Author: Аксенов А.П.
Tags: анализ математический анализ функциональный анализ математика
ISBN: 5-7422-0625-9
Year: 2004
Text
МАТЕМАТИКА В ПОЛИТЕХНИЧЕСКОМ УНИВЕРСИТЕТЕ
А. П. АКСЕНОВ
МАТЕМАТИЧЕСКИМ АНАЛИЗ
Часть 2
Учебное пособие
2004
Санкт-Петербург
Издательство Политехнического университета
УДК 517.1-3(075.8)
ББК 22.161я73
А 424
Аксенов А.П. Математика. Математический анализ. Ч. 2: Учеб, посо-
бие. СПб.: Изд-во СПбГПУ, 2004. 759 с. (Математика в политехниче-
ском университете. Вып. 2).
ISBN 5-7422-0625-9
Во второй части учебного пособия по курсу математического анализа
содержится дифференциальное и интегральное исчисления функций
нескольких переменных, теория интегралов, зависящих от параметра,
теория рядов, элементы векторного анализа. Разобрано более 270 приме-
ров и задач.
Предназначается студентам политехнических университетов.
Ил. 171. Библиогр.: 6 назв.
Печатается по решению редакционно-издательского совета Санкт-
Петербургского государственного политехнического университета.
ISBN 5-7422-0625-9
© Аксенов А.П., 2004
© Санкт-Петербургский государственный
политехнический университет, 2004
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие................................................8
Глава 1, Функции нескольких переменных. Непрерывность......9
§1 . Геометрическое введение........................9
§2 . Принцип выбора................................13
§3 . Понятие функции нескольких переменных.........15
§4 . Предел функции нескольких переменных.
Повторные пределы...................................17
§5 . Непрерывность функции нескольких переменных...26
§6 . Свойства непрерывных функций нескольких переменных.......29
§7 . Понятие равномерной непрерывности функции
нескольких переменных. Теорема Кантора..............36
§8 . Примеры и задачи..............................39
Глава 2. Частные производные. Дифференциалы функций
нескольких переменных.....................................57
§1 . Частные производные и частные дифференциалы...57
§2. Формула для полного приращения функции нескольких
переменных. Дифференцируемость......................59
§3. Производные сложных функций.....................63
§4. Полный дифференциал функции нескольких переменных..........67
§5. Дифференциал сложной функции. Инвариантность
формы полного дифференциала.........................71
§6. Частные производные высших порядков. Теорема
о равенстве смешанных производных..............................73
§7. Дифференциалы высших порядков функции нескольких
переменных.....................................................79
§8. Дифференциалы высших порядков сложной функции
нескольких переменных. Нарушение свойства
инвариантности формы................................81
§9. Примеры и задачи................................85
Глава 3. Теория неявных функций. Зависимость и независимость функций.108
§1. Теоремы существования неявных функций..........109
§2. Зависимость и независимость функций............121
3
§3. Некоторые дополнительные сведения о якобианах.....132
§4. Примеры и задачи................................136
Глава 4. Экстремумы функций нескольких переменных ........150
§1. Формула Тейлора для функции нескольких переменных.... 150
§2. Обычные экстремумы для функций
нескольких переменных.................................153
§3. Условные (относительные) экстремумы...............166
§4. Примеры и задачи на экстремумы функций
нескольких переменных...............................176
§5. Примеры и задачи на наибольшие и наименьшие
значения функций нескольких переменных..............215
§6. Примеры и задачи на замену переменных...........226
ТЕОРИЯ РЯДОВ
Глава 5. Числовые рады с вещественными членами ...........244
§1 . Определение ряда и его сходимость.
Простейшие свойства сходящихся рядов................244
§2 . Положительные ряды. Признаки сравнения........251
§3 . Интегральный признак Коши.....................256
§4 . Признак Куммера...............................262
§5 . Признак Коши..................................271
§6 . Знакочередующиеся ряды........................273
§7 . Ряды с членами любых знаков...................278
§8 . О перестановке членов в сходящихся рядах......280
§9 . Умножение абсолютно сходящихся рядов..........284
§10 . Признаки сходимости рядов Дирихле и Абеля....289
Глава 6. Функциональные последовательности и ряды.........295
§1 . Последовательности функций....................295
§2 . Функциональные ряды (общая теория)............309
§3 . Степенные ряды................................325
Дополнение к теории рядов...........................353
Глава 7. Собственные интегралы, зависящие от параметра....361
§1 . Определение интегралов, зависящих от параметра..361
§2 . О допустимости предельного перехода по параметру
под знаком интеграла................................362
§3 . О непрерывности интеграла как функции параметра.363
§4 . О дифференцировании по параметру
под знаком интеграла................................365
§5 . Об интегрировании по параметру
под знаком интеграла................................366
§6 . Случаи, когда и пределы интеграла
зависят от параметра................................369
§7. Примеры.........................................377
4
Глава 8. Двойные интегралы ...............................381
§1. Область и ее диаметр............................381
§2. Определение двойного интеграла..................383
§3. Признаки интегрируемости функций................386
§4 Свойства двойных интегралов.....................393
§5. Вычисление двойного интеграла
в случае прямоугольной области......................399
§6. Вычисление двойного интеграла
в случае криволинейной области......................405
§7. Примеры............................................
Глава 9. Криволинейные интегралы .........................421
§1. Криволинейные интегралы первого рода............421
§2. Криволинейные интегралы второго рода............431
§3. Криволинейные интегралы второго рода
по замкнутым плоским кривым. Формула Грина..........441
§4. Вопрос о независимости криволинейного
интеграла второго рода от пути интегрирования.......446
§5. Площадь плоской фигуры
в криволинейных координатах.........................456
§6. Замена переменных в двойном интеграле...........461
§7. Примеры.........................................463
Глава 10. Вычисление площадей кривых поверхностей ........478
§1. Некоторые сведения из геометрии.................478
§2. Существование площади кривой поверхности
и ее вычисление.....................................483
§3. Примеры.........................................490
Глава 11. Поверхностные интегралы ........................495
§1. Поверхностные интегралы первого рода............495
§2. Поверхностные интегралы второго рода............504
§3. Формула Стокса..................................513
§4. Вопрос о независимости криволинейного интеграла
в пространстве от пути интегрирования...............518
§5. Примеры и задачи................................523
Глава 12. Тройные интегралы ............................. 545
§1. Определение тройного интеграла..................545
§2. Признаки интегрируемости функций................547
§3. Свойства тройного интеграла.....................549
§4. Физическое истолкование тройного интеграла......551
§5. Вычисление тройных интегралов в декартовой системе
координат............................................553
§6. Формула Остроградского...........................558
§7. Вычисление объемов тел
при помощи поверхностных интегралов
(применение формулы Остроградского).................562
5
§8. Объем тела в криволинейных координатах...........563
§9. Замена переменных в тройном интеграле............568
§10 . Понятие об интегралах высшей кратности........570
§11 . Примеры и задачи..............................574
Дополнение. Понятие о несобственных кратных интегралах.... 589
Глава 13. Несобственные интегралы, зависящие от параметра .599
§1. Определение равномерной сходимости несобственных
интегралов...........................................599
§2. О непрерывности интеграла как функции параметра..601
§3. Об интегрировании по параметру под знаком интеграла .. 603
§4. О дифференцировании по параметру
под знаком интеграла.................................605
§5. Признак равномерной сходимости
несобственных интегралов.............................606
§6. Примеры..........................................608
Глава 14. Эйлеровы интегралы ..............................617
§1. Интеграл Эйлера первого рода (Бета-функция)......617
§2. Интеграл Эйлера второго рода (Гамма-функция).....620
§3. Примеры..........................................631
Глава 15. Ряды Фурье. Интеграл Фурье.......................635
§1 . Тригонометрические ряды........................635
§2 . Интеграл Дирихле...............................639
§3 . Теорема Римана—Лебега..........................643
§4 . Проблема разложения функции в ряд Фурье........648
§5 . Ряды Фурье четных и нечетных функций...........656
§6 . Разложение в ряд Фурье функции, заданной
в “неполном” промежутке..............................660
§7 . Сдвиг основного промежутка.....................664
§8 . Растяжение основного промежутка................665
§9 . Интеграл Фурье.................................670
§10 . Различные виды формулы Фурье..................678
§11 . Формулы Фурье для функции, заданной
на промежутке [0, +<»]...............................681
§12 . Гармонический анализ непериодических функций..685
§13 . Преобразования Фурье..........................687
Глава 16. Суммирование расходящихся рядов..................689
§1. Метод средних арифметических (метод Чезаро)......690
§2. Теоремы Вейерштрасса.............................695
§3. Средние квадратические приближения функций.......701
§4. Полнота тригонометрической системы...............710
§5. Метод Абеля—Пуассона суммирования рядов........714
§6. Применение метода Абеля—Пуассона к рядам Фурье...716
Дополнение 1. Применение метода Абеля—Пуассона
в теории степенных и числовых рядов..................724
6
Дополнение 2. Гармонический анализ функций,
заданных эмпирически................................725
Глава 17. Элементы теории поля ............................732
§1 . Скалярное поле................................732
§2 . Градиент......................................735
§3 . Векторное поле.............................. 738
§4 . Дивергенция...................................743
§5 . Линейный интеграл векторной функции...........746
§6 . Вихрь векторного поля.........................748
§7 Дифференциальные операции второго порядка
в векторном анализе..................................753
Литература.................................................758
ПРЕДИСЛОВИЕ
Настоящая книга является второй частью двухтомного курса
математического анализа. В основу книги положены лекции,
читавшиеся автором в Санкт-Петербургском Политехническом
университете в течение ряда лет. Как и в части первой, автор
стремился к систематичности изложения и к выделению важней-
ших понятий и теорем. Во втором томе содержится изложение
теоретического материала по темам: “Дифференциальное исчис-
ление функций нескольких переменных”, “Числовые и функцио-
нальные ряды”, “Интегралы, зависящие от параметра, собствен-
ные 41 несобственные”, “Двойной интеграл”, “Криволинейные
интегралы первого и второго рода”, “Вычисление площадей кри-
вых поверхностей, заданных как явными, так и параметрически-
ми уравнениями”, “Поверхностные интегралы первого и второго
рода”, “Тройной интеграл”, “Элементы теории поля”, “Эйлеро-
вы интегралы (Бета-функции и Гамма-функции)”, “Ряды Фу-
рье”, “Интеграл Фурье”, “Суммирование расходящихся рядов”.
Изложено применение методов Чезаро и Абеля — Пуассона в
теории рядов; рассмотрен вопрос о гармоническом анализе функ-
ций, заданных эмпирически. Разобрано большое количество при-
меров и задач, разъясняющих основные идеи, понятия, теорети-
ческие факты и их практическое применение.
Предназначается для студентов технических университетов
инженерно-физических специальностей, а также студентов дру-
гих специальностей для углубленной математической подготовки.
Глава 1
ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ.
НЕПРЕРЫВНОСТЬ
§1. Геометрическое введение
1. Совокупность п чисел (Х|, х2,..., х„), взятых в определен-
ном порядке, называется точкой п-мерного пространства.
Множество всех таких точек называют «-мерным простран-
ством и обозначают через R".
Числа хь х2, ..., хл называют координатами точки.
2. Пусть A(xltx2,..., хл) и В(Х],х2,..., хл) — любые две точ-
ки из R”. Расстоянием между точками Ли В называется число
р(А,В) = 7(xi — X])2 +(х2 — х2)2 + ... + (х„ — хл)2 .
Это число удовлетворяет следующим трем условиям:
а) р(А, В) > 0, причем р(А, В) = О лишь тогда, когда точки А и
В совпадают, т. е. когда х, = х{, х2 = х2, ..., хл = х„.
б) р(А,В) = р(В,Л) (свойство симметрии).
в) Если А, Ви С — любые три точки из R”, то
р(А,С) < р (А, В) + р (В,С) (неравенство треугольника).
3. Пусть А(а{,а2,... ,а„) — некоторая фиксированная точка
из R" и пусть R > 0 — некоторое число. Множество всех точек
М(Х[,х2,..., хл) из R", для которых р(М,А) = R , называется
сферой радиуса R с центром в точке А.
р(А/,Л) = Л <=> “ а1)2 + <*2 - аг)2 + ••• + (хл ~ дл)2 = R (О
— уравнение сферы.
9
Множество всех точек М(х1,х2,..., хп) из R", для которых
р(М,А) < R, называется открытой сферой радиуса R с центром в
точке А.
Множество всех точек М(хх,х2,..., хл) из R", для которых
р(М,А) < R, называется замкнутой сферой радиуса R с центром в
точке А.
4. Пусть имеются числа ai,a2,... ,а„ и bt, b2,..., Ьп такие,
что «!</>!; а2<Ь2, ..., а„<Ьп. Множество всех точек
М(х{,х2,..., х„) из R", для которых
at < xl < bt,
а2 < хг < ^2 >
ап<хп <Ь„,
называют открытым параллелепипедом и обозначают через (Р).
Множество всех точек М(хх,х2,..., хп) из R", для которых
at < х{ < Ь{,
а2 < х2 <
называют замкнутым параллелепипедом и обозначают через (Р).
лепипеда.
5. Пусть Е — некоторое множество точек из R". Множество Е
называется ограниченным, если существует число R > 0 такое, что
все точки множества Е оказываются лежащими внутри сферы
радиуса R с центром в точке О(0,0,..., 0).
Теорема. Пусть множество Е(М) с R". Пусть:
{jq}, М&Е , — множество, которое образуют первые коор-
динаты точек М из £;
{х2}, М е Е , — множество, которое образуют вторые коор-
динаты точек М из Е\
10
{x„}, M e E, — множество, которое образуют п-е координа-
ты точек М из Е.
Для того чтобы множество Е(М) было ограниченным, необ-
ходимо и достаточно, чтобы были ограниченными одновременно
множества: {х]}, МеЕ\ {х2}, М е Е ; {x„}, М g Е .
Необходимость.
► Дано: £(Л/(х|,х2, ...,х„)) — ограниченное. Следовательно,
существует число R > 0 такое, что р(М, О) < R для любой точки
М из Е, т. е. + х2 + ... + х2 < R для любой точки М из Е.
Имеем тогда:
О < |х]| < ^/х2 + х2 + ... + х2 < R,
О < |х2| < yjxi + х2 + ... + х2 < R,
О < |х„| < -Jx2 + х2 + ... + х2 < R,
для любой точки М из Е. А это означает, что множества {xj},
М е Е; {х2}, М g Е ; ...; {х„}, М 6 Е — ограниченные.
Достаточность.
► Дано: Множества {xj}, Л/е£; {х2}, М е Е ; ...; {х„},
М е Е, — ограниченные. Следовательно, существует число L > О
такое, что IxJ < L , |х2| < L , ..., |х„| < L , для любой точки М из Е.
А тогда
-Jxf +Д2 +"- + ли <L-4n (= R),
определенное число
т. е. р(М,О) < R для любой точки М из множества Е. А это озна-
чает, что множество Е(М) — ограниченное.
6. Пусть функции Ф1(0, Фг(О, •••> фя(0 определены и непре-
рывны на промежутке [а,/>]. Множество всех точек
Л/(Х1,х2,..., х„) из R" , для которых
11
*1 =<Pi(O,
*2 = (p2(0,
t e [д,6],
(2)
x„ = <p„(0,
называют непрерывной кривой и обозначают через (А). Уравнения
(2) называются параметрическими уравнениями кривой (К).
7. Пусть Е — некоторое множество точек из R". Множество Е
называется связным, если любые две точки этого множества мож-
но соединить непрерывной кривой (А), все точки которой при-
надлежат Е.
8. Пусть
(3)
есть некоторая последовательность точек из R". Пусть
A(at,a2, ,а„) — некоторая фиксированная точка из R". Гово-
рят, что последовательность точек (3) сходится к точке А, и пишут:
Мк к^>А, если p(Mk,A)-i^Q. (4)
Теорема. Для того чтобы последовательность точек (3) сходи-
лась к точке А, необходимо и достаточно, чтобы одновременно
было:
x^-i—^a2, ..., х(к)-^ап. (5)
Необходимость.
► Дано: Мк А <=> p(Mk,A)-j^Q <=>
<=> ^(х^ - Д02 + (х^> - д2)2 + ... + (х<*> - д„)2 0. (6)
Имеем:
О < xt(t) - а, < J(x^ - д,)2 + (х(2к} - а2)2 + ... + (х(к) - а„)2,
О < х(2к) -а2 < J(x{k) - а{)2 + (х[к) - а2)2 + ... + (х(к) - ап)2,
О < |х<*> - дл| < - д,)2 + (xf> - а2)2 +... + (х<к) -а„)2.
12
Принимая во внимание (6), заключаем, что
х[к}~^аъ х^-^а2, ....
Достаточность.
► Дано: х<к)-j—>a2, ..., -Т^а„ =>
=* (*iA) -«1) ~г^ °>
(х^ - а2)О, ”•> <хпк) ~ ап) ~i^ ° =>
=> (xf^-fli)2 -т^0’
(х(2к} - а2)2 0, ..., (х<А) - а„)2 0 =>
=> [(хр} -fli)2 + (х<А) -д2)2 + ... + (х(к) - дл)2] —> 0 =*
=> р(ЛГЛ,Л)0.
А это означает, что Мк к^п> А . 4
9. Пусть Е{М} — некоторое множество точек из R". Пусть
А — некоторая фиксированная точка в R". Точка А может при-
надлежать, а может и не принадлежать множеству £{Л/}.
Точку А называют предельной точкой множества Е{М}, если
можно построить последовательность точек {Мк }(teN такую, что
МкеЕ, Мк* А для любого к е N и Мк к^> А .
10. Множество £{Л/} называется замкнутым, если оно содер-
жит все свои предельные точки. (Примерами замкнутых мно-
жеств являются замкнутая сфера, замкнутый параллелепипед.)
§2. Принцип выбора
Пусть
{A/t(x1(*),x<t),...,x<*))}^N
(1)
есть некоторая последовательность точек из R".
13
Если последовательность (1) ограниченная, то из нее можно
выделить подпоследовательность, имеющую предел.
Доказательство проведем для случая, когда л = 2 . В этом
случае последовательность (1) имеет вид:
pG(W*)}tew (Г)
По условию последовательность точек (Г) ограниченная. Следо-
вательно, ограниченными будут последовательности
{x*keN (2)
и
{•У* KeN • (3)
Рассмотрим, например, последовательность (2). Она — числовая,
ограниченная. Но тогда, по принципу выбора Больцано — Вейер-
штрасса для числовых последовательностей, из нее можно выде-
лить подпоследовательность, имеющую конечный предел. Пусть
это будет подпоследовательность
{**.}„«. ®
и пусть хкт > а (а — конечное число). Из последовательности
(3) выделим подпоследовательность
L-Ln <5>
но не по принципу выбора Больцано — Вейерштрасса, а так, чтобы
индексы (3) совпадали с индексами подпоследовательности (2).
Ясно, что (3) — числовая, ограниченная (ибо таковой являет-
ся последовательность (3)). Поэтому из (3), по принципу выбора
Больцано — Вейерштрасса, можно выделить подпоследователь-
ность, имеющую конечный предел. Пусть это будет подпоследо-
вательность
и пусть укт > b (Ь — конечное число).
Теперь из (2) выделим подпоследовательность
kJ (5)
I т‘ J/eN
14
так, чтобы индексы (2) совпадали с индексами (3). Ясно, что
xt ------> а (так как любая подпоследовательность, выделенная из
Л/П/ /_>оо
сходящейся последовательности, сходится к тому же самому пределу).
Нетрудно понять, что >Ук„.)}. N есть иско-
мая последовательность. Она сходится к точке А(а, Ь). 4
§3. Понятие функции нескольких переменных
Пусть имеется некоторое множество Е пар чисел (х,у). Гео-
метрически Е представляет собой некоторое множество точек
плоскости Оху.
Если каждой точке (х,у) е Е по какому-нибудь правилу со-
поставляется определенное значение переменной z, то говорят,
что на множестве Е задана функция z = f(x,y).
Переменные х и у называют независимыми переменными или
аргументами функции, а множество Е — областью задания функции.
Придавая х и у конкретные значения (любые, но такие, что
(х,у) е Е), мы всякий раз будем получать конкретное числовое
значение переменной z. Таким образом, значениями z “управля-
ют” пары чисел (х,у).
Для обозначения частного значения функции z = f(x,y), от-
вечающего частным значениям х0 и у0 независимых перемен-
ных, употребляются символы /(х0,у0) или z|x=Xo-
У=Уо
Функция z = f{x,y) геометрически иллюстрируется так. Рас-
смотрим прямоугольную пространственную систему координат
Oxyz и предположим для простоты, что область задания Е функ-
ции представляет собой часть плоскости Оху. Возьмем на Е
какую-нибудь точку М(х,у) и вычислим соответствующее значе-
ние z. Это z отложим на перпендикуляре к плоскости Оху,
проходящем через точку М(х,у). В результате в пространстве
получим точку P(x,y,z) (см. рис. 1.1).
Когда точка М(х,у) будет перемещаться в области задания Е,
соответствующая точка P(x,y,z) опишет, как правило, некото-
рую поверхность. Эта поверхность служит геометрическим изоб-
ражение данной функции z = f(x,y).
15
Рис. 1.1
Когда мы рассматри-
ваем функцию z = fix, у),
заданную формулой (без
всяких оговорок, связан-
ных со специфическими
условиями задачи), то за
область задания этой фун-
кции мы принимаем мно-
жество всех тех пар (х, у),
для которых формула
имеет смысл (если оста-
ваться в области действи-
тельных чисел). Такую ес-
часто называют областью
тественную область задания
существования функции.
Так, например, если функция z = fix,у) задана формулой
z = ^\-х2 - у2
то область существования этой функции характеризуется условием
1-х2 -у2 > 0 <=> х2+у2<1.
Видим, что это есть замкнутый круг единичного радиуса с цент-
ром в точке О (0,0).
Понятие функции от трех и большего числа переменных вво-
дится аналогично случаю функции от двух переменных. Именно:
пусть имеется некоторое множество Е троек чисел вида (x,y,z)-
Геометрически Е представляет собой некоторое множество точек
пространства Oxyz. Если каждой точке (x,y,z) е Е по какому-то
правилу сопоставляется определенное значение переменной и, то
говорят, что на множестве Е задана функция и = fix,y,z). И
здесь, когда рассматривается функция и = fix,y,z), заданная фор-
мулой (без всяких оговорок, связанных с условиями задачи), то за
область задания этой функции принимается множество всех троек
чисел (x,y,z), Для которых формула имеет смысл (если оставаться
в области действительных чисел). В этом случае область задания
называют также областью существования функции. Например, пусть
функция и = fix,y,z) задана формулой:
и = arcsin (х2 + у2 + z2 - 3).
Область существования этой функции определяется неравенством
-1 < х2 + у2 + z2 - 3 < 1, т. е. неравенством 2 < х2 + у2 + г2 < 4.
16
Видим, что это есть множество точек, заключенных между сфера-
ми радиусов V2 и 2 с центром в точке О (0,0,0). (Точки обеих сфер
также входят в область существования функции.)
Аналогично: пусть имеется некоторое множество Е из точек
вида (xlsx2, ••• > хя) (я > 3). Если каждой точке (xi,x2> ••• > -*я)е Е
по какому-нибудь правилу сопоставляется определенное значе-
ние переменной и, то говорят, что на множестве Е задана функ-
ция и = /(х1,х2,...,хл).
Переменные х1,х2,...,хл по-прежнему называются независи-
мыми переменными или аргументами функции, а множество Е —
областью задания функции.
Заметим, что наглядно-геометрически истолковать область
задания функций от более чем трех независимых переменных не
удается (нашего обычного трехмерного пространства не хватает).
§4. Предел функции нескольких переменных.
Повторные пределы
Понятие предела функции от нескольких переменных вводит-
ся совершенно аналогично случаю предела функции одной пере-
менной.
Определение. Пусть функция и = f(M) определена на множе-
стве Е (Е с R"). Пусть точка А — предельная для множества Е.
Число / называют пределом функции f(M) при М -> А и пишут
/=Шп/(М), (1)
М—^А
если для любой последовательности точек {Мк }*ер4, такой, что для
любого к g N, Мк g Е, Мк * А и Мк А оказывается, что
соответствующая последовательность значений функции:
f (A^i), f (Af2),..., f(Mk),... всегда имеет своим пределом одно и
то же число /.
Соотношение (1) записывают также в виде
I = lim /(х1,х2,...,хл). (2)
Х| —
х2->а2
Хп-^ап
17
Здесь хь х2, , х„ —координатыточкиМизЕ, at, а2, ..., а„ —
координаты точки А, предельной для Е.
Замечание 1. Для функции /(х1,х2,..., х„) нескольких пере-
менных, как и для функции одной переменной, можно ввести
понятие бесконечного предела, а также понятие предела
lim f(M), когда точка неограниченно удаляется от начала коор-
М -400
динат, т. е. когда ^xf + х2 + ... + х„ -» + °°.
Замечание 2. В случае, когда /, ait а2, .... а„ — конечные
числа, определение предела функции от нескольких переменных
может быть дано в следующих равносильных формах.
I. Число / называют пределом функции f(M) при М -> А ,
если любому числу е > 0 отвечает число 5 > 0 такое, что как
только М е Е , М * А и р(М, А) < 5 , так сейчас же оказывается
|/(Л/)-/|<е.
П. Число / называют пределом функции f(M) при М А ,
если любому числу е > 0 отвечает число 5 > 0 такое, что как
только (Xj,x2,..., хп) е Е, (xltx2,... ,х„) (aita2,..., а„) и
|xi -^<5,
|х2 -а2|<5,
так сейчас же |/(Х],х2
,хл)-/|<е.
К -ол|<5,
Бесконечно малые и бесконечно большие в случае функций
нескольких переменных вводятся совершенно так же, как и в
случае функций одной переменной. Именно: функция f(M)
называется бесконечно малой при М -> А , если
lim /(Л/) = 0.
Функция f(M) называется бесконечно большой при М -> А .если
lim f (М) = °°, + °°, — °°
М->А
Отметим, что свойства бесконечно малых и бесконечно больших,
установленные для случая функций одной переменной, распрост-
18
раняются на случай функции нескольких переменных. Сохраня-
ются также понятия порядка, эквивалентности бесконечно малых
и бесконечно больших и свойства, связанные с этими понятиями.
Сохраняются и свойства конечных пределов.
1. Число I есть предел функции f (М) при М -> А тогда и только
тогда, когда разность f (М) -1 есть бесконечно малая при М -» А.
Это можно перефразировать и так:
Число / есть предел функции f(M) при М А тогда и
только тогда, когда f (М) может быть представлена в виде суммы
числа / и бесконечно малой при М -> А .
2. Если существует конечный предел lim f(M), то при любом
М-+А
постоянном С существует конечный предел lim С f (М), причем
М—^А
lim C f(M) = C- lim f(M).
M-*A M->A
3. Если существуют конечные пределы lim f(M) и lim g(Af),
М-ьА М-+А
то существует конечный предел Пт [/(Л/) ± g(M)], причем
lim[f(M) ± g(M)] = lim f(M) ± lim g(M).
M-+A M-+A M-+A
Заметим, что это свойство распространяется на любое фиксиро-
ванное число слагаемых.
4. Если существуют конечные пределы lim f (М) и lim g(M),
М-+А М-^А
то существует конечный предел lim f (М) g(M), причем
М-*А
lim f{M) g(M)= lim f(M)- lim g(M).
M-+A M~>A M-+A
Заметим, что и это свойство распространяется на любое фиксиро-
ванное число сомножителей.
5. Если существуют конечные пределы lim f(M) и lim g(M),
M-tA M—>A
причем lim g(M) * 0, то существует конечный предел
M-+A
lim - ’, причем
m-^a g(M)
f ,и\ lim f(M)
m->a g(M) lim g(M)'
M-+A
19
6. Если в некоторой окрестности точки А
р(М) < f(M) < g(M)
и если lim р (М) = lim g(M) = I, то и lim f (М) = I;
М—>^4 М—ъ А М—
И т. д.
Введенное выше понятие предела функции нескольких пере-
менных в точке А следует отличать от так называемых повторных
пределов этой функции в точке А.
Разъясним понятие повторного предела в точке А на примере
функции двух переменных.
Пусть функция u = f(x,y)
lim/(x,y) = (p(x),
y-^b Т
обозначение
цана в прямоугольнике
(а<х<с, _
(р) = 1. . . ПУСТЪ
b<y <d.
при каждом закрепленном
х из (а, с] существует ко-
нечный предел lim f (х,у).
y-tb
Ясно, что этот предел будет
представлять собой функ-
цию от х, определенную в
промежутке (а, с], т. е.
хе (а,с].
Пусть далее существует конечный предел т = lim <р (х). Число т
х->а
называют повторным пределом функции f(x,y) в точке А(а,Ь) и
пишут
т = lim (lim /(x,y)j.
Пусть теперь при каждом закрепленном у из (b, d} существует ко-
нечный предел lim f(x,y). Ясно, что этот предел будет представ-
лять собой функцию от у, определенную в промежутке (b,d\, т. е.
lim/(х, у) = Ку), У g (ML
х-м Т
обозначение
20
Пусть далее существует конечный предел л = lim у(у). Число л
у->Ь
будет другим повторным пределом функции f(x,y) в точке А(а,Ь).
Пишут
л = liml lim f(x,y)
y->b\x-+a
Пример 1. Для функции f(x,y) = ^—в точке 0(0,0)
х +у
найти повторные пределы и доказать, что у этой функции в точке
О (0,0) предела в обычном смысле нет.
Решение. 1) При любом закрепленном х, отличном от нуля,
имеем
— у^
lim/(х,у) = lim У = 1,
^->0 у->о х +у
т. е. ф (х) «1, х е (- о», 0) U (0, + °°). Ясно, что
f \ Г х2 — у А
liml lim f(x,y) = lim lim = 1,
x-»(\y->0 ) x-»0l y->0 %2 4. yL J
t. e. m = 1. 4
2) При любом закрепленном у, отличном от нуля, имеем
lim f(x,y) = lim Х. ~У = -1,
х->0 х->0Х2+у2
т. е. ф(у) = -1, у е (—°°, 0) U (0, +~). Ясно, что
/ ( X2" — у2
lim lim/(х,у) = lim lim—5—
= -1,
т. е. л = -1.
Видим, что у нашей функции в точке (0,0) существуют оба
повторных предела и что они различные.
3) Покажем, что у заданной функции в точке (0,0) предела в
обычном смысле нет.
В самом деле, возьмем последовательность точек
. Имеем для любого к е N: точки Мк
AjgN
1 Л
к’ к)
21
принадлежат области существования функции; [ т, т | * (0,0), и
к АС /С )
ЛУ Г 1 Г
<£ Л,
значений функции будет такой: /(Afj) = O; /(ЛГ2) = 0;
э 0(0,0). Соответствующая последовательность
f(Mk) = 0; .... Следовательно, f(Mk)---->0.
D izP 1
Возьмем теперь последовательность точек <Мк — ,—
\к к
JteN
40.
~ (2 1>
Имеем для любого к е N: точки Мк —, — принадлежат области
у AC Av J
(2 1А ~ (2 Г
существования функции; —, — * (0,0) и Мк\
\к к) \к к.
Соответствующая последовательность значений функции будет
3 ~ з з
такой: /(Afj) = —; /(ЛГ2) = f(Mk) = — ,.... Следовательно,
3
—4.
Э
Вывод. У заданной функции в точке 0(0,0) предела в обыч-
ном смысле нет.
х2у2
Пример 2. Для функции f(x,y) = , ,— ---------у в точке
х у +(х-у)1
О (0,0) найти повторные пределы и доказать, что у этой функции
в точке О (0, 0) предела в обычном смысле нет.
Решение. 1) При любом закрепленном х (х * 0) имеем
х2у2
lim/(х,у) = lim у--------
>>->0 ,у->0 xiyi + (х - у)
= о,
т. е. ср (х) s 0, х е (- ~, 0) U (0, + ~). А тогда
2 2
х у
lim
= lim lim —9
х->0^->0 xLyL + (х - у)
= 0,
т. е. т = 0.
22
2) При любом закрепленном у {у * 0) имеем
х2у2
lim f (х,у) = lim -3—5—--5- = 0,
х_>0 х->Ох2у2 +(х-у)2
т. е. v (у) = 0 , У е (- 0) U (0, + ~). А тогда
✓ К 2 2
( xzyz
lim lim f(x,y) = lim lim , ,— ------------5-
y->0kx->0 ) y->0^x->0 +(x-y)l>
= 0,
т. е. п = 0.
3) Покажем, что у заданной функции f(x,y) в точке 0(0,0)
предела в обычном смысле нет.
и лИ 1 1
Для этого возьмем последовательность точек м к —, —
\к к
teN
Имеем для любого к е N: точки Мк\ —, — j принадлежат области
AC Av J
существования функции; |-г,-J-1 * (0,0) и ----->0(0,0).
Vk к) \к к)
Соответствующая последовательность значений функции будет
такой: = f(M2) = l, ..., f(Mk) = \, .... Следовательно,
f\Mk) —----->1.
Возьмем теперь последовательность точек
Мк(±-±
к\к к
Имеем для любого к 6 N: точки Мк\ j принадлежат обла-
у AC AC J
сти существования функции; Мк\ —, - * 0(0, 0) и
V AC AC J
\к к
----> О (0, 0). Соответствующая последовательность
Л->«»
значений функции будет такой:
= (—Ц-) ----->0.
teN 11+4*2 LeN
23
Вывод. У заданной функции в точке О (0,0) предела в обыч-
ном смысле нет.
Из приведенного примера видим, что из существования и
равенства повторных пределов функции в точке не следует суще-
ствование в этой точке предела в обычном смысле.
Пример 3. Показать, что у функции f(x,y) = (х + у)-
• sin — • sin — в точке О (0, 0) существует предел в обычном смыс-
ле у
ле, но не существуют оба повторных предела.
Решение. Отметим, что областью существования заданной фун-
кции является вся плоскость Оху с исключенной точкой О (0,0).
1) Имеем для любых х / 0 и у * 0:
0<
/ ч . 1 . 1
(х + у) sin — • sm —
X у
< |х + у| < |х| + |у |.
Так как lim(|x| + |у|) = 0, то заключаем, что
у->0
limf (х + у) sin — • sin — | = 0. Следовательно, у заданной функции
х->а X у I
у-» '
в точке О (0,0) существует и равен 0 предел в обычном смысле.
2) Заметим, что при любом закрепленном х (х * 0) заданная
функция будет представлять собой функцию только от у. Пока-
жем, что у этой функции не при любом закрепленном х (х * 0)
существует предел при у -> 0. В самом деле,
а) Если х =-Д-, fceN, то lim/(х,у) = lim|-Д+ у |-sin
кп у-»о )
• sin — = 0.
У
б) Пусть теперь х # — , к е N. Заметим, что тогда
1 Г11
х • sin — # 0. Возьмем две последовательности: {у*. }(tcN = 1 т- •
И ЖеИ
1
(4к +1) |
. Ясно, что ук -^0 и ук -^0.
4eN
24
Соответствующие последовательности значений функции будут
такими:
{/(Vt)}t6N = {°} и
{/(*Л)}*6и
1
(4к +1) •
2 7
. 1
sin —
X
*6N
Имеем {/(х,ул)}-------->0,
{/(х, ук)} —-> х sin — / 0. Следова-
lim f(x,y) не существует, а значит, не
1 7 XT
тельно, при х/ —, к g N,
fat
существует и liml lim f(x,y) I.
x->(\y-»0 J
3) Совершенно аналогично устанавливается, что не существует
Из приведенного примера следует, что из существования у
функции f(x,y) обычного предела в точке не следует существо-
вание у нее в этой точке повторных пределов.
Пример 4. Вычислить предел функции f (х,у) = x2e~(xl~y} вдоль
любого луча
x = /cosa,
. . / с [0, + о»
y = /sma,
функцию f(x,y) назвать бесконечно малой при х^»°°, у—
Решение. Имеем f (t cos a, t sin a) = t2 cos2 a • e~('2 cos2 a~‘sin a)
. Можно ли
9
7С
1) Если а = ± —, то /(/cosa,/sina)|a=±K = 0, t g [0, +°°). Сле-
ТС
довательно, вдоль лучей а = ± —: lim f(x,y) = 0.
2) Пусть а * ±у. Тогда cos2 а > 0 и (t2 cos2 а-/sinа)
/2 cos2 ОС
Имеем в этом случае: /(/cosa,/sinа) = ——--------неопре-
25
деленность вида — при / —> + . Раскрываем эту неопределен-
ность по правилу Лопиталя:
lim f(t cos a, /sin а) = cos2 а lim----——;:— =
z^+~ '_>+" (2/cos2 а - sin а) • е' cos a-'s,na
= cos2 a lim 7------:---------------= 0.
2 Sin a ] z2 cos2 a—Z sin a
I 2/ J
Вывод', lim /(x,y) = 0 вдоль любого луча lx_^cosa»
'-»+~ [y = /sina,
t e [0, + 00). Заданная функция не является бесконечно малой при
х -» °о и у -> оо. В самом деле, возьмем, например, хк = к,
ук = к2. Ясно, что хк---> +°°, ук----> +°°. При таком вы-
боре хк и ук будем иметь:
f(xk,yk) = k2e-(kl-k'} = к2 => lim f(xk,yk) = lim к2 = + «.
§5. Непрерывность функции нескольких переменных
Определение. Пусть функция и = f(M) определена на множестве
Е (Е с R"). Пусть точка А — предельная для множества Е и точка
А е Е. Функция и = f(M) называется непрерывной в точке А, если
ит/(М) = /(Л). (1)
М —> А
На “языке последовательностей” определение непрерывности
функции и = f(M) в точке А формулируется следующим образом:
Функция и = f (М) называется непрерывной в точке А, если для
любой последовательности точек \Мк }teN, такой, что Мк е £ и
Мк-------> А оказывается, что соответствующая последовательность
значений функции {/(Aft)}teN имеет своим пределом /(Л).
26
На “языке е-3” определение непрерывности функции
и = f(M) в точке А формулируется так:
Функция и = J\M) называется непрерывной в точке А, если
любому числу е > 0 отвечает число 3 > 0, такое, что как только
М е Е и р(ЛГ, А) < 8, так сейчас же |/(Л/) - /(Л)| < е.
Условию (1) непрерывности функции и = f(M) в точке А
можно придать и иную равносильную и часто употребительную
форму. Прежде всего, следует заметить, что соотношение (1)
равносильно такому:
lim [/(Х],х2,..., хя) -/(х10,х20,..., хя0)] = 0. <’)
Здесь *i, х2, ..., х„ —координаты точки Me Е, х10, х20, ..., хя0 —
координаты точки А(Ае Е иА — предельная для Е). Если ввести
обозначения
Дх,=х,- х10, Дх2=х2-х20, ..., Дх„=хл-хя0,
Д« = f(x\,x2,..., хя) - /(Хю,Х20, ..., хя0),
то равенство (1) можно переписать так:
lim Ди = 0. (2)
Дх,->0 ' '
Дх2-»0
Дхя-»0
Величины ДХ[, Дх2, ..., Дхя называются приращениями незави-
симых переменных; Ди — приращением функции.
Итак, функция и = f(xl,x2,..., хп) непрерывна в точке
(Х]0,х20,... ,хя0) тогда и только тогда, когда выполнено равен-
ство (2), т. е. когда приращение функции Ди стремится к нулю,
как только стремятся к нулю приращения независимых пере-
менных.
27
Равенство (2) иногда записывают и так:
lim Д« = 0,
р->0
где положено р = ^/дх2 + Дх2 + ... + Дх2 Величина р представля-
ет собой расстояние между “исходной” точкой (Х|0,х20,..., хи0) и
“сдвинутой” ТОЧКОЙ (х10 + ДХ|, х20 + Дх2,..., хя0 + Дх„).
Если функция и = f(M) непрерывна в каждой точке множе-
ства Е, то её называют непрерывной на множестве Е.
Замечание. Введенное выше по-
нятие непрерывности функции
и = f(M) в точке А называют также
непрерывностью этой функции в
точке А по совокупности переменных.
Вводится также понятие непре-
рывности функции и = f (М)
_______________________х в точке А по каждой переменной
а_______________________в отдельности. Разъясним это по-
нятие на примере функции двух
Рис- *-3 переменных.
Пусть функция и = fix,у) определена в некотором прямо-
угольнике (Р), содержащем точку А(а,Ь). Рассмотрим отрезок
прямой х = а , содержащий точку А (а, Ь) и содержащийся в (Р).
Станем рассматривать функцию и = fix, у) в точках этого отрез-
ка. Получим и = f(a,y). Это уже функция одной переменной у.
Если функция f(a,y) непрерывна в точке у = Ь, т. е. если
lim f(a,y) = f(a, b), то говорят, что функция fix, у) непрерывна
у—ьЬ
в точке А (а, Ь) по переменной у.
Рассмотрим теперь отрезок прямой у = b, содержащий точку
А(а,Ь) и содержащийся в (Р). Станем рассматривать функцию
и = f{x,у) в точках упомянутого отрезка. Получим и = f(x,b).
Это — функция одной переменной х. Если функция f(x,b)
непрерывна в точке х = а, т. е. если lim f(x,b) = f(a,b), то
Х->0
говорят, что функция fix,у) непрерывна в точке Aia,b) по
переменной х.
28
Непрерывность функции и = f(x,y) в точке А(а,Ь) по сово-
купности переменных означает, что значение f(x,y) стремится к
значению когда точка (х,у) стремится к точке (а,Ь) с
любой стороны и, в частности, вдоль параллели оси Оу или оси
Ох. Следовательно, будут справедливы равенства
lim f(a,y) = f(a, b)\ lim f(x, b) = f(a, b).
y-tb x->a
Таким образом, приходим к выводу, что функция f(x,y), непре-
рывная в точке А(а,Ь) по совокупности переменных, будет не-
прерывна в этой точке и по каждой переменной в отдельности.
Однако из непрерывности функции по каждой переменной в
отдельности совсем не обязательно следует ее непрерывность по
совокупности переменных. Чтобы убедиться в этом, рассмотрим
пример. Пусть
f(x vl = I4 там’где х‘у = 0;
' [5 там,где х-уф0.
Здесь /(х,0) = 4, хе(-«+«); /(0,у) s 4, у е (-«,+<»). Поэтому
lim /(х,0) = 4 = /(0,0); lim /(0,у) = 4 = /(0,0).
х->0 у-»0
Следовательно, функция f(x,y) в точке 0(0,0) непрерывна по
каждой переменной в отдельности.
Вместе с тем в точке 0(0,0) функция f(x,y) не является
непрерывной. Действительно, если взять, например, последова-
тельность точек, лежащих на прямой у = х, х е (- ~, 0) U (0, + «>),
т. е. удовлетворяющих условию ук = хк и стремящихся к точке
0(0,0), то получим f(xk,yk) = 5 для любого к е N и, следова-
тельно, 1йп/(хЛ,уЛ) = 5#/(0,0).
Л->оо
§6. Свойства непрерывных функций нескольких переменных
I. Теорема о стабильности знака. Пусть функция и = f(M)
задана в параллелепипеде (Р) с R" и пусть точка Мо е (Р).
Пусть /(ЛГ0) > 0. Тогда, если f(M) непрерывна в точке ЛГ0,то
существует 8 > 0, такое, что для любой точки М е Os(Af0) будет:
f(M) > 0.
29
Здесь U8 (Мо) — либо открытая сфера: р (М, Мо) < 5, либо откры-
|*1 — *ю <5,
тый параллелепипед: |*2 " *20 <8, (предполагается, что
tf8(M0)c(P)). |^л ^«о| < $
Пусть f(MQ) = h (Л>0). По условию, функция f(M)
непрерывна в точке Мо. Это означает, что любому числу е > 0 (в
частности, е = ^ > 0) отвечает 5 > 0, такое, что для любой точки
М 6 US(MO) будет |/(Af) - /(Л/о)| < (считаем, что
а (Р)), т. е. для любой точки M&US(MO):
f (Мо) ~^< f (М) < f (Л/о) + => в частности,
/(М)>/(М0)-| = А-| = |>0. ◄
Замечание. Справедливо также утверждение:
Если /(Л/о) < 0 и функция f(M) непрерывна в точке Мо, то
существует СА8(ЛГ0) с (Р), такая, что для любой точки
М eU&(MQ) будет /(Л/)<0.
II. Пусть функции f(M) и g(M) заданы на множестве Е
(EcR"). Пусть точка А — предельная для множества Ей А е Е.
Тогда, если функции f(M) и g(M) непрерывны в точке А, то в
этой точке А будут непрерывны и следующие функции:
a) s(M) = f (М) + g(M),
Р) р(М) = f(M)g(M),
Y)
<i(M) = "Чттг
g(M)
(при условии, что g(A) * 0).
Предлагается доказать это самостоятельно в качестве упраж-
нения.
30
III. Теорема о непрерывности сложной функции. Пусть функ-
ция f(x,y) определена на множестве Е (Е с R2). Пусть функ-
ции х = <p(i/,v,w), у = w(u,v,w) определены на множестве Т
(Г с R3) и такие, что для любой точки (и, v,w) из Токазывается:
точка (<р (и, v, w), ф(и, v, w)) е Е. Тогда на множестве Тимеет смысл
суперпозиция /(ф (и, v, w), ф(«, v, w)) = F(u, v, w). Пусть функции
x = ф (и, v,w), у = ф (и, v,w) непрерывны в точке (а, (3, у) е Т.
Пусть ф(а,Р,у) = а, у(а,Р,у) = /> (ясно, что точка (а,/>)еЕ).
Пусть функция fix, у) непрерывна в точке (а, Ь). Тогда сложная
функция F(u,v,w) непрерывна в точке (а,(3,у).
Возьмем последовательность точек {(«*,— лю-
бую, но такую, что точки (uk,vk,wk) еТ при любом fceN, и
(uk>vk’wk)------* (a,P>Y). Тогда, в силу непрерывности функций
К—»оо
х = , y = y(u,v,w) в точке (а,Р,у) будет: хк =
= <p(uk,vk,wk)-->ф(а,р,у)=а, Ук = V(“k>Vk>wk) ~—>v(a,p,y) = Ь.
Подчеркнем, что при любом k&N точки (хк,ук)еЕ и что
(хк,ук)-----Отсюда, в силу непрерывности функции
к-+°°
f(x,y) в точке (а, Ь), получаем
/<*к,Ук)——> f\a,b) <=>
<=» /(ф («*, У>к, wk), > vk, wk)) ---> /(ф (а, Р, Y), v(a, р, Y)),
к—>°°
т. е. F(uk,vk,wk)----->Г(а,Р,у)- А это означает, что функция
Л->оо
F(u,v,w) непрерывна в точке (а,р,у). 4
Замечание. Теорема о непрерывности сложной функции рас-
смотрена для случая трех независимых переменных и двух проме-
жуточных аргументов. Совершенно аналогично эта теорема фор-
мулируется и доказывается для случая, когда имеется m
31
независимых переменных и п промежуточных аргументов (т и
п — любые конечные натуральные числа).
IV. Теорема Коши о промежу-
точном значении. Пусть функция
и = f (М) определена и непре-
рывна на связном множестве Е
(EcRn). Тогда, приняв на Е
два неравных значения, функ-
ция f (М) примет на £ и любое
промежуточное значение.
Доказательство проведем для случая, когда п = 2. Пусть
(<7], Z>i) и (а2, Ь2) — точки из £, любые, но такие, что /(ai А) = Y i,
/(a2,Z>2) = у2, причем Yi * Y2 • Пусть, для определенности,
У! <Y2- Возьмем число Y — любое, но такое, что Yi <Y<Y2-
Теорема будет доказана, если показать, что на множестве £
обязательно найдется точка (а,Ь), такая, что f(a,b) = y.
Соединим точки (ai,Z>i) и (a2,Z>2) непрерывной кривой (К),
все точки которой принадлежат £. Это сделать можно, так как, по
условию, множество £ — связное. Но провести такую кривую (К)
означает построить две
функции х = (р (t) , у = v(/), определен-
на промежутке [Zi.^l и такие, что
ные и непрерывные
<р(Г1) = а1, <р(/2) = а2,
V(/1) = Z>!, v(/2) = Z>2,
(<p(O>v(O)e Е.
У нас и = f(x,y). Подставив здесь вместо х и у их выражения
через t, получим и = /(<р (/), ф(0) = F(f) • Функция F(t) есть фун-
кция одной переменной t, определенная и непрерывная в проме-
жутке [Г|, 6], как суперпозиция непрерывных функций. Имеем:
F<h) = /(ф ('1 )> V('i)) = ЖЛ) = Y1,
Л^) = /(ф(^)>ф(/‘2)) = /(а2»*2) = У2> где Yi *у2.
и чтобы для любого t е р!,/2] было: точка
32
Видим, что функция F(t) удовлетворяет условиям теоремы Коши о
промежуточном значении, доказанной ранее при установлении
свойств непрерывной функции одной переменной. По этой теореме
в промежутке обязательно найдется хотя бы одна точка f,
такая, что будет F(t*) = у , т. е. /(фО1*), ф(О) - Y . Теперь остается
положить ф(Г) = а, ф(/*) = b и заметить, что точка (а, Ь) е Е.^
V. Первая теорема Вейерштрасса. Если функция f(M) опре-
делена и непрерывна на ограниченном замкнутом множестве Е
(Е с R"), то множество {f(M)}MeE является ограниченным.
Покажем, например, что множество {/(ЛГ)}Ме£ ограниче-
но сверху. Рассуждаем от противного. Предположим, что множе-
ство {f(M)}MeE не является ограниченным сверху. Но тогда не
может оказаться, чтобы для всех точек М 6 Е было: f\M) < 1.
Следовательно, на множестве Е обязательно найдется хотя бы
одна точка М\, такая, что
По той же причине не может оказаться, чтобы для всех точек
М е Е было: f(M) < 2. Следовательно, на множестве Е обяза-
тельно найдется хотя бы одна точка Мг , такая, что
/<ЛГ2) >2.
Аналогичные рассуждения приводят нас к выводу, что на множестве
Е обязательно найдется хотя бы одна точка Мк, такая, что
f(Mk)>k,
где к — любое натуральное число.
Продолжая этот процесс неограниченно, мы получим после-
довательность точек {Мк }(teN, обладающую свойством:
для любого к е N: Мк е Е и f(Mk) > к . (1)
Отметим, что последовательность — ограниченная,
ибо таково множество Е. Следовательно, по принципу выбора из
этой последовательности можно выделить сходящуюся подпосле-
довательность. Пусть это будет {Мкт } eN и пусть Мкт----> А.
33
Подчеркнем, что точка А е Е. Если допустить, что точка A g Е,
то мы придем к противоречию. В самом деле, у нас получена
последовательность (Mt ] , такая, что для любого т & N:
I m J meN
Мк е Е, Мкт * А (ибо, по допущению, A g Е) и Мк/п------> А.
Это означает, что точка А — предельная точка множества Е. У
нас, по условию, множество Е — замкнутое. Следовательно, оно
содержит все свои предельные точки. В частности, должно быть:
точка А е Е. Таким образом, предположение A g Е приводит к
тому, что множество Е не является замкнутым, а это не так.
По условию функция f (М) — непрерывная на множестве Е.
Значит, в частности, f (М) — непрерывная в точке А. Но тогда из
того, что Мк -----> А, следует, что
т т-)°°
f(Mkn)------>/(Л). (2)
С другой стороны, из соотношения (1) вытекает, что для любого
т g N:
/(Л/Л)>Лт => f(Mk)------------> + -. (3)
т->°°
Сопоставляя соотношения (2) и (3), видим, что получено противо-
речие. К этому противоречию мы пришли, предположив, что мно-
жество {f(M)}MeE не является ограниченным сверху. Значит, наше
предположение оказалось неверным.
Аналогичными рассуждениями устанавливается, что множе-
ство {/(ЛГ)}М Е ограничено снизу.
VI. Вторая теорема Вейерштрасса. Если функция f (М) опре-
делена и непрерывна на ограниченном замкнутом множестве Е
(Е с R"), то она достигает на Е своих наибольшего и наимень-
шего значений.
Покажем, что достигает на Е своего наибольшего
значения. По первой теореме Вейерштрасса множество
{f(M)}MeE — ограниченное. Но тогда, как известно, существует
sup {/(Л/)}. Пусть у = sup {/(Л/)}. Мы докажем, что f(M) дос-
МеЕ МеЕ
тигает на Е своего наибольшего значения, если покажем, что на Е
34
имеется хотя бы одна точка Мо, такая, что /(Af0) = у . Рассужда-
ем от противного.
Предположим, что на множестве Е такой точки Мо, в кото-
рой /(Л/0) = у, нет. Но тогда для любой точки М е Е будет
для любой точки МеЕ. Введем
в рассмотрение вспомогательную функцию:
<Р(Л/) =---МеЕ.
у - f(M)
Замечаем, что функция <р (Л/) определена и непрерывна на Е как
отношение двух непрерывных функций со знаменателем, не обра-
щающимся в нуль. Ясно, далее, что <р(М) >0, МеЕ.
Так как для функции <р(Л/) на множестве Е выполнены
условия первой теоремы Вейерштрасса, то заключаем, что мно-
жество {ф(Л/)}Л/е£ является ограниченным. В частности, это
множество ограничено сверху, т. е. существует число £ > 0, та-
кое, что для любой точки М е Е будет: <р (М) < L <=>
----1., _ < L, откуда у - f (М) > <=> /(Л£) У - v, для любой
у - f{M) L L
точки МеЕ. Последнее означает, что число
является
верхней границей множества {/(МУ}МеЕ. Но это невозможно,
ибо у нас у = sup {f(M)} и любое число, меньшее чем у, не
МеЕ
может быть верхней границей множества Видим, что
пришли к противоречию. Это противоречие мы получили, пред-
положив, что на множестве Е нет такой точки Мо, в которой
f(M0) = у . Значит, на множестве Е имеется хотя бы одна точка
Мо, в которой /(Af0) = Y • 4
Совершенно аналогично устанавливается, что на множестве Е
имеется хотя бы одна точка Мо, в которой функция f(M)
принимает свое наименьшее значение.
35
§7. Понятие равномерной непрерывности
функции нескольких переменных. Теорема Кантора
Определение. Пусть функция f(M) определена на множестве
Е ( Е с R"). Функцию f (М) называют равномерно непрерывной на
множестве Е, если любому числу е > 0 отвечает число 3 > 0,
зависящее только от е, такое, что для любых двух точек М и М
из Е, для которых р(М,М) < 3 , оказывается - f(M) < е.
Или:
Функцию /(хьх2,..., хп) называют равномерно непрерыв-
ной на множестве Е, если любому числу е > 0 отвечает число
3 > 0, зависящее только от е , такое, что для любых двух точек
ifi -*11 <5,
~ ~ ~ |х2-х2|<3,
(x^Xj,... ,х„) и (х(,х2,..., х„) из Е, для которых
1Я> -х„| < з,
оказывается |/(xj,х2,... ,хя) -/(х!,х2,...,х„)| < е.
Теорема Кантора. Если функция f(M) определена и непре-
рывна на ограниченном замкнутом множестве Е (Е с R"), то она
равномерно непрерывна на этом множестве Е.
От противного. Предположим, что не является рав-
номерно непрерывной на Е. Это означает, что не всякому числу
е > 0 отвечает число 3 > 0 в смысле определения равномерной
непрерывности функции f(M) Следовательно, существует хотя
бы одно число е = е0 > 0, такое, которому не отвечает никакое
число 3 > 0 в смысле определения равномерной непрерывности
функции.
Возьмем 8t = 1 (> 0). Не может оказаться, чтобы для всех пар
точек М' и М" из Е, для которых р (М', М") < 31, было бы
< е0 (иначе взятое число 3j > 0 отвечало бы е0 в
смысле определения равномерной непрерывности функции). Сле-
довательно, на множестве Е обязательно найдется хотя бы одна
36
пара точек М[ и М", такая, что хотя р(М(,М{) <8it однако
|/(AfO-/(AfO|>eo.
Возьмем 32 = у (> 0). Не может оказаться, чтобы для всех
пар точек М' и М" из Е, для которых р(М',М") < 32, было бы
|/(Л/") -/(Af')| < ео (иначе взятое число 32 > 0 отвечало бы
числу е0 > 0 в смысле определения равномерной непрерывности
функции). Следовательно, на множестве Е обязательно найдется
хотя бы одна пара точек Л/2 и Л<2, такая, что хотя
р(М2,М2) < 32, однако \f(M2) - f(M2)\ Z е0-
Продолжаем этот процесс аналогичным образом дальше.
Возьмем 3Л = у- (> 0; к е N и к > 2). По той же причине, что
/С
и выше, не может оказаться, чтобы для всех пар точек М' и М”
из Е, для которых р(М', М") < 8к , было бы - f(M')| < е0.
Следовательно, на множестве Е обязательно найдется хотя бы
одна пара точек М'к и Мк , такая, что хотя р(М'к,Мк) < 8к,
однако \f(Mk) - > е0. Продолжая этот процесс неограни-
ченно, мы выстроим две последовательности точек:
и
ML» га
Эти последовательности обладают следующими свойствами: для
любого к е N
1) М'к &Е и М'/'еЕ,
2) р(м;,м;)<1
К>
3) \f(Ml)-f(M'k)\>^.
Отметим, что последовательности (1) и (2) — ограниченные,
ибо таково множество Е. По принципу выбора, из последователь-
ности (1) можно выделить подпоследовательность
37
КЦ, (i)
имеющую предел. Пусть М'кт > А . Отметим, что, в силу зам-
кнутости множества Е, точка А е Е (это устанавливается так же,
как и при доказательстве первой теоремы Вейерштрасса). Из пос-
ледовательности (2) выделим подпоследовательность
(2)
Подпоследовательность (2) выделяется из последовательности
(2) не по принципу выбора, а так, чтобы индексы элементов (2)
совпадали с индексами элементов (Т). Покажем, что подпоследо-
вательность (2) сходится к той же точке А. В самом деле, имеем
о < Р(м;;, л) < Р(л/;я, а/^)+Р(Л/;я,л)
(неравенство треугольника). Имеем: р (Мкт, Мкт) < — =>
р(Мк ,Мк )--------->0; р(Мк ,А)-------->0. Но тогда р(Мк ,А)----------->0,
" " т-ь°° т-*°° *”
т. е. м;
Итак, получили Мь -------> А и Мк ------> А , причем точка
*»> т->~ т->~
А е Е. По условию функция f(M) — непрерывная на множе-
стве Е. Следовательно, в частности, f(M) — непрерывная
в точке А. А тогда из того, что М'к -> А, Мк ------> А ,
следует: /(А/*я)»/(Л), f(Mk)--------->/(Л), а значит,
tn—>°°
[f(Mkm) - f (М'кт))-> 0. Последнее означает, что любому чис-
лу е > 0 (в частности, е = е0 > 0) отвечает номер N (N е N),
такой, что как только т> N , так сейчас же
\f(M^)-f(M'km)\<E0. (3)
Но у нас по свойству 3 построенных последовательностей при
любом т должно быть
(4)
38
Сопоставляя соотношения (3) и (4), видим, что получено противо-
речие. К этому противоречию мы пришли, предположив, что фун-
кция f(M) не является равномерно непрерывной на Е. Следова-
тельно, наше предположение оказалось неверным, а значит, фун-
кция f(M) — равномерно непрерывная на множестве Е.
§8. Примеры и задачи
Пример 1. Определить и изобразить область существования
функции и = V1 -X2 + 7у2 - 1 •
Решение. Должно быть
1-х2>0, (х2 <1, ||х|<1,
у2 -1 > 0 |у2 > О ||у| 0.
Пример 2. Определить и изобразить область существования
функции U = J(x2 + у2 -1)(4-х2 - у2).
Решение. Должно быть
(х2 +у2 -1)(4-х2 -у2) > 0 =>
х2 + у2 -1 > 0,
4-х2 - у2 > 0,
так как система
х2 + у2 -1 < 0,
4 _ х2 _ ^2 < Q несовместна. Следовательно, дол-
жно быть 1 < х2 + у2 < 4. Это — замкнутое круговое кольцо, огра-
ниченное окружностями радиусов 1 и 2 с центрами в точке О (0,0).
39
Пример 3. Определить и изобразить область существования
функции и = ----=5--у .
]2х-х2 - у2
2 2
Решение. Должно быть Х > 0 =>
2х-хг-у2
х2 + у2 -х> О,
2х-х2 - у2 > О,
так как система
х2 +у2 -х< О,
2х-х2 - у2 < О
несовместна. Следовательно,
должно быть х < х2 + у2 < 2х. Это — луночка, ограниченная ок-
ружностями (Yi): I х- —I +У2 = 4 и (Тг): (*~1)2 +У2 = 1. При
этом точки окружности (у|), кроме точки 0(0,0), входят в состав
области существования функции, а точки окружности (у2) —
не входят.
Пример 4. Определить и изобразить область существования
функции U = 71-(х2 + у)2 .
Решение. Должно быть:
1 - (х2 + у)2 > 0 <=> (х2 + у)2 < 1 <=> -1 < х2 + у < 1 <=>
<=> - 1 - х2 < у < 1 - х2.
Это — часть плоскости Оху, расположенная между параболами:
у +1 = -х2 и у -1 = -х2. При этом точки обеих парабол входят в
состав области существования функции.
Рис. 1.8. К примеру 4
Рис. 1.7. К примеру 3
40
ул
Рис. 1.9. К примеру 5
Пример 5. Определить и изобразить область существования
функции и = In (-х - у).
Решение. Должно быть:
-х - у > 0 <=> х + у<0 <=> у <-х.
Это часть плоскости Оху, расположенная ниже прямой у = -х.
Точки самой прямой у = -х не входят в область существования
заданной функции.
Пример 6. Определить и изобразить область существования
у
функции и = arcsin —.
х
у
Решение. Должно быть: - 1 < — < 1 и х # 0 <=>
=> для х > 0:
у > -х,
у < X,
а для х < 0:
у <-х,
у > X.
Точка 0(0,0) исключается (у нас должно быть х # 0).
Пример 7. Определить и изобразить область существования
функции и - arccos--.
х + у
X
Решение. Должно быть: -1 <------<1 и х + у * 0 =>
х + у
=>1) если (х + у) > 0, то:
- (х + у) < х,
(х + у) > х
х + у > -х, (у > -2х,
<=>s
х + у > х > 0.
41
2) если (х + у) < 0, то
- (х + у) > х,
(х + у) < х
х + у < -х, (у < -2х,
х + у < х [у < 0.
Точка 0(0,0) исключается, так как в этой точке х + у = 0.
Пример 8. Определить и изобразить область существования
функции и = arcsin + arcsin (1 - у).
У
Решение. Должно быть:
<=>
у * 0
-у2 < х < у2,
О < у < 2,
у * О
У
Рис. 1.13. К примеру 9
у2 £ х,
у2 > -х,
О < у < 2.
Пример 9. Определить и изоб-
разить область существования
функции и = д/sin(х2 + у2).
Решение. Должно быть:
sin(x2+у2) > 0
<=> 2кк < х2 + у2 <
<(2к + 1)п (к = 0,1, 2,...).
Это — семейство концентриче-
ских колец.
42
Рис. 1.14. К примеру 10
Рис. 1.15. К примеру 12
Пример 10. Определить и изобразить область существования
функции и = arccos-7=----
7х2+у2
Решение. Должно быть: -1 < -==£= <1 и х2 + у2 * 0 <=>
у1х2+У2
фф -7*2 +У2 5 Z 5 -jx2 +у2 и х2 + у2 0.
Это — внешность конуса z2 = х2 + у2. В область существования
входит поверхность, ограничивающая конус, за исключением точ-
ки 0(0, 0, 0).
Пример 11. Определить область существования функции
« = In (xyz).
Решение. Должно быть: xyz > 0. Это будет иметь место в случа-
ях, когда:
1) х > 0, у > 0, z > 0; 2) х < 0, у < 0, z > 0;
3) х < 0, у > 0, z < 0; 4) х > 0, у < 0, z < 0.
Геометрически область существования данной функции — сово-
купность четырех открытых октантов.
Пример 12. Определить и изобразить область существования
функции и = In (-1 - х2 - у2 + Z2) .
43
Решение. Должно быть: -1-х2 -у2, + z2 >0 <=> х2 +у2 -z2 <-1.
Геометрически область существования функции — внутренность
двуполостного гиперболоида х2 + у1 - z2 = -1.
Пример 13. Найти lim limх. +\ и lim lim * + \
х2 + у4 J X1 + у4
Считаем х * 0 и у * 0.
Решение. 1) Имеем при любом закрепленном х:
lim —г
х
2) Имеем при любом закрепленном у:
2 2
lim —z—= lim
Г—loo Г—boo
х2Г1 + ^
I___£2
( 4 Л
Х2[ 1 + ^у
( X2
= lim
У2
х2
х2
( ху
Пример 14. Найти lim lim-------
х-»~^-»+0 1 + ху }
таем х > 0 и у > 0.
lim
у-н-0
Решение. 1) Имеем при любом закрепленном х:
ху 1
lim —— = |
.у->+о 1 + ху 2
lim lim---------- = —.
х->-1 у->+о 1 + ху I 2
2) Имеем при любом закрепленном у:
lim------
1 + ху
lim lim---------
у->+0^х->~ 1 +Х'?
44
Пример 15. Найти lim lim sin—и lim lim sin
X_>oo^y->oo 2x + У J y->oo^X->oo 2x + У
Можно считать х 0 и у * 0.
Решение. 1) Имеем при любом закрепленном х:
г пх Л
hm sin -------= 0
2х + у
nx
hm sin -------
2x + y
2) Имеем при любом закрепленном у:
v 7IX 1. х-п v п
hm sin ----= hm sin —7-----r = hm sin-----
X->oo 2X+V X-»oo ( V ] X-»oo у
x 2+— 2 + —
I xj x
г г ях
hm hmsin---------
y-»c4x-»oo 2x+y
Пример 16. Найти lim lim —
х->0( Ду
ilr 1 * xy
и lim hm—tg—-—
y-»~^x->oxy 1 + лу
Решение. 1) Имеем при любом закрепленном х (х * 0):
lim -^7 tg , _ = lim tg —=
1+ ху)
1 + xy
= lim —tg
= lim —tg
V0
ху
hm —tg--
y-^-ху 1 + xy
2) Имеем при любом закрепленном у (у * 0):
1 . ху .. 1 .
lim —tg—-— = lim — ху = 1
х-»0 ху 1 + ху х-»0 ху
lim — tg—
x->0 xy 1 + xy
Пример 17. Считая x e (0,1), у > 0 , найти
lim lim log_(x+^) и lim lim log,(x + y)
x^l-0^+0 x ) y-^+oVx->l-O x
n -r 1 / X In (x + y)
Решение. Так как log_(x + у) = —*---—
Inx
то:
45
1) При любом закрепленном х (х е (0,1)) имеем
.. In (х + у) , г fr In (х + у)') ,
lim ——— = 1 =» hm lim —;—— = 1.
у-»+о 1пх х->1-<\.у->+0 In х )
2) При любом закрепленном у (у > 0) имеем
lim
х—>1-0
In (х + у)
1пх
.. ( 1п(х + уЙ
hm hm —;—— =
у-я-О^х-й-О 1ПХ J
Пример 18. Найти lim —=---------—=-.
xy~ZZ>x -xy + у
Решение. Можно считать х * 0 и у * 0. Так как
(х - у)2 = х2 - 2ху + у2 > 0, то х2 - ху + у2 > ху . А тогда при
х * 0 и у # 0:
Следовательно,
О < lim
Х-»оо
X2
х + у
-лу+ у2
Значит, lim Х + У— _ q
X - ху + у
Пример 19. Найти lim —7——.
х-»~ х4 + у4
.у—>°°
Решение. Можно считать х * 0 и у * 0. Так как
(х2-у2)2>0 <=> х4 -2х2у2 + у4 >0,
то х4 + у4 > 2х2у2. А тогда при х * 0, у * 0:
< х2 +у2 х2 + у2 _ 1 1
х4 + у4 2х2у2 2у2 2х2
46
Следовательно,
n^r x2+y2l.. (1 Л .. x2+y2 _
0 < lim ——< — lim —у + —у 1 = 0 => lim —3= 0.
x~>o° X4 + У4 2 x->°4 %2 у2 I x-+°° x4 + y4
y—>OO >00' * ' y—->oo '
Пример 20. Наити hm---------— (a — конечное число).
y->a
Решение. Положим ху = t. Ясно, что t -> 0, если х -»0, при
„ sinxy sinxy sin Г
любом конечном у. Имеем--------------------у =------у . А тогда
х ху t
lim
х-»0
sinxy
X
y—>a y-ta
v smr
= hm------у = a .
/->o t
Пример 21. Найти lim (x2 +y2)e (jc+>').
X->+»
y-»+oo
Решение. Можно считать х > 0 и у > 0. Имеем
2 2 2 2
/ 2 2ч -(х+у) Х‘ yL X У
(х + у )е ' у> =-------+ —— < — + —.
еХ + у х + у X у
А тогда
0 < lim (х2 + у2) е (х+л) < lim | — + — j = 0.
Х->-Н>о X->-H»l gX I
^->+оо >+оо'‘ У
Следовательно, lim (х2 +у2)е (х+у) = 0.
X2
Пример 22. Найти lim
х2 + yL )
Решение. Можно считать х > 0 и у > 0. Имеем
(х-у)2>0 <=> x2-2xy + j2>0 <=> х2+у2>2ху.
/ 2
л 1 п Л I ху I ^flV ~
А тогда -----г . Поэтому 0 < , . < — . Так как
х2+у2 2 [х2+у2) UJ
. ч ,2
( П
lim — = 0, то получаем из предыдущего неравенства
47
Пример 23. Найти lim(x2 + у2)ху .
х-»0
у->0
Решение.
(|х|-|у|)2>0 <=> х2-2|х|-|у| + у2 >0 <=> (х2+у2) >2|х|-|у| =>
=> (х2 + у2)2 > 4х2у2 => х2у2 <±(х2 + у2)2.
4
Так как х—>0 и у -> 0, то будем считать 0 < х2 + у2 < 1. А тогда
справедливо неравенство
1 > (х2 +y2)xly2 > (х2 +у2)4(* +У . (♦)
А(х2 +у2)2
Найдем lim(x2 + у2)4 . Положим
х-»0
у->0
z -> 0, если х —> 0 и у —> 0. Имеем
х2 + у2 = z Ясно, что
/ 2 2xd(jc +у ’ 1- 7Z V 7Z lnz
hm(xz +у )4 =hmz4 =lime4
х->0 z->0 z-»0
^->0
Так как lim 4 -пгт = -у lim = 0 , то
г^о4 1/г2 4^o-2/z3
|z2 Inz
lime4 = 1, т. e.
z->0
2 2 ±(X2+y2/
lim(x )4 =1. А тогда из неравенства (*)
x->0
y->0
=> lim(x2 +y2)x2y2 = 1.
x-»0
•F"^° x2
Пример 24. Найти lim| 1 + — |x+y (a — конечное число).
x—X J
y-ta
( 1W ~xln 1+- 7ДШ 1+7|
Решение. 1 + — = ex y = e x . Следовательно,
I x;
48
Пример 25. Наити lim \.
х->1 /v2 . „2
у-»о Vх +У
Решение. Имеем lim In (х + еу) = In 2 ; lim -jx2 + у2 =1 (* 0).
X—>1 X—>1
у-»0 у-»О
Поэтому
.. ln(x + ey) In 2 . о
lim . ' = —— = In 2 .
х—>1 / 2 . v2 1
Vх + У
Пример 26. По каким направлениям <р существует конечный
предел lim ех2+-*'2, если
р—>+0
X = р cosip,
y = psin<p
X Р COS ф cos ф
2 2 2 -----
Решение. Имеем lim ех +у = lim е р = lim е р . Этот
р—>+0 р-»+0 р->+0
71 371
предел будет конечным, когда cosip < 0, т. е. когда — < <р < —.
Пример 27. По каким направления <р существует конечный
предел lim е*2 yl sin 2ху , если
х = р cosip,
у = psinip
Решение. Имеем lim е*2 ^sin2xy= lim ep? cos 2<р sin (р2 sin 2ср).
p—>+«» p—>+«»
Так как p2 -> + °° при p —> + °°, a sin (p2 sin 2<p) — ограниченная
функция, то предел будет конечным, если cos 2<р < 0.
Предел будет конечным также тогда, когда sin 2<р = 0. Следо-
вательно, предел будет конечным, когда <р е | 4, ~г I U | I
V4 4) V 4 4 J
и когда <р = 0, <р = п.
49
Пример 28. Показать, что функция
f(X,y) =
2ху
2 2
х + у
если х2+у2*0;
О, если х2 + у2 = О
непрерывна в точке О (0,0) по каждой переменной х и у в отдель-
ности, но не является непрерывной в этой точке по совокупности
переменных.
Решение. 1) Рассмотрим отрезок прямой х = 0, содержащий
точку 0(0,0). Станем рассматривать функцию f(x,y) в точках
этого отрезка. Получим
№<-0=^4 =° => Um/(0,y) = 0 = /(0,0).
1х-° х2+у2 0 Л->0
Значит, функция f(x,y) непрерывна в точке 0(0,0) поперемен-
ной у.
2) Рассмотрим теперь отрезок прямой у = 0, содержащий точ-
ку О (0,0). В точках этого отрезка будем иметь
0 = 2^ 2 = 0 =*
' х+Уу^о
lim /(х,0) = 0 = /(0,0).
х->0
Следовательно, функция f(x,y) непрерывна в точке 0(0,0) по
переменной х.
3) Покажем теперь, что f(x,y) в точке 0(0,0) не является
непрерывной по совокупности переменных (у f(x,y) в точке
0(0, 0) не существует даже lim /(х,у)). Для этого возьмем две
х->0
у->0
последовательности точек:
_1_ п
к' к)
и
keN
1 2>|
к’ к]
. Обе эти
keN
последовательности при £ —> «> сходятся к точке О (0,0). Соот-
ветствующие им последовательности значений функции сходятся
при к -» оо к различным предельным значениям:
50
2 4
/1,Г| = _£____________>1; /1 ,Г|________________>1
к) 1 1 к) 1 4 5
к1 к2 к2 к2
Это означает, что lim f(x,y) не существует. Следовательно, равен-
х->0
у->0
ство lim f\x,y) = /(0,0) невозможно.
х-»0
у->0
Пример 29. Показать, что функция
( 2 х у —л—если х2 + у2 * 0;
f(x,y) = х4 + у2
0, если х2 + у2 = 0
в точке 0(0,0) непрерывна вдоль каждого луча K_^sjna
t g [0, + оо), проходящего через точку О (0, 0), но не является не-
прерывной в точке (0, 0) по совокупности переменных.
Решение. Имеем /(/cosa,/sina) = *cos а s*n<* Видим,
/ cos а + sin а
что при а = к -^ (к = 0,1, 2, 3,4) /(/cosa,/sinа) 0. Значит,
при этих значениях a: lim f(t cos a, / sin a) = 0 = /(0,0).
Пусть 0<а<2л и (k = l, 2,3). Тогда /2cos4a +
+ sin2 a > 0 и lim(/2 cos4 a + sin2 a) = sin2 a > 0. Получаем, следо-
z-»0
вательно,
,. . .. /cos2 a sin a _ f.n
hm /(/ cos a, / sin a) = hm -5-2---5— = 0 = /(0,0).
/ cos a + sin a
Таким образом, вдольлюбого луча, проходящего черезточку 0(0,0),
функция f(x,y) непрерывна в точке 0(0,0).
51
Покажем теперь, что /(х,у) не является непрерывной в точке
О (0,0) по совокупности переменных (т. е. не является непрерыв-
ной в точке (0,0) в обычном смысле). Для этого возьмем, например,
/1 1 j
I* ’ к1 J
последовательность точек
. Ясно, что эта последова-
A:eN
тел ьн ость при /с —> ©о сходится к точке 0(0,0). Соответствующая
последовательность значений функции
ieN
4#/(0,0).
Л->«> 2
Следовательно, функция f (х,у) не является непрерывной в точке
0(0,0) в обычном смысле.
Пример 30. Исследовать на равномерную непрерывность ли-
нейную функцию и = 2х - Зу + 5 на всей плоскости Оху.
Решение. Возьмем е > 0 — любое. Пусть (X],yi) и (х2,у2) —
любые две точки плоскости Оху. Имеем
|Л*2,У2)-/(*1.:и)| = 12(*2 -*i)-3(y2 - у,)| < 2|х2 - х,| + з|у2 -yj
Рассмотрим неравенство 2|х2 - Х]| + 3|у2 - yj < е. Легко видеть, что
если в качестве числа 5 > 0 взять 8 = то будем иметь: для любого
6
положения точек (x1;yj) и (х2,у2) на плоскости, для которых
|Х2 -х,| <8 и |у2 - У] | <8, оказывается: |/(х2,у2)-/(х1,у1)|<-|+^<е.
Вывод. Заданная функция равномерно непрерывна на всей
плоскости.
Пример 31. Исследовать на равномерную непрерывность фун-
кцию и = 7*2 + у2 на всей плоскости Оху.
Решение. Возьмем е>0 — любое. Пусть (х^у,) и (х2,у2) —
любые две точки плоскости Оху. Имеем
52
|/(*2 >Уз) - f(x{ ,У1)| = 7Х2 + У1 - 7х? + -И2 =
М +У2 -х^-У12| |(х2 -X,) (х2 + Х1) + (у2 -yi)(y2 + У1)| <
7х2 +У2 + 7х? +>’12 7Х2 +У2 + 7х 2 +У12
|х2 ~ xl| • |х2 + х1] + |У2 ~ У1| >2 + У1|_
7х2 + У2 + 7Х12 + У1
Ix2 ~Х1НХ2 +xd . JV2 ~У1|-|У2 +У1|
7х2 + yl + 7х? + у2 7х2 + у1 + 7х? + л2
< 1х2 - xi| • +1^2"У11 ’ гт^гт = Iх2" Х|1+ 1У2 "У>1 •
7х2 + 7Х1 7^2 + V-H
Рассмотрим неравенство |х2 -Xj| + |y2 ~У1|<е - Видим, что если
£
в качестве числа 8 > 0 взять 8 = - , то для любого положения точек
3
(ХЬУ1) и (х2,у2) на плоскости, для которых |х2-х,|<8
И Ь’г -У1|<5 будет:
|/(х2 > У2 ) “ ЛХ1 > У\)| < | 1 < е •
Вывод. Заданная функция и = f(x,y) = Jx2 +у2 равномерно
непрерывна на всей плоскости Оху.
Пример 32. Будет ли равномерно непрерывной функция
и = f(x,y) = sin--у---=- в области х2 + у2 < 1 ?
1 -х -у
Решение. Мы установим, что функция f(x,y) - sin------=-
1 -х -у
не является равномерно непрерывной в круге х2 + у2 < 1, если
покажем, что существует хотя бы одно число е > 0, которому не
отвечает никакое 8 > 0 в смысле определения равномерной не-
прерывности.
53
Возьмем, например, е0 = у (> 0) и покажем, что ему не
отвечает никакое 8 > 0 в смысле определения равномерной не-
прерывности функции
Рассуждаем от противного. Допустим, что такое 3 > 0 есть.
Обозначим его через 30 (> 0). Возьмем две последовательности
точек:
-^сю<р’
AeN
0 < ф < 2л;
Имеем
J AeN
= ( Г 2 I 2
С0Ч’’Т7« *Пф|
0 < ф < 2л.
AeN
I*a ~*aI = J1 —тг
I I V 1 + 4Л
• |cos<p| <
1 2 1 * 1 1
l + 4fc 2к . 2£(4А: + 1) . ______>()
. 2 / J_ I 2 / J_
1 + 4k + v 2k V 1 + 4k + V 2k
=> Числу 30 > 0 отвечает номер N, такой, что при к> N будет
1*а _ < 8о. Имеем, далее,
2A;(4fc + l) >()
Г Г~ Г Г *-»“
' 1 + 4к+Г 2к
54
=> Числу 50 > 0 отвечает номер N, такой, что при к> N будет
|у* - У к | < 50. Итак, получили |хЛ - хк | < 50, |уА - ук | < 80 при
к> N . Однако при всех к е N
f(Mk)-f(Mk)
sin
2 1
1 + 4JtJ
л
sin rcQtjft) _ sjn 2]^
2
т. е.
f(Mk)-f(Mk) = 1 > е0
Видим, что число 80 > 0 не отвечает числу е0 > 0 в смысле опре-
деления равномерной непрерывности функции. Следовательно,
числу е0 = — (> 0) не отвечает никакое 8 > 0 в смысле определе-
ния равномерной непрерывности функции. Значит, функция f(x,y)
не является равномерно непрерывной в круге х2 + у2 < 1.
Пример 33. Дана функция и = fix,у) = arcsin —. Является ли
У
эта функция непрерывной в своей области определения Е(с R2)?
Будет ли fix,у) равномерно непрерывной в £?
х [|х|<|у|
Решение. Должно быть -1 < —< 1 и у * 0 => £ = < ' На
У [ У * о.
множестве Е функция fix,у) непрерывна как суперпозиция
непрерывных функций.
Покажем, что заданная функция fix,у) не является равно-
мерно непрерывной на множестве Е. Это будет сделано, если мы
покажем, что существует хотя бы одно число е > 0, которому не
отвечает никакое 3 > 0 в смысле определения равномерной не-
прерывности функции fix,у) на Е.
55
Возьмем, например, число е0 = 1 (> 0) и покажем, что ему не
отвечает никакое 8 > 0 в смысле определения равномерной не-
прерывности функции.
Рассуждаем от противного. Предположим, что такое число
5 > 0 есть. Обозначим его через 80 (> 0). Возьмем две последо-
вательности точек:
и
*eN
Мк&к,$к)\ =-^р-т .
J*eN k* K'JteN
Имеем
р(Мк,Мк) = д/(хА -хк)2 +(Ял -у*)2 =
F1 В2 fl В7 2 _
J "»---Г + Т + Т ~ 1--------0
к) \к к) к к->°°
Значит, числу 30 > 0 отвечает номер N, такой, что при к> N будет
р(Мк,Мк) < 80. Однако при всех к е N:
f(Mk)~ f(Mk) = [arcsin (-1) - arcsin 1| = 2arcsin 1 - 2 ~ = n > e0 (= 1)
Значит, число 50 > 0 не отвечает числу е0 = 1 (> 0) в смысле оп-
ределения равномерной непрерывности функции. Следовательно,
числу е0 = 1 > 0 не отвечает никакое 5 > 0 в смысле определения
равномерной непрерывности функции f(x,y). Значит, функция
/(х,у) не является равномерно непрерывной на Е.
Глава 2
ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ ФУНКЦИЙ
НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
§1. Частные производные и частные дифференциалы
Пусть функция и = f(xi,x2>..., хп) определена в параллеле-
пипеде (Р) ((Р) с R"), содержащем точку Л/о(х1О,х2о, •••, *«о) •
У функции и = f(xi,x2,..., х„) закрепим все аргументы, кро-
ме первого, т. е. положим х2 = х20, х3 = х30,..., хп = хп0, а перво-
му аргументу дадим приращение Ajq — любое, но такое, что
Ах, * 0 и точка (Х]0 + АХ], х20, х30,..., хл0) е (Р). Разность
/(*ю + Ахь х20, х30,..., хл0) - /(х10, х20, х30,..., хл0)
называют частным приращением функции и = /(х15х2,..., х„)
в точке Мо, соответствующим приращению Ах, аргумента х1
и обозначают А, и .
Совершенно аналогично определяется частное приращение фун-
кции и = /(Х], х2, х3,..., хл) в точке Af0(x10, х20, х30,..., хл0), со-
ответствующее приращению Ахл аргумента хк (к = 2,п). Именно
“ = f(xiO, *20 > • • • > **-i,o. хко+Лхк > **+i,o. • • •. *»o) “
-/(*10. *20. - > **0> - > *ло) •
57
Составим отношение
Дх и
——. Это отношение будет представ-
Дхд.
лять собой функцию Дх* , определенную для всех Дх* , отличных
от нуля и таких, что точка (х10, х20,..., х*_1>0, хк0 + Дх*,
х*+10, > хло) е (Р) Если существует (конечный или бесконеч-
ный) предел
ши ------,
Ах* —>0 Дх*
то этот предел называется частной производной функции
« = /(xi,x2,..., хя) в точке А/0(х10, х20, х30,...,хл0) по перемен-
ной хк и обозначается одним из следующих символов:
ди
дхк ’
У
Эх* ’
Л*.
Таким образом, 7— = lim ** (к = 1, п).
Эх* Axt->0 Дх*
„ Э/
Заметим, что здесь символы -—, -— всегда цельные; как
Эх* Эх*
дроби их рассматривать нельзя. (В этом имеется различие со
случаем функции одной переменной.)
Из определения частной производной функции
и = /(Х],х2,..., х„) следует, что частная производная от функции
и = /(Xj,x2,..., х„) по какой-либо из переменных есть обычная
производная по этой переменной от функции, которая получается
из данной, когда все другие переменные считаются постоянными.
Поэтому практически частные производные вычисляются по
известным нам формулам и правилам дифференцирования функ-
ции одной переменной.
Пример. Пусть и = ху (х > 0). Для любой точки (х,у), лежа-
щей правее оси Оу, имеем:
^ = У'хУ (считаем у = const);
= ху 1пх (считаем х=const).
58
Частными дифференциалами функции и = fixx,x2,..., хп) по
X), х2, ..., х„ в точке Л/0(х10,х20,..., хя0) называются величины
dxu = Дх., dx и = ^~-Дх2, ..., dx и = &х„.
дхх 1 Хг Эх2 2 х" дх„ "
ди ди ди .. . ч _
т—, -—......-— вычисляются в точке Л/0(х10,х20,..., х„0) .Если,
Эх[ Эх2 дхп
как и в случае функции одной переменой, назвать дифференциа-
лами независимых переменных их произвольные приращения, т. е.
положить
д!Х|=ДХ1, дЬс2=Дх2, ..., dxn = Дхя,
то для частных дифференциалов функции и = fixx,x2, ...,хп) бу-
дем иметь
, ди , . ди , , ди ,
dYu =----dx., dxu =--------dx2, ..., dxu = -—dx„.
Xl dxi 1 X2 dx2 2 x" dx„
Частный дифференциал функции u = f(xx,x2,..., xn) по какой-
либо из переменных есть произведение соответствующей частной
производной на дифференциал этой переменной:
dx и = dxk, к = 1, п.
Хк дхк к
§2. Формула для полного приращения функции
нескольких переменных.
Дифференцируемость
Получим эту формулу для случая п = 2. Итак, пусть
и = fix,у). Будем говорить, что функция и = f(x,у) удовлетво-
ряет условиям s в точке (х0,у0), если:
1) f{x,у) определена в прямоугольнике (Р), содержащем точ-
ку (Wo);
2) fix,у) имеет конечные частные производные fxix,y),
fyix,y) в каждой точке (х,у) е (Р);
3) fxix,y) и fyix,y) — непрерывны в точке (х0,у0).
59
Уп
Оо.л+Ду)
HCwo)
—— (л<)+Дл;уо+Ду)
(P)
-—(ло+Дх,уо)
-x
Рис. 2.1
Станем рассматривать именно такую функцию. Выберем и закре-
пим Дх и Ду —любые, но такие, что точка (х0 + Дх, у0 + Ду) е (Р).
Ясно, что тогда и точки (х0, у0 + Ду), (х0 + Дх, у0) е (Р). Разность
Д/ = /(х0 + Дх, у0 + Ду) - /(хо,Уо) называется полным приращени-
ем функщлн f(x,y) в-точке Л/0(х0,Уо). Запишем выражение для
Д/ в виде
А/ = [/(х0 + Дх,у0 + Ду) - /(х0,у0 + Ду)] + [/(хо,Уо + Ду) - /(х0,у0)].
(1)
Замечаем, что разность /(х0,у0 + Ду) - /(х0,у0) представляет со-
бой приращение функции /(х0,у) при изменении у от у0 до
у0 + Ду. Подчеркнем, что /(х0,у) есть функция одного аргумента
у, определенная в промежутке [у0,у0 + Ду].
По условию, в каждой точке (х,у) е (Р) существует конечная
fy(x>y)- Из этого следует, что существует конечная /у(х$,у) в
каждой точке промежутка [Уо>Уо+Ау]. Видим, что функция
/(х0,у) в промежутке [уо,Уо + Ау] удовлетворяет условиям тео-
ремы Лагранжа. Следовательно, будем иметь
/(х0,у0 + Ау) - /(хо,Уо) = 4'(*о>Уо + МУ) • Ау (0 < 61 < 1). (2)
Рассмотрим теперь разность /(х0 + Дх,у0 + Ду)-/(х0,у0 + Ду).
Замечаем, что эта разность представляет собой приращение фун-
кции f{x,yQ + Ду) при изменении х от х0 до х0 + Дх. Отметим,
что /(х,у0 + Ду) есть функция одного аргумента х, определенная
в промежутке [х0, х0 + Дх]. По условию, в каждой точке (х,у) е (Р)
существует конечная fx(x,y). Из этого следует, что существует
конечная /х'(х,Уо + Ау) в каждой точке промежутка [х0, х0 + Дх].
60
Видим, что функция /(х,у0 + Ду) в промежутке [х0, х0 + Дх] удов-
летворяет условиям теоремы Лагранжа. Следовательно, будем иметь
/(х0 + Дх,у0 + Ду) - /(хо,уо + Ду) = Д'(х0 + 02 Дх,у0 + Ду) • Дх
(О<02<1). (3)
Теперь, принимая во внимание соотношения (2) и (3), выражение
для полного приращения Д/ функции « = f(x,y) вточке АГоС^о.Уо)
может быть записано в виде
Д/ = /;(х0 + 02Дх, Уо + Ду) • Дх + /;(х0, у0 + 01Ду) • Ду . (4)
По условию, fx(x,y) и fy(x,y) непрерывны в точке (х0,у0). По-
этому
Д'(х0 + 02Дх, уо + Ду)----> /;(х0,у0)
р->0 ’
А'(*о> Уо + 01АУ)---г* /у'(*о>Уо),
р->0 z ’
где р = 7(Дх)2 + (Ду)2 . А тогда можно написать:
/Х'(хо + 02Дх, уо + Ду) = Л'(*о>Уо) + а,
fy(x0, уо + 0(Ду) = /;(х0,у0) + 0,
где а,р-------> 0. Следовательно, будем иметь вместо (4)
р->0
А/ = /х(хо>Уо) &х + /;(х0,у0) Ду + а • Дх + р • Ду, (5)
где а,Р-------> 0. Формула (5) и есть формула для полного прираще-
р->0
ния &./ функции f(x,y) вточке Af0(x0,y0).
Установленная формула распространяется на случай функции
от любого числа переменных. Именно:
Пусть:
1) функция и = /(хьх2,..., х„) определена в параллелепипе-
де (Р), содержащем точку Л/0(х10,х20,..., хл0);
2) /(Х],х2,...,х„) имеет конечные частные производные
fxi> /х2. ••• > fx„ В каждой точке (хь х2, ..., х„) е (Р);
3) fxt’ fx2> •••> fx„ непрерывны в точке М0(х10,х20,, хп0).
61
Тогда полное приращение А/ функции /(х!,х2,..., хп) в точке
Мо представимо в виде
Д/ = •••. хп0) Д*1 + Л2(х10,х20, ..., х„0) • Дх2 + ... +
+ Л?хю>х20> •••>*„())• Д*„ + <Х1Д*1 + а2Дх2 + ••• + а„Л*и»
где аь а2,..., а„ —0; р = 7(M)2 + (Дх2)2 + ... + (Дх„)2 .
Определение. Функция и = f(x, у) называется дифференцируе-
мой в точке ЛГ0(х0,у0), если f(x,y) определена в прямоугольни-
ке (Р), содержащем точку Л/0(х0,у0), и если полное приращение
Д/ этой функции в точке (х0,у0) представимо в виде
Д/ = А • Дх + В • Ду + а- Дх + Р- Ду , (6)
где А и В — некоторые постоянные числа, а а, р--> 0. В (6) Дх
р->0
и Ду — любые, но такие, что точка (х0 + Дх, у0 + Ду) 6 (Р).
Справедливы следующие утверждения:
I. Если функция и = f(x,y) в точке ЛД(х0,у0) удовлетворяет
условиям s, то она дифференцируема в этой точке.
II. Если функция u = f(x,y) дифференцируема в точке
Л/о(х0,Уо), то она непрерывна в этой точке (бесконечно малым
приращениям аргументов соответствует бесконечно малое прира-
щение функции).
III. Если функция м = /(х,у) дифференцируема в точке
Л/0(х0,у0), то у нее в этой точке существуют конечные частные
производные Д', Д', причем Д'(х0,у0) = А, Д'(х0,у0) = В.
В самом деле, из того, что f(x,y) дифференцируема в
точке Л/0(хо,у0), следует, что Д/ = А • Дх + В • Ду + а • Дх + Р • Ду ,
где а, р----> 0 . Положим здесь Ду = 0. Будем иметь
р-»0
Д/ = Дг/ = А • Дх + а- Дх => ^£- = А + а => =
Дх Ах—>0 Дх
Последнее означает, что Д'(х0,у0) существует и что Д(х0,у0) = А.
Совершенно аналогично устанавливается, что в точке Af0(x0,y0)
существует Д'(х0,У0), причем Д'(х0,у0) = В.
62
IV. Если у функции и = f(x,y) в точке М0(х0,у0) существу-
ют конечные fx(xQ,yQ), fy(x0,y0), то из этого не следует диффе-
ренцируемость функции f(x,y) в точке Л/0(х0,у0). Более того,
из существования конечных и /Дхо>Уо) не следует
даже непрерывность функции f(x,y) в точке Af0(x0,y0).
„ „ (4, если ху = 0;
Рассмотрим пример. Пусть fix, у) = <
|5, если ху*0.
У этой функции в точке 0(0,0) существуют конечные /х, fy
(именно: f'(Qfi) = O и f'(Q,Q) = O). Однако, как было показано
ранее в §5 главы 1, эта функция не является непрерывной в точке
0(0,0).
Понятие дифференцируемости функции трех и большего чис-
ла переменных вводится совершенно аналогично рассмотренному
случаю функции двух переменных. Именно:
Функция и = f(xl,x2,... ,х„) называется дифференцируемой в
точке Л/о(х|О,х2о, •••, *ло) • если ее приращение Д/, вычисленное
для этой точки, представимо в виде
Д/ = ^Дх! + Л2Дх2 + ... + ЛяДхя + cqAXj + а2Дх2 + ... + аяДхя,
где Л1, А2, ..., Ап — некоторые постоянные числа,
a alta2,... ,а„--->0 (функция и = f(xltx2,... ,х„) считается
р->0
определенной в параллелепипеде (Р), содержащем точку
^о(хю>х2о> ••• > хло) J Дхь Дх2,..., Дхя — любые, но такие, что
точка (х10 + ДХ1, х20 + Дх2,..., хя0 + Дхя) е (Р)).
Заметим, что для функций трех и большего числа переменных
остаются справедливыми утверждения I — IV, отмеченные выше
для функции двух переменных.
§3. Производные сложных функций
Теорема 1. Пусть функция и = f(x,y) определена в прямо-
угольнике (Р) ((P)cR2) и имеет там непрерывные частные
производные их = fx(x,y), и'у = fy(x,y). Пусть функции
х = <р (/), у = V (/) определены в промежутке (а, Ь) и имеют там
63
конечные производные x't = <р'(0 > У< - V'(0 • Пусть, далее, функ-
ции ф (0 и у(0 такие, что для любого t е (а, Ь) оказывается, что
точка (ф(0, v(0) € (Р). Таким образом, имеет смысл суперпози-
ция и = /(ф (0, v(0) = Р(0 , t е (а, Ь). Тогда для любого / е (а, Ь)
существует конечная производная u't, причем
du ди dx ди dy
dt дх dt ду dt 17
(Здесь t — независимая переменная; х, у — промежуточные аргу-
менты.)
Возьмем любое t из (а, Ь) и закрепим. Обозначим его через
t0. Пусть ф(Го) = *о, V(^o) = Jo (ясно> что точка (х0,у0) g (Р)),
f(x0,y0) = и0. Дадим t0 приращение А/ — любое, но такое, что
А/ * 0 и точка + А? е (а, Ь).
Пусть ф (t0 + А/) = х0 + Дх, ф(?0 + АГ) = у0 + Ду (ясно, что точ-
ка (х0 + Дх,у0 + Ду) е (Р)), /(х0 + Дх,у0 + Ду) = и0 + Ди . Здесь
Аи = f(x0 + Дх,у0 + Ду) - f(x0,y0)
— полное приращение функции и = f(x,y) в точке (х0,у0). Отме-
тим, что функция и = f(x,y) вточке (х0,у0) удовлетворяет услови-
ям 5 и поэтому для полного приращения Дм справедлива формула
Дм = /Х'(хо,уо) • Дх + /;(х0,у0) • Ду + а • Дх + р • Ду ,
где а, р -> 0 при р —> 0. А тогда
Дм . Дх .Ду Дх „ Ду
— = Л(*о.Уо) • -гт + fy(x0,y0) • -тт + <* — + Р •
At At At At At
По условию, функции х = ф (0 , у = V (0 имеют в промежутке
(а, Ь) конечные производные ф'(0, у'(0 • Следовательно, х = ф(0,
у = у(0 непрерывны в промежутке (а,Ь); в частности, непрерыв-
ны в точке Го. Но тогда Дх -> 0 и Ду —> О при Д? —> 0 <=> р —> 0,
если Д? —> 0 а, р -» 0, если Д? —> 0. Переходя в соотношении (2)
к пределу при At -> 0, получим
64
•""ту = Л'(хо>Уо)^ + Д(^о>Уо)^ •
л/—>0 дг at 1 at
Следовательно, в точке t0 существует конечная производная —,
dt
причем
du
~di
г,, \ dx
= fx(X0,y0) —
at
+ f;<x0,y0)Q-
I=to dt
t=t0
Так как точка t0 — любая из (а, b), то теорема 1 доказана.
Замечание. В теореме 1 рассмотрен случай, когда независимая
переменная — одна, а промежуточных аргументов — два. Совер-
шенно аналогичная теорема имеет место в случае, когда незави-
симая переменная — одна, а промежуточных аргументов три и
больше. Именно:
Пусть функция и = У(Х|,х2,..., х„) определена в параллеле-
пипеде (Р) ((Р) с R") и имеет там непрерывные частные произ-
водные Д, Д,..., Д . Пусть функции = tpj(/), х2 = Ф2(0 ,
х„ = <р„(0 определены в промежутке (а,Ь) и имеют там конечные
г/<Р| d<p2 d(pn
производные —> Пусть функции <Pi(0, ф2(0,
..., ф„(0 еще и такие, что для любого г е (а,Ь) оказывается, что
точка (ф1 (0, Фг(О» •••, фя(0)е (?), так что имеет смысл суперпо-
зиция и = /(ф1 (0, Ф2(0, • •• > Фп(0) = Р(0 , t е (а, Ь). Тогда для лю-
du
бого t е (а, Ь) существует конечная производная —, причем
du ди dx, ди dx2 ди dx„ ...
dt ЭХ] dt дх2 dt дх„ dt
Теорема 2. Пусть функция и = f(xx,x2,... ,х„) определена в
параллелепипеде (Р) ((Р) с R") и имеет там непрерывные част-
ные производные u'Xi = Д, и’Хг = Д .... и' = Д. Пусть функции
*1 х2 =<f>2(ti,t2,...,tm), .... х„ =Ф„(6,/2,...,^)
65
определены в параллелепипеде (Р,) ((P.)c(R'")) и имеют там
конечные частные производные
Э<Р1 Эф! Эф! . Эф2 Эф2 Эф2 Эфя Эфя Эфл
ЭГ] ’ dt2 ’ dtm ’ ЭГ, ’ dt2 ’ dtm ’ Э/j ’ dt2 ’ dtm '
Пустьфункции Ф1(Г1 ,t2,..., tm), ф2(Г],Г2, ..., Ф„(>1,t2,..., tm)
еще и такие, что для любой точки , t2 g (Р,) оказывается,
что точка
(<?i(.h,t2,... ,tm),(f>2(ti,t2,... ,tm),... ,<рп(^,12,... ,tm))e(P),
так что имеет смысл суперпозиция
И = /(ф1(6^2.-./т). •»Q) =
= P(/l,/2,...,/J
в (Рф). При этих условиях для каждой точки (^,/2,..., tm) & (Рф)
ди ди ди
существуют частные производные —, —, ..., -г—, причем:
dt2 dtm
ди дх{ дх2 _1_
э? дХ[ Эб" дх2 эГ т . . Эх„ Э/1
ди = 3L ЭХ| + 3L Эх2 + ^~ _ ^хп
dt2 Э%1 Э^2 дх2 dt2 т . . дхп д/2
ди Э*! дх2 , 4. ,. + ^ дх„
дх{ дх2 । • Эхл
ди
Чтобы вычислить —, нужно в каждой из функций
Ф1('1Л>-,'«)> ФгСб.'г.-.О. ". Фл(*1Л» •••>'«) закрепить
переменные t2, t3, ..., tm. Но закрепив t2, t3, .... tm, мы будем
находиться в условиях теоремы 1 (или ее обобщения), т. е. мы
получим сложную функцию одной независимой переменной .
ди
Следовательно, существует конечная , причем
66
ди _ df ЭХ] df дх2 df дхп
dti dXj dt{ dx2 dtt dx„ dtt
du
Мы воспользовались формулой (3). Только вместо — следует
at
ди dx, dx2 dx„
писать , а вместо -f-, -f-, .... -f- — писать соответственно
dtx dt dt dt
ЭХ1 Эх2 дхп
Э/] ’ dtx ’ ’ Э/,
тт _ Эи . , - , .
Чтобы вычислить -— (к = 2,3,..., т), нужно в каждой из
функций Ф1(?1Л> •••>'«)> Фг('1Л. •••,*«)> •••> ФЯ('1Л» - . U
закрепить все переменные, кроме tk , а затем дифференцировать
полученную сложную функцию одной переменной tk . А тогда по
теореме 1 (или ее обобщению) заключаем, что существует конеч-
ди
нал -—, причем
°*к
to < to, + + (jt = 2,3..m)
dtk dXj dtk dx2 dtk dx„ dtk
§4. Полный дифференциал функции нескольких переменных
Пусть функция и = f(x,y) определена в прямоугольнике (Р)
((P)cR2), содержащем точку (х0,у0). Пусть функция
и = f(x,y) — дифференцируемая в точке (х0,у0). Возьмем Дх и
Ду — любые, но такие, чтобы точка (х0 + Дх, у0 + Ду) е (Р). Вы-
ражение
/х(хо,Уо) ‘ + f;(x0,y0) Ьу (1)
называется полным дифференциалом функции и = /(х,у) в точке
(хо>Уо) и обозначается символом 4Г(х0,у0) (или t/u(x0,y0)).
Итак, по определению
#(^о.Уо) = Л'(*о.Уо) •+ /y'OWo) • &У (2)
67
Видим, что #(х0,у0) зависит от четырех не связанных между
собой величин: х0, у0, Дх, Ду. Если вспомнить, что дифферен-
циалы независимых переменных совпадают с их произвольными
приращениями, т. е.
dx = Дх, dy = Ду ,
то соотношение (2) может быть записано в виде
df(x0,y0) = Л'(х0,у0) • dx + /;(х0,у0) dy
(или du = ^-dx + ^-dy). (3)
Эх Эу
Видим, что полный дифференциал равен сумме частных диффе-
ренциалов, т. е. du = dxu + dyu.
Ранее (см. §2) была выведена формула для полного прираще-
ния Д/ функции и = fix, у), дифференцируемой в точке (х0,у0).
Было получено
А/ = А'(хО.Уо) • Ах + /;(х0,у0) • Ду + а • Дх + р • Ду,
где а, Р---> 0. Теперь, принимая во внимание (2), эту формулу
р->0
можно записать так:
А/= #(хо,Уо)+ а’Ах + Р-Ду, где а,Р------->0. (4)
р->0
Легко убедиться, что (а • Дх + р • Ду) = о (р) при р —> 0. А тогда из
(4) заключаем, что полный дифференциал функции и - fix,у) в
точке (х0,у0) отличается при р —> 0 от полного приращения фун-
кции в этой точке на величину бесконечно малую более высокого
порядка, чем р = 7(Ах)2 + (Ду)2 .
Этим, как и в случае функции одной переменной, широко
пользуются в приближенных вычислениях, заменяя приращение
функции ее дифференциалом (как более простым по структуре).
Рассмотрим, например, такую задачу. Имеется дифференци-
руемая функция и = fix,у). Требуется дать оценку погрешности,
которая получится при вычислении значения этой функции, если
значения х и у получены с некоторыми погрешностями, оценки
которых нам известны. Более точно, это означает следующее.
68
Пусть Дх и Ду — фактические погрешности, с которыми
получены значения х и у. Точные значения величин Дх и Ду нам
не даны; известно лишь, что они удовлетворяют неравенствам
| Д х| < Зх, | Ду| < 8у,
где 5х и Зу — максимальные абсолютные погрешности, т. е. наи-
большие по абсолютной величине ошибки, которые мы можем
допустить. Нужно получить максимальную абсолютную погреш-
ность 8м для величины и.
Фактической погрешностью, получающейся при вычислении
значения функции и = f(x,y), будет
Дм = /(х + Дх,у + Ду) - У(х, у).
При малых Дх и Ду величину Дм , т. е. приращение функции,
можно заменить приближенно ее дифференциалом, т. е. положить
Дм = Д'(х,у)Дх + /;(х,у)Ду ,
откуда |Дм| < |/х'(х,у)|-|Дх| + |/у'(х,у)| '|Ду| , а следовательно, и по-
давно
|Дм| |/;(X, у)| • Зх +1/;(х, у)| • 8у . (5)
Таким образом, фактическая ошибка (взятая по абсолютной вели-
чине) всегда меньше или равна величине, стоящей в правой части
неравенства (5). Эту величину и принимают за Зм, т. е. полагают
би = \Л (х, у)| • Зх +1/; (х, у)| • Зу . (6)
На формуле (6) основываются правила приближенных вычис-
лений, как, например:
1) Максимальная относительная погрешность произведения
равна сумме максимальных относительных погрешностей сомно-
жителей.
2) Максимальная относительная погрешность частного равна
сумме максимальных относительных погрешностей делимого
и делителя.
► 1) В самом деле, пусть и = ху- По формуле (6) имеем
Зи =| у| • Зх +1 х| • Зу, откуда, разделив на |х • у|, получаем
8м _ Зх Зу
|н| ~ |х| + |у|
69
У
2) Пусть и = —. По формуле (6) имеем 8и = — • бх + - • бу ,
у V „2
X
У
8и 8х 8у
откуда, разделив на — , получаем о = Г Г + ГГ •
У
Замечание. Понятие полного дифференциала функции трех и
большего числа переменных вводится совершенно аналогично
рассмотренному случаю функции двух переменных. Именно:
Пусть функция и = f(x{,x2,... ,х„) определена в параллеле-
пипеде (Р) ((Р) с R"), содержащем точку (х|0,х20, •••, х„0). Пусть
u = f(xltx2,..., х„) дифференцируема в точке (Х10,х20,...,хя0).
Возьмем Дх,, Дх2, ..., Дхя — любые, но такие, чтобы точка
(х10 + Дх,,х20 + Дх2, ... ,хя0 + Дх„)е (Р). Выражение
(*10>*20> ••• . *ло)Д*1 + /х2 (*10>*20> - . *ло)Д*2 +
+ ... + /;/1(Хю,Х2о,...,х„о)Лхя (7)
называется полным дифференциалом функции и = /(Х], х2,..., хп) в
точке (х|0,х20,..., хя0) и обозначается символом ^(х10,х20,..., хй0)
(или <Й/(Х]0,Х20, ..., X„q) ).
Таким образом, по определению
#Х*10,*20> ••• > хпв) = (*10»*20> ••• » *л0>Д*1 +
+ fx2 (*10 > *20> • • • > *л0>Д*2 + • • • + fx„ (*10 > *20> • • • . *лО>Д*л .
Если принять во внимание, что Дх, = dxj, Дх2 = dx2,.... Дхя = dx„,
то можно писать
#Х*10 > *20 > • • • > *л0 ) = /х, (*10, *20 > • • • . *л0 ) dx\ +
+ fx2 (*10 > *20, • • . *л0 ) ^Х2 + ... + (*ю, *20, • • • , *л0 ) ^л , (8)
ИЛИ
.ди , ди , ди .
du = -—dx< +-—dx2 + ... + -—dx„
dxt 1 dx2 2 dx„ "
Видим, что полный дифференциал функции от любого числа пе-
ременных равен сумме всех ее частных дифференциалов. Он лине-
70
ен относительно приращений Axj, Дх2, Дх„ независимых
переменных и отличается при р -» 0 от приращения функции Ди
на величину бесконечно малую более высокого порядка, чем
р = 7(Л*1)2 + (Д*г)2 + ••• + (Дх„)2 • Справедливо все сказанное
выше и в отношении использования дифференциалов в прибли-
женных вычислениях.
§5. Дифференциал сложной функции.
Инвариантность формы полного дифференциала
Пусть функция и = f(x,y) определена в прямоугольнике (Ау)
и имеет там непрерывные частные производные и' = fx(x,y),
и'у = fy(x,y). Пусть функции х = ф(£,т]), У = Ф(£,л) определены
в прямоугольнике (Р^) и имеют там непрерывные производные
х£, Уь> Уг\- Пусть функции ф(£,т|), ф(£,л) еще и такие, что
для любой точки (£,т]) из оказывается, что точка
*
(ф(^, т1),ф(^>г1))е (Лу) Таким образом, в (Р^) имеет смысл су-
перпозиция и = /(ф(£,л),ф(£>Л)) = Р(£,Л) • При этих условиях:
1) функция и = F(£,T]) дифференцируема в каждой точке
(£,П)е<Ап>;
2) du = u'xdx + u'ydy , (1)
т. е. соотношение (1) справедливо как в случае, когда х и у —
независимые переменные, так и в случае, когда х и у есть функции
новых переменных.
► 1) По условию, в каждой точке (^.л)е(Р^) функции
х = ф(£,л), у = v(£,л) удовлетворяют условиям s. Значит, эти
функции дифференцируемы в каждой точке (£.л)6 (Р^) и, сле-
довательно, у них существуют конечные частные производные
xi = ф£(£. Л), х' = ф^(^,т]), у£ = ф£(£,л), У^ = Л) в каждой
точке (^,л) € (Р^). Отметим также, что функции х = ф(£,т|),
у = у(£,т]) непрерывны в (Р^).
71
В силу теоремы 2 (о производных сложной функции) заклю-
чаем, что в каждой точке (£, л) е ) существуют = F^(^,r|)
и и' = Fn'(£,n), причем
«п =и'х -Ч +иу-У'п-
Имеем: и'х(х,у) = /х'(ф(^11).¥(^П)), и'у(х,у) = /;(ср(£,т]),Ч'(£,П)) -
непрерывные (^п) как суперпозиции непрерывных функций. По
условию, х'^, х', у£, у'ц — непрерывны в (^п). А тогда из соот-
ношений (2) для , и'ц следует, что , и'^ непрерывны в каждой
точке (^,Л) е и, следовательно, функция и = F(£,t]) удовлет-
воряет условиям s в каждой точке (£, л) е (^п) • Значит, функция
и = Г(£,л) — дифференцируема в каждой точке (£,л) е (Р^л) • Та-
ким образом, утверждение 1) доказано.
2) Имеем, по определению полного дифференциала,
du = u^dE, + u' <h\
(у нас £, г, — независимые переменные). Но = и' • х£ + и' • у£,
и' = и'х • х' + и'у • у' (см. (2)). Поэтому
du = (их х'^+и'у y'K)dt, + (u'x-х\+и'у y;)rfq =
= и'х{х'^ + х'</т|) + и'у (у^ + у'Л]).
Но х^ + x'^dx\ = dx , y'^dt, + y'rfq = dy . А тогда
du = uxdx + u'ydy . (3)
Следовательно, утверждение 2) также доказано. 4
Заметим, что в соотношении (3) dx и dy — дифференциалы
функций х = ср(£,т]), У = vGj.i’l) • Они не совпадают, вообще го-
воря, с приращениями Дх и Ду соответственно.
72
§6. Частные производные высших порадков.
Теорема о равенстве смешанных производных
Пусть функция и = fix,у) определена в прямоугольнике (Р)
и имеет в каждой точке (х,у) е (Р) конечную частную производ-
ную и'х = fx(x,y). Ясно, что fx{x,y) представляет собой некото-
рую новую функцию, определенную в (Р). Следовательно, можно
поставить вопрос о нахождении частных производных по х и по
у от этой новой функции.
Если существуют (/^(х,у))^ и (/'(х,у)Уу, то их обозначают
f^(x,y) и f^(,x,y) и называют частными производными второго
порядка функции f(x,y). iffx(x,y) — первое и второе диффе-
ренцирование по X", f^(x,y) — первое дифференцирование по х,
второе — по у.) Используют и другие обозначения введенных
частных производных второго порядка, а именно:
Э2ы Э2/(х,у) ,, Э2м
и соответственно.
Предположим теперь, что функция и = fix,у)
дой точке (х,у)е(Р) конечную частную
Э2/(х,у) „
Эх2 ’
имеет в каж-
производную
и'у - fyix,у). Ясно, что fy(x,y) представляет собой еще одну
новую функцию, определенную в (Р).
Если существуют (/Дх,у))^ и [/у(х,уУ]у, то их обозначают
ffx(x>y) и fyy(x>y) и называют частными производными второго
порядка функции fix,у). (f£(x,y) — первое дифференцирова-
ние по у, второе — по х; ffy(x,y) — первое и второе дифферен-
цирование по у.) Используют и другие обозначения, а именно:
Э2/(х,у) д2и Э2/(х,у)
ЭуЭх ’ ух’ дудх ду2
и"
иУУ ’
д2и
—соответственно.
Эу2
Замечание. Следует различать f^(x,y) и /jX(x,y).
Частные производные третьего, четвертого порядков и т. д.,
а также соответствующая символика вводятся совершенно аналогично:
73
дти(х,у)
дхт
дти(х,у)
дхрдуч
— функция дифференцируется т раз по х,
, где т = р + q , — функция дифференцируется р раз
по х, а затем q раз по у.
дти(х,у)
Вообще символ « = A+ft+P2 +
+ ... + qs, означает, что функция и(х,у) сначала дифференциру-
ется Pi раз по х, затем q{ раз по у, р2 раз по х и т. д.; наконец, qs
раз по у.
Частная производная второго, третьего и большего порядка,
являющаяся результатом дифференцирования по разным пере-
менным, называется смешанной. Смешанными будут, например,
частные производные
Э2м Э2и Э3и Э4и
дхЭу ’ Ъудх ’ дхду2 ’ ЭхЭу2Эх И Т’ Д’
Теорема (о равенстве смешанных производных). Пусть функция
и = f(x,y) определена в прямоугольнике (Р), содержащем точку
(х0 > Уо) • Пусть в каждой точке (х,у) е (Р) существуют конечные
частные производные Д'(х,у), fy(x,y), f£(x,y), /^(х,у). Тог-
да, если смешанные производные f£,(x,y) и f^(x,y) непрерыв-
ны в точке (х0,у0), то
f£(x0,y0) = f"(x0,y0). (1)
Выберем и закрепим числа h и к — любые, но такие, что
точка (х0 + h,y0 + к) е (Р). Ясно, что точки (х0+й,у0) и
________I I___
О| -*0 xq+Ii х
Рис. 2.2
(х0, у о + к) е (Р). Введем в рас-
смотрение величину
A = f(x0+h,y0+k)~
-f(x0,yQ+k)~ (2)
-f(x0 +А,у0) + /(х0,у0).
Подсчитаем величину Л двумя спо-
собами.
74
Способ 1. Рассмотрим функцию ф(х) = f(x,y0 + к)~ f(x,y0).
Имеем
Ф(хо + й) = /(х0 + h,y0+k)~ Дхй + h, уй)
ф(*о) = Ж, Уо + к) - /(х0, у0)
=> <р(х0 + й) - ф(х0) = А . (3)
По условию, в каждой точке (х,у) е (Р) существует конечная
Д(х,у). Следовательно, для любого х из промежутка [х0,х0 + й]
существуют конечные fx(x,y0 + к) и Д'(х,у0). Но тогда для лю-
бого х из промежутка [х0,х0 +й] существует конечная производ-
ная <р'(х), причем
ф'(х) = Л (х> Уо + к) - Л(*> Уо) • (4)
Видим, что функция <р (х) удовлетворяет условиям теоремы Лаг-
ранжа. Поэтому А = ф (х0 + й) - ф (х0) = ф'(х0 + 0]й) • й => в силу (4),
А = ф(х0 + й) - ф (х0) = [Д(х0 + 0,й,у0 + к) - Д(х0 + е!Й,Уо)] • й (5)
(О < 6j < 1).
Введем в рассмотрение функцию
МУ) = Д(*о+M,y)- (6)
Имеем Л(у0 + к) = Д(х0 + е,й, у0 + к), А(у0) = Д(хо + 01й, у0) =>
=> А(у0 + к) - Л(у0) = Д(х0 + 0!Й,уо + к) - Д(х0 + 01й,уо).
А тогда, в силу (5), получаем
Л = [А(уо + й)-А(уо)]й. (7)
По условию, в каждой точке (х,у) е (Р) существует конечная
f^(x,y). Следовательно, для любого у из промежутка [у0,Уо + й]
существует конечная ДДх0 +0(й,у). Но тогда для любого у из
промежутка [у0,Уо + й] существует конечная производная А'(у),
причем А'(У) = ДХ*о + М,У).
Видим, что функция А(у) в промежутке [уо,Уо + й] удовлет-
воряет условиям теоремы Лагранжа. Поэтому
75
Л = [ХО0 + к) - Х(у0)] А = Л'(Уо + 02^) kh (о < е2 < 1)
Таким образом, окончательно получаем для Л:
Л = /дИ*о+ОЛУо+М)ЛА- (8)
Способ 2. Рассмотрим функцию v(y) = f(x0 + h,y) - f(x0,y).
Имеем
Ж(Уо + к) = f(x<> + h,y0+k)~ /(xo, y0+k),
V(y0) = f(x<> + ft, y0) - f(x0, y0)
=> V(y0 + k) - Wo) = ^. (9)
По условию, в каждой точке (х,у) е (Р) существует конечная
fy(x,y). Следовательно, для любого у из промежутка [у0, Уо + ^1
существуют конечные fy{xQ +h,y) и fy(,xQ,y). Но тогда для лю-
бого у из промежутка [у0,у0 + А] существует конечная производ-
ная у'(у), причем
V'(y) = 4'(*о + h,У) - /у(.хй,у). (10)
Видим, что функция у(у) в промежутке [у0,у0 + А] удовлетворяет
условиям теоремы Лагранжа. Поэтому А = у(у0 + к) - у(у0) =
= Ж'(Уо + 0з^) к, (0 < 93 < 1), => в силу (10),
A = [fy(xo +к,Уо +O3k)-f^(xo,yo + 93А)]-А. (11)
Введем в рассмотрение функцию
Н(х) = fy(x,y0 + в3к). (12)
Имеем ц(х0 + А) - ц(х0) = fy(x0 + А,у0 + 93А) - //(х0,у0 + 0зА) •
А тогда, в силу (11), получаем
А = [ц(х0 + А)-ц(х0)] А.
По условию, в каждой точке (х,у) е (Р) существует конечная
fyx(x,y). Следовательно, для любого х из промежутка [х0,х0 + А]
существует конечная /^(х, у0 + 03А). Но тогда для любого х из
промежутка [х0,х0 +А] существует конечная производная ц'(х),
76
причем ц"(х) = f^(x,yQ + Q3k). Видим, что функция ц(х) в проме-
жутке [х0,х0+й] удовлетворяет условиям теоремы Лагранжа.
Поэтому
Я = [ц(х0 + й) - ц(х0)] • к = ц'(х0 + 04й) • hk (0 < 04 < 1).
Таким образом, окончательно для А получаем
Л = /jX(x0+04й, у0+0з*)**- (13)
Сопоставляя теперь два выражения (8) и (13), полученные для А,
находим
/^(х0 + 01й,уо + 02*) = + М.Уо + 03*) • (14)
В соотношении (14) станем изменять й и к так, чтобы было
р = 7й2 + кг -> 0. Тогда
(х0 +0!Й,уо +02й)----> (х0,у0).
р->0
(х0 + 04й,уо + 03*)-Г* <хо> Уо).
р->0
Так как f£(x,y) и /^'(х,у) непрерывны в точке (х0,у0), то
f£(x0 +01й,уо +02*) f^x0,y0),
f^(x0 +04й,уо +03й) -> f"(x0,y0).
7 р->0 z
Следовательно, переходя к пределу в соотношении (14) при р -» 0,
получим /^(хо,Уо) = f^(x0,y0).
Следствие 1. Если смешанные производные fx'y(x,y) и f£(x,y)
непрерывны в каждой точке (х,у)еР, то f^,(x,y) = f£(x,y)
всюду в (Р).
Следствие 2. Если функция и = f(x,y) определена в (Р)
и имеет там непрерывные частные производные всех порядков до
т включительно, то при вычислении смешанной производной
любого порядка до т включительно от функции f(x,y) (в каж-
дой точке (х,у) е (Р)) безразлично, в каком порядке производить
отдельные дифференцирования.
77
Это вытекает из возможности (в силу только что доказан-
ной теоремы) менять порядок любых двух последовательных
дифференцирований по х и у. Повторное применение такой
операции позволяет результат р дифференцирований по х и q
дифференцирований по у, независимо от их порядка, свести к
др+9и . .
------, где р + q < т, т. е. сначала к р дифференцированиям по
дхрдуч
х, затем к q дифференцированиям по у.
Замечание. Частные производные порядка выше первого для
функций трех и большего числа переменных определяются совер-
шенно аналогично рассмотренному случаю функции двух пере-
менных.
Именно, пусть функция и = f(x{,x2,..., хп) определена в
дти
параллелепипеде (Р) ((Р) с R"). Символ —-— -------—, где
дх{'дх!р...дхр"
Pi + р2 + + Рп = т > означает, что функция и = /(Х],х2» •••,х„)
сначала дифференцируется р{ раз по х{, затем р2 раз по х2,
и т. д., и, наконец, — рп раз по х„.
Отметим, далее, что теорема о равенстве смешанных произ-
водных и следствия из неё полностью переносятся на случай
функции любого числа переменных. Так, например/
Пусть функция и = f(xi,x2,, х„) определена в паралле-
лепипеде (Р) ((P)cR") и имеет там непрерывные частные
производные всех порядков до т включительно. Тогда при
вычислении смешанной производной любого порядка до т
включительно от функции и = f(xv,x2,... ,х„) (в каждой точ-
ке (х1,х2,... ,хп)е(Р)) безразлично, в каком порядке произ-
водить отдельные дифференцирования.
Пример. Пусть функция «= f(x,y,z) определена в (Р)
((P)cR3) и имеет там непрерывные частные производные до
порядка т = 10 включительно. Тогда будем иметь, например,
______Э10ц_______ д10и
dxdy2dz2dydz2dx2 dx3dy3dz4 '
78
§7. Дифференциалы высших порядков
функции нескольких переменных
Рассмотрим функцию и = f(x,y), где х и у являются незави-
симыми переменными. Пусть эта функция определена в (Р)
((Р) с R2) и имеет там непрерывные частные производные всех
порядков до т включительно. Тогда, если т > 1, то функция
и = f(x,y) дифференцируема в каждой точке (х,у)е(Р). Зна-
чит, в каждой точке (х,у) е (Р) существует df(x,y), причем
df(x, у) = Д'(х, у) dx + /; (х, у) dy. (Т)
Здесь dx = Дх, dy = Ду — произвольные приращения независи-
мых переменных, т. е. произвольные числа, никак не зависящие от
х и у. Закрепим dx и dy . Тогда df(x,y) будет представлять собой
функцию от двух переменных х и у, определенную в (Р). Если
т > 2 , то df(x,y) в каждой точке (х,у) е (Р) есть дифференциру-
емая функция и, следовательно, существует дифференциал от этой
новой функции, т. е. существует d{df(x,y)'). d2u = d(df(x,y)} на-
зывается дифференциалом второго порядка от функции и = f(x,y)
(при этом дифференциалы независимых переменных dx и dy
считаем теми же самыми).
Итак, по определению, d2u = d(du). Отметим, что d2u есть
тоже функция от х и у, определенная в (Р). Причем, если т > 3,
то d2u есть дифференцируемая функция в каждой точке
(х, у)е(Р). Совершенно аналогично предыдущему полагаем
d3u = d(d2u). Величина d3u называется дифференциалом третье-
го порядка функции и = /(х,у). И вообще, дифференциал порядка
т функции и = f(x,y) определяется равенством
dmu = d(dm~'u).
(Следует помнить, что дифференциалы независимых переменных
dx и dy считаются постоянными при определении дифференци-
алов любого порядка до т включительно.)
79
Найдем явные выражения для введенных дифференциалов
через частные производные и через дифференциалы независимых
переменных. Так как у нас (по предположению) функция
и = f(x,y) имеет в (Р) непрерывные частные производные всех
порядков до т включительно, то величины смешанных частных
производных, которые нам будут встречаться, не зависят от по-
рядка дифференцирования.
Имеем
, ди , ди ,
du = — ах + — ау ;
дх ду
d2u = d(du) = (du) -dx + ^~ (du) • dy =
дх ду
d2Uи \2 Э2м , , д2и , , д2и . 2
= VT {dx> + ГГ + ТЗ" dxdy + ТТ •
дх2 дудх дхду ду
Так как
д2и д2и
мг 70 61Дем иметь
,2 д2и ,, -2 П Э2И , , д2и .2
d U = —j-(rfx)2 +2—r-dxdy + —y(dy)2;
Эх2 дхду ду2
d3u = d(d2u) = ^-(d2u) • dx + ^-(d2u) dy =
dx dy
d3u , d3u .. .2 j
= -г-r {dx)3 + 2 (dx)2 dy +
Эх3 дхдудх
(1)
(2)
д3и .. .2 . d3u ,, л. о д3и z . ч2 д3и .3
+ т-уг- (dy)2dx + —5— (dx)2 dy + 2 —у dx(dy)2 + —у (dy)3.
ду дх дх ду dxdy dy
c . - d3u d3u d3u d3u
Если m > 3, to = —s—, —5— =-------г-. Следовательно,
ЭхЭуЭх Эх2Эу ду2дх dxdy2
j3 , .3 , Э3ы .2 j , д3и , .2 д3и .. .3
d и = —y(dx)3 +3—r-(dx)2dy + 3——Tdx(dy)2 +—7(dy)3. (3)
Эх дх ду дхду ду3
Отметим, что выражения для du, d2u, d3u в символической форме
можно записать так:
80
, ( Э , д , ]
du = —dx + — dy • и,
I, Эх dy J
,2 ( Э , d , У
a и = — ax + — dy\ u,
l, Эх dy J
,3 ( Э , Э . У
а и = — dx + — dy\ u.
1^Эх dy )
Методом математической индукции можно доказать, что
( д д \т
dmu= — dx + —dy •«. (4)
^Эх dy J
Правую часть (4) следует понимать так. После возведения в степень
с д э
т выражения, стоящего в скобках, степени символов — и —
Эх dy
с последующим их условным умножением на и следует рассматри-
вать как указатели порядков соответствующих частных производ-
ных функции м(х,у).
Замечание. В случае функции и =/(х,,х2,...,х„) (л >2,
Xj, х2,..., х„ — независимые переменные) понятие дифференци-
ала второго, третьего, ..., т-го порядков вводится совершенно
аналогично рассмотренному случаю функции двух переменных.
При этом имеет место символическая формула
(5)
Формула (5) справедлива при условии, что функция
и = /(xi,x2,..., х„) определена в параллелепипеде (Р) ((Р) с R")
и имеет там непрерывные частные производные всех порядков до
порядка т включительно.
§8. Дифференциалы высших порядков
сложной функции нескольких переменных.
Нарушение свойства инвариантности формы
Рассмотрим сложную функцию
и = /(х1,х2,...,х„), (1)
81
где
*1 = Ф1('ь*2, •••,'/>)»
х2 = Ф2(6Л,-Л),
(2)
хп = q>„(h,h,-,tp);
ti, t2, ..., tp — независимые переменные. Предполагается, что
функции (2) дифференцируемы достаточное число раз в паралле-
лепипеде (7) ((Т) cR;),a функция (1) дифференцируема доста-
точное число раз в параллелепипеде (Р) ((Р) с R"). По свойству
инвариантности формы полного дифференциала первого порядка
сложной функции имеем
, ди , ди , ди , ...
du = ——dx\+ ——dx2 + ... + -—dx„. (3)
дхх дх2 дх„
Но здесь
Лг=^-‘"'+^’Лг+ (4)
dx - Эф" dt + Эф» dt + + Эф" dt
Поэтому при постоянных dtx, dt2, ..., dtp величины
<&!, dx2, , dx„ уже не будут постоянными, вообще говоря, ибо
Эф] Эф] Эф] Эф2 Эф2 Эф2 Эф„ Эфл Эф„
Э/] Э/2 dtр * Э/] dt2 dtр ’ dtj dt2 dtp
могут зависеть от /], t2, ..., tp.
Покажем, что формула (5) предыдущего параграфа для т > 2 ,
вообще говоря, не сохраняется. В самом деле, имеем, например,
d2u = d(du) = d-^-dXi +^-dx2 + ... + ^-dx„
OX| 0X2
82
ди
Эх(
•2 Эи .о ди ,2
• d Xi + -— dx, + ... + -— d x.
1 Эх2 Эх„ "
ди
ЭХ]
,2 ди ,2 Эи ,2
• d Xi + -— d x2 + ... + -— d x„.
1 Эх2 Эх„ "
Если бы хь x2, ..., x„ были бы независимыми переменными, то
мы имели бы
'Н^Л'+^Л2+"-+^Л“)“- (6)
Сопоставляя выражения (5) и (6) для d2u, видим, что в случае,
когда хь х2, ..., х„ сами являются функциями других перемен-
ных, формула для d2u усложнилась (добавилось выражение
Эи ,2 Эи ,2 Эи ,2 . г. -
-— d Xi + -— а хг + ... + -— а х„). Еще большее усложнение
uXj иХп
получается для d3u и т. д. Таким образом, свойство инвариантно-
сти формы для дифференциалов порядка выше первого теряется,
вообще говоря.
Мы не зря здесь сказали “вообще говоря”. Дело в том, что
имеется важный частный случай, когда и для сложной функции
83
свойство инвариантности формы имеет место для дифференциа-
лов любого порядка. Это будет тогда, когда х2, , х„ явля-
ются линейными функциями от t2, ..., tp, т. е. когда
Х1 = + °12*2 + ••• + а1р*р +
х2 = °21^1 + а22^2 + ••• + a2ptp + ^2>
Хп = + an2t2 + ... + anptp + b„,
где аи, о12, ..., о1р; а2Ъ а22, ..., а2р-, ...; ал1, ол2, ..., апр;
b2, ..., Ь„ — постоянные числа. В этом случае имеем
dxt = ацЛ{ + ai2dt2 + ... + aipdtp = ОцД^ + о12Д/2 + ... + о1рА^,
^2 = a2i$i +a22dt2 + ... + a2pdtp = 021^1 + <*22^2 + ••• + а2р^р’ _
dxn = anldti + an2dt2 + ... + attpdtp = + а„2Ы2 + ... + а„рЫр
=> dbCj, dx2, ..., dx„ — постоянные числа, так как
А/ь Д/2, •••, Afp — постоянные. Но тогда rf2Xj = 0, d2x2 = 0,...,
d2xn = 0 и, следовательно, будем иметь вместо (5)
,2 Г Э , Э , Э ,
du = -—dx, +-—dx2 + ... + -—dx„ -w.
1 Эх2 2 dx„ "J
Видим, что в этом частном случае дифференциал второго порядка
обладает свойством инвариантности формы.
Итак, в случае, когда промежуточные аргументы xt, х2, .... х„
выражаются через независимые переменные t2, ..., tp линей-
но, dx{, dx2, ..., dxn оказываются постоянными при постоянных
AZ], Д/2, •••, А*р. Следовательно, с dxx, dx2, ..., dxn можно по-
ступать так же, как поступали ранее с дифференциалами незави-
симых переменных. Поэтому формулы для дифференциалов по-
рядка выше первого сложной функции и будут иметь тот же вид,
как и в случае, когда jq, х2, ..., хп являются независимыми
переменными.
84
Таким образом, в случае, когда промежуточные аргументы
хь х2, х„ являются линейными функциями ОТ /], t2> ..., tp ,
чтобы получить дифференциалы сложной функции и, можно
сначала вычислить эти дифференциалы, считая хь х2, ..., хп
независимыми переменными, а затем вместо х{, х2, ..., х„ под-
ставить их выражения через t2, ..., tp .
§9. Примеры и задачи
Пример 1. Найти /Дх, 1), если f(x,y) = х + (у -1) arcsin .
Решение. Имеем
-,/ ,. f(x + Дх, 1) - /(х, 1) .. х+Дх-х ,
/Дх, 1) = hm —----——J ' > ' = hm-----------= 1.
Дх—»0 Дх Дх->0 Дх
Пример 2. Найти /ДО, 0) и /ДО, 0), если f(x,y) = tfxy. Явля-
ется ли эта функция дифференцируемой в точке О (0,0) ?
Решение. Имеем
,,.Л Л. ,. /(0 + Дх,0)-/(0,0) ,. ^Дх-0-0 л
/ДО,0) = lim —------——7 v ’ < = hm -2-----------= 0;
Дх-»0 Дх Дх-»0 Дх
Ах
1- /(0,0 +Ду)-/(0,0) .. VO Ay -0 А
/ДО,0) = hm = hm ---------= 0.
у Ау->0 Ду Ау->0 Ду
Полное приращение Д/ заданной функции в точке 0(0,0) будет
таким:
Д/ = /(0 + Дх, 0 + Ду) - /(0, 0) = 3/ДхДу - 0 = ^/ДхДу .
Мы знаем, что функция f(x,y) будет дифференцируемой в точке
0(0,0), если Д/(0,0) представимо в виде
А/(0> 0) = Л • Дх + .В • Ду + о (р),
где А и В — постоянные числа.
В нашем примере линейная относительно Дх и Ду часть
приращения функции отсутствует (А • Дх + В • Ду 0). Для диф-
ференцируемости функции f(x,y) в точке 0(0,0) необходимо,
чтобы было
85
ЦДхДу = о (р) <=> lim . = о.
р-*° 7(Дх)2 + (Ду)2
Положим
3/ДхДу _
Ф (Дх, Ду) = -=====. Возьмем последователь-
ных)2 +(Ду)2
ность точек {Л/д(ДхЛ,ДуЛ)}Лб14= ШИ
. Ясно, что
£eN
Мк\ —, — -------> 0(0,0). Соответствующая последовательность
\к к) к-*°°
значений функции
teN
Это означает, что функция ф (Дх, Ду) при р —> 0 не является бес-
конечно малой.
Вывод. Данная функция f(x,y) не является дифференцируе-
мой в точке О (0,0).
Пример 3. Является ли дифференцируемой в точке О (0,0)
функция f(x,y) = yjx3 + у3 ?
Решение. Полное приращение Д/ заданной функции в точке
О (0,0) будет таким:
Д/(0,0) = Н(0 + дх)3 + (0 + Ду)3 - 0 = ^/(Дх)3 +(Ду)3.
Представим Д/(0,0) в виде: Д/(0,0) = Дх + Ду + ^(Дх)3 + (Ду)3 -
-Дх-Ду^. Функция fix, у) будет дифференцируемой в точке
0(0,0), если Д/(0,0) = А • Дх + В • Ду + о(р), где Я и В — постоян-
ные числа, о (р) — бесконечно малая более высокого порядка по
сравнению с Р при р -» 0.
86
Положим
ф (Ах, Ау) = ^/(Дх)3 + (Ау)3 - Ах - Ау .
Тогда А/(0,0) = Ах + Ау + ф (Ах, Ау) (здесь А = 1, В = 1). Для диф-
ференцируемости функции f(x,y) в точке 0(0,0) необходимо,
чтобы было
Ф (Ах, Ау) = о (р) <=> lim . х’- = 0.
Пусть
ф(Ах,Ау) _У(Ах)3 + (Ау)3-Ах-Ау =
7(Ах)2+(Ау)2 7(Ах)2 + (Ау)2
обозначение
Возьмем последовательность точек {Л/4(АхА,АуЛ)}*е1< =
= т> тI г • Ясно, что mJ -J-, т |--------> О(0,0). Соответ-
\к k)]keN \к к) к-*°°
ствующая последовательность значений функции
МЧ.,=
не является бесконеч-
teN
но малой при к —> °°.
Вывод. Заданная функция f(x,y) не является дифференциру-
емой в точке 0(0,0).
Пример 4. Исследовать на дифференцируемость в точке О (0,0)
функцию
1
/(х,у)= е хг+Уг t если х2 + у2>0;
0, в точке 0(0,0).
Решение. Полное приращение А/ заданной функции в точке
О (0,0) будет таким:
87
1
1
Д/(0,0) = /(О + Ах, О + Ду) - /(0,0) = е - 0 = е
Имеем
1 —L г
е (Дх)2+(Дх)2 е р2 1 _ (
lim . = lim------= р =
₽->0 7(Д*)2 + (Ау)2 р->0 Р /-»+«>, если р —> + О
= lim te ,г = lim = lim —— = 0.
/—>+<» /—>+оо /_>4-оо . 2^
Следовательно, А/(0, 0) можно записать в виде
А/(0, 0) = 0 • Дх + 0 • Ау + о (р) (здесь А = 0, 5 = 0).
Вывод. Заданная функция fix,у) дифференцируема в точке
0(0,0).
Пример 5. Пусть и = (—• Найти и'х, иу, u'z.
Решение. и'х =-^- гх^ =-•(-') ; и' =(хг -y~zfy = x*(-z)y"z-1 =
у Х\У)
Z X
У
, IX
; иг = -
1 X
In — .
У
У_
Пример 6. Пусть и = xz. Найти их, иу, и’г.
у J у
Решение, и' = — xz = — — ; и' = хг — 1пх = — 1пх ;
Z Z X 7 z Z
у / \
, 7 . I У 1 иу ,
и' = хг • In X • I - -Чт = - -у In X .
I Z ) Z
Пример 7. и = xyl. Найти и'х, и'у, u'z.
Решение, и’ = уг -xyt~v = —xyt =yz —; и' = xyt \nx-zyz~l =
x x
= zyl~lu Inx;.
u'z = xyt • In x • yz In у = uyz • In x • In у.
88
Пример 8. Пусть f{x,y) =
х2 - 2
ху-=—если х2 + у2^0; „
х2 + у2 Пока-
0, в точке 0(0,0).
зать, что /£(0,0) #/"(0,0).
Решение. В точках, где х2 + у2 * 0, имеем
х2 - у2 , 4х2у2
х2 +у2
(х2 + у2)2/
<х2-у2_ 4х2у2
кх2 + у2 (х2 + у2)2
В точке 0(0,0) производные /х'(0,0) и /у (0,0) находим по опре-
делению:
Л(0,0) = lim Л0^х,0)-/(0,0) =
х ’ Дх->0 Дх
(О + Ах) 0 .<0 + Ах^ ~°
= Пт----------(O±Ax)i±O=limA = o;
Ах—>0 Дх Дх->0 Дх
/;(о,о) = um =
7 Ду-»О Ду
oto+w0-^^
= iim-----0 + (0 + А,)* = 1.т± = (1
Ду->0 Ду Ду-» О Ду
Итак, получили:
fx(x>y) =
0,
4.Л’ ]
^Л2)’
в точке 0(0,0);
если х2 + у2 # 0;
fy(x,y) =
---2 ^2 2^1 > если * 0;
(^+/)2J
О, в точке 0(0,0).
Имеем теперь:
г (0,0) - lim А'(0.0^4-Л'(0.0) _ Iim -АИАУ)2 _ _1;
Ау-»О Ду Ду-»О Ду (Ду)2
Ду
89
ZA(0,0>= ii 4<o^0)-/;(o.o)
у Дх—>0 Дх
lim
Ax—>0 Дх(Дх)2
Видим, что /£(0,0) * /£(0,0).
Пример 9. Существует ли /£(0,0), если
Лх,у) =
, У ,, если х2 + у1 > 0;
X + у
0, в точке 0(0,0)
Решение. В точках, где х2+у2>0, имеем fx(x,y) =
= 2у
у1 - X2
(хг + у2)2
. /'(0,0) находим по определению:
/'(0,0) = lim /(в + Ах’°) = iim 2(0 + Дх)0 _1_ = 0
Дх—>0 Дх Дх->0 (0 + Дх)2 +0 &Х
Итак, получили
fx(x,y) =
2 _ 2
2ут1—при х2 + у2>°;
(^+у)
О, в точке 0(0,0).
Имеем теперь
ЖнЛу)-(0+а/ -О
/-(0,0) = urn Л-(°.°^^)-Л-(0,0) = |1т___.
** Ау->0 Ду Ду-»О &у
= lim 2
Ду->0
(Ау)3
(АУ)5
Видим, что конечного предела не существует. Следовательно,
/£(0,0) не существует.
Пример 10. Найти df(l, 1,1) и d2f(\, 1,1), если /(x,y,z) = .
Решение. Имеем df (x,y,z) = f*dx + f? dy + /" dz . Ho
f, sl„r*. J_ = J_/*y - f(x,y,z}
x z L xz LyJ xz ’
yz
90
i 4-1
-.у z
z
1 1 ( X st X
.x7=_±.[£| =_Z<bL£l.
yz lyj yz
1 'I , x f(x,y,z). x
— —In— = ~ ' 7 In —
Z2) У z2 У
Следовательно,
df(x,y,z) = ^^-{— - — --ln-cfel => df(\,\,\) = dx-dy
z \x у z у J
Имеем, далее,
d2f(x,y,z) = d(df(x,y,z)} = -f— ----- In -cfcY df(x,y,z) -
z\x у z у J
dz et x (dx dy 1 . x , 'I
--j--/(x,y,z)--------- — \n-dz +
z2 Vх У z у )
. f(x,y,z) f (dx)2 (dy)2 (dz)2 . x dz(dx dy\
z [ x y2 Z2 У Z{x у JJ
=> d2f(\, 1,1) = (dx - dy)2 - dz (dx - dy) -
- (dx)2 + (dy)2 - dzdx + dzdy = 2(dy - dx) (dy + dz) .
Пример 11. Предполагая, что x, у малы по абсолютной величи-
не, вывести приближенные формулы для следующих выражений:
а) (1+ х)т(1 + у)"; б) In(1 + х)• In(1 + у); в) arctg-^-^-.
1 + ху
Решение. Замечаем, что каждая из данных трех функций:
« = fi(x,y) = (1 + х)'"(1 + у)п, и = f2(x,y) = In (1 + х) • In (1 + у),
и = /з(х,у) = arctg-—?-
1 + ху
удовлетворяет условиям “х” вточке Afo(0,0). Поэтому для каждой из
этих трех функций справедлива формула для полного приращения:
Ди = и(х,у) - м(0,0) = «' -х + и'у -у + о(р),
где о (р) — бесконечно малая более высокого порядка по сравнению
с р при р —> 0. (Здесь р = ^х2 +у2 .) Отбрасывая величину о (р)
и перенеся и (0,0) в правую часть, получаем приближенное равенство:
91
и(х,у) ~ м(О,О) + и'(О,О)-х + и'(О,О)-у.
Для заданных функций будем иметь:
а) (1 + х)ш(1 + у)п ~1 + тх + пу .
б) Используя формулу для приращения функции одной пере-
менной
Ди(х) = и' • Дх + а • Дх, где а —» О при Дх -> 0,
находим следующие приближенные равенства:
In (1 + х) = х, In (1 + у) ~ у.
Следовательно, In (1 + х) • In (1 + у) = х • у .
X + у
в) arctg -—— ~ х + у.
1 + хр
Пример 12. Заменяя приращение функции дифференциалом,
1.032
вычислить приближенно < _^= .
yO.98-Vl.O53
Решение. Введем в рассмотрение функцию и = /(х,у,г) =
х2
= —г== . Найдем df(l, 1,1), положив Дх = 0.03, Ду = -0.02,
ы?
Дг = 0.05. Имеем
Л'(1,1,1) =
2х
= 2;
(•) 0,1.1)
/;(1,1,1) = -|у’4/3х2Г1/4
(•) 0,1,0
2
з;
= _j_
(•) (1, 1. 1) 4
Следовательно, df(l, 1,1) = 2 • 0.03 + 4 • 0.02 - 4 • 0.05 = 0.054. Атогда
3 4
/(1.03, 0.98,1.05) = /(1,1,1) + df(l, 1,1) = 1 + 0.054 = 1.054.
92
Пример 13. Заменяя приращение функции дифференциалом,
вычислить приближенно 0.97105.
Решение. Введем в рассмотрение функцию fix,у) = ху. Име-
ем /(1,1) = 1. Положим Дх = -0.03, Ду = 0.05 .
O.97105 = /(0.97; 1.05) = /(1,1) + df(l, 1).
Найдем df (1,1) при Дх = -0.03, Ду = 0.05 . Имеем
/х(х,у) = уху-1 => /;(1,1) = 1; //(х,у) = ху 1пх =>
=> /;а,1) = о.
Поэтому df(l, 1) = -0.03. Следовательно,
0.97105 = 1 - 0.03 => 0.97105 « 0.97 .
гт „ тт * (дм? (ди}2 (ди}2 . Э2и
Пример 14. Пусть Д.м = — + — + — , Дэ« = —т +
\дх) {ду) дх1
d2U d2U 1
+ -г-т + VT • Найти Д1И и Д2м, если и = .... .....
дУ dz ylx2+y2+z2
Решение. Положим ^х1 + у2 +z2 = г Имеем
r_j_ <у2 f__L..y2 f_JL <у2
г2, дх) г2 ду) \ г2 dz)
dr _____X_________ X dr у
дх +у2 +z2 Г ду Г
dr Z „
Поэтому
д 1
Д1« = -4
г
( 1 2 2 Л 1
х у z I I
1- 1- ——• = — ’
2--------2-2 4 ’
Г2 Г2 Г2 J
93
Но
Э2(1/г) Э f9(1/^ Э f xV 1 Зх^_.
дх2 Эх Эх , Эх^ r3J г3 г5
Э2(1/г) Э ГЭ(1/г)Л Э Г у А 1 , 3>72
Эу2 ду I ду \ ду r3J г3 г5 ’
Э2(1/г) Э (Э(1/тУ
dz2 dz dz
Э ( Z _ 1 3z2
dz I r3) r3 r5
3 3 7 1 7 3 3
Следовательно, Дгм = —г + —г (x + У + z ) = —т + -у = 0.
г г г г
Пример 15. Пусть и = Их,— . Найти частные производные
I У)
первого и второго порядков.
X
Решение. Положим х = £, — = т] • Получим и = /(£,т|). Имеем
и'х = A'(tn) • + /л'(£,т1) Пх = 4'(tn) • 1 + А'(^П) ;
«; = f&, и) ч; + f№ П) % = А'(^ П) • 0+П) • - 4
\ У )
= («;);=[ A(^.Ti)+-/n(^n)|
\ У ) X
= ЩЫ + /&Ы. 1 + у =>
=> Предполагая, что /^(£>Т1) и AV^.Tl) непрерывны, а значит,
равны, получаем
2 1
^=(и'хУу =[/^,л) + -/п(^П)| =/й&П) -4
V У Уу \ У )
-4а&п)+
У
94
+-/^(^п)[-4>|=-4Ап^п)-Ла/^п)-4Ап^т1).
у V У ) У У У
и'^=(и'ууу= -4'А'(^п) =
к У Jy
= 4 • А'&п) - 4 n)f - 4^1 =
у у I у )
2х х^
Пример 16. Найти Ди = ^4 + -^4 + ~4 > если и = f(x + У +
Эх2 Эу2 Э?
+ z, х2 + у2 +z2).
Решение. Положим х+у+г=£, х2 + у2 + z2 = Л- Получим
« = /(£» Л) • Имеем
и; =и((^,л) + «;(^,л)л^ =^(^л) + 2хи;(^,л),
= (Ох = («£(£» Л) + 2хи'(£, л))* =
= “й & л) + & л) • 2х + 2и' (£, л) + 2хи (&, л) + 2xu"n (£, л) 2х =
= и«(£, Л) + 4хи£л (£, л) + 2и; (£, л) + 4х2и''л л).
Совершенно аналогично находятся и^, и и" .
и"у = и£(£, л) + 4уи^(^,л) + 2и'(£,л) + 4у2и;л(^ л),
“« = «к (£> П) + 4z«£i (^, л) + 2«; & л) + 4г 2<n (S, л).
Таким образом, получаем
Ди = Зи£ (£, л) + 4(х + у + г) и^, л) +
+ 4(х2 +у2 +г2)м^(^л) + 6м;(^л),
Д и = Зи£ (£, л) + 4£ и^ (^, л) + 4л (^, Л) + 6«^ (£, Л).
95
Пример 17. Пусть и
. Найти du и d2u .
х у
Решение. Положим — = Е, — = Л. Получим и = /(Е,т|) (£»Л —
У z
промежуточные аргументы; х, у, z — независимые переменные).
Имеем du = uxdx + uydy + uzdz , где
«i = «i ч;+«; n; =
41+ "n <£> П) -;
у J z
u'z = и^^ +и' Т]'г = -Ц(^П)-4-
z
Следовательно,
du = - u^ (£, т]) dx + (u' (^, n) • - - 4 uidy ~ ’l) 4 dz =
У \ z У ) z
n\ydx~xdy n\zdy~ydz
= (с,, n)-----2----+ "n (ь, n)---5---;
у z
d2u = d(du) = (du)'xdx + (du)'ydy + (du)'zdz .
Имеем +
У у у У z
(duyy= и^ы -4 +да>-ydx xdy
\ У J Z
, ,t J dx 2x , |
+ «fO —=- + —rdy +
l У У J
у2
x
, _. // /1 *.41 _ % , r. // /1 „\ 1 z dy у dz
I V J Z
-2---
z z ’
У )
{(1и)'г =
к z J
ydx-xdy t у zdy-ydz
----2 + “nn (ь» Л) “ — -$-
yl------------------------------I z J z
96
- (£. П) + «п & п) ^7 .
Z Z
j2 „/к к (ydx-xdy) , x(ydx-xdy) ,
Следовательно, d и = M£e(^,q) —----z——dx-------------;------dy
ss у* уц
. „// zt „X (zdy-ydz) , (ydx-xdy)
+ utn (s, П) -5---dx +-----=-----ay -
yz у z
x(zdy-ydz). y(ydx-xdy)
----Г2----dy-------T~2-dz +
у z у z
. (f- n\ (zdy-y dz> ж, y(zdy-y dz>
+ (s, П) • --5----dy--------------dz
L z z
. dxdy dxdy 2x., .2
-i/^.П)- + —jtdy)
У У У
„ч dzdy . dydz 2y /zJ_42
—2~ + —2 =>
L z z z J
. j2„ /e .^(ydx-xdy)2 , i-/z /e ^(zdy-ydz)2 ,
=> d u = u^,r\)-------------+ Mnn(£, П)---4----+
У
. zt „V (ydx-xdy)(zdy-ydz)
+ 2и5п(^,Т])--------2“5--------
У Z
, /t. .ydx-xdy , „ , ,e . zdy-у dz .
- 2u'K (£, n) --j—- dy - 2u\(£, n) z /— dz .
у z
Пример 18. Найти dnu , если и = f(ax + by + cz) •
Решение. Положим £ = ax + by + cz (— промежуточный ар-
гумент, x, у, z — независимые переменные). Видим, что проме-
жуточный аргумент выражается через независимые переменные
линейно. В этом случае, как мы знаем, дифференциал любого
порядка функции и = /(^) обладает свойством инвариантности
формы, т. е. записывается в том же виде, как если бы была
97
независимой переменной. Итак, имеем dnu = где
= adx + bdy + cdz , откуда dnu = f^ig)-(adx + bdy + cdz)n
Пример 19. Найти d"u , если и = /(£,T],0 , где £ = atx + bxy +
+ cxz , П = a2x + b2y + c2z , C = a3x + b3y + c3z.
Решение. Здесь £, т], £ — промежуточные аргументы; х, у, z —
независимые переменные. Видим, что промежуточные аргументы
выражаются через независимые переменные линейно. Следова-
тельно, обладает свойством инвариантности формы,
т. е. выражается через промежуточные аргументы £, Г|, £ так же,
как если бы £, п, С были независимыми переменными.
Итак, имеем
dnu(M)= + + /&П.0,
ас, от] at, )
где d^ = axdx + bxdy + cxdz , dr\ = a2dx + b2dy + c2dz , dt, = a3dx +
+ b3dy + c3dz. Таким образом, получаем
э э
</"и(£,т],0 = (axdx + bxdy + c\dz)-^ + (a2dx + b2dy + ^dz)-^ +
Э T
+ (a3dx + b3dy + c3dz)—
, I , Э L , Э | ,
Э Э Э
Iе’аё+с*э^+с’acJJ №n’0
Пример 20. Доказать, что если функция и = и (х,у) удовлетво-
п д2и д2и п .
ряет уравнению Лапласа —г- + —т- = 0, то функция
дх ду
( X у
v = и \ —z-у, ----=- также удовлетворяет уравнению Лапласа
+у х+у )
д2у д2у _
дх2 ду2
98
х у
Ь Решение. Положим £ = —х-----=-, я = —5---у. Тогда
х2+у2 х2+у2
v = м(£,я) • Имеем
Эу _ Эм Э^ ди Эя. Эу Эм Э^ ди Эя
Эх Э£ дх+ Эя Эх ’ ду Э£ ду Эт) ду ’
d2v _д2и(дЕ,'\2 д2и Э£
Эх2 Э£2<Эх]+Э£Эя Эх Эх +
Э2м Э£ Эд д2и f ЭяV ди Э2£ ди Э2я
+ ЭяЭ£ Эх Эх + Эя2 I ЭхJ + Э£ Эх2 + Эя Эх2 ’
Э2у Э2ир£]2 _Э^_.Э|.Эд д2“ Эя
ду2 Э£2 кЭу; + Э£Эя ду ду + ЭяЭ£ ду ду +
д2и (Эя)2 Эм Э2£ Эм Э2я
ЭяЧЭу] Э£ Эу2 Эя Эу2
Следовательно,
Э2У Э2У _ э2мкэп2 ГЭ£]2] Э2м ГЭ£ Эя Э£ Эя]
Эх2 Эу2 Э£2 к Эх] ^Эу] Э£Эя|_Эх Эх ду Эу]
Эм ( Э2£ Э2£]
Э£ чЭх2 Эу2)
ди Э2я Э2я^
Эя ^Эх2 ду2;
Имеем, далее,
Э£_ У2-х2 Э£_ 2ху Ж|2+И2=_1________
Эх (х2+у2)2 ’ Эу (х2+у2)2 \.Эх] ^Эу] х2+у2’
Э2£ 2х(х2-3у2) Э2£ 2х(3у2-х2) Э2£ Э2£ _
Эх2= (х2+у2)3 ’ Эу2" (х2+у2)3 Эх2+Эу2“ ’
Эя _ 2ху Эя х2-у2 Г Эя]2 (Эя]2 _ 1
Эх (х2+у2)2 ’ Эу (х2+у2)2 кЭх] ^Эу] х2+у2 ’
99
д2П = 2y(3x2 -у1) Э2п 2y(y2 -Зх2) Э2ц . Э2Т] -.
Эх2 (x2+y2)3 ’ Эу2 (x2+y2)3 Эх2 Эу2
. Эд Э| Эп = у2-х2 (~2лу) (~2лу) х2-у2 =
Эх Эх Эу Эу (х2 + у2)2 (х2 +у2)2 (х2 +у2)2 (х2 +у2)2
Но тогда соотношение (*) принимает вид
Э2у Э2у 1 ГЭ2ц Э2и^ Э2у Э2у _»
Эх2 Эу2 х2+у2^Э£2 Эт,2> Эх2 Эу2
Пример 21. Упростить выражение sec х • —- + sec у —, если
Эх Эу
Z = sin у + /(sin х - sin у),
где /— дифференцируемая функция.
Решение. Положим £ = sin х - sin у. Тогда z = sin у + /(£).
Имеем
В = Л'© | = /да cosx;
|| = cosy + • Ц = cosy - Д'(О • cosy.
А тогда
sec х • + sec у = —-— //(£) cosx + —-— cosy (1 - //(£)) = 1 •
Эх Эу cosx 6 cosy
Пример 22. Показать, что функция z = хл/ -Л- , где /—
\х2 )
произвольная дифференцируемая функция, удовлетворяет урав-
Эг - Эг
нению х — + 2у — = nz .
дх ду
Решение. Положим . Тогда z = xnf(t,). Имеем
х2
g . дх-/©+х’/до[ - Kl; g - х’/дар-.
100
Следовательно,
+ 2у § = " ^xnf№ + = «*VG) = nz.
Пример 23. Показать, что функция Z = yf(x2-у2), где/—
произвольная дифференцируемая функция, удовлетворяет урав-
нению
2 dz dz
У -^- + xy— = xz.
dx dy
Решение. Положим £ = x2 - у2. Тогда z = у f(£) Имеем
= У • Д(О • 2х, = /£) + у Д(О • (~2у).
Следовательно,
У2 + ху = 2лу 3Д(О + ху/(£) - 2ху3Д(О = xyf (£) = xz .
тт w du du du
Пример 24. Упростить выражение — + — + — , если
Эх ду dz
u = ^2~^-(y + z) + ^x2yz + f(y-x,z-x).
Решение. Положим = у - х, т) = z-x. Тогда
и = - ^-(У + z) + ^x2yz + f(k, П) •
12 О 2
Имеем
= у ~^2<У + z) + xyz - Д(£,П) - /Л'(£,П);
du x3 x2z rut \ du x3 x2y
Ту—T + — + /^’T’); a?--T + ¥
du du du
^- + ч- + Ч- = лУ2.
Эх dy dz
101
Пример 25. Пусть х2 = vw, у2 = uw, z2 = uv и f(x,y,z) =
= F(u, v, w). Доказать, что xf* + yf' + zf{ = uF' + vF' + wF^.
Решение. По условию, x = (vw)1/2, у = (ww)1/2, z = (uv)^2;
F(u,v,w) = /((vw)1/2,(«w)1/2,(wv)1/2J. Имеем
г/ e> n w Г/ v
""Л /r2(«w)1/2+/z’W2 ;
F; ’ 2(vw)>/2 + ° + fz ’ 2(«v)*/2 ;
F' = fx------~Гп + fv--------—~iiT + fz • 0 •
w x 2(vw)1/2 y 2(uw)l/2 z
Умножая первое из этих равенств на и, второе на v, третье на w и
складывая получаемые результаты, находим
г/ р/ Р, f, («w)1/2 f, (wv)1/2 f, (vw)1/2 (uv)l/2
uf; + vf; + wf; = /; 2Z + f' + /; +
+ fx ^2 + ^2 = ‘ + ’ <ww)1/2 + fz • <"v)1/2 =
= Vx +yfy+zfz-
Пример 26. Предполагая, что произвольная функция <р диф-
ференцируемая, проверить равенство х2 — -ху — + у2 = 0, если
дх ду
у2
z = + Ф(ХУ)-
у2
Решение. Положим = ху. Тогда z = + <р (О • Имеем
dz 1 у2 , /еч dz 2 у , /t.
3- = -7-£т + Ф<(0'У з- = 7'- + <Н(©-х.
дх 3 х2 ду 3 х *
Следовательно,
л2|^-ху~ + у2 =-|у2 +х2у<^(%)-1у2 -x2y<p£(£) + y2 =0.
иу J J
102
Пример 27. Предполагая, что произвольная функция Ф диф-
, ди ди о ди
ференцируемая, проверить равенство х — + ay — + Bz — = пи ,
дх ду dz
п У z
если и = хлф —, -у
У Z
Решение. Положим £ = , т] = —д . Тогда и = хяф(£,т]). Имеем
х хр
|^ = «x"-1<p(^T]) + x" <р£(£,т])Г-а •
дх I
xa+l j +<Рп<^Т1)[ Р’хР+1
^ = хяф£(£,т])-^; |^ = хяф'(£.т1)4- .
ду ха dz 1 хр
Следовательно,
xT~ + ayT~ + $z^ = " аух"-аф£ (£, П) - Р^Ч & П) +
дх ду dz
+ аухл’“ф£(£,т]) + ргх"’₽ф'п(^т1) = п) = пи.
Пример 28. Предполагая, что произвольные функции ф и V
, д2и 2 д2и
дважды дифференцируемы, проверить равенство = а >
если и = ф (х - at) + у(х + at).
Решение. Положим = х-at, i] = х +at. Тогда и = ф(О + ф(г|).
Имеем
|^ = ф£(О(-<0 + Ч';|(т1)д; ^у = Ф^(^)й2 +Ф''г(т1)й2;
= ф£(О + Фп (п); = Фи (О + чС (п).
дх ъ дх 5 л
Следовательно, = а21ф"2 (^) + ф'
dt I ’
« / \1 92« 2 д2и
+ Фп2 (и) . Видим, что -гт ~ а тт.
л •* дг дх1-
2 Э21/ 2
и а—т = о
Эх2
103
Пример 29. Предполагая, что произвольные функции Ф
и V —дважды дифференцируемы, проверить равенство
2 Э2и - Э2и 2 Э2М п f уУ (у}
х —у + 2ху—— + у —г = 0, если и = ф — +*Ф — •
Эх2 ЭхЭу Эу ^xj {xj
Решение. Положим £ = — . Тогда и = ф (£) + ху(£). Имеем
{- + v(O+р-);
т; = = ф£©7 + ;
(zу Л «Л Л
л2 2 / \ 2
Аг = ф£ + 2 4ф^) + - А + Ю А + =
ил Л Л \ Л / Л Л
= Фе (^) 7-+2 р- ф^>+^е ® р-;
’ ’V ©(- Й - ’I® 7 + I - <' ® i 4^® =
Й=ф^ю4+»ё©|.
ду х х
Следовательно,
2 Э2« э д2и
х ---Г + 2хи т-т—
Эх2 ЭхЭу
-\2 2 2
+ /^ = «Pf©^ + 2i<Pi© + Ve©^-
2 2 2 2
- 2 ф£ (О А - 2 ф^ (^) ^ - 2 ф"2 (О + ф"2 (О А + We (О — = 0 •
X X X х х
Пример 30. Предполагая, что произвольные функции Ф и
V — дважды дифференцируемы, проверить равенство
ди
дх
д2и ди
дхду дх
»\ 2
—4, если и = ф[х + ф(у)].
Эх
104
Решение. Положим £ = х + ф(у). Тогда и = ф (£). Имеем
^ = <Р^); % =
л2_ -\2_
Н- = Фи(^); ^ = 4>№ v'y(y).
дх2 ’ дхду * 7
Следовательно,
• у#- = ф£ (£) • ф£ (£) • Фу О’).
Эх дхду * у
^У=ф52(^’^(у)
ди д2и _ ди д2и
дх дхду ду Эх2
Пример 31. Путем последовательного дифференцирования ис-
ключить произвольную функцию Ф из соотношения z = х + ф (ху).
Решение. Положим £ = ху . Тогда z = х + ф (О. Имеем
Я
= 1 + ф£(£) у , •^• = ф^(^) х. Умножив первое из этих двух
соотношений на х, а второе — на (-у), а затем сложив получен-
ные результаты, находим:
dz dz
х^--уз~ = х-
Эх ду
Пример 32. Путем последовательного дифференцирования
исключить произвольную функцию Ф из соотношения
£ = Ф^Тх2 + y2J.
Решение. Положим £ = ^х2 +у2 . Тогда z = Ф (О . Имеем
Эг , /еч х dz , ,еч У
V = Ф£<£) / , ,; 3“= г-Т—^ =*
&х ,/х2 + V2 &У dx2 + V2
dz , /еч ху
dz dz dz dz n
Следовательно, у— = x —-=> у -— x — = 0.
Эх ду дх ду
105
Пример 33. Путем последовательного дифференцирования ис-
[ х V I
ключить произвольную функцию Ф из соотношения и = ф —, — .
ZJ
х у
Решение. Положим Е = —, п = —. Тогда и = ф (Е, и). Имеем
У Z
= ф£(£, П) -; = ф£(£, n)f- + ~»
дх s у ду 4 у1) 1 Z
откуда
Эи х ди х ,ч у , . ди у ,.
Следовательно,
Эи Эи Эи _
^ч- + УЧ“ + гт- = 0.
дх ду dz
Пример 34. Путем последовательного дифференцирования
исключить произвольные функции Ф и V из соотношения
г = ф(х)ж(у).
Решение. Имеем = (р'х (х) • v(y); = ф (х) • у' (у);
ох ду у
d^Z
Z vv = ф^(х) • фС(у) • ф (х) • ф(у);
дхду у
= Ф^(*) • Уу(у) • Ф (*) • ф(?) •
ох оу
d2z dz dz
Следовательно, Z -г-т- = — • -г- .
дхду дх ду
Пример 35. Путем последовательного дифференцирования ис-
ключить произвольные функции Ф и V из соотношения
( X А I X I
Z = Хф — +у V -
lyj \у)’
106
X
Решение. Положим — = £. Тогда z = х <р (£) + ри(О • Имеем
= <Р(О + + У = <Р(£) + у Ф$(£) + ф£(0 ;
= *ф'^)[ - + v(0+у ф£(о(- = ф(0 - у
откуда
х|^ = Хф(^) + — ф£(£)+ху^); у|^=Уф(О- — ф£(£)-Хф£(О.
ох у оу у
Следовательно,
dz dz /t4 /еч dz dz
X— + У— = xxp(O + J4'(£) <=> Л—+ y— = Z.
dx dy dx dy
Глава 3
ТЕОРИЯ НЕЯВНЫХ ФУНКЦИЙ.
ЗАВИСИМОСТЬ И НЕЗАВИСИМОСТЬ ФУНКЦИЙ
В математике и ее приложениях часто приходится иметь дело
со следующими случаями:
1) Переменная у, являющаяся по смыслу задачи функцией
переменных хх, х2, ..., хп, определяется соотношением вида
F(x1,x2,...,x„,y) = 0. (1)
2) Переменные у1г у2, ...» у„, являющиеся по смыслу задачи
функциями переменных X], х2, ..., х„, определяются системой вида
Fx(xx,x2, ..., хп,ух,у2,..., ут) = О,
Г2(Х1,х2,..., x„,yby2)..., ут) = О,
'........................................ (2)
Fm(xx,x2,..., хя>уьу2>..., ут) = 0.
При этом возникают следующие вопросы:
1) При каких условиях уравнение (1) однозначно разрешимо
относительно переменной у (т. е. при каких условиях уравнение
(1) определяет у как функцию аргументов хь х2, ..., х„) и при
каких условиях эта функция будет непрерывной, дифференциру-
емой и т. д.?
2) При каких условиях система уравнений (2) однозначно
разрешима относительно переменных ух, у2, ..., ут (т. е. опре-
деляет ух, у2, ..., ут как функции аргументов х1э х2, ..., х„) и
при каких условиях эти функции будут непрерывными, диффе-
ренцируемыми и т. д.?
108
§1. Теоремы существования неявных функций
Теорема 1 (об однозначной разрешимости уравнения вида
F(x,y) = 0). Пусть:
1) Функция F(x,y) определена и непрерывна в прямоугольнике
(Р) =
х0 - А< х < х0 + А,
у0-В<у<у0+В
и имеет там непрерывные частные производные F'(x,y), F'(x,y);
2) F(xo,yo) = O;
3) F'(x0,y0) *0.
Тогда существуют числа аий(0<а<Л, 0< Ь< В), такие, что:
а) Каждому х из промежутка [х0 - а, х0 + а] отвечает одно и
только одно значение у из промежутка [у0 - Ь, у0 + Z>] так, что
Р(х,у) = 0 (т. е. у = /(х), х е [х0 - а, х0 + а], причем Р(х,/(х)) = 0,
хе[х0 -а,х0 + а]);
Р) f(x0) = y0;
у) f(x) е С([х0 - а, х0 + а]) (т. е. f (х) непрерывна в проме-
жутке [х0 - а, х0 + а]);
5) В каждой точке промежутка [х0 - а, х0 + а] существует
производная f'(x), причем f'(x) е С([х0 - а, х0 + а]).
► По условию F'(x0,y0) * 0. Пусть, для определенности,
Fy(.x0,y0) > 0. У нас F'(x,y) — непрерывна в (Р)=> F'(x,y) —
непрерывна в точке (х0,у0). Следовательно, по теореме о ста-
бильности знака, существуют числа А' и 6 (0 < А' < А, 0 < Ь< В)
такие, что будет: Fy(x,y) > 0 в прямоугольнике
(Р') =
х0 - А' < х < х0 + А',
у0 - b < у < у0 + Ь.
Отметим, что в случае надобности число b можно уменьшить.
Тогда размеры прямоугольника (Р') уменьшатся, но свойство,
что в этом прямоугольнике F' (х,у) > 0, сохранится.
109
Рис. 3.1
Возьмем любое х из промежутка [х0 - А', х0 + А'] и закрепим.
Обозначим его через х. Рассмотрим функцию F(x,y). Это есть
функция одного аргумента у, определенная и непрерывная в
промежутке [у0 - Ь, у0 + 6]. Так как F'(x,y) > 0 в каждой точке
прямоугольника (Р'), то, в частности, F'(x,y) > 0 для любого у
из промежутка [у0 - Ь, у0 + Ь]. Из этого следует, что функция
F(x,y) строго возрастает в промежутке [у0 - Ь, у0 + Z>]. В частно-
сти, это так при х = х0. Значит, функция F(x0,y) — строго
возрастающая в промежутке [у0 - Ь, у0 + д]. Но при у = у0 значе-
ние этой функции равно нулю (ибо, по условию, Р(хй,уй) = 0).
Следовательно, F(x0, yQ - b) < 0, a F(x0, у0 + b) > 0.
Рассмотрим функцию F(x,y^ - b), х е [х0 - А', х0 + А']. Это
есть функция одного переменного х. Она определена и непрерыв-
на в промежутке [х0 - А', х0 + А']. В частности, она непрерывна
при х = х0. Так как F(x0,y0 - Ь) < 0, то по теореме о стабильно-
сти знака существует число а’ (0<а'<А'), такое, что
F(x,y0 - b) < 0 для любого х из промежутка [х0 - а', х0 + а'].
(Отметим, что число а' зависит от выбора числа Ь.)
Рассмотрим теперь функцию F(x, у0 + Ь), х е [х0 - А', х0 + А'].
Она, как функция одного аргумента х, определена и непрерывна в
ПО
промежутке [х0 - А', х0 + А']. В частности, непрерывна при х = х0.
Так как F(x0,y0 + b) > 0, то, по теореме о стабильности знака,
существует число а" (0 < а" < А') такое, что F{x,yQ + b) > 0 для
любого х из промежутка [х0 - а", х0 + а"]. (Отметим, что число а"
зависит от выбора числа Ь.)
Положим а = min {а',а"}. (Ясно, что а зависит от Ь). Тогда
для каждого х из промежутка [х0 - а, х0 + а] будем иметь одно-
временно: F(x,y0 - b) < 0, Г(х,у0 + Ь) > 0. Покажем теперь, что
найденные числа а и b — требуемые.
а) Возьмем любое х в промежутке [х0 - а, х0 + а] и закрепим.
Обозначим - его через х. Рассмотрим функцию F(x,y),
у е [у0 ~ Ь, у0 + • Это есть функция одной переменной у, опре-
деленная и непрерывная в промежутке [у0 - Ь, у0 + Z>] и такая, что
Г(х,у0 - Ь) < 0; Г(х,у0 + Ь) > 0. Но тогда, по теореме Коши,
в промежутке [у0 - Ь, у0 + 6] обязательно найдется хотя бы одна
точка у такая, что f(x,y) = 0. В силу строгой монотонности
функции F(x,y) такая точка у в промежутке [у0 - Ь, у0 + Z>]
будет единственной.
Итак, взяв любое х из промежутка [х0 - а, х0 + а], мы показа-
ли, что ему в промежутке [у0 - Ь, у0 + Z>] отвечает одно и только
одно значение у такое, что Г(х,у) = 0.
Следовательно, у = f (х), х е [х0 - а, х0 + а], причем F(x,/(x)) = О,
х е [х0 - а, х0 + а]. Таким образом, пункт а) доказан.
Р) Если в качестве х взять точку х0, то придем к выводу, что
в промежутке [у0 - Ь, у0 + Z>] имеется одно и только одно значе-
ние у такое, что F(x0,y) = 0. Но у нас, по условию, F(x0 ,у0) = 0.
Значит, тем единственным у в [у0 - Ь, у0 + Z>] будет как раз у0.
Таким образом, получили /(х0) = у0 и, следовательно, доказан
пункт Р).
111
у) Убедимся, что функция /(х) непрерывна в промежутке
[х0 - а, х0 + а]. Возьмем любое х из [х0 - а, х0 + а] и закрепим.
Обозначим его через х,. Пусть х — любое другое из [х0 - а, х0 + а].
Ясно, что /(х.) е [у0 - Ь, у0 + Z>] и /(х) е [у0 -Ь,у0+Ь]. А тогда
|х - х.| < 2а и |/(х) - /(х.)| < 2Ь.
Мы отмечали, что число b можно произвольным образом умень-
шать; значит, можно взять b > 0 и любым сколь угодно малым.
Было отмечено также, что число а зависит от выбора Ь. Получили,
таким образом: любому е = 2Ь > 0 отвечает 8 = 2а > 0, такое, что
как только |х-х,|<8, так сейчас же |/(х)-/(х,)|<е. А это
означает, что f (х) непрерывна в точке х,. Так как точка х, —
любая из промежутка [х0 - а, х0 + а], то fix) е С([х0 - а, х0 + а]).
Следовательно, пункт у) доказан.
8) Докажем пункт 8). Берем любое х из промежутка
[х0 - а, х0 + а] и закрепляем его. Дадим этому х приращение
Дх — любое, но такое, что Дх * 0 и точка х + Дх е [х0 - а, х0 + а].
Тогда
f(x) = у e[y0-b,y0 + Z>], f(x + Дх) = у + Ду е [у0 - Ъ, у0 + 6],
причем F(х,у) = 0 и Г(х + Дх, у + Ду) = 0 и, следовательно,
F(x + Дх, у + Ду) - F(x,y) = 0.
Если к левой части полученного равенства применить формулу для
полного приращения функции, то это равенство примет вид:
F^(x,y)Ax + F'(x,y)Ay + аДх + рду = 0, где а,₽----->0. (1)
Л р—>0
У нас /(х) е С([х0 - а, х0 + а]). А тогда Ду -» 0, если Дх —> 0.
Значит, р = -У(Дх)2 + (Ду)2 -> 0, если Дх —> 0, и, следовательно,
а,р -» 0, если Дх -> 0.
Из соотношения (1) находим
Ду F'(x,y) + а
Дх Гу'(х,у) + р’
112
Ду F'(x,y)
Отсюда видно, что —----------> - -----.
Дх Дх->0 /у(х,у)
у’ = /Л(х), причем
Значит, существует
(2)
Заметим, что 7\'(х,/(х)) и F'(x,f(x)) — непрерывны в промежут-
ке [х0 - а, х0 + а] как суперпозиции непрерывных функций и что
F'(х, f (х)) # 0 для х е [х0 - а, х0 + а]. А тогда из (2) следует, что
f\x) непрерывна в [х0 - а, х0 +л] как отношение двух непрерыв-
ных функций со знаменателем, не обращающимся в нуль. Пункт
5), следовательно, доказан.
Замечание. Если к условиям теоремы 1 добавить требование
существования и непрерывности частных производных второго по-
рядка F£(x,y), F£(x,y), F''y(x,y), то можно гарантировать суще-
ствование и непрерывность /"(х) в промежутке [х0 - а, х0 + а].
Действительно, у правой части равенства (2) в промежутке
[х0 - а, х0 + а] существует производная, вычисляемая по формуле
- ; 1 4l2 fc(x,/(*)) + F" (х, /(х))/'(х)] [Г;(х, /(х))] -
[Г;(х,/(х))]
- [Л' (х> /(*))] • (х> /(*)) + Лу (*» /<*))/'(*)]} •
Эта формула дает выражение для f"(x) и одновременно показы-
вает непрерывность /"(х) в [х0 - а, х0 + а].
Аналогично показывается, что существование в (Р) у функ-
ции F(x,y) непрерывных частных производных третьего порядка
обеспечивает существование и непрерывность в [х0 - а, х0 + а]
f"'(x) и т. д.
Теорема Г (об однозначной разрешимости уравнения
Р(х1,х2,...,х„,у) = 0).
Пусть: 1) Функция Р(х1,х2,..., х„,у) определена и непре-
рывна в параллелепипеде
113
х10 - Al <Xi <x10 +Alt
xn0 — An 5 xn < хло + An,
y0-B<y<y0+B
и имеет там непрерывные частные производные F', F', F',F'-t
2) F(xiQ,x2Q,...,xnQ,yQ) = 0;
3) F;(x1o,x2o>...>x„o,Jo)*O-
Тогда существуют числа fli, а2, ап, b (Ос^ ^А2,
0< а„ < Ап, 0< b < В), такие, что:
а) Каждой точке (хьх2,..., хл) из параллелепипеда
(Д) = -
Хю -at <Xj <х10 +й|,
хп0 — хп — хп0 *"
отвечает одно и только одно значение у из промежутка [у0 - Ь, у0 + Д]
так, что F(xltx2, ..., х„,у) = 0 (т. е. у = /(хьх2,... ,хл), причем
F(x|,x2,..., хл;/(х1,х2,..., хл)) = 0
в параллелепипеде (Д)).
Р) Л*10>*20.- ->*Л0) = Уо-
Y) /(х1,х2,...,хл)еС((Д)).
5) В каждой точке (хх,х2,..., хл) е (Д) существуют непрерыв-
ные fxx, fxV • ••, fxn f причем
F' F' F'
f' =-_2L f'_________ /•/ _
j Xi p, > Jx2 p, > •••» Jx„ p, .
У У У
(Принимаем без доказательства; оно аналогично доказательству
теоремы 1.)
Теорема 2 (об однозначной разрешимости системы
\F(x,y,z) = 0,
|С(х,у,г) = 0)'
114
Пусть: 1) Функции F(x,y,z) и G(x,y,z) определены и непре-
рывны в параллелепипеде
(Р) =
х0- А < х < х0 + А,
у0 - В < у < у0 + В,
Zq-C<Z^Z0+C
и имеют там непрерывные частные производные F'} F', F', G'x,
2) F(x0,y0>^0) = 0 и <?(x0,y0,z0) = 0;
3) /(хо>Уо^о) =
Ру
G'y
Pz
G'z
#0.
Тогда существуют числа а, b, с (0 < а < А , 0< Ь< В, 0<с<С)
такие, что:
а) Каждому х из 'промежутка [х0 - а, х0 + а] отвечает одна
Гуо - Ь < у < уо + Ь,
и только одна точка (у,^) из прямоугольника i
- с - Z - Zq + С,
такая, что
F(x,y,z) = 0,
G(x,y,z) = 0
(т. е. у = ф(х), z = ф(х), хе[х0 ~а,х0 +а],
причем
Г(х,ф(х),у(х)) = 0,
<7(х,ф(х),1и(х))з0,
х е [х0 - а, х0 + а].
Р) ф(*о) = Уо> ф(х0) = г0.
у) ф (х) е С([х0 - а, х0 + а]), у(х) е С([х0 - а, х0 + а]).
8) В каждой точке х е [х0 - а, х0 + а] существуют непрерыв-
ные ф'(х), фЧх) •
По условию J(xo,yo,Zo) =
Р;
G'y
" z
G'
г WCwo.co)
* 0. Но тогда в
точке (x0,y0,z0) отлична от нуля хотя бы одна из частных произ-
115
водных Fz, G'z. Пусть, для определенности, Gz(x0,y0,Zo) # 0. Тог-
да выполнены условия:
1') Функция G(x,y,z) определена и непрерывна в
(Р) =
x0 - А < х < х0 + А,
у0 - В < у < у о + В, и имеет в (Р) непрерывные Gx, G'y, Gz\
z0-C<z<z0+C
2') G(x0,y0,z0) = 0;
3') (?'(х0.Уо.2о)*0.
Видим, что выполнены условия теоремы 1' об однозначной
разрешимости уравнения G(x,y,z) = 0. Поэтому существуют чис-
ла А', В', с (0 < А’ < А , 0 < В' < В, 0 < с < С), такие, что:
а') Каждой точке (х,у) из прямоугольника
(Д) =
х0 - А' < х < х0 + А',
п> о/ отвечает одно и только одно значение
у0 - В’ < у < у0 + В'
Z ИЗ [z0 - с, Zo + с], такое, что G(x,y,z) = 0 (т. е. z = 0(х,у) в (Д),
причем (7(х,у,0(х,у)) s 0 в (Д));
₽') 0(хо,Уо) = О;
у') 0(х,у) е С((Д));
3') В каждой точке (х,у) е (Д) существуют непрерывные 0*,
(7Z Ст
Q'y , причем 0i(x,y) = --777, = •
Gz
Пусть точка (х,у) е (Д). Тогда 0 (х,у) е [zo - с, Zq+с]. Значит,
и подавно точка (х,у,0(х,у))е (Р), и потому в (д) имеет смысл
суперпозиция F(x,y,0(x,y)). Положим Я(х,у) = F(x,y,0(x,y)).
Отметим, что Н(х,у) — непрерывная функция в (д), как супер-
позиция непрерывных функций, и что у нее в (д) существуют
непрерывные частные производные Н'х и Н'у, вычисляемые по
формулам:
116
C G'
Н' = F' + F' • 0' = F' - F' • — H' = F' + F' • 0' = F' - F' • —
11 X 1 X T 1 Z * x 1 z pt * 11 у 1 у 1 Z У у Z pt •
uz uz
□ IT’ Fy ’GZ~ FZ Gy J D
Заметим, что H’ = —-— —— = —. В
Gz Gz
частности,
ff'y<x0,y0) =
J(x0,y0,z0) * Q
G'z(x0,y0,z0)
Таким образом, выполнены условия:
1") Функция Н(х,у) определена и непрерывна в прямоуголь-
нике
(А) =
х0 - А’ < х < х0 + А',
у0 - В' < у < у0 + В’
и имеет там непрерывные Н'х и Н'у\
2") Я(хо,уо) = О (ибо Я(х0,у0) = F(xo,yo,0(xo,yo)) =
= Л*о,Уо,го) = °);
3") Я;(хоуо) не-
видим, что функция Н(х,у) удовлетворяет условиям теоремы 1.
Поэтому найдутся числа а и b (0 < а < А’, 0 < b < В'), такие, что:
а") Каждому х из [х0 - а, х0 + а] отвечает одно и только одно
значение у из [у0 - Ь, у0 + />], такое, что Н(х,у) = 0 (т. е. у = <р (х),
х е [х0 - а, х0 + а], причем Я(х,ф(х)) в 0, х е [х0 - а, х0 + а]);
Р") <Р(*о) = Уо;
у ") Ф (х) е С([х0 - а, х0 + а]);
5") В каждой точке промежутка [х0 - а, х0 + а] существует
непрерывная производная ф'(х).
Покажем, что числа а, b и с — требуемые.
а) Пусть х е [х0 - а, х0 + а]. Тогда по а") существует
у = ф (х) е [у0 - Ь, у0 + 6], такое, что Н(х,у) = 0, т. е.
F(x,ф(х),0(х,ф(х))) = 0, причем 0(х,ф(х))е[z0 -c,Zq + с]. По-
117
ложим 0 (х, ф (х)) = у(х), и пусть г = ж(х). Тогда F(x,y,z) = 0.
Кроме того, G(x,y,z) = <7(х,у,0(х,у)) = 0 (по а')). Итак, точка
(х,у,г) такова, что F(x,y,z} = 0, G(x,y,z) - 0.
Таким образом, мы убедились, что любому х из промежутка
г , [Уо - b < у < Уо + Ь,
[х0 - а, х0 + а] в прямоугольнике •! отвечает
[Zq-c<z^Zq+c
(F(x,y,z) = 0,
точка (у, г) > удовлетворяющая системе у z) 0
Покажем, что эта точка единственная. Допустим, что при
х 6 [х0 - а, х0 + а] нашлась точка (у, г) е
Уо - b < у < уо + Ь,
Для
z0 - с < Z < Zq + с,
„ /Лх,у,г) = 0,
которой I,______ч л Так как точка (х,у)е
\G(x,y,z) = 0.
х0 - а < х < х0 + а,
Уо - b < у < уо + Ь,
х0 - а < х < х0 + а, — п.__________
с (Д), то 0(х,у) есть то единственное z
yQ-b<y <y0 + b
из [zq - с, Zq + с], для которого G(x,y,z) = 0 • Поэтому z = 0(х,у)
и потому F(x,y,0(x,y)) = 0, т. е. Н(х,у) = 0. Отсюда ясно, что
у = Ф (х) (это то единственное значение у из [у0 - Ь, у0 + 6], для
которого Н(х,у) = 0). А тогда z = 0 (х,ф (х)) = у(х). Таким обра-
зом, пункт а) доказан полностью.
р) По условию, /’(хо,Уо,го) = 0 и <?(xo,yo,Zo) = 0. Так как
точка (ф(х0), ф(х0)) есть та единственная точка (y,z) из
y0-b<y<yQ+b, [F(x0,y,z) = 0,
[zv-cszsz^c, котаР°й 1<?(х0,у,г) = 0, то
z0 = v(xo) • Следовательно, пункт Р) доказан.
у) ф (х) е С([х0 - а, х0 + а]) по у"); у(х) е С([х0 - а, х0 + а])
как суперпозиция непрерывных функций (v(x) = 0(х,ф(х))).
5) Утверждение 5) теоремы верно потому, что ф'(х) существу-
ет и непрерывна в промежутке [х0 - а, х0 + а] по 8"), а существо-
118
вание и непрерывность у'(х) в промежутке [х0 - а, х0 + а] следует
из формулы у(х) = 0(х,ф(х)) и существования непрерывных в'х,
о; и <р'(*) (Ф/(х)=б;(х,ф(х))+е'(х,ф(х))ф/(х)).
Теорема 2 доказана полностью.
Теорема 2* (об однозначной разрешимости системы
Г2(Х1,...,хл>У1,...,ут) = 0)
. Fm(xx,..., хп,ух,..., ут) = 0.
Пусть:
1) Функции Fx(xx,x2,..., хп,ух,у2,..., ут), .... Fm(xx,x2,...,
хп>У1>У2> > Ут) определены и непрерывны в параллелепипеде
' х|0-Д <х10 + Д,
(Р) Х"а ~ А" - Х" - Х"° + Л"’
У.о-Д <У1 <Ую+Д,
.УтО ~Вт<Ут< Ут0 + Вт
3F. 7—
и имеют там непрерывные частные производные —- (i = 1,«,
— 3F: — —
к = \,п), = J =
Fi(x10,x20, ..., x„0,yXQ,y20,..., ym0) = 0,
2) ......................................
Fm(Хю,x2o> - . xn0,yl0,y20,..., ym0) = 0;
3) /(x10,*20> - . *Л0>Ую.У20. - , Уто) =
d/j Э/j dfj
dyi dF2 ду2 dF2 дУт dF2
= Эу1 ду2 дУт *0
dFm dFm ‘ " dFm
Эу1 Эу2 ^Ут (•)(xI0,. Ую,- •• ,*л0, • , УшО)
119
Тогда существуют числа а1( а2, .... ап,Ьх, Ь2, ...» Ьт (0 < at <Alf
.... 0<а„ < А„, 0< < Bi, О < Ьт < Вт), такие, что:
а) Каждой точке (хьх2,..., хп) из параллелепипеда
х10 -Д1 <Х1 <*10 +О1,
(д)= ^2°-«2 — *2 <х2й+а2,
.^-an<xn<xn(i+an
отвечает одна и только одна точка (yi, у 2,..., у т) из параллелепипеда
Ую -bi <yi <ую +/>ь
Уго “ ^2 - У 2 - У го + Ьг,
. УтО bm < ут < ymQ + Ьт,
такая, что
Л(*Ь*2» ••• , Хп,У1,У2, ••• , Ут) = 0.
Г2(Х1,Х2,..., х„,У1,у2,..., ут) = О,
Гт(хьх2,..., х„,У1,у2,..., ут) = 0,
т. е.
У1 =<Pi(xi,x2,...,x„),
У2 =<₽2(*1>*2>--,Х„), D .
в (А) ,
Ут =4>m<Xi,X2,...,X„)
Ф1(*10>*20>- . Хп0) = Ую,
₽) <?2(хю,х20,...,х„0) = у20, ^т<Хю,Х20,...,Хп0) = ут0.
у) Ф1 >Фг> •••»Фт еС(Д).
8) _ 8ф/ В каждой точке (д) существуют непрерывные
(i = 1,/и, к = 1,и).
(Принимаем без доказательства; в случае, когда т = 2, п = 1,
теорема доказана (см. теорему 2).)
120
Замечание. Теоремы 1, 1', 2, 2' имеют локальный характер.
Их выводы справедливы, вообще говоря, лишь применительно
к некоторой окрестности рассматриваемой точки; при выходе за
пределы такой окрестности соответствующая неявная функция
может перестать быть однозначной.
§2. Зависимость и независимость функций
Определение. Пусть в открытом параллелепипеде (Р)
((Р) cR") заданы т функций от п аргументов:
У1 =fi(xi,x2,...,x„),
У2 =f2(xi,x2,...,x„),
Ут = fm(Xl,X2,...,X„).
Говорят, что функции (1) зависимы в (Р), если хотя бы одна из них
является функцией от остальных, т. е. равенство
4(х1,Х2, ••• , Х„) = Ф(/1,/2. ••• ./ц-ь/м+Ь ••• ./т) (2)
является тождеством в (Р), причем Ф — некоторая функция от
(/л-1) переменных.
Замечание. Точный смысл (2) таков:
Назовем систему чисел (у/-,Уу-, ••• ,УГ) осуществимой в (Р),
если в (Р) имеется хоть одна точка (х2,Jc2,... ,х„), такая, что:
Л(Х1,х2,...,х„) = у/,
fJ(xl,x2,...,x„) = yJ,
/r(xi,x2,...,x„) = yr.
Саму точку (Xj, х2,..., х„) будем называть осуществляющей. Равен-
ство (2) означает, что для любой осуществимой системы чисел
функция /ц(Х1,х2,, х„) не меня-
ется при изменении осуществляющей точки.
Пример 1. Пусть
/1 =*1 +*2 +Х3 +Х4 +Х5,
/2 = Xj +Х2 +Х3,
Л = *4 +Х3.
Ясно, что /1 = /2 + /3.
121
Пример 2. Пусть
/1 = sin X] + sin х2 + sin х3 + sin х4,
fi = sinxi +sinx2,
/з = sinx3 + sinx4.
Ясно, что Л = f2+ fa-
Впредь мы будем предполагать, что функции /ь /2, ..., fm ,
а также функция Ф(У],у2,..., ут) имеют непрерывные частные
производные первого порядка по всем своим аргументам.
Теорема 1. Если функции /i,/2,... ,fm зависимы в (Р), то ранг
матрицы Якоби
Э/1 э/и
ЭХ1 Эх2 Эх„
э/2 э/2 ЭЛ
/ = Эх, Эх2 Эх„
Э/М ЭД, '
<ЭХ! Эх2
в каждой точке (Р) ниже т (ранг матрицы J может меняться от
точки к точке).
Допустим, что функции fx, f2, ..., fm зависимые в (Р).
Пусть, например, /т = Ф(Л,/2> , Л-i)- Тогда
^/т.= ЭФ.^/1_+ЭФ.^/2_+ ! ЭФ ЭД,,
ЭхЛ Эу, ЭхА Эу2 Ъхк Ъут_х дхк
Отсюда видно, что т-я строка матрицы /есть линейная комбина-
ЭФ ЭФ ЭФ
ция предыдущих строк (с коэффициентами -г—, -—, .... ---).
ЭУ1 ОУ2 °Ут-1
Если п < т, то из матрицы J вообще нельзя составить ни
одного определителя порядка т. Если же п > т, то в любом
определителе порядка т, построенном из матрицы J, участвуют
все строки, и ввиду их линейной зависимости каждый определи-
тель порядка т будет равен нулю.
Итак, ранг матрицы J в обоих случаях меньше т.
Следствие. Если хоть в одной точке (Р) ранг матрицы / равен
т, то функции fx, f2, ..., fm независимы в (Р).
122
Рассуждаем от противного. Допустим, что /ь /2, fm —
зависимые в (Р). Но тогда ранг матрицы / в каждой точке (Р) ниже
т, а это не так. Значит, /ь f2, ..., fm — независимые в (Р). 4
Теорема 2. Пусть наибольшее значение, которое принимает
ранг матрицы J в параллелепипеде (Р) есть Ц , причем это значе-
ние р. достигается в точке М(хъх2,..., х„). Тогда:
1) Из функций f2) ..., fm будет Ц независимых (это
именно те функции, которые участвуют в составлении определи-
теля, отличного от нуля в точке М(хх,х2,... ,х„).
2) Если т > ц, то точку М(хх,х2,... ,х„) можно заключить в
такой меньший параллелепипед (Q) ((Q)c(P)), в котором ос-
тальные функции выражаются через указанные Ц независимых.
► 1) Допустим, что в точке ЛГ(х!,х2,..., х„) отличен от нуля
определитель
У1 У1 У1
ЭХ] дх2 дхц
Э/2 Э/2 У2
3Xj Эх2 Эхи
Ун Ун Ун
9Xj Эх2 Эхц
Тогда по теореме 1, функции f\, f2, ..., /и будут независимыми
в (Р) и, следовательно, пункт 1) теоремы доказан.
2) Пусть т > ц. Займемся построением параллелепипеда (Q).
Допустим сначала, что л = ц. Положим
/1(х1,х2,...,х|1) = у1,
f2(x1,x2,...,xlk) = y2,
4(Х1,х2,...,хи) = уц
и рассмотрим функции Рь F2, ..., Ри от 2ц аргументов
Л =/1(х1,х2,...,хи)-у1,
F2 = f2(xi,x2,...,xlk)-y2,
Гц =fll(Xi,X2,...,X)i)-yil.
123
У этих функций аргументы хь х2, ..., хц меняются в (Р),
а У1, У2, , Уи — произвольны.
Рассмотрим точку .У(Х1, х2,..., хц, уi, у2,..., Уи). В этой точке
будет 7*i = О, F2 = 0, /ц = 0. Определитель же
э/j dFt а/;
ЭХ] dx2 Эхи
3F2 dF2 dF2
Oxi Эх2 дхи
дХ] Эх2 dxg
есть Див точке N он не равен нулю. А тогда по теореме 2' о
неявных функциях систему уравнений
Л=о,
Г2 =0,
можно разрешить
Л=°
относительно х1( х2, ..., хи .Точнее: найдутся числа а, > 0, а2 > 0,
..., Оц >0, Ьх >0, Ь2 >0, ••• , Ьц >0, такие, что каждой точке
(У1 > У2 > • • • > Уц) из параллелепипеда:
У1 ~bi <yi <yi +bi,
у2 - 62 < у2 < у2 + Ь2,
Уц " Ьц < уи < уц + Ьц
отвечает в параллелепипеде
Xj - а, < X] < xt + Oj,
х2 -а2 <х2 <х2 +а2,
хц - ац < хц < хи +
одна и только одна точка (xj,х2,..., хц), такая, что:
124
/1(х1,х2,...,хц) = у1,
f2<Xx,X2,...,Xv) = y2,
/\А.Х\,х2,...,х^ = у*.
По непрерывности функций /1, /2, •••> /ц найдутся такие числа
cq > 0, а2 > 0, .... ар > 0, что как только точка (хх,х2,..., хц)
принадлежит параллелепипеду:
xt - а, < Xj < X] + eq,
х2 - а2 < х2 < х2 +а2,
хи -ац <хц <хи +ац)
так сейчас же точка (/i, /2,..., ) принадлежит параллелепипеду:
У1 ~bi <Ух <yi+bx,
y2-b2 <у2 <у2 + Ь2,
Уу " + ьц.
Положим у,- = minlfl/.a,} (i = 1,ц). Тогда параллелепипед
*1 "Y1 ^Xj <х, +Yi,
(Q) =
*2 -У2^х2^х2 +У2>
Ху. -Уу^Ху^Ху+Уу
— требуемый.
Действительно, пусть (У1,у2,..., уи) есть система, осуществи-
мая в (Q). Это значит, что в (Q) найдется хоть одна точка
(xf,x2,..., х*), такая, что
/i(x;,x^,...,x;) = yi,
/2(Х1,Х2,-,Ху) = У2,
fy(x1,,x2,...,x*) = yll.
125
Так как у, < а, (I = 1,ц), то параллелепипед (Q) содержится
в параллелепипеде а а 8 + + + in ix" : ’И1 VI VI • VI к3- vi vi ; vi а“ а” • а* । । । IX" 1>Г
и точка (/i(xf,x2,...,. x*^,f2 (х;,х$,..., х;),..., 4(Х]‘,х5,..., xj))
принадлежит параллелепипеду
. О* + + + ips ips VI VI . VI £ р\ VI VI ’ VI -с • <?• । I 1 IPs' ч 2 >
или, что то же самое, этому параллелепипеду принадлежит точка
(У1>Уг> ••• > Уц) • Тогда, по сказанному выше, в параллелепипеде
х, - О] < X! < Xj + ,
х2 - а2 £ х2 < х2 + а2 >
хи - ац < хц < хц +
есть единственная точка (*i,x2,..., хц), в которой
Л (*1 > х2, • • •, хи) = у, (i = 1, р.). Тем более эта точка единственная
в (Q). Иначе говоря, каждая осуществимая в (Q) система
У], У2, • •, Уи осуществляется в одной-единственной точке. Поэто-
му закрепление (УьУг, ••• >УИ) вызывает закрепление в (Q)
(xltx2,..., хц), а тем самым и закрепление функций /и+1,..., fm.
Рассмотрим теперь случай п > ц..
Определитель А вточке M(xt,x2,..., хл) отличен от нуля. По
непрерывности точку М можно заключить в открытый параллеле-
пипед (Ро) ((Р0)с(Р)), во всех точках которого будет А^О-
Впредь мы станем рассматривать только точки (Ро). Положим,
как и выше,
126
/1(х1,х2,...,хл) = у1,
/2(xbx2,...,x„) = y2,
/и(х1,х2,...,хя) = у|1
и рассмотрим функции
Fi =/i(Xi,x2,...,x„)-y1>
F2 = f2(xl,x2,...,xn)-y2>
=/ц(^Л2,...,хл)-уи.
У этих функций аргументы хь х2, хл меняются в (Ро),
а Уь У2, •••> — произвольны.
Рассмотрим точку N(x{,x2,... ,хп,ух,у2,... ,у^). В этой точке
будет F{ =0, F2 =0, ..., F^ =0. Определитель
ЭГ, Э/j dFj
9xj Эх2 Эхи
ЭГ2 3F2 ЭГ2
Эх( Эх2 ' ' Эхр
э'л,
Эх( Эх2 Эхи
есть Див точке N он не равен нулю. А тогда по теореме 2'
о неявных функциях систему уравнений
Л=0,
F2 =0,
можно разрешить
F* =0
относительно х}, х2, ..., хц. Точнее: найдутся числа а, > 0, а2 > 0,
..., fly > 0, дц+1 > 0,..., а„ > 0, д] > 0, Ь2 > 0,..., > 0,такие, что
каждой точке (xg+j,..., х„,у1,..., уи) из параллелепипеда
127
•^ц+1 Яц+1 — ^ц+1 — ^ц+1
хп ~ап <хп <хп +ап,
У\~Ь\ <ух<ух+Ьъ
У» -
отвечает в параллелепипеде
%1 - а{ < < X] + а{,
х2 - о2 < х2 < х2 + о2,
Хц-О^Хц^+О^
одна и только одна точка (Xj,x2,...,хц), для которой
/1(х1,Х2,...,Хл) = у1>
f2(Xi,X2,...,X„) = y2,
/и(х1,х2,...,хл) = уц.
По непрерывности функций /1э /2, ..., /ц найдутся такие числа
cq > 0, а2 > 0, ..., а„ > 0, что как только точка (хх,х2,..., х„)
принадлежит параллелепипеду
Х| - cq < х, < х, + а!,
х2 - а2 < х2 < х2 + а2,
.хп -а„ <х„ <х„ +а„,
так сейчас же точка (/], f2,..., /и) принадлежит параллелепипеду
У1 - bi <у{ <y{+bi,
У1~Ь2<у2 <у2+Ь2>
- Ьц < + Ь^.
Положим у, = min{o,,a;} ( / = ). Тогда параллелепипед
128
«?)=
*1 -Y! <X) <x{ +Y1,
*2 -Y2 — x2 ~X2 +Y2>
xn~Уп-хп-хп +Y„
— требуемый.
Действительно, закрепим какую-нибудь осуществимую в (Q)
систему (У1,Уг, ,Уц) • Тогда обязательно окажется, что
(У1 > У2 , • •») принадлежит параллелепипеду
У1 -Ьх <У1 <У1 +Ь{,
У2~Ь2 — У2—У2 + Ь2,
Уц-^^Уц + V
Возьмем теперь в (Q) какую-нибудь осуществляющую точку
(х1,х2,...,хц,хц+х,...,х„).
Если в этой точке закрепить хц+1, хц+2,..., хп, то в параллелепипеде
Xj - < Xj < Xj + at,
x2 - a2 < x2 < x2 + a2,
x^-a^x^x^+a,,
и тем более в параллелепипеде
' Xj -Yi <Xi <Xj +Yi,
х2 -Y2 ^х2 <х2 +Y2,
<хц+ym
найдется единственная точка (хьх2,..., хц), для которой
/1(х1,х2,...,х(1,...,х„) = У1,
/2(Х1,Х2,...,Хц,...,Хя) = У2,
/и(Х1,х2,...,хи,...,х„) = у(1.
129
Таким образом,
*1 =<Р1(хц+1,...,хй),
х2 =<f>2(xil+l,...,X„),
Хц = фц(Хц + 1, ... , Хя),
причем по теореме о неявных функциях у функций Фь ф2> > Фц
существуют и непрерывны все частные производные первого по-
рядка. (Подчеркнем, что У1, у2, •••> З'н — закреплены.) Отметим,
что функции Ф1, ф2, •••» Фц определены в параллелепипеде
Xp+i — Уц+i — Хц+[ < xg+1 + Уц+1 >
Х„-Гп ^Х„ <Х„+У„,
а точка (Ф1,Фг> ••• ,Фц) попадаете
х, - at < xt < Xj + aj,
x2 - a2 £ x2 < x2 + a2,
xg - ag < xg < xg + ag.
Положим Уц+i(ф1 j •••»Фц»xg+i, • ••, хя) — Фц+i(xg+j,..., Хд). Тео-
рема будет доказана, если мы установим, что на самом деле Фи+1 есть
величина постоянная. Для этого заметим, что в параллелепипеде
Хр+1 ~ Yg+i — xg+[ — xg+] + Yg+i,
Хп-Уп^хп<х„+у„,
тождественно будет
/1(Ф1,Ф2. - > Фц,*ц+1> •••, хп) = Ji,
fl(Ф1 >Ф2> - > Фц.*и+1, ••• > Хп} = у2,
Л.(Ф1,Ф2» •• > Фц»*ц+1> - . Хп) = уц,
/ц+1(Ф1,Ф2> ••• > Фц.*н+1, ••• > Хп) -фц+1 = 0.
130
Продифференцируем эти тождества по хп (не нарушая общности,
будем доказывать независимость Фи+1 от хп). Получим
У1 Эф! t Э/, Эф2 । । Э/j Эфи t Э/, t
ЭХ1 Эхл Эх2 дх„ ’ Эхц Эх„ Эхл
Ун Эф! । Уц Эф2 [ ! Уц дфи ! ffii _ Q
ЭХ1 Эхя Эх2 дх„ ’ Эхц дх„ дх„
Уц+1 Эф! + Эф2 + Уц+1 дфц । (Уц+1 дфц+1 | —Q
Эх! Эх„ Эх2 Эхл ’ " Эхц Эхл Эхл Эхл J
иг Эф1 Эф2 дф„
Итак, числа ——, —..., —-, 1 удовлетворяют системе ли-
Эхл Эхл Эхл
нейных уравнений (*). А так как не все эти числа нули (есть еди-
ница), то определитель системы (*) равен нулю, т. е.
Э/, ЭД
ЭХ1 Эх2
Уи
9xt Эх2
Уц+1 d/g+i
ЭХ1 Эх2
У ГУ_ _Q
Эхц 1чЭх„ ,
Ун (<_о|
ЭХц Эхл J
Уц+1 ГУр+1 _ дфи+1
Эхц Эхл Эхл
= 0.
Представим его как разность двух определителей, и второй из них
разложим по элементам последнего столбца. Получим
У У1 У У1 У> У> У1
ЭХ1 Эх2 Эхи Эхл ЭХ! Эх2 Эхи
Э/ц Ун Уи Ун у2 ЭХ! У2 Эх2 у2 Эхц = о,
ЭХ! Эх2 Эхи Эхл Эхл
Уц + 1 Уи+1 Уц+1 Уи+1 Ун Э/И
Эх] Эх2 Эхл ЭХ! Эх2 ЗХц
131
Эфи+1
или Л] —— А = 0. Но Aj = 0, ибо это определитель порядка
&Хп
(ц +1) из матрицы ранга Ц. Так как А * 0 всюду в (Ро), то
ЭФи+1 _ а
Эх„
т. е. Фц+1 не зависит от х„. Аналогично показывается, что Фц+i не
зависит от остальных своих аргументов, т. е.
Фц+1 = const,
а это и требовалось доказать.
§3. Некоторые дополнительные сведения о якобианах
Якобианом для функций:
У1 =/i(xi,x2,...,x„),
У2 =f2<Xl,X2,...,X„),
Уп = /п(Х1,Х2,...,Хп)
называют определитель
ЭУ1
3xj дх2 дх„
ду2 ду2
ЭХ] дх2 дхп
дУп "
dxt Эх2 дх„
Обозначают якобиан /также и так:
О(У1,У2,->Уп)
D(xi,x2,...,x„) '
с , ди ди .
Это не дробь, а целый символ (так же как —, ---,...).
ЭХ| дх2
Отметим две аналогии между якобианами и производными.
132
I. Известно, что если у = f(x), а х = ср (/), то
dy dy dx
dt dx dt
(правило цепочки).
Теорема. Пусть функции
У1 х2,
У2 =/2(Х1,Х2,...,Х„),
Уп =fn(xl,x2,...,xn)
заданы в открытом параллелепипеде (Р) и имеют там непрерыв-
ные частные производные первого порядка по всем своим аргу-
ментам %], х2, , х„. Пусть, далее, функции
xi = Ф1(П, t2,-,tn),
Х2 = Ф2(*»Л»-Л)»
Хп =<Pn(fl,t2,-,t„)
определены в открытом параллелепипеде (7) и имеют там непре-
рывные частные производные первого порядка по всем своим
аргументам Гь t2, ..., /„.Тогда
Я(У1,У2> --,Уп) ^(У1,У2> ->Уп) Р(х1,х2,...,х„)
D(ti,t2,...,tn) Z)(x»,x2,...,х„) D(tiyt2,...,tn) •
Умножим определитель ду» ЭУ1 ду»
Эх» Эх2 дх„
Р(У\,У2, -,Уп') _ ду2 ду2 ду2
Р(хьх2,...,х„) ЭХ] дх2 Эх„
Ъуп tin ’ дуя
ЭХ] Эх2 дх„
на определитель
133
9xt dXj
э?Г Э^2 Э/л
Р(х1,х2,...,х„) Эх2 дх2 дх2
D(tx,t2,. Э^2
К ^хп
Э/, Э^2
(по правилам: строку на столбец). Если учесть, что
ЭХ) t Эу, Эх2 t Эу, Эх„ Эу,- (ik = ln)
dxt dtk Эх2 dtk дх„ dtk dtk
то произведение определителей можно будет записать так:
Э?1 Эу! Эу1
Э/1 dt2 dtn
Эу2 Эу2 ду2
Э/j Э^2 dtn
9У„ ду„ Эуд
d/j Э^2
а это и есть
Д(У1,У2»->Уд)
O{h,t2,...,tn) •
II. Известно, что для двух взаимно обратных функций у = f(x)
dy dx
и х = g(y) будет -j- • -j-
dx dy
= 1.
Теорема. Пусть функции
х2,.
У2 =f2(Xi,X2,-,X„),
Уп = fn(Xx,X2,...,X„)
определены в открытом параллелепипеде (Р), а значения их
заполняют параллелепипед (7), и пусть для каждой точки
(ух,у2, ••• »>л)е (D существует в (Р) единственная точка
(Х],Х2> ••• » Х„) , В которой
134
/1(Х1,Х2,...,ХЯ) = У1,
/2(.Х1,Х2>...,Хп) = у2,
/я(х1,х2,...,хя) = уп,
так что
*1 = ?1<У1,У2, -,Уп)>
Х2 =82(У1,У2,->УП),
Хл =gn(yi,y2,-,yn)-
Пусть все функции /ь f2, ...» gt, g2, ..., g„ имеют непре-
рывные частные производные первого порядка по всем своим ар-
гументам соответственно в параллелепипедах (Р) и (7). Тогда
Р<У\,У2,- >Уп) Р(х1,х2,...,хп) t
Т)(х1,х2,...,хя) Р(У1,у2,...,у„)
Если взять точку М(ух,у2, л., у„) и найти по ней точку
N(xi,x2, ... ,хя) , где х, = gi(yi,y2,... ,у„) (i = 1,л), азатем исхо-
дя из точки N найти (xj, х2,..., х„) (/ = ), то мы вернемся к
точке М. Значит, переменные у2, ..., у„ можно рассматри-
вать как функции, зависящие от них же сложным образом через
хь х2, ..., хя. По предыдущей теореме окажется:
Д(У1,У2>->УЯ) P(xi,x2,...,xn) Р(Ух,У2,--,Уп)
Р(х1гх2,...,х„) Р(У1,У2,...,У„) Р(У1,У2, -,Уп)'
Но
ЭУ1 ЭУ1 1 0 0 ... 0 0
ЭУ1 Эу2 " дуп
Р(У1,У2>->Уп) = Эу2 Эу2 Эу2 0 1 0 ... 0 0 1
Р<У},У2>-,УП) Эу1 ду2 " ду„ 0 0 0 ... 1 0 = 1
fyn. ^Уп. 0 0 0 ... 0 1
дУ1 Эу2 Эуя
135
§4. Примеры и задачи
Пример 1. Найти у'(* * * * * * х) и у"(х) для функции у (х), определя-
емой уравнением ху = ух (х # у).
Решение. Ясно, что должно быть х > 0 , у > 0. Перепишем
заданное уравнение в виде
Продифференцируем обе части написанного равенства по х, по-
мня, что у есть функция от х. Будем иметь
е^1пхГу'1пх + —1 = ех,пу( 1пу + — -у'| => у'1пх + — = In у + — у',
\ х) \ У ) х У
1 1 / 1п у — у) • у
ибо еу'пх = ех'пу у' = х • Из заданного равенства
следует: у In х = х In у. Поэтому у' = У 0я*—11. Имеем, далее,
х2(1пу —1)
У XX ~ =
2yy'(lnx-V) + ^—
•x2(lny — 1) —
X2
2х(1пу-1) + —у'
У
•у2(1пх-1)
x4(lny —I)2
Подставив вместо у' найденное для него выражение, находим
у2 [у (In х -1)2 (2 In у - 3) - х(1п у -1)2 (2 In х -
у"(х) = —---------------j--------х-------------
х4(1пу-1)3
Пример 2. Найти у', у", у"' при х = 0, у = 1, если
х2 - ху + 2у2 + х - у -1 = 0.
Решение. Заданное равенство дифференцируем трижды по х,
помня, что у есть функция от х. Получим
2х - у - ху' + 4уу' +1 - у' = 0;
2 - у' - у' - ху" + 4(у')2 + 4уу" - у" = 0;
-у" ~ У" ~ У" ~ ху"' + 8у'у" + 4у'у" + 4уу"' - у'" = 0.
136
Подставив в полученные соотношения х = 0, у = 1, получаем
следующую систему уравненийд ля определения у'(0), у"(0), у"'(0):
Зу' = 0, у' = 0,
2 - 2у'+ 4(у')2 + Зу" = 0, => 2 + Зу" = О, =>
- Зу" + 12у'у" + Зу"' = 0 [2 + Зу'" = О
2 2
=> у'(О) = о, у"(0) = -р у'"(0) = -|.
Пример 3. Функция z = z(x,y) задана уравнением х + у + z =
= е~(х+У+^. Найти частные производные первого и второго по-
рядков.
Решение. Имеем F(x,y,z) = х + у + z - е~(х+у*г^;
Эг _ _ F*(x,y,z) _ _ 1 +e~(x*y*l) _ j
дх F'(x,y,z) 1 + е-<х+У+^
dz = F;(x,y,z) = 1 + е-(х*у+г} =
ду F'(x,y,z) 1 +
2к = ±И = о A = iffl = n d*z - д (О
дх2 dx^dxj ’ дхду ду{дх) ’ Эу2 Эу Эу J
Пример 4. Пусть
х2 +у2 +z2 -3xyz = 0 (*)
и f(x,y,z) = xy2z3 • Найти /Д1,1,1), если z = z(x,y) есть неявная
функция, определяемая уравнением (*).
Решение. Имеем
fx = y2z3 + 3xy2z2 -z'x => Д'(1,1,l) = l + 3z'(l, 1).
z'x находим из уравнения (*): F(x,y,z) = 0 ,где F(x,y,z) = х2+у2 +
+ z2 -3xyz>
.> = 2x-3yz. , п n = (1,1.1) = = 1
х F/(x,y,z) 2г-3лу’ х ’ Ft'(l,l,l) -1
Следовательно, Д(1,1,1) = 1 - 3 = -2.
137
Пример 5. Найти —у, —у, - при х = 1, у = -2, z = l,
дх ду дхду
если
F(x,y,z) = х2+2у2+3z2 + ху - Z-9 = 0. (*)
Решение. 1) Дифференцируем (*) по х, помня, что z = z(x,y).
2х + 6z • z'x + у - z'x = 0 => (♦♦)
=> при х = 1, у = -2, 2 = 1: z'x = 0.
2) Дифференцируем (*) по у, помня, что z = z(x,y).
4у + 6z-Zy + x-Zy =0 => (*♦*)
7
=> при х = 1, у — -2, 2 = 1:
3) Дифференцируем (**) по х, помня, что z = z(x,y).
2 + 6 (Zx)2 + 622^ - z'tx = 0 =>
2
=> при х = 1, у = -2, 2 = 1: 2^=---
4) Дифференцируем (***) по у, помня, что z = z(x,y).
4 + 6(z'y)2 +6zz'Jy -z„ = 0 =>
394
=> при x = l, y = -2, 2 = 1: .
5) Дифференцируем (**) по у, помня, что z = z(x,y).
6z'yZ'x + 6zz^y + l~z?y =0 =>
=> при x = l, y = -2, 2 = 1: Z'^=-L.
Пример б. Найти dz и d2z , если
xyz = X + у + 2 . (*)
Решение. Считаем, что уравнение (*) определяет функцию
2 = г(х, у). Находим дифференциалы от обеих частей уравнения (*).
yz dx + xz dy + xy dz = dx + dy + dz (**)
<=> (1 - xy) dz = (yz -1) dx + (zx -1) dy =>
138
. (yz -1) dx + (xz -\)dy , ..
=> dz = —---—*--------— (если xy * 1).
1-xy
Находим дифференциалы от обеих частей соотношения (**).
zdxdy + у dxdz + z dxdy + х dydz + у dxdz + xdydz + xyd* 2z = d2z =>
=> (1 -xy)d2z = Zzdxdy + 2y dxdz + 2xdydz =
= 2zdxdy + 2ydx- +
1-xy
+ 2xdy^№^-№ =»
1-xy
ifl-xy)zdxdy+y(yz-V)(dx)2 +x(xz-l)(dy)2 +y(xz-l) dxdy+x(yz-l) dxdyj
(l-xy)2 =*
2 2[у(к -1)(dx)2 + x(xz -1)(dy)2 + (xyziz-x-y) dxdy\
Z (1-xy)2
Так как xyz = x + у + z, то окончательно получаем
2 2[y(yz-l)(dx)2+x(xz-l)(dy)2+2zdxdy]
Пример 7. Найти dz и d2z > если — = In — +1. (Ясно, что
у * 0, z * 0.)
Решение. Считаем, что заданное уравнение определяет z как
функцию от х и у: z = z(x,y). Находим дифференциалы от обеих
частей заданного уравнения.
zdx-xdz _ у_ у dz-zdy
z2 z у2
=> yzdx-xydz = yzdz~z2dy => (*)
. z(ydx + zdy) . .
=* dz = x <если x + Z 0 )•
y(x + z)
Находим теперь дифференциалы от обеих частей соотношения (*),
помня, что хи у независимые переменные, a z = z(x,y).
139
Z dxdy + у dxdz - у dxdz -xdydz - xyd2z =
= z dydz + у (dz)2 + yz d2z - 2z dzdy =s
=> (yz + xy)d2z = zdxdy - (xdy - zdy)dz - y(dz)2 =>
/ x .2 j j / \ j z(y dx + zdy)
=» (yz + xy) dlz = z dxdy + (z-x)dy- -
y(x + z)
z2(y dx + zdy)2
y2(x + z)2
=* dlz = _z2(xdy-ydx)2 (X + Z5to)
yl(x + z)
Пример 8. Найти du , если и3 -3(x + y)u2 + z3 =0.
Решение. Считаем, что заданное уравнение определяет и как
функцию переменных х, у, z : и = u(x,y,z). Находим диффе-
ренциалы от обеих частей заданного уравнения:
Зи2du - 3 (dx + dy) и2 - 6(х + y)udu + 3z2dz = 0 =>
=> [Зи2-6(х + y)u]du = 3\u2(dx + dy) -z2dx] =>
du u2(dx + dy)-z2dz
u2 -2(x + y)u
dz dz
Пример 9. Найти — и —, если F(x - у, у - z,z- х) = 0.
Решение. Положим = х-у , t| = y-z, = z-x. Тогда
F&n,O = 0.
1) Имеем =0 ~
F^,n^)i+^Un,0(-z;)+^Ti,0(z;-i)=o =>
=> - дел,О]< = -рум) + ГС'&Т],О =Ф
Zx F^(M)-F((M)-
140
2) Имеем ^,П,0 • + ^,П,0 Ч; = 0 «•
~ FtfM) (-1) + ^,11,0 • (1 - z'y) + F^,n,0 • z'y = о =>
=> ^-F' = (Fc'-F')-z; => Z'y=^;
X n
d^Z
Пример 10. Найти —5-, если F(xz,yz) = 0.
дх
Решение. Положим £ = xz , л = yz Тогда заданное уравнение
примет вид
Л£,п) = 0. (*)
Имеем
<ZF(£,T]) = O F^,n])(zdx + xdz) + F^,i})(zdy + ydz) = O =>
=> z (F(dx + F^dy) + (xF£ + yFn') dz = 0 => (♦♦)
z(F{dx + F^dy)
=> dz =------------=77—.
xF^ + yF^
Имеем, далее,
d2F(^, т|) = 0 => Fg (zdx + xdz)2 + 2F^" (zdx + x dz) (zdy + y dz) +
+ F"> (zdy + y dz)2 + 2(F{dx + F^dy) dz = - (xF( + yfn') d2z . (***)
Ho
, , , xz(F^dx + F^dy) F^(ydx-xdy)
zdx + xdz = zdx--— = z -^—=г,--------——
xF{ + yF^
F^(xdy - у dx)
xF{ + yF^
Подставляя найденные выражения для (zdx + xdz) и (z dy + у dz)
в (***), получим
7„ Z2(Ftf(ydx-xdy)2 (xdy-ydx)2
₽2 ------------5------------------^~Z +
5 (xF( + yF^)2 (xF( + yF^)2 1
141
F„ z2(F{)2(xdy-уdx)2 z(F(dx + F^dy)
” (xF( + yF^)2 5 ” (xF( + yF$
= -(xF( + yF^)d2z.
В полученном соотношении (в правой и левой частях) отделяем
слагаемые, имеющие множитель (dx)2. Получим
z2y2\F£(Ftf - 2F^F(F^ + F^')2] 2z(F()2
(xF^ + yF^)2
xF{ + yF'
= -(xF^yF’)i^
OX
d2Z _
Эх2
y2Z2[F$ (F^)2 - 2F(F'F& + F"2 (F^)2] - 2z(xF( + y^') (F()2
(xF( + yF^)3
Пример 11. Найти d2z , если
F(x + z, у + z) = 0. (*)
Решение. В силу уравнения (*), считаем z = z(x,y). Положим
£ = x + z, Л = У + Z • Тогда (*) примет вид ,F(£,n) = 0. Имеем
F{ (£> П) (dx + dz) + Fn' (X, n) (dy + dz) = 0 <=>
F(dx + F^dy
dz = —F, .
F^+Fr\
d2F(^) = 0:
F'i (dx+dz)2+ 2F& (dx + dz) (dy + dz) +
+ F"2 (dy + dz)2+ (F( + F4') d2z = 0.
(***)
142
Имеем
. . . F(dx + F^dy F^(dx-dy)
dx + dz = dx —2——— = —7-———,
Fi < Л Л * f;
aja
dy + dz = dy —Ц-—— = —4;—-—-.
F( + F' F( + F'
Подставляя найденные выражения для (dx + dz) и (dy + dz) в (***),
получаем
(Ftf(dx - dy)2 F^(dx - dy)2 (F()2(dx - dy)2
= -(F( + F')d2z
F'i (F')2 - 2F^F; + F;2 (F()2
d z = —5--————2------(dx - dy) .
з
Пример 12. Функция z = z(x,y) задана уравнением F(x + zy 1,
у + zx~l) = 0. Показать, что х^- + = z-xy.
Решение. Положим % = x + zy~l, r\ = y + zx~l. Тогда заданное
уравнение примет вид F(£, т]) = 0. Имеем dF(&$ = F£d^ + F^dt\ = 0 <=>
F£ dx +
ydz-zdy
У2
xdz-zdx
x2
F{\dx--^dy +F'• Idy-
l У J I
z
^F'jdx+ F^-^FAdy xy
X J \ У J
k У
xF( + yF^
lr
а —л-л
dz . dz . Vx2 л v j
— dx + — dy =—-——dx +
dx dy xF^ + yFJ xFg + yFq
143
dz^y zF^-x2F( X zF( - y2F^
dx x xF( + yF^ ’ ду у xF£ + yF^
А тогда
хЭ£+ dz _ У (zF' - x2F{) + x (zF( - y2F^)
X dx+J dy xF£ + yF^
Z (xF( + yFnz) - xy (xF{ + yF')
Пример 13. Показать, что неявная функция z = z(x,у), опре-
деляемая уравнением
y = x<p(z) + v(z) (*)
удовлетворяет уравнению
fd£|2 2^z dz ^Z ^z - 0
dx2 Эх dy ЭхЭу ^Эх/ Эу2
Решение. Берем дифференциалы от обеих частей равенства (*).
dy = <p(z)abc + x<p'(z)</z + v'(z)ck => (**)
=> (x<p'(z) + v'(z)Wz = dy-q(z)dx => dz = —<=>
' *p'(z) + v'(z)
<=> TF^* + l^dy -----'( \ dx + —TV—
Эх dy xxp'(z) + v (z) xtp'(z) + v (z)
=> = _ <P(*) . 9z = 1
Эх x <p'(z) + v'(z) ’ dy X<pXz) + v'(z) ’
Находим теперь дифференциал от обеих частей равенства (**):
О = <p'(z) dxdz + <p'(z) dxdz + x <p"(z) (dz)2 + xtp'(z) d2z +
+ y"(z) (dz)2 + v'(z) d2z =>
=> (xtp'(z) + v'(z))d2z = -2<p'(z) dxdz - (x^"(z) + v"U))(dz)2 =>
(xq>'(z) + V'(z))d2z = 2<p'(z) dx -
xtp'(z) + V'(z)
144
' ^xq>'(z) + V (z)J
Сравниваем последовательно коэффициенты при (dx)2, (dy)2, dxdy
(dx)2: (xtp'(z) + V'(z))|4 = -
v ' Эх2 xtp'(z) + v(z)
- (x<p"(z) + V "(z)) • ---—3- =>
(xcp'(z) + v'(z))2
d2z = 2<pz(^)<P(z) _ <P2(z)(xcp"(z) +<(z))
Эх2 (xtp'(z) + v'(z))2 (x<p'(z) + V'(z))3
A27
dxdy. 2 (xcp'(z) + v'(z)) =
2<p'(z) + 2<p(z)(xtp,,(z) + y,,(z))
xq>'(z) + V'(z) (j«p'(z) + V'(z))2
d2z = _ <p'(z) + <P(z)(xq>"(z) +y"(z))
d^y (xq>'(z) + v'(z))2 (xcp'(z) + V'(z))3 ’
(ф)2:
^2
(xq>'(z) + =
xtp"(z) + v"(z)
(xtp'(z) + v'(z))2
d2Z = xq>"(z) + V"(z)
dy2 (xq>'(z) + V'(Z))3
А тогда 4-2*L ^-^_ + №\2.^ =
IdyJ Эх2 dx dy dxdy kdxj Эу2
1 2q>'(z)<f>(z)
(xcp'(z) + V'(z))2 [(xtpXz) + v'(z))2
<p2(z)(xcp,,(z) + iy,,(z))
(xtp'(z) + V'(z))3
<p(z) <P(z) (xcp'U) + Vz(z)) <pz(z)
(x<p'(z) + v'(z))2 (x<p,(z) + v,(z))3 (x<p'(z) + v'(z))2
145
_ <p2(z) fop"(z) + V"(z)) = 0
(лхр'(г) + V'(z))2 (xq>'U) + V'U))3
_ tt ~ dx dy d2x d2y .
Пример 14. Наити ~т~, —т > —т при х = 1, у = -],
dz dz dz2 dz2
z = 2, если
2 2 1 2
J* +У = ^Z ,
2 (*}
x +у + z = 2. v ’
Решение. Система (*) состоит из двух уравнений, связываю-
щих три переменные. Считаем что она определяет функции
х = х (z) и у = у (z). Дифференцируем обе части уравнений сис-
темы (*) по z- Получаем
• dx - dy
2x- + 2y-^ = z,
dz dz
£Л + 1-0
dz dz
(**)
при x = 1, y = -l, z = 2 :
dz dz ’ _ ^ = 0 4у=-1
^ + ^L = _1 dz ’ dz
dz dz
Дифференцируем теперь no z обе части уравнений системы (**).
Получаем
^ + ^ = 0
dz2 dz2
при х = 1, у = -1, z = 2 находим
146
Пример 15. Система уравнений
xe"+v + 2uv = 1,
уе^-у _JL- = 2x
1 + v
(*)
определяет дифференцируемые функции и = и(х,у) и v = v(x,y),
такие, что и (1, 2) = 0, v(l, 2) = 0. Найти du (1, 2) и dv (1, 2).
Решение. Находим дифференциалы от обеих частей каждого
из уравнений системы (*). Получаем
eu*vdx + xeu+v(du + dv) + 2(v du + и dv) = О,
и-vj u-v/j (1 + v) du - иdv
e dy + ye (du - dv) - -------------5----= 2 dx
(1 + v)
при x = 1, у = 2 (=> и = 0, v = 0) получаем
dx + (du + dv) = О,
dy + 2 (du - dv) - du = 2 dx
du = -\dy, dv = -dx + \dy.
3 3
Пример 16. Пусть
x = t + Г1,
у = t2 +Г2,
z = t3 + г3.
dy dz d2y d2z
Наити -г, -j-, —у, —у.
dx dx dx2 dx2
Решение. Можно считать, что система (*) задает функции
у = у (х) и z = z(x) следующими параметрическими уравнениями:
X = t + t J X = t + Г1,
y = t2+t~2-, z = t3+r3.
1 2 2 3
Имеем х/ = 1 - p-, y't = 2t - , z't = 3r - . А тогда
X X't t\t2-() t I t)
_z't _3(t6-\)t2
Zx x't t\t2-\)
'-^-^-=з(;2 +4-+1] a*±i>.
t I r J
147
Имеем, далее,
у^=(у'ху<4=2(1-7т|-—п-=2 С'**1);
xt \ t ) i___________L
t2
1 ( 2^
<’=(^;4=з 2'-4
xt \ Г J
1 ,.fi('4-l)'2
j. Л?-1)
’ t2
,r2+i ,(t f
= 6-----= 6r+-
t I t
(t * ±1).
Пример 17. Найти .. в точке и = 2, v = 1, если
г дхду
f 1
X = и + V ,
2 3
У = U - V ,
z = 2uv.
Решение. Имеем dz = 2(vdu + udv)-, du и dv находим из
системы
dx = du + 2vdv,
dy = 2udu- 3v2dv
в точке и = 2, v = 1:
dx = du + 2dv,
dy = 4du - 3dv
du = + 3</x),
dv = ^~ (4dx - dy).
Имеем, далее,
d2z = 2(2dudv + vd2u + ud2v) =>
=> при и = 2, v = l: d2z = 2(2dudv + d2u + 2d2v).
d2u и d2v находим из системы
О = d2u + 2(dv)2 + 2vd2v,
0 = 2 (du)2 + 2u d2u - 6v (dv)2 - 3v2d2v,
которая при и = 2 , v = 1 будет такой:
d2u + 2d2v = -2(dv)2,
4d2u -3d2v = 6(dv)2 - 2(du)2.
148
А тогда для d2z в точке и = 2, v = 1 получаем
d2z = 2[2dudv-2(dv)2) =
Г 2 2 ol
= 2 ^(2^ + ЗЛ)(4А-^)-^(4Л-</у)2 .
1X1 LjL 1
Отсюда, приравнивая коэффициенты при dxdy в левой и правой
частях полученного равенства, находим
= -(8-3 + 8) = —.
дхду 121V ’ 121
Глава 4
ЭКСТРЕМУМЫ ФУНКЦИЙ
НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
§1. Формула Тейлора для функции нескольких переменных
Пусть функция и = f(xx,x2,... ,хп) определена в некоторой
окрестности ир(М0) точки M0(xi0,x20,..., хи0) и имеет там не-
прерывные частные производные всех порядков до порядка (т +1)
включительно. Пусть точка М{хх,х2,..., х„) — любая точка из
чр(М0). Тогда
f(xx,X2, ... , Х„) = /(х|0,Х20, ... , Хл0) + #(Х10,Х20> •••. *„о) +
1 > 1
+ 2! d /(*ю.*20. •••. *ло) + - + —[^'"/(*10.*20. . *«о) +
1 (1)
+ щdm+ /(х10 + 0Дх1)х2о +0Дх2>..., х„о +0Дх„)
где Дх, = Xi - х10 , Дх2 = х2 - х20, Дх„ = х„ - х„0; 0 < 0 < 1 •
В развернутом виде формула (1) имеет вид
к=1К'
д . д л 3 л V
dxi Эх2 дх„ "J
мй
150
1
д Л 3 Л Э л Г*’
. —Дх.+-—Дх2+ ... + -—Дх. и
(т +1)! дх] Эх2 Эх„ )
, (1)
N
где N—точка с координатами (xJ0 + 0AXj, х20 + 0Дх2,..., хя0 + 0Дхя)
(О < 0 < 1 )•
Доказательство проведем для слу-
чая, когда л = 2 (для п > 2 оно совер-
шенно аналогичное).
В случае л = 2 имеем: « = /(х,у);
^oOwo); дх = х-х0; ду = у-у0;
Дх и Ду — любые, но такие, что точка
М(х,у) = М(х0 + Дх,у0 + Ду) g ир(М0).
Нужно показать, что
Рис. 4.1
/ \ к
т 1 I д Э I
Дм = /(х0 + Дх,у0 + Ду) -/(хо,Уо) = 2т7 Дх + — Ду /(хо,Уо) +
£=lK!^dX ду )
1 z ~ ~ \ /я + 1
----— — Дх + —Ду /(х0+0Дх,уо+0Ду), О<0<1.
(л1 + 1)!^Эх Эу )
Через точки М0(х0,у0) и М(х0 + Дх,у0 + Ду) проведем прямую.
Уравнение этой прямой будет таким:
*-*о У~Уо
Дх Ду
х = х0 +1 Дх,
y.y^t&y «'-параметр) (2)
Замечаем, что точкам отрезка МйМ прямой (2) отвечают значения
параметра tот 0 до 1. В частности, точке М0(х0,у0) соответствует
значение t = 0, а точке М(х0 + Дх, у0 + Ду) — значение t = 1.
’ Положим
« = /(х,у) = /(х0 + /Дх, у0 + /Ду) = Г(/). (3)
Отметим, что при изменении t от 0 до 1 соответствующая точка
(х,у) перемещается вдоль отрезка, соединяющего точки (х0,у0) и
(х0 + Дх, у0 + Ду), т. е. не выходит из окрестности «р(ЛГ0), в ко-
151
торой функция и = f(x,y) имеет непрерывные частные производ-
ные всех порядков до порядка (т +1) включительно. Мы знаем,
что если функция одной переменной и = F(f) определена в проме-
жутке [0,1] и имеет там непрерывные производные всех порядков
до порядка (т + 1) включительно, то для любого положения точек
/0 и t в промежутке [0,1] имеет место формула
Д« = F(0 - Л^о) = dF(t0) + ^d2F(/0) + ... + —.dmF(tQ) +
2! ml
(4>
где 0 < 0 < 1. Положив в (4) t0 = 0, t = 1 (=> (t -10) = 1), будем
иметь
Дм = F(l) - F(Q) = dF(Q) + ^d2F(O) +... +
+ -LdmF(0) + -L-dm+'F(.e). (5)
m\ (wi + l)! v ’
Так как F(l) = /(*o + Дх> Уо + ДУ), ЛО) = f(x0,y0), то
Дм = F(l) - F(0) = f(x0 + Дх,у0 + Ду) - f(x0,y0). (6)
Из соотношений (2) видим, что у нас промежуточные аргументы
х и у выражаются через независимую переменную t линейно.
А тогда полные дифференциалы любого порядка сложной функ-
ции выражаются через промежуточные аргументы х и у в той же
форме, как если бы х и у были независимыми переменными. По-
этому для любого к = 1, т +1
dkF(t) = dkf(x,y)\x=Xl>+lbX,
y=y0+tby
причем здесь dx = dt • Дх, dy = dttxy, откуда
dkF(ty = dkf(x0,y0); dm+lF(Q) = dm+lf(x0 + 0Дх,уо + ОДу) •
Поскольку dt = Д/ = t -t0 = 1 - 0 = 1, то имеем dx = Дх , dy = Ду .
Следовательно,
152
dkF(O) = dkf(xo,yo) =
< 3 3 ___
— Ax + —Ay f(x0,y0), k = i,m;
^Эх ay J
/ ~ ~ xml
JmtlF(0)=rf'wl/(xo+0Ax)yo+0Ay) = —Ax+—Ay /(хо+0Дх,уо+0Ду).
dx dy J
(7)
Подставив в правую часть (5) найденные выражения для dkF(0),
к = 1, да, и dm+lF(0) и приняв во внимание выражение (6), находим
Дм = /(х0 + Дх.уо + Ду) - /(хо,Уо) =
т 1 1
= ^-r:dkf(X(),y0) + ----— dm+'f(x0 + 0Дх,уо + 0Ду),
к=1к\ (да + 1)!
где 0 < 0 < 1. Таким образом, формула Тейлора для случая, когда
м = 2 установлена.
§2. Обычные экстремумы для функций
нескольких переменных
Г. Необходимые условия экстремума.
Пусть функция м = /(Х],х2,...,х„) определена в некоторой
области (D) ((D) с R"). Пусть точка A/0(x10,x20,..., хя0) e (D).
Если существует окрестность ир(М0) точки Мо, такая, что
для любой точки М(хх,х2,..., хл) из ир(М0) оказывается
f(M)<f(M0), (1)
то говорят, что функция и = f(M) имеет в точке Мо максимум.
(Предполагается, что ир(М0) с (D).)
Если же для любой точки М(хх,х2,..., хп) из проколотой
окрестности йр(Л/0) точки Л/о оказывается
f(M)<f(M0), (2)
то говорят, что функция и = f(M) имеет в точке Мо строгий
максимум.
153
Аналогично определяются минимум и строгий минимум функ-
ции и = f(xl,x2,...,x„) в точке М0(х10,х20,... ,х„0).
Отметим, что понятия максимума и минимума носят локаль-
ный характер, поскольку в определениях фигурируют лишь точки
М(х{, х2,..., хп), достаточно близкие к точке Мо.
Функция и = f(xx,x2,..., х„) может иметь в области (D) не-
сколько максимумов и минимумов. Как и в случае функций одной
переменной, вместо отдельных наименований “максимум” и “ми-
нимум” используют объединяющий их термин — экстремум.
Теорема. Пусть функция и = f(X[,x2,... ,хп) имеет в точке
ЛГ0(х10,х20, ••• > хло) экстремум. Если при этом существуют ко-
нечные fxt, f'2, , fx„ в точке MQ, то обязательно Д((ЛГ0) = 0,
Д2(Мо) = О,..., f'n(Mo) = O.
Пусть ир(М0) есть та самая окрестность точки Мо,
о которой говорится в определении экстремума функции. Поло-
жим х2 = х20, хз = хзо > •••> хп = хпо > а переменную xt оставляем
свободной, изменяющейся в промежутке (х10 - р, х10 + р). Тогда
w = /(х( ,х20,х30,..., хи0) будет функцией одной переменной xt,
определенной в промежутке (х10 - р, х10 + р). По условию функ-
ция и = /(xi,x2,..., х„) имеет экстремум в точке
Afo(xio>x2o>x3o> ••• > *яо) • Из этого следует, что функция
и = /(*1>х2о>хзо> ••• > *яо) имеет экстремум при X! = х10. Так как
по условию Д' Дю>х20>хзо, •••, хло) существует конечная, то по-
лучаем fxt (АД) = 0 •
Аналогично устанавливается, что f't(Mo) = O, ...,
Л„(мо) = о. <
Следствие. Точки, в которых функция и = f(xx,x2,... ,хп)
имеет экстремум, следует искать среди точек, где либо одновре-
менно fxt =0, Д2 =0, ..., Д' =0, либо где, по крайней мере,
одна из этих частных производных не существует или бесконечна.
Точки упомянутых здесь двух типов называются критическими
ДЛЯ фуНКЦИИ U = /(Х],Х2, ... , х„).
154
Отметим, что не всякая критиче-
ская точка функции дает экстремум.
В самом деле, рассмотрим функцию
и = ху.
Имеем и'х - у, и'у -х (существуют,
конечные). Из системы
и' = О»
, л на-
и'у =0
Рис. 4.2
ходим, что точка (0, 0) — критиче-
ская. Имеем и (0, 0) = 0.
В точках прямой у = х, исключая точку (0,0) и в любой
близости от точки (0,0) будет и > 0. Следовательно, в точке
(0,0) нет максимума.
В точках прямой у = -х, исключая точку (0,0) и в любой
близости от нее будет и < 0. Значит, в точке (0, 0) нет минимума.
Общий вывод: у функции и = ху в точке О (0,0) нет экстремума.
Замечание. Обращение одновременно в нуль всех частных
производных первого порядка функции и = f(xx,x2,..., х„) в
точке Мо, а также несуществование или обращение в бесконеч-
ность хотя бы одной из этих частных производных в точке Мо
является необходимым условием существования экстремума у
функции и = f(xx,x2,..., х„) вточке Л/о.
1Г. Исследование стационарных критических точек (случай фун-
кции двух переменных).
Напомним, что функцию у(х,у) = Ах2 + 2Вху + Су2, где
А, В, С — постоянные числа, среди которых есть отличные от
нуля, называют квадратичной формой. При этом:
1) v(x, у) называют положительно определенной квадратичной
формой, если все значения у > 0 и у = 0 лишь в точке (0,0);
2) у(х, у) называют отрицательно определенной квадратичной
формой, если все значения у < 0 и у = 0 лишь в точке (0,0);
3) у(х,у) называют неопределенной квадратичной формой, если
у (х, у) принимает значения разных знаков;
155
4) у(х,у) называют полуопределенной квадратичной формой,
если у(х,у) принимает значения одного знака, но в нуль обра-
щается не только в точке (0,0).
Так, например, у(х,у) = 5х2 + 10у2 — положительно опреде-
ленная квадратичная форма; у(х,у) = 5х2 - 10у2 — неопределен-
ная квадратичная форма; у(х,у) = х2 - 2лу + у2 =(х- у)2 — по-
луопределенная квадратичная форма.
Пусть функция и = fix,у) определена в Ир(АГ0) и имеет там
непрерывные частные производные первого и второго порядков.
Пусть точка Мо (х0, у0) — стационарная критическая для f (х, у),
т. е. одновременно fx(x0,y0) = 0 и fy(x0,y0) = 0. Напишем фор-
мулу Тейлора для функции f (х,у) с центром разложения в точке
Мо(хо,уо):
fix, у)- fix0, у о) = fx (х0 ,y0)ix - х0) + // (х0, Уо) О' “ Уо) +
+ |(/£(£>'П)(х - х0)2 + П) (х - х0)(у - Уо) + /^(^П)О' - Уо)2),
(1)
где (Л,г|) — некоторая точка из и^(М0). Положим
Д = 2(fix,y)-fix0,y0)), x-x0=h, у~Уо=к.
Тогда, приняв во внимание, что по условию /*(х0,У0) = 0 и
fyix<),yf) = 0, получим вместо (1)
д = А2 + 2/" (£,п)ЛЛ + /;;&nU2. (2)
По условию, ffiix,y), ffy(x,y), f"tix,y) — непрерывные в точке
(х0,у0). Поэтому
Z? & ------Г» fx1 > Уо), ffy (£, И)--> fxy (ХО, У0 )>
х р->0 х z р—>0 z
-----^/3(хо,Уо).
у р-»0 у
(Здесь р = 4h2 + к2 .) Следовательно, можно написать
156
f"i (£,n) = /^(хо,Уо) + a, = Z^(x0,y0) + ₽,
f"i (£, П) = /"г (x0 ,Уо) + Y ,
где a,p,y------->0. Введем обозначения A = /Л(хо>Уо),
p->0 л
В = /^(x0,y0), C = f"i (хо,Уо) • Подчеркнем, что А, В и С — по-
стоянные числа (предполагаем, что они не равны нулю одновре-
менно). Теперь выражение для Д может быть записано в виде
Д = Ah2 + 2Bhk + Ск2 + аЛ2 + 2$hk + ук2. (3)
Обозначим хр(й, к) = Ah2 + 2Bhk + Ск2, 8(h,k) = ah2 + 2fihk + yk2.
Отметим, что у(й, к) — квадратичная форма, а 5 (Л, к) не является
квадратичной формой, ибо коэффициенты а, р, у зависят от h и к.
Теорема. I. Если квадратичная форма у(Л,Л) — определен-
ная, то у функции и = f(x, у) в точке Мо имеется строгий
экстремум. Это:
а) строгий минимум, если w(h,k) — положительно опреде-
ленная квадратичная форма, и
б) строгий максимум, если у(Л,&) — отрицательно опреде-
ленная квадратичная форма.
II. Если 1|/(й,Л) — неопределенная квадратичная форма, то у
функции и = f(x,y) вточке Мо экстремума нет.
Замечание. Если y(h,k) — полуопределенная квадратичная
форма, то ничего определенного о наличии или отсутствии экст-
ремума у функции и = f(x,y) в точке без дополнительных
исследований сказать нельзя.
I) Дано: \|/(Л, к) — определенная квадратичная форма. Пусть
для определенности w(h,k) — положительно определенная. Тре-
буется доказать, что функция и = f(x,y) имеет в точке Af0(x0,y0)
строгий минимум.
Положим
h = г cos0,
, . о Тогда
к = г sin 0.
157
W(h,k) = r2 (A cos2 0 + 2 5 cos 0 sin 0 + Csin2 0) = r2y(cos0,sin 0).
Отметим, что v(cos0, sin0) определена и непрерывна на проме-
жутке [0, 2л] и принимает только положительные значения, ибо
cos0 и sinO не обращаются одновременно в нуль. По теореме
Вейерштрасса функция у (cos 0, sin 0) на промежутке [0,2л] при-
нимает свои наименьшее т и наибольшее М значения. Ясно, что
т > 0 и М > 0, ибо все значения функции V (cos 0, sin 0) > 0. Но
тогда, в частности, у(А,А) > тг2 . Имеем
5(Л,£) = r2(acos2 0+ Psin20+ ysin2 0)
=> |5(А,А)| < r2(|a| + |р| + |у|).
У нас a,p,y -» 0 при р —> 0, а р = vA2 + к2 - г. Следовательно,
(| а| + | р| + | у|) — бесконечно малая величина при р —> 0. Значит,
любому е > 0 (в частности, е = т > 0) отвечает г0 > 0 такое, что как
только 0 < г < г0, так сейчас же
(|а| + |р| + |у|)<т.
А тогда |5(А,А)| < тг2 , если 0<г<г0=ф 8(h,k) >-тг2, если
0 < г < г0. Таким образом, получаем
у(А,А) > тг2, для любого г > 0,
5 (А,к) > -тг2, если 0 < г < г0
Д = у(А, к) + 5 (А, к) > 0,
если 0 < г < r0 => fix,у) > /(х0,у0) для любой точки Mix,у), для
которой 0 < 7(х-х0)2 +(У-Уо)2 < го >т- е- > fixa,yQ) для
любой точки Mix, у), лежащей в проколотом круге радиуса г0 с
центром в точке Af0(x0,y0). Следовательно, М0(х0,у0) — точка
строгого минимума для функции и = f(x,y).
Совершенно аналогично устанавливается: если y(h, к) — от-
рицательно определенная квадратичная форма, то М0(х0,у0) —
точка строгого максимума для функции и = fix,у).
158
II) Дано: w(h,k) — неопределенная квадратичная форма.
Требуется доказать, что у функции и = fix,у) вточке Л/0(х0,у0)
нет экстремума.
Так как y(h,k) — неопределенная квадратичная форма, то
обязательно существуют точки (hx,ki) и (й2,£2) * такие, что
ц/(й1,й1)>0, у(Л2Л2)<0.
1) Положим
[h = thi, х-х0 У~Уо , ,
= tki ki v Л
Это — уравнение прямой (/,), проходящей через точку М0(х0,у0).
Имеем
h2 +к2 =t2ih2 +к2) <=> р2 = t2(h2 +к2) => р—>0, если /->0.
Имеем, далее,
у(й,к) = t2iAh2 + IBhiki + С/q2) = /2v(/»i, Jt,);
5(h,k) = t2iah2 + + y^2) = /23(й1,Л1),
где a, 0,y—>0 при р —> 0, а следовательно, а,0,у->О, если
/ 0 => (ай2 + 20^Aq + уй2) -> 0, если / 0, т. е. 3(fy,£]) -> 0
при t -»0. Значит, любому е > 0 (в частности, е =
отвечает (q > 0 такое, что как только 0 < |/| < /ц, так сейчас же
|3(й1Л1)|< у(йьй1).
А тогда |3(й,й)|</2\и(й1,Л1), если 0<|/|</q=> в частности,
6 (й, к) > - Z2-ц/(й1, ki), если 0 < | /| < /6 • Таким образом, получаем
y(h,k) = /2х|г(й1,й1), для любого t, . ZI> ,ч BZ1. Л
т , 1 *' , , => Д = ш(й,й) + 3(й,й)>0,
3 (й, к) > -/2, к{), если 0 < | /| < t'Q
если 0 < |/| < to => fix,у) > /(х0,у0) для любой точки М(х,у),
лежащей в любой близости от точки Мо(хо,Уо) на прямой
Х ,Х° = У . Уо (= 0, исключая точку Мо. Следовательно, у фун-
Л1 *1
кции и = fix,у) вточке Л/0(х0,у0) нет максимума.
159
2) Положим теперь
h = th2, х-х0 у-Уо , .
к = tk2 h2 k2
Это — уравнение прямой (/2), проходящей через точку М0(х0,у0).
Здесь
р2 = й2 + к2 = t2(h^ + к2) => р —> 0, если /->0.
Имеем
y(h,k) = t2(Ah2 + 2Bh2k2 + Ск2) = t2y(h2,k2);
6 (h, к) = t2 (ah2 + 2рй2й2 + Y*2) = /23 (й2, й2),
где а,р,у-»0 при p->0, а следовательно, a,p,y->0, если
t 0 => 6(h2,к2) = (ah2 + 2рй2й2 + уй2) —> 0, если t -> 0. Значит,
любому е > 0 (в частности, е = -y(h2,k2) >0) отвечает /д> 0 та-
кое, что как только 0 < |/| < /о > так сейчас же
|3(й2,й2)|<-у(й2,й2).
А тогда |6 (й,й)| < -t2y(h2,к2), если 0 < | /| < /д => в частности,
3 (й, к) < -/2 у(й2, к2), если 0 < | /| < (q . Таким образом, получаем
V(M) = /W*2). любого !, в д.ч,(ЛЛ + 5(ЛЛ)<0.
3(й,й) <-/^(ЛгЛг), если О<М</о
если О<|/|</о => /(*>>')</(*о,Уо) для любой точки М(х,у),
лежащей на прямой —-— = —т— (= 0 (исключая точку
М0(х0,у0)) ® любой близости от точки ЛГ0(х0,у0). Следователь-
но, у функции и = f(x,y) в точке Af0(x0,y0) нет минимума.
Общий вывод: у функции и = f(x,y) в точке Л/0(х0,у0) нет
экстремума.
Ш°. Исследование квадратичной формы у(х,у) = Ах2 + 2Вху + Су2.
Пусть имеется квадратичная форма у(х,у) = Ах2 + 2Вху + Су2.
Пусть D = АС - В2. Тогда:
160
1) Если D > 0, то у(х,у) — определенная квадратичная фор-
ма, а именно: у(х,у) — положительно определенная, если А > 0,
и у(х,у) — отрицательно определенная, если А < 0.
2) Если D < 0, то ж(х,у) — неопределенная квадратичная
форма.
3) Если D = 0, то у(х,у) — полуопределенная квадратичная
форма.
1) Пусть Р > 0 <=> Л С - Р2 > 0. Но тогда обязательно А * 0.
Так как А * 0, то у(х,у) можно записать в виде
V(x,y) = -UC** + By)2 + (AC - В2)у2].
То
Из этого представления у(х,у) видим сразу, что все значения
у(х, у) одного знака и что знак значений у(х,у) совпадает со
знаком числа А. Имеем, далее:
а) (Ах + By)2 >0, причем Ах + By = 0 лишь в точках прямой
В
линии, имеющей уравнение х = - —
У,
б) (АС - В2)у2 >0, причем (АС - В2)у2 =0 лишь в точках
То
прямой линии, имеющей уравнение у = 0.
Следовательно, одновременно оба слагаемых суммы
(Ах + By)2 + (АС - В2)у2 обращаются в нуль лишь в точке пере-
В
сечения линий у = 0
х - - — у, т. е.
А
и
получили все значения у(х,у) одного
знака и у(х,у) = 0 лишь в точке (0,0).
Значит, у(х,у) — определенная квад-
ратичная форма. Именно: у(х,у) —
положительно определенная, если
А > 0 и v(x,y) — отрицательно опре-
в точке О (0,0). Итак,
161
деленная, если А < 0, так как в рассматриваемом случае (когда
D > 0) знак значений у(х,у) совпадает со знаком числа А.
2) Пусть D < 0. Могут реализоваться следующие случаи:
a) D < О, А * 0; б) D < О, С * 0; в) Р < О, Л = С = О (=>5*0).
Рассмотрим случай а) Р<0, А*0. Так как Л* О, то у(х,у)
представима в виде
V(x,y) = -^[(Лх +Ди)2 + (АС-В2)у2].
D'
А ’
Имеем, например, ш -
у(1,0) = А . Следовательно,
V - ~7»1 • V(l> 0) = D (< 0, по условию).
A J
Видим, что у(х,у) принимает значения разных знаков. Значит, в
этом случае у(х,у) — неопределенная квадратичная форма.
б) D < 0, С * 0. Этот случай обсуждается аналогично случаю а).
Рассмотрим случай в)Р<0,Л = С = 0 (=> В * 0). В случае в)
квадратичная форма v(x,y) имеет вид
у(х,у) = 2Вху.
Видим, что v(x,y) меняет знак вместе с изменением знака произ-
ведения х • у. Следовательно, в случае в) v(x,y) — неопределен-
ная квадратичная форма.
3) Пусть D = 0. Могут иметь место следующие случаи:
a) 5 = 0, А *0; б) Р = 0, С*0;
в) D = 0, А = 0 (=> В = 0); значит, С * 0;
г) D = 0, С = 0 (=> В = 0); значит, А * 0.
Рассмотрим случай a) D = 0, Л*0. В этом случае у(х,у)
может быть записана в виде
W(x,y) = ^-[(Ax + By)2 + (АС-В2)у2] = ±(Ах + By)2
' ^0 '
162
Из этого представления \|/(х,у) видим, что все значения
( В \
у(х, у) одного знака и что, например, у - —, 1 = 0 и у(0,0) = 0.
V A J
Значит, у(х,у) — полуопределенная квадратичная форма.
б) Случай б): D = 0, С * 0 обсуждается аналогично случаю а).
в)Р = 0, А = В = 0 (=>С*0). В этом случае у(х,у) = Су2 * * * б).
Видим, что все значения у(х,у) одного знака и что, например,
ц/(1,0) = 0, у(0,0) = 0. Следовательно, v(x,y) — полуопределен-
ная квадратичная форма.
г) D = 0, С = В = 0 (=> Л * 0) обсуждается аналогично слу-
чаю в).
Таким образом, получили следующее правило для исследова-
ния на экстремум стационарных критических точек функции
и = Лх,у).
1) Находим стационарные критические точки функции
и = fix,у). Для этого определяем все вещественные решения
системы
«' = 0,
и'у = 0.
2) Для каждой стационарной критической точки (х0,у0) вы-
числяем
Л = /«(Хо.Уо)> 5 = /"(х0,у0), С = /^(х0,у0) и D = АС - В2.
а) Если D > 0 и А > 0, то (х0,у0) — точка строгого минимума.
б) Если D > 0 и А < 0, то (х0,у0) — точка строгого максимума.
в) Если /><0, то у функции « = f(x,y) в точке (х0,у0)
экстремума нет.
г) Если D = 0, то без дополнительных исследований ничего
определенного о наличии или отсутствии экстремума в точке
(х0,у0) сказать нельзя.
Рассмотрим, например, функцию и = у2 - 2х2у .
1) Находим для этой функции стационарные критические точки.
и'х =0, f - 4ху = 0,
и'у = 0 2у - 2х2 =0
=> Точка О (0,0) —единственная стационарная критическая точка.
163
2) Имеем
А = (О,0) = - 4у|(00) = О, В = /" (0,0) = - 4х|(0 0) = О,
С = /"(0,0) = 2.
Следовательно, D = АС - В2 = 0, так что нужны дополнительные
исследования.
Имеем и (0,0) = 0. Возьмем линию у = х2, проходящую через
точку (0,0). В точках этой линии и = -х4 => и < 0, причем и = О
лишь в точке (0,0). Значит, у нашей функции в точке (0,0) нет
минимума.
Возьмем теперь линию х = 0, проходящую через точку (0,0).
В точках этой линии и = у2 > 0, причем и = 0 лишь в точке
(0,0). Значит, у нашей функции в точке (0,0) нет максимума.
Общий вывод. У функции и = у2 - 2х2у в точке (0,0) нет
экстремума.
IV°. Исследование стационарных критических точек в случае
функций более чем двух переменных.
Пусть функция и = f(xt,x2,... ,х„) определена в некоторой
области (Р) ((D) с R") и пусть точка Л/0(х10,х20,..., хл0) е <Р) •
Пусть и = /(Х],х2,..., хл) имеет в окрестности i/p(Af0) точки Мо
непрерывные частные производные первого и второго порядков.
Пусть точка Мо (х10, х20,..., хл0) — стационарная критическая точ-
ка для f(xltx2,...,x„), т. е. одновременно fxt(MQ) = 0,
f'2(M0) = 0, ..., /'п(М0) = 0. Напишем формулу Тейлора для
f(xl,x2,...,xn) с центром разложения в точке Мо (х10, х20,..., хл0):
/(Xi,X2, ..., х„) - /(х10,х20,..., хя0) =
1 2
= #(Х1о.х2о,---,хпо) + — d V(*io + 0Дх1. • • •, х„0 + 0Дх„) =>
^0
=> А = 2[/(хьх2, ..., х„) -/(х10,х20,..., хл0)] =
= 1 fx,xk (*ю + 0Д*1, -, х«о + 0Д*л)Ах, Ах* .
|,Л=1
164
По условию, f"Xk (х(, х2, ) непрерывны в точке ЛГ0. Поэтому
fx,xk (х10 + 0Д *!>•••> *л0 + 0Д*Л ) fx,xk (*10 > *20 » • • • > Хп0 ) ,
где р = д/(Дх( )2 + ... + (Дхл)2 . Следовательно,
fx'xk (*ю + 0А*1. • • • > х„0 + 0Дхл) = f"Xk (Хю, х20, • • •, хл0) + <*ik ,
где аЛ-------->0 (/,Л = 1,л). Введем обозначение aik =
р->0
= f"Xt (х10,..., хя0). Отметим, что aik (i,k = 1,л) — постоян-
ные числа. Теперь выражение для Д может быть записано в виде
Д = Дх/Дх* + £ад Дх< Дх*г = Ж(Д*1, • • •, Дх„) + 5 (ДХ1,..., Дх„).
/,*=1 <Л=1
Здесь у(ДХ1,..., Дхл) — квадратичная форма относительно пере-
менных Дхь...,Дхл; 5(Дхь..., Дхл) — не есть квадратичная
форма относительно Дхь...,Дхл, ибо коэффициенты aik
(i,k = 1,л) зависят от Дхь..., Дхл.
Теорема. I. Если квадратичная форма у(Дхь..., Дхл) — оп-
ределенная, то у функции и = f{xx,x2,... ,хл) в точке
Л/0(*ю,*20> ••• > *ло) имеется строгий экстремум. Это:
а) строгий минимум, если у(Дхь ..., Дх„) — положительно
определенная квадратичная форма, и
б) строгий максимум, если у(Дхь..., Дхл) — отрицательно
определенная квадратичная форма.
II. Если у(ДХ],..., Дхл) — неопределенная квадратичная фор-
ма, то у функции и = f(xx,x2,..., хл) в точке Л/0(*ю>*20> ..., хл0)
экстремума нет.
(Принимаем без доказательства; оно аналогично доказатель-
ству теоремы для случая двух переменных.)
Замечание 1. Если у(АХ[,..., Дхл) — полуопределенная квад-
ратичная форма, то без дополнительных исследований ничего
165
определенного о наличии или отсутствии экстремума у функции
и = f(xltx2,... ,хп) в точке Л/о(Х|О,х2о, • ••, хя0) сказать нельзя.
п
Замечание2. Пусть у(ДХ1,..., Дхл) = £алДх;ДхА — квадра-
i,k=\
тичная форма. Из алгебры известно (критерий Сильвестра):
1) Для того чтобы квадратичная форма у(ДХ],, Дх„) была
положительно определенной, необходимо и достаточно, чтобы было
«11 «12 «13
„ л «и «12 л «И > 0’ z. z. > 0’ «21 «22 «23 >0, ...,
«21 «22
«31 «32 «33
«11 «12 •
«21 «22 • >0
«Л1 «л2 • •• апп
2) Для того чтобы квадратичная форма у(Дхь..., Дхл) была
отрицательно определенной, необходимо и достаточно, чтобы было
«п < О,
>0,
«11 «12
«21 а22
аП «12
«21 а22
«31 «32
«13
«23
«33
«11 «12 • а1п
(-1)" «21 «22 • •• *2л >0
«л1 «л2 • апп
<о,
§3. Условные (относительные) экстремумы
I’. Пусть функция
И = f(Xi,X2, ..., x„,ylty2,..., ут) (1)
определена в некоторой области (D) ((D) с R"+m). Пусть перемен-
ные %!,..., хп, у!,..., ут подчинены еще т дополнительным усло-
виям вида
166
F1(x1)...,x„,y1,...,ym) = 0,
F2(xx,...,x„,yx,...,ym) = 0,
(2)
Fm(xl,...,x„,yl,...,ym) = 0.
(Условия (2) называются уравнениями связи.)
Пусть точка Af0(x10,..., хло,Ую> ••• >Уто)е (^) и такая, что ее
координаты удовлетворяют уравнениям связи (2). Пусть и8(ЛГ0) —
некоторая 3-окрестность точки (us(M0) с (D)). Пусть Е —
множество всех точек из м8(Л/0), координаты которых удовлет-
воряют уравнениям связи (2).
Определение. Говорят, что точка Мо является точкой услов-
ного максимума для функции и = f{xx,..., хп,ух,... ,ут) при на-
личии связей (2), если оказывается, что для любой точки М из Е\
Совершенно аналогично определяется условный минимум
в точке Мо функции и = f(xx,..., хп,ух,... ,ут) при наличии
связей (2).
Поясним различие между обычным и условным экстремума-
ми функции на следующем простом примере.
Пример. Рассмотрим функцию
z = x2+y2. (Т)
Ясно, что эта функция имеет в точке (0,0) строгий минимум (обыч-
ный) zmin =z(0,0) = 0.
Подчиним теперь переменные х и у дополнительному условию
х+у-1=0 (fi(x,y) = 0). (2)
Заметим, что точка (0,0) не может быть точкой условного экстре-
мума для функции z = х2 + у2 при наличии связей (2) хотя бы
потому, что координаты точки (0, 0) не удовлетворяют уравнению
связи (2). Ниже будет показано, что у функции z = х2 + у2 при
наличии связи (2) существует условный минимум в точке I —, — I
fl П 1
И ЧТО zmin
167
zn
Рис. 4.4
..., ym0) является точкой
Отметим, что zmin = z(0,0) = О
есть наименьшая среди всех аппли-
кат поверхности, определяемой
/7. М П
уравнением (1), a zmin = Я -, -1 =
1
= — наименьшая среди аппликат
этой поверхности, соответствующих
точкам прямой х + у-1 = 0. 4
Пусть точка Мо (х10,..., х„0, у10,
условного экстремума функции
и = f(x{,..., x„,ylt... ,ут) при наличии связей (2).
Предположим, что функция
м = /(х1,х2,...,хл,У1^..,уот)
ифункции /}(хь ... ,x„,y,,... ,ут) (/ = 1,/л) в окрестности ы8(Л/0)
точки Mq непрерывны и имеют непрерывные частные производ-
ные первого порядка. Предположим, далее, что
Дх10,
•>Уто) = а/; Эу1 dF2 Эу1 ду2 dF2 Эу2 dFi дУт ЪР2 дУт *0
Ыт
ЭУ1 ду2 дУт (•)М0
Тогда по теореме об однозначной разрешимости системы уравне-
ний (см. теорию неявных функций) заключаем, что система (2)
однозначно разрешима, т. е. определяет функции
У1 =<р1(х1,х2,...,х„),
У2 =<f>2<Xi,X2,...,X„),
Ут =<Рт(^1,Х2,...,Хл),
(3)
которые в окрестности точки Af0(x10,x20,..., хл0) непрерывны и
имеют непрерывные частные производные (i = 1,т, к = l,n).
Эх*
168
Если теперь в выражении и = f(x{,x2,..., х„,у1гу2,..., ут) вкаче-
стве yit у2, ..., ут иметь в виду соответственно Ф1(х1,х2,..., х„),
<р2(*1,*2, •••>*«). •••> Фт(Х1,Х2,...,Хл), ТО получим
и = /(х1,х2,...,хл;ф1(х1,х2,.. .,x„);...;<pOT(xj,x2,...,x„)) =
= Ф(х1,х2,...,х„), (4)
где Ф(х1гх2,... ,х„) — сложная функция.
Видим, что существование условного экстремума в точке
M0(x10,...,xn0,y10,...,ym0) у функции и = f(xl,x2,...,xn,yl)y2,
...,ут) при наличии связей (2) равносильно существованию
обычного экстремума у функции и = Ф(х1гх2,..., х„) в точке
JHo(xlo,...,x„o).
Заметим, что если нам фактически удается разрешить систему
(2) относительно у2, ..., ут, т. е. найти явные выражения
для функций (3), то задача о нахождении условного экстремума
функции и = f(x{,x2,..., xn,ylfy2,... ,ут) при наличии связей
(2) сводится к задаче о нахождении обычного экстремума функ-
ции и = Ф(х1эх2,..., х„) способом, изученным раньше.
Поясним сказанное на примере, приведенном выше. Из урав-
нения связи находим у = 1 - х. Подставляем найденное выраже-
ния для у в соотношение z = x2+y2. Получаем z = х2 +
+ (1 - х)2 = 2х2 - 2х +1. Исследуем на экстремум функцию
, 1
Z = 2х - 2х +1. Имеем z'x = 4х - 2 => z'x = 0, если х = —. Точка
1
х = — — стационарная
критическая для функции одной пере-
менной z = 2х2 - 2х +1. Имеем, далее, z"i = 4 => в частности,
= 4 (> 0). Следовательно, точка х = — — точка строгого
минимума для функции z = 2х2 - 2х +1. Из уравнения связи
169
1 1 □ fl в
получаем У = ~^, если х~2' ^начит’ точка I 2’2) ~ точка
строгого условного минимума для функции z = х2 + у2 при нали-
1=1
) 2'
чии связи х + у -1 = 0; Zmin = ZI —»
Обсудим случай, когда систему (2) не удается фактически
разрешить относительно переменных ylt .... ут, т. е. когда не
удается получить явные выражения для функций (3).
Найдем для этого случая хотя бы необходимые условия суще-
ствования экстремума у функции и = f(xt,..., хп,у1,..., ут) при
наличии связей (2).
Итак, пусть точка Af0(x10,..., хя0,у10,... ,ут0) является точ-
кой условного экстремума функции и = f(xl,...,xn,yl,...,ym)
при наличии связей (2). Это значит, что точка М0(х]0,... ,хп0)
является точкой обычного экстремума функции и - Ф (jq,..., х„).
Поэтому должно быть
ЭФ . ЭФ
— ох1 +--------------
(.)Мо
dx2 +..
(Wo
ЭФ
Эх„
dx„ = 0.
(5)
(Равенство (5) — тождественное относительно dxr, dx2, ..., dxn ,
ибо dxlt dx2, ..., dxn — дифференциалы независимых перемен-
ных, и, следовательно, dx} = Ajq , dx2 = Дх2 , ..., dxn = Дх„ , где
Дхь Дх2, ..., Дхя — произвольные приращения.) Так как пол-
ный дифференциал первого порядка сложной функции обладает
свойством инвариантности формы, то условие (5) может быть за-
писано в виде
Э/
ЭХ!
dx{
(Wo
df
Эх2
dx2 + ... + ——
(УМ» дХ" (Wo
dxn +
Э/
Эу1
. df
dyi + ... + -^
(Wo ду‘
dym=0.
(6)
« (Wo
(Заметим, что левая часть (6) равна нулю не тождественно относи-
тельно dxlf ..., dxn, dyit ..., dym, ибо dyx, ..., dym не являются
170
произвольными.) Подчеркнем, что если в уравнениях связи (2)
вместо ух, ут иметь в виду функции ср^Х],..., хп), ....
Фт(х!,..., х„) соответственно, то получим тождества
fi(xi,..., x„,<pi(xb..., x„),..., <pm(Xi, ..., хл)) = О,
^(Xj, ..., Х„,<Рх(Хх, ..., хл),..., <pm(xb ..., x„)) = 0,
••• , *л.<Р1(*1> ••• . X„), ... , (pm(Xx, ... , X„)) s 0,
и, следовательно, dFt =0, dF2 = 0, ..., dFm = 0, t. e.
[ dFl А Э^Л' + - э^Л1 + ' +^Л”+^+-+^-=0> +irdXn++ +=°’ дхп дУ1 дУт (7)
^-dxj +.. Эх] dFm t dFm . dFm . •++~^rdyi + -+'^rdym = °- дУт
Отметим, что соотношения (7) выполняются, в частности, в точке
Mq . Станем рассматривать систему (7) в точке Мо. Она линейная
относительно неизвестных dy{, ..., dym. Так как определителем
системы (7) при неизвестных dylt ..., dym является якобиан J(MQ),
а он не равен нулю, то система (7) имеет единственное решение.
Найдем из (7) выражения для dylt ..., dym через rfxb ..., dx„ и
подставим их в (6). После приведения подобных членов получим
соотношение вида
Axdxx + A2dx2 + ... + A„dxn = 0. (8)
В соотношении (8) dx{ = Axj, dx2 = Дх2 ,..., dx„ = &x„ — произ-
вольные приращения. Положив в (8) Axj = 1,
Дх2 = Дх3 = ... = Дхл = 0, получим А{ = 0. Положив затем ДХ1 = 0,
Дх2 = 1, Дх3 = ... = Дх„ = 0, получим А2 = 0, и т. д. Положив,
наконец, ДХ[ = Дх2 = ... = Дхл_! - 0, а Дхл = 1, получим А„ = 0.
Таким образом, из соотношения (8) следует, что
4=0, 4=0, ..., 4=0. (9)
171
Если к соотношениям (9) присоединить т уравнений связи, кото-
рым удовлетворяют координаты точки Мо(х1о, ., Хл0,У10, ... , Упл),
то получим систему из (и + т) уравнений для определения (п + т)
координат (х10,... , Х„0»У10> ••• > Уто) ТОЧКИ возможного условного
экстремума функции и = f(xx,..., х„, У!,..., ут) при наличии свя-
зей (2).
1Г. Метод Лагранжа для отыскания точек, подозрительных на
условный экстремум.
В предыдущем пункте I, при рассмотрении вопроса об услов-
ном экстремуме, переменным хь..., х„ и переменным уь..., ут
отводились разные роли, а именно: Xi,...,x„ трактовались как
независимые переменные, а уь..., ут — как зависимые. Лагранж
предложил метод, при котором все переменные равноправны.
Умножим равенства (7) из §3, соответственно, на произволь-
ные (пока неизвестные) множители Х2, ..., и результаты
почленно сложим с (6). Получим
Э/ . dF{ . dF2 . dFm} .
Эх, ЭХ] 9Xj dxj )
' df , dfj . ЭГ2 .
Э/ . dFx . dF2 . ZFm \ .
4— + ^1 4— + ^2 4— + ••• + 4----Г^л +
Эх„ Эхя Эх„ ОТ J
Э/ , Э/i . ЭГ2 . ,
ЭУ1 1 ЭУ! 2 ЭУ! т ЭУ! ) 71
(10)
( Э/ . dFj . ЭГ2 , dFm\,
+[^+х,^+Х2^+--'+х"^Г"“0'
Все производные в соотношении (10) вычислены в точке
М0(х10)... ,хп0,у10,, ут0) (мы пока сохраняем неравноправие
переменных).
Попытаемся подобрать числа Хь Х2, ..., Хт такими, чтобы
обращались в нуль коэффициенты при зависимых дифференциа-
лах dylt dy2, ..., dym, т. е. чтобы было
172
df . dFi . dF2 . dFm л
ЭУ1 dyi dyi dyi
дУт дут дут
w^ = o.
тЭуп
(И)
Видим, что такие числа обязательно найдутся, ибо (11) есть линей-
ная система относительно Ль Л2, ..., кт с определителем
/(х10,..., хя0, Ую,..., Уто) * 0. Если ввести в рассмотрение функ-
цию (функцию Лагранжа)
V = / + +X2f2 + ... + ’kmFm, (12)
то система (11) запишется в виде
?-=«
Эу,
' 0.
Ъут
(й)
Заметим, что если в качестве чисел Х2, ..., Лот брать их значе-
ния, определяемые системой (11) (или, что то же самое, системой
(11)), то соотношение (10) через функцию Лагранжа с учетом (11)
запишется в виде
В соотношении (13) dxx, dx2, ..., dx„ — дифференциалы незави-
симых переменных, т. е. dx{ = Дх,, dx2 = Дх2 , ..., dxn = &хп , где
Дхь Дх2, ..., Дх„ — произвольные приращения.
Положив в (13) Дх, = 1, Дх2 = Дх3 = ... = Дх„ = 0, получим
= 0. Положив затем Дх! = 0, Дх2 = 1, Дх3 = ... = Дх. = 0,
vXj
Эш _
получим ^- = 0, и т. д. Положив, наконец, Дх1=Дх2= - =
ох2
= Дхи-1 = 0, а Дх„ = 1, получим = 0. Таким образом, при
дх„
173
указанном выше выборе чисел Xj, Л2, Хт, получаем, что в
точке Л/0(х10,..., х„0,у10,..., у„о) возможного условного экстре-
мума должно быть
> = о,
Эхй
Эж=0 (14)
Эу1
*L = 0.
дхт
Если к уравнениям системы (14) присоединить уравнения связи (2),
то получим систему (п + 2т) уравнений для определения (п + 2т)
неизвестных. Этими неизвестными являются X,, Х2, .... Хт и ко-
ординаты (х10,..., хя0,у10,..., ут0) точки Mq возможного условно-
го экстремума.
ИГ. Замечание о достаточных условиях для условного экстремума.
Пусть имеется функция
и = /(х1,х2,...,хп,У1,у2,...,ут) (1)
и уравнения связи
F1(xi,...,x„,y1,...,ym) = 0,
(2)
Fm(x1,...,x„,y1,...,ym) = 0.
Считаем, что функции/и Ft (/ = 1,/и) определены в области (D)
((D) с R"+m). Пусть точка Л/0(^ю, •••, х„0»Ую> •••, Уто) —стацио-
нарная критическая точка для функции Лагранжа
V = / + Xifi + ... + XmFm. (12)
Пусть us(M0) — 5-окрестность точки Мо (считаем, что
и8(Л/0) с (D)). Предполагаем, чтофункции/и F, (/ = Ё/й) имеют
в и8(ЛГ0) непрерывные частные производные первого и второго
порядков.
174
Пусть Е— множество всех точек из м6(Л/0), координаты
которых удовлетворяют уравнениям связи (2). Следовательно,
FX(M) = F2(M) = ... = Fm(M) = 0, если точка МеЕ. Но тогда для
любой точки МеЕ будем иметь
Д/ = ДМ) - ДМ0) = у(М) - у(М0) = Ду . (15)
Для функции V напишем формулу Тейлора с центром разложе-
ния в точке Мо:
где N — некоторая точка из и5(М0). Так как точка Мо — стацио-
нарная критическая для функции V, то = 0 и, следовательно,
ДЧ' = |</2Ч'|ЛГ (16)
Введем в рассмотрение </2у . Имеем
1ЛГ0
</2у| =
1м0
X X 3,3, д ,
—ах, +—ах7 +...+—ах„ +—ау, +...+-аут
а»! 1 Эх2 2 дх„ ” дУ1 71 зУт Ут
+
(•)М0
Но =0, ..., =0 (см. (11)). Поэтому
М0 дУт
, Э j д , Э , |
Л1+-хл'+^‘*,,+ ^Чv
(17)
(•Wo
Отметим, что d2у| не является квадратичной формой относи-
1Л/о
тельно dxlt ..., dx„, dylt ..., dym, так как дифференциалы
dyit ..., dym зависят от дифференциалов dxlt ..., dxn.
175
У нас зависимые и независимые дифференциалы связаны
системой линейных соотношений (7). Так как по условию опре-
делитель J(M0) * о, то из (7) зависимые дифференциалы
dylt ..., dym выразятся линейно через независимые dxx, ..., dxn.
Если в соотношение (17) подставить вместо dyx, ..., dym их
выражения через dxx, ..., dxn, то для получим квадратич-
1Л/о
ную форму относительно дифференциалов dxx, ..., dxn. Можно
доказать, что:
1) Если эта квадратичная форма окажется определенной, то у
функции и = f(xx,... ,х„,у{,... ,ут) при наличии связей (2) в
точке Мо будет условный экстремум. Это:
а) условный минимум, если квадратичная форма положитель-
но определенная, и
б) условный максимум, если квадратичная форма отрицатель-
но определенная.
2) Если же упомянутая квадратичная форма окажется неопре-
деленной, то условного экстремума в точке Мо у функции
и - /(*!,•••»хп,ух,... ,ут) при наличии связей (2) нет.
(Доказательства справедливости утверждений 1) и 2) интере-
сующийся может найти в книге Л.Д. Кудрявцева "Курс математи-
ческого анализа”, т. 2, а также в книге Г.М. Фихтенгольца “Курс
дифференциального и интегрального исчисления”, т. 1.)
§4. Примеры и задачи на экстремумы
функций нескольких переменных
Пример 1. Исследовать на экстремум функцию
z = х1 -ху + у2 -2х + у
Решение. Находим частные производные z'x = 2х - у - 2,
z'y = -х + 2у +1. Стационарные критические точки находим из
системы
;=о
;=о
2х-у-2 = 0
2у - х +1 = О
х = 1, у = 0.
Значит, точка Af^l, 0) — стационарная критическая.
Для проверки достаточных условий локального экстремума
находим частные производные второго порядка: z"i = 2, z'^ = -1,
z"i = 2. Имеем
176
А = 1"г(М1) = 2, B = z^(Mi) = -l,
С = = 2, D = AC - В2 = 3 (> 0).
Так как D > 0 и А > 0, то Мх (1,0) — точка строгого минимума
^tnin = Z (1, 0) = —1 .
Пример 2. Исследовать на экстремум функцию
z = х3 + у3 - Злу •
Решение. Имеем z'x = Зх - Зу, zy = Зу - Зх. Стационарные
критические точки находим из системы
z'x = 0,
Zy = 0
х2 - у = 0, Xi = 0, У1 = 0,
у2 -х = 0 х2 =1, у2 =1.
Значит, Л/, (0,0) и Л/2(1,1) — стационарные критические точки.
Имеем, далее, z'S = 6х, z'^ = -3, z"i = бу.
1) Для точки М\(0,0):
Л = г "> (0,0) = 0, B = z"(0,0) = -3,
С = г;г(0,0) = 0, D = АС - В2 =-9 (<0).
Следовательно, у заданной функции в точке Мх(0,0) экстремума нет.
2) Для точки М2 (1,1):
Л = ^(1,1) = 6, 5 = z"(l,l) = -3,
С = z"2(l, 1) = 6, D = АС - В2 = 27 (> 0).
Так как D > 0 и А > 0, то М2 (1,1) — точка строгого минимума;
^min = Z(l, 1) = —1 .
Пример 3. Исследовать на экстремум функцию
Z = 2х4 + у4 - х2 - 2у2 •
Решение. Имеем z'x = 8х3 - 2х, z'y = 4у3 - 4у. Стационарные
критические точки находим из системы
zx = 0,
z'y = 0
х(4х2 -1) = 0,
. у(у2 -1) = 0
=> Xi=0,yi=0; х2=0,у2=1; х3=0,у3=-1;
177
1-1.1. 1 A
X4 = -, y4 = °; x5=-,ys=l; x6=-,y6=-l; x7=--,y7=0;
1 1
*8 = -jJ» =1; x9=——,y9=—l.
Значит, A/i(O,O), M2(0,1) , ЛГ3(О,-1), Л/4||,0|, M5[|, 1
к £ J к X
м6[ I. -11, м\-1 ol, Ms(-1 11, M9[-1 -1
к X J \ £ J \ £ J kx
— стационар-
ные критические точки.
Имеем, далее, z"i = 24х2 - 2, z'^ = 0, z"i = 12у2 - 4.
1) Для точки Afj(0,0):
А = (0,0) = -2, В = г" (0,0) = О,
с = г;2(0,0) = -4, D = АС - В2 = 8 (> 0).
Так как Z)>0 и А < 0, то Afj(0,0) — точка строгого максимума;
Zmax =Z(0,0) = 0.
2) Для точки Л/2 (0,1):
A-Z"z (0,1) = -2, Д = С*(0,1) = 0,
С = z''2(0,1) = 8, D = АС-В2 = -16 (<0).
Следовательно, в точке Af2(0,1) экстремума нет.
3) Для точки М3 (0, -1):
А = z"2 (0,-1) = -2, В = г" (0,-1) = 0,
С = г"2 (0,-1) = 8, В = АС-В2 =-16 (<0).
Следовательно, в точке М3(0, -1) экстремума нет.
4) Для точки »0^:
Л = <Д.о1 = 4, 5 = z"f|,ol = O,
х ) ^2 J
С = г;г(|,°1 = -4, D = АС-В2 =-16 (<0).
178
Следовательно, в точке Л/ji, О
экстремума нет.
5) Для точки М5
Л = <'Л,11 = 4, 5 = 11 = 0,
C = z"/|,ll = 8, D = АС-В2 =32 (>0).
Так как D>0 и Л > 0, то М5
— точка строгого минимума;
6) Для точки М6
А = z"2 \ | -11 = 4, В = z“ \ | -11 = 0,
х 12 ) *4 2 )
С = г*/1,-11 = 8, D = АС-В2 = 32 (>0).
Так как Л>0иЛ>0,тоЛ/б
— точка строгого минимума;
7) Для точки Л/7(- -i, oj:
Л=<'/-|,о1 = 4, Д = г"(-1,о1 = О,
C = z"2f-l,ol = -4, D = AC-B2 =-16 (<0)
у I 2 )
Следовательно, в точке
экстремума нет.
179
8) Для точки Af8^- —, 1J :
д = г;/-1 11 = 4, * = zJ-l 11 = о,
Л V 2 ) у 1 )
с = z''/-1,11 = 8, D = АС-В2 =32 (> 0).
Таккак £)>0иЛ>0,то Af8|
— точка строгого минимума;
9
8 ’
9) Для точки М9\
Л = Л-1 -11 = 4, 5 = Л-1,-11 = 0,
x V 2 ) 'V 2 )
С = Л-1,-11 = 8, D = АС - В2 =32 (>0).
Так как 2)>0иЛ>0,то Л/9^- —, - 1J — точка строгого миниму-
( 1 Л 9
ма, zmjn zl 2 > * I g •
Пример 4. Исследовать на экстремум функцию z = (х - у +1)2.
Решение. Имеем z'x = 2(х - у +1), z'y = -2(х - у +1). Стацио-
нарные критические точки находим из системы
zi=0, j 2(х-у+ 1) = 0,
Zy = 0 - 2(х - у +1) = 0
=> все точки прямой х - у +1 = 0 — стационарные критические.
Имеем, далее, z"i = 2, z'^ = -2, z”i = 2. Следовательно, в каж-
дой точке прямой х - у +1 = 0: А = 2, В = -2, С = 2,
D = АС -В2 = 0. Нужны дополнительные исследования.
По виду заданной функции замечаем, что z = 0 в каждой
точке прямой х - у +1 = 0 и что z > 0 в любой точке плоскости,
180
не лежащей на этой прямой. Значит, каждая точка прямой
х - у +1 = 0 является точкой нестрогого минимума.
Пример 5. Исследовать на экстремум функцию
z = х2у3(6-х-у).
Решение. Имеем z'x = лу3(12 - Зх - 2у), z'y = х2у2(18 - Зх - 4у).
Стационарные критические точки находим из системы
z'x = О,
z'y = О
ху3(12 - Зх - 2у) = О,
х2у2(18 - Зх - 4у) = О
х = 0, у - любое;
у = 0, х - любое;
х = 2, у = 3.
Значит, точки М{(2,3); М2(0,у), уе( — О©5 4- оо) и Af3(x, 0),
х е (-оо, + оо) — стационарные критические точки. Имеем, далее,
z"i = 12у3 - бху3 - 2у4, z'^y = Збху2 - 9х2у2 - 8ху3,
z"i = Збх2у - 6х3у - 12х2у2 .
1) Для точки Mi (2,3):
А = z"i (2,3) = -162, В = z" (2,3) = -108, С = z"i (2,3) = -144,
Л У у
D = АС - В2 = 162• 144-1082 >0.
Так как D > 0, А < 0, то Мх (2,3) — точка строгого максимума;
гтах =г(2,3) = 108.
2) Для точек ЛГ(О, у):
А = (0, у) = 12у3 - 2у4, В = z'iy (0,у) = 0,
c = z;z2(o,y) = o, d = ac-b2=q.
Нужны дополнительные исследования.
Найдем приращение заданной функции в точке ЛГ2(0,у).
Имеем
Л z(0, у) = /(0 + Дх, у + Ду) - /(0, у) = /(0 + Дх, у + Ду) - 0 =>
=> Дг(о, у) = (Дх)2 (у + Ду)3 (6 - Дх - у - Ду) =
= (Дх)2(у + Ду)2[б (у + Ду) - Дх(у + Ду) - (у + Ду)2 ] •
Видим, что знак приращения Дг(0, у) определяется знаком величины
181
[б(у + Ду) - Дх(у + Ду) - (у + Ду)2] •
При достаточно малых Дх и Ду знак величины, стоящей в квад-
ратных скобках, будет совпадать со знаком величины (бу - у2),
когда (бу - у2) * 0. Выясним, для каких значений у : бу - у2 > О
и для каких значений у : бу - у2 < 0.
а) бу - у2 = у (6 - у) > 0 для 0 < у < 6.
Так как z(M2) = z(O,y) = 0 и так как Дг(0,у) > 0 для у е (0, 6),
то заключаем, что заданная функция в точках М2($,у), когда
О < у < 6, имеет нестрогий минимум.
6) бу - у2 = у(6 - у) < 0 для у = (-«», 0) U (6, +«).
Так как z(M2) = z(O,y) = 0 и так как Дг(0,у)<0 для
у = (- °о, 0) U (6, + о°), то заключаем, что заданная функция в точках
М2 (0, у), когда у = (- оо, 0) U (6, + ~), имеет нестрогий максимум.
Отметим, что в точках М2(0,0) и Л/2(0,6) функция
z = f(x,y) экстремума не имеет, ибо при х = 0 приращение
Дг(0,у) меняет знак при переходе переменной у через точки
у = 0 и у = 6.
3) Для точек М3(х, 0):
А = z"xl (х, 0) = 0, В = г" (х, 0) = 0,
С = г "2 (х, 0) = 0, Р = ЛС-Д2=0.
Нужны дополнительные исследования.
Найдем приращение заданной функции г = /(х,у) в точке
М3(х, 0). Имеем
Дг(х, 0) = /(х + Дх, 0 + Ду) - /(х,0) = /(х + Дх, 0 + Ду) - 0 =>
=> Дг(х, 0) = (х + Дх)2 (Ду)3 (6 - х - Дх - Ду) =
= (х + Дх)2(Ду)2[бДу - хДу - ДхДу - (Ду)2 ] •
182
Видим, что знак приращения Лг(х, 0) определяется знаком вели-
чины [бДу - хДу - ДхДу - (Ду)2 ] • При достаточно малых Дх и Ду
знак величины, стоящей в квадратных скобках, будет совпадать со
знаком величины (6-х)Ду. Следовательно, для хе(-°°, 6):
Дг(х, 0) > 0, если Ду > 0, и Дг(х, 0) < 0, если Ду < 0; для
х е (6, + °°): Дг(х, 0) < 0, если Ду > 0, и Дг(х, 0) > 0, если Ду < 0.
У нас в точках Л/3(х,0): z(x, 0) = 0 (z = 0 в точках оси Ох).
При переходе через ось Ох функция z = f(x,y) меняет знак как
для х е (-о», 6), так и для х 6 (6, +~). Следовательно, в точках
М3(х, 0), х е (-оо, +«•) функция z = fix,у) экстремума не имеет.
Пример 6. Исследовать на экстремум функцию z = х4 + у4 -
-х2 -2ху-у2.
Решение. Имеем z'x = 4х3 - 2х - 2у, z'y = 4у3 - 2х - 2у. Ста-
ционарные критические точки находим из системы
z'x = 0, Ьх3 - х - у = 0,
z'y = 0 [2у3 - х-у = 0
=> xj =O,yj =0; х2 = 1,у2 =1; х3 = -1,у3 = -1.
Значит, Mi(0,0) , Л/2(1,1), Af3(-1,-1) — стационарные критиче-
ские точки. Имеем, далее, z"i = 12х2 - 2, z'£y = -2, z"z = 12у2 - 2.
1) Для точки Мх (0,0):
А = z"x2 (0,0) = -2, В = z'ty (0,0) = -2,
С = z'z2 (0,0) =-2, D = AC-B2=Q.
Нужны дополнительные исследования. Имеем z(0,0) = 0.
а) Возьмем линию у = х, проходящую через точку (0,0) .
В точках этой линии z = 2х4 - 4х2 = 2х2(х2 - 2) => z < 0, если
0 < |х| < Л. Значит, в точке (0,0) нет минимума.
183
Рис. 4.5
б) Возьмем теперь линию у = -х,
проходящую через точку (0,0). В точ-
ках этой линии z = 2х4 > 0, причем
Z = 0 лишь в точке (0,0). Значит,
в точке (0,0) нет максимума.
Общий вывод. У функции
Z = f(x,y) в точке (0,0) нет экстре-
мума.
2) Для точки М2 (1,1):
>< = <2 (1,1) = 10, В = z"(l,l) = -2,
С = z"2 (1,1) = 10, D = АС-В2 =96 (>0).
Так как D > 0 и А > 0, то ЛГ2 (1,1) — точка строгого минимума;
^min = ^(1> 1) = ~2 •
3) Для точки М3(-1, -1):
А = z“t (-1, -1) = Ю, В = z" (-1, -1) = -2, С = z"i (-1, -1) = Ю,
Л 7 у
D = АС-В2 = 96 (>0).
Так как Р>0иЛ>0,то Л/3(-1, -1) — точка строгого минимума;
^min = ^(—1, — 1) = ~'2 .
Пример 7. Исследовать на экстремум функцию
50 20 . п п.
z = ху + — + — (х > 0, у > 0).
X у
п „ , 50 , 20 _
Решение. Имеем zx = У —у, zy = х —Стационарные кри-
тические точки находим из системы
Zx = 0,
z'y = 0
У~Т2= °’
20 п =* х = 5, у = 2.
х—т- = 0
У
184
Значит, Л/(5, 2) — стационарная критическая точка. Имеем, да-
лее, z"i = , zZ =1, z"i = . Для точки М(5,2):
X ' у
Л = г;2(5,2) = |, В = 2^(5, 2) = 1,
С = Zy2 (5,2) = 5, D = АС - В2 = 3 (> 0).
Так как D>Q и A > 0, то M(5,2) — точка строгого минимума;
Zmin = z(5,2) = 30.
Пример 8. Исследовать на экстремум функцию
х2 2
Решение. Должно быть: 1 - - Аг > 0 <=> ^- + ^-<1. Имеем
а2 Ь2 а2 Ъ2
. 2х2 у2>
Ьг;
а2 Ъ2
2 2
X у
J-*-”
х2 у2
(Г Ъ2
___X
I Д
4l-7
У2
b2
У
(. х2
Zy =
Г а2 Ъ2
2y2
b2
2 2
х у
(считаем, что —=• + < 1). Стационарные критические точки,
аг Ь*
лежащие внутри эллипса, находим из системы
(2 2 А
( 2 2\
х i_2L_22L =о
«2 Ь2
z'x = О,
z' =0
n л a b
*1 =0, У1 =0; x2 =-j=, y2 =-j=-
185
a b a b
хз=-7=>3'з=—7=; хь =—=, y4=-=;
V3 7з Л Л
a b
x5 =—j=, y5 =—=
Л 7з
Значит, Л/^О.О), Л/2(-7=.-^|. ^3 -7=
b
, м4 -
a b
., I а b |
м 51 ~ ~ I — стационарные критические точки. Имеем, далее,
7" —
Z^2 -
х 2 „ у2>
а^Ь2,
2 2\3/2
а2~Ь2]
3-2 —-3 —
2 4 4 2 2
1_3^__32^ + 2^ + 2^ + 3^-
7z, а2 Ь2 а4 Ь4 а2 Ь2
Zxy / 2 2 А3/2
1 _£__2_
а2 Ь2
х2
а2
1) Для точки MytO, 0) :
Л = <'г(О,О) = О, 5 = z"(0,0) = l,
C = z"i(0,0) = 0, D = АС-В2 =-1 (<0).
Значит, Л<1(0,0) не является точкой экстремума.
2) Для точки
V-J3 у/З)
— D-AC-B2 =4 (>0).
у 2 ЛЬ
186
Так как D>0 и Л < 0, то М2
Г а ь}
’7з,
— точка строгого макси-
мума; Zmax
3) Для точки М3
b_Y
4з)
4 h 2
A = z^(M3) = -^-^, B = z'^M3) = -±
v Э v 3
C = z;2(M3) = ^ p D = АС - В2 = 4 (>0).
Так как D>0 и Л > 0, то
— точка строгого мини-
мума; zmin = z
ab
зТз ’
4) Для точки МА
а _Ь_'
Л’Л,
л = г;2(м4) = А.|, Б = г"(м4) = -А,
с = г;2(л/4) = А.£, d = ac-b2=4 (>о).
г I а Ь I
Так как Р>0 и Л>0,то МА - —j= ,—j= — точка строгого мини-
( a b ) ab
мума;
5) Для точки mJ - -^=-^=
187
4 h 2
Л = #(М5) = --Х.* B = z"(M5) = —
v о у/ о
С = г;г(М5) = -~^, D = AC-B2=4 (>0).
Так как 2)>0иЛ<0,то
— точка строгого мак-
симума; Zmax = Z
а - ь 1 - Qb
7з’ V3j-W3’
Пример 9. Исследовать на экстремум функцию z = —f===
7х2 +у2 +1
(а * 0, 6*0).
Решение. Имеем
aJx2 + у2 +1 -(ax + by + с) . -Х.—
______________________Jx2+y2+l
х2 + у2 + 1
а(х2 + у2 +1) - х(ах + бу + с)
(х2 +у2 +1)3/2
_ b(x2 +у2 +1) - у(ах + Ьу + с)
(х2 + у2 +1)3/2
Стационарные критические точки находим из системы
'х =0
;=о
а (х2 +у2 +1) - х (ах + by + с) = 0
b (х2 + у2 +1) - у (ах + by + с) = 0
(~Ь)
а
(bx - ay) (ах + by + с) = 0,
а(х2 +у2 +1) - х(ах + by + с) = 0.
Рассмотрим случаи: а) с = 0 и Р) с * 0.
Система (*) в случае а) будет такой:
(bx - ду) (ах + by) = 0,
а(у2 + 1) - Ьху = 0
188
1)
bx - ay = 0,
a(y2 +1) - bxy = 0
bx = ay,
a(y2 +1) - ay2 = 0
bx = ay,
a = 0
— невозможно (у нас а * 0);
ax + by = 0,
a(y2 +1) - bxy = 0
ax = -by,
•> b2 i
a(y2 +1) + —y2 = 0
b
x = —y,
a
(a2 +b2)y2 +a2 =0
— невозможно.
Таким образом, в случае а) система (*) не имеет веществен-
ных решений. Значит, если с = 0, то функция z(x,y) не имеет
стационарных точек.
Рассмотрим теперь случай Р): с * 0. Из системы (*) следует:
1)
bx-ау = 0,
а(у2 + 1)- Ьху-сх = 0
b
У = -*,
а
( Ь2 2 <1 2 л
а I —т-х +1----х -сх = 0
I а2 а
./а
значит, М] —,— I — стационарная критическая точка.
невозможно, ибо а(х2 + у2 +1) * 0 при
а # 0. Итак, у заданной функции имеется единственная стацио-
нарная критическая точка • Для проверки достаточных
условий локального экстремума найдем частные производные
второго порядка: z"i, z'^,, z"i. Имеем
189
„ _ by + c 3x[a(x2 +y2 + l)-x(ax + by + c)]
(x2 +y2 + I)3/2 (x2 + y2 +1)5^2
„ ay + bx 3xy(ax + by+ c)
Zxy (x2 + y2 +1)3/2 (x2 + y2 +1)5^2
„ _ _ ax + c 3y[z>(x2 + y2 +l)-y(ax + 6y + c)]
y2 (x2 +y2 + I)3/2 (x2 + y2 +1)5/2
Для точки
5 = Z
C — 7" (a
C - Zv2
' \ c c
Так как D > 0, то Л/f —| — точка экстремума.
\с с)
190
1) Если с>0, то А<0. В этом случае — точка
I а Ь\ Г~2 71 5"
строгого максимума; zmax = z —I = yla + 1г +<г .
CJ
2) Если c < 0, то A > 0, и, следовательно, в этом случае ~
<в Г2 l2 2
—I = ~уа + о +с .
Пример 10. Исследовать на экстремум функцию z = 1 - yjx2 + у2.
Решение. Имеем для любой точки, отличной от точки (0,0):
= - / / 2 > Z'y=~ ! 2 2 ’
yjx +у у]х +у
Видим, что заданная функция не имеет стационарных критических
точек. Покажем, что у данной функции в точке (0,0) не существу-
ют частные производные первого порядка. В самом деле, имеем
1) Дх2(0,0) = z(0 + Дх,0) - z(0,0) = (1 - 7(0 + Дх)2 - о} -1 = - |Дх| =>
Дх2(0,0) |Лх| 1, если Дх<0, Цт Дх2(0,0)
Дх Дх [-1, если Дх > 0 дх-»о Дх
не существует.
2) Д7 2(0,0) = 2(0,0 + Ду) - 2(0,0) = (1 - 7о + (О +Ду)2^ -1 = -|Ду| =>
Д„2(0,0) |Ду| [1, если Ду<0, ,. Д„г(0,0)
=> —---------= -J—1 = { . „ => hm —-----------
Ду Ду [-1, если Ду > 0 Ду-*о Ду
не существует.
Значит, точка ЛГ(О,О) — критическая для заданной функции.
Исследуем ее. Имеем 2(0,0) = 1. Найдем приращение Д2 функции
вточке (0,0).
Д2(0,0) = 2(0 + Дх, 0 + Ду) - 2(0,0) =
= Г1 - 7(0 + Дх)2 + (0 + Ду)21 -1 = - 7(Дх)2 + (Ду)2 •
191
Видим, что Дг(0,0) < 0. Следовательно, данная функция z = f(x,y)
в точке (0,0) имеет строгий максимум; zmax = z(0,0) = 1.
Пример 11. Исследовать на экстремум функцию z -
= (х2 + у2)е~(х2*уЪ>.
Решение. Имеем z'x = 2х (1 - х2 - у2) е_(*2+-’’2), z'y=2y(l-x2-
-у2)е~(х2+у2)-,
z'x = 0,
Zy = 0
х(1 - х2 - у2) = 0,
у(1 -х2 - у2) = 0
=> Л/(0,0) и все точки окружности х2 + у2 =1 являются стацио-
нарными критическими для заданной функции. Имеем, далее,
z"i = 2е~<х2+у2)(1 -5х2 - у2 +2х4 +2х2у2),
z'^y = 4е_(х2+-’,2)ху(х2 +у2 -2),
г"г = 2е_(х2+у2)(1 - 5у2 - х2 + 2у4 + 2х2у2).
Для точки Л/(0,0):
Л = (0,0) = 2, В = z*(0,0) = 0,
С = z"z(O,O) = 2, D = АС-В2 =4 (>0).
Так D>0 и А>0, то М(0,0) — точка строгого минимума;
Zmin = 40,0) = 0.
Для исследования стационарных критических точек заданной
функции, лежащих на окружности х2+у2=1, положим
х2 + у2 = t и станем рассматривать функцию одной переменной t:
Z = te~*. Имеем z't = (1 -t) е~‘ => z't = 0 при t = 1. Значит, t = 1 —
стационарная критическая точка функции z(t). Имеем, далее,
z”i = (t - 2) еч. Так как z" I = < 0, то функция z(t) имеет
максимум в точке t = 1. Следовательно, функция z =
= (х2+у2)е_(х2+у2) имеет нестрогий максимум в точках окруж-
ности х2 + у2 = 1, причем zmax = е~1.
192
Пример 12. Исследовать на экстремум функцию
и = х2 + у2 + 22 + 2х + 4у - 62 •
Решение. Имеем и'х = 2х + 2, и'у =2у + 4, и' = 2z - 6 . Стаци-
онарные критические точки находим из системы их = 0, х +1 = 0, и'у = 0, « у + 2 = 0, => и'г = 0 z-3 = 0
=> Л/(-1, - 2,3) Для точки М(- Так как — стационарная критическая точка. Имеем, далее, «;2=2, и" =0, «"=0, Ц" =0, и;2=2, И"=о, и"=0, и"=0, и''2=2. 1, - 2,3): аи ~ 2, ^12 = 0, я13 = 0, #21 = #22 = 2, #23 = #31 = 0, ^32 = 0, #33 = 2.
йц = -2 (>0), 0,1 °21 °11 а12 °13 а12 = 2 @22 0 2 0 0 2 =4 (>0),
Й21 °22 °23 = °31 а32 °33 0 2 0 0 0 2 = 8 (>0),
то заключаем, что Л/(-1, - 2,3) — точка строгого минимума;
zmin=z (-1,-2,3) = -14.
Пример 13. Исследовать на экстремум функцию и = х3 + у2 +
+ z2 + 12ху + 2г.
Решение. Имеем и'х = Зх2 +12у, и'у = 2у + 12х, u'z = 2z + 2.
Стационарные критические точки находим из системы
w' = О,
и'у = 0, <=>
uz =0
х2 + 4у = 0, Xi =0, х2 = 24,
у + 6х = 0, => = 0, у2 = -144, =>
z + l = 0 zi = -1; z2 = -1
=> Mi(0,0, -1), М2(24, -144, -1) — стационарные критические
точки. Имеем, далее,
193
и"г = 6х, и" = 12, «" = О,
и" =12, «;2=2, и"=О,
«*=о, «;=о, и"г=2.
1) Для точки М2 (24, -144, -1):
Оц = 144, Д|2 = 12, Ли = О,
#21 = 12, «22 = 2, «23 = О,
«31 ~ О, «32 = О» «33 = 2.
Так как ап = 144 (> О),
«и
«21
ап _ 144
Й22 12
= 144 (>О),
«И «12 «13 144 12 0
«21 «22 «23 = 12 2 0 = 288 (>0),
«31 «32 «33 0 0 2
то квадратичная форма положительно определенная. Следователь-
но, Л/2(24, -144, -1) — точка строгого минимума; umin =w(24,
-144,-1) = -6913.
2) Для точки Mi (0,0, -1): ап = 0. Поэтому вопрос о наличии
или отсутствии экстремума в этой точке требует дальнейших
исследований. Имеем
du = 3x2dx + 2ydy + 2zdz + 12ydx + 12х dy + 2dz',
d2u = 6x (dx)2 + 2 (dy)2 + 2 (dz)2 + 24rfrJy =>
=$ d2u\ = 2(dy)2 + 2(dz)2 + 24abcJy + 0 • (dx)2.
I M\
Рассматриваем квдцратичную форму у = 2(<Zy)2 + 2(dz)2 + 24#bcrfy +
+ 0 • (dx)2. (Если хотя бы в двух точках эта квадратичная форма при-
нимает значения разных знаков, то она неопределенная.) Положим:
a) dx = 1, dy = 1, dz = 0. Тогда у(1,1,0) = 26 (> 0);
Р) dx = 1, dy = -1, dz = 0. Тогда у(1, -1,0) = -24 (< 0).
Видим, что квадратичная форма V — неопределенная. Значит, у
заданной функции в точке Мх (0,0, -1) экстремума нет.
194
Пример 14. Исследовать на экстремум функцию и = х + 4— +
4х
z2 2
+ — + — (х > 0, у > 0, z > 0).
У z
у2 у Z2 , 2z 2
Решение. Имеем и' = 1 - , и = ------г-, и=--------
4х2 У 2х у2 у z2
Стационарные критические точки заданной функции в первом
октанте (х > 0, у > 0, z > 0) находим из системы
и' = О,
и'у = 0, =>
uz =°
у2 =4х2,
у3 = 2xz2, =>
z3 = у
у = 2х (т. к. х > 0, у > 0),
• z = 2х (т. к. х > 0, z > 0), =>
8х3 = 2х
1
Х~ 2’
у = 1, z = 1.
— стационарная критическая точка. Имеем, далее,
" у2
и*г ~ 2х3 ’
и" =--^-
2х2 ’
«^=0,
и"
2х2 ’
„ _ 1 2z2
ЫУг 2х+ у3 ’
и" = - —
и" =- —
п у2 ’
2 4
—+ —
У Z
Для точки
«11 =4,
«21 - “2,
«31 = О»
«12 = “2,
«22 = 3,
«32 = ~2,
«13 = 0,
«23 = “2;
«33 = 6.
Так как
«н =4
(>0),
«11
«21
«12
«22
4
-2
-2
3
= 8 (>0),
«п
«21
«31
«12
«22
«32
«13
«23
«33
4
-2
0
-2
3
-2
0
-2
6
= 32 (>0),
195
то квадратичная форма положительно определенная, и, следова-
тельно, > 1> 1) — точка строгого минимума; «щщ = , 1,1} = 4.
Пример 15. Исследовать на экстремум функцию z(x,y),
заданную неявно уравнением
х2 +у2 +z2 -2x + 2y-4z-10 = 0. (*)
Решение. Имеем F(x,y,z) = х2 +у2 +z2 - 2х + 2у - 4г -10;
, = F' 2х - 2 . , = F; 2у + 2
Zx ~ F' 2z - 4 ’ Zy F' 2z - 4
(считаем, что z * 2). Стационарные критические точки
находим из системы
z'x =0, 2х - 2 = 0,
z'y = 0, <=> • 2у + 2 = 0,
F = 0 х2 + у2 + z2 - 2х + 2у -4z -10 = 0
= 1> У\ = -1. Zi = -2;
х2 = 1> У2= -1> Z2 = 6-
Точки М] (1, -1,-2) и М2 (1, -1,6) — стационарные критические.
Из уравнения (*) находим
2xdx + 2у dy + 2zdz - 2dx + 2dy -4dz = 0 => dz = 0
в стационарных критических точках, т. е. dz(M\) = 0 и dz(M2) = 0.
Затем вычисляем второй дифференциал в стационарных критиче-
ских точках:
2(dx)2 + 2(dy)2 + 2(dz)2 + 2z d2z - 4d2z = 0 <=>
<=> (dx)2 + (dy)2 + (dz)2 + (z - 2)d2z = 0 =»
=> 1) d2z(Mt) = |[(dr)2 + (dy)2]
положительно определенная
квадратичная форма. Следовательно, М{ — точка строгого мини-
мума, причем Zmin = -2.
196
2) d2z(M2) = -^[(ctc)2 + (rfy)2] — отрицательно опреде-
ленная квадратичная форма. Следовательно, М2 — точка
строгого максимума, причем zmax = 6.
Пример 16. Исследовать на экстремум функцию z(x,y),
заданную неявно уравнением
х2 + у2 + z2 - xz - yz + 2х + 2у + 2z - 2 = 0 .
Решение. Имеем F(x,y, z) = х2 + у2 + z2 - xz - yz + 2х + 2y + 2z - 2;
, = = 2x-z + 2 = _F±_ = 2y - Z + 2
x F' 2z - x - у + 2 ’ y F' 2z - x - у + 2 ’
Стационарные критические точки находим из системы
z* = О,
z'y = 0, «=>
F = 0
2х - z + 2 = О,
2у - z + 2 = О,
х2 + у2 + z2 - xz - yz + 2х + 2у + 2z - 2 = О
X] = -3 - л/б, У1 = -3 - Тб, Zi = -(4 + 2Тб);
х2 = -3 + Тб, у2 = -3 + Тб, Z2 = 2Тб - 4.
^(-3-76,-3-76,-4-276) и л/2(-з+7б,-з + 7б,27б-4) -
стационарные критические точки. Из заданного уравнения находим
2xdx + 2ydy + 2zdz-zdx-xdz~zdy-ydz + 2dx + 2dy + 2 dz = 0.
Отметим, что в стационарных критических точках dz = 0, т. е.
dz(Mx) = 0, dz(M2) = 0. Вычисляем второй дифференциал в ста-
ционарных критических точках:
2(dx)2 + 2(dy)2 +2{dz)2 +2zd2z-dzdx-dxdz-dzdy-dydz + 2d2z = O <=>
<=> (z +1) d2z + (dx)2 + (dy)2 + (dz)2 - dxdz - dydz = 0 =>
=$ 1) d2z(M\) =-—^-[(dx)2 +(rfy)2l — положительно опреде-
3 + 276 1 4
ленная квадратичная форма. Следовательно, Мх — точка строгого
минимума; zmin = -(4 + 2Тб).
197
2) d2z(M2) =
отрицательно опреде-
ленная квадратичная форма. Следовательно, М2 — точка строго-
го максимума, zmax = 2>[б - 4.
Пример 17. Исследовать на экстремум функцию z(x,y), за-
данную неявно уравнением
(х2 * 4+у2+z2)2 =а2(х2+у2-г2). (*)
Решение. Имеем F(x,y,z) = (х2 +у2 + z2)2 -а2(х2 +у2 - z2)',
, _ _ х(2х2 + 2у2 +2z2 - а2).
Zx F' z (2х2 + 2у2 + 2z2 + а2) ’
, _ _ у (2х2 + 2у2 + 2z2 - а2)
Zy F' z (2х2 + 2у2 + 2z2 + а2)
(считаем z * 0). Стационарные критические точки находим из
системы
z'x = 0,
Zy = 0, <=>
F = 0
х (2х2 + 2у2 + 2z2 - а2) = 0,
у (2х2 + 2у2 + 2z2 - а2) = 0,
(х2 + у2 + z2)2 = а2(х2 + у2 - z2)
=> 1) X] = 0, У] = 0, Zi = 0 (не подходит, у нас z * 0).
2)
х2 +у2 +z2 = ~2>
(х2+у2+ z2)2 = а2 (х2+у2-z2)
2
2 2 2 а
X£+)T+Z = —,
2
2 2 2 а
x^y-z = —
4
2 2 За2
х •
?=—
8
=> стационарными критическими точками заданной функции будут
1x1 I 1/1 I 22 Зд
все точки М2 х,У)—/= I, ^з\ ---7= , Д714 которых х£ + у£ = —-
2v2) 2v2) 8
198
3) Отметим, что системы
х = 0,
• 2х2 + 2у2 + 2z2 -а2 =0,
(х2 +у2 + Z2)1 = а2(х2 +у2 -z2)
> = 0,
2х2 +2у2 +2z2 -а2 =0,
(х2 +у2 + Z2)1 = а2(х2 +у2 -z2)
дают соответственно:
х = 0,
У2 = За2/8,
z2 = a2/i
и
х2 = Зйг2/8,
у = 0, Легко видеть,
Z2 =а2!&.
что решения этих систем содержатся в решениях пункта 2).
Таким образом, стационарными критическими точками за-
данной функции являются лишь точки
а
2^2,
М2 х,у,-==
и
iz a
2 2 3a2
, для которых X +y =——
о
(это
есть точки,
уравнением
За2
8 ’
лежащие на поверхности, определяемой заданным
(*), соответствующие точкам окружности: х +у =——, т. е.
о
точки пересечения поверхности, определяемой уравнением (*)
с цилиндрической поверхностью, определяемой уравнением
х2 + у2 = ). Из заданного уравнения (*) находим
О
2(х2 + у2 + z2) (хdx + у dy + z dz) - а2(хdx + у dy - z dz) = 0.
Находим второй дифференциал:
4(х<£с + у dy + z dz)2 + 2(x2 + у2 + z2) [(<яЬс)2 + (dy)2 + (dz)2 + z d2z\ -
- a2[(dx)2 + (dy)2 - (dz)2 - zd2z] = 0.
Вычислим теперь второй дифференциал в стационарных крити-
ческих точках М2 и М3. Приняв во внимание, что Jz|Wj=0,
t/z| =O, z\m=~~t> z\m = и что (x2+y2+z2)| =~т-,
IAfJ 1л/2 2V2 Мз 2V2 1м2 2
2
(х2 + у2 + Z2) I = ^- , получаем
199
rf2 *zl =-^т-(х<& + У^)2> ^2z| =-^y-(xdr + y</y)2.
ijw2 a *™3 a
Имеем
(xdx + y dy)2 = x2(dx)2 + 2xy dxdy + y2(dy)2 =>
=> A = x2, В = ху, C = y2 , D = AC - B2 = x2y2 -x2y2 = 0.
Значит, без дополнительных исследований ничего определенного
о наличии или отсутствии экстремума в точках М2 и М3 сказать
нельзя.
В уравнении (*) положим х2 + у2 = г2. Будем иметь
/ 2 2\2 2/ 2 2\ 2 Vfl4 +8й2Г2 - (а2 + 2г2)
(rz+z) =cr(r-z) => z =----------------Т—--------
У нас в точках поверхности, определяемой уравнением (*), соот-
2 2
ветствующих точкам окружности х + у
За2 AZ
----, т. е. в точках М2
8 2
и АЛ: 72 = —. Станем вычислять значения аппликат точек по-
8
верхности (*), соответствующих точкам окружностей х2 + у2 = г2,
2 Зо2 , ч _
где г = —- + е (е — достаточно малая величина). Будем иметь
О
<4
Va4 + За4 + 8д2£ - fа2 + + 2е
I 4 J
= >/4а4 + 8а2
2
~ (1 >
е - — а + 2е
14
z \ 2
2< 1 2е 1 (2е /2\ 8
= a2j+ +0(е2)--—2
2 81а J 8 а2
= а
2 1 1 е2 . 2Ч а2 е2 , 2Ч а2
--г--—т + о(е ) =—----х- + о(е )< —.
8 2а4 8 2а2 8
200
Итак, получили: значения величин аппликат точек поверхности
(*), соответствующих точкам окружностей х2+у2=г2, где
2 За2
г = —— + е , удовлетворяют неравенству
а а
~242 <Z<242 ’
Следовательно, точки М2 х,у,—— точки нестрогого макси-
V 2V 2 )
., ( а ) ,
мума, а точки Л/3 х,у,--== — точки нестрогого минимума (х и
I 2V2J
у в точках М2, М3 удовлетворяют уравнению х2 +у2 =^~);
8
^шах — 2^2 ’ ^т‘п — — 2^/2 '
Пример 18. Исследовать на условный экстремум функцию
Z = ху, если х + у = 1.
Решение. Составляем функцию Лагранжа у = ху + Х(х + у -1).
Точки, подозрительные на условный экстремум, находим из системы
Vi = О,
Vy = 0, <=>
х + у = 1
у + X = О,
' ' 1 1,1
х + X = 0, => х = —, у = —, X = - —
» 2 2 2
х + у = 1
— точка, подозрительная на условный экстремум. Имеем
у = xy-^(x + y-V) => <Л|Г = xdy + ydx -^dx dy;
t/2V = dxdy + dydx = Idxdy => в частности, d2y(M) = = 2dxdy.
Из уравнения связи находим dx + dy = 0 => dy = -dx . А тогда
d2y(M) = -2(dx)2 — отрицательно определенная квадратичная
форма. Следовательно,
— точка условного максимума
201
функции z = ху при наличии связи х + у = 1, причем
fl 11 -1
*max Z[2’ 2J 4'
Пример 19. Исследовать на условный экстремум функцию
х у 2 2,
z = — + 7-, если х + yL = 1.
а b
X У 7
Решение. Составляем функцию Лагранжа у = — + 7- + А(х +
а о
+ у2 -1). Точки, подозрительные на условный экстремум, нахо-
дим из системы
Vi = 0, 1 + 2Ах = 0, X = --
vi = 0, <=> 1 + 2"ку = 0, => и у = —.
х2 +у2 = 1 X2 +у2 = 1 1
,4о2Х2
1
2дХ ’
1
2Ьк'
1
7 "I-т—т" ~ 1
4д2Х2
, Vo2 + Ь2 , . \ г -
=> X, =-----—(если ди о — числа одного знака); xi - —, ,
2ао 7д2 + Ь2
г - а 1 1д2 + b2 , ,
У1 - —/ 7---; Х2 =----------(если а и b — числа разных зна-
yla2+b2 2 2аЬ
ч b
ков); х2 = , у2 =
у a2 + b2
а
1) Пусть ab > 0 (т. е. а и b — числа одного знака). В этом случае
Мх - ,
4а2 + Ь2
•Ja2 + b2
— стационарная критическая точка.
X у 4а2 + Ь2 . 2 2 14
V = - + 4 + —7-7—(х2+у2-1) =>
a b 2аЬ
,11 4а2 + Ь2 . .
=> ду = —+ —+--------(хах + уау);
a b ab
d2^f = а+ьЬ [О**)2 + (Ф)2] •
202
, b j
ау - — ах .
а
Из уравнения связи х dx + у dy = 0; следовательно, в частности, в
точке М{
b а
Ja2 + b2 у]а2 4
А тогда d2y(M{) =----
ab
'2 ( Ь2} 7
— 1 + — I (dx) — положительно опре-
\ а )
деленная квадратичная форма. Следовательно, М\ — точка стро-
1 (b а\ >la2 + b2
ТОГО УСЛОВНОГО минимума; Zmi„ = —........ — + — =-------;--.
yla2+b2 1° V ab
2) Пусть ab < 0 (т. е. а и b — числа разных знаков). В этом
b
a
случае М2
стационарная критическая
точка.
ж = ~+т~' (^2 + у2 -1);
a b 2аЬ
d2W = - [(^)2 + (Ф)2]-
Из уравнения связи х dx + у dy = 0; следовательно, в частности,
в точке М2
b , а
. : .... ..! dx+ ----------
4а2 + b2 Ja2 + Ь2
, b j
ау = — ах .
а
А тогда </2у(Л/2) =---------
ab
1 \2
1 + — (dx) — отрицательно on-
fl J
ределенная квадратичная форма. Следовательно, М2 —точка стро-
гого условного максимума;
/«г \ 1 (b а
^max — Z(M 2) — --— + ,
Ja2+b2<a b
2 + b2
ab
203
Пример 20. Исследовать на условный экстремум функцию
Z = х2 +12ху + 2у2, если 4х2 + у2 = 25.
Решение. Составляем функцию Лагранжа
у = х2 + 12хи + 2у2 + Х(4х2 + у2 - 25).
Точки, подозрительные на условный экстремум, находим из системы
Vi =0,
Vi =0,
4х2 + у2 =25
2х + 12у + 8Ах = 0,
12х + 4у + 2ку = 0, фф
4х2 + у2 =25
(1 + 4Л)х + бу = 0,
6х + (2 + Х)у = 0,
4х2 + у2 = 25.
Рассмотрим первые два уравнения системы. Так как х и у не
могут быть равны нулю одновременно (это следует из третьего
уравнения системы), то должно быть
1 + 4А 6
6 2 + Х
(1+ 4A)(2+ А) - 36 = 0 фф
фф 4А2+9А-34 =ф Х,=2, Л2=-у-
I. Пусть Xj = 2. Тогда будем иметь
у = - х, х( = -2, х2 = 2,
2 о и _ -
4х2 + у2 = 25 =
=>^(-2,3) и М2(2, -3) — стационарные критические точки.
В этом случае
V = х2 + 12ху + 2у2 + 8х2 + 2у2 - 50 = 9х2 + 4у2 + 12ху - 50;
dy = 18х dx + 8у dy +12у dx + 12х dy,
d2y = 18 (dx)2 + 24dxdy + 8(dy)2 •
1) Исследуем точку Л/\(-2,3). Из уравнения связи:
g
8х dx + 2у dy = 0 =ф в точке (-2,3): dy = - dx. Следовательно,
204
, ( 8
</2Ж(М!)= 18 + 24 | + 8-
ная квадратичная форма. Значит, М\(-2,3) — точка условного
минимума. Zmin = z(Mi) = z(-2,3) = -50.
2) Исследуем точку М2(2, -3). Из уравнения связи
g
8х dx + 2у dy = 0 => в точке М2 (2, - 3): dy = - dx. Следовательно,
2 — положительно определен-
J2vCM2)=[18 + 24--| + 8-
ная квадратичная форма. Значит, М2(2, -3) — точка строгого
условного минимума; zmin = z(M2) = z(2, - 3) = -50.
17
II. Пусть Х2 = -—. Тогда будем иметь
2 — положительно определен-
8
J = 3*’
4х2 + у2 = 25
3 3
Хз = 2’ Х<=~2
Уз = 4, у 4 = -4
(3 > 7 3 А
=> точки Л/31 —, 41 и Л/41 - —, - 41 — стационарные критические
17
точки. В этом случае у = х2 + 12ху + 2у2 - — (4х2 + у2 - 25); «Ли =
4
= -3>2xdx + 12xrfy + 12у«& - ^ydy; d2y = -32(«/х)2 + 24«iu/y - -|(«/y)2
(3 A
3) Исследуем точку Л/J—,41. Из уравнения связи:
(3 Л 3
8х dx + 2у dy = 0 => в точке ЛУ31 —, 41: dy = -—dx. Следователь-
( 8П
но, «/2\и(Л/3) = - 32 - 36 - — (dx)2 — отрицательно определен-
\ О 7
г 3 А
ная квадратичная форма. Значит, Л/31—,41 — точка строгого
условного максимума; zmax
= z ^,4 =106.25.
205
f 3
4) Исследуем точку Л/41 - —, - 41. Из уравнения связи:
( 3
8xdx + 2ydy = 0=> в точке MJ- — ,-4
3 ,
—ах. Следова-
тельно, 4/2y(A/4) = (- 32-36-
2 — отрицательно опреде-
Г 3 I
ленная квадратичная форма. Значит, Л/41 - —, - 41 — точка стро-
гого условного максимума; zmax = z
= 106.25.
Пример 21. Исследовать на условный экстремум функцию
2 2 Л
z = cos х + cos у , если х - у = — .
4
Решение. Из уравнения связи находим: у = х - . Подставля-
4
„ 2 2
ем найденное выражение для у в соотношение z = cos х + cos у.
Получим функцию одной переменной х:
2 21 Я )
Z = cos X + cos х - — I.
I 4 J
Исследуем функцию (*) на обычный экстремум. Имеем
I 7Z I I 7^ I I Л
Z* = -2cosxsinx-2cosl X- —Isinl X- —I = -sin2x-sinl 2x-y
( I
= sin I — - 2x1 - sin 2х = cos2x - sin 2х
Критические точки функции (*) находим из уравнения
cos 2х - sin 2х = 0 => tg 2х = 1 =>
=> 2х = -^ + лл (« = 0, ± 1, ±2,...) =>
п л
=*х = — + п— (л = 0, ± 1, ± 2,... ). (Это — стационарныекритиче-
о 2
ские точки.) Имеем, далее,
206
z"i = -2 sin 2x - 2 cos 2x = -2(sin 2x + cos 2x) = -2^2 • sin I 2x +
к 4,
В критических точках
z'sl п п= -2V2 sinf-77 +ИЛ I (и = 0, ±1, ±2,...) =>
х 1*-7+"7 12 )
»» r\ Л _
=»Zx2<0 вточках х=“+л~ если л = 0, ± 2, ±4,... ,
о Z
Л л
и г"г>0 вточках х = —+ и—, если л = ±1,+ 3,.
х 8 2
I I
Имеем, следовательно, точки — + п—, — + п— , где
1 8 2 8 2)
п = 0, ± 2, ±4,... , есть точки строгого условного максимума,
^тах
I / ТГ ТГ ТГ ТГ I
, а точки — + и—— + п— , где и = ±1,±3,... ,
12 18 2 8 2)
есть точки строгого условного минимума, zmin = 1 - —f=.
V2
Пример 22. Исследовать на условный экстремум функцию
и = х - 2у + 2z , если х2 + у2 + z2 = 1 •
Решение. Составляем функцию Лагранжа
V = х - 2у + 2z + Х(х2 + у2 + z2 -1).
Точки, подозрительные на условный экстремум, находим из системы
V; = о, 1 + 2Ах = 0, х = -1/(2Л),
к =о, -2 + 2Ху = 0, J = 1A,
« <=> V? = 0, 2 + 21? = 0, Z = -l/A, 1 1 1
х2 + у2 + z2 = 1 х2 +у2 +z2 =1 1 11. [4А2 Л2 Л2
з 1 2 2
=> I) М = 2 > х,=-з’ » = 3’ Z1=’3;
1 2 2
II) 12 - _ 2’> *2 = з’ У2—у *2 = 3‘
207
( 1 2 2 A fl 2 2^1
=> Л/J - -, —, - — I M2\ —, - —, — — стационарные критические
точки.
( i 2 2^ 3
I. Исследуем точку AfJ - -, —, - — I, =-^. Имеем
з
V = x - 2y + 2z + — (x2 + y2 + z2 -1),
dy = dx- 2dy + 2dz + 3(x dx + у dy + z dz),
d2y = 3 [(dx)2 + (dy)2 + (dz)2].
( 1 2 2^
Из уравнения связи: xdx+ydy + zdz = 0=> в точке Л/jl --, jJ
12 2
-idx + |dy-|dz = 0 => dx = 2dy-2dz.
А тогда
d2v(A/j) = 3[4(dy)2 - 8dydz + 4(dz)2 + (dy)2 + (dz)2] =
= 3[5(dy)2 -8dydz + 5(dz)2].
В полученной квадратичной форме:
Л = 15, В = -12, С = 15, D = АС- В2 =225-144 = 81 (> 0).
Так как А>0 и D > 0, то квадратичная форма положительно
С 1 2 2~\
определенная и, следовательно, AfJ - -, —, - — I — точка строгого
условного минимума; «mjn = и(М{) = -3.
fl 2 2^1 3
II. Исследуем точку Л/2[ j > ~ у I > ^2 = ~ • Имеем в этом
случае
у = х - 2у + 2z - (х2 + у2 + z2 -1);
dqz = dx - 2dy + 2dz -3(xdx + у dy + zdz),
d2y = -3 [(dx)2 + (dy)2 + (dz)2].
208
Из уравнения связи: xdx + ydy + zdz = O=> вточке
2 П
3’ 3)
1 2 2
-dx — dy + —dz = 0 => dx = 2dy-2dz.
3 3 3
А тогда
d2y(M2) = -3[4(</у)2 -Sdydz + 4(dz)2 + (dy)2 + (dz)2] =
= -3[5(rfy)2 -Uydz + 5(dz)2].
В полученной квадратичной форме
А = -15, Б = 12, С = -15, D = АС-В2 =81 (>0).
Так как D > 0, А < 0, то квадратичная форма отрицательно опре-
„ П 2 2
деленная, и, следовательно, М21 —, - —, —
— точка строгого ус-
ловного максимума; итах = и(М2) = 3.
Пример 23. Исследовать на условный экстремум функцию
и = xmynzp, если х + у + z = а (т>0, п > О, р>0, а>0).
Решение. Составляем функцию Лагранжа у = xmynzp + 1(х +
+ у + z - а). Стационарные критические точки находим из системы
Vi = °,
Vi =0,
Vz =0,
x+y+z=a
mxm~iynzp + 1 = 0,
nxmyn~izp +1 = 0,
pxmy"zp~1 +1 = 0,
x+y+z=a
При любых вещественных (положительных)
^"^+1 = 0,
^\1 = 0,
pxmynzp + x = 0>
z
x + y + z = a.
(1)
m, n, p функция
и (x,y,z) определена для x>0, y>0, z > 0. Исследование будем
проводить лишь для х > 0, у > 0, z > 0. Из системы (1) находим
lx ly lz пр
— = —= —, х + — х + — х = а
т п р т т
209
А тогда
та па ра
х =------, у =-------, Z = —-----,
т + п + р т + п + р т + п + р
л ттпПррат+п+р-' .
(т + п + р)т+п*Р~х ’
та па ра
М\---------,-------,------- — стационарная критическая
\т+п+р т + п + р т + п + р)
точка. Имеем
d\y = mxm~xynzpdx + nxmyn~lzpdy + pxmynzp^dz + X(dx + dy + dz) =
= xmynzp — dx + — dy + — dz] + X(dx + dy + dz);
Iх У z )
( \2
d2y = xmynzp —dx + — dy + — dz] -
Iх У z )
-xmy'lzPl Л-(лЬс)2 + Д-(</у)2 + — (dz)2
l^x у z
=xmynzp
/ \2
(m, n, p,\ W/J42 л zj.\2 P /J \2
. — dx +—dy +—dz\ —,(dx)2—T(dy)2 --^(dz)
< x у z J x2 y2 z
d2y(M) = E
x2
m+n+p , m+n+p, m+n+p.\
---- dx +-- dy +-- dz
a a al
(a±!i±p)L(dx)2 №)2
ma na pa
„(m + n + p)2 L. , ,,1 1 / . \2 1/J\2 1 z. x2
= E -----L- -' (dx + dy + dz)-----(dx) ~ - (dy)2 — (dz)
a2 L m n P
O P — ТЛ’
Здесь E =--------------------положительное число. Из уравнения
связи dx + dy + dz = Q=> dz = -dx - dy (это так и в точке М). Поэтому
210
a
- Г— {dx)2 + - {dy)2 + - {dz)2
m n p
-H ^-^-(dx)2+-dxdy + ^^-(dy)2
mp p np
(2)
Здесь H = (ffl + w.+ (xCTy ”z p)| >0. Положим A = - m + ?,
a2 z '1(.)Л/ mp
D 1 „ n + p 2 m + n + p .
В = —, C =-----— .Тогда D = AC - В =-------— (> 0) .Таккак
p пр тпр
D >0, А < 0, то квадратичная форма в правой части (2) отрица-
„ та па
тельно определенная. Следовательно, М\---------,-------,
\т + п + р т + п + р
pa I ....
—------- — точка строгого условного максимума; итах = и{М) =
т + п + р j
ттппррат+п+р
{т + п + р)т+п+р
Пример 24. Исследовать на условный экстремум функцию
и = xy2z3, если х + 2у + 3z = а (х > 0 , у>0, z>0, а>0).
Решение. Составляем функцию Лагранжа цг = ху2z3 + Х(х + 2у +
+ 3z - а). Стационарные критические точки находим из системы
V;=o,
Vy = o,
Vz =0>
x + 2y + 3z = a
y2z3 + X = 0,
2jg'z3 + 2X = 0,
3xy2z2 + 3X = 0,
x + 2y + 3z = a
^ + * = 0,
^- + Х = 0,
У
2 3
^ + Л = 0,
z
х + 2у + 3z = а
Xx = Xy = Xz,
x = -y2Z3,
x + 2 у + 3z = a
a a
Х=6’У=6’
у = x, z = x,
=ф 6x = a,
X = -x5
a . a5
Z~ 6’ X" 65 :
211
a a а\
•g > 1 — стационарная критическая точка. Имеем
V = xp2z3 - ^j-(x + 2y + 3z - a);
6J
dy = y2z3dx + 2xyz3<7y + 3xy2z2dz - (dx + 2dy + 3dz);
J2y = 2yz3dydx + 3y2z2dzdx + 2yz3dxdy + 2xz3(dy)2 + 6xyz2dydz +
+ 3y2z2dxdz + 6xyz2dzdy + 6xy2z(dz)2 =>
=> d2y(M) = 4^dxdy + 6^dxdz +
+ 2^(dy)2 +12 ~dydz +6 ^-(dz)2 =
= 2 [2dxdy + 3dxdz + (dy)2 + 6dydz + 3( dz)2 ].
Из уравнения связи dx + 2dy + 3dz = 0 => dx = -2dy - 3dz (это так
и в точке М). Поэтому
d2y(M) = ^-l- 3(dy)2 - 6dydz - 6(dz)2]. (*)
О L J
Положим A =-3, В = -3, С = -6. Тогда D = AC -В2 =9 (> 0).
Так как D > 0, А < 0, то квадратичная форма в (*) отрицательно
„ ./о а оА
определенная. Следовательно, М\ —, —, — — точка строгого ус-
V о о Ь)
/1Z\ °6
ловного максимума; итах = и(М) = —.
6
Пример 25. Исследовать на условный экстремум функцию
х2+у2 =2, (x>0> у>0) z>0)
y + z = 2
и = xy + yz , если
Решение. Составляем функцию Лагранжа
V = ху + yz + А(х2 + у2 - 2) + р(у + z - 2).
212
Стационарные критические точки находим из системы
Vi = О,
Vi =0,
• Vi = о,
х2 + у1 = 2,
у+ г = 2
у = -н>
у + 2Лх = 0, х = -Ег,
х + z + 2Ху + ц = 0, 2Х Z = Ц + 2,
у + ц = 0, => • U2
х2 +у2 = 2, + ц2 = 2, 412
у + Z = 2 41 412-4Х-1
Определим 1 и Ц из системы
р2|1+-У = 2,
I 4Л27
41
Ц =—5-----
412-41-1
Ц2
812
" 412 +1 ’
2 1612
И =----5--------7
(412-41-1)2
812 1612
412+1 (412-41-1)2
=* (412-41-1)2 =812+2 =>
=> 1614 + 1612 + 1 - З213 - 812 + 81 = 812 + 2 &
=> 1614 - З213 + 81 -1 = 0 «
« (1614-3213 +1612)-(1612-81 +1) = О «
<=> 12(1612 - 321 +16) - (1612 -81 + 1) = О &
« [1(41 - 4)]2 - (41 -1)2 = 0 <=>
« [1(41-4)+ (41-1)] [1(41-4)-(41-1)] = О фф
фф (412 -1) (412 - 81 +1) = О =ф
1 1 л/3 л/3
=> М=4> *2=-4» Х3=1 + ^-, ^4=1-2Т’-
1 2 2 2 3 2 4 2
А тогда
, , 4 + 2V3 4-2-Тз
Ц2=-1, И5-2 + 2Л, 1*4-2_27з.
213
1) Пусть Xj = ^, jij = -1. Тогда х, = -1, = 1, Zi = 1. Не
подходит. У нас по условию должно быть х>0, у >0, z > 0.
2) Пусть Х2 = --i , ц2 = -1. Тогда х2 = 1, у2 = 1, z2 = 1.
Подходит.
ТТ 1 1 4 + 2ч/3
3) Пусть Х3 = 1 + —, Цз = -—. Не подходит, так как
Рз > 0, а следовательно, у3 < 0.
>«\ п л , ч/З 4 — 2-Уз тт
4) Пусть Хд = 1-----, ц4 =-------т=. Не подходит, так как
2 4 2 - 2л/з
Х3 > 0, Из < 0 и, следовательно, х4 < 0.
Таким образом, у нас М2 (1,1,1) — единственная критическая
точка(Х2
2 ’
ц2 = “1 )• Исследуем ее. Имеем
V = ху + yz--(x2 + у2 -2)-(y + z-2);
dw = ydx + xdy + zdy + ydz-xdx-ydy-dy-dz',
d2y = dxdy + dxdy + dydz + dydz - (dx)2 - (dy)2 =>
в частности,
d2y(M2) = - (dx)2 - (dy)2 + 2dxdy + 2dydz
Из уравнений связи
xdx + ydy = 0,
dy + dz = 0
в точке M2: < , , ’ => dx = -dy, dz = -dy.
[dy + dz = 0
Значит, d2y(M2) = - (dy)2 - (dy)2 - 2(dy)2 - 2(dy)2 = -6 (dy)2 -
отрицательно определенная квадратичная форма и, следова-
тельно, М2 (1,1,1) — точка строгого условного максимума,
^тах = ^(^1) = 2 •
214
§5. Примеры и задачи на наибольшие
и наименьшие значения функций нескольких переменных
Пример 1. Найти наименьшее и наибольшее значения функ-
ции z = х - 2у - 3 в области (D) =
0<х<1,
О < у < 1,
О < х + у < 1.
Решение. Функция z = х - 2у - 3 непре-
рывна в (D), причем (D) — ограниченное
замкнутое множество. Поэтому z(x,y) дос-
тигает 3(D) своих наибольшего и наимень-
шего значений. Ясно, что наибольшее и наи-
меньшее значения функции z(x,y) могут
достигаться либо в точках возможного экст-
ремума в области (D), либо в точках контура
области (D).
Рис. 4.6
Так как z'x = 1 (# 0) и zy = -2 (* 0), то внутри области (D)
нет точек, подозрительных на экстремум. Значит, наименьшее
и наибольшее значения функции достигаются на контуре области
(D). Поэтому исследуем функцию z(x,y) в точках контура.
1) ОА: у = 0, 0<х< 1. На 04 z = х-3 => z' = 1 (# 0, для
X € (0,1) ).
2)ОВ: х = 0, Осу <1. На OB z = -2у - 3 => zy = -2 (*0
для у е (0,1)).
3) АВ: х + у = 1 => у = 1 - х, х е (0,1).
На АВ z = х - 2(1 - х) - 3 = Зх - 5 => zx = 3 (#0 для
хе (0,1)).
Остаются точки стыка линий, образующих контур области
(D). Это - точки 0(0,0), А(1,0) и В(0,1). Имеем: z(0,0) = -3,
z(l, 0) = -2, z(0,1) = -5.
Вывод. Наибольшее значение функции z(x,y) в (D) равно —2.
Наименьшее значение функции z(x,y) 3(D) равно —5.
215
Пример 2. Найти наименьшее и наибольшее значения функ-
ции z = х2 + у2 - 12х + 16у в области (Р): х2 + у2 < 25 .
Решение. Имеем z'x = 2х -12, z'y = 2у +16. Из системы
zx = 0, 1х - 6 = О,
Zy = 0 у+ 8 = 0
находим х = 6, у = -8 . Видим, что точка (6, - °°) g (Р). Значит,
заданная функция z(x,y) достигает своего наименьшего и наи-
большего значений на контуре области (Р), т. е. на окружности
х2 + у2 = 25. Таким образом, приходим к задаче: исследовать на
экстремум функцию z = х2 + у2 - 12х + 1 бу, если х2 + у2 = 25 .
Составляем функцию Лагранжа: у = х2 + у2 - 12х + 16у +
+ Х(х2 + у2 - 25). Критические точки находим из системы
Vi = 0,
vi = о, «=>
х2 + у2 = 25
2х-12 + 2Ах = 0,
2у +16 + 2ку = 0,
х2 + у2 = 25
Xj =3, х2 = -3,
У\ = Ч У2 = 4
=> Мj (3, - 4) и Af2(-3,4) — точки возможного условного экстре-
мума. Заметим, что нет нужды выяснять, что в этих точках — мак-
симум или минимум. Нужно только найти значения функции z
в этих точках и сравнить их. Имеем
Z(MX) = z(3, -4) = -75; z(M2) = z(-3,4) = 125 .
Вывод. Наименьшее значение функции z(x,y) в (D) равно—75.
Наибольшее значение функции z(x,y) в (Р) равно 125.
Пример 3. Найти наименьшее и наибольшее значения функ-
ции z = х2 - ху + у2 в области (5): |х| + |у| < 1.
Решение. Имеем zx = 2х - у, z'y = 2у - х. Из системы
:;=о
;=о
2х - у = 0,
2у - х = 0
Х| = 0, Ji = 0 =>
=> (0,0) — стационарная критическая для функции z(x,y). От-
метим, что Mi (0,0) е (D). Исследуем z(x,y) в точках контура обла-
сти (Р). Контур (Р) состоит из четырех прямолинейных отрезков:
216
1) AB: y = l-x, xg(0,1);
2) ВС: у=\+х, xg(-1,0);
3) CD: y = -l-x, xe(-l,O);
4) DA: у = -1 + x , x e (0,1).
1) Ha AB:
z = x2 - x (1 - x) + (1 - x)2 =
= 3x2 - 3x +1 =>
Рис. 4.7
=> z'x = 6x - 3 =>
, n 1 / 1ч .Z ( 1 1
=>z'x =0 при x = — (=>у = -)=>М21у,-
— точка возможного
условного экстремума.
2) На ВС:
z = х2 — х (1 + х) + (1 + х)2 = х2 + х + 1 => z'=2x + l =>
4 1
=> z'x = 0 при х = -j- (=> У = у) => М3
ного условного экстремума.
3) На СР:
—— точка возмож-
2 2)
Z = х2 4- х(1 + х) + (1 4- х)2 = Зх2 + Зх 4- 1 => Zx~ 6x4-3 =>
=> z'x = 0 при х = - — (=> у = -—) => М4\ - — , — точка воз-
можного условного экстремума.
4) На DA:
z = х2 -х(х-1) + (х-1)2 =х2 -х + 1 => z'=2x-l =>
/Л 1 / 1 V .Z (1 О
=> zx = 0 при х = — (=>у = -—)=> М5\ —, - — — точка возмож-
ного условного экстремума.
Нужно вычислить еще значения функции z(x,y) в точках
стыковки линий, образующих контур области (D), т. е. в точках
А(1,0), 5(0,1), С(-1,0), D(0, -1). Итак, имеем: 1) z(M) = г(0,0) = 0;
217
2>«>4НН
оч /1/4 / 1 П 3
3) г(Л/3) 2’2j 4’
4)
5) 4(м!) = 4--£=|;
6) z(A)=z(l, 0) = 1; 7) z(B)=z(0,1) = 1;
8) z(C)=z(-l,0) = l; 9) zCD) = z(0,-1) = 1.
Вывод. Наименьшее значение функции z(x,y) в (D) равно 0.
Наибольшее значение функции z(x,y) в (Д) равно 1.
Пример 4. Найти наименьшее и наибольшее значения функ-
ции и = х1 + 2у2 + 3z2 в области (D): х2 + у2 + z2 < 100.
Решение. Имеем и' = 2х, и'у = 4у, u'z = 6z . Из системы
и' = О,
и'у = 0, <=>
«' =0
2х = О,
• 4у = 0, =>
6z = 0
=> точка Мо(О, 0, 0) — стационарная критическая точка для фун-
кции u(x,y,z) Отметим, что точка Мо е (D). Исследуем u(x,y,z)
в точках границы области (D), т. е. в точках сферы
х2 + у2 + z2 = 100. Таким образом, получаем задачу: исследовать
на условный экстремум функцию и = х2 + 2у2 + 3z2, если
х2 + у2 + z2 = 100. Составляем функцию Лагранжа
у = х2 + 2у2 + 3z2 + Х(х2 + у2 + z2 -100).
Критические точки находим из системы
V; = 0,
ж; = о,
ж? = о,
х2 +у2 + z2 =100
2х + 2Хх = 0,
4у + 2Ху = 0,
6z + 2Xz = 0,
х2 +у2 +z2 = 100
Xj — —1, Х2 — —2, Х3 — —3;
Xj = ±10, х2 =0, х3 = 0;
У1 =о, У2 = ±ю» Уз = 0;
Zj =0, z2 = 0, z3 = ±10
218
=> Мх (+10,0,0), Af2(0, ±10,0), Af3(0,0, ±10) — точки возможного
условного экстремума. Находим значения функции u(x,y,z)
в точках Mq , Мх, М2, М3. Имеем
и (Мо) = и (0,0,0) = 0, и (Mi) = и (±10,0,0) = 100,
и (М2) = и (0, ± 10,0) = 200, и (М3) = и (0,0, ± 10) = 300.
Вывод. Наименьшее значение функции u(x,y,z) в (D) равно 0.
Наибольшее значение функции u(x,y,z) в (D) равно 300.
Пример 5. Найти наименьшее и наибольшее значения функ-
ции и = х + у + z в области (Р): х2 + у2 < z < 1.
Решение. Так как и'х = 1, и'у = 1, «' = 1, то внутри области
(D) нет точек, подозрительных на экстремум. Значит, наимень-
шее и наибольшее значения функции u(x,y,z) достигаются на
границе области (D), т. е. либо на поверхности параболоида
Z = х2 + у2 (0 < z < 1), либо на основании параболоида z = 1,
X2 + у2 < 1 .
1) Исследуем функцию u(x,y,z) на боковой поверхности пара-
болоида z = х2 + у2 (0 < z < 1). Имеем задачу: исследовать на экст-
ремум функцию и = х + у + z , если х2 + у2 -z = 0 (0<z<l).
Составляем функцию Лагранжа у = х + у + z + Л (х2 + у2 - z).
Критические точки находим из системы
vi = 0,
v; =о,
< =о,
х2 + у2 - z = 0
1 + 2Хх = 0,
1 + 21у = 0,
1 - к = 0,
х2 + у2 = z
1 = 1,
х = -1/2,
У = -1/2,
z = 1/2
=> ^~2,~2’2j ~т0чга’П0Д0^ит^наянаУСЛ0ВНЬ1^экстРемУм-
2) Исследуем функцию u(x,y,z) на основании параболоида
Z = I, х2 + у2 <1. Имеем и = х + у + 1 => их = 1, и' = I. Значит,
среди точек основания параболоида z = 1, х2 + у2 < 1 нет крити-
ческих точек.
219
3) Исследуем функцию u(x,y,z) на стыке боковой поверхно-
сти параболоида с основанием параболоида. Получаем задачу:
исследовать на экстремум функцию и = х + у +1, где х2 + у2 = 1.
Составляем функцию Лагранжа у = х + у +1 + 1(х2 + у2 -1).
Критические точки находим из системы
>; = О,
Vy = о, <=>
х2+у2=1
1 + 2Хх = О,
1 + 2Ху = 0, <=>
х2+у2=1
Л Л Л Л
Х1=-Т’ Х2=Т’ Хз=-—’ Х4=Т’
Л Л Л л
<=> У4=—2">
U1=D (Z2=l) (Z3=l) (Z4=D
I V2 -J2
Mi ,
2 2
— точки возможного условного экстремума.
4) Нужно вычислить еще значение функции u(x,y,z) в точке
О (0,0,0). Итак, имеем:
( 1 1 1> 1 ( 42 42 \ г-
1) и(М) = и -А,-1 1 =-А; 2) и(М1) = и-^,-^,1 =1-Л;
3) «(A/2) = m
ДД1
2’2’
5) и(Л/4) = и
1
= 1; 6) «(0,0,0) = 0.
Вывод. Наименьшее значение функции u(x,y,z) в (D) равно
2 ’
Наибольшее значение функции u(x,y,z) в (D) равно 1 +Л
220
Пример 6. Выяснить, при каких размерах открытая прямоуголь-
ная ванна данной вместимости у имеет наименьшую поверхность.
Решение. Обозначим через х — длину, у — ширину, z —
высоту ванны. (По смыслу задачи ясно, что: х > 0, у >0, z > О.)
Тогда площадь 5 поверхности ванны определится формулой
S = ху + 2xz + 2yz .
По условию: xyz = V (V— заданная постоянная величина) =>
V V
xz = —, yz = — • Следовательно,
У х
У У
S = ху + 2- + 2-. (*)
У х
К V
Имеем S' = у - 2—, 5' = х - 2 —=. Критические точки находим
X у
из системы
S' = О,
S'y = 0
х2у = 2V,
ху2 = 2V
х2у = ху2
х2у = 2V
ху(х-у) = 0,
х2у = 2V
У = х
х2у = 2V
=> x = V2T, y = ^2V =*
=> М^2У, >/2У^ —единственная критическая точка функции (*).
Имеем, далее, ££ = 4-^-, S'^ = 1, S"2 = 4^-. В точке Л/(^2Г, ^2Й)
4F 4V
A = W = 2, 5 = 1, C = W = 2’ D = AC~B =3 (>0>-
Так как D > 0, А > 0, то Мн/2К, V1K) — точка строгого миниму-
V У2У
ма. У нас z = — => z(-AZ) = ——
ху 2
Ответ. Площадь поверхности ванны будет наименьшей, ког-
да х=У2Й, y = 3V2K, Z = |3V2K; 5HaHM=3^/4F.
221
Пример 7. Данное положительное число а разложить на п
положительных сомножителей так, чтобы сумма обратных вели-
чин их была наименьшей.
Решение. Обозначим сомножители через хь х2, ..., хп, так
что а = Х\ • х2 • х3 •... х„. Тогда сумма обратных величин этих
сомножителей и(х1гх2,..., х„) будет такой:
и(х},х2,...,х„) = — + — + ... + —. (*)
Xi х2 хп
„ , тт 111
Составляем функцию Лагранжа у = — + — + ... + — +
х2 хп
+ Х(х\х2...хп - а). Критические точки находим из системы
V i, = 0.
Ух2 = о.
V i. = о,
хгх2-...-хя=д
X? Xj
- J_ + ^ = o,
х2
_Д. + *£ = о,
х„ Хп
хгх2- ... х„ = а
~^ + кк2х3...хп =0,
Ху
1 1 п
—у + Xxix3...xn = 0,
- Дг- + Лх1х2...х„_1 = 0,
Х„
ххх2-...хп=а
1/Xj = Ад,
1/х2 = Ад,
1/хя = Ад,
Д=Х1Х2...Х„
х1х2...хя=д Х1=х2 = ...=хя=д1/''
=> M(ai/n,ai/n,...,ai/n) — стационарная критическая точка. Имеем
2 —
= — О' = 1, л); = 0 о * к) =>
xj
222
2
=> Vi,x*(^f) = O (***).
А тогда d2w(M) = -^-[(Л])2 + (dx2)2 +
+ (dxn)21. Из уравнения
связи
х2х3...хя dx{ + xlx3...xn dx2 + ... + x^.^x^ dx„=Q.
Следовательно, в точке M
л-1
а п (dxt + dx2 + ... + dx„) = 0 => dxn = - (dxx + dx2 + ... + dxn-\) .
А тогда
d2y(M) = [(<fri)2 + {dx-rf +... + (<&„_i)2 + (dxx + dx2 +... + dxn_x )2 ] =
.. + 2(dxn_{)2 + 2dx1dx2 + 2dx1dx3 + ... +
= -^r[2(rfx1)2+2(dx2)2
+ 2abc1rfxn_1 + 2dx2dx3 + ... + 2cbc2cbc„_1 + ... + 2dx„_2dx„_l] =э
=> видим, что d2y(M) — положительно определенная квадратич-
ная форма, ибо
аи - 2 (> 0), fll 1 °12 °21 а22 1 1 2 ] Я 1 2 1 1 2 = 4 (: 1 1 ! 1 1 1 = 3 (>0),
°п °21 °л-1,1 6 «И °21 fl31 °12 fl22 гл-1,2 °12 °22 а32 °13 °32 а33 ^1,л °2>Я ^л-1, -1 -1 л-1 2 1 1 1 2 1 2 1 1
>0), . ... 1 ... 1 ... 2 9 = п (>0).
Значит, М 1 9 • • • ,а1/л) 1 - - точка строгого условного миниму-
ма. Следовательно, функция (*) вточке М(ах1п9ах,п,... ,ах,п) имеет
п
наименьшее значение; ннаим = -/= •
ча
223
Пример 8. На плоскости даны п материальных точек Pi(x1; ,
Л(х2,^г)> " > Рп(хп’Уп) с массами соответственно равными
mlt т2, , тп. При каком положении точки Р(х,у) момент
инерции системы относительно этой точки будет наименьшим?
Решение. Момент инерции системы относительно точки
Р(х,у) определяется формулой
/(х,у) = ZW1 [О - х02 + (у - у02] + т2[(х - х2)2 + (у - у2)2] + ... +
+ т„[(х-хл)2 +(у-у„)2].
Критические точки находим из системы
.^=°’ <=> |2ри1(х-х1) + /п2(х-х2) + ... + /пл(х-хя)] = 0,
Гу =0 [2[от1(у-у1) + >и2(у-у2) + ... + тя(у-ул)] = 0
=>JC= + ff»2^2 + •• + , mlyl+m2y2 + ... + mnyn (И[)
/«I + т2 + ... + т„ ’ т1+т2 + ... + т„
Точка М(х,у), у которой х и у выражаются по формулам (*),
является стационарной критической для функции 1(х,у). Имеем,
далее, 1"2 = 2(т} + т2 + ... + тп),Г^, = 0, 1"2 = 2(т{ + «^ + ... + т„)
(это так и в точке М);
А = 1"2 = 2(т{+т2 + ... + т„) >0; В = Г^(М) = 0,
С = Г'2 = 2(/И! +т2 + ... +тп) ,
D = АС - В2 = 4(mi + + ... + тп)2 > 0.
Так как 2)>0иЛ>0,то 1(х,у) в точке ЛГимеет строгий минимум.
Ответ. Точка Р(х,у), относительно которой момент инерции
системы принимает наименьшее значение, имеет координаты
Е'Я/Х,- Х/я.у,-
X - —----, у = —-----.
п 9 z п
Ът1
/=1 1=1
224
Пример 9. Найти кратчайшее расстояние между параболой
у = х2 и прямой х - у - 2 = 0.
Решение. Расстояние р от точки (х,у), лежащей на параболе
у = х2, до прямой х - у - 2 = 0 определяется формулой
X-у - 2 2
Р =-----, где у = х£.
V2
Таким образом, задача сводится к нахождению наименьшего зна-
чения функции р<х,у) = - -L (х - у - 2), если у = х< Составляем
функцию Лагранжа
V = ~^(х -У~2) + Х(у- х2).
Критические точки находим из системы
V; = О,
V' = 0, <=>
2
У = X
- -Ц - 2Хх = О,
Л
4= + X = О,
Л
у = х2
1
2’
4
— стационарная критическая точка. Имеем
v;z2=-2x => у;2(М) = Д V"=o, v;2=o.
Следовательно, </2у(ЛГ) = V2 • (dx)2 — положительно определен-
ная квадратичная форма. Значит,
— точка строгого ус-
ловного минимума; pmjn =
П П 7
42 ’ 4J 4V2’
225
§6. Примеры и задачи на замену переменных
Пример 1. Преобразовать уравнение У'ХУ'£ - 3(у"2)2 = х, при-
няв у за новую независимую переменную.
Решение, у = у(х) х = х(у). Имеем
Подставляя найденные выражения для у', у"2, у"з в заданное
уравнение, получим
1
Ху
^(х'^-х"^
З(х;>)2
(х;>6
• г'
\*у)
2
Пример 2. Преобразовать уравнение у"2 + — у'х + у = 0, при-
няв х за функцию, a t = ху за независимую переменную.
Решение, у = у(х) <-> х = x(f). Имеем
t , t'-x-t . 1 t .
у = - => ух = ——$— (=--------~ ~ ~т):
X X2 х х; X2 ’
„ _,. v _ (txx - _ g;2x+rx - px)x2 - 2x(pxx -1) _
Ухг ^Ух)х I 2 I „4
\ Л /X Л
t"2
X
X
''t'x t
2 2 + з
x2 xJ
Имеем, далее,
226
yr" 1 yr"
xt2 1 _ xt2
(x't)2 x't (x;)3'
А тогда
„ ____2 2t
У*г x(xj)3 x2x, x3
Подставляя найденные выражения для у' и у"2 в заданное урав-
нение, получим
х'л 2 2t 2 2t t п „ ,ч3 _
-----------,— + ~т + ~5------г + — = 0 => x"2-t(xA =0.
x(x't)3 X2Xf х3 x2x't x3 x *
Пример 3. Преобразовать уравнение х2у”г + ху'х + у = 0, если
х = е‘.
Решение, у = у(х) о у = y(t). Имеем ух = у, • tx. Но tx = — =
1 Xt
= — = е 1. Поэтому ух = у',е ‘;
е1
Ух2 = (y'xYx = WYx = (y't^y t'x = (У'^У • =
= (у"2е-( - у'(е~‘) еч => у"г = (у"2 - y't) e~2t.
Подставляя в заданное уравнение найденные выражения для ух и
ух2 , получим
e2'(y," - у!) е~2‘ + ^у,еч + у = 0 => у"2 + у = 0.
Пример 4. Преобразовать уравнение у"2 + р (х)ух + q(x)y = 0,
если у = и • е , где и (х) — новая функция.
Решение. Имеем
1 1
’ ч> и'х--и р(х) ;
= и^е * +и-е * -1-ур(х)1 = е
227
1 Z X 1 z 1 z x
~2^x)) ux~2U'^ +
у "2 = e 30
x I 2
+ e
4Ь«)*Г i i
' ” • и"2-^и'хр(.х)-^ир\х)
2 2
4 j ;>($)*
= e 41
-1 u'xp(x) +1 up2(x) + u"2 -| u'xp(x) -1 up'(x)
Подставляя полученные выражения для ух, у"2 в заданное урав-
нение, получим
4Ь«>*г 1 ,
е х° - ихр(х)+4 up2 (х) + и"2 -
4 х
1 1 о
~^ир'(х) + р(х)и'х--ир\х) + ид(х) = 0 =>
м"2 + и
?(*)- j Р2(х)-^-р'(х)
4 2
= 0.
Пример 5. Преобразовать уравнение х4у"2 + хуух - 2у2 - 0,
если х = е*, у = ue2t (t — новая независимая переменная, и(f) —
новая неизвестная функция).
Решение. Имеем x't = е1 => t' = Д = е~‘;
Ух = y't t'x = (ue2l)'t е~‘ = («; + 2й)е2,е~‘ = («; + 2и)? .
Ух> = (УхУх = (y'xYt • fx = [(“/ + 2«) е‘]'- е~‘ =
= [и'2 + 2u't + и, + 2uj е‘-е е = и"2 + Зк/ + 2и.
Подставляя найденные выражения для у', у"2 и принимая во
t 2t
внимание, что х = е , у = ие 1, получим
e4t(uft2 + 3uft + 2и) + e3tu + 2и) - 2u2e4' =0 =>
228
=> и"2 + Зи/ + 2и + ин/ = 0 => и"2 + (3 + и) и/ + 2и = 0.
Пример 6. Преобразовать уравнение (1-х2)2у"2 --у, если
и,
х = th t, у = -г— (/ — новая независимая переменная, u(t) —
ch г
новая неизвестная функция).
Решение. Имеем x't = —L—
ch2/
— = ch2 t;
х
Ух = y’t • t'x = • ch21 = и', cht - usht;
<2 = (УхУх = (УхУ fx = (u't ch t - и sh /)/ • ch21 =
= (и/2 ch t + u't sh t - u't sh t - и ch 0 • ch21 => y"2 = (u"2 - u) ch31.
Имеем, далее, (1 - х2)2 = (1 - th21)2 = —т—. Исходное уравнение
ch* t
станет таким:
u'2 - u_______u_
ch t ch t
и"2 = О.
Пример 7. Преобразовать к полярным координатам г и Ф
dy х + у
уравнение -7- =-----—, полагая х = г совф , у = г sin ф.
dx х -у
Решение, dx = coscpdr- гяпфЛр, dy = sintpdr + гcostpdtp. Тогда
dr
, , , sma— + гсовф
dy _ smydr + гсовфиф _ дф
dx cos tp dr - r sin ф dtp dr .
v v v СОвф——ГвШф
d(p
Исходное уравнение примет вид
sin ф г</ + г cos ф _ cos ф + sin ф
cos ф -r^ - г sin ф cos ф-sin ф
=> sin<p(cos<p -зтф)^ + г cos ф (cos ф - втф) =
229
= COS ф (cos ф + 8Шф)Гф - Г sin ф (cos ф + 8Шф) =>
=> (sin ф cos ф - зт2ф - сов2ф - sin ф cos ф) =
= -г (sin ф cos ф + вт2ф + сов2ф - sin ф cos ф) => = г.
Пример 8. Преобразовать к полярным координатам г и Ф
уравнение (х2 + у2)2 у"? = (х + уу'х)2, полагая х = г cos ф, у = г sin ф.
Решение, у = у (х) г = г (ф). Имеем
,1 8Шф • Г' + ГСО8ф
Ух У<( Фх У<р совф • Гф - гвтф ’
У"1 = (УхУх = (УОф • Ч>Х = (УхК • 77 =
хф
8Шф • Гф + гсовф^ 1
созф • Гф - rsinvj совф • Гф - гвтф
г2-гт"г +2(Гф)2
=> У 2 = ----------------Г.
х (cos ф • Гф — г sin ф)J
Исходное уравнение станет таким:
г ~ п"92 + 2 (Гф) ( sin ф г' + г СОвф
--------21 z- = г cos ф + г sin ф ь-
(совф • Гф - гвтф)----------------------------------------совф • Гф — гsmф
=> Г (г2 -ГГ"г +2(Гф)2) =
= (z-ф сов2ф - г sin ф cos ф + Гф вт2ф + г sin ф cos ф)3 =>
=> г Р " гф + 2 (гф)2] = Ор3 •
Пример 9. Перейти к полярным координатам г и Ф в системе
уравнений
^ = У + Ах(х2 +у2),
^ = -х + ку(х2 +у2),
полагая х = гсовф , у = гвтф.
230
Решение. Имеем
x't = г/cos ср - г sin <р • <р{,
y't = г/sin ф + г cos ф - Фр
Исходная система станет такой:
г/cos ф - г sin ф • ф, = г sin ф + кг3cos ф, *
г/sin ф + г cos Ф - ФJ = -г cos ф + A:r3sm ф.
Умножим обе части первого уравнения (*) на совф, а обе части
второго — на sinip, и сложим. Получим г/ = кг3. Умножим обе
части первого уравнения (*) на (- sin ф), а обе части второго на
cos ф. Получим: г <р'( = - г => (p't = -1. Таким образом, в полярных
координатах г и Ф исходная система принимает вид
dr , з
— = кг,
dt
=,
dt
Пример 10. Преобразовать выражение W = х - у , вве-
дя новые функции г = Jx2 + у2 , Ф = arctg^.
Решение. По условию
dy dx
.У dtp 1 Х dt У dt
х dt у2 х2
dy dx
dtp _ X~dt y~dt _ r2^P_r^_v^.
dt x2 + y2 dt dt У dt'
Дифференцируя no t обе части полученного равенства, будем иметь
dt\ dt)
d2y d2x
= x—г-У—г-
dt2 dt2
~ IJZ d ( 2 d<p\
Следовательно, tv = — r .
dt\ dt)
231
Пример 11. В преобразовании Лежандра каждой точке (х,у)
кривой у = у (х) ставится в соответствие точка (X,Y), где X = ух,
Y = хух - у . Найти Yx , Y*2 > Ух3
Решение, у = у(х) <-> Y = Y(X). Имеем:
1)
2)
3)
Y' Ух + ху"г ~ Ух
Yv = Yx Х'х = = —---- Х = х .
Х Х Х Х'х у’'г
г;, = - ~ -1 ~=--i-
х "х2 "х2
1 ( 1 V 1 V'"
V"' _ /V" V _ /V" V * _l 1 I * _ Хх3
rx3 ~Vx2>x (Гл-1>х*у7- РЗТ
х Л* <ух2)х ухг и^2)
Пример 12. Решить уравнение — = —, приняв за новые
дх ду
независимые переменные £ = х + у, л = х- у .
Решение, z = z(x,y) ++ z = z<&>, л) • Имеем
Zx ~ — ~ Z^ ’ + Z-ц Лу - Z^ ~ Z^.
Исходное уравнение станет таким:
z'k + z'^ = z'^ - z'^ => z^=o => Z = 2(£,л) = ф(£),
т. e. z = Ф (x + у), где Ф — произвольная дифференцируемая функция.
Пример 13. Решить уравнение а^- + b^- = 1 (а 0), если
дх ду
k = x и х\ = у-bz.
Решение, z = z(x,y) ++ z = г(£,Л) • Имеем
z'x=zi’kx+z'n’r\'x=zi+z'n(-bz'x) =»
Z-'y = zi’^у + z'n r\'y = 0 + Z'^l - bz'y) =>
Z'=-^--
x l + bz\’
z' =———
y 1 + bz\ ’
Исходное уравнение станет таким:
&Zf bzn . . - z 1 , f Z1
-—= 1 => azt + bzA = 1 + bz„ => azt = 1 =>
1 + bz\ 1 + bz'^ 4 n л 4
232
11 X
=> zi=- => z = -£ + <p(t]) => z = - + <?(y-bz),
* a a a
где Ф — произвольная дифференцируемая функция.
Пример 14. Преобразовать уравнение х— + J1 + у2 — = ху,
дх ду
если и = Inx, v = In (у + у/1 + у2) (и и v — новые независимые
переменные).
Решение, z = z(x,y) <-> z = z(u, v). Имеем
, , , , , , 1 n
zx = zu • Ux + Zv • Vx = zu • - + 0,
Zy = zu uy + zv-v'y = 0 +zv •
у/1+y2
Из соотношения и = In x => x = eu . Из соотношения v =
= In (y + 71 + y2) =>
=> у + 71 + У2 = ev => 71 + У2 =ev - у =>
=> 1 + у2 = e2v - 2yev + y2 =>
e2v _ J gV _ e-v
y 2ev 2
у = sh v.
Исходное уравнение станет таким: z'u + z'v = eu sh v.
Пример 15. Преобразовать уравнение
dz dz
x^~+y^~ = z
dx dy
+ 7*2 + У2 + г2, если и = —, v = z + 4x2 + у2 + z2 (« и v — новые
X
независимые переменные).
Решение, z = z(x,y) z = z(u,v). Имеем
zx z.u • ux + zv • vx zu • j 2
X + ZZX
I , „2 . ,2
233
X , у ,
, V-7Zv x1Zu
=> zx = -—----------
1 -zv----
v-z
, z z z z , 1
Zy Zu * Uy + Zv ' Vy Zu ' %
. . x2z; - u(v - z)z'u.
V - Z - VZ v
2 ~2
У , 1 z
Zy +-Z„
, v - z x
y i ' v
1 - Zy------
V~Z
у\'у + u(y - z)z'u
v-z-vz'y
Исходное уравнение станет таким:
+У )Zy =v (х2 + у2) z'v = v(y - z) - v2z'v.
v-z-vzC
Из соотношения v = z + yx2 + y2 + z2 =>
=> (v - z)2 = x2 + y2 + z2 =* x2 + y2 = v2 - 2vz •
А тогда предыдущее соотношение примет вид
(v2 - 2vz)z'v + v2z'v = v(v - z) =>
=> 2v(v - z)z'y = v(y-z) => z'y = у •
Пример 16. Преобразовать уравнение (х + z) zr- + О' + z) zr- =
Эх ду
= х + у + z, если u = x + z,v = y + z (и и v — новые независи-
мые переменные).
Решение, z = z(x,y) w z= z(u, v). Имеем
Zx ~ Zu • Ux + Zy • vx = Zu (1 + zx) + zv • zx zx = т — ~ •
zu
Uy + z'y • v'y = z'u • z'y + z'y(l + z'y)
z' =----—-----
y l-z'u-z'y-
Исходное уравнения станет таким:
и. ^_ , + v, _ z
1 Zy Zy J Zy Zy
234
=> uz'u +vz'v = (u + v-z)-z'u(u + v-z)-z'v(u + v-z) =>
=> (2u + v-z)^- + (u + 2v-z)^- = u + v-z.
du dv
Пример 17. Преобразовать уравнение — + — + — = 0, поло-
dx dy dz
жив £ = x, r\ = у - x, £ = z - х (£, т], £ — новые независимые
переменные).
Решение, и = u(x,y,z) <-» и = • Имеем
= «Г + «п ’ Лх + «г = “5 " мп " “Ь
и'у = и{ • $; + и\ • п; + ?у = ,
^(Г
«г = «г + «' • п; + «г
Исходное уравнение станет таким:
- и' - = 0 => = 0.
Пример 18. Преобразовать уравнение
. .dz dz А
(x-z)—+ j—= 0,
dx dy
приняв x за функцию, а у и z за независимые переменные.
Решение. z = z(x,y) <-» x = x(y,z)- Имеем dx = x'ydy + x'zdz.
Ho dz = z'xdx + zydy . Поэтому
dx = x'ydy + xz(z'xdx + z'ydy) <=> dx = xzz'xdx + (x' + x'zzy) dy.
Сравнивая коэффициенты при dx и dy , получаем систему
х' z; = 1,
х'у +xz-zy =0
1
z‘ ° <
4--4
z X
Г х' 1
--4 = 0 => (х - z) = у • х' => х' = -—-,
I xz) у у У
Подставляя найденные выражения для zx и zy в исходное урав-
нение, получим
/ ч 1
(* - Z) • — + у
xz
если у * 0.
235
Пример 19. Преобразовать уравнение (у - z) zr- + (У + z) zr- - О,
Эх Эу
приняв х за функцию, а и = у - z, v = у + z за независимые
переменные.
Решение, z = z(x,y) <-> х = x(«,v). Имеем
dx = x'udu + x'vdv = x'u(dy- dz) + x'v(dy + dz) =
= (x'u +x'v)dy + (x'v - x'u)dz.
Ho dz = z'xdx + z'ydy . Поэтому
dx = (x' + x'v) dy + (x'v- x'u)(zxdx + z'ydy) =>
=> dx = [x' + x'v + (x' - x')z'y]dy + (x'v -x'u)z'xdx.
Сравнивая коэффициенты при dx и dy в последнем соотноше-
нии, получаем систему
(xv хи) • zx 1,
(x;-x„)-Zy = ~(x'v+x'u)
, 1
Zx =—,------7>
x'-x'u
r, _ x;+x'
y x’v-x’u
Подставляя найденные выражения для z'x и z'y в исходное уравне-
ние, получим
y-z (x'v+x'u)(y + z) _ Q
%v ~ %и xv ~ хи
и - v(x' + X') = 0 =>
Эх Эх и
du + dv V
Пример 20. Перейти к новым переменным в уравнении
dz ^Z , ч
y^--x— = (y-x)z,
dx dy
2 2 11 , , ч
если и = х + у , v = — + —, w = Inz - (х + у).
X у
Решение, z = z(x,y) о w = w(u,v). Имеем
dz
dw = w'udu + w'dv =-(dx + dy). (♦)
236
Ho du = 2xdx + 2ydy, dv = , dz = z'xdx + z'ydy . Поэтому
x у
соотношение (*) перепишется в виде
z'xdx + z'ydy ч ,( dx dy}
—---------(dx + dy) = 2w'(xdx + ydy)-wv -у+ -4- =>
z lx2 у2)
Zy
— -1 - 2xw'u + ^-1 dx + — - 1 - 2yw'u + Щ-
,Z X ) \ z у
I
•Lzy = 0.
г J
z
Так как здесь dx и dy — дифференциалы независимых перемен-
ных, а следовательно, dx = Дх, dy = by , где Дх и by — произ-
вольные приращения, то получаем систему
- 1 - 2xw'u + = 0,
Z, х2
^-l-2yw'u+^ = Q
Z у2
z'x =z l + 2xw' ,
I x2)
( мН
Zy = Z 1 + 2yw'u--x .
\ У 7
Подставляем найденные выражения для zx и zy в исходное урав-
нение. Получим
( А (
уг 1 + 2xw' —у - xz 1 + 2yw'u -
I х2) I
а!
= (У - x)z =>
£ = 0.
Эу
3 3
X , У / Л Х ~ У , А
=> = о => —= o
у X X у
Пример 21. Перейти к новым переменным в уравнении
(ху + z)^ + (1 - у2)^ = х + yz,
дх ду ’
если и = yz-x, v = xz-у , w = ху -z.
Решение, z = z(x,y) <-> w = w(«,v). Имеем
dw = w'udu + w'vdv = у dx + xdy - dz. (*)
Ho du = zdy + ydz - dx , dv = zdx + xdz - dy , dz = z'xdx + z'ydy .
Поэтому соотношение (*) перепишется в виде
237
w'u(zdy + ydz - dx) + w'v(zdx + xdz - dy) = ydx + xdy - dz <=>
<=> w'u(zdy -dx + yz'xdx + yz'ydy) + w'v(zdx-dy + xz'xdx + xz'ydy) =
= ydx + xdy - zxdx - zydy =>
=* (w'uyz'x ~wu+ Kz + 4*0 dx + (zw' + w'yz'y -w' + w'xzy) dy =
= (y - z'x) dx + (x - z'y) dy.
Сравнивая коэффициенты при dx и dy в левой и правой частях
последнего равенства, получаем систему
, т У+ w'u~ZW'v
z'x(i + yw'u+xw'v) = y^w'u-zyf'v х 1 + yw'u + xw'v’
z'y(l + yw' + xw'v) = X + w'v - zyf'u , = x + w’v-zw’u
y 1 + yw' + xw'
Подставляем найденные выражения для z'x и z'y в исходное урав-
нение. Получаем
/ X У + wu - ZW' к X + w' - zw'
(ху + z)t---------v + (1 - У )-.---------V = X + yz
1 + yw' + xwv 1 + yw' + xwv
=> (xy + z)(y + w'u -zyv’v) + (1 -y2)(x + w'v - zyv'u) =
= (x + yz)(i + yw'u+xw'v) =>
=> w'(l - x2 - y2 - z2) = 0 => w' = 0.
d^Z d2Z d2Z
Пример 22. Преобразовать уравнение 2 yy ++
dZ dZ л л . Z
+ — + — = 0, если u = x + 2y + 2, v = x - у -1 (и и v — новые
dx dy
независимые переменные).
Решение, z = z(x, у) «> z = z(u, v). Имеем
z'x = z’u(u,v) u'x + z'v(u,v) v' = z'u(u,v) + z'v(u,v),
Z"i = Zj -U'x+z'^-v'x+ z"i • v; + z" • u'x = Z"1 + z" + Z"z + z;;,
Z'w = Z"1 • u'y + Zw vy + z"i • v'y + • Uy = 2z''i - z'w - z'j + 2z'vU ,
z'y = z'u(u,v) Uy + z'v(u,v) v' = 2z'u(u,v) - Z'v(u,v),
238
z'z2 = 2z"2 • u'y + 2z'^ • Vy - ZyU Uy - z"i Vy = 4z"i - 2z„ - 2z"u + z"i.
Подставляем найденные выражения для zx, z'y, z"i, z^,, z"i
в исходное уравнение. Получим
2(^'2 + z''v + <2 + О + (2# - с -+ 20 -
- (4z"2 - 2z'^ - 2z"u + z"i ) + (z'u + z'v) + (2zu - z'v) = 0 =>
=> 9C, + 3z'u = 0 => 3#A + -^ = 0 (считали, что z"u = z'^).
dudv du
d^Z d2Z
Лример 23. Преобразовать уравнение y-y + y-y + m2z = 0, если
x = eu cos v, у = eu sin v (и и v — новые независимые переменные).
Решение, z = z(x,y) <-» z = z(u, v). Имеем
dz = z’u(«, v) du + z'v(u, v) dv = zxdx + z'ydy.
Ho dx = eu cosvdu - eu sin vdv, dy = eu sin vdu + eu cosvdv.Поэтому
z'udu + z'ydv = zx(eu cosvdu - eu sin vdv) + Zy(eu sinvdu + eu cosvdv).
Сравнивая коэффициенты при du и dv в левой и правой частях
равенства, получаем систему.
zxeu cos v + z’yeu sin v = z'tt, zx = e~u(z'u cos v- z'v sin v),
- zxeu sin v + Zyeu cos v = z'v z'y = e~u (z'u sin v + z'v cos v).
Имеем, далее,
d2z = z"u2 (du)2 + 2z'^dudv + z"i (dv)2 = z"i (dx)2 + 2z'^dxdy + z"i (dy)2 =
=z"i(eu cosvdu-e“ sinvrfv)2 +
+ 2z'^y (eu cos v du-eu sin v dv) (eu sin vdu + eu cos v dv) +
+ Zyi (eu sin vdu + eu cos vdv)2
=>. z"u2 (du)2+ 2z'^dudv+z"2 (dv)2=
=e2u\(z"2 cos2v + 2z™ sin vcosv+z"2 sin2v)(du)2+
L У
239
+ (-Z"2 -2sin vcosv+ 2z^,(cos2v-sin2v) + ^'/2 • 2sin vcosv) c/ut/v +
+ (z"i sin2v - 1z'^ sin vcosv + z"i cos2v)(dv)2j.
Приравнивая коэффициенты при (du)2, (dudv) и (dv)2 в левой
и правой частях последнего равенства, получаем систему
z"i cos2v+2z" sin v cos v+z"2 sin2 v = e~2uz'\,
x у и
- z"i • 2sin vcosv + 2z^(cos2v - sin2v) + z"i • 2sin vcos v = 2e~2uz')v,
z"i sin2v - 2z'^ sin vcos v + z"i cos2v = e~2uz"i.
Складывая соответствующие части первого и третьего уравнений
системы, находим:
<2+z;2 =e’2“(<2+<2).
А тогда исходное уравнение принимает вид
e~lu(z"i +z"i) + m2z = 0 => z"2 + z"i + m2e2uz = 0.
32z ( dz?
Пример 24. Преобразовать уравнение —— = 1 + — , если
дхду ду)
и = х, v = у + z (и и v — новые независимые переменные).
Решение, z = z(x,y) <-> z = z(u, v). Имеем
dz = z'udu + z'vdv = z'xdx + zydy.
Ho du = dx, dv = dy + dz = dy + z'xdx + zydy. Поэтому
z'udx + z’v(dy + z'xdx + zydy) = zxdx + zydy.
Приравнивая коэффициенты при dx vidy в левой и правой частях
равенства, получаем систему
z'u + z'vzx = zx, 1-Z'V’
Zy “b ZyZy ~ Zy —/ __
Zy~l-Z'y’
Имеем, далее,
d2z = z"i (du)2 + 2z')ydudv + z"i (dv)2 =
= z"i (dx)2 + 2z%ydxdy + z"i (dy)2 =>
Л z у
240
=* z"z (dx)2 + 2z'^dx (dy + z'xdx + z'ydy) + z"i (dy + z'xdx + z'ydy)2 =
= Z"i (dx)2 + 2z"dxdy + z"z (dy)2.
Л z Z
Приравнивая в этом равенстве коэффициент при dxdy в левой
и правой частях, получаем
2z'^, = 2z"v(1 + z'y) + z"z • 2z;(l + zy).
7f 1 7"
У нас Zx = ;—, 1 + Zy = •;------- . ПОЭТОМУ z'iy = , uv ,
1 - z'y y 1 - z'y 39 1 -z'y
+ Z"1 —T
V (I -Z'y)2
Следовательно, исходное уравнение станет таким:
z'uv • (1 - z'y) + z'u Z"z = 1
(1-z;)2 "(1-z;)2
=> (1 - z'y) • z'uy + z'u Z"i = 1 .
d^Z d2Z
Пример 25. Преобразовать уравнение —т-2—— +
Эх2 dxdy
( yl d2z
+ J • у-у = 0, если и = х, v = х + у, w = х + у + z (и и v —
новые независимые переменные, w = w(«, v) — новая функция).
Решение, z = z(x,y) w = w(u, v). Имеем dw = w'udu + w'vdv =
= dx + dy + dz. Ho du = dx, dv = dx + dy, dz = z'xdx + z'ydy. Поэтому
w'udx + w'y(dx + dy) = (1 + z'x)dx + (1 + z'y)dy .
Приравнивая коэффициенты при dx и dy в левой и правой частях
последнего равенства, получаем
w'+Wy = l + zx, zx=w'+w'-l,
w' =l + zy zy =w'-l.
У нас dw = dx + dy + dz =* d2w = d2z, t. e.
ZJ \2 92W , , d2w .. -2
- m2 + 2 dxdy+(dy)1.
dx2 dxdy dy2
241
Здесь du = dx, dv = dx + dy. Следовательно, будем иметь
Э2и>,.2 _ Э2и> г 2 л a2w,, ,.2
+2э^[(Л) °
=dl (<&)!+ 2 dxdy+Й. (402.
Эх2 дхду ду2
Приравнивая коэффициенты при (dx)2, dxdy и (dy)2 в левой
и правой частях последнего равенства, получаем
32z d2w _ d2w d2v>
Эх2 ди2 dudv dv2
2 d2z 2 э2и> ! 2 д2уу
ЭхЭу dudv dv2 '
d2z d2w
ду2'-^
У V
Заметим еще, что у нас 1 + — = —. Поэтому исходное уравнение
х и
станет таким:
d2w (v d2w
ди2 l« J dv2
ТЕОРИЯ РЯДОВ
Теория рядов — один из важнейших разделов математики.
В ней исследуются вопросы, связанные с перенесением свойств
элементарных алгебраических операций, а также правил диффе-
ренцирования и интегрирования (хорошо известных, когда число
слагаемых конечно) на случай бесконечного числа слагаемых.
Теория рядов широко используется в приближенных вычис-
лениях. С ее помощью составляются таблицы значений функций,
вычисляются определенные интегралы от функций, у которых
первообразные неэлементарны, находятся решения широкого и
весьма важного для физики и техники класса дифференциальных
уравнений.
Глава 5
ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ С ВЕЩЕСТВЕННЫМИ ЧЛЕНАМИ
§1. Определение ряда и его сходимость.
Простейшие свойства сходящихся радов
*
1°. Пусть имеется бесконечная последовательность веществен-
ных чисел {a„}neN- Выражение вида
п, + а2 + ... + а„ + ... (или Jfl„) (1)
Л=1
называется числовым рядом, а числа а,, а2,..., ап,... — членами
ряда.
Величины
, S2 = + О29 S3 = + О 2 + ••• 9
s„ =at + а2 +fl3 + ... + fl„,
называются частичными суммами ряда (1) (s„ — л-я частичная
сумма ряда). Очевидно, что частичные суммы ряда составляют
бесконечную последовательность
• (2)
Определение. Если существует конечный или бесконечный, но
определенного знака, предел
s = lim зп, (3)
то этот предел з называют суммой ряда (1) и пишут:
J = 14 •
Л = 1
244
Если s — число конечное, то говорят, что ряд (1) сходится. Если
$ = °° или lim sn не существует, то говорят, что ряд (1) расходится.
п—>°°
Пример 1. Для ряда
1 + 1 + 1 + ... + 1 + ... (4)
имеем s- = п =$ lim sn = +~ => ряд (4) расходится.
л->~
Пример 2. Для ряда
1-1 + 1-1 + ...
имеем $1=1, $2=0, $з = 1, $4=0,..., т.е. $2я_] = 1, $2я = 0,
л = 1,2,3,... => lim $„ не существует => ряд (5) расходится.
П—>«*»
Пример 3. Исследовать сходимость ряда
111 1 = у 1
1 • 2 + 2 • 3 + 3 • 4 + + л(л + 1) + nti«(« + l)- (6)
, „ 1 fl 1 1 ГТ
Ь В этом примере ап = —-------— =---------- . Поэтому
и(и + 1) n + lj
Sn 1 п + 1
=> lim $„ = lim [1-Ц-j = 1 =>
л—n—П +1)
=> ряд (6) сходится, и его сумма $ равна 1.
Пример 4. Исследовать сходимость ряда
a + aq + aq2 + ... + aqn~1 + ... = Ха9л-1 (« * 0).
Л=1
Это — так называемый геометрический ряд.
Составим п-ю частичную сумму данного ряда:
$„ =a + aq + aq2 + ... + aqn~l.
Если предположить, что q 1, то по известной формуле из элемен-
тарной алгебры находим
. =01^£. = _2------2-.,"
1-я 1-я 1-Я ’ '
245
1) Пусть |<?| < 1. Тогда qn >0 и, следовательно,
д
Inn sn = --- (существует, конечный).
п—>°° 1 — Q
2) Пусть |?| > 1. Тогда qп---> оо, а значит, и lim sn = ~.
Л->°°
3) Пусть q = 1. Тогда sn = а + а + ... + а = па =ь
п слагаемых
+ оо, если а > 0
s„ —> .
[- оо, если а < 0
4) Пусть q = -1. Тогда будем иметь ряд
а-а + а-а + ... + (-1)"_,д + ...
Легко видеть: если частичная сумма содержит четное число слага-
емых, то она равна нулю:
$2я = (а - а) + (fl - а) + ... + (д - а) = 0;
п скобок
если частичная сумма содержит нечетное число слагаемых, то она
равна а: ^2л+1 = а •
Частичная сумма нашего ряда sn поочередно принимает толь-
ко два значения: 0 и д и, следовательно, предела не имеет. Таким
образом, геометрический ряд сходится лишь тогда, когда |<?| < 1
или, иначе, при -1 < q < 1. 4
2°. Необходимое условие сходимости рада.
Теорема. Пусть ряд у а„ сходится. Тогда
Л=1
lim а„ = 0. (7)
Л-><»
Обозначим через s сумму данного ряда. Имеем
sn =Д1 +д2 +д3 + ... + д„_1 +а„ = 5„_, +д„ => an=s„-s„_i =>
=> lim д„ = lim s„ - lim 5„_j =5-5 = 0. 4
Замечание. Если lim д„ = 0, то это вовсе не означает, что ряд
оо
У д„ сходится. В самом деле, рассмотрим ряд
Л=1
246
Wl + Я (8)
Л=1 \
Здесь: lim ап = Um In 11 + — | = In 1 = 0, т.е. условие (7) выполнено,
л—>» л-»~ nJ
Имеем, однако,
s„ = In 2 + Infl + 41 + Infl + i| + ... + Infl + — | =
k V 3J {nJ
,,.3,4 , л + 1 , (- 3 4 л + Й , z
= ln2 + ln- + In- + ... + In-= In 2—• -•------- In (л +1) =>
23 л V 2 3 nJ
=> lim sn = lim In (л +1) = +~ => ряд (8) расходится.
Таким образом, условие lim а„ = 0 является необходимым ус-
ловием сходимости ряда У а„ (если lim * 0, то ряд У а„
И=1
расходится).
3°. Простейшие свойства сходящихся радов.
1. Пусть ряд
£a„=ai+a2 + ... + a„ + ... (1)
И=1
сходится и его сумма равна s. Пусть с — определенное число. Тогда ряд
^сап = coj + са2 + ... + сап + ... (9)
Л=1
тоже сходится, и его сумма равна с • s.
Обозначим через s„ и а„ п-е частичные суммы рядов (1) и
(9) соответственно. Имеем
а„ = са{ + са2 + ... + са„ = с(а1 + а2 + ... + а„) = с • sn. (10)
По условию, ряд (1) сходится и его сумма равна s. Значит, суще-
ствует конечный предел lim sn , причем lim s„ = s . Но тогда
Л->«> Л—
lim а„ = Um (с • s„) = с • lim s„ = с • s (существует, конечный) => ряд
Л->«» Л->«» Л->*»
(9) сходится, и его сумма равна с • s .
247
2. Пусть имеются два сходящихся ряда
(П)
Л=1
И
^ьп. (12)
Л=1
Пусть А и В — суммы рядов (11) и (12) соответственно. Тогда ряд
t(a„±b„) (13)
Л=1
тоже сходится, и его сумма равна А ± В.
Обозначим л-е частичные суммы рядов (11), (12), (13) через
А„, Вп , ст„ соответственно. Имеем
= (а1 ± ь\) + (°2 ± ьг) + ••• + («« ± Ь„) =
= (а, +а2 + ... + а„) ± (6, + Ь2 + ... + Ь„) = Ап+ В„.
По условию lim Ап = А , lim Вп = В (существуют, конечные). Но
Л-»ОО Л->«»
тогда
lim о„ = lim (А„ ± В„) = lim А„ ± lim Вп = А ± В
П-*°° П~*°°
— существует, конечный. Значит, ряд (13) сходится, и его сумма
равна А + В.
3. Члены сходящегося ряда можно, не меняя их местами,
объединять в группы. От этого сходимость ряда не нарушится, и
величина его суммы не изменится.
Иначе: пусть ряд
<14>
Л=1
сходится, и его сумма равна г, пусть рх, р2,..., рк,... — произвольная,
строго возрастающая последовательность натуральных чисел. Тогда ряд
(at +а2 + ... + api) + (aPi+l + аР1+2 + ...+ о,2) + ...+
/ ч <15>
+ <ap*-1+l+ap*-1+2 + - + fl₽J + -
тоже сходится и его сумма равна s.
248
Обозначим р-ю частичную сумму ряда (14) через sp, а к-ю
частичную сумму ряда (15) — через ок . Имеем
<тА = (й! + а2 + ... + лР1) + (aP1+i + аР1+2 + ... + ар2) + ... +
+ ^аР*-1+1 + aPk-l+2 + •" + аРк^ SPk
Видим, что <зп, > есть подпоследовательность, выделенная из
I P*JA:6N
последовательности ( з„) . По условию, ряд (14) сходится и его
I ^JpeN
сумма равна s. Это означает, что lim sp = s (s — конечное число).
р->оо
Известно, что любая подпоследовательность, выделенная из схо-
дящейся последовательности, тоже сходится, и притом к тому же
самому пределу. Значит, lim s. существует и равен 5, т.е. lim ак = з
Л->ОО Ик
(существует, конечный) => ряд (15) сходится, и его сумма равна з.
Замечание. Раскрывать скобки в сходящемся ряде, вообще
говоря, нельзя. Например, ряд
(1-1) + (1-1) + ... + (!-!) + ...
сходится, и его сумма 5 = 0; если же раскрыть скобки, то получится
расходящийся ряд: 1-1 + 1-1 + ... (см. п. Г, пример 2).
4°. Рад и его остаток.
Пусть имеется ряд
(16)
Yan-
/7=1
Пусть т — произвольное фиксированное натуральное число. Ряд
^/п+1 "* ^т+2 + ... + вт+к *"••• (17)
называется остатком ряда (16) после т-го члена.
Теорема. Ряд (16) и его остаток после т-го члена (17) сходятся
и расходятся одновременно.
Обозначим п-ю частичную сумму ряда (16) через з„, а к-ю
частичную сумму ряда (17) — через <зк. Имеем
$т+к = "* ^2 + ••• + + ат+1 + &т+2 + ••• + ^т+к = + &к =>
\________________/ - — V— —
= Sm
=> &к ~ $т+к $т
(18)
249
Так как т фиксировано, то sm в (18) — определенное число.
а) Пусть ряд (16) сходится и его сумма равна s. Из этого
следует, что lim sm+k = s (существует, конечный). Но тогда из
(18) следует, что существует конечный limofc, причем
£->*»
lim <jk = Um sm+k - sm = s - sm. Последнее означает, что ряд (17)
сходится и его сумма о равна s - sm. Таким образом, из сходимо-
сти ряда (16) следует сходимость ряда (17).
Р) Пусть ряд (17) сходится и его сумма равна о. Это означает,
что lim ок = о (существует, конечный). У нас sm+k = sm + ok .
Переходя здесь к пределу при к -> °°, получаем
lim sm+k = lim (sm + ofc) = sm + Um ok = s„ + о
Л->оо Л-»оо Л-»оо
(существует, конечный) =>
=> ряд (16) сходится, и его сумма s равна sm + a. Итак, из
сходимости ряда (17) следует сходимость ряда (16).
у) Пусть ряд (16) расходится. Требуется доказать, что тогда
расходится и ряд (17).
Рассуждаем от противного. Допустим, что ряд (17) сходится. Но
тогда по пункту Р) должен сходиться ряд (16), а это не так. Значит,
расходимость ряда (16) влечет за собой расходимость ряда (17).
5) Пусть ряд (17) расходится. Нужно показать, что расходится
тогда и ряд (16).
И здесь рассуждаем от противного. Допустим, что ряд (16)
сходится. Но тогда по пункту а) должен сходиться ряд (17), а это
не так. Следовательно, расходимость ряда (17) влечет за собой
расходимость ряда (16).
Вывод: ряды (16) и (17) либо оба сходятся, либо оба расходятся. 4
Замечание. Из доказательства теоремы следует: если ряды (16)
и (17) сходятся, то между их суммами s и а существует следующая
связь '
о = 5-5от. (19)
В (19) т фиксированное, но произвольное. Станем неограни-
ченно увеличивать т. Тогда sm---------->5 и, следовательно,
т—>«»
lim о = 0. Таким образом, приходим к выводу:
Сумма остатка ряда после /n-го члена у сходящегося ряда
стремится к нулю при т ->«.
250
§2. Положительные ряды. Признаки сравнения
Определение. Ряд
(1)
Л=1
называется положительным, если ап > 0, для всех п е N.
Если ряд (1) положительный, то ясно, что
$1 < s2 < s3 < ... < s„ < ... ,
т.е. что последовательность частичных сумм ряда (1) {s„}„eN —
неубывающая. Мы знаем, что для сходимости таких последова-
тельностей необходима и достаточна ограниченность их сверху,
т.е. необходимо и достаточно существование числа М > 0 такого,
что sn< М для всех п е N. Так как сходимость ряда (1) равносиль-
на сходимости последовательности {s„}n6N, то получаем:
Теорема 1. Для сходимости положительного ряда (1) необхо-
димо и достаточно, чтобы существовало число М > 0, такое, что
sn < М, для всех п е N.
Для исследования сходимости положительных рядов суще-
ствует большое число достаточных признаков сходимости. Неко-
торые из них позволяют сводить выяснение вопроса о сходимости
данного ряда к аналогичному вопросу о другом ряде, который
устроен более просто или поведение которого уже выяснено.
Такие признаки называются признаками сравнения.
Теорема 2 (первый признак сравнения).
Пусть имеются два положительных ряда
(1)
Л=1
И
ЪЬп. (2)
Л=1
причем члены первого, начиная с некоторого места, не превосхо-
дят соответствующих членов второго:
а„<Ьп, п = т + 1, т + 2, ... (т > 0, целое). (3)
Тогда из сходимости ряда (2) следует сходимость ряда (1), а из
расходимости ряда (1) следует расходимость ряда (2).
251
1. Докажем сначала утверждения теоремы для случая, когда
т = 0, т.е. когда неравенство (3) выполняется для п = 1, 2,3,...
(т.е. для любого п е N).
Обозначим л-е частичные суммы рядов (1) и (2) через Ап
и Вп соответственно. Ясно, в силу (3), что
Ап^Вп. (4)
а) Пусть ряд (2) сходится. Но тогда (см. теорему 1) существует
число М > 0 такое, что Вп< М для всех л е N. В силу (4) и
подавно будет Ап<М, для всех neN. А, следовательно, по
теореме 1 ряд (1) сходится. Итак, показано: из сходимости ряда
(2) следует сходимость ряда (1).
Р) Пусть ряд (1) расходится. Нужно показать, что ряд (2) тоже
расходится.
Рассуждаем от противного. Допустим, что ряд (2) сходится.
Но тогда по пункту а) должен сходиться ряд (1), а это не так.
Таким образом, из расходимости ряда (1) следует расходимость
ряда (2).
2. Обсудим теперь случай, когда т>0 (л» е N).
Вместо рядов (1) и (2) рассмотрим их остатки после т-го
члена. Это будут ряды
(Т)
п=т+1
И
хь. (2)
п-т+1
В рядах (Т), (2) уже все члены первого ряда не превосходят
соответствующих членов второго ряда. Поэтому, по доказанному
в пункте 1, из сходимости ряда (2) следует сходимость ряда (1),
а из расходимости ряда (Т) следует расходимость ряда (2).
Ранее было установлено, что ряд и его остаток после т-го
члена сходятся или расходятся одновременно. Значит, для рядов
(1)_и (2) будет справедливо то же, что доказано для рядов (Т)
и (2), а именно: из сходимости ряда (2) следует сходимость ряда
(1), а из расходимости ряда (1) следует расходимость ряда (2). 4
Пример. Пусть имеется ряд
v 1 . 1 1 1 1
„=1Л2 22 З2 л2 (Л4-1)2
Рассмотрим остаток этого ряда после 1-го члена:
252
11 11 1
22 З2 п2 (n + 1)2 n=i(n + l)2 £
Ранее был изучен ряд (см. §1, п. Г, пример 3)
_у 1 1 1 + 1
Я* „ti«(« + D 1-2 + 2-3 + + n(n + l) + ‘
Имеем —--=• < —г—гг, т.е. а. < Ь„, для всех п е N. Так как ряд
(п + 1)2 п(п + 1)
У\Ь„ = У,——— сходится, то по теореме 2 заключаем, что ряд
„=1 nti и(п + 1)
^а„ = У—сходится. Значит, по теореме!, сходится и ряд
Л=1 Л=1 0* + 1) Л=1
Теорема 3 (второй признак сравнения).
Пусть имеются два строго положительных ряда
SX (5)
Л=1
И
Ё». («
Л=1
(а„ > О, Ьп > 0 для всех п е N). Пусть существует конечный, от-
личный от нуля, предел
(/#0, /#оо).
л->~д„
Тогда ряды (5) и (6) сходятся или расходятся одновременно.
По условию, / # 0. Значит, I > 0, t ।
ибо ^2- > 0 для любого neN. Возьмем 0 1~е 1 1+е
“п
е > 0 — любое, но такое, что I - е > 0. У нас / = lim =>
л^~дя
взятому е > 0 отвечает номер N, такой, что будет I - е <^- < I + е,
"п
если и > N. Положим p = l-t, ^ = / + е (р>0, q>Q — опре-
253
деленные числа). Предыдущее неравенство может быть записано
теперь в виде
pbn <ап < qb„, если п> N. (7)
а) Пусть ряд (5) сходится. Но тогда по теореме 2 сходится ряд
У р • Ьп, а значит, сходится ряд (6), ибо ряд (6) получается из ряда
Л=1
оо |
^р Ь„ умножением всех его членов на число —. Итак, из
л=1 Р
сходимости ряда (5) следует сходимость ряда (6).
Р) Пусть ряд (6) сходится. Но тогда сходится ряд bn, а
Л=1
значит, по теореме 2 сходится ряд (5). Таким образом, из сходи-
мости ряда (6) следует сходимость ряда (5).
у) Пусть ряд (5) расходится. Нужно показать, что ряд (6) тоже
расходится.
Рассуждаем от противного. Допустим, что ряд (6) сходится. Но
тогда по пункту 3) должен сходиться и ряд (5), а это не так. Видим,
что из расходимости ряда (5) следует расходимость ряда (6).
8) Пусть ряд (6) расходится. Нужно доказать, что ряд (5) тоже
расходится.
Рассуждаем от противного. Допустим, что ряд (5) сходится. Но
тогда по пункту а) должен сходиться и ряд (6), а это не так. Значит,
из расходимости ряда (6) следует расходимость ряда (5). 4
“1
Пример. Пусть имеется ряд V — (это — так называемый
л=1«
. „ ,. 1п(1+х) ,
гармонический ряд). Известно, что шп--------------= 1 =>
lim —Ц—- = 1. Значит ряды У — и У In 1 + — сходятся или
1 л=1« Я=1 I п)
п
расходятся одновременно. Было показано ранее, что ряд
f Ini 1 + — | расходится. Следовательно, гармонический ряд есть
л=1 V п)
ряд расходящийся.
254
Теорема 4 (третий признак сравнения).
Пусть имеются два строго положительных ряда
(8)
Л=1
И
Ё». (9)
п=1
(ап > 0, Ьп > 0 для всех п е N). Пусть, начиная с некоторого места,
т.е. для п > т (т е N) оказывается
. (Ю)
ап
Тогда из сходимости ряда (9) следует сходимость ряда (8), а из
расходимости ряда (8) следует расходимость ряда (9).
1. Рассмотрим сначала случай, когда неравенство (10) вы-
полняется для п = 1, 2,3,... , т.е. для любого л е N. Но тогда
г ап ' Ь«
ai bt ’ а 2 b2 ’ ’ ап_2 bn_2 ’ a„_t b„_t
Перемножив соответствующие части этих соотношений, получим
°2 Д3 Дя-1 ^2 ^3 ^H-i А-
а1 а2 ап-2 °и-1 b2 b„_2 bn_i ах bi
°1 L
=> ап< — Ьп> для любого л е N. (11)
и
Заметим, что в (11) отношение -г- — определенное число.
bi
“ а1
а) Пусть ряд (9) сходится => ряд Ьп сходится => по
и=1 и
первому признаку сравнения, ряд (8) сходится.
Р) Пусть ряд (8) расходится. Нужно доказать, что ряд (9) тоже
расходится.
Рассуждаем от противного. Допустим, что ряд (9) сходится.
Но тогда по пункту а) ряд (8) должен сходиться, а это не так.
Следовательно, из расходимости ряда (8) следует расходимость
ряда (9).
255
2. Обсудим теперь случай, когда неравенство (10) выполняется
для п> т (m е N). В этом случае вместо рядов (8) и (9) рассмот-
рим их остатки после /и-го члена. Это будут ряды
IX (8)
л=ш+1
И
ibn. (9)
п=т+1
В рядах (8), (9) уже все члены, начиная с первого, будут удовлет-
ворять неравенству (10). А тогда, по доказанному в пункте 1, из
сходимости ряда (9) следует сходимость ряда (8), а из расходимо-
сти ряда (8) следует расходимость ряда (9). Так как ряд и его
остаток сходятся и расходятся одновременно, то для рядов (8) и (9)
будет справедливо то же, что доказано для рядов (8), (9), а именно:
из сходимости ряда (9) следует сходимость ряда (8), а из расходи-
мости ряда (8) следует расходимость ряда (9).
Замечание. Признаки сравнения для успешного их примене-
ния нуждаются в арсенале “эталонных рядов”, как сходящихся,
так и расходящихся, с которыми затем сравниваются исследуемые
ряды. Поэтому мы при всякой появляющейся возможности будем
стремиться пополнять этот арсенал.
§3. Интегральный признак Коши
Для исследования сходимости положительного ряда с моно-
тонно убывающими членами часто оказывается полезным так
называемый интегральный признак Коши.
Теорема (интегральный признак Коши).
Пусть имеется числовой положительный ряд
(1)
п-\
члены которого монотонно убывают.
Пусть f (х) — функция, определенная в промежутке [1, + ~),
непрерывная, положительная и монотонно убывающая там. Пусть,
далее, /(х) такая, что /(х)|л=я = а„ (л = 1,2,... ) (в этом случае
/(х) называется производящей функцией для ряда (1)). Тогда
ряд (1) и несобственный интеграл
256
(2)
i
сходятся или расходятся одновременно.
Замечание. Начальным значением номера п, вместо 1, может
быть и любое другое натуральное число л0. Тогда и функцию
f (х) следует рассматривать при х > п0.
Вспомним, что сходимость несобственного интеграла
4-00
| f(x) dx равносильна существованию конечного предела
1
л
J = lim [ f(x) dx.
Л~»+~ *
А
У нас по условию f(x) — положительная => f/(x)dx представ-
1
ляет собой функцию от А, возрастающую вместе с А. Поэтому для
л
существования конечного предела J = Jim J /(х) dx необходимо
л
и достаточно, чтобы функция J/(x)dx была ограниченной сверху
при любом А > 1.
По условию, /(х) — монотонно убывающая в промежутке
[1, + оо). Поэтому из соотношения к < х < к + 1 (к е N) следует
f(k) > /(х) > f(k + 1). Интегрируя последнее неравенство по х от
к до к +1, получаем
*+1 л+1 *+i
\f(k)dx> \f{x)dx> ff(k + l)dx.
к к к
=> принимая во внимание, что f(k) = ak , f(k + V) = ak+i, находим
к+1
ак> jf(x)dx>ak+i. (3)
к
Рассмотрим левое неравенство из (3) при к = 1, 2,..., п .Будем иметь
2 3 «4-1
ax>\j\x)dx, a2>\j\x)dx, ... , ап > \f(x)dx.
1 2 п
i
257
Сложив соответствующие части этих неравенств, получим
al+a2 + ... + a„> ff(x)dx => \f(x)dx < sn.
а) Пусть ряд (1) сходится и его сумма равна s. Так как (1) —
положительный ряд, то
sn < s, для любого п е N.
Но тогда и подавно
л+1
j /(х) dx < s , для любого п е N.
1
Пусть А — любое, сколь угодно большое число (А > 1). Всегда
можно указать натуральное число п, такое, что будет А < п +1, и,
А л+1 А
следовательно, \f(x)dx< f(x)dx<s => |/(x)<fr — функция
1 1 1
от А, возрастающая вместе с Л и ограниченная сверху => j /(х) dx
1
сходится. Видим, что из сходимости ряда (1) следует сходимость
несобственного интеграла (2).
Рассмотрим теперь правое неравенство из (3) при
к = 1, 2,..., п - 1. Будем иметь
2 3 л
a2<jf(x)dx, a3^jf(x)dx, ... , а„ < jf(x)dx.
1 2 л-1
Сложив соответствующие части этих неравенств, получаем
п п
а2+а3 + ... + a„<f f(x)dx => s„ <4^ + |/(x)dr, для любого neN.
1 1
Р) Пусть несобственный интеграл (2) сходится. Это означает,
А
что существует конечный предел J = Jim J f(x)dx => в частно-
п п
сти, существует lim j f(x)dx = J. Ясно, что j f (x)dx < J, для
любого n e N. Но тогда и подавно
258
s„ < at + J, для любого n g N.
Видим, что последовательность {s„}„6N — ограниченная сверху. Так
как эта последовательность еще и неубывающая, то приходим
к выводу, что существует конечный предел lim s„ <=> ряд (1) схо-
Л—
дится. Показано, таким образом, что сходимость несобственного
интеграла (2) влечет за собой сходимость ряда (1).
у) Пусть ряд (1) расходится. Нужно показать, что тогда расхо-
дится и несобственный интеграл (2).
Рассуждаем от противного. Допустим, что несобственный ин-
теграл (2) сходится. Но тогда по пункту Р) должен сходиться и ряд
(1), а это не так. Значит, из расходимости ряда (1) следует
расходимость несобственного интеграла (2).
8) Пусть несобственный интеграл (2) расходится. Нужно по-
казать, что тогда расходится и ряд (1).
Рассуждаем от противного. Допустим, что ряд (1) сходится.
Но тогда по пункту а) должен сходиться и несобственный интег-
рал (2), а это не так. Значит, расходимость несобственного интег-
рала (2) влечет за собой расходимость ряда (1). Таким образом,
теорема доказана полностью. 4
Рассмотрим примеры применения интегрального признака
Коши.
Пример 1. Исследовать сходимость обобщенного гармониче-
ского ряда
Производящей для ряда (4) будет функция
/(х) = -Ь-, xg[1, + ~).
1. Пусть Л < 1. Имеем:
е аХ
J — расходится => ряд (4) расходится, если Л < 1.
1х /
259
2. Пусть А = 1. Имеем:
^7dx ,. A(dx .. , ,х=а .
— = hm — = hm In x I, = hm In A = +°° =>
* X Л->+~ j X Л->+« Х"1 Я->+~
^dx
J— расходится => ряд (4) расходится, если А = 1.
1 х
3. Пусть А > 1. Имеем
*7dx .. A(dx 1 ( 1 Л 1
—г = hm -г- = hm -—- —гт - 1 = т—г
1 хх л-4+«>* хх л-4-н» 1 - Л v А* 1 J Л-1
4-оо
=> | — сходится, если А > 1 => ряд (4) сходится, если А > 1.
1 х
Итак, ряд (4) сходится, если А > 1, и расходится, если А < 1. 4
Замечание. Обобщенный гармонический ряд является наиболее
часто применяемым “эталонным рядом” в признаках сравнения.
Пример 2. Исследовать сходимость ряда
У—
^=2«hl л
(5)
Производящей для ряда (5) будет функция
хе12'+->-
Имеем
Г = lim / = lim In (In х)|*_,
J2 X In x л-»+~ J2 X In X я-»+- lx~2
= lim In (In A) - In (In 2) = +«> =>
T dx
xlnx
расходится => ряд (5) расходится. 4
Замечание об оценке суммы остатка сходящегося ряда.
Пусть с помощью интегрального признака Коши удалось
установить, что ряд (1) сходится. Значит, этот ряд имеет сумму s.
Однако найти точное значение суммы s удается лишь в сравни-
тельно немногих случаях. Поэтому приходится вычислять s при-
ближенно с указанной точностью, т.е. с заданной абсолютной
погрешностью ё.
260
Приближенным значением суммы s ряда будет его л-я частич-
ная сумма sn, т.е. s = sn.
Задача состоит в следующем: определить, сколько нужно взять
первых членов ряда для вычисления s„, чтобы отбрасывание всех
остальных членов вызывало бы ошибку, не превосходящую е.
Так как значение суммы s неизвестно, то для величины ($-$„)
приходится отыскивать некоторую оценку сверху: (s - s„) < ап ,
где а„ — некоторая функция от л, а затем, решая относительно л
неравенство а„ < е, определять значение л = т, наименьшее из
возможных, но такое, чтобы было ат < е . При таком л = т и
подавно будет (s - $„) < е.
Пусть
Rn = ап+1 +ап+2 + ••• , (Т)
т.е. R„ — сумма остатка ряда (1) после л-го члена, так что
s = sn + R„. Рассмотрим правое неравенство (3) при
к = п, п +1,..., л +1 -1. Будем иметь
a„+i \f(x)dx, ап+1< jf(x)dx, ... , ап+1 < jf(x)dx.
п Л+1 Л+/-1
Сложив'соответствующие части этих неравенств, получим
П+1 п+1
°л+1 + оя+2 + ... + an+i f f(x) dx, т.е. oz < f f(x) dx,
п n
где ст;— /-я частичная сумма ряда (I). Ясно, что oz < jf(x)dx,
п
для любого I е N. Переходя здесь к пределу при /-><», находим
Rn<\f(x)dx. (6)
п
(6) есть оценка сверху суммы остатка сходящегося ряда (1).
“ 1
Например, для обобщенного гармонического ряда £— ПРИ
л=1 Я
X > 1 оценка принимает вид
п л п
1 „1-л1х=4~
1 - X 1х=я
1
Х-1
лх 1 '
261
§4. Признак Куммера
Признак Куммера является весьма общим признаком сходи-
мости положительных рядов. Его можно рассматривать как об-
щую схему для получения конкретных признаков. Как частные
случаи из него получаются удобные для практического примене-
ния признаки сходимости положительных рядов.
Теорема 1 (признак Куммера).
Пусть имеется строго положительный ряд
±ап. (1)
Л=1
Пусть {сл}л€[Ч — последовательность положительных чисел, про-
извольная, но такая, что ряд
л=1 Сп
расходится. Составим для ряда (1) переменную
Кп=сп.^—сп+х
(К„ — переменная Куммера). Тогда
1. Если, начиная с некоторого места, т.е. для п> N» (N» е N),
оказывается
JT„>s, (3)
где s > 0 — определенное число, то ряд (1) сходится.
2. Если, начиная с некоторого места, т.е. для п > N* (N, е N),
оказывается
*„<0, (4)
то ряд (1) расходится.
1а. Рассмотрим сначала случай, когда неравенство (3) вы-
полняется для п = 1, 2, 3,... (т.е. для любого п е N). Но тогда
“ с„+1а„+1) > 5Дл+1 > 0 для любого п е N => с„а„ > сп+}ап+}
для любого п gN => {c„o„}ngN — монотонно убывающая после-
довательность. Ясно, что эта последовательность ограничена сни-
зу, например, числом 0 (слдл > 0 для всех п е N). Значит, суще-
ствует конечный предел / = lim (слдл).
Л—
262
Введем теперь в рассмотрение ряд
1(спа„ — сл+1°л+1) • (5)
Л=1
Пусть s„ — п-я частичная сумма ряда (5). Имеем
5л = (с1°1 - с2а1) + (с2«2 - с3°з) + ••• +
~ (^л^л ~ ^л+1^л+1) =
= - Сл+1ал+|) =>
=> lim s„ = -ся+1ая+1) = (CjO, -/) (существует,конечный).
Л->о° Л->~
Значит, ряд (5) сходится.
У нас (с„ап -c^a^i) > sa„+l для любого п е N. По первому
признаку сравнения, из сходимости ряда (5) следует сходимость
оо оо
ряда Х5ал+1 => сходимость ряда ^sa„ => сходимость ряда (1).
л=1 Л=1
16. В случае, когда неравенство (3) выполняется для п> N.,
где ;V. eN, вместо ряда (1) следует рассматривать его остаток
после N, -го члена, а именно ряд
(Т)
л=ЛГ.+1
У ряда (Т) уже все члены, начиная с первого, будут удовлетворять
неравенству (3). А тогда по доказанному выше ряд (Т) будет схо-
дящимся, а значит, будет сходиться и ряд (1), так как ряд и его
остаток после Nt -го члена сходятся или расходятся одновременно.
а
2. По условию К. < 0 для всех п > Nt (Nt е N), т.е. с„--------
«л+1
1
“ сл+1 <0 => > ~2~ => > ~М" Для всех п - Nt
“п сл+1 а„ J_
сп
(Nt е N). А тогда по третьему признаку сравнения из расходимо-
сти ряда (2) следует расходимость ряда (1).
263
Замечание. Условие теоремы 1, что ряд (2) расходится, ис-
пользуется лишь при доказательстве пункта 2.
Теорема 2 (признак Куммера в предельной форме).
Пусть имеется строго положительный ряд
(1)
Л=1
Пусть {c„}„eN — последовательность положительных чисел, про-
извольная, но такая, что ряд
расходится. Пусть Кп = с„ • —— с„+1. Пусть существует конеч-
®я+1
ный или бесконечный предел / = lim Кп. Тогда
1. Если / > 0, то ряд (1) сходится.
2. Если / < 0, то ряд (1) расходится.
! । ► 1а. Пусть I > 0, конечное. Возьмем
О l-г I l+г е > о любое, но такое, что / - е > 0. По
условию / = lim К„ => взятому е > 0 отвечает номер Nt, такой,
Л->оо
что / - е < К„ < I + е , если п> Nt => в частности, Кп > I - е ,
если п> N. (Nt е N). Но тогда по теореме 1 заключаем, что ряд
(1) сходится (в роли числа s > 0 выступает число / - е ).
16. Пусть / = +<». Имеем lim К„ = -к». Это означает, что
любому числу М > 0 отвечает номер Nt, такой, что Кп> М,
если п> Nt (Nt g N). Но тогда по теореме 1 заключаем, что ряд
( । । (1) сходится (в роли числа s > 0 выступа-
/ ^+е 0 ет число М>0).
2а. Пусть I < 0, конечное. Возьмем число е > 0 любое, но
такое, что / + е < 0. По условию / = lim Кп => взятому е > О
отвечает номер Nt, такой, что 1-г<Кп<1 + г, если п> Nt =>
в частности, Кп </ + е (< 0), если п > Nt. Но тогда по теореме 1
заключаем, что ряд (1) расходится.
264
26. Пусть I = -оо. Имеем lim Кп = . Это означает, что
Л—
любому числу М > 0 отвечает номер N*, такой, что Кп < -М
(< 0), если п > N*. Но тогда по теореме 1 заключаем, что ряд (1)
расходится.
Замечание. Если lim Кп = 0, то признак Куммера не дает
Л~>°°
ответа на вопрос о поведении ряда (1).
Покажем теперь, как при помощи признака Куммера можно
получить некоторые важные признаки сходимости положитель-
ных рядов как частные случаи его.
I. Пусть с„ = 1, для любого п е N. Ряд
yJ- = l + l + l + ... + l + ...
л=1Сл
~ 1
расходится, так что условие, чтобы ряд У — расходился, соблю-
Л=1 сл
дено. Имеем К„ = —— 1. Положим Dn = (Dn — перемен-
°л+1 ^л+1
ная Даламбера). Тогда
Кл=2>л-1- (6)
Пусть существует конечный или бесконечный предел
/ = lim D„.
Видим из (6):
1) если I > 1, то lim Кп > 0 и, следовательно, ряд (1) сходится;
Л—>°°
2) если I < 1, то lim Кп < 0 и, следовательно, ряд (1) расходится;
Л—
3) если / = 1, то ничего определенного о поведении ряда (1)
сказать нельзя.
Получен, таким образом, признак Даламбера.
Пусть имеется строго положительный ряд
±ап. (1)
Л=1
Пусть D„ = . Пусть существует конечный или бесконечный
^л+1
предел
265
I = lim D„.
Л—>°°
Тогда:
1) если / > 1, то ряд (1) сходится;
2) если / < 1, то ряд (1) расходится.
(Если / = 1, то признак Даламбера не дает ответа на вопрос
о поведении ряда (1).)
II. Пусть с„ = п для любого п е N. Ряд £ — = £— расходит-
л=1 Л=1
ся (это — гармонический ряд). Имеем
Кп=сп-^--сп+1 =й.-Й!_-(й + 1) = я[-£1—1]-1.
ал+1 ап+1 \ап+1 J
Положим Rn
< ^л+1 )
(Rn — переменная Раабе). Тогда
= п
(7)
Пусть существует конечный или бесконечный предел
/ = lim R„.
Из (7) следует:
1) если / > 1, то lim Кп > 0 и, следовательно, ряд (1) сходится;
Л—>*>
2) если / < 1, то lim Кп < 0 и, следовательно, ряд (1) расходится;
Л—>°°
3) если / = 1, то ничего определенного о поведении ряда (1)
сказать нельзя.
Получен, таким образом, признак Раабе.
Пусть имеется строго положительный ряд
5Х
Л=1
(1)
Пусть Rn = п\ —— 1
к ^л+1
Пусть существует конечный или бесконеч-
ный предел / = lim Rn. Тогда:
Л—>°°
1) если I > 1, то ряд (1) сходится;
2) если / < 1, то ряд (1) расходится.
(Если / = 1, то признак Раабе не дает ответа на вопрос о поведении
ряда (1).)
266
Замечание. Имеем
Я„=«(Д-1).
(8)
Из (8) следует:
1) если lim Dn > 1, то lim /?„=+<»;
Л—>°° л->оо
2) если lim Dn < 1, то lim /?„=-«>.
Л->ео Л—>°°
Видим, что всего лишь двумя значениями предела переменной
Раабе, а именно lim R„ = +~ и lim = -°° , охватываются все
п—>°° п—
случаи, когда признак Даламбера дает ответ на вопрос о поведении
ряда (1). Следовательно, признак Раабе значительно сильнее при-
знака Даламбера.
оо | оо 1
III. Пусть с =л1пл. Ряд У—= У-------------- расходится (это
П=2СП „=2«1ПЯ
было показано ранее, см. §3, пример 2). Имеем
К„ = с„ —— сп+1 = п In п • —— (л +1) In (л + 1) =
^л+1 ^л+1
= Л In Л • -^2- - (л + 1) In
ал+1
z «\Л+1
= л In л •——(л + 1)1пл - 1п| 1 +—
а„+1 I п)
= In л •
—2—— 1
< °Л+1
-1
z 1 \ Л+1
-In 1 + -
I п)
л
л -^--1-1
\ йл+1 >
Положим Вп = In л •
Тогда
(Вп — переменная Бертрана).
Z | \ Л+1
*л=5я-1п[и1|
(9)
Пусть существует конечный или бесконечный предел
/ = lim Вп.
л—>°°
267
Так как lim In 1 + — = 1, то из (9) следует:
л->°° п)
1) если / > 1, то lim Кп > 0 и, следовательно, ряд (1) сходится;
Л->оо
2) если / < 1, то lim Кп < 0 и, следовательно, ряд (1) расхо-
Л—
дится;
3) если / = 1, то ничего определенного о поведении ряда (1)
сказать нельзя.
Получен, таким образом, признак Бертрана.
Пусть имеется строго положительный ряд
ian. со
И=1
Пусть В„ = Inn-
^ал+1
Пусть существует конечный или
бесконечный предел / = lim Вп. Тогда:
1) если I > 1, то ряд (1) сходится;
2) если / < 1, то ряд (1) расходится.
(Если lim В„ = 1, то признак Бертрана не даёт ответа на вопрос о
Я—>оо
поведении ряда (1).)
Замечание. Имеем
Бя=1пл(/?„-1). (10)
Из (10) следует:
1) если lim Rn > 1, то lim В„ = -к»;
п—>«*» П—
2) если lim R„ < 1, то lim В„ = -«».
п—>°° п—>°°
Видим, что всего лишь двумя значениями предела переменной
Бертрана, а именно lim Вп = +« и lim Вп = , охватываются все
п—>оо л—>°°
случаи, когда признак Раабе дает ответ на вопрос о поведении ряда
(1). Следовательно, признак Бертрана значительно сильнее при-
знака Раабе.
268
IV. Признак Гаусса.
Пусть имеется строго положительный ряд
IX • (О
Л=1
Пусть отношение представимо в виде
^л+1
= 1 + Ь + , (11)
Ол+1 п па
гдц X, ц, а — некоторые числа, причем а > 1; 0„ — ограниченная
переменная, т.е. существует число М > 0, такое, что 10Л | < М , для
любого п е N. Тогда:
1) если X > 1 (р. — любое), то ряд (1) сходится;
2) если X < 1 (ц — любое), то ряд (1) расходится;
3) если X = 1, а ц > 1, то ряд (1) сходится;
4) если X = 1, а ц < 1, то ряд (1) расходится.
Ь а) Пусть X * 1. Из (11) следует lim - X (при любом ц)
"ч“ ал+1
=> по признаку Даламбера ряд (1) сходится, если X > 1 (ц —
любое), и расходится, если X < 1 (ц — любое).
Р) Пусть Х = 1,ар*1.В этом случае соотношение (11) имеет
вид
0
т.е. Rn = р + —=> Um R„ = ц.
П 1
По признаку Раабе заключаем: ряд (1) сходится, если ц > 1 (Х = 1)
и расходится, если ц < 1 (Х = 1).
у) Пусть X = 1, ц = 1. В этом случае соотношение (11) имеет
вид
269
_^!_ = 1 + 1+
°л+1 П Па
-11-1 = -^-
ма-1
; п
п
=> после умножения обеих частей равенства на In п получаем
In п • п —------1
к °л+1
-1
6„ • In п
па-\
т.е.
5л=^т2- <12>
п
1
Имеем lim ^4- = lim---------—-5-
х-^+о« х х-н- (а - 1)ха 2
lim----------г = 0 => вчастно-
х->+~ а -1 ха '
сти, lim = 0. А тогда из (12) следует, что lim Вп = 0 (< 1).
/7а 1 л->*»
Значит, ряд (1) расходится, если А = 1, ц = 1. 4
Пример. Исследовать сходимость ряда
ХГ(2л - 1)!1У 1
(2л)!! л9'
л=1
Имеем
а„ Г(2л - 1)!!-(2л + 2)!!
ал+1 [ (2л)!!-(2л +1)!!
(13)
~(л + 1)9 =>
л9
а. Г2л + 2У Гл + 1У f, 1 V L 1V
°л+1 к 2« + 1J {nJ V 2л+ 17 V л7
По формуле Тейлора
Г, 1 У 1 Р 1 P(P-D ( О
2л + 1/) 2л+ 1 2!(2л + 1)2 1л27
= 1 + « +
л
1 g(g-D
2! л2
А тогда
1 1 У Г, П’
2л +17 V п)
270
i q p 1 g(g-i) pg 1 p<p-1) (JA
n 2л+ 1 2 л2 л(2л + 1) 2(2л + 1)2 1л2 J’
L P.
так как —-— = -2---------2-----, то
2л +1 л л (2л + 1)
р
a q + ^> е
где 0„ — ограниченная переменная. Итак, —а~ = i +-----£ + " .
ая+1 п п2
По признаку Гаусса ряд (13) сходится, если q + у > 1, и расходит-
р
ся, если о + 4- < 1.
2
Замечание. Из признака Куммера были получены признаки
Даламбера, Раабе, Бертрана. Следует отметить, что эта цепочка
все более и более тонких признаков может быть продолжена.
§5. Признак Коши
Теорема 1. Пусть имеется положительный ряд
IX • (1)
Л = 1
1. Если начиная с некоторого места, т.е. для л > N» (N» е N)
оказывается > 1, то ряд (1) расходится.
2. Если начиная с некоторого места, т.е. для л ?> N, (N* е N)
оказывается ц[а^ < ^, где 0 < q < 1, то ряд (1) сходится.
1. По условию, для любого neN, n>N. =>
а„ > 1, для любого л е N, л > N» => ап не может стремиться
к нулю при л -»оо => ряд (1) расходится, так как не выполнено
необходимое условие сходимости ряда.
2. По условию, Q, для любого л е N, л > N. => a„<q",
для любого л е N, л > Nt, т.е.
271
_ <„^.+1. _ <л^+2.
aN.+l-Q , aN.+2-<l >
Но ряд qN‘+1 + qN'+2 + ... — геометрический, сходящийся, так как
О < q < 1. А тогда по первому признаку сравнения будет сходиться
ряд л#.+1 + aN^+2 + ... , а значит, будет сходиться ряд (1) (если схо-
дится остаток ряда после N» -го члена, то сходится и сам ряд). 4
Теорема 2 (признак Коши в предельной форме).
Пусть имеется положительный ряд
±ап. (1)
Л=1
Пусть существует конечный или бесконечный предел / = lim
Тогда: и->~
1) если / > 1, то ряд (1) расходится;
2) если / < 1, то ряд (1) сходится.
1а) Пусть I > 1, конечное. Возьмем е > 0 — любое, но
такое, что I - е > 1. По условию / = lim г/д^ => взятому е > О
л—>°°
отвечает номер N», такой, что I - е < < / + е, если п > N, =>
в частности, > / - е (>1), если п> N. => по теореме 1
заключаем, что ряд (1) расходится.
16) Пусть / = +°°. По условию,
ч-------1--(—I—)—> I—
О 1 /-е i i+t lim аап = +°° => любому числу
л—>°°
М > 1 отвечает номер Nt такой, что будет у[а^ > М (> 1), если
п> N, => по теореме 1 заключаем, что ряд (1) расходится.
। ( | ) I > 2) Пусть 0 < I < 1. Возьмем е > 0 —
О l-e I /+е 1 любое, но такое, что / + е < 1. По условию
/ = lim г/д^ =* взятому е > 0 отвечает номер Nt, такой, что
л—>°°
I - е < < I + е, если п > Nt => в частности, <^ + е (< 1),
если п > Nt. А тогда по теореме 1 заключаем, что ряд (1) сходится.
Замечание. Если lim щд^ = 1, то признак Коши не дает ответа
л->~
на вопрос о поведении ряда (1).
272
Пример. Исследовать сходимость ряда
Х(«Г
(In Л)"
и=2
In л In л . (In л)2
-----------in л -------
/— (п) п е п е п I—
Ь Имеем Ца„ = -V— = —------------= —-------. Найдем lim Цап
In л In л In л л—>°° v
По правилу Лопиталя
,. (1пх)2 [<1ПХ)2]Х 21пх
hm ------— = hm -------—— = hm---------=
х->+«» X х->-н~ 1 х->+°о X
= 2 lim = 2 lim - = 0.
х—>ч-°° 1 х-*+оо X
(In л)2 0п а)2
Следовательно, lim ----------= 0 => lim е п = 1. А тогда
«-»“ П
(In л)2
I— е п
lim da„ = lim —------= 0 (< 1) =>
л->~ л-»~ In П
=> ряд (2) СХОДИТСЯ. 4
§6. Знакочередующиеся ряды
Ряд
Л1 + С12 + ... + + ...
называется знакочередующимся, если оказывается
ап • °л+1 < 0 > ДЛЯ любого п G N ,
т.е. если соседние члены ряда имеют различные знаки.
Станем обозначать через ап абсолютную величину л-го члена
ряда. Пусть для определенности первый член ряда положитель-
ный. Тогда знакочередующийся ряд запишется в виде
°1 - а2 + а3 - о4 + ... + (-1)л-1 а„ + ... = £(-1)л-|ал . (1)
Л=1
Для знакочередующихся рядов имеется достаточно общий и прак-
тически удобный признак сходимости, принадлежащий Лейбницу.
273
z Теорема (признак Лейбница). Если абсолютные величины чле-
нов знакочередующегося ряда (1) монотонно убывают, т.е.
а\ >а2 >а3 >...>ап > ... , (2)
и если
lim а„ = 0, (3)
Л->«»
то ряд (1) сходится.
Рассмотрим сначала частичную сумму ряда (1), содержа-
щую четное число членов
s2n = а\ - а2 + а3 “ а4 + ... + О2л-1 ” а2п (Л = 1, 2, ... ).
Запишем выражение для s2n в виде
Ъп = (а1 -«2) + («3 -«4) + - + (а2я-1 "а2Л) (4)
(сумма 52л содержит конечное число слагаемых, и потому основ-
ные законы действий справедливы здесь без каких-либо ограниче-
ний). Каждое слагаемое в правой части выражения для 52я неотри-
цательно. Следовательно, последовательность {$2я }neN — неубы-
вающая.
Запишем теперь выражение для s2n в виде
52я = °1 - (° 2 - а3> “ (а4 - as) - ••• - (а2я-2 ~ а2я-1) “ а2я . (5)
>б~" >6 >0
Из (5) ясно, что s2„ < aj, для любого п е N. Значит, {^n}„eN —
последовательность, ограниченная сверху.
Так как последовательность {$2„}„6N — неубывающая и огра-
ниченная сверху, то существует конечный предел
s = lim 52я . (6)
л—>°°
Рассмотрим теперь частичную сумму ряда (1), содержащую
нечетное число членов.
52я+1 ~ а\ ~ а2 + а3 “ а4 + ••• + а2я-1 “ а2я + а2я+1 = 52я + а2я+1 =>
=> lim s2„+i = lim s2n + lim а2я+1.
Л->оо Л—>«» Л—>«»
Оба предела справа существуют, причем второй из них по условию
равен нулю. Значит, существует и предел слева, и для него
274
lim s2n+1 = 5 . (7)
л->«
Из (6) и (7) следует, что существует конечный lim s„ = s без всяких
л—
оговорок относительно четности или нечетности индекса п. Сле-
довательно, ряд (1) сходится. 4
Замечание 1. Пусть ряд (1) удовлетворяет условиям теоремы
Лейбница и пусть s — сумма этого ряда. Из доказательства теоре-
мы следует, что последовательность {s2„}„6N стремится ПРИ п —> °°
к s, монотонно возрастая. Следовательно, $2я < s, для любого
п е N. Имеем, далее,
=01,
$3 = О] - д2 + а3 = а1 ~ (а2 ~ аз) = “ (а2 ~ «з) => 51-53,
л5 = д 1 — а2 + аз - д4 + Д5 = s3 - (д4 — д5) => 53 > 55,
>6“'
и так далее. Получаем, таким образом,
S, >53 >55 >...>52л_! >... ,
т.е. последовательность {s2n-i }„6N стремится при п °° к s, моно-
тонно убывая. Следовательно, 52я_1 s для любого п е N.
Итак, имеем
52я < 5 < 52я_] , для любого П 6 N . (8)
В частности, при л = 1 будет - д2 < s < Д1 =ф 0 < s < at. Зна-
чит, сумма s знакочередующегося ряда (1), удовлетворяющего ус-
ловиям теоремы Лейбница, имеет знак первого члена ряда, и аб-
солютная величина этой суммы не превосходит абсолютной вели-
чины первого члена.
Замечание 2 (об оценке суммы остатка ряда).
Пусть знакочередующийся ряд (1) удовлетворяет условиям
теоремы Лейбница. Рассмотрим сначала остаток ряда (1) после
2/и-го члена. Обозначим сумму этого остатка через о.
& = ®2т+1 ~ ^2т+2 ®2т+3 ~ ^2т+4 + ••• .
275
По замечанию 1 имеем: 0 < о < а2т+1 • Видим, что
1) сумма а остатка ряда имеет знак первого члена остатка, и
2) |?| <a2m+i, т.е. абсолютная величина суммы остатка не
превосходит абсолютной величины первого члена этого остатка.
Рассмотрим теперь остаток ряда (1) после (2т - 1 )-го члена.
Обозначим сумму этого остатка через о:
S = ~d2m + «2т+1 - а2т+2 + ••• ~ ~(а2т ~ а2т+1 + а2/я+2 “•••).
Пусть
= ^2т ~ ^2т+1 ®2т+2 ~ , (9)
а тогда
S =-5,. (10)
Замечаем, что ряд (9) — знакочередующийся и удовлетворяющий
условиям теоремы Лейбница. Первый член ряда (9) — положи-
тельный. Поэтому, по доказанному выше, будем иметь:
1) о, >0;
2) |5.|<а2т-
Но тогда:
1) о < 0 (так как о = -5,);
2) |а| = |- 5,| = |S,| < а2т.
Следовательно, и в этом случае имеем:
1) сумма о остатка ряда имеет знак первого члена остатка;
2) |5| < а2т, т.е. абсолютная величина суммы остатка не пре-
восходит абсолютной величины первого члена остатка.
Замечание 3. Следует помнить, что в признаке сходимости
Лейбница ряд должен удовлетворять трем условиям:
1) знакочередуемость членов ряда,
2) монотонное убывание абсолютных величин членов ряда,
т.е. а„ > ап+1, для всех п е N,
3) стремление к нулю абсолютной величины общего члена
ряда при п -> о», т.е. lim а„ = 0.
Л—>°°
Каждое из этих условий подлежит обязательной проверке.
Рассмотрим пример.
276
Пусть имеется ряд
Видим, что ряд (11) — знакочередующийся и что
lim ап = lim *------= 0. Однако условие ап > аи+1 выполнено
л-»~ л-»~ у/п + (-1)"
не для всех п е N. В самом деле, имеем
= 1_____________1 = Уй+Т - Уй + 2 • (~1)л+1
а" fl"+1 Уй + (-1)л Уй+Т + (-1)л+1 рй + (Ч)л)(7й+Т + (-1)л+1)
Так как знаменатель последней дроби положительный, то имеет
смысл рассматривать лишь числитель этой дроби. Имеем
Уй+Т - 4п + 2 • (-1)л+1 = -==1—= + 2 • (-1)л+1.
Jn +1 + -Jn
Приходим к выводу: ап - ап+1 < 0, если п — четное, и ап - ая+1 > 0,
если п — нечетное. Значит, абсолютные величины членов ряда (11)
убывают не монотонно.
Покажем теперь, что ряд (11) расходится. Действительно,
имеем
а (-) . ... 1
л 4п+ (-1)" Л - 1 п - 1 п -1
Значит, ряд (11) можно рассматривать как разность рядов
j(-l)" o, (12)
л=2 п ~ 1 л=2
И
оо 1
S-4- (13)
л=2«- 1
Ряд (12):
1) знакочередующийся;
2) lim ап = lim = lim------4—-г- = 0;
л—>«> л->«» П — 1 Г~ ( . 11
y/П 1---
I «7
277
,ч ~ 4п -Jn +1 п4п - (п - 1) -Jn + 1
=—>- — =-----------------------=
_ л2 • и - (л - 1)2(л + 1)
п (п - 1) ^п4п + (и - 1) л/Л + 1]
Так как знаменатель положителен при всех натуральных п > 2,
то следует рассмотреть лишь числитель. Имеем
п3 - (л - 1)(л2 -1) = л3 - л3 + л + л2 -1 = л2 + л - 1 > 0,
для всех л е N. Значит, ап > а„+1 для любого л е N, л > 2.
Вывод: ряд (12) удовлетворяет всем трем условиям признака
сходимости Лейбница => ряд (12) сходится.
Ряд (13) — гармонический => ряд (13) расходится.
Но тогда расходится и ряд (11). В самом деле, если предполо-
жить, что ряд (11) сходится, то тогда должен сходиться и ряд (13)
(как разность двух сходящихся рядов (12) и (11)), а это не так.
§7. Рады с членами любых знаков
В этом параграфе рассматриваются знакопеременные ряды
общего вида, когда знаки членов ряда не обязательно чередуются
(или знаки чередуются, но теорема Лейбница неприменима из-за
немонотонного убывания абсолютных величин членов ряда).
1’. Общий признак сходимости радов (критерий Коши).
Будем опять записывать ряд в виде
ZX- (1)
Л=1
Здесь через ап обозначен л-й член ряда вместе со своим знаком.
Мы знаем, что сходимость ряда (1) равносильна сходимости
последовательности его частичных сумм
XkeN •
Но для сходимости последовательности (2) необходимо и доста-
точно, чтобы любому е > 0 отвечал номер N, такой, что как только
л > N и т> N , так сейчас же |sm - s„| < е.
Пусть для определенности т>п (n>N). Положим
т = л + р, р е N. Тогда
278
sm sn ~ $n+p $n ~ an+l "* ал+2 + ••• + an+p •
Получаем, следовательно:
Для того, чтобы ряд (1) сходился, необходимо и достаточно,
чтобы любому е > 0 отвечал номер N, такой, что как только
п> N, так сейчас же
|ал+1 + °л+2 + ••• + °л+р| < е , для любого р е N .
Это и есть общий признак (критерий Коши) сходимости
рядов.
2°. Абсолютная сходимость и условная сходимость.
Наряду с рядом (1) рассмотрим еще ряд
Ё1а«| (3)
Л=1
(ряд (3) составлен из модулей членов ряда (1)).
Определение. Ряд (1) с членами любых знаков называется
абсолютно сходящимся, если сходится ряд (3), составленный из
модулей членов ряда (1).
Теорема 1. Абсолютно сходящийся ряд есть ряд сходящийся.
По условию, ряд (1) абсолютно сходящийся. Это означает,
что сходится ряд (3). Но тогда по критерию Коши любому е > О
отвечает номер N, такой, что как только п> N, так сейчас же
|°л+1| + |йл+21 + ••• + |°л+р| < 6 > для любого peN.
Так как |а„+1 + оя+2 + ... + ая+р| < |ая+1| +1ол+2| + ... + |«я+р|, то при
п > N будет
|°л+1 +ап+2 + ”. + ал+р|<е. ДЛЯ любого peN.
Получаем, следовательно: любому е > 0 отвечает номер N, такой,
что как только п> N, так сейчас же
|ал+1+ал+2 + •• + ал+р| < е , для любого peN.
Последнее означает (по критерию Коши), что ряд (1) сходится.
Замечание. Доказанная теорема необратима. Может оказать-
ся, что ряд (1) с членами разных знаков сходится, а ряд (3),
составленный из модулей членов ряда (1), расходится.
279
Так, например, ряд У (-1)"+1 •— сходится (он — знакочереду-
п=1 п
ющийся, удовлетворяющий условиям теоремы Лейбница). Ряд
“ 1
же, составленный из модулей членов этого ряда, а именно У —,
й=1«
расходится (это гармонический ряд).
Определение. Ряд (1) с членами разных знаков называется
условно сходящимся, если он сходится, а ряд (3), составленный
из модулей членов ряда (1), расходится.
Изложенное выше приводит к разделению всех сходящихся
рядов на два класса: ряды абсолютно сходящиеся и ряды условно
сходящиеся.
Отметим, что все сходящиеся положительные ряды входят в
класс абсолютно сходящихся рядов.
§8. О перестановке членов в сходящихся радах
Лемма. Если положительный ряд
(1)
Л=1
сходится, то его члены можно переставлять произвольным обра-
зом. От этого сходимость ряда не нарушится, и величина его суммы
не изменится.
По условию, ряд (1) сходится. Пусть s — сумма этого ряда.
Переставим в ряде (1) его члены произвольным образом. Полу-
чим ряд
%+%+••• + %+•••. (2)
Обозначим через sn п-ю частичную сумму ряда (1), а через ск к-ю
частичную сумму ряда (2). Имеем
=% + й«2 +- + аПк
Положим р = max|«i, п2)... ,пк} и рассмотрим sp, т.е. р-ю час-
тичную сумму ряда (1). Нетрудно понять, что все слагаемые,
входящие в состав <зк, войдут также и в состав sp. Поэтому будет
ик < sp. У нас ряд (1) положительный, и его сумма равна s. Но
тогда sp < s для любого р е N , а следовательно, и подавно
280
ак < s, для любого к е N. (3)
Заметим, что последовательность {оЛ }teN — неубывающая и огра-
ниченная сверху. Следовательно, существует конечный предел
ст = lim ак .
А значит, ряд (2) сходится и о — сумма этого ряда.
У нас ак < s, для любого к е N (см. (3)). Переходя в этом
неравенстве к пределу при к -> °°, получим
ст < s. (4)
Видим, что от перестановки членов в положительном сходящемся
ряде его сумма не увеличивается. Но тогда она не может и умень-
шиться, ибо в противном случае обратная перестановка членов
приводила бы к увеличению суммы ряда, что невозможно. Значит,
ст = s. Лемма доказана. 4
Теорема. Члены абсолютно сходящегося ряда можно произ-
вольным образом менять местами. От этого абсолютная сходи-
мость ряда не нарушается и величина его суммы не изменяется.
Пусть ряд
IX (5)
Л=1
— абсолютно сходящийся. Значит, сходится ряд
Ekl- <5)
Л=1
Переставим в ряде (5) его члены произвольным образом. Получим ряд
= % + % +•.. + «„*+... . (6)
*=1
Нужно показать, что ряд (6) — абсолютно сходящийся, т.е. что
сходится ряд
*=1' 1
и что сумма ряда (6) равна сумме ряда (5).
Заметим, что ряд (6) получается из ряда (5) той же переста-
новкой членов, что и ряд (6) из ряда (5). Так как ряд (5) —
281
положительный, сходящийся, то по лемме ряд (6) тоже сходится.
А это означает, что ряд (6) сходится, и притом абсолютно.
Остается показать, что сумма ряда (6) равна сумме ряда (5).
Положим Ь„ = + а" ; с„ = ———. Ясно, что
" 2 2
Ь„ = ап , если ап > 0; Ьп = 0, если ап < 0;
сп - 0, если а„ > 0; с„ = -а„ (> 0), если а„ < 0.
Значит, Ь„ > 0 и с„ > 0, для любого п е N. Следовательно, ряды
ЕА. (7)
П=1
И
(8)
П=1
— положительные. Кроме того, ряды (7) и (8) — сходящиеся:
первый — как полусумма, а второй — как полуразность двух
сходящихся рядов (а именно рядов (5) и (5)).
Введем в рассмотрение ряды
еч (9)
к=1
И icnk . (10)
к=1
Ряд (9) получается из ряда (7), а ряд (10) получается из ряда (8) той
же перестановкой членов, что и ряд (6) из ряда (5). Отметим, что
b/t — сп = ап ’
. _ (П)
Так как ряды (7), (8) — положительные, сходящиеся, то по лемме
сумма ряда (9) равна сумме ряда (7), а сумма ряда (10) равна сумме
ряда (8). Значит, сумма разности рядов (9) и (10) будет равна сумме
разности рядов (7) и (8). А тогда, принимая во внимания соотно-
шения (11), заключаем, что сумма ряда (6) равна сумме ряда (5).
Замечание. В рядах, сходящихся условно, перестановка членов
ряда недопустима. Перестановка членов в таких рядах может изме-
нить сумму ряда или даже привести к нарушению сходимости ряда.
282
Чтобы убедиться в этом, рассмотрим пример. Пусть имеется
ряд
ЁН)"*1 * * *-
л=1 п
11111
2+3 4+5 6+"
(12)
Выше было показано, что ряд (12) сходится, но не абсолютно.
Поменяем местами члены в ряде (12), расположив за каждым
положительным членом два отрицательных. Получим ряд
1_1 1__L_1 1_J_______L
2 4 + 3 6 8 + 5 10 12 +
(13)
Обозначим л-ю частичную сумму ряда (12) через s„, а к-ю
частичную сумму ряда (13) — через ок . Имеем
,11111111 1 1 1
Зл 2 4 3 6 8 5 10 12 2л-1 4и-2 4л
11 11 J____1
2 4 + 6 8+10 12
4л - 2 4л
1(11111 1 П_ 1
2С 2 + 3 4 + 5 6 + + 2л -1 2лJ 2
Пусть s — сумма ряда (12). Отметим, что 0 < s < 1 (см. замечание 1
“Об оценке суммы знакочередующегося ряда, удовлетворяющего
условиям теоремы Лейбница”). Тогда
lim о3„ = 1 lim s2„ = ^5.
Имеем далее
СТзя+1 = СТзя + 2лТТ 2S ’
Значит, ок
1 1
аЗл+2 “ °Зл+1 - ~------*75 •
4и + 2 2
1 е
э — s , без всяких оговорок относительно индекса
к. Последнее означает, что ряд (13) сходится и его сумма равна у j .
Так как s * 0, то заключаем: перестановка местами членов
ряда (12) привела к изменению суммы ряда.
283
§9. Умножение абсолютно сходящихся рядов
Пусть имеются ряды
=о1+о2+о3 + ... + ал_1+ая + ... (1)
Л=1
£бя = 61+62+63 + ... + 6я_1+6я + ... (2)
Л=1
Ряд
Хся, где сл=а16я+а26я_1 + ... + ал_162+ая61 (3)
Л=1
называется произведением рядов (1) и (2). В развернутом виде ряд
(3) записывается так:
^i^i + (#i62 + iz2Z>i) + (Д163 + д262 + д361) + ... +
+ (а16„+а26я_1 + ... + ая61) + ...
Теорема Коши. Если ряды (1) и (2) сходятся абсолютно, то ряд
(3) тоже абсолютно сходится. При этом если А, В, С есть суммы
рядов (1), (2), (3) соответственно, то С = А - В.
Рассмотрим бесконечную прямоугольную матрицу
аД a2Z>i a\b2 а2Ь2 aib3 a2b3 ... axbn ... ... a2bn ...
a3Z>! a3b2 азЬз ... a3bn ...
... ... ... (M)
anbl anb2 anb3 ... a b • • • n n
V
Элементы матрицы (М) различными способами можно располо-
жить в форме последовательностей. Если затем члены этих после-
довательностей соединять знаком “+”, то будем получать различ-
ные ряды. Все эти ряды будут отличаться друг от друга лишь поряд-
ком расположения их членов.
Рассмотрим два способа расположения элементов матрицы
(М) в форме последовательностей.
284
1. По “диагонали”:
Такой схеме соответствует ряд
+ Д |Z>2 "I" ^2^1 + й1^3 + ^2^2 + ^3^1 + • • • (4)
Заметим, что ряд (3) получается из ряда (4) объединением его членов
в группы из одного, затем из двух, затем из трех членов и т. д.
2. По “квадратам”:
Такой схеме соответствует рад
285
+ O2^2 + ^2^1 + fl1^3 ^2^3 ^3^3 + ^3^2 *^* ^3^1 "*” ••*
(5)
Подчеркнем еще раз, что ряды (4) и (5) отличаются друг от друга
лишь порядком расположения своих членов.
Покажем, что ряд (5) сходится абсолютно, т.е. что сходится
ряд
|а А| + |а 1 ^21 + |а2^г| + |а 2^11 + |а1^з| + |°2^з| + |«3*з| + |а3^21 + |а3^1| + • • •
(5)
Для этого возьмем любую частичную сумму ряда (5). Нетрудно
понять, что при достаточно большом п все слагаемые этой час-
тичной суммы будут содержаться в сумме
Qn = |ai^i|+ |а1^г| + |Мз| + ••• + |<*Л| +
+ |й2^1| + |й2^г| + |а2^з| + ••• + |а2^л| +
+.................................+
+|ал|++Ьл| + -+км-
Имеем Qn = А„ • Вп , где Ап = |aj + |а2| + ... + |а„|, Вп = |^| +1/>2| +
+... + |М есть п-е частичные суммы рядов
EIM (О
Л=1
И
£1‘.1 (2)
Л=1
соответственно. Заметим, что ряды (Т) и (2) — положительные,
сходящиеся (ибо по условию ряды (1) и (2) сходятся абсолютно).
Пусть А и В есть суммы рядов (Т), (2) соответственно.
Тогда для любого п е N: Ап < А , Вп<В АпВп<АВ, т.е.
Qn < А • В. Следовательно, и подавно любая частичная сумма
ряда (5) будет < А • В.
286
Итак, имеем: последовательность частичных сумм ряда (5)
монотонна и ограничена сверху._ Значит, она имеет конечный
предел, и, следовательно, ряд (5) сходится. Но тогда ряд (5)
сходится, и притом абсолютно.
У нас ряд (4) получается из ряда (5) некоторой перестановкой
членов. Значит, ряд (4) тоже абсолютно сходится. Отметим также,
что ряды (4) и (5) имеют одну и ту же сумму. Обозначим ее через s.
Было замечено ранее, что ряд (3) получается из ряда (4)
объединением его членов в группы из одного, из двух, затем из
трех членов и т. д. Значит, ряд (3) тоже сходится, и его сумма С
равна s.
Было установлено выше, что ряд (4) сходится абсолютно, т.е.
что сходится ряд
|flA| + |а1^г| + |а2^1| + |а 1*з| + |а2^г| + |а3*1| + ••• (4)
Объединим члены ряда (4) в группы из одного, затем из двух,
трех членов и т. д. Получим сходящийся ряд
|а А| + (|а1^г| + |a2^i|) + (|а1^з| + |а2^г| + |аз*1|) + ••• (4)
Так как модули членов ряда (3) не превосходят соответствующих
членов ряда (4), то ряд, составленный из модулей членов ряда
(3), сходится. А это означает, что ряд (3) сходится абсолютно.
Выше было доказано, что сумма ряда (3) равна s (она равна
суммам рядов (4) и (5)).
Остается показать, что s = А • В.
Для этого снова возвратимся к ряду (5). Объединим члены
ряда (5) в группы из одного, затем из трех, затем из пяти членов и
т. д. Получим ряд
+ (fZ|^2 “Ь Oj^2 + а2^1) + (а1^3 + а2^3 + а3^3 + а3^2 + а3^1) + •••
(6)
Ясно, что ряд (6) сходится и его сумма равна s. Пусть Тп — п-я
частичная сумма ряда (6). Легко видеть, что Тп= Ап - Вп, где А„
и Вп — п-е частичные суммы рядов (1) и (2) соответственно. У нас
ряды (1) и (2) сходятся, и их суммы равны соответственно А и В.
Но тогда
lim Тп = lim (А„ • В„) = lim Ап • lim Вп =А В,
П->°° П~>°° Л->оо
т.е.
s = А • В. 4
287
Замечание 1. Если ряды (1) и (2) сходятся, но не абсолютно,
то их произведение, т.е. ряд (3), может оказаться даже расходя-
щимся. Убедимся в этом на примере.
Пусть ^а„ = £(-1)" * 1 -L; Ybn~ L(-1)" 1 “7=. Ряд-про-
я=1 1 у/п Л=1 Л=1
изведение будет таким:
ОО оо
Хс. = Х(-1Г'
п=1 п=1
1 J_ + J 1
41 4п 42 4п -1
Заметим, что ряды-сомножители есть ряды знакочередующиеся,
удовлетворяющие условиям теоремы Лейбница и, следовательно,
сходящиеся. Но они сходятся не абсолютно, так как ряды, состав-
ленные из модулей их членов, расходятся.
Имеем
. Г 1 1 1 1 1
\4i 4п 42 4n-i 4п
всего п слагаемых
1 I 1 1
-= = п • — = 1, для любого П G N
Гп ) п
=> с„ не может стремиться к нулю при п °°. Значит, ряд-про-
изведение У сп расходится, так как не выполнено необходимое
Л=1
условие сходимости.
Замечание 2. Справедливы следующие утверждения (прини-
маем их без доказательств).
1. Если ряды (1) и (2) сходятся и хотя бы один из них сходится
абсолютно, то ряд-произведение (3) сходится. При этом если А,
В, С есть суммы рядов (1), (2) (3) соответственно, то С = А • В.
(Это — теорема Мертенса. В ней не гарантируется абсолютная
сходимость ряда (3), если из рядов (1), (2), только один оказыва-
ется абсолютно сходящимся.)
2. Пусть ряды (1) и (2) сходятся, и оба сходятся лишь условно.
Тогда, если ряд-произведение (3) оказывается сходящимся, то
между суммами А, В, С рядов (1), (2), (3) существует связь
С = АВ.
(Это — теорема Абеля.)
288
Все изложенное в §8 и §9 показывает, что абсолютно сходя-
щиеся ряды обладают некоторыми основными свойствами конеч-
ных сумм; для рядов неабсолютно сходящихся эти свойства,
вообще говоря, не имеют места.
Напомним эти свойства.
1. Сходимость и сумма абсолютно сходящегося ряда не изме-
няются при произвольной перестановке его членов. Иначе гово-
ря, для абсолютно сходящихся рядов справедлив переместитель-
ный закон сложения.
2. Два абсолютно сходящихся ряда можно перемножать как
обыкновенные многочлены, т.е. каждый член одного ряда умно-
жать на каждый член другого и результаты складывать в любом
порядке; получающийся ряд тоже абсолютно сходящийся.
3. Для абсолютно сходящегося ряда остается в силе свойство:
“абсолютная величина суммы не превосходит суммы абсолютных
величин слагаемых”:
^а„ < У|д„| (для доказательства достаточ-
л=1 п=\
но взять неравенство |аi + а2 + •• + а«| - |°i| + |аг| + ••• + |ли| и пе-
рейти в нем к пределу при «—><»).
Для установления абсолютной сходимости знакопеременного
ряда У, ап к ряду, составленному из модулей членов этого ряда,
/7 = 1
могут быть применены все признаки сходимости, установленные
для положительных рядов. Но нужно быть осторожным с призна-
ками расходимости. Было отмечено: если ряд У | а„| оказывается
п=1
оо
расходящимся, то ряд ]£а„ может все же сходиться (условно).
Л=1
Установим достаточные признаки условной сходимости для
некоторого вида знакопеременных рядов, не являющихся абсо-
лютно сходящимися. •
§10. Признаки сходимости рядов Дирихле и Абеля
1°. Преобразование Абеля.
Рассмотрим сумму парных произведений вида
£а(₽( = «1Р1 + a2₽2+-"+amPm . (1)
/=1
289
Положим
= Pi, B2 = Pi + p2, B3 = Pi + p2 + p3, ...,Bm = Pi + p2 + ... + Pm =>
Pl = ^1 , P2 = -®2 “ , Рз = ^ - B2 , P„ = Bm- Bm_i.
Тогда сумму (1) можно записать в виде
£аД. = cq • В{ + а2(В2 - В{) + а3(53 - В2) + ... + ат(Вт - В^) =>
/=1
=> Ха/Р/ = (“1 - «2)^1 + («2 - “з)^2 + - + («т-1 - оиДи-1 + “Л •
<=1
(2)
(2) — так называемое тождество Абеля.
Опираясь на формулу (2), выведем следующую оценку для
сумм вида (1):
Лемма. Если множители cq не возрастают, т.е. cq > а2 > а3 >
>...>ат (или не убывают, т.е. cq <а2 <а3 <...<аот) и если
абсолютные величины сумм Д (/ = 1,2,..., т) ограничены од-
ним и тем же числом L > 0, т.е. |Д| < L (i = 1, 2,..., т), то
т
£аД < Z(|cq| + 2|am|).
(3)
Имеем из (2):
< |cti - а2||д| + |а2 - а3||Л2|+...+|аот_1 - am||BOT_i| + |аот||Вт| <
< L(|ос1 - а2| + |а2 - a3|+...+|am_i - am| + |am|).
Так как разности (cq -a2), (a2 -a3), ... , (aOT_i -am) все одного
знака, то будем иметь
т
£аД < L (|cci -
“ml + Ы)- £(1а11+ 21ат|)-
Важно обратить внимание на то, что в неравенстве (3) оценка
рассматриваемой суммы дается через первый и последний ее
члены и не зависит от числа слагаемых в этой сумме.
Приступим теперь к выводу признаков сходимости рядов
Дирихле и Абеля.
290
2°. Теорема 1 (признак Дирихле).
Пусть имеется рад вида
ZWk . t=l (4)
Рассмотрим две последовательности:
(5)
и
(6)
только п> N, так сейчас же
(sk = +и2+...+ик, т.е. sk — к-я частичная сумма рада ^ик).
Тогда, если
1) последовательность (5) — монотонно убывающая и такая,
что vk----->0 (=> vk > 0, к = 1, 2,... ), и если
к—
2) последовательность (6) — ограниченная, т.е. существует
число М > 0 такое, что < М, к е N, то рад (4) сходится.
Возьмем е > 0 — любое. Мы докажем, что рад (4) сходится,
если покажем, что взятому е > 0 отвечает номер Nтакой, что как
п+р
^ukvk <е при любом peN (см.
к=п+1
критерий Коши сходимости числовых рядов). Заметим, что
п+Р Р
^ик^к “X Un+i ^n+i •
к=п+1 <=1
(7)
Сумма (7) имеет вид (1), если положить в ней р,- = un+i, а,- = vn+i,
i = 1,2,..., р. Попытаемся оценить сумму (7) с помощью леммы.
Имеем
|Р1 + Р2+...+Рр| = |«й+1 + «я+2+...+«л+р| = ря+р - |s„+p| + k„| 2Л/
при любом р е N , ибо |sA| < М при любом к е N (2М выступает
в роли числа L). По условию vk---------->0. Значит, взятому е > 0
к—
отвечает номер N, такой, что как только к> N, так сейчас же
е „
V* < -Try. По лемме
ьм
291
п+р
Л=л+1
Р
51 Un+i Хи+/
/=1
< 2М (|v„+i| + 2|v„+p|) = 2М (v„+1 + 2v„+p),
при любом р е N. Следовательно, при п> N будем иметь
У ukvk < 2М-— = е при любом р е N.
Л=л+1
Таким образом, показано, что любому е > О отвечает номер N,
такой, что как только п> N, так сейчас же
Wk
к=п+\
< г при
любом peN. Значит, ряд (4) сходится.
3*. Теорема 2 (признак Абеля).
Пусть имеется ряд вида
• (4)
i=l
Рассмотрим последовательность
и ряд
(8)
к=\
Тогда, если
1) ряд (8) сходится и
2) последовательность (5) монотонная и ограниченная, т.е.
существует число М > 0, такое, что |vA | < М при любом к е N,
то ряд (4) сходится.
Возьмем е > 0 — любое. Мы докажем, что ряд (4) сходится,
если покажем, что взятому е > 0 отвечает номер N, такой, что как
только п> N, так сейчас же
п+р
Л ukvk < е при любом peN.
А:=л+1
л+р р
И здесь отмечаем, что ^ukvk = £ия+/уя+/ • По условию ряд (8)
к=п+1 z=l
сходится. Значит, взятому е > 0 отвечает номер N, такой, что при
п> N будет выполняться неравенство |«„+i + «„+2+---+ыл+/>|
Е
~ЗМ
292
при любом р е N (см. критерий Коши сходимости числовых ря-
дов). В обозначениях, принятых в лемме: |Д| < 777, i = 1,2,..., р;
ЗМ
п+р
Yukvk =
к=п+\
< ^(Ы+ 2|v/»+p|)> если п> N, ар — любое нату-
п+р
£
(—— выступает в роли числа L>Q). По лемме
ЗМ
^n+i^n+i
ральное. Но |v„+1| < М; |vn+/>| < М. Следовательно, ^ukvk <г,
к=п+\
если п> N, а р е N — любое => ряд (4) сходится. 4
Замечание. Признак Лейбница является частным случаем при-
знака Дирихле.
Действительно, в признаке Лейбница рассматривается ряд
вида У (-1) ак, в котором at > а2 > ... > ап > ... и lim ак = 0.
Положим ик = (- 1)A1, vk = ак. Имеем |fy| = |ui + u2+...+ukl =
= |1-1 + 1-...+(-1)*-1|<1, t€N; {VfcheN = fatheN - МОНОТОННО
убывающая и такая, что vk--------> 0. Видим, что условия признака
Л-**»
Дирихле выполнены. Следовательно, ряд У (-1)* 1ак
Пример. Исследовать сходимость ряда *-1
cosAx rn _ .
у——, хе[0,2л].
к
сходится.
(9)
При х = 0 и х = 2л ряд (9) принимает вид
оо 1
Это
к=1к
гармонический ряд. Мы знаем, что он расходится. Значит, ряд (9)
расходится в точках х = 0 и х = 2л. Выберем теперь и закрепим
любое хе(0,2л). Положим ик = coskx, Л = 1,2,...; vA=y,
К
к = 1, 2,... . Последовательность {vt}ieN = 1Т[ — монотонно
№ JteN
убывающая и такая, что vk---->0. У нас ик(х) = coskx. Значит
293
sk = cosx + cos2x + cos3x+...+ coskx. Умножим обе части после-
днего равенства на 2 sin -j. Получим
XX X
2 sin — -sk = 2 sin — • cosx + 2 sin— • cos2x +
2*2 2
X X
+ 2 sin — • cos 3x+.. .+2 sin — • cos kx
2 2
Так как 2 sin a cos p = sin(p + a) - sin(p - a), то будем иметь
» . x f . Зх . xA ( . 5x . 3xA
2 Sin — -Si. = sin—-sin— + sin—- sin— +...+
2 * V 2 2j 2 2 J
( . (2k + l)x . (2k - l)x^ . (2k + l)x . x
+ sin -——-— sin -—„ = sin -——-— sin —.
t 2 2 ) 2 2
X
У нас x e (0, 2л). Значит, sin — * 0. А тогда
=
sin
2Л + 1
2
. x
x - sin —
2
o . x
2sm —
2
. x
sin —
2
для любого к e N
KI5 —
=> — ограниченная, для любого закрепленного х из
(0, 2л). Таким образом, при любом закрепленном х из (0, 2л) ряд
(6) удовлетворяет условиям признака Дирихле. Значит ряд (6)
сходится при любом х из (0, 2л). 4
Глава 6
ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
И РЯДЫ
Рис. 6.1. К примеру 1.
График функции у = F(x)
§1. Последовательности функций
Г. Пусть имеется последовательность функций, заданных на
множестве X = {х}
U(*)}„6N, хе
Пусть Е с X. Пусть при каждом за-
крепленном х из Е последовательность
(10) имеет конечный предел. Ясно, что
этот предел будет представлять собой
функцию отх, определенную на множе-
стве Е.
Будем обозначать этот предел через
F(x) и называть предельной функцией
последовательности (10) на множестве
Е. Запись:
F(x) = lim f„(x), хе Е. (2)
Пример 1. Для последовательности {/„(x)}neN = {%"}neN
X = (-оо, + оо); Е = (-!,!];
Г(х) =
О, х е (-1,1)
1, х = Г
295
Пример 2. Пусть последовательность {/„ (x)}n6N задана на
промежутке [0,1] графически (см. рис. 6.2).
В этом примере F(x) = 0, х е [0,1]. В самом деле, в точке
х = 0 имеем /„(0) = 0, для любого п е N => lim /„(0) = 0.
л-><*
Выберем и закрепим теперь любую точку х0 е (0,1]. Всегда мож-
но указать л0 е N , такое, что будет — < х0 и, следовательно,
будет /„(х0) = 0, для любого п >л0 (л e N) => lim fn(x0) = 0.
>оо
Так как точка х0 — любая, принадлежащая (0,1], то получаем
F(x) = 0, для любого х е (0,1]. Было отмечено выше, что F(O) = 0.
Следовательно, F(x) = 0, х е [0,1].
Пусть последовательность (10) сходится на множестве Е. Пусть
F(x) — предельная функция последовательности (10) на Е, т.е.
F(x) = lim /л(х), х е Е. Введем понятие “равномерно сходящей-
Л—>°°
ся” последовательности функций. Мы подойдем к этому сложно-
му понятию, проведя некоторые предварительные рассуждения.
Возьмем е > 0 — любое, произвольно малое, и закрепим его.
Возьмем какое-нибудь значение х = х{ из множества Е. Последо-
вательность {/„(xj)} — числовая, сходящаяся к F(x1). Следо-
вательно, взятому е>0 отвечает номер (обозначим его NX))
такой, что при всех п> NXi будет выполняться неравенство
|F(Xj) -/n(Xj)| < е (номер NXl берем наименьший из возмож-
ных). Возьмем затем другое значение х = х2 из Е (х2 * Xj).
Рис. 6.2. К примеру 2. Графики функций у = /„(х).
296
Последовательность {/„(x2)}neN — числовая, сходящаяся к F(x2).
Следовательно, взятому е > О (тому же самому) отвечает номер
NX2 такой, что при всех п > NX2 будет выполняться неравенство
|Г(х2) “ /л(х2)| < е (номер NX2 берем наименьший из возмож-
ных). Отметим, что, вообще говоря, NX2 * NXl, так как при
х = х2 наша последовательность может сходиться “медленнее”
или “быстрее”, чем при х = xv Представим себе, что мы продела-
ли такое для каждого х из Е; мы получим в результате бесконеч-
ное множество номеров {Л^}. Логически мыслимы два случая: 1 -й
случай — множество номеров {Л\} ограничено сверху, т.е. суще-
ствует такой номер N, что все номера Nx < N; 2-й случай —
множество номеров {JVX} не ограничено сверху, т.е. среди номе-
ров Nx имеются как угодно большие номера. Оказывается, что
именно от этого различия в строении множества номеров {А\},
т.е. от различия в характере сходимости последовательности (10)
и зависят многие свойства этой последовательности (см. дальше
теоремы 1— 3).
В первом случае последовательность (10) называется равно-
мерно сходящейся к F(x) относительно х на Е, а во втором —
неравномерно сходящейся на Е.
Дадим теперь более сжатое определение.
Определение. Последовательность {/„(^)}neN, сходящаяся на
множестве Е к F(x), называется равномерно сходящейся к F(x)
относительно х на Е, если любому е > 0 отвечает номер N,
зависящий только от е (не зависящий от х), такой, что как только
п> N, так сейчас же |F(x) - /„(х)| < е одновременно для всех х из
Е. Если же такого номера N не существует, то последовательность
называется неравномерно сходящейся на множестве Е.
Если последовательность {/„(х)}яб1Ч сходится к F(x) на Е
равномерно относительно х, то пишут:
fn(x)==$F(x), хеЕ.
Замечание. Пусть
fn<х) ==$ F(X), х е [a, Z>]. (3)
297
Рис. 6.3. К геометрическому
истолкованию
соотношения
/„ (х) £ F(x), х е [а, Ь].
Геометрически соотношение
(3) означает: график любой функ-
ции у = /л(х), х е [a, Z>], при
п > N на всем протяжении от
х = а до х = b целиком содер-
жится в 2е -полосе графика фун-
кции у = Г(х), х е [а, 6].
В нашем примере 2 нельзя
указать номера N, начиная с ко-
торого графики функций
у = /я(х), хе [0,1], на всем про-
тяжении от х = 0 до х = 1 лежа-
ли бы целиком в 2е -полосе гра-
фика функции у = 0, х е [0,1]. В этом примере предельная
функция F(x) s 0, х е [0,1]. Вывод: в примере 2 последователь-
ность U(*)}„6N, хе[о, 1]» сходится к F(x) на промежутке [0,1]
неравномерно.
Теперь мы приступим к рассмотрению вопросов, из которых
станет ясной полезность введенного понятия равномерной сходи-
мости последовательности функций.
2°. О непрерывности предельной функции.
Пусть имеется последовательность функций {/„ (х)} N, х е Е.
Пусть члены последовательности fn(x) (л = 1, 2,... ) непрерывны
на Е. Пусть Г(х) — предельная функция для {/n(x)}„eN на Е.
Вопрос. Будет ли при этом непрерывной на Е функция F(x) ?
Ответ'. Не всегда.
Действительно, рассмотрим снова пример 1. В этом примере
члены последовательности: fn(x) = xn (п = 1,2,... ) непрерывны
на промежутке (-1,1]. Предельная же функция
0, если х е (-1,1)
, , терпит разрыв в точке х = 1.
1, если х = 1
F(x) =
Теорема 1 (о непрерывности предельной функции).
Пусть дана последовательность функций
UM„eN’ хеЕ- (О
Пусть /я(х) е С(£). Пусть F(x) — предельная функция для пос-
ледовательности (1) на Е, т.е. F(x) = lim fn(x), хеЕ. Тогда:
если /я(х) ===)F(x), хеЕ, то F(x)eC(E).
298
Возьмем е > 0 — любое. Выберем и закрепим на Е любую
точку х0. По условию fn(x)=====$F(x), хеЕ => Взятому
е > 0 отвечает номер N, зависящий только от е, такой, что
|Г(х) -/„(х)|<-| одновременно для всех х из Е, если n>N.
Возьмем номер т — любой, но такой, что т > N, и закрепим его.
По условию функция fm(x) е С(£) => в частности, fm(x) непре-
рывна в точке х0. Следовательно, взятому е > 0 отвечает 5 > 0,
такое, что как только х е Е и |х - х0| < 5 , так сейчас же
\fm(х) - /ОТ(ХО)| < | • Имеем
F(x) - F(x0) = (f(x) - /да(х» + (/от(х) - /от(х0)) + (Л,(х0) - F(x0))
|F(x) - F(x0)| < |F(x) - /да(х)| + |/m(x) - /и(х0)| + |/да(х0) - F(x0)|.
Но |F(x) - /ш(х)| < | для всех х е Е, ибо т > N => в частности,
|/т(х0) - Л*о)| < | .таккакточка х0 е Е. |/т(х) - /от(х0)| < | .если
хе £ и |х -х0| < 5 . Таким образом, получаем |f(x) - F(x0)| < е,
если хе Е и |х - х0| < 5. Последнее означает, что функция F(x)
непрерывна в точке х0. У нас точка х0 — любая, принадлежащая
Е. Значит, F(x) е С(Е).
Замечание!. Условие /л(х)===4£(х), хеЕ является дос-
таточным для непрерывности функции F(x) на Е, но оно не
необходимо.
Действительно, рассмотрим снова пример 2. В этом примере
предельная функция F(x) = 0, х е [0,1]. Значит F(x) е С([0,1]),
хотя последовательность {/„(x)}neN, хе[0,1], рассматриваемая
в этом примере, не является равномерно сходящейся на проме-
жутке [0,1].
Замечание 2. Если члены последовательности (1) непрерыв-
ны на Е, а предельная функция F(x), хе Е, этой последователь-
ности оказывается разрывной на Е, то последовательность (1)
сходится на Е неравномерно.
299
В самом деле, если бы последовательность (1) была равномерно
сходящейся на Е, то предельная функция F(x), х е Е, была бы
непрерывной на Е, а это не так.
Вернемся еще раз к примеру 1. В этом примере члены после-
довательности (хл) , хе(-1,1], непрерывны на промежутке
I JrteN
(-1,1], предельная же функция F(x), х е (-1,1], оказалась раз-
рывной на промежутке (-1,1]. Следовательно, последователь-
ность (хл) , х е (-1,1], сходится на промежутке (-1,1] нерав-
I JweN
номерно.
3°. О предельном переходе под знаком интеграла.
Пусть имеется последовательность функций
{/n(*)}„eN, хе[а,А]. (1)
Пусть F(x) предельная функция для (1) на [a, Z>], т.е.
F(x) = lim /я(х). Пусть /я(х) ё Л([а, 6]) для любого п е N и
Г(х)еЛ([а, 6]).
Возникает вопрос: справедливо или нет соотношение
ь \ С b 'I
lim f /я(х) dx = f I lim /„(x) I dx = f F(x) dx ? (4)
a a \ a J
Короче: допустим или нет предельный переход под знаком интег-
рала?
Оказывается, что соотношение (4) справедливо не всегда.
Убедимся в этом на примере.
Пример 3. Пусть последовательность {/«(x)}„eN задана на
промежутке [0,1] графически (см. рис. 6.4).
п
2n «
Рис. 6.4.
К примеру 3
1
Совершенно так же, как и в примере 2,
убеждаемся, что предельной функцией для
этой последовательности будет F(x) = О,
1 1
х е [0,1]. Следовательно, j F(x) dx = J0 dx = 0.
о о
1 11
Имеем далее [ /„(х) dx = — п = —, для любо-
Jo " 2п 2
1 I
го п е N => lim f /я(х) dx = —.
n^~o 2
300
1 1 z \
Видим, таким образом, что lim f fn(x) dx * f | lim fn(x) ] dx.
' =1/2 ' ' 5 '
Теорема 2. Пусть имеется последовательность функций
{Л(Х)}яе№ Хе [°’ Я- Ф
Пусть F(x) — предельная функция для (Т) на [а, />] (т.е.
F(x) = lim f„(x), х е [a, Z>]). Пусть fn(x) е /?([а, &]) > для любого
п е N и F(x) е 7?([а, £>])• Тогда: если /я(х)==4 Г(х), х е [а, />], то
ь bS \ ( ь А
lim [ /я(х) dx = [[ lim fn(x) I dx = f F(x) dx .
W-»ooJ J J J
a a \ a J
Для определенности считаем a < b. Возьмем e > 0 — лю-
бое. По условию /n(x)===4F(x), хе [а, 6], => Взятому е>0
отвечает номер N, зависящий только от е, такой, что
|/„(х) - F(x)| < —-— сразу для всех х е [а, />], если п> N.
Ь- а
Имеем
ь ь ь
]fn(x)dx-]F(x)dx = J(/„(x) - F(x))dx =>
а а а
b b
]f„(x)dx-]F(x)dx
а а
J (/я(х) - F(x))dx
а
- f |Л W “ ^(х)| < т~— (Ь-а) = е., если п> N.
д-а
ь ь
Последнее означает, что J F(x)dx = lim j fn(x)dx.
a n~*°° a
Замечание1. Условие: fn (x) F(x), x e [a, />], является
достаточным для допустимости предельного перехода под знаком
интеграла, но оно не необходимо.
В самом деле, вернемся к примеру 2. В этом примере Г(х) = 0,
’ V \
х е [0,1]. Следовательно, f F(x) dx = 0, т.е. f I lim /„(x) I dx = 0.
Имеем далее, 0
301
11—A \fn(x)dx = — 1 = —, Для любого n eN =>
А о 2n 2n
l\\y = f„(x) 1..., 1 n
/\ lim J fn(x)dx = hm — = 0.
/ | 1 «->» q л-»~ In
I | \ * 1,
Ill 1 Видим, что lim f /„(x) dx =
2n~n ] л->“о
Рис. 6.5. К примеру 2 = f [ lim fn(x) ] dx (=0), хотя последователь-
0 \л->~ Z
ность {/л(х)}лбЫ > х е [0, Л > не является равномерно сходящейся к
своей предельной функции на промежутке [0,1].
Замечание 2. Пусть /л(х) е А([а, /?]), F(x) е Я([а, 2>]). Если
ь ь
оказывается, что lim [ f„(x) dx * j F(x)dx, то последовательность
Л~>°° а а
{/„(*) }n6N» х g [a, Z>], сходится на [а, 5] неравномерно. В нашем
примере 3 последовательность {A(x)}neN, хе[0,1] сходится на
[0,1] неравномерно.
4°. О дифференцировании последовательностей.
Пусть имеется последовательность
{A(x)}„6N, хе[й,й]. (Т)
Пусть F(x) — предельная функция для (1) на [а, 6]. Пусть на
промежутке [a, Z>] существуют /л'(х) и .
Вопрос: Справедливо или нет соотношение lim /л(х) = F'(x) ?
Ответ: Не всегда. л->”
Убедимся в этом на примере.
Пример 4. Пусть
= ’ х6[0’2я]-
п JneN
Здесь Г(х) = 0, х е [0, 2л] => F'(x) = 0, х е [0, 2л];
/л'(х) = cos пх, для любого п g N, х е [0, 2л]. Последовательность
{/«(*)}„eN = {COSttx}„eN не стРемится к нулю на промежутке
[0, 2л], так как, например, при х = 0 ее предел равен единице.
302
Теорема 3. Пусть имеется последовательность
U(x)}„eN, хе [а,/»]. (Т)
Пусть F(x) — предельная функция для (Т) на [a, Z>], т.е.
F(x) = lim fn(x), х g [a, Z>]. Пусть члены последовательности (T)
имеют в [а, 6] непрерывные производные /Дх).
Тогда: если последовательность, составленная из производ-
ных, а именно
(5)
{/и(х)}„е№
сходится равномерно на промежутке [а, 6], то F(x) имеет на [а, />]
производную F'(x), причем f'(x)---F'(x), х g [a, Z>].
п—>°°
Положим lim /л(х) = <р(х), х g [a, Z>]. Так как f'(x) g С([а, Z>])
и А'(*)=4ф(*) > х е [о, 6], то <р(х) g С([а, />]) (см. теорему 1).
п—>°°
Возьмем любую точку х0 g (а, Ь) и закрепим ее. Дадим х0 прира-
щение Дх, любое, но такое, что Дх * 0 и точка х0 + Дх g [а, 6].
Рассмотрим разность
/л(х0 + Дх)-/Л(хо)
-ф(*о).
(6)
Ax
По теореме Лагранжа
/л(х0 + Дх) - /л(х0) = /л'(х0 + 6Дх) Дх (0 < 6 < 1).
Поэтому
/л(х0 + Дх) -/л(х0)
--------7----------Ф (х0) = /Л(ХО + ОДх) - ф (х0) =
Ах
= (/л'(*о + 0дх) - Ф (*о + едх)) + (ф (х0 + 0Ах) - ф (х0))
/л(х0 + Дх) -/л(х0)
-ф(хо) S
Дх
(7)
|/„'(х0 + ОДх) - <р (х0 + 0Дх)| + |ср (х0 + 0Дх) - Ф (х0)|.
Возьмем е>0— любое. По условию /Дх)==3<р(х)>
хе[а,Ь], => взятому е > 0 отвечает номер N, зависящий только
303
от е, такой, что как только п> N, так сейчас же |/л'(х) - ф(х)| <
сразу для всех х е [а, Ь]. Отсюда следует, что
|/„'(х0 + 0Дх) - ф (х0 + 0Дх)| < у, если n > N. (8)
Было отмечено, что ф(х) g С([д,/>]) => ф(х) — непрерывна
в точке х0 => взятому е > 0 отвечает 5 > 0, такое, что как только
х е [a, Z>] и |х - х0| < 3, так сейчас же |ф (х) - ф (х0)| < -| => если
|Дх| < 3, то, принимая во внимание, что 0 < 0 < 1, получим
|ф(хо + 0Дх)-ф(хо)|<|.
Из соотношений (7), (8), (9) следует неравенство
/„(х0 + Дх) - /л(х0)
(9)
-ф(х0)<е, если n>N и |Дх| < 3.(10)
Дх
Переходя в этом неравенстве к пределу при п -» °°, получим
Г(х0 + Дх) - Г(х0) । ।
-------—-----------ф(х0)<е, если |Дх| <3. (11)
Таким образом, мы доказали, что любому е > 0 отвечает 3 > 0
такое, что как только | Дх| < 8 так сейчас же выполняется неравен-
F(x0 + Дх) - F(x0)
ство (11). А это означает, что шп----------------= ф(х0), т.е.
Дх-»0 Дх
F'(x0) существует, причем
F'(x0) = Ф (х0) <=> lim /я'(х0) = F'(x0).
И—»°°
Так как точка х0 — любая, принадлежащая (а, Ь), то получаем:
F'(x) существует для х g (а, Ь), причем F'(x) = ф(х), х g (а, Ь),
а это означает lim /л(х) = F'(x), х g (а, Ь).
Аналогично проводится доказательство для точек х0 = а и
х0 = b. Следовательно, будем иметь
lim /Дх) = F'(x), для любого х g [а, 6].
304
5°. Признаки равномерной сходимости последовательности функций.
Теорема 4. Пусть имеется последовательность функций
U(*)}„eN« Х&Е- (О
Пусть £(х) — предельная функция для последовательности (1) на
Е, т.е. F(x) = lim f„(x), х е Е. Для того чтобы последовательность
Л—
(1) сходилась к F(x) на £ равномерно, необходимо и достаточно,
чтобы было:
lim sup|/„(x) - F(x)| = 0. (12)
хеЕ
Необходимость. Дано: /л(х)==4Г(х), хе£. Требуется
доказать, что lim sup|/„(x) - F(x)| = 0.
»->“ хе£
Возьмем е > 0 — любое. Так как /л(х)===4£(х), х е Е, то
взятому е > О отвечает номер N, зависящий только от е, такой,
£
что как только п> N, так сейчас же |/л(х) - £(х)| < — сразу для
£
всех х е Е =ф supl/„(x) - F(x)I < — (< е) , если п> N.
хеЕ 2
Заметим, что последовательность
sup |/л (х) - Г(х) | — чис-
.хеЕ neN
левая. Показано, что любому е > 0 отвечает номер N такой, что
как только n>N, так сейчас же sup|/„(x) - Г(х)| < е . А это
хеЕ
означает, что lim sup|/„(x) - F(x)| = 0.
«-»“ хе£
Достаточность. Дано: lim supl/„(x) - F(x)l = 0. Требуется до-
хе£
казать, что fn(x)~^^ F(x), ХЕ Е.
По условию, limsup|/„(х)-F(x)| = 0 =ф любому е>0 отве-
хе£
чает номер N, такой, что как только п> N, так сейчас же
sup|/„(x)-F(x)| <е. (13)
хеЕ
305
Отметим, что здесь номер WaaBHcnr только от е, ибо последователь-
ность
sup|/„(x) - F(x)| > — числовая. Из (13) следует, что если
JneN
п > N, то сразу для всех хе £ будет |/„(х) - F(x)| < е. Показано,
что любому е > 0 отвечает номер N, зависящий только от е, такой,
что как только п> N, так сейчас же |/„(х) - F(x)| < е сразу для всех
хеЕ. Последнее означает, что fn (х) я—3 F(x), хеЕ. 4
Теорема 5 (критерий Коши равномерной сходимости последова-
тельности функций).
Пусть имеется последовательность функций
{ЛМ}И6№ Х&Е- (О
Для того чтобы последовательность (1) имела на Е предельную
функцию F(x) и чтобы последовательность (1) сходилась к F(x)
равномерно на Е, необходимо и достаточно, чтобы любому е > О
отвечал номер N, зависящий только от е, такой, что как только
п > N, так сейчас же при любом peN и сразу для всех хеЕ было
|/л+/*) - Л(*)| < Е. (14)
Необходимость. Дано: последовательность (1) имеет на Е
предельную функцию F(x), и /л(х)==4/’(х), х е Е. Требуется
доказать, что любому е > 0 отвечает номер N, зависящий только
от е, такой, что как только п> N, так сейчас же при любом
р е N и сразу для всех хеЕ будет |/„+,(х) - Л(*)| < е.
Возьмем е > 0 — любое. По условию, /л(х)===3 Г(х), х е Е
=> взятому е > 0 отвечает номер N, зависящий только от е, такой,
g
что как только п> N, так сейчас же |/„(х) - F(x)| < — сразу для
всех х е Е. Пусть т — любое натуральное число, удовлетворяю-
щее условию т> N. Тогда сразу для всех х из Е будет
|/т(х) - Г(*)| < • Имеем
Л,(х) - Д(х) = (/ш(х) - F(x)) + (F(x) - /я(х)) =>
=> |Z»(x)-/„(x)|<|/m(x)-F(x)| + |F(x)-/„(x)| =>
306
=> если т> N и п> N, то сразу для всех х из Е будет
|/от(х) - /л(х)| < = е. Пусть, для определенности, т>п(п> N).
Положим т = п + р, р е N. Теперь предыдущее неравенство может
быть записано в виде |/л+/,(х) - /л(х)| < е длявсех х 6 Е, если п> N,
ар — любое натуральное число. Необходимость доказана.
Достаточность. Дано: любому е > 0 отвечает номер N, зави-
сящий только от е, такой, что как только п> N, так сейчас же
при любом р е N и сразу же для всех х из Е оказывается
|/„+р(х) ~ Л(*)| < е • Требуется доказать, что у последовательнос-
ти {/rt(*)}neN, х G Е , имеется на Е предельная функция F{x),
причем F(x), хеЕ.
Возьмем на множестве Е любое х = х0 и закрепим. Последо-
вательность {/„ (х)}леГЧ при х = х0 будет числовой. Для нее вы-
полнены условия критерия Коши сходимости числовых последо-
вательностей. Следовательно, последовательность {/n(xo)}neN
имеет конечный предел при п -»«>. У нас х0 — любая точка из
множества Е. Значит, у последовательности {/n(x)}„eN, х 6 Е, на
множестве Е существует предельная функция F(x). Остается
показать, что
fn(x)=^F(x), хеЕ.
Для этого возьмем е > 0 — любое. По условию, взятому е > 0 от-
вечает номер N, зависящий только от е, такой, что как только
п> N, так сейчас же при любом р g N и сразу для всех х из Е
|/л+/*)" /л(*)| < е > т.е. /л(х) - е </л+р(х) </„(х) + е. (15)
Пусть в (15) п — любое, удовлетворяющее условию п > N, закреп-
ленное. Перейдем при этом условии в неравенстве (15) к пределу
при />->+<». Так как ------------► /’(х), хеЕ, то получим
р->°°
/л(х) - е < F(x) < fn(x) + e., хеЕ, т.е. |/л(х) - F(x)\ < е для всех х
из Е, если п > N. У нас N зависит только от е. Получили:
307
Любому е > О отвечает номер N, зависящий только от е,
такой, что как только п> N, так сейчас же |/„(х) - Г(х)| < е
сразу для всех х из Е. Последнее означает, что /я(х)^=ЗГ(х),
х е Е.
Пример 1. Исследовать на равномерную сходимость последо-
вательность
ЛХ 1
,1 + Л + х]яеМ’
хе [О,1].
F{x) = hm fAx) = hm ----------= hm —7-----------:
л->- л->~ 1 + л + x л->- fl , х
Л — + 1 + —
\п л
= lim
-----= х, х е [0,1];
1 X
—+ —
п п
|Я*)-/„(х)| = X-— =
1 v ' " 1 1+л+х 1+л+х
г„(х).
обозначение
„ zz \ х2 + (л +1)(2х +1) л гп „ . .
Имеем: г'(х) =----------—->0, хе[0,1] => г (х) строго
(1 + л + х)
возрастает на промежутке [0,1]. Следовательно,
sup г„(х) =
хе[0,1)
.(Х)| = = Л_
Д 1 + л + х , л + 2
Х=1
2
=> lim suprn(x) = lim--------- = 0 =>
Л—>oo Л—>00 + 2
данная последовательность сходится равномерно на промежутке
[0,1]. 4
Пример 2. Исследовать на равномерную сходимость последо-
вательность {/„(x)}neN =
2лх 1
,1 + л2х2/пе№
хе[0,1].
F(x) = lim fn(x) = lim —= lim —z 4 = 0, x e [0,1];
Л->оо Л_>оо 1 п~*°° 21 2 1 I
nlX d-----y
V П J
308
ru(x) = |F(x) - /„(x)| = 0 - -^-5-
1 + лЪг
2nx
1 _i_ ’
1 + П X
x e [0,1] =>
=> r„'(x) = 0 при x = -.
n
При переходе через точку х = — производная меняет знак с “+” на
п
” => гп(х) в точке х = — имеет максимум. Следовательно,
sup ''„(х) = /-„(х)| 1
хе[0,1) п
2пх
1 + Л2Х2
=> lim sup r„(x) = 1 (* 0) =>
xe[0,1]
=> данная последовательность на промежутке [0,1] сходится не-
равномерно. 4
§2. Функциональные рады (общая теория)
Г. Пусть имеется ряд
Со)
п=\
Пусть все члены мя(х) (п = 1,2,... ) ряда (10) определены на мно-
жестве X = {х}. Пусть Е( Е с X) есть совокупность всех значений
аргумента х, при которых ряд (10) сходится. Тогда Е называют
областью сходимости этого ряда.
Отметим, что областью сходимости ряда (10) может оказаться
числовое множество самого различного строения. В дальнейшем,
как правило, мы будем иметь дело со случаями, когда областью
сходимости ряда будет промежуток — замкнутый, открытый или
полуоткрытый; конечный или бесконечный.
Нетрудно понять, что в области сходимости ряда (10) его л-я
частичная сумма, а также сумма и сумма остатка ряда после л-го
члена будут функциями от х. Будем обозначать их соответственно
5„(x), s(x), R„(x), хеЕ.
Рассмотрим несколько примеров.
309
Пример 1. Xх" = 1 + х + х1 + ... + хп + ... . В этом примере
л=0
У = (-оо) + оо); £ = (-1,1); 5(х)=-!-.
1-х
Пример 2.
£(1 -х)хл = (1 - х)+ (1 - х)х + (1 - х)х2 + ... + (1 - х)х" + ...
п=0
В этом примере X = (-«>, + «>); Е = (-1,1];
$(х) =
1, хе (-1,1)
О, х = 1
Пример 3.
Г 2
X пхе~т
- (л - 1)хе (Л 1)jf2
В этом примере
Л = 1
X = (-оо, + оо) ;
£ = (-оо, + оо); s(x)sO, х е (-~, + оо). Действи-
тельно, при х = 0 имеем $(0) = 0, так как все члены ряда равны
нулю. Пусть теперь х — любое, конечное, не равное нулю. Имеем
для такого х:
5л(х) = хе *2 -0 + 2хе
2x2 - хе х2
Зхе 3x2 -2хе 2x21+ ... +
+ [(л-1)хе (л |)х2 -(л-2)хе (л 2>х2} + [лхе лх2 -(п-1)хе (л 1)х2
Вывод: данный ряд сходится при любом х из (-~, + °°), причем
s (х) = 0, хе (-оо, + оо).
Введем понятие равномерно сходящегося ряда. Важность это-
го понятия станет ясна из дальнейшего, когда мы придем
к выяснению вопроса о том, когда для функционального ряда,
представляющего собой (если говорить формально) “сумму бес-
конечного числа функций”, сохраняются основные свойства сум-
мы конечного числа функций. Дело в том, что не всегда сумма
ряда непрерывных функций оказывается непрерывной функци-
ей, не всегда интеграл от суммы ряда непрерывных функций
равен сумме ряда интегралов от каждой из этих функций, не
всегда производная от суммы ряда дифференцируемых функций
равна сумме ряда производных от каждой из этих функций.
310
Встретившись с такими фактами, естественно было пытаться
определить, каким добавочным условиям должен удовлетворять
функциональный ряд (или каким должен быть характер сходимо-
сти этого ряда), чтобы для него оставались справедливыми основ-
ные свойства суммы конечного числа функций. В поисках этих
условий математики 40-х годов прошлого столетия пришли
к понятию “равномерно сходящегося ряда”.
Определение. Пусть имеется функциональный ряд
Ё “«<*), хеЕ. (1)
Л=1
Пусть этот ряд сходится на множестве Е и s (х), хеЕ, — его
сумма. Пусть {M*)}b6n, х е Е, — последовательность частичных
сумм ряда (1). Ряд (1) называется равномерно сходящимся на
множестве Е, если s„(x)==$s(x), хе Е.
Иначе:
Ряд (1), сходящийся на множестве Е, называется равномерно
сходящимся на Е, если любому е > 0 отвечает номер N, завися-
щий только от е, такой, что как только п> N, так сейчас же
|s(x) - s„(x)| < е (т.е. |/?„(х)| < е) сразу для всех хеЕ.
Пример 4. Исследовать на равномерную сходимость ряд
. (2)
Л=1 xL + п
Замечаем, что при любом закрепленном х е (-~, + ~) этот
ряд удовлетворяет условиям теоремы Лейбница. Значит, он схо-
дится на множестве Е = (-°°, + °°). Возьмем теперь е > 0 — лю-
бое. Мы знаем, что для суммы остатка ряда, удовлетворяющего
условиям теоремы Лейбница, справедлива оценка
IЕ„(х)| < -----= —j—-------, х е (-о», + °о).
। । х2 + (л +1) х2 + (л +1)
ГТ 11 г
Ясно, что —s---------< —, для всех х е (-оо + оо) .
х2 + (л + 1) Л '
Рассмотрим неравенство
1
— < е.
л
(3)
311
Ответ: Не всегда.
Рис. 6.6. К
2
Неравенство (3) выполняется при всех п (л е N), удовлетворяю-
щих условию п> N, где N = Е| —|. Отметим, что N = Е| —) зави-
сит только от е (ТУне зависит от х). Но тогда и подавно (х)| < е
сразу для всех х е (-°°, + °°), если только п> N.
Вывод: данный ряд сходится равномерно на промежутке
(-°°, + °°).
2°. О непрерывности суммы рода.
Пусть имеется ряд
х&Е. (1)
М=1
Пусть ряд (1) сходится на Ей s(x) — его сумма.
Вопрос: Будет ли s(x) непрерывной функцией на Е, если
члены ряда (1), т.е. функции «„(х), непрерывны на £?
В самом деле, вернемся к примеру 2.
В этом примере ряд сходится на проме-
жутке (-1,1]. Члены ряда м„(х) = (1 - х) • х"
есть функции непрерывные на промежут-
ке (-1,1]. Однако сумма ряда s(x) =
(1, хе (-1,1)
= 10 х - 1 еСТЬ ФуНКЦИЯ разрывная.
Она терпит разрыв в точке х = 1.
Теорема 1. Пусть имеется ряд
J«„(x), хеЕ. (1)
Л=1
Пусть s(x), хе Е, — сумма ряда (1). Пусть ип(х) е С(Е). Тогда:
если ряд (1) сходится равномерно на Е, то s(x) е С(Е).
По условию и„(х) е С(Е) => частичные суммы ряда (1)
51(х), $2(х), ... , s„(x), ... есть функции непрерывные на Е как
суммы конечного числа непрерывных функций. По условию
312
имеем также s„(x)==3 s(x), хеЕ. Но тогда по теореме 1
предыдущего параграфа о непрерывности предельной функции
заключаем, что s(x) е С(Е).
Замечание 1. Равномерная сходимость ряда (1) на £ достаточ-
на для непрерывности на Е суммы ряда s (х), но она не необходи-
ма. Например, у ряда У лхе_/“2 - (л - 1)хе~(л-1)х2 , х е (-<», + <»),
л=11 J
сумма s(x) = 0, хе (-<», + «), а значит, s (х) е С((-°°, ~)), хотя
этот ряд и не является равномерно сходящимся на промежутке
(-оо, + оо) (это будет показано ниже).
Замечание 2. Если члены ряда (1) есть функции непрерывные
на Е, а сумма s (х) этого ряда оказывается функцией разрывной
на Е, то ряд (1) будет неравномерно сходящимся на Е.
Рассуждаем от противного. Допустим, что ряд (1) сходится
равномерно на Е. Но тогда, по теореме 1, сумма s(x) этого ряда
должна быть непрерывной на Е, а это не так.
В нашем примере 2 члены ряда и„(х) = (1 - х)хл есть функции
непрерывные на промежутке (-1,1], а сумма s(x) этого ряда есть
функция разрывная на промежутке (-1,1]. Значит, ряд
ОО
У (1 - х)х" сходится неравномерно на промежутке (-1,1].
л=0
3°. О почленном интегрировании ряда.
Теорема 2. Пусть имеется ряд
JX(x), хе[а, f>], (Т)
Л=1
Пусть «„(х) е С([а, Z>]) (п = 1, 2,... ). Тогда: если ряд (1) сходится
равномерно на промежутке [а, 6], то его можно почленно интег-
рировать, т.е.
Ь f оо \ со Ь
J £«„(*)р*=
д\Л=1 ) Л=1д
Пусть s(x) — сумма ряда (Т), sn(x) — п-я частичная
сумма ряда (Т). Отметим, что s(x) е С([а, />]) как сумма равно-
313
мерно сходящегося ряда непрерывных функций. Значит,
Ь Ь /” оо \
s(x) & /?([д, />]), т.е. js(x)dx существует (т.е. и £«„(х) L& суще-
а а \и=1 )
ствует). По условию, ряд (Т) сходится равномерно на промежут-
ке [а, 6]. Значит, sn(x)===$s(x), хе [а, д]. По теореме о пре-
дельном переходе под знаком интеграла (см. теорему 2
предыдущего параграфа)
ь ь
lim [5„(х)dx = f s(х)dx. (4)
Л->оо J J
а а
b
Заметим, что j sn(x)dx существует, ибо $я(х) е С([а, />]) как сумма
а
конечного числа непрерывных функций. Имеем
ь ь
j 5я(х) dx = |[«!(х) + «2(х) + ... + ип (х)]<& =
а а
b b b п Ъ
= J u^x)dx + J u2(x)dx + ... + / u„(x)dx = uk(x)dx = <j„.
a a a k=la
Здесь an — п-я частичная сумма ряда
£р„(х)<&. (5)
Л=1 д
Соотношение (4) в новых обозначениях имеет вид
ь
lim <j„ = f s(x)dx. (6)
И->оо J
a
b
Было подчеркнуто выше, что J s (x) dx существует. Значит, суще-
a
ствует конечный предел о = lim о„, а это означает, что ряд (5)
Л->ОО
сходится и его сумма равна о. Таким образом, получили:
js(x)dx = o, т.е. /[$>„(*) ДЬс = Х/«„(х)<йс.
д д \Л=1 / И—1 д
314
fl, хе [0,1)
10, x = 1
Замечание 1. Условие равномерной сходимости ряда (Т) явля-
ется достаточным для допустимости почленного интегрирования
функционального ряда, но оно не необходимо.
Пример. Рассмотрим ряд £(1 - х)х", х е [0,1]. Этот ряд схо-
л=0
дится на промежутке [0,1], и его сумма s (х) =
Видим, что члены данного ряда есть функции непрерывные на
промежутке [0,1], а сумма s(x) есть функция разрывная на этом
промежутке. Значит, наш ряд сходится неравномерно на проме-
1 1
жутке [0,1]. Имеем fs(x)dx = |l-dr = l. Имеем, далее,
о о
1 i 1
| и„(х) dx = J (1 - х) х" dx = J (х" - x"+1) dx =
оо о
^л+1 хП+^
п +1 п + 2,
А тогда
ОО 1 ОО 1
^ju„(x)dx= X
л=Оо л=0’
1
п + 2)'
(7)
п + 1
Пусть о„ — л-я частичная сумма ряда (7). Имеем
f, n fl П fl n fl n fl 1
°" ‘зГИ 7,!1 7Г17 '7тт1’
= 1---— => о = lim = lim [1----Ц-1 = 1.
Л + 1 л-»~ л-Л + 1J
Видим, таким образом, что
0 \л=0 J n-QQ
хотя исходный ряд был неравномерно сходящимся.
315
Замечание 2. Если оказывается, что
Ь Z оо Л оо Ь
J Ём*) <***
а \л=1 ) п=1а
то исходный ряд (1) не является равномерно сходящимся на про-
межутке [a, Z>].
Рассуждаем от противного. Допустим, что ряд (Т) сходится
равномерно на промежутке [а, />]. Но тогда должно быть по
теореме 2
Ь( - \ ~ ь
J £«я(*) = 'Ё]ип(х)<Ьс,
а \Л=1 у л=1 д
а это не так.
Пример. Рассмотрим ряд
Ё[их» "*2 -(«- 1)хе (и 1)хЧ хе[0,1]. (8)
Раньше было показано, что сумма s(x) этого ряда равна нулю на
промежутке (-«>, + »). Следовательно, в частности, s(x) = 0,
1 i
х е [0,1]. Значит, Js(x)dx = fO-dx = O. Имеем, далее,
о о
1 1
fu„(x)dx = j
О о
пхе "ж2 - (л - 1)хе 1)х2 dx =
= yfe 1)х2 <4-(л_1)*2]-— м2 d[-nx2] =
2 о 0
-1)Х2 _ g-ПХ2
Х=1
х=0
J/J_____и
2<е"-1 enJ
Таким образом,
оо 1 1 оо / 1 1
= —т- —
л=10 п=\\е е
(9)
Обозначим через оя л-ю частичную сумму ряда (9). Имеем
316
/fixe*) dx *
0\Л=1 7 Л=1 О
=о п
2
Видим, что
Вывод: ряд (8) сходится на промежутке [0,1] неравномерно.
(Значит, он сходится неравномерно на промежутке ( —ОО, + оо) ,)
4°. О почленном дифференцировании функционального ряда.
Теорема 3. Пусть имеется ряд
^ип(х), хе [a, ft]. (1)
Л=1
Цусть этот ряд сходится на промежутке [a, ft]. Пусть члены ряда
(1) имеют в [a, ft] непрерывные производные и'(х). Тогда: если
ряд, составленный из производных,
1и'п(х) (10)
Л=1
сходится равномерно на промежутке (a, ft], то исходный ряд (1)
можно в промежутке [a, ft] дифференцировать почленно, т.е.
f £= 1Х(х)> х е *1 •
\Л=1 ) л=1
Обозначим суммы рядов (Т) и (10) через s(x) и о(х)
соответственно. Отметим, что о(х) е С([а, ft]) как сумма равно-
мерно сходящегося ряда непрерывных функций. Следовательно,
ст(х) е Л([а, ft]) => о(/) е Л([а, х]), где х — любое, удовлетворяю-
щее условию: а < х < ft. Для ряда t е [а, х], выполнены
Л=1
условия теоремы о почленном интегрировании функционального
ряда. Поэтому
317
jf Ё dt = Y J u'„(f) dt=^ M'C*
а\л=1 7 n=la «=1
= X[u„(x)-u„(a)]. (11)
Л=1
Так как ряды ^и„(х) и У ип(а) сходятся и имеют суммы s(x)
И=1 Л=1
оо
и s(a) соответственно, то ряд У [ыи(х)- Ии(°)] сходится и его
Л=1
сумма равна (s(x)-s(a)). Равенство (11) может быть записано,
следовательно, в виде
j c(t) dt = s (х) - s (а) => s(x) = s(a) + ja(t)dt. (12)
a a
Равенство (12) установлено нами для х е (а, />]. Нетрудно видеть,
что оно верно и при х = а. В правой части равенства (12) мы
имеем интеграл с переменным верхним пределом от непрерыв-
ной функции. По теореме Барроу
s(a) + f c(t)dt = о(х) для любого х е [а, 6].
\ а 'X
Но тогда для любого х е [а, />] существует производная по х и от
левой части равенства (12), т.е. s'(x) > причем $'(х) = о(х).
Последнее равенство равносильно равенству
Ё «»(*)] = Ё “«(*> > х е [°. •
\Л=1 )х Л=1
5°. Признаки равномерной сходимости функционального ряда.
1) Критерий Коши.
ОО
Пусть имеется ряд £м„(х), х & Е (1). Пусть s(x) и sn(x) —
п=1
сумма и л-я частичная сумма ряда (1) соответственно. Мы знаем,
что ряд (1) называется равномерно сходящимся на множестве Е,
если (х) ====) 5 (х), х е Е. Но по критерию Коши равномер-
ной сходимости последовательности функций мы имеем: для
того, чтобы последовательность {s„(x)}neN, xg£, имела на Е
предельную функцию s (х) и чтобы эта последовательность схо-
318
лилась к s (х) равномерно на Е, необходимо и достаточно, чтобы
любому е > 0 отвечал номер N, зависящий только от е, такой, что
как только п> N, так сейчас же при любом р е N и сразу для
всех хеЕ было
ри+Р(*) - Мх)| < е .
Так как $я+/х) - 5„(х) = ия+1(х) + «я+2(х) + ... + ыя+р(х), то крите-
рий Коши равномерной сходимости функционального ряда может
быть сформулирован и так:
Теорема 4. Для того чтобы ряд (1) сходился равномерно на
множестве Е, необходимо и достаточно, чтобы любому е > О
отвечал номер N, зависящий только от е, такой, что как только
п> N, так сейчас же при любом р е N и сразу для всех хеЕ
было
|«я+1(*) + «я+2(*) + - + «Я+Р(^)| < е. (13)
Теорема 5. Если ряд (1) сходится равномерно на множестве Е, то
хе£- <14)
Действительно, так как ряд (1) сходится равномерно на Е,
то неравенство (13) при п > N и сразу для всех хеЕ выполняет-
ся при любом р е N , в частности, и при р = 1. Получаем,
следовательно: для любого е > 0 существует номер N, зависящий
только от е, такой, что как только л > N, так сейчас же
|«я+1(х)|<е сразу для всех х из Е. Последнее означает, что
ия(х) >0, хеЕ. 4
П Л-»оо
Соотношение ия(х)_—40, хеЕ, является необходимым ус-
ловием равномерной сходимости ряда (1) на Е.
ОО
Теорема 6. Пусть ряд У и„(х) (1) сходится равномерно на множе-
Л=1
стве Е. Пусть v(x) есть функция, ограниченная на Е. Тогда ряд
Уу(х)мя(х) (15)
Л=1
сходится равномерно на множестве Е.
По условию, функция v(x) — ограниченная на множестве
Е. Значит, существует число М > 0, такое, что
319
|v(x)| < Af, х е Е. (16)
Возьмем е > 0 — любое.
По условию, ряд (1) сходится равномерно на Е. Следователь-
но, взятому е > 0 отвечает номер N, зависящий только от е,
такой, что как только п> N, так сейчас же при любом peN
и сразу для всех хеЕ будет
|«я+1 (х) + «л+2(х) + ••• + «Л+Р(*)| < (17)
Имеем
|v(x) • и„+1(х) + v(x) • w„+2(x) + ... + v(x) • и„+р(х)| =
= Iv(*)| |«„+!(*) + ип+2(х) + ... + «я+,(х)|
=> принимая во внимание (16) и (17), будем иметь при п> N,
при любом р е N и сразу для всех х из Е:
|v(x) • и„+1(х) + v(x) • ил+2(х) + ... + v(x) • ыл+р(х)| < е
=> по критерию Коши заключаем, что ряд (15) сходится равномер-
но на множестве Е.
Теорема 7 (признак Вейерштрасса равномерной и абсолютной
сходимости функционального ряда).
Пусть имеется ряд
£a„(x), хеЕ. (1)
Пусть " 1
,?/” <18>
— числовой, положительный, сходящийся ряд. Тогда, если при
любом л е N и сразу для всех хеЕ оказывается
|«я(*)|^с«, (19)
то ряд (1) сходится абсолютно и равномерно на Е.
По условию, | и„(х)| < сп при любом п е N и при всех х из
Е. Так как ряд (18) сходится, то, по первому признаку сравнения
ОО
числовых положительных рядов, ряд £|мл(х)| сходится при каж-
Л=1
дом х из Е. Значит, ряд (1) сходится абсолютно на множестве Е.
320
Покажем теперь, что ряд (1) сходится равномерно на множе-
стве Е. Для этого возьмем е > 0 — любое. Так как ряд (18) сходит-
ся, то взятому е > 0 отвечает номер N, такой, что как только
п > N, так сейчас же при любом р е N будет |ся+1 + ся+2 +... +
+ ся+р| < е, или, так как ся+1, ся+2,..., ся+/, — положительные,
сл+1 + си+2 + - + сп+р < е. (20)
Заметим, что число N найдено с помощью числового ряда
ОО
У с„ и потому оно не зависит от х, а зависит только от е. Имеем
Л=1
I«„+10) + Ил+2 W + - + ип+р(х)| |«„+1 (*)| + |«„+2(х)| + ••• +1«„+/>О)| *
— G1+1 ^я+2 + ••• + Сп+р ,
для любых ли р е N и для всех х е Е. А тогда, в силу (20), при
п> N, при любом р е N и сразу для всех хе Е |«„+i (х) + мя+2(х) +
+ ... + «я+р(х)| < е => по критерию Коши заключаем, что ряд (1)
сходится равномерно на множестве Е.
Замечание. 1) Не следует думать, что равномерная сходимость
ряда всегда сопровождается его абсолютной сходимостью.
00 1 ”1
Например, ряд У (-1)""1 — сходится в промежутке —, 1
«=1 » L2
равномерно, но неабсолютно.
То, что данный ряд сходится в промежутке
, следует из
теоремы Лейбница о знакочередующемся ряде. Но этот ряд схо-
дится неабсолютно; действительно, ряд из абсолютных величин
v 1
членов данного ряда имеет вид >. —, и при всех х < 1 он, как
я=1«
мы знаем, расходится.
Докажем теперь, что данный ряд сходится в промежутке
2
1 равномерно.
Для этого возьмем е > 0 — любое. Мы знаем, что для суммы
остатка ряда, удовлетворяющего условиям теоремы Лейбница,
справедлива оценка
321
|л,«|<|а„,«|= (_1Г—
1 < 1 1
(и +1)* (и +1)1/2 4п
для всех х е
1
Рассмотрим неравенство -т= < е • Это неравенство выполняет-
ся
ся при всех п (wgN), удовлетворяющих условию n>N, где
N = Е —у (отметим, что N зависит только от е; от х
1е )
зависит). Но тогда и подавно |7?„(х)| < е сразу для всех х е
если только п> N.
N не
Вывод: данный ряд сходится равномерно на промежутке
2) Возможны также случаи, когда функциональный ряд схо-
дится абсолютно, но неравномерно. Например, ряд ^хл(1 - х) в
л=0
промежутке [0; 1] сходится абсолютно, но неравномерно. Было
показано ранее (см. пример 2), что этот ряд на промежутке [0; 1]
сходится и его сумма s (х) =
1, хе[0;1) _
. Так как члены ряда
0, х = 1
неотрицательны на [0; 1], то он и абсолютно сходящийся. Так как
сумма ряда непрерывных функций оказалась разрывной функци-
ей на [0; 1], то ряд сходится неравномерно на [0; 1].
Таким образом, приходим к выводу, что связи между равномер-
ной и абсолютной сходимостью ряда в общем случае нет.
Теорема 8 (признак Дирихле).
Пусть имеется ряд вида
5X(x)v„(x), хе£,
Л=1
(21)
в котором функции и„(х) и vn(x) — такие, что:
1) последовательность {vn(x)}neN, х е Е, при каждом закреп-
ленном х из £ монотонно убывает, и v„(x)=tO, хе£ (=>
v„(x) >0, х е £ и я е N);
322
2) последовательность {j„(x)}neN» х g £ — ограниченная на
множестве Е(здесь s„(x) = и^х) + и2(х) + ... + м„(х) — п-я частич-
ная сумма ряда У ип(х)).
Л=1
Тогда ряд (21) сходится равномерно на множестве Е.
По условию, последовательность {^(х)} N, х g Е — огра-
ниченная на множестве Е. Значит, существует число М > 0,
такое, что | s„(x)| < М при любом п g N и для всех х g Е.
Возьмем е>0 — любое. По условию, ул(х)=|0, хеЕ.
п—>°°
Следовательно, взятому е > 0 отвечает номер N, зависящий толь-
ко от е такой, что как только п> N, так сейчас же | v„(x)|
е
6М
£
сразу для всех х из Е (или v„(x) < -—, ибо v„(x) > 0). Мы
6М
докажем, что ряд (21) сходится равномерно на Е, если покажем,
что взятому е > 0 отвечает номер N, зависящий только от е,
такой, что как только п> N, так сейчас же при любом р g N
п+р
^uk(x)vk(x)
к=п+\
< е сразу для всех х из Е (см. критерий Коши
равномерной сходимости ряда). Имеем
|ия+1(х) + и„+2(х) + ...+
^п+р (х)| =
= |^+р(х) - *«(х)| |^+р(х)| + |М*)| * 2М
при любом р g N и для всех х из Е.
По лемме (глава 5, §10, п. Г), имеем
«„+/(*) • v„+/(x)
^2Лфя+1(х)| + 2|гл+/,(х)|) =
= 2A/(v„+1(x) + 2v„+/,(x))
при любом р g N и для всех х g Е, откуда, если п> N, получаем
Зе
< 2М —— = е при любом р g N и для всех х из Е.
Ьм
к=п+\
323
Следовательно, ряд (21) сходится равномерно на множестве Е(здесь
е > 0 — любое, N зависит только от е, неравенство
п+р
^ик(х) vk(x) < е выполняется при п> N сразу для всех хе Е
к=п+\
и любом р е N).
Теорема 9 (признак Абеля).
Пусть имеется ряд вида £и„(х) • ул(х), хеЕ (21). Рассмот-
п=1
рим последовательность
К<х)}Яе№ хе£ (22)
и ряд
£ «„(*), хеЕ.
п=1
(23)
Тогда: если 1) последовательность (22) — ограниченная на £ и
монотонная при каждом закрепленном х из Е и если 2) ряд (23)
сходится равномерно на множестве Е, то ряд (21) сходится равно-
мерно на множестве Е.
Возьмем е > 0 — любое. Мы докажем, что ряд (21) сходится
равномерно на множестве Е, если покажем, что взятому е > О
отвечает номер N, зависящий только от е, такой, что как только
п> N, так сейчас же
сразу для всех х из Е.
п+р
^ил(х)-гл(х)
к=п+1
< е при любом р е N и
По условию, последовательность (22) — ограниченная на Е.
Значит, существует число М>0, такое, что |v„(x)| <М при
любом л е N и для всех х из Е.
По условию, ряд (23) сходится равномерно на Е. Значит,
взятому е > 0 отвечает номер N, зависящий только от е, такой,
что как только n>N, так сейчас же |ил+1(х) + Un+2<X) + +
+ ил+«(х)| < "777 сразу для всех х е Е и при любом р е N .
1 зм
По лемме (глава 5, §10, п. Г) имеем при п> N
п+р
^uk(x)vk(x)
к=п+1
Р
1>л+((*)-W*)
/=1
"з¥(1Ул+1(х)1 + 21Уя+р(х)1)
£
сразу для всех х е Е и при любом р е N (—гг выступает в роли
числа L > 0 в лемме).
324
Так как | v„+1(x)| < Л/, | v„+p(x)| < М при любых п, р и для всех
х е Е, то получаем
п+р
Yuk(x)vk(x)
к=п+1
< е, если п> N, сразу для
всех х g Е и при любом р е N .
Здесь е > 0 — любое, N зависит только от е, неравенство
п+р
X ик(х) • vk(x) < е выполняется при п> N сразу для всех хе £
к-п+\
и при любом р е N . Значит, ряд (21) сходится равномерно на
множестве Е.
§3. Степенные ряды
1°. Степенным рядом называется ряд вида
£с„(х - а)” = с0 + Ci(x - а) + с2(х - а)2 + ... + с„(х - а)” + ... (10)
л=0
Здесь а и коэффициенты с0, с1г с2, ..., сп, ... есть постоянные,
т.е. не зависящие от х, числа.
Так как ряд (10) заменой х - а = х сводится к ряду
^с„-хП = с0 + ctx + с2х2 + ... + с„хп + ... 5 Q)
л=0
то исследование степенных рядов сводится к изучению рядов вида (1).
Ясно, что всякий степенной ряд вида (1) сходится в точке
х = 0.
Следует отметить, что степенной ряд (1) является частным
случаем общего функционального ряда, когда
ип(.х) = сп х”.
В выяснении вопроса о строении области сходимости степен-
ного ряда важную роль Hipaer следующая теорема.
Теорема 1 (первая теорема Лбеля).
СО
Если степенной ряд ^с„ • хл сходится в точке х0 (х0 * 0), то
л=0
он сходится, и притом абсолютно, в каждой точке х, удовлетворя-
ющей неравенству: |х| < |х0|.
325
По условию, ряд Хс« хо сходится. Но тогда с„ Хд--> О
П = 0
(см. необходимое условие сходимости ряда). А значит, переменная
с„ Хд ограничена (как переменная, имеющая конечный предел).
Следовательно, существует число М > 0, такое, что | с„ Хд | < М,
для любого п g N.
Рассмотрим ряд, составленный из модулей членов ряда (1):
ЁК4
л=0
Так как х0 0, то ряд (2) может быть записан в виде Х| спхо I' ~
я=о' 1 хо
п
X
*0
Так как ряд У М •
л=0
Имеем |с„Хд | •
X
*0
п
, для любого л G N .
X
*0
<М-
п
сходится при каждом х, удовлетвори-
ющем неравенству |х < |х0| (как геометрический ряд), то при
каждом таком х сходится ряд (2). А значит, ряд (1) сходится
абсолютно при каждом х, удовлетворяющем неравенству |х| < |х0| •
Теорема доказана.
Следствие. Если степенной ряд У с„хп расходится в некото-
л=0
рой точке хд, то он расходится и в каждой точке х, удовлетворя-
ющей неравенству: |х| > |х0| •
©О
Рассуждаем от противного. Допустим, что ряд Услх”
л=0
сходится в какой-нибудь точке х, для которой |х| > |х0|. Но тогда
по теореме 1 он должен сходиться в точке х0, а это не так.
Замечание. Геометрически теорема 1 и следствие из нее озна-
чают следующее:
1. Если ряд Услх" сходится в точке х0 (хо*О), то он
л=0
сходится, и притом абсолютно, во всех точках оси Ох, располо-
женных ближе к началу координат, чем точка х0.
326
2. Если ряд '£с„хп расходится в точке х0, то он расходится и
л=0
во всех точках оси Ох, расположенных дальше от начала коорди-
нат, чем точка х0.
Пусть Е = {х} — совокупность всех тех х, для которых ряд
СО
У слхл сходится. Заметим, что Е * 0, так как, например, точка
л=0
х = 0 6 Е. Положим R = sup{|x|}. Ясно, что если х е Е, то |х| < R.
хеЕ
Могут реализоваться следующие случаи:
1) /? = 0; 2) Я = +~; 3)0<Я<+~.
Лемма 1. Если R = 0, то степенной ряд У с„х" расходится для
- л л=0
любого X * 0.
оо
Рассуждаем от противного. Допустим, что ряд У с„х" сходит-
л=0
ся в некоторой точке Xj (xt 0). Но тогда xt е Е и, следовательно,
должно быть |xj | < R, т. е. [xj < 0, а это невозможно, если xt * 0. 4
оо
Лемма 2. Если R = +«>, то степенной ряд У спхп сходится и
л=0
притом абсолютно для любого х е (— оо? 4- оо) ,
Возьмем любое х из (-°°, +°°) и закрепим. Обозначим его
через х. По условию sup{|x|} = +~. Это означает, что множество
{1х1}хе£ — неограниченное сверху. Но тогда на этом множестве
обязательно найдется элемент |х0| (хое£) такой, что будет
|х| < |х0|. Так как х0 е Е, то ряд У с„хп сходится в точке х0. Но
л=0
тогда, по теореме Абеля, он сходится и притом абсолютно в точке
х. У нас точка х — любая из промежутка ( — ОО? 4- оо ). Следова-
тельно, лемма 2 доказана. 4
Лемма 3. Если 0 < R < +«>, то ряд У с„хп сходится и притом
л=0
абсолютно в каждой точке х, для которой |х| < R, и расходится
327
в каждой точке х, для которой |х| > R. (О поведении ряда У спхн
n-Q
в точках х = -R и х = R, не зная коэффициентов ряда, ничего
определенного сказать нельзя.)
► 1) Возьмем любую точку х, для которой |х| < R. У нас
R = sup {| х|}. Поэтому на множестве {I х|} _ обязательно най-
Xtb
дется элемент |х0| (х0 е Е), такой, что будет |х| <|х0|. Так как
х0 е Е, то ряд У спхп сходится в точке х0. Но тогда, по теореме
л=0 ~
Абеля, он сходится и притом абсолютно в точке х. Так как точка
х — любая, удовлетворяющая условию |х| < R, то первое утверж-
дение леммы 3 доказано.
2) Возьмем любую точку xt, для которой |х,| > R. Нужно дока-
зать, что ряд У с„хп расходится в точке х,. Рассуждаем от против-
Л=0 оо
ного. Допустим, что ряд Услх" сходится в точке х,. Но тогда
л=0
х, е Е, и, следовательно, должно быть |х,| < R, а это не так.
Определение. Число R = sup{| х|} называется радиусом сходимо-
хеЕ
оо
сти степенного ряда Услх", а промежуток (-R, R) — интерва-
п=0
лом сходимости этого ряда. Заметим, что для степенного ряда
СО
У с„(х - а)" интервалом сходимости будет промежуток (а - R,
п=0
а + R). Как мы увидим дальше, поведение степенного ряда на
концах интервала сходимости может быть различным.
Замечание. Во многих случаях радиус сходимости R степенно-
СО
го ряда (1) Усях" может быть найден с помощью признаков
л=0
Даламбера и Коши, после чего для получения всей области
сходимости остается только выяснить поведение ряда при х = +R.
Обсудим эти случаи.
Имеют место следующие утверждения.
328
Утверждение 1. Если существует конечный или бесконечный
lim -^s-
п^°° сп+\
ТО
R = lim
сп
п~*°° Сп+Х
Доказательство утверждения 1 получается простым приме-
нением признака Даламбера к ряду У слхя > составленному из
/<х л=0
модулей членов ряда (1).
В самом деле, имеем
lim
Л—>°°
|“я(х)|
|«л+1(х)|
г |С"Х"| 1 г сп
= hm i-1-------4т = т-г • lim —
л->” |сл+1х"+1| И л->“ сл+1
(можно считать здесь х * 0, так как в точке х = 0 всякий степен-
ной ряд вида (1) сходится).
сл
По условию, lim
сл+1
ный). Обозначим этот предел через С.
существует (конечный или бесконеч-
Iй (х)| С
1. Пусть С * 0 и С Будем иметь тогда lim ' ” = т-г.
Л^“|«л+1(Х)| И
Следовательно, если т-г > 1, т.е. если |х| < С, то ряд (1) сходится и
притом абсолютно; если т-г<1, т.е. если |х| > С, то ряд (1)
И
расходится. Значит, радиус сходимости R ряда (1) оказывается
равным С, т.е. R = lim ——
сл+1
2. Пусть С = 0. Тогда lim
л->°°
|«л(х)| 1
|«Л+1(Х)| Н
• lim
сп
сл+1
= 0 (<1) при
любом х^О. Значит, ряд (1) сходится только в точке х = 0.
Следовательно, в этом случае R = 0 (R = lim
СЛ+1
= 0).
329
|“Я(х)| _ 1
k+i(*)| И
3. Пусть С = +°°. Тогда lim
Л—>оо
• lim
Л—>°°
Сц+1
= +03 (>1)
при любом конечном х (х*0). Значит, ряд (1) сходится для
х е (-°0, + оо). Следовательно, в этом случае R = +°°
(R = lim
Л—>°°
Сп
Сл+1
= +°°).
Утверждение 2. Пусть существует конечный или бесконечный
предел С = lim . Тогда:
Л“>оо Vl
1) если С * 0 и С * оо, то R =----т=;
lim^|c„|
2) если С = 0, то R = +°°; л->“
3) если С = оо, то R = 0.
Доказательство утверждения 2 получается простым приме-
нением признака Коши к ряду слх" » составленному из моду-
л=0
лей членов ряда (1).
Действительно, имеем lim ^слх"| = |х| - lim ”/|ёД. По условию,
lim г/|с„| существует (конечный или бесконечный).
Л-»оо
1. Пусть С * 0 и С * оо. Тогда lim у слх" = |х| • С; следова-
Л->«» VI I
тельно, если |х] • С < 1, т.е. если
V’
то ряд (1) сходится
и притом абсолютно; если |х| • С > 1, т.е. если |х| > , то ряд (1)
V-
расходится. Значит, радиус сходимости R ряда (1) оказывается
1 о 1
равным —, т.е. R =-------j=
С lim ЭДс„|
2) Пусть С = 0. Тогда lim «Лс„хп| = |х| • lim = 0 при лю-
бом конечном х (х * 0). Значит, ряд (1) сходится для х е (-оо, + °°).
Следовательно, в этом случае R = +о®.
330
3) Пусть С = +°°. Тогда lim ?/|cnx”| = Ixl • lim г/icd = +°° (>1)
Л_>ОО VI I 11 Л-»оо
при любом х * 0. Значит, рад (1) сходится только в точке х = 0.
Следовательно, в этом случае R = 0.
Замечание. Тот же прием позволяет доказать утверждения,
аналогичные утверждениям 1 и 2, для случая степенных радов,
содержащих только четные или нечетные степени х.
^а„х2п (5)
л=0
И
Ьл1. (6)
Л=1
Утверждение 1. Если существует конечный или бесконечный
lim
ап
^п+1
ап
, то для рада (5) R2 3 = lim
Дл+1
или lim
л-»~ О,
Ь„
’л+1
Утверждение 2. Пусть существует конечный или бесконеч-
рада (6) R2 = lim
*л+1
, а для
1) если С * 0 и С * «>, то для рада (5) R2 =---j= , а для
lim $а„\
П—>°°
рада (6) R2 =----U==;
lim Ж
2) если С = 0, то R = -в» для радов (5) и (6);
3) если С = оо ( то R = 0 для радов (5) и (6).
Замечание. С помощью признаков Даламбера и Коши можно
найти радиус сходимости не для всякого степенного ряда, а лишь
для такого, у которого существуют указанные выше пределы.
Затруднения при применении рассмотренного выше метода
определения радиуса сходимости степенного рада могут возник-
нуть, например, в случае, когда в рассматриваемом раде имеются
коэффициенты со сколь угодно большими номерами, равные
нулю. В этом случае можно попробовать применить рассмотрен-
ный метод, предварительно перенумеровав подряд все члены рада
331
с отличными от нуля коэффициентами (отчего его сходимость и
сумма, в случае, если он сходится, не изменяются).
Поясним сказанное на примере. Пусть требуется определить
радиус сходимости ряда
У сп*п, где
/1=0
сп
1 1 о с
—, если л = 1,3,5,... ,
п
0, если п = 0, 2, 4,... .
Здесь признак Даламбера неприменим для определения ради-
vn
уса сходимости этого ряда, так как отношение —— не имеет
с„+1
смысла для нечетных номеров п. Неприменим здесь и признак
Коши, так как не существует lim ?/|с_1.
Л—>°о v
Однако, если записать данный ряд в виде
оо 2Л+1 3 „5
У--------х +—— + —
£02к + 1 3 5
= ХМ“*‘
£=0
1 V Ък
где Ьк = —----, и убедившись, что существует пт —— =
* 2к +1 *-»<• Ьк^х
,. 2Л + 3 , ~
= пт ——- = 1, мы, в соответствии с утверждением 1,
Л—>*» 2к +1
заключаем, что радиус сходимости R исходного ряда равен 1.
Замечание. Формула для определения радиуса сходимости
произвольного степенного ряда через его коэффициенты в общем
случае (так называемая формула Коши — Адамара) выведена,
например, в книге Л.Д. Кудрявцева “Курс математического ана-
лиза”, том I.
2°. Равномерная сходимость степенного рада.
Теорема 2 (вторая теорема Абеля).
Пусть R > 0 — радиус сходимости степенного ряда ^спхп.
/1=0
Пусть г — любое число, удовлетворяющее условию 0 < г < R.
Тогда ряд (1) сходится равномерно в замкнутом промежутке
[-Л г].
Так как 0 < г < Я, то точка х = г е (-Я, Я). Значит, ряд (1)
сходится, и притом абсолютно, при х = г, т.е. сходится ряд
332
|с0| + |ci| • Г+|с2| • г2 +... + |с„| • гп +... = £|с„| • гп. Имеем |c„x"| < |с„| • г"
л=0
для любого п е N и для всех х е [-г, г]. А тогда по признаку
Вейерштрасса заключаем, что ряд (1) сходится равномерно
в [-r.d- ◄
Дополнение. Из доказанной теоремы следует, что степенной
ряд (1) сходится равномерно во всяком замкнутом промежутке,
целиком лежащем внутри интервала сходимости этого степенного
ряда. Однако гарантировать равномерную сходимость ряда (1)
в интервале сходимости (-R, R) нельзя. Здесь все зависит от
поведения ряда в точках х = +R. Именно:
1) Если ряд (1) сходится хотя бы неабсолютно в точках х = ±R,
то он сходится равномерно в [-7J, 7?] (а следовательно, и в интер-
вале сходимости (-R, R));
2) Если ряд (1) расходится в точке х = R, но сходится хотя бы
неабсолютно в точке х = -R, то он сходится равномерно в проме-
жутке [-7?, г], где г — любое, удовлетворяющее условию 0 < г < R;
3) Если ряд (1) расходится в точке х = -R, но сходится хотя бы
неабсолютно в точке х = R, то он сходится равномерно в проме-
жутке [—г, 7?], где г — любое, удовлетворяющее условию 0 < г < R.
В самом деле, пусть, для определенности, ряд (1) сходится
хотя бы неабсолютно в точке х = R. Покажем, что этот ряд сходится
тогда равномерно в [О, 7f]. Для этого запишем ряд (1) в виде
оо оо ( X Л
л=0 л=0 к
х е [О, R],
(7)
В (7): последовательность v„(x) =
х е [О, Л] — ограничен-
ная и монотонная при каждом закрепленномхиз [0, 7?] ;ряд ^c„R"
п=0
сходится по условию. (Так как этот ряд — числовой, то его можно
считать равномерно сходящимся на промежутке [0,7?].) А тогда по
признаку Абеля равномерной сходимости функциональных рядов
заключаем, что ряд (7), а значит, ряд (1) сходится равномерно на
промежутке [0,7?].
333
Если ряд (1) сходится хотя бы неабсолютно в точке х = -R,
то, сделав замену х = -х, мы получим ряд
Ё(-1)Ч^ = Ё(-1)ЧЛЛ{4Г, (Ъ
л=0 л=0 \
который, по условию, сходится_хотя бы неабсолютно в точке
х = R. По признаку Абеля, ряд (7) будет равномерно сходящим-
ся для х е [0, 7?]. Следовательно, ряд (1) будет равномерно сходя-
щимся для х е [-Л, 0].
3°. Непрерывность суммы степенного рада.
Теорема 3. Пусть R > 0 — радиус сходимости степенного ряда
f с„х" (1). Пусть s(x) — сумма ряда (1). Тогда s(x) е С((-Л, /?)).
л=0
Возьмем любую точку х0 в промежутке (-R, R) и закрепим.
Ясно, что -R < х0 < R. По свойству плотности множества веще-
ственных чисел, обязательно найдется число г > 0, такое, что
х0 е [-г, г] и [-г, г] с (-R, R).
Так как члены ряда (1) — функции, непрерывные в [-г, г], и так
как ряд (1) сходится равномерно в промежутке [-г,г], то
s (х) е С([-г, г]). Значит, в частности, s (х) непрерывна в точке х0.
Таккакточка х0 —любая, принадлежащая (-R, R), то заключаем,
что 5(х) е С((-Л,/?)).
Дополнение. Пусть 0 < R < +«> — радиус сходимости степен-
ного ряда Хс«хл (!)• Пусть s(x) — сумма ряда (1). Тогда:
л=0
1) если ряд (1) сходится хотя бы неабсолютно в точках х = +R,
то 5(х) 6 С([-7?, /?]) (непрерывность в точках х = ±7? односто-
ронняя);
2) если ряд (1) расходится в точке х = R, но сходится хотя бы
неабсолютно в точке х = -R, то s (х) е С([-Я, Л)) [непрерывность
ОО
в точке х = -R правосторонняя, т. е. lim^ s (х) = lim^ У с„хп =
= Е(-1)Ч*Л].
л=0
334
3) если ряд (1) расходится в точке х = -R, но сходится хотя бы
неабсолютно в точке х = R, то s(x) е С((-Л, Л]) (непрерывность
в точке х = R левосторонняя, т.е. lim s(x) = lim ^c„x" = ^cnRn).
х->Л-0 х-»Я-Оп=о n=0
Непрерывность s(x) в точках интервала сходимости (-R,R)
установлена теоремой 3 для всех трех случаев 1), 2) и 3), так что
ниже следует говорить лишь о непрерывности s(x) в точках
х = -R, х = R.
В случае 1) ряд (1) по условию сходится хотя бы неабсолютно
в точках х = -R, х = R. Но тогда ряд (1) сходится равномерно
в [-Я, Я]. Так как члены ряда (1) непрерывны в промежутке
[-7?, Я], то s(x) е С([-Я, Л]). Разумеется, конечно, непрерыв-
ность s(x) в точке х = -R — справа, а в точке х = R — слева.
В случае 2) ряд (1) будет равномерно сходящимся в промежут-
ке [-Я, г], где 0 < г < R. Так как члены ряда (1) непрерывны в
промежутке [-Я,г], то s(x)еС([-Я,г]). В частности, s(x) не-
прерывна справа в точке х = -R.
В случае 3) ряд (1) будет сходиться равномерно в промежутке
[-г, Я], где 0<r<R. Так как члены ряда (1) непрерывны
в промежутке [-г, Я], то s(x) е С([-г, Л]). В частности, s(x)
непрерывна слева в точке х = R.
4°. Почленное интегрирование степенного рада.
Теорема 4. Пусть R > 0 — радиус сходимости степенного ряда
ОО
^с„хп (1). Пусть замкнутый промежуток [а, 6] — любой, но
л=0
такой, что [a, Z>] с (-R, R). Тогда
J £с„хл dx=Y]c„xndx.
л=0й
(8)
<Дл=о
Ряд (1) сходится равномерно в [а, Ь], так как [а, 6] с (-R, R).
Члены ряда (1) — функции, непрерывные в [а, д]. А тогда по
теореме о почленном интегрировании функционального ряда
Ь Л оо \ со Ь
(общего вида) заключаем, что J = СдХ" • ч
а \л=0 ) п=0а
335
Дополнение. Пусть 0 < R < -к» — радиус сходимости степен-
ного ряда (1). Тогда:
1) если ряд (1) сходится хотя бы неабсолютно в точке х = -R,
то в качестве а — нижнего предела интеграла в формуле (8) может
выступать число -R;
2) если ряд (1) сходится хотя бы неабсолютно в точке х = R,
то в качестве Ь — верхнего предела интеграла в формуле (8) может
выступать число R.
5°. Почленное дифференцирование степенных радов.
ОО
Лемма 1. Пусть 0 < q < 1. Тогда ряд У nqn сходится.
Л=1
Ь Имеем =----------——-т- = —• —----------> — (> 1). Значит,
г ал+1 (/1 + 1)0л+| л + 1 q q
ОО
ряд ^nq" сходится.
Л=1
Лемма 2. Пусть имеются степенные ряды
^спхп = с0+схх + с2х2 + ... + с„хп + ... } (1)
и=0
У пспхп = qx + 2с2х2 + ... + пспхп + ... (9)
л=1
Пусть 2?! и R2 — радиусы сходимости рядов (1) и (9) соответ-
ственно. Тогда Rx = R2.
1. Установим сначала, что R2 < Rx.
Для этого возьмем хх — любое, но такое, что 0 < хх < R2.
Ясно, что q е (-Т?2> Кг) Значит, ряд (9) сходится, и притом
абсолютно, в точке Xi, т.е. сходится ряд
£л|с„Х1Л|. (10)
л=1
Так как для любого л е N ^„х"! < л |c„x"|, то заключаем по пер-
вому признаку сравнения для положительных рядов, что в точке х j
сходится ряд, составленный из модулей членов ряда (1). Значит,
ряд (1) в точке Xi сходится, и притом абсолютно. Мы знаем, что
ряд (1) в точках, лежащих вне замкнутого промежутка [-Яь ,
336
расходится. Значит, точка Xj не может лежать вне [-7?], AJ . Зна-
чит, X] е . Но тогда
0<х1<Л1. (11)
У нас х, — любое, удовлетворяющее условию 0 < X] < Л2. Ста-
нем изменять X!, приближая его неограниченно к R2. Из нера-
венства (11) получим при этом в пределе
Т?2 — •
2. Установим теперь, что Л, < Л2.
Для этого возьмем Xj — любое, но такое, что 0 < Xj < Rx.
Затем возьмем х2 — любое, но такое, что xi < х2 < R\. Ясно, что
х2 е (-Л], /?1). Значит, ряд (1) сходится, и притом абсолютно, в
точке х2, т.е. сходится ряд У с„х2 • Но тогда |c„x21-> 0 (см.
л=0 1 1 1 «-»“
необходимое условие сходимости ряда). Так как переменная,
имеющая конечный предел, — ограниченная, то заключаем: су-
ществует число М > 0, такое, что |с„х21 М, для любого и е N.
Рассмотрим в точке х{ ряд, составленный из модулей членов ряда
(9), а именно ряд
Е«|с„хГ|. (12)
Имеем п = «|с„х^| - <Мп- 1 1 1 1 1 Х2 Х2 У нас 0 < Xj < х2. Значит, 0 < * ( X \ По лемме 1, ряд У п • — Ы ( \п ±м.п i . Л-1 п (х У -Мп- — , для любого п 6 N. ы ±*<1. х2 п сходится, а значит, сходится ряд
337
Так как для любого п е N: л зд
(х V
<Мп — ,
1*2 J
то заключа-
ем, по первому признаку сравнения для положительных рядов,
что в точке хх сходится ряд (12), а значит, ряд (9) в точке X]
сходится, и притом абсолютно.
Мы знаем, что ряд (9) в точках, лежащих вне промежутка
[-Л2,Т?2], расходится. Значит, точка х, не может лежать вне
[-Я2, Л2], а это означает, что хх е [-/?2, Л2]. Но тогда
О < Xj < R2.
(13)
У нас Xi — любое, удовлетворяющее условию 0 < х{ < Rt.
Станем изменять X], устремляя его к .
При этом в пределе из неравенства (13) получим
R\ — R2.
Итак, получено: с одной стороны, должно быть R2 < R},
а с другой стороны — должно быть R{ < R2. Оба этих соотноше-
ния выполняются одновременно лишь тогда, когда R\ = R2. Лем-
ма 2 доказана.
Следствие. От почленного дифференцирования степенного
ряда радиус сходимости его не изменяется.
В самом деле, ряд, полученный в результате почленного
дифференцирования ряда (1), лишь множителем х отличается от
ряда (9), а следовательно, имеет тот же радиус сходимости R2
(=*1). «
Заметим, что сохраняется лишь радиус сходимости, но об-
ласть сходимости может изменяться. Например, ряд
2 3 4
X X X
-------|
2-----3 4
.. сходится при х е (-1; 1], а “продифферен-
цированный” ряд имеет вид 1- х + х2 - х3 + ... . Это — геомет-
рический ряд со знаменателем q = -х, а потому он сходится лишь
при х е (-1; 1).
Теорема 5. Пусть R > 0 — радиус сходимости степенного ряда
Sv".
л=0
(1)
Пусть 5(х) — сумма ряда (1). Тогда в каждой точке х е (-/?, R)
существует s'(x), причем
338
s'(x) = YncnXn 1. (14)
W=1
Возьмем любую точку x0 e (-R, R) и закрепим ее. Обяза-
тельно существует замкнутый промежуток [-г, г] такой, что
[-г, г] с (-R, R), и точка х0 е [-г, г]. Заметим, что в промежутке
[-г, г] исходный ряд (1) сходится, и члены его имеют непрерыв-
ные производные. Так как R является радиусом сходимости и для
ряда (14) и так как [-г, г] с (-R, R), то ряд (14) сходится равно-
мерно в [-г, г].
Видим, что выполнены все условия теоремы о почленном
дифференцировании функционального ряда общего вида. По
этой теореме заключаем, что в каждой точке х е [-г, г] существу-
ет s'(x), причем s'(x) = В частности, существует
И=1
S'(xo), причем $'(х0) = £/ic„Xq-1 . У нас точка х0 — любая,
Л=1
принадлежащая (-R, R). Значит, в каждой точке х е (-Л, R)
s'(x) существует, причем s'(x) = ^пспхп~х , х е (-R, R).
Л=1
Следствие. Пусть R > 0 — радиус сходимости степенного ряда
iv". (1)
л=0
Пусть s(x) — сумма ряда (1). Тогда в каждой точке х е (-R, R)
существуют s'(x), s"(x), ..., s(k\x), ... :
s'(x) = £ nc„x "'1; s"(x) = £ n (n -1) c„x n~2; ... ;
л=1 л=2
(15)
s<<:)(x) = £л(л - 1)...[и - (Л - l)]c„x" *; ... ,
п=к
причем ряды, стоящие в правых частях соотношений (15), имеют
один и тот же радиус сходимости R
Иначе говоря, степенной ряд можно дифференцировать по-
членно в интервале сходимости любое число раз.
Только что доказанная теорема и следствие из нее позволяют
решить важный для дальнейшего вопрос о том, как связаны
339
коэффициенты степенного ряда с его суммой. Нам будет удобнее
рассматривать здесь степенной ряд общего вида ^с„(х-а)п
п=0
и обозначать его сумму через /(х).
Теорема 6. Пусть функция /(х) в некотором промежутке
ОО
(а - р, а + р) является суммой степенного ряда У сп(х - а)п , т.е.
и=0
/(х) = с0+с1(х-а) + с2(х-а)2+ ... + сл(х-а)л+ ... , (16)
х е (а - р, а + р) .Тогда коэффициенты этого ряда выражаются через
/(х) и число а следующим образом:
г_/(л)(«) И_П17
См * Л Vj 1 J Ма • • •
п\
Здесь ради общности записи считается условно, что /(0)(а) = /(а)',
0! = 1.
По условию, равенство (16) имеет место при любом х из
промежутка (а - р, а + р). Положив в этом равенстве х = а , полу-
чим с0 = f(a).
Знаем, что для любого х из (а - р, а + р)
f'(x) = q + 2с2 • (х - а) + Зс3 • (х - а)2 + ... + псп • (х - а)"-1 + ... .
Полагаем в этом равенстве х = а, получаем с{ = f\a).
Имеем далее, для любого х е (а - р, а + р)
/"(х) = 2 • 1 • с2 + 3 • 2 с3 • (х - а) + ... + п(п - 1)ся • (х-а)п~2 + ... ,
откуда при х = а находим f"(a) = 2! - с2 => с2 = ’
Продолжая так далее, получим требуемое.
Замечание. Если функция /(х) в некотором промежутке
ОО
(д-р, а + р) является суммой степенного ряда ^сп(х-а)п г то
л=0
этот ряд может быть записан в виде
(17)
л=0 •
340
- /<Л)(д)
Заметим здесь же, что ряд вида У -—(х - а)" может быть
л=о «!
построен формально для каждой функции /(х), имеющей в
точке а производные любого порядка. Этот ряд называют рядом
Тейлора функции /(х) (причем он называется так независимо от
того, сходится он или нет, и независимо от того, равна его сумма
/(х) или нет).
При а = 0 будем иметь ряд У----который называют
л=0 П •
также рядом Маклорена функции f (х). Непосредственным след-
ствием из теоремы 6 является следующая, важная для дальнейше-
го теорема:
Теорема 7 (теорема о тождественном равенстве двух степен-
ных рядов).
Пусть имеются два степенных ряда ^а„(х - а)п
л=0
оо
и У Ь„(х - а)”. Если окажется, что эти ряды в некотором проме-
л=0
жутке (д-р, д + р) имеют одну и ту же сумму /(х), то они
тождественны, т. е.
«о = а1 - а2 = ... ; а„ = Ьп\
По теореме 6 имеем:
- ‘>.-‘..-0.1.2... <
6’. Разложение функций в степенные ряды.
Задача разложения функций в степенные ряды состоит в том,
чтобы по заданной функции /(х) найти сходящийся степенной
ряд, сумма $(х) которого в области сходимости ряда равнялась
бы /(х).
Полезность представления /(х) в виде суммы степенного
ряда очевидна.
Дело в том, что члены степенного ряда, представляющие собою
произведения постоянных коэффициентов на степенные функции
х" [или (х - а)п ], п е N, могут быть сравнительно легко вычисле-
ны при конкретных значениях х, что позволяет вычислять при этих
х значения функции /(х). Кроме того, представление функции
341
f (x) в виде суммы степенного ряда позволяет находить значения
производных и интегралов от функции /(х) (и здесь это связано
с тем, что легко могут быть найдены как производные, так
и интегралы от членов степенного ряда).
Следует отметить еще, что при помощи разложений функций
в степенные ряды можно интегрировать разнообразные диффе-
ренциальные уравнения. Это будет показано позже.
Итак, нам предстоит решать следующую задачу.
Задана функция f (х). Требуется найти такие значения коэф-
СО
фициентов степенного ряда J}c„(x - а)п (где а — известное чис-
л=0
ло), чтобы в некотором промежутке (а - р, а + р) имело место
равенство /(х) = ^са(х - а)" .
л=0
Из теорем 5 и 6 следует, что функция /(х) необходимо должна
иметь в промежутке (а - р, а + р) производные любого порядка и
СО
что ряд £с„(х-а)" должен быть для функции /(х) ее рядом
л=0
Тейлора, т.е. иметь вид У----г-(х - а)п. Отсюда, между про-
л=0 •
чим, ясна единственность разложения /(х) в ряд вида
5}сл(х-д)" при данном числе а. Но, конечно, нет оснований
л=0
ожидать, что всегда сумма s(x) ряда —^~(х - а)п, СОСТаВ-
л^О •
ленного для заданной функции f (х), имеющей производные
любого порядка, будет равна как раз функции f (х). Чтобы такое
равенство имело место, функция /(х) должна удовлетворять еще
некоторому дополнительному условию. Это условие мы получим
из так называемой формулы Тейлора. Напомним ее.
Теорема. Пусть функция /(х) в некотором промежутке
(а - р, а + р) имеет непрерывные последовательные производные
до порядка (и + 1) включительно. Тогда для каждого значения
х е (а - р, а + р) выполняется равенство
/(х) = /(а) + ^^(х-а) +Д^(х-а)2 + ...+
342
+ /^)(х_аг + ли(х)>
п\
у(л+1)/к\
где Rn(x) = —--(х - а) , Е, — некоторое число между а и х.
(л +1)!
Это — формула Тейлора с остаточным членом в форме Лаг-
ранжа. Ее частный случай, получающийся при а = 0, часто назы-
вают формулой Маклорена.
Предположим теперь, что функция f (х) в некотором проме-
жутке (а - р, а + р) имеет производные любого порядка. Тогда для
любого х е (а - р, а + р) и при любом п е N
/(х) = X .\аЧх - а^к + Лл<х) • (18)
к=о К-
В формуле Тейлора станем неограниченно увеличивать число п.
Ясно, что если при этом окажется, что Л„(х) —> 0 для
х е (а - р, а + р), то функция f (х) в промежутке (а - р, а + р)
будет представлена в виде суммы степенного ряда:
/(х) = Л°>(х ~а)к> х е (а - р, а + р).
*=о К-
Рассмотрим теперь разложение в степенной ряд некоторых
элементарных функций. Предварительно докажем следующую,
весьма полезную для дальнейшего, теорему.
Теорема 8. Пусть функция /(х) определена в замкнутом
промежутке [Л, В] и имеет там производные любого порядка.
Пусть существует число М > 0, такое, что
|/(л)(*)| М для любого п 6 N и для любого х G [А, Б].
Тогда при любых х и а из [А, 5] справедливо равенство
/(Х)= jZ^Cx-a)". (19)
Возьмем любые х и а из [А, В] и напишем формулу Тейлора
с остаточным членом в форме Лагранжа:
/(х) = f(a) + —^(х - а) + ~ + - +
343
/!^(х.аГ + »(х-аГ-
п! (л +1)!
Здесь £ есть точка, лежащая между точкой а и точкой х; значит,
В].
По условию, |/(л) (х)| < М для любого п G N и для любого
х 6 [А, Б]. Следовательно, |/(л+1)(£)| < Л/. Но тогда
|Л.(х,о)| = /<’•'>©
I I Л+1
< М'---------!—
(л + 1)!
Так как ———------------> 0 при любых х и а из [А, Б], то получаем
(л + 1)! »-»~
R„(x,a)------> 0 при любых х и а из [А, 5]. Таким образом, спра-
п—>°°
ведливость равенства (19) при любых хи а из [Л,.Л] установлена.
Пример 1. Разложение в ряд Маклорена функций sinx , cosx.
Пусть /(х) = sin х. Имеем /(л)(х) = sin^x + л • =>
|/(л) (х)| < 1, для любого л е N и для любого х. Пусть х и а —
любые, заданные заранее. Всегда можно указать промежуток
[А, Б], такой, что будет х е [А, Б], а е [А, Л]. Видим, что выпол-
нены все условия теоремы 8. Следовательно, для любых конечных
хи а справедливо разложение
• ( л А
sin а + л—
sin х = £ —-— ------ (х - а)” .
л=о «!
В частном случае, когда а = 0, будем иметь
л
«. Sin Л— 3 „5 „2п+1
sinx = у------2-хл = х- —+ —- ••• + (-!)" ----7Г7 + ••• =
«=о «! 3! 5! (2л+ 1)! (20)
«к» „2л+1
л=0 (2« + 1)'
344
Разложение в ряд Маклорена для функции /(x) = cosx можно
получить совершенно такими же рассуждениями, как и в случае
функции sinx. Однако еще проще применить теорему о почленном
дифференцировании степенного ряда. Будем иметь сразу из (20):
У2 у4
cosx= 1 - .+(-1)"
(2л)!
(21)
S( °" (2л)!’
л=0
хе (-<»,+«>). <
Пример 2. Разложение функции ех.
Пусть f(x) = ex. Имеем /(п)(х) = ех для любого neN.
Пусть х и а — любые, заданные заранее. Всегда можно указать
промежуток [Л, Б], такой, что будет: х е [А, Б], а е [А, 5]. Ясно,
что для любого п е N и для любого х е [Л, В]: |/(я)(х)| = ех < ев
(ев — определенное число, оно выполняет роль числа М
в теореме 8). Видим, что выполнены все условия теоремы 8.
Значит, для любых конечных х и а справедливо разложение
оо а
ех = £ — (х-а)".
п=о”'-
В частном случае, когда а = 0, будем иметь для любого конечного х.
e’-S-^-1 + * + -27 + V+ -' + 7i + -’ + <<22>
Пример 3. Разложение в ряд Маклорена гиперболических
функций shx, chx.
Разложение в ряд Маклорена гиперболических функций
sh х, ch х проще всего получить, если воспользоваться разложе-
нием (22) функции ех.
В самом деле, заменив в равенстве
у2 у3
е* =1 + х + ^ + ^- + ... + -^- + ..., хб(-«, + оо),
аргумент х на -х , получим
v2 3 Yn
= l-x + —- — хб(-~, + оо).
345
— е л в + с
Так как shx =---------, chx =--------, то путем почленного
вычитания и сложения написанных выше рядов найдем:
у. 3 у. 5 у.2л+1 оо у.2л+1
shl = x + _ + _ + ... + __ + ...= 2;__, +
(23)
у2 у4 у2л оо 2п
chx = 1+ — + — хе(-оо, + оо)
2! 4! (2п)! „=0(2и)!
(24)
Пример 4. Разложение функции In (1 + х).
Разложение функции /(х) = In (1 + х) в ряд Маклорена мож-
но получить, написав для этой функции формулу Маклорена и
исследовав остаточный член этой формулы. Но можно получить
разложение для In (1 + х) без применения формулы Маклорена.
Действительно, положим /(/) = 1п(1+ /). При |/| < 1 будем
иметь
= + + (25)
(у^у рассматриваем как сумму геометрического ряда; здесь q = -t).
Возьмем теперь любое х из промежутка (-1,1) и проинтегри-
руем почленно ряд (25) по промежутку [0;х] (мы знаем, что
степенной ряд можно интегрировать почленно по любому проме-
жутку, содержащемуся целиком в интервале сходимости ряда).
Получим
у. 2 у. 3 у. 4 оо у. л
ln(l + x) = x-i- + ^--±- + ...= X(-ir1 —• (26)
2 3 4 „=1 п
Разложение (26) установлено нами пока лишь для х е (-1,1).
Выясним, справедливо ли оно при х = ±1 ?
оо j
В точке х = -1 ряд (26) будет таким: - X-• Он расходится
(гармонический ряд). "=1
В точке х = 1 ряд (26) будет таким: У (-1)"-1 —. Он сходится
Л=1
по признаку Лейбница. Обозначим сумму ряда (26) через s (х),
346
х е (-1,1]. По теореме о непрерывности суммы степенного ряда
заключаем, что s(x) е С((-1,1]) (в точке х = 1 5(х) непрерывна
слева). Поэтому
5(1) = lim s(х) = lim In(1 + х) = In2.
х->1-0 х->1-0
Значит, разложение (26) справедливо и при х = 1. Таким образом,
окончательно
оо п
ln(l + x)= У(-1)л-1— f хе (-1,1]. 4
л=1 п
Пример 5. Разложение функции arctgx.
Тем же способом, каким был получен ряд для функции
In (1 + х), можно получить и разложение функции /(х) = arctgx.
В самом деле, положим /(0 = arctg t. При |/| < 1 будем иметь
/'(0 = —Ц- = 1-'2+'4-'6 + ... (27)
1 + /
(^ + 2 рассматриваем как сумму геометрического ряда; здесь q = -t2).
Теперь возьмем любое х из промежутка (-1,1) и проинтегри-
руем почленно ряд (27) по промежутку [0, х]. Получим
3 5 7
. х х х z 1VJ
arctgx = х - у + ----------— + ... + (-1)"
2л+ 1
оо у2л+1
л=0 2л + 1
(28)
Разложение (28) установлено нами пока лишь для х е (-1,1).
Выясним, справедливо ли оно при х = ±1 ?
“ 1
В точке х =-1 ряд (28) будет таким: -^(-1)"------[ •
сходится (по признаку Лейбница). л=0
~ 1
В точке х = 1 ряд (28) будет таким: У (-1)" ---. Он сходит-
/ _ w v и=о 2л +1
ся (по признаку Лейбница).
Обозначим сумму ряда (28) через s (х), хе [-1,1]. Так как ряд
(28) сходится при х = ±1, то s(x) е С([-1,1]) (з(х) непрерывна
справа в точке х = -1 и непрерывна слева в точке х = 1). Поэтому
71
5(-1) = lim s(x) = lim arctgx = -— >
x-*-l+0 x-*-l+0 4
347
s(1) = lim s(x) = lim arctgx = v.
x->l-0 x-*l-0 4
Значит, разложение (28) имеет место и при х = ±1. Таким образом,
окончательно
о© „2л+1
arctg х = £ (-1)" ---, х е [-1,1]. (29)
л=0 2Л + 1
Замечание. В разложении (29) мы сталкиваемся со странным,
на первый взгляд, явлением: ряд, стоящий в правой части равен-
ства, сходится только для х е [-1,1], а левая часть равенства,
функция arctgx, имеет смысл при любом х. Объяснение этого
факта мы узнаем позже при изучении функций комплексного
аргумента.
Пример 6. Биномиальный ряд (разложение в ряд Маклорена
функции (1 + х)т).
Заметим сразу, что степенную функцию приходится брать
в виде (1 + х)т, так как функция хт не удовлетворяет, за исклю-
чением случая, когда т — целое положительное, необходимому
условию наличия производных любого порядка; действительно,
при х = 0 или сама эта функция, или ее производные, начиная
с некоторого порядка, обращаются в бесконечность.
Составим для функции f (х) = (1 + х)т (т — любое, веще-
ственное, не равное нулю) ряд Маклорена. Для этого находим:
f'(x) = т (1 + x)m-1; /"(х) = rn (т -1) • (1 + х)т”2; ... ;
/(л)(х) = т(/и-1)...[т-(и-1)]-(1 + х)'л-л; ... ,
откуда
/(0) = 1; /'(0) = /я; /"(0) = m(m-l); ... ;
/(л)(0) = т(т - 1)(/п - 2)...[т -(п-1)];
Ряд Маклорена для функции /(х) = (1 + х)т будет, следователь-
но, таким:
, т (т - 1) 2 /я (/и -1) (/и - 2) 3
1 + тх + ——-х + —----------ур-----хл + ... +
+ m(m-l)(m-2)...[m-(w-l)] х» + (30)
п\
348
Заметим, что при целом положительном т ряд (30) обрывается на
(т + 1) -м члене, превращаясь в известный из элементарной мате-
матики “бином Ньютона”. Если же число т — нецелое, или
целое, но отрицательное, то ни один из коэффициентов ряда (30)
в нуль не обратится, и нам придется иметь дело с бесконечным
рядом. Этот ряд называется биномиальным, а его коэффициен-
ты — биномиальными коэффициентами. По внешнему виду они
напоминают обычные биномиальные коэффициенты, рассматри-
ваемые в элементарной математике.
Найдем радиус сходимости ряда (30). Для этого составляем
ряд из модулей членов ряда (30) и применяем к полученному ряду
признак Даламбера:
|«„(х)| \т(т - 1)(/л - 2)...[т- (п -1)]| • (п + 1)!|х|"
я->“ |ил+1(х)| л->“|/и(/и- 1)(/и- 2)...[?и- (л - 1)](/п- л)| • л!-|х|я
=> ряд (30) сходится, и притом абсолютно, если |х| < 1, и расхо-
дится, если |х| > 1. Значит, радиус сходимости ряда (30) равен 1
(R = 1). Сумму ряда (30) обозначим через s(x), хе (-1,1). Нам
нужно теперь проверить, что ряд (30) сходится к /(х), т.е. что
$(х) = /(х), хе (-1,1).
Мы знаем, что в интервале сходимости степенной ряд можно
дифференцировать почленно. Следовательно, для любого
х е (-1,1) будем иметь
.. . m(m-l) m(m-V)(m-2) 2
s (х) = т + —Ь——-х + —i--г?--Lx + ••• +
1 2
т(т - 1)(л« - 2)...[т -(п- 1)]
0^1)!
(/л-1) (т-1)(Л1-2) 2
т 1 + ------х + ------х------х + ... +
1 2
(/п-1)(/л-2)...[7л-(л-1)] x„_i +
349
Умножим обе части равенства (31) на (1 + х) и приведем подоб-
ные члены. Эта операция законна, так как для х е (-1,1) ряд (31)
сходится абсолютно.
Получим
. (т-1 Л ((т-1)(т-2) /и-П 2
(1 + х) s (х) = т 1 + —— +1 • х + 2-тг------ + —• х +
I I1 J I 2* 1 7
(/и-!)(/»- 2).., [/и-(и-1)] (т - 1)(т - 2).. .[/и - (л - 2)]А
(л-1)! (л-2)! J’
-1) 2 л1(л1-1)(/л-2)...[л1-(л-1)]
2! л!
(32)
s(x)
f(x)
, хе (-1,1),
Таким образом, для любого х е (-1,1) имеем
(1 + x)s'(x) = 5(х) • т.
Рассмотрим теперь отношение
s(x)
(1 + х)т
и найдем производную этого отношения
d ( л(хЙ _ s'(x) (1 + x)m - s (х) • w (1 + х)”1-1
<frl/(x)J (l + x)2m
_ (1 + x) s'(x) - s(x) - m
(l + x)m+1
В силу (32) числитель последней дроби равен нулю для любого
х е (-1,1), так что —f I = * * * * * * * * * х е (“1,0- Но тогда
dx\f(x)J
= С (const), х е (-1,1), откуда
J (Л/
350
s(x) = Cf(x), хе (-1,1). (33)
Из выражения (30) для s(x) замечаем, что j(0) = 1. Это условие
используем для определения постоянной С.
Для этого положим в обеих частях равенства (33) х = 0.
Получим
5(0) = С/(0) <=> 1 = С1 <=> С = 1.
Таким образом, окончательно получаем s(x) = f(x), х е (-1,1), т.е.
(1 + х)т = 1 + — х + ——-х + —--зу--хJ +... +
। ffl(w-l)(m-2)...[m-(w-l)]^ t , xg(-1 1)
п\
Разложение (34) установлено нами для х е (-1,1). Что касает-
ся концов промежутка: х = ±1, то мы приведем результаты без
доказательства.
Эти результаты таковы:
1) если т > 0, то разложение (34) справедливо для х е [-1,1];
2) если -1 < т < 0, то разложение (34) справедливо для
хе (-1,1];
3) если т < -1, то разложение (34) справедливо для х е (-1,1).
Замечание 1. Биномиальный ряд является основой разложе-
ний многих функций в ряды.
Найдем, например, разложение в ряд Маклорена функции
/(х) = arcsin х. !
Положим /(0 = arcsin t. Тогда f'(t) = . * = (1 -t2) *.
1
Рассмотрим биномиальный ряд при т = - — и независимой пере-
менной (~t2). Получим
t2 е[0,1) «=> fe(-l, 1).
Возьмем любое х е (-1,1) и проинтегрируем почленно полу-
ченный ряд по промежутку [0, х]. Будем иметь
351
1 х3 1-3 х5 1-3-5 х
2 3 2!22 5 3! 23 7
1 • 3 - 5-...-(2л - 1) х2л+1
л!2л 2л+ 1
X G (-1, 1),
откуда
arcsin x = x +
у (2л-1)!! х2л+!
„41 (2л)!! 2л+ 1
(35)
Разложение (35) установлено нами пока лишь для х е (-1,1).
Выясним, справедливо ли оно при х = ±1 ?
В точке х = 1 ряд (35) будет таким:
у(2л-1)!! 1
„м (2л)!! 2л + Г
Имеем
а„ _ (2л-1)!!-(2л + 2)!!-(2л + 3) _ (2л + 2)(2л + 3)
an+i (2л)!!-(2л +1)-(2л +1)!! " (2л+ 1)2 л-»> '
Составляем переменную Раабе
Р „( а" il „ f (2л + 2) (2л + 3) - (2л +1)2'j
l«n+i J I (2л+ 1)2 J
6л + 5
Л -------А*
(2л +1)2
Л->оо
з
4 <>1>-
Значит, ряд (35) в точке х = 1 сходится. В точке х = -1 будем иметь
, ^,(2л-1)!! 1
-1 - >. .. »---г. Этот ряд лишь знаком отличается от ряда
"j (2л)!! 2л + 1
(35) в точке х = 1. Значит, он тоже сходится. Обозначим сумму
ряда (35) через з(х), хе [-1,1]. По изложенному в п. 3°, заключа-
ем, что s(x) е С([-1,1]), причем s(x) непрерывна справа в точке
х = -1 и непрерывна слева в точке х = 1. Имеем
352
тс
s (-1) = lim s (x) = lim arcsin x = - —,
x-»-1+0 x-»-l+O 2
Tl
j(l)= lim s(x) = lim arcsinx = —.
x-»l-0 x-H-0 2
Значит, разложение (35) справедливо в промежутке [-1,1].
Замечание 2. Следует иметь в виду, что разложение функций в
степенной ряд при помощи использования уже известных разло-
жений часто осуществляется проще, чем с помощью формулы
Маклорена. Мы видели это на примерах разложений в ряд функ-
ций: cosx, shx, chx, ln(l + x), arctgx, arcsinx.
Приведем еще один пример.
Пример. Разложение показательной функции f(x) = ax в ряд
Маклорена.
Имеем ах =ех{па Положим t = xlna . Известно, что для
любого t 6 (-оо, + «)
t , . t2 t"
ef = l + t + — +... + — +
2! «!
оо jfl
n=0n-
Заменив в этом равенстве t на х In а , будем иметь сразу для любого
х е (—°°, + оо):
х . In a (In а)2 2 (In а)п „ (In а)" „
а =1 + —-х+ ' х +... + -—т—х + ...= У,-—г-х". 4
1! 2! п\ "л л!
Дополнение к теории радов
1°. Вычисление сумм числовых радов с заданной точностью.
В главе “Числовые ряды с вещественными членами” мы мно-
го занимались исследованием сходимости числовых рядов. Одна-
ко наряду с вопросами сходимости при оперировании с рядами
возникает другая важная и более трудная проблема — задача
суммирования рядов.
Мы видели на примерах геометрического ряда и ряда
Л = 1
1
п (п + 1)
, что иногда можно найти сумму ряда по определению,
т.е. вычисляя lim sn. В большинстве же случаев этот естествен-
и—
353
ный путь суммирования ряда наталкивается на непреодолимые
трудности. Поэтому часто ставится вопрос об отыскании прибли-
женного значения суммы данного числового ряда с наперед за-
данной степенью точности.
Принципиальное значение этого вопроса очевидно. Пусть
ОО
имеется сходящийся числовой ряд (так как ряд сходится, то
Л = 1
он имеет сумму 5). По определению, s = lim s„ (s„ — п-я частич-
W->oo
ная сумма ряда). Поэтому, если требуется найти приближенное
значение суммы ряда s с ошибкой, не превосходящей по абсолют-
ной величине положительного числа е, мы выбираем число
N = ?/(е) таким, чтобы было
|s - 5Я| < е, для любого п е N,
и принимаем за искомое приближенное значение суммы ряда s
частичную сумму sn (п> N).
Таким образом, по заданной абсолютной погрешности е мы
находим такой член ряда а„, чтобы сумма остатка ряда R„,
начинающегося со следующего члена, по абсолютной величине
не превосходила число е, т.е. |/?„| < е. Тогда оставшаяся частич-
ная сумма sn и будет ответом.
Однако следует иметь в виду, что, вычисляя значение частич-
ной суммы s„ нашего ряда, приходится переводить члены этой
частичной суммы в десятичные дроби, производя при этом округ-
ления, т.е. внося новые погрешности, вызванные техникой вы-
числения. Эти погрешности необходимо учитывать так, чтобы в
сумме с оценкой отброшенного остатка ряда Rn получить число,
не превосходящее заданной погрешности е. Для этого число е
разбивают на два положительных слагаемых е = Ej + е2 и при
определении номера п частичной суммы s„, принимаемой за
приближенное значение суммы ряда s, требуют, чтобы выполня-
лось условие |Д„|< et, а при вычислении частичной суммы sn,
переводя члены ряда в десятичные дроби, оставляют такое коли-
чество десятичных знаков, чтобы сумма погрешностей, допущен-
ных в каждом члене s„, не превосходила число е2.
Пример 1. Вычислить с ошибкой, не превосходящей 0.00001,
сумму ряда
У(-1)"----1--= 1- —+
"о 7 (2л+ 1)! 3! 5! 7!
354
Разбиваем заданную допустимую погрешность е = 0.00001
на два слагаемых: е = 0.000005 + 0.000005 . Так как данный ряд
удовлетворяет условиям теоремы Лейбница, то модуль суммы
остатка ряда не превосходит модуля первого члена остатка. По-
этому следует найти ближайший к началу ряда член, модуль
которого не превосходит 0.000005 . Таким членом будет — , так
1 1
как 0.000005 (заметим, что предыдущий член от-
9! ЗЬ2ооО
бросить нельзя, так как — = —— > 0.00001).
7! 5040
Таким образом, с ошибкой, не превосходящей 0.000005, бу-
дем иметь
1 1 1 = 5040 - 840 + 42-1 = 4241
3! + 5! 7! 7! 5040
=> 5 = 0.84147
(погрешность округления <0.000003).
Пример 2. Вычислить с ошибкой, не превосходящей 0.001,
~ 1
сумму ряда .
и=1 Я
Разбиваем заданную допустимую погрешность е = 0.001 на
два слагаемых е = 0.0005 + 0.0005 . Так как данный ряд положи-
тельный, удовлетворяющий условиям интегрального признака
Коши, то сумма остатка ряда < J f(x)dx. Здесь f(x) = — —
п х
производящая функция для данного ряда. Имеем
_____1_х=+~ 1
I х5 4х4 х=п 4п4 '
Выясним, сколько нужно взять первых членов ряда, чтобы
сумма остатка ряда была меньше 0.0005. Для этого нужно рас-
смотреть неравенство:
-!-г< 0.0005 =» 4л4 >2000 =» л4 >500.
4л4
Путем проб находим, что наименьшее значение л, удовлетворяю-
щее этому неравенству, есть л = 5 (54 = 625 > 500,а44 = 256 < 500).
Значит, если взять пять первых членов, т.е. положить
355
, 1111
25 З5 45 55
ше 0.0005.
Имеем далее
то абсолютная погрешность будет мень-
l + -*+-L + -L + -L = 1.036
25 З5 45 55
(погрешность округления меньше 0.0004).
Пример 3. Вычислить с ошибкой, не превосходящей 0.001,
сумму ряда = 2 + ут + Ji+ + •••
Разбиваем заданную допустимую погрешность е = 0.001 на
два слагаемых е = 0.0005 + 0.0005 . Имеем
/г - 1 1 1
Я+1 л! + (л +1)! + (л + 2)! + "
= —Г1 1 1 "I
п! ч + (л +1) + (л +1) (п + 2) + J <
< я!С + (л + 1) + (л + 1)2 +"\
геом’. ряд
1 11 л+1
л! 1 1 л! л
л + 1
Выясним, сколько нужно взять первых членов ряда, чтобы сумма
остатка ряда была меньше 0.0005. Для этого нужно рассмотреть
неравенство
< 0 0005.
и!и
Путем проб находим, что наименьшее значение л, удовлетворяющее
этому неравенству, есть л = 7. В самом деле,
8 _ 8
7!-7 " 35280
< 0.0003,
7 7
а —— = —— > 0.0005. Значит, с ошибкой, меньшей 0.0005, будем иметь
6!-6 4320
356
.11111
S = 2+2! + 3! + 4! + 5! + 6!
.c 1 1 1 1 .c 157
= 2.5 + — + —- + — + -г- — 2.5 +
3! 4! 5! 6! 720
s = 2.718
(погрешность округления < 0.0005).
Замечание. Для абсолютно сходящихся знакопеременных ря-
дов (но не знакочередующихся), оценивая сумму остатка ряда,
заменяют остаток ряда рядом, составленным из модулей членов
остатка, а с последним поступают так же, как при оценке суммы
остатка положительного ряда.
2°. Вычисление значений функций при помощи степенных радов.
Разложения функций в степенные ряды позволяют во многих
случаях вычислять с любой наперед заданной точностью значе-
ния этих функций. Рассмотрим несколько примеров.
Пример 4. Вычислить с ошибкой, не превосходящей 0.00001,
'л/ё = е10.
Имеем ех=1 + х + ^у + ^ +
Следовательно,
X G (-оо, + оо) .
, Л1 (0.1)2 (0.1)3 (0.1)"
е10 = 1 + 0.1 + -—— + -—— + ... + -—— + ...
2! 3! л!
Разбиваем заданную допустимую погрешность на два слагаемых:
е = 0.000005 + 0.000005 . Имеем
_ (0.1)" . (0.1Г1 (о.1)”+2
"+1 п! (л + 1)! (п + 2)!
(0.1)"[п 0.1 t (0.1)2 i J.wL Qi , (Qi)2
п! [ п + 1 (п + 1)(п + 2) п! п + 1 (п + 1)2
(0.1)" 1 (0.1)" (л + 1)
п! 1 0-1 л!(л + 0.9)
л+ 1
Выясним, сколько нужно взять первых членов ряда, чтобы сумма
остатка ряда была меньше 0.000005. Для этого нужно рассмотреть
неравенство
357
(0.1)" • (п + 1)
л! (л+ 0.9)
< 0.000005.
Путем проб находим, что наименьшее значение л, удовлетворяю-
щее этому неравенству, есть л = 4. Значит, с ошибкой, меньшей
0.000005, будем иметь
е10 =1 + 0.1 + ^ + ^ => 107ё = 1.10517
2! 3!
(погрешность округления < 0.000005).
Пример 5. Вычислить с ошибкой, не превосходящей 0.0001, V35 .
I— Г 'i1
Ь Имеем 3/35 = 2-^ = 2|1+ :У 5.
r V 32 32 J
.. ,7 j 1 4 2 4-9 з
Мы знаем, что (1 + х)5=1 + — х--------кх +-------тх -...
5 2!-52 3!-53
Следовательно,
5fi7 = 2fl 1 2.___________4 З2 4 9 З3 "I
+ 5 32 2!-52 (32)2 3!-53 (32)3
Разбиваем заданную допустимую погрешность на два слагаемых:
е = 0.00005 + 0.00005. Так как ряд знакочередующийся, удовлет-
воряющий условиям признака Лейбница, то методом проб нахо-
дим ближайший к началу член, модуль которого не превосходит
4-9 З3
0.00005. Таким членом оказывается----т------г. Значит, с ошиб-
3!-53 (32)3
кой, меньшей 0.00005, будем иметь:
3 9
80 6400
=> V35 = 2.0361
(погрешность округления < 0.00005).
3°. Вычисление интегралов при помощи степенных радов.
Способ вычисления определенных и неопределенных интег-
ралов с помощью степенных рядов состоит в следующем: разлага-
ем (если это возможно) подынтегральную функцию в степенной
ряд, а затем производим почленное интегрирование полученного
ряда. Приведем несколько примеров.
358
„ , n ) sin t ,,
Пример 6. Вычисление интегрального синуса six = J----at.
о *
Точка t = 0 — особая точка (в ней не определена подынтег-
, . т г sin/ , sin/
ральная функция). Так как hm —— = 1, то /(/) = —-----ограни-
ченная функция.
Если положить f(t) =
sin/ _
t > ' * , то легко видеть, что
1, / = 0
/(/) е С([0, х]), где х — любое. Значит, для любого конечного х
f(f) е /?([0, х]), а значит, dt сходится,
и о (
Имеем
t3 ,5 ,2л+1
откуда
sin/ , /2 /4 . /2л
Тж1'3! + 5!*-• +<-1> (ЬГЙ)!+ ••
(в точке / = 0 левую часть равенства понимаем в предельном
смысле). Следовательно,
г sin/ . х3 х5
S1X= -----= х ~ + тгт
J / 3-3 5 -5
~2л+1
-----------------
(2n + 1)! (2л + 1)
Подставляя в ряд вместо х те или иные конкретные значения, мы
можем найти интересующие нас значения функции si х.
Пример 7. Вычисление Ф(х) = |е 2 dy.
ч2л J
t1 tn
Заменяя в равенстве е‘ = 1 + / + — + ... + — + ... аргумент /
у2 -4
на - у-, получаем разложение функции е 2 в степенной ряд
(годное при любом значении у):
359
4 1 У2 1
6 2 = 1 ~^ + —
2 2!
/ ->\3
1 fzll
3! I 2
1
~п\
У
2
У
2
Пусть х — любое конечное. Ряд, стоящий в правой части последне-
го равенства, сходится равномерно в [0, х], ибо [0, х] с (-°°, + °°).
Поэтому законно почленное интегрирование этого ряда в [0, х].
Получаем
1 х -£
Ф(х) = —= [ е 2 dy =
V2n о
1 ( „3 5 „2л+1
= -^= X - 4- + -----... + (-1)"---------+ ...
-]2п( 2-3 2!-22-5 л!2и(2л + 1) J
Подставляя в ряд вместо х конкретные значения, можно найти
интересующие нас значения функции Ф (х).
Глава 7
СОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ,
ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА
§1. Определение интегралов, зависящих от параметра
Пусть функция f(x,y) определена в прямоугольнике
(Р) =
а < х < Ь,
с < у <d.
Пусть при каждом закрепленном у из [c,d]
ь
существует f f(x,y)dx. Ясно, что каждому значению у из [c,d]
а
будет отвечать свое, вполне определенное значение этого интег-
ь
рала. Следовательно, ]f(x,y)dx представляет собой функцию
а
переменной (параметра) у, определенную в промежутке [<?,</]•
Введем обозначение
ь
•/(y) = Jf(x,y)dx, уе[с,</]. (1)
а
Наша задача будет состоять в том, чтобы, зная свойства
функции f(x,y), получить информацию о свойствах функции
1(у). Эти свойства, как будет показано ниже, имеют многообраз-
ные применения, в особенности при вычислении интегралов.
Допустим еще, что при каждом закрепленном х из промежут-
d
ка [а,д] существует f f(x,y)dy. Тогда этот интеграл будет пред-
С
361
ставлять собой функцию переменной (параметра) х, определен-
ную в промежутке [а, />]. Обозначим ее через 1(х), так что
/(х) = J fix, y)dy, х е [a, />]. (Т)
С
§2 . О допустимости предельного перехода по параметру
под знаком интеграла
Теорема. Пусть функция f(x,y) е С(Р) и пусть у0 — любое
из [с, d]. Тогда
b Ь/ \ ь
lim ff(x,y)dx = f f(x,y)\dx= \f(x,y^dx. (1)
b
Отметим, что j f(x,y)dx существует для каждого значения
а
у из [с, d], так как f(x,y) е С([а,/>]) при любом закрепленном
ь
у в [c,rf]. В частности, существует J f(x,y^)dx.
а
Возьмем е > 0 — любое. Выберем и закрепим любое у0 в [с, d].
По условию f(x,y) в С(Р), поэтому f(x,y) равномерно не-
прерывна в (Р) (см. теорему Кантора) и, следовательно, взятому
е > 0 отвечает 5 > 0, зависящее только от е, такое, что для любых
двух точек (х', у'), (х",у") из (Р), для которых |х"-х'|<5,
|у" - у'|< 5, оказывается lf(x", у") - fix', у')1 < —-— •
о — а
Положим у’ = у0 > у" = у > где у — любое, но такое, что
|у-Уо|<8, ye[c,d], х' = х" = х, где х— любое из [a,Z>]
(|х" - х'| = 0< 5). Тогда |/(х,у)-Дх,у0)| <—— для любого
b — а
х в [а,/>], если |у - у0| < 3, у е [с,d]. Имеем
ь ь ь
J /(х, у) dx - J У(х, Уо) dx = f [f(x, у) - Дх, у0)] dx =>
а а а
362
b b b
J f(x,y) dx - J f(x, y0) dx < J |/(x,y) - /(x,y0)| dx < —— (b-d) = t.
a a a Da
Итак, любому e > 0 отвечает 5 > 0, такое, что как только
IУ - Уо| < > ye[c,d], так сейчас же
ь ь
jf(x,y)dx-jf(x,y0)dx
а а
< е.
ь ь
Последнее означает, что Г /(х,у0) dx = lim \f(x,y)dx. 4
J У-^Уо J
a a
Совершенно аналогично доказывается утверждение: если
f(x,y) е С(Р) и если х0 — любое из [a, Z>], то
d <// х d
lim J /(x,y) dy = J lim /(x,y) Uy = f /(x0,y) dy.
§3 . О непрерывности интеграла как функции параметра
_ ь
Теорема. Пусть /(х,у)еС(Р) и I(y) = \f(x,y)dx, у е [<?,</].
а
Тогда /(у) = С([с, </]).
Возьмем любое у0 е [с, J] и закрепим. В §2 было доказано,
ь ь
что lim f f(x,y)dx = [ /(х,у0)Лс, то есть
а
lim /(у) = /(уо) .
У~>Уо
Последнее же означает, что функция /(у) непрерывна в точке у0.
Так как у0 — любое из [с, d], то заключаем, что 7 (у) е С([с, </]).
Замечание 1. Условие /(х,у)еС(Р) является достаточным
для непрерывности /(у) на [c,d], но оно не необходимо.
Чтобы убедиться в этом, рассмотрим пример.
363
Пример. Пусть f(x,y) = sgn(x-y) в
О < х < 1,
- 5 < у < 5.
Видим, что f(x,y) терпит разрыв в точ-
ках, принадлежащих прямой х = у (рис. 7.1).
1
Пусть I(y) = j sgn (х - у) dx . Имеем:
о
1
1) если -5 < у < 0, то I(y) = |1 • dx = 1;
о
2) если 0 < у < 1, то
3) если 1 < у < 5 , то
у 1
/(^) = f(-l) dx + fl dx = l-2y;
о У
I(y) = f(-l)dx = -l.
о
Таким образом, 1(у) =
1,
1-2у,
-1,
У el-5,0),
У е [0,1], 1(У) е С([-5,5])
^е(1,5]
(см. рис. 7.2).
Замечание 2. Совершенно аналогично доказывается теорема:
_ ~ d
Пусть f(x,y) е С(Р) и пусть 7(х) = | f(x,y)dy, х е [a,Z>]. Тогда
7(х)еС([а,*]).
Следствие. Если f(x,y) е С(Р), то одновременно
I(y) е С([с,</]), 7(х) е C([a,Z>]) и, следовательно, существуют од-
новременно
/А
----------< 5 У
—----------\-------т—>
-5 \_____
7=7(у)
Рис. 7.2
d d(b Л
p(y)rfy = J J/(x,y)<& dy,
с c\a j
364
jf\f(x,y)dx dy,
c\a /
bfd A
J f f(x,y)dy dx называются повторными
a \c )
интегралами err функции f(x,y) в (P).
§4. О дифференцировании по параметру
под знаком интеграла
Теорема. Пусть функция f(x,y) непрерывна в (Р) и имеет
там непрерывную частную производную fy(x,y). Пусть
ь
Ну) = J f(x,y)dx, у е [c,d]. Тогда:
а
1) функция 1(у) имеет в промежутке [c,d] производную Г (у)',
ь (ь V ь
2) Г(у) = | fy(x,y)dx, то есть J f(x,у) dx = j f?(x,у) dx,
а \а Jу а
У e[c,d];
3) /'(y)eC([c,d]).
Возьмем любую точку yoe[c,d] и закрепим. Дадим у0
приращение Ду — любое, но такое, что Ду # О и точка
ь ь
у0 + Дуе[с,</]. Тогда Z(y0) = J/(x,y0)dx, 1(у0 + Ду) = J/(x,y0 +by)dx,
а а
1(Уо + Ау) - /(Уо) = г /(х,у0 + Ду) - /(х,у0) fa
Ду J Ду
По теореме Лагранжа /(х,у0 + Ду) - f(x,yQ) = fy(x,y$ + 0Ду) Ду
(О < 0 < 1). Следовательно,
/(Уо + Ду)-/(уо) = | //( + 0Ду) fa (2)
Ьу а
По условию, fy(x, у) е С(Р). Перейдем в (2) к пределу при Ду -> 0.
Приняв во внимание теорему о допустимости предельного перехо-
да под знаком интеграла, получим
365
lim + = f lim f'(x,y0 + Gky)dx = f f'(x,y0)dx
Ду->0 Ay J Ду—>0 z J z
•'a a
b
=> I'(y0) существует, причем Г(у0) = J fy(x,yQ)dx. Так как y0 —
a
любое из [c, d], то заключаем, что Г (у) существует для любого у
ь _
из [с, d], причем Г(у) = j fy(x,y) dx, ye [c,d]. У нас fy(x,y) e C(P),
a
b
a I'(y) = f fy(x,y)dx. А тогда по теореме о непрерывности интег-
а
рала как функции параметра заключаем, что Г(у) е C([c,t/]). 4
§5. Об интегрировании по параметру под знаком интеграла
Теорема. Пусть функция f(x,y)eC(P) Пусть 1(у) =
b d b(d '
= f f(x,y) dx, ye [c,d]. Тогда J I(y) dy = J J f(x,y) dy dx, t. e.
a c a\c 7
d(b 'I b(d A
J J/(Jc,y)<&ky = J ]f(.x,y)dy dx.
c\a J a\c >
Докажем более общее равенство
1 b(1
= f J f(x, у) dy L&, для любого t e [c, dj. (1)
c a\c )
Займемся сначала левой частью равенства (1). Так как
f(x,y) е С(Р), то I(y) е C([c,rf]) (см. теорему §3). Следователь-
t
но, J I(y) dy — интеграл с переменным верхним пределом от
С
непрерывной функции. А тогда по теореме Барроу
Y ь
jl(y)dy = 7(0 = f f(x,f)dx, Ге[с,<7]. (2)
\С Л а
366
Займемся теперь правой частью равенства (1). Положим
t
f/(x,y)rfy = ф(х,0.
с
(3)
Здесь в интеграле слева х выступает в роли параметра. Ясно, что
функция <р (х, 0 определена в прямоугольнике (Р) =
а < х < Ь,
c<t<d.
Покажем, что ф (х, f) е С(Р) . Для этого выберем и закрепим
любую точку (х, 0 е (Р). Затем возьмем Д х и Д t — любые, но
такие, что точка (х + Д х, t + Д t) е (Р). Будем иметь
/+Д/ t
<р (х + Ax,t + A t) - <р (x,t) = j f(x + Ax,y)dy-j f(x,y)dy =
c c
t /+Д/
= |[/(х + Дх,у)-/(х,у)ру + \f(x + Ax,y)dy . (4)
c t
Пусть p = /(Д x)2 + (Д 02 • Отметим, что (p —> 0) <=> (одновременно
Д х, Д t -» 0 ). Возьмем е > 0 — любое. В силу непрерывности фун-
кции fix,у) в (Р), /(х + Дх,у)-/(х,у)----->0 =ф взятому е > 0
(Дх^О)
отвечает 5 > 0, такое, что |/(х + Д х, у) - f (х, у)| <
Тогда
е
d-c
если р < 5.
если
f [/(х + Д х, у) - fix, у)] dy
С
d-с
р < 5. Последнее означает, что
lim|[/(x + Д х,у) -
- f(x,y)\dy = 0. Так как f(x,y) е С(Р), то f(x,y) — ограничен-
ная в (Р), т. е. существует число М > 0, такое, что |/(х,у)| < М
367
г+дг
j/(x + b.x,y)dy <Л/-|Д/|
тогда
в (Р)«
/+д/
=> f f(x + Д х, у) dy------> 0. Теперь из (4) следует
' р-»о
' (д/-»0)
<р(х + Д х,? + Д/)-<р(х, Z) —> 0.
р->0
Последнее означает, что функция ф(х,/) непрерывна в точке (х,0.
У нас точка (x,t) — любая из (Р). Поэтому ф(х,/) е С(Р). Из (3)
находим
<р,'(х,0 = /(х,0. (5)
По условию, f(x,y) 6 С(Р). Следовательно, ф£(х>0 е С(Р). Прини-
мая во внимание (3), правую часть равенства (1) можно записать в виде
ь
/ \f(x,y)dy dx = ^(x,t)dx.
а
(6)
а
В интеграле, стоящем в правой части (6), t выступает в роли
параметра. Выше было показано, что функция <р (х, /) непрерыв-
на в (Р) и имеет там непрерывную частную производную <р,(х>0 •
Но тогда по теореме о дифференцировании по параметру под
знаком интеграла
(b Y ь (5) b
J <р (х, 0 dx = |ф{(х,/)<& = \f(x,t)dx, telc,d]. (7)
\а Jf а а
Видим, что левая и правая части равенства (1) имеют в промежут-
ке [с, d] совпадающие производные (см. (2) и (7)). Следователь-
но, они различаются в этом промежутке лишь на постоянную
величину, т. е. для любого t е [c,d]
'Р 1 b(' 1
j J/(x,y)rfxру = J \f(x,y}dy dx + const.
с\a ) a\c у
(8)
Положим в (8) t = с. Получим 0 = 0 + const => const = 0. Значит,
будем иметь вместо (8) для любого t е [с, d]
b(t
f[f f{x,y)dx dy = J| \f(x,y)dy dx.
c \a
(9)
а
368
Положив в (9) t = d, получим
b(d
J \f(x,y)dx dy = J| ]f(x,y)dy dx,
c
(Ю)
а
а это и требовалось установить.
§6. Случаи, когда и пределы интеграла зависят от параметра
Пусть функция f(x,y) определена в области (D), ограничен-
ной линиями: у = с, у = d (с <d), х = а(у), х = р (у), где а(у)
и Р(у) — функции, непрерывные на
промежутке [с,</] и такие, что
а(у)<р(у), уе[с,</].
Пусть при каждом закрепленном
Му)
У из [c,J] существует jf(x,y)dx.
“(у)
Ясно, что каждому значению у из
[c,d] будет отвечать свое, вполне оп-
а(Уо)
Рис. 7.3
лУ х = а(.у)
d ' ' V
/ (5)
Уо - -4--------
Му)
ределенное значение этого интеграла. Следовательно, J f(x, у) dx
а(у)
представляет собой функцию переменной (параметра) у, опреде-
ленную в промежутке [с,</].
Станем обозначать
Му)
1(у) = ]f(x,y)dx, ye[c,d]. (1)
“(у)
Теорема (о непрерывности интеграла как функции параметра).
_ Му)
Пусть функция f(x,y)eC(D) и пусть I(y) = jf(x,y)dx,
“(у)
у € [с, d]. Тогда I(y) е С([с, </]).
Выберем и закрепим любое у0 е [c,d].
1. Пусть а(у0) <Р(Уо)-
369
Положим у = -а^°- . Ясно, что а(у0) < у < Р(у0) =*
«(Уо)“У<О. Р(Уо)-Т>0- Функции а(у)-у и Р(у) —Y — не-
прерывные на промежутке [с,<7]. Следовательно, по теореме о
стабильности знака существует 5j > 0, такое, что как только
|у _ Уо| < 51 и У е [с, d], так сейчас же а(у) - у < 0, Р (у) - у > 0 ,
т. е. а(у) < у < Р(у) .
Возьмем у из промежутка [с, d] любое, но такое, чтобы было
|у - Уо| < 51, и положим р = max{a(y), a(y0)}; 9 = min{P (у0), Р(у)}.
Ясно, что р <q . Имеем:
₽(Уо) Р 9 ₽(>о)
ЛУо)= jf(x,y0)dx= jf(x,y0)dx + ]f(x,y0)dx + jf(x,y0)dx,
“(Уо) а(Уо) Р 9
Му) р ч Му)
Лу) = \f<x,y)dx= \ f(x,y)dx + ] f\x,y)dx + \j\x,y)dx.
а(у) «(У) Р 9
В этих соотношениях из четырех подчеркнутых интегралов два
обязательно равны нулю (так как обязательно: либо р = а(у0),
либо р = а(у), и либо q = Р (у0), либо q = Р (у)).
Возьмем е > 0 — любое, сколь угодно малое. Так как а(у)
и Р(у) непрерывны в точке у0, то взятому е > 0 отвечает 52 > 0,
такое, что как только |у~Уо|<82 и ye[c,t/], так сейчас же
|а(у) - а(у0)| < е, |Р(у) - Р(у0)| < е . Отметим, что если брать на
промежутке [c,d] значения у, удовлетворяющие условию:
|у -у0| < min{51,32}, то справедливы приведенные выше выраже-
ния для /(уо) и /(у). Для таких у будем иметь
1(у) ~1 (Уо) = J \f(x,y) - f(x,y^\dx +
р
р Р(у) р 0(Уо)
+ J/(x,y)£bc+ \f(x,y)dx- \f(x,y^dx- \f(x,y^dx.
а(у) 9 “(Уо) 9
370
Рассмотрим, например, j f(x,yo)dx. По условию
_ “(Уо) _
f(x,y) е С(Л) => f(x,y), ограниченная в (D), т. е. существует
число М>0, такое, что |/(х,у)| < М всюду в (/)). Так как
у е [с, d] и |у - Уо| < min{5i,82}, то |р - а(у0)| < е. Следовательно,
J f(x, у0) dx
«(.Ио)
< Л/-|р-а(у0)| < Mt.
Такая же оценка верна и для каждого из трех оставшихся
подчеркнутых интегралов. Поэтому
|ЛзО - Л>о)| < J l/C’c.A') - /(x,y0)|rfx + 2М • е.
р
Так как (D) — ограниченное замкнутое множество и
f(x,y) eC(D), то f(x,y) равномерно непрерывная в (D).
А тогда взятому е > 0 отвечает 83 > 0, зависящее только от е ,
такое, что для любых двух точек (х',у/), (х",у") из (D), для
которых |х" - х'| < 83, |у" - у'| < 83, будет |/(х",у") - /(х',у')| < е.
Положим 8 = min{8!,82,83}, у' = у0, у” = у, где у е [с,d] и удов-
летворяет условию |у - у0| < 3; х’ = х” = х, где х — любое из
[р,д]. Тогда |/(х,у)-/(х,у0)| < е для всех хе[р,?]. Следова-
тельно, для у, удовлетворяющих условиям |у - Уо| < 8
и у е [с, d], будет: j |/(х, у) - f(x, у0)| dx < е • (q - р), и потому
|7(y)-Z(y0)|<e(?-/+2M).
У нас функции а(у), Р(у) е C([c,d]) =ф а(у) и Р(у) — ограни-
ченные в [с, d] => существует число К > 0 такое, что |а(у)| < К,
|Р(у)| £ К для всех у е [с, d]. А тогда |^ - р| < |<?| + |р| < 2К. Значит,
|Л^)-/(Уо)|<2е-(^ + Л/). (2)
Отметим, что число 2е • {К + М) сколь угодно мало вместе с е.
371
Так как для достижения неравенства (2) понадобилось лишь,
чтобы было |у-Уо|<3, ye[c,J], то заключаем, что функция
1(у) непрерывна в точке у0.
2. Пусть а(у0) = Р(у0) •
Р0-о) Р0-)
В этом случае I(y0) = $ f(x,yQ)dx = 0; I(y) = J f(x,y)dx =>
aO-o) «O’)
|/(y)| < M[P(y)-a(y)]. (3)
Имеем lim Гр (у) - a(y)l = p (y0) - a(y0) = 0. А тогда из (3)
y-Vo
lim /(y) = 0 1= /(y0)l. Видим, что и в этом случае установлена
непрерывность 1(у) в точке у0.
У нас у0 — любое из [с, d]. Следовательно, /(у) е С([с, </]).
Теорема (о дифференцировании по параметру). Пусть функция
fix, у) непрерывна в (Р) и имеет там непрерывную частную
производную fy(x,y). Пусть функции а(у), Р(у) определены
в промежутке [c,d] и имеют там производные а'(у), Р'(у). Пусть
РОО
I(y) = ^f(x,y)dx, у е [с,</]. Тогда для любого ye[c,d] суще-
а(у)
ствует /'(у), причем
Р(у)
Лу) = J fy'(x, y)dx + /(Р (у),у) • р'(у) - /(а(у), у) • а'(у). (4)
а(у)
Выберем и закрепим любое у0 е [c,d].
I. Пусть а(у0) < р (у0). При доказательстве предыдущей тео-
ремы было отмечено, что в этом случае существует окрестность:
мб|(Уо) такая, что для любого у е м81(у0) будет а(у) < у < Р(у).
Дадим у0 приращение Ау — любое, но такое, что Ау * 0
и Уо + ДУ е м8) (Уо). Будем иметь, следовательно, а(у0 + Ау) < у <
< Р(у0 + Ау). Положим р = тах{а(у0),а(у0 + Ay)}; q = min{P(y0),
Р (у0 + Ду)}. Могут реализоваться следующие случаи:
372
1) р = а(у0), 4 = Р(Уо);
2) у = а(у0), ? = р(у0 + Ду);
3) р = а(у0 + Ду), ? = Р(Уо);
4) р = а(у0 + Ду), q = Р(Уо + Ду) •
1. Рассмотрим случай, когда р = а(у0), (? = Р(Уо)- Имеем
в этом случае
Р(уо) РО'о+Ду)
ЛУо) = J fix, y0)dx, I (у0 + Ду) = J fix, Уо + Ay) dx =
а(Уо) «(Уо+Ду)
а(Уо) Р(Уо) Р(уо+Ду)
= J/(x,y0 + Ay)rfx+ J f(x, Уо + Ay) dx + J/(x,y0 + Ay)</x.
а(у0+Ду) «(Уо) Р(Уо)
А тогда
Р(у»)
/(Уо + Ду) - АУо) = J [/(*> Уо + Ду) - fix,y<f)\dx +
“(Уо)
Р(у0+Ду) “(Уо+Ду)
+ J/(x,y0 + Ay)d!x:- J/(x,y0 + by)dx.
Р(Уо) “(Уо)
По теореме Лагранжа f{x,y^ + Ду) - /(х,у0) = Щх,у$ + ОДу) • Ду. По
частному случаю теоремы о среднем для определенного интеграла
Р(Уо+Ду)
J fix, Уо + Ду) dx = /(q, Уо + Ду) • [р (Уо + Ду) - Р (Уо)],
Р(уо)
где q е [р (у0), р (у0 + Ду)] => q -> Р (у0), если Ду —> 0;
“(Уо+Ду)
J fix,y0 + Ду) dx = /(с2,у0 + Ду) • [а(у0 + Ду) - а(у0)],
а(Уо)
где с2 е [а(уо),а(уо + Ду)] => с2 -> а(Уо), если ДУ -> 0 • Следова-
тельно,
.<»>
373
+ ЛС1,,о + ад.Ж±^Ш)_
-/WW .°(^>-°W.
Ay
Переходя к пределу при Ду —> О, получаем
Р(Уо)
/'(Уо) = f fy(x,y0) dx + /(р (уо),Уо) • Р'(Уо) - /(а<Уо),Уо) а'(Уо). (5)
“(Уо)
2. Рассмотрим случай, когда р = а(у0), q = Р(у0 + Ду).
В этом случае
Р(уо) Р(Уо+М Р(Уо)
ЛУо) = J f(x, y0)dx= J fix, yf)dx + J fix, y0) dx.
а(Уо) “(Уо) РСУо+АУ)
Р(Уо+Ау)
ЛУо + Ау) = //(х,у0 + Ду)<& =
аСио+Лу)
а(Уо) ₽(Уо+4и)
= |/(х,у0 + Ду)<*с+ //(х,у0 + Ду)Л;
а(у0+Ду) а(у0)
РСуо+Ау)
/(Уо + Ду) - Ду0) = J [/(х, у о + Ду) - fix, Уо)] dx +
“(Уо)
РО'о+Ду) “(уо+ду) РСуо+Ау)
+ f/(x,y0)^- f/(х,у0 + Ду)йЬс = |/;(х,уо+0Ду)Ду<Лс +
₽(Уо) а(Уо) а(уо)
+ /(q, Уо) • [₽ Оо + ДУ) ~ Р Оо)] - /(с2 > Уо + Ау) • [а(у0 + Ду) - а(у )] =>
э __f,nff!(Xiyo+eiy)dx+
«<»>
г/ а \ аОо + Ау) - а(у0)
- /(с2, Уо + Ау) • Р.
Ау
Переходя в этом соотношении к пределу при Ду —> 0, находим
374
РОо)
ЛУо) = f /;(х,уо)<& + /(р(уо),уо)-р/(Уо)-/(а(Уо)>Уо)а'(Уо). (5)
“Оо)
3. Рассмотрим случай, когда р = а(у0 + Ду), q = р (у0) •
В этом случае
РОо) “Оо+М РОо)
ЛУо) = \f(x,y^)dx= f/(x,y0)d>c + f/(x,y0)<&;
“Оо) “Оо) а(уп+Ду)
РОо+Ду)
ЛУо + ду) = //(*,Уо + ду)<*с =
аО'о+Ду)
0(Уо) РСУо+Ду)
= |/(х,у0 + Ду)^+ J/(x,y0 + Ay)<&;
аО-о+Ду) Р(Уо)
РОо)
ЛУо + ду) - 1<Уо) = f [f(x, Уо + Ay) - fix, Уо)] dx +
«О'о+Ау)
РО'о+М а(у0+Ду) Р(Уо)
+ //(х,у0 + Ду)<&- J/(x,y0)<&= f/;(x,y0 +0Ду)-bydx +
PO’o) а(Уо) аО'о+Лу)
+ /(q, Уо + Ау) • [Р (у0 + Ду) - р (Уо)] - /(с2, Уо) • [а(Уо + ду) - а(у0)] =>
э ^,;(х,у^ыу)11х +
а(у0+Ау)
+ f(Ct,Уа + дЛ.P(yo + y-PW _/( ).
Ду Ду
Переходя здесь к пределу при Ду —> 0, получим
РОо)
/'(Уо) = /Л'(х,Уо)Л + /(Р(Уо).Уо) Р'(Уо)-/(а(Уо)>Уо)-«'(Уо). (5)
“Оо)
4. Рассмотрим случай, когда р = а(у0 + Ду), q = Р (у0 + Ду).
В этом случае
РОо)
ЛУо)= f/(x,y0)<*c =
“Оо)
375
а(уо+Ду) РО'о+Ду) Р(Уо)
= J/(X, y^dx + J f(x,y^dx + J/(x,y0)d>c;
<x0>o) afyo+Ay) p(yn+Ay)
PG’o+Ay)
I (Уо + Ay) = f f(x,y0 + by)dx‘,
«Сио+Ду)
РСио+Ду)
/(УО + Ду) - /(Уо) = f [/(*> Уо + Ay) - f(x, Уо)] dx +
а(у0+Ду)
РСио+Ду) аСио+Ду) РСио+Ду)
+ //(л:,Уо)^- J/(x,y0)d>c= f/;(x,y0 + 0Ду)- by-dx +
₽(Уо) “(Уо) а(у0+Ду)
+ /(q, Уо) • [Р (Уо + Ay) - Р (Уо)] - f(c2, Уо) • [а(Уо + Ау) - а(у0)] =*
У а(уо+Ду)
♦/(С1,л) ,Ж±^Ж> _
Переходя в этом соотношении к пределу при Ду -> О, находим
₽(уо)
/'(Уо) = J fy(x, Уо) dx + /(Р (у0), Уо) • Р'(Уо) - /(«(Уо)> Уо) • «'(Уо) • (5)
“(Уо)
II. Пусть а(у0) = Р(у0) •
Р(Уо)
В этом случае /(Уо) = f /(я.Уо) dx = 0 (как интеграл, у кото-
а(Уо)
рого совпадают нижний и верхний пределы интегрирования);
РСуо+Ду)
7(Уо + Ду) = J f(x, уо + Ду) dx.
а(у0+Ду)
А тогда
Р(уо+Ду)
/(Уо + Ду) - /(Уо) = J f(x, Уо + Ду) dx =
а(уо+Ду)
= /(с,Уо + Ау) • [Р (у0 + Ау) - а(у0 + Ду)].
Здесь <х(у0 + Ay) < с < 0 (у0 + Ау) => с--> а(у0) [= 0 (у0)]. Имеем
Ду—>0
1(Уо + Ау) - 7(у0) =
Ау
f . Л1Л (Р (Уо + Ау) - 0 (Уо)) - (а(у0 + Ау) - а(у0))
Ау
Переходя здесь к пределу при Ду —> 0, находим
ЛУо) = /(Р(Уо),Уо) • [Р'(Уо) - а'(Уо)] = /(а(уо),Уо) • [Р'(Уо) - а'(Уо)],
ибо а(у0) = 0 (Уо) • Последняя формула может быть записана также
в виде
Р(Уо) = /(Р (Уо). Уо) • Р'(Уо) “ /(а(Уо)> Уо) • а'(Уо) • (6)
Легко видеть, что формула (6) является частным случаем формулы
(5) (она получается из (5), если положить в (5) 0(Уо) = а(у0) )•
Так как у нас у0 — любое, принадлежащее [с, d], то приходим
к выводу, что Г (у) существует для любого у е [с, и что
РОО
/'(у) = f Л'(х,у) dx + /(0 (у), у) • 0'(у) - /(а(у), у) • а'(у).
“(у)
§7. Примеры
Пример 1. Дано: Ду) = ГJx2 + у2 dx. Найти lim/(у).
J V—ьО
Решение. Так как подынтетральная функция f(x,y) = Jx2 + у2
непрерывна на всей плоскости Оху, то она непрерывна, в частно-
сти, в прямоугольнике (Р) =
-1 < х < 1,
- d < у < d,
где d > 0 — любое
конечное число. По теореме §2 заключаем, что допустим предель-
ный переход по параметру под знаком интеграла, когда у —> 0 •
Имеем
377
lim j-Jx2 + y2 dx = J lim y]x2 + y2 dx = ||x|dx =
о i
= j-xdx + jxdx = -
-i о
Пример 2. Дано: Ку) = [ ----=---=-. Найти lim Ку).
У 1 + xL + yL
Решение. Здесь подынтегральная функция f(x,y) =--1
1 + х +у*
Она непрерывна на всей плоскости Оху. Функции а(у) = у,
Р (у) = 1 + у непрерывны для всех у е (— 00,4- ОО ). Следовательно,
в частности, f(x,y) непрерывна в области (D) =
у < х < 1 + у,
-d < у <d,
где d > 0 — любое конечное число, а функции а(у), Р(у) непре-
рывны на промежутке [~d,d]. Видим, что выполнены условия
теоремы о непрерывности интеграла как функции параметра
(см. §6). По этой теореме Ку) е C([-rf,</]), а значит, Ку) непре-
рывна в точке у = 0. Следовательно, lim Ку) = /(0), т. е.
у->0
г dx . . i л л
<7-р- = агсМо = 4- ◄
О 1 4- X
1 ХЬ __ %а
Пример 3. Вычислить [-------dx (а>0, Ь>0), применяя
о
интегрирование по параметру под знаком интеграла.
Решение. Отметим прежде всего, что данный интеграл — не-
собственный, Подынтегральная функция имеет две особые точки.
Это — точки х = 0 и х = 1. Имеем:
х^ — ха
1) lim —-----= 0 => подынтегральная функция в правой
х-»+0 In X
полуокрестности точки х = 0 — ограниченная;
378
YZ> _ Ya _ /iYa~^
2) lim --------= lim ------------= lim (bxb - axa) - b- a —
x-H-0 Inx x->l-0 l/x x-»l-0
определенное число => подынтегральная функция в левой полу-
окрестности точки х = 1 — ограниченная.
Положим
:Ь-Ха
-г^, хе(0,1);
Inx
0, x = 0;
b-a, x = l.
Ясно, что /(х) е С([0,1]) => /(х) е 7?([0,1]), а значит, данный
1 %Ъ — ха
интеграл Г —------dx сходится.
о 1пх
ь
Введем в рассмотрение интеграл /(х) = j xydy (а>0, Z> > 0),
а
х е [0,1]. Этот интеграл представляет собой функцию параметра
х, определенную в промежутке [0,1]. Здесь f(x,y) = ху определе-
на и непрерывна в прямоугольнике (Р) =
а < у < Ь,
А тогда по
0 < х < 1.
теореме об интегрировании по параметру под знаком интеграла
(см. §5) имеем
? ху
Так как I(x) = f xydy = -—
i ’nx
венство примет вид
У=Ь
у=а
~ ха
—-----, то предыдущее pa-
in х
379
Пример 4. Вычислить Г (у), если I(y) = [е ^dx.
у
Решение. Здесь f(x,y) - е-^, а(у) = у, Р(у) = у2; а(у) < Р(у),
если у е (- °°, 0] U [1, + °°); а(у) > Р (у), если у е [0,1]. Пусть
Ji > 0 — любое конечное число; d2 > 1 — любое конечное число.
Введем в рассмотрение области
(Р2) = .
0 < у < 1,
9
у < х < у;
(D3) =
1 < у < d2,
у < х<у2.
В каждой из этих трех областей f(x,y) непрерывна и имеет непре-
9 _ 2
рывную fy(x,y) = -х е ** .
В каждом из промежутков [-</ь0]; [0,1]; [1, d2] существуют
“'(у)» Р'(у)» причем а'(у) = 1, Р"(у) = 2у. По теореме о диффе-
ренцировании по параметру (см. §6) заключаем, что для любого
у2 2
у е ([-</1, 0] U [1, rf2]) Г(у) существует и Г (у) = - j х2е~ух dx +
+ e~yS -2у-е~у3,
Пусть теперь у— любое из промежутка [0,1]. Имеем
~ ~ у г
I(y) = -I(у), где Z(y) = J е~ух dx. По теореме о дифференцирова-
у2
нии по параметру (см. §6) для любого у е [0,1] 7'(у) существует
и 7'(у) = - jx2e ^dx + e у3 -е yS • 2у. Следовательно, для любо-
у2 ~
го у е [0,1] существует 7'(у) > причем /'(у) = -7'(у), т. е.
= f x2e~yxidx + e~yi 2y - e~yi =>
y2
y1
=> Z'(y) = - j x2e~yx2dx + e~yi • 2y - е~у3, у e [0,1].
у
380
Глава 8
ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
§1 . Область и ее диаметр
Предварительно напомним некоторые сведения, относящиеся
к понятию кривой на плоскости.
1. Если <р (0 и у(/) — две функции, определенные и непре-
рывные на промежутке [а, 6], то множество точек плоскости
{(<P(O»V(O)}, t е [а,Ь], называется непрерывной кривой.
2. Если <р (а) = <р (Ь) и у(а) = v(Z>), то непрерывная кривая
называется замкнутой.
3. Замкнутая кривая называется самонепересекающейся, если
две точки кривой (<р(и),ф(«)) и (<p(v),v(v)) при u<v могут
совпасть лишь тогда, когда и = a, v = b.
4. Замкнутая самонепересекающаяся кривая (К) делит плос-
кость на два связных множества (Z>) и (G). (Любые две точки
каждого их этих множеств можно соединить непрерывной кри-
вой, не пересекающей (К). Если же одна из этих точек принадле-
жит (D), а другая — принадлежит (G), то всякая соединяющая
их непрерывная кривая пересекает (К).) Точки, лежащие на (К),
не входят ни в (Л), ни в (G). Одно из множеств (D), (G)
является ограниченным, а другое — нет. То из этих двух мно-
жеств, которое является ограниченным, будем называть облас-
тью, ограниченной контуром (К). (У нас на рис. 8.1 (D) —
область, ограниченная контуром (К).) Если к точками области
(Д) присоединить точки контура (К), то полученное множество
будем называть замкнутой областью, ограниченной контуром
381
Рис. 8.1. К определению
понятия области
(К), и обозначать через (D). Отме-
тим, что замкнутая область (D) есть
ограниченное замкнутое множество.
Определение. Пусть (D) — замк-
нутая область, ограниченная конту-
ром (К). Пусть Ми N — любые две
точки, лежащие на (К). Пусть
р (М, N) — расстояние между точка-
ми М и N. Число d = sup {p(M,N)}
называется диаметром (D) •
Теорема. На контуре (К) существуют две точки Мо и No,
такие, что р (Мо, ЛГ0) = d.
Возьмем на контуре (К) точки Ми N. Пусть М = (<р(и),у(«)),
N = (<p(v),y(v)). Тогда p(M,N) = ^[<р (v) - <р (и)]2 + [y(v) - у(«)]2.
Видим, что p(M,N) есть функция аргументов «, v, определенная
в квадрате (Р) =
а < и < Ь,
а < v < Ь,
и, очевидно, непрерывная в (Р).
По второй теореме Вейерштрасса существует точка (k0,v0) е (Р),
в которой эта функция принимает свое наибольшее значение.
Остается только положить MQ = (ф(«о),Ф(мо)), М) = (фО'оХ'ИО'о))- ◄
В главе “Приложения определенного интеграла” было дано
определение площади области (Р), установлено необходимое и
достаточное условие квадрируемости этой области. Там же введе-
но понятие простой кривой и доказана теорема о простой кривой.
Следствием этой теоремы явилось утверждение, что область (Д),
ограниченная простым контуром, квадрируема. Отметим здесь,
что теорема о простой кривой допускает обобщение, а именно:
Обобщенная теорема о простой кривой. Пусть (£) — простая
кривая, расположенная в области (D), ограниченной простым
контуром (К) ._Разделим (Д) произвольной сетью простых кри-
вых на части (Z>fc), k = 1, 2,..., п. Пусть Q — сумма площадей тех
382
Рис. 8.2. К обобщенной теореме
о простой кривой
частичных областей (Dk), которые имеют с (L) хотя бы одну
общую точку. Тогда, если 1 — наибольший из диаметров частич-
ных областей (Dk), то lim Q = 0.
§2 . Определение двойного интеграла
Пусть функция f(x,y) задана в области (р), ограниченной
простым контуром (К). Проделаем следующие операции.
1. Дробим (D) произвольной сетью простых кривых на п
частичных областей (D{), (Z>2)...(Ai)- Пусть площади этих
частичных областей есть соответственно Flt F2, ..., Fn, а диа-
метры — di, d2,..., dn. Положим 1 = (Л — ранг дроб-
. Л=1, п
ления).
2. В каждой частичной области (5к) берем произвольную
точку (хк,ук) и находим в ней значение функции/, т. е. находим
f(xk,yk).
3. Умножаем найденное значение функции на площадь соот-
ветствующей частичной области f(xk,yk) • Fk, к = 1,2.п.
4. Складываем все такие произведения. Получаем сумму
п
Л=1
Сумму о будем называть интегральной суммой Римана. Отметим,
что о зависит, вообще говоря, как от способа разбиения (D) на
части (Dk), так и от выбора точек (хк,ук) в (Dk).
383
5. Измельчаем дробление так, чтобы Л —> 0, и ищем limo.
Х->0
Если существует конечный предел I = Um о и этот предел не
Х->0
зависит ни от способа дробления (В) на части (Dk), к = 1, п, ни
от выбора точек (хк,ук) в (Dk), то его называют двойным интег-
ралом от функции f(x,y) по области (D) и обозначают симво-
лом или j£f(x,y)dxdy.
(О) (D)
Таким образом,
Замечание. Соотношение I = lim о означает: любому числу
х-»о
е > 0 отвечает число 5 > 0, такое, что для любого способа дроб-
ления (В) на части (Dk), у которого ранг дробления 1 < 5, будет
|о-/|<е, как бы ни были при этом выбраны точки (хк,ук) в
W •
Если у функции f(x,y), определенной в (D), существует
JJ f(x,y)dF, то будем говорить, что f(x,y) интегрируема в (D),
(Д) _
и писать f(x,у) е R(D) (f(x,y) принадлежит классу R в области
W).
Установим теперь необходимое условие интегрируемости фун-
кции f(x,y) в области (В).
Теорема (об ограниченности функции f(x,y), интегрируемой
в (D). Если функция f(x,y) е R(B), то f(x,y) — ограниченная
в области (В).
По условию f(x,y) е R(D). Пусть 1= jjf(x,y)dxdy. Но
тогда любому е > 0 отвечает 5 > 0, такое, что для любого способа
дробления (В) на части (Вк), у которого X < 8, независимо от
384
способа выбора точек (хк,ук) в (Dk), будет |о - /| < е. В частно-
сти, числу е = 1 (> 0) будет отвечать 5 > 0, такое, что для любого
способа разбиения (D) на части (Dk), у которого X < 8 , незави-
симо от способа выбора точек (хк,ук) в (Dk), будет |о - /| < 1.
Возьмем любой способ разбиения (2)) на части (Dk),
у которого X < 8 , и закрепим его. (Тогда Fk , к = 1, п, будут
определенными числами.) Для такого способа разбиения (D) на
части (Dk), независимо от способа выбора точек (хк,ук) в (Dk),
будем иметь ^f(xk,yk) Fk -1 <1.
*=i
Теперь выберем и закрепим точки (х2,у2), (*з>.Уз)> —, (хп>Уп)
соответственно в областях (Д), (53), ..., (Д,) (тогда /(х2,у2),
f(x3,y3), ..., f(xn,yn) будут определенными числами). Точку
(х^у^ оставим свободной в (Д) (т. е. точка (Xj,^) может
занимать любое положение в области (Д)). Будем иметь при
любом положении точки (Xj,^) в (Д):
/(*1,У1)Л + Yf(xk,yk) Fk -I <1.
Положим I - ^f(xk,yk)-Fk =C (С — определенное число, не
зависящее от выбора точки (x^yj)). Предыдущее неравенство
запишется теперь так:
|/(*1>У1) Л-С|<1, точка (хьуОеСД).
Имеем
/(х15У1) • Л = (/(хьуО • Ъ - С) + С =>
=> |/(х1,у1) Г1|<|/(х1,у1)-Г1-С| + |С| =>
=> |/(Х1,У1) • л| < 1+|с| => (/(х^уо^ЦИ.
Л
Так как последнее неравенство верно для любого положения точки
(xi ,У1) в (Д), то заключаем, что функция f(x,y) — ограничен-
385
ная в (Z>i). Совершенно аналогично устанавливается ограничен-
ность функции fix,у) в областях (Л2), (^з)> ••• > (Д) •
Положим
Л/i = sup{|/(x,у)|}, М2 = sup{]/(x,y)|}, .... Мп = sup{|/(x,y)|}.
Пусть М = тах{Л/1(Л/2,..., Мп]. Тогда |/(х,у)| < М для лю-
бой точки (х,у) из (Л). А это и означает, что fix,у) — ограни-
ченная в (D). 4
Замечание. Доказанная теорема необратима, т. е. не всякая
функция fix,у), заданная в (Л) и ограниченная там, оказывает-
ся интегрируемой в (D) Следовательно, ограниченность функ-
ции fix,у) в области (D) является лишь необходимым условием
интегрируемости этой функции в (Л).
§3 . Признаки интегрируемости функций
Пусть ограниченная функция fix, у) задана в области (5),
ограниченной простым контуром.
На вопрос, существует или не существует jj f(x,y)dxdy, отве-
са)
тить, пользуясь непосредственным определением двойного ин-
теграла, удается сравнительно легко лишь в отдельных частных
случаях. В связи с этим оказывается важным установление при-
знаков интегрируемости функции fix,у) в области (D). Но
признаки интегрируемости fix,у) в (Л) содержат понятия верх-
ней и нижней сумм Дарбу. Поэтому необходимо ввести эти
понятия.
Итак, пусть fix,у) — ограниченная функция, определенная
в области (Л). Разложим (Л) произвольной сетью простых кри-
вых на части (Л*), к = \, п, и положим Мк = sup{/(x,y)};
(а*)
тк = inf{/(x,y)}. Отметим, что числа тк и Мк, к = 1, л, суще-
(а*) _
ствуют, ибо множество {/(х,у)}, (х,у)е(Лл) — ограниченное
386
п п
и сверху, и снизу. Составим суммы s= '^imkFk и S = ^MkFk .
*=i *=i
Эти суммы называют соответственно нижней и верхней суммами
Дарбу, отвечающими данному способу разбиения области (Д) на
части (5к).
Отметим, что для закрепленного способа разбиения (Д) на
части (рк) суммы s и S — определенные числа. Если же способ
разбиения изменить, то изменятся, вообще говоря, и числа s и 5.
Отметим далее, что интегральные суммы Римана о даже для
закрепленного способа дробления (£>) на части (ДЛ) принима-
ют, вообще говоря, бесконечное множество значений (за счет
различного выбора точек (хк,ук) в (Z)fc)).
Суммы Дарбу обладают следующими свойствами.
1. Пусть s и S — нижняя и верхняя суммы Дарбу, отвечающие
закрепленному способу дробления области (Д). Пусть {о} —
множество интегральных сумм Римана, отвечающих этому же
способу дробления области (Д). Тогда для любой интегральной
суммы Римана о из {о} будет: s < ст < S .
2. Пусть s и S — нижняя и верхняя суммы Дарбу, отвечающие
закрепленному способу дробления области (Z>). Пусть {о} —
множество интегральных сумм Римана, отвечающих этому же
способу дробления области (D). Тогда s = inf {ст}, S = sup{cj}.
3. Пусть s и S — нижняя и верхняя суммы Дарбу, отвечающие
какому-нибудь способу дробления области (Д). Добавим теперь
еще одну простую кривую дробления (все прежние кривые дроб-
ления сохраняются). В результате у нас получится некоторый
новый способ дробления области (Д). Пусть ? и S — нижняя и
верхняя суммы Дарбу, отвечающие этому новому способу дробле-
ния области (Д). Справедливо утверждение, что S < S, s > s,
т. е. что от добавления новых кривых дробления верхняя сумма
Дарбу не увеличивается, а нижняя сумма Дарбу не уменьшается.
4. Выше было отмечено, что для закрепленного способа дроб-
ления области (Д) нижняя и верхняя суммы Дарбу s и S суть
определенные числа. Если же способ дробления области (Д)
изменить, то изменятся, вообще говоря, и числа s и 5. Следова-
387
тельно, как s, так и S принимают, вообще говоря, бесконечное
множество значений.
Пусть {^} — множество значений, принимаемых нижней сум-
мой Дарбу, {5} — множество значений, принимаемых верхней
суммой Дарбу. Справедливо утверждение.
Всякая нижняя сумма Дарбу не больше любой верхней суммы
Дарбу, т. е. для всякой s из {s} и для любой S из {5} оказывается
s^S.
Видим, что перечисленные здесь свойства сумм Дарбу явля-
ются дословным повторением аналогичных свойств сумм Дарбу,
установленных для функций f (х), заданных на промежутке [а, />].
Следует отметить, что и доказательства этих свойств совершенно
аналогичны прежним.
Приступим теперь к установлению признаков интегрируемости.
Теорема 1 (основной признак интегрируемости). Пусть функция
f(x,y) — ограниченная, заданная в области (Р). Для того чтобы
fix,у) g R(D), необходимо и достаточно, чтобы было
lim(5 - s) = 0 (разности S -s составляются каждый раз из чисел s
X—>0
и 5, отвечающих одному и тому же способу дробления области (5)).
Необходимость. Дано: fix,у) е R(D), I = До-
(D)
казать, что lim (5 - 5) = 0.
Х->0 _
Возьмем е > 0 — любое. По условию f(x,y) е R(D) => взя-
тому е > 0 отвечает 5 > 0, такое, что для любого разбиения (5)
на части (Dk), у которого А < 3, для каждой о из множества {о},
отвечающих этому способу разбиения, будет |о - /| < j. Выберем
и закрепим какой-нибудь способ разбиения (Р) на части (Р^),
у которого А < 8. Будем иметь |о - /| < j, для любой о из {о}
(здесь {а} — множество интегральных сумм Римана, отвечающих
нашему закрепленному способу разбиения (Р)), или, что то же
самое,
388
е
3
£
3’
(1)
1) Из соотношения (1) имеем, в частности, ст < I + j, ст g {ст} =>
=> / + -| — верхняя граница {ст}. Мы знаем, что 5 = sup{o}.
Поэтому
(2)
s<i+^
3
(5 — верхняя сумма Дарбу, отвечающая нашему закрепленному
способу разбиения (D)).
2) Из соотношения (1) имеем также ct>Z-j, ое{с} =>
I - j — нижняя граница {ст}. Мы знаем, что s = inf {of}. Поэтому
(3)
(s — нижняя сумма Дарбу, отвечающая нашему закрепленному
способу разбиения (D)).
Из соотношений (2) и (3) следует, что
2
О < S - S < — £ .
3
Тогда 0 < 5 - 5 < е => |5-s|<e. Последнее неравенство получено
нами лишь в предположении, что X < 8. Следовательно,
lim (5 - 5) = 0.
Достаточность. Дано: lim(5 - 5) = 0. Доказать, что f (х,у) g R(D).
По условию, lim(5 - s) = 0. Это означает, что любому е > О
X—>0 _
отвечает 8>0 такое, что для любого разбиения (D) на части
(Д*), у которого X < 8, оказывается |5 - s| < е , или S - s < е (так
как 5-л>0). Рассмотрим множества {5} и {5}. Выберем
и закрепим любую S из {5}. Обозначим ее через SQ. По свой-
389
ству 4) сумм Дарбу, имеем s < 50, s g {$}. Это означает, что {5}
ограничено сверху. Но тогда, как мы знаем, существует sup{$}.
Пусть А = sup{s} (А — определенное число). Ясно, что s < А ,
s е {5}. Ясно далее, что А < 50 (так как А — точная верхняя
граница {5}, a SQ — просто верхняя граница этого множества).
У нас 50 — любая из {5}. Следовательно, А < S, S е {5}. Таким
образом, получили
s < А < S. (4)
Отметим, что в соотношении (4) s и 5 могут отвечать как различ-
ным, так и одному и тому же способу разбиения (D) на части (Dk).
Возьмем любой способ разбиения (D) на части (Dk). Пусть {о} —
множество интегральных сумм Римана, отвечающих этому способу
разбиения (D), a s и S — нижняя и верхняя суммы Дарбу. Одно-
временно будут иметь место соотношения
s < о < S, ст g {ст}; s < А < S.
Тогда -(5 - s) < ст - А < (5 - s), ст е {ст}или |ст - А\ < (S - 5), ст g {ст}.
Если брать любой способ разбиения (Л) на части, у которого
А < 3, то будет 5 - s < е, а значит,
|ст - А\ < е, ст g {ст}.
Последнее означает, что А = р^ст => fix,у) g R(D) •
Замечание. Имеем
п п п п
5 - 5 = %MkFk - ^mkFk = Y(Mk - mk)Fk = ^kFk.
k=\ *=1 *=1 *=1
Здесь coA = Mk -mk — колебание функции fix,у) в (Dk). Теперь
основной признак интегрируемости может быть сформулирован так.
Пусть функция fix,у) — ограниченная, заданная в области
(Л). Для того чтобы fix,у) g 7?(Л), необходимо и достаточно,
чтобы любому е > 0 отвечало 3 > 0, такое, что для любого спосо-
ба разбиения (Л) на части (Лл), у которого А < 3, было бы
490
< е.
л=1
Теорема 2. Если fix,у) е С(77), то f{x,у) е R(D) (т. е. если
функция fix,у) определена и непрерывна в (D), то
Jf fix,у) dxdy существует).
(О) _
Возьмем е > 0 — любое. По условию f(x,у) е C(D). Так
как (D) — ограниченное замкнутое множество, то по теореме
Кантора fix,у) равномерно непрерывна в (D). Следовательно,
взятому е > 0 отвечает 3 > 0, такое, что для любого разбиения
— — 6
(D) на части (Dk), у которого X < 3, будет <ок < — одновремен-
Г
но для всех к = 1, п (см. следствие из теоремы Кантора; здесь F —
площадь области (О)). Возьмем любой способ разбиения (27) на
части (рк) (к = 1,п), у которого X < 8. Будем иметь для такого
способа разбиения (5)
Л FI р р Л р
Л=1 Л=1
п
Неравенство <е получено нами лишь в предположении,
что X < 8. Последнее означает, что fix,у) е R(D).
Теорема 3. Пусть ограниченная функция fix,у) задана в
области (77) и непрерывна там всюду, за исключением множества
точек, лежащих на конечном числе простых кривых. Тогда
/(х,у)еЛ(Д).
Пусть для определенности у функции fix,у) в iD) имеет-
ся лишь одна линия разрыва (£). Возьмем е > 0 — любое. По
теореме о простой кривой линию (Z) можно заключить внутрь
многоугольной области iD,), площадь которой меньше е .
Контур iK,) области (Д) есть замкнутая ломаная, звенья
которой параллельны координатным осям. (£) и iK,) не пересе-
каются.
391
Рис. 8.3. К доказательству теоремы 3
Пусть (D) \ (Л.) — область, остающаяся после удаления (Л,)
из (Л). (Контур (К,) причисляем к области (Л)\(Л,)). Ясно,
что f\x,y) — непрерывна в (Л)\(Л.).
Так как (Л)\(Л.) — ограниченное замкнутое множество,
то f(x,y) равномерно непрерывна в (Л) \ (Л,). Следовательно,
взятому е > 0 отвечает число 8j > О такое, что для любых
двух точек (х',у'); из (Л) \ (Л,), для которых
р((*',У'); (*",/'))<8 будет |/(х",/')-/(х',/)| < е.
Контур (АГ.) есть простая кривая. По обобщенной теореме о
простой кривой, взятому е > 0 отвечает 82 > 0, такое, что для
любого способа дробления, у которого А. < 82, сумма площадей
тех частичных областей, которые задевают (АГ.), будет меньше е.
Положим 8 = min{81,82}. Разобьем область (Л) произвольной
сетью простых кривых на части (рк), к = 1, л, так, чтобы оказа-
п
лось 1 < 8, и составим разность сумм Дарбу S -s = Y®kFk-
_ _ _ *=i
Из областей (Л0, (Л2), ..., (Л„) образуем три группы.
В группу I отнесем те из (Л*), к = 1, п, которые лежат
в (Л) \ (Л,) и не задевают контура (К,).
В группу II отнесем те из (Лл), к = 1, п, которые лежат в (Л,)
и не задевают контура (К,).
В группу III отнесем те (Л*), которые задевают контур (К,).
392
Тогда и сумма ^®kFk разобьется на три суммы Хр Хп» Sm-
*=i
В сумме Xi будет <ак < е, и поэтому Xiw*^t < е • F. В суммах
Хп и Хш будет <о* < Й, где Q - колебание функции f(x,y)
в (Б) (число й существует, ибо f(x,y) — ограниченная в (D)).
Так как суммы площадей областей (Dk), попавших в группу II
и в группу III, меньше е , то будем иметь:
Хп® ’ Хп Fk < й • е,
Хщ®*^ — ’ Хщ Fk < Я в •
А тогда
S - s = Х<МЪ < е(^ + 2°) (5)
*=i
(число e(F + 2й) сколь угодно мало вместе се).
Так как для достижения неравенства (5) нам потребовалось
лишь чтобы было Л < 5, то заключаем, что lim (5 - s) = 0, а это
________________________ X—>0
означает, что f(x,y) е R(D).
§4 Свойства двойных интегралов
1°. jJdF = F (F — площадь области (Р)).
(Д) _
В самом деле, здесь f(x,y) = 1 всюду в (£)). Поэтому, взяв
любое разбиение области (Б) на части (рк), к = 1, п, и выбрав
произвольно точки (х*,у*) в (Рк), будем иметь f(xx,yx) = 1;
/(*2,Уз) = h Л*з,Уз) = 1 , •••> f(x„,y„) = 1. Следовательно,
o=Yf(xk>yk) Fk = ^ Fk = YFk=F => limo = F<
*=1 *=1 к=1 Л->0
2°. Если f{x,y) е R(D) и а — произвольное число, то
af(x,y) е R(D) , причем JJ a.f(x,y)dF = а • {[ f(x,y)dF.
(D) (D)
393
Возьмем произвольное разбиение сетью простых кривых
области (D) на части (рк) и составим интегральную сумму
Римана для функции а/(х,у). Будем иметь
а(а/)= £а/(хъу*)£Л = a£,fixk,yk)Fk =ao(F).
*=1 к=1
По условию, fix,у) е RiD) =» limo(/) существует, конечный и
Х->0
равный || f(x,y)dF. Но тогда limo(a/) = alima(/) = a [[ f(x,y)dF,
(Д) x^° (5)
т. e. limo(a/) существует, конечный => || aj(x,y)dF существует,
x^° (Д)
причем
JJ <*/(*, 3>) dF = a JJ fix, y)dF. 4
(Д) (Д)
3’. Если fix,у) e RiD) и gix,y) g RiD) , to (/(x,y) ± g(x,y)) g
g RiD), причем
JJ {fix,У) ± gix,y))dF = JJ fix,y)dF ± JJ gix,y)dF.
(D) (D) (D)
Берем произвольное разбиение сетью простых кривых об-
ласти (D) на части (Dk) и составляем интегральную сумму
Римана для функции fix, у) ± gix,y). Будем иметь
п
oif ± g) = Y{f(xk>yk) ± g(xk,yk))Fk =
к=1
п п
= £/(**,* 1№хк>Ук)Гк =<sif) + <sig).
*=1 Л=1
По условию fix,у) g RiD) и gix,y) g RiD) =» существуют
конечные lim о(/) и lim о(г). Но тогда существует конеч-
Х->0 Х->0
ный lim а(/ ± g), причем lim о(/ ± g) = lim о(/) ± lim а(г) =>
Аг—>0 X—>0 X—>0 X—>0
=» ||{fix,у) ± gix,y))dF существует, причем Д(/(х,у) ± gix,y))dF =
(D) (D)
= j[f(x,y)dF± jjgix,y)dF. 4
(D) (О)
394
4’. Пусть f(x,y) g R(D). Если изменить значения функции
f(x,y) вдоль какой-нибудь простой кривой (Z) (с тем лишь
условием, чтобы и измененная функция оставалась ограничен-
ной), то вновь полученная функция также интегрируема в (Б) и
ее двойной интеграл по области (D) равен fJf(x,y)dF.
(О)
Если составить интегральные суммы Римана для изменен-
ной и исходной функций, то они могут разниться лишь теми
слагаемыми, которые относятся к областям (Dk), задевающим
кривую (Z). Но, по обобщенной теореме о простой кривой,
общая площадь этих областей стремится к нулю при Л -» 0,
откуда уже легко заключить, что обе интегральные суммы стре-
мятся к общему пределу, т. е. к I = f| f(x,y)dF.
<D)
Таким образом, существование и величина двойного интегра-
ла не зависят от значений, принимаемых подынтегральной функ-
цией вдоль конечного числа простых кривых. 4
5°. Если область (Б), в которой задана функция f(x,y),
разложена простой кривой (Z) на две области (Б) и (D2), то из
интегрируемости функции f(x,y) во всей области (Б) следует ее
интегрируемость в областях (Dj) и (Р2)» и обратно — из интег-
рируемости функции f(x,y) в обеих областях (Д) и (Z>2)
вытекает ее интегрируемость в области (Б). При этом
JJ/(x,y)rfF= jJ/(x,y)JF+ jJ/(x,y)JF. (1)
(D) (Dt) (Di)
Разложим области (Д) и (Р2) произвольными сетями
простых кривых на части; тем самым и (Б) разложится на части
(Z)]), (Р2), ..., (Рл). Если значком к' отметить частичные об-
ласти, содержащиеся в (Р0, а значком к" — частичные области,
содержащиеся в (Р2), то
+ .
к=1
395
_ п
1) Пусть функция f(x,y) е R(D). Но тогда lim T.(okFk = О,
а следовательно, и подавно lim сок-Fk, = 0 и lim ^mk-Fk- = 0.
Последнее означает, что /(х,у) e R(D{) и f{x,у) g R(D2).
2) Пусть теперь дано, что функция f(x,y) е R(D{)
и f(x,y) е R(D2) Но тогда lim = 0 и lim = 0 >
Х^^О х->о
а следовательно, и lim со7^ = 0 => f(x,y) е R(D).
п
Однако нужно помнить, что £ a>kFk построена не для произ-
_*=1
вольного разбиения области (5) на части: ведь мы исходим из
разложения порознь областей (£)]) и (Z)2). Чтобы от произволь-
ного разложения области (D) перейти к разложению рассмотрен-
ного частного вида, нужно присоединить к линиям деления
кривую (£). Тогда соответствующие суммы будут разниться лишь
слагаемыми, отвечающими тем частичным областям, которые
задевают кривую (£). Но по обобщенной теореме о простой
кривой общая площадь этих областей стремится к нулю при
Z -> 0 и, следовательно, соответствующие суммы будут разниться
на бесконечно малую величину. Значит, условие интегрируемос-
ти функции f(x,y) в (D) будет выполнено.
Доказываемая формула (1) получается из равенства
п
^f(xk,yk)Fk = ^f(.xk-,yk’)Fk, + Yf(xk^,yk^Fk^
к=\
переходом в нем к пределу при Л —> 0.
6°. Пусть f(x,y) е R(D) и g(x,y) е R(D) и пусть всюду
в (D) выполняется неравенство f(x,y) < g(x,y). Тогда
JJ f(x,y)dF < JJg(x,y)</F.
(D) (Z>)
Произвольной сетью простых кривых разобьем (Д) на
части (Dk). В каждой частичной области (Dk) берем произволь-
396
ную точку (хк,ук). Ясно, что f(xk,yk) < g(xk,yk), к = 1, п. Ум-
ножим обе части этого неравенства на Fk (Fk>0). Получим
S(xk,yk)Fk . Просуммируем полученные неравен-
п
ства по значку к от 1 до п. Будем иметь ^lfixk,yk)Fk <
п k=i
< ^S(xk,yk)Fk. Переходя здесь к пределу при Л -> О, получим
к=1
j&f(x,y)dF< ^g(x,y)dF. 4
(2>) (D)
T. Пусть fix,у) е R(D) и пусть всюду в (Р): m < fix,у) < М.
Тогда m- F < Д f(x,y)dF <, М F.
(D)
Это следует из свойств 6°, 2°, Г.
8°. Теорема о среднем значении. Пусть fix,у) е R(D) и пусть
всюду в (Р): т < fix,у) < М. Тогда существует число ц, удов-
летворяющее условию т<ц<М, такое, что будет
О»
Выше (см. 7°) установлено, что в этом случае выполняется
неравенство mF < fix,y)dF < MF. Разделим все части этого
(D)
неравенства на F (F > 0): т < Д fix,y)dF < М. Обозначим
^(2»
Т Я f(x’y)dF = р (ясно, что т< ц < М). Тогда jjfix,y)dF = ц • F,
F (D) (D)
а это и требовалось установить.
9°. Частный случай теоремы о среднем значении. Если функ-
ция fix,у) е С(Р), то в (Р) обязательно найдется хотя бы одна
точка (£,?]), такая, что будет
Д/(х,у)</г=/а,п)-л
(Л)
397
► По условию f(x,y)eC(D) => по теореме Вейерштрасса
fix, у) достигает в (D) своего наименьшего т и наибольшего М
значений. Так как fix,у) е C(D), то fix,у) е RiD). Тогда по
теореме о среднем значении Д f(x,y)dF = ц • F, где т < ц < М.
Значения т и М функция f(x,у) принимает в (D). Если же
т < ц < М, то по теореме о промежуточном значении для функ-
ции f(x,y)eC(D) заключаем: в области (D) обязательно най-
дется хотя бы одна точка такая, что будет /(£,г|) = Н,
а значит, и в этом случае
Д/(х,у)</Г = /(^,т1)Л «
(D)
10*. Если функция fix,у) е RiD), то и функция
|/(х,у)| е RiD), причем
Jj/(x,y)JF < Д|/(х,у)|^.
(D) (D)
По условию fix,у) е RiD) => fix,у) — ограниченная в
(Л), т. е. существует число L > 0, такое, что |/(х,у)| < L в (Л).
Последнее означает, что функция |/(х,у)| — ограниченная в (Л).
Следовательно, существуют т = inf{/(x,y)}, М = sup{/(x,y)},
(О) (D)
in = inf{|/(x,y)|}, М = sup{|/(x,y)|}, а значит, существуют
(О) (D) 1
й = М -mnQ. = М - th (й — колебание функции fix,у) в (Л),
ай — колебание |/(х,у)| в (Л)). Легко понять, что й < Й.
Возьмем произвольное разбиение области (Л) сетью простых
кривых на части (Dk), к = 1, л. Пусть — колебание fix,у) в
iDk), aS* — колебание |/(х,у)| в (Л*). Имеем 0<й* <<о*,
к = 1, л => 0 < <!bkFk < <nkFk, к = 1, л. Следовательно,
п п
(2)
*=1 *=1
398
__ п
Так как f(x,у) е R(D), то lim ^}(олРл = 0. Тогда из (2) заклю-
х->ол=1
п _
чаем, что lim <f>kFk = 0. Последнее означает, что |/(х,у)| е A(Z>).
Имеем, далее,
п п
tf(xk,yk)Fk < Y\f^xk^k)\Fk,
*=1 *=1
Т. е. |о(/)| < 0(1/1). Переходя в последнем неравенстве к пределу
при А -> 0, получим
fjfix,y)dF
(D)
< Ulf(x,y)ldF. <
(D)
§5. Вычисление двойного интеграла
в случае прямоугольной области
Пусть ограниченная функция fix,у) задана в прямоугольни-
ке (Р) =
а < х < Ь,
с <у <d.
1) Пусть при каждом закрепленном у из [с, </] функция f (х,у)
интегрируема на [а, й], т. е. при каждом закрепленном у из [с, d]
ь ь
существует jf(x,y)dx. Следовательно, jf(x,y)dx представляет
а а
собой функцию аргумента у, заданную на промежутке
ь
Станем обозначать j fix,у) dx = ср (у), у g [с, d]. Допустим те-
а d
перь, что эта функция ф(у) е Л([с, J]). Тогда /<р(у)<7у =
С
dfb A d Ь
= J ff(x,y)dx dy = fdyf f(x,y)dx называется повторным интег-
с\а у с а
ралом от функции f(x,y) в (Р).
399
2) Допустим еще, что при каждом закрепленном х из [а, 6]
d
существует j f(x, у) dy. Ясно, что каждому х из [а, будет отве-
С
d
чать свое, вполне определенное значение интеграла jf(x,y)dy.
С
d
Следовательно, jf(x,y)dy представляет собой функцию аргу-
С
мента х, определенную на промежутке [а,/>]. Станем обозначать
d
J f(x,y)dy = у(х), хе [а, д]. Допустим, что эта функция
С
b(d
b
b d
у(х) е Л([а,/>]). Тогда = | J/(x,y)rfy dx = \dx\ f(x,y)dy
а с
называется еще одним повторным интегралом от функции f (х,у)
а
а
в(Р).
Теорема 1. Если у ограниченной функции f(x,y), заданной в
прямоугольнике (Р), существуют одновременно /дв = JJ f(x,y)dxdy
, а <?>
а и
И 4овт. = J dyj /\Х>У) dx, ТО они равны, т. е. 7ДВ. = 7П0ВТ..
с а
Рис. 8.4. К вычислению двойного интеграла
в случае прямоугольной области
400
► Разобьем (Р) отрезками прямых х = х, (i = 0,1,2,..., п,
х0=а, х„ = Ь), у = ук(к = 0,1,2,..., т, у0 = с, ут = d), на час-
тичные прямоугольники (Р1к), где (РЛ) =
х,< х < х/+1,
У к -У-Ук+\-
Пусть
mik ~ шГ{/(*>У)}, Mb = sup{/(x,y)}. Значит, если точка
№)_ (/>Л)
(x,y)e(Pik), то
mik < f(x,y) < М* . (1)
Возьмем любое у из [уЛ ,Ук+\] и закрепим его. Сделав это, проин-
тегрируем неравенство (1) по х от х,- до х/+1. Получим
//(х,у)^^Л/Л(х|+1-х,). (2)
Интеграл J f (х, у) dx существует, так как существует по условию
XI
Тповт. > а это значит, что при любом закрепленном у из [с, d]
fix,у) е P([a,Z>]); тем более fix, у) е Л^хох/+1]). Просуммируем
неравенства (2) по значку i от 0 до п -1 (во всех этих неравенствах
считаем у одним и тем же, взятым из [ук, ук+1 ]). Будем иметь
л-1 Ъ л-1
£тл(х/+1-х,)< J/(x,y)dx< YMik(xM~xi). (3)
/=0 а /=0
Проинтегрируем неравенство (3) по у от ук до у*+1. Получим
л-1 Ук+\ Ь
X mik<xM ~ xi№k+i - У к) * J dyf f(x> У)<^^
i=0 Ук а
л-1
SMik(xM ~х,)(Ук+1 ~Ук). (4)
1=0
Просуммируем неравенства (4) по значку к от 0 до т -1. Будем
иметь
401
m-\n-\ d b
Z £ mtk(xi+\ ~~ х^(Ук+\ Ук) J dyJ f Iх >y)dx<
k=Oi=Q ' Тут” ' c a
m-\n-\
~x/)(^+i -Ук)
k=Oi=O ' Г? ’ >-s s < J < S
___________________~tjk________ ° — Л ПОВТ. — M •
^5
Так как s<IAB<S, то -(S - s) < InoVT -1ДВ <(S - s), т.е.
Иповт _ Лв 5 ~ 5 По условию, 1ПВ существует => Iim(5 - s) = 0.
1 4 Л->0
Следовательно, ZnoBT - /дв. = 0 => /дв = /повт. <
Замечание. Совершенно аналогично устанавливается.
Если у ограниченной функции f(x,y), заданной в прямо-
угольнике (Р), существуют одновременно /дв = f(x,y)dxdy
(?)
ь d
и /повт. = 1dxf/(*>У) dy , то /дв = 7ПОВТ.
а с
Теорема 2. Пусть функция f(x,y) определена и непрерывна в
(Р) =
а < х < Ь,
с < у <d.
ь
Пусть <р(у) = J f(x,y)dx, у е [c,d]. Тогда функ-
а
ция ф(у)еС([с,</]).
Эта теорема была доказана ранее. (См. гл. 7, §3. О непре-
рывности интеграла как функции параметра.)
Замечание. Совершенно аналогично устанавливается справед-
ливость утверждения.
_ d
Пусть /(х,у)еС(Р) и пусть у(*) = J f(x,y)dy , хе[а,Ь].
С
Тогда функция ж(х) е C([a,Z>]).
Следствие. Если функция f(x,y) определена и непрерывна в
_ d b b d
(Р), то существуют/повт. = jdyjf(x,y)dx и 7П0ВТ = jdxf f(x,y)cfy.
с а ас
402
b
Действительно, в этом случае <р(у) = fix,у) dx е C([c,tZ]),
а
d
a v(x) = f fixy) dy e C([a, 6]). Следовательно, tp (у) e P([c, J]);
c
d b ~
y(x) g Я([о,6]), т.е. J <p (y) dy = /повт. и J у (x) dx = 7ПОВТ суще-
c a
ствуют. 4
Ранее (см. §3, теорема 2) было доказано, что если
/(х,у) е С(Р), то fix,у) е R(P), т. е. существует 1т = Д/(х,у)Лф.
(?)
Таким образом, приходим к выводу: если fix,у) е С(Р), то
существуют одновременно /дв., /ПОвт., 7ПОВТ • А тогда по теоре-
ме 1 настоящего параграфа, получаем, что /дв = 7П0ВТ , т. е.
а ъ
Д fix,у) dxdy = J dyj f(x,у) dx. (5)
(Р) с а
и /дв# Атовт. > Т- е.
b d
Д fix,У) dxdy = J dxf fix,у) dy. (6)
(P) a c
Пример 1. Вычислить I = ff
faix + y)2
где (P) =
3 < x < 4,
1 < у < 2.
Ь По формуле (5) имеем ff-----= f dy f--------=-. Находим
(%(x + y)2 j з(х + у)2
сначала внутренний интеграл:
| dx =________1_|X=4 = 1_______L_
з(х + у)2 ^ + y|x=3 y + 3 y + 4‘
А тогда
dxdy ?fl 1 , у + 3y 2
----^0-= ----7------L/y = ln-—-
$>(x + y)2 . 11у + 3 y + 4) У + 4у=1
i 5 i 4 i 25 .
403
Пример 2. Вычислить I = IT-у?а^>. где (Р) =
(%(1 + ^2+/)3/2
О < х < 1,
О < у < 1.
Здесь для вычисления /удобнее воспользоваться формулой
(6), т. е. взять внешнее интегрирование по х, а внутреннее — по у.
Будем иметь
1 ।
I = J dxj
о о
ydy
(1 + х2 + у2)3/2
Находим внутренний ин-
теграл:
1 y=1
j- ydy____________________1_____ 1_________________1
0 (1 + х2+у2)3/2 Jl + x2 + у2 п Ух2 +1 Ух2 + 2
» •' у = 0
А тогда
1
Ух2 +2,
Jx = ln
х + Ух2 +1
х + Ух2 + 2
, 1 + V2 , /т- . 2 + V2
= 1П------т=- + In V2 = In----
i + Уз i + Уз
Замечание. Если вычислять / по формуле (5), то квадратуры
окажутся более сложными. В самом деле, будем иметь
I = Jу dyj------—2~з/2- Находим внутренний интеграл:
о оО + х + Д' )7
Х = 1
[• dx _ 1 х 1 1
о(1 + х2 +у2)3/2 1 + У2 У1 + х2 +у2 х=0 1 + / У2 + у2 ’
404
§6. Вычисление двойного интеграла в случае
криволинейной области
Пусть ограниченная функция f(x,y) задана в области (D),
ограниченной линиями у = с, у = d (с <d)vi х = а(у); х = Р(у),
где а(у), Р(у) — функции, непрерывные на промежутке [c,d]
и такие, что а(у) < р(у), у е [с,d].
Определение. Пусть при каждом закрепленном у из [c.rf]
₽(/) ₽(у)
существует jf(x,y)dx. Тогда [f(x,y)dx представляет собой
“(У) а-(У)
функцию аргумента у, определенную на промежутке [c,d], т. е.
Р(т)
[ f(x, у) dx = tp (у), у е [с, d]. Если эта функция ф (у) оказыва-
’ ч обозн.
“(у) d
ется интегрируемой на промежутке [с,</], то |ф(у)</у =
d ₽(т) с
= jdy J f(x,y)dx называется повторным интегралом от функции
с а(у) _
f(x,y) в области (D).
Теорема 1. Если у ограниченной функции f(x,y), заданной в
области (jO), существуют одновременно оба интеграла: 1ДВ =
= f(x,y)dxdy и /ПОвт. =jdy \f(x,y)dx, то они равны, т.е.
(Р) с а(у)
^дв. — -^повт.
Рис. 8.5. К определению повторного _
интеграла от функции f(x,y) в области (D)
405
Рис. 8.6. К доказательству теоремы 1
По условию а(у) и Р(у) — функции, непрерывные на
Значит, они — ограниченные на [c,rf]. Следовательно,
найдутся числа а и Ь, такие, что будет а < а(у) < Р(у) < Ь,
уе[с,</]. Построим прямоугольник (Р) =
а < х < Ь,
Ясно, что
с < у < d.
(D) с (Р). Введем в рассмотрение вспомогательную функцию
g(x,y), определив ее в прямоугольнике (Р) следующим образом:
g(x,y) =
f(x,y) в (Р),
О в (Р)\(Р).
Покажем, что у функции g(x,y) в (Р) существуют оба интеграла:
d Ь
7дв. = и Л’овт. = fdy[g(x,y)dx.
(Р) с а
1) Действительно, g(x,y) е R(D), ибо в (Р) g(x,y) = f(x,y).
Кроме того, g(x,y) е Р((Р) \ (Р)), ибо g(x,y) = 0 всюду
в (Р) \ (Р), за исключением, быть может, множества точек,
лежащих на двух простых кривых: х = а(у) и х = Р(у), у = [с, d]
(мы знаем, что существование и величина двойного интеграла не
зависят от значений, принимаемых подынтегральной функцией
406
вдоль конечного числа простых кривых). Значит, g(x,y) е R(P),
т. е. /дВ = JJ g(x, у) dF существует. Имеем, далее,
(?)
/дв. = Д S(x,y) dF = JJ g(x,y) dF + JJ g(x,y) dF =
(Л) (O) (P)\(D)
=0
= П/(х,у)^ + 0 = /л,.
(o)
Итак, /*в существует, и
♦ _
/дв. ~ /дв. • (О
2) Покажем теперь, что у функции g(x,y) в (Р) существует
Ловт. • Для этого возьмем любое у из [с, d] и закрепим его. Имеем
[а,/>] = [а,а(у)] U [аОО.РОО] U [РОО, />].
Функция g(x,y) интегрируема по х на каждом из этих трех проме-
жутков, ибо на [а (у), РОО] она совпадает с f(x,y), а на остальных
двух — g(x,y) - 0 всюду за исключением, быть может, двух точек.
Имеем, далее,
Ь а(у) Р(_и) b РОО
\g(x,y)dx= Jg(x,y)dx+ $g(x,y)dx+ $g(x,y)dx= jf(x,y)dx.
a a. <*00 000 «00
=0 =0
По условию, правая часть последнего равенства интегрируема на
промежутке [c,d] (по условию, 7П0ВТ существует). Значит, интег-
рируема на промежутке [c,d] и левая часть этого равенства, т. е.
d Ь
существует 7*овт = | dyf g(x,y)dx. Таким образом, показано, что
с а
Ловт. существует и что
Дтовт. *" Аговт. • (2)
407
Так как у ограниченной функции g(x,y), заданной в прямоуголь-
нике (Р), существуют оба интеграла /дв и /повт, то по теореме 1
предыдущего параграфа заключаем, что
1дв. ~ /повт. • (3)
У нас /дв. = /дв. 9 Амет. — /повт. • Следовательно, /дВ. ~ /повт. *
Теорема 2. Пусть функция f(x,y)eC(D) и пусть <р(у) =
Мл)
= f f(x, y)dx, у & [с, d]. Тогда <р (у) е С([с, </]).
«(у)
Эта теорема была доказана ранее (см. гл. 7, §6, теорема о
непрерывности интеграла как функции параметра).
Следствие. Если функция fix, у) е C(D), то существует
d d Мл)
Ловт. = J <Р (У) dy = J dy J fix,у) dx.
с с а(у)
Ранее (см. §3, теорема 2) было доказано, что если
fix,у) е C(D), то fix,у) е Р(Р), т.е. существует 1ав =
= fix,у) dxdy. Таким образом, приходим к заключению: если
(Д)
fix,у) е C(Z>), то существуют одновременно /дв и /повт . А тогда
по теореме 1 настоящего параграфа приходим к выводу, что
/дв. ~ /повт. , Т. е.
d Мл)
Д fix, у) dxdy = jdyj fix, у) dx. (4)
(Д) с а(у)
Замечание 1. Если область (Z)) представляет собой криволи-
нейную трапецию другого типа и ограничена кривыми у = а(х),
у = Р(х), хе[а,д] и прямыми х = а, х = Ь, а<Ь (функции
а(х) и Р(х) предполагаются непрерывными на промежутке [a, Z>]
и такими, что а(х) < р(х), х е [а, д]), то вместо формулы (4)
придем к формуле
ь ₽(х)
Д fix, у) dxdy = J dx J fix, у) dy. (5)
(Д) а а(х)
408
При этом предполагается, что /(х,у)еС(Р), а следовательно,
Л ₽(х)
^Дв. = jjf(x,y)dxdy и 7П0ВТ = jf(x,y)dy существуют.
(D) а а(х) _
Замечание 2. Если контур области (Р) пересекается лишь в
двух точках как параллелями оси абсцисс, так и параллелями оси
ординат (как, например, в случае, изображенном на рис. 8.8), то
справедливы обе формулы (4) и (5). При этом, конечно, предпо-
лагается, что f(x,y)eC(D). Функции а(х),Р(х) е C([e,Z>]),
а(у),р(у)еС(М).
Замечание 3. В случае более сложного контура область (D)
обычно разлагается на конечное число частей рассмотренного
типа (например, на рис. 8.9 область (Р) рассекается прямой
Рис. 8.7. К замечанию 1
Рис. 8.8. К замечанию 2
х = у на три такие части: (Р(),
(Р2), (А))« Тогда искомый двой-
ной интеграл представляется сум-
мой двойных интегралов, распро-
страненных в отдельности на эти
части:
JJ/(x,y)tZF= JJ/(x,y)JF +
(А (А)
+ П f(x, у) dF + JJ f(x, у) dF.
(А) (А)
Рис. 8.9. К замечанию 3
409
§7. Примеры
Пример 1. Вычислить I = jj(х2 + у) dxdy, где (D) — область,
(б)
ограниченная двумя параболами: у = х2 и у2 = х.
Рис. 8.10. К примеру 1
Решение. Полезно сделать чертеж
(хотя бы грубо), чтобы получить общее
представление об области. Решая со-
вместно уравнения парабол, находим
точки их пересечения: (0, 0) и (1,1).
Если внешнее интегрирование про-
изводить по у, то промежутком изме-
нения у будет [0,1]. Взяв произволь-
ное значение у из промежутка [0,1],
видим по рисунку, что х изменяется от
х = у2 до х = 77 • Будем иметь, следо-
1 х=4у
вательно, I = j dy J (х2 + у) dx.
0 х=у2
Вычисляем внутренний интеграл:
*=77 / хз
J (х2 + у) dx = — + ух
х=у2 \ J Х=у2
= |у3/2 + у3/2-|у6-у3 = |у3/2-|у6-у3.
Вычисляем теперь внешний интеграл:
4 з/2 1 6 j 33
Пту' -7У -у Иу = пк-
3 J 140
Пример 2. Вычислить I = fl dxdy, где (D) — область, огра-
(5)У
ниченная прямыми х = 2, у = х и гиперболой ху = 1.
Решение. Наносим все эти три линии на рисунок (рис. 8.11).
Совместным решением уравнений легко получить, что прямая
410
х = 2 пересекает прямую у = х
в точке (2,2), а гиперболу
ху = 1 — в точке
; прямая
у = х и гипербола ху = 1 (в преде-
лах первого квадранта, где и лежит
рассматриваемая область) пересе-
каются в точке (1,1).
Если внешнее интегрирование
производить по х, то промежуток
Рис. 8.11. К примеру 2
изменения х будет [1,2]. Взяв про-
извольное значение х из этого про-
1
межутка, видим по рисунку, что у изменяется от у = — до у = х.
2 у=х х2
Будем иметь, следовательно, I = fdx j —dy.
1 У=1/х У
Но
2 У=х
X
У
, ? , 9
= х - х, так что I = (х - х) dx = —.
1 1 4
У~~ 1
В то время как в примере 1 вычисление двойного интеграла по
обеим формулам (4) или (5) представлялось одинаково простым,
в примере 2 дело обстоит иначе: вычисление по формуле (4) здесь
было бы сложнее. Тем не менее мы выполним его, ибо поучитель-
но дать себе отчет в причине указанного обстоятельства. _
Прямая, параллельная оси Ох, пересекает контур области (£))
в двух точках, так что формула (4) применима. Но кривая,
ограничивающая нашу область слева, состоит из двух частей:
куска гиперболы и куска прямой, которые определяются различ-
ными уравнениями. Иными словами, функция х = а(у) задается
различными формулами в различных частях промежутка —, 2
изменения у. Именно,
у, если у е [1, 2].
411
Поэтому интегрирование по у следует разбить на два промежутка:
у, 1 и [1, 2]. Следовательно, будем иметь
1 х=2 2 2 х=2 2
1/2 х=1/у У
У
Так
как
х=2
х2
\dx =
х=1/у У
х3
3/
х=2
8
Зу2 3/ ’
х=2 2 v3
f ^Т* = -Ч
х=2
х=у
1
У
3?
Зу2 3 ’
ТО
2
1/2\ ЗУ
Н , 17 5
— [dy = — н— =
3 7 12 6
9
4
С подобными обстоятельствами приходится считаться: из двух
возможных путей вычисления двойного интеграла, естественно,
выбирают более простой.
Пример 3. Вычислить
у1 dxdy, где (D) — об-
1-------
у=х
о
Х = 1
(D
Рис. 8.12. К примеру 3
у=0
(D)
ласть, ограниченная прямыми у = 0,
х = 1, у = х.
Если внешнее интегрирование про-
изводить по х, то промежуток измене-
ния х будет [0,1]. Взяв произвольное
значение х из промежутка [0,1], видим
по рисунку, что у изменяется от у = О
до у = х. Будем иметь, следовательно,
Вычисляем
внутренний интеграл:
О у=0
у=0
у2 dy = -J4x2 - у2 + 2х2 arcsin у-1
xJy=o
J3 п
Т+з
х2.
412
Вычисляем теперь внешний интеграл:
В примере 3 вычисление I можно было вести и по формуле
(4), т. е. производить внешнее интегрирование по у. Но в этом
случае мы натолкнемся на более трудные квадратуры. Чтобы
убедиться в этом, станем вычислять I по формуле (4). Имеем
1 Х=1 -------
I = jdy j -J4x2 - у2 dx . Вычисляем внутренний интеграл:
О х=у
А тогда
Сопоставляя это выражения для I с ранее полученным:
x2dx, видим, что вычисление I по формуле (5) пред-
почтительнее. Подобное обстоятельство следует учитывать при
выборе формулы для вычисления двойного интеграла.
Для приобретения навыков в расстановке пределов интегри-
рования в случае криволинейной области полезны следующие
упражнения.
Задача 1. Переменить порядок интегрирования в повторном
2 у=2-х
интеграле I = fdx \f(x,y)dy.
-6 X2 f
,=--1
Решение. Область интегрирования (Р) определяется совмест-
х2
ними неравенствами: -6 < х < 2 , — - I < у <2 - х. Изобразим
413
Рис. 8.13. К задаче 1
эту область (D) на рисунке. Из рис. 8.13 видим, что если брать
внешнее интегрирование по у, то область (Р) следует разбить на
две области (Dt) и (Р2) линией у = 0. Тогда (Р0 будет опреде-
ляться неравенствами -1 < у < 0, - 2-Jy +1 < х < 2-Jy +1, а (Р2) —
неравенствами 0 < у < 8, - 2у/у +1 < х < 2 - у. Будем иметь, сле-
довательно,
О x=2jy+l 8 х=2-у
I=fdy J f(x,y)dx + ]dy jf(x,y)dx.
-1 х=-27у+1 0 х=-2^+1
Задача 2. Переменить порядок интегрирования в повторном
интеграле
1 у=1-х2
I=]dx \f(x,y)dy.
у=-4\-х2
Решение. Область интегрирования (D) определяется совмест-
ными неравенствами
-1 < X < 1, - V1 -х2 < у < 1 - х2.
Изобразим область (Р) на рисунке. Из рис. 8.14 видим, что если
внешнее интегрирование производить по у, то область (Р) следует
разбить линией у = 0 на две области (Pt) и (Р2). Область (Р,)
определяется неравенствами -1 < у < 0, - ^1 - у2 < х < ^1 - у2 >
414
Рис. 8.14. К задаче 2
а область (Л2) — неравенствами 0 < у < 1, - J1- у <х< J1 - у .
Следовательно, будем иметь
О x--jl-y2 1 x=J\-y
I = ]dy j f(x,y) dx + jdy J f(x,y) dx.
-1 х=-т/1-у2 0 x=-Vi-)'
Задача 3. Переменить порядок интегрирования в повторном
2а у=^2ах
интеграле I = fdx j f(x,y)dy {а > 0).
0 у=^2ах-х2
Решение. Область интегрирования (Л) определяется совмест-
ными неравенствами 0 < х < 2д; J2ax-x2 < у < J2ax. Изобразим
область (Л) на рисунке. Из рис. 8.15 видим, что если внешнее
интегрирование производить по у, то область (Л) следует разбить
линией у = а на три области: (Л,), (Л2), (Л3).
Область (Л|) определяется неравенствами
0 < у < а, — <х<а- Ja2 - у2;
2а
область (Л2) — неравенствами
0<у<а, а + Ja2 - у2 <х< 2а\
область (Л3) — неравенствами
415
Рис. 8.15. К задаче 3
а < у < 2а, < х < 2а.
2а
Следовательно, будем иметь
а х=а-]а2-у2 а х-2а 2а х=2а
I-\dy Jf(x,y)dx + \dy /f(x,y)dx+ fdy Jf(x,y)dx.
0 x=zi 0 x=a+7a2-?2 a х-У
2a 2a
Задача 4. Вычислить I = || |cos (x + y)| dxdy, где (P) =
(D)
0 < x < я,
0 < у < я.
Решение. Отметим прежде всего, что cos (х + у) > 0 в областях:
cos (х + у) < 0 в областях:
— I ТЕ I —-
(Рг) = <0<х< —; - - х<у<я^ и (А) =
^<х<я; 0<у<-^-х|.
2 2 J
416
Рис. 8.16. К задаче 4
Имеем поэтому
I = Д |cos (х + у)| dxdy = Д cos (х + у) dxdy - Д cos (х + у) dxdy -
(D) (А) (Д2)
- Д cos (х + у) dxdy + Д cos (х + у) dxdy =
(Л>) (Л»>
п/2 у=п/2^х я/2 у=я
= j dx Jcos(x + y)dy- j dx Jcos(x + y)Jy-
0 y=0 0 у=я/2-х
n у-Зп/2-х n y=n
- J dx fcos(x + y)Jy+ J dx J cos (x + y) dy =
я/2 y=0 я/2 у=Зя/2-х
^2 ^2
= J sin(x + y)| 2 dx- J sin(x + y)|y°^ dx-
o ' о у=Тх
n y=—-X n
- J sin (x + y)| 2 dx + J sin (x + y)|y’”„ dx =
ф У i/2 y~~x
п/2 я/2
= j (1 - sin x) dx + J (1 + sin x) dx +
о 0
n n я/2 n
+ j (1 + sin x) dx + | (1 - sin x) dx = 2 J dx + 2 j dx = л + л = 2л.
я/2 я/2 0 я/2
417
Задача 5. Вычислить
= |х2 + у2 < 4}.
Рис. 8.17. К задаче 5
Пусть
I = JJsgn (х2 - у2 + 2) dxdy, где (D) =
(D)
Решение.
Ветви этой гиперболы являются ли-
ниями разрыва подынтегральной
функции. Так как подынтегральная
функция — ограниченная в (D)
и непрерывная там всюду, за исклю-
чением точек, лежащих на двух про-
стых кривых, то двойной интеграл I
существует.
(Di) = 1 < х < 1; >1х2 + 2 < у < 74-х21
(Z)3) = 1 < х < 1; - 74-х2 < у < -7х2 + 2
(Р2) = {- 2 < х < -1; - 74-х2 < у < 74 - х2} U
U {-1 х < 1; - 7х2 + 2 < у < 7х2 + 2} U
U < х < 2; - >/4 - х2 < у < 74 - х21.
Имеем в (A) U (D3): х2-у2+2<0,ав (Z>2) х2 - у2 + 2 > 0. Мы
знаем, что существование и величина двойного интеграла не зави-
сят от значений, принимаемых подынтегральной функцией вдоль
конечного числа простых кривых. Поэтому
I = jfdxdy- {[dxdy- [[dxdy = F^ - - F^ ,
(O2) (А) (Оз)
где Fg, F^, Fa* — площади областей (Dx), (Z)2), (D3). Так как
F.^. = 4л, Е„ . = , , to E„ . = 4л - 27^. и, следовательно,
(P) (V3) (L>i) (1>2> W)
418
I = 4n- 4F^. Так как область (Z>i) симметрична относительно
оси Оу, то
= 2^4-хI 2
2
4 . х
+ — arcsin — -
2 2
y--ln(l + V3) + lnV2
2л _,
— + 2 In
3
• А тогда
т л 8л ci V2 4л .. /_ /т\
/ = 4л - — - 8 In 5= = — + 4 In (2 + V3).
3 1 + V3 3 \ /
Задача 6. Вычислить I = JJ ^Е(у- х2) dxdy, № (D) = {х2 < у < 4|.
Решение. По определению функции Е, имеем:
если 0 < у - х2 < 1, т. е. если х2 < у < 1 + х2, то Е(у - х2) = 0;
если 1 <, у - х2 < 2, т. е. если 1 + х2 < у < 2 + х2, то Е(у - х2) = 1;
если 2 < у - х2 < 3, т. е. если 2 + х2 < у < 3 + х2, то Е(у - х2) = 2;
если 3 < у - х2 < 4, т. е. если 3 + х2 < у < 4 + х2, то Е(у - х2) = 3.
Следовательно, Е(у - х2) = 0 в (Di); Е(у - х2) = 1 в (Р2);
Е(у - х2) = 2 в (Z>3); Е(у - х2) = 3 в (Z>4). Видим, что подынтег-
ральная функция терпит разрыв на конечном числе простых кри-
вых, лежащих в области (D). В остальных точках области (D) она
непрерывная. Так как подынтегральная функция еще и ограничен-
ная в (D), то двойной интеграл I существует. Принимая во вни-
мание, что существование и величина двойного интеграла не зави-
сят от значений, принимаемых подынтегральной функцией вдоль
конечного числа простых кривых, можем написать, что
I = fj 0 • dxdy + jj 1 • dxdy + ff 42 dxdy + jj л/З dxdy =>
(A) (A) (A) (A)
419
Рис. 8.18. К задаче 6
=> I = Гр2 + 72 • + 7з , где Гд2, Гдз, F^ - площади обла-
стей (D2), (D3), (Р4) соответственно. Так как области (D2), (D3),
(D4) симметричны относительно оси Оу, то
4 x=Jy^3 4 _ у=4 .
jdx = 2$-Jy^-3 dy = 2 ±(у-3)3/2 =1
3 х=0 3 3 у=3 3
4 x=Jy^2 4 ______ 4
7o3=2I^' f^-^4 =2JVy-2</y-- =
2 х=0 2 J
= 2-|(у-2)3/2>’ 4-1 = 1.2V2-^ = |(2V2-1);
3 J Э J '
4 х=4)П 4 R К
1 х=0 1 J
-2 ^&-1)3/г''4-^ = 4Л^.
з ,=1 з 3
А тогда
/= 4Тз-^ + 72 .1(272-1) + 7з .1 = 1(473-372+4).
Глава 9
КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
§1. Криволинейные интегралы первого рода
Г. Прежде чем дать определение криволинейного интеграла
первого рода, рассмотрим следующую задачу.
Имеется спрямляемая пространственная кривая (/) длины s.
Пусть на (/) непрерывным образом распределена масса с плотно-
стью p(x,y,z) (Средней плотностью дуги мы называем отноше-
ние ее массы к ее длине. Плотность p(x,y,z) кривой (/) в точке
(x,y,z) есть предел средней плотности бесконечно малой дуги,
стягивающейся в упомянутую точку.) Требуется найти массу т
кривой (/).
Рис. 9.1. К задаче по определению массы кривой
421
Разбиваем кривую (/) точками Ао = А, Л1, А2, .... Ап_{,
Ап = В произвольным образом на п частичных дуг АкАк+1
(к = 0,1,2,... ,п-1) с длинами s0, s2, ..., . Полагаем
Л = max fa}. Предполагаем частичные дуги АкАк+1 столь малы-
Л=0, л-1
ми, что на ^.АкАк+1 плотность распределения массы р вдоль этой
дуги можно приближенно считать постоянной, равной
где точка (xk,yk,zk) — любая, принадлежащая
^АкАк+1. Тогда масса А тк частичной дуги АкАк+1 привой (/)
будет приближенно выражаться формулой
А/я* = p(xk,yk,zk)sk.
Масса т всей кривой (/) будет выражаться приближенно суммой
т « р(хо»УоЛМо +p(^!,yi,z1)si + ... +р(хя_1,уп_1,гя_1)л„_1 =
л-1 _ _ _
= Y?(xk,yk,zk)-sk.
к=0
Интуитивно ясно, что чем мельче частичные дуги AkAk+i, тем
меньше ошибка, которую мы делаем, считая частичную дугу AkAk+i
однородной. Поэтому за массу т кривой (/) естественно принять
л-1
w = lim ^p(xk,yk,zk)-sk. <
л->0 к=0
2°. Дадим теперь определение криволинейного интеграла пер-
вого рода. Пусть в пространстве расположена спрямляемая кри-
вая (/), имеющая концы в точках А и В, и пусть во всех точках
кривой (/) определена функция f(x,y,z) Проделаем следующие
операции.
1. Разобьем кривую (/) точками А$ = А, А{, А2, ..., Ля_1,
Ап = В, следующими друг за другом вдоль кривой (/) в направле-
нии от А к В, на частичные дуги ^АкАк+1. Пусть sk — длина
~АкАк+1 (к = 0,1,..., л -1). Положим Л = max fa) (X — ранг
_ ч *=0,л-Г 1
дробления).
2. На каждой дуге ~AkAk+i берем произвольную точку
(xk,yk,zk) и вычисляем в ней значение функции /, т. е. находим
f(xk,yk,zk).
422
3. Умножаем найденное значение функции на длину соответ-
ствующей ЧаСТИЧНОЙ ДУГИ f(xk ,Ук,^к)-5к, Л = 0,1,..., л -1.
4. Складываем все такие произведения. Получаем сумму
л-1
к=0
Отметим, что значение суммы о зависит, вообще говоря, как от
способа разбиения кривой (/) на части ~AkAk+t, к = 0, п -1, так и
от выбора точки (xk,yk,zk) на -АкАк+1.
5. Измельчаем дробление так, чтобы А. —> 0, и ищем lim а.
X—>0
Если существует конечный предел I = lim о и этот предел не
X—>0
зависит ни от способа разбиения кривой (/) на части -АкАк+1,
к = 0, п -1, ни от способа выбора точек (xk,yk,zk) на -АкАк+1,
то его называют криволинейным интегралом первого рода от функ-
ции f(x,y,z) по кривой (/) и обозначают символом
f f(.x,y,z)ds. (1)
-АВ
Если, в частности, кривая (/) лежит в плоскости Оху, то
функция /от координаты z не зависит и вместо (1) появляется
интеграл
f/(x,y)^. (2)
~АВ
Замечание 1. Из самого определения криволинейного интег-
рала первого рода вытекает следующее свойство:
\f(x,y,z)ds= \ f(.x,y,z)ds,
-АВ -ВА
т. е. направление, которое может быть придано пути интегриро-
вания, никакой роли не играет. В самом деле, ведь длина зк дуги
-.AkAk+i не зависит от того, какая из точек Ак и Ак+Х принята за
начало и какая — за конец дуги.
Замечание 2. Принимая во внимание определение криволи-
нейного интеграла первого рода, можно заключить, что в задаче
пункта Г масса т кривой (/) определяется по формуле
т= jp(x,y,z)ds.
-АВ
423
3°. Теорема (о существовании и вычислении криволинейного
интеграла первого рода по плоской кривой).
1. Пусть кривая ~АВ задана уравнениями:
х = <р(0,
te[p,q],
У = ф(0,
где <р и V — функции, заданные на промежутке [/>,д] и имею-
щие там непрерывные производные <р'(0, ф'(0 • Пусть
(ф(р)>ф(/0) = Л (ф (?),¥(?)) = В. Пусть точки (ф(/),у(0) следу-
ют друг за другом на ~АВ именно в том порядке, в каком
соответствующие значения t следуют друг за другом на [/>,?].
(Считаем ^АВ незамкнутой и не имеющей кратных точек.)
2. Пусть функция f(x,y) задана на ~АВ и непрерывна там.
Тогда 1= jf(x,y)ds существует и выражается обыкновен-
ия
ным определенным интегралом по формуле
J /(х,у) ds = J /(ф (О, Ф(0) • >|(ф'(ОУ + (ф'(0)2 dt (р < д) (3)
-АВ р
(подчеркнем, что нижний предел определенного интеграла (3)
должен быть меньше верхнего).
Заметим сначала, что интеграл, стоящий в правой части (3),
существует, ибо подынтегральная функция в нем непрерывна на
промежутке [р,д].
Напомним, что в условиях теоремы кривая -АВ спрямляема
и ее длина s = Jд/(ф'(О)2 + (ф'(0)2dt (р <q). Составим сумму
р
Римана о для криволинейного интеграла J f(x,y)ds. Для этого
~ав _____
надо разбить -АВ точками Ак на дуги АкАк+1 (к = 0, п -1).
Такое разбиение можно осуществить, если разбить промежуток
[р,д] произвольным образом точками р = t0 < tt <t2 < ...<tn = q
и положить Ak = (ф(/д), y(4)) > к = Q,n. Тогда
4+i I --------r ______
sk = / 7(ф W + (v'(0) dt. k = Q.n-\. (4)
4
424
Затем на каждой частичной дуге ~АкАк+1 нужно взять произволь-
ную точку Мк(хк,ук) . Это можно сделать так: на каждом частич-
ном промежутке [tk, ГЛ+1] взять произвольную точку Qk и положить
хк = <р (6к), ук = у(0Л). Будем иметь тогда
л-1 л-1 **+1 I z г
О= Yf(.xk,yk)sk = £/(ф(0*),у(еЛ))- J J(<p'(O) + (ф'(0) dt.
к=0 к-0 tk
По теореме о среднем для определенного интеграла (4)
sk = / J(<P'(O)2 + (v'(0)2 dt = J(<p'(tJ)2 +(v'(tJ)2 • (tM -tk\
h
где tk 6[/fc,4+i]. Поэтому
° = Ё /(ф (0Д v(0J) • 7(ф'<т*))2 + ИМ2 ’д h
к-0
Полученное выражение для о сходно с суммой Римана для
определенного интеграла, стоящего в правой части (3), но тако-
вой не является, так как Qk и тк, вообще говоря, различны.
Составим сумму
°. = Ё /(Ф)> )) • т/(ф'(**))2 + (ф'(тЛ))2 • Д tk .
к-0
Это уже настоящая сумма Римана для определенного интеграла,
стоящего в правой части (3), т. е. для интеграла
4 = J /(ф (О, Ф(О) • 7(ф'(О)2 + (ф'(0)2 dt.
р
Было отмечено, что I, существует. Следовательно, о. -> I. при
Л.-> О (Л, = П1ах_{Д^}). Заметим, что (Л—>0) <=> (X, —>0).
£=0, л-1
Рассмотрим очевидное равенство
о = о. + (о - о.). (5)
Из (5) видно, что теорема будет доказана, если показать, что
lim (о - ст,) = 0.
—>0
425
Имеем
л-1
<*-<*. = У[/(ф(0*),¥(в*))-/(ф(т*),¥(тл))] sk.
к=0
Возьмем е > 0 — любое, сколь угодно малое. Функция
/(ф (/), v(0) е С([р, <?]), как суперпозиция непрерывных функций.
Значит, она и равномерно непрерывна на промежутке [p,q] =>
взятому е > О отвечает 3 > 0, такое, что для любых двух точек f
и t" из [p,q], для которых |/" - /'| < 8 , будет
|/(ф (О. V(O) - /(ф (О, V(O)| < е.
Возьмем любое разбиение промежутка [p,q] на части [tk, ^+1], у
которого ранг дробления Л, <3. Так как Qk и тк е[/*,/А+1], то
< ^+i - tk < Л, < 8 . Следовательно, для любого к = 0, п -1
будем иметь
|/(ф(0а),ж(0*))-/(ф(^),ф(т*))| <е.
Поэтому, считая дробление промежутка [p,q] таким, что X, < 5,
л-1
получим |ст - о,| < У е • sk = е • s (здесь s — длина ^АВ). Так как
к=0
для достижения неравенства |о - о,| < е • s потребовалось лишь,
чтобы было Л. < 3, то заключаем, что lim (о - о,) = 0, а значит, и
X* —>0
lim(a - a.) = 0. 4
х—>о
Частные случаи.
I. Пусть кривая ^АВ дана явным уравнением: у = ф (х),
х е [а, />], а < b . Тогда:
1) если функция ф(х) имеет на промежутке [о,/>] непрерыв-
ную производную ф'(х) и
2) если функция f(x,y) непрерывна на ~.АВ, то j f(x,y)ds
.АВ
существует, и
J /(х,у) ds = J /(х,ф (х))д/1 + (ф'(х))2 dx .
-АВ а
426
И. Пусть ~АВ задана уравнением в полярных координатах:
г - г(ф) > Ф € [а, Р], а < Р. Тогда:
1) если функция г(<р) имеет на промежутке [а, Р] непрерыв-
ную производную г'(ф) и
2) если функция f(x,y) непрерывна на ~АВ, то j f(x,y)ds
существует, и ~АВ
р I---------
J f(x,y)ds = J f(r cos ф, г sin <р)Jr2 + (r^)2 <ftp.
-AB a
Замечание. Совершенно аналогично доказывается теорема о
существовании и вычислении криволинейного интеграла первого
рода по пространственной кривой.
Теорема.
1. Пусть пространственная кривая ^АВ задана уравнениями:
Х = ф(Г),
y = V(0, *е[/>,?] и р<д
z = <о (0>
(считаем ~АВ незамкнутой и не имеющей кратных точек).
2. Пусть функции ф(0, v(0> <о(О имеют на промежутке [/?,</]
непрерывные производные ф'(0> v'(0> ®'(0.
3. Пусть (<р(р),¥(р),<в(р)) = Л » (ф (?), (<?)) = В и точки
(ф(/),ф(/),ш(0) следуют друг за другом на -,АВ именно в том
порядке, в каком соответствующие значения t следуют друг за
другом на [р,^].
Тогда, если функция f(x,y,z) непрерывна на ~АВ, то
I- f fix, у, z) ds существует и выражается через обыкновенный
.АВ
определенный интеграл по формуле
jf(x,y,z)ds =
-АВ
= J /(ф (0, ф(0, <0 (0) • 7(ф'(О)2 + (ф'(0)2 + (®'(0)2 dt (p<q).
р
427
Примеры.
1. Вычислить I = | (х4/3 + у4/3) ds, где (/) — дуга астроиды
(О
x2/3+y2/3=fl2/3
Решение. Вычисление I удобнее производить, взяв уравнение
астроиды (/) в параметрической форме:
Рис. 9.2. К примеру 1
х = a cos3t,
у = a sin31,
Z е [О, 2л].
Имеем x't = -За cos2t sin t; y't =
= За sin21 cos t;
ds = 7(*/')2 + (У!)2 =
= -J 9a2 sin2 / cos21 • dt =
= 3a|sin/cos/| Л.
Поэтому
2n
I = j a4^3(cos4t + sin41) 3a |sin t cos /| dt =
о
л/2 n
= За7/3 J (cos5 t sin t + sin5 t cos f)dt - J (cos51 sin t + sin51 cos f) dt +
_ 0 n/2
я/2 2n
J (cos51 sin t + sin51 cos f)dt - J (cos51 sin t + sin51 cos f) dt =>
я Зя/2
=> I = a7/3 (- cos61 + sin6 r)!^2 + (cos61 - sin6 /)Г +
2 Io k/2
|2я
1зл/2 J ~
2
, f. f. (.
+ (- cos t + sin6 0 + (cos61 -
1л
,7/3
T
428
2. Вычислить / = J |у| ds, где
(/)
(/) — дуга лемнискаты (х2 + у2)2 =
= а2(х2 - у2)
Решение. Перейдем к поляр-
ным координатам:
х = rcos<p,
у = г sin <р.
Рис. 9.3. К примеру 2
Тогда уравнение лемнискаты получим в виде: г = ajcos2<p. Име-
, sin2<р 2 / ,ч2 л2 , Г~2 ТТГУ , a dtp
ем гф = ~а ~1—г + W Л = V + = I \ »
Jcos2<p cos2<p * 7cos2<p
|у| = ajcos 2ф • |sin ф|, |у| ds = o2|sin ф| . Поэтому
/ =
п/4 п
a2 j sin ф Лр + ршфгйр-
_ 0 Зя/4
-Зл/4 О
j sin ф dtp - j sin ф d<p
-п -п/4
(/3)
= д2[- С05ф|^4 - С08ф|”я/4 + С08ф|^’1/4 + cos ф|2п/4] = а2 (4 - 2Л).
3. Вычислить I = j (х + у) ds, где (/) — контур треугольника с
(/)
вершинами в точках 0(0, 0), Л(1,0), 5(0,1).
Решение. (/) = (A) U (/2) U (/3);
I = f (х + у) А = j (х + у) ds + J (х + у) ds + f (х + y)ds.
(i) (h) (M
1) (lt) = OA : y = 0, xe[0,l] =>
ds = -Jl + (yx)2dx = dx ;
i 2 1
Л = f(x + y)ds = ](x + 0)dx = ^-
W о 2 о
2) (/2) = : у = 1 - x, x e [0,1] =>
ds = ^l + (y'x)2dx = 42 dx ;
1\У
В(0,1)
(A) A(l,0)
Рис. 9.4.
К примеру 3
(/3)
О
429
1 * |1
/2 = j(x + y)ds = j (x +1 -x)-j2 dx = 141 dx = 77 x = 77.
(/2) 0 о 10
3) (/3) = OB: x = 0; ye [0,1] => ds = + (x')2 dy = dy;
Значит,
1 V2 1
Л = J(x + y)<fc = f(0 + y)rfy = ^- =-
(/j) 0 2 0 2
I = I,+I2+I3=- + y/2+^ = l + yl2.
1 z j 2 2
4. Вычислить I = fzds, где (/) — коническая винтовая линия:
(/)
X = /cos/,
• y = /sin/, /е[0, /0].
z = /,
Решение. Имеем: x't = cos / - / sin /; y't = sin / + / cos /; z't = 1;
ds = 7(*/')2 + (у!)2 + (zi)2dt = 72 + /2 dt.
Тогда
fzds = J/72 + Z2 dt = —(2 +1
(i) 0 3
5. Вычислить I = j x2ds, где (/) — окружность:
(/)
f 2 2 2 2
x +y* +z = a,
x + y + z = Q.
Решение. Плоскость x + у + z = 0 проходит через начало коор-
динат и пересекается со сферой х2 + у1 + z2 = а2 по окружности
радиуса а. Таким образом, (/) — окружность радиуса а =» длина
430
(/) равна 2па. Легко понять, что J x2ds = j y2ds = j z2ds. А тогда
(/) (/) (/)
I = j x2ds = — | (x2 + y2 + z2) ds. Заметим, что на (/), т. е. на ок-
ружности радиуса а с центром в точке О, подынтегральная функ-
ция равна а2. Следовательно, I = -j j a1 ds = j ds. Ho | ds равен
3 (О 3 (0 (/)
. , г 2лл
значению длины окружности (/), т. е. 2па. Поэтому / = —-—.
§2. Криволинейные интегралы второго рода
Г. Определение. Пусть в пространстве дана непрерывная кри-
вая ~АВ. Пусть на ~АВ задана функция f(x,y,z). Выберем на
-АВ какое-нибудь направление (одно из двух возможных), на-
пример, от точки А к точке В. Проделаем следующие операции.
1. Разбиваем -АВ точками Ао = А, А1г А2 , ..., А„_{, Ап = В
на п частичных дуг -АкАк+{, к = 0,1, 2,..., п -1. Точки
следуют друг за другом вдоль -АВ в направлении
от точки А к точке В. Пусть dk — диаметр -АкАк+1
(dk = sup {р(М,N)}) и пусть Л = max {t/Л.
А=0,л—1
Рис. 9.5. К определению
криволинейного интеграла второго рода
431
2. На каждой ~AkAk+i берем произвольную точку (xk,yk,zk)
и вычисляем в ней значение данной функции f(xk,yk,zk) • Со-
единим концы каждой частичной дуги хордой и придадим этим
хордам направления соответствующих дуг. Получим направлен-
ную ломаную. Звенья этой ломаной есть векторы
Д/0, Д/ь ..., Д/„_]. Спроектируем эти векторы на ось Ох. Полу-
чим числа Дх0, Дхь ...» Дх„_1 (Дх* = хк+1 -хк = =
= пр^дТ* ). Эти числа могут быть положительными, отрицатель-
ными и равными нулю.
Рис. 9.6.
К определению
криволинейного
интеграла
второго рода
3. Каждое вычисленное значение функции
/(x*,y*,z*) умножаем на проекцию соответ-
ствующего звена ломаной на ось Ох. Получим
f(xk,yk,zk) -&хк, к = 0,1,2,.... п -1.
4. Складываем все такие произведения.
л-1
Получаем сумму о = У f(xk ,yk,zk)- Д х*
к=0
(а — интегральная сумма).
5. Измельчаем дробление ~АВ начас-
ти ~АкАк+1 так, чтобы А. —> 0, и ищем lim а.
Х->0
Если существует конечный предел I = lim а и этот предел не
к->0
зависит ни от способа разбиения ~АВ на части ~АкАк+1, ни от
выбора точки (xk,yk,zk) на ^АкАм, то этот предел называется
криволинейным интегралом второго рода от функции /(x,y,z) по
кривой ^АВ (по х) и обозначается J f(x,y,z)dx.
-АВ
Замечания.
1. Криволинейный интеграл второго рода меняет знак при
перемене направления линии, по которой производится интегри-
рование, т. е.
\f(x,y,z)dx = - f f(x,y,z)dx.
-АВ -BA
Это ясно, ибо проекции звеньев ломаной ХТк на ось Ох суще-
ственно зависят от направления ^АкАк+1 и меняют знак с изме-
нением этого направления на обратное.
432
2. Если звенья ХГк направленной ломаной проектировать на
ось Оу, то получим криволинейный интеграл второго рода от
функции f(x,y,z) по -АВ (по у):
л-1
f f(x,y,z)dy = lim £ f(xk,yk,zk)&yk.
Jab
3. Если звенья 7JTk направленной ломаной проектировать на
ось Oz, то получим криволинейный интеграл второго рода от
функции f(x,y,z) по -АВ (по z):
л-1
f f(x,y,z)dz = lim ^f(xk,yk,zk)&zk .
.ab *=o
4. Если на кривой -AB определены три функции P(x,y,z),
Q(x,y,z), R(x,y,z) и если существуют интегралы \ P(x,y,z)dx,
.АВ
\Q(x,y,z)dy, \ R(x,y,z)dz, то их сумму называют криволи-
-АВ .АВ
нейным интегралом второго рода (“общего вида”) и полагают
J Р(х, y,z)dx + Q(x, y,z)dy + R(x, y,z)dz =
.AB
= j P(x,y,z)dx+ jQ(x,y,z)dy + jR(x,y,z)dz.
.AB .AB .AB
Здесь также изменение направления интегрирования меняет знак
интеграла.
2°. Существование и вычисление криволинейного интеграла вто-
рого рода.
Теорема.
1. Пусть кривая -АВ задана параметрическими уравнениями
х = ср(О,
У = V(0.
где <р(0, v(0> и (О — функции, заданные и непре-
Z = со (Г),
рывные на промежутке [a,ft]. Кроме того, у функции <р(Г) на
[a, ft] существует непрерывная производная <р'(0. Пусть
433
(ф (а), ф(а), со (а)) = А, (ф (Ь), у(А), ш (/>)) = В, причем А * В, т. е.
кривая -АВ — незамкнутая. Пусть точки (ф(/), у(/),©(/)) следу-
ют друг за другом на -АВ именно в том порядке, в каком
соответствующие значения t следуют друг за другом на [а, А].
2. Пусть функция f (х, у, z), заданная на -АВ, непрерывна там.
Тогда I = J f(x,y,z)dx существует и выражается обыкновен-
ия
ным определенным интегралом по формуле
f /(*, у, z) dx = J /(ф (/), ф(/), (о (/)) • ф'(/) dt. (1)
-АВ а
Замечания,
ь
1. Интеграл Ц = |/(ф(0, (t)) <p'(t)dt существует, ибо
а
подынтегральная функция в нем непрерывна на [а,/>].
2. Нижний предел в I. должен отвечать началу пути интегри-
рования в Z, а верхний предел — концу пути интегрирования.
Составим интегральную сумму а для I. Для этого надо
разбить -АВ точками Ak(xk,yk,zk) на частичные дуги -АкАк+1,
к = 0,1,2,..., п -1 (Д) = А, Ап = В). Такое разбиение можно
осуществить, если разбить промежуток [а, 6] произвольным обра-
зом точками а = t0 < tj < t2 < ... < tn = b и положить
А(ф (4)» (**)), к = 0,1,2,..., п. Затем на каждой дуге
-АкАк+1 надо взять произвольную точку (xk,yk,zk)- Это можно
сделать так: на каждом частичном промежутке взять
произвольную точку дк и положить xk=<p(Qk), ук = v(6t),
zk = со (О*.). Тогда получим
л-1
* = -хк) =
к=0
л-1
= £ /(<р (0Д v(0* )> ® (0*))(ф (^+i) - ф ('*)).
к=0
По формуле Лагранжа ф(^+1) -ф(^) = ф'(т*)(4+1 -tk), где
л-1
тк ekt»4+i] • Поэтому «= Е/М0*)»^0*)»^0*))^**)^*-
*=о
434
Видим, что эта сумма похожа на интегральную сумму Римана для
определенного интеграла Ц , но таковой не является, ибо, вообще
говоря, Qk * хк.
л-1
Составим сумму ст, = ^jf(<?(tk),^(T:k),<i>(Tk))-<p'(Tk)Mk. Это
к=0
уже настоящая интегральная сумма Римана для /,. Было отмече-
но выше, что интеграл /. существует, и потому ст, Ц при
А,, —> О (Л, = пш_{Д4}). Отметим, что Л -» 0, если X, —> 0.
к=0, л-1
Рассмотрим очевидное равенство
ст = ст. + (ст - ст.). (2)
Из (2) видим, что теорема будет доказана, если показать, что
lim (о - ст.) = 0.
X* —>0
(Х-*0)
Имеем
л-1
о-о. = Е[/(ф(0л)’Л),о>(0*)) - f^k), V(Tt),(i)(Tt))]-<р'(тЛ)Д/Л.
х=о
По условию <р'(0 е С([а, 6]) => <р'(0 — ограниченная в [а,/>], т. е.
существует число М > 0, такое, что |<р'(0| М для всех t е [a, Z>].
Поэтому
л-1
|ст - ст,| < М X |/(ф (0t), ф(6* ), со (0*)) - /(ф )»Ф(т* )> ® (** ))| • А 4 •
х=о
Функция /(ф(0,ф(0><»(0) 6 С([а,6]) как суперпозиция непрерыв-
ных функций => /(ф(/),ф(/),со(О) — равномерно непрерывная
в [а, . Значит, всякому е > 0 (сколь угодно малому) отвечает
8 > 0, такое, что для любых двух точек t' и t" из [а, й], для которых
\t" - f | < 8, будет
|/(ф <!"), VO"), w (О) - /(ф (О, Ф(О, ® (О)| < е.
Возьмем дробление промежутка [а,Ь\ на части [4» 4+11 любым, но
таким, чтобы было Л, < 8. У нас Gk и тк е [tk, tk+l ]. Следовательно,
“ т*| - (к+\ “ 4 - <8 , для любого к = 0,1, 2,..., п -1. Атогда
для любого к = 0,1,2,..., п -1 будем иметь
435
|/(ф (6*)> v(0Jt)> “ (6*)) - /(ф (Tfc), ф(ч), co (тк))| < е.
л-1
Следовательно, |<т - о.| < М е • A tk =>
к=О
=> |а - а,| < е • М • (Ь - а).
(3)
Отметим, что число е М(Ь - а) сколь угодно мало вместе с е . Так
как для достижения неравенства (3) потребовалось лишь, чтобы
что lim (а - о,) = 0, а значит,
—>0
было X, < 5, то заключаем,
Рис. 9.7. К частному случаю I
Частные случаи.
I. 1) Пусть кривая ~АВ
плоская, заданная явным урав-
нением у = ср (х), где функция
<р(х), определенная и непре-
рывная на промежутке [а, 6],
причем а — абсцисса точки А,
a b — абсцисса точки В.
2) Пусть функция f(x,y)
определена и непрерывна на
кривой ~АВ.
Тогда j f(x,y)dx существует, и
-АВ
V ь
У \f(x,y)dx = ]7(х,ф(х))<*с.
-АВ а
Рис. 9.8. К частному
случаю II
II. Пусть -АВ — прямолинейный от-
резок, расположенный в плоскости Оху
и перпендикулярный к оси Ох. Тогда
J f(x,y)dx существует для любой функ-
-АВ
ции f(x,y), определенной на -АВ, при-
чем J/(x,y)dr = 0.
-АВ
3°. Механический смысл криволинейного интеграла второго рода.
Механический смысл криволинейного интеграла второго рода
вытекает из решения следующей задачи.
436
Задача. Материальная точка пе-
ремещается по кривой ~АВ из точ-
ки Л в точку В под действием пере-
менной по величине и направлению
силы F(x,y,z) Требуется найти ра-
боту силы F на криволинейном
пути ~_АВ.
Разбиваем путь ^АВ на столь
малые части ~АкАк+1, чтобы каж-
дую такую часть можно было счи-
тать приближенно прямолинейной,
r г задачи
а силу F(x,y,z)> в пределах этой
части, считать приближенно постоянной по величине и направ-
лению. Тогда работа силы F(x,y,z) на элементарном участке
^АкАк+] приближенно будет равна F(xk,yk,zk)- • Но
F(xk,УкЛк) = Fx(xk,yk,zk)-i + Fy(xk,yk,zk)-J + Fz(xk,yk,zk) k,
bTk =&xk-i +tyk -j + &zk-k.
Поэтому
= Fx(xk,yk,zk)^xk +
+ Fy(xk,yk,zk)^yk + Fz(xk,yk,zk)bZk
Следовательно, работа силы F на всем пути ^АВ приближенно
будет равна
л-1 _ _ _ ___ _
Ъ\р^УкЛк^хк + Fy(xk,yk,zk)tyk + Fz(xk,yk,zk)bzk).(4)
к=0
Предел суммы (4) при 1 -> 0 будет давать точное значение работы
силы F(x,y,z) на пути ~АВ. А этим пределом является
J Fx (х, у, z) dx + Fy (х, у, z) dy + Fz (х, у, z) dz.
.АВ
Таким образом, всякий криволинейный интеграл второго рода
J Р(х,у, z) dx + Q(x, у, z) dy + R(x, у, z) dz
.AB
можно истолковать как работу, которую производит сила с проек-
циями Р, Q, R на оси Ох, Оу, Oz соответственно, по перемеще-
нию материальной точки по пути ..АВ из точки А в точку В.
437
Примеры на вычисление криволинейных интегралов второго рода.
1. Вычислить I = j (х + у) dx + 2z dy + ху dz, где -АВ — ли-
-АВ
х — t,
ния, заданная уравнениями
2
У - I у причем точка А соответ-
z = з -1,
ствует значению параметра t = 1, а точка В — значению парамет-
ра t = 2.
2 2 2
► 1 = J(Z + /1 2)rf/ + j2(3-0-2rrfr + J? (-J/) = ^-- ◄
11 1 4
2. Вычислить I = j (х2 + у2) dx + (х2 - у2) dy , где (/) — кри-
(/)
вая, заданная уравнением у = 1 -11 - х|, х е [0,2]. Интегрирова-
ние вдоль (/) ведется в направлении, соответствующем возраста-
нию параметра.
/кУ
(А)
(4)
х е
Рис. 9.10. К примеру 2
Имеем:
у = 1-(1-х) => у = х, х е [0,1];
у = 1 + (1-х) => у = 2-х, xg[1,2];
(О = (A) U (/2), где (0: у = х,
[0,1], (/2): у = 2-х, хе[1,2].
I = Д + 12, где
= J (x2 + y2) dx + (x2 - y2) dy , I2 = J (x2 + y2) dx + (x2 - y2) dy .
(A) (/2)
Ha (/|): у = x, dy = dx , x g [0,1]. Поэтому
1 9
Ix = j(x2 +x2)dx + 0dx = — x3
0 3
1 _ 2
о = 3
На (/2): у = 2 - х, х g [1,2]; dy = -dx. Поэтому
2 i 2 ?
I2 = Jfx2 +(2-х)2 — x2 + (2 —x)2jflbc = 2j(2-x)2dx = --(2-x)3
1 1 3
2_2
! = 3-
438
4
Следовательно, I = —.
3. Вычислить Г - f (* + , где (/) — окруж-
(/) * +У
ность х2 + у2 = а2, пробегаемая против хода стрелки часов.
Перейдем к параметрическому заданию кривой (/). Положим
х = a cos t, ,Л „ , dx = -a sin t dt,
t e [0, 2л], => J
у = a sin t, dy = a costdt.
2n
dt = - [dt = -2л.
о
2r - a2 (cos t + sin Q sin t - д2 (cos t - sin t) cos t
4. Вычислить I = j arctg—dy - dx, где OmA — отрезок na-
OmAnO X
раболы у = x2, OnA — отрезок прямой у = х.
► / = 7, + Z2, где Л = f , 72 = J .
^ОтА ^АпО
-ОтА : у = х2, х е [0,1], dy = 2х dx. Поэтому
1
7] = jarctgx • 2xdx -dx =
о
и = arctgx,
2xdx = dv,
V o1+x ) * о o1+x *
^AnO: у = x, x изменяется от 1 до 0;
dy = dx. Поэтому
0 °fir A
72 = j (arctg 1 - l)dx = П — -11 Jx = 1 - —.
i Д4 ' 4
Значит,
i4 j i 4> 4
i\y
Рис. 9.11. К примеру 4
439
5. Вычислить I = j (у2 - z2) dx + (z2 - x2) dy + (x2 - y2) dz, где
(/)
(/) — контур, ограничивающий часть сферы х2 +у2 +z2 = 1,
Рис. 9.12. К примеру 5
х > 0, у > 0, > 0, пробегаемый так, что
внешняя сторона этой поверхности оста-
ется слева.
► I = h + Л + h >
где Ii = f ; I2 = f ; I3 = f .
(A) (/2> (/3)
(/]): x2 +y2 = 1 (1-я четверть),
(/2): y2 +z2 = 1 (1-я четверть),
(/3): z2 + x2 = 1 (1-я четверть).
Контур (/j) расположен в плоскости Оху. Следовательно, на
(/0: z = 0; dz = 0. Поэтому
о 1
Л = / y2dx - x2dy = j (1 - х2) dx - j (1 - у2) dy =
(4) i о
4
3 •
Контур (/2) расположен в плоскости Oyz. Следовательно, на
(/2): х = 0, dx = 0.
0 1 4
Л = jz2dy-y2dz = f(l-y2)dy-](l-z2)dz =
(4) 1 о 5
Контур (/3) расположен в плоскости Oxz. Следовательно, на
(6): У = 0> dy = 0.
0 1 4
I3 = jx2dz-z2dx = j(l-z2)dz-j(l-x2)dx = -~.
(Л) 1 о 3
4
Таким образом, получаем Z = - — • 3 = -4.
440
§3. Криволинейные интегралы второго рода
по замкнутым плоским кривым. Формула Грина
1’. Станем рассматривать криволинейные интегралы второго
рода вида
\P(x,y)dx + Q(x,y)dy,
(К)
(1)
где (К) — замкнутый самонепересекающийся контур, располо-
женный в плоскости Оху. Если на контуре (К) выбрать какое-
нибудь направление интегрирования, то оказывается безразлич-
ным, какую точку на (К) взять за начало (а значит, и конец) пути
интегрирования. В самом деле, пусть А и В — любые две различ-
ные точки на (К). Имеем
j Pdx + Qdy = j Pdx + Qdy + j Pdx + Qdy =
.АЛ ~A1B ~BHA
= J Pdx + Qdy + j Pdx + Qdy = j Pdx + Qdy .
2И1Л _AIB -BB
Замечание. Особенность об-
суждаемого случая заключается
в том, что указание начальной
и (совпадающей с ней) конеч-
ной точки на этот раз не опре-
деляет направления интегриро-
вания на (К). Конечно, можно
было бы в каждом случае ука-
зывать особо, какое именно на-
правление имеется в виду. Но
обычно поступают иначе, а
именно: из двух возможных на-
правлений одно принимается за
положительное, другое — за от-
Az
Рис. 9.13. К определению
положительного обхода
контура (К)
рицательное.
Условимся за положительное направление обхода контура (К)
принимать такое направление, когда наблюдатель (у которого
направление от ног к голове совпадает с направлением оси Oz),
обходящий контур (К)' в этом направлении, оставляет ближай-
шую к нему часть области, ограниченной (К), слева от себя. Это
соглашение относится к случаю правой системы координат.
441
Рис. 9.14. К выводу формулы
В дальнейшем интеграл (1), взятый по (К) в положительном
направлении, будем обозначать символом j> Р(х, y)dx + Q(x, у) dy.
(К)
2°. Формула Грина.
I. Пусть (D) — область, ограниченная замкнутым контуром
(К). Пусть (К) состоит из отрезков прямых х = а, х = b (а < Ь)
и из кривых, заданных уравнениями у = ф (х), х е [а, 6];
у = v (х), х 6 [а, 6]. Предполагается, что ф (х) и ф(х) непрерыв-
ны на [а,Ь] и такие, что
Ф (х) < ф(х), х е [а, 6]. Такую
область (D) будем называть об-
ластью типа I. Пусть в (D)
задана непрерывная функция
Р(х,у), имеющая в (D) не-
прерывную частную производ-
ЭР „ „
ную ——. Рассмотрим двойной
Эу
интеграл
Р
I -dxdy.
Мы знаем, что этот двойной интеграл выражается через повторный
интеграл следующим образом:
Ь у=м<(х)др 4 .
/=М j ^dy =*
а у=Ф(х) ” а
b b b
= J [Р(х, ф(х)) - Р(х, ф (х))] dx = | Р(х, ф(х)) dx - J Р(х, ф (х)) dx.
а а а
Но
ь
J Р(х, v(x)) dx = J Р(х, у) dx = - J Р(х, у) dx,
а ^А'В' ^В'А'
442
b
| P(x, <p (x)) dx = J P(x, y) dx .
a -AB
Поэтому I = - J P(x,y) dx- j P(x,y) dx. Так как f P(x,y) dx = 0
—B'A' -AB —BB'
и | P(x,y) dx = 0, то можем написать
—A'A
I = -fPdx- jPdx- jPdx- fPdx = -$P(x,y)dx.
—AB -BB' —B'A' —A'A (K)
Таким образом, получили
ff-T-dxdy = " jP(x,y)dx. (2)
&dy W
Замечание. Формула (2) установлена для области типа I, но
она верна и тогда, когда область (Р) прямыми, параллельными
оси Оу, может быть разложена на конечное число областей типа I
(рис. 9.15).
В самом деле, для каждой области типа I, на которые разложе-
на область (Р), пишем формулу (2), а затем складываем соответ-
ствующие части полученных соотношений. Так как криволиней-
ные интегралы по вспомогательным прямым линиям равны нулю,
то получим формулу (2), в которой (Р) — вся область, а {К) —
контур всей этой области.
II. Пусть (Р) — область, ограниченная замкнутым контуром
(К), и пусть теперь (К) состоит из отрезков прямых у = с,
у = d (с <d) и из кривых, заданных уравнениями х = а(у),
Рис. 9.15. К выводу
формулы Грина
Рис. 9.16. К выводу
формулы Грина
443
х = Р(у), где а(у) и Р(у) — функции, непрерывные на [с, d] и
такие, что а(у)<Р(у), у е [с,</] (рис. 9.16). Такую область (D)
будем называть областью типа II.
Пусть в (D) задана непрерывная функция Q(x,y), имеющая
в (Z>) непрерывную частную производную — . Рассмотрим двой-
дх
ной интеграл
1=
(D)°X
Мы знаем, что этот интеграл выражается через повторный интег-
рал следующим образом:
d х=Р(у) d Т
/ = ру J ^dx => М =
с х=а(у) ОЛ с
= J<2(Р(у),у)dy - f Q(a(y),y)dy.
С с
Но
J С(Р (У), У) dy = I Q(x, у) dy;
с ^ВВ'
jQ(a(y),y)dy = fQ(x,y)dy = - jQ(x,y)dy.
с ^АА' ^А'А
Поэтому I = J Q(x,y) dy + J Q(x,y) dy. Так как jQ(x,y)dy = 0
^BB' ~A'A ~AB
и j Q(x,y) dy = 0, то можем написать
^В'А'
I = jQ(x,y)dy+ fQ(x,y)dy+ [Q(x,y)dy+ jQ(x,y)dy =
^.AB ~BB' ~B'A' ^.A'A
= jQ(x,y)dy.
(X)
Таким образом, получили
jf^-dxdy= fQ(x,y)dy. (3)
(D)dx (K)
444
Замечание. Формула (3) верна и тогда, когда область (D)
прямыми, параллельными оси Ох, разлагается на конечное число
областей типа II. Это устанавливается совершенно аналогично
тому, как это сделано в предыдущем замечании.
Пусть область (О) такая, что она прямыми линиями, парал-
лельными оси Оу, разлагается на конечное число областей типа I,
а прямыми, параллельными оси Ох — на конечное число облас-
тей типа II. Пусть в (/)) заданы функции Р(х,у), Q(x,y),
ЭР Э0
Тогда верны одновременно формулы (2) и (3). Вычитая из форму-
лы (3) соответствующие части формулы (2), получим
f Р(х,у) dx + Q(x,y) dy = ff \ | dxdy . (4)
dx dv
(4) — формула Грина. Она преобразует криволинейный интеграл
второго рода по замкнутому самонепересекающемуся контуру
в двойной интеграл по области, ограниченной этим контуром.
Определение.
1. Область, ограниченная одним замкнутым самонепересека-
ющимся контуром, называется односвязной.
2. Область, ограниченная замкнутым самонепересекающимся
контуром (^) и (л-1) замкнутыми самонепересекающимися
контурами (К2), (К3), ..., (Кп), лежащими внутри (А-!) и вне
друг друга, называется п -связной.
Теорема. Формула Грина
f Р(х, y)dx + Q(x, у) dy = JJ Г dxdy (5)
(X) (Д)К °х °У)
верна и для многосвязной области, если под контуром (К)
понимать объединение всех контуров (К{), (К2), ••• , (Кп),
ограничивающих область (D), причем направление интегрирова-
ния такое, что наблюдатель, обходящий контур (К) в этом
направлении, оставляет ближайшую к нему часть области, огра-
ниченной (К), слева от себя (система координат предполагается
правой).
Рассмотрим для простоты трехсвязную область (D) (см.
рис. 9.17). Возьмем на (К{) точки и Д ; на (К2) — точки А2
и В2; на (К3) — точки А3 и В3. Проведем линии: ^.А{А2; ;
445
Рис. 9.17. К выводу формулы Грина
для многосвязных областей
. Тогда область (D) разобьется на две односвязные области.
Написав формулу Грина для каждой из этих двух односвязных
областей и сложив результаты, мы получим формулу (5). (По
каждой вспомогательной кривой ^AtA2, ~В2А3, ^.В3В\ интегри-
рование ведется дважды в двух противоположных направлениях.
Следовательно, криволинейные интегралы по вспомогательным
кривым взаимно уничтожаются.)
§4. Вопрос о независимости криволинейного интеграла
второго рода от пути интегрирования
Пусть (Z)) — область, ограниченная одним замкнутым само-
непересекающимся контуром (К) (значит, (D) — односвязная
область). Пусть в (D) заданы две непрерывные функции Р(х,у)
и Q(x,y).
Будем говорить, что функции Р(х,у) и Q(x,y) образуют
в (О) пару типа “а ”, если криволинейный интеграл второго рода
446
j P dx + Qdy , взятый по незамкнутому пути ^АВ, целиком ле-
.АВ
жащему в (D), не зависит от формы
пути (а зависит только от концов
пути).
Будем говорить, что функции
Р(х,у) и Q(x,y) образуют в (D)
пару типа “ Р”, если для любого зам-
кнутого самонепересекающегося
контура (С), целиком лежащего
в (Л),оказывается: §Pdx + Qdy = Q.
с
Лемма 1. Если функции Р(х,у) и
Q(x,y) образуют в области (Л) пару
типа “а”, то они образуют в (Л)
также и пару типа “ р ”.
> Пусть Р(х,у) и Q(x,y) — пара
типа “ а ” в (Л). Возьмем в (Л) лю-
бой замкнутый самонепересекаю-
щийся контур (С). Выберем и закре-
Рис. 9.18. К определению
интеграла, не зависящего
от формы пути
Рис. 9.19. К доказательству
леммы 1
пим на (С) любые две точки А и В. Эти точки разобьют (С) на две
дуги: IВ и ^АIIВ. Имеем
§Р dx + Qdy = j Р dx + Qdy + ^Pdx + Qdy =
С -ЛИВ .BIA
= jPdx + Qdy-jPdx + Qdy. (1)
.ЛИВ .AIB
У нас Р и Q — пара типа “ а ” в (Л). Поэтому
^Pdx + Qdy = j Рdx + Qdy.
-ЛИВ -А1В
А тогда из (1) следует, что jPdx + Qdy = 0. Так как (С) — любой
с
замкнутый самонепересекающийся контур, лежащий в (Л), то
последнее означает, что Р(х, у) и Q(x, у) — пара типа “ р ” в (Л). 4
447
Лемма 2. Если функции Р(х,у) и Q(x,y) образуют в области
(Р) пару типа “ Р ”, то они образуют в (Р) также и пару типа “ а ”.
Пусть Р(х,у) и Q(x,y) — пара типа “Р” в (Р). Возьмем в
(Р) любые две точки Я и Б и соединим их двумя различными
линиями: -АIВ и ^АIIВ, целиком лежащими в (Р). Лемма 2
будет доказана, если показать, что
J Р dx + Q dy = J Р dx + Q dy. (2)
-AIB -AIIB
Установим соотношение (2) в следующих двух простых случаях.
1) Линии ~АIВ и ^АПВ не имеют других общих точек,
кроме точек А и В (см. рис. 9.20а). В этом случае наши линии
образуют замкнутый самонепересекающийся контур. Так как фун-
кции Р и Q — пара типа “ Р ” в (Р), то
jPdx + Qdy = 0 => j Р dx + Qdy + J Pdx + Qdy = 0 =>
-ЛПВ1Л -AIIB -BIA
=> j Pdx + Qdy- J P dx + Qdy = 0 =>
-AIIB -AIB
J P dx + Qdy = P dx + Qdy.
-ЛПД -AIB
Видим, что соотношение (2) в этом случае установлено.
2) Линии -А IВ и -А IIВ кроме точек А и В имеют еще и
другие общие точки, но существует линия -АIIIВ, которая
пересекается с ними только в точках Л и В (см. рис. 9.206). Тогда,
по доказанному в случае 1), имеем
Рис. 9.20а. К доказательству
леммы 2
Рис. 9.206. К доказательству
леммы 2
448
| P dx + Qdy = j P dx + Qdy, j P dx + Qdy = j P dx + Qdy,
-AIB -zlIIIB U11S .>41112}
а значит, и
j Pdx + Qdy = |P dx + Qdy.
-AIB -AIIB
Видим, что соотношение (2) установлено и
в этом случае.
3) В более сложных случаях утверждение
леммы 2 принимаем без доказательства.
Рис. 9.20в — пример как раз того случая,
который не подходит ни к 1), ни к 2).
Следствие. Свойство пар функций иметь
в области (Р) тип “ а ” равносильно свой- Рис. 9.20в. К лемме 2
ству иметь тип “ Р ”.
Теорема. Пусть в односвязной области (Р) заданы функции
Р(х,у) и Q(x,y). Пусть Р(х,у), Q(x,y) непрерывны в (Р)
дх
парой
и имеют там непрерывные частные производные
дР
-г— и
Эу
были 1
Рис. 9.21. К доказательству
теоремы
Тогда: для того, чтобы функции Р(х,у) и Q{x,y)
типа “ р ” (а значит, и парой типа
“ а ”) в (Р), необходимо и доста-
точно, чтобы всюду в (D) было
ЭР = Э0
Эу дх
Необходимость. Дано:
Р(х,у) и Q(x,y) — пара типа “Р”
в (D). Требуется доказать, что
дР э<2
— = — всюду в (D).
ду дх
Рассуждаем от противного. Допустим, что соотношение
ЭР дО
— = — выполняется не всюду в (Р). Но тогда в (Р) имеется
ду дх
./z ч PQ ЭР
точка Л/0(х0,у0), такая, что —
дх ду
0. Пусть для опре-
<-)Л/о
449
Э0 ЭР
Эх ду
деленности
— функция
>0. Так как (4®-^
непрерывная в (Р), то по теореме о стабильности знака суще-
ствует й8(Л/0), такая, что ws(Af0) с (-0) и чт0 — - — > 0
Эх Эу
в w8(lf0) (wgCAfo) — замкнутый круг радиуса 5 с центром в точке
(дО ЭРА
Мо > (Ye) — контур этого круга). Так как —— - — е С(й8(Л/0)),
дх ду J
то эта разность достигает в й&(М0) своего наименьшего т значе-
ния. Ясно, что т > 0.
По формуле Грина имеем
я я^=
(Мо))<дх дУ) (Й6(МО))
т • л82 > 0,
^Pdx + Qdy =
(Yb) («6(А/о))
а это невозможно, ибо Р(х,у) и Q(x,y) — пара типа “0” в (Р).
та ЭР dQ
Таким образом, предположение, что соотношение —— = —— вы-
ду дх
полняется не всюду в (Р), приводит к противоречию.
ЭР дО
Достаточность. Дано: — = —— всюду в (Р). Требуется дека-
ду Эх
зать, что функции Р(х,у) и Q(x,y) образуют в (Р) пару типа “0”.
Возьмем любой замкнутый самонепересекающийся контур
(С), целиком лежащий в (Р) (см. рис. 9.22). Пусть (д) — об-
ласть, ограниченная контуром (С). По формуле Грина имеем
dxdy = 0 =>
=0 в (А)
=> §Р dx + Qdy = д => функции Р(х,у) и Q(x,y) —паратипа"0
с
в (D). «
450
Рис. 9.22. К доказательству
теоремы
Рис. 9.23. К замечанию
Замечание. Важно подчеркнуть, что доказанное утверждение
верно при условии, что область (D) — односвязная.
Действительно, если бы область (D) была, например, двусвяз-
ной с внешним контуром (Kt) и внутренним контуром (К2)
(см. рис. 9.23), то для контура (С), охватывающего контур (К2),
мы имели бы
\Pdx + Qdy + JPd!x + CJy = ldwfy = 0,
(С), обл. слева обл. слева (Д)Ч '
о о
ЭО Э Р
ибо —----— = 0 всюду в (D), а значит, и в (д) ((Д) — область,
Эх ду '
ограниченная контурами (С) и (АГ2)). Значит,
| Pdx + Qdy+ ^Pdx + Qdy = Q =>
(О О (*2)О
=> jPdx + Qdy- jPdx + Qdy = 0 =>
(С) О (к2)О
=> fPdx + Qdy = fpdx + Qdy (0, вообще говоря).
(С) о (К2)О“
Значит, Р(х,у) и Q(x,y) не есть пара типа “Р” в (D).
Пример. Пусть Р(х,у) = , у7, Q(x,y) = —1* Эти
X + у X + у
функции определены и непрерывны на плоскости Оху всюду, за
исключением точки 0(0,0).
451
Рис. 9.24. К примеру
Рис. 9.25. К примеру
„ дР х2 — у2 dQ х2 — у2 9Q ЭР
Имеем —— = —=—=3-,-; —— = —,—=> = -г— всюду
ду (х2+у2)2 Эх (х2+у2)2 Эх ду
на плоскости Оху, кроме точки 0(0,0). Значит, для любого
замкнутого самонепересекающегося контура (С), не охватываю-
щего начала координат, будет
(С) (С) х +У
так как Р(х,у) и Q(x,y) — пара типа “ р ” в области (D), ограни-
ченной контуром (К) (см. рис. 9.24).
Пусть (С) — окружность радиуса R с центром в точке 0(0,0).
Вычислим I =
будут
е у dx — xdy „
| -—5---=-^. Параметрическими уравнениями (С)
(С) X +у
х = R cos t,
t g [0, 2л].
у = R sin t,
А тогда
2л р2 2 л п2 -./чсЗ л 2п
т с ~ к sm t — К COS t . е . - /
Г = J--------------2----------dt = -jdt = -2л (# 0).
о о
Р(х,у) и Q(x,y) в области (Dj), ограниченной контуром (А^), не
есть пара типа “ р ”, ибо нарушена непрерывность в точке 0(0,0),
расположенной внутри контура (АГ,). Если же выключить точку
452
0(0, 0), окружив ее контуром (К2) (см. рис. 9.25), то условие не-
прерывности в области (Z)2), ограниченной контурами (/С]) и (К2),
будет иметь место, но нарушится односвязность.
Дополнение. Пусть выполнены все условия теоремы, а значит,
j Р(х, y)dx + Q(x, у) dy по любому незамкнутому пути ^АВ , це-
~АВ
ликом лежащему в (D), не зависит от формы пути, а зависит
только от концов пути. Пусть функция и(х,у) определена в (D)
и такая, что
Р(х, у) dx + Q(x, у) dy = du (х, у)
(т. е. выражение Рdx + Qdy является полным дифференциалом
функции и{х,у)). Тогда
J Р(х, y)dx + Q(x, y)dy = и(хв,ув)-и(хА,уА)
^.АВ
(здесь хА,уА — координаты точки Л, а хв,ув —координаты точки В).
По условию, Р(х,у) dx + Q(x,y) dy = du (x, у). Это значит, что
п/ . ди(х,у) . Э«(х,у)
Р(Х> j,) = —L-12Z; Q(x, у) = —L2" .
дх ду
Следовательно,
I = (P(x,y)dx + Q(x,y)dy = f ди- - dx+ dy.
Jab Jab дх дУ
Для вычисления интеграла / введем параметрические уравнения
АВ. Пусть они такие:
х = <р (О,
У _ t g [p,q], причем значению
t = р отвечает точка А, а значению t = q отвечает точка В. Будем
иметь тогда
Эд(ф(0,у(0) + Э«(ф(О,у(р)
дх Эу
dt.
Заметив это, рассмотрим функцию f(t) = и (ф (О, W)) • По правилу
дифференцирования сложной функции, имеем
453
= ^(ф<».к<»). ф.(() + ^(ф(').кОТ). ,(0.
дх ду
Следовательно, предыдущее выражение для /принимает вид
I = ]f'(t)dt = f(q)-f(p).
р
Но /(?) = «(ф(?),ф(?)) = и(хв,Ув)‘, f(p) = и(ф(р),у(р)) = и(хА,уА)
(у нас ф (р) = хА, у (р) = уА , ф (q) = хв, W) = ув). Поэтому
/ = и(хв,ув)-и(хА,уА). <
Таким образом, для вычисления интеграла [Р dx + Qdy нуж-
~АВ
но найти функцию и(х,у), первообразную для дифференциала
Р dx + Q dy, и составить разность значений этой первообразной в
конце и в начале пути интегрирования. Ясно, что это — аналог
формулы Ньютона — Лейбница.
Примеры к §4.
1. Вычислить I = j (х - у) (dx - dy), где ~АВ — любая кри-
~АВ
вая, соединяющая точки А (1, -1) и Б(1,1).
Решение. В этом случае Р(х,у) = х-у, Q(x,y) = у -х =>
дР dQ , к „
— = —— = -1 на всей плоскости. Следовательно, в любой одно-
ду дх
связной области, расположенной в плоскости Оху, подынтеграль-
ное выражение является полным дифференциалом некоторой
функции и (х,у). Так как
(х - у) (dx - dy) = (х - у) • d(x - у) = | rf((x - у)2),
1 9
то такой функцией и(х,у) будет и(х,у) = -(х-у) . Поэтому
. .2 (1,1)
(х-у)
2
22
’О-T’-2-
(1,-1)
454
2. Вычислить I = j (х4 + 4xy3) dx + (6x2y2 - 5y4) dy, где ~AB —
~AB
любая кривая, соединяющая точки А(-2, -1) и Б(3, 0).
Решение. Здесь Р(х,у) = х4 + 4ху3; Q(x,y) = 6х2у2 - 5у4 =>
дР дО
—— = —— = 12ху2 на всей плоскости Оху. Следовательно, I не
Эу Эх
зависит от формы пути интегриро-
вания, соединяющего точки Ап В.
А раз так, то возьмем, например, в
качестве пути ^АВ ломаную
AC U СВ (см. рис. 9.26). Тогда
1= / = J + J (»71+Л).
~АВ ~АС ~СВ
Имеем
-------------г
А-----р-------
Рис. 9.26. К примеру 2
лсЛ2^1
I У = -1
=> dy = 0.
Поэтому
3 Гу5')3
/, = | = |(х4-4х)дЬс + 0 = — -2х2 =45.
~АС -2 I 5 ) -2
Имеем
__ f х = 3
СТ? = <
I -1 < у < 0
dx = 0.
Поэтому
о о
Л= J = J(54y2-5/)d> = (18y3-y5) =17.
~СВ -1 1
У У I У У У 1
l-^ycos— dx+ sin — + — cos— \dy,
X X \ X X X J
Следовательно, I = 45 +17 = 62.
3. Вычислить I = J
~АВ
где ~АВ — любая кривая, соединяющая точки Л(1, я) и В(2, п) и
не пересекающая ось Оу.
455
Решение. Здесь
Р(х,у) = 1 -^z-cos— • Q(x,y) = sin —+ —cos—;
x x xxx
дР dQ 2у у у1 . у ~
— = —— = —4- cos— + —г sin —, х * 0.
дх х хх х
дР дО
Видим, что Р(х,у), Q(x,y), —, —— опре-
ду дх
делены и непрерывны на всей плоскости Оху,
кроме точек, лежащих на оси Оу, и что
дР dQ п „ .
— = -т— для х 0. Следовательно, I не
ду дх
зависит от формы пути „АВ .Требуется толь-
ко, чтобы „АВ не пересекала ось Оу. А раз
так, то возьмем, например, в качестве „АВ
прямолинейный отрезок, соединяющий точ-
ки А и В (см. рис. 9.27). Так как
„АВ =
1 < х < 2,
у = л
=> dy = 0,
то будем иметь
fibc + O = lx + nsin —
I х
х=2
= 1 + л.
Х=1
§5. Площадь плоской фигуры в криволинейных координатах
1*. Вычисление площади плоской фигуры при помощи криволи-
нейного интеграла второго рода.
Пусть (К) — простой, замкнутый самонепересекающийся
контур, ограничивающий область (D).
1) Пусть область (D) такая, что прямыми, параллельными оси
Оу, она может быть разложена на конечное число областей типа I.
Рассмотрим криволинейный интеграл у dx (это — частный
(X)
456
случай интеграла jPdx + Qdy, когда Р = у ,а Q = 0). Преобра-
(К)
зуя f У dx по формуле Грина, получим dx = - JJ dxdy = -Fjj =>
(К) (К) (D)
(1)
(К)
2) Пусть теперь область (D) такая, что прямыми, параллельны-
ми оси Ох, ее можно разложить на конечное число областей типа II.
Рассмотрим криволинейный интеграл §xdy (это — частный слу-
(К)
чай интеграла §Pdx + Qdy, когда P = Q, Q = x). Преобразуя
(К)
| х dy по формуле Грина, получим fyxdy = || dxdy = F^
(К) (К) (Б)
fd = f xdy- (2)
W
3) Пусть, наконец, область (D) такая, что прямыми, парал-
лельными оси Оу, она может быть разложена на конечное число
областей типа I, а прямыми, параллельными оси Ох, — на
конечное число областей типа II. Тогда будут верны одновре-
менно формулы (1) и (2). Сложив соответствующие части этих
формул, получим
2F^ = jxdy-ydx => F$ = i fxdy-ydx. (3)
(К) 2 (К)
2°. Формула для площади плоской фигуры в криволинейных
координатах.
Пусть в плоскостях Оху и ОЕ.Т) расположены области (Р) и
(Д) с простыми контурами (KD) и (К^). Если дано правило,
которое каждой точке (^,л) из (д) сопоставляет одну и только
одну точку (х,у) из (Р), причем каждая точка (х,у) из (Р)
оказывается сопоставленной одной и только одной точке из (д),
то говорят, что между точками областей (Р) и (д) установлено
взаимно-однозначное соответствие.
457
Рис. 9.28. К выводу формулы для площади
в криволинейных координатах
Если (£,*n) и (х,у) есть взаимно-соответствующие точки, то
Гх = х(£,п),
(4)
У = У(£,П)-
Уравнения (4) есть уравнения преобразования (д) в (Р). В силу
взаимной однозначности соответствия между точками областей
(D) и (д) , система (4) однозначно разрешима относительно Е, и
т]. Поэтому
(5)
,П = П(*»У)-
Впредь функции х(£,т|), у(£, л) будем считать непрерывными
в (Д), а функции £(х,у), т|(х,у) — непрерывными в (D). Пока-
жем, что тогда непрерывные кривые, лежащие, например, в (д),
преобразуются в непрерывные кривые, лежащие в (£>).
В самом деле, пусть (Л.) — непрерывная кривая, лежащая в
(Д), и пусть ее параметрические уравнения такие:
a(t), р(0 — функции, определенные и непрерывные в проме-
жутке [р,д]. Тогда точки, соответствующие точкам кривой (X),
имеют координаты:
х = х(а(0,Р(0),
(6)
у = Яа(О,Р(О)-
£ = «(?),
п = Р(О,
458
Так как правые части в уравнениях (6) есть функции непрерывные
в промежутке , как суперпозиции непрерывных функций, то
заключаем, что непрерывная кривая (А) преобразуется в непре-
рывную же кривую (/), лежащую в области (Р).
Задача. Зная область (д) и формулы преобразования области
(Д) в область (Л):
X = х(£,Г|), —
. найти площадь F„ области (D).
У = У(&\), D
Решать эту задачу будем при следующих предположениях.
1) Обе области (Д) и (D) прямыми, параллельными коорди-
натным осям, разлагаются на конечное число областей как типа I,
так и типа II.
2) Контуру (К&) соответствует контур (KD), причем положи-
тельному обходу (АГд) соответствует определенный (положитель-
ный или отрицательный) обход (KD).
3) Функции х(£,л) и у(^,т]) имеют в (Д) непрерывные част-
ные производные первого порядка х^, х', у'^, у', а одна из этих
функций имеет в (Д) непрерывные смешанные производные
второго порядка. Пусть, например, в (Д) существуют и непре-
рывны у'^ и у£ (=> у^ = у^ в (Д) ).
4) Определитель /(^,ti) =
всюду в (Д) сохраняет знак
(7(^,т]) — определитель Якоби, или якобиан).
Решение. Мы знаем, что F-ц = fyxdy. Выразим этот криволи-
(Хо)
нейный интеграл через обыкновенный определенный интеграл.
Пусть параметрические уравнения контура (К.) такие: •
И = Р(0,
где а(0, Р(0 — функции, определенные на [p,q] и
имеющие там непрерывные производные a'(t), Р'(0 • Тогда пара-
метрические уравнения контура (KD) будут такими:
х = х(а(/),Р(0),
te[p,q\.
У = у(а(0,Р(0),
459
Пусть для определенности изменению t от р до д соответствует
положительный обход контура (KD). Тогда
Fd = J x(a<z)> ₽ (0) • Р (0) • а'(0 + К)(а(0, Р (0) • Р'(0]dt. (7)
р
Рассмотрим теперь следующий криволинейный интеграл второго
рода по контуру (/Гд):
I = f х(£, т]) • [да, П) + да, Л) <А1] • (8)
(*д)
Чтобы выразить /обыкновенным определенным интегралом, нуж-
но использовать параметрические уравнения контура (А"д). Сде-
лав это, мы придем в точности к интегралу, стоящему в правой
части (7), если только положительный обход контура (KD) соот-
ветствует положительному обходу контура (К^). Если же поло-
жительный обход контура (KD) соответствует отрицательному
обходу контура (К^), то мы получим интеграл, стоящий в правой
части (7), взятый со знаком “минус”. Таким образом,
^ = ±/. (9)
Преобразуем интеграл I (см. (8)) по формуле Грина
(4) йР*
у нас в Г. Р = х(£, л) • л), Q = х(£, и) • да, л) • Значит,
^-x'.v'+xv"
ЭР , ,
— = Хц.ук+Х.у^
ЪО__ЪР^
Эл
= х( -у' -х' у£ = /(£,п).
Поэтому
/ = JJ(x( y;-x;-^)^rfn= jj Жл)d&h\.
(Л) (Д)
А следовательно,
^ = ±//Ж,л)^Л1.
(Д)
У нас по условию /(£, л) всюду в (А) сохраняет знак. Поэтому,
принимая во внимание, что Fp > 0, можем написать
460
Fd = ◄ (Ю)
(A)
Из рассуждений, проведенных выше, следует, что /(£, т]) > 0
тогда, когда положительный обход контура (KD) соответствует
положительному обходу контура (Хд) и что 7(£,т])<0 тогда,
когда положительный обход контура (KD) соответствует отрица-
тельному обходу контура (А"д).
К двойному интегралу, стоящему в правой части (10), приме-
ним частный случай теоремы о среднем. Получим.
^=|Aln)| ^> гДе гёЛ)е(Д). (П)
Из (11) находим = |/(^,т])|. Станем сжимать область (Д) по
всем направлениям в некоторую точку (£,т|) (тогда (£,rj) -> (ij, г|)).
В силу непрерывности отображения область (Л) будет при этом
сжиматься в точку (х,у), которая соответствует точке (£,, г)). Сле-
довательно,
|J(^,r])| = lim
Таким образом, модуль якобиана есть коэффициент искажения
площадей при переходе из плоскости О£т| в плоскость Оху.
Замечание. Формула (10) остается верной и в том случае,
когда взаимно-однозначное соответствие между точками облас-
тей (Л) и (Д) нарушается на множестве точек, лежащих на
конечном числе простых кривых. При этом предполагается, что
якобиан У(£, г|) остается отраниченным всюду в (Д).
§6. Замена переменных в двойном интеграле
Пусть между точками областей (Л) и (д) установлено взаим-
fx = х(£, Т|),
но-однозначное соответствие посредством формул ( .
Р> = У(£, тО-
Считаем, что выполняются все условия, указанные при выводе
формулы для площади плоской фигуры в криволинейных коор-
динатах.
461
Пусть в области (Д) задана непрерывная функция f(x,y).
Мы знаем, что тогда существует двойной интеграл
I = JJ f(x,y)dxdy. Требуется выразить / через некоторый двой-
(О)
ной интеграл по области (д).
Составим интегральную сумму Римана для двойного интег-
рала /. Для этого произвольной сетью простых кривых нужно
разбить область (Д) на части (Д0, (Д2),.... (Дя); в каждой части
___ п
(Dk) взять произвольную точку (хк ,ук), и тогда о = ^f(xk,yk) • .
— *-• *
Заметим, что, проводя в (Д) сеть простых кривых, мы, в силу
однозначности отображения, будем проводить также сеть про-
стых кривых в области (Д), так что (Д) разобьется на части (Д0,
(д2),..., (дл).
По формуле для площади плоской фигуры в криволинейных
координатах, имеем
FDt =
<Д*)
Применяя к двойному интегралу, стоящему в правой части, част-
ный случай теоремы о среднем, получим
Fnt = |А1*»П*)|' где точка е (Д*).
А тогда
о = F\-
Было отмечено, что у нас двойной интеграл /существует. Следова-
тельно, Нт ст = / при любом выборе точек (хк,ук) в (ДЛ). В час-
тности, в качестве точек (хк, ук) можно взять точки, соответствую-
щие точкам (^,й*)» т. е. положить хк = х(^к,т\к), ук = у^к,х\к).
При таком выборе точек (хк,ук) будем иметь
° =
Сумма, стоящая здесь в правой части, есть сумма Римана для двой-
ного интеграла
462
I. = JJ .
(л)
причем /» существует, ибо подынтегральная функция в нем есть
функция непрерывная в (Д).
Отметим, что, измельчая дробление в (D), мы тем самым
будем измельчать дробление и в (д), ибо функции, осуществляю-
щие взаимно-однозначное отображение областей (Z)) и (д) друг
на друга, есть непрерывные функции. Но тогда о -> I, при
Л -» 0. А так как а -> I при Л —» 0, то получаем I = I,, т. е.
jjf(x,y)dxdy = jJ/(x(£,n)>y(£,Tl))-№n)|&>dx\. (1)
(D) (A)
Частный случай. Пусть
х = rcoscp, _
Тогда
у = г sin ф.
У г
х' cos<p -rsincp
y'v sin <p гсовф
и, следовательно, формула (1) примет вид
JJ f(x, у) dxdy = J| f(r cos ф, г sin ф) г drdq>.
(D) (А)
Замечание. Формула (1) остается верной и тогда, когда взаим-
но-однозначное соответствие между точками областей (D) и (Д)
нарушается на множестве точек, лежащих на конечном числе
простых кривых. При этом предполагается, что якобиан 7(£,т0
остается ограниченным всюду в (Д).
§7. Примеры
Пример 1 (интеграл Эйлера). Вычислить I = je xl dx (попут-
о
но будет доказана сходимость этого несобственного интеграла).
Решение. Введем в рассмотрение функцию f(x,y) = e~xl~yl
и области (Д), (Л2)> (2)3) > где
463
Рис. 9.29.
К вычислению
интеграла Эйлера
) — четверть круга х2 + у2 < R2, ле-
жащая в первой четверти;
(D2) — квадрат
О < х < R,
О < у < R;
(D3) — четверть круга х2 + у2 < 2/?2,
лежащая в первой четверти.
Ясно, что (Д) с (Д) с (Д). Отсюда и
из того, что f(x,y) > 0 следует:
JJe~x2~y2dxdy < JJ e~xl~yldxdy < JJe~x2~y2dxdy. (2)
(Д|) (Рг) (Оз)
Выразим двойной интеграл 12 через повторный.
11 R к 1 1 к 1 к 1
I2 = JJ е~х ~у dxdy = j dxj е~х ~у dy = j е~х dxf е~у dy =
(D2) 0 0 0 0
Вычисление двойных интегралов 1\, 13 будем производить, пере-
ходя к полярным координатам. Будем иметь
It = JJ е yldxdy = JJ e~r2 rdrd(p = J rftpj e r*rdr =
(A) (A|) 0 0
, , л/2 Rj2 r=j2R
I3 = JJ e~x ~y dxdy = J dy J e~r rdr = —e~r = — fl-e~2R
(Д) oo 4 r=0 4 \
Теперь неравенство (2) может быть записано в виде
464
В этом неравенстве перейдем к пределу при R + °°. Так как
2 я->+- 2
то по теореме о сжатой переменной заключаем, что
Итак, получили J е~х dx = — Легко показать, что J е~х dx = ——,
О — со
+°° 2
а следовательно, fe~x dx = dn.
Пример 2. В интеграле I = jj f(x,y)dxdy перейти к поляр-
(В)
ным координатам и расставить пределы интегрирования, если
(D) — круг х2 +у2 < ах (а > 0).
радиуса
Решение, х2 + у2 < ах
(D) - круг
0 . Положим
с центром в точке
а
2’
X = г coscp,
у = г sin <р.
а
2
Окружность х2 + у2 = ах в полярных координатах задается урав-
2
нением г = ar cos ф => г = a cos ф,
фе
п л
2’ 2
. Якобиан /(г,ф) = г .
Если внешнее интегрирование про-
изводить по Ф, то промежутком измене-
ния Ф будет
л л
2’2
Взяв произволь-
Рис. 9.30. К примеру 2
ное значение Ф из промежутка
465
тс п л
- —, у , видим по рис. 9.30, что г изменяется от г = 0 до
г = a cos ф. Будем иметь, следовательно,
л/2 r=acos<p
I = j dip |/(r cos ф, г sin ф) г dr.
-л/2 г=0
Пример 3. В интеграле I = jj f(x,y)dxdy перейти к поляр-
(D)
ным координатам и расставить пределы интегрирования, если
_ - а < х < а,
(Л) — параболический сегмент х2
а -у ~а'
а
-а <х<а , определяется уравнением г = ——,
sincp
<ре
Решение. В полярных координатах отрезок прямой у = а,
л Зя'
4’Т ’
а кусок параболы у = —, хе [-а,а], — уравнением
а
sin ф
г = а—
COS ф
тс
л тс >1 Зтс
Ф е 0, — U —, тс . Будем производить внешнее интегрирова-
4
ТС
ние по Ф . Взяв произвольное значение Ф из промежутка 0, — ,
4
видим по рис. 9.31, что г изменяется от г = 0 до г = a Sin. Взяв
cos (р
466
произвольное значение Ф из промежутка
п Зп
—, — , видим, что г
4 4
изменяется от г = 0 до г =-. Взяв произвольное значение Ф
БШф
из промежутка
Зп "I Л
—, п , видим, что г изменяется от г = 0 до
4
БШф
г = а—у— . Будем, следовательно, иметь
cos2 ф
я r-a sin<P Зя г= а
4 cos2 <р 4 sin <р
I = j /(г COS ф, Г БШф) Г dr + Jt/ф J У(гСО8ф,Г8тф)Гб/г+
О г=0 я г=0
4
sin ф
г=о--f-
я cos (р
+ j <Лр J f (г cos <р, г sin ф) г dr.
Зя г=0
4
1 1
Пример 4. В интеграле I = ^dx^ f(x,y)dy перейти к поляр-
0 о
ным координатам и расставить пределы интегрирования в том и
другом порядке.
Решение. Область интегрирования (D) определяется соотно-
шениями (D) =
О < х < 1, „ [х = ГСОвф,
Л . При замене i
0<у<1. [у = Г81Пф,
/(г,Ф> = г.
Рис. 9.32. К примеру 4
467
Отрезок ОЛ = 0 < х < 1 Ф = 0, 0 < г < 1.
Отрезок ОВ = - х = 0, 0<у <1 =* 71 Ф=2’ 0 < г < 1.
Отрезок АС = ( X = 1, [0 < у < 1 Г 1 Г = , СО8ф . 0<ф4 4 Г 1 Ф = arccos—, г 1 <; г <; V2.
Отрезок ВС = [ ’”1’ а 0 < х < 1 [ 1 г = , 81Пф , 7t П — < (Р < — 14 2 [ • 1 Ф = arcsm —, г \< г <41.
I. Если внешнее интегрирование производить по Ф , то будем
иметь
„ 1 - 1
Л г=---- п Г=-----
4 coscp 2 sin <р
Z = J<Ap f/(rcos(p,rsin<p)r</r + fJ<p j/(rcos<p,rsin(p)rJr.
0 r=0 n r=0
4
II. Будем производить теперь внешнее интегрирование по г.
Взяв произвольное значение г из промежутка [0,1], видим по
Л
рис. 9.32, что Ф изменяется от ф = 0 до ф = —. Взяв произволь-
ное значение г из промежутка [1,V2], видим, что Ф изменяется от
1 . 1 г
Ф = arccos— до ф = arcsm —. Будем иметь, следовательно,
г г
п . 1
! <Р=2 J2 <P=arcsm-
I = J dr J f(r cos ф, r sin ф) r dtp + J dr [ f (r cos ф, r sin ф) r dtp.
0 <p=o 1 1
T <p=arccos-
r
1 y=x2
Пример 5. В интеграле I = Jrfx J f(x,y)dy перейти к поляр-
0 у=0
ным координатам и расставить пределы интегрирования в том и
другом порядке.
468
Решение. Область интегрирования (Р) определяется соотно-
шениями (Р) =
О < < 2 Делаем замену
X - Г СО8ф.
у = г sin ф
/(г,ф) = г.
[ у = О,
Отрезок ОА = <
|0<х< 1
Ф = О,
Отрезок АВ =
ОСВ =
X = 1,
О < у < 1
У = х2,
0<х<1
1
г =--,
СОвф
0<ф<£
4
sincp
Г ~~ 2 ’
COS ф
о<Ф<5
4
Ф = arccos —,
г
1 < г <41.
. 71 +4r2 -1
Ф = arcsin-----------
2г
О < г < 72.
. 9 э э Sill ф Л
(_У = Х => Г8Шф = Г COS ф => Г =------Г~,Фе
cos ф L 4
имеем также
гвтф = r2(l-sin2 ф) => г sin2 ф + sin ф — г = 0 =>
=> sin ф =
-1 ± 71 + 4г2
2г
• Л
так как sin ф > 0 для ф е 0, — ,
71 + 4г2 -1
8Шф =-----------
2г
. 71 + 4г2 -1
Ф = arcsin------------, г е
2г
Ф (г) в точке г = 0 понимается в пре-
дельном смысле, ф (0) = 0).
Рис. 9.33. К примеру 5
469
I. Будем производить внешнее интегрирование по Ф. Взяв
ТС
произвольное значение Ф из промежутка 0, — видим по рис. 9.33,
sin ф 1 ут -
что г изменяется от г = —до г =-----------. Поэтому будем иметь
cos ф cos ф
Д г=—
4 cos ср
Z = jdp J f(r cosф,r sinф) r dr.
0 _ sincp
cos2cp
II. Станем производить теперь внешнее интегрирование по г.
Взяв произвольное значение г из промежутка [0,1], видим по
•71 + 4г2 — 1
рис. 9.33, что Ф изменяется от ф = 0 до ф = arcsin---------—------.
Взяв произвольное значение г из промежутка [1, Vl], видим по
рис. 9.33, что Ф изменяется от Ф = arccos-i до <р =
. 71 + 4г2 -1 ~ л
= arcsin-----------. Следовательно, будем иметь
2г
. 71+4г2-1 . Vl+4r2 -1
j <p=arcsin-—-- ^2 <p=arcsin---------------—----
I = jdr J/(r cos ф, r sin ф) r dp + [dr J/(r cos ф, r sin ф) r dp.
О <p=0 11
т <p=arccos-
г
Пример 6. Переменить порядок интегрирования в интеграле
л/2 r=ajsin 2<р
/= J dp J/Сф, r)dr.
О r=0
Решение. Область интегрирования (Р) определяется соотно-
шениями (Р) =
0<ф<-, „ Г^Г-
2___ Из соотношения г = a^/sin 2ф
О < г < а у/sin 2ф.
470
=> г2 = a2 sin 2ф => sin 2<р = -Tj- => 2<р = arcsin =>
а2 а2
1 г2
=> <р =—arcsinre[0,а]. Требуется произвести внешнее ин-
2 а
тегрирование по г.
Возьмем произвольное значе-
ние г из промежутка [0, а]. Из
рис. 9.34 видим, что Ф будет из-
меняться при этом г от значения
1 . г2
Ф = — arcsin -5- до значения
2 а
п 1 . г2
Ф = — - — arcsin —г. Следователь-
2 2 а
но, будем иметь
нУ <p=rclarcsinr
2 2 д2
Рис. 9.34. К примеру 6
л 1 .г2
а ф=у—arcsin—у
I = ]dr
О 1 . г1
Ф=—arcsin—г-
2 а1
Пример 7. В двойном интеграле ft f(x,y)dxdy, где (О) —
(О)
область, ограниченная линиями 4х + 4у = 4а (а > 0), х = 0,
у = 0, сделать замену переменных по формулам
X = и cos4 V,
у = и sin4 v.
Решение. При такой замене:
1) линия 4х + Ту = 4а (а > 0) перейдет в линию 4й • cos2 v +
Г~ • 9 Г~ Г~~ Г~
+ Ju siirv = Ja => ->Ju=>Ja => и = а (рис. 9.35, 9.36);
2) линия
У = 0, „ [и sin4 v = О,
. перейдет в линию ( .
0<x<a 0<acos4v^a
v = 0,
О < и < а;
471
Рис. 9.36. К примеру 7
Рис. 9.35. К примеру 7
_ ( х = О,
3) линия 1Л перейдет в линию
IО < у < а
и cos4 v = О,
О < и sin4 v < а
0<и< а;
4) точка 0(0, 0) перейдет в линию
и cos4 v = О,
и sin4 v = О
=> и = 0.
j(u,v) =
Хи
Уи
Ху _ cos4 V
y'v sin4 v
- 4и cos3 vsin v
4м sin3 vcosv
= 4м sin3 vcos3 v.
Следовательно,
a v=n/2
I = 4| и du | f(u cos4 v, и sin4 v) sin3 v cos3 v dv.
0 v=0
Пример 8. Произведя соответствующую замену переменных,
свести двойной интеграл I = fix у) dxdy, где (D) — область,
(О)
ограниченная линиями ху = 1, ху = 2, у = х, у = 4х (х > 0,
у > 0), к однократному.
Решение. Делаем замену переменных:
(и > 0, v > 0, ибо х > 0, у > 0).
472
Рис. 9.37. К примеру 8
Рис. 9.38. К примеру 8
При такой замене:
1) линия ху = 1 перейдет в линию и = 1;
2) линия ху = 2 перейдет в линию и = 2;
3) линия у = х перейдет в линию v = 1;
4) линия у = 4х перейдет в линию у = 4.
/(w,v) =
хи xv
Уи y'v
1
14uv 2 v3/2
1 Jv 1 4u
1
2v ‘
Будем иметь, следовательно,
/ = ildu i = i jf(u)[lnv]^du = ln2-ff(u)du.
1 1 v=l V Z B=i j
Пример 9. Найти площадь фигуры, ограниченной линией
(х - у)2 + х2 = а2 (а>0).
Решение. Делаем замену переменных
х-у = и,
х = v
х = v,
у = v-и.
При такой замене линия (х - у)2 + х2 = а2 (а > 0) перейдет
в линию и2 + v2 = а2. Это — окружность радиуса а с центром
в точке (0,0).
473
x'v _ О 1
X -1 I
/(w,v)
хи
Уи
MV
Рис. 9.39. К примеру 9
Искомая площадь Fфигуры, ограни-
ченной линией (х - у)2 + х2 = а2
(а > 0) будет равна
F = || dxdy = jj | J(u, v)| du dv =
(D) (A)
= jj dudv = па2 (кв. ед.).
(A)
Пример 10. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями
(х2 + у2)2 = 2а2(х2 - у2); х2 + у2 > а2.
Решение. Переходим к полярным координатам
х = rcoscp,
у = г sin <р.
В полярной системе координат линия (х2 + у2)1 =2а2(х2 -у2)
будет иметь уравнение г = aj2 cos 2<р (это — лемниската), а ли-
ния х2 + у2 = а2 — уравнение г = а (это — окружность). Найдем
точки пересечения этих линий. Для этого нужно решить систему:
Рис. 9.40. К примеру 10
474
г = ау/2с^2(р,
=> д/2 cos 2<р = 1
г = а
=> cos2<p = —
2
. л ,5л
=* ф = ±б; ф = ±т
Принимая во внимание симметричность фигуры, станем вычис-
лять площадь ее части, расположенной в первой четверти. Взяв
ТС
произвольное значение Ф из промежутка 0,— .видим из рис. 9.40,
L о J
что г при этом Ф изменяется от значения г = а до значения
г = aj2 cos 2ф . Будем иметь, следовательно,
г^/2 cos 2<р
</ф =
п _____ п
. 6 r=a-J2cos2<₽ 6 2
= frdr = j-
4 О r=a 0 z
п
1 2 2Ч j л
= - I (2д со$2ф-а )<Ар = — — --7
~ Q О
Г 3>/3 “Я 2 Z л \
г = —-----------а (кв. ед.).
Пример 11. Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми
у2 = 2рх; у2 = 2qx; х2 =2ry', х1 = 2sy (0 < p<q ', 0 < г < s )•
Решение. Делаем замену переменных:
[у2 _
х ~U' x = u1/3-v2/3,
X2 У = И2/3 • V1/3.
---= V IZ
. У
При такой замене:
1) ветвь параболы у2 = 2рх перейдет в прямую линию и = 2р;
2) ветвь параболы у2 = 2qx перейдет в прямую линию и - 2q;
3) ветвь параболы х2 = 2гу перейдет в прямую линию v = 2г;
4) ветвь параболы х2 = 2sy перейдет в прямую линию v = 2s.
475
Рис. 9.41. К примеру 11
|J(K,V)|=|.
1ы-2/\2/3
1и-1/зу1/з
|и>/Зу-1/3
1„2/3 у-2/3
3
J(«,v) =
Поэтому
1 2у 2s л
F = JJ dxdy = jj |/(w, v)| dudv = — J duf dv = — (q - p)(s - r).
(Л) (Д) 3 2p 2r 3
Пример 12. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:
(4):
(4): - = |; (/4): 8- = т (х>°»У>0).
a b а о
Решение. Делаем замену переменных:
кой замене:
х = аи cos3 v,
у = bu sin3 v.
При та-
1) линия (/j) перейдет в линию и^3 =1 => и = 1;
2) линия (/2) перейдет в линию и2!3 = 4 => и = 8;
3) линия (/3) перейдет в линию tg3 v = 1
v =
л ,
4 ’
476
4) линия (/4) перейдет в ли-
нию tg3 v = 8 => v = arctg 2 .
y'u y'v ~
a cos3 v - Зам cos2 v sin v
bsin3 v 3bu sin2 vcos v
j(u,v) =
= 3ad«sin2 vcos2 v.
Имеем, следовательно,
F = || dxdy = || 3abu sin2 v cos2 v dudv =
(D) (A)
v=arctg 2 m=8
= 3ab | sin2 vcos2 vdv f udu =
v=n/4 m=1
n /, v=arctg2 1BQ , v=arctg2
-----ab [sin2 vcos2 vdv = -—-ab• — [sin22vJv =
2 V=„/4 2 4 v=;/4
2
189 ,v=aftg2l-cos4v . 189 ,17 t o лА 1 . . ,
= —- ab ---------------dv = —- ab arctg 2 - — - — sin 4м
8 Л 2 16 LI 4j 4 4
189 Г 1
= -у- ab (arctg 2 - arctg 1) - — sin (4 arctg 2)
16 4
iv=arctg2
v=n/4
1
4
1 24
Так как arctg 2 - arctg 1 = arctg -, sin (4 arctg 2) = - —, to
r 189 ,( 1 6 A .
F = — a£ arctg - + — (кв. ед.).
10 1 «3 j
м v
arctg 2 _
л/4 -
(A)
: и
8
1
Рис. 9.44. К примеру 12
Глава 10
ВЫЧИСЛЕНИЕ ПЛОЩАДЕЙ
КРИВЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ
§1. Некоторые сведения из геометрии
1. “Касательная прямая и нормальная плоскость к пространствен-
ной кривой.
Определение. Касательной в точке N к пространственной кри-
вой (/) называется предельное положение секущей, проходящей
через точку N и какую-нибудь точку М этой кривой, когда точка
М по кривой стремится к совпадению с точкой N.
Пусть кривая (/) задана параметрическими уравнениями
[х = ф(0,
У = ф(0, 'е[Р,0]. (1)
z = со (О,
Предполагаем, что функции <р(0, v(0, со (О имеют в [p,q] непре-
рывные производные ф'(0, ф'(0, со'(О.
Пусть точка А^(хо,уо,го) соответствует значению параметра
t0, а точка М(х0 + Ах,у0 + Ay,z0 + Az) — значению параметра
Го + Д/, так что х0 = <р(^о) > Уо=^о)> ZQ=(o(t0) -, х0+Дх =
= <p(Z0 + АО, Уо + Ay = фОо + АО, Zq + Az = <о(/0 + АО• Составля-
ем уравнение секущей NM как уравнение прямой, проходящей
через две точки:
X - Хр у - у0 Z-Zp
(х0+Дх)-х0 (уо + Ау)-уо (z0 + Az)-z0
(х, у, z — текущие координаты), или
478
Рис. 10.1. К определению касательной
к пространственной кривой
х~х0 = у-у0 _ Z-Zp
<р(/0 +Д/)-ф0о) уОо + М-фОо) со0о + д0~®0о) ’
Разделив знаменатели этих отношений на Д/ и переходя
к пределу при Д t -» 0, получим уравнение касательной к (/)
в точке N.
х~х0 = у-у0 = z-Zp
ф'Оо) V'Oo) ю'Оо) ’ 1 7
Из (2) видим, что вектор т(ф'ОоХф'Оо),со'Оо)) направлен по
касательной к кривой (/) в точке N.
Замечание. Уравнения (2) теряют смысл, если ф'(А>) = ф'Оо) =
= ш'(?0) = 0. В этом случае точка N называется особой. Если же
хотя бы один из знаменателей в соотношении (2) не равен нулю,
то точка N называется обыкновенной. В дальнейшем мы будем
рассматривать только обыкновенные точки.
Определение. Нормальной плоскостью к кривой (/) в точке N
называется плоскость, проходящая через точку N перпендикуляр-
но касательной к (/) в точке (А).
Найдем уравнение нормальной плоскости. Для этого берем
уравнение связки плоскостей с центром в точке N(x0,y0,Zo):
А(х - х0) + В(у - у0) + C(z - z0) = 0. (3)
По определению, нормальная плоскость перпендикулярна каса-
Л В С .
тельной к (Л в точке N. Поэтому ,.л . = .. . = . (= к),
Ф Оо) V Оо) ® Оо)
к — обозначение общей величины этих отношений. А тогда
479
Рис. 10.2. К определению
нормальной плоскости
к пространственной кривой
Рис. 10.3. К определению
касательной плоскости
и нормали к поверхности
А = к • ф'(^о)> В = к- С = к • со'(/0) •
Подставив эти выражения для А, В и С в (3), получим уравнение
нормальной плоскости к (/) в точке N:
ф'Оо) • (х - х0) + у'('о) • (у ~ Уо) + ®'0о) • (z - Zo) = 0 • (4)
2°. Касательная плоскость и нормаль к поверхности.
Определение. Пусть дана поверхность ($) и пусть точка
Mx0,y0,Zo) е (5) • Рассмотрим всевозможные кривые, лежащие
на ($) и проходящие через точку N. Проведем к этим кривым
в точке N касательные прямые. Если геометрическим местом этих
касательных прямых оказывается плоскость, то она называется
касательной плоскостью к поверхности ($) в точке N, а перпенди-
куляр к этой плоскости в точке N называется нормалью к поверх-
ности (s) в точке N.
Пусть данная поверхность (5) имеет уравнение
F(x,y,z) = 0. (5)
Предполагаем, что функция F(x,y,z) непрерывна и имеет непре-
рывные частные производные F', F', F' в некоторой простран-
ственной области. Точки поверхности ($), в которых одновремен-
но F'(x,y,z) = 0, F'(x,y,z) = 0, F'(x,y,z) = 0, называются особы-
ми точками. Остальные точки поверхности ($) называются обык-
новенными.
480
Пусть точка 2V(xo,yo,Zo) — обыкновенная точка поверхности
(s). Рассмотрим одну из кривых (/), лежащую на (я) и проходя-
щую через точку N(xo,yo,Zo) Пусть параметрические уравнения
этой кривой (/) такие:
х = <р(0,
y = V(/), te[p,q],
z = <о (О,
где функции <р(/), ф(0, со (О определены и имеют непрерывные
производные Ф'(0, <о'(О в промежутке [/>,$].
Пусть точка N(xQ,yo,Zo) соответствует значению параметра t0.
Уравнение касательной к (/) в точке N(xQ,yQ,Zo) будет таким:
х-х0 у-у0 z-Zp (6)
ф'('о) Wo) ®'(4))
Мы докажем, что у данной поверхности (5) в точке N существует
касательная плоскость, если покажем, что касательная прямая к
любой кривой (/), проходящей через точку N, перпендикулярна к
некоторой определенной прямой.
Так как вся кривая (/) лежит на поверхности (5), то при всех
t е [Atf] бУДет
Л<р(О>ж(О,©(О) = о. (7)
Значит, (7) есть тождество относительно t. Продифференцируем
это тождество по t. Получим
fx (ф (0, W), © (0) • ф'(0 + fy (ф (0, ф(0, ® (0) • ф'(0 +
+ ^'(ф (0. ¥(0, ® (0) • w'(0 = 0.
Положим в этом соотношении t = t0. Получим
fx(xo,yo,Zo) Ф%) + F'(xo,yo,Zo) v'Oo) +
+ F'(x0,y0,z0) “W = °- (8)
Равенство (8) представляет собой условие перпендикулярности
двух прямых, а именно: прямой (6) (т. е. касательной к (/) в точке
N) и прямой, имеющей уравнение
481
x-x0 = y-y0 = z-z0 (9)
F;<x0,y0,z0) F'(x0,y0,z0) F'(x0,y0,z0)'
Ясно, что прямая (9) не зависит от выбора кривой (/). Она
зависит только от поверхности ($) и от положения точки У на
(5). Значит, касательная прямая к любой кривой (/), лежащей на
(5) и проходящей через точку У(хо,уо,го) перпендикулярна
к одной и той же прямой (9). Следовательно, у поверхности (5)
в точке N существует касательная плоскость.
Нетрудно понять, что прямая (9) является нормалью к поверх-
ности ($) в точке N.
Выведем теперь уравнение касательной плоскости к (5)
в точке N. Для этого возьмем уравнение связки плоскостей
с центром в точке N:
А(х - х0) + В(у - уо) + C(z - Zo) = 0 • (Ю)
Так как касательная плоскость к ($) в точке N перпендикулярна
нормали (9), то
fx(x0,y0,z0) Fy(x0,y0,z0) F'(x0,y0,Z0)
к — обозначение общей величины этих отношений. А тогда
А = к- F'(x0,y0,Zo), В = к- Fy(x0,y0,z0), С = к- F'(x0,y0,z0) •
Подставив эти выражения для А, В и С в (10), получим уравнение
касательной плоскости к поверхности (5) в точке 7V:
F^Xq ,у0, Zo) (* " *0) + F; (х0 ,у0. Zo) (У - Уо) +
+ ^'(A:o,yo,zo)(z-Zo) = O. (11)
Частный случай. Пусть поверхность (5) задана явным уравнением:
Z = /(х,у), (12)
где f(x,y) — непрерывная вместе со своими частными производ-
ными р(х,у) = fx{x,y) и ?(х,у) = fy(x,y). Отметим, что у такой
поверхности все точки обыкновенные. В самом деле, запишем урав-
нение (12) в виде /(х,у) - z = 0. Это есть уравнение вида (5), где
F(x,y,z) = f[x,y)-z- Поэтому F;(x,y,z) = А'(х,у), F^x,y,z) =
= fy{x,y), F' = -1 (# 0) .Уравнение касательной плоскости в точке
N(x0, Уо, Zo) к поверхности, заданной уравнением (12), будет таким:
482
z - Zo = f'(x0,y0)(x - x0) + f'(x0,y0)(y - y0). (13)
Уравнение нормали в точке N(xo,yo,Zo) к поверхности, заданной
уравнением (12),
х-х0 = у-у0 = z-Zp 04)
fx(x0,y0) fy(x0,y0) -1
Если а, Р, у — углы, которые нормаль к поверхности (5) обра-
зует с осями координат, то
cos а = —. , cos р = —.
± Ji + (А)2 + (/р2 ± V1 + (А)2 + (А')2 ’
cosy = — 1 . (15)
±J1 + (A)2+(A)2
Выбор знака перед радикалом означает выбор определенного
направления на нормали. Если нам нужно, например, направле-
ние, которое составляет с осью Oz острый угол, то должно быть
cosy > 0 и, следовательно, в формулах (15) перед радикалом
нужно взять знак минус.
Замечание. Пусть кривая (/) задана пересечением двух по-
верхностей, т. е. системой
F(x,ytz) = О,
Ф(*,У,£) = 0.
Касательную прямую
к этой кривой в точке )V(xo,yo,Zo) можно получить как пересе-
чение касательных плоскостей, проведенных к данным поверх-
ностям в точке N. Следовательно, уравнение этой касательной
прямой будет таким:
А'(*о> Уо.*о) (*~*о)+A'fWo.^o) (У"Уо)+A'tWo>*o)(*-*о)=о>
(16)
Ф^(хь>Уо>го)(л-хь)+Ф;(х<),уо,го)(у-уо)+Ф'(хо,уо.го)и-го)=О.
§2. Существование площади кривой поверхности
и ее вычисление
1°. Рассмотрим поверхность (5), заданную явным уравнением
z = f(x,y), (1)
483
Рис. 10.4. К вычислению площади кривой поверхности
где f (х, у) определена, непрерывна и имеет непрерывные частные
производные Д'(*,?)> Д(Х>У) в области (D), расположенной в
плоскости Оху и ограниченной простым контуром.
Разобьем (D) произвольной сетью простых кривых на части
(А), (А), (А) с площадями Ji, F2, .... Fn. Рассмотрим
цилиндрические поверхности, образующие которых параллельны
оси Oz . а направляющими служат простые кривые, разбивающие
на части (D). Эти цилиндрические поверхности переносят дро-
бящую сеть с (D) на ($). Поэтому поверхность ($) разобьется на
части (Ji), (s2),.... (s„). На каждой части (sk) берем произволь-
ную точку Mk(xk,yk,zk) и проводим в этих точках плоскости,
касательные к поверхности ($). Продолжим упомянутые выше
цилиндрические поверхности до пересечения с построенными
касательными плоскостями. Тогда на этих плоскостях вырежутся
плоские области ($i), (s2), ••• , (s„) • Пусть площади их будут:
Ть Т2, ..., Т„ соответственно. Обозначим через А ранг дробле-
ния области (Р). Покажем, что существует конечный предел
п
s = lim £ Тк , не зависящий ни от выбора дробящей сети, ни от
х->0*=1
выбора точек Мк на (sk). Этот предел и принимается за площадь
s поверхности (л).
4Я4
Заметим, что области (Dk) являются проекциями (sk) на
плоскость Оху. Значит, площади их связаны так: Fk = Тк • cos у к ,
где v* — Угол между плоскостью Оху и плоскостью, касатель-
ной к поверхности ($) в точке Мк. Но угол между плоскостями
равен углу между нормалями к этим плоскостям. Поэтому
V к = Y к > гДе Y к ~ угол между осью Oz и нормалью к поверхно-
сти (5) в точке Мк. А тогда
1
cosyt = cosy* = .
V1 + (Л'(хьЛ))2 + (/;(x*,n))2
(заметим, что нам нужен положительный косинус). И, следова-
тельно,
а = тхйг=-J1+(А'^.у*))2+(W*))2 • л =>
COS l|J if ’
л п I 5 ~ "Т
=* Ёа = Ё71+(а<х*,п)) +(/;(**,у*)) А- (2)
*=1 *=1
Видим, что сумма (2) есть интегральная сумма Римана для двойно-
го интеграла по области (Z>) от непрерывной в (Д) функции
+ (fx(x,y)f + (/Дх,у))2 . Значит, у суммы (2) существует при
Л —> О конечный предел, не зависящий ни от выбора дробящей
сети области (D), ни от выбора точек Мк на (^), а это и требо-
валось доказать. Попутно установлено, что
S = JJ^1 + (fx(x,y))2 + (/;(х,у))2 dxdy. (3)
(D)
Замечание. Формулу (3) для площади s кривой поверхности
можно записать в виде
где Y —острый угол между нормалью к поверхности (5) иосьюОг
Если на нормали к (5) направление не выбрано нужным образом,
то вместо (4) следует писать
485
s=Ul^i- (5)
g,|cosV|
2°. Случай, когда поверхность задана параметрическими урав^
нениями.
Рассмотрим теперь поверхность ($), заданную параметриче-
скими уравнениями
х = х(и, у),
•y=y(«,v), (6)
z = z(u, v),
где x(u, v), y(u, v), z(u, v) есть функции, заданные в области (А)
плоскости Ouv, непрерывные там и имеющие непрерывные част-
ные производные х'и, х', у'и, у', z'u, z'v. Составим матрицу
%
х'
Уи
y'v
и рассмотрим следующие определители, составленные из элемен-
тов этой матрицы:
^•и
С =
А =
y'v
Уи
xv yv
Предположим, что один из этих трех определителей, например, С,
всюду в (Д) отличен от нуля. (С # О всюду в (А).)
Возьмем первые два уравнения из системы (6). При условии,
_ fx = x(u,v),
что С * 0 в (д), система ! , ч однозначно разрешима
ly = y(«.v)
относительно и и у, т. е.
и = и(х,у),
, ч причем функции и(х,у),
у = у(х,у),
v(x,y) будут определены, непрерывны и иметь непрерывные
частные производные их(х,у), иу(х,у), vx(x,y), vy(x,y) в неко-
торой области (D) плоскости Оху (см. теорию функций, задан-
ных неявно). Подставив выражения для и и у через х и у
в соотношение z = z(u,v) из (6), получим
486
Z = z(u (x, y), v (x, y)), T. e. Z = f(x, y).
Отметим, что функция f(x,y) определена, непрерывна и имеет
непрерывные частные производные Ц(х,у), fy{x,y) в области
(D). Видим, таким образом, что поверхность (5), заданная пара-
метрическими уравнениями (6), представляет собой поверхность
как раз такого типа, который был рассмотрен выше в Г.
Было показано, что у такой поверхности есть площадь s,
причем s = [[ (см. (5)). В двойном интеграле, выражающем
#)Icosy|
площадь поверхности (5), сделаем замену переменных, взяв в
качестве новых переменных параметры и и v, т. е. положив
х = x(«,v),
У = y(«,v),
Уи
(k,v)g(A). Получим
5 = И--------f-dudv. У нас
й Icosy|
xv
Уу
= С. Поэтому
/(m.v) =
= IT
&|c°sy|
(7)
В двойном интеграле (7) следует выразить |cos у| через переменные
UK.V. Для этого на поверхности (5) выберем и закрепим произволь-
Рис. 10.5. К вычислению площади
кривой поверхности, заданной
параметрическими уравнениями
487
ную точку N(xo,yo,Zo), соответствующую точке (м0,у0)е(Л).
Проведем в этой точке нормаль л к поверхности (5). Пусть
а, р, у — углы, которые нормаль п образует с осями Ох, Оу и Oz
соответственно. Проведем на поверхности ($) через точку N кри-
вую (/j):
x = x(u,v0),
(/,) = у = y(u,vQ),
z = z(u,v0)
(это — линия, ибо параметр один). Вектор Ti(x'(w0,v0),y'(«0,v0),
zi(«o,Vo)) направлен по касательной к (/J в точке N. Так как
линия (/j) лежит на поверхности (5) и проходит через точку N, то
1л. Поэтому
*i(«o>vo)cosa + y'(«0,v0)cosp + z'(m0,v0)cosy = 0 =>
=* *«(“o,vo)cosa + y'(«0,v0)cosp = -z'u(u0,v0)cosy . (8)
Затем на поверхности (j) через точку N(xo,yo,Zo) проводим
кривую
х = x(u0,v),
(12) = -у = y(u0,v),
Z = z(uo,v).
Вектор T2(x'(Mo,vo),y'(Mo,vo),Zy(Mo,vo)) направлен по касательной
к (/2) в точке N. Так как (/2) лежит на поверхности (5) и проходит
через точку N, то т2 1л. Поэтому
*Xwo>vo)cosa + X(Mo>vo)cosP + zC(«o>vo)cosY = 0 =>
=> x;(«0,Vo)cosa + X(«o,Vo)cosp = -z;(w0,v0)cosY. (9)
Из системы
<(«o,vo)cosa + X(«0,v0)cosp = -z'(«0,v0)cosy,
x;(«0,v0)cosa + y'v(u0, v0)cosp = -z;(w0,v0)cosy
найдем cos a и cosp:
488
cos a =
-Z«(«o>vo)cosY y«(«o>vO)
- z;(«q,v0)cosy K(Wo,Vq)
x'u(u0,v0) y'u(u0,v0)
<(«o>vo) K(«o>vo)
- cosy•
= _COSy;
<(«o,vo) -Z^(m0.Vo)cosy
Xy(«o>Vo) -z;0<o,Vo)cosy
x'u(u0,v0) y'u(u0,v0)
x'v(u0,v0) y'v(U0,V0)
- cosy•
в
= —COSY.
Можем написать также, что
cosy = — cosy .
Известно, что
c
cos2 a + cos2 P + cos2 у = 1. А тогда
Л2 + Л2 + С2
с2
• cos2 y = 1
|cosy| =
J А2 + В2+С2
Подставляя это выражение для |cos y| в (7), находим
s = Д л1а2 + В2 +С2 dudv. (10)
(Д)
Замечание 1. Из формулы (10) для площади s поверхности
видим, что на окончательном результате не отразилось, что отли-
чен от нуля именно определитель С, а не Л или В. Точно такое же
выражение для s мы получили бы, предполагая, что в (д) отличен
от нуля либо определитель Л, либо определитель В. Поэтому
формула (10) верна и тогда, когда область (д) разлагается на
конечное число частей, в каждой из которых отличен от нуля хотя
бы один из трех определителей: Л, В, С.
Замечание 2. Положим
«)2 +(у«)2 +(z«)2 = Е,
«)2 + (X)2 + Uv)2 = G>
xuxv + УиУу + Z'uZ'v = F
(E, G, F — это так называемые коэффициенты Гаусса). Легко
проверить, что А2 + В2 + С2 = EG - F2. Поэтому
489
s = f^EG-F2 dudv.
(A)
(H)
§3. Примеры
Пример 1. Найти площадь s поверхности тела, ограниченного
7 7 7 2 2 2
поверхностями х + z - а , у + z = а .
Решение. На рис. 10.6 изображена часть интересующей нас
поверхности, расположенная в первом октанте. Эта часть поверх-
ности состоит из двух одинаковых по площади кусков. Один из
этих кусков определяется уравнением z = ч/а2 -х2 и проектиру-
ется на плоскость Оху в треугольник (D) =
0 < х < а, „
. Площадь
0 < у < х
? этого куска поверхности можно определить по формуле
(z'v)2 dxdy. Имеем z'x = —t===, z'v = 0. Сле-
z / ? 9 У
* = Л V1 + <
(D)
довательно,
Y2 /72
1 + (Z'x)2 + (Zy)2 = 1 + —----------2 = 2 2 •
(Г - XT cr -xz
А тогда
Рис. 10.6. К примеру 1
Рис. 10.7. К примеру 2
490
Так как s составляет лишь 77 часть площади s, то находим
10
s = 16с2 (кв. ед.).
Пример 2. Найти площадь s части поверхности х2 + у2 = 2az,
заключенной внутри цилиндра (х2 + у2)2 = 2а2ху.
2 2
X + V
Решение. Поверхность z =------— — параболоид враще-
2а
ния. Ось Oz является осью симметрии этого параболоида
вращения. Цилиндрическая поверхность (х2 + у2)2 = 2а2ху —
симметрична относительно плоскости у = х . Она пересекает-
ся с плоскостью Оху по кривой, уравнение которой в поляр-
ных координатах имеет вид г2 = a2 sin 2<р . Одна четвертая
часть куска поверхности, вырезаемая цилиндром из параболо-
ида вращения, проектируется на плоскость Оху в область
(D), ограниченную линиями: Ф =
(см. рис. 10.7) Имеем
ТГ / • » Л ТГ
-т и г = aJsin 2ф , Ф е 0, — .
4 v 4
2 2 2
, X , У 1 z ,Ч2 / ,ч2 а +х +у
^х “ j 1 + Ux) + Uy) ~ 2
a z a ' а
Г 77Г7 7а2 +Х2 +У2
=> V1 + <^) + (Zy) = ----------—
Следовательно,
s = — U 7°2 + х2 + у2 dxdy .
° (В)
Перейдем в двойном интеграле к полярным координатам. Будем
иметь
л п/4 r=ajsin 2<р _ л п/4
S = —] dy J 7777 г dr = ± J(a2
а о r=0 3fl о
о ‘j/Tir=^Jsin 2(р
л п/^
= —a2 J ((1 + sin2ф)3^2 - 1)<Лр =
3 о '
7
^п/4
[ (sin ф + совф)3 dip —
U 4
491
-1 Jcosl <p +
л
4
2
= £_(20 - Зя). (кв. ед.).
Пример 3. Найти площадь s части сферы, ограниченной двумя
параллелями и двумя меридианами.
Решение. Пусть р, ф, 0 — сферические координаты точек
пространства. Декартовы и сферические координаты точки про-
странства связаны соотношениями
X = рСО8фСО80,
у = рэтфСОЭв,
z = psin0.
Координаты любой точки сферы радиуса R будут такими:
Z
Рис. 10.8. К примеру 3
492
х = 7? cos ф cos 0,
у - Л sin ф cos 0,
z = R sin 0.
Последние уравнения можно рассматривать как параметрические
уравнения интересующего нас куска сферы, если q> g [<pj, <Рз1!
0 е [0], 02 ]. Имеем
'х' Уф _ (- Я sin ср cos0 Я cos ф cos 0 0 'j
ч*е Уе ZqJ Я cos ф sin 0 -/?sin<psin0 /?cos0j'
е = (х;)2 + (у;)2 + а;)2 = л2 cos2 0, g = (х'в)2 + (у©)2 + (z©)2 = R2,
F = ХфХе + УфУе + z'9Zo =0 => JeG-F2 = Л2 cos 0.
Следовательно,
s = JJ/f2 cos0dipd0 = R2 ^tipJcosOde =
Ф^ф^ Ф( в,
0|S0i02
= /?2(ф2 -q>i)(sin02 -sin0[) (кв. ед.).
Пример 4. Найти площадь части поверхности тора
х = (b + a cos 0) cos ф,
• у = (д + ОСО80)8Шф, (0<а</>),
z = asin0
ограниченной двумя меридианами <p = <Pi, Ф = Ф2 (<Pi <4h) и
двумя параллелями 0 = 0!, 0 = 02 (0! < 02). Чему равна поверх-
ность всего тора?
!\У
Рис. 10.9. К примеру 4
493
Решение. Найдем коэффициенты Гаусса данной поверхности.
Имеем
Уф 2фА _Г-(b + acos0)sin<p (b + acos0)cos<p О
Ув z'o) I -asin0cos<p -asinOsintp acos0
E = (x')2 + (у;)2 + (z;)2 = (b + acosO)2,
G = (*e)2 + (Уе)2 + (^o)2 =«2>
F = x' Xe + y'vyQ + z'Ze =0 => JEG-F2 = a(b +a cos 0).
s = [[у/EG - F2 dtpdQ = о/<йр/(b + acos0)d0 =
<P1^<P^<P2 (Pi
= o((p2 - Ф0 • (60 + a sin 0)|®^^ =
= о(ф2 - ф!> • [6(02 - 00 + a(sin02 - sin 00] (кв. ед.).
Чтобы найти площадь поверхности всего тора, нужно в полученное
выражение для s подставить значения Ф1 = 0, ф2 = 2л, 0t = 0,
02 = 2л. Получим
«полн. = 2ло • 2л6 = 4л2о6 (кв. ед.).
Глава 11
ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
§1. Поверхностные интегралы первого рода
1. Определение. Пусть в пространстве имеется квадрируемая
поверхность (5), на которой задана ограниченная функция
4>(x,y,z). Проделаем следующие операции.
1. Разбиваем (5) на квадрируемые части (5])> (52), ••• , (S„)
с площадями S2, ••• , S„. Пусть dk — диаметр (Sk).
Л = max{</*} (Л, — ранг дробления).
£=1,л
2. В каждой части (Sk), к = 1,н, берем произвольную точку
(xk,yk,Zk) и вычисляем в ней значение функции Ф, т. е. нахо-
дим <b(xk,yk,Zk>-
3. Умножаем найденное значение функции на площадь Sk
соответствующей части поверхности: ®(xk,yk,zk) -Sk, к = l,n .
4. Складываем все такие произведения. Получаем сумму
о= Y®(xk,yk,zk)Sk
к=\
(о — интегральная сумма Римана). Отметим, что значение суммы а
зависит, вообще говоря, как от способа разбиения поверхности (5)
на части (Sk), к = 1,я, так и от выбора точки (xk,yk,zk) на (Sk).
495
Рис. 11.1. К определению поверхностного
интеграла первого рода
5. Измельчаем дробление так, чтобы X -> 0, и ищем lim о.
Х->0
Если существует конечный предел I = lim а и этот предел не
х-»о
зависит ни от способа разбиения поверхности (5) на части (Sk),
ни от способа выбора точек (xk,yk,zk) на (Sk), то его называют
поверхностным интегралом первого рода от функции Ф(х,у,г) по
поверхности (5) и обозначают символом
1= jj<b(x,y,z)dS. (1)
(S')
2*. Теорема (о существовании и вычислении поверхностного ин-
теграла первого рода).
1. Пусть поверхность (5) задана параметрическими уравне-
ниями
х = х(и, v),
У = y(u,v),
Z = z(u,v),
где x(u,v), y(u,v), z(u,v) есть функции, заданные в области (Д)
плоскости Ouv, непрерывные там и имеющие непрерывные час-
тные производные х', х', у', у', z'u,z'v, причем (д) разлагается
на конечное число частей, в каждой из которых отличен от нуля
496
хотя бы один из трех определителей А, В, С матрицы IZu
К X z'v
(А =
У'и z'u
y'v z'y
ZU *и
Zy Zy
X'u У'и
X'y y'y
В =
2. Пусть функция Ф(х,у,г) определена и непрерывна на по-
верхности (5). Тогда I = ff<P(x,y,z)dS существует и выражается
(•У)
через обыкновенный двойной интеграл по формуле
tf<b(x,y,z)dS = JJФ(х(и,v),у(и,v),z(u,v))VEG - F2 dudv. (2)
(5) (A)
в (2)
E = (O2 + (y'u)2 + (z'u)2» G = (x;)2 + (y’v)2 + (z'y)2,
F = x'u x'y + y'u y'y + z'u- Zy.
Заметим, что двойной интеграл
7, = j^(x(u,v),y(u,v),z(u,v)yjEG - F2 dudv f
(A)
стоящий в правой части равенства (2), существует, ибо подынтег-
ральная функция в нем есть функция непрерывная в (д).
Составим сумму Римана о для I = ^<3>(x,y,z)dS. Для этого
(J)
надо разбить поверхность (5) на квадрируемые части (Sk). Такое
разбиение мы осуществим, разбив произвольной сетью простых
кривых область (д) на части (ДЛ). Дело в том, что разбивая (Д)
на части (ДЛ) с площадями Fk {к = 1,п), мы тем самым разбива-
ем (5) на части (Sk) с площадями Зк (к = 1,л), причем
Sk = Д -JeG - F2 dudv. (3)
(л*)
Применяя к двойному интегралу, стоящему в правой части (3),
частный случай теоремы о среднем, получим
497
Sk = 4 EG - F2
• "к ,
где точка (uk,vk) e (Дл).
Выбор точки (xk,yk,zk) na(Sk) МЫ осуществим, ВЗЯВ произволь-
ную точку (l<fc,vt) в(Д*) и положив =x(uk,vk),yk =y(uk,vk),
zk = z(uk,vk). Тогда
a= Y^(xk,yk,zk)Sk =
k = l
= E Ф [x («*, Vk),y(uk, vk ),z(uk ,vk)]-^EG-F2 _ Fk.
k=\ ()(«'*.’’*)
Сумма, стоящая здесь в правой части, похожа на сумму Римана для
двойного интеграла J,, но таковой не является, ибо точки (ик, vk)
и (йк, vk), вообще говоря, различны. Желая доказать существова-
ние J, мы не сможем ограничить выбор точки (uk,vk), положив
ик = йк , vk = vk . Составим сумму
а. = ^[x{uk,vk),y{uk,vk),z(uk,vk)] 4EG-F2 • Fk .
*=1 ()(«4.П)
Это уже настоящая сумма Римана д ля двойного интеграла J,,
и потому ст, —> J, при X, —> О (здесь Л, —ранг дробления области
(Д)). Ясно, что при X. —»О будет X —> 0. Можно доказать и обрат-
ное: если X -» 0, то и X, —> 0, так что соотношения X, -> О
и л -> 0 - равносильные. Значит, ст, J, при X —> 0.
Имеем ст = ст, +(ст-ст,). Отсюда видим, что теорема будет
доказана, если показать, что (ст - о.)---> 0.
Л.-»0
Имеем
о-а* = ^[Ф(х(ик,ук),у(ик,ук)^(ик,ук))-
Л=1
Ф (х(ик, vk ),у(ик ,vk), Z(uk, vk))] • JeG-F2
Fk-
()(uk,Vk)
498
Положим
Ф [х(и, v), у(и, v), z(u, v)] = v(«, v)
и вспомним, что
Jeg-f2
Рк = sk- Тогда
о-®. = Sk .
к=1
Возьмем е > 0 — любое, сколь угодно малое. Отметим, что
функция v(“> v) е С(Д), как суперпозиция непрерывных функ-
ций. Следовательно, v(«,v) равномерно непрерывная в (д)
(см. теорему Кантора). Поэтому взятому е > 0 отвечает 5 > 0,
зависящее только от е , такое, что для любых двух точек («', у')
и (и", у") из (Д), для которых p((iz/,v'),(«",v"))<8, будет
|v(«", v") - v(«', v')| < (здесь 5 — площадь поверхности (5)).
Считая дробление области (Д) таким, что Л, < 3, будем иметь
< у, А = 1, л.
И потому |а - о,| < • Sk = е. Так как неравенство |о - о,| < е
k=lS
получено нами лишь при условии, чтобы было А, < 8 , то заклю-
чаем, что (о - о.) ——0, а это и требовалось доказать. 4
Частный случай. Пусть поверхность (5) задана уравнением
z = f(x,y), где f(x,y) — функция, определенная и непрерывная
в области (В) плоскости Оху и имеющая там непрерывные
частные производные fx(x,y), fy(x,y). Тогда для любой функ-
ции Ф(х,у,г), непрерывной на (5), поверхностный интеграл
первого рода JJ Ф (х, у, z) dS существует и выражается через обык-
(S)
новенный двойной интеграл по формуле
499
I = Дф(х,у,г)г/<5 =
(S)
= jj Ф[*,У, f(x,у)] • + (/X'(x,y))2 + (//(x,y))2 dxdy. (2)
(A)
(Отметим, что (Z>) есть проекция (5) на плоскость Оху.)
В этом случае параметрическими уравнениями поверх-
ности (5) будут
X = X,
у = у, х и у — параметры. Матрица
z = f(x,y),
% ух 0 Л'"
Л у у zy> ч0 1 fy>
Е = 1 + [/x'U,y)]2, <7 = 1 + [//(х,у)]2, F = f'(x,y) f'(x,y).
Значит,
EG - f2 = (1 + /;2)(1 + /;2) - f'2 • /;2 = I + f'2(x,y) + /;2(х,у),
и, следовательно,
I = ДФ(х,у,г)</5' =
(S)
= Дф [х,у,/(х,у)] • + (f'(.x,y))2 + (/;(х,у))2 dxdy.
(А)
Замечание. Непрерывность функции Ф(х,у,г) на (5) являет-
ся достаточным, но не необходимым условием существования
^4>(x,y,z)dS. Можно доказать, что поверхностный интеграл
(S)
|| Ф(х,у,г)*75 существует, если существует двойной интеграл,
(S)
стоящий в правой части равенства (2). Существование же двойно-
го интеграла, как мы знаем, не исчерпывается классом непрерыв-
ных функций.
500
3°. Свойства поверхностного интеграла первого рода.
Приводимые ниже свойства поверхностного интеграла перво-
го рода аналогичны уже известным нам свойствам двойного
интеграла. Поэтому мы ограничимся лишь перечислением неко-
торых из них, не останавливаясь на доказательствах.
1. = S, где S — площадь поверхности (5).
(S)
2. а• <b(x,y,z)dS = аj^(x,y,z)dS, где а — постоянное
(5) (S)
число.
3. |/[Ф(х,у,г)±Т(x,y,z)]dS = ДФ(х,у,г)</.У± JfT(x,y,z)</S.
(У) (S) (S)
4. ff Ф(х,у,г)</5 + jj<b(x,y,z)dS = ^<b(x,y,z)dS.
<•*> (I) (5) U (S)
5. fjl>(x,y,z)dS £ ЦчЧх.у.г) если Ф (х, у, z) Т (х, у, z)
(S) (S)
на (5).
6.
Дф(х,у,г)«/5 < Д|Ф(х,у,г)|</5'.
<S) (S)
7. Теорема о среднем значении. Если функция Ф (х, у, z) е С((5)),
то на (5) найдется хотя бы одна точка такая, что будет
Дф(х,у,г)</5 =5-Ф(5»п»0.
(S)
4. Физическое истолкование поверхностного интеграла первого рода.
Задача. Пусть имеется поверхность (S), на которой с извест-
ной поверхностной плотностью p(x,y,z) распределена масса,
причем функция p(x,y,z) предполагается непрерывной на (5).
Требуется найти массу т этой материальной оболочки.
Решение. Для вычисления массы т поступаем уже знакомым
нам образом. Разбиваем (5) произвольным образом на части
(Sk), к = 1, п. Пусть dk — диаметр (Sk), Л = тах{<4}. Считаем
к=\,п
элементы (Sk) столь малыми, что в пределах (Sk) поверхност-
ную плотность распределения массы можно считать постоянной,
501
равной p(xk,yk,zk), где точка (xk,yk,zk) — любая, принадле-
жащая (Sk). Тогда масса Атк к-го элемента материальной обо-
лочки будет приближенно выражаться формулой
Ьтк ~ p(xk,yk,zk) • Sk, где Sk - площадь (Sk).
Масса т всей материальной оболочки будет приближенно выра-
жаться суммой, состоящей из п слагаемых
« = Yp(xk,yk,zk)Sk . (*)
Л=1
Интуитивно ясно, что чем мельче участки (Sk), тем меньше
ошибка, которую мы делаем, считая участок (Sk) однородным.
Поэтому за массу т материальной оболочки естественно принять
предел суммы (*) при Л —> 0, т. е.
m = lim ^p(xk,yk,zk)Sk = Kp(x,y,z)dS.
Х">°4=1 (5)
Таким образом, мы можем истолковать поверхностный интег-
рал как массу материальной оболочки, рассматривая подынтег-
ральную функцию как поверхностную плотность распределения
массы. Такое истолкование возможно для любой непрерывной
и неотрицательной функции.
5°. Механические приложения поверхностных интегралов первого
рода. Если поверхность (5) отнесена к прямоугольной системе коор-
динат, то, зная поверхностную плотность p(x,y,z) распределения
массы, мы можем выразить статические моменты материальной
оболочки (5) относительно координатных плоскостей по формулам:
Мху = JJ р (х, у, z) z dS, = JJ р (х, у, z)y dS,
(S) (S)
Myz = tfp(x,y,z)xdS.
(S)
Соображения, с помощью которых мы приходим к этим формулам,
совершенно такие же, как и в случае плоской фигуры.
Координаты центра масс материальной оболочки выражаются
формулами:
(4)
_ Мху
т
_ Myz _
с т ’ Ус~ т
где т — масса оболочки. Если оболочка однородная (р = const),
то формулы принимают вид:
(5)
502
^=40^» (6)
° (S) ° (5) ° (S)
где S — площадь оболочки.
Моменты инерции материальной оболочки относительно коор-
динатных осей выражаются формулами:
Ix = tfp(x,y,z)(y2 + z2)dS, Iу = ffp(x,y,z)(x2 + z2)dS,
(S) (S)
/г = ffp(x,y,z)(x2 +y2)dS, (7)
(S)
а момент инерции относительно начала координат (полярный
момент инерции) — по формуле
Io = jjp(x,y,z)(x2 +у2 +z2)dS. (8)
(5)
Формулы (4) — (8) получаются на основании соответствующих
определений статики для системы материальных точек в простран-
стве. На подробном повторении этих определений и рассуждений,
приводящих к указанным формулам, останавливаться нет надобно-
сти: читатель без особого труда проделает все это самостоятельно.
Пример 1. Вычислить массу т куска поверхности, отсеченного
плоскостью z = 1 от параболоида вращения 2г = х2 + у2, если
поверхностная плотность в каждой точке пропорциональна рас-
стоянию этой точки от плоскости Оху, т. е. р = к • z
Решение. Для искомой массы имеем формулу
т = tfpdS = JJ kz dS.
(S) (S)
У нас поверхность (5) задана формулой z = —(х2 + у2) => z'x = х,
Zy = У. Легко видеть, что область (D), т. е. проекция (5) на плос-
кость Оху, есть круг х2 + у1 < 2 , а потому
1г I-------- 1г I
т = kzdS = — {J (*2 + у2)71 + х2 +у2 dxdy = — J dip J 71 +г2 • r3dr =
(S') (D) 2 0 0
2Jbt 2 Д-------2 J
= —— j r vl + r rdr =
2 0
1 + r2 = t2
rdr = tdt
Ji
= kit j(t2 - l)t2dt =
i
503
= fat
I 5
= fat
"9-Уз зУз 1 f|
5 3 5 + 3 J
Пример 2. Вычислить координаты центра масс однородной
оболочки полусферы х2 + у2 + z2 = а2 , расположенной над плос-
костью Оху.
Решение. Легко понять, что центр масс этой оболочки лежит
на оси Oz А это означает, что хс = 0 и ус = 0. Следовательно,
нам остается вычислить лишь zc .
Так как оболочка однородная (р = const), то для zc имеем
формулу
Из уравнения z = Ja2 -х2 - у2 находим z'x = - z'y = - ^.Сле-
довательно, + (z')2 + (z'y)2 =^ - А тогда
JJ zdS = fjadxdy = ana2f
(S) U>)
ибо (D) есть круг x2 + у2 < о2. У нас S = 2па2 (площадь полусфе-
ры). Поэтому
2
_ а • па _ а
§2. Поверхностные интегралы второго рода
Г. Сторона поверхности. Пусть (5) — поверхность, имеющая
в каждой точке касательную плоскость, положение которой не-
прерывно меняется вместе с точкой касания. Тогда в каждой
точке поверхности (5) существует нормаль, которой можно при-
писать определенное направление (одно из двух возможных)
504
Рис. 11.2. К определению
стороны поверхности
Рис. 11.3. К определению
стороны поверхности
Выберем на (5) точку Мо и проведем на (5) какую-нибудь
линию (К), проходящую через точку Мо и не пересекающую
контура поверхности (S) (см. рис. 11.3). Проведем в точке Мо
нормаль к (5) и припишем ей определенное направление. Пусть
точка М движется вдоль по (К), выходя из точки Мо. Проведем
в точке М нормаль к (5), приписав ей в начальный момент (когда
точка М совпадала с точкой Л/о) то направление, которое имела
нормаль в точке Мо, а в остальные моменты — то направление,
в которое непрерывным образом переходит исходное. Таким
образом, в каждой точке, (К) мы получим определенное направ-
ление нормали.
Пусть, в частности, линия (К) замкнута. Тогда мы можем по
этой линии возвратиться в точку Мо и прийти туда с определен-
ным направлением нормали, которое может совпадать с исход-
ным, а может быть и противоположным ему.
1. Если существует хотя бы один замкнутый контур (К),
исходящий из точки Мо и возвращающий нас туда с направлени-
ем нормали, противоположным исходному, то поверхность назы-
вается односторонней. Классическим примером такой поверхнос-
ти является так называемый лист Мёбиуса (см. рис. 11.4). Модель
ее можно получить, если прямоугольный кусок бумаги ABCD,
перекрутив один раз, склеить так, чтобы точка А совпала с точкой
С, а точка В— с точкой D. Если полученное перекрученное
кольцо начать красить в какой-либо цвет, то можно, не переходя
через его границы, покрасить все кольцо этим цветом. (Мы
в дальнейшем такие поверхности рассматривать не будем.)
505
в
с
Рис. 11.4. К определению односторонней поверхности
2. Если, каков бы ни был замкнутый контур (К), проходящий
через точку Мо, обход по этому контуру возвращает нас в точку
Мо с направлением нормали, совпадающим с исходным, то
поверхность называется двусторонней.
Пусть (S) — двусторонняя поверхность. Возьмем на (5) точку
Мо и проведем в этой точке направленную нормаль. Возьмем затем
на (5) другую точку М и соединим Мо с М какой-нибудь линией
(/), лежащей на (5) и не пересекающей контур поверхности (5).
Если перейти из точки Л/о в точку М вдоль (/) и при этом
непрерывным образом менять направление нормали, то мы придем
в точку Мс вполне определенным направлением нормали. Отметим,
что это направление не зависит от выбора линии (/). Действитель-
но, если бы два различных пути (/) и (7) приводили нас из точки
Af0 в точку М с двумя различными направлениями нормали, то
замкнутый путь ЛГ0(/)ЛГ(7)ЛГ0 приводил бы нас в точку ЛГ0
с направлением нормали, противоположным исходному. А это не-
возможно, ибо поверхность (S') двусторонняя. Таким образом,
выбор направления нормали в одной точке двусторонней поверхно-
сти однозначно определяет выбор
направления нормали во всех ос-
тальных точках этой поверхности.
/ --(О (Эти направления переходят друг
4 в друга при непрерывном переме-
щении точек.) Будем говорить, что
указанные направления нормалей
Рис. 11.5 согласованы друг с другом.
506
Совокупность согласованных друг с другом направлений нор-
малей к поверхности (5) определяет сторону двусторонней по-
верхности.
Пример. Простейшим и наиболее важным примером двусто-
ронней поверхности является поверхность (5), заданная явным
уравнением z = f(x,y), где f(x,y) непрерывна в области (Р)
и имеет там непрерывные частные производные р = f^{x,y)
и q- fy(x,y). В этом случае направляющие косинусы нормали
к поверхности (5) имеют выражения:
fx(x,y)
cos а = —. х ,
ij1 + (ач*,?))2 + (/;<*,у))2
й fy(x,y)
COS0 =--- ;
± J1 + (Л'(*,у))2 + (/;(*,у))2
-1
cosy = —/==========.
± V1 + + (Л'(*>у))2
Выбрав перед радикалом определенный знак, мы тем самым
устанавливаем во всех точках поверхности (5) определенное
направление нормали. Так как направляющие косинусы, в силу
сделанных предположений, будут непрерывными функциями ко-
ординат точки, то и установленное направление нормали будет
также непрерывно зависеть от положения точки (направления
нормали в точках поверхности (5) будут согласованы друг с
другом). Следовательно, выбор знака перед радикалом в форму-
лах для cos a, cos0, cosy определяет сторону поверхности (5).
Если взять перед радикалом знак минус, то во всех точках
-1
поверхности cosy = — будет положи-
"V1 + (Л'(^У))2 + (//(*,У))2
тельным, т. е. угол, составленный с осью Oz нормалью соответ-
ствующей выбранной стороне поверхности (5), будет острым.
Эта сторона поверхности называется верхней, а противополож-
ная — нижней. Нижняя сторона поверхности (5) характеризуется
507
направлениями нормалей, составляющими с осью Oz тупые углы.
(Нижней стороне поверхности (5) отвечает выбор перед радика-
лом, в формулах для cosa, cos0, cosy знака плюс.)
2°. Определение поверхностного интеграла второго рода.
Пусть (5) — двусторонняя поверхность, проектирующаяся на
плоскость Оху в область (Р), ограниченную простой кривой.
Пусть на (5) задана ограниченная функция Ф(х,у,г). Выберем
определенную сторону поверхности (5) и проделаем следующие
операции.
1. Разобьем (5) на части (5,), (52), , (S„) при помощи
линий, которые проектируются на плоскость Оху в простые
кривые, разбивающие (D) на части (Р(), (/)2), • ••> (Д,) с пло“
щадями /*!, Г2, ..., Fn. Пусть 1 — наибольший из диаметров
(Sk), к = 1,и.
2. В каждой части (Sk) берем произвольную точку
и вычисляем в ней значение функции Ф, т.е.
находим Ф(х*,ул,гл).
3. Умножим найденное значение функции на площадь Fk,
снабженную знаком плюс, если нормаль, проведенная к поверх-
ности (5) в точке Nk и направленная так, как это соответствует
выбранной стороне поверхности (5), образует с осью Oz острый
или прямой угол и снабженную знаком минус, если этот угол
тупой. Получим: в случае a) <b(xk,yk,zk) • Fk (рис. 11.6, а);
в случае б) <b(xk,yk,zk) (~Fk) (рис. 11.6, б).
4. Складываем все такие произведения. Получим своего рода
интегральную сумму о. Отметим, что значение суммы о зависит,
вообще говоря, как от способа разбиения (5) на части (Sk), так и
от выбора точки Nk(xk,yk,zk) на (Sk).
5. Измельчаем дробление так, чтобы X—>0, и ищем
Если существует конечный предел I = lim о и этот предел не
X—>0
зависит ни от способа разбиения (5) на части (Sk), ни от
способа выбора точек на (Sk), то его называют
поверхностным интегралом второго рода от функции Ф(х,у,г) по
выбранной стороне поверхности (5) и обозначают так:
|| Ф(х,у,г)<йа/у
($)
508
Рис. 1 1.6
(сторона поверхности должна быть указана особо).
Замечание 1. Если вместо плоскости Оху проектировать эле-
менты поверхности (5) на плоскости Oyz или Ozx, то получим
два других поверхностных интеграла второго рода:
^<b(x,y,z)dzdx.
(S) (S)
В приложениях чаще всего встречаются соединения интегралов
всех этих видов:
JJ P(x,y,z)dydz + Q(x,y,z)dzdx + R(x,y,z)dxdy,
(S)
где P(x,y,z), Qix,y,z), R(x,y,z) есть функции, определенные
в точках поверхности (5). Подчеркнем еще раз, что во всех случаях
поверхность (5) предполагается двусторонней и что интеграл рас-
пространяется на определенную ее сторону.
Замечание 2. При перемене стороны поверхности, по которой
ведется интегрирование, интеграл меняет знак. (Это следует из
самого определения поверхностного интеграла второго рода.)
3°. Существование и вычисление поверхностного интеграла вто-
рого рода.
Теорема 1. 1. Пусть поверхность (5) задана уравнением
z = fix,у), где fix,у) определена, непрерывна и имеет непре-
рывные Щх,у), fyix,y) в области (/)), лежащей в плоскости
Оху и ограниченной простым контуром (тогда различные сторо-
ны поверхности (5) суть верхняя и нижняя.)
509
2. Пусть функция Ф(х,у,£) непрерывна на (5). Тогда
/ = ||Ф(х,у,г)йЬо/у существует и выражается через обыкновен-
ен
ный двойной интеграл так:
a) ^&(x,y,z)dxdy=^^(x,y,f(x,y))dxdy, если интегриро-
(S) (О)
вание ведется по верхней стороне поверхности (5);
Р) || Ф (x,y,z) dxdy = - JJ Ф (х, у, f(x, у)) dxdy, если интегриро-
($) (Д)
вание ведется по нижней стороне поверхности (5).
Достаточно рассмотреть случай, когда интегрирование ве-
дется по верхней стороне поверхности (5). Отметим, что двой-
ной интеграл
/. = ||ф(х,у,/(х,у))<Му,
(D)
стоящий в правой части формулы а), существует, ибо подынтег-
ральная функция в нем есть функция непрерывная в (Д). Соста-
вим интегральную сумму о для I:
^ф(х^УкЛк)-Рк
Л=1
Здесь Zk = f(xk,yk). Значит,
п
<* = ^ф(хк>Ук>/<хк>Ук)) Рк.
fc=l
Сумма, стоящая здесь справа, есть интегральная сумма Рима-
на для двойного интеграла Ц. Так как I. существует, то о -> Ц
при Л, —> 0 (здесь X, — ранг дробления (Д)). Можно доказать,
что (X» —> 0) <=> (X —> 0). Следовательно, о -» I, при X —> 0,
т. е. I = lim о существует и равен /., а это и требовалось устано-
Х->0
ВИТЬ. 4
Замечание. В дальнейшем поверхность (5), удовлетворяю-
щую условиям теоремы 1, будем называть поверхностью вида (I).
510
Теорема 2. Пусть (5) — цилиндрическая поверхность, образу-
ющие которой параллельны оси Oz, а направляющей является
простая кривая, лежащая в плоскости Оху. (Такую поверхность
впредь будем называть поверхностью вида (II).) Тогда для любой
функции Ф(х,у,г), определенной на (5), I = jfa(x,y,z)dxdy
(S)
существует, причем Ф (х, у, z) dxdy = 0.
(S)
Утверждение теоремы 2 очевидно.
Впредь мы будем рассматривать только такие поверхности,
которые разлагаются на конечное число частей указанных двух
типов (I) и (II).
4°. Связь между поверхностными интегралами первого и второго
рода.
Теорема. Пусть (5) — двусторонняя поверхность, которая
разлагается на конечное число частей видов (I) и (II). Пусть
функция Ф(х,у,г) непрерывна на (5). Тогда
||Ф(х,у,г)<£а/у = ||Ф(х,у,г)со8у<ЛУ. (*)
(5) (-S)
Здесь интеграл слева берется по определенной стороне поверхно-
сти (S); у — угол между осью Oz и тем направлением нормали
к (5), которым характеризуется сторона поверхности (5), по
которой берется интеграл, стоящий в левой части равенства (*).
511
1) Если (5) — цилиндрическая поверхность вида (И), то
формула (*) очевидна. Обе части формулы (*) равны нулю: Левая
часть равна нулю по теореме 2, а правая часть равна нулю, так как
cosy = 0 в любой точке поверхности (5).
2) Пусть (5) — поверхность вида (I), т. е. (5) задана уравне-
нием z = fix,у), где fix,у) определена, непрерывна и имеет
непрерывные ffx,y), fyix,y) в области (D), лежащей в плоско-
сти Оху и ограниченной простым контуром. Для определенности
будем считать, что мы интегрируем по верхней стороне поверхно-
сти (5).
Выразим оба поверхностных интеграла через двойной интег-
рал. Имеем
Лев. = jS®ix,y,z)dxdy = jj<b(x,y,fix,y))dxdy;
(•У) (2>)
Лрав. = //Ф(х,У,2)С08У4/5 =
(S)
= Пф (*>?>/(*,?)) • . * • V1 + (ЛЭ2 + iff)2 dxdy =
(ft Ji + (A)2+(/;)2
= jj&(x,y,fix,y))dxdy.
(D)
Таким образом, убеждаемся, что /лев. = /прав. • 4
Совершенно аналогично в справедливости равенства (*) мож-
но убедиться, когда интегрирование ведется по нижней стороне
поверхности (3). В общем случае надо разложить (3) на части
указанных двух видов (I) и (II).
Замечание. Аналогично устанавливается, что
fl&ix,y,z)dydz = ||ф(х,у,г)соза</5,
(S) (5)
|| Ф (х, у, z) dzdx = || Ф (х, у, z) cos р dS.
(J) (S)
512
§3. Формула Стокса
1) Пусть (5) — двусторонняя поверхность, которая разлагает-
ся на конечное число частей видов (I) и (II). Пусть (S) ограниче-
на контуром (/), который проектируется на плоскости ху и xz
в простые кривые.
2) Пусть функция P(x,y,z) определена, непрерывна и имеет
ЭР ЭР
непрерывные частные производные — и — на (5). Тогда
ду dz
{{^-dzdx-^-dxdy = §P(x,y,z)dx (1)
(5)Эг дУ (О
((1) — малая формула Стокса).
В формуле (1) интеграл слева берется по определенной сторо-
не поверхности (5). В интеграле справа интегрировать по (/)
надо так, чтобы наблюдатель, движущийся по (/) в направлении
интегрирования (и расположенный так, чтобы нормаль, соответ-
ствующая выбранной стороне поверхности (5), проходила у него
от ног к голове) видел (5) справа от себя. (Это правило приспо-
соблено к левой системе координат. Для правой системы коорди-
нат интегрировать по (/) нужно в обратном направлении.)
1) Пусть (5) задана уравнением z = f(x,y), где функция
f(x,y) определена, непрерывна и имеет непрерывные частные
производные Щх,у), fy(x,y) в области (Р), лежащей в плоско-
Рис. 11.9. К формуле Стокса Рис. 11.10. К формуле Стокса
513
сти Оху и ограниченной простым контуром (К). Для определен-
ности будем считать, что интегрирование идет по верхней сторо-
не поверхности (5).
дР ЭР
Пусть 7= (f—dzdx-----dxdy. Выразим I поверхностным
ду
интегралом первого рода:
Т дР Q ЭР
1 = 111 —— cosB - —-cosy I.
ду )
Перейдем теперь к двойному интегралу. Имеем
+ 1 о fу
cosy =--. .... - , COS0 =-==^===
+V1 +(Л)2+(/;)2 - vi + (/;)2+(/р2
(перед радикалом знак минус, ибо интегрирование ведется по
верхней стороне (5)). Тогда по формуле перехода к двойному
интегралу, получим
- Py(x,y,f(x,y))
_______I
7i+(/;)2+(/;)2
Jl + (/;)2+(/p2 dxdy =
= - j][p;(x,y,/(x,y)) • /;(х,у) + р;(х,у,/(х,у))] • dxdy.
а>)
Введем в рассмотрение функцию Р*(х,у) = P{x,y,f(x,y)\ Имеем
= Р;(х,у,/(х,у)) + P'(x,y,f(x,y)')- f'(x,y).
ЭР
А тогда I = - Д--dxdy . Применим сюда формулу Грина. Будем
(D) ду
иметь I = | P*dx. (Здесь интегрирование по (К) ведется в направ-
(X)
лении, оставляющем область (Р) справа.)
514
Остается показать, что jP*dx = jPdx. Для этого составим
(К) (О
интегральную сумму Римана для §Pdx. Разобьем (/) точками
(/)
на части и пусть
Л-1
О= Ер<хЛ’^.г*)(хЛ+1 -хк).
Л=0
Но zk = J\xk,yk), ибо точка Мк лежит на поверхности (5).
Поэтому
Л-1 л-1 ф
ст= Хр(хА.^>/(х*»П))(^+1 -хк)= YP (хк,ук)(хк+1 - хк)'
к=0 к=0
Сумма, стоящая здесь справа, есть интегральная сумма Римана для
интеграла jP*(x,y)dx. Значит, о -> $P*(x,y)dx при X* -> 0, где
, (К) (К)
Л — ранг дробления (К). Заметим, что если Л — ранг дробления
(/), то (X* —> 0) <=> (X -> 0). (Это можно доказать.) Поэтому
о —> jP*(x,y)dx при Х—>0. Атак как о-------->$P(x,y,z)dx, то
(К) , (/)
получаем | P*dx = | Pdx.
(К) (/)
2) Пусть (5) есть ограниченный контуром (/) кусок цилинд-
рической поверхности, образующие которой параллельны оси
Oz, а направляющей служит простая кривая, определяемая урав-
нением у - <р(х), и лежащая в плоскости Оху (см. рис. 11.11).
Пусть (5) проектируется на плоскость Oxz в область (D), огра-
ЭР
ниченную простым контуром (К). Имеем 17—dxdy = 0 (см. те-
«Л
орему 2 предыдущего параграфа). Поэтому формула (1), которую
нужно доказать, имеет в этом случае вид
jj^dzdx = f P(x,y,z)dx. (Т)
(5)dZ (I)
515
Рис. 11.11. К формуле Стокса
Рис. 11.12. К формуле Стокса
Здесь flP'(x,y,z)dzdx = ^P'(x,(p(x),z)dzdx. Мы интегрируем,
(S) (D)
для определенности, по той стороне поверхности (5), нормаль на
которой образует с Оу острый угол. Поэтому интеграл справа взят
со знаком плюс. Положим P(x,<p(x),z) = P\x,z) Имеем
ЭР ЭР* fг ЭР . , ff ЭР* , , v
—— = —— . Поэтому ——dz/dx = ——azjdx. К двойному интег-
Эг Эг ^dz
ралу, стоящему в правой части последнего равенства, применяем
ЭР ♦
формулу Грина. Получим JJ—dzjdx = §P*(x,z)dx. Здесь интег-
(5) °Z (К)
рирование по (К) производится в том направлении, которое ос-
тавляет область (Р) справа. Этим и объясняется отсутствие знака
минус в формуле Грина.
Остается доказать, что jP*(x,z)dx = §P(x,y,z)dx. Это дела-
W (/)
ется так же, как и в случае 1).
3) Если (5) разлагается на конечное число частей рассмот-
ренных двух видов, то нужно написать формулу (1) для каждой
такой части, а затем сложить полученные результаты. Криволи-
нейные интегралы по разбивающим кривым придется брать дваж-
516
ды в противоположных направлениях. Следовательно, они исчез-
нут, и мы получим формулу (1) в этом общем случае.
Отметим, что более общих поверхностей мы рассматривать не
будем.
Замечание. При соответствующих условиях, накладываемых
на функции Q(x,y,z), R(x,y,z) и их частные производные
дх
dQ dR dR
"Эг"’ Эх ’ Эу ’ а также ПРИ соответствующих условиях, наклады-
ваемых на двустороннюю поверхность (S) и ее контур (/), совер-
шенно аналогичным образом устанавливаются формулы:
JJ dxdy - dydz = f Q(x, у, z) dy , (2)
&dx dz (/)
ff^dydz ~^dzdx = f R^y^dz (3)
(5) °y ox (/)
(формулы (2) и (3) получаются из (1) круговой перестановкой).
Пусть имеются три функции P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z),
дР дР dQ dQ dR dR
непрерывные вместе с -г—, — , -т— , —-, —, — на поверх-
ду dz дх dz дх ду
ности (5). Пусть (5) — двусторонняя поверхность и (/) — ее
контур. Выберем на (5) определенную сторону и направление
интегрирования на (/) так, как было указано выше.
Пусть верны все три формулы: (1), (2), (3). Тогда, сложив
соответствующие части этих формул, получим большую формулу
Стокса:
jPdx + Qdy + Rdz =
(/)
Заменяя в (4) поверхностный интеграл второго рода поверхност-
ным интегралом первого рода, получим формулу Стокса в виде
jPdx+Qdy + Rdz =
(/)
517
dR_dQ_
by dz
dP dR] _ dQ dP} ...
cosa + —----— cosP+ cosy dS.(5)
V dz dx J {dx dy J
Формулу (5) часто пишут в символической форме
§Pdx + Qdy + Rdz
(i)
cos a
Э
dx
P
cos₽ cosy
d d
dy dz
Q R
(5)
В формулах (5) и (5) cos a, cosp, cosy — направляющие косину-
сы нормали, отвечающей выбранной стороне поверхности (5).
§4. Вопрос о независимости
криволинейного интеграла в пространстве
от пути интегрирования
Пусть в пространстве R3 заданы функции P(x,y,z), Q(x,y,z)>
ч ЭР ЭР dQ dQ dR dR
R(x,y,z), непрерывные там вместе с —, ——, —-т—, —, —.
dy dz dx dz dx dy
1. Будем говорить, что функции Р, Q, R образуют в R3
тройку типа “а ”, если §Pdx + Qdy + Rdz, взятый по незамкну-
-АВ
тому пути ~АВ, не зависит от формы пути (а зависит только от
концов пути А и В).
2. Будем говорить, что функции Р, Q, R образуют в R3
тройку типа “ Р ”, если для любого замкнутого самонепересекаю-
щегося контура (£) оказывается j Pdx + Qdy + Rdz = 0.
(D
Теорема 1. Свойство функций Р, Q, R образовывать в про-
странстве R3 тройку типа “ a ” равносильно свойству образовы-
вать тройку типа “ р ”.
Доказательство аналогично доказательству соответствующего
утверждения в плоском случае.
Теорема 2. Для того чтобы тройка функций Р, Q, R имела
в пространстве R3 тип “Р” (а значит, и тип “а”), необходимо
и достаточно, чтобы было
518
dP dQ dQ dR dR dP „з
dy dx dz dy dx dz
(*)
Достаточность. Пусть условие (*) выполнено. Возьмем лю-
бой замкнутый самонепересекающийся контур (Z) и натянем на
него двустороннюю поверхность (5). Тогда по формуле Стокса
§Pdx + Qdy + Rdz =
(i)
Поверхностный интеграл, стоящий в правой части, благодаря со-
отношениям (*) равен нулю. Следовательно, Pdx + Qdy + Rdz = 0.
(i)
Отсюда, в силу произвольности контура (£), заключаем, что
Р, Q, R есть тройка типа “ р ” (а значит, и типа “ а ”) в R3.
Необходимость. Дано: P(x,y,z), Q(.x,y,z), R(x,y,z) —тройка
типа “ р ” в R3. Требуется доказать, что всюду в пространстве R3
выполняются соотношения (*).
Рассуждаем от противного. Допустим, что условие (*) не
выполнено. Но тогда найдется хотя бы одна точка (xo,yo,Zo),
в которой нарушается хотя бы одно из равенств (*). Пусть,
(dQ dR
например, —— —
L dz ду
# 0. Пусть, для определенности,
(Wo.zo)
Рис. 11.13. К теореме 2
519
ЭЛ
dz ду
~ т dQ dR
> 0. Так как и — — непрерывные, то, по
OW0.Z0) у
теореме о стабильности знака, заключаем, что существует шар ир
с центром в точке (х0,у0,z0) столь малого радиуса р, что во всех
точках этого шара будет
dQ dR}
dz ду J
> 0. Так как up(x0,y0,z0) —
„ I dQ dR] n{- .
замкнутый шар и так как ——— е C(np(x0,y0,z0)), то раз-
\ dz ду J ' '
dQ dR
ность ———— достигает в uo(x0,y0,z0) своего наименьшего
dz ду
значения т. Ясно, что т > 0. Проведем плоскость х - х0
и обозначим через (5) круг, являющийся сечением шара
йр(хо,Уо,го) плоскостью х = х0. Пусть (£) — контур этого круга.
Выберем на (S) какую-нибудь сторону и направление на (£),
соответствующее этому выбору стороны поверхности. По форму-
ле Стокса будем иметь
fPdx + Qdy + Rdz =
fff dQ дР} , . (dR dQ} . . (дР dR}..
= II ч^--— dxrfy+ --------dydz + -—— dzdx.
дх dy J {dy dz J I dz dxJ
Но ГГf ~ = 0 > jjf ~Т~ ~ = 0 > нб° (*S) — UH-
(5)1 dx dy) ”\dz dx)
линдрическая поверхность с образующими, параллельными оси
Oz- Поэтому
f Pdx + Qdy + Rdz = - ^\dydz .
(i) dzj
Считая, что нормаль, соответствующая выбранной стороне по-
верхности (5), направлена туда же, куда ось Ох, получаем
-/и - яр2 < 0,
(5)1 дУ
520
ибо
dQ ЭЯ ЭЯ 9Q
Но тогда Pdx + Qdy + Rdz < 0, а это не так (у нас Р, Q, R —
(£)
тройка типа “ 0 ”). Получили противоречие. Значит, наше предпо-
ложение, что условие (*) не выполнено, неверно.
Дополнение. Пусть условия теоремы 2 выполнены. Следова-
тельно, j Pdx + Qdy + Rdz по любому незамкнутому пути ^АВ
~ав
не зависит от формы пути, а зависит только от концов пути.
Пусть функция u(x,y,z) определена в R3 и такая, что
P(x,y,z)dx + Q(x,y,z)dy + R(x,y,z)dz = du(x,y,z),
т. e. выражение Pdx + Qdy + Rdz является полным дифференциа-
лом функции u(x,y,z)- Тогда
I = jPdx + Qdy + Rdz = u(xB,yB,zB) - u(xA,yA,zA),
~AB
где xA, yA, zA — координаты точки A,a xB, yB, zB — координаты
точки В.
По условию, P(x,y,z)dx + Q(x,y,z)dy + R(x,y,z)dz = du(x,y,z).
Это значит, что
п/ ч ди . Эи п, . Эи
P(x,y,z) = —, Q(x,y,z) = —, R(x,y,z) = —
дх ду dz
Следовательно,
I = J Pdx + Qdy + Rdz =
~AB
= f dx + dy + di.
Jab °x °У °z
Для вычисления интеграла I введем параметрические уравнения
кривой АВ. Пусть они такие:
х = Ф(0,
У = V(0.
z = со (О,
t е [р>4]> причем значе-
521
нию t = р отвечает точка А, а значению t = q отвечает точка В.
Будем иметь тогда
?Гэы(<р(0,^(0>о)(0) ,ZrtjLЭы(ф(/),\и(О,<о(О)
/ = I —i------------------<р (0 +-------------------у (/) +
jf дх ду
+
Эи(ф(0,у(0,(о(0)
dz
(о'(О Л.
Заметив это, рассмотрим функцию F(f) = н(ф(0.У(0,<о(0)>
/ = [р,^]. По правилу дифференцирования сложной функции,
имеем
F,(o = Эи(ф(0,у(/),(о(0) + Эи(ф(О,у(О,(о(О) ( +
дх ду
Эы(ф(Г),ф(0,(о(0)
+ —*---5;-----(О .
dz
Следовательно, предыдущее выражение для / принимает вид
z=|г(ол=ло1;:;=w - ад.
Но
F(q) = и (ф (g), v(?), со (g))=и(хв ,yB,zB),
F(p) = и (ф (р), у(р), (О (р))=и(хА ,yA,ZA).
Поэтому I = u(xB,yB,zB}-u(xA,yA,zA). <
Таким образом, мы получили метод вычисления криволиней-
ных интегралов от полных дифференциалов.
(1,1,1)
Пример. Вычислить I = J (у + z) dx + (х + z) dy + (х + у) dz.
(0,0,0)
Решение. Здесь р = y + z, Q = x + z, В = х + у;
ЭР = Э£ = 1. = = i
ду дх dz ду ’ Эх dz
Функция u(x,y,z) = ху + yz + zx такая, что
522
du(x,y,z) = (у + z)dx + (x + z)dy + (x + y)dz.
Поэтому I = u(x,y, = «(1ДД) - «(0,0,0) = 3.
§5. Примеры и задачи
Пример 1. Вычислить tfzdS, где (5) — часть поверхности
(5)
х2 + z1 - 2az (а > 0), вырезанная поверхностью z = yjx2 + у2.
Решение. Цилиндрическая поверхность х2 + z2 = 2az пересе-
кается с конической поверхностью z = yjx2 + у2 по линии (/),
определяемой системой
х2 + z2 = 2az,
П-----Г Исключая z из этой сис-
z = Jx +У
темы, находим проекцию (/) на плоскость Оху Это будет замк-
нутая кривая (К) с уравнением 2х2 + у2 = 2а^х2 + у2 . Линия
(К) является контуром области (D), на которую проектируется
поверхность (5). Отметим, что (D) является фигурой, симмет-
ричной относительно обеих координатных осей. В полярной
системе координат уравнение контура (К) будет таким:
2о
г = -----ч—. Заметим, что наименьшее значение аппликаты z
1 + COS (р
точек вырезанной поверхности (5) соответствует точкам {-а, 0)
и (о, 0). Это значение z = а. Следовательно, все другие значения
аппликаты z точек вырезанной поверхности (5) будут больше а
Значит, часть цилиндрической поверхности х2 + z2 = 2az , выре-
занной конической поверхностью z = yjx2 + у2 , определяется
уравнением
z = а + Vo2 - х2 .
Таким образом, на поверхности (5) имеем
523
Рис. 11.14. К примеру 1
z'x = -1 х > z; = о, 71+(^)2+(гр2 = I а
Ча - х Ча - х
Но тогда
I = ffz dS = а Д * dxdy = а дГ а
(S) (В) Ча-х* (D)Vva -xL
+1 dxdy .
Вычислять двойной интеграл станем в полярной системе коорди-
нат. Принимая во внимание симметрию области (D), а также то,
что в симметричных относительно координатных осей точках по-
дынтегральная функция принимает равные значения, будем иметь
________а________
^а2 - г2 cos2<p
+ 1 г dr =
= 4а
ayla2-r2 cos2
J 2
О COS ф
г-
l+cos2<p
Лр =
г=0
1
= 8a3j
я/2/
О J+COS2(p (l + COS2(p)2
dtp =
1 1 L
--------5-----------Г~ +--------5-----------5---7 “ф
о sin <р + 2 cos <р (sin <р + 2 cos <р) J
524
1
о з"£2( 1 sin2 ф + 2cos2 ф - cos2 (р^ ,
= 8а I —=-----------г— +----—у--------т—з—— dtp
о sin2 ф + 2 cos2 ф (sin2 ф + 2 cos2 ф)2 )
л/2 (
= 8а3 J —j----------------j—
о l^sin ф + 2 cos ф
2 Л
COS ф ,
----?---------------7 “Ф =
(sin ф + 2 cos ф) )
2
= 8а3
= 8а3 J
-------J'S» к.
О 2 4-tg2 ф (2-t-tg2 ф) J
\ <р=я/2
2 . tgф 1 . tgф 1 tgф
-= arctg -----j= arctg п ,
V2 л/2 4>/2 Л 4 2 + tg^J
о з( гх п 1 п 7з/2 • па3
V 2 4V2 2 j 2
<р=0
Пример 2. Вычислить I = ||(х + у + z)dS, где (5) — поверх-
(S)
ность, заданная уравнением х2 + у2 + z2 = а2, z > 0.
Решение. Заметим, что (5) — верхняя полусфера радиуса а с цент-
ром в точке (0, 0, 0). Следовательно, z = 7°2 - х2 - У2 • Имеем
7<J2 — х2 - у2 У Ja2 -х2 - у2
^ + (z'x)2+(z'y)2 = , °--------
yja -х -у
7 = aff х + у —
(D^a2 -х2 - у2
+1 dxdy,
где (2)) — есть круг х2 + у2 <а2. Вычислять двойной интеграл
станем в полярной системе координат. Будем иметь
2я г=а(
I = a J dp j
О r=oV
r(cos ф + sin ф)
4а2 - г2
Л
+ 1 г dr =
7
525
2л r=a r=a 2
= a J(cos<p + sin tp) dtp | ..— + 2na jrdr = 2na • — = na3.
0 r=0 Nd2 - Г2 r=0
= 0
Пример 3. Вычислить I = ДО(х2 + y2)dS, где (5) — граница
________________ (5)
области Jx2 + у2 < z £ 1.
Решение. Имеем I = ДО(x2 + y2)dS + ДО(x2 + y2)dS , где
(5) (f)
(5) — боковая поверхность конуса z = -Jx2 + у2 , a (5) — осно-
вание этого конуса. (5) и (5) проектируются на плоскость Оху
в круг (О): х2 + у2 < 1.
Для поверхности (5):
, _ х , _ у
Zx ~ М „2 ’ ~ Г2 „2 ’
------ I Y2 v2 r-
u;)2 = Ji + -rE-2‘ + -TL-T = ^
у x +y x +y
Поэтому
Il = ДО(х2 +y2)dS = 41 ДО(х2 + y2)dxdy.
(5) (D)
Так как на (5): + ^х)2 + (z'y)2 = V1 + 0 + 0 = 1, то
Л = Д(*2 +y2)dS = ДО (х2 +y2)dxdy.
(J) <д)
А тогда
/ \2я Г=1
I = Ц + 12 = (л/2 + 11 ДО (х2 + y2)dxdy = Ы2 + 11J dtp J r3dr =
' '(D) ' 'о г=0
526
Пример 4. Вычислить I = ff--------, где (5) — граница
($)(1 + Х + У)2
тетраэдра х + у + z 1, х > 0, у > 0, z > О.
Решение. Здесь (5) = (S&A0B) U (S&ABC) U (S&0BC) U (S^A0C).
1) Ha (SBA0B): z = O, J1 + (O2+(*;)2 = Vl + O + O = 1. По-
этому
<Z»><l + * + >'> O ,io (1+x + y)2
fl у 1
= I - — x + ln(l + x) I <Zx = ln2- —.
jt=O
2) На ($&АВс) • z — 1 — x — у > zx — 1 > Zy 1,
y/1 + (Zx)2 + (z'y)2 = V3 .
Следовательно,
527
3) На ($ь0ВС): х = 0, + (х')2 + (х')2 = V1 + О + О = 1. По-
этому
, _ и- dS _hz су dz
(Лс)<1 + Х + ^2 о X (1 + У)2
И z
о1(1 + У)2
Z-l-y i
dy = j
z=o О
1-У
(1 + У)2
dy =
1 / \ -У=1
= ~\y + i~^dy = - Д- + ln(l + у) I = -(-1 + ln2) = 1 - ln2.
о(1 + У) Jy=0
4) Ha (S&A0C): у = О, Jl + О£)2 + (yp2 = Vl + O + O = 1. По-
этому
4= JJ --—--T
(i<1 + X + ^)
о До (1 + *)2
= I3 =l-ln2.
А тогда
I = Ц +12 + I3 + Ц = (Л -1) In 2 +
Пример 5. Вычислить I = ffzdS, где (5) — часть поверхнос-
ти геликоида: (5)
х = ucosv,
y = «sinv, 0<u<a, 0<v<2n.
z = v,
Решение. (S) задана параметрическими уравнениями, и, v —
параметры. Имеем
х' = cos v, у'и = sin v, z'u = 0;
х' = -wsinv, у' = wcosv, zy = 1;
Е = (х'и)2 + (у'и)2 + (z')2 = cos2 v + sin2 v = 1;
G = (x')2 + (у')2 + (z'v)2 - и2 sin2 v + u2 cos2 v +1 = u2 +1;
F = x’ux'v + y'yy + z'uz'v = -« sin vcos v + и sin vcos v + 0 = 0;
528
4EG - F2 = -Ju2 +1.
Поэтому
I = JJ z dS = JJ vjEG - F2 dudv =
(S) (Д)
------ a --------- 2л
= JJ vvl + u2dudv = J VI + u2 du J vdv =
(д) о о
= 2л2 J Jl + u2 du = n2f«Jl + и2 + ln|
0
= л2| ojl + a2 + ln| a + Jl
u-a
u=O
Пример 6. Вычислить I = JJ z2dS, где (5) — часть поверхно-
сти конуса
х = г cos фата,
• у = гвтфвта, 0<г<«, 0<ф<2л, а — постоянная
z = rcosa,
(°<а< j).
Решение. Имеем
х' = cosф sin a, y'r = sin <р sin a, z'r = cosa ,
х' = -г sin ф sin а, у' = г cos ф sin a, г' = 0.
Е = (х')2 + (у')2 + (Zr)2 = sin2 a(cos2 ф + sin2 ф) + cos2 а = 1,
(? = (х')2 + (Уф)2 + (Хф)2 = г2 sin2 a(sin2 ф + cos2 ф) = г2 sin2 а,
F = х'г • х; + у'г • у; + z'r • z'v =
= -rsin2 a sin ф cos ф + rsin2 a sin ф cos ф + 0 = 0.
Следовательно,
--------------------------- 2л г=а
I = JJ г2 cos2 aVr2 sin2 a dqdr = fd<pfr3 cos2 a • sin a dr =
(Д) 0 r=0
529
r=o 4
TUT . ?
= -—sin a cos a
„0 2
г4
= 2ncos2 asina • —
4
Пример 7. Вычислить I = JJ(xy + yz + zx)dS, где (5) — часть
(У)
конической поверхности z = Jx2 + у2 , вырезанная поверхнос-
тью х2 + у2 = 2ах.
Решение. Имеем
z
У___
+ у2
71+(^)2+(*;)2 = V2.
Следовательно,
I = jjfху + (х + у)т]х2 + у21 • V2 dxdy,
где (Р) — круг (х - о)2 + у2 <а2. Ста-
нем вычислять / в полярной системе
координат. Тогда
х = rcoscp,
Уравне-
у = г sin <р.
ние контура области (D) будет таким:
г = 2а cos ф. Область интегрирования (Р) определяется неравен-
ствами
_ п < я
“ ~2 ~ < ’ После замены переменных в I будем иметь
О < г < 2 a cos ф.
я/2 r=2acos<E
I = J (sinфсовф + sinф + со$ф)d(p JV2 г3dr =
-п/2 г=0
42 "/2
= — J(8ШфСО8ф + Sinф + СО8ф) • 16о4 COS4 ф</ф =
4 -п/2
п/2 п/2
= 4-j2a4 J(sn^cos^ + sH^cos^ + cos^)dip = 4V2<j4 Jcos^tAp,
-л/2 -п/2
530
ибо
я/2 я/2
J (sin (р cos5 <р + sin <р cos4 <р) <Z<p = - J (cos5 <р + cos4 <p) d cos ф =
-я/2 -я/2
f 6
COS ф
I 6
хФ=я/2
COS ф
5
= 0.
/ <р=-я/2
Так как
Я/2 < Ч2 5 4» 16
J cos ф<йр = 2 J cos ф<йр = 2 • — = —, то
-я/2 о 5.. 15
/ = 4Л-а4 = —а4.
15 15
Пример 8. Найти статический момент однородной треуголь-
ной пластинки х + у + z = а (х > 0, у > 0, z > 0) относительно
плоскости Оху.
Решение. Имеем Mxy = ^zdS, где z = a-x-y. Так как
(5)
— 1, zy
-1 > 71 + + , ТО
Мху = $j(a-x-y)j3dxdy =
(Р)
а у=а-х
= 43jdx j(a-x-y)dy =
о ^=о
= —Jijdx j(a-x-y)d(a-x-y) =
О у=0
Рис. 11.18. К примеру 8
у=а-х
dx =
у=0
,^=J Х(д-х-у)2
у=0 2
531
Пример 9. Вычислить момент инерции I однородной кони-
X1 V2 Z2
ческой оболочки (5): —т- + = О (0<z^b) плотности р0
а2 а2 Ь2
X V 7. — Ь
относительно прямой (/): у = у = - .
Решение. Прямая (/) параллельна оси Ох, лежит в плоскости Oxz
и отсекает на оси Oz отрезок длины Ь. Пусть точка M(x,y,z) е (5)
и d — расстояние от точки M(x,y,z) до прямой (/). Ясно,
что d2 = х2 + у2 + (z - b)2. Поэтому I = p0JJ(x2 + у2 +
(.зу
+ (z - b)2 JdS. У нас
b l~2 2 , b X , b у
z = -Jx2 +y2 => zx =------- Zy =----. / , ,
° ° Jx2 + y2 a Jx2 + y2
П 77T2 / /Ч2 Va2 + b2 4a2 + b2 , ,
Jl + (zx)2 + (Zy) =---------, dS =---------dxdy .
’ a a
Следовательно,
a
(D)
x2 + y2 + b2 1 -
dxdy,
где (Z)) есть круг x2 + у2 < a2. Станем вычислять / в полярных
координатах. Будем иметь
— 2лр0
2г г2>|
г dr =
532
= ^—aja2 + b2(3a2 + b2).
6
Пример 10. Вычислить I = Д (x dydz + у dzdx + z dxdy), где
(S} 2 2 2 2
(5) — внешняя сторона поверхности сферы х + у + z = а .
Решение. Рассмотрим I = Д z dxdy. Представим I в виде суммы
(S)
I = fjzdxdy + Д z dxdy. Здесь (5В) — верхняя полусфера
№) (Sh)
Z = ja2 - х2 - у2 , (5Н) — нижняя полусфера z = —ja2 -х2 - у2 .
Имеем
Т = fjz dxdy = Д^а2-х2-у2 dxdy -Д- yja2-x2-y2 dxdy =
(5) (О) (D)
= 2 Д Ja2-x2-y2 dxdy,
(D)
где (D) — круг x2 + у2 < a2. Станем вычислять I в полярной
системе координат.
/ = 2|<йр| >1а2 - г2 rdr = 4л J 7а2 - г2 • у]d(a2 - г2) =
о г=0 г=0 v
= -2л | (а2 -г2)3/2
г=а
4л з
—а
г=0
Совершенно аналогично можно установить, что Д xdydz = ^-а3
(S) 3
и Ду dzdx = ^-а3, так что I = 4ло3.
(S) 3
533
Пример 11. Вычислить
JJ f(x) dydz + g(y) dzdx + h(z) dxdy,
(S)
где f(x), g(y), h(z) — непрерыв-
ные функции, (5) — внешняя сто-
рона поверхности параллелепипе-
да (Р) =
О < х < а,
• 0 < у < Ь,
О £ z^ с.
Рис. 11.19. К примеру 11
Решение. Рассмотрим 7 = [[li(z)dxdy. Представим I в виде
(•S)
суммы интегралов.
(POABQ
(QABCD)
(POAAD)
(pOCCD) (ПВССВ) (a ABBA)
Так как интегралы по граням, перпендикулярным к плоскости
Оху, равны нулю, то
jfh(z)dxdy+ JJh(z)dxdy.
(DOABQ (QABCD)
Имеем
а b
jjh(z)dxdy= -J dxj h(O)dy = -h(0)-ab,
(pOABQ 0 0
a b
JJ h(z)dxdy=J dxj h(c)dy=h(c) ab.
(OABCD) о о
Следовательно, 7 = (A(c) - A(O))aZ>. Совершенно аналогично нахо-
дим, что
JJ f(x) dydz = (/(о) - /(0)) be-, JJ g(y) dzdx = (g(b) - g(0)) ac.
(S) (5)
534
Таким образом, получаем
Г/(д)-/(0) А gW-g(O) А Л(с)-Л(О)~| аЬс
b
а
с
Пример 12. Вычислить JJ (у - z) dydz + (z - х) dzdx + (х-у) dxdy,
(S)
где (5) — внешняя сторона конической поверхности х2 + у2 = z2
(О < z <h).
Решение. По формуле связи между поверхностными интегра-
лами первого и второго рода имеем
/ = JJ[(у - z)cosa + (z- x)cosp + (х - jOcosyjt/S.
(5)
Здесь
Zv а Zy
cos a = — х , cos р = —j- ,
± y/l + (z'x)2 + (z'y)2 ± + (z'x)2 + (z'y)2
-1
cosy =----=============== .
± y/l + (zx)2 + (Zy)2
Заметим, что внешняя сторона конической поверхности
z = >/х2 + у2 является нижней стороной поверхности (5). Нор-
маль к нижней стороне (5) образует с осью Oz тупой угол. Поэто-
му cos у < 0 и, следовательно, перед радикалом нужно взять знак
плюс. Имеем
, _ X _ X , у _ у
д/х2 + у2 Z У -Jx2 +у2 Z
y/l + (z'x)2+(z'y)2 = + .
V z
X у 1
Атогда cosa = -7=—, cosP = —, cosy = —1= (z * 0). Следо-
V2-z Л-z V2
вательно,
535
(у - z)cosa + (z - x)cosp + (x - y)cosy =
= 1 . ~ $x + (~z~ x>>y ~ ~ = -J2(y - x)
J2 Z
Выражаем I через двойной интеграл. Так как dS = -J2 dxdy, то
будем иметь
I = jj2(y -x)dxdy,
(D)
где (D) — круг x2 + у2 < h2. Переходя к полярным координатам,
получим
2л г=Л 2л r-h
I = 2f <йр J r2(sintp - cos<p)dr = 2 J (sinср - cos<p)dip J r2dr = 0,
0 r=0 0 r=0
2л 2л
ибо fsin<pJ<p = O и JcoscptAp = 0.
о о
Пример 13. Вычислить I = Г[+ + где /уч _
($А X х2 у2 внешняя сторона эллипсоида —=- + а1 Ъ* Решение. Рассмотрим интеграл I в виде суммы двух интегралов: 7 = JJ + (•^верхи) («$ Имеем (5верхн): z = сJ1 - V а b Выражаем I через двойной интеграл У z ) •4-1- = JJ —. Представим Т (S) z [[ ^У > z ' нижн^ 1 X2 у2 нижн) : z = -cJl = -х- . V a2 г
?=JJ , 2-. 1 _ х _ у ( Г " а2 ~ Ь2 д)_/. 1_Л _у (°) 1_х _У Г a2 b2 V а2 Ь2
536
где (D) — область, ограниченная контуром
yi
—7 + А5- = 1. Положим
а* 1г
х = ar cos ф,
у = ьг sin ф, ф G1°’2я] ’ г 6 [°’ Ц (Г»Ф) = аЬг • Будем иметь
' = “Н
с О г=0
г dr
V1 - г2
4паЬ
с
1 4nab
о с
Совершенно аналогично находим
Я dydz _ 4nbc re dzdx 4nca
x a 9 v b
(5) Л U (5) У °
Следовательно,
r aS ab be ac\ / 2 l2 l2 2 2 2\
I = — + — + — I = —7-la 6 + 6 c + a c )
V c a b) abc' ' *
Пример 14. Применяя формулу Стокса, вычислить криволи-
нейный интеграл I = jydx + zdy + xdz, где (С) — окружность
(С)
2 2 2 2
х + у + z = а , -
пробегаемая против хода часовой стрелки,
х + у + z = О,
если смотреть с положительной стороны оси Ох.
Решение. Возьмем в качестве поверхности (S) круг радиуса а,
лежащий в плоскости х + у + z = 0. Будем иметь
cos a cos0 cosy
3 d d
— ио =
дх-----ду-dz
у Z X
= JJ (-cosa - cos0 - cosy)dS = -JJ (cosa + cos0 + cosy)dS,
(S') (S)
где cosa, cos0, cosy — направляющие косинусы нормали к поверх-
ности (5), т. е. к плоскости x + y + z = 0 z = -х-у. Имеем
/= fydx + zdy + xdz =
(С)
537
z'x=-l, Zy=-1, Jl + (zi)2 +(Zy)2 = >/3 ,
cos a =
-1
+ + (z'x)2 + Up2
±-Jl + (z'x)2 + (z'y)2 ±^’
cosy =
±-Jl + (zx)2 + (Zy)2 ±^3
Так как нормаль к плоскости х + у + z = 0 образует с положитель-
ным направлением оси Oz острый угол, то cosy > 0, и, следова-
тельно, перед радикалом следует взять знак минус. Таким образом,
с In1 1*
будем иметь cos a = —?=, cosp = -т=, cosy = -j=. А тогда
dS = -V3jpS = ->f3na2.
(5)1 v3 V3 V3j (5)
Пример 15. Вычислить I- |(x2 -yz)dx + (y2 -xz)dy +
(AmB)
x = acoscp,
+ (z2 -xy)dz, взятый по отрезку винтовой линии: = asincp,
от точки A(a, 0,0) до точки В(а, 0, А).
Решение. У нас кривая (АтВ) не является замкнутой. Поэто-
му, если мы хотим использовать формулу Стокса при вычислении
I, то кривую (АтВ) следует дополнить какой-нибудь линией,
которая вместе с {АтВ) образует замкнутый контур. Дополним
кривую (АтВ), например, прямолинейным отрезком (АВ):
538
х = a,
У = 0» Получим замкнутый контур (С) = (АтВ) U (ВА) .(см.
О < z < й.
рис. 11.20) Тогда I = j" - J . Имеем
(АтВ) (С) (ВА)
I = f (х2 -yz)dx + (у2 - xz)dy + (z2 - xy)dz =
(С)
Я cos a cosp cosy
Э Э Э
Эх ду dz
m xl ~yz У2 - XZ z2 - ху
= JJ[cosa • (-x + x) + cosp • (-y + y) +
(C)
+ cosy • (~z + = Jj*0 • dS = 0.
(S)
j (x2 - yz)dx + (y2 - xz)dy + (z2 - xy)dz вычисляем непосред-
(AB)
ственно. На прямолинейном отрез-
ке АВ .имеем dx = 0 , dy = 0 ,
z изменяется от 0 до й. Поэтому
J (x2-yz)dx + (y2-xz)dy +
(АВ)
А лЗ
+ (z2-xy)dz = f z2dz = —.
о i
Так как f = - J , то f =_4"-
(ВА) (АВ) (ВА) 3
Следовательно,
(С) (ВА)
й^
3
Й3
3 ’
539
Пример 16. Пусть (С) — замкнутый контур, расположенный в
плоскости xcosa + ycos0 + zcosy - р = 0 (cosa, cosp, cosy —
направляющие косинусы нормали плоскости) и ограничивающий
площадку (5). Найти
(С)
dx dy dz
cosa cosp cosy
xyz
где контур (С) пробегается в положительном направлении.
Решение. Имеем
I = f (zcosP - ycosy)dr + (xcosy -zcosa)</y + (уcosa- xcosP)d? =
(C)
cosa
Э
Эх
(z cosp - у cosy)
COS0
Э
Эу
(xcosy - zcosa)
cosy
Э
dz
(ycosa - xcos0)
dS =
= jj(cosa • 2cosa + cosp • 2cosp + cosy • 2cosy)</5 =
(S)
= 2 JJ (cos2 a + cos2 p + cos2 y)dS = 2 JJ dS = 25,
(5) (5)
где 5 — площадь (5).
Пример 17. Применяя формулу Стокса, вычислить интеграл
I = f (у + z)dx + (z + x)dy + (x + y)dz,
(С)
где (С) — эллипс
х = a sin21,
у = 2asinfcosr,
z = a cos21,
t e [0, л], пробегаемый в на-
правлении возрастания параметра t.
Решение.
Я cosa cosp cosy
Э Э Э
Эх Эу dz
y+Z Z+x х+у
540
= jj [(1 -1) cos a + (1 -1) cos р +(1-1) cos у]</5 = 0.
(S)
Пример 18. Применяя формулу Стокса, вычислить интеграл
I = f (у - z)dx + (z-x)dy + (х- y)dz,
(С)
где (С) — эллипс
'2 2 2
х + у = а
* + £-1,
a h
(a > 0, й > 0), пробегаемый
против хода часовой стрелки, если смотреть с положительной сто-
роны оси Ох.
Решение.
(S)
cos а
Э
Эх
y-z
COS0
Э
Эу
z-x
cosy
Э
Э?
х-у
" - ш- 2 cos а - 2cosP - 2cosy]t/5.
(5)
У нас(5)
X z
— часть плоскости, определяемой уравнением —+— = !<=>
a h
I я I
<=> z=h\ 1— . Имеем
I а)
, h
Zx f Zy
a y
(.Zy)2 =
cos а =
Z* , COS Р =
:i)2 + (z'y)2
zy
х)2 + (z'y)2
cosy =
а
Так как нормаль к плоскости — + 4- = 1 образует с положительным
a h
направлением оси Oz острый угол, то cosy > 0, и, следовательно,
перед радикалом следует взять знак минус. А тогда
541
h on O
cos a = — , cos 6 = 0, cosv = ,
7777 7777
Будем иметь, выражая /через двойной интеграл:
т _ ([ a + h -Ja2 + Л2 , .
/ = -211 ---- -----------dxdy,
(z>)7o2 + А2 °
где (D) — круг х2 + у2 < а2. Переходя к полярным координатам,
получим
I = -2 а + fdtpf rdr = -2 Д + • 2п • = -2па(а + Л).
« о о ° 2
Пример 19. Применяя формулу Стокса, вычислить интеграл
/ = ^(у2 + z2)dx + (z2 + х2)dy + (х2 + y2)dz,
(С)
где (С) — кривая
х2 + у2 + z2 = 2Rx,
х2 + у2 = 2гх,
(0 < г < R, z > 0), пробе-
гаемая так, что ограниченная ею на внешней стороне сферы
х2 + у2 + z2 = 2Rx наименьшая область остается слева.
Решение.
cosa cosp cosy
Э Э Э ,с
—---- UtD —
Эх-------------------ду dz
l^2+Z2 Z2+X2 х2+у2
= ff[2(y-z) cos a + 2(z - x) cos P+2(x - y) cos y] dS.
(S)
Здесь (5) — кусок сферы x2 + у2 + z2 = 2Rx, вырезанный из нее
цилиндром х2+у2 =2rx; cos a, cosp, cosy — направляющие
косинусы нормали к (5). Имеем
_ _ /о..2 7л _ R-x _ -у
Z — у2лх х у , zx — «-----------— > Zy i-----------
72Лс - х2 - у2 ^2Рх - х2 - у
г'
542
г. 7772 / ,ч2 к (Л - х)2 у2 R
+ (zx) + (zy) ~ у + %2 + z2 ~ z ’
cos а = —. Zx , cos р = —. Zy ,
±-Jl+(z'x)2+(Zy)2 ±y/l+(z;)2+(z'y)2
cosy =
-1
Так как нормаль к (5) образует с положительным направлением
оси Oz острый угол, то cosy > 0 и, следовательно, перед радика-
лом следует взять знак минус. А тогда
(R - x)z х - R а ~У z у z
C““ = ^77r-’-R-’
Поэтому
R
R
R
f = 2jj (У-zXx-R) (z-x)y (x-y)z'
(S)-
Выражая /через двойной интеграл, получим
г - > ff Г(y-t)(x-*> + (z-*)y + (x_ _
dS.
(Z»L
z
где (Z>) — круг x2 + у2 < 2/x =>
dxdy =
= 2R JJ dxdy - 2R JJ dxdy = 2Я • nr2 - 2Я JJ dxdy .
(D) (Д)г (D)z
Имеем 7 = 2R^dxdy = 2^JJ-= dxdy. Переходим
ll)z &yl2Rx-(x2+y2)
к полярным координатам
х = pcoscp,
у = р sin ср.
Тогда
543
х2 + у2 = 2rx —> р2 = 2/pcos<p => p = 2rcos<p,
где <р е
Я П ГЛ I
2’2 . ре[О,П.
I. У *,j, , рф=
-я/2 о у/2рЛ cos ср - р2
л/2 г _2 jx 0 г _2jo
= j sin <р d<pj . Р Р + J sin ф <йр| Р .
о о у2р7?со5ф - р2 -я/2 о ^ЗрЛсозф - р2
Во втором интеграле справа делаем замену: V = -ф. Будем иметь
О г ”/2 г
| sin ф «йр| . Р Р = - | sin у <Л|г| . Р Р— .
-я/2 0 72рЯсО8ф - Р2 0 0 V2p/?COSV - р2
Следовательно, I = 0, и поэтому I = 2лЛ • г2.
Глава 12
ТРОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
§1. Определение тройного интеграла
I. Пусть в некоторой конечной, замкнутой трехмерной
(“объемной”) области (Г), ограниченной простой поверхностью,
задана функция f(x,y,z) Проделаем следующие операции:
1) Дробим (Т) произвольной сетью простых поверхностей на
п частей (7j), (7^), ••• , (7^). Пусть объемы этих частичных
областей есть соответственно К], V2, ..., V„, а диаметры —
dx, d2, ..., dn. Положим X = max{<4} (X — ранг дробления).
Л=1,л
2) В каждой частичной области (Тк) берем произвольную
точку (xk,yk,zk) и находим в ней значение функции /, т.е.
находим f(xk,yk,zk).
3) Умножаем найденное значение функции на объем соответ-
ствующей частичной области f(xk,yk,zk) • Vk, к = 1, 2,..., п .
4) Складываем все такие произведения. Получаем сумму
п
<* = ЪКхк,укЛк) Ук.
к=1
Сумму о будем называть интегральной суммой Римана. Отметим,
что о зависит, вообще говоря, как от способа разбиения (Г) на
части (7^), так и от выбора точек (xk,yk,Zk} в (7^).
545
5) Измельчаем дробление так, чтобы Л —> 0, и ищем lim о.
X—>0
Если существует конечный предел I = lim ст и этот предел не
X—>0
зависит ни от способа дробления (Т) на части (Тк), к = Т^п, ни
от выбора точек (xk,yk,Zk) в (Тк), то этот предел называют
тройным интегралом от функции f(x,y,z) по области (Г) и
обозначают символом f(x,y,z)dV или fjj f(x,y,z)dxdydz. Ta-
in (Г)
ким образом,
fff/(x,y,z)dV = lim ^f<xk,yk,zk)Vk .
(П Л->0*=1
Замечание. Соотношение J = lim ст означает: любому числу
е > 0 отвечает число 5 > 0, такое, что для любого способа
дробления (Г) на части (Тк), у которого ранг дробления Л < 5,
будет |ст - /| < е , как бы ни были при этом выбраны точки
(xk,yk,Zk) в (Тк).
Если у функции f(x,y,z), определенной в (Г), существует
Sjjf(x,y,z)dV, то будем говорить, что f(x,y,z) интегрируема в
(Г)
(Г), и писать /(x.y.z) е R(T).
II. Теорема (об ограниченности функции f(x,y,z), интегрируе-
мой в (Г)). Если функция f(x,y,z) е R(T), то f(x,y,z) — огра-
ниченная в области (Г).
(Предлагается в качестве упражнения доказать самостоятель-
но. Доказательство такое же, как и доказательство аналогичной
теоремы в теории двойных интегралов.)
Замечание. Теорема необратима, т. е. не всякая функция
f(x,y,z), заданная в (Г) и ограниченная там, оказывается интег-
рируемой в (Т). Следовательно, ограниченность функции
546
f(x,y,z) в области (Г) является лишь необходимым условием
интегрируемости этой функции в (Г). В дальнейшем при изуче-
нии тройных интегралов рассматриваются только функции, огра-
ниченные в области (Г).
§2 . Признаки интегрируемости функций
Пусть ограниченная функция f(x,y,z) задана в области (Т),
ограниченной простой поверхностью.
На вопрос, существует или не существует тройной интеграл
$f(x,y,z)dV, ответить, пользуясь непосредственным определе-
(Т)
нием тройного интеграла, удается лишь в отдельных частных
случаях. В связи с этим оказывается важным знание признаков
интегрируемости функции f(x,y,z) в области (Т). Но признаки
интегрируемости f(x,y,z) в (Г) содержат понятия верхней и
нижней сумм Дарбу. Поэтому необходимо ввести эти понятия.
Итак, пусть f(x,y,z) — ограниченная функция, определенная
в области (Т). Разобьем (Г) произвольной сетью простых поверх-
ностей на части (7^), к=Л, п, и положим Мк = sup{/(x,y,z)},
(7*)
тк = inf{/(x,y,z)}. Отметим, что числа Мк и тк, к = 1^п, суще-
(7*)
ствуют, ибо множество {f(x,y,z)}, (x,y,z) е (Т), — ограниченное
и сверху, и снизу. Составим суммы
л л
S=^MkVk и S=^mkVk.
k=l k=l
Эти суммы называются соответственно верхней и нижней суммами
Дарбу, отвечающими данному разбиению области (Г) на части
(Тк). Отметим, что для закрепленного способа разбиения (Т) на
части (Тк) суммы S и s — определенные числа. Если же способ
разбиения изменить, то изменятся, вообще говоря, и числа S и s.
Отметим далее, что интегральные суммы Римана о даже для
закрепленного способа разбиения (Т) на части (Тк) принимают,
547
вообще говоря, бесконечное множество значений (за счет различ-
ного выбора точек (xk,yk,zk) в (Тк).
Суммы Дарбу обладают следующими свойствами.
1) Пусть s и S — нижняя и верхняя суммы Дарбу, отвечающие
закрепленному способу дробления области (Г). Пусть {о} —
множество интегральных сумм Римана, отвечающих этому же
способу дробления области (Г). Тогда для любой интегральной
суммы Римана о из {о} будет: s < о < S.
2) Пусть з и S — нижняя и верхняя суммы Дарбу, отвечающие
закрепленному способу дробления области (Г). Пусть {о} —
множество интегральных сумм Римана, отвечающих этому же
способу дробления области (Т). Тогда з = inf{o}, S = sup{o}.
3) Пусть з и S — нижняя и верхняя суммы Дарбу, отвечающие
какому-нибудь способу дробления области (Г). Добавим теперь
еще одну простую поверхность дробления (все прежние поверх-
ности дробления сохраняются). В результате у нас получится
некоторый новый способ дробления области (Т). Пусть з
и S — нижняя и верхняя суммы Дарбу, отвечающие этому
новому способу дробления области (Г). Справедливо утвержде-
ние, что S < S , з > з , т. е. что от добавления новых поверхнос-
тей дробления верхняя сумма Дарбу не увеличивается, а нижняя
сумма Дарбу не уменьшается.
4) Выше было отмечено, что для закрепленного способа дроб-
ления области (Т) нижняя и верхняя суммы Дарбу з и S суть
определенные числа. Если же способ дробления области (Т)
изменить, то изменятся, вообще говоря, и числа з и 5. Следова-
тельно, как з, так и S принимают, вообще говоря, бесконечное
множество значений. Пусть {з} — множество значений, прини-
маемых нижней суммой Дарбу, {5} — множество значений, при-
нимаемых верхней суммой Дарбу. Справедливо утверждение
Всякая нижняя сумма Дарбу не больше любой верхней суммы
Дарбу, т. е. для всякой з из {з} и для всякой S из {5} оказывается
з < S.
Видим, что перечисленные здесь свойства сумм Дарбу явля-
ются дословным повторением аналогичных свойств сумм Дарбу,
установленных для функций f (х), заданных на промежутке [a, Z>].
548
Следует отметить, что и доказательства этих свойств совершенно
аналогичны прежним.
_ Теорема (основной признак интегрируемости). Пусть в области
(Г) задана ограниченная функция f(x,y,z)- Для того чтобы
/(x,y,z) была интегрируемой в области (Т), необходимо
и достаточно, чтобы было
lim (5 - s) = 0.
X—>0
Доказательство этой теоремы совершенно аналогично доказа-
тельству соответствующей теоремы в теории двойных интегралов
(читатель с пользой для себя сам докажет ее). Следует заметить,
что разности (5 - s) составляются каждый раз для чисел s и S,
отвечающих одному и тому же способу дробления области (Т).
С помощью основного признака интегрируемости можно вы-
делить некоторые классы функций, интегрируемых в данной
области (Г), т. е. таких, для которых существует тройной интег-
рал по области (Т). Так, например, всякая функция f(x,y,z),
непрерывная в области (Г), интегрируема в этой области. Среди
других функций, принадлежащих к классу интегрируемых в обла-
сти (Т), отметим такие, которые, являясь ограниченными в
области (Т), имеют там отдельные точки разрыва или даже
конечное число простых кривых и простых поверхностей, сплошь
состоящих из точек разрыва.
§3 . Свойства тройного интеграла
Тройной интеграл обладает теми же свойствами, что и двой-
ной. Мы перечислим свойства тройного интеграла, не останавли-
ваясь на доказательствах (читатель с пользой для себя сам дока-
жет эти свойства):
1. JJJrfK = К (И— объем области интегрирования (Т)).
(Г)
2. Если f(x,y,z) е R(T) и а — произвольное число, то
а • f(x,y,z) е R(T), причем jjjaf(x,y,z)dV = f(x,y,z)dV.
(Г) (Г)
3. Если f(x,y,z) е R(T) и g(x,y,z) g R(T), то (f(x,y,z)±
± g(x,y,z)) е R(T), причем
549
JU(f(x,y,z) ± g(x,y,z))dV = JU f(x,y,z)dV ± JUg(x,y,z)dV.
(T) (Г) (T)
4. Пусть f(x,y,z) g R(T). Если изменить значения функции
f(x,y,z) в точках какой-нибудь простой поверхности, лежащей
в (Т) (с тем лишь условием, чтобы и измененная функция
оставалась ограниченной), то вновь полученная функция также
интегрируема в (Г) и ее тройной интеграл по области (Т) равен
JU f(x,y,z)dV. Таким образом, существование и величина трой-
(П
ного интеграла не зависят от значений, принимаемых подынтег-
ральной функцией в точках конечного числа простых поверхно-
стей.
5. Если область (Т), в которой задана функция f(x,y,z),
разложена простой поверхностью на две области (7i) и (Т2), то
из интегрируемости функции во всей области (Т) следует ее
интегрируемость в областях (Tj) и (Т2), и обратно — из интегри-
руемости функции f(x,y,z) в обеих областях (fj) и (7^) вытека-
ет ее интегрируемость в области (Г). При этом
JU f(x,y,z)dV = JU f(x,y,z)dv + JU f(x,y,z)dV.
(T) (TJ) (T2)
6. Пусть f(x,y,z) G R(T) и g(x,y,z) G R(T) и пусть всюду
в (Г) выполняется неравенство f(x,y,z) g(x,y,z) Тогда
JU f<x,y,z) dv < JU g(x,y,z) dv.
(7-) (T)
7. Пусть f(x,y,z) g R(T) и пусть всюду в (Г):
m < f(x,y,z) М. Тогда
mV £ JU< MV.
(Г)
550
8. Теорема о среднем значении. Пусть f(x,y,z) е R(T) и пусть
всюду в (Г): т < Тогда существует число ц,
удовлетворяющее условию т < ц < М, такое, что будет
JjJ f(x,y,z)dV = цУ.
(Г)
9. Частный случай теоремы о среднем значении. Если функция
/(x,y,z) е С(Т), то в (Г) обязательно найдется хотя бы одна
точка » такая, что
(Г)
10. Если функция f(x,y,z) е R(T), то и функция
|/(х,У, z)| е R(T), причем
$f(x,y,z)dV < |Д|/(х,у,?)|^Г.
(Г) (Т)
§4 . Физическое истолкование тройного интеграла
Рассмотрим задачу о массе неоднородного тела. Пусть имеет-
ся неоднородное тело (Т) объема V. Пусть известна объемная
плотность распределения массы p(x,y,z) в (Т) (предполагаем,
что p(x,y,z) е С(Т)). Требуется найти массу т этого тела.
Произвольной сетью простых поверхностей разбиваем тело
(Т) на части (Тк) с объемами Vk, к = 1,п. Предполагаем части
(Тк) столь малыми, что объемную плотность распределения мас-
сы p(x,y,z) в (Тк) можно считать постоянной, равной
p(xk,yk,zk), где (xk,yk,zk) — любая точка из (Тк). Тогда масса
Д/лЛ части (Тк) будет приближенно выражаться формулой
Ьтк ~p(xk,yk,zk) -Vk, k = ^n. (1)
551
Масса т всего тела (Т) будет выражаться приближенно суммой
^Р(хк>Ук^к) Ук . (2)
*=1
Интуитивно ясно, что чем мельче будут части (7^), тем меньше
ошибка, которую мы делаем, считая часть (ТЛ) тела однородной.
Поэтому за массу тела (Т) естественно принять предел суммы (2)
при А -> 0, т. е.
т = £“ EpOW*.**) • vk = fjjР(x,y,z)dV. 4 (3)
Таким_образом, тройной интеграл выражает массу трехмерной
области (Т), если подынтегральную функцию рассматривать как
объемную плотность распределения массы в (Т). Такое истолко-
вание тройного интеграла возможно для любой непрерывной и
неотрицательной функции. Заметим еще, что вместо распределе-
ния массы можно говорить, например, о плотности распределе-
ния электрического заряда (определенного знака) в области (Г).
В этом случае заряд во всей области также выразится тройным
интегралом вида (3).
Соображениями, подобными вышеизложенным, можно полу-
чить формулы для механических приложений тройного интегра-
ла. Нам нет надобности останавливаться на подробностях получе-
ния нижеследующих формул, ввиду их полной аналогии с
соответствующими формулами для материальной плоской фигу-
ры (или кривой поверхности).
а) Статические моменты относительно координатных плоско-
стей.
Если материальное тело, занимающее область (Т), имеет
плотность p(x,y,z), то
мху=Ш р (х> у>z>z dv> Mxz= flf p (x’ y> $ у dv>
(D (D
Myz = JJJ Р(Х>У>&xdV • (4)
(Г)
б) Координаты центра масс.
Центром масс тела называется точка, обладающая тем свой-
ством, что если в ней сосредоточить всю массу т тела, то ее
552
статические моменты будут равны соответствующим статическим
моментам тела. Координаты центра масс определяются по фор-
мулам:
Если тело (Т) — однородное, т. е. р = const, то для координат
центра масс получаются формулы:
Zc=y$zdV. (5)
(Г) V (Т) Г (Г)
в) Моменты инерции.
Моменты инерции тела (Т) с плотностью p(x,y,z) относи-
тельно координатных осей вычисляются по формулам:
Jx = ]Др(*»УД)(У2 + z2)dV, Jу = J]Jp(x,y,z)(x2 + z2)dV,
(T) (T)
Jz = Ш Р(*»Ь*)(*2 + y^dV, (6)
(T)
а полярный момент инерции:
JO = Jj/p (*’?’*) (*2 +У2 +Z2)dV. (7)
(T)
Для геометрических моментов инерции получаются формулы:
Л = JJ(y2+^2)</K, Jy = /Д(х2 +z2)dY, Jz = f[j(x2 +y2)dV,
(Т) (Т) (Т)
Jo = >2 +у2 + z2)dv. (8)
(D
§5. Вычисление тройных интегралов
в декартовой системе координат
Начнем с области специального вида, ограниченной поверх-
ностью (5), состоящей из трех частей: из цилиндрической повер-
хности, образующие которой параллельны оси Oz » а направляю-
щей служит простой замкнутый самонепересекающийся контур
(К), лежащий в плоскости Оху и ограничивающий там область
553
(Dxy), и из двух поверхностей: Z = z(x,y) и z = z(x,y), причем
функции z(x,y) и z(x,y) предполагаются непрерывными в (D^)
и такими, что z(x,y) < z(x,y) (т. е. точка поверхности z = z(x,y)
расположена не выше точки поверхности z = z(x,y), если эти две
точки находятся на одной прямой, параллельной оси Oz,
см. рис. 12.1). Такую область будем обозначать через (Т^). Плос-
кую область (Dyy) можно рассматривать как проекцию области
(Тху) на плоскость Оху.
Пусть функция f(x,y,z) задана в (7^) и пусть для каждой
закрепленной точки (х, у) 6 ) существует интеграл J f{x,y,z) dz
z{x,y)
(эмуг интеграл представляет собой функцию от х и у, определенную
в (Д^,)). Если существует интеграл 7. =
,, (
JJ jf(x,y,z)dz dxdy
и если существует I = Щ j\x,y,z)dxdydz, то I = Ц, т. е.
Рис. 12.1. К вычислению тройных
интегралов в ДСК
554
z(x,y)
jJJ f(x,y,z)dxdydz = jj J f(x,y,z) dz dxdy.
(Tv) (Dv)\z(x,y) ,
Можно доказать, что для функции f(x,y,z), непрерывной в
_ г(х,у)
(Т^), интеграл /, существует, ибо тогда J f(x,y,z)dz есть функ-
_ z(x,y)
ция непрерывная от х и у в . Так как в этом случае тройной
интеграл I = jjj f(x,y,z)dxdydz также существует то получаем.
Если функция f(x,у,z) е С^Т^), то
z(x,y)
[ff/(x,y,z)dxdydz=jj dxdy jf(x,y,z)dz. (1)
(Л0 (Dv) z(x,y)
Таким образом, тройной интеграл по области (Т^) выражается
через двойной интеграл по проекции (Р^) этой области на плос-
кость Оху.
Предположим теперь, что проекция (Dxy) области (7^) оп-
ределяется неравенствами:
а < х < Ь,
Vi(x) < у < у2(х) (при фиксированном х из [а, д])
(см. рис. 12.2). Тогда формула (1) примет вид
Ь у=Чг(х) z=z(x,y)
f(x,y,z)dxdydz = [dx J dy [f(x,y,z)dz. (2)
(Tv) a y=vi(x) z=z(x,y)
Подобным же образом для области (Т^), определяемой неравен-
ствами:
с < у < d,
g\(y) < х < g2(y) (при фиксированном у),
z(x,y) £ z < z(x,y) (при фиксированных х и у)
получается формула
555
Рис. 12.2. К вычислению тройных
интегралов в ДСК
d X=g,(y) z=z(x,y)
$ f(x,y,z)dxdydz = jdy J dx jf(x,y,z)dz. (3)
(7^) C x=gt(y) z=z(x,y)
Замечание. Имеется еще четыре вида области, где тройной
интеграл выражается через один повторный. Читатель сам легко
напишет неравенства, определяющие эти области, и формулы,
аналогичные формулам (2) и (3). Таким образом, мы имеем шесть
формул для выражения тройного интеграла через повторный.
В каждой из этих формул свой “порядок” интегрирования.
Если область (Г) такая, что с помощью цилиндрических
поверхностей, образующие которых параллельны той или другой
координатной оси, ее можно разбить на области шести упомяну-
тых видов, то остается вычислить тройной интеграл по каждой из
этих областей, пользуясь той или иной из известных нам шести
формул, и сложить полученные результаты. Что касается выбора
способа разбиения на части, то, естественно, надо стремиться к
тому, чтобы число таких частей было наименьшим.
2 2 2
х у z
Пример 1. Вычислить объем эллипсоида —у + + -х- = 1.
a2 Ьл с
Решение. Координатные плоскости разделяют эллипсоид на
восемь одинаковых частей. Рассмотрим ту часть (7\), которая
расположена в первом октанте. Она ограничена плоскостями
556
I 2 2
I xz у
x = 0, у = 0, z = 0 и поверхностью z = cJl —> T- e- °6-
V a b
ласть (Tj) определяется неравенствами:
(Среднее из этих неравенств следует из того, что плоскость Оху
2 2
Xх у
пересекает эллипсоид по эллипсу —^ + ^ = 1, z = 0.) Для объема
_ а °
части (Д) имеем
у=—^а-х «•“'-il1—2
а а V а1 Ь2
yl=fjjdY = ]dx J dy jdz =
(7j) 0 у=0 z=0
. _______________ -
=-[<& f Ji — Vo2 -x21 ~y2dy.
bl Д 111 о )
Положив — yla2 - x2 = l и используя формулу
a
J Jl2 - y2 dy =
о
Г/2 . у
— arcsin +
2 /
nl2
получим
ncafb2 , 2 2\J Tibet 2
-X2)<*c = -T д2х- —
4b Joaz 4a2 3 J
x=a
nbc 2 з
" 4?'3°
x=0
nabc
~6~
557
Следовательно, объем всего эллипсоида равен 8^ = —nabc.
Пример 2. Вычислить момент инерции прямоугольного парал-
лелепипеда со сторонам а, Ь, с относительно одной из его вер-
шин. Плотность р = 1.
Решение. Поместим параллелепипед в первом октанте прямо-
угольной системы координат так, чтобы стороны а, Ь, с совмес-
тились соответственно с осями Ох, Оу, Oz. Тогда область (Т)
параллелепипеда определится неравенствами:
О < х < а,
О < у <Ь, По фор-
0 < z < с.
муле для полярного момента инерции получим
а b с
Jo = +у2 + z2)dV = fdxjdyf(x2 +у2 +z2)dz =
(Г) ООО
dy = J dbcj x2c + y2c + — idy =
г=о о ol 3J
x-a
abc .1 i2 2\
= —-(a + Z> +c2)
3
x=0
§6. Формула Остроградского
Пусть тело (7^) ограничено поверхностью (5), состоящей из
трех частей:
(51) (верх) — с уравнением z = z(x,y), причем z(x,y) опре-
делена, непрерывна и имеет непрерывные z'x(x,y), z'y(x,y)
в области (Рду), лежащей в плоскости Оху и ограниченной
простым самонепересекающимся замкнутым контуром (К);
558
(S2) (низ) — с уравнением
z = z(x,y), где z(x,y) определе-
на, непрерывна и имеет непре-
рывные z'x(x,y), Z'y(x,y) в (Z\0;
(53) (боковая стенка). Это —
цилиндрическая поверхность,
образующие которой параллель-
ны оси Oz >а направляющей слу-
жит контур (К) области (D^)
(см. рис. 12.3).
Пусть функция R(x,y,z) оп-
ределена, непрерывна и имеет
Рис. 12.3. К выводу формулы
Остроградского
dR
непрерывную частную производную в (Т^). Рассмотрим
Z = (1)
°z
Имеем
Z = jJ dxdy jj [R{x,y,z)\l^^dxdy =
(Dv) z=z(x,y)Oi (D^
= jj[/?(x,y,z(x,y))]drrfy - jjpt(x,y,z(x,y))]<*o/y. (2)
(A0 <J>V)
Рассмотрим поверхностный интеграл
JjA(x,y,z)flbcrfy. (3)
($>)
Здесь интегрирование ведется по верхней стороне поверхности
(50 (т. е. по внешней по отношению к телу (7^) стороне
поверхности (50). Если выразить поверхностный интеграл (3)
через двойной интеграл, то будем иметь
jjR(x,y,z)dxdy = jj R{x,y,z(x,y))dxdy. (4)
W (Dv)
Рассмотрим теперь поверхностный интеграл
559
Jp(X,y,z)dxdy. (5)
№)
Здесь интегрирование ведется по нижней стороне-Поверхности
(52) (т. е. по внешней по отношению к телу (Т^) стороне
поверхности (52)). Если выразить поверхностный интеграл (5)
через двойной интеграл, то будем иметь
JJ R(x, у, z) dxdy = - jj R(x, у, z(x, у)) dxdy. (6)
№)
Принимая во внимание соотношения (4) и (6), будем иметь вместо (2)
I = JJ R(x, у, z) dxdy + JJ R(x, у, z) dxdy. (7)
№) №)
Так как (53) — цилиндрическая поверхность с образующими
параллельными оси Oz, то
JJ R(x, у, z) dxdy = 0. (8)
№)
Прибавим к правой части (7) интеграл JJ R(x,y,z)dxdy. Получим
№)
Z=JJ R(x,y,z)dxdy + JJ R(x,y,z)dxdy +
№) (S2)
+JJ R(x,y,z)dxdy =JJ R(x,y,z)dxdy, (9)
№) (S)
причем JJ R(x,y,z)dxdy берется по внешней стороне поверхности (5).
Таким оН^азом,
JJJ ^-dxdydz = JJ R(x,y,z)dxdy (10)
(sy
((10) — малая формула Остроградского).
Мы доказали формулу (10) для области, рассмотренной выше,
простой формы, а именно, для области вида (7^). Нетрудно
убедиться, что формула (10) будет верна для любой области (Т),
которую можно разбить с помощью цилиндрических поверхно-
стей, образующие которых параллельны оси Oz > на конечное
560
число частей типа (7^). Если мы напишем для каждой из этих
частей формулу (10) и примем во внимание, что поверхностные
интегралы по всем вспомогательным цилиндрическим поверхно-
стям равны нулю, то, сложив все равенства, получим в левой
части сумму интегралов по всем частям (Т), т. е. интеграл по
всей области (Т), а в правой части — сумму поверхностных
интегралов по всем частям (5), т. е. интеграл по всей замкнутой
поверхности (5), ограничивающей область (Т).
Пусть теперь в (Т) заданы еще функции P(x,y,z) и Q(x,y,z) >
дР 0Q
непрерывные там вместе с частными производными —,
и пусть область (Г) имеет соответствующий вид (т. е. может быть
разбита на конечное число частей как типа (Т^), так и типа (Гхг)),
то совершенно аналогичным образом можно установить, что
ШЗГ dxdydz = JJ р(х> У> dydz ’ (11)
(Т)дх (S)
ШIT d^ydz = ft Q(x, У, z) dxdz (12)
(Г) °У (S)
Если область (Г) такая, что верны одновременно все три
формулы (10), (11), (12), то, складывая соответствующие части
этих формул, получим общую формулу Остроградского:
Шfv" + + dxdydz = ff Pdydz + Qdzdx + Rdxdy . (13)
(ГДЭх Ъ dzJ &
Подчеркнем еще раз, что (5) — замкнутая поверхность, ограни-
чивающая область (Т), и что интеграл в правой части (13)
берется по внешней стороне (5).
Пусть а, Р и у — углы, которые образует с осями координат
нормаль к внешней стороне поверхности (5) (т. е. нормаль,
направленная изнутри (Т) наружу). Заменяя в (13) поверхност-
ный интеграл второго рода поверхностным интегралом первого
рода, получим формулу Остроградского в виде
ПТПг- + 1Я + = ff (Pcosa + QcosP + Rcosy)dS.
(ту V °x °У °z) (st
561
§7. Вычисление объемов тел при помощи
поверхностных интегралов
(применение формулы Остроградского)
Пусть тело (Т) таково, что оно при помощи цилиндрических
поверхностей с образующими, параллельными оси Oz > разлагает-
ся на конечное число частей вида (Т^,). Пусть (5) — замкнутая
поверхность, ограничивающая (Г). Тогда по формуле (10) (§6):
jj Z dxdy = fjj dxdydz = JjJ dxdydz = V.
(S) (T) dz (Г)
Итак,
K=ffzdxdy (I)
(•s)
(интеграл берется по внешней стороне (5)); или
V = jJzcosy</5 (Г)
(5)
(У — угол, который нормаль к внешней стороне (5) образует
с осью Oz )•
Пусть тело (Т) таково, что_оно может быть_ разбито на
конечное число частей как типа (TK), так и типа (T„). Тогда из
формул (И) и (12) (§6) получаем
K = (Н)
(5)
V = ||xcosa</5; (1Г)
(J)
V = flydxdz (III)
(S)
K = JJycospdS. (Ill')
(S)
Если тело (T) такое, что верны одновременно все три формулы, то
V = i jjxdydz + у dxdz + zdxdy (IV)
3GS)
или
или
562
или
F = i jj(xcosa + yc°sp + zcosy)</S . (ГУЭ
3 (J)
В формулах (I), (II), (III), (IV) интегра-
лы берутся по внешней стороне (5).
В формулах (Г), (IF), (III'), (IV')
a, p, у — углы, которые образует с ося-
ми Ох, Оу, Oz соответственно нормаль,
направленная изнутри (Т) наружу.
Пример. Найти объем шара
х2 +у2 +z2 R2-
Решение. Здесь нормаль к внешней
стороне поверхности (5), проведен-
ная в точке (x,y,z), совпадает с ради-
ус-вектором этой точки. Поэтому
х у
cosa = —cosB = 4-
R R
Рис. 12.4. К примеру
Z
cosy =—•
Следовательно, по формуле (IV*)
V . 1 (/ js = 4 fids = 4 - irf
зй r зЦ, 3 3
§8. Объем тела в криволинейных координатах
Пусть имеются пространства xyz и и пусть в этих про-
странствах даны тела (Т) и (т), ограниченные поверхностями
(5)и(Х).
Пусть между точками областей (Г) и (т) установлено взаим-
но-однозначное соответствие формулами:
х = x(^,ti,O,
У = ЖпЛ),
z =
(1)
(Система (1) однозначно разрешима относительно £, г], £.)
£, т], £ — криволинейные координаты точек области (Г).
563
Задача. Зная область (т) и зная формулы преобразования (1)
области (т) в область (Т), найти объем VT тела (Т).
Теорема. Пусть:
1) функции х(£,т],О, у(£,т],0, z&ibO определены, непре-
рывны в (?) и имеют там непрерывные частные производные
первого и смешанные производные второго порядка;
2) якобиан
у'ь
Л
Z^
всюду в (?) сохраняет
=
знак;
3) точкам поверхности (%) соответствуют точки (5), и на-
оборот;
4) на поверхностях (%) и (5) нет особых точек (для поверхно-
сти (5), например, это означает, что (5) задается параметриче-
скими уравнениями
X = x(u,v),
y = y(«,v), причем функции x(«,v), y(u,v),
z = z(u,v),
z(u,v) непрерывны и имеют непрерывные частные производные в
области своего задания, и в каждой точке этой области отличен от
нуля хотя бы один из трех определителей матрицы
хи
х'
Уи z„
У v zv>
564
Тогда
VT (*)
(?)
(Принимаем без доказательства, ибо оно аналогично плоско-
му случаю.)
Замечания.
1. Формула (*) остается верной и тогда, когда взаимная одно-
значность между (Г) и (т) нарушается в точках, лежащих на
конечном числе простых поверхностей. При этом предполагает-
ся, что якобиан 7(^,т],0 остается ограниченным в (т).
2. Так как |J(£,r|,Q| есть функция непрерывная в (т), то,
применяя к тройному интегралу, стоящему в правой части (*),
частный случай теоремы о среднем, получим
КГ=|Д|ЛО|Л, (**)
где (£, г),0 — некоторая точка из (т), a Vx — объем тела (т).
Заметим, что находить VT по формуле (♦•) нельзя, так как такая
точка в (т) есть, но ее трудно указать.
Из соотношения (••) следует: ^-= |/(1,лЛ)| • Станем ежи-
мать область (т) по всем направлениям в некоторую точку •
(Тогда точка (£,rj,Q -> (£,т],£).) В силу непрерывности отображе-
ния область (Т) будет при этом сжиматься в точку (x,y,z),
которая соответствует точке • Следовательно,
Таким образом, модуль якобиана есть коэффициент искажения
объема при переходе из пространства 0£т|£ в пространство Oxyz
Примеры криволинейных координат.
I. Цилиндрические координаты. Пусть точка M(x,y,z) — лю-
бая точка пространства. Положение точки М вполне определяется
заданием полярных координат г и <р ее проекции А на плоскость
Оху и заданием z- Числа г, <р, z — это цилиндрические координаты
565
точки М. Границы изменения цилиндрических координат такие:
г е [0, +~), <р е [0, 2л), z е (-~, +~). Очевидно, что
х = rcostp,
у = rsin(p,
Z = Z-
(Так выражаются декартовы координаты точки М через цилинд-
рические.) Имеем
Х'г
Уг
Zr
у;
xz
y'z
%z
cosq» -rsincp 0
sin ср rcoscp 0
0 0 1
coscp
sinq)
- rsinq»
r coscp
= r.
Итак, J(r,<p,z) = г (г — неотрицательная величина).
II. Сферические координаты. Пусть точка М — любая точка
пространства. Сферическими координатами точки М называются
числа р, 6, <р, где р = |ОЛ/]; 0 — угол между осью Oz и вектором
|ОЛ/|; <р — угол между полуплоскостью Oxz и полуплоскостью
ОАМ. (Точка А — проекция точки М на плоскость Оху.) Границы
изменения сферических координат такие: р е [0, +«), 0 е [0, л],
<р е [0, 2л). Имеем:
r = psin0, X = fCOSCp, у = ГБШф, z = pcos0.
566
Поэтому
х = rcostp = psinOcostp,
у = rsincp = psin0sin<p,
z = pcos0.
Имеем, далее,
J(p,0,q») =
xp
y'P
zp
x'e
Ув
Z«
x' sinOcoscp pcos0cos<p -psin0sin<p
y'v = sin0sin<p pcos0sin<p psinQcoscp
z' cos0 -psin0 0
=> J(p, 0, (p) = p2 sin 0 .
III. Эллипсоидальные координаты. Так называются координа-
ты р, 0, <р точки М, связанные с ее декартовыми координатами
х, у, z так:
х = ар sin 0 cos ф,
У = 6р8Ш08Шф,
Z = ср COS 0.
(Заметим, что при а = b = с = 1 получаем сферические координа-
ты точки М.) Имеем
a sin 0 cos ф
b sin 0 sin ф
CCOS0
ар cos 0 cos ф
6рСО808Шф
- ср sin 0
- ар sin 0 sin ф
bp sin 0 cos ф
О
abcp2 sin 0.
Пример. Найти объем тела, ограниченного поверхностью
х2 у2 z^V = xyz
а2 Ь2 с2 I abc
(а > О, b > 0, с > 0).
Решение. Из уравнения поверхности, ограничивающей тело
(Т), следует:
567
1) если z > 0, то должно быть х • у > 0. Это означает, что две
части тела (Т) расположены в I и III октантах.
2) если z < 0, то должно быть х • у < 0. Это означает, что две
другие части тела (Т) расположены в VI и VIII октантах.
В эллипсоидальных координатах уравнение поверхности, ог-
раничивающей тело (Т), таково:
р6 = р3 sin2 9 cos в sin <р cos <р => р3 = sin2 ОсовОвтфсовф .
(При сокращении могли потерять начало координат, но оно оста-
лось.) Найдем объем той четверти тела, которая лежит в I октанте.
Интересующая нас четверть тела определяется неравенствами
О^0<5>
2
0*<рЦ,
О < р < ^/sin2 0cos0sin фсовф .
Значит,
п/2 п/2 т/sin2 0 cos 0 sin ф cos ф
Vj- = 4 J dd J (Лр Jabcp1 sin 0 dp =
0 0 0
4abc
~T~
n/2 n/2
J dQ Jsin3 0cos0sin <p coscp dip =
о 0
4abc 1Ч2- зо 4abc 1 1 abc
= —— •— sin 0cosOd0 = ——• — • — =
3 2' 3 2 4 6
§9. Замена переменных в тройном интеграле
Теорема. Пусть между точками областей (Г) и (т) установле-
но взаимно-однозначное соответствие формулами:
х = х&п,0,
у = (О
z = z(£,n,0.
Пусть выполняются условия 1), 2), 3), 4) предыдущей теоремы
(см. §8). Тогда, если функция f(x,y,z) непрерывна в (Г), то
справедлива формула
568
JJ f(x,y,z)dxdydz =
(T)
= Jf /[x&n,o,xkn,o,za,n,o] • и&п,о|ад^. (2)
(?)
Обозначим тройной интеграл, стоящий в левой части (2),
через I, а тройной интеграл, стоящий в правой части, — через I,.
Отметим, что оба эти тройных интеграла существуют, ибо их
подынтегральные функции непрерывны соответственно в облас-
тях (Г) и (т). Составим сумму Римана о для интеграла I. Для
этого нужно разбить (Т) произвольной сетью простых поверх-
ностей на части (7^), к=Л,п, и в каждой части (ТЛ) взять
произвольную точку (xk,yk,zk). тогда
, *=i
Заметим, что, проводя в (Т) сеть простых поверхностей, мы тем
самым будем проводить сеть простых поверхностей в (т), так что
(т) разобьется на части (тк). По формуле для объема тела в кри-
волинейных координатах имеем
(?*>
Применяя к тройному интегралу, стоящему в правой части, част-
ный случай теоремы о среднем, получим
vTk где точка , л*, С,к) е (хк).
А тогда
° = if(xk,yk,Zk) Л)| • .
Так как тройной интеграл I существует, то о -> I при X —> О при
любом выборе точек (xk,yk,zk) в (Тк). (Здесь X — ранг дробле-
ния (Г).) В частности, это будет так и тогда, когда мы в качестве
точек (xk,yk,zk) в (Тк) возьмем точки, соответствующие точкам
(Лк^кЛк) ’ т- е- когда положим
569
Хк =
Ук
zk
При таком выборе точек (xk,yk,zk) в (Тк) интегральная сумма
Римана о будет иметь вид
° = 1,/[х(1*,й*Л),Я^,й*Л)»№>й4,Се)]•|/&,й*Х)|-V4 .
Сумма, стоящая здесь в правой части, есть сумма Римана для трой-
ного интеграла Л. Так как тройной интеграл Z. существует, то
о —> /, при А, -> О (здесь А, — ранг дробления (т)). Отметим,
что, измельчая дробление (т), мы тем самым будем измельчать
дробление (Г) (и наоборот), ибо функции, осуществляющие вза-
имно-однозначное отображение областей (Г) и (т) друг на друга,
есть непрерывные функции. Значит, (А, -> 0) «=> (А —> 0). А тог-
да о -> Z, при А -> 0. Но так как о -> I при А —> 0, то I - I,. 4
Замечание. Формула (2) остается верной и тогда, когда взаим-
ная однозначность между точками областей (Т) и (т) нарушается
в точках, лежащих на конечном числе простых поверхностей.
При этом предполагается, что якобиан J(£,t], Q остается ограни-
ченным в (т).
§10. Понятие об интегралах высшей кратности
Определение. Пусть (Р) — прямоугольный параллелепипед из
R" (п > 3), определяемый так:
«1 <Х{ ^1,
(Р) = . 02 < х2 — ^2’
ап <6Я.
п
Его объемом называется число П(^ - ак) (сравните с одномер-
ен
ным, двухмерным и трехмерным случаями).
570
Пусть (Т) — произвольное тело из R" (п > 3). Заключим (Г)
в параллелепипед (Р). Разложим (Р) на частичные параллелепи-
педы и обозначим через А сумму объемов тех из них, которые
целиком содержатся в (Р), а через В— сумму объемов тех,
которые имеют с (Р) хотя бы одну общую точку. Назовем
— 1~& Г
диагональю параллелепипеда (Р) число ~акУ (сравните
1*-1
с плоским и трехмерным случаями). Пусть X — наибольшая из
диагоналей частичных параллелепипедов нашего дробления (Р).
Если существует общий предел
V = lim А = lim В,
X—>0 X—>0
то он называется объемом тела (Г).
Владея понятием объема тела (Г) в л-мерном пространстве,
можно обычным способом определить л-кратный интеграл.
Пример. Найти объем Vn(R) л-мерного шара (R — радиус
шара).
Решение. Известно, что И(Р) = 2R, К2(Р) = nR2, К3(Л) = у лЛ3.
Очевидно, что Vn(R) = J ... jdxldx2...dxn, где (Тл(Л)) естьмноже-
(гя(Л))
ство тех точек (х,,х2>... ,х„), для которых х2 + х2 + ... + х2 < R2.
Отсюда
R
Vn(R)=jdxi J..J dx2...dxnt
— R v
т. е. V„(R) = j - л? 1 . Покажем, что Vn = k„Rn, где
-r '
к„ — коэффициенты, не зависящие от R. Для л = 1, 2, 3 это так,
571
4 -i
причем кх = 2, кг = п, к3 = — п .Допустим,что = kn_lRn .
R "~1
Тогда V„(R) = fk„_x(R2 -х2) 2 dxx. Положим здесь Xj = Asin/.
-R
Тогда
я/2 я-1
И„(Я) = J k„_x(R2 -Л2sin20 2 R cos tdt =>
-я/2
«/2
=> V„(R) = kn_lRn J cos" tdt.
-n/2
л/2
Итак, действительно Vn = knR", причем k„ = kn_x j cos" tdt. По-
-я/2
ложим
я/2 n/2
I„ = Jcos"/d/= J cos"-1 /rfsini.
-я/2 -n/2
Применяя формулу интегрирования по частям, находим
Г . I”/2 Ч2 о 1
In = sin/ cos" 1 fl + Г(л - l)cos" 21 sin2 tdt.
1 4-"/2 -я/2
[i -gn/2
sin t cos"- tJ 0 и, следовательно,
^2
IH = (n -1) j cos" 21 • (1 - cos2 t)dt =
-n/2
= («-1)4-2 => In=^In-2.
n — 3
Если л-2>1, то I п-2 =-7^л-4; если л-4>1, то
П — 2
г л ”• 5 jr _
/л_4 =----т^п-б, — • Будем иметь окончательно
П — 4
j _ (п-1)!! f/о, если п - четное;
" ~ л!! [ 1Х, если п - нечетное.
572
п/2 п/2
Так как /0 = jdt = л, a Ц = Jcostdt = 2, то
-п/2 -п/2
г _ (я - 1)!! ]я, если п - четное;
п~ и!! [2, если п - нечетное.
Положим
{л , если п - четное;
2, если п - нечетное.
т т (и-1)!! ь. ь. (л-1)!! т
Тогда 1п = -—~ап и, следовательно, к. = к„_} -—/— о.. Та-
л!! nil
ким образом, получаем
. _(я-1)!!. I, ^(п-2)»,
к" л!! кп~1 (и-1)!! »
/ (л-3)!!. . 1!!,
кп~2 " (л-2)!!^-3°я-2’ ’ к2~ 2Н kl°2 •
Отсюда
. (л-1)!! (л-2)!! .(я-2)!!
кп ~ л!! ' (л-1)!! кп~2 Я-1 " “ л!! Л"-2а«-|СТ" “
_(л-2)!! (л-3)!! _(я-3)!!, „ „ „ _
" л!! ’(л-2)!!*"-3 *’2 ” л!! к»-^»-2^п-^п -
1 ,
“ ••• “ “77*1ст2ст3" стл-1стл •
Л:!
Ш Рт1 Гя1
Но ^=2 = 0!. Значит, стрг---0»-!0» =7x1 J2L J. Здесь — —
л
целая часть числа —
л + 11 л + 1 „
— целая часть числа . Поэтому
2
окончательно находим
Vn(R)=n г, Я"
откуда, в частности,
573
KjCR) = 2R,
V2(R) = nR2,
V3(R) = inR3,
§11. Примеры и задачи
Л2 л
V4(R) = ±.R\
Г5(Л) = Ая27?5
Пример 1. Вычислить I = ПТ-------—у, где (Т) — область,
(Г) (1 + X + у + Z)
ограниченная поверхностями х + у + z = 1, х = О, у = 0, z = 0.
Решение. Здесь
О < х < 1,
(Г)= 0<у<1-х,
0<z^l-x-y. ’
Имеем
-И-
2JoU
х
4
= 71п2-А.
2» 1о
Пример 2. Вычислить I = xyz dxdydz, где (Т) — область,
(Г)
ограниченная поверхностями х2 + у2 + z2 = l,x = 0,y = 0,z = 0.
574
Решение. Здесь
(Г) =
0< х < 1,
О < у < 71 - х2,
О < z £ jl-x2 -у2.
Имеем
1 y=Vl-x2 z=Jl-x2-y2 1 y=Vl-x2 2
I = jdx j dy jxyzdz = jdx j xy^—
O y=O z=O 0 y=O 2
z=O
i 1Fvh_y2\ y „4 у-***’
j* J y(l-x2-y2)‘*>'-f—-У2~т ^т ‘k’’
о /.» 2 oL 4 2 4 1.0
Пример 3. Вычислить I =
У2
b2
dxdydz, где
(Г) -
_ x‘ у" z .
область, ограниченная поверхностью -х- + -х- + = 1.
о2 Ьг cL
575
Решение. Станем вычислять / в эллипсоидальных координа-
тах. Имеем .
х = ар sin 0 cos <p,
у = />psin6sin<p,
z = cpcos0,
где 0 < 0 < л, 0 < ф < 2л, 0 < р < 1. Тогда /(р,0,ф) = adcp2sin0 и,
следовательно,
I = abcjsinQdd jrftp jp4rfp = • 2л| sinOdO = ^-abc.
0 0 p=0 5 о 5
Пример 4. Вычислить I = jjj Vх2 + У2 dxdydz, где (T) — об-
(T)
ласть, ограниченная поверхностями x2 + у2 = z2, Z = 1 •
Решение. Здесь (T) — ограничено частью конической поверх-
ности z = Vх' + У2 и частью плоскости z = 1. На плоскость Оху
(Т) проектируется в круг х2 + у2 < 1. Станем выражать I
в цилиндрических координатах. В цилиндрических координатах
(Т) определяется соотношениями
(Т) =
О < ф < 2л,
О < г < 1,
г < z < 1.
Рис. 12.10. К примеру 4
576
Имеем
2п r=l z=l г=1 ।
I = | rf<p j dr J r2dz = 2n f (r2z) _ dr =
0 r=0 z=r r=0 Z=r
r=l (r3 _4
= 2л |r2(l - r)dr = 2лI —-------—
r=o 1^4
о 1 n
= 2П12‘6-
r=0
Пример 5. Вычислить I = xyz dxdydz, где (Г) — область,
(f)
расположенная в первом октанте: х > 0, у > 0, z > 0, и ограни-
ченная поверхностями
2 2 2 2
X + У X* + у* 2 .2 а
Z =-----—, z =-------—, ху = а , ху = b , у - ах, у = рх
т п
(О < а < Ь, 0 < а < р, 0 < /я < л).
Решение. Область (Т) представляет собой область типа (7^).
Она ограничена: с боков цилиндрическими поверхностями с
образующими, параллельными оси Oz; снизу — поверхностью
2 2 2 2
Х +У х +У тт
z =-----—, сверху — поверхностью z =-------—. Проекцией
п т
(Г) на плоскость Оху является (5), ограниченная линиями
а2 Ь2 Т.
у = ах, у = Вх, у = —, у = —. Имеем
X X
Рис. 12.11. К примеру 5
577
f z_x2+y2
Z={[ jxyzdz dxdy = ^fjxy
(D) _хг+уг 1 (D)
<Z n >
(x2 + y2)2 _ (x2 + y2)
m2 n2
dxdy.
В двойном интеграле по области (Р) сделаем замену переменных,
положив
ху = и, — = V => X = U^2V^2, У = И*/2у1/2
Образом области (Р) в плоскости Ouv будет прямоугольник
а2 < и < Ь2,
а < v < р.
При такой замене
У'и
, Lu-wv-w
xv = 2
У? Lu-V2v№
_l„V2y-3/2
i
2v'
Поэтому
—f-
16 tm
2f if 1 ,
u v + — —dv =
I y) 2y
1 ( 1 1 yf2 3 , ₽f ( 2 n ,
— —=------=- и dull v + — + —z-ldv =
4{т2 nl)}2 v
l(p2_a2) + 21n₽ 1
n2 n2 J 2 a 21a
1_____1_
2 p2
—f—
32 tm
1 p
—5-^-1 + 41n—
a2p2J a
Пример 6. Найти среднее значение функции f(x,y,z) = х2 +
+ у2 + z2 в области х2 + у2 + z2 х + у + z •
Решение. Имеем
578
2 2 2 „ ( 1Г ( 1 Г ( 1Г „ 3
X +У +z <X + y + Z <=* Х~ — + У_7Г + Z“ — < —.
I2jv2jl2j4
— V3
Значит, (Т) —шар радиуса R = — с центром в точке
4 1 4 3 V3 V3
Объем шара VT = — nR = — л • —-------- л----. Среднее значение
3 3 4 2 2
/ср функции f(x,y,z) в (Г) определяется соотношением
/ср = 77“ ПТ f (х, у, z) dxdydz = -7=-ПТ (*2 + у2 + z2)dxdydz.
•'т (Т) M n (Г)
Вычислять интеграл JJJ(x2 + у2 +z2) dxdydz будем в сферических
(П
координатах, а именно, положим
x - 2 = p sin 0 cos <p,
у - 2 = psinQsincp,
Z = pcos0
х = 2 + psin0cos<p,
у = — + psm0sm<p,
z = -j + pcos0,
где 0 < 0 < л, 0 < <p < 2л. Уравнение поверхности, ограничивающей
— i з -Уз
(Г), будет иметь вид р = —, так что 0 р < —. Следовательно,
у п 2я ^2Г
/сР=—J Р2
оо р=0 L
+ — + psin0(cos<p + sin ф) +
4
2 ” 2яГо4 5
+ pcos0 p2sin0</p => /ср =—j=fsin0d0j —
J л*3 о oL5
4 4
+ sin 0 (cos ф + sin ф) + 2- cos 0
4 4
2 р!
4 3
р=£
р 2
dip =
р=0
579
2 л 2л f
= —^JsinOdBj
W3 о о I
Г 9-Уз Зл/Г
160 + 32
9 9
+—sinO(cos<p + sin<p) + — cos6 dtp =
16 16
4 п 3>/3 9
= -^f -zTr-sinO + rysin9cos0 dQ =
V3Jo|_2O 16
± 9_6
Л 20 5’
dxdydz
Пример 7. Оценить интеграл / - fff ----,
(Т) у(х -а)2 + (у — b)2 + (Z - с)2
где (Г) — область, ограниченная поверхностью х2 + у2 + z2 - R2',
а2 +b2 + с2 > R2.
Решение. Имеем f(x,y,z) =
1________________
(у - b)2 + (z - с)2
определена и непрерывна в замкнутой области (Т), ибо един-
ственная точка (а,Ь,с), в которой знаменатель обращается в нуль,
лежит вне (Т). (У нас, по условию, а2 + Ь2 + с2 > R2.) По теоре-
ме Вейерштрасса f(x,y,z) достигает в (Т) своих наименьшего/я
и наибольшего М значений. Следовательно, в (Г)
т < f(x,y,z) М.
А тогда
mVT < JJJ f (х,у,z)dxdydz < MVT.
(П
— 4 1
У нас (Т) — шар радиуса R. Поэтому VT = — nR . А тогда
4 nR3 • т< I < nR3 М.
3 3
Введем в рассмотрение функцию v(x,y,z) = -77----с - Отметим,
f(x,y,z)
что y(x,y,z) е С(Т) и, следовательно, достигает в (Т) своих наи-
меньшего и наибольшего значений. (Так как f(x,y,z) —
580
положительная функция, то т > 0 и М > 0.) Значит, мы найдем
наименьшее т и наибольшее М значения функции f(x,y,z)
в (Г), если найдем соответственно наибольшее и наименьшее
значения функции v(x,y,z) в (Г). Имеем
ЧФс.У.г) = —г = 7(* - а)2 + (У - b)2 +(z- с)2 ;
, х- а
Vi = -I....................- ,
7(х - а)2 + (у - Ь)2 + (z - с)2
, У - b
Vy = |
7(х - а)2 + (у - b)2 + (z - с)2
, z-c
Vz = ।
V(x - а)2 + (у - Ь)2 + (Z - С)2
Видим, что одновременно у* = 0, vj, = 0, у' = 0 лишь в точке
(а,Ь,с). Но точка (а,Ь,с) лежит вне (Г). Следовательно, у функ-
ции v(x,y,z) внутри (Т) нет критических точек. Значит, v(x,y,z)
достигает своих наибольшего и наименьшего значений на границе
области (Г), т. е. на сфере х2 + у2 + z2 = R2. Составим функцию
Лагранжа
Ф(х,у,г) = y(x,y,z) + Х(х2 + у2 +z2 - R2) =
= ^(х - а)2 + (у - Ь)2 + (z - с)2 + Х(х2 + у2 + z2 - R2).
Имеем
х - а
Фх = . + 21х,
V(x-o)2+(y-Z>)2+(z-c)2
Ф' = У - ь +
У <j(x-a)2+(y - b)2+(z-c)2
ф; = . Z~C + 2Х? .
7(x-a)2+(y-Z>)2+(z-c)2
581
Из системы
ф; = О,
ф; =о,
Ф' = о,
х2 + у2 + z2 = Л2.
находим точки, подозрительные на условный экстремум. Это точки
аЛ
сЛ
1У I - аЛ - ЬЛ - сЛ
[ Va2 + b2 + с2 4а2 + Ь2 +с2 4а2 + Ь2 +с2
Имеем
W(N}) = ^Л2 + а2 + Ь2 +с2 - 2л4а^+ Ь2 +с2 =
= 4а2 + Ь2 +с2 - Л,
Ж(^г) = '/я2 +а2 + Ь2 +с2 + 2Л-4О2 + Ь2 +с2 =
= 4а2 + Ь2 +с2 + Л.
Из выражений для и ^(Л^)-видим, что у(^) — наимень-
шее, a w(N2) — наибольшее значения функции y(x,y,z) в (Г).
Таким образом, получаем
т = , 1=--------, М = . -------==-----.
4а2 + Ь2 + с2 + Л 4а2 + Ь2 +с2 - Л
Следовательно,
1 дД --------------S ГГГ , <
3 т/а2 + + е2 + R (т> ^(х - а)2 + О’ - 6)2 + (г - с)2
^.4 Л3
। ------------------•
3 4а2 + Ь2 + с2 - Л
582
Пример 8. Найти F'(t), если F(f) = |j| f (x2 + y2 + z2) dxdydz,
x2+y2+z2St2
где f — непрерывная функция.
Решение. Перейдем к сферическим координатам
х = psinQcoscp,
• у = psinOsincp, Для области (Т), ограниченной поверхностью
Z = PCOS0.
х2 + у2 + z2 = t2, будем иметь: 0 < 0 < л, 0 < <р < 2л, 0 < р < /.
Поэтому
п 2л t t t
F(t) = j sin 6 dQ J </<p j p2/(p2) dp = 2 • 2лJ p2/(p2) dp = 4лJ p2f (p2) dp,
0 0 0 о 0
откуда, по теореме Барроу, находим
F'(t) = 4nt2f(t2).
Пример 9. Найти F'(f), если F(t) = fjj f (xyz) dxdydz , где f —
(Г)
дифференцируемая функция, a (T) =
0 < x <, t,
0<y<t,
0 < z t.
Решение. Имеем
(*)
Но
t t
= J f(xtz) dz + f f(xyt) dy.
0
0
583
Поэтому
F'(t) = J dyJ f(tyz) dz + J dxj f(xtz) dz + jdxj f(xyt) dy.
0 0 0 0 0 0
t
В соотношении (*) к внутреннему интегралу j f(xyz)dz применя-
, о
ем формулу интегрирования по частям:
и = f(xyz) => du = f'(xyz) • ху dz~\ _
dv = dz => v = z
= - j xyzf\xyz)dz = tf(xyt) - J xyzf’txyz) dz .
о 0
И, следовательно, для F(t) будем иметь вместо (*)
F(t) = tj dxj f(xyf) dy- J dxj dyj xyzf'(xyz) dz. (a)
0 0 0 0 0
Если для F(f) взять выражение через повторный интеграл в виде
t t t t
F{t) = jdxjdzj f(xyz)dy и к внутреннему интегралу J f (xyz) dy
0 0 0 о
применить формулу интегрирования по частям, то получим
F(t) = rj dxj f(xtz) dz- j dxj dzj xyz./'(xyz) dy. (0)
0 0 0 0 0
И, наконец, если для F(t) взять выражение через повторный ин-
t t t
теграл в виде F(t) = J dyJ dzJ f (xyz) dx и к внутреннему интегралу
0 0 0
t
jf(xyz)dx применить формулу интегрирования по частям, то
о
получим
F(t) = zj dyj f(tyz) dz-j dyj dzj xyzf{xyz) dx. (у)
0 0 0 0 0
584
Сложим левые и правые части равенств (а), (Р) и (у). Получим
3F(0 = t J dxj f(xyf) dy + J dxj f(xtz) dz + J dyj f(tyz) dz -
.00 oo oo
t t t t t t t t t
j dxj dyj xyzf\xyz) dz+ j dxj dzj xyzf’(xyz) dy + j dyj dzj xyzf'(xyz) dx
.0 0 0_________________ООО 000
=3J£f xyzf'ixyz) dxdydz
(Л
или
3F(O + 3j£j xyzfixyz) dxdydz = t • F'(t) =>
(T)
=> F'(t) = | F(t) + J£f xyzf'(xyz) dxdydz .
r L cry
Пример 10. С помощью формулы Остроградского вычислить
I = jj x2dydz + y2dzdx + z2dxdy,
(S)
где (S) — внешняя сторона границы куба (Г) =
0 < х < а,
О < у < а,
Q<Z^a.
Решение.
I = Jj(х2 cosa + у2 cosp + z2 cosy)dS = jjj(2х + 2у + 2z)dxdydz =
(•S) (Г)
a a a a af 2\г °
= 2j dxf dyj (х + у + z)dz = 2j dxj xz + yz + dy =
0 0 0 0 ok
585
2 о3 а3
= 2 а х + — + —
JI 2 2
ок х х
< 2
dx = 2 а2 + а3х
2
= 3о4.
1 2 +а
х=0 '
Пример 11. С помощью формулы Остроградского вычислить
I = ||x3dydz + y3dzjdx + z3dxdy,
(•У)
где (5) — внешняя сторона сферы х2 + у2 + z1 = а2.
Решение.
I = ||(х3 cosa + у3 cosp + z3 cosy)</5 = |Ц 3(х2 +у2 + z2)dxdydz,
(S) (T)
где (Т) — шар х2 + у2 + z1 а2. Станем вычислять I в сфериче-
ских координатах
вить в виде (Т) =
х = р sin 6 cos ф,
у = psinOsincp, Область (Г) можно предста-
Z = pcosO.
О < 0 < я,
О < ср < 2я, Поэтому
О < р < а.
I = 3| sin 0 <ЯЭ | сйр| р4с/р = • 2я • 2 = ^-па5.
о о о 5 5
Пример 12. С помощью формулы Остроградского вычислить
I = || (х - у + z) dydz + (у - z + х) dzdx + (z- х + у) dxdy,
(5)
где (5) — внешняя сторона поверхности
|x-y + z| + |y-z + x| + |z-x + y| = l.
Решение. Пусть (Г) — тело, ограниченное поверхностью (5).
По формуле Остроградского получаем
Z = |Ц (1 +1 +1) dxdydz = 3|£[ dxdydz.
(Т) (Г)
586
Вычисление тройного интеграла станем осуществлять с помощью
замены переменных, а именно, положим
и = х - у + z,
v = у - z + х, =>
w = z- х + у
X = -(и + V),
1 /
у = -(v + w),
1 / X
z = -(w + «)
Образом тела (Т) в пространстве Ouvw будет тело (т), ограничен-
ное поверхностью |м| + |v| + |w| = 1. Часть тела (т), расположенная
в первом октанте, представима в виде
О < и < 1,
О < v < 1 - и, Поэтому
0<w<l-«-v.
j 1 1-и 1-w-v 1 1-и
J = 8 • 3 — \du j dv Jdw = 6 jdu j~vdv =
4o о о 0 0*
1 1-и
= 6$du $(1 - и - v)dv =
о 0
1
6/
0
v=l-w
du =
v=0
= 6||(l-«)2</« = -3.4-
0 Z 3
w=l
= 1.
w=0
Пример 13. С помощью формулы Остроградского вычислить
I = ||(х2 cosa + у2 cos0 + z2 cosy)dS,
<-s6)
где (5б) — часть конической поверхности х2 + у2 = z2 (0 < z h),
a cosa, cosp, cosy — направляющие косинусы внешней нормали
к этой поверхности.
587
Рис. 12.12. К примеру 13
Решение. Так как поверхность (5б) незамкнутая, то приме-
нить сразу формулу Остроградского для вычисления I нельзя.
Добавим к точкам поверхности (5б) точки поверхности (5В),
т. е. точки круга х2 + у2 < h2, расположенного в плоскости z = h.
Получим замкнутую поверхность (5б) U (*УВ) > ограничивающую
тело (Т). Теперь выражение для интеграла I может быть пред-
ставлено в виде
I = JJ (x2cosa + y2cosp + z2cosy)</5 -
(ад и (5.)
- JJ(x2cosa + y2cos₽ + z2cosy)<ZS. (♦)
<ад
Так как (5б) U (<SB) — замкнутая поверхность, ограничивающая
тело (Г), то к первому интегралу, стоящему в правой части равен-
ства (*), можно применить формулу Остроградского. Будем иметь
Л (x2cosa + y2cosp + z2cosy)</5 = |Д 2(х + у + z)dxdydz.
<ад и (5.) (п
Тройной интеграл станем вычислять в цилиндрических координатах
x = rcos<p, ГО < <р < 2л,
у = г sin ф, Тело (Г) будет представимо в виде: (Т) = • 0 < г < h,
z = z. г < z^h.
Поэтому
588
2я h z=h
Щ2(х + у + z)dxdydz = 2fd<p[rdr j[r(cos<p + sincp) + z]dz -
(T) 0 0 z=r
2я h
2'
= 2 J гйр Jr r(cos<p + sin<p)z +
о о L I. 2 * .
z=A
dr =
2п Л Г
2 '
h2
= 2 Jrfcpf r(h - r)(cos<p + sin<p) + — - rdr =
о oL 2 2
2л h 2л h f С2 3 Л 1.4
IJ (cos<p + sincp) d<pjr2(h - г) dr + 2 JdipJ —---— I dr = л —.
^0______________ 0_____________, 0 ok 2 2 J 2
^0
Второй интеграл, стоящий в правой части равенства (*), выразим
через двойной интеграл по области (D), где (D) — круг
x2+y2<h2. На поверхности (5В) имеем: cosa = 0, cosp = 0,
cosy = 1, z2 = h2. Поэтому
ff (x2 cosa + y2 cosp + z2 cosy)dS = JJh2dxdy = h2 • nh2 = л/г4.
Таким образом, окончательно будем иметь
, Л4 U h4
I = л — - пп = -л—.
2 2
Дополнение.
Понятия о несобственных кратных интегралах
I. Интегралы от неограниченных функций.
Пусть функция f(x,y) определена в области (Л) с R2 всюду,
за исключением, быть может, точки N0(x0,y0), в окрестности
которой функция f(x,y) не ограничена ((D) — область конеч-
ного диаметра). Пусть функция f(x,y) такая, что
/(х,у) е/?((Д) \ (со)) , где (со) — любая достаточно малая область,
содержащаяся в (D) и содержащая точку ^о(хо»Уо) • Рассмотрим
интеграл
589
Jjf(x,y)dxdy. (1)
(2>)\(ш)
Если окажется, что при уменьшении (ш) по всем направлениям,
т. е. при “стягивании” её к особой точке No интеграл (1) стре-
мится к некоторому пределу, не зависящему от способа стягива-
ния, то этот предел называется несобственным интегралом от
неограниченной функции и обозначается обычным символом
Д/(х,у)аЬо/у. (2)
( ([ f(x,y) dxdy = lim JJ f(x,y) dxdy .)
(Z>) (“W"°(O)\(a>)
Если предел (2) конечный, то несобственный интеграл назы-
вается сходящимся’, если же он не существует или бесконечный, то
расходящимся.
Совершенно подобным же образом вводится понятие о трой-
ном несобственном интеграле от неограниченной функции.
В качестве примера рассмотрим двойной интеграл
(-0).
7х2 +y2J
(3)
где (D) — круг 0 < х2 + у2 <а2 .Здесь f(x,y) = ——---------— on-
ределена и непрерывна в (Z)) всюду, за исключением точки No(O, 0).
В окрестности точки No(0,0)
f(x,y) неограниченная. Точка
^о(0,0) — единственная особая
точка. Выделим особую точку об-
ластью (о). Пусть (сор) — наи-
больший круг радиуса р с цент-
ром в точке Nq((), 0), целиком рас-
положенный внутри (со), а (<ол) —
590
наименьший круг радиуса R с центром в точке No(O, 0), содержа-
щий внутри себя область (со). Имеем [(D) \ (®я)) с ((D) \ (со)) с
с ((D) \ (шр)). Так как функция f(x,y) =
1
------ положи-
----\т
тельная, то будем иметь
_Я
_Л 77^ (4)
;2 + у2 j (^)\(тр) I ^х2 + у2 1
Перейдя к полярным координатам, находим
dxdy 2f, rtardr 'S’ dr
^> = 1^1 -^r = 2n! ^=T
Jx2 + yl j 0 r=R r r=Rr
^^ = 2Ur7rdr = 2nr7A
----\m J J „m } m-1
2 + V2 I 0 <-=p r r=pr
Станем стягивать произвольным образом по всем направлениям
область (со) к точке No(0,0). Тогда одновременно будут стремить-
ся к нулю Лир. Замечаем, что если т < 2, то
и
lim 2л •
я->+о
^,2-т
2-т
r=R
= lim 2л •
Я->+0
о2 ”
2-т 2-т
R2~m 1 _ а2~т
= 2л • ---------
2 - т
lim 2л •
р->+0
^.2-т
а2~т
= lim 2л • ------
р->+о 2 - т
р2 т 1 0 а2 т
—---- = 271 • —-
2-т 2-т
Если же т > 2, то
591
При т = 2:
lim 2л • Г — = lim 2л(Inа - In R) = +~
я-»+о }„ г я->+о
г—к
lim 2л • [ — = lim 2л(Inа - 1пр) = +~.
р-»+0 Г р-»+0
Таким образом, приходим к выводу, что несобственный интеграл
Я dxdy
— - сходится, если т < 2, и расходится, если т > 2.
(Совершенно аналогичным образом можно установить, что
несобственный интеграл
dxdydz
(5)
где (Г) — любая конечная трехмерная область, внутри которой
находится начало координат, будет сходящимся при т < 3 и рас-
ходящимся при т > 3.)
Замечание. Если внутри области (D) имеется несколько осо-
бых точек или даже кусочно-гладких кривых (конечной длины),
в каждой точке которых подынтегральная функция f(x,y) обра-
щается в бесконечность, то все особые точки или особые кривые
исключаются областями (со), которые стягиваются к этим точкам
или кривым. Если при этом интеграл по оставшейся области
стремится к конечному пределу, не зависящему от способа стяги-
вания, то будем иметь сходящийся несобственный интеграл.
В качестве примера рассмотрим двойной интеграл
где (Л) — круг 0 < х2 + у2 < а2.
592
В данном случае имеем особую кри- Уп
2 2 ^(С)
вую (с), а именно окружность х + у = /Х3-“х'\
= а2 . Возьмем внутри (D) некоторую зам- [ | х
кнутую кривую (/), и пусть (со) — об- I О JJa
ласть, заключенная между (с) и (/). Заме-
тим, что в каждой точке области (D) \ (и)
1 Рис. 12.14
функция f(x,y) = . непре-
д/а - х2 - у2
рывна и положительна. Пусть р и R соответственно есть наимень-
шее и наибольшее расстояние от начала координат до кривой (/);
(<ор) — круг радиуса р с центром в начале координат; ((во-
круг радиуса R с центром в начале координат. Имеем
(Юр) с ((D) \ (со)) с (<oR). Так как f(x,y) = - поло-
жа2 — х2 - у2
жительная, то
гг dxdy < dxdy < „ dxdy
(<5p)Va -х о»\(ш) v« - * - У (й^а-х-у1
(7)
Переходя к полярным координатам, находим
д
JJ /22 2 J J 12 2
(iop) yjcr - x~yz о o Va - r2
// -Г^ 2 ‘ МТТУ - 4° -
(шя) y/a - x - у о о va - r K
При любом стягивании области (со) к линии (с) будет: р —> а — О
и R а — 0. Следовательно,
lim IJ . ____
(и>-.(.> (ОЛ{Ш) ^а2 -х1 - у2
= 2па.
593
Вывод. Несобственный интеграл ff . У сходится,
wja2 - х2 - у2
и его значение равно 2па.
Посредством соображений, аналогичных тем, какими были
исследованы несобственные интегралы (3) и (6), можно доказать
следующую теорему.
Пусть функция f(x, у) непрерывна и неотрицательна в каждой
точке области (D) \ (со). (Через (со) мы обозначаем здесь совокуп-
ность областей, выделяющих все особые точки или кривые в облас-
ти (£>)). Если интеграл ff f(x,y)dxdy стремится к некоторому
(О)\(<0)
пределу при каком-нибудь специальном способе стягивания облас-
ти (со), то он стремится к тому же пределу при всяком способе
стягивания этой области (к особым точкам или особым кривым).
Из этой теоремы вытекает следствие.
Если интеграл ff f(x,y)dxdy от неотрицательной функции
(Д)\(®)
ограничен, т. е. JJ f(x,y)dxdy < L, где L— некоторое положи-
(й)\(ш)
тельное число, то несобственный интеграл ff f(x,y)dxdy сходится.
(Д)
Действительно, всегда можно выбрать такой способ стягива-
ния области (со), при котором интеграл jj/(x,y)dx:rfy моно-
(Д)\(«>)
тонко возрастает. Но монотонно возрастающая переменная вели-
чина, ограниченная сверху, имеет конечный предел.
Вот еще одно важное следствие из предыдущего.
Пусть функции <р(х,у) и g(x,y) — непрерывные и неотрица-
тельные в (D) \ (<о), и пусть везде в этой области
<p(x,y)<g(x,y). (8)
Тогда из сходимости несобственного интеграла JJ g(x,y) dxdy сле-
(D)
дует сходимость несобственного интеграла |J(p(x,y)dxdy.
(Д)
594
В самом деле, если несобственный интеграл g(x,y)dxdy
(D)
сходится, то интеграл JJ g(x,y)dxdy — ограниченный, а потому
(О)\(о>)
и интеграл jj ср (х, у) , в силу (8), также ограниченный,
(ё)\(ш)
а следовательно, интеграл Дф(х,у)йЬсс/у сходится.
(D)
Отметим, что если функция f(x,y) неположительная
в (D) \ (со), то к функции -f(x,y) применимы все предыдущие
результаты.
Пусть теперь функция f(x,y) не имеет постоянного знака
в (О) \ (со). В этом случае для исследования сходимости несоб-
ственного интеграла Д f(x,y)dxdy может пригодиться следую-
щая теорема: (0)
Если несобственный интеграл Д |/(х, у)| dxdy — сходящийся, то
(D)
несобственный интеграл Д f(x,y)dxdy также будет сходящимся.
(D)
Для доказательства положим:
Ф1(*,У) = | (|Л*>>')| + f(x,y)),
<Р2(х,У) = |(|Л*,У)| - f(x,y)).
Очевидно,
О < Ф^х.у) < |/(х,у)|, 0 < Ф2(х,у) < |/(х,у)|.
Поэтому из сходимости интеграла Д|/(х,у)|<&с/у вытекает
U»
сходимость интегралов Дф1(х,у)Лф и Дф2(х,у)сйс</у. А так
(D) (D)
595
как (pi(х,у) - Фг(х,у) = f(x,y), то и интеграл JJ f(x,y)dxdy будет
(D)
СХОДЯЩИМСЯ. 4
В качестве примера применения последней теоремы приведем
следующий простой достаточный признак сходимости несоб-
ственного интеграла от функции f(x,y), которая обращается
в бесконечность лишь в одной точке N(a,b) в области (D)
и непрерывна во всех остальных точках этой области.
Если можно найти такие постоянные числа Лит, причем
т < 2, чтобы во всей рассматриваемой области выполнялось
неравенство
|/(х,У)| *
/ 1--------------\ т
\J(x-a)2 + (у- Z>)2 J
(9)
то несобственный интеграл JJ f(x,y) dxdy сходится (доказать са-
(D)
мим, в качестве упражнения).
Замечание. Для тройного несобственного интеграла условие
(9) будет таким:
|№М < -—=====—г, т < 3.
- а)2 + (у - b)2 + (z - с)2 J
II. Интегралы по бесконечной области.
Пусть (D) — бесконечная область, например, вся плоскость
Оку или ее часть, ограниченная кривой, уходящей в бесконеч-
ность. Пусть функция f(x,y) непрерывна в каждой точке этой
области. Возьмем любую конечную область (Q), целиком входя-
щую в (D), и рассмотрим двойной интеграл:
£[/(x,y)dWy. (10)
(Q)
Представим себе, что область (Q), оставаясь в (D), расширяется
неограниченно таким образом, что каждая точка области (D)
рано или поздно попадает в (Q). (Мы этот процесс будем обозна-
чать так: (Q) —> (D).)
596
Если интеграл Д f(x,y)dxdy стремится при этом к некоторо-
му _ _
му пределу, не зависящему от способа расширения (Q) к (Р), то
такой предел называется несобственным интегралом от функции
fix,у) по бесконечной области (Б):
W W(Q) (О)
(11)
Если предел (11) конечный, то несобственный интеграл называет-
ся сходящимся’, если же он не существует или бесконечный, то
несобственный интеграл называется расходящимся.
Совершенно аналогично определяется несобственный трой-
ной интеграл по бесконечной трехмерной области.
В качестве примера рассмотрим интеграл
fje~x2~y2dxdy, (12)
(D)
где (Р) — вся плоскость Оху.
Пусть (Q) — произвольная конечная область, содержащая
внутри себя точку (0,0); пусть р и R — соответственно наимень-
шее и наибольшее расстояние от начала координат до границы
области (Q). Пусть (Qp) — круг радиуса р с центром в точке
(0,0), а (£2Л) — круг радиуса R с центром в точке (0,0). Имеем
(Qp) с (Q) с (£2Л). Так как fix,у) = е~х ~у положительная, то
Д e~xl~yldxdy < Д e~xl~yldxdy £ Д e~x2~y2dxdy. (13)
(Qp) (Q) (ОЛ)
Переходя к полярным координатам, находим
Д e~xl~y2 dxdy = j rfcp| е"*3 г dr = л (1 - е_р2),
(Ц.) о о
оо 2п R
Д е~х ~у dxdy = | <йр J e~r г dr = л(1 - e~R ) t
(Яя) о о
При неограниченном расширении области (Q) к (Р) будет одно-
временно р —> + °°, /?->+<». Следовательно,
597
_lim_ ffe y2dxdy = n.
(О)-(^)й)
Вывод. Несобственный интеграл Де *2 yldxdy сходится, и его
(D)
значение равно л.
Для несобственный интегралов по бесконечной области спра-
ведливы следующие теоремы.
1) Если f(x,y)>Q и интеграл Д f(x,y)dxdy остается ограни-
(Q)
ченным при расширении области (Q), то несобственный интег-
рал f(x,y)dxdy сходится.
(D)
2) Если ф(х,у) > 0, g(x,y) > 0 и Ф (х,у) < g(x,y) в (D), то из
сходимости Д g(x, у) dxdy следует сходимость Дф(х,у)дЬо/у.
(Д) (Д)
3) Если интеграл Д|/(х,у)|Фа7у сходится, то сходится и ин-
(Д)
теграл [[ f(x,y)dxdy.
(D)
Эти теоремы (относящиеся также к несобственным интегра-
лам в трехмерных бесконечных областях) доказываются таким же
образом, как аналогичные им теоремы для несобственных интег-
ралов от неограниченных функций.
Замечание. Для кратных несобственных интегралов справедли-
во утверждение, обратное утверждению 3): из сходимости несоб-
ственного интеграла Д f(x,y)dxdy следует сходимость интеграла
(Д)
Д|/(х,у)|<£о/у (см. Г.М. Фихтенгольц, “Курс дифференциального
(Д)
и интегрального исчислений”, т. III, с. 265).
Глава 13
НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ,
ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА
§1. Определение равномерной сходимости
несобственных интегралов
Пусть функция f(x,y) задана в области
а < х < -к»,
Пусть
с < у < d.
при каждом закрепленном у из несобственный интеграл
+<м> +со
J f(x>y)dx сходится. Тогда J f(x,y)dx будет представлять собой
а а
функцию переменной (параметра) у, определенную в промежутке
[с, d] (в дальнейшем будем обозначать эту функцию через 1(у),
У е[с,<Л).
4-~
Утверждение, что несобственный интеграл jf(x,y)dx схо-
а
дится при каждом у из [c,rf], означает следующее: при каждом
закрепленном у из [с,
А 4"°°
J/(x,y)<&-----> jf(x,y)dx.
а а
Следовательно,
599
\f(x,y)dx-\f(x,y)dx------->0, или j/(x,y)dx------->0.
A —I °® л A +°°
a a A
А это означает, что для каждого у из [с, d] по любому е > 0 можно
указать число М > 0, такое, что как только А > М, так сейчас же
\f(x,y)dx
А
< е.
Важно заметить, что число М > 0 выбирается по е > 0, и для
каждого у из [с,</] оно будет, вообще говоря, своим, то есть М
зависит и от е, и от у: М = М(г,у).
Если же для любого е > 0 можно указать число М > 0, зави-
сящее только от е (т. е. одно и то же для всех у из [с,d]), такое,
что как только А > М, так сейчас же
\f(x,y)dx
А
< е сразу для
всех у из [с, d], то несобственный интеграл j f(x,y)dx называет-
а
ся равномерно сходящимся относительно параметра у на [с, </].
Совершенно аналогично вводится понятие равномерной схо-
димости несобственных интегралов второго рода. Например, пусть
функция f(x,y) определена в области
конечные числа).
а < х < Ь,
(a,b,c,d —
с < у < d.
Пусть при каждом у из [c,d] несобственный интеграл
6 ь
J f(x,y)dx сходится. Ясно, что тогда |/(х, у) dx будет представ-
а а
лять собой функцию переменной (параметра) у, определенную
в промежутке [с,</].
ь
Утверждение, что несобственный интеграл j f(x,y)dx сходит-
а
ся при каждом у из [с,<7], означает следующее. При каждом
закрепленном у из [c,d]
600
0 b b p
\f(x,y}dx——>jf(x,y)dx <=> jf(x,y)dx-]f(x,y)dx----------»0 <=>
J ₽->i-o * J J ₽^-o
b b
n О Jp ^b-o Д Y->+0
(здесь положено 0 = b-y => у = Z> - p). А это означает, что для
каждого у из [c,d] по любому е > 0 можно указать число 8 > 0,
такое, что как только 0 < у < 8, так сейчас же
< е.
J/(x,y)dx
Ь-у
И здесь важно отметить, что число 8 > 0 выбирается по е > 0
и для каждого у из [c,d] оно будет, вообще говоря, своим, т. е. 8
зависит и от е, и от у: 8 = 8(е,у).
Если же для любого е > 0 можно указать число 8 > 0, завися-
щее только от е (т. е. одно и то же для всех у из [c,d]), такое, что
как только 0 < у < 8, так сейчас же
\f(x,y)dx
Ь-у
< е сразу для всех
ь
у из то несобственный интеграл \f(x,y)dx называется
а
равномерно сходящимся относительно параметра у на [с, d].
§2. О непрерывности интеграла как функции параметра
Теорема. Пусть
1) функция f(x,y) непрерывна в области
а < х < +°°,
с < у < d\
-К»
2) \ f(x,y)dx = 1{у) сходится равномерно относительно
а
у на
Тогда функция 1(у) непрерывна на [с,<7].
601
Возьмем любое у0 из [с, <У] и закрепим его. Возьмем любое
е > 0.
По условию J f(x,y)dx сходится равномерно относительно у
а
на [с, d], поэтому взятому е > 0 отвечает число М > 0, зависящее
только от е, такое, что при всяком А, удовлетворяющем условию
А > М, сразу для всех у е [c,rf] будет
J/(x,y)dx
А
Выберем и закрепим какое-нибудь А, удовлетворяющее усло-
А
вию А > М. Положив 'VA(y) = jf(x,y)dx, неравенство (1) сразу
а
для всех у е [c,d] можно записать в виде
|/(У)-Тл(у)|<|. (2)
[/(у)-Тл(у) = jf(x,y)dx-jf(x,y)dx = J/(x,y)dx:].
а а А
Но УДу) — собственный интеграл, зависящий от параметра у.
По теореме о непрерывности собственных интегралов, зависящих
от параметра, заключаем, что ^(у) е C([c,rf]), а значит, по тео-
реме Кантора, функция Ч'лСу) будет равномерно непрерывной на
М-
Следовательно, взятому е > 0 отвечает 5 > 0, зависящее толь-
ко от е, такое, что для любых двух точек у' и у" из [с, d], для
которых | у” - у'| < 5, будет | (у") - '¥А (у') | < |.
Для разности значений функции 1(у) в точках у' и у" имеем
Ку") - /(Н = ['СИ - ЧА(У")] + [^(Г) - *W)] + [^(у') - Z(y')] =>
=> |Ку") - ДГ)| ± | Ку") - чА(Г)| +1^а(у") - Си')| +
+ 1ч'лб'') - Ду')| <5 + | + | = е-
602
В частности, полагая у' = у0, У" - У > гДе У е — любое,
но такое, что | у - у0| < 5 , будем иметь 11(у) - 1(Уо)| < е. После-
днее означает, что функция 1(у) непрерывна в точке у0. Так как у
нас точка у0 — любая из [<?,</], то заключаем, что I(y) е С([с, rf]).
§3. Об интегрировании по параметру под знаком интеграла
Теорема. Пусть
1) функция f(x,y) непрерывна в области
а < х < +оо,
с <у <d;
4-оо
2) J f(x,y)dx сходится равномерно относительно у на [<?,</].
а
Тогда справедливо равенство
J \f(x,y)dx dy = J jf(x,y)dy dx,
c\ a
(1)
а
\с
причем несобственный интеграл, стоящий в правой части (1), схо-
дится.
+оо
Возьмем любое е>0. По условию jf(x,y)dx сходится
а
равномерно относительно у на [c,d], поэтому взятому е>0
отвечает число М > 0, зависящее только от е, такое, что при
всяком А, удовлетворяющем условию А > М, сразу для всех
у 6 [c,d] будет справедливо неравенство
е
d - с '
\f(x,y)dx <
А
Выберем и закрепим какое-нибудь А, удовлетворяющее усло-
А
вию А > М. Полагая, как и раньше, ТДу) = j f(x,y)dx, преды-
а
дущее неравенство сразу для всех у е [с, J] можно записать в виде
603
Так как 1(у) е С([с,</]) и ^(у) е C([c,rf]), то 1(у) е /?([с,</]),
^(у) € Л([с,</]). Поскольку имеет место равенство
jI(y)dy-jTA(y)dy = j[/(у) - (у)]dy,
С С с
ТО
/I(y)dy - f 4A<y)dy < J| 7(у) - (у)|dy < (d-c) = E.
с с с ас
Таким образом, получили: при любом А, удовлетворяющем усло-
вию А > М, оказывается
означает, что
f Цу) dy - J Тя (у) dy
С с
< е, Последнее
d d
JI(у) dy = Uni f (y) dy
c c
(2)
(именно так, ибо первый интеграл от А не зависит). Но
л
^(у) = J f(x,y)dx — собственный интеграл, зависящий от пара-
а
метра у. По теореме об интегрировании по параметру под знаком
собственного интеграла можем написать
/
d(A A А( d А
¥л(у)</у = ) J/(x,y)£te|rfy = f J/(x,y)rfy dx.
a\c >
с
Теперь соотношение (2) может быть записано в виде
а\с
Нами установлено существование написанного здесь предела. Но
тогда мы должны обозначать этот предел так:
f J/(x,y)</y <&.
а \с )
604
Таким образом, мы доказали сходимость несобственного ин-
теграла, стоящего в правой части (1), и справедливость равен-
ства (1).
§4. О дифференцировании по параметру
под знаком интеграла
Теорема. Пусть
1) функция f(x,y) определена в области
а < х < +<»,
непре-
с < у < d,
рывна там и имеет непрерывную частную производную fy(x,y);
2) /(у) = f f{x,y)dx сходится при каждом у из [c,rf];
а
+оо
3) Т(у)= сходится равномерно относительно у
на [с,<7].
Тогда:
1) Г (у) существует при каждом у из [с,<7];
2) Г(у) = Т(у), т. е.
3) /'(у)еС(М).
J/(x,y)dx = jf'(x,y)dx-,
\ а )у а
Так как fy{x,y) непрерывна в области
а < х < +°°,
с < у < d
и j fy(x,y)dx сходится равномерно относительно у на [с, *7], то
а
d
Ч/(у) е C([c,rf]) (см. теорему §2) и f Т(у) Jy существует. В частно-
С
Z
сти, существует J ^(yjdy для любого z, удовлетворяющего уело-
С
вию с < z d . По теореме §3 имеем
605
z z
ix¥(y)dy = f
c c
j/;(x,y)A|Jy = f ]fy(x,y)dy dx.
\c J
a
Ho J fjx,y)dy = f(x,y^e = f(x,z) - f(x,c). Поэтому
c
J = J f(x,z)dx - J f(x,c)dx = 7(z) -</(c),
C JI________/ ,
^7(z) -1(c)
откуда
I(z) = ]'¥(y)dy + 1(c).
c
(1)
В правой части последнего равенства мы имеем интеграл с
переменным верхним пределом от непрерывной функции. Сле-
довательно, у правой части равенства (1) производная по z
существует и равна 'Р(г) (см. теорему Барроу). Но тогда суще-
ствует производная по z и у левой части равенства (1), причем
I'(z) = ТО • (2)
Равенство (2) установлено для любого z е [с, d]. Оно может быть
записано и так: Г (у) = Ч'(у), у е [с,</].
Таким образом, доказано, что
1) Г (у) существует при каждом у из [с, d];
2) Г(у) = ТО. У е[c,rf];
3) Г(у) е С([с, rf]), ибо ТО € С([с, </]). «
§5 . Признак равномерной сходимости
несобственных интегралов
Теорема. Пусть
1) функция f(x,y) определена в области
прерывна там;
а < х < -к»,
и не-
с < у < d
2) функция <р (х) определена и непрерывна в [а, + ~);
606
3) |/(х,у)| ф(х) при всех значениях у из [c,d] и х е [а, + °°).
Тогда, если несобственный интеграл |ф(х)<йс сходится, то
а
-к»
несобственный интеграл I(y) = f f(x,у) dx сходится равномерно
а
относительно у на [с, </].
Сходимость (и притом абсолютная) несобственного интег-
рала \f(x,y)dx при каждом у из [c,d] следует из признака
а
сравнения.
Возьмем любое А, удовлетворяющее условию А > а, и закре-
пим его. Затем возьмем любое Б, удовлетворяющее условию
В > А. Имеем при всех значениях у из [c,d]
В в
J|/(x,y)|dx< ]<p(x)dx.
А А
В
]f(x,y)dx <
А
Отсюда в пределе при Б -> +~ при всех значениях у из [c,d] получаем
\f(x,y)dx <
А
/ф(х)<йс.
А
(1)
По условию, |ф(х) dx сходится, поэтому
а
А +»
|ф(х)дЬс------> |ф(х)<ЙС
а Л->+»
4-оо А
|ф(х)Лс - |ф(х)Лс
а а
*0.
А
Последнее означает, что всякому е > 0 отвечает число М > 0, та-
4-00
кое, что как только А > М, так сейчас же J Ф (х) dx < е . Отметим,
л
что здесь М зависит только от е. В силу (1), при А > М и подавно
будет
\f(x,y)dx
А
< е сразу для всех у из [с, </]. А это означает, что
+оо
f сходится равномерно относительно у на [c,d] 4
а
Замечание.Для несобственных интегралов второго рода, зави-
сящих от параметра, имеют место теоремы, совершенно анало-
гичные теоремам §2—§5.
§6 . Примеры к главе 13
Рассмотрим несколько примеров применения доказанных тео-
рем к вычислению интегралов.
Пример /.Рассмотрим интеграл
Z(y) = f е~х • sin ху dx. (1)
о
Имеем
+- -х *=+~
г - в Л У
Ге~х smxydx =--------у (sinху + у cosxy) = —. (2)
о 1 + Г х=о 1+^
Используя равенство (2), найдем величины некоторых других ин-
тегралов.
1. Отметим, что интеграл /(у) сходится равномерно относи-
тельно у на любом промежутке [c,d]. В самом деле, имеем:
| е~х • sin ху| < е~х для любого у е [c,d] и для всех х е [0, + ~);
+~ |Х=+~
интеграл \e~xdx = -e~x\ = 1, т.е. сходится, а тогда, по теореме
о 1х=0
§5, 1(у) сходится равномерно относительно у на промежутке [с, d].
Отметим еще, что функция f(x,y) = е"х sinxy непрерывна
в области
О < х < -н»,
Тогда по теореме §2 имеем
с у <. d.
608
/(y)6CM => I(y)eR([c,d]) => /(y)e^([O,z]).
(здесь положено с = 0, d = z, где z — любое конечное). По тео-
реме §3
j je dy = J je * sinxy dy .
0 ko )
0k о
Следовательно, интегрируя обе части равенства (2) по у от 0 до z,
будем иметь
j j е х sin ху dy
olo
Л=м^2-
о1 + У
Но (exsinxydy = -ex cosx^ = е х -—COSXg (это равенство
0 х у=0 х
установлено для х * 0; оно верно и при х = 0, если в этой точке
понимать его в предельном смысле:
Z Z
lim Ге~х sinxydy = f lim (е~х sinху)dy = 0;
x-»°J Jx-»0
_xl-COSX? .. _x 2 . 2 XZ
hm e ---------= hm e —sin — = 0).
x->0 X x->0 X 2
Тогда (3) для любого конечного z примет вид
V -х 1 “ COSXJ , 1 , .. 2\
Ге х---------dx = -ln(l + z ).
о х *
2. Имеем:
fy(x,y) = (е х sin ху)'у = хе х cos ху непрерывна
в области
0 < х < +«>, +«> +«.
f fy(x,y)dx = Jхе~х cosxydx сходится рав-
с < у d. о о
номерно относительно у на [с,d]. В самом деле, |xe х cosxy | хе х
"Т |Х=+~
для любого у 6 [c,rf] и х е [0, + оо); J xe~xdx = - (х + 1)е"х|*_о = 1,
609
т.е. сходится. Поэтому [хе х cosxy dx сходится равномерно отно-
о
сительно у на промежутке [с, J]. Тогда по теореме § 4
J(е х sinxy)ydx = [хе х cosxy dx .
о о
[е х sinxydx
к О ) у
Дифференцируя по у обе части равенства (2), получим для любого
конечного у
1 — у2
f хе~х cos ху dx =-•
Jo (1 + У2)2
Пример 2. Рассмотрим интеграл
ye[c,rf],
о * + У
(4)
где [с,</] — любой, но такой, что 1 < с < d.
Имеем
п
2у> у e[c,rf].
(5)
7 dx 1 х
J ~2---г = - arctg-
Ь*2+Г У У х=о
И здесь, используя равенство (5), найдем величины еще неко-
торых интегралов.
1. Отметим, что интеграл 1(у) сходится равномерно относи-
тельно у на промежутке [с,</]. Действительно, имеем:
1 1 +°° (fx
-2—7,уб[с,</]и*е[°, + ~); Jp-7 = arCtgXlxT =
= у, т.е. сходится. Следовательно, 1(у) сходится равномерно
относительно у на [c,d].
Отметим еще, что функция /(х,у) = —j——j" непрерывна
в области
Тогда
с < у < d.
610
I(y) 6 C([c,rf]) => /(y)6%rfl) => Uy) 6 /?([!, z])
(здесь положено с = 1, d = z, где z — любое конечное, z > 1).
По теореме об интегрировании по параметру под знаком
интеграла (см. §3)
dx
+ У2
dy^j J
oli
dy
x2 +y\
dx.
Следовательно, интегрируя обе части равенства (5) по у от 1 до z,
будем иметь
Л « L f >
JJt—т (б)
ои х + У У 1 £у
. z .1
Z dy i уу=г arctg--arctg-
Но J 2 2 = — arctg— =-----------------(это равенство ус-
1 X + у X X У = 1 X
тановлено для х 0; оно верно и при х = 0, если в этой точке
понимать его в предельном смысле:
z 1 . (z-l)x
arctg 1 - arctg - arctg 2
lim----------------- = lim-----x +z
x-»0 X x-»0 X
(Z~1)X
= iim^i±z_
x->0 X
Тогда (6) для любого конечного z > 1 примет вид
+r arctg — - arctg—
f-------------------------------—dx = -Jlnz.
J x 2
о
2. Имеем:
fy(x,y) =
f 1 Y = 2y
4*2+y2Jj, (x2+y2)2
непрерывна
в области
О < х < +°°, -н»
(1 < с < J). J /;(х,у) dx = J —2—^rrdx
c^y^d о о<х +У)
611
сходится равномерно относительно у на [c,d]. В самом деле, для
О (х2 + I)2
сходится. Тогда по теореме о дифференцировании по параметру
под знаком интеграла (см. §4)
(Т dx I _7l 1 I а _+Г~ "2У
J х2 2 J 2 . 2 I dx J/2, v2>ldx.
Vo х + У )у О \Х +у Jy Q \х + у )
Дифференцируя по у обе части равенства (5), получим
_ ydx =______________________________л_
{(х2+у2)2 2у2 ’
откуда
7, 2^2x2 =ТТ» (7)
о(х +у) 4у3
Аналогично обосновывается возможность дифференцирова-
ния по параметру под знаком интеграла левой части (7). Тогда,
дифференцируя по у обе части равенства (7), находим
"*7° — 4v Зл 1
J-—2---2^dx = —-------4 > У е 1С>^1
о(* +У ) 4 /
Пример 3. С помощью дифференцирования по параметру
вычислить
/W= Ы<1. (8)
' 1-уcosx cosx
Возьмем любую точку у0 е (-1,1). Всегда можно указать
число Yo > 0, такое, что будет [-1 + Yo» 1 — Yo] с (_1, 1) и точка
Уо е (-1 + Yo, 1 “ Yo) •
612
—i—E--------।—।—3—ь->
-> -Ц» Л.1 y
Так как lim Inf | —-— = 2y конечен, то функция
x_,”_o v_3'cosxJ cosx
2
f( xe[0,n/2), у e[-l + Y0> 1-Yol.
ПХ,У) t 2y, х = п/2, уе[-1 + Уо,1-7о].
где
f(x,y) = In
1 + у cosx
1 -ycosx
1
COSX ’
непрерывна в области
О < х < л/2,
причем
-1 + Yo -У 1 - Уо,
1(У)= ]f(x,y)dx.
о
Последнее выражение для 1(у) — собственный интеграл, завися-
щий от параметра у.
2
Имеем: fy(x,y) =------«--5— непрерывна в области
1 - у2 cos2 х
О < х < л/2,
По теореме о дифференцировании по пара-
-1 + Yo s у < 1 - Yo-
метру под знаком интеграла, находим
7//.Л _V 2 dr
00 J , 2 2
0 1 - у COS X
tgx = t
х = arctg t,
dt
dx =-------
1 /2
2
COS X =
7° 2dt
0 (l-y2) + ^2
А t
• arctg -=
/=о
1
|_ Д
2
л
ye[-l + Yo, 1-YoL
613
В частности, существует /'(Уо) > причем /'(Уо) = < П • У нас
Ji-уо
точка Уо — любая из (-1,1). Следовательно, Г(у) =
VI -у2
у е (-1,1) . Тогда
Z(y) = f / П dy = п- arcsinу + С, у е (-1,1) . (9)
Ji-y2
Здесь С — постоянная интегрирования. Из (8) видим, что /(0) = 0.
Положив теперь в обеих частях равенства (9) у = 0, получим
0 = 0 + С, откуда С = 0. Таким образом, окончательно получаем
Ку) = л • arcsin у, у е (-1,1).^ (10)
Пример 4. С помощью дифференцирования по параметру
вычислить интеграл
/(у) =fe"°“2 cosxydx, а>0. (И)
о
Имеем:
1) f(x,y) = е 0x1 cosxy непрерывна в области
0 < х < +°°,
с < у < d,
где [с, d] — любой промежуток, и имеет там непрерывную част-
ную производную fy(x,y) = -хе-®"2 • sin ху.
2) Интеграл I(y) = je 0x2 cosxydx (а > 0) сходится (и даже
о
равномерно относительно у на промежутке [с,</]).
-И» +°° 2
3) Интеграл jf'(x,y)dx = - jxe"®“ -sinxydx сходится рав-
о о
номерно относительно у на промежутке [с, d].
614
В самом деле, |/у(*>У)| = |- хе 0“2 • sinxy| < хе “*2 для любого
у е [с,</] и для всех х е [0, + °°) , а интеграл
[хе 0x1 dx = [е ““’«/(-ах2) = - -±-е “*2
о 2а { 2а
т. е. сходится.
По теореме о дифференцировании по параметру под знаком
интеграла
/'(У) = - J хе °“2
о
• sinxydx =
« = sinxy =ф du = ycosxydx,
dv = -xe °“2 dx => v = — e c“2
2a
1 2 X—+°° -у _ 2 V
= —e-ax sinxy cos xydx = I(y).
2a x=o 2a J 2a
“°
Итак, получили уравнение
/'(у) = -^Лу), (12)
которое является обыкновенным дифференциальным уравнением
с разделяющимися переменными. Интегрируя его, находим
уг
Цу) = Се*а, (13)
где С — постоянная интегрирования.
Из (11) видим, что
ItQy^e-^dx. (14)
о
Если в (14) сделать замену t = Va • х, то получим
/(0) = -^Те-'2Л.
Va о
615
V - 2 л/л
В главе 9 (см. §7) было получено J е 1 dt = —. Следователь-
о 2
1 171
но, 1(0) = —J— . Положив теперь в обеих частях равенства (13)
= 0, получим С =
Таким образом, окончательно будем
иметь
(15)
Глава 14
ЭЙЛЕРОВЫ ИНТЕГРАЛЫ
§1. Интеграл Эйлера первого рода (Бета-функция)
Так называется интеграл вида
1
B(a,b) = fxa~' -(l-x)b~ldx. (1)
о
Этот интеграл собственный, если одновременно а > 1, b > 1.
Если же хотя бы одно из этих неравенств нарушается, то интеграл
(1) — несобственный.
Покажем, что интеграл (1) сходится, если одновременно а > О
и Ь > 0.
Видим, что подынтегральная функция в (1) имеет, вообще
говоря, две особые точки: х = 0 и х = 1. Поэтому представляем
(1)в виде
1/2 1
B(a,Z>) = Jх0-1 • (1 - x)b~'dx + Jxa~l (1 - x)b~ldx = I\+I2.
0 1/2
1/2
Рассмотрим интеграл I\ = fx"-1 -(1 -x)b~ldx. Он — несоб-
o
ственный при а < 1. Особая точка х = 0. Запишем подынтеграль-
ную функцию в виде
/(х) = х°-|(1-х/-1 = (1-~,х)/~1
617
'D 1 / X 1 гтч
11111111111ITR и введем функцию g(x) = —,—. Так
::::::::::::::: * °
::::::::::::::: как Цт = lim(l -х)4-1 = 1 при
::::::::::::::: »-»® g(x)
_ llllllllllllll lllllllllllffH » любомb(конечный, * 0),тоинтег-
^==== 1/2 1/2
— ралы ]f(x)dx и jg(x)dx сходятся
— о о
— или расходятся одновременно. Но
1/2 1/2
рис. 14.1. К определению Jg(x)dx = сходится лишь
Бета-функции * ' Х1
тогда, когда 1 - а < 1, т. е. когда
а > 0. Следовательно, сходится при любом Ь и лишь при а > 0.
1
Рассмотрим I2 = Jxa-1 • (1 - x)b~ldx. Он — несобственный
1/2
при b < 1. Особая точка х = 1. Подынтегральная функция
/(х) = х-1.(1-х)4-1=-^-гт.
Положим г(х) =------. Имеем lim = lim ха 1 = 1 при
(1-х)1’4 X^g(x) F
1 1
любом а (конечный, # 0). Значит, jf(x)dx и jg(x)dx сходятся
1/2 1/2
1 1 dx
или расходятся одновременно. Но jg(x)dx= J-------расходится
1/2 1/г(1 _ *)
лишь тогда, когда 1 - b < 1, т. е. когда Ь > 0. Следовательно, 12
сходится при любом а и лишь при b > 0.
Вывод1. В(а,Ь) сходится, если одновременно а > 0 и b > 0. Зна-
чит,
0 < а < +оо,
— область определения функции В (а, Ь) (рис. 14.1).
0 < Ь < +оо
618
Установим некоторые свойства Бета-функции В (а, Ь).
1. Положим в(1) х = 1 -1. Тогда
1
B(a,b) = Jr*"1 (1 - f)a~ldt = B(b,a). (2)
о
Видим, что Бета-функция — симметричная функция.
2. Пусть b > 1. Применяя формулу интегрирования по час-
тям, находим
1 1 (ra 1
В (a, b) = f Xе-1 (1 - x)b~xdx = J (1 - — =
о о Iа >
Так как ха = ха 1 - ха *(1 - х), то будем иметь
А _1 1 А - 1
В(о, Ь) = —- Г х0-1 (1 - x)b~2dx - —- (х"’1 (1 - х)*-1 dx =
° ? ° У
=В(а,5-1) =В(а,Ь)
6 “ 1 z f Ь — 1 Л / .ч
=-----В(а, 6-1)-------В (а, 6),
а а
откуда
B(a,Z>)= -АЗ-1 В(а,/>-1). (3)
а + о -1
Так как функция B(o,Z>) — симметричная, то при а > 1 будет
справедлива формула
В(а,Л) = -^Ц-Л(а-1,д). (4)
а + и -1
Формулы (3) и (4) можно применять для “уменьшения” аргу-
ментов, чтобы сделать их, например, меньше единицы. Если
b = п, где п — натуральное, >1, то, применяя формулу (3) повтор-
но, получим
г>/ \ «-I t>/ i\ «“I «-2
В(а,п) =---------В(а,п - 1) =----------------В(а,п - 2) = ... =
а + п-1 а + п-1 а + п-2
619
—— -------—-------—— •... • —— В (а, 1)
а+я-1 а+п-2 а+п-3 а+1
1
Но В (а, 1)= fxfl-ldxr = —
о а о
1 ГТ
= —. Поэтому
а
В(а,п) = В (л, а) =
1 • 2 • 3 •• (я - 2) • (я - 1)
а(а + 1)(а + 2)... (а + п - 2)(а + п - 1)'
Если еще и а = т, где т — натуральное, то будем иметь
в(тп)(«-!)!(я1 - 1) !(я -1)!
т(т + 1)(т + 2) ...(т + п-2)(т + п-1) (т + п-1)!
3. Получим для функции В(а,Ь) другое аналитическое выра-
у
жение. Для этого в (1) сделаем замену, положив х = —— (=>
х ч _ , 1 , dy
Н1+у)а"* (l + y)4-1 (1 + у)2
4. Отметим без доказательства, что если
О < а < 1 (а значит, и 0 < b < 1), то
В (а, 1 - а) = .
sin ла
Соотношение (6) будет установлено позже (в теории функций
комплексного переменного).
и, следовательно,
Т V0-1
b = 1 - а и если еще
(6)
§2. Интеграл Эйлера второго рода (Гамма-функция)
Так называется интеграл вида
Г(а) = 7х<’-' e~xdx. (1)
о
Покажем, что интеграл (1) сходится при а>0. Для этого
представим его в виде
620
jxa 1 • e Xdx = Jxa le Xdx + | xa ’e Xdx.
0 ? ......-> d________
-h =/2
1
Рассмотрим Л = jxa~le~xdx. Отметим, что I\ — собственный
о
интеграл, если а > 1, и несобственный, если а < 1 (особая точка
х = 0). Подынтегральная функция fix) = ха е х = —г—. Поло-
де °
жим г(х) = —Д-. Имеем lim = lime~x = 1 (конечный, * 0).
6 х-а *->og(x) х->0
1 1
Значит, jf(x)dx и jg(x)dt сходятся или расходятся одновре-
о о
1 1 dx
менно. Но j g(x)dx = j —сходится лишь тогда, когда 1 - а < 1,
о ох
т. е. когда а > 0.
-н»
Рассмотрим /2 = J xa~xe~xdx.
1
^д+1
Так как при любом a lim —— = 0, то существует число
Х->4-оо
к > 1, такое, что как только х > к, так сейчас же будет, напри-
ха+1 ха~1 1
мер, —— < 1. Но тогда при х > к будет----< —=- при любом а.
ех ех х2
Известно, что J -у сходится. Значит, и J xa~xe~xdx сходится при
к х к
любом а. Следовательно, сходится при любом а и несобственный
интеграл /2.
Общий вывод. Интеграл (1) сходится, если а > 0, и расходится,
если а < 0. Областью определения функции Г(а) является про-
межуток (0, + оо) .
Установим некоторые свойства функции Г(а).
1. Г(а) > 0, а е (0, +оо).
Это следует из выражения (1) для Г(а).
621
2. Рассмотрим произведение а Г(а). Имеем
а Г(а) = a j xa~le~xdx = a j e~xd — .
о о I а)
Применяя формулу интегрирования по частям, получим
=0
=Г(а+1)
откуда
Г(а + 1) = а • Г(а). (2)
Равенство (2) выражает так называемое основное свойство
Гамма-функции. Пользуясь (2), получим при натуральном п и
положительном а(0<а<1)
Г(и + а) = (п + а - 1) Г(л + а -1) =
= (п + а -1)(п + а - 2)Г(л + а - 2) = ... = (3)
= (п + а - 1)(« + а - 2)(п + а - 3) •... • а Г(п).
Таким образом, значение Гамма-функции от аргумента п + а,
большего единицы, можно выразить через значение Гамма-функ-
ции от аргумента а, меньшего единицы. Поэтому таблица значе-
ний Гамма-функции обычно дается лишь для значений аргумента
между нулем и единицей.
В частности, если в формуле (3) взять а = 1 и принять во
внимание, что Г(1) = Je~xdx = - е *|0 = 1, то получим
Г(л +1) = «(« - 1)(п - 2) ...21 = «!.
Таким образом, на Гамма-функцию можно смотреть как на
обобщение понятия факториала натурального числа: Гамма-функ-
ция является продолжением функции а!, определенной только для
целых положительных а = 1, 2,3,... , на всю полуось а>0 веще-
ственных чисел.
3. Покажем, что между Бета-функцией и Гамма-функцией
существует следующая связь:
622
-к»
Для этого рассмотрим Г(а + />)=]" xa+z’"1e_Jtdr. Сделаем
о
в интеграле замену переменной, положив х = (1 + u)z, где и —
произвольное положительное число. Получим Г(а + Ь) =
= (1 + u)a+b J za+b ie~ii+")zdz, откуда
о
Г(а+.ь\ = 7z^^e-^^dz.
(l + «)fl+A о
Умножим обе части последнего равенства на иа~1 и проинтегри-
руем по и от 0 до +°°:
..0-1
Г(а + г>)[ и ;
Jo(l+«r+A
du = j fzb(uz)a le ze uzdz du.
ol 0 >
Ho j—-----(см- §1> формула (5)). Следовательно,
предыдущее соотношение может быть записано в виде
Г(а + Ь) -Ъ(а,Ъ)
= j jzb(uz)a le ze uzdz du.
ol о )
В повторном интеграле, стоящем в правой части, переменим
порядок интегрирования.
Здесь следует отметить, что мы (при определенных условиях)
установили право переставлять два интеграла, из которых лишь
один распространен на бесконечный промежуток. Оправдывать
такую перестановку в случае, когда оба интеграла берутся по
бесконечному промежутку, значительно сложнее. Обоснование воз-
можности перемены порядка интегрирования в нашем повторном
интеграле интересующийся может найти в книге Л.Д. Кудрявцева
“Курс математического анализа”, т. 2, 1981.
Поменяв порядок интегрирования, получаем
Г(а + Ь) В(а,Ь)
623
Во внутреннем интеграле делаем замену uz = v:
Г(а + Ь) • B(a,i) = fz* z
о
j(v)e le Vdv dz =
о ,
= f Zb~le~zr(a)dz = Г(а) • Г(Ь),
о
откуда
B(a,Z>) =
Г(а)Г(д)
Г(а + Ь) '
В частности, В (a, 1 - a) = . TQ—21 = r(a) • Г(1 - a). Если
О < а < 1, то отсюда получаем
Г(а) • Г(1 - а) =•. (5)
sin ла
Формула (5) носит название формулы дополнения.
Пусть а = 1/2 . Из формулы (5) находим Г2| 4 | = —= л
V 2 J sin (л/2)
и, следовательно,
г(£)=^- (6)
Пользуясь соотношениями (3) и (6), получаем для любого п е N
(2и - 1)(2и - 3)(2и - 5)...3 • 1 г (2и-1)!! г
=------------------------------yin = ---------• V Л .
2" 2я
4. Функция г(а) непрерывна на промежутке (0, + ~).
Возьмем любую точку а0 > 0. Всегда можно указать проме-
жуток [с,d] (0 < с < d < +~), такой, что с < а0 < d .
Представим Г(а) в виде
Г (а) = j xa~le~xdx = j xa~le~xdx + j xa~le~xdx = I\(a) + J2(a) •
0 .° .1
624
Рассмотрим Zj(a) = jxa ’e Xdx. Имеем:
о
1) f(x,a) = xa~l 2e~x непрерывна в области
О < х < 1,
с < а < d;
1 1
2) j f(x,a)dx - jxa~le~xdx сходится равномерно относитель-
о о
но а на промежутке
В самом деле, для 0 < х < 1: ха < хс => умножив обе части
1 1
этого неравенства на --- (> 0), получим х е~х < х е~х (для
х
1
0 < х < 1 и для с < а < d). Но интеграл j xc~xe~xdx сходится, если
о
с > 0. А тогда по признаку равномерной сходимости несобствен-
ных интегралов, зависящих от параметра, интеграл 1\(а) =
1
= Jxa~le~xdx сходится равномерно относительно а на [с, d]. Сле-
о
довательно, функция Ц(а) непрерывна на [c,J] => 1х(а)
непрерывна в точке а0.
Рассмотрим I2(a) = [ ха le~xdx.
„ 1
Имеем:
1) f(x,a) = ха х непрерывна в области
1 < х < +«»,
с < а < d;
4-СО 4-00
2) J f(x,a)dx = jxa-1e“x6tv сходится равномерно относитель-
1 1
но а на промежутке [с, d\.
В самом деле, для 1 < х <+«»: ха < xd => xa~le~x < xd~1e~x.
н»
Так как интеграл jxd~le~xdx сходится для любого конечного d,
1
н»
то 12(a) = jxa~le~xdx сходится равномерно относительно а на
1
625
[c,J]. Следовательно, функция Ща) непрерывна на fc,d],
в частности, /2 (°) непрерывна в точке а0. Так как 1\{а) и Г2(а)
непрерывны в точке а0, то Г(а) = Zt(a) + Z2(a) непрерывна
в точке а0. У нас а0 — любая на промежутке (0, + ~). Значит,
Г(а) непрерывна на промежутке (0, + °°) • 4
5. Г(а) ~ 1/а при а -» +0.
В самом деле, запишем соотношение (2) в виде
Г(а + 1) = Н^
1/а
и перейдем к пределу при а —> +0. В силу непрерывности Гамма-
функции в интервале (0, +°°) lim Г(а +1) = Г(1) = 1. Значит,
о->+0
.. Г(а) , . 1
и lim —= 1, а это означает, что Г(а) — при а —> +0, т. е. при
в-»+о 1/а а
приближении а к +0 Г(а) ведет себя как эквивалентная ей беско-
нечно большая положительная величина 1/а.
6. Функция Г(а) имеет в интервале (0, +°°) производные всех
порядков, причем
Г(л)(а) = jxa~le~x(\nx)ndx. (7)
о
Установим существование первой производной функции Г(а)
и равенство
Г'(а) = J xa~le~x In х dx. (8)
о
Возьмем любую точку а0 > 0. Всегда можно указать промежу-
ток [c,d] (0 < с < d < +~) такой, что будет с < а0 < d. Имеем:
1) f(x,a) = ха~1е~х и /а'(х,а) = ха-1е"х 1пх непрерывны в об-
ласти
0 < х < -к»,
с < а < d.
626
н» +оо
2) j f(x,a)dx = jxa~le~xdx сходится в промежутке [c,d].
о о
ч-оо 4-00
3) Покажем, что j f'(x,a)dx = [xa~le~x Inxdx сходится рав-
o о
номерно относительно а на промежутке [с, d].
Имеем
j fa(x,a)dx = fx^e'* In xdx + |хй-1е_х Inxdx.
О О 1
1
Рассмотрим |хй-,е_х Inxdx .
о
Так как 0 < х < 1, с <а <d, то ха~1е~х < хс-,е-х (см. пункт 4) =>
ха~1е~х 1пх > хс~1е~х 1пх, ибо 1пх < 0 для х е (0,1]. А тогда
26 <о
|х0-1е-х Inxl < |хс-1е"х 1пх| = - xc~le~x In х.
20
Так как е~х < 1 для х е (0,1], то |xe-1e_x In х| < -хс~11пх. Имеем
1
- Jxc-1 Inxdx =
о
и = In х => d« = —
х
dv = xc-,dx => v = -xc
c
=0
Мы знаем, что J —ру сходится, если 1 - с < 1, т. е. если с > 0.
о
Следовательно, по признаку равномерной сходимости несобствен-
ных интегралов, зависящих от параметра, заключаем, что интеграл
1
fxfl-1e-x Inxdx сходится равномерно относительно а на проме-
о
жутке [c,d].
627
Рассмотрим теперь jxa le х Inxdx.
i
Для l<x<+«, c<a<d имеем: ха~}е~х < xd~le~x =>
ха“1е_х In x < xd-1e~x In x, ибо Inx > 0 для x e[l, +«). Имеем:
d-i _r , d -x Inx .. Inx Л
x e Inx = x e -------. Так как lim-------= 0. то существует
x x-»+- x
~ z 14 ~ Inx ,
точка x (> 1) такая, что для х > х :-< 1 и, следовательно, для
х
х > х : xd~le~x In х < xde~x. Так как j xde~xdx сходится при лю-
X
-к»
бом конечном d, то сходится интеграл Jxd~le~x Inxdx, а значит,
X
сходится j xd~le~x In х dx. А тогда по признаку равномерной схо-
1
димости несобственных интегралов, зависящих от параметра,
-к»
заключаем, что |х4~*е"* Inxdx сходится равномерно относи-
1
тельно а на промежутке [c,J]. Таким образом, окончательно
-н»
приходим к выводу, что интеграл jxa~le~x Inxdbc сходится рав-
0
номерно относительно а на промежутке [с, d].
Значит, Г'(а) существует для любого а е [с, d}, в частности,
существует Г'(а0). Так как точка а0 — любая (а0 > 0), то заклю-
чаем: Г'(а) существует для ое(0, +°°), причем Г'(а) =
= Jxfl-1e-x Inxdx. Формула (8) доказана,
о
Доказательство равенства (7) проводится с помощью анало-
гичных оценок по индукции.
Теперь мы в состоянии составить себе представление о харак-
тере поведения Гамма-функции в интервале (0; +«).
628
Имеем Г"(а) = fx° le X(lnx)2dx.
о
Ясно, что Г"(а) > 0, и поэтому Г'(а)
строго возрастает в (0; +°°). Так как
Г(1) = Г(2) = 1, то по теореме Ролля в
интервале (1, 2) лежит точка с, такая, что
Г'(с) = 0. Следовательно, Г'(а) < 0 при
О < а < с и Г'(а) > 0 при с < а < +~.
Значит, сама функция Г(о) строго убы-
Рис. 14.2. График
функции у = Г(д)
при а>О
вает в интервале (0, с) и строго возрастает в интервале (с, +~).
При этом lim Г(д) = +~ и lim Г(а) = lim Г(л) = -н». В точке
а->+0 л->+«»
а = с функция г(а) достигает своего наименьшего значения.
Можно показать, что с ~ 1.462; Г(с) = 0.886. График Гамма-функ-
ции представлен на рис. 14.2.
Замечание 1. Пользуясь основным свойством (2) Гамма-функ-
ции и опираясь на определение (1) этой функции при положи-
тельных значениях аргумента а, можно определить Гамма-функ-
цию и для отрицательных значений аргумента. В самом деле,
запишем формулу (2) в виде
Г(д) = Г(а + . (9)
а
Из (9) видим, что, зная значение Гамма-функции при каком-
нибудь значении аргумента, можно вычислить ее значение при
аргументе, уменьшенном на единицу. Для этого нужно прежнее
значение функции разделить на уменьшенное значение аргумента.
Если взять а, удовлетворяющее неравенствам -1 < а < 0, то
в правой части (9) Г(д +1) будет функцией от положительного
аргумента, значение которой определено формулой (1), а в левой
части (9) Г(а) будет функцией от отрицательного аргумента. За
значение Г(д) при а из промежутка (-1,0) принимаем значение
Г(д +1)
а
в соответствии с формулой (9). Так, например,
629
Если теперь взять а, удовлетворяющее неравенствам
-2 < а < -1, то правая часть формулы (9) будет содержать значе-
ния Гамма-функции при аргументах из промежутка (-1,0), уже
определенные нами выше. Это дает возможность по формуле (9)
определить значения Г(о) при -2 < а < -1. В силу этого опреде-
ления будем иметь, например:
Определив теперь значения Гамма-функции в промежутке
(-2, -1), мы, пользуясь формулой (9), сможем определить ее
значения в промежутке (-3, - 2), и т. д. Так мы можем опреде-
лить значения Гамма-функции при любых отрицательных не
целых значениях аргумента а.
Выше было отмечено, что Г(+0) = lim Г(а) = -к». Из формулы
/л\ о->+0
(9) находим, что
Г(а +1)
Г(-0) = hm —---------- =
а-»-о а
Пользуясь этой же формулой (9), находим, что
Г(-1 + 0). lim
Г(-1-0) = lim = M =
fl_>-i-o а -1
Г(-2 + 0) = lim Г(д + 1) = H-l + O) =
a->-2+0 a -2
Г(-2-0)= lim Г(д + 1) = П-1-0) = _~
a-»-2-0 a - 2
630
и т. д. Обычно это выражают словами так: Гамма-функция при нуле
и при целых отрицательных значениях аргумента обращается
в бесконечность (см. рис. 14.3).
Замечание 2. Введенная в этом параграфе неэлементарная фун-
кция Г(а) играет в математике важную роль. Для функции Г(а)
составлены подробные таблицы, и при вычислениях она может
использоваться наравне с простейшими элементарными функция-
ми — показательной, тригонометрическими и т. д.
Оказывается, что определенные интегралы различных типов
могут быть выражены через Гамма-функцию. В частности,
к таким интегралам нередко приводят задачи, связанные с вычис-
лением площадей и объемов. Даже если функция имеет первооб-
разную, являющуюся элементарной функцией, интеграл от этой
функции зачастую целесообразно вычислять, используя Гамма-
функцию.
§3. Примеры
1
Пример 1. Вычислить I = jхй-1(1 - xc)*-1dx (а > О, b > 0, о 0).
° 1
Ь Положим хс = t => схс ldx = dt => dx = - t c dt. Тогда
r c
631
1 1 Д-1 1-С | 1 fl]
/ = -р c t c (1-06-1Л = -1> (l-t)b~ldt =
co co
iMw)
= -b(-, = - • -Ц2---- .
c U J c rf- + Z>l
le J
Важно подчеркнуть, что здесь a, b, с — любые вещественные
положительные числа, а значит, вообще говоря, неопределенный
интеграл Jxe-1(l - xc)b~ldx является неэлементарной функцией.
Известно, что даже в случае, когда а,Ь,с — рациональные числа,
этот неопределенный интеграл является элементарной функцией
„ , а а .
лишь тогда, когда по крайней мере одно из чисел Ь, —, — + b —
с с
целое.
я/2
Пример ^.Вычислить I = J sin"-1 х cos6'1 xdx (а > 0, > 0).
о
Запишем этот интеграл в виде
। я/2
I = — jsin"'2 х • cos6-2 х • 2sinxcosxt& =
2 о
I я/2 fl-2 b-2
=ips1"2*)2 H2*)2
Положим sin2 x = t => 2sinxcosxt/x = dt. Тогда
В частности, при b = 1 будем иметь
632
Важно подчеркнуть, что и в этом примере а,Ь — любые
вещественные положительные числа, а значит, неопределенный
интеграл |sine-1 х • cos4-1 xdx является, вообще говоря, неэле-
ментарной функцией. 4
Пример 3. Вычислить I = Г .
о 1 + хп
- 1 --1
Ь Положим х = t => х = tn и dx = — tn dt. Следовательно,
r л
к» ^a-\
Мы знаем, что В (a, b) = j ——dt. Значит, в нашем примере
1 = а + Ь,
откуда а = — и 6=1-—. Имеем, таким образом,
п п
/...
п I п п) п . ( 1) sin 1
v z Sin I 71 • — I
k n)
, если 0 < a < 1). 4
(так как В (a, 1 - a) = —
sinno
+°° In
Пример 4. Вычислить I = J------j-abc.
о 1 +
- 1 -- 1
Положим x3 = t => x = t3, dx = ^t 3dt и Inx = -Inr. Тогда
, i
9 1 1 + 1
633
Введем в рассмотрение В (а, 1 - а) = J--dt (0 < а < 1). Име-
о 1 +
ем f = sin па ‘ Продифференцируем обе части последнего
_ ^t 1 • Inf 2 cos ла
равенства по а. Получим I—;------dt = -л-----=—.откуда при
о 1 +1 sin ла
2
а = — находим
2л
7° t 3 • In t .. 2
—--------dt = -nl
{ 1 + r
cos— 0
3 = 2 2
. 2 2л 3
Sin —
3
T T 1 2 2 2 2 л
Тогда I = -• -л = —л . <
Глава 15
РЯДЫ ФУРЬЕ. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ
§1. Тригонометрические рады
Определение. Две функции f (х) и g(x), заданные на проме-
жутке [а, Ь], называются взаимно ортогональными на этом проме-
жутке, если
ь
J/(*) -g(x)dx = Q. (1)
а
Лемма 1. Если п — целое число, то
я
j sin nxdx = 0.
-Я
Если п = 0, то (2) очевидно.
Если п * 0, то
, cosих" л
sin пх ах =--------= 0.
Лемма 2. Если п * 0 — целое число, то
Я
fCOSHX4& = 0.
-я
я
-я
. 7 , sin их
J COS ИХ Л =-----
Теорема 1. Любые две функции системы:
1, cosx, sinx, cos2x, sin2x, ..., cosnx, sin их, ... (T)
взаимно ортогональны на промежутке [-л, л].
635
1) Ортогональность 1 и sinкх (к = 1, 2,...) на промежутке
[-л, л] доказана в лемме 1.
2) Ортогональность 1 и coskx (Л = 1, 2,...) на промежутке
[-л, л] доказана в лемме 2.
3) Ортогональность cospx и cos до (р = 1,2,... ; q = 1, 2,... ;
р * q) на промежутке [-л, л] следует из того, что
cos рх • cos до = —[cos(p - q)x + cos(p + #)x],
и из леммы 2.
4) Ортогональность sinpx и sin до (р = 1,2,... ; q = 1, 2,... ;
р * q) на промежутке [-л, л] вытекает из того, что
sin рх • sin qx = — [cos (р - q)x - cos (p + <?)x],
и из леммы 2.
5) Ортогональность sin рх и cos до (р = 1,2,... ; q = 1, 2,... )
на промежутке [-л, л] следует из того, что
sin рх cos qx = [sin (p + q)x + sin (p - #)x],
и из леммы 1. ◄
Теорема 2. Если п = 1,2,... , то справедливы формулы
Я я
J cos2 nxdx = J sin2 nxdx = л .
-я -я
(4)
. f 2 j fl+cos2nx . If, 1 Г о Л
1) [cos nxdx = J------dx = —[<&+ — Jcos2nxdx =л.
-я 2 2 _n
=0 (по лемме 2)
nx r • 2 . fl-cos2wx . 1 nf , 1 f - .
2) I sin nxdx = I------dx = —\dx- — I cos 2их ox =л.^
-я -я 2 _я 2 я
=0 (по лемме 2)
636
Теорема 3. Пусть функция <р (х) — периодическая с периодом
Т = 2л,т. е. <р(х + 2л) = <р(х), хе (-°°,+°°), и <р(х) интегрируема
на любом конечном промежутке. Тогда для любого конечного а
а+2п 2п
f<p(x)dx = j<p(x)dx, (5)
а О
т. е. интеграл от периодической функции, взятый по промежутку, длина
которого равна периоду этой функции, имеет одно и то же значение
независимо от положения промежутка на вещественной оси.
Имеем
а+2л 0 2п а+2п
|ф(х)дЬс = |ф(х)дЬс + |<р(х)<& + |ф(х)<&.
а .° .2я .
=Л =J2 =/3
В интеграле /3 сделаем замену, положив х = и + 2л . Получим
а а
/3 = |ф(« + 2n)du = jtp(u)du,
О =<p(w) О
а+2п 2п
т. е. J3 = -Jj. А тогда |ф(х)аЬс = J2 = j<p(x)dx.
а О
Следствие. В теоремах 1 и 2 промежуток [-л, л] можно заме-
нить промежутком [а, а + 2л], где а — любое конечное число.
Определение. Бесконечный ряд вида
А + (ах cosx + sinx) + (а2 cos2x + />2 sin2x) + ... +
(6)
+ (а„ cosnx + b„ sinnx) + ...
называется тригонометрическим рядом.
Теорема 4. Если функция f (х) задана на промежутке [-л, л]
и разлагается в этом промежутке в тригонометрический ряд,
сходящийся в [-л, л] равномерно, то коэффициенты А, ах, а2,
Ь2, ... этого ряда определяются однозначно.
По условию для всех х е [-л, л] имеем
/(х) = А + (ах cosx + Ь\ sinx) + (а2 cos2x + b2 sin2x) + ... +
(7)
+ (an cosnx + bn sinnx) + ...,
637
причем ряд, стоящий в правой части (7), сходится равномерно
в [-л, те]. Проинтегрируем обе части (7) по х от -те до те (так как
члены ряда (7) непрерывны и ряд (7) сходится равномерно
в [-я, те], то его можно почленно интегрировать). Получим, при-
няв во внимание леммы 1 и 2:
jf(x)dx = jAdx + 0 => J /(х) dx = А • 2я =>
—п -л -п
Л~//(х)<&. (8)
—п
Умножим обе части (7) на cosnx (это не нарушает равномерной
сходимости ряда (7) в промежутке [-я, те], ибо cosnx — функция
ограниченная) и проинтегрируем полученное равенство по х от -я
до те. В силу ортогональности системы (Т) на промежутке [-те, те],
в правой части исчезнут все члены, кроме одного. Будем иметь,
следовательно,
п п
j/(x)cosnxdx = fa„ • cos2 nxdx. = a„n =>
-n -n
1 n
a„ = — J/(x)cosnxdx (n = 1,2,... ) (9)
—Л
Аналогично, умножив обе части (7) на sin их и интегрируя по
х от -те до те, получим
1 п
bn = —J f(x)sinпхdx (n = 1,2,... ). (Ю)
—л
Итак, если функция /(х) на промежутке [-те, те] разлагается
в равномерно сходящийся тригонометрический ряд, то коэффици-
енты А, ап, b„ (п = 1, 2,... ) определяются однозначно соответ-
ственно по формулам (8), (9), (10).
Определение. Пусть /(х) е Л([-те, те]). Числа
I л । п 1 л
А = — Jf(x)dx, а„ = — j/(x)cosnxdx, bn= — J/(x)sinnxdx
—Л —Л —Л
638
(л = 1,2,... ) называются коэффициентами Фурье функции /(х),
а тригонометрический ряд (6) с этими коэффициентами называется
рядом.Фурье функции f (х) . Из доказательства теоремы 4 вытекает
следующая теорема.
Теорема 5. Если функция /(х) на промежутке [-л, л] разлага-
ется в равномерно сходящийся тригонометрический ряд, то этот
ряд обязательно есть ее ряд Фурье.
Замечание. Составить ряд Фурье можно для любой функции
/(х) е Л([-л, л]). Однако это вовсе не означает, что всякая такая
функция /(х) разлагается в ряд Фурье на промежутке [-л, л],
ибо составленный ряд может расходиться и может сходиться, но
не к /(х).
со
Если ряд А + У (ak cos kx + bk sin Ах) есть ряд Фурье для функ-
*=1
ции /(х), то пишут
/(х) ~ А + У (ак cosAx + bk sin Ах).
*=1
§2. Интеграл Дирихле
Лемма. Справедливо тождество
. 2п + 1
sin—-—а
— + cosa + cos2a + ... + cos ла =--—
2 ~ • а
2sin —
2
Положим S = у + cosa + cos2a + ... + coswa, откуда, умно-
_ ~ • а
жив обе части на 2 sin—, находим
2
S • 2sin— = sin— + 2sin—cosa + 2sin — cos2a + ... + 2sin—cos л a.
2 2 2 2 2
Ho 2 sin A cos В = sin (B + A) - sin (В-А). Поэтому
„ „ . a . a ( . 3 . aW . 5 . 3 A
S -2sin— = sm— + sin—a - sin— + sin—a -sm—a + ... +
2 2 I 2 2J I 2 2 J
639
f . 2n + 1 . In -1
+1 sin —-— a - sin —-— a
2
2
c o . a . 2n +1
S -2sin— = sin—-—a
2 2
=> если a * 2kn (к = 0, ± 1, ± 2,... ), to S =
. 2л+ 1
sm—-—a
2
2sin^
2
Итак, тождество (1) установлено для a * 2Ал (к = 0, ± 1, ± 2,...).
Оно верно и для a = 2кп,, если понимать его в этом случае
в предельном смысле. В самом деле, имеем:
fl ~ А 1 2л +1
1) hm — + cosa + cos2a + ... + cos ла = — + л = —-—
2 J 2 2
. 2л + 1 г ~, a
sin--------a замена: a = 2кл + p,
2) lim ---------2----=
a-»2fat 2sin— P—> 0, если a—>2kn
2 L
. 2л +1 _ 2л +1
sm-—— p
---— = Um
- • P ₽->o
2sin£
2
2
(_l)^+Dsin2« + lp
= lim------------------= lim
2 (-1)* sin |
2 P _ 2л +1
Пусть f(x) g Л([-л, л]). Составим для этой функции ее ряд
Фурье и рассмотрим частичную сумму Sn(x) этого ряда при
п
закрепленном х. Имеем S„(x) = А + ^(ак coskx + bk sin Ах). Под-
*=1
ставим здесь вместо А, ак, Ьк их выражения:
А = J f(f)dt\ ак = — J f(f)cosktdt\ bk = — j f(f)s\nktdt.
_ 71 _ 71 _
—it —it —it
Получим
1 " я 1 ”
5„(x) ~ у J f(f)dt + J f(t) (cos kt coskx + sin Ai sin kx)dt =$
271 -n k=ln-n
i " Г i n
=> S„(x) = - J/(/) + JcosA(/-x) dt.
n-n L2 *=i
in-
1
-It
640
1 п
По лемме, — + £cos£(/ - х) =
2 Л=1
. 2л +1 .
sm—— (t-x)
------- _-. Поэтому
2» I X
sin -
2
. 2л +1 .
sin—— (t-x)
f(t)---^7Тх-dt-
sin——
(2)
(2) — сингулярный интеграл Дирихле.
Обозначим через R2n класс функций, которые заданы в про-
межутке (-«; + «), интегрируемы в каждом конечном промежут-
ке и имеют период 2л.
Возьмем функцию f (х) е Л2я и преобразуем интеграл Дирих-
ле такой функции (т. е. преобразуем частичную сумму 5„(х) ряда
Фурье такой функции). Имеем
. 2л +1 .
sin—— (t-x)
f(t)----------dt.
sin д
Положим t = x + и (x закреплено, и — новая переменная). Тогда
"-х . 2л +1
, f sin—— и
Sn(x) = — I f(x + u)----—du.
2n J sin£
-Я-Х 2
В этом интеграле промежуток интегрирования имеет длину 2л
(л - х - (-л - х) = 2л); подынтегральная функция — периодиче-
ская с периодом 2л (это легко проверить). По теореме 3 предыду-
щего параграфа промежуток интегрирования [-л - х, л - х] мож-
но заменить любым промежутком, длина которого равна 2л. Так
что будем иметь, например,
« . 2л +1
1 Г sin—й—и
sn(x) = — I /(х + и)-2_—du.
2nJ sin£
—п 2
(3)
641
В интеграле (3) сделаем замену и = 2t{. Тогда
«/2
Л I sm q
-л/2
Разобьем интеграл (4) на два интеграла по схеме
я/2 я/2 О
J = г и.
-я/2 -п/2
=Л =Л
В интеграле /2 сделаем замену, положив Z] = -t2. Получим
J2 = | f(x-2t2)Sm^2n + i^ dt2 .
j ^2
0
Мы знаем, что переменную интегрирования можно обозначать
любой буквой. Поэтому можно написать, например,
п/2 п/2
у, . [/(l + 2У)*п(2п + 1)7л = f£,
J sin t J sin t
о о
и, следовательно, для 8„(х) будем иметь окончательно
$,(*) = -Т [/<* + 2Г>+ ~ 27>] • Sin(2W~1)Z<fr- (5)
Л о 1 J sin/
Итак, если функция f(x) е R2n, то частичная сумма 8п(х) ряда
Фурье этой функции выражается формулой (5).
Частный случай. Пусть /(х) = 1. Ясно, что /(х) е R2n, а пото-
му частичная сумма 5„(х) ее ряда Фурье, в силу (5), будет
выражаться так:
Л’ /х') = 1(2.
642
n
Но с другой стороны: S„ (x) = A + У (ak cos kx + bk sin kx), где для
jt=i
нашей функции f(x) = 1 будем иметь
i *
А =^~ [ЬЛ = 1;
2л \
—Л
о* =-fl cos&tf = О (Л = 1,2,...);
71 -n
bk =- flsinfa<ft = O (к = 1,2,...).
тг •
Значит, Sn(x) = 1. Таким образом, получаем
2 Ч2 sin (2и +1)7
л | sin 7
§3. Теорема Римана — Лебега
Теорема. Пусть функция у (0 е Я([о, />]). Тогда
ь
lim fy(Osintf<ft = O.
а
(6)
(1)
Возьмем е > 0 — любое, сколь угодно малое и разобьем
промежуток [а, А] точками а = Го < Г, < t2 < ... < /„ = b на столь
Л-1 g
малые части, чтобы оказалось: - tk) < —. Здесь cot —
к=0
колебание функции у (Г) на промежутке • (Так сделать
можно, ибо это — необходимое и достаточное условие интегри-
руемости функции v(0 на промежутке [а, £]•) Выбранный спо-
соб дробления промежутка [a, Z>] закрепим и менять не будем.
Тогда, в частности, закрепится и п. Наш интеграл
ь
J(z) = f V (0 sin zf dt запишется так:
а
643
n-Vk+l
J(z) = X J V (0 sin Zt dt =
*=0'*
= X /[v(0- v(U]sintf<ft+ Xv(^) /sinzrrfr.
*=° tt k=0 /t
Если t e [tk, tk+\ ], to |y (0 - v (tk )| < шк. Следовательно,
Но тогда
X /[ж<0 - V(r*)]sintftf < Х<®*(^+1 - tk) < 4-
lc=Otk *=0 2
огра-
4
е Л-1
Поэтому |^U)|< — + ХММ’ JsiHZfc#. Функция 1|/(0 —
2 к=0
ниченная в [a, ft], ибо v(0 е Л([а, ft]). Пусть М = sup|v(0| • Тогда
[в, *]
|у(^)| < М. Кроме того,
'*+1
J sin Л
'*
COS#fc - COS^+i
z
Значит,
л-1 4+1 7 д/
X|v(^)|- Jsinz/Л <------п
к=0 tk Z
(п — число слагаемых). Следовательно,
1 */ \i s 2^^ w—.
И (z)| < -z +-«• Пусть
lM 6
z0 столь велико, что при z > Zq оказывается:-п < — (М и п —
z 2
определенные числа). Но тогда при z > Zq будет |/(z)| < е. А это
означает, что lim J(z) = 0.4
Z->+oo
644
Замечание 1. Теорема Римана — Лебега допускает обобщение,
а именно.
Пусть функция у (0 определена в (а, ft], интегрируема
ь
в каждом промежутке [a, ft], где a<a<ft; интеграл ||у(0|Л
а
b
существует уже как несобственный. Тогда lim f y(/)sintf Л = 0.
Z->+oo *
Возьмем е > 0 — любое, сколь угодно малое. По условию,
ь ь ь
||у(0|Л сходится. Это означает, что lim j|v(O|^ = f|v(O|^,
а а а
ИЛИ ЧТО
b ь
J|y (0|Л - J|v(0|Л 0 при а -> а + 0 <=>
а а
<=> J|v (0| dt 0 при а->а + 0.
Последнее означает, что взятому е > 0 отвечает число а0
(а < а0 < ft), такое, что при всяком а, удовлетворяющем условию:
а
а < а < а0, будет: J|y (0| dt < —. Выберем и закрепим какое-ни-
а
будь а, удовлетворяющее условию: а < а < а0. Имеем
Ь а b
J(z) = J V (0 sin zt dt = Jу (t) sinztdt + J y(Z)sin#‘dft‘.
a a a
При всех z справедлива оценка:
jV(0sintf Л < f|у(0| • |sinzt\dt < ||у(Г)|Л < у.
a a a
Далее, функция у (f) интегрируема на промежутке [a, ft] в обыч-
ном смысле. Поэтому, по теореме Римана — Лебега:
ь
lim 1 у (г) sin ztdt = 0. А это означает, что взятому е > 0 отвечает
а
число Zq > 0, такое, что для всех z > Zq будет
645
b
J V (0 sin zt dt
a
И, следовательно, для всех z > Zq будем иметь |J(z)| < e . Последнее
означает, что lim J(z) = 0.
Замечание 2. При тех же условиях относительно функции
V (г) аналогичным образом устанавливается, что
ь
lim fv(Ocostf<fr = 0. (2)
Z->+oo J
a
Замечание 3. Пусть f(t) e Л([-л, л]). Тогда
а„ = — f f(t)cosntdt -> 0; b. =— Г/(Г) sin л/df -> 0,
Л * Л J
—71 —П
т. e. коэффициенты Фурье любой интегрируемой на промежутке
[-л, л] функции стремятся к нулю при неограниченном увеличе-
нии номера п.
Следствие из теоремы Римана—Лебега (принцип локализации).
Пусть функция f(x) е R2n. Мы знаем, что при любом закреплен-
ном х
S„(x) = -f [/(х + 27) + f(x - 27)1 • . (3)
Л J 1 J sin/
Пусть 0 < a < л (здесь a = const; а можно взять сколь угодно
малым). Представим правую часть (3) в виде суммы двух инте-
гралов:
ЗД = -f [/(* + - 27)] • sin(2w + 1)z^ + a„(x), (4)
п JQ L J sin/
где
, 4 iVr^z et a7\1 sin (2«+ 1)7 J~
a„(x) = - J /(x + It) + f(x - 2/)---. ~ at-
^a/2 Slnr
646
В промежутке
а л
2’2
функция sin t непрерывна и не обращается
в нуль. Значит, функция
/(х + 27) + f(x - 27) g JTo, л
sin 7 I 2 ’ 2
Но
тогда по теореме Римана — Лебега ая(х) -> 0. Так как число а
можно взять любым сколь угодно малым, положительным, то из (4)
следует так называемый принцип локализации.
Поведение ряда Фурье любой функции /(х) е R2n в закреп-
ленной точке х зависит только от значений, принимаемых функ-
цией f в любой сколь угодно малой окрестности точки х.
Иначе: если /(х) и g(x) — две функции, принадлежащие R2n
и совпадающие в промежутке [х - а, х + а] (0 < о < л), то в самой
точке х ряды Фурье этих функций ведут себя одинаково, т. е. они
или оба расходятся, или оба сходятся, и притом к одной и той же
сумме.
Пусть Sn(J,x) и Sn(g,x) — частичные суммы рядов Фурье
(соответственно функций fug) при закрепленном х. Тогда
„ ,, \ г/ sin(2л+ 1)7 .
Sn(f,x) = - J [/(х + It) + /(х - 2/)]-v-7--~ — dt + a„(x),
тг о J sm t
Sn(g,x) = - f [g(x + 27) + g(x - 27)] • + £ + pn(x)
nJ1 J sm t
Если 7 e 0, у , то точки x - 27 и x + 27 попадают в промежуток
[x - a, x + а] и, следовательно,
if [/(x + 27) + /(x - 27)] • sin(2” + 1)r<ff =
n Jo L J sin/
1 V r / птч / sin (2л + 1)7 j~
= - J [g(x + 2/) + g(x-2/)j----\ ~ ' dt .
TC 0 J sin/
А тогда S„(f,x) - S„(g,x) = a„(x) - p„(x). Ho a„(x) -> 0 ;
П—>°°
p„(x) -> 0. Значит, S„(f,x)-S„(g,x) -» 0. 4
§4. Проблема разложения функции в рад Фурье
Г. Пусть функция f(x) е R2n. Составим ряд Фурье функции
/(х) и рассмотрим частичную сумму Sn(x) этого ряда при
закрепленном х. Мы знаем, что
5„(х) = if [/(х + 2t) + /(х - 20] • sin<2” + 1)'<fr, (1)
п 1 sin/
1 = if 2 • sm<2” + 1>r J/ (2)
n Jo sin/
Пусть A — некоторое постоянное число. Умножим обе части (2) на
число А и вычтем из (1) соответствующие части получившегося
равенства. Получим
5„(х) - А = if [/(х + 20 + f(x - 2t) - 2А] sin (2л +. (3)
n Q sin/
Из (3) видно: для того чтобы ряд Фурье функции f в точке х схо-
дился и имел своей суммой число А, необходимо и достаточно,
чтобы было
1- V /(х + 20 + f(x - 20 - 2А . „ _
hm | —---------—Р------------sin (2л + \)tdt = 0. (4)
л-»« Jo sin/
Из обобщенной теоремы Римана — Лебега следует, что соотноше-
ние (4) заведомо выполняется, если только существует интеграл
Ч2 |/(х + 2/) +/(х - 2/) - 2Л|
о sin/
Так как sin t ~ t при t —> 0, то интеграл (5) существует, если суще-
ствует интеграл
”/2|/(х + 2/) + /(х-2/)-2Л|
J----------------------dt, или
о *
J|№w) + №-0-2^|rff (6)
о *
(здесь заменили 2t на /).
648
Таким образом, доказана теорема (признак Дини).
Признак Дини. Пусть функция /(х) е R2n. Если в некоторой
точке х оказывается, что существует интеграл
1r\f(x + t) + f(x-t)-2A\ л
JJ----------------------at, где А — некоторое постоянное чис-
о f
ло, то в этой точке х ряд Фурье функции f сходится и имеет своей
суммой число А.
Замечание 1. В признаке Дини вместо существования интег-
п а
рала | можно говорить о существовании интеграла J, где а > 0,
о п а О
ибо интегралы J и J сходятся или расходятся одновременно,
о о
7 |/(х + о + f{x - 0 - 2Л| J
Замечание 2. Интеграл JJ--------------------1 at не может
о *
существовать при двух различных значениях А.
Предположим противное, а именно, допустим, что наш
интеграл сходится при А = At и при А = А2, где А{ * А2. Имеем
Ai-A2 = f(x + t) + f(x-t)-2A2 f(x + t) + f(x-t)-2Al
t ~ 2t 2t
Hi - Л| < |/(* + 0 + f(x -t)- 2A2\ |/(x + 0 + f(x -t)- 2A j|
t “ 2t 2t
Если наше предположение верно, то получаем, что должен схо-
7|Л-А| ,
диться интеграл JJ------'-at, а это не так.
о *
Следствия признака Дини.
I. Пусть:
1) /(х)е/?2я;
2) /(х) имеет в некоторой точке х конечную производную f’(x).
Тогда ряд Фурье функции f в этой точке х сходится и имеет
своей суммой /(х) (т. е. в этой точке х наша функция f разлага-
ется в ряд Фурье).
Утверждение пункта I будет доказано, если показать, что
существует (т. е. сходится) интеграл
649
||/(х + 0 + /(х-,)-2/И|д р)
О t
Видим, что точка t = 0 есть единственная особая точка для
несобственного интеграла (7). (В этой точке подынтегральная
функция не определена.) Имеем
Пт /(x + Q + /(x-Q-2/(x) =
z->+o t
- -/w -/(J - - fix) - /W. 0 =,
=$ подынтегральная функция в (7) является ограниченной в правой
полуокрестности точки t = 0. Значит, несобственный интеграл (7)
сходится. 4
II. Пусть:
1) /(х)е4;
2) в некоторой точке х существуют конечные односторонние
производные /Дх) и /Дх).
Тогда ряд Фурье этой функции в упомянутой точке х сходит-
ся и имеет своей суммой /(х). (Значит, и в такой точке х наша
функция / разлагается в ряд Фурье.)
Как и в случае I, достаточно убедиться в ограниченности
. /(х +1) + /(х - 0 - 2/(х)
функции —------—в правой полуокрестности
точки t = 0. А это следует из того, что
lim /(* + 0 + /(* - Г) - 2/(х)
/->+0 t
/(x + Q-/(x) _ /(х - о - /(х)^ =
t -t J
= /Д*) - f-(x)
есть конечное число.
III. Пусть:
1) /(х)еЛ2я;
2) в некоторой точке х существуют следующие четыре конеч-
ных предела:
650
а)/(х + О), б)/(х-О),
.. f(x +1) - f(x + 0) f (х - f) - f(x - 0) o
в) hm —------——------ = a, r) lim —----——------ = 6.
7 f-»+0 t /->+0 -1
Тогда ряд Фурье этой функции в упомянутой точке х сходится
„ „ f(x - 0) + f(x + 0)
и имеет своей суммой —---- 2'''---- •
Как и выше, достаточно убедиться в ограниченности функ-
ции ^х + + + 0) ~ Л* ~ 0) в правой полуокрест-
ности точки t = 0. А это следует из того, что
цт Лх + 0 +Лх~0~ Лх + °)~ Лх~°) _
z-»+o t
lim(/(x + 0~/(x + 0) - Л^-р-Лх-ОП = а_ а
t -t J р
— конечное число.
2°. Случай, когда функция не является периодической.
В пункте Г мы предполагали, что функция /(х) — периоди-
ческая с периодом 2л. Откажемся теперь от этого предположения.
Основная теорема. Пусть функция f (х) задана в промежутке
[-я, л] и в каждой точке этого промежутка имеет конечную произ-
водную f'(x) (здесь уже f(x) g Rin). Тогда ряд Фурье функции
/(х) сходится в промежутке [-л, л], и его сумма 5(х) такова:
/(х), если х е (-л, л);
5(х) =
/(-*) +Л*)
2
(Теорема устанавливает разложимость функции /(х) в ряд
Фурье в промежутке (-л,л), а также сходимость этого ряда
в точках х = -л, х = л.)
Введем в рассмотрение вспомогательную функцию g(x),
определив ее на всей вещественной оси следующим образом:
g(x) = f(x), если х е (-л, л);
g(x + 2л) s g(x).
651
График функции у = /(х)
Рис. 15.1
Заметим, что функция g(x) е R2n. Поэтому к ней применима
вся предыдущая теория.
Отметим также, что ряд Фурье для функции g(x) совпадает
с рядом Фурье для функции /(х), ибо совпадают соответствую-
щие коэффициенты этих рядов. В самом деле, имеем, например,
1 it । я
an(g) = - fg(f) cos nt dt; a„(f) = - J f(t)cosntdt, n = 1,2,...
—я —n
У нас g(t) = f(t) в [-л, л). Отсюда заключаем, что a„(g) = an(j),
ибо изменение значения подынтегральной функции в одной точ-
ке не изменяет величину интеграла.
а) Возьмем любую точку х е (-л, л) и закрепим ее. Ясно, что
g(x) = /(х). Всегда можно указать окрестность точки х: w8(x)
такую, что «8(х) с (-л, л). Взятому х дадим приращение Дх —
любое, но такое, что Ах * 0 и точка х + Дх е w8(x). Имеем
652
g(x + Ax) - g(x) f(x + Ax) - f(x)
Ax Ax
=, lim 8<xtAx)-g(x) = Um /(x + Ax)-/(x) = f,M
Дх-»О Дх Дх->0 Дх
Отсюда заключаем, что существует конечная производная g'(x),
причем g'(x) = f'(x). А тогда, по следствию I признака Дини, ряд
Фурье функции g(x) (а значит, и функции /(х)) сходится
в точке х и имеет своей суммой g(x) (а значит, /(х)).
б) Пусть теперь х = п. Покажем, что в этой точке выполняют-
ся условия следствия III признака Дини. Действительно, имеем:
l)g(n-0) = lim g(0 = lim /(0 =/(л) существует, конечный;
2) g(n + 0) = lim g(0 = lim g(n + 0 = lim g(-n +1) = lim /(-л + 0 =
/->л+0 /—>+0 /—>+0 /->+0
= f (-л) существует, конечный;
3) g(7t+0-g(n+O) = g(4t+0-/(-<rc) = Цт/И+0-/(-л) =
’ Z-нО t Z-нО t Z-нО t
= /+'(-л) существует, конечный;
.. г ~ 0) г /(л - 0 - /(л) <,, ч
4) lim —------——------ = hm —------—= /_(л) существу-
z->+o -1 z-»+o -1
ет, конечный.
А тогда ряд Фурье функции g(x) (а значит, и функции /(х))
в рассматриваемой точке х = л сходится и имеет своей суммой
#(л - 0) + g(n + 0) /(л) + /(-л)
2 2
Совершенно аналогично устанавливается сходимость ряда
Фурье функции /(х) к сумме в точке х = -л. 4
Замечание 1. Если, в частности, /(-л) = /(л), то функция
/(х) разлагается в ряд Фурье в замкнутом промежутке [-л, л].
Замечание 2. Так как члены ряда Фурье есть функции перио-
дические с периодом 2л, то и его сумма 5(х) является периоди-
ческой с периодом 2л, т. е. S(x + 2л) = 5(х), х е .
653
Замечание 3. Основная теорема допускает следующее обобще-
ние (оно доказывается аналогичными рассуждениями).
Пусть f(x) е Л([-л, л]). Тогда:
1) в каждой точке х е (-л, л), в которой существуют четыре
конечных предела:
а)/(х-0), б)/(х + 0),
в) „Л»»-/!»!)), Um Лх - о- Лх- 0),
/->+0 t /-»+0 -1
ряд Фурье функции /(х) сходится и имеет своей суммой:
/(х-0) + /(х + 0)
2
2) ряд Фурье функции /(х) сходится в точках х = -л, х = л
/(-л + 0) + /(л - 0)
к сумме —------' -----, если существуют четыре конечных
предела:
а)/(-л + 0), б) /(л-0),
.) ИтЛ-^0-Л-^0), г) ,1п1Л»-»-Ля-0)
<->+0 t t-t+o — t
Заметим, что если точка х е (-л, л) является точкой непрерывнос-
ти функции /(х), то в этой точке /(х - 0) = /(х), /(х + 0) = /(х)
и, следовательно,
/(х - 0) +/(х + 0) _
Пример. Пусть
0, если х е [-л, 0);
/(х) = • 2, если х = 0;
1, если х е (0, л].
Видим, что /(х) с /?([-л, л]). Найдем коэффициенты Фурье этой
функции.
654
-п
\-п
। л 1^0 я
а„ = — jf(x)cosnxdx = — J0-cosnx<& + Jl cos nxdx = 0,
71 -n Л1-я 0 ,
л = 1,2,... ;
Iя 1Г о я
b„ = — (f(x)sinnxdx = — JO - sin их etc + [1 • sinnxdbc =
n-n n 1Л о )
—— cos пх
пп
о n7t
О, если п- четное;
йп= 2
—, если и-нечетное.
,пп
Получаем, следовательно:
1) Для x e (-л, 0) U (0, л):
. 1 2 Г sin х
/(Х)"2+^ И"
sin Зх sin 5х
+ ^Г“ + —Г“ +
sin (2л - 1)х
2л -1
АУ
Рис. 15.3. График функции у = S(x)
655
2) Сумма 5(х) ряда Фурье в точке х = О
е/АЧ . /(~0) + /(+0) 0 + 1... 1
( ' 2 2 2
3) Сумма S(x) ряда Фурье в точках х = -л; х = л
5(±„) = Zt2)±Z« = 0±l
£
2 ’
§5. Роды Фурье четных и нечетных функций
I. Пусть /(х) е Л([-л, л]) и /(х) — четная. Найдем выраже-
ния для коэффициентов Фурье в этом случае. Имеем
Iя Iя
А=2п! Щ}*1* = п / <0
-л четн. О
1 п п
ап=—j f(x)-cosnxdx = —jf(x)cosnxdx, n = l,2,..., (2)
-л четн четн о
четн
1 П
Z>„ = — J f (х)-sin nxdx = 0, n = l,2,... (3)
-л/четн. нечетн.
нечетн.
Таким образом, доказана теорема.
Пусть:
1) /(х) G /?([-Л, л]) ,
2) f (х) — четная.
Ряд Фурье такой функции не содержит синусов кратных дуг, т. е.
/(х) ~ А + ^а„ сosих,
Л = 1
причем коэффициенты А, ап (п = 1, 2,...) можно вычислить по
формулам:
А = — J f(x)dx', ап = —J f(x)cosnxdx.
п О п о
656
П. Пусть /(х) е /?([-л, л]) и /(х) — нечетная. Для коэффи-
циентов Фурье функции f (х) в этом случае будем иметь
1 л
A = /(£)^=°, (4)
-л нечетн.
я
оя=—J /(x)-cosnxdx =0, л = 1,2,..., (5)
-л нечетн. четн
нечетн.
Iя 2п
bn=—j f(x)-sinnxdx = —jf(x)sinnxdx, n = l,2,... (6)
-п нечетн. нечетн. о
чета.
Следовательно, доказана теорема.
Пусть:
1) /(х)е/г([-л,л]),
2) /(х) — нечетная.
Ряд Фурье такой функции не содержит свободного члена и коси-
нусов кратных дуг, т. е.
/(*)~ j^sinnx,
Л = 1
причем коэффициенты Ьп (л = 1, 2,... ) можно вычислить по формуле
2 *
b„ = —f /(x)sin«x<&.
яо
Пример 1. Пусть /(х) = х, хе [-л, л]. Видим, что для этой
функции выполнены условия основной теоремы. Кроме того,
замечаем, что /(-х) = -/(х), т.е. /(х) — нечетная. Поэтому
И = 0; ап =0 (л = 1,2,... );
Л _ Л
2 г 2 г 2
bn =— xsinnxdr =-----xdcosnx =------
" nJ nnJ nn
о о
n
XCOS лх| Q -1 cos nx dx
p
=0
657
= ——n cos mt = -—• (-1)" = (-l)n+1 • —.
mt n n
Получаем, следовательно:
1) Для x e (-л, л):
„ f sinx sin2x sin3x . ,.„+1 sin их A
x = 2- —--------— + —-------... + ("1)---------+ ••• •
V 1 2 3 n )
2) Сумма S(x) ряда Фурье в точках х = -л; х = п равна:
Изобразим графически у = х и у = 5(х).
1\У КУ
Рис. 15.5. График
функции у = /(х)
Рис. 15.4. График
функции у = $(х)
Пример 2. Пусть /(х) = х2, хе [-л, л].
Видим, что для этой функции выполнены условия основной
теоремы. Замечаем, далее, что /(-х) = fix), т. е. /(х) — четная.
Поэтому Ьп = 0 (л = 1, 2,... ).
1 * W2
А = — fx2dx = —.
«I 3
2Я 2Я
а„ =— \ х2 cosnxdx =— fx2rfsinnx =
" nJ nnJ
о о
— x2sinnx -2fxsinnxdx
nn Io J
L----,-- о
= 0
658
4 f . 4 .л f . 4cosmt , n„ 4
= —»—] xacosnx = —=— xcosnx|0 - cosnxax =----=— = (~1) •—г
nnJ0 nit Jo n n
=o^
(« = 1,2,...).
Получаем, следовательно,
+ + (7)
n )
Отметим, что равенство (7) верно для всех х е [-л, л], ибо
/(-*) = /(*)•
Изобразим графически у = х2 и у = S(x).
2 л2 . (cosх cos2x cos3x
X= — - 4 • —5----=— +--=—
3 ll2 22 32
Рис. 15.6. График
функции у = S(x)
Рис. 15.7. График
функции у = f(x)
Положим в равенстве (7) х = л. Получим
2 Л2 / 1 1 1 1
3 u2 22 З2 п2 J
У 1 л2 л2 л2
п~~6-
Итак,
111 1 л2
I2 22 З2 п2 6
Найдем сумму ряда
111 1
-X- 4 х- 4 х- + ... 4--------------х- 4- ...
I2 З2 52 (2л -1)2
(8)
(9)
659
Для этого подсчитаем сначала сумму ряда
111 1
—X" + —+ —Х“ + ... Н------------------х- + ...
22 42 62 (2л)2
Имеем
111 1
—X- Н х- + —х- + ... Н----------------X- + ... =
22 42 62 (2л)2
(Ю)
_lf_i_ 1 1 1
’ 4ll2 + 22 + З2 + + л2 + " 4 ' 6 ’ 24 '
Но тогда
1 1 1 1 л2 л2 _ л2
I2 + З1 + ? + " + (2л -1)2 + " " “б" 24"Т
§6. Разложение в ряд Фурье функции,
заданной в “неполном” промежутке
Пусть функция f (х) задана в промежутке [а, л], где
-л<а<л, непрерывна там и имеет конечные /+'(х), /_'(х).
Выберем произвольную функцию g(х), заданную в промежутке
[-л, о), непрерывную там и имеющую конечные g'+(x), gi(x).
Пусть, кроме того, функция g(x) такая, что существуют конеч-
ные пределы: g(a - 0) = lim g(x); lim ————. Введем
x->a-0 x-»a-0 X - a
в рассмотрение “составную” функцию F(x), положив
F(x) =
f(x), если x e [а, л],
g(x), если x e [-л, a).
(1)
К функции F(x) уже применима предыдущая теория (основная
теорема и ее обобщение). Согласно этой теории, для всех
х е[-л, л], кроме, быть может, точек х = а, х = -л, х = л, будет
F(x) = А + У (а„ cos лх + b„ sin лх). (2)
п-\
660
Рис. 15.8. График функции у = F(x)
В частности, для всех х е (а, л) будет
/(х) = А + £ (а„ cos пх + b„ sin пх) (3)
Л=1
(ибо F(x) = f(x), хе (а, л)). Отметим, что согласно той же тео-
рии, ряд, стоящий в правой части (3), сходится и при х = а и при
х = л, причем сумма его 5(х) в этих точках такова:
эд _ +
(/(х) задана и непрерывна справа в точке х = а),
sW = s(-n)^w.
Следует иметь в виду, что в правой части равенства (3) стоит ряд
Фурье функции F(x). Поэтому
1 я
bn =— J F(x)sin nxdx =
л
а п
J g(x) sin пх dx + j /(х) sin пх dx
.-я а
я = 1,2,...
(4)
661
Замечание 1. Если “дополнительная” функция g(x) такая, что
g(a - 0) = f(a), g(-n) = f(n), то разложение (3) будет верно во
всем замкнутом промежутке [а, л].
Замечание 2. Из формул (4) видим, что коэффициенты
А, а„, Ь„ (л = 1,2,... ) в ряде (3) зависят от g(x), a g(x) —
произвольная функция. Поэтому существует бесчисленное мно-
жество тригонометрических рядов, представляющих нашу функ-
цию f (х), заданную в “неполном” промежутке (напомним, что
для функции /(х), заданной на промежутке [-л, л], есть только
один тригонометрический ряд, равномерно сходящийся, пред-
ставляющий /(х), — это ее ряд Фурье).
Рассмотрим случай, когда а = 0.
I. В этом случае можно, в частности, положить
g(x) = f(-x), х е [-л, 0). (5)
При этом будет
g(-0) = /(0); g(-n) = f(n). (6)
При таком выборе “дополнительной” функции g(x) “составная”
функция F(x) оказывается четной и будет, следовательно, разла-
гаться в ряд Фурье по косинусам. Принимая во внимание замеча-
ние 1, будем иметь для всех х е [0, л]:
/(х) = А + ^a„cosnx, (7)
Л = 1
причем здесь
А = — [Г(х)<& = — \f(x)dx,
ло "о
ап = — jF(x)cosnxdx = — |/(x)cos/ix<&, п = 1, 2,... ,
п о п о
так как F(x) = /(х) для х е [0, л].
Рис. 15.9. График функции у = F(x)
662
II. В случае, когда а = 0, можно также, в частности, положить
g(x) = -/(-х), х е [-л, 0).
При таком выборе “дополнительной” функции g(x) “составная”
функция F(x) будет разлагаться в ряд Фурье по синусам. Это
разложение будет справедливо, вообще говоря, лишь для
х е (0, л), т. е. получим
f (х) = X bn sin пх, хе (0, л), (8)
Л=1
причем здесь
bn = —fF(x)sinMxdx: = — j f(x)smnxdx.
71 о 71 о
Ряд, стоящий в правой части равенства (8), сходится и при х = 0
и при х = л. Его сумма 5(х) в этих точках равна нулю. Заметим,
что если функция f (х), заданная на промежутке [0, л], такая, что
/(0) = 0 и /(л) = 0, то разложение (8) будет верно в замкнутом
промежутке [0, л]; если же /(0) = 0, а /(л) # 0, то разложение
(8) будет верно в [0, л).
Рис. 15.10. График функции у = F(x)
Пример. Пусть /(х) = х2, х е [0, л], разложена в ряд Фурье по
синусам (значит, g(x) = -х2, х е [-л, 0)). Пусть 5(х) — сумма
ряда. Здесь /(0) = 0; /(л) = л2(*0). Равенство х2 = 5(х) верно
при 0 < х < л. 5(л) = 0 (5(л) = = ~я22+"2 =0).
663
Рис. 15.11. График
функции у = F(x)
§7. Сдвиг основного промежутка
Отметим, что основная теорема и ее обобщение, установлен-
ные для случая, когда функция f (х) была задана на промежутке
[-л, л], целиком переносятся на тот случай, когда функция f (х)
задается на каком-нибудь другом промежутке [а, а + 2л] той же
длины 2л-
Только в этом случае, вычисляя коэффициенты Фурье
А, ап, Ьп, в качестве пределов интегрирования следует брать
концы промежутка [а, а + 2л].
Пример. Разложить в ряд Фурье в промежутке [0, 2л] функ-
цию /(х) = X.
Видим, что /(х) в промежутке [0, 2л] удовлетворяет усло-
виям основной теоремы. Находим коэффициенты Фурье этой
функции:
1 2" I 2л 2п
2) а„ = — f/(x)cosnxflbc = — fxcosnxdx = — fxJ(sinnx) =
л Jo n Jo nn Jo
1
ЯП
2л
х8тпх|дЯ - |sinnxdx = 0,
= 0 £—,----
= 0
n = l,2,
664
। 2л । 2л । 2л
3) b„ = — Jf(x) sin nxdx = — Jxsinnxdx =------fxrf(cosnx) =
л о л 0 rm о
1
rm
2n
i2it Г
xcosnx|0 - Icosnxdx =
-, n = l,2,...
n
о___
= 0
Получаем, таким образом:
1) для х е (0,2л):
<sinx sin2x sin3x sin их A ...
_+_+_+...+—-+... ; (1)
2) сумма S(x) ряда, стоящего в правой части (1), на концах
промежутка, т. е. при х = 0 и при х = 2л, равна:
/(0) + /(2л) _ 0 + 2л _
2 2
АУ АУ
Рис. 15.13. График
функции у = /(х)
Рис. 15.14. График
функции у = S{x)
§8. Растяжение основного промежутка
Пусть функция /(х) е !?([-/, /]), где I > 0 — любое конечное
fe
число. Заметим, что если z е [-л, л], то — е [-/, /]. Поэтому, если
71
сделать замену, положив — = х, то мы получим функцию f \ — |,
л InJ
т. е. функцию аргумента z, заданную в промежутке [-л, л].
Ясно, что:
1) если /(х) е /?([—/, /]), то /(“j 6 Я([-л, л]);
665
2) если f (х) непрерывна на промежутке [-/, /], то /^—J
непрерывна на промежутке [-л, л];
3) если у функции f (х) на промежутке [-/, /] существует
конечная производная /'(х), то у функции /^—) существует
конечная производная на промежутке [-л, л], и т. д.
К функции /| — |, заданной в промежутке [-л, л], примени-
ма предыдущая теория (т. е. основная теорема и ее обобщение).
Так, предполагая, например, функцию f \ — | дифференцируе-
<л;
мой в промежутке [-л, л], будем иметь для всех z е (-л, л):
/| — | = А + Y(ancosnz +bnsinnz), (1)
Л=1
где
л ИЛЬ 1 г /к) . . ir/feV .
Л = —/]—<&; а„ =- 1/1 — cosnzdz; b„ =- /1 — smnz<fc,
2л I л J л ’(л) л } I л J
—71 4 z —71 4 z —71 4 '
л = 1, 2,...
Ряд, стоящий в правой части (1), сходится и на концах промежутка;
его сумма в точках z = -л, z = л, равна:
2
7/(-/) + /(/)
2
Вернемся теперь к прежней переменной, т. е. положим z = —
(ясно, что если л], то хе[-/,/]). Будем иметь тогда
вместо (1) для всех х е (-/, /):
. V'/ ллх , . ллх
/(х) = А + 2}\а„ cos— + b„ sin——
л=1\ 1 1 .
(2)
666
Формулы для коэффициентов А, ап> Ь„ подстановкой Z ~~f~ при-
водятся к виду
1 I
1 J ., . ппх , , 1 г . лях ,
- J f(x)cos—dx; b„ = - J /(x)sin—dx,
л = 1,2,... .
Сумма Six) ряда (2) в точках х = -I; х = / будет равна сумме ряда
/м /(-/) + /(/)
(1) в точках z = -я, z = п, а следовательно, равна —2 '
Отметим также, что S(x + 2Г) = Six).
—_ _т_ 7t 7t
Пример 1. Разложить в ряд Фурье в промежутке - —, у
функцию fix) = X COS X .
jr 71
Имеем здесь [-/, /] = - —, —
‘--1
fi~x) = -х cos (-х) = -х cosx = -fix) => f(x) — нечетная
функция. Значит, А = 0; ап = 0, п = 1, 2, 3,... ;
. 2 i ,, . . лях . 4 Ч2 . о ,
bn = — J /(x)sm—— dx = — J хcosxsin2лхetc =
* о ‘ я о
4 Ч2 1
= — J x -—[sin (2л + l)x + sin (2л - l)x]<& =
я о 2
2"г2 я
я о
cos (2л + l)x ж cos (2л ~ 1)*1^ _
2л +1 2л -1
2_ [со5(2л + 1)х cos(2л- 1)х
я 2л +1 2л -1
^0
х=0
2 Ч2Гсо8(2л + 1)х
я | _ 2л+ 1
cos(2n-l)x
667
Я
2
_ 2 яп(2л + 1)х
~л|_ (2л+ 1)2
(2л-I)2 J
x=0
sin^m + яп^лл - у
(2л+ 1)2 + (2л-I)2
= 2 (-1)"
л[(2л + 1)2
_____________ ,_1у, 2 -8л (-1)"*1 16л
(2a-1)2J л (4л2-I)2 л (4л2-I)2’
(-1)"
Так как
/•ZZ4X. Z4 Л Л
и /(0) = 0, то для всех х 6
будем
иметь
sin(2fl-l)x
2
п
16^, (-1)я+1л . _
xcosx = — ----г • sin2лх. 4
" яГ1(4л2-1)2 Я
Замечание. Все установленное в §8 для функции /(х), задан-
ной на промежутке [-/, /], целиком переносится на тот случай,
когда функция /(х) задается на каком-нибудь другом промежут-
ке [а, а + 21] той же длины 21. Только в этом случае, вычисляя
коэффициенты Фурье А, ап, Ьп, в качестве пределов интегриро-
вания следует брать концы промежутка [а, а+ 21].
>\У
1
Пример. Разложить в ряд Фурье в про-
межутке [0, 3] функцию
х
1 2 3
х, если 0 £ х < 1;
/(*)»
1, если 1 < х < 2;
Рис. 15.15. График
функции у = /(х)
3-х, если 2 < х < 3.
3
В этом примере имеем 2/ = 3 => I = —.
"12 3
2/
3
X2
2
I 2 о X
+ *| j + ^3х-—
31
= 2
3
1
о
2
668
an =|f/(x)cos^d>c =
' о '
•| Jxcosdx + fcos^'п^сdx + J (3 - х) cos
3 [о ’ 1 3 2
2ллх
3
dx
3 . 2ллх
-—xsm——
2лл 3
9 2ллх
w cos
о 4л2л2 3
3 . 2ллх
+ -—sin——
0 2лл 3
2
3
1
1
2
1
9 . 2ллх 3 . 2тос 9 2ллх
+ -—sm——— XSin——-----------x—x-COS ——
2лл 3 2 2ля 3 2 4л2 3л2 ' 3 2
2 3 . 2лл л 9 2лл
— z—sin——0 + —z—5-ссз ~
3 2tm 3 4л2л2 3
9 3 . 4лл
—гт + 7—sm——
4л2л2 2лл 3
cos—--
3 . 2лл 9 . 4лл 6 . 4лл 9 9 4лл
-—sin—- - -—sin—- + -—sin—------=-^5- + —-—cos—-
2ил 3 2лл 3 2mt 3 4л 2л2 4л2тг2 3
_ 4лл 2лл^ 2лл
Так как cos—— = cosl 2лл —— I = cos——, то получаем
4 9 ( 2лл
а„ = - —т~т cos—— 1
" 3 4л2л21 3
, 2лл
1 1 - cos——
з 3
Р-
л2
л = 1,2,... ;
Ь» =|j/Wsin^d>c =
1 о 1
г . 2ллх . ? . 2ллх . ?. . 2ллх ,
j xsm—-—dx + J sm—-—dx + J (3-x)sin—-—dx
о 3 j 3 j 3
2 3 2ллх 9 . 2ллх 3 2ллх
т --Х—xcos——— +—=-^-sm—— --—cos——
3 2лл 3 0 4л2л2 3 0 2лл 3 j
669
9 2mtx ( 3 2ллх 9 . 2rmx\
-—cos—— -I - -—xcos—— + —^sm ~
2nn 3 2 к 2лл 3 4л2л2 3 J 2
2 3 2tm 9 . 2rm 3 4лл
- -—cos—- + z-^-Sin—— -—COS——
2rm 3 4л2л2 3 2tm 3
3 2лл
----cos-----
2лл 3
4и2л2
3
9 9 4лл 9 6 4лл 9 . 4лл
- + COS--- + COS-— + 5-^5- sin——
2лл 2лл 3 2ил 2лл 3 4/гл2 3
2
3
. 2ил . 4ли
sin —— + sin ——
3 3 ,
Так как sin^^ = sinf 2лл - = -sin то Ь„ = 0, п = 1,2,3,...
з V з ) з
У нас /(х) е С([0,3]) и /(0) = /(3). Поэтому для всех х е [0,3]
будет
, 2лл
/W^-^X-^^cos^
Я Л=1 П "Э
§9. Интеграл Фурье
I. Наводящие соображения.
Пусть функция f(x) задана на всей оси, т. е. в промежутке
(-оо, + оо), и не является периодической. Пусть всюду в проме-
жутке + °°) она имеет конечную производную f\x). Пусть,
+«»
наконец, функция f(x) такая, что ||/(х)|<& сходится. Выберем
670
и закрепим какую-нибудь точку х. Всегда можно указать число I
столь большое, что выбранное х будет удовлетворять условию
-I <х<1. Так как /(х) в промежутке [-/, /] удовлетворяет усло-
виям основной теоремы (см. теорию рядов Фурье), то в выбран-
ной точке х будет
ттх , . ттх]
f(x) = А + X\ап cos— + bn sin— ,
л=1\ * ' )
(1)
где
A = fWdt> ап = 7J/(Осоэ^Л, Ь„ = |Jf(t)sin^-dt,
у I
л = 1, 2,...
Имеем
(2)
Здесь через Q обозначена величина несобственного интеграла
4-00 4-00
J |/(0| dt \ Q — конечное число, ибо по условию J |/(0| dt сходит-
— оо —оо
ся. Из (2) следует, что Л —> О при I -> -н». Будем считать I весьма
большим. Тогда А весьма мало, и потому
г/ х ппх , . ттх\
f(x) = £ ап cos— + bn sin — . (3)
»=1V ‘ ' /
Подставив в (3) вместо an и bn их выражения, будем иметь
1 г r/л Г nnt ттх . rmt . ттх1,л ...
/00 = 2/7 J ' cos—cos— + sm——sin—— dt. (4)
n=i1 -i L 1 1 1 1 .
(У нас x — закрепленное число, поэтому множители, зависящие от
. „ rmt гтх
х, вносим под знак интеграла.) Так как cos-y-cos—— +
. rmt . гтх tm _ ...
+ sin-j-sin—— = cos—(t — x), то приближенное равенство (4)
примет вид
/(^) = £ у J /(0 cos^ (t -x)dt.
n~\l -I 1
(5)
671
Заметим что интегралы | f(t) cos ~ - х) Л, л »1,2,... , сходят-
—со
ся, ибо f(t)cos-^-(t -х) < |/(0|, a J|/(0|Л сходится. Поскольку
— ОО
1 гт
I велико, то без большой ошибки вместо j/(/)cos—(t - x)dt
4-со
можно брать | /(0 cos—(t-x) dt.\ тогда вместо (5) будем иметь
7(х) » Ет J /(Ocos^(r - x)dt. (6)
Введем в рассмотрение функцию
F(z) = J f(t) cos z(t-x)dt. (7)
F(z) — непрерывная функция аргумента z (подынтегральная фун-
кция в (7) — непрерывная функция аргументов t и z; интеграл,
стоящий в правой части (7), сходится равномерно относительно z,
-н»
ибо |/(0cosz(t - х)| < |/(/)|, а J|/(0|dt сходится). Положим
п. л 2л Зл лл
Zq ~ Z1 — , ^2 “ > ^3 “ 9 Zn — у
Тогда F(zn) = J f(t)cos^j-(t - х) dt, и (6) может быть записано в виде
—оо
/(х)»Ё|^я). (8)
Т ж А Л 1 Д Zn
Имеем Д zn = Zn ~ z„-i = -7 => 7 =--- и, следовательно, вместо
Z / тс
(8) будем иметь
/(х) = 1§Гил)Дгл. (9)
ял=1
Сумма, стоящая в правой части (9), — вроде “интегральной суммы
Римана” и при больших / она должна быть близка к интегралу
672
1 +°°
— [ F(z) dz (чем больше I, тем мельче дробление). Таким образом,
п о
приходим к выводу: приближенное равенство
f(x) = - jF(z)dz (10)
п о
тем точнее, чем больше /. Но так как ни левая, ни правая части
этого приближенного равенства от / не зависят, то оно точное, т. е.
f(x) = -jF(z)dz => /(x) = -f dz°jf(t)cosz(t-x)dt. (11)
71 о n о
(11) — интегральная формула Фурье.
II. Строгая теория.
Лемма. Пусть:
1) функция <р (0 определена в промежутке [0, + °°) и непре-
рывна там;
2) сходится J |<р (0| dt;
о д
}|ф(0-ф(0)| ,
3) сходится JJ-------dt.
_ о *
Тогда
lim 7<р(0~^Л = Ф(0)(12)
J t 2
Покажем сначала, что /(а) = J ф (0 Sm at dt сходится при
о '
любом а. Видим, что у несобственного интеграла J(a) две особые
точки: t = 0 и t = +°°. Поэтому представляем J(a) в виде
/(а) = |ф(0^Л + 7ф(0^Л.
О r J *
=Jj =J2
Рассмотрим J|. У него точка t = 0 — единственная особая
т, v /^smaf
точка. Имеем hm <р (/)-----
/->+0 t
= а • <р (0) — конечное число при лю-
673
бом а. Значит, подынтегральная функция в J\ — ограниченная
в правой полуокрестности точки t = 0. Следовательно, J\ схо-
дится при любом а.
Рассмотрим /2 • У него точка t = +~ — единственная особая
точка. Имеем: если / > 1, то
ф(0
sing/
t
< |<р (/)| при любом а. По
+°° 4-00
условию, ||ф(/)|Л сходится => ||ф(/)|Л сходится, а следова-
о 1
тельно, У2 сходится при любом а. Общий вывод: /(а) сходится
при любом а.
Возьмем е > 0 — любое, сколь угодно малое. По условию,
+оо
||ф(/)|Л сходится. Значит, он представляет собой некоторое
о
конечное число. Поэтому можно выбрать число М > 0 столь
большим, чтобы было
7|ф«)|Л<|. (13)
Представим интеграл J(g) в виде
/(а)=/ф(О^Л + Тф(О^Л =
О_____г м 1
Y Ф (/) - ф (0) . t л ,п. У sin at л V z . sin at
J -------V\_/ sm + (Q) j ----Л + J ф (/)------dt.
о * о * м *
Во втором интеграле справа сделаем замену at = 7. Получим
Ysing/ . “У sin 7 а1У sin/ ,
J-----at = J —=^dt (= J ---dt, так как переменную интег-
рирования можно обозначать любой буквой). А тогда /(а) запи-
шется в виде
г/ . Уф(/)-ф(О) . Т ..sin а/ . “У sin/ ....
J(a) = J -S-^У—sm at dt + J ф (/)-dt + ф (0) J -dt. (14)
о * м f о *
674
_ n V sin t alf sin t V sint j-
Так как — = J---dt = J ----dt + J----dt, to
2 0 Z 0 Z aM *
aM • +°° •
,лч я /л\ fSin/ /л. ( Sint .л
<P(O) y = <p(O)- J ——Л + <р(0)- J ——dt.
2 0 ‘ aM 1
Поэтому
T, x /л\я Уф(0“ф(0) • .j. s^sinat ,л /лхУ sint .л
У(д)-ф(0)- = рч/ zsmo/dr + ]ф(0——Л-ф(О) J ——dt.
г 0 1 M 1 aM 1
(15)
Произведем оценку каждого из трех членов правой части (15).
1) Имеем
||<Р(0-Ф(0)|^_||Ф(О-Ф(О)|^ , ||<Р(0-Ф(0)|^
О 1 р *t J г t
(сходится по условию) (собственный интеграл)
^|ф(0 - ф (0)1
=> J-------------dt сходится. А тогда по обобщенной теореме
о *
Римана — Лебега
lim
q t
Последнее означает, что взятому е > 0 отвечает число А{ > 0, та-
кое, что как только а > A j , так сейчас же
Y Ф (0 - Ф (0) • j е
J t 3
о 1 э
2) Имеем |ф(/)8*П 0*<Й <
м *
< Tffr < I (см- (13))-
м т т о 3
3) Известно, что f ^^-dt сходится. Значит, lim ( = 0.
aM ' <™-аМ *
Следовательно, взятому числу е > 0 отвечает число А2 > 0, такое,
что как только а > А2, так сейчас же |ф (0)| •
е „
< j. Положим
J
aM t
675
A = max{Al,A2}. Тогда при а > А будем иметь
У(а)-ф(0) у <е.
Последнее означает, что /(а) -> <р (0) • —.
Теорема. Пусть:
1) функция f (х) определена и непрерывна на промежутке
(- оо, + оо) ;
2) /(х) такая, что f |/(x)|dx сходится.
Тогда в каждой точке х е ( — OOj + оо ), в которой сходится ин-
*г|/(^ + 0 + /(х-0-2/(х)| .
теграл JJ-----------------------dt, справедливо равенство
о z
/(х) = ±j dzj f(t) cosz(t -x)dt. (16)
0 —oo
Рассмотрим функцию f (t) cos z(t - x). Это непрерывная
функция аргументов t и z (х здесь закреплено; это та точка, для
которой устанавливается формула (16)). Так как
+оо
|/(0 cos z(t - х)| < |/(/)| и так как f|/(0|^ СХОДИТСЯ, то
+оо
j f(f)cosz(t -x)dt = F(z) сходится равномерно относительно z-
Таким образом, приходим к заключению, что Г(г) — непрерыв-
ная функция параметра z и ее можно интегрировать по z на
любом конечном промежутке под знаком интеграла, т. е.
J F(z) dz = f dzj f(t) cos z(t -x)dt =
0 0 -oo
= J /(0 jcosz(t - x)dz dt,
-oo VO 7
ИЛИ
ajdz*jf(t)cosz(t-x)dt = 7/(0sina^ x)dt. (17)
0 — — r x
676
Интеграл, стоящий в правой части (17), разобьем по схеме
-Н» X +“ X
| = j + j и заменим / на х - в интеграле J и t на х +
—оо —оо X
в интеграле | . Тогда равенство (17) примет вид
X
fdzf /(/)cosz(f - x)dt = J [/(x + 0 + f(x - /i)] . (18)
0 — oo 0 1
К правой части (18) можно применить лемму, положив
f<x + ti) + f(x-tl) = <p(/i).
Заметим, что функция ф(/() удовлетворяет условиям леммы.
В самом деле:
1 ) <p(/j) определена и непрерывна на промежутке [0,+ °°),
ибо функция f определена и непрерывна на промежутке
(— оо, + оо) ;
2 ) f |ф(6)|Л1 = f|/(* + *1) + /(* - *1)|Л1 — сходится, ибо
о о
]*|/(*+'1)+/(*-'1)|Л1- + <[|Л*-'1)|Ж1<+00;
0 0 -°
сходится сходится
3 ||ф('1)-Ф(0)|д J|№ + <,) + /(*-,,)-2/(х)| _ схо.
4 а 4 '1
дится по условию.
Будем иметь, следовательно, из (18):
f dz f /(0 cos z(t - x) dt ° 2/(x) • -j = n • /(x) ,
а это равносильно доказываемой формуле (16).
Замечание. Доказанная теорема допускает следующее обоб-
щение.
Пусть:
1) функция /(х) определена в промежутке (-«, + <») и интег-
рируема на каждом конечном промежутке;
677
-н»
2) f(x) такая, что f|/(x)|dbc сходится.
Тогда:
I) в каждой точке х, в которой функция f(x) непрерывна
г |/(х + 0 + f(x - 0 - 2/(х)| J
и в которой сходится интеграл jJ---------------------------'-dt,
„ о *
будет
fix) = — j dzj f(t) cos z(t -x)dt.
n о
II) в каждой точке x, в которой функция f (х) имеет разрыв
первого рода и в которой сходится интеграл
ИЛх + П + Лх-О-Лх + ф-Лх-О)!
JJ------------------------------------at, будет
о t
Л*-°)+ /<**<» = 1 J * J/(Ocosz(r-х)Л.
0 — оо
§10. Различные виды формулы Фурье
В этом параграфе предполагается, что выполнены условия,
при которых интегральная формула Фурье имеет место. (Для
простоты будем считать функцию f (х) непрерывной на проме-
жутке (-оо,+ «).)
-н»
I. Замечаем, что f{f)co&z(t - x)dt представляет собой чет-
— оо
ную функцию аргумента z (х закреплено). Поэтому
J dz J f(t) cos z(t - x) dt = | J dz J /(0 cos z(t -x)dt.
Следовательно, интегральная формула Фурье может быть записана
в виде
/(х) = J f(t) cos z(t -x)dt. (I)
678
-н»
П. Рассмотрим несобственный интеграл J /(О sin z(t- x)dt.
— ОО
Этот интеграл представляет собой нечетную функцию аргумента z
Отметим, что рассматриваемый интеграл сходится равномерно
•н»
относительно z, ибо |/(0 sin z(t - х)| < |/(0|, a J|/(0|* сходится.
— оо
Так как, кроме того, функция f (t) sin z(t - x) — непрерывная
функция аргументов t и z (х здесь закреплено), то
+°°
J/(0sinz(/-x)* — непрерывная функция аргумента z. Гаран-
— оо
+оо +оо
тировать сходимость J dz J /(Osinz(Z - x)dt нельзя, но если А —
А -к»
любое конечное число, то j dz j /(О sin z(t -x)dt = 0. Поэтому
-A -°°
+oo 4-00
v.p. j dz |/(Osinz(f-x)* = 0.
Умножим обе части последнего равенства на ~ и сложим с (I).
2 71
Получим
/(х) = 2- • v. р. J dz f f(t) [cosz(Z - x) + i sin z(t - х)]Л =
= у- • v. p. f dz J /(0 • e^-^dt
—oo —oo
(здесь применена формула Эйлера cosa + zsina = ). Чаще эту
формулу пишут так:
/(х) = 2-7 *7/(0 • e^dt. (II)
— ОО — оо
Но здесь всегда следует помнить, что внешний интеграл понимает-
ся в смысле главного значения.
679
III. Вернемся к формуле f(x) = — j dz j /(r)cosz(Z -x)dt. Так
0 —00
как cosz(/ -x) = cos#coszx + sinztsinzx, to
I -к» +<x>
f(x) = — fdz J f (t) (cos zt cos zx + sintf sinzx)<//.
n 0 —
Положим
— J f(t)coszfdt = a(z), (1)
—00
1 +00
— f /(/) sin zfdt = b(z). (2)
It *
-00
А тогда будем иметь
f(x) = J [a(z) cos zx + b(z) sin zx] dz. (Ill)
0
(Это и есть третий вид формулы Фурье.)
Частные случаи формулы (III).
1) Если /(х) — функция четная, то Z>(z) = O, a(z) =
2 +00
= — f f(t) cos zfdt, и формула (III) примет вид
п о
f(x) = J a(z) cos zxdz. (Ill,)
0
2) Если f (x) — функция нечетная, то a(z) = 0, b(z) =
2 +00
= — J fit) sin zt dt, и формула (III) примет вид
n о
/(x) = J b(z) sin zx dz. (III2)
0
Замечание. Форма (III) интеграла Фурье аналогична ряду
Фурье. Подынтегральная функция в (III) напоминает общий член
ряда Фурье, только здесь частота z, непрерывно изменяясь, про-
680
бегает все значения от 0 до , и поэтому суммирование осуще-
ствляется интегралом по z от 0 до «>. функции a(z) и b(z)
определяются по формулам (1) и (2), похожим на выражения для
коэффициентов а„ и Ьп ряда Фурье, и при изменении гот 0 до «>
указывают закон Изменения амплитуд и начальных фаз тех гармо-
ник, “суммирование” которых, осуществляемое интегралом Фу-
рье, дает функцию /(х).
Этот закон изменения амплитуд и начальных фаз “слагаемых”
в интегральном изображении функции /(х) будет более обо-
зрим, если подынтегральную функцию формулы (III) привести
к тригонометрическому одночлену. Для этого положим:
W) = 7о2(г) + b2(z); = sin <рг; = cos<pz.
M(z) M(z)
Тогда
o(z)coszx + ^(z)sinzx = Af(z)(sin<pz coscc + cos<pz since) =
= M (z) sin (zx + <рг),
и формула (III) примет вид
/(х) = { М (г) sin (zx + <рг) dz. (III.)
о
§11. Формулы Фурье для функции,
заданной на промежутке [0, + <»)
Теорема. Пусть:
1) функция f(t) определена и непрерывна на [0, + «);
2) f(t) такая, что ||/(0|Л сходится.
о
Тогда в каждой точке х (х>0), в которой сходится интеграл
||/(х + 0 + /(х-0-2/(х)|^
, справедливы формулы:
(1)
681
(2)
Формула (1) верна также и при х = 0, если сходится интеграл
j |/«) - /(0)1 д
о *
Формула же (2) при х = 0, вообще говоря, неверна (она верна
лишь для таких функций /(/), у которых /(0) = 0).
1) Пусть х > 0.
а) Положим
f(t) для />0,
f (-Г) для t < 0.
Функция F(t) определена и непрерывна на всей оси; она — чет-
ная, и ||Г(0|Л = 2 ||/(/)|Л сходится. Имеем, далее,
-оо 0
^\F(x + t) + F(x-t)-2F(x^dt = ||/(х + 0 + /(х-0-2/(х)|^
о * о z
сходится (см. условие). Видим, что для функции F(t) выполнены
все условия главной теоремы. Так как функция F(f) — четная, то
имеет место формула (III,) предыдущего параграфа, т. е.
F(x) = ja(z)coszxdz, где a(z) - — J F(j)coszidt = — j f(t)cosz/dt.
о 71 о 71 о
Но для x > 0: F(x) = f(x). Поэтому для x > 0 будем иметь
б) Положим
/(0 для />0,
- f(-t) для /<0.
682
Функция F(t) определена на всей оси. Она непрерывна всю-
ду, кроме разве лишь точки t = 0. Функция F(t) — нечетная, и
-|-со 0 +°° +°°
J|Ao|^ = )|/(-0|Л + J|/(0|<* = 2j|/(0|<*
-оо -оо О О
сходится. Имеем, далее,
х|Лх + 0 + Л*-0-2Лх)|^ = j|/(x + Q + /(x-Q-2/(x)|^
о * о *
сходится по условию. Так как F(f) — нечетная функция, то для
нее справедлива формула (Ш2) предыдущего параграфа, которая
для х > 0 равносильна доказываемой формуле (2).
Следует отметить, что так как F(t), вообще говоря, разрывна
в точке t = 0, то формулу (Ш2) мы вправе применить к ней не на
основании главной теоремы, а на основании ее обобщения.
2) Пусть х = 0. Положим, как и в 1),
Л0 =
/(0 для />0,
/(-Г) для / < 0.
Эта функция четная, непрерывная на промежутке (— ОО? + оо) }
и J|F(r)|A сходится (см. случай 1)). Имеем, далее
j |Л0 + л-0 - 2Л0)| = 2| 1Л0 - Л0)| = 2| 1/(0-/(0)1^
о * о * о *
сходится по условию. Значит, F(Q) представима формулой (III,)
предыдущего параграфа, а это равносильно тому, что /(0) пред-
ставима формулой (1) настоящего параграфа.
Пример 1. Пусть /(0 = е~‘, t е [0;+ ~). Эта функция удовлетво-
ряет всем условиям теоремы. Напишем для нее формулы (1) и (2):
е
2 +®о \
= —j je_/costf<# coszxdj,
" 01 о J
х>0, (Т)
683
e
2 -н» <-н»
= — J |е_/ sinztdt sinzxdz,
n о V 0 ,
x>0. (2)
Положим a= fe“'coszrdf; P= Je ‘ sinztdt. Интегрируя по час-
0 0
тям, находим:
4-oo i/=4-<
a = j coszf d(-e~‘) = [- e~‘ coszf]|
-zfe ‘ sintf dt = 1 - Pz ;
о
P= fe ' sin ztdt= J sin ztd(-e *) =
о 0
’ ' sin zd + z f e~f cosztdt = az.
Jlz-o Jo
Итак, получили:
a = 1 - pz, ,
=> a = —Ц-; p = —Ц-.
1 + z2 1 + z2
P = az
Подставляя эти выражения для а и р в формулы (Т) и (2) соот-
ветственно, находим
_х 2TC0SZK , -х 2V^sinzx .
е х = - Г----Tt/z, х > 0, и е х = - I ------rdz ,
" | я о 1 + Z2
откуда
= х>0, (3)
о 1 + Г 2
Vzsinzx . п _х п
’ х>0'
(4)
Пример 2. Функцию
/(*) =
1, при 0 х < 1;
О, при х > 1
684
представить интегралом Фурье, продол-
жив ее четным образом на левую полуось.
Используем формулу
/(х-О)у(х.О) J„fe)cos^
2 о
где
Рис. 15.17. График
функции у = f(x)
a(z) = — J f(t)co&zidt = — fcostf Л = — •
л Jo < 71 Z t=0 n z
(вточке z = 0 последнее равенство следует понимать в предельном
смысле). Имеем, следовательно,
у, при 0<х<1;
&
П 1
4’ при х = 1; (5)
.0, при х>1.
Tsinz .
J----cosz*«Z = -
о z
„ „ (Sin z . я
Полагая в (5) х = 0, получим I---dz = —.
о z 2
Таким образом, мы нашли значение интетрала, для которого
неопределенный интеграл не берется в конечном виде. Подобным
же образом можно вычислить и многие другие определенные интег-
ралы, что является одним из приложений теории интеграла Фурье.
Равенство (5) позволяет подметить еще одну сторону приме-
нений интеграла Фурье. Этим интегралом можно на всей оси
изобразить функцию, которая на различных ее частях задается
совершенно различными формулами.
§12. Гармонический анализ непериодических функций
Пусть непериодическая функция f (х) представлена интегра-
лом Фурье (для простоты будем считать эту функцию непрерыв-
ной на всей оси):
f(x) = j M(z) sin (zx + <f>z) dz. (1)
о
685
Здесь подынтегральное выражение есть гармоника с амплиту-
дой М(z) dz, частотой z и начальной фазой фг.
Функция у = M(z) называется частотным спектром плотнос-
тей амплитуд. Изучая эту функцию, мы находим те промежутки
изменения z, которым соответствуют относительно большие зна-
чения M(z), т. е. те “полосы частот”, которым соответствуют
гармоники, играющие наибольшую роль в образовании данной
функции f(x) интегралом Фурье. Это аналогично тому, как,
отбрасывая остаток ряда Фурье, мы ограничиваемся суммой лишь
нескольких гармоник, которая приближенно представляет дан-
ную функцию на промежутке (-/, /).
В радиотехнике этот гармонический анализ используется, на-
пример, следующим образом. Имеется некоторый непериодиче-
ский посторонний сигнал (помеха), от которого нужно, по воз-
можности, освободить приемник. Пусть сила тока, который ин-
дуктирует в антенне приемника эта помеха, известна как функ-
ция времени f(x) (здесь х обозначает время). Функцию /(х)
находят обычно эмпирически. Тогда, представляя эту функцию
интегралом Фурье, мы рассматривая спектр плотностей ампли-
туд, определяем те полосы частот, из гармоник, соответствующих
которым, “состоит в основном” этот ток помехи.
Строя тот или иной фильтр, не пропускающий в приемник
именно эту полосу частот, мы и сведем к минимуму действие
помехи.
Пример. Пусть х — время, /0 и to — положительные постоян-
ные числа, I — сила тока в некоторой цепи, изменяющаяся по
закону I = .
Функция I = /ое-тх удовлетворяет условиям теоремы §11, по
которой для х е [0, + «>) справедлива формула
2 +“<+~
/(х) = — j j I(t) cos ztdt cos zxdz =>
Я n n
Ok 0
=> /(x) = JcoszrJe cosztdt.
n о о
Так как f e cos ztdt = , 01 , то получаем
о z +
686
r/ . 2I0 Tcocoszt , V 2/o(o . ( n\ .
I(x) = — J-2—^dz = J z , 0 2 sin ZX + - dz.
n J0z2+(o2 J0n(z2+(02) I 2J
Видим, что начальная фаза здесь постоянна: <рг =
я
2 ’
а частотный
спектр распределения плотностей амплитуд
M(z) =
2/0со
л (г2 + (о2)'
Легко видеть, что функция у = М (z) —
строго убывающая для z 6 [0, + ~) (ибо
M'(z) < 0). Следовательно, наибольшее
значение эта функция имеет при z = 0:
М(0) = . При z = -7= график функ-
7И0 V3
ции у = M(z) имеет точку перегиба,
Рис. 15.18. График
функции у = M(z)
и при дальнейшем возрастании z, став выпуклым вниз, он доста-
точно быстро приближается к оси Oz: lim M(z) = 0 (рис. 15.18).
Таким образом, лишь гармоники с малыми частотами имеют суще-
ственное значение в образовании функции I = /ое
§13. Преобразования Фурье
Пусть функция f(x), заданная на полуоси [0, + °°), удовлет-
воряет условиям теоремы §11. Тогда для х е (0, + °°) справедливы
формулы:
f(x) = — J coszxdz f f(f)cosztdt (1)
n о о
и
f(x) = — j sin zxdzj f(t) sin zt dt. (2)
я о о
687
I. В формуле (1) обозначим
Будем иметь тогда
cosztdt через Ф(г).
Ф V л C°S Л ’ (3>
/(х) = J ф U)cos dz (4)
Видим, что функции /(х) и Ф(г) совершенно одинаково выража-
ются одна через другую интегральной формулой, которая называ-
ется преобразованием Фурье. Так, Ф(г), получаемая из f(t) по
формуле (3), есть преобразование Фурье функции f(t). Функция
же /(х), получаемая из Ф(г) по формуле (4), есть преобразование
Фурье функции Ф(г). Так как формулы (3) и (4) содержат коси-
нус, то они чаще называются косинус-преобразованиями Фурье.
[2
II. В формуле (2) обозначим J— J f(t) sin ztdt через Ф,(г).
Будем иметь тогда 0
ф. (z) = J /(0 sin zi dt, (5)
/(х) = J- J Ф. (z) sin zx dz. (6)
’n 0
Формулы (5) и (6) дают другую пару соответствующих друг другу
функций. Эти формулы называются синус-преобразованиями Фурье.
Если в формуле (3) Ф(г) есть данная функция, /(/) — иско-
мая, то формула (3) называется интегральным уравнением для
функции f (t). Формула (4) дает решение этого интегрального
уравнения. Совершенно аналогично можно рассматривать и пару
формул (5) и (6).
Так, например, если дано уравнение
[2 +вв
J— J f(t)coszitdt = e~z,
«л 0
где f (х) — искомая функция, то его решением будет
/(х) = Л fe'Z cosxzdz = •
Глава 16
СУММИРОВАНИЕ РАСХОДЯЩИХСЯ РЯДОВ
Определение 1. Пусть К есть некоторый класс бесконечных
рядов. Пусть Л есть некоторое правило, которое каждому ряду
класса К соотносит определенное число S (свое для каждого
ряда). Тогда правило X называется методом суммирования рядов.
Число S называют обобщенной суммой (или Л -суммой) ряда, а про
ряды класса К говорят, что они суммируются методом X.
Определение 2. Метод X называется перманентным, если он
суммирует все ряды, сходящиеся в обычном смысле, и если та
обобщенная сумма, которую он приписывает этим рядам, совпа-
дает с их обычной суммой.
Условимся называть перманентный метод интересным, если он
суммирует хотя бы один ряд, расходящийся в обычном смысле.
Примеры.
1. Припишем всем рядам обобщенную сумму 5 = 5. Этот
метод — не перманентный (очевидно).
2. Рассмотрим ряд
в1+о2 + ... + оя + ... (1)
Припишем ряду (1) в качестве суммы число S =
= lim(o1 +а2 + ... + а„), если этот предел существует, и не припи-
л—»°°
сываем ничего, если этот предел не существует. Этот метод —
перманентный, но он не интересен, так как суммирует лишь ряды,
сходящиеся в обычном смысле.
689
3. Пусть правило Л всякому ряду а{ + а2 + ... + ап + ... соот-
носит в качестве суммы число S = lim(a] +а2 + ... + а2„), если
этот предел существует, и не соотносит ничего, если этот предел не
существует. Очевидно, что этот метод — перманентный. Он —
интересный, так как суммирует расходящийся ряд: 1-1 + 1-1 + ... .
Обобщенная сумма 5 этого ряда равна нулю (lim S2n - 0).
л->оо
§1. Метод средних арифметических (метод Чезаро)
Рассмотрим ряд
ах + а2 + ... + ап + ... (1)
Пусть Sn = ах + а2 + ... + ап\ ап = —---------Если суще-
zt
ствует конечный предел S = lim <т„, то говорят, что ряд (1) сумми-
п—>°°
руется методом средних арифметических (или: методом С), а число
S называют его обобщенной суммой.
Теорема 1. Метод С — перманентный.
Это следует из теоремы 2.
Теорема 2. Пусть переменная х„ имеет конечный предел /.
Составим новую переменную уп = —--------------. Тогда Уп 1.
Ь Возьмем е > 0 — любое. Так как xk —> I, то взятому е > О
Л->~»
отвечает номер т, такой, что как только к > т, так сейчас же
|х* - /| < . Пусть п > т. Имеем
Xi +х2 + ... + xw _ _ (xt - /) + (х2 -!) + ... + (х„ - /)
Уп п п
|Уя _ Z| < |*1 - 1 + К - 1\ + - + К - Zl + К+1 - /| + ••• + |х* - 4
' " 1 п п
690
=> |д-л Z| ~ZI + I*2 -Zl+- + |Xm-Zl | e
Положим |xj - /] + |x2 - /| + ... + |xm - /| = A(e) (эточислозакрепле-
. ~ I и A(e) e „ Л(е) „
но при закрепленном e). Тогда |уя - /| < —+ —. Но 0.
Поэтому существует номер р, такой, что как только п > р, так
сейчас же —— < —. Положим max (т, р) = N. Ясно, что при п> N
п 2
окажется |у„ - /| < е (Узависитот е). Существование такого А^для
любого е > 0 и означает, что у„ I. 4
Л—>°°
Замечание. Метод С — интересный, ибо он суммирует расхо-
дящийся в обычном смысле ряд: 1-1 + 1-1 + ... к сумме S = ±.
Действительно, имеем для любого п е N: S2„ = 0; 52л-| = 1 •
Значит,
5]+52 + ... + 52я п 1 1
°2" = 2л = 2л = 2 «X 2 ’
_ 5t + 52 + ... + 52„-! = л
2я-1 2л - 1 2л - 1 «X 2 ’
и, следовательно, lim о. = i. 4
л—»°° 2
Теорема 3 (Фейер). Пусть функция /(Г) 6 R2n. Составим ее
ряд Фурье: А + ^(ак cosAx + bk sin Ах). Положим
Л=1
/
50(х) = A; Sj(x) = А + cosAx + bk sin Ах);
*=|
а _ 5q(x) + 5i(x) + ... + 5я-1(х)
Тогда:
1) в каждой точке х разрыва первого рода функции f(t)
. . /(х + 0) + /(х - 0)
оказывается оя(х) ->------------------;
Л-»ов 2
691
2) в каждой точке х, где f(f) непрерывна, будет ол(х) -»
3) если f(t) непрерывна на всей оси, то ол(х)=^/(х).
Мы знаем, что частичные суммы ряда Фурье для функции
f (/) е А2л выражаются интегралами Дирихле.
5/х) = - f [/(х + 2/) + /(х - 20] 51п(2^ + 1)/^ р = о, 1,2,... .
тс о ' sin /
А тогда
/ \ if У(^ + 20 + — 20 г • t "it \ .1 j.
ол(х) = — —--------——------- sin/ + sin3/ + ... + sin (2л- 1)/\dt.
rm Jo sin/ L J
Подсчитаем сумму, стоящую в квадратных скобках под знаком
интеграла. Положим Т = sin / + sin3/ + ... + sin(2л -1)/. Умножим
обе части этого равенства на 2 sin /. Получим
2Tsin/ = 2sin2 / + 2sin/sin3/ + ... + 2sin/sin(2n -1)/.
Но 2 sin2 / = 1 - cos 2/; 2 sin A sin В = cos (5 - A) - cos(B + A). По-
этому
2Tsin / = (1 - cos2/) + (cos2/ - cos4/) + (cos4/ - cos6/) + ... +
+ (cos (2л - 2)/ - cos 2л/) = 1 - cos 2л/ = 2 sin2 nt => T = S*n nt
' ' sin /
(в точках, где sin / обращается в нуль, это равенство следует пони-
мать в предельном смысле). Следовательно, выражение для ол(х)
может быть записано в виде
°-=^Т[лх+2')+лх-МША- (2)
Итак, для всякой функции /(/) е /?2я ол(х) выражается через
f (/) по формуле (2).
Пусть, в частности, /(/)sl. Для такой функции, как мы
знаем, Sq(x) = 5j(x) = S2(x) = ... = «^„^(х) = 1. Поэтому
692
и формула (2) принимает вид
2 ffsinn/A2 ,
— —— «»
rm }Q V sin/ J
(3)
1) Пусть в точке х существуют конечные f(x + 0) и f(x - 0)
(т. е. точка х является точкой разрыва первого рода для /(/)).
хг с. /(х + 0) + /(х - 0) /пч
Умножим обе части (3) на i ~ и вычтем из (2)-
Получим
/(х + 0) +/(х - 0)
°«W--------2------=
= — J {[/(х + 2/)-/(х + 0)] + [/(х-2/)-/(х-0)]}dt.
ля i 1 J V sin / J
Положим |/(x + 2/) - f(x + 0)| + |/(x - 2/) - f(x - 0)| = H(t). Тогда
_ s Гзтф,
" 2 ля Jo t sin/J v ’
(заметим, что Я(/) — бесконечно малая величина при / -> +0).
Возьмем е > 0 — любое. Так как Я(/) — бесконечно малая
величина при / -> + 0, то взятому е > 0 отвечает 5 > 0, такое, что
как только 0 < / < 5, так сейчас же H(t) < е (можно считать
8<у). у нас /(/)б/?2я» а значит, интегрируема на любом
конечном промежутке. Следовательно, /(/) — ограниченная на
любом конечном промежутке, а, в силу периодичности, ограни-
ченная везде. Положим М = sup{|/(/)|}.
Запишем неравенство (4) в виде
<— <* + —Тл.
rmJn I sin/ J ml I sin/j
U x z О 4 z
693
В первом интеграле правой части Hit) < е. Значит,
8 . ч2 8 z \ 2 я/2 / \ 2 (31
Л<Х f fsinnll Л(2е
nnJ I sin/ J nnJ\ sin/ J жил J I smf J 2
о ' o4/|o4Z
(раздвинули пределы, а подынтегральная функция положительная)
Итак,
(х) /(х + 0) + /(х-0)
£ + dt.
2 mt I I sin/ J
О x z
ч
Очевидно, что Hit) < 4M.
Кроме того, при / e
будет
' . л2 1
sinn/] 1
sin / J “ sin2 5
Поэтому
1V rr/^fsinn/V 1 1 (it
— Я(/) —;— dt<----------4М------т-l — - 5 <
mt | V sin t J ил sin2 5 k 2 J
1 . „ 1 it 2M
<----4M--------- — =---------x—.
лл sin2 8 2 и sin2 8
А тогда
o„ix)~
/(x + 0) + /(x-0) <г+2М
2 2« sin2 8
2M
Ясно,что-----X----> 0,ибо М = const,а 8 > 0 —закрепленовместе
л sin 8
с е . Значит, найдется номер N, такой, что как только п> N, так
е , ч fix + 0) + f(x - 0)
< —, и тем самым стл(х)-----------------
2M
сейчас же------г— —,
и sin2 8 2
< e
2
при п> N. Последнее означает, что оя(х)
/(х + 0) + /(х-0)
2
Этим доказано первое утверждение теоремы.
2) Второе утверждение теоремы есть частный случай первого
утверждения. Значит, доказано и оно.
3) Пусть функция /(/) непрерывна на всей оси. Тогда
в каждой точке х е (-», + »): f(x - 0) = fix + 0) = fix), и, сле-
694
довательно, функция H(t) = |/(х + 2/) - /(х)| + |/(х - 2/) - /(х)|.
Ясно, что H(t) — бесконечно малая величина при /—> +0. По-
этому любому е > 0, выбранному заранее, отвечает 5 > 0, такое,
что как только 0 < Z < 8, так сейчас же H(t) < е . Отметим, что
число 5 > 0 выбирается по е, но для каждого х оно будет, вообще
говоря, своим, т. е. 3 = 5(е,х).
У нас /(/) — функция, непрерывная на всей оси. Так как
/(Z) еще и периодическая, то она будет равномерно непрерыв-
ной. А тогда (в этом частном случае) 5 будет зависеть только от е
(6 не будет зависеть от х), а значит, и номер N будет зависеть
только от е (N не будет зависеть от х). Стало быть, неравенство
оп(х) - + 0 + °) = |Ол(х) _ дх)| < е
будет верно при
п> N для любого х. Так как Nзависит только от е (Ане зависит
от х), то последнее означает, что ол(х)=|/(х). 4
Замечание. Если функция f(t) е R2n и в некоторой точке х0
f(t) — непрерывна, то ряд Фурье для /(Z) в точке х0 не может
сходиться к сумме, отличной от /(х0). Действительно, если он
сходится к сумме а, то (по перманентности метода Q будет
°л(*о)л^а. С другой стороны, по теореме Фейера будет
вл(*о)я^/(*()). Поэтому а = /(х0).
§2. Теоремы Вейерштрасса
Определение. Тригонометрическим многочленом называется
функция вида
п
Т(х) = Р + ^(Pk coskx + qk sin kx).
*=1
Примерами таких многочленов служат частичные суммы три-
гонометрических рядов, а также средние арифметические этих
частичных сумм.
Вторая теорема Вейерштрасса. Если /(х) есть функция, опре-
деленная и непрерывная на всей оси и имеющая период 2л, то
695
существует такая последовательность тригонометрических много-
членов
ВД, Т2(х), Т3(х), Тл(х), ... ,
которая сходится к /(х) равномерно на всей оси, т. е.
---------I 9 х 6 (-«>, + «>).
и—>°°
Требуемая последовательность получается, если образовать
для /(х) суммы Фейера ол(х), ибо ол(х)==^/(х),
х е (—°°, + °°). 4
Другие формулировки теоремы.
А. Если /(х) есть функция, определенная и непрерывная на
всей оси и имеющая период 2л, то для любого е > О существует
тригонометрический многочлен Т(х), такой, что для всех
X G (“ °°, + °°) будет |/(х)-Т(х)| <е.
Это верно потому, что за Т(х) можно взять любой член
последовательности {Т„(х)}леМ, у которого номер п> N (номер
У зависит лишь только от е ).
В. Если /(х) есть функция, определенная и непрерывная на
всей оси и имеющая период 2л, то она разлагается в равномерно
сходящийся ряд тригонометрических многочленов.
Пусть {T„(x)}ngN — последовательность тригонометрических
многочленов, такая что Tn(x)^=i f(x), х e (— °°, + 00) . Положим
п—>оо
G1(X) = ВД,
е2(х) = Т2(х)-Т1(х),
Q3(x) = Т3(х) - Т2(х),
Qn(*) = Т„(х) - Tn_i(x),
Ясно, что Qk(x), к = 1, 2,... — это тригонометрические много-
члены. Образуем ряд:
696
Ci(x) + Q2(x) + ... + Qn(x)+... (1)
Ясно, что 61W + Qi(x) + ... + Q„(x) = T„(x). У нас Tn(x)=5f(x),
n—>°°
x e + о»). Значит, частичные суммы ряда (1) сходятся равно-
мерно к /(х) на промежутке (-<*>, + «>). Но это и означает, что
ОО
/(х) = £б*(х), х е (-о», + оо), причем ряд сходится равномерно.
к=1
Первая теорема Вейерштрасса. Если функция f(x) определе-
на и непрерывна на промежутке [a, Z>], то всякому е > 0 отвечает
такой алгебраический многочлен Р(х) = с0 + с{х + ... + стхт, что
для всех х е [a, Z>] будет |/(х) - Р(х)| < е.
1. Пусть сначала а = -п, Ь =+п и /(-л) = /(+л). Распрос-
траним определение f (х) на всю ось, положив /(х + 2л) = /(х).
Тогда /(х) будет задана на промежутке (-оо, + оо), всюду непре-
рывна и 2л -периодична.
Возьмем е > 0 — любое. По второй теореме Вейерштрасса,
взятому е > 0 отвечает тригонометрический многочлен
п
Т(х) = Р + cosAx + qk sinkx) > такой, что при всех веще-
Л=1
ственных х будет |/(х) - Т(х)| < —. Закрепим этот Т(х) и поло-
жим £(|р*1 + Ы = м-
к=1
Как известно, функции sinz и cosz разлагаются в степенные
ряды:
3 5 7
sinz = ‘-3!+7!-77 + '" <2>
2 4 6
сгаг = 1"1|+7!-7!+ - • (3)
причем эти ряды сходятся равномерно на любом конечном проме-
жутке. Обозначим через Sm(z) и Cm(z) т-е частичные суммы
рядов (2) и (3) соответственно. Выберем т столь большим, чтобы
при всех z е [-mt, rm] было бы
697
|S„(x)" sin z| < ; |Cm(z) - c°sz| < .
(Здесь n есть порядок T(x), который мы закрепили. Значит, п —
закрепленное число.) Положим
Р(х) = Р + ^[pkCm(kx) + qkSm(kx)\. (4)
*=1
Ясно, что Р(х) есть алгебраический многочлен. Пусть х е [-л, л]
и к есть какое-нибудь из чисел: 1,2,3,..., п. Тогда кх е [-пл, пл],
и потому
|Cm(Ax) - cos Ах| < ; |5m(Ax) - sin кх\ < .
2М 2М
Следовательно,
|Т(Х) - Р(х)| < ’ |COsAx " Cm(M| + | • |sin kx - 5m(Ax)|| <
£=1
Итак, |/(x) - T(x)| < (это верно для всех вещественных х,
и, в частности, для х е [-л, л]). Кроме того, для х е [-л, л] будет
|Т(х) - Р(х)| < Имеем
f(x) - Р(х) = [/(х) - Т(х)] + [г(х) - Р(х)] =>
=> |/(х) - Р(*)| |/(х) - Л*)| + |Г(х) - Р(х^ < j +1 = е для х е [-л, л],
а это и требовалось доказать.
2. Пусть по-прежнему а = -л, b = +л , но /(-л) * /(+л). По-
ложим А = . Тогда /(+л) + Ап = /(-л) - Ап. Вве-
2л
дем в рассмотрение функцию g(x) = /(х) + Ах. Она также опре-
делена на [-л, л], непрерывна там и, кроме того, £(+л) = g(-ri).
698
Поэтому к функции g(x) можно применить уже доказанную
часть теоремы. Значит, существует алгебраический многочлен
Pj(x) такой, что при всех х е [-л, л] будет |g(x) - Л(х)| < е> или
(что то же самое)
|/(х) + Ах - Рх (х)| < е <=> |/(х) - (х) - Лх]| < е.
Поэтому алгебраический многочлен Р(х) = Р](х) - Ах такой, что
для всех х е [-л, л] будет |/(х) - Р(х)| < е , что и требовалось уста-
новить. ц
3. Пусть [а, />] — произвольный промежуток. Положим
= 2л(х-а)-л(1>-а)
У Ь-а 1 '
Из (5) видим, что если х е [а, />], то у е [-л, л]. Кроме того, видим,
что связь между х и у можно записать и так:
2ла + (у + л) (/> - а)
(если у е [-л, л], то х е [а, />]). Введем в рассмотрение функцию
/2па + (у + п)(Ь-а)'\ _ .
аргумента у: f\------——----------- . Эта функция определена и
2п )
непрерывна на промежутке [-л, л]. Значит, существует многочлен
т
Qty) = ^скУ такой, что при всех у е [-л, л] будет
4=0
2ла + (у + л) (Z> - а)
2л
т
~ ЪскУ
к=0
<е. (7)
Возьмем любое х из [а, А] и положим у =
2л(х - а) - п(Ь - а)
Ь- а
Тогда у е [-л, л], и можно подставить это у в (7), что дает
/(х)- ^Ск
к=0
2л (х - а) - п(Ь - а)
Ь-а
< е, т. е. алгебраический мно-
699
2п(х - а) - n(b - а)~\к
b - а
~ т
гочлен Р(х) = ^ск
к=0
и требовалось доказать.
Другие формулировки первой теоремы Вейерштрасса.
А. Если функция f (х) определена и непрерывна на [a, ft], то
существует последовательность алгебраических многочленов:
, сходящаяся к /(х) равномерно на [a, ft].
Возьмем последовательность = 1, е2 = у,
— требуемый, а это
3
e„ = —, ... . По доказанному выше, для каждого е. = —(>0)
п п
найдется многочлен Рп (х), такой, что для всех х е [а, 6] будет
|Л (х) - /(х)| < ея. Следовательно, Ря(х)=4/(х), х е [а, 6].
В. Если функция f (х) определена и непрерывна на [а, 6], то
она разлагается на [а, 6] в равномерно сходящийся ряд алгебраи-
ческих многочленов.
Пусть {ря(х)| — последовательность алгебраических
многочленов, такая, что P„(x)^=t/(x), х g [a, ft]. Положим
п—>°°
е1(х) = р1(х>,
Q2(x) = Р2(х) - Р^х),
Q3(x) = Р3(х) - Р2(х),
ея(х) = Ря(х) - РяЧ(х),
Ясно, что Qk(x), к = 1,2,... — алгебраические многочлены. Об-
разуем ряд
21(х) + е2(х)+...+ёя(х) + ... (8)
700
Видим,что ё1(х) + Q2(x) + ... + Qn(x) = Р„(х) -Унас P„(x)=3f(x),
х е [a, Z>]. Но Р„ (х) оказывается л-й частичной суммой ряда (8). Так
как частичные суммы ряда (8) сходятся равномерно к /(х) на [а, />],
то приходим к заключению, что /(х) = У Qk (х), х e [a, Z>], причем
*=i
ряд (8) сходится равномерно на [л, 6].
§3. Средние квадратические приближения функций
Задача. Пусть функция /(х) — такая, что /(х) е Л([-л, л]).
Рассматриваются всевозможные тригонометрические многочле-
ны порядка не выше п :
п
Т(х) = Р + У (рк cos кх + qk sin кх).
Л=1
Для каждого такого тригонометрического многочлена составляет-
ся выражение г„ = — |[/(х) - Т(х)] dx (г„ называется средним
П -п
квадратическим отклонением Т(х) от /(х)). Требуется найти та-
кой тригонометрический многочлен Т(х), чтобы г„ получило
наименьшее возможное значение.
Решение. Введем коэффициенты Фурье функции f(x):
А = -j- J/(x)dx; ak = — J/(x)cosfcc</x; bk = — j/(x)sinkxdx
—n —n —n
(эти коэффициенты известны, так как функция /(х) дана). Имеем:
л п п
1) ] f(x)T(x)dx = J/(x) Р + ^(рк coskx + qk sinкх) dx =
-п
*=1
-п
п
= 2пА • Р+ £п(акрк + bkqk) =>
t=i
1 л П
=> ^f(x)T(x)dx = 2PA+Y<Pkak + ^kbk).
—п Л=1
(1)
701
1 ТС 1 Л п
2) — f T2(x)dx = — f Р + У(рк coskx + qk sin Ax)
П -n П- J. *=1
dx =
= — ГP2dx + — f У (pk cos2 kx + qk sin2 kx)dx
я Л я _^=1
(интегралы от всех удвоенных произведений исчезают благодаря
ортогональности системы: 1, cosx, sinx, cos2x, sin2x, ..., cosnx,
sinnx на промежутке [-л, л]), откуда
Iя п
- ]T2(x)dx = 2Р2 + £(/>* +ql). (2)
71 -я к=1
Подставим (1) и (2) в выражение для гп. Получим
гп = | J[/2(х) - 2/(х)Т(х) + T2(x)]dx =
—ТС
= - lf2(x)dx + 2P2
"Л
+ !(/’*+ «*) - 2 2РА+ %(ркак + qkbk)
к=\ L *=i
=> ГП = |J f2(x)dx + 2(Р - А)2 + £- ак)2 + (qk - Z>A)2] -
—тс ___________к=\___________________
2А2 + +Ь2к)
*=1
(3)
В выражении (3) для гп от Р, рк, qk зависят только подчеркнутые
члены. Эти члены неотрицательны и обращаются в нуль лишь
тогда, когда Р = А , рк = ак , qk = bk , к = 1, 2,..., п , т. е. тогда,
когда Т(х) оказывается л-й частичной суммой ряда Фурье функ-
ции /(х).
Итак, доказана следующая теорема.
Теорема Теллера. Пусть функция /(х) е Я([-л, л]). Из всех
тригонометрических многочленов порядка не выше п наимень-
шее среднее квадратическое отклонение от функции /(х) имеет
п-я частичная сумма ее ряда Фурье:
702
п
S„(x) = А + ^(ак coskx + bk sin kx).
Л«1
1? 2
При этом упомянутое отклонение ря = — J [/(•*) _^W] dx
Я-я
(через р„ обозначено гп в этом случае) может быть записано и так:
п
1 л п
р„ = - f f2(x)dx - 2А2 + Y(ak+ bk)
П-п L *-1
(4)
(4) получается из (3), ибо подчеркнутые члены исчезают, когда
Т(х) = Sn(x).
Из определения ря видно, что ря > 0 и, следовательно,
2А2 + У (ак + bk) < — jf2(x)dx , для любого п 6 N. (5)
*-1 я -я
Последнее означает, что частичные суммы положительного ряда
2Л2 + £(^+^2) (6)
*=1
ограничены сверху и потому этот ряд сходится. Переходя в нера-
венстве (5) к пределу при «-><», получим
2А2 + У (оА2 + bl) < - / f2(x)dx . (7)
*=1 Я-я
Ниже будет показано, что на самом деле в (7) стоит знак равенства, т. е.
2А2+ ^(ок+Ь1) = -jf2(x)dx. (8)
Л=1 я -я
Формула (8) носит название формулы замкнутости. Ее можно за-
писать и так:
lim р„ = 0. (9)
Теорема А.М. Ляпунова. Для любой функции f(x) е Л([-л, л])
справедлива формула замкнутости 2А2 + ^(ак + Ьк) = — [ f\x)dx.
к=1 п-п
а) Ясно, что ря убывает с ростом «, т. е.
р0 > Pi > р2 > ... > рк > ... . Это видно из выражения (4) для ря.
703
Р) Представим f(x) в виде суммы двух функций:
/(х) = /(х) + /(х), причем считаем, что все эти функции интег-
рируемы на промежутке [-л, л]. Обозначим через S„(x), S„(x),
S„(x) л-е частичные суммы рядов Фурье для функций/(х), /(х),
/(х) соответственно. Пусть ря, ря, ря — средние квадратиче-
ские отклонения указанных сумм от самих функций. Тогда спра-
ведливо неравенство
7 я-
p„ < 2р„ + — f f2(x)dx. (10)
ТГ *
В самом деле, имеем 5„(х) = S„(x) + 5я(х) (это очевидно). Атогда
/(х) - S„(x) = (7(х) - 5я(х)) + |/(х) - J„(x)].
Как известно, (А - В)2 < 2{А2 + В2). Следовательно,
(/(х) - 5я(х))2 < 2 • (7(х) - 5я(х))2 + |/(х) - J„(x)]2 .
Интегрируя это неравенство по хот -л до л и деля нал, получаем
Рл-2(ря + ря). (11)
Но
__ 1 л _ = п ______ — 1 п -
ря =-J/2(x)dr- 2А2 + ^(ак +Ь?) <. - J f2 (х) dx.
Л 1Г Л = 1 П -П-
—П L Л —1 J —Я
Отсюда и из (11) следует (10).
Перейдем теперь к доказательству теоремы Ляпунова.
1. Пусть /(х) непрерывна на [-л, л] и такая, что /(-л) = /(+л).
Возьмем е > 0 — любое. По второй теореме Вейерштрасса, суще-
ствует тригонометрический многочлен (порядка т):
т Ге
Тт(х) = Р + ^(рк coskx + qk sin Ах), такой, что |/(х) - Тт(х)| <
17 2
для всех х е [-л, л]. А тогда — J (/(х) - Тт(х)у dx < е. Но частич-
л _
704
ная сумма Sm(x) ряда Фурье функции f(x) имеет наименьшее
среднее квадратическое отклонение от /(х). Значит,
Р» = - / (/(х) - Sm(x))2dx < 1 J (/(х) - Tm(xtfdx < e.
7Г Tv
Итак, Pm - e • Было отмечено, что {p* }*eN — убывающая. Поэто-
му, тем более при п > т, будет рл < е, а это и значит, что р„ -> 0.
И—>°о
Более сложные виды функции f (х) приводятся к только что
рассмотренному.
2. Пусть f (х) — ступенчатая функция. Это значит, что про-
межуток [-л, л] разлагается точками
-л = а0 < < а2 < ... < as = л
на такие промежутки [л(-, a/+i ], что в интервалах (fl/,a/+i) функция
/(х) постоянна. Пусть, например, при х е (ahaM): f(x) = Cj
(i = 0,1, 2,... s -1). (Нас не будет интересовать, каковы значения
/(х) в граничных точках промежутков [n,,aI+i].) Очевидно, что
/(х) — ограниченная функция (л — число конечное, т. е. конеч-
ное число ступенек). Значит, существует число М, такое, что
|/(х)| < М для х е [-л, л].
Введем новую функцию f(x), задав ее так:
7(а() = 0 (i = 0,1,2,...,5);
•/(x) = Cj для а,-+ 5<х<al+i-5 (i = 0,l,2,
/(х) - линейна для а, < х < а{ + 5 и для ам - 8 < х < ам.
бор 8 будет уточнен.
КУ
-п—Oq а2
Пу
Рис. 16.1. График ступенчатой функции у =f(x)
705
ЛУ
ГОн~ъПп
—h—Oq ^2
Рис. 16.2. График функции у = f(x)
x
Функция у = f(x) непрерывна на промежутке [-л, л] и та-
кая, что ее значения на концах промежутка одинаковы, т. е.
/(-л) = /(+л) = 0. Значит, по уже доказанному (см. пункт 1.)
р„ -» 0. Очевидно, далее, что /(х) М для х е [-л, л].
Я->оо I I
Положим теперь f (х) - /(х) = /(х). Тогда р„ < 2р„ +
7 71 =
+ — f f2(x)dx. Имеем:
"4
-У [ .
°м-8
Qj +5
. al
* =_ s--
jf2(x)dx= j J /2(х)<& =
i=° a, ,=o
так как на промежутках [а,- + 6, ai+l - 6] f(x) = /(х), и, следова-
тельно, /(х) = 0. У нас
7(х) = /(х)-/(х) =* |7(х)|<|/(х)| + |7(х)|^2Л/.
Значит,
7+S - Д/+1 -
J f2(x)dx <4М2-8 и J f2(x)dx < 4М2-8.
а,
Атогда f f\x)dx < 8Л/28 • s и, следовательно, р„ < 2р„ +16 $ 5.
-я
Возьмем £ > 0 — любое. До сих пор мы не уточняли выбора 5.
с- 16Af28s е т
Теперь будем считать его таким, что --------------< —. Тогда
л 3
__ £ ____________________
р„ < 2р„ + — (при всех л). Но ря -» 0. Значит, найдется номер N,
J
706
о аг - е
такой, что при п> N будет рл < - и тем самым рл < е, если
п> N. Последнее означает, что рл —> 0, а это и требовалось
И—>°°
доказать.
3. Общий случай.
Пусть /(х) е Л([-л, л]). Возьмем е > 0 — любое и разделим
промежуток [-л, л] точками а0 = -л < < а2 < ...<as = лна
столь малые части, чтобы
J-l Е
- а,) <—.
1=0
Здесь со, —колебание функции /(х) на промежутке [а,-, а,+1]; Q —
колебание функции /(х) на промежутке [-л, л]. (Такое разбиение
возможно, так как /(х) интегрируема на промежутке [-л,л],
а это — необходимое и достаточное условие интегрируемости.)
Введем в рассмотрение новую функцию /(х), положив
0, если х = а(-, i = 0,1,2,..., s (в узлах);
+2Д|+1^, если хе(а(-,а/+1), i = 0,1,..., 5-1.
Очевидно, что /(х) — функция ступенчатая, и потому р„ -» 0.
_ п—>°°
Положим /(х) -/(х) =/(х). Тогда, как мы знаем,
тим, что если х е (д,-,а/+1), то
р„ < 2ри +— ]f2(x)dx. Имеем j/2(x)dx = У J f2(x)dx. Заме-
71 -Я -л «=о а,
+ ^i+l
2
<(0,.
Поэтому
jf f2(x)dx < co?(a/+i - а, ). (12)
fl/ 2
(Это так, несмотря на то, что оценка /(x)j < со? справедлива
лишь для х е (ahaM), ибо изменение значений подынтегральной
функции в двух точках не изменяет величину интеграла.)
707
Так как со,- < й , / = 0,1,2,..., s -1, то вместо (12) можем
написать J /2(x)<fr < со,(<з/+1 -a,) Q. А тогда
" =„ 5-1 с
J/2(x)<&^ -a,) Q<^- Q = e,
-я /=о “
и, следовательно, ря < 2ря + — • е , и тем более ря < 2ря + — • е , ибо
тс 3
п > 3. Было отмечено, что р„ —> 0. Значит, найдется номер N, та-
Л—>°°
— Е
кой, что при п> N будет: р„ < т, и тем самым ря < е , если п> N.
о
Последнее означает, что р„ -> 0 а это и требовалось установить. 4
Пример. Ранее, при разложении функции f(x) = x2,
х е [-л, л], в ряд Фурье, было получено: для любого х е [-л, л]
2 л2 cosx cos2x cos3x . ,.„_i COS/IX >
3 I I2 22 32 n2 )
л2 4
(здесь A = a„ = (-1)яи = 1, 2,... ; b„ = 0, n = 1, 2,... ).По
3 n
| Л co
формуле замкнутости — Jf2(x)dx = 2A2 + £(a2 + b2) в нашем
П -n л=1
примере будем иметь
1 ? 4 . п л4 1
- Jx4^ = 2 —+ 16Х^
П-я У л=1«
= »v_L v_L = 2e!
5 9 " и4 90’
Следствия теоремы Ляпунова.
1. Пусть /(х) е Я([-л, л]) и А, а„, Ьп — коэффициенты Фу-
рье этой функции. Пусть g(x) 6 Я([-л, л]) и Р, р„, qn — ее
коэффициенты Фурье. Тогда
708
- J f(x)g(x)dx = 2AP + 5(a„pn + b„q„). (13)
71 -n n=i
(Это — обобщенная формула замкнутости; сама формула замкну-
тости получается из (13) при g(x) = f(x).)
Ясно, что сумма f (х) + g(x) имеет коэффициентами Фурье
А + Р; ап + рп ; bn + qn. По теореме Ляпунова имеем:
- J f2(x)dx = 2А2 + '£l(a1n+ bl), (14)
71 —Я Л=1
- J g2(x)dx = 2Р2 + X (р2 + ql), (15)
71 и-1
-It п-1
- J(f(x) + g(x))2dx = 2(A + P)2 + £[(a„ + p„)2 + (b„ + $„)2]. (16)
n -n n=lL
Вычитая (14) и (15) из (16), получаем
- J f(x)g(x)dx = 4AP + 2Y(a„p„ + bnq„) => (13). <4
71 -n Л=1
2. Подставим в (13) выражения для Р, рп, qn. Получим
f f(x)g(x)dx = А[g(x)dx + У an jg(x) cos nxdx + b„ [g(x)sinnxdx .
-It -n Я=1[_ -n ~1t
Таким образом, соотношение
/(x) ~ A+ y(ancos«x + 2>„sin«x) (17)
Л = 1
можно почленно интегрировать, умножив его предварительно на
любую интегрируемую в промежутке [-л, л] функцию g(x), и при
этом получается точное равенство.
3. Пусть [/, т] е [-л, л]. Возьмем в качестве функции g(x)
функцию, заданную следующим образом:
709
г/х\=П ПРИ Х €[/,«],
[О при х е [-л, те] \ [/, /я].
Тогда будем иметь
т т о» т т
jf(x)dx = Ajdx+'£ a„jcosnxdx + b„jsinnxdx .
i i л-4 i i
Видим, что соотношение (17) можно почленно интегрировать по
любому сегменту, содержащемуся в [-71, те], и при этом получается
точное равенство.
§4. Полнота тригонометрической системы
Определение. Пусть функция /(х) е Л([д, д]). Если
ь
jf2(x)dx = 0, то говорят, что f(x) эквивалентна нулю, и пишут:
/(х)~0.
(Заметим, что в том случае, когда /(х) — непрерывна на
[a, Z>], из /(х) ~ О вытекает, что /(х) = 0, х е [а, 2>]. Для разрыв-
ных функций это не так. Например, функция, отличная от нуля
в конечном числе точек промежутка [а, А], эквивалентна нулю,
но не тождественна ему.)
Теорема 1. Пусть /(х) е /?([а, Z»]). Если /(х)~0, то все ее
коэффициенты Фурье равны нулю.
Действительно, по теореме Ляпунова
- jf2(x)dx = 2А2 + +bk).
п -к *=i
У нас /(х)~0 <=> (/2(х)аЬс = 0 => 2А2 + ^(ak + bl) = 0. Но
-я *=1
последнее имеет место лишь тогда, когда одновременно А = 0,
ак =0, Ьк =0, к = 1,2,... .
Теорема 2. Пусть /(х) е Я([а, />]). Если все коэффициенты
Фурье функции /(х) равны нулю, то /(х)~0.
710
По формуле замкнутости Ляпунова имеем
- j f2(x)dx = 2А2 + Y(ak + bl)
n -n *=i
По условию, Л = 0, о* =0, bk =0, fc = 1, 2,... . Но тогда
ff2(x)dx = 0 => /(х)~0. <
-п
Теорема 3. Пусть /(х) е /?([а, й]) и g(x) е Я([а, 6]). Если все
коэффициенты Фурье у этих функций совпадают, то
(/(х) - g(x)) ~ 0, т. е. J [/(х) - g(x)]2dx = 0.
—п
Пусть А, ак, Ьк — коэффициенты Фурье функции f(х);
Р, Рк> Як ~ коэффициенты Фурье функции g(x). Ясно, что
разность /(x)-g(x) имеет коэффициентами Фурье А-Р,
а к - Рк, bk- qk (к = 1,2,... ). По теореме Ляпунова
£ ] [/(*) - g(x)]2<*c = 2(А - Р)2 + £ [(а* - рк)2 + (Ьк - ?А)2].
—л £=1
По условию, А = Р , ак = рк , bk=qk (к = 1, 2,... ). Но тогда
1г 2
— J [/(X) - g(x)] dx = 0. А это означает, что (/(х) - g(x)) ~ 0.
Я -п
В случае, когда (/(х) - g(x)) ~ 0, говорят, что функции /(х)
и g(x) эквивалентны друг другу.
Замечание. Если, в частности, /(х) и g(x) — непрерывны, то
из совпадения их коэффициентов Фурье вытекает, что
/(х) g(x), х е [-л, л].
Теорема 4. Тригонометрическую систему х
1, cosx, sinx, cos2x, sin2x, ... (1)
нельзя дополнить никакой непрерывной функцией <р(х) (кроме
как нулем), которая была бы ортогональна ко всем функция сис-
темы (1).
711
Рассуждаем от противного. Предположим, что существует
непрерывная, отличная от нуля, функция <р (х), ортогональная ко
всем функциям системы (1). Но тогда все коэффициенты Фурье
этой функции:
А = у- jcp(x)dx = 0; ак = — J<p(x)cosAxdx = 0 (к = 1,2,...);
—л —л
1 я
bk = — fср(х)sinАэсдЬс = 0 (£ = 1,2,...).
71 -п
Следовательно, по теореме 2: <р(х) ~ 0. А так как ф(х) — непре-
рывная функция, то <р (х) 0, х 6 [-л, л]. Получили противоре-
чие. Значит, наше предположение неверно. 4
Утверждение, доказанное в теореме 4, называют полнотой
тригонометрической системы (1).
Теорема 5. Пусть функция /(х) непрерывна на [-71, те]
и /(-я) = /(+«)• Если ряд Фурье функции /(х) сходится на
[—7t, те] равномерно, то сумма его и есть /(х) (т. е. /(х) разлага-
ется на [-71, те] в ряд Фурье).
Обозначим сумму ряда Фурье функции /(х) через 5(х).
По условию 5(х) есть сумма равномерно сходящегося на проме-
жутке [—7t, те] тригонометрического ряда. Стало быть, этот ряд
будет рядом Фурье для 5(х). Таким образом, оказывается, что
наш ряд является рядом Фурье как для функции /(х), так и для
своей суммы 5(х) (т. е. f (х) и 5(х) имеют один и тот же ряд
Фурье). Но /(х) и 5(х) непрерывны на [-л, л]. (/(х) — по
условию, а 5(х) — как сумма равномерно сходящегося ряда
непрерывных функций). Но тогда 5(х) /(х), хе [-л, л].
Замечание. Теперь мы можем для такой функции /(х) по-
строить ее ряд Фурье и проверить, сходится ли он равномерно на
промежутке [-л, л]. Если ряд оказывается равномерно сходя-
щимся, то его сумма и есть /(х) (т. е. /(х) разлагается на [-л, л]
в ряд Фурье).
Теорема 6. Если функция /(х) всюду на [-л, л] имеет непре-
рывную производную f'(x) несли /(-л) = /(+л),то /(х) разла-
гается в [—л, л] в равномерно сходящийся ряд Фурье.
712
Пусть ап и Ьп — коэффициенты Фурье функции f(x),
а а„ и Ря — коэффициенты Фурье функции /'(х) • Имеем
sin пх 1
=> па„
-л
f'(X)dx = -^;
п
sin /гх
п
1 п
b„ = — j /(x)sinnxdx =>
г cos их , ла„
Итак, получили оп = - St; Ь„ = —. Как известно, ЛВ < Л1 + Вг .
Следовательно,
Р«| — ~~2 "* 0л» |^л| — ~~2 "* ®л •
п п
По условию, f\x) 6 С([-л, л]) => /'(*) 6 Л([-л, л]) => для f\x)
справедлива формула замкнутости Ляпунова => сходится ряд
У(а^ + Р„). Кроме того, мы знаем, что сходится ряд У—т. А тогда
л-1 „ л=1Л
приходим к выводу, что сходится ряд У (|а„| + |д„|). Так как для
Л = 1
любого п 6 N и для всех х 6 [-л, л]:
|йд cosnx + b„ sinпх| 5 (|ая| + |Z>„|),
то заключаем, что ряд А + У (ап cosnx + b„ sin их) сходится равно-
Л = 1
мерно на промежутке [-л, л]. А тогда по теореме 5 получаем: f (х)
разлагается на [-л, л] в ряд Фурье (причем этот ряд Фурье сходится
равномерно на [-л, л]).
713
§5. Метод Абеля — Пуассона суммирования рядов
Пусть имеется ряд
а0 + + а2 + ... + а„ + ... (1)
Составим новый ряд:
а0 + ахг + а2г2 + ... + апгп + ... (2)
(ряд (1) — частный случай ряда (2); он получается из ряда (2) при
г = 1). Допустим, что:
1) ряд (2) сходится, когда 0 < г < 1, к сумме S(r), и
2) существует конечный предел S = lim^SO*).
Тогда говорят, что ряд (1) суммируется методом Абеля — Пуас-
сона, а число S называют его обобщенной суммой.
Теорема 1. Метод Абеля — Пуассона — перманентный.
Пусть ряд (1) сходится (в обычном смысле) к сумме 5. Тогда
а„ —> 0 (как общий член сходящегося ряда). Мы знаем, что пере-
И—>оо
менная, имеющая конечный предел, ограничена; значит, существует
число К > 0,такое, что |д„| < К для любого л = 0,1,2,... . Но тогда
ряд (2) мажорируется геометрическим рядом
К + Кг + Кг2 + ... + К-гп + ... ,
сходящимся при 0 < г < 1. Тем самым ряд (2) сходится при 0 < г < 1.
Пусть сумма ряда (2) есть S(r). Положим Sn = а0 + а{ + о2 + ••• + ап •
Тогда
ао =
Я1 = 5*1 - Sq,
02 = *5*2 — *5*19
ап = Sn ~ $п-\9
Следовательно,
5(г) = *Уо + № ~ ^о)7* + (^2 ” )г2 + ••• + (Sn ~ + ••• ’
S(r) = (So -0) + (S,r -Sor) + (S2r2 -S{r2) + ... + (S„rn -S^r”) +...
714
Видим, что 5(r) можно рассматривать как результат формального
вычитания ряда
О + SqV + S^r2 + ... + Sn_\i"n + ... (3)
из ряда
+ S^r + S^r2 + ... + Snrn + ... (4)
Отметим, что ряды (3) и (4) сходятся при 0 < г < 1. Действительно,
у нас ряд (1) сходится в обычном смысле к сумме 5. Значит, 5Я -» S
=> существует число М, такое, что будет |5Я| < М для любого
п = 0,1,2,... . Следовательно, ряд (3) мажорируется рядом
Mr + Mr2 + ... + Mr” + ... , (3)
а ряд (4) мажорируется рядом
М + Mr + Mr2 + ... + Mrn + ... (4)
Ряды (3) и (4) — геометрические, сходящиеся при 0 < г < 1. Зна-
чит, и ряды (3), (4) сходятся при 0 < г < 1. Но тогда S(r) равна
разности сумм рядов (4) и (3), т. е.
3(г) = &„гп ~г&пгп => S(r) = (1 - r)^S„rn .
л=0 л=0 л=0
Мы знаем, что если 0 < г < 1, то
^гя=—5- =* 1 = (1-',)Ег" =* 5 = (1-г)^5гя.
л=0 1 г п=0 л=0
А тогда
5(г)-5 = (1-г)^(5я-5)гя => |S(r)-S|<(l-r)£|5„-S|<
л=0 л=0
Возьмем е > 0 — любое. Так как S„ -> S, то взятому е > 0 отве-
чает номер т, такой, что как только п > т, так сейчас же |5„ - 5| < .
Закрепим это т. Тогда
т 00 с
|5(г)-5|<(1-г)^|5я -5|гя +(l-r) £ |гя.
л=0 л=л>+1
715
т т
У нас 0 < г < 1. Следовательно, У |$я - 5|г" < _ «5|. Кроме
л=0 л=0
ТОГО, У г" < У г" = -г^—. Значит, |5(г) - 5| < (1 - г) £ |5Я - S| + .
п=т+\ п=0 А Г п=0
т
Положим для краткости Х|*^л - <S| = Же) (А(г) — число, закреп-
л=0
ленное вместе с е , ибо т зависит от е). Имеем, таким образом,
|5(г) - 5| < (1 - г)Л(е) + . До сих пор г было подчинено един-
ственному условию: 0 < г < 1. Сделав г достаточно близким к 1, мы
получим (1 - г)Л(е) < -j и тем самым |5(г) - 5| < е. Последнее оз-
начает, что 5(г)—j-^>5. Значит, метод Абеля — Пуассона —
перманентный.
Рассмотрим ряд:
1 - 1 +1 -1 +1 -1 + ... (5)
Мы знаем, что этот ряд расходится в обычном смысле. Составим
для него ряд:
,5
(6)
Для 0 < г < 1: ряд (6) имеет своей суммой 5(г) = ——. Имеем
1 + г
lim S(r) = lim —-— = 4.
r-и-о г->1-01 + г 2
Вывод: ряд (5) суммируется методом Абеля — Пуассона. Зна-
чит, метод Абеля — Пуассона интересный.
§6. Применение метода Абеля — Пуассона к рядам Фурье
1 - г2
Лемма 1. Если 0 < г < 1, то
1 , , 1
— + rcosa + r cos2a + r cos3a+ ... = -
2 2 l-2rcosa + r
Т-0)
Ряд + г cos а + г2 cos 2а + г3 cos За + ... сходится при на-
ших г (он мажорируется геометрическим рядом, сходящимся при
О < г < 1). Обозначим сумму этого ряда через Л
716
5 = — + rcosa + r2 cos 2 a + r3 cos3a + ... (2)
Умножим обе части (2) на 2rcosa. Получим
2rcosa-5 = rcosa+ 2r2 cos2a + 2r3 cosacos2a + ...
Ho 2 cos A cos В = cos(.4 - B) + cos(v4 + В). Поэтому
2rcosa • S = rcosa + r2(l + cos 2 a) + r3(cosa + cos3a) + ... =>
=> 2rcosa -5 = r2(l + rcosa + r2cos2a + ...) +
+ (r cosa + r2cos2a + r3cos3a + ...).
Это преобразование законно, так как оба ряда в скобках сходятся
для 0 < г < 1. Так как
(1 + rcosa + r2 cos 2a + ...
(rcosa + r2 cos 2 a + r3 cos3a + ...
то последнее соотношение может быть записано в виде
А ( В
2r cosa • 5 = г2 — + 5 + 5 —
U ) t 2j'
Получили уравнение относительно 5:
1 , , 1 1 - г2
А(1-г2) = 5 • (1 - 2rcosa + г2) => S = --—---------
+ 2 l-2rcosa + r
Пусть функция /(/) е R2n. Составим для нее ряд Фурье:
А + У (ап cos лх + bn sin лх). (3)
Л = 1
Применим к этому ряду метод Абеля — Пуассона. Для этого со-
ставляем ряд
Л + yr"(a„cosflx + Z>„sinnx). (4)
Л = 1
Покажем, что ряд (4) сходится при 0 < г < 1. У нас f(t) е R2n =>
f (t) — ограниченная. Значит, существует число М > 0, такое, что
|/(/)| < М. Имеем, далее
717
ы=
— J f(t)cosntdt < 2M;
J f(t)smntdt < 2M.
Поэтому \a„ cos nx + b„ sin нх| < 4ЛГ, и, следовательно, ряд (4) мажо-
рируется рядом А + ^4Л/г", сходящимся при 0 < г < 1. Положим
Л = 1
S(x,r) = А + ^rn(an cosnx + bn sin их). (5)
Л = 1
Подставим в (5) вместо А, ап, Ь„ их выражения:
А = J /(0 dt; а„ =- J /(/) cos nt dt; b„ = - J /(/) sin nt dt.
—n —it —n
Получим
S(x, r) = f /(0 dt + i Y j f(t) rn cos n(t -x)dt =
—it Л=1—n
1
= -f/(0- ±?+^гп cos n(t-x) dt.
71 -n L2 Л=1
-it
Произведенное преобразование законно, потому что ряд в скобках
(при закрепленном 0 < г < 1) сходится равномерно относительно
/и, следовательно, его можно почленно интегрировать, предвари-
тельно умножив на ограниченную функцию f(f). По лемме,
1 v „ ,t ч 1 1-г2
— + У, г cos n(t - х) = ---------------«-.
2 ^71 2 1 - 2rcos(f - х) + г2
А тогда
Iя 1 _ -2
sm - £ J, , (6>
2л _Я1 - 2rcos(/ - х) + г
Правая часть (6) — интеграл Пуассона.
Теорема. Пусть /(0 g Rln. Образуем для нее 5(х,г). Тогда:
1) в каждой точке х, в которой функция f(t) имеет разрыв
cz П/ X /(х - 0) + /(х + 0)
первого рода, будет: S(x,r)------' ------;
r-»i-o 2
718
2) в каждой точке х, в которой функция f(t) непрерывна,
будет: S(x,r) >/(*);
3) если /(/) непрерывна на всей оси, то 5(х,/*)==£ f(x).
Для S(x,r) было получено следующее выражение:
SM = ± J fit) x~rl -------------Tdt.
2л Д 1 - 2r cos (7 - х) + г2
Положим здесь t = х + и . Будем иметь
S(x,r) = ^- J/(x + и)-— --------j-t/и
2л Д, l-2rcosw + r2
(пределы интеграла прежние, ибо подынтегральная функция
2л -периодическая). Положим теперь и = 2tx. Получим
1 ’Ч2 1 - г2
5(x,r) = i J /(х +20 1 Г -----7dti.
л _^2 1 - 2rcos2/j + г
Интеграл, стоящий в правой части, представим в виде суммы двух
интегралов:
1 "£2 1 - г2
S(x,r) = - J /(х + 2/,) 1 \------2 dtx +
л о 1 - 2rcos2^ + г2
1 О 1 _ ~2
+ - J /(х + 2/j)—Г-----------Tdtx.
л_^2 l-2rcos2i‘1 +г2
Во втором интеграле справа сделаем замену: = -t2. Получим:
1 >Ч2 1 - г2
S(x,r) = - J /(х + 2/])-—----------2 dtx +
л Jo 1 - 2rcos2tx + г2
1 V 1 - г2
+ - J /(х - 2Г2)----—--------=- Л2 .
л q 1 - 2r cos2/2 + г2
Последнее соотношение может быть записано в виде:
1 Ч2 I _ г2
S(x,r) = 1 J [/(х + 2/) + /(х-2/)], / \------Tdt (7)
л 1 1 - 2rcos2/ + г
719
(определенный интеграл не зависит от того, какой буквой обозна-
чена переменная интегрирования). Имеем: cos2f = l-2sin2/,
а тогда
1 - 2гcos2/ + г2 = 1 - 2r(l - 2sin2 t) + г2 = (1 - г)2 + 4rsin21.
Окончательно, для S(x,r) будем иметь следующее выражение:
1 1 - г2
S(x,r) = 1 J [/(х + 20 + f(x - 20]—-* л . 2 dt. (8)
л q (1 - г)2 + 4rsm2 t
Итак, если /(0 с ^2п >т0 построенная для нее сумма S(x,r) выра-
жается по формуле (8). В частности, это так, когда /(0 = 1. Но для
функции f(t) = 1 будет: S(x,r) = 1 (ибо ряд Фурье этой функции
такой: 1 + 0 + 0 + 0+ ... + 0+ ... ). Значит,для /(0 1 формула(8)
принимает вид:
1 1 - г2
1 = - J 2-------------5-Л. (9)
л о (1 - г)2 + 4rsin2 t
Пусть теперь /(0 е Л2„ и точка х — точка разрыва первого
рода для этой функции. Умножим обе части (9) на
fix + 0) + /(х - 0)
—----- 2 -------- И вычтем из (°' соответствующие части полу-
чившегося равенства. Будем иметь:
5(х,г)-/(* + 0);/(х-0) =
1 я/2 1 _2
= - J {[/(х+20-/(х+0)] + [/(x-20-/(x-0)]}zi * г . -2-dt.
л' lL J (l-r)2+4rsm2/
(Ю)
Возьмем е > 0 — любое. По самому определению односторонних
пределов, взятому е > 0 отвечает 5 > 0 такое, что как только
0 < t < 5, так сейчас же
|/(х + 20-/(х + 0)| + |/(х - 2/) -/(х - 0)| < 8.
720
Закрепим это 8 (считая 8 < %) и разобьем интеграл формулы (10)
4
л/2 8 л/2
на два интеграла по схеме: J = | + | . В первом из этих интегра-
0 0 8
лов правой части будет:
|/(х + 2/) - f(x + 0)| + |/(х - 2/) - /(х - 0)| < е, (11)
а во втором:
|/(х + 2/) - /(х + 0)| + |/(х - 2/) - /(х - 0)| < 4М , (12)
где М = sup{|/(0|} (по условию, функция /(0 — интегрируемая,
а значит, ограниченная).
(Заметим, что если, в частности, f (0 — непрерывная на всей
оси, то благодаря периодичности она и равномерно непрерывная,
так что указанное выше 8 > 0 можно считать зависящим только
от е и не зависящим от х; оно одно и то же для всех веществен-
ных х сразу.)
Из (10), принимая во внимание (И) и (12), находим:
-J------Н------г-dt + — J-------Н-------=-dt. (13)
л q (1-r)2+4rsin2 / л § (1 - г)2 + 4г sin2 t
1 - г2
Первый из интегралов правой части (13) только увеличится, если
интегрировать от 0 до у (так как подынтегральная функция поло-
жительная). Поэтому
>8 । _ 2 1 я/2 1 _ »-2
— f-----j-------у- dt < — f------=-------х- dt.
л Q (1 - г)2 + 4rsin2 t л q (1 — г)2 + 4rsin2 t
1 я/2 1 — /*2 J
Но из (9) следует, что — f —---5——т^-dt = —. Следова-
л q (1 — г)2 + 4г sin2 / 2
If 1-г2 1 Г л!
тельно, — I —----5—-—< ч- • Имеем, далее: при t е 8,—
Ло(1-Г) +4rsin2f 2 L 2.
2
721
n/2 1 _ -2 i _ _2 _
Г 17* , 1 /* 71
будет sm t > sin 8, а потому J —--=—-—dt <-----5— • •
8 (1-r) +4rsin2f 4rsm23 2
Теперь вместо неравенства (13) можем написать:
S(x r} _ /(х + 0) + /(х-0) < е + А/(1-г2)
2 2 2r sin2 3
Если г —> 1 — 0, то -^2—£.2 _> о. Значит, взятому е > 0 отвечает
2rsin28
„ . „ /И(1-г2) е
г0 > 0 такое, что кактолько г0 < г < 1, так сейчас же —-,— < -г ,
° ° 2rsm23 2
\ /(х + 0) +/(х - 0)
и тем самым 5(х,г) - ----------—---------
< е. Этим доказано ут-
2
верждение 1), а значит, и утверждение 2) теоремы.
Что касается утверждения 3) теоремы, то оно следует из того,
что для всюду непрерывной и 2л-периодичной функции f(f)
число 8 > 0, а с ним и г0, зависят только от е , но не от х.
Замечание. Пусть /(/) задана только на промежутке [-л, л],
и /(/) е Л([-л, л]). Тогда:
1) если -л < х < л их — точка разрыва первого рода функции
-/л о/ \ f(x + 0) + /(х - 0)
/(0, то 5(х,г)—;
2) если -л < х < л их — точка непрерывности функции /(/),
то 5(x,r) ;
3) если существуют конечные /(-л + 0) и /(л-0), то при
. й с/ \ /(-л + 0) +/(л - 0)
х = ±л будет: S(x,r)--->—------
г-и-о 2
4) если /(/) непрерывна на всем промежутке [-л, л] и, кроме
того, /(-л) = /(л), то 5(х,г)==Г/(х), х е [-л, л].
Введем в рассмотрение вспомогательную функцию g(t),
определив ее на всей вещественной оси следующим образом:
722
g(ty = /(0 , если t е [-л, л),
и g(t + 2n)s g(t), te (-<*>, + оо).
Заметим, что функция g(f) е Rln и к ней применима вся предыду-
щая теория. Отметим, что ряд Фурье для функции g(t) совпадает
с рядом Фурье для функции f(t) (это было показано раньше при
доказательстве основной теоремы; см. гл. 15, §4). Совпадают так-
же инте1ралы Пуассона S(x,r) этих функций. А тогда:
1) если х е (-л, л) и х — точка разрыва первого рода функции
/(/) (а значит, и функции g(f)), то
5(х,г)
________} g(x + 0) + g(x - 0)
r-я-о___2
}/(х + 0) +/(х - 0)
2) если х е (-л, л) и х — точка непрерывности функции f (t)
(а значит, и функции g(t)), то
S (х, г) ——> g(x) ГS (х, г) ——» /(х)1;
г->1-0 L г->1-0 J
3) если существуют конечные
/(-л + 0) [= g(-n + 0)], /(л - 0) [= g(n - 0)],
то при х = ±л будет:
S(x,r)----,?(->+ 0)4-£0.-0)
r-и-о 2
S(.,r)---->/(-я->0)4-/(.-0)1
г-и-о 2 J’
4) если f (0 непрерывна на всем промежутке [-л, л]
и /(-л) = /(л), то g(f) будет непрерывной на всей оси. Следова-
тельно, 5(x,r)=4g(x), х е (-оо, + оо), а значит, 5(х,г)=3/(х)
г-Я-0 г->1-0
X G [-Л, л] . 4
723
Дополнение 1.
Применение метода Абеля — Пуассона
в теории степенных и числовых радов
В §6 показана эффективность применения метода Абеля —
Пуассона в теории рядов Фурье. Отметим, что этот метод может
быть успешно применен и при доказательствах некоторых теорем
в теории степенных и даже числовых рядов.
Пример 1. Пусть степенной ряд
Со + CjX + с2х2 + С3Х3 + ... + с„хп + ... (1)
имеет конечный радиус сходимости R. Тогда, как известно, сумма
/(х) ряда будет непрерывна всюду в промежутке (-R, R) (это
устанавливается совсем просто). Если ряд (1) сходится хотя бы
неабсолютно на каком-нибудь из концов интервала сходимости, то
функция /(х) будет определена и на этом конце.
Вопрос, будет ли f (х) непрерывной в этой точке:
Ответ на этот вопрос дает теорема Абеля.
Если ряд (1) сходится хотя бы неабсолютно при х = R, то
в этой точке сумма ряда /(х) непрерывна, т. е. /(х)->f(R).
X-+R-0
По условию ряд со + CjJ? + c2R2 + ... + cnRn + ... сходится к
сумме f(R). Мы знаем, что метод Абеля — Пуассона перманент-
ный. Значит, указанный ряд суммируется этим методом к той же
сумме f(R),r. е.
с0 + cxR г + c2R2 г2 + ... + c„Rn гп + ... —f(R),
или f(R • г)------->f(R). Остается заметить, что любое х е (О, R)
г->1-0
можно записать в виде х = R г и что соотношения: х —> R - О
и г —> 1 — О совершенно равносильны (достаточно положить г = —).
R
Поэтому /(х)------>f(R), а это и требовалось доказать. 4
X-+R-0
Пример 2. Теорема Абеля (об умножении радов). Пусть ряды:
Oo+aj + а2 + ... + а„ + ... (2)
и
+ bi + b2 + ... + bn + ... (3)
724
сходятся (даже условно) к суммам А и В соответственно. Положим
сп = а0Ьп + + ••• + ап^0-
Если ряд
с0 +Cj + с2 + ... + с„ +... (4)
сходится к сумме С, то С = АВ.
Образуем степенные ряды:
а0 + OjX + а2х2 + ... + апхп + ... (5)
и
Ьо + Ьгх + Ь2х2 + ... + Ь„хп + ... . (6)
По условию, ряды (5) и (6) сходятся при х = 1. Значит, при 0 < х < 1
они сходятся абсолютно и потому их можно перемножить. Ряд-
произведение будет таким:
СО
£с„хл = с0 + qx + с2х2 + ... + с„хп + ... . (7)
л=0
Ряд (7) тоже сходится абсолютно при 0 < х < 1, и
ХСПХ" =( X хе (0,1). (8)
л=0 Ч«=0 ) \л=о )
Перейдем в соотношении (8) к пределу при х -> 1 - 0. По преды-
дущей теореме Абеля получим: С = А • В, а это и требовалось до-
казать. 4
Дополнение 2.
Гармонический анализ функций, заданных эмпирически
Выше было показано, что если функция у = /(х) периодичес-
кая с периодом 21 или если она задана на промежутке длины 21,
то коэффициенты Фурье этой функции, попарно определяющие
слагаемые гармоники в ее ряде Фурье, определяются по формулам:
1 а + 1 а + ^ 1THY
A = 2i Оп=~1 J /(*)cos^r<fr;
а >, ° (D
bn=~l f /(x)sin-^pdx, л = 1,2,....
725
На практике, во многих прикладных вопросах функция у = /(х)
задается графически в виде некоторой кривой, аналитическое
выражение которой неизвестно. Такие эмпирические кривые по-
лучаются обычно при помощи приборов, регистрирующих измене-
ние какой-либо одной переменной величины в зависимости от
изменения другой величины. (К таким приборам относится, на-
пример, осциллограф.)
Весьма часто также функция у = /(х) задается табличным
способом, т. е. некоторым конечным число своих частных значе-
ний, соответствующих различным значениям аргумента на протя-
жении целого периода. Эти частные значения функции являются
результатом наблюдений и измерений рассматриваемой перемен-
ной величины.
Так как в этих случаях применение формул (1) становится
невозможным, то вопрос о разложении функции /(х) на про-
стейшие гармоники ставится в несколько ином виде.
Пусть имеется некоторая 21 -периодическая эмпирическая
кривая. Разделим этот период на р равных частей. Пусть абсциссы
точек деления будут:
л 2/ л 2/ _
х0 = 0; Xi = — = а; х2 = 2 — = 2а; ...;
Р Р
21
хк = к — = ка; ...; х„=ра = 2/,
р у
а соответствующие ординаты пусть будут:
у0; уг, у2; ; Ук; •••; ур(=уо>-
Возьмем теперь тригонометрический многочлен л-го порядка
, . -7 ~ лх ~ 2лх ~ ллх
<р(х) = А + Oj cos— + а2 cos—— + ... + ап cos-y +
г . лх г . 2лх г . тис
+ sin— + Z>2 sm—у + ... + bn sin—у—
с числом членов, равным 2п +1, причем 2п < р. Поставим задачу:
определить такие значения коэффициентов Л, alf а2, ..., ап\ Ь{,
b2, ..., Ь„ , при которых многочлен <р(х) в точках деления наилуч-
шим образом приближался бы к значениям ординат функции f (х)
726
в этих же точках. Другими словами, надо определить такие значе-
ния этих коэффициентов, при которых сумма квадратов отклоне-
ний тригонометрического многочлена (2) в точках деления от за-
данных ординат функции у = /(х) в этих же точках была бы ми-
нимальной, т. е. чтобы сумма Др = t[yk -<р(**)]2 была бы наи-
к=1
меньшей. Эта же задача ставится без изменений и для случая, когда
функция у = /(х) известна только своими частными значениями
Уь Уг> Уз, •••> Ур соответственно в точках х(, х2, х3, ..., хр.
Процесс определения коэффициентов тригонометрического
многочлена (2), удовлетворяющих вышеупомянутым требованиям,
называется гармоническим анализом функций, заданных эмпирически.
Для решения поставленной задачи берем частные производ-
ные от Др по А, а1г а2, ..., а„; Ь{, Ь2, ..., Ьп и приравниваем
их нулю. В результате получаем следующую систему (2л +1)
уравнений со столькими же неизвестными:
£[у* - <р(х*)] = 0, где <р(хЛ) = А + ^ат cos^^- + bm
k=\ /л=1\ * *
£[у* -Ф(**)]• COS^- = 0, q = 1, 2, ..., п;
k=l 1
£[у* ~ф(**)]• sin^^- = 0, q = 1, 2, ..., n.
Л-1 '
(3)
Преобразуем уравнения системы (3), для чего выведем пред-
варительно некоторые формулы.
, _ Л тпхк . тпхк
I. Определим сначала значения сумм yj cos ——и >, sin —
Л=1 ‘ к=\ '
Для этого умножим вторую сумму на / и сложим с первой суммой.
Будем иметь
Р mnv Р Р i—k
cos—-^ + /£sin—-*-= ‘ р =
Л=1 1 £=1 1 Л=1 Л=1
,2/ил .2 пт . ,2тп .2тп .
I---- i--------2 i---р i--------- pi-lrrm _ 1
= е р +е р +... + е р =е р ------------------------i
.2тп
i-----
е р -1
727
У нас т = 1, 2, ..., п; 2л < р, а потому и 2т < р. Следовательно,
Лггт
е р * 1. Так как е' 2тл = 1, то
tmnxk . тпхк Л
cos——\ sm ——= 0 => (4)
Л=1 1 к=1 1
fcosS = 0; $4,=М. (5)
Л=1 1 Л=1 1
II. Определим теперь значения нижеследующих сумм:
А ткхк апхк А . тпхк . тхк
X COS-• COS X Sin-1 ’sin
jt=i 7 1 Jt=i 1 1
trmxk . qnxk
cos——^sin2—
*=i 7 '
где m = 1, 2,..., n; q = 1, 2,..., n . Имеем:
f .cos- > £cos+ 1 fcos<"-^,
* =i 7 12 k=i I 2 Л=1 /
sin ^ sin & - 1 f cos(m --1 £ cos(m +»>”* .
* =i I I 2 k=l I 2 к=1 I
На основании (5) все суммы правых частей последних равенств при
т/д равны нулю, а при q = т получаем:
tmnxk тпхк Л 2 тпхк 1 Af, 2тпхк\
cos—-5- • cos—j-5- = 2^cos —i = z- 2/ 1 + cos—T-5" ~
k=i ‘ '*=1'2 t=1V / J
=z+i<cosa^=z,
2 2ft I 2’
^0
f sin=L .4,55. = fsin2 S. 1 £ [1 _ cos^=t| = 4.
* =1 ' '*=1'2 A=iV I ) 2
Имеем далее:
f cos-S-. sin& - 1 i+1
*=1 ' ‘ 2a=i l 2Л=1 /
728
=> на основании (5) ^cos тп^к. sin-^y- = 0 как при q * т, так
4=1 ‘ »
и при q = т.
Перепишем систему (3) в виде:
tyk = £<р(*д
Л=1 к=1
%ук cos^y^= £ф(хк) • cos
А=1 1 к=\ 1
^ук sin^^= ^ф(хА).яп^у4-.
.4=1 ' 4=1 ‘
Имеем:
1) £<P(**)= i л + £[amcos^^ +
к=1 *=1|_ m=lv ' К >
тпхк т . тпхк
amcos-^- + bmsrn—^
cos^* = А • ^cos^^
t=i '
= 0
+ Х am^cos-^^cos^^ + 6m^sin-^y^cos^y^
m=l 4=1 1 1 ,4=1 1 _____1
^0
= g = l, 2, ..., л; (8)
/п=1 к=1 1 12
729
3) i>(x*)sin^yt=
Л = 1 1
т А . тпхь . qnxk
+ 6w£sin —^sin^—L
Л=1 1 1
7
= ? = 1, 2,..., л. (9)
m=l 4=1 » 1 2
Поэтому будем иметь вместо (6)
^Ук =а-р,
к=1
i/yk cos^yi- = a<l ^, 0 = 1, 2,...,л,
*=1 1 2
±Ук sm^- = bg q = l,2,...,n
к=1 1 2
=> aq = - ^ук • cos^s 0 = 1, 2, ..., п,
Р 4=1 '
Ьд = - ^Ук s»n^*-, 0 = 1, 2, ..., я.
Р к=1 1
(10)
730
Так как <^к = -~ к— = q — к, то, положив — = 0, получим:
I I Р Р Р
Р' ' Р~\
2 2
at = — (з*1 cos0 + У1 cos20 + ... + ур cos/Ю) = — cosk0,
Ъ\ = —(У1 sin0 + у2 sin20 + ... + у. sin /Ю) = — £ук sink©,
Рх Р к=\
2 2
а2 = — (.И cos20 + у2 cos40 + ... + ур cos2p0) = — cos2k0,
2 2 Р
/>2 = — (У1 sin20 + у2 sin40 + ... + ур sin2/>0) = — 2^ук sin2k0,
2 2
а„ = —cos«0 + у2 cos2w0 + ... + ур cospnQj = — ~^ук cosk«0,
bn = —(У1 sin«0 + y2 sin2n0 + ... + yp sinрл0) = — 2_,yk sink«0.
Как обычно, синусоиду, определяемую суммой
тпх г тпх . (тпх А
ат cos— + bm sin — = rm sinI — + ym I,
входящей в состав многочлена <р (х), называют гармоникой т-го
порядка функции /(х), заданной эмпирически. Амплитуда гт и
начальная фаза этой гармоники определяются равенствами
Гт = <№ + bm; am=rm sin уш; bm = rm cos.
Замечание. Существует большое количество весьма разнооб-
разных методов разложения функций, заданных эмпирически, на
составляющие гармоники. В большинстве своем они служат не-
посредственной цели определения коэффициентов А, ат, Ьт.
Найдя последние, уже затем определяют амплитуды и начальные
фазы гармоник. Почти все эти методы допускают теоретически
нахождение любого числа гармоник.
731
Глава 17
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ
Пусть (Л) — некоторая область (плоская или пространствен-
ная). Если с каждой точкой М е (Л) связано значение некоторой
скалярной или векторной величины, то (Л) называется полем
этой величины.
§1. Скалярное поле
Пусть (Л) — пространственное поле скалярной величины <р.
Ясно, что ф = ф(х,у,г), где (х,у,г)е(Л) (функция ф(х,у,г)
предполагается однозначной).
I. Совокупность всех точек области (Л), в которых функция Ф
имеет одно и то же значение С, называется уровенной поверхностью
или поверхностью уровня данного скалярного поля. Соотношение
Ф(х,у,г) = С (1)
— уравнение уровенной поверхности.
(В случае плоского скалярного поля вместо поверхностей
уровня мы будем иметь линии уровня. Известные читателю изотер-
мы, изобары, изоклины и т. д. являются примерами таких линий
уровня.)
Отметим, что поверхности уровня, отвечающие различным
значениям С, не могут пересекаться, т. е. через каждую точку
области (Л) проходит только одна поверхность уровня. В самом
деле, если предположить, что поверхности уровня ф(х,у,г) = Q
и Ф(х,у,г) = С2 (Q * С2) имеют в (Л) общую точку (xo,yo,Zo) >
732
то получим (р(х0,Уо,Zo) = Q, <р(хо,Уо>^о) = С2. Но эти равенства
противоречивы, ибо Q * С2.
Придавая постоянной Св уравнении (1) различные значения,
мы получим семейство поверхностей уровня.
Для изучения скалярных полей вводится понятие о производ-
ной по данному направлению.
II. Определение. Пусть
(D) — поле скалярной величи-
ны <р. Возьмем в (D) фиксиро-
ванную точку N и проведем че-
рез нее направленную прямую
(/). (Направление на (/) может
быть задано, например, ортом
/0 = cosa • / + cosp • J + cosy • к)
Возьмем на (/) какую-нибудь
другую точку М е (D). Пусть
р = вел (возможно р 0).
Рис. 17.1. К определению
производной по направлению
Составим отношение
Ф(М)-Ф(^)
Р
Если существует конечный
предел
ЦтФ(Л/)-ф(ЛГ)
р->0 р
(причем точка М не сходит с (/)), то этот предел называется про-
изводной от функции Ф по направлению (/), вычисленной в точке N,
с Эф Эф
и обозначается -у. (— характеризует скорость изменения вели-
ol о1
чины Ф в точке N в направлении (/)).
Теорема. Если функция <p(x,y,z) имеет в области (D) непре-
Эф Эф Эф
рывные частные производные Эх ’
то для любой точки
N е (D) и для любого направления (/) производная от функции
Ф по направлению (/) существует и выражается формулой
733
Эф Эф Эф _ Эф
-^7 = cosa +-3-cosp +-3-cosy (2)
Э/ Эх ду dz ’
(здесь a, р, у — углы, образованные направленной прямой (/)
Эф Эф Эф ,Л
с осями координат; —11, —11, -г2- вычислены в точке N).
дх ду dz
Пусть точка Л’ имеет координаты (x,y,z) • Очевидно, что
точка Л/имеет тогда координаты (х + pcosa, у + pcosp, z + pcosy).
По формуле для полного приращения функции будем иметь
ф(Л/) - ф(У) = ф(х + pcosa, у + pcosp, z + pcosy) -<p(x,y,z) =
=Ф^(^,У>г)рсо8а+ф'(х,у,г)рсо8Р+
+ ф'(x,у,z)pcosy+Лр cosa+ цр cosp+ vp cosy,
где Л,ц,v -> 0 при p -> 0 (p = 7(Д*)2 + (Ду)2 + (Дг)2).
А тогда
Ф(М)-Ф^) _
——-———- = ф*(х,у,г)со8а + ф' (х, у, г) cosp +
Р
+ ф'(х,у,г)созу +Xcosa + pcosp + vcosy =>
р->0 р
= Ф^(х,у,г)соза + ф^(х,у,г)со8Р + ф'(х,у,?)со8у .
ф(Л/)-ф(А)
Мы доказали, что существует hm ——-———- и показали, что он
р->0 р
равен ф^(х,у,г)со8а + фу(х,у,г)со8Р + ф'(х,у,г)со8у. Значит,
теорема доказана.
Эф Эф Эф
Если мы предположим, что не обращаются од-
новременно в нуль в данной точке А и станем изменять направле-
ние (/), то естественно возникает следующая задача: для какого
направления (/), исходящего из точки ЛГ, скорость возрастания
Эф
функции Ф (т. е. —) будет наибольшей?
о/
734
Решение. Введем в рассмотрение вектор
G =
(3)
Э<р Эф Эф
( Эх ’ Эу ’ Э? вычислены в точке N). Тогда производная от функ-
ции в точке Nno направлению (/) выразится следующим образом:
= (<5 • 4») = |с| • |4| • COS0 = |g| • 1 • COS0.
скалярное
произведение
Отсюда видим, что наибольшее зна-
Э(р
чение -тт в точке N будем иметь
д1
тогда, когда cos0 = 1, т. е. когда
0 = 0. Следовательно, скорость
возрастания функции ф в точке N
будет наибольшей для того направ-
ления (/), которое совпадает с на-
правлением вектора G, причем эта
наибольшая скорость возрастания
функции Ф в точке N равна
Рис. 17.2
If ЭфА2 ! fЭф4 2 f Эф A2
][dxj l^dyj
§2. Градиент
Определение 1. Градиентом функции ф(х,у,г) в точке N е (D)
называется вектор, проекции которого на оси координат равны
частным производным от функции ф по соответствующим коор-
динатам, вычисленным в точке N, т. е. вектор вида
ах ay az
Видим, что введенный нами выше вектор G и есть градиент ска-
лярного поля Ф в его точке N.
735
Определение 2. Градиентом функции ф(х,у,г) в точке N e (D)
называется вектор, направленный в сторону наибольшего возрас-
тания <р в точке У и по длине равный этой наибольшей скорости
возрастания функции Ф в точке N.
Из определения 2 следует, что grad ср не зависит от выбора
системы координат.
Установим связь между grad ф (У) и той (единственной) по-
верхностью уровня ф(х,у,г) = С, которая проходит через точку
N. (При этом предполагаем существование непрерывных
Эф Эф dtp Эф Эф Эф
э? э? в а также то’что эГ э? э? в точке N не
обращаются одновременно в нуль.)
Запишем уравнение уровенной поверхности, проходящей че-
рез точку N в виде
<t>(x,y,z)-C = 0. (2)
=F(x,y,z)
Имеем F'(N) = ф' (N); F?(N) = ф^(У), FZ(N) = (p'z(N). Так как
F', F', F' в точке У не обращаются одновременно в нуль, то У —
обыкновенная точка поверхности, определяемой уравнением (2).
А тогда, как мы знаем, вектор
(f^n),f;(N),F'(N)) = (ф;(У),ф;(У),ф'(У))
направлен по нормали к поверхности (2)
в точке У. Отсюда заключаем, что
grad ф (У) направлен по нормали к по-
верхности уровня, проходящей через точ-
ку У. (Причем grad ф (У) направлен в сто-
рону возрастания функции Ф.)
Прежде чем перейти к выводу фор-
мул, облегчающих вычисление градиен-
та, отметим выражение gradф через так называемый символиче-
ский вектор или оператор Гамильтона. Именно, если ввести
в рассмотрение следующий дифференциально-векторный опера-
тор v (читается “набла”):
V =
Э т Э - 3 .-
Эх ду dz
(3)
736
то градиент функции Ф можно рассматривать формально как про-
изведение “вектора” набла на скаляр Ф:
. „ Г Э т Э - Э -] Эф т дф - Эф г ,
Бгадф = 7ф= — i +— j + —к -ф = -х/ +-Ху +-^к. (4)
^Эх ду dz J дх ду dz
Основные формулы для вычисления градиента.
1. gradC = О (С — постоянная скалярная величина).
2. gradx = /, grady = J, gradz = fc.
3. grad(C • ф) = Cgгadф (С — постоянная скалярная величина).
4. grad^ + у) = gradcp + grad у.
Из формул 3 и 4 видно, что градиент есть линейный оператор,
преобразующий скалярную величину в векторную.
5. grad (фу) = ф grad у + у gradф.
6. grad— = ygrad(p~
V у2
7. Градиент сложных функций:
a) grad/(и) = f'(и) grad и;
A ft \ A А
б) grad f(u, v) = 77-grad и + тг-grad v, и т. д.
ди dv
8. Пусть и = ф(г), где г = -Jx2 + у2 + z2 • Здесь поверхности
уровня — сферы с центром в точке 0(0, 0, 0). Имеем
< = ф'(г) • г; = фчо-7 - -—= =
V* + у2 + z г
V / v z
Аналогично: «' = ф'(г) —, иг = Ф (г)—. А тогда
. / \ ,/ х xi + yj + zk z/ ч г ,, . -
grad ф (г) = ф (г)-------= ф'(г)- = Ф (г) • г0.
г г
Замечание. Сходство оператора gradф с обычным оператором
дифференцирования станет еще заметнее, если формулы для
вычисления градиента записывать с помощью знака “набла”.
737
Например, формула 5 запишется так: V(<py) = <pVy + yVcp, а фор-
£ J Ф I уУф - фУш
мула 6 — V — = v , и т. д.
§3. Векторное поле
Пусть (Р) — пространственное поле векторной величины
a(N). Относя область (D) и векторы a(N) к некоторой декарто-
вой системе координат, мы увидим, что задание векторной функ-
ции a(N) в трехмерной области (D) равносильно заданию трех
скалярных функций точки:
a(N) = ax(N)i + ay(N)j + az(N)k , (1)
или
a(x,y,z) = ax(x,y,z)i + ay(x,y,z)l + az(x,y,z)k. (1)
(Таким образом, задание векторного поля равносильно заданию
трех скалярных полей.)
Замечание. Векторное поле называется плоским, если об-
ласть (2>) плоская и если вектор а лежит в той же плоскости
(см. рис. 17.4). В этом случае
а = а(х,у) = ах(х,у)1 + ay(x,y)J.
Важным средством для изучения векторного поля является
понятие векторных линий поля.
Определение. Пусть (D) — поле вектора a(N). Если (£) есть
линия, лежащая в (D) и такая, что в каждой своей точке она
738
касается соответствующего вектора поля, то (L) называется век-
торной линией этого векторного поля (см. рис. 17.5). Пусть
X = х(0,
У = У(!), t е Ro,74 — параметрические уравнения одной из век-
Z = z(t),
торных линий данного векторного поля. Тогда, как известно,
вектор т с проекциями x't, y't, z't направлен по касательной
к этой линии в рассматриваемой точке N, а следовательно, будет
коллинеарен с вектором a(N). Поэтому проекции этих двух
векторов и а(ЛГ) будут пропорциональны:
dy Oz dx dy dz ’
или в более подробной записи:
dx = dy = dz
ax(x,y,z) dy(x,y,z) az(x,y,z) ’ ' ?
Полученные уравнения (2) называются дифференциальными уpdeне-
ниями векторных линий. Переписав эти уравнения в виде
dy = dy(x,y,z) dz = dz(x,y,z)
dx ax(x,y,zY dx dx(x,y,zY
получаем нормальную систему дифференциальных уравнений
с двумя неизвестными функциями у(х) и z(x).
В случае плоского векторного поля d(x,y) система (2) сведет-
ся к одному уравнению:
dx = dy , = ау(х,у)
ах(х,у) dy(x,y) Ух dx(x,y)'
Интегральные кривые этого уравнения и будут векторными лини-
ями данного плоского векторного поля.
Задача. Найти векторные линии векторного поля a = yzi +
+ zxj + xyk, заданного в любой области (D), не содержащей
начало координат.
Решение. Составляем дифференциальные уравнения вектор-
ных линий:
dx _ dy _ dz
yz zx xy ’
739
X X
или у' - —, z'x = — • Видим, что система (3) в данном случае рас-
у z
издается на два отдельных уравнения, содержащих каждое только
одну неизвестную функцию. Интегрируя эти уравнения, получаем
v2 _ ..2 _ р „2 2 _ с
Х у — С/1, X Z — ^2 •
Линии пересечения этих гиперболических цилиндров и будут век-
торными линиями данного векторного поля.
В дальнейшем, для большей наглядности рассуждений, мы
будем придавать вектору a(x,y,z) некоторый условный физиче-
ский смысл, а именно, вектор a(N) будем истолковывать как
скорость v(N) установившегося течения фиктивной жидкости.
(Движение жидкости называется установившимся, если скорость
v(N) не зависит от времени.) Жидкость мы будем предполагать
несжимаемой, т. е. имеющей постоянную плотность, которую бу-
дем считать равной единице. Пользуясь такой “гидромеханиче-
ской” моделью векторного поля, рассмотрим следующую задачу
(она приведет нас к важному понятию потока векторного поля).
Задача I. Пусть (D) — поле вектора a(N), N е (D). Пусть
в (D) расположена гладкая или кусочно-гладкая двусторонняя
незамкнутая поверхность (5). Рассматривая вектор а как скорость
v движения частицы жидкости, определить количество жидкости,
протекающей за одну секунду через данную поверхность (S').
Решение. Разобьем поверхность (S) на столь малые части
(AS*.) (к = 1, л), чтобы каждую такую часть можно было считать
приблизительно плоской, а вектор а для всех точек этой части
приблизительно постоянным по величине и направлению.
Частица жидкости, которая в данный момент находилась
в точке Nk части (AS*.), переместится за одну секунду в конец
вектора a(Nk) (см. рис. 17.6). Поэтому количество жидкости,
протекшей за одну секунду через площадку (AS*.) будет равно
приближенно объему наклонного цилиндра с образующей, изоб-
ражаемой вектором a(Nk), и с основанием (AS*). Высота h
этого цилиндра будет равна проекции вектора a(Nk) на нормаль
к поверхности (S) в точке Nk, т.е. равна a(Nk) • n0(Nk) =
= an(Nk). Значит, количество жидкости, протекшей за одну се-
740
кунду через площадку (Д5Л), будет
равно приближенно an(Nk) &Sk
(здесь &Sk — площадь (Д5\)).
А тогда количество Р жидкости,
протекшей через всю поверхность
(5) за одну секунду, будет прибли-
женно
п
P-^an(Nk)-\Sk.
к=1
Рис. 17.6. К определению
. потока векторного поля
Точное выражение для количества Ржидкости, протекшей за одну
секунду через всю поверхность (5), получим переходя здесь к
пределу при Л -» О (Л — наибольший из диаметров частей (А$к)).
Будем иметь
P=fP„dS = jJ(n-n0)rfS.
(5) (5)
Этот ответ приводит нас к понятию потока векторного поля.
Потоком векторного поля а через незамкнутую поверхность
(5) (с выбранным направлением нормали п ) называется поверх-
ностный интеграл вида
Р = JJ(5 -n0)dS. (5)
(S)
Если вектор а и орт нормали й0 разложены по координатным
ортам i, у, к («о = cosa •1 + cos₽ • J + cosy • £), то
P = Jj(ax cosa + ay cosp + az cosy) dS. (6)
(S)
Задача IL Рассматривая вектор а как скорость v движения
частицы жидкости, выяснить, какой смысл имеет поверхностный
интеграл $(а • n0)dS, если (5) — замкнутая поверхность, лежа-
(S)
щая в (D), а «о — орт внешней нормали к (5).
Решение. Разобьем поверхность (5) на части (5j) и (52);
поверхность (51) есть совокупность тех точек поверхности (5),
в которых внешняя нормаль к (5) образует острый угол с соот-
741
Рис. 17.7. К выяснению
смысла ^(a no)dS,
(3)
где (5) — замкнутая
поверхность
ветствующим вектором поля a(N),
а поверхность (52) есть совокуп-
ность тех точек поверхности (5),
в которых внешняя нормаль к (5)
образует тупой угол с вектором поля
a(N). Тогда интеграл tf(dn0)dS
(Si)
есть количество Р] жидкости, про-
текшей за одну секунду (в смысле
задачи I) через поверхность (50,
а || (а • п0) dS есть взятое со знаком
№)
минус количество Р2 жидкости, про-
текшей за одну секунду через повер-
хность (52). Так как
#(а • й0) dS = || (а й0) dS +1| (5 • й0) dS = Р} - Р2,
(3) (.У,) №)
то мы получаем, что поверхностный интеграл Ц(<5 n0)dS пред-
СП
ставляет собой количество жидкости, вытекшей за одну секунду из
объема (К), ограниченного поверхностью (S).
Если известно, что внутри замкнутой поверхности (5) нет
точек, в которых жидкость создается или поглощается, то поверх-
ностный интеграл Ц(5 n0)dS = 0, ибо в этом случае Р, = Р2.
(•У)
Если Ц(д • й0)</5 > 0, то это означает, что внутри замкнутой
(S)
поверхности (S) заведомо есть такие точки, где жидкость созда-
ется, ибо в этом случае Р1 > Рг. Такие точки называются источ-
никами.
Если Ц(й й0)</5 < 0, то внутри замкнутой поверхности (5)
(•У)
заведомо есть такие точки, где жидкость поглощается (исчезает).
Такие точки называются стоками.
742
Определение. Если (5) — замкнутая поверхность, ограничи-
вающая объем (К), а п0 — орт внешней нормали к (5), то
^(a-n^dS называется обильностью или производительностью
(S')
векторного поля а в объеме (К).
§4. Дивергенция
Пусть (5) — замкнутая поверхность, ограничивающая тело
(V) с объемом V, л0 — орт внешней нормали к (5). Отношение
$>(5 n0)dS
——------можно рассматривать как среднюю объемную плот-
ность потока векторного поля через замкнутую поверхность (5)
(или как среднюю плотность источников и стоков, распределен-
ных в теле (К); говорят также о средней производительности
этих источников и стоков).
Станем стягивать поверхность (5) к некоторой фиксирован-
ной точке N, лежащей внутри (5) (выражение “поверхность (5)
стягивается к точке N означает, что точка N находится внутри (5)
и что диаметр (S) стремится к нулю). Если при этом существует
конечный предел
$(an0)dS
то этот предел называется дивергенцией векторного поля а в точке
N и обозначается div a(N). Очевидно, что div a(N) можно рас-
сматривать как объемную плотность потока векторного поля а
в точке N. Из определения дивергенции ясно, что diva(jV) не
зависит от выбора системы координат.
Отметим, что diva(jV) характеризует векторное поле уже
в самой точке N, а именно:
1) если div a(N) > 0, то в точке N имеется источник;
2) если div a(N) < 0, то в точке N имеется сток;
3) если diva(TV) - 0, то в точке 2Унет ни источника, ни стока.
743
Вопрос о существовании и вычислении дивергенции решается
следующей теоремой.
Теорема. Если проекции ах, ау, az вектора а непрерывны
в области (Л) и имеют там непрерывные частные производные
дах дау daz
дх ’ ду ’ dz ’
то для любой точки области (Л) diva существу-
ет и выражается формулой
diva
da, да daz
—— + —— + —- ,
дх ду dz
(2)
Пусть точка N — любая точка из области (Л). По определе-
нию diva(N) имеем
fyla-n^dS
div a(N) = lim —----------.
(5)->У V
Пусть «о = cosa • * + cos₽ • J + cosy ’ • Тогда
^(a • nQ)dS = ^(ax cosa + ay cosp + az cosy)dS =>
(5) (5)
=> применив формулу Остроградского, получаем
$(an0)dS =
(5)
(rtf да* day da.'l
—~ ~ ~
''“’Д дх ду dz)
dxdydz = JJf J\M)dV
(V)
(ради краткости мы обозначили подынтегральную функцию через
Так как f(M) непрерывна в области (К), то, применяя
к тройному интегралу частный случай теоремы о среднем, получим
^f(M)dV = f(M)V,
(V)
где М есть некоторая точка, лежащая внутри (К). Отметим, что
если (5) -> N, то точка М стремится к точке N. Поэтому
diva(AT) = Hm = Jim f(M) = f(N)
744
(здесь мы опять воспользовались непрерывностью функции f).
Так как f(N) =
(дах дау да А
—- + —- + —-
V дх ду dz J
div a(N) = f
l dx dy
, то получаем
N
dav daz
Эу dz
N
Замечание 1. Из способа доказательства теоремы следует, что
с помощью понятия дивергенции формула Остроградского может
быть записана в виде -n0)dS = JJj div a dV .
(•s) (Ю
Таким образом, получается следующая векторная формули-
ровка теоремы Остроградского (мы даем ее в сокращенном виде,
не повторяя условий теоремы).
Поток вектора через замкнутую поверхность равен тройному
интегралу от дивергенции вектора, взятому по области, ограни-
ченной этой поверхностью.
Замечание 2. Если ввести в рассмотрение символический
ж, — д ~ д ~ д г а - ~
вектор Гамильтона V = — /+ — /+ — к, то diva можно рас-
дх ду dz
сматривать как скалярное произведение векторов V и а. Дей-
ствительно, имеем
.. , дау , daz
дх ду dz
= diva.
Основные формулы для вычисления дивергенции.
1. div С = О (С — постоянный вектор).
2. div С • а = С div a (С — постоянная скалярная величина).
3. div(a + b) = diva + div£.
Из формул 2 и 3 видно, что дивергенция есть линейный
оператор, преобразующий векторную величину в скалярную.
4. div(<p-a) = <p-diva + grad(p-a (или в другой записи:
V(<p d)=<p-Va + V<pa).
745
Докажем, например, формулу 4. Обозначим
<ра = А => А = <paxi + <payJ + <рагк.
=Л =Ау
Имеем
.. , ~х А- л дАх дАу дА
div (ф • а) = div А = —— + —— + —— =
Эх ду dz
. Э ч
' dz" ~1' :
Эф Эф Эф
• ах + • а + -2- • а
Эх ду у dz
д , \ д . \ Э . .
= (р^ + ^ + ЁЬ
Эх ду dz
= <р • diva + grad ср-а.
•а
§5 . Линейный интеграл векторной функции
Пусть в поле (О) вектора а лежит направленная кривая (/)
(кривая (АВ)). Эту кривую (АВ) будем рассматривать как годо-
граф некоторой векторной функции f(t) = x(t)i + y(t)j + z(t)k ,
Гб[70,Т]. Годографом векторной функции f(t) называется кри-
вая, описываемая концом вектора r(t), начало которого находит-
ся в точке 0(0, 0,0), при изменении аргумента t от t0 до Т.
Выберем на (АВ) определенное направление, например, от
точки А к точке В, и проделаем следующие операции.
1) Дробим (АВ) точками Ло = А, Л2,..., Ап = В на л дуг
^AkAk+i (к = 0,1, 2,..., п -1). Точки Ak(xk,yk,zk) следуют друг
за другом в направлении от точки А к точке В. Пусть dk —
диаметр ^.АкАк+1 а А = *гаах_{<4}.
2) На каждой дуге ^АкАк+1 берем произвольную точку Мк
и находим a(Afk).
3) Умножаем скалярно вектор а(Мк) на вектор \гк = гл+1 - гк.
Получаем
а(Мк)- Ьгк.
746
5(М)
Рис. 17.8. К определению
линейного интеграла
4) Складываем все такие произведения. Получаем сумму
л-1
о = -Дг* .
*=о
5) Измельчаем дробление так, чтобы Z —> 0.
Если при этом существует конечный предел I = lim о и этот
Х->0
предел не зависит ни от способа дробления кривой (АВ) на части
~Ак Ак+1, ни от выбора точки Мк на каждой части, то предел /
называется линейным интегралом от вектора а по кривой (АВ)
и обозначается
fa-dr или fa-dr. (1)
(лв) (О
Если кривая (Г) замкнутая, то линейный интеграл обозначается
символом
fa dr (2)
(/)
и называется циркуляцией вектора а по кривой (/).
Так как
а(Мк) = ax(Mk)i + ay(Mk)j + at(Mk)k,
Ьгк = &xki + &ykj + &zkk,
747
то
а(Мк)- \гк = ах(Мк)Ьхк + ау(Мк)Ьук + az(Mk)&zk.
Значит,
л-1 л-1
^а(Мк)-Ьгк = ^[ax(Mk)Lxk +ay(Mk)tyk + az(Mk)&zk].
к=0 к=0
Переходя здесь к пределу при А —> 0, получаем
fa • dr = J axdx + aydy + azdz. (3)
(/) (0
Так линейный интеграл от вектора а по кривой (/) выражается
через криволинейный интеграл второго рода. Отсюда, в частности,
следует, что линейный интеграл fa - dr существует, если (/) —
(О
кусочно-гладкая кривая и проекции ах,ау, az вектора а непре-
рывны на (/).
§6 . Вихрь векторного поля
Введем понятие плоскостной плотности циркуляции. (Это
понятие аналогично понятию объемной плотности потока век-
торного поля.) Для этого через фиксированную точку N области
(D) проведем некоторую плоскость (Q). Положение плоскости
(0) можно характеризовать ортом нормали к ней:
й0 = cosa • i + cosp • j + cosy • к.
На плоскости (Q) возьмем замкнутый контур (/), охватывающий
точку У; направление на контуре (/) согласуем с направлением
нормали й0 так же, как это делается в теореме Стокса. Выражение
• dr
(О, где S — площадь фигуры (5), ограниченной кривой (/),
5
естественно назвать средней плотностью циркуляции по плоскому
контуру (/). Станем теперь (сохраняя орт л0 неизменным) стяги-
вать область (5) по всем направлениям к точке N. Если при этом
748
Рис. 17.9. К определению плоскостной
плотности циркуляции
ja • dr
существует конечный предел —»то он называется плос-
костной плотностью циркуляции (для данной плоскости (Q))
в точке N. Плоскостную плотность циркуляции будем обозначать
через ц(У,л0), так что
ja dr
ц(ЛГ,Я0) = lim —
U (S)->N S
(1)
Найдем выражение для плоскостной плотности циркуляции в любой
точке N области (D) и для любой плоскости (Q), предполагая, что
Эог дах
проекции ах, ау, az вектора а и их частные производные ,
dav dav да7 daz
, -тг2-, -г-5-, -г— непрерывны в области (D). Имеем
дх dz Эх ду * г \ /
j>a - dr = jaxdx + aydy + azdz. Применяя формулу Стокса, получим
(О (/)
cosp
Э
ду
ау
cosy
Э
dz
az
dS = jjf(M)dS
(S)
749
(ради краткости мы обозначили подынтегральную функцию через
f (М)). Так как f (Л/) непрерывна на (5), то, применяя к поверх-
ностному интегралу частный случай теоремы о среднем, получим
$ f(M)dS = • S,
(S)
где М есть некоторая точка, лежащая на (5). Отметим, что если
(5) —> N, то точка М стремится к точке N. Поэтому
ц(^Яо) = lim5 = Jim f(M) = f(N)
(S)-*N S M-+N
(здесь мы опять воспользовались непрерывностью функции f).
Таким образом, окончательно получаем
И(ЛГЛ) = /(АО = cosa Э Эх cosp Э Эу cosy Э dz 9
ах ау az
или
дах да А
-г-*---—5- cosB +
dz дх I н
,,, - . (да, Эа„А
р.(ЛГ,л0) = cosa +
t ду dz )
(дау да
cosy.
I Эх ду I
(2)
Если выражения, стоящие в скобках в формуле (2), не равны од-
новременно нулю, то (как раньше для производной по направле-
Эф ,
нию -тт) естественно возникает следующая задача:
д1
Для какого направления нормали п0, т. е. для какого положе-
ния плоскости (Q), проходящей через точку N, плоскостная
плотность циркуляции векторного поля в точке N: n(N,n0) имеет
наибольшее значение?
Решение. Введем в рассмотрение следующий вектор:
Эог ЭаА- . (дах (дау ЭйД -
ду dz ) V dz дх J Эх ду J
(3)
750
или, в символической записи, w =
i
d
дх
«X
j
э
ду
ау
к
д
dz
az
. (Очевидно, что
w не зависит от направления нормали п0.) Тогда плоскостная
плотность циркуляции выражается следующим образом:
ц(.У,й0) = (w • л0) = |w| • 1л0| • cos0 = |w|cos0,
=1
где 0 — угол между векторами w и п0 (см. рис. 17.10).
Отсюда видим, что ji(7V,n0) имеет наибольшее зна-
чение для той из плоскостей, проходящих через точ-
ку N, у которой направление нормали п0 совпадает
с направлением вектора w, причем это наибольшее
значение л0) равно как раз длине вектора w,
т. е. наибольшее значение ц(У,л0) = |w|. Этот век-
тор w называется вихрем, или ротором, векторного Рис. 17.10.
поля а в точке Уи обозначается rot а. Дадим более К определению
вихря
детальные определения.
Определение 1. Вихрем векторного поля а в точке N е (Р)
называется вектор следующего вида:
/ j к
_д_ _д_ _д_
дх ду dz
(4)
Определение 2. Вихрем векторного поля а в точке N е (Р)
называется вектор, который направлен так, что для перпендику-
лярной к нему плоскости, проходящей через точку N, плотность
циркуляции в точке N будет наибольшей, а по длине — равный
этой наибольшей плотности циркуляции.
Из определения 2 следует, что вихрь векторного поля не
зависит от выбора координатной системы.
Замечание 1. Из приведенного выше способа вывода формулы
для h(jV,«0) следует, что (w • л0) = (rota • п0), а поэтому формула
Стокса может быть записана в виде
751
ja-dr = JJ(rot a • n0)dS.
(i) (S)
(5)
Таким образом, мы получаем следующую векторную формулиров-
ку теоремы Стокса (мы даем ее в сокращенном виде, не формули-
руя условий).
Циркуляция вектора а по контуру (/) равна потоку вихря
этого вектора через любую незамкнутую поверхность (51), натя-
нутую на контур (/).
Замечание 2. Если ввести в рассмотрение символический
вектор Гамильтона V = —/+ — / +—Л , то rot о можно рас-
дх ду dz
сматривать (формально) как векторное произведение вектора v
и вектора а . Действительно, имеем
/ j к
_д_ _д_ _д_
Эх ду dz
&х
Основные формулы для вычисления вихря.
1. rotC = О (С — постоянный вектор).
2. rot С • а = С rot а (С — постоянный скаляр).
3. rot (о + b) = rota + rot b .
Из формул 2 и 3 заключаем, что вихрь есть линейный опера-
тор, преобразующий данный вектор а в некоторый другой век-
тор rot а.
4. rot (<р • о) = ср rot о + gradcp х а (или, в другой записи,
V х (фо) = ф(7 х а) + Уф х 5).
Докажем, например, формулу 4.
Имеем
i J к
д д э
rot (ф fl) = —-
дх ду dz
<f>ay (paz
752
Э((рДг) _ Э(фа>,)^ - ( Э(фох) _ Э(фДг)А • ГЭ(фау) _ Э(фахЙ г
Эу dz J L 9z дх J дх ду J
= ф • rot а +
= Ф • rota + ёгадф х а.
§7 Дифференциальные операции второго порядка
в векторном анализе
Операции градиент, дивергенция и вихрь называются диффе-
ренциальными операциями первого порядка в векторном анализе.
Применяя эти операции повторно, мы получим так называемые
операции второго порядка (все эти операции, конечно, линейные
и не зависят от выбора системы координат). Формально можно
представить себе девять операций второго порядка, а именно:
grad(gi*axfep), grad(diva), gfad(rert3),
div(grackp), diy(dm?), div(rota),
rot(grad(p), rgi(divtn» rot(rota).
Из них зачеркнутые, очевидно, не имеют смысла. Все же остальные
операции используются в векторном анализе и его приложениях.
Всюду в дальнейшем будем предполагать, что функция ф(х,у,г)
и проекции ax(x,y,z), oy{x,y,z), az(x,y,z) вектора a(x,y,z) не-
прерывны в области (Л) и имеют там непрерывные частные про-
изводные по всем аргументам до второго порядка включительно.
I. Рассмотрим операцию div (rot а). Покажем, что всюду
в (Р): div (rot а) = 0, т. е. что вихревое поле не имеет ни источни-
ков, ни стоков.
, Положим rota = А (это — обозначение). Имеем
753
A = rot a =
i j к
Э Э Э
Эх dy dz
Ux Uy az
да. Эд„]т (да. ЭаЛ ~ (дау ЭаЛ r
__i_____i_ h^-l _±_---i_ / + _- — к '
dy dz ) v dz dx J dx dy J
.. , . -4 .. -Z dAx dAy dAz
div (rot a) = div A = ——+——+—— =
Эх dy dz
- ^2ay + Э2ах Э2аг"| | ' д2ау ъгах
dydx dzdx dzdy dxdy j dxdz dzdy ’
Так как, по условию, смешанные частные производные непрерыв-
ны в (D), то
Э2аг _ Э2ах Э2ау _ Э2^ д2ах _ д2ах
дудх дхду ’ ЭгЭх dxdz ’ ЭгЭу dydz
всюду в (D). Следовательно, будем иметь div(rota) = 0 всюду
в (Р). ◄
II. Рассмотрим операцию rot (grad <р). Покажем, что всюду
в (D): rot (grad <р) = б.
Положим grad ср = А (это — обозначение). Имеем
А = grad9 = ^-i + ^-j + ^-к;
Эх, ду Эг
=Л =Ау
rot (grad ф) = rot А =
/
Э
Эх
Л
Эу dz
Ay Az
(дАг ЭЛЛ
k ду dz
ЭЛЛ- (дАу ЭЛЛ
Эх J Эх ду ?
к =
754
' Э2ф _ Э2ф
ЭгЭу dydzj
=0 в (О)
' э2<р _ эМ у +
dxdz dzdx J
«0 в (D)
' Э2ф _ Э2ф '
дудх dxdy
=0 в (Л)
= б в (D),
ибо, по условию, смешанные частные производные от функции Ф
непрерывные в (D), и, следовательно,
Э2ф _ Э2ф Э2ф _ Э2ф Э2ф _ Э2ф
dzdy dydz ’ dxdz dzdx ’ dydx ЭхЭу в ( ) • 4
III. Рассмотрим операцию div (grad ф). Положим gradф = А
(это — обозначение). Имеем
. Эф т Эф т Эф г
А = grad<p = -2-z +-2-J + ^-к;
Эх, dy dz
=4r —Ay =AZ
div (gradф) = div А =
dAx дАу dAz _ Э2ф Э2ф Э2ф
dx dy dz dx2 dy2 dz2
Рассматриваемый оператор называется также лапласианом скаляр-
ной функции Ф и обозначается символом Дф, так что
. Э2ф Э2ф Э2ф
dlv(gгadф) = Аф = т-7 + тг + тТ-
Эх dy dz
IV. Рассмотрим теперь операции grad (div о) и rot (rot а). При
вычислении grad (div а) мы не получим каких-либо простых вы-
ражений (как в предыдущих случаях). Операция grad (div а) свя-
зана, как будет показано ниже, с операцией rot (rot а).
Предварительно введем понятие о.лапласиане векторной
функции.
Определение. Лапласианом векторной функции a(x,y,z) назы-
d2a d2a d2a
вают следующее выражение: Да = —т + —z- + —z-.
dx2 dy2 dz2
Так как a = axi + ayj + azk , to
Да =
Э2ах т д2ау - d2az ~
—Л» +—T-J+—£-к +
dx2 dx2 dx2
d2ax т д2ау - d2az
—т-1 +—i J +—т-
Эу2 Эу2 Эу2
к +
755
= Aaxz + Aayj + kazk,
т. e. лапласиан от векторной функции a(x,y,z) есть такой вектор,
проекции которого на оси координат равны лапласианам от соот-
ветствующих проекций данного вектора.
Покажем, что операция Да , ставящая в соответствие вектору
а некоторый вектор Да , позволяет связать операции grad (div а)
и rot (rot а) следующим образом:
rot (rot а) = grad (div а) - А а .
Положим rot а = А (это — обозначение). Имеем
А = rota =
/ j к
Э Э Э
Эх Эу Эе
ах ау аг
Эа2 da„V f дах да.'Н (дау Эа,'|г
—------- и + —------Ь + —-—— И
ду oz J V dz Эх ) I Эх ду )
___ ____/ V--v' V___v___
=ЛХ =AZ
rot (rot а) = rot А =
J к
Э Э
ду dz
Ау Аг
(дА. ЭЛ.Л- (ЭЛ, ЭЛА- (дАу ЭЛ,') г
ду dz J V dz дх J Эх ду J
= npxrot(rota) =npyrot(rota) =прг rot (rota)
Имеем
756
npx rot (rot a)
dAz дАу
dy dz
д2ау д2ах
дхду ду2
д2ах
dz2 dxdz
д2ау d2az д2ах
дхду + dxdz дх2
' д2ах д2ах Э2ал^
ч Эх2 Эу2 dz2 )
Э ( дах дау да.
— -г2- + -г2- + -г2- - Да
Эх^ Эх ду dz )
= -Д (div а) - Да
Эх
Таким образом, получили
прх rot (rot а) = ~ (div а) - А ах.
Эх
Совершенно аналогично находим далее, что
npj, rot (rot a) = — (div a) - A ay,
(1)
(2)
npy rot (rot a) = ~ (div a) - A az. (3)
Умножая обе части равенства (1) на i , обе части равенства (2) на
у , а обе части равенства (3) на к и складывая соответствующие
части получаемых соотношений, будем иметь
rot (rot a) = grad (div a) - A a .
Из доказанной формулы получаем еще один способ вычисления А а:
А а = grad (div a) - rot (rot a).
Из этой формулы для Да виден следующий важный факт: вектор
А а не зависит от выбора системы координат.
Отметим следующие основные формулы для вычисления лап-
ласиана от векторной функции.
1. Д(Са) = С • Да (С — постоянная скалярная величина).
2. А(а + Ь) = Ла + A S .
3. Д(С • ф) = С • Дф (С — постоянный вектор).
4. Оператор Лапласа перестановочен с операторами grad, div,
rot, т. е.
Д(gradф) = grad(Дф), A(diva) = div(Aa), A(rota) = rot(Aa).
757
ЛИТЕРАТУРА
1. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа, т. 1 и т. 2. М.:
Высшая школа, 1981.
2. Натансон И.П. Теория функций вещественной переменной.
М.-Л.: Государственное издательство технико-теоретической литерату-
ры, 1950.
3. Никольский С.М. Курс математического анализа, т. 1 и т. 2. М.:
Наука, 1973.
4. Толстов Г.П. Курс математического анализа, т. 2. М.: Государ-
ственное издательство технико-теоретической литературы, 1957.
5. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального ис-
числения, т. 2 и т. 3. М.—Л.: Физматгиз, 1959, 1960.
МАТЕМАТИКА
В ПОЛИТЕХНИЧЕСКОМ УНИВЕРСИТЕТЕ
Выпуск 2
Аксенов Анатолий Петрович
МАТЕМАТИКА
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
Часть 2
Учебное пособие
Дизай обложки О. Г. Ручка
Корректор Н.В. Виноградова
Компьютерная верстка Р.Е. Мурашова
Директор Издательства СПбГПУ А.В.Иванов
Свод, темплан 2004 г.
Лицензия Л Р № 020593 от 07.08.97
Налоговая льгота — Общероссийский классификатор продукции
ОК 005-93, т. 2; 95 3005 — учебная литература
Подписано в печать 07.07.2004. Формат 60x90/16. Печать офсетная.
Уел. печ. л. 47,5. Уч.-изд. л. 47,5. Тираж 600. Зак. 564.
Санкт-Петербургский государственный политехнический университет.
Издательство СПбГПУ, член Издательско-полиграфической
ассоциации вузов Санкт-Петербурга.
Адрес университета и издательства:
195251, Санкт-Петербург, Политехническая, 29.