СПРАВОЧНИК ПРОЕКТИРОВЩИКА
 ДИНАМИЧЕСКИЙ РАСЧЕТ
 ЗДАНИЙ И СООРУЖЕНИЙ
 Под редакцией профессоров
 Б. Г. Коренева, И. М. Рабинович;
 Издание 2-е, переработанное и дополненное
 МОСКВА СТРОЙИЗДАТ 1984

ББК 38.112 Д 46
 УДК 624.042.(035.5)
 Рецензент: д-р техн. наук, проф. Н. А. Николаенко
 Авторы: | М. Ф. Барштейн | , В. А. Ильичев, Б. Г. Коренев, С. С. Кохманюк,
 О. В. Лужин, Л. С. Максимов, | В. С. Мартышкин | , Н. Н. Попов, Б. С. Расторгуев,
 О. А. Савинов, А. М. Сизов, | Е. С. Сорокин | , В. И. Сысоев, | А. П. Филиппов | ,
 А. И. Цейтлин, И. С. Шейнин.
 Научный редактор д-р техн. наук проф. А. И. Цейтлин
 Д 46 Динамический расчет зданий и сооружений/ М. Ф. Барштейн, В. А. Ильичев, Б. Г. Коренев и др.; Под ред. Б. Г. Коренева, И. М. Рабиновича . — 2-е изд., перераб. и доп. — М.: Стройиздат, 1984.—• 303 с., ил.— (Справочник проектировщика).
 Включены материалы по прикладной динамике сооружений, относящиеся к расчету строительных конструкций на динамические воздействия, измерению колебаний и методам борьбы с колебаниями зданий и сооружений. Рассмотрены специальные вопросы: действие динамических нагрузок, динамические характеристики материалов, влияние колебаний на людей н технологические процессы, расчет конструкций на прочность и выносливость и др. Изд. 1-е вышло в 1972 г. под загл. «Справочник по динамике сооружений».
 Для инженерно-технических н научных работников проектных и научно-исследовательских организаций.
 3202000000—546 ББК 38.112
 Д ТТГ; КБ—15—49—1984
 047(01)—84 6С1
 (© Стлп”|по-, ЮРД

ОГЛАВЛЕНИЕ
 Стр.
 Стр.
 Предисловие к первому изданию 4 а « Предисловие ко второму изданию ....
 Раздел 1. Оценка допустимого уровня колебаний строительных конструкции
 (А. М. С и з о в) 1.1. Общие положения •
 1.2. Оценка характера физиологического
 воздействия колебаний на людей ....
 1.3. О нормировании колебаний ....
 1.4. Допустимый уровень производствен¬
 ных колебаний на рабочих местах по данным Стандарта системы безопасности труда ГОСТ 12.1.012—78 1.5. Об определении допустимого по санитарным нормам уровня колебания конструкций при их динамическом расчете 1.6. Ограничение колебаний предельно допустимым динамическим прогибом .
 Раздел 2. Динамические нагрузки от машин (В. И. Сысоев) 2.1. Общие принципы определения динамических нагрузок 2.2. Нагрузки от машин с конструктивно¬
 неуравновешенными движущимися частями 2.3. Нагрузки от машин с номинально уравновешенными движущимися частями
 2.4. Динамические нагрузки от движения
 обрабатываемого материала Раздел 3. Динамические характеристики строительных материалов и конструкций ([Е. С. С о р о к и и |, Н. А. Попов.) ■ •
 3.1. Динамическая жесткость ...«•
 3.2. Внутреннее трение . . « •
 3.3. Выносливость •
 Раздел 4. Расчет сооружений на периодические нагрузки от машин и оборудования (А. И. Цейтлин) 4.1. Динамические воздействия, передавае¬
 мые на несущие конструкции зданий и сооружений 4.2. Основные расчетные положения .
 4.3. Определение расчетных параметров .
 Раздел 5. Расчет сооружений на действие эксплуатационных импульсных нагрузок
 (|ё. С. С о р о к и н|) -
 5.1. Основные расчетные положения 5.2. Системы с одной степенью свободы
 5.3. Системы с несколькими степенями свободы 5.4. Балки и плиты Раздел 6. Расчет фундаментов под машины с динамическими нагрузками (О, А. Савинов, В. А. Ильичев) 6.1. Общие сведения 6.2. Расчет массивных фундаментов .
 6.3. Расчет рамных фундаментов ....
 6.4. Определение динамических характеристик основания Раздел 7. Колебания стержней и стержневых систем (А. М. Сизов) 7.1. Основные положения 7.2. Системы с дискретным распределением масс 7.2.1. Система с одной степенью свободы
 7.2.2. Система с несколькими степенями
 свободы 7.3. Поперечные колебания балок с распределенной массой 7.3.1. Точный метод определения частот
 собственных колебаний однопролетных балок 7.3.2. Собственные колебания неразрезных
 балок , .
 7.3.3. Вынужденные колебания балок 7.4. Колебания плоских рам Раздел 8. Колебания пластинок (Б. Г. К о-
 р е н е в и А. И. Ц е й т л и н) 8.1. Техническая теория изгиба и малые колебания упругих пластинок . , , 1
 10
 13
 17
 19
 20 20
 21
 27
 28
 30
 31 38
 46
 46
 51
 58
 68
 78
 81
 86
 86
 88
 93
 97
 101
 101
 101
 102
 105
 116
 117
 122
 123
 125
 129
 130
 8.2. Анизотропные пластинки г « «
 8.3. Гибкие пластинки 8.4. Общие методы решения дифференци альных уравнений колебаний пластинок
 8.5. Свободные колебания прямоугольных
 пластинок 8.6. Свободные колебания круглых и коль
 цевых пластинок 8.7. Свободные колебания пластинок дру
 гих очертаний 8.8. Неразрезные пластинки н безбалочные
 плиты 8.9. Вынужденные колебания пластинок
 Раздел 9. Динамика упругих оболочек (О. В. Л у ж и н) 9.1. Основные уравнения динамики тонких
 упругих оболочек 9.2. Методы решения задач о свободных и вынужденных колебаниях оболочек 9.3. Колебания замкнутой круговой цилиндрической оболочки постоянной толщины
 9.4. Колебания замкнутой цилиндрической
 оболочки эллиптического сечения постоянной толщины ...
 9.5. Колебания гофрированной круговой цилиндрической оболочки 9.6. Колебания замкнутой цилиндрической
 оболочки, усиленной продольными и кольцевыми ребрами 9.7. Колебания конической оболочки .
 9.8. Колебания сферической оболочки 9.9. Колебания торообразных оболочек .
 9.10. Колебания,пологих оболочек на прямоугольном плане Раздел 10. Динамический расчет высоких сооружений на действие ветра (| М. Ф. Б а р ш т е й н |)
 10.1. Структура турбулентного потока ветра 10.2. Параметры турбулентности (интенсивность, масштабы) 10.3. Нормативные и расчетные скоростные напоры ветра 10.4. Вертикальные профили нормативных
 скоростей и скоростных напоров для различных условий подстилающей поверхности земли ... 10.5. Ветровая нагрузка на здания и сооружения 10.6. Воздействие ветра на высокие сооружения и здания ...........
 Раздел И. Динамический расчет висячих систем (В. А. И в о в и ч) 11.1. Собственные линейные поперечные
 колебания упругих элементов с неподвижными опорами 11.2. Собственные нелинейные поперечные
 колебания 11.3. Вынужденные нелинейные поперечные колебания при гармоническом воздействии
 Раздел 12. Расчет сооружений на подпижные нагрузки (1а. П. Филиппов], С. С. К о х м а н ю к) 12.1. Метод решения задачи взаимодейст¬
 вия направляющей конструкции с движущимся грузом 12.2. Поперечные колебания балок, взаимодействующих с движущимся грузом 12.3. Динамические прогибы и изгибающие
 моменты балок при постоянной и переменной скорости движения грузов 12.4. Динамическое воздействие движущих- ся нагрузок на бесконечно длинные балки, лежащие на упругом основании .
 Раздел 13. Расчет сооружений на действие кратковременных нагрузок большой интенсивности (Н. Н. Попов, Б. С. Расторгуев) . .
 13.1. Виды кратковременных нагрузок 13.2. Влияние скорости деформирования на
 132
 134
 134
 136
 139
 141
 144
 146
 149
 149
 152
 153
 160
 161
 161
 162
 165
 167
 168
 169
 169
 170 174
 174
 176
 181
 197
 197
 201
 204
 205
 205
 206
 209
 210
 211
 211

Стр.
 механические характеристики материалов 212
 13.3. Расчетные диаграммы деформаций
 материалов и конструкций 213
 13.4. Предельные состояния 214
 13.5. Основные методы расчета конструк¬
 ций и сооружений на кратковременные нагрузки в пластической стадии 215
 13.6. Системы с одной степенью свободы 216
 13.7. Балочные конструкции ...... 218
 13.8. Упругопластнческие прямоугольные
 пластинки, опертые по контуру 224
 13.9. Упругопластические арки кругового
 очертания , 225
 13.10. Железобетонные оболочки . •. . 227
 Раздел 14. Виброизоляция (|в. С. Мартышкин |) , 229
 14.1. Основные параметры виброизолируе-
 мого объекта 230
 14.2. Частоты собственных колебаний виб-
 роизолированного объекта . 232
 14.3. Перемещения внброизолированрого
 объекта под действием динамических нагрузок 233
 14.4. Динамические нагрузки, передаваемые через внброизоляторы на основание 239
 14.5. Кинематическая виброизоляция 240
 14.6. Расчет пружинных, резиновых и комбинированных виброизоляторов 242
 14.7. Практические расчеты виброизоляции 246
 14.8. Пример расчета виброизоляции 248
 Раздел 15. Виброизолированные системы с
 нелинейными характеристиками
 (В. А. И в о в и ч) • . 253
 15.1. Гармоническая линеаризация . 253
 15.2. Коэффициенты гармонической линеа¬
 ризации для нелинейных функций некоторых типов 254
 15.3. Основной резонанс нелинейной систе¬
 мы с одной степенью свободы при моногармоническом возбуждении 256
 15.4. Субгармонические колебания вибро-
 изолированной системы ........ 257
 Стр.
 15.5. Расчет нелинейной виброизолирован-
 ной системы на случайное воздействие . 259
 15.6. Коэффициенты статистической линеаризации ... . 261
 15.7. Автопараметрпческие колебания виб-
 роизолированных систем 262
 15.8. Расчет упругого подвеса с очень низкой частотой собственных колебаний 263
 Раздел 16. Устройства для гашения колебаний (В. И. С ы с о е в) . « . , . , . 264
 16.1. Динамические гасители а ( . 265
 16.2. Ударные гасители • , » . 2157
 16.3. Демпферы 5 в 269
 16.4. Ограничители 270
 Раздел 17. Экспериментальные методы
 изучения колебаний сооружений
 (Л. С. Макс и м о в, И. С. Ш е й н и н) . 272
 17.1. Механические приборы для измерения вибраций 272
 17.2. Электрические приборы для измерения вибраций 273
 17.3. Методы измерения колебаний сооружений и конструкций 277
 17.4. Испытания сооружений и конструк¬
 ций специальными динамическими нагрузками 279
 Раздел 18. Моделирование (И. С. Шейнин) . 280
 18.1. Общие принципы физического моде¬
 лирования, теория подобия, теория размерностей , 281
 18.2. Механические колебательные системы
 с сосредоточенными параметрами .... 288
 18.3. Стержневые конструкции и арки 289
 18.4. Тонкие плиты и тонкие оболочки малого подъема . а . 291
 18.5. Твердые деформируемые тела , . 292
 18.6. Техника моделирования ...•• 293
 Список литературы . в о в .295

ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ
 Проектирование зданий и сооружений на современном этапе невозможно без учета динамических воздействий. Это объясняется многими причинами. Наиболее очевидная — рост динамических нагрузок, вызываемых машинами, кранами и другим оборудованием, широкое применение вибраций, ударов и производственных взрывов как элементов технологического процесса; строительство гибких висячих сооружений, для которых необходимо учитывать динамическое действие ветра и др. Повышенное внимание к динамике связано также с совершенствованием развития точных технологических процессов, требующих снижения уровня вибраций, применением точных измерительных приборов и специального лабораторного оборудования при проведении научных исследований. И, наконец, одна из важнейших технических задач — обеспечить такой уровень вибраций, который допустим с санитарно-гигиенической точки зрения.
 Поэтому при проектировании сооружении наряду со статическими необходимо также учитывать динамические воздействия и нагрузки. Попытки ограничиться статическим расчетом и учитывать динамические воздействия некоторыми, по существу, априорными динамическими коэффициентами уже давно признаны несостоятельными.
 Динамика сооружений,- закладывающая теоретические основы динамического расчета зданий, получила широкое развитие. Эта область строительной механики представлена огромным числом работ, которые лишь й самой общей форме отражены в обзорной литературе. Практическое применение всего многообразия результатов, естественно, затруднено; очевидно, что одной из причин этого является и многочисленность самих работ. Поэтому возникла острая необходимость в создании таких материалов, которые помогли бы инженеру-проектировщику в проведении динамических расчетов и ориентировали бы его на правильный и целесообразный выбор не только методов расчета, но и, что отнюдь не менее важно, на разумный выбор расчетных схем; эта задача в большей мере была решена в результате создания ряда инструкций и руководств по динамическому расчету сооружений, которые раз¬
 рабатывались в ЦНИИСК им. В. А. Кучеренко. Указанные инструкции существенно упрощают проведение динамических расчетов. Однако они освещают далеко не все возникающие при проектировании вопросы; кроме того, без получения многих справочных данных расчет крайне затрудняется.
 Цель настоящего издания — дополнить инструктивную и учебную литературу, дав инженеру-проектировщику справочные данные, необходимые для динамического расчета сооружений.
 Справочник содержит разнообразные материалы, относящиеся к динамическому расчету сооружений и методам борьбы с вибрациями. В частности, приводятся подробные сведения о динамических свойствах строительных материалов, динамических нагрузках и требованиях, предъявляемых к результатам динамического расчета. Основная часть справочника посвящена непосредственно вопросам динамического расчета; широко представлены вопросы расчета стержней и стержневых систем, пластинок, оболочек, висячих конструкций. Эти разделы содержат весьма обширный справочный материал. Наряду с этим в справочнике имеются разделы, посвященные инженерным методам расчета, их обоснованию и пояснению. Эти разделы, развивающие материалы, опубликованные в инструкциях, бесспорно будут способствовать правильному пониманию существа основных положений современных инженерных методов расчета. С этих позиций рассмотрен вопрос расчета зданий на действие нагрузок от машин, расчет гибких сооружений на действие ветра, расчет фундаментов под машины, расчет сооружений на действие ветра, расчет фундаментов под машины, а также расчет сооружений на действие импульсивных нагрузок.
 Большое внимание в современной динамике сооружений уделяется вопросам, связанным с разработкой методов борьбы с вибрациями, которые широко представлены в справочнике. Раздел, посвященный линейной теории виброизоляции, имеет четкую инженерную направленность. В перспективе можно ожидать развития нелинейной теории виброизоляции, и этот вопрос также отражен в специальном разделе. Кратко рассмотрены динамические и ударные гасители колебаний, которые применя-
 5

готся еше не очень часто, однако применение гасителей является перспективным и эффективным методом борьбы с вибрацияМ!.. Два раздела посвящены вопросам моделирования и методам измерения вибраций, которые дают известное представление об экспериментальных методах изучения колебаний.
 Справочник ориентирован на те проблемы динамики, которые возникают в основном при проектировании обычных промышленных зданий и сооружений. Вопросы динамики гидросооружений, транспортных сооружений (мостов, виадуков и т. д.) не рассматриваются. Не освещены и некоторые весьма важные стороны динамического расчета, относящиеся к учету специальных видов динамических воздействий. К ним относятся в первую очередь расчеты на сейсмические воздействия, такой сравнительно новый вопрос, как расчет сооружений на действие взрывов при взрывоопасных про¬
 изводствах, а -также вопросы динамики, имеющие отношение к проблемам противовоздушной обороны.
 В справочник не вошел ряд разделов общего характера, необходимых в равной мере как для проведения динамических расчетов, так и расчетов статических, в частности, раздел «математика» и таблицы математических величин; в нем нет раздела «теоретическая механика» несмотря на то, что знание теоретической механики и особенно такого ее раздела, как теория малых линейных колебаний являются совершенно необходимыми для читателей. Справочник не включает также вводных разделов динамики сооружений, которые имеются практически во всех начальных курсах этой дисциплины.
 Б. Г. Коренев, И. М. Рабинович \

ПРЕДИСЛОВИЕ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ
 .Второе издание справочника, так же как и его первое издание, преследует цель— дать инженеру-проектировщику справочные данные, которые необходимы для динамического расчета сооружений, дополнив тем самым имеющуюся инструктивную и учебную литературу. Он ориентирован на решение тех проблем динамического расчета, которые возникают при проектировании .обычных промышленных зданий и сооружений. Основное внимание при этом уделяется обычным эксплуатационным нагрузкам — в первую очередь динамическим воздействиям от машин и оборудования и динамическим ветровым нагрузкам. По-прежнему здесь не рассматриваются сейсмические воздействия, нагрузки, возникающие при взрывах и др. Все эти вопросы изложены в справочнике проектировщика «Динамический расчет сооружений на специальные воздействия», вышедшем в свет в 1981 г., который по существу является продолжением первого издания настоящего справочника по динамике сооружений, представляя как бы его второй том. Поэтому роль этого справочника состоит не только в ответе на те вопросы, которые в нем непосредственно затрагиваются, но также и в том, чтобы служить в известной мере отправным материалом для читателя указанного выше справочника по динамическому расчету сооружений на специальные воздействия.
 При составлении второго издания справочника некоторые разделы существенно переработаны и дополнены новыми данными в области теории и практики динамических расчетов. Его содержание приближено к вновь появившимся нормативно-инструктивным материалам. Однако в целом справочник полностью сохранил свою пер-, воначальную композицию.
 Наиболее серьезно изменен разд. 10, который был радикально переработан в связи с выходом в свет нового руководства по
 расчету сооружений на действие ветра. Большие дополнения внесены в разд. 6, посвященный фундаментам под машины, основная цель которых — более глубоко отразить при расчете фундаментов волновые явления в основании, рассматриваемом как упругое полупространство. Внесены значительные изменения и дополнения в разд. 12, где изложен материал по расчету сооружений на действие подвижных нагрузок. Существенно изменен разд. 1, поскольку за истекшее время внесено много нового в практику нормирования вибраций и, в особенности, в связи с развитием исследований, направленных на изучение влияния вибраций на организм человека. Внесены, также некоторые изменения в разд. 4, который посвящен практическим проблемам расчета сооружений на действие периодических нагрузок от маш11н.
 В предисловии к первому изданию отмечалось, что динамический расчет специальных сооружений: мостов, виадуков и других транспортных ' сооружений гидротехнических сооружений, а также различных подземных сооружений, резервуаров и др. не вошел в тематику справочника. Между тем эти вопросы, естественно, представляют большой практический интерес и, как нам представляется, в будущем могли бы послужить темой специального справочного издания, которое молено было бы рассматривать как своего рода третий том объединенного справочника по динамике сооружений.
 В составлении предисловия не смог принять участие скончавшийся в 1978 г. членкорреспондент АН СССР, профессор, Герой Социалистического Труда И. М. Рабинович — крупнейший ученый в области строительной механики, при жизни которого была начата и в большой мере проведена работа над вторым изданием справочника.
 Б. Г. Коренев

РАЗДЕЛ 1 ОЦЕНКА ДОПУСТИМОГО УРОВНЯ КОЛЕБАНИЙ СТРОИТЕЛЬНЫХ КОНСТРУКЦИЙ
 (А. М. СИЗОВ)
 1.1. Общие положения
 Допустимый уровень колебаний сооружений, подвергающихся динамическим воздействиям, определяется: а) физиологическим воздействием колебаний на людей; б) несущей способностью (прочностью, устойчивостью и долговечностью) колеблющихся конструкций; в) влиянием колебаний на производственный процесс (технологическими условиями).
 Иногда к этим трем условиям добавляют четвертое, ограничивающее колебания предельно допустимыми динамическими прогибами или деформациями.
 Нормирование допустимого уровня колебаний представляет сложную проблему. Многие вопросы нормирования в литературе освещены еще недостаточно полно. В ряде случаев данные о допустимых колебаниях отсутствуют, а имеющиеся носят качественный или предварительный характер.
 Менее обоснованными являются данные, зависящие от санитарно-гигиенических условии, поскольку они определяются особенностями воздействия колебаний на людей и зависят от индивидуального характера их восприятия. Вопрос заключается не только в установлении безопасного уровня колебаний, не вызывающего того или иного заболевания человека, но и в нахождении уровня колебаний, обеспечивающего нормальные санитарно-гигиенические условия работы человека без снижения производительности труда с учетом профессиональной специфики труда. Несомненно, что допустимые уровни колебаний для производственных предприятий с различными режимами работы, проектных и научно-исследовательских институтов, медицинских и учебных учреждений не могут быть одинаковыми. Совершенно обособленно стоит вопрос о допустимом уровне колебаний в жилых, зрелищных, административных зданиях.
 Наиболее сложно обоснование допустимого уровня колебаний по производственным условиям, определяемым точностью обработки изделий, влиянием на работу контрольно-измерительной аппаратуры, на технологический процесс производства и т. п.
 Условие ограничения колебаний пре¬
 дельно допустимым динамическим прогибом определяется необходимостью обеспечения достаточной жесткости при колебаниях конструкций, к которым не предъявляются требования ограничения колебаний по санитарно-гигиеническим и технологическим условиям.
 Допустимый уровень колебаний, вытекающий из обеспечения несущей способности конструкции, определяется ее прочностью и выносливостью при работе на совместное действие статических и динамических нагрузок. При расчете на прочность и устойчивость допускаемые колебания вычисляются от расчетных статических и динамических нагрузок на конструкцию, а при расчете на выносливость и деформативность (санитарно-гигиенические условия) — от нормативных статических и расчетных динамических нагрузок.
 Допустимый уровень колебаний, вытекающий из необходимости обеспечения санитарно-гигиенических и технологических условий, а также предельно допустимого динамического прогиба, определяется выражением ад„н[а], где [а]—допустимая амплитуда колебаний, определяемая указанными выше условиями.
 Многочисленные обследования колебаний эксплуатируемых зданий и сооружений, а также расчеты строительных конструкций на прочность при колебаниях показали, что в большинстве случаев необходимость
 уменьшения уровня колебаний конструкций, на которых находятся люди, определяется физиологическим воздействием колебаний на людей, а не влиянием колебаний на прочность конструкций [7].
 В связи с указанным в настоящем разделе основное внимание будет уделено данным о нормировании колебаний по санитарно-гигиеническим условиям и данным о предельно допустимых динамических прогибах. При этом будет рассматриваться влияние сравнительно низкочастотных (до 100 Гц) колебаний на человека с точки зрения их механического, а не акустического воздействия. Более подробные данные о допустимости колебаний по несущей способности конструкций и по технологическим условиям приведены в разделе 4 этого справочника.
 8

Допустимый уровень колебаний строительных конструкций, обусловленный санитарно-гигиеническими условиями, определяется характером и интенсивностью воздействия колебаний на людей. Превышение допустимого уровня колебаний может вызвать повышенное утомление, снизить производительность труда и даже вызвать вибрационную болезнь.
 Различают два способа воздействия колебаний на человека: 1) непосредственно — при колебаниях всего тела или отдельных его частей; и 2) косвенное (визуальное) — при колебании отдельных предметов, находящихся в поле зрения.
 Возможны три случая непосредственного действия колебаний. При этом колебания называются: а) общими — когда человек находится на колеблющемся основании (на перекрытии, площадке, в вагоне движущегося поезда, автомобиле, на эскалаторе и т. п.). В этом случае колебания через опорные поверхности передаются всему телу; б) местными — при действии колебаний на отдельные части тела (при работе с виброинструментом, переносными вибраторами, касании колеблющихся элементов машин и т. п.); в) объемными — когда человек находится в вибрирующей (пульсирующей) среде (воздушной, водной). Колебания передаются от среды всей поверхности тела.
 Косвенные (визуальные) колебания оказывают на человека психологическое действие. Например, заметные на глаз колебания связей между фермами покрытия, вентиляционных коробов: проводки элект¬
 роосвещения, люстр, светильников, транспарантов и тому подобных предметов, подвешенных к различным конструкциям, воспринимаются обычно неприятно, хотя и действуют только зрительно. Для того чтобы ограничить колебания предметов, подвешенных к колеблющимся конструкциям (фермам покрытия, балкам перекрытия и т. п.), необходимо ограничивать колебания строительных конструкций предельно допустимым динамическим прогибом.
 В последние годы действие механических вибраций на людей по аналогии с акустическим действием звука оценивается с помощью так называемой децибельной шкалы. Это объясняется тем, что современная техника встречается с широким диапазоном изменения параметров различных величин. Например, ’в акустике интенсивность звука может изменяться в несколько миллионов раз — от тихого шепота до рева ракетных двигателей, а частотный диапазон — от 10 Гц до 15—20 кГц. Графическое пред¬
 ставление различных зависимостей для этих величин с помощью линейной шкалы становится практически невозможным, поскольку теряется наглядность представления. Поэтому в таких случаях обычно применяют логарифмическую шкалу. Одной из таких логарифмических шкал и является децибельная шкала, т. е. шкала по одной из осей которой откладываются, так называемые децибелы (русское обозначение дБ, международное ЙВ). Особенность этой шкалы — отсчет ее значений от некоторого начального уровня, называемого часто пороговым.
 Децибел не физическая величина, а математическое безразмерное понятие, характеризующее отношение двух независимых одноименных величин, принципиально самых различных, независимо от их природы.
 В Санитарных нормах [9, 10] уровень допускаемых механических колебаний конструкций определяется в децибелах для среднеквадратичных значений смещения (5ср.кв), скорости (Уср.кв) и ускорения (№ср.кв) по формулам:
 уровень смещения 20 1§ — —; (1.1)
 у
 уровень скорости Ц- 20 1§ (1.2)
 о
 уровень ускорения %/ 20 1§ - р'кв; (1.3)
 и
 Здесь 5о—810 у-пороговое смещение при колебаниях, мм; У’о б-Ю -—то же. скорости колебаний, мм/с; —то же, ускорения ко¬
 лебаний, мм/с, принятые в нормах [10].
 При этом под среднеквадратичным значением некоторой непрерывной периодической функции А(1) с периодом Т понимается значение
 / Т
 Лср.вв у —| [АЦ)}Ч1. (1.4)
 Для гармонической функции ее среднеквадратичное значение /4ср.„влм1,кс/]/2~ где Лмакс—амплитудное значение функции.
 К достоинствам децибельной системы относятся: а) универсальность, т. е. возможность использования при оценке различных параметров и явлений; б) возможность отображения числами первой сотни явлений, характеризуемых большими перепадами числовых параметров.
 К основным недостаткам децибельной системы относятся: а) малая наглядность; б) некоторая условность численных оценок уровня в связи с условностями назначения порогового значения характеристики явления. При разных нулевых (пороговых) уровнях одна и та же конкретная величина
 9

80 90
 100 110 120
 Уровень
 1.1. График перевода среднеквадратичных значений смещений, скорости и ускорения в децибелы. За пороговые значения приняты значения по [10]
 будет выражаться различными численными значениями уровня в децибелах.
 Перерасчет абсолютного среднеквадратичного значения того или иного параметра колебаний в уровень с дБ и наоборот производится с помощью таблиц десятичных логарифмов по формулам (1.1) — (1.3) или с помощью графиков рис. 1.1.
 1.2. Оценка характера физиологического воздействия колебаний на людей
 В нашей стране данные о характере восприятия человеком гармонических колебаний впервые были введены в строительные нормы проектирования и расчета несущих конструкций'зданий под машины с динамическими нагрузками в 1954 г. Е. С. Сорокиным. Качественная оценка восприятия колебаний, приведенная в нормах [6] и работе [13], позволила проектировать промышленные сооружения с безопасным для здоровья людей уровнем колебаний. При
 этом практика проектирования промышленных сооружений показала, что несмотря на отсутствие указаний о допустимых параметрах колебаний, как правило, назначались разумные границы допускаемых колебаний
 ■ («хорошо ощутимые» при продолжительном действии колебаний и «сильно ощутимые» при кратковременных воздействиях), которые в основном получили подтверждение в утвержденных Минздравом СССР в 1959 г. «Временных санитарных нормах по ограничению вибраций рабочих мест» (№ 280— 59) . Качественные оценки характера воз-
 ! В настоящее время колебания рабочих мзст в производственных помещениях ограничиваются требованиями ГОСТ 12.1.012—78 Системы Стандартов безопасности труда. Вибрация. Общие требования безопасности [12]. а также нормами СН 245-71 [9]. Между данными, допускаемыми
 СН 245-71 и ГОСТ 12.1.12—78, имеются небольшие расхождения в несколько микрон для амплитуд гармонических колебаний, что объясняется различием интерполяционных формул между основными базовыми параметрами В практической работе необходимо пользоваться данными ГОСТ 12.1.012—78.
 10

Таблица 1.1. Характеристики воздействия гармонических колебаний на людей в зависимости от скорости и ускорения с амплитудой перемещений не более 1 мм
 Для частот 1 —10 Гц
 Для
 частот 10—100 Ги
 Верхнее значение ускорения колебаний
 Верхнее значение скорости колебаний
 Характеристика воздействия колебаний на людей
 пиковое
 (амплитудное)
 №
 макс, мм/с2
 среднеквад¬
 ратичное
 ср.кв,
 мм/с2
 уровень1 ускорения Ьуу ДБ
 пиковое
 (амплитудное)
 у
 макс,
 мм/с
 среднеквад¬
 ратичное
 V
 т, макс
 ср-кв-уг- ’
 мм/с
 уровеньскорости Ьу дБ
 Не ощутимы
 10
 7,1
 27,4
 0,16
 0,113
 67,1
 Слабо ощутимы
 40
 28,3
 39,5
 0,64
 0,452
 79,1
 Хорошо ощутимы
 125
 88,4
 49,4
 2
 1,41
 89
 Сильно ощутимы (мешают)
 400
 283
 59,6
 6,4
 4,52
 99,1
 Вредны при длительном воздействии
 1000
 707
 67,5
 16
 11,3
 107,1
 Безусловно вредны
 Более 1000
 Более 707
 Более 67,5
 Более 16
 Более 11,3
 Более 107,
 1 Пороговое значение ускорения ГС'п-З-Ю-!, мм/с- [10].
 2 Пороговое значение скорости 1 0 5-10—5, ым/с [д; ю].
 действия колебаний на людей не утратили своего значения до настоящего времени в связи с отсутствием норм для ряда сооружений1.
 Учет требований обеспечения допустимого уровня колебаний при проектировании позволяет предусматривать мероприятия по уменьшению колебаний уже на стадии проектирования здания, обеспечивая охрану здоровья, а также экономичность и рациональность конструктивных решений.
 При расчете строительных конструкций по методике предельных состояний требованием обеспечения необходимых санитарно-гигиенических условий труда определяется второе предельное состояние колеблющейся конструкции (при отсутствии требований, ограничивающих колебания по производственным и технологическим условиям, которыми также определяется второе предельное состояние).
 Обозначая амплитуду гармонических колебаний строительной конструкции, на которой находятся люди г0, а допускаемую по санитарно-гигиеническим условиям труда амплитуду колебаний а0, получаем условие, обеспечивающее безопасное для здоровья пребывание людей на колеблющейся конструкции
 1 Главным санитарным врачом СССР 13 июня 1975 г. утверждены «Санитарные нормы допустимых вибраций в жилых домах» (№ 1304-75). изданные Минздравом СССР [10]. Нормы ориентированы на применение их в практике санитарноэпидемиологических станций.
 г0«[а0]. (1.5)
 При гармонических колебаниях, возбуждаемых динамическими нагрузками от оборудования с неуравновешенными массами (вентиляторы, электродвигатели, компрессоры и т. п.), колебания описываются уравнением уа-51П 2пп1, где а — амплитуда колебаний; п — частота колебаний (число колебаний в 1 с), I — время.
 Амплитуда скорости гармонических колебаний определяется выражением
 Кмакс 2яла. (1.6)
 Амплитуда ускорения
 й макс (2 пп)-а. (1.7).
 Данные табл. 1.1 позволяют по формулам (1.6) и (1.7) вычислить для гармонических колебаний амплитуды колебаний, соответствующие тому или иному характеру воздействия колебаний на людей. На рис.
 1.2 приведены графики характеристик гармонических колебаний, на которых нанесены границы областей ощущения колебаний; по табл. 1.1.
 При несоблюдении условия (1.5) необходимо предпринимать меры по уменьшению колебания конструкции или исключить возможность пребывания людей на колеблющейся конструкции. В этом случае необходимо учитывать условия ограничения колебаний предельно допустимым динамнчес- ■ ким прогибом.
 И

Рис. 1.2, График характеристик гармонических колебаний (римскими цифрами отмечены области характеристик восприятия колебании людьми по данным табл. 1.1)
 о — область не ощутимых колебаний; 1 — слабо ощутимых; II— хорошо ощутимых; III—сильно ощутимых; IV — вредных при длительном воздействии; V — безусловно вредных
 В большинстве случаев требования уменьшения колебаний конструкции, где находятся люди, определяются характером физиологического действия колебаний, т. е. нарушением условия (1.5).
 С проблемой обеспечения безопасного для здоровья людей санитарно-гигиенического уровня колебаний приходится встре¬
 чаться чаще, по сравнению с проблемой обеспечения прочности конструкций при действии динамических нагрузок. Это объясняется тем, что человек чрезвычайно чувствителен к механическим колебаниям. Он способен ощущать весьма малые колебания с амплитудой порядка 0,0010—0,0001 мм. При этом, чем больше частота колебаний, тем
 12

человек воспринимает меньшую амплитуду. При частоте колебаний 100 кол/мин человек почти не ощущает колебания с амплитудой 0,1 мм, а при частоте 3000 кол/мин он ощущает колебания с амплитудой 0,001 мм. Систематическое и продолжительное действие повышенных колебаний, превышающих некоторый допустимый уровень, оказывает вредное влияние на здоровье и в отдельных случаях может привести к заболеванию вибрационной болезнью. В связи с этим необходимо при проектировании зданий и сооружений учитывать динамический характер действия нагрузок и принимать меры по уменьшению вредных колебаний.
 Обеспечению необходимых санитарногигиенических условий труда на производстве уделяется большое внимание. Достаточно указать на выпуск санитарных норм, инструкций и норм проектирования зданий и сооружений, подвергающихся действию динамических нагрузок.,
 1.3. О нормировании колебаний
 Известные экспериментальные данные о влиянии колебаний на людей относятся к колебаниям со сравнительно низким частотным диапазоном от 1 до 100 Гц. Это объясняется тем, что частоты .изменения динамических нагрузок от применяемого промышленного оборудования находятся, как правило, в этом частотном- диапазоне.
 Несмотря на многочисленные исследования влияния колебаний на людей, оно еще разработано недостаточно и требует дальнейшего его изучения, особенно в области физиологического действия полигармонических, негармонических, импульсивных, случайных и других сложных динамических воздействий, а также установления допустимых колебаний для различных условий жизни человека (производственных, жилищно-бытовых и т. п.).
 Имеющиеся экспериментальные данные позволяют в ряде случаев определить характер восприятия колебаний человеком, а также установить безопасные для здоровья границы колебаний.
 Характер восприятия колебаний людьми обычно определяется несколькими категориями чувствительности, а именно: не¬
 ощутимые колебания, слабо ощутимые, хорошо ощутимые, сильно ощутимые, вредные при длительном воздействии (неприятные), безусловно вредные даже при кратковременном действии.
 В первом издании Справочника [14] приводились графики восприятия колебаний людьми, полученные десятью различными исследователями. Из этих графиков следует, что чувствительность людей к колебаниям изменяется в довольно широких пределах и поэтому результаты различных исследователей взаимоотлнчаются и показывают лишь общую тенденцию к тем или иным показателям. При этом в качестве критериев оценки воздействия колебаний на людей исследователями предлагаются различные характеристики: амплитуда пе¬
 ремещения а в мм, скорость 1/максаш в мм/с, ускорение И7максав2 в мм/с2, скорость изменения ускорения Умаксаш3 в мм/с3 и некоторые другие. Здесь е — круговая частота колебаний в с-1.
 В _щрмах проектирования строительных конструкций, подвергающихся действию динамических нагрузок [6], характер восприятия людьми гармонических колебаний для частот менее 10 Ги определяется амплитудой (пиковым значением) ускорения и7иакса!со2 в мм/с2, а для частот равных и более 10 Гц — амплитудой скорости Умаксаш в мм/с (см. табл. 1.1).
 Одним из основных нормативных документов, определяющих допустимый уровень колебаний рабочих мест в производственных условиях в настоящее время являются «Санитарные нормы' проектирования промышленных предприятий» (СН 245-71) [9]. В нормах в диапазоне частот 1,4— 90 Гц рассматриваются три вида колебаний: гармонические, полигармонические (т. е. колебания, являющиеся суммой нескольких гармонических)' и колебания со сплошным частотным спектром. Этот диапазон делится на шесть частей (октавных полос) (табл.
 1.2). В нормах принят принцип независимости влияния на людей механических колебаний различных октавных полос, т. е. колебания считаются допустимыми, если в каждой из октавных полос параметры колебаний не превышают нормативных2.
 В качестве допустимых параметров в нормах принимаются: при гармонических колебаниях — амплитуда перемещения, а при полигармонических колебаниях и со
 1 См. также ГОСТ 12.1.012—78 (п. 1.4 настоящего раздела).
 2 Впервые этот принцип в нормы был введен Ин¬
 ститутом гигиены нм. Ф. Ф. Эрисмана в 1966 г. Аналогичный принцип применяется, как известно,
 при нормировании шума, частотный спектр кото¬
 рого изменяется от 16 Гц до 15—16 кГц. Прини¬
 мая указанный принцип также н для механических колебаний со спектром 1—100 Гц за обоснованный биологами и врачами-гигиеннстами факт,
 нельзя не отметить, его дискуссионностн (см., например, текст на стр. 14).
 13

Т а б л и ц а 1.2. Допустимые параметры колебаний рабочих мест в производственных помещениях (по СН 245-71)
 Среднегеометрические п граничные (даны в. скобках) частоты октавных полос. Г и
 I о
 Я й
 я
 8§
 о. а а ч о и ё
 Среднеквадратичное значение скорости колебаний
 Частота, Гц
 Амплитуда (пико! перемещения при кнх колебаниях,
 а о о " й н 2 О
 ч 6 о о к о о я у
 уровень в дБ относительно 510 5, мм
 1
 2
 3
 1
 5
 1.4
 3,11
 о
 (1,4—2,8)
 1.6
 2,22
 11.2
 107
 2
 1,28
 2,5
 0,73
 2,8
 0,61
 4
 3,2
 0,44
 (2,8—5,6)
 4
 0,28
 5
 100
 Б
 0,16
 5,6
 0,13
 8
 6,3
 0,09
 (5,6—11,2)
 8
 0,056
 2
 92
 10
 0,045
 11.2
 16
 12,5
 0,036
 (11,2—22,4)
 16
 0,028
 2
 92
 20
 0,0225
 22,4
 0,020
 31,5
 25
 0,018
 (22,4—45)
 31,5
 0,014
 •)
 92
 40
 0,0113
 45
 0,0102
 50
 0,009
 63
 (45—90)
 63 |
 0,0072
 92
 80
 0,0056
 90 |
 о.аоз
 Примечания. I. Для промежуточных значений частот гармонических колебаний амплитуды допустимых перемещений определяются по линейной интерполяции. 2. Если вибрации действуют на человека в течение восьмичасового дня в общей сложности менее четырех часов, то абсолютные значения допускаемых параметров увеличиваются в 1,4 раза (относительные параметры на 3 дБ), менее двух, часов — в :• раза (на б дБ) менее часа — в 3 раза (на 9 дБ). 3 Колебания считаются допустимыми, если в каждой из октавных полос параметры колебаний не превышают нормативные.
 сплошным частотным спектром — среднеквадратичное значение скорости (табл. 1.3). Помимо абсолютного значення среднеквадратичной скорости в нормах дано значение ее уровня в дБ.
 Для жилых помещений (см. ссылку на с. 11) допустимые уровни колебаний определяются в децибелах для смещения, скорости и ускорения в октавных полосах, также в предположении независимости влияния колебаний различных октав (табл. 1.4)1
 Изложенная в санитарных нормах [9, 10] методика нормирования механических колебаний в случае превышения допустимого уровня колебания в одной из октав (частотных полос) позволяет путем перераспределения частотных характеристик вы-, нужденных колебаний между частотными полосами добиться допустимого уровня колебаний, например при возбуждении колебаний группой машин — измейением числа оборотов некоторых машин1.
 Имеются другие предложения по оценке восприятия колебаний.
 Для оценки характера воздействия колебаний на людей в немецких нормах Целлером была введена единица измерения «пал» (табл. 1.5) (рис. 1.3). Воздействие колебаний по Целлеру на людей определяется формулой
 К 20 1 я УсР-вв (1.8)
 где К — интенсивность воздействия колебаний в палах; УСр1КВ —среднеквадратичная скорость колебаний, мм/с, определяемая по формуле (1.4), при этом А (О — У({); 1/р—0,316 мм/с — скорость колебаний на границе восприятия; УЦ) — функция, характеризующая изменение скорости колебаний во времени; Т — период изменения.
 Интересные предложения по допустимым пределам воздействия механических колебаний и удара на человека для частотного диапазона от 1 до 90 Гц разработаны в декабре 1968 г. техническим комитетом международной организации по стандартизации (ИСО ТК-108). Рассматриваются три возможно ' допустимых предела колебаний, а именно: а) безопасные для здоровья; б) не снижающие производительность труда от усталости (предел длительной терпимости); в) не нарушающие комфортных условий. В качестве основного предела принимается предел, обеспечивающий нормальную работу без снижения производительности труда для людей с нормальным здоровьем.
 Безопасные для здоровья предельные
 1 В отличие от норм [9, 10] в предложениях ИСО
 ТК-108 учитывается взаимное влияние колебаний
 различных октавных полос (см. стр. 16 и
 табл. 1.6).
 14

Таблица 1.3. Характеристики воздействия гармонических колебаний на людей по октавным полосам СН 245-71 в зависимости от уровня скорости Ьу 20 1{ —в децибелах (дБ) при амплитудах колебаний не более 1 мм
 \ Частота, \ Гц»
 Характе- \ рнстика \ ощу щения \ колебаний \
 2
 4
 8
 16
 31,5
 63
 (1,4—2,8)
 (2,8—5,6)
 (5,6—11,2)
 (11,2—22,4)
 (22,4—45)
 (45—90)
 Не ощутимы
 81
 75
 69
 67,1
 67,1
 67,1
 (84,1—78,1)
 78,1—72,1
 72,1—67,1
 Слабо ощутимы
 93,1
 87
 81,1
 79,1
 79,1
 79,1
 96,2—90,2
 90,2—84,1
 84,1—79,1
 Хорошо ощутимы
 103
 97
 91
 89
 89
 . 49 -
 106,1—100,1
 100,1—94
 94—89
 Сильно ощутимы (мешают)
 113,1
 107
 101,1
 99.1
 99,1
 39,1
 116,2—110,2
 110,2—104.1
 104,1—99,1
 Вредны при длительном воздействии
 121,1
 315
 109
 107,1
 107,1
 107.1
 124,1—118,1
 118,1—112,1
 112,1—107,1
 Безусловно вредив
 Более
 121,1
 Более
 115
 болеее
 109
 Более
 107.1
 Ьолее
 107,1
 Ьолее
 107,1
 124,1—118,1
 118,1—122,1
 112,1—107,1
 1 В числителе — среднегеометрическая, в знаменателе (в скобках)—граничные частоты октавных полос.
 Таблица 1.4. Допустимые нормативные уровни колебаний в жилых помещениях, дБ (по нормам № 1304-75 Минздрава СССР)1 Среднегеометрические частоты октавных полос, дБ
 2
 4
 8
 16
 31,5
 63
 Уровень скорости колебаний
 79
 73
 67
 67
 67
 67
 Уровень ускорения колебаний
 25
 25
 25
 31
 37
 43
 Уровень смещения колебаний
 133
 121
 109
 103
 97
 91
 Примечания. 1. Допустимые нормативные уровни на дневное Бремя с 7 до 23 ч повышаются на 5 дБ. 2. При продолжительности воздействия колебаний в дневное время за наиболее интенсивный 30-минутный интервал нормативные уровни при суммарной длительности: менее 6 %, повышаются на 15 дБ, при 6—18 % — на 10 дБ, при 18—56% — на Р дБ. 3. Для колебаний, имеющих временный характер, связанный, например, с производством строительных работ, допустимый уровень в дневное время может быть повышен дополнительно на 10 дБ. 4. Если колебания имеют непостоянный характер, т. е. уровень колебаний при измерении прибором с характеристикой «медленно» в течение не менее 10 мин изменяется более чем на ±3 дБ, то допускаемый уровень понижается на 10 дБ.
 1 См. ссылку на стр. П
 параметры в 2 раза превышают параметры производительной работы (предел длитель¬
 ной терпимости), а пределы комфортных условий в 3,15 раза меньше пределов производительной работы. При этом предполагается, что указанные пределы подчиняются одинаковым временным и частотным зависимостям.
 Основной величиной, характеризующей предельное значение колебаний, служит среднеквадратичное ускорение
 / т П7ср.кв у у-||'ЩЩШ, (1.9)
 где №(/) — функция, характеризующая изменение ускорения во времени; Т—период изменения функции №(г).
 В Предложениях ИСО ТК-108 приведены среднеквадратичные значения предельных ускорений для синусоидальных колебаний (рис. 1.4), колебаний с дискретным и распределенным частотными спектрами в зависимости от времени воздействия и частотного диапазона.
 При колебаниях с дискретным частотным спектром, когда в колебаниях имеется более чем одна частота, каждый частотный компонент сравнивается с соответствующим пределом, установленным для частоты это-
 15

Таблица 1.6. Оценка воздействия колебаний на людей (по Целлеру)
 Оценка колебаний
 Характер воздействия колебаний
 пал
 ДБ
 Начало ощутимости в зависимости от положения тела
 0—10
 76—86
 Ощутимые колебания Вредные для здоровья человека колебания зданий от движущегося транспорта
 оо ]| со ю оо
 86—96
 96—106
 Колебания в спокойно движущихся экипажах, тягостные для людей колебания от движения .транспорта я машин, легкие повреждения жилых зданий
 30—40 .
 106—116
 Колебания экипажей, ускорения пассажирских лифтов, значительные повреждения жилых зданий
 40—50
 .116—126
 Колебания, воспринимаемые человеком без физических нарушений только короткое врем я, сильные кол еб аиия экипажей, разрушения в жилых домах
 50—60
 ' 126—136
 Колебания, вызывающие заболевания человека
 60—80
 136—156
 Примечая и е. При оценке колебаний в децибелах пороговая скорость принята 5-10 5. мм/с.
 то компонента. Однако при определении допустимой продолжительности воздействия учитывается взаимное влияние колебаний со всеми дискретными частотами.
 При широкополосном или случайном спектре колебаний применяется метод октавного анализа с октавными полосами (табл. 1.6). При этом, если частоты колебаний не'выходят за пределы одной октавной ■полосы, то среднеквадратичное значение ускорения в этой полосе сравнивается с. соответствующим пределом для среднего значения данной частоты октавы. .Если же
 Таблица 1.6. Октавные полосы
 при широкополосном или случайном спектре
 колебаний (по предложению ИСО ТК-108)
 .Граничите частоты октавной полосы, Гц
 Среднегеометрическая частота октавной поло! сы, ГЦ
 ! Коэффициент приведения ■ относительно октавной полосы 4—8 Га
 нижняя
 верхняя
 1
 9
 1,4
 0,60
 о
 4
 2,8
 0,85
 4
 8
 • 5,6
 1,00
 8 •
 16. .
 11,2
 0,71
 16
 31,5
 22,5
 0,355
 - ' 31,5
 63
 45
 0,18
 63
 90
 75
 0,Ю6
 Частота, Гц
 Рис. 1.3. Зависимость восприятия колебаний человеком в единицах измерения «пал» от частоты и амплитуды колебаний (по Целлеру).
 Рис. 1.4. График зависимости среднеквадратичного ускорения синусоидальных колебаний от частоты, превышение которого приводит к снижению производительности труда вследствие усталости (предел длительной терпимости) (по данным ИСО ТК-108).
 . частоты попадают в две или несколько октавных полос, то в отличие от отечественных норм учитывается совместное действие колебаний приведением среднеквадратичного значения ускорения данной октавной полосы к октавной полосе с частотами 4— 8 Гц, к которым человек наиболее чувствителен.
 Некоторые ученые (Ю. М. Васильев, Я. Г. Готлиб, н др) предлагают нормировать производственные вибрации в зависимости от продолжительности их действия,
 16

Таблица 1.7. Допустимая длительность воздействия повышенных вибраций, превышающих гигиенические нормы Превышение гигиенической нормы (не более)
 Допустимая суммарная длительность общих технологических вибрации за восьмичасовую рабочую смену в производственных.
 служебных и а дминнстр ат! шн ых помещениях (не более минут)
 уровня виброскорости, на ДБ
 абсолютного значения среднеквадратичной виброскорости или амплитуды переме щений моногармоиических вибрации (раз)
 0
 0
 480
 1
 1,12
 400
 2
 1,26
 320
 3
 1,41
 240
 . 4
 1,58
 200
 5
 1,78
 160
 6
 2
 120
 7.
 2,24
 100
 8
 2,51
 80
 9
 2,8
 60
 10
 3,15
 50
 11
 3,55
 40
 12
 4
 30
 12
 4
 Работа запре¬
 щается
 Примечания. 1. Промежуточные значения определяются линейной интерполяцией. 2. Длительность воздействия вибраций на работающих должна подтверждаться объективными документальными данными (расчетами технологического процесса, хронометражем, актами и т. п.). 3. Если вибрации, действующие на работающего, превышают гигиенические нормы хотя бы в одной октаве более чем в 4 раза (на 12 дБ), то производство работ запрещается.
 повышая допустимые нормативные данные при воздействии менее 8 ч. Эти предложения являются физически обоснованными и рациональными, поскольку они расширяют возможности применения нормативных данных при проектировании строительных конструкций (табл. 1.7), не создавая условий, опасных для здоровья людей, так как время действия повышенных .вибраций ограничивается безопасными пределами.
 Не описывая других предложений по нормированию допустимого уровня колебаний, определяемого физиологическим характером действия колебаний на человека, отметим предложения об исследованиях теоретических моделей, представляющих модели организма человека с помощью многомассовых механических систем. Однако исследования таких моделей наталкиваются на почти непреодолимые трудности по определению характеристик системы (жесткостей, масс, их взаимных связей и т.п.) [1].
 1.4. Допустимый уровень производственных колебаний на рабочих местах по данным Стандарта системы безопасности труда ГОСТ 12.1.012—78
 Нормируемой гигиенической характеристикой вибрации, определяющей их воз-
 • действие на людей в ГОСТ принята средне-
 2-491
 квадратичная скорость вибрации в мм/с и ее логарифмический уровень, измеряемый в децибелах (дБ), относительно пороговой (опорной) скорости вибраций Уа
 5-10~мм/с. Гигиеническая характеристика вибраций нормируется отдельно для каждой октавной полосы спектра частот. Допустимая гигиеническая норма общих технологических вибраций, действующих на человека в производственных условиях при продолжительности непрерывного действия в течение восьмичасовой смены, а также среднегеометрические и граничные значения спектра частот октавных полос приводятся в табл. 1.8. При гармонических вибрациях допустимые амплитуды колебаний определяются по табл. 1.9.
 1.5. Об определении допустимого по санитарным нормам уровня колебания конструкций при их динамическом расчете
 При динамическом расчете строительных конструкций по действующим нормативным материалам [4—6] обычно, определяются перемещения. В то же время в санитарных нормах параметры допустимых колебаний приводятся в децибелах или в значении среднеквадратичной скорости колебаний. В связи с этим возникает необходимость пересчета перемещений гармонических и полигармонических колебаний в параметры колебаний, приведенные в санитарных нормах.
 Суммарное перемещение при полигармонических колебаниях, как известно, определяется выражением
 0(02 вШ (в + 1г). (1.10)
 11
 где А . — амплитуда перемещения 1-то гармонического колебания; ы 2я/7. 2лп круговая частота; Т •— период 1-го колебания; и • ■ частота, фаза; п — число гармонических составляющих функций 1/(0. имеющей период Тх Т. , при этом а . — некоторое целое число.
 Среднеквадратичная скорость гармонических и полигармонических колебаний с периодом Та,Т; по амплитудам и частотам составляющих может быть определена [11] по формуле
 /~~п
 1 ср.кв "| / 2 (Ы1)
 Параметры колебаний в децибелах могут быть получены по формуле (1.2). При этом следует иметь в виду, что в соответствии с методикой ГОСТ 12.1.012.78 [12],
 17

Таблица 1.8. Допустимые гигиенические нормы общих технологических вибраций, действующих на человека в производственных условиях (в пределах частот каждой октавной полосы) по ГОСТ 12.1.012—78 _
 Среднегеометрические и граничные (даны в скобках) частоты октавных полос, Гц
 2
 4
 8 '
 16
 31,5
 63
 (1.4—2.8)
 (2,8—5,6)
 (5,6—11,2)
 (11,2—22,4)
 (22,4—45)
 (45—90)
 Случай А, мм/с
 13
 4,5
 о о
 9
 ■
 2
 То же, дБ
 108
 99
 93
 92
 92
 92
 Случай Б, мм/с
 5
 1,8
 0,89
 0,79
 0,79
 0,79
 То же, дБ
 100
 ■ 91
 85
 84,
 84
 84
 Случай В, мм/с
 1,8
 0,63
 0,32
 0,28
 0,28
 0,28
 То же, дБ
 91
 82
 76
 75
 75
 75
 •Примечания. 1. В таблице приведены допускаемые параметры для каждого из трех взаимноперпендикулярных направлений вибрации: для вертикальных (вдоль оси 2 — перпендикулярной 'опорной поверхности тела человека в положении стоя или сидя) и для горизонтальных вдоль осей х и у (ось х — горизонтальная от. спины к груди, ось у—горизонтальная от правого плеча к левому). 2. Случай А — соответствует технологическим вибрациям на постоянных рабочих местах в производственных помещениях предприятий; в мачишокотельных отделениях, центральных постах управления. Случай Б — для вибраций в складах, столовых, дежурных и других производств венных помещениях, где нет машин генерирующих вибраций; случай В — для вибраций в заводоуправлениях, конструкторских бюро, лабораториях, учебных пунктах, вычислительных центрах, здравпунктах, конторских помещениях и других помещениях.
 Таблица 1.9. Допустимые амплитуды перемещений общих гармонических вибраций1 (по ГОСТ 12.1.012—78)
 Частота,
 Амплитуда,
 мм
 Ги
 случай А
 случай Б
 случай В
 2
 1,4
 0,57
 0,2026 ‘
 2,5
 0,804
 0,3255
 0,1155
 3
 0,511
 0,2059
 0,0730
 3,5
 0,3484
 0,1398
 0,0495
 4
 0,25
 0,1
 0,0354
 4,5
 0,1978
 0,079
 0,028
 5
 0,1604
 0,064
 0,0228
 5,5
 0,1327
 0,0529
 0,0189
 6
 0,1116
 0,00444
 0,0159
 6,5
 0,0952
 0,00379
 0,0136 ,
 6
 0,0822
 0,00326
 0,0117
 7,5
 0,0716
 0,00284
 0,0102
 8
 0,063
 0,025
 0,009
 0,00836 0,00781 0,00731 0,00688 0,00648 0,00613 0,00581 0,00552 0,00525 0,00501 0,00479 0,00458 0,00439 0,00422 0,00405 0,0039 ‘
 16,5
 0,0273
 0,0109
 0,00379
 17
 0,0265
 0,0105
 0,00369
 17,5
 0,0258
 0,0102
 0,00358
 18
 0,0251
 0,0100
 0,00348
 18,5
 0,0244
 0,0097
 0,00339
 19
 0,0237
 0,0094
 0,0033
 1 См. примечания к табл. 1.8
 Продолоюение табл. 1.9
 Частота,
 Гц
 Амплитуда,
 мм
 случай А
 случай Б
 случай В
 19,5
 0,0231
 0,0092
 0,00322
 20
 0,0226
 0,0090
 0,00314
 20,5
 0,022
 0,0087
 0,00307
 21
 0,0215
 0,0085
 0,003
 21,5
 0,021
 0,0083
 0,00293
 22
 0,0205
 0,0081
 0,00287
 22,5
 0,02
 0,0080
 0,00281
 23
 0,0196
 0,0078
 0,00275
 23,5
 0,0192
 0,0076
 0,00269
 24
 0,0188
 0,0075
 0,00264
 24,5
 0,0184
 0,0073
 0(00259
 25
 0,018
 0.0072
 0,00254
 25,5
 0,0177
 0,007
 0,00249
 26
 0,0174
 0,0069
 0,00244
 26,5
 0,017
 0,0068
 0,0024
 27
 0,01167
 0,0066
 0,00236
 27,5
 0,01164
 0,0065
 0,00231-
 28
 0,01161
 0,0064
 0,00227
 28,5
 0,01158
 0,0063
 0,00224
 29
 0,0156
 0,0062
 0,0022
 29,5
 0,0153
 0,0061
 0,00216
 30
 0,015
 0,006
 0,00213
 30,5
 0,0148
 0,0059
 0,00209
 31
 0,0146
 0,0058
 0,00206
 31,5
 0,0141
 0,0056
 0,002
 32
 0,0139
 0,0055
 0,00197
 32,5
 0,0138
 0,0054
 0,00194
 33
 0,0135
 0,0053
 0,00191
 33,5
 0,0133
 0,0053
 0,00188
 34
 0,0131
 0,0052
 0,00185
 34,5
 0,0129
 0,0051
 0,00183
 35
 0,0127
 0,0050
 0,0018
 35,5
 0,0126
 0,0050
 0,00177
 36
 0,0124
 0,0049
 0,00175
 36,5
 0,0122
 0,0048
 0,00173
 37
 0,012
 0,0048
 0,0017
 37,5
 0,0119
 0,0047
 0,00168
 38
 0,0118
 0,0046
 0,00166
 38,5
 0,0116
 0,0046
 0,00164
 39
 0,0115
 0,0045
 0,00162
 39,5
 0,0113
 0,0045
 0,00159
 40
 0,0112
 0,00441
 0,00157
 40,5
 0,011
 0,00436
 0,00156
 41
 0,0109
 0,0043
 0,00154
 41,5
 0,0108
 0,00425
 0,00152
 42
 0,0107
 0,0042
 0,0015.
 42,5
 0,0105
 0,00415
 0,00148
 8,5
 0,0587
 0,0233
 9
 0,055
 0,0218
 9,5
 0,0516
 0,0205
 10
 0,0486
 0,0193
 10,5
 0,046
 0,0182
 11
 0,0435
 0,0173
 11,5
 0,0414
 0,0164
 12
 0,0394
 0,0156
 12,5
 0,0375
 0,0149
 13
 0,0359
 0,0142
 13,5
 0,0343
 0,0136
 14
 0,о329
 0,0131
 14,5
 0,0316
 0,0125
 15
 0,0304
 0,0121
 15,5
 0,0292
 ' 0,0116
 16
 0,0282
 0,0112
 18

Продолжение табл. 1.9
 Частота,
 Амплитуда,
 мм .
 Ги
 случай А
 случай Б
 случай В
 43
 0,0104
 0,0041
 0,00146
 43,5
 0,0103
 0,00405
 0,00145
 44
 0,0102
 0,00401
 0,00143
 44,5
 0,0101
 0,00396
 0,00142
 45
 0,01
 0,00392
 0,0014
 45,5
 0,0099
 0,0033-1
 0,00138
 46
 0,0098
 0,00384
 0,00137
 46,5
 0,0097
 0,00379
 0,00135
 4"
 0,0096
 0,00375
 0,00134
 4,.
 0,0095
 0,00371
 0,00133
 4В
 0,0094
 0,00367
 0,00131
 48,5
 0,0093
 0,00364
 0.00130
 43
 0,0092
 0,0036
 0,00128
 49,5
 0,0091
 0,00356
 0.00127
 50-
 0,009
 0,00353
 0,00126
 50,5
 0,0089
 0,00349
 0,00125
 51
 0,0088
 0,00346
 0.00124
 51,5
 0,0088
 0,00342
 0,00122
 52
 0,0087
 0,00339
 0,о0121
 52,5
 0,0086
 0,00336
 0,0012
 -53
 0,0085
 0,00333
 0,00119
 53,5
 0,0084
 0,0033
 0,00118
 54
 0,0084
 0,00327
 0,00117
 54,5
 0,0083
 0.00324
 0,00116
 55
 0,0082
 0,00321
 0,00114
 55,5
 0,0081
 0,00318
 0,00114
 56
 0,0080
 0,00315
 0,00112
 56,5
 0,0080
 0,00312
 0,00111
 57
 0,0079
 0,00309
 0,0011
 57,5
 0,0079
 0,00307
 0,0011
 58
 0,0078
 0,00304
 0,00109
 : 58,5
 0,0077
 0,00302
 0,00108
 59
 0,0077
 0,00299
 0,00107
 59,5
 0,0076
 0,00296
 0,00106
 60
 0,0075
 0,00294
 0,00105
 60,5
 0,0075
 0,00292
 0,00104
 61
 0,0074
 0,00289
 0,00103
 61,5
 0,0074
 0,00287
 0,00102
 62
 0,0073
 0,00284
 0,00102
 62,5
 0,0072
 0,00232
 0,00101
 63
 0,0072
 0,0028
 0,0001
 санитарных норм СН 245-71 [9] и
 № 1304-75 [10] о независимости влияния на человека колебаний различных октавных полос при полигармонических колебаниях в формуле (1.11) суммируются параметры только таких гармонических составляющих, частоты которых находятся в данной октавной полосе (табл. 1.2; 1.3; 1.9). Следовательно, при полигармонических колебаниях возможны два случая.
 1-й случай. Частоты составляющих гармонических колебаний распределены так, что в любую октавную полосу попадает только одна частота составляющих колебаний. В этом случае среднеквадратичное значение скорости определяется для каждой гармонической составляющей колебания по формуле
 ср.кв л (1.12)
 и сравнивается с приведенным в нормах для соответствующей октавной полосы.
 2-й случай. Частоты составляющих
 гармонических колебаний распределены
 так, что в некоторые октавные полосы попадает несколько частот. В этом случае среднеквадратичная скорость составляющих гармонических колебаний с частотами данной октавной полосы определяется выражением (1.11).
 1.6. Ограничение колебаний предельно допустимым динамическим прогибом
 В случае, если к колебаниям промышленного сооружения не предъявляются требования, определяемые санитарными нормами или технологическими условиями производственных процессов, то помимо ограничения колебаний по несущей способности должны предъявляться требования ограничения динамического прогиба. Это требование основывается на необходимости обеспечения достаточной жесткости ' сооружению в его совместной работе на статические и динамические нагрузки.
 В настоящее время требования ограничения динамического прогиба не являются обязательными. Однако в Инструкции [5] даны рекомендации по ограничению динамического прогиба ■ конструкции покрытий промышленных зданий. В табл. 10 приводятся данные по ограничению колебаний строительных конструкций предельно допустимым динамическим прогибом.
 Таблица 1.10. Амплитуды колебаний конструкций, соответствующие предельно допустимому динамическому прогибу
 Частота.
 Гц
 Амплитуда, мм
 Частота,
 Гн
 Амплитуда,
 мм
 1
 10
 10
 0,1
 2 .
 2,5
 15
 0,067
 3
 1,111
 20
 0,05
 4
 0,-626
 25
 0,04
 5
 0,4
 50
 0,02
 6
 0,278
 75
 0,013
 7
 0,156
 100
 0,01
 П римечани е. Для промежуточных .значений частот колебаний амплитуды определяются формулами: а) для частот колебаний от 1 до 10 Гц
 о
 10/гео; б) для частот колебаний от 10. до 100 Гц, ао1/п0. Здесь по —частота вынужденных колебаний. Гц; ав — допускаемая амялитуда колебаний конструкции от нагрузки в мм.

РАЗДЕЛ 2 ДИНАМИЧЕСКИЕ НАГРУЗКИ ОТ МАШИН
 (В. И. СЫСОЕВ)
 Различают два основных типа машин, развивающих периодические динамические нагрузки: ■
 машины с -конструктивно-неуравновешенными движущимися частями (машины с кривошипно-шатунными и кривошипнокулисными механизмами: поршневые компрессоры, металлообрабатывающие строгальные, плоскошлнфовальные и тому подобные станки; дробилки, вибрационные центрифуги, ткацкие станки, штампмашины, поршневые насосы, плоскопечатные типографские машины и т. п.);
 машины с конструктивно-уравновешенными движущимися, частями (центрифуги, грохоты, металлообрабатывающие токарные, точильные, шлифовальные и тому подобные станки с вращающимися шпинделями и камнями, вентиляторы и т. п).
 Машины, в которых основной причиной возникновения нагрузок является движение обрабатываемого материала или работа высших пар механизмов привода (мельницы: стержневые, шаровые, галечные и самоизмельчения; . барабанные смесители и окомкователи; бетоносмесители и растворосмесители, сушильные барабаны и т. п.) составляют отдельную группу машин, генерирующих случайную нагрузку.
 Для машин с конструктивно-неуравновешенными движущимися частями периодические динамические нагрузки определяют расчетом на основе рассмотрения кинематической схемы машины. В машинах второго типа неуравновешенность вызвана неточностью балансировки, разработкой подшипников, несовершенством механизмов и т.д. Поэтому динамические нагрузки от машин второго типа, а также от случайных нагрузок вычисляют на основе экспериментальных данных.
 В данном разделе определяются нормативные значения характеристик динамических нагрузок.
 2.1. Общие принципы определения динамических нагрузок
 Динамические нагрузки от машин определяются направлением действия и законами изменения во времени их главного-вектора и главного момента. Динамические на¬
 грузки, развиваемые большинством машин, изменяются по гармоническому закону, а в отдельных случаях являются некоторыми периодическими негармоническими функциями времени. Эти функции могут быть разложены в тригонометрические ряды, из которых для целей динамического расчета обычно используют первую, а иногда и высшие гармоники.
 Рассмотрим равномерное движение масс машины в системе координат, жестко связанной с корпусом машины. Обозначим массу элементарной частицы пц, а ее координаты хи уи 2{. Приводя силы и моменты сил инерции элементарных масс машины к началу координат, получим в проекциях на оси координат следующие составляющие динамических нагрузок:
 ма 2 — г1гУ’.
 - ЧУ г.
 (2.1)
 (2.2)
 где х IУI'2} —ускорения элементарных масс
 в направлении осей координат; /?х, Ку, Яг проекции главного вектора инерционных сил: Мх,Му,Мг —составляющие главного момента этих сил относительно центра приведения.
 Если машина рассматривается как система с одной степенью свободы, то положение звеньев ее определяется одной обобщенной координатой, например углом поворота ф ведущего звена. Декартовы координаты любой точки машины могут быть выражены в таком случае некоторыми функциями обобщенной координаты:
 :г(ф); Уг Уг( ф);
 |(Ф). (2.3)
 Подставляя (2;3) в (2.1) и (2.2), при равномерном вращении главного вала машины получим:
 д -
 „ л'-х а-у
 т ша 5.; Ял — т ш2
 ‘ Г)2 ■
 д2 -
 а'гс й ф2
 й ф2 ’
 (2.4)
 20

мх
 •V,
 Му СО? 2 т1
 М2 Щ? 21
 I
 где т2/и. —масса движущихся
 а2 п.
 й-гЛ
 гчл?
 -«ЧГ&,
 Й32.
 ап-х.\
 X’• 1
 — 2; 1
 й ф-
 й
 й2х.
 учп?
 -1Ц$
 а,Г
 (2.5)
 частей; х
 %
 с'
 •координаты центра масс движущихся
 частей; ш — угловая скорость вращения глвного вала машины.
 Для ротора, вращающегося вокруг оси х с постоянной угловой скоростью со, имеем:
 Я0 у ту саГ-.\ Яог — тгсаР\ (2.6)
 Мау— СО'/д-г‘ 02— СО-/х
 (2.7)
 Р(0
 (2.8)
 со з ка{ /К —
 а,Т т 'ахТ
 а,Г
 — [ /(О'созй-ю&й;
 0СгЯ Т
 Ьп у- | /(0 5111 к СО I а Т
 аКТ
 — "р Ш) 31п щ
 (2.10)
 • центробежные моменты инерции.
 Уравнения (2.6) показывают, что центр масс ротора смещен относительно оси вращения и имеет координаты ус, 20 (статическая неуравновешенность). Уравнения (2.7) означают, что ось вращения ротора не является главной центральной осью инерции (динамическая неуравновешенность).
 При вращении ротора неуравновешенность приводится к центробежной силе Ктесо2 и к моменту МтеЬш- (е |/ г/ + 2"— эксцентрицитет масс, Ь
 — хй — плечо пары сил), постоянных по величине, но переменных по направлению.
 Возвратно-поступательно движущаяся масса создает динамическую нагрузку, действующую в направлении движения и равную:
 0 при 0 с «щТ;
 | 1(1) при а±Т / а2Т;
 | 0 при а2Г а3Т;
 — [(() при а3Т а4Т;
 0 при а
 (с х а2 “3 “4 1 .
 где /40 — некоторая функция времени, например .полусинусоидальный импульс; а .(» 1—4) — числа, определяющие в долях от периода Т положение точек, в которых меняется характер функции
 РИ).
 Эта нагрузка может быть представлена в виде
 2 со5 к'п ш 0. (2-9)
 й 1
 где а% н Ь % есть коэффициенты ряда Фурье функции (2.8), вычисляемые по формулам:
 а ,Т
 где Т2п1(й — период изменения динамической нагрузки (2.8).
 Кратковременно действующие (импульсивные) нагрузки в зависимости от продолжительности действия делятся на кратковременный и мгновенный импульсы. Кратковременный импульс определяется величиной импульса, формой и продолжительностью действия. Мгновенный импульс определяется только величиной импульса.
 2.2. Нагрузки от машин с конструктивно-неуравновешенными движущимися частями
 Машины с кривошипно-шатунными механизмами. Главный вектор и главный момент динамических нагрузок приводятся к точке, относительно которой вращается кривошип первого цилиндра. В эту точку помещается начало прямоугольных координат, ось х направляется вдоль оси коленчатого вала, ось у горизонтально в перпендикулярном направлении и ось 2 вертикально.
 Проекция главного вектора на ось х и момент относительно оси х равны нулю. Остальные составляющие динамических нагрузок определяют по формулам:
 п
 11
 п
 Кг 2 № с05 + Р1 5’П СРг); (2- П) 11
 М,-2
 11
 п
 мгу
 1—1
 1—1 '
 (Эг С05ф; +Рг 51Пф;)2Ь' /! 1—1 '
 (Чг 31П Ф — Рг С05 ф;) 2 0 /1
 (2.12)
 где О ■ и Рг “составляющие динамической нагрузки от 1-то цилиндра, действующие соответственно по направлению скольжения поршня н перпендикулярно ему и определяемые по. формулам:
 31 Г со? [(та + ть) соз(со I + Фг) +
 + а1ть сов 2 (со I + рг- — фг)]; ■. г
 Рг г со? та зт (со I + (5г — фг).
 (2.13) . 2!

Рис. 2.1. Схема крпзошнпно-шатунного механизма
 1 — кривошип; 2—шатуи;
 3— крейцкопф: 4—шток; 5 — поршень; 6 — противовес
 В формулах (2.11) — (2.13) приняты следующие обозначения (рис. 2.1): г — номер кривошипно-шатунного механизма; г — радиус кривошипа; в — круговая частота вращения главного вала машины, с-1; рг -— . угол заклинивания (в рад) 1-го цнлнндра, т. е. угол между кривошипом первого цилиндра и кривошипом рассматриваемого г-го цилиндра, отсчитываемый по направлению вращения коленчатого вала; ф; — угол оси г'-го цилиндра с вертикалью, отсчитываемый по направлению вращения коленчатого вала; аг/Ь — характеристическое число кривошипно-шатунного механизма; • — расстояние между осями /-го и /+1-го цилиндров; п — число цилиндров; I — время; та — масса частей кривошипно-шатунного механизма, приведенная к пальцу кривошипа и определяемая по формуле
 та | [й. ОН-(1 - Ь-) 03 - 0п]; (2.14)
 гпь — масса частей кривошипно-шатунного механизма, приведенная к крейцкопфу (или к поршневому пальцу), определяемая по формуле
 Щ — ~ (Ог + ~~ 0з|; (2.15)
 г 1 — расстояние от оси вращения до центра тяжести кривошипа; Ь — длина шатуна; — расстояние от центра тяжести шатуна до пальца кривошипа; гп — рассто-. яние от осп вращения до центра тяжести противовеса; О,—вес кривошипа; — вес возвратно-поступательно движущихся частей; . 03вес шатуна; Сп — вес противовеса; § — ускорение силы тяжести.
 В случае, если все механизмы в машине номинально одинаковы н взанмоуравновешены, динамические нагрузки вычисляют по формулам (2.11) — (2.12), в которых величины (3; И Р; имеют ВИД;
 3; г юЩта+ ть) (1 +к;) со5(с +р;—фг-)-М -1- г/, ап, соя 2 (ю I -г — фг); I
 Р( г со2 та( 1 + кь) 51П (со ( + рг — фг). ]
 (2.16)
 При этом коэффициенты 6 (11,
 2.... п) принимают значения 0 или к в различных сочетаниях. Из всех сочетаний,
 п
 число которых равно 2с1 выбирают такие, 1 1
 при которых получаются наибольшие амплитуды составляющих динамической силы п момента; при этом берут соответствующие фазовые углы.
 Коэффициент к, учитывающий, разницу в весе одноименных движущихся частей номинально одинаковых кривошипно-шатунных механизмов, принимают ' по табл.
 2.1.
 Таблица 2.1
 Масса машины, I
 Число Цилиндров
 к
 До 1
 2 и более
 0,1
 2—а
 0,2
 1—5
 Более 8
 0,1
 2
 0,3
 5—10
 Более 2
 0,2
 2—6
 0,3
 10—20
 Более 6
 0,2
 2—8
 0,3'
 Более 20
 Более 8
 0,2
 Динамические нагрузки от машин некоторых типов с кривошипно-шатунными механизмами можно найти в работе [6]. Дополнительно в табл. 2.2 приводятся ди-
 Т а б л и ц а 2.2
 Тип машины
 Характеристика машин и динамических нагрузок
 компрессор 305 ВП 30/8
 компрессор 5Г-14/220
 пило¬
 рама
 РД-75-6
 Общая масса ма¬
 7,8
 18
 16
 шины, т
 Частота враще¬
 8,3
 2,8
 5,3
 ния, с-1
 Амплитуды сил
 инерции, кН
 I порядка:
 вертикальная
 9,2
 1,19
 2,07
 горизонталь¬
 —
 7,31
 3,9 ,
 ная
 И порядка-.
 вертикальная
 9
 .—
 —
 горизонталь- •
 7
 1,79
 —
 ная
 22

Рис. 2.2. Схема кривошипно-кулисного механизма
 1 — кулиса; 2 — кривошип; 3 — серьга; 4—ползун
 Рис. 2.3. Схемы механизмов щековых (челюстных) дробилок
 •I
 намические нагрузки от машин некоторых других типов.
 Машины с кривошипно-кулисными механизмами. Силу инерции Р\ ползуна, приложенную в его центре тяжести, и составляющие силы инерции кулисы Р2 и 2, приложенные в центре тяжести кулисы и действующие соответственно в направлении движения ползуна и в перпендикулярном направлении, определяют по формулам:
 — асо2 Лщ\1 (зш со ( — 2 а зш 2 со 1)\
 Р2 асо2 йу 1 — а2т3 (зШ а( —
 — 2азт2со );
 (} а2со2 51П со I,
 (2.17)
 где приняты следующие обозначения (рис. 2.2): с1г1к — характеристическое число кривошипнокулисного механизма; г —радиус кривошипа; к— расстояние от оси главного вала до оси качания кулисы; й — длина кулисы; й—расстояние от оси ,качания до центра тяжести кулисы; т\ — масса ползуна с серьгой: тг — массп кулисы; |Х— коэффициент, учитывающий влияние серьги как кинематической связи, вычисляемый по формуле
 [I 1
 а (я — а -/X — а2)
 Ь У 1—а- V 1 — (я—а V 1-а2)3/;я
 (2.18)
 где Ь — длина серьги; И — расстояние от оси качания до центра тяжести ползуна.
 Составляющие динамической нагрузки
 и динамический момент, приложенные в
 точке, расположенной на оси вращения
 кривошипа в плоскости кривошипно-кулисного механизма, равны:
 Я аш2б! (зш ш Ь — 2а зт 2 со {); С1 а2со2 йт2 зЬ со 1 (2.19)
 М аоо?б2 (зт ш I — 2а зШ 2 со (),
 где
 б 1щй р. + |/"1 — а?; )
 б3 т-ьй |х(Н — Н) ~\-т2й1 (й + Н.У 1—а2}'. '
 (2.20)
 Составляющая К действует по линии, перпендикулярной оси вращения кривошипа, в направлении движения ползуна; 2 — по линии, перпендикулярной оси вращения кривошипа и продольной оси ползуна; вектор момента М направлен вдоль оси вращения кривошипа.
 Щековые и гирационные дробилки. Динамическая нагрузка от щековых (челюстных) дробилок раскладывается в плоскости действия механизма дробилки на вертикальную Кг и горизонтальную Яу составляющие, приложенные к оси главного вала. Значения и Яу определяют по формулам:
 Яг тгг со? 31П ш 1\ Яу гпуг со2 соз со I,
 (2.21)
 где т и ту принимают по табл. 2.3 в зависимости от кинематических схем механизмов, ■ изображенных на рис. 2.3.
 В формулах, приведенных в табл. 2.3, приняты следующие обозначения: г — эксцентрицитет (расстояние между осью главного вала и осью шарнира шатуна или расстояние между осью главного вала и осью . эксцентрика), принимаемый по кинематическим схемам дробилок; ть т2, /щ, тп — массы соответственно подвижной дробящей плиты, эксцентрика или 50 % массы кривошипа, шатуна и противовеса.
 В табл. 2.4 для примера приведены данные по динамическим нагрузкам от двух щековых дробилок.
 Амплитуда равнодействующей всех динамических сил от гирационных (конусных) дробилок
 Я (тхг — т2г1) со3, (2.22)
 где г — расстояние от оси дробилки до центра тяжести главного вала и дробящего конуса; п — расстояние от оси дробилки до центра тяжести вала эксцентрика и других соединенных с ним элементов (шестерен, противовесов и т. д.); м.\ — масса главного вала и соединенного с ним конуса; /«2 — масса вала эксцентрика и соединенных с ним элементов.
 Равнодействующая динамических нагрузок постоянна по величине и действует в горизонтальной плоскости, в которой врл-
 23

Т а б л и ц а 2.3
 Схема дробилки
 Дробилки без противовеса
 Дробилки с противовесом
 тй
 ту
 "V
 Рис. 2.3, а, г, о/с Рис. 2.3, б Рис. 2.3, а, д Рис. 2.3, е
 /712 +/И3
 т, + т.2
 т2+0,7т3
 0,5/»|+та+тз
 /иг+0,8тз 0,5т1 + т2 0,5/7?! + т2+т3 !0,5//г1 + т2+0,7т3
 шз+лг3—тпгп/1
 Щ[+тг-т
 0
 0,5/«1+яг2+
 + т3-т.пгп/г
 0.25,71,
 0,5т1 + гп-г-пг п Гц/г 0,5т1+т в—тпг /г 0,5т!+т2+
 4- 0,7т3—П1пга{г
 щается с постоянной угловой скоростью со. Она приложена: в дробилках с крутым конусом — посредине длины главного вала, в дробилках с пологим конусом — в неподвижной точке — центре массы ть
 Данные по динамическим нагрузкам от гирационных (конусных) дробилок приведены в табл. 2.5.
 Таблица 2.4
 Характеристики машин и динамические нагрузки
 Тип дробилки
 СМ 204 Б 600X900
 ШДС1—
 6X9
 600X900
 Схема механизма дробилки согласно рис. 2.3
 а
 б
 Общая масса, т
 25
 15
 Частота вращения, с
 4,6
 4,2
 Амплитуды динамических нагрузок, кН;
 вертикальной
 27,1
 .
 горизонтальной (действующей перпендикулярно оси главного вала)
 26,3
 28
 Амплитуда динамического момента относительно верха фундамента, кНм
 0,26
 5
 Т а б л и ц а 2.5
 Тип дробилки
 машин и динамические нагрузки
 ккд
 1500/300
 ккд
 1500/180
 ккд
 1200/150
 кед 2200 Гр
 1
 2
 з
 5
 Общая масса, т
 610
 406
 240
 97
 Число качании дробящего конуса (число качаний/мин)
 82
 100
 120
 242
 Амплитуда горизонтальной динамической нагрузки, кН
 125,2
 101,5
 74,75
 87,3
 Амплитуда динамического момента относительно верхней плоскости фундамента, кН-м
 460
 290
 276
 ™2-гДР™™лкам типа 2200Т. КМД 2200Гр и
 КМДТ .-00 указанные данные и динамические нагрузки аналогичны
 В конусных дробилках часто возникают горизонтальные и вертикальные импульсивные нагрузки, принимаемые для дробилок
 крупного дробления 2 кНс, среднего 2,5 кНс и мелкого 1 кНс.
 Беспоршневые отсадочные машины. Динамические нагрузки от одной секции отсадочной машины приводятся к двум составляющим: горизонтальной и вертикальной, которые могут быть представлены в виде рядов, содержащих гармоники с частотами кв (/1, 2,...):
 я» 2 Ъг «п (»' — — Фг );
 ТО
 Яг У) ?гг- 51П (г со ( — ~ — ф. ). (2.23)
 г1 ' Амплитуды гармонических составляю¬
 щих: Чуг где
 ■ А
 , . I П
 1ыпт;
 0.г1 —
 Р а , ь а
 ЧЬу 2Я 5Ш Т’
 (2.24)
 X
 А1—ЬЛ. 1 г. ь
 »7Ь р
 X
 КЙ('+Й-‘-»‘Г+Й+‘“)5'
 (2.25)
 р— давление в ресивере машины (избыточное); /в — площадь поверхности жидкости в воздушном отделении секции; с—площадь поверхности жидкости в ситовом отделении секции; приведенная к воздушному отделению длина средней линии тока для профиля проточной части секции машины; у — расстояние между осями ситового и воздушного отделений; г — удельный вес жидкости; — коэффициент гидравлических сопротивлений, величину которого рекомендуется принимать равной 3 с; а — угол поворота вала золотника, на протяжении которого воздушное отделение сообщается с ресивером машины; & — ускорение силы тяжести.
 Фазовые углы ф, вычисляют по формуле
 Фг агс1§
 в
 — г?ш2
 \+Т
 'с
 (2.26)
 В тех случаях, когда угол а не задан, его следует принимать таким, чтобы дина- ■ мическое воздействие на несущие строи¬
 24

тельные конструкции оказалось наибольшим.
 Так как на действие нагрузки проверяют конструкции каркаса здания, а на действие нагрузки /?2 — конструкции перекрытия, то значения а при вычислении амплитуд составляющих этих нагрузок можно принимать различными.
 При вычислении Ну принимают: ая, если собственная частота здания близка к частоте одной из нечетных гармоник силы; аи/2, если собственная частота здания близка к частоте одной из четных гармоник силы.
 При вычислении Кг принимают: а—л, если частота нечетной гармоники находится в пределах одной из частотных зон перекрытия; а/я/(1+;'), если частота четной гармоники находится в пределах одной из частотных зон перекрытия (;' — номер гармонической составляющей, частота которой /ш находится в пределах частотной зоны).
 Приведенную длину Ь определяют следующим образом. На вычерченном в определенном масштабе профиле проточной части секции машины строят среднюю линию тока (рис. 2.4), представляющую собой геометрическое место центров окружностей, вписанных в профиль.
 Среднюю линию разбивают на к участков (й 10). Измеряют длину каждого участка Д5, (/1, 2,...к) и радиусы вписанных окружностей о (/1, 2, ...к), средние для каждого из участков. Приведенная длина будет
 к
 1 (2 • 27)
 /] 1
 где Г| — половина ширины проточноП части б воздушном отделении секции машины.
 ■ Динамические нагрузки от секции равномерно распределены по ее длине (вдоль оси х). Плоскость действия горизонтальных нагрузок совпадает с плоскостью опор секции. Плоскость действия вертикальных нагрузок смещена от оси машины в сторону ситового отделения на расстояние
 Н 2луР/ра,. (2.28)
 В тех случаях, когда угол а не задан, при вычислении Я можно принимать ая.
 Для определения значения Р криволинейные участки средней линии тока заменяют хордами (рис. 2.5). Из точки А пересечения оси секции с прямой, лежащей в плоскости опор секции, опускают перпендикуляры на прямые, являющиеся продолжением. хорд. По чертежу и масштабу определяют- длины хорд Д53- и отрезков перпендикуляров Н-] (/1, 2 ...к). Значение Р вычис¬
 Рис. 2.4. Построение средней линии тока
 Рис. 2.5. К определению значения Р
 ляют как сумму произведений Д5 //д-:
 к.
 2 А5 -. (2.29)
 /1
 При вычислении Р по формуле (2.29) должны учитываться знаки величин к Знак определяют положением соответству¬
 25

ющего перпендикуляра относительно угла р, образованного двумя касательными к средней линии тока, проведенными из точки А. Отрезки Н] перпендикуляров, расположенных вне угла |3, считают положительными, а отрезки перпендикуляров,, расположенных внутри углов р, — отрицательными. Если точка А находится с вогнутой стороны средней линии тока, то все отрезки к] положительны.
 Металлорежущие станки с гидроприводом. Горизонтальную динамическую нагрузку металлорежущих станков с гидроприводом в интервале времени от 0 до Г определяют по формулам:
 О при 0 « ( (1 — а/я) Г/4;
 2р/ 5Ш 71(0 На при (1 — а/я)Г/4 с / (1 а/я) Г/4;
 О при (1 + а/я) Г/4 с I (3 —
 — а/я) Г/4;
 —2р/ 5ш гав На при (3—а/я)Г/4 С / (3 + а/я) Г/4;
 О при (3 + а/я) Г/4 « г « Г,
 где
 а 0,07 СОсо//?р.
 (2.30)
 (2.31)
 В формулах (2.30) и (2.31) обозначено: 7’2я/ш—-период возвратно-поступа¬
 тельного движения; р-— давление в гидросистеме (кг/см2); /— площадь поршня гидроцилиндра (см2); С} — производительность насоса гидропривода, л/мин; в — масса возвратно-поступательно движущихся частей, кг.
 Функция, определяемая формулами (■2.30), может быть разложена в тригонометрический ряд
 31П Ш 63 51П 3(0 Ъ§ 5Ш 5СО /-{-. ,
 (2.32)
 где при
 я/а& 2я+ 1 (п 0, 1, 2, ...)
 Ь2п+1 (8Р//Я) [А (я/а — 2п — 1) —
 — Я(я/а + 2п+1)]; (2.33)
 А сов [(я/а — п — 1,25) я +
 +(л+0,5) а/2] зш [я/4—(я+0,5)а/2];
 В соз [(я/а + п — 0,25) я —
 ~(л+0,5)а/2] 81П [я/4+(п + 0,5) а/2] и при я/а 2га+1
 (2.34)
 ; (2а /р/л) {со? [л(я — а)/2а] —
 - (2/я) со» [я (Зл — 2а)/2а|} (2.35)
 Плоскопечатные типографские машины.
 Горизонтальную динамическую нагрузку, приложенную к центру тяжести возвратнопоступательно движущихся частей, определяют по следующим формулам:
 а) для машины типа ДП и ПД
 27 Уг
 4я
 — 51П СО I 4- 3(В / -
 9У 3
 4зг
 1 • е , . 1 — — 51П 5ш I 51П 7о I -
 2 5
 16 СОВ (ял/6) 5 1П (/1Я/2)
 (3!
 -л») уТ
 (2.36)
 где г — эксцентрицитет пальца ведущей шестерни;
 б) для машин типа АПМ
 о 2г в т — ■
 й Я (со I)
 я а
 Е3(ш I)
 сое |ю + агссоз (Д — В соз юр — 6,1
 V 1-(А
 (2.37)
 X
 • В СОЗ СО О2 ; к соз б + -
 б — а к соз б + — зт 2 б ;
 О! агсзт
 к 51П со г
 V С+О
 соз со I
 еУ 1 - (Л — В соз со {)2
 А
 У С + О соз со I
 6 6, + ф — X,
 е"+ Яг~ Р" . „
 С № + р";
 Нр . ед
 И — 2 Нр.
 (2.38)
 Здесь приняты следующие обозначения: г — радиус кривошипа кривошипно-шатунного механизма; Ь— длина шатуна; е, р, 7, к — длины элементов четырехзвенного механизма (рис. 2.6); й — расстояние от оси вращения кривошипа до линии перемещения центра подвижной шестерни (рис. 2.7); а г//.— характеристическое число кривошипно-шатунного механизма; /г 2/г; ф ■— угол между кривошипом кривошипно-шатунного механизма и ведомым кривошипом четырехзвенного механизма; т — угол, на который необходимо повернуть кривошипно-шатунный механизм 02СД (рис. -2.6) вместе с подвижной шестерней вокруг о.си
 02 для того, чтобы точка О] оказалась на горизонтальной линии, соединяющей точки
 01 и 02, т. е. чтобы основной шарнирный механизм привода талера мог быть представлен схемой, изображенной на рис. 2.7.
 Функция О(ш0, определяемая формулами (2.38), может быть разложена в тригонометрический ряд. Коэффициенты ряда определяют численными методами на основе исходных данных по кинематике механизма;
 26

Рис. 2.6. Схема механизмов машины типа АПМ
 Рис. 2.7. Расчетная схема механизмов машины типа АПМ
 в) для машин типа МП:
 #х 2г со(соз со I + а к зш со I +
 + а соз 2 со 0, (2.39)
 где г — радиус кривошипа; аг/Ь — характеристическое число кривошипно-шатунного механизма; Ь — длина шатуна; к — й!г\ й — расстояние от оси вращения кривошипа до линин перемещения центра подвижной шестерни.
 В формулах- (2.36) — (2.39). ■ приняты следующие обозначения; со — круговая частота возвратно-поступательных движений талера, с-1; ш — масса возвратно-поступательно-движущихся частей; I — время.
 2.3. Нагрузки от машин с номинально уравновешенными движущимися частями
 В таких машинах возникают динамические нагрузки, определяемые центробежной силой
 Я те со2, . (2..40)
 Где % — амплитуда динамической силы; гга — масса движущихся частей машины; 13 — амплитуда перемещения центра масс; ю — круговая частота вращения главного вала машины.
 Значение т представляет собой полную массу вращающихся частей; в центрифугах — масса барабана и вала вместе с заполнением; в металлорежущих станках с главным вращательным движением (токарные, сверлильные и т. п.) — масса вращающейся заготовки или инструмента со шпинделем, в вентиляторах и электромашинах— масса ротора и вала, в грохотах — масса коробов и 25 % массы обрабатываемого материала, находящегося одновременно на ситах грохота и т. д.
 Поскольку эксцентрицитеты е носят случайный характер и вызваны неточностью
 Т а б л и ц а 2.6
 Машина
 Примечание
 Грохот
 -Центрифуга
 Молотковая дробилка
 Вентилятор с горизонтальной осью, располагаемый на междуэтажном перекрытии:
 . а) рабочее колесо подвергалось статической балансировке
 б) рабочее колесо подвергалось динамической балансировке Вентилятор с горизонтальной осью, располагаемый в межферменном пространстве и на покрытиях зданий при любом . виде балансировки рабочего колеса Центробежный насос массой до 1000 кг
 Электрические машины
 а/5
 О/1000 1 мм
 0,3-{-Д/1000 0,5 мм 0,8 мм
 1 мм
 60/(20+п2)
 а—амплитуда колебаний коробов в соответствующем направлении
 X) — диаметр ротора. Для вычисления нормативного динамического момента берут плечо силы, равное половине длины ротора
 За расчетную динамическую силу от молотковых дробилок принимают увеличенную в 4 раза центробежную силу, возникающую при отрыве одного молотка. Для вычисления нормативного динамического момента (при рабочем режиме дробилки) берут плечо силы, равное половине расстояния между осями подшипников; для вычисления расчетного динамического момента (в аварийном режиме) следует принимать плечо силы, равное половине расстояния между крайними рядами молотков
 Г) — диаметр ротора, мм. Нормативный динамический момент вычисляют при плече пары, равном половине ширины ротора
 Динамический момент относительно горизонтальной оси, перпендикулярной оси вращения, не учитывают
 То же
 •Если масса вращающихся частей неизвестна, то ее рекомендуется принять равной половине массы насоса п — частота вращения машины в 1 с. Если' масса вращающихся частей неизвестна, то ее рекомендуется принять равной 0,4 от массы машины
 27

балансировки, разработкой подшипников, влиянием обрабатываемого материала и т. п., то нормирование их производится на основе результатов экспериментальных исследований., В табл. 2.6 приведены значения е для некоторых машин.
 В молотковых дробилках нормативную и расчетную нагрузку от этих машин определяют независимо одну от другой. В табл.
 2.7 приведены динамические нагрузки от молотковых дробилок двух типов, определенные экспериментально.
 Т а б л и ц а 2.7
 Данные по дробилке и динамические нагрузки
 Тип дробилки
 М 13-16 В (1300X1600)
 С 599 (а 700)
 Общая масса дробилки, кг
 9825
 2775
 Частота вращения, об/мин Амплитуда динамической нагрузки, кН
 735
 1280; 1615
 нормативная в рабочем режиме
 24,1
 9; 1,5
 расчетная в аварийном режиме
 96,4
 81; 128,5
 2.4. Динамические нагрузки от движения обрабатываемого материала
 К машинам такого типа относятся различные мельницы и смесители, в которых в результате непрерывного перемещения частиц обрабатываемого материала происходят соударения частиц и случайные перемещения центра масс. Возникающие при этом динамические воздействия могут рассматриваться как кратковременные импульсы, имеющие случайную величину и случайную повторяемость.
 Динамическая нагрузка от машин этого типа представляет собой широкополосную нагрузку типа «белого шума», характеристикой которого является его интенсивность.
 Наряду с широкополосной нагрузкой мельницы и смесители передают на несущие конструкции нагрузку в виде динамического момента, действующего относительно оси, параллельной оси вращения барабана. Процессами, порождающими эту нагрузку, являются крутильные колебания в системе привод — барабан.
 Изучением динамических нагрузок занимался ряд авторов, работы некоторых из них [8, 9, 17] использованы при написании нижеследующего материала.
 Мельницы. Для мельниц с горизонтальной осью вращения квадратный корень яз
 интенсивности, «белого шума» определяется выражением '
 зт Кв
 ■у т со ]Лоя]Л-
 (шЧЭ/2я)?, (2.41)
 где В — интенсивность «белого шума», Н с; у коэффициент, зависящий от вида мельницы и численно равный 0,02 для стержневой и 0,007 для шаровой, рудногалечной и мельницы самоизмельчения; т — масса всей загрузки (перерабатываемого материала и мелющих тел), кг; Ь — диаметр барабана, м; (о — угловая скорость вращения барабана, с ; § — ускорение силы тяжести, м/с2.
 Амплитудное значение момента в системе привод— барабан в установившемся режиме
 Мпр 2А 6(3 (г + 1)/г соз а, (2.42)
 где к — крутильная жесткость вала, соединяющего ротор двигателя с шестерней, Нм/рад; г— радиус делительной окружности шестерни, м; 6 — допустимая погрешность окружного шага, м; |3 —
 Т а б л и ц а 2.8
 Тип мельницы
 Данные по мельнцам и динамические нагрузки .
 н —
 о П ь 5
 'З о ПГ о
 се о
 53,7
 19,7
 3
 .
 94,3
 15,6
 5
 160
 14,5
 10
  185,7
 13,7
 16
  268
 12,9
 19
 1,3
 58,6
 333
 12,5
 30
 1,21
 55
 1. Мельницы стержневые (ГОСТ 10141—69)
 МСЦ 2100X301)0 МСЦ 2700X3600 МСЦ 3200X4500 МСЦ 3600X5500 МСЦ 4000X5500 МСЦ 4500X6000
 2. Мельницы шаровые (ГОСТ 10141—69)
 А. Мокрого измельчения с решеткой
 МШР .
 МШР МШР МШР МШР МШР МШР
 2700X3600
 91,2
 21
 2,1
 3200X3100
 19,8
 2,7
 3600X4000
 189
 18
 4,5
 3600X5000
 185
 18.12
 5,5
 0,775
 20
 4000X5000
 293
 17,18
 6,6
 1,16
 61,8
 4500X5000
 329
 16,7
 8,6
 1,21
 58
 5500X6000
 —
 14,7
 18
 Б. Мокрого измельчения с центральной разгрузкой
 МШЦ
 МШЦ
 МШЦ
 МШЦ
 МШЦ
 МШЦ
 2700X3600
 94,3
 21
 1,7
 __
 3200X4500
 160
 19,72
 3,1
 3600X5500
 185,7
 18,12
 5,1
 0,775
 4000X5500
 268
 17,18
 6,4
 1,15
 4500X6000
 333
 16,7
 9,4
 1,21
 5500X6000
 —
 14,7
 14,5
 20
 61.3
 57.3
 3. Мельницы мокрого самоизмельчения
 ММС 70X23
 13
 7,6
 —
 ММС 70Х60А
 834
 9,8—
 13,5
 1
 . 11,4
 ММС 90X30
 922
 11,1 —
 24,6
 15
 ММС 105X38
 7,92—
 11,67
 22
 "
 4. Мельницы рудногалечные
 МГР 4000X7500 | 343 1 17,8 I 5 | 0 794
 364 1 1 “ ‘ 1
 МШРГУ4500Х6000 I
 17,8
 16.7
 5
 5,2 |
 62,5
 28

коэффициент, зависящий от износа зубчатой передачи, равный 3; а — угол зацепления зубчатой передачи, град; I—передаточное число зубчатой пары.
 Крутильная жесткость вала к Е п сЦ32 I,
 (2.43)
 где / — длина вала, м; й — диаметр вала, м; Е модуль сдвига, Н/м2.
 Частоту вынужденных крутильных колебаний определяют по формуле Л2
 тпр ~~
 (2 . 44)
 где /, — приведенный момент инерции барабана мельницы, кг-м2, равный
 т0О /Ш;
 (2.45)
 то — масса вращающихся частей с загрузкой, кг; /э —момент инерции ротора электродвигателя, равный
 (2,46)
 .ОВ2 — маховой момент ротора, Нм2; О — масса ротора.
 Характеристики динамических нагрузок от мельниц приведены в табл. 2.8.
 Т а б л и ц а 2.В
 Барабанные смесители и окомкователи. Эти машины генерируют регулярные и широкополосные нагрузки, возникающие вследствие особенностей работы зубчатой передачи, эллипсности роликов, поддерживающих барабан, и смещения центра масс барабана от оси вращения. Регулярные нагрузки проявляются в основном на двух частотах, одна из которых равна частоте пересопряжения зубьев шестерни и зубчатого венца, определяемой по. формуле \г — Ыг/60, где /V — частота вращения барабана, об/мин; г — число зубьев зубчатого венца, а другая — на частоте 2/0, где /0 — частота вращения, об/с, опорного ролика. Широкополосная нагрузка проявляется на частотах свободных колебаний несущих конструкций.
 Характеристики динамических нагрузок от барабанных смесителей и окомкователей приведены в табл. 2.9.
 Тип машины
 Данные по машинам и динамические нагрузки
 Общая масса машины с загрузкой, т
 Частота враЩения барабана, об/мин
 Частоты
 Регулярные динамические нагрузки, кН, на частотах
 Широкополосная нагрузка, Вт -НР, Н-с°‘5
 пересо¬
 пряжения
 и ■Гц
 2 /V Гц
 2
 Смесители
 СБЗ 2,8X6
 3,16
 4
 9,3
 0,875
 10
 3
 6
 14
 1,31
 14
 7
 0,065
 СБ1 3,2X8
 7,31
 4,92
 18
 1,18
 5
 4
 0,067
 6,55
 24
 1,57
 7
 7
 0,1
 9,84
 36,1
 ' 2,36
 11
 17
 0,2
 СБХ
 10,3
 7,9
 29
 1,05
 8
 15
 0 2
 3,2X12,5
 9,-7
 35,6
 1,29
 10
 23
 0,28
 11
 40,3 ■
 1,47
 13
 30
 0,33
 . ОБ6
 10,44
 4
 14,7
 0,533
 4
 5
 0,077
 3,2X12,5
 6
 22
 0,8
 6
 10
 0,14
 8
 29,3
 1,07
 8
 20
 0,218
 4
 16
 0,485
 _
 0,12
 ОБ 3,6X14
 11,23
 6
 24
 0,728
  0,21
 8
 32
 0,971
 0,33
 РАЗД ЕЛ 3
 ДИНАМИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СТРОИТЕЛЬНЫХ МАТЕРИАЛОВ
 И КОНСТРУКЦИЙ
 ( Е. С. СОРОКИН I, Н. А. ПОПОВ)
 В этом разделе рассматриваются основные динамические характеристики строительных материалов и конструкций, (упругие, неупругне и прочностные) и способы их учета в динамических расчетах сооружений на периодические и импульсивные нагрузки. К ним относятся: 1) динамическая жесткость при циклическом процессе деформиро¬
 вания; 2) внутреннее трение, обусловливающее рассеяние энергии циклических деформаций во внешнюю среду; 3) выносливость или динамическая прочность при циклическом процессе деформирования.
 Все характеристики даются при умеренном уровне динамических деформаций и их скоростей. Ударная жесткость и ударная
 29

прочность, т. е. жесткость и прочность при высокоскоростном процессе деформирования, вызванном приложением мощных однократных импульсов (взрывов и т. п.), исключаются из рассмотрения. Объясняется это тем, что эксплуатационные динамические нагрузки, действующие на промышленные конструкции и сооружения, обычно невелики по сравнению со статическими ,
 3.1. Динамическая жесткость,
 Фактическая жесткость элементов строительных конструкций, в отличие от жесткости воображаемых конструкций аз идеального линейно-упругого изотропного однородного материала, не может быть определена как некоторая постоянная величина, так как она может зависеть от скорости и закона изменения напряжений во времени, уровня статических и динамических напряжений, температуры, влажности и т. д.
 Различают понятия «статической» и «динамической» жесткости элементов строительных конструкций. Под «статической» понимается жесткость, определяемая при медленных процессах деформирования конструкций, которая вводится в расчет сооружений на статические нагрузки. Под «динамической» будем понимать жесткость, определяемую при достаточно быстрых циклических процессах деформирования конструкций (обычно по частотам собственных колебаний), которая вводится в расчет сооружений на динамические нагрузки.
 Статическая жесткость при длительном действии нагрузки, меньше динамической вследствие влияния деформаций ползучести и релаксации напряжений и зависит от времени, отсчитываемого после начала нагружения. Динамическая жесткость зависит от периода колебаний, но для традиционных строительных материалов (сталь, дерево, железобетон, кирпичная кладка) в пределах обычных частот периодических нагрузок она меняется слабо, приближаясь к статической жесткости, определяемой из кратковременных испытаний при низком уровне напряжений.
 При назначении статической жесткости исходят из предельного состояния по прочности или по деформациям, достигаемого при полной расчетной статической нагрузке. Поэтому расчетному значению статической жесткости соответствуют верхние пределы статических напряжений или деформаций.
 1 Исключение представляют сейсмические нагрузки на сооружения правилч расчета и проектирования которых предусмотрены соответствующими нормами. •
 При действии же динамических, нагрузок нижнцм значениям жесткостей элементов конструкции необязательно соответствуют верхние значения амплитуд колебаний и динамических напряжений; часто бывает наоборот, и это объясняется тем, что.амг плитуды зависят в большой степени от от ношения основного периода собственных колебаний конструкции к периоду циклической нагрузки или к продолжительности действия импульсивной нагрузки. Поэтому расчетное значение динамической жесткости должно быть по возможности ближе к ее фактическому значению и, следовательно, должно назначаться как наиболее вероятное ее значение при данных эксплуатационных условиях. (Фактические же значения жестко; стей элементов конструкции обычно выше значений, принимаемых в статических расчетах, вследствие того, что фактическая статическая нагрузка обычно не достигает расчетной величины, а в конструкции имеются неучтенные запасы жесткости (обусловленные пространственной работой мош литной конструкции, влиянием жесткости пола или заполнений и т. п.) Кроме того; динамическая жесткость выше статической вследствие того, что при циклической нагрузке исключаются деформации ползучести, влияние трещин сказывается меньше, г модуль .упругости с повышением частоты циклов возрастает.
 Хотя из сказанного следует, что при назначении рарчетной динамической жесткости в целях приближения ее к фактическому значению следует учитывать влияние многих факторов, тем не менее учет их влияния встречает большие затруднения. Эти затруднения можно обойти, вводя в динамический расчет некоторое среднее значение динамической жесткости и наряду- с этим возможные пределы отклонения фактического значения динамической жесткости от этого среднего расчетного значения в ту и другую сторону. Относительные пределы этих отклонений задаются как двузначные погрешности определения частот собственных колебаний конструкции, определяемые путем сравнения расчетных и опытных значений частот [20]. Опыты в натурных условиях [20] показывают, что эти средние значения динамической жесткости близки к статической жесткости, определенной в предположении упругой работы материала.
 Следовательно, динамическую жесткость элементов строительных конструкций при расчете на умеренные динамические нагрузки (периодические и импульсивные) можно определять исходя из упругой стадии рабЪ-
 30

ты- материала и считать равной произведению динамического модуля упругости на соответствующую геометрическую характеристику поперечного сечения элемента. Исключение представляют случаи мощных динамических нагрузок, вызывающих появление макропластических деформаций, которые здесь не рассматриваются '.
 При динамическом расчете стальных и деревянных конструкций динамические модули упругости можно принимать равными статическим, определяемым без учета последействия (при кратковременных- испытаниях). При расчете кирпичных зданий на горизонтальные колебания модуль сдвига принимается равным 0,35, где Е — модуль упругости кирпичной кладки на сжатие.
 При динамическом расчете изгибаемых элементов железобетонных каркасных зданий, а также монолитных железобетонных конструкций перекрытий и покрытий, плит и балок, лежащих на упругом основании, днищ и стенок резервуаров расчетные динамические жесткости можно принимать равными жесткости сплошного бетонного сечения (без учета арматуры), при этом динамический модуль упругости бетона принимается равным нормативному значению Ей в соответствии с действующими нормами проектирования железобетонных конструкций. Отклонения расчетного значения динамической жесткости изгибаемых железобетонных элементов от ее фактического значения, которые могут быть существенными вследствие зависимости динамической жесткости от уровня статических напряжении и других факторов, учитываются назначением больших относительных погрешностей определения частот собственных колебаний железобетонных конструкций [20].
 3.2. Внутреннее трение
 Определения. При циклических деформациях (колебаниях) конструкции часть энергии-этих деформаций необратимо поглощается и рассеивается в виде тепла во внешнюю среду вследствие внутреннего трения в материале, трения проскальзывания в соединениях элементов конструкции («конструкционного гистерезиса»), внутреннего трения в деформируемом основании, а также внешних сопротивлений (трения скольжения в опорах и аэродинамического
 1 Во избежание недоразумений отметим, что в расчете конструкций на периодические нагрузки так называемым «методом динамических жесткостей» в термин «динамическая жесткость» вкладывается совершенно другой смысл.
 сопротивления).' -Аэродинамическое сопротивление для обычных конструкций -незначительно (вследствие их большой жёсткости), и главную роль в общем рассеянии энергии колебаний конструкции играют обычно три первых фактора, объединяемые под общим названием «внутреннее трение в конструкции». В сборных железобетонных конструкциях, выполненных по разрезной схеме, заметную роль в общем рассеянии энергии может играть также сухое трение в опорах, которое по способу его учета как диссипативного фактора в задачах динамики может быть отнесено условно к внутреннему трению V
 Объяснение природы внутреннего трения в традиционных строительных материалах следует искать в неоднородности структуры материала.
 Внутреннее трение в строительных конструкциях играет важную благоприятную роль, являясь причиной быстрого затухания свободных колебаний конструкции и ограничения амплитуд резонансных колебаний при действии периодических нагрузок.
 При циклических деформациях идеально упругой линейной системы действующая на нее внешняя циклическая сила Р прямо пропорциональна упругому перемещению г системы, и зависимости Р(г) при нагрузке п разгрузке совпадают, представляя собой прямую линию аЬ (рис. 3.1, а). Для реальной же системы, обладающей внутренним трением, эта зависимость нелинейна и двузначна и представляет собой при установившихся циклах нагрузки и разгрузки замкнутую кривую, называемую петлей гистерезиса. При гармонических колебаниях петля представляет эллипс (рис. 3.1,6) с центром в начале координат Р, г, а при свободных колебаниях зависимость Р(г) представляет собой эллиптическую спираль (рис. 3.1, а) [20,21].
 7”" Площадь замкнутой петли гистерезиса пропорциональна работе ДЦ7, совершаемой силами внутреннего трения за один цикл деформации, а площадь заштрихованного треугольника (рис. 3.1,6) пропорциональна работе 47 упругих сил за четверть цикла при возрастании деформации от 0 до максимума. Отношение '
 Ф 2 п - 2л 2яп. ГЗ-П Ч7 г„ 5„ 1 ‘
 характеризующее величину рассеянной за цикл энергии в долях энергии IV, называется коэффициентом поглощения энергии.
 1 Кроме того, сухое трение в опорах может елиять на условия ну закрепления, повышая общую динамическую жесткость конструкции.
 31

Рис. 3.1. Зависимости силы Р от перемещения г
 а —для идеально упругой системы; б —для системы с внутренним трением при гармонических колебаниях; е—то же, при свободных колебаниях
 Рис. 3.2. Свободные затухающие колебания г(0 и их огибающая ги(0
 Рис. 3.3. Зависимости коэффициента поглощения \|) от амплитуды напряжения ао для строительных материалов
 1 — СтЗ алюминий; 2— дерево, стекло, резина;
 3 — машиностроительные стали; 4 — бетон, железобетон, кирпичная кладка
 Здесь г0 и гн — амплитуды упругой и яеупругой деформации, а 50 и К0 — амплитуды упругой и неупругой силы соответственно (рис. 3.1,6); т) — коэффициент потерь.
 При гармонических колебаниях удобно пользоваться понятием комплексного мо¬
 дуля Е Ел + (Ес,,
 1 V Е2,
 материала, обладающего внутренним трением; Е\ и Еч — упругая и неупругая составляющие модуля, обусловливающие соответственно накопление и потерю энергии деформации.
 Для связи коэффициента поглощения с составляющими модуля Е он представляется в показательной форме
 Е Ее1'р Ф Ео_1Е1
 (3.3)
 + Е%, (3.2)
 где | Е" I — модуль (нормальный или сдьнга)
 где ф — угол потерь; ’П«1§ф — коэффициент потерь, так что
 ф 2я (Ея/Я,). (3.4)
 При колебаниях, когда амплитуда деформации переменна и изменяется по монотонно снижающейся кривой г0га(1) (рис. 3.2), для характеристики затухания применяется логарифмический декремент колебаний б, вычисляемый по формуле
 б 1п (гп/гп+1). (3.5)
 Связь между 1|з и 8 определяется в зависимости от гипотезы, принимаемой для описания сил внутреннего трения в системе.
 Опытные данные. Как показывают опыты, коэффициент внутреннего поглощения г|) зависит от амплитуды напряжения, но зависимость эта различна для разных материалов и разных уровней напряжений. На рис. 3.3 показан характер этой зависимости для некоторых строительных материалов при колебаниях изгиба; на оси абсцисс отложены отношения 0О/ []. где [о] — допускаемое напряжение (для железобетона— [о] арматуры). Общим для всех материалов является почти линейный рост коэффициента я|) с ростом сто в области очень малых амплитуд напряжений. В этой области 1|э возрастает от 0 до некоторого более или менее стабильного значения фо, соответствующего малой амплитуде напряжения а" (приблизительно а'0,025 [о]). При дальнейшем увеличении а0 коэффициент \| для дерева, целлулоида, стекла, резины остается постоянным, для стали марки СтЗ и
 о
 32

алюминия он медленно возрастает в области средних и быстрее в области больших амплитуд напряжений; для бетона и железобетона он слабо возрастает, а затем начинает медленно снижаться. Для многих машиностроительных сталей и цветных металлов коэффициент ч|) непрерывно быстро возрастает с увеличением амплитуды напряжения, начиная с ао0. Все эти зависимости 1]) (сто), имеющие одну или две точки перегиба, можно удовлетворительно аппроксимировать аналитическим выражением [19] ,
 где фо, ос, Р п й — постоянные параметры.
 Аналогичные зависимости 'ф(оо) наблюдаются и для натурных конструкций из соответствующих материалов.
 Для строительных конструкций промышленных зданий, где динамические нагрузки обычно малы по сравнению со статическими (исключением являются сейсмические нагрузки), практический интерес представляет область напряжений от 0 до 0О, для которой зависимость я[з (сг0) можно заменить более простой приближенной зависимостью (рис. 3.4, а). Тогда для области малых напряжений (от 0 до 0ц), важной в тех случаях, когда уровень колебаний следует ограничивать, исходя из требований санитарных норм и технологии точных производственных процессов, ф молено считать линейно возрастающим от 0 до и представлять зависимостью (3.6), полагая
 аоо, р(сг)-1, А1:
 ■Ф ФоК/сто) (° °о °о)• (З-7)
 При среднем уровне напряжений по рис. 3.3 (от отдо а' «0,5 [а]), а в случае кривой 2 — для всей области напряжений от 0 до [о], т|) можно принимать постоянным [полагая в (3.6) »р0]:
 11,11,о(сто(7о)- (3-8)
 Для задач машиностроения, где динамические нагрузки на элементы машин могут быть большими и область малых напряжений не имеет обычно практического значения, зависимость (ао) можно заменить при расчете приближенной (рис. 3.4,6), получающейся из (3.6) при аоо, Ро'ФоР:
 ■ '$§. (3.9)
 Коэффициент ф зависит от вида напряженного состояния материала при колебаниях (сжатия-растяжения, изгиба, круче¬
 а Ю
 Рис. 3.4. Расчетные зависимости коэффициента поглощения ”ф от амплитуды напряжения и конструкций
 а — для строительных материалов и конструкций; б —для машиностроительных материалов и конструкций
 ния), однако установить связь между значениями -ф при разных видах колебаний пока не удалось.
 Для традиционных строительных и машиностроительных материалов ■ф практически не зависит от скорости деформации (и, следовательно, от частоты колебаний) !, а также от температуры в пределах ее естественных колебаний (от —30 °С до + 40°С). Для некоторых типов пластмасс может зависеть от частоты колебаний и от температуры; для таких материалов ф следует считать функцией амплитуды напряжения оо, круговой частоты ш и температуры Г: г|) т|(сто, ш, П'[2, 28, 29].
 Для всех материалов ф не зависит от размеров образца, но зависит от его формы (в частности, от формы поперечного сечения); зависимости ф от формы можно учесть аналитическим путем.
 Колебания строительных конструкций происходят около положения статического равновесия, соответствующего обычно значительным статическим напряжениям ас, т. е. при существенно несимметричных циклах напряжений. Коэффициент ■ф с увеличением асимметрии цикла напряжения я Сто/Се при 0осоп51 обычно несколько возрастает, однако для большинства материалов зависимость (ос) слабая и в практических расчетах можно принимать ф(0с)сопз1.
 В табл. 3.1 приведены средние значения фср и г)ср для некоторых строительных конструкций, полученные различными авторами при разных условиях опытов и разными методами. Там же указаны диапазоны изменения значений ф, полученные для каждой конструкции. Широта этих диапазонов объясняется сильным возрастанием -ф с увеличением амплитуд напряжений в области их малых значений (см. рис. 3.3), при которых обычно и производились испытания
 1 Этот факт установлен многочисленны ми опытами, описанными в отечественной и зарубежной литературе [21], —•
 3—491
 33

Т а б л и ц а 3.1
 Значение
 Значение
 1ср
 Конструкция
 от
 ДО
 сред¬
 нее
 Автор исоледоваяия
 Стальные мосты Дымовые трубы
 Железобетонные ребристые перекрытия Железобетонные безбалочные перекрытия Железобетонные крупнопанельные -перекрытия высотных зданий:
 а) до замоноличивания стыков
 б) после замоноличивания стыков Железобетонные перекрытия Железобетонные своды по стальным балкам
 Кирпичные своды по стальным балкам
 Железобетонные подкрановые балки:
 а) до замоноличивания стыков
 б) после замоноличивания стыков Железобетонные балки
 » рамы
 » мосты
 Деревянные клееные балки
 Деревянные балки на гвоздях с перекрестной стенкой
 Деревянное перекрытие по коробчатым
 клееным балкам
 Перекрытие по деревоплите
 Обычное деревянное перекрытие
 Модели самонесущих кирпичных стен
 толщиной в 0,5 кирпича
 Кирпичная кладка (сжатая) на сложном
 растворе марки 30
 Каменная кладка (сжатая):
 а) на цементном растворе марки 100
 б) на сложном растворе марки 30
 в) на известковом растворе марки 4
 0,04
 0,3
 0,17
 0,027
 0,02
 0,29
 0,17
 0,027
 0,08
 0,16
 0,11
 0,175
 0,39
 0,78
 0,57
 0,091
 —
 —
 0,56
 0,089
 0,2
 0,24
 0,22
 0,035
 0,44
 0,6
 0,52
 0,073
 0,32
 0,57
 0,44
 0,07
 0,36
 1
 0,68
 0,108
 0,47
 0,9
 0,68
 0,108
 0,24
 0,4
 0,32
 0,051
 0,38
 0,56
 0,47
 0,075
 0,35
 0,78
 0,66
 0,089
 0,35
 0,45
 0,38
 0,061
 0,16
 0,33
 0,25
 0,04
 0,63
 0,1
 —
 —
 0,12
 0,019
 0,17
 0,41
 0,3
 0,048
 0,23
 0,43
 0,33
 0,053
 0,38
 0,47
 0,42
 0,067
 _
 0,35
 0,056
 0,2
 0,55
 0,37
 0,059
 -
 -
 0,24
 0,038
 0Д9
 0,03
 _
 0,22
 0,35
 —
 —
 0,33
 0,53
 С. А. Бернштейн С. А. Ильясевич М. Ф. Барштейн Е. С. Сорокин Хорт
 О. И. Томсон М. Росен М. Ф. Барштейн
 Е С. Сорокин
 Н. П. Павлгак
 М. Росен
 И. Л. Корчинский В. С. Мартышкин
 Р. О. Мелик—Адамян А. И. Рабинович
 Б. К. Карапетян
 натурных конструкций. При этом уровень амплитуд напряжений экспериментаторами, как правило, не фиксировался.
 В табл. 3.2 даны значения Т10'ф0/2л
 Таблица 3.2. Расчетные коэффициенты потерь в материалах и конструкциях для области
 средних напряжений
 Материал
 Бетой и железобетон
 Кирпичная кладка
 Дере¬
 во
 Сталь
 про¬
 катная
 Коэффициент 'По
 ОД
 0,03
 0,05
 0,025
 для различных материалов, которые рекомендуется принимать в динамических расчетах строительных конструкций, выполненных из этих материалов, при средних значениях амплитуд напряжений, соответствующих обычно действию машин III и IV категории по виброактивности. Здесь -ф0 — постоянный коэффициент поглощения, соответствующий области средних амплитуд напряжений (рис. 3.4, а), определяемой неравенством в (3.8). Если полученная в результате расчета амплитуда напряжения а0 попадает в область малых амплитуд напряжении (т0а), следует расчет повторить,
 принимая значение ц, определяемое по формуле, соответствующей (3.7):
 ч ЧоК о] (° а(, ао) • (3 •10)
 Если же конструкция находится под воздействием машин I и II категорий по виброактивности, то амплитуды напряжений в конструкции обычно не превышают с и т| следует определять по формуле (ЗЛО). Но поскольку амплитуда напряжения ао заранее неизвестна, так как сама зависит от г], рекомендуется в этом случае принимать для I] в предварительном динамическом расчете постоянное значение
 т1 т]о/2 (3.11)
 и затем в уточненном расчете принимать значение 1] либо по формуле (ЗЛО), либо т) 11 о в зависимости от значения а0, найденного предварительным расчетом.
 Значения коэффициента г|о в табл. 3.2 близки к средним значениям коэффициента т)ср для соответствующих конструкций в табл. 3.1. Исключение представляет кирпичная кладка, поскольку для нее значения т)ср определялись для малых амплитуд напряжений.
 34

Способы учета внутреннего трения.
 Как подчеркивалось выше, основной особенностью внутреннего трения в традиционных строительных материалах и выполненных из них конструкциях является слабая зависимость коэффициента потерь г] от частоты колебаний на достаточно широком частотном диапазоне, включающем в себя обычные частоты колебании сооружений. Поэтому методы динамического расчета сооружений должны отражать тем или иным способом этот установленный опытом факт.
 Среди известных в литературе многочисленных способов учета частотно-независимого внутреннего трения широкое применение нашли два наиболее удобных способа, основанные на гипотезе комплексной жесткости и видоизмененной гипотезе Фойгта. Ниже дается описание этих способов и области нх применения.
 Гипотеза комплексной жесткости. Для системы с одной степенью свободы комплексная жесткость может быть представлена в виде
 с (а+й)е, (3.12)
 где I — мщшая единица; с — фактическая жесткость диссипативной системы, так что должно соблюдаться условие | с | —с.
 Произведение ас представляет собой жесткость идеально упругой системы, а произведение Ьс — неупругую составляющую жесткости, обусловливающую диссипацию энергии в системе. Хорошее согласие с результатами опытов получается при следующих функциях а (у) и Ь(у), где у— коэффициент внутреннего трения
 а (1 — аЗ)/(1 + а); Ь 2а/1-|-аЗ;
 а у/2, (3.13)
 так что коэффициент потерь, представляющий отношение Ь/а, связан с у соотношением [21,- 22]
 ч ?/(1_ 1). {ЗЛ4)
 Знаменатель в (3.14), равный числителю 1—а2 в дроби а, как показывает статистическая теория внутреннего трения [21], означает уменьшение упругости системы с с ростом коэффициента внутреннего трения у. При обычных значениях у0,2 он отличается от единицы не более чем на 1 %, так что практически Тем не менее нали¬
 чие его в числителе в выражении для а, как будет показано ниже, обеспечивает лучшее согласие с опытом амплитудно-частотной и фазо-частотной характеристик системы, а также собственных колебаний системы.
 Уравнение гармонических колебаний системы с одной степенью свободы с учетом внутреннего трения по гипотезе комплексной жесткости имеет вид [21]:
 т г + {а + й) сг Р0е‘ “ 1, (3-15)
 где т —масса системы; Ро и со — амплитуда и угловая частота возмущающей гармонической си лы; г — комплексное перемещение системы, отсчитываемое от положения статического равновесия системы с учетом статического действия силы Рр.
 Вещественное решение уравнения (3.1 Б) для установившихся колебаний 2Нег имеет вид
 г Л со? (аН — Р), (3.16)
 где А, р — амплитуда и фаза вынужденных колебаний
 А , Р° ■ ; (3.17)
 4 р-
 Величины
 р р0 / ]/"1 +" - Ро 1/Гс!т (3.19)
 представляют, как будет показано ниже, соответственно угловые частоты затухающих и незатухающих собственных колебаний системы. Из (3.17) следует, что благодаря наличию разности 1—а- в числителе дроби а в (3.13) максимум амплитуду при резонансе ЛмаксРо/'пр2у получается не при вр, а при (й—р ]/" 1—а3, т.е. немного сдвинутым влево, что соответствует и гипотезе вязкого сопротивления [23], а при ш-0 получается точное значение статического прогиба ЛСтРо/с- Из (3.18) следует, что при ш-0 получается 4§:(3т], где п коэффициент потерь (3.14), что подтверждается существованием статических петель гистерезиса для всех материалов и конструкций [20].
 Комплексное представление процесса колебаний линейных систем справедливо не только для отдельной гармоники, но и для суммы гармоник. Поэтому гипотезу (3.12) можно применять для определения установившихся колебаний любой линейной системы под действием периодических сил, которые всегда молено представить суммой гармонических сил. В комплексном представлении уравнение колебаний любой линейной системы в общем виде записывается так:
 / + (а + Щ 5 + Я 0, (3.20)
 где I — сила инерции; 5 — упругая восстанавливающая сила в системе с внутренним. трением; Р — периодическая возмущающая сила, которую следует представить суммой гармоник;
 Р «) + )»
 35

Конкретизация уравнения (3.20) для любых линейных систем осуществляется просто. Для этого в уравнении соответствующей консервативной системы
 + 5 + Р 0. (3.21)
 надо умножить 5 на (а-Н'Ь) и снабдить все величины индексом «звездочка», означающим, что теперь они комплексны. Например, для системы с одной степенью свободы, с конечным числом N степеней свободы, для балок и плит комплексное уравнение (3.20) примет соответственно вид:
 тг + (а + 1Ь) сг Р((), (3.22)
 N
 ткг\ + (а + й) 2 с г) Р((), (3.23) / 1
 д~2: М- ~Ь (а +») ЯУ — (3.24)
 дГ- дх1 V • /
 (а+й) А гРи), (3.25)
 дГ- х }
 Где О — цилиндрическая жесткость плиты; Д (с121йх2) + {й21йу') — дифференциальный оператор.
 Разумеется, размерности [л и Р3 в этих уравнениях различны, причем в (3.23) Ра сопз1, в (3.24) Р8Рв(х), в (3.25) Р8 — Р3(х, у). Методы интегрирования некоторых из этих уравнений изложены в [21].
 В применении к соответствующим однородным уравнениям гипотеза комплексной жесткости становится небезупречной в том отношении, что она. навязывает’системе движение в области отрицательных . значений времени, что лишает возможности воспользоваться интегральными преобразованиями в их классической форме [22]. Этот недостаток объясняется тем, что в своем исходном виде, содержащем, частотно-независимую мнимую часть, гипотеза, естественно, не может удовлетворять принципу физической реализуемости, но соответствующие ей вещественные решения, получаемые прямым методом интегрирования однородных комплексных уравнений, согласуются с опытными данными. Изложенный ниже прямой метод интегрирования такого уравнения дает точное описание собственных затухающих колебаний системы с частотно-независимым внутренним трением.
 Решая уравнение
 тг + {а + Щ сг 0 (3.26)
 подстановкой гАеР, получим характеристическое уравнение р'+ (а+1Ь) р , где Ро]/"с/ш. Оно дает два корня р±1'(1 + -Иа)р, где р (1 + а-)—1!- р0.
 Лишний знак минус, который неизбежно появляется при очень удобном комп¬
 лексном способе решения также и вещественных однородных линейных уравнениях второго порядка, должен. быть исключен, как не соответствующий задаче. Отбрасывая его и полагая АА—1В,. получим
 г (А — Ш) е~ар е1р-.
 Из него следует вещественное решение 2Кег:
 г—е ” (А соз р{ + В зШ р(). (3.27)
 При начальных условиях г(0)го, г(0)о0 оно примет вид
 г е 2 Р ро соз р1 + 2- + | 5117
 (3.28)
 Из (3.28) определяют частоту затухающих колебаний рро и логарифмический декремент б, не зависящий от частоты:
 Р-Р./Уг + -|-' ея?, (3.29)
 соответствующие частотно-независимому внутреннему трению. Аналогично решаются однородные уравнения, в которые переходят уравнения (3.23) — (3.25) при Р‘У) — 0.
 Разумеется, что в практических динамических расчетах сооружений можно пренебрегать величиной 2/4, очень малой в сравнении с единицей при обычных значениях у 0,2, и принимать в (3.13) с (1-Иу)с. Это приближенная гипотеза применялась во многих работах, в частности, в [3, 15, 18, 20, 27]. При ее использовании получаются малые неточности принципиального характера (при ш0 амплитуда вынужденных колебаний ААст(1 + +у2) ~1РА ст, э частота затухающих колебаний рр}/1 +у2ро), не имеющие, однако, практического значения.
 Видоизмененная гипотеза Фойгта. Согласно гипотезе Фойгта сила внутреннего трения в системе с одной степенью свободы пропорциональна скорости и (и, следовательно, частоте) колебаний системы К хг, где хсопз1. Для возможности применения ее для описания частотно-независимого трения следует ее видоизменить, приняв х—у]/"тс [18], где да и с —масса
 и жесткость системы, так что
 /
 Я у'\ тсг. (3.30)
 Покажем, что несмотря на пропорциональность Ц скорости г, гипотеза (3.30) пригодна для удовлетворительной аппрок¬
 36

симации частотно-независимого внутреннего трения. Для этого подставим в (3.30) 220 5т са{, умножим Я на с/с, подведя знаменатель под корень. Получим и
 Я — V С2„ СОЗ СО и
 Ра
 где р0 Ус1т.
 Теперь ясно, что при шро амплитуда силы трения Яоусго не зависит от частоты, пропорциональна жесткости и амплитуде перемещения системы, что согласуется с гипотезой комплексной жесткости. Лишь при со?%Эо она зависит от частоты со, но в окрестности р0, где внутреннее трение существенно влияет на процесс колебаний, эта зависимость слабая. Таким образом, гипотеза (3.30) обеспечивает хорошее описание частотно-независимого внутреннего трения при собственных колебаниях и удовлетворительное— при вынужденных колебаниях. Уравнение вынужденных колебаний системы с одной степенью свободы с учетом (3.30) имеет вид
 т г + у Vтс г+ сг Р((), (3.31)
 где Р(() — произвольная возмущающая сила.
 Решение этого уравнения для установившихся вынужденных колебаний под действием силы Р({) РоСовЫ имеет тот же общий вид (3.16), но формулы для А и р получаются несколько иными:
 Амплитудно-частотные характеристики Л (со) в (3.17) и (3.32) практически совпадают. Отличаются фазочастотные характеристики. Из (3.32) для {д ср следует, что при ш-Ю сдвиг фаз ср-э-0, что не согласуется с существованием статической петли гистерезиса. Но в окрестности частоты р0 погрешность формулы (3.32) для ф мала в сравнении с формулой (3.18). Лишь в нетрадиционных задачах динамики, например, при определении потерь мощности возбудителя колебаний эта гипотеза может приводить к значительным погрешностям при шр0.
 Решение однородного уравнения, соответствующего (3.31) после удовлетворения начальным данным, получается следующим:
 '[...»« +(-Ь + Лйй)■'»«].
 (3.33)
 Частота затухающих колебаний р и логарифмический декремент б представляются формулами:
 3-«)
 При у 0,2 формулы (3.34) и (3.28) можно считать практически совпадающими.
 Преимущество уравнения (3.31) перед уравнением (3.21) состоит в возможности его решения при любой силе Р(1). Но недостаток гипотезы (3.30) состоит в том, что она непосредственно не дает рецепта для составления выражений сил трения Я для систем с числом . степеней свободы больше единицы. Однако в том случае, когда коэффициенты потерь во всех частях системы одинаковы, это затруднение можно обойти с помощью известного метода, состоящего в разложении решения по собственным формам соответствующей консервативной системы. Остановимся на этом методе несколько подробнее на примере диссипативной системы с N степенями свободы. Уравнения колебаний соответствующей ей консервативной системы имеют вид
 N
 тик + ск& Рк№ (к\,2,...Щ.
 11
 (3.35)
 Решения этих уравнений представляются в виде разложения
 2й 2 фй..ш ю, (з.зб)
 у'д
 где Й] (1) — независимые обобщенные координаты системы; ф — коэффициенты собственных форм, определяемые из частного уравнения системы (3.35).
 М#) + С}4} (1№, (3.37)
 где М ,2 — определяемые известными методами обобщенные массы, жесткости и внешние силы, соответствующие частоте собственных колебаний системы р} V сз!мг
 Координаты дз удовлетворяют независимым уравнениям.
 При условии, что коэффициенты потерь во всех частях системы одинаковы, коэффициент V вводят в (3.37) в соответствии с гипотезой (3.30):
 М] Я] + V VЩ С} + С1 Ч} а, (0. (3.38)
 Эти уравнения в принципе разрешимы для любой функции 0.з{г). Найденные из
 (3.38) подставляют в (3.36).
 Если же коэффициенты потерь т] в разных частях системы различны, то для
 определения коэффициентов потерь гц на
 37

собственных частотах р3- системы требуется знать, как записываются уравнения колебаний исходной диссипативной системы, соответствующей консервативной' системе
 (3.35). Однако на этот вопрос гипотеза
 (3.30) непосредственно не отвечает.
 3.3, Выносливость 1
 Выносливость конструкции или ее элемента — это их способность выдерживать, не разрушаясь, определенный уровень переменного во времени I напряжения при заданном числе циклов нагружения Ыв. Уровень напряжения в дальнейшем характеризуется его средним значением ат(1) и амплитудой аа(0- Процесс накопления повреждений, приводящих к окончательному разрушению, при таком характере изменения напряжений называется усталостью материала, а само разрушение — усталостным. Наибольшая абсолютная величина таких напряжений значительно меньше предела статической прочности материала и тем меньше, чем больше значение оа по сравнению с ат■ Поэтому проверка элементов конструкции на выносливость приобретает большое значение в тех случаях, когда они подвергаются систематическому переменному во времени воздействию, вызывающему значительные амплитуды внутренних напряжений. При этом различают малоцикловую усталость, которой соответствуют большие значения разрушающих напряжений при сравнительно небольшом числе циклов нагружения (105), и многоцикловую усталость.
 По современным представлениям усталость, как и внутреннее трение, связывают с неоднородностью микроструктуры материала [1], в частности, с распределением в нем линейных дефектов кристаллической решетки (дислокаций) [5]. В результате их передвижения и размножения внутри и на границах зерен поликристаллических тел возникают микропластические деформации, величина которых зависит от вида нагружения и определяет расчетные сопротивления материала как при статическом, так и динамическом воздействии. В настоящее время их значения не могут быть определены на основе теоретического построения таких моделей тел, которые отражали бы фактическое распределение внутренних дефектов и неоднородности их структуры. Поэтому на практике пользуются эмпирическими зависимостями, полученными в ре¬
 1 Этот подраздел написан Н. А Поповым.
 зультате усталостных испытаний элементов конструкций или их соединений.
 Усталостные испытания, как правило, проводятся при гармоническом воздействии, с постоянными ат и 0а. Наибольшие абсолютные максимальные напряжения Омане сгт + сТи, которые материал способен выдержать при таких испытаниях, не разрушаясь при сколь угодно большом числе циклов, называют пределом выносливости. На практике за предел выносливости принимают наибольшую абсолютную величину неразрушаемого напряжения 0макс, полученную при определенном для данного материала числе циклов нагружения п, называемом базой испытания (обычно п (2...8) X 10е).
 По результатам усталостных испытаний строят кривые усталости. Для их построения несколько партий идентичных образцов доводят до разрушения при определен-' НЫХ значениях (7макс Омане 1, СГмакс 2,
 с фиксированием соответствующих их чисел циклов пщ, п2 ... Для получения зависимости СГмакс (я) все точки с координатами (Смаке, гц) соединяют плавной линией называемой кривой усталости. Пределы выносливости существенно зависят от статической составляющей напряжения ат, вида напряженного состояния, размера и формы элемента и ряда других рассмотренных ниже факторов. Для определения характеристик усталостного сопротивления при минимальном объеме опытных данных на практике обычно пользуются кривой усталости, получаемой описанным выше способом при 0тО, и диаграммой предельных амплитуд напряжений, учитывающей влияние ат на предел выносливости. Пределы выносливости лабораторных образцов, имеющих небольшие размеры, плавную форму и полированную поверхность, полученные при их испытании в нейтральных средах, обозначают через 0Г; пределы выносливости реальных элементов конструкций или их соединений — через аТБ.
 Здесь
 г — 0щцн/°маке . (3 • 39)
 Г — коэффициент асимметрии цикла напряжений; омак0 — максимальное по абсолютной величине напряжение цикла; омин макс — 2?а — минимальное напряжение цикла.
 Значению г1 соответствует действие только статического напряжения и огг 01 0в, где Ов — временное сопротивление; г—1—'Симметричный цикл нагружения и 0г 0-1 (рис. 3.5, а); г0 ■— пульсирующий цикл и 0г 0о (рис. 3.5,6); 0г1 —знакопостоянные несимметрич¬
 на

Рис. 3.5. Циклы напряжения
 а симметричный; б — несимметричный пульсы ругощий
 ные циклы (рис. 3,5, б); —1л0—знакопеременные несимметричные циклы (рис.
 3.5, г).
 Коэффициент к аг1ато (3.40) характеризует изменение пределов выносливости элементов .конструкций по отношению к их значениям для лабораторных образцов.
 Пределы выносливости, получаемые при усталостных испытаниях серии образцов, номинально одинаковых по своим геометрическим и физическим свойствам, характеризуются большим разбросом. Если количество образцов в серии достаточно велико, могут быть использованы вероятностные методы расчета [4, 6]. В большинстве же случаев объем экспериментальных данных оказывается ограниченным и здесь оправданным является применение детерминистского подхода, основанного на их некотором осреднении.
 Предел выносливости материалов при симметричном цикле нагружения. Предел выносливости ст-1 является важной характеристикой материала, лежащей в основе расчета как запаса, так и долговечности (ресурса) элементов конструкций. В табл.
 3.3 приведены назначения отношения а—\/а„ для некоторых материалов при растяжении и сжатии, временного сопротивления ств, предела текучести сгт, предельного удлинения в и базы испытаний на выносливость п [8]. В табл. 3.4 даны значения сгв и 0-1 при га2-10е для арматуры, используемой в железобетонных конструкциях [9, 16], а в табл. 3.5 —значение 0-1 для стали в зависимости от ее временного сопротивления разрыву [17]. Для дерева и
 Рис. 3.0. Зависимости Ог(о т ) Для сталей с различным временным сопротивлением ов, МПа (кгс/см2), (по опытам Велера на изгиб)
 1 — 370 (37); 2 — 815 (81,5); 3 — 905 (90,5)
 У г/бВ
 0,5
 0,1
 к
 ■/V
 'Л
 /У
 4ч
 }
 &
 у
 К-
 Г
 6
 И
 В
 /
 5
 $
 X ~ п/68 7
 Рис. 3.7. Зависимости аг(от)прн растяжениисжатии
 Кривые 1—5 — сталь с различным временным сопротивлением аМПа (кгс/мм2); кривая 6—алюминиевый сплав, ов487 МПа (48,7 кгс/мм2); 7 — 500 (50): 2 -- 360 (36); 3 — 620 (62); 4—415 (41,5)!
 5 — 630 (63)
 0,5
 №
 а
 ✓
 /
 /
 /
 в
 У4
 м
 /
 /
 ' 9
 К1
 0,5 Х бс/бв
 Рис. 3.8. Зависимость ог(от)
 1 — бетон на сжатие (опыты многих авторов): 2— стеклопластик ВФТ—С (ав 146 МПа (14,6 кгс/ым2) — опыты Ф. П. Белянкина и др (51
 39

Таблица 3.3 [8]
 Материал
 ав.
 кгс/мм-
 °Т.
 кгс/мм2
 е. %
 а ■ 10—е
 ао0/аъ
 СтЗ
 36—37
 _
 2
 0,31—0,32
 СтЗ для сварочных мостов
 45
 —
 —
 2
 0;31—0,33
 Ст5
 54
 , 2
 0,3
 Углеродистая сталь С — 0,37 %
 52—50,8
 28,6—23,7
 21—21,5
 10
 0,27—0,31
 Углеродистая сталь С — 0,93 %
 59,1—81
 23,5—47,5
 25—23
 10
 0,24—0,31
 Углеродистая сталь С — 0,49 %
 64,3
 33,1
 27
 10
 0,22
 Углеродистая сталь С — 0,36 %
 73,4
 49,6
 28
 10
 0,38
 Сталь 15ГС
 63
 43,1
 23,2
 о
 0,29
 Легированная сталь N1 —3,5 %
 71.4
 45,5
 26
 10
 0,355
 Стали 35ХМ, 34ХНМ, 35ХЕЭМА
 105—110
 —
 10
 0,45
 Алюминиевый сплав 755-Т
 59,7
 54,4
 10
 10
 0,183—0,27
 Алюминиевый, сплав 245-Т
 50,2
 36,3 ,
 18
 10
 0,252—0,308
 Сосна
 9,72
 ,—
 —
 0,3
 Ель
 10
 —
 __
 —
 0,3
 Стеклотекстолит на смоле:
 33
 фенольной
 ■—
 —
 10
 0,28
 эпоксидной
 30
 —
 —
 10
 0,39
 кремнеорганической
 26
 —
 10
 0,22
 Таблица 3.4 [9, 16]'
 Класс арматуры
 А-1
 А-П
 А-III
 (31
 6—8)
 А-III № 10— —40)
 ов, МПа
 226
 280
 353
 369
 МПа
 92
 118
 117
 114
 0,136
 0,53
 0,585
 0,55
 Примечание. Классификация арматуры приведена в [16]. стеклопластика средние значения пределов выносливости приблизительно равны О,30в.
 Влияние статической составляющей. Результаты опытов по изучению пределов выносливости от для различных материалов — стали, цветных металлов, бетона, железобетона, дерева, пластмасс и других. показывают, что при любом виде напряжённого состояния аг существенно зависит от величины сгт. На рис. 3.6—3.8 даны зависимости сгг(стт), полученные различными авторами и систематизированные в работах [8, 24]. Построение этих кривых можно выполнять двумя способами. В первом из них фиксируется величина ат. Во втором фиксируется показатель асимметрии цикла т при переменных ат и 0„. В обоих способах находят минимальное значение 0ар, при котором образец разрушается на данной базе испытаний п, и 0г 0т + 0ар. Результаты, получаемые тем и другим способом, хорошо взаимосогласуются [6]. Верхние концы всех кривых на рис. 3.6—
 3.8 продолжены пунктиром до точки, соответствующей ов. В действительности эти кривые должны сходиться в точке, соответствующей временному сопротивлению о® при длительном действии статической нагрузки, (равном времени испытаний). Эта точка должна лежать ниже и левее точки. (1,1), однако опытных данных для ее определения нет,
 Таблица 3.5 [17]
 о%, МПа
 До
 420
 420—
 440
 440—
 520
 520—
 580
 580—
 625
 , МПа
 120
 128
 132
 136
 145
 Для большинства строительных материалов подобные зависимости представляют собой либо прямые линии, либо слабо выпуклые кривые, которые хорошо аппроксимируются одной зависимостью. Учитывая разброс опытных данных с достаточной для практики точностью, в качестве расчетной. зависимости можно принять прямую, проведенную через две характерные точки, в качестве которых чаще, всего используют точки, соответствующие пределам выносливости . при симметричном и пульсирующем циклах изменения напряжения: 0-1 и 0о соответственно. Уравнение этой прямой имеет вид
 0Г 0_! + (1 — 1]))0т, (3.41)
 где 1|) (20_,— 0О)/0О.
 Отметим, что если кривая ог(от) — вогнута (что характерно для хрупких материалов), то ее замена, прямой типа (3.41) недопустима. При отсутствии экспериментальных данных можно использовать следующие значения ф для лабораторных образцов: г|) 0,1 ... 0,2 для углеродистых сталей, г|)0,15 ... 0,3 для легированных сталей. В табл. 3.8 приведены значения аг(г), МПа, для арматуры (м 2 -10°) [10, 13, 16],
 г (20т — аТ)/аг. ' (3.42)' Для стальных деталей и их различных соединений зависимость Ог(г) аппроксимн-
 40

руют следующим образом [17]: если омако соответствует растяжению, то
 а 2,5/(1,5-г); — 1 л0.
 7» ."Г7 2,0/(1,2—г); 0г0,8. (3.43) 1 1.1,0/(0,8—а); 0,8г1.
 Если Смпко соответствует сжатию, то
 7„-А- 2/(1-г); — 1 г 1. (3.44) —1
 Для определения запаса усталостной прочности и долговечности конструкции вместо зависимости (3.41) используют соотношение, называемое диаграммой предельных амплитуд и связывающее между собой разрушающие значения от и сгар линейной зависимостью
 аар 0-1 — т|)стго, - (3.45) при ЭТОМ по-прежнему 0г 0ар + 0т-
 Влияние вида напряженного состояния.
 Т а б л и ц а 3.6 [8]
 °В-
 кгс/
 /мм2
 Значения а
 о ' В
 Материал
 о
 п
 растяже-
 ние-сжа-
 тие
 О)
 аЗ
 а.
 Сталь марки:
 0,27
 10
 34—42
 0,51
 0,37
 20
 45—50
 0,43
 0,31
 0,255
 30
 48—60
 0,435
 0,35
 0,215
 45
 60—75
 0,435
 0,325
 0,26
 40ХН
 90
 0,44
 0,32
 0,28
 12ХНЗА
 95
 0,455
 0,31
 0,25
 ГУТАП 5140
 90—100
 0,435
 0,30
 0,25
 25ХНВА
 110
 0,455
 0,305
 0,265
 Сталь марки
 115
 0,49
 0,33
 0,30
 18ХНВА
 Средние значения
 —
 0,454
 0,324
 0,261
 для сталей
 0,221
 Алюминий
 0,367
 —
 Сосна
 1,87/
 7,50
 0,25
 2,89/
 9,72
 0,30
 0,081/
 0,33
 0,245
 Ель
 2,11/
 7,57
 0,28
 2,96/
 10
 0,30
 0,094/
 0,36
 0,26
 Стеклопластик на смоле:
 9,15/
 33
 0,28
 а) фенольной
 13,2/
 60,8
 0,22
 б) эпоксидной
 ■
 12/
 47,3
 0,25
 11,8/
 30
 0,39
 в) полиэфирной (на основе мата)
 6,8/
 24,2
 0,28
 2,56/
 10,2
 0,25
 Таблица 3.7 [24]
 Форма поперечного сечения
 ав, МПа
 380
 520
 623
 1040
 Двутавровое
 145
 _
 184
 —•3
 Трубчатое
 —
 — -
 194
 —
 Прямоугольное
 165
 318
 195
 556
 Крестообразное
 —
 —
 197
 —
 Круглое
 346
 201
 625
 Пределы выносливости материала существенно зависят от вида напряженного состояния. В табл. 3.6 [8] даны значения отношения 0-\/у„ лабораторных образцов при их изгибе, растяжении-сжатии и кручении. Сведения о химическом составе и термообработке приведены в работе [8]. Для полимеров пределы усталости отнесены к временным сопротивлениям, соответствующим данному виду деформации и указанным в знаменателе дробей. Для сталей пределы выносливости при изгибе растяжениисжатии и кручении приближенно отнрсятся как 1,8: 1,3: 1. Эти отношения могут быть использованы при отсутствии экспериментальных данных. ,
 При несимметричных изменениях напряжения разрушающие значения амплитуд напряжений при растяжении-сжатии 0аР и кручении Тар связаны следующими соотношениями [24]:
 для конструкционных сталей
 (0ар/0-1)? + (Тар/х-О? 1, (3.46)
 для высокопрочных сталей
 где о 3 и х пределы выносливости при сим¬
 метричном изменении напряжений при растяжении-сжатин и кручении, соответственно.
 Влияние размеров и формы образца.
 Предел выносливости элементов конструкций снижается с увеличением размеров их поперечного сечения, причем во всех случаях степень снижения имеет быстро затухающий характер. Наиболее сильное влияние масштабного фактора сказывается при изгибе и кручении [8, 24]. В опытах же на растяжение-сжатие эффект от изменения размеров поперечного сечения на пределы выносливости образцов невелик. Так же незначительно на величину аг сказывается и увеличение их длины.
 Аналогичное влияние на предел выносливости при неоднородном напряженном состоянии оказывает форма поперечного сечения. В табл. 3.7 приведены пределы выносливости образцов с различной формой поперечного сечения [24].
 Влияние частоты изменения напряжений. На основании многих опытных данных можно сделать вывод, что влияние частоты изменения напряжений деталей конструкций вплоть до величин порядка 100 Гц, работающих в нейтральных средах и при нормальной температуре, на величину аг
 41

незначительно. При этом общей тенденцией является возрастание аг с увеличением частоты нагружения.
 При расчете на выносливость конструкций, работающих в агрессивных средах и при повышенной температуре необходимо учитывать возможное значительное снижение величины аг при уменьшении частоты нагружения.
 Влияние концентраторов напряжений. Концентраторами напряжений являются отверстия, выступы, глубокие надрезы, углы, галтели и т. п. К ним можно отнести также внутренние трещины и дефекты материала, образовавшиеся при изготовлении или обработке элементов конструкций. В областях, прилегающих к концентраторам напряжений, наблюдается резкое местное повышение напряжений, которое сильно снижает пределы выносливости. Существуют обширные теоретические и экспериментальные исследования по изучению влияния концентраторов напряжений на пределы выносливости. Для материалов, применяемых в строительстве, могут быть использованы данные, приведенные в работах [7, 14]. В целом можно отметить, что концентрация напряжений является одним нз основных факторов, существенно снижающих пределы выносливости элементов строительных конструкций, что необходимо учитывать при расчетах на выносливость; в некоторых случаях их значения в 3—5 раз меньше, чем у лабораторных образцов.
 Пределы выносливости соединений.
 Пределы выносливости различных типов соединений элементов металлических и деревянных конструкций, как правило, существенно ниже, чем у сплошных элементов. Причина снижения состоит в концентрации напряжений в сварных швах, на контурах заклепочных соединений, в местах резкого изменения сечения в соединении и т. д. В табл. 3.9 [8] и 3.10 приведены значения коэффициента йс сг_1/сг-1п для соединений различного типа, где ст_1 и о-ю — пределы выносливости основного материала и соединения соответственно. В табл. 3.8 приведены значения агг (/'), МПа различных соединений арматуры [9, 17].
 Нормативные данные о пределах выносливости сварных соединений, применяемых в металлических конструкциях, приведены в [17].
 Качественное влияние других факторов. Коррозия металлов, некачественная обработка поверхностей существенно понижа-
 Т а б л и ц а 3.8
 Арматура
 —1
 —0,2
 0
 0,4
 А—I
 92
 145
 166
 207
 А-1г
 80
 123
 149 '
 207
 А—1тт
 47
 87
 103
 155
 II
 73
 А~1т
 19
 36
 42
 А—II
 118
 145
 157
 197
 А—Пх А—Птт
 102
 123
 141
 197
 60
 87
 102
 147
 II
 69
 л-ит
 24
 36
 39
 6—8 мм
 А—III
 117
 137
 151
 205
 А—Шг
 95
 116
 136
 205
 Примечание. Классификация арматуры и ее соединений приведена в [16].
 ют предел выносливости элементов строительных конструкций. Снижающее влияние на предел выносливости наблюдается также с повышением температуры; например, при повышении температуры сталей с —60 °С до 60 °С аг уменьшается примерно на 20 %. Напротив, тренировка циклическими напряжениями с относительно небольшой амплитудой повышает предел выносливости.
 Данные о раздельном и совмещенном влиянии упомянутых выше факторов на пределы выносливости материалов имеются в работах [6, 7, 8, 24].
 Расчетная проверка конструкций на выносливость. Гармоническое воздействие. Проверка на выносливость элементов конструкций при гармоническом изменении в них напряжений е постоянными значениями ат и сти выполняют по формуле
 ама магО °г/к’ 3-48
 где стмакс максимальное по абсолют¬
 ной величине значения напряжений; су н с _ —
 7 ги
 пределы выносливости лабораторных образцов и элементов конструкций; к — коэффициент, учитывающий влияние приведенных выше факторов на предел выносливости.
 В табл. 3.4 и табл. 3.8 приведены значения сг_1 для арматуры железобетонных конструкций и сГгв Для ее сварных соединений. Предел выносливости сггв элементов металлических конструкций может быть получен на основе данных табл. 3.5 и соотношений (3.43) — (3.45), а их соединений с помощью равенства (3.50) и данных, приведенных в [17].
 В нормативной литературе по расчету элементов железобетонных конструкций на выносливость принимают
 агО~ Уу I (3.49)
 где % — расчетное сопротивление (соответствующее временному сопротивлению основного материала);
 42

Таблица 3.9 [8]
 Конструкция
 Тип соединения или ослабления
 Характеристика типа соединения или ослабления
 Коэффи¬
 циент
 Любая
 Монолитный элемент без ослаблений, а также основной материал за пределами стыков и соединений
 1
 Заклепочное
 Горячая клепка Холодная клепка Пластины с отверстиями
 1,2
 1,35
 1,4
 Ручная сварка встык
 С обработкой швов Без обработки швов Элементы с приваренными фасонками
 1,2
 1,5 (2) 1,2
 Элементы с приваренными ребрами
 1,7
 Ручная сварка внахлестку
 С лобовыми швами 1 : 2 с их обработкой С лобовыми швами 1 : 2 без их обработки
 1
 1,1
 Стальная
 С лобовыми швами 1 : З1"
 С лобовыми швами 1 : 1,6 с их обработкой
 С лобовыми швами 1 : 1 без их обработки
 С лобовыми швами 1 : 1
 С комбинированными швами — двумя фланговыми и одним лобовым С фланговыми швами
 1,2
 7
 2;2ф
 2,4
 1,8
 3,3(6,Б)
 Автоматическая сварка вна¬
 С дополнительными накладками
 1,4
 хлестку
 С лобовыми швами 1 : 3 без их обработки
 С комбинированными швами — двумя фланговыми и одним лобовым
 1,5
 2,4
 Из алюминиевых
 Заклепочное
 Из сплава Д1-Т с заклепками из сплава Д18-Т
 Из сплава АМ61 с заклепками из сплава В65-Т
 Пластины о отверстиям’ из сплавов АВ-Т1 и Д16-Т
 1,72
 1,77
 1,4-
 сплавов
 Полуавтоматическая аргоно¬
 Встык с 'наплавленным металлом
 1,16
 дуговая сварка пластин из
 Встык с обработанными швами
 1,20
 сплава АМгб
 Встык с необработанными швами Встык с промежуточной прокладкой Внахлестку с лобовыми швами Внахлестку с фланговыми швами ,
 1,6
 2,46
 2,54
 4,3
 Аргоно-дуговая сварка пластин из сплава АВ-ТУ
 Автоматическая встык с обработанными швами
 1,7
 Аргоно-дуговая сварка пластин из сплава АВ-ТУ
 Автоматическая встык с необработанными швами
 Ручная внахлестку с фланговыми швами
 2.5
 4.5
 Ослабление по всей высоте
 Отверстие на всю высоту сечения
 1,3
 Составная дере¬
 изгибаемого сечения
 Забивка гвоздей на всю высоту сечения
 1,55 •
 вянная
 Ослабление по наиболее
 Прямоугольная поперечная канавка
 1,95
 напряженным волокнам изгибаемого сечения
 Овальная поперечная вмятина
 2,1
 Значение в скобках соответствует высокопрочным сталям ав60 кгс/мм2.
 Отношение катетов шва.
 Данные из работы [4].
 — понижающий коэффициент. Его значения для сжатого бетона определяются по табл. 3.11 [16].1
 При расчете растянутой арматуры уг та\П1а2, где т.а\ и та2—.коэффициенты условий работы, принимаемые по табл. 3.12,
 3.13 [16]. При отсутствии сварных соединений арматуры та2 принимают равным единице.
 Для стальных конструкций и их соединений
 43

Таблица 3.10 [24]
 Тип образца
 Предел выносливости на базе п2-10й, МПа
 кс
 Исходный материал
 332
 1,0
 Прокатная двутавровая
 269
 0,82
 балка
 Сварная балка
 220
 0,66
 Прокатная балка со
 147
 0,45
 сварным стыком
 Прокатная двутавровая
 52,5
 0,16
 балка с приваренными
 накладками
 аго Яу IV м - (3-50)
 где кСГ—ш— расчетное сопротивление усталости, равное пределу выносливости основного.-материала (табл. 3.5 [17]) или соединения элементов конструкций (табл. 3.14 [17]) при базе испытаний /12-106 и г— — 1; уу(г) кривая, соответствующая диаграмме усталостной прочности, отнесенной к 0 цз и заданная соотношениями (3.43)
 и (3.44).
 В том случае, если известно число циклов нагружения /г, то расчет элементов стальных конструкций может проводиться по формуле
 Таблица 3.11
 Бетон
 Состояние бетона по влажности
 Коэффициенты условий работы бетона при многократно повторяющейся нагрузке и коэффициенте асим-‘ метрии цикла г, равном
 о
 ! 1
 О
 0,2
 0,3
 0,4 ,
 0,5
 0,6
 0,7
 Тяжелый
 Естественной влажности
 0,75
 0,8
 0,85
 0,9
 0,95
 1 •
 1
 В о дон а сыщен ный
 0,5
 0,6
 0,7
 0,8
 0,9
 0,95
 1
 На пористых за¬
 Естественной влажности
 0,6
 0,7
 0,8
 0,85
 0,9
 0,95
 1
 полнителях
 Водонасыщенный
 0,45
 0,55
 0,65
 0,75
 0,85
 0,95
 .1
 Таблица 3.12
 Класс арматуры
 Коэффициенты условии работы арматуры та\ при многократном повторении нагрузки и коэффициенте асимметрии цикла г, равном
 —1
 2
 0
 0/2
 0,4
 0,7
 0,8
 0,9
 1
 А-1
 0,45
 0,7
 0,8
 0,85
 1
 1
 1
 1
 1
 А-И
 0,45
 0,55
 0,6
 0,65
 0,75
 1
 1
 1
 1
 А-Н марки 10ГТ с улучшенным профилем
 —
 —
 0,8
 0,85
 0,95
 1
 1
 1
 1
 А-Ш
 0,35
 0,4
 0,45
 0,5
 0,6
 0,9
 1
 1
 1
 А-1У
 —
 —
 —
 —
 0,4
 0,75
 0,95
 1
 1
 А-У
 —
 —
 —
 —
 0,3
 0,6
 0,75
 0,95
 1
 Вр-П
 —
 —
 —
 —
 0,7
 0,85
 0,95
 1
 В-Ц
 —
 —
 —
 —
 0,8
 1
 1
 1
 К-7 диаметром 4,5—9 мм
 —
 —
 —
 —
 0,8
 0,95
 1
 1
 К-7 диаметром 12—15 мм
 . —Ч
 — ; •
 —
 —
 0,65
 0,8
 1
 1
 В-1 и Вр-1
 • 0,6
 0,75
 0,9
 1
 1
 1
 1
 Примечание. Характеристики улучшенного профиля арматуры класса А-П марки 10ГТ (Ас-И) приведены в ГОСТ 5781—75.
 Т а блица 3.13
 Класс арматуры
 Группа
 сварных
 соединений
 Коэффициенты условии арматуры при многократном повторении нагрузки и коэффициенте асимметрии цикла г, равном
 0
 0,2
 0,4
 0,7
 0,8
 0,9 ■
 1
 I
 0,9
 0,95
 1
 1
 1
 1
 1
 А-1, А-11 диаметром не более 20 мм
 II
 0,65
 0,7
 0,75
 0,9
 1
 1
 1
 III
 0,25
 0,3
 0,35
 0,5
 0,65
 0,85
 1
 I
 0,9
 0,95
 1
 1
 1
 1
 1
 А-Ш диаметром не более 20 мм
 II
 0,6
 0,65
 0,65
 0,7
 0,75
 0,85
 1
 III
 0,2
 0,25
 0,3
 0,45
 0,6
 0,8
 1
 Примечание. Разделение сварных соединений на группы при расчете ыа выносливость приведены в [17]. |
 44

амакс V а М Яу V]/ М {п),
 где-а (л) —уравнение усталостной кривой при симметричном характере изменения напряжений, от-
 для групп элементов 1 и 2 а (п)
 0,064 (п/106)? —0,5 (и/ 10й) + 1,75; (3.51) для групп элементов З...8а(я)
 0,07 (и/10е)? — 0,68 (и/106) +2,2. (3.52) ■Классификация элементов стальных конструкций и их соединений приведена в [17].
 Таблица 3.14 [17]
 Группа элементов и их соединений
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 МПа
 90
 75 '
 60
 45
 36
 27
 Примечание. Классификация групп элементов и их соединений приведена в [17].
 Число циклов Ыр до разрушения конструкции или связанное с ним время Т работы конструкций определяют следующим образом. При расчете элементов конструкций, для которых известна кривая усталостного разрушения при любых значениях коэффициента г, на основе уравнения этой кривой
 Ыр:Ир(а макс)- (3.53)
 Обычно применяют следующую зависимость между Смаке и числом циклов до разрушения:
 М-п л ,
 Р I а.
 макс N сю; сг
 П 3
 (3.54)
 а о +я1)па .
 (I ЭК п 1 и т
 чения \])п для четырех классов арматуры, используемой в железобетонных конструкциях. Для металлоконструкций принимают г[1О 0,2, если максимальное напряжение растягивающее и фл0, если оно сжимающее.
 В обоих случаях время работы элемента конструкции определяют из соотношения
 оо; а
 р" I “манс' ’ агй’
 гй’
 (3.57)
 где ? — частота гармоническнх колебаний конст« рукцин, Гц
 Нерегулярный режим нагружения. Если амплитуда аа и средние напряжения цикла стт. не постоянны и зависят от номера « цикла, то режим нагружения считают нерегулярным. В этом случае расчет на выносливость основан на определении меры усталостного повреждения и использовании той или иной теории накопления этих по-, вреждений. В работе [4] получены соотношения для определения нескольких мер повреждений, обусловливающих усталостное разрушение, и на их основе проводится анализ различных гипотез о Накоплений этих повреждений и оценка долговечности и выносливости конструкции.
 На практике в этих целях обычно используют корректированную линейную гипотезу накопления повреждений, определяющее уравнение которой имеет вид [6]:
 — -в р- (3.58)
 лъ (П) У
 О
 .. р Г
 где п база усталостных испытаний: для элементов строительных конструкций обычно л— 2106; тг— параметр кривой усталости
 Для стальных конструкций кривую усталости можно аппроксимировать соотношением Омане сГгл'уV [17], где уу задается равенствами (3,43) и (3.44).
 Если кривая усталости определена только при симметричных циклах изменения напряжений, то
 Мр ( У1-1’ аа,аКа-Ю’
 I 00 ; &а эк О—хП,
 (3.55)
 где аа дк — амплитуда напряжений при симметричных циклах, эквивалентная по своему разрушающему действию несимметричному режиму нагружения [6]
 где «р(я)—число разрушающих циклов по крпа вой усталости, соответствующее амплитуде аа(п).
 Если кривая усталости аппроксимируется соотношениями (3.54) и (3.55), то
 пр » ["-ш'Ч.эк 1 (3‘59)
 Здесь п — база испытаний; предел вы--
 носливости элемента конструкций с учетом всех влияющих на него факторов; — определяй
 ют с помощью равенства (3.56).
 Величину ар определяют по формуле [6]:
 в которой
 )'оит- (3.56)
 Обычно величину определяют экспериментально. В табл. 3.4 приведены зна-
 чте (п) г
 эк - йп
 а.макс
 (3.60)
 (3.61)
 • максимальное значение яаэк(/г)
 45

При вычислении интегралов (3.58) и (3.61) учитывают только амплитуды аа,вк, оказывающие влияние на процесс усталостного разрушения, т. е. ва,ж ка.У-т. При отсутствии необходимых экспериментальных данных ка может приниматься 0,5. При блочном режиме загружения с постоянными значениями аа и ат в пределах каждого блока интегралы в (3.58) и (3.61) заменяют суммами, количество слагаемых в которых равно числу блоков загружения.
 Формула (3.58) позволяет оценить число циклов Л/р до разрушения элемента конструкции при известных зависимостях аа(п) и сгт(«).
 В том случае, если величина Ыр задана при нерегулярном режиме нагружения с постоянным значением ат (что является характерным для строительных конструк¬
 ций), то их проверка на выносливость может проводиться по формуле, аналогичной неравенству (3.48):
 п(1) - гт
 °макс игО‘
 Здесь а”кс ат + от”»; (3.62)
 "р.
 с(1) — 1 Г 0т—I (п) йп, (3.63)
 ар"р °’ЭК
 О
 где все приведенные величины определены выше.
 При случайном режиме загружения ат определяют от суммарного действия статической нагрузки и среднего значения динамической нагрузки, а оа(п) представляет функцию распределения амплитуд напряжений в зависимости от номера цикла.
 РАЗДЕЛ 4
 РАСЧЕТ СООРУЖЕНИЙ НА ПЕРИОДИЧЕСКИЕ НАГРУЗКИ ОТ МАШИН И ОБОРУДОВАНИЯ
 (А. И. ЦЕЙТЛИН)
 В разделе рассматривается практические методы динамического расчета конструкций зданий и сооружений на действие периодических нагрузок, возбуждаемых промышленным оборудованием, машинами и технологическими установками в эксплуатационных режимах работы. Основное Внимание уделяется гармоническим воздействиям— наиболее часто встречающимся динамическим нагрузкам от машин и оборудования. Расчет сооружений на импульсивные нагрузки приведен в разд. 5.
 В основу содержания раздела положены материалы инструктивно-нормативных документов по динамическому расчету строительных конструкций.
 4.1. Динамические воздействия, передаваемые на несущие конструкции зданий и сооружений
 Классификация динамических нагрузок.
 Промышленное оборудование периодического действия (машины, станки, установки и пр.), располагаемое в зданиях и сооружениях, а также вблизи них, является основным источником колебаний строительных конструкций. Эти колебания могут возбуждаться как в нормальном рабочем режиме работы оборудования, так и при его пуске,
 остановке или аварии. Уровень возбуждаемых колебаний зависит от характера передаваемого на конструкцию динамического воздействия (сила, момент) и закона изменения его во времени; расположения машин и способа их крепления к несущим конструкциям; направления передаваемых динамических воздействий; числа машин, работающих одновременно, и соотношений между характеристиками развиваемых ими нагрузок; статической схемы конструкций и распределения масс; динамических свойств материалов.
 Основным видом динамических нагрузок, развиваемых промышленным оборудованием, являются периодические, в частности, гармонические нагрузки. Если возбуждаемая периодическая нагрузка имеет сложный закон изменения во времени, то при расчете конструкций ее раскладывают в ряд Фурье и ограничиваются одной-двумя первыми гармониками. В отдельных случаях, например для ткацких станков, определяются и более высокие гармоники нагрузки, имеющие достаточно большие амплитуды. Определение динамических нагрузок от машин, располагаемых на жестком основании, см. в разд. 2.
 Машины периодического действия могут развивать как вертикальные,''так и го-
 46

Таблица 4.!
 Направление действия нагрузки
 Вертикальное
 Горизонтальное
 Вектор нагрузки вращается вокруг вертикальной оси
 Вектор нагрузки вращается вокруг горизонтальной оси
 Схема приложения динамической нагрузки
 / N
 I
 Схема действующих на конструкцию усилий при опирав нии машины в двух точках
 Схема действующих на конструкцию усилий при сплошном оппраншГ машины пли при (111 0,2 (/■»• пролет кон струкции)
 Т'Т
 А й
 7— -6 5
 А К
 В-
 Кп
 А 6
 А ГК 1 5
 , 5
 чГ
 Р.Н
 ни
 А к
 В
 V

рнзонтальные инерционные силы, передающиеся на конструкции в виде сил и моментов, изменяющихся во времени по гармоническому или полпгармоническому закону. Схемы передачи динамических нагрузок на поддерживающие конструкции через опорные элементы машин приведены в табл. 4.1.
 Динамические воздействия в зависимости от продолжительности вызываемых ими колебаний, периодичности и характера действия относятся к временным и особым нагрузкам ['11]. Временные динамические нагрузки, в свою очередь, разделяются на кратковременные и длительные. К длительным относятся динамические нагрузки, развиваемые машинами и оборудованием в рабочем режиме, а также другие нагрузки, связанные с Нормальной эксплуатацией сооружения и действующие достаточно продолжительное время. К кратковременным относятся отдельные перегрузки при нарушении нормальных режимов работы оборудования, эпизодические импульсы и удары, нагрузки, возникающие в пуско-остановочных, переходных и испытательных режимах работы и т. п.
 Для оценки динамических воздействий от оборудования в нормативной литературе вводят четыре категории виброактивности машин (табл. 4.2). Такое деление маТаблица 4.2
 Категория
 виброактивно¬
 сти
 Характер!! стика виброактивности
 Амплитуда инерционной силы, КР
 I
 , Малая
 До 10
 II 1
 Средняя
 10—100
 III
 Большая
 100—1000
 IV
 Очень большая
 Более 1000
 Таблица 4.3
 №
 Число циклов
 группы
 в 1 мин
 X а р а ктернстика
 1
 До 400
 Низкочастотные
 От 400 до 2000
 Среднечастотные
 о
 Более 2000
 Высокочастотные
 шин и оборудования по интенсивности возбуждаемых ими динамических нагрузок позволяет оценить уровень вибраций поддерживающих конструкций и рассмотреть, не производя расчета, различные возможности размещения оборудования в промышленном здании (установка на отдельных фундаментах или перекрытиях, необходимость устройства виброизоляции, Отдаленность от чувствительных приборов и аппаратов и т. п.).
 В зависимости от количества 'одновременно действующих источников колебаний динамические нагрузки можно разделить на отдельные (одиночные) и групповые. Для групповых нагрузок периодического характера весьма важным фактором является тип привода возбуждающих нагрузку машин. Поэтому групповые нагрузки от машин делятся по типу двигателей на синхронные и асинхронные. Наконец, так ' же как и все другие воздействия, динамические нагрузки характеризуются нормативными и расчетными значениями определяющих эти нагрузки параметров (интенсивность, частота, продолжительность, импульс, спектр и т. д.).
 В нормативной литературе [2] встречается также деление динамических нагрузок от машин периодического действия по частотности (табл. 4.3). Поскольку низшие частоты собственных колебаний перекрытий промышленных зданий находятся обычно в диапазоне 8—20 Гц, что соответствует 480—1200 циклам в 1 мин, то очевидно, что низкочастотные машины не могут в этом случае вызвать резонансные колебания, и их воздействие будет близко к статическому, а наибольшую опасность представляют среднечастотные машины. Для горизонтальных колебаний зданий, низшие собственные частоты которых обычно не превышают 3—5 Гц, наоборот, наиболее опасны низкочастотные машины.
 Нормативные и расчетные характеристики динамических нагрузок. В соответствии с требованиями нормативных документов в практических расчетах используют нормативные и расчетные значения характеристик динамических нагрузок. Под нормативными значениями характеристик динамической нагрузки понимают значения параметров инерционных сил, развиваемых машиной в ее нормальном состоянии, отвечающем техническим требованиям по эксплуатации машин. Параметры нормативной динамической нагрузки определяют как средние значения соответствующих характеристик при заводских испытаниях машин, а при отсутствии измерений —• по кинематической схеме машины. Методы определения нормативной динамической нагрузки изложены в разделе 2.
 Расчетные значения характеристик динамических нагрузок определяют умножением нормативных значений на коэффициент надежности по нагрузке кя, учитывающий возможность отклонения действительных параметров машин от их номинальных значений и существенное изменение этих
 48

Таблица 4.4-
 Характеристика машин,возбуждающих периодическую нагрузку
 Наименование машин
 Коэффициент надежности по нагрузке
 Конструктивно-неуравно¬
 Грохоты, дробилки щековые и конусные, машины с кри¬
 1,3
 вешенные
 вошипно-шатунными, кривошипно-кулисными и тому по¬
 ,
 добными механизмами
 Ленточные конвейеры
 1,2
 Элеваторы
 1.5
 Конструктивно-уравнове¬
 Машины ротационного типа, грохоты номинально урав¬
 4
 шенные
 новешенные, дробнлкя молотковые
 Гармонические нагрузки, возникающие при вращении барабана на опорных роликах
 2
 параметров при эксплуатации, связанное с изменением режимов работы, увеличением зазоров в подшипниках, износом деталей, загрязнением и т. д. Особенно большие отклонения параметров от средних значений, в частности, эксцентрицитета вращающихся масс, наблюдаются у номинально уравновешенных машин. Значения коэффициента надежности по нагрузке кя для машин основных типов приведены в табл. 4.4. Для машин некоторых типов при наличии экспериментальных данных допускается принимать иные значения коэффициента надежности по нагрузке.
 В случае групповой установки машин, перегрузка которых связана с аварийными режимами, коэффициент йд . вводят не на каждую машину, а лишь на одну машину из десяти, что учитывает малую вероятность аварийного режима у всех машин одновременно.
 Групповые динамические нагрузки. В современных промышленных зданиях устанавливают, как правило, большое число однотипных машин, развивающих динамические нагрузки. При этом каждая машина обычно имеет индивидуальный привод, так что фазы нагрузок (в случае привода от синхронных двигателей) и частоты (в случае привода от асинхронных двигателей) являются случайными величинами. Суммарные динамические воздействия и реакции сооружения на них оказываются случайными функциями времени, что должно учитываться как при расчете, так и при экспериментальном изучении колебаний, возбуждаемых группой неуравновешенных машин. Проблема расчета сооружений на групповые динамические нагрузкн особенно важна для обеспечения нормальной эксплуатации предприятий текстильной, горнодобывающей, машиностроительной и других отраслей промышленности, в которых широко ' используют многоэтажные промышленные здания с установкой десятков и далее сотен однотипных машин.
 В практических расчетах случайные изменения групповых динамических нагрузок и расчетных параметров конструкций учитывают вводом специального коэффициента синфазности Я [12], для определения которого используют методы теории надежности Ш. [16].
 В частности, в случае синхронных групповых воздействий учет случайных фаз отдельных парциальных нагрузок сводится к определению вероятности непревышения суммарной нагрузкой или суммарной реакцией сооружения некоторого зна-
 т
 чения а,-, где яг—-число машин;
 11
 а,- — амплитуды парциальных нагрузок или реакций. Получаемая при этом задача суммирования случайных векторов аналогична известной проблеме блужданий в теории вероятностей и ее решение — функция распределения вероятностей Р(К) дается формулой (при
 оа
 р(я) ]г\ 1(р5) "0 (8)аз, (4.1)
 о
 где 1\{х), 1оМ ■ в ого рода.
 - цилиндрические функции пер-
 Приравнивая вероятность Р(Я) заданной нормативной надежности, можно вычислить значение коэффициента синфазности. При определении кинематических параметров колебаний (перемещений, скоростей и ускорений) рекомендуются сравнительно невысокие значения нормативной надежности порядка 0,9—0,95.
 Используя в (4.1) разложения бесселевых функций, при больших т можно получить следующую асимптотическую формулу:.
 р{%) 1 — ехр(—/гЛ!р?), (4.2)
 -1/2
 где р У) а. 11
 пг
 «■2У/
 . /—1
 есть отношение среднего значения амплитуд нагрузок или реакций к их средне-
 4—491
 49

л
 ч
 Ч
 N
 2
 1
 0 . 20 40 60 80 100 120 Ш 160 180 200
 т
 Рис. 4.2. Определение коэффициента синфазности
 для машин с асинхронными двигателями
 1 — Для резонансных зон; 2 — для дорезонансной, Межрезонансных н зарезонансной зон
 квадратическому значению. Условие РЩ
 — Рн дает для коэффициента синфазности простую формулу Ярт-1/2. Значение коэффициента |3 можно найти по графику, приведенному на рис. 4.1. Для практических расчетов в случае определения кинематических параметров рекомендуется принимать (5 1,5. При определении силовых параметров уровень надежности должен быть достаточно высотам, так что следует принимать Я1.
 В случае асинхронных машин задача значительно осложняется. Ее приближенное ' решение может быть получено на основе использования корреляционной теории стационарных случайных процессов [16]. Колебания конструкций в этом случае носят характер многокомпонентных биений, период которых зависит от разброса частот парциальных нагрузок (чем меньше разброс, тем больше период). При небольшом числе машин максимальные значения амплитуд силовых и кинематических параметров обычно реализуются через относительно небольшие промежутки времени. С увеличением числа машин этот период возрастает. Поэтому в расчетах на прочность должна определяться суммарная амплитуда, получаемая сложением всех парциальных амплитуд, т. е. коэффициент синфазности должен приниматься равным единице. Значения коэффициента сннфазности Я1 вводят в расчетах конструкций на выносливость, а также при вычислении кинематических параметров вибраций для
 удовлетворения требований санитарных норм и технологии точных производств. В практических расчетах на выносливость для определения . коэффициента синфазности А, можно пользоваться графиками (рис.
 4.2). В соответствии с требованиями «Санитарных норм проектирования промышленных предприятий» СН 245-71 нормируется средний квадрат скорости колебаний (см. разд. 1). При определении на интервале времени, равному периоду биений,
 °ср.кв — 1/ С4-3)
 ' 11
 где Чср.кв, — среднее квадратическое значение скорости; VI — амплитуда скорости колебаний при действии 1-ой машины. Если реакции сооружения на парциальные воздействия одинаковы, то коэффициент синфазности, вводимый на суммарную нагрузку в соответствии с (4.3), будет Я 0,707/ }/Ж.
 Следует иметь в виду, что при измерении вибрации стандартной виброизмерительной аппаратурой можно получить существенно отличные от формулы (4.3) результаты, если интервал осреднения прибора значительно меньше периода биений.
 Динамические воздействия от виброизолированных машин. Динамические нагрузки от виброизолированных машин периодического действия определяют для двух режимов работы (рабочего и пускоостановочного) и рассматривают как совокупность сил, передающихся на поддерживающую конструкцию через все виброизоляторы с учетом сдвига фаз между отдельными силами:
 — а01 31П (соп Ь + фп), (4.4)
 гДе а0- — амплитуда колебаний вибронзолирован-1 ной установки в точке, где установлен 1-ный виб роизолятор; к ■ •— жесткость виброизолятора; ап' ~ круговая частота и начальная фаза п-ой гармоники возмущающей нагрузки.
 Кроме того, в случае электрических машин, установленных на внбронзоляторах, вычисляют также динамические нагрузки при включении тока и коротком замыкании.
 В рабочем режиме амплитуды колебаний виброизолированной установки, определяющие амплитуды сил, которые передаются на поддерживающие конструкции, могут быть вычислены по формулам, приведенным в разд. 14.
 При пуске или остановке виброизолированной машины, развивающей гармоническую нагрузку, на поддерживающую конструкцию во время прохождения через
 50

резонанс может передаваться увеличенная по сравнению с рабочим режимом нагрузка. Для приближенной оценки воздействия этой нагрузки на поддерживающую конструкцию можно в запас прочности и жесткости считать, что нагрузка является гармонической с частотой и амплитудой, равными мгновенным значениям частоты и амплитуды при наибольшем смещении виброизолированной установки. Используя результаты работы [5], можно получить выражение для амплитуды
 Р-р-'Пв ш2/®2 (4.5)
 и круговой частоты нагрузки в переходном режиме
 1 ± ■
 2,171
 (1 + 0,Н|1в 7)а Ч
 (7 .
 УТ
 (4.6)
 где К, м — амплитуда 11__круговая частота нагрузкн в рабочем режиме; ц — коэффициент увеличения, определяемый по графикам (рис. 4.3); Т|в — коэффициент потерь внброизоляторов; ру — круговая частота собственных колебаний установки; ё—абсолютная величина постоянного углового ускорения.
 Верхний знак в последней формуле относится к пусковому режиму, нижний — к остановочному. Расчет выполняют на тот режим, при котором абсолютное угловое ускорение, а следовательно, и скорость прохождения через резонанс меньше. Как правило, остановочный режим более опасен.
 Если виброизолнрованная машина или установка развивает периодическую нагрузку, то расчет на переход через резонанс производится на преобладающую гармонику.
 Динамические нагрузит, развиваемые виброизолированными электрическими машинами, при включении тока и коротких замыканиях представляют собой внезапно приложенные моменты, остающиеся затем постоянными. В системах с редким спектром, какими обычно являются строительные конструкции, такого рода воздействия вызывают перемещения и внутренние усилия, примерно вдвое большие, чем соответствующие статические значения, так что поддерживающие конструкции в этом случае можно рассчитывать на статическое действие моментов, равных удвоенному пусковому моменту или удвоенному моменту короткого замыкания.
 4.2. Основные расчетные положения
 Цель динамического расчета несущих конструкций промышленных зданий и сооружений — не только обеспечить несущую способность конструкций при совместном действии статических и динамических нагрузок, но и ограничить уровень колебаний
 конструкций такими пределами, которые исключают возможность вредного влияния на людей и технологический процесс.
 Эксплуатационные динамические нагрузки в промышленных зданиях и сооружениях, как правило, не велики и вызываемые ими напряжения значительно меньше напряжений от статической нагрузки. Поэтому динамический расчет обычно проводят. для проверки допустимости перемещен ний и внутренних усилий конструкции, рассчитанной на статические нагрузки, при совместном действии статических и динамических нагрузок с точки зрения выполнения требований: прочности и выносливости (а в некоторых случаях и деформативности) конструкций; санитарно-гигиенических норм; технологии производственных процессов.
 Если в результате динамического расчета на эксплуатационные нагрузки установлено, что уровень колебаний конструкций превышает допустимые пределы, то прежде всего необходимо использовать специальные меры (применение виброизоляции, изменение расположения машин, балансировку, уравновешивание и изменение числа оборотов машин и т.д.), позволяющие уменьшить колебания. ■
 Существенно увеличивать поперечные сечения и армирование, а также изменять конструктивные схемы элементов для понижения уровня колебаний целесообразно только в тех случаях, когда перечисленные выше меры оказываются невыполнимыми или недостаточно эффективными.
 Динамический расчет несущих конструкций обычно проводят а такой последовательности: 1) определяют динамические нагрузки, развиваемые оборудованием в различных режимах работы; 2) выбирают расчетные схемы конструкций н их элементов; 3) определяют частоты и формы собственных колебаний конструкций; 4) вычисляют амплитуды динамических перемещений и проверяют выполнение физиологических и технологических требований по ограничению уровня колебаний; 5) устанавливают необходимость расчета на прочность; 6) определяют амплитуды внутренних усилий в конструкциях (изгибающих моментов, поперечных сил) и производят расчет на прочность и выносливость.
 Расчет на прочность. Несущая способность конструкций при совместном действии статических и динамических нагрузок обеспечивается расчетом на прочность (выносливость) и устойчивость. Конструк-. ции промышленных зданий, как правило,
 4
 51

рассчитывают только на статическую устойчивость; для отдельных элементов сооружений может понадобиться проверка на динамическую устойчивость (см. раздел 7).
 При проверке прочности несущих конструкций, подвергающихся одновременному воздействию статических и динамических нагрузок периодического характера, внутренние усилия (или напряжения)', вызванные действием расчетной статической нагрузки суммируются с максимальными амплитудами внутренних усилий (или напряжений) от действия расчетной динамической нагрузки.
 При действии длительной периодической нагрузки выносливость несущих конструкций проверяют на циклическую нагрузку с характеристикой цикла, определяемой по нормативным значенням статической нагрузки и расчетным значениям динамической нагрузки.
 Во многих случаях проверка прочности и выносливости несущих конструкций может не потребоваться. В частности, многие машины развивают небольшие динамические нагрузки, вызывающие весьма малые дополнительные напряжения в конструкциях. Кроме того, выполнение очень жестких санитарно-гигиенических и технологических требований по ограничению уровня колебаний конструкций, на которых находятся люди или чувствительное к вибрациям оборудование, в большинстве случаев является достаточным и для обеспечения несущей способности конструкций. Это обстоятельство может быть использовано для оценки несущей способности конструкций, подверженных действию эксплуатационных динамических нагрузок; колебания, не опасные для людей, как правило, не опасны и для несущих конструкций зданий.
 В качестве более точных критериев могут быть приняты категории нагрузок по виброактивности и отношение наибольшего перемещения конструкции к ее пролету. Например, при проверке несущей способности конструкций можно не учитывать динамические нагрузки от машин и установок категории I по виброактивности, а также категории II — при использовании виброизоляции.
 Можно не рассчитывать на прочность и выносливость элементы несущих конструкций, наибольшее расчетное перемещение которых за вычетом перемещений опор составляет не более 1/40000 пролета. Эта цифра обобщает многолетний опыт проведения динамических расчетов и исследований ко¬
 лебаний промышленных зданий. При колебаниях конструкций по основному тону она является достаточно надежным критерием. Если же конструкция колеблется по высшим гармоникам, то наибольшее динамическое перемещение не должно превышать 1/40 000 расстояния между смежными узлами в форме колебаний.
 Если частота возмущающей динамической нагрузки больше одной или нескольких частот собственных колебаний конст-' рукции, то необходимо произвести дополнительный расчет на прочность при прохождении через резонанс конструкции во время пуска и остановки машины, развивающей указанную нагрузку. Рассчитывать на выносливость при переходе через резонанс следует только для тех машин, которые включают и останавливают по нескольку раз в сутки. Обычно расчет на переход через резонанс производится по остановочному режиму. Исключение могут составить лишь, те случаи, когда для сокращения продолжительности выбега машины используют специальное торможение.
 Приближенный расчет конструкции перекрытия при переходе через г-ый собственный резонанс можно производить как расчет на гармоническую нагрузку с частотой рг и амплитудой
 Р (ГДт)р2/о)3, (4.7)
 где Я — гшплптуда инерционной силы в рабочем режиме; ц — коэффициент увеличения, определяемый по графикам (рис. 4.3).
 Формула (4.7) относится к случаю, когда машина, развивающая динамическую нагрузку, жестко соединена с несущей конструкцией. Для виброизолированной машины расчет на переход через резонанс конструкции можно не выполнять, однако требуется расчет на нагрузки, возникающие при переходе через резонанс самой виброизолированной установки. Эти нагрузки можно приближенно считать гармоническими с параметрами, определяемыми в п. 4.1.
 Из формулы (4.7) следует, что амплитуда гармонической нагрузки, на которую рассчитывают конструкции, при переходе через резонанс быстро убывает с уменьшением частоты собственных колебаний. Поэтому в практических расчетах обычных конструкций достаточно рассмотреть переход через резонанс только по одной или двум высшим из всех собственных частот, проходимых при пуске или остановке машины.
 Конструкции на прочность и выносливость при прохождении через резонанс
 52

а)
 Р
 18
 36
 и
 72
 10
 8
 6
 4
 2.
 О
 ■,т
 0,0
 Г‘0,05
 \\
 СГ0,1
 0,2
 ~т
 л
 0,05 0,1 0,15 0,2 0,250,3
 V?2
 ,10,01
 1
 10,05
 \
 70,1
 н-
 7,2
 г--
 %1б\
 0,05 0,10,15 0,2 0,250,5
 Щг
 Рис. 4.3. График коэффициента ц
 а — для пускового режима; б — для остановочного режима
 можно не рассчитывать, если рабочий режим машины является резонансным, т. е. если частота возмущающей нагрузки в рабочем режиме совпадает с одной из частот собственных колебаний конструкции. В этом случае амплитуды колебаний и внутренних усилий в рабочем режиме, как правило, будут больше, чем в переходном. Можно также не учитывать переход через резонанс, если ]/ге0,5р (здесь р— частота собственных колебаний; в — абсолютное угловое ускорение, принимаемое постоянным).
 Проверка воздействия колебаний на людей и технологический процесс. Наибольшие перемещения, скорости и ускорения несущих конструкций, на которых находятся люди или размещено технологическое оборудование, чувствительное к колебаниям, не должны превышать допускаемых значений, определяемых физиологическими требованиями и требованиями технологии производства.
 Физиологические требования по ограничению колебаний регламентируются действующими санитарными нормами (см. разд. 1). Технологические требования устанавливаются технологами в зависимости от чувствительности оборудования к колебаниям основания. Для этого машины и оборудование разделяют на семь классов по чувствительности к гармоническим колебаниям основания. Допускаемые амплитуды скорости для этих классов приведены в табл. 4.5. Если нет технологических данных для определения класса чувствительности, то можно пользоваться табл.
 4.6, в которой приведено ориентировочное деление на классы некоторых основных машин и приборов [7].
 • Если колебания поддерживающих кон¬
 струкций не являются гармоническими, то допускаемые значения основных параметров (перемещений, скоростей, ускорений) также должны задаваться технологами. . При отсутствии данных можно пользоваться указаниями табл. 4.5, причем в этом случае регламентируется наибольшее значение скорости колебаний основания, на котором устанавливают машины и приборы.
 Проверка на вредное воздействие колебаний конструкций на людей и технологическое оборудование не обязательна для машин всех категорий динамичности, когда на конструкциях нет машин, станков й приборов I—IV класса чувствительности к колебаниям и не требуется длительное присутствие людей, а также для машин I категории виброактивности, устанавливаемых на виброизоляторы.
 Кроме того, такую проверку не производят в случае машин и установок, создающих эпизодические нагрузки малой продолжительности (непродолжительные периодические нагрузки, нагрузки при переходных режимах, в частности при переходе через резонанс и т. п.).
 В случае необходимости (если это оговорено технологическими требованиями) следует проверять динамические перемещения для обеспечения нормальной работы оборудования, чувствительного к вибрациям, при прохождении через резонанс.
 Расчетные схемы. Выбор расчетных схем при проведении динамических расчетов строительных конструкций определяется следующими обстоятельствами: точностью исходных данных; многообразием факторов, влияющих на характер и уровень колебаний конструкций; требованием к точности расчета; способом расчета. Точность исходных данных, как правило, невелика, так как характеристики динамических нагрузок и динамические свойства материалов могут изменяться в широких пределах. Вместе с тем очень трудно бывает оценить и влияние различных факторов, самым существенным образом сказывающихся на результатах расчета, например распределение полезных нагрузок, совместность работы различных конструктивных элементов, жесткость соединений и стыков, внутреннее и внешнее сопротивление и т. д. Наконец, при использовании «ручного» счета расчетная схема конструкций должна быть настолько упрощена, чтобы объем вычислений ограничивался разумными пределами. Все это заставляет для практических расчетов обычных конструкций на действие динамических нагрузок
 53

Таблица 4.5
 Класс машин и приборов
 I
 II
 III
 IV
 V
 VI
 VII
 Предельная амплитуда скорости колебаний, мм/с
 0,0315
 0,1
 0,315
 1,0
 3,15
 10
 Более 10
 выбирать приближенные, по возможности наиболее простые расчетные схемы.
 Основные упрощения расчетных схем состоят в расчленении конструкций здания на отдельные элементы (балки, плиты, рамы) и в раздельном рассмотрении вертикальных и горизонтальных колебаний. При этом динамические нагрузки с одного конструктивного элемента на . другой передают загружением поддерживающей конструкции ее динамическими реакциями. Если динамические жесткости , конструктивных элементов (или их собственные частоты) оказываются близкими, то в расчете должны рассматриваться совместные колебания системы, образуемой этими элементами.
 Для динамических расчетов особо ответственных зданий и сооружений, а также расчетов на ЭВМ используют уточненные расчетные схемы, в которых максимально учитывают все особенности работы конструкций.
 При расчетах зданий и сооружений из сборных железобетонных конструкций на действие эксплуатационных динамических нагрузок необходимо учитывать влияние сухого трения в соединениях сборных элементов [8]. Если силы треиия преодолеваются, то соединения в стыках и на опорах можно считать нежесткими. При малых амплитудах колебаний (до 0,1 мм) силы трения могут не преодолеваться, и соединения в этом случае следует считать жесткими. Поэтому соединения сборных железобетонных элементов принимают жесткими в тех случаях, когда допускаемые перемещения или наибольшие перемещения, вычисленные в результате предварительного расчета по схеме с жесткими соединениями, не превышают 0,1 мм. В противном случае расчет ведут по двум различным схемам: с учетом жесткости соединений вследствие сухого трения и без него.
 При расчете перекрытий и покрытий, т. е. при рассмотрении вертикальных колебаний, жесткость балок и ригелей определяют с учетом жесткости плиты. Для монолитных ребристых перекрытий и покрытий момент инерции поперечного сечения балок принимается как для таврового сечения с шириной полки, равной расстоянию
 между осями балок, но не более половины пролета плиты, а для балочных плит принимается момент инерции поперечного сечения плиты.
 При определении жесткости элементов сборных незамоноличенных железобетонных перекрытий и железобетонных перекрытий по металлическим балкам следует рассматривать две расчетные схемы, связанные с влиянием сил сухого трения. Если вследствие сухого трения соединения элементов принимают жесткими, то момент инерции поперечного сечения определяют так же, как и для монолитных перекрытий. Если же сухое трение не учитывают, то для железобетонных и металлических балок при уложенном по балкам сборном настиле берут момент инерции поперечного сечения балки, а для тех же балок при уложенной по ним монолитной. железобетонной плите— сумму моментов инерции поперечных сечений балки и плиты. При этом расчетную ширину сечения плиты принимают равной расстоянию между осями балок, но не более половины пролета плиты.
 При расчете неразрезных конструкций перекрытий и покрытий обычно принимают фактическое число пролетов конструкции, но во всяком случае не более пяти. Ригели рам можно рассчитывать как неразрезные балки, если погониая жесткость ригелей на изгиб вдвое и более превосходит погонную жесткость колонн. В остальных случаях рекомендуется применять схему рамы с несмещающимися узлами или иеразрезной балки на упруговращающихся опорах, жесткость которых определяется жесткостью на изгиб примыкающих к ригелю колонн верхнего и нижнего этажей. Приближенные расчетные схемы перекрытий и покрытий, а также возможные погрешности в определении собственных частот приведены в табл. 4.7.
 При рассмотрении горизонтальных колебаний зданий в качестве расчетной схемы может быть принята система с числом степеней свободы, соответствующим числу перекрытий и покрытии. Поскольку массы вертикальных элементов здания (колонн, стен, перегородок) обычно значительно меньше масс горизонтальных элементов и
 54

Таблица 4.6
 Класс машин, оборудования и приборов по чувствительности к гармоническим колебаниям основания
 Наименование машин, оборудования и приборов
 1
 2
 I
 Сверхвысоковольтные электронные микроскопы с ускоряющим напряжением 500 кВ и выше. Электронные микроскопы с разрешаемым расстоянием 2—3 А и менее. Эталонные интерферометры и интерференционные установки для абсолютных измерений длины в длинах волн. Интерференционные компараторы. Интерферометры с автоматическим счетом интерференционных полос.
 Лазерные интерферометры. Интерферометрические столы длиной более 2 м для проведения голографических и интерференционных исследований. Приборы и оборудование для записи голографических дифракционных решеток. Оптические скамьи длиной более 5 м. Интерференционные установки длиной более 5 м и состоящие из двух или более раздельно устанавливаемых частей. Спектральные приборы с фокусным расстоянием более 5 м. Оптические и контактные профнлометры п профилографы группы I. Делительные машины для изготовления дифракционных решеток
 И
 Электронные микроскопы с разрешаемым расстоянием 4—7А и более. Растровые электронные микроскопы. Электронно-зондовые приборы для измерений и анализа изображений. Оборудование электронной промышленности: фотоповторители, установки совмещения и экспонирования, электронно-лучевые установки для прецизионной электронной литографии, установки для термокомпрессионной или импульсной микросваркн, а также аналогичные им установки для микросварки и пайки. Бесконтактные интерферометры для измерений относительным методом. Фотоэлектрические интерферометры для поверки штриховых мер. Стационарные специализированные приборы на основе голографии. Компараторы. Измерительные машины длиной более 1 м. Установки для поверки долемикрометровых головок. Приборы для контроля размеров с электронным индикатором контакта с ценой деления менее 0,1 мкм. Оптические скамьи длиной до 5 м. Эталонные установки для измерения плоского угла. Автоколлиматоры с ценой деления 0,5 н менее. Гониометры с погрешностью измерения 1" и менее. Экзаменаторы с ценой деления 0,1". Кругломеры. Сферометры. Весы лабораторные образцовые 1а, 1 и 2-го разряда, лабораторные рычажные 1 и 2-го класса точности. Торсионные весы. Особо точные продольные и круговые делительные машины.. Ультрамикротомы. Металлорежущие станки особо высокой точности шлифовальной группы с направляющими качения. Тяжелые высокоточные зуборезные станки, мастер-станки и т. п. Плавильные печи для выращивания кристаллов. Поливные машины для нанесения эмульсионных слоев.
 Ш
 Оптикаторы, оптические длинномеры, ультраоптиметры, измерительные машины длиной до 1 м: катетометры, контактные интерферометры 3. Приборы для контроля линейных размеров с электронным индикатором контакта с ценой делений 0,1—0,5 мкм. Растровые измерительные микроскопы. Микроинтерферометры. Приборы светового сечения. Приборы для контроля цилиндрических и конических зубчатых колес. Спектрографы. Спектрометры. Спектрофотометры. Масс-спектрометры. Радиоспектрометры ядерного магнитного резонанса, электронного парамагнитного резонанса н т. п. Микрофотометры. Фотоэлектрические поляриметры. Фотоэлектрические усилители. Прецизионные металлорежущие станки средних размеров: внутришлифовальные, кругло-4 шлифовальные с направляющими скольжения, плоскошлифовальные, координатнорасточные и т. п.
 IV
 Инструментальные микроскопы. Универсальные измерительные микроскопы. Оптиметры. Приборы для контроля линейных размеров с электронным индикатором контакта с ценой деления более 0,5 мкм. Пневматические длинномеры высокого давления (ротаметры). Измерительные пружинные головки (микрокаторы). Измерительные рычажно-пружинные головки бокового действия (миннкаторы). Балансировочные станки. Прецизионные металлорежущие станки средних размеров: отделочные токарные, алмазно-расточные. Координатно-расточные станки небольших размеров и т. д.
 V
 Печатные машины. Оборудование для изготовления стереотипных матриц. Переплетное оборудование. Прядильные машины. Ткацкие станки. Швейные машины. Токарные. фрезерные, сверлильные и другие металлорежущие станки нормальной точности и т. п.
 VI'
 Турбоагрегаты (турбогенераторы мощностью до 100 тыс. кВт, турбокомпрессоры, турбовоздуходувки, турбонасосы) электрические машины (моторгенераторы, синхронные компенсаторы), центрифуги, центробежные насосы, поршневые компрессоры, мотор-компрессоры, лесопильные рамы, локомобили и т. п. Ленточные, пластинчатые и скребковые конвейеры. Пускатели механизмов и аналогичная аппаратура электроавтоматики.
 VII
 Вентиляторные установки.. Дымососы. Дробильное оборудование. Виброплощадки. Вибрационные грохоты. Вибрационные сепараторы (рассевы) и т. п.
 55

Таблица 4.7
 Конструкция
 Элемент, Для которого определяют частоты
 Расчетная схема
 Возможная
 погрешность
 определения
 частот
 Плиты н настилы по балкам железобетонным, стальным ы деревянным
 Главные и вспомогательные балки. Плиты с пролетом более 1,5 м
 Однопролетные или неразрезные многопролетные балки; однопролетные или неразрезные балочные плиты (в зависимости от фактических условий)
 0,25
 Железобетонные ребристые перекрытия
 Главные н вспомогательные балки. Плпг ты с пролетом более 2 м
 Неразрезные многопролетные балки или рамы с несмещающимнся узлами. Неразрезные балочные плиты
 0,3
 Железобетонные крупнопанельные плиты по стальным железобетонным ригелям
 Прогоны. Плиты
 Неразрезные многопролетные балки или рамы с несмещающимнся узлами. Неразрезные многопролетные. плиты по перекрестным балкам. Однопролетные плиты
 0,35
 Безбалочные перекрытия
 Беэбалочная плита
 Плита, подпертая в точках с учетом жесткости колонн и капителей
 0,35
 Покрытия по фермам
 Фермы
 Система с конечным числом степенен свободы
 0,15
 Железобетонные покрытия по балкам н фермам
 Плиты, балки
 Многопрелетные и однопролетные балки, однопролетные плиты
 0,2
 расположенного на них оборудования, то, прибавляя к массе перекрытия полусумму масс примыкающих к нему вертикальных элементов, можно сосредоточить все массы здания в уровнях перекрытий и покрытия. Вследствие значительной жесткости колонн и стен здания вертикальными смещениями этих масс. можно пренебречь.
 Жесткость полученной многомассовой системы определяют вычислением единичных .перемещений или единичных реакций в точках, где сосредоточены массы. При рассмотрении поступательных колебаний каркасное здание может быть заменено эквивалентной плоской рамой, жесткости элементов которой (стоек и ригелей) равны суммарным жесткостям соответствующих элементов здания в направлении колебаний (обычно рассматриваются колебания только в продольном и поперечном направлениях). Таким образом, жесткость каждой стойки эквивалентной плоской рамы равна сумме жесткостей всех стоек данного ряда, а жесткость каждого ригеля равна жесткости поперечного сечения соответствующего перекрытия плоскостью, перпендикулярной направлению колебаний. При этом -моменты инерции поперечного сечения перекрытия определяют в необходимых случаях с учетом совместной работы ригелей и плнт перекрытий, обеспечиваемой монолитностью сечения Или силами сухого трения. ■
 Необходимо также учитывать влияние жестких участков консольных стыков в сборных железобетонных каркасах, увеличивая погонную жесткость примыкающих к стыку стоек и ригелей. При вычислении суммарной жесткости стоек и ригелей жесткость элементов с одним шарнирнозакрепленным концом учитывают с коэффициентом ’ДГ а жесткость элементов с двумя шарнирно-закрепленными концами принимают равной нулю. Если погонная жесткость ригелей каркаса втрое и более превышает погонную жесткость стоек, то ригель эквивалентной рамы можно считать абсолютно жестким.
 Большое 'влияние на общую жесткость каркасного здания могут оказывать ограждение, внутренние стены и перегородки, лестничные клетки. Навесное ограждение, не притянутое к колоннам, должно учитываться в тех случаях, когда жесткость соединений обеспечивается силами сухого трения (см. стр. 54). Стены из сплошного панельного ограждения при притяжке панелей непосредственно к колоннам каркаса считают жестко связанными с каркасом. Предполагается, что наружные и внутренние стены и жесткие перегородки работают только на сдвиг в своей плоскости.
 При рассмотрении вращательных колебаний каркасных зданий предполагается, что перекрытия образуют жесткие диски, а стойки работают только на изгиб. Влияни¬
 56

ем кручения стоек в этих случаях можно пренебречь. Исключение составляют площадки под машины и этажерки, для которых влияние кручения стоек может быть существенным. Вращательные колебания при наличии жесткого заполнения или несущих стен не рассматриваются.
 Промышленные здания с несущими стенами также можно рассчитывать как системы с конечным числом степеней свободы. При этом жесткость здания определяется жесткостью продольных и поперечных стен, работающих на сдвиг. Кроме тоТаблица 4.8
 го, для зданий с несущими стенами следует в некоторых случаях учитывать упругую податливость основания, вызывающую вертикальные и горизонтальные смещения _зда: ния и поворот его вокруг горизонтальной осн.
 Приближенные расчетные схемы зданий при расчете на действие горизонтальных динамических нагрузок, а также возможные погрешности в определении частот собственных колебаний ■ приведены в табл. 4.8.
 Здание
 Расчетная схёма
 Возможная погрешность определения частот'
 1. Каркасное с нежестким стеновым заполнением (например. со сплошным остеклением окон) без внутренних несущих стен. Каркасные площадки под машины
 Этажерка с неподвижным основанием и недеформируемымн перекрытиями, с которыми жестко связаны вертикальные стойки. Перекрытия могут поступательно перемещаться и поворачиваться в своей (горизонтальной) плоскости. При этом стойки считают, работающими на поперечный изгиб
 0,25
 2. Каркасное с жестким стеновым ограждением (например, с кирпичным заполнением) и внутренним]; стенами. Здания с несущими стенами и монолитными перекрытиями
 Коробка на жестком или упругоподатливом основании с недеформируемыми перекрытиями, с которыми жестко связаны вертикальные стойки. Перекрытия могут поступательно перемещаться в своей (горизонтальной) плоскости. При этом стойки считают работающими на поперечный изгиб, а наружные и внутренние стены —на сдвиг в своей плоскости
 0,3
 3. Каркасное с навесным панельным ограждением
 То же, что здания типов 1 или 2 в зависимости от влияния сухого трения
 0,3
 Жесткость несущих конструкций, воспринимающих динамические нагрузки, определяют по формулам, используемым в статических расчетах. Жесткость изгибаемых элементов монолитных и сборномонолитных железобетонных конструкций,
 применяемых в промышленных зданиях под машины и установки с динамическими нагрузками, молено вычислять по целому сечению без учета трещин:
 5 Еб/, (4.8)
 где Е д — модуль упругости бетона; } — момент инерции поперечного сечения несущего элемента без учета арматуры.
 Вопрос о влиянии трещинообразования на динамические характеристики изгибаемых железобетонных конструкций все еще мало изучен. Экспериментальные исследования показывают значительное уменьшение частот собственных колебаний при интенсивном трещннообразовании. Однако, учитывая', что при обычных эксплуатационных нагрузках на перекрытия трещины локализуются на сравнительно небольших участках и получающееся снижение жесткости во многом компенсируется имеющи¬
 мися, как правило, неучтенными запасами жесткости, нормативные документы рекомендуют определять жесткость железобетонных конструкций без учета трещин. Кроме того, в динамическом расчете учитывают возможную погрешность в определении частот собственных колебаний (см. п. 4.3), так что такое допущение не может привести к ощутимым ошибкам. По формуле (4.8) можно также определять жесткость сборных железобетонных конструкций, рассчитываемых по расчлененным схемам.
 Модуль упругости материалов Е при динамических расчетах принимают в соответствии с действующими нормативными документами: для стали — модуль продольной упругости; для бетона и железобето- ; на— модуль упругости бетона при сжатии; для каменной кладки (в том числе армированной) — начальный модуль упругости кладки; для дерева 510 000 МПа. При сравнительно невысоком уровне динамиче- : ских напряжений, соответствующем эксплуатационным динамическим нагрузкам, для модуля сдвига каменной кладки н бе¬
 57

тона можно приближенно принимать 0 0,3 Е.
 В динамических расчетах строительных конструкции, регламентируемых нормативными документами, учет внутреннего трения при гармонических колебаниях производится в соответствии с моделью частотно-независимого упруговязкого сопротивления или гипотезой Е. С. Сорокина.
 Значения коэффициента потерь 11 8/11 (6 — логарифмический декремент колебаний) для различных материалов при изгибных колебаниях конструкций приведены в табл. 4.8.
 При значениях коэффициентов потерь, приведенных в табл. 4.8, амплитуды колебаний конструкций, определенные по двум указанным выше моделям частотно-независимого внутреннего трения, получаются практически одинаковыми.
 4.3. Определение расчетных параметров
 Частоты и формы собственных вертикальных колебаний несущих конструкций.
 Частоты и формы собственных колебаний являются важнейшими динамическими характеристиками конструкций. Зная частоты и формы собственных колебаний, а также
 Таблица 1.8
 Коэффициент потерь Г)
 Конструкции
 при расчете
 при расчете
 на прочность
 по уровню
 и выносли¬
 колебаний
 вость
 Железобетонные кон
 0,05
 0,1
 струкции
 • 0,025
 0,05
 Железобетонные кон¬
 струкции (преднапря-
 женные)
 0,01
 0,025
 Металлические кон¬
 струкции
 0,005
 0,02
 Большепролетные ме¬
 таллические покры¬
 тия (облегченные)
 0,007
 0,025
 Алюминиевые конст¬
 рукции
 Кирпичная кладка
 0,04
 0,08
 0,05
 Деревянные конст¬
 0,03
 рукции
 Клееные деревянные
 0,02
 0,04
 конструкции
 0,06
 Витрины и оконные
 стекла
 0,05
 0.1
 Здания (одноэтаж¬
 ные и многоэтажные)
 0,025
 0,05
 Металлические баш¬
 ни, мачты, футеро¬
 ванные дымовые тру¬
 бы, аппараты колон¬
 ного типа и т. д.
 0,02
 0,04
 Транспортерные гале¬
 реи
 возмущающую нагрузку, можно не только полностью провести динамический расчет конструкций, но и предусмотреть возможные мероприятия по уменьшению их колебаний. Частоты собственных колебаний
 конструкций рекомендуется находить при использовании любого метода динамического расчета.
 При определении частот и форм собственных колебаний массы конструкций и полезных грузов вычисляют по нормативным значениям собственного веса и постоянных нагрузок. Если возможны различные варианты загружения конструкций (например, при отсутствии или наличии снега, значительном изменении нагрузок, предусмотренном технологией производства и т. д.), то они должны быть рассмотрены или по крайней мере должны быть учтены два варианта загружения, соответствующие максимальным и минимальным нагрузкам. Кратковременно действующие статические нагрузки (от скопления людей, оборудования и материалов и пр.) при определении масс не учитывают. Не учитывают' также массы виброизолированных машин, устанавливаемых на перекрытиях, так как динамическая жесткость внброизоляторов обычно во много раз меньше динамической жесткости перекрытия и, следовательно, колебания виброизолированной установки и перекрытий могут рассматриваться раздельно.
 Если для динамического расчета конструкций используют метод разложения по формам собственных колебаний, то точность расчета существенно зависит от числа учитываемых форм. Никакие априорные оценки здесь невозможны, однако можно указать ориентировочное число частот и форм собственных колебаний, которые необходимо определять и учитывать в расчете. Поскольку обычные для промышленных зданий динамические нагрузки имеют частоту не более 50 Гц и возбуждают лишь несколько первых форм собственных колебаний, то практически оказывается достаточным определять следующее число частот и форм:
 для однопролетных балок . 2.
 » неразрезных » . 2 N (Ы—число
 пролетов)
 » однопролетных плит , . 4
 » ферм 5
 Эти цифры необходимы для ориентировочного определения усеченного спектра частот собственных колебаний при проведении динамического расчета. Однако окончательное число определяемых и учитываемых в расчете частот и форм может корректироваться при расчете в зависимости от плотности спектра частот, вычисляемых параметров колебаний, характера приложения нагрузки и величины частоты возмущающего воздействия. Так при определе-
 58

нии динамических напряжений требуется учитывать большее число форм собственных колебаний, чем при определении перемещений, чтобы получить одинаковую
 точность. .
 Чем реже спектр частот собственных, колебаний и чем более гладкой является нагрузка, тем меньше можно сохранять членов в разложении по формам собственных колебаний. Решение вопроса о числе учитываемых форм собственных колебаний может быть принято на основе анализа сходимости рядов для соответствующих
 расчетных величин. В случае гармониче¬
 ских нагрузок достаточную для практических целей точность можно получить, если учитывать в расчете п первых форм, где п—-номер наименьшей собственной частоты, превышающей частоту вынужденных
 колебаний. В частности, если частота основного тона больше частоты возмущения, то можно учитывать только первую форму собственных колебаний конструкции.
 При проведении расчетов на ЭВМ количество операций большого значения не имеет, благодаря чему в этом случае следует учитывать возможно большее число форм.
 В практических расчетах строительных конструкций, характеризующихся сравнительно плотными спектрами частот, основным расчетным случаем является расчет па резонанс. При этом главный вклад в решение вносит резонирующая форма собственных колебаний, так что влиянием остальных форм можно пренебречь без большого ущерба для точности расчета. Это позволяет намного упростить расчеты.
 При определении частот собственных колебаний важно также принимать во внимание неточность исходных данных. Если на конструкцию . действует периодическая нагрузка, частота одной из гармоник которой близка к какой-либо частоте собственных колебаний, то точность динамического расчета будет существенным образом зависеть от точности исходных данных. Исходные данные (расчетные схемы, нагрузки, жесткости элементов и их соединений, массы) для строительных конструкций обычно задают со сравнительно невысокой точностью. В то же время результаты расчета на гармонические нагрузки при резонансе или вблизи резонанса очень чувствительны к малейшим изменениям характеристик рассчитываемой динамической системы, ибо далее небольшое изменение собственной частоты может во много раз увеличить или уменьшить амплитуды коле¬
 баний, особенно при малых значениях коэффициента потерь.
 Поэтому при расчете на периодические нагрузки обязательно надо учитывать возможную неточность в определении собственных частот, а также возможность изменения собственных частот конструкций при эксплуатации здания или сооружения. Это обстоятельство учитывают вводом частотных зон, границы которых определяют по формулам:
 Рг (1-е0)Р°; р" (1 + е0)р°, (4.9)
 О
 где рг т— г-я частота собственных колебаний элемента, вычисляемая в результате расчета; р ггнижняя граница частотной зоны; р .—' верхняя граница частотной зоны; е0 — погрешность в определении частот.
 Значение 80 для различных конструкций определяют по таблицам (4.6) и (4.7).
 При проведении расчетов на периодические нагрузки с помощью методов, не связанных с разложением по формам собственных колебаний, возможную погрешность в соотношении частот собственных и вынужденных колебаний молено приближенно учитывать путем изменения в некоторых пределах исходных данных (жесткостей и масс) либо, что более удобно, изменением частоты вынужденных колебаний в пределах от (1—е0)ш до (1 + + е0)т. При этом необходимо провести расчет для нескольких значений частоты вынужденных колебаний в пределах ее изменения . или определить в указанном промежутке экстремумы перемещений и внутренних усилий.
 Если частоту гармонической нагрузки, создаваемой машиной или установкой, задают с указанием некоторого возможного отклонения от ее среднего значения ш0, т. е. ш ш0(1±е'), то за частоту вынужденных колебаний принимают среднее значение ш0, а при определении границ частотных зон вместо погрешности е0 вводят погрешность е0 + е .
 Учет возможной погрешности в определении собственных частот, необходимый в случае гармонических и периодических нагрузок, приводит к тому, что для конструкций с плотным спектром, часто встречающихся в расчетах, частотные зоны пересекаются либо очень сближаются, и получается как бы непрерывный спектр. В этом непрерывном множестве следует выбрать дискретный спектр частот так, чтобы, с одной стороны, учесть наиболее неблагоприятное их расположение, а с дру¬
 59

гой, не оторваться от реальной конструкции.
 Поэтому в резонансной зоне, т. е. при попадании частоты вынужденных гармонических колебаний или частоты преобладающей гармоники возмущения в одну из частотных зон конструкции, соответствующую частоту собственных колебаний принимают равной частоте возмущения. При попадании частоты вынужденных колебаний1 в две или даже несколько пересекающихся частотных зон . следует каждую из собственных частот поочередно приравнять частоте вынужденных колебаний. Если частота вынужденных колебаний попадает в дорезонансную зону, то для собственных частот принимают минимальные значения.
 В. межрезонансных зонах (р" шр ' )'
 собственные частоты принимают наибольшими; из возможных, если частота ш находится ближе к р", и наименьшими, если
 частота ш находится ближе к р
 г+1'
 так что при рассмотрении горизонтальных колебаний для здания может быть принята расчетная схема в' виде дискретной системы с числом степеней свободы, равным Зге, где п — число этажей. При этом массы системы определяют, как указано в п. 4.2, а перемещения от единичных сил, приложенных в уровнях перекрытий и покрытия, вычисляют по общим правилам строительной механики.
 Система дифференциальных уравнений, описывающая свободные колебания здания с недеформируемымн в своей плоскости перекрытиями, центры жесткости и масс которых в общем случае не лежат на одной вертикальной оси, может быть представлена в матричной форме
 М2 + К2 О,
 (4.10)
 Таким образом, определенный в результате расчета спектр частот собственных колебаний может лишь сдвигаться в ту или иную сторону в пределах расширенных частотных зон. Одна из частот совмещается с частотой вынужденных колебаний или максимально приближается к ней, а все остальные изменяются пропорционально. В результате соотношение между частотами спектра все время остается постоянным, а возможная ошибка относится только к их величинам.
 ■ Такой подход представляется наиболее удобным и правильным, потому что соотношение-между частотами в спектре гораздо менее чувствительно к погрешностям в значении масс, жесткостей элементов и их расчетных схем, чем величины частот, и в гораздо меньшей мере влияет на результаты расчета.
 : В расчетах на прохождение через резонанс для частот собственных колебаний принимают их наибольшие значения, соответствующие верхним границам частотных зон, т. е. рг, так как при этом значения инерционных сил, зависящих от квадрата частоты, будут максимальны.
 Об определении частот и форм собственных колебаний упругих систем см. разделы' 7—9.
 Частоты и формы собственных горизонтальных колебаний зданнй определяют в соответствии с принятыми расчетными схемами. Для большинства промышленных зданий характерна большая жесткость перекрытий и покрытия в своей плоскости,
 где 2, М, К—ква-гиматрицы перемещений, 'инерционных и упругих характеристик:
 К:
 "X'
 Гм° 1
 2
 V
 , М
 м0
 -0.
 •о_
 к
 о
 — вж
 у
 Ох + &1/ _
 Здесь (см. рис. 4.4) X. У, 0 — векторы перемещений вдоль осей я, у и поворотов относительно начала координат, совмещенного с центром тяжести каждого перекрытия; М0, Л — диагональные матрицы масс и моментов инерции масс относительно начала координат; Рх, Р , Мб— векторы амплитуд составляющих внешних сил по осям х у и моментов относительно центра масс; Кх. Ку — симметричные матрицы единичных реакций; сос- тавленные из квазпупругих коэффициентов к и X
 и к (к ■ представляют собой реакцию в направлении оси х, действующую иа /-ое перекрытие от единичного перемещения /-го перекрытия
 их
 в направлении оси х, а —то же, в направлении оси у); В х, В у— в общем случае несим¬
 метричные матрицы составленные из произведем
 - $ и У А
 НИИ к 1д й]'д и к 1п й;п
 г /7 »/7» где й
 1Я
 У
 и а — коор¬
 динаты точки приложения равнодействующей ре . действующих на /-ое перекры-
 акции кх.п и & У
 щ н ц7
 тие в системе координат этого перекрытия от единичного поступательного перемещения -го перекрытия; Ох, О у— симметричные матрицы,
 ь х
 И
 произведений к‘У 5 1Я 1Я
 X X I/
 5]'д, где 5 1д и з']д — координаты точки прн-
 составленные ез
 $
 ложения равнодействующей реакции к .
 /7
 и ьУ " 1Г
 действующих на /-ое перекрытие в системе координат этого перекрытия от единичного поворота 7-го перекрытия относительно своего начала координат.
 Исключение времени из уравнения' (4.10) приводит к однородной системе
 М- КФ —ФА 0 (4.11)
 или К—1 МФ — ФА”1 — 0, (4.12)
 где Ф — фундаментальная матрица матрицы М составленная из собственных векторов, расположенных по столбцам; А — диагональная матрица собственных значений, элементами кото-., рой являются квадраты собственных частот. Ус-
 60

ловие нетрнвлальности решений однородных систем (4.11) и (4.12) приводит к частотным уравнениям в прямой и обратной форме.
 Для упрощения расчетных формул
 главная матрица Ф нормируется так,
 чтобы
 фт МФ Е, (4.13)
 где.Е — единичная матрица. Тогда фт КФ Л.
 Иногда матрицу Ф нормируют таким образом, чтобы элементы первой строки
 (соответствующей самой верхней массе здання) были равны единице.
 Таким образом, для определения частот и форм собственных колебаний здания необходимо вычислить единичные реакции, представляющие собой элементы матриц К и Ку, или единичные перемещения б3-д, являющиеся элементами обратных матриц К-1 и К-»'
 ' х , у ■
 В большинстве многоэтажных промышленных зданий центры масс и центры жесткостей всех этажей совпадают и поэтому поступательные и вращательные колебания можно рассматривать раздельно. Обычно достаточно определить не более трех частот собственных поступательных колебаний в продольном и в поперечном направлении и двух частот вращательных колебаний. В общем случае можно вычислять все частоты собственных колебаний, меньшие, чем частота возбуждения со, и по одной собственной частоте, большей, чем со.
 Перемещения от единичных сил, приложенных в уровнях перекрытий и покрытий многоэтажных каркасов с жесткими узлами, можно определять по приближенным формулам [10]:
 6кк (1/12) (5, + Т?!);
 икк-
 1
 12
 Н'
 • Ль + '
 к
 (к 2,3, ... , п)-
 +
 нги,.
 48/-,
 ькк + '
 48/V
 где 5 2 /1
 (Я, + Яс)4/4
 4гк—1
 п — число этажей; — суммарная погонная
 жесткость стоек /-го яруса: г —суммарная погонная жесткость ригелей /-го яруса; Я —высота /-го яруса рамы.
 Если ригели можно считать абсолютно жесткими то
 2Н/125;)- ■ (4л5
 Ькк ~ &к,к+1 °кп :
 /1
 При этом ненормированные формы собственных поступательных колебании рамных каркасов могут быть определены по формулам:
 1 + Ргт 1 (в1п“6п);
 А—1
 -Р- У, т У (& “в
 кп г I т1\ кп ш) 11
 4.16)
 гй- 1 + р2т ( 6 — б Ч
 г к К кп кк)
 п—1
 Угп ~ 5пп ~~ рг т1 5 п (&пп~бгп)-
 11
 Если каркасное здание имеет регулярную структуру, а жесткость стоек и ригелей всех ярусов и массы, сосредоточенные в уровнях перекрытий и покрытий, отличаются не более чем на 20 %. то круговые частоты собственных поступательных колебаний можно определять по приближенноГ1 формуле
 гаЯ1
 1— 1/2) Л 2п + 1
 4.17)
 (4.14)
 где 5 — суммарная погонная жесткость стоек: т — среднее значение сосредоточенной массы; Н — высота этажа; п — число этажей.
 При этом ненормированные формы собственных колебаний имеют вид
 У:Д(1)/+ПЯ|П 2Ц/0.+ 1-0 . (4Л8,
 11 2п + 1
 Эти формулы дают достаточную точность при Г25.
 Для каркасных зданий с жестким заполнением перемещения от единичных сил можно вычислять по формуле к
 т
 I
 /1
 (4.19)
 61

где V • -
 Р3.ап О. 1 1
 1,2
 рпр
 /
 О 85 зап I
 (4.20)
 рзяп — площадь в плане заполнения, расположенного в направлении колебаний в пределах /-го этажа; О] — модуль сдвига материала; Р п.Р — площадь проемов /-го этажа в плане.
 Эта формула справедлива при проемах средней высоты и Р пр ;0,7Р зап
 Для зданий с несущими стенами, расположенных на плотных грунтах или свайном основании
 иЪц-
 (4.21)
 /!
 где V ] вычисляют по формуле (4.20), в которой „зап
 под следует теперь понимать площадь
 стен, расположенных вдоль направления колебаний.
 Если продольные и поперечные стены образуют густую сетку с шагом не более 6—10 м, то жесткость стен можно определять по формуле
 рпр
 1
 2,4
 0,85 ,-
 /-го этажа в плане.
 При учете податливости основания:
 к
 икк-
 ;1
 ■ + ■
 1
 К
 +
 ли
 К
 Л,к+1:
 Я
 •К,
 +
 /1
 + 1
 (4.22)
 Ф
 )
 где С 2— коэффициент сжатия грунта; Р , / ■
 Ф 5С2-/ф,
 б
 ьк 1к
 .1-№$ + /2 65?) I
 У 1к л X 1к П
 (4.23)
 Здесь 1Х, I у- расстояние между продольными и поперечными рамами; ф 00 •—перемещение поперечной рамы каркаса в своей плоскости на уровне 1-го перекрытия от единичной горизонтальной силы, приложенной к ней в уровне к-то перекрыперемещение продольной рамы карка-
 тия; б {У) 1к
 са в своей плоскости на уровне 1-го перекрытия от единичной горизонтальной силы, приложенной к продольной раме в уровне &-го перекрытия; т, п ■— число продольных и поперечных рам в каркасе:
 |т тК_1)/12; Еп л(л!-1)/12.
 Если шаг рам в продольном и поперечном направлении одинаков (1х1у—1), то
 т 1к
 '
 (4.24)
 В случае, когда центры жесткостей и масс всех перекрытий не лежат на одной оси, единичные реакции и единичные перемещения, входящие в уравнения (4.11) и (4.12), вычисляют по общим правилам строительной механики.
 В большинстве реальных промышленных зданий жесткость ригелей и других горизонтальных элементов существенно больше жесткости колонн. В этих случаях квазиупругне коэффициенты к -V могут быть вычислены по формулам:
 А . , 1,1’-1
 12
 т
 I
 г1
 Е Л — с с
 (4.25)
 г1
 к • , 1 : Ы+1
 12
 т
 Е ]У-
 №
 Здесь К , К —жесткость основаяия здания при х ф —
 сдвиге и повороте; Н — расстояние от поверхности основания до к-то этажа.
 Для зданий с ленточными фундаментами можно приближенно принимать
 г 1
 О)
 п
 н.
 (4.26)
 г 1
 Р С 7пр
 упругого равномерного ч площадь и момент инерции подошвы фундаментов относительно центральной оси [9].
 Для каркасных зданий с регулярным каркасом, когда центры жесткости и масс всех этажей лежат'на оси симметрии здания, углы поворота от единичных моментов, приложенных в уровнях перекрытый и покрытия, вычисляют по формулам:- -
 •’ г — , их.. .— &?. — й?
 г и и ]'1—1 /-/+1
 г
 (4.27)
 где Н — высота этажа; Е — модуль упругости матУ
 териала колонн; ]г—момент инерции сечения колонны относительно оси у; Ь, /— количество колонн в пределах этажей / и /-И; с, ш — количество диафрагм и стен в пределах тех же этажей, расположенных вдоль оси л; Р г, О г — площадь в плане и модуль сдвига материала диафрагмы или стены; кг — коэффициент формы сечения
 ■" (г)
 йг
 (г)
 62

и для прямоугольного сечения, какое обычно имеют диафрагмы и стены, равный 1,2; упр— коэффициент, учитывающий снижение жесткости благодаря наличию проемов в диафрагмах и стенах и определяемый при проемах средней высоты и Р"р 0,7Рт (.ррр —, площадь проемов в плане) по фор муле
 Р 1 —?°Р/0,85Рг,
 а при проемах на высоту всего этажа по формуле
 Т"Р 1 — Р°р/Рг.
 Коэффициенты к и й , представляющие собой единичные реакции фундаментов, могут быть вычислены по формулам:
 А _Л-
 Е ЗУ. г г
 1
 Я,
 г 1
 к
 г1
 ■ 1+0,7С/ф,
 (4.29)
 к.'-1 №П 1
 Ь Я
 К пг
 Оо получаются из
 йх .
 ( Р
 12У Е 3х Iх. + Я? V № Iх. г г п 1+1 г V; Г-1 г1
 и2Л',+йж2
 г1 г—1
 12 V Е у {. гж . +
 V V VI
 •с г1
 ьМ ■ Г
 12 2 Е г+
 Г1
 (4.32)
 + Я? V XV Iх. Iх ■ , 1 1 с г/ /-(/—1 г1
 г1
 122е//('п?+л/11М'?1+
 3 — , [з! Н Ь а
 12 V Е + Я5? V +
 «в! г г
 г1
 г1
 Р
 где я — количество колонн в пределах первого этажа; а — количество диафрагм и стен в пределах того же этажа, расположенных вдоль оси х\ .—площадь подошвы фундамента; С —коэфФ 2
 фициент упругого равномерного сжатия основания, устанавливаемый по результатам испытаний грунтов или принимаемый по СНиП Н-Б.7-70, остальные обозначения прежние.
 Формулы для квазиупругих коэффи-
 + и2й, ( й,ж2М  Г1 г1 + 12 2 Ег + Н1+1 2 г—1 г1
 (4.34)
 циентов /г , формул (4.25—4.29) заменой индексов ,х на у, у на х, с на а, т на р и а на (3, где
 а, р и р — количество расположенных вдоль оси у диафрагм и стен в пределах этажей соответственно /, /+1 и первого.
 Координаты й формулам:
 ?./+1
 Г
 12 "V Е 3 х Iх. Iх ., , + г г п г,1+1
 г1
 12 V Е ■/ + -1л г г г1
 ' /-/- "V1 Ц7 Iх Iх
 + Ж 2л г V/ ‘г, 1+1
 Г 1
 + ";+2"',
 г—1
 (4.35)
 ёх. . --
 1,1-1
 12 У Е 3х Iх. + Я2. V ИГ Iх. г г п 1АА Т г/ г1 г—1
 12 V Е 3х ■
 с г
 г1
 ■я2 у ш I г г 1
 (4.30)
 12 У Е Iх. + Я2 У IV Iх+
 дгат! Г Г / 1 Г Г/
 г1 г1
 12 У Е 4 х + И2 V №' +
 Г Г ] ..1 11 м} Г"
 г 1 /'1
 ? Р
 + 12 У Е •/ Iх. + Я2 V 47 /.
 г г г] у+1- г г! г 1 г1
 /
 + 12 V Е Л'1 г г г1
 + //2 V /+1 г г—1
 (4,31)
 Здесь /г/ — расстояние от кодрнны, диафрагмы пли стены до оси у в системе координат /-го пере- крытия.
 Формулы для вычисления значений координат и получаются из формул
 (4.30) — (4.35) заменой индексов х на у, у на х, а на с, р на ш.
 Определение перемещений и внутренних усилий. При динамических расчетах перемещения несущих конструкций определяют по нормативным значениям динамических нагрузок. Внутренние усилия (изгибающие и крутящие моменты; продольные и поперечные силы) определяют по расчетным значениям динамических нагрузок.
 В практических расчетах несущих конструкций зданий и сооружений на действие динамических нагрузок наибольшее распро¬
 63

странение получил метод разложения по формам собственных колебаний с учетом внутреннего неупругого сопротивления в комплексной форме. При этом вертикальные и горизонтальные колебания конструкций рассматривают раздельно: при расчете перекрытий и покрытий учитывают только вертикальные динамические нагрузки и моменты от горизонтальных сил, а при расчете стен и каркасов — только динамические нагрузки, действующие в горизонтальной плоскости. В.связи с тем, что для строительных конструкций, отличающихся густым спектром собственных частот, основным расчетным случаем является резонансный режим, в расчетах должны использоваться только те алгоритмы и программы, которые учитывают внутреннее поглощение, энергии.
 При совместном действии нескольких периодических нагрузок, развиваемых различными независимыми машинами, амплитуды перемещений и внутренних усилий определяют как суммы соответствующих амплитуд от действия каждой нагрузки в отдельности. Если число отдельных нагрузок превышает 10, а их частоты близки или равны, то при вычислении суммарных перемещений и внутренних усилий следует учитывать коэффициент сннфазности X. Если же нагрузки вызваны действием одной машины или нескольких кинематически связанных машин и имеют одинаковую частоту и фиксированные сдвиги фаз, то суммарные амплитуды находят с учетом фаз определением максимума перемещений или усилий в промежутке времени, равном одному периоду.
 Уравнение гармонических колебаний конструкции в общем случае может быть записано в виде
 Мг + 11г + Ш'г Реш, (4.36)
 где М, V, Ь" — операторы инерционных, упругих и диссипативных сил; 2г(я, I) — перемещение; х — совокупность пространственных координат; РР{х) — внешняя нагрузка; ш — круговая частота воздействия; —время,
 В случае однородной конструкции уравнение (4.36) приводится к виду
 Мг + (а + Щ Ьг Реш, (4.37)
 где а, Ь — параметры комплексной жесткости, зависящие в общем случае от частоты со:
 а 1 — Гс, Ь Г5;
 ОО ОО
 г5 Г Г (0 5Ш 0Ш, Тс Г Г (() соз Ш1,
 0 о
 (4.38)
 Ь — оператор упругих сил идеально упругой системы; Г1 (/) •— ядро релаксации материала конструкций.
 В силу (4.38) между параметрами а и Ъ должна быть определенная функцио¬
 нальная зависимость. Кроме того, как следует из (4.38), а (со) должна быть четной, а 6 (со)—нечетной функциями частоты. При ш-0 Га--0 и поэтому отношение
 г) (со) Ь (со) 1а (со), называемое коэффициентом потерь, может быть конечным в нуле только, если а(со)- -0. Для неоднородных конструкций, у которых операторы I/ и V не могут быть выражены через Ь, может быть введен оператор потерь Г„(1/)-1Ь".
 У обычных конструкционных материалов жесткость, характеризуемая параметром
 а, и диссипативные свойства, характеризуемые параметром Ь и коэффициентом потерь г], слабо зависят от частоты деформирования. Поэтому в динамических расчетах конструкций широко используют модели частотно-независимого внутреннего трения, в частности, комплексную гипотезу Е. С. Сорокина и частотно-независимое упруговязкое сопротивление.
 Согласно гипотезе Е. С. Сорокина, параметры комплексной жесткости а, Ь принимают не зависящими от частоты и равными:
 а 4 — /(4 + у2), 6 47/(4+ 7?), (4.39)
 где V — коэффициент внутреннего неупругого сопротивления или внутреннего трения по Е. С. Сорокину, связанный с коэффициентом потерь п формулой
 Г] 47/(4 —72). (4.40)
 Коэффициенты комплексной жесткости удобно выразить через коэффициент потерь, являющийся нормируемой величиной, по формулам [15]:
 а 1 /V1+112 Ь ч/КГ+ц. . (4.41)
 Поскольку для обычных конструкцион' ных материалов г)0,2, то можно полагать а«1, Ьгц.
 Комплексный модуль с параметрами
 (4.39) и (4.41) не удовлетворяет соотношениям (4.38) ни при каком интегрируемом ядре Г(0, и гипотеза Е. С. Сорокина соответствует неустойчивой, физически нереализуемой системе. При отбрасывании неустойчивых решений однородного уравнения комплексная гипотеза становится некорректной, тем не менее она дает в простейших случаях приемлемые формулы для установившихся и свободных колебаний, хотя однозначное решение при произвольной нагрузке получить нельзя.
 Достаточно общие результаты и возможность производить расчет конструкций при любых динамических нагрузках дает модель частотно-независимого упруговязкого сопротивления [15], уравнения которой

могут быть получены из следующих соображений. Поскольку при гармонических колебаниях г(х, () 2(х)е то диссипативная сила Л 11/'г в (4.36) эквивалентна силе Р1"г/а, и (4.36) может быть заменено уравнением для некоторой упруговязкой системы. Чтобы распространить уравнение (4.36) на случай произвольного нагружения, можно все функции частоты возмущения в уравнении колебаний заменить соответствующими функциями собственных частот, так как влияние внутреннего трения ощутимо лишь вблизи резонансных частот сор,. Поскольку собственные частоты в общем случае образуют дискретное, непрерывное или дискретно-непрерывное множество (спектр), слабо зависящее от диссипативных свойств системы, то вместо собственной частоты можно использовать оператор р {М~'Ь)1 А, вытекающий из частотного уравнения соответствующей консервативной системы:
 (—Мр2 + 1)2 0. (4.42)
 Таким образом, вместо уравнения
 (4.36) получим уравнение эквивалентной упруговязкой модели
 Мг + и' (Л) Л~ г + V (А) г ■■
 Р (х , (), (4.43)
 тальная матрица матрицы М-'КА2, состоящая из собственных векторов (собственных форм), расположенных по столбцам, получим систему уравнений относительно обобщенных координат [16]:
 а + рЦа + р5 а — Ь,
 (4.46)
 где а, Ь — векторы обобщенных координат . и обобщенных сил; Р— диагональная матрица соб ственных частот; ц Ф ГоФ.
 При «пропорциональном» демпфировании матрица г)—диагональная и система (4.46) распадается на независимые уравнения
 а + р т| а + р а — Ь
 У Г Г т г г г
 (4.47)
 которое корректно для произвольной нагрузки Р(х, I). В модели частотно-независимого упруговязкого сопротивления операторы V и Ь" принимают не зависящими от частоты.
 Рассмотрим некоторые частные случаи. Для системы с одной степенью свободы Мпг, и—к, и'х\к (т — масса, к — жесткость системы) и уравнение колебаний принимает вид
 тг-3г,ц}/Гктг-\-кг~Р{1). (4.44)
 В случае многомассовой системы уравнения колебаний будут представлены в матричной форме (1'К, Ь"1п) [16]
 М2 + М (М-1 К)'1- Г2 + К2 Р ((), (4.45)
 где М, К — матрицы инерции я жесткости; 2, Р — векторы перемещений и внешних нагрузок: Г'
 —1 1/9 —1 1/2
 «(М К) Г0(М К) матрица демпфирования, которую можно приближенно принимать равной матрице потерь Г0К ХК ( (для однородных конструкций Гот| — общему коэффициенту потерь); К —матрица, получаемая из матрицы
 жесткости К заменой коэффициентов жесткости связей к . на ч\ . /г.; те. — коэффициенты потерь связей.
 Решение уравнений (4.45) можно получить методом разложения по формам собственных колебаний. Полагая 2 Фа, Р МФЬ, А ФрФ-1, где Ф — фундамеи-
 решение которых не вызывает затруднении.
 Для систем с распределенными параметрами (балки, плиты, оболочки и т. п.) интерпретация дробных операторов связана с введением достаточно сложных спектральных разложений. В практических задачах это обстоятельство не вызывает, дополнительных трудностей, так как применяя метод разложения по формам собственных колебаний к исходным уравнениям, молено сразу прийти к уравнениям типа (4.47) относительно обобщенных координат.
 При гармонической нагрузке решение уравнений (4.45) и уравнений с комплексной жесткостью
 М2 + (1 + 14) К2 Реш (4.48)
 имеет вид
 г; (){?)+ (4.49)
 П
 гДе г/ 2 М1 “ Ш Ч’//-»
 г—1
 г7 —’ТЕ ВгРу (лля 4.48)
 г 1 п
 Вг %■ Ч7. (Ддя 4-45)
 г 1
 Здесь В,, —— — ;дяя (4.48)
 Вг
 ——■ ;для (4.45)
 &• - рг , Ъу - Уд Рг Ф»■;
 1 1
 Рг — собственные частоты соответствующей консервативной системы; ц—нормированные формы собственных колебаний элементы матрицы Ф.
 Первое из приведенных значений г" со-
 /
 ответствует гипотезе Сорокина, второе-■ частотно-независимому упруговязкому сопротивлению.
 5—491
 65

Вычисления по формуле (4.49) для обеих указанных моделей приводят практически к одинаковым результатам при значениях т]0,2, характерных для обычных конструкционных материалов. Поэтому в дальненшем мы ограничимся только формулами, соответствующими модели частотно-независимого упруговязкого сопротивления, которая является более общей и позволяет рассматривать любые динамические воздействия.
 Амплитуды перемещений многомассовой системы определяют по формуле
 (4.50)
 -о-г 1‘П+Ы--
 Для вычисления напряжений в конструкции необходимо найти силы сопротивления. Полагая
 для амплитуды косинусоидальной и синусоидальной составляющих, получим:
 г1
 вг1„р; -г. (4.51)
 г—1
 Амплитуды внутренних сил определяют по формуле
 Таким образом, при расчете на прочность и выносливость внутренние усилия в конструкции можно вычислять по формулам:
 (4.52)
 и т. п., где амплитуда изгибающего
 момента и поперечной силы в точке /; М., . —
 изгибающий момент и поперечная сила при действии на конструкцию системы сил й .: АГ", — изгибающий момент и поперечная сила при действии на конструкцию системы силы
 Если для решения системы (4.45) не применяют метод разложения по формам собственных колебаний, то для определения амплитуды косинусоидальной и синусоидальной составляющих упругих сил могут быть использованы формулы:
 #;:// + М/Ш2 г);
 (4.53)
 В случае резонанса при сор, основной вклад в решение системы уравнений
 вносит резонирующая гармоника и поэтому амплитуду перемещений молено определять по формуле
 К V,-
 р; о
 (4.54)
 (4.55)
 В этом случае формулы (4.51) примут
 вид:
 ; °; |
 Я"; -Ч~1т1 Ьг ф/г. \
 Однако формула (4.54) может оказаться неверной, если коэффициент разложения нагрузки Ьг для резонирующей гармоники мал или равен нулю. Это молсет быть в том случае, когда возмущающая сила расположена вблизи узла или в узле соответствующей формы собственных колебаний либо возмущающий момент распололеен вблизи ее пучности.
 При действии на конструкцию периодической нагрузки наибольшие перемещения и внутренние усилия определяют вычислением максимумов соответствующих параметров на отрезке времени, равном одному периоду.
 Если частота вынужденных колебаний отличается на 10 % и более от блилеайшей частоты собственных колебаний, то учет внутреннего неупругого сопротивления не дает ощутимого уточнения и им молено пренебречь, полагая т] 0. При этом расчетные формулы значительно упрощаются: к
 1П]
 ЪТ У)г 1-1?
 (4.56)
 В случае системы с одной степенью свободы амплитуду перемещений при гармонической нагрузке, как следует из (4.54), определяют по формуле
 г Р1к К(1 -р)? + 112|2 _ (4 _ 57)
 где к — 1/б| — жесткость системы (квазиупругий коэффициент); б; — смещение от единичной силы; 5 ш/р; р
 Амплитуды внутренних усилий для системы с одной степенью свободы вычисляют путем статического расчета конструкции на нагрузку Я кг.
 Амплитуды перемещении, углов поворота и внутренних усилий балок перекрытий
 66

при гармонической нагрузке можно вычислять по формулам;
 («) V[г' (а)]? + [г" (а)]?;
 к
 г (°0 2 °г хт («);
 г1
 к
 г" (а) Сг Хг (а);
 /■1
 1 °
 -тН
 О
 д (а) Хг сс г/а;
 (4.58)
 -г-н нормлрованная форма собственных колебаний балки; д г — приведенная равномерно распределенная масса; / — длина балки (или длина пролета ь случае неразрезной балки); а х/1— приведенная координата, отсчитываемая от левой опоры в каждом пролете; 7(а) — внешняя нагрузка; остальные обозначения такие же, как н в случае системы с п степенями свободы О г—
 гИ1-1г)- Сг--цВг 1Г'
 Если в точке с координатой х—ха приложена сосредоточенная сила или изгибающий момент, изменяющиеся во времени по гармоническому закону, то
 Ьг (Р/\хГ Г) \г (об0); йд
 соответственно.
 Амплитуды углов поворота, изгибающих моментов и поперечных сил будут:
 ■0о(а) (1/ОХ
 X
 2 ОгХ)
 ,г1
 +
 +
 2сг
 г1
 М0 (а) (Е / 2)X
 2 о х)
 г1
 + 2 СгХ"г(«)
 _г1
 Со (а) (Е///3)Х
 х/
 2 °г Х'гЫ ,г\
 +
 +
 2 ст К («)
 ,г1
 (4,59)
 Таблицы нормированных форм собственных колебаний однопролетных и неразрезных балок и их производных до третьей включительно можно найти в инструкциях [2, 3]. Если частота вынужденных колебаний отличается на 10 % и более от ближайшей частоты собственных колебаний, то в формулах (4.58), (4.59) можно не учитывать внутреннее неупругое сопротивление, положив Г]0.
 В случае резонанса в формулах (4.54),
 (4.55) можно сохранить только резонирующие гармоники.
 Амплитуды перемещений, углов поворота и внутренних усилий в однопролетных и неразрезных плитах могут определяться по приближенным формулам, аналогичным
 (4.58), (4.59). Например, амплитуда перемещений плиты
 г («, Р) У[г‘ '{а, ДОЗ + [г" (а, [3)]'-,'
 (4.60)
 к к
 где г1 (а, Р) 2 2 °гв Хг И (Р);
 г—1 51
 2"(«,Р) 2 2 Ст$Хг(а)У3(В);
 Г—\ 51
 й№-&)2+па]
 0Г8 ВТв I1 ” ’ Сгз _
 1 1
 о о
 “2/ : Р уПу' а х/1х-
 Здесь Хг(а), У, (Р) — ортонормнрованные формы собственных [колебаний балок с соответствующими числом пролетов и краевыми условиями (балочные функции).
 В случае сосредоточенной силы, приложенной в точке с координатами ао, Ро:
 ьг$ д / I хг (“о) У5 ( о)
 ГЗ X ‘у
 Формулы для углов поворотов, изгибающих моментов и поперечных сил получаются из (4.60) дифференцированием г' и г" в соответствии с известными формулами технической теории изгиба пластинок (см. разд. 8).
 5

РАЗДЕЛ 5
 РАСЧЕТ СООРУЖЕНИЙ НА ДЕЙСТВИЕ ЭКСПЛУАТАЦИОННЫХ ИМПУЛЬСНЫХ НАГРУЗОК
 (Е. С. СОРОКИН)
 5.1. Основные расчетные положения
 Задачей рассматриваемых в разделе методов расчета промышленных сооружений на импульсивные эксплуатационные нагрузки является определение общих перемещений и внутренних усилий, возникающих в элементах сооружений при изгибных деформациях под действием поперечных кратковременных сил и ударов, прикладываемых однократно или многократно. Определение местных упругих и пластических деформаций в зоне приложения к конструкции изгибающего удара данным расчетом не предусматривается. Под импульсивными эксплуатационными нагрузками понимаются кратковременные силы и удары, возникающие при действии соответствующих производственных установок и характеризующиеся умеренной величиной импульса, не способной вызвать в элементах сооружения макропластические деформации Возникающие при этом микропластические деформации частиц материала, являющиеся основной причиной рассеяния энергии колебаний, учитывают в расчетах как внутреннее трение.
 Цель расчета в том, чтобы, во-первых, обеспечить прочность сооружений, подвергающихся действию импульсивных нагрузок, и, во-вторых, ограничить скорости и ускорения колебаний конструкций уровнем, безвредным для людей и точной технологии производства. При выполнении второго требования— значительно более жесткого — учет импульсивных нагрузок при проверке прочности сооружения оказывается обычно излишним.
 Учитываемые и пренебрегаемые при расчете факторы. На определяемые расчетом перемещения и внутренние усилия в конструкции, возникающие при действии на нее импульсивных нагрузок, существенное влияние оказывают следующие факторы, которые необходимо учитывать в расчетах: 1) частоты собственных колебаний конструкций, содержащиеся в усеченном спектре длиной не более 25 ри где р\—основная угловая частота; 2) погрешность определения частот собственных колебаний; 3) внутреннее трение в конструкции, влияние кото¬
 1 Расчет конструкций на кратковременные воздействия большой интенсивности см. раздел 13.
 рого возрастает с уменьшением продолжительности импульса; 4) продолжительность действия импульса; 5) форма импульса2; 6) коэффициент восстановления в случае нагрузок ударного характера; 7) периодичность повторных импульсов и ударов, которая может приводить к появлению импульсного резонанса [7, 9].
 Зависимость между амплитудами циклического напряжения и циклической деформации принимают линейной, иначе говоря, ось петли гистерезиса считается прямолинейной, что соответствует данным опытов над основными строительными материалами.
 Влиянием инерции вращения поперечных сечений и деформаций сдвига элементов конструкции пренебрегают, поскольку это влияние в большинстве случаев несущественно, между тем как его учетом сильно осложняется расчет.
 В подавляющем большинстве случаев эксплуатационные импульсивные нагрузки по характеру приложения к конструкции приближаются к сосредоточенным. Можно пренебрегать влиянием размеров площадки распределения импульса, если они не превышают 20 % соответствующих размеров одномерных или двумерных элементов конструкции (пролета балки или длин сторон плиты) [7].
 Импульсивные нагрузки. Под импульсивной нагрузкой однократного действия понимается кратковременная нагрузка постоянного направления, имеющая не более одного максимума за время ее непрерывного действия т (рис. 5.1, а), представленная аналитическим выражением:
 р (0 Л / (0 при О «I « т; "1
 Р (0 0 при От, / (5Л)
 здесь 0 —начало действия нагрузки; Ро — ее максимум: — функция, характеризующая
 форму импульса, причем максимум |/Ч)1в81.
 Если нагрузка за время т меняет знак или имеет более одного максимума, то ее действие можно рассматривать как последовательное приложение нагрузок типа
 (5.1). Нагрузка (5.1) однократного действия характеризуется тремя параметрами: 1) продолжительностью действия т; 2) формой
 2 Т. е. закон изменения во времени кратковременной силы.
 68

импульса {({); 3) наибольшей величиной
 Ра либо импульсом силы 5: т
 5 Р0\П)М. (5.2)
 0
 В зависимости от того, какую из двух величин —; Ра или 5 — принимают за третий параметр импульсивной нагрузки, способ расчета упругих систем на действие такой нагрузки приобретает две существенно различные формы; результаты же расчета не зависят от выбора параметра. В дальнейшем изложен способ расчета по импульсу силы, преимущество которого для кратковременных сил показано в п. 5.2.
 Продолжительность действия эксплуатационных импульсивных нагрузок, характерных для промышленных зданий, имеет своим минимумом величину, близкую к Тмин 0,001 с. Реакция упругой системы на кратковременную нагрузку зависит от отношения т к наименьшему учитываемому периоду собственных колебаний системы Тя. Если т/Гл-0,1, импульс силы можно считать мгновенным, а реакцию системы — зависящей только от импульса 5. При т/7’ 0',1 реакция системы зависит от всех трех параметров нагрузки, Если же %/Т{ 2,5, где Г; — основной период собственных колебаний системы, более удобным оказывается способ расчета, принимающий за третий параметр нагрузки ее максимум Р0. Однако такие нагрузки уже теряют характер импульса.
 Импульс при прямом ударе тела по конструкции можно определять по приближенной формуле
 5 той (1 + к0), (5.3)
 где т — масса ударяющего тела; Оо — его ско4 рость в начале удара; ке— коэффициент восстановления при ударе, зависящий от свойств соударяющихся тел и принимаемый при отсутствии более точных данных по табл. 5.1.
 За форму импульса при этом может быть принята колоколообразная кривая (рис. 5.-2, 6-я форма).
 Из трех параметров импульса решающее влияние на реакцию системы оказывают его величина 5 и продолжительность х; форма же импульса оказывает второстепенное влияние. Величины 5 и т можно оценить расчетом или опытным путем. Если импульсивная нагрузка возникает при действии машин с определенной кинематической схемой, значения 5 и т могут быть оценены из рассмотрения этой схемы. Продолжительность удара упругих тел можно оценить по данным известных опытов или расчетом, исходя из упругих характеристик соударяющихся тел. Продолжительность
 удара пластических тел можно оценить как время их пластического деформирования. Если нельзя оценить т расчетным или опытным путем, но имеется уверенность, что она достаточно мала, можно принимать в запас
 ПРОЧНОСТИ И ЖеСТКОСТН КОНСТРУКЦИИ Тмпн
 0,001 с.
 Из кратковременных нагрузок многократного действия наибольший интерес представляют периодические импульсы, т. е. повторяющиеся через равные промежутки времени Т0, называемые периодом импульсов (рис. 5.1,6). Обычно после нескольких повторений, необходимых для выполнения определенной технологической операции, следует пауза. Поэтому следует различать два случая периодических импульсов:
 1) число повторений импульсов п в одной операции невелико, так что колебания конструкции являются иеустановившимися (непериодическими); 2) число повторений в одной операции настолько велико, что колебания конструкции к концу операции являются установившимися (периодическими). Первый случай обычно имеет место, если п не превышает целого числа, ближайшего к числу (2\)-1, где у — коэффициент неупругого сопротивления конструкции. Пермо-1 дическая импульсивная нагрузка характеризуется, таким образом, пятью параметрами: 5, т, }({), Т0 и п.
 В целях удобства расчета вводится классификация импульсивных нагрузок по категориям, определяемым величиной мгновенного импульса 50, эквивалентного данному однократному импульсу 5 продолжительностью т по наибольшему перемещению конструкции при колебаниях по основному тону с периодом Т .
 5о 5е(т/:Г1). (5.4)
 Значения коэффициента е /Г,) даны в табл. 5.6 в зависимости от отношения т %/Т\ и формы импульса. Классификация импульсивных нагрузок по величине 50 дана в табл. 5.2.
 Эта условная классификация позволяет заранее указать случаи, когда импульсивные нагрузки можно не учитывать при проверке прочности обычных конструкций промышленных зданий и учесть приближенно зависимость коэффициента внутреннего трения от уровня напряжений в конструкции (см. разд. 3). Естественно, что мгновенный импульс 50, определенный по формуле (5.4), не будет эквивалентен кратковременному импульсу при колебаниях конструкции по высшим собственным формам.
 Динамические характеристики конст-
 69

а}
 Ро
 р/а
 о■ гг
 к
 Рис. 5.1. График кратковременных нагрузок
 а—однократного действия; б — периодического действия
 то Тв+Ъ 2Та 2Т0+Т
 п0Ц пйтг
 рукций. К ним относятся массы, динамические жесткости и коэффициенты потерь й элементах конструкции.
 Масса элемента конструкции получается делением на ускорение силы тяжести всех систематически действующих на него статических нагрузок, обладающих массой (соб- ственно веса и наиболее вероятных полезных грузов), которые не следует смешивать с расчетной статической нагрузкой. Эпизодические нагрузки (толпа людей, ремонтные грузы и т. п.) при определении массы во внимание не принимаются. Распределение масс элемента должно соответствовать
 Таблица 5.1
 Материал поверхности конструкции, воспринимающей Удар
 Материал и форма ударяющего тела
 твердые металлы, (стали, сплавы)
 медь, алюминий, дерево, твердые пластмассы, камень, бетон и пр.
 мягкие пластичные материалы (асфальт, глины, смолы, масла и пр.)
 шар
 параллелепи¬
 пед
 шар
 параллелепи¬
 пед
 любая форма
 0,6
 0,35
 0,4
 0,25
 0
 0,55
 0,3
 0,4
 0,2
 0
 0,4
 0,2
 0,3
 0,15
 0
 0,35
 0,15
 0,25
 0,1
 0
 Ксилолит ..........
 0,2
 0,1
 0,1
 0,05
 0
 0
 0
 0
 0
 0
 Таблица Б.2
 Категория
 импуль¬
 сивной
 нагрузи!
 Характеристика
 импульса
 Эквивалентный мгновёЙньШ ИМПУЛЬС 50, КГС'О
 I
 Слабый
 До 10
 II
 Умеренный
 От 10 до 100
 III
 Сильный
 » 100 » 1000
 IV
 Очень сильный
 Более 1000
 фактическому распределению нагрузок.
 Динамические жесткости элементов конструкции при поперечном изгибе принимаются в соответствии рекомендациями разд. 3.
 Коэффициент потерь т), характеризующий затухание; считается одинаковым для всех тонов собственных колебаний конструкций и принимается в зависимости от материала конструкции и уровня напряжений согласно разд. 3 [табл. 3.2];
 Ограничения колебаний конструкций. Если на конструкции работают люди или расположено чувствительное к вибрациям оборудование, то поперечные колебания элементов конструкции, имеющие систематический характер, должны удовлетворять требованию
 2„а0, (5.5)
 где го — определяемое расчетом наибольшее перемещение элемента конструкции, вызванное действием периодической импульсивной нагрузки; с?— допустимая амплитуда колебаний, определяемая по формулам (5.6) и (5.7) соответственно для высоких и низких частот:
 щ — ——— Со ДЛЯ пл 10 Рцр (5,6)
 2я пг
 аа — Сц для п, 10 Гц. ф Здесь П\~рх/2к — частота проверяемых колебаний элемента конструкции в Гц (р] — круговая часто- та, рад/с); Vо и &Уо— допускаемые по санитарным нормам и технологии производственных процессов амплитуды скорости и ускорения установившихся гармонических колебаний с частотой пк\ Со — коэффициент, повышающий допускаемую амплитуду в зависимости от скорости затухания колебаний, вычисляемый по формуле
 С„ 1 + ЮТ (1-7УТв), (5.8)
 где V — коэффициент внутреннего трения; Т\\1п.\Ъ ТоТ1 — период повторения импульсов (при принимается Со-1).
 Если колебания элемента конструкции представляют сложение нескольких однотонных колебаний с различными частотами, то их проверку по формуле (5.5) следует производить согласно указаниям [1]. Внутренние усилия (изгибающие моменты и поперечные силы), возникающие в элементах конструкции под действием импульсивных нагрузок, проверяются в случае одиночных импульсов исходя из условий статической
 70

№
 /Н)
 №
 Рис. 5.2. Графики шести кратковременных нагрузок, соответствующих уравнениям (5.13)
 прочности, а в случае систематически действующих повторных импульсов, кроме того, еще и из условия выносливости изгибаемых элементов согласно указаниям [1]. Если при частотах выше 15 Гц условие (5.5) удовлетворяется, то проверка конструкции на выносливость не требуется, а проверка на прочность может быть выполнена без учета импульсивных нагрузок.
 5.2. 	Системы с одной степенью свободы
 Действие однократных импульсов. Внутреннее трение незначительно снижает максимальные перемещения г0 (или внутренние усилия М0 и 2о) в системе с одной степенью свободы при однократном действии кратковременной нагрузки. Действительно, если продолжительность т действия нагрузки не превышает периода Г, свободных колебаний системы, То максимум перемещения будет в пределах этого периода и влияние затухания будет незначительным ввиду малости интервала времени. Если же т Г), влияние затухания на максимум перемещений будет также незначительным: при внезапно приложенной нагрузке максимум перемещений будет в первом полупериоде колебаний, а при нагрузке, плавно возрастающей от нуля, перемещение будет мало отличаться от статического. Поэтому незначительным влиянием внутреннего трения на максимум перемещений пренебрегают [6]. При желании приближенно учесть это влияние следует значение га умножить на коэффициент е- 4. Во всех других случаях (периодические импульсы или системы с числом степеней свободы более одной)’ влиянием внутреннего трения пренебрегать нельзя и оно должно вводиться в дифференциальные уравнения колебаний.
 Дифференциальное уравнение движения системы с одной степенью свободы под действием силы (5.1) без учета внутреннего трения имеет вид
 тг (0 + сг (() Р ((),
 При начальных нулевых условиях: г(0) 0, г(0) 0 решение уравнения (5.9) для интервала времени 0/ст может быть представлено в виде I
 г Р0/тр0 [ / (С) зШ р0 ({— (1) (5.10)
 о
 а для /т
 т
 г Р61тр0 [ / (г1') зш р0 (о — Р) й1ь. (5.11) о
 В этих выражениях I ■— момент времени, для которого определяется перемещение: т — продолжительность действия силы (6.1): ро — круговая частота свободных незатухающих колебаний системы:
 Ро
 '/' с/т — 2п/Т±, (5.12)
 Ниже рассматривается шесть часто встречающихся на практике форм импульса, показанных на рис. 5.2 и представленных следующими функциями 1(1) при 0«/т:
 1) /(0 1;
 2) до /■;
 3) Ж 1-(/т);
 4) /(0 8шя(/т);
 5) / (0 21/%, (I -/2);
 /Ю 2Е1-(/т)1, (Ох/2);
 6) 	/ ({) 1/2 {1 — соз 2п (И%)\.
 Подставляя выражения ?(0 03 (5.13) в (5.10) и (5.11), выполняя интегрирование и вводя обозначения:
 (5.13)
 1 	р0{ (2л/Т1){; а р0 т (2я/Т%) т; 2с — Р /С,1
 (5.14)
 (5.9)
 где гс—статическое перемещение системы под действием силы Ро, получим формулы для определения отношения 2/гп (табл. 5.3).
 Наибольший практический интерес представляют максимальные значения 20 перемещения г, выраженные в зависимости от относительной продолжительности действия силы:
 где г — перемещение системы; т « ее масса2 е коэффициент жесткости. -
 х/Т-г а/2я.
 (5.15)
 71

Таблица 5.з
 № формы импульса в (5,13)
 г Ш:г0
 для 0 гт:(0«5|«8а)
 для 1 г а)
 1
 1 — соз |
 . а 1 а \
 2 31X1 — 31П Р— 2 2 1
 2
 | — 31П|
 а
 сазй-сО—Азш-2-соз --
 3
 а — | + 51П | — а соз | а
 2 . а [ а \
 — 31П — соз | — — — соз 1 а 2 V 2 / ь
 4
 / я \ а Я51П Е — а 31П — |
 V а 1
 а / “ \ 2яа соз зш 11 — — 1
 я! — а?
 я2: — а?
 5
 2 / а \
 -й-зша, (бТ);
 а — 1 + 2 зш — зш I ,
 (т)
 4 Л а \ . и а \
 — [ 1 — соз —- 51П Е — —« \ 2/1 2 /
 6
 4л- (1 — со? |) — а? 1 — соз |
 сс / а \
 4я? 51П ЗШ I — —
 2 V 2 )
 2 (4я? — а?)
 4я? — а?
 Для удобства определения г0 вводится динамический коэффициент к:
 я(т) г0(х)/гс. (5.16)
 Его выражения для шести рассмотренных выше кратковременных сил даны в табл. 5.4. При одном и том же законе }(() он" различны для разных областей значений т.
 Кривые %(т), построенные по формулам табл. 5.4, показаны на рис. 5.3 для значений т от 0 до 10. Из графиков видно, что максимумы перемещений наблюдаются в пределах значений т от О.БГ! до Тг. Сильное изменение и наблюдается в области значений т от 0 до 2,57’1. Для значений т Ъ2,5Т1 величина к меняется слабо, приближаясь с увеличением т к предельным значениям 1 (для сил, плавно возрастающих от 0) или 2 (для сил, приложенных внезапно). При расчете сооружений на импульсивные нагрузки наибольший интерес представляет, очевидно, первая область. Зная максимум Р0, относительную продолжительность т и закон действия 1(1) кратко¬
 временной силы, можно определить статический прогиб 2С по формуле (5.14) и динамический коэффициент % по формулам табл. 5.4 или графика на рис. 5.3 и затем вычислить по формуле (5.16) максимальное перемещение системы:
 г0 и(т)г0. (5.17)
 Такой путь расчета можно назвать способом динамического коэффициента. Он соответствует предположению о постоянстве максимума Ро кратковременной силы при изменении продолжительности и закона ее действия.
 Другой способ расчета основан на предположении о постоянстве импульса кратковременной силы при изменении продолжительности и закона ее действия. К нему можно прийти путем простейших преобразований формул, соответствующих способу динамического коэффициента. Заменяя в
 (5.17) 2С на Р0/с, выражая Р0 через импульс 5 из формулы (5.2), а с через р0 из формулы (5.12) и учитывая, что раТ12л, получим

Т а б л и ц а 5.4
 1%
 •в|“ю
 К й
 Область значений т
 Функция V. (т)
 О : т «в 1/2 х 1/2
 О Л х «а 0,795 т 0,795
 - у/'(2ят — 51П 2яХ)г + (1 е. СО5 2Ш):
 2 т
 1
 1 +■
 2ят
 О «в' х «8 3/8 т 3/8
 — 1 (1 — СОЗ 2ят)г + -(2т — 51П 2ят)3
 2ях
 2 /1 - — — агс1е 2ятЛ \ 2ят )
 О в Т «в 1/2
 — « г «■ 3/2 2
 Т 3/2
 4х
 2х / .
 51
 1 —4т2 V
 1 — 4т2 4ях
 •соз ях
 1 + 2х» 2Т
 2т 31П ■
 2я \
 1 +
 2%)
 2Т — 1
 О ■« т «5 1/2 1/2 «в т 2 Т2
 (1 — С05 ят)
 [2ЯТ — + 251П | — ЯГ) — 5111 |]
 1 +-
 О «г т" «г 2
 1/2
 т2
 I [1 ~ соз I - (1 - соз -!1\1
 2 1 — т) Ь V х Л
 Тг — 1
 Примечания: — соответствующий корень уравнения 2 сов (|—■-ят) —1+соб|; Vе
 соответствующий корень уравнения 21п|т‘к 5ш(|/т) для т1, 14,494 к {!) !,703.
 г0 е т) , ‘ (5.18)
 тр0
 где через е(т) обозначена функция
 т
 в (т) [х (т)]/2я (' / (() а. (5.19)
 О
 Рис. 5.3. Динамический коэффициент к для шести кратковременных сил, показанных на рис. 5.2
 В табл. 5.5 для импульсов шести форм
 (5.13) даны значения функции б(т), которую назовем коэффициентом импульсивности.
 Из рис. 5.4 видно, что деление х(т) на т существенно меняет характер кривых на рис. 5.3. На рис. 5.4 даны кривые е(т) для значений т от 0,01 до 10. При т-»-0 (мгновенный импульс) 81 независимо от формы импульса. Следовательно, величина 8/тра в (5.18) представляет максимальное перемещение системы при действии мгновенного импульса, равного 5. Для кратковременных импульсов коэффициент. е1 и с увеличением т стремится к нулю. Из' сравнения кривых на рис. 5.3 и 5.4 видно, что зависимости у.[х) значительно сложнее зависимостей е(х), представляющих монотонно убывающие кривые, образующие сравнительно узкий пучок, и пользоваться
 73

Таблица 5.5
 № формы импульса (5.13)
 1
 2
 3
 4
 5
 6
 т
 К) &
 0
 т
 х/2
 х/2
 2ц/л
 х/2
 х/2
 е (т)
 К (Т)
 'Л (Т)
 к (т)
 К (т
 X (Т)
 У. (Т)
 2ят
 яг
 Л'С
 4-с
 згх
 Таблица 5.6
 т — Тг
 Формы импульсов (рис. 5.2)
 1
 2
 3
 4
 5
 6
 0
 1
 1
 1
 1
 1
 1
 0,01
 1,000
 1,000
 1,000
 1,000
 1,000
 1,000
 0,05
 0,996
 0,999
 0,999
 0,999
 0,999
 0,998
 0,10
 0,983
 0,990
 0,990
 0,991
 0,994
 0,993
 0,15
 0,963
 0,974
 0,974
 0,979
 0,981
 0,985
 0,20
 0,936
 0,958
 0,958
 0,963
 0,968
 0,974
 0,25
 0,900
 0,933
 0,933
 0,943
 0,950
 0,960
 0,30
 0,858
 0,905
 0,905
 0,917
 0,930
 0,943
 0,35
 0,810
 0,872
 0,872
 0,890
 0,902
 0,923
 0,40
 0,757
 0,835
 0,835
 0,858
 0,875
 0,901
 0,45
 0,697
 0,797.
 0,800
 0,823
 0,844
 0,876
 0,50
 0,637
 0,755
 0,761
 0,785
 0,811
 0,849
 0,60
 0,530
 0,664
 0,692
 0,705
 0,739
 0,788
 0,70
 0,455
 0,569
 0,631
 0,625
 0,667
 0,724
 0,80
 0,398
 0,477
 0,579
 0,552
 0,559
 0,661
 0,90
 0,354
 0,416
 0,533
 0,489
 0,537
 0,599
 1,0
 0,318
 0,369
 0,494
 0,433
 0,480
 0,543
 1,2
 0,265
 0,301
 0,429
 0,344
 0,383
 0,444
 1,4
 0,227
 0,253
 0,379
 0,277
 0,306
 0,365
 1,6
 0,199
 0,219
 0,340
 0,227
 0,-244
 0,301
 1,8
 0,177
 0,192
 0,307
 0,192
 0,-208
 0,252
 2,0
 0,159
 0,172
 0,280
 0,167
 0,184
 0,212
 кривыми, приведенными на рис. 5.4, удобнее, чем кривыми на рис. 5.3. Ввиду этого следует отдать предпочтение способу расчета конструкции на импульсивные нагрузки по величине импульса (по коэффициенту импульсивности), а не по максимуму кратковременной силы (по коэффициенту дина•мичности). Способ расчета, в основу которого положена формула (5.18), и принимается в дальнейшем за основной. В табл. 5.6 и 5.7 даны значения коэффициентов г к % в зависимости от относительной продолжительности т и формы импульса, которыми следует пользоваться при расчетах. Значения и приводятся только для больших продолжительностей (т2,5), для которых удобно применять также формулу
 (5.17) [1].
 Таблица 5.7
 т — _Е_
 Формы импульсов (рис. 5.2)
 1
 2
 3
 4
 5
 6
 8
 V.
 8
 1 «
 8
 к
 е
 к
 е
 к
 е
 к
 2,5
 0,127
 2,000
 0,135
 1,064
 0,230
 1,808
 0,125
 1,250
 0,144
 1,127
 0,152
 1,191
 3,0
 0,106
 2,000
 0.И2
 1,053
 0,195
 1,839
 0,104
 1,200
 0,117
 1,106
 0,119
 1,125
 3,5
 0,091
 2,000
 0,095
 1,045
 0,169
 1,861
 0,083
 1,167
 0,099
 1,091
 0,099
 1,089
 4,0
 0,080
 2,000
 0,083
 1,040
 0,149
 1,878
 0,071
 1,143
 0,086
 1,080
 0,085
 1,067
 5,0
 0,064
 2,000
 0,066
 1,032
 0,121
 1,900
 0,056
 1,111
 0,068
 1,064
 0,066
 1,042
 6,0
 0,053
 2,000
 0,054
 1,027
 0,102
 1,916
 0,045
 1,091
 0,056
 1,053
 0,055
 1,029
 7,0
 0,045
 2,000
 0,046
 1,023
 0,088
 1,928
 0,038
 1,076
 0,048
 1,046
 0,046
 1,021
 8,0
 0,040
 2,000
 0,041
 1,020
 0,077
 1,938
 0,033
 1,066
 0,041
 1,040
 0,040
 1,016
 9,0
 0,035
 2,000
 0,036
 1,018
 0,069
 1,944
 0,029
 1,059
 0,037
 1,035
 0,035
 1,012
 10,0
 0,032
 2,000
 0,032
 1,016
 0,062
 1,950
 0,026
 1,053
 0,033
 1,032
 0,032
 1,010
 15,0
 0,021
 2,000
 0,021
 1,010
 0,042
 1,966
 0,017
 1,035
 0,021
 1,021
 0,021
 1,004
 20,0
 0,016
 2,000
 0,016
 1,008
 0,031
 1,975
 0,013
 1,025
 0,016
 1,016
 0,016
 1,002
 Действие периодических импульсов, Как
 уже указывалось, при определении движения системы под действием периодических импульсов необходим учет внутреннего трения в системе. Рассмотрим вначале действие периодических мгновенных импульсов [9].
 Применение гипотезы комплексной жесткости для учета частотно-независимого внутреннего трения в задачах о свободных колебаниях диссипативных систем, несмотря на ее недостаток, отмеченный в разд. 3,
 приводит к решениям, согласующимся с результатами опытов. Главным соображением, послужившим к ее применению в этом разделе для решения достаточно сложных вопросов, является сравнительная простота хода решения и получаемых результатов.
 Для решения нестационарных задач более широкого класса в разделе 4 предлагается новая модель внутреннего трения. Уравнение свободных колебаний системы с одной степенью свободы с применением комплексной гипотезы имеет вид (гм. раздел 3).
 74

Рис. 5.4. Коэффициент импульсивности Е для шести кратковременных сил, показанных на рис. 5,2
 тг (I) + (а + )Ь) сг (00, (5.20)
 где гЦ) — комплексное перемещение; / — мнимая единица;
 а — 1 — а2/1 а3, 6 2а/1 + а?,
 а 7/2. (5.21)
 где 7 — коэффициент внутреннего трения. Процесс получения вещественного решения этого уравнения
 г$Кег(0 (5.22)
 изложен в разд. 3. После удовлетворения начальным условиям
 г(0)2о, г (0) щ, (5.23)
 это решение принимает вид [разд. 3, формула (3.28)]:
 -I
 г е “ г.0 с05 р1 + -ь 51П р
 (5.24)
 где р —угловая частота затухающих колебаний системы
 р — Ро /с/т. (5.25)
 V1 + 72/4)
 Подставляя в него начальные данные о0, а050т~\ соответствующие приложению импульса 50 к неподвижной системе в момент 0, получим
 5 ~ р1
 2 — Б “ 51П р . (5.26)
 тК
 В соответствии с гипотезой комплексной жесткости это движение в случае, когда коэффициенты внутреннего трения в разных частях системы одинаковы, можно описывать системой N уравнений вида (разд. 3):
 Для конечного числа /г+1 приложений мгновенных импульсов с периодом Т0 решение строится наложением функций (5.26) с разными началами отсчета времени:
 гп 50//пр 2 е-№Р«-гТ'х
 го
 X 51П р(Ь — гТа). (5.27)
 Здесь гп —перемещение, которое достигается спустя п периодов То, так что время I, отсчитываемое от момента приложения первого импульса, заключено в пределах: пТъ Л (н-Н)Го; «—число повторений импульсов (п0 соответствует однократному импульсу).
 Вводя новое время ('{—пТ0, отсчитываемое от момента (п—пТ0, причем теперь 0 Го, и принимая обозначения:
 п— г —/г; 1']Т± 1\ '
 Т0/Тг — д; 2л0 а'\ 71$ 6', (5.28)
 где — относительное время (О /0); 0 — коэффициент кратности, преобразуем (5.27) к виду:
 гп (5в/тр0) (Ап 51П 2я/ +
 + Вп соз . (5.29)
 Здесь введены обозначения:
 I
 75

к
 соз а' к «я
 А«0
 Ь’г г —пЬ' .
 е соз д. е сое (п 4
 . , , — (п 4 1) Ь’ '
 + 1) а 4- & ера па
 2 (сЬ Ь' — соз а')
 ~ 2 6 ' 5П а ~ й0
 —пЬ' . , , ' .
 51 п а — е 31П (га4- ) Д 4-
 2 (сЬ й' —
 , — (л “|-1) 6 . г
 4- С 51П ГСД
 — соз а’
 (гп)
 макс
 5,,
 тр„
 -VЛ#0 ]/ Л2 + В9У п п
 (5.31)
 1 „ 2Ап-УВп
 р ——. агсщ 2я 2В 4- уА
 ть
 При у 0,1 значение (гп)м акс МОЖНО определить с избытком по формуле
 (п)маК0 УтрУ А1+В1 (5‘32)
 Наибольший максимум устанавливается определением (гп)макс для каждого значения п. Если коэффициент кратности 0 равен целому числу Ы, то наступает импульсный резонанс на частоте собственных колебаний, при котором максимум г„ резко возрастает. Наибольший максимум будет в последнем периоде, он равен:
 5„ — 7/2агс1б2Д
 (гп)маК0- тра
 — упМ (п + 1)
 1 — е
 — уаЫ
 5„ 1-
 тр0
 ■ уяN Сп + 1)
 — 7ЛЛ/
 [ — с
 (5.33)
 Погрешность последней формулы невелика при значениях ■усОД обычных для строительных конструкции. Наибольший из максимумов гп соответствует N1. С увеличением N максимумы гп убывают.
 При достаточно большом п колебания системы, описываемые формулой (5.29), будут практически установившимися. Полагая в формулах (5.30) п-уоо и определяя максимум перемещения, выражаемого формулой (5.29), находим:
 Ъ’Г-
 о
 макс '
 тр0
 У 2 (сЬ Ь' » соз а’)
 (5.34)
 где наименьшее положительное значение величины
 % , агс1§
 2л
 . (5.35)
 ! зш а/ 4- V (с г соз а)'
 Приближенно (при у0,1) 2ыакс равен с избытком:
 (5.30)
 макс
 Ъ'/2
 (5.36)
 тр„
 2 (с 11 Ь' — со5 а')
 При 0Л , где N — целое число, наступает импульсный резонанс. Резонансная амплитуда определяется по формуле — т/2) агсЩ (2/7)
 рез
 При небольшом п формула (5.29) описывает неустановившиеся колебания системы. Максимум гп: ■
 тра
 1 — е 1
 (5.37)
 тр о
 1 —(
 уяЫ
 (5.34) при 0Л ,
 которая получается из или из (5.33) при п-у оо.
 На рис. 5.5 показаны кривые, построенные по (5.36); последовательные резо-. нансные пики соответствуют целым значениям 0 Ы от 1 до 10 и различным значениям у от 0,01 до 0,20, при этом принято 50/тр01 [9].
 Более сложную задачу представляет определение 2маКс при действии кратковременных (немгновенных) периодических импульсов. Ограничимся рассмотрением импульсного резонанса в наиболее важных для практики случаях, когда максимум перемещения от действия одиночного кратковременного импульса наступает после момента его приложения — спустя время (рис. 5.6,а,б), так как при т импульсный резонанс либо слабо выражен, либо практически отсутствует.
 Поставленную задачу можно свести с помощью простого приема к рассмотренной выше задаче об импульсном резонансе при действии мгновенных периодических импульсов. Действительно, при кратковременных импульсах резонанс наблюдается только для целых значений отношения в — То/Тх (рис. 5.6); максимумы перемещений, вызванных отдельными импульсами, достигаются в интервалах времени, в которых силы не действуют (рис. 5.6,6 — д), и поэтому складываются арифметически. Результирующее движение системы в этих интервалах (рис. 5.6, е) представляет собой сумму свободных затухающих колебаний, вызванных действием отдельных импульсов, и его можно воспроизвести, прикладывая мгновенные периодические импульсы эквивалентной величины 50 в моменты времени, сдвинутые на один и тот же промежуток (0

от моментов приложения кратковременных импульсов (рис. 5.6,ж). Задача свелась, таким образом, к определению величин 50 и
 Пусть г0 н Оо — соответственно перемещение и скорость системы в момент исчезновения однократно приложенной в момент 0 кратковременной силы; начиная с момента (т, система совершает свободные затухающие колебания при начальных условиях г(т)2о, г(т)а0, описываемые уравнением
 г (() а0 ё~ р 11 “ г) 81П \р (I — т) + V],
 (5.38)
 где а0
 V ‘“+(т+- Г-
 V агс{§ ■
 +
 (5.39)
 Это же движение можно получить при действии на систему в некоторый момент мгновенного импульса эквивалентной величины 5о (рис. 5.6,ж); оно описывается выражением
 г ({) (50/тр) е" (?/2) ра~ 81П р (I — /0).
 (5.40)
 Из сравнения (5.38) и (5,40) получаем:
 80~ тра0е™12''/; % — (5,41)
 Наибольшее перемещение системы теперь можно снова определять по формулам
 (5.33) или (5.37), для чего надо найти величину эквивалентного мгновенного импульса 50. Формула (5.41) для этой цели, од¬
 накс
 нако, неудобна, так как требует предварительного вычисления значений г0 и о0. Пренебрегая незначительным влиянием внутреннего трения, удобнее применять ранее полученные формулы:
 т
 50 е (т) 5; 5 Р0 [ / ({) М. (5.42)
 о
 Значения 5 (при Р0—1) и е даны в табл. 5.5—5.7.
 Действие ударов. Если масса ударяющего тела мала в сравнении с массой конструкции, воспринимающей удар, расчет конструкции как системы с одной степенью свободы производится на удары так лее, как и на однократные или периодические импульсы. Если же масса ударяющего тела т сравнима с массой конструкции та или больше ее, пренебрегать массой т уже нельзя, а удар следует считать однократным. При этом перемещение системы будет зависеть также и от направления удара по отношению к вертикали. Удар считается прямым и центральным (скорость ударяющего тела направлена в центр масс конструкции нормально к ее поверхности) и по направлению совпадающим с перемещением конструкции. При косом ударе учитывается только нормальная составляющая ударного импульса. Наибольшее перемещение г0, изгибающий момент М0 и поперечную силу Эо в данном сечении можно определять в этом случае по приближенным формулам:
 2о — йд 2С; Мд — йд Мс
 Оо — Йд (Эс,
 (5.43)
 где г0, М с, О с- перемещение н внутренние уснлия в том же сечении при статическом действии вилы т%, приложенной к конструкции в точке удара по направлению удара; к —динамический коэффициент, определяемый выражением
 77

Рис. 5.6. Схема, показывающая возможность замены кратковременных ымпульсоз мгновенными в задаче об импульсном резонансе
 здесь ро—угол между направлением прямого уда ра и вертикалью;
 ер 3/т§ (5.45)
 (е — коэффициент импульсивности, определяемый из табл. 5.6 или 5.7; 5 —ударный импульс, определяемый по формуле (5.3) при йо О; рУ с/пг+ -Ьшо круговая частота собственных колебаний конструкции с присоединенной массой ударяющего тела).
 Если колебания конструкции проверяются по формуле (5.5), в формуле (5.43) должен приниматься вместо коэффициента Ад коэффициент
 кЯ кп'
 5.3. Системы с несколькими степенями свободы
 Действие однократных мгновенных импульсов. Рассматривается система с N сосредоточенными массами ть {к 1, 2,..., ЛГ), каждая из которых может совершать колебания только в одном направлении, так что число степеней свободы системы равно также АЛ К массам в направлениях их перемещений приложены одновременно в момент времени /0 сосредоточенные мгновенные импульсы 5° (к— 1, 2,..., ЛГ), считающиеся положительными, если они направ¬
 лены в сторону положительных перемещений. Импульс считается мгновенным, если продолжительность его действия Не превышает 10 % периода Тя наивысшей учитываемой гармоники системы. Так как движение масс системы представляет собой наложение свободных затухающих колебаний по всем гармоникам, необходимо учитывать внутреннее трение в системе при описании ее движения.
 В соответствии с гипотезой комплексной жесткости это движение в случае, когда коэффициенты внутреннего трения в разных частях системы одинаковы, можно описывать системой N уравнений вида (разд. 3)
 N
 Шк гк + 2 "Ъ Ы)
 г1
 ■кг гг '
 0,
 (6 1,2... А').
 (5.46)
 Действие мгновенных импульсов 5 на систему, неподвижную в момент их одновременного приложения, учитывается в начальных условиях:
 гк (0) 0,
 т гк(0)
 (5.47)
 Здесь г
 (5.48)
 ремещения масс /пк-
 Система уравнений (5.46), если перейти к податливости б&г, примет вид
 21 тг бйт гг + (а +1Ь) гк — °
 где б г — перемещение массы т от статического действия единичной силы на массу тг з направлении колебаний.
 Покажем ход решения системы (5.48) при начальных условиях (5.47). Комплексные перемещения гк представляются суммами
 4 »«♦?.
 а соответствующие им вещественные перемещения 2ь Кег убудут
 м - — о гь 2 г& е 2 1 с05 (Рг ( + (5-50)
 11
 где р •— угловыа частоты собственных затухающих колебаний системы
 р. [1 + (Г/4)]-1'2рО, (5.51)
 Рь— угловые частоты незатухающих колебаний, определяемые из частотного уравнения, соответствующего системе (5.48) при 70 {а 1, 6—0):
 1'Ягв|Р-(р9)»и{,г| 0. (5.52)
 78

Уравнение (5.52) записано в сокращенной форме (выписан общий элемент определителя); к;,г—символ Кронекера (х,-,г 1 при 1 — г и иг,г 0 при 1фг). Так как разница между частотами р-, и р® меньше 1 %, будем для удобства записей считать Р»' Р“.
 Формула (5.50) представляет собой разложение решений диссипативной системы (5.48) по формам собственных колебаний. Для определения постоянных 2цг представим их в виде
 ск Фг& (5.53)
 где ф — коэффициенты форм собственных колебаний консервативной системы, в которую переходит система (5.48) при
 Они удовлетворяют условию ортогональности
 N
 2 т1 Фгт- Ф;й 0, {гфк), (5.54) 11
 условию нормировки
 N
 2«|Ф?й1. ('■ « (5-55)
 [1
 й определяются из N (./V—1) уравнений
 - Р?2тг6.‘Рйг Ч№. (5'56)
 11
 Постоянные уъ. и си можно вычислить из 2Ы уравнений, .доставляемых начальными данными (5.47):
 N
 С05 V. 0, ш. У, С. ф., р. —5; г ’ г к 11к 'г '■
 к1
 (11,2,..., ). (5.57)
 Теперь решение (5.50) полностью определено:
 N V ,
 ■ 1 “ ТГ Р • •
 гк 2л ггй е гг 5Ш р. (к 1,2,..., АО. (5.58)
 гдё г вычисляют по формуле
 (5-59)
 г1
 Изгибающий момент и поперечная сила в точке 6 представляются формулами, аналогичными (5.58):
 N
 Мъ 2 гй е“ Рг г 51П рI 1\ (5.60)
 1—1
 N
 2 (7/2 Рг' (5.61)
 11
 где .М -д,и С? — изгибающий момент и поперечная сила в точке к, соответствующие 1-й гармонике, определяемые по известным перемещениям
 2. во всех точках системы, («■ 1, 2, ... ЛО, которые вычисляются по формуле (5.59) и принимаются со своими знаками.
 Приближенный способ определения наибольших перемещений и внутренних усилий при действии однократных импульсов. Практический интерес представляют наибольший во времени значения г0, М0, 2о, однако обычный метод отыскания экстремума сумм
 (5.58) и (5.60), (5.61), здесь неприме¬
 ним, даже если преодолеть связанные с ним серьезные технические затруднения. Он исходит из предположения, что входящие в решения (5.58) и (5.60) расчетные значения частот собственных колебаний системы в точности совпадают с их фактическими значениями. В действительности же первые неизбежно отклоняются от вторых из-за неточности исходных данных и условности расчетных схем. Учет этих отклонений приводит к смещению в значительных пределах фаз высоких гармоник относительно основной гармоники, которое существенно отражается на величине максимумов 20 и в особенности Мй и 20. Сдвиги фаз гармоник есть случайные величины и поэтому определение максимумов г, М п С} представляет вероятностную задачу. Ее можно упростить, определяя верхний предел вероятных значений г0, Ма, Зо, соответствующий невыгоднейшему сочетанию фаз гармоник. Здесь дается наиболее простой способ оценки верхнего значения максимума суммы затухающих гармоник, вызванных мгновенными импульсами [7]:
 N
 А 2 е~ ( 2 1 5’п Рг (5 ■ 62)
 11
 Если для гармоники номера 7 справедливо неравенство
 | Лд I I 1, (5.63)
 то максимум |Л0| суммы (5.62)' определяется по формуле
 7—1
 11
 + 2 I Аг I №п4 (///,) (5.64)
 [?
 для момента времени (~Т9/4, причем первая сумма представляет собой сумму ординат гармоник в момент о, а вторая — сумму ординат огибающих этих гармоник в тот же момент. Если одновременно несколько гармоник имеют наибольшие одинаковые начальные амплитуды, то Л0 определяют для нескольких соответствующих значений ц и из полученных значений выбирают наи¬
 79

ю
 а)
 Рис. 5.7. Графическая интерпретация приближенного способа оценки с избытком максимума изгибающего момента
 а — затухающие гармоники; б — сумма затухающих гармоник и верхний вероятный предел Ап— — а\ + а2+ Яз воз м ож-
 ного максимума
 большее. Знак Л0 принимается совпадающим со знаком Ач.
 Если 91, что всегда выполняется для перемещений и часто для изгибающих моментов, то формула (5.64) принимает вид N
 Мо I 2 I Л| е~ ('1’я/4 (р 1) ■ (5.65)
 11
 На рис. 5.7 дана графическая интерпретация формул (5.62) и (5.65) при 0,1. Из абсолютных максимумов Л макс и /40 первый определен путем графического сложения гармоник, а второй — с учетом вероятных сдвигов фаз по формуле (5.65) или, что то же самое, путем сложения ординат огибающих аь а2, а3. Применяя к перемещениям (5.58) и внутренним усилиям
 (5.60) и (5.61) формулу (5.65), получим:
 1 1 2 1гЛ|е-(тя/4)
 11 N
 I мп}, | 2|%|Г (7Я/4)(Р. );
 11
 (5.66)
 Если т0,1 Тх, то следует учитывать влияние продолжительности и формы импульса. Ряды для г, М и 2 будут сложнее, в частности, начальные фазы, гармоник уже не будут равны нулю. Однако при описанном выше способе определения максимумов 20, М0 и (2о знать эти фазы необязательно. Если на систему с N степенями свободы действуют кратковременные импульсы, имеющие величины 5Г (г1, продолжительности тг и разные формы, то их можно заменить эквивалентными мгновенными импульсами 3°. для каждой г-й гармоники путем умножения на соответствующий коэффициент импульсивности 8гг, так что 5еГг5г. Тогда вместо (5.59) будет
 N
 ггк (Фгй/Рг) 2 еГг5гфгг. (5.67) г1
 Значения в,г определяют в зависимости от отношения хг/Тг, где Т{—-период ё-й гармоники, и от формы импульса }(() по табл. 5.6 и 5.7, полагая тгт и Тг Ти В соответствии с .рис. 5.6 эквивалентные мгновенные импульсы прикладываются не, в момент /о0, а в моменты соответствующие каждой гармонике. Но, поскольку при определении максимумов г0, Ма и 2„ фазы гармоник должны сдвигаться с целью получения их невыгоднейшего сочетания, следует принять 101 §' В таком случае решения для 2, Ми 1} будут иметь вид (5.58) и
 (5.61) с той разницей, что г,- должны определяться по формуле (5.67). Поэтому все сказанное об определении максимумов г0, М0 и 20 в случае мгновенных импульсов применимо и в этом общем случае.
 Действие периодических импульсов. Решение задачи о действии периодических кратковременных импульсов на систему с несколькими степенями свободы при учете внутреннего трения настолько сложно, что его практическое использование не представляется возможным. Ввиду этого здесь дается приближенная (с избытком) оценка величин наибольших во времени перемещении системы 2од при обычном для практики условии Т0Т2 (Т2 — период второго тона системы).
 Предполагается, что на систему с N степенями свободы действуют в направлении перемещений гь одновременно и синфазно кратковременные сосредоточенные периодические импульсы 5/,, приложенные соответственно к сосредоточенным массам Шк системы и имеющие одинаковую продолжительность г, форму }({) и период Т0. Наиоолыпее во времени перемещение к-й массы системы можно оценивать по приближенной формуле
 го к — 2 о к ,
 (5.68)
 где 2ок соответствует однократному приложению импульсов и определяется по первой из формул (5.66), в которой г{к представляется выражением (5.67). Коэф¬
 80

фициент \Р вычисляется в зависимости от числа повторений п периодических импульсов, отношения Го/Г, и коэффициента неупругого сопротивления у. Если п невелико (неустановившиеся колебания системы), коэффициент гР
 (5.69)
 определяются по формулам (5.30).
 При большом п (установившиеся колебания системы)
 ей'/2
 (5.70)
 У2 (сЬ Ь' — соз а’.)
 Формулы (5.68) — (5.70) тем точнее, чем больше коэффициент у и чем ближе отношение Т0/Т1 к целому числу.
 Действие ударов. Предполагается, что на массу тч действует прямой центральный удар тела (в маловероятном случае, когда удары действуют на все массы системы одновременно, можно применять принцип наложения). Если масса ударяющего тела т мала в сравнении с массой системы т0— N
 %ть, расчет на однократный удар можно к1
 производить по формулам (5.62) — (5.66), а на периодические удары — по формулам
 (5.68) — (5.70), вычисляя величину ударного импульса 5 ,5 по формуле (5.3) и принимая 5(10 при кф\. Если же масса т сравнима с массой /п0 или больше ее (в этом случае периодические удары мало вероятны), перемещение к-й массы системы при однократном ударе можно оценить по формуле
 гок — йд гск»
 (5.71)
 где г — перемещение &-й массы системы при
 статическом действии силы т§, приложенной к
 массе ту в направлении удара; к.д— динамический коэффициент, определяемый по формуле (5.44), в которой
 111 -г У-1 т0 Врх5
 т 4- к2 т0 тц
 1 ■
 й1
 N
 где —перемещение массы под действием единичной силы, приложенной в точке удара О по направленшо удара.
 Все эти формулы тем точнее, чем больше масса т в сравнении с массой та. В случае /пЗ/н0 формула (5.72) переходит в (5.45).
 5.4. Балки и плиты
 Действие однократных импульсов на однопролетные балки. Рассматриваются балки с постоянными по длине жесткостью на изгиб Е1 и интенсивностью массы [х под действием кратковременного импульса 5(д:, I). При первом рассмотрении импульс считается мгновенным, распределенным вдоль оси балки по некоторому закону 80(х). Уравнение колебаний балки при 0 имеет вид (см. раздел 3, (3.24))
 (5.72)
 М-
 (5.74)
 Ему удовлетворяет комплексное перемещение
 2 2 с'с Х1 М е~(Ч/2) ‘ екр 1)’ 11
 (5.75)
 а вещественное 2Кег должно удовлетворять начальным данным
 г(х, 0) 0, (хг (х,0) — з0 (х). (5.76)
 В уравнении (5.75) Рг ■— г-я собственная частота балки с внутренним трением
 Р (1 +• Т-/4)—1/2 Р%
 (5.77)
 • собственная частота балки без учета
 трения
 (5.78)
 Здесь е берется из табл. 5.6 и 5.7, а Р\ вычисляется с учетом массы ударяющего тела: р1 \/УЬт(п+щта). В формуле
 (5.72) Х[ и — коэффициенты приведения масс системы в точку удара, соответственно по кинетической энергии и по количеству движения определяемые выражениями:
 N
 1 тк 6И;
 (5,73)
 Х,(х)—балочная функция, соответствующая 1-й собственной форме:
 Х{ (х) А1 [зт (хП) + Вь зЬ Хг (х/1) + 4- Сг соз (х/1) -Ь О сЬ (х/1)], (5.79)
 удовлетворяющая дифференциальному уравнению
 X
 IV
 (5.80)
 в котором /—пролет балки; Xкорни соответствующего (5.80) характеристического уравнения. Постоянные В СО - определяются из условий закрепления концов балки, постоянную 4- целесообразно определять из условия нормирования балочной функции
 1// 1 1. о
 (5.81)
 6—491
 81

Вещественное решение г имеет вид
 СО
 2 21 о'1Х1(х)е- ?/2 'со5(р.;+ ). 11
 (5.82)
 Подставив (5.82) в (5.76), получим уравнения для определения си \,, первое из которых дает соз V 0, или
 V; (2г— 1/2) я, (5.83)
 а второе с учетом (5.83) имеет вид
 СО
 Iх 2 С\ Рь Хг (х) 8п •
 /1
 Умножив обе части его на Х$(х)(1х, проинтегрировав в пределах от 0 до I и воспользовавшись свойством ортогональности
 I
 \ Х1.Х}ах й, 0 1 (5.84)
 и условием (5.81), получим
 4 (-1)4
 где через с; обозначено выражение
 (5.85)
 сг 1 [ «о (х) Хг (х) ёх. (5.86)
 О
 Подставив (5.85) и (5.83) в (5.82), получим окончательно:
 ОО
 г (х, о “ 2 сг Х-1 (х) е~ р1 5Ш р1
 11
 (5.87)
 Изгибающие моменты М и поперечные силы определяются рядами:
 С.Х'.Х
 11
 X (я) е 0. ( 0
 ■ (Т/2) р. I
 51пр. (■
 (5,88)
 11
 Х(г) в“ '5шр,/.
 В [1] даны таблицы нормированных балочных функций Хг(х) и их производных
 , X (п X ( по х для значений г от 1 до 5 при различных случаях закрепления концов балки.
 Практический интерес представляют наибольшие во времени значения г0, М0 и (Зо; сказанное ранее по поводу их определения справедливо и здесь. Действительно, формулы (5.87) и (5.88) имеют вид формулы (5.62), в которой Л,- принимает теперь значение А1\г0)аХ1 для г0, Д(М0) —Е]с-,Х для Мо и [—/?/сД " для
 Ь. ' I
 (5.89)
 Яа- Если |Л, | |.4,-| (/’1), то для г0, М0 и Со справедливы формулы:
 СО
 ' I го1 2 I с
 11
 ХХг (х) \е~ /4) щрг);
 ОО
 |УИ0| 2 |С,;Х
 11
 X X (X) ) е- ( /4)
 ео
 I Со 1 2 I с,- х
 11
 X X" (X) | С“ №''4 (Р У;
 причем знаки га, М0 и Со принимаются совпадающими со знаками А г0), Ах(Ма) и (Эо) соответственно. Условие А А{ (Ь 1) для 2 справедливо всегда. В случае, если для М и 2 это условие не выполняется, должна применяться формула (5.64).
 Сказанное относится к случаю мгновенного импульса. В случае же кратковременного импульса формулы (5.89) применимы при следующем выражении для се.
 I
 (ч!\Фг) \ 5 () Хг (х) ах, (5.90)
 о
 где 8;е;(т/Г,-)—коэффициент импульсивности для 1-то тона колебаний, принимаемый по табл. 5.6 и 5.7 в зависимости от отношения т/Гг и от формы кратковременного импульса, распределенного по балке по закону б(х). Произведение е;5(Х) представляет собой интенсивность мгновенного импульса, эквивалентного кратковременному импульсу по величине вызываемой им начальной амплитуды 1-й гармоники. Для кратковременного импульса постоянной интенсивности 5 по всему пролету балки формула (5.90) примет вид
 I
 Ч (ег в/м-ад [ Хг (х) йх, (5.91)
 о
 а для сосредоточенного импульса 5, приложенного в точке ло,
 {Ц 5/цфг) Хг {х0). (5.92)
 Ряды (5.89) — сходящиеся. Ряд для го сходится довольно быстро. Ряды для М0 и Со сходятся медленнее, но тем быстрее, чем больше тиун чем ближе закон распределения импульса по балке к основной форме собственных колебаний. В случае одновременного действия на балку нескольких импульсов одинаковой продолжительности, приложенных в разных местах балки, для получения го, Мо и 20 можно применять
 82

принцип' наложения. Эти же формулы можно применять и к балкам с присоединенными сосредоточенными массами, если эти массы предварительно привести приближенными способами к равномерно распределенной для каждого тона колебаний балки [1]. Так как спектр частот конструкций фактически конечен [2, 7], ряды (5.87) —
 (5.89) следует заменять конечными суммами (см. начало раздела).
 Действие однократных импульсов на неразрезные равнопролетные балки. Рассматриваются неразрезные многопролетные блаки на жестких опорах с равными пролетами I и постоянными по длине жесткостью Е1 и погонной массой [х под действием в одном из пролетов кратковременного импульса, распределенного по некоторому закону з(х). Вводятся следующие обозначения: х — абсцисса точки оси балки в данном пролете, отсчитываемая от левого конца пролета; Л/0— число пролетов балки; г 1, 2,А/0 — номера пролетов; / — номер пролета, в котором действует им-пульс. Уравнения колебаний балки с учетом внутреннего трения имеют вид
 ц (д2 г]3 2| + |а + Щ Е1 X
 X ;{Э4 г/и/') 0, (л 1,2,..., Ы0),
 (5.93)
 причем 2гНег должны удовлетворять начальным данным: •
 гГ (х, 0) 0; гт (х, 0) 0, г ф у,
 (хгг (х, 0) 5е (х), г /. (5.94)
 Вследствие аналогии уравнений (5.93) и (5.74) аналогичны и методы их интегрирования. Ниже даются окончательные результаты. Максимальные значения перемещений и внутренних усилий в т-м пролете балки определяются по формулам:
 11
 I мп.
 ■Е11\сгХ , 1
 X х"г (х) | е~ ( 4) Ур1);
 ОО
 10ог1 2 I С,'Х
 /:1
 X Х-Г{х) \е- да/4) {р1,р 1).
 (5.95)
 причем все оговорки, сделанные по поводу формул (5.89), остаются справедливыми и для формул (5.95)I. Балочная функция
 Х (х) в пролете номер г балки для 1-то тона колебаний имеет вид
 Х1т (х) А1т [зш (хЦ) + В1Т зЬ (х/1) +
 + Сг соз %1 (х/1) -]- В(т сЬ %1 (х/1)}. (5.96)
 Постоянные А:г (г1) и Всг, Си, йь определяются из граничных условий , и условий сопряжения на промежуточных опорах; постоянная Ап для каждого г-го тона колебаний определяется из условия нормировки:
 N. I
 2 Г Х%(х)с1х 1. (5.97)
 г1 0
 Таблицы балочных функций для равнОпролётных балок с числом пролетов от 2 до 5 для А/о + 1 тонов собственных колебаний даны в [1]. Параметр с. определяется по формуле
 I
 сг (е/[х/рг) [ 5 (х) Хц (х) йх, (5.98) о
 где 8 определяется, как указано выше. Из
 (5.98) в частных случаях получаются формулы, аналогичные (5.91) и (5.92). Все сказанное относительно сходимости рядов
 (5.89) сохраняет силу и в применении к рядам (5.95).
 Действие однократных импульсов на прямоугольные плиты. Рассматривается прямоугольная плита с постоянными в пролете толщиной к и массой на единицу площади (х под действием кратковременного импульса, распределенного по плите по некоторому закону з (х, у), где хм у — координаты срединной плоскости плиты, отсчитываемые от одного из углов плиты. Уравнение колебаний плиты с учетом внутреннего трения в случае действия мгновенного импульса имеет вид [см. раздел 3. (3.25)]:
 |х (5? г/дй) + О (а + /6) ДДг 0. (5.99)
 Перемещение 2Ее г должно удовлетворять начальным данным:
 г(Х, у, 0)0; [12 (х, у, 0) я0 (х, у).
 (5.100)
 Метод интегрирования уравнения
 (5.99) аналогичен изложенному выше. В окончательном виде решение уравнения
 (5.99) может быть записано по аналогии с
 (5.87) так:
 ОО
 2 (X, у, 0 У сг ( У) е~ Р1 X г1
 X 8111 рг(. . (5.101)
 Здесь Р/(х, у)—г-я форма собственных колебаний плиты. Приближенно ее

Таблица 5.8
 1
 1
 2
 3
 4
 5
 Б
 7
 8
 а
 10
 11
 12
 13
 14
 15
 16
 г
 1
 1
 2
 2
 1
 3
 2
 3
 3
 1
 4
 2
 4
 3
 4
 4
 /
 о
 2
 3
 1
 3
 о.
 3
 4
 1
 4
 2
 4
 3
 4
 можно представить произведением двух нормированных балочных функций, удовлетворяющим условиям закрепления краев плиты:
 раметр с,-, входящий в формулу (5.101), определяется в общем случае (при действии не мгновенного импульса) выражением
 I ь
 Рь (х, у) Хт (х) У] (у). (5.102) с. | 5 (д.; у) Хг (х) У] (у) ах Лу,
 Здесь г, ! — индексы балочных функций А' г(х) и У$(у) отвечающих стержням-полоскам, вырезанным из плиты вдоль осей х и и и имеющим те же условия на опорах, что и соответствующие стороны плиты1.
 Соответствие между номером I частоты колебаний плиты и индексами г и / устанавливается табл. 5.8.
 Балочные функции Хг(х) и У,(у) имеют вид:
 Хт (х) Аг [81П %т (х/1) + Вт X
 X зЬ Хг (х/1) + С,, соз (х/1)
 + Д, сЬ (хИ)]\
 У] (У) ~ А) 7 (У/Ь) +
 + В] сЬ %} (у/Ь) + С] соз (у/Ь) +
 + Я}-сЪХ](у/Ь)],
 (5.103)
 где I и Ь — размеры плиты вдоль осей х е у соответственно; параметры ). г и X} и постоянные В, С и й с соответствующими индексами определяются так же, как и выше. Постоянные А'г и определяются из условий нормировки:
 I Ь
 VI \ Х2рйх1- мь\ у)йу 1. о о
 (5.104)
 Круговые частоты собственных колебаний плиты
 Рг р°/У1+7?/4, р° утщ&.
 (5.105)
 Здесь % \ вычисляется по приближенной формуле (которая для опертой по контуру плиты является точной):
 " т12 + Ь/ ч4; Ц иъ.
 Величины А-4 для плит с шестью различными условиями закрепления на контуре и значений I от 1 до 25 даны в [1]. ГТа-
 0 и
 (5.106)
 где 8- — коэффициент импульсивности, определяемый из табл. 5.6 и 5,7 (а случае мгновенного импульса е-1)
 Для импульса, равномерно распределенного ПО ПЛОЩаДИ ПЛИТЫ (5 СОП5{),
 1 ь
 | Хг {х) йх | (у) йу’ (Б ’107) 1 о и
 а для сосредоточенного импульса 5 в точке (х0, у0) плиты
 ег5
 и,1Ьр.
 Хг(х0)У,(у0). (5,108)
 Для определения максимума во времени перемещения г0 изгибающих моментов Мах и Мау и поперечных сил фо и 20у в точке (х, у) плиты можно пользоваться формулами (5.64) или (5.65), в зависимости от оговоренных там условий. Так, например, при 1/1 эти максимумы можно определять по формуле
 4 Р1
 (5.109)
 1 Для опертой по контуру плиты такое представ-
 ление будет точным.
 м„| 2 м
 11
 причем выражение Аг зависит от определяемой величины:
 (2о) — сг Хт У у,
 + оХгУ]Ь
 АЛМ,у)~ОфгУ)Л
 + аХ"гУ1); (5.110)
 +КуЪ
 (2ог/)
 -осЛхгу-+х;у .
 Штрихом обозначена операция дифференцирования функций Хг или У,- соответ-
 84

ственно по переменной х или у. Подробные таблицы балочных функций и их производных приведены в [1].
 Действие периодических импульсов. Использование точного решения задачи о действии периодических кратковременных импульсов на балки и плиты при учете внутреннего трения для практических расчетов не представляется возможным вследствие его сложности и громоздкости. Здесь приводится приближенный способ оценки с избытком величин наибольших во времени перемещений 20, изгибающих моментов М0 и
 поперечных сил фо- Предполагается, что на балку или плиту действуют кратковременные периодические импульсы, распределенные в пролете балки или плиты по некоторому закону з(х) или з(х, у), имеющие форму [(I), продолжительность т и период Т0. Приближенный способ оценки максимумов г0, М0 н (2о исходит из условия, обычно выполняющегося на практике, что ТаТ2, где Г2 —период собственных колебаний балки или плиты по второму тону.
 Для оценки значений 20, Л!0 и 30 в любом сечении балки или плиты можно применять приближенные формулы:
 г~20Т; Й0 АвТ; 530 , (5.111)
 где 2а, М0 и С?о соответствуют однократному приложению импульса и определяются для однопролетных балок по формулам (5.89), для неразрезных равнопролетных балок по формулам (5.95), а для прямоугольных плит по Формулам (5.109) н (5.110).
 Коэффициент Ч1, вычисляется для периодических импульсов при небольшом числе повторений п по формуле (5.69), а при большом числе повторений по формуле (5.70). Формулы (5.111) тем точнее, чем ближе закон распределения импульса по балке или плите к первой форме собственных колебаний, чем больше у и чем ближе отношение Го/71 к целому числу.
 Действие ударов. Предполагается, что на балку или плиту действует прямой сосредоточенный удар тела в точке 0(х0) балки или в точке О(х0, у0) плиты. Если масса ударяющего тела т мала в сравнении с массой т0 балки или плиты, их расчет на однократный удар можно производить соответственно по формулам (5.89),
 (5.95) и (5.109), а на периодические удары— по формулам (5.111), определяя величину ударного импульса по формуле (5.3) и принимая для а выражения (5.92) для балок и (5.108) для плит. Если же масса т сравнима с массой т0 или больше ее (в этом случае периодические удары маловероятны), максимальные во времени пере¬
 мещения и внутренние усилия в балках или плитах можно определять по . приближенным формулам (5.43), (5.44) и (5.72), в которых коэффициенты X) и х2 будут представлены следующими выражениями.
 1. Для однопролетных балок с распределенной и сосредоточенными массами:
 б2
 Ц/ Х0
 ~~ т 9 “1"
 ”4 л
 00
 (Г
 йх +
 (5.112)
 к-1
 где ц/— равномерно распределенная масса; т — сосредоточенная масса; то—цг+Зш — полная масса; бжо—перемещение точки х балки от единичной силы, приложенной в точке удара 0(хо) в направлении удара; бю — перемещение точки удара О(хч) от той же силы; N — число сосредоточенных масс на балке.
 Значения интегралов, входящих в формулы (5.112), даны в [1].
 2. Для неразрезных балок с распределенной и сосредоточенными массами и числом пролетов ]У0:
 IV о ‘Т
 Х'М' Г
 то }
 Г1 0
 хО
 боо
 ахТ+
 +
 к1
 тобю
 ЛГ„
 Г1
 хО
 Но
 4х„ +
 (5.113)
 N
 явк т°
 к1
 где и г /г— равномерно распределенная масса в пролете номер г; — сосредоточенные массы,
 А'о М
 число которых равно ЛГ; гт— 2 ц. Етпь“пол-
 г1 т г /е—1 й • ная масса балки; хг~ абсцисса точки оси балки в пролете г, отсчитываемая от левого конца пролета длиной I г- & —перемещеРие точки с абсциссой л'г от-единичной силы, приложенной в точке удара О в направления удара. Остальные обозначения прежние. Значения интегралов, . входя-
 85

I Ъ
 6х йу~
 ёх ёу 4-
 к1
 щнл в формулы (5.113), для равнопролетных балок с опертыми концами при р?1|х даны в [1].
 3. Для прямоугольных плит с распределенной и сосредоточенными массами:
 (5.114)
 где \йЬ — равномерно распределенная масса; т0 N
 ц1Ь+ — полная масса; бху0~ перемеще¬
 ние точки плиты с координатами х, у от единичной силы, приложенной в точке удара 0(хо, г/о) в направлении удара: остальные обозначения прежние. Формулы (5.112)—(5.114) тем точнее, чем больше масса ударяющего тела т в сравнении с массой ти.
 РАЗД ЕЛ 6
 РАСЧЕТ ФУНДАМЕНТОВ ПОД МАШИНЫ С ДИНАМИЧЕСКИМИ НАГРУЗКАМИ
 (О. А. САВИНОВ, В. А. ИЛЬИЧЕВ)
 6.1. Общие сведения
 Динамические нагрузки на фундаменты. Неуравновешенные силы инерции возникают при работе большинства современных машин, устанавливаемых в промышленных зданиях на отдельных фундаментах. В расчетах фундаментов под машины эти силы, т. е. динамические нагрузки, должны учитываться в тех случаях, когда они могут вызвать опасные для здоровья людей, недопустимые по условиям прочности и устойчивости строительных конструкций или вредные для работы промышленного оборудования вибрации фундаментов и зданий.
 Сведения о динамических нагрузках от машин, как правило, должны включаться в состав задания на проектирование фундаментов. При отсутствии этих сведений динамические нагрузки определяются по СНиП П-19-79 [17] или инструкции [13].
 Типы конструкций фундаментов под машины. Фундаменты под машины с динамическими нагрузками делятся на два основных типа — массивные и рамные.
 К особому типу относятся вибронзолированные фундаменты; такие фундаменты обычно проектируют массивными, с введением между машиной и фундаментом виброизоляторов в виде стальных пружин или прокладок из резины, пробки и т. д. Вопросы расчета виброизоляции машин с динамическими нагрузками рассматриваются в разделе 15.
 Как массивные, так и рамные фундаменты могут быть, отдельными для каждой машины или групповыми, на которых устанавливают по несколько машин.
 Массивные фундаменты, применяемые для установки машин всех видов, проектируют блочными или стетатьши. В первом случае верхняя часть фундамента представляет собой слабоармнрованный блок сложной формы (зависящей от особенностей компоновки н габаритов машины), во втором случае основу конструкции верхней части составляют продольные или поперечные стены, связываемые поверху промежуточными элементами — балками, плитами и т. п. Нижняя часть массивного фундамента обычно представляет собой толстую плиту, прямоугольной подошвой опирающуюся на естественное основание или на сваи.
 Конструктивные формы рамных фундаментов, применяемых главным образом для установки машин с равномерным вращением масс, разнообразны. Для большинства рамных фундаментов характерно наличие верхней части в виде пространственной многостоечной жесткой рамы, стойки которой заделаны в мощную опорную плиту или ростверк, состоящий из системы перекрестных лент. Встречаются случаи, когда фундаменты (например, под трубчатые мельницы или вращающиеся печи) проектируют в виде ряда поперечных П-обрааных рам, опирающихся на отдельные пли¬
 86

ты..; Горизонтальные элементы верхнего строения рамных фундаментов (поперечные и продольные по отношению к оси вала машины ригели) образуют площадку для установки и обслуживания машины.
 До 1950 г. фундаменты под машины с динамическими нагрузками проектировались только из монолитного железобетона. В 50-х годах начали использовать для устройства таких фундаментов сборный железобетон, и в настоящее время существуют и успешно эксплуатируются сотни сборных и сборно-монолитных фундаментов под турбоагрегаты, прокатные станы, дробилки и многие другие виды машин [1, 15].
 Требования к фундаментам под машины. Конструкции фундаментов под машины с динамическими нагрузками должны отвечать не только обычным требованиям, предъявляемым к конструкциям, несущим статические нагрузки, но также и условию недопустимости возникновения вибраций, которые могут препятствовать нормальной эксплуатации самой машины или вызывать недопустимые вибрации конструкций окружающих зданий. В соответствии с этим в расчетах фундаментов под машины учитывают два предельных состояния: первое — по несущей способности основания, а такта б л и ц а 6.1
 же по прочности и выносливости конструктивных элементов фундамента; второе—по колебаниям фундамента от действия динамических нагрузок.
 Расчет по несущей способности основания производят при проектировании фундаментов под все виды машин. При этом среднее удельное давление рср на основание фундамента от действия всех нормативных статических нагрузок должно соответствовать условию
 рсрСт/м#, (6.1)
 где Я — расчетное давление на основание, определяемое по СНиП П-15-74; пищ — коэффициенты снижения расчетного давления, принимаемые по СНиП П-19-79 [17].
 Внецентренность приложения равнодействующих статических нагрузок в расчетах по несущей способности основания не учитывается, поскольку эксцентрицитеты более 3 % (от соответствующего размера подошвы) для грунтов с нормативным давлением до 1,5 кгс/см2 и 5 % для более прочных грунтов не допускаются.
 На прочность и выносливость рассчитывают только отдельные элементы конструкции фундаментов (ригели, балки, плиты), работающие на изгиб.
 Машины
 Число оборотов в 1 мин
 лд'
 мм
 Моторгенераторы и другие низко¬
 До 500
 0,
 2
 частотные электрические машины
 500-750
 0,10
 Более 750
 0,1
 Первая гармоника
 Вторая гармоника
 Машины с кривошипно-шатунными
 До 200
 0,25(03)
 0,15
 механизмами
 200-400
 0,25—0,-15
 ОД
 400—600
 0,15—0,-1
 0,07
 Более 600
 0,1
 0,05
 Дробилки (щековые и конусные)
 До 300
 0,30
 Кузнечные молоты
 1
 2
 Значение А д 0,30 относится к фундаментам высотой более 5 м.
 При возведении на водонасыщенных песках принимается А д О.8 мм.
 Учет динамических воздействий в общем случае производят по формуле
 А « Ад, (6.2)
 где .4 — наибольшая амплитуда колебаний верхней грани фундамента, определяемая по расчету (см. и. 6.2); А д—предельная допускаемая амплитуда.
 . Численные значения Ая для фундаментов под машины различных видов приведе¬
 ны в табл. 6.1. Помещенные в таблице нормативные данные установлены для тех случаев, когда обслуживание машины во время ее эксплуатации не требует длительного пребывания людей на фундаменте. В противном случае при проектировании фундаментов должны учитываться требования санитарных норм и правил по ограничению вибраций рабочих мест. Для этого необходимо либо снижать до допустимо¬
 87

го по указанным нормам предела величину Лд, либо прибегать к устройству пассивной виброизоляции рабочих мест.
 Расчеты осадок фундаментов под машины с динамическими нагрузками обычно не производятся. В необходимых случаях для определения осадок следует пользоваться указаниями СНиП Н-15-74 (см. так»се[2]).
 6.2. Расчет массивных фундаментов
 Постановка задачи. Способ динамического расчета массивных фундаментов основан на двух упрощающих допущениях:
 1) фундамент вместе с установленной на нем машиной рассматривается как абсолютно жесткое тело;
 2) основание фундамента считается идеально упругим или упруговязким и невесомым.
 Введение первого из этих допущений оправдывается тем, что размеры тел машины и фундамента малы по сравнению с размерами активной зоны основания, тогда как величина модулей упругости бетона и стали на несколько порядков превосходит величины модуля упругости нескальных грунтов. Таким образом, жесткость машины и массивного фундамента настолько превышает жесткость основания, что их упругими деформациями при колебаниях можно пренебрегать без существенного ущерба для точности расчета. Возможность и целесообразность введения первого допущения для обычных массивных фундаментов из монолитного бетона или близких к ним. по типу сборных фундаментов из массивных надежно замоноличенных блоков была подтверждена экспериментально [2, 6]. Однако дальнейшее распространение сборного железобетона может привести к появлению конструкций, состоящий из относительно тонких стен и плит, влияние упругости которых необходимо будет учитывать в динамических расчетах.
 Согласно второму допущению менаду перемещениями, скоростями перемещений фундамента и реакциями упругого основания (рис. 6.1) существует линейная зависимость:
 Яг — Кг 2о 4“ Вг 20;
 Ях — КХХ0 + Вхх0;
 Мя
 МхОу /М + 5Л’
 (6.3)
 277. \77.
 Рис. 6.1. Расчетная схема массивного фундамента
 где #2и Ях —‘соответственно вертикальная и горизонтальная составляющие равнодействующей реакций упругого основания; МЗС02,_ мо¬
 менты реактивных пар, действующих в плоскостях хОг и хОуш, га, — соответственно вертикальное и горизонтальное перемещения центра подошвы фундамента; фо, "фо — углы поворота фундамента в плоскостях хОг. н хОу\ К2. Кх, Кф и К коэффициенты жесткости упругого основания; В $ В , В , В. — коэффициенты демпфи-
 2 X Ф 'Р рования основания.
 Опыты показали, что если коэффициенты Кг, Кх, Кф и К,|, подобраны правильно, то расчеты, базирующиеся на втором допущении, дают близкие к действительности результаты. Методика определения этих коэффициентов и необходимые справочные данные приводятся в 6.4. Поскольку в расчетах не учитывается влияние инерции грунта, коэффициенты следует рассматривать лишь как условные расчетные характеристики основания, зависящие не только от упругих, но и от инерционных его свойств.
 В послевоенные годы в Советском Союзе и за рубежом были предприняты попытки исследования задачи о колебаниях фундамента, опирающегося на упругое инерционное полупространство. Сейчас получены решения этой задачи для некоторых частных случаев: работы О. Я. Шехтер [19], Н. М. Бородачев [3, 4],
 В. А. Ильичев [7—9]. Завершение исследовании позволит отказаться от второго допущения и разработать более строгие методы динамического расчета массивных фундаментов, чем применяемые в настоя- ' щее время.
 В проектной практике для расчетов массивных фундаментов используют приводимые ниже формулы. При этом предполагается, что одна из главных осей инерции фундамента вертикальна и проходит через центр тяжести площади подошвы, а две другие параллельны главным осям этой площади (см. рис. 6.1). В реальных фундаментах эти условия часто не соблюдают¬

ся; в практических расчетах влиянием тех или иных отклонений в положении главных осей от указанного принято пренебрегать. Для всех рассматриваемых случаев даны уравнения колебаний центра тяжести фундамента и в необходимых случаях — углов поворота в соответствующих плоскостях.
 Пользуясь этими уравнениями, искомую величину наибольшей амплитуды колебаний верхней грани фундамента, вводимую в основную формулу (6.2), либо берут непосредственно из уравнения (например, при вертикальных колебаниях), либо определяют путем сложения составляющих колебаний различных видов. Для некоторых наиболее часто встречающихся случаев приводятся соответствующие примеры.
 Вывод приводимых в настоящем разделе формул можно найти в работах [2, 16].
 Условные обозначения: О, т — вес и масса фундамента; 0 — момент инерции этой массы относительно оси Оу, проходящей через центр тяжести тела; 0О — то же, относительно главной оси Оуа площади подошвы, параллельной оси Оу; у0/0о — отношение моментов инерции; 02 — момент инерции массы фундамента относительно оси Ог; |г, %х, 1 ф—коэффициенты от¬
 носительного демпфирования грунтов основания; — круговая частота собственных вертикальных колебаний фундамента; Яф — то же, вращательных колебаний относительно вертикальной оси; Я1, — соответ¬
 ственно первая и вторая круговые частоты главных горизонтальных и вращательных колебаний фундамента в плоскости хОг (см. рис. 6.1); х, у, г — перемещения центра тяжести фундамента; ф, тр —углы поворота в плоскостях хОг и хОу (рад); Аг, Ах — амплитуды колебаний центра тяжести фундамента; Акг, Акх — то же, любой точки к фундамента; Лф , А - амплитудные значения углов поворота фундамента в плоскостях хОг и хОу (рад). Остальные обозначения указываются в пояснениях к формулам и на расчетных схемах.
 Свободные колебания фундаментов. Круговые частоты (в рад/с) собственных колебании фундаментов без учета неупругих сопротивлений и рассеяния энергии в основании определяют по формулам:
 Я2 V Кг1т ; (6.4)
 Я1.2|/
 т V+ Яф)2- ф] • 6-5
 Ъ-х УКх/т ;
 О 0,2 ОД 0,6 0,8 На1а
 Рис. 6.2. Графин для определения коэффициента
 Ко
 ~ У(«ф У 1|)
 (6.6)
 Для приближенного определения частоты может служить формула
 -1 (6.7).
 где — коэффициент, определяемый по графику (рис. 6.2).
 Случай 1. Свободные вертикальные колебания фундамента:
 а) без учета затухания:
 г Аг 81П (Хг I + б); (6.8)
 здесь:
 Аг V 2о + ( РогЛг)
 ёб (г0Яг/Ч2), (6.9)
 где го, V 02 — соответственно начальное смещение н начальная скорость движения фундамента.
 При центральном ударе начальное смещение фундамента г0 равно нулю и формулы (6.8) и (6.9) приобретают вид:
 г Аг 51П %г 1\ (6.Ю)
 Аг ьог1\г. (6.11)
 б)' с учетом затухания (при г00):
 °02 “ 2 К
 г —— е г г 31П XI, (6.12)
 X' 2
 г
 К кУ1- к• блз
 гг У г г 2т%г
 В расчетах фундаментов под машины ударного действия предполагается, что продолжительность удара мала по сравнению с периодом 7,г2яДг собственных колебаний фундамента, в этом случае
 (1 + Е, Ги' Ш4)
 т0 "7“ т
 где то — масса ударяющего тела; V — скорость его движения в момент удара; 8 — коэффициент восстановления скорости, зависящий от свойств материалов соударяющихся тел.
 Формулы (6.10) — (6.14) используют в частности для расчета на колебания фундаментов под кузнечные молоты. Если под-
 89

ставить в формулу (6.11) значение Уол определяемое формулой (6.14) и произвести в полученном выражении преобразования, [11], получим формулу для определения максимальной амплитуды колебаний фундамента под молот. В СНиП И-19-79 дана аппроксимация этого выражения в виде
 (1 + Е) и(?о
 Здесь
 А, •
 (1 + 1.676)» О ’
 (6.15)
 где Оцтаё — вес, тс, падающих частей молота;
 О — общий вес, тс, фундамента, шабота, станины н засыпки грунта над обрезами фундамента; — коэффициент жесткости основания, тс/м; и —скорость в м/с движения падающих частей в момент удара; 5 — коэффициент относительного демп¬
 фирования.
 Значения коэффициента восстановления скорости е в расчетах фундаментов под кузнечные молоты принимаются равными:
 а) для штамповочных молотов: е
 0,5 — при штамповке стальных изделий; е0 — при штамповке изделий из цветных металлов;
 б) для ковочных молотов — 0,25.
 Скорость определяется по формулам:
 а) для молотов одиночного действия
 о0,91/2§Я; (6.16)
 б) для молотов двойного действия
 V о,В5
 ±Е1н
 (6.17)
 "о Ш0г / 51П I 51П Яг ч-ч
 ф.
 02 Г / 12
 (6.18)
 О (1 + Е)
 1+— + —
 т, 4
 туе (1 Е)
 (е — расстояние между вертикальной центральной осью и вертикалью, проходящей через точку удара).
 Случай 2. Свободные (без затухания) колебания фундамента под действием центрального удара, наносимого по шаботу, опирающемуся на фундамент через упругие прокладки (рис. 6.3)1:
 где р — давление пара или воздуха в цилиндре; — площадь поршня; Н — высота падения.
 В расчетах массивных фундаментов копров для разбивки металлического скрапа коэффициент восстановления скорости в принимают равным нулю, а скорость V —
 У~2вН-
 В расчетах фундаментов под машины ударного действия небольшой мощности (с энергией удара не более 2 ТС'М) формулами (6.10) — (6.15) можно пользоваться не только при центральном, но также при внецентренном ударе. Для расчета фундаментов более мощных машин на действие внецентренного удара, а также для расчета фундаментов на действие горизонтально направленных ударов ниже даются необходимые формулы (без учета затухания).
 При внецентренном ударе:
 ■ 51п % 1.;
 -
 V
 ■ЧЖ-
 ■?)
 г8 ■
 К. - К
 51П I ■
 (6.19)
 5Ш Я,» I
 Ч.-/
 (1 + а:( А? + %2Ш)
 V
 (6.20)
 КЛт1 + т2); (6‘21)
 а т 1т2', (6.22)
 1 + е
 ш /?г„ + т1
 Пользуясь формулами (6.19) и (6.20), можно подсчитать динамическое давление на прокладку:
 а —- (г- — гг).
 Г,
 (6.24)
 При проектировании фундаментов под молоты формулами (6.19)—(6.24) следует пользоваться только в тех случаях, когда по каким-либо причинам необходимо получить уточненное представление о поведении фундамента, например в случаях применения необычных материалов для подшаботной прокладки. Как правило, амплитуда колебаний фундамента под молот определяется по формуле (6.15). Динамическое давление а на деревянную подшаботную прокладку при этом определяют по приближенной формуле
 90

Рис. 6.3. Схема фундамента под молот с шаботом, опирающимся на упругую прокладку
 V у сцЗ рг Ь ,
 где Со — действительный вес падающих частей молота, тс; о — скорость их движения, м/с. определяемая по формулам (6.16) и (6.17); Е—модуль упругости материала прокладки, тс/м2; О, — общий вес шабота я станины для штамповочных молотов и вес шабота для ковочных тс; Р\ Ь'— соответственно опорьаг, плогзздь, м-, и толщина м, подшаботной прокладки.
 Вынужденные колебания фундаментов под действием периодических сил. Случай 3. Вынужденные вертикальные колебания фундамента под действием центрально приложенной вертикальной силы Рг
 — Р °) 8Ш
 г
 а) без учета неупругих сопротивлений и рассеяния энергии в основании:
 г Аг 5Ш и/;
 р(0)
 2
 (6.26)
 (6.27)
 б) с учетом неупругих сопротивлений и рассеяния энергии в основании по гипотезе
 Фойгта:
 р(0 г
 Аг 5Ш (со/ + б);
 (6.28)
 +4Ю
 (6.29)
 (6.30)
 Случай 4. Вынужденные горизонтальные и вращательные колебания фундамента в плоскости хОг под действием пары сил с моментом Л!М° 5т(сог!+б1), действующей в этой плоскости (без учета нёупругих сопротивлений и рассеяния энергии) :
 х — Ах зт (а( + (6.31)
 Ф :
 Лф 51Г1 (И/ + бх)
 где
 ♦г
 Рис. 6.4. Схемы к расчету фундамента на действие горизонтальной возмущающей силы
 д.
 6.32)
 (6.33)
 (6.25) Здесь
 (6.34)
 Частоты Л) и определяют по формуле .(6.5).
 Случай 5. Вынужденные горизонтальные и вращательные колебания фундамента в плоскости хОг (рис. 6.4) под действием горизонтальной силы Рх Р(Х0 5ш((о?+б2), действующей в этой плоскости (без учета неупругих сопротивлений и рассеяния энергии)1:
 Лжзш (сй + ба);
 ФЛф51П(й/ + 62);. (6.35)
 1 + (1-7).А+У
 р(0) Йо 5,2 л2
 А„
 К„
 Я° (Й + Л
 А.
 (6.36)
 (6.37)
 Значение Д] определяют, как и в предыдущем случае, по формуле (6.34).
 Определение амплитуд горизонтальновращательных колебаний фундамента с учетом влияния неупругого сопротивления и рассеяния энергии в основании производят по формулам СНиП Н-19-79.
 Случай 6. Приближенный прием определения амплитуд горизонтальных и вращательных колебаний фундамента в плоскости хОг, рекомендуемый для расчета фундаментов низкочастотных машин.
 1 Соответствующие этому случаю формулы, построенные с учетом влияния неупругих сопротивлений и рассеяния энергии в основании, можно найти в работе А. Д. Конднна [11].
 ■ 91

При действии пары сил:
 Л4° (Л + Л„)
 П 51п Ш1 + бо; (6.38)
 ф (М(0/ ф} Т1 51П (Ш + 6 . (6.39) При действии горизонтальной силы:
 М (Н + Й.Л П/Э0} з!п ,а1 + в Ч; (6.40) к? )
 (Л + Ло)
 • П 51П (Ш 4“ б2). (6.41)
 где _ коэффициент динамичности, определяемый из выражений: без учета неупругих сопротивлений
 •П 1/[1 — (со2/ )];
 с учетом неупругих сопротивлении 1
 п ■
 (6.42)
 (6.43)
 р(0)
 г
 М1-
 ■(в1
 51П О/ -
 51П %г /
 при ;»То
 2\ — 2
 р(0)
 г
 5111 — 8Ш (% I -1- 6),
 2 СО 42 '
 Уравнения движения тела имеют вид: при /То
 + “
 Л10) Ло 1
 1-(-/•!) .
 5Ш / +
 VI.
 ■(
 ■ 51Г1 Я» / + 5Ш СО
 (6.47)
 ф -
 /(-тГ+4КГ
 Частоту Х\ для рассматриваемого случая определяют по приближенной формуле (6.7).
 Некоторые практически важные случаи расчета массивных фундаментов на действие кратковременных нагрузок. Случай?. К фундаменту приложена сила, направленная по оси Ог и меняющаяся по закону РгР(°51П но действующая не непрерывно, а в течение промежутка времени 1 Тоя/ш.
 Уравнения движения фундамента в этом случае имеют вид:
 при 0 то
 (6.44)
 м(° 1 Д,
 1 —-
 К
 -Ж)
 /
 '-511Л1Н
 (-■?)
 5,2
 51П я, I +
 + 1
 5Ш Ю/
 (6.48)
 при /То '
 — 3 8'п ( 1 { + 64) + А4 51П ( ,2 { + 63);
 ф1 1Г I1 “ (!/■)] V1" (Х11 + б4) +
 +Т I1 ~ ( ЭД] \ 5!Г1 ("2 ' + бв)' 6-49)
 где Д3р Л4. б4 и 65 — постоянные, определяемые из условий:
 М/ти " [1]/ти» ]
 [ [А:х1 гх„;
 [ф] , 1 ;
 [ф]-Т. [ф1] (6.50)
 )
 (6.45)
 где 6 фазовый угол, определяемый из условия
 51п /-2- Я + б \ 52— 51П — — . (6.46)
 \ ш / \ 2 ш
 Случай 8. К фундаменту приложена пара сил, действующая в плоскости хОг и меняющаяся по закону ММ°) 5т со , продолжительность действия пары сил равна: т0я/со.
 Для ориентировочных подсчетов можно пользоваться приближенными формулами, не учитывающими влияние инерции вращения фундамента: при 0?«т0
 51П И? 51П Я, I
 М(0 К,
 ф « _ — ; (6.51)
 к,
 ■ф
 при
 Ф1
 ,п. —— С05 -Я 1 51П (X! + б)
 2 М(°) х1 2и /СФ 1 — ( “2А2);
 . (6.52)
 1 К такому графику в ряде случаев целесообразно приводить кратковременные нагрузки, возникающие, например, при штамповке изделий, быстром опорожнении (выхлопе содержимого) некоторых химических аппаратов и т.п.
 Фазовый угол б, как и в предыдущем случае, определяется по формуле (6.46). Смещения крайней точки верхней грани фундамента равны:
 в йф ф; гв аф; (6.53)
 1в — ф Фь г1в — аФ1 (6.54)
 92

Рис. 6.5. График изменения во времени Ератковременных периодических сил
 Случай 9. В расчетах фундаментов под генераторы разных мощностей встречается случай, когда продолжительность действия пары составляет не я/ш, а пп/а, где п — целое положительное число. В этом случае колебания фундамента для интервала 0?/гя/ш' определяются выражением
 (6.53), а для (‘спзх/ш — по формулам: при я1, 3, 5,...
 Фг
 2Л1°
 X С05 — 51П I + б);
 (6.55)
 при 11 2, 4, 6, ... 2АГ°
 Ч1
 'чр 1 — со2Д |
 . пЛ 1 те , . _
 X 51П 51П (ЯХ + б).
 СО 2
 (6.56)
 Случай 10. На фундамент действует' центрально-приложенная вертикальная нагрузка, изменяющаяся во времени по графику, представленному на рис. 6.5.
 В этом случае максимальная амплитуда вертикальных колебаний фундамента может быть определена по формуле
 Ко
 гмакс д- П2.
 (6.57)
 где Т] 2—коэффициент динамичности, определяемый: при %г/2п0,7В по "Табл. 6.2 (с учетом затухания); ■ при 1 п’кг/2п0,75 по приближенной формуле (6.58).
 Формула для определения т]г при Лг/2ж0,75 имеет вид
 Т7,
 § соз —- —-
 2 2
 + 1 — I 51П -
 (6.58)
 ГДе Ту Тп—$п г И —Я/Ту.
 Подсчеты показывают, что при т„/2я— 71Яг/2п0,5 формула (6.58) может быть упрощена:
 ЛТ71
 —— 4- 1 - -
 2т „
 (6.59)
 2 1-
 Формулы (6.57) — (6.59) и табл. 6.2 предназначаются в основном для расчета фундаментов под встряхивающие и вибра-
 Таблица 6.2
 0,75
 1,0 (резонанс)
 1,5
 2,0 (резонанс)
 2,5
 V'»
 1
 2
 0,1
 0,2
 0,1
 0,2
 ОД
 0,2
 0,1
 0,2
 0,1
 0,2
 1/4
 0,40
 0,34
 1,44
 0,88
 0,75
 0,60
 1,64
 0,90
 1,00
 0,90
 1/3
 0,50
 0,44
 1,66
 0,80
 0,84
 0,80
 1,90
 1,00
 1,00
 0,80
 1/2
 0,60
 0,54
 2,48
 1,00
 0,96
 0,86
 1,56
 0,90
 0,90
 0,80
 ционно-ударные столы, применяемые в литейном производстве, в промышленности сборного железобетона и т. п. Параметры Во, {у и 1п нагрузки для этих машин определяют по формулам:
 а) низкочастотные кулачковые встряхивающие столы со свободным падением движущихся частей
 Я. ~ У20о Со п » ~ к1Х0’,
 {п 2я/(й, (6.60)
 где Со — полный вес падающих частей; И д—высота падения; СйЕРЦ) — коэффициент жесткости упругой прокладки (Е — модуль упругости; Ь — толщина прокладки); Ло — V§Сц{Сц — частота -собственных колебании падающих частей на про¬
 кладке; соПо/9,55 — угловая частота ударов (по— число ударов в минуту);
 б) виброударные столы на упругих прокладках
 Во ~ (ял0/со) 0; {у тс/А. (п 2я/со, (6.61)
 где О — равнодействующая всех постоянных сил, приложенных к подвижной раме стола (включая ее собственный вес, вес изделия с формой и в необходимых случаях усилие в пружинах, прижимающих подвижную раму к фундаменту).
 6.3. Расчет рамных фундаментов
 Рамные конструкции фундаментов под машины получают все более и более широкое распространение, так как они отлича¬
 93

ются экономичностью; обеспечивают наиболее удобные условия для размещения и эксплуатации машин и могут легко выполняться в сборном железобетоне. Если до середины 50-х годов такие -фундаменты устраивались почти исключительно под турбоагрегаты и крупные электрические машины, то в.настоящее время на них устанавливаются тяжелые дробилки (щековые и конусные), трубчатые мельницы, вращающиеся электропечи и другие неуравновешенные машины. Эти машины различны по виду и интенсивности динамических нагрузок, передаваемых на фундаменты, что обусловливает существенные различия в подходе к динамическому расчету их фундаментов.
 Машины, устанавливаемые на рамных фундаментах.
 Турбогенераторы и другие высокочастотные машины с вращающимися роторами (турбокомпрессоры, турбовоздуходувки, газовые турбины) характеризуются высокой степенью уравновешенности (возникающие при их нормальной эксплуатации центробежные силы инерции не превосходят 0,2 веса вращающихся частей). Рабочие числа оборотов этих машин обычно составляют 3000 в 1 мин и во всяком случае не бывают ниже 1500 в 1 мин, тогда как частоты основного (низшего) тона собственных колебаний железобетонных рамных фундаментов под турбогенераторы, по данным непосредственных измерений, не превышают 800—1000 кол/мин.
 При таком соотношении частот появление резонансных колебаний с основной частотой в эксплуатационных условиях для этих фундаментов невозможно, чем, по-видимому, и объясняется тот факт, что практика эксплуатации турбинных установок не знает случаев появления недопустимых вибраций, которые были бы вызваны неудовлетворительной работой фундамента. В связи с этим нормы [17] не рекомендуют производить динамические расчеты рамных фундаментов под высокочастотные машины.
 Моторгенераторы и другие крупные низкочастотные электрические машины также относятся к типу наиболее хорошо уравновешенных машин. Однако число оборотов этих машин (200—1000 в 1 мин) лежат в том же диапазоне, что и частоты собственных колебаний основного тона железобетонных рамных фундаментов. Поэтому в практике нередки случаи сильных (резонансных) колебаний рамных фундаментов под мотор-генераторы. При этом имеются в виду только горизонтальные и враща¬
 тельные колебания; вертикальные колебания в рассматриваемом случае (даже при резонансе) всегда малы и могут не приниматься во внимание. Практические формулы для расчета рамного фундамента на горизонтальные и вращательные вынужденные колебания приводятся далее.
 Компрессоры, дробилки и другие низкочастотные неуравновешенные машины. Возможность применения рамных фундаментов для установки таких машин определяется главным образом результатами расчета фундамента на установившиеся горизонтальные и вращательные колебания; этот расчет может производиться по формулам, рекомендованным для фундаментов под мотор-генераторы. Кроме того, могут встречаться случаи, когда необходимы дополнительные расчеты: а) на вертикальные колебания и б) на неустановившиеся горизонтальные и вращательные колебания, возникающие при пусках и остановках машины.
 Расчеты на вертикальные колебания следует производить в тех случаях, когда при работе машины возникают значительные вертикальные возмущающие силы. При этом допускается рассматривать фундамент как твердое тело, опирающееся на упругое основание (пренебрегая влиянием упругости рам, которые должны проектироваться достаточно жесткими), по формулам предыдущего параграфа.
 Расчеты на пусковой резонанс должны производиться в тех случаях, когда частота возмущающих сил превышает низшие частоты собственных горизонтальных и вращательных колебаний фундамента; рекомендуемый для таких случаев приближенный способ расчета приводится ниже.
 Мельницы и вращающиеся электропечи. При работе мельничных установок в результате перемещения масс обрабатываемого материала и мелющих тел внутри барабана возникает стационарная случайная нагрузка типа белого шума, передающаяся через опоры барабана на фундамент. В СНиП П-19-79 включена методика расчета фундаментов мельниц на случайное воздействие, разработанная ленинградским Промстройпроектом.
 Угловая скорость вращения барабана вращающихся печей весьма низка и не превышает нескольких оборотов в минуту, вследствие чего неуравновешенные силы инерции настолько малы, что могут не приниматься во внимание. В то же время при эксплуатации трубчатых мельниц и вращающихся электропечей наблюдаются весь¬
 94

ма значительные колебания их фундаментов. Причина их возникновения заключается в искривлениях корпуса машины (начальных и возникающих при эксплуатации). Эти колебания . (учитывая весьма низкие угловые скорости вращения машин) можно рассматривать как статические перемещения. Метод расчета, ,разработанный ленинградским Промстройпроектом, приведен в СНиП Н-19-79.
 Формулы для определения амплитуд установившихся горизонтальных и вращательных колебаний рамного фундамента. Формулы, рекомендуемые СНиП II-19-79 для расчета на колебания рамных фундаментов под низкочастотные (не более 1000 об/мин) машины, основаны на следующих допущениях: 1) верхняя горизонтальная рама фундамента, образованная ригелями поперечных рам и продольными балками, и нижняя опорная плита (рис. 6.6), опирающаяся на грунт, рассматриваются как жесткие тела; 2) масса нижней плиты не учитывается и 3) предполагается, что центр тяжести массы верхней рамы, центр жесткости поперечных рам (точка, при приложении к которой горизонтальной силы все рамы совмещаются одинаково) и центр тяжести площади подошвы нижней плиты расположены на одной вертикали.
 Максимальную амплитуду А горизонтальных колебаний верхней грани фундамента определяют по формуле
 Л 4 +А акс’ (6’62
 - амплитуда горизонтальных коле¬
 баний центра тяжести верхней рамы и амплитуда угла ее поворота относительно оси Ог; емакС — расстояние от центральной вертикальной оси Ог системы до наиболее удаленного от нее подшипника машины.
 Величины Ах и Л,|, определяют по формулам, рекомендуемым СНиП 11-19-79:
 Рн
 Кг
 /(-Ж
 (6.63)
 Рн
 2К2
 1| 1/
 4/Б
 со- \2
 (6.64)
 где Я —нормативная амплитуда горизонтальной составляющей возмущающей силы, принимаемая для машин с вращающимися частями по табл. 6.3, а для прочих машин по заданию завода-нзготовителя; со 0,10!5 по — круговая частота возмущающей силы (для машин с вращающимися роторами — угловая скорость вращения ротора); К\, /а — коэффициенты жесткости конструкции
 фундаментов, , "К,. ~ круговые частоты собст"1 ™1
 венных горизонтальных поступательных (в направлении оси Ох) и вращательных колебаний
 Рис. 6.6. Расчетная схема рамного фундамента
 фундамента; формулы для определения Ки Кя.
 А, и X . см. далее; 6 1,1, — коэффициенты от-
 1 Р1 X чр
 носительного демпфирования системы фундамент— грунт, определяемые по формулам:
 /г
 ’Ф /с
 2 К..
 (6.65)
 (6.66)
 I 1 —коэффициенты относительного демп¬
 фирования грунтов основания для горизонтальных и вращательных колебаний:
 В
 я.Ф.Ф З/пЛ.дг.ф.'ф
 (6.67)
 V — коэффициент поглощения энергии для материала фундамента, принимаемый для железобетона равным 0,1.
 Коэффициенты жесткости К\ и Кг определяют по формулам:
 1
 !■
 1
 К»
 (6.68)
 (6.69)
 где К чК ./С, —коэффициенты жесткости оснох Ф ч5 .
 вания (см. 6.2); Н — высота фундамента (от по-
 , 1т
 дошвы до верхнего обреза); -К ~ 2 С.—коэф-
 л 11 с
 фициент жесткости системы при поступательных горизонтальных смещениях верхней рамы в направленны оси Ох (/п-число поперечных рам);
 95

Таблица 6.3
 Значение Р
 Машины
 В ДОЛЯХ ОТ №1геК
 вра щающихся частей
 Турбоагрегаты
 0,2
 Электромашины;
 а) с числом оборотов более
 0,2
 750 в 1 мин
 б) с числом оборотов 500—
 0,15
 750 в 1 мин
 в) с числом оборотов ме¬
 0,1
 нее 500 в 1 мин
 ( п0 \2
 Центрифуги (й — диаметр
 \ЮОо)
 ротора, м, по — число оборо¬
 тов в 1 мин)
 Крупные дымососы и венти¬
 о
 00
 )
 ю
 ляторы
 \1ЦЦЦ/
 Определение динамических нагрузок, устанавливаемых на перекрытиях, см. раздел 2.
 К
 С.
 12Е/Ц 1 + 6 Л 3 2 + 3 к,
 к. :
 I.
 г кг
 Здесь Е — модуль упругости материала рам;
 моменты инерции поперечных сечений ригеля и стойки рамы; к•, I • — соответственно расчетная высота стойки и расчетный пролет ригеля 1-й рамы (этот пролет может приниматься равным 0,9 расстояния между осями стоек).
 Для определения частот ЯЛ.) и Я, можно пользоваться формулами:
 К ; ч (6-71)
 где т ф— расчетная масса верхней плиты, включающая массу машины, массу всех ригелей н балок и ‘/з массы стоек: 02ф — момент инерции
 массы /Пф относительно оси Ог; для упрощения расчетов можно приближенно принимать в2д,оп С/оО, 1Шф где Ь — длина верхней рамы (в осях крайних ригелей).
 Особенности расчета рамных фундаментов на прочность. Расчет элементов конструкции рамных фундаментов производится на прочность при действии нагрузок:
 1) постоянных, в число которых входят вес машины (включая вес движущихся частей), вспомогательного оборудования и собственный вес частей фундамента;
 2) временных, включающих: а) нагрузки, заменяющие динамическое действие движущихся частей машины и б) особые нагрузки, характерные для машин данного вида, например, соответствующие тяге вакуума в конденсаторе для турбин, возникающие при коротком замыкании электромашин и др.
 Кроме того, прочность отдельных элементов верхнего строения (главным обра¬
 зом консольных) проверяется при действии монтажных нагрузок.
 Определение постоянных нагрузок не представляет каких-либо особенностей, а временные, отвечающие случаю 2 б, и монтажные нагрузки указываются заводом-изготовителем машин в задании на проектирование. Для определения нагрузок, заменяющих динамическое действие движущихся частей машины (случай 2 а), используют формулу
 :
 ■ к1ЦР'}, (6.72)
 где Рд- — временная статическая нагрузка, приложенная, к г~му подшипнику, заменяющая динамическое действие машины; —нормативная величина динамической нагрузки, действующей на этот подшипник (табл. 6.3); к\ — коэффициент перегрузки (см. разд. 2); т} — коэффициент динамичности (табл. 6.4).
 Таблица 6.4
 пг
 2 С . —то же при повороте верхней рамы вокруг оси Ог; значения С определяют из выражения
 к. Л.
 - 1 1 (6.70)
 Л
 Машины
 для вертикальной нагрузки
 для горизонтальной нагрузки
 Машаны с вращающимися частями с числом оборотов: более 1500
 10
 2
 1500—500
 6
 2
 менее 500
 3
 2
 Машины с кривошипно¬
 1
 1
 шатунными механизмами Мельничные установки
 1
 и молотковые дробилки Щековые п конусные
 —
 1,2
 дробилки
 Расчеты машин с кривошипно-шатунными механизмами должны производиться не только на установившиеся колебания при нормальной эксплуатации по формулам (6.63) — (6.69), но в случаях, когда йКх также и по условию прохождения через резонанс во время пуска и остановки машины.
 Общепринятого способа расчета фундаментов по этому условию не существует, хотя имеется немало работ, посвященных изучению явления пускового резонанса [14, 15, 18]. В практических расчетах можно пользоваться следующим приближенным приемом, основанным на результатах работ А. М. Каца [14].
 Если рассматривать фундамент как систему с одной степенью свободы, например, не учитывать возможности возникновения вращательных колебаний, то для определения коэффициента г| нарастания колебаний при прохождении через резонанс поступают следующим образом. По заданной продолжительности и остановки машины и найденному ранее значению ЯХ1 вычисляют параметр 1йкх и отношение
 96

пмакс при °'06
 Далее по графику (рис. 6.7) находят значение ■ Соответствующую амплитуду резонансных колебаний фундамента определяют по формуле
 . (6.73)
 где хг — амплитуда возмущающей силы, соответствующая моменту прохождения через резонанс; приближенно можно считать, что
 1 '
 (6.74)
 Это значение Рх] вводят и в формулу
 (6.72) вместо Ра, а г) ' —вместо п.
 макс 1
 Аналогично можно поступать и в отношении вращательных колебаний, пользуясь для определения т] мако параметром Яф1, отношением и формулами:
 РФ1 емавс
 Л|-
 макс
 РЧ,
 р Н
 41
 и2
 (6.75)
 (6.76)
 По И. С. Шейнину [18], в тех случаях, когда X 0,3 расчет на пусковой резонанс и оценку прочности конструкции фундамента и примыкающих к нему коммуникаций производят раздельно на поступательные и вращательные (при шЛф ) колебания по формулам (6.73) —(6.76). Есже % 0,3 , то для каждой из
 поперечных рам фундамента сначала определяют значения Лг;макс и Амвксе[, а затем расчетное значение амплитуды по формуле
 шакс ~ ( л'макс) "Ь фмакс ед“-
 (6.77)
 7—491
 6.4. Определение динамических характеристик основания
 Определение коэффициентов жесткости естественных оснований. Для определения коэффициентов жесткости естественных оснований используют формулы:
 (6.78)
 Рис. 6.7. График для определения коэффициента
 где Сг, С х— коэффициенты упругого равномерно го сжатия и сдвига основания; С , коэффициенты упругого неравномерного сжатия и сдвига основания; р— площадь подошвы фундамента; I — момент инерции этой площг.ди относительно горизонтальной оси, проходящей через центр тяжести параллельно оси Оу (см. рис. 6.1); ? полярный момент инерции площади подошвы.
 Величины Сг, Сх, Сф И Сф являются постоянными и зависят не только от упругих свойств грунта, но также и от ряда других факторов, главнейшие из которых — размеры и форма подошвы фундамента, характер напластований грунтов и их плотность (инерционные свойства). Если в качестве исходной расчетной модели основания принять невесомое упругое полупространство, то для фундаментов с прямоугольной подошвой зависимость коэффициентов Сг, Сх и Сф от размеров подошвы и характеристик упругости грунта может быть приближенно представлена в виде:
 Сф~Кф Е
 Е 1 1-41» уу
 1
 (1 + кж ц)(1 + ц)
 V Г
 6.79)
 где и , к (по М. И. Горбунову-Посадову) [5], по О. А. Савинову) [16] —коэффициенты, зависящие только от отношения сторон подошвы а:Ь (табл. 6.5): при повороте относи¬
 тельно продольной оси, с:& при повороте относительно поперечной оси; Е, р, — модуль упругости грунта и коэффициент Пуассона.
 Таблица 6.5
 аЪЬ
 )С.х
 0,2
 0,333
 0,5
 1
 1,5
 2
 3
 5
 130
 1,-21
 117
 1.14
 1.15 1,37 1,21 1,30
 2?31
 2,36
 2,-44
 2,83
 3,22
 3,54
 4,-15
 5,45
 0,53 0,53 0,54 0,50 0,45 042 . 0,37 0,29
 По Д. Д. Баркану [2], между коэффициентами Сф и Сх существует простое соотношение: Сф «1,5 Сх.
 В действительности коэффициенты С2, Сф, Сх и СфС увеличением площади Р уменьшаются не так интенсивно, как это следует из зависимостей (6.79) [11].
 97

Расчетные значения коэффициента Сл для естественных оснований, относящихся к- Р200 м2 и рекомендуемые СНиП И-19-79 определяют по формуле
 Сг Ь0Е0 (Х+УР Р}, (6.80)
 где Ь0 — коэффициент, зависящий от тппа грунта н изменяющийся в пределах от 1 до 1,5; Ев—модуль деформации грунта, определяемый по СНиП 11-15-74; о10 м2.
 При этом величины Сх, Сф , Сф допускается, независимо от соотношения размеров подошвы, принимать равными: Сх
 0,7Сг;Сф2Сг;СфСг.
 Для приближенного определения коэффициентов жесткости основания с учетом влияния размеров фундамента и инерции грунта можно пользоваться формулами [16]:
 С,-С6[1 +
 Сф С0 [I +
 с "о[1 +
 } (6.81)
 где Со в Оо — постоянные упругости основания, не зависящие от размеров фундамента; р— удельное статическое давление, передаваемое проектируемым фундаментам на оснозание; ро — то же. под опытным штампом, использованным для определения коэффициентов Со и Оп.
 Установлено, что между коэффициентами Со и Д0 существует зависимость:
 ■
 ■ с„.
 ке исследований можно найти в книгах Д. Д. Баркана [2] и О. А. Савинова [16].
 Определение коэффициентов жесткости основания для свайных фундаментов. В соответствии со СНиП П-19-79 коэффициент жесткости для свайного фундамента при упругом равномерном сжатии определяется по формуле
 гщ"V2'31М се.8.4)
 где
 Р + а № |31 Ъ К1 аС'г/Е5,
 (6,85)
 л—число свай; Сг—коэффициент упругого равномерного сжатия грунта на уровне нижних концов свай, тс/м3, определяемый по формуле (6.80), в которой площадь подошвы фундамента Р принимают равной площади поперечного сечения сваи, а коэффициент Ь0 для забивных свай увеличивается в 2 раза; В — начальный модуль упругости бетона, тс/м2, принимаемый в соответствии с главой СНиП по проектированию бетонных и железобетонных конструкций; I — длина свай, м; й— сторона поперечного сечения сваи, м; кх—коэффициент, учитывающий упругое сопротивление грунта по боковой поверхности сваи, принимают равным 100.
 Коэффициент жесткости Я пр' тс-м’ при неравномерном сжатии для свайного фундамента определяют по формуле
 К,
 рпр -
 (6.86)
 (6.82)
 1 — 0,5ц
 В практических расчетах молено принимать Д0,7.Со и Д 1 м-1. Если известно значение Е (кгс/см2) модуля упругости грунта, определенное по результатам лабораторных или полевых динамических испытаний грунта, то по этому значению коэффициент С о может быть найден из приближенной зависимости
 С0«2,1г.11)-5 кгс/см3. (6.83)
 Численные значения коэффициента Со для различных грунтов, рекомендуемые для практических расчетов, приводятся в табл. 6.6 (по О. А. Савинову) [16].
 Формулы (6.87) неприменимы для расчета крупных тяжелых сооружений и фундаментов, передающих на основание статическое давление более 2 кгс/см2.
 При проектировании крупных промышленных предприятий, в которых намечается установка большого количества машин с динамическими нагрузками, характеристики жесткости основания рекомендуется определять по результатам исследований грунтов; необходимые сведения по методи-
 У,
 11
 где г- —расстояние от оси ь-ой сваи до оси вращения подошвы фундамента.
 Коэффициенты жесткости при упругом равномерном и неравномерном сдвиге свайного 'фундамента Кх, тс/м, и Дф, тс-м, следует принимать такими же, как и для фундаментов на естественном основании, считая площадь фундамента и момент его подошвы такими же, как и для ростверка.
 Определение коэффициентов демпфирования естественных оснований. Для определения коэффициентов демпфирования естественных основании используют формулы:
 (6.87)
 удельного
 Вг ЬгР\ Вх ЬХР;
 ■®ф ф 1|) 2
 где Ь ,Ъ ‘Ъ ,Ь, —коэффициенты
 2 х Ф ’Р
 демпфирования, характеризующие потерю энергии колеблющимся фундаментом через единицу площади, при равномерном сжатии и сдвиге основания и неравномерном сжатии и сдвиге, соответственно. Смысл Р. /, /2 тот же, что и в формулах (6.78).
 Численные значения коэффициентов удельного демпфирования принимают различными при расчете параметров колебаний в гармоническом и неустановившемся режимах, в первом случае они меньше [10].
 Колебания под действием гармонических нагрузок. При определении параметров установившихся вынужденных колебаний коэффициенты удельного демпфирования находят по формулам:
 98

Таблица 6.6
 Категория
 Характеристика
 оснований
 Грунт
 С0, кгс/см2 при Р00,2, кгс/смч
 1
 Нежесткие
 Глины текучепластичные (/0,75) Суглинки текучепластичиые (/0,75)
 с о
 "-ОС:
 2
 Малой жесткости
 Суглинки и глины мягкопластнчные (0,5/ 0,75) Супеси пластичные (0,5/ 1)
 Пески пылеватые, водоыасыщенные, рыхлые (е0,80)
 0,8
 1
 1.2
 3
 Средней жесткости
 Глины и суглинки тугопластичные (0,25/ 0,5)
 Супеси пластичные (ОС/ О.б)
 Пески пылеватые средней плотности и плотные (8 0,8) Пески мелкие, средней крупности и крупные, независимо от плотности и влажности
 2
 1,6
 1,4
 1.8
 4
 Жесткие
 Глины н суглинки твердые (/0) Супеси твердые Л0)
 Щебень, гравий, галька, дресва
 3
 2,2
 2,6
 Ьг 0,014 У Сг; [кгс-с/см3];
 Ьх 0,007 Ус »
 ,-0.01у Г ; (6.88)
 &,„ 0,014]/ » в которых величина Сх, кгс/см3, берется зависящей от площади подошвы фундамент та по формулам предыдущего пункта.
 Для практических расчетов фундаментов машин могут быть использованы также имеющиеся экспериментальные данные о значениях модуля затухания, приведенные в табл. 6.7 (по О. А. Савинову) [16].
 Таблица 6.7
 Характеристика грунтов
 Ф, с
 Плотные песчаные грунты, пластичные глины и суглинки, находящиеся в условиях естественного залегания
 0,004—0,006
 Рыхлые и средней плотности пески, любые насыпные грунты
 0,007 —0,008
 Между коэффициентом удельного демпфирования 6/, где /2, х, ф, -ф и модулем затухания Ф,-, с, существует связь
 Фэ — Ь]/С].
 (6.89)
 Колебания под действием импульсивной нагрузки. При определении максимальной амплитуды колебаний массивного фундамента после удара коэффициент удельного демпфирования принимают в 1,5—2 раза большим, чем по формулам (6.88). Для вертикальных колебаний коэффициент удельного демпфирования при равномерном сжатии основания определяется формулой
 Ьг — 0,025 УСг; [кгс-с/см3]. (6.90)
 Здесь величину Сг принимают для всех фундаментов такой же, как для фундамента с —10 м2. Формулой (6.90) следует пользоваться тогда, когда грунт под подошвой фундамента относительно однороден, и скала или слой грунта со значительно большей скоростью распространения продольных волн, чем в грунте непосредственно под подошвой, находится на глубине большей, чем йен, где йСк /8/г; (6.91)
 частота свободных вертикальных колебаний фундамента; С1—-скорость продольных волн в грунте непосредственно под подошвой фундамента.
 Если скала находится на глубине большей, чем Нек, то значение коэффициента удельного демпфирования выбирают между двумя значениями, Соответствующими формулам (6.88) и (6.90).
 Определение динамических характеристик естественных оснований из эксперимента. Экспериментальные исследования рекомендуется проводить при проектировании крупных промышленных предприятий, в которых намечается установка большого числа машин с динамическими нагрузками. В тех случаях, когда в качестве модели основания используют невесомую пружину или невесомую пружину и демпфер, то характеристики этих моделей Кг или Кг и Вг можно найти из экспериментов с массивными фундаментами в соответствии с методиками, изложенными в [2, 16].
 Ниже изложена методика определения динамических свойств основания из эксперимента, не использующая каких-либо предположений о виде модели основания [12]. Грунтовое основание представляет собой сложную динамическую систему, внутрен-
 99

няя структура которой неизвестна. В отношении свойств этой системы делают только одно предположение — считают; что она линейна, т. е. существует линейная зависимость между динамической силой, приложенной к данной системе, и ее динамическим перемещением (под системой понимают жесткий невесомый штамп, по форме совпадающий, с отпечатком фундамента, и грунт).
 По результатам эксперимента при гармонических колебаниях вычисляют упругие и демпфирующие характеристики основания, аналогичные (6.78) и (6.87), однако это не коэффициенты, а функции, зависящие от круговой частоты гармонических колебаний и характеризующие жесткость и демпфирование основания на различных частотах:
 КгШ) - ; В.((О) - . /д 92)
 В формулах (6.92) функции /о()'. Л (со) и Ь(ш) являются соответственно модулем, действительной и мнимой частью передаточной функции (ПФ) системы невесомый штамп-основание, которая характеризует динамическую податлив ость этой системы. ПФ определяют по экспериментальным данным, как указано ниже, по специальным методикам.
 Функции /(г (ш) и В2(со) используются в формулах для определения параметров гармонических колебаний фундаментов вместо коэффициентов Кг и Вг.
 Если в некотором диапазоне частот эти функции изменяются , мало, то их можно заменить константами
 /2(00) « К2; В2(ш) « В2; сог с со в2,
 (6.93)
 имеющими смысл коэффициентов жесткости и демпфирования основания, о которых говорилось в предыдущих разделах. Тогда коэффициент упругого равномерного сжатия Сг и коэффициент удельного демпфирования при равномерном сжатии Ьг определяют формулами:
 Сг Кг/Р; Ъг Вг1Р, (6.94)
 где Р — площадь фундамента, с которым проводился эксперимент.
 Для фундаментов, отличающихся по площади от Экспериментального не более, чем в 5—10 раз, коэффициенты Сг и Ъг пересчитывают от значений (6.94) по формулам, приведенным в предыдущих пунктах.
 Построение ПФ по результатам экспериментов. Ниже приводятся два варианта
 проведения экспериментов и обработки их результатов.
 1. Испытываемый фундамент может являться частью любой надземной динамической системы, колеблющейся гармонически под действием гармонической нагрузки, величина и фаза которой неизвестны, а место приложения безразлично.
 В эксперименте при различных значениях со со/, / 1, 2,... измеряются амплитуда силы реакции /?(со) под подошвой фундамента (например, с помощью мессдоз), амплитуда Ц70(со) его колебаний н сдвиг фазы а (со) между силой реакции и перемещением фундамента. Угол сдвига фазы а (со) принимается отрицательным для запаздывания перемещения относительно реакции.
 Модуль ПФ находят по формуле
 /о(в) 1Г0(в)Ща), (6.95)
 а действительная /У(в) и мнимая часть 2(со) ПФ — по формулам:
 /гМ /о (®) сов а (ш);
 Ы®) /оН 51П а(ш) • (6.96)
 В соответствии с правилами обработки экспериментальных данных по множеству точек строят пары графиков функций |ъ(со) и а (со) либо Мсо) и Ысо). Для использования формул (6.92) достаточно любой пары, в силу связи (6.96), а также очевидной зависимости
 Ш V[/](со)]5 + Г/2 (С0)Р. (6.97)
 2. Эксперимент проводят с отдельно стоящим фундаментом, имеющим площадь подошвы Р и массу, вместе с массой вибромашины, от.
 Вертикальные колебания вызываются силой Ре1(1. При различных значениях со со/, /1, 2,... в эксперименте измеряют амплитуду Ш'о(со) колебаний фундамента и сдвиг фазы у (со) между возмущающей силой и перемещением фундамента. Углу сдвига фазы, соответствующему отставанию по фазе колебания фундамента от возмущающей силы, приписывают отрицательные значения. Амплитуда возмущающей силы Р должна быть известна либо по результатам прямых измерений, либо вычислена по некоторым известным и замеренным параметрам, например как центробежная сила для эксцентрикового вибратора и т. п.
 По экспериментальным данным вычисляют:
 Я(“) {['Л“2№'0(ш)]3 +
 4- 2т ойИ ш) Р(со) соз (со) + Р (ш)2}1 2;
 (6.98)
 100

Р(®/ яп у со Дальнейшая обработка не отличается-
 а(ш) агс1§ . ,
 ' т сйИУ0(а) + Р{ш) соз у(ш) от изложенной в п. 1.
 (6.99)
 РАЗДЕЛ 7
 КОЛЕБАНИЯ СТЕРЖНЕЙ И СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
 (А. М. СИЗОВ)
 7.1. Основные положения
 В настоящем разделе рассматриваются поперечные ■ колебания прямолинейных стержней и стержневых систем. При поперечных колебаниях сечения стержня смещаются нормально к его оси поочередно в одну и другую сторону от положения равновесия, поворачиваясь вокруг своих нейтральных осей.
 Возможны также продольные и крутильные колебания стержней. При продольных колебаниях сечения стержня колеблются вдоль оси стержня около положения равновесия. При этом элемент стержня то укорачивается, то удлиняется. При крутильных колебаниях сечения стержня поворачиваются вокруг его продольной осп попеременно, в одну и другую сторону.
 При проектировании строительных конструкций зданий и сооружений и динамическом расчете их наибольшее значение имеют обычно поперечные колебания стержней. Следует отметить, что учет продольных колебаний в стойках рам и стержнях ферм также совершенно необходим.
 При рассмотрении колебаний предполагается, что они малы и зависимость между силами и вызываемыми ими перемещениями линейна. Допущение о линейности деформирования приемлемо практически для большинства строительных конструкций, выполненных из упругих материалов, подчиняющихся при малых перемещениях закону Гука.
 При динамическом действии нагрузки на сооружение, поведение последнего в сильной степени зависит от так называемого понятия числа степеней свободы, т. е. количества независимых геометрических параметров, определяющих положение масс сооружения при колебаниях. Поэтому при динамическом расчете сооружений их расчетные схемы подразделяются на схемы с конечным и бесконечным числом степеней свободы.
 Сооружения с дискретным (точечным) распределением масс рассматриваются как системы с конечным числом степеней свободы. Такие расчетные схемы применяются при динамическом расчете различных сооружений и конструкций: каркасных зданий, высоких сооружений башенного или мачтового типа, открытых этажерок, технологического оборудования колонного типа, ферм покрытий, поперечных рам промзданий и т. п. Сооружения с непрерывным распределением масс представляют системы с бесконечным числом степеней свободы.
 Реальные конструкции зданий и сооружений (балки, плиты, фермы, рамы и т.п.), как правило, загружены распределенными и сосредоточенными нагрузками. Такие конструкции по существу являются системами с бесконечным числом степеней свободы. Однако в некоторых случаях при расчете на динамические воздействия за расчетную схему такой конструкции можно принять систему с конечным числом степеней свободы. Так конструкции, загруженные тяжелым сосредоточенным грузом (мощный электродвигатель, вентилятор н т. п.), по сравнению с которым собственный вес конструкции невелик, могут рассматриваться как системы с одной степенью свободы.
 За расчетную схему конструкции, загруженной несколькими тяжелыми сосредоточенными грузами, может быть принята система с соответствующим числом степеней свободы.
 7.2. Системы с дискретным распределением масс
 Трудности динамического расчета систем с большим числом степеней свободы резко возрастают с увеличением числа степеней свободы расчетной схемы. Поэтому в приближенных динамических расчетах конструкции с распределенными массами часто рассматриваются как системы с несколь-
 101

Рис. 7.1. Схемы стержневых систем
 А—системы с сосредоточенными массами; ; —о одной степенью свободы; 2— с /г-степенями свободы; Б — системы с распределенными массами; I — балки ц мачты; 2 — поперечные рамы цеха; В — системы с распределенными и сосредоточенными массами; 1 — поперечная рама; 2 —неразрезная балка
 кими сосредоточенными дискретными массами, обладающими сравнительно небольшим числом степенен свободы, поскольку расчет сложных систем в этом случае не только упрощается, но иногда является единственно практически возможным.
 Системой с одной степенью свободы называется система, геометрическое состояние которой в пространстве в любое мгновение однозначно определяется одним параметром, а движение системы под действием приложенных к ней сил — изменением этого параметра во времени. Физическая природа и размерность параметра могут быть весьма разнообразными, например этим параметром может быть угол поворота, линейное смещение (прогиб) и т. п. Однако этот параметр должен быть таким, чтобы через него можно было однозначно определить положение любой точки системы. На рис. 7.1 показаны примерные расчетные схемы при динамическом расчете систем с сосредоточенными и распределенными массами.
 При динамическом расчете любая инженерная конструкция, загруженная боль¬
 шой сосредоточенной нагрузкой, по срав-. нению с которой собственный вес конст-' рукции мал и им можно пренебречь, может рассматриваться как система с одной степенью свободы. В практических динамических расчетах конструкции с распределенной массой в первом приближении, часто рассматривают как системы с одной степенью свободы. В этом случае распределенная масса заменяется одной эквивалентной массой, сосредоточенной в том или ином сечении конструкции . Эквивалентность массы определяется, например, из равенства кинетических или потенциальных энергий основной и заменяющей системы, равенства характеристик жесткости и других условий. Следует, однако, иметь в виду, что в зависимости от принятых критериев эквивалентности двух систем динамические хаг рактеристшш этих систем будут несколько отличаться и отражаться на точности динамического расчета.
 7.2.1. Система с одной степенью свободы
 Собственные колебания. Если вывести упругую систему из состояния равновесия (отклонив ее от положения равновесия или приложив к ней импульс), а затем предоставить систему самой себе, то она под действием сил упругости будет совершать свободные или собственные колебания. При отсутствии рассеивания энергии в идеальной системе перемещения во времени будут изменяться по гармоническому закону: г/ а зт(0 +ср), где а — наибольшее откло: ненпе оси системы от положения равновесия (амплитуда колебаний); 02!№— круговая частота; п — частота колебаний — число колебаний в с; ср — начальная фаза колебаний.
 При рассеивании энергии колебания будут затухающими. Число свободных колебании системы в 1 с называется частотой собственных колебаний п, а форма колебаний или закон изменения отклонений различных точек системы называется формой собственных колебаний.
 Частота собственных колебаний системы является одной из главнейших динамических характеристик системы. При этом у
 1 Такая замена производится в случае, если нужно определить приближенное значение толь ко'основной (низшей) частоты собственных колебаний конструкции, а остальные, более высокие частоты и формы колебаний, определять не требуется. Если частота вынужденных колебании больше основной собственной частоты, то определение последующих частот и форм колебаний конструкции, как правило, необходимо. Конструкция с распределенными массами в атом случае может заменяться эквивалентной системой с дискретны ми массами (с двумя, тремя н т. д.).
 102

системы с одной степенью свободы может быть только одна частота собственных колебаний, а у системы с несколькими степенями свободы — несколько частот, число которых равно числу степеней свободы системы. Каждой частоте собственных колебаний соответствует своя форма собственных колебаний. За единицу измерения частоты колебаний принимается Герц (Гц) — одно колебание в с.
 При динамическом расчете и в теории колебаний часто применяется понятие круговой или циклической частоты 0, которая соответствует числу колебаний за время
 2 л с:
 0 2ял. (7.1)
 Единицей измерения круговой частоты служит рад/с, которую часто записывают с-1.
 Собственные колебания системы без затухания с одной степенью свободы описываются дифференциальным уравнением Му+Су0. При этом смещение массы М в момент времени /; с учетом начальных условий определяется выражением: у(() —
 у0со5&1+— ~5\п&{, а амплитуда коле-
 и
 баний (наибольшее отклонение массы М при колебаниях относительно положения статического равновесия)
 мако
 Уо +
 Рис. 7.2. Многопролетная рама
 а — схема; Б — расчетная схема рамы, рассматриваемой при горизонтальных колебаниях как система с одной степенью свободы
 темы с одной степенью свободы. Статическое горизонтальное смещение ригеля рамы от горизонтальной силы Р, приложенной на уровне ригеля,
 Коэффициент жесткости соответствующей простейшей системы
 С
 П /га
 (7.5)
 где Р — горизонтальная сила [1а уровне ригеля, равная нагрузке на ригель, его массе и массе части стоек рамы; к ~ высота стойки; мо¬
 мент' инерции поперечного- сечения в нижнем сечении левой крайней стойки;
 3/1
 И-Н1- п)№
 где М—Р1§ — масса системы; Р — вес;
 981 см/с2 — ускорение силы тяжести; у0 — начальное отклонение массы М от положения равновесия (при 0); Уц — начальная скорость (при —0); 0 — круговая частота собственных колебаний.
 Круговая частота собственных колебаний системы с одной степенью свободы без затухания определяется одним из следующих выражений:
 (7.2)
 Здесь х/Ст — статическое перемещение массы М от нагрузки РМ§\ бц— перемещение массы М от единичной силы, приложенной к массе; С — коэффициент жесткости системы, численно равный силе, вызывающей перемещение системы у—1.
 Для определения коэффициента жесткости. системы следует в соответствующем направлении приложить силу Р и затем найти статическое перемещение г/ст. Коэффициент жесткости определяется формулой
 С Р/Уст 1/бц;. (7.3)
 Одноэтажные многопролетные рамы с шарнирно-опертыми ригелями и ступенчатыми защемленными стойками (рис. 7.2) при
 горизонтальных колебаниях в первом приближении могут рассматриваться как сис-
 п отношение моментов инерция верх-
 него и нижнего поперечного сечений стойки ступенчатого сечения; в/й — отношение зысот стойки; п — зависит от числа стоек рамы и их характеристик.
 Для одноэтажных рам, высоты и моменты инерции стоек которых одинаковы, ц~1/т (/71 — число стоек). Для рам, высоты всех стоек которых одинаковы, а моменты инерции крайних стоек одинаковы, но не равны одинаковым моментам инерции промежуточных стоек, коэффициент г| определяется по табл. 7.1.
 При этом
 (7.6)
 • 505’
 ГДе &05 Зп / [/1с; (1 /I с ) ,
 п3 ~ вЗ вЗ (второй подстрочный индекс при к0 обозначает номер стойки 5).
 Частота собственных горизонтальных колебаний рамы определяется по формулам
 (7.1) и (7.2).
 Любая линейно-деформируемая система с одной степенью свободы может быть приведена к ее простейшей схеме [46]. При этом приведенная масса будет определяться выражением
 - 2 тгО//УкТ' [1
 (7.7)
 коэффициент жесткости эквивалентной упругой связи (пружины)
 103

сэ 2 с№]!Уъ)г-со5 У]' (7-8)
 /1
 приведенная возмущающая сила
 РэУ) 2 {ут/ук) 005 Тг ’ (7- 9)
 г 1
 где т.—масса заданной системы; у. —скорость массы т - ; С — коэффициент жесткости упругой связи в точке / заданной системы; у перемещение в точке /, где прикреплена' упругая связь Су, V 1?-—угол между направлением реакции /-й упругой связи С и перемещением ее течки прикрепления у у, РГИ)—внешняя возмущающая сила, приложенная в точке г; у г — перемещение в точке приложения силы Рг(О; V г —угол между направлением силы РГИ) и перемещением уг? Мэ — масса эквивалентной системы; Рэ (2)—внешняя возмущающая сила в эквивалентной системе.
 Эквивалентная масса, реакция упругой связи и приведенная возмущающая сила прикладываются к произвольной точке к, жесткосвязанной с заданной системой. При этом направление деформации эквивалентной упругой связи в точке к определяется
 Рис. 7.3. Эквивалентные системы с одной степенью свободы
 а — заданная линейно-деформируемая система, состоящая из абсолютно жестких стержней; б — эквивалентная система
 связями заданной системы. В эквивалентной же системе внешняя сила, реакция упругой связи и перемещение массы направлены по одной прямой.
 На рис. 7.3 для иллюстрации [46] приведена схема сложной системы жестких стержней с сосредоточенными массами и упругими связями, обладающей одной степенью свободы, а в табл. 7.2 даны результаты определения частот собственных ко¬
 та б л и ц а 7.1
 Число стоек т
 V
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
 10
 0,25
 0,5
 0,75
 1
 1,5
 2
 0,500
 0,500
 0,500
 0,500
 0,500
 0,500
 0,167
 0,250
 0,300
 0,333
 0,374
 0,400
 0,100 , 0,167 0,215 0,250 0,300 0,333
 0,071 0,126 ОД 67 0,200 0,250 0,286
 0,056
 0,100
 0,136
 0,167
 0,214
 0,250
 0,049
 0,089
 0,125
 0,150
 0,195
 0,230
 0,039
 0,071
 0,100
 0,125
 0,167
 0,200
 0,035
 0,065
 0,090
 0,113
 0,153 .
 0,183
 0.; 029 0,056 0,079 0,100 0,136 0,167
 104

лебаний масс, закрепленных на жестком стержне, вычисленных с использованием
 (7.7) и (7.8) по формуле
 Св/Мэ-
 Вынужденные колебания. При действии на систему без затухания с одной степенью свободы внешней возмущающей силы, которая изменяется по гармоническому закону Р(()~Ро зи ш дифференциальное уравнение вынужденных колебаний имеет вид
 Щ + Су Ра 51П (!) (.
 Общее решение этого уравнения 2/ст
 УШ А 8!П (0 { + ф) + -
 • (ш/0)
 51П 0) I.
 При этом первый член решения описывает собственные незатухающие колебания, а второй — вынужденные колебания. При практических расчетах интерес представляет второй член решения, поскольку реальные системы обладают затуханием и поэтому по истечении некоторого времени собственные колебания в системе затухнут и останутся только вынужденные колебания:
 уШ
 У г.
 51П СО I.
 Здесь у
 Ра/С — прогиб системы при статичес-
 сеивании энергии колебаний по комплексной теории Е. С. Сорокина [54] амплитуда колебаний определяется по формуле4:
 //пт
 макс “
 У [1—((0/6)]- +г
 (7.11)
 Здесь V — коэффициент неупругого сопротивления материала, связанный с коэффициентом поглршения ф и логарифмическим декрементом колебаний 6 соотношением (см. разд. 3)
 7.10)
 ком действии силы Ро; со — круговая частота вынужденных колебаний; 0 — круговая частота собственных колебаний.
 ' Из (7.10) следует: что при положительном знаменателе (а/01) направление действия гармонической силы Ра(() и направление гармонического перемещения у(() находится в одной фазе, что с физической точки зрения означает совпадение направления действия силы и перемещения; при отрицательном знаменателе (ш/01) направление силы Р(() и перемещения у(1) находятся в противофазе, т. е. направление действия гармонической силы противоположно вызываемому ею перемещению.
 При совпадении частоты вынужденных колебаний с частотой собственных колебаний, т. е. при со/0 1 амплитуды вынужденных колебаний неограниченно возрастают — возникает явление, называемое резонансом. Неограниченное возрастание амплитуд колебаний при вычислениях по формуле (7.10) объясняется тем, что поглощение энергии при колебаниях не учитывается. Поэтому в резонансных и околорезонансных режимах [см. формулу (7.52)] амплитуды вынужденных колебаний следует находить с учетом рассеивания энергии. При гармонической возмущающей силе и рас¬
 V-
 1—0,25у?
 11з/2я б/эх. (7.12)
 7.2.2. Система с несколькими степенями свободы
 При динамическом расчете балок, ферм с узловыми нагрузками, рам и других стержневых конструкций последние часто рассматриваются как системы с несколькими степенями свободы, имеющими конечное число сосредоточенных дискретных масс. При этом предполагается, что каждая масса системы обладает одной степенью свободы, и, следовательно, вся система имеет п степеней свободы, равное числу дискретных сосредоточенных масс. Однако, если какая-либо из масс имеет несколько (две, три) степеней свободы, то этой массе присваивается несколько порядковых номеров и она участвует в расчете как несколько масс, каждая из которых обладает одной степенью свободы. При рассмотрении поперечных колебаний балок перемещения масс вдоль ее оси не учитываются. Однако при рассмотрении изгибных колебаний рамных систем приходится часто учитывать возможность перемещения отдельных масс вдоль элемента рамы (например, вдоль стойки). Пренебрежение продольными перемещениями в стойках рам приводит к потере форм вращательных колебаний ригеля, частота которых близка низшим частотам поперечных изгибных колебаний рамы (например, для П-образной рамы).
 Динамический расчет систем с несколькими степенями свободы является достаточно трудоемкой задачей даже при сравнительно небольшом числе масс системы. Поэтому в последнее время при динамическом расчете широкое применение находят матричные формулировки решения задач в сочетании с ЭВМ. При этом проблема про-
 1 В последние годы были вскрыты некоторые противоречия и неточности комплексной теории внутреннего трения при распространении ее на нестационарные задачи [47, 56, 57, 58, 59] и сделаны А. И. Цейтлиным предложения [66, 67, 69]
 о линейной модели частотно-независимого внутреннего трения, устраняющие указанные неточности комплексной теории. Для гармонических вынужденных колебаний в областях, близких к резонансным соотношениям частот, обе теории внутреннего трения приводят к практически одинаковым результатам. Б связи с указанным при определении амплитуд вынужденных гармонических колебаний здесь применяется комплексная теория внутреннего трения.
 105

Таблица 7.3
 Описание
 Схема
 Коэффициент жесткости С, кгс/см
 Цилиндрическая винтовая пружина с круглым поперечным сечением витков, работающая на растяжение или сжатие
 с аа1
 6-ЗД3
 К—средний радиус пружины?
 I—число рабочих витков; —диаметр проволоки;
 С—модуль упругости при сдвиге
 Коническая винтовая пружина с круглым поперечным сечением
 1КС - усилие, при котором часть витков выключается
 & I
 с •
 Ш(К1 + Д2)(«1+Й2)
 Плоская система натянутых пружин, присоединенных к одному центру; наименьший угол, образуемый /:-й пружиной с горизонтальной плоскостью при равновесии (до нагружения)
 с 2 сС052 11
 п
 С1/2
 11
 Параллельное соединение пружин
 с с± са
 с 2 с 11
 Последовательное соединение пружин
 Л _1_ + _±_. с- с' + с с С, Са ’ сг + с2
 -1 -1-
 С С
 11
 Смешанное соединение пружин
 I 1— +
 : 4-Сз С3 ’
 с (С' + Сз) Сл "Ь с2 + са
 106

Т а б л н ц а 7.4
 Схема соединения груза
 Коэффициент
 и балки
 жесткости
 7Т 7рГЛ ]С2
 -2-4-
 с С1+с,' „ с, + с.
 с, с2
 С,—коэффициент жесткости балки в месте подвеса груза; С2—коэффициент жесткости пружины
 дЯь Ц1
 т&Ьп х "~~7ЯТГ
 , а
 I, ъ
 .
 1
 с с: + с.
 1 Интерпретирующие программы вызывают стандартные программы матричных операций в соответствии с последовательностью операций решения задачи.
 2 При определении частот и форм собственных колебании строительных конструкций, выполняемых из обычных строительных материалов (металл, железобетон, дерево и др.), силы внутреннего трения обычно не учитываются в связи с их незначительным влиянием на эти динамические параметры конструкций.
 ем сил инерции при свободных колебаниях определяется уравнением: п
 У] — 2 Мк ]кУк (/ Ь -,к,...,п),
 к1
 (7.13)
 где г/перемещение. /-ой массы в направлении, допускаемом ее степенью свободы; —к-ая
 масса системы; 6 главный коэффициент податливости, представляющий перемещение &-ой массы от приложенной к ней единичной силы •Р 1 по направлению ее действия; б — побочный коэффициент податливости, представляющий перемещение /-ой массы от единичной силы Р
 1, приложенной к й-ой массе; // — ускорение движения к‘ой массы. /
 В матричной форме уравнения (7.13) имеют вид
 ■АМу
 или АМу + у — 0.
 Здесь А
 11 ■ • • $1к ■ ■ ■ ёщ $п1- ■ ■ &пк- ■ ■ 8пп
 (7.14)
 (7.15)
 (7.16)
 матрица коэффициентов податливости или единичных перемещений (в дальнейшем изложении слово коэффициент в названии матриц опускается).
 граммирования сравнительно просто разрешается матричной формой решения, в связи с наличием стандартных программ матричных операций и составлением только интерпретирующих программ .
 Использование матриц в сочетании с ЭВМ позволяет систематизировать и упрощать расчеты. Не приводя, основных сведений о. матрицах [18, 37, 38, 50, 63], изложим матричную форму динамического расчета системы с несколькими степенями свободы.
 Частоты и формы собственных колебаний системы с п степенями свободы. При
 свободных колебаниях упругой системы, состоящей из нескольких масс, на каждую из масс действуют силы инерции при условии, что силы внутреннего трения в материале не учитываются2. При расчете по методу сил перемещение /-ой массы системы с п-степенями свободы под действи-
 М ГМ1 0 0
 0 Мк 0
 0 0 Мп
 — диагональная матрица масс; ~У Г У
 I Уп ; у
 У л
 . Й
 (7.17)
 (7.18)
 — матрицы-столбцы вектора перемещений и ускорений.
 Элементы б матрицы податливости или единичных перемещений (7.16) определяются методами строительной механики как перемещения центра тяжести /-ой массы от действия единичной силы, приложенной к центру тяжести 6-ой массы, при этом единичные перемещения могут быть вычислены также в матричной форме [37, 50].
 Решение системы дифференциальных уравнений (7.15) ищется в форме
 у а соз 0
 (7.19)
 где а а1
 1 Черточкой над буквой символически обозначена матрица.
 107

■—матрица-столбец вектора амплитуд гармонических колебаний или в развернутом виде:
 у% а$ соз 0 (,... 4 ук ак соз 6 {,...,
 Уп ап соз 0 .
 Дифференцируя (7.19) по времени дважды получим
 у — —а 05 соз 0 . (7.20)
 Подставляя (7.19) и (7.20) в уравнение (7.15), после сокращения на неравный тождественно нулю множитель соз Ы, получим в матричной форме систему однородных алгебраических уравнений
 (7.21) (7.21а)
 (Е — А М 0а) а 0,
 где Е
 Г1
 0]
 _о. .
 • ■ 1.
 — единичная матрица..
 Полагая 021Д, имеем
 (АМ — ХЁ)а 0. (7,22)
 Система однородных уравнений (7.22) относительно координат вектора а может иметь ненулевое решение (аф0) только тогда, когда равен нулю определитель этой системы
 или \аШ — ?.!|0. (7.23)
 Уравнение (7.23) относительно X называется характеристическим (вековым) уравнением матрицы АМ.
 В развернутом виде оно имеет вид:
 (ЬцЩ — 8ц1Мк... 81ПМП
 &к1м1- - .(6ккмк~ Ц .. .§ъ.ПМп • ■ ■ пк к. ■ . Фпп п—ЭД
 0.
 ф(Я) Хп—В, + ,..+ (-1):
 а-
 п—1
 В теории колебаний доказывается, что характеристическое уравнение (7.25) имеет п действительных положительных корней X. Следовательно, система с п степенями свободы имеет п частот 0, обозначаемых в
 дальнейшем 0Ь ..., 0з, ..., 0„, являющихся круговыми частотами собственных колеба-' ний системы. При этом каждой частоте собственных колебаний 0з соответствует определенная 5-ая форма колебаний, называемая формой собственных колебаний. При этом число форм колебаний системы равно числу частот собственных колебаний п.
 Следовательно, определение частот и форм собственных колебаний системы с п. степенями свободы сводится к вычислению собственных значений и собственных векторов матрицы А М. Нахождение собственных чисел и соответствующих им векторов может выполняться по стандартным программам на ЭВМ [50].
 При динамическом расчете .системы с несколькими степенями свободы по методу перемещений основная система образуется введением дополнительных связей, препятствующих смещениям масс системы. При этом уравнения, выражающие равенство нулю динамических реакций введенных связей по направлению допускаемого перемещения с учетом сил инерции имеют вид
 п
 М]У] +2 г]кУк — 0 к1
 (/ 1,2,...,и). (7.26)
 Здесь М -\-ая масса системы; у у — ускорение колебаний /'-ой массы; ук — перемещение к-ой массы; г —реакция / ой связи от единичного перемещения к массы
 Уравнение (7.26) в матричной форме'
 где М ■
 Му + Яу 0,
 • диагональная матрица
 (7.27)
 масс (7.17); у%
 // — матрицы-столбцы вектора перемещений и ускорений (7.18).
 Я'-
 (7,24)
 Корни характеристического уравнения
 (7.24) называются характеристическими числами. Таким образом, собственные числа матрицы А М являются ее характеристическими числами.
 Левая часть уравнения (7.24) может быть представлена в виде полинома п-й степени относительно X:
 ,1хп-1+...+(-\)п-кв1хк +
 В{Х + (—1)” В0 0. (7.25)
 (7.28)
 ГП1' • • ’ 'ГПП-
 — матрица жесткостей. Матрица — квадратная, симметричная в силу взаимности реакций Гзь, Гнз.
 Здесь — главный коэффициент жесткости,
 представляющий усилие (реакцию) в связи к при единичном перемещении этой связи, в направлении, допускаемом степенью свободы системы;
 —побочный коэффициент жесткости, представляющий усилие (реакцию) в связи / ог единичного перемещения к-ой связи.
 Следует иметь в виду, что
 Я А~\ (7.29)
 т. е. матрицы жесткости и податливости являются взаимно-обратными. Формула (7.29) позволяет определить одну из матриц, если известна другая путем ее обращения.
 Решение системы дифференциальных уравнений (7.27) также ищется в форме (7.19). После преобразований система одно-
 108

родных алгебраических уравнений в матричной. форме будет иметь вид
 ОЙЛГ1 — ХЁ)а 0, (7.30)
 где А—1/02. Эта система имеет нулевое решение в случае, если
 Я1) 0. (7.31)
 Следовательно, задача определения частот и форм собственных колебаний методом перемещений также свелась к вычислению собственных значений и собственных векторов матрицы МП -1.
 В работе [13] приводятся некоторые методы вычисления коэффициентов характеристического уравнения (7.25). Ниже даются несколько конечных значений этих коэффициентов и нормированных форм собственных колебаний уравнения (7.22) для систем с несколькими степенями свободы. См. таюке [23], где приведена другая форма характеристического уравнения.
 Система с двумя степенями свободы. Простейшим примером системы с двумя степенями свободы может служить невесомая балка с двумя сосредоточенными грузами в пролете. Невесомая П-образная рама с одним грузом, произвольно расположенном на ригеле, также представляет систему с двумя степенями свободы, если горизонтальные и вертикальные колебания груза рассматриваются совместно.
 Дифференциальные уравнения собственных колебаний записываются в виде
 ГЛ! 0 0 М,
 бххбхг 82x822 +
 УМ
 Уч.
 Здесь В0 Бе! А М Бе1
 бххбх'2
 0'
 .82x822.
 0 м2
 Отношение амплитуд собственных форм системы с двумя степенями свободы определяется уравнениями (7.22):
 ДС1
 (М16Ц-Ь5)~ + М26120 а82
 а с1
 МХ621—+( Л2- )0.
 с52
 полагая Дв1 — 1 получим из первого уравнения
 °52
 или из второго уравнения °52:
 М26мГ '
 Нормированные условием (7.39) амплитуды собственных форм
 м, 6,
 “51 :
 “52 :
 у м1м2 3 +-1,5)2 VМ1М2Ч2 +М4М16и- ■
 7.34)
 Система с тремя степенями свободы. Дифференциальные уравнения собственных колебаний системы с тремя степенями свободы в матричной форме имеют вид
 иХ1и12иХЗ
 2X 22 23
 63x632833
 о о м.
 У\
 !п
 У 2
 +
 У 2
 Уз_
 - _
 0.
 (7.35)
 Система однородных уравнений (7.22):
 8хх
 8х28хз
 0
 0 '
 82x822823
 0
 м2
 0
 —
 83x832833
 0
 со
 о
 1 0 0
 ~
 1
 ч
 X
 0 1 0
 а2
 0.
 0 0
 аз _
 0.
 (7.32)
 Характеристическое уравнение в виде полинома 2-й степени относительно X имеет вид
 Ф(Я) Я? — В1?1 + В00. (7.33)
 (7.36)
 Характеристическое уравнение в развернутом виде
 бхз з
 21 1 22 2 — 62з з
 йзх М,; 632 2 833/И3 — X
 (7.37)
 или в виде полинома 3-й степени относительно Я:
 ф(Л) X3- — В2Х$ + ВгХ — В0 : Здесь В0 Ое! АМ —
 Г 6и612613
 63x6226:
 63x632833 ■®Х [ДХ2 Х3 23]
 (7.38)
 0 М2 0 0 0 М,
 М М2 м±-м3 М2-М3
 При этом: [Д12А13А23]—матрица-строка
 замещенных определителей;
 М-.М I- матРича-столбеи, прсшзве1- 3 [дения масс
 М2.М3 \
 109

13
 611612
 Д3
 бнбй
 §21622
 631633
 Л
 622623
 Д23
 632633
 »
 I [811622633]
 Решение уравнения (7.38) дает для % три корня Хь Я,2, %3 соответствующие квадратам трех круговых частот собственных колебаний системы 01, 02,0з. Система имеет три формы, собственных колебаний, ординаты ХВк—а.к/аз которых определяются из уравнений (7.36) подстановкой в них соответствующего значения кв (первый индекс (5) означает порядок формы, второй (к)— номер амплитуды (массы). В дальнейшем нормированные условием (7.39) амплитуды собственных форм обозначаются буквами иВк). Нормированные условием
 Ъ мкх1к ■■ к 1
 1 (5 — 1,2,..., п), (7.39)
 амплитуды собственных форм системы с тремя степенями свободы определяются формулами:
 Л51 д52 Л53
 «51 тт- ; “52 : “53
 Д5 Д5
 (7.40)
 где'А,
 Д51 ~■ М;Аз
 — М362з - 2622
 Л$2 —
 — ’к3
 Д53 1
 мфц —
 Мг62 п
 — %5
 — М3613
 — Мф2з
 д5 ]/" М1д|1 + Мг Д|2 + М3 Д53.
 Система с п-степенями свободы. Характеристическое уравнение системы с га-степенями свободы имеет вид (7.25).
 Значения коэффициентов уравнения
 (7.25) определяются по следующим правилам.
 Свободный член В0 уравнения (7.25) численно равен определителю матрицы произведения— матрицы податливости (7.16) на диагональную матрицу- масс системы
 (7.17).
 В0 Бе1А М]
 Ое1 .. .М бзд. •
 . . М 1 2]!.. - ‘Мл,&2п
 • - к кк.. ' п кп
 М1 б7 1 /VI2 л21 ■ ’ Мк&пк' ■ • Мп6пп Остальные коэффициенты уравнения
 (7.25) получаются заменой строк определителя (7.41) строками единичной матрицы Е (7.21 а) по некоторому правилу и суммированием получающихся замещенных определителей.
 Для вычисления коэффициента В1 необходимо суммировать п замещенных определителей (п—1)-го порядка. В первом замещенном определителе замещается первая строка определителя (7.41) первой строкой единичной матрицы Е (7.21 а). Во втором замещенном определителе вторая строка (7.41) замещается второй строкой единичной матрицы Е. Такое замещение одной из строк (7.41) продолжается до тех пор, пока не будет образован замещенный определитель, у которого последняя строка
 (7.41) будет замещена последней строкой единичной матрицы.
 Для вычисления коэффициента Вг необходимо суммировать (л—1)п/2 замещенных определителей (я—2)-го порядка.
 В первом замещенном определителе замещается первая и вторая строки (7.41) первой и второй строками (7.21а). Во втором замещенном определителе замещаются первая и третья строки (7.45) первой и третьей строками (7.21 а). Такое замещение двух строк производится во всех возможных сочетаниях до тех пор, пока не будет образован замещенный определитель, у которого замещены предпоследняя и последняя строки.
 Для вычисления коэффициента В3 суммируются замещенные определители (п—
 3)-го порядка, для которых у определителя
 (7.41) три строки одновременно замещают¬
 ся тремя строками единичной матрицы (7.21а). Замещение производится в такой последовательности: первая, вторая, тре¬
 тья строки; затем первая, третья, четвертая строки и т. д. до тех пор, пока не будут замещены три последние строки, соответствующими строками единичной матрицы Е.
 Для вычисления коэффициента В4 суммируются замещенные определители (п—4)го порядка, для образования которых у определителя (7.41) замещаются одновременно четыре строки во всех возможных комбинациях чередования замещаемых строк (1-я, 2-я, 3-я, 4-я; 1-я, 3-я, 4-я, 5-я; 1-я, 4-я,
 5-я, 6-я, ...5 (п—3)-я, (га—2)-я, (гс— 1)-я, и-я).
 Для вычисления коэффициента Вк суммируются замещенные определители (п—к)го порядка, для образования которых у определителя (7.41) замещаются одновремен¬
 но

■но к строк соответствующими строками единичной матрицы (7.21 а).
 В матричной форме значения коэффициентов характеристического' уравнения (7.25) с учетом приведенного выше правила образования замещенных определителей, могут быть представлены следующими выражениями:
 В± — 1 2,ЪА,...,п Д1,3,4,...,п Д1,2,4„.„п
 X
 ■ М2М3М1ш . ,мп
 М М .Мп
 МгМпМ .. ,мп
 (7.42)
 _М±ММъМь.. .М _
 . Г М,МгМ,..Мп -I где [ М1М!М3...Мп_х}
 [л!
 — матрица-столбец произведения (л—1) масс системы;
 А,— ,П ,3,4,...,ГС Д1,2,4 " ‘ Д1,2,Я,4,...,П'—'Ха
 матрица-строка замещенных определителей (я—!)-го порядка, в которых замещена строка, отсутствующая в индексе соответствующей
 строкой единичной матрицы Е п-то порядка.
 В, [Д3
 ■3,4,...,п и1,4,...,11 /ч
 X Д1,2 п ■■ -Д1.2,3,4,...,(г—г! Х
 X ГМзМ .Мп МгМй. ..Мл
 м±м„.. ,мп
 [_Ж1М2М3...М71_
 (7.43)
 [Д3,4
 — матрица-столбец произведения (я—2)
 масс системы;
 матрица-строка замещенных определителей .(/1- -2)-го порядка, а которых замещено две строки, отсутствующие в индексе Д, соответствующими двумя строками единичной матрицы Е п-го порядка.
 Вя
 X
 4 ггД1,5,.
 „п • ■ ■ Д1,2,3,4
 ,г-зЗ X
 I-
 —1
 М4, .
 . Мп
 . М МЪ .
 . Мп
 (7.44)
 МгМ„
 ■ матрица-столбец I произведения (п—3) масс;
 V,-.,п Д1,2,3,4,...,я-3] - матрица-
 строка замещенных определителей (п—3)-го порядка, в которых замещено три строки, отсутствующие в индексе Л, соответствующими тремя строками единичной, матрицы Е.
 Вк [д/г+1,...,гг • -Д1,2,3 п—к\ Х"
 X ТМи
 (7.45)
 м1м,мя ■ мп-к
 — матрица-столбец произведения (я—6) масс;
 [Л+1,...,71 -Ах,2.3 п-к) матрица-строка аме-
 щенных определителей (п—к)-го порядка, в которых замещено к строк, соответствующими строками единичной матрицы Е.
 -1[6и.-А
 (7.46)
 Здесь [бц...бАй...бпп] — матрица-строка главных перемещений или главных коэффициентов податливости;
 М,
 Ми
 М.
 - матрица-столбец масс системы.
 Нормированные условием (7.39) амплитуды собственных форм определяются выражениями:
 Д51
 а52 д5й
 “51 — : “32 :— •■■■“5к — ;
 д5 д5 д5
 “5,п-1
 А3,п—1 . Л5
 А5п а5
 (7.47)
 Здесь Л51
 Мп6%пМ2®\2 Мк61к- ■ -мя—1б1.тг—1
 ~МПЬ2ПМ2ЬМ~ %3 .Мк62к- --Мп- 1й2,п-1
 ~мпькпм2&ы- ■ ■МЬ6Ш-'К8 .. .мп-16к,п-1
 ~МП6П—1,ПМ2 Ёп—1,2- • ■МЪрп—1,к- ■ •
 м
 71—1 71—1,71—1 '
 А52
 ЛГ1611—:1 ~МТ161ПМ3613- ■ ■ МП—Л,71—1 М1621 ~Л1716271Л!3623' ■ -МП—162,П—1
 • 5
 -"тАтг йЗ. • - —1 й,71—1
 М1бП-1Д ~МП6П—11ПМ36П—1,3
 Мп-г6п-1,п-1~ Х5
 д5/г
 М16Ц-%3М2Н2 -мп61п■ ■ -Мп-161,п-1.
 М2622~Х3 -Мп62П ■ ■ ■ МП~Л,П~1
 М16м” М2&к2- “"Ап• ■ ■ МП-1
 М16п—1ХМ26п—Х,2‘ • • ■ ■
 Мп-16п-1,п-~15
 111

Л5,/1-1
 м16и~1‘5
 мАг-...
 мк4к..-мп&гп
 ЛГ26а а- 5
 Мкй 1к- ■ -_'Л,1гбгп
 мг6Ы
 . -. п кп
 т я.
 М б
 Мт.6 - 1.
 1 71—1,1
 2 И—1(2-
 а5га
 М±6п-Ь5 Л. .Мк6&...Мп_4&ипг4 МАл М~13 Мк62к...Мп-А,п-1
 М1бМ М26Й2-- -МкЬкк~%3 ип-16кп-1
 М1бп~1,гМ26п- .
 МиЬ„ •? ь
 • • Я П—!,«•
 М
 71—‘1 71— 1;П—I 5
 /1
 УИ, А
 й“5А
 (1 — е) 05 ! ш с (1 + е) 05 э
 нне /-ой массы в направлении, предоставленном рассматриваемой степенью свободы, от единичной силы, приложенной а точке р по направлению действия силы Р(1); Я (О — сосредоточенная динамическая нагрузка, приложенная в точке р й изменяющаяся во времени по произвольному закону.
 Амплитуды вынужденных колебаний масс системы определяются выражением
 п I
 ' УЪ 2 “5Ьб5 ?8р ! Р М -1П 65 ( ~ Т)
 ■ 51 О
 (к 1,..га),
 (7.50)
 где — нормированная амплитуда 5-ой собст
 говая частота собственных колебаний, соответст вуклцая 5-оЙ форме, —коэффициент влия
 ния, учитывающий форму собственных колебаний распределение масс системы и перемещения о' статической сосредоточенной одиночной силы действующей в точке р приложения силы Я() Коэффициент влияния для системы с п степеня ми свободы и действии нескольких сил, прило
 женных в точках р2 р в матричной фор
 ме будут иметь вид:
 Вынужденные колебания системы с несколькими степенями свободы при отсутствии поглощения энергии колебаний. В областях, достаточно удаленных от резонансной, влияние внутреннего поглощения энергии на амплитуды вынужденных колебаний незначительно. Резонансной областью частот вынужденных колебаний в практических расчетах строительных конструкций считается область частот в пределах неравенства
 где и.
 Р — иМОкр, 'щ% ... и “
 ■ и-п
 (7.51)
 •“ матрица нормированных форм собственных колебаний
 _иП1 • ипп (7.52)
 М — диагональная матрица масс системы (7.17);
 ®кр • • ■ б1р_ б .& ’
 2 Р,
 '2 Р. г
 ипР±
 (7.53)
 (7.48)
 где б погрешность определения частот собственных колебаний, обусловленная условностями расчетной схемы, отклонениями жесткостей поперечных сечений, изменчивостью постоянных нагрузок и другими несовершенствами расчета.
 По действующим инструкциям для расчета строительных конструкций на динамические нагрузки (21, 22, 23, 25) погрешность 8 принимается в пределах 0,15—0,35 в зависимости от вида конструкции. Амплитуды вынужденных колебаний в этих внерезонансных областях соотношения частот колебаний обычно можно определять без учета затухания.
При действии на систему с п степенями свободы динамической нагрузки Р(1) дифференциальные уравнения вынужденных колебаний системы отличаются от аналогичных уравнений собственных колебаний
 (7.13) наличием правой части, зависящей от динамической нагрузки:
 п
 2 мк$1кУк 4- УЗ 6,-рР(0 (/1,2,..., п),
 к1
 (7.49)
 где —масса, сосредоточенная ь точке у — перемещение 6-ой или /-ой массы системы при вынужденных колебаниях;' 6 -р — перемеще-
 — матрица перемещений точек 1, 2п системы от действия статических единичных сил, приложенных в точках приложения динамических сил. Число столбцов матрицы равно числу действующих сосредоточенных сил.
 При действии одной силы Р(1) в точке р коэффициент Рбр влияния для 5гои формы колебаний определяется выражением:
 п
 Р5р 2 Мк6кр115к 5 1’2’ ■■•»)■
 /;1
 (7.54)
При косинусоидальном изменении динамической нагрузки Р(1:)Ра соз о{, приложенной в точке р перемещения масс системы будут:
 ик
 Р соз а I "У а- кР8р (А 1, 2,...,«),
 ■ДДЯЯ рс
 51
 (7.55)
 где о2яп0 — круговая частота вынужденных колебаний в рад/с; ло — частота вынужденных колебаний в Гц; р 1— (ш/0 )- — коэффициент, учитывающий соотношение частот вынужденных и собственных колебании; Р — амплитудное значение возмущающей нагрузки; 5 — порядковый номер формы собственных колебаний.
 Обозначив зр/рвРв, формулы для перемещений при вынужденных колебаниях системы можем записать в виде произведения матриц
 112

у и В Р соз.ш I,
 (7.56)
 где В
 р!
 — матрпца-столбец динамических коэффициентов
 /у -— матрица-столбец вектора перемещений (7Л8) масс системы,
 Из (7.55) следует, что перемещение ун выражается суммой перемещений, каждое слагаемое которой представляет перемещение 6-ой массы по соответствующей форме собственных, колебаний. При этом коэффициентом (5а учитывается влияние соответствующей формы собственных колебаний на форму вынужденных колебаний. Коэффициент Ра может быть назван динамическим коэффициентом. При отсутствии затухания коэффициентом |3в определяется также знак перемещения соответствующей формы, а следовательно, фаза перемещения. Положительному значению коэффициента (За соответствует сдвиг фаз между направлением силы и вызываемым ею перемещением, равный нулю, а отрицательному — сдвиг фаз, равный я. Максимальное значение перемещения уь. (7.55) будет при со5ш1:
 г/ и ВР
 (7.57)
 или для к-ой массы:
 умакс _ р ...+ Р5 изк +.. .+
 + Рв«п. (7.58)
 т. е. амплитуда колебаний к-ой массы при внерезонансном соотношении частот колебаний системы с несколькими степенями свободы без затухания равна алгебраической сумме амплитуд, соответствующих всем формам собственных колебаний.
 При поглощении энергии колебаний. Если при отношениях частот в/0в, близких к резонансным, внутреннее поглощение энергии колебаний не учитывается, то это приводит к преувеличению расчетных амплитуд колебаний, а при резонансе — к их неограниченному возрастанию.
 В реальных конструкциях амплитуды вынужденных колебаний при резонансе хотя и увеличиваются, но не безгранично. Ограничение амплитуд колебаний при резонансе конечным значением происходит вследствие рассеивания энергии колебаний в основном'за счет внутреннего трения.
 Дифференциальные уравнения вынужденных колебаний системы с п степенями свободы при учете внутреннего поглощения энергии колебаний по комплексной теории Е. С. Сорокина [54, 55] имеют вид
 2 	м ]к Ук + П -г 1 V) У5 бур РОО
 а 1,-..,к,..п), (7.59)
 Где у — коэффициент неупругого сопротивления материала (см. разд. 3); гУ •— 1,
 При косинусоидальном законе изменения сосредоточенной динамической нагрузки Р(7) — Р соз (о? решения уравнений (7.59) имеют вид
 ик Р 2 С05 (“ { 1'2 п).
 31 (7.60)
 где Ч5 агс!е
 - угол сдвига фазы
 1 	Сй" между силой и переме-
 д2 щением по 5ой форме
 5 колебаний.
 Остальные обозначения даны выше. Обозначая Ррз/ра з, формулу (7.60) можно записать в развернутом виде
 Ук Р [Р1«1й 003 (“1 ~ + • ■ • +
 + Р,5У5/гС05 (сй;_'у3 )+••• +
 (7.61)
 Перемещения гм определяются как сумма гармонических составляющих соответствующих форм собственных колебаний. В областях, близких к резонансу по 5-ой форме, коэффициент (За сильно возрастает, так как о)/0в—-1 и форма вынужденных колебаний в этом случае становится близкой к 5-ой форме собственных колебании. В этих областях влияние резонансной формы собственных колебаний на амплитуды вынужденных колебаний является преобладающим. Однако роль перемещений по другим формам колебаний часто также остается существенной. Максимальное значение у при заданном отношении частот ш/0в зависит от соотношений между углами сдвига фаз VI V® V,!.
 Максимальное значение перемещения 6-ой массы в рассматриваемом направлении определяется выражением
 При этом
 „макс
 Ук
 -- Р Уи\ + \у\ . (7.62)
 Цц Ъ 8.
 31
 СОЗ V
 '5 5к
 5 ’
 ' ь2 83и5йз1пу3.
 51
 О приближенном определении амплитуд вынужденных колебаний при резонансе.
 Как известно из теории колебаний [3, 6, 31,
 8—491
 113

. 114
 Т а б л и ц а 7.5
 Частотная зона
 Интервал изменения частот зоны
 Амплитуда перемещения у/{
 Коэффициент р.
 Предрезонансная
 ук Р(Ч икг + - 48 + - Рп икп)
 1 М
 /■№
 05 '
 + у-
 РР8
 1 —
 «о \2
 па \2
 1-я резонансная
 Межрезонанспая
 2-я резонансная
 Межрезоиансная
 «Ъ
 р У(Р± ик1)2 + (Р2 “йз + - + Рп акп)
 3.-
 Р1
 Р 2
 ' П0 \2
 р, -
 рз
 '-т
 V1
 Р 2
 % - Р ( 1 “Л1 + Р2 “/га + - + иЬп)
 V
 \ —
 '+ V2
 /
 1 I п° \2 уг
 ( ,г2 У
 РЗ
 I — I
 П, \2
 п2«п0««2
 % РХ
 с]/"(Р2 “йа)?+(Р]: “Й1 + Р3 икз+ ••■ + Вп «йп)а
 % р (Р “т + Р2 икг + Рз “йз+ + + 3„ икп)
 01 -
 Р1
 _ 1 Р2 . д _ 1 рз
 1 —
 По \2
 1 —
 Яо \2
 РР1
 ' я» \2
 1 —,
 ' п0 \2'

115
 3-я резонансная
 Межрезонансная
 ГРЗ
 ' \а
 '•V (Рз“11з)?+(Р1“Й1+Р2ийг+Р4и&4-+Рп0йп)5
 111а + 2 икй + - + Рп «Ап)
 01
 .. р1— I Р И-;-;
 -т -вг
 Л?!- ; р, В-
 V ь /пЛ8
 То лее
 «ир2||«“ы
 11
 р
 _ Гр,-Г-
 р,-г—1
 + 7
 Рг
 г+1 ~ "
 Р.Г+1
 г-я резонансная
 п «л„«л г 0 г
 РР,Г—2 . а _ РР,Т—1
 РГ—1 ~
 %
 (Рг
 ‘"Й)" ‘1)в
 Рг+1
 _ РР,г+1 1~Ып’г+1?

54], угол сдвига фаз между возмущающей силой и вызываемым ею перемещением равен: '
 а) при дорезонансных [см. формулу
 (7.48)] соотношениях частот ш/031—е близок к О;
 б) при резонансных соотношениях 1— —есо/081+8 равен я/2;
 в) при зарезонансных соотношениях ш/081 +б близок к я.
 Учитывая эти закономерности изменения угла сдвига фазы Vв) амплитуды вынужденных колебаний при резонансных соотношениях частот, с достаточной при технических расчетах точностью, можно определять в предположении, что для всех дорезонансных форм собственных колебаний V80, резонансных Гвл/2 и зарезонансных гзя.
 В этом случае формула (7.61) для вычисления перемещения к-ой массы при резонансе по г-ой форме собственных колебаний примет вид
 зависимости сдвига фаз от соотношения частот собственных й вынужденных колебаний.
 Примечания:
 1. При 0,85га0/)гв1,15 коэффициент Рз рекомендуется определять с учетом затухания по формуле
 р3г
 V
 + V2
 При этом в знаменателе перед корнем принимается знак выражения 1—(п0/пв}-.
 2. Обозначения: Р — амплитуда возмущающей гармонической нагрузки; щп, ик, ..., «5А, .— — ординаты 1-й, 2-й, ..., 5-й форм собственных колебаний для /г-й мас¬
 сы; Р1
 Рвг
 ■ коэффициенто!
 влияния, учитывающие формы собственных колебаний, распределение масс и перемещение от сосредоточенной силы в точке г [определяются по формуле (7.39)]; л0—ча-
 У,
 , — р V “!$+ А1Г бш (а + Я (7 63) стота вынужденных колебаний;
 и' , я' , ... — границы частотны
 п1, пг
 Максимальное значение перемещения А-ой массы
 „МИКС
 Ук
 (7.64)
 т. е. амплитуда колебаний 6-ой массы при резонансном отношении частот колебаний равна геометрической сумме амплитуды по резонансной форме колебаний и суммарной амплитуды внерезонансных форм колебаний' При этом суммарная амплитуда внерезонансных форм колебаний равна алгебраической сумме амплитуд составляющих по формам собственных колебаний (исключая амплитуду резонансной формы). Здесь акв
 п
 ~ 2 РвИяь(5йг) —алгебраическая сумма
 51
 внерезонансных форм колебаний; Ак, {Згигй—амплитуда резонансной формы колебаний.
 Указанный приближенный способ вычисления амплитуд колебаний может привести в некоторых случаях на небольшом участке внерезонансных областей, примыкающем к резонансным областям, к превышению амплитудой внерезонансных колебаний
 (7.58) амплитуды внерезонансных колебаний, определенной по (7.64), однако это превышение не выходит за пределы точности инженерных расчетов.
 В табл. 7.5 приводятся развернутые формулы для определения амплитуд вынужденных колебаний системы с п степенями свободы, основанные на упрощении
 п3 — — границы частотных зон, определенных с учетом погрешности определения частот собственных колебаний [см.
 (7.48)].
 7.3. Поперечные колебания балок с распределенной массой
 Рассматриваются поперечные колебания балок с распределенной массой, расчетные схемы которых принимаются в виде систем с бесконечным числом степеней - свободы.
 Система с бесконечным числом степеней свободы лучше, отражает действительные условия колебаний реальных балок, загруженных распределенными с небольшими по сравнению с распределенными сосредоточенными нагрузками.
 Однако при некоторой, и часто вполне достаточной схематизации явлений, возникающих при колебаниях конструкций с распределенными массами, последние могут рассчитываться как системы с конечным числом степеней свободы по формулам предыдущих глав.
 Собственные поперечные колебания балки постоянного сечения, нагруженной равномерно распределенной нагрузкой с/т . описываются без учета рассеивания энергии колебаний (затухания)1 уравнением:
 ’ В связи с тем, что рассеивание энергии колебаний на частоты и формы собственных колебаний строительных конструкций влияет незначительно, затуханием при их вычислении обычно пренебрегают.
 116

дЧ/ , д'и
 с.3 т 5л ' д1~
 (7.(55)
 Здесь Е — модуль упругости; / — момент инерции поперечного сечения относительно оси, проходя1 щей через центр тяжести поперечного сечения, перпендикулярно плоскости колебаний; т ц1§ — масса на единицу длины балки; ц — равномерно распределенная нагрузка (собственный вес и т. п.) на единицу длины балки; § — ускорение силы тяжести; х — расстояние вдоль оси балки от начала координат, которое обычно принимается на левом конце, до рассматриваемого поперечного сечения; у(х. О — поперечное смещение центра тяжести сечения балки от положения его статического равновесия; I — время.
 Решение (7.65) можно представить в форме Фурье у(х, 1)Х(х)Т(1), что приводит к двум обыкновенным дифференциальным уравнениям : а'Х _ ах'
 а-х ш-
 Т11%~
 X 0.
 Е + е2г о.
 (7.66)
 (7.67)
 Решением уравнения (7.66) является функция ■
 X (X) А 81П Хх + В сов %х +
 + С5ЬЯя: + СсИЬ', (7.68)
 которая определяет форму изгибных колебаний балки по ее длине, а решение уравнения (7.67) имеет вид
 Т (С) Сх 5Ш 0 + С2 сой 0 (7.69)
 и характеризует изменение формы колебаний во времени.
 4
 ЗдесьпгвУЕ/ — характеристическое число; 0— круговая частота собственных поперечных колебаний балки (рад/с): С\, Сз — произвольные 1 постоянные, определяемые начальными условиями (начальными: отклонением и скоростью); А, В, С, Ь — произвольные постоянные, определяемые условиями на опорах балки (граничными условиями).
 Колебания балки постоянного сечения, нагруженной равномерно распределенной нагрузкой, при действии постоянной сжимающей продольной силы N. Уравнение колебаний имеет вид
 __ дЧ/ ... д-у , д2у
 ЕЗ —-—}- N + ш —-1-
 дхх дх3 д1г
 0.
 (7.70)
 Форма изгибных колебаний балки по ее длине определяется решением уравнения
 ах
 №
 а-х
 йх'1 -
 (7.71)
 а именно Л' (.г) С± зт 5хл: + С2 соз 3±х + + С3 зЬ 52 х + С4 сЬ 52х, (7.72)
 1
 где ч д/
 ЕЗ
 V;
 5Я ■
 а'
 Изменение формы колебаний во временг определяется формулой (7.69). При растягивающей силе N знак перед второй производной по х в уравнениях (7.70) и (7.71) меняется на обратный.
 При нагружении балки продольными силами частоты и формы ее собственных колебаний изменяются. Сжимающие силы уменьшают частоту собственных колебаний, а растягивающие увеличивают ее.
 Колебания балки переменного сечения описываются уравнением
 ддх2
 — Ге/(лг)- 1 + 171 (7,74).
 [. дх3 ] дР
 где ]{х) •— момент инерции поперечного сечения балки, изменяющийся вдоль длины балки; пг{х)— погонная масса балки, изменяющаяся по ее длине.
 ‘ Форма изгибных колебаний балки определяется решением уравнения
 .ёх2 I дх-
 ■ 0гт (х) X (А’) 0, (7,75}
 (7.73)
 где 9 “ круговая частота собственных поперечных колебаний.
 Для случаев, когда балка имеет. форму клина или конуса, возможно точное . реше ние уравнения (7.75) в бесселевых функциях [29]. Обычно задача о колебаниях балки . переменного сечения решается приближенными методами [1,3].
 7.3.1. Точный метод определения частот собственных колебаний однопролетных балок
 Общее решение дифференциального уравнения собственных поперечных колебаний балки, описывающего формы колебаний (7.66), (7.71), содержит четыре произвольные постоянные А, В, С, Д которые должны быть подобраны так, чтобы для функции Х(х) удовлетворялись условия на концах балки, так называемые «граничные» или «краевые» условия («кинематические», определяемые смещениями или углами поворота, и «силовые», определяемые усилиями). Для однопролетных балок число граничных условий равно числу произвольных постоянных: по два на каждом конце балки (табл. 7.6). Например, для балки с левым (я0) жесткозаделанным и правым (х 1) шарнирно-опертым концами (рис. 7.4) граничные условия имеют вид (табл. 7.6):
 X (0) X' (0) 0; X (/) X" (/) 0;;
 Подстановка заданных граничных условий в решение (7.68) дает для определения произвольных постоянных четыре' уравнения:
 117

ь
 л
 1.
 Рис. 7.4. Схема однопролетной балки с лепой жестко защемленной и правой шарнирно-подвижной опорами
 В + 0 0;
 Л + С 0;
 А 51П XI + В со5 XI + С зЬ XI +
 + О с!! 7.1 г- 0;
 — Лз1П XI — В соз XI + С зЬ XI + Вс1Ш-0. Для нетривиального решения этих уравнений, т. е. такого решения, при котором все произвольные постоянные не были одновременно равны нулю, необходимо, чтобы определитель, составленный из коэффициентов при произвольных постоянных А, В, С, Д был равен нулю:
 0 1 0 1
 1 0 10
 51П XI соз XI нЬ XI сЬ XI
 — зш XI — соз XI зЬЯ/ сЬ XI
 0.
 Раскрытие определителя дает трансцендентное уравнение для определения величины XI (частотное уравнение):
 {6 и {Ь XI,
 корнями которого является - бесчисленное множество значений Хв1 (51, 2, ...), Вид частотного уравнения определяется граничными условиями на концах балки.
 В табл. 7.7 приведены частотные уравнения, их корни, уравнения для вычисления балочных функций и некоторые другие даиные-для однопролетных балок.
 Каждому значению корня Хз трансцендентного уравнения соответствует вполне определенная круговая частота собственных колебаний
 98 Х25угЕЛп
 (7.76)
 Часто решение уравнения (7.66) вместо
 (7.68). представляют в виде
 X (х) Л5 (х) + ВТ (х) +
 + С1Г(х) + ВУ(х), (7.77)
 где А, В, С, О — произвольные постоянные, определяемые граничными условиями на концах балки, а функции 5(х), Г(х), Ц(х), У(х), называемые функциями Крылова, представляют собой систему частных решений уравнения (7.66):
 118
 5 (л:) — (сЬ хх + С05 ЯА');
 Т (X) (б1тЯа' + 5(п Хх);
 (7,78)
 Ц (А-) ( сЬ %Х — СОБ %ХУ,
 V (X) —— (зЬ XX я- 5111 XX),
 При х—0 функции Крылова (7.78) и их производные по аргументу Хх до третьего порядка включительно составляют единичную матрицу (табл. 7.8), вследствие чего их иногда называют функциями с единичной матрицей, а систему .(7.78)—нормальной или фундаментальной системой интегралов уравнения (7.66). Последовательные выражения производных по х от функции Крылова до четвертого порядка включительно приведены в табл. 7.9. Функции Крылова обладают свойством круговой замены до производных четвертого порядка включительно. Численные значения функций Крылова даны в табл. 7.10.
 С помощью функций Крылова упрощается написание общего интеграла уравнения (7.66), который принимается таким, чтобы условия на одном из концов балки при х0 удовлетворялись автоматически. Для этого необходимо, чтобы соответству. ющие два коэффициента (7.77) были равны нулю, что легко может быть определено по табл. 7.8 и заданным граничным условиям. В результате решение в каждом конкретном случае будет содержать только две произвольные постоянные, которые определяются из условий на другом конце при х—1.
 Для рассмотренной балки (рис. 7.4) общее решение будет содержать только функции 1!(х) и У(х), поскольку (табл. 7.8) для удовлетворения граничных условий на’ левом конце (х0) необходимо, чтобы коэффициенты А а В в (7.86) были равны нулю. Следовательно, Х(х) С11(х) + +ОУ(х).
 Подстановка в граничные условия на правом конце дает для определения произвольных постоянных два уравнения:
 Х(1) Си (0 + 01/ (0 0;
 А'" (I) С5 (I) + ОТ (I) 0.
 Отсюда
 и (1)У(1)
 5 (I) Т (I)
 0.
 Раскрытие определителя дает частотное уравнение в функциях Крылова для вычисления XI:
 II (I) Т (0 - V (/) 5 (/) 0.

Т а б л н и а 7.6
 Опирание конца балки или сопряжение смежных участков
 Граничные условия или условия
 наименование
 схема
 сопряжения
 Шарнирно-опертый
 77&Т7.
 о
 и
 и
 Жесткозаделанный
 1
 1
 1
 о
 II
 II
 X
 Свободный
 о
 II
 ч
 II
 Не может поворачиваться, в остальном свободен
 ы—-
 о
 II
 ,11
 Упруго-опертый (коэффициент жесткости опоры С)
 СМг,
 ъ
 77977
 X" — 0; Е X т — сХ Х" 0; Е Xт — сХ
 Точечная масса Ш\ на свободном конце
 т.
 ‘
 ш,
 ;—©
 X" 0; т, Ь2 X — ЕЗХ'" Х 0- т,0гХЕУХ”
 Элемент. обладающий моментом инерции / массы п на шарннрноопертом или свободном конце
 тЩ- т
 Е X" (0) т 9 А" (0) Е X"' ф) тВг X (0)
 Промежуточная опора (Я — опорная реакция)
 Д
 Хлев Хпр 0
 х' х'
 лев пр « лев "'пр
 Промежуточная упругая опора (с — коэффициент жесткости)
 Лед■ Пр.
 "''лев ~ пр
 х' х’
 лев пр 1ЕЗХ") яеъ (ЕУХ")нр
 ”левг "пр + Ступенчатое изменение поперечного сечения
 X ~!к
 .
 хлев пр х' х'
 лев пр Е™"''пев (Е'1Х"Щ
 Сосредоточенная масса
 ■ лев пр
 х’ X'
 лев пр {Е X )лев (.Е X ) пр
 ',')лев(Е ”пр -т Х
 Сосредоточенная масса с моментом инерции /т
 . шт,1т МеВ. X Пр.
 у у
 ллев пр
 х' х'
 лев пр
 (Е X") ШХ") + 3 б2 X’ лев пр т пр.
 х'" ев (Е-гх'")ир-тв!хпр
 119

Схема балки. Частотные уравнения Коэффициент балочной функции
 Гранич¬
 ные
 условия
 № формы собст: венных колеба[ ний 5
 Корни частотного уравнения
 Форма собственных колебаний (балочная функция) и ее производные
 Численное значение коэффициент балочной функции а5
 Отношение частот
 а55
 4
 4
 05 “5
 X
 _ 5 4
 2 4
 :В1 Ч
 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
 10
 11
 9 ~т9- л
 р Пт1м||1Н1И1РШ.Щ — 77ТШРГГ, 779777
 Гх)
 Оперт — оперт
 51II 0
 Л:5 (О) 0 к"8 0 О А-.е (/) о
 Х3(1,0
 1
 2
 3
 4
 ; 5 5
 Защемлен — защемлен сиз . 5 I сЬ /—1 — О сЬ % I — со’5 X с I
 СГд — ——
 вН Яд I — 8111 Лз I
 х5 (0) о '5 0 О Хд « о
 Л5' °
 3
 4
 5
 5
 3,14159
 6,23318
 9,42478
 12,56637
 15,70796
 5л
 4,73004
 7,8532
 10,9956
 14,1372
 17,2788
 С25+1) -
 9,8696 39,4784 . 88,8264 157,9137 246,7401 52я2
 22,3733
 61,6728
 120,903
 199,859
 298,556
 (25 + 1) 31,0063 248,0502 837,1693 1984,4014 38757,84 5'я3
 97,409
 1558,545
 7890,134
 24936,719
 60880,662
 5'л‘
 , . 5Я.С . 5л
 Х5 «) 5111 1.5 X 51П ; Й.5 ;
 105,827
 4В4.32Э
 1329,41
 2825,45
 5158,67
 71
 (25 + 1)«—
 500,564
 3803,54
 14617,6
 39943,8
 89135,4
 ЗТ'
 (25+1)' — 16
 5
 ах
 С05 к5 Х\
 1 гх8 . ,
 — :— 51П Л5 X;
 4хг
 РХ3
 — С 05 X
 Х5 IX) Ф5 (х сЬ х —
 — СОЗ Яд — (7д (51 Яд X — 5Ш Яд );
 1 йХ с
 • Ф « зН X _ X +
 Яд ах 5 5
 + 31П Яд X — 0 - (сЬ Я X — СОЗ Я5 Ху. 1 й~ Х5
 Фс 011 Я + ах- 6 + соз Я; х — 05 (з!т Я$ X + зш Я,д ); 1 Р 5
 ах3
 ■■ Ф (-V) зЬ Я,д X ■
 ■ 51П X — 05 (сЬ Я$ X — СОЗ Я ЛГ)
 1
 1
 4
 16
 9
 81
 16
 256
 25
 625
 52
 5‘
 0,982602
 1
 1
 1,000777
 2,75654
 7,5985
 0,999966
 5,40392
 29,2023
 1,000001
 8,93295
 /9,7976
 1
 13,3443
 178,07
 1
 0,11029X X (25-И)2
 0,0Ш64Х
 Х(25+1‘

1
 1,8751
 3,51602
 6,5929
 Яишттппштп
 со
 о
 II
 о
 2
 4,69409
 22,0345
 103,432
 ■Я
 о
 II
 о ч С/ 3
 7,85476
 61,6972
 484,617
 Защемлен — свободен соз /-сЬ Х 1 + 1 0;
 4п о
 4
 5
 10,9955
 14,1372
 120,902
 199,86
 1329,38 2825,45 .
 5Ь / — 5111 1
 т —  сЪ 1 + соз 1
 5 » “ 0
 5
 (25-1) —
 о
 (25-1)2—
 4
 (25-1 )а— 8
 ЯтппШШШПЩ
 г 1%,
 Х5 (0) 0 (0) 0
 1
 2
 3
 3,9266
 7,06858
 10,2102
 15,4182
 49,9649
 104,248
 60,5412
 353,181
 1064,39
 Ъ.Х5 1 ШЯ5 1 с|д 1 С1Ь Х8 1
 X
 СО 55 СО
 II II
 О о
 4,
 5
 5
 13,3518
 16,4934
 («+1)
 4
 178,27
 272,031
 (45+1 )4 16
 2380,22 4486. 71
 Яя
 (45+1) 64
 Х$ (х) ®5 (х) СЬ X X — “ соз х — о5 (зЬ х— з!п %5 ху
 1 аХ8
 -±- ±_Ф зЬХ +
 \5 Лх 8 8
 + 51 п х — а5 (сН х5 X — соз %3 ху
 1 ЛХ5
 _ Ф сЬ Х§ х +
 12 (IX1 8
 + соз х — зЬ л: + 31П
 , ‘РХ
 1 5 :ф'5Ыо 5 Ас1
 — 31П Х5 х — а5 (сЪ х + соз Х$
 0,734095
 1
 1
 1,018466
 6,26689
 39,2739
 0,999224
 17,5475
 307,914
 1,000034
 34,3861
 1182,4
 0,999999
 56,8426
 3231,08
 / 1
 0.70174Х
 Х(25-12
 0,49244X X (25—1)
 Х5 (X) Ф5 т сЪХ3х —
 — соз х — а5 бЬ Х х — 51 п ?-5
 1 V ,
 — — Фот еЬ Л. А- +
 Х5 15 8 8
 + 5111 Л5 X — а5 сЬ Х5 х — соз Х5 ху
 1 ЙЛ5
 ф", т сН Х„ х +
 12 ах- 8 8
 Х5
 + соз Х X — а5 (зЬ X + 51 П ху
 1 ™5
 Ф (ДГ) з1 Х„ х —
 3 йх3 8 8
 5
 — 5111 х — а5 (сЬ Х5 X 4- соз Я5
 1,0007773
 1,0000014
 1
 1
 1
 1
 1
 3,24064
 6,76134
 11,5623
 17,6435
 0,04001X X (45+1)2

Таблица 7.8
 Функция
 Значения функций 5, Т, и, V и их производных по %х при х0
 функция
 производные
 первая
 вторая
 третья
 5 (0)
 1
 0
 0
 0
 Т (0)
 0
 1
 0
 0
 и (0)
 0
 0
 1
 0
 V (0)
 0
 0
 0
 1
 Т а б л и ц а 7.9
 Производные по от функций Крылова
 Функция
 первая
 вторая
 третья
 четвер¬
 тая
 5 (X)
 № да
 VI/ IX)
 Х“Т (х)
 АЛ5 (х)
 . Т (х)
 Я5 (х)
 Х~У (X)
 ХЮ (х)
 \‘Т х)
 V (ж)
 ХТ (X)
 Х-3 «)
 %3У .х)
 Х'и а
 V (х)
 Ш (X)
 Х-Т (Х)
 Х5 (х)
 Х‘У (X)
 Таблица 7.10
 ах
 5 (ах)
 Т (ах
 V (ах)
 V (ах)
 0,00
 1,0000
 0,0000
 0,0000
 0,0000
 0,01
 1,0000
 0,0100
 0,0000
 0,0000
 0,02
 1,0000
 0,0200
 0,0002
 0,0000
 0,03
 1,0000
 0,0300
 0,0004
 0,0000
 . 0,04
 1,0000
 0,0400
 0,0008
 0,0000
 0,05.
 1,0000
 0,0500
 0,0012
 0,0000
 0,0В
 1,0000
 0,0600
 0,0018
 0,0000
 0,07
 1,0000
 0,0700
 0,0024
 0,0001
 0,08
 1,0000
 0,0800
 0,0032
 0,0001
 0,09
 1,0000
 0,0900
 0,0041
 0,0001
 , 1 0,10
 1,0000
 0,1000
 0,0050
 0,0002
 0,20
 1,0001
 0,2000
 0,0200
 0,0013
 0,30
 1,0003
 0,3000
 0,0450
 0,0045
 0,40
 1,0011
 0,4001
 0,0800
 0,0106
 0,50
 1,0026
 0,5003
 0,1250
 0,0208
 0,60
 1,0654
 0,6006
 0,1801
 0.0361
 0,70
 1,0100
 0,7019
 0,2452
 ■ и,0572 •
 .0,80
 1,0170
 0,8027
 0,3204
 О! 0854
 0,90
 1,0274
 0,9049
 0,4057
 0,1216
 1,00
 1,0417.
 1,0083
 0,5014
 0,1669
 1,10
 1,0611
 1,1134
 0,6075
 0,2222
 7.3.2, Собственные колебания неразрезных балок
 Уравнение собственных поперечных колебаний неразрезной балки с равномерно распределенной массой аналогично уравнению колебаний однопролетной, балки. Для балки с постоянным в каждом пролете поперечным сечением уравнение колебаний имеет вид (7.65), а его решение для каждого пролета имеет вид (7.68). Однако произвольные постоянные Л, В, С, О решения (7.68) различны для каждого пролета. Следовательно, для я-пролетной неразрез¬
 ной балки в общем случае будет Ап- произ-. вольных постоянных.
 Произвольные постоянные Ль Ви Сп, Ип определяются из решения системы линейных алгебраических уравнений. Система уравнений составляется из условия удовлетворения решения уравнения колебаний (7.68) для каждого пролета граничным условиям на крайних опорах неразрезной балки и условиям сопряжения на промежуточных опорах (см. табл. 7.6). Система таких уравнений однородна, поэтому условием нетривиального решения будет равенство нулю определителя, составленного из коэффициентов при постоянных. Приравнивание нулю определителя позволяет получить уравнение частот собственных колебаний неразрезной балки.
 Для определения форм собственных колебаний значения произвольных постоянных и корней частотного уравнения подставляются в решение уравнения колебаний (7.68). Каждому корню частотного уравнения соответствует вполне определенная форма собственных колебаний.
 Для примера рассмотрим составление частотного уравнения для двухпролетной шарнирно-опертой неразрезной балки с неравными пролетами Л и к- Решение уравнения колебаний (7.68) для первого пролета
 Ух ('1) Л «п + В1 соз + Сг зЬ Н- О сЬ Я при 0 с хг 1±\ для второго пролета
 у2 (х2) Л2 51П %х2 + Ва соя %х2 + С2 зЬ Яжа+ + сЬ ?а2; при 0 х% ■ 1г.
 Из граничных условий и условий сопряжения на промежуточной опоре имеем:
 Ух (0) у1 (0) - 0; ух (/х) уа (0) 0;
 у[ ( ) У-2 (°) У\{1 1Л(°У’
 У2 (У -"а (У °-
 Система однородных алгебраических уравнений для определения произвольных постоянных Аи Вь .... будет иметь вид:
 Л 51П + С сЬ — 0;
 Лх соз Я+ Сх сЬ \1% — Лч — С2 0;
 — Л!.31П и± -}- С-1 зЬ %1± — 2Г2 — 0;
 Л2 з1п Х/2 С2 зЬ %12 + (сЬ Ы2 — соз и2) О2. 0;
 — Л2 зш %Ь2 С2 сЬ Я/2 +
 + (сЬ Ма + соз Ыг) 0.
 Для существования нетривиального решения этой системы необходимо, чтобы
 122

определитель, составленный из коэффициентов при нензвестных произвольных постог янных Аи Съ Л2, Сг, Ог был равен нулю. Равенство нулю этого определителя дает трансцендентное уравнение для вычисления значения X:
 зЬ[ШзЬ(1—ц) АЛ 51П.М —
 — зш |Ш зш (1 — (X) Ы зЬ Ы О, где 11х + 12.
 Значения \1а.1 для первого (основного) тона собственных колебаний двухпролетной балки приведены в [60], где имеются также коэффициенты частоты для некоторых других схем неразрезных балок. Там же приведены' формы собственных колебаний неразрезных равнопролетных балок со свободно опертыми концами и коэффициенты частоты для этих балок.
 Частотные уравнения для неразрезных балок, у которых сечение остается постоянным в пределах каждого пролета, но может изменяться при переходе от одного пролета к другому, удобно составлять в форме уравнения трех моментов [27, 43, 52].
 м + ( + ±)мя +
 V 1п ‘п+1 1
 71+1
 И г_
 7г
 -
 'п-И
 (7,79)
 Здесь Мп— опорный момент на я-ой опоре; 1п — пПп— погонная жесткость п-го пролета; п — номер пролета, совпадающий с номером правой опоры данного пролета
 1
 С5С
 ■ сзсЬ XI-
 7- •
 п
 V
 гг
 т- — V-
 аъип-с1В%1п 2 Х1„
 [см
 (7.80)
 (7.78)].
 7,3.3. Вынужденные колебания балок
 При действии на балку внешней нагрузки, изменяющейся во времени, вынужденные колебания’ балки относительно положения статического равновесия описываются неоднородными дифференциальными уравнениями, левая часть которых совпадает с уравнениями (7.65), (7.70) и (7.74).
 Общее решение неоднородного уравнения состоит из общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного. При этом общим решением однородного уравнения характеризуются свободные колебания, а частным решением неоднородного уравнения — вынужденные колебания. При гармонической возмущающей силе вынужденные колебания происходят с частотой возмущающей силы.
 Здесь рассматриваются только установившиеся чисто вынужденные колебания при действии гармоническнх сил.
 При отсутствии поглощения энергии колебаний. Для нзгибных колебаний балки постоянного сечения с равномерно распределенной массой дифференциальное уравнение вынужденных колебаний при , отсутствии рассеивания энергии имеет вид
 л»-+т-м.
 дх дР
 Здесь р(х, 2)— возмущающая нагрузка, изменяющаяся во времени.
 Если р(х, /) — (x)5т(( ) +а), то решение (7.81) ищут в форме у(х, 1) \17(л:)з1п((в +а), и тогда для функции №(х), характеризующей форму вынужденных поперечных колебаний балки, получают дифференциальное уравнение а1ш
 Е ■
 ■ р (ж. ).
 (7,81)
 Е -
 ■ та-\Хг ц (х),
 (7,82)
 &п- Тп, ип, \'п— функции Крылова
 Для неразрезной балки можно соста. вить столько уравнений вида (7.79), сколько имеется опор. Все эти уравнения относительно моментов будут однородными. Поэтому задача вычисления частот сведится к составлению определителя для коэффициентов уравнения трех моментов и решения частотного уравнения. Частотное уравнение неразрезных балок можно также составлять по методу перемещений (деформаций).
 Таблицы для расчета однопролетных и неразрезных балок имеются в ряде работ, например [21, 22, 25; 31], где даны также' коэффициенты приведения сосредоточенных нагрузок к распределенным.
 Ли1
 Воспользовавшись методом разложения решения по формам собственных колебаний балки, для случая сосредоточенной гармонической силы Р(Ь) Р зт(ш//+а), действующей в сечении ха, получим следующее выражение для динамического прогиба (амплитуды вынужденных колебаний) :
 тах №'(|)-
 “5 «“5 (У
 ш1
 (7,83)
 51
 Здесь Р — амплитуда, гармонической силы; ш — круговая частота вынужденных колебаний; Ь,
 (к /;2)'|/гЁ//тЯ "|/ЛЕЦт—круговая частота
 собственных поперечных колебании балки по 5-му тону: 5 1,2,...—порядковый номер частоты и соответствующей ей формы собственных колебаний балки; а2 — корень характеристического
 уравнения (табл. 7.7); и„ (1) — нормированная
 123

балочная функция, соответствующая ,.5-Й форме собственных колебаний рассматриваемой балки; \х(1 — относительное расстояние от левой опоры;
 1 — пролет балки; х — расстояние от левой опоры до• сечения, где определяется•• прогиб №(?); с-ц — -в//.
 При этом балочные функции «н(5),
 1
 ив(1а) нормированы условием |м|(|) 1
 п
 для однопролетных балок и условием N 1
 2 1, где г—номер пролета г10.
 балки {г— 1, 2, /V). Выражение (7.83)
 после преобразований может быть записано в виде
 при разложении решения по нормированным формам собственных колебаний будет иметь вид :
 61
 1 (6)-
 РР
 и5 Гб) П5 (У
 5111
 (7,86)
 рп
 шах V? (|) — X
 а Е Здесь V агс{в ' ,,
 Л 1 — (0-/6-
 .дя
 51
 1 — ■
 (7,84)
 где « (|), — нормированные, балочные
 функции, определяемые по таблицам балочных функций
 — угол сдвига фазы между силой и перемещением по 5-й форме собственных колебаний.
 Максимальное значение динамического перемещения (амплитуда колебаний) в сечении §х/1 при действии в сечении |а — аЦ сосредоточенной гармонической силы и заданном отношении частот со/0з определяется выражением:
 В табл. 7.12 приведены значения коэффициента 1"] тр- для определения амплитуды вынужденных колебаний в сечении §// однопролетной шарнирно-опертой балки при действии гармонической сосредоточенной силы в сечении Ълха11-
 При наличии внутреннего поглощения энергии колебаний. Дифференциальное уравнение вынужденных поперечных колебаний балки постоянного сечения при гармонической нагрузке и учете внутреннего поглощения энергии по комплексной теории Е. С. Сорокина имеет вид
 V (1) V\иуа Ш]« + [|/ро (!].
 Здесь
 У1» "5 (У
 (7,87).
 д2и
 т + (1 + 1у) Е ■
 д1г
 дх
 (7,85)
 Здесь V — коэффициент неупругого сопротивления материала.
 “с- (6) и (I
 (У
 К5 Г
 51, —
 “1
 Остальные обозначения приведены выше [см. пояснения обозначений к формулам (7.65)и (7.83}].
 Для функции !?'(§), характеризующей форму вынужденных колебаний балки при действии сосредоточенной силы Р{/) Р 5ш(сог+х). решение уравнения (7.85)
 1 Подробные таблицы балочных функций и их
 производных для однопролетных и неразрезных равнопролетных балок со свободно опертыми концами приведены, например, в [22, 25].
 Следует еще раз отметить, что в областях, удаленных от резонансных отношений частот со/05, влияние затухания на амплитуды вынужденных колебаний незначительно, и в этих областях расчет можно производить без учета затухания. Все упрощения расчета, описанные ранее, вполне применимы при вынужденных колебаниях системы с распределенными параметрами.
 124

В табл. 7.11 приведена сводка формул для определения амплитуд колебаний, углов поворота, изгибающих моментов и поперечных сил при действии на балку одной сосредоточенной силы или одного момента, изменяющихся во времени по гармоническому закону.
 7.4. Колебания плоских рам
 Рассматриваются общие методы определения частот и форм собственных колебаний плоских статически неопределимых рам. При этом влияние переменных продольных сил на изгибающие моменты, влияние сдвига и инерции вращения поперечных сечений не учитываются.
 Метод сил. При динамическом расчете рам по методу сил основная система для заданной системы образуется путем отбрасывания связей, так же как при статическом расчете, и заменой их реакциями. При установившихся колебаниях от гармонической нагрузки с частотой ш все внутренние силы и перемещения будут изменяться по гармоническому закону с частотой со. Следовательно, реакции в отброшенных связях Х| (() Хг зш а(, ..., ХпЦ) —Хп зш со?, где
 Х[,...,Хп — амплитуда усилия неизвестной реакции, связи.
 - Как известно [45], система канонических уравнений метода сил составляется из условия отсутствия перемещения в направлении отброшенных связей. Поэтому для к-й отброшенной связи каноническое уравнение будет иметь вид
 §к1 &ит Хт + ... + бьь Хь +
 + ...+6йпХп + Дйр 0 (7.88)
 где 6 гп — амплитуда перемещения по направлению неизвестной реакции отброшенной связи X от единичной силы Хт—1 з1П А р— амплитуда перемещения от внешней гармонической нагрузки в том же направлении.
 Единичные перемещения бьт и свободные члены Дьр определяют по формулам:
 кт.
 м
 т
 Ь ЕЗ Мр
 к
 ЕЗ
 аз,
 (7,89)
 Здесь — изгибающие- моменты от статической силы «1. Мт и Мр—амплитуды изгибающих моментов от динамической силы Хт»1зтсог? и от заданной внешней нагрузки.
 Для определения частоты собственных колебаний в уравнении (7.88) принимается
 Т а б л и ц а 7.11
 Амплитудное значение в сечении
 При отсутствии внутреннего поглощения энергии колебаний
 при действии сосредоточенной гармонической силы Р Ц) Рз1П (со I + %) в сечении
 I —
 ~п
 при действии сосредоточенного гармонического момента М {О — М зхп со -}- х а
 в сечении с, —
 Перемещение № е)
 Угол поворота IV' се)
 Изгибающий момент М |)
 Поперечная
 сила
 рр
 а Е Р1"
 51
 а
 "5Гб) «5 (У Р
 V1’ “5 (У Р5
 51
 ”5" “5(1а)Р5
 51
 “5 (|) И5(У 51
 У5
 1
 51
 оо ,
 !3Е) “5 (У Р5
 51
 ?а) Р5
 51
 “56) “5(?а) Р5
 51
 9-'
 125

Продолжение табл. 7.11
 Амплитудное значение в сечешш
 1- —
 /
 При наличии внутреннего поглощения энергии колебаний
 при действии сосредоточенной гармонической силы Р И)Р 51 п (Ш+Х) в сечении §аа/1
 при действии сосредоточенного гармонического момента М (1)М зт «л1+‘Ю в сечешш с„ -21
 Перемещение №(1)
 ]/ 1?' (1) + V2 (!; а4ш V ра ра
 00
 ираЪ 2 "яф “в(Ев)Х
 51
 х о57 З1п 75;
 сю
 УРа ? "5 "5 (У X 51
 X р5г соя 75
 К иш (|) + с,и
 51 X зш ;
 ОС
 2
 51
 X р57 с05 75
 Угол поворота
 и’Ра 2 яН“з(6«)Х
 51
 X Р5.У 51 п ?5; оо
 2 “« «5(6 ) X 51
 X 08у 305 75
 VиМа ? + УМа&
 а'1 Е 1 Ма Ма
 оо
 11 Ма 2 “5 Е и8 (Еа) Х 51
 X р$у&\пу3 ;
 ОО
 УМа2 и'зфиз(К)Х
 51 Хр соз Гд
 Изгибающий момент М(|)
 1
 со
 (Е)2 “5® их(Юх 51
 X Р5т 81П Г51
 С(2 и"з и$(К) х
 51
 х Р57 С08 Т5
 »4-Уг „«+ 1
 оо
 ««21 “з‘ЕЧ(\,)
 51
 X 31П 7 31П 75; оо
 УМа Е) 2 “з (Е) и3 (?а) Х 51
 ХР5?соз75
 1

а
 еГсо
 5 § г
 X
 о
 ■я.г.
 X
 ■'""в
 ЗАГ‘
 СО
 а
 со
 а
 ЫЛ
 СО
 Р-
 Е
 ]
 V
 ш
 со
 ?•
 5 СО а
 8 ИД
 со
 а
 V
 II
 ил
 а
 5 О. &
 ил » а 5 О.
 Л X
 ?-
 +
 +
 ’З’ СО 6
 1-1 у и
 ~ 5
 к
 С{ ВС К й
 й о 'О
 в'е- а
 4 й си а о
 5 Р 2 у Е- а » о
 СТ го.
 я а
 я к
 в о я
 оз о)’ [- а
 «о & о в
 й К 2
 “ 3 й 5
 . а и и
 —ч о,  о еэ
 ! а Й
 3 й 5
 & а _
 о Я ~ о 2 «1
 я й СО
 . 3
 3 н сг ~
 4 "я ~
 \о Я ч с/п га га а н о й) -
 " о0 а а 4 - я
 2
 5 а с ■
 ё. о я
 о -& СГ .о, и
 5 3. .
 к И . ч га е к
 л.
 ИЛ
 ПО %
 О,
 с
 О о ~
 Айр 0. Тогда канонические уравнения будут однородными, н для получения значений неизвестных усилий в отброшенных связях Хт, отличных от нуля, необходимо, чтобы определитель из коэффициентов этих канонических уравнений был равен нулю, Раскрытие определителя дает трансцён-' дентное уравнение для определения частот собственных колебаний рамы.
 Метод сил для практического динамического расчета рам в общем случае является чрезвычайно сложным и применяется в случаях, когда вычисление коэффициентов канонических уравнений не представляет затруднений [27].
 Метод перемещений (деформаций) представляет собой один из наиболее удобных методов динамического расчета рамных систем [43, 52, 64].
 Основная система . образуется путем наложения дополнительных связей, препятствующих поворотам и линейным смещениям узлов рамы. За «лишние» неизвестные принимаются линейные и угловые смещения узлов рамы, для определения которых составляются канонические уравнения, выражающие условие равенства нулю реакций в наложенных связях.
 Каноническое уравнение для 6-ой связи:
 г&121+ +гкт2т+— +Гкк2к +
 + ... + гкп %п + %кр 0 к\, п. (7.90)
 Здесь г т — амплитуда реакции, возникающей в 6-й связи при единичном смещении в направлении т-й связи; 2д, — «лишнее» неизвестное: амплитуда линейного или углового смещения 6-го узла рамы; — амплитуда реакции к-й связи от пнешней гармонической нагрузки.
 Число уравнений (7.90) будет равно числу связей, введенных для закрепления системы. Реакции гьт и Пир определяются по данным табл. 7.12 [4, 43], в которой 5, Т, и, V — функции Крылова для соответствующего стержня рамы. Собственные колебания рамы описываются системой: уравнений (7.90), в которой принимают Икр — 0.
 Приравнивание нулю определителя однородных’ уравнений метода перемещений позволяет получить частотное уравнение. Примеры динамического расчета плоских рам имеются в ряде работ [16, 31, 35; 43, 52, 64, 70].
 Точные методы динамического расчета рам как систем с распределенными параметрами даже при использовании ЭВМ чрезвычайно трудоемки. В практических инженерных расчетах рам целесообразно использовать приближенные методы, напри-
 127

Таблица 7.12
 Продолжение табл. 7.12
 То же
 Единичное смещение
 Тип смещения
 Схема стержня и расчетные формулы
 1'5ЫъшЬ•
 Дг
 |Г
 1 ы
 Единичный поворот
 аЕ1 (5У — ГС/)
 •кк
 и- — ту
 а-
 ЕУ (5У — К2) .
 ггк
 и- — ту
 гтпк
 аЕУ1/ у _ ту
 гпк “
 — а- ЕЛГ
 и1 — я/
 ГЗЬПШь
 Чк
 'Ш-
 аЕЗ (Г — УЬ _
 — ту
 а- Е7 (УУ — 5Г) гк~ 51/ — ГУ
 пк
 _ а2 ЕЛ 5У—ГО
 V
 5К —ТУ
 'ЬГ
 У2 — Г1' а2 Е./ (I'- — 5У)
 у2 — п-
 а- Е./У
 и- — ту
 — а3 Е./Г У- — Т1-'
 1ип смещения
 Единичное смещение
 Внешняя
 гармони¬
 ческая
 нагрузка
 Схема стержня и расчетные формулы
 'ЬГ
 а2 Е./ (У2 — 53) 5У — ГУ
 а2 ЕЗ (8Т — У1/) 51/ - ТУ
 а3 Е/5
 Гпг _ ти
 а,и
 5У — ГУ
 йр
 гР
 ' /Г/1
 Нр
 \Рз1пшЬ
 \Кпр
 У Т —5 V о _ п 2а а °2а а Ър  2а 2о 2а ''"га
 а ча 1 2а 2а 2а
 128

мер, рассматривая рамы как системы с конечным числом степеней свободы.
 В этом случае при определении числа сосредоточенных масс расчетной схемы следует стремиться к минимально необходимому числу масс, поскольку трудоемкость расчета в сильной степени зависит от числа масс. При этом следует иметь в виду, что:
 а) при выборе расположения масс системы необходимо учитывать реальное расположение сосредоточенных масс, к которым и рекомендуется приводить распределенные массы, а при отсутствии сосредоточенных масс на элементе рамы, распределенные массы рекомендуется приводить к таким сечениям, в которых при колебаниях возможны максимальные перемещения;
 б) уменьшение числа учитываемых сосредоточенных масс системы приводит к потере частот собственных колебаний, соответствующих’ формам колебаний с наибольшими амплитудами в сечениях отброшенных масс системы.
 При определении числа степеней свободы рамы с дискретными массами следует обратить особое внимание на то обстоятельство, что стойки рам необходимо считать упругими, как вдоль своей оси (т. е. сжимаемыми), так и поперек оси (т. е. изгибаемыми и работающими на сдвиг), а
 ригель рамы допускается считать неупругим вдоль оси (несжимаемым) и упругим в поперечном направлении (изгибаемом и работающим на сдвиг).
 В соответствии с указанным, массы, расположенные иа стоиках, могут перемещаться независимо одна от другой как вдоль оси стойки,, так и поперек ее, т. е. каждая из этих масс имеет две степени свободы.
 В то же время для масс, расположенных на ригелях (в том числе и в узлах рамы) допускается считать, что они могут перемещаться независимо одна от другой только поперек оси ригеля, а вдоль его оси перемещаются как одна (равная их сумме) масса. Следовательно, общее число степеней свободы плоской рамы с дискретными массами при указанных выше условиях определяется выражением
 С — 2тст + ШрИ + п,
 где шст ■— число масс на стойках (исключая узловые); "!рпг — то же. на ригелях (включая узловые): п — число ригелей, расположенных в разных уровнях.
 В целях дальнейшего упрощения динамического расчета плоских рам как систем с несколькими степенями свободы последний можно производить в предположении взаимной зависимости вертикальных и горизонтальных колебаний рамы.
 РАЗДЕЛ 8' КОЛЕБАНИЯ ПЛАСТИНОК
 (Б. Г. КОРЕНЕВ, А. И. ЦЕЙТЛИН)
 Пластинкой (тонкой плитой) называется цилиндрическое или призматическое тело, высота (толщина) которого мала по сравнению с остальными размерами. В зависимости от конфигурации основания различают пластинки прямоугольные, круглые, кольцевые, трапециевидные, треугольные и т. п. Пластинки из материала с одинаковыми во всех направлениях механическими свойствами называются изотропными. Если механические свойства материала различны в разных направлениях, то пластинка называется анизотропной. К последнему случаю часто относят также и пластинки с часто расположенными ребрами, ориентированным армированием и т. п. (конструктивная анизотропия).
 Обычно рассматривают три основных типа пластинок и плит, с различным отноше9-491
 нпем толщины к наименьшему размеру основания: 1) толстые плиты; 2) тонкие плиты или «жесткие» пластинки; 3) гибкие пластинки.
 Плиту принято считать толстой, если отношение толщины к наименьшему размеру основания превышает ‘/в- Напряженное состояние толстых плит описывается общими уравнениями теории упругости. Тонкие плиты («жесткие» пластинки) имеют меньшее отношение, чем '/б. и их прогибы малы по сравнению с толщиной. Напряженно-деформированное состояние таких плит описывается технической теорией изгиба.
 Гибкие пластинки характеризуются, малым отношением толщины к размерам в плане и не малыми по сравнению с толщиной прогибами, что приводит к появлению существенных продольных усилий, оказы-
 129

дх
 ду
 д2т&
 01-
 дх
 дми
 Оу
 дМ
 УХ
 ду
 (8,1)
 +
 дх
 Рис, 8,1
 вающих большое влияние на напряженное состояние пластинки.
 Такое деление, вообще говоря, является условным, ибо основное значение для определения характера деформирования пластинки имеет не отношение ее толщины к размерам в плане, а отношение толщины к наименьшей длине волны деформирования. Поэтому при изучении свободных колебаний пластинок определение низких частот и форм колебаний обычно основывается на применении технической теории изгиба; для определения сравнительно высоких частот и форм колебаний приходится использовать уточненные теории или общие уравнения теории упругости. Кроме того, применение той или иной теории изгиба пластин, связанной с указанным делением, может зависеть от характера нагружения пластинки и от тех параметров напряженно-деформированного состояния, которые определяются в результате расчета.
 8.1. Техническая теория изгиба и малые колебания упругих пластинок
 Техническая теория изгиба пластинок основывается на следующих допущениях:
 1) при деформировании пластинки нормали к срединной плоскости остаются прямыми (гипотеза прямых нормалей);
 2) нормальные напряжения на площадках, параллельных срединной поверхности пластинки, отсутствуют.
 При этом предполагается также, что деформации пластинки при изгибе остаются малыми, упругими и подчиняющимися закону Гука.
 Уравнения движения элементарной призмы, выделяемой около точки срединной плоскости с координатами х, у (рис. 8.1), имеют вид:
 где ц, ш — внешняя нагрузка и масса пластинки на единицу площади; М;/ — изгибающие "мо¬
 менты; МХу, Мух — крутящие моменты; С}х, ф — поперечные силы; ш — прогиб (перемещение) пластинки.
 С помощью закона Гука внутренние усилия в пластинке можно выразить через ее прогиб по формулам:
 д-и) , д2ш \ )
 ду-
 д~и!)
 • й
 м.
 У
 •01
 ( д-& I дх-
 ду2
 д
 дх
 д
 ду
 дх~
 А СО;
 - Да;;
 ?):
 2иУ \
 (8,2)
 М.
 ху -
 д~и}
 дх ду ]
 Здесь ЛЕЛ3/12(1—V2) — цилиндрическая жесткость пластинки; Е — модуль упругости; V — коэффициент Пуассона;' к— толщина пластинки; Д №1йх-) + (й2(с1у-) — оператор Лапласа в прямо угольных координатах.
 Исключая в уравнениях (8.1) поперечные силы, получим
 + 2-
 д-М,
 ху
 л. дШУ
 . а!.. /
 д-ш)
 дх1 дх ду ду~ д(~
 Подстановка в '(8.3) выражений (8.2)' в случае, когда пластинка имеет переменную жесткость, дает
 до д л , „ дО д
 ОДДш 2 ■
 дх дх
 ду
 4- ДО Дда — (1 — д-О
 V)
 / д-Р
 \ дх-
 ду
 5-0
 Дш
 д2Х0
 д т \ дх2 )
 д2т
 ду" дхду охай дЧ&
 +
 „ , + 7, (8,4)
 ду- дх- ) дГ-
 Для пластинки постоянной жесткости уравнение колебаний принимает вид
 СДДш + т (д?ш/дй) ? (х, у, I). (8.5)
 Если в плоскости однородной пластинки действуют продольные силы, то в (8.5) появляются дополнительные члены:
 У
 д-12)
 др
 д-т
 ± Л''
 д2ии
 дх-
 7 (\ /У )
 (8.6)
 где N хп Му — интенсивность продольных сил, параллельных, осям х н у соответственно; знак плюс берется при сжимающих силах, знак минус — при растягивающих.
 При использовании полярных координат (рис. 8.2) внутренние усилия выража-
 130

м.
 ются через перемещения пластинки по формулам:
 д-га
 Ив2
 В-ш д-ш
 Н V ае2 дг-
 д дг
 „ Г З-ш , / 1 дт , 1
 -ТТ + Ч 1“ + —г-
 I. дг“ \ г дг т“
 %я « / 1 дш . 1 д2ш ,
 Мв -0 - —- + V-
 V г дг г~ 50-
 Мгв « О (1« V) -2_ (— ;
 V г дв ]
 '№
 (8,7)
 ?Г -ДГ д-
 где Дг т дг-
 и»;
 4 ‘
 1
 1Г + '
 дг
 50
 а3
 ав2
 °(-
 м.
 -Щ +
 дг'\
 ■)
 —) : (8.10)
 г 1
 О0 Мг8 0,
 дг- г дг
 При действии радиальных сил, приложенных к контуру в плоскости пластинки, уравнение колебаний принимает вид
 ПД;, Дг ш ± ЫАГ К’ ~г т -
 д!2
 Ч(г. 0, {),
 где N — интенснвность продольной силы на контуре; знак плюс берется при сжимающих, минус — при растягивающих силах.
 Решение уравнения колебаний пластинки должно удовлетворять граничным условиям, которые зависят от способа закреп¬
 ления ее краев. Если ограничения накладываются на перемещения п углы поворота, то граничные условия называют геометрическими; граничные условия, налагаемые на моменты и поперечные силы, называют динамическими.
 Для прямоугольной пластинки, рассматриваемой в декартовых координатах, граничные условия на краях ха или у—Ь задаются в следующем виде.
 1. Шарнирно опертый край (прогиб и изгибающий момент равны нулю) :
 д!т , д2ш
 [- V дх- ду"
 д-и
 дх2
 Из условия ш0 при
 д-чо I
 0;
 ■ 0 при х сг.
 „ д-т , а/— 0; 1- V
 ду2
 (8.11)
 — оператор Лапласа в полярных координатах.
 Уравнение колебаний пластинки постоянного сечения в полярных координатах имеет вид 1
 ЛДГ Дг т + т (д?ш/дЩ д (г, 0, I). (8.8) При осесимметричных колебаниях пластинки, когда внешняя нагрузка или начальное возмущение, вызвавшее колебания, не зависят от полярного угла, уравнение (8.8) упрощается:
 I 1 Э \2 д-ш ,
 1 г ш +т д (г, ),
 дг- г дг I д12
 (8.9)
 Моменты и поперечные силы при этом определяют по формулам:
 д-т V дт
 дг2 г дг
 дау дг
 д ( д2иу , 1 дин
 дг
 0 при у Ъ,
 х—а следует, . поэтому граничные условия (8.11) можно упростить:
 (8.12)
 ЧТО “ТТ1 0,
 ду- | ха
 т дтш/дх 0 при х а; т — дЫ!дф 0 при у Ь.
 2. Защемленный край (прогиб и угол поворота равны нулю):
 т дш!дх 0 при х — а; т — дт]ду — 0 при у Ь.
 3. Свободный край (момент и приведенная поперечная сила
 2 + {дМху/ду) или (1у-\-(дМуъ1дх) равны нулю)':
 (8.13)
 д-ш дх-
 + V
 + (2 — V) ■
 д-т ду2
 + (2 « V) ■
 д2ш ду2 б3ау дхду2 д2л дх2 д3т дуд х2
 • V
 0;
 0
 0;
 д3и дх-1
 +
 ирн х а;
 д3т
 ду2
 0 при у
 • +
 ■ Ъ,
 (8.14)
 (8.15)
 4. Смещаемый, но неповорачивающийся край (скользящая заделка) (угол поворота и приведенная поперечная сила равны нулю):
 деи/дх д3ш/дх3 0 при х а; дш/ду — д аа/ду - 0 при у Ь.
 Перечисленные граничные условия охватывают основные случаи закрепления краев пластинки. Возмонсны и более сложные случаи, когда заданы линейные комбинации силовых и кинематических параметров, например при упругоопертом и упругозащемленном крае.
 Рассмотренные граничные условия называются однородными. Если же на контуре пластинки заданы кинематические или
 9
 131

силовые параметры, то в правых частях соответствующих равенств появляются заданные функции, и такие граничные уело» вия называются неоднородными.
 Для круглых и кольцевых пластинок, рассматриваемых в полярной системе координат, граничные условия на краю га имеют вид:
 а) защемленный край
 дю
 ей (а, 0, () (а,- 0( {) 0;
 дг
 (8.16)
 [
 б) свободный край
 Г - +УМ_- +
 I. дг- г дг
 —} 1 0: в'- ) \га
 дт дг
 I д-ии
 7- дв"-
 1 д2и 1 д&)
 дг3 г г2 дг
 2 — у _у_ д3т 1
 г3 йб2 г2 дгдв \г—
 д?ш
 + ■
 0:
 (8.17)
 в) шарнирно-опертый край
 дии
 дг I га
 ш (е5 0,- {) 0;
 д2ш V
 дг2 Т
 0, (8.18)
 При осесимметричных колебаниях в граничных условиях «б» исчезают производные по полярному углу. Для сплошных пластинок, не имеющих отверстия в начале координат, кроме того, должны рассматриваться условия в точке г0. При отсутствии сосредоточенной нагрузки в этой точке прогиб, угол поворота, изгибающий момент и поперечная сила ограничены и непрерывны. Если в точке г0 действует сосредоточенная сила Р((}, то
 д-т
 ■ Нг )]-’
 Для пластинки, закрепленной в центре, должно удовлетворяться условие
 ш(0, 0, 0 0. (8,20)
 Потенциальную энергию деформаций пластинки при колебаниях вычисляют по формулам:
 в прямоугольных координатах
 2ло Пт г-»0
 Гг (-2»+-1
 I I дг V дг ■РЦ).
 (8.19)
 32ш
 Э |(Дс02) - 2 (1 — V) X
 5
 Г д2ш) д-ю /
 [ дх2 ду2 \
 [ЫХ коор
 ~НИ
 дхду
 в полярных координатах
 д2ю 1
 ~ 7
 Л;
 (8.21)
 +
 , 1 Л\ д ( 1 дш 4 2-1-1
 т“77 )--(-1ГТГ8' (ЗЛ2)
 Кинетическая энергия
 гт-Ят(-1г)?й' ВЛЗ)
 5
 где 5 — площадь, занимаемая пластинкой; 5 ахйу в прямоугольных координатах; с1з
 гагсОз~~ в полярных координатах.
 8.2. Анизотропные пластинки
 Если связь между деформациями и напряжениями материала анизотропной пластинки описывается обобщенным законом Гука [10]:
 ех ацах + а±2ау + а %ху; |
 8г/ а12ах + а22Оу + а2втху; I (8.24
 Уху а.\а х + оиОу + аао%ху, I
 то изгибающие моменты, крутящие моменты и поперечные си.ты пластинки определя¬
 по формулам:
 [°
 д~1й) дх-
 + 2°1в
 му-
 К
 д-ю
 дх2
 + 2°2в~
 Мху ~
 д2и
 дх2
 + 2°М
 ем , „ д2ю 17Гу + °й
 а
 дя&)
 дх
 д2&
 дхду д2т дхду
 4- о
 ■+ о
 д3&у
 'ду д-из
 2277
 д2т
 ш \
 '2 /
 )■
 + %!1+и„) + о
 дх- ду д12)
 “Ь
 дхду-
 20
 ду3
 д3т лзв,
 +(013 + 20м)- 4- +
 + 30
 дх3
 д3ш д3ш
 20 777 + и 17
 дх-ду
 где Оп — /г / 12Д0 |а22 абе — а2б}
 Б-22 /х3 / 12Д0 |ап а66 — а ;
 Л12 А3/12Д0(а1в а2в-а12аве);
 Вы — Л3/ 12Д0 (ахз а20 — а22 О10)!
 ®2б к3! 12Д0 (а — а10 а20);
 •°бо ,13112До (аи й22 — аТз)
 До — матрица коэффициентов, стоящих в правой части (8.24). Жесткости 1)и и 2 представляют собой жесткость при изгибе вокруг осей х ы у\ Ом — жесткость при кручении.
 Отношения жесткостей
 V V _
 Д22 ’ Ой называется приведенными коэффициентами Пуассона.
 Уравнение колебаний анизотропной пластинки имеет вид

-но20
 + о,„
 + т -
 Оу'
 я IX, у, {).
 +
 (8.25)
 +
 ох и!/ ' д-ьи д{"
 Потенциальная энергия деформаций „ 1 ГГ Г„ I д"ш д-т д2ю
 П -Л[ + 17
 5
 ( д-и) \2 / д2хи \2
 +°-Ы'+4Чадг)+
 + 4(в «!“ +Л
 10 дх- 28 ду- ) дхду ]
 В частности, для ортотропной пластинки, свойства которой одинаковы в двух взаимно перпендикулярных направлениях, параллельных осям х и у, уравнение колебаний будет:
 дхду- “ ду1 17 (-V, У1 ).
 дГ-
 где Е± к3/12 (1 — VI V2); V
 Ц, .Е2/гУ 12(1- 3); I
 П3 Вг V,, + 2Ок; Ок ОЛ3/12. |
 Изгибающие моменты, крутящие моменты и поперечные силы ортотропной пластинки определяют по формулам:
 „ /В- ш . д- со \
 Э1 +—г
 1 V дх- “ ду" )
 „ (д- т , д-т\
 о„ [- "V, ;
 “ \ ду- дх- )
 ■п д-(В ,В - + 03
 х 5.Г V 1 дх" 3 ду )
 да;4 +т
 М„
 му -
 (8.28)
 дх2
 ху
 Потенциальная энергия ортотропной пластинки
 деформаций
 5 + Б2
 д- ьу д2 ш
 Ч V;, Ь
 дх- ду-
 Й5.
 (8.29)
 В ряде случаев коэффициенты жесткости Б можно определить по приближенным формулам, дающим достаточно точные для практических расчетов результаты [18].
 1. Железобетонные плиты, армированные в двух перекрестных направлениях, параллельных осям х и у (без трещин):
 Е /Е„ \
 •/ + /--1 \Еб
 До •
 Л1/ + /а_
 б -
 Д3
 V О г .
 Рис. 8.3
 Тгпгщг?
 8.20
 (8.27)
 ч “51— X
 Рис. 8.4
 где Е % Е а- модуль упругости бетона н арматуры; \’б— коэффициент Пуассона для бетона;
 (X)
 — момент инерции бетонного сечения х соиб1; У —момент инерции арматуры относительно нейтральной оси в сечении хсопз4: ■ б - а — то же, в сечении #сопз{.
 Подстановкой у уфх/Иъ) /4 уравнение колебаний (8.26) при значениях жесткостей (8.30) сводится к уравнению колебании изотропной пластинки (8.5) с цилиндрической жесткостью //?!.
 2. Гофрированные пластинки (рис. 8.3): / Ек3
 Й1
 5 12 (Ь
 Д, —
 , V')
 О, Е ■,
 Е№
 \
 (8.31)
 I 12(1+4) где 5 / [1 + (л?/2/4й)1;
 й г, 0,81
 2
 5 — длина дуги полуволны; Н — толщина пластинки. Значения п I ясны из рис. 8.3.
 3. Пластинки, усиленные системой равноотстоящих ребер (рис. 8.4):
 0! -
 Еа к3
 О,
 Е (8.30)
 12 — I + а3 V)
 (8.32)
 где / — момент инерции таврового сечения с полкой шириной Ль аЛ/Я; —крутильная жест¬
 кость плиты без ребер; с — то же, одного ребра.
 133

8.3. Гибкие пластинки
 форме:
 При малых толщинах пластинки, когда ее прогибы от поперечной нагрузки превышают \/А—'/б толщины, техническая теория дает искаженные результаты, и пластинка должна рассматриваться как гибкая. Теория гибких пластинок основывается на учете наряду с поперечным изгибом также и деформирования пластинок в своей плоскости. Уравнение колебаний гибкой пластинки в прямоугольной системе координат имеет вид:
 ЦДЛ а) к ( " Ф т . дгФ т \ ду- дх2 дх2 дуд-Ф д- ш \ дгш
 '■ 2 1 4- т о (х, у, 2);
 дхду дхду ) д1~
 ддф еГ(, 2. «21е.51
 \дхду) дх2 дуг
 2 ш 1
 .Г
 (8.33)
 )
 где Ф — функция напряжений, связанная с напряжениями в срединной поверхности пластинки соотношениями:
 о, йФ/ ; ау ЗЗФ/Зя-?;
 %ху — 3 Ф/дхду. (8.34)
 Эти уравнения носят название нелинейных уравнений Кармана. Граничные условия для уравнений (8.33) наряду с ограничениями, накладываемыми на функцию т и ее производные, содержат также параметры, выражаемые через функцию напряжений. Условия (8.11) — (8.15), сохраняющие силу при соответствующих способах закрепления, дополняются следующими: а) край, не закрепленный от смешений вдоль нормали к нему (нормальное напряжение равно нулю):
 33 Ф/ду?. 0 при х — а; | 32 Ф/дх-. 0 при у — Ь; )
 (8.35)
 б) край, не закрепленный от продольных смещений вдоль края (тангенциальное напряжение равно нулю):
 35 Ф/дхду 0 при х а и при у Ь\ (8.36)
 в) параллельные края х0, ха или у 0, уЬ закреплены таким образом, что взаимное смещение их точек вдоль общей нормали невозможно. В этом случае граничное условие имеет интегральный вид:
 д- Ф
 0 или
 ах и (8.37)
 Г I о- Ф _ д- ф [ их- ду¬
 бу
 йу 0.
 Б случае полярной системы координат основные дифференциальные уравнения колебаний гибкой пластинки записываются в
 ОА]Ч Д т — НЬ (а/, Ф) -|- т 9 (г, 0. 1,
 д~ да ~0Г-
 (8.38)
 Д;. Аг Ф -| — (ш, ш) 0.
 Здесь через Ь(ш, Ф) обозначено:
 о~ дг-
 .1 да г дг
 1
 с?Ф
 Г"
 1
 дг
 1 д~ хю \ д2 Ф ) дг-
 Г/" Ф дк)
 г)
 Л- (±- -2®_\ . «.ад
 дг \ г дв ) дг \ г 00 )
 При осесимметричных колебаниях
 г ГП, 1 ( дФ д- т дпц д-Ф \
 Ь (ш, Ф) —- -|- _ . 8
 г \ дг дг- дг дг- )
 Граничные условия для круглых н
 кольцевых пластин записываются аналогично тому, как это делается для прямоугольных, в частности, если кран закреплен от радиальных смещений, то на контуре должно быть и0, если же радиальные смещения ничем не стеснены, то аг0. Кроме того, по всей площади пластинки сг,.
 должно быть ограничено. Это условие, а частности, требует, чтобы
 Нш (ЗФ/3/)0.
 Г-1-0
 8.4. Общие методы решения дифференциальных уравнений
 колебаний пластинок
 Дифференциальные уравнения колебаний пластинок допускают точные решения лишь в отдельных случаях. Эти случаи, вообще говоря, немногочисленны, и поэтому к решению задач о колебаниях пластинок привлекают хорошо разработанные приближенные методы, среди которых наибольшее распространение получили вариационные и конечноразностные.
 При изучении колебании пластинок важнейшее значение имеет уравнение форм свободных колебаний:
 ОАД117 — тр- 117 0. (8.41)
 Другое важнейшее уравнение — уравнение форм вынужденных гармонических колебаний:
 ОАДЦ7 — ти~ \Х' д. (8.42)
 На примере двух этих уравнений будет показано применение различных приближенных методов. Решение уравнений (8.41) и (8.42) точными методами приводится в п. 8.6 и 8.10.
 Вариационные методы, так же как и большинство других приближенных мето-
 134

дов, используемых в теории пластинок, связаны с отысканием коэффициентов стп разложения решения в ряд по некоторой системе функций ф„т, называемых базисными или координатными функциями: к
 2 СтпФтп- (8-43)
 т,п1
 По методу Ритца минимизирующую форму (8.43) подставляют в выражение Гмакс— Ямакс и коэффициенты Стп отыскивают из условия минимума этого выражения, что приводит к системе уравнений
 д'дс-тп (Тмакс Пмакс) —
 (т, п— 1, 2, ... , к). (8.44)
 В качестве минимизирующей формы обычно принимают произведение двух функций, одна из которых зависит только от одной координаты, а другая — только от другой. Базисные функции, входящие в минимизирующую форму, должны образовывать полную систему линейно независимых функций и удовлетворять граничным условиям задачи. В методе Ритца требуется удовлетворение, по крайней мере, геометрическим граничным условиям. Наиболее удобно в качестве базисных функций при решении задач в декартовых координатах принимать полиномы или балочные функции. В случае уравнения (8.41) получающаяся в результате применения метода Ритца система однородных алгебраических уравнений (8.44) имеет нетривиальное решение, если определитель, составленный из ее коэффициентов, равен нулю. Это условие приводит- к частотному уравнению, решение которого дает приближенные значения частот собственных колебаний. В случае уравнения (8.42) получается система неоднородных алгебраических уравнений относительно коэффициентов разложения стп. Метод Ритца для собственных частот дает приближение сверху.
 По методу Бубнова — Галеркина форму (8.43) подставляют непосредственно в уравнение колебаний, например в (8.41), в результате получается уравнение к
 2 Стп ФДД — тр?) фтп 0. (8.45)
 т,п1
 Если функция, стоящая в левой части (8.45), непрерывна, то условие равенства нулю можно рассматривать как требование ортогональности этой функции к любой из линейно независимых функций, образующих полную ортогональную систему. Поэтому для определения к- коэффициентов стп
 можно воспользоваться условием ортогональности левой части (8.45) к первым функциям фтп. Умножая (8.45) на ф и интегрируя по всей площади пластинки, получаем к2 уравнений
 к
 I 1 Ф 1з (х У) "51 Стп
 %) (У
 5 т,пX
 — тр-) Фтп Й5 0. (8.46)
 Условие наличия нетривиальных решений системы уравнений (8.46) приводит к частотному уравнению.
 Промежуточное положение между методами Ритца и Бубнова—Галеркина, с одной стороны, и точными методами, с другой, занимает метод Канторовича — Власова. В соответствии с этим методом решение уравнения свободных колебаний ищут, например, в виде
 XV (х, у) Ф(х)!);((/), (8.47)
 где одна из функций, например я|)((/), задана и удовлетворяет граничным условиям на соответствующих краях пластинки, а другая функция — искомая. Подставляя форму (8.47) в двойной интеграл, соответствующий выражению Таакс—Пиа1[с и выполняя интегрирование по у, приходим к задаче о минимуме однократного интеграла. Если же (8.47) подставить в уравнение свободных колебаний и выписать условие ортогональности полученного выражения к базисной функции 'ф(у), то в результате интегрирования можно получить обыкновенное дифференциальное уравнение, решение которого позволяет определить приближенные значения собственных частот и приближенные формы собственных колебаний. При необходимости по методу Канторовича — Власова могут быть получены и более высокие приближения, для этого берут необходимое количество функций фи(г/) и фт(х).
 В последние годы быстро развиваются методы граничных интегральных уравнений (ГИУ), тесно связанные с классическими методами теории потенциала, методом компенсирующих нагрузок, различными формами методов расширения заданной области и т. п. В, достаточно общей форме ГИУ могут быть построены с помощью метода дельта-преобразования [22]. Конкретные примеры применения метода компенсирующих нагрузок к динамическому расчету пластин можно найти .в [9].
 Существо последнего метода состоит в том, что вместо области, занимаемой пластинкой, рассматривают более широкую область (например, всю плоскость) с двумя
 135

нагрузками: первая (основная)- совпадаете действующей на рассчитываемую пластинку нагрузкой, а вторую (компенсирующую) выбирают так, чтобы на контуре удовлетворялись краевые условия. Решение задачи
 о колебаниях расширенной (неограниченной) пластинки при действии первой нагрузки называется основным, при действии втор.ой — компенсирующим. Сумма этих решений должна удовлетворять уравнению колебаний и всем граничным условиям.
 В общем случае для плотности компенсирующей нагрузки получается интегральное уравнение Фредгольма. В ряде простых случаев можно прийти к системе алгебраических уравнений относительно произвольных постоянных. Применение метода компенсирующих нагрузок к расчету круглых пластинок и подробные формулы приводятся в 8.9.
 Конечноразностные методы основаны на замене производных в дифференциальных уравнениях (8.41) — (8.42) конечными разностями с тон или иной степенью точности. При этом область, занимаемую пластинкой, разбивают некоторой сеткой, а дифференциальные и другие операции выражают через значения функций в узлах сетки. В результате получается система алгебраических уравнений, однородная в случае свободных колебаний и неоднородная в случае вынужденных. Конечноразностные уравнения особенно удобны- при использовании ЭВМ, поэтому в последние годы они получили большое развитие.
 Метод коллокаций схож с конечноразностными методами тем, что при его использовании рассматривается конечное число точек внутри области, занимаемой пластинкой (точек коллокации).
 Решение задачи по методу коллокаций так же, как и в методах Ритца и Бубнова— Галеркина, разыскивают в виде (8.43), а коэффициенты стп определяют из условия удовлетворения уравнению колебаний пластинки в точках коллокации. Точки коллокации стараются выбирать вблизи тех точек пластинки, где динамическая податливость максимальна, т. е. в пучностях ожидаемых форм колебаний.
 В. В. Болотиным предложен асимптотический метод, весьма эффективный при определении высших частот собственных колебаний пластинок. Идея этого метода состоит в представлении общего решения уравнения (8.41) в виде суммы внутреннего решения, которое удовлетворяет уравнению (8.41) п обладает наиболее простой структурой, и поправочных решений, соот¬
 ветствующих динамическому краевому эффекту на каждом отрезке контура пластинки. Склеивание этих решений позволяет получить систему разрешающих трансцендентных уравнений, после чего могут быть вычислены частоты и формы собственных колебаний пластинки. Подробное описание асимптотического метода В. В. Болотина приведено в работе [2].
 8.5. Свободные колебания прямоугольных пластинок
 При отсутствии внешней динамической нагрузки пластинка может совершать свободные колебания, вызванные начальными возмущениями, которые задаются в виде начальных условий:
 т(х, у, 0) ф (х, у); дш(х, у, 0)1д1 \р(х, у). (8.48)
 Полагая в (8.5) 70 и т№'(х, у)Х Хзш (р(+е), получим, как отмечалось выше, дифференциальное уравнение форм свободных (собственных) колебаний пластинки
 ДАГ — (трЮ) Г 0, (8.49)
 где р — круговая частота собственных колебаний.
 Используя метод разделения переменных, решение уравнения (8.59) ищут в ви-. де №(л, у) —X [х) У [у). Переменные разделяются, если
 (8.50)
 или у" - §1 У; У1у у", (8.51)
 где ат и — некоторые постоянные. Первому условию, в частности, соответствует
 X (х) — А 51П ат х + В соз ат х. (8.52)
 Функция \УУ(у) (А втц,тх+
 + В соватх) может удовлетворять только условиям шарнирного опирания краев х 0, х—а (В0) или скользящей заделки на этих краях (Л0); при этом атпт1а, т— 1, 2, 3, ...
 Аналогичные выражения получаются и при выполнении условия (8.51).
 Если на двух противоположных - сторонах заданы такие граничные условия (условия Навье) и Х(х) определяется по формуле (8.52), то для У (у) получается уравнение
 (А4-“ “Об¬
 ретение которого можно представить в виде
 У (у) У (0) А [у) + У (0) В (у) +
 + У" (0) С (у) + У" (0) В (у), (8.54)
 136

где. А {у) -7 - (■! с11 2 у +
 + К
 | (у) ■■
 2к- \ Х2 2
 Ч-Ф
 2
 5Ь к, У 4-
 4- _г. 51п а,, у ;
 я.
 С (.у) — — (сЬ %■, у — соз X. у); 2 к2-
 О (&
 тИ
 5Н Х2 У 5111 X, у\_
 (8.55)
 ' ат'‘ 2 — “Г а/д-
 Используя (8.54) и краевые условия на сторонах пластинки у0, г/6, приходим к уравнению частот. Например, если эти стороны защемлены, то У(0) У'(0) 0; У(Ь)—У'(Ь)0 и, следовательно,
 СЦЬ)—П(Ь)С!\Ь) 0. (8.56)
 Уравнение частот (8.56) можно привести к двум следующим уравнениям:
 и 111 ЬА + 15 Ы. о
 чается в результате суммирования всехчастных решений типа (8.60)
 оо
 ю (х, у,{) Атп \Утп (х, у) X
 т,п1
 х 51П (ртп { + етп) ■ (8-63)
 Оставшиеся неизвестными константы Атп и втп определяют из начальных условий. Для этого функции ф(д,', у) и ф(я, у) следует представить в виде рядов по собственным функциям:
 ОО
 ф(.Х',//) &тпп тп(хУ) (864)
 т,п1
 ОО
 Ф (х? У) — 2 лгп тп У)
 т,п1
 Коэффициенты рядов (8.64) (собственные функции предполагаются нормированными) можно определить по формулам:
 (8.57)
 атп — [[ Ф (. У) №тп, (/) йх йу; 3
 &тп ~ [[•ф (ж, у) №тп (ХУ) йхйу. 8
 (8.65)
 и %„ с(Ь с1§ 0,
 (8.58)
 Ртп ~ тп У О/т •
 (8.5?)
 ТорДа етгг ртпагс1е —
 которые соответствуют симметричным (8.57) и кососимметричным (8.58) формам собственных колебаний. Каждому значению ат соответствует бесконечная последовательность корней уравнений (8.57) и (8.58). Таким образом, можно определить последовательные значения ктп, а затем и частоты собственных колебаний по формуле
 — ■
 (8.66)
 Для пластинки, опертой по всему кон¬
 туру,
 тпх . пт}
 X {X) — зш ; У //) 51п —
 и частотное уравнение имеет вид
 51П Ь 6 0.
 (8.67)
 Отсюда
 Формы собственных колебаний пластинки будут
 тп У) —
 Хт (х) [С„(6) Сп [у) - Ъп{Ь) Ъп (у)]. (8,60)
 Очевидно, что они определяются с точностью до постоянного сомножителя.
 Формы собственных колебаний (собственные функции) пластинки обладают свойством ортогональности, т. е
 ] [ №тпп ( У) (■.. У) йх с/у 0, (8.61)
 5
 если тф1 (или Полагая
 Я (х У)йхйу 1, (.8. 62)
 5
 определим нормированные формы собственных колебаний.
 Общее решение уравнения (8.49) полу-
 2 2 2 ктп (шя/я) + тп/Ь) . (8.68)
 Таким образом, если два противоположных края прямоугольной пластинки шарнирно оперты или имеют скользящую заделку, то удается получить точное решение задачи в виде рядов по собственным функциям (формам собственных колебаний). При любых других краевых условиях можно получить только приближенное решение. Однако и в этих случаях форму колебаний можно принимать в виде И?т п — АтпХт(х)Уп(У), где Хт(х) И Уп(У)—балочные функции, удовлетворяющие условиям закрепления, соответствующим закреплению краев пластинки, а частоты собственных колебаний и коэффициенты Атп определить с помощью приближенных методов [см. (8.4)].
 При колебаниях пластинки по одной из собственных форм на ее поверхности обра¬
 137

зуются линии, соединяющие точки, в которых прогиб пластинки равен нулю. Эти линии носят название узловых линий, очевидно, узловой линией можно также считать и закрепленный от смещений край.
 При произвольном закреплении краев прямоугольной пластинки частоты собственных колебаний можно определять по формуле
 где
 Ртп ЮаЧУЫт’ (8.69) 4л «2 |Лп +~ 4 + 2 х
 Х1 ВтВп+(1- СтСа}}112- 8'70
 дающей первое приближение по методу Ритца. Если две противоположные стороны
 Т а б л н ц а 8.1
 пластинки ш-ар®ирно оперты, то это значение является точным. Здесь т, п — число узловых линий, включая закрепленные края, параллельные осям х и у соответственно;
 а, Ь — длины сторон пластинки.
 Если в срединной плоскости пластинки действуют продольные силы, то
 л 2 2 /-2 а2 \112
 Ьпп " \Ьтп ±М1Ст± Ы2 Сп ' (8'71)
 где
 Мх Ях а3/Дя?, Ыу яу 6?/Дя?;
 Ях, ц у- интенсивность продольных сил в направлении осей х и у; к определяют по формуле (8.70) без коэффициента л2.
 Условие закреп ления краев
 л
 В
 С
 т1
 т—2
 т3
 т~ 1
 т—2
 т 3
 т1
 т2
 ш 3
 Оперт — оперт
 0
 Г
 т—1
 0
 1
 А-
 0
 1
 А~
 Оперт — защемлен
 0
 1,25
 т-0, 75
 0
 .4-А Я
 л- —
 я
 0
 В
 В
 Оперт — свободен
 0
 1,25
 т—0, 75
 0
 я
 Л2- —
 Я
 3
 л2
 л+- л
 л+ Л
 Защемлен — защемлен
 - 0
 1,506
 гп—0,5
 0
 1,248
 Я
 0
 1,248
 В
 Защемлен — свободен
 0,597
 1,43-1
 т—0,5
 0,087
 1,347
 Я
 0,471
 3,284
 Л2+ —
 Л
 Свободен — свободен
 0
 1,506
 т—0,5
 0
 1,248
 А--М
 я
 12
 л2
 5,017
 л»+М
 Л
 Условие закреп¬
 О
 Е
 ления краев
 ш1
 т2
 т—3
 т4
 т~1
 Ш2
 т3
 т~ 4
 Оперт защемлен
 -8,139
 —25,7
 ——52,13
 —89,17
 0
 0
 0
 0
 Оперт — свободен
 0,1274
 0,7006
 0,049
 0,0374
 0,0991
 0,9998
 1
 1
 Защемлен — защемлен
 -0,798
 30,91
 58,78
 162
 0
 0
 0
 0
 Защемлен — свободен
 6,802
 44,06
 121,-2
 6647
 8,711
 1,928
 2,003
 2
 Частоты собственных колебаний ортотропных прямоугольных пластинок можно определять по формуле (8.69), в которой следует положить:
 г— 2 2 Г 4 аК 4
 & &тп~я Ап "Ь 2 +
 + 2 ~ [г2 °1 Вт Вп + 2°Ь сш Сп1 }1/2-
 Здесь П1 - ;
 12 (1 —VI V.)
 Ъ» ,
 12 (1 — V! V»)
 Ей &2— модули упругости в ос-ев-ык н-аправяени5гх пластинки; О — модуль сдвига.
 138
 Значения коэффициентов А, В, С, Д Е приведены в табл. 8.1 [1].
 Значения частот собственных колебаний прямоугольных защемленных и свободных пластинок можно определить с помощью табл. 8.2. У квадратных пластинок с такими условиями закрепления при т—п±2, 4, 6, ... возможны формы колебаний типа т/п±п/т, при которых узловые линии непараллельны краям пластинки. Приближенные значения коэффициентов &тп ДЛЯ квадратной пластинки, а также формы узловых линий приведены в табл. 8.3.
 Если пластинка оперта в углах, то частоты ее собственных колебаний могут быть

Таблица 8.2
 Таблица 8.3
 а/Ь
 п
 т
 1 1
 2 | 3 | 4
 5
 6
 Защемленная пластинка
 1
 3,5
 2
 1
 36
 27,01
 24,58
 73,41
 65,5
 64,1
 131,9
 126
 124
 210,5
 206
 204
 309
 303
 302
 428
 422
 421
 1
 1,5
 2
 2
 73,41
 41,72
 31,83
 108,2
 79,81
 71,08
 165
 138,6
 130,4
 242,7
 218
 210
 340,6
 316.1
 308.1
 458,3
 436
 427
 1
 1,5 2 ‘ '
 з
 131,9 1)6,53 44,78
 165
 103
 83,2
 220
 161,2
 142,4
 296,4
 241
 221
 393,4
 339
 320,1
 509,9
 457
 439
 1
 1,5
 2
 4
 210,5
 100,8
 63,34
 242.7 136,1
 100.8
 296.4 193,2
 159.5
 371(4 271 ,-2 238,4
 467.3
 369.3 337,1
 593,8
 488
 456
 1
 1,5
 2
 5
 309
 144,2
 87,26
 340,6
 178
 124,2
 393,4
 234.7
 181.8
 467,3
 312
 261
 562,2
 409
 358
 676
 529
 478
 1
 1,5
 о
 6
 428
 395
 117
 458,3
 230
 151,9
 509,9
 285,4
 209,6
 583.8
 361.9 287,5
 676
 456
 382
 792.5
 576.6 504,3
 Свободная пластинка (V—1/а)
 1
 1,5
 2
 1
 14.92
 9,905
 7,374
 37,28
 30,36
 26,52
 75,95
 69,56
 65,17
 134,1
 127,7
 123,3
 214.1
 205.1 200,7
 309.1
 302.1 298,9
 1
 1,5
 2
 2
 37,28
 22,25
 17,61
 67(59
 46,65
 37,59
 110,6
 86,03
 75,05
 170
 145,2
 132,9
 248.1
 222.1 210
 345,7
 320,4
 307,3
 1
 1,5
 2
 3
 75,95
 40,34
 27,03
 110,6
 68,39
 51,7
 159,3
 111,5
 91,96
 222,7
 1605
 149,6
 302,8
 250
 226,4
 396.8
 347.8 324,7
 1
 1,5
 о
 4
 134,1
 66,31
 42,25
 170
 97,82
 70,01
 222 7 143,5 11,58
 290,4
 204,8
 171
 374
 283,7
 248,9
 474.6
 382.6 346
 1
 1,5
 2
 5
 214,1
 100,9
 61,63
 248,1
 133,4
 91,78
 302.8 182,2
 135.8
 374
 245,9
 196,6
 461
 326.6
 274.6
 565.5
 425.6 372,9
 1
 .1,5
 о
 6
 292.4
 144.5 85,56
 345,7
 177,6
 117,3
 399.2
 226.2 162,7
 474,6
 294,3
 223,5
 562,6
 374,8
 303,2
 671
 476,9
 403
 вычислены на основе следующих данных [33]:
 Форма .... .2/2 3/3—3/3 3,3 3/3-|-3/3
 ' А’ш“г 7.67 20,17 ‘10,62 42,76
 8.6. Свободные колебания круглых и кольцевых пластинок
 В случае круглых п кольцевых пластинок уравнение форм собственных колебаний имей! вид
 Защемленная пластинка
 узловые
 линии
 Свободная пластинка
 узловые
 линии
 ч  73,41
 /к
 .. т
 108,27
 1 )
 ! V
 'Л
 V У
 35,99
 131,64
 132,25
 165,15
 ' Г
 .1 I
 / 1 ч
 I I )
 13,47
 19,6
 24,27
 34,8
 61,09
 63,69
 Дг Дг 117 — (трЧП) Г 0.8
 4, 6 У тр1Ю . (8.72)
 Это уравнение легко решается по методу разделения переменных:
 (Р 6) п (йр) “Ь В1П (А'р) -]-
 + СУп (Ар) + ОКп (Ар)] зш (п0 + е), (8.73)
 где 1П ,Уп , /П1 Кп~~ цилиндрические функции первого и второго рода действительного и мнимого аргумента, п1, 2, 3,...? р—г1Ь\ Ь — радиус пластинки.
 Если в центре круглой пластинки нет опоры или отверстия, то постоянные С в О должны быть равны нулю. Удовлетворяя граничным условиям на контуре пластинки, получаем частотное уравнение.
 Рассмотрим различные случаи закрепления края пластинки. При этом принимаем следующие обозначения: 5 — число узловых кругов; п — число узловых диаметров.
 Защемленная пластинка. Частотное уравнение
 а)
 о.
 (8.74)
 Для больших значений п имеет асимптотическая формула (л5)
 139

Таблица 8.4
 3,196
 6,-306
 9,439
 12,58
 15,72
 18,86
 22
 25,14 28,28 31 г42
 4,611
 7,799
 10.96 14,11 17,26 20,4 23,54 26,69 29,83
 32.97
 5,906
 9,197
 12,40
 15,58
 18,74
 21,9
 25.05 28,2 31,35
 34.5
 7,144
 10,54
 13,79
 17
 20,19
 23,37
 26,53
 29,69
 32,85
 36
 8,347 11,84 15,15 18,4 21,99 25,13 28,27 31,41 34,55 37,7
 9,256
 10,69
 11,83
 12,97
 14,1
 13,11
 14,35
 15,58
 16,8
 18
 16,47
 17,78
 19,06
 21,99
 23,56
 19,96
 21,99
 23,56
 25,13
 26,7
 23,56
 25,13
 26,7
 28,27
 29,84
 26,7
 28,27
 29,84
 31,41
 32,98
 29,84
 31,41
 32,98
 34,55
 36,13
 32,98
 34,5а
 36,13
 37,7
 39,27
 36,13
 37,7
 39,27
 40,84
 42,41
 39,27
 40,84
 42,41
 43,98
 45,55
 к я (п/2) (25 + п + 2). (8.75)
 Значения собственных чисел к приведены в табл. 8.4 [25, 26].
 Шарнирно-опертая пластинка. Частотное уравнение
 п+1 , Лг+1 ( г
 и
 1 —V
 (8.76)
 ./„ №) 1п
 Значения собственных чисел к при 0,3 приведены в табл. 8.5.
 Свободная пластинка. Частотное уравнение
 , к" ,!п (к) + (1 — V) \ип (/; — п Зп (/г)] к" 1п (А) — (1 —V) [й/„ (к) — п /„ (/г)] к3 Зп (й) + (1 — V) п \ып С к) — (/г)]
 /г3 /„ (/г) — (1 - V) п [/г/,г (А) — /„ (/г)]
 (8.77)
 Для больших значений к имеется следующая асимптотическая формула (к$):
 к яг (л/2) (п + 2.5). (8.78)
 Значения собственных чисел к для \ 0,33 приведены в табл. 8.6.
 Таблица 8.5
 5
 п
 0
 1
 2
 1
 2,231
 3,733
 5,065
 2
 5,455
 6,965
 8,375
 3
 8,614
 10,139
 11,59 .
 4
 11,762
 13,298
 14,773
 Пластинка, опертая в центре. Частотное уравнение для осесимметричных колебаний опертой в центре и защемленной по контуру пластинки имеет вид [9]:
 Таблица 8.6
 п
 5
 0
 1
 о
 3
 4
 5
 6
 0
 2,292
 3,497
 4,65
 5,75
 66
 1
 3,014
 4,63
 5,937
 7,274
 8,55
 9,76
 И
 2
 6,209
 7,737
 9,16
 10,55
 11,95
 .13,23
 14,5
 3
 9,37
 10,91
 12,41 ,
 13,86
 15,24
 16,57
 17,88
 4
 12,53
 14,08
 15,58 .
 17,05
 18,45
 19,81
 21,15
 5
 15,68
 17,23
 18,73
 20,21
 21,63
 23,01
 24,37
 Й
 18,83
 20,38
 21,89
 23,37
 24,8
 26,2
 27,57
 7
 21,98
 25,53
 25,04
 26,52
 27,96
 29,4
 30,86
 8
 25,12
 26,67
 28,19
 29,67
 31,12
 32,58
 34,04
 9
 28,26
 29,81
 31,33
 3281
 34,28
 35,74
 37,21
 10
 31,4
 32,95
 34,47
 35,95
 37,43
 38,9
 40,38
 1г (к) У 0 (к) + /0 (к) У г (к) + (2/я) (к) X
 X К0 (к) — (2/л) (к) К1 (к) + (4/я/е) 0.
 (8.79)
 Два первых корня этого уравнения есть /г, 4,76; й2 7,87 [17].
 Если пластинка шарнирно оперта по контуру, то частотное уравнение будет
 (1 — V) [70 (к)Уг(к) + Н {к) У0 (к)-
 - (2/я) /0 (к) Д'| (к) + (2/я) /в (к) (к) +
 + (2/я) (к) Ка (к) + (4/л/г)] -
 - 2к [/„ (к) У0 (к) + (2/я) (к) К0 (/г)] 0.
 (8.80)
 Первые корни этого уравнения: к{ 3,85; /г27,03 [17].
 Пластинка с краем, свободным относительно поперечных перемещений и закрепленным относительно угловых (скользящая заделка). В случае осесимметричных колебаний частотное уравнение имеет вид
 /1 (к) 0. (8.81) Первые 10 корней уравнения (8.81) приведены в табл. 8.7.
 Пластинка с краем, частично опертым, частично защемленным. Частоты и формы собственных колебаний пластинки с частич¬
 но

но защемленным и частично опертым краем определялись методом парных уравнений [5]. В частности, для пластинки, опертой по одной полуокружности и защемленной по другой, вычислены первые четырнадцать собственных чисел: 2,739;
 3,826; 4,182; 5,494; 5,504; 5,873; 6,658;
 6,758; 7,041; 7,383; 7,953; 7,979; 8,756; 9,098. Собственные числа к для основного тона колебаний пластинки при различных значениях угла р (2Р — центральный угол, при¬
 Таблица 8.8
 1’
 я/16
 2Я/16
 Зя/1б
 4я/16
 5я/16
 6я/16
 7Я/16
 8я/16
 к
 2,353
 2,415
 2,473
 2,513
 2,567
 2,628
 2,672
 2,739
 9л/1б
 Юл/16
 Пзт/16
 12Я/16
 13Я/16
 14я/16
 15Я/16
 -
 к
 2,817
 2,867
 2,943
 3,029
 3,067
 3,139
 3,190
 -
 надлежащий защемленной части контура) приведены в табл. 8.8.
 Таблица 8.7
 5
 к
 5
 к
 1
 3,832
 6
 19,616
 о
 7,016
 7
 22,76
 ■ 3
 10,173
 8
 25,904
 4
 13,324
 9
 29,047
 5
 16,471
 10
 32,19
 Кольцевые пластинки. Частотные уравнения для кольцевых пластинок имеют довольно громоздкую форму; для различных условий закрепления внутреннего и внешнего края они приведены в [6]. На рис. 8.5 приведены графики корней частотных уравнений (собственных чисел) для кольцевых пластинок с различными краевыми условиями в зависимости от величины ха/Ъ — отношения внутреннего и внешнего радиуса кольцевой пластинки. Различные задачи
 о колебаниях кольцевых пластинок, имеющих опоры по концентрическим окружностям, могут быть решены с помощью метода начальных параметров [9].
 8.7. Свободные колебания пластинок других очертаний
 Пластинки в форме параллелограмма, или ромба. Задачи о колебаниях пластинок в форме параллелограмма и ромба (рис. 8.6) удобно рассматривать в косоугольных координатах |л:—у а; т) г/ зес а. При
 этом оператор Лапласа принимает вид
 Д зес2 а (—— — 2 $1П а —-] — V
 \ 51 ал бт1г )
 (8.82)
 Если угол а мал (а30°), то формы свободных колебаний можно искать в виде
 №тп (х, у)
 &тп Хт(х) Уп (У),
 тле Хт,Уп — балочные функции, удовлетворяющие соответствующим краевым условиям.
 Частоту собственных колебаний можно определять по формуле (8.69), полагая
 0 2 2 Г 2 а% 0
 ътп я зев а \Ат + — Ап +
 + 4 8!п3 аСт сп ~ 4 5]п а°т Еп ~
 -4з1ПхОпЯт + 2ВтВп-2а-г)Х
 ВтВп-СтСп)]1/2- (8-83)
 Здесь А, В, С, В, В —значения, приведенные в табл. 8.1.
 Для определения частоты основного тона собственных колебаний защемленной по всему контуру пластинки в форме параллелограмма можно использовать табл. 8.9 [28, 29], в которой приведены собственные числа для некоторых углов (590°—а и некоторых соотношений между длинами сторон (см. рис. 8.6).
 Собственные числа для ромбовидных пластинок при различных условиях закрепления краев и л?0,3 приведены в табл. 8.10 [24,30].
 Трапециевидные и треугольные пластинки. При рассмотрении свободных колебаний трапециевидных и треугольных пластинок наибольшее распространение получили метод Ритца и метод коллокаций. В табл. 8.11 приведены квадраты собственных чисел для консольных трапециевидных пластинок при колебаниях по основному тону.
 Собственные числа для треугольных пластинок с различными условиями опира-
 141

е)
 -с|
 —4_ а
 а
 нЧ
 к?
 к,
 1 /
 ко
 О 0.1 0,2 0..Ч О,4 0,3 0,6 0,7 Ы
 Рис. 8.5
 Таблица 8.9
 а/Ь
 Р
 55°
 60°
 70°
 75°
 90 а
 1
 72,99
 74,93
 78,21
 79,36
 80,96
 2
 36,29
 36,59
 37,17
 37,46
 37,77
 4
 32,20
 32,26
 32,38
 32,43
 32,50
 Рис. 8.6
 ния краев можно определить из графиков (рис. 8.7).
 Частоты собственных колебаний консольных треугольных пластинок можно определять по формуле
 р—(к“/а?) V О/т,
 (8.84)
 где а — биссектриса или медиана треугольника, а к определяется по эмпирическим формулам (табл. 8.12), построенным на основе экспериментальных данных [31].
 Эллиптические пластинки. В этом случае естественным является применение эл-
 Общее решение уравнения (8.85) для сплошной пластинки 00
 Г (I. ч) 2 ИтСет а, к?) сет (л, к2) +
 т0
 + Вт Сет (I, - к2) сет (Т), - Щ +
 00
 “Н 11 [Ст 5епг ( , к2) зет (т], -|-
 т1
 + Пт$ет(%, — к2) 5ет (Л, —к?)]. (8.86)
 Эдесь сепг, се т, 5е/п, ге т— функции Матье.
 Если контур пластинки защемлен, то
 липтическнх координат (рис. 8.8). Полагая частотное уравнение для частот, соответстл /:сЬ соз 11, вт т), где I—фокусное вующих формам колебаний, симметричным
 расстояние, уравнение форм свободных ко- относительно большой оси эллипса, имеет
 лебаний эллиптической пластинки запишем ВИД
 в виде
 Сет%'к2)Сетйо’-к1-Сет( 0,й2)Сепг(|0,-й2)0. (8.87)
 Н2
 ДД№ — Ш (сЬ 2Ё — соз 211)21Г 0; (8.85) № р" /- т/ 161).

Т а б л и ц а В. 10
 Схема пластинки
 Форма
 а15°
 Ь, ■ и 8
 а45°
 2/2
 36,-67
 38,15
 40,08
 2/3
 74,76
 77,48
 81,06
 V /
 3/3
 111,4
 118,2
 126,8
 гт /
 2/4—4/2
 132,9
 136,0
 140,0
 0 /V
 2/4+4/2
 133,7
 138,0
 142,7
 1/ 1
 4/3
 169,6
 179,1
 191,4
 4/4
 226,8
 242,0
 261,5
 2/2
 32,54
 34,09
 36,11
 2/3
 64,76
 67,68
 71,47
 3/2
 72,40
 V 75,04
 78,46
 3/3
 103,8
 410,6
 119,2
 'я А
 2/4
 118,3
 121,8
 126,5
 4/2
 132,0
 135,1
 139,3
 г /
 3/4
 156,5
 166,3
 178,9
 4/3
 163,5
 172,7
 184,6
 4/4
 215,8
 231,1
 250,4
 2/2
 27,84
 29,52
 31,68
 2/3—3/2
 61,73
 64,48
 68,06
 Xишшу
 2/3+3/2
 62,40
 65,33
 69,11
 3/3
 95,74
 102,6
 11.1,1
 \7 /
 2/4—4/2
 116,3
 119,6
 124,4
 2/44-4/2
 116,6
 120,0
 124,4
 3/4—4/3
 149,6
 159,0
 171,0
 3/4-М/З
 150,5
 160,2
 172,5
 4/4
 204,4
 219,7
 239,0
 7
 2/2
 3,360
 2)971
 2,412
 7_/
 2/3
 8,278
 7,643
 6,880
 Таблица 8.11
 к2
 3,706
 18
 3,910
 27
 4,243
 36
 4,822
 о( /
 М,
 12
 18
 24
 к-
 3,718
 4,153
 4,750
 5,995
 При этом четным т соответствуют формы колебаний, симметричные относительно обеих осей эллипса; нечетным — симметричные относительно большой оси, но несимметричные относительно малой.
 Для форм, симметричных относительно малой оси,
 Х5ет(Ё6, -6а) П. (8-88)
 Здесь четным т соответствую', формы колебаний, обратно симметричные относительно обеих осей;
 нечетным т — симметричные относительно малой оси. но обратно симметричные относительно большой.
 Первый корень уравнения (8.88) для различных величин отношения полуосей эллипса а и Ь вычислен Шибаока [35]:
 а/Ь 5/4 2/1 . 3/1
 (о?е3р/4)К 7Б 1,205 5,259 13,18
 Здесь е — эксцентрицитет эллипса (в1]а
 у а?—Ь-1а).

а
 /
 2
 3
 4
 ,
 ч
 1х
 1х
 , 1
 Рис. 8.9
 (
 74»
 . 2,
 Рис. 8.8
 Таблица 8.12
 Форма
 колебании
 1/0
 2/0
 3/0
 1/1
 (
 7,14 — 0,4
 аес 0
 XV'
 2 У" кео 0 — 1 X
 51П 0
 Ь
 зес 0 1
 20 1+0,2 - -У +
 зоь
 Об о з и а ч е н и я: П1 — биссектриса; а—медиана;
 0 — угол медианы с высотой; Ь — основание треугольника.
 8.8. Неразрезные пластинки и безбалочные плиты
 Частоты собственных колебаний регулярных неразрезных пластинок и безбалочных плит, так же как и собственные частоты неразрезных балок, образуют так называемые зоны сгущення, в которых с неболь-
 1
 и
 □
 □
 □ □ •
 Рис. 8.10
 шим интервалом располагается по нескольку частот собственных колебаний. Для определения границ зон сгущения, т. е. наиоольшей и наименьшей собственной частоты в каждой зоне, могут быть использованы следующие приближенные формулы [19]. Для неразрезных пластинок на жестких опорах (рис. 8.9), шарнирно-опертых по внешнему контуру:
 Ф? 1,57(1 +1!2);
 Ф1 3,56 |/7Г+ л)я — 1,4т|;
 Ф° 1,57 (4 +II2); (8.89)
 Фз 3,56 уТ, 57 +2,2743 + т)‘.
 Для безбалочных плит (рис. 8.10) ф0 и ф ° приближенно определяют как наименьшее из двух значении:
 (8.90)
 1,57 +
 Ф2 1,57 и 14-| или
 Ып
 0 /4
 Ф2 1,57 и I —— + п‘ N1
 а ф н ф; по формулам:
 144

ф- .—. 1,57у (1 -{- Л”); Ф2 — 1.57с |Ч -]- 'П' ,
 (8.91)
 Здесь 11—1хНу’ Ф—-коэффициенты частрты, через которые определяют частоту собственных колебаний по формуле
 р 2лф ]/"О/т 1\ ; (8.92)
 N х — число пролетов по осп х; N у — число пролетов по оси у. При этом ф 1 и ф1 есть коэффициенты частоты для наименьшей и наибольшей из
 О
 частот первой зоны сгущения, а Ф2 и Ф2 —второй зоны сгущения.
 Коэффициент и зависит от отношения погонной жесткости стойки 0 —Е1 /кс к цилиндрической жесткости безбалочной плиты, а коэффициент V — от отношения ширины капители а к пролету плиты 1Х:
 Д./Д 0
 0,66
 и 1
 1,16
 аПх
 0
 V
 1
 0,8
 1
 1,2 1,25 1,36 1/5 1/4 1/3
 1,12 1,23 1,42 Формулы (8.89) — (8.91) получены в предположении, что А 4, N„4.
 Определение зон сгущения позволяет установить области частот, в которых возможен резонанс. В общем случае, когда не-
 Таблица 8.13
 обходимо знать все частоты собственных колебаний в пределах некоторого отрезка спектра для неразрезных регулярных плит на жестких опорах, может применятьсяприближенная формула [7]
 У О/т
 У
 Щп + 2ТГ С С,
 , + иЧ
 (8.93)
 где Ртп к
 • частота собственных колебаний плиты; 6т' п “Коэффициенты частоты (собственные числа) для неразрезных балок, квадраты которых приведены в табл. 8.13:
 С™ I Хт Хт аа;
 4
 1,5
 о Му
 , 1 0
 I Х"п (р) ар.
 (8.94)
 Хт(а), ХДР) — нормированные формы собственных колебаний неразрезных балок с соответствующими условиями закрепления концов; ах[1х, Р — у11у — приведенные координаты; 111х/1у.
 Значения коэффициентов С,„ для балок с шарнирно-опертыми концами приведены в табл. 8.14.
 Условия закрепления концов
 Число
 про¬
 летов
 и ,
 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
 10
 Шарнирное опи-
 2
 9,87
 15,42
 39,48
 49,97
 рание
 3
 9,87
 12,65
 18,47
 39,48
 45
 55,19
  —
 —
 4
 9,87
 11,52
 15,42
 19,91
 39,48
 42,85
 49,97
 57,64
 —
 5
 9,87
 10,95
 13,69
 17,25
 20,7
 39,48
 41,73
 46,91
 53,18
 58,94
 Защемление
 2
 15,42
 22,37
 49,97
 61,97
 3
 12,65
 18,47
 22,38
 45
 . 55,19
 61,67
   -
 —
 4
 11,52
 15,42
 19,91
 22,37
 42,85
 49,97
 57,64
 61,67
 5
 9,95
 15,69
 17,25
 20,7
 22,37
 41,73
 46,91
 58,18
 58,94
 61,67
 Таблиц а 8.14
 Схема балки
 с,
 С,
 с,
 С,
 С»
 С„
 С,
 с8
 Со
 Си
 Л"Д"А
 9,87
 11,5
 39,5
 42,9
 -
 —
 -
 -
 ~
 -
 Д ~Д
 9,87
 10,7
 12,3
 39,5
 40,8
 44,9
 -
 -
 -
 -
 А А А Д Л
 9,87
 10,6
 11,5
 13,6
 39,5
 40,1
 42,7
 45,7
 -
 -
 Д А А Л Д А
 9,87
 10,2
 11
 12
 12,6
 39,5
 39,7
 41,5
 44,2
 47
 Примечание. Все значения коэффициентов С отрицательны. Однако знак минус везде опущен, что не влияет на вычисления по формуле (8.93).
 10—491
 145

8.9, Вынужденные колебания пластинок
 При изучении вынужденных колебаний пластинок рассматривается неоднородное уравнение типа (8.5) или, если колебания пластинки вызваны динамическим загружением, а также вынужденным движением контура, соответствующее однородное уравнение с неоднородными граничными условиями. Существует несколько методов решения задач о вынужденных колебаниях пластинок. Эти методы, так же как и при расчете любой упругой системы на вынужденные колебания, связаны с двумя принципиальными путями решения. Первый путь основан на исключении времени из уравнения колебаний и получении квазистатического уравнения, в котором фигурируют лишь пространственные координаты и решение которого достигается обычными точными или приближенными методами, типичными для статических задач. Для исключения времени применяется либо интегральное преобразование Лапласа, с которым тесно связано классическое операционное исчисление, либо интегральное преобразование Фурье (а также разложение нагрузки в ряд Фурье по времени). Второй путь, наоборот, связан с исключением из уравнения колебаний пластинки пространственных координат и получением обыкновенного дифференциального уравнения по времени или системы таких уравнений. Для исключения пространственных координат можно использовать разложения в ряд по собственным функциям (формам собственных колебаний), интегральные преобразования, вариационные, конечно-разностные и другие методы.
 Рассмотрим уравнение вынужденных колебаний пластинки
 йЬт + т (33 т/д$) ?, (8.95)
 где Ь — бигармонический оператор (двойной оператор Лапласа) в прямоугольных илн полярных координатах.
 Для простоты будем считать начальные условия нулевыми. Применение к уравнению (8.95) преобразования Лапласа дает [12];
 йЬ т + ягрЗ т (8.96)
 то СО
 где ш— [ е~р1 шйЦ Я \ ё~рЬ дсП.
 О 	о
 (8.97
 Уравнение '(8.96)’ не содержит времени, оцо совпадает с уравнением изгиба пластинки, лежащей на упругом винклеровском основании с коэффициентом постели ктр2. Решение квазистатического уравнения
 (8.96) может быть получено точным илн приближенным методом; в последнем случае, правда, возникают трудности при обращении трансформанты (8.97) по формуле
 ш(1/2га') [ ер{шс1р, (8.98)
 V—г со
 где V — надлежащим образом выбираемое действительное число, обеспечивающее сходимость ин теграла (8,98).
 Легко исключается время из уравнения
 (8.95) в случае, если нагрузка является гармонической или полигармонической. Пусть,
 например, ?2
 11}
 к
 Полагая ш2№ ,етз , приходим к урав11
 нению
 01 7 — тш) (/ 1,2
 (8.99)
 Если нагрузка периодическая, то ее можно разложить в ряд Фурье и ограничиться несколькими первыми членами ряда. Для каждого члена ряда будем иметь уравнение типа (8.99), общее решение найдется наложением отдельных решений.
 Для исключения пространственной координаты из уравнения (8.95) решение уравнения и нагрузку можно представить в виде рядов по некоторой системе функций. Например, для прямоугольных координат:
 иу (х, у, I) ~ стп (I) №тп (х У)’
 111,11
 (8.100)
 Я 5 У $) тап (0 тип (л:У) 111, п
 Если решение однородного уравнения |(8.95) известно, т. е. известны формы собственных колебаний, то в качестве функций №тп(х, у) удобнее всего принять эти собственные функции, в результате чего для определения коэффициентов стп получается обыкновенное дифференциальное уравнение:
 ("■/Л") Стп + Ртп С,пп &т„/«5 1
 Ьтп !Ш тпс1хау, (8.101)
 где р тп‘— частоте собственных колебаний пла стинки.
 Решение уравнения (8.101)’ при нулевых начальных условиях имеет вид
 г
 стп (0 “ 0-1тРтп) &тп (тО X
 О
 х 5Шртзг(/-%)йт. (8.102)
 Мб

При гармонических колебаниях (Ьшл ({) —Ь®пп е,(3/) решение уравнения (8.101), соответствующее вынужденным установившимся колебаниям, будет
 Ф ■
 т{Ртп~а2)
 (8.103)
 Из (8.103) следует, что при резонансе, когда одна из. собственных частот ртп равна частоте нагрузки со, прогиб пластинки и внутренние усилия формально обращаются в бесконечность. Учет затухания колебаний позволяет получить конечные прогибы и усилия. Вводя комплексную жесткость (см. разд. 3), уравнение колебаний пластинки запишем в виде
 О Ьш + т (3? Т2)!д№) — деШ, (8.104)
 где 0—0(и+со); ку — комплексное перемещение (Кешиу); и, V — параметры, характеризующие внутреннее тренне (4.41).
 Разложение по формам собственных колебаний дает
 щг — и/ С05 (Ы + ш" 51П со , (8.105)
 »тптпУ
 где ш'
 Ртп
 т,п
 2
 Ртп
 (8.106)
 Ртп
 л Ша \2 21
 1 2—I -Ь ■П
 ртп
 При этом суммирование производят по всем корням частотного уравнения.
 В случае круглых и кольцевых пластинок формы собственных колебаний имеют вид
 1Утп 0) $1п пв 1Атп ■1п (ктп Р +
 ®тпп ( пт Р)] ■
 (8.108)
 Для плит конечных размеров ортонормированную форму собственных колебаний. №тп(х, у) или №тп(р, 0) можно рассматривать как ядро интегрального преобразования, трансформанта которого для функции т имеет вид
 стп (0 — ]"[ (8.109)
 5
 а формула обращения
 (8.1Ю)
 б — логарифмический декремент колебаний.
 Амплитуду прогиба определяют по формуле
 т0 V [ш']? + М? - (8 • 07)
 Амплитуды изгибающих моментов, крутящих моментов и поперечных сил можно определять по формуле (8.107), если в выражениях для т' и т" собственные функции №тп заменены соответствующими выражениями согласно формулам, связывающим прогибы плиты с внутренними усилиями в ней.
 Как уже было сказано, формы собственных колебаний прямоугольной пластинки можно получить точным методом, когда два противоположных края ее, напрямео х0, ха, шарнирно оперты или закреплены в скользящей заделке. В этом случае Хт(х) п (тяА'/я), а Уп(у) есть решение уравнения (8.54), удовлетворяющее тем или иным условиям на краях у0; уЬ.
 ™ 2 ст
 т,п
 Процедура получения решения при использовании конечного интегрального преобразования отличается от разложения в ряд по собственным функциям лишь тем, что трансформанту, т. е коэффициент в разложении (8.110), ищут непосредственно из уравнения колебаний. Для этой цели левую и правую части уравнения колебаний умножают на №тп и производят интегрирование по всей площади пластинки:
 Л
 дГ-
 3
 Я тИ8- 8.111,;
 Поскольку №тп — собственные функции оператора Ь, то
 СС Ч тп Аз— шЬ 1 7)171
 3 5
 & [ [ №тп & сттъ
 и, следовательно, (8.111) переходит в (8.101). При неоднородных граничных условиях в последнем выражении появляются дополнительные функции; в этом случае конечные преобразования особенно удобны. Для неограниченных пластин разложение (8.110) (формула обращения) имеет интегральную форму
 а/ (ТсЙ,Г1)1Р(|,т])йЬй1, (8.И2)
 л
 причем интегрирование производят по всему спектру Л оператора Ь. В частности, для неограниченной пластинки без закреплений можно применить преобразование Фурье по

каждой из координат, в направлении которой пластинка неограничена; в полярной системе для таких пластинок ' применяют преобразование Ханкеля. Для полубесконечных пластин применяют преобразование Фурье по координате, в направлении которой пластинка не ограничена; по второй координате могут быть применены преобразования, введенные в [22]. Для круглых и кольцевых пластинок можно использовать конечное преобразование Фурье по полярному углу и преобразование, соответствующее разложению по формам собственных колебаний (8.111).
 При произвольном опирании краёв пластинки в качестве №тп принимают какие-либо подходящие функции, а коэффициенты Стп(() определяют приближенными методами, изложенными в п. 8.4. Например, умножая левую и правую части (8.95) на
 интегрируя по всей площади пластинки и используя (8.102), придем к системе обыкновенных дифференциальных уравнений метода Бубнова—Галеркина относительно функций Сшл. При этом функции \Утп должны удовлетворять всем граничным условиям. Для решения уравнения
 (8.95) могут быть применены и другие приближенные методы: метод Канторовича:— Власова, метод сеток, метод коллокаций и т. д.
 В практических расчетах прямоугольных пластинок с произвольным закреплением краев на вынужденные колебания при
 использовании методов Рнтца, Бубнова Галеркина и т. п. можно принимать №тп(х, у)Хп(х)Уп(у), где Хт, -балочные функции, и ограничиться первым приближением, в результате чего для коэффициентов разложения прогиба получается Дифференциальное уравнение (8.101). В частности, при гармоническом возбуждении амплитуды перемещений можно определять по формуле (8.107).
 Решение задач о вынужденных колебаниях круглых и кольцевых пластин во многих случаях удается получить в замкнутом виде; при этом удобным оказывается применение метода компенсирующих нагрузок [9]. В частности, решение осесимметричной задачи о вынужденных колебаниях круглой пластинки, загруженной в центре сосредоточенной силой Р соз со? (без учета внутреннего неупругого сопротивления) можно представить в виде
 ш(|, 01 ©со8сог!, (8.113)
 где Г © щ © + Л0 /9 (I) +, В0 /„ (|);
 -Аг |/о (5) + — К„ (|)7:
 8011 ■' я " -1
 €) —
 е г.
 ' Функция' Шо называется основным решением; она имеет в рассматриваемом частном случае при 0 особенность типа сосредоточенной силы, т. е. ее разложение в окрестности точки |0 имеет слагаемое вида |21п . Постоянные А0 и В0 определяют из граничных условий на контуре пластинки; если контур пластинки гг0р/Я1 защемлен, то при |3 имеем ещ ((3) 0; (йш/й|) (Р)0, откуда следует:
 А„ -
 А Р П (Р + /„ (Р) К, ф) + (2/.ТГ0) Ф А О) + 1 ((3) /0 (Р ;
 (8.114)
 Р А (Р) К„ ф1~ „ (Р) К, (Р) + Я/Р) 4лОЯ1 ■1о Р А Р) + (Р) /„ (Р)
 (8.115)
 Если на круглую пластинку действует нагрузка соз Ы, равномерно распределенная по окружности радиуса га/Хи то фушщию гв(|, () также, можно представить в виде (8.113). Функция Шо(|), которая в этом случае должна при |?а давать разрыв в поперечной силе на величину у, имеет следующий вид: при еа
 (I) -
 Г г
 3 0
 40 [_
 Сй) У0 (а)+— /„ ф /„ (а)
 л
 в0
 при
 пдх
 Уо «/о ■
 (8.116)
 ' (б) 1о(0)
 (8.117)
 В этом случае при защемленном крае
 яда
 (° ГА Р У о 3) +/„ (Р) К, (Р) 3 + — /„ (ОД X яр
 /„ (Р) а (од + /, (3) /„ (3)
 (8.118)
 2ЛЯ.1
 - (К) + /„(СО У, (Р) К0 (Р) - (3) К± Р]
 X Р Iо (Р) 1 (Р) “Ь /1 (Р) (Р)
 (8.119)
 Если нагрузка 71 соз равномерно распределена по кольцу с приведенными радиусами аь а2, где а1аг, то функция ш0 имеет вид: при «1
 148

(6) -
 Я7 1
 Г[«г 5'! (а2) — а,] К, (а!)] X
 2 1
 X ,/„ (|) — ■— [хг КI (а,) — сс1 К± (с )] /„ (§) ■ гг ;
 (8.120)
 при а2
 К-'о(? /[“2 Л “ — “1 •А “13| о (?) +
 40X1 I
 + — [«г и («’) — «1 Л (И«)3 К'о (&}; (8.121)
 л .)
 при аг|Ж1
 ®0(Е)-
 Я?1
 4
 4ДЯ,!
 ■ — ! 74 (сад К„ (|) —
 ш(|, 0)-шо(6, 0)+шк(|, 0), (8.124)
 р
 где щ’„ (|, 0) -
 80Х,х
 Уо (г) Н к„ (г)
 я
 — Я1 /, («1) Ко (|3) + «2 1 (“з) Л (ь~
 л
 а3 К, (а.) /„ (|)1, (8.122)
 я ]
 а числа /10 и В0 определяют из граничных условий.
 Для. кольцевых пластинок функция 117(|) имеет вид
 1Г (|) т0 Ц) + Ад /„ © + В0 /0 © +
 + А0Уо(1) + в1Ко®, (8.123)
 и определение постоянных А0, В0, Л0, становится сравнительно трудоемким. Для решения задачи о вынужденных колебаниях кольцевых пластинок удобно применять метод начальных параметров; для этого нужно построить систему функций, аналогичных функциям Крылова в задаче о колебаниях балки. Эти функции и подробное изложение схемы вычислений рассмотрены
 в.[9].
 В случае неосесимметричных колебаний круглой пластинки, вызванных сосредоточенной силой Р соз со , приложенной в точке с координатами п, 0](г1 си ДО, решение по методу компенсирующих нагрузок можно представить в виде
 г V а\ + |2 — 2я11 с о? (01 — 0);
 Б, В — координаты точки, в которой определяется прогиб;
 т 2" •Г» (?) + В« !П (1)1 С05 п (01 — 0)
 пО
 Здесь символ «штрих» означает, что при п0 соответствующий член ряда умножается на '/г- Коэффициенты Ап и Вп определяют из условий на контуре пластинки. Для фактического получения решения следует использовать формулы сложения бесселевых функций. Если пластинка защемлена по контуру, то
 О
 /„.(а)[у„(Р уР- УР]~ /„«)
 1п (Р п (3) - СР) 1п (Р
 (8.125)
 Вп~Р {4/и [ 1п (Р)/ (Р) (?) /п(Р)])-1х
 X {- ’п “ [ -,п К'п р] ~
 ~~7ф'п
 Полученное решение позволяет рассмотреть задачу о свободных и вынужденных колебаниях круглой пластинки с присоединенными дополнительными массами или точечными опорами [9], а также может быть использовано для получения решения задачи о вынужденных колебаниях безбалочного перекрытия.
 РАЗДЕЛ 9 ДИНАМИКА УПРУГИХ ОБОЛОЧЕК
 (О. В. ЛУЖИН)
 9.1. Основные уравнения динамики тонких упругих оболочек
 Колебания упругой изотропной оболочки, постоянная толщина которой б су¬
 щественно меньше минимального радиуса кривизны Кмин срединной поверхности (бс0,05 Кмпп), описываются системой дифференциальных уравнений:
 -1.43

Е6
 Рис. 9.1. Усилия, возникающие в оболочке
 а — нормальные и сдвигающие силы; б—поперечные силы, изгибающие в крутящие моменты
 1 дВЫ 1 АВ
 /V,
 дБ
 1
 еЛ5-
 да
 АВ да АВ оЗ
 АВ
 Х-М.
 ер
 ■ + 1
 д2 и
 (а, р, /)■
 дГ-
 ри
 1
 дАМг
 А'!
 ел
 ер
 1
 дВЗг ,
 АВ
 ер
 АВ
 АВ
 да
 ’Ч?
 дВ
 да
 + кг (3, -
 . д2 V
 -бр д12
 -
 рв(а. Р.О;
 ■ кл — к. + -
 АВ
 двд1 , 1 дАд„
 1 —
 — бр
 дГ-
 да ' АВ ар • р.,, (а, 3, I),
 (9.1)
 Эд
 дАМ.
 ~ + «12
 дА
 ер
 дВМ1
 да
 +
 да )
 &.+Мал.
 АВ \ да да
 дАМ.
 дЦ
 - +
 + ли
 дА
 ер
 (9.2)
 причем
 1 — (.1Е6
 • Ц-
 . + це. —
 Е + ЦЕ, ■
 •5,- •
 Е б
 ■5 ■
 М. -
 2 (1 + Ю ЕЬ 2 (1 + ц) Ей3
 ш
 (кг — к2) и, (Й! — Ь и (! — А,) т
 1
 ■ К) т
 М2 -
 12 (1 _ ц) Е63 12 (1 - ц)
 М12 «я
 [и, + (№„ + й2 (ех + де.)]; [К. + ЦК! + Й! (Еп + це,)]; (2т + а);
 (2т + к± со),
 Е6
 24 (1 + ц) Ей3 24 (1 + Ц)
 где Л ь Л/., 51 и 52 ■— погонные нормальные и ?двпгающие усилия, положительные направления которых указаны на рис. 9.1, а, действующие в сечениях, совпадающих с линиями главных кривизн; 2ь Фг — погонные поперечные силы (рис. 9.1,6): (3, I), Дц(а, (3, 0—составляющие внешней нагрузки, направленные соответственно по касательным к ортогональным координатным линиям а и (3 на срединной поверхности, совпадающим с линиями главных кривизн; рш(а (3, I)—составляющая нагрузки, перпендикулярная касательной поверхности (рис. 9.1, а); Л(а, (3), В(а, |3) — коэффициенты первой квадратичной формы поверхности; к\(а, 3), к2(&, 3)—главные кривизны срединной поверхности, определяемые как величины, обратные ее главным радиусам кривизн вдоль ли ний.|3соп51 и асопз1; соответственно: Е — модуль упругости; р —плотность материала оболочки; I — время.
 . Погонные поперечные силы С?1 и ?2 связаны с погонными изгибающими и уИ2 и крутящими моментами М12 и М21 (рис. 9.1,6) соотношениями:
 (9.3)
 где д — коэффициент Пуассона.
 Связь линейных и сдвиговых относительных деформаций еь е2, со и величия, характеризующих изменение кривизн и кручения %[, %2 и х с компонентами перемещен
 ний и, V и ш точек срединной поверхности
 оболочки, устанавливается соотношениями: е — 1 ди , у дА
 А да АВ д(3
 Е и дВ 1 до
 АВ да В д|3
 д__ Л_
 В д$ \ А } А да \ В у дкг — .
 В др 1 А 1 дА дю
 ЦТ
 1
 В
 дВ дю
 ■ + А
 ■ + кп иу;
 дк,
 да
 [ с
 а
 ■ +
 ди
 да
 дк2 да
 -)■
 кг
 А да В
 дю
 в ер к, г А_ _е в ар
 1 ( д2 ю
 АВ2
 дк,
 ер
 1
 Л2 В
 ер
 й О) -
 д
 да
 д
 ер
 х
 Г А д / и \ _ В д / у \~|
 [ В д$ \ А } А еа\,в)]
 (9.4)
 да да _В д_
 А да
 1 ел дш АВ \ да ер А ер да 1 дВ аоу \
 В да дЦ )
 При рассмотрении свободных - колебаний оболочек в уравнениях (9.1) следует положить равными нулю правые части: Ри(сс, р, 1)р„(а, |5, 1)рт(а, Р, ?)0.
 Рассмотрение уравнений (19.1) в совокупности с соотношениями (9.2) —(9.4), а также учет соответствующих граничных условий позволяют полностью решить задачу как об определении спектра собственных частот и соответствующих им форм собственных колебаний, так и о расчете оболочек на внешнее динамическое воздействие.
 К числу характерных граничных условий следует отнести упругое опирание края вдоль одной из координатных линий отно-
 150

сительно перемещений и, о, т и поворота ■в'1 на краю Р сопз1: или ©г на краю а
 сопз! При этом на краю (3 сопз1: Д —к и\ 5\—к&ъ\ 3,—кят\ /И,—кмв1», а на краю асопз{ соблюдаются условия N2—квгЩ 53—С2—кягш; М2 ■—км®и причем углы поворотов д, и и обобщенные погонные поперечные силы 21 и равны:
 0 (1/Л) (диа/да) — % и;
 ■&2 (1/В) (дш!дР) —к2 о;
 & & + (1/Я) (дМУдр);
 г 02 + (ИА)(дМ21/да).
 Здесь Н м ,к и — коэффициенты жесткости опор относительно трех линейных смещений и поворота.
 Полагая все коэффициенты жесткости равными нулю, получим условия свободного края. Устремляя коэффициенты жесткости к бесконечности, получим условия для защемленного края. Для шарнирно подвижного (свободного) опнрания имеем кК О, кв0, Аз-оо, км0 и т. д.
 Потенциальная энергия упругих деформаций оболочки II и кинетическая энергия в процессе колебаний Т, записываются в виде:
 "■тШг
 ■[Б1 + Е,г 2(1|1)(Е1 Ег~
 - 02)] -Ь й [(И -Ь и)2 2 (1 |11,) (х1 т2]| АВ йа 3;
 г-тЯ«[(1г),+ Ш
 Ч
 +
 ' дш д{
 АВ йа,
 Е6“
 где О 12 (1 кос ть оболочки.
 Д2)
 - цилиндрическая жест-
 Двойное интегрирование распространяется на всю срединную поверхность оболочки.
 Динамический расчет ортотропных оболочек постоянной толщины, когда оси ортотропии совпадают с линиями главных кривизн, связан с рассмотрением тех же уравнений (9.1), при соблюдении соотношений (9.2) и (9.4), тогда как физические уравнения (9.3) видоизменяются в связи с необходимостью учета четырех физических констант.
 В случае конструктивной ортотропии, когда оболочка подкрепляется системой ребер, совпадающих с линиями главных кривизн, в отдельных случаях при густом расположении ребер представляется возможным реальную систему заменить оболочкой
 с приведенными физическими константами. При редком расположении элементов подкрепления приходится решать динамическую контактную задачу.
 Следствием вводимых при формулировке основных гипотез технической моментнон теории оболочек допущений (отсутствие нормальных напряжений, параллельных нормали к срединной поверхности, прямолинейность нормального элемента) является неустранимая погрешность расчета, порядок которой может быть оценен величиной б2//?2 , что позволяет в некото-
 ■ ' мин
 рой степени упростить физические уравнения (9.3), отбросив последние члены, заключенные в квадратные скобки, а также упростить три последние соотношения в выражениях (9.4).
 В отдельных случаях, когда толщина оболочки весьма мала (6/Ж1/100—1 /250), достаточно точные результаты дает использование уравнений безмоментной теории оболочек, которые получаются, если в уравнениях равновесия (9.1) пренебречь поперечными силами, исключить из рассмотрения изгибающие и крутящие моменты и соответствующим образом упросить выражения (9.3) и (9.4). При этом число граничных условий на каждом краю сокращается до двух, связанных с перемещениями и и и.
 Для тонких оболочек при 6//?Мнн1/30 возможно использование уравнений технической моментной теории оболочек В. 3. Власова [4]. В этой теории пренебрегается в первых двух уравнениях (9.1) поперечными силами (21 и С?2, не учитываются последние слагаемые в физических уравнениях (9.3), т. е. принимается закон парности сдвигающих сил .?152 и крутящих моментов М12М21, и не учитываются в трех последних выражениях (9.4) члены, содержащие кривизны, что позволяет систему уравнений, описывающих колебания оболочки, записать в виде:
 X Ки
 1_ дв_
 А да
 Й 2
 А
 (1 — ц) В
 дш
 да
 дк
 + (1 - д X
 59 ар
 X СКо
 (1 -Ц)
 А.
 в
 \ — ! й1Гр
 ) Е6 [ “
 Ы“ | д до \ 1
 + (X - IX) X
 (а, |3, 2) — бр
 дг V д1
 г]
 АВ V
 йа
 151

V дАкг о\ бг 2 7 2 , /Л
 + -— V Ш + Ыа1 —
 г.|Ч ./ .12 4
 62 2 4 1 — ци Г
 V V и — — Р-, (а. Р. О —
 12 Ев [ "
 ,, д'1 цу 'I
 — 6р .
 сХ2
 (9.5)
 где 0 — (Л. + + (й, + Ш;
 АВ { да д$ )
 к » ( дВу дАи V
 2АВ V да ]’
 V— обобщенный оператор Лапласа;
 + — Г 1Ё-ЫГ|.
 бр [ в ер \}'
 Кк 2- гауссова кривизна.
 Для пологих оболочек, т. е. для оболочек, у которых стрела подъема не превышает У5 наименьшего характерного размера (стороны прямоугольной в плане сферической, параболической, эллиптической оболочки, минимального радиуса опорного кольца- и т. п.), можно принять допущение, что срединная поверхность оболочки обладает метрикой евклидовой геометрии. Это позволяет в уравнениях (9.5) положить А — В\, а для оболочек нулевой гауссовой кривизны принять /с0.
 Наряду с приближенными подходами к формулировке динамических задач для оболочек следует отметить решения, основанные на рассмотрении уточненных уравнений, характеризуемых учетом эффектов деформации поперечного сдвига [40] .и инерции вращения [42].
 При исследовании колебаний толстых оболочек необходимо оперировать полной системой уравнений теории упругости [10].
 9.2. 	Методы решения задач
 о 	свободных и вынужденных колебаниях оболочек
 Определение спектра собственных частот оболочек и расчет последних на действие внешней динамической нагрузки является сложной проблемой, связанной с рассмотрением дифференциальных уравнений в частных производных, в общем случае с переменными коэффициентами, зависящими от трех переменных: координат а, (3 и времени I.
 При исследовании свободных колебаний следует положить, что все перемещения, так же как и усилия, изменяются по гармоническому закону, что позволяет исключить из уравнений (9.1) время, положив,
 и(а,р,0 и (а,13) е~ш-
 V (а,р,0 V (а,Р) е~ ш и т. д.,
 где I — мнимая единица; со — частота свободных колебаний.
 Полученная при этом система уравнений относительно искомых величин, уже зависящих только от координат а и р, запишется аналогично системе (9.1) с нулевыми правыми частями, а инерционные члены приобретают вид:
 — 6рш2и(а, Р); —брш2а(а, Р);
 — бршЗ а (а, Р) в первом, втором и третьем уравнения соответственно.
 Для решения задач об определении спектра собственных частот и соответствующих собственных форм применяют различные методы. Метод непосредственного интегрирования систем дифференциальных уравнений эффективно используют, в частности, при изучении осесимметричных колебаний оболочек вращения (замкнутых цилиндрических оболочек, сферических, конических и т. п.), когда уравнения содержат лишь одну независимую переменную. Этот же метод может быть использован и в тех задачах, в которых условия цикличности или заданные на двух противоположных краях граничные условия допускают решение в виде и (а, Р)м(а) и (Р), где либо и(а), либо и(Р) известна и т.д. Так, в частности, можно исследовать колебания оболочек вращения, когда вдоль направляющей перемещения и усилия изменяются по гармоническому закону и пологие оболочки на прямоугольном плане, у которых два противоположных края свободно оперты.
 Решение системы обыкновенных дифференциальных уравнений может быть получено либо в замкнутом виде с использованием гиперболо-тригонометрнческих функций для цилиндрической оболочки, функций Бесселя для конической, функции Лежандра для сферической и т. п., либо численными методами. Однако использовать численные методы следует с определенной осторожностью, необходимой при вычислении быстро осциллирующих функций, порожденных краевым эффектом.
 Широкое применение в динамике оболочек находят вариационные методы Релея— Ритца, Бубнова — Галеркина и др. При использовании этих методов необходимо задаваться формой собственных колебаний. Последнее обстоятельство может в отдельных случаях приводить к существенным погрешностям даже при определении низшей собственной частоты, если неудачно
 152

выбрать форму деформированной поверхности. Кроме того, вариационные методы не обеспечивают должной точности при густом спектре собственных частот, например, в случае тонких сферических оболочек.
 Применение метода конечных разностей в отдельных случаях позволяет достаточно точно найти низшие частоты, однако при определении форм колебаний, а тем более усилий, можно получить существенную погрешность. Эффективен метод конечного элемента, успешно развиваемый в настоящее время.
 Эффективным средством решения различных задач теории оболочек, применяемым для анализа спектра собственных колебаний и для оценки напряжений, возникающих в зоне краевого эффекта, при высоких частотах колебаний, является разработанный В. В. Болотиным метод, основанный на расчленении решения на асимптотическое решение для внутренней области и на решение, описывающее динамический краевой эффект [1].
 После определения спектра частот ш„ собственных колебаний оболочки и соответствующих им форм ип(а, (5), ип(а, (3), ш„(а, Р), а также функций, характеризующих закон изменения внутренних усилий Л 1п(а, Р), Ы2п(а, Р) и т. д., которые в дальнейшем обобщенно обозначим символом 2п(а, Р), окончательные усилия и перемещения могут быть найдены по формуле
 гп (а, |3 к .
 Ь
 2 (а, (3, П »71
 О
 X О — и) 4и,
 в общем случае изменения внешних нагрузок во времени и
 2 (а, р, о V
 п1
 I (и 31П со X
 X (1 — и) (!и,
 если все действующие нагрузки изменяются во времени по одному и тому же закону IV), т. е.
 Ри{а, м рц(а,Р)/(0;
 Р„ (“Р.О Рв («.Р)/(0 рт (а.р,) рш (а,р) / (/).
 Функцию определяют по формуле
 "п “
 _Я[р„ Р. « Чп «. 13) +Р0(а,|3,и) ап(«,|3) +
 Л [ип (а' Р + «п (а' Р+ Р] АВ аа 4$
 + (а, (3, ю чап (а, |3)] АВ йа. й(3
 а коэффициент разложения нагрузки по формам собственных колебаний ап равен:
 _ Л Рц Р “п 131 + Ру ,а• Р Х Л[“п“ Р+4“' Р)+ш„(а, Р)]лвйай|3 X Уи (к, Р) + рш (а, (3) ап (а,|3)] АВ йа й$
 В записанных формулах двойное интегрирование распространяется на всю поверхность оболочки.
 При решении отдельных задач, связанных с расчетом оболочек на действие ди- намических нагрузок, успешно применялись интегральные преобразования Лапласа — Карсона и Фурье по времени.
 9.3. Колебания замкнутой круговой цилиндрической оболочки постоянной толщины
 Дифференциальные уравнения, определяющие формы свободных колебаний и соответствующие им частоты, получаются из выражений (9.1) — (9.4):
 V даг
 +
 • 1 -}- д. д- и
 2 да. 1— м-
 Ч- Я и +
 2
 д2 V
 дш
 X • "Ь М — 0;
 да
 да
 ■+г~
 д" д2
 1 2
 да- (3[5“
 дш +
 ~ЩГ~~ '
 ди . йь „ „ п ,
 Ц— 1 [- Сс-у V + 1 — 2,) ю 0.
 оа ар
 (9.6)
 где Р — угол, отсчитываемый от начальной образующей: аУ? — расстояние от координатной плоскости по образующей до рассматриваемой точки А (рис. 9.2);
 „ „ д1 (...)
 V V" •••) Ь
 12Д
 + 5
 да‘
 54...) , 5 (...)
 т ГГ—
 X"
 да- о|3 1
 п- 2 — рК (0П.
 (9.7)
 Из условия замкнутости оболочки решение системы (9.6) записывают в виде:
 и (а, Р) и (а) со? т$\
 V (а, Р) V (а) 51П «Р; ш (а, Р) ш (а) соз т§,
 где т — число волн упругой поверхности оболочки в окружном направлении
 При осесимметричных колебаниях, когда т 0, (9.7) распадается на систему уравнений относительно перемещений вдоль радиуса и вдоль образующей: й' + , )«
 Ф йа
 (9.8)
 , с/айи (а) йа
 .(с
 ёы) (х)
 (а) + ц ■?, , 0;
 йа
 4- 1 с %- ] ш (а) О,
 153

Ее решение
 Рис. 9.2. Замкнутая цилиндрическая круглая оболочка
 х А, 1/(1 — [х)/2 .
 Решение уравнений (9.8) определяет частоты колебаний, формы которых не сопровождаются поворотом кругового поперечного сечения цилиндрической оболочки в своей плоскости, а решение уравнения
 (9.9) описывает колебания крутильного типа, при которых каждое поперечное сечение сохраняет свою форму.
 При неосесимметричных колебаниях систему уравнений (9.6) можно записать в виде:
 /1
 8
 ш (а) (9.10)
 /'1
 + 1П- [(1 + IX)/2] Гу
 — т? -Ь
 Рис. 9.3. Свободное опирание края
 и одно уравнение относительно перемещения в окружном направлении
 {[(1 —1.1/2) [(ачаа) + V (а) 0, (9.9) Решение первой системы уравнений запишется в виде:
 и (а) 2 А] Ц] /■'“; ш (а) 2 А] /■“ , / 1 /1
 где Т1; — цгД г2. + Л2),
 а г —корни характеристического уравнения
 сЪ г + й № П + (1 — Я! — р2) г? +
 + Щ1 —Щ 0.
 Решение уравнения (9.9) имеем вид
 V 	(а) В-1 зш % а + В3 сов Аа;
 0) + (1±±)'
 т | г1. — т2 [(1 — ю/2] + 1?} —
 — г1. [(1 + д/2] цт
 { д 1 — |Л 2 , \ 9 о 11 (.1 \2
 (9. 11
 а г.—корни уравнения Ьл -ЬЬзгЬ+Ь +Ь + Ь О,
 причем
 1 	11 с2; Ьа — (1 — д) с2 т- -р
 4
 Ь2 1(с2 т + 1 — V)-
 _ 2т с2 11 . | - т2!— | +
 тг аг — ■
 Т-тЧ
 + Ь2~т +с2 2
 — и,2 — — т1 —2с;
 2 V 2 ;
 Ьг (о2 т1 + 1 — &г) — т- -■ ■- | - +
 I2 — ш21 — Х,2 — т- —~ | (Л2 — ш2) 2с- т- —
 (—— — т2 - + %- | V (а) +
 V дай 2
 . 1 + ц йМ) , йв (а)
 + т —— 1- ц 0;
 •к- 1
 +
 Ъа (с‘
 1 + м.
 1а Аг (а)
 йа
 +
 - т2 + Я2
 с1а
 гх-и
 I 2 йатя) (а) 0;
 йъ
 Ц ■ + то Са)+ \с-(— 2т-— 1- т4 )+
 йа I \ Да йа-
 {■ 1 — X2 \а (а) 0.
 — от8 (1 + ц) ц — ц2 (X,2 —• т-)
 + (о2 т 4- 1 — 1г) т» + т2;
 2 т‘ 1 — X,2 Х,2 — т- ? ~ (Я2 — т2) +
 + 2 — т- 2—— т2.
 Записанные формулы позволяют составить уравнения частот. Для этого из краевых условий следует получить систему четырех алгебраических уравнений и приравнять нулю определитель, составленный из коэффициентов при произвольных постоянных.
 154

о, в
 0,7 0,6 0,5 0 Л 0,3 0,2 0, о
 /!\
 /
 '/
 //
 Л
 /
 V
 /.
 V
 7А
 /
 //г
 г
 /
 $
 -С
 4 пт:/1 0 0,10,091
 М.
 0,091 0,0 П 0,0 525
 0,0268 0,002
 0,052 0,В
 о, от „ , 0,02 0.5 0,0/ .. 0,002
 0,3
 ЬПЯК/1
 ПЩ1
 0,074
 0,0525
 0,0268
 0,02
 0,01
 0,002
 и поя!ъ
 /т(1+“й
 а формы
 пзт
 /
 /т-
 плх
 I
 где и 1, 2, 3, ...
 Для определения собственных частот свободно опертых цилиндрических оболочек используют формулу [30]:
 у ЕДр 1 — ц2)]
 (9.12)
 Рис. 9.4. Графики частотных коэффициентов для свободно опертых цилиндрических оболочек
 При решении характеристического уравнения можно получить не только действительные, но и комплексно-сопряженные или мнимые корни. В этом случае необходимо от экспоненциальных функции в решениях (9.10) перейти к гиперболо-тригонометрическим функциям и соответствующим образом преобразовать формулы (9.11).
 Цилиндрическая оболочка со свободно опертыми краями (рис. 9.3). Частоты колебаний шэтт определяются формулой [3]
 коэффициенты кпт, в которой могут быть определены по графикам, приведенным на рис. 9.4 в зависимости от параметра
 пп(К/1), где п — число полуволн в на¬
 правлении образующей. Числа на кривых показывают отношение 8/К.
 На рис. 9.5 для четырех значений 6/К представлены зависимости кпт от параметра л я (К//) при различных т. При определении низших частот колебаний, соответствующих значениям т 1, для коротких
 оболочек, когда //К 0,5... 1, целесообразно
 использовать графики на рис. 9.6. [24].
 Частоты колебаний оболочек средней толщины, когда К/6 20...5, могут быть определены по формуле (9.12) при [28]
 1
 кА пт
 {к- + т2)1
 1 4- (32 (X- + тг)
 К"
 1 — (3, (X2 + т2)
 Я2
 К2
 +
 (1 - ц) V 1 + |За -15- (V- + т2)
 I я2
 пяД _ 21р. —1 _
 I ' 1 105 (1 — д)
 15 - 7ц „ 17
 где О — модуль сдвига; Я — радиус срединной поверхности цилиндрической оболочки; к пт и и — коэффициенты, зависящие от отношения ЦК, где I — длина оболочки, ы от числа волн гп е окружном направлении.'
 Значения коэффициентов к 71т И УС МОГуТ быть определены по данным' таблиц, приведенных в работе В. С. Гонткевича [6].
 При осесимметричных колебаниях (т 0) цилиндрической оболочки крутильные колебания независимы от колебаний в продольном и радиальном направлении. При свободном оппранни торцов тонкой цилиндрической оболочки можно осесимметричные радиальные и продольные колебания рассматривать раздельно, причем частоты продольных колебаний будут
 7(1 —Ц) 21(1— Ц)
 Частоты осесимметричных колебаний цилиндрической оболочки со свободно опертыми торцами могут быть также определены по формуле [2]
 сйпо (1/К) / 1 + 8,14п(И/й//) X
 X V Е1[р (1
 При тФ0
 "» т У~1
 ■т
 V (1 — Ц2 + ктв (4Я.2 + т2)
 V + (3 + 2Ц) X2 + т2(1 +2Я2) +т4
 р (1 — (х2) где к б2/12К2; к—гтЩ1.
 Цилиндрическая оболочка с защемлеинымн торцами. Частоты колебаний тонкой оболочки с защемленными краями, соответствующие формам, не имеющим нулевых радиальных перемещений, исключая тор-
 155

Рис. 9.5. Частотные коэффициенты при различных отношениях толщины и радиусу
 %пт
 Рнс. 9.6. Частотные коэффициенты, соответствующие низшим частотам
 цевые сечения, определяют по формуле (9.12); при этом коэффициент кхт может быть определен в зависимости от отноше¬
 156
 Рис. 9.7. Частотные коэффициенты для защемленной по торцам цилиндрической оболочки
 ний Я/Ь и 1/Н по графикам рис. 9.7. Цифры на кривых указывают число волн т в окружном направлении, которые соответствуют минимальной частоте.
 Для трех значений 1/Я при Я/5 100 на рис. 9.8 пунктирными лилиями представлены графики коэффициентов к пт для защемленной по торцам цилиндрической оболочки. Там же для сравнения (сплошная линия) приведены графики для свободно опертых цилиндрических оболочек [33].
 На рис. 9,9, а—г даны графики коэффициентов к„т для определения частот
 апт (&пт/- макс) У Е/[р (1—М1-)] (9.13)
 в толстых, защемленных по торцам, цилиндрах. Здесь Я макс — радиус внешней поверхности цилиндра. Цифрами на кривых обозначены величины 1—6/2Я. Левые графики на каждом рисунке повторяют в увеличенном масштабе начальный участок соответствующего правого графика [34] .
 Первые две частоты осесимметричных колебаний по торцам оболочки могут быть также найдены по формулам [2]:
 1 + 41,6 (65 Я/Щ X
 X У~~Ё/[р (1 - ц?)] ;
 . “го О/Я) V 1 + 318 (65 №П) ' X
 X V Е/1 р (1 — IX?)] .
 Цилиндрическая оболочка с другими закреплениями торцов. Определение частот колебаний цилиндрических оболочек при разнообразных граничных условиях может

быть проведено по формуле (9.12), если для определения коэффициента к пт воспользоваться выражением
 4„ [/12/(12/?)]02 + (1-[г2)С,
 причем О и С определяют в зависимости от граничных условий по данным таблиц, приведенных в работе [8].
 Коэффициенты к\т для различных граничных условий могут быть определены также по графикам рис. 9.10. Так, сплошная линия соответствует свободному опиранию торцов цилиндра, а штриховая — случаю, когда левый торец свободно оперт, а на правом, кроме того, отсутствует продольное смещение. Случаю, характеризуемому закреплением от продольного смещения обоих торцов цилиндрической оболочки, соответствует штрихпунктирная линия. Цифры на кривых, как и ранее (см. рис. 9.7), определяют число волн в кольцевом направлении, соответствующее наименьшей частоте.
 На рис. 9.11 представлены графики коэффициентов для свободно опертой по торцам оболочки (сплошная линия) и для защемленной по торцам, но имеющей продольные смещения оболочки (штриховая линия) [33]. Как показывает сравнение приведенных графиков, граничные условия для тонких оболочек сравнительно слабо влияют на соответствующие собственные частоты, что может быть учтено при проведении практических расчетов.
 В том случае, когда один из торцов оболочки защемлен, а другой свободно оперт, первые две частоты осесимметричных колебаний определяют также по формулам [2]:
 И1в±_/1 + 19,8 ]/_
 КГ I' Г р 1 — ц-)
 — |/"1 + 208 - 1 Л/~ —.
 а У 11 ' Р (1 — И2
 Если на торцы свободно опертой цилиндрической оболочки действуют продольные погонные нормальные силы N и крутящие моменты Мкр, то частота колебаний определяется формулой (9.12), причем [13] /р. — (1 — ц.-) + к О.- + т-у + ,
 пт А2 + т1)" + т-+
 .+ (X- Ч~ т")- (IX" — 2Лт)
 -4- (3 -(■' 2|а) Аг
 где( М/(Е8); в — Мкр/(2лй? Е8).
 Цилиндрическая оболочка с днищем или с фланцами. В том случае, когда торцы оболочки выполнены в виде, представленном на рис. 9.12, частоту колебаний опреде-
 /27
 ■— _
 №-
 100; 1/К Г,.
 / 0,з\
 --
 а-
 \
 л4
 «■"
 \л
 Ч.
 И2
 /
 ч\ 4 \\
 у
 — "
 г
 2 4 6 8 10 12 ищ
 Рис. 9.8. Частотные коэффициенты при различных отношениях радиуса к толщине
 157

Рис. 9.9. Частотные коэффициенты для толстых защемленных по торцам цилиндрических круговых
 оболочек
 ляют как для оболочки .со свободно опертым краем, только параметр К вычисляют в соответствии с эмпирической формулой
 х (п + 0,3е~ш1й) ){пЯП), (9.14)
 где й толщина днища.
 Если торец оболочки усилен фланцем (рис. 9.13), то используют формулу (9.14), а величину й находят как
 3 Г "|/ а + ц)/(1
 1 - Д2/«
 ,2
 'макс
 где Я макс толщина.
 Ю + («2/я внешний радиус фланца; с!\ — его
 макс) (9.15)
 Двухслойная цилиндрическая оболочка.
 Для замкнутой длинной цилиндрической оболочки, состоящей из двух изотропных слоев, низшая частота собственных осесимметричных колебаний определяется формулой [36]
 С0щ — х Я
 6_3А+2_1+ А в+3А+2 Л н к2 н я2
 6+зА + еА(6_зА'|
 Д Р1 V Н )
 где Д — радиус окружности, по которой происхо’ дит контакт слоев.
 Параметры, определяющие свойства и размеры наружного слоя, имеют индекс 1, а параметры внутреннего слоя — индекс 2.
 Трехслойная цилиндрическая оболочка. Частоты собственных колебаний трехслойной оболочки неосесимметричной структуры при изотропных слоях и свободном опиранин торцов определяют по формуле [22]
 , (птагё)/ЯЗ]Л)/р,
 158

где
 /V
 07
 0,5) к, 12
 махе
 2 3 4 5 1 О 4 8 12 15 2.0 г
 л , т 2,ио,з
 0,01 0,5 ’■ 12
 0,7 в
 '45
 4
 4
 У
 4
 У
 /
 я
 /
 /
 'У
 X
 у
 0,01
 ОД
 0,7
 0,9
 пЯвм
 12 3 4 5 1 0 4
 /775, -0,3
 12 16 20 г
 1+» ( а’ + З2 \ К П
 1 + Й (а‘‘ + р- ) л п т},
 4- к
 ( а1 + Вг У2
 Л п т‘1
 В формулах (9.15) и (9.16)
 пЯ г, т « я2 б2 ,
 «» —: Рпг ~:
 12 (1 —'ц»2) Я"
 К~ я 62 02 ’
 12 (1 — И-) я- N 4 _ 12 (1 — цг) К3 Р Я- Ей3 02 5Х2 Е й3 02
 12 (1 — ц/~)
 11
 ■ц У и4е.;
 11
 8ваав
 /1
 . 1 — М-
 1 —
 11
 ■ #
 61 63-
 0! Во 1 б
 01 1+2(е1-е2)-3(е1_е2)2];
 02 Зв3 /3 (В! + е21г) + бе е2 (3 й + (е); 63 4 ( е2 1\ + е2 Щ — 3(е1?1 — е„
 @о 01 + 202 + 6з
 “2 У'
 где б —полная толщина оболочки; Е.,Ц-, Р- б.— модули упругости, коэффициенты Пуассона, плотности материала и толщина слоев, причем индексы 1, 2 и 3 относятся соответственно к внешнему, среднему и внутреннему слоям.
 В формуле (10.16) знак плюс перед последними членами соответствует растягивающей силе N и внутреннему давлению Р, знак минус—сжимающей силе N и внешнему давлению р.
 Для защемленной по торцам трехслойной оболочки
 кг пт
 в г + Нгг + 0
 1 + В +
 К+й)+
 159

!т
 Л
 16
 15
 Ч
 Л
 \
 7/7 _
 7/ 8
 в
 — А 5
 \
 4
 К/сГ500
 ■'—•Н
 I ь| 6
 о
 1
 о
 !г- 4
 к
 ’ 0,2 0.5 7 2 5 Ю 20 50 700
 ЦК.
 Рис. 9.10. Частотные коэффициенты при различном опирашш цилиндрической оболочки
 щ
 Рис. 9.11. Частотные коэффициенты при различном опирании цилиндрической оболочки
 +-
 + '
 “О
 1 п , 2п
 + -
 |_К + В2ЛВ Са2я+Рт)2 №
 ? +а2)±ррг,
 14-е 1п 2п1 т
 причем
 а1п .(»»— 1)(Я/2); ап (« + ЖЯ/О;
 е 1 при т Ф 1, е 2 при /и1.
 160
 УУ//А/////7
 'УУ?У/.
 Рис, 9.12. Оболочка с днищем
 Рис. 9.13. Оболочка с фланцем
 щ
 .1
 р
 луууух/./,
 Ос
 т
 ////
 УУл
 УУу
 со
 а
 чг
 о
 9.4. Колебания замкнутой цилиндрической оболочки эллиптического сечения постоянной толщины
 Приближенно частоты колебаний оболочки эллиптического поперечного сечения могут быть найдены по формулам предыдущего параграфа, если в них положить К (а+Ь)/2, где а и Ъ — большая и малая полуоси эллипса.
 Для тонкой свободно опертой по торцам эллиптической анизотропной цилиндрической оболочки частота ант, соответствующая одной полуволне вдоль образующей при произвольном числе т, определяется как [22]
 В,
 (1 — р.,)р
 где — определяется из выражения
 ь 17П
 С4 + Я3
 %2 ГГ,I- Р2
 + '
 Е2 1г т- р + Ь
 Ч™ [0 )0-О/Р) ]
 + Е% т4 р4 +
 Е1 1Ег V + Е, № т- р +Е„ т Р‘) 12р (1 — Щ Щ) Г., \3
 Е,
 7, (9.17)
 Ш’
 Р2 [т2 (4-ро + р?) + 1’072р1 + )
 ЛаЬ
  80 г0 Р2 Ь± 12(1 — ц ц2) Е Ег (г„/б)2;
 Е3 40 (1 — На [х2) + щ + Еп (х ;
 0 г1/[2(1 + |л1)]Е,/[2(1 + н2)];
 ЕА (Е± Е2/0) — (X1 — Я2 ц2;
 X лл0//;
 Р 4я/т)0; т]0 50/г„; г0 а?/6.
 В этих формулах Еи [X], Е2, цг — соответственно модули упругости и коэффициенты Пуассона вдоль оси и в окружном направлении; р — интенсивность внешнего давления; г0 — максимальный радиус кривизны поперечного сечения. Величины р0, р! и (1/ро)) при г 0...4 определяют по графикам рис. 9.14, а, б в зависимости от от-

1 1,5 2 2,5 3 З,5а/Ь 1 1,5 2 2,5 3 5,5а/Ъ
 Рис, 9.14. Графики для расчета эллиптической замкнутой оболочки
 ношения а/Ъ\ 5о — параметр эллипса, выражаемый через полный эллиптический интеграл второго рода, причем приближенно можно принять, что
 5„ Я 3 ой
 (Л-2 + я2 Р2)
 - ( Е6'-
 С (1 — Ц?) Гц 12(Е6 + Е Л) (1— и-) X2- г2
 Еб3 р0 Л2 + тг $)-
 '+ 1 (А,2 + т2 р2)
 при условии, что 1 ,
 100 —/г, т‘ « 12Я2
 / б \ 2
 [тг -г 1 Ч к1 т Г
 I 12Д8 )
 -2,6 1
 3,6/71“ 2,6 (1 ~{ тп'
 12Д2
 )
 Частота колебаний трехслойной замкнутой цилиндрической оболочки, свободно опертой по торцам, с симметричным строением изотропных слоев и жестким заполни, телем определяется выражением
 “1т (й1т/Го) У О/ 1Р (А+ 6)],
 причем 0Е6Ъ112(1— ) — цилиндрическая жесткость несущего слоя; Е — модуль упругости несущего слоя; б — толщина внешних и внутренних слоев; Н — половина толщины среднего слоя; р —массовая плотность, предполагаемая для всех слоев постоянной; г0а21Ь.
 Частотный коэффициент к1т определяют из формулы
 + ["Р- (л + - ~)+ 4 ~е~ 1г] т2 ряг х
 -+
 где Е — модуль упругоетп заполнителя Рее остальные обозначения те же, что и в формуле (9.17).
 9.5. Колебания гофрированной круговой цилиндрической оболочки
 Частота собственных колебаний гофрированной оболочки определяют по формуле ПЯ1
 где коэффициенты ки кг и определяются размерами и формой гофра (табл. 9.1) и \Ча/1. Коэффициент Яя определяется в зависимости от характера закрепления торцов оболочки. При шарнирно-неподвижном закреплении обоих торцов:
 %1 пЯП\ Х2 2(яЯ/2); Я3 3(яЯ/);-...; %п гт(Я/1).
 При защемлении обоих торцов:
 4,73(8/1); 2 7,853(Я/1);
 А-з 10,996( /0; ... у
 ?„п [(2л + 1)/2] п(ЯИ).
 Еслк один торец защемлен, а другой шарнирно неподвижен, то
 •А,! 3,927(ЯПУ, 2ц 7,069(/?//);
 Х3 10,21(7?//); ... ;
 V 1(4п + 1)/4] я(Ш1).
 9.6. Колебания замкнутой
 цилиндрической оболочки, усиленной
 продольными и кольцевыми ребрами
 Частоты собственных колебаний оболочки с достаточно часто расположенными ребрами определяются выражением [20]
 “пт кпт/Я V1 + кх р + к, а V Е/р .
 Здесь коэффициент кпт находится без учета внутреннего давления р и продольных растягивающих напряжений а:
 Г(1/Р)„ (1/р ],
 к пт
 як
 ш1 (т- — I)2
 Н(-
 т- т2 -Н 1)
 к 1
 т1 {т‘л — 1)
 №
 +-
 От,
 ЕЦ2
 т1 та — I)8
 т3 пгг +1)
 к — -
 К \4 °к « , .
 71 I _{ Л— т (т — 1)-

причем /ци ?к — площади поперечных сечений продольных и кольцевых ребер- /к —момент инерции кольцевых ребер; а и Ь — расстояния между кольцевыми и продольными ребрами соответственно. При определении параметра Ъп следует руководствоваться указаниями предшествующего параграфа.
 9.7. Колебания конической оболочки
 Частоту собственных осесимметричных колебаний усеченной конической круговой оболочки, шарнирно опертой на обоих торцах, определяют по формуле [32]
 к Ч/ ~~Е
 ш у ■ , (9.18)
 ж, • р (1 - ц2)
 где Х\ — расстояние вдоль образующей от вершины конуса до торца с меньшим радиусом. Для -определения коэффициента к при половине угла раскрытия конуса с (рис. 9.15), равном 5, 10 и 15°, можно использовать графики на рис. 9.16 в зависимости от отношения ПН и б, где / — длина образующей конуса; б, Н — толщина оболочки и радиус в середине ее длины.
 Таблица 9.1
 Для определения частоты неосесимметричных колебаний оболочек средней длины, т. е. таких, у которых длина I соизмерима с радиусом П, а число полуволн п вдоль образующей превышает число волн т в окружном направлении, может быть рекомендована следующая формула:
 шпт (йпт//) У Е/ р , (9.19)
 где [15] кпт ~ гшп У (Ах к± -Ь А% к%)/ к% ,
 (9.20)
 Л, —3!Пг.К С°5а К Лз (1-±-»' X
 т- (т- + соз2 а) 12 (1 — д2)
 X ( в \ - т~ (тг ~ соз а5 -
 З1п2 а ш- + соз2 а)
 При определении правой части выражения (9.20) следует проделать несколько вычислений и затем из всех значений корня выбрать минимальное.
 Если края конуса прикреплены к тонкой диафрагме, то первое вычисление дает:
 кг (1/2) я4 с3 + 3,5п? л? с2 + 0,75с1;
 0, 5с2 — 0,75 (с±1 пЛ я?);
 1 0
 кй 0,5 1п 51п 2пяе [51 2пк (1 + е) —
 е
 —51 2пяе] — 0,5 соз 2пк& [С1 пп (1 + е) — С1 ляб],
 Гофр
 Круговой
 а + 0,5а соз а — 1,5з1п а 51п 0,5 а -{- к Ч~ а
 4 51П 0,5 а
 +
 2 31 п 0,5а
 в е а -{- 0,5 к соз а — 1,5 соз а
 З1п 0,5а 1
 соз 0,5а
 Пильчатый
 Я2 1 62 соз 8„
 - + соз е0
 соз 0.
 Н2 1
 йг соз 0„ соз3 0„
 Синусоидальный
 Трапецеидальный
 1.5 — +1
 63
 "1( ±+3П +
 а2 I соз е0 )
 + (1 — |) соз 0„ + §
 соз 0О
 + I
 1,5 — + 1
 6®
 -Рйг-™)
 V соз е0 I
 й2 I, соз 0,
 +3| +
 + (1 — ?)
 соз0 0.
 + 1
 162

г//? 2,
 У
 1/
 ?4,
 57
 1/К 6,86
 1, _|
 г//?э,74
 1/К11ЛЗ
 1 |
 1/820,57
 0.25
 1[К-
 X
 Г
 иг
 /
 1/Р0,375
 /
 г//?7
 1/11-1,5
 7,2 0,4- 0,6 0,8 7сГ/К а,п О,Ж Щ 0,2(Гк 0,2 0,4- 0,6 0,8 сГ Рис. 9.16, Частотные коэффициенты для конических оболочек
 второе вычисление
 к1 0,5л я1 с, + 12,75л2 я2 с, + 2,25гг—3,375
 гг2 я2‘
 йа 0,5с» — 2,5 — + 3,75 -
 ; Ь3 — 0,5с!.
 В том случае, когда оба торца защемлены, получаем для первого вычисления;
 кг 8л1 яв с, + 2л2 я2 Со — 0,75сх;
 й2 1,5са —2,811—;
 п- я2
 1 + е
 й, 1,5 1п 2 соз 2ляе ]С1 2ля (1 + е) —
 е
 — С! 2ляе] — 2 51л 2лле [51 2ля {1 + е) —
 — 51 2пяв] + 0,5 81П 4ляе [51 4ля (е 1) —
 — 51 4ляе] — 0,5 [С1 2ля (1 в) —
 — Сл 2/оте] соз 4пяв;
 для второго
 8п‘ я с4 — Зл! я2 са + 21,75с» — 35,016 —
 л2 я2 ’
 А21,5Са- 9,375_ - + 14,768 - -; 1.5с,,
 пи Я2 л‘ я1
 где сг 8 4-0,5; с2 е3 + 1,5е? +
 + е + 0,25; с3 еБ + 2,5е4 + + 3,583 + 2,5е? +0,167; с4 г’ +
 + 3,58“ + 7е5 + 8,758 + 7е3 +
 + 3,5е?+ 8+ 0,125.
 На рис. 9.17 приведены графики параметра к1т в случае защемленных торцов (рис. 9.17, а) шарнирно-опертых (рис!
 9.17, б) и в случае полного конуса с шарнирно-опертым краем (рис. 9.17, е),
 11
 Приближенно частоту собственных колебаний конической оболочки с небольшим углом раскрытия конуса при свободном опирании торцов можно определить также по формуле (9.19), приняв [6]
 ,2 ! х
 пт (1 + е)1 I- 12 (1 — м-)
 -2-_Ц2 +
 4 \ з!п‘ к 1 +е / 2 1рг а!
 -(гг.),-гЫ-(гггП}1
 !_ Г,
 2л“ Я~ [ ■ \ 1 + е ) ] • 4п к2 1 + Е )
 причем минимальной частоте соответствует число волн в окружном направлении, определяемое при п—1 формулой
 , Зя (I + в)3 (1 — Ца) I3262 1§2 а
 т- зШ2 а-
 Для конической оболочки с защемленными краями имеем приближенное выражение, определяющее низшую частоту собственных колебаний [25]
 ММИН (Амин/ IVЕ/р , (9.21)
 гда мин V12 (1 - ц-) %
 Формула (9.21) справедлива при усло-
 П ]/ соз а 7/12 (1 — ц2) _!_ .
 го г о г—
 у 12
 163

а)
 П
 к т
 Рис, 9.17. Частотные коэффициенты для конических оболочек
 Значения коэффициентов 1 и т) приведены в табл. 9.2.
 Низшую частоту неосесимметричных колебаний защемленной конической оболочки с линейно изменяющимся . поперечным сечением, с модулями упругости Е\ и Еч, модулем сдвига 0]2, коэффициентами Пуассона Ц1 и [Ха определяют при сся/9 по формуле
 Шмин С мин/$ V причем [22]
 496 1
 -
 +
 /4 т- {т2 соз2 а)
 К2 т- Ш2 — соз2 со3 соз2 а т- -Ь соз2 а
 1 б д
 8) К, п
 Л 75°
 Число т, соответствующее низшей частоте, приближенно может быть определено как ближайшее целое к величине
 4
 2.18 л/— V % (1 —
 аКп Ь) Р
 121- Е1 (1 — щ Ца)
 Ь
 если она окажется больше или равной 4. Толщины 8о и б 1 соответствуют краям с большим и меньшим диаметрами соответственно.
 Низшую частоту осесимметричных колебаний свободно опертой конической подкрепленной оболочки определяют при а 65°
 1Ь4

Таблица 9.2
 0
 0,1
 0,2
 0,3
 0,4
 0,5
 0,6
 0,7
 0,8
 0,9
 1
 44,4
 46,2
 48,4
 51,2
 54,3
 59
 65,3
 73,9
 88,5
 109,4
 135
 ч
 4,71
 4,29
 3,88.
 3,55
 3,22
 2,88
 2,49
 2,1
 1,76
 1,73
 1,64
 выражением [27]:
 У Я»
 соз а
 У-
 V,
 причем коэффициенты |2 и »! определяются характером продольных и поперечных ребер (в дальнейшем индексом 1 будем отмечать величины, относящиеся к меридиональным ребрам; индексом 2 — к окружным) .
 Для двустороннего оребрения (рис.
 9.18, а) имеем:
 П1+ 1- (1-и2); / 1 + кй 26. 62
 4-
 6
 (1 — {Л2);
 1,6 в
 (9.22)
 /. к - и!
 яя, /1 + «г/з,).
 При одностороннем оребрении (рис.
 9.18, б) следует во всех, кроме первых членов выражения (9.22), уменьшить числовые коэффициенты вдвое. При двустороннем оребрении I, и /2 являются моментами инерции половины сечения ребра относительно оси, лежащей в срединной поверхности. При одностороннем оребрении /, н /2 являются моментами инерции ребер относительно нейтральной оси.
 Значения О и (}, определяют по графикам, представленным на рис. 9.19 в зависимости от отношения К1/К, а С) зависит от равномерно распределенного давления р, которое считается положительным, если оно действует изнутри, причем
 о _!з Е Величина N. при (2(2;0 равна:
 -к
 1+1 -
 N
 Л« 1 «• при 3О
 N А',п.
 При отсутствии внешнего
 давления
 Ут
 гаа:
 /т-
 УГ
 9.8. Колебания сферической оболочки
 Частоты собственных осесимметричных колебаний тонкой полусферической оболочки ( /б»100), имеющей опорное кольцо, погонная масса которого равна М, и упруго опертой на основание при погонной жесткости основания К, определяют по формуле
 “по (кпо1К)УЕ)р , где кпо находится в зависимости от параметров [34]
 К К (1 — н) М (1 - м.1)
 й и т Ей
 рйЯ
 по табл. 9.3.
 Таблица 9.3
 к
 0
 0,25
 0,25
 0,5
 1
 т
 0
 0
 0,05
 0
 0
 Изгнбные колебания
 10
 ■?ао
 0
 0,87
 0,949
 0,943
 0,4631
 0,8954
 0,9574
 0,9768
 0,4558
 0,8923
 0,9563
 0,9764
 0,5762
 0,9071
 0,9603
 0,9778
 0,656
 0,9177
 0,9623
 0,9784
 Колебания растяжения — сжатия
 2,07
 2,1041
 2,0749
 2,1392
 2,2084
 А-о
 3,81
 3,8499
 3,7377
 3,8886
 3-,9628
 ЙЗО
 5,84
 5,871
 5,689
 “
 —
 При определении частот собственных колебаний защемленных сферических оболочек средней толщины используют формулу [9]
 «пт (АПт/Я)Кя/[р(1-|1Ё)2. (Р.23)
 135

Значения коэффициентов к и т приведены в табл. 9.4, в которой через а обозначена половина угла раскрытия купола [12].
 Частоты собственных колебаний толстых сферических оболочек определяют с учетом деформации сдвига и инерции вращения [42]. График зависимости частотного коэффициента кпо при осесимметричных колебаниях замкнутой сферы при р.0,3 и К/б 10 представлен на рис. 9.20. Сплошные линии определяют три характерных спектра частот: нижняя линия соответствует преобладанию изгибных деформаций, средняя — колебаниям, связанным с растяжениемсжатием, и, наконец, верхняя — сдвиговым колебаниям. На том же графике линия с точками соответствует изгибным колебаниям без учета сдвига и инерции вращения, а пунктирная — колебаниям, описываемым безмоментной теорией. При этом расчет в двух последних случаях мало изменяет вторую ветвь и не выявляет третьей ветви.
 Определение низших частот собственных колебаний защемленных пологих оболочек при малых углах раскрытия а проводится также по формуле (9.23), причем/еот определяется при (.10,3 по табл. 9.5 [43].
 Частоты собственных осесимметричных колебаний трехслойной пологой свободно
 Таблица 9.4
 я
 а
 50 а
 70 ?
 а
 90 °
 Р
 п
 П1 0
 т 1
 т —2
 т 3
 т 0
 т —1
 т 2
 т 1
 т —0
 т 1
 т 2
 т 3
 1
 1,085
 0,836
 1,103
 1,342
 0,904
 0,576
 0,902
 1,037
 0,785
 0,523
 0,805
 0,932
 20
 о
 1,456
 1,405
 1,825
 2,301
 1,183
 1,037
 1,209
 1,424
 1,007
 0,918
 1,016
 1,132
 3
 1,975
 2,226
 3,007
 3,710
 1,484
 1,418
 1,726
 2,066
 1,245
 1,117
 1,271
 1,459
 4
 3,111
 3,602
 3,818
 5,180
 1,808
 1,913
 2,473
 2,943
 1,500
 1,431
 1,673
 1,939
 1
 0,946
 0,766
 0,935
 1,029
 0,858
 0,517
 0,848
 0,929
 0,756
 0,506
 0,771
 0,885
 50
 9
 1,125
 1,029
 1,133
 1,268
 0,980
 0,932
 0,979
 1,034
 0,925
 0,876
 0,928
 0,964
 3
 1,409
 1,289
 1,494
 1,730
 1,105
 1,035
 1,109
 1,201
 0,996
 0,961
 0,998
 1,044
 4
 1,614
 1,749
 2,060
 2,391
 1,309
 1,202
 1,327
 1,474
 1,063
 1,040
 1,087
 1,167
 1
 0920
 0,735
 0,909
 0,953
 0,845
 0,489
 0,830
 0,909
 0,745
 0,487
 0,756
 0,873
 100
 2
 0,998
 0,961
 0,997
 1,041
 0,945
 0,914
 0,944
 0,966
 0,912
 0,866
 0,917
 1,011
 Я
 1,112
 1,046
 .1,115
 1,199
 1,059
 0,967
 1,060
 1,021
 0,988
 0,937
 0,989
 1,069
 4
 1,309
 1,207
 1,324
 1,457
 1,167
 1,021
 1,170
 1,108
 1,035
 1,010
 1,106
 1,115
 _А]Л.
 Рис. 9.18. Оболочка с ребрами а — с двух сторон; б —с одной стороны
 Рис. 9.19. Вспомогательные графики для расчета конических оболочек
 опертой оболочки несимметричного строения при изотропии каждого слоя определяют из формулы [5]
 ш2 п0
 1
 гп (Ог (З2 -{-
 + «због + га,) + р1 ( ~ ц8) ■ + ет| -ь
 + 06В, (1.
 166
 I „ - _1.
 я I
 где т — масса всех слоев, отнесенная к единице, поверхности сферы; О — модуль сдвига заполнителя; Г — сжимающая погонная горизонтальная нагрузка, действующая в плоскости опнрания оболочки; 6] и 62 — толщины наружного и внутреннего слоев; г — радиус опорного круга оболочки;
 В
 Е 6
 1 — IX-
 12
 В,
 йп сГо
 — Йп
 аЪ
 Вг
 в,

Рнс. 9.20. Спектры частот защемленной сферической оболочки
 в, в + в' + в"-, в' _Ё1А, 1 1 -
 В й-
 ; О' О"
 1 - ц 12
 Таблица 9.5
 Д/б
 сс, град
 т
 25
 50
 100
 200
 0
 15,6900
 7,9328
 4,1134
 2,3731
 1
 22,4477
 16,9328
 8,2084
 4,3012
 5
 2
 35,1453
 27,4140
 13,4648
 6,8906
 3
 45,9177
 39,9875
 19,6662
 10,0827
 Г)
 4,1202
 2,3666
 1,6556
 1,3996
 10
 1
 8,2610
 4,2373
 2,3010
 1,4569
 2
 13,6983
 6,9072
 3,5682
 2,0322
 3
 20,0010
 10,0648
 5,0970
 2,6972
 0
 1,7827
 1,4443
 1,2649
 1,0679
 18
 1
 2,6667
 1,6004
 1,1907
 1,0579
 2
 4,2282
 2,2759
 14398
 1,1302
 3
 6,1097
 3,1774
 1,8166
 1.2528
 Г)
 1,3439
 1,1439
 0,9991
 0,9512
 30
 1
 1,3073
 1,0759
 1,0037
 0,9690
 2
 1,7668
 1,2348
 1,0566
 0,9936
 3
 2,3716
 1,4652
 1,1283
 1,0183
 0
 1,0776
 0,9585
 0,9208
 0,9085
 45
 1
 0,9905
 0,9414
 0,9269
 0,9211
 2
 1,1635
 1,0201
 0,9703
 0,9470
 3
 1,3670
 1,0868
 0,9968
 0,9606
 Й1 Д+(б2/4)(В' + В"); й2 0 + 0' + + ГГ + В' (2')! + 542")?;
 й3 Д + (е/2)(2б' —2"5");
 . 2' (б+ 6 /2; 2" — (б + 82)/2; а (6/2) (5' — В")г 6 г' В' + г" В".
 При свободном опирании края оболочки коэффициент |5 для первых пяти собственных частот определяется решением частотного уравнения
 (Р) - (1 - Р) (Р)
 где /0(Р) и Л (Р) — функция Бесселя первого рода. Пять первых значений § при ц 0,3 приведены в табл. 9.6.
 Т а б л и ц а 9.6
 Р
 ’ п
 1
 2
 3
 4
 5
 Свободное опиранне Скользящее закрепление
 2,047
 3,8317
 5,389
 7,0156
 8,572
 10,1735
 11,73
 13,3237
 14,88
 164706
 При действии на пологую сферическую оболочку равномерно распределенного давления р и осевой нагрузки N частоты собственных колебаний определяют формулой (9.23), причем кпт находят из формулы [24]
 1 -1- ’&к ( а2 + Ц2 }
 к2 ЧУ- ( а? + р2 )2 +
 в которой значения ■&, к, ап, Рт, х, Ы и о определяют в соответствии с выражениями, приведенными на стр. 160.
 При жестком защемлении края
 к — ■
 1 + И» ( Ф” + а2 |
 н-кГ
 (Ф? + а +
 + -
 , 1 + кй ( Ф5 + а?)
 1 \ 2 п/ ./ о , п2\2 I
 (ф2 + “й) +
 1 + П 1 + к ( ф| +
 + р’[гг :(ф?+ап] + +гт7(ф2+ая):}
 Здесь же следует использовать указанные выше формулы, при этом
 Ф1 (т—1)/Я; ф2 (т+1)А; X— 1/Я,
 где I — длина образующей сферической оболочки, а Т1“ 1 при тФ1 и т|2 при т 1.
 9.9. Колебания торообразных оболочек
 Частоты собственных колебаний тороидального покрытия (рис. 9.21), прямоугольного в плане, при свободном опирании всех краев могут быть определены по формуле [29]
 ~ &пт VВ/р з
 вде к-
 пт 12 (1,
 Г/2тя + /2пя 'N21
 ■ и) [ч Фо / V б0 ) .)
 +
 167

Рис. 9.2Ь Тороидальное покрытие
 [га-езт
 /4пл \;
 I ыд /
 - - +
 4/2
 з!п 20и
 •2/
 [(V)-1
 31П 0О +
 г соз 29ц
 8/
 и-[тг-
 , — 2агс1: % — ~ ; ф0 2агс 25
 51П ф0
 я
 / -{- г соз ( соз 0П
 & -2- пт 9 112 1 — \х‘) I \
 3 г-)4 +
 Ч2 ) Г+3( )1+
 О [-г- _ зА + зЛ _ /8) „
 I 56ц \ Фо / 7 + 6 -222 Г— ! +
 V Ф, ) \ Ф, / \ Но /
 1 / 2гая \ 212 \
 ~~19„ Л |_
 ?/2пл_\4 ''
 I еп ;
 где Л -
 7е„
 2/2
 + 7
 51П Яр
 51П Ы0
 з!п й0
 Г 51П 20(
 Л
 Ч1п е„
 +
 в[(“)!-]
 Г 31П 200
 +
 ' Ш-‘]
 Ув 5
 У О “ •
 ш!-]
 Г 51П 20„
 .
 КбгсЯ \2 во )
 В том случае, когда стороны 0 сопз1 свободно оперты, а стороны срсоп51 за-, щемлены, имеем
 к2 ат
 ®! Г3
 В 112 (1 (Л2) I \ Ф„ ) /2тя \? / 2пя\2 /2Ш1\41 ,
 га га +га г
 1 /2га \4 + + Л)1, _
 \ Ф» )
 •16-
 35 I
 —высота опорной дуги в направлении наибольшего пролета: И — полная высота оболочки; а и Ь — половины пролетов
 В том случае, когда исходными являются радиус г, значение I, углы 0О и фи, имеем:
 2а г 51П 0Й5 2Ь (/ + г еоз 80) з1п ф6;
 Н а 1§ (®0/2) + 6 1§ (ф0/2);
 В случае защемления всех краев оболочки
 . /2тл\4_40 / 2тп \ а / 2 пп \
 V Фо / V Фо ) I 9, ;
 _ 4 (2пш 2пя 2
 ГИ„ \ ф.
 ■1 / 2 пп \4
 I б. )
 + 32
 “НгГ
 В приведенных формулах т — число полуволн в направлении координаты р, а п — число полуволн в направлении координаты 0.
 9.10. Колебания пологих оболочек на прямоугольном плане
 Частоты собственных колебаний свободно опертой пологой, прямоугольной в плане оболочки положительной гауссовой кривизны с постоянными радиусами кривизн и Да определяют по формуле
 шпт &пт У Е/р ,
 причем значение кпт вычисляют из выражения [14]
 к-2 ®!—|7'21Л? + (Л5')51
 12(1 — (1-)
 I / тп \2 1 / гт N21
 7 \ а ) ИГ ]
 [т-тт
 +
 163

Рис. 9.22. Свободно опертый гиперболический параболоид
 Рис. 9.23. Шедовое покрытие
 где с и Ь —■ расстояния между краями оболочки вдоль линий с радиусами кривизн Н\ и /?2 соответственно, а т и п — число полуволн в этих направлениях.
 В случае цилиндрической оболочки следует положить /?1 оо; В случае
 сферической оболочки
 Частоты собственных колебаний сво-. бодно опертого гиперболического параболоида (рис. 9,22), уравнение поверхности которого представим в виде
 2 'Цх—т)(у~-т)+-Г’
 записываются [38]
 пт
 /сд'2 —
 + 4ЕНк р2
 : & т п
 Р
 где Г Е№Ц\2 (1 — ц?)]; ат тя/а; $ппп/Ь; Ьи 2[/(аЬу,
 Апт (ат + Рп)«2-
 Частоты собственных колебаний пологого шедового покрытия со свободно опертым краем (рис. 9.23) определяют выражением [37]
 У
 —— № + д2 )2 +
 12(1— ц) V п "V '
 я-
 п
 2ДУ
 где К,
 Л п т)
 2 — сопв4; /?1 р/ро; (Хт тя/а; %п п п/Ь.
 Частоты Опт свободных колебаний трехслойной пологой круговой цилиндрической оболочки со свободно опертым краем, жестким заполнителем и симметричными слоями определяют из формулы [18]
 а2 +02 а2 1 х
 X
 ’,т«’+т[''К+вЗ+
 (“т + »Э (Л' + Т
 (с~ — 1~) | т' '
 + -
 сН
 + р2\ Л т п)
 где
 т л, а
 Е’й 1 —р/
 В
 ЕН 1—ц.2'
 6 — толщина внешних слоев: к — толщина заполнителя; К — радиус срединной поверхности оболочки; О — модуль сдвига заполнителя; Е’. Е, ц/, р.; р', р — модули упругости, коэффициенты Пуассона, плотности материала внешних слоев н заполнителя соответственно.
 Кроме того,
 0'В'(б?/12); Д5(Л?/12); рр'6+рй/2; Н /г/2+6/2; с2В'+В’-, й 2В'р/+В р,.
 Низшие частоты собственных колебаний ортотропных пологих оболочек с защемленными краями, расположенными на упругом основании, при разной их конфигурации в плане могут быть найдены по формулам, приведенным в работе [21].
 РАЗДЕЛЮ
 ДИНАМИЧЕСКИЙ РАСЧЕТ ВЫСОКИХ СООРУЖЕНИИ НА ДЕЙСТВИЕ ВЕТРА
 ( М. Ф. БАРШТЕЙН )
 10.1. Структура турбулентного потока ветра [12, 22]
 Ветер, возникающий в атмосфере, представляет собой турбулентное движение воздушной среды, которое характеризуется
 чрезвычайно нерегулярным и беспорядочным изменением скорости во времени в каждой точке пространства. Нерегулярно изменяется от точки к точке и скорость потока, рассматриваемая в заданный момент времени.
 169

Мгновенное значение скорости в турбулентном потоке можно представить как результат наложения пульсационной составляющей скорости на ее среднее значение. Если пульсационная составляющая равна нулю, движение является ламинарным.
 Ламинарное движение становится турбулентным, когда число Рейнольдса превосходит некоторое критическое значение, т. е. о/,/\Рекр, где V — характерная скорость потока, Ь — его характерный размер. КеКр соответствует условиям, когда силы инерции, действующие между удаленными один от другого объемами воздуха, обладающими разной скоростью движения, становятся настолько большими по сравнению с силами вязкости, что формируется устойчивый турбулентный поток. ■ Элемент этого потока с некоторым характерным размером (масштабом) называется турбулентным вихрем.
 По А. Н._ Колмогорову [20] турбулентное движение в атмосфере представляет собой процесс последовательного распада крупномасштабных вихрей (вихрей первого порядка), возникающих в неустойчивом осредненном потоке при больших числах Рейнольдса, на вихри с меньшими масштабами (вихри высокого порядка). Кинетическая энергия турбулентного движения переходит от вихрей большого масштаба, черпающих свою энергию от основного потока, к вихрям с меньшими масштабами, практически не диссипируясь. Диссипация энергии потока (переход кинетической энергии в тепло) происходит в самых мелкомасштабных вихрях.
 Распределение энергии по высоте зависит от неоднородности подстилающей поверхности и температурной стратификации атмосферы. При больших скоростях ветра температурная стратификация близка к безразличной, поэтому в дальнейшем пульсации составляющих скорости рассматриваются только при этом состоянии атмосферы.
 Напомним, что стратификация называется безразличной, если температура во всем слое, начиная от поверхности земли, падает, причем градиент по всему слою одинаков и составляет не более Г/100 м.
 При изучении поведения высоких сооружений и зданий в потоке ветра решающее значение имеет продольная компонента скорости уУ)ъ + ь'(1). В отличие от поперечной и вертикальной составляющих скорости -о(1) имеет достаточно большую постоянную составляющую V; средний квадрат пульсаций а2,, определяется гори¬
 зонтальными вихрями, размерь: которых' не ограничены расстоянием до подстилающей поверхности. Отсюда следует, что на долю продольной компоненты скорости приходится максимальное количество кинетической энергии турбулентного движения.
 10.2. Параметры турбулентности (интенсивность, масштабы)
 Интенсивность турбулентности ут на
 уровне г равна отношению (г)/о(г), где
 ао' (2) — стандарт пульсации продольной компоненты скорости; у(г)—ее среднее значение на том же уровне.
 При безразличной стратификации стандарт продольных пульсаций пропорционален скорости на некотором фиксированном уровне, причем от высоты зависит слабо. Поскольку скорость ветра в пограничном слое воздуха растет с высотой, интенсивность турбулентности ут с увеличением высоты убывает.
 Стандарт продольных пульсаций может быть приближенно вычислен по формуле °о' с.°. гДе V — скорость поверхностного трения. Коэффициент с не зависит от высоты, но, по-видимому, неодинаков для различных масштабов. Если принять с—2,5, то Уп, /и (г) 1/1п (20/Ю), где г0 — параметр шероховатости [21].
 На основе анализа данных измерений можно заключить, что хотя стандарт пульсации на разных уровнях приблизительно одинаков, ее спектральный состав меняется от высокочастотных гармоник у подстилающей поверхности до медленных колебаний скорости на больших высотах.
 Масштабы турбулентности. Пространственное представление о турбулентности потока можно получить, зная ее интегральные масштабы (продольный, поперечный и вертикальный), определяющие характерные размеры энергосодержащих вихрей.
 Интегральный продольный масштаб Ц для I-он составляющей скорости ветра в •направлении среднего потока определяют по формуле Ц Тхт, где Тхш
 ОО
 — [ (ТМ(Т) — интегральный временной б
 масштаб; 7?? (т) — нормированная корреляционная функция пульсации составляющей скорости; V — средняя скорость ветра.
 Здесь используется гипотеза «замороженной турбулентности» Тейлора [22], согласно которой по пульсациям скорости в фиксированной точке потока можно при-
 170

блнженно судить о 'структуре' пространственного распределения этой величины вдоль прямой, проходящей через данную точку параллельно направлению потока.
 Пульсацию в данной точке можно приближенно интерпретировать как результат переноса через эту точку со средней скоростью и без искажений совокупности турбулентных вихрей, расположенных вдоль прямой вверх по течению.
 Интегральный вертикальный масштаб 1 1 перпендикулярен направлению потока
 СО
 О
 где'ЯЦ. (Аг) — нормированная пространственная
 корреляционная функция пульсации I-ой составляющей скорости ветра; кг расстояние между двумя точками по вертикали.
 Поскольку поток ветра несимметричен относительно поверхности земли, то для каждого уровня существуют два вертикальных масштаба: при отсчете интер¬
 валов корреляции вверх и при отсчете вниз.
 Интегральный поперечный масштаб корреляции Ь9й также перпендикулярен направлению потока
 со
 Ц ~ [ У) йу
 О
 где Дс/ — расстояние между двумя точками по ГО" ризонтали.
 Масштабы турбулентности растут с увеличением высоты над уровнем земли [35]. Для составляющих скорости в продольном и поперечном направлениях продольные масштабы отличаются примерно в
 2 раза.
 Для продольной составляющей скорости 1.,: (1/5)/., и
 Энергетические спектры пульсации компонент скорости ветра. При расчете высоких сооружений, чувствительных к динамическому воздействию ветра, необходимо знать распределение энергии турбулентного потока по частотам. Это распределение называют энергетическим спектром (спектральной плотностью) пульсации компонент скорости ветра.
 Мы рассмотрим только энергетические спектры пульсации продольной и вертикальной компонент скорости. Энергетический спектр продольных пульсаций можно условно разбить на четыре интервала: 1). интервал самых низких частот, определяемый наиболее крупными вихрями с размерами, сравнимыми с характерным масштабом потока; 2) область низких частот,
 несущих основную турбулентную энергию; в этой области энергетический спектр имеет максимум; 3) инерционный интервал, в котором вихри теряют непосредственно связь с вихрями большого масштаба, и их спектр определяется лишь параметрами турбулентного движения; 4) вязкий интервал — область наиболее высоких частот, в которой происходит основная диссипация турбулентной энергии.
 В инерционном интервале турбулентности приписывается свойство изотропности, т. е. независимости свойств турбулентного движения от выбранного направления.
 При безразличной стратификации спектр Колмогорова для пульсации всех компонент вектора скорости в инерционном интервале имеет вид
 , з (п) а (б г)2/,3п Б',э ,
 где а — универсальная постоянная, равная для продольной компоненты — 0,147, для вертикальной 0,196; п — частота Гц; 8 — скорость диссипации энергии.
 На рис. 10.1 приведен энергетический спектр пульсации горизонтальной компоненты скорости в интервале периодов от 5 с до 103 ч, полученный ван дер Ховеном [41]. Как видно, имеется два участка спектра: турбулентный с максимумом энергии, приходящимся на период Т — 1 мин, и синоптический с максимумом энергии на период Г 4 сут и частным максимумом на 710 ч. Между этими двумя максимумами существует широкий минимум спектра в интервале периодов от нескольких минут до нескольких часов. Это позволяет разбить спектр пульсации скорости на два участка; микрометеорологический (высокочастотный) с периодами в секунды и минуты и макрометеорологический (низкочастотный) с периодами в десятки и сотни часов.
 Наличие минимума позволяет представить ветровую нагрузку на сооружение в виде двух слагаемых, из которых одно соответствует в среднем установившейся скорости ветра и действует статически (статическая составляющая ветровой нагрузки), другое зависит от пульсационной части продольной компоненты скорости и оказывает на сооружение динамическое воздействие (динамическая составляющая ветровой нагрузки) .
 В главе СНиП П-6-74 использован эмпирический спектр Давенпорта [33], полученный на основе анализа спектров про-
 1 Строго говоря, пульсационная составляющая вызывает как статическую так и динамическую реакцию сооружения (ред.). - / • _ г:
 171

а)
 ПЪ1г'(п)мг/сг
 Рис, 10.1. Спектры пульсации продольной компоненты скорости ветра
 а — спектр Уап (1ег Ноуеп [12]; б — спектр Давенпорта [15]
 дольной пульсации скорости при сильных ветрах. Этот спектр имеет вид
 (га)
 . 1 ] 0 0 ЛЧГ
 п( 1 + ’
 (10.1)
 где V — средняя часовая скорость ветра на стандартной высоте анемометра (10 м); — коэффи¬
 циент лобового сопротивления подстилающей поверхности, принимаемый в первом приближении 0,005 для открытой местности; 0,1 для лесных массивов и жилых окраин городов; 0,04 —для центров городов; для открытого моря йо0,002; и«“я1/о0 — приведенная частота; 11200 м — масштаб длины.
 Спектр Давенпорта на рис. 10.1 представлен в безразмерной форме га50,(га)/сГц, , где 5 а.(я)—энергетический спектр . продольной компоненты скорости. По оси абсцисс отложены волновые числа га/о (частота, отнесенная к средней скорости на данном уровне). Как видно, имеется максимум спектра на длинах волн порядка 600—700 м. В пограничном слое атмосферы максимум спектра несколько смешается в сторону более низких частот по сравнению с приземным слоем, что свидетельствует об увеличении вклада низкочастотных гармоник в общую энергию.
 Для принятого спектра интенсивность турбулентности
 7т(2)2,45йУ2 (г/10)-“ (10.2)
 зависит от высоты и от параметра шероховатости подстилающей поверхности.
 Средний квадрат пульсации скорости
 5”' «2/[Зга (1 + «У/а]. (10.4)
 Выражение (10.1) не учитывает изменчивость спектра с высотой. Лучшее согласование с экспериментальными спектрарами можно получить, если в (10.1) вместо средней скорости на стандартном уровне принять для- безразмерной частоты выражение и—пЬг/ю(г), где масштаб — ]ЛЗг1(г)/птт, а(г)—средняя скорость, на уровне г; птщ — частота, Гц, соответствующая пику энергетического спектра.
 Отметим, что спектр Давенпорта хорошо согласуется с предсказанием теории в инерционном интервале, т. е. при больших значениях и. В области низких частот выражение (10.1) пропорционально п и при п0 оно равно нулю, в то время как согласно теории энергетический спектр стремится к константе.
 Несмотря на указанное замечание спектр Давенпорта экспериментально надежно обоснован и в настоящее время наиболее часто используется в инженерных приложениях.
 Харрис [33] и Хино [38] предложили спектр типа Кармана
 с / \ 2 &1и
 ■V («) «V
 п(1 +и2)5/б
 (10.5)
 где
 и Цг)'пМг)\ /4 0,4751.
 Для Ь(г) рекомендуется следующее выражение:
 363,6 у310) , 1—За,
 а.“ \ 10 )
 (10.6)
 где 0-1 — показатель степенн в законе, описываю-» щем изменение скорости ветра по высоте; ут (10) — интенсивность турбулентности на уровне 10 м,
 ■ принимаемая по формуле (10.2)
 Предложенный спектр показывает незначительное изменение его формы с увеличением расстояния от поверхности земли.
 В последние годы выдвинуто немало предложений для спектров пульсации скорости сильных ветров [39]. Общее для этих спектров то, что на высоких частотах они близки к закону Колмогорова — 5/3.
 Энергетический спектр пульсации вертикальной компоненты скорости, предло. женный Кеймалом [39], имеет вид
 (10.7)
 : (Ю.З)
 Нормированный энергетический спектр пульсации скорости имеет вид
 5-л1(п,г) „1)о г,
 0 	п( 1 + 5.3Г/")
 Здесь 1пг/хзд — отношение высоты к длине волны.
 Функция когерентности. Пространственное распределение порывов описывает
 572

функция когерентности, которая характеризует корреляцию порывов между двумя точками в пространстве для данной частоты п.
 Для продольной компоненты скорости взаимная корреляционная 1 функция между пульсациями в двух точках и г2 по высоте имеет вид
 М21. г2 Т) 1, Ц’ + )■
 Эту функцию можно разбить на четную и нечетную составляющие
 В„,(г1, г2т) 1/2 [Вц, (г1, г2, т) +
 + Д0,(г1, г2,— т)] + 1/2 [В0,(гх, г2, т)—
 — Во1(гх, г2, —%)} Еи гг, г2 т)+
 + 0 , г2, %).
 Обратным преобразованием Фурье получим взаимную спектральную плотность
 передаточную функцию системы, можно за. ■ писать:
 50, (гг га, и) 5о,(г0, и) К (гг, и),
 (10.9)
 где /?_, (г(, г2, и) — коэффициент взаимной лор
 реляции гармоник скоростей (с безразмерной частотой ) на уровнях 2\ а г2; 5 , (г0, и) — спект-
 у
 ральная плотность пульсации скорости на стандартном уровне (10 м).
 Здесь принято, что средний квадрат пульсации продольной компоненты скорости и ее нормированная спектральная плотность не зависят от высоты.
 Зингер и А. Давенпорт [32] по измерениям на мачтах высотой 120 и 150 м в лесной и открытой местностях установили, что мнимой частью коэффициента взаимной корреляции, а следовательно, и квадратурным спектром можно пренебречь.
 В этом случае коэффициент взаимной корреляции можно принять равным корню квадратному из функции когерентности
 5 , 23, 00) г , т)С05ШтЙг — Кц|(г г и) у -оНегепсе.
 —'оо йц,1гп- а]
 — О01(гх, г2, г)51Псотйт — ОО
 Со(г1, г2, со) — Ж (г1; г2, ш).
 Величина Со (г,, г2, ев) называется коспектром или взаимным спектром, а /С(г, г2, со) — квадратурным спектром.
 Величина
 хР-(гг, I) V1 (г2, ) В0,(21, га, 0).
 ОО
 Е0, (2Х, г2, 0) (1/2 я) ] Со (г1, е2, ш)й со
 —ео
 называется ковариацией. Взаимный спектр характеризует вклад различных частот в ковариацию. Квадратурный спектр равен нулю при четной функции Ви, (ги г2, т). Нечетность последнего обычно связана с наличием максимальной корреляции между о!(ги г2, {) и V1(ги г2, +т) при нулевом сдвиге во времени.
 Когерентная функция (когерентность) записывается в виде
 15 1(2 2„, И)|3
 соЬегепсе (г,.-, г„, ш) —!—■— . " , п .
 Ч 2 5 (2 , ш)5в1(г2, со)
 Коэффициент взаимной корреляции зависит от расстояния между уровнями Дг2]—г2, отнесенного к длине волны V|п. Установлено, что если Агп/о, то корреляция падает с одинаковой скоростью для всех длин волн и может быть апроксимирована выражением типа
 гг Д г
 (Д г, п) е у
 (10.10)
 где с о/пИ.(о/п); интегральный верти¬
 кальный масштаб
 ОО
 1(а/п)\ [А г, (п/о)} й (Д г). (10.11)
 6
 В табл. 10.1 приведены значения коэффициента С для устойчивых атмосферных условий, различных направлений и компонент пульсации скорости ветра, полученных Н. Крамером и А.. Давенпортом [31].
 Таблица 10.1
 Со:(г , 22, со)+К‘(г , га. и)
 V (г1, ю) (г3, со)
 (10.8)
 Используя известное положение, что взаимная спектральная плотность сигналов на входе и выходе линейной динамической системы равна спектральной плотюности сигнала на входе, умноженной на
 Направление
 сдвига
 Компоненты пульсации ветра
 С
 Продольная
 8(8)
 Продольное
 Поперечная
 6
 Продольная
 40(20)
 Поперечное
 Поперечная
 25 :
 Продольная
 7(8)
 Вертикальное
 Поперечная
 7
 В скобках указаны значения С, принятые в разделе «Ветровые нагрузки главы СНиП 11-6-74 [27].
 173

10.3. Нормативные и расчетные скоростные напоры ветра
 При определении статической составляющей ветровой нагрузки на сооружение основной характеристикой ветрового режима местности является нормативный скоростной напор ветра. Его величина для данного географического района устанавливается на основе статистического анализа климатологических данных по скоростям ветра в этом районе.
 Главной геофизической обсерваторией им. Воейкова разработаны карты скоростей ветра различной обеспеченности. Вся территория СССР по этим картам разбита на семь районов. Приведенные для каждого района скорости относятся к высоте 10 м (уровень анемометра) и соответствуют 2-минутному осреднению и условиям открытого незащищенного места.
 Для установления нормативных значений скоростей для различных районов СССР использована функция распределе-
 Таблица 10.2
 ния Вейбулла [1], построенная на основе многолетних совокупностей «срочных» наблюдений, без учета направления:.
 Р(р) — Р{у V) е
 (г)"
 (10.12)
 где Р(о) есть вероятность того, что скорость ветра V превосходит значение о; 3 и у — параметры, зависящие от ветрового режима данного района.
 Для определения скоростей ветра заданной обеспеченности используют метод статистической экстраполяции. Номограмма для сглаживания кривой распределения скоростей ветра приведена в [19]. Связь значения п, показывающей во сколько лет наблюдается один случай заданной скорости, сР{р) выражается соотношением
 п\ЦЫР{ю)],
 где N — количество наблюдений в течение года.
 Скорость ветра различной обеспеченности для семи районов СССР (в м/с) приведена в табл. 10.2 [18].
 Период времени, в течение которого скорость ветра однократно превышается, лет
 ■ Район
 I
 II
 III
 IV
 V
 VI
 VII
 Год
 17
 20
 23,5
 27
 30
 33,1
 36
 5
 20,8
 23,8
 27,3
 31,3
 1:4
 37,7
 40,4
 10
 22
 25,8
 29
 32,8
 36,2
 39,5
 44,5 '
 20
 23,5
 27
 31
 34,2
 38
 41,2
 45
 30
 24
 27,4
 31,5
 35
 38,6
 41,8
 45,8
 50
 25
 29,2
 32,8
 36,5
 40
 43,2
 48
 При определении пгриодов повторяемости скорости ветра для рассматриваемого румба следует учесть, что при обработке всей совокупности срочных наблюдений периодам повторяемости п 1, 5, 10, 15, 20 лет соответствуют значения /7(д:) 1/(4Х Х365я) (при четырех срочных наблюдениях в сутки), а именно 0,0684 %; 0,0137 %; 0,00684 %; 0,00457 %; 0,00342 %. При обработке данных по отдельным румбам а соответствующие значения Р(х/а) должны быть определены по формуле
 Р (х!а) Р (х)/Р (а), (10.13)
 где Р(а) — повторяемость ветров рассматриваемого румба.
 Для описания распределения годичных и месячных максимумов скоростей ветра может быть использовано распределение Гу м беля
 Р (V) Р (V а) — ехр | ~ ехр |
 — оэиоо; а0;р10г
 174
 (10,14)
 где V, о — случайные величины и их текущее значение; а —параметр положения; 3, — масштабный параметр (пропорционален среднему квадратичному отклонению).
 Способ построения шкалы на вероятностной бумаге для рассматриваемого распределения описан в [13].
 Расчетные скоростные напоры устанавливают с учетом специфики и особенностей работы здания или сооружения. Период однократного превышения расчетных скоростных напоров принят следующий: 1) для жилых, общественных и промышленных зданий 10—15 лет (коэффициент надёжности по нагрузке /г„1,2); 2) для высоких сооружений (башни, мачты и т.п.) 20—50 лет; (пп 1,3—1,5).
 10.4. Вертикальные профили нормативных скоростей и скоростных напоров для различных условий подстилающей поверхности земли
 В настоящее время для описания вертикальных профилей средних скоростей ветра используют: 1) степенной закон

“(г) —■ анем(г'', Гшем)% (10.15)
 где ч(г) н оанем —скорости ветра на уровне г и на стандартном уровне расположения анемометра (10 м).
 Показатель степени а зависит от температурной стратификации, шероховатости подстилающей поверхности и от самой скорости ветра; 2) логарифмический закон
 111(2,
 анем/ о
 /го
 (10,16)
 где г„ — параметр шероховатости.
 Точность аппроксимации профилей ветра в приземном слое атмосферы степенным или логарифмическим законами рассматривалась во многих исследованиях в СССР и за рубежом [11, 14].
 Установлено, что средние скорости ветра в слое атмосферы до высоты 300 м аппроксимируются степенным законом несколько точнее, чем логарифмическим. При сильных ветрах на высоте 200— 300 м и устойчивой стратификации атмосферы профили скоростей в слое 200— 300 м значительно точнее описываются степенным законом, чем логарифмическим. Учитывая это, в главе СНиП Н-6-74 «Нагрузки и воздействия» принят , степенной закон изменения скоростных напоров по высоте.
 Для построения вертикальных про¬
 филей скоростей и скоростных напоров ветра вводят следующие типы подстилающей поверхности земли в зависимости от степени ее защищенности:
 тип А (местность со слабой защищенностью) — открытая местность (степи,
 лесостепи, пустыни, открытые побережья морей, озер, водохранилищ);
 тип Б (местность с умеренной защищенностью) — лесные массивы, окраины
 городов и тому подобные местности, равномерно покрытые препятствиями высотой более 10 м;
 тип В (местность с сильной защищенностью) — районы крупных городов, имеющие не менее 50 % зданий восьми и более этажей.
 В СССР скорости ветра для различных географических районов установлены на основании данных наблюдений, записанных на открыто расположенных метеостанциях, характеризующих ветровой режим вне населенного пункта.
 Если принять, что такие станции расположены в местности типа А и принять аА0,16, то, используя данные в [33], можно построить вертикальные профили средних скоростных напоров для подстилающей поверхности земли трех типов. .
 Рис. 10.2. Вертикальные профили средних скоростных напоров для четырех типов подстилающей поверхности
 А — открытые местности (степи, лесостепи, пустыни, открытые побережья морей, озер, водохранилищ); Б — города, лесные массивы высотой более 10 м; В—районы крупных городов; откры¬
 тое море
 На рис. 10.2 приведены вертикальные профили средних скоростных напоров, вычисленные по формуле
 9/у
 ЯоАг) ЧМУ. ;
 ( А, Б, В). (10.17)
 Здесь 7о — нормативный соростной напор на уровне 10 м; ад0,16; аБ0.22; ав0,33; й (10) — определяют из условия равенства на градиентной высоте (где трение воздуха о поверхность не сказывается на его движении) скоростного непора (для всех рассматриваемых типов подстилающей поверхности.
 При градиентной высоте 2Сг350 м скоростные напоры д0А, Б, дов относятся как 1 : 0,65 : 0,3.
 В главе СНиП Н-6-74 «Нагрузки и воздействия» приняты два профиля для нормативных скоростных напоров — один для открытой местности типа А, другой для городов и лесных массивов (типа Б).
 Жилые районы в крупных городах со зданиями повышенной этажности (25—■30 этажей) отнесены к местности типа В (а 0,33).
 В табл. 10.3 приведены коэффициенты й((г) для местности трех типов и для сооружений, расположенных в открытом море (а0,09). В последнем случае скоростной напор 7о определяют по скорости, записанной в районе расположения сооружения.
 При переходе от открытой местности к окраине города или от окраины к цен¬
 175

Таблица 10.8
 Высота, м, над поверхностью земли
 Местность типа
 10
 20
 30
 40
 50
 100
 200
 350 и более
 А
 1
 1,25
 1,4
 1,55
 1,75
 2,1
 2,6
 3,1
 Б
 0,65
 0,9
 1,05
 1,2
 1,45
 1,8
 2,45
 3,1
 В
 0,3
 0,5
 0,6
 0,75
 1
 1,4
 2 2
 3,1
 Открытое море
 1
 1,15
 1,25
 1,3
 1,4
 1,5
 —
 тру города и наоборот профиль скорости для местности, расположенной выше по течению, постепенно приспосабливается к профилю для местности, расположенной ниже по течению. В этом случае на границе двух поверхностей (рис. 10.3) развивается внутренний пограничный слой, отделяющий режим потока, профиль которого приспособился к поверхности, расположенной ниже по течению от внешнего потока, который до этой границы не испытывает влияния новой поверхности.
 Вертикальные профили нормативных скоростных напоров по границе двух подстилающих поверхностей с различной степенью защищенности определяют по формулам [40]:
 при г8 д01 (г) 9о&1(г) где Ыг) 9(у
 (Ю) (г/10)“ 1 ; (10.18)
 9а
 при г б (7„1 (г) 9„й±(б) (г/б)“ 3 .
 Параметр (10) относится к местности, расположенной выше по потоку, принимают по табл. 10.4. Показатели степени а\ и ссз относятся к местностям, располоТаблица 10.4
 Граница местностей типа
 /Ч (Ю)
 Расстояние хл
 м
 а±
 а2
 50
 200
 500
 2000
 А, Б
 0,16
 0,22
 11
 35
 70
 215
 Б, В
 0,22
 0,33
 19
 55
 110
 340
 Б, А
 0,22
 0,16
 9
 ‘70
 55
 165
 В, Б
 0,33
 0,22
 13
 42
 90
 260
 Рис. 10.3. Изменение вертикального профиля скорости ветра на граннце подстилающих поверхностей
 женным соответственно выше и ниже по потоку.
 Глубина внутреннего пограничного слоя б, зависящая от расстояния х от границы до точки, для которой строят переходной профиль, принимают по табл. 10.4.
 10.5. Ветровая нагрузка на здания и сооружения
 Общие указания. Ветровую нагрузку на сооружение можно представить в виде суммы статической и динамической составляющих1. Статическую составляющую, которая соответствует установившемуся скоростному напору, учитывают во всех случаях.
 Динамическую составляющую, называемую пульсациями скоростного напора учитывают лишь при расчете: сооружений с периодом собственных колебаний более 0,25 с (мачт, башен, дымовых труб, опор линий электропередачи, аппаратов колонного типа, транспортных галерей, открытых этажерок и т.п.); многоэтажных зданий высотой более 40 м; поперечных рам одноэтажных однопролетных производственных зданий высотой более 36 м при отношении высоты к пролету более 1,5.
 Ветровая нагрузка на здания (сооружения) зависит от их формы и положения в пространстве. По своему положению в пространстве конструкции могут быть: 1) установлены на поверхности земли или примыкать к плоскостям больших размеров; 2) аэродинамически изолированы, если расстояние до земли или до соседней стены более их размера по вертикали или по нормали к стене; 3) заключены между двумя параллельными плоскостями больших размеров.
 Конструкции, расположенные на поверхности земли и примыкающие к плоскости больших размеров (другое здание или стена) с аэродинамической точки зре-
 ' Точнее следовало бы говорить о средней п лульсацнонной составляющих (см. сноску на стр. 171).
 176

ния подобны конструкции высотой 2Н. Конструкции, расположенные на поверхности земли и заключенные между двумя параллельными плоскостями больших размеров, подобны конструкции с бесконечной длиной.
 Нормативное значение статической составляющей ветровой нагрузки. Коэффициенты надежности по нагрузке. Нормативное значение статической составляющей ветровой нагрузки д (г) в кгс/м2 определяют по формуле
 , ?'(г) ?о4(г) с; ?о((2) ?0А((г), (10.19)
 где — — нормативный скоростной напор на
 высоте 10 м над поверхностью земли, принимаемый по табл. 10.5; р — плотность воздуха; — скорость ветра на высоте 10 м над поверхностью земли, м/с; (2) —коэффициент, учитывающий изменение скоростного напора по высоте, принимаемый по табл. 10.3; с — аэродинамический коэффициент, принимаемый по табл. 10.7.
 Таблица 10.5
 Районы СССР (принимают по карте в главе СНиП 11-6-74)
 I
 Л
 III
 IV
 V
 VI
 VII
 Скоростной напор, кгс/см3
 27
 35
 45
 55
 70
 75
 100
 Коэффициент перегрузки для ветровой нагрузки на здания я„ принимают 1,2; на высокие сооружения, где ветровая нагрузка имеет решающее значение п„ 1,3, если в нормах проектирования этих сооружений не приводится другое значение этого коэффициента. Коэффициент перегрузки п„ для дымовых труб высотой от 150 м до 300 м рекомендуется принять
 1,4, выше 300—3,5.
 Законы подобия. Аэродинамические коэффициенты. Составляющие ветровой нагрузки. Пусть поток воздуха обтекает неподвижное твердое тело заданной формы. Если Л и 5 — характеристические размер и площадь тела; а—скорость невозмущенного потока воздуха; р, — его вязкость; а — угол, который определяет направление скорости, то общее выражение для сопротивления тела при установившемся движении можно записать в виде
 2 1/2ргй5Ф(р, ц, V, а, й), (10.20)
 где Ф — некоторый безразмерный параметр. Последний является функцией а и Не, где КеийД; хд/р — кинематическая вязкость воздуха.
 Величина К называется числом Рейнольдса. Она характеризует зависимость сопротивления от в-язкости воздуха.
 Из выражения 2 1/2ру25Ф(а, Ке) можно установить, что течения одинаково¬
 го типа с одинаковым числом Рейнольдса динамически подобны.
 Для неустановившегося движения воздуха пользуются критерием подобия Струхаля 5Ь—Ы/у, где п—частота срыва вихрей..
 Законы подобия играют важную роль в экспериментальной аэродинамике. Чтобы добиться соответствия между модельным испытанием и натурными условиями, модельный поток по интенсивности турбулентности и по профилю скорости должен соответствовать потоку ветра.
 Аэродинамические коэффициенты
 принимают:
 а) для отдельных поверхностей или точек зданий и сооружений как коэффициенты давления, которые следует учитывать при определении ветровой нагрузки, нормальной к рассматриваемой поверхности и относящейся к единице площади этой поверхности.
 Положительным значениям коэффициента давления соответствует направление давления к поверхности сооружения, а отрицательным значениям — направление от поверхности сооружения.
 Поверхности, подверженные непосредственному действию потока ветра, называют наветренными, заветренные поверхности воспринимают воздействие отсоса (отрицательного давления). Коэффициенты давления изменяются от точки к точке поверхности. Для простоты при определении ветровой нагрузки применяют их значения, осредненные по отдельным граням или зонам поверхности;
 б) для отдельных элементов и конструкций как коэффициенты лобового сопротивления сх и поперечной силы су, которые должны учитываться при определении составляющих общего сопротивления тела, действующих по направлению скорости потока и перпендикулярно ему и относящихся к площади 5 проекции тела на плоскость, перпендикулярную потоку, и как коэффициент подъемной силы сг при определении вертикальной составляющей общего сопротивления тела. Последняя относится к площади проекции тела на горизонтальную плоскость;
 в) при направлении ветра под углом а к наветренной стороне конструкции как коэффициенты сп - и а, которые должны учитываться при определении составляющих общего сопротивления тела, действующих в направлении его осей и относящихся к площади наветренной грани.
 12—491
 177

Рис. 10.4, Ориентация сооружений в зависимости от направления ветра
 Нормативное значение равнодействующей ветрового давления на отдельные элементы и конструкции вычисляют по формуле
 (г) «7о((г)5. (10.21)
 Для составляющих (2 (г) в направлении скорости ветра (лобового сопротивления) ЗхН(г) и в перпендикулярном к ней направлении (поперечной силы) 2уН(г) аэродинамический коэффициент с соответствует коэффициентам сх и су, для составляющих 2° (г) в направлении осей конструкции— коэффициентам сп и а (рис. 10.4).
 Аэродинамические коэффициенты сп С1 совпадают с сх и су при ветре, нормальном наветренной грани.
 Высокие здания. Для прямоугольных и квадратных в плане зданий повышенной и большой этажности коэффициенты лобового сопротивления определяют по табл. 10.6 в зависимости от Н/В и 1/В, где Н — высота здания; I — его ширина (размер в направлении потока), В — высота наветренной грани здания.
 Таблица 10.6
 ив
 Я/В
 0,2
 1,2
 1,35
 0,5
 1,25
 1.4
 1—1,5
 1,-3
 1,4
 2
 1,2
 1,3
 3
 1,1
 1,15
 В таком здании при 1/В0,2—0,5 давление ветра по его наветренной и заветренной грани распределяется неравномерно. Эксцентрицитет равнодействующей этого давления относительно центра наветренной грани, который возникает при угле между направлениями потока ветра и нормалью к этой грани порядка 40—50°, может быть принят 0,15 В.
 Аэродинамические коэффициенты сп для этих углов атаки ветра, определяемые
 как разность коэффициентов давления на наветренную и заветренную грани могут быть приняты 1,1 при //В 0,5 и 1,3 при 1/В 0,2; коэффициент с0,5.
 Сооружения цилиндрической формы. Высокие сооружения цилиндрической формы (дымовые трубы, мачты, градирни и т. п.) и элементы сквозных сооружений (трубчатые или из прокатных профилей) относятся к классу плохо обтекаемых тел.
 Вследствие трения в воздухе около такого тела (например, бесконечного цилиндра), обтекаемого воздушным потоком, образуется так называемый пограничный слой, в котором скорость потока быстро падает до нуля у поверхности тела. Толщина этого слоя зависит от вязкости среды.
 В начале движения, когда скорость мала, поток вокруг тела приближается к потенциальному. Пограничный слой служит своего рода прослойкой между потоком и цилиндром и если в критических точках имеется повышенное давление, то оно передается телу через пограничный слой. Этим давлением пограничный слой как бы вытесняется к точкам В и Д, вследствие чего возникают течения от А к В и Д и от С к В и Д, с другой стороны пограничную зону обтекает потенциальный поток (рис. 10.5). От этих противоположных токов за точками В и Д образуются симметричные парные вихри, которые смываются потоком. Такое расположение вихрей, однако, не является устойчивым, поэтому при дальнейшем увеличении скорости и соответственно числа Рейнольдса расположение вихрей становится асимметричным. Вихри отрываются попеременно с обеих сторон цилиндра, правильно чередуясь через определенные промежутки времени и образуя вихревую дорожку, которая называется дорожкой Бенара-Кармана. Этот тип движения сохраняется в широком диапазоне чисел Рейнольдса. Наконец, при Ке105— —2 ■ 103 пограничный слой становится турбулентным и срывается от поверхности цилиндра.
 Турбулизация пограничного слоя приводит к заметному смещению линии отрыва вихрей по направлению к концу тела, так что область вихреобразований — турбулентный след за телом сужается. Сужение турбулентного следа уменьшает силы сопротивления. Коэффициент лобового сопротивления падает в несколько раз в сравнительно узком интервале чисел Рейнольдса. Это явление называется кризисом сопротивления.
 178

:Т а б-л и ц;а Т 0.7
 1.
 симметрии
 Я/й
 а °
 0
 15
 30
 45
 60
 75
 ЭО
 1/6
 +0,8
 +0,7
 +0,4
 0
 —0,4
 -0,6
 —0,7
 1/3
 +0,9
 +0,7
 +0,4
 —0,1
 -0,6
 —0,9
 —1
 1
 +1
 +0,8
 +0,1
 —0,7
 —1,2
 —1,5
 —1.7
 7
 +1
 +0,8
 +0,1
 —0,8
 —1,7
 —2,2
 —2,2
 25
 +1
 +0,8
 +0,1
 —0,9
 —1,9
 —2,5
 —2,6
 н/а
 а °
 105
 120
 135
 150
 165 .
 180
 1/6
 —0,5
 —0,5
 —0,4
 —0,3
 —0,2
 —0,1
 1/3
 —0,9
 —0,6
 —0,5
 —0,4
 —0,3
 —0,3
 1
 —1,2
 -0,7
 —0,5
 —0,4
 -0,4
 —0,4
 7
 —1,7
 —0,8
 —0,6
 —0,5
 —0,5
 —0,5
 25
 —1,9
 —0,9
 —0,7
 -0,6
 —0,6
 -0,6
 Данные для С\ применимы при Не4105
 н/а
 1/6
 1/3
 1
 —0,5
 —0,6
 —0,8
 2.
 Иапрадлвнае
 г — бетра
 7777ТЛ77777Я7
 СV
 Направление 8етр(Х
 кь
 1,2-
 ио
 0,8
 0,6
 ОД5
 0,2
 ■О
 1
 г
 „г Л 7
 -
 1
 4
 1
 |
 |
 .1
 р
 1
 Схема применяется для сооружений с круговой цилиндрической боковой поверхностью (резервуары, градирни, башни, дымовые трубы), а также для круглых трубчатых и сплошных элементов в сквозных сооружениях, проводов, тросов. При умеренно шероховатой поверхности (бетон, металл, дерево и т. п.) значение коэффициента ск определяется по
 приведенному графику. При большей шероховатости
 значения коэффициентов гатся по таблице
 сх при Ке410 определи-
 Сечение
 н/а
 25
 7
 1
 Крур с 6 0,02й
 0,9
 0,8
 0,7
 Круг с б 0,08 а
 1,2
 1
 0,8
 В линиях электропередачи значения коэффициентов сх допускается принимать:
 1,1 — для проводов и тросов й20 мм, свободных от гололеда; 1,2 —для проводов и тросов 220 мм, свободных от гололеда, и для проводов и тросов любого диаметра, покрытых гололедом
 3.
 Схема применяется для градирен, имеющих форму гиперболоида вращения
 Коэффициенты давления для шероховатых оболочек
 а°
 0
 15
 30
 45
 60
 75
 90
 105
 120— 180
 с
 1
 0,8
 0,2
 —0,5
 —1,2
 —1,3
 —0,9
 —0,4
 —0,4
 Значения углов ф..: фо36°, р1 — 72°, рз!00\
 12
 179

Продолжение табл. 10.7
 Коэффициенты разложения эпюры давления ветра
 V.
 Поверхность
 Номера гармоник
 градирни
 0
 1
 Умеренно шерохова тая поверхность Шероховатая поверх» ность
 —0,600 —0,392
 0,298
 0,260
 0,918
 0,602
 0,397
 0,505
 Продоло/сение табл. 10.7
 а1 • бешро,
 Нопрч1
 СОПРоГП1
 Подъемная сила
 Поверхность
 градирни
 Номера гармоник
 Умеренно шероховатая поверхность
 Шероховатая поверх ность
 -0,059
 0,106
 0,0131
 -0,095
 -0,019
 —0,018
 4-0,047
 Схемы применяются для вант н наклонных элемен» тов:
 а) ванта и направление ветра образуют угол 0; Сд — сх 5Ш20, где сх определяется по данным п. 13;
 б) ванты расположены в плоскости действия ветра СаОх Б1П2а.
 На кризис влияет степень турбулентности набегающего на тело потока. Чем она больше, тем ранее (при меньших Ке) наступает турбулизацня пограничного слоя.
 Различают следующие области изменения коэффициента сх при увеличении Ее: докритическую при Ке1,5-105, критическую при 1,5-105Ке8-105, закритическую при 8-105Ке107 и транскритическую при Ке107.
 Периодический отрыв вихрей наблюдается при обтекании не только цилиндров, но также и других тел. Однако для призматического тела линии отрыва вихрей фиксированы п совпадают с угловыми точками поперечного сечения — коэффициент сх для таких тел от числа. Рейнольдса практически не зависит.
 В табл. 10.7 приведены схемы распределения ветровой нагрузки и аэродинамические коэффициенты (коэффициенты давления и лобового сопротивления) для сферы, сооружений с круговой цилиндрической поверхностью (башни, дымовые трубы), градирен, вант и наклонных'элементов.
 Для оболочки градирни, наружная поверхность которой не имеет меридиональных ребер (умеренно шероховатая поверхность), коэффициенты давления принимают по п. 1 табл. 10.7 для Н/й 1. Коэффициенты давления для оболочки градирни с меридиональными ребрами, расположенными на расстоянии не более 1/50 длины окружности, и отношением высоты ребра к среднему диаметру оболочки 6/й З,5-104 (с шероховатой наружной поверхностью) принимают по п. 3 табл. 10.7. Там же приведены коэффициенты разложения в ряд Фурье эпюры давления ветра по поверхности оболочки для умеренно шероховатых и шероховатых поверхностей.
 Кроме внешнего давления на оболочку должно учитываться также распределенное по ее поверхности внутреннее давление с коэффициентом с—0,5.
 Нормальное к хорде ванты или наклонного трубчатого элемента нормативное значение ветровой нагрузки определяют по формуле
 Ясн %№св3 (10.22)
 380

Таблица 10.Р
 а
 10
 20
 30
 40
 - 50
 60
 /0
 ао
 90
 сх$
 0,05
 0,1
 0,2
 0,35
 0,6
 0,8
 1,03
 1,16
 1,2
 сгд
 0,04
 0,15
 0,27
 0,36
 0,45
 0,43
 0,33 ■
 0,18
 0
 где Сд 51п 0+с ,д С05 0; 0 — угол между ван¬
 той н направлением ветра; соз 0 соз а со5 ф (см. п. 4 табл. 10.7); га— угол наклона ванты к горизонту; ф — угол между плоскостями действия ветра и ванты.
 Для элементов с Не 1,5-105 аэродина■ мические коэффициенты схд и сг0 принимают по табл. 10.8.
 Рис. 10.5. Характер обтекания цилиндра потоком жидкости
 Если плоскости действия ветра и ванты совпадают (ф 0), то а0;
 Приближенные значения с0 и са могут быть вычислены по формулам, приведенным в поз. 4 табл. 10.8.
 Решетчатые конструкции. Аэродинамические коэффициенты сп и а для конструктивных элементов решетчатых конструкций из простых и составных профилей зависят от угла атаки а и от отношения X высоты элемента к его характеристическому размеру.
 Нормативное значение ветровой нагрузки на такие элементы определяют по формулам: 3?ш /{1Спх,до5 и 2н йгС(оо7о5, где Сп и а в, — аэродинамические коэффициенты для элемента бесконечной длины; к1 — коэффициент перехода от элемента бесконечной длины к элементу с отношением X.
 В главе СНиП П-6-74 коэффициент лобового сопротивления для элементов решет: чатых конструкций принят 1,4 независимо от отношения X и направления ветра. Рекомендуемый СНиП П-6-74 коэффициент сх соответствует Х к/1 10—15 и &/ 0,65—0,7.
 10.6. Воздействие ветра на высокие сооружения и здания
 Вынужденные колебания сооружения при действии турбулентного ветра. В рассматриваемой задаче следует различать два этапа. Первый этап состоит в преобразовании потока ветра, характеризуемого скоростью V (г, (), в действующие на сооружение возмущающие силы. Это преобразование осуществляется с помощью передаточной функции, зависящей о.т относительных размеров сооружения и от длины волн — гармоник пульсаций скорости. Произведение энергетического спектра скорости и квадрата модуля аэродинамической передаточной функции дает спектр возмущающей силы, которая действует на -сооружение.
 Второй этап заключается в преобразовании возбуждения в движение сооружения, осуществляемое с помощью второй передаточной функции, зависящей от собственных частот сооружения и от суммарного коэффициента диссипации энергии колебаний.
 Трудности, возникающие при решении задачи, связаны в основном с оценкой действующих на сооружение переменных ветровых нагрузок.
 В то время как скорость невозмутценного потока и мгновенные давления в различных точках- поверхности плохо обтекаемых тел могут быть легко измерены, механизм взаимодействия ветра с сооружением и теоретические зависимости скорости и возмущающих нагрузок изучены еще недостаточно.
 По характеру этого взаимодействия сооружения могут быть разбиты на два класса. К первому классу относятся линейно-протяженные сооружения типа башен, дымовых труб, антенно-мачтовых систем, опор линии электропередачи, технологического оборудования колонного -типа, надземных трубопроводов и тому подобные сооружения.
 В таких сооружениях характеристические размеры, малы по сравнению с-.длиной волны или поперечными размерами
 181

вихрей, поэтому картину оотекания потоком этих элементов можно рассматривать как квазистационарную.
 В этом случае аэродинамическая передаточная функция для элементов сооружения будет близка к единице и спектр скорости легко преобразовывается в спектр аэродинамической силы, при этом используют аэродинамические характеристики элементов . сооружения в установившемся потоке.
 Ко второму классу относятся протяженные здания, градирни, резервуары и тому подобные пространственные сооружения.
 Приближенные аэродинамические передаточные функции для этих сооружений могут быть построены на основе модельных или натурных измерений пульсаций давления по поверхности сооружения, либо с использованием упрощенных моделей картины обтекания сооружения турбулентным лотоком.
 Наиболее обоснованное решение зада-ш для этого класса сооружений можно получить, если заданы пространственновременные статистические характеристики пульсации давления ветра, вычисленные по данным натурных или модельных испытаний аналогичных сооружений.
 Рассмотрим линейно-протяженное сооружение, для которого известны собственные частоты со,- и собственные формы колебаний аг(г) (1 1,2 б).
 Давление ветра, действующее на сооружение на уровне 2, можно записать в таком виде:
 Я (г, ) Я°в(г) + Я1(г, I), (10.23)
 где ср (г) '/аРИ2(2)с,.(г) —■ нормативное зиаченне
 Н Н А
 статической составляющей давления ветра: ан(г)—нормативная скорость на уровне г;
 71(г.’0“,2?®(г)о1(г, )/ан(г) — давление ветра, соответствующее пульсационной составляющей скорости о'(г, I); сн(х) —коэффициент лобового сопротивления сооружения на уровне г.
 Перемещения и усилия в системе, вызванные давлением Яя(г) легко определяются известными методами теории сооружений.
 При рассмотрении динамических реакций (перемещений и усилий) системы целесообразно ввести обобщенные координаты р,-('{), соответствующие полному разделению неизвестных в уравнениях колебаний линейной системы.
 Представляя перемещения в виде ряда
 получим последовательность уравнений РЩ) + уа.РЩ) + а] р.Ц) 3.(0/М..
 (10.25)
 Н
 Здесь обобщенная сила \я[(г
 о
 {)а 1(г)йг. Обобщенная масса Л1;
 н
 ] ц(2)а; (г) г 1х(г)—масса единицы выо
 соты сооружения на уровне г; у ё/п; 6— логарифмический декремент колебаний.
 Средний квадрат перемещений системы можно записать так:
 . 5 5 уЦг, 02 2йг(г)“г(г) р1({)р1(()р1(()р1((). (1 11
 (10.26)
 Аналогичные выражения можно получить для средних квадратов усилий (изгибающих моментов и поперечных сил), если в выражении (10.26) щ(г) и 0,1(2) заменить коэффициентами распределения амплитуд изгибающих моментов аш(г) и ашг и поперечных сил асц(г) и асц(г).
 Ковариация обобщенных координат имеет вид
 ОО
 1/я | Ф;(/ со)Ф,(г со) Зр 0 (ю)й ш, о 1 11
 (10,27)
 где
 Ф.(г со) 1 !М.(— со2 + 11(1КС0 + со2);
 Ф (I ш) Ф( ( — г со) —
 передаточные функции, соответствующие собственным частотам г и I; 5 ~ (и) —взаимная
 спектральная плотность обобщенных сил.
 Введем безразмерный период в1 /и Оо/1200/г. Тогда нормированный энергетический спектр пульсации продольной компоненты скорости (10.4) будет иметь вид
 ,°/з
 64,(8) :
 Т11
 1200 в ' ЗИ0(1+Е2)4/а
 (10.28)
 Произведение передаточных функций сиетемы Ф;(гш) и Ф;(—ко).
 Ф.(1 (О) (— I со) Е Еа — + Е2 — 7Е.Е ; Е3+
 ~ ММ .а г4— 2 1—,у2/2 е2е2 + е Х ’
 + ЕК
 X | Е4- 2 (1-72/2) Е2е2 + Е] '
 (10.29)
 у(г о 2 Р1® а№ (1
 (10.24)
 Выражение для взаимной спектральной плотности обобщенных сил может быть записано
 182

(Е)
 5
 Я ?н(г1 ?н(га аг(г2)5«,(е,5с) йЗгЛ82,
 (Ю!з0)
 где 5 — поверхность сооружения; х — расстояние между элементами Й5) и с15з поверхности; #н(2)
 (г) — нормативное значение давления
 дЦг, О на отметке г; г\ и г2 — высоты, соответствующие элементам й$1 и йЗ.
 Нормированная взаимная спектральная плотность пульсации продольной компоненты скорости
 5. (и, в)5“,(е,г0)До,(и,е), (10.31)
 где 5 ”, (е, г0) — нормированный энергетический
 спектр на стандартном уровне, принимаемый по (10.28).
 Коэффициент взаимной корреляции гармоник скоростей (с безразмерным периодом е):
 Яа,(к. е) ехр Г-— рх + Л_ + М1, (10.32) [ в \ 60 150 ~ 150 )\
 где »• Ху X.
 ■ проекции расстояния между рас- сматрнваемыми точками на оси координат, ориентированные таким образом, что ось у совпадает с направлением ветра, а ось г с вертикалью.
 Используя • (10.29) — (10.32) для ковариации обобщенных координат, получим следующее выражение:
 р.()/?) 0-07 г
 г I т М со?ш “ г I ь I
 (10.33)
 “ (е) е11/? 4— (в? Ч- Ц — х
 6 (1 + е?)4/3[б4 - 2 (1 - 7-/2)
 2 2 , Вге +
 (10.34)
 + 4] [е4 “ 2(1 - Г-т Е/ё2 + 4]
 8
 '/(Е) II ?Нг1?Нга аг(г1)аг(г2) х
 X ехр[--1 +т + ] 52.
 (10.35)
 Важное значение для рассматриваемых сооружений имеет вопрос об учете высших форм колебаний и взаимной корреляции между ними. Будем различать в этом классе сооружения башенного типа, обладающие разреженным спектром частот, и сооружения с плотным спектром частот собственных колебаний.
 В первом случае взаимной корреляцией между собственными формами можно пренебречь [9, 10]. Во многих случаях для этих сооружений допускается учитывать только первую форму собственных колебаний. Сама динамическая задача о воздействии турбулентного ветра на сооружение
 башенного типа сводится к квазистатическбй, т. е. к определению ветровой нагрузки, эквивалентной динамическому эффекту, вызываемому пульсациями скоростного напора. Она может быть представлена квазнстатической частью, эквивалентной эффекту, вызванному гармониками пульсации скоростного напора, частоты которых достаточно удалены от частоты собственных колебаний сооружения и «резонансной частью», соответствующей частотам гармоник пульсации, близким собственной частоте.
 Строго говоря, динамическую составляющую ветровой нагрузки следует учитывать при расчете всех зданий и сооружений. Однако при построении приведенной в главе СНиП П-6-74 методики определения ветровой нагрузки на здания и сооружения было принято, что для сооружений с периодом собственных колебаний менее 0,25 с и для зданий высотой до 40 м, т. е. для достаточно жестких зданий и сооружений динамическую составляющую ветровой нагрузки можно не учитывать.
 Для указанных зданий и сооружений при сочетании ветровой нагрузки с другими кратковременными нагрузками (снеговой, крановой и др.) и учете вероятности одновременного возникновения расчетных значений пульсации скоростного напора по поверхности сооружения (пространственной корреляции) вклад динамической составляющей ветровой нагрузки мал по сравнению с суммарной расчетной нагрузкой на сооружение.
 Для сооружений, имеющих густой спектр собственных частот колебаний, должны учитываться как вклады самих собственных форм колебаний, так и вклады взаимных корреляций между формами.
 Ниже общее решение задачи используется для определения динамической составляющей ветровой нагрузки, перемещений и усилий в упомянутых двух классах сооружений и зданий, имеющих разреженный и плотный спектр частот собственных колебаний.
 Сооружение башенного типа. В качестве расчетной схемы сооружения принимают защемленный в основании консольный стержень переменного сечения по высоте.
 Сооружение разбивают на г участков с текущим номером /1, 2,..., к,..., т,..., г, массу участков и действующую на него возмущающую силу сосредоточивают в центре участка.
 Пренебрегая корреляцией между обобщенными координатами, можно средний
 183

квадрат смещений точки / системы записать так:
 5 '$02 (10.36)
 11
 где средний квадрат обобщенной коорди-
 Р2Й[|Фг(1ш)|%(с0)Й0). (10.37) о
 Здесь
 |Ф.(1Ш)|3 1/АГ| [со4 — 2 (1 — X
 Хш2ш2+о)4] — (10.38)
 квадрат модуля передаточной функции системы '
 2 ?!()«; ЪМЛ-
 61 &1
 Спектральная плотность обобщенной силы
 ■4 2 2 5пг(“К'Лт, (10.39)
 к1 т—1
 где взаимная спектральная плотность возмущающих сил 2 (0 и 0 (0:
 5Ат(Ш) гт, и).
 (10.40)
 Возмущающая сила (2'ь(1;) Чъ№)8к, 5 и — площадь проекции сооружения на уровне к на плоскость, перпендикулярную к направлению ветра.
 Нормированная взаимная спектральная плотность продольных пульсаций скорости в точках А и от как функция в будет иметь вид
 5н.Сгь, г„, е)
 Vх Ч ТЛ '
 1200 в
 5/3
 ехр
 НгЬ-гт1у
 V 150в
 о03(1+е2)4/3
 (10.41)
 Окончательное выражение для среднего квадрата перемещений сооружений запишем так
 а
 11
 (10.42)
 где V»"!
 Ле)е11/3 Л ё
 | (1+б5)4/3 [V—2(1—7/2)е2е?+е4]’
 (10.43)
 Ле) 4.2 2
 &1 т1
 I . 150е )■
 (10,44)
 Задача существенно упрощается, если предположить, что скорость ветра полно-
 184
 стыо коррелирована по высоте сооружения, т. е. представляет собой произведение случайной функции времени на функцию координат.
 В этом случае к({)}(1)оп' ;](Т) 0;
 к
 2 ,
 о 1. ст — стандарт пульсации продольной компоненты скорости на уровне к.
 Возмущающая сила, которая действует на этом уровне:
 №
 (10.45)
 стандарт возмущающей силы Вд1 0°ниУтк-
 к
 Расчетное значение возмущающей силы
 Фрае (гь) к т(гь) гДе коэффициент пульсации т(г/г) 2асутк, ас — коэффициент обеспеченности.
 В главе СНиП Н-6-74 интенсивность турбулентности принята по формуле (10.2). Тогда коэффициенты пульсации для подстилающей поверхности четырех типов могут быть вычислены по формулам:
 «А0,6(гй/10)-0-16; тБк0,88(2 /Юр0,22-
 «В 1 75 (гй/10Г°’33; тоткр море к
 0,40 (2Ь/Ю)-0'09. (10.46)
 Здесь коэффициенты пульсации, вычисленные для часового интервала осреднения, уменьшены в 1,4 раза, учитывая данные в работе [15] для двухминутного интервала.
 При таком подходе средний квадрат смещений /-ой точки сооружения
 2 10-47)
 11
 Здесь приведенное ускорение
 сп а.7,
 г1 гк
 к1
 Чг.7 —
 "V АГьа2 Лл я- 1к А1
 квадрат коэффициента динамичности
 о 00 п/з,
 2 _? ■
 (10.48)
 й в
 (1+е-)4/3 [е4—2(1-7?/2)е2е2+ е] '
 (10.49)
 Такой подход сводит рассматриваемую динамическую задачу к квазистатической и позволяет построить удобные формулы для определения динамической составляющей ветровой нагрузки. Он использован в главе СНиП П-6-74. Корреляцию пульсации продольной компоненты скорости учитывают следующим образом.
 Рассмотрим башенное сооружение с равномерно распределенной массой и по¬

стоянной жесткостью по высоте. Примем для его первой формы колебаний параболу и напишем выражение для отношения средних квадратов обобщенных координат системы с учетом корреляции пульсации скорости по высоте Р]СО и в предположении, что пульсация скорости по высоте полностью коррелирована (р'{А({)):
 участков, на которые условно разбивают сооружение.
 Инерционную силу, приложенную в середине участка с номером / при колебаниях сооружения по 1-ой собственной форме, вычисляют по формуле
 (10.52)
 V2 р?(9/рГ(0.
 (10.50)
 где
 рга
 3 2
 г/ 11/3 . /(в)в й б
 (14
 е2)4/3 е4 “2 (1—72/2) е2 4- е (10.51)
 7(8) V2 (Я)Я2 || «+2 4-2 оо
 ’(~715-41) “М
 X е&р |
 где М/— масса /-го участка, тсс2/м, сосредоточенная в его середине:- |г- — коз-фсЬнцнэнт динамичности; приведенное ускорение, м/с2, се¬
 редины /-го участка; 7 — коэффициент учитывающий пространственную корреляцию пульсации скорости ветра по высоте сооружения.
 Коэффициент динамичности определяют по графикам рис. 10.6 в зависимости от параметра 8,Гг1)/1200 и от логарифмического декремента колебаний 6 (Г — период 1-ой формы собственных колебаний, с; 04)/" пп7о'—расчетная скорость ветра, м/с; п0 — коэффициент перегрузки).
 Коэффициенты для значений е»0.2 приведены в табл. 10.9).
 Таблица 10.9
 И
 И 150
 Чтобы получить р12 (/), следует в
 (10.51) Принять /(е) I и разделить стоящий перед интегралом множитель на (а + + 3)2. Корень квадратный из отношения
 (10.50) и представляет собой параметр V, зависящий от высоты сооружения Н, безразмерного параметра ег и логарифмического декремента б.
 Учитывая сказанное, нормативное значение динамической составляющей ветровой нагрузки определяют для каждой формы колебаний сооружения в виде системы инерционных сил, приложенных к середине
 й 0,05
 6 0,15
 60,3
 0,25
 4,96
 2,93
 2,13
 0,3
 5,17
 3,04
 2,2
 0,4
 5,44
 3,18
 2,28
 0,45
 5,52
 3,21
 - 2,3
 0,5
 5,57
 3,23
 2,3
 Приведенное ускорение Г)у, м/с2, опре-. деляют по формуле
 агЛтк
 к1
 (10.53)
 2
 к—1
 1к мъ
 Рис. 10.6. Коэффициенты динамичности /—‘Для железобетонных и каменных сооружений, а также для зданий со стальным каркасом при наличии ограждающих конструкций (6«0,3); 2 —для стальных башен мачт, футерованных дымовых труб, аппаратов колонного типа, в том числе на железобетонных постаментах (60,15);- 3—для стальных сооружений и конструкций при совместном учете резонансных колебаний и динамической составляющей ветровой нагрузки в плоскости потока (60,05)
 185

Таблица 10.10
 Местность типа
 Высота над поверхностью земли, м
 до 10
 20
 - 40
 60
 100
 200
 350 и выше
 А
 0,6
 0,55
 0,48
 0,46
 0,42
 0,38
 0,35
 Б
 0,88
 0,75
 0,65
 0,6
 0,54
 0,46
 0,4
 В
 1,75
 1,4
 1,1
 0,97
 0,82
 0,65
 0,54
 Открытое море
 0,4
 0,37
 0,34
 0,33
 0,32
 —
 где Л4 —масса к-го участка; а , а,.,
 Чк
 ■ относи¬
 тельные ординаты, соответствующие середине /-го и к-го участков при колебания?: сооружения по 1-ой форме; равнодействующая норматив¬
 ной ветровой нагрузки на й-ый участок; г —
 число участков, на которые разбито сооружение; тп — коэффициент пульсации скоростного напора для середины к-то участка.
 Значения коэффициентов тк для подстилающей поверхности (А, Б, В) различных типов и для открытого моря приведены в табл. 10.11.
 Таблица 10.11
 Высота сооружения
 30
 45
 60
 120
 150
 300
 450 и выше
 0,01
 0,7
 0,65
 0,6
 0,55
 0,55
 0,45
 0,4
 0,05
 0,75
 0,7
 0,65
 0,6
 0,55
 0,45
 0,4
 0,1
 0,85
 0,8
 0,75
 0,65
 0,6
 0,5
 0,4
 0,2
 0,9
 0,85
 0,85
 0,75
 0,7
 0,6
 0,5
 Коэффициент V принимают по данным табл. 10.11 для сооружения консольного типа; он учитывается только для первой формы собственных колебаний. В тех случаях, когда для сооружений башенного типа необходим учет высших собственных форм колебаний коэффициент V может быть принят равным единице, так как вклад высших собственных форм в таких сооружениях мал по сравнению с вкладом основной собственной формы.
 При определении ветровой нагрузки на дымовые трубы, башни, аппараты колонного типа и открытые этажерки допускается учитывать только первую форму собственных колебаний. Необходимость учета высших форм колебаний для высоких сооружений консольного типа устанавливают в каждом случае в зависимости от принятой расчетной схемы и от распределения масс и жесткостей по высоте сооружения.
 Для сооружений с массой и ветровой нагрузкой, приведенными к его вершине (водонапорные башни, транспортерные галереи и т. п.) нормативное значение динамической составляющей ветровой нагрузки вычисляют по формуле
 (10.54)
 • приведенная к вершине статическая со¬
 ставляющая ветровой нагрузки; |1 принимают по графикам на рис. 10.6; V определяют по 1абл.
 10.11, для транспортерных галерей по табл. 10.18; т —- коэффициент пульсации скоростного напора для верха сооружений, принимаемый по данным табл. 10.10.
 Для сооружений с равномерно распределенной массой и постоянной по высоте жесткостью при учете только первой формы собственных колебаний нормативное значение динамической составляющей ветровой нагрузки вычисляют по формуле
 ?н ?Н (Н) УУ%1П,
 (10.55)
 где д°н(Н) —нормативное значение статической составляющей ветровой нагрузки на уровне верха сооружения; % — коэффициент, учитывающий форму собственных колебаний сооружения (парабола) и характер изменения коэффициента пульсации по высоте и принимаемый по табл. 10.12.
 Я — высота сооружения; г — расстояние от поверхности земли до рассматриваемого сечения.
 Расчетные динамические перемещения высокого сооружения определяют по формуле
 1/2
 (10,56)
 где — г-ая круговая собственная частота сооружения.
 Усилия н перемещения сооружения при действии ветровой нагрузки находят раздельно от статической составляющей и от динамической составляющей, которая соответствует каждой е-ой форме колебаний.
 Суммарные усилия и перемещения определяют по формуле
 ■ 5 11/2
 2 М2 (10-57)
 Ь'1
 где X— изгибающий (крутящий момент), поперечная или продольная сила, перемещение; Xе — то же, от статической составляющей ветровой нагрузки; Х% — то же, от динамической составляющей ветровой нагрузки при колебаниях от Г-оЙ формы; 5 — число учитываемых в расчете форм колебаний.
 186

Таблица 10.12
 г/И
 0,1
 0,2
 0,3
 0,4
 0,5
 0,6
 0,7
 0,8
 0,9
 1
 к
 0,04
 0,12
 0,23
 0,35
 0,52
 0,69
 0,88
 1,09
 1,32
 1,56
 Усилия и перемещения в сечениях железобетонной дымовой трубы. При расчете железобетонной дымовой трубы на ветровую нагрузку усилия в ее сечениях и перемещения можно определить методом последовательных приближений.
 В качестве первого приближения принимают изгибающие моменты в сечениях трубы, вычисленные без учета нормальных сил.
 Нормативное значение статической составляющей ветровой нагрузки для участков трубы определяют по формуле (10.21). Динамическое воздействие пульсации скоростного напора учитывают умножением статической составляющей нй коэффициент, принимаемый 1,3 для нижних участков и
 1,5 для верхних участков трубы.
 Далее, для всех участков трубы вычисляют нормальные силы от собственного веса ствола, футеровки, площадок и т. п. По усилиям М™ и /V/ определяют с учетом образования трещин кривизны и прогибы оси трубы 1/р на уровне середины участков (см. Инструкцию по проектированию железобетонных дымовых труб [16]). Затем вычисляют дополнительные моменты от нормальных сил Мд0\,, при этом кроме прогибов у учитывают также прогибы г/нРен/, вызванные креном фундамента. Во втором приближении определяют прогибы трубы по суммарным изгибающим моментам первого приближения
 М(1) + УИ(1)
 сумм ' ■тДОП
 и вычисляют новые дополнительные изгибающие моменты М , суммируемые с моментами М(1. Процесс практически сходится после двух-трех приближений.
 При расчете трубы по первому предельному состоянию (по несущей способности) прогибы трубы, вызванные солнечной радиацией, не учитывают. При расчете по второму предельному состоянию прогиб ствола трубы определяют от суммарного действия нормальных сил, нормативной ветровой нагрузки, крена фундамента и солнечной радиации. Рекомендуется' прогиб верха трубы у0 от действия солнечной радиации принимать 0.005Я, где Н — высота трубы. В качестве первого приближения для
 упругой линии трубы может быть принята парабола вида уу0гг'1Нг.
 По суммарным изгибающим моментам г'-гб приближения вычисляют жесткости сечений трубы и ее прогибы. Принимая линию прогибов от расчетной ветровой нагрузки в качестве первого приближения, методом последовательных приближений определяют основной период и первую форму собственных колебаний трубы.
 Динамическую составляющую ветровой нагрузки вычисляют по формуле
 (10.52).
 Открытые этажерки и одноэтажные производственные здания (при Я36 м и ////1,5 м). Для открытых этажерок в качестве расчетной схемы принимают плоскую стержневую систему (рамную, решетчатую, комбинированную), жесткость которой равна суммарной жесткости плоских систем, составляющих этажерку. Масса М/, сосредоточенная в узлах /-го яруса системы, равна массе /-го перекрытия, включая в нее массы всех расположенных на перекрытии нагрузок, а также полусумму масс стоек /-го и к-то этажей.
 Ветровую нагрузку на открытые и полуоткрытые (с закрытыми нижними этажами) этажерки с расположенным на них технологическим оборудованием определяют по формулам (10.52), (10.53) для двух направлений ветра — перпендикулярного продольной оси этажерки и совпадающего с ее продольной осью. Коэффициент пространственной корреляции V принимают по табл.
 10.13.
 Таблица 10.13
 Высота здания, м
 в/н
 Е!
 30
 40
 50
 90
 120
 V
 0,01
 0,53
 0,49
 0,47
 0,4
 0,36
 0,05 и
 более
 0,47
 0,42
 0,4
 0,УЗ
 0,3
 9
 0,01
 0,47
 0,43
 0,41
 0,33
 0,3
 0,05 И
 более
 0,4
 0,36
 0,34
 0,2/
 0,24
 3
 0,01
 0,43
 и, 39
 0,37
 0,‘2У
 0,26
 0,05 11
 более
 0,36
 0,32
 0,3
 0,24
 0,21
 Если массы этажей и жесткости стоек отличаются не более чем на 20 %, то допускается ветровую нагрузку на этажерку определять по формуле (10.55), при этом V
 187

принимают по табл. 10.13, а к по табл. 10.16.
 Ветровую нагрузку на открытую этажерку, примыкающую к зданию, но не связанную с ним, определяют как для отдельно стоящей этажерки. Для связанной со зданием этажерки, высота которой меньше или равна высоте здания, ветровую нагрузку находят по формуле (10.52), при этом коэффициент динамичности |1 принимают 1, а для вычисления приведенного ускорения собственная форма колебаний может быть принята в виде прямой линии.
 Расчетную схему для этажерки, высота которой больше высоты здания, устанавливают в зависимости от высоты и конструктивной схемы здания. Если ЯэтЗ#здан, то ветровую нагрузку определяют так же, как для отдельно стоящей этажерки.
 Для одноэтажных производственных зданий "в качестве расчетной схемы может быть принят защемленный в основание консольный стержень с массой покрытия М, сосредоточенной в его вершине .(центре тяжести покрытия) и распределенной по высоте здания массой стоек, ограждений, подкрановых балок, мостового крана и площадок, связанных со стойками.
 ■ Сосредоточенные. на уровне подкранового пути массы подкрановых балок и мостового крана, а также сосредоточенные массы площадок, связанных со стойками зданий,, приводятся к эквивалентной массе, распределенной по высоте стойки.
 В этом случае на массу покрытия М действует сосредоточенная динамическая составляющая ветровой нагрузки, определяемая по формуле
 ОАМНдЬ (Я)
 М + ц Я/3
 (10.58)
 а по высоте стержня распределенная по треугольнику интенсивность динамической составляющей ветровой нагрузки, ордината которой на уровне расположения массы М может быть вычислена по формуле (10.58) заменой в числителе массы М на погонную массу [л.
 Здесь 7° (Я) и т — соответственно нормативное значение статической составляющей ветровой нагрузки и коэффициент пульсации скоростного напора на уровне верха здания. Коэффициент ч принимают по табл.
 10.14.
 Высокие здания [6], [34], [42]. Как уже отмечалось, для решетчатых конструкций вследствие малости их элементов обтекающий конструкцию поток может рассматриваться как квазистационарный. В этом слу¬
 чае стандарт лобового сопротивления мо-. жет быть вычислен в зависимости от его. среднего значения сх, от интенсивности турбулентности ут и от коэффициента поперёч-ной корреляции продольной компоненты скорости Ду, (хь Х2, п) е~ с(п/тх1~хг1 .
 |Х\—х2|—расстояние между точками 1 и 2 по горизонтали.
 Тогда для спектральной плотности пульсации лобового сопротивления имеем
 3ц1 (п) -■
 ■(!
 где
 501 (ГС) Лп),
 501(п)
 — коспектр (действительная часть взаимной спектральной плотности) пульсации продольной компоненты скорости в точках 1 и 2; 3— площадь проекций элемента на плоскость, пер-пендикулярную потоку.
 Таким образом, если рассматривать здание как решетчатое сооружение, то спектральная плотность возмущающей силы получается умножением спектральной плотности пульсации продольной компоненты скорости 5В, (п) на функцию Цп), которая представляет собой квадрат модуля аэродинамической передаточной функции здания.
 Аэродинамические испытания плохо обтекаемых вертикальных конструкций [42] показали, что использование решетчатой модели допустимо для приближенной оценки пульсации лобового сопротивления зданий малого удлинения в турбулентном потоке. Этот подход, предложенный Викери и Давенпортом, эквивалентен допущению, что мгновенная сила, действующая на плохо обтекаемое тело, пропорциональна количеству движения воздуха, [р-о2с!з, протекаю5
 щего через площадь 5. По аналогии с решеткой коэффициент пропорциональности
 принимают (2/ рV2с в, т. е. как для устано5
 вившегося потока. В дальнейшем этот подход использован при определении реакции высокого здания на действие ветра.
 Рассмотрим три типа зданий: 1) прямоугольные и квадратные в плане здания башенного типа с центром жесткости, совпадающим с центром масс. Для такого зда-. ния допускается учитывать только первые формы собственных колебаний, соответствующие его поступательным движениям;
 2) несимметричные в плане здания с центром жесткости, не совпадающим с центром
 188

масс. Для такого здания учитывают его три гннзшие собственные частоты, соответствующие поступательным движениям здания ,в направлении потока ветра и перпендикулярно ему и вращательным колебаниям относительно вертикальной оси, проходящей через центр тяжести здания; 3) симметричные, протяженные в плане здания типа пластин. Для такого здания учитывают его поперечные поступательные и вращатель-. ные колебания, возникающие вследствие неравномерного распределения давления ветра по наветренным и заветренным граням здания.
 Для зданий первого типа пространственная корреляция продольных пульсаций должна учитываться не только по высоте здания, но и вдоль фасада.
 Как и для сооружения башенного типа инерционную силу, приложенную в середине участка при колебаниях здания по г-ой форме, определяют по формуле (10.52).
 Коэффициент V, учитывающий корреляцию пульсации скорости ветра по высоте и фронту здания, принимают по табл
 10.15.
 Таблица 10.14
 Отношение дли¬
 Высота здания, м
 ны наветренной грани здания В к его вшсоте И
 Е!
 30
 40
 50
 90
 130
 0,2
 0,01
 0,05
 0,1
 -
 —
 0,57
 0,53
 0,59
 0,51
 0,44
 0,48
 0,48
 0,4
 0,42
 0,5
 0,01
 0,05
 0,1
 0,57
 0,53
 0,59
 0,54
 0,48
 0,53
 0,52
 0,46
 0,5
 0,46
 0,38
 0,39
 0,42
 0,35
 0,35
 Таблица 10.15
 Высота здания, м
 50
 90
 120
 0,05
 0,68
 0,63
 0,6
 од
 0,75
 0,7
 0,65
 0,2
 0,75
 При отношении В/Н0,2 учитывают только корреляцию пульсации скорости по
 Т а б л и ц а 10.16
 высоте. В этом случае коэффициент V принимают по табл. 10.15.
 Для значений 0,25///0,5 коэффициенты V определяют по табл. 10.14.
 Нормативное значение динамической составляющей ветровой нагрузки 7 для зданий первого типа с равномерно распределенной массой, и постоянной по высоте жесткостью определяют по формуле (10.55). Для первой собственной формы колебаний принята прямая линия. Коэффициенты у. приведены в табл. 10.16.
 Рассмотрим теперь несимметричное в плане здание рамно-связевой системы (тип 2), в котором центр тяжести не совпадает с центром масс. В таком здании при действии ветра возникают связанные поступательные и вращательные колебания.
 Перемещения точек оси здания могут быть выражены через его собственные формы
 5
 я/СО 2 Рг (0 аЖг(г.7');
 11
 5
 у№ 2 Рг(0 ау&)У’
 11
 5
 е/)2 Р|(О«0((г;). (10.59)
 11
 где Рг- и) — обобщенная координата;
 &у1 (г.), «д. (гу) — ординаты составляющих пространственной формы колебаний здания в точке
 соответствующей I-ой собственной частоте.
 Обозначим направление движения вдоль осей х и у и поворот вокруг вертикальной оси г соответственно через 1, 2 и 3. Ось х направлена вдоль наветренной грани, ось у совпадает с направлением ветра. Тогда, используя выражения (10.59), получим для рассматриваемой линейной системы последовательность уравнений вида (10.25). Здесь обобщенная сила
 г г
 2 айк(31ь(0 + 2 ациЯгк(() +
 /г1 »1
 Г
 + 2 азь@зь();
 /г1
 Обобщенная масса
 М1 2 + 2 + 2 а3г-Л
 /г1 к\ /г1 -
 г/Я
 0,1
 0,2
 0,3
 0,4
 0,5
 0,6
 0,7
 0,8
 0,9
 ОД
 0,34
 0,52
 0,66
 0,79
 0,9
 1'Д
 1,19
 1,28
 1,36
 189

где Мк и 1к — соответственно масса ' 6-го этажа здания (перекрытия и стен) и его момент инерции массы относительно вертикальной оси, проходящей через центр .тяжести здания.
 г
 Пусть |х—1' Мь)1Н — масса единицы р
 высоты здания; I— 1к)Ш — момент
 к1
 инерции этой массы. Примем для составляющих 1-ой собственной формы колебаний здания прямую линию и обозначим ординаты составляющих на уровне его верха через к\ь к%и &зI’
 Пусть Ъ12 — отношение аэродинамических коэффициентов с и сп для заданного направления ветра; еа — эксцентрицитет равнодействующей давления ветра относительно центра наветренной грани.
 Тогда
 Ч - Я ?1+“ &.» тг.
 (10.60)
 где
 Аг — Нчкц + кц + кз(еа;
 мг + к1) + ЩН! 3.
 В тех случаях, когда можно пренебречь связью между поступательными и вращательными колебаниями здания, его собственные формы становятся плоскими с ординатами для верха здания, равными единлде.
 Ковариация обобщенных координат
 [яв9н(я)ун14 4и
 Р Р П — ■
 ММ в?а? 1111
 (10.61)
 где определяют по формуле (10.34)
 1
 ./(6) 4 \ НВдЬ (Я) ]2 |||| &1+а +“ X
 X ехр Л ехр мр |Х- Х1| | ;
 Ур (2)
 Сг
 а
 (1 11
 (10.64)
 “7 4 М10б Щоб
 где С 0,8165ЯВт17 ® (Я), Я) — нормативное значение статической составляющей ветровой нагруз- кн на уровне верха здания.
 Нормативное значение динамической составляющей ветровой нагрузки (интенсивность инерционной силы на уровне г в направлении 2)
 ?Л(2) (СИг/Я) Ош, (Ю.65)
 где
 а1 а1 к21 К 1уи
 Мго5
 1/2
 (10.66)
 11 11
 Коэффициенты пространственной корреляции \ц в зависимости от соотношения Ми—&11е,и 8,-, КВ/Н и Н приведены в табл. 10.17.
 Таблица 10.17
 X % В/Н; % Х/1. (10,62)
 Средний квадрат перемещений здания на уровне г,- в направлении 2 вычисляют по формуле
 з з
 4 2 2 Рг(()Р )сс2. « .. (10.63)
 11 11
 Расчетное значение перемещения на уровне г в направлении 2 (оси у)- определяют по формуле
 Нг
 В}Н
 Высота здания, м
 г
 30
 40
 50
 90
 120
 0,5
 0,01
 0,05
 0,1
 0,44
 0,52
 0,66
 0,42
 0,48
 0,6
 0,41
 0,45
 0,56
 0,36
 0,38
 0,44
 0,33
 0,34
 0,38
 1
 1
 0,01
 0,05
 0,1
 0,41
 0,46
 0,57
 0,39
 0,42
 0,51
 0,37
 0,4
 0,47
 0,31
 0,33
 0,37
 0,29
 0,29
 0,33
 9
 0,01
 0,05
 0,1
 0,37
 0,4
 0,48
 0,34
 0,36
 0,43
 0,32
 0,34
 0,39
 0,26
 0,27
 0,3
 0;24
 0,24
 0,26
 3
 0,01
 0,05
 0,1
 0,34
 0,36
 0,42
 0,31
 0,33
 0,38
 0,29
 0,3
 0,34
 0,23
 0,24
 0,26
 0,21
 0,21
 0,23
 0,5
 0,01
 0,05
 0,1
 0,44
 0,48
 0,55
 0,42
 0,45
 0,51
 0,41
 0,43
 0,48
 0,36
 0,37
 0.4
 0,33
 0,34
 0,36
 0,9
 1
 0,01
 0,05
 0,1
 0,41
 0,44
 0,49
 0,39
 0,41
 0,45
 0,37
 0,38
 0,42
 0,31
 0,32
 0,34
 0,29
 0,29
 0,31
 2
 0,01
 0,05
 0,1
 0,37
 0,38
 0,42
 0,34
 0,35
 0,39
 0,32
 0,33
 0,36
 0,26
 0,27
 0,28
 0,24
 0,24
 0,25
 3
 0,01—0,1
 0,36
 0,32
 0,3
 0,24
 0,21
 0,7-
 0,8
 0,5
 1
 2
 3
 ® о
 "о ООО
 ТТТ7
 О ООО
 0,46
 0,43
 0,38
 0,35
 0,44
 0,41
 0,35
 0,32
 0,42
 0,38
 0,33
 0,29
 0,36
 0,32
 0,27
 0,24
 0,33
 0,29
 0,24
 0,21
 Нормативное значение возмущающего крутящего момента (тм/м), приложенного на уровне г:
 НКр (С/г/Я) О;гз, (Ю;-67).
 Чтобы получить следует в От заменить индекс 2 на 3.
 190

В протяженных высоких зданиях типа пластин (тип 3) расчетное перемещение крайней диафрагмы на уровне г в направлении 2
 вкр
 +
 ЗСг Г 2 , о 2 ц / о, V
 ". 2 +Ве Vз2 —- —
 цЯ- со-. [ \ со, /
 В2 2 2 /' ц \2 / ю„ \ 411/2
 —■
 +
 (10.68)
 Нормативное значение динамической составляющей ветровой нагрузки, действующей на крайнюю диафрагму
 д ЗСг
 ?Н (г) н
 2 ’ 22 + -
 32
 2 2 33 В-
 1/2
 (10.69)
 Если в (10.68) и (10.69) принять еа0, то получим перемещение уР(г) и динамическую составляющую ветровой нагрузки при равномерном распределении давления ветра по наветренной и заветренной граням здания.
 Нормативное значение возмущающего крутящего момента (тм/м), приложенного на уровне г
 нкр — ЗСеау33г1Ж. (10.70)
 Антенно-мачтовые сооружения. Такие сооружения являются пространственными системами, состоящими из нескольких мачт, связанных горизонтальными вантами н антенными полотнами. Антенное полотно представляет собой плоскую сеть, состоящую из контурного леера и горизонтальных и вертикальных элементов, которые крепятся к его боковым сторонам. Контурный леер подвешивают к рее, которую через гибкие подвески крепят к верху мачты. Каждая мачта поддерживается несколькими ярусами вант.
 Расчет такой системы на действие ветра вдоль и поперек сооружения состоит из двух частей: 1) расчет антенного полотна; 2) расчет цепочки мачт.
 Ветер действует нормально к плоскости антенного полотна. В этом случае антенно-мачтовое сооружение разбивают на элементы сравнительно простой геометрической структуры (отдельные мачты, антенные полотна, ванты). Пространственную корреляцию пульсации продольной компоненты скорости ветра учитывают только при вычислении нагрузки на отдельный Таблица 10.18
 элемент системы. Пространственную корреляцию пульсации скорости между отдельными элементами не учитывают.
 Ветровую нагрузку на антенное полотно определяют в квазистатической постановке. Это значит, что при расчете полотна кроме статической составляющей ветровой нагрузки учитывают также действующую статически составляющую ветровой нагрузки, соответствующую пульсации продольной компоненты скорости. Эту составляющую ветровой нагрузки в дальнейшем будем называть пульсацнонной.
 Нормативное значение интенсивности ветровой нагрузки на горизонтальный элемент полотна и на горизонтальные ванты мачт определяют по формуле
 9н (21) 90 к {гг) сЖПрив йъ[\+т (г±) V (.1)].
 (10.71)
 Здесь 8; (г!)—коэффициент, принимаемый по
 табл. 10.2; с.
 х прив
 (2е »5,- /5 — приведенный
 коэффициент лобового сопротивления горизонтального элемента; с— коэффициент лобового сопротивления г-го участка элемента; - — его характеристическая площадь; — характери¬
 стическая площадь элемента; Ь — его длина; — диаметр ванты; 21 — отметка расположения горизонтального элемента; т{г\)—коэффициент пульсации скоростного напора, принимаемый по табл. 10.10; V( .) ■— коэффициент пространственной корреляции пульсацнонной составляющей интенсивности ветровой нагрузки, принимаемый по табл. 10.18.
 Нормативное значение ветровой нагрузки, распределенной по антенному полотну, определяют по формуле
 7н Яп (Щ [0,757 + т (Н) у], (10.72)
 где и(Я)« 0(Я)са прив « нормативное давление ветра на уровне Не (2с _Р. 4- 2с Р )(
 зсприв хь ь ' «в н'
 схи схи —соответственно коэффициент
 лобового сопротивления и характеристические площади горизонтальных и вертикальных элементов полотна; 3 НЬ — площадь полотна; Ь—горизонтальный размер полотна; Я — вертикальный размер; гп{Н) — коэффициент пульсации скоростного напора на уровне Я; VI — коэффициент пространственной корреляции пульсационкой составляющей ветровой нагрузки по полотну, определяемый по табл. 10.19.
 Нормативное значение интенсивности ветровой нагрузки на вертикальные и горизонтальные элементы вычисляют по формуле
 9н.инт Яп (10.73)
 где принимают по формуле (10.72). На эти нагрузки рассчитывают контурный ле-
 1
 40
 60
 80
 100
 120
 140
 160
 200 -
 300
 400.
 V (Л)
 0,7
 0,65
 0,01
 ■ 0,58
 0,55
 0,53
 0,51
 0,48
 0,42
 0,38
 191

Т а б л и ц а 10.19
 Ь, м
 и.
 м
 40
 80
 120
 160
 40
 0,56
 0,52
 0,5
 0,47
 80
 0,49
 0,46
 0,43
 0,4
 120
 0,44
 0,42
 0,4
 0,39
 160
 0,41
 0,39
 0,37
 0,36
 ер и для них определяют расчетное тяжение в подвесках рей и нагрузки на мачту.
 Реакцию полотна, приложенную к верху мачты, суммируют со статической ветровой нагрузкой, приложенной на данном уровне и в динамическом расчете мачты не учитывают.
 Ветер действует в плоскости полотна. Нормативное значение интенсивности ветровой нагрузки на вертикальные элементы полотна определяют по формуле
 Ча. Яп (Н) бъ {0,757 + т (Я) т2/5}, (10.74)
 где 5 — число вертикальных элементов.
 Значения коэффициента пространственной корреляции интенсивности ветровой нагрузки л?2 приведены в табл. 10.20.
 Таблица
 10.20
 И, м
 Ц м
 40
 80 ( 120
 160
 Число вертикальных элементов 5—2
 40
 1,33
 1,23
 1.16
 80
 1,27
 1,18
 1,12
 120
 1,23
 1,14
 1,08
 160
 1.2
 1,12
 1,05
 Число вертикальных элементов
 40
 2,6
 2,41
 2,28
 80
 2,43
 2,27
 2,15
 120
 2,31
 2,17
 2,05
 160
 2,22
 2,08
 1,97
 1,11
 1,06
 1,03
 1
 2,17
 2,25
 1,96
 1,89
 Число вертикальных элементов 56
 40
 3,88
 3,61
 3,4
 3,24
 80
 3,61
 3,38
 3,2
 3,05
 120
 3,42
 3,21
 3,04
 2,91
 160
 3,27
 3,07
 2,92
 2,79
 При действии ветра нормально к плоскости полотна, рассматривают одну мачту цепочки. Перемещения и усилия в стволе мачты и натяжения в ее вантах при статическом расчете определяют методами строительной механики с учетом пространственной работы мачты и геометрической нелинейности вант. Алгоритм статического расчета мачты, построенный на основе метода перемещений, приведен в [25].
 Нормативное значение статической составляющей ветровой нагрузки на ствол мачты находят по формуле (10.21). Нормативное значение суммарной интенсивности
 статической нагрузки, нормальной к /-ой. ванте 6-го яруса, определяют по формуле
 (У
 + Г„(г, 0) + 2Яп?п (г,0)Х X соз дп (г, 0)])/й, (10.75)
 где —нормальная составляющая веса, гололеда или эквивалентной нагрузки на единицу длины ванты
 9га (г, б) 7о к{ (г) йсх 0;
 С0Б Гй'га 9п (г, 8)3 51П а соз ф/з!п 0.
 Скоростной напор и коэффициент /г(г) принимают по таблицам 10.3 и 10.5.
 Для динамического расчета мачт рекомендуются две приближенные расчетные модели: 1 —. линейная пространственная система; 2 — упругий стержень на линейноподатливых опорах. Методика определения собственных частот й форм колебаний для указанных моделей приведена в [25]. Для мачт с трубчатым и решетчатым стволом, масса которого намного превышает массу вант, допустимо использование модели 2. Для мачт с решетчатым стволом и с тяжелыми вантами или большим количеством вант в ярусе применение модели 2 приводит к излишним запасам прочности в сооружении. При расчете модели 2 допускается учитывать только ее первую форму собственных колебаний. Массу вант не учитывают. Динамическую составляющую ветровой нагрузки определяют по формуле
 (10.52).
 Сосредоточенные в узлах мачты горизонтальные реакции вант (при действии на них пульсации скоростного напора) допускается учитывать с коэффициентом пространственной корреляции, принимаемым: при трех вантах в плане 0,5, при четырех вантах в плане 0,4, при шести и более вантах в плане 0,35.
 Динамический расчет мачты. Уравнения движения модели 1 могут быть записаны следующим образом.
 Для ствола, как стержня, сжатого осевыми статическими силами:
 пк + ’1п
 е2
 — N к 1.2,
 Л-ГГ ®. о.
 дг"
 (10.76)
 г\ ЛЬ_1 2Й.
 ‘_1
 где Ф(г, О—-пространственно-временной нормальный случайный процесс, стационарный по времени, описывающий пульсацию давления ветра на ствол.
 д
 дх'
 Ф3к (х' (1077)
 192

к 1,2... р; / 1,2...п; ф!к(х', I) ■— пространственно-временной случайный процесс, описывающий пульсацию давления ветра на ванту; и 'фь — коэффициенты, характеризующие диссипацию энергии колебаний в стволе и ванте мачты.
 Усилия в стволе определяют по формулам:
 изгибающий момент
 поперечная сила
 г г, п - ЕЗь ..дПуи’ и . + у' (г,/. . й йг3 Л
 Пульсационная составляющая натяжения в ванте
 Т]к (О (ЕРЛ/ЬЛ) ил (0, (10.78)
 где Я —жесткость ванты на растяжение; —длина ванты; и(1) —продольное смещение подвижного конца ванты.
 К уравнениям (10.76) и (10.77) необх одимо добавить граничные условия, выражающие собой отсутствие усилий на верхнем свободном конце ствола, отсутствие моментов в опоре ствола (в случае его шарнирного опирания) и отсутствие перемещений в опорах ствола и вант
 г/(0,0 а]к (0, () — 0; М (&., 0
 0. (А«. 0 0;
 М (0,0 0 (10.79)
 Кроме того, в каждом узле должны выполняться геометрические и силовые условия совместности перемещений отдельных элементов мачты. К геометрическим относятся условия непрерывности линии прогибов и функции углов поворота ствола, а также условия равенства горизонтальных перемещений ствола и горизонтальных проекций продольных и поперечных смещений вант в каждом узле
 у{Нк — о, о 0(Ль + о. 0;
 у1 (Л — о, о у' (Лй + о, 0;
 (10.80)
 шд (I, о У (Йь, 0 31П 0д;
 Щк У (Нъ. 0 соз 0Д,
 а к силовым — условия равновесия моментов и сил, приложенных к узлу:
 М(къ + о, {)-М(Нк-0, 0 0;
 (10.81)
 3 + о. о — 2 (йь - о, 0 - Я (0 0.
 Реакция к-го яруса вант Кь(0 на горизонтальное перемещение й-го узла имеет вид
 Як (0 2 Т0Й Ф .“7 -
 /~1
 -Гл(0ссВл].
 Угол 0/ связан с углом а,ъ и ф; соотношением СОЗ 0/й СОЗ С6/Й СОЗ ф/й.
 Совокупность уравнений (10.76) и (10.77) и условий (10.80) и (10.81) описывает вынужденные колебания мачты при действии ветра.
 Если в модели 1 пренебречь силами инерции не только вдоль хорд, айв перпендикулярном к хордам направлении, то вместо вант к стволу мачты окажутся присоединенными линейные упругоподатливые опоры, моделирующие упругие свойства вант (модель 2).
 Представим перемещения 6-го яруса ствола и его /-ой ванты в виде рядов по собственным формам
 5
 № (г 0 2 аН й Рг ()■
 11
 аы (х10 2 Ра (х‘) Рг (10-82)
 где а (3(') — соответственно собственные формы колебаний ствола и ванты; —
 обобщенные координаты системы.
 Из (10.77) и (10.80) видно, что собственные частоты и формы колебаний мачты зависят от натяжения Го/а в вантах, поэтому динамическому расчету мачты должен предшествовать статический расчет, из которого определяют натяжение в вантах в положении статического равновесия, соотвествующего расчетному значению статической составляющей ветровой нагрузки.
 Средние квадраты перемещений &-го пролета ствола и /-ой ванты й-го яруса вычисляют по формулам:
 ,4 5 .
 а1 О) 2 2 ауг (2) ау1 (г) Рг Ю Р/М’
 11 /1
 (10.83)
 4 (') 22 Рг/А (') рг(0 рг (0. 11 11
 Для того, чтобы получить средние квадраты изгибающих моментов и поперечных сил в стволе следует в выражении
 (10.83) для а (г) заменить собственные формы ствола соответствующими коэффициентами. распределения изгибающих моментов и поперечных сил.
 Средний квадрат натяжения на верхнем конце /-ой ванты й-го яруса
 13—491
 193

ат ‘V ау1х
 11 11
 X 01к) Рг Ш Р; (О. (10.84)
 Выражение для ковариации обобщенных координат дано ниже.
 Приведем некоторые результаты решения задачи о колебаниях модели 1. г 1. Спектры собственных частот мачты отличаются большой густотой. Расположение их на частотной оси в порядке возрастания не отличается какой-либо закономерностью. Участки сгущения неупорядоченно сменяются более разреженными участками.
 2. Вклады собственных форм в средние квадраты перемещений и особенно усилий в стволе для некоторых десятков первых собственных форм не уменьшаются монотонно с увеличением номера формы, как это имеет место, например для консольного стержня, а колеблются по величине, причем вклад первой собственной формы оказывается меньше, чем вклад последующих.
 3. При вычислении средних квадратов перемещений и усилий в стволе необходимо учитывать взаимные корреляции между обобщенными координатами, так как почти для всех форм, начиная со второй, вклад взаимных корреляций рассматриваемой формы с формами более низких номеров больше, чем вклад этой собственной формы.
 4. Ряды, определяющие средние квадраты перемещений и усилий в стволе сходятся очень медленно.
 Рассмотрим теперь, что дает в применении к моделям 1 и 2 учет пространственной корреляции пульсации скорости ветра. Обобщенные силы мачты можно записать в таком виде:
 С1г (О
 61 Н-
 _[ д(г,$а1к(г)с1г +
 к—1
 где сл {х'\ 0) (хг 5Ш аи/Ща X
 сХ]'к ©771. -&3к\
 схзк—коэффициент лобового сопротивления для вертикальной ванты; —диаметр ванты.
 Подставляя (10.86) и (10.87) в (10.85), получим
 Г нк
 • 2 I Вк(г)а.к(г)~огк(г,() с1г +
 /;1 к
 к—1
 т г А.
 + 2 21 СЛ (',0)РЫ'К (к зш ак,{)с1хе к 1 /1 0
 (10.88)
 Взаимная спектральная плотность обобщенных сил 21(1) и ($1 ).
 5Я1Ч1 (в) 4 (% Тт)2 5“' И (X. е).
 (10.89)
 Выражение для е) приведено в
 [25]
 Рг (О р1 (»
 8 % Ут)2
 2 2
 ЗЛ1. ш,- шI
 Уц, (10.90)
 где V I■ определяют по формуле (10.34).
 Для расчетных динамических перемещений и нормативных усилий в стволе и вантах могут быть написаны следующие выражения:
 ур (г) ас а у (г) 0,8165то ?0 Д,гг (г),
 (10.91)
 где
 ау1 (г) а„, (г) V,., \1/2
 У1
 т п
 + 2 Е [ ч}к ('8п ) Рлг (')йх'-
 А1 /1 0
 (10.85)
 Интенсивность пульсации давления ветра на /е-ый ярус ствола
 Чк (г 0 2?0/у0 Вк (г) V (г, I),
 где Вк(г) сх11йь(г1Щ°ч. (10.86)
 Интенсивность пульсации давления ветра на ванту
 9/й Iх' з1п (2?о/уо) сл С ’ е)х
 X V'-(хб (10.87)
 В5 1 до И/
 11 11 1111.
 (10.92)
 Здесь до. то — соответственно нормативный ско« ростной напор и коэффициент пульсации на уровне 10 м.
 Нормативные значения изгибающих
 моментов и поперечных сил получаются из выражения (10.91) заменой Оуи(г) на Оыи(г) и йци г):
 Тр]к (Ль) 0,8165/Пд 7в ЕР]к соз 61кЦк X Х%(г). (Ю.93)
 Чтобы получить Оми(г) и Осщ(2), следует в выражении для йуи(г) заменить а,л(г) и а„[(г) на аАи(г), а,т(г), и на
 а3,(2) и азг(г).
 Число собственных форм колебаний з, учитываемых при расчете мачты как линейной пространственной системы (модель 1) зависит от жесткости ствола и от соотношения масс ствола и вант и устанавливается в каждом случае при реализации алгоритма расчета на ЭВМ: для модели 2
 может быть принято не более пяти.
 194

Расчетные усилия в сечениях ствола мачты равны сумме динамических усилий и абсолютных значений усилий при действии статической составляющей ветровой нагрузки.
 Расчетные натяжения в вантах для модели 2 определяют на основе статического' расчета мачты как нелинейной системы при действии на нее статической и динамической составляющих ветровой нагрузки.
 Динамический расчет цепочки мачт.
 В качестве расчетной модели для депочки мачт принимают систему упругих стержней взаимосвязанных горизонтальными вантами. Ветровую нагрузку на систему от вант цепочки мачт рекомендуется определять в предположении статического действия пульсации скоростного напора на ванты.
 Нормативное значение пульсационной составляющей ветровой нагрузки на систему от вант мачг вычисляют по формуле
 Л1 “ Ян т. (//[) "'■’сист’ (10.94)
 где 7Н(#])—нормативное значение интенсивности пульсацнонной составляющей ветровой нагрузки на ванту на уровне первого яруса мачты; т{Н\)— коэффициент пульсации скоростного напора на том же уровне; V сист — коэффициент пространственной корреляции пульсационной составляющей ветровой нагрузки на систему.
 Действующая в каждом узле вант пульсационная составляющая ветровой нагрузки Ян.вант#н1{кт), где к — число мачт цепочки; т — число ярусов мачты. Эту нагрузку суммируют со статической составляющей ветровой нагрузки, действующей на узел вант-мачты. Собственные частоты и формы колебаний такой системы определяют известными методами динамики сооружений. Перемещения /гс-го яруса ствола можно представить в виде ряда по собственным формам а/т(г). Обобщенную силу системы, соответствующую /-ой собственной. форме, записывают в таком виде:
 к г 11т
 102 2 I вт (г (г
 ,•1 т1 „т_ _ х а т (г) йг. (10.95)
 Здесь I, т, / — соответственно номера мачты, яруса и собственной формы колебаний; к, г и 5 — соответственно число мачт, ярусов и учитываемых собственных форм.
 Взаимная спектральная плотность обобщенных сил 3/(0 и 2г(1)
 5 (е) 47т)2 5 (е) (в), (10.96)
 где — интенсивность турбулентности на
 уровне 10 м; 3 (е) — нормированный спектр Давенпорта
 к к п п 7п
 ■/Е) 2 2 2 2 1 I 11 	1'1 т1 т'1 '
 т
 X вт, г') а.т1 г г- X
 X ехр (~ I гт ~~ гт' | ~~ 1 г Ч' П йг«.
 \ 150е /
 (10.97)
 Выражения для средиих квадратов перемещений т-то яруса ствола и для ковариации обобщенных координат имеют вид
 (10.83) и (10.90), где V/; и /(е) —определяют по формулам (10.34) и (10.97).
 Расчетные динамические перемещения и нормативные усилия в стволе вычисляют по формулам ,(10.91) и (10.93).
 Градирни. Статическую составляющую ветровой нагрузки на оболочку определяют по формуле (10.19). Коэффициенты давления и коэффициенты разложения в ряд Фурье ветровой нагрузки, распределенной по поверхности оболочки принимают по поз. 3 табл. 10.7.
 Перемещения и усилия в оболочке градирни при действии статической составляющей ветровой нагрузки определяют методами теории тонких оболочек [23].
 Вынужденные колебания градирни при действии ветра. При анализе вынужденных колебаний принимают, что частоты и формы колебаний оболочки заданы [24, 29, 30, 36].
 Пусть и'(з, ф, I), о (з, ф, 1) и ш (я, ф, /) — соответственно меридиональные, вдоль параллели и нормальные перемещения точек срединной поверхности оболочки.
 Представим эти перемещения в виде двойных рядов по собственным формам колебаний:
 и (з, Ф, 0 2 2 [Рц ® с05 /Ф + р'ц х
 ‘7
 X (?) 8Ш /Ф1 аии (8);
 Ф ) 22 [рц (0з1п/Ф — Рц
 ь /
 X (0 соз /Ф] (я);
 (10.98)
 ш{з, ф. О 22 [рц (0003/Ф + Рц Р) х
 1 /
 X зш/ф] ати-(з),
 где аи2/(5). а0 5) иаш. (5) — формы собственных колебаний вдоль меридиана, параллели и по направлению нормали к срединной поверхности;
 I — номер формы по вертикали; / — номер гармоники в окружном направлении: р..(4) и р.. (О—
 Ч Ч
 симметричные и кососимметричные обобщенные коордннаты.
 Задача о вынужденных колебаниях в турбулентном потоке ветра оболочки гра¬
 13
 195

дирни, представляющей собой континуальную упругую систему, подстановкой перемещений в виде рядов (10.71) в соответствующие уравнения колебаний тонкой оболочки сводится к решению для каждой формы собственных колебаний, определяемой парой индексов (г/), следующей пары уравнений относительно обобщенных координат рц(() и р'и(1):
 Р1,()+уеи &'$'+ °?цРгЛП
 (10.99)
 41 '"“"II ?(яф’(в)
 X 51П /ф# (5) ф 45,
 где 7о'(5» Ф — нормальная к поверхности обо-
 лочки составляющая пульсации давления ветра; Щз) — радиус параллели.
 В выражении для обобщенных сил учитывают только изгибные колебания, т. е. перемещения, нормальные к срединной поверхности оболочки. При определении обобщенной массы учитывают все составляющие вектора перемещений
 М
 13 ~ I .( (а1И + аш7 + аи/| х
 о о
 Ж соз Шф + ри (?) Р[т () соз /Ф 81П тф +
 + РЦ (0 Р1т (0 соз /Ф 81П тф +
 + р'а Р/т Ю зШ № 005 /72(р] х
 ' X а .. (5) а , (5).
 ии! ' ’ ю1т 1 '
 При суммировании в выражении (10.75) обычно ограничиваются небольшим числом членов ряда. Минимальное число членов ряда, позволяющее получить надежную в практическом отношении оценку реакции, составляет: 1 11- }т[ от 4 до 6; 112; ] т от 1 до 3. Третьим й четвертым членами выражение (10.75) можно пренебречь.
 Ковариация обобщенных координат
 ОО
 ри ры - | фц х
 Р 11 ({) + уы .. Р4’ ({) + ри ()
 «;/ю/лу,
 где — круговая частота собственных колебаний; 2;/«) (О—обобщенные силы; —
 обобщенная масса.
 Обобщенные силы С1ц(1) и С?”; (X), соответствующие у-ой форме собственных колебаний, можно записать в таком виде:
 2я 50
 (0 | I ч'о ( ф, 0 « , И X
 о о
 X соз /ф/? (к) йф йз;
 (10.100)
 г,/Ю
 X л (И) йш.
 чИч1т
 (10.102)
 X р1гК(5) й5йф, (10.101)
 где р — плотность материала оболочки, Н — толщина последней; 5о — полная длина мериднана.
 Средний квадрат перемещений ад (5, ф, ():
 4 («) ЕЕЕЕ [ру (0 Р,т (0 соз /ф X
 } I т
 Ковариация рц(()р1т(() получается из выражения (10.76) путем замены 5
 / V с / \ '@и0.1т
 (ш) на 5 ' ' (со).
 Произведение передаточных функций системы Ф,3(гш)Ф /т(ио) определяют по формуле (10.29).
 Пусть известна взаимная спектральная плотность пульсации давления ветра 5 (5, ф, 5', ф', б), тогда взаимные спектральные плотности симметричных и кососимметричных компонент обобщенных координат можно записать в таком виде:
 2л 50
 34№т (8) Я ЛЛо (5 Ф’ Ч,‘К10Х
 0 0
 X аш1т (5) соз /ф соз тор' Р (а) Р (з')Х
 X йфйф'Й5Йз'; (10,103)
 2Л 5д
 8п'.п' (ё) Я Я5 ' (.Ф.‘.Ф'в) «„„(в) X
 Чц Чцп о О 90 1
 х &Ыт («) 51П /ф зш тф( Р (я') X X йф йф' Й5 ёз!.
 Анализ спектров и взаимных спектральных плотностей пульсации давления ветра, выполненный на основании модельных измерений в аэродинамической трубе, позволяет сделать следующие упрощающие предположения [37]:
 1) поверхность градирни можно разбить на две области, ограниченные меридианами, проходящие через точки отделения вихрей. Каждая область характеризуется своим спектром;
 2) взаимные спектры зависят от частоты и пространственного интервала корреляции. Кроме того, взаимные спектры в наветренной области зависят от расположения точек на параллели. Все остальные взаимные спектры не зависят от расположения точек по горизонтали' и вертикали;
 196

3) квадратурные спектры малы и ими можно пренебречь. Можно также пренебречь корреляцией между наветренной областью и зоной следа.
 Выражения для спектров давления н функции когерентности приведены в рабо¬
 те [37]. Более грубую оценку для реакции градирни на действие пульсации давления можно получить, если использовать для этого сооружения решетчатую модель. Этот подход приведен в книге [25].
 РАЗДЕЛ 11 ДИНАМИЧЕСКИЙ РАСЧЕТ ВИСЯЧИХ СИСТЕМ
 (В. А. ИВОВИЧ)
 Висячими системами принято называть конструкции, у которых основные несущие элементы испытывают только растяжение. Висячие системы по сравнению с конструкциями других видов обладают повышенной деформативностью. В связи с большой гибкостью роль нелинейности для них существенно возрастает. При действии внешней нагрузки на висячую конструкцию нередко возникает нелинейная связь между нагрузкой и перемещением. При малых колебаниях влияние нелинейных членов пренебрежимо мало. В этом случае можно ограничиваться рассмотрением линейных колебаний висячих систем. Ниже приводятся основные расчетные зависимости для случаев линейных и нелинейных колебаний висячих систем. Изложенные здесь материалы не исчерпывают всего круга сложных проблем, относящихся к динамике висячих систем.
 11.1. Собственные линейные поперечные колебания упругих элементов с неподвижными опорами
 Струна. Вантовая конструкция в ряде случаев состоит из сильно натянутых нитей, имеющих незначительные статические прогибы. Расчетной схемой такой нити является струна, форма статического равновесия которой совпадает с прямой линией.
 Круговую частоту собственных линейных колебаний струны вычисляют по формуле
 ~Уз1т (11,2,...),
 (11.1)
 где / “Длина; 5 — натяжение; т — погонная мае. са струны.
 Пологая нить с опорами, расположенными на одном уровне. Приближенное значение круговой частоты собственных колебаний в плоскости провисания определяются формулами:
 31/ Я~ а 4- (8‘4 л4 + 1536)- Ерч1
 ‘ V т/.- ' ЗС я- тР
 (( 1,3,5,...);
 ЕГ]п24
 т1~
 ‘6т1
 11.2)
 где Е — модуль упругости; Р — площадь попереч ного сечения; — стрела провеса; 5 — предварительное натяжение; т — погонная масса; I — пролет.
 При маятниковых колебаниях пологой нити вокруг оси (хорды), соединяющей точки ее подвеса (рис. 11.1), круговая частота собственных колебаний будет
 V§/ -пр
 где В — ускорение силы тяжести;
 I
 од (х) ах
 (11.3)
 пр-
 о
 — длина эквивалентного маятника;. оа (х) — вертикальное перемещение нити от действия статической нагрузки.
 В случае равномерно распределенной нагрузки
 Ч» (11.4)
 где 7о — стрела статического провеса (?о0); пролет нитн.
 При этом 1,пр—0,8 7о-
 Пологая нить с опорами, расположенными на разных уровнях (рис. 11.2). Частота собственных колебаний в плоскости провисания определяется формулами:
 1 V т-1-
 4 4 V 2
 я 1536/ ЕРдо (
 3/2 л- т1к
 (1 1, 3, 5,...);
 • ч-
 2 2 2 8Е Р1“ я 7о соз а
 пИ 3 т'1
 «2. 4, 6»...)
 (11.5)
 СИ.6)
 197

Рис. 11.1. Расчетная схема маятниковых колебаний пологой нцти
 Рис. 11.2. Схема пологой нити с опорами, расположенными на разных уровнях
 где ЕР — жесткость на растяжение; 7„ — стрела провеса, измеренная перпендикулярно хорде соединяющей точки опорных закреплений; а — угол между линией, соединяющей точки закрепления нити к опорам, и горизонтальной осью; остальные обозначени такие же, как и выше.
 Приведенные формулы справедливы для пологих нитей с разницей отметок не более (1/8—1/10) г.
 Плоская мембрана. Для прямоугольной мембраны круговую частоту определяют по формуле
 ' •' I 3/т[( /-/фЧ-( Г/ф] (‘./1,2,...), (11.7)
 где 1Х, 1у — длины сторон мембраны; 5 — равномерное натяжение, приходящееся на единицу длины контура мембраны: т-—масса мембраны, отнесенная к единице поверхности.
 Форма колебаний, соответствующая частоте (11.7),
 _ . 1ЛХ . /я»
 8Ш т- 5Ш ±т-
 X у
 (11.8)
 Низшая форма колебаний соответствует [/1.
 Частота собственных колебаний круговой мембраны
 сог-у а.Ц/г У 8/т ( 0, 1,2,3,...; / 1,2,3,..-.),
 (11.9)
 где 5 — равномерное натяжение на единицу длины контура мембраны; пг — масса мембраны, отнесенная к еднняце поверхности; г — радиус мембраны. Индексы I н / обозначают соответственно число узловых диаметров и число узловых окружностей при колебаниях мембраны. Значения коэффициентов а . даны в табл. 11.1.
 Для мембран с контуром, близким к круговому, основная частота колебаний близка к основной частоте колебаний круговой мембраны, имеющей ту же площадь. Формула, определяющая основную частоту колебаний мембран различной формы в плане, имеет вид
 со кУ З/тА, (11.10)
 где А — площадь мембраны.
 Таблица 11.1
 I
 1
 0
 1 | 2
 3 4
 5
 6
 7
 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8 9
 2,40483
 5,52008
 8,65373
 11,79153
 14,93092
 18,07106
 21,21164
 24,35247
 27,49348
 3,83171
 7,01559
 10,17347
 13,32369
 16,47063
 19,61586
 22,76008
 25,90367
 29,04683
 5,13562
 8,41724
 11,61984
 14,79595
 17,95982
 21,11700
 24,27011
 27,42057
 30,56920
 6,38016
 9,76102
 13,01520
 16,22347
 19,40942
 22,58273
 25,74817
 28,90835
 32,06485
 7,58834 11,61984 14,37254 17,61597 20,82693 24,01902 27,19909 30,37101 33,53714
 8,77148 12,33860 15,70017 ' 18,98013 22,21780 25,43034 28,62662 31,81172 34,98878
 9,93611
 13,58929
 17,00382
 20,32079
 23,58608
 26,82015
 30,03372
 33,23304
 36,42202
 11,08637
 14,82127
 18,28758
 21,64154
 24,93493
 28,19119
 31.42279
 34,63709
 37,83872
 В табл. 11.2 приведены значения коэффициента к.
 Пологая мембрана. Основная частота собственных колебаний прямоугольной мембраны выражается формулой
 ш У (я2 8/т) |(1/ )+(1/ф] + 39 Р;
 (11.11)
 Ек я
 16т (1 — V2)
 (3 ■
 ■”'-г+т
 +
 4л
 193
 5 — предварительное натяжение, отнесенное к единице длины контура мембраны; — стрела провеса, вызванная действием статической нагрузки [2, 4]; V— коэффициент Пуассона; 5 — модуль упругости материала; к — толщина мембраны.
 Основная частота собственных колебаний круговой мембраны определяется зависимостью
 ш У(5,72з/тл2| -)- 3(75 Р С11 ■12)
 где г— радиус мембраны;
 5,72 Ек (408,6 — 174,8л?)
 1.09ЕЛ
 649 (1 — V) тг тг{
 буквенные обозначения остальных величин совпадают с обозначениями, принятыми в формулах (11.9) и (11.11),

Таблица 11.2
 Форма мембраны
 Круг
 2,404 У я 4,261
 Квадрат
 я 7/2 4,443
 Четверть круга
 5,135/2 Vя 4,551
 Круговой сектор с центральным углом 60°
 6,379 1Лп/64,616
 Прямоугольник с отношением сторон
 я У 13/64,624
 3 : 2
 Равносторонний треугольник
 2я У" (§30° 4,774
 Полукруг
 3,832 У я/2 4,803
 Прямоугольник с отношением сторон 2: 1
 я У 3/2 4,967
 То же, 3 : 1
 я У10/3 5,736
 Вантовая сетка. Частоты собственных колебаний сетки с малыми размерами ячеек, образованных взаимно перпендикулярными нитями, расположенными на одинаковых расстояниях одни от других и равномерно натянутых, могут быть найдены по соответствующим формулам для мембраны: (11.7), (11.9) —(11.12).
 При подсчете коэффициента |3 для сетки значения к принимают равным суммарной площади поперечных сечений нитей, отнесенной к единице длины опорного контура, а коэффициент Пуассона V принимают равным нулю.
 На практике натяжение нитей может быть неравномерным по контуру. Если обозначить через 5Х и 5Н натяжения нитей в направлениях осей х и у, приходящиеся на единицу длины контура, то формула (11.7) и (11.11) преобразуется к виду:
 для плоской прямоугольной сетки
 1/Л 'п[рхЩ+(зу;2/ф\,
 (11.13)
 для пологой прямоугольной сетки
 “ [(5 /4) _ (5„/$] + 3 ц\ р,
 (11.14)
 где т — масса на единицу площади сетки; — стрела статического провеса; Р — коэффициент, определяемый по формуле СП.11) (при у0).
 Основную круговую частоту собственных колебаний пространственной вантовой сетки с ортогональной структурой ячеек, неподвижно закрепленной на опорном контуре эллиптического очертания в плане (рис. 11.3), определяют формулой
 ш У а + 2Хд0 + 3&1 (11.15)
 где а. 3/2т [{Е Ь./2) + [Е2к2к2у/2) + -;.(2.у )-|-(25;// )!;
 % — — 9/4ш [(Ех к 1 кх/с&) - (Е2 к2 ку№)1;
 Р 3/2т 1(Ег й/а‘) + (Ей 1ц1Ы)\\ кх 2/н/аЭ; . ку 2/0/М,
 где Г н» /с — провесы главных тросов соответст венно несущего и напрягающего;'Ей Е2— модули упругости вант по направлениям осей х и ;/ соответственно; Н\П\Р\12Ь, \и!11рч12а — приведенные толщины материала сетки; пи пг—-числа вант, проекции которых на плоскость ху параллельны соответственно осям х и у; Р\ к Рг — площади поперечных сечений вант, одна из которых лежит в плоскости, параллельной оси х, а вторая — оси у, а, Ь — большая и малая полуоси эллипса;
 • предварительные натяжения вант по на-
 2а
 У
 Рис. 11.3. Пространственная ортогональная сетка с эллиптическим опорным контуром
 правлениям осей х в у. приходящиеся на единицу длины контура; пг — масса сетки, отнесенная к единице ее поверхности.
 Входящую в формулу (11.15) стрелу статического провеса определяют из уравнения
 О — аЯ0 + (11 • 16)
 где О — (ЗР/2т) + (35х кх/2т) —
 — (35у ку12т),
 где Р — интенсивность статической нагрузки, отнесенной к единице поверхности сетки.
 Для плоской предварительно-напряженной вантовой сетки с ортогональной структурой ячеек, жестко закрепленной на опорном контуре эллиптического очертания в плане, основную круговую частоту собственных колебаний определяют формулой
 со У 3/т [(5х/а«) + (8В/Щ. (П. 17)
 В случае пологой вантовой сетки эллиптического очертания в плане, имеющей плоскую форму при отсутствии статической нагрузки, низшую круговую частоту собственных колебаний вычисляют по формуле
 199

Рис. 11.4. Расчетная схема сетки в форме гиперболического параболоида
 со V 31т [(5ж/о?) ■+ (Зу/Я)]
 ~+{912т) [( у а4)' + {Е Н /Ь)] % .
 (11.18)
 Входящую в формулу (11.18) стрелу статического провеса определяют из уравнения статического равновесия
 0 «0О + Р9о (11.19)
 где О —(ЗР/2т); а — 3/т[(5ж/а?) +
 + (5®/и)1;
 Р 312т [(Й1 Н±/а4) + (Ег й2/Ы)\ •
 Основную круговую частоту собственных колебаний пространственной предварительно-напряженной вантовой сетки с ортогональной структурой ячеек в форме гиперболического параболоида, неподвижно закреплённую на опорном контуре прямоугольного очертания в плане (рис. 11.4), определяют по формуле
 т]/а+2Цд+2р9§1, (11.20)
 где
 а 1/® [;(5ж + (5# +
 + (64 4/я4) + (Ш2 Л2 /я4)];
 ях20/з
 З П6т{Е1Н1111} + (Е2Н2П1)};
 Еь Е2 — модули упругости вант по направлениям осей х и у соответственно? Н щР Ц у П2р2!1 х— приведенные толщины материала сет.-ки; пи л2 — числа вант, проекции которых на плоскость ху параллельны соответственно осям х и у; РI, Р2 —■ площади поперечных сечений вант, одна из которых лежит в плоскости, параллельной оси х, а вторая — оси у; 1Х, I у— размеры'сетки в плоскости ху\ 5 х, .5 у — предварительные натяжения вант по направлениям осей х и у, приходящиеся на единицу длины контура; параметры кх и к у определяются геометрией сетки в состоянии предварительного натяжения. Поверхность гиперболического параболоида в состоянии
 предварительного натяжения через параметры к
 ~ о и определяется выражением и7 — —кх х /2 +
 2
 + к у г/]/2, где хх х—1х12, у,у—1у/2; — стре ла статического провеса, с помощью которой поверхность гиперболического параболоида под нагрузкой может быть представлена в виде И70
 в7о151п(шг//л) вт(пу/1у).
 В случае собственных колебаний сетки, у которой размеры ячеек великн и соизмеримы с размерами самой сетки, или при произвольном строении ячеек рекомендуется площадь сеток разбивать на участки с центрами в узлах. В каждом 1-м узле сосредотачивается условная масса ц,- этого
 участка [Х1/пЛ,-, где т — масса единицы
 площади сетки с покрытием; А\ — площадь г-го участка сетки.
 Рассматривая движение всех участков сетки, приходим к системе уравнений:
 би [Л щ + 6x2 ЦгК'а + ■ • • + У'П. +
 + Щ °; б21 Щ + 623 Ц2 ! 2 + • • •+ +
 + и2 0;
 бзп И! Щ + $П2 (-Ц 2 $пп М-71 +
 + юв 0, (11.21)
 где 5. —единичное перемещение узла I, вызванное силой, равной единице и приложенной в узле к; ш. —поперечное перемещение (-го узла сетки, п — общее число узлов сетки.
 Принимая частное решение (11.21) в виде (ш + Т); т% Ай зш (ой -[- Т); (11.22)
 Шп Ап 51П (Ш( 'Р)
 и подставляя (11.22) в (11.21), приходим к системе алгебраических уравнений. Эти уравнения дают отличные от нуля значения неизвестных Ль Л2 ... при условии, что определитель системы равен нулю. Приравнивая этот определитель нулю,.получим уравнение п-й степени относительно в2, корни которого определяют частоты собственных колебаний. Каждому из этих корней соответствует своя форма собственных колебаний.
 .Для упрощения расчетов следует- пользоваться методикой понижения порядка системы дифференциальных уравнений путем разбивки площади сетки на симметричные участки [5, 7].
 Вантовая ферма. Частоты собственных колебаний вантовых ферм, образованных пологими и предварительно-напряженными тросами, между которыми на одинаковых расстояниях одни от других закреплены недеформируемьте распорки или подвески (рис. 11.5), вычисляют по формулам:
 200

Рис. 11.5. Схемы ферм из тросов
 а — ферма с подвесками; б—то же, с распорками; / — несущий трос; 2 — напрягающий трос;
 3—-подвеска; 4 — распорка
 ( 1 + 5;) Р ЯД тр
 +
 |8г4 я4 + 153б)
 31й л'-т
 +
 2/44 V
 Ь’3 Р2 (720 (8‘ " + 1536$
 +
 З1'2 я2 т1‘
 (I 1 $ 3 5
 (11.23)
 (■$1 ~1“ 5д) 1~ л2
 т1-
 ’+
 2 2 2 9 9 2
 1 Р1 1 п ?Ю , 8й2 1 я 20
 Зт? 1 ЗтТ
 (г 2, 4, 6,...),
 (11.24)
 где 5 — предварительное натяжение пояса фермы; Е{Ри Ер2 — жесткости на растяжение соответственно верхнего и нижнего поясов фермы; I — пролет; (?0 — стрела провеса пояса фермы; т — масса, приходящаяся на единицу длины фермы. Индексы 1 и 2 относятся соответственно к буквенным обозначениям несущего и напрягающего поясов фермы. Индекс I, приписанный к круговой частоте в формулах (11.23) и (11.24), представляет сравнительно небольшое число, меньшее, чем общее число распорок фермы.
 11.2. Собственные нелинейные поперечные колебания
 Струна с неподвижными опорами. Собственной формой колебаний струны является- синусоида
 0 Ч) 81П
 1зус
 I
 (11.25)
 где !• СО — обобщенная координата; / — пролет; I —число полуволн.
 Частоты собственных колебаний струны, зависят от амплитуды начального отклонения {к(0) А{ и выражаются формулой
 ;['|Л + А;]/2К. (11.26)
 ый эллыпти улем
 I-]/"
 V 2 (со7
 Здесь К — полный эллиптический интеграл [8, 9] 1-го рода с модулем
 : (и; + Р; АЦ
 С1 я1 ЕР
 4т1
 (11.27)
 (11.28)
 ш. — частота линейных колебаний, вычисляемая по (11.1).
 При справедливо прибли¬
 женное равенство
 «г V т? + (ЗВ|Л?)./4. (11.29)
 Струна, одна опора которой неподвижна, а другая упругоподатлива относительно продольных перемещений (рис. 11.6). Коэффициентом нелинейной упругости (3,- будет:
 Р| '
 4 тР
 (11.30)
 где с — жесткость упругой опоры.
 Частоту собственных колебаний я,- вычисляют по формулам (11.26) или (11.29) с учетом зависимостей (11.30) и (11.1).
 Струна, обе опоры которой упругоподатливы относительно продольных перемещений (рис. 11.7). Для рассматриваемого;, случая
 (3 я 'с/втР, (11.31)
 где с — коэффициент жесткости опорного закрепления.
 Частоту основного тона вычисляют по формуле (11.27) или (11.29).
 Струна с противовесом (рис. 11.8). Частота собственных колебаний
 2Е1/ 1+2 Ц.Л?
 (11.32)
 где Е — эллиптический интеграл 2-го рода с модулем
 V
 2ц. А2 г I
 1+2ц Л? г I
 1ЫШ 4т1 '
 М — сосредоточенная масса на подвижной опоре; —амплитуда колебаний струны. При 2|Х(. 1 значение ш . может быть найдено по формуле
 щ щ/у 1 + (11.33)
 Пологая нить с неподвижными опорами, расположенными на одном уровне. Основную частоту собственных колебаний (в плоскости провисания) нити с амплитудой начального отклонения А определяют формулой
 ш . я VА!К, где К — то же, что в (11.26),
 (П.34)
 201

Рис. 11.6. Струна, одна из опор которой обладает упругой податливостью в осевом направлении
 Рис. И.7. Струна, обе опоры которой упругоподатливы относительно продольных перемещений
 7 7
 М-
 Рис. 11.8. Схема струны с противовесом
 ЬУ (1/2) — (Зеа/2Л);
 Л Уъпй+г&. (11.35)
 Здесь е действительный корень уравнения 423—222— а0; т, п — вещественная и мнимая части комплексно-сопряженных корней этого уравнения; б1т+л/; е3ш—я/; / — мнимая единица.
 и §з уравнения . ш° йоваР лпХ-а
 Коэффициенты §2 (11.35) имеют вид:
 — 3 Н„ + —; &,
 где Ло +
 2 3
 24 л ЕР
 63
 [3 А 4
 6
 Я/7 я,1
 18
 • (11.36)
 т/1 4т/1
 ш —♦ вычисляют по формуле (11.2) при 1.
 Маятниковые колебания. Частоту колебаний нити вокруг оси, соединяющей точки ее подвеса (см. рис. 11.1), определяют по формуле
 со
 я/2 К У пр/§-
 г , • 6 •11' ■
 8Ш —
 ное уравнение Дуффанга относительно !а((). Это уравнение допускает точное решение.
 Частоты собственных колебаний с. амплитудой начального отклонения мембраны из{0)Ац определяют по формуле
 Здесь К — то же, что в (11.26),
 ш„ я(]/«й + р /ИС. (11.39)
 е, чт(
 V
 13 .А1., а и
 2ю.. + |3.. А‘.
 (11.40)
 Ек л1
 ч
 (3 — V2)
 Л + ,4
 +
 (11.41)
 16т (1— V2)
 4 2/3
 + 1 9 /2
 х у
 ® г7 вычисляют по (11.7).
 При
 ]/со2.+ (3р..Л?./4). (11.42)
 Плоская сетка, неподвижно закрепленная на круговом опорном контуре. Основную частоту вычисляют по формуле
 ш я (У ш? + §А)1Ж, (11.43)
 где К — то же, что в (11.26).
 к 1/рл?/2(ш? + рл2);
 Р — коэффициент, определяемый формулой (11.12) при \0 и величиной к, вычисляемой с учетом приведенных ранее указаний; А — амплитуда колебаний в центре сетки; аУ 5,725//иг.
 Пологая мембрана, пологая сетка и вантовая ферма с неподвижными опорами.
 В случае прямоугольной мембраны и сетки основная частота собственных колебаний вычисляют по формуле (11.36), в которой следует положить:
 3
 Ек я‘
 16т(1 - V)2
 (3- »»)[ - +
 +
 (11.37)
 Здесь ц — ускорение силы тяжести; пр —длина эквивалентного маятника (см. формулу (11.3); / — то же, что в (11.26), с модулем 6 5та0/2; а0 — угол начального отклонения плоскости провисания ннти от вертикали.
 Плоская мембрана, неподвижно закрепленная на прямоугольном контуре. Поперечные перемещения мембраны представим функцией
 + ■
 4V
 (11.44)
 (11.38)
 Отправляясь от основного дифференциального уравнения собственных колебаний мембраны с учетом геометрической нелинейности и пользуясь методом Бубнова—Галер.кина [;1], легко образовать дифференциаль-
 где до — стрела статического провеса.
 Для сетки следует положить V0. В этом случае к означает приведенную толщину сетки. Частоту линейных колебаний со определяют по формулам (11.11) и
 (11.14). Для мембраны и круговой сетки с неподвижными опорами основную частоту собственных колебаний вычисляют по формулам (11.34) и (11.12) при А, 3р0:
 5,72Ек (408,6 — 174,Ву) 1,09 Ек
 13
 (11.45)
 64-9(1 — V) тг' тг1
 Для сетки следует положить V 0, а величину к принять в соответствии с указаниями 11,1.

Для вантовой формы (см. рис. 11.5) основную частоту собственных колебаний определяют по формулам (11.12) и (11.34), в которых:
 _ 24ё1/г1?10я 24 Е2р„д„0я _
 т1х
 пг1'
 яЕ,Р.
 (11.46)
 4т/‘ 4/л/1
 Обозначения величин, входящих в формулу (11.46), такие же, как и в выражениях (11.23) — (11.24).
 Пологая мембрана и пологая сетка с опорами, неподвижными относительно поперечных перемещений и упругоподатливыми относительно тангенциальных перемещений. Основную частоту собственных колебаний вычисляют по формуле (11.34), при использовании которой следует положить:
 Ек я
 81П
 -Т 1 +■
 ЧЕН
 У У.
 +
 IV
 ~йТ1
 х У
 ■ + 4
 2 Ек
 1 +
 2 Ек
 2 Ек
 К
 +
 2/4
 У
 5,72
 Л, 3 (3 (?„, г (408,6 — 174,8V)
 тг464 • 18 | 1 + (1 ■
 0,115 Ек
 тг{
 ■ V)
 ™ V) ]
 1,09 Ек тг
 )
 а) в случае прямоугольной мембраны и сетки
 (11.47)
 где Су—жесткости опорных закреплений в
 направлении осей х и у, отнесенные к единице длины контура мембраны или сетки; частоту собственных линейных колебаний о) вычисляют по формуле (11.11) для сетки следует положить Vе 0 и принять к согласно п. 11.1.
 В случае мембраны и сетки с круговым очертанием в плане
 1
 (11.48)
 Ек я
 1 Л, 2Ек \
 1ГЖ)
 8 т
 , 2V 1
 + 1Г72 + -7ТХ
 X у у
 К
 СУ ‘у.
 г +- ~) (х + 2ЕЙ
 и
 Л+-“Л
 V са: 1х) 1 . 1
 -V'
 + 1?Г+1/4
 У
 (11.49)
 б) в случае мембраны и сетки с круговым очертанием в плане
 [3 5,75.
 ( с„ (408,6 — 174,8 V)
 ;1_ г |тг464-18 [1 — Ст (1 — I [. 2Ек
 V)
 0,115 ЕН
 1.09БЛ
 шг1
 (11.50:
 где с г — коэффициент жесткости опорного закрепления в направлении радиуса, отнесенный к единице длины контура.
 Частоту собственных линейных колебаний со вычисляют по формуле (11.12). Для сетки следует положить \’0 и принять к согласно п. 11.1.
 Плоская мембрана и плоская сетка с опорами, неподвижными относительно поперечных перемещений и упругоподатливыми относительно тангенциальных перемещений. Основную частоту собственных колебаний вычисляют по формулам (11.26) или (11.29), при использовании которых следует положить:
 В формулах (11.49) и (11.50)" для сетки следует положить у—0 и принять приведенную толщину к согласно п. 11.1.
 Пространственная вантовая сетка, неподвижно закрепленная на опорном контуре. Основную круговую частоту собственных колебаний вычисляют по формуле (11.34), при использований которой следует положить:
 а) в случае вантовой сетки, неподвижно закрепленной на опорном контуре эллиптического очертания в плане (рис. 11 ;3)
 Х Х1+Р70, (11.51)
 где -1 и 0 — определяют по формуле (11.15).
 Круговую частоту собственных линейных колебаний са вычисляют по формуле (11.15).
 б) в случае пространственной вантовой сетки в форме гиперболического параболоида, неподвижно закрепленной на опорном контуре прямоугольного очертания в плане (рис. 11.4):
 Х 9ч + 3р?01, (11.52)
 где Л п 3 определяют формулами (11.20).
 При вычислении круговой частоты собственных нелинейных колебаний по формуле (11.34) частоту соответствующих линейных колебаний со определяют по формуле (11.20).
 Пологая вантовая сетка эллиптического очертания в плане, имеющая плоскую форму при отсутствии статической нагрузки.
 Основную круговую частоту собственных колебаний вычисляют по формуле (11.34), при использовании которой следует положить
 т

Плоская вантовая сетка эллиптического очертания в плане. Основную частоту собственных колебаний вычисляют по формуле (11.26) или (11.29), при использовании которой следует положить:
 /ЕА ВАЛ
 V а ь )'
 _3_
 ' 2т
 (11.54)
 11.3. Вынужденные нелинейные поперечные колебания при гармоническом колебании
 Струна с неподвижными опорами. Ин-
 тегро-дифференциальное уравнение вынужденных поперечных колебаний струны имеет вид
 I
 / Дг V.
 ■ах
 о
 а'0 К1 ду
 дх-
 д1
 — т -—Р{х, 1),
 д1г
 (11.55)
 где 1) Ь(1)Р(х) — погонная поперечная на¬
 грузка; х1 — коэффициент вязкого сопротивления.
 Применение метода Галеркина в случае, когда поперечное перемещение представляется ,в форме
 у / (I) 51П (пхЦ), (11.56)
 приводит к нелинейному дифференциальному уравнению
 / + х/ + й)?/ + Р,
 I
 !" Р (Ж) 51П (я х/1) Ох
 Р$тЯ{, (11.57)
 где р ■.
 т | зГп2 (я х/1) ах О
 к к"/т.
 Коэффициенты и и Р определяют формулами (11.1) и (11.28). Решением уравнения (11.57) будет
 / Азт(йг! — •ф). (11.58)
 Частота возмущения связана с амплитудой установившихся колебаний зависимостью
 где ь
 О ]/ГЬ ± VЫ — с,
 _ ЗРЛ2 уг_ с_ /
 4 2 \
 зрл2 р2
 Л2
 (11.59)
 +
 Сдвиг фаз между возмущающей силой и смещением определяют из формулы
 е 'Ф
 Ий
 (11.60)
 щений и упругоподатливы относительно продольных перемещений. В рассматриваемом случае (см. рис. 11.7) амплитуды и фазы могут быть вычислены по формулам (11.59) и (11.60) с учетом соответствующих значений со, р и Р [см. формулы (11.1), (11.31) и (11.57)].
 Струна с противовесом (см. рис. 11.8). Амплитуда и фаза могут быть определены по формулам:
 ' а а! — (а и- — й)-— а2(ш‘—Р2/Л2).
 ‘-V
 (11.61)
 ёФ кО/(— Й2 + ш? — М2&?), (11.62)
 где а— 1 + дЛ2; йк2/2. Коэффициент ц вычисляют по формуле (11.32), а значения ш — по формуле (11.1) при ч1.
 Струна, у которой одна опора неподвижна, а другая упругоподатлива относительно продольных перемещений (см. рис. 11.6). Амплитуда и фаза могут быть найдены по формулам (11.59) и (11.60), если коэффициент р принять в виде
 Р пс/4т13. (11.63)
 Поперечные колебания пологой нити с неподвижными опорами в плоскости провисания. Динамическое перемещение, отсчитываемое от положения статического равновесия, принимается в форме (11.56) .
 ! — Со + А 5111 (О I — ф). (11.64)
 Здесь
 2(ш2с0 + хс2 + рсЗ):
 % + з а с„
 (11.65)
 где Ь ~— + ш2+ 2?оС„+ ЗРС20-Ь — Р Л2;
 (1.66)
 (»2 + 2 С0 + ЗрсЗ+
 Зависимость для сдвига фаз имеет вид чй
 (11.67)
 — й2 + ш2 + (ЗрЛ2/4)
 Струна, у которой обе опоры неподвижны относительно поперечных переме-
 Значения X, р и ш вычисляют по формулам (11.2) и (11.36) (при 11).
 Приведенные формулы позволяют . построить зависимости С0(Й), А (Я) и 'ф(Я). Задаваясь значениями С0, можно найти амплитуду колебаний А по формуле (1.1.65), а затем О и ф— по формулам
 (11.66) и (11.67). На рис. 11.9 приведен график амплитудно-частотной зависимости, являющийся характерным для нелинейных колебаний пологих элементов.
 204

А СМ
 51, Ус-
 Рис. 11.9. Резонансные кривые Д(Й) и Со (ЕЗ) для пологой нити
 Рис. 11.10. Расчетная схема маятниковых колебаний
 Маятниковые колебания пологой нити (рис. 11.10). Амплитуду и фазу вычисляют по формулам (11.59) и (11.60) при Р _ (я/б-пр); Р Р®1тЬпр, со (11.68) определяют формулой (11.3).
 Вынужденные колебания плоских прямоугольных мембран и прямоугольных сеток с малыми размерами ячеек. Поперечные перемещения мембраны и сетки с неподвижно закрепленными кромками представляются функцией (11.38). Зависимость обобщенной координаты от времени имеет вид (11.58). Амплитудно-частотную зависимость определяют выражением (11.59), в котором о принимают по формуле (11.7) или (11.13), Р —по формуле (11.11) (для сетки \0). Сдвиг фаз вычисляют по формуле (11.60).
 Вынужденные гармонические и случайные колебания других видов висячих систем рассмотрены в работе [11].
 РАЗДЕЛ 12 РАСЧЕТ СООРУЖЕНИЙ НА ПОДВИЖНЫЕ НАГРУЗКИ
 (I А. П. ФИЛИППОВ , С. С. КОХМАНЮК)
 Вопросы взаимодействия движущихся грузов с направляющими конструкциями, представляющими собой балки, тонкостенные стержни и пластины, имеют важное практическое значение. Перемещение груза вызывает нестационарный процесс в направляющей конструкции, зависящей от скорости движения грузов и соотношения масс грузов и несущей конструкции.
 Класс конструкций, испытывающих действие инерционных перемещающихся нагрузок, весьма широк, причем развитие промышленности диктует необходимость увеличения скоростей движения при максимальном использовании резервов прочности.
 Известны решения задач о движении нагрузки для двух предельных случаев — колебание конструкций под действием силы [6, 11] и задача Стокса, соответствующая движению груза по невесомой балке [5, 7, 9]. При решении задачи в общем случае, с учетом инерционных свойств всех элементов деформируемой системы направляющая конструкция — движущийся груз обычно предполагают, что существует двусторонняя связь между движущимися и направляющими телами, т, е. они находят¬
 ся в непрерывном контакте в течение всего времени движения.
 Однако при таком подходе процесс колебаний может искажаться в ряде важных для приложений-случаев, когда существует односторонний контакт. Отрыв грузов от направляющих поверхностей меняет характер взаимодействия тел, поскольку плавное качение сменяется соударениями, вызывающими рост напряжений в направляющих конструкциях [2]-
 В этом разделе приведены результаты расчета динамических перемещений и напряжений некоторых элементов конструкций под действием движущихся грузов при учете в расчетах основных динамических факторов, что позволяет выявить и максимально использовать резервы прочности конструкций.
 12.1. Метод решения задачи взаимодействия направляющей конструкции с движущимся грузом
 При исследовании взаимодействия элементов деформируемой системы направляющее упругое тело — движущийся груз с нестационарной односторонней связью- ме-
 205

■х
 Рис, 12.1. Балка под действием движущегося груза
 жду ними (не препятствующей отрыву груза) можно расчленить систему на составные элементы. Неизвестная сила динамического взаимодействия груза и упругого тела обозначается через Ря (рис. 12.1).
 Условия связи для общего случая взаимно перемещающихся тел записывают в виде неравенства
 гт(х,у,() + гнер (х, у, {) + ас (х, у, () — — гГ(0»0; (12.1)
 в котором поперечные перемещения направляющего тела 2Т, профиль неровности поверхности контактирующих кинематических пар 2Нер и их контактное сближение согласно обобщенной теории Герца а0 связываются с перемещениями груза гт.
 Груз находится на поверхности направляющего тела при обращении неравенства (12.1) в уравнение
 г1 4" гнер + ас — 2[ — 0,
 причем
 Рв о
 (12.2)
 (12.3)
 к отрывается от него при Рд0.
 Уравнения колебаний каждого элемента расчлененной деформируемой системы записывают в зависимости от силы взаимодействия Рд(0- Далее находят решения этих уравнений, выраженные через неизвестные значения силы Рд. Эту силу определяют из условий (12.2) и (12.3) в каждый текущий фиксированный момент времени 11п. Если значение силы неположительно, его принимают равным нулю, так как груз оторвался от поверхности направляющего тела и перестал взаимодействовать с ним.
 При известном значении Рд(4) вычисляют перемещения и изгибающие моменты упругих элементов в момент времени 11к.
 В случае двусторонней связи, препятствующей отрыву груза от направляющей конструкции, условие (12.3) опускается.
 12.2. Поперечные колебания балок, взаимодействующих с движущимся грузом
 Дифференциальное уравнение колебаний балки постоянного сечения имеет вид
 в/ + РРЧг,
 дх д2 2’
 (12.4)
 где г 2 (х, О — прогиб балки; Е1 — изгнбная жесткость балки; рр — погонная масса; цг — интенсивность поперечной нагрузки, действующей на балку.
 В случае сосредоточенного движущегося груза
 Чг Р86(х-Щ), (12.5)
 где б — дельта-функцни; ц — координата, характеризующая положение груза.
 Уравнение (12.4) решают при начальных условиях, соответствующих балке, неподвижной в момент входа груза (0) и краевых условиях, отвечающих виду закрепления краев балки. Для свободно опертой балки (см. рис. 12.1) можно записать прогиб в виде
 (х,2) г0г (х, (), г0 — 2РГР/п±Е1, (12.6)
 ОО
 2 ~ 21 я$) 5п ( гс (1
 где Рр — сила веса груза; непосредственно контактирующего с балкой; —обобщенные крординаты.
 После применения к уравнению (12.4) интегрального преобразования Фурье с конечными пределами уравнения относительно обобщенных координат записывают как
 Р 31П
 '■рг №+■)]■
 + А, _ _51_ й ‘ х0/)2
 (1 1,2.3....), (12.7)
 г\ (ш&]2) + I; I су!; кь »?я/а0/; (12.8)
 0 Т /~ Р Л
 а” Т V ж ’ т) рд(|)/рг;
 а» — ускорение при равнопеременном движении груза; оо —начальная скорость груза.
 Решение уравнений (12.7) может быть записано в виде
 1) Ей)со5 [Аг(5-|ь)] +
 1 йц. I
 + Т. 77 е 1«1п-6л)] + ф4(Б); (12.9)
 Ъ 53 I й.
 Т % 5[п а~п+
 к.й\
 7 Э
 1 ЛФ.
 СОЗ [М|-Бь)]+ 5..
 1-\ 1 ь к. Ц
 где
 Ф.
 51П [6.(6 - Я,)] &.
 (12.10)
 206

Аппроксимируя неизвестную функцию Р
 СО
 р© - 2 р (ЫШ -ы-н (1-1+!)] Й (0 !/), (12.11) переписываем интеграл (12.10) в виде
 где /5г(|) [ соз [г5 (А., 0] ЙМ (12.12)
 г .(,,! — + 1) + (- 1У5 X
 51 I \21 }
 Х4.(|-1) (в 1,2).
 Интегралы (12.12) могут быть вычислены с помощью квадратурных формул.
 Использовав, например формулы Гаусса как формулы наивысшен алгебраической степени точности [4], приняв степень точности, равную трем, для интегралов (12.12) при |ь+1 запишем
 /711
 X С05 1г8Лт, &(.+!] 51.2):
 (12.13)
 причем в выражении (12.12) принято
 х —
 % 0,577 350 269, 1|а — %.
 Остаточные члены квадратурной формулы имеют вид
 Е (!-..) _ пН' (+1тА!г1 л 12л4)
 5г 8640 1‘ 51
 где &- + 1 - (- I)8
 ■ о
 (ёь I :ой+1-
 Остаточные члены (12.14) с увеличением значения индекса г быстро возрастают. Поэтому для учета высших членов разложений (12.6), .необходимых для определения динамических напряжений, построены асимптотические разложения интегралов (12.12) по степеням 1/«.
 Вычисляя по частям интегралы (12.12) и продолжая интегрирование по частям, получим асимптотические ряды в виде
 — СЬ+1 '»
 ав.Ш 56+1)1 V V-
 I р1п[г5.(. а5Л%)
 7.
 ■А+1
 ложеяий, имеющие порядок их первых отброшенных членов, т. е.
 Р.Л1М-1) :г4Ц • (12'1б)
 5г + I3 я3 а5.(5)
 51
 Таким образом, интегралы (12.10) можно вычислить по формуле Гаусса или по асимптотическим разложениям в зависимости от того, какой способ дает меньшую погрешность для данной обобщенной координаты Ци
 Принимая длину участка интегрирования постоянной, равной |&+1—5;ь/гс, получим решение (12.9) с учетом (12.15) в виде:
 1“ ЗТ , 1 у
 соз -— X
 а0 и
 !.г Я
 X '"Ч к 51П
 й\ \~к а0 п
 +
 21я аа
 0к+!)-
 ь1
 — -Г- —7г(;ь)5 ТТ +17 х
 «5 “о л г
 X I соб
 п |5—5;
 г я “о л
 Р(6Ь-Н) 2ь3 а0
 язг (5ь-и)»
 51
 12.17)
 гда с5! _х г
 т I 3
 I ав1 (5
 а5; (й+1) °52 (?ь)
 г (Чь-н) е5г (пь)
 Ь-И) (й) .
 и спм-1)
 5г- (’)
 +
 + ■
 «I Р1&.-Н) й5г: РЪ)
 ! (: Ь+1)
 '"Пй+ц
 /г (+1) С°5—ТЛ'
 г’пг)к+т;.
 ■ I 1
 51П —
 ЯГ)&
 I
 + (-1)Ч
 й5г- РЪ)
 г8г- (%) с05 [“7 + ( 1)6 г]'
 ! 1, 2).
 (12.18)
 + Язг(?+1), (12.15)
 Если интегралы (12.10) вычисляют с помощью квадратурной формулы Гаусса, то в рекуррентные зависимости подставляют следующие значения частных интегралов:
 207

(1Ь-Н} 2" 2 С°3 ( Гвг (т’ к+1)]I
 т1
 Р
 Ъ («М-1) •'28|П| Г'?г (Фт’ 1й+1)3 • т—1
 (12.19)
 Уравнения колебания движущегося груза в зависимости от неизвестной силы его взаимодействия с направляющей балкой имеют вид
 гп
 й1-
 ■ + сп (гп - 2г) Рп,
 М„
 в2 2Г Н
 ■~сп(гп~гг)-
 где г п—- смещение центра тяжести подрессоренного груза массой Мр в системе координат, связанной с недеформированной рессорой. Перемещение центра тяжести неподрессоренного' груза массой М г в системе координат, связанной с неде-
 фициент жесткости пружины;
 -мпе. рг
 “Л! гё, § — ускорение свободного падения.
 Динамические прогибы элементов движущегося груза могут быть приняты в виде:
 2П — гб (21П “Ь 22п)»
 г0 (г!Р + г2г) (12.20)
 где г0г перемещение подрессоренного груза б результате осадки рессоры под действием силы
 веса; г02
 1Г
 - смещение неподрессоренного груза
 из-за контактных деформаций под действием сил веса груза; г,в, гбезразмерные дннамичес-’ кие перемещения грузов.
 После перехода к координатам ~ 2П 2Р» 2 55 Р%2П Н“ 2Г
 Р —
 (12.21)
 и переменной получим из уравнений
 (12.20);
 й2 2.
 Ит)--
 (1 + Р — Р),
 й" 2;
 2 2 2а0|32
 2«5 3/"
 (1 + р — р),
 (12.22)
 где 3 •
 «о '
 ар + 1) 23р
 Решениям системы (12.22) после аппроксимации (12.11) может быть придан рекуррентный вид:
 г1 (Ч+±) 21 (Н) с°5 — + ~Г х
 л к
 V I
 —- и 5ш
 2а0 3к~
 Х (®Ь+1)] (Х “ 005 7")
 |Е в — г, (5) 51П + —
 Й Й| |ь—1 п 6
 Ч- I „„„ к V
 2а5 ЗА"
 Х5Ш—[1 + л_р(1л+1)];
 М«Й+1). +
 + -
 я
 4«5 Зи
 г/г. I _ йг,
 Рй+1 !;
 + •
 5 'Ь 2»5 3« -Р(+1)]-
 (12.23)
 На основе (12.21) можно записать выражения для определения динамических перемещений грузов. Получим:
 г2п (1/р ) (г2 г1);
 22г О/р + I) (22 — Р2!) ■
 В случае, если подвижная нагрузка представляет собой точечную массу МТ (подрессоренная часть отсутствует), то вместо системы уравнений (12.23), (12.24)
 (12.24)
 имеет
 г2Ц (1+] ) : + ■
 2Г () + ~
 ч
 4«5 Зга
 аг,
 2Г
 йгх
 в—'Ь-И
 ЯГ
 2Г
 51 ь
 2ад 3 п
 (12.25)
 Неизвестные силы взаимодействия груза и балки Р(%к+1) определяют из функционального уравнения (12.2), которое может быть переписано в виде
 гд (I. I) + гнер (I) + аа (I) — г2Р (|) 0.
 (12.26)
 Решение этого уравнения находится в ряде точек 1%к+\ (А0, 1, ..., /г—1). При этом последовательно, шаг за шагом определяют коэффициенты аппроксимации Р(§л+1) в, выражении (12.11). При отрицательном значении величины Р(%к+1) она полагается равной нулю, что свидетельствует о прекращении взаимодействия ■ движущегося груза с балкой в течение промежутка времени, соответствующего
 208

611+1. При учете контактного сближения кинематических пар в соответствии с теорией Герца уравнение (12.26) становится нелинейным. Его решение может быть осуществлено, например методом Ньютона. В качестве начального приближения шага, отвечающего значению аргумента принимают — для значения §§&+!
 принимают начальное приближение Р(к).
 При найденных значениях сил взаимодействия на основе зависимостей (12.6), (12.17) определяют динамические прогибы балки, по формулам (12.23)—(12.25) вычисляют перемещения грузов.
 Динамические изгибающие моменты Мд представляются следующими формулами:
 лгд х, ь м6 м а, 1: рг г/4;
 С»
 АГ (х ,| — X1 I- о. (|) 5щ г?--- .
 -ттЗ I 1
 1—1
 (12.27)
 После освобождения балки от движущейся нагрузки могут быть сделаны следующие оценки максимальных амплитуд прогибов и моментов при последующих свободных колебаниях балки:
 г (х, Ь « V 2. (х, и, М (х, — х
 1 Я-
 I
 х2 I- Э. (х,1.
 Ь1,
 X 51П •
 а1).
 Заметим, что данная методика расчета позволяет определять помимо прогибов также динамические изгибающие моменты в направляющих конструкциях, несущих подвижную нагрузку. Сохранение в разложениях (12.6) 25 членов обеспечивает сходимость рядов для изгибающих моментов, достаточную для практических целей. При этом значение выражений (12.17) находят по формулам Гаусса для обобщенных координат 7; с малыми значениями индекса I, а при возрастании номера индекса счет проводят с использованием асимптотических разложений.
 Если соотношения параметров и переменной \ вызывают обращение в нуль полиномов а.вг() (12.14), то неопределен¬
 ность исключается автоматическим переходом к вычислениям по квадратурным фор¬
 мулам, дающим в этом случае минимальную погрешность, независимо от номера I.
 При отсутствии ускорения груза параметр V обращается в нуль. В этом случае, соответствующем движению груза с постоянной скоростью, в формулах (12.18) остаются лишь по два первых слагаемых, которые дают точные значения интегралов при любых значениях I, так как остаточные члены асимптотических разложений /7810. Формулы и алгоритмы расчета неразрезных балок и пластин при подвижной нагрузке приведены в работах [3, 9, 10].
 12.3. Динамические прогибы и изгибающие моменты балок при постоянной и переменной скорости движения грузов
 Ниже приведены результаты расчетов динамических коэффициентов при различных значениях безразмерных параметров. Для случая движения точечного груза с постоянной скоростью время его пробега по балке разбивали на 200 интервалов (« 200), в рядах (12.6) удерживалось 25 членов. Влияние контактных деформаций не учитывали.
 На рис. 12.2 приведены общие закономерности изменения максимальных в пролете перемещений и моментов, выявлен характер возрастания и убывания динамических коэффициентов балки в зависимости от скорости движения, определяемой параметром а (12.8) и соотношения масс груза и балки р (12.22). Кружками отмечены граничные точки, устанавливающие значения этих параметров, при которых динамические коэффициенты переходного процесса (сплошные кривые) становятся меньшими соответствующих коэффициентов при свободных колебаниях балки, освободившейся от нагрузки (штриховые кривые). По оси ординат отложены максимальные в пролете динамические коэффициенты прогиба середины пролета балки г\х, Е;)
 (12.6) и изгибающих моментов под грузом м(х, (12.27) для переходного про¬
 цесса.
 Динамические коэффициенты изгибающих моментов после схода груза с балки приведены для середины пролета М(х, |) (при !■/). Эти результаты дополняет график (рис. 12.3), характеризующий соотношение параметров аир, при которых наступает отрыв груза в конце пролета, сопровождаемый последующим его соударением с балкой, как правило, уже за пределами крайней опоры по ходу движения
 14—491
 209

Рис. 12.3. Граница области безотрывного движения груза по балке
 Рис. 12.2. Зависимости наибольших прогибов и моментов балки от скорости и массы груза
 груза. Область безотрывного движения груза лежит слева от кривой.
 Приведенные результаты относятся к. гладким поверхностям перемещающихся тел. Контактные деформации мало влияют на динамические прогибы и напряжения. Одцако при исследовании, режимов взаимодействия балки и груза, при которых происходит отрыв груза от балки с последующими соударениями, динамические коэффициенты существенно зависят от условий в месте контакта. Рис. 12.3 позволяет определить соотношения безразмерных параметров, допускающие расчеты без учета контактных деформаций. При движении груза с неровной поверхностью кинематических пар могут происходить отскоки и соударения, при расчете которых также необходим учет условий в месте контакта.
 На рис. 12.4 результаты расчета равноускоренного и равнозамедленного движения для Р0,5 (сплошные кривые) сопоставлены со случаем постоянной скорости (штриховые кривые). Сравнение динамических коэффициентов проведено для всех трех случаев при одинаковой средней скорости груза Уср (по+оО/2. Скорость, с которой груз покидает балку обозначена вь- причем о1 о0|/Л2у+1. Величине оСр
 Рис. 12.4. Зависимости наибольших прогибов и моментов балки от средней скорости равнопеременного движения
 отвечает значение параметра аср. Кружками на рисунке нанесены граничные точки. Видно, что прогибы и моменты при равномерном движении занимают промежуточное положение между соответствующими коэффициентами для равнопеременного движения.
 12.4. Динамическое воздействие движущихся нагрузок на бесконечно длинные балки, лежащие на упругом основании
 Для бесконечно длинных балок, лежащих на упругом основании (например, рельсы или балки эстакад), по которым движутся массы т.\, т со скоростью у (рис. 12.5), определение их динамического воздействия на балку связано с решением дифференциального уравнения колебаний балки и подвижных грузов в виде
 Лл + рЛ!»
 дх‘ дГ-
 дI ,
 - д — 1- су 0 {х
 дг
 Ыу,
 (12.28)
 210

Рис. 12.5. Балка под действием движущегося груза и периодических сил
 й~ 2-г , йг ,
 т 1 — + с1г1 т1 § +
 а1- й1
 Ч-Р! 51П со/ — тг — У ■ . (12.29)
 си2
 Здесь В — изгибная жесткость балки; р — масса единицы длины балки; ц — коэффициент затухания в основании; с — коэффициент упругости основания; Р] и а — амплитуда и частота возмущающей силы, действующей на подрессоренный груз массой пгх[ у(х, I) —-перемещения балки; г\ — относительное смещение массы т\, С\ — жесткость подрессоривання; р,| — коэффициент затухания в рессоре.
 Уравнение (12.28) справедливо всюду, кроме точки у—VI, где приложена внешняя нагрузка вида
 Р — Р0 зш (со/ 4" а) — т ~ '' — -Ь т§ 4" с1%и
 й1г
 (12.30)
 где Р0 со и а — амплитуда, частота н фаза возмущающей силы, приложенной к неподрессоренному грузу массой т.
 Ускорение движущегося груза -можно представить как
 [ йс дЧ
 И2 \ д1" дхд1 ‘ д{- \хи1
 где первый член правой части у равенства соот¬
 ветствует центробежному ускорению, второй—Кориолнсову ускорению и третий — ускорению в направлении оси у.
 Уравнение (12.28) необходимо интегрировать при следующих условиях
 у — 0 при х --±оо
 у% у., да1 ду- ■ 1/1 д‘ 1/2 -
 дх дх дх2 дх1
 XV)
 в (ЛЛ1--ЛЛ1.\+Р о,
 \ 5л:3 дха )
 где Ух — у для х с у2 У для х Решение системы (12.28), (12.29) представляется в виде
 У Ул (I. 0 + Уа (I);
 Ч 2д (0 + г0; г0тц/с{, 1х — ьЬ,
 причем уо соответствует случаю движения сосредоточенной безынерционной силы Р (т\+т)в, рассмотренным И. Кеннеем [12].. Решение динамической задачи находят в виде
 Ул, (1.) к (I) соз со{ + У (§) зш Ш;
 гл (() А сок о( + В 51П ш;. Амплитуды колебаний точек балки и грузов получены в работах [1, 7, 8].
 РАЗДЕЛ 13
 РАСЧЕТ СООРУЖЕНИЙ НА ДЕЙСТВИЕ КРАТКОВРЕМЕННЫХ НАГРУЗОК БОЛЬШОЙ ИНТЕНСИВНОСТИ
 (Н. Н. ПОПОВ, Б. С. РАСТОРГУЕВ)
 13.1. Виды кратковременных нагрузок
 В гражданском и промышленном строительстве кратковременные нагрузки возникают главным образом под влиянием ударных и взрывных воздействий (падение груза на перекрытие, сейсмические воздействия, ударная волна взрыва и т. п.) ’. Результат таких действий на конструкцию зависит, вообще говоря, от взаимодействия конструкции с ударяющим телом, с ударной волной и т. п. Вследствие сложности происходящих при этом процессов взаимодействия такого рода в расчетах в боль¬
 3 	Расчет конструкций на кратковременные нагрузки малой интенсивности, см. разд. 5.
 шинстве случаев не учитываются и заменяются кратковременной динамической нагрузкой, не зависящей от движения конструкции.
 Продолжительность действия кратковременной нагрузки изменяется от малых долей секунды до нескольких минут. Законы изменения динамической нагрузки во времени могут быть различными, и при расчетах они задаются графически или аналитически. Если действительный закон изменения нагрузки достаточно сложен, то его заменяют упрощенным законом, описываемым несколькими прямыми или кривыми. При этом необходимо, чтобы возника-
 14
 211

РЦ)
 рщ
 р-т
 13.1. Законы изменения нагрузки во времени
 ющне в результате такой замены погрешности в усилиях и перемещениях были минимальны. Наиболее часто встречающиеся в расчетах упрощенные законы изменения нагрузки во времени представлены .на рис. 13.1.
 При действии на сооружение кратковременной нагрузки большой интенсивности в ряде случаев в конструкциях могут быть допущены значительные пластические деформации. Это прежде всего относится к тем конструкциям, которые в соответствии с эксплуатационными требованиями должны выдержать однократное действие кратковременной нагрузки, не обрушившись.
 Для конструкций, материал которых работает в пластической стадии, характерны: нелинейная зависимость между деформациями и напряжениями (физическая нелинейность), влияние изменения геометрии конструкции на ее работу (геометрическая нелинейность), влияние больших скоростей деформирования на прочностные свойства материалов конструкции (повышение предела текучести стали, предела прочности бетона и т. п.) .
 13.2. Влияние скорости деформирования на механические характеристики материалов
 При больших скоростях деформирования (е10~2 1/с) механические характеристики материалов изменяются.
 Сталь. . Наибольшее влияние скорость деформирования оказывает на предел текучести, в меньшей степени на предел прочности. Модуль Юнга от скорости деформирования практически не зависит.
 Влияние скорости деформирования на механические свойства сталей зависит от содержания углерода, причем с повышением содержания углерода, а также при упрочнении арматурных' сталей вытяжкой это влияние уменьшается.
 Малоуглеродистая сталь работает упруго до некоторого напряжения, называемого верхним динамическим пределом те¬
 кучести. После его достижения напряжение резко уменьшается и стабилизируется на некотором уровне, названном нижним динамическим пределом текучести. Как верхний, так и нижний динамические пределы текучести превышают предел текучести, получаемый при статическом нагружении. Предварительное напряжение даже при значениях, близких к статическому пределу текучести, не влияют на динамический предел текучести.
 В меньшей степени скорость деформирования влияет на прочностные свойства сталей с повышением содержания углерода, сталей, упрочненных вытяжкой и термически упрочненных.
 Повышение предела текучести мягких сталей объясняется свойством запаздывания пластических деформаций. Это свойство состоит в том, что сталь в течение определенного времени сохраняет состояние упругости при напряжениях, превышающих статический предел текучести. Время, в течение которого напряжение в стали достигает динамического предела текучести, называется временем запаздывания пластических деформаций.
 ■ Динамический предел текучести зависит от времени запаздывания, режима загружения и температуры. Для его определения предложены различные способы [3, 7]. При практических расчетах железобетонных конструкций на действие кратковременных нагрузок можно принимать следующие динамические сопротивления для арматурных сталей [1]: класса А-1—/?',д 1,3а, класса А-П—#дД)1,25 Ла; класса А-Ш—/?д) (1,15— 1,2)Яа, классов А-1У, А-У—«д 1,1Яа.
 а
 Бетон. Влияние скорости деформирования на бетон проявляется в изменении диаграммы деформаций и в повышении предела прочности. При увеличении скоро сти загружения диаграммы деформаций из меняются, приближаясь на начальном уча стке к диаграмме упругого материала. Модуль деформации при этом возрастает,
 212

13.2. График зависимости коэффициента упрочнения предела прочности бетона при сжатии
 предельная же деформация остается практически постоянной и для бетонов различных марок изменяется в пределах 2-10-3— 3-10~3. Коэффициент упрочнения бетона ку в зависимости от времени нагружения т при сжатии может быть определен по формуле 6У1,58—0,35 1§ т+0,07(1§; т)2, где х — продолжительность возрастания нагрузки от нуля до максимальной разрушающей в миллисекундах.
 Зависимость ку от скорости загружения дана на рис. 13.2. При приближенных расчетах железобетонных конструкций можно принимать Яд(1, 2, ..., 1, 3)/?от.
 13.3. Расчетные диаграммы деформаций материалов и конструкций
 Диаграммы деформаций (зависимость а—е) материалов в области пластических деформаций имеют различный вид при нагружении и разгрузке. Для большинства строительных материалов диаграмму деформирования при разгрузке принимают по линейному закону. При нагружении диаграмма деформирования (а—е) большинства материалов, вследствие влияния скорости деформирования, заранее неизвестна и при заданной кратковременной нагрузке может быть получена лишь в результате расчета или экспериментально. Однако общий характер диаграммы деформирования при медленном и быстром нагружениях в основном сохраняется. Поэтому при приближенных расчетах на кратковременную нагрузку обычно используют диаграммы деформирования материала, аналогичные статическим, но с измененными основными параметрами, например, с повышенным пределом текучести для стали, повышенным
 пределом прочности для бетона (динамические диаграммы деформаций).
 Для малоуглеродистых сталей (классов А-1, А-П, А-Ш) расчетные диаграммы деформирования представляются в виде упругопластической или жесткопластической диаграммы без упрочнения (рис.
 13.3, а, в) или с упрочнением ' (рис.
 13.3, б, г), в которых приняты динамические пределы текучести.
 Иногда применяют (для бетонов, сплавов) диаграммы сг—е в виде гладких кривых (рис. 13.3,5), аналитически выраженных степенной функцией, многочленом и т. п. или в виде ломаных (рис. 13.3, е). Для хрупких материалов (высокопрочные стали, бетоны) диаграмма а—в имеет вид, указанный на рис. 13.3, ж, и.
 В динамических расчетах конструкций [б, 12, 13, 14] используют зависимость между усилиями и деформациями элемента конструкции, например, для изгибаемых конструкций зависимость между изгибающим моментом и кривизной. Такие зависимости находят экспериментально или теоретически на основе динамических диаграмм а—е. Для изгибаемой конструкции из материала с произвольной диаграммой 0—е зависимость между изгибающим моментом и кривизной может быть получена на основе закона плоских сечений [12,13].
 Для балок различных сечений, выполненных из идеального упругопластического материала, зависимости изгибающего момента от кривизны приведены в табл. .13.1, в которой М0 — предельный (пластический) изгибающий момент, равный Мо0о®о, где №о — пластический момент сопротивления сечения; о0 — предел текучести; й1/р кривизна элемента. Зависимость М(1/р) является идеальной упругопластической диаграммой только для идеального профиля. Однако при расчетах зависимость М(\/р) и для других профилей часто заменяют идеальной упругопластической.
 Для железобетонных - изгибаемых и внецентренно-сжатых конструкций, подверженных действию кратковременных нагрузок, зависимость М(1/р) представляется идеальной упругопластической диаграммой, когда в растянутой арматуре пластические деформации возникают прежде, чем начинается разрушение бетона сжатой зоны, й диаграммой хрупкоразрушающегося тела, когда бетон сжатой зоны разрушается до появления пластических деформаций в арматуре (переармированные конструкции). Эти случаи устанавливают согласно СНиП 11-21-75.
 213

1 б)
 В)
 г)
 б1
 1. 6
 б
 / б0
 — 1 . бо
 / /
 / /
 1
 /
 / /
 1
 13.3. Расчетные диаграммы деформирования материалов
 Таблица 13.1
 Сечение элемента (профиль)
 Зависимость изгибающий момент—кривизна
 изгиб в упругой стадии
 граничное значение кривизны
 изгиб в упругопластической стадии
 I
 авЕ1аЪ
 I
 Е]
 мп
 Е
 М„
 м
 Мл
 ЕЗ 14_
 ~ 15
 -Ш—к —
 М. ■ ~ 9
 М
 1,
 -1_ / Л _Ё°_
 15 V 15 Е к )
 М
 м„
 1 _ _1_ /_8_ м0 _1_\2
 9 I 9 Е к)
 ЕЗ
 М0
 М __ ] _1_ /_2_ М0 1 \2 м„ 3 V з Еу к)
 13.4. Предельные состояния [13, 14]
 Расчет конструкций на действие кратковременных динамических нагрузок производится по двум группам предельных состояний.
 По первой группе предельных состояний (по несущей способности) рассчитывают конструкции, к которым предъявляется следующее требование: конструкция должна выдержать однократное действие динамической нагрузки, полностью исчерпав свою несущую способность; при этом допускаются пластические деформации в материале конструкции, большие остаточные деформации и трещины.
 По второй группе предельных состояний рассчитывают конструкции, к которым предъявляются специальные требования по ограничению перемещений или раскрытия трещин. При этом в конструкции могут
 допускаться или не допускаться пластические деформации.
 В конструкциях, которые предназначены для многократного восприятия динамических нагрузок, пластические деформации, как правило, не допускаются.
 Для изгибаемых и внецентренносжатых с большим эксцентрицитетом железобетонных конструкций достижение первого предельного состояния характеризуется началом разрушения бетона сжатой зоны в, сечениях, в арматуре которых возникли пластические деформации (шарниры пластичности). Нормирование первого предельного состояния производится по величине полных углов раскрытия в шарнирах пластичности, а также по прогибам или по отношению полного прогиба к упругому (соответствующему началу текучести арматуры).
 Условие прочности конструкции, в ко-
 214

13.4. Предельные величины углов раскрытия в шарнире пластичности
 КУ/У„
 торой образовалось п шарниров пластичности, имеет вид: т)згфПг (‘1. 2, ...),
 где 1|)г- — полученный из динамического расчета угол раскрытия в 1-и шарнире пластичности; — предельный угол раскрытия в г-м шарнире пластичности, принимаемый по графику на рис. 13.4.
 Для однопролетных шарнирно-опертых балок условие прочности может быть представлено в виде &АП, где к— отношение полного прогиба к упругому, полученное из динамического расчета; ка — предельное отношение прогибов, принимаемое по графику на рис. 13.5.
 Металлические конструкции, выполненные из низкоуглеродистых сталей, рассчитывают на однократное действие динамической нагрузки обычно по ограничению перемещений с допущением пластических деформаций, так как до достижения напряжениями в конструкции предела прочности возникнут перемещения, которые нарушат условия ее эксплуатации. Предельные перемещения определяют из условия сохранения связей с примыкающими конструкциями.
 13.5. Основные методы расчета конструкций и сооружений на кратковременные нагрузки в пластической стадии \2, 5, 6, 12—141
 В настоящее время наибольшее развитие получили методы расчета конструкций, диаграмма деформирования которых мо¬
 жет быть представлена идеальной упругопластической диаграммой (упругопластические конструкции) и идеальной жесткопластической диаграммой (жесткопластические конструкции) (см. рис. 13.3, а, в).
 При расчете упругопластической конструкции учитывают упругую стадию работы конструкции (до образования зон пластичности) и упругие деформации участков конструкции между пластическими зонами. Положение пластических областей и их развитие во времени определяют при расчете. Однако этот метод вследствие сложности позволил получить решение лишь для ограниченного круга задач.
 При расчете жесткопластической конструкции она считается недеформируемой, пока усилия в каком-либо сечении не станут равными предельному значению и не возникнет возможность образования пластических деформаций. После этого начнется перемещение конструкции. Пластические деформации сосредоточены в шарнирах пластичности или на участках конечной длины, причем положение шарнира пластичности может меняться при движении конструкции. Участки конструкции между шарнирами пластичности рассматривают как жесткие. Полученные этим методом решения дают достоверные результаты лишь при больших пластических деформациях.
 Основная трудность при использовании этих методов вызывается учетом движения пластических шарниров и пластических зон. Поэтому получают распространение упрощенные методы, в которых шарниры или зоны пластичности считают неперемещающимися в процессе деформирования конструкции (стационарными), а участки между ними принимают жесткими.
 При этом упругую стадию работы можно учитывать или не учитывать. Положение зон пластичности определяют расчетом в упругой стадии, энергетическими методами или на основе экспериментов. Упрощенные методы позволяют получить приближенные решения для очень широкого класса конструкций (в том числе и для оболочек).
 Во всех этих методах влияние скорости деформирования учитывается повышением предела текучести. Существуют также методы [2, 7, 13, 14], в которых влияние скорости деформирования учитывают непосредственно при расчете использованием законов деформирования, учитывающих вязкопластические свойства материала.
 215

Нели диаграмма „деформирования конструкции выражена гладкой кривой, которая не может быть заменена идеальной упругопластической диаграммой, то при расчете исходят из действительной диаграммы, применяя вариационные или численные методы.
 Для большинства изгибаемых и внецентренно-сжатых с большим эксцентрицитетом железобетонных и металлических конструкций диаграмма деформирования может быть представлена идеальными упругопластической и жесткопластической схемами.
 Упругопластическими схемами в большинстве случаев представляются диаграммы деформирования железобетонных конструкций, пластические деформации которых относительно невелики. При расчете металлических конструкций из сталей, для которых характерны большие пластические деформации, достаточно хорошие результаты дает применение жесткопластической диаграммы.
 При выборе расчетной схемы сооружения во многих случаях возможно расчленять его на отдельные простейшие конструктивные элементы (балки, плиты и т. п,). Для каждого из отдельных элементов выполняют динамический расчет.
 Для более точного расчета следует учесть взаимное влияние элементов: податливость оснований, фундаментов, стен, колонн при расчете перекрытий [2, 13], смещение всего сооружения в целом и т. д.
 При расчете конструкций в упругой стадии применяют общие методы динамики упругих систем с конечным или бесконечным числом степеней свободы. При этом, поскольку основной целью упругого расчета является получение начальных условий для пластической стадии, то целесообразно пользоваться приближенными методами решения дифференциальных уравнений, например вариационными методами и т. п.
 13.6. Системы с одной степенью свободы [6, 14, 16]
 Коэффициенты динамичности нелинейно-деформируемых систем. При динамических расчетах нелинейных систем применяют два коэффициента динамичности:
 коэффициент динамичности перемещения
 &п Умакс/Усч'г (13.1)
 коэффициент динамичности нагрузки
 кя “ -ст/д» (13.2)
 216
 где макс~ максимальное перемещение системы при действии динамической нагрузки; У ст — пере мещенне системы, вызываемое статической нагрузкой, равной наибольшей динамической нагрузке; Рст . Р д- статическая и динамическая нагрузки, вызывающие в системе одни и те же усилия (перемещения).
 Для систем с линейной восстанавливающей силой Я {у) (рис. 13.6, а) какш. Для нелинейной системы с «жесткой» восстанавливающей силой Я (у) (рис. 13.6, б) йнйп, и для систем с «мягкой» восстанавливающей силой (рис. 13.6, в) кшкп.
 Система с произвольной восстанавливающей' силой. Дифференциальное уравнение колебаний системы с одной степенью свободы с произвольной восстанавливающей силой имеет вид: при нагружении
 т(сИу/аЩ+Я(у)Р(1); (13.3)
 при разгрузке
 т (&у/Щ + с (у — у0СТ) Р{1)„ (13.4)
 где т — масса системы; с — жесткость системы при нагрузке.
 Уравнение (13.3) ниже проинтегрировано в квадратурах при Р(0соп81;. В этом случае, учитывая, что
 и _ _2_ л I йу \2 а- 2 йу Км) '
 имеем
 в
 т/2 (//й)а + [ Я (у) йу Ру + й±, (13.5)
 о
 откуда получим зависимость ({(у);
 ц
 1 + Ут/2 (' йу . _ ■
 У
 0 у Ру + о — туцу
 о
 (13.6)
 Постоянные интегрирования и
 находят из начальных условий. Максимальное перемещение системы можно определить из (13.5) при йу!И0:
 V
 Ру—\Я(у)ау + 0± 0. (13.7)
 0
 При Я (у) 'куп (13.8)

и при нулевых начальных условиях {0\
 — 0) имеем
 %акс {~к г/макс п 11 р'
 Из (13.1) и (13.2) следует:
 Ап (п + 1)1/П; Ан л+1. (13.9)
 Движение системы в области разгрузки определяют из решения уравнения (13.4) при начальных условиях У(1т) (() Умжс; у()0, где 1т находят из (13.6) при УУмикс. При действии на систему мгновенного импульса величиной I уравнение (13.3) следует интегрировать, полагая Р(()0:
 у (0) 0, йуШ (0) Цт.
 В этом случае 01 12/2т, и. из (13.5) получим уравнение для определения максимального прогиба: у
 | Я (у) йу й/2 т.
 о
 Для системы с восстанавливающей силой (13.8) имеем
 |~(п + 1) Г- 11/П+1
 Умакс [к 2т \
 Идеальная упругопластическая система. В этом случае
 Я (у) су при у Я0/с у0; }
 Я(у) Я0 сопз при уЯа!с.\
 Уравнение (13.3) распадается на два линейных дифференциальных уравнения
 т а + сугР и.) при У,3 г/0; (13.11)
 (И-
 т— + На Р и) при (/.!/„. (13.12)
 йГ-
 Начальные условия для уравнения (13.12) получаются из решения уравнения
 (13.11) при 11 о, у2Уо:
 й1 ■ 41
 где и — время, соответствующее окончанию упругой стадии и определяемое из уравнения 1/1 Ш 1/оЛо/с.
 При Р(/)соп81: выражения для йн Яп/Р- и для кп имеют вид:
 1 / 2 — к \
 к„ : к к 1 + 0,5 5].
 Н 1-0.5{у0/у) п Н1 кн~ 1)
 (13.13)
 На рис. 13.7, 13.8 приведены графики коэффициентов динамичности нагрузки в зависимости от у1уосу/Р0 и Х0 для различных видов кратковременных нагрузок, где Хугс!т.
 Упругопластическая система с линейным упрочнением. В этом случае:
 13.7. Коэффициенты динамичности к}{ для упругоиластической системы для постоянной временной нагрузки
 13.8. Коэффициенты динамичности кн для упругопластической системы с экспоненциально убывающей нагрузкой
 2 4 6 8 10
 (С/Я0}У
 13.9. Коэффициенты динамичности для упруго¬
 пластической системы с упрочнением
 Я (у) су при у « у0 я0/с; 1
 Я (/) Сх у + Я0 [1 — (сх/с)] . , (13.14)
 при I/ , ]
 217

где С\ — жесткость системы в стадии упрочнения.
 Уравнение (13.3) распадается на два линейных дифференциальных уравнения:
 т —— + су 1——Р (1), г/1 у& (13.15)
 ё{2
 (13.16)
 й2 1Ы .
 т Сг У-~ р а} “
 У2Уо-
 Начальные условия для уравнения (13.16) получаются из решения уравнения
 (13.15).
 Коэффициент динамичности нагрузки при действии на систему постоянной во времени нагрузки Р(() сопб1:
 к (2 у!ур)~ о_У_\ , (У/Уо)2 |
 н I с1с\ — 1 у„ ) с/с1
 +2-
 ■ 1 при уа у.
 (13.17)
 Графики коэффициентов кв приведены на рис. 13.9.
 Идеальная жесткопластическая система. В этом случае:
 у — 0 при Р Ц) с Я0;
 К(у)Ка при Р ({) Цв.
 Уравнение движения системы имеет
 вид
 ™ у
 (13.18)
 аг-
 ■ Р (П — #0.
 (13.19)
 Интегрирование уравнения (13.19) при нулевых начальных условиях дает:
 I
 ■ | Р (() й1 - /;
 4у
 сИ
 О
 г г
 ту Р (() а- —
 0 0
 При Р(() ~Р0(1—(1д) имеем
 з 	/
 макс
 р„ е2
 (13.20)
 г,п,е У макс—максимальное перемещение системы.
 Для идеальной жесткопластической системы всегда кв 1.
 Хрупкоразрушающаяся система. В этом случае (см. рис. 13.3,ас):
 К Ф су при Г уа ра/с;
 Я (У ™ С1 у + К, при уп у01 -У у„.
 — сг у2 Р (О ■
 У0 У2Уп-
 (13.23)
 При Р(7)—сопз, РЯо/2 максимальное перемещение,
 У20 :
 /
 К р-На 1 + ■
 УТ
 -'гмакс
 где а2 -Ь- , д р _ +
 т V
 , (13.24)
 (13.25)
 (13.21)
 Дифференциальные уравнения колеба ний имеют вид:
 т — + сг/4 Р «); г/х в й; (13.22)
 13,7. Балочные конструкции [6, 12—14]
 Балка с идеальной жесткопластической диаграммой деформирования. Балку считают неподвижной до тех пор, пока в какомлибо сечении изгибающий момент не дог стигнет предельного значения. После этого начинается движение по схеме абсолютно жестких стержней, соединенных пластическими шарнирами или пластическими участками конечной длины. Пластические шарниры могут быть стационарными (неподвижными) и нестационарными (перемещающимися по длине балки). Длины пластических участков могут меняться во времени.
 Перед расчетом назначают места расположения пластических шарниров, после чего определяют движение балки. Для проверки принятой расчетной схемы вычисляют изгибающие моменты, вызываемые действующей нагрузкой и силами инерции. Если изгибающие моменты меньше пре-. дельного значения или равны ему, то при-., нятая расчетная схема правильна. Если же изгибающий момент на каком-либо участке балки превышает предельное значение, то необходимо изменить расчетную схему — ввести нестационарные шарниры, пластичности вместо стационарных; жесткие участки между нестационарными шарнирами заменить пластическими зонами и т. п.
 Шарнирно-опертая балка
 Равномерно распределенная нагрузка р(1). При р/2/8Л1о балка двигаться не будет-
 при М0 р12/8 с 3М„ (13.26)
 в середине балки образуется стационарный шарнир пластичности и движение балки происходит вследствие вращения относительно опор двух жестких участков (рис. 13.10,а,б). Уравнение движения
 тУ " _ р (О р 24 8
 ■Ма
 (13.27)
 где ф — пластический - угол поворота половины балки.
 213

13.10. Схема движения шарнирно-опертой балки при равномерно распределенной нагрузке
 р, ьг/щ
 2
 Мк
 6
 —к
 во-Гшцр,
 г
 20 АО 80 80 100 120 М 1В0 180 200 -ЩпгУ
 чппоп
 13.11. Максимальный прогиб шарнирноопертой балки при действии равномерно распределенной кратковременной нагрузки
 При рР/8ЗМа максимальный изгибающий момент, вызываемый нагрузкой и силами инерции, будет больше М0, что свидетельствует о неточности схемы балки со стационарным пластическим шарниром. В этом случае в балке образуются два нестационарных шарнира пластичности, разбивающих балку на три жестких участка (рис. 13,10, в).
 Скорость перемещения среднего участка
 I
 | Р Ш й1. (13.28)
 ЛУъ
 11
 Угловую скорость вращения крайних дисков находят из выражения
 (
 ~ Ч1 1" р й1' (13.29)
 о
 где координата пластического шарнира А:
 А 24М0 (1 рфсИ. (13.30)
 При возрастающей во времени нагрузке шарниры пластичности перемещаются к
 опорам, а при убывающей — к середине балкп. На рис. 13.11 приведен график •'зависимости максимального прогиба балки от кратковременной л-шгрузки, изменяющейся по различным законам.
 В случае действия на балку равномерно распределенного мгновенного импульса шарниры пластичности образуются в момент начала движения вблизи опорных сечений и затем перемещаются к середине балки, где, сливаясь, образуют стационарный шарнир пластичности, поэтому движе-. ние балки рассматривают в двух фазах. Зависимость максимального прогиба от мгновенного импульса приведена на рис 13.12.
 Сосредоточенная сила в середине пролета (рис. 13.13, а). При балка
 двигаться не будет; при МоР//49Л1о движение по схеме с одним шарниром (рис. 13.13,6); при Р//49Мо движение по схеме-с тремя шарнирами (рис. 13.13, о). Зависимость прогиба от величины, и времени действия силы приведена на рис. 13.14 (кривая 1).
 Жесткозаделанная балка
 Равномерно распределенная нагрузка. Возможные схемы движения балки приведены на рис. 13.15. Если предельные опорные и пролетный изгибающие моменты равны, то для определения перемещений можно использовать формулы, полученные для расчета шарнирно-опертой балки, заменив Ма на 2М0.
 : Сосредоточенная сила в середине пролета (рис. 13.16, а). При Р1/8Ма движения не будет; при Ма Р1/8 6М0 — движение по схеме с тремя шарнирами пластичности (рис. 13.16,6); при Ш0Р1/8~ движение с пятью шарнирами пластичности (рис. 13.16, в). Зависимость прогиба балки от величины и времени действия силы приведена на рис. 13.14 (кривая 2).
 Балка с идеальной упругопластической диаграммой деформаций при равномерно распределенной нагрузке
 Шарнирно-опертая балка. Зависимость изгибающего момента от кривизны:
 __1 _ . р дх2
 М ЕЛр при 1/р « 1 /р0у М— М0 при 1/р 1/р0.
 Упругая стадия. В упругой стадии дифференциальное уравнение колебаний имеет вид
 219

1/М0 №/т
 13.12. Максимальный прогиб шарнирно-опертой балки прн действии равномерно распределенного мгновенного импульса
 а3
 112
 1/2
 Ш?
 13.13. Схема движения шарнирно-опертой балки прн действии сосредоточенной силы
 Р1/2И,
 13.14. Максимальный прогиб шарнирно-опертой (кривая 1) и защемленной (кривая 2) балок при действии сосредоточенной силы
 ВЗ ■ +т у р {х, О; (13.31)
 ' дх 0Г-
 при граничных условиях
 у — 0; 3! у/дх? 0 при х 0; .г I.
 Для железобетонной балки жесткость Е1В определяют с учетом раскрытия трещин. в растянутой зоне и принимают постоянной по длине пролета и равной жесткости в месте максимального изгибающего
 а) Р
 И1П И ИIИ ИI/ ИН И й I
 г.
 «ИГ
 'А, м0\
 -
 1-2а
 й
 Г/к ■
 I
 13.15. Схема движения защемленной балки при равномерно распределенной нагрузке
 Р
 1/2
 1/2
 I
 Мп
 .Мо(
 \-г12Л~й 1
 13.16. Схема движения защемленной балки при действии сосредоточенной силы
 момента. При решении уравнения (13.31) методом Бубнова—Галеркина в случае равномерно распределенной нагрузки р(0 Р$(1) выражение для у(х, I)I'может быть принято в виде
 [(т)-(т),+-гЬ5г'
 (13.32)
 Уравнение для функции Т({) будет:
 ТУ) + №Т ({) №[((); (13,33)
 189-16 В _ 97,6 В (13
 ЗП‘ ш I' ш
 Решение уравнения (13.31) при нулевых начальных условиях имеет вид
 I
 т (0 Ч/ (т) 51П X (I — т] с!х. (13.35)
 0
 220

Изгибающий момент и скорость равны: М (Х() В1- ("Т-)'] Т ау' (13.36)
 (13.37)
 При решении уравнения (13.31) методом Фурье получим:
 пп
 у (х, о
 «1,2,3...
 Т_ (О 5Ш х; (13.38)
 I
 I
 тп Ф ~ С рп (т) 5‘п ап а — т ах• (13-30)
 71
 о
 где соп п? лУ1? V В/т ; (13.40)
 "•'“--И
 . 0
 ЛГ (Ж, о в— "V
 Р (.V, О 51 п лгйх; (13.41)
 I
 п2 Т (О 51п -2- л.
 «1,2,3...
 (13.42)
 Балка работает в упругой стадии до момента времени /0, в который изгибающий момент в среднем сечении достигает предельного значения М0, т. е. (р/2/8) X X?1 („) ~Ма.
 Пластическая стадия. . При условии (13.26) балка представляет собой ■ два жестких стержня, соединенных шарниром пластичности. Уравнение движения балки при равномерно распределенной нагрузке
 т1п р (?) I-
 ф(/ ,Д1 (13.43)
 24 8
 Прогиб равен:
 т{х, {). у(()х + у(х, /0),
 0д:с//2. (13.44)
 Начальные условия
 Ф I 0, ф | Фо, (13.45)
 (и
 где начальную угловую скорость ф0 определяют из равенства количеств движения в конце упругой и в начале пластической стадии:
 I
 Фо (4П~) \у (х, (0) ах. (13.46)
 о
 Интегрируя (13.43), получим:
 Ф К)
 24
 ш/а
 Р (Т) Л X — М„ I
 ф (О
 24
 гпР
 0
 I I
 Р (т) ёх2
 ЛГ„- Г-
 + Ф»:
 + ф»
 о о
 Максимальный угол поворота фмакс будет достигнут-в момент времени /Макс, при
 котором ф 0 фышюф((‘макс). Полученные зависимости справедливы, если остановка конструкции происходит раньше, чем нагрузка прекращает свое действие. Если это условие не соблюдается, то необходимо рассмотреть движение конструкции после прекращения действия нагрузки.
 Для балочных конструкций коэффициенты динамичности для изгибающих моментов (АдМ)) и поперечных сил (6) имеют разные значения.
 Для внезапно приложенной постоянной во времени равномерно распределенной нагрузки при учете одного члена ряда (13.38) имеем — У о
 1+0,65-
 2АМ
 н
 /г(м)— 1
 (13.47)
 где г/о—Л4о//9,БВ— прогиб балки в середине пролета в конце упругой стадии; к М„ЦР121&)— коэффициент динамичности для изгибающего момента.
 Из (13.47) получим зависимость коэффициента динамичности от отношения прогибов к\Умккс/у0:
 С’ №+0,3)/(й — 0,35).
 При изменении к от 1 до оо к
 (М)
 меня¬
 ется от 2 до 1.
 Поперечные силы в балке при ее работе в пластической стадии можно приближенно найти из равенства
 Э , и р со | т ухах.
 X
 Для постоянной во времени нагрузки
 1+Зйм)/4.
 На рис. 13.17, а, б, в даны графики зависимости коэффициента ки от к при различных законах изменения нагрузки во времени.
 При действии равномерно распределенного мгновенного . импульса интенсивностью I максимальный упругопластический прогиб балки:
 4АГ„ I- /„ „„ , „ ' 12
 я3 Е
 0,262 + 0,85 •
 Жесткозаделанная балка при действии равномерно распределенной нагрузки
 р(0р/(0-
 Упругая стадия. Дифференциальное уравнение колебаний имеет вид (13.31) при граничных условиях:
 221

а]
 13.17. Коэффициенты йм)при различных законах изменения нагрузки во времени
 При решении методом Бубнова-Галеркина примем
 у (х, () Т (() [(х/И — 2 (х/1) + .
 + (х/1)Ц р/245.
 222
 Для функции Т({) получим уравнение
 (13.33), в котором у.-"- (ГС! !.-/'•) (ПЛт).
 .Для случая постоянной во времени нагрузки /(01 будет: Г(0 1— соз М.
 Упругая стадия продолжается до мо-. мента времени 'когда изгибающий 'момент в опорных сечениях достигнет предельного значения Мо, т. е. (р/2/12)(1— —соз /Л,) М0-
 Упругопластическая стадия. Балка работает по схеме шарнирно-опертой балки с сосредоточенными постоянными моментами Мо, приложенными в опорных сечениях.
 Прогиб балки принимают в виде
 ’и-,-т-тКт)‘-Ц-)’+Ыг+
 [(тг-шм-т
 Начальную скорость определяют из условия равенства кинетических энергий или количеств движения в конце упругой и в начале упругопластической стадии. Упругопластическая стадия продолжается до момента времени когда изгибающий момент в середине пролета балки достигнет предельного значения М0.
 Пластическая етадия. Балка представляет собой два жестких стержня, соединенных шарниром пластичности. В этом шарнире и в опорных сечениях приложены сосредоточенные моменты.
 Уравнение движения балки
 Прогиб балки в середине пролета
 в(т'()в»,вт + ,(
 Начальную угловую скорость определяют из условия равенства кинетических энергий или количеств движения в конце упругопластаческой и в начале пластической стадии.
 На рис. 13.18 даны графики динамических коэффициентов в зависимости от отношения полного прогиба к прогибу в конце упругой стадии.
 Шарнирно - оперта я балка с Диаграммой деформаций хрупкоразрушающегося элемента при равномерно распределенной нагрузке. Предполагается, что в центральном сечении балки изгибающий момент после достижения предельного значения Мпр уменьшается по закону
 М — МПр — аф, (13.48)
 где яЛ1пр/фпр; —приращение угла поворота половины балки от конца упругой стадии до полной потери несущей способности.

кпШ0
 Уравнение движения балки в пластической стадии
 ЛИ. ф _ ЕЛ1Л + дг _ аф 0. (13.49)
 24 8 пр
 Начальные условия имеют вид (13.45).
 При постоянной во времени нагрузке выражение для полного прогиба в середине балки имеет вид
 макс '
 . мпР 1" [1 - й, Л \ _
 9.6В I \ V /
 V 1
 ■ 1)2&1— 1,42 г2
 (13.50)
 где кх фпр I /2у0; у М0 8/р/?;
 гпР
 Г
 ■ 51П Сй(,
 о-
 При этом должно быть у» 1,19]/"ки Вследствие того, что сопротивление конструкции уменьшается с ростом прогиба, для каждого вида нагрузки существует определенный прогиб шпР, при превышении которого произойдет обрушение конструкции. В рассматриваемом случае эта величина
 апр .М1'
 1■19Г&!
 1,19г + -)/к:
 При этом
 1,34
 1,34 +
 цпонным методом, исходя из уравненнй Лагранжа 2-го рода:
 ■Л у дТ у- дУ
 а
 5У7
 ди„
 (13.53)
 где Т — кинетическая энергия системы; V ~ потенциальная энергия системы; — потенциал внешней нагрузки; г/к — обобщенные координаты.
 При этом имеем:.
 I
 Т
 б
 I П/р
 Г тш~4
 О
 -I ЙтИт)
 йх\ (13.54)
 2
 \У ■— рт йх-.0
 Если зависимость изгибающего момента от кривизны 1/р—(д2т!дхг) представлена многочленом вида
 М 2 В„(1/р)»,
 /г1,3,5,...
 то V
 I
 -I
 В.
 (л-Н 1)
 71 И“{-1
 - ~ рт
 ах. (13.55)
 Выражение для прогиба т(х,1) можно искать в виде ряда по формам собственных колебаний соответствующей упругой балки
 ю2ук(0Хк(). (13.56)
 При учете одного члена ряда получим: N+1
 т ~ 1/1 V ьп‘Л- “ НЧ-
 112,3,...
 (13.57)
 I г
 где ах — [ х\йх\ рх _[ рХх 4х;
 (13.51)
 (13.52)
 Подставив (13.57) в (13.53), получим уравнение движения системы N
 ™Уг + 2 рпД Р1 . (13.58)
 п1,2...
 Т. е. при "Упр ШмакоШпР; при \’’Упр йУмакс 0°.
 Например: 61 10, упр 1,36, аупр
 3,64 уо] 150, 'уцр1,17; шПр 8,15г/0, Й1 Ю0, 7пр 1,12; шПр 11,7(/о-
 Шарнирно-опертая балка с криволинейной диаграммой деформирования. При криволинейной диаграмме деформирования М—МЦ/р) расчет балки может быть проведен варна-
 где
 7П-
 0
 : та.
 Для балки прямоугольного сечения из материала с кривой деформирования в виде аЕф—Ефъ зависимость М(1/р) -будет:
 М
 В! — - ■в3('— р Л р .]
 в»
 12
 Д,
 Е3 № 80
 (13.59)
 223

Уравнение (13.58) при этом имеет вид
 туЛ-Р1у — Р3у — р «,
 (13.60)
 где для шарнирно-опертой балки: при Х\(х)
 Рг
 Я1 В%
 Р
 Зя“ в3
 1‘т АР т
 В случае постоянной во времени нагрузки р()сопз4 из (13.60) получим уравнение для определения максимального прогиба (см. п. 13.6):
 ргУ Ъ д
 2 4
 р 0. (13.61)
 я
 Наименьший положительный корень ■уравнения (13.61) дает значение максимального прогиба. Если уравнение (13.61) не имеет положительных корней, то это значит, что при данной нагрузке р произойдет разрушение конструкции. Из уравнения (13.61) может быть найдено предельное значение нагрузки при условии, что (13.61) имеет один положительный корень. ' Предельный прогиб находят из уравнения
 Л-_Л0,
 йу 2 4
 откуда
 I/,
 пр
 (13.62)
 лт/л
 ЗР3 Н Г Е3
 Подставив (13.62) в (13.61), найдем предельную нагрузку
 Я У-п
 кпр
 пр
 (13.63)
 13.8. Упруго-пластические пластинки, опертые по контуру [12, 16] Прямоугольные пластинки.
 Упругая стадия. При расчете на кратковременную нагрузку дифференциальное уравнение колебаний пластинки (тонкой плиты) целесообразно решать методом Бубнова-Галеркина в первом приближении, задавая форму колебаний в виде произведения балочных функций.
 Для шарнирно-опертой плиты имеем
 по контуру
 И) IX, у, I) — Т 00 5Ш
 я .. я
 X 5] Г) у.
 а Ь
 При равномерно распределенной нагрузке функцию Т ({) определяют из уравнения
 т 0 + V- Г ({)
 16р (П
 где X ■ п-
 (13.64)
 (13.65)
 Упругая стадия продолжается до момента времени, когда наибольший изгибающий момент достигает предельного значения. При аЬ время конца упругой стадии находят из уравнения Му(а/2, Ь/2, (о)—МУо, где Му0 — предельный изгибающий момент в сечении, перпендикулярном оси Оу.
 Пластическая . стадия. После достижения изгибающим моментом Му в среднем сечении предельного значения предполагается, что в плите мгновенно образуются линейные шарниры пластичности по схеме рис. 13.19. Участки плиты между шарнирами пластичности рассматривают как жесткие диски.
 Уравнение движения плиты, полученное исходя из принципа возможных перемещений
 т.Ь2 _ , •• рЬг (За—Ъ)
 ■ (2а — Ь) Ф — ЦМуоа+МхоЬ)
 24
 12
 (13.66)
 Пластический прогиб
 ш„ ф(/2).
 Начальная угловая скорость, определенная из равенства количеств движения плиты в конце упругой и а начале пластической стадии:
 Ь а
 Фо — ‘
 12
 Ьа (За — Ь)
 №
 о о
 (х, 1/, I) йх йу. 13-67)
 При постоянной во времени нагрузке выражение для максимального прогиба: (2 — -ф) (2 — 7)
 (3 — я|)- (у,
 -У) 1
 -1)
 М.
 где ю0 ■
 У о
 у —
 ■()
 (13.68)
 1;
 М.
 У б
 16р
 рЬ2 {Ли — Ь)
 (13.69)
 224

Для равномерно распределенного мгновенного импульса интенсивностью / максимальный прогиб равен:
 ■ 2,82 (2 — 1[з) (1 + ф2)2 с{§; Я./1
 ' '
 (3 _ ,|,) 1 -|- !|,
 м„
 (1 + VI):2)
 где 51 п Я/]
 (13.70)
 М.
 У0
 плиты при М
 ■ И) щ [1 4- —— - ■ цЛ. (13.'
 V 1 + г )
 Для квадратной плиты при МхоМу0 АГ„:
 Круглые пластинки. При равномерно распределенной нагрузке интенсивностью р упругопластический прогиб определяют по формулам:
 для свободно опертой пластинки
 х 1 +
 1,2 (2 — У;) (1 + За1 -
 (1 — сЛг{т!2 [а + к (1 — а)] 9 (1 + а) — 4а“
 где ш„ Мх
 — 8 (1 -{- а + а2)} ра (5 + V)
 (13.72)
 640 (1 + V) г~а, ~~
 1ШГ
 ра“ (3 + V) 1 — а2) ’
 для защемленной пластинки
 +■ } «■
 мга 4- «А!га, + Мх Я — “)
 VI
 Мр ~В ‘
 Здесь а, а, — радиусы пластинки и кольцевого шарнира пластичности (рис. 13.20).
 13.9. Упругопластические арки кругового очертания ("12, 16]
 Упругая стадия. В упругой стадии дифференциальное уравнение колебаний имеет вид
 д° и 9 д‘ и д- и тпН‘
 да;• да' да2 ЕУ
 н-
 д'-и ' _ да2 др
 д2 ц
 где ы(сс, О—тангенциальное перемещение; К — радиус арки; ртс;1 проекции нагрузки р на оси ш и и;
 Радиальное перемещение шЭи/да. Изгибающий момент и продольная сила:
 Л'
 м ЕЗ ( д- хю \
 М Ь ич;
 Я2 I да2 )'
 3 ( д хм . дг и) \ { д2 ю \
 к.
 Уравнение (13.74) может быть решено методом Фурье. Однако при этом возникает необходимость в трудоемких вычислениях.
 Значительно меньшее количество вычислений и достаточную точность молено получить, применив метод Бубнова-Галеркина. В этом случае выражение для и(а,() ищут в виде и(а, ()—Т(()ио(а), где и0(а)~ форма тангенциальных перемещений от статической нагрузки, распределенной по тому же закону, что и динамическая нагрузка; и0(а) находят из уравнения
 3" и„
 ■ + :
 3‘ ц„
 +
 д- и„
 дГ,
 га
 к-
 да" да' да-
 Проделав вычисления, согласно методу Бубнова-Галеркина, получим уравнение для функции Т ({):
 К'
 т ф + %-т а) а,2 р а),
 ЕУ
 (13.75)
 I ( /1 ~ Тч) Ч0 Л
 ЕУ
 а„ „
 ]’ “о '( “о ~ "о) аа
 гпК1
 Выражения для изгибающего момента и нормальной силы:
 М{а,() М°(а)Т({); (13.76)
 N (а, () № (а) Т (0 + тПщ (а) Т (/),
 (13.77)
 , ,п ЕЗ ( д~ &Уп \
 рде М° (а) 2- + ш0|;
 Я2 \ да- )
 № (а)
 ЕЗ Г
 I
 д‘ ю0
 +
 д2 Щ да‘-
 М
 Частоту радиальных колебаний К можно принимать равной частоте собственных колебаний, соответствующей форме колеба¬
 15—491
 225

ний арки, близкой к форме перемещений от статической нагрузки.
 Пластическая стадия. Для внецентренно-сжатых или внецентренно-растянутых элементов возможность работы в пластической стадии определяется соотношениями между значениями продольной сил и изгибающего момента, при которых в некоторых сечениях образуются шарниры пластичности, Эти соотношения зависят от деформационных свойств материала и формы поперечного сечения. В табл. 13.2 для некоторых основных видов поперечных сечений элементов из идеального упругопластического материала приведены зависимости М(Ы) в предельном состоянии.
 Таблица 13.2
 Профиль
 Зависимость изгибающий момент—продольная сила в предельном состоянии
 Т"
 м0 ы.
 I
 Л + 1Ш_1о
 м„ 5 { )
 (а Л--!-);
 \ л/„ 3 )
 с А!0 N0
 /1 N Л / « 3 ).
 V 3 Л/„ )
 □
 Л1„ 3 Л70
 \ Ма 2 )
 — М + — 1—0 4 иа ~
 /1 N Л
 О
 М к N д м0 СО5~Т!Г0 '
 В
 Л10 \Ыо)
 Для железобетонного внецентренносж а гого элемента возможность образования шарнира пластичности определяют согласно СНиП П-21-75.
 По выражениям (13.76), (13.77), используя соответствующее условие возникновения шарнира пластичности, молено най’
 13.21. Схема движения арки в пластической стадии
 ти места расположения шарниров пластичности и время конца упругой стадии. Проверку следует начинать с сечения, в котором изгибающий момент максимален.
 При действии на арку симметричной динамической нагрузки возможная схема расположения шарниров пластичности будет иметь вид, показанный на рис. 13.21. Схема дана для бесшарнирной арки; для двухшарнирной арки следует положить
 Л0) 0, для трехшарнирной Л'1',0, М2) 0.
 Разложим перемещение оси арки на горизонтальное Vх и вертикальное ау. Выражения для них на различных участках арки будет:
 на участке 0—1
 ,1) _
 „(1)
 (соз а — соз
 ~у — фЯ (3111 а0 — 51П а);
 на участке 1—2
 „(2) (соз а,— соз а0)
 1 — соз а,
 (1— соз а):
 2 е-1 + ео 51 п а
 ои --С.-Д где р — угол поворота опорного сечения; е[ 51п а0—51П а,—зт (а0—а|): е2соз а,—со ао.
 В шарнирах пластичности 1 а 2 углы раскрытия будут:
 1 — СО 5 п.
 р, р-
 Фз 2 (Ф, — Ф). (13.78)
 1 — со 5
 Уравнение движения арки в пластической стадии, полученное на основе принципа возможных перемещении, имеет вид
 ЭЗ 1
 где Пц2 |а0
 тЯ3Пцф Лр-Пь,
 “Г31” (“о ~ “1)
 1 — со з а0
 (1—соз аг)-
 ■ 51П оу + е± е2 (1 - соз су]
 X
 1 —■ со5 а!
 Мо
 Мр2)
 ло1'
 СОЗ ССг
 1 — соз
 226

Аа — работа нагрузки на перемещениях арки при Ф1.
 При нагрузке, изменяющейся вдоль оси арки по линейному закону
 Рса Р(»1 — при а О,
 (13.79)
 получим
 „1 ■
 т/гзпцф 2-1!1А3пр_ м'о' пв, (13.80)
 ао
 где Пр («о - с) соз (х0 - а;) ■ . и — {-
 — 51П (а„ — о) — — ;
 1 — соз а!
 /х 1 — соз а + (а0 — оц) зШ о;
 /2 а0 — зт оу — (а0 — ал) соз а.
 Начальные условия ф|0 ®
 фЬ„ф
 Начальную угловую скорость ф0 определяют из условия равенства кинетических энергий в конце упругой и в начале пластической стадии:
 Фо
 _1а !шо-
 т („)
 . (13.81)
 Интегрируя (13.80), получим:
 • птэ К‘ г 1
 яг/?3 Пц ф р (О — М0 Пв (г — О +
 (13.82)
 'Рмако
 (13.84)
 15
 где ц
 О1’ % пв
 РН'~ Пт,
 _ мр пв а 2-)~ + ,пя° пи ф0 (Л - д.
 (13.83)
 Найдя из условия ф(?)0 время Iт максимального перехмещения арки, из (13.83) можно вычислить максимальный угол раскрытия в опорном шарнире пластичности ф(т). И3 выражений (13.78) определяют углы раскрытия в остальных шарнирах пластичности.
 Условиями прочности арки являются:
 ч ит «-7'С Ф1«т)«Ф1Пр;
 ф2 ит) ф2Р.
 гяе С' (,)1Р’ — предельные углы раскрытия
 в шарнирах пластичности.
 Для арки из жесткопластического материала при действии нагрузки вида р(1) р[ 1-(//0)];
 т — 20 (1 — •у);
 2рПр 02 (1 — у)»
 13.10. Железобетонные оболочки [12]
 Пологие оболочки двоякой кривизны при внешней нагрузке. Рассмотрим прямоугольную в плане пологую оболочку двоякой кривизны, опертую по всему контуру (рис. 13.22). Оболочка заделана в бортовые элементы, абсолютно жесткие в своей плоскости.
 Характер разрушения железобетонных оболочек определяется армированием бортовых элементов и может быть как хрупким, так и пластическим. В тех случаях, когда напряжения в растянутой арматуре бортового ребра достигают предела текучести раньше, чем напряжение сжатия в бетоне оболочки достигает предела прочности, в оболочке могут развиться пластические деформации и она начнет деформироваться по схеме, приведенной на рис. 13.23.
 Значения а0 и 60, определяющие схему разрушения, устанавливают на основании экспериментов или экстремальных принципов и могут быть приняты при расчетах равными: 0,256Ьо(1/3)6, а0Ь0{Ьа).
 Уравнение движения оболочки в пластической стадии при действии равномерно распределенной нагрузки р({) имеет вид
 т . ПЦ Д р )Пр — Па, (13.85)
 /г"/»
 где Пц ао (а ~ 2а0) (Ь - 20(|) + -2- X
 х У Го + ад ,( ад + /о) (а + “ 4о0) +
 + 4
 У /о + “о(-21+/о);
 р (а&-°0
 ’о) ао:
 п„4/а
 Ра ~~ площадь поперечного сечения арматуры бортового элемента; Д — ширина раскрытия трещин в углах оболочки.
 Начальные
 условия:
 А!/г„ 0,
 Д| До/о2(о) ~\/~а&/2Пц, где г((0) — скорость перемещения центра оболочки в конце упругой стадии (при о).
 При нагрузке р(1) р[1—(//0)]
 г (/„
 1,62 р
 (5‘
 т а{„ ■
 1 — соз юг'о шВ ]
 (13.85),
 где ю — низшая частота собственных колебаний оболочки, принимая согласно п. 9.10 разд. 9.
 Максимальное значение
 РПр
 тП,
 227

гI I
 г
 V-
 I
 у?
 2Г
 а -2ао
 XV
 -«т1
 13.23. Схема излома прямоугольной в плане пологой оболочки при внешней нагрузке
 где т е[б-?+К(б-у)5 + ВД0 + 1т 0у
 уг»пв __ па ,
 (13.87)
 В
 “р пр Г9 "“р
 Пренебрегая упругой стадией До0, получим
 рпг
 5 1 — -
 гуТрВЧ],, Гл ЗшП..
 (1 — 7). (13.88)
 13.24. Расчетная схема (с диагональной схемой излома) квадратной в плане пологой оболочки при внутренней! нагружении
 центрального отверстия. Расчетные зависимости даются для оболочки, контур отверстия которой не переармирован: в пластической стадии работают арматура оболочки и контура отверстия. Схема разрушения приведена на рис. 13.24.
 Пластические деформации в оболочке возникают, если
 Р Рст + Рр .
 где рсда (1/Ад) Ррт—нагрузка, снижающая до нуля сжимающие усилия в оболочке от статической нагрузки рр — [л2 кНо ПЛ (1 + ’2л|1)]/8Ад —
 — нагрузка, вызывающая в арматуре оболочки напряжения, равные пределу текучести; к4?{Р; п—Еа/Е; (.1 — коэффициент армирования;
 2(!
 агсе об
 соО
 Предельное состояние оболочки нормируют значением удлинения Д арматуры контура центрального отверстия. Максимальное значение Д определяют из выражения (13.87), в котором П„
 Предельное состояние оболочки можно нормировать по удлинению арматуры бортового. элемента, т. е. условием ДмаксДПр. Дпр определяется по предельным деформациям арматуры.
 Пологие оболочки двоякой кривизны при внутренней нагрузке. Рассматривается квадратная в плане пологая оболочка двоякой кривизны с центральным квадратным отверстием. Оболочка заделана в бортовые элементы абсолютно жесткие в своей плоскости (рис. 13.24). Внутренняя нагруз-
 {
 ка изменяется по закону р(()р( 1—■—) .
 0
 Схема разрушения оболочки зависит от армирования поля оболочки и контура
 V ■
 р пт
 /о /(1-1),
 -Л/47Т7
 (0,95 •
 П — (4/® + г?)3/2 (0,985 • 24
 ■ 61“ ■
 п„.-4/2 (1-1) аЯа(1 + 2
 + 2!3);
 813- _ 314);
 П
 а' ’1 —площадь поперечного сечения арматуры в контуре центрального отверстия, поля оболочки;
 Ал
 1А2-2,44г (/„)
 У 4+ Сщг-
 1 + (1/1 + 1)
 г(/о) — определяют по формуле (13.86), в которой, вместо р подставляют р—р .
 228

Условие прочности оболочки будет
 Лмакс Апр-
 Сферический купол. Предполагается, что разрушение сферического купола начинается вследствие достижения растянутой арматурой опорного кольца текучести и что оно происходит по схеме рис. 13.25. Упругой стадией работы купола пренебрегается. Максимальное удлинение арматуры опорного кольца при равномерно распределен-
 I
 ной нагрузке р({)р(1——) определяют
 О
 по формуле
 4яЯрПп 0“
 макс
 ЗтП.
 - (соз а± — соз а0)[ 1 —
 а
 РП1
 (13.89)
 а. — а, —
 13.25, Расчетная схема сферического купола при работе в пластической стадии
 где Пр Я3 |5та а0 — 51113 сх,! —
 (51П 2а0 — 51п 2сц сон а;
 Па КДа ра (соз щ — соз а0);
 Пц Я‘ |(1 + 51п~ а„) (соб — со5 а„) —
 — [а0 — — (зш 2а0 — зш 2а,)] 51п а„ + X Х(со53 а„ — со53 а1) + (1 — соз аХ
 X (51п а„ — 51П ао" + (со5 а, — соз а„)3 1.
 3 /
 Условие прочности купола имеет вид: Амане Дпр
 РАЗДЕЛ 14 ВИБРОИЗОЛЯЦИЯ
 ( |В. С. МАРТЫШКИН |)
 Виброизоляцией называется способ уменьшения колебаний какой-либо механической системы, основанный на значительном ослаблении ее связей с другими системами. Если источник возбуждения колебаний находится внутри системы, то виброизоляция, используемая с целью уменьшения его воздействия на основание, называется силовой. Виброизоляция называется кинематический, если виброизолируемый объект требуется защитить от колебаний поддерживающих его конструкций.
 На рис. 14.1 показаны некоторые конструктивные схемы виброизоляции.
 Виброизоляция — весьма эффективный способ борьбы с вибрацией. Необходимым условием, обеспечивающим эффективность
 ее работы, является правильный расчет и конструирование, строгое выполнение проектных требований.
 Наиболее просто рассмотрение виброизолированного объекта как системы с одной степенью свободы при гармонических колебаниях самого объекта или его основания. Эффективность виброизоляции в этом случае можно оценивать коэффициентом передачи ц, который при силовой виброизоляции равен отношению амплитуды силы, передающейся через податливые пружины (виброизоляторы) на основание, к амплитуде силы, действующей на виброизолированный объект, а при кинематической виброизоляции — отношению амплитуды перемещений виброизолированного объ-
 229

3)
 г)
 В)
 I
 УУУУУУУУУУУУ
 Ж
 ё
 к. 3'
 " 7 I
 :777777Р77777.
 777777
 Рис. 14.1. Конструктивные схемы виброизоляцин
 а — опорный вариант; б — подвесной вариант с пружинами, работающими на сжатие; в — то же, на растяжение; г — подвесной вариант с шарнирными стержнями; д —опорный вариант со стержнями, работающими на изгиб; е — вариант с применением катков; ою — вариант с использованием слоя смазки; з — схема астатического маятника
 екта к амплитуде перемещений основания. В обоих случаях его величина равна:
 |.ь — 1/а" — 1,
 (14.1)
 где аи№ есть отношение частоты и вынужденных колебаний к частоте [ собственных колебаний виброизолированного объекта.
 Очевидно, при достаточно большом значении а коэффициент ц очень мал.
 Наиболее широкое практическое применение имеет рассматриваемая здесь линейная теория виброизоляцин при возмущениях детерминированного характера. Возмущения считаются либо гармоническими, либо квазигармоническими (с медленно меняющимися амплитудой и частотой), либо импульсивными. В основу изложенной ниже теории виброизоляции положен так называемый метод динамических жесткостей.
 где т,-—масса 1-го элемента; т — общая масса объекта; г1—координаты центра тяжести
 I-го элемента.
 Для определения вращательных колебаний объекта надо знать моменты инерции относительно осей х0, Уо, г0:
 70у - 2 IУу1 + тъ '(4- +-ж0«|]; 102 2 К + тг + уЩ ’
 (14.3)
 где х1’ у1’ гг —моменты инерции (-го элемента относительно осей, проходящих через его центр тяжести параллельно осям хо, уа, го, а х, г — координаты центра тяжести 1-го элемента.
 Если 1-й элемент имеет форму прямоугольного параллелепипеда с размерами а,
 Ь, 	к в направлениях осей х0, уа, г0 соответственно, то:
 14.1. Основные параметры виброизолируемого объекта
 Виброизолируемып объект рассматривается как абсолютно твердое тело. В качестве основной системы координат принимают главные центральные оси инерции х0, Уо, 20. Координаты центра инерции С (центра тяжести) объекта, мысленно расчлененного на п простых элементов, определяются в системе координат с произвольным началом п осями х, у, г (параллельными осям хв, уо, г0, если их направления известны) по формулам:
 11т'Ътгх1’
 Ус
 11т У,
 «г Уь I
 (
 (14.2)
 ]у1 тг (а? + /г?)/12;1 (14.4)
 1ггЩ (а? + №)/12. ]
 Введем также радиусы инерции
 Кох "У 3 ох! Ноу — У 1 оу/
 Ног Уог/т- (14.5)
 Упругие свойства виброизоляторов характеризуются коэффициентами жесткости (или просто жесткостями) Кт, Куи К1 (здесь I — номер виброизолятора) по трем осям симметрии, ориентируемым при проектировании параллельно осям х0, ув, г0. Жесткость виброизолятора равна силе, вызывающей единичную деформацию виброизолятора в данном направлении. Система виброизолятора характеризуется суммарными жесткостями:
 I С I
 (14.6)
 230

Центром жесткости системы виброизоляторов вдоль данной оси называется точка приложения равнодействующей их реакций, параллельных этой оси, возникающих при поступательном перемещении объекта вдоль этой осн. В общем случае имеются три центра жесткости, координаты которых определяют по формулам, аналогичным (14.2). Так, центр жесткости вдоль оси г (вертикальной) определяется координатами:
 Аг к ЗК2г хй У г ~к~ ЗКгг уй
 )
 (14.7)
 где Х{, у и г,- — координаты точек приложения реакций виброизоляторов. Заменой индекса г на х и у получаются формулы для координат центров жесткости в направлениях х и у. Часто достаточно знать положение вертикальной оси жесткости, определяемое двумя первыми формулами в (14.7), и высоты центров (осей) жесткости в направлениях х и у:
 г •
 к.. ~ г’
 Ку Уг
 (14.8)
 Если выполняется условие Кг1а,Кх! РКг/г (обычное для виброизоляторов), то все три центра жесткости лежат в одной точке, называемой в этом случае главным центром жесткости. Система виброизоляторов характеризуется также суммарными угловыми жесткостями:
 КрХ — 2 уХ1 + Ку. г",-)';
 ~ 2 х1 гт "1“ х';
 Ф2
 (14.9)
 • координаты точек приложения реакций виброизоляторов в системе координат с началом в соответствующем центре жесткости н осями, параллельными осям жесткости
 Угловая жесткость относительной данной оси жесткости равна моменту относительно этой оси, поворачивающему объект вокруг оси на угол, равный 1 рад. Введем также понятие приведенных плечей жесткости, определяемых по формулам:
 К
 ■рх
 К,
 2
 ЬуХ
 К,
 Ф V
 (14.10)
 Внутреннее трение не зависит от скорости деформаций виброизоляторов. Урав- , нение поступательных колебаний виброизолированного объекта вдоль оси г при действии гармонической силы по оси г с учетом внутреннего трения имеет в комплексной форме вид 1
 отг+ (1 + 1уг) Кг г Рог(соз со0г' -|- гзш ш0),
 (14.11)
 где 2— перемещение; /-—мнимая единица; ч2 — коэффициент потерь; Р02 и — соответственно амплитуда и круговая частота силы.
 Величина СгугКг может рассматриваться как жесткость неупругого сопротивления. Если аог — амплитуда перемещения, РогСга0г И Роу СгОо2 — амплитуды силы внутреннего трения и упругой силы соответственно, то
 уг Р0Т/Р0У С2/Кг. (14.12)
 С логарифмическим декрементом колебаний 6г коэффициент у2 связан зависимостью
 62 лу2. (14.13)
 В демпферах с жидкостью сила вязкого трения пропорциональна скорости. Уравнение поступательных колебаний объекта с присоединенными к нему демпферами имеет вид
 тг + Нг г 4- Кг г РП2 соз ш0 (14.14)
 где кг — коэффициент сопротивления. При условии Н\.4тКг, выполняющемся для демпферов, амплитуда силы вязкого трения, с точностью до малых второго порядка, равна при свободных колебаниях:
 Рот шг аог (14,15)
 где шг — круговая частота собственных колебаний системы, а при вынужденных колебаниях
 Рот гг Ш0 ааг ~ °ог (1 ■ 1®)
 где агш0/Мг- Величину Со2а2/ггтг назовем жесткостью неупругого сопротивления при вязком трении, которая при собственных колебаниях равна С2/ггшг.
 По аналогии с внутренним трением вводят коэффициент потерь уг при вязком трении:
 Важное значение в теории впброизоляции имеют силы неупругого сопротивления, возникающие при колебаниях в упругих элементах (силы внутреннего трения) или в гидравлических демпферах (силы вязкого трения).
 оу
 К,
 ■ “2 Т2,
 (14.17)
 1 Как показано в работах А. И. Цейтлина, комплексную жесткость более точно следует принимать равной и+и, где и —II V] +12, о у1 V1 у-.
 Однако в практических расчетах при 10,2 допустимо принимать и. {,

где у —• значение уг при ад —1. Из (14.17) следует:
 С2 угКг. (14.18)
 Зависимость между б2 и V остается прежней (14.13).
 По аналогии с понятием центра жесткости упругих элементов вводят понятие центра жесткости элементов с неупругим сопротивлением, координаты которого определяются по формулам (14.7), если в них заменить на сг,- или сг. Так, например, для координаты хг получим соответственно формулы:
 • зс„. х,-
 ■ 2С„. -х.
 : 1_
 '-‘г — г сг “ 11
 (14.19)
 где С2ЗС, Сг2Сг,'. Так же из аналогии с формулами (14.9) определяют угловые жесткости неупругих сопротивлений для элементов с внутренним трением и демпферов вязкого трения относительно соответствующих осей жесткости:
 Срх — (С2г УXI + Суг. гх; (14,20)
 Сф (Сг/ & + Сцс 4). (14.21)
 Круговой заменой х, у и г получают остальные жесткости. Таким же образом вводят по аналогия с (14.10) понятия приведенных плеч жесткости при внутреннем и вязком трении:
 Нху ~ Нух Сф/Сж; (14.22)
 Нху — Сфх/с,;, ИуХ — Сщ/Сх . (14.23)
 При совпадении центров жесткости упругих и неупругих сопротивлений коэффициенты потерь при угловых перемещениях определяют при внутреннем и вязком трении соответственно по формулам:
 СфЛ.//СфА., Уц,у— Сфу/Куу!
 \гС„21К (14.24)
 Тф// Суу/Куу,
 СР2 Сф2/Кфг.
 (14.25)
 14.2. Частоты собственных колебаний виброизолированного объекта
 В общем случае виброизолированный объект имеет шесть степеней свободы и, следовательно, шесть частот и форм собственных колебаний. При их определении незначительным влиянием неупругих сопротивлений молено пренебречь.
 Расстановка виброизоляторов в плане всегда должна быть такой, чтобы центр их
 жесткости лежал на одной вертикали с центром тяжести объекта. При совпадении этих центров круговые частоты собственных поступательных и вращательных колебаний определяются соответственно по формулам:
 К, .
 кх
 О
 “.V -
 т
 2
 2 •
 111
 2
 ЮФУ ~
 ох
 2
 -фг
 йф2
 У
 02
 т/
 (14.26)
 При раздельном их расположении независимыми будут лишь вертикальные колебания и вращательные колебания вокруг вертикальной оси с круговыми частотами:
 а1Кг/т\ (14.27)
 14-28)
 Круговые частоты связанных колебаний в плоскости х0Ог0 определяются по формулам:
 ад! [а - ]/л2 - й) со2х; | шФ/,2 {а + \/~ А2
 -ь'у)а~х’
 (14.29)
 а в плоскости уоОгц — по формулам:
 а&п [в ■
 где
 к;
 (14.30)
 2 2
 1 + Ьх + й,.
 В
 1 + Ьх + Гх
 Ьху .
 ух
 8У
 “у ‘
 оу
 и Зу — расстояния от центра тяжести до осей жесткости, параллельных осям хну соответственно.
 Как видно из формул (14.29) и
 (14.30), с увеличением 5 и 5;, увеличиваются и частоты, поэтому целесообразно сократить эти расстояния. Один из способов их уменьшения состоит в следующем.
 Если виброизоляторы, расположенные в плане в два ряда и имеющие общие жесткости Кг И /Сс/(2, наклонить к оси X в одном ряду на угол 0, а в другом — на угол я—0, то реакции при поступательном смещении объекта вдоль оси х на величину Дд: можно привести к двум силам в точках
 232

Рис. 14.2. Наклонные упругие опоры
 О1 и 02 (рис. 14.2). Жесткость такой системы в направлении оси х равна:
 К, , (14.31)
 причем уровень условной горизонтальной пружины с жесткостью Кх будет выше уровня вершин наклонных виброизоляторов. Жесткости Кг и Кх наклонных виброизоляторов, высота /г поднятия центра жесткости и угловая жесткость Кщ относительно оси у, проходящей через новый центр жесткости О, определяются по формулам:
 Кг — Кг соз2 0 + Кх 51П2 0;
 Кх Кг 5Ш2 0 + Кх СОЗ3 0;
 Кт (а2 + /г) [Кг 5П12 (п — 0) +
 + кх С05 П — в)
 а 1К-К„) зш 20 Н 5 ,
 2 (/2 5Ш2 0 +КХ С052 0)
 14.32,V
 где 11 агс1е а/Н, а — см. рис, 14.2.
 Если 5 — расстояние от центра тяжести объекта до центра жесткости виброизоляторов, установленных без наклона, то их наклоном можно добиться совмещения этих центров, если удовлетворить условию
 (14,33)
 где % Кх!Кг, у8/а. При этом угол наклона 0 равен наименьшему из двух значений, определяемых по формуле
 со 5 20 2-±- [ 1 ± —— X
 (1 — 5) (1 —V2) I. 1 + 5
 X уГа — - 4б], (14.34)
 Если условие (14,33) не выполняется, можно определить наибольшую величину ймякс и соответствующий угол 0 по формулам:
 о(1 — Е) макс — :
 2 / б
 (1 - (1 + V2)
 14,3. Перемещения виброизолированного объекта под действием динамических нагрузок
 Перемещения под действием гармонических нагрузок. Основным видом динамического воздействия, встречающегося на практике, является нагрузка, создаваемая центробежной силой и эквивалентная двум взаимно' перпендикулярным гармоническим силам с одинаковой частотой, изменяющимся во времени одна по закону синуса, другая по закону косинуса. Ниже предлагается методика определения амплитуд перемещений объекта под действием таких сил.
 Гармонические нагрузки, действующие на объект, приводятся к трем силам Рх, Ру, Рг, приложенным в центре тяжести в направлении осей' х0, Уо, г0, и к трем моментам Мх, Му, М2 относительно этих осей. Эти гармонические нагрузки, имеющие одну и ту же частоту, но разные начальные фазы, заменяются гармоническими нагрузками двух видов, .одни из которых действуют по закону синуса (отмечаются одним штрихом сверху), другие — по закону косинуса (отмечаются двумя штрихами сверху). Амплитуды линейных и угловых колебаний объекта, происходящих по закону синуса, обозначаются буквами а0х, аоу, а0г, фо фо» фог, а колебаний, происходящих по закону косинуса, — буквами ЬВх, Ь0у, Ь0г, фо 'Фог. При этом амплитуды колебаний, вызываемых действием синусоидальных и косинусоидальных нагрузок, отмечаются соответственно одним и двумя штрихами сверху. Амплитуды суммарных
 Рис. 14.3. Координаты точки приложения возмущающих сил /а. Р ц и Р г с амплитудами Р ох,
 14.35)
 (14.36)
 233

колебаний точек объекта обозначаются буквой А с соответствующими-индексами х, у, г, указывающими направление перемещения. Силы и линейные перемещения считаются положительными, если их направления совпадают с положительным направлением осей. Моменты и угловые перемещения считаются положительными, если при взгляде в положительном направлении осей поворот происходит по ходу часовой стрелки (рис. 14.3).
 1. Центр тяжести и центры жесткости упругого и неупругого сопротивлений совмещены. В обозначении аШо/о)3- под ’(/1, 2,..., 6) понимаются круговые частоты собственных колебаний со, щ а
 определяемые по формулам (14.26) и расположенные в порядке их возрастания.
 Если при рабочем режиме виброизолированной машины а,-2,5, то можно применять приближенные формулы:
 °0а-
 Рдх
 2
 —ты о
 а0г
 ФО
 Ф0/'
 °0г/ р0г
 2
 —тсод м0х - ■'ох “с
 Щц
 р0у
 —ШСОд
 Ф0г •
 — •10у “5
 м0г
 2
 — Ург “О
 (14.37)
 ь0х
 р0х
 2
 — пгоэо
 ь0г’10л; И п
 Ф0г '
 ь0у —
 р0г
 — т©о
 р0у
 2
 - пг©о
 М,
 Юл
 “ ©О
 м0 У
 2
 — •?!/ “О м0г
 2
 ~ Ог 0
 (14.38)
 Амплитуды а'0х, фоЛ„ ь'0г и т. д.
 здесь и в дальнейшем принимаются равными нулю, если их значения не указываются. Если вычисленные по формулам (14.37)
 и (14.38) амплитуды близки к допускаемым, их следует уточнить по формулам (14.39) и (14.40), в которых учитываются жесткости упругих сопротивлений. Эти формулы применимы при значениях ■' «/ 1,25 и а/0,75:
 а0х
 р0х
 а0у'-
 °0г ■
 Фо
 ФОг'
 С1 “ “)■
 р0у . Ку {1 — а),
 р0г
 «шЬ-ф '
 Щх Кцх 0 1 аф.г‘) Щу _
 Кру С1 ~~ аф(/)
 .
 фг С1 ~ афг|
 Ч
 р0х
 ь0х
 ь0ц
 Ь0г ■
 Фоа-
 ро у .
 р0г
 «г С1 ~“г) Мох
 КцХ (1 КфА’)
 Ч’0г
 М,
 О У
 Куу I1 аф(/)
 м0г
 Фг (г афг)'
 (14.39)
 (14.40)
 С учетом сил внутреннего трения формулы (14.39) и (14.40) принимают вид:
 а0х
 ± р0х
 Ф0а- •
 КхУЬ—'ОЬ
 ± м0х
 .2 2 I + V
 КфхУЬ-хТ + ч1х
 ; (14.41)
 ь
 ох
 234

: М
 ф •
 ОХ
 кУ о-“ф)2+
 и т. д.
 С учетом сил вязкого трения: ± р'
 (14.42)
 к
 ,/ о—5)4. ,;'
 ±м
 ф„
 (14.43)
 ± Я
 Ь ох
 : М
 Ф
 ОХ
 К ях У а- \2+а- у2
 I V рх/, фА- грх
 (14.44)
 Знаки в формулах (14.41) — (14.44) соответствуют знаку разности 1—а2. Если 0,75а/«1,25 (зона резонанса), то при внутреннем трении амплитуды следует определять по формулам:
 а —
 ох к
 /1 — а2) ох \ X )
 [О—З33.]
 Фп1. ~
 ОХ К
 м' А —■ а2 V
 ох V. флг/
 Г(1-а2 V2
 |Д фА-/
 — М V
 ОХ чрл
 ф]
 К \(\ — а2 Х2 + У2 1
 Ф# [Д фх/ ц)х\
 (14.45)
 — Л'1 а у
 ОХ фХ фДГ
 К (71—а2 У2+а2 у2 I
 рл: [ \ ф/ фл флг]
 ,, . Р;/ а V
 я — ох х гх
 °х :
 „ р" 71 — а2\
 Ь ох V х'
 „ ЛГ а V
 гп ох фл гфя
 М / Г (1 — а2 \2+а2 т2 1’
 флг[ V фЛ/ 1 фЛ фя]
 I (14.48)
 ф
 м" (1 — а2 \
 ОХ\ (|Л/
 ■К,
 Рх [(1
 ФЛ7
 ; + а2 у2 V
 фХ
 Заменой в этих формулах индекса х на у и 2 получаются остальные перемещения. В стационарном резонансном режиме или при очень медленном изменении частоты возмущения при переходном режиме амплитуды резонансных колебаний (а, 1) при внутреннем и вязком трении определяются по формулам:
 р
 а °±.
 ох —
 Лг V X х
 м"
 ох % V
 фЛГ гфЯ
 — Я
 {/ —;
 ол. к
 х х
 - м'
 ох
 °Х К(рх У(рх
 (14.49)
 а —Ъ ф ф 0 тт т к ох ох ох ох и 1 д
 Найденые по формулам (14.37)—
 (14.49) амплитуды складываются алгебраически:
 я V
 ох гх
 ь
 ох
 МС1-)2]'
 Г'пх(}-
 М у ох фд;
 !_а2 \2+у2 I рх) фА]
 чф
 1Х [('
 М 1 — \ ох V цх)
 Ф[(Х “фх)2+'',фх]
 при вязком трении:
 а' ЧЛ1"")
 — р' а у ох х х
 Ъ оХ
 КхЬ-ъ)
 ктх Г О ~ а'2 V2 + “2 V2 фА [V ФА7 ФХ Ф
 (14.46)
 ФЛ-]
 (14.47)
 аох аох + а0Х- Фож33 Фоа- + Чох’ (14 5°) ЬОХ Ь'оХ + С; оя %Х + %Х- (14-51)
 Заменой в них индекса х на у и г получаются выражения для остальных восьми амплитуд.
 Амплитуды перемещений какой-либо 1-й точки объекта с координатами #ог, г/оь и 20ё при движении по закону синуса определяются по формулам:
 ахг аох Фо7/гог ФогУоЬ
 аЩ ~ аоу Фог-ог Фох2ос’
 &2г “ &ог ~Ь ФохУог Фоу'ог»
 (14.52 Ц
 а при движении по закону косинуса — по
 формулам:
 — &ох Роуос ’Фог/ог» Уг ~ &оу "Ь 'Фогхо1 Фол:2ог Ьц Ьог + %хуо1 — %уХо1.
 (14.53)
 235

Модульные 'значения амплитуд колебаний 1-й точки в направлениях осей координат определяются по формулам:
 У а1с + 6а-«; аУ1 У аи + Ь2и1\
 'уь
 А
 К| + IV К1 + |ф
 А • •
 Пу, •
 А . •
 Яу1 ’
 Кь К| + \ЧхУо1\ +. Ког
 -гг (14.54)
 Резонансные амплитуды колебаний в переходных режимах при быстром нарастании или убывании числа оборотов меньше значений, определяемых по формулам
 (14.49). Графики на рис. 14.4 позволяют определить отношение максимальной амплитуды колебаний виброизолированной установки в переходном режиме аМакс к амплитуде колебаний этой установки в рабочем режиме а01. По оси абсцисс отложены отношения скорости нарастания или убывания числа оборотов г в Гц/с2 к квадрату частоты собственных колебаний /V виброизолированной установки по направлению соответствующей координаты. По оси ординат отложены значения коэффициентов потерь уI (или уг). Каждая кривая семейства, представленного на графике, соответствует определенному значению ймакс/ао/. Поскольку колебания виброизолированного объекта в переходном режиме являются квазигармоническими, амплитуды колебаний его точек в этом режиме уже нельзя определять по формулам (14.52) —
 (14.54). В этом случае рекомендуется по формулам (14.55) оценивать верхнюю границу возможной величины перемещения г-й точки объекта в направлениях осей координат. Звездочкой обозначены максималь-. ные значения соответствующих величин (ЛЛЫакс и т. д.):
 Рис. 14.4. График для определения требуемого коэффициента потерь 7 характеризующего неупругое сопротивление в виброизоляторах
 (е — скорость нарастания или убывания частоты возмущающей силы, Гц/с2; I .— частота собственных колебаний вибронзолированного объекта Гц; кмакс — максимальная амплитуда колебаний виброизолированного объекта в переходном режиме; а0- —амплитуда колебаний виброизолированного объекта в рабочем режиме
 уточнить по формулам (14.56)', которые всегда следует применять при а,0,75 и а/1,25;
 р в +и к 8
 ОХ ф I/ ОХ X у
 АЧУ
 Р' В +М' К 8
 _ о !1 ГРХ оу 11 х
 ДфХ
 (14.55)
 '«Я-Ф
 2. Центр тяжести и центры жесткости упругого и неупругого сопротивлений находятся в разных точках. В этом случае ш/ (;1, 2,..., 6) означает круговые частоты собственных колебаний виброизолированного объекта шф;Я, шфх2, швд1, швд2, аг, софг, определяемые по формулам (14.27) —
 (14.30).
 Амплитуды колебаний в рабочем режиме машин, входящих в виброизолируемый объект, при сс/2,5 определяются по приближенным формулам (14.37) и (14.38) и лишь в случае, когда их значения получаются близкими к допускаемым, их нужно
 Ь • ох
 Р,В +М к 5
 ОХ Щ 01) х у ' А№
 Р В 4- М К 8 й" о/ Ф ох у х
 оу Дг
 афд:
 р"
 «А1-0® ’
 М В + Р КЗ ох у ог/ у х
 М В + Р К 8 т °У х ох х ч ■
 оу 7 ’
 ЛФ У
 (14.55)
 236

м
 02 / 2 V
 ф2 V афг/
 М" В Р" К 5 11) 0Х У 01/ у X
 »ох .
 лфд:
 М” В + р" К 5 ■ф" оу х оХ У .
 Дгг
 (14,56)
 01/
 М
 ■ф .
 "о к А _ а2 V' Ф2\ (рг/,
 где обозначено:
 т
 ох
 Офя ~ мо)
 ЛФ/ '
 т |
 оу \
 к
 Вух — V № ОяО?
 В.
 В
 т
 ■ Кх — т С05; Ву К —т 4-
 тела с моментом инерции /0г, пружины с угловой жесткостью Кф2 и демпфера с жесткостью углового неупругого сопротивления С,р2.
 Две следующие системы (припишем им номера 3 и 4), колеблющиеся в плоскости х0Ого, с условными массами тъ и ш4, соединенными абсолютно жестким стержнем, условными пружинами с жесткостями Кхз и /Си и условными демпферами с жесткостями неупругого сопротивления Схз и С4, будут независимыми, если их параметры удовлетворяют требованиям:
 т. + т.
 Если частота возмущающей силы близка к частоте собственных колебаний или совпадает с ней (0,75а1,25), то формулы (14.56) неприменимы. В этих случаях перемещения виброизолированного объекта следует рассматривать в системе главных координат.
 3. Колебания виброизолированного объекта при наличии неупругих сопротивлений, рассматриваемые в главных координатах. В системе главных координат перемещение виброизолированного объекта по каждой координате при отсутствии неупругих сопротивлений не зависит от перемещений по другим координатам. В этом случае исходная система с шестью степенями свободы эквивалентна шести независимым системам с одной степенью свободы. Однако при наличии в системе элементов с внутренним трением или вязким сопротивлением полное разделение на независимые системы в общем случае невозможно. Однако если предъявить к расположению элементов, обусловливающих затухание колебаний, определенные конструктивные требования, то полное разделение становится возможным.
 Если центр тяжести и центры жесткости упругого и неупругого сопротивлений находятся на одной вертикали, но в разных точках, то можно выделить прежде всего две независимые системы с одной степенью свободы, первая из которых состоит из массы т, пружины с жесткостью К, и демпфера с жесткостью неупругого сопротивления С-; другая система состоит из
 (14.57)
 т; гп3р3 яг4р4;
 тзРз + ™4Р4 оу'
 &ХЗ Кх КхъН
 Сз + Сх4 Сх; Сх3Г3 Сх4/4;
 жз'з + Сж/4 Сф у’
 Рз + Р4 Ч + 4. Т3 + ГИ ?з Рз + 5У1; г3 рз4-5г/2.
 Здесь р3 и р4, 13, и, г3, г4 — расстояния от точек приложения реакций условных элементов соответственно до центра тяжести, центра жесткости упругого сопротивления и центра жесткости неупругого сопротивления; 5ИЬ 5„2 — расстояния между центром тяжести и центром жесткости соответственно упругого’ и неупругого сопротивления в исходной системе.
 При отсутствии затухания (СхСт— 0) две указанные условные системы, параметры которых удовлетворяют требованиям (14.57), всегда будут независимыми. Их параметры определяются по формулам:
 р з 1/+4, +о,; р41/ + . о4-58)
 к2 й2-32,
 (14.59;
 О -
 -Е! ;
 Ра+ Рл
 од у
 г/1
 25.
 г/1
 Р»
 и
 1-гг I.
 Ра + р4 /, _ ж /»+ и'
 /с, - кт
 Величины рз и р4 (13 и /4) легко определяются выполненным в масштабе геометрическим построением, изображенным в правой части рис. 14.5, где от центра тяжести О по горизонтали отложен радиус инерции Но„, а от центра жесткости 01 — приведенное плечо жесткости Ьу. Точка пе¬
 237

ресечения перпендикуляра, восставленного из середины отрезка АВ, с прямой 00\ является центром окружности с радиусом, равным 03Л 03В. В точке Е пересечения этой окружности с прямой ОО, должны находиться элементы с параметрами т3, К.хз, а в точке Р — элементы с параметрами гщ, Кх4- Условные демпферы с жесткостями Схз и Сх4 будут находиться в тех же точках Е п Р лишь в случае, когда конец отрезка 00\, равный приведенному плечу жесткости неупругого сопротивления Ну, окажется на той же окружности. Для этого должно выполняться условие
 оу У. У1
 я.
 оу
 - (14.60) Сх 3 и
 (14.61)
 точечных масс в соответствующих направлениях и поворот твердого тела относительно оси г0.
 Систему гармонических нагрузок, приложенных к виброизолируемому объекту, следует заменить эквивалентной системой из пяти сил Рг, Рхз, Рхь Ру5, Рив, приложенных к точечным массам, и одним моментом Мг, приложенным к твердому телу.
 Круговые частоты собственных колебаний виброизолированного объекта определяются как собственные частоты каждой независимой системы:
 ■л2
 2Д 1/2
 При его выполнении величины Сх4 определяются по формулам:
 с —Г г‘1 с — г Гв
 Ж3 жг3 + г/ “ хга + г/
 Для резиновых виброизоляторов при ухууусловие (14.60) всегда выполняется.
 Таким же образом определяются две независимые системы (припишем им номера 5 и 6), совершающие колебания в плоскости уоОга.
 Заменив вибронзолнрованныи объект пятью точечными массами т, т3, тА, т$, тв и твердым телом с моментом инерции /о, а виброизоляторы и демпферы — соответствующими элементами с упругим и неупругнм сопротивлениями, следует принять в качестве ' координат, характеризующих движение исходной системы, перемещения
 кг _
 и?
 со- ~
 т
 2
 срг
 со
 к
 ; ш2
 и
 и
 т3
 ’ 4
 т,
 %
 4
 0
 т0
 (14.62)
 При гармонических возмущающих воздействиях с одинаковой частотой со0 амплитуды вынужденных колебаний по каждой из главных координат определяются по формулам, аналогичным (14.37)—(14.49), в которых возмущающие воздействия Р0х, Р0г, М0х, Мйу, М0г и Р0х, Р0у Р0г, М0х, М0у, М0г, заменяются воздействиями
 5’ -Руб’ ?г1’ --22 и ?хЗ’ ? х4’ , Мг2 ; массы т и моменты инерции /о.с, /о«, /ог заменяются массами т, тз, т4, 1щ и моментом инерции /0г; жесткости Кх, /(,„ 7(г, /(фг, /(фг заменяются жесткостями Кхз, /(л-4, К,л, Куо, Кг,
 РОу’
 "О
 О
 1
 м"?х-
 М0у'
 ЛгЗ’
 Рх4’
 Р15-
 Ру&

ф2 ф2 заменяются
 отношения аж ау, а, афЖ, аф|/. аф2 отношениями аз, «4 а5, ссе»
 ссг, ссф~; обозначения амплитуд вынужденных колебаний а'0х, а'0д, а'0г, х, у'0дг ср0г и т, д. заменяются обозначениями ах3, ах4,
 ау5■ а'ув фог И Т. Д.
 Найденные по формулам, аналогичным (14.37)—(14.49), амплитуды колебаний складываются по правилам:
 21 '
 ог1 + а.
 ’гХ’
 ЬА + Ь,$ (14.63)
 Ф02 Ч02 + 'Фог + %г (14-64)
 И Т. Д.
 Амплитуды колебаний центра тяжести виброизолированного объекта и угловых колебаний относительно осей хо, г/0. го определяются по формулам:
 °ж4 Рз+Зсз Р4 .
 ывХ
 _ ув
 &У Р5 + Рй сРдж'~ ахЗ
 (14.65)
 иУв
 0Х Рй "Ь Р1
 фоУ
 ■4 .
 Рз "Ь р4
 ь ЬЖ4Р3 + йжзР4
 ож Ра + Р4
 ЙОТРВ + 6»Р.
 У5НЯ
 (14.66)
 , . Ы + Ы + Г»б1 + га ф с • У
 Рб 4" Ро
 ф ■ у
 Кз[ + \ахА\ + Ы + \Ьха\ Ра 4 Р
 КЛ + КЛ; Фг|фй| + Н4|- (14.69) Перемещения под действием внезапно приложенного момента. В практических расчетах виброизоляции машин с электродвигателями встречается необходимость определять перемещения виброизолированного объекта, возникающие при внезапном включении тока. Пусть вал электродвигателя параллелен горизонтальной оси х0. Пусковой момент Мхп для короткозамкнутых электродвигателей можно принять ориентировочно равным вращающему моменту в рабочем режиме. Тогда величина пускового момента определяется по формуле
 97500 47 М„ кгс. см,
 жп '
 N
 (14.70)
 где V? — мощность электродвигателя, кВт? /V—-его номинальное число оборотов в минуту в рабочем режиме.
 Если центр тяжести и центр жесткости виброизолированного объекта совмещены в одной точке, амплитуда его собственных угловых колебаний, вызванных внезапным включением тока, будет равна:
 к,
 (14.71)
 ф.т
 Ь°У р. + д ' “02 “г1
 ф ьп-ьп.
 Р5 + Ро
 —— у
 Амплитуды колебаний 1-й точки объекта определяются, как и раньше, по формулам (14.52)—(14.54).
 Для определения верхних границ амплитуд резонансных колебаний объекта в переходных режимах следует по графикам рис. 14.4 определить максимальные амплитуды в переходном режиме для каждой независимой системы а, а'х3, ах4, а5, я6
 Фг 6з &4’ ьф' ьф’ ъ% 'Фг 11 затем воспользоваться формулами:
 , (В«1+кл,+{КзН'дк
 Х Рз Н- Р1
 При раздельном расположении центров тяжести и жесткости амплитуды угловых колебаний с частотами ш5 и ш6 будут равны:
 Максимальное
 объекта
 Фж° в‘Р + Р.)8
 угловое
 Фол- |Фжв1 + 1фхв1 •
 (14.72)
 перемещение
 (14.73)
 (14.67)
 (14.68)
 Верхние границы перемещений точек объекта в переходных режимах определяются по формулам (14.55).
 14.4. Динамические нагрузки, передаваемые через виброизоляторы на основание
 В тех случаях, когда основание виброизоляторов можно считать абсолютно жестким (подфундаментный короб, жесткая плита), суммарные гармонические нагрузки, передающиеся через внброизоляторы и демпферы на основание, удобно определять с помощью коэффициентов передачи. Поскольку амплитуды перемещений вибронзолированного объекта обычно значительно больше амплитуд перемещений основания, для определения коэффициентов передачи можно использовать формулы,
 239

выведенные для случая неподвижного основания.
 Если центр тяжести и центры жесткости упругих и неупругих сопротивлений совмещены, то динамические нагрузки на основание приводятся к трем силам Ркх, Рку, Рьг в направлении осей координат х0, г/о, 20 и к трем моментам Мкх, Мку, Мкг■
 Обозначим через р, и % коэффициенты передачи нагрузок (сил и моментов), действующих на основание по законам синуса и косинуса соответственно. При к0,75 и а1,25 эти коэффициенты определяются без учета неупругих сопротивлений по формулам (14.74), а с их учетом по формулам Р4.75):
 кг
 кг
 1 — от
 Г
 (14.74)
 1 + 1 а2\2_1_л,2 ;
 и, да и 0. г г
 ()2Н
 (14.75)
 Значение штрихов здесь то же, что и в п. 14.3. Амплитуды сил и моментов, действующих на основание по законам' синуса и косинуса, определяются соответственно по формулам вида
 Ркг — гог’ Ркг~Кгог- (14.76)
 Суммарные нагрузки, передающиеся на основание, имеют амплитуды
 Й2 '
 ■УР'к1+Р"2
 кг
 (14.77)
 и считаются приложенными к основанию в центре жесткости системы.
 Если центр тяжести и центры жесткости упругих и неупругих сопротивлений находятся в различных точках, но условие
 (14.60) выполнено, то гармонические силы и момент, передающиеся на основание, приводятся к пяти силам с амплитудами Рн, Ркъ, Рк$, Ркг и одному моменту с амплитудой Мкг- Силы с амплитудами Рк$ и Ры параллельны оси х0 и приложены к точкам с координатами 2о3р3 и г04— Р4‘, силы с амплитудами Ркъ и Рд параллельны оси г/о и приложены к точкам с координатами 2о5Рб и 2оа—ре; сила с амплитудой Ркг направлена по оси 2о, а момент с амплитудой Мкг стремится вращать основание вокруг ОСИ 20.
 Коэффициенты передачи и динамические воздействия на основание определяются по формулам, аналогичным формулам
 (14.74) — (14.77).
 Если условие (14.60) не выполняется, следует предварительно определить по формулам (14.52) и (14.53) амплитуды вынужденных колебаний центра жесткости упругих сопротивлений ахк, а'ук, а,к, ь"хк,
 ьук. ь
 ’гк
 и амплитуды колебаний центра
 жесткости неупругих сопротивлений а’.,
 ' Г '■ // //
 аус' агс °хс’ °ус’ Ьгс и динамические воздействия на основание, приведенные к центру жесткости, определять по формулам:
 Рхк ~ ахкКх Рхк хкх’
 М'х. Ф(р.г-; М"х%хКщх (14-78) и т. д.
 Динамическими воздействиями на основание, обусловленными внутренним трением в виброизоляторах, пренебрегается ввиду их незначительности. Динамические нагрузки, передаваемые через демпферы вязкого трения и приведенные к центру жесткости неупругого сопротивления, определяются по формулам:
 Р хс — ахсахУхх]
 Рхс ~ хсахУхКх; х ~ Фохасрл:Тфжфх1 х ~ 'ФохафхТфхфд;
 (14.79)
 и т. д.
 В формулах (14.78) и (14.79), как и выше, одним штрихом отмечены силы и моменты, изменяющиеся по синусоидальному закону, а двумя штрихами — по косинусоидальному. Для определения амплитуд всех нагрузок х в этих формулах следует заменить на у иг.
 14.5. Кинематическая виброизоляция
 Расчет кинематической внбронзоляции в большинстве случаев представляет собой более сложную задачу, чем расчет силовой виброизоляции. Если при силовой виброизоляции типичны одночастотные возмущения, то при кинематической виброизоляции во многих случаях приходится иметь дело с многочастотными колебаниями основания. В этих случаях наряду с большой эффективностью кинематической виброизоляции для высокочастотных колебаний будет резонансное увеличение низкочастотных колебаний, передающихся от основания на виброизолированный объект с частотами, близкими к частотам его собственных колебаний. Поэтому при проектировании в таких условиях кинематической внброизоляции необходимо обеспечить соответствующее затухание колебаний объекта и расче¬
 240

том проверить степень эффективности виброизоляции прн низких частотах в предположении резонанса.
 Перемещения ’ виброизолированного объекта в дальнейшем рассматриваются в системе главных координат. Колебания основания предполагаются гармоническими. Если центр тяжести и центры жесткости упругого и неупругого сопротивлений совпадают, то главными координатами будут перемещения центра тяжести виброизолированного объекта в направлении осей х0, г/о. 2о и углы поворотов его относительно этих же осей. Если такого совпадения нет, но условие (14.60) выполняется, главными координатами будут вертикальные перемещения г центра тяжести объекта, горизонтальные перемещения х3 и .и точечных масс тъ и яг4, горизонтальные перемещения г/б и уе точечных масс т5 и т5 и угол поворота объекта рг относительно оси г0. Соответственно и перемещения основания должны определяться в этих же главных координатах. Поэтому в первом случае перемещения основания должны быть отнесены к центру жесткости, а во втором — к точкам приложения реакций условных пружин с жесткостями Кг, Кх3, Ку5, Куе, Кщ. Основание виброизоляторов при этом считается абсолютно жестким.
 В соответствии с принятой методикой расчета перемещения основания характеризуются 12 амплитудами: ах; ау; а2; гр;
 фу» ф-г» Ъх\ Ьу\ Ьг’, 1]); 'ф:/! фг, из КОТОрЫХ
 первые шесть соответствуют перемещениям по закону синуса, остальные — по закону косинуса. Амплитуды колебаний виброизолированного объекта при гармонических колебаниях основания обычно принято определять с помощью коэффициентов передачи, равных отношениям амплитуд колебаний объекта к амплитудам колебаний основания. Каждое из колебаний основания будет вызывать два колебания объекта, одно из которых будет происходить в фазе (или противофазе) с колебаниями основания, а другое будет сдвинуто по: фазе на 90° относительно колебаний основания. Следовательно, в общем случае для определения колебаний виброизолированного объекта потребуется 24 коэффициента передачи. Обозначим через V Чг V-
 V,- V’ Ч V ТЬ' V’ V’ коэффициенты передачи для колебаний объекта, происходящих по закону синуса, и через
 х’ -г’ -сх5 х ’ -г/1
 коэффициенты передачи для колебаний, происходящих по закону косинуса.
 При проектировании и расчете кинематической виброизоляции возможны три различных случая оценки допускаемых колебаний. В первом случае решающее значение имеют абсолютные перемещения виброизолированного объекта, во втором случае ■— перемещения его относительно колеблющегося основания и в третьем случае — относительные перемещения отдельных деталей объекта. В связи с этим далее приводятся формулы для определения абсолютных и относительных перемещений виброизолированного объекта. Определение перемещений для третьего случая здесь не рассматривается.
 1. Коэффициенты передачи для абсолютных колебаний виброизолированного объекта. Ниже приводятся формулы для определения коэффициентов передачи колебаний только по одной координате х; формулы для коэффициентов передачи колебаний по другим координатам получаются соответствующей заменой в формулах индексов и обозначений. При использовании демпферов вязкого трения в эти формулы вместо у,- следует подставлять у/.
 Если «;0,75 или «/1,25, то й ; определяются при у/0 и уО соответственно по формулам (14.80) и (14.81). При этом амплитуды объекта и основания (обычно им служит перекрытие) снабжаются вторым индексом «о» и «п» соответственно:
 пх~
 (14.80)
 V"
 у--;-/-'
 (“г;”». 14-81)
 Знак в формуле (14.81) определяется , 2
 знаком разности 1—а.х-
 Если 0,75а,1,2, то коэффициенты передачи определяются по формулам:
 V
 а
 ох
 С1-»З+’И
 аих :
 ь'
 ох
 9
 — а- 7 X ‘х
 аих 1
 (1-4)2+
 а
 ох
 9
 а- V х гх
 пх
 С
 С (
 Ьвх (:
 1 - +
 (14.82)
 18—491
 241

Частные амплитуды колебаний:
 ■П ап
 ох — &х апх' Ь0Х (14.83)
 используются для определения амплитуд колебаний виброизолированного объекта о-ах,—,Ьох, ... по формулам (14.50) а (14.51), Амплитуды колебаний 1-й точки виброизолированного объекта определяются по формулам (14.52) и (14.53).
 2. Коэффициенты передачи для определения относительных колебаний виброизолированного объекта. Обозначим через у! и и" с соответствующими индексами (см. п. 1) 12 коэффициентов передачи относительных колебаний по закону синуса и через V' и V" — 12 коэффициентов передачи колебаний, происходящих по закону косинуса.
 Коэффициенты передачи определяются по следующим формулам: при «/0,75 или «/1,25
 у. «V я 0;
 X X
 (14.84)
 при 0,75«/1,25
 к -- —
 — а? х гх
 [1-а1Т+’
 X х
 (14.85)
 )
 ОХ “■ пХих иох — л ‘'о’
 продольном (вертикальном) направлении определяется по формуле ва
 /С (14.87)
 г ВсЧ
 где О — модуль упругости на сдвиг, принимаемый для всех пружинных сталей 07,85' 10е Н/см-;
 I — число рабочих витков; с-О/й — индекс пружины; О — средний диаметр пружины, см; й — диаметр прутка, см.
 Расчетная нагрузка на одну пружину
 принимается равной:
 Р Лд + Р/’д,- (14.88)
 где Р ст — статическая нагрузка, Н; Рдаог-г — динамическая нагрузка; 0 — коэффициент, учитывающий усталостные явления и принимаемый равным 1,5 при Рд/Яот0.1 и равным 3 при
 Рд/Рст°-Ь
 Допускаемая статическая нагрузка на
 одну пружину определяется по формуле
 я 43[т:]
 8 кО
 (14.89)
 (1-ах);2+’
 ... Кх аЦ1~а1).
 х
 Амплитуды относительных колебаний виброизолированного объекта будут равны:
 а„г а„г к Ьп_
 (14.86)
 где [т] — допускаемое для пружинной стали напряжение при кручении, Н/см2; если нет сведений о сорте стали, можно принимать [т]3,92104 Н/см2;-к. — коэффициент, учитывающий повышение напряжений в средних точках сечения прутка вследствие деформаций сдвига, определяемый по графику рпс. 14.6.
 Отношение высоты Н0 ненагруженной пружины, работающей на сжатие, к ее диаметру О должно удовлетворять условию Я0/О2. Поперечная жесткость КхКд пружины с неповорачивающимися торцами определяется по графику рис. 14.7,
 14.6. Расчет пружинных, резиновых и комбинированных виброизоляторов
 Пружинные виброизоляторы. Чаще всего в качестве виброизоляторов применяются стальные витые пружины, изготовляемые для использования в различных отраслях промышленности. Если нет паспортных данных, характеризующих свойства пружин, то жесткость одной пружины в
 Рис. 14.7. График для определения горизонтальной жесткости пружины Нн— высота пружины под нагрузкой ст; Л осадка пружины от вертикальной нагрузки Рст; К — вертикальная жесткость пружины
 242

Рис. 14.8. Зависимость модулей упругости Е и
 •г Е резины при сжатии и динамического модуля сдвига от числа твердости резины
 При больших статических осадках применяют пружины, работающие на растяже-. ние. Поперечная жесткость пружины, работающей на растяжение при шарнирном креплении на торцах, определяется приближенно как квазйупругий коэффициент математического маятника длиной I с массой от:
 К' Я'-! -- . (14.90)
 Х у- г /
 где О —вес груза, приходящийся на одну пружи ну, Н; / — общая длина растянутой пружины, равная расстоянию между шарнирами на ее концах. •
 ' Резиновые виброизоляторы. В отличие от пружинных резиновые виброизоляторы имеют большой коэффициент потерь Оур 0,03-0,25). Отдавать предпочтение резиновым виброизоляторам следует лишь в тех случаях, когда необходимо увеличить затухание собственных колебаний или. уменьшить амплитуды резонасных колебаний в переходных режимах.
 Резина как конструкционный' материал имеет некоторые специфические особенности. Ее коэффициент ПуассоНа (х0,5. Поэтому продольная нагрузка вызывает большие поперечные деформации резинового виброизолятора, которым препятствует трение на опорных поверхностях. Вследствие этого при сжатии резиновых элементов, у которых высота сравнима с поперечным размером или меньше его, приведенный модуль упругости на сжатие увеличивается по сравнению с модулем упругости на. растяжение образцов резины с большим отношением длины к поперечному размеру. В приведенной ниже упрощенной методике расчета вводится условный модуль упругости резины на сжатие Е', который для элементов с указанными выше высотами при сухих неприклеенных опорных поверхностях, по экспериментальным данным, равен пятикратной величине модуля сдвига : .0. Кроме того, с увеличением отношения по¬
 перечного размера- резинового виброизолятора к высоте его рабочая высота резко уменьшается и соответственно увеличивается его жесткость. Поэтому применение резиновых виброизоляторов, у которых общая высота меньше четверти поперечного размера, не рекомендуется. Широкие резиновые прокладки небольшой высоты должны иметь перфорацию или ребристую поверхность. В приводимых далее формулах учитывается не вся высота, а только рабочая ' высота резинового элемента.
 Другая особенность резиновых виброизоляторов состоит в том, что их жесткость при статической и динамической нагрузках различна; в расчеты вводится динамический модуль упругости резины на сжатие Ея, который больше статического Ест.
 В паспортах и каталогах обычно не указываются значения Ея и Ест для резины, 'поэтому для их ориентировочной оценки следует использовать зависимость модулей от твердости резины, указываемой обычно в паспорте. На рис. 14.8 приведен график зависимости Ед и при сжатии и динамического модуля сдвига Оя от числа твердости, определенного в соответствии с ГОСТ 263—75 твердомером по Шору Л.
 Ниже даются формулы для определения жесткости резиновых виброизоляторов с квадратным или круглым поперечным сечением. Жесткость резинового виброизолятора при продольном сжатии определяется по формуле
 8
 где Р — площадь поперечного сечения, см2; Е — динамический модуль упругости резины на сжатие, Н/см2; А — поперечный размер виброизолятора (диаметр пли сторона квадрата), см.
 При этом должно выполняться условие:
 — 1,1. (14.92)
 А
 Жесткость резинового виброизолятора в поперечном направлении определяется по формуле
 Кх Ку • (14.93)
 ж -У н
 Статическая нагрузка на один виброизолятор равна:
 Р-ст Р о, (14.94)
 где а — расчетное статическое - напряжение в резине, Н/см2, отнесенное к площади поперечного сечения' недеформированного элемента. Значения а:рекомендуется принимать, в пределах 30—40 Н/см2 для мягких и средних по твердости сортов резины й 50 Н/см2 для твердых сортов.
 16
 243

Коэффициент потерь резины зависит от ее марки. Так, например, резины марок № 3311 и 4049 имеют соответственно у 0,03 и 70,23.
 При заданных значениях веса виброизолируемого объекта 3, динамического модуля упругости Еа, напряжения в резине а и наименьшем возможном числе виброизоляторов, равном 4, нижняя граница частот собственных вертикальных колебаний (в герцах) объекта при использовании резиновых виброизоляторов определяется по формуле
 у-Г
 /- 71 У Д. (14.95)
 2 т 20 Комбинированные (пружинно-резиновые) виброизоляторы. Комбинированные виброизоляторы применяются в тех случаях, когда необходимо увеличить коэффициент потерь виброизолируемой системы. Чаще всего применяют параллельное соединение пружинных и резиновых виброизоляторов.
 Общая жесткость комбинированных виброизоляторов при параллельном соединении пружин и резиновых элементов , равна:
 КгКхв + К р. 1 (14.96)
 Общий коэффициент потерь равен:
 ?
 гп'Уд гр'Ур
 К 4- К ' (14-97)
 где Кгп. 7П и 7—жесткости и коэффициенты потерь пружинных и резиновых виброизоляторов соответственно. Для стальных пружин можно принимать ориентировочно уп0,01.
 При ударных нагрузках на виброизолированный объект и при резонансах резиновые виброизоляторы не должны выключаться из работы, что обеспечивается необходимой величиной статической осадки резинового виброизолятора, превышающей максимальное отклонение Омане виброизолированного объекта при колебаниях. Для этого необходимо, чтобы часть общей статической нагрузки, передаваемая на резиновые виброизоляторы, отвечала условию фр Ямаксгр- (14.98)
 Для того чтобы выполнялось условие
 (14.98), необходимо согласовать высоты нагруженных пружинных и резиновых виброизоляторов, что достигается применением подставок под резиновые виброизоляторы, высота которых определяется по формуле
 Л Яоп-ор-Дст.п
 + Дст.р, (14.99)
 • де¬
 формации пружинных и резиновых- вибронзоляторов от фактических статических нагрузок; #оп и //0р —высоты пружинных и резиновых вибронзоляторов в свободном состоянии (рис. 14.9).
 Рис. 14.9. Схема определения высоты подставки при параллельной работе пружинных н резиновых виброизоляторов
 Общая жесткость и коэффициент потерь последовательно соединенных пружинных и резиновых виброизоляторов определяются по формулам
 , —;°КР : (14.100)
 гпур грп гп гр
 (14.101)
 Демпферы вязкого трения. Демпфер с вязкой жидкостью представляет собой цилиндрический сосуд (статор), внутри которого находится другой закрытый снизу подвижной цилиндр (вибратор) (рис. 14.10). Между боковыми стенками статора и вибратора находится вязкая жидкость. Статор крепится к основанию, а вибратор к виброизолируемому объекту. При движении вибратора внутри вязкой жидкости возникает динамическое давление, величина кототорого не должна превышать атмосферного давления, так как в противном случае при движении вибратора вверх под его днищем будет образовываться вакуум и произойдет разрыв жидкости.
 Сила вязкого трения РТг, возникающая при вертикальном движении вибратора со скоростью ог, определяется по формуле
 Р1,г Нгрг\ Нг |х/р ф (а). (14.102)
 Разность давлений Др между верхним и нижним уровнями вязкой жидкости определяется по формуле
 4огц (р ф (к)
 д р ■
 (14.103)
 Здесь ]х — динамическая вязкость жидкости, Пас; /р—рабочая высота слоя вязкой жидкости. м; го — наружный радиус вибратора, м; Я—внутренний радиус статора, м; ф(а) и 'ф(а)— функции,' определяемые по графику (рис. 14.И); Ь — коэффициент сопротивления, Н-с/м, связанный с величиной С2 формулой С2»Й со (см. стр. 231).
 Сила, возникающая при движении вибратора в горизонтальном направлении со
 В системе СГС динамическая вязкость измеряется в пуазах (пз); 1 пз 1,02Х10 0 кгсс/см2, в системе СИ — 1 Пасв10 пз.
 244

Рис.. 14.10. Демпфер вязкого трения с закрытым снизу вибратором
 1 — вязкая жидкость; 2 —• вода
 Рис, 14,11, Графики функций ф (а), 11? (а), п (а), /ф(аЖа)
 скоростью и, определяется по приближенной формуле
 р о
 5 н(14.104)
 № + $)
 где 6Д—го — боковой зазор между вибратором и статором, м.
 В тех случаях, когда демпферы вязкого трения требуется размещать с соблюдением условия (14.60), полезно выбирать их конструктивную форму с заранее заданным отношением вертикальной жесткости неупругого сопротивления к горизонтальной. Это отношение определяется по приближенной формуле
 ~г г0
 Вязкость жидкости в демпфере зависит от температуры, поэтому важно заранее определить расчетом, насколько поднимется внутри жидкости температура при
 длительной его работе. Цри ,длительных вертикальных колебаниях вибратора по гармоническому закону с амплитудой скорости Йог, установившийся перепад температуры внутри жидкости определяется по формуле
 2
 дг‘ ТЖ-пс«.
 (14.106)
 где А1,105 — механический эквивалент теплоты; % — коэффициент теплопроводности вязкой жидкости, Дж/см-с-°С.
 Если демпфер работает с короткими перерывами, перепад температуры внутри вязкой жидкости молено определять по формуле
 дг, -
 ср П (“
 ||) Ссс)
 (14.107)
 где №ср- среднее количество энергии, поглощаемой демпфером за I с, Дж/с; ц(сс)—-функция, определяемая по графику на рис. 14.11.
 Перепад температуры между охлаждающимися поверхностями демпфера и окружающим воздухом определяется по формуле
 № „
 (14.108)
 АТ,
 СР:
 АР а о
 где Оц—коэффициент теплопередачи, Дж/(см2'с)°с, (при отсутствии данных о величине ссо можно принимать ао5,44-10—4 Дж/(смг-С) °С; Р — площадь охлаждающихся поверхностей демпфера, м-.
 Если заранее задать величину отношения /р/го15, можно определить значение а, при котором разность давлений Др будет равна максимально допустимому р 0,95Х
 XI О5 Н/м2, а сила вязкого трения будет равна заданной величине Р12:
 V Рг
 VЧ “ 1| («). (14.109)
 Определив по рис. 14.11 величину а, следует по формулам (14.102) и (14.103) определить величины га и 1Р.
 Максимальная величина вертикальной силы вязкого трения и лучшие условия теплоотдачи будут в том случае, когда в демпфере объем между днищами статора и вибратора заполнен жидкостью с очень малой вязкостью и большим по отношению к рабочей жидкости удельным весом, например водой.
 В качестве рабочей вязкой жидкости можно использовать кремнийорганические, в частности полиметилсилоксановые, жидкости. Промышленностью выпускается 20 марок этих жидкостей, из которых для предлагаемых демпферов пригодны лишь пять марок с вязкостью свыше 10 Па-с, а именно: ПМС-10000, ПМС-15000, ПМС-20000,
 ПМС-50000, ПМС-100000 (числа в обозна-
 345

Рис. 14.12. Зависимость коэффициента вязкости от температуры
 3;
 Щ ч
 5 Ч
 ь
 0
 ■&
 о
 4-
 3
 в
 3
 ОЙ
 Ч л
 2
 1 п Р
 7 Ю 2
 0 30 ЬО 5
 Содержание битума ,%
 Рис. 14.13. Зависимость коэффициента вязкости битумных смесей от процентного по весу содержания битума при температуре 20 °С
 чениях марок указывают вязкость в сантипуазах). При применении допускается смешение близких по вязкости жидкостей с целью получения жидкостей с необходимой вязкостью. ПМС жидкости нетоксичны, взрывобезопасны и не горючи.
 Удельная теплоемкость полиметилсилоксановых жидкостей 1,25—1,6 Дж/°С, коэффициент теплопроводности возрастает с увеличением вязкости в пределах от 9,6-10-4 до 15-9-4 Дж/см-с°С. Зависимость вязкости от температуры приведена на рис. 14.12. Недостатком этих жидкостей является большая их стоимость.
 Если по расчетам ожидается небольшое повышение температуры вязкой жидкости при длительной работе, то можно рекомендовать дешевые вязкие жидкости, полученные Е. М. Мироновым (ЦНИИСК), представляющие собой смеси битума № 5 с нигролом. На рис. 14.12 и 14.13 приведены зависимости вязкости этих жидкостей от процентного по весу состава их ингредиентов и от температуры.
 14.7. Практические расчеты виброизоляции
 Силовая виброизоляция. Для проектирования и расчета силовой вибронзоляции
 машин с гармоническими возмущающими силами необходимо иметь и знать следующие данные:,
 1) чертежи или эскизы виброизолируемого объекта с указанием расположения отверстий для анкерных болтов;
 2) вес объекта;
 3) положение центра тяжести виброизолируемого объекта;
 4) характеристики подводок и места присоединения их к машине;
 5) чертежи поддерживающей конструк¬
 ции и ее характеристику (в случае установки виброизоляторов на монолитную конструкцию, располагаемую непосредственно на грунте, необходимы данные, характеризующие грунт: допускаемое статическое
 давление, коэффициенты упругого' сжатия, уровень грунтовых вод и т. п.);
 6) сведения о возможности воздействия на виброизоляторы различных агрессивных сред (масел, кислот, щелочей и т. п.), а также о минимальной и максимальной температурах в местах установки виброизоляторов;
 7) мощность электродвигателя;
 8) число оборотов в минуту электродвигателя и машин с вращающимися частями или число ходов в минуту машин с возвратно-поступательно движущимися частями;
 9) скорость нарастания числа оборотов в начале ее пуска или в конце остановки, а при отсутствии этих данных время от начала пуска до достижения рабочего числа оборотов и продолжительность выбега;
 10) величины возмущающих сил и моментов, их направления и точки приложения; при отсутствии этих данных необходи ма кинематическая схема движения деталей машины с указанием их веса и геометрических размеров;
 11) требования, предъявляемые к виброизоляции: допускаемые величины динамических нагрузок, передаваемых на несущую конструкцию, допускаемые амплитуды колебаний самой машины в рабочем я переходных режимах.
 Определение параметров виброизоляции. При силовой виброизоляции машины с гармонической возмущающей силой амплитуды ее вынужденных колебаний зависят в основном от величин ее массы и моментов инерции, поэтому прежде всего следует выяснить достаточность этих величин при данных возмущающих воздействиях и возможность их увеличения, например, путем установки машины на жесткий железобе-

‘тонный постамент, опирающийся на виброизоляторы.
 Требуемые величины добавочных масс й моментов инерции определяются по формулам:
 [ %х] “О Р0 У [ %у\ “О
 • т\
 тл-
 ОЖД '
 [ °ог] “о
 К] “О
 О У
 ОУП
 02Д'
 Ку] “О
 Мог
 [ог] “О
 (14.110)
 где величины в квадратных скобках обозначают соответствующие допускаемые амплитуды колебаний для виброизолированной машины. : .
 Общая жесткость виброизоляторов выбирается с таким расчетом, чтобы обеспечить требуемые частоты собственных колебаний виброизолированного объекта. Определяющей величиной обычно является жесткость виброизоляторов в вертикальном направлении.
 Если в задании на проектирование указана допускаемая величина коэффициента передачи [цг] или допускаемая величина силы [Рг[], передающейся на несущую конструкцию, то величину отношения сс2 следует принимать не меньше значения, определяемого по формуле
 аг “гмин — 1 ‘
 12
 Рог }Рг1] [р21]
 ний [г ч общую “вертикальную - .жесткость виброизоляторов Кг:
 ; ь ■/„/«' ■ (14-113)
 (14.114)
 (14.111)
 где Р(]2 “ амплитуда вертикальной возмущающей силы, действующей на виброизолированный объект.
 Эффективность виброизоляции тем выше, чем сильнее неравенства:
 а24; а/245, (14.112)
 где а,у— отношение частоты возмущающей силы -к одной из других пяти частот собственных колебаний виброизолированного объекта.
 Задавшись значением аг, удовлетворяющим условиям (14.111) и (14.112), по формулам (14.113) и (14.114), определяют частоту собственных вертикальных колеба-
 /С2 тш" т
 где и — частота возмущающей силы Гц; т — масса виброизолируемого объекта, кг«
 Величины неупругих сопротивлений в виброизоляционном устройстве выбирают с помощью графика на рис. 14.4.
 Полученные значения общей жесткости виброизоляторов н коэффициентов потерь служат исходными данными для выбора типа виброизоляторов (пружинных, резиновых, пружинно-резиновых или пружинных в сочетании с демпферами вязкого трения).
 При выборе средств для увеличения сил неупругого сопротивления необходимо учитывать, что демпферы вязкого трения увеличивают коэффициент передачи, но зато не увеличивают частот собственных колебаний системы, тогда как добавление к пружинам элементов с внутренним трением, например резиновых, существенно увеличивает: общую жесткость виброизоляторов и соответственно частоты собственных колебаний системы.
 Уменьшения максимальных амплитуд колебаний виброизолированного объекта в переходных режимах можно добиться не Только снижением частоты его собственных колебаний, но также эффективным торможением вращающихся деталей при остановке виброизолированной машины. В частности, значительный эффект дает торможение противотоком, т. е. такое переключение проводов на время остановки электродвигателя, при котором создается вращающий момент, противоположный по знаку моменту в рабочем режиме. Уменьшения максимальных амплитуд в переходных режимах можно также достигнуть применением ударных гасителей колебаний.
 Расстановка виброизоляторов должна удовлетворять условию, чтобы центр их жесткости лежал на одной вертикали с центром тяжести. Расстановку элементов с неупругим сопротивлением следует подчинить, если позволяет конструктивная схема, условию (14.60).
 После установления расчетной схемы определяются частоты собственных колебаний виброизолированного объекта и проверяется соответствие их условиям (14.112). Далее определяются амплитуды вынужденных колебаний виброизолированного объекта в рабочем и переходных режимах, амплитуды колебаний его отдельных точек, а также амплитуды собственных колебаний,
 247

возникающих при включении электродвигателей. Наконец, определяются динамические воздействия, передающиеся на несущую конструкцию через виброизоляторы.
 Кинематическая виброизоляция. Для проектирования и расчета кинематической виброизоляции, кроме данных, указанных для случая силовой виброизоляции, необходимы еще следующие:
 1) амплитудно-частотная характеристика колебаний основания с обязательным указанием о наличии низкочастотных колебаний в области 0,5—10 Гц; прн отсутствии этих данных должны быть указаны характеристики основных источников возбуждения колебаний основания;
 2) данные о наличии в самом виброизолируемом объекте движущихся деталей с оценкой возникающих при этом динамических воздействий;
 3) сведения о возможных случайных динамических воздействиях непосредственно на виброизолированный объект (толчки, ручное выключение рубильников, повороты штурвалов, нажатия кнопок, завинчивание гаек и т. п.); г
 4) характеристики отдельных деталей виброизолируемого объекта, колебания которых следует ограничить;
 5) требования, предъявляемые к виброизоляции, с кратким их обоснованием.
 В принципе амплитуда колебаний объекта с кинематической виброизоляцией не зависит от его массы, тем не менее иногда полезно увеличить эту массу присоединением постамента для уменьшения колебаний объекта прн непосредственном действии на него случайных толчков и других силовых воздействий.
 Виброизолированные объекты, весьма чувствительные к вибрациям, не должны нигде соприкасаться с ограждающими конструкциями.
 14.8. Пример расчета виброизоляции
 Объектом, подлежащим силовой виброизоляции, является экспериментальная центрифуга массой 1920 кг,, с числом оборотов N—1440 об/мин и габаритными размерами 170X90X100 см. Центр тяжести центрифуги расположен над серединой ее опорной площади на высоте 35 см. Мощность электродвигателя 20 кВт. За 10 с с момента включения тока центрифуга развивает скорость вращения, равную 480 об/мин.
 В центрифуге имеется тормозное устройство, обеспечивающее продолжительность выбега, меньшую продолжительности
 разгона. Расчетная величина центробежной силы 1000 кгс. Центробеленая сила приложена в точке, расположенной на середине осевого размера барабана центрифуги. Вал центрифуги находится на высоте 50 см от основания. На одном постаменте с центрифугой должен быть размещен пульт управления массой 200 кг. Центр тяжести пульта находится на высоте 75 см от основания. К постаменту подводятся патрубки, через которые подается рабочая смесь.
 Требования к виброизоляции сводятся к уменьшению возмущающих сил, передающихся на основание, до величины [г] 20 кгс, амплитуда вертикальных колебаний центра тяжести виброизолированного объекта в рабочем режиме не должна превышать [аог]0,05 мм, амплитуды колебаний точки крепления подводок на постаменте не должны превышать 0,05 мм в рабочем режиме и 1 мм в переходных режимах. Температура помещения 18—20 °С; агрессивных факторов, воздействующих на виброизоляторы, нет.
 Минимальную величину общей массы виброизолированного объекта определяем по формуле (4.110):
 МЧ-ттт
 1000
 [%г\ “0 8,7“
 0,0005 (С.28-24)2
 Фмпн — тмпн § — 8,7-981 8500 кгс.
 По формулам (14.111) и (14.113) нахо¬
 дим
 игмин
 Ро г+[ркг)
 -V-
 [РНг]
 1000 + 20 /11 7л5.
 20
 гмакс '
 и
 24
 ■ 3,35 Гц.
 “гмин 7,15
 Задаемся величиной отношения
 Я2макс/ао2 5, и по величине отношения ъ/\~г 0,8/3,352 0,071, используя график
 рис. 14.4 определяем у«шн 0,165.
 Применим комбинированные (пру¬
 жинно-резиновые) виброизоляторы. Форму постамента выберем такой, чтобы можно было совместить в одной точке центр тяжести, ,центр жесткости и центр неупругого сопротивления (рис. 14.14).
 Используем в качестве виброизоляторов пружины, имеющие с? 1,6 см, 0 13,2 см, 1 5,5 витков, Я026,4 см, Кг 52 кгс/см, [Я'т] 487 кгс, Я9,4 см, р.шш:26,4—9,417 см.
 248

200 кгс
 Рис. 14.14. Расчетная х е м а вибронзоля-
 ции центрифуги
 Ю—3 + 4320-24 +
 + 1920-74 + 200-114
 0.
 Считая толщину опорной пластинки пружинного виброизолятора равной 0,5 см, получим общую высоту нагруженного виброизолятора: Яр.„,ш + 2-0,518 см. Центр жесткости пружинного виброизолятора будет на середине этой высоты, т. е. на высоте 9 см. Центр жесткости резинового виброизолятора находится на уровне его верхней опорной поверхности, поэтому высота нагруженного резинового виброизолятора должна быть равной ~9 см. Примем резиновый виброизолятор в форме кубика со стороной 10 см, изготовленный из резины марки 4049 (5110 кгс/см2, Ур0,23). Жесткость одного резинового виброизолятора в вертикальном направлении определяем по формуле (14.91):
 Решая полученное уравнение относительно й, находим: А 87 см, (? 125-15Х
 Х8,7-2,47800 кгс.
 Координаты проекций центра тяжести на плоскость ХоЦо будут:
 (7800 + 4320) 0 + 1920-40 — 200-96 __
 0 7800 + 4320 + 1920 + 200
 57600
 «г. ■
 14240 1920-16 — 200-34
 - 4 см;
 1,67
 с 14240
 Считая, что в процессе монтажа вся нагрузка может передаваться только на стальные пружины, определим их общее количество по несущей способности:
 Ф 14240
 487
 • 29,2 » 30 шт.
 Г Ед
 Общая жесткость пружинных виброизоляторов будет 7Сгж30-521560 кгс/см.
 Максимальная возможная величина общей жесткости пружинных и резиновых виброизоляторов определяется по формуле (14.114):
 100-110
 10-
 10
 : 1257 кгс/см.
 К,
 V 2лмакс)2 Н240
 8 981
 6424 кгс/см.
 (6-28-3,35)2
 Горизонтальную жесткость определяем по формуле (14.93) (принимаем ОуЕд/5):
 Рв.
 V _
 100-22
 220 кгс/см.
 Я 10
 Нагрузка на один резиновый виброизолятор при а4 кгс/см2 будет 2рез.Р'ст 100-4400 кгс.
 Часть постамента с искомым весом при условии совмещения центра тяжести с центром жесткости, должна иметь высоту Н, определяемую из формулы (14.2), если принять начало координат в центре жесткости виброизоляторов и приравнять гс нулю:
 Максимальная общая жесткость резиновых виброизоляторов:
 гр.макс гмакс К2П —
 6424 — 1560 — 4864 кгс/см.
 Количество резиновых виброизоляторов
 4864
 •гр.макс
 К.
 1257
 2р
 Далее определяем: /(гр4-12575028» «5000 кгс/см; /хр/1/р4-220880 кгс/см; КгКтп-гКтр — 1560+50006560 кгс/см.
 Уточним нагрузку на пружинные вибро изоляторы при параллельной нх работе с
 249

резиновыми виброизоляторами (Эп 2— —2Р 14240—160012640 кгс.
 Статическая осадка пружин АСтп 12640/1560 8,1 см; статическая осадка резиновых виброизоляторов, считая статический модуль упругости Е' 0,58 5' (см
 ст д
 рис. 14.8), будет
 1600
 ■ - 0,55 см.
 Сгр К\
 Р'
 Огр
 4-290 1160 кгс/см;
 Сур ур Кх 0,23-220 51 кгс/см;
 УР
 СХ Р Сур 1
 4-51 204 кгс/см.
 Определяем по формулам (14.3) моменты инерции виброизолированного объекта, причем центрифугу аппроксимируем
 параллелепипедом размером 150Х80Х
 Х70 см (на рис. 14.14 показан пунктиром), а массу пульта управления принимаем за точечную:
 ох 981 [ V 12
 120
 + 1920
 + 4320 '80 + 702
 + 34,5+ 2 +
 200 + 30
 - 24 + 2 +
 . 74 +. 14 + 200 (114 + 36) |
 62,810э кгс см-сек2;
 250- 4- 872
 п7, —— Г78оо (■
 оу 981 [
 + 4320
 300-
 12
 -30
 12
 + 34,52+ 4 + + 24 + 4 +
 + 1920 (Ы: + 74 + 36|
 12
 + 100)|
 1
 981
 ■ 7800
 + 200 114 + 114 103 крс-см-с2;
 ' +
 381+.Ж+. 4+2
 12
 + 4320 °!- 2001 + 4 + 2.) +
 + 1920 - + 80 + 36 + 14 + 200 (100 +
 1-
 + 36) 113■ 103 кгс-см-с.
 По формулам (14.5) определяем радиусы инерции:
 Ст-Р 0,58-5000
 По формуле (34.99) определим высоту подставки под резиновые виброизоляторы: кНои—//ор—Аот.п+Аот.р26,4 — 1.0—8,1 + + 0,558,85 см.
 В нашем случае подставку правильнее назвать надставкой, так как для совмещения центра жесткости, и центра неупругого сопротивления она должна находиться выше резинового виброизолятора.
 Определив предварительно )'-Яс-т///н 8,1/18,3 0,443 и #„Д) 18,3/13,2 1,39, по графику рис. 14.7 найдем горизонтальную жесткость одной пружины и всех пружин: Кхп —К‘уП 0,7 /(’ 0,7-52
 -36 кгс/см; /Схп /(№ 30-361080 кгс/см.
 Жесткости неупругих сопротивлений одного резинового виброизолятора и всех четырех будут равны:
 0,23.1257 290 кг/см;'
 ,8-103
 14.52
 114-Щз
 14.52
 65,8 см;
 88,6 СМ;
 • 88,2 см.
 Расстановка виброизоляторов, произведенная с учетом смещения центра тяжести и соответственно центра жесткости относительно осей постамента, показана на рис. 14.14. Резиновые виброизоляторы в направлении оси х поставлены на расстояниях от центра жесткости, равных примерно радиусу инерции #0у.
 По формулам (14.9) определяем угловые жесткости всей совокупности виброизоляторов:
 КрХ 52 Е4 (13? + 395 + 655) + 18-88,55] + + 4-1257-88,55 460-105 кгс-см;
 Кт 52 [4 (28? + 56? 112?) +. 16-138,55]+
 + 4-1257-845 469,2.10й кгс-см;
 Кц,г 36 [4 (285 + 56? + 112?) + 16-138,5?]+ + 4-220• 845 + 36 [4 (13 + 39? + 655) +
 ■+ 18-88,55] + 4-220-88,5?
 324,5-105 кгс-см.
 По формуле (14.20) определяем угловые жесткости неупругих сопротивлений, пренебрегая неупругими сопротивлениями, пружин:
 4-290-88,52
 91•105 кгс-см;
 4-290-842 82,2- Ю5кгс-см
 Сфг 2Сл.. ус1 + 2Су. х"с1 4-51 (88,5“ +
 + 84?) 30,4-105 кгс-см.
 Коэффициенты потерь всей совокупности внброизоляторов на каждой координате определяем по формулам (14.12) и (14.24):
 204 '
 1080 + 880
 - 0,104;
 V, ■
 ж 0,104; . 1160
 6560.
 0,177;
 250

‘Уф#
 91-10
 460-10
 0,198;
 центрифуги определяем . (14.39):
 по формулам
 Угру
 СЧУ
 82,2-10
 р0г
 КР У
 469,2-10
 а0х — 0. Щ)у — 0, адг
 кА1-
 Тфг
 ф2 _
 30,4-10
 - 0,0935.
 1000
 0,00313 см;
 -Кф2
 324,5-10
 6560 (1 — 7,05?)
 Частоты собственных колебаний вибронзолированного объекта определяем по формулам (14.26):
 1960
 14,52
 135 рад/сг;
 К
 'ж' ■г _
 'У
 6560
 14,52
 /2 3,4 гц;
 452 рад/с2;
 К
 ШИГ
 фЯ
 460-1О5
 Л)Х
 62,8-10“
 ?рх 4,3 Гц;
 Кщу
 469,2-10
 114-10
 о V
 %, 3,24 Гц.
 чрг
 324,5-10
 732 рад/с2;
 287 рад/с2;
 113-10
 02
 /фг 2.7 Гц.
 Вычисляем отношения частоты возмущающей силы к частотам собственных колебаний:
 24 94
 а 13; а„ 13; «, 7,05;
 1,85 ® 2 - -
 3,4
 “фХ :
 24 4,3 '
 5,6; а.
 24
 3.24
 74;
 иф2
 — 24 — 8 9 ~ 2.7
 Все частоты собственных колебаний удовлетворяют условию (14.112).
 Определение возмущающих воздействий на виброизолированный объект по каждой координате и амплитуд вынужденных колебаний. Координаты точки приложения центробежной силы равны: хор80 см,
 г/ор 14 см, 20Р 89 см.
 Заменим центробежную силу вертикальной силой Р2Р0г зтсоо и горизонтальной силой РуРоу со5й0(. Амплитуды возмущающих воздействий, изменяющихся по закону синуса, будут:
 Р0х- °; Р0д ° Р()г ~ 1000 кгс! М'г0;
 м0х Ро2УВр 1000 •14 14• !°3 кгс-см;
 Мои —
 1000-80-103 кгс-см.
 Соответствующие им амплитуды вынужденных колебаний при рабочем режиме
 м.
 о
 14-10
 460-10 (1 — 5,62)
 Кух {1 а(рх)
 — 10,1-10—0 рад;
 М,
 Оу
 80'103 31,6-10—0 рад; ф’г 0;
 П Ч
 469,2-10 (1 — 7,4")
 а0х а0// ~ а0г Фох ~ Фог/ ~ Фог ~ ® •
 Амплитуды возмущающих воздействий, изменяющихся по закону косинуса, будут равны:
 рох °; Р1 у 1000 кгс; р1г °; М"ох-Р0уг0р- Ю0О-8Э
 —89-103 кгс-см; 44 0;
 М"0г р"0у х0р 1000 ■ 80 80 • 103 кгс • см.
 Соответствующие им амплитуды вынужденных колебаний виброизолированного объекта в рабочем режиме определяем по формулам (14.40):
 Г/
 ро V
 ьох 0; ьоу
 юоо
 1960 (1 — 13)
 и
 Фол; •
 (г - ай //
 0,003 см; Ь$2 0; Щх
 К
 — 89 ДО3
 I1 - а1х)
 460-105 (1 —5,6) 02-
 80-10»
 324,5-Ю5 (1 — 8,92)
 . 63-10 5 рад;
 Ф2 (1 афг)
 — 30,5-10—6 рад
 %у
 Ьох ~ Ь0у яа 60г « 1|)0Л; « ~ 0.
 По формулам (14.50) в данном случае
 имеем аох а’ох- аоу аоу\ аог аог; фм
 %Х Фо5/ Фог/’. Фог ф»2-
 По формулам (14.52) определяем амплитуды синусоидальных колебаний точки № 1 с координатами л:о1 140 см, г/0198 см.
 251

201 45 см, в которой подводки крепятся к виброизолированному постаменту:
 0x1 — аох + Фоа 2о1 — Фог Уо1 - 0 +
 -Ь 31,6-10—е-45 — 0 0,00143 см;
 ау1 а0У “Ь Фог л”о1 Фож г01
 0 + 0+ 10, Ы0-“-45 0,00045 см;
 аЛ ~ а02 ~Ь Фох У01 Ч’оу Х01 ~~ ® 13 —{—
 4- 0 — 31,6-10—6.140 — 0,00755 см.
 Аналогично по формулам (-14.53) определяем амплитуды косинусоидальных колебаний точки № 1:
 Ьх1 Ьох -(- 2о1 — Фог Уй 0 + 0 +
 + 30,5-10—е-98 0,00300 см;
 — Ьау -|- г(!02 хо1 'Фок го1 0,0030
 -}-30,5- Ю-о. 140 _ 63-10—6-45 0,0101 см;
 Ьл — &02 4“ 'Роге У01 'Фох/ хо1 —'•'0 4"
 4-63-10-в-98 —0 0,0062 см. Амплитуды суммарных колебаний точки № 1 определяем по формулам (14.54)
 Аа - V■
 “я + ‘я Ю-1 Кн.З? + 30 -
 0,0033 см;
 Л.
 'г/1 — У ау1 + ЬЦ1 —
 10—1 ]/ 4,52 + 101? 0,0101 см;
 "г1 ~ У иг1 + Ьг1 ~
 10—1 75,53 4- 62? 0,0098 см.
 Они превышают значения, допускаемые проектным Заданием. По согласованию с технологами место крепления подводок перенесено в точку № 2 с координатами а‘02—154 см; ув20; г0245 см.
 Амплитуды суммарных колебаний точки № 2 оказались равными /420,00143 см, /40,0012 см, Дг20,00175 см и вполне удовлетворяющими требованиями проектного задания.
 Для определения максимальных амплитуд колебаний точки №2 в резонансных режимах при разгоне центрифуги (при остановке резонансные амплитуды будут меньше вследствие искусственно созданного ускоренного торможения) найдем предварительно безразмерные параметры в/(2{ , характеризующие скорость нарастания частоты возмущающей силы по каждой координате:
 Гх
 в
 О
 Гг
 °'8 . 0,23; -- 0,23;
 1.852
 Г Мо2 'и
 0,8 0,069; — ...~8 0,043;
 .1- А т
 •3,4
 1(рх
 4,3
 3,24
 0,076;
 ф2
 0.8
 2,7“
 0,11.
 Пользуясь графиком рис. 14.4 по найденным выше значениям ■у для каждой координаты и величинам безразмерных параметров е/!{ определяем отношения максимальных амплитуд в резонансных режимах к амплитудам колебаний в рабочем режиме:
 а„
 а
 5(9,6);
 5(9,6);
 ■ 4,8 (5,7);
 ож аоу
 +
 Р0х
 4,8 (5,1); 4,8 (5.7);
 ”0 Ч1"
 Щг
 оу 6,5 (10,7).
 В скобках указаны резонасные увеличения, соответствующие очень медленному нарастанию частоты возмущающей силы.
 Максимальные амплитуды колебаний виброизолированного объекта в резонансных режимах по каждой координате будут следующими:
 4х °:
 Огмакс'
 : ЪЬп— 5 • 0,003 ) см;
 : 4,8а'г—4,8-0,00313
 "“оу ~ о0Ог/:
 — 0,015 см;
 ■ф,
 — 0,015 см;
 ■ 4,8]/" Ф0|+ Ф01
 4,8-10—6 V 10,12 4-63? ± 303; 10-е рад. 4,8фц 4,8-31,6-10~6
 Ояяакс
 Ф
 обмане
 +'0г/:
 151-10—6 рад;
 •Ф,
 Огмакс
 6,5ф0г
 — 6,5-30,5-10—6 — 200-10—6 рад.
 Верхние границы максимальных амплитуд колебаний точки № 2 в переходных режимах определяем по формулам (14.55):
 /4ж2Макс — I /4оэ:макс | 4" I 'Фоумакс гог 1 +
 I Фогмакс Уо2 I “ 0 I 151 • 10 6 ■ 45 1 4~
 4-0 0,0068 см;
 -Гамаке I Лоумакс I 4" I Фогмакс хоъ I “Ь + I Фожмакс 202 | . | —0,015 1 4~
 4 | — 200-10—6-154 | 4- | ± 300- 10-е.45 | 0,059 см;
 '422МаксИо2Макс14'|ФожмаксЬ'о2| '"НФбг/максХ
 ХА'ог 11— 0,015 | 4-0 4-1 151-10-в-154 | 0,0384 см.
 Полученные значения амплитуд колебаний точки крепления подводок в резо-
 252

нансных режимах удовлетворяют требованиям проектного задания.
 По формуле (14.70) определяем величину внезапно приложенного вращающего момента при включении электродвигателя:
 Мхл Жжн —-0-'20 1360 кто-см. лл ли 1440 ■
 Этот момент вызовет максимальное отклонение от положения статического равновесия на угол, определяемый по формуле (14.71):
 2 М„
 К,
 фД:
 2-1360 460-105 ’
 рад.
 Поворот на такой угол вызовет перемещение края виброизолированного постамента в вертикальном направлении, равное агфХ 10059-Ю-8-1000,0059 см, что вполне допустимо.
 Определение динамических нагрузок, передаваемых на основание. Коэффициенты передачи определяем по формулам (14.74):
 1
 1
 1
 1-4 1-7,05
 г-4» 1-5-62. 1
 1 1
 1 — а;
 ’Ф V
 48,5
 1
 30 у 1
 54 ’
 1
 168
 1
 30
 пгрг ■
 1 — а 1 ~ 892
 “фг
 78,5
 Силы, приложенные к центру жесткости, условно жестко связанному с основанием, и моменты, передающиеся на основание, определяем по формулам (14.76):
 ркукур0у -6 кгс;
 ркг 11 г р0г ~
 Мкх — фх Мцх
 // I/ И
 кх “ хфЯ
 — 168
 1000 — 48,5 14-10а 30 89-Юз
 — 30
 —20,6 кгс. — 467 кгс-си’ — 2970 кгсси;
 ' ' 80 10я мку.т Над м0у ГГ- I"180 КГС-СМ;
 — 54 80-10®
 — 1020 кгс-см.
 — 78,3
 Амплитуды суммарных динамических воздействий на основание определяем по формулам (14.77):
 Ркх 0; Рки 6 кгс; Ркх 20,6 кгс;
 М,
 V кх
 ‘Ъх — г -1кх + Мкх ~
 |Аб72 + 29705 3000 кгс-см;
 Мьу 1480 кгс-см; Мк2 1020 кгс-см.
 РАЗДЕЛ 15 ВИБРОИЗОЛИРОВАННЫЕ СИСТЕМЫ С НЕЛИНЕЙНЫМИ ХАРАКТЕРИСТИКАМИ
 (В. Л. ИВОВИЧ)
 Нелинейные явления, к которым можно отнести резонансы дробных порядков, автопараметрические колебания и т. п. приводят иногда к резкому снижению эффективности виброзащиты. С увеличением интенсивности вибрационных и ударных возмущений влияние нелинейных эффектов возрастает.
 С другой стороны применение виброизолирующих устройств с нелинейными упругими характеристиками нередко оказывается весьма полезным. Эти обстоятельства способствовали развитию теории нелинейных систем виброизоляцаи.
 15.1. Гармоническая линеаризация
 Для отыскания периодических решений нелинейных дифференциальных уравнений применяются различные приближенные методы (гармонической линеаризации [6], малого параметра [1], энергетического баланса [7], Галеркина [5] и т. д.). Остановимся на методе гармонической линеаризации. Пусть колебания виброизолированной системы описываются нелинейным дифференциальным уравнением вида
 2 (р)х + /? (р)Р (х, рх) 5 (р) г,
 (р а/еИ),' (15.1)
 где 0(р), Я(р), 5(р) — полиномы от оператора р: Р(х, рх) — нелинейная функция: г —заданная
 функция времени.
 253

Положим., например,, что
 5(р)г Кзшаг. (15.2)
 Тогда х А0 + х, где .х А зШ я|з,
 \| Й_ф, (15,3)
 где Ао “ нереверсивная составляющая; ф — угол сдвига фаз.
 Воспользовавшись (15.3), заменим Р(х, рх) линейной зависимостью
 .Р(х, рх) р0 + дх + (г'/И) рх. (15 .4)
 При такой замене необходимо положить:
 2л '
 Рц 1 Р (А0 + А 5111 ф; А Н С05 ф) А ф;
 2л
 О
 2л
 Ч~~лА Р а С055’п 11’ЙФ; ■ о ■
 2л
 Г~ ~А 1" + Л 31П ф; А а С05 ф) С05 ф й ф.
 О
 (15.5)
 Для определения параметров колебательного процесса следует решить линеаризованное уравнение.
 15.2. Коэффициенты гармонической линеаризации для нелинейных функций некоторых типов Если нелинейная функция Р(х, рх) является симметричной, то Л0/'о.0,
 2л )
 Я — \ Р {А 51П ф, Л П СОЗ ф) 31П ф й ф;.
 яЛ
 О
 2л
 Р \ ? (Л5Ш115, А Я СОЗ я])) С05 ф Л ф.
 л А
 (15.6)
 В случае нелинейной функции Р(х) имеем:
 2л
 7 1 Р (Л 5Ш ф) 51П ф й ф;
 л АЛ
 О
 (15.7)
 2я
 Г — Г Р (А 51П ф) С05 ф (I ф.
 л А Л
 О
 Гармоническая линеаризация симметричных нелинейностей, а). Кусочно-линейная характеристика с переменным коэффициентом жесткости (рис. 15.1):
 п / ъ
 — к±) | агс 51П Ь
 I -А
 , г 0 (при Л Ь). (15.8)
 + -
 Ч (к.
 Я
 Виброизоляцию с характеристикой восстанавливающей силы, показанной на рис. 15:1, применяют для случаев ограничения
 амплитуд в пускоостановочных режимах колебаний оборудования [8], для ограничения статических осадок виброизолированных рабочих площадок [9].
 При А 6 коэффициент 7—А] (линейная характеристика).
 б). Кусочно-линейная характеристика с зоной нечувствительности (рис. 15.2):
 Я — к — (агс з!п — + — 1 / г я V А А V А-)
 . г 0 (при А Ь). (15.9)
 Кусочнолинейную характеристику, показанную на рис. 15.2, имеют' некоторые упругие элементы вибрационных машин [12], являющиеся одновременно и виброизоляторами.
 в) Кусочно-линейная характеристика системы с предварительным поджатием (рис. 15.3):
 д к2 + (4с/пА), г 0. (15.10)
 Рассматриваемая упругая характеристика встречается при аппроксимации нелинейных. характеристик виброизоляции [10], в ■ случае' использования виброизо'ляцйй вместе с динамическим гасителем колебаний [11].
 г) Характеристика с гистерезисной петлей, (рис. 15.4):
 '7[т+агс8!п(1-4) +
 + 2
 (-) УН'-т
 М)
 (15.11)
 4кЬ Я А
 (при Лй).
 д) Степенные нелинейные характеристики
 Р (х) — кх11 (при х целом нечетном); 1 Р (х) кхп 51§п х (при х целом четном). )
 (15.12)
 Степенные характеристики типа
 (15.12) образуются при разложении нелинейных упругих характеристик для равночастотных, пневмопоршневых и других виброизоляторов в степенные ряды [10]:
 35...гг
 4»6...(/г-Н)
 , 1.
 кЛ (при п нечетном);
 4_ 2-4.. .п
 кАП 1 (при п четном).
 (15.13)
 гг 3‘5...(п 4-1)
 В частном случае Р)кх2 51§п х получим
 Я8кА/Зя. (15.14)
 Для характеристики Р1х)кх3 имеем ?ЗШ4. (15.15)

р
 _ - . 0
 А х.
 у ■
 . ъ : Рис. 15.1. Кусочнолинейная характеристика с переменными коэффициентами жесткости
 Рис. 15.2. Кусочнолинейная характеристика с зоной нечувствительности
 /
 X
 С
 X
 Рис. 15.3. Кусочно-линейная характеристика с предварительным поджатием
 Рис. 15.4. Характеристика с гистерезисной петлей
 При /■'(я) йл:451§п х
 ? 32М3/15я. (15.16)
 При Р(х)кхъ имеем
 7 5М/8. (15.17)
 е) Графический способ гармонической линеаризации. В случае однозначных симметричных характеристик коэффициент
 О,
 Ч « ■— [РШ + РЩ2)]. (15,18)
 ж) Нелинейность типа сухого трения Р(х, рх) с51еп х-(ссопз1):
 г 4с/пА, 9 0, (15.19)
 Гармоническая линеаризация несимметричных нелинейностей, а). Несимметричная кусочно-линейная характеристика типа двусторонней реакции упругого элемента с различной жесткостью (рис. 15.5).
 Виброизоляция с характеристикой, показанной на рис. 15.5, может встретиться при отклонениях действительных характеристик упругих элементов от расчетных и при аппроксимации действительных нелинейных характеристик ' отрезками прямых [10]:
 + к, 1 — к„
 + А
 V-
 -Лрагс з!п 4-
 о
 Ай
 Ап
 +
 (г0) (15.20)
 б). Характеристика типа односторонней реакции упругого элемента (рис. 15.6). Для характеристики, представленной на рис. 15.6, а:
 м. , ч , . А ,
 Р, ! агс 51п ь
 2 л \ А
 •М
 V -4):
 ь , к ( . А° ,
 7 ! агс 51в +
 я \ А
 + ■
 V'А
 (15.21)
 (г0).
 Для характеристики (рис. 15.6, б) из формул (15.5) получим:
 _ кА0 к ° 2 п
 А0 агс ми —— + А
 7 -5— г—— I агс 51п +
 2 я \ А
 +
 А У А"
 (г 0).
 (15.2 2 )
 Характеристики, показанные на рис. 15.6 могут образоваться при аппроксимации действительных нелинейных характеристик отрезками прямых [10].
 в) Степенная несимметричная характеристика Р(х)—кх2Н(х), где Н(х)—ступенчатая функция, равная 1 при я0 и 0 при я0, представлена на рис. 15.7. В этом случае:
 я
 +
 +агсв1'п т)+
 тУг
 Я —
 2к
 71
 Л 1~ + агс
 +
 +
 \ 3,4 ЗА / V
 А2 21 А-
 (15.23)
 255

Р
 0-
 Хк
 г)
 Рис. 15.5. Характеристика типа двусторонней реакции упругого элемента с различной жесткостью
 Р '
 а.1
 .0
 г
 р
 0
 - В
 ну
 Рис. 15.6. Характер»-
 стика типа односторонней реакции упругого элемента
 Рис. 15.7. Степенная несимметричная характеристика Р(х) ™кх2Н( х)
 Характеристика, показанная на рис.
 15.7, может иметь место при аппроксимации действительной нелинейной характеристики виброизолированной установки.
 г). Степенная несимметричная характеристика Р(х)кх3Н(х):
 2А1 + ЗАЛ,
 (тл + тНМ/ ■
 А,
 +
 + агс 51П —2-
 А
 +
 1Н+7-)(т
 — А„А + 4
 (15.24)
 у + ну + Р{у) 8Ь{1),
 Рис. 15.8. Теоретические амплитудно-частотные характеристики виброизоляции нелинейной системы для относительных координат
 15.3. Основной резонанс нелинейной системы с одной степенью свободы при моногармоническом возбуждении
 Предположим, что дифференциальное уравнение колебаний виброизолированной системы при гармонических колебаниях основания, на которое опирается эта система, имеет вид
 Рис.. 15.9. Теоретические фазовые характеристики виброизоляции нелинейной системы для относительных координат
 ем цу и решая линеаризованное уравнение, получим решение в форме
 (/ Л5Ш(0 — ф). (15.27)
 Подстановка (15.27) в линеаризованное уравнение и приравнивание коэффициентов при 5т(Е2—ф) и соз(Й—ф) дает:
 3-Л А |0й2 соз ф; 1 4 ) (15.28)
 к А а2 Ецй1 ф. '
 После исключения фазового угла из
 уравнений (15.27) образуется зависимость
 - Ай! +
 / 2 1 (“0 +
 (15.25)
 где Р(г/)о“ д+уу; 56(0—|Я2 з!п й; к — коэффициент вязкого сопротивления; ш0—круговая частота собственных линейных колебаний; V — коэффициент нелинейной упругости; |0 — амплитуда колебаний точки закрепления виброизолированной системы на опорной поверхности; й— частота возбуждения; ух—Ёо зш й?— относительное перемещение виброизолированного объекта.
 В соответствии с формулой (15.15) коэффициент гармонической линеаризации 7 принимает вид
 7 (3? Л?/4) + (15.26)
 Заменяя нелинейную функцию Р(У в уравнении (15.25) линейным выражени-
 -где
 А,-
 ЗуА + 2 ;{й)2 - к2); А -ф:
 (15.29)
 В,-
 2 [А.
 • аул8)
 16
 (15.30)
 Соотношение (15.29) позволяет построить амплитудно-частотную зависимость. Фазовый угол ф подсчитывают по формуле
 ий
 18 Р ■
 —(Ор ту у А
 256

На рис. 15.8 и 15.9 приведены резонансные кривые и угол сдвига фаз, построенные для некоторых численных значений параметров, рассматриваемой системы, при различном затухании, характеризуемом коэффициентом вс/о0. Пунктирная кривая на рис. 15.8 соответствует собственным колебаниям консервативной системы (при 80) и носит название «скелетной» кривой. Вычисление значений амплитуды и фазы относительного перемещения виброизолированного объекта может представить практический интерес при подсчете необходимого пространства для размещения виброизолированной системы.
 В некоторой области частот возбуждения одному и тому же значению возмущающей частоты О соответствуют три различных значения амплитуды колебаний. Некоторые из этих кривых являются неустойчивыми. Границы областей неустойчивости амплитудно-частотных кривых определяют уравнениями:
 9
 а-
 4 ЧА + %
 й2 “о+-Г1м3-
 (15.31)
 (15.32)
 Для линейной виброизолированной системы эффективность виброзащиты обеспечивается при
 Я/со0 У 2 . (15.33)
 Как показывают графики на рис. 15.8, нелинейная система с жесткой нелинейностью и малым затуханием при выполнении условия (15.33) может не обеспечивать виброзащиту изолируемого объекта. Для системы с мягкой нелинейностью выполнение условия (15.33) является достаточной гарантией того, что виброизоляцин будет эффективной.
 15.4. Субгармонические колебания виброизолированной системы
 В нелинейной виброизолированной системе при определенных условиях могут возникать субгармонические колебания в дополнение к гармоническому движению, ' предсказываемому линейной трактовкой задачи. Положим, что движение виброизолированного объекта описывается уравнением (15.25) при
 -Р(у) (4у+№ + УУ3. (15.34) Для рассматриваемого вида нелинейной функции, содержащей члены второй и третьей степени относительного перемещения у, возможны субгармонические колебания порядка '/а и 73-
 Решение уравнения (15.25) имеет вид
 У — С + А/п з1п I + Ф 51П (Ш 4 1|.
 (13.35)
 где п — целое число; С, А уп, Аи ф, 1|) — значения, подлежащие определению.
 Используя метод Ритца, возьмем, первую вариацию от выражения (15.35):
 6г/бС + вА1[п 51'п —- 4-ф| + 5/1 81П (СИ + ф) 4-
 4- Ауп соз 4- ф| 6ф 4- А1 сов (Я -И» б1|).
 (15.36)
 На основе экстремального вариационного принципа запишем:
 У . У, У, 1)ЬуЛ1 0,
 (15.37)
 где Г2пн/Е3; Ь — символ, означающий результат подстановки выражения (15.35) в основное уравнение задачи.
 Внося выражение (15.36) под интеграл (15.37) и учитывая произвольность вариаций, стоящих в правой части (15.36), приходим к уравнениям:
 Г т
 кН 0; у Ь зш Г-5! 4- И — 0; о о п
 Т
 сов -51. 4- ф 4{ 0;
 . (15,38)
 ь 51п Й1 4- Ф) и ~ 0;
 6 г
 Ь соз (№ 4- Ф и — 0.
 Заметим, что уравнения (15.38) с точностью до постоянных множителей представляют собой коэффициенты Фурье в разложении результата подстановки приближенного решения (15.35) в дифференциальное уравнение (15.25). Группируя после подстановки члены с частотами 0, Й, О./п и приравнивая нулю коэффициенты при синусах и косинусах одинаковых аргументов, приходим к уравнениям:
 о+-
 41/я +
 М1/П
 4-РС1 4- — Н — 0;
 [ шо (
 '"Н
 ЯиЬ+(зс2+т-+
 4-_Л2)4-2Рс] 0;
 |ш§-ИР + ,(ЗСВ + _2. А/п +
 Ь —- 4 23С | - 60 П2 соз ф — 0;
 ка
 Л1/га 0; хА Я 4- ?0 523 51 а -ф 0.
 (15.39)
 17—491
 257

Система уравнений (15.39) соответствует основному гармоническому решению в том случае, когда среди комбинационных частот отсутствуют такие, которые совпадали бы с базисными. При наличии трения, т. е. при ’лфй из уравнений (15.39), имеем Л 1/п0.
 Если положить л3, то в разложении результата подстановки (15.35) в (15.25) будем иметь комбинационные частоты, совпадающие с основными частотами выражения (15.35). При этом приходим к разрешающей системе уравнений вида:
 С [«§ + V [сЧ +ес]+
 ЗЛ:
 + -
 — А1/ЛХ
 (15.40)
 V [а0 - 1Г + (3°2 + "Т А1/3 + +Т-)+2г
 X сов(Зф —1 ф) | 0;
 |ш2 » й2 + V 3С2 +
 + 1“ л?)+ 2рс], Х X соз (Зф — 11)) |0 Й2 соз я});
 1/3 -~-УА\1д, а1 5п (Зф — ф)|0;
 хА, а •• -1- V дЗ 5{п (Зф „ ф)
 1 4
 - Й3 51П II).
 Система пяти уравнений (15.40) определяет пять неизвестных величн С, Ль Л1/3, Ф и тр. Так как ее решение достаточно громоздко, то ограничимся случаем отсутствия диссипативных сил. Для консервативной системы можно положить 1|) 3ф—1|) 0. Будем считать, что Л, и Ат могут принимать как положительные, так и отрицательные значения.
 Неизвестные С/Аг и Ащ определятся из уравнений:
 с[ + (? + /3 + .|_ +
 . ЗЛ2 32 + + в0.
 2
 ! 4- — /52 44 1/3+
 + 4- + 2РС - 4- /з А± 0;
 В2_.+ ,(ЗС2 "Н)
 |ш2 - О2 + V (зс2 + А
 А + 2Эс]-| 3/3 10 П2.
 1/3
 +
 (15.41)
 Субгармоническое решение порядка Уз имеет общую точку с гармоническим решением. Так, если положить в системе уравнений (15.41) Л30, то приходим
 к уравнениям:
 :[ш2+г(с2 + -Л2) + (Зс]
 +
 РА]
 0;
 зс‘!+1-л1) +
 Л[“о“п2 + г(;
 1. п;
 (зс2+т)
 + 20С
 а-—~И
 +20СО,
 (15.42)
 Первые два уравнения определяют амплитудно-частотные зависимости, отвечающие стабилизации системы в режиме основного гармонического резонанса. Все три уравнения позволяют найти точку бифуркации, в которой субгармоническое и гармоническое решения совпадают.
 Для установления зависимостей
 С(Е2), Л ((О) и Лд(О) при субгармоническом резонансе можно воспользоваться способом последовательных приближений.
 Процесс последовательных приближений
 удобно начинать со значений С, А\ и Л отвечающих случаю )3у0. При этом для нулевого приближения будем иметь
 Сд — 0; О о;— Зв„; А
 после чего находим:
 (15.43)
 8 .
 с± -
 13 (Л1/3'|~ Л1р)
 +
 2[ “о + у[~ТА\/з + "г" 1о) ]
 + У[ЗС1 + "Т- Л1/3 +
 Т-о)
 + 2РС1-т
 ЧАЩ V
 Ац —-
 1пЩ + —
 О 1 4
 1/3
 ”3-°?+(зс5+-!л?/3+
 +
 4- Л1о)
 + 2Рсх.
 (15.44)
 Подставляя Сь Оь Аи в уравнения (15.42), можно подсчитать значения искомых величин в следующем приближении а т.д. до получения совпадающих результатов в двух последовательных приближениях.
 На рис. 15.10 приведены графики зависимости С), Л] и Л]/3от круговой частоты возмущения ЕЗ. При построении графи-
 ,258

СМ
 2
 ~ 1 {
 150
 1
 200 'я,рад1с
 100
 150
 200 Я,рад/С
 V
 "\
 т
 200 Я,раЩс
 V
 5
 и
 з
 2
 1
 О
 -2
 -3
 СИ
 -о,?
 -0,2
 С,,
 СИ
 -0,1
 -0,2
 Рис, 15.10. Амплитудные кривые субгармонических колебаний порядка 7з
 Для построения резонансных кривых будем иметь:
 Со0; Й02ш0; Л1о — (4/3) |0;
 “ ~ (1/2 + Л1о! Т “ 1/2 Л10 .
 С,
 П‘ 2/Ш0+7(ЗС?+ХЛ + Н0)
 +
 Н'+ 20 С, ± (3уСг + Р) а10 :
 Л.1А |0Й
 ■и-
 • т.с1 + -
 -)
 1/2
 в0-й1 + ’(ЗС?+Т + Н)+'
 + 2|3 С,
 (15,46)
 Последующие приближения находят с помощью соотношений (15.46) из системы уравнений (15.45).
 ков были приняты следующие значения параметров:
 оо 1450 (рад/с)2; |0,047 см;
 —190 1/(см.с2); р190 1/(см-с2). Цифрами на рис. 15.10 обозначены соответствующие ветки кривых. При частоте возмущения 03(Во возникают субгармонические колебания порядка 1/3. С ростом частоты возмущения амплитуда субгармоники Д1//3резко возрастает. Величины С(й), Л, (О) при этом остаются значительно меньшими, чем величина субгармоники
 Для рассматриваемого вида нелинейной функции Р(у) возможны также субгармонические колебания порядка '/2. Полагая в выражении (15.35) п—2 и поступая аналогично тому, как это было сделано ранее, находим: ,ф0у ф±я/4.
 Расчетные уравнения в этом случае принимают вид:
 С [ + ?(с2+ | л2/2+ А да)+рс]+ '
 1/2 | РЛ1
 Л_ , л2 А 0;
 4 ГЛ1/2 Ю
 (й;
 0 4
 4- 23с ± сзуСЛ± + (ЗЛ±) 0;
 + (з + -р?/2+--л?) +
 уСЛх +
 V (зс2:
 |.«§.-сР +
 3 .9
 ■+”Г V
 (15.45)
 15.5. Расчет нелинейной виброизолированной системы на случайное воздействие
 При случайном характере внешнего воздействия расчет виброизоляции может быть произведен на основе статических закономерностей [2, 3].
 . Рассмотрим систему кинематической виброизоляции, колебания которой описываются уравнением (15.25) с правой частью
 5 6 (/)—|. (15.47)
 Положим, что ускорение колеблющегося основания |() является случайной стационарной функцией времени с нормальным законом распределения и нулевым средним значением. Пользуясь уравнением (15.25) н принимая во внимание равенство (15.47), определим вероятностные характеристики реакции системы.
 Нелинейную функцию Р(у) уравнения
 (15.25), при уг/3 С заменим линейным выражением ду, где 9 — эквивалентный коэффициент линеаризации.
 В соответствии с методом статической линеаризации [6] определим значение 7 из условия минимума математического ожидания квадрата разности между истинной нелинейной функцией и ее заменяющей. В результате получим

где Ц7(э)—плотность вероятности случайного гроцесса уЩ.
 Так как математическое ожидание воздействия |() принято нулевым, а нелинейная функция Р(у), определяемая выражением (15.25), симметрична, то математическое ожидание у(1) можно положить равным нулю.
 В этом случае
 ау /2я
 гС-К)
 (15.49)
 где Оу“ стандарт случайного процесса дЦ).
 Подстановка выражений Р(у) и Щу) в соотношение (15.48) дает
 д 4 + гу. (15.50)
 Теперь вместо уравнения (15.25) запишем линеаризованное уравнение
 ■У + КУ + + 3уаЦ у - |0. (15.51)
 Используя известное соотношение [6] между спектральной плотностью входного воздействия 5| (со) и спектральной плотностью реакции системы 5у(ш), запишем:
 (®) | Ф (/а) |35|‘ (а), (15.52)
 где |Ф(/ш)|2--квадрат модуля передаточной функции:
 / 2 , 2 2\2 2 2 ’
 о 	+00 + 31X1 +к в
 (15.53)
 / — мнимая единица.
 Зная спектральную плотность 5„(в), можно определить корреляционную функцию
 -Ь
 (й) соз штйш, (15.54)
 где /Су,(т) ~ ~~ .0(00 ■+
 —Т
 Т — продолжительность реализации.
 Среднее значение квадрата функции у (0 в соответствии с выражением (15.54) будет
 5у (ю) йш.
 Полагая, например,
 находим
 5-- к0 сопз{,
 К
 (15.55)
 (15.56)
 (15.57)
 У /12 5ч,
 2 	|шо + 31 0 | х
 Для линейной системы у0 имеем
 ауО ~ (1.5.58)
 Корреляционная функция внешнего воздействия для некоторых случайных процессов может быть представлена в виде
 (т) е~ в 1т) (15.59)
 где Р — константа.
 Соответствующую спектральную плотность дают выражением
 5|- (со) 20/(а3 + Р2). (15.60)
 Среднее значение квадрата относительного смещения объекта
 2 _ 1 Г
 тч
 К.) |? 2 2\. Г/ 2 2 2.
 —оо 4“ 3 ДО [|— 4- 0)о + Зу Оуу +
 . ‘ 15.61)
 •4”
 Интегрируя (15.61), находим [6]: и + р У 2 2\ г/ 2 2 ‘Л, С “О + ЗТ Уу}, (соо + -4- ри + 3 )
 (15.62)
 Отсюда может быть найдено значе¬
 ние а !Г
 Если известна спектральная плотность величины 1(1), то для нахождения дисперсии реакции системы можно воспользоваться равенством
 5|- (со) м5§ (а). (15.63)
 Найдем теперь среднее значение квадрата ускорения, передаваемого виброизолированному объекту. Переходя к абсолютному смещению и учитывая (15.50), получим
 X + КХ + (со5 + З-уСТу); X х| +
 +1°0 + 3У°) I- (16.64)
 Зависимость между спектральными плотностями на входе и выходе системы в соответствии с (15.64) принимает вид
 9 9 2
 ш0 + + /иш
 5” 5;- : . (15.65)
 х § 2 2 0
 — (В + Шо + 31)0 + /иш
 Принимая спектральную плотность воздействия в виде (15.56), и, пользуясь таблицами интегралов, находим
 / 2 2 2Ч
 2 	_ + ш0 + ЗУВу),
 2и
 (15.66)
 Для соответствующей линейной системы (у0) имеем
 кд {к3 + юр)
 2и
 (15.67)
 Равенства (15.66) и (15.67) показывают, что среднеквадратичное значение ус-.
 260

корении, передаваемых виброизолнрованному объекту при жесткой нелинейности (у0), больше, а при мягкой нелинейности (уСО) меньше значения а для вибро„ Х изолированном системы с линейными упругими характеристиками.
 Для спектральной плотности воздействия (15.60) находим
 2 _ ~Ь (и 4- Р) |(е5 "Ь
 х 2 / 2 2 V
 «Р +х(в0-|-Зуа 4-и0)
 Применительно к линейной равенство (15.68) дает
 (15.68)
 системе
 2
 СТ..
 X,
 п 2 7 2 V 2
 “Ь Р/ Ир
 (15.69)
 кз" -ь и
 Полагая в соответствии с методом статической линеаризации дифференциальный закон распределения случайного процесса у{() нормальным, можно найти вероятность превышения этой величиной некоторого уровня. Вероятность превышения по модулю относительным смещением объекта заданной величины щ будет определяться зависимостью
 Я (1 г/1 а) 1 — Ф (6), (15.70)
 ь
 где Ь —
 Ф (6) :
 и-
 ■ ау V2 я интеграл Лапласа.
 Полагая, например, а1 2у/"2ау, находим: Р(\у\ а,) 0,0047.
 Рассмотрим упругую характеристику виброизоляции, описываемую кусочно-линейной зависимостью и соответствующую случаю, когда при увеличении пере-, мещений вступают в действие упругие ограничители хода. Упругая характеристика системы (см. рис. 15.1):
 при уЬ;
 . Р (У) -I (У — Ь) ■+ к± Ь при уЬ;
 Ь2 (у + Ь) — к± Ь при у — Ь.
 (15.71)
 Подстановка (15.71) в (15.48) дает
 Я ко — 2 (йа — к{) Ф (Ыау),
 1-
 где Ф(и) ■■
 Ш; и й/а
 У •
 (15.72)
 Линеаризованное уравнение движения системы принимает вид:
 У+ х у + I
 где
 3 С“з - ф (“4г) ]—6
 а2 к0/т-, (о — кт.
 (15.73)
 Для спектральных плотностей, выражаемых зависимостями (15.60) и (15.56) ■находим соответственно:
 к + Э
 ®2 - 2 ;(ш| — а?) Ф (6/тн)] {(к 13) X
 и + Р
 X — 2 (щ — Ш])’ Ф (/сту)] — 3 [а! _
 к + Р
 СГ- _
 У — ■
 -2(ш!-а?);]Ф(й/0в)} ’
 А»
 (15.74)
 (15.75)
 [®2— 2,(о)2— Ф (й/сГу и
 Величина 0„, устнавливаемая. уравнениями (15.74) и (15.75), может быть найдена графически. Эффективную частоту колебаний нелинейной системы при случайных воздействиях определяют формулой [2]
 уе (1/2п) /от? /сг. (15.76)
 Принимая спектральную плотность воздействия в виде (15.56), определяем для случая нелинейной функции 0/), выражаемой в форме (15.25):
 “II—
 ш3
 2 2 \2 + ь0 + ) + к
 2 2
 -А
 2к
 Из выражений (15.57), (15.77) находим
 (15.77) (15.76) и
 : (1/2я)
 у.
 со + Зуа2
 'у ■
 (15 78)
 15.6. Коэффициенты статистической линеаризации
 Метод статистической линеаризации [6] является одним из наиболее распространенных способов приближенного исследования нелинейных виброизолированных систем. Этот метод сводится К замене , нелинейной функции Р(у) уравнения (15.25) линейным выражением
 Р{У)Р + ЯУС, (15.79)
 где ус—центрированная случайная функция; — математическое ожидание функции Р(у).
 Переменную у под знаком нелинейной функции Р(у) можно представить в виде УУ+Ус, где у — среднее значение функции. В случае когда регулярная составляющая случайного возмущения равна нулю, а нелинейная характеристика системы симметрична, величина у обращается в. нуль.
 Коэффициенты линеаризации определяют формулами;
 261

7 —1 р (У) (у — у)™ (/) ау.
 ? | Р (/) ш (/) Л/,
 (15.80)
 где о —дисперсия величины у,
 • ехр
 О/ — у)2 20?,
 . (15.81)
 Формулы для определения коэффициентов 7 и Р.
 а). Кубическая характеристика
 Г(У)
 (15.82)
 б). Нечетная квадратическая характеристика Р(у) ку25щп у:
 {[(й2+4]
 +
 Ф
 1 1_У а.
 +
 1/2Я
 (15.83)
 Ф (у) ------ —! Г е 2 д—функция Крампа.
 2л
 О
 в). Кусочно-линейная характеристика с зоной нечувствительности (см. рис.
 15.2) при замене х на у.
 д к
 1 _ф/1 + У.Л _ф I 1 “У1
 и
 (1 +У1)ф/1+ Л_
 -1. А —VI
 аУг
 УгУЯ 1 /1 +У, '2 %
 (15.84)
 г). Характеристика типа двусторонней реакции упругого элемента с различной жесткостью (рис. 15.5) при замене х на у:
 262
 к] + , -6- — /и
 д : 4- 1 ф
 •Аа)Ф
 ■— (&з 4" 61) 4- (1 — 2
 (Л2
 + ~ в 2сг
 7 2я
 (15.85)
 д). Степенная несимметричная характеристика Р(у)куЧ(у):
 Р №
 у
 1 +
 С)2
 + Ф
 +
 + -
 С)5
 I
 (а
 2
 1 + 2Ф | -2—
 V
 (15.86)
 е) Характеристика типа односторонней реакции упругого элемента (рис. 15.6) при замене х на у:
 як
 — Н-Ф
 /? сг.
 —Ф[
 1
 +—е 4
 у 2л
 (15.87)
 15.7. Автопараметрические колебания виброизолированных систем
 Для нелинейной виброизолированной системы колебания по одной из обобщенных координат могут вызывать параметрическое возбуждение колебаний по другим координатам. Такие колебания могут реализоваться при определенном соотношении между парциальными частотами виброизолированной установки.
 Рассмотрим простейший пример. На рис. 15.11 показана схема виброизолированной системы, совершающей плоские колебания. Положим, что внброизолированный объект закреплен на восьми одинаковых нелинейных упругих элементах, расположенных симметрично относительно его центра тяжести. Поместим начало неподвижной системы координат х, у в точке совпадающей с положением центра тяжести объекта в состоянии статического равновесия. Оси координат направлены по главным осям инерции объекта. Обозна-

$7,8
 ТТ77777777
 Рис. 15.11. Расчетная схема объекта, закрепленного на нелинейных упругих опорах
 12
 чим: г) — составляющие перемещения
 центра тяжести объекта по осям хну соответственно; а — угол поворота тела относительно центральной оси, перпендикулярной плоскости х, у, проходящей через центр тяжести тела и связанной с ним.
 Составляющие упругой силы г'-го амортизатора представим в виде
 Г1укв\ + су'%, (15.88)
 где 5, т] — компоненты перемещения объекта в точке крепления его к Г-му амортизатору; к Х: ку —коэффициенты жесткости амортизатора; с„ — коэффициент нелинейной упругости.
 Кинетическую и потенциальную энергию представим в форме:
 ■Г-С1/2)(л| + яЙ1 + ):
 П 0/2)2 кх ~ аУг)2 + Ьу (] +
 + «,)” +З)'+ «)»■
 (15.89)
 где х-, д}— координаты точек крепления амортизаторов к впброизолированному объекту; т, /•» масса инерции тела.
 Пользуясь уравнением Лагранжа и соотношениями (15.89), получим
 ч + ш2 Т) + VII2 + |5а2 0; (15.90)
 ос + со| а + иаг] 0;
 г+ о)1ео,
 где И1
 8к
 ‘У .
 09
 (15.91) ъЪхУ1-'г!ч,ч):
 2 вк„ сйд
 8с,, х7
 У 1
 8с,, V — У
 т
 15су Х1
 Если отклонить груз в вертикальном направлении и отпустить его при нулевой начальной скорости, то
 11005(1). (15.92)
 Подставляя (15.92) во второе уравнение (15.90), получим
 в + со| (г + [1а С05 ш1 /) а 0, (15,93)
 .где ра кА1 ш§.
 Уравнение (15.93) обладает рядом зон параметрической неустойчивости. Наибольшее практическое значение имеет первая зона неустойчивости, границы которой определяются соотношением [4]:
 ш/ш2 (1/4) ± (ц„/8|. (15.94)
 При выполнении условия (15.94) вертикальные колебания вызывают колебания параметрического характера по угловой координате.
 15.8. Расчет упругого подвеса с очень низкой частотой собственных колебаний
 Рассмотрим схему упругого подвеса (рис. 15.12). Он состоит из платформы, опертой на три группы пружин: 1) наклонных, 2) верхних вертикальных и 3) нижних вертикальных.
 Беря. сумму проекций упругих сил на вертикаль, находим
 2 (г вес ф —1±) гц кг зШ Ф + (г2 +
 + Н Ф — 4) к% + (1з — з Н”
 + 1ёф)п3А3, (15.95)
 где пI — число пружин данной группы (здесь индекс I совпадает с номером рассматриваемой группы); /. — длина пружины в ненагруженном состоянии; %. — коэффициент жесткости пружины.
 Дифференцируя уравнение (15.95) по х, находим коэффициент жесткости:
 к
 йх.
 Отсюда
 йк
 ах
 «А-На /г2+ п-1 к% — П1 соз3 ср.
 Н (15.96)
 37-4
 С054 ф 81П ф.
 (15.97)
 Минимальное значение коэффициента жесткости при х0 (ф0):
 к п, к, + гг. к2 + пх к± - -1--г А- ■ (15.98)
 Г\
 Выражение (15.98) показывает, что при определенном соотношении между параметрами можно получить виброизоляцию с нулевым значением коэффициента жесткости (к—0). В этом случае
 ггв к3 Да (15.99)
 «1 6, г,
 Рис. 15.12. Схема упругого подвеса
 263

Величина груза С составит:
 3(Ф0) »2 % (Гг - 1г) + п3 к3 (/3 - г3).
 (15.100)
 Обозначая массу груза 2(ф_о) вместе с платформой через т и учитывая соотношения (15.95) и (15.100), получим следующее уравнение свободных колебаний:
 х+ех — е. -- — 0, (15.101)
 V
 где е п3 к3 и2 к« + % кх/т;
 § т кт.
 Интегрируя уравнение (15.101), находим:
 Н — ех3 + 2В ]/ х1 + г~ , (15.102)
 где Н хЪ (0) + ех- (0) — 2? х2 (0) + г\.
 Период колебаний I определяется формулой
 о
 \ С У1 — г\ ]/,(я +г?)'Е2 +
 0
 (15.103)
 где Со и соответствуют значениям /~0 и —Т2;
 х,и}[ х'-+г2.
 Преобразование этого интеграла к канонической форме Лежандра можно найти в работе [8]. Если рассматривать малые колебания, то при \х/г\\.\ уравнение (15.101) с помощью биноминального разложения можно представить в виде
 ;+{е_+__±_е4 +
 Г1
 + — а -4- +... 0- (15.104)
 16 г4
 Решение этого уравнения легко находится на основе приближенных методов исследования квазилинейных систем [1].
 РАЗДЕЛ 16 УСТРОЙСТВА ДЛЯ ГАШЕНИЯ КОЛЕБАНИЙ
 (В. И. СЫСОЕВ)
 Наиболее ' распространенными устройствами для'гашения колебаний, применяемыми в строительстве, кроме виброизоляции, рассмотренной в разделах 14 и 15, являются динамические и ударные гасители колебаний, демпферы и. ограничители колебаний. Условимся всю группу устройств для гашения колебаний, за исключением виброизоляции, называть гасителями колебаний.
 • Гасители применяют для уменьшения колебаний различных видов: поперечных, продольных, крутильных, возникающих в рабочем или пускоостановочном режиме работы машины — источника колебаний, а также колебаний, вызванных ветром или другими воздействиями. Условимся объект, на котором установлен гаситель колебаний, называть системой.
 " При работе динамического или ударного гасителя энергия колебаний системы передается гасителю, настроенному на частоту колебаний системы, который благодаря этому колеблется с повышенной амплитудой. Динамические и ударные гасители применяют, для уменьшення колебаний сооружений башенного типа (дымовых
 труб, мачт, башен), высоких промышленных зданий, элементов сооружений (балок, плит, проводов линий электропередач и т. п.) и виброизолированных машин в рабочем, пускоостановочном или в том и' другом режимах.
 Работа демпферов (устройств повы¬
 шенного сопротивления) основана на том, что энергия колебаний системы рассеивается в результате сухого трения прижатых одна к другой поверхностей, трения поверхностей, погруженных в вязкие среды, или вязкого трения, возникающего при прохождении жидкости или воздуха по перепускным каналам, или при взаимодействии магнитного поля с полем вихревых токов, возбуждающихся движением системы. Демпферы применяют в . случаях, когда необходимо уменьшить амплитуды колебаний виброизолированной машины или перевести колебательный процесс в апериодическое движение системы.
 Действие ограничителей колебаний основано на изменении упругих или упруговязких свойств системы, в результате чего уменьшаются амплитуды колебаний и изменяется частота собственных колеба¬
 264

ний системы. Энергия системы частично рассеивается при ударе об ограничитель, но большая часть сил передается через ограничитель. Ограничители колебаний применяют для ограничения амплитуд колебаний виброизолпрованных машин и приборов.
 Гасители колебаний в строительстве используют сравнительно давно. Ударные гасители на дымовых трубах появились в 1950—1953 гг. Позднее был применен динамический гаситель на телевизионной башне. В этот же период времени и несколько позже опубликованы первые работы по описанию конструкции и теории гасителей колебаний [23, 32, 47]. В последнее время появились новые работы по теории гасителей колебаний. Рассмотрены задачи о колебаниях башенных сооружений и строительных конструкций с динамическими гасителями при детермированных: [24, 29], случайных [25, 26, 30, 33, 45, 61] и сейсмических [27] воздействиях, при автоколебаниях [6, 28]. Исследован вопрос об установке расстроенной группы динамических гасителей без затухания, эквивалентных одиночному гасителю с оптимальным затуханием [32, 33, 34, 35, 37, 38]. Получила дальнейшее развитие теория ударных гасителей для системы с одной степенью свободы [49, 53, 54], для невесомого стержня с двумя массами [52] и для системы с бесконечным числом степеней свободы [15]. Выпущен нормативный документ по расчету и проектированию динамических и ударных гасителей колебаний в строительстве [42].
 Ниже рассмотрена работа динамических и ударных гасителей, демпферов и ограничителей' колебаний, установленных на системе с одной степенью свободы, при гармоническом воздействии.
 16.1. Динамические гасители
 Рассматривается система (рис. 16.1), имеющая массу М и жесткость к. На системе установлен динамический гаситель колебаний, имеющий массу Мг, жесткость &г и коэффициент демпфирования сг. Система приводится в колебательное движение возмущающей силой Р зт со/ [12].
 Дифференциальные уравнения, колебаний системы с гасителем имеют вид:
 х + 2п{х _ у),+{р2+ ~ У
 у + 2пг {у — х) + Рг (у — х) 0,
 ;
 (16Д)
 У
 Рис. 10.1. Схема динамического гасителя' колебаний с затуханием
 где 2п сР/М; р- — к/М; у| йР/Л1;
 2пг Сг/Мг; р1 кР/Мг, (16.2)
 Решение, соответствующее установившимся колебаниям, имеет вид
 а У"— §2)2 + 4Д2 8Ш ш;
 А
 |3 —+ 4й2 Я2 (16.3)
 А
 где А2. [(/3 - §5) (1 - в!) - ц/?§?]5 +
 + 4Л?§?(1— §? — ц§?)5;
 а “ х!х\ уIХст Р!Мр?'у
 / рг1р; (16.4)
 § со/р; р, Мг/М; к се/ск; сК 2Мтр\
 р и рг — круговые частоты собственных колебаний соответственно системы (при отсутствии гасителя) и гасителя (при неподвижной массе М); —коэффициент критического затухания.
 еап
 Динамический гаситель йез затухания.
 Если затухание в гасителе настолько мало, что может не учитываться в расчете, то принимают сг0. Главная масса М не будет колебаться в случае, если /§■, т. е. круговая собственная частота /?г присоединенного гасителя будет равна круговой частоте со изменения возмущающей силы. В этом случае
 (3 1/ц/? к!кг или укс Р, (16.5) т. е. упругая сила гасителя во всякий момент времени будет уравновешивать возмущающую силу. Это справедливо для любого значения отношения §.
 Поскольку применение гасителя особенно эффективно в случае, если система находится в состоянии резонанса или, по крайней мере, близка к нему, то полагаем ррг, откуда кг1кМг/М\1. Значение ц должно быть таким, чтобы амплитуда колебаний массы Мг гасителя, равная Р/Мтш2, была в пределах, допускаемых прочностью пружины гасителя.
 265

Частотное уравнение системы с гасителем как системы с двумя степенями свободы при } 1 будет
 -(2-Ь(г)+1 0. (16.6)
 Корни этого уравнения
 §г,21 + -± |/(1 + Т')- (16,7)
 При небольших значениях \х частоты собственных колебаний системы с гасителем мало отличаются одна от другой и от расчетного значения ш—р — круговой частоты возмущающей силы, равной круговой частоте собственных колебаний системы. Поэтому применение динамического гасителя без • затухания связано с требованием строгого постоянства частоты возмущающей силы.
 Динамический гаситель с затуханием. Часто затухание оказывается полезным для работы гасителя и поэтому его вводят, снабжая гаситель специальными устройствами. Тогда возникает вопрос о рациональном подборе параметров затухания.
 При резонансе, т. е. при ?1, как в случае очень малого затухания (сг-0), так и в случае очень большого затухания, когда обе массы оказываются жестко взаимосвязанными (с- оо), амплитуды колебаний системы неограниченно возрастают. Между этими предельными значениями сг имеется такое его значение, при котором резонансная амплитуда минимальна.
 Имеются определенные значения §, при которых можно так настроить гаситель, что амплитуда колебаний системы не будет зависеть от затухания в гасителе. Такой гаситель называется гасителем с наилучшей настройкой. В этом случае для настройки на любую величину массы гасителя должно выполняться условие
 /1/(1 + ц), (16.8)
 при этом амплитуда колебаний системы будет
 а ]Л +2/(1, (16.9)
 Если гаситель колебаний имеет постоянную настройку /1, то
 ф\-У\ь!{2+у)-, (16.10)
 а»1/[(1+ц) К[|1/(2 + ц)7-ц]. (16.11)
 В этом случае гаситель наывается настроенным на частоту системы. Затухание, удовлетворяющее условию наилучшего действия гасителя, может быть определено с помощью кривых, приведенных на рис. 16.2.
 10 12 М- 1В т Ур
 Рнс. 16.2. Кривые коэффициента затухания, удовлетворяющего условию наилучшего действия гасителя
 1 — гаситель с наилучшей настройкой; 2 — гаситель,. настроенный на частоту главной системы
 I/ 1апт Ь0
 Рис. 16.3. Кривые относительных амплитуд колб- баний масс М, и Мг
 1 — гаситель с наилучшими настройкой и затуханием; 2— гаситель с наилучшим затуханием, настроенный на частоту главной системы
 Амплитуду относительного движения масс М и Мг, определяющую напряжение в пружине гасителя, вычисляют по формуле
 (|Р — «[)§ сс/2 (16.12)
 Амплитуда относительного движения масс М и Мг может быть определена по графикам, приведенным на рис. 16.3.
 Пример 1. Рассчитать динамический гаситель колебаний для системы с одной степенью свободы. Дано Л4500 кг, Мг50кг, Р0,5 кН, 620 кН/см.
 1. Гаситель без затухания (при фикси¬
 рованных частотах, т. е: при (§\). Име. ем |Л0,1, а0. Находим: кг\хк
 2 кН/см. По формуле (16.5) (510. По формуле (16.7) 1|2 1,05+]/"0,1025, следовательно, отношения частоты возмущающей силы к собственным частотам §11,17 и §2 0,85.
 2. Гаситель с наилучшим затуханием, настроенный на частоту системы. По рис. 16.2 находим к0,202. По формуле
 (16.10) §0,885. По формуле (16.11) относительная амплитуда системы а7,2. По рис. 16.3 1Р—а|опт 12.
 3. Гаситель с наилучшим затуханием и наилучшей настройкой. Наилучшую настройку определяют по формуле (16.8)
 ;266

а)
 Шш
 НЕЧ
 с
 РзСп/рЬч)
 \
 © 1
 |Шг
 |-ш-
 с
 М
 нг
 Р$ъп,\рЬ+х)
 Л | Шг|
 Рис, 16.4. Схемы ударных гасителей колебаний
 10/11.. По рис. 16.2 /10,16. По формуле (16.9) относительная амплитуда системы а4,6. По рис. 16.3 ||3—а | опт 18.
 16.2. Ударные гасители
 Рассматриваются маятниковые, пружинные и плавающие гасители (рис. 16.4), установленные на системе, имеющей массу М, жесткость к и коэффициент затухания с. Система приводится в колебательное движение возмущающей силой Р зт (ш/+'/) • Еведем следующие обозначения: Мт — масса гасителя; б ((—ИТ)—дельта-функция, г — коэффициент восстановления скорости при ударе; Т — период соударений.
 Маятниковый ударный гаситель. Дифференциальные уравнения установившихся колебаний системы и гасителя (рис. 16.4, а), имеющего длину I,
 X + 2ПХ + рх 31П (в( + X) —
 мв
 — 'У б и-ЦТ);
 М0
 «0
 5
 V
 Ф+-т+г2б‘(-т' ‘1б-1з ко „2
 где 2п — с/М0; р к/М0;
 Р2г ё/П М0 М + Мт-, м мт '
 3 - (1 + г) —— ;ф (Т).
 м0 + мг
 (16.14)
 Резонансные колебания системы и гасителя для интервала времени (0, Т) при выполнении условий настройки
 аТ 2я; 2рг со (16.15)
 и условия равенства нулю отклонения системы и гасителя во время соударения имеют вид:
 а) если затухание в системе не учитывается, т. е. п0, то Зя
 — И + р!( ЗШ р1
 }
 —— соз рД; з /
 В — I— 3 + 2(
 3 12 ц
 _ Г Зл п+ рЛ зш рЛ ;
 I (ц, П \ /
 3 + 2(1 . р1
 51П 2
 (16.16)
 Ай (ц, г)
 б) если затухание в системе учитывается, то
 1
 2 (1 + 2ц -
 Су У + 4
 — 1 + г) (1 + ц —ц$2) ■ 8ц (1 + г) у(2я—ЬО
 3(е2яу_ !)
 + ц (1 + г) А сов М
 ]8!
 31П %1 +
 ц (1 + г)
 р1+Ц)
 зСу VУ" + 4
 ?/ + ?• 1 вш-«.+
 (3/4+.у2)2+у2] 2
 и (1 + П у %1
 .4 соз —
 (3/4+ V2)2 — V2 2
 ■ 2 [2 (1 + 2ц — (1 + г) (1 + М, — ЦЙ) -
 — ц (1 + г)
 (1 — у2) (3/4 — у2) + 4у3 (3/4 + у2)2 + у3 2еУ(2я-М)
 е2лу _ !
 ц (1 + П V [е2лУ {Че-ЧМ - 1) - 1] [(3/4 + V-)- + V-] (е2пТ~1)
 X соз XI1,
 X
 (16.17)
 267

X п /т
 где а ; [3 ——
 х х
 ст ст
 Я Лг
 °» ■ м0р» Мо
 д (1 + г)
 2(Д,г)-
 (1 + Д)(1 — /■) п
 Яа рг — л2; у
 А
 С 4 [2 (1 + 2ц) - (1 + г) (1 + ц ДЗ)]2 + [Д 1 + г) Л]2; У еУ + 1
 (3/4+т“)2+12 ~ 1
 о 1 х
 Л
 (3/4 + у)2 уа
 х[-г(т-+’,)+
 | 2 (1 - у3) (3/4 - у») 4- 9у3
 2яу
 е г ~ 1
 Пружинный ударный гаситель. Дифференциальные уравнения установившихся колебаний системы и гасителя (рис. 16-4,6) имеющего жесткость кг,
 х + 2пх + р-х ■■
 М
 з5л Ш + X) —
 яо
 00
 я0
 где 2п4-; р -_• р2_г_ Л1 Ж г м
 я
 3111
 Д 2
 (16.21)
 б) если затухание в системе учитывается, то
 41 +г)
 -(1+г)Ы
 С1СЛ, IV
 «__—I . Гх . М1 ?У+4 [ Ч-Д-
 еу(2я—%и
 е
 2?. К?3 + 4 1+г
 1 + (I — (1 + г) ДГ
 51П М;
 — X
 м
 31П . (16.22)
 “ /ст; Р У1пфГ 3; д М (-1(1 + г)
 ст Р!Мр-\- д Мр/ЛГ;
 (16.18)
 4 (Д,Г) ~Г П ;
 (1 + д)(1 — г) (16.23)
 Р V Л 1/2-д/( е5- 1).
 Плавающий ударный гаситель. Дифференциальные уравнения установившихся колебаний системы и гасителя (рис. 16.4, в), встроенного с зазорами е,
 (16.19)
 ж + 2/гд; +р2 вш (ш/ + х) —
 М
 СО
 -тт2
 Я0
 «0
 где 2п с/Ж; р2 к/М\
 ММ„ Г' ' 1
 5 -1 + г) -- г -и (Г) -у1Т) ]
 м + мг
 (О I Т),
 ЛШ„
 1
 (16.24)
 (16.25)
 511 +г)
 Х(2Т) — у(2Т)
 16.20)
 лш_ г' '1
 5г(1 + г)—- - [ха)-у (Г)].
 М+Л1Г
 Резонансные колебания системы и гасителя для интервала времени (О, Т) при
 выполнении условий настройки (16.15) и
 условия равенства нулю отклонения системы и гасителя во время соударения описываются формулами:
 а) если затухание в системе не учитывается; т. е. я0, то
 1 Г Я 1 \
 « — — Я+р? з!пр; [
 2 [ а (Д,г) Р1 .
 м + мг
 (Г / 2Г),
 Резонансные колебания системы и гасителя для интервала времени (0, 2Т) при выполнении условия настройки
 шТ я
 (16.26)
 и условий равенства нулю отклонения системы и равенства величине е перемещения гасителя описываются формулами:
 а) если затухание в системе не учитывается, т. е. п0, то:
 1
 2й д,
 з!п р1-
 (16.27)
 я Я , 1
 [_ р4 I
 :д, г 2 }
 (р{~~2~)' 10р а-Ы 5 2 [ 2й Цх, г)
 Зя , 1 .
 Ь рг зш р{;
 2 ]
 Р 7~ (р1 (я 2я);
 4Д I 2 /
 Ь я3/8д;
 б) если затухание в системе учитывается, то:
 268

7 У 7“ + 4
 е—у (XI—т
 М- (1 +Т) 1+Д—{1 -г-.') N
 э ■
 оя7 — 1
 1 + г
 з]п Х(;
 27 V7а + 4 11+ц— (1 + г) М] X 5- , (0 Х( Я);
 7 "/V ■
 М- (1 г)
 1+Ц— (I + Г)Ы
 -УШ~2я)
 гя7.
 - 1 1 + г
 з1п Я/;

 •Ху ■/т'+4[1+ц_(1+/-)ЛГ] Зя 2
 (1 + г) я
 (ЯМ 2Л);
 С16.28)
 47 V2 + 4 [1 + ц - (1 + г) Щ где а, (3, хСТ, ц, й(р., г), X, у и N определяют по формулам (16.23), а
 Ь е/хст. (16,29)
 Пример 2. Найти такие значения (х и г, которым соответствовало бы фиктивное значение коэффициента потерь ■уф0,1, при резонансных колебаниях системы с одной степенью свободы, снабженной пружинным ударным гасителем колебаний, в которой собственное трение не учитывается.
 При коэффициенте -уф0,1 относительная амплитуда колебаний системы а5. По формуле (16.16) значению а5 .соответствует й(и, г) 0,373. Гаситель колебаний с таким эффектом можно осуществить, например, при ц0,14 и г0,5 или .при р,0,02 и г0,9; эффект гашения будет один и тот же, но амплитуда колебаний самого гасителя будет в первом случае (322,5, а во втором /3 157, т. е. в
 7 раз больше.
 16.3. Демпферы
 Демпфер сухого трения. Рассмотрим демпфер сухого трения, имеющий массу /Иг и коэффициент трения скольжения ! между массой МТ и прижимающимися к ней с силой поверхностями, установлен. ный на системе с одной степенью свободы (рис. 16.5), имеющей массу М и жесткость к. Система приводится в колебательное движение возмущающей силой Р зш
 Модуль максимальной силы трения
 Рт 2/(?. (16.30)
 Опытами установлено, что при удельном давлении д20 Н/см2, даже при обильной смазке, трение можно считать
 Рис. Ю.5. Схема демпфера сухого и трения
 кулоновым (сухим), т. е. что коэффициент трения не зависит от скорости. При отсутствии смазки или при малой смазке удельное давление может быть уменьшено. При удельном давлении 4 Н/см2 трение приближается к вязкому. Этими данными следует пользоваться при конструктивной разработке демпферов.
 Сила инерции демпфера
 /г Мгу. (16.31)
 Движение демпфера зависит от соотношения между силой инерции и максимальной силой трения. Если ускорение х таково, что /гС-Рт, то демпфер будет двигаться вместе с системой как одно целое. Если /г-Рт, то демпфер оторвется от системы и будет двигаться с постоянным ускорением, отвечающим условию отрыва /г/гт. Это ускорение
 у Рт/Мг. (16,32)
 После отрыва демпфера от системы сила будет совершать работу, определяемую как ее значением, так и относительным проскальзыванием демпфера по отношению к системе. Под работой трения будем подразумевать работу, которую совершает сила трения за один полный цикл колебаний.
 Если Рт 0, то демпфер будет иметь наибольшее проскальзывание, но работа трения будет равна нулю. С увеличением силы трения проскальзывание уменьшается, а работа силы трения растет. Когда сила трения возрастает до такой величины, что РгМгу, проскальзывание станет равно нулю и работа силы трения также будет равна нулю. Очевидно, наивыгоднейшим будет значение силы трения, при которой работа ее будет наибольшей, так как при этом рассеивание энергии будет наиболь-
 269

Рис. 18.6. Схема демпфера вязкого трения
 где — максимальная скорость перемещен
 шим, а, следовательно, амплитуды колебаний системы наименьшими.
 Допустим, что движение демпфера происходит без заедания. Работа внешней силы при резонансном режиме
 №ш пРА, (16.33)
 где А — амплитуда колебаний системы.
 Работа сил трения демпфера
 л/~ 1-Л1[_Л_у
 У 4 Мг Лш2 )
 (16.34)
 Наивыгоднейшее значение силы трения
 Рт (У 2 /я) Мг шМ (16.35)
 и соответствующая ей максимальная работа Й7Г (4/я) Мг соМ?. (16.36)
 Недостатками демпфера сухого трения являются износ его трущихся поверхно¬
 стей, что влечет за собой изменение сил трения и приводит к его расстройке, а также возможные перекосы и заедания,
 выключающие демпфер из работы.
 Демпфер вязкого трения. Параметры демпфера вязкого прения, присоединяемого к системе с одной степенью свободы (рис. 16.6) и имеющего коэффициент сопротивления с, подбирают следующим образом.
 Площадь сечения перепускного канала определяют по формуле
 [аУр ,
 г У у
 где а -
 се
 У 2ое
 (16.37)
 (16.38)
 р —давление жидкости под поршнем; Р —площадь сечения поршня; е —коэффициент -асхода (для отверстий с округлыми краями и односторонним движением жидкости 80,8—0,95; для отверстий с открытыми краями и переменным направлением движения жидкости е0 63); 7—плотность жидкости.
 Из формулы (16.37) следует, что рабочий клапан демпфера должен быть устроен таким образом, чтобы его проходное сечение изменялось пропорционально корню квадратному из давления в цилиндре демпфера. Пример такой конструкции клапана демпфера приведен в работе [16].
 Площадь поршня демпфера
 ния поршня; рманс «-максимальное давление жидкости.
 Коэффициент сопротивления демпфера в данном случае
 с —2Мш. (16.40)
 Максимальное проходное сечение перепускного канала
 макс
 (16.41)
 Коэффициент с можно менять в широких, пределах, варьируя значения. и р, что достигается с помощью обычного перепускного вентиля.
 Недостатком большинства демпферов вязкого трения является непостоянство вязких свойств масел в связи с изменением температуры, что приводит к расстройке демпфера. Исключение составляют демпферы, в которых в качестве вязкой жидкости применен силикон, вязкие свойства -которого не зависят от температуры.
 16.4. Ограничители
 Исследование свободных и вынужденных колебаний . систем с одной степенью свободы, имеющих ограничители, приводится в работах [12, 46 и др.], в которых рассмотрены колебания нелинейных систем с характеристиками, составленными из нескольких прямолинейных, отрезков, находящихся под действием синусоидальной возмущающей силы.
 Ниже . приводится решение задачи о вынужденных колебаниях системы, имеющей ограничители, полученное с помощью асимптотического метода [7].
 Дифференциальное уравнение колебаний системы с одной степенью свободы
 X -\- р (х) б/ц (х], + ЕЕ 31
 макс' '"макс
 (16.39)
 шш, (16.42)
 где Р{х) — функция, . выражающая зависимость нелинейной восстанавливающей силы от смещения, и являющаяся нечетной функцией х (случай симметричной нелинейной характеристики) (рис. 16,7, а—г); Ы) — функция, характеризующая нелинейное трение; Е зш функция, обусловливающая существование колебательного режима;
 8 — малый положительный параметр (ё1), придающий функциям М) и Е 51П слабое возму щениё.
 Предположим, что
 Р(х) с"х-Ье/(;с), (16.43)
 тогда вместо уравнения (16.42) можно-.рассматривать уравнение
 х + с"х — е/ () + е/ (х) + еЕ, зф ш{:
 (16.44)
 270

Шг
 -'#/4
 -/\№Л/'-
 -АМН
 нма-| -ллмл-| У/' нм-1
 УА
 1
 3
 сг
 %
 %
 э
 1
 Т7Т
 с
 ?777:
 Р(х)
 У
 Р/Х)
 ' х.
 гм
 р Ч
 -рс-
 п, с‘
 Рис. 16.7. Характеристики нелинейной восстанавливающей силы
 Обозначим с"р2. В первом приближении можно положить
 х а соз (ш{ + 0), (16.45)
 где а а в определяются системой уравнений:
 2л
 а ~ -— I {1 (— ар 5Ш 1(1) 31П
 2 яр о о
 ЕЕ
 соз 0;
 Р + ш
 2л
 0р—иН Г М° С05 с°з ’Ф'Ф +
 2яоа ■}
 V
 (16.46)
 2 яра +
 О
 Е Е
 а(р + щ
 ■ 31П 0,
 Зависимость между а и со для стационарного режима
 а- [{со2 (а) — со2)2 + 4со2 а; (а)]
 в?й, (16.47)
 где а (а)
 2яра
 2я )
 ар 31П 1(1) х
 |м-
 О
 X 51П ’фОД
 х 2л
 (а) Г Р (а соз -ф) соз
 па •!
 (16.48)
 где и± (с, со/,- + 0) X
 я
 » 2я
 V 	СО5П(шг + 0) [
 л у I (а соз ф) X
 — п2 п2
 Р8 (1 ■
 X соз
 (16,51}
 и амплитуда стационарных колебаний определяется соотношением
 а [ш2 (а) —! ш2'| + X
 ?п(а) К+1(а)+-1 (д_
 Р- (1 — П-)
 ± ЕЕ, (16.52)
 2л
 где
 !п (а) —— Г / (а соз соз пфйф; я Л О
 2л
 (16.53)
 1(1Ча) ( (а соз ф) соз пфйф,
 л я Л а
 Для примера приведем зависимость между амплитудой стационарных колебаний и частотой внешней силы для характеристики нелинейной восстанавливающей силы, изображенной на рис. 16.7, при отсутствии трения.
 Согласно формуле . (16.49), получим
 Если пренебречь трением, то вместо (16.47) получим
 а [со2 (а) — а2] ± еЕ, (16.49) х
 А (с" — ш2) 4- (с' — с") X
 п
 1А--
 г А
 + агсзш А А
 ± , (16.54)
 при этом в правой части следует брать где А | а/ха1.
 «+» для а0 и «—» для а0. Построение зависимостей между а/х о
 Второе приближение (пренебрегая тре- и со/р по (16.54) и по формуле для второ-
 нием) го приближения, полученной по (16.52),
 показывает, что для практических целей х — а соз (со1 + 0) + е»! (а, со(, со? -]- 0), достаточно вычисление резонансных кривых
 (16.50) 	в первом приближении.
 271

РАЗДЕЛ 17
 ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ ИЗУЧЕНИЯ КОЛЕБАНИЙ СООРУЖЕНИЙ
 (Л. С. МАКСИМОВ, И. С. ШЕЙНИН)
 Изучение вибраций сооружений производится с целью: 1) определения допустимости этих вибраций; 2) определения динамических характеристик сооружения для прогнозирования его поведения при возможном изменении динамических нагрузок вследствие реконструкции, смены оборудования и т. п.; 3) исследования и уточнения истинного характера физико-механических процессов в сооружении для разработки и улучшения методов расчета и конструирования сооружений с учетом динамических явлений.
 Термином «измерение вибрации» обозначают либо регистрацию и последующий анализ изменения какой-либо механической величины: линейного или углового перемещения (скорости, ускорения), деформации или внутреннего усилия в какой-либо части (элементе) сооружения, либо измерение одного или нескольких параметров этого процесса — амплитуд и частот гармонических составляющих вибраций, статистических характеристик случайного колебательного движения, пиковых значений перемещения (скорости, ускорения) произвольного колебательного движения и т. п.
 Общая теория приборов для измерения вибраций составляет основное содержание виброметрии [6, 8, 10]. Установившейся классификации этих приборов нет. Наиболее известные примеры классификации приводятся в [6] и особенно обстоятельно в [10].
 Сложность измерения вибраций сооружений состоит в большом разнообразии колебательных процессов и в широте диапазонов изменения характеризующих их параметров. Например, при возбуждаемых ветром колебаниях гибких высотных сооружений типа мачт, башен и дымовых труб амплитуды колебательного движения могут достигать нескольких метров, а частоты могут иметь порядок от десятых, долей герца до нескольких герц. При исследовании промышленных сооружений необходимо измерять амплитуды перемещений от нескольких микрон до нескольких миллиметров, частоты — от единиц до сотен герц. Реже встречается необходимость
 изучать колебания сооружений в диапазоне частот до нескольких тысяч герц.
 Обзоры литературы по экспериментальным методам изучения вибраций сооружений см. [2, 3, 5, 11, 16, 22]. Этот раздел предназначен для первоначального ориентирования в вопросах подбора приборов и методов для измерения вибрации, а также оборудования для динамических испытаний сооружений. Кроме того, здесь приводятся справочные данные о приборах и оборудовании новых типов, выпуск которых начат после опубликования предыдущих справочников [16, 19].
 17.1. Механические приборы для измерения вибраций
 Механические приборы для измерения вибрации сооружений выпускают с записью кинематических параметров (перемещения, скорости, ускорения) или деформации, либо с индикацией параметров гармонического колебания — амплитуды, фазы, частоты. Различают приборы для так называемых относительных или абсолютных измерений. Первые из них предназначены для измерения параметров смещения какой-либо точки колеблющегося тела относительно другого тела. Приборы для абсолютных измерений содержат упругоподвешенную массу, иногда называемую инерционной массой или сейсмомассой, и устройство для измерения параметров смещения этой массы относительно основания прибора (рис. 17.1).
 Графики, показывающие отношение амплитуды перемещения массы а к амплитуде перемещения основания А в зависимости от отношения частоты гармонических колеабний [ к собственной частоте системы называются амплитудно-частотными или, для краткости, амплитудными характеристиками по перемещению (рис. 17.2). Из рисунка видно, что при затухании В, 1 (15/231, где б — логарифмический
 декремент колебаний) для всех частот, в
 3 раза и более превышающих собственную частоту сейсмомассы, амплитуда относительного перемещения сейсмомассы мало отличается от перемещения колеблющегося элемента относительно неподвижных коор-
 272

Рнс. 17.1. Механическая схема прибора с сейсмомассой
 М — ннерцнонная масса; /С— пружина; Я — демпфер; г{$) —колебания основания
 динат. Специальным подбором затухания можно удлинить горизонтальный участок характеристики в сторону низких частот. Например, при относительном затухании
 1)1 0,6 с точностью до 5 % могут быть измерены амплитуды для всех частот выше 1,2 собственной.
 Работа прибора с сейсмомассой в зоне высоких частот, когда используется практически горизонтальный участок амплитудной характеристики по перемещению, называется работой в режиме вибрографа или виброметра (в литературе встречается также равнозначный, но реже употребляемый термин — в режиме сейсмографа или сейсмометра). Приборы, предназначенные для регистрации виброперемещений, т. е. для работы в режиме вибрографа, стремятся делать как можно более низкочастотными. Практически нижний предел собственной частоты ограничивается габаритами прибора и весом сейсмомассы и редко опускается ниже 0,2—1 Гц.
 Поскольку амплитуды измеряемых колебаний, как правило, малы, то для полу¬
 чения записей на ленте в достаточно большом масштабе, сейсмомассу соединяют с иером через систему увеличивающих механических рычагов, либо, применяя регистрацию на светочувствительной ленте, используют так называемые оптические рычаги— системы зеркал и линз, передающие к этой ленте световой луч от зеркала, механически соединяемого с сейсмомассой или непосредственно с колеблющимся телом. Соответственно типу рычагов приборы называют механическими или оптическими [6, 10, 16]. Для измерения вибрации сооружений такие приборы в настоящее время применяются довольно редко.
 Механические и оптические приборы позволяют производить измерения одновременно только в одной точке. В большинстве случаев требуется иметь запись колебаний одновременно во многих точках сооружения. Часто возникает необходимость дистанционного измерения вибрации. Такую возможность дают только электрические приборы.
 17.2. Электрические приборы для измерения вибраций
 В основу устройства всех электрических приборов для измерения вибраций положен общий принцип — кинематичестгие параметры колебательного движения преобразуются в электрические величины, которые затем измеряют или регистрируют с помощью электроизмерительных приборов или регистраторов электрических сигналов. Основное преимущество электрических приборов — возможность дистанционного
 18—491
 273

274
 Таблица 171
 Марка, тип
 Характеристика
 ■ нсш-
 Н044.1, Н043.2, Н043.3
 Н044.1, Н044.2
 К12-221
 Н117/1
 Н145, Н145/15
 ПОБ-12М
 ОМС-2М
 Число каналов и тип гальванометров
 12 (МОЮ, М014А, М017, ГБ-1У) или 6(ГБ-Ш)
 См. сноску 1 в конце таблицы
 См. сноску 3 в конце таблицы
 12 (НУ-84)
 18(М1005, МЮ07) или 12 (МОЮ, МО 14, МО 17, ГБ-140 или 6 (ГБ-III)
 24 (М1005, М1007) или 12 (МОЮ,
 МО 14, М017, ГБ-ГУ) или 6 (ГБ-Ш)
 12 (ГБ-1У) или 6(ГВ-Ш)
 18 (ГБ-1У) или Ю(ГБ-1П)
 Данные светового луча, мм
 Тип носителя записи (ленты)
 Ширина ленты, мм Емкость кассеты, м Скорость протяжки, мм/с Автоматическое ограничение времени регистрации (длины кадра)
 300
 УФ
 200
 50
 1-500 0,5—5 м
 300
 ?УФ
 200
 50
 1—5000
 0,4-
 300
 Р0, УФ, кино
 35, 60, 120 20
 2,5—2500 400 с
 300
 Р0
 35, 1Й0 20
 0,8—1000
 300
 Р0, УФ, кино
 .35, 60, 100, 120 25
 0,5—10 000 0,'2—4 м
 300
 УФ
 120, 200 50 1—2000 '0,5-90 с
 420
 Р0
 120
 12
 0; 15—1500
 420
 Р0
 200
 12
 1,4—125
 Отметки времени, с (вы--' деляемая кратная метка /нанесение секундных отрезков по крага осциллограммы)
 0,01—Ю
 0,01—10
 +/+
 0,01—10
 О0-ая/+)
 От эдектроконтактных часов (-/-)
 0,002-2 (10-ая/—)
 0,01 — 10 (10-ая/-)
 0,005 или 0,1 (—/—)
 От электрокоитантных часов (—/—)
 Продольное графление ленты (интервал, мм/выделяемая кратная линия)
 +
 + (5-ая)
 + (5/4-ая)
 -
 + (2/5-ая)
 + (2/5-ая)
 —
 -
 Маркировка кривых
 Разрыв и оцифровка линий записи
 -
 Разрыв линий записи
 -
 -
 —
 -
 Специальное устройство для нанесения метки события
 +
 +
 -
 -
 -
 —
 -

1
 Управление внешним процессом
 +
 +
 -
 -
 -
 +
 -
 -
 Дистанционное управление осциллографом
 +
 -
 +
 +
 +
 -
 -
 -
 Допустимая температура окружающей среды (или температура термостатнрования магнитного блока), °С
 10-35
 (55)
 (55) -
 (35)
 535
 10-ь 35
 —Ю-т-30
 ■Юн-40
 Электропитание
 ~ 220 В, 3 А
 ~220 В, 600 Вт
 ~220 В, 1 А
 27 В»
 ~ 127, 220 В, 450 Вт
 ~ 127, 220 В, 600 Вт
 ~24В, 5А
 18В, 1,5—2,2А
 Габариты, мм
 520X288X522
 480X286X425
 430X222X230
 215X190X346
 535X290X320;
 205X265X390
 360X310X475; 205 X 265 X 390
 570 X 320X 250
 520X275X225
 Масса, кг
 45
 45
 21
 13
 33 + 17
 35+17
 18
 24
 Изготовитель
 Завод «Виброприбор» (Кишинев)
 ПО «Вибратор» (Ленинград)
 ОКБ ИФЗ
 АН СССР
 1 В исполнении Н043.2—24 канала (гальванометры МОЮ, МОНА, М017, ГБ-1У) или 12 каналов (ГБ-Ш). У модели Н043.1 число каналов вдвое меньше, гальванометры — те же. В исполнении Н043.3—6 гальванометрических каналов (М040, М041) и 6 каналов математической обработки. Переход от одного исполнения к другому достигается сменой модуля магнитной системы. В осциллографе Н043.3 обычные гальванометры, вычислительные гальванометры н гальванометрические функциональные преобразователи позволяют, кроме регистрации процесса, проводить математическую обработку сигналов (складывать, вычитать, умножать, делить сигналы и возводить сигнал в квадрат) и результат обработки регистрировать на фотоленте.
 2 По отдельному заказу поставляются избиратели пределов Р009, РОЮ и калибратор канала П029, которые позволяют изменять в широких пределах масштаб записи, устанавливать оптимальный режим успокоения гальванометров и защищать гальванометры от перегрузок.
 9 В исполнении Н044.1—12 каналов (гальванометры М014А, М017, ГБ-1У или б каналов (ГБ-Ш). У модели И044.2—24 канала (М040, М041).
 4 Без возможности наблюдения световых пятен но время записи.
 5 Исполнения отличаются лишь комплектацией гальванометров. Имеется устройство для плавного изменения скорости протяжки не менее 25 % в сторону уменьшения от установленного номинального значения.
 6 Потребляемый ток 4,5 А (без электрообогрева), 10 А (с электрообогревоги).

-X—
 1111—
 N
 ■5
 1III
 Рис. 17.3. Схема электродинамического преобразователя
 1 — магнит; 2 ■ магннтопроводы; 8 »• подвижная катушка
 измерения и одновременной регистрации вибрации во многих точках, что позволяет проследить сложные динамические процессы в сооружении в целом, установить формы колебаний, проанализировать связь вибраций с динамическими нагрузкамн. Кроме того, электрические методы позволяют во многих случаях использовать электрические приборы для анализа вибраций, автоматизировать измерительные процессы, а также организовать предупредительную и аварийную сигнализацию, когда какие-либо параметры вибрации достигают недопустимых значений.
 Для измерения вибрации сооружений наибольшее распространение получили приборы с сейсмомассой, движение которой относительно корпуса преобразуется в ЭДС с помощью индукционных преобразователей [6, 10, 16, 22, 24] (рис. 17.3). Такие приборы, называемые первичными вибролреобразователями (вибродатчиками), выпускаются промышленностью, а их мощность позволяет регистрировать сигнал без усиления, что упрощает аппаратуру и делает ее наиболее доступной и надежной. Шире других распространены первичные вибропреобразователи типа И-001, входящие в комплект типа К-001, выпускавшийся заводом «Виброприбор» (Кишинев). Максимальная амплитуда измеряемых им вибраций Амане 1 мм, а частотный диапазон 2 /200 Гц. Распространены и приборы ВЭГИК (Амакс 1 мм, 1/
 Рис. 17.4. Принципиальная схема светолучевого осциллографа
 276
 100 Гц), ВБП-3 (А макс — 150 мм, I / 100 Гц), С5С (АМакс 15 мм, 0,2/\ 100 Гц), СМ-3 (А макс—5 ММ, 0,5с/1 100 Гц).
 Наиболее широко распространены различные методы записи вибраций, связанные с нанесением на ленту видимых графиков перемещения, скорости, ускорения или других параметров колебательного процесса в функции от времени. Эти записи затем могут быть просмотрены исследователем и обработаны с помощью линеек, сеток, палеток или специальных устройств для чтения и обработки виброграмм для получения необходимых количественных данных.
 Для многоканальной записи электрических сигналов от электромеханических преобразователей вибродатчиков широко применяют светолучевые осциллографы [1, 6, 10, 16, 19, 20, 22]. Светолучевой магнитоэлектрический осциллограф (рис. 17.4) содержит зеркальный гальванометр 4, зеркало которого, поворачиваясь вместе с рамкой под влиянием протекающего через рамку электрического тока, отражает на движущуюся фотоленту 6 луч света,. падающий на него от лампы 1 через конденсор 2, линзы 3 н 5. В состав современных осциллографов общего назначения входит от 4 до 30 гальванометров (каналов), что позволяет одновременно записывать на фотоленте соответствующее число процессов. Наибольшее распространение в настоящее время получили осциллографы, технические характеристики которых приведены в табл. 17.1 и в [16, 19, 20].
 Магнитные системы гальванометров, применяемых в осциллографах, могут быть либо индивидуальными для каждого гальванометра, либо общими для всех гальванометров осциллографа. В последнем случае общая магнитная система обычно содержит поворотные полюсные наконечники с гнездами для гальванометров — вставок. Технические характеристики гальванометров, применяемых в осциллографах, приведены в [9, 16, 19, 20].
 Методология расчета амплитудно- и фазочастотных характеристик вибрографов, образованных соединением индукционного датчика с гальванометром, изложена в литературе [8, 9, 10, 16, 19, 20, 22].
 Запись карандашом, чернилами или царапающей иглой используют в механических приборах и в электрических приборахсамописцах [1, 16], в которых также применяют нагреваемые перья для записи на восковом слое. В последнее время в ди-

Таблица 17.2
 Марка, тип
 Характеристика
 Н338-1П, Н338-2П, Н338-4П, Н338-6П, Н338-8П1
 Н3021-1, Н3021-2, Н3021-3, Н3021-41
 Г53-Ю1
 Преобразование электрического сигнала в движение пишущего уст¬
 Прямое
 Следящее
 Следящее
 ройства
 Способ записи
 Чернильный с капиллярным пером
 Чернильный с капиллярным пером
 Копировальный
 Координаты записи
 Криволинейные
 Прямоугольные
 Прямоугольные
 Число измерительных каналов
 2, 4, 6 или 8
 1, 2, 3 или 4
 1
 Диапазон частот, Гц Чувствительность, мм/мВ
 0—150
 0—45
 0—100
 0,5-0,0025
 1 — 0,005
 0,25-ь 0,0025
 Число пределов измерения
 8
 8
 3
 Ширина записи на каждом канале,
 20(0—100 Гд)
 40 (0—30 Гц)
 23 (0—50 Гц)
 мм
 10(0—150 Гц)
 20 (0—45 Гц)
 15 (0—100 Гц)
 Ширина поля записи для каждого канала, мм
 40
 80
 40
 Ширина регистрационной ленты,
 50, 100, 200, 290, 380
 100, 200, 290, 380
 50
 Скорость движения ленты, мм/с
 1; 2,5; 5; 10;...; 250
 0,2; 0,5; 1; 5; 10; 25; 50; 100
 1; 25; 50
 Входное сопротивление, кОм
 10—2000
 10—2000
 60—600
 Неравномерность АЧХ
 -ЗдБ (150 Гц)
 -3 дБ (45 Гц)
 сЬ15 % (0-100 Гц)
 Допустимая температура окружающей среды, 5С
 -1,5 дБ (100 Гц) ±1 дБ (0-60 Гц)
 ±1 дБ (0-30 Гц)
 1—Ю % (0-50 Гц)
 + 10...-{-35
 + 10.. .+30
 Электропитание
 — 220 В,
 -.220 В,
 12 Б,
 Габариты, мм
 60. 75, 100, 150, 385 Вт
 60, 75, 90, 105 Вт
 0,6-1,5 А
 225X440X170,
 270X440X170,
 360X440X170,
 450X440X170,
 540X440X170
 270X440X180,
 360X440X180,
 450X440X180,
 540X440X180
 ■ 300X120X180
 Масса, кг
 15, 18. 22. 32. 35
 20. 25. 30, 35
 5,7
 Изготовитель
 ПО «Краснодарский ЗИП»
 Ме55§егае\\гегк 2\убти (ГДР)
 ' Последняя цифра в марке прибора означает число измерительных каналов.
 Зависит от предела измерения.
 8 Для всех приборов длина регистрационной ленты 50 м.
 намических исследованиях сооружений стали использовать быстродействующие самопишущие приборы, технические характеристики которых приведены в табл. 17.2 и в [14, 16, 19, 23].
 17.3. Методы измерения колебаний сооружений и конструкций
 Экспериментальное определение амплитудно-частотных характеристик вибрографа может быть выполнено на градуировочном вибростенде.
 Наибольшее распространение для градуировки вибрографов в диапазоне частот
 0,1—100 Гц получили электродинамические и эксцентриковые вибростенды, создающие гармонические колебания рабочего стола вибростенда с постоянной амплитудой виброперемещения (виброскорости, виброускорения) в определенном диапазоне частот [7, 10, 12, 13]. В эксцентриковых стендах
 вращательное движение приводного вала преобразуется в возвратно-поступательное движение рабочего стола вибростенда с помощью эксцентрикового механизма (иногда с применением уменьшительных рычагов). В электродинамических стендах рабочий стол жестко соединен с катушкой электродинамического преобразователя, питаемого переменным током, частота и сила которого могут изменяться.
 Как в СССР, так и за рубежом промышленностью выпускаются испытательные вибростенды, предназначенные для испытаний приборов и оборудования на вибропрочность и виброустойчивость. Некоторые нз этих стендов могут быть использованы для градуировки вибрографов, хотя при этом возникает ряд трудностей, обусловленных их конструкцией: недостаточно точный контроль амплитуды, иногда значительные нелинейные искажения, паразитные резонансы, большие поперечные состав-
 277

Таблица 17.3
 Марка, тип
 СОВКУ-681
 ВЭДС-ЮА
 ВЭДС-ЮОБ
 11075-
 Назначение
 Градуировочный
 Испытательный
 Испытательный
 Градуировочный
 Угол между направлением
 0, 30, 60, 90
 0—до
 0-90
 0—90
 колебаний и вертикалью, град
 Выталкивающая сила, Н
 100
 1000
 68
 Диапазон частот, Гц
 1—300
 5—5000
 5—5000
 5—5000
 Диапазон амплитуд, мкм
 5-Г-500
 До 6000
 До 7500
 До 4500
 Максимальная нагрузка на
 20
 19
 220
 15
 рабочий стол, Н
 Максимальное ускорение в единицах §: при полной нагрузке на
 0,01—1а
 4
 4
 3
 рабочий стол без нагрузки
 15
 16
 40
 11
 Диаметр рабочего стола, см
 8
 15
 7
 Габариты наибольшего бло¬
 113X68X98
 46X55X144
 63X69X192
 33X23X26
 ка. см
 Общая масса, кг
 17004
 220
 1115
 28
 Изготовитель
 Завод «Виброприбор» (Таганрог)
 ЯРТ (ГДР)
 1 Завод поставляет комплект СОВКУ-68, в который входят пять стендов, перекрывающих диапазон частот 1 Тц— 50 кГц. В таблице приведены характеристики электродинамического стенда с диапазоном частот 1—ЗО'О Гц.
 - Электродинамический вибратор. Для использования в качестве градуировочного вибростенда необходимы дополнительно источник гармонического напряжения и усилитель мощности на 50 Вт, например, типа ДУ 102 той же фирмы.
 3 Зависит от частоты.
 4 Масса полного комплекта СОВКУ-68.
 лягощие (колебания рабочего стола в плоскости, перпендикулярной главной оси его движения) и др. Поэтому при выборе вибростендов для целей градуировки вибрографов предпочтение должно быть отдано специально для этого предназначенным градуировочным вибростендам (табл. 17.3) [16,18,19,21].
 У вибродатчиков с регулируемой собственной частотой перед градуировкой она устанавливается равной (с точностью 2 %) принятому номинальному значению /ч. В дальнейшем в процессе измерений вибрации принятый номинал /ч сохраняется.
 Работа на градуировочном вибростенде состоит в ступенчатом изменении частоты колебаний рабочего стола, измерении амплитуды его виброперемещения (виброскорости, виброускорения) и осциллографирования (или визуальном отсчете) показаний градуируемого вибрографа. Надлежащий выбор скорости развертки и длительности записи должен обеспечить точность определения частоты по осциллограмме не менее 1 % при экономном расходовании осциллографной бумаги. Обычно время осциллографцрованяя принимают равным 10—20 периодам колебаний. При построении амплитудно-частотной характеристики по оси абсцисс откладывают частоту или период вынужденных колебаний, а по оси ординат — величину, характеризующую чувствительность прибора. Например, в случае градуировки вибрографа, т. е. при¬
 бора, работающего в режиме записи виброперемещения, по оси ординат откладывают коэффициент увеличения (отношение амплитуды записи на осциллограмме к амплитуде виброперемещения рабочего стола вибростенда).
 В зависимости от требований к точности измерений за рабочий диапазон частот вибрографа принимают интервал, на котором амплитудно-частотная характеристика отклоняется не более чем на 5—10 % от своего среднего значения.
 Исследованию колебаний сооружения или строительной конструкции должно предшествовать составление программы испытаний. В программе указывают: цель испытаний, типы виброизмернтельной аппаратуры и условия ее работы (синхронность записей, необходимые служебные сигналы и отметки и т. п.), точки и направления измерения вибрации, необходимые режимы источников вибрации (если эти режимы можно регулировать) и др.
 Выбор аппаратуры для решения той или иной виброметрической задачи почти всегда встречает определенные трудности, обусловленные главным образом естественной недостаточностью сведений о параметрах вибрации, подлежащей измерению, и неуниверсальностыо технических характеристик вибрографов. В большинстве случаев основными критериями при выборе аппаратуры являются: соответствие рабочего диапазона частот вибрографа спектру из¬
 278

меряемых вибраций; соответствие амплитудного диапазона вибрографа наибольшим ожидаемым амплитудам виброперемещения (виброскорости, виброускорения) объекта; надлежащая чувствительность вибрографа, которая должна обеспечить определение ординат осцпллографической кривой с точностью не менее 2'—3 %. В зависимости от конкретных задач существенными могут стать и другие требования: масса датчика, возможность его дистанционной регулировки, необходимость автоматического включения виброизмерительной аппаратуры и пр.
 При проведении измерений используют различные схемы расположения датчиков. Часто придерживаются, например, следующей схемы испытаний. Вначале записывают колебания при каком-то определенном (по возможности, наиболее типичном) динамическом воздействии и при таком расположении вибродатчиков, которое обеспечивает выявление формы колебаний сооружения или конструкции. Этот этап исследования обычно дает возможность установить точки и направления регистрации колебаний, наиболее характерные для данного динамического процесса. Установив далее приборы в этих характерных точках, получают зависимости параметров вибрации (амплитуд, частот или других характеристик) от режимов источников вибрации.
 Для выявления формы колебаний конструкции необходимо иметь синхронные записи вибрации иногда в довольно значительном числе точек, зачастую превышающем число измерительных каналов. В таких случаях записи делают последовательно, переставляя все вибродатчики, за исключением одного, двух или трех (в зависимости от того, по каким направлениям измеряются колебания), которые постоянно стоят в одной точке измерения. Эти вибродатчики являются контрольными, и с их помощью можно при обработке взаимоувязать амплитуды (а в относительно простых случаях — и фазы) колебаний, замеренных в разных точках конструкции.
 При размещении вибродатчиков на сооружении необходимо следить за строгой ориентировкой их в направлении принятых осей координат. Для обеспечения однозначности интерпретации записей при изучении формы колебаний необходимо также придерживаться определенной ориентировки корпуса датчиков относительно положительного и отрицательного направления соответствующей координатной оси.
 Устанавливать вибродатчики желатель¬
 но на практически горизонтальных поверхностях. В этом случае датчик крепят к конструкции, если расчетное значение наибольшего ускорения колебаний конструкции превышает 0,2
 Оптимальная длительность осцнллографирования стационарных процессов может, вообще говоря, варьироваться в очень широких пределах и определяется в основном характером и частотным составом исследуемых процессов. В случае периодических колебаний рекомендуется осциллографировать от 10 до 20 полных периодов с тем, чтобы можно было учесть нерегулярные отклонения кривой [17].
 Осциллографирование динамических процессов, время начала которых предсказать невозможно (колебания сооружений, возникающие под действием естественных факторов, таких как землетрясения, сильные ветры и прочее, а также при авариях оборудования и т. п.), выполняют с использованием автоматов, включающих виброизмерительную аппаратуру, как только уровень колебаний в определенной точке превысит некоторую заранее заданную пороговую величину (см., например, [15]).
 17.4. Испытания сооружений и конструкций специальными динамическими нагрузками
 Для определения динамических характеристик (собственных частот, декрементов колебаний) сооружения или его какого-либо элемента прибегают к возбуждению следующих видов колебаний1:
 а) гармонических колебаний, частота которых меняется в достаточно широком диапазоне; в результате испытаний получают амплитудно- и фазочастотные характеристики 2 конструкции для каждой исследуемой формы колебаний;
 б) собственных колебаний, возбуждаемых ударом или начальным смещением конструкции; динамические характеристики конструкции определяют в этом случае известными методами по полученной записи собственных колебаний;
 в) колебаний в переходном режиме при пуске (остановке) находящегося в сооруясенни оборудования или специального возбудителя гармонических колебаний; результаты испытаний позволяют приближенно определить значения собственных частот.
 1 В некоторых случаях динамические характеристики конструкции могут'быть приближенно: определены по записям ее колебаний под действием эксплуатационной нагрузки.'
 2 Чаще ограничиваются только амплитудно-частотными характеристиками.
 279

Для возбуждения вынужденных гармонических колебаний применяют направленные центробежные вибраторы (вибрационные машины) [2, 3, 5, 11, 16].
 Метод вынужденных колебаний, применяемый для определения динамических характеристик сооружений и конструкций, имеет некоторые особенности. Место установки вибромашины на конструкции определяется изучаемой формой колебаний. Чем ближе расположена вибромашина к узлу, тем меньше будут амплитуды колебаний соответствующей формы. Амплитуды колебаний конструкции при испытаниях должны быть такими, чтобы, во-первых, не была нарушена нормальная работа конструкции, во-вторых, эти колебания могли бы быть зарегистрированы с достаточной точностью вибрографами и, в-третьих, микросейсмический фон помех не повлиял бы существенно на качество записей. Если кинетический момент вибратора Мк регулируется, то испытание рекомендуется начинать, установив наименьший Мк а затем постепенно его увеличивать.
 При обработке полученных материалов вычисляют амплитудно-частотные характеристики конструкции А/Рф(ш) или /4/уИф](ш), где А, Р и М— амплитуды, соответственно, перемещения конструкции, возбуждающей силы и возбуждающего момента.
 Для возбуждения вынужденных колебаний конструкции в переходном режиме часто применяют ненаправленный вибратор, образованный электродвигателем и маховиком, внецентренно насаженным на его вал. Запись вибрации производится на выбеге электродвигателя после отключения его от сети. Электродвигатель следует выбирать с таким расчетом, чтобы его частота вращения в стационарном режиме была больше измеряемых собственных частот конструкции, а выбег происходил достаточно продолжительное время — порядка нескольких минут.
 При проведении динамических испытаний сооружений и конструкций методом собственных колебаний, возбуждаемых ударом или начальным смещением, необходимо иметь в виду следующее:
 а) в этом случае практически не удается уловить высшие формы колебаний, а если и удается, то не более одной гармоники;
 б) при испытаниях многопролетной конструкции возникают колебания с частотой, близкой к частоте собственных колебаний соответствующей однопролетной конструкции; истинные собственные частоты многопролетной конструкции могут быть выявлены лишь при гармоническом возбуждении;
 в) в месте приложения удара конструкцию следует защищать прокладкой из дерева или из другого достаточно мягкого материала; такая прокладка предохраняет поверхность конструкции от повреждения и уменьшает интенсивность высокочастотных колебаний, возникающих в материале конструкций при ударе;.
 г) при возбуждении колебаний начальным смещением конструкцию соединяют через трос с лебедкой, воротом и т. п.; в силовую линию (трос) включают элемент, с помощью которого можно быстро снять усилие, приложенное к конструкции; таким элементом может быть, например, струна, перекусываемая после достижения определенного натяжения; существует конструкция специальных механических сбрасывателей, позволяющих практически мгновенно разорвать силовую линию;
 д) во время испытаний контролируют амплитуды перемещения конструкции, которые назначают исходя из тех же соображений, что и при возбуждении гармонических колебаний.
 Вопросы методики обработки осциллограмм (виброграмм) изложены в ряде руководств [4, 6, 10, 16, 17] и здесь не рассматриваются.
 РАЗДЕЛ 18 МОДЕЛИРОВАНИЕ
 (И. С. ШЕЙНИН)
 Моделирование — это изучение явлений на моделях для распространения результатов на явления в прототипе (или «в оригинале», «в реальном объекте», в натурных условиях». Моделированием решают научные и'производственно-технические задачи:
 1) исследование явлений, создание которых или управление которыми на натурных объектах затруднено, неэкономично или вообще невозможно; в частности, на моделях могут быть исследованы различные аварийные режимы;
 2Н0

2) изучение в чистом виде явлений, измерение параметров которых в натуре затруднено или невозможно вследствие наложения помех, не связанных с изучаемым явлением;
 3) проверка результатов теоретических исследований, определение границ применимости расчетных предпосылок, принимаемых при построении теории, уточнение полученных теоретических расчетных формул;
 4) исследование явлений применитель¬
 но к объектам, которые вообще не существуют в натуре, для изучения возможности и целесообразности создания таких объектов; :
 5) подбор оптимальных параметров проектируемых объектов или проверка правильности принятых проектных решений в случаях, когда не существует надежных методов расчета, или эти методы настолько трудоемки, что экономичнее использовать методы моделирования.
 Классификация методов моделирования не установилась. Наиболее распространено деление на методы физического моделирования и методы математического моделирования. Физическое моделирование осуществляется с сохранением на модели физической природы явлений, происходящих в натурных условиях. Математическое моделирование — несколько условный термин, обозначающий, что модель и оригинал имеют различную физическую природу, но явления в них описываются одинаковыми математическими уравнениями. Например, движение механической колебательной системы моделируется электрическим током в колебательной системе, состоящей и з индуктивностей, емкостей и сопротивлений.
 Условность классификации и связанной с ней терминологии состоит в том, что и физическое моделирование, вообще говоря, позволяет получить достоверные результаты только при наличии строгого математического описания исследуемого явления, т. е. при наличии математических уравнений со всеми дополнительными условиями, обеспечивающими однозначность решения (например, начальные и граничные условия). Условия, обеспечивающие однозначность решения, называются условиями однозначности или моновалентами.
 Моделирование весьма широко применяется почти во всех областях физики и техники. Здесь приводятся данные, необходимые главным образом для физического
 моделирования, применяемого при решении задач динамики сооружений.
 О методах математического моделирования, основанных на электродинамических аналогиях и на использовании серийных аналоговых математических машин, см. [4, 9, И, 13, 15, 21, 26, 29, 36, 38, 41] и библиографию в этих работах. В тех случаях, когда необходимо совместное моделирование статических и динамических явлений в сооружениях, моделирование статических явлений см. [3, 6, 8, 23, 27, 34, 44]. Определение ветровых и гидродинамических нагрузок на моделях см. [1, 31, 32, 37, 39]. Терминологию в области моделирования см. [22]. Методы оценки надежности моделирования см. [17].
 18.1. Общие принципы физического моделирования, теория подобия, теория размерностей
 В основе физического моделирования лежит понятие о подобии явлений. Два явления называют подобными, если они имеют одинаковую, физическую природу и если характеристики одного из них отличаются от характеристик другого' только масштабом., одинаковым для всех одноименных характеристик. Одноименными называются характеристики, имеющие одинаковую размерность. Масштабный множитель, позволяющий перейти от характеристик одного явления к характеристикам другого, называют коэффициентом подобия или константой подобия. В зависимости от вида изучаемых характеристик различают: геометрическое подобие — если речь идет только о геометрических характеристиках; геометрически. подобными называют фигуры, отношения всех соответствующих размеров в которых одинаковы;
 механическое подобие — если речь идет о подобии механических характеристик— сил, давлений, механических напряжений, скоростей и т. п.; механическое подобие иногда подразделяют на кинематическое подобие, т. е. подобие геометрическо-временных характеристик движения — деформаций, перемещений, скоростей, ускорений и т. п. и на динамическое подобие — т. е. подобие сил, давлений, механических напряжений и т. п. Естественно, что механическое подобие включает в себя и геометрическое подобие.
 Аналогично различают н другие виды подобия — тепловое, электрическое и т. п., которые здесь не рассматриваются.
 Для моделирования основной интерес представляют следующие вопросы:
 281

1) если два явления подобны и соотношения между величинами, характеризующими одно из них, известны, то каковы будут соотношения между величинами, характеризующими второе из этих явлений?
 2) каковы признаки подобия, т. е. какие условия необходимы и достаточны для того, чтобы два явления были подобными? Ответ на эти вопросы дают три теоремы подобия [12].
 Первая теорема подобия,, сформулированная Ньютоном в 1686 г. [20] устанавливает, что в подобных механических системах коэффициент подобия для сил ар связан с коэффициентами подобия для масс ам, Для времени а и для длин а; (а; называют также коэффициентом геометрического подобия) зависимостью
 аР аМ “/«?■ (18.1)
 Эта зависимость получается сразу, если применить второй закон Ньютона к первой системе, в которой масса Мг движется с ускорением йЧл!(И\ и равнодействующая всех действующих на массу Мг сил равна Р\, и ко второй системе, для которой
 2 ~ аМ ~ а1 2 ~ 1
 Р2 арРг. (18.2)
 Тогда, подставляя (18.2) в формулу Р2 М2(й\/а4), (18.3)
 получим
 а»,сс
 _±к_, (18-4) ара . «I
 Но поскольку
 Р1 М1(с111/6$)1, (18.5)
 ТО
 са“[, (18.6)
 откуда сразу получается выражение (18.1).
 Левая часть выражения (18.6) называется индикатором подобия. Из этого выражения можно установить масштаб сил по масштабам масс, длин и времени.
 Если в (18.3) и (18.5) массу представить в виде плотности р, умноженной на объем, то вместо (18.6) и (18.1) можно записать:
 (®Р аУаР 1; ар ар а)1 а]. (18.7)
 Здесь и далее подстрочный индекс
 при коэффициенте подобия показывает к какой характеристике относится коэффициент.
 В (18.3) и (18.5) можно представить ускорение как Первую производную скорости V, так что вместо (18.6) и (18.1) будем иметь
 (ам а‘г;1ар а() аР «лг“и/«.08-8)
 Аналогично, подставляя в разных комбинациях /И(№ н 1 можно получить:
 К “/ а»/аР аг) ~ 1; ар аР
 (18.9)
 (“р “/ аУар) V; а? — «р а2, а2; (18.10)
 (аЛ1 ар аг) 1: аР ам аЦа1.
 (18.11)
 Если же выразить силу через определяющие ее параметры, например, силу тяжести
 Р М$г (18.12)
 или силу, распределенную по площади,
 Р р/а (18.13)
 (р — давление или механическое напряжение), то, например, из (18.11) с учетом
 (18.12) получим
 а11аеа1{ (18Л)
 или из (18.10) с учетом (18.13)
 ар аи/кР1- (18.16)
 Таким образом можно получить множество других индикаторов подобия.
 Индикаторы подобия в форме (18.6), (18.8) й (18.11) используют для сплошных сред. Вообще разнообразие формы индикаторов подобия связано с разнообразием задач.
 Теперь первую теорему подобия можно сформулировать короче: для подобных механических явлений индикаторы подобия равны единице. На практике часто пользуются еще одной формулировкой этой теоремы. Заменяя в (18.1) [или любой другой из аналогичных формул (18.7) — (18.11)] коэффициенты подобия отношением входящих в них величин согласно (18.2), получим
 Ря/Р1Мг1яР11М111% (18.16)
 ИЛИ
 18Л7) Вместо (18.17) можно записать
 . К Р(-1М1 Ыет. (18.18)
 Безразмерный комплекс К называют критерием подобия. Если исходить из за-
 282

виснмости (18.7), то получится критерий подобия
 К± РГ2/р1 Мет. (18.19) Критерий подобия, получающиеся из (18.11), Ме РИМ-о- Мет, (18.20)
 йз (18.14)
 Рг 1Йет (18.21)
 и из (18.15)
 Ей р/ри2 1Йёгп, (18.22)'
 называют критериями Ньютона, Фруда и Эйлера. Другие виды специальных критериев будут приведены при изложении методов моделирования различных явлений. Разнообразие критериев подобия, так же как и индикаторов подобия, связано с разнообразием задач и особенно с различием в физической природе сил. Так, например, в подобных системах, находящихся под действием сил тяжести (18.12), должен быть одинаковым критерий Фруда, т. е. должно выполняться условие (18.21). И вообще для подобных механических явлений критерии подобия должны быть одинаковыми.
 Разнообразие форм критериев подобия позволяет составлять некоторые критерии так, чтобы в них входили только заданные величины, определяющие однозначность решения, — физические константы материалов, параметры систем (размеры, массы, жесткости и т. п.) а величины, входящие в граничные и начальные условия задачи. Критерии подобия, составленные из заданных величин, входящих в условия однозначности, называют определяющими.
 Безразмерные комбинации, в которые входят величйны, определяемые по ходу решения задачи, называют инвариантами, имея в виду, что они одинаковы в соответствующие моменты времени и в соответствующих точках модели и оригинала; иногда их называют определяемыми критериями.
 Дифференциальные уравнения, граничные и начальные условия всегда могут быть преобразованы к безразмерному виду так, что в них будут входить только критерии подобия. Такие уравнения, связывающие определяемые критерии с определяющими, называют критериальными уравнениями.
 Поскольку для подобных систем соответственные критерии одинаковы, то для подобных явленйй критериальные уравнения, а также начальные и граничные условия в критериальной . форме тождественны.
 Согласно второй теореме подобия [12] для того, чтобы данные, полученные из опыта, можно было непосредственно распространять на подобные явления, их надо обрабатывать и представлять в виде зависимости между критериями подобия. Другими словами, надо стараться установить зависимость не между отдельными величинами, характеризующими явление, а между их комплексами, представляющими критерии подобия.
 Третья теорема подобия устанавливает [12], что для подобия, явлений необходимо и достаточно, чтобы условия однозначности (моноваленты) этих явлений были подобны, т. е. чтобы явления описывались одной и той же системой уравнений, граничных и начальных условий, причем определяющие критерии должны быть равны.
 Таким образом, для выполнения моделирования необходимо следующее:
 1. Составить уравнения, описывающие изучаемое явление в натуре, установить начальные и граничные условия, а затем привести их к критериальной форме.
 2. Запроектировать модель, подобрав масштабы всех величин таким образом, чтобы определяющие критерии для модели и оригинала были равны (условия однозначности подобны) Либо, чтобы для явления в модели подходили Дифференциальные. уравнения, начальйые й граничные условия В критериальной форме, составленные для оригинала; йри этом необходимо тщательнЬ проверить, чтобы на модели сохранилась физическая природа явления, т. е. чтобы с изменением масштаба не начали Играть основную роль те эффекты, которые не появляются в натуре, например краевые эффекты или переход в другую стадию работы для твердых деформируемых тел, либо переход турбулентного движения в ламинарное, либо проявление кавитации или капиллярности для жидкостей и т. п. Такое изменение физической природы явления с изменением масштаба называют масштабным эффектом. Если нет полной уверенности в отсутствии масштабного эффекта, то для обеспечения надежности результатов, получаемых при моделировании, проектируют несколько моделей разного масштаба (масштабную серию) и сверяют результаты полученные на них.
 Масштабы модели должны быть достаточно малыми для того, чтобы моделирование было экономичным и могло быть выполнено с применением доступного экспериментального оборудования — вибростолов.
 283

внбровозбудителей, лотков, ударных труб и т. п. Но в то же время эти масштабы должны быть сравнительно велики для того, чтобы обеспечить достаточно слабое влияние масштабных эффектов, достаточно точное осуществление параметров, входящих в состав определяющих критериев, и достаточное надежное измерение всех параметров явления, входящих в состав определяемых критериев. Нахождение компромисса между этими двумя противоречивыми требованиями к выбору масштабов составляет одну из основных трудностей при проектировании модели явления, имеющего строгое математическое описание.
 3. Изготовить модель, оснастить ее необходимой измерительной аппаратурой и провести на ней эксперименты во всех интересующих исследователя режимах.
 4. Обработать результаты эксперимента, представив их в виде зависимостей определяемых критериев от определяющих; эти зависимости пригодны и для натуры, если моделирование выполнено правильно.
 На практике такая . идеальная схема моделирования не всегда возможна по следующим причинам.
 1. Из разных определяющих критериев могут вытекать несовместимые требования к масштабам или к физическим константам материала модели. Так, например, если модель выполняют из того же материала, что и оригинал, то из критерия Эйлера
 (18.22) вытекает требование равенства скоростей на модели и в оригинале (или равенства масштабов времени и линейного), тогда как из критерия Фруда (18.21) вытекает требование изменения скоростей пропорционально корню квадратному из линейного масштаба (т. е. линейный масштаб должен быть равен квадрату масштаба времени). Из этого делают вывод [31], что при постоянном § моделирование невозможно.
 2. Моделируемое явление столь сложно, что не имеет строгого математического описания, в связи с чем для него не может быть строго проверено подобие.
 Для согласования критерия Фруда с другими критериями подобия можно поместить модель в поле центробежных сил, установив ее на специальную центрифугу [24]. Тогда роль ускорения свободного падения будет играть геометрическая сумма ускорений §+/-(»2. При достаточно большом отношении радиуса вращения г к максимальному размеру модели эти уско' рения во всех точках модели можно счи¬
 тать параллельными и равными по величине. Угловую скорость вращения со подбирают по величине необходимого масштаба ускорения. Однако для решения задач динамики сооружений этот метод практически не применялся в связи с серьезными техническими трудностями.
 Другой способ преодоления трудностей, связанных с согласованием критериев, базируется на замене принципа подобия модели оригиналу принципом аффинности или аффинного подобия [10, 18, 30, 40]. Согласно этому принципу, при переходе от натуры к модели одноименные характеристики могут изменяться в различном масштабе. В качестве простейшего примера аффинных фигур обычно приводят эллипсы. Направляя координатные оси по главным осям эллипсов, можно получить координаты точек любого эллипса через координаты точек одного из эллипсов.
 Кроме того, имеются предложения о применении так называемого нелинейного подобия [7], при котором величины, характеризующие явление в модели и оригинале, пересчитываются одни в другие с помощью нелинейных уравнений.
 Наконец, весьма распространен способ так называемого приближенного моделирования, когда условия подобия соблюдаются лишь частично, с сохранением наиболее существенных из них, либо когда из-за отсутствия строгого математического описания явления методы теории подобия не могут быть применены, так что приближенное подобие устанавливается на основе изучения физической природы явления и применения теории размерностей.
 Теория размерностей —• это учение о методах определения вида формул, выражающих зависимость между различными физическими величинами, основанное на общем соображении о том, что характер этой зависимости не должен изменяться при изменении масштабов применяемых единиц.
 Из указанного общего соображения нельзя установить, от каких именно величин зависит изучаемое явление и какова конкретная функциональная зависимость между величинами, характеризующими это явление. На эти вопросы можно ответить лишь на основе изучения физической природы явления. Но теория размерностей позволяет найти наиболее рациональные формы построения этих зависимостей, выразить их в виде отношений между минимальным количеством безразмерных комбинаций физических величин, и тем самым,
 284

с одной стороны, облегчить изучение физических закономерностей, а с другой стороны, распространить результаты этого изучения на все подобные явления.
 ,Не останавливаясь здесь на одной из основных задач, которую теория размерностей решает совместно с метрологией, а именно на стандартизации основных единиц измерения физических величин, отметим. только, что согласно международной системе единиц СИ для механических величин, устанавливаются три основные независимые одна от другой единицы: длина Л (метр), масса М (килограмм) и время Т (секунда), а кроме того, две дополнительные: плоский угол (радиан) и телесный угол (стерадиан). Единицы измерения остальных величин выражаются через основные и называются производными.
 Представление производной единицы измерения с помощью основных единиц называют размерностью. Размерности в системе СИ, наиболее часто встречающиеся в динамике сооружений величин, представлены в табл. 18.1. Размерность производных единиц всегда может быть составлена в виде степенного одночлена из основных единиц.
 Во всех преобразованиях, базирующихся на теории размерности, использую® свойство размерной однородности физических уравнений, установленное Фурье Ц12] и заключающееся в том, что все члены любого физического уравнения имеют одинаковую размерность.
 Таблица 18.1
 Определение вида критериев с помощью анализа размерностей, как уже упоминалось, возможно лишь при условии, что на основании изучения физической природы явления удается установить полный перечень величин х2, ха, х„, от которых зависит характеристика явлений р, интересующая исследователя. Обозначим эту зависимость
 Ф ф(1, х3,..хп). (18.23)
 Выбрав три величины х,• с независимыми размерностями и приняв их за основные величины (положим для определенности, что эти величины х,, х2 и х3, причем не следует путать их с основными единицами измерения), введем для их. размерности обозначения:
 М ац [з| [х3] а3, (18.24)
 Размерности остальных величин будут иметь вид:
 [ф] 4° аз°;
 К] а214’’;
 ы
 : а“п—з а|п—з а'п—з.
 (18.25)
 Если теперь уменьшить единицы измерения в к-: раз, то изменятся только численные значения всех величин из (18.23),
 Размер¬
 Обозна¬
 Величина
 ность
 чения
 х[ к1х1, х'2 к2 х2, Хд кь х3-
 Частота
 г—1
 РЦ
 фг 4° Аз° ф;
 Угловая скорость (круговая частота)
 Т~1
 рад/с
 х\ х4;
 Угловое ускоревие
 йт_2
 рад/о5
 Скорость
 ьт—1
 м/о
 Ускорение
 ЦТ—2
 м/с3
 Площадь
 Иг
 ма
 Хп з кп—з кп—з хп,
 Объем
 Л3
 м3
 Плотность
 Е~3 М
 кг/м3
 (18.26)
 Свла
 ЬМТ~
 н
 а вместо (18.23) можно написать
 Удельный вес
 ь—мт—1
 Н/ма
 Давление (механическое
 й МТ -
 Па
 напряжение)
 Ф Ф (1э Х2 3 х4’ ■ • • х4-
 (1о.27)
 Момент инерции (дина»
 йгМ
 КР.М2
 мвческий)
 Работа и энергия
 Ь2М1 2
 Дж
 Поскольку масштабы к, к2 и к.
 могут
 Мощность
 Ь-МТ~9
 Вт
 быть выбраны произвольно, то, поинимая
 Динамическая вязкость
 ь—1МТ~1
 Па-с
 их равными
 Кинематическая вязкость
 $т~г
 м3/о
 кг — 1/лсц» йа 1 /Ла; къ 1 /х3
 (18.28)
 285

и обозначая Ф
 Ф'
 Х1° Х2° Х3° :1
 — х\
 к2 —Х2г;
 к3 хГ1;
 уа, В, VI
 Л.') 3
 &3 — 3
 ; ЗТ|
 ж“п—3 хп— 3 ХП—3 к. хТ1
 ко — Яо
 (18.29)
 ф' {1,1,1 ,«4 /!4’
 получим вместо (18.27)
 я ,..., яп_з).
 (18.30)
 Сравнение (18.29) с (18.24) и (18.25) показывает, что все величины я, яь .... я„_з оказываются безразмерными и не зависят от выбора системы тех единиц измерения, через которые выражаются основные величины х±, х2 и Ха.
 Вообще говоря, если бы в (18.23) было не три, а к величин с независимыми размерностями, то, принимая их за основные величины, аналогично можно было бы показать [31], что связь между п+1 размерными величинами ф, Х\у хп, независимо от выбора системы единиц измерения, принимает вид соотношения между га+1—к величинами я, я ..., япредставляющими собой безразмерные комбинации из га+1 размерных величин. Этот общий вывод теории размерностей известен под названием я-теоремы.
 Пример определения вида критериев с помощью анализа размерности можно привести применительно к какой-либо известной системе, имеющей строгое математическое описание, с тем чтобы потом сравнить полученные результаты.
 Рассмотрим движение системы' с одной степенью свободы, состоящей из массы М([М]М)\ пружины, жесткость -квторой равна С([С]МТ~2) и демпфера с коэффициентом сопротивления #([-Я] МТ~1). Будем считать, что на систему действует гармоническая сила Реш{([Р] МЬТ~2, [со] 7'~1, ЩТ), а начальные перемещения ха([х0]Ь) и скорость Хо([хо ]Ы~') заданы. В этом случае уравнение вида (18.23) связывает девять величин — перемещение массы х и восемь величин, перечисленных выше. В качестве основных величин лучше выбрать константы, размерность которых выражена через размерность только одной из основных единиц СИ, если такие имеются. В данном случае это Ха, М и со. Записав их первыми в правой части уравнения вида (18.23), получим
 х — х (х-0, М, со, С, Я, Р, х0, I). (18.31) Теперь аналогично (18.25) запишем:
 [}[оР [М]° [ш]“;
 [С] [„]» [МРИ3;
 [Л] [„]" [МЦ [шЗЧ
 (18.32
 [Р]--
 [о1
 [0Р [М]1 №
 [оР [М]° [СО]1;
 М [.1° ДО]0 [«!-.
 так что согласно (18.29):
 я х/х0\ щ С/Мш3; я2 ЯМа; я3 Р/Мсо3 х0; щ х0/ах0\ Ш
 и (18.33)
 х/х0 — ?(С/Ма2, Я/М®, Р/М(йхй,
 х0/хх6, (а). (18.34)
 Возможны случаи, когда среди заданных физических величин не находится трех, размерность которых выражена через размерность только одной из основных единиц СИ, либо они есть, но не очень удобны для практического использования. В этом случае молено и практически удобно использовать комбинации величин со сложной размерностью, дающие простую размерность, Например, в приведенном выше случае можно в качестве основных величин использовать комбинации М, С и Р, приводящие к простой размерности, а именно
 М, со0 С1/2 М~112 ([со0] Т~г) и хС1 РС-1 ([ст] Ь). (18.35)
 Тогда вместо (18.31) будет
 х х (а'от, М, ш0, со, Я, х0, х0, /), (18.36)
 286
 I

так что, выполняя все действия аналогично (18.32) и. (18.33), получим вместо (18.34):
 х1 хст /"х (со/сОд, К1 Л1с0д, x|х,
 х0/®0хс?, Лв0). (18 .37)
 Разумеется, вводя обозначения (18.35), можно от (18.34) прямо перейти к (18.37). В (18.34), (18.37) и в любые другие уравнения типа (18.30) входят два вида безразмерных комбинаций, составленные из двух одноименных величин, называемые симплексами, н составленные из нескольких величин разной размерности, называемые комплексами.
 Другой способ определения вида критериев подобия, называемый способом Рэлея, широко применяется на практике. Он состоит в представлении зависимости
 (18.23) в виде степенного одночлена, в который переменные х1, ..., хп вводятся в неопределенных степенях с последующим уточнением этих степеней на основе свойства размерной однородности. Применительно к (18.36) выкладки по способу Рэлея будут иметь следующий вид:
 ж х% М2'- Шр3 шг х1° х% (18.38)
 подставляя размерности левых и правых частей, получим
 [_} — 21Н-г6-Ьг7 у-—гя—гг—гй—г7-|-2а
 (18.39)
 т. е. по свойству размерной однородности:
 г1 + г6 “Г г7 — 1 г2 + г5 “
 гз +24 + 25 + г, — г8 0. (18.40)
 Выражая показатели степени 81, г2 и г3 • основных величин через остальные
 211—г6 —г7; г2 — г5;
 г3 г4 — г5 — г7
 подставляя (18.41) в (18.38) и группируя члены с одинаковым показателем степени, получим
 (“/“о)г'{К1Ма0)г° (Уст)26 Х
 X (х0/“Лст)г7(®0Ог5. (18.42)
 т. е. в полном соответствии с (18.37): х/хст~/1 (со/оЗд, К/Мщ, х01хст,
 х0/солст, соо0. (18.43)
 Причем в дальнейшем функция /ч не обязательно должна иметь вид степенного одночлена (18.42).
 Отметим, наконец, что свойство размерной однородности, сформулированное в теории размерностей, используют также и
 при наличии строгого математического описания изучаемого явления для приведения дифференциальных уравнений, граничных и начальных условий к критериальной форме. Способ такого приведения покажем применительно к рассмотренному выше примеру. Дифференциальное уравнение движения массы
 Мх + Кх + Сх Реш (18.44) и начальные условия
 х (0) х0 и (0) и() (18.45)
 содержат те же девять величин, что и равенство (18.31).
 Введем безразмерные величины: обозначив их значком ~: х Ьх\ Хъ Ьх0; д,'о ЦГ~х ;
 0) Т-1 со; I — ТТ, (18.46)
 где Ь, Т — некоторые размерные множители, связь которых с параметрами системы (18.44) установим в дальнейшем.
 Подставляя (18.46) в (18.44), получим
 Лк- X + х 4. СЬХ РеШ 1 . (18.47)
 Т2 Т
 Для того! чтобы привести уравнение к безразмерной форме, разделим все члены на один из размерных коэффициентов, например на СЬ:
 -М-х+-—‘х + х'-— еШ{. (18.48) СГ- СТ СЬ
 Величинами Т и Ь можно распорядиться так, чтобы максимально упростить это уравнение, например, положить:
 Т2 — М/С — 1/соц; I. Р/С ст . (18.49)
 Тогда, введя еще обозначение
 Яш0/СД/Мсо0у, (18.50)
 можно написать вместо (18.44) и (18.45):
 ж + V + х ; | (18 51)
 Г(0) х0-,х(0) х0, ]
 где х дг/лст Хд х/х\ л'д 'о/'Ст®ог1
 со ш/ш„; ф0. -I
 (18.52)
 Таким образом, задача свелась к тем же безразмерным критериям, что и в (18.37). Это подтверждает высказанное соображение
 о том, что если на основе изучения физической природы явления удается выявить полный перечень величин, от которых зависит интересующая исследователя характери¬
 } (18.41)
 287

стика явления,, то теория размерностей позволяет установить вид критериев подобия и тем самым обеспечить достоверность моделирования явлений, не имеющих..строгого математического описания. Следует, однако, иметь в виду, что при этом всегда остается сомнение в полноте перечня величин, особенно, если этот перечень получен в результате опытов на модели, так как на модели может и не проявиться влияние ряда величин, которые весьма существенны или даже основные в натуре. Поэтому строгие методы теории подобия следует использовать во всех случаях, когда это только возможно.
 18.2. Механические колебательные
 системы с сосредоточенными параметрами
 Сооружение, конструкцию или механизм называют механической колебательной системой с сосредоточенными параметрами, если его расчетная схема может быть представлена в виде совокупности абсолютно жестких тел, соединенных между собой и с основанием безынерционными упругими связями и демпфирующими элементами. Движение таких систем описывается обыкновенными дифференциальными уравнениями, которые решают либо аналитически, либо с применением математического моделирования. Физическое моделирование таких систем в большинстве случаев оказывается гораздо более трудоемким и менее экономичным. Практически, оно применяется только для отработки на моделях конструкции каких-либо специальных устройств (см., например, [14]) либо для создания учебных пособий. При этом определение вида критериев подобия трудностей не вызывает, поскольку практически всегда имеется строгая математическая формулировка задачи. Покажем это для общего случая. Система дифференциальных уравнений движения и начальные условия имеют вид:
 п I • '
 2 Чк + Ьш Чк + сш ?&§ - |
 61 I
 01(0, (/1,2, ... , п); } (18.53)
 Чк (0) Чко Чк (0) Чко I
 (А 1, 2, ... „ п). )
 Условимся, что в первую строку в
 (18.53) запишем уравнение, в котором
 [С] —МЬТ~2, а в этом уравнении первой запишем скобку, в которой [9!]/,. Во вторую строку запишем уравнение, в котором [(2а].М/,27’-2, а в качестве второй обобщенной координаты запишем такую,
 что [72] — рад. Если в системе (18.53) все обобщенные координаты (а значит, и обобщенные силы) имеют одинаковую размерность, то выкладки упрощаются.
 Введем обозначения:
 с1к ‘2 . 1к
 /ь' а1к 1 а1к “й
 [210 о! (~)\ если [ОД ЖН; ЬЗзоСг.О). если [СМ М1ЛТ
 ~ Ч 1СТ Оно?22 2СТ
 , если 1„к]
 11
 I и [Су АЯ-Г-2;
 а1к .ст10!!
 С22 2СТ
 Ь и [Сг] ЛК.» Г-2;
 а я со" 1к 2СТ 11
 С11 9ХСТ
 (18.54),
 рад и [Зг] МЬТ~~
 а1к ШП
 Чк
 ли рад и [5] М[?Т~-;
 ЧгстЧк, если [&] I;
 1721
 ,стЧк, если [?й.] рад.
 Подставив (18.54) в (18.53) и проведя несложные преобразования, получим:
 1к Мк У1к к + Ш№ 3, \0 ) .
 к1
 1к Чк’1 (/ 1, 2, ... . „)}
 Чк(0)Чко, Чк(0)Чко,
 (й 1, 2, ..., п), (18.55)
 где
 У ко
 1«к]
 ы
 Чо \-2-’ если [ Чк] Ра« I 2СТ
 Чко
 У ко
 [ Чк]
 й:
 ко
 (18.56)
 , если [ дк] рад.
 Таким образом, движения систем, описываемые безразмерными координатами с/ь, будут подобны, если собственные парамет-
 288

ры этих систем аЬк, Ьш и ст будут-'удовлетворять равенству определяющих критериев (ха, ул и сот, а начальные условия, возмущающие , силы и время будут заданы в масштабах, определяемых по (18.56) и (18.54).
 Отметим несколько обстоятельств, имеющих большое практическое значение. Во-первых, жесткость, прочность и масса пружин, равно как сила вязкого трения и масса подвижных частей демпфирующих элементов, с изменением размеров меняются в разных пропорциях. Поэтому при моделировании линейных систем с постоянными параметрами необходима проверка напряжении в материале пружин с тем, чтобы они не оказались выше предела пропорциональности, а, кроме того, проверка возможности считать эти элементы модели безынерционными. Во-вторых, при моделировании систем с переменными параметрами необходимо, чтобы и на эти параметры распространялось изменение масштаба времени. В-третьих, при моделировании нелинейных систем необходимо, чтобы диаграммы нелинейности (например, индикаторные диаграммы нелинейных пружин) оригинала и модели, построенные в безразмерных координатах, совпадали.
 18.3. Стержневые конструкции и арки
 Моделирование применяют для исследования колебаний сложных пространственных стержневых систем, которые могут содержать и сосредоточенные инерционные либо упругие элементы (см. 18.2), или сравнительно несложных систем при сложных возмущениях. Рассмотрим условия подобия систем из прямолинейных и однородных по длине стержней, движение которых описывается дифференциальными уравнениями:
 для поперечных колебаний
 _, й1 ш д- ю
 ЕУ 1~ т р IX, {);
 дх дГ-
 для крутильных колебаний , д-в . - 5-"(
 ■ 4-у ■
 р дх2 ' дР
 При этом должны
 т(х, 1). (18.37)
 удовлетворяться граничные условия и условия сопряжения:
 а) на свободном конце
 д?т/дх2. 0; д3 ву/д3 0; |Э0/5л: О;
 (18.58)
 б) в заделке
 дю/дх 0-, 10 0; (18.59)
 в) на свободно опертом конце
 ш 0; ш!дх 0; [30/дхО; (18,60)
 ЕУ
 ЕУ
 г) при упругой задёлке
 I д3 га I дх3 д2 и)
 дг&)
 (18.61)
 ОУ (59/й)К0; 18-62)
 дх- | '■‘I дх
 д) в точке, где стержень соединяется с сосредоточенными упругими элементами или сосредоточенными нагрузками
 0_|_; (18.53)
 ч Ш_|_
 дш | _ дш
 дх — дх
 д2 го I дш д2 ш
 ЕУ - 1 к
 дх"- дх
 — ЕУ ■
 дх |+ .,й‘ш I ЕУ 4- К И) :
 дха — 1
 ЕУ
 й3 ш I дх3 |+’
 ЕУ
 Й3 XI)
 дх2
 ± и ■■
 -- ЕУ
 д2 т I
 дх- |+ ’
 „ , й3 ш |
 ЕУ ± Р--
 дх3 —
 ЕУ
 й3 а: | дх |+ ’
 (18.64)
 дв I
 ОУ,
 ае I
 дх
 (18.65)
 (18.66)
 ОУ,
 дв дх I—
 дв
 СУ- ; (18.67)
 дх 1+
 (18.68)
 е) в точке, где стержень соединяется с сосредоточенными инерционными элементами
 и - -
 дш I дш I
 дх [— дх |4-’
 _ , д2ш | - й3 01
 Е.1 ±3 --
 ЕУ
 дх- |— дхд I2
 д2'ш I
 дх'- |4-
 ,, ,й3 ш | ... д‘ ш
 ЕУ ±М дх3 I— др
 ЕУ
 Й3 ЦУ ]
 дх I +’
 0— 04-: ЙВ I
 СУ„
 дх
 ± У
 СУТ
 дв 1 дх |4-'
 (18.69)
 й3 9 дР
 (18.70)
 (18.71) (18.73)
 ж) в точке, где под прямым углом перекрещиваются два стержня: стержень 1, ось которого совпадает с осью х, и стержень 2, ось которого совпадает с осью у:
 дщ | , „ , | дш5
 ЕУ
 ■ ЕУ
 VI
 дх
 I I
 I дх | д2 I
 д2 ал дх2
 I е21;
 ду
 I 011:
 ди2
 ду
 ■4-
 Р 2
 Р О./
 дВ2
 ду
 ав2 I ду I-
 (18.73)
 0; (18.74)
 19—491
 289

д- тг ду2 |- ‘
 ± О./
 - ЕЗ.
 Х2
 Яс/,
 ■ыю.
 д" ш2 I ду" |+ в9 I у1 а.г» |Й3
 Р1
 ае
 дх —
 Р1
 бд;2 14а2 о а2 а2 у дх2 |+
 Р
 дх |4дю2 \
 ауз Iаа ш2 | __
 дх (4-“ а2 и I
 ду2 I —
 а2 и
 0; (18.75)
 0; (18.76)
 и начальные условия
 ш {X, 0) йУ0 (ж); оу0 (#); (18.78)
 а
 е (ж, 0) - е0 ); ?9 {х 0) 0О (х), (18.79)
 д1
 где Е, О — модули упругости и сдвига: [Е][0] ~МЬ 1Г~2; ] — момент инерции поперечного сечения стержня относительно оси, проходящей через центр тяжести сечения перпендикулярно плоскости изгиба; {/]14: /р —полярный момент
 инерции поперечного сечения стержня относительно центра тяжести поперечного сечения; |7р]Л,4;
 7 — погонный динамический момент инерции относительно продольной оси стержня; [1] — МЬ\ т — погонная масса стержня; [т]МЬ -1; Р(аг,)— погонная поперечная нагрузка; [р]МТ Р(1) —сосредоточенная поперечная нагрузка; [Р] МЬТ~~'; пг(х, {) — распределенный внешний крутящий момент; \пг]МЬТ~; МЦ) — сосредоточенный крутящий момент; \М\МЬгТ и, V, ю — перемещения в направлении осей х, у, г соответственно; 0 — угол поворота сечения в своей
 упругого элемента соответственно относительно линейного и углового перемещения; \К\—МТ
 [К\МЬ2Т 3; /, ЛГ — соответственно динамический момент инерции и_масса сосредоточенного инерционного элемента; [/]М12; [М]М. Подстрочные индексы 1 и 2 в формулах (18.71) — (18.77) обозначают номер стержня, а индексы минус и плюс — сечения слева и справа от точки.
 Приводя формулы (18.57)—(18.77) к безразмерному виду, как показано в п. 18.1, и, представляя
 р („• {) РоТ(х, 71; т(х, ()т0% (х, Г), (18.80)
 получим критерии подобия: из (18.74) — (18.75)
 сг Мет; (18.81)
 из (18.57)
 % рЬУЕТ Мет; (18.82)
 Ри Ро/ЕЬ Мет;
 Рь т01Е1А Мет; (18.83)
 из (18.67) — (18.68)
 М М/ЕЬ“ Мет;
 Р Р1ЕЫ Мет (18.84)
 М 1т0 Ь Мет; Р1р0 Ь Ыет; из (18.61) — (18.66.)
 Кх К\/ЕЬ Ыет;
 К2 КУЕ1? Шт\ (18.85) из (18.71) — (18.72)
 71 р/,6 Мет, М/рЬ3 Мет. (18.86) В (18.82) входит отношение Е/р, равное квадрату скорости распространения волн сжатия в материале модели, а в (18.81) а — коэффициент Пуассона.
 Таким образом, для обеспечения подобия явлений в модели стержневой системы и в оригинале необходимо и достаточно обеспечить геометрическое подобие, подобие условий опирания, равенство коэффициентов Пуассона материалов и модели и оригинала, подобие нагрузок по (18.83) и (18.84), подобие характеристик сосредоточенных упругих и инерционных элементов по (18.85) и (18.86) и изменение времени пропорционально линейному масштабу и обратно пропорционально отношению скоростей распространения волн сжатия в материалах модели и оригинала. При этом прогибы изменяются пропорционально линейному масштабу, углы поворота и относительные деформации волокон в модели и оригинале одинаковы, а напряжения в волокнах изменяются пропорционально модулю упругости. При моделировании плоских стержневых систем ограничение по коэффициенту Пуассона отпадает. О некоторых возможностях аффинного подобия при моделировании плоских стержневых систем изложено в работе [2].
 Ограничение, связанное с отсутствием влияния продольных сил на деформацию стержней, может быть снято при условии N кр, (18.87)
 где Л?Кр—эйлерова критическая сила, или при удовлетворении критерию
 Д//ЯКр Мет, т. е. Е Мет, (18.88)
 следовательно, при выполнении модели из того же материала, что и оригинал.
 При выполнении одного из условии (18.87) или (18.88) приведенные выше правила подобия стержневых систем могут быть использованы для моделирования арок. Пример моделирования арок дан в работе [5].
 Отметим, что при выяснении правил моделирования для стержневых систем нигде не были использованы возможности уменьшения количества определяющих
 290

критериев в результате соответствующего выбора основных единиц. Поскольку имеется жесткое условие (18.81), то из трех основных величин для произвольного выбора остаются только две. Могут быть выбраны масштабы длин и времени либо длин и скорости распространения волн сжатия в материале модели, либо, вообще говоря, плотности и времени или длины, поскольку они связаны выражением (18.82). При использовании условия (18.88) возможность произвольного выбора остается только для линейного масштаба. Учет еще одного вида сил, например, сил тяжести, лишил бы возможности произвольного выбора и линейного масштаба, установив /,Шет, т. е. привел бы к принципиальной невозможности моделирования.
 Возможность произвольного выбора одного или двух масштабов позволяет сократить число определяющих параметров при обработке результатов эксперимента и тем самым сделать результаты более обозримыми. Какой из критериев целесообразно сократить, решают в зависимости от условий задачи, причем ответ в значительной степени диктуется опытом и интуицией исследователя.
 18.4. Тонкие плиты и тонкие оболочки малого подъема
 Моделирование применяют для исследования колебаний тонких плит и оболочек сложной конфигурации, ребристых, переменной толщины, а также пластинчатых систем и т. п. при разнородных граничных условиях и сложных возмущениях.
 Рассмотрим колебания плит постоянной толщины, движение которых описывается уравнением
 ОААш + тш Р (х, у, {) (18.89)
 при граничных условиях:
 а) для свободно опертого края, параллельного, например, оси у,
 ш 0; д?ш/дх 0 при х а\ (18.90)
 б) для жестко защемленного края, параллельного, например, оси х
 еи 0; дт/ду 0 при у 6; (18.91)
 в) 	для свободного края, параллельного, например, оси у
 дх- дц2
 + (2 — а) ■ д— о при X а (18.92) дх3 д2удх
 и при начальных условиях (если их необходимо учитывать)
 и)(х, у, 0) щ (х, у)\
 и)(х, у, 0)шо(л', у). (18.93)
 Здесь обозначено: 0вЯб3/12(1—а3) — цилиндрическая жесткость; [Я] МЬ-Т~~’, А~д21дх2+д-1ду2 — оператор Лапласа; [Дт — масса на единицу площади плиты; [т]—МЬ ад — прогиб плиты; Р — распределенная нагрузка;
 [Р\МЬ Т 2; х, у— прямоугольные координаты; [X][у]Ь; / — время; №Т; Е— модуль упругости; [Е]МЬ~~Т 3; б — толщина плиты;
 [6]»/,; о — коэффициент Пуассона.
 Вводя безразмерные величины шЬтю;
 хЬх; уЬу; 77; АЬ~2А; РРв[(х,
 у,1) и подставляя их в (18.89) — (18.93), получим
 4 	4»+ й Р°13' 7( 7, т). (18.94)
 йТ- О
 Граничные и начальные условия сохраняют свой вид с заменой только входящих в них величин на безразмерные. Положим для упрощения критериев Ь8, тогда
 — ° 12(1 —а3); (18.95)
 О Е
 . тЬ-~ -Л51 12 (1 — а2). (18.96)
 ОТ- ЕГ-
 Коэффициент Пуассона входит в (18.92), (18.95) и (18.96) в разных степенях и в разных сочетаниях с относительными величинами. Следовательно, при моделировании необходимо, чтобы коэффициент Пуассона материалов модели и натуры был одинаков: о-Ыет. При этом условии критерий (18.95) может быть записан просто
 Р0/.Е 1с1ет, (18.97)
 т. е. интенсивность нагрузки должна изменяться пропорционально модулю упругости, а критерий (18.96)
 К — Е1Цр№ 1с1ет (18.98)
 или
 ТКбУр/Ё, (18.99)
 т. е. масштаб времени должен изменяться
 пропорционально линейному размеру и обратно пропорционально отношению скоростей распространения упругих волн в материалах модели и оригинала.
 К указанным трем правилам моделирования необходимо добавить обычные правила— должно быть выдержано геометрическое подобие и подобие граничных и начальных условий. При этом:
 А' I аг )
 19
 291

у _ Ег
 у 1— а2
 (18.100)
 Ву-
 Ег 1 + а
 дх-
 д2ю
 дХ §у
 где Хх, Уд и УхХд — компоненты напряжений, г. е. напряжения не зависят от масштаба модели и изменяются пропорционально модулю упругости.
 Прогибы пропорциональны линейному масштабу, а относительные деформации волокон и углы поворота одинаковы на модели и в натуре. Не приводя здесь вывода, отметим, что указанные правила подобия могут быть использованы для моделирования тонких оболочек малого подъема — Цилиндрических и двоякой кривизны, при условии, что либо нормальные силы в оболочке много меньше критических, либо оболочка и оригинал выполнены из одинакового материала (см. также заключительное замечание к п. 18.3).
 18.5. Твердые деформируемые тела
 Моделирование применяют для исследования колебаний или изучения распространения волн в массивных телах, имеющих сложную конфигурацию или составленных из разнородных материалов при различных граничных условиях и сложных воздействиях.
 Рассмотрим здесь только уравнения линейной динамической теории упругости, выписав:
 одно из уравнений Ляме
 д2ш л , ч д0
 ; (А. ц)
 612 дг
 одно из условий на поверхности
 »(■
 +
 дш
 дх
 - дю \
 ] п
 дг )
 -Ь
 дт
 ду
 I т +
 (18.102)
 и одно из выражений, связывающих деформации с напряжениями
 1 (да дV \
 У_ , (18.103)
 2ц .
 и имея в виду, что уравнения неразрывности имеют тождественный вид при любом выборе масштабов.
 В (18.101) — (18.103) приняты следующие обозначения:
 % йт/[(1 — 2а) (1 сг)3; ц Я/[2(1+о)] (18.104)
 постоянные Ляме;.
 0 (ди/1дх) + №/ду) + (дш/дг)
 объемная деформация; I, т, п — косинусы углов между нормалью V к поверхности тела и осями
 координат х, у, г соответственно; 2 —проекция объемных сил на ось г; 2, —проекция на ось 2
 V
 поверхностных сил, действующих на площадке с нормалью V; еХу и Ху— компоненты деформации и напряжения в направлении осп л по площадке, нормальной к оси у. Остальные обозначения такие же, как и выше.
 Подставляя для определенности
 2 РЯ+Р®6 (18.105)
 и приводя (18.101) к безразмерному виду, получим критерий подобия
 %/\1 Ыет или а Ыет. (18,106) Далее с учетом (18.104) получим:
 К% ЕП/р1Л Ыет или Т /аКр/5; (18.107)
 ру1 цТЦЬ Ыет или §рЫЕ — Ыет;
 (18.108)
 шп7у1.Ыет или ив0рЫ Е Ыет. (18.109) Приводя (18.102) и аналогичные уравнения на поверхности к безразмерному виду, получим с учетом (18.104):
 XV/Е УV/Е гV/Е и1ет. (18.110)
 Наконец, если упругое тело состоит из разнородных материалов, то, выписывая условия совместности деформаций и равновесия элементов на границе раздела двух сред с использованием равенств типа (18.103), получим (подстрочные индексы относятся к материалам по разную сторону от границы):
 Е±/Ег Шт (18.111) а с учетом того, что в (18.107) масштабы Ь и Т постоянны во всех областях модели,
 V Ег р2/р!&
 г. е. с учетом (18.111)
 Р1/Р2 Иеш.
 Ыет,
 (18.112)
 Вообще говоря, существует принципиальная возможность создания модели, удовлетворяющей одновременно критерию Фруда и остальным критериям. Для этого необходимо только, чтобы отношение скоростей продольных волн в материалах модели и оригинала было пропорционально корню из линейного масштаба, т. е.
 Е/рЬ 11ет. (18.113)
 Однако практически проблема создания материалов, которые позволяли бы широко варьировать модулями упругости при сохранении неизменным коэффициента Пуассона, до настоящего времени не решена. Поэтому сформулируем правило моделирования без учета критерия Фруда.
 292

Для обеспечения подобия явлений в модели линейно-деформируемого упругого тела и в оригинале необходимо и достаточно обеспечить: геометрическое подобие; подобие условий на поверхности (18.110) (имея в виду, что, если на поверхности заданы перемещения или деформации, то их подобие входит в условия геометрического подобия) н начальных условий; равенство коэффициентов Пуассона материалов модели и оригинала; изменение масштаба времени пропорционально линейному масштабу и обратно пропорционально отношению скоростей распространения волн сжатия в материалах ' модели и натуры; сохранение отношения между модулями упругости и плотностями разнородных материалов согласно (18.111) и (18.112); подобие заданных ускорений согласно (18.109), если движение тела происходит в неинерциальной системе координат.
 О моделировании твердых деформируемых тел на основе аффинного подобия и при различных характеристиках материалов см. [10, 18, 30, 40] (см. также заключительное замечание к п. 18.3).
 18.6. Техника моделирований
 К технике моделирования относятся:
 1) выбор материалов для модели; 2) технология изготовления моделей и соответствующее оборудование; 3) методы, приборы и оборудование для создания на модели исследуемых режимов; 4) методы и приборы для измерения величин, характеризующих изучаемое явление; 5) методы и приборы для механизации и автоматизации обработки результатов измерения.
 Модельные материалы выбирают при проектировании модели одновременно с выбором масштабов [19, 28, 33, 42]. При этом необходимо учитывать и остальные перечисленные вопросы техники моделирования, так как нередко приходится возвращаться к этому начальному вопросу проектирования, если оказывается, что на модели, размеры и материалы которой полностью отвечают условиям подобия, не удается осуществить необходимые режимы, например, возбудить ее колебания с требуемыми частотами и амплитудами из-за отсутствия соответствующих возбудителей, либо не
 Таблица 18.2
 Материал
 Статический модуль упругости Е, МПа
 Коэффи¬
 циент
 Пуассона
 7
 Плотность р, г/см3
 Скорость распространения продольных волн
 а Я/р, м/с
 Коэффициент затухания V
 Предел упругости, МПа
 Предел
 прочно¬
 сти,
 МПа
 Бетон
 (1,4—4) 10‘
 0,16—0,18
 1,8—2,4
 2800—4100
 0,05—0,1
 3—30
 5-75
 Песчано-цементный раствор
 (1,5—2) 10‘
 0,16—0,18
 12 2,2
 3000—3500
 —
 1—15
 2,5—5,0
 Гнпс
 (2—5) 10
 0,22
 1,2—1,8
 3200—5000
 —
 —
 4—5
 Сталь (материал)
 (1,5—2,1) 103
 0,28—0,3
 7,5—7,9
 4500—5100
 0,015
 (2,2— 4,2) 10-
 (3—6) 10
 Стальные конструкции из проката
 (1,9—2,1) 10’
 0,29
 7,8
 5000-5100
 Алюминиевые
 сплавы
 (7—7,5) 10»
 0,33
 2,7—2,8
 ~5100
 0,001
 ~350
 ~500
 Медь
 (1—1,3) 10
 0,34
 8,9
 3400—3800
 0,002
 —
 Бакелит
 (3—4) 103
 0,30—0,36
 1,27—1,4
 1500—1700
 —
 ~50
 ~80
 Органическое
 стекло1
 (2,8—4,2) 101
 0,50
 1,18
 1500—1900
 0,05—0,1
 —55
 Целлулоид1
 (1—2,8) 1(Р
 0,33—0,38
 1,35—1,45
 850—1400
 0,08—0,12
 20—40
 30—50
 Эпоксидные композиции
 (0,5—5) 101
 0,32—0,5
 1,2—2,9
 500—1500
 —
 5—30
 10—80
 Резина1 (60 по дурометру)
 2,6
 0,5
 0,95
 52
 0,17
 “
 Композиции на основе резины2
 0,5—5
 0,5
 0,9—2,5
 14—55
 0,05—0,15
 —
 ■“
 Вальмасса
 0,05—1
 0,4—0,5
 1,23—1,35
 —
 —
 0,02—0,14
 0,1—0,5
 Композиция
 ВНИИГ-Р
 10—120
 0,18—0,22
 0,9—3
 0,07—0,1
 1,5—4а
 Композиция
 ВНИИГ-П4
 13—1000
 0,15—0,3
 0,85—2,6
 '
 0,06—0,3
 Композиция
 ВНИИГ-Ш8
 1—30
 0,18—0,22
 0,7—2
 0,03—0,06
 0,2—1,7
 Композиция
 ВНИИГ-1У6
 (1,7—2,5) 103
 0,26—0,29
 1—2,2
 0,016—
 0,03
 ' На частоте 100 Гц динамический модуль упругости возрастает для оргстекла ~ на 40%, для целлулоида ~ на 65 % и Для резины ~ на 80 %.
 2 Предел прочности при растяжении.
 3 На основе смеси каучука — олигодиенуретанднэпоксида марки ПДХ'1-ЗАК и эпоксидных смол.
 4 На основе смеси карбокснлсодержащего каучука марки СКН-10-1А н эпоксидной смолы.
 5 На основе наполненного снлоксанового каучука.
 6 На основе смеси снлоксанового каучука и эпоксидной смолы.
 293

удае'гся измерить величины, характеризующие изучаемое явление, из-за отсутствия соответствующих методов и приборов.
 В табл. 18.2 приведены некоторые механические характеристики наиболее распространенных материалов, используемых для моделирования. Эта таблица предназначёна для первоначальной ориентации. Перед изготовлением модели необходимо на специальных установках определить механические характеристики материалов и соответственно уточнить размеры модели, условия эксперимента, получаемые результаты.
 Технология изготовления моделей, методы обработки материалов и соответствующее оборудование для этой цели описаны в руководствах и курсах по технологии
 материалов. Никаких существенных особенностей, связанных с моделированием, в этой технологии нет.
 Методы, приборы и оборудование для создания на модели исследуемых режимов, для измерения величин, характеризующих изучаемое явление и для механизаций обработки результатов применительно к моделям сооружений, испытываемым на динамические воздействия, описаны в разделе 17 справочника, а также в [16, 19, 33, 35, 43].
 Особое положение занимает техника ■моделирования, базирующаяся на методах динамической фотоупругости. Обзор этой техники и примеры ее использования приведены в [25, 33].

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
 К РАЗДЕЛУ 1
 1. Академия наук СССР. Государственный научно-исследовательский институт машиноведения. Влияние вибраций на организм человека и проблемы виброзащиты. М., Наука, 1974.
 2. Андреева-Галанина Е. Ц. Вибрации и их гигиеническое значение и меры борьбы с ними. Труды Ленинградского института гигиены труда и профзаболеваний, Л., 1940.
 3. Инструкция по устранению вредных воздействии вибраций рабочих мест на предприятиях железобетонных изделий (СН 190-61). Госстрой СССР. М., Стройиздат, 1962.
 4. Инструкция по расчету, перекрытий нй импульсивные нагрузки. ЦНИИСК им. Кучеренко. М., Стройиздат, 1966.
 5. Инструкция по расчету покрытий промышленных зданий, . воспринимающих динамические нагрузки. ЦНИИСК им. Кучеренко. М., Строниздат, 1967.
 6. Инструкция по рпсчету несущих конструкций промышленных зданий и сооружений на динамические нагрузки. ЦНИИСК им. Кучеренко. М., Стройиздат, 1970.
 7. Коренев Б. Г. О Временных санитарных правилах и нормах по ограничению виорацйй рабочего места. — Строительная механика и расчет сооружений, 1959, № 4.
 8. Рекомендации по уменьшению вредных вибраций рабочих мест на предприятиях железобетонных изделий. ЦНИИСК им. Кучеренко. М., Стройиздат, 1972.
 9. Санитарные нормы проектирования промышленных предприятий (СН 245-71). Госстрой СССР. М., Стройиздат, 1972.
 10. Санитарные нормы допустимых вибраций в жилых домах (№ 1304—75). Изд-во Министерства здравоохранения СССР. М., 19751
 11. Сизов А. М. Об определении допустимого по санитарным нормам уровня колебаний конструкций.— Строительная • механика и расчет сооружений, 1973, № 1.
 12. Система стандартов безопасности труда. Вибрация. Общие требования безопасности. ГОСТ 12.1.012—78. М.. Стандартгнз, 1978.
 13. Сорокин Е. С. Динамический расчёт несущих конструкций зданий. М., Госстроййздат 1956.
 14. Справочник по динамике сооружений./Под ред. Б. Г. Коренева и И. М. Рабиновича (1-е изд.) М., Стройиздат, 1972.
 К РАЗДЕЛУ 2
 1.ТОСТ 12327—66. Машины электрические. Остаточные неуравновешенности роторов; Нормы, и методы измерений. Госстандарт СССР, 1967.
 2. ГОСТ 20815—75. Машины электрические . вращающиеся с массой 2000 кг и выше. Госстандарт СССР, 1975.
 3. ГОСТ 12.1.012—78. Система стандартов безопасности труда. Вибрация. Общие требования безопасности. Госстандарт, 1978.
 4. Жуков А. А. Динамические нагрузки от молотковых дробилок роторного типа. ХИИКС.— «Научные труды». Вып. 1. Строительные кон струкцци. Харьков, 1962.
 5. Инструкция по расчету несущих конструкций промышленных зданий и сооружений на динамические нагрузки. М., Стройиздат 1970.
 6. Инструкция по определению динамических нагрузок от машин, устанавливаемых на перекрытиях промышленных зданий. М., Стройиздат, 1966.
 Г. Динамические нагрузки и вибрация центрифуг. Коренев Б. Г., Мартышкин В. С., Сысоев В. И., Шейнин И. С. — В кн.: Центрифугостроенне в СССР. М., 1963.
 8. Пособие по определению динамических нагрузок от машин сорно-обогатительных комбинатов и проектированию: поддерживающих, конструкций. Отчет ЦНИИСК им. Кучеренко Госстроя СССР/Под ред. А. И. Цейтлина. Иив. № во ВНИИцентре Б 374773.
 9. Пятецкий В. И., Марченко Г. А. О динамических нагрузках на фундаменты под мельницы самоизмельчения. — Труды. III конференции молодых ученых института. Уральский Промстройниипроект, 1971.
 10. Рекомендаций по уменьшению вреднЫх вибраций рабочих мест на предприятиях, железобетонных изделий. М., Стройиздат, 1972.
 11. Рекомендации по экспериментальному определению динамических характеристик машин
 предприятиями машиностроительной промышлениости/ЦНИИСК им. Кучеренко, М., 1972.
 12. Руководство по проектированию виброизоляций машин й оборудования. М., Стройиздат, 1972.
 13. СНиП П-Б.7-70. Строительные нормы и правила. Фундаменты машин с динамическими нагрузками. Нормы проектирования. М., Стройиздат, 1971.
 14. СНиП П-6-74. Строительные нормы и правила. Нормы, проектирования. Нагрузки и воздействия. М., Стройиздат, 1976.
 15. Сысоев В. И. Динамические нагрузки от металлорежущих станков. ЦНИИСК АСиА СССР. — В кн.: Колебания зданий и сооруженйй/Под ред. Б. Г. Коренева. М., Госстройнздат, 1963.
 16. Цейтлин А. И., Гусева Н. И. Статистические методы расчёта сооружений на групповые динамические воздействия. М., Стройиздат,
 1979.
 17. Шкуренко Н. С., Рахлин Ю. Б., Сургучёв В. Г. О колебаниях фундаментов стержневых и шаровых мельниц на горно-обогатительных комбинатах. — Основания, фундаменты и механика грунтов, 1970, № 5.
 18. Штейнвольф Л. И. Динамические расчеты машин и механизмов. М., Машгиз, 1961.
 19. Эпштейн Л. Ю., Сибирко В. П. Определение динамических нагрузок от центрифуг аналитическим способом. — В кн.: Колебания, зданий и сооруженнй/Под ред. Б. Г. Коренева. М., Госстройиздат, 1963.
 К РАЗДЕЛУ 3
 1. Афанасьев Н. М. Статистическая теория усталостной прочности металлов. Киев, изд. АН УССР, 1953.
 2. Абрамов С. К. Резонансные методы исследования динамических свойств пластмасс. Ростовна-Дону, 1978.
 3. Бабаков И. М. Теория колебаний. М., Наука, 5968.
 4. Болотин В. В. Статистические методы в строительной механике. М., Стройиздат, 1965.
 5. Ван Бюрен. Дефекты в кристаллах. М., ИЛ,
 1962.
 6. Когаев В. П. Расчеты из прочность при напряжениях переменных во времени. М.. Машиностроение 1977.
 7. Когаев В. П.. Шнейдерович Р. Н. Несущая способность и расчеты деталей машин на прочность. Справочные данные. — В кн.: Несущая способность и расчеты деталей машин на прочность. М., Машиностроение, 1975.
 8. Корчинский Й. Л.. Беченева Г. В, Прочность строительных материалов при динамических нагружениях. М.. Стройиздат, 1966.
 9. Михайлов К. В., Мулин Н. М., Мамедов Т. Н. О новых значениях расчетных сопротивлений арматурной стали — Бетон и железобетон,
 .. № 4, 1982;. :
 10. Об изменении и дополнении главы . СНиП П-21-75 — Бюллетень строительной техники, 1981, ,№9.; -
 И. Пановко Я. Г. Внутреннее трение при колебаниях упругих систем. М., Физматги'з. 1960.
 12. Писаренко Г. С.. Яковлев А. П., Матвеев В. В. Внбропоглощающие свойства конструкционных материалов. Справочник. Киёв, Наукоаа думка, 1971.
 13. Руководство по проектированию, предварительно-напряженных железобетонных конструкций из тяжелого бетона. М., Стройиздат,
 1972,
 14. Скоробогатов С. М. Основы теории расчета выносливости стержневой арматуры железобетонных конструкций. М., Стройиздат,,. 1972.
 15. Скучик Е. Простые и сложные колёбйтёльные системы. Пёр. с англ. М., Мир, 1971.
 16. СНиП 11-21-75. Нормы проёкт'мроЁйййй. Ёётонные и железобетонные конструкции. М., Стройиздат, 1976.
 17. СНиП П-23-81. Нормы проектирования Стальные койструкции М., Стройиздат, 1982.
 18. Сорокин Е. С. Метод учета неупругого сопротивления материала при расчёте конструкций на колебания. Исследования по._Дйнййике сооружений. ЦНЙПС. М.— Л., Стройиздат, 1951.
 19. Сорокин Е. С. Внутренние и внешние сопротивления при колебаниях твердых тел. Научное сообщение ЦНИИСК. М., ГосЬ’Ьройиздат, 1957.
 295

20. Сорокин Е. С. Динамический расчет несущих конструкций зданий. Госстройнздат, М., 1956.
 21. Сорокин Е. С. К теории внутреннего трения при колебаниях упругих систем. М., Госстройнздат, 1960;
 22. Сорокин Е. С. Переходный процесс в системе с внутренним трением при периодических силах.—Строительная механика и расчет сооружений, 1971, № 2.
 23. Тимошенко С. П. Колебания в инженерном деле. М., Физматгиз, 1959.
 24. Трощенко В. Т. Прочность металлов при переменных нагрузках, Киев, Иаукова думка,
 1978.
 25. СгапдаП й. Н. ТЪе го!е оГ батпртд т у{ЬгаНЬп 1Ьеогу. ,1. о! Зоипс! апс! УШгаоп. II, N 1, 1970.
 26. Лопез О. I. О. А гейисей {етрегаиге потогат Гог сЬагас1ег1гаиоп оГ с1атрт та{епа1 еЬауюиг. ЗЬоск апс! У1Ьга1лоп ВиПеНп. 48.
 Раг1 2. 1978.
 27. Реггу 3. Э. У1зсое1а5ис ргорегЛез о? ро1утегз. «Ьп \УШу апс! Зопз», Ке\у-Уогк, 1961.
 28. Ьагап В. Л. Оатрт§- 0? та{епа1з апс1 тетЬегз т з1;гис1ига1 тесЬаШсз. Регатоп Ргезз. Ох!огс1, 1968.
 29. 5по\уйоп Л. С. УШгаоп апс! ЗЬоск т с!атрёс1 тесЬатса! зузетз. «ЛоЬп \УН1еу апс1 Зопз», Ыеш-Уогк, 1968.
 К РАЗДЕЛУ 4
 1. Болотин В. В. Применение методов теории вероятностей и теории надежности в расчетах сооружений. М., Стройиздат, 1971.
 2. Инструкция по расчету несущих конструкций промышленных зданий и сооружений на динамические нагрузки. М., Стройиздат, 1970.
 3. Инструкция по расчету перекрытий на импульсивные нагрузки. М., Стройиздат, 1966.
 4. Инструкция по определению динамических нагрузок от машин, устанавливаемых на перекрытиях промышленных зданий. М., Стройиздат, 1966.
 5. Клаф Р., Пензиен Дж. Динамика сооружений. — М., Стройиздат, 1979.
 6. Коренев Б. Г., Пановко Я.' Г. Динамический расчет сооружений. — В кн.: Строительная механика в СССР. 1917—1967. М., Стройиздат
 1969.
 7. Максимов Л. С. Об изменении деления ма шин, оборудования и приборов на классы по чувствительности к колебаниям основания в Руководствах по расчету строительных конструкций на динамические нагрузки. — Научн. тр./ЦНИИСК., М., 1977. Теоретические и экспериментальные исследования в области динамики сооружений.
 8. Подольский В. Г. Вибрация конструкций при сухом трении между элементами. М., 1970.
 9. Рекомендации по проектированию оснований и фундаментов зданий и сооружений, возводимых в сейсмических районах. М.. Стройиздат, 1975.
 10. Сигалов А. Е. Практический метод расчета рам на колебания. — В кн. Строительная механика и конструкции. М., Стройиздат, 1957.
 11. СНиП П-6-74. Нормы проектирования. Нагрузки и воздействия. М., Стройиздат.
 12. Сорокин Е. С. Динамический расчет несущих конструкций зданий. М.. Госстройнздат, 1956.
 13. Тимошенко С. П. Колебания в инженерном деле. М., Физматгиз, 1967.
 14. Филиппов А. П. Колебания деформируемых систем. М., Машиностроение, 1970,
 15., Цейтлин А. И. О линейных моделях частотно-независимого внутреннего трения.— Изв. АН СССР, Механика твердого тела, 1978, № 3.
 16. Цейтлин А. И., Гусева Н. И. Статистические методы расчета сооружений на групповые динамические воздействия. М., Стройиздат,
 1979.
 К РАЗДЕЛУ 5
 1. Инструкция по расчету перекрытий на импульсивные нагрузки. М., Стройиздат, 1966.
 2.- Гольдсмит В. Удар. Пер. с англ. М., Стройиздат, 1965.
 3. Пановко Я. Г. Введение в теорию механического удара. М., Наука, 1977.
 4. Пензиек Дж., Клаф Р. В. Динамика сооружений. Пер. с анг. М., Стройиздат. 1979.
 5. Расчет сооружений на импульсивные воздействия/Рабинович И. М., Синицын А. П., Лужин О. В., Терении Б. М. М., Стройиздат,
 1970.
 6. Сорокин Е. С. К теории внутреннего трения при колебаниях упругих систем. М., Стройиздат, 1960.
 7. Сорокин Е. С. Основные предпосылки расчета . сооружений на импульсивные нагрузки. — Науч. тр./МИИТ. М.. Стройиздат, 1968, вып. 260. Вопросы прикладной механики.
 8. Сорокин Е. С. Переходный процесс в системе с внутренним трением при периодических силах.—Строительная механика и расчет сооружений, М., 1971, № 2.
 9. Сорокин Е. С. Элементарная теория импульсного резонанса. — Строительная механика и расчет сооружений. М., 1962, № 5.
 10. Зполуйоп I. С. УЛЬгаИоп апс1 зЬоск т с1атрес1 тесЬатса! зузетз «ЛоЬи ШШуапс1 Зоиз»,
 Уогк, 1968.
 К РАЗДЕЛУ 6
 1. Аграновский Г. Г. Результаты обследования сборных и сборно-монолитных фундаментов под машины. — Промышленное строительство, 1965, № 12.
 2. Баркан Д. Д. Динамика оснований и фундаментов. М., Стройвоенмориздат, 1948.
 3. Бородачев Н. М-. Вынужденные колебания жестких плит и массивов, лежащих на упругом полупространстве. — Основания, фундаменты и механика грунтов, 1966, № 1.
 4. Бородачев Н. М. Вертикальные колебания кругового штампа на упругом полупространстве. — Строительная механика и расчет сооружений, 1964, № 5.
 5. Горбунов-Посадов М. И. Расчет конструкций на упругом основании. М., Стройиздат, 1953.
 6. Забылин М. И. Экспериментальные исследования вибраций фундаментов под компрессоры.— Изв. вузов. Строительство и архитектура,
 1964, № 5.
 7. Ильичев В. А. Вертикальные нестационарные колебания массива под действием волн, возникающих в полупространстве прн колебаниях другого массива. — В кн.: Динамика сооружений. М., С-тройнздат, 1968.
 8. Ильичев В. А. К решению нестационарной контактной задачи о квадратном штампе, лежащем на упругом инерционном полупространстве. — В кн.: Исследования по теории сооружений. Вып. XVII, 1969.
 9. Ильичев В. А. О динамическом расчете фундаментов. — В кн.: НИИОСП № 67 «Основания и фундаменты прн сейсмических и динамических воздействиях». Стройиздат, 1976.
 10. Ильичев В. А. К оценке коэффициента демпфирования основания фундаментов, совершающих вертикальные колебания. — Основания, фундаменты и механика грунтов, 1981, № 5.
 11. О новой главе СНиП 11-19-79 «Фундаменты машин с динамическими нагрузками/Ильичев В. А., Баркан Д. Д., Шехтер О. Я., Голубцова М. Н. — Основания, фундаменты и механика грунтов, 1979, № 6.
 12. Ильичев В. А., Таранов В. Г. Экспериментальное изучение взаимодействия вертикально колеблющегося фундамента и его основания. — Основания, фундаменты и механика грунтов,
 1976, № 2.
 13. Инструкция по определению динамических нагрузок от машин. М., Стройиздат, 1965.
 14. Кац А. М. Вынужденные колебания при прохождении через резонанс, «Инженерный сборник» Ин-та механики АН СССР, т. 3, вып. 2
 1947.
 15. Коренев Б. Г., Пикулев Н. А., Шейнин И. С.
 ф методах уменьшения вибраций при прохождении через резонанс во время пуска и остановки оборудования.— В кн.: Колебания зданий и сооружений. М., Госстройнздат, 1963.
 16. Савинов О. А. Современные конструкции фундаментов под машины и их расчет. М., Стройиздат, 1979.
 17. Фундаменты машин с дииамическнми нагрузками. Нормы проектирования. СНиП П-19-79. М., Стройиздат, 1980.
 18. Шейнин И. С. О пусковых резонансах и линейных системах. — В кн.: Исследования по динамике сооружений и расчету конструкций на упругом основании. М., Госстройнздат, 196!..
 19. Шехтер О. Я. Об учете ииерциоиных свойств грунтов при расчете вертикальных вынужденных колебаний массивных фундаментов. Труды НИИ оснований. Стройвоенмориздат, 1948.
 К РАЗДЕЛУ 7
 1. Ананьев И. В., Тимофеев П. Г. Колебания упругих систем в авиационных конструкциях и их демпфирование. М., Машиностроение,1
 1965.
 2. Бабаев Н. Н. О поперечных колебаниях стержня переменного сечения с учетом деформа¬
 296

ций сдвига и сш: внутреннего неупругого сопротивления. Инж. сб., т. 22. Изд-во АН СССР, 1955,
 3. Бабаков И. М. Теория колебании. М., Гостехтеоретиздат, 1958.
 4. Безухов Н. И., Лужни О. В. Устойчивость и динамика сооружений в примерах п задачах. М., Госстройиздат, 1963.
 5. Белоус А. А. Колебания и статическая устойчивость плоских н пространственных рам. — В кн.: Расчет пространственных конструкций, вып. Ш. М., Госстройиздат, 1955.
 6. Бернштейн С. А. Основы динамики сооружений. М., Госстройиздат, 1941.
 7. Бернштейн С. А., Керопян К. К. Определение частот колебаний стержневых систем методом
 . спектральной функции. М., Госстройиздат, 1960.
 8. Болотин В. В. Динамическая устойчивость упругих систем. М., Гостехтеоретиздат, 1956.
 9. Болотин В. В. Параметрические колебания упругих систем. — В гл. 6, кн.: Прочность, устойчивость, колебания./Под ред. И. А. Биргера, Я.. Г. Пановко. М., Машиностроение, 1968.
 10. Бондарь Н. Г. Устойчивость и колебания параболических арок. Инж. сб., т. XIII. Изд-во АН СССР, ОТН, 1952.
 11. Булгаков Б. В. Колебания. М., Гостехтеоретиздат, 1954.
 12. Власов В. 3. Тонкостенные упругие стержни. Избранные труды, т. II. Изд-во АН СССР,
 1963.
 13. Вибрации в технике. Справочник, т. I. Колебания линейных систем./Под ред. Болотина В. В. М., Машиностроение, 1978.
 14. Воронцов Г. В. Свободные и вынужденные колебания стержней и рам. Новочеркасский политехнический институт, 1963.
 15. Гольденблат И. И. Динамическая устойчивость сооружений. М., Госстройиздат, 1948.
 16. Гольденблат И. И., Сизов А. М. Справочник по расчету строительных конструкций на устойчивость и колебания. М., Госстройиздат,
 17. Гогенемзер К., Прагер В. Динамика сооружений. ОНТИ, 1936.
 18. Дондошанский В, К. Расчет колебаний на электронных вычислительных машинах. М. — Л., Машиностроение, 1965.
 19. Завриев К. С. Динамика сооружений. М., Транжелдориздат, 1946.
 20. Ивович В. А. Переходные матрицы в динамике упругих систем. М., Машгиз, 1969.
 21. Инструкция по проектированию и расчету несущих конструкций зданий под машины с динамическими нагрузками (И 200-54) (МСПМХП). М., Госстройиздат, 1955.
 22. Инструкция по расчету перекрытий на импульсивные нагрузки. М., Стройиздат, 1966.
 23. Инструкция по расчету покрытий промышленных зданий, воспринимающих динамические нагрузки. М., Стройиздат, 1967.
 24. Инструкция по мерам борьбы с вибрационными воздействиями технологического оборудования при проектировании зданий и сооружений промышленности нерудных строительных материалов. М., Стройиздат, 1968.
 25. Инструкция по расчету несущих конструкций промышленных зданий и сооружений на динамические нагрузки. М., Стройиздат, 1970.
 26. Кин Н. Тонг. Колебания механических систем. М., Машиностроение, 1964.
 27. Киселев В. А. Строительная механика. Специальный курс. М., Стройиздат, 1964.
 28. Колоушев В. Динамика строительных конструкций. М., Стройиздат, 1965.
 29. Коренев Б. Г- Некоторые задачи теории упругости и теплопроводности, решаемые в бесселевых функциях. М.. Фнзматгиз, 1960.
 30. Коренев Б. Г., Пановко Я. Г. Динамический расчет сооружений. — В кн.: Строительная механика в СССР. 1917—1967./Под ред. И. М. Рабиновича. М., Стройиздат, 1969.
 31. Коренев Б. Г., Сысоев В. И. Динамика сооружений. Справочник проектировщика промышленных, жилых и общественных здании и сооружений. Расчетно-теоретическнй/Под ред.
 А. А. Уманского. Госстройиздат, 1960.
 32. Корчинскнй И. Л. Расчет строительных конструкций на вибрационную нагрузку. М., Стройиздат, 1948.
 33. Крылов А. Н. Вибрация судов, т, X. Изд-во АН СССР, 1948.
 34. Курдюмоп А. А. Вибрации корабля. М.. Судпромги:-!, 1954.
 35. Лисовский А. Колебания прямых стержней и рам. Пер. с польского./Под ред. И. Л. Корчииского. М., Госстройиздат, 1961.
 36. Лурье А. И. Методы динамического расчета сооружений. Справочник инженера-проектировщика промсооружений. Расчетно-теоретическый, т. II, М., Госстройиздат, 1934.
 37. Масленников А. М. Расчет статически неопределимых систем в матричной форме. Л., Стройиздат, ,1970.
 38. Мишина А. П., Проскуряков И. В. Высшая алгебра./Под ред. П. К- Рашевского. Справочная математическая библиотека. М., Физматгиз, 1962.
 39. Новацкий В. Динамика сооружений. М., Госстройиздат, 1963.
 40. Нудельман Я. Л. Методы определения собственных частот и критических сил для стержневых систем. М., Гостехиздат, 1949.
 41. Пальмов В. Ам Первозванский А. А. О вычислительных особенностях матричных методов расчета колебаний.—В кн.: Динамика и прочность машин. — М.—Л., Машгиз. 1960.
 42. Пановко Я. Г. Основы прикладной теории упругих колебаний. М., Машиностроение, 1967.
 43. Пановко Я. Г. Свободные и вынужденные колебания стержней и стержневых систем. — В кн.: Прочность, устойчивость колебания, т. З./Под ред. И. А. Биргепа, Я- Г. Пановко. М., Машиностроение, 1968.
 44. Прокофьев И. П., Смирнов А. Ф. Теория сооружений, ч. III, М., Трансжелдориздат, 1948.
 45. Рабинович И. М. Курс строительной механики. т. I, II. М., Госстройиздат, 1954
 46. Рабинович И. М. Основы динамического расчета сооружений на действие кратковременных и мгновенных сил. М., ВИА, 1952.
 47. Резников Л. М. Об учете внутреннего неупругого сопротивления при исследовании случайных колебаний конструкций. — Строительная механика и расчет сооружений, 1974, № 4.
 48. Смирнов А. Ф. Устойчивость и колебания сооружений. М., Транжелдориздат, 1958.
 49. Смирнов А. Ф. Статическая и динамическая устойчивость сооружений. М., Транжелдорнздат, 1947.
 50. Смирнов А. Ф., Александров А. В., Шапошников Н. Н., Лащеников Б. Я. Расчет сооружений с применением вычислительных машин. М., Стройиздат, 1964.
 51. Снитко Н. К. Методы расчета сооружений на вибрацию и удар. М., Госстройиздат, 1953.
 52. Снитко Н. К. Динамика сооружений. М., Госстройиздат, 1960.
 53. Сорокин Е. С. Динамика междуэтажных перекрытий. М., Госстройиздат, 1941.
 54. Сорокин Е. С. Метод учета неупругого сопротивления материала при расчете конструкций на колебания. — В кн.: Исследования по динамике сооружений./Под ред. Б. Г. Коренева. М., Госстройиздат, 1951.
 55. Сорокин Е. С. Динамический расчет несущих конструкций зданий. М., Госстройиздат, 1956.
 56. Сорокин Е. С. Переходный процесс в системе с внутренним трением при периодических силах. — Строительная механика и расчет сооружений, 1971, № 2.
 57. Сорокин Е. С. О некоторых новых концепциях и ревизиях в теории внутреннего трения.— Труды (Сб. тр., Науч. тр.)/МИИТ, М., 1971, вып. 343.
 58. Сорокин Е. С., Кочнева Л. Ф. Интегральная связь напряжения с деформацией в материалах с частотно-независимым внутренним трением. —- Труды (Сб. тр., Науч. тр.)/МИИТ, М.,
 1973, вып. 448.
 59. Сорокин Е. С., Муравский Г. Б. Об учете упругих несовершенств материалов методами теории наследственной упругости. — Строительная механика и расчет сооружений, 1975, № 4.
 60. Справочник по динамике сооружений./Под ред. Б. Г. Коренева, И. М. Рабиновича (1-е издание). М., Стройиздат, 1972.
 61. Тимошенко С. П. Колебания е инженерном деле. М., Наука, 1967.
 62. Троицкий В. А. Матричные методы расчета колебаний стержневых систем. В кн.: Динамика и прочность машин. М. — Л., Машгиз,
 1960.
 63. Фаддеев Д. К., Фаддеева В. Н. Вычислительные методы линейной алгебры. М., Физматгиз, 1960.
 64. Филиппов А. П. Колебания деформируемых систем. М., Машиностроение, 1970.
 297

65. Цейтлин А. И.. Гармонические колебания одиомассовой системы со случайными ' характеристиками — Труды (Сб. тр., Науч. тр.)/М., ЦНИИСК, 1971, вып. 47.
 66. Цейтлин А. И. Линейная модель идеального частотно-независимого внутреннего ’ трёния. — Строительная механика и расчет сооружении.
 1977, № 2. •
 67. Цейтлин А. И. О линейных моделях частотнонезависимого внутреннего трения.’ —' Изв. АН СССР, Механика'твердого тела,:Ч978, № 3.
 68. Цейтлин А. И., Гусева Н. И. Статистические методы расчета сооружений на групповые динамические воздействия,"ЦНИИСК. М;, :6трок.издат, 1979.
 69. Цейтлин А. И., Плотников Ю. Г. Свободные колебания системы с частотно-незаЪнсймьш внутренним трением. — Строительная "механика и расчет сооружений, 1979, № К
 70. Чудновский В. Г. Методы расчета колебаний и - устойчивости стержневых систем. 'Киев, АН УССР 1959
 71. В1зЬр К. Ё. О., С1ас1пе11 О. М. Ь., М1сЬае1зоп 5.
 ТЬе таШх апа1уз1з о? уНэгаНоп.’ ;СашЬг1(1]‘е, Цту. Ргезз, 1965. 1
 К РАЗДЕЛУ 8
 Болотин В. В., Москаленко В. Н. Колебания пластинок. Справочник «Прочность, устойчивость, колебания», т. 3. М;, Машиностроение,
 1968.
 Болотин В. В. и др. Асимптотический метод исследования спектра собственных частот ‘упругих пластинок. — В кн.: Расчеты на проч¬
 ность, вып; 6. М., Машгиз, 1960.
 Вайнберг Д. В. Справочник по прочности, устойчивости и колебаниям пластин. Киев, -Буд1вельник, 1973. " ' г
 Вольмнр А. С. Гибкие пластинки и оболочки.
 - ГИТТЛ, 1956. '' ''
 Гликман Б. Т. Свободные колебания круглой пластинки со смешанными граничными' условиями.—Изв. АН СССР1.'«Механика твердого тела», 1972, № 1. ! 1 “
 Гонткевич В. С. Собственные колебания пластинок и оболочек. Киев, Наукова’думка, 1964. -Инструкция по расчету несущих конструкций промышленных зданий и сооружений 'на динамические нагрузки. М., Стройиздат, 1970. Канторович Л. В., Крылов В. И. Приближенные методы высшего анализа.'Г.ИТТЛ, 1952. Коренев -Б. Г. Некоторые задачи теории упругости и теплопроводности,' решаемые' в бесселевых функциях. М., Физматгиз, 1960. ЛехницкиЙ С. Т. Анизотропные пластинки. ГИТТЛ, 1957.
 Локщин А. Ш. Прямоугольные пластинки, подкрепленные ребрами. ПММ, 1935» № й. Лурье А. И. Операционное исчисление и его приложения к задачам механики. 'М.,' Гбстехиздат, 1950. ' ! ' ' ” '
 Мак —Лахлан. Теория и приложения функций Матье. ИЛ, 1954.
 Новацкий В. Динамика сооружений. М., Госстройиздат, 1963. 1
 Огибалов П. М., Колтунов М. А. Оболочки и пластины. Изд-во МГУ, 1969.
 Сахаров И. Е. Динамические жесткости в теории осесимметричных колебаний "круглых и кольцевых’ пластинок, — Изв. :':АН ' СССР, «Механика», № 5. 19591"
 Снеддон И. Преобразования Фурье. ИЛ, 1955. Сорокин Е. С. Динамический' расчет'несущих конструкций зданий М., "Госстррййздат,' 1956. Тимошенко С. П.. Войновскйй-‘К|энгер : С. Пластинки и оболочки. М., 'Физматгиз,'" 193. ' Томсон О. И. Экспериментальные исследования колебаний бёзба'л очных перекрытий. — В сб.: Исследования ''по '"динамике''сооружений. М., Госстройиз’дат,' 1951.
 Филиппов А. П. Колебания деформируемых систем. М., Машиностроение, 1970.
 Цейтлин А. И. Интегральные преобразования, связанные с бигармонической проблемой на полуплоскости и полупространстве и их применение к задачам теории упругости. — Изв. АН . СССР, ОТН. «Механика», № 1, 1965. Цейтлин А. И. Метод дельта-преобразования. Инженерные проблемы строительной механики. Межвузовский сб. науч. трудов, т. ”1, М.,
 10.
 11. 12.
 13.
 14.
 15.
 16.
 17.
 13.
 19.
 20.
 21.
 22.
 23.
 24. 25
 1980.
 Янке Е., Эмде Фм Леш Ф. Специальные функции, формулы, графики, таблицы.’ М., Наука
 1964. - Ваг1оп. М. V, УИэгаоп о? гесипегЫаг алс)
 зке\У сапШеуег р1а{ез, Д. о! АРМ, 1951: 18 Лрв 1.
 26. В1апс.К О. Ыо1ез оп гегоз о[ I (х)1 ,-,(х) +
 пх ' п+Г
 . . , Ла:)/ (.т)0. МаЪетаМса! !аЫез апй
 + п
 о11пег аШез о сотриШшп. 1952, 6 № 37.
 27. Сагп'поп Н. ТЬе ?геиепсе5 оГ у1ЬгаИоп о? Лй с1гси1аг р1а{е5 Пхей 1Ье с1гситГегепсе.
 Ма§\, 1925, V. 50, № 6.
 28. Сох Н., Вохег V. УПэгайоп о? 1Ье сотеггз. Аегол. 2иаг., 1960, И № 1.
 29. Натайа М., Копдо Н. УЦэгаоп о? с1атрес1 рага1|е]о|ггатгтк ]зо!горЛс р!а1ез. Симане дайгаку'роисю. 1957, 24 № 7.
 30. Назеалуа М. УШгаНоп о! с!атрес1 рага!1е!оётатШгк 15о1;ор1к р1а1ез Л. о Аегоп. 5сь 1957, 2, № 2.
 31. Каи1 К. К., СайатЬе V. ТЬе па!ига1 {геяиепыез о! Шт зке\у р1а1ез Аегоп. Оиаг, 1956, 74, р. 337. •
 32. К1еГп В. Ыа1:ига1 еиепсез о? сопз1ап1: 1:Ыскпез5 сапШеуег Папи1аг р!аез оГ агЬиг-. агу р1ап !огт. Л. Коу. Аегоп. 5ос. 1956, V. 60, 544. ’
 33. МшсШп К. О. 1пИиепсе о! гоа1огу тегНа апд зЬеаг оп Яехига! шо1:1оп о? 15о1хор1с е1азс рГаёз. Лоигп. Арр1. МесЬ., 1951, 18, № 1.
 34. МзЫттига Т. 5{исНез оп уЦэгаИоп ргоЫешз
 оГ На! р,1а1;ез Ьу теапз о! сНПегепсе са1си1из. '
 Ргос. 3-гс1 Уарап Ыа1:. Сопег. 1ог Арр1. МесН.
 1953, р. 457.
 3[э. Одшап 5. Т. А. ЗисИез о! Ьоипйагу уа1ие
 • ргоЫешз, раг! II. СЬагас1епзгс Гипсопз оГ
 гес!апи1аг р1аез. 5у. Рогзк. 1пз!. 1о сеш. асЬ.
 Ье1 51оскЬо1т, 1955.
 36. ЗЫЬаока О. Оп 1Ье 1гапзуегзе уНэгаНоп о! ап е111р|:1с р1а{е луНЬ с1агпрес1 ес1е. Лоигп. РЬуз. Зое. Ларап. 1956, II, №7. "
 К РАЗДЕЛУ 9
 1. Болотин В. В. Краевой эффект при колебаниях упругих оболочек. ПММ, 1960, 24, № 5.
 2. Бреславский В. Е, О колебаниях цилиндрических оболочек. «Инженерный сборник», 16,
 1953.
 3. Бреславский В. Е. Собственные колебания круговой цилиндрической оболочки, находящейся под действием гидростатического' давления. — Изв. АН СССР. ОТН, 1956, № 12.
 4. Власов В. 3. Общая теория оболочек и ее приложение в технике. Избранные труды,, т. I. Изд-во АН СССР, 1962.
 5. Галимов Н. К., Саченков А. В. Определение частот свободных колебаний и устойчивости пологих трехслойных пластин. — В кн.: Исследования по теории пластин и оболочек, Казань, КГУ, 1965, № 3.
 6. Гонткевич В. С. Собственные колебания пластин и оболочек. Киев, Наукова думка, 1964,. стр. 172—178.
 8. Кондратов Н. С. Ннжкгге оценки собственных частот круговых цилиндрических оболочек. — В кн.: Прочность и динамика авиационных двигателей. М., Машиностроение, 1966, 4.
 9. «Лужин О. В, Динамический расчет сферического купола с защемленным краем. Вестник трудов ВИА, 178, 1961.
 10. Лужин О. В. Некоторые вопросы динамики замкнутой сферы.—В кн.: Исследования по теории сооружений, вып. XV. М., Стройиздат, 1967.
 11. Назаров Н. А. О колебаниях пологих оболочек, подкрепленных ребрами жесткости. — «Пршсл. механика», 1965, 1, № 3.
 12. Неронов В. С. К определению частот собствен¬
 ных колебаний сферических куполов с ‘защемленным краем. — Стхштельиая механика и расчет сооружений, 1968 № 3. ' ' :
 13. Никулин М. В. Собственные колебания глад¬
 кой и конструктивно анизотропных ЦПЛННДрИг ческих оболочек при налнчии статических нагрузок. — В кн.: Прочность и динамика авиационных двигателей, вып. 2, М., Оборонгиз,
 1965. ' -
 14. Ониашвили О. Д. Некоторые динамические
 задачи теории оболочек Изд-во АН СССР, 1957. ’ -
 15. Ониашвили О. Д. Динамика оболочек. — В кн.: Строительная механика в СССР. 1917—1967. М., Стройиздат, 1‘969.
 16. Поверж Л, Ю., Ряямат Р. К. Малые неосесимметричные собственные колебания упругих тонких конических я цилиндрических оболочек вращения. Труды Таллинского политехнического ин-та, сер. А, № 147, 1958.
 298

17. Пратусевич Я. А. Приложение вариационных методов к расчету тонких пологих оболочек. Труды МИИТ, вып. 164, 1963.
 18. Прусаков А. П., Холод А. И. Свободные поперечные колебания трехслойной круговой цилиндрической оболочкн с жестким заполнителем. — В кн.: Сопротивление 'материалов и теория сооружений, вып. 1. Киев, 1665'. ‘
 19. Рапопорт Л. Д., Ясин Э. М. Определение частот собственных колебаний гофрированных круговых цилиндрических оболочек. — В кн.: Прочность и динамика авиационных двигателей, вып. 2. Машиностроение, 1965.
 20. Рахимов И. С. Влияние осевых..усилий и нормального давления на свободные колебания Цилиндрических " оболочек. Изв. вузов, № 8. М., Машиностроение, 1964.
 21. Саченков А. В. Определение частот свободных
 колебаний ортотропных пологих оболочек на основе анологий.— В кн.»: Исследования по
 теории пластин и оболочек», № 3, Казань, КГУ, 1965.
 23. Слепов Б. И. Колебания и устойчивость эллиптической оболочки. Изв. АН СССР, Механика и машиностроение, 1964, № 3.
 24. Сувернев В. Г. Некоторые задачи колебаний трехслойных оболочек. — В кн.: Теория оболочек и пластин. Баку, 1966.
 25. Сувернев В. Г. Собственные колебания трехслойных сферических оболочек со свободно опертыми и защемленными кромками. — В кн.: Расчет элементов авиационных конструкций, вып. 3. Машиностроение, 1965.
 26. Товстик П. Е. Об определении наименьшей частоты колебаний конической оболочки вращения.— В кн.: Исследования по упругости и пластичности, 6, Л., ЛГУ, 1967.
 27. Толоке В. А. К, исследованию свободных колебаний 1 цилиндрической оболочки. Изв. АН УзбССР, сер. техн., 1964, № 5.
 28. Трапезин И. И., Кольман Э. Р. Свободные колебания тонкой конической оболочки, находящейся в среде сжатого газа. Изв. вузов, № 5. М., Машиностроение, 1965.
 29. Якушев Н. 3. Колебания цилиндрических: оболочек средней толщйны. — В кн.: Исследование по теории пластин и оболочек. № 3. Казань, КГУ, 1965.
 30. 51нгуразов Ш. X. Определение частот свободных колебаний тороидальных покрытий. — В кн.: Вопросы механики, вып. 4. Ташкент, 1966.1
 31. АгпрЫ К. N.. УагЪи1оп О. В. ТЬе Нехига1 \пЬга1юп о! Ып суНпйегз. Ргос. о? Ье 1пз1. о? МесВ. Еп&гз, 1953/А.у. 167, п. 1.
 32. Вагоп М. Ь., В1е1сЬ Н. Н. ТаЫез ?ог Ггедиепсь ез апй шодез о! !гее уШгаИоп о? гпПпеЫх 1оп Шп суНпйпса! зЪеНз. Лоигпа! о{ Арр1. МесЬ., у. 21, 1954, п. 2.
 33. Сагпе Н., Кешрпег I. АхтззуттеЫс 1гее У1ЪгаНопз оЕ сопеса! зЬе11з. Тгапз. А5МЕ, 1964, Е 31, п. 3.
 34. РогзЬег К. 1пИиепз о? Ьоипйап сопсШюпз оп Ьетпос11е сЬагасепзИсз о? Ш1п суНпёпса! зЬе11з. А1АА .1оигпа1, 1964, 2 п. 12.
 35. Огеепзроп. УШгайопз о? Шск у/аИес! суНпЛг!са! зЬе11. Л. Асоиз!. Зое. АтпеНса, 1960, V. 32, п. 1.
 36. Н\уапд С. Ех1епзюп у1Ьга11опз оГ ах15зутте{Г1са1 зЬеПз. А1АА Лоигпа1, 1965, V. 3, п: 1.
 37. .!опе5 Л. Р., №Ш1ег 1. 5. Ах1а11у зуппеЫк тоЙоп о? а чуо]ауег Т1гпозЬепко {уре суПлс!пса1 зЬе11. Тгапз. АЗМЕ, 1966, Е 33, п. 4.
 38. Ка1шпз А. Ргее уЬгаНоп о? го1аИопа11у зугпте1:пс зЬеПз. I. Асоиз!;. Зое. Атепса. 1964,
 36, п. 7.
 39. Ыертз А. А. Ргее уПэгаИопз о! ргез!геззей {ого!1а1 шетЬгапе. А1АА Лоигпа!, 1865, 3 п. 10.
 40. Магигк!е\у1с2 2. ЗаШ апс! йупагтез о? зЬе11 1П а {огт о{ ЬурегЪоПс рагаЪа1о1с1, АгсЬ. МесЬ. зозолуап.), 1965, 17, п. 3.
 41. №&ЬсП Р. М. Оп ТЬе {Ьеогу о? 1Шп е1азис зЬёНз. С2иаг1ег1у о! арр1. таЬетаисз, 1957, у. 14.
 42. №тег|и1 Р. I., ВгапЗ Д. 5. Ах15уттепс у1ЬгаИопз о? рго1ае зрЬеплда! зЬеПз. Л. Асоиз. Зое. АшегМса, 1965, 38, п. 2.
 43. ЧУИктзоп Л. Р. Ыа1;ига1 Ггедипсез о? с1озеё зр11г1са1 зЬеИз. Л. Асоиз. Зое. АтеНса, 1965,
 38, п. 2.
 44. 2аг§Натее М. 5., КоЫпзоп А. К. А питег1са! ' теЬос! Гог апа1уз15 оГ {гее уШгаоп оГ зрЬеп’-
 са! зЬеНз. А1АА Лоигпа!, 1867, 5, п. 7.
 К РАЗДЕЛУ 10
 1. Анапольская Л. Е., Гандин Л. С. Режим больших скоростей ветра на территории СССР' для учета ветровых нагрузок на сооружения; Вопросы прикладной климатологии’, -г- Л.," Гидрометеоиздат, 1966.
 2. Барштейн М. Ф. Воздействие ветра на высокие сооружения. — Строительная механика' а расчет сооружений, 1959, 9 1.'
 3. Барштейн М. Ф. Воздействие ветра на здания и сооружения. Труды ЦНИИСК, вып. 21, 1973.
 4. Барштейн М. Ф. Некоторые вопросы динамического расчета высоких сооружений на действие ветра. — Труды конференции по аэродинамике и аэроупругости высоких строительных сооружений. Изд. ЦАГИ| 1974.
 5. Барштейн М. Ф. Ветровая нагрузка на здания и сооружения.—Строительная ' механика и расчет сооружений, 1974, № 4.
 6. Барштейн М. Ф. Динамический расчет высоких зданий на действие ветра. — Строительная механика и расчет сооружений, 1974, № 6.'
 7. Барштейн М. Ф., Бернштейн А. С» Днналшка мачт на вантах при действии ветра. — Труды ЦНИИСК, вып. 56, М., 1975.
 8. Барштейн М. Ф., Бернштейн А. С. Воздействие
 ветра на линейно-протяженные сооружения. ТруДы конференции по динамике строительных конструкций. Братислава, 1977. ' “
 9. Болотин В. В. Применение методов теории вероятностей в теории надежности и1 расчета сооружений. М., Стройиздат, 1971.
 10. Борисенко М. М. Вертикальные профили, ветра и температуры в нижних слоях атмосферы. — Труды Главной Геофизической обсерватории им. В. А. Воейкова, № 320, 1974;
 И. Винниченко Н. К., Пинус Н. 3., Шметер С. М., Щур Г. Н. Турбулентность в свободной атмосфере. ' }
 12. Гумбель Э. Статистика экстремальных значений. М., Мир, 19651
 13. Заварина М. В. Расчетные скорости ветра на высотах нижнего слоя атмосферы. Л.1, Гидрометеоиздат, }971.
 14. Иванов В. Нм Мазурин Н. Ф. Некоторые турбулентные характеристики йЪгрЙничного слоя атмосферы, используемые в прикладных задачах. — Труды (сб. тр., Науч. тр.)/ЦАГИ, 1974.
 15. Инструкция по проектированию железобетонных дымовых труб. М., Стройиздат, 1962.
 16. 1(лепиков Л. В. Статистический' анализ данных о' скорости ветра в ’различных районах СССР. — Труды (сб. тр., Науч. тр)/ЦНИИСК. М.. Стройиздат, 1976, (вып. 42).
 17. Клепиков Л. В., Отставйов В. А. Определения нагрузок при расчете ’ строительный конструкций. — Строительная механика и расчет сооружений, 1962, № 5.
 18. Климатологический справочник СССР, часть
 III, Л.,!ГйдрометёоиЗда1т, 1967.
 19. Колмогоров А. Н. Локальная структура турбу¬
 лентности в несжимаемой йшдкостй при очень больших числах’ Рейнбльдса ДАН СССР, т. 30, № 4, 1941. ;
 20. Ламли Д., Пановский Г. Структура атмосферной турбулентйостй,чМ., Мир, 1966. •'
 21. Монин А. С. Структура атмосферной турбулентности. Теория вероятностей и ее приложения. 1.Ш, вып. 5. М., АН СССР, 1958.
 22. Новожилов В. В. Теория тонких оболочек, Л., Судпромиздат, 1962.
 23. Ониашвилн О. Ж. Некоторые динамические задачи'теории оболочек. Мм: АН СССР, 1957.
 24. Руководство по расчету зданий и сооружении
 на действие ветра. М., Стройиздат, 1978. ' :
 25. Савицкий Г. А. Расчет антенных сооружении.
 М., Связьиздат, 1978.' ! • ■ : - ;
 26. СНиП П-6-74. Нагрузки и воздействия. Нормы проектирования. М., Стройиздат! 1976. 'г
 27. Соколов А. Г. Мёталлические конструкции антенных устройств. М., Стройиздат, 1971. :
 28. Царицына Н. Вм Самокиш Б. А. Построение
 неосесимметричных собственных форм ' оболочек' вращения методом конечных элементов. ВНИИГ/т. 103. М., 1973. ;
 29. Саг1ег К. Ь., иоЬ!пзоп А. К. апй ЗсЬпоЬ. псЬ \У. С. Ргее УПэгаНопз о? НурегЬо1о’1(1а1
 ЗИ'е11з о[ КеуоЫИоп. Л. Еп. МесЬ. Е)1У. АЗСЕ, Ос1. 1969.
 30. Сгашег Н. Е. Меазигешепз о? ТигЬи1епсе 31гис1иге Кеаг ОгоиРс!' \уИЫп Ше Ргециёпсу Кап•е Ггогп 0,5 1о 0,01 Сус1ез Зес . Айуапсез 1П ОеорЬуз1С5. Асас1етшс Ргезз, Ые\у Уогк, 1959.
 31. Бауепрог! А. С. ТЬе Кезропзе о? 31епс1ег Ы-
 пе—Ыке Згисигез 1:о а Оиз1:у Ргос.
 1пз. оГ С1уП Еп1пеегз, ЬопЙоп, у.-23, 1962.
 32. Вауепрог А. С. ТЬе Оерепйепсе о? №тс! Ьо-
 29Э

аЙ5 оп Ме{еого1о§1са1 Рагагпегез. Ргос. о! 1л1ег. Кез. ЗепНпаг о? Мпс! ЕИесЕз оп ВиП' сНпз апй З’ЬгисЬигез. ОНауа. 1967.
 33. ОауепроН: А. О. Оиз1 ЬоасПпё- Расогз. Л. о? Ше 5гис1ига1 ОМзшл. Ргос. АЗСЕ, 1967.
 34. ОисЬепе—МагиИаг. РиИ—Зса1е Меазигетепз о! АтозрЬепс ТигЬи1епз т а ЗиЬигЪап Агеа. Ргос. о! Яае РоигШ. 1п1ег. Солегелсе о{ АУтй ЕГ?есз оп ВшШпе апс! 31гис1игез. [-опйоп, 1975.
 35. НазЫзЪ М. О. ап1 АЬи—ЗШа 5. Н. Ргее У№гаНопз о! НуреегЬоНс СооИпд Точуегз. Л. ЕпеМесЪ. 01у. А5СЕ, Арп1, 1971.
 36. НазЫзЬ М. О. ап1 АЬи—ЗШа 5. Н. Незропзе
 • о? НурегЬоПс СооНп§ То\уегз 1о ТигЬи1еп1
 №1л3. Л. о? 1Ье 31гисига1 01У1зтп АЗСЕ, уо!.
 37. Шло М. 5рес1гиш о! ёГиз{у \Утё. Ргос о? ТЫгс] 1п1ег. Соп?егепсе оп Шпс1 ЕНес1з оп ВиПсНп§5 алс1 51;гис1игез. Токуо, 1971.
 38. Ка1ша1 Л. С. \Ууп§аап1, 12игш V. апс! Сое О. К. Бреста! СЪагасеНзКсз о? Зигасе—Ьауег ТигЬи1епсе. (Зиаг1. Л. Коу. Ме. Зое. 98, 1972.
 39. Та11 ВиПсИп#. СгЙеНа апс! 1-оасНп§. Уо1. СЬ. СЬар1ег 7, Штй ЬоаШлв апй Штй ЕИес1:з,
 1975.
 40. Уап йег Ноуеп Л. Роег Зресгит оГ Ног!гоп-
 Ш Зреед т Ш Ргеяиепсу Кап&е ?гот
 0.0007 1о 900 Сус1ез рег Ноиг. Л. оГ Ме1., у. 14, 1957.
 41. УЧскегу В, I. Л,оай Р1ис1иаИолз т ТигЬи1ел1 Р1о\у. Л. о{ {Ъе Еп- МесЬ. Охугзшл. Ргос. АЗСЕ, РеЬг. 1968.
 К РАЗДЕЛУ и
 1. Болотин В. В. Динамическая устойчивость упругих систем. ГИТТЛ, 1956.
 2. Вольмир А. С. Гибкие пластинки и оболочки. М., Техтеоретиздат, 1956.
 3. Гольденблат И. И. Динамическая устойчивость сооружений. М., Стройиздат, 1948.
 • 4. Коренев Б. Г. Некоторые задачи теории упрутости и теплопроводности, решаемые в бесселевых функциях. М., Физматгиз, 1960.
 5. Лилеев А. Ф., Селезнева Е. Н. Методы расче-
 та пространственных вантовых систем. М., Стройиздат, 1964. ,
 6. Попов Н. Н., Расторгуев Б. С. Динамический расчет висячих конструкций. М., Стройиздат,
 1966.
 7. Рабинович И. М., Синицын А. П., Лужин О. В., Терении Б. М. Расчет сооружений на импульсивные воздействия. М., Стройиздат, 1970.
 8. Сегал Б. И., Семендяев Е. А. Пятизначные математические таблицы. М.—Л., АН СССР,
 1948.
 9. Снкорскнй Ю. С. Элементы теории эллиптн. ческих функций с приложениями к механике.
 ОНТИ. М.—Л., 1936.
 10. Смирнов В. А. Висячие мосты больших пролетов. М.. Высшая школа,1970.
 11. Ивович В. А. Динамический расчет висячих конструкций. М., Стройиздат, 1975.
 К РАЗДЕЛУ 12
 1. Голоскоков Е. Г., Филиппов А. П. Нестационарные колебания деформируемых систем. Киев, Наукова думка, 1977,
 2. Кохманюк С. С., Ольшанский В. П. Исследо¬
 вание взаимодействия между движущимися телами с учетом местных деформаций в зоне контакта. — В кн.: Исследование по теории
 сооружений, вып. 21. М., Стройиздат, 1975.
 3. Кохманюк С. С., Янготин Е. Г., Романенко Л. Г. Колебания деформируемых систем при импульсных и подвижных нагрузках. Киев, Наукова думка, 1980.
 4. Крылов В, И., Шульгина Л. Г. Справочная книга по численному интегрированию. М., Наука, 1966.
 5. Справочник по динамике сооруженнй/Под • ред. Б. Г. Коренева, И. М. Рабиновича. М., Строй-
 • издат, 1972
 6. Тимошенко С. П. Колебания в инженерном деле. М.. Физматгиз, 1959.
 7. Филиппов А. П., Кохманюк С С. Динамическое воздействие подвижных нагруаок на стержни. Киев, Наукова думка, 1967.
 8. Филиппов А. П. Колебания деформируемых систем. М., Машиностроение, 1970.
 9. Филиппов А. П.. Кохманюк С. С., Воробьев Ю. С. Воздействие динамических нагрузок
 на элементы конструкций. Киев, Наукова думка, 1974.
 10. Филиппов А П., Кохманюк С. С., Янютин Е. Г.
 Деформирование элементов конструкций под действием ударных и импульсных нагрузок. Киев, Науковая думка, 1978.
 11. Кеппу 3. Т. 5еас!у—ЗШе УПэгаол о? Веашз оп ЕЫзИс РоипдаШп 1ог Моуш Ьоас1. — Л. Арр1. МесЬ., 1954, 21, 4, р. 359—364.
 К РАЗДЕЛУ 13
 1. Белобров И. К., Щербина В. И. Влияние быстрых загруженнй на прочность железобетонных балок. НИИЖБ. М., Стройиздат, 1970.
 2. Боданский М. Д., Горшков А. А. Расчет конструкций убежищ. М., Стройиздат, 1974.
 3. Волошенко-Климовицкий Ю. Я. Динамический предел текучести. М., Наука, 1965.
 4. Гвоздев А. А. К расчету конструкций на действие взрывной волны. — Строительная промышленность, 1943, № 1, 2.
 5. Гольденблат И. И.; Николаенко Н. А. Расчет конструкций на действие сейсмических и импульсных сил. М., Стройиздат, 1961.
 6. Дикович И. П. Динамика. упругопластических балок. Л., Судпромгнз, 1962.
 7. Котляревский В. А. Упруговязкопластические волны в материале с запаздывающей текучестью. — Прикладная механика и техническая физика, 1962, № 3.
 8. Корчинский И. Лм Беченева Г. В. Прочность строительных материалов при динамических нагружениях. М., Стройиздат, 1965.
 9. Конрои М. Пластический жесткий анализ особого класса, задач о балках, подвергнутых действию поперечной динамической нагрузки.— В кн.: Механика, № 1 (35) М., ил., 1956.
 10. Овечкин А. М. Расчет статически неопределимых арок по методу предельного равновесия. — Труды (Сб. тр.. Науч. тр.)/МИИТ, М., Трансжелдориздат, 1953, № 78.
 11. Овечкин А. М. Расчет железобетонных осесимметричных конструкций. М., Госстройиздат,
 1960.
 12. Попов Н. Н., Расторгуев Б. С. Расчет железобетонных конструкций на действие кратковременных динамических нагрузок. М., Стройиздат, 1964.
 13. Попов Н. Н., Расторгуев Б. С. Вопросы динамического расчета и конструирования специальных сооружений. М., Стройиздат, 1980.
 14. Попов Н. Н., Расторгуев Б. С. Динамический расчет железобетонных конструкций. М., Стройиздат, 1974.
 15. Рабинович И. N1. К динамическому расчету сооружений за пределом упругости. — В кн.: Исследования по динамике сооружений. М., Стройиздат, 1947.
 16. Рабинович И. М., Синицын А. П., Лужин О. В., Теренин Б. М Расчет сооружений на импульсные воздействия. М.. Стпойиздат, 1970.
 17. Рахматулин X. А., Демьянов Ю. А. Прочность при интенсивных кратковременных нагрузках. М., Физматгиз 1961.
 18. Ржаницын А. Р. Экстремальное свойство формы движения жесткопластической системы. — Изв. АН СССР. Механика и машиностроение. № 2. 1959.
 19. Саймондс П. Большие пластические деформации стержней под действием нагрузки взрывного типа. — В кн.: Механика, № 4 (33). М., ИЛ, 1956.
 К РАЗДЕЛУ 14
 1. Беляев Ю. В. О влиянии .виброизоляции кузнечных молотов на к. п. д. удара и нагрузку фундаментного блока. — Кузнечно-штамповочное производство, 1962, № 1.
 2. Голоскоков Е. Г., Филиппов А. П. Нестационарные колебания механических систем. Киев, Наукова думка. 1966.
 3. Григорьев Е. Т. Расчет и конструирование резиновых амортизаторов. М., Машгиз, 1960.
 4. Ильинский В. С. Вопросы изоляции вибраций и ударов. — Советское радио, 1960.
 5. Инструкция по определению динамических нагрузок от машин, устанавливаемых на перекрытиях промышленных зданий. ЦНИИСК. М., Стройиздат, 1966.
 6. Иориш Ю. И. Защита самолетного оборудования от вибраций. М., Оборонгнз, 1949.
 7. Кац А. М, Вынужденные колебания при прохождении через резонанс. Инженерный сбор ник, т. 1. вып 2. АН СССР. М., 1947.
 300

8. Клатцо М. М. Расчет фундаментов прецезионного оборудования на колебания. — Основания. фундаменты и механика грунтов, 19134, № 3.
 9. Коренев Б. Г. О пусковом резонансе. — В кн.: Исследования по динамике сооружений. М., Стройиздат, 1957.
 10. Коренев Б. Г., Пикулев Н. А., Шейнин И. С. О методах уменьшения вибраций при прохождении через резонанс во время пуска и остановки оборудования. — В кн.: Колебания зданий и сооружений. М., Госстройиздат, 1963.
 11. Максимов Л. С. Расчет виброизоляцни оборудования, чувствительного к вибрации при случайных воздействиях. — Машиноведение, 1969, № 1.
 12. Мартышкин В. С. Внброизоляция; — В кн.: Борьба с шумом/Под ред. Юдина Е. Я. М., Стройиздат, 1964.
 13. Певзнер Я. М., Горелик А. М. Пневматические и гидропневматические подвески. М., Машгиз, 1963.
 14. Пикулев Н. А. О роля упругой вставки между демпфером и колеблющейся массой. — Строительная механика и расчет сооружений, 1959,
 15. Пономарев С. Д. Пружины и рессоры. Энциклопедический справочник, т. 2. ОНТИ. М., Машиностроение, 1948.
 16. Рауш Э. Фундаменты машин М., Стройиздат,
 1965.
 17. Руководство по проектированию виброизоляцин машин н оборудования. М., Стройиздат, 1972.
 18. Савинов О. А. Современные конструкции фундаментов под машины и их расчет. М., Стройиздат, 1964.
 . 1.9. Шейнин И. С. О пусковых резонансах в линейных системах. — В кн.: Исследования по динамике сооружений и расчету конструкций на упругом основании. М., Госстройиздат.
 1961.
 К РАЗДЕЛУ 15
 1. Боголюбов Н. Нм Митропольский Ю. А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. М., Физматгиз, 1958.
 2. Болотин В. В. Статистические методы в строительной механике. М., Стройиздат, 1965.
 3. Болотин В. В., Гольденблат И. И.т Смирнов А. Ф. Современные проблемы строительной механики. М., Стройиздат, 1964.
 4. Ивович В. А. Автопараметрические колебания виброизолированной системы с нелинейными характеристиками. — Прикладная механика, т. 5, вып. 12, М., 1966.
 5. Каудерер Г. Нелинейная механика. М., ИЛ.,
 1961.
 6. Попов Е. П. Приближенные методы исследования нелинейных автоматических систем. М., Физматгиз, 1960.
 7. Теодорчик К. Ф. Автоколебательные системы. Изд. 3-е. М.. Гостехиздат, 1952.
 8. Иориш Ю. И. Защита самолетного оборудования от вибрации. М., Обороигиз. 1949.
 9. Рекомендации по уменьшению вредных вибраций рабочих мест на предприятиях железобетонных изделий. М., Стройиздат, 1972.
 10. Коловский М. 3. Нелинейная теория виброзащитных систем. М.. Наука, 1966.
 11. Ильинский В. С. Защита аппаратов от динамических воздействий. М., Энергия. 1970.
 12. Бауман В. А., Быховскнй И. И. Вибрационные машины и процессы в строительстве. М., Высшая школа, 1977.
 13. ССБТ. Вибрация. Методы расчета виброизоляции рабочего места операторов самоходных машин. Основные положения. ГОСТ 12.4.025—76. М., Стандарты, 1976.
 14. Вуггё Р. Р. апс! Рпейтап М. О. НапсШоок о? еШрИс т{е@;га]5 {ог еп@;1пеегЗ апй рЬуз1С15{, 5рпп§;ег, 1954.
 К РАЗДЕЛУ 16
 1. Алексеев А. М.. Сборовский А. К. Судовые виброгасители. М., Судпромгиз, 1962.
 2. Ананьев И. В., Беляев М. М. Техника изме-
 - рения колебаний. ЦАГИ. Изд. Бюро новой
 техники, 1947.
 3. Ананьев И. В., Тимофеев И. Г. Колебания упругих систем в авиационных конструкциях я их демпфирование. М.. Машиностроение, 1965.
 4. Бабицкий В. И., Кобринский А. Е. Периодические движения двухмассовой колебательной системы в полости. Теория машин и механизмов, вып. 103—104. М., Наука, 1964.
 5. Бабицкий В. И., Кобринский А. Е., романов В. Д. Области существования и 'устойчивости виброударных режимов двухмассовой
 колебательной ' системы в полости. Теория машин и механизмов, вып. 105—106 М Наука, 1965. м у
 6. Беспрозванная И. М., Гвоздев В. С.. Луговцов А. Н., Фомин Г. М. О применении демпфирующих устройств для гашения автоколебаний высоких сооружений башенного типа. — Строительная механика и расчет сооружений 1972, № 6.
 7. Богомолов Н. Н., Митропольский Ю. А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. М., Гос. изд. физ.-матем. лит. 1963.
 8. Бруншгенн Р. Е., Кобринский А. Е. Периодические движения системы, содержащей шарик в полости. — Изв. АН СССР, ОТН. Механика и машиностроение, 1959, № 1.
 9. Брунштейи Р. Е., Кобринский А. Е. Об устойчивости периодических движений виброударных систем. — Изв. АН СССР. ОТН. — Механика и машиностроение, 1960, № 5. •
 10. Брунштейи Р. Е., Кобринскич А. Е. Динамика и устойчивость двухмассовых внброударных систем. —Изв. АН СССР. — Механика и машиностроение, 1964, № 5.
 11. Галака П. Ит Изучение колебательного движения соударяющихся масс. Киев. Институт строительной механики АН УССР, 1957.
 12. Гопп Ю. А. Демпферы крутильных колебаний коленчатых валов быстроходных двигателей, Харьков, 1938.
 13. Ден-Гартог Дж П. Теория колебаний. Пер. с. англ. А. И. Обморшева. М., Гостехтеоретиздат, 1942.
 14. Дес, Наваратна. Колебания прямоугольной пластинки с сосредоточенной массой, пружиной и демпфером. Прикладная механика, Е30, № 1. М., Мир, 1963.
 15. Зевин А. А. Вынужденные колебания пластины с ударным гасителем. — Труды Центр, научно-исслед. ин-та строит, конструкций им.
 В. А. Кучеренко, вып. 17. Исследования по динамике сооружений. М., Стройиздат, 1971.
 16. Ильиыскнй В. С. Фундаменты с амортизаторами под молоты. — Вестник машиностроения, 1955, № Ю.и
 17. Кобринский А. Е. Принцип действия и краткая теория виброгасителя. Д. И. Рыжкова. — Вестник машиностроения. 1954, № 9.
 18. Кобринский А. Е. Колебания двухмассовой системы, движущейся с периодическими соударениями. — Изв. АН СССР. ОТН. М., 1956, № 5.
 19. Кобринский А. Е. Механизмы с упругими связями. М., Наука, 1964.
 20. Кононенко В. Об импульсном виброгасителе. Доклады АН УССР. № 6. М., 1953.
 21. Коренев Б. Г. и др. Об экспериментальном определении параметров маятникового динамического гасителя колебаний. — Строительная механика н расчет сооружений, 1972,. № 2.
 22. Коренев Б. Г., Волоцкий М. Я. Применение динамических гасителей для уменьшения колебаний складчатых систем. — Строительная механика и расчет сооружений, 1973. № 1.
 23. Коренев Б. Г., Пикулев Н. А., Шейнин И. С. О мерах уменьшения вибраций при прохождении через резонанс во время пуска и остановки оборудования. — В кн.: Колебания.зданий и сооружений. М., Госстройиздат, 1963.
 24. Коренев Б. Г., Резников Л1 М. О колебаниях башенных сооружений, оборудованных динамическими гасителями. — Строительная механика и расчет сооружений, 1968, № 2.
 25.. Коренев Б. Г., Резников Л. М. О колебаниях конструкций с динамическими гасителями при стационарных случайных воздействиях. — Строительная механика, и расчет сооружений.
 1969, №4.
 26. Коренев Б. Г., Резников Л. М. О колебаниях конструкций с динамическими гасителями при стационарных случайных воздействиях. — Строительная механика и расчет сооружений,
 1970. № 4
 27. Коренев Б. Г., Резников Л М. Гашение колебаний башенных сооружений при сейсмических воздействиях. — Строительная механика и расчет сооружении, 1971, № 5.
 28. Коренев Б. Г., Резников Л. М. О гашении автоколебаний башенных сооружении при действии ветра. — Строительная механика и расчет сооружений, 1971, № 6.
 29. Коренев Б. Г., .Резников Л. М. Вынужденные колебания круглоП и квадратной пластинку! с динамическим ■ гасителем пои гармонических
 301

• воздействиях. — В кн.: Динамика сооружений. М., Стройиздат,. 1971.
 30. Коренев Б. Г., Резников Л. М. Случайные колебания поперек ветрового потока башен ных сооружений с динамическими гасителями. — Строительная механика и расчет сооружении, 1973, № 2.
 31. Коренев Б. Г., Сысоев В. И. Метод гашения колебании сооружений башенного типа. — Бюллетень строительной техники, 1953.' ДОд 5.
 32. Манаков А. 3., Пикулей Н. А. Оптимальные параметры группы виброгасителей при нестабильной частоте гармонического воздействия — Строительная механика и расчет сооружений, 1975, № 1.
 33. Манаков А. 3. О колебаниях одномассовой системы с группой виброгасителей при стационарном случайном воздействии. — В кн.: Исследования, расчет и испытание пространственных металлических конструкций. Л., 1975.
 34. Пикулев Н. А. Теория динамического гасителя колебаний при расстройках. — Труды Всесоюзной конференции «Борьба с шумом и виб.рациями». М., Стройиздат, 1966.
 35. Пикулев Н. А., Эрделевский А. Н. 1С вопросу проектирования группы виброгасителей с учетом расстроек. — Строительная механика и расчет сооружений, 1971, № 5.
 36. Пикулев Н. А., Эрделевский А. Н. Опыт применения динамических гасителей колебаний для крупного промышленного здания. — Труды XXIII научно-техиическрй конференции Казанского инженерно-строительного института, Казань, 1971.
 37. Пикулев Н. А., Манаков А. 3. Сравнительная оценка группы виброгасителей и одиночного гасителя с сумариой массой. — В кн.: Исследования, расчет и испытание пространственных металлических конструкций. Л., 1975.
 38. Пикулев Н. А., Манаков А. 3., Захаров А. В. Применение группы гасителей для уменьшения колебаний высотного здания со стальным каркасом. — В кн. Исследования, расчет и испытание пространственных металлических конструкций. Л., 1975.
 39. Резников Л. М. Выбор оптимальных параметров динамического гасител51 • при прохождении
 через резонанс. — В кн.: Динамика сооружений. М., Стройиздат, 1968.
 40. Резников Л. М. Оптимизация параметров ди. намических гасителей колебаний с различными видами сопротивления. — Проблемы прочности 1970, № 9.
 41..Резников Л. М. Анализ эффективности некоторых типов нелинейных динамических гасителей при гармонических воздействиях, -т В кн.: Динамика сооружений. М., Стройиздат, 1971.
 42. Рекомендации по проектированию гасителей колебаний для защиты зданий и сооружений, подверженных горизонтальным динамическим воздействиям от технологического оборудования и ветра. М., Стройиздат, 1978.
 43. .Ройтеиберг Я. Н. Маятник с импульсивным демпфированием. — Инженерный сборник вып. 1, т. 3, 1946.
 44. Рыжков Д. И. Опыт устранения вибраций при скоростном течении. АН СССР. М., 1953.
 45. Сейрет А., Хауард Л. Метод приближенных нормальных форм колебаний для демпфированных систем с сосредоточенными параметрами. — Конструирование и технология маши-
 - построения. В 89, 1967, № 4.
 46. Сергеев С. И. Демпфирование механических колебаний. М., Гос. изд. физ.-мат. лит., 1959.
 47. .Сысоев В. И. Маятниковый гаситель колебаний сооружений башенного типа. — В кн.: Исследования по динамике сооружений. М Госстройиздат, 1957.
 48. Сысоев В. И. Свободные колебания систем с одной степенью свободы, имеющих ограничители. - Науч. тр./ЦНИИСК. М., 1961, вып. 1. Исследования по динамике сооружений.
 49. Сысоев В. И. Вынужденные колебания систем с одной степенью свободы снабженных ударными гасителями колебаний. — Науч. тр./ ЦНИИСК. М., 1971. вып. 17. Исследования по динамике сооружений.
 50. Сысоев В, И. Динамический гаситель с ударным демпфированием. — Строительная механика и расчет сооружений, 1971, № 3.
 51. Сысоев В. И. Раздел 16. Гасители колебаний. Справочник по динамике сооружений. М Стройиздат, 1972.
 52. Сысоев В. И. Вынужденные колебания невесомого стержня с двумя сосредоточенными массами, снабженного ударными гасителями ко¬
 лебаний. — Науч. тр./ЦНИИСК. М., 1974, .вып.
 34. Исследования по динамике сооружений.
 53. Сысоев В. И. Вынужденные колебания системы с одной степенью свободы, снабженной ударным гасителем колебаний с возбудителем. —Науч. тр./ЦНИИСК, М.. 1975, вып. 43. Динамика сооружений.
 54. Сысоев В. И. Вынужденные колебания системы с одной степенью свободы, снабженной плавающим ударным гасителем колебаний. Теоретические и экспериментальные исследования в области динамики сооружений. Труды ЦНИИСК им. В. А. Кучеренко. М., Стройиздат, 1977.
 55. Сухара Тосиро. Затухание поперечных колебаний упругой башни, вызванное потоком энергии через основание башни во внешнюю систему «Сэйбу Дзосэнкай койхо», 1964, № 27.
 56. Фейгин М. И. К теории нелинейных демпферов (ударный демпфер и демпфер сухого трения).— Изв. высш. учеб. заведений. «Радиофизика», 1959, т. 2, № 4.
 57. Фейгин М. И. О вынужденных колебаниях двух масс, сочлененных с зазором. — Изв. АН СССР, ОТН 1960, № 5.
 58. Фейгин М. И. К теории ударного демпфера. — Изв. высш. учебных заведений. «Радиофизика», 1961, т. 4, №3.
 59. Хеннрих Г., Дезойер К. Гашение прямолинейных колебаний при помощи маятникового демпфера. «Механика». Периодич. сб. переводов ин. статей, 1961.
 60. Эрлих Л. Б., Слезингер И. П. Демпфер ударного действия. — Вестник машиностроения,’ 1954, № 7.
 61. АНеп .1. СигИз, ТНогпаз К. ВоуЫп. Дезоопзе о! 1\уо йегее о? Ггеедош 1о \уЪИе по1зе Ъазе ехсКаНоп. «Л. Асоиз. Зое. Ат.» 33, N5, 1961.
 62. Вгоск Л, Е. А Ыое оп {Ие Оатрес1 УНэгаНоп АЬзогоег. «Лоигпа! о? АррИеё МесЪаШсз», V. 13, № 4, 1946.
 63. СгиЬт С. Оп 1Ье ассе1ега11оп йатрег. «Лоигпа! о? АррНес! МесЪаШсз», у. 23, № 3, Зер1етЬег, 1956.
 64. ЛоЬпзоп К. С. 1трас{: Гогсез т тесЪаШзтз. МасЬ. Эезп, 30, N12, 1958.
 65. ЫеЬег Р. апй Лепзеп О. р. Ап ассе1ега1юп аатрег: с1еуе1ортеп1:, с1ез1дп апс! зоте аррИсаИопз. «ТгапзасИопз о? {Ье АЗМЕ», V. 67, N7, Ос1оЬег, 1945.
 66. огз1опа1 уНэгаНоп с!атрег. А з\уесЦзЪ с1еуе1ортеп{, Гог 1аге апс! зта11 о!1 епетез. «ТЪе тоЬг зЫр», РеЬгиагу, 1939.
 67. Раде А. Ь. УШгаИоп о? з1еат—{игЫпе Ьискез апс! йатр!п§ Ьу 1трас{. ЕпеШеегШе.
 19.III.1937.
 68. Зпо\уйоп I. С. УШгаМоп оГ сапШеуег Ьеатз 1о \уЫс!1 (Зупагтс аЬзогЬегз аге аИасЪей. Л. Асоиз!:. Зое. Ат., у. 39, N5, раг I, 1966.
 69. ТзиЬо1 V., КаууаисЫ Н. РгоЫете Ъе1т Еп{\уиг! йег НапейасЬкопзгикИоп - ехпег 5с11\У1тптЬа11е т Токю. Бег А1аЫЬаи, N13,
 1ПСС ' '
 К РАЗДЕЛУ 17
 1. Андреев А. А. Автоматические показывающие, самопишущие и регистрирующие приборы. Л.,
 Машиностроение, 1973.
 2. Аронов Р. И. Испытание сооружений. М. Высшая школа, 1974.
 3. Безухов К. Н. Испытание строительных конструкций и сооружений. М.. Госстройнздат,
 1954.
 4. Бендат Дж., Пирсол А. Измерение и анализ случайных процессов. Пер. с англ. М., Мир,
 1974.
 5. Вибрационные испытания зданий/Под ред. Г. А. Щапиро. М., Стройиздат, 1972.
 6. Гевондян Т. А., Киселев Л. Т. Приборы для измерения и регистрации колебаний. М., Машгиз, 1962.
 7. Генкин М. Д., Русаков А. М., Яблонский В. В. Электродинамические вибраторы. М., Машиностроение. 1975.
 8. Гик Л. Д. Измерение вибраций. Новосибирск, «Наука», 1972.
 9. Гуральник С. Н. Осциллографические гальванометры. М., Энергия, 1971.
 10. Иориш Ю. И. Виброметрия. М., Машгиз, 1963.
 11. Корчинский И. Л. Натурные испытания строительных конструкций. М., Госстройнздат,
 1951.
 12. Кузнецов А. А. Вибрационные испытания элементов и устройств автоматики. М., Энергия,
 107Д г г •
 302

13. Ленк А., Ренитц Ю. Механические испытания приборов и аппаратов. Пер. с немец. М., Мир,
 1976.
 14.-Максимов Л. С., Толмачев А. Ф. Портативный прибор для регистрации колебаний. — Приборы и системы управления, 1977, № 2.
 15. Максимов Л, С., Толмачев А. Ф. Установка для автоматической регистрации колебаний гибких высоких сооружении при сильном ветре.— В кн.: Труды ЦНИИСК нм. Кучеренко, вып. 43. М., Стройиздат, 1975.
 16. Максимов Л. С., Шейнин И. С. Измерение вибрации сооружений Л.. Стройиздат, 1974.
 17. Мэнли Р. Анализ и обработка записей колебаний. М., Машиностроение, 1972.
 18. Опыт измерения параметров вибрации/Под ред. В. С. Шкаликова. Л., ЛДНТП, 1973.
 19. Приборы и системы для измерения вибрации, шума и удара. Справочник в двух книгах. М.,
 1978.
 20. Светолучевые осциллографы/Под ред. Е. С. Борисевича. М., Энергия, 1965.
 21. Устройства виброизмерительиые с пьезоэлектрическими измерительными вибропреобразователями. Методы и средства поверки. ГОСТ 15939—70.
 22. Шейнин И. С. Приборы и оборудование для
 экспериментальных исследований динамики сооружений. — В кн.: Экспериментальные ис¬
 следования сооружений. М.—Л., Энергия, 1967.
 23. Шкабардня М. С., Мартыненко Н. В. Быстродействующие самопишущие приборы. М., Энергия, 1974.
 24. Электрические измерения неэлектрических величын/Под ред. П. В. Новицкого. Л., Энергия,
 1975.
 К РАЗДЕЛУ 18
 1. Аверкиев А. Г. Новый метод гидравлических модельных исследований.—Изв. ВНИИГ, т. 47, 1952.
 2. Борковский Р. И., Мальцев В. И. Моделирование колебаний стержневых конструкций. — Научно-техн. ииформ. бюлл. Ленингр. политехи, ин-та, № 12, 1957.
 3. Васильков Б. С., Милейковский И. Е. Экспериментально-теоретическое исследование сборной железобетонной оболочки. — В кн.: Экспериментальные и теоретические исследования по железобетонным оболочкам. М., Госстройиздат, 1959.
 4. Волынский Б. А., Бухман В. Е. Модели для решения краевых задач. М., Физматгнз. 1960.
 5. Гвамичава С. Р. Исследование колебаний арок на моделях. — Вестник ВИА, 61. Сборник по строительной механике. М., 1952.
 6. Геронимус В. Б. Исторический очерк развития теории прочностного подобия и моделирования.— Науч. тр./Новосиб. ин-т инж. железнодор. транспорта. Новосибирск, 1961, вып. XXIV. Строительная механика, мосты, конструкции.
 7. Геронимус В. Б. Нелинейное подобие и его применение к моделированию. — Науч тр./Новосиб. ин-т инж. железнодор. транспорта. Новосибирск, 1У61, вып. XXIV. Строительная механика, мосты, конструкции.
 8. Геммерлинг А. В., Трофимов В. И. Испытание моделей каркаса здания Дворца культуры и науки в Варшаве. — Строительная промышленность, 1954, № 2.
 9. Гутенмахер Л. И. Электрические модели. М., АН СССР, 1949.
 10. Завриев К. С. и др. Основы теории сейсмостойкости зданий и сооружений. М., Стройиздат, 1970.
 11. Керопян К. К., Чеголин П. М. Электрическое моделирование в строительной механике. М., Госстройиздат, 1963.
 12. Кирпичев М. В. Теория подобия. М., АН СССР, 1953.
 13. Кобринский И. Е. Математические машины непрерывного действия. М., Машгнз, 1957.
 14. Коренев Б. Г., Пикулев Н. А., Шейнин И. С.
 О методах уменьшения вибрации при прохождении через резонанс во время пуска и остановки оборудования. — В кн.: Колебания зданий и сооружений. М., Стройиздат, 1963.
 15. Лужин О. В. Конференция по электрическому моделированию задач строительной механики, сопротивления материалов и теории упругости.—Строительная механика и расчет сооружений, 1962, № 2.
 16. Максимов Л. С., Шейнин И. С. Измерение ви“Раи-1Ш сооружений. Л.. Стройиздат, 1974.
 1/. Мастаченко В. н. Надежность моделирования строительных конструкций. М., Стройиздат,
 18. Назаров А. Г. О механическом подобии твердых деформируемых тел. изд-во АН АрмССР. Ереван, 1965.
 19. Низкомодульные материалы для изготовления маломасштабных моделей, предназначенных для исследования динамических явлений в строительных сооружениях и конструкциях ТУ 34-9-2-78/Минэнерго СССР. Л., 1978.
 20. Ныотон И. Математические начала натураль¬
 ной философии. Книга II, отдел 7, предложения 32, 33. Русский перевод с латинского с примечаниями и пояснениями А. Н. Крылова. — В кн.: Собрание трудов академика
 А. Н. Крылова, т. VII. М.—Л., 1936.
 21. Ольсон Г. Динамические аналогии. М.. ИЛ.. 1947.
 22. Основы теории подобия и моделирования. Терминология. Вып. 88. М., 1973.
 23. Питлюк Д. А. Расчет строительных конструкций на основе моделирования. Л.—М., Стройиздат, 1965.
 24. Покровский Г. И., Федоров И. С. Центробежное моделирование в строительном деле. М., Стройиздат, 1968.
 25. Пригоровский Н. И. и др. Напряжения ь деформации в деталях и узлах машин. М., Машгиз, 1963.
 26. Пухов Г. Е., Васильев В. В., Степанов А. Е., Токарева О. Н. Электрическое моделирование задач строительной механики. Киев, изд-во АН УССР, 1963.
 27. Рабинович И. М. Механический расчет. Справочник инженера-проектировщика промсооружений, т. II (расчетно-теоретический). М., Стройиздат, 1934.
 28. Рекомендации по маломасштабному моделированию динамических явлений в строительных конструкциях и сооружениях: П87-80. Л.,
 1980.
 29. Розанов Н. С. Некоторые детали установки электроаналогий в применении к решению задач теории упругости. — Изв. ин-та гидротехники, № 24, 1939.
 30. Руководство по исследованию механических свойств строительных конструкций на моделях. АН Арм.ССР. Ин-т геофизики и инж. сейсмологии, Ленииакан, 1966.
 31. Седов Л. И. Методы подобия и размерности в механике. М.. Наука, 1965.
 32. Сильницкий Ю. И., Ковалев М. А. Экспериментальное изучение действия ветра на сквозные пролетные строения мостов.—Сб. ЛИИЖТ, вып. 164. Трансжелдорнздат, 1959.
 33. Справочник проектировщика. Динамический расчет сооружений на специальные воздействия. М., Стройиздат..1981.
 34. Справочник проектировщика. Расчетно-теоретический, книга 2. М., Стройиздат, 1974.
 35. Телншевский Б. Е., Быковский В. А. Вибрационная платформа с программным фотоэлектрическим управлением.—-Изв. АН СССР, ОТН, № 3,1949.
 36. Тетельбаум И. М. Электрическое моделирование. М., Изд-во физ.-мат. лит., 1959.
 37. Шейнин И. С. Колебания пластинки в водоеме с податливым дном (плоская задача).— Изв. ВНИИГ, т. 88, 1968.
 38. Шейнин И. С. К расчету на аналоговых машинах колебательных систем, проходящих через резонанс. — Строительная механика и расчет сооружений. 1961,'№ 5.
 39. Шилейко И. Г. Опытное изучение действия ветровой нагрузки на мостовые фермы. — Труды МИИТ, вып. 69. М., 1946.
 40. Эйгенсон Л. С. Моделирование. М.. Наука,
 1952.
 41. Этерман И. М. Математические машины непрерывного действия. М., Машгиз, 1958.
 42. Запкеу А. Р1аз{1с тосЫз Гог у1Ьга1тп апа1у515. Ргос. ЕхреПт. Згезз Апа1уз1з, у.о1. XI, N2,
 1954.
 43. ЗЬоск апд уПэгаНоп ЬапсШоок. МсОгоуг-НШ, Ые\у-Уогк, 1961.
 44. \У11Ъиг .1. В., Ыогпз С. Н. Зтсига) тойе! апа1уз15. НаткШрок о? ехреНтепЫ з{гезз апа1уз18, е3. Ьу М, Неепу!, N. V., 1950.

ДИНАМИЧЕСКИЙ РАСЧЕТ ЗДАНИЙ И СООРУЖЕНИЙ
 СПРАВОЧНИК ПРОЕКТИРОВЩИКА
 Редакция литературы по строительным материалам и конструкциям Зав. редакцией П. И. Филимонов Редактор Л. И. Круглова Технический редактор Н. Г. Алеева Корректор Н. О. Родионова
 ИБ № 3192
 Сдано в набор 17.06.83. Подписано в печать П.05.84. Формат 70X1087» Д« Л- Бумага типограф. №2, Гарнитура «Литературная». Печать высокая Уел. п. л. 26,6. Уел. кр.-отт. 26,6. Уч.-изд.л. 31,99. Тираж 28 ООО экз. Изд. № А-Х-9793. Зак. № 491. Цена 2 руб.
 Стройиздат, 101442, Москва, Каляевская, 23а
 Владимирская типография Союзполиграфпрома при Государственном комитете СССР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли 600000, г. Владимир, Октябрьский проспект, д. 7