогиба, и им можно пренебречь.
 В балках с защемленными концами трещины образуются у опор вследствие растяжения в верхней зоне. После образования этих трещин изгибная и сдвиговая жесткость на участках, примыкающих к опорам, снижается до В® w D. Соответственно этому снижается и потенциальная энергия; движение системы «ударник — балка» в этом случае описывается уравнениями 8.73, где для однопролетной балки с двумя защемленными концами
 где ах и а2 — координаты границ зон с трещинами.
 Система 8.73 справедлива, если максимальное усилие в контактной зоне Fmax не превысит предельного значения Fx. В противном случае, начиная с момента , определяемого условием 8.65, ударник движется вместе с балкой. Как и ранее, в выражении для кинетической энергии должна быть учтена составляющая формулы 8.66, соответствующая энергии движения груза. Система уравнений движения в этом случае имеет вид, аналогичный системе 8.67, причем коэффициенты rin и Хт находятся в зависимости от отсутствия или наличия трещин в опорных зонах балок по формулам 8.62 и 8.74, 8.75. Изгибная и сдвиговая жесткости с трещинами определяются по формулам 8.69, 8.70, в которых для прямоугольного сечения используются h0 и Ь согласно выражениям 8.68.
 Полученные решения будут справедливы до момента времени 3, когда в одном из сечений изгибающий момент достигает значения MUtd, соответствующего достижению динамического физического или условного предела текучести в растянутой продольной арматуре, после чего балка переходит в пластическую упругопластическую стадию работы. Время t?, находят из условия
 rUn B0jXlXndx-B0-B1 j XtXZdx
 ° Л7—Pi
 х — Pi
 8.76
 х Pi
 0 о,
 8.77
 Мх, 13 Mu,d, где Mu,d определяют по формуле 2.58.
 8.78
 259

Коэффициент хх, входящий в формулу 2.59, на основании опытных данных целесообразно принять: для плоского индентора
 при FmaxX 0.5;
 8.79
 1 U,5 —fmax7 При 0,5 FmaijFl 1;
 для клиновидного индентора
 11 при FmaxF1 0,8;
 Ь— 2,5 FJF—0,8 при 0,8 FmaxF1 1;
 8.80
 Мх, 0 находят по формуле 8.50 с заменой В0 на Вг.
 •Во все моменты времени t t3 должна быть обеспечена прочность балки по наклонным сечениям см. п. 81, для чего необходимо выполнение условия 2.60, где Qjc, t находят по формуле 8.58 с заменой В0 на Вг.
 При невыполнении условия 2.60 необходимо увеличить размеры сечения балки, содержание поперечной арматуры или класс бетона. Увеличение хш должно производиться с учетом того влияния, которое этот фактор оказывает на другие аспекты работы балки см. п. 8.2.
 Уточненное решение, реализованное на ЭВМ и приведенное выше, хорошо согласуется с опытными данными и может служить основой для упрощений. Сопоставление результатов с полученными на основе технической теории изгиба балок т. е. без учета инерции поворота и сдвига, но с учетом местных деформаций показало, что указанные уточняющие факторы играют роль лишь в начальные моменты движения; к моменту достижения текучести в продольной растянутой арматуре распределения прогибов и усилий мало отличаются друг от друга при наиболее распространенных низкоскоростных ударах v0
 30 мс. Поскольку основная часть деформаций нормально армированных балок приходится на пластическую стадию, влиянием указанных факторов в целях упрощения целесообразно пренебречь.
 • Рассмотрим упрощенный вариант метода расчета, основанный на технической теории изгиба при учете местных деформаций. Он позволяет снизить затраты машинного времени и в ряде случаев, например при центральном ударе, допускает ручной счет. В этом случае целесообразно провести дальнейшее упрощение, пренебрегая стадией работы без трещин, тем более, что в реальных конструкциях трещины часто имеют место от действия статических нагрузок.
 Прогиб балки будем искать в виде
 здесь Хп — п-я форма колебаний балки с трещинами в зоне под местом удара.
 оо
 «, V XnxTnt,
 8.81
 П 1
 260

Выражения для кинетической, потенциальной энергии и работы внешней нагрузки имеют такой вид:
 U
 Во
 Л —Pi
 Kjthy4x; о
 гш?№
 n X—Pi
 1
 р2 W Ftyx, t.
 Уравнение движения ударника
 мя yjf,al — F t.
 8.82
 8.83
 Принимая контактный закон в виде формулы 8.1 и подставляя выражение 8.81 в 8.82, уравнения Лагранжа и 8.83, получим систему уравнений движения
 2 Тп1п У Tnrln—bln—k1aA1 0;
 П 1
 1 1
 8.84
 п
 11
 2 a uJ а 0,
 ,1 I
 где
 X— р
 остальные обозначения те же, что и ранее.
 Начальные условия для системы 8.84
 при t 0 Т1 ... Тп 0; 7 ... ГП 0; а0; a v0.
 8.85
 Для определения прогиба балок в системе 8.84 достаточно удерживать 3...4 уравнения.
 261

Изгибающие моменты и поперечные силы на участках без трещин и с трещинами находятся по известным формулам
 M M 8.86
 8.87
 д xs дх3
 Если в момент t, определяемый условием 8.64, прекращается контакт ударника с балкой, то необходимо, как и ранее, при t t положить а 0 и, опустив последнее уравнение, рассмотреть свободное движение балки.
 В случае разрушения бетона контактной зоны в момент времени t, определяемый условием 8.65, при tt будет справедлива система
 оо оо
 тп xln 44n Tnin ®1л0;
 п1 п1
 2 ТпхппЪпп2 ТпгПп-Ьпп 0, 8.88
 п 1 п 1
 гдег1П имеет тот же смысл, что и в уравнении 8.67.
 Жесткость входящую в коэффициенты системы 8.84, необходимо определять при сниженных размерах сечения, подобно тому, как это сделано при рассмотрении системы 8.67.
 Полученные формулы будут справедливы до момента времени t3, определяемого из условия 8.78, где Мху t3 находится из выражения 8.86, после чего начинается пластическая стадия работы балки. При этом во всем диапазоне времени деформирования должно выполняться условие 2.60, в котором Qx, t определяется согласно формулам 8.87.
 • Пластическая стадия. Рассмотрим пластическое деформирование на примере балки, армированной арматурой классов A-II, A-III, имеющей физический предел текучести. Согласно экспериментальным данным п. 8.1, в простейшей шарнирно опертой балке может образоваться один нормальный пластический шарнир или зона последняя приводится к сосредоточенному пластическому шарниру, рис. 2.21, или нормальный пластический шарнир зона и два наклонных пластических шарнира.
 Получим вначале уравнения движения в простейшем и наиболее распространенном случае — для системы с одним пластическим шарниром, для чего вновь используем уравнения Лагранжа. Воспользо¬
 262

вавшись аналогией с импульсивными воздействиями, прогиб балки с одним пластическим шарниром будем искать в виде
 Ф, х при 0 х х,
 - - 8-89
 J—J- J при
 Таким образом, в пластической стадии балка представляется в виде системы из двух жестких дисков, соединенных пластическим шарниром. Колебаниями дисков пренебрегают ввиду их малого влияния
 на величину максимального прогиба. Движение системы характеризуется одной обобщенной координатой — углом ср-
 Опыты показывают, что обобщенная диаграмма деформирования в рассматриваемом случае может быть аппроксимирована идеальнопластической зависимостью.
 Далее в качестве иллюстрации метода будем рассматривать центральный удар по шарнирно опертой балке постоянного сечения. Тогда для кинетической и потенциальной энергий будем иметь
 12
 К 2 j Лс-2£_ф8.90
 о
 U 2УИ10Ф1. 8.91
 Если контакт ударника с конструкцией к началу пластической стадии не прекратился, то необходимо учесть также работу внешней нагрузки контактной силы
 W Ftyx k1aYp1, 8.92
 а также рассмотреть движение ударника по аналогии с формулой 8.83
 Ма у х, £ —Р 0, 8.93
 ИЛИ
 Ма ф 2 -f- ot 61а. 8.94
 Подставим формулы 8.90...8.92 в уравнение Лагранжа:
 ml3 .. k. I —— Ф1 a—2MX0. 8.95
 После преобразований система уравнений движения принимает вид

где
 6ji 24Afin 1 in о i i»м
 . у 2 7 » 3 “» «0 lM8J
 ml1 ml
 при начальных условиях t 0
 ф 0; a a3 a0; срх ф10; a a 3 a0, 8.97
 где ф10 — начальная угловая скорость половины балки, определяемая из условия равенства количества движения в конце условно-упругой и начале пластической стадий;
 4 •
 Ф10— У , з dx. 8.98
 о
 Заметим, что, согласно формуле 8.97, отсчет времени деформирования ведут от начала пластической стадии.
 Решение уравнения 8.96 приводит к следующему:
 e1e2es 2 , . t яаа л , ех е2е3
 Ч1— у р —e2f 2 фю —fT ei Ji р ao — р J —
 — -у- «о у5- COS ft 52- sin ft; 8.99
 a — ao —-cos ft Sin ft -;
 2 co2e3. 8.100
 Интересно отметить, что на апериодическое движение балки, соответствующее пластическому характеру деформирования первые три члена в формуле 8.99, накладываются гармонические составляющие, обусловленные упругим контактом ударника с балкой, что соответствует наблюдаемому в опытах.
 Если контакт ударника с балкой к началу пластической стадии прекратился, необходимо рассмотреть свободное движение конструкции. Уравнение движения в этом случае имеет вид формулы 8.95, где ос 0, а его решение при начальных условиях 0; ф ф10 будет
 Фх —e2t22 ф 10t. 8.101
 Если же контакт прекращается при работе балки в пластической стадии в момент времени определяемый условием 8.64, то по аналогии с формулой 8.101 можно получить
 ф1 —е№ Ф10и ФЛТ. 8.102
 Наконец, если при работе балки в пластической стадии в момент времени t максимальное контактное усилие становится равным Flt т. е. выполняется условие 8.66, то необходимо рассмотреть дальней-
 264

шее движение системы «ударник — балка». Дополнительный член в выражении для кинетической энергии имеет вид
 Y Уг и, t Ms ф? Р8, 8.103
 а уравнение движения
 Pi —е2, 8.104
 где ё2 8Ml03mP Ms2.
 Начальные условия для уравнения 8.104 при t t
 Ф
 1 —Фг0» Ф1—Фю 8.105
 здесь
 И 2
 Ms а 2т ф О § х dx
 Фю D 772 • 8. i 06
 Ms2 2m
 х
 о
 В результате решения уравнения 8.104 получим
 Ч5 —1ег2 Фм7 Фи- 8.107
 Максимальный угол поворота фтах будет достигнут в момент остановки конструкции тах» который, как и ранее, может быть найден из
 УСЛОВИЯ фтах 0.
 Полный прогиб балки будет складываться из упругого и пластического максимальных прогибов
 та х tз Н- фта хтах 8.108
 Балка выдержит ударную нагрузку, если максимальный угол поворота не превысит предельного значения Ф1,и, который может определяться, как и для взрывных нагрузок см. гл. 2, с учетом особенностей контактного взаимодействия снижение Rbldyn и т- п -
 Фтах Ф1,ц. 8.109
 Неравенство 8.109 дает в рассматриваемом случае заниженную оценку прочности конструкции. Более точный учет реальных свойств железобетона в рамках принятой модели крайне затруднен; вместе с тем достоинством приведенных формул являются простота и надежность.
 • Указанных недостатков лишен метод расчета, основанный на использовании дисково-связевой модели балки, показанной на, рис. 8.23, а. В общем случае балка представляется в виде системы из пяти жестких дисков блоков, соединенных связями, моделирующими работу арматуры и бетона. Влиянием стадии работ без трещин, в соответствии с предпосылкой, изложенной в п. 8.2 и результатами п. 8„
 265

а также влиянием трещин в верхней зоне блоков Ви В5, вызванных высшими формами колебаний, пренебрегаем. Геометрические параметры блоков зависят от места приложения нагрузки и длины площадки контакта, а также от напряженно-деформированного состояния критических сечений.
 Рис. 8.23. К расчету железобетонной балки на основе дисково-связевой модели
 Длина проекции наклонного сечения блока В2 понизу С может быть выражена через высоту сжатой зоны х блока В1 и угол а рис. 8.23, б:
 С h0 - JctgO. 8.110
 В свою очередь, угол 0, как следует из опытов, пропорционален соотношению — у где у — координата приложения ударного воздействия; при центральном ударе 0 45°, tg0 1.
 При сосредоточенном воздействии клиновидный индентор длина площадки контакта 2а —0 и схема рис. 8.32, а переходит в схему рис. 8.23, в.
 Блоки В В5 и В2 В4 отвечают реальному состоянию этих частей конструкции, тогда как блок ВЗ и связи 1...3 ...3 моделируют инертность и внутренние усилия, вызванные изгибом зоны балки под площадкой контакта.
 266

Связи 1...5 выполняют следующие функции.
 • Связь 1 моделирует работу сжатого бетона над наклонной трещиной и воспринимает предельное сжимающее усилие Nbl и сдвигающее усилие Qbi:
 Nbl bxo Ро; 8.111
 Qbi ЧхуЬхщ, 8.112
 где b — ширина сечения балки; j£p — напряжения в крайнем сжатом волокне бетона; тху — максимальное напряжение сдвига в бетоне; со и со2 — коэффициенты полноты эпюр напряжений.
 На основании опытов установлено, что максимальное касательное напряжение действует на уровне вершины наклонной трещины, в этом случае
 max — 3 QjiK ха о о
 Тху — 1Ь 2 Ь h — 3hx 3h0x ’ o.uo
 где Q_ — поперечная сила в сечении 1—, тогда
 Qbi «Qi-хЛ; i- ь9—ххы2— n
 i 111 2 Ла — ЗЛ jc-j-31 JC«
 o2 — может быть принят 0,5.
 • Связь 2 моделирует работу сжатого бетона под наклонной трещиной в пределах зоны шириной 2а и воспринимает продольное сжимающее Nb2 и сдвигающее Qb2 усилие:
 Nb2 Но — Фъ1 8.115
 где аь — напряжение в волокне бетона на уровне вершины наклонной трещины; ох — коэффициент полноты эпюры напряжений.
 Значение Qb2 зависит от содержания хомутов и других факторов, поэтому определение ее из элементарных соображений ненадежно; эта величина принимается в дальнейшем за неизвестное и определяется из динамического расчета.
 • Связь 3 представляет сопротивление растяжению продольной рабочей арматуры в нормальной трещине, в которой действует усилие N si
 Nn aslAs, 8.116
 здесь js1 — напряжение, a As — площадь сечения нижней продольной арматуры.
 • Связь 4 — сопротивление растяжению продольной рабочей арматуры в наклонной трещине. В общем случае в связи с возможным сдвигом сечений необходимо учитывать наряду с растягивающим усилием Ns2 as2s изгиб продольных стержней, приводящий к так называе¬
 267

мому «нагельному эффекту» и дополнительному сдвигающему усилию в связи Qs:
 Q Фг 4 8.117
 а
 где Es и 18 — модуль упругости и момент инерции сечения продольной арматуры; 1а — длина, на которой учитывается изгиб стержней; Фг — Угол раскрытия наклонной трещины.
 При центральном ударе Qs проявляется слабо и им можно пренебречь.
 Усилие jVs2 Nsl не может быть установлено априори; это усилие определяется в результате динамического расчета.
 • Связь 5 моделирует работу поперечной арматуры; в ней так же, как и в связи 4, действует продольное растягивающее усилие в хомутах Q8W и изгиб «нагельный эффект»; последним по малости можно пренебречь.
 В отличие от статических расчетов, где Qs?t; определяется достаточно просто в предположении, что арматура хомутов течет, задача определения этого фактора в рассматриваемом случае более сложна, так как необходимо определить процесс развития напряжений в хомутах и увязать его с процессом деформирования арматуры в наклонной трещине. По данным экспериментальных кинограмм раскрытие наклонной трещины происходит пропорционально по ее длине, т. е. можно считать, что деформации в направлении, перпендикулярном берегам трещины, распределяются пропорционально расстоянию от вершины трещины до рассматриваемого сечения. Таким образом, усилие в i-м хомуте рис. 8.23, г
 Qst Лш «.« Am, 72 l 8.118
 где as2 — напряжения в продольной арматуре и наклонном сечении; zt — расстояние от оси нижней продольной арматуры до уровня i-го хомута; Asw — площадь хомутов.
 В качестве геометрической гипотезы примем гипотезу плоских сечений. Опыты показывают, что при высокоскоростных нагружениях работа бетона интегрально близка к поведению идеального упругого материала вплоть до достижения максимальных напряжений. Поэтому можно ожидать, что использование гипотезы плоских сечений не приведет к большим погрешностям. Сказанное подтверждает хорошая согласованность опытных и теоретических данных, полученных по предлагаемому методу.
 Учитывая, таким образом, линейное распределение деформаций по высоте сечения, можно установить связь деформаций в бетоне с углами раскрытия трещин ср рис. 8.23, б. В общем случае будем иметь четыре угла: фх и ср3 — в нормальных сечениях 1—1 и 3—3 и ср2 и Ф4 — в наклонных 2—2 и 4—4. В случае центрального удара достаточно рассмотреть cpi ср3 и ср2 Ф4- Заметим еще раз, что ф2 и ф4
 268

являются фактическими углами раскрытия наклонных трещин, тогда как фх и ф3 представляют условные углы, соответствующие обобщенному углу раскрытия, вызванному изгибом центрального участка.
 В целях упрощения изложения в дальнейшем будем рассматривать только центральный удар, делая оговорки для других положений ударного сечения в необходимых случаях.
 Согласно принятой схеме, деформации бетона и арматуры можно выразить следующим образом:
 Ь1__1_ф1ф2;--_ф1. 8.119
 о h0—x0 х0 х h0 — x о
 Усилия в связях теперь могут быть выражены через углы раскрытия фг:
 Nb1 Ьх со ° Ъ Ъ_ Еъ Ь»£ь_. ф1 у ; 8.120
 2 а 2 а
 ыЬ хп —лс2 йх Ф»; 8.121
 Na А. ев1 Ея Es А,, ч, Ф2; 8.122
 Ns2AeBa2EaEsAa-41. 8.123
 Под деформациями esl и es2 понимают «размазанные» средние дефор мации в трещинах и между трещинами на участках 1з1 и ls2 см
 рис. 8.23, а. Учитывая установленный в опытах характер образования трещин, целесообразно принять для центрального удара S1 2а 2С2; ls2 С2. Последнее предположение связано с тем, что, как указывалось в гл. 2, напряжения сцепления при ударных нагружениях концентрируются на узком участке, примыкающем к берегу трещины. Поэтому очень близко слева от наклонной трещины становятся равными деформации бетона и арматуры, этим участком можно пренебречь и не включать его в ls2. Справа же имеется довольно значительное число нормальных трещин в блоке В2 см. рис. 8.6, б, в.
 Помимо рассмотренных в наклонной трещине в общем случае действует еще усилие зацепления берегов трещины FCTCJ вызванное шероховатостью их поверхностей. Это усилие может быть определено по формуле
 Рсгс lore ЬСете, 8.124
 причем для нашего случая
 сгс о Лф2СО50, 1сгс сгс,иФ2» 8.125
 где Дсгс — взаимное смещение блоков; 1СГС — длина зоны зацепления блоков; Сс,.с — коэффициент сдвига бетона по бетону по поверхностям, образованным трещиной; асгс,и — предельная ширина раскрытия трещины, при которой зацепление отсутствует.
 269

Усилие Fcrc играет существенную роль при срезе бетона в наклонной трещине. При центральных ударах и близких к ним развитие наклонных трещин происходит обычно в результате поворота наклонного сечения без взаимного сдвига блоков В1 и В2. В этом случае оправдано положить FCTC 0. Если же ударная нагрузка приложена вблизи опоры, то, как указывалось ранее, возможен срез бетона по наклонной трещине со стороны короткого участка балки см. рис. 8.7. В этом случае FCTC должно приниматься во внимание.
 На дисково-связевую систему, показанную на рис. 8.23, а, будут действовать помимо внутренних усилий в связях внешняя контактная Pt и инерционные Ft силы на каждый из дисков. Контактная сила подчиняется закону 8.1 и связана с внедрением ударника в блок ВЗ. К моменту образования трещин эта сила может перекратить свое действие.
 Получим выражения для инерционных сил.
 • Блок В1. Инерционные силы обусловлены поворотом блока как жесткого целого на угол фх ф2 относительно опорной точки. Полное ускорение любой точки М диска или элементарной массы mdzdy:
 a V aqP , 8.126
 где ат — касательное, а ап — нормальное ускорение;
 a. 	r -гф.ц; 8.127
 ап Л Фх Фг2. 8.128
 здесь г — длина вектора из начала координат опоры в рассматриваемую точку.
 Таким образом,
 а г ф ф2 ф1 фг 8.129
 Отклонение вектора полного ускорения от радиуса описываемой точкой окружности определяется углом i:
 tgH ахапу 8.130
 или с учетом формул 8.127 и 8.128
 tgA фА ф2 фх Фх 2- 8.131
 В реальных задачах об ударе по железобетонным балкам значения угловых ускорений обычно значительно превосходят квадраты угловых скоростей; в связи с этим tgi - оо, ц -• 90° и а ат. С учетом этого инерционная сила, действующая на блок В1:
 Fbi ф1 Ф2К 8.132
 270

8.133
 где
 Al m S J V z2y2 dzdy —
 Lo —d
 h—x y y — g — c
 — j J V г2У2 dzdy
 0 y-a-C
 m — масса единицы боковой поверхности балки; т уbg g — ускорение свободного падения; d — расстояние от опоры до торца балки.
 • Блок В2. Инерционная сила, действующая на этот блок, обусловлена его вертикальным перемещением и поворотом на угол рА. Вертикальное перемещение верхней точки блока В2, сопряженной с блоком В1 и блока В2 в целом
 —zy — a; t -■ у — афх р2. 8.134
 Ускорение любой точки М или элементарного объема блока В2 йм clq До м 8.135
 где а0 — ускорение поступательного движения полюса 0, а0м — угловое ускорение точки М блока относительно центра О. При определении последнего учитывают, что угловой скоростью по сравнению с угловым ускорением можно пренебречь по аналогии с формулой 8.132, тогда
 — ам Яо ао м, т . 8.136
 Ускорение точки О по вертикали
 а0у—‘аф1фг- 8.137
 Угловое ускорение точки М
 Яо м, т1 8.138
 где гх — расстояние от полюса до рассматриваемой точки М,
 1 	1 У— a —yyh—x—z2. 8.139
 Для дальнейших расчетов целесообразно выделить вертикальную
 и горизонтальную составляющие вектора аомг. Тогда вертикальное ускорение точки М
 а°м у—а Ф1 Ф2— ri4isinn, 8.140
 горизонтальное
 ам Г Ф1 cos ц, 8.141
 271

где Lt arctgrlvrlz; rly — длина проекции радиуса гх в точку М на горизонтальную ось; r1L — то же, на вертикальную.
 В 8.140 и 8.141 дополнительным углом фх пренебрегают по малости по сравнению с х.
 Вертикальная составляющая инерционной силы, действующая на блок В2 направлена вверх:
 7В2Лф1Лфа, 8.142
 где
 h — х у—у—а—С 1
 С у—а _
 А2 j т у—а—г j sin х dzdy 8.143
 о у — а _с
 h—x у — у—а—С
 А9 j J т у—a dzdy. 8.144
 0 у-а-С
 Горизонтальная составляющая
 FVB2 Лф; 8.145
 Л— у у — у —а—с
 С у-С __
 А4 J j т rx cos dz dy. 8.146
 0 у-а-С
 • Блок ВЗ. Инерционная сила, действующая на блок, обусловлена его вертикальным смещением
 Fвз — Л5 фх ф2 8.147
 где
 A5 2amh у—а. 8.148
 В случае сосредоточенного удара вз 0.
 Если сила приложена не в центре пролета, то необходимо определить инерционные силы, действующие на блоки В4 и В5 аналогично В2 и В1.
 Перейдем к составлению уравнений динамического равновесия.
 • Блок В1 рис. 8.24, а:
 У 0 -Nbl Ns2 0; 8.149
 z 0 —Q61—Qsu;—Qs Q Fbi 0; 8.150
 2Л1л 0 Nblh0—x3 — Qbl y—a —
 Alv S 8iviswi Qs У С Ь Fbl УЧ т В 1 0, 8. 151
 i
 272

гДец.т в 1 — расстояние от опоры до центра тяжести блока В1 по горизонтали.
 • Блок В2 рис. 8.24, б:
 2 0 — Льз-Ь Ntl FB2— JVs2 0; 8.152
 2 z О Q, Qsu, B2 — Q2 0; 8.153
 O S sai T o o X3 X
 QbiC В2 тв2 B2 УцлВ2
 8.154
 здесь 2ц.тВ2 и ц.ТВ2 — расстояния от моментной точки до центра тяжести блока В2 соответственно по вертикали и горизонтали, ф Блок ВЗ. рис. 8.24, в.
 Рис. 8.24. Схемы действия усилий дисково-связевоц модели
 При центральном ударе соответствующие внутренние усилия справа и слева равны. Для половины блока
 2у0 NblN„-Na 0; 8.155
 2ar 0-£-jte.-QM-QM 0; 8.156
 2Ml0; лЦ10—- ЛГ62х
 X h0—х—лг0—jc3 fB23° 0. 8.157
 Совместное рассмотрение формул 8.149, 8.152 и 8.155 дает
 NsiNbl; 8.158

а 8.150, 8.153, 8.156 приводит к следующей зависимости:
 8.160
 8.161
 В результате произведенных упрощений остается система четырех уравнений с добавлением уравнения движения ударника с четырьмя неизвестными: р1э р2, х0, а. После преобразований и подстановки определенных ранее усилий через упомянутые неизвестные, согласно формулам 8.119...8.123, получим разрешающую систему нелинейных дифференциальных уравнений движения такого вида:
 IU. 1 I
 bt b2 dj --x0d2 xl d3—x d -f b3 Pi Ь4 ф20;
 Ms t pi Ф2 у — а а — kx а,
 где gi, qit bit di — постоянные.
 Начальные условия при 0:
 Ф1 Ф2 а 0; х0 г2; р2 0; а v0; jc0 0.
 Для дальнейшего расчета балка разбивается на несколько одинаковых слоев по высоте чем больше слоев, тем выше точность. Выбирая шаг по времени и решая на ЭВМ систему 8.162, получаем распределение деформации и напряжений по высоте расчетных сечений, а затем и усилия в связях. На каждом следующем шаге по времени расчетные параметры корректируются с учетом предыдущего шага.
 Использование дисково-связевой модели позволяет учесть все основные особенности деформирования балки. Так, при достижении предельных упругих деформаций в продольной арматуре, обладающей площадкой текучести, напряжение в соответствующем слое принимается постоянным и равным Rs’y аналогичным образом учитывается попостепенное достижение динамического предела текучести в хомутах, пересекаемых наклонной трещиной. Наконец, в рамках рассматриваемой модели может быть учтено стеснение бетона сжатой зоны хомутами и связанное с этим повышение его деформативности. Диаграмма деформирования бетона с учетом этого фактора показана на рис.8.25. После достижения в краевом слое максимального напряжения п°последнее начинает падать, а максимальное значение достигается во все более низких слоях. Опытами установлено, что стесненный бетон при низких напряжениях на нисходящей ветви « 0,2Rb,d может работать довольно долго при больших неупругих деформациях горизонтальная линия на рис. 8.25, позволяя реализовать в значительно
 8i Л0 — х фх g2 срх g3 ф2 а 1 — 12;
 i o—Яг Pi Qi x0 Ф2 q3 Фх q3 Ф kx a ft у —a2;
 274

Рис. 8.25. Диаграмма деформирования сжатого бетона с учетом стеснения деформаций:
 — нестесненный бетон; 2 — стесненный бетон
 Рис. 8.26. К учету совместной работы железобетонных элементов при ударных воздействиях
 275

большей степени и прочностные свойства продольной арматуры. Предложенный метод позволяет адекватно оценить работу поперечной арматуры и выбрать ее оптимальное содержание.
 До сих пор рассматривалось поведение железобетонных балок как отдельных элементов. В реальном сооружении балки или им подобные элементы опираются на другие конструкции, которые могут обладать определенной податливостью. Например, в сборных железобетонных перекрытиях удар, приходящийся по ребру плиты рис. 8.26, вызывает динамическую реакцию, передающуюся на ригель. Аналогичное воздействие испытывают второстепенные и главные балки монолитных перекрытий.
 • Ориентируясь на результаты исследований совместной работы железобетонных балочных элементов при импульсивных взрывных воздействиях см. гл. 5, можно ожидать, что податливая опорная конструкция может существенно снизить эффект удара на балку, непосредственно его воспринимающую.
 Согласно экспериментальным данным, приведенным в п. 8.1, при рассмотрении совместной работы нет необходимости в учете местного деформирования в контактной зоне при передаче динамической реакции, а также в учете волновых эффектов в поддерживающей конструкции. В связи с этим для низкоскоростных ударов может быть использован упрощенный подход, аналогичный изложенному для отдельных балок.
 В процессе деформирования воспринимающая и поддерживающие балки в зависимости от интенсивности удара и параметров конструкции могут находиться в различных стадиях деформирования:
 • воспринимающая и поддерживающие — в условно-упругой стадии;
 • воспринимающая — в условно-упругой, поддерживающие — в пластической;
 • воспринимающая — в пластической, поддерживающие — в условно-упругой;
 • воспринимающая и поддерживающие — в пластической стадии. Рассмотрим вначале работу балок в условно-упругой стадии. Прогиб воспринимающей балки ребра, рис. 8.26 будем искать в виде
 у у х, 0 У г хь t V X Т 2 Xj fa T h 8.163
 i 1
 а прогиб поддерживающей конструкции
 оо
 у i i о2 хh 8‘,64
 1
 где Xj и Xj — формы собственных колебаний воспринимающей и поддерживающей балок; Тj и Tj — соответствующие неизвестные функции времени.
 276

Выражения для кинетической и потенциальной энергий системы и работы внешней нагрузки будут
 С-у- y--yi xltt2dx 2 —г— j у2 dxi
 О о
 -у- j 2 Xj т, 2 хj, Tj ;2 dx
 0
 mi j 2 Xj Хм Tj 2 dXl; 8.165
 0
 v 8,66
 x — p2 0
 W F 2 Xj X Tj V Xj xx Tj, 8.167
 где m1 — погонная масса нижней балки; и х — пролеты воспринимающей и поддерживающей балок; хх — координата точки опирания воспринимающей балки на поддерживающую; В — ее жесткость; остальные обозначения те же, что и ранее.
 Принимая контактный закон по-прежнему в виде 8.1, получим уравнение движения ударника, обусловленное движением балок и контактной зоны:
 7j Xj х Tj i -hос —kt а. 8.168
 Подставляя формулы 8.165...8.166 в уравнения Лагранжа и добавляя 8.168, получим разрешающую систему уравнений движения
 2 Tj 2 fj Уи 2 Tj lu-Eu —kt аДх 0;
 2 2Т,ТП7 2- 1 nj— 0;
 2 Tj ku 2 T, Ь1 0и 2 Tj Py— kx аД1 0; 8.169
 27jФпз 9n f 2’Pnj—«An—0; 2TjXjx 2Tj Xj Xj аша 0.
 277

В этом случае
 i 1 _ _
 т XiXjdx; Уит XtXj dx;
 О о
 I I
 яи т Xj лгх Xi dx; 6г т j Х хг Х dx;
 о о
 6у fix j XIX dx; piV 2 в; j Xi Xi dXl;
 0 0 i_ _ _ _
 0U 2mt j’Xj Xjdxi, Ai Xj jc; Д4х;
 0
 a2 Л1Мв; 6и в0—fij X Р’х;х;Лс.
 X—Pi
 Необходимо отметить, что главные балки монолитных перекрытий и ригели без предварительного напряжения сборных перекрытий к моменту приложения ударной нагрузки обычно уже имеют трещины в растянутой зоне от статической нагрузки. Поэтому их жесткость целесообразно определять как для конструкций с трещинами по формуле 8.70 и считать ее постоянной по пролету. Последнее предположение, широко распространенное в расчетах на статические и импульсивные воздействия, не приводит в данном случае к грубым погрешностям.
 Система 8.169 решается по аналогии с системой 8.63.
 В реальных сооружениях жесткость ребер плит и второстепенных балок обычно существенно ниже, чем ригелей и главных балок, поэтому поглощение основной доли энергии удара производится конструкциями, воспринимающими удар, так что поддерживающие конструкции редко переходят в пластическую стадию работы. Тем не менее возможна передача динамической реакции через более жесткие конструкции элементы оборудования и т. п., что может вынудить поддерживающие балки к переходу первыми в пластическую стадию работЬг. Поэтому в дальнейшем рассмотрим оба этих случая, принимая для простоты удар центральным.
 Если в пластическую стадию первой переходит балка, воспринимающая удар, то вместо формулы 8.163 будем иметь
 у рх ухх, при 0 х 2. 8.170
 Прогиб поддерживающей конструкции по-прежнему описывается выражением 8.164. Поскольку к началу пластической стадии контакт ударника с балкой обычно прекращается, рассмотрим вначале свободное движение конструкций.
 278

Кинетическая энергия системы
 U2
 C2j itx Xjx1Tj2dx
 mij llXjXlTj2dx
 Потенциальная энергия
 8.171
 8.172
 Подставляя формулы 8.171 и 3.172 в уравнения Лагранжа и произведя преобразования, получим разрешающую систему уравнений
 т .. 24 Ф “Ь 2 Ло i
 Л01 ф 2 Yu eii -t- 2 Tjhj 0; 8.173
 Лоп Ф 2 Ynj Snj 2 ini — Of
 где
 I
 4oj mxx1-£- yl mXi x Xj Xl
 еи т j XtXjdxdy иВг §X”dx.
 о 0
 Начальные условия для системы 8.173 при отсчете времени от начала пластической стадии при - 0
 Ф 0; Ф — Ф10; 774У;...; TnTnt3; Т Т1 3;...; Тп Тп t3.
 8.174
 Если контакт ударника с воспринимающей балкой к началу пластической стадии не прекратился, то необходимо учесть также работу контактной силы и рассмотреть движение ударника.
 Работа контактной силы
 вг 70фУ1,0.
 а уравнение движения ударника
 8.175

Принимая контактный закон в виде формулы 8.1, получим
 i
 оо оо
 Л01Ф -г У Tjyу еи2 ГЕу—Л1Д1а 0;
 Лоп Ф Ь Tj ynj -f- B„j Tj ki Дп а — 0;
 ф Xjc17,a ft2a o n i...cs.
 8.177
 Начальные условия для системы 8.177 при t 0
 Ф 0; Ф- ф10; Тг 4; ...;ТпТяU,
 T Ti 3; • • • Тп — Тп з’ ос a 3; a ос3.
 8.178
 После прекращения контакта необходимо рассмотреть свободное движение системы согласно формуле 8.173 при начальных условиях, выражающих неразрывность перемещений и скоростей точек балок.
 Наконец, если к началу пластической стадии ударник двигался вместе с балкой, то необходимо в выражении для кинетической энергии добавить член, соответствующий кинетической энергии движения ударника
 Если воспринимающая конструкция работает в условно-упругой стадии с трещинами, а поддерживающая переходит в пластическую, то прогибы этих конструкций соответственно будут
 где фх — угол раскрытия в пластическом шарнире поддерживающей балки.
 8.179
 уух, t ух ta, ; У Фх при 0 хг JCj;
 8.180
 8.181
 280

Выражения для кинетической, потенциальной энергии и работы контактной силы:
 к -у- у У х, 02 dx 2 j ф х dx1
 о о
 2 -у- J ф2 х 1 dXl; 8.182
 ГГ п Х1 г
 Х
 818з
 0 х —р
 W Fy х, tщхг. 8.184
 Выполняя снова процедуру Лагранжа и добавляя уравнение дви¬
 жения ударника
 х фхга —tttaf 8.185
 получим систему уравнений движения
 оо со
 2 ф ех Tjи—0j —ka 0;
 i i
 8.186
 2 711,п7 феп 2 Tiy.nj-®nj—k аД„0;
 1
 2 Trj p 1 Mi k1ax10;
 7± 1 -■
 V Г; л: ф i а о « 0.
 I 1
 Отсчитывая время от начала пластической стадии, запишем начальные условия при 0
 Тл 7з,..; Г, - Гдз; Ф1 0; 8.187
 Ч1 Фю; а “з; « аз,
 где начальная угловая скорость ср10 находится, как и ранее, из условия равенства количества движения в конце упругой и начале пластической стадий.
 Аналогичным образом могут быть получены расчетные формулы для стадии работы системы, когда и воспринимающая, и поддерживающие балки работают в пластической стадии.
 281

Момент времени fmax когда будет достигнут максимальный угол поворота конструкций, работающих в пластической стадии, может быть найден из условия pmax 0 или Фшах 0. Для обеспечения прочности конструкций необходимо выполнение условий:
 фшах Фи» Фтах Ф1 и» 8.188
 где фи — предельный угол раскрытия пластического шарнира воспринимающей балки, определяемый с учетом снижения прочности бетона сжатой зоны и других эффектов удара; ф1и — то же, поддерживающей
 балки, определяемый, как и при импульсивной нагрузке, но для уменьшенных со всех сторон на толщину защитного слоя размеров сечения Ъ и Ъ. Полный прогиб балок
 У Ух з фтах2;
 У ll з Фтах
 8.189
 На рис. 8.27 приведены кривые прогибов балок, воспринимающих удар, на податливых и весьма жестких поддерживающих балочных элементах. Из рисунка цидно, что при высокой податливости поддерживающих элементов общие прогибы воспринимающей балки существенно снижаются. При высокой жесткости поддерживающих конструкций этот эффект в значительной степени утрачивается и возможно даже некоторое увеличение прогибов воспринимающей балки по сравнению с прогибами конструкций на несмещаемых опорах.
 8.4.2. Плиты. При расчете железобетонных плит на общее действие удара используем тот же упрощенный подход, что и при расчете балок. Если откола или пробивания не произошло, то необходимо проверить прочность плиты при общем действии удара. В соответствии с экспериментальными данными рассмотрим две стадии деформирования плиты: условно-упругую и пластическую, полагая, что конструкция имеет продольную арматуру, диаграмма которой обладает физическим пределом и площадкой текучести A-II, A-III, Вр-1.
 Рис. 8.27. Прогибы балок, воспринимающих удар, в зависимости от жесткости парциальной частоты он, поддерживающих балочных элементов
 282

• Условно-упругая стадия. Прогиб плиты постоянной толщины будем искать в виде
 где Wktnx,y — собственные формы колебаний плиты; TktJl t — соответствующие им функции динамичности.
 Выражения для кинетической, потенциальной энергии и работы внешней нагрузки имеют такой вид:
 где m — масса единицы поверхности плиты; D0 и Dx — цилиндрическая жесткость плиты без трещин и с трещинами соответственно; v — коэффициент Пуассона, для бетона v 0,2; х и у — координаты центра приложения ударной нагрузки; г р — радиус зоны распространил трещин, г d2, d — диаметр ударника; а и b — размеры плиты в плане.
 Заметим, что выражение 8.192 — приближенное, в нем распределение потенциальной энергии по кругу радиуса г р в целях упрощения выкладок заменено распределением по квадрату, эквивалентному по площади, со стороной 2г р. При малых d по сравнению с размерами плиты это допущение не приводит к большим погрешностям.
 Внося формулу 8.190 в 8.191...8.193 и далее в уравнения Лагранжа, добавляя уравнение движения ударника
 Ms N? 2 wknxtyTkn ctj F 8.194
 Ь1 Л 1 J
 и принимая контактный закон в виде формулы 8.1 где кх определяется для плит, получим разрешающую систему уравнений движения:
 W х, jf,2S whn х, yThn 0,
 8.190
 к п
 a2 Ы 2
 8.191
 — a2 —Ь2
 WFQwx,y,t, 8.193
 h 1 n 1
 k n 1
 283

GO СО
 2 2 hn йтп ”2 27hn лп——a A«v0;
 K 1 « 1 k 1 n— 1
 GO OO CO CO
 2 2 7,» 2 27,tnftnhn—ftnftn—6iaAftn 0;
 k П 1 k n
 CO GO
 2 2 Thnai-w20a 0,
 1Л1
 где
 a2 b2
 aijkn m j J WuWhn dx dy;
 — a2 —62
 fr-.i -D a? T fa2U I WtjdzWhn dWhn
 8.195
 — 	a2 —62
 a2 rft,t J
 dx2 d y2
 ol rj wu а» wkn , a2 rfcn a yu
 ™dxdy;
 dx dy dx dy J f
 r P r p
 6un A,-£i j f f
 1 m _L n
 d jc2 d ip .
 -Г Р -r P y 7
 ylhn 2n Vr r» ,
 l 	ах2 ai2 ч аа а»
 I а2п ll-rfrrfrr-
 аде2 а з аа« ахау J
 А Wtjx,y’, talkxIM,.
 Начальные условия для системы 8.195 при t О
 Тц ...Thn 0; Ги ... 7п0; a 0; a u0. 8.196
 Дальнейшие рассуждения аналогичны рассмотренным для балок. Если в момент времени t контакт ударника с балкой прекращается, то необходимо при t t принять a 0 и опустить последнее уравнение в формуле 8.195.
 Если Fmax в момент t оказалось больше Plt то далее ударник движется вместе с плитой и в выражении 8.191 должен быть добавлен член, учитывающий кинетическую энергию ударника
 -f-wMx,y,i. 8-197
 284

Начальными условиями для упомянутых стадий работы плиты являются условия непрерывности прогибов и скоростей точек плиты. Решение системы 8.195 целесообразно производить на ЭВМ. Изгибающие, крутящие моменты и поперечные силы могут быть определены по известным формулам:
 д2 w
 дх2
 М
 ху
 , д2 w
 -v ду2
 А г 1
 д2 w
 д2 ад
 д у2
 дх2
 д2 w
 Q,
 -Д
 О X
 д
 дх
 дх ду д2 w
 д2 w
 i
 ду V
 2 д2 ш
 ду2
 8.198
 8.199
 Для приближенной оценки прогибов и других параметров деформирования плиты могут быть сделаны дальнейшие упрощения.
 Например, можно считать, что все сечения плиты имеют пониженную жесткость сечений с трещинами; в этом случае следует положить ijhn 0, а в выражении для bijkn принять D0 Di. Такое предположение в большинстве случаев не вносит существенных погрешностей в конечный результат.
 Собственные формы для плит постоянной жесткости существенно упрощаются. Для форм, обладающих свойством ортогональности соответствующих, например, шарнирному опиранию, жесткой заделке краев и ряду других граничных условий, выражения коэффициентов системы также упрощаются .
 Условно-упругая стадия продолжается до момента времени 3,
 когда в арматуре какого-либо сечения плиты достигается динамический предел текучести. Момент 3 находят из условия
 Рис. 8.28. Расчетная схема квадратной в плане плиты в пластической стадии
 Мх, у, tз Мим,
 8.200
 где Мх, у, 3 определяется по формуле 8.198; MUtd — предельный внутренний момент в сечении.
 Пластическая стадия. Согласно экспериментальным данным расчетную схему деформирования плиты, опертой на неподвижный контур, в этой стадии принимают по рис. 8.28.
 285

Предполагают, что после достижения динамического предела те кучести арматуры в каком-либо сечении плиты мгновенно образуются линейные пластические шарниры. Таким образом, плита превращается в систему, состоящую из дисков, соединенных линейными пластическими шарнирами. Деформацией дисков пренебрегают по малости, т. е. они считаются абсолютно жесткими.
 Метод решения рассмотрим на примере центрального удара по свободно-опертой квадратной плите. С позиций общего действия удара этот случай наиболее опасен и представляет наибольший практический интерес.
 Считая, что диаметр контактной зоны значительно меньше размеров плиты в плане, прогиб участка рис. 8.28 будем искать в виде
 где ф — угол поворота участка к горизонтали.
 Участок II поворачивается относительно прямой А В рис. 8.28; прогиб этого участка может быть представлен в виде
 Для получения уравнений движения вновь используем уравнение Лагранжа.
 Кинетическая энергия равна сумме кинетических энергий дисков типа I и II:
 w х, у, t ftia2 — х.
 8.201
 jc, у, t р0Ца2 — 0,709 у .
 8.202
 4tfi 4С,ь
 8.203
 а2 0,41л-
 т ф2 а2—xdxdy — 0,00212та4ф2;
 о о
 8.204
 Га2 х
 а2 0,41
 8.205
 Таким образом,
 К - 0,0917та4ф 286
 8.206

Потенциальная энергия равна работе изгибающих моментов на углах раскрытия линейных пластических шарниров
 U 2М10 а jpcos 4а М10 ф, 8.207
 2cosk16 16
 где М10 — изгибающий момент на единицу длины пластического шарнира в перпендикулярном ему направлении. При выполнении продольной арматуры в виде ортогональных арматурных сеток со стержнями, параллельными сторонам плиты,
 M10 Mxl0sm-MvlKcos-, 8.208
 1о 1о
 где я16 — угол, составляемый направлением пластического шарнира — границы участка с осью х.
 При одинаковом сечении арматуры в обоих направлениях
 Мх ю Му i0 - - Мю — - Rsd Ash,Ql — jf
 где E — относительная высота сжатой зоны сечения.
 • Рассмотрим вначале наиболее распространенный случай, когда контакт ударника с плитой прекратился к началу пластической стадии и Ft 0. Подставляя формулы 8.206 и 8.207 в уравнения Лагранжа и производя преобразования, получим
 рМ10, 8.209
 т та3
 при начальных условиях время отсчитываем от начала пластической стадии при t 0
 Ф Фю; Ф Фю. 8.210
 где фю — условный угол поворота в конце упругой стадии,
 Ф10 2wal2, а2; 3а. 8.211
 Начальная угловая скорость фю находится из условия равенства количества движения плиты в конце упругой и начале пластической стадий:
 а2 0,41 Га2 х
 8т w1 dxdy 8m wlldxdy —
 оо Loo
 j °Х w11 dx dy 1 Am “f “j VV Wnm x, yTnm , dxdy, 8.212 0 0 J о 0
 откуда
 Фю af f S S Wnn X, У Tn t3 dxdy. 8.213
 a 0 0
 287

Решение уравнения 8.209 имеет вид
 ф Гз5 10-уf фТРхо- 8.214
 Максимальный угол поворота плиты будет достигнут в момент времени тах» когда ф 0. После дифференцирования 8.214 легко получить
 шах Фх 0ma3l 48,15Л110, 8.215
 тогда из формулы 8.214
 Ф?о1Г Ф1о- 8.216
 Максимальный прогиб в середине плиты
 1шах фтах2. 8.217
 • В случае, когда контакт ударника с балкой к началу пластической стадии не прекращается, необходимо в уравнениях Лагранжа добавить работу контактной силы, а также дополнить полученное уравнение движения балки уравнением движения ударника.
 Таким образом, приходим к системе уравнений движения
 8.218
 ц—е1а — е2
 ф а2 а соа 0, где
 ег — та3; е2 — 48,15М10та3; wl kJMs при начальных условиях при — 0
 ФФк; ф Фю а а3; a at3. 8.219
 Решение уравнения 8.218 следующее:
 ф2р фю Г а3 Фю
 «8 е— х
 Р I 2Р J 2
 X а ts cos ft sin ft J; 8.220
 а a t3 1- cos ft sin ft , 8.221
 где 2 o§ ега2.
 288

После прекращения контакта необходимо рассмотреть свободное движение плиты, т. е. уравнение 8.209 при начальных условиях, выражающих непрерывность угла поворота и угловой скорости в момент прекращения контакта t.
 Наконец, если в момент t сила Р становится равным Р1У необходимо при t t рассмотреть движение системы «ударник — плита». Для получения уравнения движения в этом случае необходимо в выражении для кинетической энергии внести член, учитывающий энергию ударника:
 . 2 ф Т-ч Т-
 Начальные условия и в этом случае выражают непрерывность угла поворота и угловой скорости.
 Все приведенные формулы пригодны как для плит без поперечной арматуры, так и имеющих поперечную арматуру в виде хомутов.

ГЛАВА 9
 ДИНАМИЧЕСКИЙ РАСЧЕТ НЕСУЩИХ СИСТЕМ ЗДАНИИ И СООРУЖЕНИИ
 9.1. Расчетные динамические модели несущих систем
 • Расчетные динамические модели зданий и сооружений зависят от конструктивных схем, вида и уровня нагрузок и целей расчета. Несущая система каркасных зданий образуется из рам, объединяемых в единую пространственную систему перекрытиями и покрытием.
 Большие трудности возникают при установлении модели здания при динамических нагрузках небольшой интенсивности импульсных и периодических. Хотя здание будет работать только в упругой стадии, но в его работу включаются различные ненесущие элементы перегородки, наружные стеновые панели, лестничные клетки и т. п., проявляется влияние сухого трения в соединениях и т. п. Поэтому расчетные схемы чрезвычайно усложняются.
 При динамических нагрузках большой интенсивности второстепенные элементы выключаются из работы вследствие разрушения или развития пластических деформаций; происходит проскальзывание в соединениях, устраняющее влияние сухого трения, и работа здания определяется в основном только элементами несущей системы.
 ■ Поэтому можно рассматривать динамические модели только несущих систем промышленных зданий.
 Как известно, имеется много общего у взрывных и сейсмических воздействий, относящихся к группе импульсных сил. В теории сейсмостойкости разработаны методы расчета зданий различных конструктивных схем при исходных предпосылках различной степени точности. Поэтому достижения в теории сейсмостойкости используются при решении задач рассматриваемой проблемы. При этом расчетные схемы здания разделяются на три группы: консольные, плоские и пространственные. Во всех этих моделях действительные распределенные массы элементов заменяют сосредоточенными массами, соединенными деформируемыми невесомыми связями, и сооружение сводится к системе с конечным числом степеней свободы.
 Для таких дискретных динамических моделей сооружений используют следующую классификацию: одномерные, двухмерные и трехмерные модели. Эти модели характеризуют взаимное расположение точек или тел при их движении.
 290

• При одномерной консольной схеме сооружение представляется невесомой консолью с сосредоточенными массами на уровне перекрытий.
 Колонны при этом являются невесомыми деформируемыми связями между массами. Такая расчетная модель применима для зданий с рамным каркасом при деформировании несущей системы по схеме плоского изгиба, когда все рамы деформируются одинаково.
 Условия, обеспечивающие работу здания по консольной схеме, выполняются довольно редко, особенно для взрывных нагрузок, которые могут действовать с разной интенсивностью по длине здания. Кроме того, во многих зданиях имеется неравномерное распределение полезных нагрузок, вследствие чего происходит смещение центров масс и жесткостей перекрытий. В таких случах возникают эффекты пространственной работы несущей системы: поступательно-вращательные движения перекрытий, вызывающие кручение всей системы; деформация перекрытий в своей плоскости по изгибно-сдвиговой схеме; скручивание перекрытий вследствие различных изгибных деформаций вертикальных элементов.
 • Для исследования пространственных колебаний многоэтажных зданий наибольшее распространение получили двухмерные модели. К ним относятся расчетные схемы, в которых перекрытия и покрытие рассматриваются в своей плоскости как жесткие диски, движущиеся плоскопараллельно. Колонны и вертикальные диафрагмы представляются невесомыми связями между перекрытиями. Расчеты показывают, что пространственные деформации существенно перераспределяют усилия между вертикальными элементами и изменяют весь частотный спектр системы. Однако допущение об абсолютной жесткости перекрытий может привести к существенным погрешностям, так как иногда деформации перекрытий сопоставимы с деформациями вертикальных элементов.
 • Поэтому находит применение плоская или, обычно называемая, перекрестная расчетная схема. В этом случае несущая система здания представляется в виде плоской стержневой рамы, причем нагрузка действует по нормали к ее плоскости. Массы сооружения сосредоточиваются обычно в местах пересечения вертикальных колонны, стены и горизонтальных перекрытия стержней.
 • Наиболее полное исследование работы зданий позволяет выполнить пространственные расчетные схемы на основе трехмерных моделей. Обычно и здесь используется метод дискретизации масс, но с большей густотой расположения сосредоточенных масс, например используется расчетная схема в виде пространственной решетки из стержней с сосредоточенными массами в пересечениях элементов. При использовании таких сложных расчетных моделей в большинстве случаев расчет сооружений проводят лишь в упругой стадии. Учет пластических деформаций осуществляют введением пластических шарниров в опорных сечениях элементов.
 • Наиболее универсальным методом расчета сооружений является метод конечных элементов. Однако этот метод приводит к системам

дифференциальных уравнений .очень высокого порядка Поэтому развиваются методы, в которых укрупняют исходные элементы — суперэлементов и пространственных конечных элементов. Такие подходы позволяют существенно в десять и более раз снизить порядок системы уравнений. При выборе динамических моделей для зданий и сооружений при взрывных воздействиях необходимо учитывать следующие особенности:
 1. В производственных зданиях взрывные нагрузки передаются на несущую систему через конструкции стен, перекрытий и покрытия, т. е. в результате взаимодействия отдельных элементов.
 2. Возможны локальные колебания отдельных элементов несущей системы, возникающие после начала действия на них динамической нагрузки. Эти колебания развиваются до появления движения всего сооружения, если имеется существенное отличие в частотах колебаний несущей системы и ее элементов.
 3. Жесткость перекрытий и покрытий в своей плоскости может существенно уменьшиться вследствие появления пластических деформаций в их плитах и нарушения связей сдвига между ними.
 ■ Таким образом, методы расчета зданий на взрывные воздействия должны основываться в общем случае на пространственных расчетных схемах с распределенными параметрами инерционными, жесткостными по длине элементов. Такой динамической модели соответствуют метод конечных элементов и метод дискретизации масс с достаточно большой густотой распределения масс по длинам элементов. Однако реализация этих методов для расчета многоэтажных зданий с учетом нелинейного деформирования элементов может оказаться недоступной для современных ЭВМ, а точность результатов расчета не будет соответствовать степени достоверности исходных данных о параметрах конструкций и нагрузок. Поэтому применяют упрощенные расчетные схемы: плоскую, когда все перекрытия и покрытия перемещаются поступательно, и пространственную при учете их поворотов. Участки перекрытий и покрытия можно считать абсолютно жесткими в своей плоскости, если их плиты работают только в упругой стадии у и гибкими при развитии пластических деформаций в плитах, Из своей плоскости перекрытия считаются гибкими, не препятствующими деформациям ригелей рам. Для практических расчетов обычно используют плоскую расчетную схему, когда из несущей системы выделяются отдельные плоские рамы. Такой подход вполне обоснован, если перекрытия работают в пластической стадии и не обеспечивают совместную работу рам. Рассмотрим метод динамического расчета стержневых рамных систем.
 9.2. Динамйческий расчет плоских стержневых систем
 с распределенными параметрами
 Рассмотрим плоскую систему, состоящую из прямолинейных стержней элементов, соединенных в узлах системы, к которым отнесены и опорные узлы. Массы и характеристики жесткости считаются рас¬
 292

пределенными по длинам элементов. Как известно, существующие методы динамики сооружений позволяют производить исследование лишь установившихся вынужденных и свободных колебаний плоских рам с распределенными массами. Благодаря работам А. А. Белоуса, Н. И. Безухова, В. Г. Чудновского, опубликованным в 1939 г., динамический расчет колебаний рам доведен до степени совершенства, свойственного статике сооружений. Эти методы позволяют определять частоты и формы собственных колебаний плоских рам с распределенными параметрами, а следовательно, позволяют использовать метод разложения по формам собственных колебаний рам. Такой подход применяют для расчета на действие импульсных нагрузок различных сложных конструкций в упругой стадии: рам, сферических оболочек. Однако учет малого числа форм колебаний не определяет локальные колебания отдельных элементов. Для получения достаточно точных результатов необходимо выделить те формы колебаний рам, которые могут описать локальные колебания элементов от местной нагрузки. Это связано с большими трудностями, так как определение каждой формы колебаний для многоэлементных рам является весьма трудоемкой задачей.
 • Наиболее общим является метод, в котором для каждого элемента рамы используется методика численного расчета согласно гл. 6 и производится их объединение путем удовлетворения условиям сопряжения в узлах рамы. Метод сопряжения как точный применяется в теории колебаний упругих рам. Однако сформулированный в общем виде метод сопряжения применим для расчета систем с небольшим числом элементов.
 • Один из путей учета локальных колебаний основан на представлении прогибов каждого элемента в виде суммы некоторых локальных форм перемещений, т. е. с использованием обобщенных координат переменных. Известно, что второй метод дает большую точность по сравнению с методом сосредоточенных масс при одинаковом числе переменных. Применим метод с использованием обобщенных координат, основанный на разработанном В. В. Болотиным методе расчета рам на колебание и динамическую устойчивость. Для всех элементов используют линейную зависимость усилий от соответствующих деформаций, предполагая, что изгибная и осевая жесткость определены с учетом влияния трещин и неупругих деформаций.
 • Для каждого элемента с номером «е» введены обозначения: расчетная длина Р, погонная масса теУ осевая tje и изгибная Ве жесткости
 Ehd AeV; Ве Еы IeV е 1, 2, ет. 9.1
 В узлах системы могут быть сосредоточенные массы например, жесткие вставки с параметрами myi, 1 vi масса и момент инерции массы, где i — номер узла. В опорных узлах сосредоточенные массы образуются массами фундаментов с параметрами ЛфЬ ф.
 • Для каждого элемента принята местная система координат, расположенная так, что ось элемента Ох совмещается с осью прогибов
 293

Vw вращением по часовой стрелке. Поперечные и продольные перемещения сечений элемента вследствие динамических воздействий обозначены соответственно wcxy t, иеху t, перемещения от начальных статических воздействий weH дс, иенх. Усилия в элементе от динамических и статических воздействий: изгибающие моменты Ме х t Л1ен ; поперечные и продольные силы Qexy t, Qeu ,, Ne, NeH. Сжимающие продольные силы и деформации сжатия приняты положительными.
 • Активные нагрузки примем распределенными по длине элементов.
 Обозначим интенсивность поперечных к осям элементов и продольных нагрузок: статических qewxy qeu х, динамических .х, t
 PeVx 0 Распределение этих нагрузок по длине элементов может быть произвольным. Положительное направление поперечной нагрузки совпадает с осью прогибов 0w7 продольной нагрузки — с осью Ох. Будем учитывать также в узлах сосредоточенные усилия, определяемые двумя силами и моментом.
 • Используем метод перемещений, введя в каждом узле три связи, препятствующие соответствующим перемещениям. Все перемещения связей от динамической нагрузки в глобальной системе координат представим вектором-столбцом физические координаты
 где кт — общее число перемещений связей.
 Обозначим статические поперечные и продольные перемещения элемента «е» от единичного перемещения k-и связи: weZk » Uezh • От действия динамической нагрузки перемещения элемента представим в виде
 где fen х — собственные функции элемента в основной системе, т. е удовлетворяющие условиям закрепления концов при zh 0; Теп — функции времени обобщенные координаты.
 Для продольных перемещений 9.3 приняты только статические перемещения вследствие движения концов элемента, высокочастотные продольные колебания не учитываются. Собственные функции считаются ортонормированными. Второе слагаемое в формуле 9.2 учитывает локальные местные изгибные колебания, которые особенно существенны для элементов, подверженных непосредственному действию динамической нагрузки. Поэтому иногда можно учитывать мест¬
 Z zftf, k 1, 2, ..., к
 9.2
 9.3
 к
 294

ные колебания только для таких элементов. Перемещения всех элементов системы представим в матричном виде:
 М »». Nz 2 lfnTnh 9.4
 П 1
 и ие йг, 9.5
 где о л:; 1ы YueZt дс е 1, ет k 1, km;
 lfn I fen xl — диагональные матрицы собственных функций элементов; г — число учитываемых членов рядов; Тп Теп 0 — векторы обобщенных координат.
 Динамические усилия в каждом элементе
 Ме — Ве We, Ne —Ge ие, 9.6
 т. е.
 М — В1Ю; N —Юи, 9.7
 где IB Ве, G Ge — диагональные матрицы характеристик жесткости элементов.
 Подставив выражения 9.4, 9.5 в формулу 9,7, получим
 М-М 2 V МпТп 9.8
 п 1
 9.9
 где
 м —В w; М„ — IB 1; 9.10
 № ЛУ -0й. 9.11
 Поперечные силы
 ?лп qz2w»m7,». 9Л2
 п
 где __ __
 Q м, Q„ Л1Л.
 Уточним выражения для сосредоточенных усилий в узлах. Положительные направления этих усилий считаем совпадающими с положительными направлениями перемещений zk узлов. Сосредоточенные усилия от статической и динамической нагрузок обозначим векторами
 рн «, pP2k.
 295

При наличии в узлах сосредоточенных масс возникнут инерционные усилия
 Рин — Дг,
 где Д — матрица инерционных характеристик узловых масс, f В опорных узлах вследствие взаимодействия фундаментов с грунтом основания на подошве фундамента возникнут продольная и касательная силы и момент. Используя для основания зависимости упруговязкого тела, будем иметь
 рф _рг _ аг,
 где р, а — матрицы коэффициентов жесткостей и вязкого сопротивления основания. Матрицы здесь приняты для общности не.диагональными но симметричными, что позволяет учесть взаимное влияние разных фундаментов. Объединяя приведенные зависимости, получим общее выражение для сосредоточенных узловых усилий, зависящих от перемещений узлов
 5 Szfe —Vp z аг Az. 9.13
 Ha каждый стержень действуют распределенные силы инерции, поперечные и продольные, равные
 рГЧ -Иш г VW 9Л4
 п
 рГи —ml 1« г, где т -■ теп — диагональная матрица погонных масс.
 • Действию активных и инерционных нагрузок оказывают сопротивление кроме сил от деформаций еще диссипативные силы. Учтены силы, возникающие вследствие рассеяния энергии при поперечных колебаниях элементов и в соединениях в узлах. На основе анализа, проведенного в п. 4,2, применим модель вязкого трения Фохта. Для поперечных колебаний элементов используем упрощенный подход, введя диссипативные члены в разложении по формам локальных колебаний, т. е.
 рД _ Vm v„ й„1 j „ ГП dx, 9.15
 П
 где 1т„ lYeJ; IwJ coeJ; леп, yn — собственные частоты элемента в основной системе и соответствующие им коэффициенты потерь.
 Вследствие деформаций соединений элементов в узлах возникает потеря энергии, которую будем характеризовать сосредоточенными диссипативными силами
 Рд Я —ctj, г, 9.16
 296

где ау — коэффициенты затухания соединений в узлах при их деформациях по направлениям узловых перемещений zk.
 В общем случае принимаем, что закрепления элементов в узлах являются податливыми для поворотов, продольных и поперечных смещений опорных сечений. Силы 9.16 включаем во введенные ранее сосредоточенные узловые усилия и используем в дальнейшем общую зависимость 9.13, считая, что в матрицу а1 включены элементы матрицы а„ из формулы 9.16.
 • При относительно больших деформациях элементов, особенно вертикальных, возможно влияние продольного изгиба, что учитывается расчетом по деформированной схеме. Для этого используем фиктивную поперечную нагрузку
 рН №1 —тЩш«оЫр»’—9-17
 где
 lV,l -Nl lNw-Nw. 9.18
 Здесь для продольных сил применены диагональные матрицы.
 • Для вывода уравнений движения системы может быть использован принцип возможных перемещений. Возможные перемещения элементов согласно формулам 9.4, 9.5 равны
 б,,- wbz fnbTn;
 п
 б 	и — м б г,
 де 6г, 67 — независимые вариации физических и обобщенных координат.
 Однако более просто уравнения могут быть получены, если использовать известное свойство функций прогибов weZk uezk• Функции — wezk, —ueZk являются уравнениями линии влияния реакций в связи zh соответственно для поперечной и продольной нагрузок. Поэтому матрицы —lwT, —Iит будут представлять совокупность линии влияния реакций в связях основной системы. Знак «71» означает операцию транспонирования матрицы.
 Уравнения движения и равновесия системы находим из условия равенства нулю реакций во введенных связях и уравнений поперечных деформаций в элементах. В частности, уравнения равновесия системы в начальном состоянии по деформированной схеме имеют вид
 Я,, 2„ — С Ытfa№d — j kT?«d X

 w„YNHwHdx-p0-, 9.19
 -AT- U -Wh1K, 9.20
 297

где 7ш, qu — векторы статических нагрузок; ?н г— матрица жесткости системы в начальном состоянии; дон 1» 1ин1 — матрицы единичных перемещений в начальном состоянии.
 Начальные перемещения и усилия элементов системы равны
 йУн KJ zH; «„ «„ zH;
 M„ lA1„Z„; N„ N„zH,
 где zH zftH — вектор начальных перемещений связей.
 При неучете продольного изгиба уравнение 9Л9 сводится к обычному каноническому уравнению метода перемещений, а уравнение 9.20 определяет обобщенные координаты прогибов элементов в основной системе при представлении их в виде рядов 9.4. Единичные перемещения элементов в выражениях 9.4, 9.5 приняты отличными от единичных перемещений в начальном состоянии, что возможно в общем случае при изменении характеристик закрепления концов элементов. Обозначим полные величины поперечных и продольных динамических нагрузок
 к. pla I 1С р1д рЛ; 9.21
 Л Wa WH,
 где соответствующие величины определяются по формулам 9.14, 9.15, 9.18.
 Уравнения динамического равновесия системы
 -М Ри,, 9-23
 где R rh — матрица жесткости системы безмассовой в рассматриваемой стадии работы.
 Из равенств 9.8, 9.10 с учетом оу1У 0 имеем
 Мя 2Н7’п -Я 2 «УН7’Л 9.24
 п п
 Вследствие соотношения 9.24 собственные функции fen х удовлетворяют обычным уравнениям, которые в матричной форме имеют вид
 BjJv m 1оД „, 9.25
 тогда
 ЛП _ т 2 мп „ Гп; 0еп
 п 1е
 298

В результате из формул 9.22, 9.23 получим две группы уравнений:
 m00 U 2 711 °°1 г 71 п п
 Cool г K0nTn-D0 0; 9.26
 П
 т„0 z т Гп Сп0 г СПП ГП Л:п0Цг
 Г
 2 lKnpTp—Dn0, п 1,2 г, 9.27
 р
 т0„ j wTm „ d л:; 9.28
 Cool а; Лоо1 Н-р1 — j a»T wjdx;
 Щ 1Ня № ,„ - j wTti lMx: 9.29
 D0 j шг d x йг ptta d x —
 9.30
 mn 0 - j „ m a»J d x m0 nr;
 C„„mv„on; 9.31
 C„ 0 j „1 myn •„ tw d jc;
 Cnol - j fn’ Tv w dx K0nr, 9.32
 lK„n m ton— f fn Л fn d x;
 о
 np - j fn N Ifp d Cpn, пфр; 9.33
 A, J » 1р£° d x-j „ N a£d x. 9.34
 Уравнения 9.27 получены после умножения 9.23 на fn и интегрирования по пролетам элементов. В формуле 9.30 использовано равенство
 j a»r Щ lfndx — j да n fn Ax.
 299

т
 Аналогичное преобразование применено и для Уравнение
 9.26 состоит из km скалярных уравнений, а каждое из уравнений
 9.27 — из ет скалярных уравнений. Всего имеем km гет дифференциальных уравнений для неизвестных функций 7.п.
 • Уравнения 9.26, 9.27 сведем к одному уравнению для вектора физических и обобщенных координат, что удобно при разработке программы расчета на ЭВМ.
 XZri...7n...Tr,
 Его можно представить в обычной форме
 от X С С Х D, 9.35
 где матрицы масс, затухания, жесткости блочные матрицы и вектор внешних сил имеют вид
 Ноо ••• тап 1... И0гГ Ио „Г...0... от...0...0 Лтог г...О...О...О... от
 С00... С0 „1... С0г 1С I C0nf ...0...Cnn...0...0 _C0rf ...0...0...0...CrrJ
 Coo Coil ••• ATo n ••• Co r
 AToilrЛГцCx„... Clr
 опПл:п1...с„„...л:пг
 СогГСп-СгП...Сгг
 Уравнение 9.35 описывает движение системы с конечным числом степеней свободы, которая получается при удержании конечного числа членов в рядах выражения 9.4. Матрица 9.36 содержит действительные погонные массы элементов lm и массы, приведенные.к сосредоточенным для физических и обобщенных координат. Все матрицы являются симметричными. При расчете по недеформируемой схеме следует принять во всех формулах ЛМ NJ 0. Тогда матрица жесткости будет квазидиагональной
 К
 9.36
 9.37
 9.38
 9.39
 ■ Cool 0
 0
 0 “
 0 mo?
 0
 0
 С
 0 0
 meal
 0
 9.40
 0 0
 0
 где Cool ll pi-
 300

Каждый элемент — блок матриц соответствует реакциям в физических индекс «О» и обобщенных индекс «я» связях, причем в матрице 9.36 — от единичных ускорений, в матрице 9.37 — от единичных скоростей и в матрице 9.38 — от единичных перемещений координат. Взаимному влиянию физических и обобщенных координат соответствуют первая строка и первый столбец матриц. Нулевые элементы в матрицах 9.36, 9.37 являются следствием ортогональности форм колебаний стержней. Нули в первой строке и первом столбце матрицы 9.40 являются следствием равенства нулю работы внутренних сил, возникающих от единичных перемещений связей, на деформациях элементов в основной системе.
 ■ Изложенный метод является синтезом метода перемещений и теории колебаний стержней. Этот метод дает точное решение задачи динамического расчета стержневых рамных систем в том смысле, в каком в теории колебаний определяется точное решение при использовании рядов.
 Запишем уравнения 9.26, 9.27 в координатной форме, для чего найдем выражения для элементов всех матриц. Из формулы 9.28 имеем
 f шг m й d х J oy«JA,e mewez e,f d x

 meWezhwe2j d j
 и тогда
 m0f mhJ,
 где
 9.42
 fnkj 2 I me wezh Wez. d 2 1 me U‘kUZj d Ahj- 9.41
 e 0 e 0
 Аналогично будем иметь
 ™0nl Mkteni Coo — lchji Con Ck,en lKoo bkj, lKon lkk,en; Ddkl
 где
 e _
 mk, en •’ me Wezh e„ d jc; chJ ahJ;
 0
 e —
 kh,en j Nfen d XI Ch,en Уеп ®en
 301

hi rkJ phJ — NW“k Wez.d X’ 943
 e 0 1
 V j We2kPew dx 2 j UekP™ -d X e e
 Pzh — 22 j Ne wezkwe„ d X.
 e
 Для матриц уравнений 9.27 получим
 nol Men ,j menj ttljten lno
 CenJ Cjteni Qn.en» en.en Уепепеу 9 44
 tio fcenjh ken,jkj,eni Innl en,en
 kenen efen A Xf Дпр кепер
 ken,ep j Ne fen fepAx Dnden
 den J fenPew d x—J Nefenwen d X. 9.45
 В результате имеем следующую систему уравнений для функций zs Теп:
 ftlhjZj 4“ tftkien Теп “h Chj zj “Ь
 1 п е  Сц.еп Теп khjzj кепТеп О
 не я е
 при kl, 2,km 9.46
 men J zj Н теТеп Ь 2 Сеп еп вп

 Ь 2 enj Н” kenenTеп Н еп.ерер 0 9.47
 рп
 при е 1, 2, ..., ?т; г 1, 2 ге.
 Начальные условия нулевые, если рассматривается кратковременная динамическая нагрузка. При воздействиях в виде мгновенных импульсов необходимо определить начальные скорости искомых функций.
 Рассмотренный метод расчета применим, очевидно, и при движении основания сооружения, возникающем вследствие распространения на поверхности грунта сейсмических или других волн. Пусть движение всех опор сооружения будет синхронным. Обозначим через z0 вектор перемещений опорных узлов. Компоненты г0, относящиеся к
 302

остальным узлам, равны нулю. Вектор полных перемещений узлов будет г г0 и возникнут дополнительные силы инерции:
 распределенные
 рГМ m w г0, 1рГЧ —т й г0
 и сосредточенные в узлах
 So — —А г0.
 В результате в уравнениях 9.26, 9.27 необходимо добавить в векторы внешних сил D0 и Dn соответственно члены
 — HoolUol, — nn0z0.
 При расчете по недеформируемой схеме изменяются следующие коэффициенты:
 kj kj Ь Phjt kh ,en en,h 0, 9 48
 enen ken,ep Ip te
 dk1Z ,f WezhPew dx
 e 0
 e
 den fenPew d X.
 0
 • При расчетах очень часто пренебрегают продольными деформациями в некоторых или во всех элементах. Пусть поступательная связь, соответствующая координате z, расположена вдоль продольной оси группы несжимаемых стержней с номерами еК Для них
 и i 1; и 0 0 при 1Ф . 9.50
 zi 6 гз
 Тогда приведенные массы 9.41 для i-й связи равны
 1е
 тп V те1е Ац; 9.51
 __ _
 tttji V j те Wez. Wez. d X. 9.52
 e 0
 • Если все элементы несжимаемы и отсутствуют деформации основания, то вектор z состоит только из угловых и поступательных горизонтальных перемещений. Иногда применяют расчетные схемы, в которых ригели считаются недеформируемыми. В этом случае повороты узлов отсутствуют, вектор г состоит только из горизонтальных перемещений, а обобщенные координаты будут учитываться только для стоек. Если принять стойки безмассовыми, то для всех элементов
 303
 ЛАхр
 у
 9.49

ТеП 0 и остается только уравнение 9.46, являющееся уравнением колебаний системы с сосредоточенными массами в форме метода перемещений
 fflhh h “i chj Zj J- khjZj 9.53

 Таким образом, полученные уравнения движения 9.46, 9.47 стержневой системы включают частные случаи уравнения, соответствующие различным упрощенным расчетным схемам.
 • Эти уравнения движения относятся к общему случаю деформирования широкого класса стержневых конструкций рамы различного вида, неразрезные балки, когда учитывается взаимное влияние физических и обобщенных координат. По отношению к динамическим нагрузкам введено ограничение — они приняты независимыми от деформаций конструкции. Поэтому методика расчета справедлива для случаев воздействия воздушных взрывных волн.
 • В производственных зданиях динамическая нагрузка на каркас создается в результате взаимодействия его элементов с опирающимися на него плитами. Расчеты показывают, что во многих случаях для частот колебаний плит сопл, элементов рамы каркаса ое и рамы в целом о0 выполняются соотношения оесопл 5, со0сое g . Поэтому,
 согласно п. 5.1, отдельные элементы рамы деформируются синхронно с примыкающими плитами с частотой сопл, а локальные колебания отдельных элементов и движение рамы происходят независимо. Следует принять
 Ша0 ■ 0, С„01 0, №„01 о,
 тогда уравнения движения 9.26, 9.27 распадутся на две группы не связанных между собой уравнений для физических и обобщенных координат.
 • Такое распределение деформирования всей системы и отдельных элементов приводит к методу расчета, который квалифицируем как упрощенный. В этом методе расчет несущей системы производится в два этапа. На первом этапе конструкции здания расчленяются на отдельные элементы, расчет которых производится на местное действие непосредственно приложенной динамической нагрузки при отсутствии перемещений здания- На втором этапе рассматривается движение здания в целом, которое представляется как система с сосредоточенными массами. Вэтом случае определяются дополнительные кинематические воздействия на каждый элемент.
 Полученные уравнения движения и зависимости справедливы для произвольных стержневых систем и могут быть применимы при расчетах лишь с использованием ЭВМ. Для некоторых конструкций и сооружений при соответствующих упрощениях возможно получение аналитических зависимостей, позволяющих обходиться без ЭВМ.
 Неразрезные балки относятся к конструкциям, при расчете которых необходимо учитывать взаимное влияние физических и обобщен¬
 304

ных координат, так как значения частот колебаний элементов и всей конструкции одного порядка. В большинстве одноэтажных и многоэтажных производственных зданий частоты колебаний элементов и несущей системы в целом существенно различны и поэтому их движение можно рассматривать независимо от локальных колебаний элементов.
 9.3. Двухпролетная неразрезная балка
 Для балки с крайними шарнирными опорами и с несмещаемыми опорами рис. 9.1 физической координатой является угол поворота zt сечения на средней опоре. В общем случае различны пролеты 11у 2, погонные массы ml1 m2, изгибные жесткости Вь В2, динамические нагрузки Pit, p2t. Для каждого пролета учитываем по две обобщен¬
 ные координаты, влиянием диссипативных сил пренебрегаем. Тогда уравнения движения балки в упругой стадии согласно формулам 9.46, 9.47 будут иметь такой вид:
 Рис. 9.1. Расчетная схема неразрезной балки
 Мц 11 mlt1212 771,21 21 ml,22 Т21 И- llZl dX
 11,1 zi Тц i Ти йц;
 12,1 Ч Ml 12 4“ WiOi 2 Ti2 di2
 21,1 Z1 m2 T21 4“ W2G21 T21 —d2i
 П22.11“ Tti2 Г22 f 22 d22i
 9.54
 где
 h
 0
 0
 1
 0
 0
 305

I г fni.2tm2 и2г, fndx;
 0
 1 г 4.22 Щ j w2z, 22 d 0
 kll ЗВ1И1 -j- 3B2l2,
 l diPi 0 f Wz, d x p2 t j w2z, d ;
 0 0
 1 It
 du Pi 0 I 11 d ; dl2 Pi t f f12 d x
 • •
 0 0
 21 Рг 0 j 21 d jt, d2X — P2 0 j 22 d jc; о 0
 ®1» —Г V “ai — I —;
 2 rn, r «2
 3,9266; Я.?» 15,411; 7,0686; ?ii49,965.
 Начало локальных систем координат для каждого пролета располагаем в шарнирных опорах см. рис. 9.1. Тогда при жестком стыке е 1,2:
 2 у le Sin Aj sh Л2 6-4- 9-55
 lg Sin X2 sh 2 J If;
 Динамические нагрузки
 Pit Pifit Pit Pif2t,
 где fit, f2t — кусочно-линейные функции.
 Нагрузка p2t 0, если она направлена снизу вверх.
 Частное решение системы 9.54
 ,1 t djj t я 1 dj2 О
 Z 7 , 11 1 2 —у
 «21 тгOj j соJ2
 Т2 d2l ; Т22 d22 . 9.56
 т2о, т2ш 2
 Для общего решения
 Zi i4ieta; Tjh Аш 306

соответствующей однородной системы получаем систему уравнений: о2 — о§Л пЛ4и 612о2Л12 Ь.по2А21 622оМ22 0; апагА1 ш2 — о?,4п 0; aj-swMj о2 — со?2Л12 0;
 atoMi to2 — co2i421 0; 9.57
 aco2 to2 — О22И22 - 0.
 где
 Обозначив
 bjkni,ihm11; ajhmlJhmj, Oo fe„mu.
 У т
 CD
 0
 On
 получим частотное уравнение
 у-1
 ЬпУ
 ЬпУ
 21У
 ЬпУ
 иУ
 у — Ри
 0
 0
 0
 агУ
 0
 У Pl2
 0
 0-
 аиУ
 0
 0
 У Р21
 0
 а22 У
 0
 0
 У—Р22
 0.
 • Рассмотрим частный случай одинаковых пролетов, т. е. Zi 2 т ; тх — m2 — m; Sj — В2 В,
 тогда
 ц ft2l “ 1» 12 22 2» 11 21 1
 Я12 — 22 Pll Р21 Pi» P12 Р22 Р2
 и уравнение 9.59 будет
 0.
 Отсюда видно, что имеются корни у Pi и у Р2.
 Определитель в формуле 9.60 сводится к такому виду:
 у — ьху bojy
 у-1
 ЪУ
 М
 ЬгУ
 а.У
 У—Pi
 0
 0
 0
 агу
 0
 У—Рг
 0
 0
 аУ
 0
 0
 У—Pi
 0
 h У
 0
 0
 0
 У— Pi
 у— Pi у—р2
 У— Pi 0
 2 а2у 0 у— ра
 307
 9.58
 9.59
 9.60

откуда для остальных трех корней yt следует уравнение
 сУъ — с2у2 слу — с0 0, 9.61
 где
 Со Р1Р2 Pi-1-Р2 ‘I- Р1Р2»
 с2 1 рх1 - 2а2Ь2 р21 — 2аА; с3 1 — 2а1Ь1 — 2 а2Ь2.
 Таким образом, общее решение складывается из гармоник с частотами
 ®i Vyi»ol 2 1Л2со0; о3 у3о0, оп, о12. 9.62
 Используя уравнения 9.57, будем иметь следующее решение:
 з
 zx 2 Atcos Mi Bi sini MiQ dx tku; ii
 Tu —ax ai Ai cos 0, Bt sin о -f- Лп cos on
 i
 -j- Вц sin оц -- dnnio, ij
 T 12z —a2 6f Л, cos coj t B sin co -f- A2 cos O121Ч-
 i
 -j- By sin 0121H di2lffiid 2» 9.63
 T2i —ax AiCosai t sin о,- — AnCosidnt—
 i
 —Bu sin con i dKmi 1;
 T22 —2 2 Ai COS t Bi Sin Of t —A12 cos 012t —
 где
 -B12 sin d12 t й221тх о?2,
 a yiyi— Pi; yiyi— p2,
 Bi, An, Л12, 11» 12 — произвольные постоянные, которые определяются из начальных условии.
 При нулевых начальных условиях получим
 Дц —-■ 3- -dfu0 d21 0; fl12 _L_ -d120 40;
 2ml со j j 2Tij 1
 42
 9.64
 — —11 0 d2l 0; A12 -— —d12 0 d22 0.
 2m1 2Hj to j2
 308

Значения Ль Л2, Ви В2 находят из линейных уравнений:
 а, —а3 А, а2—а3 Л2 «» °«° ЛАЕ;
 Щпг1 ki
 6Х —б3 Л, 62—б3 Л2 - rf»l?H-rfM-0 а AiiJ0 ; 9.65
 2a2m1Oj2
 «i-аз со,А а2—а3 со2Д2 - » 0 ■ 0 ?2П1С0,1 11
 б, — б3 0j5j б2 — б3 02В2 ?»0Н?«0.. Jh.W.; 9.66
 Л3 — —Ау — Л2— “Т- : в.
 К
 Функции нагрузок равны
 2 а2т1 со2
 l0 - Гг», г , diO 1 Oifli -f о2В2 -- -j— I j о3.
 Pi f А 2 dl0 _ 8 ,0_ 8 з0;
 dn 0 — Of d21 t — Pas ;
 12 0 p 121 0 22 0 222 0»
 I 1
 c jy 0,86 . f 0,0826 п c7
 si — j fnd 5 » s2 — j fnd 5 . 9.67
 о 0
 Коэффициенты уравнения 9.61 определяют по формулам:
 г- , , 2уть С- л 2lVl
 1 wi2tfudx 1—; а2 wlZlf12dx к—;
 о О Я2
 2 ,з , ,з 4 «о 6В
 та —— т? т2г —— т3; 105 Л 105 , 105 1 105 V7 о 24 q 2 l4
 bl-2-; b2174T; Pl,; р212-
 Если на оба пролета действуют одинаковые нагрузки, то fit 20, р2 -Pi, dx 0; Л, Bt 0.
 Тогда 2х — 0 и каждый пролет деформируется, как однопролетная балка с одной шарнирной и другой защемленной опорами.
 ■ Пример. Дана двухиролетная неразрезная балка. При , 2 6 м тг т2 2 тм, b X h — 0,25 X 0,6 м, h0 0,56 м.
 Арматура класса А-III, в пролете и на опоре Lij 0,0093, ы2 0,0016. Сопротивления: при растяжении Rad 390 -1,2 468 МПа, при сжатии
 RSc,d 390 • 1,1 429 МПа. Бетон класса В20. Динамические характеристики:
 309

Ebd 24 103 • 1,05 25,2 • 103 МПа, Rbu d 15-1,2 18 МПа, Rbt d 1,4 • 1,2 1,68; Rbз 0,7 • 18 12,6; Rbe 1,2 • 0,35Igl5 0,175 X X 18 10,6 МПа.
 Изгибная жесткость сечений балки равна В 41 755 кН м2. Находим ku 41 755, ти 16,46 т, о0 50,37, cog 2537,18, оп 61,88, 3829,4, со12 — 200,54, ш?2 40216,5, fa 1,5092, 02 15,85, aj 1,906, 6, - 0,2317, а2 0,5882, Ь2 0,0715.
 Корни уравнения 9.61: У 0,6186; у2 9,947; у3 119,16. Соответствующие частоты колебаний балки: Oj 39,62; о2 158,85; ш3 549,85.
 Расположим полученные значения частот в порядке возрастания с учетом «и, о12: 39,62; 61,88; 158,86; 200,54; 549,85. Соответствующие квадраты коэффициентов частоты А, будут равны: 9,872; 15,418; 39,582; 49,965; 137,00.
 Рис. 9.2. График изменения во времени угла поворота сечения балки на средней опоре
 Сравнение с точными значениями коэффициентов X? для двухпролетной неразрезной балки показывает, что для первых четырех коэффициентов получены практически точные значения, для пятого коэффициента погрешность точно 88,83 составляет 55.
 Прогибы и изгибающие моменты в сечениях балки обоих пролетов е 1 и 2:
 Уе С. 0 z 1 WeZt 7Wei 7W„; 9.68
 Me C- t ——В Zj-г Tejf‘el Te2l,2,
 где
 __ j sin h £ sh X, g
 УГ sin -i Если после подстановки выражений 9.63 в формулу 9.68 сгруппировать члены с одинаковыми частотами, то получим разложение решения по собственным функциям неразрезной балки. Расчеты показывают, что значения собственных функций и их производных определяются с достаточно высокой точностью. Например, погрешность для второй производной от первой собственной функции не превышает 5.
 Рассмотрим работу балки при действии мгновенно возрастающей динамической нагрузки только на первый пролет, т. е. при р2 0, fYt 1 — tld функции 9.67 равны:
 d,t - —4,5р,Ш; dnt —2,1066Plf,t;
 —0,2023Pft d2i — d22 0.
 Находим значения коэффициентов согласно формулам 9.64...9.66:
 —2,222. я,
 Ап 1,375-10- Ви 310

A12l ,258-10-® рг;
 —Г,27-10-»
 Д12 — g Р,
 Л, 1,0596-10- рх-, А2 —1,1931-10—7 р1; Л3 1,759-10-е р1.
 6i
 —2,676
 0
 10-вр,;
 Вя
 0,964-10-»
 е
 -3,117-10-»
 Рь
 Рис. 9.3. Графики изгибающих моментов в сечениях неразрезной балки:
 — в середине загруженного пролета; 2 — на опоре; 3 — в середине незагруженного пролета
 0
 Pi
 и по формулам 9.63, 9.68 определяем прогиб и изгибающий момент.
 Некоторые результаты расчетов при 0 lc, pY 1 представлены на рис. 9.2...9.4. Графики на рис. 9.2, 9.3 показывают, что изменение во времени всех расчетных величин поворот опорного сечения, изгибающие моменты происходит по различным законам и максимальные значения достигаются в разные моменты времени. Это приводит к существенно нестационарному распределению изгибающих моментов по длине балки рис. 9.4, которое, однако, близкок статическому распределению в мост
 4
 ; X, Af
 мент времени t 0,06 достижения максимальных значений изгибающими моментами на опоре и в середине загруженного пролета. Особенно отличное от статического распределение моментов наблюдается при t
 0,1 с, когда опорный момент близок к нулю и происходит значительное увеличение моментов в незагруженном пролете. Коэффициенты динамичности по моменту оказываются равными: для загруженного пролета kM 1,75, для опоры kM 1,85, для незагруженного пролета kM
 4,4. Эти данные показывают, что в рассматриваемом случае традиционный метод единого коэффициента динамичности не применим.
 Графики рис. 9.4 показывают, что в значениях опорных изгибающих
 моментов имеются скачки, изменяющиеся в пределах 8... 15, которые вызываются погрешностью вследствие учета двух членов в рядах. Учитывая также проведенную выше оценку точности при определении частот и собственных колебаний балки, можно сделать вывод, что учет даже двух членов в рядах обеспечивает удовлетворительную точность расчетов. Результаты расчетов показывают также, что уровень усилий в незагруженном пролете существенно выше при динамических нагрузках, чем при статических. Повышение эффекта динамического распространения усилий на незагруженные пролеты может позволить обосновать рациональность отделения помещения с взрывоопасным производством от остального здания.
 Рис. 9.4. Эпюры изгибающих моментов в неразрезной балке: а — при 0,02; 0,04 с; б — при 0,06; 0,08; 0,1 с
 311

9.4. Поперечные рамы одноэтажного производственного здания
 Рассматривается здание, на продольную стену которого действует взрывная волна с мгновенным нарастанием давления. Несущий каркас здания состоит из поперечных одноэтажных рам с шарнирными соединениями ригелей с колоннами. Считаем, что распределение динамической нагрузки вдоль здания симметричное, каркас здания деформируется по плоской схеме и поэтому для расчета выделяем одну раму. В расчетной схеме рамы рис. 9.5 горизонтальная динамическая нагрузка распределена равно-
 К
 Pfi
 К
 N.
 WP
 Рис. 9.5. Расчетная схема рамы одноэтажного производственного здания
 мерно по высоте крайней первой колонны, все колонны загружены продольными статическими силами Ne.
 Нагрузка pt образуется в результате взаимодействия конструкций стены с крайней колонной и рамой. Для большинства одноэтажных зданий, особенно с мощными колоннами под мостовые краны, выполняются соотношения между частотами колебаний стеновых панелей, колонн и рамы в целом, установленные в п. 5.1. Поэтому динамическая нагрузка на крайнюю колонну передается квазистатически и равна опорным реакциям стеновых панелей; локальные колебания колонн на движение рамы не влияют и динамическая нагрузка на раму равна pfpt, где функция времени fpt совпадает с законом изменения давления ft во взрывной волне при работе стеновых панелей в упругой стадии.
 При недеформируемых ригелях физической координатой является горизонтальное перемещение ригелей zxt. Уравнение движения рамы согласно формулам 9.46, 9.53 и при отсутствии диссипативных сил имеет такой вид:
 га
 ти ZiAnzdj,
 nh Не Я, _
 u 2mef tt«,dx mp; dxp0 аиi2,d лг;
 e 1
 А 3Be
 Hi
 Hi a
 v Ne j wez, d x;
 ei 0
 9.69
 9.70
 9.71
 где tik — число колонн; Be, tfc, me — соответственно изгибные жесткости, высоты и погонные массы колонн; ае — коэффициенты для ступенчатых и двухветвевых колонн; тр — масса всех ригелей.
 312

Применив для расчета стеновых панелей в упругой стадии способ задания статической формы прогибов, запишем выражение для функции динамичности при ft 1 — tQ
 Т t 1 а — 0 —1 асойеП f6sinoen • e“°’5veWf 9.72
 где а voen0; Ь 1оеп0 — 0,5? t 0; оеп — частота колебаний стеновых панелей; у — коэффициент потерь V2 1.
 Деформации и усилия в первой колонне от местного действия динамической нагрузки будут равны их статическим значениям от нагрузки р Др1у умноженным на функцию 9.72 Лр — максимальное давление в волне; — шаг поперечных рам.
 Для здания с колоннами, у которых сечения постоянны по высоте, функция прогибов wCZlJ в принятой локальной системе координат рис. 9.5 равна
 wMt £-£-• 9-73
 Тогда получим
 3° п
 тч Т mhmp; тк УшеНе;
 140
 е
 “ 2 тГ-Чт’ dlS—TpHM 9-74
 е 1
 При интенсивности динамической нагрузки, когда стеновые панели работают только в упругой стадии fp t 1 —g, из уравнения 9.69 будем иметь при t 0
 2i t - zst z, 0;
 — » , t . sin o07 9.75
 zi 0 1 —г —cos «V 4 7s-.
 O Qq t
 где zst — 3?Я18ц; o0 Vkulmu.
 Изгибающий момент в опорном сечении первой колонны
 Ml 0 1 0 Т 0. 9.76
 В остальных колоннах опорные изгибающие моменты
 М. 0 it е 2. 9.77
 8Яе2
 Рама работает в упругой стадии, если
 Ме Меп, е 1, ...,
 313

■ Пример. Поперечная рама трехпролетного одноэтажного здания без мостовых кранов при Не 9,6 м L 18 м. Сечения колонн 40X50 см, бетон класса В20, арматура A-III, As А 7,6 см2 2022. Статические продольные силы от постоянной нагрузки покрытия 200 км, N2 400 кН. Шаг рам I 6 м.
 Механические характеристики бетона и арматуры принимаем, как в примере п. 9.3. Изгибные жесткости колонн равны Вг сх. В2 23 000 кНм2.
 Стены примем из навесных керамзитобетонных панелей 0,24X1,2X6 м. Бетон М50, арматура класса A-III. Расчетом получены значения: предельная упругая нагрузка ру 2 кНм2, осп 13 с-1. Масса покрытия и всех колонн: тп 120 т, тк 54 т. Имеем согласно формулам 9.70, 9.71: ти 132,7,
 ku 312 — 75 — 237, о0 1,336.
 Учет деформированной схемы привел к уменьшению жесткости рамы на 25. Примем 0 2 с, у 0,1.
 Графики опорных моментов 9.76 9.77 при р 1 построены на рис. 9.6. Как видно, для первой колонны существенны высокочастотные затухающие колебания, возникающие от непосредственного воздействия динамической нагрузки.
 Найдем наибольшее значение динамической нагрузки, при которой еще не возникают пластические деформации в арматуре колонн состояние 1а. Предельный момент в опорном сечении крайней колонны Ми 192 кН - м.
 Из условия М1т 21,4 р1 — Ми имеем Р 8,97 кНм, величина давления в волне при 6 будет pY pjl 1,5 кНм2. Если не учитывать локальные колебания в первой колонне, то предельные моменты возникнут в обоих крайних колоннах при нагрузке р0 19212,4 — 15,5 кНм, Ар0 2,6 кНм2. Отсюда следует важное значение учета локальных колебаний отдельных элементов при расчете несущей системы здания.
 9.5. Поперечные рамы многоэтажного производственного здания
 Рассматривается воздействие на продольную стену здания взрывной волны с мгновенным нарастанием давления. Предполагаются выполненными условия деформирования несущей системы по плоской схеме и для расчета выделяется одна поперечная рама.
 • Для многоэтажных зданий обычно выполняются соотношения между частотами колебаний, когда стеновые панели движутся совместно с колоннами и отсутствует взаимодействие колебаний колонн с движением рамы. Поэтому расчетная схема рамы принимается в виде консольной системы из масс, сосредоточенных в уровнях перекрытий и покрытия рис. 9.7. Динамическая нагрузка на раму зависит от стадий работы конструкций стен. Если стеновые панели деформируются только в упругой стадии, то интенсивность нагрузки ка раму Д?р совпадает с интенсивностью волны, т. е. Д?р Apfit, ft 1 —
 — tQ. При работе стены в пластической стадии
 Рис. 9.6. Графики опорных изгибающих моментов в колоннах при Р— 1
 314

Рр Ри
 где Дри — несущая способность стеновых панелей. Полная нагрузка на каждую массу в этих случаях собирается со всей площади примыкающих стен. Если произошло обрушение стен, то Арр
 Дpft и эта нагрузка приложена только к наружным граням колонн и перекрытий.
 Уравнение движения рамы имеет вид
 т ы с и Ки F, 9.78
 где и - «fe0 — вектор горизонтальных перемещений масс перекрытий; Т7 0 — вектор динамических сил, приложенных к каждой массе; т — диагональная матрица масс, сосредоточенных в перекрытиях; С — матрица затухания; lCl Kkjl — матрица жесткости реакций в горизонтальных связях, введенных для каждого перекрытия; Khj — единичные реакции, находятся по формулам 9.43 при pkj 0 и Ne Nen.
 Уравнения 9.78 могут решаться непосредственным интегрированием на ЭВМ или разложением по формам собственных колебаний. Если используется только первая форма колебаний, то принимаем С 0. При учете нескольких форм используем выражение
 С pjm p2ia
 которое обеспечивает существование независимых форм собственных колебаний и позволяет задавать произвольные значения коэффициентов потерь Yf для любых двух форм колебаний. Для первой формы
 Yi 0. Собственные частоты о и формы колебаний
 Ы0 ка k 1,2,Я
 находятсяиз уравнений
 of m — ш 1 0; I О м - 1С11 t40 0, 9.79
 ИЛИ
 I 6 Iт г £ I о, 118 т Х— ЕI i4° 0, 9.80
 I со I I m I
 6 AT1.
 Решение уравнения 9.78 имеет вид
 « Va07,f 9.81
 rK t — тк
 Рис. 9.7. Консольная расчетная схема здания
 315

где главные координаты находятся из уравнений
 Тi Pi i 0? Tt qt t; 9.82
 Ъ»и10ГП tikiFht.
 k
 Формы «J0 считаем ортонормированными.
 Коэффициенты Pi,P2 находим из условия обеспечения для некоторых двух форм колебаний f1? i2 значений коэффициентов потерь yilt yi2. Из равенств
 Pi Р2 «п
 Pi P2t?2 yi2i2
 имеем
 ti0 Vitoj2 — Vi2®il .
 Pl:
 ю,2 —©п
 ft — У 1212
 2 2 0t.2-0n
 Для любой другой формы колебаний
 9.83
 V,- Р2о9.84
 0j
 Начальные условия для 9.82 обычно нулевые
 7, 0 7, 0 0.
 Возможны случаи, когда время действия нагрузки мало по сравнению с периодами колебаний здания. В этом случае заменяем нагрузки мгновенными импульсами
 Л
 и из условия
 МЫО находим
 Т0 и0т1 У uhiIh.
 Аг1
 Приведем выражения для динамических сил Fh . Обозначим площади сбора нагрузок со стен на массу тк через Ah, Aoh соответственно до и после обрушения конструкций стены. Если стеновые панели работают в упругой стадии, то
 Ffc0AMftl. 9.85
 316

При развитии в них пластических деформаций но без обрушения представим приближенно рис. 9.8, а
 где tm — время конца упругой и пластической стадии в стеновых панелях; puk ДpuAk, Дри — несущая способность стеновых панелей.
 Если нагрузка вызывает обрушение конструкций стен, то рис. 9.8, б
 где tu — время обрушения панелей; ?оь pAoh 1 — tJQ.
 Расчеты показывают, что перемещения масс для зданий небольшой этажности пропорциональны их перемещениям от статических сил. Поэтому возможно применение способа, основанного на использовании статической формы перемещений, который существенно уменьшает объем вычислений.
 Представим вектор динамических сил в 9.78 в виде
 Fkt
 Puk
 Puk I—V— mG— tm при
 t
 S
 Ш
 Рис. 9.8. Графики динамических сил, приложенных к массам:
 а — при отсутствии обрушения стеновых панелей; б — при обрушении стеновых панелей
 Pukiy Fkt Рин
 при 0 t ty
 при ty t tu; 9.87
 Pofell— t— U0—Ol при„0,
 9.88
 9.89
 317

Подставим это выражение в формулу 9.78 при С О
 ntutiT lKUT FQff. 9.90
 В соответствии с методом Бубнова-Галеркина умножим уравнение 9.90 на и0т, учитывая, что
 ыоГЛ:«о ыоГо, получим для функции динамичности обычное уравнение
 Т оаТ’ о2, 9.91
 где
 «оГЛм SioftFofc
 и0гти0 Xmhu0k 9-92
 Формула 9.92 позволяет легко вычислять низшую частоту колебаний здания. Значения tmj tu обычно значительно меньше периода колебаний здания. Поэтому действие сил Fkt при t tmtu можно заменить мгновенными импульсами. Значения импульсов равны
 fc 0,5pUk ty рик tr — t„ puh tr — 0,5t„, 9.93
 где tT tm или tu.
 Из условия
 2«fc«»fc0 2h
 k k 1
 получим значение начальной скорости функции
 Sfc
 Т0 —- . 9.94
 2 ткиоь k
 Динамическая нагрузка согласно формуле 9.86 или 9.87 Fh 0 1 - 0 t 0r, 9.95
 где через prk обозначены величины рик или poh, а через 0Г — величина 0 — tm или 0 — tu.
 Статические перемещения масс мол должны определяться соответственно от сил puk или poh.
 Расчет колонн при локальных колебаниях местное действие динамической нагрузки может проводиться статическими методами на действие нагрузки, собираемой с площади примыкающих стен, интенсивностью Apkd, где kd — коэффициент динамичности по нагрузке для стеновых панелей.

ЛИТЕРАТУРА
 Баженов Ю. М. Бетон при динамическом нагружении. М., 1970.
 Гвоздев А. А. К расчету конструкций на действие взрывной волны. Строительная промышленность. 1943, №1,2.
 Диковин И. А. Динамика упругопластических балок. Л., 1962.
 Ерхов М. И. Теория идеально пластических тел и конструкций, М., 1978.
 Комаров К. Л., Немировский Ю. В. Динамика жесткопластических элементов конструкций. Новосибирск, 1984.
 Некоторые предложения по описанию диаграммы деформаций бетона при рпзрушенииВ. В. Михайлов, М. П. Емельянов и др. Известия вузов. Серия «Строительство и архитектура», 1984, № 2.
 Пилюгин Л. П. Конструкции сооружений взрывоопасных производств. М.,
 1988.
 Попов Г. И. Железобетонные конструкции, подверженные действию импульсивиых нагрузок. М., 1986.
 Попов Н. Н., Расторгуев Б. С. Расчет железобетонных конструкций на действие кратковременных нагрузок. М., 1964.
 Попов Н. Я., Расторгуев Б. С. Динамический расчет висячих конструкций. М., I9H6.
 Попов Н. Я., Расторгуев Б. С. Динамический расчет железобетонных конструкций. М., 1974.
 Попов И. Н.у Расторгуев Б. С. Вопросы расчета и конструирования специальных сооружений. М., 1980.
 Попов Н. Я., Расторгуев Б. С., Кумпяк О. Г. Расчет железобетонных элементов на кратковременные динамические нагрузки с учетом реальных свойств материаловСтроителъная механика и расчет сооружений, 1979, № 3.
 Попов Я. Я., Плотников А. И., Белобров И. К. Работа изгибаемых элементов при снижении несущей способностиБетон и железобетон, 1986, № 6.
 Попов Н. Я., Трекин Я. И.у Матков Я. Г. Влияние косвенного армирования на деформативность бетонаБетон и железобетон. 1985, №11.
 Расторгуев Б. С. Динамический расчет стержневых систем с распределенными параметрамиСтроительная механика и расчет сооружений. 1985, № 2.
 Расчет конструкций убежищМ. Д. Боданский, Л. М. Горшков, В. И. Морозов, Б. С. Расторгуев. М., 1974.
 Расчет сооружений на импульсивные воздействияИ. М. Рабинович, А. П. Синицын, О. В. Лужин, Б. М. Теренин. М., 1970.
 Справочник проектировщика. Динамический расчет сооружений на специальные воздействия. М., 1981.
 Справочник проектировщика. Динамический расчет зданий и сооружений. М., 1984.
 Справочник проектировщика. Динамический расчет специальных инженерных сооружений и конструкций. М., 1986.
 Тихий М., Ракогник И. Расчет железобетонных рамных конструкций в пластической стадии. М., 1976.
 Цейтлин А. И., Кусаинов А. А. Методы учета внутреннего трения в динамических расчетах конструкций. М., 1987.
 Убежища гражданской обороны. Конструкции и расчетВ. А. Котляревский и др. М., Стройиздат, 1989.
 Шахин X. X. Некоторые вопросы расчета железобетонных конструкций на действие кратковременных динамических нагрузок. Автореферат. МИСИ. 1976.

Учебное издание
 Попов Николай Николаевич. Расторгуев Борис Сергеевич, Забегаев Александр Владимирович
 Расчет конструкций на динамические и специальные нагрузки
 Зав. редакцией Б. А. Ягупов Редактор Н. Н. Попова Мл. редактор О. С. Счотрина Художественный редактор Ю. Э. Иванова Технический редактор Т. Д. Гарина Корректор Г. А. Чечеткина
 ИБ № 9153
 Изд. № Стр—607. Сдано в набор 01.03.91. Подп. в печать
 0611.91. Формат 60 X 887i6. Бум. офс. № 2. Гарнитура литературная. Печать офсетная. Объем 19,6 уел. печ. л.
 19,6 уел. кр.-отт. 19,52 уч.-изд. л. Тираж 7000 экз.
 Зак. № 882. Цена 1 р. 80 к.
 Издательство «Высшая школа», 101430, Москва,
 ГСП-4, Неглинная ул., д. 2914.
 Московская типография № 4 Государственной ассоциации предприятий, организаций и объединений полиграфической промышленности «АСПОЛ».
 129041, Москва, Б. Переяславская ул., д. 46.