Text
А. Киеелевъ.
ЭЛЕМЕНТАРНАЯ
ГЕОМЕТРІЯ
Съ прилсженіемъ болыпсго количества упражненій и статьи: Глав-
нѣйшіе методы рѣшенія геометрическнхъ задачъ на построеніе,
Допущена Уч. Ком. М. Н. Пр. въ качествѣ рукОВОДСТВа ДЛЯ среднихъ
учебныхъ заведеній, мужскихъ и женскихъ („Журн. М. Н.П “ 1913, апрѣль),
рекомендована Учебн. Ком. при Св. Синодѣ для употребленія въ духов-
ныхъ семинаріяхъ въ качествѣ учебнаго пособія („Церк. Вѣд.“, 1893, № 32);
ОДОбрена Деп. Торг. и Мануф. для коммерческихъ училищъ въ качествѣ
пособія (извѣщеніе отъ 30 мая 1898 г., № 14128). РвКОМѲНДОВана, какъ
ДЛЯ СРЕДНИХЪ УЧЕБНЫХЪ ЗАВЕДЕНІЙ.
Изданіе двадцать третье.
РУКОВОДСТВО для кадетскихъ корпусовъ.
Изданіе Т-ва
ПОДЪ ФИРМОЙ
„В. В. Думновъ—насл. Бр. Салаевыхъ'?
M О C K B А.
Типографія П. П. Рябушинскаго, Страстной буліварь, собстіенный домъ.
19 14*
Изъ предиеловія къ первому изданію.
(1892 г.).
Главнѣйшія особенности предлагаемаго руководства геометріи со-
стоятъ въ слѣдующемъ.
1, Въ большинствѣ нашихъ учебниковъ геометріи понятіе о длинѣ
окружности и вообще о кривой линіи принимается за элементарное,
не требующее никакихъ оговорокъ и разъясненій, и выводъ, что длина
окружности есть предѣлъ периметровъ правильныхъ вписанныхъ и
описанныхъ многоугольниковъ, основывается на скрытомъ допущеніи
или на не строго доказываемой теоремѣ, что объемлющая линія
длиннѣе объемлемой. Въ предлагаемомъ руководствѣ, въ согласіи
со многими авторитетами учебно-математической литературы, про-
ведено иное воззрѣніе, которымъ признается, что понятіе о длинѣ
элементарно только въ примѣненіи къ прямой; но когда рѣчь идетъ
о сравненіи конечной кривой съ прямолинейнымъ отрѣзкомъ, тогда
(вслѣдствіе несовмѣстимости элементовъ кривой съ элементами пря-
мой) понятіе о длинѣ становится сложнымъ и требуетъ опредѣленія *).
Сообразно э.тому взгляду мы не доказываемъ, а принимаемъ за опре-
дѣленіе, что длиною конечной кривой называется предѣлъ периметра
вписанной ломаной линіи, когда стороны ея стремятся къ нулю. Ko-
нечно, въ среднихъ классахъ учебныхъ заведеній было бы затрудни-
тельно вполнѣ обосновать это опредѣленіе, т.-е. доказать, что такой
предѣлъ существуетъ и что онъ не зависитъ отъ закона вписыванія
ломаной линіи; но въ педагогическомъ отношеніи, какъ намъ ка-
жется, нѣкоторые пробѣлы въ доказательствѣ не скрываемые, впро-
чемъ, отъ учащихся) не имѣютъ такого вреднаго значенія, какъ
неопредѣленность, неясность и сбивчивость въ ^понятіяхъ, а тѣмъ
болѣе въ основныхъ. При повтореніи геометріи въ старшемъ классѣ
(озобенно въ реальныхъ училищахъ, гдѣ въ седьмомъ классѣ пола-
*) Отсылаемъ і нтересующихся этимъ вопросомъ къ статьѣ М. П о-
п ружѳн к о «О длинѣ», помѣщен гій вь «Вѣстникѣ опытной физикй
и элементарной математикѣ» (1891 г. №№ 122 и 128).
— IV —
гается обстоятельно пройти статью о предѣлахъ) ученики не затруд-
нятся усвоить и необходимое обоснованіе указаннаго опредѣленія
(оно помѣщено нами въ мелкомъ шрифтѣ).
Замѣтимъ еще по тому же вопросу о длинѣ, что, придерживаясь
«Началъ Эвклида» и лучшихъ современныхъ иностранныхъ учебни-
ковъ, мы не приписываемъ прямой линіи, какъ аксіому,
свойства быть короче всякой другой линіи, проведенной между кон-
цами прямой, а доказываемъ эту истину въ тѣхъ мѣстахъ курса, гдѣ
въ этомъ является надобность и возможность, сначала въ цримѣненіи
къ ломаной, а потомъ и къ кривой. И дѣйствительно, разъ мы стали
на ту точку зрѣнія, что длина кривой есть понятіе сложноѳ, раз-
рѣшающееся только при посредствѣ другого сложнаго понятія—
о предѣлѣ, становится совершенно невозможнымъ цринимать за оче-
видную истину такое предложеніе, однимъ изъ терминовъ котораго
служитъ это вдвойнѣ сложное понятіе. Съ другой стороны, и нѣтъ'
логической необходимости въ предварите льномъ призна-
ніи принципа Архимеда, такъ какъ онъ вполнѣ строго доказывается-
на ряду съ другими теоремами.
2. Въ согласіи съ изложеннымъ взглядомъ на длину кривой линіи,
мы полагаемъ также, что кривыя поверхности, вслѣдствіе несовмѣ-
стимости ихъ элементовъ съ элементами плоскости, не могутъ быть
непосредственно сравниваемы съ плоскими поверхностями; поэтому
мы не доказываемъ, что поверхность крутлаго тѣла есть предѣлъ
нѣкоторой плоской поверхности, а принимаемъ это предложеніе за
о предѣленіе.
Замѣтимъ, что аналогичный вопросъ цо отношенію къ площадямъ
криволинейныхъ фигуръ или по отношенію къ объемамъ, ограничен-
нымъ кривыми поверхностями, разрѣшается согвсѣмъ иначе. Въ са-
момъ дѣлѣ, мы совершенно ясно представляемъ себѣ, что площадь
круга больше площади вписаннаго многоугольника, какъ цѣлое
больше своей части, и меньше площади описаннаго многоугольника,
какъ часть меньше цѣлаго; и далѣе, что при неограниченйомъ удвоеніи
числа сторонъ вписаннаго и описаннаго многоугольниковъ разность
между ихъ площадями стремится къ нулю; поэтому предложеніе:
«площадь круга есть общій предѣлъ площадей правильныхъ вписан-
ныхъ и описанныхъ. многоугольниковъ» должно быгь разсматриваемо
не какъ оцредѣленіе, а какъ теорема, подлежащая доказательству.
To же самое можно *сказать юбъ объемѣ цилиндра, конуса и шара.
— V —
3. Какъ извѣстно, въ алгебрѣ существуютъ статьи, которыя гіе
могутъ быть стрэі*о^обоснованы въ элементарномъ курсѣ, но безъ
которыхъ этотъ курсъ не обходится (напр., дѣйствія надъ несоизмѣ-
римыми числами). Въ элементарной геометріи къ такого рода статьямъ
относится спо с о^б ъ предѣловъ. Дчя строгаго доказатель-#
ства этого способа потребовалось бы ввести въ курсъ геометріи теорію
предѣловъ-почти въ такомъ размѣрѣ, въ какомъ эта статья проходится
въ седьмомъ классѣ реальныхъ училищъ. Чтобы научно обосновать,
напримѣръ, нахожденіе предѣла формулы объема усѣченной пирамиды
[Y == ѴзЩВ+b+КвЬ)], слѣдовало бы предварительно установить
теоремы о предѣлѣ суммы, произведенія и корня, а для этого, въ
свою очередь, пришлось бы ввести нѣкоторыя теоремы о безконечно-
малыхъ величинахъ.4 Само собою разумѣется, что въ такомъ видѣ
статья о предѣлахъ не можетъ быть пройдена въ среднихъ классахъ
нашихъ учебныхъ заведеній. Съ другой стороны, обойтись совсѣмъ
безъ способа предѣловъ въ элементарной геометріи невозможно.
Ho необходимости здѣсь приходится поступиться строгостью изло-
женія въ пользу его краткости и доступности. Поэтому мы сочли за
лучшзе, доказавъ двѣ извѣстныя теоремы о предѣлахъ, указать
затѣмъ безъ доказательства основной принципъ способа предѣловъ,
состоящій въ томъ,’ что равенство, вѣрное при всевозможныхъ значе-
ніяіъ перемѣнныхъ, остается вѣрнымъ и тогда, когда вмѣсто пере-
мѣнныхъ подставимъ ихъ предѣлы.
4. Въ болыпинствѣ рѵсскихъ о эигинальныхъ учебниковъ геометріи
теоремы о равзнётвЬ несоизмѣримыхъ отношеній доказываются отъ
протявнагэ. Мы прздпочлн другой пугь. Прежде чѣмь доказывать
равенство, необходимо точдо установить, что разумѣется подъ этимъ
терминомъ. Если же поставимъ вопросъ, что такоё равенство не-
соизмѣримыхъ отношеній, то наиболѣе простоД отвѣтъ на него будетъ
слѣдующій: несоизмѣримыя отношенія считаю^ся равными, если
равны ихъ приближенныя значенія, вычисленныя ^произвольною,
но одинаковою точностью. Принявъ это предложеніе^аѵ опредѣленіе
равенства, мы не нуждаемся болѣе въ косвенномъ и тТшецомъ дб-
казательствѣ отъ противнаго; его всегда можно замѣнить'нрямымъ
доказательствомъ, и йолѣе простымъ, и болѣе яСнымъ.
5. Нѣкоторыя етатьи изложены въ предлагаемомъ рукободствѣ,
какъ кажется, проще, чѣмъ въ распространенныхъ нашяхТу^бнй-
кахъ. Таковы, напр., статьи: о параллельныхъ прямыхъ, объ отно-
— VI —
рительномъ положеніи окружностей, о пропорціональныхѣ линіяхъ,
о правильныхъ многоугольникахъ, о нахожденіи объема всякаго
параллелеципеда, о подобіи многоугольниковъ и нѣкоторыя другі і.
Сравнительная простота достигается нѣкоторымъ измѣненіемъ въ рао
предѣленіи матеріала, а иногда упрощеніемъ пріемовъ доказательства.
Книга снабжена значительнымъ количествомъ упражненій, состоя-
щихъ частію изъ нѣкоторыхъ, не вошедшихъ въ текстъ, но пред-
ставляющихъ интересъ теоремъ, а главнымъ образомъ изъ задачъ на
построеніе и вычисленіе. Въ концѣ плаииметріи мы помѣстили *) нѣ-
которыя задачи на вычислеяіе изъ «Сборника геомѳтри-
ческихъ задачъ для повторительнаго курса
п л а н и м е т р і и» г. М. Попруженко. Эти задачи обладаютъ
прежде всего тѣмь достоинствомъ, что онѣ содер.катъ много чисто
геометрическаго матсріала, а не представляютъ собою
только ариометическихъ или алгебраическпхъ упражненій съ гео-
метрическими даиными. Въ концѣ курса, въ видѣ дополненія, мы
сочли не лишнимъ приложить небольшую статыо о методахъ
рѣшенія геометрическпхъзадачъ на построе-
н і е съ і р мѣрами задачъ, рѣшаемыхъ этими методамп. Существую-
щіе у наеь сборники подобнаго рода, устрашая учащихся своимъ
объемомъ, употребляются ими лишь въ рѣдкихъ случаяхъ. Мы изло-
жили въ самомъ сжатомъ видѣ только главнѣйшіе методы и помѣітили
наиболѣе тшшчныя задачи.
Слѣдуя учебнымъ планамъ гимназій и реальныхъ училищъ, мы по-
мѣщаемъ основныя задачи на построеніе и вычисленіе въ самомъ
текстѣ книги непосредственно послѣ тѣхъ теоремъ, на которыхъ
основано ихъ рѣшеніе. Въ сокращенномъ видѣ мы указываемъ также
сущность приложенія алгебры къ геометріи и построеніе простѣй-
шихъ алгебраическихъ формулъ.
Считаемъ не лишнимъ сдѣлать слѣдующее замѣчаніе. Съ точки
зрѣнія строгой теоріи къ задачамъ на построеніе возможно цристу-
пить только тогда, когда ученики усвоили основныя предложенія объ
окружности. Ho съ педагогической точки зрѣнія это едва ли было бы
удобно: отодвинуть практическія упражненія такъ далеко отъ начала
курса значило бы сдѣлать начало геометріи, и безъ того трудное
для начинающихъ, еще болѣе сухимъ и тяжелымъ. Мы поступились
*) Съ еогласія соотавителя.
— VII -
строгостыо въ пользу практическаго интереса и помѣстили основныя
задачи на ИОстроеніе тотчасъ послѣ разсмотрѣнія свойствъ треуголь-
никовъ.
Книга ййпечатана двумя шрифтами: въ обыкновенномъ изложено
все то, что должно быть пройдено "въ^среднихъ классахъ, въ мел-
комъ—то, что желательно дополнить при повтореніи геометріи въ
старшемъ классѣ.
Предиеловіе къ 21-іуіу изданію.
(1912 г.).
21-е изданіе «Элементарной геометріи» значительно переработано
сравнительно съ изданіями предыдущими.
Главнѣйшія измѣкеяія слѣдующія (перечисляемъ ихъ въ порядкѣ
слѣдованія параграфовъ).
1°. Въ началѣ главы «Параллельныя прямыя», раныпе опредѣ-
ленія такихъ прямыхъ, поставлена вспомогательная лемма (§ 73)
о взаимной связи извѣстныхъ 5-и соотношеній между углами, обра-
зующимися при пересѣченіи двухъ прямыхъ третьею. Предвари-
тельное установленіе этой связи, не представляя собой большой
трудности для учащагося, значительно облегчаетъ усвоеніе даль-
нѣйшей теоріи параллельныхъ прямыхъ. Изложеніе самой этой теоріи
тоже отличается теперь отъ прежняго. Такъ, ранѣе опредѣленія
ііараллелизма мы показываемъ (§ 74) возможность сущзствованія
такихъ прямыхъ, которыя не пересѣкаются, сколько бы мы ихъ
ни продолжали; затѣмъ мы сначала указываемъ п р и з н а к и
параллельности прямыхъ (§ 76), а уже пэтомъ излагаемъ, въ видѣ
обратной теоремы (§81), с в о й с т в а параллельныхъ прямыхъ,
а не наоборотъ, какъ это дѣлалось въ предыдущихъ изданіяхъ. Иначе,
чѣмъ прежде (болѣе общимъ способомъ) доказывается теорема (§ 77),
что «черезъ всякую точку, лежащую внѣ прямой, можно провести
параллельнуД) зтой прямой»; излагаемый теперь пріемъ доказатсль-
ства даетъ больше возможности выяснить (§ 78) логическую потреб-
ность въ извѣстномъ постулатѣ параллельныхъ прямыхъ (§ 79).
Признаки непараллельности прямыхъ (§ 83) изложены теперь нѣ-
сколько подробнѣе, чѣмъ прежде.
-VlII -
Въ концѣ главы о параллельныхъ прямыхъ мы помѣстили теперь
(мелкимъ шрифтомъ) добавленіе, могущее, какъ намъ кажется, за-
интересовать многихъ любознательныхъ учениковъ: «0 постулатѣ
нараллельныхъ линій»; въ этомъ добавленіц мы даемъ понятіе о
важной роли этого постулата, а также и ю «не-Эвклидовыхъ» гео-
деетріяхъ.
2°. Въ главѣ «Параллелограммы и трапеціи» мы теиерь излагазмъ
и тѣ теоремы, доказательство которыхъ въ предыдущихъ изданіяхъ
предоставлялось самимъ учащимся; таковы, напр., обратныя теоремы:
«всякій четыреугольникъ, котораго діагонали дѣлятся пополамъ,
есть параллелограммъ» (§ 101), «всякій параллелограммъ, у котораго
діагонали равны, есть прямоугольникъ» (§ 105), и т. п.
3°. Въ главѣ «Свойства касательной» болѣе подробно и система-
уично; чѣмъ прежде, разсматривается относительное положеніе пря-
мой Ii окружности (§ 135), вслѣдствіе чего дальнѣйшее изложеніе
свойствъ касательной упрощается. Въ той же главѣ теперь мы по-
дробно излагаемъ (§ 142) доказательство (которое прежде предо-
ставлялось самимъ ученикамъ) правильности рѣшенія задачи о про-
веденіи касательныхъ,. общихъ двумъ даннымъ окружностямъ,
4> Въ главѣ «Измѣреніе величинъ» нѣсколько упрощено (§ 156)
доказательство теоремы о несоизмѣримости основанія и боковой
етороны равнобедреннаго треугольника, у котораго уголъ при осно-
ваніи равенъ 2/5d, а также добавлена (мелкимь шрифгомъ, § 157)
классическая теорема о несоизмѣримости діагонали квадрата съ его
стороной.
5°. Въ книгѣ III подобіе треугольниковъ отдѣлено отъ подобія
многоугольниковъ болѣе, чѣмъ это дѣлалось прежде, причемъ, рацѣе
опредѣленій подобія тѣхъ и другихъ, предварительно устанавли-
вается (въ леммахъ §§ 196 и 205), возможность существованія тѣхъ
фигуръ, о которыхъ будетъ затѣмъ говориться въ опредѣленіяхъ.
6°. Существенному измѣненію подверглось доказательство теоремы
Птоломея. Въ прежнихъ изданіяхъ эта теорема (§ 215 прежнихъ
изданій) излагалась мелкимъ шрифтомъ, какъ слѣдствіе изъ формулъ,
найденныхъ раныпе, путемъ довольно сложныхъ вычисленій, для
діагоналей вписаннаго четыреугольника; теперь мы даемъ классиче-
ское доказательство Q 242) этой весьма важной теоремы и излагаемъ
ее обыкновеннымъ шрифтомъ. Вычисленіе же діагоналей рписаннаго
четыреугольника (оставляя его въ мелкомъ шрифтѣ) мы основы-
— IX —
ваемъ на теоремѣ Птоломея и на другой, добавленной теперь (§ 244),.
объ отношеніи діагоналей такого четыреугольника.
Нѣкоторымъ измѣненіямъ (и дополненіямъ) подверглись также тео-
ремы о пропорціональныхъ линіяхъ въ кругѣ (§§ 246, 247, 248, 249).
7°. Нѣсколько измѣнено изложеніе опредѣленія длины окруж-
ности и ея частей (§ 286) и упрощено доказательство теоремьЦ§~288)г
что «длина дуги болыде стягивающей ее хорды, но меныпе всякой
ломаной линіи, описанной около этой дуги и имѣющей съ нею одни
и тѣ же концы».
8°. Существенно передѣлано теперь изложеніе теоремы: «площадь
прямоугольника равна произведенію его основанія на высоту» (§ 305).
Въ предыдущихъ изданіяхъ доказательство этой теоремы основы-
валось на двухъ предварительныхъ леммахъ объ отношеніи
площадей прямоугольниковъ, причемъ приходилось перемно-
жать между собою двѣ пропорціи, сокращая послѣдующій членъ.
одной пропорціи съ предыдущимъ членомъ другой, т.-е. приходилось
скрытымъ образомъ предполагать, что площади, представляющія
собою эти члены, уже выражены числами. Теперь мы
даемъ прямое, болѣе строгое и вмѣстѣ съ тѣмъ болѣе ясное, доказа-
тельство этой теоремы и только, какъ слѣдствіе изъ нея, выводимъ
(§ 306) заключеніе объ отношеніи площадей двухъ прямоугольниковъ.
9°. Въ началѣ главы «Площади многоугольниковъ» мы помѣетили
замѣчаніе (мелкимъ шрифтомъ, § 301), указывающее на важный
вопросъ, возникающій относительно основныхъ допущеній о пло-
щадяхъ, а также дали наглядное понятіе о томъ (§ 303), что слѣдуетъ
разумѣть подъ числомъ, измѣряющимъ какую-нибудь
данную пл^щадь въ квадратныхъ единицахъ.
10°. Въ нѣкоторыхъ случаяхъ, не ограничиваясь обычнымъ до-
казательствомъ равновеликости фигуръ, мы дали дополнительное
замѣчаніе о возможности разложенія этихъ фигуръ на соот-
вѣтственно конгруентныя части (въ § 309—о превращеніи
параллелограммовъ, въ § 312—о превращепіи треугольника въ прямо-
угольникъ и въ § 315—о превращеніи трапеціи въ прямоугольникъ).
11°. Для болыней наглядности мы привели третье доказатель-
ство теоремы Пиѳагора (§ 321), показывающее, какъ разложить сумму
квадратовъ, поетроенныхъ на катетахъ, на такія части, изъ кото-
рыхъ, перемѣщеніемъ ихъ, можно образовать квадратъ, построенный
на гипотенузѣ.
— X —
12°. Въ стереометріи, въ главѣ «Перпендикуляръ и наклонныя»,
ради болыпей систематичноети, мы помѣстили теперь и ту теорему
(изъ точки, взятой внѣ плоскости, можно опустить на эту
плоскость перпендикуляръ), которая въ предыдущихъ изданіяхъ
отрывалась отъ родственной ей теоремы (изъ точки, взятой н а п.л о -
с к о с т и, можно возставить къ этой плоскости перпендикуляръ),
и доказывалась позже, въ концѣ главы о параллельныхъ прямыхъ.
13°. Извѣстное предложеніе о трехъ перпендикулярахъ, которое
прежде излагалось нами, какъ лемма (§ 321 прежнихъ изданій),
теперь поставлено въ видѣ самостоятельной теоремы въ концѣ главы
о перпендикулярѣ и наклонныхъ (§ 359).
14°. Изложеніе главы «Объемъ призмы и пирамиды» измѣнено
теперь въ соотвѣтствіи съ измѣненіемъ главы о площадяхъ; такъ,
объемъ прямоугольнаго параллелепипеда находится непосредственно,
а не на основаніи двухъ леммъ объ отношеніи объемовъ, какъ это
дѣлалось прежде.
Мы перечислили только главнѣйшія измѣненія, сдѣланныя въ
21-мъ изданіи. Есть много другихъ болѣе мелкихъ отличій, введен-
ныхъ главнымъ образомъ съ цѣлъю достигнуть болыней ясности
изложеыія или ббльшей точности въ формулировкѣ опредѣленій и
теоремъ.
Кромѣ того, частью съ цѣлью выполнить всѣ требованія офи-
ціальныхъ программъ, а главнымъ образомъ съ цѣлью удовлетворить
любознательность учениковъ, мы ввели и нѣкоторые новые параграфы
и даже цѣлыя главы; напр., о симметріи фигуръ (§§ 33, 102, 109, 264),
о постулатѣ параллельныхъ линій (§§ 91—95), о признакахъ, не-
обходимыхъ и достаточныхъ (§ 187), о фигурахъ, подобно распо-
ложенныхъ (гомотетія §§ 211—218), объ однородности уравненій,
получаемыхъ при рѣшеніи геометрическихъ задачъ (§ 342), о по-
строеніи корней квадратнаго уравненія (§ 343), опредѣленіе проэкціи
прямой на плоскость (§ 394) и нѣкоторые другіе.
Предиеловіе къ 22-му изданію.
Приступая %ъ 22-му издант, мы тщательно просмотрѣли изло-
женіе предыдущаго изданія съ цѣлью устранить всѣ замѣченныя
опечатки, а также и неточности, неясности или шероховатости слога.
При этомъ, для болыпей полноты или для достиженія ббльшей ясно-
сти и болыпей строгости изложенія, приіплось сдѣлать нѣкоторыя
небольшія измѣненія и добавленія (послѣднія, главнымъ образомъ,
въ мелкомъ шрифтѣ). Укажемъ главнѣйшія изъ нихъ.
Къ § 35 сдѣлана выноска, въ которой разъясняется, что конгруенція
на плоскости различается двухъ родовъ: прямая и не-прямая.
Въ § 130 добавлены 2 слѣдствія, представляющія собою предло-
женія, обратныя теоремѣ 1° этого параграфа. Въ нихъ встрѣчается
надобность при доказательствѣ теоремы 2° (обратной) § 138, введен-
ной для обоснованія содержащагося въ § 258 построенія правильнаго
опясаннаго многоугольника, стороны котораго параллельны сторо-
намъ правильнаго вписаннаго многоугольника.
Въ выноскѣ къ § 224 указано иное отложеніе прямыхъ а, в и
къ которымъ отыскивается 4-ая пропорціональная.
Равнымъ образомъ, въ выноскѣ къ § 255, 3° указывается другой
способъ построенія 3-й пропорціональной.
Въ концѣ того же § 255 добавлена выноска, въ которой говорится
о невозможности рѣшенія помощью циркуля и линейки задачи о б ъ
удвоеніи куба.
Въ § 301 добавлены два замѣчанія (2° и 3°), въ которыхъ разъяс-
няется, что равновеликость фигуръ можетъ быть двоякаго рода;
равновеликость «по разложенію» и равновеликость «по дополненію».
Къ § 433 дсбавлена выноска о томъ, что равновеликость двухъ
пирамидъ, имѣющихъ равновеликія основанія и равныя высоты,
не можетъ быть сведена ни на равновеликость «по разложенію»,
ни на равновеликость «по дополиенію».
Изложеніе §§ 299 и 300 («Основныя допущенія о площадяхъ») теперь
нѣсколько болѣе систематизировано; то же самое сдѣлано и относи-
тельно изложенія соотвѣтствующихъ §§ 422 и 423 объ объемахъ.
Измѣнено изложеніе конца § 429 съ цѣлью подробнѣе, чѣмъ было
прежде, выяснить, что отрѣзокъ KS представляетъ собою высоту
параллелепипеда.
Весьма многіе чертежи для 22-го изданія передѣланы вновь съ
цѣлью ихъ улучшенія.
— XII —
23-е* изданіе существенно не отличается отъ изданія 22-го;
лишь въ немногихъ мѣстахъ нѣсколько улучшено изложеніе (напр.,
о перпендикулярѣ и наклонныхъ, §§ 59,19 59,2 и 60),или сдѣланы
небольшія добавленія (напр., § 160,2 ,,O пропорціи“)-
ВВЕДЕНІЕ.
Математическія предложенія.
I. Bo всякой математической наукѣ могутъ встрѣтиться
слѣдующія предложенія:
Опрѳдѣленія. Такъ называютъ предлоясенія, въ которыхъ
разъясняется, какой смыслъ придаютъ тому или другому вы-
раженію или названію. ^Наприм., въ ариѳметикѣ мы встрѣ-
чаемъ опредѣленія наименыпаго кратнаго, общаго наиболь-
шаго дѣлителя и т. п.
Аксіомы. Такъ называютъ истины, которыя, вслѣдствіе
своей очёвидности, принимаются безъ доказательства. Таковы,
напр., предложенія:
Если двѣ величины равны порознь одной и той же третьей
величинѣ, то онѣ равны и чиежду собою.
Если къ равнымъ величинамъ придадймъ поровну, или отъ
равныхъ величинъ отнимемъ поровну, то равенство не нару-
шится.
Если къ неравнымъ величинамъ придадимъ поровну, или отъ
неравныхъ величинъ отнимемъ поровну, то смыслъ неравенства
не измѣнится, т.-ег болыпая величина останется большей.
Теоремы. Такъ называются предложенія, которыхъ истин-
ность обнаруживается только послѣ нѣкотораго разсужденія
(доказательства). Примѣромъ можетъ служить ариѳметическая
истина: «если сумма цыфръ дѣлится на 9, то число’ дѣлится
на 9».
Слѣдствія. Такъ называются предложенія, которыя соста-
вляютъ непосредственный выводъ изъ аксіомы или теоремы.
Hanp., изъ теоремы: «въ пропорціи произведеніе крайнихъ
членовъ равно произвёденію среднихъ», выводится слѣдствіе:
«крайній членъ пропорціи равенъ произведенію среднихъ чле-
новъ, дѣленному на другой крайній».
2. Соотавъ творвмы. Bo всякой теоремѣ ыожпо раз-
личить двѣ части: условіе и заключеніе. У с л о в і е выражаетъ
то, что предполагается даннымъ; заключеніе — то, что
требуется доказать. Hanp., въ теоремѣ: «если сумма цыфръ дѣ-
лится на 9, то число дѣлится на 9», условіемъ служитъ первая
часть теоремы: «е с л и сумма цыфръ дѣлится на 9», а заклю-
ченіемъ— вторая часть: «то число дѣлится на 9»; другими
словами, намъ дано, что сумма цыфръ нѣкотораго числа дѣ-
лится на 9, а требуется доказать, что въ въ такомъ случаѣ и
само число дѣлится на 9.
Условіе и заключеніе теоремы могутъ иногда состоять изъ
нѣсколькихъ отдѣльныхъ условій и заключеній; напр., въ
теоремѣ: «е с л и ч и с л о д ѣ л и т с я на 2 и н а 3, то оно
раздѣлится на 6», условіе состоитъ изъ двухъ частей: если число
дѣлится на 2 и если число дѣлится на 3.
Полезпо замѣтить, что всякую теореыу можно подробно вы-
разить словами такъ, что ея условіе будетъ начпнаться сло-
вомъ «е с л и», а заіслюченіе — словомъ «т о».
3. Обратная теорвма. Теоремою,. обратною даннсй
теоремѣ, наз. такая, въ которой условіемъ поставлено заклю-
ченіе или часть заключенія данной теоремы, а заключеніемъ—
условіе или часть условія данной теоремы. Hanp., слѣдуюідія
двѣ теоремы обратны другъ-другу:
E с л и сумыа цыфръ дѣлится
на 9,
т о число дѣлится на 9.-
E с л и число дѣлится на 9,
то сумма цыфръ дѣлвтся
на 9.
Если одну пзъ этихъ теоремъ назовемъ п р я м о ю, то дру-
гую слѣдуетъ назвать обратною.
Въ этомъ примѣрѣ обѣ теоремы, и прямая и обратная, ока-
зываются вѣрными. Ho такъ бываетъ не всегда. Hanp., теорема:'
«если каждое слагаемое дѣлится на одно и то же число, то и
сумма раздѣлится на то же число» — вѣрна, но невѣрно
обратное предложеніе: «если сумма дѣлится на какое-нибудь
чигло, то каждое слагаемре раздѣлится иа него».
4. Противоположная теорема. Теоремохо, противо-
положною данной теоремѣ, наз. такая, которой условіе и за-
ключеніе представляютъ отрицаніе условія и заключенія
данной теоремы. Hanp., теоремѣ: «если сумма цыфръ дѣлится
иа 9, то число дѣлится на 9» соотвѣтствуетъ такая противопо-
ложная: «если сумма цыфръ не дѣлится на 9, то число Н6 дѣ-
лится на 9».
Й здѣсь должно замѣтить, что вѣрность прямой теоремы
еще не служитъ признакомъ вѣрности противоположной; напр.,
противоположное предложеніе: «если каждое слагаемое н е дѣ-
лится на одно и то же число, то и сумма н е раздѣлптся на это
число»,— не вѣрно, тогда какъ прямое предложеніе вѣрно.
б. Зависимость между теоремами: пряіѵДой, обратной
И ПрОТИВОПОЛОЗКНОЙ. Для лучшаго уясненія этой зависимости
выразимъ теоремы сокращенно такъ:
1°. П р я м а я т е о р е м а: если есть Ai то есть и В.
2°. Обратная теорема: если есть By то есть и А.
8°. Ііротивоположная п р я м о Гі: если нѣтъ Ai то
нѣтъ и В.
4°. Противоположная обратной: если нѣтъ B9
то нѣтъ и А.
Легко обнаружить, что предложѳнія первое и четвертое о б р а-
т и м ы одно въ другое, равно какъ второе и третье. Дѣйствительно,
изъ предложенія: «если есть Ai то есть и B», непосредственно слѣдуетъ:
«если нѣтъ Bi то нѣтъ и A» (такъ какъ если бы A было, то, согласно
первому предложенію, было бы и В); обратно, изъ предложенія: «если
нѣтъ Bi то нѣтъ и А»у выводимъ: «если есть Ai то есть и В» (такъ какъ
если бы B не было, то не было бы и А). Совершенно такъ же убѣдимся,
что изъ второго предложенія слѣдуетъ третье, и наоборотъ.
Поэтому, чтобы быть увѣреннымъ въ вѣрности всѣхъ четырехъ
теоремъ, нѣтъ надобности доказывать каждую изъ нихъ отдѣльно,
а достаточно ограничиться доказательствомъ только двухъ: прямой
и обратной или прямой и противоположной.
Прямая линія, плоскость. Понятіе о геометріи.
6. Геометричеекія фигуры. Всякая ограниченная
часть пространства называется геометрическимъ тѣ-
л о м ъ.
Геометрическое тѣло можно подраздѣлять на части;
каждая часть геометрическаго тѣла есть также геометрическое
тѣло.
Граница грометрическаго тѣла, т.-е. то, чѣмъ оно отдѣляется
отъ осталыюго пространства, наз. поверхностью.
Поверхность можно подраздѣлять н а ч а с т и ; всякая часть.
поверхности есть также поверхность.
Граница поверхности называется л й н і е й. '
JIiIii ію можно также подраздѣлять н а часіи; каждая
часть линіи есть также линія.
Траница линіи называется т о ч к о й.
Геометрическое тѣло, поверхность, линія и точка не суще-
ствуетъ раздѣльно. Однако при помощи отвлеченія, мы можемъ
разсматривать поверхность независимо отъ геометрическаго
тѣла, линію — независимо отъ поверхности и точку —неза-
висимо отъ линіи. При этомъ поверхность мы должны пред-
ставлять себѣ не имѣхощею толщины, линію — не имѣющею
ни толщины, ни ширины, и точку — не имѣющею ни длины,
ни ширины, ни толщины,-
Всякая линія содержитъ въ себѣ безчисленное множество
точекъ. Принято говорить, что эти точки л е ж а т ъ на ли-
ніи, или что эта линія проходитъ черезъ эти точки. Ихъ
можно разсматривать, какъ послѣдовательныя положенія одной
и той же точки, движущейся вдоль этой линіи. Поэтому можно
сказать,что линія есть слѣдъ движенія точки.
Если, напр., мы острее карандаша двйгаемъ по бумагѣ, то слѣдъ
этого движенія на бумагѣ есть приблизительно линія; прибли-
зительно потому, что оетрее карандаша не представляетъ собою
геометрической точки, вслѣдствіе чего проведенная на бумагѣ
линія имѣетъ нѣкоторую ширину (и дажетолщину). Чѣмъ острѣе
очиненъ карандашъ, тѣмъ болѣе острее его приближается къ
геометрической точкѣ и тѣмъ болѣе линія, проведенная этимъ
карандашомъ, приближается къ геометрической линіи.
Подобно этому поверхность можно разсматривать, какъ
слѣдъ движенія линіи, двигающейся въ простран-
ствѣ нѣкоторымъ образомъ.
Совокупность какихъ бы то ни было точекъ, линій, поверх-
ностей или тѣлъ, расположенныхъ извѣстнымъ образомъ въ
пространствѣ, называется вообще геометрической ф и г у р о й.
7. Геометрія. Наука, разсматривающая свойства геоме-
трическихъ фигуръ, наз. геометріей, что въ переводѣ съ
греческаго языка означаетъ землемѣріе. Такое названіе
этой наукѣ дано было потому, что въ древнее время главною
цѣлью геометріи было измѣреніе разстояній и площадей на
земной поверхности.
8. Въ самомъ началѣ геометріи должно быть указано слѣ-
дующее общее свойство фигуръ:
Аксіома пространства. Всячую геометрическую фи-
гуру можно перенести изъ одного мѣста пространства въ
другое, не нарушая ни величины составляющихъ фигуру
частей, ни ихъ взаимнаго расположенія.
Э. Прямая линія. Всякій знаетъ, что такое п р я м а я
л II н і я, или просто п р я м а я, представленіе о которой намъ
даетъ туго натянутая нить. Понятіе о прямой эле-
ментарно, т.-е. оно не можетъ быть опредѣлено посред-
ствомъ другихъ болѣе простыхъ понятій.
Ha чертежѣ прямую изображаютъ въ видѣ тонкой черты,
проведенной отъ руки или помощью чертежной л и н е й к и.
Прямая линія обладаетъ слѣдующ іми очевидными свой-
ствами:
Аксіомы прямой. 1°. Черезъвсякіядвѣточкипростран-
ства можно провести прямую и притомъ только одну.
2°. Прямую можно продолжать безъ конца въ обѣ ътороны
отъ каждоіі ея точки.
Изъ первой аксіомы слѣдуетъ:
Если двѣ прямыя наложены одна на другую такъ, что какія-
нибудь двѣ точки одной прямой совпадаютъ съ двумя точками
другой прямой, то эти прямыя сливаются и во всѣхъ
остальныхъ точкахъ (патому что въ противномъ случаѣ черезъ
двѣ точки можно было бы лровести двѣ различныя прямыя,
что противорѣчитъ аксіомѣ первой).
По той же причинѣ двѣ прямыя могутъ пересѣчься только
въ одной точкѣ.
Ю.Прямая конечная и безконечная. Если прямую
представляютъ рродолженною въ обѣ стороны безконечно, то ее
назьшаютъ безконечною или неогррниченною
прячой. лКонечно, такую прямую изобразить на чертежѣ не-
возможно. Изображаютъ только какую-нибудь часть ея и
мысленно воображаютъ, что эта часть продолжена въ обѣ сто-
роны безконечно. Прямуіо обозначаютъ обыкновенно двумя
буквами, поставленными у двухъ ^акихъ-либо ея точекъ. Такъ
говорятъ «прямая AB или ВЛ» (черт. 1).
A B Ci 'D
Черт. 1. Черт. 2,
Часть прямо^, ограниченная съ обѣихъ сторонъ, наз. о т р ѣ з-
к о м ъ прямой или конечною прямой; такая прямая
обозначается двумя буквами, поставленными у концовъ ея4
(отрѣзокъ CD, черт. 2). Отрѣзокъ прямой, соединяющій двѣ
точки, наз. иногда разстояніемъ между ними.
Иногда разсматриваютъ прямую, ограниченную только съ
одной стороны, напр., въ точкѣ A (черт. 3). O такой прямой
A
Чѳрт. 3.
говорятъ, что она исходитъ изъ точки А; ее называютъ
полупрямою (или л у ч е м ъ).
11. Равенство и негравенство конечныхъ пря-
мыхъ. Два отрѣзка прямой считаются равными, если они
могутъ быть наложены другъ на друга такъ, что совмѣщаются.
Положимъ, напр., что мы накладываемъ отрѣзокъ"ЛВ на отрѣ-
зокъ CD (черт. 4) такъ, чтобы точка A упала на C и чтобы пря-
мая AB пошла по CD; если при этомъ конды BnD совпадутъ,
то отрѣзки AB и CD считаются равными; въ протввномъ случаѣ
отрѣзки будутъ неравяы, при чемъ меныпимъ считается тотъ,
который составляетъ часть другого.
Чтобы на какой-нибудь прямой отложить отрѣзокъ, равный
данному отрѣзку, употребляютъ циркуль—приборъ, из-
вѣстяый учащчмся изъ опыта.
12. Сумма конечныхъ прямыхъ. Суиімою нѣ-
скопьнихъ данныхъ отрѣзковъ прямой наз. такой новый отрѣ-
зокъ прямой, который составленъ изъ частей, соотвѣтственно
равныхъ даннымъ отрѣзкамъ. Положимъ, напр., требуется
найти сумму трехъ отрѣзковъ: AB, CD и EF (черт. 4). Для
этого на какой-нибудь прямой беремъ произвольную точку
M и откладываемъ отъ нея часть MN, равную A B; зачѣмъ
A ' B Cl ' D E' iF
M N PQ
1 1 1 1
Черт. 4.
отъ точки N въ томъ жё направленіи откладываемъ часть NP,
равную CD, и часть PQ, равную EF. Отрѣзокъ MQ будетъ
сумма данныхъ отрѣзковъ AB, CD 11 EF, которые по отношенію
къ этой суммѣ наэываются слагаемыми. Подобнымъ образомъ
можно получить сумму какого угодно числа отрѣзковъ.
Оумма отрѣзковъ прямой обладаетъ свойствами всякой суммы;
такъ, она не зависитъ отъ порядка слагаемыхъ (п е р е м ѣ -
стительное свойство) ине измѣняется, если нѣ-
которыя слагаемыя будутъ замѣнены ихъ суммою (с о ч е т а -
тельное свойство). Hanp., легко убѣдиться (черт. 4),
что
ABPCDA-EF=CDPEFPAB=EFA-ABPCD=...
и ABPCDPEF=ABPiCDPEF).
Изъ понятія о суммѣ выводятся понятія о разности, произ-
веденіи и частномъ отрѣзковъ. Такъ, разность отрѣзковъ
AB и CD (ерли ABPCD) есть такой третій отрѣзокъ, котораго
еумма съ CD образуеть AB; произведеніе отрѣзка
AB на число 3 есть сумма трехъ отрѣзковъ, изъ которыхъ ка-
ясдый равенъ AB, ч а с т н о е отъ дѣленія отрѣзка AB на
число 3 есть третья часть AB и т. п.
Мы принимаемъ за очевидную истину, что каждый отрѣзокъ
прямой можетъ быть подраздѣленъ (хотя бы только мысленно)
на 2, на 3, на 4 и т. д. равныя части.
13. Плоскость. Плоскостью наз. поверхность, обладающая
тѣмъ свойствомъ, что прямая, проходящая черезъ любыя двѣ
точки этой поверхности, лежитъ на ней всѣми остальными
своими точками. Положимъ, напр., мы желаемъ убѣдиться, бу-
детъ ли плоскостью поверхность стола. Для этого беремъ хорошо
вывѣренную линейку и прикладываемъ ее краемъ въ различныхъ
паправленіяхъ къ повврхности стола такъ, чтобы какія-нибудь
двѣ точкй линейки лежали на этой цоверхности. Если при
этомъ окажется, что, въ какомъ бы направленіи мы линейку
ни прилоясили, всѣ остальныя точки ея будутъ лежать на но-
верхности стола, то эта поверхность есть плоскость.
Существованіе плоскости въ пространствѣ принимается за
аксіому.
Укажемъ слѣдуюіцее свойство плоскости, которое мы при-
мемъ здѣсь безъ доказательства:
Всякую часть плоскости можно наложить всѣмк. ея точками
на другое мѣсто этой или другой плоскости, при чемъ наклады-
ваемую часть можно предварительно перевернуть другою сто-
роною.
14. Раздѣлеяіе геометріи. Геометрія раздѣляется на
двѣ части: планиметрія и стереометрія. Первая
разсматриваетъ свойства такихъ фигуръ, которыхъ всѣ части
помѣщаются на одной плоскости; вторая—свойства такігхъ фи-
гуръ, которыхъ не всѣ части помѣщаются на одной плоскости.
ПЛАНИМЕТРІЯ.
КНИГА I.
ПРЯМАЯ ЛИИІЯ.
Г Л A B A I. •
Угды.
Предварительныя понятія.
16. Опредѣленія. Фигура, образованная двумя поду-
прямыми (OA п OB, черт. 5), исходящими изъ одной точки,
вмѣстѣ съ частью плоскости, ограниченной ими, наз.
у г л о м ъ. Полупрямыя, образу-
ющія уголъ, наз. сторонами,
а точка, изъ которой онѣ исхо-
дятъ,—в е р ш и н о ю угла. Сто-
роны должно представлять себѣ
продолженными отъ вершины без-
конечно.
• Уголъ обыкновенно обозначает-
ся тремя буквами, изъ которыхъ Черт. 5.
средняя ставится у верпшны, а крайнія у какихъ-нибудь то-
чекъ сторонъ; напр., говорятъ: «уголъ AOB или уголъ BOА»
(черт. б). Н) можно обозначать уголъ и одною буквою, по-
ставленною у вершины, если при этой верпшнѣ нѣтъ другихъ
угловъ. Мы иногда будемъ обозначать уголъ дыфрою, поста-
вленною внутри угла, около вершины.
Слово «уголъ» на письмѣ замѣняется часто знакомъ ^Z.
Если изъ верпшны угла (черт. б) проведемъ внутри его
(т.-е. въ той части плоскости, которая принадлежитъ углу)
какія-нибудь прямыя OD, OE..., то образовавшіеся при этомъ
углы AOD, DOE, EOB... разсматриваются, какъ части
^гла AOB.
— 10 —
16. Равенство и неравенство угловъ. Два угла
считаются равными, если при наложеніи они могутъ совмѣ-
ститься. Положимъ, напр., что мы накладываемъ уголъ AOB
на уголъ A1O1B1 (черт. 6) такъ, чтобы вершина O упала въ O1,
сторона OB пошла по O1B1 и чтобы ѵглы покрыли другъ друга.
Черт. 6.
Если при этомъ сторона OA совмѣстится съ OiA1, то углы равны;
если же OA пойдетъ впутри угла A1OiB1, или внѣ его, то углы
не равны, при чемъ тотъ изъ нихъ будетъ меныпе, который
составитъ часть другого угла.
17. Сумма угловъ. Суммою данныхъ угловъ наз.уголъ,
составленный изъ частей, соотвѣтственно равныхъ даннымъ
угламъ. Такъ, чтобы получить сумму угловъ AOB и A1O1B1
(черт. 7), строятъ уголъ MNP, равный одному изъ данныхъ
угловъ, напр., AOB, и къ нему пристраиваютъ уголъ PNQ,
равный другому данному углу A1O1B1, такъ, чтобы у обоихъ
угловъ оказалась общая вершина N и общая сторона NP и
чтобы углы были расположены по разныя стороны отъ общей
стороны NP. Полученный такимъ образомъ уголъ MNQ есть
с у м м а угловъ AOB и A1O1B1. Подобнымъ образомъ можетъ
боть составлена сум-ма трехъ и болѣе угловъ.
Сумма углбвъ, какъ и сумма отрѣзковъ прямой (12), обла^
— 11 —
угла,
Черт. 8.
(или равнодѣля*
даетъ с в о й с т в а м и перемѣстительнымъ и со
четательнымъ.
Изъ понятія о суммѣ угловъ выводятся понятія объ ихъ раз-
еости, произведеніи и частномъ.
Мы принимаемъ за очевид-
ную истину, что каждый уголъ
можетъ быть раздѣленъ (хотя бы
только мысленно) на 2, на 3,
на4ит. д.равныя части.
Замѣтимъ, что полупрямаядѣ-
лящая уголъ пополамъ (черт. 8),
наз. биссектриссою этого
щею) *).
1в. Замѣчаніе 1-е. При нахожденіи суммы угловъ могутъ
представиться нѣкоторые особенные случаи, которые полезно раз-
смотрѣть особо.
1°. Можетъ случиться, что послѣ сложенія нѣсколькихъ угловъ,
напр., трехъ: AOBi BOC и COD
(черт. 9), сторона OD угла COD
составитъ продолженіе
стороны OA угла AOB. Мы по-
лучимъ тогда фигуру, образо-
ванную двумя полупрямыми (OA
и OZ)), исходяціими изъ одной
точки (O) и составляюціими про-
долженіе одна другой. Такую фи- Черт. 9.
гуру (вмѣстѣ съ частью плоскости, расположенную по одну сторону пря-
мой AD) принято тоже называть
угломъ (развернутымъ,
или в ы п р я м л е н н ы м ъ).
2°. Можетъ случиться, что
послѣ сложенія нѣсколышхъ уг-
ловъ, напр., пяти угловъ: AOBi
BOC, CODi DOE и EOA (черт. 10),
сторона OA угла EOA совмѣ-
стится со стороной OA угла AOB.
Фигура, образованная таки-
ми совпавшими' полупрямыми
(вмѣстѣ со всею плоскостью,
расположенною кругомъ обціей
вершины 0) также называется
угломъ (полнымъ).
*) Въ нѣкоторыхъ руководствахъ линія эта наз. также биссекторомъ.
- 12 —
8°. Наконецъ, можетъ случиться, что, строя сумму угловъ, мы не
только заполнимъ всю плоскость кругомъ ихъ общей вершины,
но даже будемъ вынуждены налагать углы одинъ на другой, по-
крывая плоскость вокругъ общей вершиньі во второй разъ, въ трѳ-
тій разъ и т. д.
Въ этомъ случаѣ понятіе о суммѣ угловъ должно быть расширено
на основаніи слѣдующихъ опредѣленій:
1°. Двѣ суммы угловъ: а1 + а2 + аз + --- +ап и &і + &2 + &з + -*- +&т счи“
таются равными, если, строя ихъ указаннымъ путемъ, начиная отъ
одной и той же полупрямой OA въ одномъ направленіи вокругъ общей
вершины 0, мы для каждой суммы, во-первыхъ, обойдемъ по плоскости
все пространство вокругъ точки 0 одинаковое число разъ и, во-вторыхъ,
послѣдняя сторона угла ап совпадетъ съ послѣднею стороною угла ьт.
2°. Если же эти условія не выполнены, суммы считаются неравными,
гіри чемъ та будетъ меныне, къ которой надо приложить еще нѣкоторый
уголъ или нѣсколько угловъ, чтобы получить вторую сумму.
19. Замѣчаніе 2-е. Когда двѣ полупрямыя исходятъ изъ
одной точки, то, строго говоря, онѣ образуютъ не одинъ уголъ, а два
угла. Возьмемъ, напр., черт. 5-й и вообразимъ, что полупрямая OA
враціается вокругъ O до совпаденія съ полупрямой OB. Это враціеніе
можетъ быть двоякое: или OA враціается по направленію движенія
часовой стрѣлки, или же, наоборотъ, противъ движенія часовой'
стрѣлки. Если обратимъ вниманіе на часть плоскости, которую OA
проходитъ до совпаденія съ OB при первомъ враціеніи, то будемъ
имѣть одинъ уголъ, образованный полупрямыми OA и OB и содер-
жащій эту часть плоскости; если же обратимъ вниманіе на часть пло-
бкости, проходимую OA до совпаденія съ OB при другомъ врашеніи,
то поЛучимъ другой уголъ, образованный тѣми же сторонами OA и OB,
но содержащій эту другую часть плоскости. Эти два угла равны другъ
другу лишь въ томъ случаѣ, когда полупрямыя OA и OB составлйютъ
одну прямую, т.-е. когда оба угла развернутые; въ остальныхъ слу-
чаяхъ углы эти не равны, но веегда въ суммѣ составляютъ полный
уголъ. Обыкновенно, говоря объ углѣ AOBi разумѣютЪ только тотъ
изъ двухъ угловъ, образованныхъ полупрямыми OA и OBi который
меньше развернутаго угла.
Свойство прямого угла.
20. Опредѣленія. Два угла (АОВ и BOC, черт. 11 и
черт. 12) наз. смежными, если одна сторона у нихъ об-
щая, а двѣ другія стороны составляютъ продолженіе одна
другой.
Изъ этого опредѣленія видно, что если возьмемъ произволь-
ний уголъ (напр., AOB, черт. 11) и продолжимъ одну его сто-
— 13 —
рону (напр., AO) за вершину, то получимъ другой уголъ (BOC),
смежный со взятымъ угломъ.
Общая сторона (OB) двухъ смежныхъ угловъ наз. наклон-
н о ю къ прямой (AC), на которой лежатъ другія стороны,
въ томъ случаѣ, когда смежные углы не равны (черт. 11).
Общая сторона (OB) двухъ смежныхъ угловъ наз. п е р-
пендикуляромъ къ прямой, на которой лежатъ другія
стороны, въ томъ случаѣ, когда смежные углы равны (черт. 12).
Въ первомъ случаѣ общая вершина (O) наз. о с н о в а-
ніемъ наклонной, во второмъ случаѣ — основаніемъ
перпендикуляра.
Говорятъ «возставить къ прямой перпендпкуляръ»,
если этотъ перпендикуляръ приходится проводить черезъ.точку,
взятую на прямой, и «о п у с т и т ь на прямую перпенди-
куляръ», если онъ проводится черезъ точку, взятую внѣ прямой.
Каждый изъ равныхъ смсжныхъ угловъ
наз. прямымъ (черт. 12).
Что смежные углы могутъ быть равны, видно изъ слѣдую-
щей теоремы.
21. Теорема. Изъ всякой точки прямой можно, по ту и
другую сторону отъ этой прямой, возставить къ ней перпенди-
куляръ и притомъ только одинъ.
Пусть дана какая-нибудь прямая AB (черт. 13) и йа ней произ-
вольная точка 0. Требуется доказать, что: во 1) изъ этой точіш
можно, по каждую сторону отъ прямой AB, возставить къ AB
— 14 —
періпендикуляръ, и во 2) этотъ перпендикуляръ можетъ быть
только одинъ (по каждую стброну оть прямой).
1°. Проведемъ изъ точки O какую-нибудь полупрямую OC.
Тогда образуются 2 смежныхъ угла: AOC и СОВ. Если слу-
чится, что углы эти равны другъ-другу, то тогда ихъ общая
сторона OC будетъ перпендикуляромъ къ AB; если же углы
AOC и COB окажутся неравнымн, то одиеъ изъ нихъ долженъ
быть меныііе другого. Пусть AOC меныпе COB. Тогда отъ боль-
шаго угла COB мы можемъ отдѣлить часть С'ОВ, равную
смежные углы AOD и DOB, состоящіе изъ соотвѣтственно рав-
ныхъ частей (AOC=COB и COD=DOC'), равны между собою.
2°. Всякая другая полупрямая OD', исходящая изъ точки
O и расположенная по ту же сторону отъ AB, по которой ле-
житъ OD, не можетъ образовать съ AB равныхъ смежныхъ
угловъ, такъ какъ AODiPAOD, а DrOBP^DOB и, слѣд., углы
AOD' и D1OB не могутъ быть равны. Такимъ образомъ, нельзя
возставить другого перпендикуляра къ AB изъ точки O по ту
сторону отъ AB, по какой лежитъ перпендикуляръ OD.
Точно такъ же убѣдимся, что по другую сторону отъ AB
можно возставить изъ точки O перпендикуляръ къ AB и при-
томъ только одинъ.
22. Теорема. Всѣ прямые углы равны между собою.
Пусть смежные углы при вершинахъ O и O' (черт. 14) п р я-
м ы е, т.-е. ^/AOB=BOC и ^A1O1B1=B1O1C1. Требуется
доказать, что прямые углы первой пары равны прямымъ угламъ
второй пары.
углу AOC; послѣ чего отъ
угла COB останется нѣко-
торый уголъ COC'. Вообра-
зимъ, что этотъ уголъ раз-
дѣленъ пополамъ; пусть
биссектрисса будетъ нѣкото-
рая полупрямая OD. Эта полу-
прямая и будетъ перпенди-
куляромъ къ AB, такъ какъ
— 15 —
Наложимъ фигуру AOBC на фигуру A1O1B1C1 такъ, чтобы
точка O упала на O1, полупрямая OC пошла по O1C1 и чтобы
почупрямая OB упала по ту же сторону отъ A1C1, по которой
раслоложена O1B1. Тогда полупрямыя OA и O1A1 совмѣстятся,
такъ какъ онѣ составляютъ продолженіе совпавшихъ полу-
прямыхъ OC и O1C1; полупрямая OB соввадетъ съ O1B1, потому
что въ противномъ случаѣ изъ одной точки O1 прямой A1G1
можно было бы, возставить къ ней, по одну и ту же сторону,
два перпендикуляра, что, по доказанному, невозможно. Если же
полупрямыя OB и O1B1 совпадутъ, то это значитъ,что /AOB=
=ZLZl1O1B1 и ZCOB=C1O1B1, что и требовалось доказать.
Замѣчаніе. Изъ доказанной теоремы слѣдуетъ, что
прямой уголъ представляетъ собою постоянную вели-
чину (ее обыкновенно обозначаютъ знакомъ d, т.-е. началь-
ною буквою французскаго слова droit, прямой). Вслѣд-
ствіе этого обыкновенно углы сравниваютъ по величинѣ съ
прямымъ угломъ. Если уголъ меныпе прямого (какъ уголъ
AOC, черт. 15), то его называютъ
о с т р ы м ъ, если же уголъ боль-
ше прямого (какъ уголъ AOD, черт.
15), то его называютъ т у п ы м ъ.
28. Доказательетво нало-
ЖѲНІѲМЪ. Пріемъ, ісоторымъ мы
доказывали предыдущую теорему,
наз. доказательствомъ по-
средствомъ наложенія.
Мьт пришімаемъ за очевидное, что наложеніе одной пло-
— 16 —
ской фигуры на другую всегда можно выполнять въ такой по-
слѣдовательности:
1°. Мы можемъ любую т о ч к у одной фигуры совмѣстить
съ лхобою т о ч к о ю другой фигуры; наххр. (черт. 14), точку
O съ O1.
2°. По совмѣщеніи двухъ точекъ мы можемъ, вращая на-
кладываемую фигуру вокругъ совпавшей точк'и, совмѣстить
въ обѣихъ фигурахъ любыя двѣ полупрямыя, исходящія
изъ совпавшихъ точекъ, напр. (черт. 14), OC съ O1O1; тогда,
конечно,. совмѣстятся и продолженія этихъ полупрямыхъ,
OA съ O1A1, т.-е. совмѣстятся прямыя AC и A1O1, проходящія
черезъ точки O и O1.
3°. По совмѣщеніи двухъ точекъ и двухъ прямыхъ мы можеадъ,
вращая накладываемую фигуру вокругъ совпавшей прямой,
какъ около оси, расположить эту фигуру или по ту, или по
другую сторону отъ совпавшей прямой. Напр. (черт. 14), по
совмѣщеніи точекъ O и O1 и прямыхъ AO и A1O1, мы можемъ
расположить фигуру AOBC или такъ, что полупрямая OB
пойдетъ кверху отъ O1O1, или же тахсъ, что она пойДётъ книзу
оть нея (въ послѣднемъ случаѣ будетъ такъ называемѳе п р и-
ложеніе фигуры).
Послѣ этого нашъ хіроизволъ заканчивается; совпадутъ ли
другія части фигуръ,—зависитъ отъ свойствъ самйхъ фигуръ.
24. Черченіе прямого угла. Прямой уголъ легко на-
чертитьпомощьюприбора,называемаго наугольникомъ,
у котораго одинъ изъ трехъ угловъ дѣлается прямымъ. Чтобы
начертить прямой уголъ при точвѣ C прямой AB (черт. 16),
можно поступить такъ: приставимъ къ этой прямой линейку,
а къ линейкѣ науголь-
никъ, какъ указано на
чертежѣ, и будемъ дви-
гать наугольникъ вдоль
линейки до тѣхъ поръ,
пока вершина пря-
мого угла не совпа-
детъ съ точкой 0.
Остается затѣмъ про-
вести по сторонѣ пря-
мого угла прямую CD.
D
— 17 —
Свойства смежныхъ и вертикальныхъ угловъ.
25. Теорема. Сумма двухъ смежныхъ угловъ равна двумъ
прямымъ.
Даны два смежныхъ угла: AOB и BOC (черт. 17); требуется
доказать, что АОВ+ВОС=й+<і=2(1
Возставивъ изъ точки O къ
прямой AC перпендикуляръ
OD, мы разобьемъ уголъ AOB
на два угла AOD и DOB.
Отнявъ отъ угла AOB уголъ
DOB, мы получимъ прямой
уголъ AOD; прибавивъ къ
углу BOC тотъ же уголъ Черт. 17.
DOB, мы получимъ тоже прямой уголъ; именно DOC. Ho если
мы одно слагаемое уменыпимъ, а другое увеличимъ на одну
и ту же величину, то сумма не измѣнится; значитъ, сумма
АОВРВОС должна быть такая же, какъ и сумма AODPDOC.
Ho эта сумма равна dpd, т.-е. Zd; значитъ, и AOBPBOC=Zd.
26.Слѣдствія. 1°; Суммаугловъ (AOB, BOC, COD,
DOE, черт. 18), расположенныхъ вокругъ об-
щей вершины (O) по одну сторону прямой
D
Черт. 18.
(AE), р а в й а Zd, потому что эту сумму можно разсматривать
(согласно сочетательному свойству), какъ сумму двухъ смеж-
ныхъ угловъ, напр., угловъ AOB и BOE, или угловъ AOC и
СОЕ, и т. п.
А. Киселевъ. Ге.іметрія. 2
— 18 —
2°. Сумма угловъ (AOB, BOC, COD, DOE, EOA,
черт. 19), расположенныхъ вокругъ общей
вершины (O) п о обѣ стороны отъ какой-
нибудь прямой (DM), р а в н а Ы, потому что, сложивъ
углы DOC, COB и ВОМ, расположенные по одну сторону отъ
прямой MD, мы получимъ въ суммѣ Zd, и сложивъ углы MOA,
AOE и EOD, расположенные по другую сторону отъ MD, мы
въ суммѣ еще получимъ Zd; значитъ, сумма всѣхъ этихъ угловъ
равна ZdPZd, т.-е. 4d.
27. Обратная теорема. Если сумма двухъугловъ, имѣю-
щихъ общую вершину и общую сторону и не покрывающихъ
другъ друга, равна двумѵ прямымъ, то такіе углы—смежные,
т.-е. двѣ другія стороны ихъ составляютъ продолженіе одна
другой.
Пусть даны (черт. 20) два угла: AOB и ВОС, имѣющіе общую
вершину O и общую сторону OB и не покрывающіе другъ друга;
пусть, кромѣ того, извѣстно, что сумма ихъ равна Zd; требуется
доказать, что при этихъ условіяхъ OC есть продолженіе AO.
Допустимъ противное (про-
‘ тивоположное) тому, что тре-
N. буется доказать, а именно до-
Q -—C пустимъ, что OC не есть про-
A D долженіе AO. Посмотримъ, къ
Черт. 20. чему приведетъ насъ это пред-
положеніе. Такъ какъ всякая прямая можетъ быть продол-
жена въ обѣ стороны, то и прямая AO можетъ быть продолжена
за точку 0. Пусть это продолженіе будетъ нѣкоторая полу-
прямая OD, которая, согласно нашему допухденію, не сливаетдя
съ 00. Тогда углы AOB и BOD будутъ смежные и потому, по
^оказанному прежде (25):
AOBPBOD=Zd.
Оь другой стороны, согласно условію нашей теоремы:
AOBPBOC=Zd.
— 19 —
Правыя части этихъ двухъ равенствъ равны, слѣд., равны
и лѣвыя (двѣ величины, равныя порознь одной и той же третьей
величинѣ, равны между собою):
AoBPBOD=AOBPBOC.
Отнявъ отъ равныхъ суммъ по одному и тому же углу AOB,
мы должны получить равные остатки:
BOD=BOC.
Ho это равенство невозможно, такъ какъ уголъ BOC соста-
вляетъ часть угла BOD, а часть не можетъ равняться цѣлому.
Если въ результатѣ разсужденія мы получаемъ невозмож-
ный (нелѣпый) выводъ, то это можетъ произойти или отъ того,
что мы невѣрно разсуждали, или отъ того, что наше разсу-
жденіе было основано на невозможномъ допущеніи. Разсуждё-
ніе ваше было правильно; значитъ, причина нелѣпаго вывода
заключается въ невозможности допущенія, что OC не есть про-
долженіе AO. Ho если это предположеніе невозможно, то остается
только одно: OC есть продолженіе AO *); что и требовалось
доказать.
Слѣдствіѣ. Если изъ како й-н ибудь точкиО
прямой AB (черт. 21) возставимъ къ ней, по
каждуюеясторону,
перпендикуля ры OC и р
OD, то эти перпенди-
к у л-я ры образуютъ
одну прямую CD, потому
что сумма угловъ COB и BOD O
равна Zd. A ————— B
28. Опредѣленіе. Пря-
мая CD (черт. 21), которой
части OG и OD служатъ пер-
пендикулярами къ другой пря- J)
мой AB, наз. п р я м о й, п е р-
„ . п Черт. 21.
пендикулярной къ AB.
Если прямая CD перпендикулярпа къ прямой AB, то іі
обратно: AB перпендикулярпа къ CD, потому что части OA
*) Слѣд., нашъ чертежъ сдѣланъ неправильно.
2*
— 20 —
и OB служатъ также перпендинулярами къ CD. Поэтому пря-
мыя AB и CD наз. взаимно перпендикулярными.
Что двѣ прямыя AB и CD взаимно перпендикулярыы, вы-
ражаютъ пйсьменно такъ:, ABpCD.
29. Доказательство отъ противнаго. Способъ,
которымъ мы доказали обратную теорему о смежныхъ углахъ
(27), наз. доказательствомъ отъ противнаго, или п р и-
веденіемъ къ нелѣпости (reductio ad absurdum).
Первое названіе этотъ способъ получилъ потому, что въ началѣ
разсужденія дѣлается предположеніе, лротивное (про-
тивоположное) тому, что требуется доказать. Приведеніемъ къ
нелѣпости онъ наз. вслѣдствіе того, ,что, разсуждая на осно-
ваніи сдѣланиаго предположенія, мы приходимъ къ нелѣ-
пому выводу (къ абсурду). Полученіе такого вывода
заставляетъ насъ отвергнуть сдѣланное въ началѣ допущеніе
и принять то, которое требовалось доказать.
80. Опредѣленіе. Два угла наз. вертикальными,
если стороны одного составляютъ продолженія сторонъ другого.
Такъ, при пересѣченіи двухъ прямыхъ AB и CD (черт. 22)
эбразуфтся двѣ пары вертикальныхъ угловъ; AOD и СОВ,
AOC и DOB. '
SI. Теорема. Два вертикальныхъ угла равны.
Пусть даны (черт. 22) два вертикальныхъ угла: AOD и COB;
другими словами, пусть дано, что OB есть
продолженіе OA и OC есть продолженіе OD,
Требуется доказать, что AOD=COB.
' Уголъ AOD, сложенный съ угломъ DOB,
составляетъ' Zd (по свойству смежныхъ уг-
ловъ); уголъ COB, сложенный съ тѣмъ же
угломъ DOB, составляетъ также Zd (по тому же
свойству). Значитъ, каждый изъ угловъ AOD
и COB равенъ одной и той же разности Zd—DOB;
поэтому углы эти равны.
Подобнымъ же образомъ докажемъ, что н
Черт. 22. AOC=DOB.
32.Теорема. Изъ всякой точки, взятой внѣ прямой, можно
опустить на эту прямую перпендикуляръ и притомъ только одинъ.
— 21 —
Пусть дана какая-вибудь прямая AB (черт. 23) и внѣ ея
точка М; требуется доказать, что во 1) изъ этой точки можно
олустить на прямую AB пер-
пендикуляръ и во 2) что этотъ
перпендикуляръ можетъ быть ' і M
только одинъ.
eN
і
Чѳрт. 23.
1) Перегнемъ чертежъ по
прямой AB такимъ образомъ,
чтобы верхняя его часть (со- Д —
держащая точку М) упала на
нижнюю часть *). Тогда точка
M займетъ нѣкоторое положе-
ніе N. Отмѣтивъ это положеніе,
приведемъ чертежъ въ преж-
ній видъ и затѣмъ черезъ точки
MaN проведемъ прямую. До-
кажемъ, что эта прямая перпендикулярна къ AB. Для этого
перегнемъ чертежъ вторично по прямой AB. Тогда точка M
снова совмѣстится съ N, а точка С, въ которой пересѣкаются
прямыя MN и AB, останется на мѣстѣ; слѣд., полупрямая CM
пойдетъ по полупрямой CN, уголъ MCB, совмѣстптся съ угломъ
BCN, а уголъ MCA совмѣстптся съ угломъ ACN; зпачитъ,
смежные углы MCB и BCN равны, а также равны и смежпые
углы MCA и ACN. Такъ какъ каждый изъ равпыхъ смежныхъ
углоръ наз. прямымъ, то всѣ 4 угла, образовавшіеся при точкѣ C,
будутъ прямые; зпачитъ, MNPAB.
2) Докажемъ .теперь, что другого перпендикуляра черезъ
точку M къ прямой AB провести нельзя. Предположимъ про-
тйвпое, т.-е. что чёрезъ M къ AB можло провести, кромѣ MN,
еще какой-пибудь другой гіерпепдикуляръ, напр., MD
(черт. 24).
*) Выражаясь болѣе точно, вообразимъ, что верхняя часть пло-
скости чертеЖа, вращаясь вокругъ прямой ABi пришла въ совмѣщеніѳ
съ нижней частью этой плоскости.
— 22 —
Чтобы опровергнуть это допущеніе, перегнемъ чертежъ снова
по нрямой AB. Тогда точка M по прежнему совмѣстится съ JV,
а точки D и C останутся на
своихъ мѣстахъ; слѣд., уголъ
MDB займетъ положеніе BDN.
Разогнувъ чертежъ, расмотримъ
линію MDN. Такъ какъ, по
предположенію, MD _і_ AB, то
уголъ MDB долженъ быть пря-
мымъ, а потому и равный
ему уголъ BDN также дол-
женъ быть прямымъ. Ho тогда
мы будемъ имѣть два угла,
MDB и BDN, которые, имѣя
общую вершину и общую сто-
рону, составляютъ въ суммѣ 2d;
Черт. 24. слѣд., по доказанному раныпе
(27), двѣ ихъ стороны DM и DN должны составлять продолже-
ніе одна другой, и, значитъ, линія MDN должна оказаться
прямою. Ho тогда черезъ точки MaN будутъ проходить 2 раз-
личныя прямыя линіи: одна MN, которую мы раныпе провели,
и другая MDN, которую мы получили теперь. Такъ какъ это
нѳвозможно (9), то нельзя допустить, чтобы черезъ точку M
къ прямой AB можно было провести ехце какой-нибудь иной
перпендикуляръ, кромѣ MN.
Замѣчаніе. Чтобы опустить перпендикуляръ на прямую
изъ данной точки, можно пользоваться линейкой и науголь-
никомъ (см. черт. 16).
33. Симметричныя ТОЧКИ. Если точки M VL N (черт. 24) распо-
ложены по разныя стороны отъ прямой AB, на одномъ къ ней перпен-
дикулярѣ и на одинаковомъ разстояніи отъ основанія этого перпен-
дикуляра, то такія двѣ точки принято называть симметрич-
нымиотносительно оси AB. Здѣсь слово «ось» примѣнено
потому, что если мы часть плоскости, расположенную по одну сторону
отъ прямой AB, станемъ враціать вокругъ этой прямой, к а к ъ
вокругъ оси, до совмѣщенія ея съ частью плоскости, распо-
ложенною по дру.гую сторону отъ AB, то симметричныя точки MnN
еовмѣстятся.
— 23 —
Упражненія. Доказать, что:
1. Биссектриссы двухъ смежныхъугловъ взаймно пѳрпѳндикулярны.
2. Биссектриссы двухъ вертикальныхъ угловъ составляютъ про-
долженіе одна другой.
3. Если при точкѣ 0 прямой AB (черт. 22) построимъ по разныя
стороны отъ AB равные углы AOD и BOCi то стороны йхъ OD и OG
составляютъ одну прямую (теорема, обратная теоремѣ § 81-го).
4. Если изъ точки O (черт. 22) проведемъ полупрямыя OAi ODi OBi
OC такъ, что AmAOC=AmBOB и AaOD= AOOB9 то ОБесть продолжѳніе
OAn OD продолженіе OC.
— 24 —
Г JI A B A II.
Треугольники и многоугольники.
Понятіе о многоугольникѣ и треугольникѣ.
34. Ломаная линія. Линія. наз. ломаною, когда она
состоитъ изъ отрѣзковъ прямой, не расположенныхъ на одной
прямой (черт. 25 ,или 26). Эти отрѣзни наз. сторонами
ломаной, а вершины угловъ, образуемыхъ сосѣдвими отрѣз-
ками,—в ершинами ея. Ломаная линія обозначается ря-
домъ буквъ, поставленныхъ у ея вершинъ и концовъ; напр.,
говорятъ: ломаная ABCDE (черт. 25 и 26).
Ломаную линію мы будемъ называть выпуклою, если
она вся расположена по одну сторону отъ к а ж д а г о со-
ставляющаго ее отрѣзка, продолженнаго неопредѣленно въ
обѣ стороны. Такова, напр., линія, изображенная на черт.
25,-мъ, тогда какъ ломаная чертежа 26-го не будетъ вы-
пуклой.
Когда концы ломаной сходятся въ одну точку, то она наз.
вамкнутой.
35. Многоугольникъ. Фигура, образованная замкну-
тою ломаной линіей (вмѣстѣ съ частью плоскости, ограничен-
ною этою ломаною), наз. многоугольникомъ (черт. 27).
Стороны этой ломаной наз. сторонами многоугольника,
углы, составленные каждыми двумя сосѣдними сторонами,—
у г л а м и многоугольника, а ихъ вершины—в ершинами
E
Черт. 25.
Черт. 26.
— 25 —
его. Сама ломаная линія, ограничивающая мноГоугольникъ,
наз. контуромъ его.
Многоугольникъ наз. выпуклымъ, если онъ ограниченъ
выпуклою ломаной линіей; таковъ, напр., многоуг. ABCDE,
изображенный на черт. 27 (многоуг. MNPQRS нельзя назвать
выпуклымъ).
Всякая прямая (какъ AD, BE, MR...), которая соединяетъ
верпшны двухъ угловъ многоугольника, не прилежащихъ къ
одной сторонѣ, наз. діагональю многоугольника.
■ Сумма всѣхъ сторонъ многоугольника наз. перимет-.
р омъ его.
Два многоугольника, какъ вообхце двѣ какія-нибудь гео-
метрическія фигуры, считаются р а в н ы м и, если они при
наложеніи могутъ быть совмѣщены *).
Наименыпее число сторонъ въ многоугольникѣ—т р и. По
числу сторонъ многоугольникъ наз. треугольникомъ,
четыреугольникомъ, пятиугольникомъ
и т. п.
*) Фигуры, могущія совмѣститься при наложеніи, наз. к о н г р у«
ентными, а самоѳ совмѣщеніе —к онгруенціей. Разли-
чаютъ конгруенціір прямую и непрямую. Прямою кон-
груенція наз. тогда, когда совмѣціеніе можетъ быть выполнено посред-
ствомъ передвиженія одной изъ конгруектныхъ фигуръ по плоскости,
въ которой фигуры лежатъ; если же для совмѣціенія фигуръ такого
передвиженія недостаточно, Ho надо еще перевернуть одну
изъ фигуръ другою стороною, то конгруенція наз. непрямою.# Hanp.,
тр-Ки, изображенные на черт. 37-мъ, прямо конгруентны, а тр-ки.
ABC и ^iB11C1 черт. 39-го непрямо конгруентны.
— 26 —
Для краткости слова: «многоугольнщсъ», «треугольникъ»,
«четыреуголыткъ» и т. п. мы часто будемъ писать такъ: мн-къ,
тр-къ, четыре-кь и т. п. Слово «треуголі.шікъ» на письмѣ иногда
замѣняется также знакомъ Д.
36. Раздѣленіе треугольниковъ. Треуголытки
раздѣляются или по сравнительнѳй длинѣ ихъ сторонъ,- или
по характеру ихъ угловъ. Относительно длины сторонъ они
бываютъ: разносторонніе (черт. 28), когда всѣ сто-
роны различной длины, равнобедренные (черт. 29),
когда двѣ стороны одинаковы, и равносторонніе
(черт. 30),'когда всѣ стороны равны.
Относитёльно характера угловъ треугодц.ники бываютъ:
остроугольные (черт. 28), когда всѣ углы острые,
п р я м о у г ол ь н ы е (черт. 31), когда въ числѣ угловъ есть
прямой, и тупоугольные (черт. 32), когда въ числѣ
уіловъ есть тупой*).
Въ прямоугольномъ треугольникѣ стороны, образующія пря-
мой уголъ, наз. катетами, а сторона, лежащая противъ
прямого угла,—г ипотенузой.
*) Возможность существованія всѣхъ этихъ видовъ треугольника
легко показать теперь же, за исключеніемъ треугольника равносто-
ронняго, суціествованіе котораго можно обнаружить только впо-
слѣдствіи-
Черт. 28.
Черт. ‘29.
Черт. 80.
КАТЕТЬ
Черт. 31.
Черт. 82.
— 27 —
37. Главнѣйшія линіи въ треугольникѣ. Одну
изъ сторонъ треугольника обыкновенно называютъ о с н о в а-
н і е м ъ, вершину противоположнаго угла — вершиною
тр-ка, а перпендикуляръ, опущенный изъ верптны на осно-
ваніе или на его продолженіе, — высотою его. Такъ,' если
въ тр-кѣ ABC (черт. 33 или 34) за основаніе взята сторона AC,
то B будетъ вершина, BD—высота тр-ка.
Въ равнобедренномъ тр-кѣ основаніемъ называютъ обык-
новенно ту сторону, которая не принадлежитъ къ равнымъ;
тогда вершина равнобедреннаго тр-ка будетъ вершина того
угла его, который образованъ равиыми сторонами.
Кояечная прямая BE (черт. 33 и 34), соединяющая вершину
какого-нибудь угла тр-ка съ серединою противополож-
ной сторояы, наз. среднею линіей или медіаною.
Конечная прямая BF (черт. 33 и 34), дѣлящая какой-нибудь
уголъ тр-ка пополамъ, наз. равнодѣлящею угла тр-ка
или его биссектриссою (биссектрисса вообще не совпа-
даетъ ни съ медіаною, ни съ высотою). Bo всякомъ тр-кѣ есть
три медіаны, три биссектриссы и три высоты (опущенныя на
каждую изъ трехъ сторонъ).
Свойства равнобедреннаго треугольника.
38. Теорема. Въ равнобедренномъ треугольникѣ биссе-
ктриссаугла при вершинѣ служитъ одновременно и медіаной, и
высотой.
Пусть тр-къ ABC (черт. 35) равнобедренный и прямая BD
дѣлитъ пополамъ уголъ B при веріпинѣ его. Требуется доказать,
что эта биссектрисса BD есть таюке и медіана, и высота. Вообра-
— 28 —
зимъ, что AABD повернутъ вокругъ стороны BD, какъ около
оси, такъ, чтобы онъ упалъ на ABDC. Тогда, вслѣдствіе ра-
венства утловъ 1 и 2, сторона AB упадетъ на BC, а вслѣдствіе
равенства этихъ сторонъ точка A совпа-
B детъ съ С. Поэтому DA совмѣстится
съ DC и уголъ 4 съ угломъ 3; значитъ,
DA=DC и А^4=^3. Изъ того, что
DA=DC, слѣдуетъ, что BD есть ме-
діана; изъ того, что углы 3 и 4 равны,
выходитъ, что эти углы прямые, и слѣд.,
BD есть высота тр-ка ABC.
89. Слѣдетвіе 1-е. Такъ какъ,
Q іо доказанному, биссектрисса BD пред-
ставляеть собою и медіану, и высоту, то
Черт. 35. можно сказать, что она есть также
н перпендикуляръ къ основанію AC, возстановленный изъ его
середины D.
Такимъ образомъ, въ равнобедренномъ тр-кѣ ABC (черт. 35)
одна и та же прямая BD служитъ одновременно: 1) биссектрис-
сою угла при вершинѣ, 2) медіаною, проведенною къ основанію,
3) высотою, опущенвою на освованіе, и, наконецъ, 4) перпенди-
куляромъ къ основанію, возстановленнымъ изъ его середины.
Такъ какъ каждое изъ этихъ 4-хъ свойствъ вполнѣ опредѣляетъ
положеніе прямой BD, то существованіе одного изъ нихъ влечетъ
за собой всѣ остальныя. Hanp., высота равнобедрен-
наготр.еугольника,служитъодновременно
биссектриссою, медіаною и перпендику-
ляромъ къ основанію въ его середпнѣ.
Дѣйствительно, во-1-хъ, эта высота должна служить биссектрис-
сою, потому что въ противномъ случаѣ, провёдя такую бис-
сектриссу, мы имѣли бы двѣ различныя высоты на одну й ту жу
сторону тр-ка, что невозможно. Во-2-хъ, эта высота, будучи
биссектриссою, должна быть, по доказанному, медіаной и,
слѣд., перпендикуляромъ къ основанію въ его серединѣ.
40. Слѣдствіе 2-е. Изъ того, что тр-ки ABD и BDC
(черт. 35) совмѣщаются всѣми своими частями, слѣдуетъ, что
Z-Z=ZJZ, т--е.
въ равнобедренномъ треугольникѣ углы при основаніи равны.
— 29 —
41. ПОНЯТІѲ ОбЪ ОСИ симметріи. Мы видѣли, что равнобедрен-
ный /^АВС (черт. 86) дѣлится биссектриссою BD на такіе 2 тр-ка (лѣ-
вый и правый), которые вращѳніемъ вокругъ биссектриссы, какъ около
оси, могутъ быть совмѣщены другъ съ другомъ. Изъ этого можно
заключить, что какую бы точку на лѣвой половинѣ равнобедреннаго
тр-ка мы ни взяли, всѳгда можно на правой его половинѣ найти другую
точку, симметричную первой относительно оси BD (88).
Возьмемъ, напр., на сторонѣ AB какую-нибудь точку М. Опустимъ
изъ нея на BD перпендикуляръ MK и про-
должимъ его до пересѣченія со стороною BC.
Мы получимъ тогда на этой сторонѣ
точку M', симметричную точкѣ M отно-
сительно оси BD. Дѣйствитѳльно, ѳсли,
вращая ^ABD вокругъ BD, мы его совмѣ-
стимъ съ ДВОО, то при этомъ KM пойдетъ
по KMt (по равѳнству прямыхъ угловъ),
а сторона BA упадетъ на сторону BC (по
равенству угловъ при точкѣ В); значитъ,
точка M, которая лежитъ и на KM, и на BA,
упадетъ въ точку Mt, которая лежитъ и
на KM', и на BC. Отсюда видно, что
KM = KM'. Такимъ образомъ, точки M и M'
лежатъ по разныя стороны отъ биссектриссы BD, на одномъ къ ней
перпендикулярѣ и на равныхъ разстоягііяхъ отъ основанія этого
перпендикуляра; значитъ, эти точки симметричны относительно оси B.
Если въ какой-нибудь гѳометрической фигурѣ существуѳтъ прямая,
которая раздѣляетъ эту фигуру на такія 2 ч'асти, что любой точкѣ
на одной части соотвѣтствуетъ на другой точка, симмѳтричная отно-
сительно этой прямой, то такая прямая наз. осью симметріи
этой фигуры.
Въ равігобедреннодоъ треугольникѣ бисек-
трисса угла при вершинѣ есть его ось сим-
м е т р і и.
Въ геометріи мы будемъ иногда встрѣчаться съ фигурами, имѣю-
щими одну или нѣсколько осей симметріи.
Симметрія относительно оси наз. часто «осѳвая симмѳтрія» (въ от-
личіе отъ «цѳнтральной» симметріи, о которой говорится нижѳ, въ § 102).
Признаки равенства треугольниковъ.
42. Предварительныя понятія. Такъ какъ р а в-
н ы м и треугольниками наз. такіе, которые при наложеніи
могутъ быть совмѣщены, то въ такихъ тр-кахъ равны всѣ с о о т-
вѣтствующіе элементы ихъ, т.-е. стороны, углы,
высоты, медіаны и биссектриссы.
— 30 —
Однако для того, чтобы утверждать равенство двухъ тре-
угольниковъ, не необходимо знать равенство в с ѣ х ъ
элементовъ ихъ; достаточно убѣдиться въ равенствѣ только
нѣкоторыхъ изъ нихъ. Слѣдующія теоремы излагаютъ три
главнѣйшіе признака равенства тр-ковъ.
43.Теоремы. Два треугольника равны:
1°, если двѣ стороны и уголъ, заключенный между ними,
одного треугольника соотвѣтственно равиы двумъ сторонамъ и
углу, заключенному между ними, другого треугольника;
или 2°, если два угла и прилежащая къ нимъ сторона одного
треугольника соотвѣтственно равны двуиъ углаиъ и прилежащей
къ нииъ сторонѣ другого треугольника;
или 3°, если три стороны одного треугольника соотвѣтственно
равны тремъ сторонамъ другого треугольника.
" 1°. Пусть ABC и A1B1Ci Два тр-ка (черт. 37), у которыхъ:
A=A1, AC=A1C1, AB=A1B1.
Требуется доказать, что эти тр-ки равны.
Черт. 37.
Наложимъ ДABG на A^1BiC1 такъ, чтобы точка A совпала
съ A1 и сторона AG пощла по ^1C1 *). Тогда вслѣдствіе равен-
ства этихъ сторонъ, точка G совмѣстится съ C1; вслѣдствіе ра-
венства угловъ Ail A1 сторона AB пойдетъ по а вслѣдствіе
равенства этихъ сторонъ точка B упадетъ въ B1; поэтому ето-
рона CB совмѣстится съ C1B1 (между двумя точками можно
провести только одну прямую), и треугольники совпадутъ;
значитъ, они равны.
*) Для выполненія указанныхъ въ этомъ піраграфѣ налоясеній
иногда приходится треугольникъ ABC перевернуть другою стороною.
— 31 —
2°. Пусть ABC и A1B1C1 (черт. 38) два тр-ка, у которыхъ:
CB=C1B1, C=C1 и B=B1.
Требуется доказать, что эти тр-ки равны.
Наложимъ ДABC на AA1B1C1 такъ, чтобы точка C совпала
съ C1, и сторона CB пошла по C1B1. Тогда, вслѣдствіе равен-
ства этихъ сторонъ, точка B упадетъ въ B1, а вслѣдствіе ра-
Чѳрт. 38.
венства углоръ B и B1, C а C1 сторона BA пойдетъ по BiA1, и
сторона CA по C1A1. Такъ какъ двѣ прямыя могутъ пересѣчься
только въ одной точкѣ, то вершина A должна совпасть съ A1.
Такимъ образомъ, тр-ки совмѣстятся; значитъ, они равны.
3°. Пусть ABC и A1B1C1 (черт. 39) два тр-ка, у которыхъ:
AB=A1B1, BC=B1G1 и CA=C1A1.
Требуется доказать, что эти тр-ки раввы.
Доказывать этотъ признакъ равенства наложеніемъ,
какъ мы это дѣлали для первыхъ двухъ признаковъ, было бы
неудобно, такъ какъ, не зная ніічего о величинѣ угловъ, мы
не можемъ утверждать, что пріі совпаденіи двухъ равныхъ
— 32 —
сторонъ совпадутъ и остальныя стороны. Вмѣсто наложенія
примѣнимъ здѣсь приложеніе.
Приложимъ AABC къ AA1B1O1 такъ, чтобы у нихъ совмѣ-
стились равныя стороны AO и A1O1. Тогда ДАВО займетъ по-
ложеніе A1C1B11. Соединивъ прямою точки B1 и B11, мы полу-
чимъ два равнобедренные тр-ка A1B1B11 и B1C1B11 съ общимъ
основаніемъ B1B11. Ho въ равнобедренномъ треугольникѣ утлы
при основаніи равны (40) ; слѣд., ^/1=Z^ н Z^^Z4, а потому
/ АЛВЛСЛ = Z A1BrlC1-/В. Новъ такомъ случаѣ данные тр-ки
должны быть равны, такъ какъ двѣ стороны и уголъ, заключен-
ный между ними, одного тр-ка равны соотвѣтственно двумъ
сторонамъ и углу, заключенному между ними, другого треуголь-
ника.
Можетъ случиться, что прямая B1B11 не пересѣчется съ A1 C1,
а пойдетъ внѣ треугольниковъ (если сумма угловъ C и C1, болыііе 2d),
или сольется съ линіей B1 C1 B11 (если C -f C1 = 2(1). Доказательство
остается то же самое, съ тою только разницей, что углы B1 и B11
будутъ равны другъ другу, не какъ с у м м ы равныхъ угловъ, а
какъ ихъ разности, (черт. 40), или какъ углы при основаніи
равнобедренпаго тр-ка (черт. 41).
Чѳрт. 40. Черт. 41.
Замѣчаніе. Въ равныхъ тр-кахъ противъ равныхъ сто-
ронъ лежатъ равные углы и противъ равныхъ угловъ лежатъ
равныя стороны.
Соотношенія между углами и сторонами треугольника.
44. Опредѣленіе. Уголъ, смежный съ какимъ-нибудь
угломътреугольника(илимногоугольника),наз. внѣшвимъ
у г л о м ъ этого треугольвика (или многоугольника).
— 33 —
При каждомъ углѣ тр-ка (и мн-ка) можно построить по 2 р а в-
н ы х ъ смежныхъ угла.
Hanp., продолживъ сто-
роны угла A (черт. 42)
тр-ка ABC за вершину,
мы получимъ два внѣш-
нихъ угла BAD и САЕ,
которые равны между со-
бою, какъ углы верти-
кальные.
Въ отличіе оть внѣш-
нихъ углы самого тр-ка
(или мн-ка) наз. вну- E'
тренними. Черт. 42.
45. Теорема. Въ треугольникѣ всякій внѣшній уголъ
больше каждаго внутреннягр угла, не смежнаго съ нимъ.
Hanp., докажемъ, что внѣшній уголъ BCD тр-ка ABC (черт. 43)
больше каждаго изъ внутреннихъ угловъ A и В, не смежныхъ ■
съ этимъ внѣшнимъ. Для этого черезъ средину E стороны BC
проведемъ медіану AE и продолжимъ ее на длину EF, равную AE.
Соединимъ F съ С. Тр-ники ABE и EFC (покрытые штрихами)
равны, такъ какъ при точкѣ E они имѣютъ по равному углу,
заключенному между двумя соотвѣтственно равными сторонами.
Изъ равенства ихъ заключаемъ, что углы B и ECF, лежащіе
противъ .равныхъ сторонъ AE и EF, равны; но уголъ ECF, со-
ставляя часть внѣшняго угла BCD, меныпе его; слѣд., и уголъ B
меныпе BCD.
Продолживъ сторону BC за
точку C, мы получимъ внѣшній
уголъ АСН, равный углу BCD.
Если изъ вершины B проведемъ
къ сторонѣ AC медіану.и продол-
жимъ ее на такую же длину за
сторону AC, то совершенно такъ д
же докажемъ, что уголъ A мень-
ше АСН, т.-е. меныпе BCD.
А. Киселевъ. Геометрія.
— 34 —
46. Слѣдствіе. Если въ треугольникѣ одинъ уголъ прямой
или тупой, то два другіе угла острые.
B
B
Дѣйствительно, допустимъ, что какой-нибудь уголъ C тр-ка
ABC (черт. 44) будетъ прямой или тупой; тогда смежный съ нимъ
внѣшній уголъ BCD долженъ быть прямой или острый; вслѣд-
ствіе этого углы 4иВ, которые, по доказанному, меныпе внѣш-
няго угла, должны быть оба острые.
47. Теоремы. Bo всякомъ треугольникѣ: і°, противъ рав-
ныхъ сторонъ лежатъ равные углы; 2°, противъ ббльшей сто-
роны лежитъ ббльшій уголъ.
1*. Если двѣ стороны треугольника равны, то онъ равно-
бедренный; тогда углы, лежащіе противъ этихъ сторонъ, должны
быть равны, какъ углы при основаніи равнобедреннаго тре-
угольника (40).
2°. Пусть въ AABC (черт. 45) сто-
рона AB болыпе BC; требуется дока-
зать, что ZP больше ZZ-
Отложимъ на бблыпей сторонѣ BA
отъ вершины B часть BD, равную
меныпей сторонѣ BC, и соединимъ D
съ С. Тогда получимъ равнобедреп-
ный ADBC, у котораго углы при
основаніи равны, т.-е. Z^C=
= /ВСР. Ho уголъ BDC, какъ внѣш-
ній по отношенію къ AADC, больше угла А; слѣдовательно, в
уголъ BCD больше А, а потому и подавно уголъ BCA болыне
угла А; что и требовалось доказать.
Черт. 45.
— 35 —
48. Слѣдствія. 1°. Въ равностороннемъ треуГольникѣ всѣ
углы равны;
2°, въ разностороннемъ треугольникѣ нѣтъ равныхъ угловъ.
49. Обратныя теоремы. Bo всякомъ треугольникѣ
1°, противъ равныхъ угловъ лежатъ g
равныя стороны; 2°, противъ ббль-
шаго угла лежитъ ббльшая сторона.
1°. Пусть въ AABC углы AwG
равны (черт. 46); требуется дока-
зать, что AB=BC.— Предполо-
ясимъ противное, т.-е., что стороны
AB и BC не равны. Тогда одна изъ
этихъ сторонъ должна быть боль-
ше другой, и, слѣд., согласно
прямой теоремѣ, одинъ изъ угловъ AwC долженъ быть болыпе
другого. Ho это противорѣчитъ условію, что A=C; значитъ,
нельзя допустить, что стороны AB и BC не равны; остается при-
нять, что AB=BC.
2°. Пусть въ тр-кѣ ABC (черт. 47) уголъ C болыпе угла А;
требуется доказать, что АВРВС.—Предположимъ противное,
т.-е. что AB не б о л ь ш е BC. Тогда могутъ представиться
два случая: или AB=BC, или АВ<рВС. Въ первомъ случаѣ,
согласно прямой теоремѣ, уголъ C былъ бы равенъ уГлу А,
во второмъ случаѣ уголъ C былъ бы меныпе А; и то,идругое
противорѣчитъ условію; значитъ,
оба эти случая исключаются.
Остается одинъ возможный случай,
что АВ>ВС.
50. Слѣдствія. 1°. Равноуголь-
ный треугольникъ есть и равносто-
ронній.
2°. Въ треугольникѣ сторона, ле-
жащая противъ тупого или прямого
угла, больше другихъ сторонъ (46). Черт. 47.
51. Замѣчаніе объ обратныхъ теоремахъ.
Относительно равенства или неравенства двухъ сторонъ треі
з*
— 36 —
утольника, напр., сторонъ AB и BG, могутъ представиться
только слѣдующіе три возможные случая:
AB=BC, АВ>ВС, АВ<ВС.
Каждый изъ этихъ случаевъ исключаетъ собою всѣ осталь-
иые; такъ, если имѣетъ мѣсто 1-й случай, что AB=BCU то одно-
временно съ нимъ не могуть существовать ни 2-й случай, ни 3-й.
Въ теоремѣ § 47 мы разсмотрѣли всѣ эти случаи; оказалось, что
въ каждомъ изъ нйхъ получаются такіе выводы относительно
равенства или неравенства противолежащихъ угловъ GwA
(именно: C=A, СР-А, С<С.А), изъ которыхъ каждый исключаетъ
собою всѣ остальныя. И мы видѣли (49), что обратныя предло-
женія оказались вѣрными, въ чемъ было легко убѣдиться дока-
зательствомъ отъ противнаго.
Вообще, если въ теоремѣ, или въ рядѣ теоремъ, мы разсмо-
трѣли всевозможные взаимно исключающіе слу-
чаи, которые могутъ представиться относительно величины
или расположенія нѣкоторыхъ частей фигуры, при чемъ ока-
залось, что въ этихъ случаяхъ получаются различные в з а-
IHio исклЮчающіе выводы относительно величины
или расположенія нѣкоторыхъ другихъ частей фигуры, то мы мо-
жемъзаранѣе (й ргіогі)утверждать,чтообратныя пред-
іоженія вѣрны.
Впослѣдствіи мы неоднократно будемъ встрѣчаться съ атимъ
закономъ обратиыости.
Сравнительная длина объемлющихъ и объемлемыхъ
ломаныхъ линій.
52. Теорема. Въ треугольникѣ каждая сторона меньше
суммы двухъ другихъ сторонъ.
Данъ тр-къ ABC (черт. 48); требуется доказать, что любая
сторона его, напр., сторона AC, меньше суммы двухъ дру-гихъ
сторонъ.
— 37 —
Если сторона AC равна или меныпе какой-нибудь изъ двухъ
другихъ сторонъ, то тогда, очевидно,
АС<С.АВРВС. Значитъ, намъ надо JP
разсмотрѣть только тотъ случай, когда
ACестъ наибольшая изътрехъ
сторонъ.
Продолживъ сторону AB, отло-
жимъ BD=BC и проведемъ DC.
Такъ какъ Д BDC равнобедренный,
то /D= /РСВ; поэтому уголъ D
меньше угла DCA, и слѣд., въ
A-ZDC сторона AC меныпе AD (49), т.-е. АС<С.АВрВР. Замѣ-
нивъ BD на BC, получимъ:
АС<АВ+ВС.
Слѣдствіе. Если AC есть наибольшая изъ сторонъ, то мы
можемъ отъ обѣихъ частей выведеннаго неравенства отнять
по AB или по BC; тогда получимъ:
АС—АВ<$С и АС—ВС<АВ.
Читая эти неравенства справа налѣво, видимъ, что каждая
изъ сторонъ BC и AB болыпе разности двухъ другихъ сторонъ;
такъ какъ это же можно, очевидно, сказать и о третьей, наиболь-
шей сторонѣ AC, то заключаемъ:
въ треугольникѣ каждая сторона больше разности двухъ дру-
гихъ сторонъ.
53. Теорема. Отрѣзокъ лрямой, соединяющій двѣ какія-
нибудь точки, короче всякой ломаной, проведенной иежду этими
точками.
Пусть (черт. 49) AE есть отрѣзокъ прямой, соединяющій
точки A и Е, а ABGDE какая-нибудь ломаная, проведенная
между тѣми же точками. Требуется доказать, что AE короче
суммы ABpBCpCDpDE. (J
Соедишшь A съ C и D,
находимъ, соглаено п|>©ды-
дугцей теоремѣ:
АЕ<АРРРЕ;
aKacpcd;
АС<АВРВС.
— 38 —
Сложимъ почленно эти неравенства и затѣмъ отъ обѣихъ
частей полученнаго неравенства отнимемъ по AD и AC; тогда
получимъ:
AEKtABPBCPCDPDE.
54. Опредѣленіе. Если между двумя точками A и D
(черт. 50) по одну сторону отъ прямой AD проведены такія двѣ
ломаныя линіи, что одна изъ нихъ — ABCD — вся заключена
внутри , фигуры, образованной другою линіей — AEFGD —
съ отрѣзкомъ прямой AD, то первая ломаная наз. о б ъ е м л е-
м о й, а вторая объемлющей,
55. Теорема. Выпуклая ломаная короче всякой другой ло-
маной, объемлющей ее.
Пусть (черт. 50) ABCD есть вы-
п у к л а я (34) ломаная, а AEFGD
кайая-нибудь другая ломаная (вы-
пуклая или невыпуклая — все
равно), объемлющая первую; тре-
буется доказать, что:
abpbcpcdKaepefp
PFGPGD.
Продолживъ стороны выпуклой линіи, какъ указано на чер-
тежѣ, можемъ написать слѣдующія неравенства (53):
АВРВН<АЕРЕП
BC РСК<ВН PHF PFGPGK
CD^CKPKD.
Сложимъ почленно всѣ эти неравенства и затѣмъ отъ обѣихъ
частей полученнаго неравенства отнимемъ вспомогательные
отрѣзки BH и CK; далѣе замѣнимъ сумму EHPHF черезъ EF
и сумму GKpKD черезъ GD; тогда получимъ то неравенство,
которое требовалось доказать.
56. Теорема Если выпуклый многоугольникъ заключенъ
весь внутри какого-нибудь другого многоугольника, то пери-
метръ перваго меньше перииетра второго.
— 39 —
Пусть ABCD (черт. 51) есть выпуклый многоуголь.
никъ, а LMNPQB какой-нибудь другой многоугольникъ
(выпуклый или невыпуклый),
внутри котораго заключенъ пер-
вый. Требуется доказать, что
AB + BC + CD + DA меныпе
Lmpmnpnpppqpqrprl.
Продолживъ въ обоихъ напра-
вленіяхъ одну какую-нибудь сто-
рону AD выпуклаго мн-ка, при-
мѣнимъ къ ломанымъ линіямъ
abcd м Atmnpqrsd, прове-
деннымъ между точками A и D,
теорему предыдущаго параграфа:
AB P BC P CD < AT + TM P MN + NppPQPQRPRSPSD.
Оъ другой стороны, такъ какъ отрѣзокъ ST короче лома-
ной SLT, то можемъ написать:
ATPADPDSKTLPLS.
Сложимъ почленно эти два неравенства и отнимемъ отъ обѣихъ
частей вспомогательные отрѣзки AT и DS-, затѣмъ замѣнимъ
сумму TLPTM черезъ LM и сумму LSPRS черезъ LR; тогда
получимъ то, что требовалось доказать.
67. Замѣчаніе. Двѣ предъ-
идущія теоремы перестаютъ
быть вѣрными, если объемле-
мая ломаная или объемлемый
многоугольникъ н е в ы п у к-
л ы е. Такъ, на черт. 52-мъ объ-
емлемая ломаная, проведенная
между точками AwB, можетъ
оказаться длиннѣе объемлю-
щей, проведенной между тѣми
же точками.
Черт.- 52.
— 40 —
Треугольники съ двумя соотвѣтетвенно равными сто-
ронами.
58. Теоремы. 1°. Если двѣ стороны одного треугольника
соотвѣтственно равны двумъ сторонамъ другого треугольника, а
углы, заключенные между этими сторонами, йе равны, то про-
тивъ, ббльшаго изъ этихъ угловъ лежитъ ббльшая сторона.
2°. (Обратная). Если двѣ стороны одного треугольника со-
отвѣтственно равны двумъ сторонамъ другого треугольника, а
третьи стороны не равны, то противъ ббльшей изъ этихъ сто-
ронъ лежитъ ббльшій уголъ.
1°. Пусть вт> тр-кахъ ABC и A1B1Ci (черт. 53) дано;
AC==A1C1, AB=A1B1; но Ay^A1.
Требуется доказать, что если APA1, то и BCfpB1C1, а если
AKZі, то и BCKBC1.— Предположимъ, что AjA1. Нало-
B
жимъ A A1B1C1 на A ZBC такъ, чтобы сторона A1C1 совпала
съ AC. Такъ какъ, согласно предположенію, AjA1, то сто-
рона A1B1 пойдетъ внутри угла А, и Д A1B1C1 займетъ нѣко-
торое положеніе AB11C (при чемъ верпшна B11 можетъ лежать
или внѣ A ABC, какъ изображено на нашемъ чертежѣ*), или
внутри его, или'. же на сторонѣ BC; доказательство остается
одно и то же во всѣхъ этихъ случаяхъ). Проведемъ биссектриссу
угла BAB11 до пересѣченія со стороною BC в.ъ точкѣ D и эту
точку соединимъ прямою съ B11; тогда получимъ два тр-ка ABD и
*) Ha чертѳжѣ вмѣото буквы Вя ошибочно поставлена буква Ь.
— 41 —
DAB11, которые равны, потому что у нихъ: AD общая сторона,
AB=AB11 по условію BAB=^BAB11, такъ какъ прямая AB
дѣлитъ пополамъ уголъ BAB11. Изъ равенства тр-ковъ слѣдуетъ:
BB=BB11. Теперь изъ Д DCB11 выводимъ: B11DPDCjB11C
(52), или (замѣнивъ B11B на BB):
BDPDCjBnC, т.-е. BOB1O1.
Если допустимъ, что AKA1, то такъ же докажемъ, что тоща
BCKB1C1.
2°. Пусть въ тѣхъ же треугольникахъ дано:
AB=A1B1, AO=A1O1, но BOjB1C1.
Требуется доказать, что если BCjB1C1, то и AjA1, если
же BCKB1C1, то и AK-Z1.— Предположимъ, что BCjB1C1;
докажемъ, что AjA1. Допустимъ противное, что A не больше A1;
тогда могутъ представиться два случая: или A=A1, или A^A1.
Въ первомъ случаѣ тр-ки были бы равны и, слѣд., сторона BO
равнялась бы B1O1, что нротиворѣчитъ условію;, во второмъ
случаѣ сторона BO, согласно теоремѣ 1°, была бы меныпе B1O1,
что также противорѣчитъ условію. Значитъ, оба эти случая
исключаются; остается одинъ возможный случай, что AjA1.
Если допустимъ, что BCKb1G1, то такъ же докажемъ, что
тогда и AKA1.
Г Л A B A III.
Пнрпендикуляры и наклонныя.
59,1- Теорема. Перпендикуляръ, опущенный изъ точки напря-
иую, короче всякой наклонной, проведенной изъ той же точки на зту
пряиую.
Пусть AB (черт. 54) есть перпендикуляръ, опущенный
изъ точки A на прямую MN, и AO какая-нибудь наклонная,
проведенная изъ той же точки A къ прямой MN. Требуется
доказать, что AB K AC.— Въ Д ABO уголъ B прямой, а прс-
тивъ прямого угла лежитъ болыпая сторона (50 ,2°); слѣд.,
ACjAB.
— 42 —
Замѣчаніе. Когда говорятъ: «разстояніе точки отъ пря-
мой», то разумѣють разстояніе, измѣряемое по перпендику-
ляру, опущенному изъ этой точки на прямую.
59,2.Теорема. Еслиизъ одной и той же точки,взятой внѣ
прямой, проведены къ этой прямой перпендикуляръ и какія-
нибудь наклонныя, то:
1°, если основанія двухъ наклонныхъ одинаково удалены отъ
основанія перпендикуляра, то такія наклонныя равны;
2°, если основанія двухъ наклонныхъ не одинаково удалены
отъ основанія перпендикуляра, то та изъ наклонныхъ больше,
которой основаніе дальше отстоитъ отъ основанія перпендикуляра.
1°. Пусть AC и AD (черт. 54) будуть двѣ такія наклонныя,
проведенныя изъ точки A къ прямой MN, которыхъ основа-
ніяCwDодинаково удаленыотъ
основанія перпендикуляра AB,
т.-е. CB = BD; требуется дока-
зать, что AC=AD. AВъ тр-кахъ
ABC и ABD есть общая сторона
AB W сверхъ того BC=BD (по
условію) и Z ZBC = Z ZBD
(какъ углы прямые); значитъ,
ч б4 эти тр-ки равны, и потому
' AC=AD.
2°. Пусть AC W AE (черт. 54) будутъ двѣ такія наклонныя,
проведенныя изъ точки A къ прямой MN, которыхъ основанія
неодинаково удалены отъ основанія перпендикуляра AB; напр.,
пусть BEjBC; требуется доказать, что AEjAC.—Отложимъ
BD=BC W проведемъ AD. По доказанному выше, AD=AC.
Сравнимъ AE съ AD. Уголъ ADE есть внѣшній по отношенію
A ADB W потому онъ болыпе прямого угла ABD; слѣд., / ADE
тупой; но въ A противъ тупого угла должна лежать болыпая
сторона (50, 2°); значитъ,'AEjAD и, слѣд., AEjAC.
60. Обратнйя предложенія. Въ предыдущей тео-
ремѣ разсмотрѣны всевозможные взалмно исключающіе случаи
относительно равенства или неравенства разстояній основаній
наклонныхъ отъ основанія перпендикуляра; при этомъ получи-
лись взаимно исключающіе выводы относительно равенства или
— 43 —
неравенства наклонныхъ; вслѣдствіе этого обратныя предло-
женія должны быть вѣрны (51), а именно:
Если изъ одной и той же точки, взятой внѣ пряиой (черт. 54),
проведены къ этой прямой перпендикуляръ и какія-нибудь на-
клонныя, то:
1°, если двѣ наклонныя равны, то ихъ основанія одинаково
удалены отъ основанія перпендикуляра;
2°, если д ѣ наклонныя не равны, то основаніе большей изъ
нихъ дальше отстоитъ отъ основанія перпендикуляра.
Предоставляемъ-учащимся самимъ доказать эти предложенія
(способомъ отъ противнаго).
Равенство прямоугольныхъ треугольниковъ.
61. Такъ какъ въ прямоугольныхъ тр-кахъ углы, содер-
жащіеся между катетами, всегда равны, какъ прямые, то:
Прямоуго.іьные треугольники равны:
1°, если катеты одного треугольника соотвѣтственно равны
катетамъ другого;
или 2°, если катетъ и прилежащій къ нему острый уголъ
одного треугольника равны соотвѣтственно катету и прилежа-
щему къ нвму острому углу другого треугольника.
Эти два признака не требуютъ особаго доказательства, такъ
какъ они представляютъ лишь частные случаи общихъ призна-
ковъ (43, 1° и 2°). Докажемъ еще два слѣдующіе признака, отно-
сящіеся только къ прямоугольнымъ треугольникамъ.
62. Теоремы. Пряиоугольные треугольняки равны:
1°, если гипотенуза и
острый уголъ одноготрѳ-
угольника соотвѣтствен-
но равны гипотенузѣ и
острому углу другог.о;
или 2°, если гипоте-
нуза и катетъ одного
треугольника соотвѣт-
ственно равны гипоте-
нузѣ и катѳту другого.
1°. Пусть ABC и A1B1C1 (черт. 55) два прямоугольные тр-ка.
у которыхъ: AB=A1B1 и A=A1-, требуется доказать, что эти
— U —
тр-кз равны.— Наложимъ Д ABC на Д A1B1Ci такъ, чтобы
у яихъ совмѣстились равныя гапотенузы. Тогда по равенству
угловъ A и A1 катетъ AC пойдетъ по A1C1. При этомъ точка C
должна совмѣститься съ точкой C1,' потому что если предполо-
жимъ, что она упадетъ въ точку C2 или точку C3, то тогда категь
BC занялъ бы положеніе B1C2 или B1C3, что невозможно, такъ
какъ изъ одной точки B1 нельзя на прямую A1C1 отпустить два
перпендикуляра (B1C1 и B1C2, или B1C1 и B1C3).
2°. Пусть (черт. 66)
въ прямоуг. тр-кахъ
дано: AB = A1B1 и
BC=B1C1, требуется
доказать, что тр-ки
равны. — Наложимъ
Д ABC на Д A1B1C1
P такъ, чтобы у нихъ
. ч .. J 1‘ совмѣстились равные
Черт. 66. катеты BC и B1C1.
Тогда, по равенству прямыхъ угловъ, CA пойдетъ по C1A1.
При этомъ шпотенуза AB не можетъ не совмѣститься съ гипо-
тенузой A1B1, потому что если бы она заняла положеніе A2B1
шш A3B1, то тогда мы имѣли бы двѣ равныя наклонныя (A1B1
и A2B1, или A1B1 и A3B1), которыя не одинаково удалены отъ
основанія перпендикуляра, что невозможно (59, 2).
Г Л A B A IV.
Сюйство перпенднкуляра, проведеннаго иъ прямом
черезъ ея середкну, и свойство бнссектрнссы угла.
6В. Теоремы. і°. Если какая-нибудь точка одинаково уда-
лена отъ коицовъ отрѣзка прямой, то она лежитъ на перпенди-
кулярѣ къ этому отрѣзку, проходящемъ черезъ его середину.
2°. Обратно: если какая-нибудь точка лежитъ на перпенди-
кулярѣ нъ отрѣзку прямой, проходящемъ черезъ его середину.
то она одинаково удалена отъ концовъ этого отрѣзка.
— 45 —
Iм
Af-
O
-*в
Черт. 57.
1°. Пусть точка M (черт. 57) одинаково удалена отъ концовъ
отрѣзка прямой AB, т.-е. пусть MA=MB; требуется доказать,
что точка M лежитъ на перпендикулярѣ, проведенномъ къ
прямой AB черезъ ея середину. — Проведемъ биссектриссу
MO угла АМВ. Такъ какъ тр-къ AMB равнобедренный, то эта
биссектрисса служитъ въ ней вы-
сотою и медіаною (38); значитъ, точ-
ка M лежитъ на перпендикулярѣ къ
прямой AB7 дѣлящемъ ее пополамъ.
2°. Пусть OM (черт. 67) есть пер-
HeHflHKtnflpbj проведенный къ отрѣз-
ку AB черезъ его середину, и M какая-
нибудь точка на немъ; требуетея
доказать, что эта точка одинаково
удалена отъ концовъ AB, т.-е,. что MA=MB. — Прямыя MA
и MB суть наклонныя къ AB, одинаково удаленныя отъ осно-
ванія перпендикуляра MO; а такія наклонныя равны; слѣд.,
MA=MB.
64. Слѣдствіе. Изъ двухъ доказанныхъ теоремъ, пря-
мой и обратной, можно вывести слѣдствіе, что теоремы, п р о-
тивоположныя имъ, также вѣрны (4), т.-е. что (черт. 58):
если какая-нибудь точка
(M) н е одинаково удалена
отъ концовъ отрѣзка прямой
(AB), то она н е лежитъ
на перпендикулярѣ (CD) къ
этому отрѣзку, проведенномъ
черезъ его середину (0);
если какая-нибудь точка
н е лежитъ на перпендику-
лярѣ къ отрѣзку прямой,
проведенномъ черезъ его сере-
дину, то она не одинаково
удалена отъ концовъ этого
отрѣзка.
А2
'O
D
Черт. 58.
Предлагаемъ учащимся самимъ доказать эти противополож-
ныя предложенія (разсужденіемъ отъ противнаго)..
— 46 —
65: Теоремы. 1°. Если какая-нибудь точка одинаково уда-
лена отъ сторонъ угла, то она лежи.тъ на его биссектриссѣ.
2°. Обратно: если какая-нибудь точка лежитъ на биссектриссѣ
угла, то она одинаково удалена отъ его сторонъ.
1°. Пусть точка M (черт. 59) одинаково удалена отъ сторонъ
угла АВС, т.-е. пусть перпендикуляры MF и ME, опущенные
изъ этой точки на стороны угла, равны; требуется доказать, что
условію. Изъ равенства
Черт. 69. тр-ковъ слѣдуетъ, что
/MBE= / MBF, т.-е. дрямая MB есть биссектрисса угла ABC.
2°. Пусть BD (черт. 59) есть биссектрисса угла ABC, и M
какая-нибудь точка на ней; требуется доказать, что перпен-
дикуляры ME и MF, опущенные изъ этой точки на стороны
угла, равны.— Прямоугольные тр-ки MBE и MBF равны,
такъ какъ у нихъ общая гипотенуза, и углы МВЕ, MBF равны
по условію. Изъ равенства тр-ковъ слѣдуеть, что ME=MF *).
66. Слѣдетвіе. Изъ двухъ доказанныхъ теоремъ, пря-
мой и обратной, можно вывести слѣдствіе, что теоремы, п р о-
B
A
точка M лежитъ на бис-
сектриссѣ угла ABC. —
Проведемъ прямую черезъ
BwM. Прямоугольныетре-
уголышки MBE W MBF
равны, такъ какъ у нихъ
обхцая гипотенуза и ка-
теты ME, MF равны по
тнвоположныя имъ
также вѣрны, т.-е., что
(черт. 60):
B
Черт. 60.
если какая-нибудь точ-
ка (M) н е одинаково уда-
лена отъ сторонъ угла
(ABC), то она н е лежитъ
на его биссектриссѣ (BD);
если какая-нибудь точ-
*) Предлагаемъ самимъ учащимся разсмотрѣть свойства точекъ,
одинаково удаленныхъ отъ .продолжѳній сторонъ угла (за
вершину).
— 47 —
ка не лежитъ на биссектриссѣ угла, то она н е одинаково
удалена отъ сторонъ его.
67. Геометричеекое мѣсто. Геометрическимъ мѣ-
сгомъ точекъ, обладающихъ нѣкоторымъ свойствомъ, наз. такая
линія, или поверхность, или совокупность линій и поверхностей
(вообще такая фигура), которая содержитъ въ себѣ всѣ точки,
обладающія этимъ свойствомъ, и не содержитъ ни одной точки,
не обладающей имъ.
Изъ теоремъ предыдущихъ параграфовъ слѣдуетъ:
Геометрическое мѣсто точекъ, одинаково удаленныхъ отъ
двухъ данныхъ точекъ, есть перпендикуляръ, проведенный къ
отрѣзку прямой, соединяющему эти точки, чрезъ его середину.
Геометрическое мѣсто точекъ, одинаково удаленныхъ отъ
сторонъ угла, есть биссектрисса этого угла *).
Г Л A B A V.
Основныя задачи иа построеніе.
68. Понятіе Объ окружноети. Теоремы, доказан-
ныя нами въ предыдуйщхъ главахъ, позволяютъ рѣшать нѣ-
которыя задачи на построеніе. Замѣтимъ, что въ эле-
ментарной геометріи разсматриваются только такія построенія,
которыя могутъ быть выполнены помо-
іцью линейки и циркуля (упо-
требленіе наугольника и нѣкоторыхъ
другихъ приборовъ хотя и допускается д
ради сокращенія времени, но не
составляетъ необхойимости). Посред-
ствомъ линейки проводятся прямыя
линіи, посредствомъ диркуля чертится
окружность. Свойства этой линіи
мы разсмотримъ впослѣдствіи, теперь же ограничимся только
краткимъ понятіемъ о ней.
*) Предлагаемъ самимъ учащимся убѣдиться, что геометрическое
мѣсто точекъ, равнсотстоящихъ отъ двухъ пѳресѣкающихся прямыхъ,
состоитъ изъ двухъ прямыхъ, дѣляціихъ пополамъ углы, образованные
пересѣкающимися прямыми.
— 48 —
Если дадимъ диркулю произвольное раствореніе и, поставивъ
его ножку съ остреемъ въ какую-нибудь точку O (черт. 61),
станемъ вращать диркуль вокругъ этой точки, то другая его
ножка, снабженная карандашомъ или перомъ, опишетъ непре-
рывную линію, которой всѣ точки одинаково удалены отъ точки 0.
Эта лннія наз. окружностью, а точка O — центромъ ея.
Прямыя OA, OB, OC..., соединяющія центръ съ какими-нибудь
точками окружности, наз. радіусами. Всѣ радіусы одной
окружности равны между собою. Часть окружности, напр.,
AB (черт. .61), наз. д у г о ю.
69. Оеновныя задачи на построеніе. Укажемъ
рѣшеніе слѣдующихъ задачъ на построеніе.
Задача 1. Построить треугольникъ по
даннымъ его сторонамъ а, Ьис (черт. 62).
*
Ha какой-нибудь прямой MN откладываемъ часть CB, рав-
равнымъ Ъ, дру-
гую радіусомъ, равнымъ с. Точку А, въ которой эти дуги пере-
сѣкаюуся, соединяемъ .съ Bw С. Треугольникъ ABC будетъ
искомый. •
Замѣчаніе. He всякіе три отрѣзка прямой
могутъ слуясить сторонами треугольника;
для этого необхоДимо, чтобы бблыпій изъ нихъ былъ меньше
суммы двухъ остальныхъ (52).
ную одной изъ
данныхъ сто-
ронъ, напр. а.
Изъ точекъ C и
В, какъ цен-
тровъ, ОПИСЫ-
ваемъ двѣ не-
Чѳрт. 62.
N большія дуги,
одну радіусомъ,
Задача 2. Ha даннойпрямой MN при данной
— 49 —
на ней точкѣ O построить уголъ, равный
JaHHOMw углу ABC (черт. 63).
N
Изъ вершины В, какъ центра, описываемъ произвольнымъ
радіусомъ между сторонами даннаго угла дугу EF; затѣмъ,
не измѣняя растворенія циркуля, переносимъ его острее въ
точку O и описываемъ дугу PQ. Далѣе, изъ точки Р, какъ центра,
описываемъ дугу аЪ радіусомъ, равнымъ разстоянію между
точками EwF. Наконецъ черезъ точки OwR (пересѣченіе
двухъ дугъ) проводимъ прямѵю. Уголъ ROP равенъ углу ABC,
потому что тр-ки ROP и FBE, имѣющіе соотвѣтственно равныя
стороны, равны.
Задача 3. Раздѣлить
данный уголъ ABC п о-
пополамъ (черт. 64).
Изъ вершины В, какъ
центра, произвольнымъ радіу-
сомъ опишемъ между сторо-
нами угла дугу DE. Затѣмъ,
взявъ произвольное раство-
реніе циркуля, болыпее, однако
половины разстоянія между точ-
ками E и P (см. замѣчаніе къ за-
дачѣ 1-й), описываемъ этимъ раствореніемъ изъ точекъ DwE
небольшія дуги, которыя пересѣкались бы въ какой-нибудь
точкѣ F. Проведя прямую BF, мы получимъ биссектриссу
угла АВС.—Для доказательства соединимъ прямыми точку
FvbDwE;тогдаполучимъдватр-каBEFиBDF, которые равры,
такъ какъ у нихъ BF общая сторона, BD=BE и DF=EF wo
построенію. Изъ равенства тр-ковъ слѣдѵетъ: ZaBF=ZCBF.
А. Киселв»ъ. Геометрія. 4
— 50 —
Задача 4. И зъ данной точки C прямой AB
этой прямой перпендику-
возставить к ъ
л я р ъ (чсрт. 65).
NP
/\
-B
Черт. 65.
Отложимъ на AB по обѣ
стороны отъ данной точки C
равные отрѣзки (произвольной
длины) CD W CE. Изъ точекъ
E W D однимъ и тѣмъ же ра-
створеніемъ циркуля (боль-
шимъ однако CD) оппшемъ двѣ
неболыпія дуги, которыя пере-
сѣкались бы въ нѣкоторой точ-
кѣ F. Прямая, проведенная че-
резъ точки C Vi F, будетъ искомымъ перпендикуляромъ.—Дѣй-
ствйтельно, какъ видно изъ построенія, точка F одинаково
удалена отъ D и E; слѣд., она должна лежать на перпендику-
лярѣ, проведенномъ къ отрѣзку DE черезъ его середину (63);
но середина этого отрѣзка есть С, а черезъ CvlF можно провести
только одну прямую; значитъ, DCA-DE.
Задача 5.Изъ данной точкиАопустить пер-
пендикуляръ н $ данную прямую BC (черт. 66).
Изъ точки А, какъдентра, произвольнымъ раствореніемъ цир-
куля (больпшмъ однако ра?стоянія отъ A до BC) опишемъ такую
дугу,которая пересѣкалась бы съ BC въ какихъ-нибудь двухъ точ-
кахъ D VL E. Затѣмъизъ этихъточекъ произвольнымъ,но однимъ
д ' VL тѣмъ же, раствореніемъ
диркуля (болыпимъ однако
1I2 DE) проводимъ двѣ не-
большіядуги, которыя пере-
сѣкались бы между собою въ
B 1 і —■ с нѣкоторой точкѣ F. Прямая
AF будетъ искомымъ перпен-
дикуляромъ.—Дѣйствитель-
но,какъ видно изъ построе-
нія, каждая изъ точекъ A и
F одинаково удалена отъ
D Vi Е; а такія точки ле-
Черт- вв- • жатъ на перпендикулярѣ,
проведенномъ къ отрѣзку DE черезъ его середину (63).
---V-
— 51 -
Задача 6. Провести перпендикуляръ къ
данной конечной прямой (AB) черезъ ея
середину (черт. 67).
Изъ точекъ A W B произвольнымъ, но одинаковымъ, раство-
реніемъ циркуля (бблыпимъ 1I2 AB)
описываемъ двѣ дуги, которыя пере-
сѣкались бы между со'бок> въ нѣкото-
рыхъ точкахъ C и D. Прямая CD будетъ
искомымъ перпендикуляромъ.— Дѣй- -
ствительно, какъ видно изъ построенія,
каждая изъ точекъ C и D одинаково
удалена отъ A и В; слѣд., эти точкн
должны лежать на перепендикулярѣ,
цроведенномъ къ отрѣзу AB черезъ
его середину (63). Черт. 67.
Задача 7.Раздѣлить пополамъ данную ко-
нечную прямую AB (черт. 67).
Рѣшается такъ же, какъ предыдутцая задача.
70. Примѣръ болѣе сложной задачи. При помопщ
этихъ основныхъ задачъ можцо рѣшать задачи болѣе сложныя.
Для примѣра рѣшимъ слѣдующую задачу.
Задача. Построить треугольникъ, зная его
основаніе Ъ, уголъ а, прилежащій къ осно-
ванію, и сумму s двухъ бововыхъ сторонъ
(черт. 68).
Чтобы составить планъ рѣшенія, лрёдположимъ, что задача
рѣшена, т.-е. найденъ такой тр-никъ ABC, у котораго осно-
ваніе АС=Ъ, уголъ А=а и ABpBC=S. Разсмотримъ теперь
полученный чертежъ. Сторону AC, равную Ъ, и уголъ А, равный
а, мы построить умѣемъ. Значитъ, остается найти на сторонѣ AD
угла A такую точку В, чтобы сумма ABPBC равнялась s. Про-
долживъ AB, отложимъ отрѣзокъ AD, равный s. Теперь вопросъ
приводится къ тому, чтобы на прямой AD отыскать такую точку В,
которая была бы одйнаково удалена отъ CwD. Такая точка,
какъ мы знаемъ (63), должна лежать на перпендикулярѣ, про-
веденномъ къ отрѣзку прямой CD черезъ его середину.
4
— 52 —
Этотъ перпендикуляръ мы построить умѣемъ. Точка B най-
дется въ пересѣченіи перпендикуляра съ AD.
Итакъ, вотъ рѣшеніе
задачи: строимъ (черт. 68)
уголъ А, равный данному
углу а; на сторонахъ его
откладываемъ АС=Ъ и
AD=S. Черезъ середину
отрѣзка прямой DC про-
водимъ перпендикуляръ
BE; пересѣченіе его съ
AD, т.-е. точку В, соеди-
нимъ съ С. Тр-нпкъ ABC
будетъ искомый, такъ какъ онъ удовлетворяетъ всѣмъ требова-
ніямъ задачи: у него АС=Ъ, ZА=а и ABPBC=S, (потому что
BD=BC).
Разсматривая построеніе, мы замѣчаемъ, что задача возможна
не при всякихъ данныхъ. Дѣйствительно, если сумма s задана
слишкомъ малою сравнительно съ то перпендикуляръ EB
можетъ и не пересѣчь отрѣзка AD (или пересѣчеть его продол-
женіе за точку A или за точку D); въ этомъ случаѣ задача ока-
жется невозможной. И, независимо отъ построенія
можно видѣть, что задача невозможна, если sKb, или з=Ь,
потому что не можетъ быть такого треугольника, у котораго
сумма двухъ сторонъ была бы меныпе или равна третьей сторонѣ.
Въ томъ случаѣ, когда задача возможна, она имѣетъ только
одно рѣшеніе, т.-е. существуетъ только одинъ тр-никъ,
удовлетворяющій требованіямъ задачи, такъ какъ пересѣченіе
перпендикуляра BE съ прямой AD можетъ быть только въ одной
точкѣ.
71. Замѣчаніе. Изъ приведеннаго примѣра видно, что
рѣшеніе сложной задачи на построеніе состоитъ изъ слѣдую-
щихъ четырехъ частей:
1°. Предположивъ, что задача рѣшена, дѣлаютъ отъ руки
приблизительный чертежъ искомой фигуры и затѣмъ, внима-
тельно разсматривая начерченную фигуру, стремятся найти
такія зависимости между данньвди задачи и искомыми,. кото-
— 53 —
рыя позволили бы свести задачу на другія, извѣстныя ранѣе.
Эта самая важная часть рѣшенія задачи,. имѣющая цѣлью со-
ставить п л а н ъ рѣшенія, носитъ названіе а н а л и з а.
2°. Когда такимъ образомъ планъ рѣшенія найденъ, выпол-
няютъ сообразно ему построеніе.
3°. Для провѣрки правилыіости плана доказываютъ
затѣмъ, на основаніи извѣстныхъ теоремъ, что полученная
фигура удовлетворяетъ всѣмъ требованіямъ задачи. Эта часть
рѣшенія называется синтезомъ.
4°. Затѣмъ задаются вопросомъ, при всякихъ ли данныхъ
задача возможна, допускаетъ ли она одно рѣшеніе, или нѣ-
сколько, и нѣтъ ли въ задачѣ какихъ-либо особенныхъ случаевъ,
когда построеніе упрощается, или, наоборотъ, усложняется.
Эта часть рѣшенія наз. изслѣдованіемъ задачи.
Когда задача весьма проста и не можетъ быть сомнѣнія отно-
сительно ея возможности, то обыкновенно анализъ и изслѣдо-
ваніе опускаютъ, а указываютъ прямо построеніе и приводятъ
доказательство. Такъ мы дѣлали, излагая рѣшеніе первыхъ
7-ми задачъ этой главы; такъ же будемъ дѣлать и впослѣдствіи,
когда намъ придется излагать рѣшеніе несложныхъ задачъ.
УПРАЖНЕНІЯ.
Доказать теоремы.
5. Въ равнобедрѳнномъ треугольникѣ двѣ медіаны равны, двѣ
биссектриссы равны, двѣ высоты равны.
6. Если изъ середины каждой изъ равныхъ сторонъ равнобедрен-
наго тр-ка возставимъ перпендикуляры до пересѣченія съ другою
изъ равныхъ сторонъ, то эти перпендикуляры равны.
7. Перпендикуляры, возставленные къ двумъ сторонамъ угла
на равныхъ разстояніяхъ отъ вершины, пересѣкаются на биссектриссѣ.
8. Прямая, перпендикулярная къ биссектриссѣ угла, отсѣкаетъ
отъ его сторонъ равные отрѣзки.
9. Медіана тр-ка меньше его полупериметра.
10. Медіана тр-ка меньше полусуммы сторонъ, между которыми
она заключается. Указаніе: продолжить медіану на разстояніе,
равное ей, полученную точку соединить съ однимъ концомъ стороны,
къ которой проведена медіана, и разсмотрѣть образовавшуюся фигуру.
10.а. Сумма медіанъ тр-ка^ меньше периметра, но больше полу-
периметра.
11. Сумма разстояній какой-нибудь точки, взятой внутри тр-ка,
отъ трехъ его вершинъ меньше периметра, но больше полупериметра.
' — 54 —
11 ,а. Сумма діагоналей четыреугольника меньше его перйматра,
но больше полупериметра.
12. Доказать прямо, что всякая точка, нѳ лежащая на перпенди-
кулярѣ, проведенномъ къ отрѣзку прямой черезъ его середину, не
одинаково удалена отъ концовъ этого отрѣзка.
13. Доказать прямо, что всякая точка, не лежащая на биссектриссѣ
угла, не одинаково отстоитъ отъ сторонъ его.
13.а. Если на сторонахъ угла A отложимЪ равныя длины AB и AB1,
затѣмъ равныя длины AC и AC1, то прямыя BC1 и B1C пересѣкаются
на биссѳктрйссѣ угла А.
Задачи на построеніе.
14. Построить йумму двухъ, трехъ и болѣе данныхъ угловъ.
15. Построить разность двухъ урловъ.
16. По данной суммѣ и разности двухъ угловъ найти эти углы.
17. Раздѣлить уголъ на 4, 8, 16 равныхъ частей.
18. Черезъ вершину даннаго угла провести вкѣ его такую прямую,
которая со сторонами угла образовала бы равные углы.
19. ПостроитьД: а) по двумъ сторонамъ и углу между ними; Ъ) по
сторонѣ и двумъ прилежащимъ угламъ; с) по двумъ сторонамъ и углу,
лежащему противъ ббльшей изъ нихъ; d) по двумъ сторонамъ и
углу, лежащему противъ меньгдей изъ нихъ (въ этомъ случаѣ полу-
чаются два рѣшенія или ни одного).
20. Построить P^b н о б е д р е н н ы й Д: а) по основанію и
боковой сторонѣ; Ь) по основанію и прилежащему углу; с) по боковой
сторонѣ и углу при вершинѣ; d) по боковой. сторонѣ и углу при осно-
ваніи, '
21. Построить прямоугольныйД: а) по двумъ катетамъ;
Ъ) по катету и гипотенузѣ; с) по катету и прилежащему острому углу.
22. Построить ра.внобѳдренный Д:а)по высотѣ и боковой
сторонѣ, Ь) по высотѣ и углу при вершинѣ; с) по основанію и перпен-
дикуляру, опуціенному изъ конца основанія на боковую сторону.
23. Построить прямоугольный Д по гипотенузѣ и острому углу.
24. Черезъ точку, данную внутрй или внѣ угла, провести такую
пряпую, которая отсѣкала бы отъ сторонъ угла равныя части.
25. По данной суммѣ и разности двухъ прямыхъ найти эти прямыя.
26. Раздѣлить данную конечную прямую на 4, 8, 16 равныхъ
частей.
27. Ha данной прямой найти точку, одинаково удаленную отъ двухъ
данныхъ точекъ (внѣ прямой).
28. Найти точку равноотстоящую отъ трехъ вершинъД.
29. Ha прямой, пересѣкающей стороны угла, найти точку, оди-
наково удаленную отъ сторонъ этого угла.
30. Найти точку, одинаково удаленную отъ трехъ сторонъД.
BI. Ha безконечной прямой AB найти такую точку С, чтобы полу-
Прямыя CM и CN, проведенныя изъ C черезъ данныя точки MnN,
— 55 —
расположённыя по одну сторону отъ AB, составляли съ полупрямыми
CA п CB равные углы.
32. Построить прямоугольный Д по катету и суммѣ гипотенузы съ
другимъ катетомъ.
33. Построить Д по основанію, углу, прилежащему къ основанію,
и разности двухъ другихъ сторонъ (разсмотрѣть два случая: 1) когда
данъ м е н ь ш і й изъ двухъ угловъ, прилежаціихъ къ основанію,
2) когда данъ б 6 л ь ш і й изъ нихъ).
34. Построщъ пряіѵюугольный Д по катеіу и разности двухъ дру-
гихъ сторонъ.
Г Л A B A VI.
Параллелъныя прямыя
Основныя теоремы.
72. Опредѣленіе. Когда какія-нибудь двѣ прямыя AB и
CD (черт. 69) пересѣчены третьей прямой MN, то образова-
вшіеся при этомъ углы получаютъ
попарно слѣдующія названія: • M
соотвѣтственныеуглы:
1 и 5, 4 и 8, 2 и 6, 3 и 7;
внутренніе накрестъ ле- B
жащіе углы: 3 и 5, 4 и 6;
внѣшніе накрестъ лежа-
щ і е у г л ы: 1 и 7, 2 и 8; D
внутренніе односто-
ронніе у г л ы: 3 и 6, 4 и 5;
внѣшніе односторон-
н і е угл ы: 1 и 8, 2 и 7.
73. Лемма. *) Если между углами, образовавшимися при
пересѣченіи двухъ прямыхъ третьею (черт. 69), существуетъ
какое-нибудь одно изъ слѣдующихъ 5-и соотношеній:
1°, соотвѣтственные углы равны,
2°, внутреннів накрестъ лежащіе углы равны,
3°, внѣшніе накрестъ лежащіе углы равны,
4°, сумма внутреннихъ одностороннихъ угловъ равна 2d,
5°, сумма внѣшнихъ одностороннихъ угловъ равна 2d,
то существуютъ и всѣ остальныя изъ этихъ соотношеній.
Сначала докажемъ, что п е р в о е изъ указанныхъ соотно-
шеній влечетъ за собою, какъ слѣдствіе, всѣ остальныя; послѣ
*) JI е м м о ю наз. вспомогательная теорема, излагаемая только
для того, чтобы при ея помоціи доказать послѣдующія теоремы.
— 56 —
этого дох$ажемъ, что, обратно, каждое изъ этихъ остальныхъ
соотношеній (т.-е. 2-е, 3-е, 4-е и 5-е) влечетъ за собою первсе;
отсюда мы заключимъ, что каждое изъ указанныхъ соот-
ношеній влечетъ за собою всѣ остальныя.
1) Пусть дано, что соотвѣтственные углы 2 и 6 равны между
собою (черт. 70); требуется доказать, что въ такомъ случаѣ
будутъ имѣть мѣсто и всѣ остальныя указанпыя соотношенія.
Прежде всего покажемъ, что
равенство одной пары соотвѣт-
ственныхъ угловъ, напр. угловъ
2 и 6, влечетъ за собою равен-
ство и всѣхъ остальныхъ паръ
соотвѣтственнкхъ угловъ. Дѣй-
ствительно, Z 4 = Z 8, такъ
какъ первый изъ этихъ угловъ
равенъ углу 2, а второй—углу 6,
какъ вертикальный; Z I = Z5,
Черт. 70. такъ какъ эти уГЛЫ составляютъ
дополн^ія до 2d къ равнымъ угламъ 2 и 6; по той же причинѣ
Zs=ZT
Обращая теперь вниманіе на внутренніе накрестъ лежащіе
углы, находимъ: Z 4 = Z 2, какъ углы BepTHKanbHHejZ2=Ze
по заданію; слѣд., Z4=Ze.
Если же Z4 = Z 6, то равны и внутренніе накрестъ Дежа-
щіе углы 3 и 5, какъ дополненія до M къ равнымъ угламъ 4 и 6.
Обращая Ениманіе на внѣшніе накрестъ лежащіе углы, нахо-
AHMbtZe=Ze, какъ углы вертикальные; Z6=Z2 по заданію;
слѣд. Ze=Z2-
Если же Z2=Ze, то равны и другіе внѣшніе односторон-
ніе углы 1 и 7, какъ дополненія до 2d къ равнымъ угламъ 2 и 8.
Обращая вниманіе на внутренніе односторонніе углы, нахо-
димъ:’ Z3 +Z2=2^1 такъ какъ эти углы смежные. Замѣнивъ
въ этой суммѣ уголъ 2 равнымъ ему угломъ 6, получимъ:
/І3+^16=2й. Точно такъ яге: Z4+Zl=2d, Zl=ZS; слѣд.,
ZZPZ^=U.
Обращая, наконецъ, вниманіе на внѣшніе односторонніе
углы, совершенно такъ же, какъ это было сдѣлано для внутрен-
— 57 -
.M
нихъ одностороннихъ угловъ, докажемъ, что ^7+2І2=2й й
Zs-I-Zl =2 d.
2) Докажемъ теперь, что каждое изъ соотношеній: 2-е, 3-е,
4-е и 5-е влечетъ за собою соотношеніе 1-е.
Пусть, напр., дано (черт. 70), что Z2^-Z7=2d; требуется
доказать, что соотвѣтственные углы 2 и 6 равны. Дѣйствительно,
Z7-ЬZ6= 2d, такъ какъ углы эти смежные; но Z2+Z7=2^^
по заданію; слѣд., Z7-^-Z6=Z2-I-Z?. Отнявъ отъ этпхъ рав-
ныхъ суммъ по одному и тому же углу 7, получимъ Ze=Zs.
Подобно этому докажемъ, что и любое иное изъ соотношеній:
2-е, 3-е, 4-е и 5-е влечетъ за собою соотношеніе 1-е.
3) Tenepь заключаемъ, что каждое изъ 5-ти указанныхъ соот-
ношеній влечетъ за собою всѣ остальныя, такъ какъ каждое
влечетъ 1-е, а это влечетъ всѣ остальныя.
74. Теорема. Два перпендикуляра къ одной и той же пря-
мой не могутъ пересѣчься, сколько бы мы ихъ ни продолжали.
Пусть къ одной и той же пря-
мой AB (черт. 71) проведены два
перпендикуляра CD и EF; тре-
буется доказать, что эти пер-
пендикуляры не пересѣкаются,
сколько бы мы ихъ ни продол-
жали.
Предположимъ противное, т.-е
что прямыя CD и EF, будучи A 1 1 B
продолжены достаточно далеко,
пересѣкаются въ нѣкоторой точ-
кѣ M (или M'). Тогда изъ этой
точки на прямую AB были бы
опущены 2 различные перпен-
дикуляра. Такъ какъ это невоз-
можно (32), то нельзя допустить,
чтобы перпендикуляры CD и EF
гдѣ-нибудь пересѣкались.
75. Опрѳдѣленіе. Двѣ прямыя наз. иарал-
лельными, если, находяск въ одной пло-
свооти, онѣ не пересѣкаются, сколько бы
ихъ ни продолжали.
C
Ч
Черт. 71.
— 58 —
Возможность существованія паралелльныхъ прямыхъ обна-
руживается предыдущей теоремой, которую теперь можно вы-
сказать такъ:
два перпендикуляра къ одной и той же прямой параллельны.
Параллельность прямыхъ обозначается письменно знакомъ
Il , поставленнымъ между обозначеніемъ прямыхъ; такъ, если
прямыя CD и EF параллельны, то пипгуть: CPlI EF.
Предыдущая теорема, показывая возможность существо-
ванія параллельныхъ прямыхъ, выражаетъ одинъ изъ п р и з н а-
ковъ параллельности (перпендикулярность къ од-
ной и той же прямой). Слѣдующая теорема выражаеть еще дру-
- гіе признаки параллельности.
76, Теорема. Если при пересѣченіи двухъ прямыхъ какою-
нибудь третьею прямой окажется, что:
1°, соотвѣтственные углы равны;
шш 2°, внутренніе накрестъ лежащіе углы равны,
или 3°, BijtuJHie накрестъ лежащіе углы равны,
или 4°, сумма внутреннихъ одностороннихъ угловъ равна 2сі,
или 5°, сумма внѣшнихъ одностороннихъ угловъ равна 2й,
то первыя двѣ прямыя параллельны.
Мы видѣли (73,) что если существуетъ какое-нибудь одно
йзъ 5-ти соотношеній, перечисленныхъ въ теоремѣ, то суще-
ствуютъ и всѣ остальпыя. Поэтому намъ достаточно обнару-
яшть, что прямыя AB и CD (черт. 72) параллельны при суще-
ствованіи какого:нибудь одного изъ этихъ соотношеній. Пусть,
напр., дано, что соотвѣтственные углы 2 и 6 равпы; требуется
доказать, что въ такомъ случаѣ AB Il CD.—Предположимъ
противное, т.-е. что прямыя AB и CD не параллельны; тогда
эти прямыя пересѣ-
кутся въ какой-ни-
будь точкѣ Р, ле-
кащей направо отъ
MN, или въ какой-
нибудь точкѣ P', ле-
жащей палѣво отъ
MN. Если пересѣче-
Черт. 72. ніе будетъ въ Р, то
образуется тр-къ, въ которомъ _</2 будетъ внѣшнимъ, а Z6
внутреннимъ, не смежнымъ съ внѣшнимъ угломъ 2, и, значитъ,
— 59 —
тогда /р долженъ быть больше Ze (45), что противорѣчитъ
заданію; значитъ, пересѣчься въ какой-нибудь точкф Р, лежащей
направо отъ MN, прямыя AB и CD не могутъ. Если преДполо-
жимъ, что пересѣченіе будетъ въ точкѣ P', то тогда образуется
тр-къ, у котораго Zz, равный Zs, будетъ внутреннимъ, а Zq
внѣшнимъ, не смежнымъ съ внутреннимъ Zz; тогда Zq долженъ
быть больше Zz и, слѣд., больше Zs, что противорѣчитъ зада-
нію. Значитъ, прямыя AB и CD не могутъ пересѣчься и въ точкѣ,
лежащей налѣво отъ MN; слѣд., эти прямыя нигдѣ не пересѣ-
каются, т.-е. онѣ параллельны. ■ . .
77. Теорема. Черезъ всякую точку, лежащую внѣ прямой,
можно провести параллельную этой прямой.
Дана прямая AB (черт. 73) и какая-нибудь точка С, лежащая
виѣ этой прямой; требуется доказать, что черезъ точку C можно
провести прямую, параллельную
AB.—Черезъ какую-нибудь точку
D прямой AB и черезъ точку C
проведемъ прямую CD. Эта пря- “
мая образуетъ съ AB нѣкоторый
уголъ а. Построимъ при точкѣ C
уголъ Ъ, равный углу а, располо- A B
живъ его такъ, чтобы онъ оказался
соотвѣтственнымъ углу а. Тогда
прямая CE будетъ параллельна
AB, такъ какъ соотвѣтственные углы а и Ъ равеы (76).
78. Замѣчаніе. Такъ какъ точку D на прямой AB
(черт. 73) мы можемъ брать -произвольно, то построеній, по-
добныхъ ѵказанному, можетъ быть
выполнено сколько угодно. При
этомъ возникаетъ вопросъ, бу-
детъ ли при разныхъ построе-
ніяхъ всегда получаться одна и
та же прямая CE, параллельная
AB, или могутъ получаться и д.
другія прямыя, параллельныя
ZB? „
Черт. 74.
— 60 —
Если, напр., вмѣсто точки D мы возьмемъ точку D' (черт. 74)
и сдѣлаемъ для сѣкущей CD' такое же построеніе, какое раньше
было сдѣлаЙо для сѣкущей CD ^т.-е. построимъ Zbf=Za'),
то получится ли при этомъ та же прямая CE или окажется нѣ-
которая новая прямая CE'? Вопросъ этотъ другими словами
можетъ бьгстцвысказанъ такъ: черезъ точку С, взятую внѣ прямой
AB, можно ли провести только одну прямую, параллельную AB,
или пѣсколько? Отвѣтомъ на этотъ вопросъ служипМлѣдующая
аксіома параллельныхъ линій.
79. Аксіома параллельныхъ линій. Черезъ одну и
ту же точку нельзя провести двухъ различныхъ прямыхъ, па-
раллельныхъ одной и той же прямой.
Такъ, если (черт. 74) CE || AB, то всякая другая прямая CE',
проведенная черезъ точку С, не можетъ быть параллельной AB1
т.-е. она при продолженіи пересѣчется съ AB.
Доказательство этой не вполнѣ очевидной истины о к а з ы-
вается невозможнымъ; ее принимаютъ безъ дока-
зательства, какъ необходимое допущеніе или т р е б о-
ваніе (постулатъ — роStulatum).
80. Слѣдствія.і0. Если прямая (CE', черт. 74) пересѣ-
кается съ одной изъ параллельныхъ (CE), то она пересѣкается
и съ другой (AB)1
потому что въ противномъ случаѣ черезъ одну и ту же
точку C проходили бы двѣ различныя прямыя, параллельныя
AB, что невозможно.
2°. Если каждая изъ двухъ прямыхъ A и B (черт. 75) па-
раллельна одной и той же трѳтьей прямой (C), то онѣ парал-
лельны мѳжду собою.
Дѣйствительно, если
предполояшмъ, что пря-
мыя A и B пересѣкаются
въ нѣкоторой точкѣ М,
то тогда черезъ эту точку
проходилп бы двѣ разлйч-
ныя прямыя, параллель-
ныя С, что невозмоясно.
A-
B-
C-
>и
Черт. 75.
' — 61 —
8. теорема. (обратная теоремѣ § 76). Если двѣ парал-
лельныя прямыя (AB и CD, черт. 76) пересѣчѳны третьей пря-
мой (MN), то:
1°, соотвѣтственные углы равны;
2°, внутренніе накрестъ лежащіе углы. равны;
3°, внѣшніе накрестъ лежащіе углы равны;
4°, сумма внутреннихъ одностороннихъ угловъ равна Sd;
5°, сумма внѣшнихъ одностороннихъ угловъ равна Sd.
Достаточно доказать, что параллельность прямыхъ AB и
GD влечетъ за собою какое-нибудь одно изъ 5-ти указанныхъ
соотношеній, потому что, какъ мы
видѣли (73), если существуетъ одно
изъ нихъ, то должны существо-
вать и всѣ остальныл.
Доражемъ, напр., что если AB Il CD,
то соотвѣтственные углы а и Ъ равны.
Предположимъ противное, т.-е.
что зти углы не равны (напр., пусть
а/>Ъ). Построивъ / МЕВЛ = /Ъ, мы
ііолучимъ тогда прямую A1B1, не
гливающуюся съ АВ,и, слѣд., будемъ
имѣть 2 различныя прямыя, проходящія черезъ точкѵ E и парал-
лельныя одной и той же прямой CD (именно: AB Il CD согласно
условіютеоремы и A1B11| CD вслѣдствіе равенства соотвѣт-
ствеанахъ угловъ MEB1 и Ъ). Такъ какъ это противорѣчитъ
аксіомѣ параллельныхъ линій, то наше предположеніе, что
углы а и Ъ не равны, должна быть отбропіено; остается при-
пять, что а=Ь.
82. Слѣдствіе. Перпендикуляръ къ одной изъ двухъ
параллельныхъ прямыхъ есть также перпендикуляръ и къ
другой.
Дѣйствительно если AB || CD (черт. 77) и MEl.AB, то, во 1,
ME, пересѣкаясь съ AB, пересѣкается и ст> CD въ нѣкоторой
— 62 —
іочііѢ F(80,1°); во 2, соотвѣтственные углы аи Ъравны. Ho уголъ
а прямой; значитъ и уголъ Ъ прямой,
т.-е. MttLCD.
83. Признаки непарал-
лельноети прямыхъ. Изъ
двухъ теоремъ: прямой, выражаю-
щей признаки параллельности (76),
и ей обратной (81), можно вывести
заключеніе, что п р о т и в о п о л о-
жныя теоремы также вѣрны,
т.-е. что
Черт. 77. если при пересѣченіи двухъ пря-
мыхъ третьею окажется, что: 1°, соотвѣтственные углы н е
р а в н ы, или 2°, внутренніе накрестъ лежащіе углы н е
р а в н ы, и т. д., то прямыя не параллельны;
еслцдвѣпрямыя не параллельны, топрипересѣченіи
ихъ третьею нрямой: 1°, соотвѣтствешіыѳ. углы не р а в н ы,
2°, внутренніе накрестъ лежащіе углы не равйы, и т.д.
Изъ этихъ признаковъ непараллельности (легко доказы-
ваемыхъ способомъ отъ противнаго) полезно обратцть особое
вниманіе на слѣдующій:
если сумма внутреннихъ одностороннихъ угловъ (а и Ь,
черт. 78) не равна Sd, то прямыя (AB и CD) при дозтаточномъ
продолженіи пересѣкаются, такъ какъ если бы эти прямыя не
пересѣкались, то опѣ бы-
ли бы параллельны, и
тогда сумма внутреннихъ
одностороннихъ угловъ
равнялась бы Sd (81), что
противорѣчитъ условію.
Это предложеніе (допол-
ненное утвержденіемъ, что
Черт. 78. прямыя пересѣкутся по ту
сторону отъ сѣкущей линіи, по которой сумма внутрепнихъ
одностороннихъ угловъ меньше Sd) было принято знамени-
тымъ греческимъ геометромъ Эвклидомъ (жившимъ въ
III вѣкѣ до Р. X.) въ его «Началахъ» геометріи безъ доказа-
тельства, какъ аксіома параллельныхъ линій, и цотому оно
— 63 —
извѣстно подъ именемъ постулата Эвклида. Въ на-'
стоящее время предпочитаютъ принимать за такую аксіому
болѣе простую истину, а именно ту, которую мы изложили
раньше (79).
Укажемъ еще 2 слѣдующіе признака непараллельностп,
которые понадобятся намъ впослѣдствіи:
1°. Перпендикуляръ (AB, черт. 79) и наклонная (CD) къ одной
и той же прямой (EF) пересѣкаются,
потому что сумма внутреннихъ одностороннихъ угловъ 1 и 2
не равны Sd.
Черт. 79.
2°. Двѣ прямыя (AB и CD, черт. 80), перпендикулярныя къ
двумъ пересѣкающимся прямымъ (FE и FG), пересѣкаются.
Дѣйствительно, если предположимъ противное, т.-е. что
AB Il CD, то прямая FD, будучи перпендикулярна къ одной
изъ параллельныхъ (къ CD), была бы перпендикулярна и къ
другой параллельной (къ AB), и тогда изъ одной точки F къ
прямой AB были бы проведены два перпендикуляра: FB и FD,
что невозможно.
84. Задача. Черезъ- данную точку M про-
в е с т и прямую, парал льную даннойпря-
м о й AB (черт. 81).
Наиболѣе простое рѣшеніе этой задачи состоитъ въ слѣдую-
щемъ: изъ точки М, какъ дентра, описываемъ произвольнымъ
радіусомъ дугу CD и изъ точки C тѣмъ же радіусомъ дугу ME.
— 64 —
Затѣмъ, давъ циркулю раствореніе, равное разет-оянііо огь E
до М, описываемъ изъ точки C неболыпую дугу, которая пере-
сѣк&лась бы съ CD въ нѣкоторой
точкѣ F. Прямая MF будетъ
параллельна AB.—Для доказа-
тельства проведемъ вспомога-
тельную прямую MC; образо-
вавшіеся при этомъ углы 1 и 2
равны по построенію (69, зад. 2);
Черт. 81. а если внутренніе накресть ле-
жащіе углы равны, то линіи параллельны;
Параллельныя прямыя весьма удобно проводятся также
помощью наугольника и линейки. Приставивъ наугольникъ
Черт. 82.
одною стороною (напр., гипотенузой) къ данной прямой AB,
прикладываемъ къ другой его сторовѣ (напр., къ длинному
катету) линейку;, затѣмъ, придерживая рукой линейку въ этомъ
положеніи, двигаютъ наугольникъ вдоль нея до тѣхъ поръ/пока
сторона его, совпадавшая съ AB, не пройдеть черезъ точку М;
послѣ чего проводятъ вдоль этой стороны прямую. Эта прямая
будетъ параллельна AB, такъ какъ соотвѣтственные углы 1 и 2
равны.
Углы съ соотвѣтственно параллельными илй перпенди-
кулярными сторонами.
85. Теорема. Если стороны одного угла соотвѣтственно
параллельны сторонамъ другого угла, то такіе углы или равны,
или въ суммѣ составляютъ два прямыхъ.
Разсмотримъ особо слѣ ;ующіе тріі случая (черт. 83);
1°. Пусть стороны угла 1 соотвѣтственно параллелыіы сто-
ронамъ угла 2 и, сверхъ того, имѣють одинаковое н а-
правленіе отъ вершины (на чертежѣ направленія указаны
счрѣлками.)—Продолживъ одну изъ сторонъ угла 2 до пере-
сѣченія съ непараллельной ей сто-
роной угла 1, мы получимъ уголъ
3, равный и углу 1, и углу 2 (какъ
соотвѣтственные при параллель-
ныхъ), слѣд., Zl=Zs.
2°. Пусть стороны угла 1 соот-
вѣтстЕенно параллельны сторонамъ
угла 4, но имѣютъ протпвопо-
ложное направленіе отъ вершпны.—Продолжіівъ обѣ
стороны угла4, мы получіімъ уг. 2, который равенъ углу 1 (по до-
казанномувыше)Iiуглу 4(какъ вертішальные); слѣд., XI=Zl-
3°. Пусть, накопсцъ, сторопы угла 1 .соотвѣтственно парал-
’ лельны сторонамъ угла б пли. угла 6, при чемъ д в ѣ и з ъ
этихъ стороиъ . пмѣіотъ одпнаковое на-
' нравленіе, а двѣ другія протіівополож-
н о е. Продолживъ одну сторону угла 5 или угла 6, ыы по-
лучимъ уг. 2, который равеігь, по доказанному, углу 1; но
Zb (или Z6)4-Zз=2^i (по свойству смежныхъ угловъ); слѣд.,
Ii Zb (шш Zq)+Zi =и.
Такимъ образоыъ, углы съ параллельными сторонами ока-
зываются равными, когда ихъ
стороны имѣіотъ и л и о K и -
н а к о в о е, и л и п р о т и -
воположное напра-
в л е н і е отъ вершины; если Jite
это условіе не выполнено, то
углы составляютъ въ суммѣ 2Л.
86. Теорема .Если сто-
роны одного угла соотвѣтствен-
но перпендикулярны къ сторо-
намъ другого угла, то такіе
угды или равны, или въ суммѣ
составляютъ два прямыхъ.
А. Киселевъ. Геометрія.
Черт 84.
— 66 —
Пусть уголъ АВС, обозначенный цыфрою 1 (черт. 84), есть
одииъ изъ данныхъ угловъ. ІТроведемъ изъ его вершины двѣ
вспомогательныя хірямыя: BDA-BC и ВЕА-ВА. Образованный
ххми уголъ 2 равенъ углу 1 по слѣдухощей причинѣ: углы DBC
и EBA равны, такъ какъ оба они прямые; отнявъ отъ каждаго
изіГІихъ по одному и тому же углу EBC, получимъ: Zs=Zl.
Теперь вообразпмъ, что намъ данъ гдѣ-нибудь такой уголъ 3
(или уг. 4, нли уг. 5, или уг. 6), у котораго стороны соотвѣт-
ственно' перпендикулярны къ сторонамъ угла 1. Тогда стороны
этого угла будутъ параллельны сторонамъ угла 2 (потому что
два перпендикуляра къ одной прямой параллельны); слѣд.,
иовый уголъ нлп равенъ углу 2, нли составляетъ съ шшъ въ
суммѣ 2сІ. Замѣнивъ уголъ 2 равныыъ ему угломъ 1, получимъ
то, что требовалось доказать.
87. Замѣчаніе. Еслп намъ заранѣе пзвѣетно, что два
угла съ соотвѣтственно параллельными илп -п^Упеддикѵляр-
ными сторонами о б а- острые, илн о б а тупые, то
можемъ утверждать, что такіе углы р а в н ы, такъ какъ два
острыхъ или два тупыхъ угла не могутъ въ суммѣ составвть 2d.
Сумма угловъ треугольника и многоугольника.
88. Теорема. Сумма угловъ всякаго треугольника равна
двумъ прямымъ.
, Пусть ABC (черт. 85) какой-нибудь треугольникъ; требуется
доказать, что сумма угловъ А, B и C равна 2А.
Продолживъ сторону AC
и проведя CE Il AB, най-
демъ: ZA=ZECD (какъ
углы соотвѣтственные при
параллельныхъ), ZB =
х, ZBCE (какъ углы накрестъ
- лежащіе при параллель-
ныхъ); слѣд.:
Черт. 85? Za+Zb+Zc=
Zecd+Zbce+Za=Sd (26).
B
— 67 —
Слѣдетвія. і°. Внѣшній уголъ треугольника равенъ
суммѣ двухъ внутреннихъ угловъ, не смежныхъ съ нимъ
(такъ, Zbcd=Za-PZb).
2°. Если два угла одного треугольника соотвѣтственно равніл
двумъ угламъ другого, то и третьи углы равны.
3°. Сумма двухъ острыхъ угловъ прямоугольнаго треуголь-
ника равна одному прямому углу.
4°. Въ равнобедренномъ прямоугольномъ тр-кѣ каждый острый
уголъ равенъ 1I2A.
5°. Въ равностороннемъ тр-кѣ каждый уголъ равенъ 2/3 d.
89. Теорема. Сунма угловъ всянаго выпуклаго многоуголь-
ника равна двумъ прямымъ, повтореннымъ столько разъ,
сколько въ многоугольникѣ сторонъ безъ двухъ.
Взявъ внутри многоугольеика
(черт. 86) произвольную точ-
ку 0, соединимъ ее со всѣми
вершинами. Тогда выпуклый
многоугольникъ разобьется на
столько тр-ковъ, сколько въ
неыъ сторонъ. Сумма угловъ
каждаго тр-ка равна Sd; слѣд.,
сумма угловъ всѣхъ тр-ковъ
равна 2dn, если п означаетъ Черт. 86.
число сторонъ многоугольника.
Эта велпчина, очевидно, превы-
шаетъ сумму углбвъ многоугольника на сумму всѣхъ. тѣхъ
угловъ, которые расположены вокругь точки 0; но зта сумма
равна 4<і (26, 2°); слѣд., сумма угловъ многоугольника равна
2dn—4А=2А (п—2).
Слѣдствіе. При данномъ числѣ сторонъ сумма угловъ
выпуклаго миогоугольника есть величина постоянная. Такъ,
сумма угловъ во всякомъ выпукломъ четыреугольникѣ равна
2^(4—2)=4й; въ пятиугольникѣ=2<і(5—2)=6й; въ шестиуголь-
ніікѣ=2й(6—2)=8А; и т. д.
90. Теорема. Если изъ вершины каждаго угла выпуклаго
многоугольника проведемъ продолженіе одной изъ сторонъ этого
угла, то сумма образовавшихся при этомъ внѣшнихъ угловъ
5*
— 68 —
равна четыремъ прямымъ (независимо отъ числа сторонъ много-
угольнихса).
13 Каждый изъ такихъ внѣш-
нихъ угловъ (черт. 87) со-
ставляетъ дополненіе до 2d
кь смежному съ нимъ вну-
треннему углу многоуголь-
ника; слѣд., если къ суммѣ
всѣхъ внутреннихъ угловъ
придожимъ сумму всѣхъ
внѣшнихъ угловъ, TO полу-
чимъ 2dn (гдѣ п число сто-
ронъ); но сумма внутреннихъ
Ч-рт. 87. угловъ, какь мы видѣли,
равна 2dn—Ad; слѣд., сумма внѣшнихъ угловъ равна:
2 dn—(2 dn—Ad)=2 dn—^dn+Ad=Ad.
Слѣдствіе. Въ выпукломъ многоугольникѣ не можетъ
быть болѣе 3-хъ внутреннихъ острыхъ угловъ. Дѣйствительно,
если бы существовало 4 (или болѣе) внутреннихъ острыхъ угла,
.TO тогда бы было 4 (или болѣе) тупыхъ внѣшнихъ угла, и по-
тому сумма всѣхъ внѣшнихъ угловъ мн-ка была бы болѣе Ad,
что невозможно.
O постулатѣ параллельныхъ линій.
01. Легко показать, что такъ называемый б-й постулатъ
Э в к л и д а (указанный въ § 83 этой книги) и постулатъ, принятый
нами (§ 79) въ основаніе теоріи параллѳльныхъ линій (введенный
влервые англійскимъ математикомъ Джономъ Плейфѳромъ
въ 1795 г.) обратимы одинъ въ другой, т.-ѳ. изъ по-
стулата Плейфера можно вывести, какъ логичѳское слѣдствіѳ, посту-
латъ Эвклида (что и сдѣлано въ этой книгѣ, § 83) и, обратно, изъ этого
постулата можно логичѳски получить постулатъ Плейфѳра. Послѣднеѳ
можно выполнить, напр., такъ:
Пусть черѳзъ точку E (черт. 88), взятую внѣ прямой CD, проеедены
какія-нибудь 2 прямыя AB и A1B1, докажемъ, исходя изъ постулата
Эвклида, что эти прямыя нѳ могутъ быть обѣ параллельны одной и
той же прямой CD.
— 69 —
Для этого проведѳмъ чѳрѳзъ E какую-нибудь сѣкуціую прямую MN;
обозначимъ виутренніѳ односторонніе углы, образуѳмыѳ этоао сѣкущѳю
съ прямыми CD и AB, буквами
м
Черт. 88.
а и Ъ. Тогда одно изъ двухъ: или
сумма а-\-Ъ нѳ равна 2^, или она
равна 2d. Въ первомъ случаѣ
согласно постулату Эвклида,
прямая AB должна перѳсѣчься
съ CD и, слѣд., она нѳ можетъ
быть параллельной CD; во вто-
ромъ случаѣ сумма а ZrB1EN
окажется нѳ равной 2д, (такъ
какъ уголъ B1EN не равенъ
углу BEN); значитъ, тогда, со-
гласно тому же постулату, пря-
мая AiB1 должна пересѣчься
съ CD и, слѣд., эта прямая
нѳ можетъ быть параллельной
CD. Такимъ образомъ, одна
изъ прямыхъ AB и A1B1 непремѣнио окажется нѳпараллельной пря-
мой CD; слѣд., черезъ одну точку нельзя провѳсти двухъ различныхъ
прямыхъ, параллельныхъ одной и той жѳ прямой.
92. Сущѳствуетъ очень много и другихъ прѳдложеній, такжѳ логи-
чески обратимыхъ съ постулатомъ Эвклида (и, слѣд., ѳму логически
равносильныхъ). Укажѳмъ, напр., слѣдующія прѳдложѳнія,
которыя нѣкоторыми изйѣстными геометрами ставилиеь въ основаніѳ
теоріи параллельныхъ линій:
Существуетъ по крайней мѣрѣ одинъ треугольникъ, у котораго
сумма угловъ равиа 24 (французскій математикъ JI ѳ ж а н д р ъ,
въ началѣ XIX столѣтія).
Существуотъ выпуклый чѳтырѳугольникъ (прямоугольникъ), у ко-
тораго всѣ чѳтырѳ угла прямыѳ (французскій математикъ K л о д ъ
K л ѳ р о, XVIII столѣтіѳ).
Сущѳствуетъ треугольникъ, подобный, но нѳ раѣный, другому
трѳугольнику (итальянекій математикъ C а к к ѳ р и, начало
XVIII столѣтія).
Черѳзъ всякую точку, взятую внутри угла, мѳньшаго 2Л, можно
провести прямую, пѳрѳсѣкаюціую обѣ стороны этого угла (нѣмѳцкій
математикъ JI о р ѳ н ц ъ, конецъ XVIII стол.); и другія.
Такъ какъ постулатъ Эвклида и всѣ другіе, равносильныѳ ему,
нѳ обладаютъ качѳствомъ очѳвидности, то весьма многіѳ математііки,
начиная съ древнихъ времѳнъ и до конца первой четвѳртн XIX столѣтія,
дѣлали нѳоднократныя попытки4 доказать йоетуЛатъ Эвклйда
(или какой-нибудь другой, ѳму равносильный), т.-с. вывести его,
какъ логичѳскоѳ слѣдствіе, изъ другихъ аксіомъ геометрій. Всѣ эти
пойытки оказались однако нѳудачиыми: въ калсДомъ изъ такихъ «дбиаг
— 70 —
зательствъ», послѣ подробнаго разбора его, можно было всегда найти
какую-нибудь логическую ошибку.
93. Постоянныя неудачи въ поискахъ доказательствъ Эвклидова
постулата привели нѣкоторыхъ математиковъ къ мысли, что этотъ
пост&датъ (или ему равносильный) и не можетъ быть выведенъ изъ
другихъ аксіомъ геометріи, а представляетъ собою независимое отъ
нихъ самостоятельное допущеніе о свойствахъ пространства. Впервыѳ
эту мысль обстоятельно развилъ русскій математикъ, профессоръ
Казанскаго университета, Н. И. Лобачевскій (1793—1856).
Въ своемъ сочиненіи «Новыя начала геометріи», появившемся въ
1836—1838 годаз^ь, онъ обнародовалъ особую геометрію (названную
потомъ геометріей Лобачевскаго), въ основаніе ко-
торой положены тѣ же геометрическія аксіомы, на которыхъ основана
геометрія Эвклида, за исключеніемъ только его постулата параллель-
ныхъ линій, вмѣсто котораго Лобачевскій взялъ слѣдуюціее допущеніе:
черезъточку, лежащую внѣ прямой,можно про-
вести безчисленное множество параллель-
и обѣ стороны его не пересѣкаются съ AB, сколько бы ихъ ни про-
должали, тогДа какъ всякая прямая, проведенная черѳзъ C внѣ этого
угла, пересѣкается съ AB. Понятно, что такое допущеніе отрицаетъ
постулатъ Эвклида, такъ какъ при существованіи этого угла
нельзя утверждать, что всякія 2 прямыя пересѣкаются, коль скоро
онѣ съ сѣкуціей образуютъ внутренніе односторонніе углы, которыхъ
сумма не равна двумъ прямымъ угламъ. Несмотря однако на это отри-
цаніе, геометрія Лобачевскаго представляётъ собою такую же стройную
систему геометрическихъ теоремъ, какъ и геометрія Эвклида (хотя,
конечно, теоремы геометріи Лобачевскаго существенно отличаготся
отъ теоремъ геометріи Эвклида); въ ней, какъ и въ геометріи Эвклида,
не встрѣчаѳтся никакихъ логическихъ противорѣчій ни теоремъ съ
аксіомами, положенными въ основаніе этой геометріи, ни однѣхъ
теоремъ съ другими теоремами. Между тѣмъ, еслй бы постулатъ
Эвклида могъ быть доказанъ, т.-е. если бы онъ представлялъ собою
нѣкоторое, хотя бы и очень отдаленное, логическое слѣдствіе изъ
другихъ геометричеСКихъ аксіомъ, то тогда отрицаиіѳ этого
постулата, полозкённоѳ въ основу геометріи вмѣстѣ съ п р и н я-
ныхъ этой прямой;
E именно, онъ допустилъ, что
F если AB (черт. 89) есть прямая
'D и C какая-нибудь точка внѣ ея,
то при этой точкѣ существуетъ
нѣкоторый уголъ DEC,' обла-
даюціій тѣмъ свойствомъ, что
Ь всякая прямая, проведенная
черезъ C внутри этого угла
(напр., прямая CF), а также
A
Черт. 89.
— 71 —
т і е м ъ всѣхъ другихъ аксіомъ, непремѣнно привѳло бы къ логи-
ческирротиворѣчивымъ слѣдствіямъ. Отсутствіѳ такихъ противорѣчій
въ геометріи Лобачевскаго служитъ указаніемъ на независимость 5-го
постулата Эвклида отъ прочихъ геометрическихъ аксіомъ и, слѣд.,
на невозможность доказать его *).
94. Почти одновременно съ Лобачевскимъ, независимо отъ него,
Венгерекій математикъ Іоаннъ Вольэ (1802—1860) также
построилъ новую геомѳтрію, исходя изъ того же допущенія, какъ и
Лобачевскій, что черезъ точку, взятую внѣ прямой, можно провести
безчисленное множество параллельныхъ этой прямой.
Позже ихъ нѣмеукій математикъ P и м а н ъ (1820—1866) пока-
залъ возможность построенія еще особой, также лишенной противо-
рѣчій, геометріи (названной потомъ геометріей Римана),
въ которой вмѣсто постулата Эвклида принимается допущѳніе, что
черезъ точку, взятую внѣ прямой, нельзя
провѳсти ниодной параллельной этой пря-
м о й (другими словами, всѣ прямыя плоскости пересѣкаются).
Всѣ тѣ геометріи (какъ Лобачевскаго и Римана), въ которыхъ
въ основаніе положено какое-нибудь допущеніе о параллельныхъ
линіяхъ, не согласное съ постулатомъ Эвклида, носятъ обціее названіе
не-Эвклидовыхъ геохметрій.
95. Приведемъ нѣкоторыя теоремы геометріи Лобачевскаго, рѣзко-
различающіяся отъ соотвѣтствующихъ теоремъ геометріи Эвклида:
Два перпендикуляра къ одной и той же прямой, по мѣрѣ удаленія
отъ этой прямой, расходятся неограниченно.
СумМа угловъ треугольника меньше 2d (въ геометріи Римана она
больше 24), при чемъ эта сумма не есть величина постоянная для
разныхъ треугольниковъ.
Чѣмъ больше плоціадь треугольн.ика, тѣмъ большѳ сумма его
угловъ разнится отъ 2d.
*) Замѣтимъ, однако, что одно только отсутствіѳ противорѣчій
въ геометріи Лобачевскаго еціе нѳ служитъ доказательствомъ незави-
симости Эвклидова постулата отъ другихъ аксіомъ геометріи; вѣдь
всегда можно возразить, что это отсутствіе противорѣчій ѳсть только
случайное явлеыіе, происходящее, быть -можетъ, отъ того, что въ гѳо-
метріи Лобачёвскаго не сдѣлано еще достаточнаго количества выво-
довъ, что со временемъ, быть можетъ, и удастся кому-нибудь получить
такой логическій выводъ въ этой геометріи, который окажется въ про-
тиворѣчіи съ какимъ-нибудь другимъ выводомъ той же геометріи.
Подробная теорія этого вопроса (см. Энуиклоп е д і я э л е м.
математики Вѳбера и Вельштейна,- т. II, кн. 1,
стр. 74 и др.) устанавливаетъ: 1) что если бы въ геометріи Лобачев-
скаго или въ какой-нибудь другой не-Эвклидовой гёометріи оказалось
поотиворѣчіё, то и въ ЭвклндовоЙ гебметріи Оыло бы соотвѣтствуісйгтее
— 72 —
Если въ выпукломъ четыреугольникѣ 8 угла прямые, то 4-й уголъ
острый (значитъ, въ этой геометріи прямоугольники невозможны).
Если углы одного тр-ка соотвѣ^ственно равны угламъ другого
тр-ка, то такіе тр-ки равны (слѣд., въ геометріи Лобачевскаго нѳ суще-
ствуетъ подобія).
Геометрическоѳ мѣсто точекъ плоскости, равностояціихъ отъ какой-
нибудь прямой этой плоскости, едть пѣкоторая кривая линія.
Г Л A B A VII.
Параллелограхшы н трапзціл.
і. Главнѣйшія свойства параллелограммовъ.
,96. Опредѣленіе. Четыреугольникъ, у котораго про-
тивоположныя стороны попарно
параллельны, наз. парал-
лелограммомъ.
Такой четыреугольникъ
Q (ABCD, черт. 90) получится,
напр., если какія-нибудь двѣ
параллельныя прямыя KL и
MN пересѣчь двумя другими
параллельными прямыми RS
и PQ.
Для краткости слово «парал-
лелограммъ» мы часто будемъ
нисать такъ: пар-мъ.
97. Тѳорема. Bo всякомъ параллелограммѣ:
1°, противоположные углы равны;
2°, сумма угловъ, прилежащихъ къ одной сторонѣ, равна
двумъ прямымъ.
Пусть ABCD (черт. 91).есть параллелограммъ, т.-е. AB Il CD
Ii BC Il AD; требуется доказать, что
1°, ZA=Zc и Zb=Zd-
2°, Zaa-Zb=U, ZbaZc=U и т. д.
нротпворѣчіе; но 2) въ Эвклидовой геометрін противорѣчій быть не
можетъ. Отсюда, конечно, необходимо слѣдуетъ, что постулатъ Эвклида
HO предотавляетъ собою слѣдствія другихъ аксіомъ и потому онъ
подокязуемъ.
— 73 —
1°. Углъі AnC равны, потому что стороны этихъ угловъ
соотвѣтственно параллельны и имѣютъ противоположное на- '
правленіе отъ вершины (85). To же „
самое можно сказать объ
B и. D.
одностороннихъ угловъ при параллельныхъ прямыхъ.
98. Теорема. Bo всякомъ параллелограммѣ противополож-
ныя стороны равны.
Пусть фигура ABCD (черт. 92) есть параллелограммъ, т.-е.
AB Il CD и BC Il AD; требуется доказать, что AB=CD и BC=AD.
Проведя діагональ BD,
получимъ два тр-ннка ABD /*\*7 ■" J
и BCD, которые равны, по- /
тому что у нихъ: BD общая /
сторона, Zl =Zz и Zs= д /
Zs (какъ внутренніе на-
крестъ лежащіе при парал- Чѳрт. 92.
лельныхъ нрямыхъ). Изъ равенстра тр-ковъ слѣдуегь: AB=CD
и AD=BC (въ равныхъ тр-кахъ противъ равныхъ угловъ ле-
жатъ равныя стороны).
Замѣчаніе. Теорему эту можно выразить еще и такъ: от-
рѣзни параллельныхъ, заключенные между параллельными,
равны.
99. Обратныя теоремы. Если въ выпукломъ *) четыре-
угольникѣ:
*) Четыреугольникъ, какъ и всякій міюгоугольникь (35), наз.
выпуклымъ, . если онъ ограцичёнъ такою ломаною линіей,
которая вся расположена по одну сторопу отъ каждаго изъ 4-хъ со-
ставляющихъ ее отрѣзковъ. Четыреугольники могутъ быть и не-
выпуклыѳ, теакъ, иапр., тѣ, которыѳ изображены на черт. 96-мъ.
2°. Каждая изъ суммъ:
В+С, СЧгВ и ВЧгА равна
тому что это суммы внутреннихъ
Чѳрт. 91.
Черт. 86.
— 74 —
1°, противоположныя стороны попарно равны,
нлн 2°, двѣ противоположныя CfHPOHbi JiaBHbi и параллельны,
то^такой четыреугольникъ есть TiapanflenorpaMMb.
1°. Пусть фигура ABCD (черт.93)
есть выпуклый четыреугольникъ,
у котораго:
AB=CD и BC=AD.
Требуется доказать, что эта
фигура—параллелограммъ, т.-е.
Черт' 03- AB Il CDnBCW AD.—Проведядіа-
гональ BD, получішъ два тр-ка, которые равны, такъ какъ
у нихъ: BD общая сторона, AB=CD и BC=AD (по условію).
Изь равенства ихъ слѣдуетъ: Zl -=Zl и Zs=Zs (въ равныхъ
тр-кахъ противъ равныхъ сторонъ лежатъ равные углы); вслѣд-
ствіе этого AB Il CD п BC Il AD (если внутренніе накрестъ ле-
жащіе углЬі равны, то прямыя параллельны).
2°. Пусть въ четыреугольникѣ (ABCD, черт. 94) дано усло-
віемъ: BC=AD п BC Il AD.
Требуется доказать, что
ABCD есть параллелограммъ,
т.-е. что AB Il CD.—Tpe-
. угольйикіі ABD и BCD рав-
ны, потому что у нііхъ: BD
общая сторона, BC=AD
'Ho условіхо) .Ii Zs=Zs (какъ внутренніе накрестъ лежащіе
углы при параллельныхъ BC и AD и сѣкущей BD). Изъ ра-
венства тр-ковъ слѣдуетъ: Zl=Z4•, поэтому AB || CD.
IOO. Теорема. Bo всякомъ параллелограммѣ діагонали
дѣлятся паполамъ.
Пусть ABCD (черт. 95) есть параллелограммъ, а AC и BD
его діагонали; требуется дока-
загь, что BO=OD п AO=OC.
Тр-хш BOC Ii AOD (покрытые
на чертежѣ пітрихами) равны,
потому что у нихъ: BC=AD
(какъ противоположныя стороиы
параллелограмма), Zi=Zs п
Zз=Z4 (катст. штутрехшіе на-
— 75 —
крестъ лежащіе углы прхх параллельныхъ прямыхъ). Изъ ра-
венства тр-ковъ слѣду^тъ: OC=OA и OB=OD.
101. Обратная теорема. Всякій четыреугольникъ, діа-
гонали котораго дѣлятся пополамъ, есть параллелограммъ.
Пусть фигурд ABCD (черт. 95) есть четыреугольникъ, у кѳ-
тораго: AO=OC іх BO=OD; требуется доказать, что эта фи-
гура—параллелограммъ.
Д AOD=ABOC, такъ какъ этп тр-ки имѣютъ по равному
углу (при вершиіхѣ 0), закліоченному между соотвѣтственно
равными сторонами. Изъ ихъ равенства слѣдуетъ: Zl=Zs
и Zs=Zz (въ равныхъ тр-кахъ противъ равныхъ сторонъ
лежатъ равные углы); но если внутреиніе накрестъ лежаідіе
углы равны, то прямыя параллельны (76); поэтому AD Il BC.
Такъ какъ изъ' равенства тѣхъ же тр-ковъ слѣдуетъ еще, что
AD=BC, то фигура ABCD есть параллелограммъ (99, 2°).
102« Цѳнтръ СИММѲТрІИ. Полезно замѣтить еціе слѣдующее
свойство параллелограмма: если черезъ точку пересѣчзнія діагоналей парал-
легограмма (черезъ точку 0, чсрт. 97)
проводемъ какую-нибудь прямую (MN),
то ота прямая пересѣч&тъ контуръ пэрал-
лелограмма въ двухъ точкахъ (Pu Q>,
симметричныхъ относительно точки пере-
сѣченія діагоналей, т.-е. въ 2-хъ такихъ
точкахъ, которыя, во 1, лежатъ по раз-
ныя ‘стороны отъ точки O и, во 2, на
равньіхъ разстояніяхъ отъ этой точки.
Дѣйствительно, тр-ки OAP и OCQ
равны, такъ какъ у нихъ: AO = OC
(по свойству діагоналей параллѳло-
грамма), углы при обціей вершинѣ O Черт. 97.
равны (какъ вертикальные) и = /2
(какъ углы* внутренніе накрестъ лежащіе при параллельныхъ). Изъ
равенства этихъ тр-ковъ слѣдуетъц0Р = 0§.
Если въ какой-нибудь фигурѣ существуетъ точка, обладающая
указаннымъ свойствомъ, то такая точка наз. ц е и т р о м ъ с и м-
м е т р і и этой фигуры; значитъ, въ паралеллограммѣ
пересѣченіѳ его діагоналей есть центръ сим-
м е т р і и.
Симметрія относительно і,іенті)а паз. центральной
с н м м е т р і е й.
— 76 —
Черт.
2. Особыя фэрмы параллелограммовъ: прямоуголышнъ,
рсмбъ и квадратъ.
103. Олредѣленіе. Параллелограммъ, у котораго всѣ
углы прямые, наз. прямоурольнийомъ.
Такой параллелограммъ можно, напр., получпть, если на сто-
ронахъ прямого угла A (черт. 98) отъ его всріпііны отложимъ
произвольной длины отрѣзкіх AB Ii AC и черезъ точкіх BnC
проведемъ пряыыя BD и CE,
параллельиыя сторонамъ прямого
угла. Прямая BD, пересѣкаясь
въ точкѣ B съ прямой AB, должна
пересѣчься и съ прямой CE, парал-
лельной AB (80, 1°) въ нѣкоторой
точкѣ F. Мы получимъ такимъ
образомъ параллелограммъ ABFC,
у котораго одинъ уголъ, именно А,
есть прямой по построенію;. но
въ такомъ случаѣ, по свойству угловъ параллелограмма (97),
и всѣ остальные углы его должны быть прямые,,, такъ какъ
уголъ при веріпинѣ F равенъ А, а углы при B и C дополняхотъ
A до Sd. , •
104. Теорема. Bo всякомъ прямоугольникѣ діагонали равны.
Пусть фвгура ABCD (черт. 99)
есть прямоугольніікъ; требуется до-
казать, что AC=BD.
Прямоугольные тр-ки ACD и
ABD равны, потому что у нпхъ:
AD общій катетъ іі AB=CD (какъ
черт. 99. противеположныя стороны’ паралле-
лограмма). Изъ равепства тр-ковъ слѣдуетъ: AC=BD.
105. Обратная теорема. Всякій параллелограммъ, у
котораго діагонали равны, есть прямоугольникъ.
Пусть фпгура ABCD (черт. 99) есть параллелограммъ, у ко-
тораго AC=BD; требуется доказать, что эта фигура—прямо-
угольникъ.—Тр-ки ABD п ACD равны, такъ какъ у нихъ
AD общая сторона, AC=BD (по условііо) и AB=CD (по свой-
— 77 —
Чсрт. 100.
сгву противоположныхъ сторопъ параллелограмма). йзъ ихъ
равенства слѣдуетъ: ZbAD=ZADC. Ho сумма этпхъ 2-хъ
угловъ равна 2d (по свойству угловъ параллелограмма); слѣд.,
каждый изъ ніххъ есть d. Ho тогда н углы BnC должпы быть
прямые, п потому фвгура ABCD есть прямоугольипкъ.
106. Опредѣленіе. Параллелограмыъ, у котораго всѣ
стороны равны, наз. р о м б о м ъ.
Такой пар-мъ можно^ получить, если на сторонахъ пропз-
волыіаго угла A (черт. 100) отъ его верышны отложимъ равные
отрѣзки AB п AC и черезъ
точки BnC проведемъ
прямыя BD п CE, парал-
лельныя сторонамъ угла А.
Эти прямыя должны пере-
сѣчься между собоіо (80,1°)
въ нѣкоторой точкѣ F. Мы
получимъ такпмъ образомъ
пар—мъ, у ісотораго двѣ
смежныя стороны AB н AC
равны по построенію. Ho тогда, по свойству сторонъ пар—ма (98),
у него всѣ 4 стороны окажутся равными, такъ Kaitb BF=AC
и CF=AB.
107- Теорема. Bo всякомъ ромбѣ діагонали взаимно пер-
пендикулярны.
Пусть ABCD (черт. 101) есть ромбъ, а AC к BD его діаго-
нали; требуется доказать, что ACl. BD.
Тр-ки ABЭ п BOC равны, потому что у нихъ: BO общая сто-
рона, AB=BC (такъ какъ у ро^ба всѣ
стороны равны) и AO=OC (такъ какъ
діагоналп всякаго параллелограмма дѣ-'
лятся пополамъ). Изъ равенства^гр-ковъ
слѣдуетъ:
Zl=Zs, т.-е. BDA-AC. Чѳрт. іоі.
Замѣчаніе. Изъ равенства тѣхъ же тр-ковъ слѣдуетъ,
что Zs=Zz, т.-е. что уголъ B дѣлится діагональю пополамъ.
Изъ равенства.' тр-ковъ BOC и COD (которое доказы -
вается такъ же, каісъ и равенство тр-ковъ ABO п BOC) слѣ-
— 78 —
дуетъ, что уголъ C Дѣлится діагональю пополамъ; и т. д.
Значитъ, діагонали ромба дѣлятй его углы пополамъ.
^108. Обратная теорема. Всякій параллелограммъ, у
котораго діагонали взаимно перпендикулярны, есть ромбъ.
Пусть фигура ABCD (черт. 101) есть параллелограммъ, у ко-
тораго діагонали AC и BD перпейдикулярны; требуется до-
казать, что эта фигура есть ромбъ, т.-е. что AB=BC=CD=DA.
Тр-ки AOB и BOC прямоугольные (по условію); у нихъ ка-
тетъ OB общій и катеты AO и OC равны (такъ какъ діагонали
всякаго параллелограмма дѣлятся пополамъ). Значитъ, эти
тр-ки равны, и потому равыы ихъ гипотенузы AB и BC. Ho
AB=CD и BC=AD (по свойству протпвоположныхъ сторонъ
пар-ма); слѣд., AB=BC=CD=DA, т.-е. фигура ABCD есть
ромбъ.
109. Оеи симметріи ромба. ГІолезно замѣтить еще слѣдую-
щее свойство: каждая діагона/.ь ромоа ѳсть его ось симметріи.
Такъ, діагональ BD (черт. 102) есть ось
симметріи ромба ABCDt потому что^ вра-
цідя Д ABD вокругъ BDt мы можемъ сов-
мѣстить его съ Д BCD; вслѣдствіе этого
любой точкѣ Mt взятой на одйой половииѣ
коитура ромба, соотвѣтствуетъ точка N иа
другой половииѣ коитура, симметричная
отиосительио діагоиали BD (83). To же самое
можио сказать о діагоиали AC.
HO. Опредѣленіе. Параллело-
граммъ, у котораго всѣ стороны равны
и всѣ углы прямые, наз. к в адра-
Черт. 102. ТОМЪ.
Такой пар-мъ можно получить, если при построеніи прямо-
угольника (103) мы возьмемъ отрѣзки AB и AC равными, или
если при построеніи ромба (106) возьмемъ уголъ A прямой.
Такъ какъ к в а д р а тъ есть параллелограммъ,
прямоугольникъ и ромбъ, то онъ соединяетъ въ
себѣ всѣ свойства этихъ фигуръ; напр., относнтельно діаго-
налей квадрата можно сказать, что онѣ: 1) дѣлятся пополамъ,
2) равны между собою, 3) взаимно перпендикулярны н 4) дѣлятъ
углы квадрата пополамъ.
— 79 —
Черт. 103.
3. Нѣкоторыя теоремы, основанныя на свойствахъ
параллелограмма.
111. Теорема. Параллельныя прямыя (AB и CD, черт. 103)
вездѣ одинаково удалены одна отъ другой; другнми словами:
взѣ точіш одной параллельной одинаковы удалены отъ дру-
гой параллельной.
Дѣйствительно, если изъ какихъ-нибудь двѵхъ точекъ MnN
прямой CD опустимъ на AB
перпендикуляры MP п NQ,
то эти лерпендикуляры парал-
лельны (74), и потому фпгура
MNQP параллелограммъ; от-
сіода слѣдуетъ (98), что MP=
=NQ^re. точки MnN одина-
ково удалены отъ прямой AB.
112. Теорема. Геометрическое мѣсто точекъ, удаленныхъ
отъ данной прямой на одно и то же разстояніе и находящихся
по одну сторону отъ нея, есть йрямая, параллельная данной.
Пусть 'MnN (черт. 104) будутъ какія-нибудь двѣ точки,
находяіціяся по одну сторону отъ прямой AB и удаленныя
отъ нея на одно и то же разстояніе то; тогда перпендикѵляры
MF Ji NQ, опущенные изъ этихъ точекъ иа AB, равны т. Про-
ведемъ черезъ MnN пря-
мухо CD. Такъ какъ MF=NQ
п сверхъ того MF Il NQ (74), то
фпгура MNQF есть параллело-
грамъ (99, 2°); слѣд., CD Il Аф.
Мы віідимъ такимъ образомъ,
что всякія 2 точки (какъ MnN),
которыя удалены отъ прямой AB
на разстояніе т й расположеньі по одну сторону отъ этой пря-
мой, лежатъ на прямой, параллельной AB и удаленной отъ AB
на разстояніе т. Такъ какъ такая прямая можетъ быть только
одна (по одну сторону отъ AB), именно CD, то мы должны за-
ключить, что всѣ точгки, удаленныя отъ AB на одно н
то же разстояніё m и расположенныя по одну сторону отъ нея,
лежатъ на прямой CD, параллельной AB. Обратно, всякая
Черт. 104.
— 80 —
точка R, взятая на этой прямой, отстоіітъ отъ. AB на столько же,
какъ и точіііі M Ii- N, т.-е. на данное разстояніе т (III).
ИЗ. Теорема. Если на одной сторонѣ угла отложимъ
какіе-нибудь равные между собою отрѣзки и черезъ ихъ концы
проведемъ параллельныя прямыя до пересѣченія съ другой
стороной угла, .то и на этой сторонѣ отложатся равные между
ообою отрѣзки.
Пусть ABC (черт. 105) какой-нибудь уголъ и на его сторэнѣ BC
отложены равные отрЬзки BD=DE=EF... Проведемъ черезъ
точки D, Е, F.:. ікрлллельныя прямыя DM, EN, FP... до пере-
сѣченія съ AB; требуетея доказать, что
BM=MN=NP...
Возьмемъ какіе-нибудь два изъ этихъ отрѣзковъ, напр.,
MN н NP, и докажемъ, что они равны.
р Для этого проведемъ
-A прямыя DK и EL,
параллельныя AB. Ho-
лученные при этомъ
тр-кп DKE и ELF рав-
вны, такъ какъ у нихъ:
DE=EF (по условію),
Zkde = Jlef и
Zked = Zlfe (какъ
углы соотвѣтственгы)
при параллельныхъ прямыхъ). Изъ равенства этихъ тр-ковъ
слѣдуетъ: DK=EL. Ho DK=MN и EL=NP (какъ противо-
положныя стороны параллелограммовъ); значитъ, MN=NP.
Такъ же докажемъ
равенство и другихъ
отрѣзковъ стороны
AB (для отрѣзка BM
MT,T ДОЛЖНЫ взять
тр-къ BMD).
Звмѣчаніе. Teo-
рема не требуетъ,
чтобы равные отрѣз-
ки откладывались на
Черт. 105.
— 81 —
сторонѣ угла непремѣнно отъ его вс-ршііны; они могутъ быть
отложены отъ произвольной точки стороны и даже могутъ раз-
дѣляться какими-нибудь промежутками (черт. 106).
114. Задача. Данный отрѣзокъ прямой раз-
дѣлитьнатравныхъчастей.
Эта задача рѣшается на основаніхг предыдущей теоремы.
Пусть AB (черт. 107) дан-
/
'ч /
ET'
ный отрѣзокъ прямой, кото- Ak: T1 7* 7ІB
рый требуется раздѣлить, по-
ложимъ, на 3 равныя части. D'
Изъ конца его A проводимъ
прямую AC, образующую съ
AB произвольный уголъ; от- F*'--
кладываемъ на AC отъ точки 4 C
A три произвольной ДЛИНЫ, Черт. 107.
но равные между собою, от-
рѣзка: AD, DE и EF: точку F соединяемъ съ'В; наконецъ,
изъ EnD проводимъ прямыя EN и DM, параллельныя FB.
Тогда отрѣзокъ AB, по доказанному, раздѣлится въ точкахъ
M и N на три равныя части.
115. Теорема. Прямая, соединяющая середины двухъ сто-
ронъ треугольника, параллельна третьей его сторойѣ и равна
ея половинѣ.
Пусть DE (черт. 108) есть прямая, соединяющая середнны
двухъ сторонъ треугольника ABC. Докажемт. сначала, что
DE11 AC. Предположимъ протнвное,
т.-е. что врямая DE не парал-
лельна AC. Проведемъ черезъ точку D
^прямлю, параллельную AC (77). Эта
прямая, при нашемъ предположеніи,
не можетъ быть DE; пусть это будетъ
нѣкотсрая прямая DE1. Такъ какъ
на сторонѣ BA угла B отложеньг
равные отрѣзки BD и DA, п йзъ ихъ
концовъ проведены къ другой сторонѣ черт. 108.
угла B параллельныя прямыя DE1
п AC, то на сторонѣ BC должны получиться равные отрѣзки (113);
значитъ, BE1=E1C, и потому точка E1 должна быть серединой
6
— 82 —
стороны BC. Мы приходимъ, такимъ образомъ, къ нелѣпому
заключенію, что сторона BC имѣетъ 2 середпны: точку E по
условію и точку E1 согласно наіпему выводу. Нелѣпость этого
заключенія заставляетъ насъ отбросить сдѣланное допущеніе,
что DE не параллельна AC; значіітъ, DEWAC. Остается теперь
доказать, что DE=1I2AC. Для этого изъ E проведемъ EF Il DA;
тогда фигура EDAF будетъ параллелограмыъ и, слѣд., DE=AF.
Такъ какъ на сторонѣ CB угла C отложены равные отрѣзки
(CE=EB) Vi изъ точекъ, разграничивающихъэтиотрѣзки, хіро-
ведены къ другой стороьѣ параллельныя прямыя EF и BA, то
CF=FA; слѣд., DE=1I2AC.
4. Опредѣленіе и свойство трапеціи.
1Г6. Опредѣленіе. Выпуклый четыреуголышкъ, у
котораго какія-нибудь двѣ противоположныя стороны парал-
лельны, наз. трапеціей.
пеціи наз. ея основаніями, непараллельныя—б о к а м и.
117. Теорема. Прямая, соединяющая середины боковъ тра-
пеціи, параллельна основаніямъ трапеціи и равна полусуммѣ ихъ.
и, кромѣ того, что EF=1I2 (ADABC).—Черезъ точки BnF
проведемъ прямую до пересѣченія съ продолженіемъ стороны AD
Такой четыреугольникъ
B
|С можно получить, еслн между
\ двумя параллельными пря-
\ мыми BC п AD (черт. 109)
\ проведемъ двѣ какія-нпбудь
D сѣкущія йрямыя AB п CD.
Черт. 109.
Параллельныя стороны тра-
Bi
„с
Пусть прямая EF
(черт. 110) соеди-
няетъ середішы бо-
ковыхъ сторонъ
трапецін ABCD;
требуется дока-
зать, что EF || AD
(и, слѣд., EF I BC)
A
D
Черт. 110.
— 83 —
въ нѣкоторой точкѣ G. Тогда получимъ два тр-ка BCF nDFG,
которые равны, такъ какъ у нпхъ: CF=FD (по условію),
Zbfc=Zdfg (какъ углы вертикалыше) и Zbcf=Zfdg
(какъ углы внутренніе накрестъ лежащіе при параллельныхъ
прямыхъ). Изъ равенства тр-ковъ слѣдуегь: BF=FG и BC=DG.
Теперь видимъ, что въ AABG лрямая EF соединяетъ середины
двухъ сторонъ-; значптъ. (115), EFIlAG и EF=1I2(ADADG)-,
другпмп словами, EF Il AD и EF=1I2 (ADABC).
Замѣчаніе. Прямая, соединягсщая середішы боковъ тра-
педіи, наз. ея среднеіо линіей.
У П P A I H E H I Я.
Доказать теоремы.
37. Соединивъ послѣдовагельно середины сторонъ какого-нибудь
четыреугольника, получимъ параллелограммъ.
38. Въ прямоугольномъ Д медіана, проведенная къ гипотенузѣ,
равна ея половинѣ. (У к а з а н і е: слѣдуетъ продолжить медіану
на равное разстояніе). " 4
39. Обратно: если медіана равна половинѣ стѳроны, къ которой
она проведена, то тр-никъ прямоугольный.
40. Въ прямоугольномъ Д медіана и высота, проведенныя къ гипо-
тенузѣ, образуютъ уголъ, равный разности острыхъ угловъ Д.
41. Если въ прямоугольномъ Д одинъ острый уголъ равенъ */з
то противолежащій ему катетъ составляетъ половину гипотенузы.
42. Обратно: если катетъ вдвое меньше іщпотенузы, то противо-
лежаціій ему острый уголъ равенъ 73<2.
44. Всякая прямая, проведенная внутри трапеціи между ея осно-
ваніями, дѣлится среднею линіей пополамъ *).
46. Черезъ вершины угловъ Д проведены прямыя, параллельныя
противоположнымъ сторонамъ. Образованный ими Д въ 4 раза болѣэ
даннаго; каждая сторона его въ 2 раза болѣе соотвѣтствующей стороны
даннаго Д.
*) Упражненія подъ №№ 43 и 45 выпущены, такъ какъ содержаніе
перваго изъ нихъ изложено теперь въ § 102, а второго—въ слѣдствіи
къ § 90.
6“
— 84 —
47. Въ равнобедренномъ Д сумма разстояній каждой точки осно-
ванія отъ боковыхъ сторонъ есть величина постоянная, а именно
она равна высотѣ, опуціенной на боковую сторону.
48. Ка,къ.измѣнится эта теорема, если взять точку на продолженіи
основанія?
48,а. Въ равностороннемъ Д сумма разстояній всякой точки,
взятой внутри этого Д, до сторонъ его есть величина постоянная,
равная высотѣ Д.
49. Данъ квадратъ ABCD. Ha сторонахъ его отложены р а в н ы я
части: AAu BBu CC1 и DD1. Точки ^l1, Bu Cu D1 соединены послѣ-
довательно прямыми. Доказать, что A1B1C1D1 есть квадратъ.
49.а. Если середины сторонъ какого угодно четыреугольника взять
за вершины новаго четыреугольника, то (упр. 87) послѣдній есть
параллелограммъ. Опредѣлить, при какихъ условіяхъ этотъ пар-мь
будетъ: 1) прямоугольникомъ, 2) ромбомъ, 8) квадратомъ (рѣшается
на основаніи § 115).
Найти геометрическія мѣста:
50.—серединъ всѣхъ прямыхъ, прбведенныхъ изъ данной точки
къ различнымъ точкамъ данной прямой.
51.—точекъ, разноототояцшхъ отъ двухъ параллельныхъ прямыхъ.
52.—вершинъ тр-ковъ, имѣюцшхъ обціее основаніе и равныя высоты.
Задачи на построеніе.
5В. Даны два угла Д; построить третій.
• 54. Данъ острый уголъ прямоугольнаго Д; построить другоіі
острый уголъ. ,
55. Провести прямую, параллельную данной прямой и находя
щуюся отъ нея на данномъ разстояніи.
56. Равдѣлить пополамъ уголъ, вершина котораго не помѣціается
на чертежѣ.
57,. Черезъ даниую точку провести прямую подъ даниымъ угломъ
къ данной прямой.
58. Чѳрезъ данную точку провести прямую такъ, чтобы отрѣзокъ
ея, заключенный между двумя данными параллельными прямыми,
равнялся данной длинѣ.
59. Между сторонами даннаго остраго угла помѣстить прямую
данной длины такъ, чтобы она была перпендикулярна къ одной сто-
ронѣ угла,
60. Между сторонами даннаго угла помѣстить прямую данной
длины такъ, чтобы она отсѣкала от> сторонъ угла равныя части.
61. Построить прямоугольный Д по даннымъ острому углу и про-
тиволежаірему катету.
62. Построить Д по двумъ угламъ и сторонѣ, лежаціей противъ
одного изъ нихъ.
— 85 —
63. Построить равнобѳдренный Д по углу при
вершинѣ и основанію.
64. To же—по углу при основаніи и высотѣ, опуціенной на боковую
сторону.
65. To же—по боковой сторонѣ и высотѣ, опуціенной на нее.
66. Построить равносторонній Д по ѳго высотѣ.
67. Раздѣлить прямой уголъ на 3 равныя части (другими сло-
вами построить уголъ, равный 1Iad).
68. Построить Д по основанію, высотѣ и боковой сторонѣ.
69. To же—по основанію, высотѣ и углу при основаніи.
70. To же—по углу и »двумъ высотамъ, опущеннымъ на сторони
этого угла.
71. To же—по сторонѣ, суммѣ двухъ другихъ сторонъ и высотѣ,
опущенной на одну изъ этихъ сторонъ.
72. To же—по двумъ угламъ и периметру.
73. To же—по высотѣ, периметру и углу при основаніи.
74. Провести въ Д прямую, параллельную основанію, такъ, чтобы
она была равна суммѣ отрѣзковъ боковыхъ сторонъ, ечитая отъ осно-
ванія.
75. Провести въ.Д*прямую, параллельную основанію, такъ, чтобы
верхній отрѣзокъ одной боковой стороны равнялся нижнему отрѣзку
другой боковой стороны.
76. Построить многоугольникъ, равный данному (у к а з а н і е:
діагоналями разбиваютъ данный мн-къ на тр-ки).
77. Построить четыреугольникъ по тремъ его
угламъ и двумъ сторонамъ, образующимъ четвертый уголъ (у к а з а-
н і е: надо найти 4-й уголъ).
78. To же—по тремъ сторонамъ и двумъ діагоналямъ.
79. Построить параллелограммъ по двумъ ріс-
равнымъ сторонамъ и одной діагонали.
80. To же—по сторонѣ и двумъ діагоналямъ.
81. To же—по двумъ діагоналямъ и углу между ними.
82. To же—по основанію, высотѣ и діагонали.
: 83. Построить іірямоугольникъ по діагонали и .углу
между діагоналями.
84. Построить ромбъ по сторонѣ и діагонали.
85. To же—по двумъ діагоналямъ.
86. To же—по высотѣ и діагонали.
87. To же—по углу и діагонали, проходящей черезъ этотъ уголъ.
88. To же—по діагонали и противолежащему углу.
89. To же—по суммѣ діагоналей и углу, Образованному діаго-
налью со стороною.
90. Построить квадратъ по данной діагонали.
91. Построить трапецію по основанію, прилежащему
къ нему углу и двумъ непараллельнымъ сторонамъ (могутъ быть д&а
рѣшѳнія, одно и ни одного).
— 86 —
92. To же—по разности основаній, двумъ боковымъ сторонамъ
н одной діагонали..
92. а. To же—по четыремъ сторонамъ (всегда ли задача возможна?).
93. To же—по основанію, высотѣ и двумъ діагоналямъ (условіе
возможности).
94. To же—по двумъ основаніямъ и двумъ діагоналямъ (условіе
возможности).
95. Построить квадратъ по суммѣ стороны съ діаго-
налью.
96. To же—по разности діагонали и стороны.
97. Построить параллѳлограммъ по двумъ діаго-
налямъ и высот^.
98. To же—сторонѣ, суммѣ діагоналей и углу между ними.
99. Построить Д по двумъ сторонамъ и медіанѣ, проведенной
къ третьей сторонѣ.
100. To же—по основанію, высотѣ и медіанѣ, проведенной къ боко-
вой сторонѣ.
100,а. Построить прямоугольный Дпо гипотенузѣ
и суммѣ катетовъ.
100,6. To ж ѳ — по гипотенузѣ и разности катетовъ.
K H И Г A II.
ОКРУЖНОСТЬ.
Фсрма
ГЛАВА I.
и положеніе окружности.
118. Опредѣленія. Окружностыо (черт. 111) называется
замкнутая плоская линія, всѣ точки которой одинаково удалены
отъ одной и той Hte точки (0), называемой дентромъ.
Тірямыя (OA, OB, OC...), соеди-
няющія центръ съ точками окруж-
ности, называются р а д і у-
с а м и.
Безконечная прямая (MN), про-
ходящая черезъ какія-нибудь двѣ
точіш окружности, называется
с ѣ,к у щ е ю.
Отрѣзокъ прямой (EF), соеди-
няющій двѣ ііакія-нибудь точки
окружности, наз. х о р д о ю.
— 87 —
Всякая хорда (AZ)), проходяіцая черезъ центръ, наз. д і а -
м е т р о м ъ.
Какая-нибудь часть окружности (напр., EmF) наз. д у г о ю.
O хордѣ (EF), соединяіоіцей концы какой-нибудь дуги, го-
ворятъ, что она стягпваетъ эту дугу.
Дуга обозпачается иногда знакомъ W; напр., пишутъ
такъ: WEmF.
Часть плоскости, огранпченная окружностью, наз. кру-
г о м ъ.
Часть круга (напр., часть COB, покрытая на чертежѣ штри-
хами), ограниченная дугою и двумя радіусами, проведенными
къ кондамъ дуги, наз. секторомъ.
Часть круга (напр., часть EmF), ограниченная дугоіо и стя-
гивающею ее хордою, наз. сегментомъ.
Изъ этихъ опредѣленій слѣдуетъ:
1°, всѣ радіусы.однойокружности равны
между собою;
2°, всякій діаметръ равенъ суммѣ двухъ
радіусовъ, и потому всѣ діаметры одной
окружности равны между собою.
119. Точки внутри круга и точки внѣ его.
Окружность раздѣляетъ всѣ точки плоскости, на которой она
проведена, на 3 слѣдующія области:
1) точки, которыхъ разстоянія отъ центра болыпе радіуса;
такова, напр., точка M (черт. 112), для которой разстояніе OM
болѣе радіуса OA;
Черт. 112. Черт. 1X3.
2) точки, которыхъ разстоянія отъ центра равны радіусу
(точки А,В,... черт. 112);
— 88 —
3) точки, которыхъ разстоянія отъ центра меныпе радіуса;
такова, напр., точка N (черт. 112), для которой разстояніе ON
меныпе радіуса OB.
Точки первой области лежатъ внѣ круга, точки второй
области лежатъ на окружности и точки третьей области
расположены внутри круга.
Слѣдующія предложенія мы принимаемъ за очевндныя:
1) отрѣзокъ прямой (іх вообще всякой непрерывпой линіи),
соединяющій (черт. 113) какуіо-шібудь вііутреншоіо точку A
съ какою-нибудь внѣшнею точкою В, пересѣкается
гдѣ-нибудь съ'окружностью;
2) отрѣзокъ прямой, соеднняющій ліобыя 2 впутреніш
точки AnC (черт. 113), не пересѣкается съ окруя{-
ності ю;
3) отрѣзокъ прямой, соедппяіощій 2 внѣшнія точют, иногда
не пересѣкается (BD), иногда пересѣкается (DE) съ окруж
ностью.
120. Теорѳма. Прямая и окружность не могутъ имѣтг
болѣе двухъ общихъ точекъ.
Для доказательства предполс-
жимъ, что прямая MN (черт. 114)
имѣетъ съ окружностью, которой
центръ находится въ точкѣ 0, трп
общія точки А, Bn С. Тогда
Jj прямыя OA, OB, OC должны быть
A BC равны между собою, какъ ра-
черт. 114. Діусы, вслѣдствіе чего тр-ки OAE
п OAC будутъ равнобедренные, и,
слѣд., Zl=Zs п Zl=ZS; откуда: Zs=Zb; но это невоз
можно, такъ какъ Zs, будучи внѣшнимъ по отношенію ш
тр-нику OBC, больше внутренняго, не смежнаго съ нимь,
угла 3 (45).'
121. Слѣдствіе. Никакая часть окружности не можетъ
совмѣститься еъ прямой, потому что въ противномъ случаѣ
окружность съ прямою имѣла бы болѣе двухъ общихъ точекъ.
Линія, которой никакая часть не можетъ, совмѣститься съ
прямой, наз. кривою ли н і е й. Значитъ, окруж-
но сть есть кривая линія.
— 89 —
122. Теорема. Черезъ три точки, не лежащія на одной
прямой, можно провести окружность и притомъ только одну.
Черезъ три точки А, B и C (черт. 115), не лежащія на одной
прямой, только тогда можно провести окружность, если суще-
ствуетъ такая четвертая точка 0, которая одинаково удалена
сгъ точекъ А, B и С. Докажемъ, что такая точка существуеть
и цритомъ только одна.
Для этого примемъ во вни-
маніе, что всякая точка,
одинаково удаленная оіъ
точекъ A и В, должна ле-
жать на перпендикулярѣ
MN, проведенномъ къ сто-
ронѣ AB черезъ ея сере-
дину (63); точно также вся-
кая точка-, одинаково уда-
ленная отъ точекъ B и С,
должна лежать на пер-
пендикулярѣ PQ, іірове-
денномъ къ сторонѣ BC черезъ ея середину. Значіітъ, если суще-
ствуетъ точка, одинаково удаленная отъ трехъ точекъ А, В, и C
то она должна лежать заразъ и на MN, и на PQ, что возможно
только тогда, когда' она совщідаетъ съ точкой пересѣченія этихъ
двухъ прямыхъ. Прямыя MN и PQ всегда пересѣка-
ю т с я (83, 2°), такъ какъ онѣ перпендикулярны къ пересѣкаю-
пщмся прямымъ AB и BC. Точка O ихъ пересѣченія и будетъ
точкой, одинаково удаленной отъ А, оть B н отъ С; значитъ,
если примемъ эту точку за центръ, а за радіусъ возьмемъ раз-
стояніе OA (или OB, ігли OC), то окружность пройдетъ черезъ
точки A, B и С. Такъ какъ прямыя MN и PQ могутъ пересѣчься
только въ одной точкѣ, то центръ этой окружности можетъ быть
только одинъ,и длина ея радіуса можетъ быть т о л ь к о
о д н а; значитъ, искомая окрѵжность — единственн а-я.
123. Слѣдетвіе. Точка O (черт. 115), находясь на оди-
наковомъ разстояніи отъ A и отъ С, должна также лежать на
пернендикулярѣ RS, проведенномъ къ сторонѣ AC черезъ ея
середину. Такимъ образомъ:
— 90 —
три перпендикуляра къ сторонамъ треугольника, проведен-
ные черезъ ихъ середины, пересѣкаются въ одной точкѣ.
124.Задача. Найти центръ
данной окружности
(черт. 116).
Взявъ на данной окружно-
сти какія-нибудь три точки
А, B и С, проводятъ черезъ
нихъ двѣ хорды, напр., AB и
CB, и черезъ середины этихъ
хордъ проводятъ къ нимъ пер-
пендикуляры MN и PQ. Иско-
мый центръ, будучп одинаково
-Q
Черт. 1X6.
удаленъ отъ А, B и С, долженъ лежать и на MN, и на PQ; слѣд.,
онъ находится въ пересѣченіи этихъ перпендикуляровъ, т.-е.
въ точкѣ 0.
Г Л A B A II.
Равенство и . дугъ.
125. Теорема. Два круга одинаковаго радіуса равны (черт. 117.)
Пусть O и O1 суть центры двухъ круговъ, которыхъ радіусы
равны. Наложпмъ кругъ O на
кругъ O1 такъ, чтобы ихъ центры
совпали. Тогда обѣ окружно-
сти совмѣетятся, такъ какъ въ
противномъ случаѣ ихъ точки
не одинаково отстояли бы отъ
центра и, слѣд., радіу сы были бы
неравны.
126. Замѣчаніе. Вращая одинъ изъ совпавшихъ круговъ
вокругъ общаго дентра, мы не нарушимъ ихъ совмѣщенія.' Изъ
этого слѣдуетъ, что двѣ части одной окружности
или двѣ ча с т и равныхъ окружностей мо-
гутъ быть наложены одна на другую такъ,
что вс ѣ точки одной части окажутся леяса-
щими н а другой. • і
Чѳрт. 117.
— 91 —
127. Опредѣленіе. Двѣ дуги одинаковаго радіуса счита
ются р а в я ы м и, есліх онѣ при наложеніи могутъ быть совмѣ-
щены. Положимъ, напр., что мы
накладываемъ дугу AB (черт. 118)
на дугу CD такъ, чтобы точка A
упала въ точку C и дуга AB по-
шла по дугѣ CD (что возмояшо,
какъ мы видѣли въ предыдущемъ
замѣчаніи); еслхх при этомъ конды
B п D совпадутъ, тс'-'AB=^-CZ); A
въ противномъ случаѣ дуги
не равны, при чемъ та будетъ
меныпе, которая составитъ только
Черт. 118.
ч а с т ь другои.
C у м м о іо нѣскодькихъ данныхъ дугъ одинаковаго радіуса
наз. такая дуга того же радіуса, которая составлена изъ частей,
соотвѣтственно равныхъ даннымъ дугамъ. Такъ, если отъ про-
извольной точкп M (черт. 118) окружности отложимъ часть MN,
равную AB, п затѣмъ отъ точки N въ томъ же направленіи отло-.
жимъ часть NP, равную CD, то дуга MP будетъ суммой дугъ
AB и CD. Подобно этому можно составить сумму трехъ и болѣе
дугъ.
Изъ повятія о суммѣ дугь одного
и того же радіуса выводятся понятія
объ ихъ разности, проххзве-
деніи и частномъ въ томъ же
смыслѣ, какъ п для отрѣзковъ прямыхъ.
128. Теорема. Всяній діаметръ дѣ-
литъ окружность и кругъ пополамъ
(черт. 119).
Вообразимъ, что кругь перегнутъ по
какому-нибѵдь діаметру AB такъ, чтобы часть его AmB упала
на часть AnB. Тогда всѣ точки дуги т совмѣстятся съ точками
дуги п, потому что въ противномъ случаѣ точки одной дуги
лежали бы ближе къ центру, чѣмъ точки другой дуги, что не-
возможно.
— 92 —
Такимъ образомъ, всякій діаметръ раздѣляетъ окружность
на двѣ полуокружности, а іфугъ—на два п о л у-
к р у г а.
129. Замѣчаніе. Всякая хорда CB(черт. 119), не проходя-
щая черезъ дентръ, стягиваетъ двѣ неравння дуги; одну,
болыпуіо полуокружности, другую—меныпухо ея. Когда гово-
рятъ: «дуга, стягиваемая хордой», то обыкновенно разумѣютъ
ту хізъ двухъ дугъ, которая меныпе полуокружности.
130. Теоремы. 1°. Діаметръ, перпендикулярный къ хордѣ,
. дѣлитъ эту хорду и обѣ стягиваемыя
ею дуги пополамъ.
■ 2°. Дуги, заключенныя между парал-
лельными хордами, равны.
1°. Пусть діаметръ AB (черт. 120)
перпендикуляренъ къ хордѣ CD и
EF Ii CD; требуется доказать, что:
1°. CK = KD,-CB=SD,-CA =^DA.
2°. -.CE=^DF.
Перегнемъ чертежъ по діаметру AB
гакъ, чтобы его лѣвая часть упала на правую. Тогда лѣвая
долуокружность совмѣстится съ правою полуокружностыо,
перпендикуляръ KC пойдетъ по KD и перпендиісулДръ LE
пойдетъ по LF. Изъ этого слѣдуетъ, что точка C, представляюіцая
собою. пересѣченіе полуокруяшости съ KC, упадетъ на D, а
точка Е, представлтоіцая собою перееѣченіе полуокружности
съ LE, упддетъ на F; поэтому:
I0. CK=KD; .-BC=-BD; -AC=-AD.
2°. -CE=-DF.
Слѣдствія. 1°. Діаметръ (AB), проведенный черезъ се-
редину хорды (CD), перпендикуляренъ къ этой хордѣ и дѣ-
литъ дугу, стягиваемую ею, пополамъ.
2°. Дхаметръ (AB), проведенный черезъ середину дуги (CBD),
перпендикуляренъ къ хордѣ, стягивающей эту дугу, и дѣлитъ
ее пополамъ.
Оба этн предложенія (обратныя теоремѣ 1°) легко доказы-
ваются отъ противнаго.
Замѣчаніе. Изложенное доказательство убѣждаетъ насъ, что
каждый діамѳтръкруга ѳсть его ось симметріи.
-- 93 —
131. Задача. Раздѣлить данную дугу (AB,
черт. 121) пополамъ.
Проведя хорду AB, опускаемъ на
нее перпендикуляръ изъ центра и
продолжаемъ его до пересѣченія съ
дугою. По доказанному въ преды-
дущей теоремѣ, дуга AB раздѣлится
этимъ перпендикуляромъ пополамъ.
Ecлп же центръ неизвѣстенъ, тогда
къ хордѣ AB слѣдуетъ провести пер-
пендикуляръ черезъ ея середину Черт. Х2і.
(§ 69, задача 6).
Г Л A B A III.
Завнсимость между дугами, хордзмя и разстояніями
хордъ отъ центра.
132. Теоремы, Въ одномъ кругѣ или въ равныхъ кругахъ:
1°, если дуги равны, то стягивающія ихъ хорды равны и
одинаково удалены отъ центра;
2°, если дуги не равны и притомъ каждая меныие полуокруж-
ности, то ббльшая изъ нихъ стягивается ббльшею хордою, и эта
большая хорда ближе къ центру.
1°. Пусть дуга AB (черт. 122)
равна дугѣ CD; требуется доказать,
что хорды AB и CD равны, а также
равііы перпендикуляры OE и OF,
опущенххые изъ центра на хорды.
Повернемъ секторъ OAB вокругъ
центра O въ направленіи, указанномъ
стрѣлкою, на столько, чтобырадіусъ
OB совпалъ съ OC. Тогда дуга BA
пойдетъ по дугѣ CD, и, вслѣдствіе
ихъ равенства, эти дуги совмѣстятся.
Значптъ, хорда AB совмѣстится съ хордоіо CD (между двумя
точками можно провести только -одну прямую) и перпендикуляръ
— 94 —
OE совпадетъ съ OF (изъ одной точки можно опустить на прямую
только одинъ перпендикуляръ), т.-е. AB=CD и OE=OF.
2°. Пусть дуга AB (черт. 123) меныпе дуги CD, и притомъ
обѣ дуги меныпе полуокружности; требуется доказать, что хорда
AB меныпе хорды CD, а перпендикуляръ OE больнхе перпен-
дикуляра OF.—Отдѣлимъ на дугѣ CD
часть CK, равную AB, и проведемъ
вспомогательную хорду CK, которая,
по доказанному, равна хордѣ AB и
Jj одинаково съ ней удалена отъ центра.
У тр-ковъ*) COD Ii COK двѣ стороны
одного равны двумъ сторонамъ дру-
гого (какъ радіусы), а углы, заклхо-
ченные между этими сторонами, не
равны; въ этомъ случаѣ, какъ мы
зназмъ (58), противъ бблыцаго изъ
угловъ, т.-е. COD, должна лежать ббльшая сторона; значитъ,
CDjCK, и ііотому CDjAB.
Для доказательства того, что OEjOF, проведемъ OLA-CK и
примемъ во вниманіе, что, по доказанному, OE=OL; слѣд.,
памъ достаточно сравнить OF съ OL. Въ прямоугольномъ тр-кѣ
OFM (покрытомъ на чертежѣ штрихами) гипотенуза OM болыпе
катета OF; но OLjOM; значитъ, и подавно, OLjOF и потому
OEjOF.
Теорема, доказанная нами для о д н о г о круга, остается
вѣрною и для р а в н ы х ъ круговъ, потому что такіе круги
ничѣмъ, кромѣ своего положенія, другъ отъ друга не отли-
чаіотся.
133. Обратныя теоремы. Такъ какъ въ предыдущемъ
параграфѣразсмотрѣны всевозможные взаимно исключахощіе слу-
чаи относительно сравнительной величины двухъ дугь одного ра-
діуса, при чемъ получились взаимно исключахощіе выводы относи-
тельно сравнительной величины хордъ и разстояній ихъ отъ цент-
ра,то обратныя предложенія должны бытьвѣрны(5І), аименно:
Въодномъкругѣ ііліі въравныхъкругахъ:
1°, равныя хорды стягиваютъ равныя
дуги и одинаково удалены отъ центра;
*) Ha чертежѣ 123-мъ надо провести радіусъ OD.
— 95 —
2°, хорды, одинаково удаленныя отъ
центраравныи стягиваютъ равныя дуги;
3°, Ii з ъ двухъ неравныхъ хордъ бблыпая
стягиваетъ большую дугу и ближе кі
ц е н т р у;
4°, изъ двухъ хордъ, неодинаково уда-
ленныхъ отъ центра, та, которая ближе
къ центру, болѣе и стягиваетъ большую
Д У г у.
Эти предложенія легко доказываются отъ противнаго. Hanp.,
для доказательства перваго изъ ыихъ разсуждаемъ такъ: если бы
данныя хорды стягивали неравныя дуги, то, сэгласно прямой
теоремѣ, онѣ были бы ые равны, что протііворѣчитъ условію;
значитъ, равныя хорды должны стягивать равныя дуги, а если
дуги равны, то, согласно прямой теоремѣ, стягивающія ихъ
хорды одннаково ѵдалепы отъ центра.
134. Теорема. Діаметръ есть нхи
большая изъ хордъ.
Если соединимъ съ центромъ O концы
какой-нпбудь хорды, не проходящей
черезъ центръ, напр., хорды AB (чер-
тежъ 124), то получимъ тр-къ AOB, -A
въ которомъ одна сторона есть эта
хорда, а двѣ другія—радіусы. Ho въ
тр-кѣ каждая сторона менѣе суммы Черт. 124.
двухъ другихъ сторонъ; слѣд., хорда AB -
менѣе суммы двухъ радіусовъ; тогда какъ всякій діаметръ CD
равенъ суммѣ двухъ радіусовъ. Значитъ, діаметръ болыпе
всякой хорды, не проходящей черезъ центръ. Ho такъ какъ
діаметръ есть тоже хорда, то можно сказать, что діаметръ есть
паибольшая изъ хордъ.
Г Л A B A IV.
Свойства касательнсй.
135. Отноеительное положеніе прямой и
окружноети. Мы видѣли (120), что прямая и окружность
не могутъ имѣть болѣе 2-хъ общихъточекъ. Посмотримъ теперь,
— 96 —
при какихъ условіяхъ прямая съ окружностью можетъ имѣть
2 общія точки, 1 общую точку и ни одной общей точки. Раз-
смотримъ слѣдующіе 3 случая:
1°. Разстояніе (OC, черт. 125) дентра(0)окруж-
ности отъ прямой (AB) больше радіуса
этой окружности.
Тогда точка C прямой AB.
удалена отъ дентра O
болыпе, чѣмъ на радіусъ,
и потому лежитъвнѣ круга.
Всѣ остальныя точки пря-
мой AB удалены отъ O еще
болѣе, чѣмъ точка C (59);
значитъ, всѣ точки пря-
мой AB лежатъ внѣ круга,
и потому ата прямая не имѣетъ обпщхъ точекъ съ окружностью.
2°.Разстояніе (OC, черт. 125) ц е н т р а (O) о к р у ж-
ности отъ прямой (AB) меныпе радіусй,
этой окружности. Въ этомъ случаѣ точка C лежитъ
внутри круга. Ho на прямой AB, по обѣ стороны отъ точки С,
можно найти такія точки DnE, которыя удалены отъ O болѣе,
чѣмъ на радіусъ *), п ісоторыя, слѣд., лежатъ внѣ круга. Ho
тогда каждый изъ двухъ отрѣзковъ: CD п CE, соединяя вну-
треннюю точку съ внѣшней, долженъ пересѣчься съ окруж-
ностью. Слѣд., въ этонъ случаѣ прямая имѣетъ съ окружностью
2 общія точки.
3°. Разстояніе (00, черт. 125) центра (O) отъ
п р я м о й (AB) равно радіусу. Тогда точка C при-
надлежитъ и прямой, и окружностіі; всѣ же остальныя точшх
прямой удалены отъ O болѣе, чѣмъ точка C (59), п потому, ле-
жатъ внѣ круга. Значитъ, въ этбмъ случаѣ прямая п окруж-
ность имѣютъ только одну общую точігу, именно,
точку С.
A-*
D „
-f—B
Ч)
Чѳрт. 125.
*) Если, напр., на прямой AB отложимъ отъ точки Ct по обѣ сто-
роны отъ нея, отрѣзкй, равные радіусу, то разстояніе ихъ концовъ до
і,іентра будутъ болыиѳ радіуса, такъ какъ гипотенуза больше катета^
— 97 —
136. Опредѣленіѳ. Il р я м а я (AB, черт. 126), и м ѣ ю -
щая съ окруясностью только одну общую
точку (C), н а з. к а с.а т е л ь-
ною къ окружности; общая
точканаз.въэтомъслучаѣ т о ч к о ю
к а с а н і я.
137. Теоремы. і°. Если прямая
перпендикулярна къ радіусу въ концѣ
его, лежащемъ на окружности, то
она есть касательная.
2° (обратная). Если прямая каса-
тельна къ окружности, то радіусъ,
пргввденный въ точку касанія, пер-
пендинуляренъ къ ней.
Черт. 126
""”7 -
/
/
/
J
'0
в
1°. Пусть O (черт. 127) есть центръ окружности, OC какой-
нибудь, ея радіусъ и AB прямая, перпендикулярная къ OC и
проходящая черезъ С; требуется дока-
зать, что эта прямая есть касатель-
ная.—Разстояніе прямой AB отъ цен-
тра O равно перпендикуляру OC; но,
по условію, OC есть радіусъ; значитъ,
разстояніе прямой AB оть пентра O рав-
но радіусу; а въэтомъслучаѣ.какъ мы
видѣли (135), прямая имѣетъ съ окруж-
Черт. 127.
ностью только одну обйіую точку;слѣд., AB есть касательная.
2°. Пусть AB (черт. 127) есть касательная и OC радіусъ,
проведенный въ точку касанія; требуется доказать, что OCLAB.
Прѳдположимъ противное, т.-е. что радіусъ OC не перпенди-
куляренъ къ AB, а представляетъ собою наклонную къ этой
прямой. Въ таіюмъ случаѣ какая-нибудь другая прямая, напр.
OC1, будетъ перпендикуляромъ, опущеннымъ изъ дентра O на
касательную AB (32). Такъ какъ перпендикуляръ короче на-
клонной (59), то 0СХКРС\ значитъ, тогда разстояніе прямой AB
отъ центра 0, равное перпендикуляру OC1, будетъ меныпе
радіуса; а въ этомъ случаѣ, какъ мы видѣли (135), нрямая должна
имѣть съ окружностью 2 общія точки, а не одну, какъ данная
А. Кпселевъ. Геонетріл. 7
— 98 —
Черт. 128.
касательная AB. Слѣд., нельзя допустить, что радіусъ OC не
перпендикуляренъ къ AB; значитъ, OCA-AB.
138. Теоремы. 1°. Если каса-
тельная параллельна хордѣ, то
она дѣлитъ въ точкѣ касанія дугу,
стягиваемую хордой, пополамъ.
Пусть прямая AB (черт. 128)
касается окружности въ точкѣ M
и параллельна хордѣ CD; тре-
буетея доказать, что
WCM=WMD.
Проведя черезъ точку касавія
діаметръ EM, будемъ имѣть:
ЕМ±АВ (137, 2°) и слѣд., EMA-CD (82); поэтому WCM=
WMD (130, 1°).
2° (Обратяая). Если касательная (AB) проходитъ черезъ
середину дуги (CD), то она лараллельна хордѣ, стягивающей
эту дугу.
Дѣйствительно, эта касательная перпендикулярна къ діа-
метру (EM), проведенному черезъ середину дуги, а такой діа-
метръ перпендикуляренъ къ хордѣ (130, слѣд. 2°); но два перпен-
дикуляра къ одной и той же прямой должны быть параллельны.
139. Задача. Черезъ данную точку провести
касат.ельную къ данной окружности.
Если данная точка (напр., точка Mv черт. 128) находится
на окружности, то п^оводятъ черезъ нее радіусъ и
черезъ конедъ радіуса перпендикулярнуіо прямую. Эта прямая
и будетъ искомой касательной (137, 1°). Другой касательной
черезъ ту же точку окружности провести нельзя, такъ какъ
касательная должна быть перпендикулярна къ радіусу въ
концѣ его, лежащемъ на окружности, а двухъ различныхъ
перпендикуляровъ къ одному и тому же радіусу черезъ одну
и ту же точку провести нельзя.
, Разсмотримъ теперь случай, когда точка дана внѣ круга.
Пусть требуется (черт. 129) провести къ окружности центра O
касательную черезъ точку А. Для этого изъ точки А, какъ
дентра, описываемъ дугу радіусодъ AQ, а изъ точки 0, какъ
— 99 —
центра, пересѣкаетъ эту дугу въ точкахъ BnC раствореніемъ
циркуля, равнымъ діаметру даннаго круга. Проведя затѣмъ
хорды OB п OC, соединимъ точку A съ точками D п Е, въ ко-
торыхъ эти хорды пересѣкаются съ данною окружностью. Пря-
мыя AD и AE п будутъ касательными къ окружности 0. Дѣй-
ствительно, изъ построенія видно, что тр-ш AOB и AOC
равнобедренные (AO=AB=AC) съ основаніями OB и OC,
равными діаметру круга 0. Такъ
какъ OD п OE суть радіусы, а
радіусъ равенъ половинѣ діа-
метра, то D есть середина OB,
а E середина OC; значитъ, пря-
мыя AD п AE суть м е д і а н ы,
проведенныя къ основаніямъ рав-
нобедренныхъ тр-ковъ, и потомѵ
перпендикулярны къ этимъ осно-
ваніямъ (39). Если же прямыя AD
и AE перпендтсулярны къ ра-
діусамъ OD и OE въ ихъ концахъ,
лежащихъ на окружности, то онѣ
касательныя.
Замѣчаніе. Очевидно, что если данная точка лежитъ внутри
круга, то черезъ нее нельзя провести касательной.
140. Слѣдствіе. Двѣ касательныя, проведенныя изъ
одной точки къ окружности, равны и образуютъ равные углы
съ прямою, соединяющею эту точку съ центромъ
Такъ, AD=AE п ZOAD=ZOAe (черт. 129), потому что
прямоугольные тр-ки AOD п АОЕ, имѣющіе общую гипоте-
нузу AO п равные катеты OD п
OE (какь радіусы), равны.
Само собою разумѣется, что
здѣсь подъ словомъ «касателыіая»
разумѣется собственно «отрѣзокъ
касательной» отъ данной точки до
точки каоанія.
141. Задача.Провести каса-
тельную къ данной окруж-
ности параллельноданной
пр ямо й AB (черт. 130).
Черт. 129.
— 100 —
Черезъ центръ O проведемъ MC-LAB и черезъ точки D и D1.
въ которыхъ этотъ перпендикуляръ пересѣкается съ окруж-
ностью, проведемъ EF Il AB и E1F1 Il AB. Иекомыя касательныя
будутъ EF и E1F1. Дѣйствительно, такъ какъ MC-LAB
и EF U AB, а также и E1F1 Il AB, то EFL OD и E1F1L OD1-,
а прямая, перпендикулярная къ радіусу въ концѣ его, лежа-
щемъ на окружности, есть касательная.
142. Задача. Къ двумъ окружностямъ про-
вести общую касательную (черт. 131).
1°. A н а л и з ъ. Предположимъ, что задача рѣшена. Пусть
AB будетъ общая касательная, A и B точки касанія. Очевидно,
что если мы найдемъ одну изъ этихъ точекъ, напр., А, то за-
шинѣ C; вслѣдствіе этого, если оіішпемъ изъ 0, какъ центра,
радіусомъ OC окружность, то она будетъ касаться прямой O1C
въ точкѣ С. Радіусъ этой вспомогательной окружности извѣ-
стенъ: онъ равенъ OA—CA=OA—O1B, т.-е. онъ равенъ разности
радіусовъ данныхъ окружностей.
Пос.троеніе. Обозначимъ радіусъ бблыпаго круга че-
резъ R и радіусъ меныпаго черезъ г. Опишемъ изъ центра O
окружность радіусомъ, равнымъ R—г; изъ O1 прбводимъ къ
этой окружности касательную O1G (способомъ, указаннымъ
въ предыдущей задачѣ § 139)* черезъ точку касанія C проводимъ
радіусъ OC и продолжаемъ его до встрѣчи съ данною окруж-
ностью въ точкѣ А. Наконецъ, изъ A проводимъ AD парал-
лельно CO1.
Доказательство (синтезъ). Такъ какъ O1C, по по-
строенію’, есть касательная въ точкѣ C къ окружности раді-
уса OC, то O1CLOC, и, значптъ, O1ClOA. Такъ какъ AD Il CO1,
тѣмъ легко найдемъ и дру-
гую. Проведемъ радіусы OA
Черт. 131.
и O1B. Эти радіусы, будучи
® перпендикулярны къ общей
касательной, параллельны
между собою; поэтому если
изъ O1 проведемъ O1OIIBA5
то тр-къ OCO1 будетъ п р я -
моугольный при верг
*) Если зто возможно, т.-е. если центръ O1 окажется лежаіцимъ нѳ внутри
круга, описаннаго радіусомъ 0С=Й—г.
— 101 —
то и ADLOA и лотому AD есть касательная къ данной окруж-
ности центра O (137). Остается доказать, что прямая AD ка-
сается также и другой даняой окружности. Для этого изъ
центра O1 проведемъ O1BJ-AD. Прямыя O1B и CA, будучи
перпендикулярны къ AD, должны быть параллельны; съ дру-
гой стороны, ADlI O1C; слѣд., фигура O1CAB есть параллело-
граммъ; поэтому O1B=CA=OA—OC; но OC=R—г; слѣд.,
O1B=R—(R—г)=г. Значитъ, точка B принадлежитъ данной
окружности центра O1, и прямая O1B есть радіусъ этой окруж-
ности. Такимъ образомъ, прямая AD перпендикулярна къ
радіусу O1B въ его концѣ, лежащемъ на окружности, а такая
прямая есть касательная.
Совершенно такимъ же способомъ мы можемъ построить
другую общую касательную A1B1 (черт. 131). Прямыя AB и
A1B1 наз. внѣшними общими касательными.
Можно еще провести двѣ внутреннія касательныя
слѣдующимъ образомъ.
2°. Анализъ. Предположимъ, что задача рѣшена (чер-
тежъ 132). Пусть AB будетъ искомая касательная. Проведемъ
. радіусы OA и D1B въ точки касанія A и В. Эти радіусы, будучи
оба перпендикулярны къ общей касательной, параллельны
между собою. Поэтому если изъ O1 лроведемъ O1G Il BA и про-
должимъ OA до точки 0, то OC будетъ перпендикуляренъ къ O1C;
вслѣдствіе этого окружность, описанная радіусомъ OC изъ
точки 0, какъ центра, бу-
детъ касаться прямой O1C
въ точкѣ С. Радіусъ этой
вспомогательной окруж-
ности извѣстенъ: онъ ра-
венъ OA + AC = OA +
O1B=RAr, т.-е. онъ ра-
венъ суммѣ радіусовъ
данныхъ окружностей.
Построеніе. Изъ 0, какъ центра, описываемъ окружность
радіусомъ, равнымъ суммѣ й+г; изъ O1 проводимъ къ этой
окружности касательную O1C*; точку касанія C соединяемъ съ
*) Если эта возможнэ, т.-е. если цѳнтръ O1 окажзтся леясащимъ не внутри
круга описаннагі радіусомъ ОС=В+г.
— І02 —
0; наконещ., черезъ точку А, въ которой OC пересѣкается съ
данной окружностью, проводимъ AD Il O1C.
Доказательство (синтезъ) остается то же самое,
какъ й въ случаѣ 1°.
Подобнымъ же образомъ можно построить другую внутрен-
нюю касательную A1B1.
Замѣчаніе. He ко всякимъ двумъ окруяшостямъ можно
провести общія касательныя; напр., если одна окружность
лежитъ внутри другой, не имѣя съ ней ни одной общей точки,
то очевидно, что къ такимъ окружностямъ нельзя провести ни
внѣвінихъ, ни внутреннихъ общихъ касательныхъ; или, если
окружности пересѣкаются, то очевидно, что къ нимъ нельзя
провести внутреннихъ общихъ касательныхъ,
143. Общее опредѣленіе каеательной. Пусть къ
окружности центра O (черт. 133) проведены черезъ точку A
касательная AT и какая-нибудь сѣкущая AM. Станемъ вра-
щать эту сѣкущую вокругъ точки A такъ, чтобы другая точка
пересѣченія B все ближе и ближе придвигалась къ А. Тогда
перпендикулярности ихъ сторонъ); поэтому при неограни-
ченномъ приближеніи точки B къ A уголъ MAT также можетъ
быть сдѣланъ какъ угодно малъ. Это выражаютъ иными сло-
вами, такь: касательная есть предѣльное по-
ложеніе, къ которому стремитсясѣкущая,
A
■у г п -1 * . ’
1 ный изъ центра на сѣкушую,
будетъ все болѣе и болѣе при-
ближаться къ радіусу OA, при-
чемъ уголъ AOD, равный поло-
винѣ угла AOB, можетъ сдѣ-
латься меныпе всякаго малаго
угла. Уголъ МАТ, образован-
ный сѣкущею и касательною,
равенъ углу AOD (вслѣдствіе
перпендикуляръ OD, опущен-
Черт. 133.
B
проведенная черезъ
точку касанія, когда
вторая точка пере-
A
Ч рт. 134.
• сѣченія неограни-
T
ченно приближается
къ точкѣ к а с а н і я.
— 103 —
Это свойство принимаютъ за опредѣленіе каса-
т е л ь н о й, когда рѣчь идетъ о какой угодно кривой. Такимъ
образомъ, касательною къ кривой AB (черт. 134)
въ точкѣ M наз. предѣльное положеніе MT,
къ которому стремится сѣкущая MN, когда
точка пересѣченія P неограннченно при-
блнжается къ М.
Опредѣляемая такимъ образомъ касательная можетъ имѣть съ
кривою болѣе одной общей точки (какъ это видно на черт. 134).
Г Л A B A V.
Относнтельное положеніе окружностей.
144. Опредѣленіѳ. Если двѣ окружности
имѣютъ только одну общую точку, TO го-
ворятъ, что онѣ касаются; если же.двѣ
окружности имѣютъ двѣ общія ТОЧКИ, TO
говорятъ, что онѣ пересѣкаются. -
Трехъ общихъ точекъ двѣ несливающіяся окружйости имѣть
не могутъ, потому что въ противномъ случаѣ черезъ трй точки
можно было бы провести двѣ различныя окружности, что не-
возможно (122). '
Вудемъ называть линіей центровъ прямую,проходящую
черезъ центрыдвухъокружностей (напр., прямую OO1, черт. 135).
145. Теорема. Если двѣ окружности имѣютъ общую точку
по одну сторону отъ линіи центровъ, то онѣ имѣютъ общую
точку и по другую сторону отъ этой линіи, т.-е. такія окруж-
ности пересѣкаются.
Пусть (черт. 135) двѣ окружности имѣютъ общую точку А,
лежащую внѣ линіи центровъ
OO1; требуется доказать, что
эти окружности имѣіотъ еще
общую точку по другую сто-
рону отъ прямой OO1.
Опустимъ изъ A на прямую
. OO1 перпендикуляръ AB и
продолжимъ его на разстояніе
BA1, равное AB. Докажемъ
теперь, что точка A1 принадлежитъ обѣимъ окружностямъ.
— 104 —
йзъ построенія видно, что точки O и O1 лежатъ на перпенди-
кулярѣ, проведейномъ къ отрѣзку AA1, черезъ его середину.
Изъ этого слѣдуетъ, что точка O одинаково удалена отъ A и A1
(63, 2°); то же можно сказать и о точкѣ O1; значитъ, обѣ окруж-
ности, при продолженіи ихъ, пройдутъ черезъ A1. Такимъ
образомъ, окружности имѣютъ двѣ общія точки: точку A (по усло-
вію) и точку A1 (по доказанномѵ); слѣд., онѣ пересѣкаются.
146. Слѣдствіе. Общая хорда (AA1, черт. 135) двухъ пере-
сѣкающихся окружностей перпендикулярна къ линіи центровъ
и дѣлится ею пополамъ.
147- Теорема. Если двѣ окружности имѣютъ общую
точку на линіи ихъ центровъ, то онѣ касаются.
Пусть общая точіса A двухъ окружностей лежитх на линіи
иентровъ OO1 (черт. 136 и 137). Требуется доказать, что такія
окружности касаются, т.-е что онѣ яе имѣютъ никакой другой
общей точки.—Окружности не могутъ имѣть другой общей
точки внѣ линіи центровъ, потомѵ что въ противномъ случаѣ
онѣ имѣли бы еще третью общую точку по другѵю сторону
отъ линіи центровъ (145) и, слѣд., должны были бы слиться (122)
Онѣ не могутъ имѣть другой общей точки и па линіи центровъ,
такъ какъ на этой прямой, очевпдно, нѣтъ другой точки, ко-
торая отъ обоихъ центровъ была бы удалена настолько же,
какъ и точка А. Слѣд., оісружности имѣютъ только одну общую
точку, т -е онѣ касаются,
148. Замѣчаніе. Касаніе двуХъ окружностей наз. в н ѣ ш -
н и м ъ, если онѣ расположены одна внѣ другой (черт 136),
и внутреннииъ, если одна изъ окружностей лежитъ
внутри другой (черт. 137).
M
N
Черт. 136.
N
Черт. 137.
— 105 —
149. Теорема. (обратная предыдущей). Если двѣ окруж-
ности касаются, то точка касанія лежитъ на линіи центровъ.
Пѵсть двѣ окружности (черт. 136 и 137) касаются въ точкѣ А,
т.-е имѣютъ толысо одпу общую точку А; требуется доказать,
что эта точка лежитъ на линіи центровъ.—Точіса A не можетъ
лежать виѣ линіи центровъ, потому что въ противномъ случаѣ
окружности имѣли бы еще другую общую точку, что противо-
рѣчитъ условію теоремы
150. Слѣдствіе. Двѣ касательныя окружности имѣютъ
общую касательную въ точкѣ касанія, потому что если про-
ведемъ черезъ точку касанія прямую MN (черт. 136 и 137),
перпендикулярную къ радіусу OA, то эта прямая будетъ также
перпендикулярна и къ радіусу OxA*.
151. Различные елучаи отноеительнаго поло-
женія двухъ окружноетей, Обозначимъ радіусы
двухъ окружностей буквами R и E1 и разстояніе между ихъ
центрами буквою d. Разсмотримъ, какова зависимость между
этими величинами въ различныхъ
случаяхъ относительнаго положенія
двухъ окружностей. Этихъ случаевъ
можно указать слѣдующіе 5:
1°. Окружности лежатъ
одна внѣ другой, не ка-
с а я с ь (черт. 138); въ этомъ слу-
чаѣ, оЧевидно, (CjRAR1.
2°. Окружности имѣютъ
внѣшнее касані е.(черт. 139);
тогда d=RAR1, такъ какъ точка
касанія лежитѣ на линіи центровъ.
3°. Окружности пересѣка-
ются (черт. 140, I0 и 2°);то-
гда dKRARi. и въ то же время
dJR—RnTLOTOMj чтовътр-кѣ
OAO1 сторона OO1, равная d,
меньше суммы, но больше раз-
ности двухъ другихъ сторонъ,
равныхъ радіусамъ R и R1.
*) 0.фуншости, касающіяся и8внЬ, имѣютьещѳ 2 общія внѣшніа касателышя.
— 106 —
Черт. 141.
Окружности нмѣютъ внутреннее к а -
саніе (черт. 141); въ этомъ случаѣ
dKR—R1, потому что точка касанія лежитъ
на. линіи центровъ.
Наконецъ, 5°, одна окружность
лежитъ внутри другой, не к а -
саясь (черт. 142); тогда, очевидно,
AKR-Ri и въ частномъ случаѣ A=O, когда
центры обѣихъ окружностей сливаются (такія
оіфужности наз.к онцеятрическими).
152. Обратныя
предложенія. Такъ
какъ разсмотрѣнные
нами случаи располо-
женія двухъ окруж-
ностей таковы, что ка-
ждый изъ нихъ исклю-
чаетъ собою всѣ осталь-
ные, и случаи эти со-
такими соотношеніями между разстояніемъ
центровъ и величиною радіусовъ, которые тоже взаимно другъ
друга исключаютъ, то обратныя предложенія должны быть
вѣрны (51), а именно:
1° E с л и AjRAR1, то окружяости расяоло-
жены одна внѣ другой, не касаясь.
2° E с л и A=RAR1, т о окружности касаются
н з в н ѣ.
3°. E с л и AKRAR1 и въ то же вр е м я AjR—R1,
то окружности нересѣкаются.
4°. Ec ли A=R—R1, то окружности касаются
извнутри.
5°. E с л и AKR-R1, то одна окружность ле-
житъ внутри другой, не касаясь.
Всѣ эти нредложенія легко доказываются отъ нротивнаго.
Чѳрт. 142.
нровождаются
— 107 —
УПРАЖНЕНІЯ:
Найти геометрическія мѣста;
101.—точекъ, изъ которыхъ касательныя, проведенныя къ данной
окружности, равны данной длинѣ.
102.—точекъ, изъ которыхъ данная окружность видна подъ даннымъ
угломъ (т.-е. двѣ касательныя, проведенныя изъ каждой точки къ
окружности, составляютъ между собою данный уголъ).
103.—центровъ окружностей, описанныхъ даннымъ радіусомъ и
касающихся данной прямой.
104.—центровъ окружностей, касаюіцихся данной окружности
въ данной точкѣ.
105.—центровъ окружностей, описанныхъ даннымъ радіусомъ и
касаюціихся данной окружности (два случая: касаніѳ внѣшнее и ка-
саніе внутреннее).
106. Прямая данной длины движется параллельно самой себѣ такъ,
что одинъ ея конецъ скользитъ по окружности. Найти геометрическоѳ
мѣсто, описанное другимъ концомъ.
107. Прямая данной длины движется такъ, что коніды ея скользятъ
по сторонамъ прямого угла. Найти геометрическое мѣсто, описываемоѳ
серѳдиною этой прямой.
Доказать теоремы.
107.а. Въ кругѣ центра O проведена хорда AB и продолжена на
разстояніе BCt равное радіусу. Черезъ точку C и центръ 0 проведена
сѣкуціая CD (D вторая точка пересѣченія съ окружностью). Доказать,
что уголъ AOD равенъ утроенному углу ACD.
108. Если черезъ центръ окружности и данную точку внѣ ея про-
ведемъ сѣкущую, то часть ея, заключенная между данною точкою
и ближайшею точкою пересѣченія, есть наименьшее разстояніе, а
часть, заключенная между данною точкою и другою точкою пересѣ-
ченія, есть наибольшее разстояніѳ этой точки отъ окружности.
109. Кратчайшее разстояніе между двумя окружностями, лежащими
одна внѣ другой, есть отрѣзокъ линіи ідентровъ, заключенньій между
о кру жностями.
110. Изъ всѣхъ хордъ, проведенныхъ въ окружности черезъ одну
точку, наименьшая есть та, которая перпендикулярна къ радіусу,
проходящему черезъ эту точку.
111. Если черезъ точку пересѣченія двухъ окружностей будемъ
проводить сѣкущія, не продолжая ихъ за окружности, то наибольшая
изъ нихъ окажется та, которая параллельна линіи центровъ.
112. Если къ двумъ окружностямъ, касающимся извнѣ, провести
три общія касательныя, то внутренняя изъ нихъ дѣлитъ двѣ другія
въ точкахъ, одинаково удаленныхъ отъ точекъ касанія.
113. Всѣ хорды данной длины, проведенныя въ данной окруж-
ности, касаются нѣкоторой другой окружности.
— 108 —
114. Если черезъ одну изъ точекъ пересѣченія двухъ окружностѳй
проведемъ діамегры въ каждой окружности, то прямая, соединяющая
концы ихъ, иройдетъ черѳзъ другую точку пересѣченія.
114.а. Черезъ точку A окружности проведена хорда AB и затѣмъ
касательная въ точкѣ В\ діаметръ, перпендикулярный къ радіусу OA,
встрѣчаетъ касательную и хорду соотвѣтственно въ точкахъ C и D.
Доказать, что BC = CD.
114,5. Къ двумъ окружностямъ центровъ 0 и O1, касающимся извнѣ
въ точкѣ А, проведена общая внѣшняя касательная BC (В и C точки
касанія); доказать, что уголъ BAC есть прямой.
Задачи на построеніе.
115. Раздѣлить данную дугу на 4, 8, 16... равчыхъ частей.
116. По суммѣ и разности дугъ найти эти дуги.
117. Изъ данной точки, какъ центра, описать такую окружность,
которая даздѣлила бы данную окружность пополамъ.
118. Ha данной прямой найти точку, наименѣе удаленную отъ
данной окружности.
119. Въ кругѣ дана хорда. Провести другую хорду, которая дѣ-
лилась бы первою пополамъ и составляла бы съ нею данный уголъ.
120. Черезъ данную въ кругѣ точку провести хорду, которая дѣ-
лилась бы этою точкою пополамъ.
121. Изъ точки, данной на сторонѣ угла, описать окружность,
которая отъ другой стороны угла отсѣкала бы хорду данной длины.
122. Даннымъ радіусомъ описать окружность, которой центръ
лежалъ бы на сторонѣ даннаго угла и которая отъ другой стороны
его отсѣкала бы хорду данной длины. .
123. Даннымъ радіусомъ описать окружность, которая касалась бы
цанной прямой въ данной точкѣ.
124. Описать окружность, касательную къ сторонамъ даннаго угла,
при чемъ одной изъ нихъ въ даиной точкѣ.
125. Описать окружность, касающуюся трехъ сторонъ тр-ка.
126. Мѳжду двумя параллельными прямыми дана точка; провести
окружность, проходящую черѳзъ эту точку и касаюціуюся данныхъ
прямыхъ.
127. Провести къ данной окружности касательную подъ даннымъ
угломъ къ данной прямой.
128. Изъ точки, данной внѣ круга, провести къ нему сѣкущую
такъ, чтобы ея внутренняя часть равнялась данной длинѣ (изслѣдо-
вать задачу).
129..Даннымъ радіусомъ описать окружность, проходяціую черѳзъ
данную точку и касатѳльную къ данной прямой.
130. Ha данной прямой найти такую точку, чтобы касательныя,
проведенныя изъ нея къ данной окружности, были данной длины.
131. Построить Д, зная одинъ уголъ и двѣ высоты, изъ которыхъ
одна проведена изъ вершины даннаго угла.
— 109 —
132. Даны двѣ оісружности; провести къ нимъ сѣкуціую такъ,
чтобы внутреннія части ѳя равнялись даннымъ прямымъ.
133. Даны двѣ точки; провести прямую такъ, чтобы перпѳндику-
ляры, опуціенные на неѳ изъ этихъ точекъ, имѣли данныя длины.
134. Описать окружность, которая проходила бы черезъ данную
точку и касалась бы данной окружности въ данной точкѣ.
135. Описать окружность, которая касалась бы двухъ данныхъ
параллельныхъ прямыхъ и къ кругу, находяціемуся между ними.
136. Даннымъ радіусомъ описать окружность, которая касалась бы
даннаго круга и проходила бы черезъ данную точку.
187. Даннымъ радіусомъ описать окружность, которая касалась бы
данной прямой и даннаго круга.
138. Даннымъ радіусомъ описать окружность, которая отъ сторонъ
даннаго угла отсѣкала бы хорды данной длины.
139. Описать окружность, касающуюся даннаго круга въ данной
точкѣ и данной прямой (2 рѣшенія).
140. Описать окружность, касающуюся данной прямой въ данной
точкѣ и даннаго круга (2 рѣшенія).
141. Описать окружность, касающуюся двухъ данныхъ Круговъ
при чемъ одного изъ нихъ въ данной точкѣ (разсмотрѣвъ три случая:
1, искомый кругъ лежитъ внѣ данныхъ; 2, одинъ изъ данныхъ круговъ
лежитъ внѣ искомаго, другой внутри; 3, оба данныхъ круга лежатъ
внутри искомаго).
142. Описать окружность, касаюціуюся трѳхъ равныхъ круговъ
извнѣ или внутри.
143. Въ даннный секторъ вписать окружность, касаюціуюся къ
радіусамъ, ограничивающимъ сѳкторъ, и къ дугѣ сектора.
144. Вписать въ данный кругъ три равныѳ круга, которыѳ каса-
лись бы попарно между собою и даннаго круга.
145. Черезъ точку внутри круга провѳсти хорду такъ, чтобы раз-
ность ѳя отрѣзковъ равнялась данной длинѣ
146. Черезъ точку пересѣченія двухъ окружносгей провести сѣ-
кущую такъ, чтобы часть ѳя, заключенная внутри окружностѳй,
равнялась данной длинѣ.
147. Изъ точки, данной внѣ круга, провѳсти сѣкущую такъ, чтобы
внѣшняя ея часть равнялась внутренней.
Г Л A B A VI.
ИзмЪреніе величинъ.
153.Общаямѣра. Общею мѣрою двухъ дан-
ныхъ отрѣзковъ прямой называется такой
третій отрѣзркъ прямой, который въ к а -
ждомъ изъданныхъ содержится цѣлое
— 110 —
число разъ безъ остатка. Такъ, если (черт. 143)
од отрѣзокъ AM содержится въ AB и
Al—I 1—I—I—|в въ CD дѣлое число разъ (напр.,
5 разъ въ AB п 3 раза въ CD), то
Cl I I |Р ZM есть общая мѣра AB и CD.
Подобно этому, можетъ быть
Черт. 143. общая мѣра двухъ дугъ одина-
коваго радіуса, двухъ угловъ и вообще двухъ значеній одной
и той же величины.
154. Нахожденіе наиболыпей общей мѣры.
Чтобы найти наибольшую общую мѣру двухъ отрѣзковъ
прямой, употребляютъ способъ послѣдовательнаго
отложенія, подобный тому п о -
__ _ _А_ _ __ слѣдовательному дѣле-
J 1 1——н і ю, какимъ въ ариѳметикѣ нахо-
g' дятъ общаго наибольшаго дѣлителя
двухъ цѣлыхъ чиселъ. Этотъ способъ
основьшается на слѣдующихъ пред-
Чзрт. 144. ложеніяхъ:
.1°. Если меньшій изъ двухъ данныхъ
отрѣзковъ (А в В, черт. 144) содержится въ
большемъ цѣлое число разъ безъ остатка,
то наиб. общая мѣра такихъ отрѣзковъ
е сть меньшій изъ нихъ.
Пусть, напр., B содержится въ A ровно 3 раза; такъ какъ
прп этомъ, конечно, B содержится въ B ровно 1 разд>, то B есть
общая мѣра отрѣзковъ A и В; оъ другой стороны, эта
мѣра есть и наибольшая, такъ какъ никакой отрѣзокъ,
болыпій В, не можетъ содержаться въ B безъ остатка.
2°. Если меньшій изъ двухъ данныхъ
отрѣзковъ (В, черт. 145) содержится въ боль-
ш е м ъ (въ А) цѣлое число разъ съ какимъ-
нибудь остаткомъ (R), т о
A наиб. общая мѣра этихъ
J "-VJ отрѣзковъ должна быть
R вмѣстѣ съ тѣмъ и наиб.
B..л общей мѣрой меныпаго
* о т р ѣ з к а ■ (B) TL остатка (R).
Черт. 145. Пусть, напр., А=В+В+В+В.
— 111 —
Изъ этого равенства мы можемъ вывести слѣдующія два
заключенія:
1) Всякій отрѣзокъ, содержащійся цѣлое число разъ безъ
остатка въ B и въ R1 содержится также безъ остатка и въ А;
если, напр., какой-нибудь отрѣзокъ содержится въ B ровно
5 разъ и въ R содержится ровно 2 раза, то въ A онъ содержится
5+5+5+2, т.-е. 17 разъ безъ остатка.
2) Обратно: всякій отрѣзокъ, содержащійся цѣлое число
разъ безъ остатка въ A и въ B1 содержится также цѣлое число
разъ безъ остатка и въ Е; если, напр., какой-нибудь отрѣзокъ
содержится въ A ровно 17 разъ и въ B ровно 5 разъ, то въ той
части отрѣзка A1 которая равна 3B1 онъ содержится 15 разъ;
слѣд., въ оставшейся части отрѣзка A1 т.-е. въ R1 онъ содер-
жится 17—15, т.-е. 2 раза.
Такимъ образомъ у двухъ паръ отрѣзковъ:
Au B BnR
должны быть однѣ и тѣ же общія мѣры; поэтому и наиболыпая
общая мѣра у нихъ должна быть одна и та же.
Къ этимъ двумъ предложеніямъ надо ещѳ добавить слѣдуюціую
аксіому Архимѳда (аксіому измѣренія).:
3) Какъ бы вѳликъ ни былъ ббльшій отрѣ-
з о к ъ (A) и какъ бы малъ ни былъ мѳньшій отр ѣ-
э о к ъ (B)1 всѳгда, откладывая меньшій на 6 6л ь-
шѳмъ послѣдоватѳльно 1, 2, 3, и т. д. раза, мы
дойдѳмъ до того, что послѣ нѣкотораго а г о
отложѳнія или нѳ получится н и'к а к о г о ос-
татка, или получится остатокъ, мѳньшіймень-
шаго отрѣзка (B).
Примѣнимъ эти предложенія къ нахожденію наиб. общей
мѣры данныхъ отрѣзковъ AB и CD (черт. 146). Для этого на
бблыпемъ отрѣзкѣ откла- E
дываемъ меныпій (по- Al -I I I IB
мощью циркѵля) столько г
разъ, сколько можно. Cl I 11HD
Если CD уложится въ AB Чѳрт. 146.
безъ остатка, то искомая мѣра, согласно предложенію 1-му,
й есть CD; если же этого не произойдетъ (какъ у насъ на чер-
тежѣ), то, согласно предложенію 2-му, вопросъ приведется
къ нахожденію наиб. общей мѣры двухъ меныпихъ отрѣзковъ,
— 112 —
именно CD и перваго остатка EB. Чтобы найти ее, поступаемъ
по предыдущему, т.-е. откладываемъ EB на CD столько разъ,
сколько можно. Если EB уложится въ CD безъ остатка, то иско-
мая мѣра и будетъ EB; если же этого не произопдетъ (какъ
у насъ на чертежѣ), то вопросъ прхіведется къ нахожденію
наиб. общей мѣры двухъ меныпихъ отрѣзковъ, именно EB и
второго остатка FD. Если, продолжая этотъ пріемъ далѣе, мы
дойдемъ до того, что послѣ нѣкотораго отложепія уже не получит-
ся никакого остатка, то отрѣзокъ, который при этомъ от-
кладывали (послѣдній изъ остатковъ), и будетъ искомая мѣра.
Чтобы удобнѣе вычислить, сколько разъ найденная общая
наиболыная мѣра содержится въ данныхъ прямыхъ, выписы-
ваемъ рядъ равенствъ, получаемыхъ послѣ каждаго отложепія.
Такъ, при пашемъ чертежѣ мы будемъ имѣть:
Послѣ 1-го отложенія AB=3 CDAEB
» 2-го » CD=2 EBAFD
» 3-го » EB=4 FD.
Переходя въ этихъ равенствахъ отъ нижняго къ верхнему,
прслѣдовательно находимъ:
EB= 4 FD; CD=I4 ЕС).2+ЕС=9 FD;
АВ=(9 FD).3+4 FD=SI FD.
Подобно этому можно находить наиб. общую мѣру двухъ
дугъ одинаковаго радіуса, двухъ угловъ и т. п.
Замѣчаніе. Найдя наиболыпую общую мѣру, мы
можемъ затѣмъ получить сколько угодно другихъ менылихъ
общихъ мѣръ; стоитъ только брать 1I2, 1I3, 1Ii и т. д. наибохь-
шей мѣры.
155. Соизмѣримыя и нееоизмѣримыя длины.
Можетъ случиться, что при нахожденіи общей мѣры мы ии-
когда не дойдемъ до того, чтобы не получилось никакого остатка;
тогда данныя прямыя не будутъ имѣть общей мѣры.
Два отрѣзка прямой наз. соизмѣримыми,
если они имѣютъ общую мѣру, и несоиз-
мѣримыми, вогда такой мѣры не суще-
с т в у е т ъ.
Ha практикѣ нѣтъ возможности убѣдиться въ существованіи
несоизмѣримыхъ отрѣзковъ, потому что, продолжая послѣ-
довательное отложеніе, мы всегда дойдемъ до столь малаго
— 113 —
остатка, который въ предшествующемъ остаткѣ, повиди-
м'о м у, укладывается цѣлое число разъ. Быть можетъ, при
этомъ и долженъ былъ бы получиться нѣкоторый остатокъ,
но по причинѣ неточности инструментовъ (циркуля) и несо-
вершенства напшхъ органовъ чувствъ (зрѣнія) мы не въ со-
стояніи его замѣтить. Однако, можно доказать, что несоиз-
мѣримые отрѣзки существуютъ. Приведемъ наиболѣе простой
примѣръ такихъ отрѣзковъ.
156. Теорема. Если въ равнобедренномъ треугольникѣ
уголъ при основаніи равенъ 2I/, то боковая сторона его несо-
измѣрима съ основаніемъ.
Пусть ABC равнобедренный тр-къ (черт. 147), у котораго
каждый изъ угловъ A и C равенъ 2/5 d; требуется доказать,
что боковая сторона AB несоизмѣрима съ основаніемъ AC.
Прежде всего опредѣлимъ, которая изъ этихъ сторонъ болыпе.
Для этого достаточно сравнить углы, противъ которыхъ лежатъ
эти стороны. Такъ какъ, по условію, A=C=2Jb d, то B=Sd—
житься только одинъ Чѳрт 147
разъ съ нѣкоторымъ
остаткомъ.
Такимъ образомъ, мы прежде всего замѣчаемъ слѣдующее
свойство: если въ равнобедренномъ треуголь-
никѣ уголъ при основаніи равенъ 2I/,, т о
боковая его сторона содержится въ осно-
ваніи только оди н-ъ разъ и притомъ съ
нѣкоторымъ остаткомъ.
Замѣтивъ это, пристуішмъ теперь къ послѣдовательному
отложенію. Отложимъ на AC часть AD, равную AB \ тогда полу-
чимъ остатокъ DC, который надо накладывать на AB, или, что
все равно, на BC. Чтобы узнать, сколько разъ DC уложится
B
АС<АВ+ВСп AB=BC,
то АСКДАВ; значитъ,
AB въ AC можетъ уло- А‘
C
8
— 114 —
на BC, соединимъ B съ D и разсмотримъ ADBC. Найдемъ его
углы. Такъ какъ A ABD равнобедренный, то его углы ABD и
ADB равны; слѣд.,каждый изъ нихъ равенъ 1/2(2сі—А)=1/2(2й—
zIbd)=4*!/. Ho уголъ ABC, какъ мы прежде нашли, равенъ
6I/; слѣд., ZDBC=*I/—iI/=2!/- Такимъ образомъ, въ тр-кѣ
DBC есть два равныхъ угла при BC; слѣд., онъ равнобедренный,
при чемъ каждый уголъ при его основаніи BC равенъ 2I/. Вслѣд-
ствіе этого, по доказанному выше, боковая сторона его DC
(или BD) уложится въ основаніи BC одинъ разъ съ нѣ-
которымъ остаткомъ. Пусть этотъ остатокъ будетъ EC.
Соединивъ E съ D, мы снова получимъ равнобедренный тр-къ
CDE, въ которомъ каждый уголъ при основаніи CD равенъ 2I/.
Отложивъ EC (или DE) на DC (отъ точки D), мы снова получимъ
равнобедренный тр-къ CEF, у котораго каждый уголъ при осно-
ваніи CE равенъ 2I/.
Такимъ‘образомъ, мы пѳстоянно будемъ приходить къ равно-
бедренному тр-ку (все меныпему и меныпему) съ углами при
основаніи, равными 2I/; слѣд., мы никогда въ этомъ процессѣ
не дойдемъ до конца. Значитъ, стороны AC и AB
не могутъ имѣть общей мѣры.
157. Приведемъ ѳціѳ слѣдующій примѣръ несоизмѣримыхъ от-
рѣзковъ прямой.
Теорема. Діагональ квадрата нѳсоизмѣрима еъ его стороною.
Такъ какъ діагональ квадрата раздѣляетъ его на два равнобѳдрен-
ныхъ прямоугольныхъ тр-ка, то теорему эту можно высказать иными
словами такъ: гипотѳнуза рав-
нобѳдрѳнаго прямоуголь-
наго трѳугольника нѳсо-
измѣрима съ ѳго катѳтомъ.
Предварительно докажемъ слѣдую-
щеѳ свойство такого тр-ка: ѳсли на ги-
потѳнузѣ (чѳрт. 148) отложимъ часть AD1
равную катѳту, и проведемъ DEJ^AC,
то образовавшійся при этомъ п р я м о-
угольный тр-къ DEC б у-
дѳтъ равнобѳдренный, а
отрѣзокъ BE к а т е т а BC о к а-
■ѵ
жется равнымъ отрѣзку DC
гипотенузы. Чтобы убѣдиться въ Черт. 148.
этомъ, провѳдѳмъ прямую BD и разсмотримъ углы тр-ковъ DEC и
BED. Такъ какъ тр-къ ABC равнобедрѳнный и прямоугольный, то
; вслѣдствіѳ этого ^2 также равенъ V2^; значитъ, =^/2,
— 115 —
и потому CD = DE. Въ тр-кѣ BED уголъ 8 равѳнъ.разности Z ABC—
ZmABD; но Zabc = ZaBD=1Z^A-Za) = 1Z2^d-1Z2A) =3/4Л; слѣд.,
ZmS=Clr—Равнымъ образомъ, Zj "Za-BE—ZaBB=A—zIiA
=1Ud. Слѣд., ZJ^-ZJ* и потому BE = DE; но DE = CD; значитъ,
BE = CD.
Замѣтивъ это свойство, станемъ отыскивать наибольшую общую
мѣру сторонъ AC и AB. Такъ какъ AC^ABjrBCi т.-ѳ. AC<2ABi
то AB отложится на AC только 1 разъ, причемъ получится нѣкоторый
остатокъ ЦС<АВ. Теперь надо ототъ остатокъ откладывать на ABi
или—что всѳ равно—на BC. Для этого проведемъ DEJ^AC. Тогда
по доказанному, BE = DC и, слѣд., мы будемъ имѣть одно отложеніе
остатка DC на катѳтѣ BC. Остается теперь откладывгіть DC отъ точки
E къ C столько разъ, сколько можно. Ho прямоуголйный тр-къ DECi
какъ мы видѣли, ѳсть равнобедренный; значитъ, процессъ нахожденія
общѳй мѣры гипотенузы AC и катета AB даннаго равнобедреннаго
тр-ка переходитъ тепѳрь въ процессъ нахожденія обціей мѣры гипо-
тенузы EC и катѳта DC другого (меныігаго) равнобедреннаго тр-ка.
Въ свою очередь, этотъ процессъ также сведется къ нахождѳнію
общѳй мѣры гипотенузы и катета третьяго (еціѳ меньшаго) равнобед-
рѳннаго тр-ка и т. д. б ѳ з ъ к о н ц а. Значитъ, діагональ квадрата
и сторона ѳго нѳ могутъ имѣть общей мѣры.
158. Понятіѳ объ измѣреніи. Чтобы составить ясное
представленіе о данной длинѣ, мы ее измѣряемъ при помощи
другой, извѣстной намъ, длнны, напр., посредствомъ м е т р а.
Эта извѣстная длина, съ которой мы сравниваемъ другія длины,
наз, единицей длины.
При измѣреніи могутъ представиться два различныхъ случая:
ттли измѣряемая длина соизмѣрима съ единицей, или несоизмѣ-
рима съ ней.
1°. Измѣрить длину, соизмѣримую с ъ еди-
нидей, значитъ узнать, сколько разъ въ
ней содержится единицаили какая-ни-
будь доля единицы.
Пусть, напр., надо измѣрить (черт. 149) длину отрѣзка пря-
мой A при помощи единицы В,
соизмѣримой съ А. Тогда находятъ A
ИХЪ общую мѣру И узнаютъ, СКОЛЬКО [- + 'V , I | ,','Y-I
разъ она содержится въ B и А. ^ ^
Если общей мѣрой окажется сама |*-р"f Ѵ'1
единица, B то результатъ измѣренія
ѵ Черт. 149.
выразится ц ѣ л ы м ъ числомъ; такъ,
— 116 —
когда B содержится въ A три раза, то длина A равна 3 един.
Если же общей мѣрой будетъ нѣкоторая доля В, то результатъ
измѣренія выразится дробнымъ числомъ; такъ, если
общая мѣра есть 1Ji доля B и она содержится въ A девять разъ
(какъ изображено на черт. 149), то длина A равна 9/4 единицы.
Число, получившееся послѣ измѣренія длины А, наз. мѣ-
р о го этой длины; о немъ принято говорить, что оно измѣ-
р я е т ъ длину A въ единицѣ В. Числа цѣлыя и дробныя наз.
соизмѣримыми (или раціональными) чис-
л а м и.
2°. Когда измѣряемая длина A несоизмѣрима съ единицею
длины B, тогда при помощи соизмѣримыхъ чиселъ мы не можемъ
получить т о ч н а г о резулътат* измѣренія. Дѣйствительно,
ссли предположимъ, что мы нашли точную мѣру длины A, напр.,
TYt
нашли, что A=B .->то это значило бы, что 1L доля B содер-
п
жится въ A ровно m разъ; тогда, значитъ, эта доля была бы
общею мѣрою A и В, тогда какъ мы разсматриваемъ случай,
когда эти длины не соизмѣримы.
Въ этомъ случаѣ при помощи сонзмѣримьххъ чиселъ мы можемъ
находить только приближенные результаты из-
мѣренія, но съ какою угодно степенью
точности. Пусть, напр., мы желаемъ найти приближенную
мѣру длины A съ точностыо до VlO- Это значитъ, что мы же-
лаемъ найти число, которое измѣ-
A ряло бы нѣкоторую соизмѣримую
I I I1H Hlllll І4| длину, различающуюся отъ данной
g несоизмѣримой длины A менѣе,
I I I-H1H-I" IlH ч ѣ M ъ н а 1I10 долю едини-
Черт 150 цы В. Для этого дѣлимъ единицу
B на 10 равныхъ частей и одну такую
долю укладываемъ на A столько разь, сколько можно. Пусть
окажется, что VlO B содержится въ A 13 разъ (черт. 150), при
чемъ получается остатокъ, меныпій 1I10 В. Тогда каждое изъ
чиселъ: 13/юи 1Vio можно принять, какъ приближенную
м ѣ р у длины A, причемъ первое число будетъ съ недостаткомъ
(такъ какъ 13/10 В<кА), & второе—съ избыткомъ (такъ какъ
“/.» В>Л)
— 117 —
Вообще, чтобы найти приближенныя мѣры длины A съ точ-
ностью до 1In единицы, дѣлятъ единицу B на п равныхъ частей
и узнаютъ, сколько разъ 1Zn доля единицы содержится въ А;
если она содержится болѣе т разъ, но менѣе то+1 разъ *), то
т т+1
числа — и —— будутъ прпблпженныя мѣры длины A съ точ-
ностью до 1In, первое—съ недостаткомъ, второе—съ избыткомъ.
Замѣтимъ, что этимъ нутемъ мы можемъ находить приблнжен-
ные результаты измѣренія и тогда, когда измѣряемая длина A
соизмѣрима съ единицей В; только въ этомъ случаѣ мы, если
пожелаемъ, можемъ найти также и точный результатъ, тогда
какъ въ случаѣ несоизмѣримости такого результата нри помощи
однихъ соизмѣримыхъ чиселъ мы получить не можемъ.
За точную мѣру несоизмѣримой длины A нринимаютъ нѣ-
которое несоизмѣримое число, которое считается
бблыпимъ всякаго соизмѣримаго числа, выражающаго прибли-
женныя мѣры длины A съ недостаткомъ, и менышшъ вся-
каго соизмѣримаго числа, выражающаго приближенныя мѣры
длины A съ избыткомъ.
Сказанное объ измѣреніи дляны прямой примѣнимо къ измѣ-
ренію всякой иной величины, напр., дуги, угла и пр.
169. Отношеніе. Отношеніемъ одного от-
рѣзка прямой (A) къ другому отрѣзку пря-
мо й (B) наз. число, измѣряющее первый
отрѣзокъ (A), когда второй (B) принятъ
за единицу.
Такъ, если отношеніе A къ B есть число 23/4, то это значить,
что число 23/4 измѣряетъ отрѣзокъ А, когда отрѣзокъ B принятъ
за единицу (другими словами—это значитъ, что B со-
держится въ A 2 раза, причемъ получается остатокъ, равный 3IiB).
Можно также сказать, что отношеніемъ одного
отрѣзка прямой къ другому наз. число,
на которое надо умножить второй отрѣ-
зокъ, чтобы получить нервый.
Такъ, если отношеніе A къ B есть число 23/4, то это значитъ,
что A=B . 23Z4, т.-е. что A получится, если B повторимъ слага-
емымъ 2 раза и къ суммѣ еще добавимъ 3/4 В.
*) что всегда возможно, согласно аксіомѣ Архимода (стр. 111).
— 118 —
E сли разсматривается отношеніе отрѣзка A къ отрѣзку В,
то A наз. предыдущимъ членомъ, а B послѣдую-
щ и м ъ членомъ.
Изъ опредѣленія слѣдуетъ, что нахожденіе отношенія от-
рѣзковъ AnB сводится къ измѣренію A., когда отрѣзокъ B
принятъ за единицу. Поэтому мы можемъ здѣсь повторить все то,
чтб раныпе (158) говорили объ измѣреніи, а именно:
Если отрѣзки AnB соизмѣримы, то отношеніе ихъ есть
соизмѣримое чрсло, дѣлое или дробное; ссли же эти отрѣзки
несоизмѣримы,! то ііри помощи соизмѣримыхъ чиселъ ихъ отно-
шеніе можетъ быть выражено только приближенно, но съ какою
угодно степеныо точности. Такъ, если хотятъ найти отношеніе
A къ B съ точностью до 1I10, то дѣлятъ B на 10 равныхъ частей
(черт. 150) и узеаютъ наиболыпее содержаніе 1I10 B въ А; если
окажется, напр., что 1I10 B содержится въ A болѣе 13, но менѣе
14 разъ, то числа 13/10 и 14/10 будутъ приближенныя
значенія отношенія A къ B съ точностью до 1I10, первое—
съ недостаткомъ, а второе—съ избыткомъ.
Отношеніе отрѣзковъ A къ B въ томъ случаѣ, когда эти отрѣзки
несоизмѣримы, наз. также несоизмѣримымъ (такъ
ііакъ оно представляетъ собою несоизмѣримое число).
Два отношенія считаются р а в н ы м н, если они предста-
вляютъ собою одно и то же число; такъ, если отношеніе A къ
B равпо ®/4 и отношеніе A1 къ B1 также равно sI4, то эти
отношенія равны между собою.
Въ случаѣ несоизмѣримыхъ отношеній равенство между ними
узнается ио слѣдующему признаку.
Два несоизмѣримыя отношенія равны,
если ихъ приближенныя значенія, взя-
тыя оба съ недостаткомъ, или оба съ из-
быткомъ, и вычисленныя съ одинаковою
гочносгтью, равны между собой нри вся-
кой степени точности*).
Сказанное объ отношеніи двухъ отрѣзковъ прямой можно
повторить объ отношеніи двухъ угловъ, двухъ дугъ одинаковаго
*) Бакъ извѣстно изъ алічбры (см. напр., § 200 Элем. алгебры А. Киселева)
этотъ признакъ есть признакъ равенства самихъ несоизмѣримыхъ чиселъ.
— 119 —
радіуса и вообще объ отношеніи двухъ частныхъ значеній любой
величины, доступной измѣренію.
Напомнимъ, что равенство 2-хъ отношеній наз. п р о п о р-
ц і е й.
Ieo1. Свойетво- отношѳній. Если отрѣзки AnB
(черт. 151) измѣрены при номощи одной п той же единицы С,
то отношеніе A къ B равно частному отъ
дѣленія числа, измѣряющаго А, на число,
измѣряющее В. Пусть, | ^ .
напр., отъ измѣренія отрѣзка A г—
единицеіо C получилось число ^ | | |
7I2, а отъ измѣренія B тою же
единицею C получилось число с
5I3. Тогдапо опредѣлееію отно- ч 611_
шенія ыы можемъ написать:
7 7 '5 5
А=С. _с; B=C-з—з(7.
Чтобы найти теперь отношеніе A къ В, достаточно узнать,
на какое число слѣдуетъ уыножить 5/3 С, чтобы получить 7I2 С,
или—что все равно—на какое число вадо умножить б/3 (какой-
нибудь единнцы), чтобы получить 7/2 (той же единив,ы). Такое
число находится дѣленісмъ (согласно опредѣленію этого дѣй-
ствія); значитъ:
7 5 21 1
отнбшеніе A ш. B=-= 2--.
2 о IU 10
Вообхце, если, измѣривъ отрѣзки AnB при помощи одной
п той же единицы С, мы получимъ для A число т, а для B
число п, то, повторивъ предыдущія разсужденія, найдемъ
(каковы бы ни Гыли числа m и и):
отношеніе A къ В=т: п.
— 120 —
Вслѣдствіе этого отношеніе A къ B принято обозначать по-
мощью знаковъ дѣленія, а именно такъ:
A
A : B или — •
Здѣсь подъ буквами A и В, согласно указанному сейчасъ
свойству отношенія, можно разумѣть и числа, нзмѣряю-
щія отрѣзки A и B въ какой-нибудь одной п той же еди-
пицѣ С.
1602. Пропорція. Равенство двухъ отношеній составпяетъ
пропорцію. Если, напр., извѣстно, что отношеніе двухъ отрѣ^-
ковъ AnB равно отношеніш двухъ другихъ отрѣзковъ A1 и
Bi, то можно написать пропорцію:
A : B = A1: B1,
A A1
или
Когда отрѣзки A1 В, A1 и B1 измѣрены при помопщ од-
ной и той же единицы, то каждое изъ двухъ отношеній, со-
ставляюпщхъ пропорцію, можно замѣнвть отношеніемъ чи-
селъ, измѣряющихъ отрѣзки. Послѣ замѣны получится чи-
словая процорція, обладающая всѣми тѣми свойствами
числовыхъ пропорцій, которыя были указанывъ ариѳметикѣ и
алгебрѣ, напр.;
въ пропорціи произведеніе крайнихъ членовъ равно дроиз-
веденію среднихъ;
въ пропорціи можно переставить средніе члены, крайніе
члены п средніе съ крайними;
если въ пропорціи предыдущіе члены равны, то равны и
послѣдующіе члены;
если въ пропорщи послѣдующіе члевы равны, то равны и
предыдупце; и т. п.
— 121 -
Г Л A B A VII.
Измѣненіе угловь помощью дугъ.
Центральный уголъ.
161. Опредѣленіе. У г о л ъ (AOB, черт. 152), о б P а-
зованный двумя радіусами, наз. централь-
н ы м ъ у г л о м ъ; о такомъ углѣ и дугѣ,
заключенной между его сторонами, гово-
рятъ, что они соотвѣтствуютъ
другъ другу.
162. Теорема. Въ одномъ кругѣ или
въ равныхъ кругахъ:
1°, если центральные углы равны, то и
соотвѣтствующія имъ дуги равны;
2°, если центральные углы не равны, то .
ббльшему ИЗЪ НИХЪ соотвѣтствуетъ боль- Черт. 152.
шая дуга.
Пусть (черт. 153) AOB и COD два центральные угла, равные
или неравные. Повернемъ секторъ AOB вокругъ центра въ
направленіи, указанномъ стрѣлкою,
настолько, чтобы радіусъ OA сов-
мѣстился съ OC. Тогда: 1°, если
центральные углы равны, то радіусъ
OB совпадаетъ съ OD и, слѣд., дуга д
AB совмѣстится съ дугою CD; зна-
читъ, зти дуги будутъ равны; 2°,
если же центральные углы неравны,
то радіусъ OB пойдетъ не по OD,
а по какому-нибудь иному напра- Черт. 153.
вленію, напр., по OE или по OF; въ томъ и въ другомъ случаяхъ
болыпему углу, очевидно, соотвѣтствуетъ бблыпая дуга.
Теорема, доказанная нами для одного круга, остается
.вѣрною для равныхъ круговъ, потому что такіе
— 122 —
круги ничѣмъ, кромѣ своего положенія, другъ отъ друга не
отлнчаются.
ІѲЗ. Обратныя теоремы. Такъ какъ. различные
взаимно исключанщіе случаи относительно равенства и не-
равенства. двухъ центральныхъ угловъ сопровождаются взаимно
исключаюхцими выводами относительно равенства и неравенства
соотвѣтствующихъ Дугъ, то обратныя предложенія должны
быть вѣрны (51), а именно:
Въ одномъ кругѣ или въ равныхъ кругахъ:
1°, если дуги равны, то и соотвѣтствующіе имъ центральные
углы равны;
2°, если дуги не равны, то большей изъ нихъ соотвѣтствуетъ
ббльшій центральный уголъ.
Доказательство отъ противнаго (или валоженіемъ) предо-
ставляемъ самимъ учащимся.
164. Теорема. Въ одномъ кругѣ или въ равныхъ кругахъ
центральные углы относятся, какъ соотвѣтствующія имъ дуги.
Пусть (черт. 154) AOB и COD два центральные угла; требуется
доказать, что
Zaob ■. Zcod=-Ab cd.
1°. Допустимъ сначала, что дуги
AB и CD соизмѣримы, т.-е. что онѣ
имѣютъ общую мѣру. Положимъ,
что э.та общая мѣра содержится т
разъ въ дугѣ AB и п разъ въ' CD;
тогда
W AB : W CD=Ta : п [1].
Соединивъ точки дѣленія дугъ съ
центромъ, мы раздѣлимъ централь-
Черт. 154. ные углы на равныя части (потому
что равнымъ дугамъ хоотвѣтствуютъ
равные центральные углы). Такъ какъ этихъ частей будетъ m
въ углѣ AOB и п въ углѣ COD, то
ZAOB : ZCOD=Tn : п [2].
Сравшвая пропорціи [1] и [2], замѣчаемъ, что вторыя отно-
шенія у нихъ равны; слѣд., равны и первыя отношенія, т.-е.
ZAOBiZCOD=-ABi-CD.
— 123 —
\
2°. Предположимъ теперь, что (черт. 155) дуги AB и CD не-
соизмѣримы. Тогда и соотвѣтствующіе имъ центральные углы
будутъ также несоизмѣримы. Дѣйствительно, если бы эти углы
имѣли какую-нибудь общую мѣ-
ру, напр., уголъ EOF, то это
значило бы, что этотъ уголъ со-
держится цѣлое число разъ
какъ въ углѣ AOB, такъ
и въ углѣ COD; но тогда
дуга EF содержалась бы цѣлое
число разъ какъ въ дугѣ AB,
такъ и въ дугѣ CD, и, зна-
читъ, дуги эти имѣли бы общую
мѣру, именно дугу EF, что про- Черт 1бб>
тиворѣчитъ предположенію. Ta-
Ijpмъ образомъ, въ разсматриваемомъ случаѣ и отношеніе угловъ,
и отношеніе дугъ оба несоизмѣримыя. Чтобы доказать равенство
двухъ несоизмѣримыхъ отпошеній, достаточно доказать равен-
ство ихъ приближенныхъ значеній, вычисленныхъ съ произ-
вольною, но одинаковою точностью (159). Найдемъ приближенное
значеніе отношенія дугъ AB и CD съ точностью до */»• Для этого
раздѣлимъ CD на п равныхъ частей и одну часть отложимъ на
AB столько' разъ, сколько можно. Пусть 1Jn доля CD содер-
жится въ AB болѣе т разъ, но менѣе т+1 разъ; тогда
W AB т
прибл. отношеніе нед.).
Соединивъ точки дѣленія дугъ съ дентромъ, мы раздѣлимъ
уголъ COD на п такихъ равныхъ частей, какихъ въ углѣ AOB
содержится болѣе т, но менѣе т+1; слѣд.:
Z AOB т
прибл. отношеніе ^ COD^fi ^съ нед-)-
Сравнивая приближенныя отношенія угловъ и дугъ, видимъ,
что они равны при всякомъ щ а такія несоизмѣримыя отно-
шенія равны другъ другу.
166. Пропорціональныя величйны. Двѣ зависящія
другъ оті друга величины наз. пронорціональными,
.если зависимость между ними состоитъ въ слѣдующемъ:
— 124 —
1°, каждому значенію одной величины соотвѣтствуетъ нѣ-
которое значеніе другой величины и притомъ только одно;
2°, отношеніе двухъ какихъ бы то ни было значеній одной
величины равно отношенію соотвѣтствующихъ значеній другой
величины.
Изъ предыдущихъ теоремъ слѣдуетъ, что центральный
уголъ пропорціоналенъ соотвѣтствующей
е му д у г ѣ.
166. Измѣрѳніѳ угловъ. Измѣреніе угловъ сводится
на измѣреніе соотвѣтствующихъ имъ дугь слѣдующимъ образомъ.
За единицу угловъ берутъ уголъ, составляющій 1I9O часть
прямого угла; эту единицу называютъ угловымъ граду-
с о м ъ.
За единицу дугъ одинаковаго радіуса берутъ такую дугу
того же радіуса, которая соотвѣтствуетъ центральному углу,
равному угловому градусу. Такая дуга наз. дуговымъ
градусомъ. Такъ какъ прямому центральному углу соот-
вѣтствуегъ 1I4 окружности, то угловому градусу соотвѣтствуетъ
1I90 четверти окружности; значитъ, дуговой градусъ есть 1I360
цѣлой окружности.
Пусть требуется (черт. 156) измѣрить какой-нибудь уголъ
АОВ, т.-е. найти отношеніе зтого угла къ угловому градусу.
Пусть этотъ градусъ будетъ уголъ MNP. Опишемъ изъ вершинъ
угловъ произвольнымъ, но одинаковымъ, радіусомъ дуги CDnEF.
Тогда углы AOB п MNP можно разсматривать, какъ углы ц е н-
тральные по отношенію къ тѣмъ равнымъ окружностямъ,
которымъ принадлежатъ дуги CD п EF. Вслѣдствіе этого (164):
A
Черт. 156.
Zaob ^cd
Zmnp-SF
— 126 —
Лѣвое отношеніе этой пропорціи есть число, измѣряющее уголъ
AOB въ угловыхъ градусахъ (159); правое отношеніе есть число,
измѣряющее дугу CD въ дуговыхъ градусахъ. Слѣд., эту про-
порцію можно высказать такъ:
Число, измѣряющее центральный уголъ
въ угловыхъ градусахъ, равно числу, из-
мѣряющему соотвѣтствующую дугу въ ду-
говыхъ градусахъ.
Для краткости эту фразу выражаютъ обыкновенно такъ:
У г о л ъ и з м ѣ р я е т с я с о о т в ѣ т с т в у ю щ е й ему
д уго й.
При этомъ безразлично, какъ великъ взятый радіусъ дугъ
EF и CD, лишь бы только онъ былъ одинаковъ для обѣихъ
этихъ дугъ (только при этомъ условіи углы пропорціональны
дугамъ).
167. Подраздѣленіе градусовъ. Градусы угла или
дугц подраздѣляются на 60 равныхъ частей, называемыхъ
минутами (угловыми или дуговыми); минуту раздѣляютъ
на 60 равныхъ частей, называемыхъ секундами (угло-
выми или дуговыми).
Изъ сказаннаго въ предыдущемъ параграфѣ слѣдуетъ, что
въ углѣ содержится столько угловыхъ градусовъ, минутъ и
секундъ, сколько въ соотвѣтствующей ему дугѣ заключается
дуговыхъ градусовъ, минутъ и секундъ. Если, напр., въ дугѣ CD
(черт. 156) содеряштся 40 град. 25 мин. 13 секундъ (дуговыхъ),
то и въуглѣ AOB заключается40 град. 25 мин. 13 сек. (угловыхъ);
это выражають сокращенно такъ:
Zaob=4о°25Тз",
обозначая значками (°), (') и (") соотвѣтственно градусы, ми-
нуты и секунды *).
168. Транепортиръ. Этотъ приборъ (черт. 157),
употребляемый для измѣренія угловъ, представляетъ собою
полукругь, котораго дуга раздѣлена на 180 градусовъ. Чтобы
*) Употребительна также сотенная система мѣръ угловъ
и дугъ; до этой системѣ 'за градусъ дуги принимаютъ Vioo четверти
окружности (и, слѣд., за градусъ угла берутъ 1Z100 прямого угла),
минуту принимаютъ равной Vioo градуса, секунду—Vioo минуты.
— 126
=H1-A
измѣрить уголъ AOB, накладываютъ на него приборъ такъ,
З чтобы центръ полукруга
совпадалъ съ вершиною
угла, а радіусъ OM сов-
падалъ со сторопою AO.
Тогда число градусовъ, со-
держащееся въ дугѣ, за-
ключенной между сторо-
Черт. 157. нами угла АОВ, покажетъ
величину его. При помощи транспортира можно также начертить
уголъ, содержащій данное число градусовъ.
Конечно, на такомъ приборѣ нѣтъ возможности отсчитывать
не только секунды, но и минуты; измѣреніе и построеніе можно
выполнять только приблизительно.
169. Выраженіѳ нѣкоторыхъ угловъ въ гра-
дуеахъ. Такъ какъ прямой уголъ содержіітъ 90°, то:
1°, сумма угловъ всякаго тр-ка равна 180°;
2°, сумма острыхъ угловъ прямоугольнаго тр-ка равна 90°;
3°, каждый уголъ равносторонняго тр-ка равенъ 60°;
4°, сумма угловъ выпуклаго мн-ка (89), имѣющаго п сторонъ,
равна 180° (п—2);
5°, сумма внѣшнихъ угловъ выпуклаго мн-ка (90) равна 360°.
Вписанный уголъ.
170. Опредѣленіе. Уголъ, образованный дву-
мя хордами, исходящими изъ одной точки
окружности, наз. вписаннымъ угломъ. Ta-
ковъ, напр., уголъ ABC (черт. 159). O вписанномъ углѣ принято
говорить, что онъ опирается на дугу, заключенную
между его сторонами. Такъ, уголъ ABC (черт. 159) опирается
на дугу ADC.
171. Теорема. Вписанный уголъ измѣряется половиною
дуги, на которую онъ опирается.
Эту теорему надо понимать такъ: внисанный уголъ содержитъ
въ себѣ столько угловыхъ градусовъ, минутъ и секундъ, сколько
дуговыхъ градусовъ, минутъ и секундъ заключается въ половинѣ
дуги, на которую онъ опирается.
— 127 —
B
При доказательствѣ теоремы разсмотримъ особо три случая:
1°. Ц е н т р ъ O (черт. 158) л е ж и т ъ
на сторонѣ вписаннаго у,гла
ABC. — Проведя радіусъ AO, мы полу-
чимъ Д ABO, въ которомъ OA=OB (какъ
радіусы) и, слѣд., Zabo=Zbao. по
отношенію къ этому тр-ку уголъ AOC
есть внѣшній; поэтому онъ равенъ суммѣ
угловъ ABO и ВАО, или равенъ двойному
углу ABO; значитъ, уголъ ABO равенъ
половинѣ центральнаго угла AOC.
Ho уголъ AOC измѣряется дугою AC, т.-е. онъ содержитъ въ
себѣ столько угловыхъ градусовъ, минутъ и секундъ, сколько
дуговыхъ градусовъ, минутъ и секундъ содержится въ дугѣ AC;
слѣд., вписанный уголъ ABC измѣряется половиною дуги AC.
2°. Центръ O лежитъ яе-
жду сторонами вписан-
наго угла ABC (черт. 159).
Проведя діаметръ BD, мы раздѣ-
лимъ уголъ ABC на два угла, изъ
которыхъ, по доказанному въ пер-
вомъ сдучаѣ, одинъ измѣряется по-
ловиною дуги AD, а другой—поло-
виною дуги CD; слѣд., уголъ ABC
измѣряется суммою 1I2ADA1I2DC, а
эта сумма равна 1I2(ADADC), т.-е. 1I2AC.
3°. Центръ O лежитъ внѣ вписаннаго угла
ABC (черт. 160).
Проведя діаметръ BD, мы будемъ
имѣть:
Zabc=Zabd-Zcbd.
Ho углы ABD и CBD измѣряются,
по доказанному, половинами дугъ
AD и CD; слѣд., уголъ ABC измѣ-
ряется разностью 1I2AD^-1I2CD, а эта
разность равна V2(AZ)—CD), т.-е.
1I2AC.
— 128 —
172. Слѣдствіе 1-е. Всѣ вписанные углы, опирающіеся
на одну и ту же дугу, равны между
собою (черт. 161), потому что ка-
ждый изъ нихъ измѣряется полови-
ною одной и той же дуги. Если
величину одного изъ такихъ угловъ
обозначимъ а, то можно сказать, что
сегментъ AmB (покрытый на чертежѣ
штрихами) вмѣщаетъ въсебѣ
уголъ, равный а.
173. Слѣдетв1е2-е. Всякій впи-
санный уголъ, опирающійся на діа-
метръ, есть прямой (черт. 162), потому что каждый такой
уголъ измѣряется половиною полуокружности и, слѣд., CO-
держитъ 90°. \
Черт. 161.
в
Черт. 162.
174. Задача. Построить прямоугольный тре-
угольникъ по гипотенузѣ AB и к а т е т у AC
(черт. 162).
Ha гипотенузѣ AB, какъ на діаметрѣ, описываемъ полуокруж-
ность и изъ конца A проводимъ хорду AC, равную данному
катету. Тр-никъ ACB будетъ искомый (173).
Это построеніе можно, между прочимъ, примѣнить въ томъ
случаѣ, когда (черт. 163) изъ данной точки A тре-
буется провести касательную къ данной
окружности O (см. § 139). Сединивъ A съ центромъ 0,
дѣлимъ отрѣзокъ AO пополамъ и изъ полученной середины O1
описываемъ окружность радіусомъ O1O; черезъ A и точки B и B1,
въ которыхъ эта окружность пересѣкается съ данною окружно-
стью, проводимъ прямыя AB и AB1. Эти прямыя и будутъ каса-
— 129 —
D
-B
тельными (137, 1°), такъ какъ углы OBA и OB1A (вписанные
во вспомогательную окружность и опирающіеся на ея діаметръ)—
прямые, и, значитъ, AB 1.0В н AB1-LOB1.
175. Задача. Изъ конца A (черт. 164) данной пря-
м о й AB, не продолжая ея, возставить къ
ней перпендикуляръ.
Взявъ внѣ прямой произвольвую
точку 0, опишемъ изъ нея окружность
радіусомъ, равнымъ разстоянію между
точками O и А; черезъ точку 0, въ ко- \ " ѵ0
торой эта окружность пересѣкается съ
прямой AB, проведемъ діаметръ CD и V Sq
черезъ конедъ его D и точку A про- черт. 164.
ведемъ прямую. Эта прямая. и есть
искомый перпендикуляръ, потому что уголъ A прямой, такъ какъ
онъ вписанный и опирается на діаметръ.
Уголъ, котораго вершина лежитъ внутри или внѣ круга.
167. Теоремы. 1°. Уголъ (АВС, черт. 165), вершина кото-
раго лежитъ внутри круга, измѣряется полусуммою двухъ дугъ
(AC и DE), изъ которыхъ одна заключена между его сторонами,
а другая—между продолженіями сторонъ.
2°. Уголъ (ABC, черт. 166), вершина котораго лежитъ внѣ
круга и стороны пересѣкаются съ окружностью, измѣряется
полуразностью двухъ дугъ (AC и ED), заключенныхъ между
его сторонами. g
Черт. 165.
Черт. 166.
Проведя хорду AD (на томъ и на другомъ чертежахъ), мы
получимъ тр-къ ABD (покрытый штрихами), относительно ко-
V 9
А. Киоелевъ. Геометрія.
— 130 —
тораго разсматриваемый уголъ ABC служитъ внѣшнимъ,
когда его вершина лежитъ внутри круга (черт. 165), и в н у-
треннимъ, когда его вершина лежитъ внѣ круга (черт. 166).
Поэтому
въ первомъ случаѣ: Zabc=ZadcaZdAE;
во второмъ случаѣ: ZABC=ZaDC—/DAE.
Ho углы ADC и DAE, какъ вписанные, измѣряются поло-
винами дугъ AC и DE; поэтому уголъ ABC измѣряется: въ пер-
вомъ случаѣ суммою 1I2ACA1UDE, которая равна 1I2(ACADE),
а во второмъ случаѣ разностью 1I2AC—1I2DE, которая равна
1U(AC-DE).
177. Слѣдетвіе. Геометрическое мѣсто точекъ, изъ кото-
рыхъ данный отрѣзокъ прямой виденъ подъ даннымъ угломъ
а, и которыя расположены по одну сторону отъ этого отрѣзка,
есть дуга сегмента, вмѣщающаго уголъ а и построеннаго на
Пусть M (черт. 167) будетъ одна изъ
точекъ, нзъ которыхъ данный отрѣзокъ AB
виденъ подъ угломъ а, т.-е. допустимъ, что
прямыя MA и MB образуютъ уголъ о.
Проведемъ черезъ три точки А, M и B
окружность. Тогда часть этой окружности,
именно дуга AmB, будетъ искомымъ геоме-
трическимъ мѣстомъ. Дѣйствительно, изъ
каждой точки этой дуги прямая AB видва
подъ угломъ а, потому что всѣ вписанные
углы, опирающіеся на AB, равны углу
АМВ, который есть а. Обратно: всякая
точка, напр., N, изъ которой прямая AB
видна подъ угломъ а и которая расположена по ту же сторону
отъ AB, какъ и точка М, должпа находиться на дугѣ сегмента
AmBy потому что, если бы такая точка лежала внутри или внѣ
этого сегмента, то уголъ ANB не измѣрялся бы половиною
дуги AnB (176, I0 и 2°) и, слѣд., не былъ бы равеііъ а.
По другую сторону отъ AB существуютъ также точки, изъ
которыхъ эта прямая видна подъ угломъ а; оііѣ расположены
данномъ отрѣзкѣ.
— 131 —
на дугѣ сегмента ApB1 равнаго сегменту AmB1 но расположен-
наго по противоположную сторону отъ AB.
Уголъ, котораго одна или обѣ стороны касаются
окружности.
178. Теорема. Уголъ (ACD, чертежи 168 и 169), соста-
вленный касательной и хордой, измѣряется половиною дуги,
заключенной внутви его.
D
Предположимъ сначала, что хорда CD проходитъ черезъ
дентръ 0, т.-е. что эта хорда есть діамётръ (черт. 168). Тогда
уголъ ACD—прямой (137, 2°) н, слѣд., равенъ 90°. Ho и половина
дуги CmD также равна 90°, такъ какъ цѣлая дуга CmD, составляя
полуокружность, содержитъ 180°. Значитъ, теорема оправды-
вается въ этомъ частномъ случаѣ.
Теперь возьмемъ обіцій случай (черт. 169), когда хорда CD
не проходитъ черезъ центръ. Проведя тогда діаметръ CE, мы
будемъ имѣть:
Zacd=Zace-Zdce.
Уголъ ACE, какъ составленный касательною и діаметромъ,
измѣряется, по доказанному, половиною дугы CmE; уголъ DCE,
какъ вписанный, измѣряется половипою дуги DE; слѣд., уголъ
ACD измѣряется разностыо 1I2CmE—1I2DE, т.-е. половііною
дуги CmD.
Подобнымъ же образоыъ можно доказать, что тупой
у г о л ъ BCD (черт. 169), также составленный касательною
и хордой, нзмѣряется половипою дуги CnED; разница въ дока-
9'
— 132 —
зательствѣ будетъ только та, что этотъ уголъ надо разсматри-
вать не какъ разность, а какъ сумму прямого угла BCE и
остраго ECD.
179. Теорема. Уголъ (ABC, черт. 170), составленный
касательной и сѣкущей, а также и уголъ (АВС, черт. 171),
составленный двумя касательными, измѣряется полуразностью
двухъ дугъ, заключенныхъ между его сторонами.
Проведя (на томъ и на другомъ чертежахъ) хорду DE, мы по-
лучимъ ABDE, относительно котораго уголъ CED есть внѣш-
ній; слѣд.,
Ho углы CED и BDE, по доказанному раныпе, измѣряются
половинами дугъ EmD и EnF на первомъ чертежѣ и половинами
дугъ EmD и EnD на второмъ чертежѣ; поэтому уголъ B измѣ-
ряется полуразностью этихъ дугъ.
180. Задача. Ha даниомъ отрѣзкѣ прямой
AB построить сегментъ, вмѣщающій дан-
ный уголъ а (черт. 172).
A н а л и з ъ. Предположимъ, что задача рѣшена; пусть
сегментъ AmB будетъ такой, который вмѣщаетъ въ себѣ уголъ а,
т.-е. такой, что всякій вписанный въ немъ уголъ ACB равенъ а.
Проведемъ вспомогательную прямую EF, касательную къ ок-
ружности въ точкѣ А. Тогда уголъ BAE, составленный каса-
тельною и хордою, долженъ равняться вписанному углу ACB,
такъ какъ и тотъ, и другой уголъ измѣряются половиною дуги
A
C
Черт. 170.
Черт. 171.
Zb=Zced-/bde.
— 133 —
AnB. Примемъ теперь во вниманіе, что центръ O окружности
долженъ лежать на^перпендику-
лярѣ DO, проведенномъ къ от-
рѣзку AB черезъ его середину,
и въ то же время онъ долженъ
лежать и на перпендикулярѣ AO,
возставленномъ къ касательной AE
изъ точки касанія. Отсюда выво-
димъ слѣдующее построеніе.
Построеніе. При концѣ
отрѣзка AB строимъ уголъ ВАЕ,
равный углу а; черезъ середину
AB проводимъ перпендикуляръ DO
и изъ точки A возставляемъ пер-
пендикуляръ къ AE. Пересѣченіе O этихъ двухъ перпендику-
ляровъ принимаемъ за центръ и радіусомъ OA описываемъ
окружность.
-Доказательство. Сегментъ AmB будетъ искомый,
потому что всякій вписанный въ немъ уголъ измѣряется поло-
виною дуги AnB, а половина этой дуги измѣряетъ также и
уголъ ВАЕ=а.
Г Л A B A VIII.
Вписанные и описанные многоугояьникн.
181. Опредѣленія. Если всѣ вершины многоугольшша
iABCDE, черт. 173) лежатъ на окружности, то говорятъ, что
что этотъ мн-къ вписанъ въ
окружность, или что окруж-
ность описана около него.
Если всѣ стороны какого-нибудь
многоугольника (MNPQ) касаются
окружности, то говорятъ, что этотъ
мн-къ о п и с а н ъ около окруж-
ности, или что окружность B п И M
с а н а въ него.
Черт. 173.
— 134 —
182. Теоремы. 1°. Около всякаго треугольника можно
описать окружность и притомъ только одну.
2°. Bo всякій треугольникъ можно вписать окружность и при-
томъ только одну.
1°. Вершины А, B и C всякаго тр-ка суть три точки, не ле-
жащія на одной прямой; а черезъ такія
точки, какъ мы видѣли (122), всегда
можво провести окружность и притомъ
только одну.
2°. Если возможна такая окружность,
которая касалась бы всѣхъ сторонъ
тр-ка ABC (черт. 174), то ея девтръ
долженъ быть точкой, одиваково уда-
ленной отъ этихъ сторонъ. Докажемъ,
что такая точка существуетъ. Геометри-
ческое мѣсто точекъ, равво отстояхцихъ
ЧерТ' ‘ отъ сторонъ AB и AC, есть биссектрисса
AM угла A (67);
геометрическое мѣсто точекъ, равно отстоящихъ
отъ сторонъ BA и BC, есть биссектрисса BN угла В. Эти двѣ
биссектриссы должны, очевидно, пересѣчься внутри треуголь-
ника, въ нѣкоторой точкѣ 0. Эта точка и будетъ равно удаленной
отъ всѣхъ сторонъ тр-ка, такъ какъ она находится на обоихъ
геометрическихъ мѣстахъ. Итакъ, чтобы вписать кругъ въ тр-къ,
дѣлимъ какіе-нибудь два угла его, напр., A и В, пополамъ и
точку пересѣченія биссектриссъ беремъ за центръ. За радіусъ
возьмемъ одинъ изъ перпендикуляровъ OP, OQ, OB,, опущен-
ныхъ изъ центра на стороны тр-ка. Окружность коснется сто-
ронъ въ точкахъ Р, Q, В, такъ какъ стороны въ этихъ точкахъ
перпендикулярны къ радіусамъ въ ихъ концахъ, лежащихъ
на окружности (137, 2°). Другой вписанной окружности не мо-
жетъ быть, такъ какъ двѣ биссектриссы пересѣкаются юлько
въ одной точкѣ, а изъ одной точки на прямую можно опустить
только одинъ перпендикуляръ.
183. Слѣдетвіе. Точка O (черт. 174), находясь на оди-
наковомъ разстояніи отъ сторонъ AC и BC, должна лежать на
биссектриссѣ угла C (65); слѣд.,
— 135 —
биссектриссы трехъ угловъ треугольника сходятся въ одной
точкѣ.
184 Внѣвписанныя окружности. Такъ называются окруж-
ности (черт. 175), которыя каиаюгся одной стороны тр-ка и п р о -
должѳній двухъ другихъ
сторонъ (онѣ лежатъ в н ѣ
тр-ка, вслѣдствіѳ чѳго и по-
лучили названіѳ в н ѣ в п и-
с а н н ы х ъ). Такихъ окруж-
ностей ддя всякаго треуголь-
ника можетъ быть три. Чтобы
построить ихъ, проводятъ бис-
сектриссы внѣшнихъ угловъ
тр-ка ABC и точіш ихъ пере-
сѣченій берутъ за ідентры. Такъ,
центромъ окружности, вписан-
ной въ уголъ Ai служитъ точка
Oi т.-е. пересѣченіе биссектриссъ
BO и CO внѣшнихъ угловъ, нѳ
смежныхъ съ А; радіусъ этой
окружности есть перпендикуляръ, опущенный изъ 0 на какую-либо
сторону треугольника.
185. Теоремы. і°. Въ выпукломъ вписанномъ четыре-
угольникѣ сумма противоположныхъ угловъ равна двумъ пря-
мымъ.
2°. Обратно: Если въ выпукломъ четыреугольникѣ сумма про-
тивоположныхъ угловъ равна двумъ прямымъ, то около него
можно описать окружность.
1°. Пусть ABCD (черт. 176) есть впи-
санный выпуклый четыреугольникъ; тре-
буется доказать, что
/
BAD=Sd и AAG=Sd.
Такъ какъ сумма всѣхъ 4-хъ угловъ
всякаго выпуклаго четыреугольника рав-
на 4d, то достаточно доказать только
одно изъ требуемыхъ райенствъ. Дока-
жемъ, напр., что BAD=Sd.—Углы BnD,
какъ вписанные, измѣряются: первый—половиною дуги ADC,
второй—половиною дуги ABC; слѣд., сумма BAD измѣряется
суммою дугь 1I2Adca1IzABC; а эта сумма равна1 /2(ADCААВС),
т.-е. равна половинѣ окружности; значитъ, BAD=ISO0=Sd.
B
— 136 —
2°. Пусть ABDC (черт. 177) есть такой выпуклый четыре-
уголыткъ, у котораго BAD=Sd и, слѣд., AAC=Sd.
Требуется доказать, что около такого четыреугольника можно
описать окружность.—Черезъ какія-нибудь три его вершины,
напр., черезъ А, B я С, проведемъ
окружность (что всегда можно сдѣлать).
Четвертая вершина D должна нахо-
диться на этой окружности, потому
что въ противномъ случаѣ вершина
угла D лежала бы или внутри круга,
или внѣ его, и тогда этотъ уголъ не
измѣрялся бы половиною дуги ABC
(176, 1° и 2°); поэтому сумма BAD не
измѣрялась бы полусуммою дугъ ADC
и ABG, т.-е. сумма BAD не равнялась бы 2d, что противо-
рѣчитъ условію.
186. Слѣдствія. 1°. Изъ всѣхъ параллелограммовъ только
около прямоугольника (и, слѣд., около квадрата) можно описать
окружность.
2°. Около трапеціи можно описать окружность только тогда,
когда она равнобочная.
187. Замѣчаніе. Двѣ изложенныя теоремы о вписан-
номъ четыреугольникѣ (прямая и обратная) приводятъ насъ
къ слѣдующему заключенйа: для того, чтобы около
выпуклаго четыреугольника можно бы-
ло описать окружность, необходимо и достаточно
чтобы~сумма его противоположныхъ у г -
ловъ равнялась двумъ прямымъ. Дѣйстви-
тельно, это условіе необходимо, такъ какъ, согласно
теоремѣ 1°, во всякомъ вйисанномъ выпукломъ четыреугольникѣ
сумма противоположныхъ'угловъ равна Sd, и слѣд., безъ
этого условія не можетъ существовать вписанный вы-
пуклый четыреугольникъ; въ то же время это условіе и д о -
статочно, такъ какъ, согласно теоремѣ 2°, если въ вы-
пукломъ четыреугольникѣ сумма противоположвыхъ угловъ
равна 2d, то около такого четыреугольника можно ошсать
окружность.
Замѣтимъ, что необходимость какого-нибудь признака еще
не означаетъ его достаточности, равно какъ достаточность
— 137 —
какого-нибудь признака еще не влечеть за собою его необхо-
димости. Hanp., для того, чтобы выпуклый четыреугольникъ
былъ ромбомъ, необходимо, чтобы его діагонали были
взаимно перпендикулярны (если есть ромбъ, то діагонали его
взаимно перпендикулярны; значитъ, безъ перпендикулярности
діагоналей ромбъ не существуетъ); однако этотъ признакъ не
достаточенъ: нельзя утверждать, что если діагонали выпуклаго
четыреугольника взаимно перпендикулярны, то такой четыре-
угольникъ непремѣнно ромбъ (при перпендикулярности діаго-
налей выпуклый четыреугольникъ можеть и не быть ромбомъ,
черт. 178). Другой примѣръ: для того, чтобы двѣ дуги одной
и той же окружности были равны, достаточно, чтобы
онѣ заключались между параллельными хордами; однако это
не необходимо, такъ какъ и безъ параллельности хордъ дуги
могутъ оказаться равными (дуги AB и CD, черт. 179).
Для того, чтобы быть увѣреннымъ, что нѣкоторый признакъ A
необходимъ и достаточенъ для существованія нѣкотораго свой-
ства В, надо отдѣльно доказать его необходимость (если есть В,
то есть и А) и его достаточность (если есть А, то есть и В).
188. Теорема. Въ описанномъ вы-
пукломъ четыреугольникѣ суммы проти-
воположныхъ сторонъ равны.
Пусть ABCD (черт. 180) будетъ опи-
санный выпуклый четыреугольникъ,
т.-е стороны его касаются окружности;
требуется доказать, что ABACD=
BCAAD,—Обозначимъ точки касанія
черезъ М, N, P е Q Такъ какъ двѣ
— 138 —
касательныя, проведенныя изъ одной точки къ окруясности,
равны (140), то AM=AQ, BM=BN, CN=CP и DP=DQ
Слѣд,
189. Обратная тѳорѳма. Если въ выпукломъ четыреугольиикѣ равны
суммы противоположныхъ сторонъ, то въ него можно вписать окружность.
Пусть ABCD такой выпуклый четыреугольникъ (черт. 181), въ ко-
торомъ:
Ab-PCD = AD-PBC.
Требуется доказать, что въ него можно вписать окружность.—Про-
жемъ, что она коснется и четвертой стороны AD. Предположимъ про-
тивное, т.-е. что 4-я сторона AD не касается проведенной окружности.
Тогда проведя изъ точки A касательную къ этой окружности, мы
должны получить нѣкоторую прямую, не сливающуюся съ AD. Пусть
это будетъ прямая AEi расположенная ближе къ центру Oi чѣмъ AD.
Тогда получится описанный выпуклый четыреугольникъ
ABCEi въ которомъ, по доказанному выше, будемъ имѣть:
т.-ѳ. разность двухъ сторонъ Д ADE равна третьей сторонѣ DEi что
невозможно (52); значитъ, нельзя допустить, чтобы касательною къ
нашей окружности была какая-нибудь прямая AEi лежащая ближе
къ центру Oi чѣмъ AD. Такъ жѳ можно доказать, что касательною
не можетъ быть никакая прямая AEli лежащая дальше отъ центра,
чѣмъ AD; значитъ, AD должна касаться окружности, т.-ѳ. въ четыре-
угольникъ ABCD можно вписать окружность.
190. Слѣдствіѳ. Изъ всѣхъ параллелограмовъ только въ рембъ (и,
слѣд., въ квадратъ) можно вписать онружность.
Amambacpapd=Aqabnancaqd,
т.-е. AbaCD=ADABC
A
BNr
ведемъ биссектриссы BO и CO двухъ
угловъ B и С. Эти прямыя должны пере-
сѣчься, потому что сумма угловъ NBO
и NCO меньше 2А (такъ какъ BjrCKAd).
Точка пересѣченія биссектриссъ должна
быть одинаково удалена отъ сторонъ
ABi BC и CD; поэтому, если эту точку
возьмемъ за центръ, а за радіусъ одинъ
изъ трехъ равныхъ перпендикуляровъ
Черт. 181.
Е, OMi ONi OPi опуціенныхъ изъ 0 на
стороны угловъ B и Ci то окружност
коснется сторонъ ABi BC и CD. Дока-
Вычтя почленно первоѳ равенство изъ второго, найдемъ:
AD-AE = CD-CE = DEi
— 139 —
191. Замѣчаніе. Двѣ изложенныя теоремы объ описанномъ
четыреуголъникѣ (прямая и обратная) приводятъ насъ къ слѣдующему
заключенію: для того, чтобы въ выпуклый четыре-
угольникъ можно было вписать окружность,
несбходимо и достаточно чтобы у него были равны
суммы противоположныхъ сторонъ.
Г Л A B A IX.
Четыре ззмѣчательныя точки въ треугольникЪ.
192. Центръ описаннаго и центръ вписаннаго круга.
Мы видѣли (123 и 183), что:
1°, три перпендииуляра къ сторонамъ треугольника, проведенные черезъ ихъ
середмны, сходятся въ одной точкѣ, которая есть цснгръ описаннаго круга;
2°, три биссектриссы угловъ треугольника сходятся въ рдной точкѣ,
которая есть центръ вписаннаго круга.
Замѣтимъ (учащіеся сами могутъ убѣдиться въ этомъ), что центръ
вписаннаго круга всегда лежитъ внутри тр-ка, а центръ описаннаго
круга лежитъ внутри тр-ка только въ томъ случаѣ, когда тр-къ остро-
угольный; въ тупоугольномъ же тр-кѣ онъ лежитъ внѣ ѳго, а въ прямо-
угольномъ—на серединѣ гипотенузы.
Слѣдующія 2 теоремы указываютъ еще 2 замѣчательныя точки
тр-ка: 8°, пересѣченіе высотъ и 4°, пересѣченіе медіанъ.
193. Теорема. Три высоты треугольника пересѣкаются въ одной точкѣ.
Черезъ каждую вершину тр-ка ABC (черт. 182) проведемъ прямую,
параллельную противоположной сторонѣ его. Тогда получимъ вспо-
могательный Д ^l1H1C1, къ сторо-
намъ котораго высоты даннаго тр-ка
перпендикулярны. Такъ какъ
C1B = AC = BA1 (какъ противопо-
ложныя стороны параллелограммо-
мовъ), то точка B есть середина
стороны A1C1. Подобно этому, убѣ-
димся ,-^.что C есть середина A1B1
и A—середина B1C1. Такимъ обра-
зомъ,высоты ADi BE и CF пер-
пендикулярны къ сторонамъ тр-ка
.A1B1C1 и проходятъ черезъ ихъ
середины; а такіѳ перпендикуляры,
какъ мы знаемъ, пересѣкаются въ однсй точкѣ.
Точка, въ которой пересѣкаются высоты треугольника, наз. о р т о-'
центромъ, или точкою высотъ. Эта точка въ остро-
угольномъ тр-кѣ лежитъ внутри, въ тупоугольномъ—внѣ его, а въ
прямоугольномъ—въ вѳршинѣ прлмого угля.
Черт. 182.
— 140 —
194. Тѳорема. Три медіаны треугольника явресѣкаются въ одной точкѣ;
эта точка отсѣкаетъ отъ каждои медіаны третью часть, считая отъ соотвѣт-
Возьмемъ въ тр-кѣ ABC (черт. 188)
какія-нибудь двѣ медіаны, напр. AE
и BDi пересѣкающіяся въ точкѣ Oi и
докажемъ, что
OD=1UBD и OE=1UAE.
Для этого, раздѣливъ OA и OB пополамъ
въ точкахъ F и Gi построимъ четыре-
угольникъ DEGF. Такъ какъ прямая FG
соединяютъ середины двухъ сторонъ
тр-ка ABOf то (115) FG Ц AB и FG=1J2 AB.
Прямая DE также соединяетъ сѳредины
двухъ сторонъ тр-ка ABC; поэтому: DE || AB и DE=1I2AB. Отсюда
выводимъ, что DEWFG и DE = FG; слѣд., четыреуг^льникъ DEGF
есть параллелограммъ (99, 2°), и потому OF = OE и OG = OD. Отсюда
слѣдуетъ, что OE=1UAE и OD=1U BD. Если теперь возьмемъ третью
медіану съ одной изъ медіанъ AE или BDi то также убѣдимся, что
точка ихъ пересѣченія отсѣкаетъ отъ каждой изъ нихъ 1J2 часть, считая
отъ соотвѣтствуюціей стороны; значитъ, третья медіана должна перѳ-
сѣчься съ медіанами AE и BD въ одной и той же точкѣ 0.
Изъ физики извѣстно, что пересѣченіе медіанъ тр-ка есть его
цѳнтръ тяжѳсти; онъ всегда, лежитъ внутри тр-ка.
УПРАЖНЕНІЯ.
Доказать теоремы:
148. Если двѣ окружности касаются, то всякая сѣкущая, провѳ-
денная черезъ точку касанія, отсѣкаетъ отъ окружностей двѣ противо-
лежащія дуги одинаковаго числа градусовъ.
148, а. Отрѣзки двухъ равныхъ хордъ, пересѣкаюціихся въ одной
окружности, соотвфтственно равны.
148.Ь. Двѣ окружности пересѣкаются въ точкахъ A и B;. черезъ A
проведена сѣкущая, пересѣкаюціая окружности въ точкахъ Cn D;
доказать, что уголъ CBD ѳсть велЗ^шна постоянная для всякой сѣ-
кущей.
149. Еслй черезъ точку касанія двухъ окружностей проведемъ
двѣ сѣкущія и концы ихъ соединимъ хордами, то эти хорды парал-
лельны.
150. Если черезъ точку касанія двухъ окружностей проведемъ
внутри ихъ какую-либо сѣкущую, то касательныя, проведенныя
черезъ концы этой сѣкуціей, параллельны.
151. Если основанія высотъ тр-ка соединимъ прямыми, то получимъ
новый тр-къ, для котораго высоты перваго тр-ка служатъ биссектрис-
сами.
151,а. Ha окружности, описанной около равносторонняго тр-ка
ствующей стороны.
B
— 141 —
ABCi взята произвольная точка Mi доказать, что одна изъ прямыхъ:
MAi MBi MC равна суммѣ остальныхъ двухъ.
152. Если около тр-ка опишемъ окружность и изъ произвольной
точки ея опустимъ перпендикуляры на стороны тр-ка, то ихъ осно-
ванія лежатъ на одной прямой (прямая Симпсона).
Задачи на построеніе.
158. Ha данной безконечной прямой найти точку, изъ которой
другая данная конечная прямая была бы видна подъ даннымъ угломъ.
154. Построить Д по основанію, углу при вершинѣ и высотѣ.
155. Къ дугѣ даннаго сектора провести такую касательную, чтобы
часть ея, заключенная между продолженными радіусами (ограничи-
вающими секторъ), равнялась данной длинѣ (свести эту задачу на
предыдущу ю).
156. Построить Д по основанію, углу при вершинѣ и медіанѣ,
проведенной къ основанію.
157. Даны по величинѣ и положенію двѣ конечныя прямыя а и Ъ.
Найти такую точку, изъ которой прямая а была бы видна подъ даннымъ
угломъ о, и прямая Ъ подъ даннымъ угломъ (5.
158. Въ тр-кѣ найти точку, изъ которой его стороны были бы видны
подъ равными углами (у к а з а н і е; обратить вниманіе на то, что
'каждый изъ этихъ угловъ долженъ равняться 4/зФ-
159. Построить Д по углу при вершинѣ, высотѣ и медіанѣ, провѳ-
денной къ основанію (у к а з а н і ѳ: продолживъ медіану на равное
разстояніе и соединивъ полученную точку съ концами основанія,
разсмотрѣть образовавшійся параллелограмъ).
160. Построить Д, въ которомъ даны: основаніѳ, прилежащій къ
нему уголъ и уголъ, составленный медіацою, проведенною изъ вер-
шины даннаго угла, со стороною, къ которой эта медіана проведена.
161. Построить параллелограммъ по’ двумъ его діагоналямъ и
одному углу.
162. Построить Д по основанію, углу при вершинѣ и суммѣ или
разности двухъ другихъ сторонъ.
163. Построить четыреугольникъ по двумъ діагоналямъ, двумъ
сосѣднимъ сторонамъ и углу, образованному остальными двумя
сторонами.
164. Даны три точки Ai B и С. Провести черезъ A такую прямую,
чтобы разстояніе между перпендикулярами, опущенными на эту
прямую изъ точекъ B и sCi равнялась данной длинѣ.
165. Въ данный кругъ вписать Д, у котораго два угла даны.
166. Около даннаго круга описать Д, у котораго два угла даны.
167. Построить Д по радіусу описаннаго круга, углу при вершинѣ
и высотѣ.
168. Вписать въ данный кругъ Д, у котораго извѣстны: сумма •
двухъ сторонъ и уголъ, противолежаціій одной изъ этихъ сторонъ.
169. Вписать въ данный кругъ четыреугольникъ, котораго сторона
и два угла, не прилежащіе къ этой сторонѣ, даны.
170. Въ данный ромбъ вписать кругъ.
— 142 —
171. Въ равностороннійДвписать три круга, которые попарно касают-
ся другъ друга и изъ которыхъ каждый касается двухъ сторонъ тр-ка.
172. Построить четыреугольникъ, который можно было бы вписать
въ окружность, по тремъ его сторонамъ и одной діагонали.
173. Построить ромбъ по даннымъ сторонѣ и радіусу вписаннаго круга
174. Около даннаго круга описатьравнобедренный прямоугольныйД.
175. Построить равнобедренный Д по основанію и радіусу впи-
саннаго круга.
176. Построить Д по основанію и двумъ медіанамъ, исходящимъ
изъ концовъ основанія.
177. To же—по тремъ медіанамъ.
178. Дана окружность и на ней три точки Aj B и С. Вписать въ эту
окружность такой д, чтобы его биссектриссы, при продолженіи,
встрѣчали окружность въ точкахъ Aj B и С.
179. Ta же задача, съ замѣною биссектриссъ тр-ка его высотами.
180. Дана окружность и на ней три точки Mj N и Р, въ которыхъ
пересѣкаются съ окружностью (при продолженіи) высота, биссектрисса
и медіана, исходяціія изъ одной вершины вписаннаго тр-ка, По-
строить этотъ Д.
181. Ha окружности даны двѣ точки An B. Изъ этихъ точекъ про-
вести двѣ параллельныя хорды, которыхъ сумма дана.
Задачи на вычисленіе.
182. Вычислить вписанный уголъ, опираюціійся на дугу, равную
Via части окружности.
183. Кругъ раздѣленъ на два сегмента хордою, дѣляціею окруж-
ность на части въ отношеніи 5:7. Вычислить углы, которые вмѣ-
щаются этими сегментами.
184. Двѣ хорды пересѣкаются подъ угломъ въ 36°15'32". Вы-
числить въ градусахъ, минутахъ и секундахъ двѣ дуги, заключенныя
между сторонами этого угла и ихъ продолженіями, если одна изъ
этихъ дугъ относится къ другой, какъ 3:2.
185. Уголъ, составленный двумя касательными, проведенными
изъ одной точки къ окружности, равенъ 25°15'. Вычислить дуги,
заключенныя между точками касанія.
186. Вычислить уголъ, составленный касательною и хордою, если
хорда дѣлитъ окружность на двѣ части, относящіяся, какъ 3:7.
187. Двѣ окружности одинаковаго радіуЗ^ перееѣкаются подъ
угломъ въ 2/2й; опредѣлить въ градусахъ меньшую изъ дугъ, заклю-
чаюціихся между точками пересѣченія.
Примѣчаніе. Угломъ двухъ пересѣкаюцшхся дугъ наз.
уголъ, составленный двумя касательными, проведенными къ этимъ
дугамъ изъ точки пересѣченія.
188. Изъ одного конца діаметра проведена касательная, а изъ
другого сѣкущая, которая съ касательною составляетъ уголъ въ
20°30'. Какъ велика меньшая изъ дугъ, заключенныхъ между каса-
тѳльною и сѣкуціею?
— 143 -
КНИГА III
ПОДОБНЫЯ ФИГУРЫ.
г л A в A I
Подобіе треугольниковъ.
191. Сходетвенныя етороны. Въ этой главѣ намъ
придется разсматривать такіе тр-ки нли мн-ки, у которыхъ
углы одного соотвѣтственно равны угламъ другого Условимся
въ такихъ случаяхъ называть «с х о д с т в е н н ы м и» тѣ
стороны этихъ тр-ковъ или мн-ковъ, которыя п р и л е ж а т ъ
къ равнымъ угламъ (въ тр-кахъ такія стороны и противо-
л е ж а т ъ равнымъ угламъ)
196. Лемма. Прямая (DE, черт. 184), проведенная внутри
треугольника (ABC) параллельно его сторонѣ (AC), отсѣкаетъ
отъ него другой треугольникъ (DBE), у котораго: 1°, углы
равны соотвѣтственно угламъ перваго треугольника и 2°, сто-
роны пропорціональны сходственнымъ сторонамъ этого тре-
угольника.
1° Углы тр-ковъ соотвѣтственно равны, такъ какъ уголъ B
Y нихь общій, а D=A и E=C, какъ углы соотвѣтственные
при параллельныхъ DE и AC и D
2° Докажемъ теперь, что сто-
роны тр-ка DBE пропордіональ-
ны сходственнымъ сторонамъ
тр-ка ABC, т -е что
сѣкущихъ AB и CB.
BD BE DE
~АВ ~ВС AC
Черт. 184.
Для этого разсмотримъ отдѣльно слѣдующіе два случая. '
1°. Стороны AB и DB имѣютъ общую мѣру.
Раздѣлгогъ AB на части, равныя этой общей мѣрѣ. Тогда BD
— 144 —
раздѣлится на ц ѣ л о е число такихъ частей. Пусть этихъ
чаетей содержится т въ BD и п въ AB. Проведемъ изъ точекъ
раздѣла рядъ прямыхъ, параллельныхъ AC, и другой рядъ
прямыхъ, параллельныхъ BC. Тогда BE и BC раздѣлятся на
равныя части (113), которыхъ будетъ m въ BE и п въ BC. Точно
такъ же DE раздѣлится на т равныхъ частей, а AC на п рав-
ныхъ чаетей, при чемъ части DE равны частямъ AC (какъ про-
тивоположныя стороны параллелограммовъѴТеперь очевидно, что
BD т BE т DE т
IlfT ’ BC Tf ІС=Т
BD BE DE
СлѢДм AB-BC-Id'
2°. C т о р о H ы AB и BD не имѣютъ обіцей
м ѣ р ы (черт. 185).
Тогда стороны BC и BE, а также и стороны AC и DE, также
не имѣютъ обідей мѣры. Дѣйствительно, если допустимъ, что
стороны BC и BE (или AC и DE)
имѣютъ какую-нибудь общую
мѣру, то, раздѣливъ BC (или AC)
на части, равныя этой общей мѣрѣ,
и проведя черезъ точки раздѣла
рядъ параллельныхъ прямыхъ,
какъ это мы дѣлали въ случаѣ 1-мъ,
мы этими прямыми раздѣлимъ сто-
роны AB и BD также на равныя
части; слѣд., тОгда эти прямыя бу-
дутъ имѣть общую мѣру, что противорѣчитъ предположенію.
Значитъ, если стороны AB и BD несоизмѣримы, то каждре изъ
трехъ отношеній: ’
BD BE DE
BA' BC11AC
будетъ несоизмѣримое.
Найдемъ приближенное значеніе каждаго изъ нихъ съ точ-
ностью до 1Zn. Для этого раздѣлимъ AB на п равныхъ частей
и черезъ точки раздѣла проведемъ рядъ прямыхъ, параллель'-
B
Чѳрт. 185,
— 146 —
ныхъ AC, и другой рядъ прямыхъ, параллельныхъ BC. Тогда
каждая изъ сторонъ BC и AC раздѣлится также на « равныхъ
частей (113). Предположимъ, что 1In доля AB содержится въ BD
болѣе m разъ: но менѣе т+1 разъ; тогда, какъ видно изъ чер-
тежа, 1In доля BC содержится въ BE также болѣе т, но менѣе
т+1 разъ, и 1In доля AC сбдержится въ DE болѣе т, но менѣе
т+1 разъ. Слѣд.:
BD т BE т DE т
прибл. отн. ■=-. = —; лрибл, отн. -у-,= —; прибл. отн. —== —•
BA п BC п AC п
Отсюда слѣдуетъ, что приближенныя отношенія, вычисленныя
съ произвольною, но одинаковою точностью, всегда равны другь
другу; а такія несоизмѣримыя отношенія мы условились счи-
тать равными (159); слѣд , и въ этомъ случаѣ можемъ написать:
BDJSE^de
ВА~ВС~АС
197. Замѣчаніѳ. Доказанный рядъ равныхъ отпошеній
представляетъ собою три слѣдующія пропорціи:
BD_ BE' BD_ DE' BEJDE
BA-BC' RA-AC' BC-AP'
Примѣняя къ этимъ пропордіямъ свойства числовыхъ
пропорцій, мы можемъ переставить въ нихъ средніе члены:
вр=вА.
Ш~вд’ DE AC' Ш AC
Мы видимъ такимъ образомъ, что если въ треѵголь-
никахъ стороны пропорціональны, то от-
ношеніе любыхъ двухъ сторонъ одного
треугольника равно отноіпенію сход-
ственныхъсторонъдругоготреугольника.
198. Опредѣленіе. Два треугольн ик а н а з.
подобными, если углы одного соотвѣт-
ственно равны угламъ другого и стороны
одного пропорціональны сходственнымъ
сторонамъ другого.
А. Киселевъ. Геометрія. 10
Что такіе тр-ки возможны, показываетъ лемма предыду-
щаго параграфа, которую теперь можео высказать такъ: прямая,
проведенная внутри треугольника параллельно какой-нибудь
его сторонѣ, отсѣкаетъ отъ него подобный треугольникъ.
199. Теоремы (выражающія три признака подобія тре-
уголышковъ). Два треугольника подобны:
1°, если два угла одного соотвѣтственно равны двумъ угламъ
другого;
илн 2°, если двѣ стороны одного пропорціональны двумъ
сторонамъ другого, и углы, лежащіе между этими сторонами,
равны;
или з°, если три стороны одного пропорціональны тремъ сто-
ронамъ другого.
1°. Пусть ABC и A1B1Ci (черт. 186) будутъ два тр-ка, у ко-
торыхъ:
Требуется доказать, что такіе тр-ки подобны.—Отложимъ
на AB часть BD, равную A1B1 и проведемъ DE Il AC.
Тогда получимъ вспомогательный тр-къ DBE который, со-
гласно предыду-
D=A и A=A1). Ho если изъ двухъ равныхъ тр-ковъ одинъ
подобенъ третьему, то и другой ему подобенъ; слѣд., Д A1B1C1
нодобенъ Д АВС.
2°. Пусть въ тр-кахъ ABC и A1B1C1 дано (черт. 187):
A=A1, B=B1 и, слѣд., C=C1.
Б
щей леммѣ, по-
добенъ тр-ку ABC.
Съ другой стороны
ZDBE=AA1B1C1,
A
L^UDEj = ^AZi1-D1Lz1,
потому что у нихъ:
Черт. 186.
(по условію) II
D=A1 (потому что
— 147 —
Требуется доказать, что такіе тр-ки подобны.—Отложимъ
снова часть BD, рав-
ную A1Bx, и проведемъ
DE=AC. Тогда полу-
чимъ вспомогательный
Д BDE, подобный Д
ABC. Докажемъ, что
онъ равенъ ДAIB1C1.
Изъ подобія тр-ковъ
ABC и DBE слѣдуетъ: ЧеРт- 18Ъ
AB _ BC _АС Г2І
DB-BE-DE
Сравнивая этотъ рядъ равныхъ отношеній съ даннымъ ря-
домъ [1], замѣчаемъ, что пёрвыя отношенія обоихъ рядовъ
одинаковы (DB=A1B1 по построенію); слѣдовательно, осталь-
ныя отношенія этихъ рядовъ также равны, т.-е.
BC BC
B1Cj-BE'
Ho. если въ пропорціи предыдущіе члены равны, то должны
быть равны и послѣдующіе члены; значитъ:
B1C1=BE.
Теперь видимъ, что тр-ки DBE и A1B1C1 имѣютъ по рав-
ному углу (B=B1), заключенному между равными сторонами;
значитъ, эти тр-ки равны. Ho Д DBE подобенъ Д ABC; по-
этому и д A1B1C1 подобенъ Д АВС.
3. Пусть въ тр-кахъ ABC и A1B1C1 (черт. 188) дано:
AB BC _ AC Гі1
ІДГ D1C1 ~A1C1
Требуется доказать, что такіе тр-ки подобны.—Сдѣлавъ по-
строеніе такое же, какъ и прежде, ^окажемъ, что ZDBE=
=AA1B1C1. Изъ по- B
добія тр-ковъ ABG
и DBE сдѣдуетъ:
AB BC AC Г2.
BD-BE-DE
Сравнивая этотъ
рядъ съ даннымъ ря- Az 1C Af 1C,
домъ [Ii, аамѣчаемъ, что первыя отношенія у нихъ равны;
слѣд., и остальныя отношенія равны, и потому
BC BC'
ВрГ BE'
AC AC
A1C1 DE'
; откуда: B1C1=BE;
; откуда: A1C1=DE.
Tenерь видпыъ, что тр-ки DBE и A1B1C1 имѣютъ по три со-
отвѣтственно равныхъ стороны; значитъ, они равны. Ho одинъ
изд> нихъ, именно DBE, подобенъ Д АВС; слѣд., и другой,
т.-е. A1B1C1, подобенъ д АВС.
200. Замѣчаніе опріемѣ доказательства. По-
лезно обратнть вниманіе на то, что пріемъ доказательства,
употребленный нами въ трехъ предыдущихъ теоремахъ, одинъ
и тотъ же, а именно: отложивъ на сторонѣ болыпаго треуголь-
ника чаеть, равную сходственной сторонѣ меньшаго, и проведя
прямую, параллельную другой сторонѣ, мы образуемъ вспо-
могательный тр-къ, подобный бблыпему данному. Послѣ этого,
беря во вниманіе условія доказываемой теоремы и свойства
подобныхъ тр-ковъ, мы обнаруживаемъ равенство вспомога-
тельнаго тр-ка меныпему данному и, наконецъ, заключаемъ
9 подобіи данныхъ тр-ковъ.
201. Теоремы (выражающія еще 2 признака подобія
треугольниковъ). Два треугольника подобны:
1°, если стороны одного соотвѣтственно параллельны сторо-
намъ другого;
нли 2°, если стороны одного соотвѣтственно перпендикулярны
къ сторонамъ другого.
Вудемъ вести разеужденіе независимо отъ чертежа, при чемъ
это разсужденіе отнесемъ одновременно къ обѣимъ теоремамъ.
Пусть стороны угловъ А, В, C нѣкотораго треугольника
соотвѣтственно параллельны или перпендикулярны сторонамъ
угловъ A1, B1, C1 другого треугольника.. ТогДа углы A и A1
или равны другъ другу, или составляютъ въ суммѣ два прямыхъ
(85 и 86); то же самое можно еказать объ углахъ B и B1, C и C1.
Чтобьі доказать подобіе данныхъ тр-ковъ, достаточно убѣ-
диться, что какіе-нибудь два угла одного изъ нихъ равны со-
— 149 —
отвѣтственно двумъ угламъ другого. Прёдположимъ, что этого
нѣтъ. Тогда могуть представиться слѣдующіе два случая:
1°. У треугольниковъ нѣтъ вовсе попарно
равныхъ угловъ.
Тогда: AAA1=Sd; BAB1=Sd; CAC1=Sd,
и, слѣд., сумма угловъ обоихъ треугольниковъ равна Gd. Такъ
какъ это невозможно, то этотъ случай исключается.
2°. У треугольниковъ только одна пара
равныхъ у г л о в ъ; напр., пуеть A=A1. Тогда:
BAB1==Sd; CAC1=Sd и, слѣд., BAB1ACAC1=jLd,
и потому сумма всѣхъ угловъ обоихъ тр-ковъ болыпе Ld. Такъ
какъ это невозможно, то и этотъ случай исключаетея.
Остается одио возможное допущеніе, что тр-ки имѣютъ двѣ
пары равныхъ угловъ; но тогда ояіі подобны.
202. Теоремы (выражающія прпзнаки подобія прямо-
угольныхъ треугольниковъ). Такъ какъ прямые углы веегда
равны другъ другу, то на основаніи доказанныхъ признаковъ
подобія треугольниковъ вообще мы можемъ утверждать, что
прямоугольные тр-ки подобны:
1°, если острый уголъ одного треуголь-
ника равенъ острому углу другого тре-
угольника,
или 2°, если катеты о'дного треугольника
п р о п о р ц і о н а л ь н ы катетамъ другого.
Укажемъ еще слѣдующій признакъ подобія прямоуголь-
ныхъ тр-ковъ, требующій особаго доказательства.
Теорема. Прямоугольные треугольники подобны, если
гипотенуза и катетъ одного пропорціональны гипотенузѣ и ка-
тету другого.
Пусть ABC и A1B1C1 два тр-ка (черт. 189), у которыхъ углы B
и B1 прямые и
AB _ AC .
A1B1 A1C1
— 150 —
Требуется доказать, что такіе тр-ки подобны.—Для доказа-
тельства употребимъ тотъ же пріемъ, которьщъ мы пользо-
вались ранѣе (200). Отложимъ BD=A1B1 и проведемъ DE || AC.
Тогда получимъ
вспомогательный
Д DBE, подобный
Д ABC (196). До-
кажемъ, что онъ
равенъ Д A1B1C1.
Изъ подобія трковъ
ABC и DBE слѣ-
дуетъ:
АВ_ AC
DB-DE [2]
Сравнивая эту пропорцію съ данной [1], находимъ, что пер-
выя отношенія ихъ одинаковы; слѣд., равны и вторыя отно-
шенія, т.-е.
AC AC
т=Ж'отктда: ВЕ~А‘С'-
Теперь виднмъ, что тр-ки DBE и A1B1C1 имѣютъ по равной
гипотенузѣ и равному катету; слѣд., они равны; а такъ какъ
одинъ изъ нихъ подобенъ Д ABC, то и другой ему подобенъ.
203. Теорема (выражающая свойство подобныхъ треу-
гольниковъ). Въ подобныхъ треугольникахъ сходственныя
стороны пропорціональны сходственнымъ высотамъ, т.-е. тѣмъ,
которыя опущепы на сходственныя стороны.
Дѣйствительно, если тр-ки ABC и A1B1C1 (черт. 190)
подобны, то прямо-
угольные тр-ки
BAD и B1A1D1
также подобны
(A=A1 и D=D1);
позтому:
BD _ AB
B1Di A1B1
BC AC
B1Ci A1C1
/
\
‘С,
— 151 —
Замѣчаніе. Можно также доказать, что въ подобныхъ
тр-кахъ сходственныя стороны пропорціональны
сходственнымъ медіанамъ, сходственнымъ бис-
сектриссамъ, радіусамъ круговъ вписанныхъ
и радіусамъ круговъ описанныхъ.
204. Задача. Ha данной сторонѣ Ci1Cr1, черт. 191)
построить т р е -
угольникъ, подоб-
ный. данному (.ABC).
Ha данной сторонѣ стро-
имъ тр-къ, у котораго уголъ
A1 равенъ A и уголъ C1
равенъ С. Этотъ тр-къ
подобенъ данному (199,1°).
Черт. 191,
Г Л A B A II.
Подобіе многоугольниковъ.
205. Лемма. . E с л и, разбивъ многоуголь-
никъ ABCDE... (черт. 192) на треугольники M,
NtP,..., мы построимъ на какой-нибуді ко-
нечной прямой A1B1 д M1 подобный AM,
затѣмъ на сторонѣ его A1C1 построимъ AN1,
подобный AN, далѣе на сторонѣ A1D^ п о -
строимъ AP1, подобный Д Р, и т. д., наблю-
дая при зтомъ, чтобы подобные треуголь-
иики были одинаково р а с п о л о ж е н ы, то мы
получимъ такой мнйгоугольникъA1B1C1D1E1...
у к отораго: 1°, уг-
лы соотвѣтствен-
но равны угламъ
многоугольника
ABCDE... и 2°, с т о р о-
ны пропорціональ-
ны сходственнымъ
сторонамъ этого
многоугольника. Черт. 192.
1°. Равенство угловъ мн-ковъ слѣдуетъ изъ равенства угловъ
тр-кбвъ; такъ, B=B1 и E=E1, какъ равные углы подобныхъ
— 152 —
тр-ковъ (M Ii M1, P и P1), A=Ax, G=C1, D=D1..., какъ суммы
угловъ, соотвѣтственно равныхъ другъ другу.
2°. Пропорціональность сторонъ мн-ковъ слѣдуетъ изъ про-
порціональности сторонъ подобныхъ тр-ковъ. Дѣйствительно,
мы можемъ написать слѣдующіе ряды равныхъ отношеній:
AB BC AC
Изъ лодобія M и M1 =
AO CD AD
Изъ подойя N и N1 = OjJ-^
AD DE EA
Hsb подойя P и P1 — - ЩЁГЁІ,-
. Разсматривая эти отношенія, замѣчаемъ, что послѣднее отно-
шеніе 1-го ряда есть вмѣстѣ съ тѣмъ первое отношеніе 2-го ряда,
а послѣднее отношеніе 2-го ряда есть вмѣстѣ съ тѣмъ первое
отношеніе 3-го ряда; отсюда заключаемъ, что всѣ отношенія
этихъ трехъ рядовъ равны между собою. Возьмемъ изъ нихъ
только тѣ, въ которыя входятъ стороньх данныхъ многоуголь-
никовъ; тогда и получимъ лропорціональность сторонъ:
AB BC CD DE EA
■; A1B1 B1C1 C1D1 D1E1 E1A1'
Замѣчаніе. Изъ пропорціональности сторонъ двухъ мн-ковъ
совершенно такъ же, какъ это было сдѣлано нами раныпе для
тр-ковъ (197) , можно вывести, что ѳсли въ мн-кахъ
с т о р о н ы пропорціональны, то отношеніе
любыхъ двухъсторонъ одного мн-ка равно
отношенію.сходственныхъ сторонъ д р у-
гого мн-к а.
206. Опредѣленіе. Два одноименныхъ*)
многоуго л ьника наз. подобными, если
углы одного равны соотвѣтственио угламъ
Другого и стороны одного пропорціональ-
н ы схо дственнымъ сторонамъ дру го.го.
Что такіе многоугольники возможны, показываетъ лемма
предыдущаго параграфа, которую можно теперь высказать
такъ: два многоугольника подобны, если они состоятъ изъ оди-
*) Hanp., два пятиугольника, два шестиугольника и т. д., вообціе
два многоугольника, имѣющіе одинаковоѳ число угловъ.
— 153 —
наковаго числа подобныхъ и одинаково расположенныхъ тре-
угольниковъ.
- 207. Замѣчаніе. Для тр-ковъ, какъ мы видѣли (199),
равенство угловъ влечетъ за собою пропорціональность сто-
ронъ и, обратно, пропорціональность сторонъ влечетъ за собою
равенство угловъ; вслѣдствіе этого для тр-ковъ одно равенство
угловъ или одна пропорціональность сторонъ служитъ достаточ-
нымъ признакомъ ихъ подобія. Для мн-ковъ же одного равенства
угловъ или одной пропорціональности сторонъ еще не достаточно
для ихъ подобія; напр., у квадрата и прямоугольника углы равны,
но стороны не пропорціональны, у квадрата же и ромба стороны
пропорціональны, а углы не равны.
Слѣдующія 2 теоремы выражаютъ главнѣйшія свойства по-
добныхъ многоугольниковъ*
208. Теорема. Подобные многоуголъники (ABCDE и
A1B1C1D1E1, черт. 193) можно разложить на одинановое число
подобныхъ и одинаково расположенныхъ треугольниковъ.
Подобные многоугольники можно разложить на подобные
тр-ки различными способами. Укажемъ одинъ изъ нихъ.—
Возьмемъ внутри мн- р
ка ABCDE про-
сколько въ немъ сто-
ронъ. Возьмемъ одинъ изъ нихъ, напр., AOE, (покрытый на
чертежѣ штрихами), и на сходственной сторонѣ A1F1 другого
многоугольника построимъ углы O1A1F1 и O1F1A1, соотвѣт-
ственно угламъ OAF и OFA; точку пересѣченія O1 соединимъ
съ прочими верпшнами мн-ка A1B1C1D1E1. Тогда и этотъ мн-къ
разобьется на то же число тр-ковъ. Докажемъ, что тр-ки перваго
многоугольника соотвѣтственно подобны тр-камъ второго много-
угольника. AAOE подобенъ AA1O1E1 по построенію. Чтобы
разобьется на столь-
ко тр еугольниковъ,
извольную точку O
и соединимъ ее со
всѣми вершинами.
Тогда мн-кь ABCDE
Чѳрс. 193.
— 154 —
доказать подобіе сосѣднихъ тр-ковъ ABO и A1B1O1, примемъ
во вниыаніе, что изъ подобія мн-ковъ, между прочимъ слѣдуетъ:
BA AE
Л=А■ ” 111
и изъ подобія тр-ковъ AOE и A1O1E1 выводимъ:
AO AE
Zoae=Zo1A1E1 и ^o1- JJe1' I-2I
Изъ равенствъ [1] и [2] слѣдуетъ:
BA AO
ZiBAO^B1A1Ol п щ= ■
Теперь видимъ, что тр-кн ABO и A1B1O1 имѣютъ по равному
углу, заключенному ыежду пропорціональныыи сторонаыи; зна-
читъ,.лди подобны.
Совершенно такъ же докажемъ подобіе слѣдующихъ тр-ковъ
BCO и B1C1O1, затѣмъ тр-ковъ COD п C1O1D1 и т. п. При этомъ
очевидно, что подобные тр-ки въ обоихъ мн-кахъ одпнаково
расположены.
Замѣчаніе. Точку O (черт. 193) мы можемъ взять и на
какой-нибудь сторонѣ мн-ка, и въ вершпнѣ любого угла его
и даже внѣ мн-ка (въ послѣднемъ случаѣ получатся тр-ки, частью
выступающіе за контуръ мн-ка).
209. Теорема. Периметры подобныхъ многоугольниковъ
относятся, какъ сходственныя стороны.
Пусть мн-ки ABCDE и A1B1C1D1E1 (черт. 193) подобны; тогда
по опредѣленію:
AB BC CD DE EA
J1B1- В^Г СГГ AFi- EJi'
Изъ алгебры извѣстно, что если имѣемъ рядъ равныхъ отно-
шеній, то сумма всѣхъ предыдущихъ членовъ относится къ суммѣ
всѣхъ послѣдующихъ, какъ какой-нибудь изъ вредыдущихъ
членовъ относится къ своему послѣдующему; поэтому:
ABABCACDADEAEA AB BC
A1B1AB1C1AC1D1AD1E1AE1A1 A1B1 B1C1
— 155 —
Примѣръ. Если сторона одного многоугольника болѣе
сходственной стсроны другого многоугольника, подобнаго ему,
въ 2 раза, 3 раза, 4 раза и т. д., то и периыетръ перваго много-
угольника болѣе периметра второго въ 2 раза, з раза, 4 раза и т. д.
210. Задача. Ha данной сторонѣ A1B1 (черт. 192)
постронть многоугольникъ,подобный дан-
но м у многоугольнику ABCDE.
Разбивъ данный многоугольникъ на тр-кн М, N, Р, строятъ,
согласно леммѣ § 205, на данной сторонѣ A1B1 тр-къ M1, по-
добный тр-ку М, затѣыъ на сторонѣ A1C1—тр-къ N1, подобный
тр-ку N, п т. д., наблюдая прп этоыъ, чтобы тр-ки были одинаково
расположены въ обѣнхъ фигурахъ. Полученный такнмъ обра-
зомъ мн-къ A1 B1 C1 D1 E1 подобенъ данному.
Г Л A B A III.
Фигуры, HOflGdHO расположенныя.
211. Опредѣленіе. Пусть намъ дано: какая-нибудь фи-
гура F (черт. 194), точка Sj которую мы назовемъ центромъ
подобія,,и отвлеченное число к, которое мы назовемъ о т н о-
ш е н іемъ подобія. Возьмемъ въ фигурѣ F произвольную
точку A и черезъ нее изъ центра подобія S проведемъ полупрямую SA.
Найдемъ на этой полупрямой
такую точку Alj чтобы отно-
шеніе SA1 : SA было равно
числу и-(если я<1, то точка A1
расположится между S и Aj
какъ у насъ на чертёжѣ,
если же я> 1, то точка A1 бу-
детъ лежать за точкой А).
Возьмемъ какую-нибудь дру-
гую точку B фигуры F и сдѣ- Черт. 194.
лаемъ для нея то же построеніе,
какое мы указали для Alj т.-е. черезъ B проведемъ изъ S полупрямую
и на ней найдемъ такую точку Blj чтобы отношеніе SB1 : SB равнялось
тому же числу к. Вообразимъ теперь, что, не измѣняя положенія
точки S и величины числа Kj мы для каждой точки фигуры F находимъ
указаннымъ путемъ саотвѣтствующую точку; тогда геометрическое
мѣсто всѣхъ этихъ.точекъ составитъ нѣкоторую новую фигуру F1.
Ф и г у р а Flj полученная такимъ образомъ, наз.
фигурой, подобно расположенной съфигурой
F относительно центра лодобія S при дан-
номъ отношеніи подобія к.
— 156 —
Полупрямыя SAli SB1..., проводимыя изъ центра подобія черезъ раз-
личныя точки фигуры Fi наз. лучами подобія; точкиЛ. и Ali
B и B1 и т. д. наз. сходственными точками фигуръ F и F1-
Изъ сказаннаго слѣдуетъ, что если F1 есть фигура, подобно распо-
ложенная съ фигурой F относительно центра подобія S при отношеніи
подобія к, то, обратно, F есть фигура, подобно расположенная съ фи-
гурой F1 относительно того же цеитра подобія Si но при отношеніи
подобія равномъ не Ki а обратному числу 1Jk.
Подобно расположенную фигуру можно получить ещѳ иначе.
Вмѣсто того, чтобы точки ^41} B1... сходственныя съ точками Ai В...
фигуры Fi находить на лучахъ подобія (т.-е. по ту же сторону отъ центра
подобія Si по которую отъ него расположены точки Ai B...), можно
брать ихъ на продолженіяхъ лучей подобія, по другую сторону
отъ S. Тогда мы получимъ фигуру F11 (черт. 194), которая тоже подобно
расположена съ фигурой F относительно центра "подобія S при томъ
же отношеніи подобія к. Для отличія первое изъ указанныхъ нами
подобій въ расположеніи наз. прямымъ, а второе—обратнымъ *).
212. Замѣчаніе. Ф и г у P ы F1 и F11 (черт. 194) р а в н ы
между собою. Дѣйствительно, изъ равенствъ:
SA11 : SA = K и FA1 : SA = K
слѣдуетъ: SA11 = SAu подобно этому SB11 = SB1 и т. д. Поэтому, если
секторъ SAB,.., содержацпй фигуру Fi повернемъ въ плоскости
вокругъ точки F на 180°, то точка A1 совмѣстится съ Alli точка B1
совмѣстится съ F11... и т. д.; значитъ, фигура F1 совмѣстцтся съ фи-
гурой F11.
213. Теорема. Фигура, подобно расположенная съ отрѣзкомъ прямой
(ABi черт. 195), есть так*е отрѣэокъ прямой (A1B1 или ^l11F11); этотъ
отрѣзокъ параллелень первому и имѣ тъ съ нимъ одикаксвоэ направленіе при
прямомъ подобіи и «іротилтолокное при обратномъ; отноиѳніе этого отрѣзка
къ первому равно отношенію подобія.
Будемъ говорить сна-
чала только о прямомъ
подобіи.
Найдѳмъ точки A1 и
F1, сходственныя съ
концами A Vi B дан-
наго отрѣзка; эти точки
должны лежать на лу-
чахъ SA VL SB и удо-
Черт. 195. влетворять равенствамъ
SA1 : SA = SB1 : SB = Ki гдѣ к есть отношенде подобія. Соединивъ
*) Подобіе въ расположеніи (прямое и обратное) наз. въ нѣкоторыхъ
нашихъ руководствахъ (по образцу французскихъ) словомъ «г о м о т е-
т і я», и фигуры, подобно расположенныя, наз. тогда «гомотетичными».
Мы Избѣгаемъ этихъ неблагозвучныхъ иностранныхъ названій.
— 157 —
A1 съ B1 прямой, докажемъ, что AiB1H AB и что A1B1 : АВ=к. Тр-ки
SA1B1 и SAB подобны, такъ какъ оріи имѣютъ по равному углу (при
общей вегшинѣ F), заключенному между пропорціональными сто-
^ронами. Изъ ихъ подобія слѣдуетъ, во 1, равенство угловъ и, слѣд.,
параллельность сторонъ A1B1 и AB; во 2, пропоруіональность сто-
ронъ: A1B1 : AB=SA1 : SA=K.
Tenерь докажемъ, что полученный нами отрѣзокъ A1B1 есть фигура,
подсбно расположенная съ отрѣзкомъ AB. Для этого возьмемъ какую-
нибудь точку M на AB и проведемъ лучъ SM; пусть M1 будетъ точка,
въ которой ототъ лучъ пересѣкается съ A1B1. Тр-ки SA1M1 и SAM
под( бны, такъ какъ углы одного равны еоотвѣтственно угламъ другого
(вслѣдствіе параллельности сторонъ A1B1 и AB). Изъ ихъ подобія
слѣдуетъ: SM1 : SM = SA1 ISA = K; значитъ, точка M1 есть точка,
сходственная съ М. Такимъ образомъ, какую бы точку M на AB мы
ни взяли, сходственная ей точка M1 лежитъ на A1B1. Вообразимъ
теперь, что точка M перемѣціается по AB отъ A къ В; тогда сходствен-
ная ей точка M1 будетъ перемѣціаться отъ A1 къ B1, оставаясь по-
стоянно на отрѣзкѣ A1B1. Значитъ, этотъ отрѣзокъ и будетъ фигурой,
подобно расположенной съ AB.
To же самое можно повторить и для обратнаго подобія. При этомъ
изъ чертежа непосредственно усматриваемъ, что направленіе отрѣзка
A1Bli получаюціагося при прямомъ подобіи, одинаково съ направле-
ніемъ AB1 а направленіе отрѣзка A11Blli получаюціагося при обрат-
номъ подобіи, противоположно направленію AB.
214. Теорема. Фигура подобно расположенная съ многоугольникомъ
(ABCDi черт. 196) есть также многоугольникъ (Z1B1C1D1 илиЛп BnC11Dll);
этотъ многоугогьникъ подобенъ первому, при чемъ отношеніе сторонъ его
къ сходственнымъ сторонамъ перваго многоугольника равно отношеаію подобія.
Согласно доказанному выше (213), фигура, подобно расположенная
съ мн-комъ ABCDi должна быть образована такими отрѣзками пря-
мыхъ, которые параллельны сторонамъ даннаго мн-ка и находятся
къ нимъ въ отношеніи, равномъ отношенію подобія; слѣд., фи-
гура A1B1C1D1 (и A11B11C11D11) есть мн-къ, у котораго стороны про-
порціональны сторонамъ даннаго мн-ка. Съ другой стороны, такъ
какъ отрѣзки A1Bli B1C1... имѣютъ одинаковое направленіе съ отрѣз-
— 158 —
ками ABt BC,..., а отрѣзки A11Blli B11C11,.... имѣютъ противоположное
направленіѳ съ отрѣзками AB1 BC1..., то (85) углы мн-ковъ A1B1C1D1
и A11B11C11D11 равны соотвѣтственно угламъ мн-ка ABCD; значитъ,
эти мн-ки подобны.
215. Замѣчаніе. Мы видимъ такимъ образомъ, что прямолинейныя
фигуры, подобно расположенныя, оказываются вмѣстѣ съ тѣмъ и
подобными (206). Поэтому фигуры эти наз. фигурами подобными
и подобно расположенными.
216. Теорема. Фигура, подобно распояоженная съ окружнсстью (центра
0, черт. 197) есть такжѳ окружность; центръ (O1 или O11) этой окружности
лежитъ въ точкѣ, сходственной съ центромъ первой окружности; отношенів
раді^са этой окружности къ радіусу перзол ^авно отношенію подобія.
Пусть S есть центръ подобія и Je отношеніе подобія (на нашемъ
чертежѣ мы взя-
л и Jc=1I2). Возь-
мемъ въ данной ок-
ружности произ-
вольный радіусъ
OA и построимъ
отрѣзокъ O1A11 >по-
добно расположен-
ный съотрѣзкомъОЛ.
По доказанному раньшѳ (218) O1Z1Ji OZ HO1Z1: OA = Jc1 т.-е. O1A1 = OA-Jc
= RJe1 сли буквою R обозначимъ радіусъ даннаго круга. Изъ послѣд-
няго равенства видно, что длина O1A1 не измѣняется при измѣненіи
положенія радіуса OA. Поэтому если станемъ вращать этотъ радіусъ
вокругъ центра O1 то подобно расположенный отрѣзокъ O1A1 будетъ
враціаться вокругъточки Oll при чемъ длина его не будетъ измѣняться;
значитъ, точка Z1OnHineTb при этомъ окружность, которой уентръ есть
ОіИрадіусъ B1, удовлѳтворяюціій равенству: R1 = O1A1 = OA-Je = RJe.
Такъ же докажемъ, что теорема остается вѣрной и при обратномъ
подобіи (получается окружность центра O11 съ радіусомъ C11Z11).
217. Теорема. Всяк я двѣ окружности можно разсматривать, какъ по-
добно расположенныя относительно нѣкоторыхъ центровъ подобія.
Пусть (черт. 198) O и O1 будутъ центры двухъ окружностей и B
и B1 ихъ радіусы. Возьмемъ какіе-нибудь радіусы OA и O1A11 парал-
— 169 —
лельныѳ между собою, и черезъ концы ихъ A и A1 проведемъ неогра.
ниченную прямую. Пусть точка пересѣченія этой прямой съ линіей
центровъ будетъ S. Докажемъ, что эту точку можно разсматривать
какъ центръ прямого подобія данныхъ окруя н істей. Изъ построенія
видно, что
SO^O1 A1 R1
80~~ UA R
Поэтому, если, взявъ за центръ прямого подобія точку S и за
отношеніе подобія число Ic=R1 : R1 мы пастроимъ фигуру, подобно
расположенную съ окружностью O1 то, согласно предыдущей теорѳмѣ,
эта фигура и будетъ окружность O1. Значитъ, двѣ данныя окружности
суть фигурьі, подобно расположенныя относительно центра прямого
подобія S.
Такъ жѳ убѣдимся, что если возьмемъ параллельные радіусы OA
и O1A111 которыхъ иаправленія противоположны, и черезъ конуы
ихъ A и Z11 проведемъ прямую, то эта прямая пересѣчетъ линію
центровъ въ точкѣ F1, которую можно принять за уентръ обратнаго
подобія данныхъ окружностей.
Если радіусы R п R1 данныхъ окружностей будутъ равны, то пря-
мая AA1 не пересѣчетъ линіи центровъ; въ этомъ случаѣ нѳ суще-
ствуетъ прямого подобія, а есть только обратное.
218. Замѣчаніѳ. Вообразимъ, что лучъ подобія FZ (черт. 198)
все болѣе и болѣе отклоняется отъ линіи центровъ. Тогда точрси A и B1
въ которыхъ этотъ лучъ пересѣкается съ окружностью O1 будутъ
все болѣе и болѣе сближаться между собою; при этомъ и сходственныя
имъ точки A1 и B1 будутъ также сближаться между собою, и въ тотъ
моментъ, когда точки AnB сольются въ одну точку M1 точки Z1 и B1
также сольются въ одну точку M11 и тогда лучъ подобія сдѣлается
общею внѣшнею касательною къ данны.мъ окружностямъ. Такимъ
образомъ, обціая внѣшняя касательная к ъ 2-мъ
окружностямъ (если она существуетъ) проходитъ
черезъ центръ F ихъ прямого подобія. Такъ же
можно разъяснить, что общая внутренняя касатель-
ная къ 2-мъ окружностямъ (если она суціествуетъ)
проходитъ черезъ центръ F1 ихъ обратнаго
подо бія. Добавленіе: «если она суціествуетъ» мы должны сдѣлать
потому, что центры подобія 2-хъ окружностей существуютъ всегда
(по крайней мѣрѣ обратнаго подобія), тогда какъ обціія касательныя
сущеётвуютъ не всегда (см. замѣчаніѳ къ задачѣ § 142).
^казанное свойство общихъ касательныхъ даетъ простой способъ
ихъ построенія. Найдя центры F и F1 прямого и обратнаго подобія
двухъ окружностей (посредствомъ проведенія параллельныхъ ра-
діусовъ OA1 O1A1 и O1A111 черт. 198), черезъ каждый изъ нихъ про-
водятъ касательныя къ одной изъ двухъ окружностей; эти касательныя
должны касаться и другой окружности.
— 160 —
Г Л A B A IV.
НЪкоторыя теоремы о прспорірнашыхъ лкніяхь.
219. Теорема. Стороны угла, пересѣкаемыя рядомъ па-
раллельныхъ прямыхъ, разсѣкаются ими на пропорціональныя
части.
Пусть стороны угла ABC (черт. 199) разсѣкаются рядомъ
параллельныхъ прямыхъ: DD1,
EE1, FF1... на части:
BD, DE, EF (сторонаБС);
BD1, D1EnEF1 (сторонаВА).
Требуется доказать, что части
одной стороны пропорціональ-
ны соотвѣтствуюпщмъ частямъ
-Д ругой стороны, т.-е. что:
BD DE EF
Чѳрт. 199.
(или: BD : DE=BD1 : D1E1;
BD1 D1E1 E1F1
DE : EF=D1E1 : E1F1; и т. д.)
Проводя вспомогательныя прямыя DM, EN..., параллель-
ныя BA, мы получимъ тр-кн BDD1, DEM, EFN..., которые
всѣ подобны между собою, такъ какъ углы у нихъ соотвѣт-
ственно равны (вслѣдствіе параллелыюсти прямыхъ). Изъ ихъ
подобія слѣдуеть (197, замѣчаніе):
BD
BIU
DE
Wm
EF
'Wnz
Замѣнивъ въ этомъ ряду равныхъ отношеній отрѣзокъ DM
на D1E1, отрѣзокъ EN на E1F1,... (противоположныя стороны
параллелограммовъ равны), мы получимъ то, что требовалось
доказать.
220 • Слѣдетвіе. Двѣ прямыя (AB и A1B1, черт. 200),
пересѣкаемыя рядомъ параллельныхъ
ч р я м ы х ъ (CC1, DD1, FF1...), разсѣкаются ими
на пропорціональныя части.
— 161 —
^d1 7E1T,
Черт. 200.
Предположимъ сначала, что прямыя AB и AiBl пр парал-
лельны. Тогда онѣ обра-
зуютъ нѣкоторый уголъ.
Примѣняя къ этому углу
предыдущую теорему,. мо-
жемъ написать:
CD DE EF
CD1- D1E1- E1Fi ~
(части сторонъ угла, при-
мыкающія къ его вершинѣ, мы отбрасываемъ).
Если теперь допустимъ, что AB Il A1B1, то пропорціональ-
ность частей этихъ прямыхъ не нарушается и въ этомъ случаѣ,.
такъ какъ тогда соотвѣтственныя части не трлько пропорціо-
нальны, но и равны (CD=C1D1, DE=D1E1 и т; д.).
221. Обратная теорема. Если на сторонахъ угла QT-
ложицъ отъ вершины пропорціональныя части, то прямыя,
соединяющія соотвѣтственные концы ихъ, параллельны.
Пусть на сторонахъ угла ABC (черт. 201) отложены оть
вершины
на сторонѣ BC части: BD, DE ,
на сторонѣ BA части: BD1, D1E1...',
и пусть части одной стороны пропорціональны частймъ другой
стороны, т.-е.: - - -
BD ОЕ__
BD1 D1E1
Требуется доказать, что прямыя DD1, EE1... панял.ттельны.
Предположимъ, что эти пря-
мыя непараллельны. Тогда,
проведя черезъ точку E
прямую, параллельную DD1
(77), мы получимъ нѣкоторую
линію, нё сливающуюся съ
EE1; пусть это будетъ прямая
EE11. Согласно прбдыдущей
теоремѣ, мьгбудемъ имѣть:
BD DE
шгъжкт по условш:
BD
DE
BD1 D1E1
Ii
— 162 —
Слѣд., D1E11=D1E1, что при нашемъ предположеніи невоз-
можно; значитъ, нельзя допустить, чтобы прямыя DD1 и EE1
быйи нёдараллельны; остается принять, что DD1 Il EE1.
222. Тёорема. Двѣ параллельныя прямыя (MN и M1N1,
черт. 202), рер&сѣкаемыя рядомъ прямыхъ. (ОА, OB, OC, ....),
исходящихѵизъ одной и той же точки (0), разсѣкаются ими
на пропорціональныя части.
Требуетсд доказать, что части: AB, BC, CD,... прямой MNпро-
пордіональны частямъ A1B1,
RiC1, C1D1... прямой M1N1.—
Изъ подобія тр-ковъ OAB и
OA1B1 (196), затѣмъ тр-ковъ
OBC и OB1C1 выводимъ:
AB BO BO BC
A1B1- B1OliIWO B1C1'
Откуда:
AB
BC
A1B1 B1C1
доказывается пропорціональность
т
P
Черт. 202.
Подобнымъ же образомъ
и прочихъ частей.
223. Задача. Раздѣлить отрѣзокъ прямой
AB (черт. 203) на три части пропорціонально
р я-д у W; п :р, гдѣ т, п и р суть дааные
отрѣзки прямой, или данныя числа.
Проведя неограниченную пря-
мую AC подъ произвольнымъ
угломъ къ AB, отложимъ на
ней отъ точки A части, равныя
B прямымъ т, п к р. Точку F,
составляющую конедъ р, соеди-
няемъ съ B и черезъ точки отло-
женія дроводимъ прямыя, па-
раллельныя BF. ТогдаАВраздѣ-
лится въ точкахъ D и F на части,
Черт. 203. пропорціональныя т:п:р (219).
Если т, п и р'означаютъ какія-нибудь числа, напр., 2, б, 3,
то построеніе выполняется такъ же, съ тою разницей, что на AC
откладываются отрѣзки, равные 2, 5 и 3 произвольнымъ едини-
дамъ длины.
— 163 —
Конечно, указанное построеніе примѣнимо къ дѣленію не
только на 3 части, но и на какое угодно иное число частей.
224. Задача. Къ тремъ даннымъ отрѣзкамъ
четвегітыи
H .
4
н
П P O П O р-
Ч
Черт. 204.
прямой а, Ъ и с найти
ціональный (черт. 204),
т.-е. найти такой отрѣзокъ
прямой х, который удовле-
творялъ бы пропорціи: а :Ъ=
=с : х.—Ha сторонахъ про-
извольнаго угла ABC откла-
дываемъ части: BD=а, ВЕ=Ъ,
DE=C. Соединивъ затѣмъ D
и F, проводимъ EG || DF. От-
рѣзокъ FG будетъ искомый
(219) *).
225. Задача. Ha б е з к о-
нечной прямой MN'
(черт. 205) найти точки, которыхъ разстоянія
отъ двухъ данныхъ точекъ A и B этой пря-
мой относились бы, какъ т : п (тип или данные
отрѣзки прямой, или данныя числа).
Черезъ A и B проводимъ какія-нибудь двѣ параллельныя
прямыя и на нихъ откладываемъ АС=т и BD=BE=U (если
т и п числа, напр., т=3, п=2, то мы возьмемъ отрѣзокъ AC,
равный 3 какимъ-ни-
будь единицамъ дли-
ны, а отрѣзки BD и
BE, равные 2 такимъ
же единицамъ). За-
тѣмъ проведемъ пря-
мыя черезъ точку C
и каждую изъ точекъ
EnD. Очевидно, ка-
ковы бы ни были т и
п, прямая CE всегда
пересѣчется съ MN
*) Отрѣзокъ с можно откладывать, такъ же какъ и а, отъ вершины
угла В\ тогда и отрѣзокъ х отложится тоже отъ этой вершины. При
такомъ построеніи пропорці^а : Ъ = с : х выводится изъ подобія тр-ковъ
— 164 —
въ нѣкоторой точкѣ F; прямая же CD пересѣчется съ MN только
въ томъ случаѣ, если тфп, причемъ точка пересѣченія G будетъ
лежать направо отъ B, если UiJn (какъ у насъ іга чертежѣ),
шш налѣво отъ А, если тКп. Докажемъ, что точки FnG удо-
влетворяютъ требованію задачи. Дѣйствительно, изъ подобія
треугольннковъ ACF и FBE, а затѣмъ изъ подобія тр-ковъ
ACG п BDG находимъ:
FA : FB=AC : ВЕ=т : п
GA : GB=AC : BD=Ui : п..
Кромѣ этихъ двухъ точекъ на прлмой MN нѣтъ ни одной точки
удовлетворяюціей треСованіЮ задачи, Дѣйствительно, если точку F
(черт. 206) передвинемъ ближе къ A1 то FA уменыиится, а FB уве-
личится, потому стпошеніе FA : FB уменьшится; если жѳ точку F
mHT0" F0 d, ПП н
Черт. 206.
перемѣстимъ ближе къ B1 то FA увеличится, а FB уменьшится, и
погэму отношеніе FA : FB увеличится. Значитъ, между Au B1 кромѣ
точки F1 не можетъ суцлествовать никакой другой точки, разстоянія
которой отъ AnB относились бы между собою, какъ т : п.
Возьмемъ теперь какую-нибудь точку Cr1, лежаціую между BnG1U
допустимъ, что
G1A : G1B = GA : GB = Yn : п.
Чтобы доказать невозможность этой пропорціи, составимъ изъ
нея слѣдующую производную пропорцію:
(G1A-G1B) : G1B=(GA-GB) : GB1
т.-е. AB : G1B=AB : GB;
Откуда получимъ: G1B = GB.
Такъ какъ это равенство невозможно, то значитъ, невозможна и
допущенная нами пропорція, и потому нельзя допустить, чтобы между
AnG существовала какая-нибудь точка, удовлетворяющая требо-
ваніямъ задачи. -Такъ же можно доказать, что никакая точка G21
лежаціая направо отъ G1 ые можетъ удовлетворить этимъ требованіямъ.
Наконецъ, если возьмемъ какую-нпбудь точку K1 лежащую на»
лѣво отъ A1 то для нея, очевидно, KAKKB1 п потому отношеніе
ЦА : KB меньше 1 иг слѣд., оно не можетъ равняться отношенію
— 165 —
ш : п, которое больше 1 при тп>п (если т<п, то точка G будетъ
находиться налѣво отъ A1 а направо отъ B не будетъ ни одной точки,
удовлетворяющей задачѣ).
Замѣчаніе. 1°. Когда т=п, существуетъ только одна
точка (лежащая на серединѣ между 4 и В), которая удовлетво-
ряетъ требованію задачи, такъ какъ разстоянія какой-нибудь
другой точки прямой MN отъ точекъ A и B не могутъ быть
равными.
2°. O точкахъ F п G, удовлетворяющихъ пропорціи
FA : FB=GA : GB=Tn : п, говорятъ, что онѣ дѣлятъ въ дан-
номъ отношеніи тп : п отрѣзокъ AB (черт. 205) в нутрен-
нимъ и внѣшнимъ образомъ (точкаFвнутреннимъ,
а точка G внѣшнимъ); говорятъ также, что точки FnG дѣлятъ
отрѣзокъ AB гармонически.
226. Теорема. Биссектрисса любого угла треугольника,
какъ внутренняго, такъ и внѣшняго, пересѣкаетъ противопо-
ложную сторону или ея продолженіе въ такой точнѣ, которой
разстоянія отъ концовъ этой стороны пропорціональны соотвѣт-
ственно другимъ сторонамъ треугольника.
Пусть (черт. 207) BD есть биссектрисса внутренняго, а BD1—
биссектрисса внѣшняго угла тр-ка ABC. Требуется доказать,
что точки D п D1 дѣлятъ сторону AC внутреннимъ и внѣшнимъ
образомъ на части, пропорціональныя сторонамъ BA п BC,
т.-е., что:
оРА_ВА о D1A_ BA
DC-Bc"' 2^dJc- вс
Черезъ верпшну C проведемъ EE1 Il AB до пересѣченія съ обѣими
биссектриссами (80,1°). Тр-ки ABD п DEC подобны (углы при D
равны, какъ вертикальные, уг. 1=уг. 5, какъ углы внутр.
накрестъ лежащіе при параллельныхъ); точно такъ же подобны
тр-ки ABD1 п CE1D1. Изъ подобія ихъ находимъ:
DA _ BA D1A _ BA
Idc-~ес Dfi-CE1
Чтобы перейти отъ этихъ пропорцій къ тѣмъ, которыя требуется
доказать, достаточно убѣдиться, что EC=BC п CE1=BC. Такъ
— 166 —
ісакъ уг. 2=уг. 1 (по условію) и уг. 5=уг. 1 (какъ внутренніе
накрестъ лежащіе при параллельныхъ), то уг. 2=уг. б, и потому
въ AEBC стороны EC и BC равны; съ другой стороны, уг.
3 =уг.4 (по условію) и уг.6 =уг.4 (какъ углы внутр. накр. лежащіе
при параллель-
ныхъ); значитъ уг.
3=уг. 6, и потому
въ Д BCE1 стороны
CE1 и BC равны.
Замѣнивъ теперь
Dt въ пропорціяхъ [1 ]
и [2] отрѣзки E C
и CE1 на BC, полу-
/'' Черт. 207. ЧИМЪ тѣ пропор- '
E ціи, которыя тре-
бовалось доказать.
Чиеленный примѣръ. Пусть АВ=ю, BC=7 и
AC=6. Тогда биссектриссы BD и BD1 опредѣляютъ точки D и D1,
которыхъ разстоянія отъ AvC можно найти изъ пропорціи:
DA 10 D1A 10
DC 7Я D1C 7 '
DA+DC 17 D1A-D1C 3
777 = ~ И =г—. = —
откуда:
DA
10
и
D1A
10’
6
17
6 3
т.-е.
DA
10
и
D1A 10’
60
9
60
значитъ:
ій
Ii
= 3
Tl
I CO
II
S
= 20
Замѣчаніе. Для биссектриссы внѣшняго угла тр-ка теорема
не примѣнима въ томъ случаѣ, когда этотъ внѣшній уголъ лежитъ
при вершинѣ равнобедреннаго тр-ка. Дѣйствительно,
легко доказать, что въ этомъ случаѣ (если AB=BC, черт. 207)
биссектрисса BD1 параллельна AC.
227. Обратная теорема. Если прямая, исходящая изъ
вершины треугольника, пересѣнаетъ противоположную сторону
(или ея продолженіе) въ такой точнѣ, которой разстоянія до
концовъ этой стороны пропорціональны соотвѣтственно двумъ
— 167 —
другимъ сторонамъ, то она есть биссектрисса угла треуголь-
ника (внутренняго или внѣшняго).
Пусть D и D1 (черт. 208) двѣ точки, удовлетворяющія про-
порціямъ: ' _
DA _ BA D1A _ BA .< VJ
тйс~1ю^'
Требуется доказать, что прямыя BD и BD1 дѣлятъ пополамъ:
первая внутренній, а вторая внѣшній уголъ тр-ка ABC.
Проведя черезъ точку C іпрямую EE1 Il AB, найдемъ изъ по-
добія треугольниковъ: , J
DA _ BA D1A _ BA ' 1
DC-FC Dj- CE1 : ■ '
Сравнивая пропорціи [3] съ [1] и [4] съ [2], находимъ: .
EC=BC и CE1=BC. - ч ^
Поэтому въ тр-кѣ BEC равны уГлы 2 и 5, а въ треугольникѣ
BE1C равны углы 3 и 6; но уг. 5=уг. 1 (какъ внутренніо накр.
лежащіе при пар.) и уг. 6=уг. 4 (по той же причинѣ).;:.слѣд.,
уг. 2—уг. 1 и уг. 3—уг. 4, т.-е. BD и BD1 суть биссектриссы.
228. Тѳорема. Геометрическое мѣето точекъ, которыхъ разстоянія отъ
двухъ данныхъ точекъ A и B находятся въ постоянномъ отношеніи т : п,
есть онрушность, когда т не равно п, и прямая, когда т=п.
Предположимъ сначала, что т не равно п. Тогда на безконечной
прямой, проходящей черезъ AnB (черт. 209), можно найти двѣ точки
принадлежаціія искомому геометрическому мѣсту (225). Пусть это
будутъ точки C п C11 т.-е.
CA : CB = ж : п и C1A : C1B = Tn : п.
— 168 —
Предположимъ теперь, что существуетъ ещѳ какая-нибудь точка M1
нѳ лѳжащая на прямой AB и удовлетворяющая пропоруіи:
MA : МВ = т : п.
Проведя CM и MC11 мы должны заключить (227), что первая изъ
етихъ прямыхъ есть биссектрисса угла AMB1 а вторая—биссектрисса
угла BMN; вслѣдствіе этого уголъ C MC11 составленный изъ двухъ
половинъ смеж-
ныхъ угловъ, долженъ быть
прямой, а потому вершина
егч> M лежитъ на окруж-
ности, описанной на CCll
какъ на діаметрѣ. Такимъ
образомъ, мы дОказали, что
всякая точка M1 принадле-
жащая искомому геометри-
ческому мѣсту, лежитъ ріа
окружности CC1. Теперь
докажемъ обратное пред-
ложеніе, т.-'е., что всякая
точка этой окружности принадлежитъ геэметрическоіѵіу мѣсту.
Пусть M есть произвольная точка этой окружности. Требуется
доказать, что MA : МВ = т : п. Проведя черезъ B прямую ВЕ\\ AM1
Оудемъ имѣть слѣдующі^ пропорціи:
MA : BD = C1A : C1B = Tn : п; (1)
MA : BE= CA : СВ = т : п. (2)
Откуда BD = BE1
т.-е. точка B есть середина прямой DE. Такъ какъ уголъ CMC1 впн-
санный и одирается на діаметръ, то онъ прямой; поэтому /^DME
прямоугольный. Вслѣдствіё этого, если середину B гипотенузы DE
примемъ эа центръ и опишемъ окружность, то эта окружность пройдетъ
черезъ ІИ;'значитъ, BD = MB. Подставивъ теперь въ продорцію (1)
на мѣсто BD равную ей прямую MB1 будемъ имѣть:
MA : МВ = т : п.
Когда Tn = Tii разсматриваемое геометрическое мѣсто, очевидно, обра-
щается въ прямую, перпендикулярную къотрѣзку AB въ его серединѣ.
Замѣчаніе. Окружность, о которбй говорится въ этой теоремѣ, *
извѣстнаподъ названіемъ Аполлоніевой окружности (Аполлоні й—
греческій геометръ, жившій за 2 вѣка до Р. Xp.).
— 169 —
Г Л A B A V. ,
Чнсловыя зависимости между элемектзмн треуголь-
ника и нйшорыхъ другихъ фигуръ.
229. Теорема. Въ прямоугольномъ треугольнинѣ перпендику-
ляръ, опущенный изъ вершины прямого угла на гйлотенузу,
есть средняя пропорціональная между отрѣзками гипотенузы,
а каждый катетъ есть средняя пропорціональная между гипо-
тенузой и прилежащимъ къ этому катёту отрѣзкомъ.
Пусть AD (черт. 210) -есть перпендикуляръ, опущенный изъ
верпшны прямого угла A на гипотенузу BC. Требуется доказать
слѣдующія три пропорціи:
о BD _ AD о ВС_АВ о BC _ AC
Td- ~Бс',2°' ~ав ~ Idb ^ Jac-Wc
Первую пропорцію мы до-
кажемъ изъ подобія тр-ковъ
ABC и ADC, у которыхъ AD
общая сторона. Эти тр-ки по-
добны, потому что острые углы,
обозначенные на чертежѣ однѣ- R
ми и тѣми же цыфрами, равны
вслѣдствіе перпендикулярности
ихъ сторонъ (86, 87). Возьмемъ въ AABD тѣ стороны BD и AD,
которыя составляютъ первое отношеніе доказываёмой пропорціи;
сходственными сторонами въ AADC будуть AD и DC; поэтому:
BD : AD=AD : DC.
Вторую пропорцію докажемъ изъ подобія тр-ковъ ABC и
ABD, у которыхъ AB общая сторона. Эти тр-ки подобны, потому
что они прямоугольные, и острый уголъ B у. нихъ общій. Въ
AABC возьмемъ тѣ стороны BC и AB, которыя составлдютъ
первое отношеніе доказываемой пропорціи; сходственнымй сто-
ронами въ ДABD будутъ AB и BD; поэтому:
BC : AB=AB -.BD
Третью пропордію докажемъ изъ подобія тр-ковъ ABQ и ADC
у которыхъ AC общая сторона. Эти тр-ки подобны, пртоМу что
'они оба прямоугольные и имѣютъ общій острый уголъ С. Въ
— 170 —
AABC возьмемъ стороны BC и AC; сходственными сторонами
въ AABC будутъ AC и DC; поэтому:
BC; AC=AC : DC.
230. Слѣдетвіе. Пусть A (черт. 211)есть произвольная
точка окружности, описанной на діаметрѣ BG. Соединивъ концы
діаметра съ этою точкою, мы по-
лучимъ прямоугольный тр-къ ABC,
у котораго гицотенуза есть діа-
метръ, а катеты суть хорды. При-
мѣняя доказанную выше теорему къ
этому треугбльнику, приходимъ
Чѳрт. 211. къ слѣдующему заключенію:
Перпендикуляръ, опущенный изъ какой-либо точни онружности
на діаметръ, есть средняя пропорціональная между отрѣзками
діаметра, а хорда, соединяющая эту точку съ концомъ діаметра,
есть средняя пропорціональная между діаметромъ и прилежа-
щимъ къ хордѣ отрѣзкомъ его.
231. -Задача. Построитр среднюю пропорціо-
нальную междудвумяконечными прямыми
а и Ъ.
Лредыдущее слѣдствіе позволяетъ рѣшить эту задачу двоя-
кимъ путемъ.
прямой (черт. 212) откладываемъ
части AB =а и BC=Ъ; на
AC, какъ на діаметрѣ, описы-
ваемъ полуокружность; изъ B
возставляемъ до пересѣченія
съ окружностью перпендику-
ляръ BD. Этотъ перпендику-
ляръ и есть искомая средняя про-
порціональная между AB и BC.
Ha произвольной прямой (черт. 213) откладываемъ отъ
точки A части а и Ъ. Ha болыней изъ
этихъ частей описываемъ полуокруж-
ность. Проведя нзъ конца меныпей
части перпендикуляръ къ AB до
пересѣченія его съ окружностью въ
точкѣ D, соединяемъ A съ D. Хорда
AD есть средняя пропорціональная между а и Ъ.
Ha произвольной
— 171 —
232. Теорема. Если стороны прямоугольнаго треугольника
измѣрены одною единицею, то квадратъ числа, выражающаго
гипотвнузу, равенъ суммѣ квадратовъ чиселъ, выражающихъ
катеты.
Пусть ABC (черт.214) Д
есть прямоугольный тре-
угольникъ и AD пер-
пендикуляръ, опущен-
ный на гипотенузу изъ
вершины прямого угла.
Тогда, какъ было дока-
занб (229),
BC : AB=AB : BD
и BC : AC=AC : DC.
Когда стороны даннаго треугольника и отрѣзки гипотенузы
выражены числами, томы можемъ примѣнить къ этимъ
пропорціямъ свойство числовыхъ пропорцій, по KOTO-
рому произведеніе среднихъ членовъ равно произведенію край-
нихъ:
AB2=BC . BD и AC2=BC . DC.
Сложивъ этн два равенства, получимъ то, что требовалось
доказать:
AB2+Ac2=BC(BDJBC)=BC . BC=BC2.
Эту теорему обыкновенно выражаютъ сокращенно такъ:
Квадратъ гипотенузы равенъ суммѣ квадратовъ катетовъ.
Примѣръ. Положимъ, что ватеты,измѣренные какою-нибудь
линейною единицею, выражаются числами 3 и 4; тогда гипоте-
нуза въ той же единидѣ выразится числомъ х, удовлетвс ряющимъ
уравненію: ж2=32+42=9+1б=25; рткуда: х=Ѵ25=5 *).
233. Численныя примѣненія. Пусть а,Ъ,с, Ь, Ь'ис'
(черт. 214) будутъ числа, выражающія въ одной и той же еди-
ницѣ стороны, высоту и отрѣзки гипотенузы прямоугольнаго
гр-ка АВС. Ha основаніи предыдущихъ теорэмъ мы можемъ
вывести слѣдующія 5 уравненій, связывающія эти 6 чиселъ:
с2=ас'; Ъ2=аЪ'; H2=Vc'; Ъ'+с'=а; Ь2+с2=а2, :
*) Cm. ниже § 323 о «Пиѳагоровыхъ» треугольникахъ.
— 172 —
йзъ этихъ уравненій только первыя дотыре самостоятельны,
а послѣднее состдвляетъ слѣдствіе двухъ первыхъ; вслѣдствіе
этого уравненія познолящтъ по даннымъ двудоъ изъ щестичиселъ
находить остальныя четыре.
Для примѣра положимъ, что намъ даны отрѣзки гипотенузы:
Ь'=5 метрамъ и с'=7 метр.; тогда:
а=Ъ'+с’ = 12; C=Yaci=V 12 . 7 =/"84=9,165... :
b =Vab'=V 12 . 5 =V 60=7,745...
к=ѴѴс'=Ѵъ . I=V35=5,916...
234. Слѣдетвіе. Квадраты катетовъ относятся между
собою, какъ прилежащіе отрѣзки гипотенузы. ДѢЗствительно,
изъ уравненій предыдущаго параграфа находимъ;
с2 : Ъ2=ас' : аЪ’=с’ : Ъ'.
235. Замѣчаніе. Въ послѣдующихъ теоремахъ мы будемъ
сокращенно говорить: «квадратъ стороны» вмѣсто: к в а д р а^г ъ
числа, выраж а к> щаго сторону, или «произве-
деніе прямыхъ» вмѣсто: произведеніе чиселъ.вы-
ражающ и х ъ п р я м ы я. При этомъ будемъ подразумѣ-
вать, что прямыя измѣрены одною и тою же единицею,..
236. Теорема. Bo всякомъ треугольникѣ квадратъ сто-
роны, лежащей противъ остраго угла, равенъ суммѣ квадратовъ
двухъ другихъ сторонъ безъ удвоеннаго произведенія какой-ни-
будь изъ этихъ сторонъ на отрѣзокъ ея.отъ вершины остраго
угла до высоты.
Пусть BC есть сторона тр-ка ABG (черт. 215 или 216), лежа-
щая противъ остраго угла А, n BD высота, опущённая на какую-
лйбо изъ остальныхъ сторонъ, напр.» на AC (или на продолженіе
AC). Требуется доказать, что ,
. : . BCi=AB2A-AC2-SAC . AD.
Изъ нрямоугольнаго тр-ка BDC- выводимъ:
BC2=BD2IDC2
[1]
— 173 —
• Опредѣлимъ каждый изъ квадратовъ BD? и DC2. И&ъ прямо-
угольнаго тр-ка BAD находимъ величину BD2, а именно:
BD2=AB2-AD2. [2]
г. Черт. 215. Черт;. 216.
Оъ другоЙ стороныіЖ^АС—AD (яерт. 215) или DC=AD—AC
(черт. 216). Ёъ ббоихъ случаяхъ для DC2 получимъ одно и то же
выраженіе:
- ' DC2=JC—ADYz=AC2-ZAC . ADA-AD2 V . ..
DC2=JD-ACf=AD2—ZAD . ACA-AC2 / [
Тейерь равенство [1] можно гіереписать такъ:
BC2=AB2-Ad2A-AC2-ZAC . ADA-AD2. ■
Это равенство, послѣ уничтоженія подчеркнутыхъ члевовъ
—AD2 и A-AD2, и есть то самое, которое требовалось доказать.
Замѣчаніе. Теорема эта остается вѣрною и тогда, когда
уголъ C щіямой; тогда отрѣзокъ CD обратится въ н у л ь, т.-е.
AcC сдѣЛаётся раёною AD, и мы будемъ имѣть:
BC2=AB2A-AC2-ZAC2=AB2-AC2,
что согласуется съ теоремою о квадратѣ гипотенузы (232).
237. Теорема. Въ тупоугольномъ треуГольникѣ квадратъ
стороны, лежащей противъ тупого угла, равенъ оуммѣ квадра-
товъ двухъ другихъ сторонъ, сложенной съ уД&оеннымъ произ-
веденіемъ какой-нибудь йзъ этихъ сторонь на отрѣзокь ея
продолженія отъ вершины тупого угла до высоты.
— 174 —
. Пусть. AB есть сторона тр-ка ABC (черт. 217), лежащая про-
тивъ тупого угла, C и BD—высота, опущенная на какую-либо
изъ остальныхъ сторонъ; требуется доказать, что
AB2=AC2+BC2+2AC . CD.
' J Изъ прямоугольныхъ тр-ковъ ABD
К. и CBD выводимъ:
Ys. AB2=BD2IAD2; [1]
\ \ BD2=BC2-CD2. [2]
N1 Xv Ho AD2=(AClCD)2=
J XrN X . =АС2+2АС . CDlCD2. [3]
Замѣнивъ въ равенствѣ [1] BD2
Чѳрт. 217. и AD2 ихъ вкраженіями изъ ра-
венствъ [2] и [3], найдемъ:
AB2=BC2—CD2IAC2IzAC . CDlCD2.
Такъ какъ подчеркнутые члены—CD2 и +CD2 взаимно уничто-
жаются, то это равеество и есть то, которое требовалось доказать.
238. Слѣдствіе. Изъ трехъ послѣднихъ теоремъ выю-
димъ, что квадратъ сторовы треугольника равенъ, меньше нли
больше суммы квадратовъ другихъ сторонъ, смотря по тому,
будеть ли противолежащій уголъ прямой, острый или тупой;
отсюда слѣдуетъ обратвое предложеніе (51):
Уголъ треугольнака окажется прямымт»,
острымъ или тупымъ, смотря по тому, бу-
детъ лц квадратъ противолежащей сто-
роны равевъ, меньше или болыпе суммы
квадратовъ другихъ сторонъ.
Примѣръ. Стороны тр-ка равны:
1) б, 3, 4. Такъ какъ 52=32+42, то уголъ, лежащій противъ
стороны 5, п р я м о й.
2). 8, 4, 7. Такъ какъ 82<42+72, то уголъ, лежащій противъ
стороны 8, о с т р ы й.
3) 8, 4, 5. Такъ какъ 82>42+52, то уголъ, лежащій противъ.
стороны 8, т у п о й.
— 175 —
239. Теорема. Сумма квадратовъ діагоналей параллело-
грамма равна суммѣ квадратовъ его сторонъ.
Изъ всрлшнъ BzC (черт. 218)
параллелограмма ABCD опу-
стимъ на основаніе AD перпен-
дикуляры BE и CF. Тогда изъ
тр-ковъ ABD Z ACD находимъ:
BD2=AB2IAD2—ZAD . AE;
Ac2=AD2ICD2IZAD . DF.
Черт. 218.
Прямоугольные тр-ки ABE и DCF равны, такъ какъ они
имѣютъ по равной гипотенузѣ и равному острому углу; поэтому
AE=DF. Замѣтивъ это, сложимъ два выведенныя выше равен-
ства; .тогда подчерхнутые члены взаимно уничтожатся; и мы
получимъ:
’Bd2Iac2=Ab2Iad2A-AD2ICD2=AB2IAD2A-
A-BC2A-CD2.
$
240. Вычиеленіе выеотъ треугольника по ѳго
сторонамъ. Если всрлины тр-ка обозначеныболыпимибук-
вами А, B а Cy то численныя величины сторонъ этого тр-ка
обыкновенно обозначаютъ соотвѣтствевными малыми буквами
а, Ь и с, причемъ буквою а обозначаютъ ту сторову, которая
лежитъ противъ угла А, буквою Ь—ту сторону, которая лежитъ
противъ угла В, и т. д. Численную величину высоты тр-ка обык-
новеено обозначаютъ буквою h (первая буква французскаго
Черт. 219.
Черт. 220.
слова hauteu г—высота), сопровождаемою (внизу) одною
пзъ малыхъ буквъ: а, Ъ и с. Такъ, высота, опущенная на сторону
— 176 —
а, обозначаетея Ka, высота, опущенная на сторону Ь, обозна-
чается Ьь, и т. д.
Опредѣлимъ Ka (черт. 219 и 220) въ зависимостн оть сторонъ
тр-ка. ОбознаЧВмъ отрѣзки стороны а (продолженной въ случаѣ
тупого угла С, черт. 220) такимъ образомъ: отрѣзокъ BD, прп-
лежащій къ сторонѣ с, черезъ с', а отрѣзокъ DC, прилежащій
къ сторонѣ Ъ, черезъ b'. Пользуясь теоремою о квадратѣ стороеы
тр-|са, ледсащей противъ остраго угла (236), можемъ написать:
Послѣ этого изъ тр-ка ABD опредѣляемъ высоту, какъ катетъ:
Такимъ же путемъ можно опредѣлить въ завпсимостп отъ
сторонъ тр-ка численныя величивы Jib и Ьс высотъ, опущенныхъ
на стороеы Ъ и' с. -
241. Вычисленіѳ медіанъ трѳугольника по его
сторонамъ. Численная велпчинамедіаяытр-каобыкновенно
Ь2=а2+с2—Zac .
Изъ этого уравненія находимъ отрѣзокъ с:
а2+ с2—Ь2
/ 1
обозначается буквою т (начальной бук-
вой слова median е—средняя), со-
провождаемою (внизу) одною изъ ма-
C ленькихъ буквъ а.Ьвсвъ завпспыоств
'« \ - огъ.стороны тр-ка, къ которой прове-
дева обозначаемая медіана. Опредѣлішъ
C
-тВ величину та медіаны, проведенной къ
// сторонѣ а (черт. 221). Для этого про-
должимъ медіану ва разстояніе DE=AD
и соединимъ точку E прямыми съ B н С.
Тогда мы получимъ параллелограммъ
ABEC (101). Бримѣнивъ кънему теорему
о суммѣ квадратовъ діагоналей (239),
получимъ:
Черт. 221
а2+(2та)2=2Ь2+2са; откуда: Lmh2=Zb2IZc2-Oi
«*) Ниже, въ § 318. будетъ дана болѣе простая формула для высоты.
— 177 —
и, слѣд.: тл=-уг2Ъ2-{-2с2—а2.
2 -
Подобнымъ же образомъ можемъ найти величины т. и т,
медіанъ, проведенныхъ къ сторонамъ Ъ и с.
242. Теорема Птоломея. *) Произведеніе діагоналей
вписаннаго выпуклаго четыреугольника равно суммѣ произведе-
ній противоположныхъ сторонъ его.
Пусть AC и BD суть діагонали вписаннаго выпуклаго четыре-
угольника (черт. 222); требуется доказать, что
AC . BD=AB . CDlBC . AD,
гдѣ подъ обозначеніями AC, BD и пр. разумѣются ч и с л а,
измѣряющія діагонали и стороны въ одной и той же линейной
единицѣ.
Чѳрт. 222. Черт. 222а.
Поетроимъ уголъ ВАЕ, равный углу DAC (меньшему изъ
двухъ угловъ, на которые уголъ A дѣлится діагональю AC);
пусть E будетъ точка пересѣченія стороны этого угла съ діаго-
налью BD. Тр-ки ABE и ADC (покрытые на чертежѣ штрихами)
подобны, такъ какъ у нихъ углы BzC равны, какъ вписанные,
опирающіеся на одну и ту же дугу AD, а углн при общей вер-
пшнѣ A равны по лостроенію. Изъ подобія этихъ тр-ковъ выво-
димъ:
AB : AC=BE : CD; откуда: AC . BE=AB . CD.
Разсмотримъ теперь другую лару тр-ковъ, а именно: ABC и
AED (тр-ки эти на черт. 222,« покрыты штрихами). Они подобны,
*) Клавдій Птоломей извѣстный астрономъ, жившій
въ Александріи во 2-мъ вѣкѣ по Р. Xp.
А. Кяселевъ. Геометрія.
12
— 178 ^
такъ какъ у нихъ углы BAC и DAE равны, какь суммы соот-
вѣтственно равныхъ угловъ, а углы ACB и ADB равны, какъ
вписанные, опирающіеся на одну и ту же дугу AB. Изъ ихъ
подобія слѣдуетъ:
BC : ED=AC : AD; откуда AC . ED=BC . AD.
Сложивъ полученныя два равенства, находимъ:
AC(BElED) =AB .CD IBC .AD,
т.-е. AC . BD=AB . CDlBC . AD.
Замѣчаніе. Подобнымъ же сбразомъ можно было бы до-
казать, что если выпуклый четыреугольникъ не вяисанный,
то въ немъ пройзведеніе діагоналей мевьше суммы произ^е-
деній протнвопбложныхъ сторонъ; поэтому теорема, обратная
Птоломеевой, вѣрна.
243. Задача. По даннымъ радіус-у Rn двумъ
хордамъ а,и Ъ окружности вычисдгить длину
третьей хорды, которая стягйваетъ дугу,
равную: 1°, суммѣ дугъ, стягиваемыхъ
хордами о и Ъ, 2°, разности этихъ дугъ.
1°. Пусть хорда а (черт. 223) стя-
гиваетъ дугу MN, а хорда Ь—дугу
NP; требуется вычислить хорду
MP = х, которая стягиваетъ дугу
MNP, равную с у м м ѣ дугъ MN
и NP.—Проведя черезъ точку N, въ
которой сходятся данныя хорды
а и Ь, діаметръ NQ, соединимъ Q
прямыми съ точками M и Р. Тогда
мы получимъ вписанный четыре-
угольникъ, у котораго діагоналями
служатъ: MP=х и NQ=ZR. Тр-ки QMN и QNP прямоуголь-
ные, первый при вершинѣ М, второй—при вершинѣ P (173);
поэтому:
MQ=VNQ2-MN2=VrLR2-O?, ■
PQ=V NQ2—NP2=V LR2-V.
Примѣнивъ теперь теорему Птоломея, получимъ уравненіе:
2R . х=аѴ LR2-VlbVLR2-JW2,,
изъ котораго найдемъ х (раздѣливъ обѣ чаети уравненія на ZR).
Чѳрт. 223.
— 179 —
2°. Пусть хорда а (черт. 224) стягиваетъ дугу MN, а хорда
Ъ—дугу NP; требуется вычислить хорду MP=х, которая стя-
гиваетъ дугу, равную разности дѵгъ MN и NP.
Проведя снова черезъ точку N,
въ которой сходятся 2 данныя хор-
ды, діаметръ NQ и соединивъ Q
съ M и Р, получимъ вписанный
четыреугольникъ. Изъ прямоуголь-
ныхъ тр-ковъ QMN и QPN находимъ:
MQ=V NQ2-MN2=V 4 R2-O2,
и PQ=V NQ*—PN2=V LR2-V.
Примѣнивъ теорему Птоломея, получимъ уравненіе:
аѴ LR2-V= 2 RxlbV LR2-O2,
изъ котораго опредѣлимъ х.
Замѣчаніе. Задачу эту можно высказать и такъ: п о
двумъ даннымъ сторонамъ а и Ъ треуголь-
ника и радіусу R описанной около него
окружности вычислить третью сторону
этого треугольника. Задача эта вообще имѣетъ
2 рѣшенія, потому чтопрямыя а и Ъ могутъ быть отложены или
по разныя стороны отъ діаметра ІѴф(черт. 223),илипооднуиту
жѳ сторону отъ него (черт. 224). Если бблыпая изъ двухъ данныхъ
сторонъ равна 2Rt то получается одно рѣшеніе, а если эта сто-
рона превосходитъ ^Rt то задача невозможна.
244. Теорѳма. Отношеніе діагоналей вписаннаго выпуклаго четыре-
угольника равно отношенію суммы произведвній сторонъ, сходящихся въ кон-
цахъ пврвой діагонали, въ суммѣ произведеній сторонъ, сходящихся въ кон-
цахъ второй діагонали.
Обозначимъ численныя величины сторонъ
вписаннаго выпуклаго четыреугольника ABCD
(черт. 225) буквами а, Ъ, с и d и его діаго-
налей буквами ж у. Докажемъ, что
х Cid-Pbc
у ^ab-Pcd
Тр-ки AFB и FDC (покрытые штрихами) по-
добны, такъ какъ углы одного соотвѣтственно
Черт. 224.
-- 180 —
равны угламъ другого; по той жѳ причинѣ подобны и тр-ки ADF
и FEG. Изъ ихъ подобія выводимъ:
а _ AF BFt
с ~1Л~иЕ; M
d _ DF AF
Ъ “ CF^ BF И
Ивъ этихъ пропорцій находимъ:
AF=-Z. HF; DF = Z. CF.
C 0
Откуда: AF-. (Al. Ср) =Z. CF
и, слѣд.: X=AC = AFl-CF=-Z' Ср+СР=(^+ l) Cf.
т..ѳ< X=ZZZ. CF. [3]
OC
Пользуяеь тѣми же равенствами [і] и [2], получимъ:
V=-BD = BFA-DF CFE-J-. CF= (-J +-^) . CF,.
abPcd ■„ г .
т-'ѳ- ѵ^~ъГ~' ср- W
Раздѣливъ равенство [3] на [4], получимъ ту пропорцію, которую
требовалось доказать (Ьс и CF сократятся).
245. Вычисленіе діагоналей вписаннаго четыреуголь-
ника HO его сторонамъ. Пользуясь теоремой Птоломея и
теоремой объ отношѳніи діагоналей вписаннаго четыреугольника, мы
лѳгко можемъ вычислить отдѣльно каждую его діагоналъ, если из-
вѣстны всѣ стороны, Такъ, для чертежа 225-го мы будемъ имѣть:
х adpbc
Xy = Cicpbd; —- = -г“—>•
9 1 ’ ! у abpcd-
Если ѳти 2 равенства почленно переімножимъ и затѣмъ почленно
раздѣлимъ, то получимъ (по извлеченіи квадратнаго корня):
(ас-рЬй)(ай + Ъс)' Ѵ=|/Г(acpbd) (abpcd)
V Cili-Pcd ’ V аі-рЬс
Замѣтимъ для памяти, что въ числителѣ подкоренной величины
первый множитель ееть сумма произведеній противоположныхъ сто-
ронъ, а второй—сумма произведеній сторонъ, сходяціихся въ конуахъ
опредѣляемой діагонали, знаменатель же предста-
вляетъ сумму произведеній сторонъ, сходящихся въ конуахъ д р у-
г о й діагонали*).
*) Въ предыдущихъ изданіяхъ этой книги (до 21-го) для вычисленія
діагоналей вписаннаго четыреугольника указывался (въ § 214) иной
способъ, независимый отътеоремы Птоломея и отъ теоремы объ отноше-
ніи діагоналей, при чемъ эти двѣ теоремы разсматривались, какъ про-
стыя слѣдствія изъ формулъ, опредѣляющихъ діагонали. Въ перерабо-
— 181 —
246. Теорема. Если черезъ точиу, взятую внутри круга,
проведены накая-нибудь хорда и діамётръ, то произведенів от-
рѣзновъ хорды равно произведенію отрѣзковъ діаметра.
Пусть черезъ точку M (черт. 226)
проведена какая-нибудь хорда AB и
діаметръ CD; требуется доказать, что
MA . MB=MC . MD.
Проведя 2 вспомогательныя хор-
ды AC и BD, мы получимъ два тр-
ка AMC и MBD (покрытые на чер-
тежѣ штрихами), которые подобды,
такъ какъ у нихъ углы AnD равны,
какъ вписанные, опнранщіеся на
одну и ту .же дугу BC, и углы CnB равны какъ вписанные,
опирающіеся на одну и ту же дугу AD. Изъ подобія ихъ вы-
водимъ:
MA : MD=MC : MB; откуда: MA . MB=MC . MD.
247. Слѣдетвіе. Если ч е р е з ъ точку (М,
черт. 336), взятую внутри круга, проведены
нфоколько хордъ (АВ, EF, KL...), то произве-
дрців отрѣзковъ каждой хорды есть число
яротоднное дяя всѣхъ этихъ хордъ, такъкакъ
дощ ^іщой хорды это произведеніе равно произведенію отрѣз-
ковь 'діадетра CD, проходящаго черезъ взятую точку М.
SVpap постоянное число равно квадрату радіуса,
умввьшенному на квадратъ разстоянія
вая^ой точки отъ центра.
ДЗДрительио, обозначивъ радіусъ ісруга черезъ R п раз-
стояніё MO (черт. 226) черезъ d, будемъ имѣть:
MC=R—d, MD=Bld;
слѣд.: MA . MB=MC . М^=(Б—й)(К+й)=йг—d2.
танномъ 21-мъ изданіи (и въ слѣдующихъ) въ числѣ многихъ другнхъ
измѣнѳній, мы сочли полезнымъ изложить классичѳское доказательство
тѳорѳмы Птоломея, имѣющѳй весьма большоѳ самостоятельноѳ зна-
ченіе; но тогда вычислѳніѳ діагоналей всего удобйѣе основЫвать,
какъ это сдѣлано въ тѳкстѣ, на теоремѣ Птоломѳя и теорѳмѣ § 244.
— 182 —
248. Теорема* Если изъ точни, взятой внѣ круга, прове-
дены къ нему какая-нибудь сѣкущая и касательная, то произве-
деніе сѣкущей на ея внѣшнюю часть равно квадрату касатель-
ной (предполагается, что сѣкущая ограничена второю точкою
нересѣченія, а касательная—точкою касанія).
Пусть изълочки M (черт. 227), проведены какая-нибудь сѣ-
кущая MA и касательная MC; требуется доказать, что
MA . MB=MC2.
Проведемъ вспомогательныя
хорды AC и BC \ тогда полу-
чимъ два тр-ка MAC и MBC
(покрытые на чертежѣ штрихат
ми), которые подобны, потощу
что у нихъ уголъ M общій, и
углы MCB и CAB равны, такъ
какъ каждый изъ нихъ измѣряется половиною дуги BG (178,
171). Возьмемъ въ AMAC стороны MA и MC; сходственныад
сторонами въ AMBC будутъ MC и MB; поэтому
Черт. 227.
Откуда:
MA : MC=MC ; MB.
MA . MB=MC2.
249. Слѣдствіе. 1°. Если изъ точки (М, ^ерт. 227),
взятой внѣ круга, проведены къ нему нѣ-
сколько сѣкущихъ (МА, MD, ME...), т о п р о и з-
веденіе каждой сѣкущей на ея в!#’Фій;н ю ю
часть есть число постоянное для всѣ х ъ
этихъ сѣкущихъ, такъ какъ для каждой сѣкущей это
произведёніе равно квадрату касательной (MC2), проведенной
черезъ точку М.
' 2°: Это постоянное число равно квадрату раз-
стоян.ія взятой то.чки отъ центра, умель-
шенному на квадратъ радіуса.
— 183 —
Дѣйствительно, проведя радіусъ OC, получимъ прямоуголь-
ный треугольникъ MCO, изъ котораго находимъ:
MC2=MO2-CO2=Li2-R2.
250. Теорема. Произведеніе двухъ сторонъ треугольника
равно произведенію діаметра нруга, описаннаго около этогЬ трё-
угольника, на высоту его, опущенную на третыо сторону.
Обозначивъ буквою R радіусъ круга, бписаннаго около тр-ка
ABC (черт. 228 и 229), докажемъ, что
J
Ъс=2В . Ьа.
Проведемъ діаметръ AD и соединимъ D съ В. Тр-ки ABD и
AEC подобны, потому что углы B и Е прямые и D=C, какъ углы
, вписанные, опирающіеся на одну и ту же дугу. Изъ нодобія
выводимъ:
с : \=2R : Ь; откуда: Ьс=2В . Ka.
251. Тѳорѳма. Гроиавеценіе двухъ стороиъ тріугольника равно квад-
рату биесактрнесы угла, заключвннаго между этйии1 сторонааи, сложанному
съ произведеніеиъ отрѣзковъ трвтьей стороны.
Обозначивъ биесектриссу AD угла A ,(чѳрт. 230) грѳческою бук-
вою в, докажемъ, что Ъс =агEBD . DC. Продолжимъ AD до пѳрѳ-
сѣчѳнія съ окружностыо въ точкѣ B (эта точка лѳжитъ въ серѳдинѣ
— 184 —
дуги BCi чакъ какъ углы BAE и EAC равны). Тр-ки ABE и ADC
подобны, потому что углы при точкѣ A
равны по условію и C = Ei какъ углы впи-
санные, опирающіеся на одну и ту же дугу.
Изъ подобія ихъ слѣдуѳтъ:
е : а = AE : Ь, откуда Ъс*=*а. AE
или Ie=O-(Ii-PDE) =Gt2+* • DE.
Ho а . DE==BD . DC (247, Iе).
Поэтому Ъс=*г-РBD . DC.
M
262. Вычисленіѳ биссектрисоъ трѳугольника по его
ОТОронамъ. Изъ равенства [2| предыдущаго параграфа выводимъ:
а2=Ьс—BD . DC.
Отрѣзки BD и DC можно найти изъ лропорціи BD : DC=C : Ъ (226);
откуда:
BD-PDC Ьрс BDpDC Ъ-рс
~~ ""
BD с и PC
Замѣтивъ, что BD-P DC==Ui получимъ:
ае
ВВ=ІГГ
ьрс
Слѣд. а2 = Ъс—
DC =
Ъс
аЬ
b Pe'
|^(6+с)2—a2J4
,^(&4*в4"#) (Ь 4~с—^a) J ’
(.Ь + с)* (Ь-рс)
Ъе
(Ър-с)*
Это выраженіо можно упростить, еели обозначимъ периметръ тр-ка,
т.-е. а4-^4-с, черезъ 2р\ тогда Ъ-Рс—-а=ѣр—2'л=2(р—а) к
2 f
® —а>.
Г л A B A VI,
№иятіі е іршеніи алгебры къ геоаетріи.
253- Задача. Данный отрѣзокъ прямой раз-
дѣлитьвъ среднемъи крайнемъотношеніи.
Эту задачу надо повнмать такъ: раздѣлить данный отрѣзокь
прямой на такія двѣ части, чтобы большая изъ нихъ была сред-
— 185 —
нею пропорціональною между всѣмъ отрѣзкомъ и меныпею ея
частью.
Задача будетъ рѣшена, если мы найдемъ одну изъ двухъ ча-
стей, на которыя требуется раздѣлить данный отрѣзокъ. Будемъ
находить болыпую часть, т.-е. ту, которая должна быть с р е д-
нею пропорціональною между всей линіей и мень-
шею ея частью. Предположимъ сначала, что рѣчь идетъ не о по-
строеніи этой части, а только объ ея вычисленіи. Тогда
задача рѣшается алгебраически такъ: если число,
измѣряющее въ какой-нибудь единицѣ длину даннаго отрѣзка,
обозначимъ а, а число,измѣряющее въ той же единицѣ длину
бблыпей его части, х, то число, измѣряющее длину другой части,
выразится а—х, и, согласно требованію задачи, мы будемъ имѣть
пропорцію:
а : х=х : (а—х);
откуда: х2=а(а—х)
или X2Iax—а2=0.
- Рѣшивъ зто квадратное уравненіе, находимъ:
Отбросивъ второе рѣшеніе, какъ отрицательное *), возьмемъ
только первое положнтельное рѣшеніе, которое удобнѣе пред-
ставить такъ:
Покажемъ прежде всего, что величина X1 мевьше а.
*) He трудно было бы показать, что абсолютная величина этого
отрицатѳльнаго рѣшенія даетъ отвѣтъ на измѣненную задачу: д а н-
ную прямую а продолжить на столько (на х),
чтобы продолженіѳ было среднѳй пропорціо-
нальной между а и а+х. Это будетъ тожѳ дѣленіе даннаго
отрѣзка въ среднемъ и врайнемъ отношеніи; оно наз. внѣшнимъ
въ отличіе отъ внутрѳн няго, разсматриваемаго въ текстѣ.
— 186 —
Такъ какъ
отнявъ отъ обѣихъ частей этого неравенства по а, найдемъ,
что X1Ka,.
Отсюда заключаемъ, что задача в с е г д а возможна и имѣетъ
только одйо рѣшеніе.
Если бы намъ удалось построить такую прямую, кото-
рой длина численно выражается найденной выше формулой,
то, нанеся эту длину на данную прямую, мы раздѣлили бы ее
въ среднемъ п крайнемъ отношеніи. Итакъ, вопросъ сводится
къ построенію найденной формулы.
чаемъ, что оно представляетъ собою длину гипотенузы такого
прямоугольнаго тр-ка, у котораго одинъ катетъ равенъ а, а
другой а/2. Построивъ такой тр-къ, мы найдемъ прямую, вы-
длину X1, достаточно изъ гипотенузы построеннаго треугольника
вычесть а/2.
Такимъ образомъ, построеніе можно выполнять такъ:
дѣлимъ (черт. 231) данный отрѣзокъ AB
Ta ТТАТГЛТГО Mrt Т>ГТ гплппчЬ Л TTorr ѴЛППО 73 РЛП_
опишемъ изъ D, какъ центра, дугу радіусомъ ДВ=а/2. Тогда
венъ X1. Отложивъ AE HS, AB (отъ A до G), получимъ точку G,
Разсматривая отдѣльно выраженіе Ia2, мы замѣ-
ражаемую формулой
получить заѴЬмъ
Чѳрт. 231.
ABD, J котораго катетъ АВ=а, а другой
катетъ ВН=а/2. Слѣд., его тпотенуза
AD равна +а2.Чтобы вычесть изъ гипотёнузы длину а/2,
отрѣзокъ AE будетъ равенъ
2Ia2—-, т.-е. будетъ ра-
а
— 187 —
въ которой отрѣзокъ AB дѣлится въ среднемъ и крайнемъ отно-
шеніи.
Замѣчаніе. Дѣленіе даннаго отрѣзка врямой въ среднемъ
икрайнемъотношеніиназ.также золотымъ дѣленіемъ.
254. Алгебраическій способъ рѣшенія гео-
метричеекихъ задачъ. Мы рѣшили предложенную за-
дачу путемъ приложенія алгебры къ геометріи.
Этотъ пріемъ состоитъ въ слѣдующемъ: сперва опредѣляютъ,
какую прямую должно отыскать, чтобы можно было рѣшить
задачу. Затѣмъ, обозначивъ численныя величины данныхъ
прямыхъ буквами а, Ъ, с..., а искомой прямой—буквою х,
составляютъ изъ условій задачи и извѣстныхъ теоремъ урав-
неніе, связывающее искомую прямую съ данными; получеиное
уравненіе рѣшаютъ по правиламъ алгебры. Найденную формулу
изслѣдуютъ, т.-е. опредѣляютъ, при всякихъ ли зада-
ніяхъ это формула даетъ возможныя рѣшенія, или только при
нѣкоторыхъ, и получается ли ,одно рѣшеніе или нѣсколько.
Затѣмъ с т р о я т ъ формулу, т.-е. находятъ построеніемъ
такую прямую, которой численная величина выражается этой
формулой.
Такимъ образомъ, алгебраическій пріемъ рѣшенія геометри-
ческихъ задачъ состоитъ въ общемъ изъ слѣдующихъ 4-хъ ча-
стей: 1°, составленіе уравненія, 2°, рѣшеніе
его, 3°, изслѣдованіе пойученной формулы
и4°,построеніеея.
Иногда задача приводится къ отысканію нѣсколькихъ пря-
мыхъ линій. Тогда, обозначивъ численныя величивы вхъ бук-
вами х, у,..., стремятся составить столько уравневій, сколько ^
неизвѣстныхъ.
255. Построеніе простѣйшихъ Формулъ. Ука-
жемъ простѣйшія формулы, которыя можно построить^ посред-
ствомъ циркуля и линейки; ври этомъ будетъ прёдЙй$Йгать,
что буквы а, Ъ, с... означаютъ величины данныхъ конечныхъ
прямыхъ, а х величиеу искомой. He останавливаясь на такихъ
формулахъ:
ж=а+Ь+с, х=а—Ъ, х=2 а, Sa...,
построеніе которыхъ выполняется весьма просто, перейдемъ
щ> 0олѣе сложнымъ:
— 188 —
a a 2
1 . Формулы X=-, -,...х=-а,... и т. п. строятся посред-
ствомъ дѣленія прямой а на равкыя части (69,7; 114) и затѣмъ,
если нужно, повтореніемъ одной части слагаемыхъ 2, 3... и т. д.
раза.
ab
2 . Формула х=— представляетъ собою четвертую
с
іропорціональную къ прямымъ с, а и Ъ. Дѣйстви-
тельно, изъ этого равенства выводимъ:
сх=аЪ, откуда с : а=Ъ : х.
Слѣд., х найдется способомъ, указаннымъ нами (224) для
построенія 4-й пропордіональной.
а2
3°. Формула х=~ выражаетъ четвертую пропорціональную
къ црямымъ Ь,ана. или какъ говорятъ, третью пропор-
діональную къ прямымъ Ъ и а. Дѣйствительно, изъ дан-
наго равенства выводимѣ:
Ъх=а2; откуда Ъ : а=а : х.
Слѣд., х найдется тѣмъ же способомъ, какимь бтыскивается
4-я гдропордіональная (только прямую а прпдется откладывать
два раза) *).
4°. Формула х=ѴаЪ выражаетъ среднюю пропор-
дІОнальпую между а и Ъ. Дѣйствительно, изъ нея выво-
ДИМЪ:
х2=аЪ; откуда а : х=х : Ь.
Сілѣд., х найдется епособомъ, указаннымъ раньше для до-
CTPdfBiE средней пропордіональной (231).
. .. III— I,. Il..-N .
5е, формула X=V а2+Ъ2 выражаетъ гипотенузу прямо-
у*&цр#го тр-ка, у котораго катеты суть а и Ъ.
*) Можно также построить Xi основываясь на тѳоремѣ § 229: отло-
жимъ BD=Zd (см. черт. 210); провѳдѳмъ DAJ^BD; отложимъ DA = I;
соединимъ B съ A прямой; проведемъ ACJ^AB. Тогда отрѣзокъ DC
и будетъ искомая ішнія, такъ какъ BD : DA = DA : DC. Если а<Ь,
то построеніѳ можно выроднить ѳціѳ иначѳ, при помощи полуокруж-
ности <см. чертч 211), прИНявъ за діаметръ BC отрѣзокъ Ъ, а ва хорду BA
отрѣаокъ а; тогда искомая линія будетъ BX>.
— 189 —
6°. Формула X=V и~—b2 представляетъ катетъ прямо-
угольнаго тр-ка,укотораго гипотенуза есть a, а другойкатетъ Ь.
Построеніе всего удобнѣе выполнить такъ, какъ указано
въ § 174.
Указанныя формулы можно считать основными. При
помощи ихъ строятся болѣе сложныя формулы. Hanp.:
abcd
7°. х—~ф- Разобьемъ дробь на множителей такъ:
оіЬ с d ■ сіЬ
ж=—— • - и положимъ, что —=Jc. Тогда Jc найдемъ, какъ
4-ю пропорціональную къ е, а и Ъ. Найдя Je, будемъ имѣть:
Jec d Jcc
х=-' -• Положимъ, что "T=L Тогда I найдемъ, какъ 4-ю про-
TQ 7
порціональную къ линіямъ /, Je и с. Найдя J, будемъ имѣть
Id
х=-; слѣд., х есть 4-я пропорціональная къ д, I и d.
Q
Подобнымъ образомъ строятся также и формулы вида:
аЪс...Ш ат
Х~ а’Ь'с' ...к' ИЛИ х= Г=1'
т.-е. такія формулы, въ которыхъ числитель и знаменатель
представляютъ пройзведеніе линейныхь множителей
(буквъ, означающихъ линіи), причемъ числитель содержитъ
этихъ множителей на одинъ больше, чѣмъ знаменатель.
8°. х=аі/ —. Подведя а подъ знакъ радикала, получимъ:
’• *=“|/ т
с=Ѵ W= VaW
Отсюда видимъ, что х есть средняя пропорціональная между
прямыми а и 2/3а.
9°. X=Va2Ib2—C2Id2. Положимъ, что а2-\-Ъ2=*к2. Тогда Je
найдется, какъ гипотенуза прямоугольнаго тр-ка, у котораго
катеты суть аиЬ.Построив^^оложимъ, что U2Id2=I2. Тегда J
найдется, какъ гипотенуза прямоугольнаго тр-ка, у котораго
катеты суть Jc и d. Построивъ I, будемъ имѣть: х=Ѵ 12—с2. Слѣд.,
х есть катетъ такого тр-ка, у котораго гипотенуза I, а другой
катетъ с.
— 190 —
10. X==O2Va2Ibc. Если положимъ, что Ъс=к2, то найдемъ 1с,
какъ среднюю пропорціональную между Ъ и с. Тогда х=Ѵа2±к2.
найдется, какъ было выше указано въ случаяхъ б-мъ и 6-мъ.
11°. х=Ѵа4+Ь4. Положимъ, что
OiO2OO
Oi=Vy; отсюда: У=р=^ ' Л'
Изъ этого выраженія видно, что у найдется посредствомъ
троекратнаго построенія 4-й пропроціональной. Построивъ у,
будемъ имѣть:
X=YVyJV= ѴѴ(у+Ь)= ЬѴъ(уІЪ). •
Выраженіе V Ъ(у+Ь) представляетъ прямую, которая есть
средняя пропорціональная между Ъ и у+Ъ. Пусть эта прятіая
будетъ к. Тогда х=\Ьк; значитъ, х найдется, какъ средняя
пропорціональная между Ъ и к.
Ограничимся этими примѣрами. Замѣтимъ, что подробное
разсмотрѣніе способовъ посгроенія алгебраическихъ формулъ
приводитъ къ слѣдующему важному выводу:
помощыо линейки и циркуля возможно строить только такія
алгебраическія выраженія, которыя или вовсе не содержатъ ра-
дикаловъ, или же содержатъ только радикалы съ показате-
лями 2, 4, 8..., т.-е. съ показателями, равными степени 2-хъ *).
УПРАЖНЕНІЯ.
Доказать теоремы.
189. Прямая, проведенная черезъ середины основаній трапеціи,
проходитъ черезъ точку пересѣченія непараллельныхъ сторонъ и
черезъ точку пересѣченія діагоналей,
8
*) Hanp., нельзя построить выраженіе а;=|/2а3, т.-е.—другими
словами—нельзя только помоціью циркуля и линейки рѣшить зна-
менитую съ древнихъ временъ задачу объ удвоеніи дан-
наго куба (со стороною а).
Объ однородности уравненій, получаемыхъ при рѣшеніи
геометрическихъ задачъ, а также о построеніи корней квад-
ратнаго уравненія см. ниже, §§ 842, 848.
— 191 —
189а. Если въ тр-кѣ изъ вершины угла, лежаціаго между неравными
сторонами, проведены биссектрисса и медіана, то первая менынѳ
второй.
189&. Прямая, проходящая черезъ середину основанія равнобед-
реннаго тр-ка и ограниченная одною боковою стороною и продолже-
ніемъ другой боковой стороны, больше основанія этого тр-ка.
190. Если два круга касаются извнѣ, то часть внѣшней обціей
касательной, ограниченная точками касанія, ѳсть средняя пропор-
ціональная между діаметрами круговъ.
190а. Доказать, что если A, B и C суть три послѣдовательныя точки
прямой и M какая-нибудь точка внѣ прямой, то суціествуетъ соотно-
шеніе (тѳорема Стюарта):
MA2 . BCjrMC2 . AB-MB2 . AC = BC . AB .AC
(рѣшается при ломоціи теоремъ §§ 236 и 237).
190&. При помоціи этого соотношенія найти выраженіе для биссѳк-
триссъ тр-ка въ зависимости отъ его сторонъ (на основаніи § 226).
191. Сумма квадратовъ сторонъ треугольника равна утроенной
суммѣ квадратовъ разстояній отъ точки пѳресѣченія медіанъ до вер-
шинъ треугольника (§ 239).
192. Если въ прямоугольный тр-къ ABC вписать квадратъ DEFG
такъ, чтобы сторона CE лежала на гипотенузѣ BCi то эта сторона
есть средняя пропорціональная между отрѣзками гипотенузы BDn EC.
193. Если двѣ конечныя прямыя AB п CD пересѣкаются (хотя бы
и при продолженіи) въ точкѣ E такъ, что
EB . EA = EC . EDi
то точки Ai Bi C и D лежатъ на одной окружности (эта теорема обратна
изложеннымъ въ §§ 247 и 249).
194. Дана окружность 0 и двѣ точки AnB внѣ круга. Черезъ
эти точки проведены нѣсколько окружностей, пересѣкаюціихъ
окружность 0, или касаюціихся ея. Доказать, что всѣ хорды,
соединяющія точки пересѣченія каждой * изъ этихъ окружно-
стей съ окружностью Oi а также и общія касательныя, сходятся (при
продолженіи) въ одной точкѣ, лежаціей на продолженіи прямой AB.
195. Основываясь, на этомъ, вывести способъ построенія такой
окружности, которая проходитъ черезъ 2 данныя точки AnBn ка-
сается данной окружности 0.
196. Даны два какіе-нибудь круга на плоскости. Если два радіуоа
этихъ круговъ движутся, оставаясь постоянно параллѳльными, то
прямая, проходящая черезъ концы ихъ, пересѣкаетъ линію центровъ
всегда въ одной и той же точкѣ (эта точка наз. центромъ по-
д о б і я двухъ круговъ).
197. Медіана тр-ка дѣлитъ пополамъ всѣ прямыя, проведенныя
внутри тр-ка параллельно той сторонѣ, относительно которой взята
медіана.
— 192 —
198. Даны три прямыя, исходяціія изъ одной точки. Если по одной
изъ нихъ движется какая-нибудь точка, то разстоянія ея отъ двухъ
другихъ прямыхъ сохраняютъ всегда одно и то же отношеніе.
199. Если двѣ окружности концентрическія, то сумма квадратовъ
раэстояній всякой точки одной изъ нихъ отъ концовъ какого угодно
діамѳтра другой есть величина постоянная (§ 239).
.200. Если изъ трехъ вершинъ тр-ка и изъ точки пересѣчѳнія ѳго
медіанъ опустимъ перпендикуляры на какую-нибудь внѣшнюю пря-
мую, то послѣдній изъ 4-хъ перпендикуляровъ равенъ третьей части
суммы первыхъ трехъ.
201. Если соединимъ прямыми основанія трехъ высотъ какого-
нибудь тр-ка, то образовавшіеся гіри этомъ 3 тр-ка у вершинъ даннаго
подобны ему. Вывести отсюда, что для тр-ка, имѣюціаго сторонами
прямыя, соединяющія основанія высотъ даннаго тр-ка, эти высоты
служатъ биссектриссами.
202. Діаметръ AB данной окружности продолженъ за точку В.
Черезъ какую-нибудь точку C этого продолженія проведена неопре-
дѣленная прямая CDJl^AB. Если произвольную точку M этого перпѳн-
дикуляра соѳдинимъ съ Ai то (обозначивъ черезъ A1 вторую точку
пѳресѣченія съ окружностью этой прямой) произведеніѳ AM . AA1
ѳсть вѳличина поетоянная.
Найти геометрическія мѣста:
203.—серединъ всѣхъ хордъ, проходяціихъ черѳзъ данную точку
окружности.
204.—точекъ, дѣлящихъ въ одномъ и томъ же отношеніи т : п всѣ
хорды, проходящія черезъ данную точку окружности.
205.—точекъ, которыхъ разстоянія отъ сторонъ даннаго угла
имѣютъ одно и то жѳ отношеніѳ т : п.
206.—точекъ, для которыхъ сумма квадратовъ разстояній отъ двухь
данныхъ точекъ есть величина постоянная (§ 239).
207.—точекъ, для которыхъ разность квадратовъ разстояній отъ
двухъ данньіхъ точекъ есгь величина постоянная.
208.—точекъ, изъ которыхъ касательныя, проведеннныя къ двумъ
даннымъ окружностямъ, равны (эго геометрическое мѣсто есть прямая,
перпеидикулярная къ линіи ренгровъ; она назыв. радикаль-
ною. о с ь Ю двухъ круговъ).
209.—точекъ, дѣлящихъ въ данномъ отношеніи т : п всѣ прямыя,
соединякщгія ,точки окружностн съ данною точкою 0 (лѳжащею внѣ
или внутри круга).
210. Даны двѣ извнѣ касающіяся окружности. Черезъ точку
касанія A проводятъ въ окружностяхъ двѣ перлендикулярныя хорды
AB и AC, Концы ихъ BnC соединяютъ прямой. Иайти геометричѳ*
ское мѣсто точекъ, дѣлящихъ BC въ данномъ отношеніи ш : п.
— 193 —
211. Данный уголъ враціается вокругъ своей вершины. Ha сторо-
нахъ его, отъ вершины, откладываютъ перемѣнныя длины, но кото-
рыхъ отношеніе постоянно. Если конецъ одной стороны описываѳтъ
данную по положенію прямую, то какую линію опишетъ другой
конецъ?
Задачи на построеніе.
212. Черезъ точку, данную внутри или внѣ угла, провести прямую
такъ, чтобы части ея, заключенныя между этой точкой и сторонами
угла, имѣли данное отношеніе т : п.
213. Найти въ треугольникѣ такую точку, чтобы перпендикуляры,
опуціенные изъ нея на стороны, находились въ данномъ отношеніи
т : п : р (см. упражненіе 205).
214. Построить тр~къ по углу, одной изъ сторонъ, прилежаціихъ
къ нему, и по отношенію этой стороны къ третьей сторонѣ (сколько
рѣшеній?).
215. To же—по углу при вершинѣ, основанію и отношенію его
къ одной изъ боковыхъ сторонъ.
216. To же—по высотѣ, углу при вершинѣ и отношенію отрѣзковъ
основанія.
217. To же—по углу при вершинѣ, основанію и данной на основаніи
точкѣ, черезъ которую проходитъ биссектрисса угла при вершинѣ.
218. To же—по двумъ угламъ и суммѣ или разности основанія
съ высотою.
219. Построить равнобедренный тр-къ по углу при вершинѣ и
суммѣ основанія съ высотою.
220. Вписать въ даннный кругъ тр-къ, у котораго даны: основаніе
и отношеніе двухъ другихъ сторонъ.
221. Вписать въ данный кругъ тр-къ, у котораго даны: основаніе
и медіана относительно одной изъ неизвѣстныхъ сторонъ (см. упраж-
неніе 203).
222. Вписать квадратъ въ дачный сегментъ такъ, чтобы одна его
сторона лежала на хордѣ, а вершины противолежаціихъ угловъ—.
на дугѣ.
223. Вписать квадратъ въ данный тр-къ такъ, чтобы одна сторона
его лежала на основаніи тр-ка, а вершины противолежаціихъ угловъ
на боковыхъ сторонахъ тр-ка.
224. Въ данный треугольникъ вписать прямоугольникъ (см. пред.
задачу), у котораго стороны относились бы, какъ т : п.
225. Около даннаго квадрата описать тр-къ, подобный данному.
226. Дана окружность и на ней двѣ точки A п В. Найти на этой
окружности третью точку Ci чтобы разстоянія ея отъ A и B находи-
лись въ данномъ отношеніи.
227. Ha данной прямой найти точку, которая одинаково была бы
удалена отъ другой данной прямой и данной точтш.
— 194 —
228. Построить тр-къ по двумъ сторонамъ и биссектриссѣ угла
между ними (см. черт. 207. Сначала находимъ прямую DE изъ про-
порціи AB : EC (т.-е. BC) = BD : DE; затѣмъ строимъДBCЕ\ ).
229. Построить прямую Xi которая относилась бы къ дапной пря-
мой Wti какъ а2 : Ъ2(а и Ъ данныя прямыя).
230. Найти внѣ даннаго круга такую точку, чтобы касательная,
проведенная изъ нея къ этой окружности, была вдвое менѣе сѣкуціей,
проведенной изъ той же точки черезъ центръ (приложеніемъ ал-
гебры къ геометріи).
231. Черезъ данную впѣ круга точку провести такую сѣкущую,
которая раздѣлилась бы этою окружностью въ данномъ отношеніи
(пргиложеніемъ алг. къ гѳом.).
262. Построить тр-къ по тремъ его высотамъ Jili Ji2 и Ji2. (Предвари-
тельно изъ подобія прямоуг. тр-ковъ надо доказать, что высоты
обратно пропорідіопальны соотвѣтствуюціимъ сторо-
намъ. Если стороны, на которыя опущены высоты Jili Ji2 и Ji2i обозна-
чимъ соотвѣтственно черезъ Xli X2 и х2і то
X1 : X2 = Ji2 : Ji1
7 7 * ^2 Tn
X2 : X2 = Ji2 : Ji2 = 1 : ^ =hI •
, т,
откуда: X1 : X2 : X2 = Ji2 : Ji1 :
' *' Jiih2
Выраженіе — есть четвертая пропорціональная къ H2i K2 и K1.
п2
Построивъ ее (пусть это будетъ &), мы будемъ имѣть три прямыя:
K2i H1 и Jci которымъ искомыя стороны пропоруіональны; значитъ,
тр-къ, имѣюціій эти прямыя сторонами, подобенъ искомому,
и потому вопросъ приводится къ построенію такого тр-ка, который,
будучи подобенъ данному имѣлъ бы данную высоту. Задача окажется
невозможной, если по тремъ прямымъ Uli Ь2 и Je нельзя построить
треугольникъ (52).
Задачи на вычисленіе.
233. По данному основанію а и высотѣ h остроугольнаго тр-ка
вычислить сторону х квадрата, вписаннаго въ этотъ тр-къ такъ, чтобы
одна сторона квадрата лежала на основанін тр-ка, а двѣ вершины
квадрата—на боковыхъ сторонахъ тр-ка.
234. Стороны тр-ка суть 10 ф., 12 ф. и 17 ф. Вычислить отрѣзки
стороны, равной 17 ф., на которые она дѣлится биссектриссою проти-
волежащаго угла. ♦
235. Перпендикуляръ, опущенный изъ вершины прямого угла
на гипотенузу, дѣлитъ ее на два отрѣзка т и п. Вычислить катеты.
236. Вычиелить выеоту тр-ка, опущенную на сторону, равную 20,
если двѣ другія стороны суть 12 и 15.
237. Вычислить медіаны тр-ка, котораго стороны суть: а=5, Ь=1
И с=9,
— 195 —
238. Въ тр-кѣ ABC стороны суть: AB=Ii BC = 15 и ZC = IO.
Опредѣлить, какого вида уголъ Ai и вычислить высоту, опущенную
изъ вершиьгы В.
239. Изъ точки внѣ круга проведены касателъиая а и сѣкущая.
Вычислить длину сѣкущей, зная, что отношеніе внѣшней ея части
къ внутренней равно т : п.
240. Къ двумъ кругамъ, которыхъ ра^іусы суть R и r, а разстояніе
между центрами d, проведена обціая касательная. Опредѣлить вычис-
леніемъ положеніѳ точки пересѣченія отой касательной съ линіей
центровъ,во 1-хъ, когда эта точка лежитъ по одну сторону отъ центровъ
во 2-хъ, когда она расположена между ними.
Г Л A B A VII.
Правильные многоугольнинн.
256. Опредѣленія. Ломаная линія наз. п р а в и л ь-
н о й, если она удовлетворяетъ слѣдующимъ тремъ условіямъ:
1°, отрѣзки лрямыхъ, составляющіе ее, равны; 2°, углы, со-
ставленные каждыми двумя сосѣдними отрѣзками, равны, и
3°, изъ каждыхъ трехъ послѣдовательныхъ отрѣ^ковъ пер-
вый и третій расположены по одну сторону отъ второго.
Таковы, напр., линіи ABCDE и FGHKL (черт. 232); но ло-
маную MNPQR нельзя назвать правильною, потому что она
не удовлетворяетъ третьему условію.
Правильная ломаная можетъ быть выпуклой (34),
какъ, напр., линія ABCDE (ломаную FGHKL нельзя назвать
выпуклой).
Многоугольникъ наз. правильнымъ, если онъ огра-
ниченъ правильною ломаною линіей, т.-е. если онъ имѣетъ
равныя стороны и равные углы. Таковы, напр., квадратъ, равно-
сторонній треугольникъ и многіе другіе.
— 196 —
Многоугольникъ, изображенныйна чертежѣ 233-мъ, есть в ы-
п у к л ы й правильный пятиугольникъ; • многоугольникъ чер-
тежа 234-го также правильный пятиугольникъ, но не выпуклый
(такъ назьгеаемы звѣздчатый). Мы будемъ разсматривать
только выпуклые правильные мн-ки.
Послѣдующія теоремы показываютъ, что построеніе правиль-
ныхъ многоугольниковъ тѣсно связано съ раздѣленіемъ окруж-
ности на равныя части.
257. Теорема. Если окружность раздѣлена на нѣкоторое
число равныхъ частей (ббльшее двухъ), то:
1°, соединивъ хордами каждыя двѣ сосѣднія точки дѣленія,
получимъ правильный многоугольникъ (вписанный);
2°, проведя черезъ всѣ точки дѣленія касательныя до взаим-
наго пересѣченія, получимъ правильный многоугольникъ (опи-
санный).
Пусть окружность (черт. 235) раздѣлена на нѣсколько рав-
ныхъ частей въ точкахъ A, B, C..., и черезъ зти точки проведены
хірды AB, BC... и касательныя MN, NP... Тогда:
Черт. 233.
Черт. 234.
Черт. 235.
Черт. 236.
— 197 —
1°. Вписанный многоуголылшъ ABCDEF правильный, потому
что всѣ его стороны ,р&виы (какъ хорды, стягивающія равныя
дугн) и всѣ углы равньі (какъ вписанные, опирающіеся на рав-
ныя дуги).
2°. Чтобы доказать правильность описаннаго многоугольника
MNPQRS, разсмотримъ тр-ки АМВ, BNC и т. д. У нихъ осно-
ванія AB, BC и т. д. равны; углы, прилежащіе къ этимъ осно-
ваніямъ, также раввы, потому что каждый изъ нихъ имѣетъ
одинаковую мѣру (уголъ, составленный касательною и хордой,
измѣряется половиною дуги, заключенной внутри его). Значитъ,
всѣ эти тр-ки равнобедренные и равны между собою, а потому
MN=NP... и M=N=... т.-е. мн-къ MNPQRS правильный.
258. Замѣчаніе. Если возьмемъ середины дугъ AB1 BC,
CD... (черт. 236), то получимъ точки, которыя дѣлятъ окруж-
ность на столько же равныхъ частей, на сколько она раздѣ-
лепа въ точкахъ А, В, С... Поэтому, если черезъ эти середины
проЕедемъ касательныя до взаимнаго пересѣченія, то получимъ
также правильный описанный многоугольникъ; стороны этого
многоугольника параллельны сторонамъ вписаннаго мн-ка
ABCDEF (138, обратная теорема).
259. Теорема. Если многоугольникъ правильный, то
1°, около него можно описать окружность;
2°, въ него можно вписать окружность.
1°. Проведемъ окружность черезъ какія-нибудь три сосѣднія
вершины A, B и C (черт. 237) правильваго мн-ка ABCDE и
докажемъ, что она пройдетъ черезъ
слѣдующую четвертую вершину D.
Опустимъ изъ центра O перпепди-
куляръ OK на хорду BC и соединимъ
O съ A и D. Повернемъ четыреуголь-
никъ ABKO вокругъ стороны OK
такъ, чтобы онъ упалъ на четыре-
уголышкъ ODCK. Тогда KB пой-
детъ по KC (вслѣдствіе равенства
ПрЯМЫХЪ уГЛОВЪ ПрИ ТОЧКѢ К), ТОЧКа Черт. 237.
B упадетъ въ C (такъ какъ хорда BC дѣлится въ точкѣ K попо-
ламъ), сторона BA пойдетъ по CD (вслѣдствіе равенства угловъ
— 198 —
B и С) и, наконеЩ), точка A упадетъ въ D (вслѣдствіе равенства
сторонъ BA и CD). Изъ этого слѣдуетъ, что OA совмѣстится
съ OD, и, значитъ, точки AhD одинаково удалены отъ центра;
поэтому вершина D должна лежать на окружности, проходящей
черезъ A, B и С. Точно такъ же докажемъ, что эта окружность,
проходя черезъ три сосѣднія вершины В, C н D, пройдетъ черезъ
слѣдующую вершину Fht. д.; значитъ, она пройдетъ черезъ
всѣ верншны мн-ка.
2°. Изъ доказаннаго слѣдуетъ, что стороны правильнаго мн-ка
всегда можно разсматривать, какъ равныя хорды одной окруж-
ности; но такія хорды одинаково удалены отъ центра; значитъ,
всѣ перпендикуляры OM, ON..., опущенные изъ O на стороны
многоугольника, равеы между собою, и потому окружность,
описанная радіусомъ OM изъ центра 0, будетъ вписапной въ
мн-къ ABCDE.
260. Слѣдетвіе. Изъ предыдущаго видно, что двѣ окруж-
ности: описанная около правильнаго мн-ка и вписанная въ него,
имѣють одинъ и тотъ же центръ. Такъ какъ этотъ общій центръ
одинаково удаленъ отъ всѣхъ вершинъ мн-ка, то онъ долженъ
лежать на перпендикулярѣ, возставленномъ къ любой сторонѣ
изъ ея середины, а будучи одинаково удаленъ отъ сторонъ ка-
ждаго угла, онъ долженъ находиться на его биссектриссѣ. По-
этому,
чтобы найтн центръ окружности опи-
санной около правильнаго мн-ка, или
вписанной въ него, достаточно опредѣ-
лить точку пересѣченія двухъ перпенди-
куляровъ, возставленныхъ къ сторонамъ
мн-ка изъ ихъ сер.единъ, или двухъ бис-
сектриссъ угловъ, или одного такого пер-
пендикуляра съ биссектриссой.
261. Опредѣленія. Общій центръ окружностей: опи-
санной около правильнаго ме-ка и вписанной въ него, наз.
центромъ этого мн-ка, радіусъ описанной окружности наз.
радіусомъ мн-ка, а радіусъ вписанной окружности—а п о-
ѳ е м о ю его.
Уголъ, составленный двумя радіусами, проведенными къ
концамъ какой-нибудь стороны правилыіаго мн-ка, наз. ц е н т-
— 199 —
ральнымъ угломъ. Такихъ угловъ въ мн-кѣ столько,
сколько сторонъ; всѣ они равны, какъ измѣряющіеся равными
дугами.
Такъ какъ сумма всѣхъ центральныхъ угловъ равна 4с? или
360°, то каждый изъ нихъ равенъ 4с? : п или 360° : п, если п
означаетъ число сторонъ мн-ка; такъ, центральный уголъ пра-
вильнаго 6-угольникаравенъ360 : 6=60°,—правильнаго 8-уголь-
ника равенъ 360 : 8=45° и т. п.
262. Теорема. Правильные одноименные многоугольники
подобны, и стороны ихъ относятся, какъ радіусы или апоѳемы.
1°. Чтобы доказать подобіе (черт. 238) правильныхъ одно-
именныхъ мн-ковъ ABCDEF и A1S1C1D1E1F1, достаточно обна-
ружить, что у нихъ углы равны и стороны пропорціональны.
Углы м-ковъ равны, такъ какъ каждый изъ нихъ содержитъ
180(м—2)
одно и то Hte число градусовъ, и именно (169,4°), если п
означаетъ число сторонъ каждаго мн-ка. Такъ какъ AB=BC=
=CD=... и A1B1=B1C1=C1D1=..., то очевидно, что:
AB BC CD
A1B1- B1C1- C1Dl-"''
т.-е. у такихъ мн-ковъ стороны пропордіональны.
2°. Пусть O и O1 (черт. 238) будутъ дентры данныхъ мн-ковъ,
OA и O1A1 ихъ радіусы, OM и O1M1-апоѳемы. Тр-ки OAF и
O1A1B1 подобны, такъ какъ углы одного соотвѣтственно равны
угламъ другого. Изъ подобія ихъ слѣдуеъ (203):
AB OA OM
A1B1 — O1A1 — O1M1
— 200 —
263. Слѣдетвіе. Такъ какъ периметры подобныхъ
мн-ковъ относятся, какъ сходственныя стороны (209), то пери-
метры правильныхъ одноименныхъ многоугольниковъ относятся,
какъ радіусы или апоѳемы.
264. Симметрія правшгьныхъ многоугольниковъ. Про-
ведемъ въ описанной окружности черезъ какую-нибудь вершину C
правильнаго мн-ка (черт. 239, лѣвый) діаметръСіѴ, который раздѣлитъ
окружность и многоугольникъ на двѣ части. Вообразимъ, что одна
изъ этихъ частей (напр., лѣвая) повернута вокругъ діаметра CNt
какъ около оси, на столько, чтобы она упала на другую часть (на пра-
вую). Тогда одна полуокружность совмѣстится съ другою полуокруж-
ностью, дуга CB совмѣстится съ дугою CD (по равенству этихъ дугъ),
дуга BA совмѣстится съ дугою DE (по той же причинѣ) и т. д.; слѣд.,
хорда BC совпадетъ съ хордой CDt хорда AB съ хордой DE и т. д.
Такимъ образомъ, діаметръ оп и'с анной окружно-
ст и, проведенный черезъ какую-нибудьвер-
шину правильнаго многоугольника, служитъ
осью симметріи этого многоугольника (вслѣд-
ствіе чего каждая пара вершинъ, какъ B и Dt Au E и т. д., лежитъ
на одномъ перпендикулярѣ къ діаметру CNi на равномъ отъ него
разстояніи).
Проведемъ еще въ описанной окружности діаметръ MN (черт. 239,
правый), перпендикулярный къ какой-нибудь сторонѣ CD правиль-
наго мн-ка; этотъ діаметръ тоже раздѣлитъ окружность и многоуголь-
никъ надвѣ части. Вращая одну изъ этихъ частей (лѣвую), вокругъ
проведеннаго діаметра до тѣхъ поръ, лока она упадетъ на другую
часть (правую), мы такъ же убѣдимся, что одна часть мн-ка совмѣ-
стится съ другой частью. Значитъ, діаметръ описанной
о к р у ж н о с т и, перпеидикулярный къ с т о р о-
нѣ правильнаго многоугольника, служитъ
его осью симметріи (и, слѣд., каждая пара вершинъ, какъ
JS и Ei A и F и т. д., лежитъ на одномъ перпеидикулярѣ къ діаметру
MNt на равномъ отъ него разстояніи).
Если число сторонъ мн-ка ч е т н о е, т о діаметръ, проведенный
черезъ любую вершину мн-ка проходитъ также и черезъ противо-
положную вершину, и діаметръ, перпендикуляриый къ любой сто-
— 201 —
ронѣ мн-ка, перпендикуляренъ такжѳ и къ противоположной сторонѣ
его; если же число сторонъ нѳчѳтноѳ, то діаметръ, проходящій
черезъ любую вершину, перпендикуляренъ къ противоположной
сторонѣ, и обратно, діамѳтръ, перпендикулярный къ любой сторонѣ,
проходитъ черезъ противоположную вершину. Отсюда слѣдуетъ, что
во всякомъ правильномъ. мн-кѣ есть столько осѳй симметріи, сколько
въ немъ сторонъ. Hanp., въ правильномъ '6-угольникѣ есть 6 осей
симметріи, именно: 3 оси, проходяціія черезъ вершины, и 3 оси, пер-
пендикулярныя къ сторонамъ; въ пра-
вильномъ 5-угольникѣ есть 5 осей сим-
метріи; всѣ онѣ проходятъ черезъ вершины
угловъ и въ то же время перпендикулярны
къ сторонамъ.
Всякій правильный мн-къ ч ѳ т н а г о
числа сторонъ имѣетъ еще центръ
симметріи (102), совпадающій съ цен-
тромъ мн-ка (черт. 240). Дѣйствительно,
всякая прямая KLi соединяюціая 2 точки
контура такого мн-ка и проходящая черезъ
центръ Oi дѣлится этою точкою пополамъ,
какъ это видно изъ равенства тр-ковъ OBK
и OEL (покрытыхъ на чертежѣ штрихами).
265. Задача. Вписать въ
ратъ н опредѣлить его
мост и отъ радіуса.
1°. Предположимъ, что AB (черт. 241)
есть сторона квадрата, вписаннаго въ
данный кругъ 0. Тогда дуга AB должна
равняться V4 окружности и уголъ AOB
долженъ быть п р я м о й. Поэтому для
построенія вписаннаго квадрата (и
слѣд., для раздѣленія окружности
на 4 равныя части) достаточно провести
два перпендикулярныхъ діаметра AC
и BD и концы ихъ соединить хордами.
Вписанный четыреугольникъ ABCD правильный, потому что
дуги AB, BC, CD и DA равны, какъ соотвѣтствующія равнымъ
центральнымъ уГламъ.
2°. Изъ прямоугольнаго тр-ка AOB находимъ:
AB2=AO2IBO2, т.-е._ АВ2=2А02;
откуда AB=AoV 2.
данный кругъ квад-
сторону въ зависи-
Черт. 241.
— 202 —
Условимся всегда обозначать черезъ а численную величину
стороны правильнаго вписаннаго мн-ка, имѣющаго п сторонъ,
а черезъ R радіусъ описаннаго круга; тогда выведенное равен-
ство изобразится такъ:
Ui=RiY 2.
266. Задача. Вписатьвъданный кругъ пра-
в ц л ь н ы й шестиугольникъ и опредѣлить его сто-
рону въ зависимости отъ радіуса.
Предположимъ, что AB (черт. 242) есть сторона правильнаго
пписан. шестиугольника. Тогда дуга AB должна быть Ve часть
окружности и, слѣд., уголъ AOB долженъ
содержать 60°. Такъ какъ тр-къ AOB
равнобедренный (AO=OB), то углы A н B
равны и каждый изъ нихъ содержитъ по
1U (180°—60°), т.-е. тоже по 60°. Такимъ
образомъ, тр-къ AOB оказывается равно-
угольнымъи, слѣд., равностороннимъ, т.-е.
AB=AO=OB. Итакъ, сторона правильнаго
вписаннаго шестиугольника равна радіусу,
по принятому нами обозначенію, можно выразить такъ:
Cig —B..
Отсюда возникаетъ весьма простой способъ построенія пра-
вильнаго впис. шестиугольника. (и дѣленія окружности на 6
равныхъ частей): давъ диркулю раствореніе, равное радіусу,
откладываютъ этимъ раствореніемъ по окружности, одна за
другою, равныя дуги и точки дѣленія соединяютъ хордами.
267. Задача. Вписать въ данныйкругъпра-
виіьный треугольникъ и опредѣлить его сто-
рону въ зависимости отъ радіуса.
1°. Чтобы раздѣлить окружность на 3
равныя части (черт. 243), дѣлятъ ее
сначала на 6 равныхъ частей (какъ ука-
зано въ предыдущей задачѣ) и затѣмъ
соединяютъ по двѣ части въ одну.
2°. Для опредѣленія стѳроны AB про-
ведемъ діаметръ BD и хорду AD. Тр-къ
ABD прямоугольный при вершинѣ A;
поэтому AB=V BD2—AD2. Ho BD=SR
что,
— 203 —
и AD=R (потомѵ что дуга AD есть Ve часть окружностн н, слѣд.,
хорда AD есть сторона правильнаго вписаннаго шестиугольника):
значитъ:
а,=Ѵ (2 F)2-Fi=K SR2=RVW
268. Задача. Вписатьвъ данный кругъ пра-
в и д ь н ы й десятиугсльникъ и опредѣлить его
сторону в ъ з а в и с н м о с т H отъ радіуса.
Предварительно докажемъ слѣдующее свойство правипьнаго
десятиугольника.
Пусть хорда AB (черт. 244) есть сторона такого многоуголь-
ника. Тогда уголъ AOB равенъ 36°, а каждый изъ угловъ AhF
содержитъ по Vs (180°—36°), т.-е. по 72°. Раздѣлимъ уголъ A
пополамъ прямою AC. Каждый изъ угловъ, образовавшихся
при точкѣ А, равенъ 36°; слѣд., тр-къ
ACO, имѣя два равные угла, есть равно-
бедренный,т.-е. AC=CO-Tp-Kb AFC так-
же равнобедренный, потому что B=72°;
и С=180°—72°—36°=72°; слѣд., AF=
AC=CO. По свойству биссектриссы угла
тр-ка (226) можемъ написать:
AO : AB=OC : CB [1]
Черт. 244.
Замѣнивъ AO и AF равными имъ прямыми OF и OC, получимъ:
OF : OC=OC : CF, [2]
' т.-е. радіусъ OF раздѣленъ въ точкѣ C въ среднемъ и крайнемъ
отнощеніи (253), при чемъ OC есть его бблыная часть. Ho OC
равна сторонѣ прав. впнс. десятиугольника; значитъ:
сторона правильнаго вписаннаго де-
сятиугольнина равна большей части
радіуса, раздѣленнаго въ среднемъ
и крайнемъ отношеніи.
Теперь задача рѣшается легко:
1°. Дѣлятъ радіусъ круга (напр.,
OA, черт. 245) въ среднемъ и
крайнемъ отношеніи (253); затѣмъ,
давъ циркулю раствореніе, равное
Черт. 245.
— 204 —
болыпей части радіуса, откладываютъ имъ по окружности дуги,
одна за другою, и точки дѣлевія соединяютъ хордами.
2°. Обозначивъ численную величину стороны правильнаго
вписаннаго 10-угольника черезъ х, мы можемъ пропроцію
[2] переписать такъ:
R : х=х : (R—х),
откуда ' X2IRx—R2=O.
Рѣшивъ это квадратное уравненіе, найдемъ:
_/5-і
X——лХ .
2
26Ѳ. Замѣчанія. і°. Формулы, выведенныя пами въ пре-
дыдущихъ задачахъ для а4, а6, а3, а10, позволяютъ вычис-
лить радіусъ описаннаго круга по данной
сторонѣ правильнаго многоугольника.
Такъ, изъ выраженія, опредѣляющаго а10, находимъ:
^ 2а10 2а10 (V 5+1) 1 Л/Т’. \
VTT 5-1 " =2аі° I +1 /•
2°. Чтобы вписать въ данный кругъ правильный пяти-
угольнкнъ, дѣлятъ окружность на 10 равныхъ частей (какъ
указано выше) и точки дѣленія соединяютъ черезъ одну
хордами.
270. Задача Вписать въ д а, н н ы й кругъ
правнльный пятиугольникъ.
Чтрбы найти Ѵіб окружности, достаточно изъ V6 ея части
вычесть Ѵю, какъ это видно изъ слѣдующаго равенства:
1 1_5 3 2 1_
"б ~~10 _ 30”~30 ~ 30 ~І5 ‘
Поэтому если хорда AB (черт. 246)
равна радіусу, а хорда AC—большей
части радіуса, раздѣленнаго въ сред-
немъ и крайнемъ отношеніи, то дуга
CB должна быть V15 окружпости,
а хорда CB—сторона прав. вдис.
15-угольника.
Вычисленіе стороны CB можно вы-
полнить, примѣняя теорему Птоломея
(242) къ четыреугольнику ACBDi въ ко-
— 205 —
торомъ АС = а10і CB = CL15i AD=BRi AB = CL0 = Ri CD = Y^R2—а10а,
BD = CL2 (такъ какъ дуга BD равна 7з окружности).
Теорема Птоломея даетъ:
AB . CD = AD . CBjrAC . BDi
т.-е. DY" 4R2—Ci1Q2=BR . «15 + ^10^3-
Подставивъ на мѣсто а10 и а2 ихъ выраженія, получимъ послѣ
упрощѳній:
Ou= I R[|Ло +SVrT- VT(/~б-і)]-
271. Задача. По данному радіусу круга и
сторонѣ правильнаго вписаннаго много-
угольника вычислить сторону правиль-
наго одноименнаго описаннаго много-
угольника.
Пусть ABCD... есть прав. впи-
санный мн-къ, a MNP... одноимен-
ный прав. описанный (257). Такъ
какъ стороны правилышхъ одно-
именныхъ мн-ковъ относятся, какъ
ихъ радіусы йли апоѳемы (262), то:
MN : AB=OB : OE.
Откуда: MN=
OB . AB
OB
Черт. 247.
AB
OE
Yob2
-BE2
Обозначивъ численныя величины MN, AB и OB соотвѣт-
ственно черезъ Ъ„, ап и R и замѣтивъ, что BE=1I2 AB, будемъ
имѣть:
Ban
Ъ.
Примѣръ.
10-угольника:
Ra10
Вычислимъ сторону правильнаго описаннаго
Y
«10
- 2і?і /~ — =SR л/~
V 4R2-O102 К V \
(V ь—1)2
іб—(Ѵь—іу
— 206 —
272. Замѣчаніе. Формула, опредѣляюіцая Ь„, позво-
ляетъ вычислить ап по даннымъ Ьп и R. Для этого стоитъ только
рѣшить уравненіе, принимая ап за неизвѣстное:
273. Задача. Удвоить число сторонъправиль-
наго вписаннаго многоугольника.
Въ этомъ сокращенномъ выраженіи разумѣется ссбетвенно
двѣ задачи:. 1°, по данному вравильному впис. мн-ку п о-
с т р о и т ь другой правильный
ющаго п сторонъ и O центръ круга. Проведемъ OCJ-AB и соеди-
нимъ A съ G. Дуга AB дѣлится въ точкѣ C пойоламъ; слѣд.,
хорда AC есть еторона прав. впис. мн-ка, имѣющаго 2п сторонъ.
2°. Въ тр-кѣ ACO уголъ O всегда острый (такъ какъ дуга ACB
всегда меныпе полуокружности и, слѣд., половина ея, дуга AC,
меныпе четверти окружности); поэтому (236):
Изъ прямоугольнаго тр-ка AOD опредѣлимъ катетъ OD:
=Pfan2; In2Pf=Qn2
KR
п
0
\ р о н у этого мн-ка по дд,нной сто-
ронѣ перваго мн-ка и данному
радіусу кру.га.
мн-къ, вписанный въ ту же ок-
ружность и имѣющій вдвое болѣе
g сторонъ; 2°, вычислить сто-
Черт. Н48/
1°. Пусть AB (черт. 248) есть
сторона прав. впис. мн-ка, имѣ-
AC2=OA2+OC2SOC . OD.
т.-е. а2п2 =R2+R2-SB . OD=SR2-SR . OD.
OD=
/
AO2-AD2=
* 4 ’
— 207 —
слѣд.х
Такова формула удвоенія числа сторонъ правильнаго внисан-
нако многоугольника *).
Примѣръ. Вычислимъ сторону прав. впие. 12-угодьннка:
274. На^сколько равныхъ чаетей можно дѣ-
лить окруждреть помощью циркуля илинейки?
Примѣняя указанные въ предыдущихъ задачахъ способы, мы
можемъ помощью циркуля и линецки. дѣлить окружность на
такое число равныхъ частей (и слѣд., вписывать въ окруж-
ность правильные многоетольники съ такимъ числомъ сторонъ),
которое заключается въ вкфдуюйщхъ рядахъ:
I 3, 3.2, 3.2.2...вообще 3.2я
I 4, 4.2, 4.2.2...вообще 2я
5, 5.2, 5.2.2...вообще 5.2я
. 15, 15.2, 15.2.2...вообще 3.5.2я
Герыанскій математикъ Г а у с с ъ (умершій въ 1855 г.)
доказалъ, что посредствомъ циркуля и линейки можно дѣлить
окружностц на такое число равныхъ частей, которое, будучп
простымъ, выражается формулою 2П+1. Hanp., можно
раздѣлить окружность на 17 равныхъ частей и на 257 равныхъ
частей, такъ какъ 17 и 257 суть простыя числа вида 2Я+1
(17==24+1, 257=28+1). Доказательство Гаусса выходитъ изъ
предѣловъ элементарной математики.
Доказано также, что помощью линейкп и диркуля окруж-
ность можно дѣлить на такое составное число равныхъ
дикалы, получаемые изъ формулы удвоенія, могутъ
, быть преобразованы въ сумму илVt разность двухъ простыхъ ради-
каловъ (см. алгѳбра А. Киселева, § 238); напр., для а12
можно получить такое выраженіе: Hi2 = 1I2R (V^—V^)-
— 208 —
частей, которое, разложенное на простыхъ множителей, не со-
держитъ никакихъ иныхъ множителей, кромѣ множителей
вида 2П+1 при условіи, что эти множители всѣ р а з л и ч н ы,
и множителя 2 въ какой угодно степени. Hanp., въ окруж-
ность помощью диркуля и линейки можно вписать правильный
170-угольникъ (170=2.6.17), но нельзя вписать правильный
9-угольникъ (хотя множитель 3 имѣетъ видъ 2”+1, но въ составѣ
9-и онъ повторяется).
Ha всякое иное число равяыхъ частей окружность можетъ
быть раздѣлена только приближенно.
275. Поетроеніе правильнаго многоугольника
по данной еторонѣ. Для разлнчныхъ правильныхъ мно-
гоугольниковъ существуютъ различные способы. Ho можно
указать слѣдующій общій способъ. Чертятъ окруйсность
произвольнаго радіуса и вписываютъ въ нее правильный мн-къ
съ такимъ числомъ сторонъ, которое должно быть у искомаго
мн-ка; затѣмъ на данной сторонѣ строятъ мн-къ, подобный
описанному (210).
УПРАЖНЕНІЯ.
241. Соетавить формулу для стороны правильнаго вписаннаго
24-угольника.
242. Составить формулы для сторонъ правильныхъ вписанныхъ
8-уголышка и 16-угольника.
243. Исходя изъ формулы удвоенія, опредѣлить сторону правиль-
наго вписаннаго 5-угольника.
244. Составить формулы для сторонъ правильныхъ описанныхъ
треугольника и щестиугольника.
245. Доказать, „ что если въ прав. 5-угольникѣ проведемъ всѣ
діагонали, то онѣ своими пересѣченіями образуютъ внутренній прав.
5-угольникъ.
246. Пусть ABi BC и CD будутъ три послѣдовательныя стороны
правильнаго мн-ка, имѣющаго центръ въ 0. Если продолжимъ сто-
роны AB п CD до взаимнаго пересѣченія въ точкѣ Ei то чѳтыреуголь-
никъ OAEC можетъ быть вписанъ въ окружность.
247. Доказать, что: 1°, всякій вписанный равносторонній много-
угольникъ есть правильный; 2°, равноугольный впиеанный мн-къ
есть правильный, когда число сторонъ его нечетное; 3°, всякій опи-
санный равноугольный мн-къ есть правильный; 4°, описанный равно-
сторонній мн-къ есть правильный, когда число сторонъ его нечетное.
— 209 —
248. Доказать, что двѣ діагонали правильнаго 5-угольника, не
исходяціія изъ одной вершины, пересѣкаются въ среднемъ и край-
нѳмъ отношеніи.
249. Ha данной сторонѣ построить правильный 8-угольникъ.
250. Ha данной сторонѣ построить правильный 10-угольникъ.
251. Срѣзать отъ даннаго квадрата углы такъ, чтобы образовался
правильный 8-угольникъ.
252. Въ данныЦ квадратъ вписать равносторонній тр-къ, помѣщая
одну изъ его вершинъ или въ вершинѣ квадрата, или въ серединѣ
какой-либо стороны.
253. Вписать въ равносторонній тр-къ другой равносторонпій
треугольникъ, котораго стороны были бы перпендикулярны къ сто-
ронамъ даннаго.
254. Построить углы: въ 18, въ 30, въ 75, въ 72 градуса.
КНИГА IV.
ВЫЧИСЛЕНІЕ ДЛИНЫ ОКРУЖНОСТИ И EU ЧАСТЕІ
Г Л A B A I.
Основиыя свойства предЪловѵ
276. Величины поетоянныя и перемѣнныя.
Рѣшая какой-либо вопросъ, въ который входятъ нѣсколько
величинъ, мы иногда предполагаемъ, что нѣкоторыя изъ этихъ
величинъ сохраняютъ одно и то же неизмѣнное значеніе, тогда
какъ другія способны принимать безчисленное множество раз-
личныхъ значенір. Первыя величины наз. постоянными,
вторыя перемѣнными. Такъ, разсматривая зависимость
между длиною хорды и ея разстояніемъ отъ центра, мы считаемъ
радіусъ круга величиною постоянною, а длину хорды и ея раз-
стояніе отъ центра—величинами перемѣнными.
Впрочемъ, нѣкоторыя величины являются постоянными не
потому, что мы ихъ такими предполагаемъ, а вслѣдствіе своего
основного свойства; такова, напр., сумма угловъ тр-ка, которая
всегда равна Ы.
Если величины выражены числамн, то постоян-
ной величинѣ соотвѣтствуетъ постоянное число,
а перемѣнной величин ѣ—п еремѣнное числ о.
— 210 —
277. Перемѣнныя величины, стремящіяся къ
нулю. Если перемѣнная величина (и перемѣнное число, из-
мѣряющее ее), измѣняясь, дѣлается меныпе любого даннаго
значенія, какъ бы мало это значеніе ни было, и при дальнѣйшемъ
измѣненіи постоянно остается меньше этого значенія, то гово-
рятъ, что эта перемѣнная величина стремится къ нулю.
Hanp., если черезъ какую-нибудь точку A окрѵжности
д (черт. 249) проведемъ касатель-
ную MT и сѣкущую AM и
затѣмъ станемъ вращать сѣ-
кущую вокругъ точки касанія
такъ, чтобы вторая точка пере-
сѣченія B все ближе и ближе
придвигалась къ точкѣ A9 то
при этомъ уголъ TAM9 соста-
вленный каеательною и сѣку-
щею, стремится къ нулю, по-
тому что, какъ мы это говорили прежде (143,) равный ему уголъ
AODi составленный радіусомъ AO и перпендикуляромъ OD на
хорду AB9 можетъ сдѣлаться меныпе любого даннаго угла,
напр. меныне угла въ 1', и, при дальнѣйшемъ сближеніи точекъ
пересѣченія, постоянно остается меныпе этого угла.
Точно такъ же центральпый уголъ правильнаго многоуголь-
ника, котораго величина равна Adfn9 стремится къ нулю, еслн п9
т.-е. число сторонъ этого мн-ка, неограниченно возрастаетъ;
напр., при п=100 этотъ уголъ равенъ 0,04с?, при п=1000 онъ
дѣлается 0,004^ и т. д.
278. Перемѣнныя величины, увеличивающія-
ея бѳзпрѳдѣльно. Если перемѣнная величина (и перемѣн-
ное число, измѣряющее ее), измѣняясь, дѣлается и остается
больше любого даннаго значенія, какъ бы велико это значеніе
ни было,то говорятъ, что она увеличивается безпредѣльно
(или неограшченно) *).
*) Величины, увеличиваюцііяся безпредѣльно, принято въ мате-
матикѣ называть безконечно большими, а величины
стремящіяся къ нулю, —б езконечно малыми. Въ этой
книгѣ мы не будемъ однако употреблять этихъ терминовъ для избѣ-
жанія нѣкоторой неясности представленія въ умѣ учащагося.
- 211 —
Hanp., сумма угловъ выпуклаго многоугольника, равная
2с?(и—2) =2dn—Ld, при неограниченномъ возрастаніи числа
сторонъ увеличивается безпредѣльно; такъ, при п=100 она
равна 196(1, при ?г=1000 она дѣлается 1996<7 и т. д.
279. Перѳмѣнныявеличины,0тремящіяея къ
предѣлу. Иногда случается, что перемѣнная величина, из-
мѣняясь, стремится къ нѣкоторому предѣлѵ.
Предѣломъ перемѣнной величины наз. такая постоянная вели-
чина, къ которой перемѣнная приближается такъ, что разность
между ними стремится къ нулю, т.-е. эта разность дѣлается и
остается меньше любого даннаго значенія, какъ бы мало это
значеніе ни было.
Приведемъ два примѣра перемѣнныхъ величинъ, стремя-
щпхся къ предѣламъ.
Черт. 250.
1°. Разсмотримъ (черт 250), процессъ измѣренія какой-нибудь
длины А, несоизмѣримой съ единицею B Чтобъ измѣрить такую
длину (158, 2°), мы дѣлимъ B на п равныхъ частей и одну изъ
нихъ откладываемъ на A столько разъ, сколько можно. Тогда
мы получаемъ соизмѣримую длину A1, которая меныпе A; если же
отложимъ 1In долю B еще одинъ разъ, то получимъ другую
соизмѣримую длину A2, которая болыпе А; при этомъ каждая
изъ разностей A—A1 и A2—A меныпе 1In доли В. Предположимъ
теперь, что число п равныхъ частей, на которое мы дѣлимъ В,
увеличивается неограниченно. Тогда длины A1 и A2 становятся
перемѣнными, а длина A остается постоянной; такъ какъ 1In
доля B при достаточномъ увеличеніи числа п можетъ быть сдѣ-
лана меныпе любой данной длины (напр., меныпе миллиметра)
и при дальнѣйшемъ увеличеніи п она постоянно остается меныпе
этой малой длины, то можно сказать, что перемѣнныя величины
A1 н A2 стремятся при этомъ къ общему предѣлу А.
Изъ этого примѣра мы видимъ, что перемѣнная величина,
приближаясь къ своему предѣлу, м.ожетъ быть или меныпе
1/1*
— 212 —
его, или болыпе; такъ, длина A1 постоянно меныпе, чѣмъ А,
а длина A2, наоборотъ, всегда больше А.
2*. Сумма всѣхъ внутреннихъ угловъ выпуклаго много-
угольника, имѣющаго п сторонъ, выраясается, какъ извѣстно
(89), формулой 2й(п—2); поэтому величина одного угла пра-
Ьильнаго п-угольника равна:
SdOn—2) 2 dn—4 с? Ad
—і '= =2 d .
п п п
Предположимъ, что число сторонъ многоугольника, т.-е.
число п, неограниченно увеличивается; тогда, какъ видно изъ
приведенной формулы, величина угла мн-ка, оставаясь всегда
меныяе 2d, все болѣе и болѣе приближается къ Sd такъ, что
Ld
разность между ними, равная —, дѣлается и остается меньше
п
какого угодно угла. Поэтому можно сказать, что уголъ пра-
вильнаго мн-ка, при неограниченномъ увеличеніи числа его
сторонъ, имѣетъ предѣлъ Sd.
280. Замѣчаніе. Если перемѣнная величина а, измѣ-
няясь, остается постоянно большей своего предѣла А, то ее
можно разсматривать, какъ сумму А+ж; если же перемѣнная
величина о, измѣняясь, остается постоянно меньшей своего
предѣла А, то ее можно разсматривать, какъ разность A—х;
и въ томъ, и въ другомъ случаяхъ х означаетъ нѣкоторую по*
ложительную величину, которая, согласно опредѣленію
предѣла, стремится къ нулю, когда перемѣнная величина а
стремится къ своему предѣлу А.
281. Теорема. Если двѣ перемѣнныя величины, стремя-
щіяся къ предѣламъ, при всѣхъ своихъ послѣдовательныхъ
измѣненіяхъ остаются равными между собою, то равны и ихъ
предѣлы.
Пусть а и Ъ двѣ перемѣнныя величины, a A и B ихъ предѣлы;
положимъ, что при всѣхъ послѣдовательныхъ измѣненіяхъ
перемѣнныявеличины анЬ всегдаравны между собою; требуется
доказать, что въ такомъ случаѣ и A=B.
’ Предположимъ, что обѣ перемѣнныя величины а и Ь, измѣ-
няясь, остаются постоянно меньшими своихъ предѣловъ. Тогда
— 213 —
можно принять, что а=А—х и Ъ=В—у, гдѣ х и у нѣкоторыя
положительныя величины, стремящіяся къ нулю. Такъ какъ,
по условію, а=Ъ, то можно написать:
А—х=В—у.
Докажемъ, что это равенство возможно только тогда, когда
A=B (и, слѣд., х=у). Перенеся въ этомъ равенствѣ постоянны*
члены въ одну часть, а перемѣнные въ другую, получимъ:
A—В=х—у.
Лѣвая часть послѣдняго равенства, представляя собою раз-
ность между постоянными величинами, должна рав-
няться или нулю (если A=B), или нѣкоторой п о с т о я н-
н о й величинѣ. Правая часть того же равенства, представляя
собой разность между такими перемѣнными величинами, ко-
торыя обѣ стремятся къ нулю, должна равняться
или н у л ю (если х=у), или нѣкоторой перемѣнной
величинѣ, стремящейся къ нулю. Такъ какъ постоянная вели-
чина не можетъ равняться перемѣнной величинѣ, то написанное
равенство возможно только тогда, когда обѣ его части равны
нулю, т.-е. только тогда, когда A=B (и х=у).
Подобнымъ же образомъ можно доказать, что A=B и въ томъ
случаѣ, когда перемѣнныя а и Ъ остаются бблыпими своихъ
предѣловъ *). ѵ
282. Teopема. Если двѣ перемѣнныя величины, стремя-
щіяся къ предѣламъ, при всѣхъ своихъ измѣненіяхъ сохраняютъ
одно и то же отношеніе, то въ томъ же отношеніи находятся и
ихъ предѣлы.
Пусть а и Ъ двѣ перемѣнныя величины, a A и B ихъ предѣлы,
и положимъ, что при всѣхъ измѣненіяхъ величины а и Ъ по-
стоянно удовлетворяютъ пропрціи:
а : Ъ=т : п,
гдѣ т и п какія-нибудь постоянныя данныя числа. Требуется
доказать, что въ такомъ слуачѣ и
4 : В=т : п.
*) н даже въ томъ случаѣ, когда онѣ, измѣняясь, дѣлаются то
меньшими, то бблыиими своихъ прѳдѣловъ.
— 214 —
Предположимъ снова, что обѣ перемѣнныя, измѣняясь, оста-
ются меныпими своихъ предѣловъ; тогда можно принять, что
а=А—х и Ъ=В—у, гдѣ вычитаемыя хііу суть нѣкоторыя поло-
жительныя величины, стремящіяся къ нулю. Подставивъ въ
данную пропорцію на мѣсто а и Ъ равныя имъ разности A—х
и B—у, получимъ:
(А—х) : (B—у) =т : п.
Откуда: (А—х) п=(В—у) т.
т .-е. An—пх=Bm—ту.
Такъ какъ величины х и у стремятся къ O9 то и произведе-
нія пх и ту стремятся къ O *); вслѣдствіе этого разности An—пх
и Bm—ту представляютъ собою перемѣнныя величины, стремя-
щіяся къ предѣламъ: первая разность—къ постоянной вели-
чинѣ An9 а вторая разность—къ постоянной величинѣ Bm.
Ho если равны перемѣнныя, стремящіяся къ предѣламъ, то
равны и ихъ предѣлы (281; значитъ:
An=Bmt9 откуда: A : В=т : п,
283. Основное начало способа предѣловъ.
Двѣ предыдущія теоремы составляютъ частные случаи слѣдую-
щаго важнаго предложенія, которое мы примемъ безъ доказа-
тельства:
Если какое-либо равенстзо, содержащее перемѣнныя величины,
стремящіяся къ предѣламъ, остается вѣрнымъ при всѣхъ измѣ-
неніяхъ перемѣнныхъ, то оно остается вѣрнымъ и тогда, когда
на мѣсто перемѣнныхъ подставимъ ихъ предѣлы.
Это предложеніе слулштъ основаніемъ такъ называемому
способу предѣловъ, которымъ иногда пользуются
для доказательства нѣкоторыхъ геометрическихъ истинъ.
284. Понятіе о споеобѣ предѣловъ. Этотъ спо-
србъ состоитъ въ слѣдующемъ. Положимъ, что мы желаемъ
*) т.-е. каждое изъ этихъ произведеній дѣлается (и остается) меньше
любого даннаго положительнаго числа, какъ бы мало это число ни
было; напр., произведеніе пх дѣлается (и остается) меньше^ дроби
1-й милліонной, такъ какъ число X9 измѣняясь, дѣлается (и остается)
меньше Vn милліонной.
— 215 —
найти зависимость между нѣкоторыми постоянными величи-
нами A и B9 и допустимъ, что эту зависимость трудно (или
даже невозможно) найтп непосредственно. Тогда задаемся во-
просомъ: нельзя ли величины AnB разсматривать, какъ пре-
д ѣ л ы нѣкоторыхъ перемѣнныхъ величинъ а и Ъ9 и если воз-
можно, то какова зависимость между аи Ъ? Положимъ, оказалось,
что эта зависимость выражается равенствомъ:
а=ЗЬ2,
которое остается вѣрнымъ при всѣхъ измѣненіяхъ а и Ь; въ
такомъ случаѣ можемъ принять, что это равенство остается
вѣрнымъ и тогда, когда на мѣсто а и Ъ подставимъ ихъ пре-
дѣлы, т.-е., что и
А=ЗВ2.
Такимъ образомъ, зависимость между AwB мы найдемъ косвен-
нымъ путемъ, отыскавъ предварительно зависимость между
перемѣнными.
Примѣненіе этого способа мы вскорѣ увидимъ.
Г Л A B A II.
Вычисленіѳ длины окружности.
285. Предварительное разъясненіе. Конечную
прямую можно сравнивать съ дрѵгош конечною прямою, при-
нятою за единицу, вслѣдствіе того, что прямыя линіи при нало-
женіи совмѣщаются. Дѣйствительно, только по этой
прнчинѣ мы можемъ совершенно точно установить, какіе отрѣзш
прямыхъ считать равными и неравными, что такое су^ѵіма от-
рѣзковъ прямой, какой отрѣзокъ болѣе другого въ 2, 3, 4... раза
и т. п. Точно такъ же дуги окружностей одинаковаго
р а д і у с а можно сравнивать между собою вслѣдствіе того,
что такія дуги при наложеніи совмѣщаются. Ho извѣстно, что
никакая часть окружности (или другой кривой) пе можетъ
совмѣститься съ прямой (121); поэтому нельзя установить пу-
— 216 —
темъ наложенія, какой криволинейный отрѣзокъ должно считать
равнымъ данному прямолинейному отрѣзку, а слѣд., и то, какой
криволинейный отрѣзокъ больше даннаго прямолинейнаго въ
2,3,4... раза. Такимъ образомъ, являетсянеобходимость о п р е -
д ѣ л и т ь, что мы разумѣемъ подъ длиною окруж-
н о с т и (или части ея), когда сравниваемъ ее съ прямолиней-
нымъ отрѣзкомъ.
286. Опредѣленіе длины окружноети и ея
дуги. Влишемъ въ данную окружность (черт. 251) какой-
нибудь выпуклый многоугольникъ ABCDEF и найдемъ его
стороны были бы еще меныпе (и, слѣд., число сторонъ еще болыпе)
и найдемъ его периметръ; пусть это будетъ прямая P3. Вообра-
зимъ теперь, что мы вписываемъ въ данную окружность все
новые и новые мн-ки, у которыхъ стороны неограниченно умень-
шаются, и каждый разъ находимъ ихъ периметры. Тогда мы
получимъ безконечный рядъ периметровъ P1, P2, P3, Pi....
A
E
Черт. 251.
в
периметръ. Пусть это будетъ конечная
прямая P1 (черт. 252). Впишемъ въ ту же
окружность какой-нибудь другой вы-
пѵклый мн-къ, у котораго стороны
были бы меныпе (и, слѣд., число сто-
ронъ болыпе), чѣмъ ѵ перваго мн-ка;
найдемъ его периметръ; пусть это бу-
детъ прямая P2 (черт. 252). Впишемъ
далѣе въ нашу окружность третій мн-къ
(онъ не указанъ на чертежѣ), у котораго
PO
Рй
U
Черт. 262.
— 217 —
Можно доказать *), что эт.отъ рядъ стремится къ
опредѣленному предѣлу (напр., къ длинѣ L,
черт. 252), не зависящему отъ того, по какому
закону м ы уменыпаемъ стороны вписан-
ныхъ многоугольниковъ (и, слѣд., увеличиваемъ
число ихъ сторонъ). Мы можемъ, напр., вписывать въ данную
окружность мн-ки по такому закону: сначала впишемъ квадратъ
(черт. 253); затѣмъ впишемъ правильный 8-угольникъ, далѣе
правильный 16-угольникъ, потомъ 32-угольникъ и т. д., и т. д.,
все удваивая число сторонъ правильныхъ мн-ковъ. Можемъ
поступить и такъ: сначала впишемъ правильный 6-угольникъ
(черт. 254), затѣмъ правилытый 12-угольникъ, далѣе 24-уголь-
никъ и т. д., и т. д., все удваивая число сторонъ мн-ковъ. Mo-
жѳмъ вписывать мн-кл и по какому угодно иному закону, при-
чемъ вшсываемые мн-ки могутъ быть и неправильные. Всегда
окажется, что если только стороны вписаннаго выпуклаго мн-ка
неограничепно уменыпаются, то периметръ его
стремится къ*одному и тому же предѣлу, опредѣленному для
данной окружности. Этотъ предѣлъ принимаетсяч за длину
окружности. Такимъ образомъ: за длину окружности
принимаютъ предѣлъ, къ которому стре-
мится периметръ вписаннаго въ эту окруж-
ность выпуклаго многоугбльника, когда
стороны его неограниченно уменьшаются.
*) Доказательство помѣціено ниже, въ § 298.
— 218 —
Черт. 255.
Подобно этому за длину дуги '(AB9 черт. 255) о к р у ж-
ности (и вообще за длину какой-ни-
будь конечной кривой) принимаютъ
предѣлъ, къ которому стре-
мится периметръ ломаной ли-
ніи, вписанной въ эту дугу и
имѣющей съ нею одни и тѣже
концы, когда стороны этой ло-
маной неограниченно умень-
шаются.
287. Слѣдствія- 1°. Равныя дуги и равныя окружности имѣютъ одѵіна-
ковыя длины.
Дѣйствительно, если дуги AB и CD
(черт. 256) равны, то это значитъ, что опѣ
при наложеніи совмѣціаются. Вслѣдствіе
этого ломанныя линіи, вписываемыя въ
нихъ, можно брать совершенно одинако-
выми. Ho тогда пѳриметры этихъ ломаныхъ
будутъ, конечно, стремиться къ одному
и тому же предѣлу; а этотъ предѣлъ, со-
гласно опредѣленію, и есть длина дуги
какъ AB, такъ и CD.
To же самое можно повторить о равныхъ
окружностяхъ.
2°. Длина суммы дугъ равна суммѣ длинъ этихъ дугъ.
Если дуга ABC (черт. 257) есть сумма двухъ дугъ AB и BC, то мы
можемъ вписывать ломаную линію въ дугу ABC
такимъ образомъ, чтобы она всегда была со-
ставлена изъ двухъ ломаныхъ, сходяціихся
въ точкѣ В; тогда одна изъ нихъ будетъ впи-
сана въ дугу AB, а другая въ дугу BC. При
такомъ способѣ вписыванія, очевидно, пре-
дѣлъ (периметра ломаной, вписаной въ дугу
АВС, равенъ суммѣ предѣловъ периметровъ
ломаныхъ, вписанныхъ въ дуги AB и BC;
а это значитъ, что длина дуги ABC равна
суммѣ длинъ дугъ AB и BC.
Въ частности, напр., длина цѣлой окруж-
ности, разложенной на нѣсколько дугъ, равна
суммѣ длинъ всѣхъ этихъ дугъ.
288. Теорема. Длина дуги больше стягивающей ее хорды,
но меньше всякой ломаной линіи, описанной около этой дуги
и имѣющей съ нею одни и тѣ же концы.
Черт. 256.
— 219 —
1°. Пусть ACB (черт. 258) есть дуга окружности, a AB стяги-
вающая ее хорда; требуется доказать, что длина дуги болыпе
этой хорды.—Предположимъ, что въ дугу ACB мы вписываемъ
ломаныя линіи по такому закону: первая ломаная пусть будетъ
какая угодно, напр., ломаная, со-
ставленная изъ 2-хъ хордъ AC и CB;
вторая ломаная пусть будетъ ADCEB9
составленная изъ 4-хъ хордъ, при-
чемъ верпшны первой ломаной, т.-е. A • B
точки A9 C и B пусть входятъ также Черт. 258.
въ число вершинъ и второй ломаной.
Третья ломаная (не указана на чертежѣ) пусть будетъ такая,
которая составлена изъ 8-ми хордъ, причемъ вершины второй
ломаной, т.-е. точки A9 D9 C9 E и B9 пусть входятъ также и въ
число вершинъ третьей ломанной. Такимъ же образомъ вписы-
вается четвертая ломанэя, затѣмъ пятая и т. д. безъ конца.
При такомъ законѣ вписыванія периметръ ломаной, съ каждымъ
удвоеніемъ числа ея сторонъ, будетъ все возрастать
(напр., AT)+DC+CE+EBjAC+CB, такъ какъ AD+DCjAC
и CE+EBJCB); вслѣдствіе этого предѣлъ, къ которому стре-
мится этотъ дериметръ, долженъ быть больше периметра первой
ломаной, т.-е. суммы АС+СВ, и, значитъ, долженъ быть, и
подавно, болыпе хорды AB (53). Ho предѣлъ, къ которому
стремится периметръ вписанной ломанной линіи принимается
за длину дуги АВ\ значитъ, эта длина болыпе хорды AB.
2°. Пусть ломавая линія ACB (черт. 259) описана около
дуги'АВ и имѣетъ съ этою дугою одни и тѣ же концы A и B;
требуется доказать, что длина дуги C
меныпе длины этой ломаной; дру-
гими словами, требуется доказать, что
нредѣлъ L, къ которому. стремится
периметръ выпуклой ломаной .ли-ніи
вписанной въ дугу AB, прн неогра- A
ниченномъ уменыпенін ея сторонъ, Черт. 269.
меньше суммы AC+CB, которую мы для краткости обозначимъ
одною буквою S. Для доказательства возьмемъ вспомогательную
ломаную AmnB, которая получится, если мы срѣжемъ уголъ C
какимъ-нибудь отрѣзкомъ прямой тп, не перееѣкаю-
— 220 —
щимся с ъ дугою AB (что всегда возможно, если ло-
маная ACB о п и с а н а, т.-е. составлена изъ касательныхъ).
Обозначимъ длину этбй вспомогательной ломаной буквок» S1.
Такъ какъ тп<СтС+Сп, то S1KS- Докажемъ теперь, что п р е -
дѣлъ L не можетъ быть больше S1. Предпо-
ложимъ противное, т.-е. что LjS1. Такъ какъ перемѣнная
величина приближается къ своему предѣлу какъ угодно близко,
то периметръ вписанной въ дугу AB ломаной линіи, при до-
статочномъ уменьшеніи ея сторонъ, можетъ приблизиться къ
своему предѣлу L настолько близко, что разность между L
и этимъ периметромъ сдѣлается меньше постоянной разности
L—S1; тогда, значитъ, периметръ вписанной ломанной сдѣлается
больше S1. Ho зто невозможно, такъ какъ всякая выпуклая
ломаная линія, вписанная въ дугу AB, есть объемлемая
по отношенію къ объемлющей ломаной AmnB, и потому
первая должна быть меныпе второй (55). Слѣд., нельзя до-
пустить, что LjS1; значитъ, L^S1 и такъ какъ S1KS, то ZXjS.
289. Замѣчаніе. Доказательство обѣихъ частей этой
теоремы остается въ полной силѣ и тогда, когда дуга, о которой
говорится въ теоремѣ, будетъ не дуга окружности, а часть ка-
кой-нибудь иной кривой, лишь бы только эта часть кривой
была выпуклая, т.-е. такая, которая расположена по одну
сторону отъ каждой своей касательной.
290. Слѣдетвіе. Пусть въ данную окружность (черт. 260)
вписанъ какой-нибудь выпуклый многоугольникъ ABCD и
описанъ какой-нибудь многоугольннкъ MNPQR. Такъ какъ
^ м дуга AB больше хорды AB, дуга BC
болыие хорды BC и т. д., то дпина
окружности больше периметра вписаннаго
многоугольника. Оь другой стрроны, такъ
какъ дуга аЪ меныпе описанной лома-
ной линіи аМ+МЬ, дуга Ъе меньше
описанной ломаной линіи bN+Nc
и т. д., то длина окружности меньше
Q периметра описаннаго многоугольника.
Чѳрт. 260. Hanp., длина окружности больпхе
периметра правильнаго вписаннаго шестиугольника и меньше
— 221 —
периметра описаннаго квадрата; значитъ, длина окружности
больше 6-ти радіусовъ и меньше 8-ми радіусовъ (такъ какъ
сторона правильнаго впиеаннаго шестиугольника равна ра-
діусу, а сторона описаннаго квадрата равна діаметру).
Для болѣе точнаго вычисленія длины окружности въ за-
висимости оть радіуса докажемъ слѣдующую теорему.
291. Теорема. Длины окружностей относятся, накъ ихъ
радіусы или діаметры.
Пусть R и R1 (черт. 261) будутъ радіусы двухъ окружностей,
a C и C1 ихъ длины; требуется доказать,' что
C -.C1=R: R1=SR -.SR1.
Впишемъ въ дан-
ныя окружности ка-
кіе-нибудь правиль-
ные одноименные мно-
гоугольники (вапри-
мѣръ, шестиуголь-
ники) и затѣмъ во-
образимъ, что число
ихъ сторонъ одновре-
менно неограниченно
удваивается (т.-е. вмѣсто шестиугольниковъ берутся правиль-
ные вписанные 12-угольники, затѣмъ 24-угольники, 48-уголь-
ники и т. д. безъ конца). Обозначимъ перемѣнные периметры
этихъ многоугольниковъ черезъ р и рп Тогда будемъ имѣть
пропорцію (263):
р : P1=R : R1.
Ho если перемѣнныя величины сохраняютъ одно и то же отно-
шеніе, то предѣлы ихъ находятся въ томъ же отношеніи (282);
предѣлы же периметровъ р и P1 суть длины окружностей C и C1;
значитъ:’
C : C1=R : R1.
Умноживъ оба члена второго отношенія на 2 (отчего отношеніе
не измѣнится), получимъ:
C : C1=SR : SR1.
292. Слѣдствія. 1°. Переставивъ въ послѣдней пропорціи
ередніе члены, получимъ:
C : SR=C1 : SRn
— 222 —
т.-е. отношеніе одной окружности къ своему діаметру равно
отношенію другой окружности къ своему діаметру; другими
словами: отношеніе окружности къ своему діаметру есть число посто-
янное для всѣхъ окружностей.
Это постоянное число принято обозначать греческою бук-
вою тг *).
2°. Зная радіусъ и отношепіе окружности къ своему діа-
метру, т.-е. число тс, мы можемъ вычислит:- длину окружности
изъ равенства:
C : 2В=ти; откуда С±=2ІІ.%=В.2ъ,
т.-е. длина окружности равна произведенію ея діаметра на число
тг, или произведенію ея радіуса на удвоенное числотг.
Чаще всего формулу для длины окружности пишутъ такъ:
C=BtzB.
293. Понятіе о вычиеленіи тс. Доказано, что отно-
шеніе окружности къ діаметру не можетъ быть выражено точно
ни цѣлымъ, ни дробнымъ числомъ **). Ho можно найти при-
ближенное значеніе тг съ какою угодно точностью. Укэжемъ
одинъ изъ способовъ этого вычисленія.
Если радіусъ примемъ за единицу длины, то длина окруж-
ности выразится числомъ 2тг. Поэтомѵ мояшо сказать, что ти
есть длина п о л у окружностн единичнаго радуіса.
Чтобы вычислить п о л у окружность съ нѣкоторьщъ приближе-
ніемъ, находятъ п о л у периметры правильныхъ вписанныхъ
мн-ковъ, которые получаютъ черезъ удвоеніе числа сторонъ ка-
кого-нибудь одного изъ ннхъ, напр., шестиугольника. Для
*) Обозначеніе это введено, по всей вѣроятности, въ XVII столѣтіи.
Вуква Ic (пиу ёсть начальная буква греческаго слова тгерісрергіа
(окружность).
**) Отношеніе окружности къ діаметру ееть число не только н е -
соизмѣримое, но и трансцендентное, т.-е. такое, ко-
торое не можетъ служить корнемъ никакого алгебраическаго
уравненія съ радііональными коэффиідіентами (впервые это
было доказано въ 1882 г. нѣмецкимъ математикомъ Ф. JI и н д е -
м а н о м ъ). Отсюда можно вывести заключеніе, что помощыо цир-
куля и линейки нельзя рѣшить построеніемъ задачу о в ы пр я м л е-
ніи окружности, т.-е. нельзя построить такой отрѣзокъ
прямой, длина котораго въ точности равнялась бы длинѣ данной
окружности.
— 223 —
этого предварительно находятъ длины сторонъ этихъ мн-ковъ,
а затѣмъ полупериметры. Обозначая, по принятому, черезъ а
сторону правильнаго впиеаннаго мн-ка, имѣюіцаго п сторонъ,
будемъ имѣть:
Gf6-R=I.
Примѣняя формулу удвоенія, выведенную нами ранѣе (273):
а22п=2й2—SRy/' R2-a^n'
находимъ: а12=2—1—і =2—^3=0,26795...
Послѣ этого, пользуясь тою же формулою, послѣдовательно
вычисляемъ:
,2. -.0.. X-aT а*„ = 2-2|/ ^ ^24 •
CA224 =2-21/ 1 -—‘«248 = 2 - 2і/ і—~~Г;ит.Д.
Положимъ, что мы прекратили удвоеніе на 96-угольникѣ.
Чтобы получить его полупериметръ, надо сторону умножить
на 48. Сдѣлавъ всѣ упрощенія и вычисленія, пайдемъ (обо-
значая периметръ буквою р съ соотвѣтствующимъ знакомъ):
1
-р96=3,1410319... *
Если полупериметръ 96-угольника примемъ за длину полу-
окружности, то, конечно, сдѣлаемъ нѣкоторую погрѣшность.
Чтобы судить о величинѣ ея, вычислимъ еще полупериметръ
правильнаго описаннаго 96-угольника Для этого вос-
пользуемся формулою, дающею выраженіе для стороны описан-
наго мн-ка по радіуеу и сторонѣ вписаннаго (271):
Ra96 Gf96
^96'
4
1 48а96
отсюда: -Jrflfi=-
YiT YiT
гдѣ P96 означаетъ периметръ описаенаго 96-угольника. Под-
— 224 —
ставивъ на мѣсто V2P98 и а96 найденныя прежде числа и сдѣлавъ
вычисленія, найдемъ:
^P96 =3,1427146...
Полуокружность болѣе полупериметра вписаннаго, но меньше
полупериметра описаннаго 96-угольника (290); поэтому она
отличается отъ каждаго изъ этихъ полупериметровъ меныпе,
чѣмъ они разнятся между собою. Сравнивая два числа, найден-
ныя для 1I2P9e и V2 ^96 > замѣчаемъ, что у нихъ одинаковы цѣлыя,
десятыя и сотыя доли; елѣд., разность между этими полупери-
метрами меньше 1J100. Поэтому, если положимъ, что тс=3,14,
то получцмъ приближенное значепіе 7и съ точностью до 0,01,
при чемъ это значеніе будетъ с ъ недостаткомъ, такъ
какъ оно меныпе 1J2Vbq и> слѣд., подавно меньше полу*
окружности.
Если подобнымъ образомъ продолжимъ вычисленіе до полу-
ченія полупериметра мн-ка о 6144 сторонахъ, то получимъ
слѣдующее~ число (съ недостаткомъ), точное до одной милліонной:
7и—3,141 592.
Для практическихъ цѣлей достаточно запомнить три или
четыре цыфры этого чиела, а въ случаѣ особенной точности
можно довольствоваться такимъ приближеннымъ значеніемъ
(съ избыткомъ) числа тс, выраженнымъ 5-ю цыфрами:
ти =3,1416.
Полезно также запомнить нѣсколько цыфръ числа
1
** =0,318 3098...,
%
часто встрѣчающагося при вычисленіяхъ.
294. Архимедово и МецІево отношенія. A р х и-
м е д ъ, знаменитый сиракузскій геометръ, жившій въ III вѣкѣ
до Р. Xp., нашелъ для % весьма простое число 22/7, т.-е. Зг/7.
Это число нѣсколько болѣе % и разнится отъ него менѣе, чѣмъ
на 2 тыеячныхъ.
Адріанъ Мецій, голландскій геометръ XVI столѣтія,
далъ для отношенія окружности къ діаметру чиело 255J1139 ко-
торое превосходитъ точное значеніе тс менѣе, чѣмъ на п о л у-
— 226 —
м и л л і о н н y io ; его легко запомнить по слѣдующему пра-
вилу: напиеавъ по 2 раза первыя три нечетныя цыфры:
113 I 355,
слѣдуетъ послѣднія три взять числителемъ, а первыя знамена-
телемъ.
Ученые позднѣйшаго времени, пользуясь уіірощенными спо-
собами (которые указываются высшей математикой), вычислили тс
съ точностью, далеко превосходящею всякія практическія тре-
бованія (такъ, Ш е н к с ъ въ 1873 году нашелъ 707 десятич-
пыхъ знаковъ числа тс *).
295. Длина дуги въ п°. Такъ какъ длина всей окруж-
StzR TzR
ности есть StzR, то длина дуги въ 1° равна "^Г^іьО
слѣд., длина s дуги, содержащей п°, вьфазится такъ:
TzRn
5== 180 '
Если дуга выражена въ-минутахъ (п) или въ секундахъ (n"),
то длина ея опредѣлится формулами:
TzRn тс Rn
5і-1Ь0.60’. $п 180.60.60’
*) Для запоминанія довольно длиннаго ряда цыфръ, выражающихъ
число it, можно пользоваться слѣдующимъ французскимъ двустишіѳмъ:
Que і’ а і ш е & faire apprendre
Un nombre utile аих hommes!
или слѣдуюцшмъ русскимъ (придуманнымъ поісойнымъ прѳподавате-
лемъ Нижегородской гимназіи Шѳнрокомъ):
Kto и шутя, и скоро пожелаетъ
Пи узнать число, ужъ энаѳтъі
Если, выписать въ рядъ числа буквъ, заключаюціихся въ каждомъ
словѣ этихъ фразъ, то получимъ для те приближѳнноѳ число (съ из-
быткомъ) 3,1415926536, вѣрноѳ до одной половины дѳсятибилліонной.
**) Цѣлую окружность можно разсматривать, какъ сумму 860 дугъ,
равныхъ одному градусу; и такъ какъ длина суммы дугъ равна суммѣ
длинъ этихъ дугъ (287, 2°), то дуга въ 1° должна имѣть длину, въ
360 разъ мѳньшую длины цѣлой окружности. Длшіа дуги въ п° ееть
сумма п дугъ въ Iе; поѳтому она должна быть въ п разъ больше длины
дуги. въ 1°.
— 226 —
206. Задача 1-я. Вычислить еъ точностью до
1 миллиметра радіусъ такой окружности,
которой дуга, содержащая 81°21' 36", р а в н а
0,452 м е т р а.
Обративъ 81° 21' 36" въ секунды, получимъ число 292896.
тиR . 292896
Изъ уравненія: °.«2=180 . 60 , 60
0,452 . 180 . 60 . 60 1
находимъ: R= =- = 0,318 (метра).
Задача 2-я. Опредѣлить число градусовъ
дуги, которой длина равна радіусу.
Замѣнивъ въ формулѣ, опредѣляющей длину дуги въ п°,
величину s на R, получимъ уравненіе:
Tc Rn ти п
Е=1ІГ' ™ ‘“Тій
180 1
=—=180. .- =
TU TU
=57°,295764=57Т7'44”,8.
откуда: п=— =180. - =180 . 0,3183098
TU TU
Теорема, служащая оенованіемъ для опредѣленія
длины окружноети.
(Cm. § 286).
297. При доказательствѣ этой теоремы, мы будемъ основываться
на слѣдующихъ почти очеВидныхъ истинахъ:
I0 Если перемѣнкая величина, измѣняясь, все увеличиваэтся, но при зтомъ
оста тся меньше нѣкоторой постоянной величины, то она имѣетъ лредѣлъ.
2° Если перемѣнная величина, измѣняясь, всв уменьшается, но при этомъ
остается большз нікоторой постоянной величины, то она имѣетъ предѣлъ. *
3° Ecли разность дзухъ перемѣнныхъ величинъ стреммтся къ нулю, и одна
ѵгъ этихъ величинъ имѣетъ предѣлъ, то другая имѣетъ тотъ же предѣлъ.
298. Тѳорема. Периметръ выпуклаго многоугольника, вписаннаго въ
онружность, стремнтся къ предѣіу, когда стороны этого многоугольника не-
ограниченно умвньшаются (и, слѣд., число сторонъ неограниченно
увеличивается); г.редѣлъ этототъ не зависитъ отъ закоиа, по которому сто-
роны мкогоугольнкка уменыиаются.
Пусть ABCDE (чѳрт. 262) есть какой-нибудь выпуклый много-
угольникъ, вписанный въ данную окружность.
— 227 —
Проведемъ черезъ всѣ его вершины касательныя къ окружности
до взаимнаго пересѣченія. Тогда получимъ описанный
мн-къ KLMNP. Условимся называть
такой описанный мн-къ соотвѣт-
ственнымъ для вписаннаго мн-ка
ABCDE.
Доказательство наше будетъ состоять
изъ слѣдующихъ" трехъ частей:
1°. Пусть р есть периметръ какого
угодно вписаннаго, a P периметръ с о -
отвѣтственнаго описаннаго
мн-ка *). Докажемъ, что разность P—р
стремится къ 0, когда стороны вписан-
наго мн-ка стремятся къ 0 по какому
угодно закону. Для этого предварительно
найдемъ предѣлъ отношенія P : р. Изъ вѳршинъ Ki Li M, N... опу-
стимъ перпендикуляры на стороны вписаннаго многоугольника. Тогда
P=Altlbtbmtmctcn-PNdtdp+...
р = Al-PlB-PBm-PmC-PCn-PnD -pDp + ... (1)
Изъ алгебры извѣстно, **) что величина дроби:
P AL-PLB-PBM-P
р Alp IB-рBm P
заключается мѳжду меньшею и ббльшею изъ дробей:
AL LB BM
Al’ IBi Bm'"" (2)
Докажемъ, что при неограниченномъ уменыпеніи сторонъ вписан-
наго многоугольника каждая изъ этихъ дробей стремится къ пре-
AL
дѣлу 1. Возьмемъ какую-нибудь одну изъ нихъ, напр. ПРЯ"
моугольнаго тр—ка ALl (чѳрт. 262) мы усматриваемъ, что
AL 1
Al = AL cos A; откуда
Когда стороны вписаннаго многоугольника стремятся къ 0, уголъ At
составленный касательною AL и хордою ABi такжѳ стрѳмится къ O
AL
(277); слѣд., cosA стрѳмится при этомъ къ 1, и потому отношѳніѳ -^y
такжѳ имѣетъ предѣломъ 1. Такъ какъ это разеужденіѳ можно при-
мѣнчть кэ всякому тр—ку чертежа 262-го, то, значитъ, каждая дробь
изъ ряда (2) имѣетъ предѣломъ 1.
P
Отсюда слѣдуетъ, что и предѣлъ отношенія - такжѳ равѳнъ 1.
*) He должно смѣшивать эгихъ буквъ съ такимн же, поставлѳн-
ными на черт. 262.
**) Cm., напр., «Элементарная алгебра» А. Кисе-
л е в а, § 264 (изд. 23-е и слѣд,).
1. *
— 328 —
Доказавъ это, возьмемъ разность P—р и прѳдставимъ еѳ такъ:
р—р=р (^—*)
р
Отношеніѳ — стремится, по доказанному, къ 1; слѣд., разность
-)■
въ которомъ р есть величина конѳчная (такъ какъ пѳриметръ любого
вписаннаго мн—ка всегда остается мѳньшѳ периметра всякаго описан-
наго), также стрѳмится къ 0; значитъ, то же самое можно сказать
о разности P—р.
2°. Докажемъ тѳперь, что периметръ вписаннаго мн—ка стрѳмится
къ прѳдѣлу при слѣдуюціѳмъ частномъ законѣ вписыванія.
Впишѳмъ въ кругъ правильный тр—къ; затѣмъ удвоимъ число сто-
ронъ, т.-ѳ. возьмемъ правильный вписанный 6-угольникъ; далѣе
удвоимъ опять число сторонъ, т.-е. возьмемъ правильный 12-уголь-
никъ; вообразимъ, что этотъ процессъ удвоенія идетъ безъ конца.
Тогда периметры такихъ вписанныхъ многоугольниковъ, увел и-
чиваясь съ каждымъ удвоѳніемъ, всѳ будутъ воз-
растать, оставаясь однако меньшѳ пѳриметра любого описаннаго
мн—ка (напр., квадрата); вслѣдствіѳ этого периметръ вписаннаго
мн—ка, стороны котораго стремятся къ 0 по этому частному закону,
имѣѳтъ прѳдѣлъ. Обозначимъ его черѳзъ Т. Тотъ же прѳдѣлъ имѣѳтъ
и периметръ- соотвѣтственнаго описаннаго мн—ка, такъ какъ, по
доказанному, разность между этими периметрами стремится къ 0.
3°. Докажемъ, наконецъ, что къ тому жѳ предѣлу T стремитея
периметръ внисаннаго мн—ка, стороны котораго умѳнынаются по
какому угодно закону.
Пусть P1 ееть пѳрѳмѣнный периметръ вписаннаго мн—ка, котораго
стороны уменьшаются по произвольному закону, а р периметръ
вписаннаго мн—ка, стороны котораго умѳнынаются по указанному
выше частному закону; положимъ ѳще, что P1 и P будутъ пѳримѳтры
соотвѣтственныхъ описанныхъ многоугольниковъ. По доказанному
въ части 1° этого изложѳнія, разности:
P1-Pt и Р—р
стремятся къ 0. Поэтому и сумма ихъ должна стрѳмиться къ 0. Ho
эту сумму можно представить такъ:
(Рі—р) +(.р—Рі)-
Такъ какъ перимѳтръ выпуклаго многоугольника меньшѳ пери-
метра всякаго другого многоугольника, объемлюціаго его, то PKP1
и P1KP; слѣд., обѣ разности P1—р и P—рг положительны; сумма же
поло.жительныхъ слагаемыхъ стремится къ 0 только тогда, когда
каждое слагаемое стрѳмится къ 0; слѣд., разности P1—р и P—
стремятся къ 0. Ho величины р и P имѣютъ общій предѣлъ J1; сдѣд.
(297, 3°), величины рг и P1 имѣюдъ тотъ жѳ предѣлъ Г.
P / P
— ■*—1 стремится къ 0; вслѣдствіѳ этого и прои^вѳденіе Ѵ\Т
— 229 —
Такимъ образомъ, предѣлъ перимѳтра существуетъ и нѳ зависитъ
отъ закона, по которому стороны вписаннаго мн—ка уменьшаются.
Замѣнаніе. Примѣняя изложеиноѳ доказатѳльство нѳ къ цѣлой
окружности, а къ какой-нибудь ея части, или вообщѳ къ какой-
нибудь конечной выпуклой кривой (кривую нѳ выпуклую
можно разбить на выпуклыя части), мы можѳмъ доказать эту теорему
HO отношенію къ псрлметру ломаной линіи, вписаниой въ эту конѳч-
ную кривую.
УПРАЖНЕНІЯ.
255. Доказать, что въ двухъ кругахъ отношеніѳ цѳнтральныхъ
угловъ, соотвѣтствуюцшхъ дугамъ, имѣющимъ одинаковую длину
равно обратному отношѳнію радіусовъ.
256. Какъ вѳлика будѳтъ ошибка, если вмѣсто полуокружности
восьмемъ сумму стороны правильнаго вписаннаго треугольника и
стороны вписаннаго квадрата?
257. Ha окружности взята точка A и черезъ неѳ проведѳны: діа-
метръ ABi сторона правильнаго вписаннаго 6-угольника AC и каса-
тельная MN.- Изъ центра O опущенъ на AC пѳрпѳндикуляръ и про-
долженъ до перѳсѣчѳнія съ касатѳльною въ точкѣ D. Отъ этой точки
отложена по касатѳльной (черезъ точку А) прямая DEi равная 3 ра-
діу.амъ. Точка E соединена съ концомъ діаметра B. Опредѣлить,
ъакъ велика погрѣшность, если прямую BE возьмѳмъ за длину полу-
окружности *).
258. Ha діаметрѣ данной полуокружности построены двѣ равныя
пол^окружности и въ ту часть плоскости, которая заключена мѳжду
трѳмя полуокружностями, вписанъ кругъ. Доказать, что діамѳтръ
этого круга относится къ діаметру равныхъ полуокружностей,
какъ 2 : 3.
259. Вычислить въ градусахъ, минутахъ и секундахъ дугу, равную
радіусу (рѣшеніѳ въ текстѣ, стр. 226).
260. Вычислить длину одного градуса земного экватора, принимая
радіуръ земли въ 859 гѳогр. миль.
*) Доказано, что посрсдствомъ уиркуля и линейки нѣтъ возмсж-
ности посгіроить таъую конечную прямую, которая въ точности равня-
лась бы длинѣ окружности (задача о спрямлѳніи окруж-
н о с т и невозможна, см. выноску къ § 293). Однако есть нѣсколько
способовъ для приближѳннаго спрямлѳнія. Въ задачахъ 256 и 257
указаны два изъ этихъ способовъ. Послѣдній изъ нихъ, принадлѳ-
жащій польскому іезуиту Кѳханскому (1683), замѣчателенъ
тѣмъ, что можетъ быть выполненъ однимъ раствореніемъ циркуля.
— 230 —
K H И Г A V.
ИЗМѢРЕНІЕ' ПЛОЩАДЕЙ.
Г Л A B A I.
Ллощзди многоуголшковъ.
299. Основныя допущенія о площадяхъ. Часть
плоскости, заключенная внутри многоугольника или другой
какой-нибудь плоской фигуры наз. площадью этой фи-
гуры.
Площадь фигуры мы можемъ разсматривать, какъ вели-
ч и н у особаго рода, если примемъ слѣдующія допущенія:
1°. Равныя фигуры (т.-е. такія, которыя могутъ быть
совмѣщеныприналоженіи)имѣютъ равныя площади
независимо отъ ихъ положенія въ про-
странствѣ.
2°. П л о щ а д ь' какой-нибудь фигуры (напр.,
изображенной на черт. 263), с о-
стоящей изъ нѣсколь-
кихъ частей (М, N...), л р и-
нимается за сумму пло-
щадей этихъ частей.
300. Слѣдетвія. і°. nfto-
щадьфигуры большепло-
щади каждой ея части,
Черт, 263. такъ какъ сумма положительныхъ
величинъ больше каждаго слагаемаго.
2°. Если фигура состоитъ изъ 2-хъ частей (черт. 263), то пло-
щадь каждой части разсматривается, какъ разность между
площадью дѣлой фигуры и площадью другой ея части.
3°. Если фигуры (напр., изображенныя на черт. 264) состоятъ
изъ одинаковаго чнсла частей (A, B...,), соотвѣтственно
другъ другу равныхъ, то площаДи такихъ фигуръ,
прёдставляя собою суммы соотвѣтственно равныхъ слагаемыхъ,
считаются р а в н ы м и независимо отъ того, какъ расположены
эти части относительно другъ друга.
— 231 —
4°. Фигуры, площади которыхъ можно разсматривать, какъ
разности площа-
д е й равныхъ фигуръ,
имѣють одинаксвля пло-
щади. Мы вскорѣ встрѣ-
тимъ такой случай (308).
Мы видимъ такимъ обра-
гомъ, что Morj Tb бкть фи-
гуры, которыя нельзя на-
звать равнымн (такъ какъ онѣ не могутъ быть совмѣщены),
но которыя однако имѣютъ равныя площади; таковы, напр.,
прямоугольникъ, параллелограммъ и треугольникъ, изобра-
женные на черт. 264
Фигуры, имѣющія равныя площади, назы-
в а ю т с я равновеликими.
Равныя фигуры всегда равновелики, но равновеликія фигуры
не всегда равны.
301. ЗамѢчанІЯ. 1°. Относительно указанныхъ допущеній о пло-
ціадяхъ возникаетъ слѣдующій важный вопросъ. Положимъ, что,
разбивъ данную фигуру на нѣкоторое число частѳй произвольной
формы, мы перемѣщаемъ эти части разнообразными способами (по-
добно тому, какъ на черт. 264-мъ перемѣщены части A и Б); мы будемъ
тогда получать различныя новыя фигуры. He можетъ ли при этомъ
получиться и такая фигура, которая, помѣщенная на начальную
фигуру или на какую-нибудь изъ образовавшихся изъ нея новыхъ
фигуръ, вся умѣстится внутри этой фигуры? Если бы это
случилось, TO мы имѣли бы тогда двѣ фигуры, которыя, СЪ ОДНОЙ CTO-
роны, состоя изъ одинаковаго числа попарно совмѣщаюціихся частей,
должны считаться равновеликими; а съ другой стороны, та изъ нихъ,
которая способна помѣститься внутри другой и, такимъ образомъ, мо-
жетъ составить часть этой другой, должна считаться меньшей изъ двухъ.
Тогда указанныя допущенія о равенствѣ и неравенствѣ площадей теря-
ли бы всякій смыслъ, такъ какъ, согласно этимъ допущеніямъ, двѣ пло-
щади могли бы одновременно считаться и равными, и неравными.
.Впервые обратилъ вниманіе на этотъ вопросъ италіанскій мате-
матикъ Де-Цольтъ, который (въ 1881 г.) пытался доказать
(но неудачно), что много.угольникъ никогда не мо-
жетъ оказаться равновеликимъ своей части
(и, значитъ, предположенный нами случай нѳвозможенъ). Э т о
предложеніе Де-Цольта принималось сйачала, какъ
недоказуемый постулатъ равгіовеликости, но затѣмъ
(въ концѣ XlX столѣтія) оно было строго доказано (С. Ш а т у -
- 232 -
новскимъ, Гнльбертомъ и др.). Мы опускаемъ эти
доказательства по причинѣ ихъ сложности.
2°. Различаютъ равновеликость Дѣухъ ^юдовъ; одна изъ нихъ
указана въ отдѣленіи 3° параграфа 300-го, другая—въ отдѣленіи 4°
того жѳ параграфа. Первую можно назвать равновеликостью «п о
разложѳні ю», вторую—равновеликоетью «по дополнѳ-
н і ю». Дѣйствительно, равновеликоеть 1-го рода можѳтъ быть вы-
сказана такъ: двѣ фигуры считаются равновели -
кими, если онѣ могутъ быть разложены н а одигіа-
ковоѳ число частѳй, еоотвѣтствѳнно другъ
другу равныхъ, а равновеликость 2-го рода можетъ быть
выражена такъ: двѣ фигуры считаются равнове-
ликими, если ихъ можно дополнип.ь р а в н ы м и
другъ другу фигурами такимъ образомъ, что
образовавшіяся суммы представляютъ собою
тожѳ равныя фигуры. Примѣромъ равновеликости по
разложенію служатъ фигуры, указанныя на чѳрт. 204; какъ примѣръ
равновеликости по дополненію можно указать пар—мъ ABCD и
прям—къ AEFD черт. 270-го. Дѣйствительно, обѣ эти фигуры
даютъ одну и ту жѳ трапецію AECDi если пар—мъ дополнимъ тр—комъ
AEBi а прям—къ дополнимъ тр—комъ DECi равнымъ ДАЕВ.
Для прямолинейныхъ фигуръ доказано, что равновеликость по
дополнѳнію ееть вмѣстѣ съ тѣмъ и равновеликость по разложенію.
Частный случай этой истины доказанъ нами въ § 309 помощью чер-
тѳжа 273-го.
3°. Можно такжѳ доказать, что двѣ фигуры, равно-
вѳликія одной и т о й жѳ третьѳй фигурѣ, рав-
новѳлики и между собою. Мы принимаемъ эту истину
бѳзъ доказатѳльства.
302. Единица площади. За едишщу площади при из-
мѣреніи ихъ обыьновеино берутъ площадь такого квадрата,
у котораго сторона равна линейной единицѣ; таковы, напр.,
квадратный метръ, квадратный аршинъ и т. п.
Отношеніе двухъ квадратныхъ единицъ.
разныхъ названій
равно второй ст е-
пени отношенія тѣхъ
линейныхъ единицг,
которыя служатъ сто-
ронами для этихъ
к в а д р а т н ы х.ъ е д и н и д ъ.
Такъ, отношеніе квадратной
сажени къ квадр. аршину
Черт. 265.
— 233 —
равно З2, т.-е. 9, что ясно видно изъ чертежа 26б-го, на котѳ-
ромъ меньшій изъ двухъ квадратовъ изображаетъ квадратный
аршинъ, а ббчыпій—квадратнуіо сажень.
803. Понятіе о чиелѣ, измѣряющѳмъ площадь. Пояснимъ
наглядно, что слѣдуетъ разумѣть подъ числомъ, измѣряю-
щимъ въ квадратныхъ ѳдиниуахъ гданную
п л о щ а д ь.
Проведемъ двѣ взаймйо-
перпендикулярныя прямыя
ABn CD (черт. 266) и затѣмъ
построимъ рядъ прямыхъ, па-
раллельныхъ ABi и другой
рядъ прямыхъ, параллѳль-
ныхъ GDi причемъ разстоя-
нія между тѣми и другими
прямыми возьмемъ одинако-
выми, а именно равными
какой-нибудь линейной еди-
ницѣ. Мы получимъ тогда
сѣть квадратовъ,
изъ которыхъ каждый пред-
ставляетъ собою квадратную
единицу. Вообразимъ, что на
такую сѣть наложена та фи-
гура, которой площадь мы
желаемъ измѣрить (напр., данный кругъ, какъ изображено на чер-
тѳжѣ 266). Тогда по отношѳнію къ этой фигурѣ всѣ квадраты сѣти
можно раздѣлить на три рода: 1) внѣшніе квадраты, которыѳ распо-
ложены внѣ данной фигуры; 2) внутренніе квадраты, которыѳ лежатъ
внутри фигуры (они пойрыты на чѳртежѣ двойными штрихами) и
3) тѣ квадраты, чѳрѳзъ которые проходитъ контуръ фигуры и которые,
слѣд., лежатъ частью внутри, частью внѣ данной фигуры (эти ква-
драты на чертежѣ покрыты простыми штрихами). Оставивъ безъ
вниманія внѣшніе квадраты, сосчитаемъ отдѣльно квадраты 2-го и*
квадраты 3-го рода. Пусть первыхъ окажется W, а вторыхъ п. Тогда,
очевидно, измѣряемая площадь больше W, но меньше т-Рп квадр.
единицъ. Числа т и т + п будутъ въ этомъ случаѣ приближѳн-
н ы я м ѣ р ы данной площади, первоѳ число съ недостаткомъ
а второе съ избыткомъ, причемъ погрѣшность меныиѳ п квадр; ед.
(меньше суммы тѣхъ квадратовъ, которые покрыты на нашемъ чѳртежѣ
простыми штрихами).
Чтобы получить болѣе точные результаты измѣренія, у п л о т -
н и м ъ нашу сѣть квадратовъ, подраздѣливъ кажДый изъ нихъ на
болѣѳ мелкіе квадраты. Hanp., раздѣлимъ стороны квадратовъ на
10 равныхъ частей и черѳзъ точки раздѣла проведемѣ рйдъ прямыхъ,
Черт. 266.
— 234 —
параллелъныхъ ABi и другой рядъ прямыхъ, параллѳльныхъ CD.
Мы разложимъ тогда каждый квадратъ сѣти на 100 мелкихъ квадра-
товъ, изъ которыхъ каждый составляетъ Yioo часть квадратной еди-
ницы. Положимъ, что теперь всѣхъ внутреннихъ малыхъ квадратовъ
будетъ т\ а тѣхъ, которые перееѣкаются контуромъ фигуры, пусть
YYlf
окажется п . Тогда измѣряемая площадь будетъ болѣе ’ но менѣе
т' + Yi'
■—Jqq квадратной единицы. Эти числа Cr дуть новыя приближенныя
мѣры измѣряемой плоціади, первое съ недостаткомъ, второе съ из-
п'
быткомъ, причемъ погрѣшность менѣе Jqq квадр. един. He трудно
убѣдиться, что эта погрѣшность окажется менѣе прежней погрѣшности.
Дѣйствительно, отъ каждаго изъ тѣхъ квадратовъ чертежа 266-го,
которые покрыты простыми штрихами, отойдутъ теперь, во 1, тѣ
части, которыя составлены малыми квадра-
тами, лежащими внѣ фигуры, и во 2, тѣ
части, которыя составлены малыми квадра-
тами, лежаціими внутри фигуры. Для ясности
мы на черт. 267-мъ изобразили въ увеличен-
номъ видѣ одинъ изъ квадратовъ, покрытыхъ
на предыдуціемъ чертежѣ простыми штрихами
(именно, квадратъ, обозначенный буквою fc),
раздѣливъ его на 100 мелкихъ кйадратовъ.
Мы теперь ясно видимъ, что полоса, соста-
вленная изъ малыхъ квадратовъ, черезъ которые проходитъ контуръ
фигурьг (покрытая на черт. 267 простыми штрихами), значительно
менѣе всего боЛьшого квадрата. Такъ какъ это справедливо для
каждаго квадрата чертежа 266-го, покрытаго простыми штрихами,
п'
то ясно, что погрѣшность, равная ^о^квадр. ед., менѣе погрѣшности,
равной п квадр. сд.
Если подраздѣлимъ квадратную единиіду на части еще болѣе
мелкія, то, произведя указаннымъ путемъ измѣреніе, мы получимъ
приближенныя мѣры площади еціе съ меныией погрѣшностью.
Иногда (напр., при измѣреніи площади прямоугольника, см. чер-
тежъ 268), поступая описаннымъ способомъ, мы можемъ получить
точную мѣру площади. Это будетъ тогда, когда контуръ дан-
ной фигуры представляетъ собою ломаную линію, которой стороны
еовпадаютъ съ частями прямыхъ линій, образующихъ сѣть квадра-
товъ; въ этомъ случаѣ, слѣд., не будетъ совсѣмъ квадратовъ, про-
рѣзываемыхъ контуромъ фигуры. Тогда число квадратовъ, лежащихъ
ркутри фигуры, составитъ точную мѣру измѣряемой площади. Bo всѣхъ
остальныхъ случаяхъ указанный пріемъ измѣренія даетъ только
приближенные результаты,. причѳмъ' погрѣшность можетъ быть сдѣ-
лана какъ угодно малой. ,
Черт. 267.
— 235 —
Представимъ себѣ, что какими-нибудь соображеніями мы нашли
такое число Q (цѣлое, дробное или несоизмѣримое), которое оказы-
вается бблынимъ всякаго приближеннаго результата измѣренія,
взятаго съ недостаткомъ, и меньшимъ всякаго приближеннаго ре-
зультата измѣренія, взятаго съ избыткомъ; тогда такоѳ число
можетъ быть принято за точную мѣру измѣ-
ряемой площади.
Доказано, что такое число суціествуетъ дл*я всякой площади и
что оно не зависитъ отъ положенія тѣхъ прямыхъ AB и CD (черт. 266),
параллельно которымъ проводятся линіи сѣти. *) Число это обладаетъ
слѣдуюцшми двумя свойствами: при одной и той же ква-
дратной единицѣ 1) площадямъ равныхъ ф и -
г у р ъ (совмѣщающихся) соотвѣтствуютъ равныя
числгѵ, и 2) суммѣ площадей (299,2) соотвѣт-
ствуетъ сумма чиселъ. Отсюда слѣдуетъ, что ббльшей
плоціади соотвѣтствуетъ ббльшеѳ число, равновеликимъ фигурамъ
соотвѣтствуютъ равныя числа, и т. п.
304. Основаніе и высота. Измѣреніе площади только
въ рѣдкихъ случаяхъ могло бы быть выполнено непосредствен-
нымъ наложеніемъ квадратной единицы. Болыпею частью пло-
щади. приходится измѣрять косвенно, посредствомъ измѣренія
нѣкоторыхъ линій фигуры.
Условимся одну изъ сторонъ треугольника или параллело-
грамма называть основаніемъ этихъ фигуръ, а перпен-
дикуляръ, опущенный на эту сторону изъ вершины тр-ка или
изъ какой-нибудь точки противоположной стороны параллело-
грамма, будемъ называть в ы с O т о ю.
Въ прямоугольникѣ за высоту можно взять сторону, перпен-
дикулярную къ той, которая принята за основаніе.
Въ трапеціи основаніями называютъ обѣ параллельныя сто-
роны, а высотою—общій перпендикуляръ между ними.
Основаніе и высота прямоугольника наз. его измѣре-
н і я м и.
305. Теорема. Площадь прямоугольника равна произве-
денію его основанія на высоту.
*) Cm. W. Killing und Hovestad t—Handbuch des
mathematischen Unterrichts, I Band. 1910.
— 236 —
Это краткое предложеніе надо понимать такъ: число,
выражающее п л о іц а д ь п р я м о у г о л ь н и к а
въ квадратныхъ едипицахъ, равно произ-
веденію чиселъ, выражающихъ основаніе
ивысотуеговъ соотвѣтствующихъ линей-
ныхъ единицахъ
При доказательствѣ разсмотримъ особо слѣдующіе три случая:
1°. Основаніеивысота, измѣренныя одной
и той же единицей, выражаются цѣлыми
ч и с л а м и.
Пусть у даннаго прямоугольника (черт. 268) основаніе равно
цѣлому числу Ъ линейныхъ единицъ, а высота—цѣлому числу h
тѣхъ же единицъ. Раздѣливъ основаніе
на Ъ и высоту на h равныхъ частей, про-
ведемъ черезъ точіш раздѣла рядъ прямыхъ,
параллельныхъ высотѣ, и другой рядъ
прямыхъ, параллельныхъ основанію. Отъ
взаимнаго пересѣченія этихъ прямыхъ обра-
зуются нѣкоторые четыреугольники. Возь-
мемъ какой-нибудь одинъ изъ нихъ, напр.,
четыреугольникъ к (покрытый на чертежѣ
штрихами). Такъ какъ стороны этого че-
гыреугольника, го построенію, параллельны соотвѣтствующимъ
сторонамъ даннаго прямоугольника, то всѣ углы его прямые;
значитъ, четыреугольникъ к есть прямоугольникъ. Съ другой
стороны каждая сторона этого прямоугольника равна разстоя-
нію между сосѣдними параллельными прямыми, т.-е. равна одной
и той же линейной единидѣ. Значитъ, прямоутольникъ к пред-
ставляетъ собсАо квадратъ, а именно ту квадратную единиду,
которая соотвѣтствуетъ взятой линейной единицѣ (если, напр.,
основаніе и высота были измѣрены лннеЕплми сантиметрами,
то квадратъ к есть квадратный сантиметръ). Такъ какъ сказанное
объ одномъ четыреугольникѣ можетъ быть повторено о всякомъ
другомъ, то, зпачитъ, проведеніемъ указанныхъ параллель-
ныхъ дрямыхъ мы разбиваемъ всю длощадь даннаго прямоуголь-
ника на квадратныя единицы. Найдемъ ихъ число. Очевидно, что
рядъ прямыхъ, лараллельныхъ основанііо, раздѣляеть нрямо-
угольникъ на столько равныхъ горизонталышхъ полосъ, сколько
T
Чѳрт. 268.
— 287 —
въ высотѣ содержится линейныхъ единицъ, т.-е. на h равныхъ
тіолосъ. Съ другой стороны рядъ прямыхъ, параллельныхъ
высотѣ, разбиваетъ каждую горизонтальнуіо полосу на століко
квадратныхъ единидъ, сколько въ основаніи содержится линей-
ныхъ единицъ т.-е. на Ъ квадратныхъ единицъ. Значигь, всѣхъ
квадратныхъ единицъ окажется Ь . h. Таішмъ образомъ:
площадь прямоугольника=Ь7і,
т.-е. она равна произведенію основанія на высоту.
2°. Основаніе и высота, измѣренныя од-
ною и тою же единицеіо, выражаіотся
дробными числами.
Пусть у даннаго прямоугольника:
т р
основаніе=—лин. ед.; высота=—той же ед.,
п q
причемъ мы не исключаемъ и тотъ случай, когда какая-нибудь
изъ этихъ дробей равна цѣлому числу.
Приведя дроби къ одипаковому знаменателю, получимъ:
Ttiq рп
основаніе=—; высота =—\
Tiq Tiq
Примемъ 1Ini долю линейной единицы за новую единицу длины.
Тогда мы можемъ сказать, что основаніе содержитъ mg этиуь
новыхъ единицъ, а высота рп тѣхъ же единицъ. Значитъ, по до-
казанному въ случаѣ 1°, площадь прямоугольника равна
(mg) (рп) такихъ квадратныхъ единицъ, которыя соотвѣтствуютъ
новой единидѣ длины. Ho эта квадр. единица составляетъ 1I^nj2
часть квадр. единицы, соотвѣтствуюхцей нрежней лпнейной
единицѣ (302); значитъ, плохцадь нрямоугольниіса равна:
1 / ч / ч Tnqpn тр тп р
-.(mg) (рп)-.
(ng)2 «2д2 ng п д
3е. Основаніе.и высота (или только одно изъ этихъ
ххзмѣреній) несоизмѣримы съ единицей длины
Iil слѣд., выражаются дфсоизмѣримыми
ч д C Л а ц и,
— 238 —
Пусть основаніе AB прямоугольника ABCD (черт. 269) вы-
ражается несоизмѣримымъ числомъ а и высота BD—несоизмѣ-
римымъ числомъ р. Найдемъ при-
женныя значенія числа а, первая съ
иедостаткомъ, вторая съ избыткомъ. Положимъ далѣе, что отло-
живъ 1Jn долю линейной единицы па высотѣ AD (отъ точки А)
р разъ, мы получимъ AD1KjZD, а отложивъ р+1 разъ, найдемъ
. р р+1
AD2JAD; тогда дроби— хі будутъ дриближенныя зна-
п п
ченія числа р, первая сънедостаткомъ.втораясъпзбыткомъ.По-
строимъ 2 всііомогательные прямоугольника AB1CiD1H AB2C2D2.
У каждаго изъ нихъ основаніе и высота выражается дробными
числами:
ABtM, ABt=JMli AD1M, ADtJAI
п п п гі
Поэтому, согласно доказанному въ случаѣ 2°:
л-ппг. т V
площ. AB1C1D1=- .1;
п п
ЛТУ П -п ш+1 р+1
площ. AB2C2D2- . —_.
п п
Такъ какъ площадь AB1C1D1 есть ч а с т ь площади ABCD,
а эта послѣдняя есть ч а с т ь площади AB2C2D2, то
пл. AB1C1D11Oui. ABCDKaa. AB2C2D2,
н потомуГ. -<Счисла, измѣр. пл. АВСР<С- Т . ГУ:.
Uq Iiq
— 239 —
Это двойное неравенство остается вѣрнымъ при всякомъ зна-
ченіи п, т.-е. оно остается вѣрнымъ, съ какою бы точностыб мы
ни находили приближенныя значенія чиселъ о и ft. Значитъ,
мы можемъ сказать, что плошадь ABCD должна выражаться
такимъ числомъ, которое болыпе произведенія любыхъ прибли-
женныхъ значеній чиселъ а и р, если эти значенія взяты съ не-
достаткомъ, но меныпе произведенія любыхъ ихъ приближен-
ныхъ значеній, если эти значенія взяты съ избыткомъ. Такое
число, какъ извѣстно изъ алгебры, наз. произведеніемъ
несоизмѣримыхъ чиселъ а и (3. Слѣд.:
площ. ABCD=Oift,
т.-е. она и въ этомъ случаѣ равна произведенію основанія на
высоту.
Это разсужденіе вполнѣ примѣнимо и къ тому случаю, когда
только одно изъ измѣреній прямоугольника несоизмѣримо
съ единицей длины.
306. Слѣдствіе. П л о щ а д и двухъ прямоуголь-
никовъ, имѣющихъ равныя основанія, о т-
носятся, какъ ихъ высоты, а площади
двухъ прямоугольниковъ, имѣющихъ рав-
ныя высоты, относятся, какъ ихъ осно-
в а н і я.
Дѣйствительно, если b, h и P будутъ основаніе, высота и
площадь одного прямоугольника, а Ъп K1 и P1—основаніе, вы-
сота и площадь другого прямоугольника, то, по доказанному:
Р=Ыі и P1=^bjh1: слѣд.: P: P1=Hi-.I1K1. Отсюда находимъ,
что если 6=1»!, то P : P1=B : Ii1, а если Zx=Ji1, то P : P1=6 : Ji1.
307. Замѣчаніе. Въ послѣдующихъ теоремахъ мы будеыъ
сокращенно госоритъ: «площадъ равна произведенію такихъ-то
-линій», разумѣя подъ этимъ, чо'о ч и с л о, выражающее площадь
въ квадратиыхъ единицахъ, равно ироизведенію чиселъ.
выражающихъ такія-то линіи въ соотвѣтствующихъ линейныхъ
единицахъ.
308. Теорема. Площадь параллелограмма (ABCD,
черт. 270 и 271) равна произведенію основанія на высоту.
Ha основаніи AD построимъ прямоугольвикъ AEFD. у ко-
тораго сторона EF составляетъ продолженіе стороны BC. До-
кажемъ, что площ. ABCD =площ, AEFD.—Изъ чертежей усма-
триваемъ, что
площ. ABCD=площ. AECD-площ. AEB
и площ. AEFD=TLAom,. AECD—площ. DFC.
Ho прямоугольные тр-ки AEB и DFC равны, иотому что
у нихъ: AE=DF и AB=DC (какъ противоположныя стороны
■параллелограммовъ). Значитъ, равны и площади этихъ тр-ковъ.
Поэтому площади ABCD и AEFD представляютъ собою р а з-
ности соотвѣтственно равныхъ площадей;
вслѣдствіе этого (300, 4°):
площ. ABCD=площ. AEFD.
• Ho пл. AEFD=Vh-, слѣд., и пл. ABCD=Ih, иричемъ Ъ можно
разсматривать, какъ основаніе параллелограмма, и h, каісъ
его высоту
Слѣдствіе. Параллелограммы съ равными основаніями и
равными высотами равновелики.
ЗОѲ. Замѣчаніе. Параллело г р аммы. имѣюцііе
р а в н ы я осно в^а нія и равн ы л высоты, могутъ
быть разложены на одинаковое число частѳй,
попарно другъ другу равныхъ (конгруэнт-
н ы х ъ). Для доказательства размѣстимъ параллелограммы такимъ
образомъ, чтобы ихъ равныя основанія совцали. Тогда могутъ прѳд-
- 241 —
ставиться два случая: 1) когда верхнія етороны пар-мовъ имѣютъ
какую-нибудь общую часть (черт. 272), и 2) когда такой обціей части
нѣтъ (черт. 273).
Черт. 272.
Разсмотримъ эти случаи отдѣльно.
1) Парал-мъ ABCD прямою AE раздѣляется на 2 части: Д ABE
и трапеція AECD; другой парал-мъ прямою CD разлагается на
Д DCF и ту же трапецію AECD. Такъ какъ Д ABE= Д DCFi то
значитъ, оба парал-ма составлены изъ попарно равныхъ частей.
2) Пусть K будетъ точка пересѣченія сторонъ AE и DC. Отложимъ
на KCi начиная отъ Ki части, равныя DKi столько разъ, сколько
можно (на нашемъ чертежѣ отрѣзокъ KD уложился на KC одинъ
разъ до точки Li причемъ получился остатокъ LCkDK). Черезъ
точки KnL проведемъ прямыя, параллельныя AD. Тогда пар-мъ
ABCD разложится на 3 пар-ма, изъ которыхъ два равны между собою;
пар-мъ AEFD также разложится на 3 пар-ма, изъ которыхъ два равны
между собою. Проведя діагонали MLn NQi затѣмъ PS || AE и OR || ABi
мы раздѣлимъ каждый изъ Данныхъ пар-мовъ на 6 частей; не трудно
видѣть, что чаети, обозначенныя на чертежѣ однѣми и тѣми же
цыфрами, другъ другу равны.
310 Теорема. Площадь треуголь-
ника (АВС, черт. 274) равна половинѣ
произведенія основанія на высоту.
Проведемъ BE Il AC и AE Il BC. Тогда
получимъ пераллелограммъ АЕВС, ко-
тораго площадь, цо доказанному, рав-
на bh. Ho площадь /\АВС составляетъ
половину площади AEBC; слѣд.:
Черт. 274.
площ. АВС=—Ыг.
— 242 —
ЗН. Слѣдетвія. і°. Треугольники съ равными основаніями
и равными высотами равновелики.
J Ecли, напр., вершину B тр-ка
ABC (черт. 275) будемъ перемѣ-
щать по прямой, параллельной
основанію AC, а основаніе оста-
вимъ то же самое, то площадь
тр-ка не будетъ измѣняться.
2°. Площадь прямоугольнаго тре-
угольника равна половинѣ произведенія его катетовъ, потому
что одинъ катетъ можно взять за основаніе,
а другой за высоту.
Изъ черт. 276 непосредственно видно, что
площадь такого тр-ка составляетъ половину
площади прямоугольника, имѣющаго то же
основаніе и ту же высоту.
Черт. 276.
3*. Площадь ромба равна половинѣ произведенія его діаго-
налей. Дѣйстгительно, если ABCD
(черѣ. 277) есть ромбъ, то его діаго-
нали взаимно перпендикулярны. По-
этому:
пл. ДABC=1I2 AG . OB.
пл. ДACD=1U AC . OD.
пл. ABCD=1U AC . (ОВ+ОХ>)=
=1U AC . BD.
Черт. 277.
4е. Площади треуголькиковъ относятся, канъ произведѳнія
основаній на высоты (множитель 1J2 сокращается).
812. Замѣчаніѳ. Всякій треуго лЧ> никъ разла-
гается на части, перемѣщеніемъ которыхъ
можно образовать прямоугольникъі имѣю-
щій одинаковое съ треугольникомъ осно-
ваніе и высоту, вдвое меньшую высоты трѳ-
угольника. Дѣйствительно, если въ тр-кѣ ABC (чѳрт. 278)
— 243 —
черезъ середины DnE двухъ сторонъ (образующихъ съ третьей
стороной острые углы) провѳдемъ прямую и на нѳе опустимъ пѳрпен-
дикуляръ BFi то тр-къ ABC разобьется
этими прямыми на 3 части, обозначенныя
на чертежѣ уыфрами 1, 2 и 3. Повернувъ
часть 1-ую вокругъ точки D на 180°
(въ направленіи, указанномъ стрѣлкой),
мы приведемъ ее въ положеніѳ AKD;
подобнымъ же образомъ часть 2-ю мы
приведемъ въ положеніе CLE. Тогда
тр-къ ABC превратится въ прямоуголь-
никъ AKLCi у котораго основаніе то же
еамое, что и у тр-ка, а высота вдвое
меныпе выеоты тр-ка.
313. Теорема. Площадь S треугольника въ зависимости
отъ его сторонъ а, Ъ и с выражается формулой:
S=V ѵ(Ѵ—<*)(р—Ь)(р—с),
гдѣ р есть полупериметръ треугольника, т.-ѳ.
1
P “(а+Ь+с).
Пусть высота тр-ка ABC (черт. 279), онущенпая на сторону
а, есть Ьа. Тогда:
Черт. 278.
S=-^aha
K
возьмемъ
-2ас'
Чтобы найти высоту
уравненіе (236):
. ъ2=а2+с2-
и опредѣлимъ нзъ него отрѣзокъ с':
, а2+с2—Ь2
с = •
2а.
Изъ треугольника ABD находимъ:
K
Ьа=л/ с2— V ———)2=— V4а2е2—(а2+с2—Ь2)2
V \ 2а J 2а
Преобразуемъ нодкоренную величину такъ:
(2ас)2—(а2+с2—Ь 2)2=(2ас+а2+с2—Ь2)(2 ас—а2-
ЧЬ2) =
=[(а2+с2+2ас)—Ь2][Ь2—(а2+с2—2ас)Н
=[(а+с)2—Ъ2][Ъ2—(а—с)2]=
=(а+с+Ь)(а+с—Ь)(Ь+а—с)(Ь—а+с).
— 244 —
Если положимъ, что а+Ъ+с=2р, то
а-\-с—Ъ =(а+& +с)—2 Ъ =2р—2Ъ =2(р—V).
Подобно этому:
Ъ+а—с=2(р—с);
Ь+ с—а=2(р — а).
Поэтому подкоренную величпну можно представить такъ:
16р(р—а)(р—Ъ)(р~с).
Слѣд.: ѵ(ѵ—а)(ѵ—Ъ)(р—с).
JOh= V
Поэтому: S=-Oh = \ р(р—а)(р—Ъ)(р—с).
Частный случай. Плошадь равносторонняго треуголь-
пика со ст ро::ою а выражается слѣдующей формулой:
TyyyT та(таУ=та*ѵт
314. Задача. Вычислить площадь т р е у г о л ь н H-
к a ABC (черт. 280) по двумъ сторонамъ AB и AC
и углу A между ними.
Безъ помощи тригонометріи эта задача рѣшается только для нѣ-
которыхъ частныхъ значеній угла А. Положимъ напр. что A = 18°.
Тогда можно вычислить h въ зависимости отъ стороны AB такимъ
образомъ: продолживъ BD на разстояніе
DE = BD1 соединимъ E съ А. Тогда въ
равнобедренномъ тр-кѣ ABE уголъ BAE
равенъ 36°. Изъ этого заключаемъ, что BE,
т.-е. двойная высота, есть сторона правиль-
наго 10-угольника, вписаннаго въ кругъ,
котораго радіусъ есть AB. Поэтому BE
найдется по формулѣ, опрѳдѣляющей сто-
рону прав. вписан. 10-угольника ('68).
Черт. 280. Опредѣливъ высоту, найдемъ затѣмъ пло-
щадь тр-ка по формулѣ
S=WacJ1
Подобно этому задача рѣшается для A=30°, 45°, 60°.
— 245 —
315. Теорема. Площадь трапеціи
полусуммы основаній на высоту.
B C
равна произведенію
Черт. 281 Черт. 232.
Проведя въ трапеціи (черт. 281) ABCD діагональ AC, мы
можемъ разсматривать ея площадь, ігакъ сумму площадей. Двухъ
тр-ковъ CAD и АВС. Поэтому
1 ’ I 1
площ. ABCD=-J-AD . к+—-ВС . Ji=-(ADPBG)Ti. .
Zj 2 2 ''
316. Слѣдетвіе. Если MN (черт.. 281) есть средняя линія
трапеціи, то, какъ извѣстно (117):
MN=Tadpbc).
Поэтому . площ. ABCD=MN . h,
т.-е. площадь трапеціи равна произведенію средней линіи на
высоту.
. Это же мояшо видѣть и непосредственно изъ чертежа 282-го.’
317. Теорема. Площадь всякаго описаннаго многоугольника
равна произведенію периметра на половину радіуса.
Соединивъ центръ O (черт. 283)
со всѣми вершинами описаянаго мно- р
гоуголыіика, мы раздѣлимъ его на
треугольникн, въ которыхъ за осно-
ванія можно взять стороны много-
угольника, а за высоту—радіусъ кру-
га. Обозначивъ этотъ радіусъ черезъ
R, будемъ. имѣть:
площ. AOB=AB .-R;
2
1
площ. AOE=AE .-R; и т. д.
2
— 246 —
СлѢд., площ. Abcde=(Abpbcpcdpdepea) . -е=р . - в,
2 2
гдѣ буквою P обозначенъ периметръ мн-ка.
318. Слѣдствіе. Площадь правильнаго многоугольника
равна произведекію лериметра на половину апоѳемы, потому
что всякій прав. многоугольникь можно разсматривать, какъ
оппсавный около круга, у котораго радіусъ есть апоѳема.
319. Задача. Превратпть многоуго льникъ
(ABCDE, черт. 284) въ равновеликій треуголь-
н и к ъ.
Какою-нибудь діагоналыо AC
отсѣкаемъ отъ даннаго мн-ка
ДABC. Черезъ ту вершину B
этого тр-ка, которая лежнтъ про-
тивъ взятой діагонали, прово-
димъ прямую MN Il AC. Затѣмъ
продолжимъ одну изъ сторонъ
EA или DC, прилежащихъ къ
отсѣченному тр-ку, до пересѣче-
Черт- 284- нія съ прямою MN (на чертежѣ
продолжена сторона EA). Точку лересѣченія F соединимъ съ
С. Тр-ки CBA и CFA равновелики (311, 1°), тагеь какъ у нихъ
общее основаніе AC, а вершины BuF лежатъ на прямой, парал-
лельной основанію. Если отъ давнаго многоугольника отдѣ-
лимъ тр-къ. CBA и вмѣсто него приложимъ равновеликій ему
тр-къ CFA, то величина площади не измѣнится; слѣд., данньій
многоугольникъ равновеликъ многоугольнику FCDE, у кото-
раго, очевидно, число угловъ на 1 мевьше, чѣмъ у даннаго мн-ка.
Такимъ же пріемомъ можно число угловъ полученнаго мн-ка
уменьшить еще на 1 и продолжать такое послѣдовательное
уменьшеніе до тѣхъ поръ, пока не получится треугольникъ
(FCG на нашемъ чертежѣ).
320. Задача. Превратить данный многоуголь-
никъ въ равновеликій квадратъ.
Сначала превращаютъ многоугольникъ въ равновеликій тре-
угольникъ, а ватѣмъ этотъ треугольникъ въ квадрать. Пусть
основаніе и высота треуголвника будутъ Ъ и h, а сторона иско-
— 247 —
маго квадрата х. Тогда площадь перваго равна 1Ubh'; а второго х2;
слѣд.:
1 1
—ЪЬ*=хъ, откуда —Ъ : х=х : h.
2 2
Изъ этой пропорціи видно, что х есть средняя пропорціональ-
иая между 1Ubnh. Значитъ, сторону квадрата можно построить
способомъ, указаннымъ раныие (231) для нахожденія средней
пропорціональноЗ.
Замѣчаніе. Предварительное превращеніе даннаго мно-
гоугольника въ треугольникъ не всегда необходіімо. Hanp.,
если рѣчь идетъ о превращенін къ квадратъ дапной трапеціи,
то достаточно найти среднюю пропорціональную между высотою
трапеціи и ея среднею линіею и на полученной прямой построить
квадратъ.
Г Л A B A II.
Теорема Пкеагора и оснсванныя на ней зэдачи.
321. Теорема. Сумма площадей квадратовъ, построенныхъ
на катетахъ прямоугольнаго треугольника, равна площади ква-
драта, построеннаго на гипотенузѣ.
Это предложеліе, извѣсгное пэдъ названіемъ теоремы Пи-
еагора (гречесі.аго философа, жившсго въ VI вѣкѣ до Р. X.),
имѣетъ многочисленныя доказательства. Приведемъ простѣй-
шія изъ нихъ.
Первое доказательство (Эвклида). Пусть ABC
(черт. 285) прямоугольный треугольникъ, a BDEA, AFGC и
BCKH квадраты, построенные на его катетахъ и гипотенузѣ;
требуется доказать, что сумма площадей двухъ первыхъ квадра-
товъ равна площади третьяго квадрата.
Проведемъ AMJLBC. Тогда квадратъ BCKH раздѣлится на
два прямоугольника. Докажемъ, что пр-къ BLMH равновёликъ
квадрату BDEA, а пр-къ LCKM равновеликь квадрату AFGC.
— 248 —
Цроведемъ вспомогательныя прямыя DC л AH. Обратимъ вни-
сверхъ того ZDBC=Zabh, такъ какъ каждый изъ этихъ
угловіь состоитъ изъ общей части ABC п прямого угла. Значитъ,
тр-ки ABH и BDC равны. Отсюда слѣдуетъ, что прямоуголь-
никъ BLMH равновеликъ квадрату BDEA.
Соединивъ G съ B и A съ К, мы совершенно такь же докажемъ,
что прямоугольникъ LCKM равновеликъ квадрату AFGC.
Отсюда слѣдуетъ, что квадратъ BCKH равновеликъ суммѣ квад-
ратовъ BDEA и AFGC.
В-т орое доказатель.ство. Пусть а, Ъ и с озна-_
чаютъ числа, выражающія гипотенузу и катеты прямоугольнаго
треѵгольника въ одной и той же линейной единицѣ. Тогда, какъ
мы видѣли раныпе (232), между этими числами существуетъ
такая зависимость:
Ho а2, Ь2 и с2 суть числа, измѣряюхція площади квадра-
товъ, которыхъ стороны а, Ъ и с; поэтому изъ написаннаго ра-
венства слѣдуетъ, что площадь квадрата, построеннаго на гипо-
тенузѣ, равна суммѣ площадей квадратовъ, построенныхъ на
катетахъ.
щій основаніе BH, общее съ
прямоугольникомъ BLMH, и вы-
соту AP, равную высотѣ BL
этого прямоугольника, равно-
великъ половинѣ его. Сравии-
вая эти два треугольника ме-
жду собою, находимъ, что у
нихъ BD=BA и BC=BH
(какъ стороны ква;рата);
маніе на два тр-ка, покрытые
на чертежѣ штрихами. Тр-къ
DCB, имѣющій основаніе BD,
общее съ квадратомъ BDEA, а
высоту CN, равную высотѣ AB
этого квадрата, равновеликъ по-
ловинѣ его. Тр-къ АВН, имѣю-
Черт. 285.
а2=Ѵ+с2.
— 249. —
Третье доказательство. Суціествуетъ много и такихъ
доказательствъ, которыя показываютъ, на какія части надо разбить
квадраты, йостроенные на катетахъ, чтобы перемѣщеніемъ отихъ
частей образовать квадратъ, построенный. на гипотенузѣ. Вотъ одно
изъ такихъ доказательствъ,
, Обозначимъ гипотенуэу и ка-
теты даннаго тр-ка соотвѣт-
ственно буквами а, Ъ и с. Отло-
живъ на какой-нибудь прямой
(черт. 286) AB = Ь и BC = с, по-
етроимъ квадраты ADEB и
BFHC. Плоціадь образовавша-
гося 6-угбльника ADEFHC
представляетъ собОю сумму пло-
щадей квадратовъ, построен-
ныхъ на катета.хъ. Отложивъ
еще AK=C (и, слѣд., КС = Ъ),
проводимЪ прямыя DK и KH,
которыя разложатъ шестиуголь-
никъ на три чаети, обозначен-
ныя на чертежѣ • цыфрами 1, 2
и 3. Части 1-я и 3-я предста-
вляютъ собою прямоугольные тр-ки, равные данному. Повернемъ.
на 90°* тр-къ 1-й вокругъ вершины D и тр-къ 3-й вокругъ верШины Я,
какъ указано стрѣлками. Тогда эти части займутъ такія положенія,
при ісоторыхъ онѣ, вмѣстѣ съ оставшейся частью 2>-й, образуютъ
. квадратъ, построенный на- гипотенузѣ (предоставляемъ самимъ уча-
цшмся доказать это).
322. Задачи. і°. Построить квадратъ, рав-
новеликій суммѣ двухъ данныхъ квадра-
т о в ъ.
Строимъ прямоугольный треугольникъ, у котораго кате-
тами былй бы стороны данныхъ квадратххвъ. Квадратъ, построен-
ный на гйнбтенѵзѣ этого треуголвника, равновеликь су-м-мѣ
данныхъ квадратовъ.
2°. Построить квадратъ, равновеликій
разности двухъ данныхъ квадратовъ.
Строимъ. прямоугольный треугольникъ, у котораго гипоте-
нузой была бы сторона бблынаго изъ данныхъ квадратовъ, а
катетомъ сторона меньшаго квадрата. Квадрать, построшный
на, другомъ катетѣ этого треугольника, равновеликъ разностн
данныхъ квадратовъ.
— 260 —
3°. Построить квадратъ, кбтораго пло-,
щадь, относилась бы къ плохцади даннаго
квадрата, какъ т : п.
Ha произвольпой прямой (черт. 287)
откладываемъ AB=т и BC=п и на
AC, какъ на діаметрѣ, описываемъ по-
луокружность. Изъ точки B возста-
вляемъ перпендикуляръ BD до пере-
сѣченія съ окружностью. Проведя хор-
ды AD и DQ, получимъ прямоугольный
тр-къ, у котораго (234):
DCi=AB : BC=т : п.
Ha катетѣ DC этого треугольника отложимъ отрѣзокъ DE,
равный сторонѣ даннаго квадрата, и проведемъ EF Ii CA. Прямая
DF есть сторона нскомаго квадрата, потому что
DF AD (DFs) 2 ^DY
AD2
DE DC'
откуда:
Vdf/ Vdcv
слѣд.: DF2 : DF2=AD2 : DC2=Wі : «.
323. Пиѳагоровы трѳугольники. Такъ наз. прямоугольные
тр-ки, у которыхъ стороны, измѣренныя одною и тою жѳ единиуей,
выражаются ц ѣ л ы м и числами. Такихъ тр-ковъ существуетъ
безчисленное множество. Простѣйшій изъ нихъ есть тотъ (извѣстный
еціе съ глубокой древности), у котораго стороны выражаются чис-
лами: 3, 4 и 5 (32+42=52). Доказано, что стороны пиѳагоровыхъ
тр-ковъ могутъ быть выражѳны слѣдующими общ^ми формулами;
X=Bab
катеты: гипотенуза г = а8 + ^8і
у=а*—Ъ*
гдѣ а и Ъ суть произвольныя цѣлыя числа, лишь бы было а>Ъ.
Г Л A B A III.
Ошшеній площаден лодоеныхъ фигуръ.
324. Теорема. Площади двухъ треугольниковъ, имѣющихъ
по равному углу, относятся, какъ произвѳдѳнія сторонъ, за*
ключающихъ эти углы.
- 261 —
Пусть (черт. 288) въ тр-кахъ ABC и AxB1C1 углы A и A1 равны.
Проведя высоты BD и B1D1, будетъ имѣть:
площ. ABC АС.ВР _ AC BD
площ. A1B1C1 A1C1-B1D1 A1C1 B1D1
B
Тр-ки ABD и A1B1D1 подобны (A=A1 и D=D1); поэтому отно-
шеніе BD : B1D1 равно отпошенію AB : A1B1, замѣнивъ первое
вторымъ, получимъ:
площ. ABC _ AC AB _ АС.АВ
площ. A1B1C1 A1C1 A1B1 A1C1.A1B1
325. Замѣчаніе. Предлагаемъ самимъучащимся догазать,
что если у двухъ треугольнпковъ ABC и A1B1C11 (черт. 288)
углы A и A1 не равны, nb составляютъ въ суммѣ Ы,
то пЛощади такихъ тр-ковъ также относятся, какъ произведенія'
сторонъ, заключаюпщхъ углы A и A1.
326. Теорема. Площади подобныхъ треугольниновъ или
многоугольниковъ относятся, канъ квадраты сходственныхъ
сторонъ.
1°. Если ABC и A1B1C1 (черт. 288) два подобные треугольника,
то углы одного равны соотвѣтственно угламъ другого; пусть
A=A1, B=B1 и C=C1-IIpHMtHfla къ нимъ предыдущую теорему,
получимъ:
площ. ABC AB.AC AB AC
= * • Гіі
площ. A1B1C1 A1B1 . A1C1 A1B1 A1C1
Ho изь лодобія треугольниковъ слѣдуетъ:
AB AC BC
A1B1-A1Ci-BiC1*
— 252- —
Поэтому въ. равенствѣ [1] мы можемъ каждое изъ отношеній
AB AC
- ■ -и- уг замѣнить любымъ бтношёніемъ ряда [2]; слѣд.:
A1Bi A1O1
площ. ABC /AB \ 2_ / AC- \ 2_ / BC V2
площ. A1B1C1 Ia1B1/ Ia1C1/ VB1C1/
AB2 AC2 BC2
~Тв/~Тс/~Жс?'
2°. Если ABCDE и A1B1C1D1E1 (черт. 289) два подобные
многоугольника, то ихъ можно, какъ мы видѣли (208), разло-
жить на одинаковое число подобнйхъ и одинаково располо-
Черт. 289.
женныхъ тр-ковъ. Пусть эти тр-ки будутъ: ABO и A1B1O1, AOE
и A1O1E1 и т. д. Согласно доказанному въ первой части этой
теоремы, мы получимъ пропорцію:
площ. AOB _ / AB \ 2 площ. BOC I BC \ 2
площ. A1Q1B1 VA1B1/ ’ площ. B1O1C1 KB1C1J ’ Д
Ho изъ нодобія многоугольниковъ слѣдуетъ:
AB BC CD
A1B1 вТ CiPi *
/ AB \ 2 / BC \ 2 / CD \ 2
и потому: (^fJ = = (-J-
площ. AOB площ._ BOG ллйщ. COD
Значитъ: ■ ■ ■= !—
площ. A1O1Bx площ. JS1O1C1 площ. C1O1D1
— 253 —
Откуда (по свойству равныхъ отношеній):
пл. AOB+пл. BOC +пл. COD +... пл. ABCDE
AB2
пл.АіОіВі+пл.ВіОіСі+пл. C1O1Di+... пл.A1B1C1D1E1 A1B1
327. Слѣдствіе. Площади правильныхъ одноименныхъ
многоугольниковъ относятся, какъ квадраты сторонъ, или ква-
драты рйСдіусовъ, или нвадраты апоѳемъ (262).
328. Задача. Раздѣлить данный треугбль-
н и къ на-травновеликихъ частей прямыми,
параллельными его сторонѣ.
Пусть, напр., требуется раздѣлить тр-никъ ABC (черт. 290)
на 3 равііовеликія частй пря-
мыми, пераллельными осно-
ванію AC. Предположимъ,
что задача рѣшена, и что
искомыя прямыя будутъ DE
я FG. Очевидно, что если
мы найдемъ отрѣзки BE
и BG, то затѣмъ опредѣлятся
и прямыя DE и FG. Тр-ки
BDE, BFG и BAC подобны;
поэтому:
площ. ВВЕ_ВЕ2
=BC2 и
плотц. BFG BG2
площ. BAC BC2 площ. BAC
Ho изъ требованій задачи видно, что:
BC2
Слѣд.:
Откуда:
плоіц. BDE 1
площ. BAC 3
BE2
и
площ. BFG 2
площ. BAC 3
BG2 2
BC2
BC2
BE=^Z _І.ВС-2=|/Tbc вс
RG=J/ Jlbc2^j/ Tbcvbc
Изъ этихъ выраженій видимъ, что BE есть средняя пропор-
ціональная между BC и 1Js BC, a BG есть средняя пропорціо-
— 264 —
нальная между BC и 2/3 BC (255, 4). Поэтому построеніе мозйно
выполнить такъ: раздѣлимъ BC на три равныя части въ точкахъ
а и Ь; опишемъ на BC нолуокружность; изъ а и Ь возставимъ
къ BC перпендикуляры аН и ЪК. Хорды HB и BK будутъ иско-
мыми средними пропорціональными: первая—между всѣмъ діа-
метромъ BC Ti его третьею частью Ba, вторая—между BC и Bb,
т.-е. между BC и 2/3 BC (230). Остается отложить эти хорды на
BC отъ точки B; тогда получимъ искомыя точки EnG.
Подобнымъ образомъ можно раздѣлить тр-къ на какое угодно
иное число равновеликихъ частей.
Г Л A B A IV.
Площадь круга и его частей.
329. Лемма 1-я. При неограниченномъ удвоеніи числа
сторонъ правильнаго многоугольнина, вписаннаго въонружность:
1°, сторона этого многоугольника стремится къ нулю;
2°, разность между радіусомъ онружности и апоѳемой много-
угольника стремится къ нулю.
1°. Обозначимъ периметръ правильнаго вписаннаго много-
угольника черезъ р, а число его сторонъ черезъ п; тогда длина
одной стороны этого многоугольника выразптся дробью pIn.
При неограниченномъ удвоепіи числа сторонъ этого много-
угольннка знаменатель дробп р/п будетъ возрастать безпредѣльно,
а числитель хотя и будетъ возрастать, но не безпредѣльно, такъ
какъ периметръ всякаго вписаннаго выпуклаго многоугольника
меньше периметра любого охшсаннаго многоугольника (напр.,
меныпе ошхсаннаго квадрата) *). Если же въ дроби знаменатель
увеличивается безпредѣльно, а числитель хотя и увеличивается,
но остается меньше нѣкоторой постоянной величины, то, какь
извѣстно изъ алгебры, эта дробь можетъ быть сдѣлана менѣе
*) Можно было. бы сказать, что периметръ р не увеличивается
безпредѣльно, потому что онъ остается всегда меньшѳ длины окруж-
ности; но основаніе, приведенное въ текстѣ, удобнѣе, такъ какъ оно
нѳ предполагаѳтъ предварительнаго установленія понятія о длинѣ
окружности.
— 255 —
любой данной положительной величины; значитъ, при неограни
ченномъ удвоеніи числа сторонъ вписаннаго правильнаго много-
угольннка сторона его, равная дроби pIn, стремится къ 0.
2°. Пѵсть AB (черт. 291) есть сто-
рона какогб-нпбудь правильнаго впи-
саннаго многоугольника, OA радіусъ
и OC адюѳема. Изъ тр-ка OAC нахо-
димъ (52):
ОА—ОС<АС
или OA—ОСК—АВ,
т.-е. разность между радіусомъ и
апоѳемою меньше половины стороны Черт 291.
правильнаго многоугольника. Ho при
неограниченномъ удвоеніи числа
сторонъ правильнаго вписаннаго многоугольника сторона его,
какъ мы видѣли, стремится къ нулю; поэтому разность между
радіусомъ и апоѳемою и подавно стремится кь нулю.
230. Лемма 2-я. Разность между площадью правильнаго
многоугольника, описаннаго около круга, и площадью правиль-
наго одноименнаго мйогоугольника, вписаннаго въ тотъ же
кругъ, при неограниченномъ удвоеніи числа сторонъ этихъ
многоугольниковъ, стремится къ нулю.
Впишемъ въ кругъ (черт. 292) и оішшемъ около него по какому-
нибудь правильному мн-ку (на чертежѣ
изображены 6-угольники).
Пусть R будетъ радіусъ круга, а—
апоѳема вписаннаго мн-ка, g его пло-
щадь и Q—площадь описаннаго мн-ка.
Тогда (327):
Q : д=Е2 : а2.
Составимъ изъ этой пропорціи про-
изводную (разность членовъ перваго
отношенія относится такъ къ предыду-
щему члену этого отношенія, какъ...):
Q- g R2-а2
Q R2
— 256 —
Откуда: (Q-Q)R2=Q(R2-V),
йли . (Q—q)R2=Q(R+d)(R—a).
При неограниченномъ удвоеніи числа сторонъ многоуголь-
никовъ разность R—а, по доказанному въ предыдухцей леммѣ,
стремится къ нулю, сомножитель Q уменьшается *), а, сомно-
житель R+a всегда остается меньше R+R; вслѣдствіе этого
правая часть послѣдняго равенства (слѣд., и лѣвая его часть),
при неограниченномъ удвоеніи числа сторонъ мн-ковъ, стремится
къ нулю. Ho лѣвая часть равепстга, представляя собою произ-
веденіе, въ которомъ множитель R2-число постоянное, можеть
стремиться къ нулю только тогда, когда его множимое стремится
къ нулю; множимое же Q—g и есть разность площадей правиль-
ныхъ мйогоугольниковъ, описаннаго и вписаннаго.
331. Замѣчаніе. Такимъ же путемъ мы можѳмъ доказать,что
разность между периметромъ описаннаго и
-периметромъ одноименнаго вписаннаго пра-
вильнаго мн-к а, гпри неограниченномъ удвое-
ніи числа ихъ сторонъ, стремится къ нулю.
Дѣйствительно, если P и р будутъ периметры одноименныхъ правиль-
тіыхъ мн-ковъ, описаннаго и вписаннаго, то (268):
^ P : р = Е : а.
Откуда: (Р—р) Р = (Р—а) : Ry
и, слѣд., (Р—-р) R = CR—а) Р.
При неограниченномъ удвоеніи ѵчисла сторонъ мн-ковъ правая
часть послѣдняго равенства (слѣд., и его лѣвая часть) стремится
кд» нулю, такъ какъ множимое R—а, по доказанному, етремится
къ нулю, а множитель P уменьшается. Ho лѣвая часть равенства,
представляя собою произведеніе, въ которомъ множитель R—число
постоянное, можетъ стремиться къ нул“ю только тогда, когда его
множимое стремится къ нулю;- а .множимое и есть разность пери-
метровъ P и р. ;
332. Теорема. Площадь круга есть ббщій лредѣлъ площа- *
дей правидьньіхъ вписанныхъ въ зтотъ кругъ и описанныхъ
онвло негв многоугольниковъ при неограниченномъ удвоеніи
числа ихъ сторонь.
Пусть около круга, площадь котораго мы обозначимъ К,
описань. кэдой-нибудь правильний мв-къ и въ него вписанъ
*) такъ какъ при каждомъ удвоеніи числа сторонъ правильнаго
опиеаннаго мн-ка отъ его угловъ ерѣзываютсй небольшіе тр-ки,
отчего, конечно, площадь мн-ка уменьшается.
— 257 —
одпоименной правильный мн-къ (черт. 292). Обозначимъ пло-
щадь перваго Qi а площадь вторсго q. Если станемъ удваивать
число сторонъ этихъ мн-ковъ, то величины Qwq сдѣлаются пере-
мѣнными-, тогда какъ вслпчина K останется неизмѣнной. Tpe-
буется доказать, что при неограниченномъ удвоеніи чпсла сто-
ронъ мн-ковъ перемѣнныя величины Qwq стремятся къ одному
и тому же предѣлу, именно къ площади К.
Очевидіто, что, каково бы ни было число сторонъ мн-ковъ,
всегда ипотомукаждая изъ двухъ разностей: Q—K и
K—q всегда меньше разности Q—q. Ho прп неограниченномъ
удвоеніи числа сторонъ мн-ковъ разность Q—qi согласно леммѣ
2-й, стремится къ нѵлю; слѣд., при этомъ каждая изъ меныпихъ
разностей: Q—K и K—q и подавно стремится къ нулю; а это,
согласно опредѣленію предѣла, означаетъ, что
пред. Q=K W пред. q=K.
333. Замѣчаніе. Можно также утверждать, что д л и н а
окружности есть общій предѣлъ периметровъ
правильныхъ вписанныхъ въ эту окружность
и описанныхъ около нея многоугольниковъ
при неограниченномъ удвоеніи числа ихъ
с т о р о н ъ. Дѣйствительно, изъ того обстоятельства, что раз-
ность P—р стремится къ нулю (831), надо заключить, что перемѣнные
периметры Pnp могутъ стремиться только къ одному и тому же
предѣлу; но предѣлъ р есть то, что принимается за длину окруж-
ности; значитъ, и предѣлъ P есть тоже длина окружности.
334. Теорема. Площадь круга равна произведенію длины
окружности на половину радіуса.
Пусть R, K и C означаютъ радіусъ, площадь и длину даиной
окружности, a д, р н а—площадь, периметръ и апоѳему какого-
нибудь правильнаго вписаннаго многоугольника. Тогда можемъ
написать (318):
1
д=р.-в. [1]
Вообразимъ теперь, что число сторонъ вписаннаго многоуголь-
ника неограниченно удваивается. Тогда величины д, р и а дѣ-
лаются перемѣнными, при чемъ первая имѣетъ предѣломъ пло-
щадь круга К, вторая—длнну окружностн С, а третья—радіусъ
ея R. Такъ какъ прн этомъ равенство [1] остается постолнпо
А. Киселевг. Геометрія 17
— 268 —
вѣрнымъ, то, согласно основному началу способа предѣловъ
(283), оно останется вѣрньшъ и тогда, когда вмѣсто пере-
мѣнныхъ подставимъ ихъ предѣлы; послѣ такой подстановки
получимъ:
К-С.ІВ. [S1J
335. Слѣдствія. 1°. Площадь круга равна произведенію
квадрата радіуса на число я (отношеніе окружности къ діаметру).
Дѣйствптельно, подставивъ въ равенство [2] предыдущаго
параграфа на мѣсто C произведеніе 2іtR (292, 2), получимъ:
K=TzR2.
2°. Площади круговъ относятся, какъ квадраты радіусовъ или
діаметровъ.
Дѣйствительно, если Kn K1 будутъ площади двухъ круговъ,
a R п R1 ихъ радіусы, то
K=TzR2 п K1=TzR12.
K TzR2 R2 4 R2 (2 R)2
Откуда: —-
336. Задача І.Вычислить площадь круга,
окружность котораго равна 2 метрамъ.
Для этого предварительно находнмъ радіусъ R изъ уравненія:
1
2тсВ=2; откуда R=-=0,3183...
Затѣмъ опредѣляемъ площадь круга:
/1.4 2 1
K=TzR2=Tz I-) =—=0,3183... квадр. метра.
Задача 2. Превратить данный кругъ въ квад-
р а т ъ (т.-е. построить квадратъ, равновеликій данному кругу).
Эта задача, извѣстная подъ названіемъ квадратуры
к р у г а, не можетъ быть рѣшена при помощи циркуля и ли-
— 259 —
нейки. Дѣйствительно, если обозначимъ черезъ х сторону иско-
маго квадрата, а черезъ R радіусъ круга, то получимъ уравненіе;
X=TzR2; откуда: TzR : х=х : R1
т.-е. х есть средняя пропорціональная между полуокружностью
и радіусомъ. Слѣд., если извѣстна прямая, которая равна длинѣ
полуокружности, то легко построить квадратъ, равновеликій
данному кругу, и обратно: если извѣстна сторона квадрата,
равновеликаго кругу, то можно построить прямую, равную по
длинѣ лолуокружности. Ho доказано, что помощью циркуля
и линейки нельзя построить прямую, которая Bij точности рав-
нялась бы дливѣ полуокружности (см. выноску въ задачѣ № 257,
стр. 229-я); слѣд , нельзя въ точности рѣшить задачу о превра-
щеніи круга въ квадратъ. Приближенное же рѣшеніе можно
выполнить, если предварительно найти приближенную длину
полуокружности и затѣмъ построить среднюю пропордіональную
между этою длиною и радіусомъ.
337. Теорема. Площадь сектора равна произведенію его
дуги на лоловину радіуса.
Пусть дуга AB (черт. 293) сектора AOB содержитъ п°. Оче-
видно, что площадь сектора, котораго дуга
содержитъ 1°, составляетъ Ѵзво часть шго-
щади круга, т.-е. она равна
TzR2
360'
Слѣд., нлощадь S сектора, котораго дуга
содержитъ п°, равна
TtR2U TzRn R
C—
360 180 2
TzRn
Такъ какъ выражаетъ длину дуги AB, то, обозначивъ ее
IoU
черезъ s, получимъ:
S=S.-.
2
Черт. 293.
— 260 —
338. За.^ача. Вычислить площадь сегмента,
зная радіусъ круга и число градусовъ, з а -
ключаюціееся въ дугѣ сегмента.
Чтобы получить площадь сегмента ASB,
(черт. 294), достаточно изъ площади сектора
AOB вычесть площадь тр-ка АОВ. Про-
ведя ZCJ^OP, будемъ имѣть:
плоціадь сектора --^Rs;
плоціадь тр-ка= g ОБ. ZC = Р. ZC.
Слѣд., площ. еегмента=-^ Ris—AC).
Такимъ образомъ, вопросъ приводится къ вычисленію высоты AC.
Геометрически (т.-е. безъ помощи тригонометріи) ееможно вычислить
только въ нѣкоторыхъ частныхъ случаяхъ слѣдующимъ способомъ.
Продолживъ AC до пересѣченія съ окружностыо въ точкѣ D, мы
увидимъ, что AC = CD и AB = ^BD; значитъ, AC есть половина
хорды, стягивающей дугу, вдвое ббльшую дуги сегмента. Отсюда
заключаемъ, что если хорда, стягиваюціая двойную дугу, будетъ
сторона такого правильнаго вписаннаго многоугольника, для ко-
тораго мы знаемъ формулу его стороны, то высота ZC опредѣлится
геометрически. Hanp., пусть дуга сегмента содержитъ 60°. Тогда AD
есть сторона правильнаго вписаннаго треугольника; значитъ,
AC=1I2RV3. Дуга AB въ этомъ случаѣ равна 1J6 окружности, т.-е.
Ѵз^ D; поэтому:
площ. сегмента = ~ ^К2(27Г— ^Y3).
Замѣчаніе. Если хорда AB есть сторона такого правильнаго
вписаннаго п—угольника, которую мы можемъ вычислить по данному
радіусу, то площадь сегмента можно найти также и по слѣдуюціей
формулѣ:
пл. сегм. = ~^пл. круга—пл. прав. п-угольниі^.
339. Теорема. Сумма площадей подобныхъ многоуголь-
никовъ (или круговъ), построенныхъ на катетахъ прямоуголь-
наго треугольнина, равна площади подобнаго многоугольника
(или круга), построеннаго на гипотенузѣ, если катеты и гипоте-
нуза служатъ сходственными сторонами зтихъ многоугольниковъ
(или діаметрами круговъ).
Пусть Q, Rn S будутъ площади подобныхъ фигуръ (или кру-
— 261 —
говъ), построенныхъ на катетахъ и гипотенузѣ прямоугольнаго
тр-ка ABC (черт.- 295). Тогда (326, 335, 2°)
Q AB2 R BC2
S AC2' S AC2
Сложивъ эти равепства, найдемъ:
Qi-R АВ2+ВС2.
~8 AC2
Ho АВ2+ВС2=АС2 (232;) поэтому:
Qi-R=S.
340. Слѣдствіе. Если на сторонахъ прямоуголь
наго треугольника ABC (черт. 296) построимъ
полукруги, расположивъ ихъ такъ, какъ ука-
зано на чертежѣ, то сумма площадей образо-
вавшихся при этомъ фигуръ (луночекъ) M и N
равна плоціади треугольника.
Дѣйствительно, сумма полукруговъ,
построенныхъ на катетахъ, равна полу-
кругу, построенному на гипотенузѣ;
если же отъ обѣихъ частей этого равен-
ства отнимемъ сумму сегментовъ 1-го
и 2-го, то получимъ:
М4-^ = плоці. АВС.
Фигуры MmN извѣ тны подъ назва-
ніемъ Гиппократовыхъ лу-
н о ч е к ъ. *)
Когда треугольникъ равнобедренный, то обѣ луночки одинаковы
и каждая изъ нихъ равновелика половинѣ треугольника.
Черт. 296.
Г Л A B A V.
Состнсшснія гшду сторонами треугольника и радіу-
са;,и Бпксаннаго и описанкаго кругсвъ,
341. По теоремѣ § 250 мы имѣемъ: Ъс=2Кка, гдѣ b и с суть двѣ
стороны треугольника, ка—высота, опуціенная на третью сторону
треугольника, и R—радіусъ описаннаго круга. Изъ этого равенства
выводимъ:
апв
*) По имени греческаго геометра Гиппократа Xioc-
с к а г о, жившаго въ V вѣкѣ до Р. Xp.
— 202 —
Исключимъ изъ этой формулы высоту ка; для этого умножимъ
числителя и знаменателя дроби на а\ тогда, замѣнивъ произведеніѳ Ъаа
удвоенною площадью треугольника (которую обозначимъ F), по-
лучимъ:
д=^=
аЪс
4 F 4 Yfip-а)(р—Ъ)(р — с/
гдѣ Р=Ѵ2(а+6 + с).
Чтобы найти радіусъ г внутренняго впи-
саннаго круга (черт. 297), примемъ во вни-
маніе, что прямыя OAt OB и OC раздѣляютъ
данный тр-къ на три тр-ка, у которыхъ
основаніями служатъ стороны даннаго
тр-ка, а высотою—радіусъ г. Поэтому:
« 1 1^1 1
аг+^Ьг+-^cr= г.2-(а + Ь + с)=,р.
Отсюда: г
(р- а)(р- Ъ)(р - с)
P
Радіусъ ра, внѣвписаннаго круга (черт. 298), касаюціагося сто-
роны а, можно опредѣлить изъ равенства:
пл. ABC=пл, ACO-Y
4-пл. ABC—пл. BOCi
O1T,1 1
т.-е. F g tya' 2 с?а 2
Откуда:
P*~Ъ + с—а 2(р—а)~р-а
Подобно этому найдемъ:
F F
Черт. 298. и
Между четырьмя радіусами г, ра, рь, и существуютъ нѣкоторыя
зависимости. Укажемъ простѣйшую изъ нихъ:
111 Зр—а—Ih-C Sp—2р_ р
Pa Pb Pc S FF
V 1 1 , 1 , 1 1
Но-?г= —; слѣд., + — + — — “•
Srt Pa рь рс г
ДОБАВЛЕНІЕ.
Построеніе корней квадратнаго уравненія.
842. Объ однородноети уравненій, получае-
мыхъ при рѣшеніи геометричеетихъ задачъ.
Просматривая всѣ цѣлыя алгебраическія выраженія, найден-
— 263 —
ныя въ геометріи для вычисленія различныхъ л и н і й, м ы
замѣчаемъ, что всѣ они одного измѣренія, т.-е. всѣ
содержатъ только одного буквеннаго множителя, выражающаго
длину нѣкоторой линіи. Таковы, напр., выраженія:
RyT.. для стороны вписаннаго квадрата;
RVW... для стороны прав. впис. треугольника;
2тсВ.... для длины окружности круга; и т. п.
(въ послѣдней формулѣ буква тс означаеть не линію, а отвлеченное
число 3,14...; поэтому она не вліяетъ на измѣреніе выражевія).
Просматривая далѣе всѣ цѣлыя алгебраическія выраженія,
найденныя въ геометріи для вычисленія площадей раз-
личныхъ фигуръ, мы замѣчаемъ, что всѣ они двухъ пзмѣ-
р е н і й, т.-е. всѣ .содержатъ по 2 буквенныхъ множителя,
выражаюхцихъ длины нѣкоторыхъ линій. Таковы, напр., выра-
женія:
ЪЬ... для площади прямоугольника;
1
-bh... для площади треугольвика;
2
1°2і/"з... для площади равност. треугольника;
ісг2... для площади круга, и т. п.
(Подобно этому, какъ мы впослѣдствіи узнаемъ изъ стереомет-
ріи, цѣлыя алгебраическія выраженія, служащія для вычисленія
объемовъ, оказываются всѣ т р е х ъ измѣреній, т.-е.
содержатъ въ себѣ по 3 буквенвыхъ множнтеля, выражающихъ
длины вѣкоторыхъ линій).
Замѣтивъ это, примемъ во вниманіе, что всякое уравненіе
есть равенство двухъ выраженій. Слѣд., въ геометриче-
скомъ смыслѣ оно представляетъ собою или равенство линій,
или равенство площадей (или равенство объемовъ), или же,
наконецъ, равенство отношеній. Когда уравненіе, составленное
при рѣшеніи геометрической задачи, выражаетъ равенство
линій, обѣ его части должны быть одного измѣренія; когда оно
выражаетъ равенство площадей, его частн должны быть двухъ
измѣреній, и т. д. Слѣд., во всѣхъ случаяхъ полученное уравне-
ніе должно быть однороднымъ. Однородность не нарушится и
— 264 —
послѣ преобразованія уравненія, какъ не трудно видѣть, при-
нявъ во внимапіе все то, что извѣстно намъ изъ алгебры о пре-
образованіи уравненій.
Сказанное, впрочемъ, вѣрно только при томъ условіи, если
ни однаизъ линій, входящихъвъуравненіе
не принята за единицу. Въ противномъ случаѣ одно-
родность нарушается. Напримѣръ, уравненіе .'E2-Ttr2, выражаю-
щее равенство между площадями искомаго квадрата и даннаго
круга, обращается въ неоднородное (х2=%), когда радіусъ дан-
наго круга принятъ за 1.
343. Поетроеніе корней квадратнаго уравне-
нія. Изъ сказаннаго слѣдуетъ, что если при рѣшеніи какой-
нибудь геометрической задачи помощью алгебры мы получили
уравненіе (при чемъ ни одна изъ линій, входящііхъ въ уравненіе,
не была принята за 1), то всѣ члены этого уравневія должны
быть одинаковаго измѣренія. Поэтому, упростивъ квадратное
уравненіе, мывсегдаприведемъ его кътакому виду: х2±рх±аЪ=о,
въ которомъ всѣ члены двухъ измѣреній (при чемъ буквы р, а и Ъ
выражаютъ данныя положительныя дливы, а буква х—искомую
длпну, положительную или отрицательную). Если предвари-
тельно построимъ (231) вспомогательную прямую д, представляю-
іцую собою среднюю геометрическую прямыхъ а и b (т.-е. по-
строимъ вьфаженіе д=+ѴаЬ), то, замѣнивъ въ уравненіи
произведеніе аЪ на д2, мы приведемъ его къ такому виду:
Сочетая различными способаш знаки + и — передъ членами
рх и д2, мы будемъ имѣть слѣдующіе 4 вида квадратныхъ урав-
неній:
Нетрудно видѣть, что уравненія 3° и 4° получаются соотвѣт-
ственно изъ уравненій 1° и 2° посредствомъ замѣны въ нихъ
х на —х; значитъ, корни уравненій 3° и 4° суть корни соотвѣт-
X2Epxlq2=O.
1°. х2—рж+д2=о;
2°. х2—рх—д2=о;
3°. ж2+рж+д2=о;
4°'. X2Epx—д2=о.
— 266 —
ственно уравненій 1° и 2°, только взятые съ противоположными
знаками. Поэтому намъ достаточно указать построеніе корней
только уравненій 1° н 2°.
1°. X2-PXEqz=Q) х—~±^/ (J-J —92;
2 '
т,е. X1=I +У (!) *,=! (!)
-З2.
Предположимъ сначала, что />д. Тогда выраженіе
2
)\
-) —Q2 представляетъ собою катетъ такого прямоуголь-
!/
/(і:
наго тр-ка, у котораго гипотенуза есть р/2, а другой катетъ
равенъ д; вслѣдствіе этого построеніе всего проще можно вы-
полнить такъ:
Ha какой-нибудь пря-
мой AB (черт. 299) беремъ
произвольную точку C и
возставляемъ изъ нея къ
AB перпендикуляръ, на ко-
торомъ откладываемъ ' g
CD=Q. Изъ точки D, какъ
центра, радіусомъ, рав-
нымъ р/2, пересѣкаемъ
прямую AB въ нѣкоторой точкѣ 0; тогда, проведя прямую OD,
мы получимъ прямоугольный тр-къ ODC, у котораго
OC=Y OD2-CD2=]/ (!) “-Я*
Остается теперь къ р/2 приложить OC (тогда получимъ ^1) и
отъ pI2 отнять OC (тогда получимъ х2). Для этого раствореніемъ
циркуля, равнымъ OD=pI2, откладываемъ на прямой AB, въ
обѣ стороны отъ точки O отрѣзки OEи OF-, тогда EC=X1 и CF=X2.
V P
Если — =д, то X1=X2=—; если же -</?, то корни X1Ux2
2 2 2
будутъ мнимые.
— 266 —
2. х*—рх—д2—о X=
ИЛі)
+ <*2;
т.-е.
X1
-PV(I)W .,J-V(I)
-(K(I)1W-D-
+<г2=
Въ этомъ случаѣ корни всегда вещественные, при чемъ корень X1
положительный, а х2 отрицательный. Такъ какъ выражевіе
(^)2 +д2 представляетъ собою гипотенузу прямоугольнаго
тр-ка, у котораго катеты равны
Pf2 и q, то построеніе всего
проще можно выполнить такъ:
-в
Возставивъ изъ точки C пер-
пендикуляръ къ AB (черт. 300),
отложимъ на немъ CD=q;
на AB отложимъ CO=jfI2. Про-
ведя прямую OD, мы получимъ
прямоугольный тр-къ OCD,
Y котораго OD= УOC2-LCD2=
і+)2 ^~^2‘ ^стается къ OD приложить р/2 (тогда полу-
чимъ X1) и отъ OD отнять р/2(тогда получимъ абсолютную велп-
ЧИНу !K2).
УПРАЖНЕНІЯ.
Доказать теоремы:
261. Въ параллелограммѣ разстоянія какой-ниубдь точки діагонали
отъ двухъ, прилежацшхъ сторонъ обратно пропорщональны этимъ
сторонамъ.
262. Площадь трапеціи равна произведенію одной изъ непарал-
лельныхъ сторонъ на перпендикуляръ, опуціенный изъ средины дру-
гой непараллельной стороны на первую.
— 267 —
263. Два четыреугольника равновелики, если у нихъ равны со-
отвѣтственно діагонали и уголъ между ними.
264. Если площади двухъ треугольниковъ, прилежащихъ къ осно-
ваніямъ трапеціи и образуемыхъ пересѣченіѳмъ ея діагоналей, равны
соотвѣтственно р2 и д2, то площадь всей трапеціи равна (р-М)2*
265. Площадь правильнаго вписаннаго шестиугольника равна
V4 площади правильнаго описаннаго шестиугольника.
266. Въ четыреугольникѣ ABCD черезъ середину діагонали BD
проведена прямая, параллельная другой діагонали AC; эта прямая
пересѣкаетъ сторону AD въ точкѣ Е. Доказать, что прямая CE дѣ-
литъ четыреугольникъ пополамъ.
267. Если медіаны треугольника взять за стороны другого тре-
угольника, то площадь послѣдняго равна 3/4 площади перваго.
268. Въ кругѣ съ центромъ C проведена хорда AB. Ha радіусѣ OAt
какъ на діаметрѣ, описана окружность. Доказать, что площади
двухъ сегментовъ, отсѣкаемыхъ хордою AB отъ обоихъ круговъ,
относятся, какъ 4:1.
Задачи на вычисленіе.
269. Вычислить площадь прямоугольной трапеуіи, у которой
одинъ изъ угловъ равенъ 60°, зная или оба основанія, или одно осно-
ваніе и высоту, или одно основаніѳ и боковую сторону, наклонную
къ основанію.
270. Вычислить площадь равносторонняго треугольника, зная его
высоту h.
271. Даны основанія трапеуіи B и Ъ и ея высота Я. Вычислить
высоту треугольника, образованнаго продолженіемъ непараллель-
ныхъ сторонъ трапеуіи до взаимнаго пересѣченія.
272. Составить формулу для площади правильнаго вписаннаго
127угольника въ зависимости отъ радіуса круга.
273. Въ треугольникъ вписанъ другой треугольникъ, котораго
вершины дѣлятъ пополамъ стороны перваго треугольника; въ другой
треугольникъ вписанъ подобнымъ жѳ образомъ третій тр-къ;. въ
третій—четвертый и т. д. безъ конца. Найти предѣлъ суммы пло-
щадей этихъ треугольниковъ.
274. Въ данномъ треугольникѣ извѣстны стороны a, Ъ и с. Изъ
сѳрединъ этихъ сторонъ возставлены перпендикуляры ж, у и г до
взаимнаго пересѣченія въ центрѣ описаннаго круга. Найти въ за-
висимости отъ а, Ъ и с величины х, у и Z и радіусъ R описаннаго круга.
(У к а з а н і е: пользуясь теоремою Птоломея (242), можно вывести
уравненія: ЪгА-су^аЯ, CX-Yaz = IRt ау + Ъх—сИ и ах+Ъу + сг=28,
гдѣ S ѳсть площадь трёугольника).
Задачи на построеніе.
275. Раздѣлить треугольникъ прямыми, проходящими чѳрезъ его
вершину, на три части, которыхъ площади относились бы, какъ
т ; п : р,
— 268 —
276. Раздѣлить пополамъ т-къ прямою, проходящею черезъ дан-
ную точку его стороны.
277. Найти внутри тр-ка такую точку, чтобы прямыя, соединяюціія
еѳ съ вершинами тр-ка, дѣлили его на три равновеликія части.
278.—то жѳ—на три части въ отношеніи 2:8:4 (или вообщѳ
т : п : р).
279. Раздѣлить параллелограммъ на три равновеликія части пря-
мыми, иеходящими изъ вершины его.
280. Раздѣлить параллелограммъ на двѣ части въ отношеніи т : п
прямою, проходящею черезъ данную точку.
281. Раздѣлить параллелограммъ на 3 равновеликія части пря-
мыми, параллельными діагонали.
282. Раздѣлить плоціадь тр-ка въ среднемъ и крайнемъ отношеніи
прямою, параллельною основанію.
283. Раздѣлить тр-къ на три равновеликія части прямыми, пер-
пендикулярными къ основанію.
284. Раздѣлить кругъ на 2, на 3... равновѳликія части конуетри-
ческими окружностями.
285. Раздѣлить пополамъ трапеуію прямою, параллельною осно-
ваніямъ. (У к а з а н-і е: продолживъ непараллельныя стороны до
взаимнаго пересѣченія, взять за неизвѣстную величину разотояніе
конца искомой линіи до вершины тр-ка; составить пропорціи, исходя
изъ плоціадей подобныхъ тр-ковъ...).
286. Данный прямоугольникъ превратить въ другой равновеликій
прямоугольникъ съ даннымъ основаніемъ.
287. Построить квадратъ, равновеликій 2Д даннаго квадрата.
288. Лревратить квадратъ въ равновеликій прямоугольникъ, у ко-
тораго сумма s или разность d двухъ смежныхъ сторонъ дана.
289. Построить кругъ, равновеликій кольцу, заключенному между
двумя данными конуетрическими окружностями.
290. Построить тр-къ, подобный одному и равновеликій другому
изъ двухъ данныхъ тр-ковъ.
291. Данный тр-къ превратить въ равновеликій равносторонній
(посредствомъ приложенія алгебры къ геометріи).
292. Въ данный кругъ вписать прямоугольникъ съ данною пло-
щадью W2 (посредствомъ приложенія алгебры къ геометріи).
293. Въ данный тр-къ вписать прямоугольникъ съ данною пло-
ціадью W2 (приложеніемъ алгебры къ геометріи).
Числовыя з Д ічи на разные отдолы планиметріи *).
294. Катеты прямоугольнаго тр-ка суть 3 ф. и 4 ф. Найти плоціадь
круга, котораго окружность проходйтъ черезъ середину меньшаго .
катета и касается гипотѳнузы въ ея серединѣ.
*) Взят>. изъ «Сборника геометрическихъ задачъ для
повторительнаго курса пл-аниме тріи», составилъ М.
Попруженко, изданіеЗ-е, исправленное и дополненное, Москва, 1905 г.
— 269 —
295. Точка касанія окружности, вписанной въ прямоугольный
тр-къ, дѣлитъ гипотенузу на отрѣзки а и Ъ. Найти площадь тр-ка.
296. Катеты прямоугольнаго тр-ка суть Ъ и с. Найти биссектриссу
прямого угла.
297. Радіусы двухъ концетрическихъ окружностей суть 15 см.
и 8 см. Ha продолженномъ діаметрѣ взята точка на разстояніи 17 см.
отъ общаго центра, и изъ нея проведены касательныя къ этимъ окруж-
ностямъ. Найти разстояніе точекъ касанія. (У казаніе: при-
мѣнить теорему Птоломея).
298. Часть плоціади круга, заключенная между стороною вписан-
наго квадрата и параллельною ей стороною правильнаго вписаннаго
6-угольника, равна Ѵі2 (тг+ЗУ^ 8—6) Найти сторону квадрата, равно-
великаго данному кругу.
299. Въ ромбъ, который раздѣляется діагональю на два равно-
сторонніе тр-ка, вписанъ кругъ. Найти сторону ромба въ зависимости-
отъ радіуса этого круга.
300. Въ тр-кѣ, котораго стороны суть 4 см., 5 см. и 6 см., прове-
дены биссектриссы меньшаго угла и смежнаго съ нимъ внѣшняго
угла. Найти отрѣзокъ противолежаціей стороны, заключенный между
этими биссектриссами.
301. Въ равностороннемъ тр-кѣ со стороною а вписана окружность,
а изъ вершины тр-ка радіусомъ, равнымъ половинѣ его стороны,
описана другая окружность. Найти плоціадь, обціую обоимъ кругамъ.
302. Въ треугольникѣ двѣ стороны суть а и Ъ. Найти третью сто-
рону и плоціадь, если уголъ п.ежду сторонами а и Ъ равенъ 45°; 60°;
150°; 120°; 75°; 135°.
303. Длины двухъ параллельныхъ хордъ круга суть 30 д. и 16 д.,
а разстояніе между ними 7 д. Найти площадь круга.
304. Черезъ точку, удаленную отъ уентра круга на длину діа-
метра, проведена такая сѣкуціая, которая дѣлится окружностью
пополамъ. Найти длину сѣкущей, . сли радіусъ круга равенъ |/б.
305. Въ кругѣ радіуса R проведена хорда, стягивающая дугу
въ 108°. Найти ея длину.
306. Ha діаметрѣ полукруга радіуса R построенъ равносторонній
тр-къ. Найти плоціадь той его части, которая лежитъ внѣ круга.
307. Найти радіусъ окружности, касательной къ сторонамъ а и Ъ
треугольника, и уентръ которой лежитъ на третьел его сторонѣ с.
308. Къ двумъ извнѣ касающимся въ точкѣ A окружностямъ,
радіусы которыхъ суть 3 см. и 1 см., провед^на внѣшняя касатель-
ная BC. Найти площадь фигуры ABCi ограниченной двумя дугами
и касательной.
809. Полуокружность радіуса R раздѣлена на три равныя'части
и точки дѣленія соединены съ конуомъ діаметра. Найти площадь,
ограниченную двумя хордами и заключенною между ними дугою.
310. Стороны тр-ка ABC продолжены въ одномъ направленіи
(сторона AB за точку Bi сторона BC за точку C и сторона CA за
— 270 —
точку А),до точекъ Au B1 и Cu такъ что ZZ1=SZB, BB1=SBC и
CC1=SCA. Найти отношѳніѳ площадей тр-ковъ ABC и A1B1C1.
811. Изъ вѳршины тр-ка проведена къ его основанію прямая,
дѣлящая основаніѳ на два отрѣзка т и п. Найти длину этой прямой,
ѳсли стороны тр-ка, прилежащія къ отрѣзкамъ т и п, суть а и Ъ.
312. Кругъ радіуса R обложенъ тремя равными кругами, касаю”
щимися даннаго й взаимно. Найти радіусъ одного изъ этихъ круговъ.
313. Опредѣлить высоту башни, если извѣстно, что нужно отойти
на а метровъ отъ ея основанія, чтобы башня была видна подъ угломъ
въ 30°.
314. По даннымъ хордамъ а и 5, стягиваюціимъ двѣ дуги въ кругѣ
единичнаго радіуса, найти хорду, стягивающую разность этихъ дугъ.
(У казаніѳ: примѣнить теорему Птоломея).
315. Прямая, параллѳльная основаніямъ трапеціи, раздѣляетъ ее
на двѣ части въ отношеніи 7 : 2 (считая отъ бблыпаго основанія).
Найти длину этой прямой, если основанія трапеуіи суть 5 м. и 3 м.
316. Изъ точки, дѣлящей основаніе тр-ка въ отношѳніи т : п,
проведены прямыя, параллельныя двумъ другимъ сторонамъ. Найти
отношеніѳ площади каждой изъ частей, на которыя раздѣлится тр-къ,
къ площади всего тр-ка.
317. 'Изъ нѣкоторой точки внутри тр-ка на стороны его а, Ъ и с
опущены перпѳндикуляры ри р2, рѣ. Найти отношеніе площади тр-ка,
который образуется отъ соединенія основаній этихъ перпѳндикуляровъ,
къ площади даннаго тр-ка. (У к а з а н і е.: см. § 325).
318. Вычислить діагонали трапеціи по четыремъ ея сторонамъ а, Ь,
с и d. (У к а з а н і е: надо примѣнить къ діагонали теорему о ква-
дратѣ стороны тр-ка).
319. Найти площадь трапеуіи по четыремъ ѳя сторонамъ а, Ь, с и d.
320. Ha противоположныхъ сторонахъ квадрата построены внутри
его два равносторонніѳ тр-ка. Пересѣченіе сторонъ этихъ тр-ковъ
опредѣляетъ нѣкоторый чѳтыреугольникъ. Найти его видъ, стороны,
углы и площадь, если сторона квадрата равна а.
321. Проведена окружность, касающаяся одной стороны прямого
угла и пересѣкаюціая другую сторону въ точкахъ, отстоящихъ отъ
вершины угла на 6 см. и 24 см. Вычислить радіусъ этой окружности
и разстояніе точки касанія отъ вершины угла.
322. Вычислить площадь тр-ка по двумъ сторонамъ а и Ъ и ме-
діанѣ т относительно третьей стороны.
323. Ha общѳй хордѣ AB построены (по одну сторону отъ AB)
два сегмента, изъ которыхъ одинъ вмѣщаетъ уголъ 135°, а другой 120°.
Найти площадь луночки, заключенной между дугами сегментовъ.
324. Ha радіусахъ квадранта (четверти круга) внутри его построены
два полукруга, Найти площадь той части квадранта, которая лежитъ
внѣ полукруговъ, еели радіусъ квадранта есть R.
— 271 —
325. Вь прямоугольномъ тр-кѣ ABC опуціенъ перпендикуляръ AD ,
на гипотенузу BC. Зная радіусы T1 и г2 окружностей, вписанныхъ
въ тр-ки ABD и ACDt найти радіусъ г окружности, вписанной въ
треугольникъ ABC.
326. Ha окружности радіуса R отложены отъ точки A (по обѣ
ея стороны) двѣ дуги: ЛС=30° и ЛВ = 60°. Найти площадь тр-ка АВС.
СТЕРЕОМЕТРІЯ.
КНИГА I.
ПРЯМЫЯ плоскости.
Г Л A B A I.
ОпредЬленіе положенія плоскости.
344. Опредѣленіе. Плоскостью (13) ваз. поверхность,
обладающая тѣмъ свойствомъ, что прямая, проходящая .черезъ
двѣ произвольныя точки этой поверхности, лежитъ на
ней всѣми остальными своими точками.
Возможность существованія такой поверхности приниыается
за аксіому.
Стереометріей, какъ мы говорили во введеніи (14),
наз. часть геометріи, въ которой разсматриваются свойства
такихъ фигуръ, которыхъ не всѣ части помѣщаются въ одной
плоскости.
345. Аксіомы плоекости. Укажемъ слѣдующія свой-
ства плоскости, которыя мы принимаемъ за очевидныя:
1°. Плоскость есть поверхность незамкнутая.
2°. Всякая плоскость дѣлитъ пространство на 2 части, нзъ
которыхъ одна расположена по одну сторону отъ плоскости,
а другая по другую сторону отъ нея.
3°. Прямая, имѣющая съ плоскостью только одну общую
точку, пересѣкаетъ плоскость, т.-е. изъ части простран-
ства, лежащей по одну сторону отъ плоскости, переходитъ въ
часть пространства, лежащую по другую ея сторону; такимъ
образомъ, двѣ полупрямыя, на которыя раздѣляется эта прямая
плоскостыо, расположены по разныя стороны оть плоскости.
— 272 —
4°. Отрѣзокъ прямой, соединяющій двѣ точки пространства,
располоясенныя по разныя стороны отъ плоскости, п е р е с ѣ-
к а е т ъ эту плоскость, тогда какъ отрѣзокъ прямой, соеди-
няющій двѣ точки, расположенныя по одну сторону плоскости,
не пересѣкаетъ ее.
5°. Черезъ всякую прямую можно провести безчислен-
ное множество плоскостей.
6°. Всякая прямая, проведенная на плоскости, раздѣляетъ
ее на двѣ части (называемыя полуплоскостями).
7°. Плоскость можно вращать вокругъ любой прямой, лежа-
щей на ней, при чемъ каждую изъ частей, на которыя плоскость
дѣлптся этою прямою, можно заставить пройти черезъ всякую
точку простралства.
346. Изображеніе и обозначеніе плоекоети.
Плоскость изобрсжается на чертежѣ
въ видѣ нѣкоторой ея части, обык-
новенно въ формѣ параллелограмма
или прямоугольника (черт. 301). Обо-
Черт зоі значается плоскость бблынею частью
одною или двумя буквами; такъ го-
ворятъ: плоскость Р, плоскость MN.
347. Теорема. Черезъ всякія три точки (A, Bn С,
черт. 302), не лежащія на одной прямой, можно провести пло-
скость и притомъ только одну.
1°. Черезъ какія-нибудь двѣ
изъ трехъ даиныхъ точекъ,
напр., черезъ A н В, проведемъ
прямуіо и черезъ нее—произ-
вольную плоскость. Станемъвра-
щать эту плоскость вокругъ пря-,
мой AB; вращая, мы можемъ
Черт. 302. заставить ее пройти черезъ
точку С. Тогда будемъ имѣть
плоскость, которая проходитъ черезъ три точки A, B п С.
Остается доказать, что такая плоскость можетъ быть только
одна.
2°. Предположимъ, что черезъ тѣ же три точки проведены
двѣ плоскости. Обозначицъ одну черезъ Р, а другую черезъ P1.
— 273 —
Докажемъ, что этн плоекости сливаются въ одну.—Предвари-
тельно замѣтимъ, что прямыя AB, BC и AC, проходящія черезъ
каждую пару данныхъ точекъ, принадлежатъ обѣимъ шіоско-
стямъ, такъ какъ эти прямыя имѣютъ п© двѣ общихъ точки н съ
плоскостыо Р, и съ плоскостью P1. Возьмемъ леперь на плоско-
сти P какую-нибудь точку M и докажемъ, что эта точка ,при-
надлежитъ и другой плоскости P1. Для этого на плоскости P
черезъ точку M проведемъ какую-нибудь прямую MD, пересѣ-
кающую AB и AC въ нѣкоторыхъ точкахъ EnF. Такъ какъ пря-
мыя AB и AC принадлежатъ и другой плоскости P1, то точки
ихъ EnF также принадлежатъ этой плоскости. Вслѣдствіе
этого прямая MD, проходящая черезъ EnF, лежитъ вся въ
илоскости P1 (по опредѣленію плоскости), а потому и ея точка
M лежитъ въ этой плоскости. Такимъ образомъ, всякая точка M
плоскости P принадлежитъ и плоскости P1: значитъ, эти пло-
скости сливаются.
348. Слѣдствія. 1°. Черезъ прямую и точку внѣ ея можно
провести плоскость и притомъ только одну, потому что точка
внѣ прямой вмѣстѣ съ какими-шбудь двумя точкаш этой пря*
мой составляютъ три точки, черезъ которыя, по доказанному,
можно провести плоскость и притомъ одну.
2°. Черезъ двѣ пересѣкающіяся прямыя можно провести пло-
скость и притомъ только одну, потому что, взявъ точку пере-
сѣченія и еще по одной точкѣ на каждой прямой, мы будемъ
имѣть три точки, черезъ которыя и т. д.
3°. Черезъ двѣ параллельныя прямыя можно провести пло-
скость и притомъ только одну, потому что паралелльныя_ пря-
мыя, по опредѣленію, лежатъ въ одной плоскости; эта ггло-
скость единственная, такъ какъ черезъ одну изъ параллель-
ныхъ и какую-нибудк точку другой можно провести не болѣе
одной плоскости.
4°. Всякую часть плоскости можно наложить всѣми ея точками
на другое мѣсто этой или другой плоскости, при чемъ наклады-
ваемую часть можно предварительно перевернуть другою сто-
роною, потому что всегда возможно наложить одну плоскость
на другую такъ, чтобы у нихъ совпали какія-нибудь три точки,
не лежащія на одной прямой, а тогда совнадутъ и остальныя
точки.
18
— 274 —
349. Теорема. Если двѣ плоскости имѣютъ общую точку,
то онѣ имѣютъ и общую прямую, которая проходитъ черезъ
эту точку и по которой плоскости пересѣкаются.
Пусть плоскость P (черт. 303) имѣетъ точку А, общую съ дру-
гою плоскостью Q. Проведемъ на плоскости Q черезъ точку A
какія-нибудь двѣ прямыя BB1 и CC1. Если бы случилось, что
одна изъ этихъ прямыхъ лежитъ и на плоскости Р, то плоскости
имѣли бы общую прямую. Предположимъ, что этого нѣтъ; тогда
обѣ эти прямыя пересѣкаютъ плоскость P (345, 3°);
слѣд., каждая изъ нихъ подраздѣлится плоскостью P на двѣ
полупрямыя, расположенныя по разныя стороны отъ этой пло-
скостп. Возьмемъ на полупрямыхъ
AC п AB какія-нибудь точки Dn D1
и проведемъ прямую DD1. Эта прямая,
переходя иаъ части пространства, ле-
жащаго надъ плоскостыо Р, въ часть
пространства, лежащаго подъ пло-
скостью Р, пересѣчется съ плоско-
стью P въ нѣкоторой точкѣ E (345, 4°).
Такъ какъ, съ другой стороны, пря-
мая DD1 нмѣетъ съ плоскостью Q
двѣ общихъ точки (D п D1), то она
принадлежитъ ей вся. Поэтому точка
E прямой DD1 также принадлежитъ
плоскости Q. Итакъ, плоскости PnQ имѣютъ двѣ общія точки
AnE; значитъ, онѣ имѣютъ и общую прямую AE, проходящую
черезъ эти точки.
Что плоскости PnQ пересѣкаются по прямой AE (а не ка?
саются), слѣдуетъ изъ того, что прямыя BB1 и CC1, содержащіяся
въ плоскости Q, пересѣкаются съ Р.
350. Слѣдствіе. Пересѣченіе двухъ плоскостей всегда
есть лрямая линія.
Дѣйствительно, если плоскости пересѣкаются, то онѣ имѣютъ
общую точку, но въ такомъ случаѣ онѣ имѣютъ и общую прямую.
Черт. 303.
— 276 —
Какой-ннбудь еще общей точки, сверхъ точекъ этой прямой,
плоскости имѣть не могутъ, такъ какъ въ противномъ случаѣ
онѣ должны были бы слиться въ одну (348, 1°).
Г Л A B A II.
Перпендикуляръ къ плоскости и наклориыя къ ней.
361. Предварительное замѣчаніе. Возьмемъ ка-
кую-нибудь прямую AB (черт. 304) и проведемъ чірззъ нее
двѣ произвольныя плоскости P и Q;
затѣмъ, взявъ на AB какую-нибудь
точку С, нроведемъ на плоскостяхъ
PnQ черезъ эту точку прямыя:
CD-LAB и CEJLAB. Черезъ двѣ пере-
сѣкающіяся прямыя CD п CE про-
ведемъ плоскость R. Мы получимъ
тогда такое расположеніе прямой (AB)
и плоскости (R)1 при которомъ эта
прямая, пересѣкаясь съ плоскостью,
оказывается перпендикулярной къ
двумъ прямымъ (къ CD и къ CE),
проведеннымъ на этой плоскости черезъ точку пересѣченія.
Докажемъ теперь, что такое расположеніе прямой и плоскости
обладаетъ слѣдующимъ важнымъ свойствомъ.
352. Теорема. Если прямая (AA1, черт. 305), пересѣкаю-
щаяся съ плоскостью (P), перпендикулярна къ двумъ прямымъ
(CD и EF), проведеннымъ на этой плоскости черезъ точку пере-
сѣченія (B), то она перпендикулярна и ко всякой третьей пря-
мой (MN), проведенной на плоскости черезъ ту же точку пере-
сѣченія.
Отложимъ произвольной длины, но равные, отрѣзки BA и
BA1 и проведемъ на плоскости какую-нибудь прямую, DF,
— 276 —
к яорая пересѣкала бы прямыя CD, MN и EF. Точки пересѣ-
чзяія D, N и F соединиііъ съ точками' A и A1. Мы получимъ
тогда нѣсколько тр-ковъ. Разсмо-
тримъ ихъ въ такой послѣдова-
тельности. Сначала возьмемъ тр-ки
AFD и A1FD; они равны, такъ
какъ у нихъ: FD общая сторона,
AD=A1D1, какъ наклонныя къ
прямой AA1, одинаково удален-
ныя огь основанія перйендикуляра-
BD; по той же причинѣ AF=A1F.
Изъ равенства этихъ тр-ковъ слѣ-
дѵетъ, что Zadf=Za1DF: послѣ
этого трейдемъ кь тр-камъ ADN
и A1DN; они равны, такъ какъ
у HHXb DiV общая бторона, AD=A1D и ZADN=ZA1DN. Изъ
равенстйа-этихъ тр-ковъ выводимъ, что AN=A1N. Теперь вбзь-
мемъ тр-ки ABN и A1BN; они равны, такъ какъ имѣютъ соотвѣт-
ственно равныя стороны. Изъ ихъ равенства выводимъ, что
ZAtBN=ZA1BN; слѣд., AA1ZMN.
353. Опредѣленіе. Прямая наз. перпенднкуляр-
ною къплос ко с т и, если она, пересѣкаясь съ этою пло-
скостыо, образуетъ прямые углы со всѣми прямыми,
проведенными на нлоскости черезъ точку пересѣченія. Въ этомъ
случаѣ говорятъ также, что плоскость перпендикулярна къ.
прямой.
Прямая, пересѣкающаяся сь плоскостью, но не псрпенди-
кулярная къ ней, наз. наклонною. Точка пересѣченія
нрямой съ плоскостьюназ.. основаніемъ перпендикуляра
нли наклонной.
Возможность существованія перпенднкулярной прямой къ
плоскости составляетъ слѣдствіе предыдущей теоремы и пред-
варительнаго разъясненія § 351-го.
354. Теорема. Ecли черезъ одну и ту же точку прямой
проведемъ въ пространствѣ сколько угодно перпендикуляровъ
къ этой прямой, тв всѣ они лежатъ въ одной и той же плоскости
(перйендйкулйрной кб ввятой прямбй).
— 277 —
Дана прямая AB (черт. 306) и на ней точка В. Изъ этой точки
возставимъ въ пространствѣ нѣсколько. перпендикуляровъ къ
прямой AB. Для этого че-
резъ AB проведемъ какія-
нибудь плоскости Р, Q,
R, S... и на каждой изъ
нихъ черезъ точку B про-
ведемъ прямую, перпенди-
кулярную къ AB. Пусть
это будутъ прямыя BC,
BD, BE, BF... Требуется
доказать, что всѣ эти лер-
пендикуляры лежатъ въ
одной и той ж® плоскоСти,
перпендикулярной къ AB. Для доказательства черезъ какія-
нибудь два изъ нихъ, напр., черезъ BCii BD, лроведемъ плоскость
М, которая, согласно лредыдущей теоремѣ, будетъ дерпенди-
кулярна къ AB. Вообразимъ теперь, что какой-нибудь изъ прог
чихъ перпендикуляровъ, напр., BE, провёденный въ пл. R,
не лежитъ въ пл. М. Тогда пересѣченіе плоскостей RvlM должна
быть нѣкоторая прямая, не сливающаяся съВЕ, и, слѣд., въ пл. R
должны существовать 2 перпендикуляра къ AB, проходящіе
черезъ точку В: одинъ BE, а другой—пересѣченіе плоскостей
M VL R (352); такъ какъ это невозможно, то нельзя допустить,
чтобы какой-нибудь изъ проведенныхъ нами перпендикуляровъ
не лежалъ въ пл. R; значитъ, всѣ они лежатъ въ этой плоекости,
которая, какъ мы говоршш, перпендикулярна къ AB.
365- Теорема. Нерезь рсякую точку пространства мржно
провести плоскость, перпендикулярную къ данной прямой, и
лритомъ только одну.
Разсмотримъ отдѣльно 2 случая: когда точка лежигь на данной
прямой и когда она расположена внѣ этой прямой.
1°. Пусть C будетъ точка, взятая на данной прямой AB (черт.
307). Проведемъ черезъ эту прямую какія-нибудь двѣ ллоскости
P и Q и на нихъ возьмемъ прямыя CD. и CE, лерпендикулярныя
къ AB. Черезъ этп двѣ дересѣкающіяся дрямыя проведэмъ
плоскость В. Эта плоскость перпендивулярна къ AB въ точкѣ С.
— 278 --
пбтому что двѣ ея прямыя CD и CE перпендикулярны ка> AC,
и, слѣд., всякая третья прямая, проведенная на R черезъ точку C1
также перпендикулярна къ AB (352).
только одна такая прямая, именно прямая CD, которую мы
раныпе провели; значитъ, плоскость R1 должна пересѣчься съ
P по той же прямой CD, по которой съ ней пересѣкается и пл. R,
Такъ же убѣдимся, что пл. R1 должна пересѣчься съ пл. Q ло
той же прямой CE, по которой съ ней пересѣкается пл. R. Слѣд.,
пл. R1 должна вроходить черезъ тѣ же пересѣкающіяся прямыя
CD и CE, черезъ которыя проведена нами ранѣе плоскость R,
Ho черезъ 2 пересѣкающіяся прямыя можно провести только
одну плоскость; значитъ, плоскости Rh R1 должны слиться въ
одну.
2°. Пусть D будетъ точка, взятая внѣ данной прямой AB
(черт. 307). Проведемъ черезъ D и AB плоскость P и черезъ AB ещѳ
какую-нибудь плоскость Q; на первой опустимъ на AB изъ точки
D перпендикуляръ DC, а на второй возставимъ къ AB изъ точки C
перпендикуляръ CE. Плоскость R1 проходящая черезъ DC и CE,
ж будетъ плоскостыо, препендикулярною къ AB и проведенною
черезъ точку D (352).
Предположимъ теперь, что черезъ точку D можно провести
еще другую плоскость R1, перпендикулярную къ AB. Эта пло-
скость должна пересѣчься съ пл. P по такой прямой, которая,
во 1, проходитъ черезъ D и, во 2, перпендикулярна къ AB. Ho
на йл. P существуетъ только одна такая прямая, именно перпен-
дикуляръ DC, который мы провели раньше; значитъ, пл. R1
Черт. 307.
Для доказательства, что такая
плоскость можетъ быть только од-
на, допустимъ, что черезъ точку
C можно провести еще другую
плоскость, перпендикулярную къ
AB. Обозначимъ ее R1. Эта пло-
скость должна пересѣчься съ
плоскостью P по такой прямой,
которая, во 1, проходитъ черезъ C
и, во 2, перпендикулярна къ AB.
Ho на плоскости P существуетъ
— 279 —
долясна пересечься съ пл. P по той же прямой DC, по которой
съ ней пересѣкается и пл. R. Ho тогда съ пл. Q пл. R1 можетъ
перееѣчься только по лрямой CE, такъ какъ это—едипственная
прямая плоскости Q, вроходящая черезъ C и перпепдикуляр-
ная къ AB. Такимъ образомъ, пл. R1, проходя черезъ тѣ же
двѣ пересѣкающіяся прямыя DC и CE, черезъ которыя прове-
дена пл. R, должна слиться съ этою плоскостью.
356. Теорема. Черезъ всякую точку пространства можно
лровести перпендикуляръ къ данной. плоскости и притомъ только
одинъ.
Разсмотримъ отдѣльно 2 случая: когда точка, черезъ которую
гребуется провести лерпепдикуляръ къ даллой плоскости,
лежитъ па этой плоскести, п когда она расположена внѣ ея.
1°. Пусть точка O лежитъ ва плоскости P (черт. 308). Про-
ведемъ черезъ нее на этой плоскости какую-пибудь прямую MN
и затѣмъ черезъ ту же
точку O проведемъ пло-
скость Q, перпендикуляр-
пую къ прямой 'MN, что,
какъ мы видѣли (355, 1°),
всегда возможпо. Пусть
плоскости P и Q пересѣ-
каются по прямой AB. Въ
плоскости Q проведемъ
0СА.АВ. Докажемъ, что
до