Author: Олехник С.Н. Мельников И.И. Вавилов В.В. Пасиченко П.И.
Tags: анализ математический анализ функциональный анализ алгебра задачи по математике
ISBN: 5-02-014201-8
Year: 1990
Text
ЗАДАЧИ
ПО МАТЕМАТИКЕ
НАЧАЛА АНАЛИЗА
СПРАВОЧНОЕ ПОСОБИЕ
R
el
МОСКВА «НАУКАж
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1990
ББК 22.161
3-15
УДК 517(039)
Коллектив авторов
ВАВИЛОВ В. В., МЕЛЬНИКОВ И. И., ОЛЕХНИК С. Н.,
ПАСИЧЕНКО П. И.
Задачи по математике. Начала анализа: Справ. пособие/Ва-
вилов В. В., Мельников И. И., Олехник С. Н,, ПасиченкоП. И.—
М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1990.—608 с. ISBN 5-02-014201-8
Содержит теоретические сведения и систематизированный
набор задач по началам анализа. Методическое построение спра-
вочника позволяет углубленно повторить этот раздел матема-
тики и самостоятельно подготовиться к поступлению в вуз с
повышенной математической программой. Типовые задачи со-
провождаются подробным разбором.
Создана на основе преподавания математики на подготови-
тельном отделении МГУ (механико-математический факультет).
Для поступающих в вузы и преподавателей.
Табл. 18. Ил. 319.
Рецензент
доктор физико-математических наук Л4, К. Потапов
1602070000—-142
3 053(02)-89 40“90
ISBN 5-02-014201-8
© Издательство «Наука».
Главная редакция
физико-математической
литературы, 1990
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие.......................................... 4
Глава 1. Последовательности .......................... 5
§ 1. Арифметическая прогрессия * * . I . . » • . , 5
§ 2. Геометрическая прогрессия................... 23
§ 3. Числовые последовательности и их свойства * * . 43
§ 4. Предел последовательности.............. ♦ 69
Глава 2. Функции и их свойства ...................♦ 108
§ 1. Основные понятия........................... 108
§ 2. Четные и нечетные функции.................. 122
§ 3. Ограниченные функции ...................... 129
§ 4. Монотонные функции......................... 134
§ 5. Экстремумы. Наибольшее и наименьшее значения
функции.................... . . . ............ 141
§ 6. Периодические функции • .................. 152"
§ 7. Выпуклые функции 166
Глава 3. Графики функций............................ 179
§ 1. Свойства и графики основных элементарных функ-
ций ............................................ 179
§ 2. Простейшие методы построения графиков функций 220
§ 3. Графики сложных функций ................... 264
Глава 4. Предел функции. Непрерывность функции . • 292
§ 1. Предел функций............................. 292
§ 2. Непрерывность функции.................. . 329
Глава 5. Производная и ее применение . . . .~. . 340
§ 1. Производная................................ 340
§ 2. Производная и касательная................. 360
§ 3. Исследование функций и построение графиков 377
§ 4. Наибольшее и наименьшее значения функции 391
§ 5. Применение производной................... , . 409
Глава 6. Интеграл и его приложения ............. , 446
Ответы и указания .................................. 549
Дополнение. Некоторые задачи из вариантов всту-
пительных экзаменов по математике в МГУ им.
М. В. Ломоносова. 605.
ПРЕДИСЛОВИЕ
Настоящая книга является справочным пособием по мето-
дам решения задач по началам математического анализа. Она
создана на основе опыта преподавания математики на подгото-
вительном отделении естественных факультетов Московского
государственного университета им. М. В. Ломоносова. Книга
содержит материал по следующим основным темам: последова-
тельность и предел последовательности; функции и их графики;
предел функции и непрерывность; производная и интеграл.
В начале каждого параграфа приведены необходимые опре-
деления и краткие теоретические сведения. Теоретический ма-
териал иллюстрируется большим количеством примеров и задач
различной трудности. По мере возможности типы задач и ме-
тоды их решения систематизированы. В конце каждого пара-
графа имеются задания, которые .нацелены на отработку поня-
тий и основных методов решения задач. Как правило, число
заданий в каждом параграфе является четным; при этом, на-
пример, задания с нечетными номерами могут использоваться
при работе с преподавателем, а с четными номерами—для са-
мостоятельной работы. Как количество задач в задании, так и
число самих заданий значительно превышает необходимый ми-
нимум для усвоения основного материала, и авторы не предпо-
лагают, что все понятия, задачи из заданий и методы их реше-
ний будут изучаться с равной степенью подробности и тщатель-
ностью. Главная цель пособия—дать возможную схему изучения
той или иной- темы и подкрепить ее специально подобранным
материалом, обеспечить достаточно богатый выбор задач для
усвоения понятий и методов.
Книга в целом или отдельные ее главы могут быть полезны
для организации учебного процесса на подготовительных отде-
лениях вузов и для проведения факультативных занятий в сред-
них школах, при самостоятельной подготовке к поступлению
в высшие учебные заведения. Справочник поможет без помощи
преподавателя организовать планомерное повторение материа-
ла— не только основных понятий и положений теории, но и
основных приемов и методов решения задач.
Книга тесно примыкает к опубликованным ранее пособиям
авторов «Задачи по математике. Алгебра», «Задачи по матема-
тике. Уравнения и неравенства».
Отзывы, критические замечания и пожелания просим на-
правлять по адресу: 117071 Москва В-71, Ленинский проспект, 15,
Главная редакция физико-математической литературы изда-
тельства «Наука».
ГЛАВА 1
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
§ 1. Арифметическая прогрессия
Арифметической прогрессией называется последовательность
чисел {«„}, ngN, у которой каждый член, начиная со второго
(см. с. 43), равен предыдущему, сложенному с одним и тем же
постоянным для данной последовательности числом d, т. е.
««+i = «n+^ n^N.
Число d называется разностью арифметической прогрессии, чис-
ло ai — первым ее членом, а ап—общим ее членом.
Так, например, последовательность
1, 6, 11, 16, 21, 26, ,,f,
у которой последующий член, получается из предыдущего при-
бавлением числа 5, а первый член равен 1, является арифмети-
ческой прогрессией с разностью, равной 5.
При любом п^2 имеем
^п + 1 •й/г = б/,
t an^an-i=id.
Таким образом (при п^&2),
fln+i—ип — ап—
. ИЛИ
=------2-----»
т. e. каждый член арифметической прогрессии, начиная со вто-
ч рого, равен среднему арифметическому предшествующего и по-
£ Следующего членов. Так как верно и обратное, то имеет место
следующее утверждение: числа а, b и с являются последова-
I? Тельными членами некоторой арифметической прогрессии тогда
; и только тогда, когда одно из них равно среднему арифмети-
* «ческому двух других.
Пример 1. Доказать, что последовательность {ап} с общим
Членом а„==2п—7 является арифметической прогрессией.
Решение. Для доказательства воспользуемся сформули-
рованным выше утверждением. При п^2 имеем
—2/г—-7, fln-i = 2(n — 1)—7 = 2/г—9,
1 — 2 (я 1) *»—7 = 2/1 5.
6 ГЛ. 1. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
Следовательно,
„ о„ 7_ (2/г—5) + (2п—9) _ en+i+a„_j
ап — *,пл— ‘ — — 2 — 2 ’
что и доказывает нужное утверждение.
Для арифметической прогрессии {ап} с первым членом сц и
с разностью d ее n-й член может быть найден по формуле
an = ai4-(n— \)d, n^N.
Например, а) если дана арифметическая прогрессия
1, 3, 5, 7, 9, 11.
членами которой являются все последовательные положитель-
ные нечетные числа, то
а„=1 -f-2 (п—l)~2n — 1;
б) если fli = 7 и d=3, то
л„=74-3 (/г-— 1)==Зя4-4;
в) если «1=10 и d =—0,5, то
ап~ 10— 0,5 (л —1) = — 0,5«+10,5.
Для арифметической прогрессии {ап} с разностью d имеет
место также следующая формула:
= (n — А?), 1 —1,
где п и k—натуральные числа. Таким образом, n-й член ариф-
метической прогрессии {«„} может быть найден также через лю-
бой предшествующий ему член последовательности и раз-,
ность d этой прогрессии.
При 1«С&Ог — 1 из последней формулы следует, что
ап + kd>
an~an+k“~~ kd.
Отсюда находим, что
+ , КЖя—-1,
т. е. любой член арифметической прогрессии, начиная со второго,
равен полусумме равноотстоящих от него членов этой прогрессии.
Кроме того, для любой арифметической прогрессии {«п}
справедливо равенство
ат + ап~ак+а1>
если m-{-n~k-{-L
Рассмотрим, например, арифметическую прогрессию {«л},
у которой б?! —7 и d=4. Для этой прогрессии получаем;
а) — 7(м — 1)• 4= 3;
п___аъ + а1ъ
о) аю=---g----
так как «6 = «30-б и «f6 = «fo+55
§L АРИФМЕТИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ
7
в) = Лю, \
так как 7 + 8—5+10.
Записав ап следующим образом:
ап — nd-\~(ax — d),
получим, что n-й член арифметической прогрессии {ап} с раз-
ностью d есть значение, которое принимает линейная функция
y=rfx+(ai—d)
при х~п. Поэтому точки
(1; ах), (2; а2), (3; а3), ...» (п; ап), ...,
т. е. точки
(1; ах), (2; (3; ai + 2d), ..., (n; а/+ (/г—1) d),
принадлежат прямой r/==<ix+(a1—d).
Например, прогрессию с об-
щим членом an = 2/z — 1, т. е. про* у
грессию
1, 3, 5, 7, 9, И, 2л —1, ...,
7
можно геометрически представить
как ординаты точек, расположен- g
ных на прямой # = 2х + (1—-2) =
= 2х— 1 (рис. 1.1).
Верно и обратное утвержде- 3
ние: значения любой линейной
функции у — Ах-^В, когда х про-
бегает множество всех натура ль- *
ных чисел, т. е. •----0
4 + В, 24 + В, ЗД + В, ...
иЛ + В, ...»
7
образуют арифметическую про-
грессию, первый член которой Рис. 1.1
равен А + В, и разность равна 4.
4
Например, функция у~—- х + 8 определяет арифметиче-
4 , _ 20
скую прогрессию с первым членом, равным ——+8=-з-, и раз-
о о
4
ностью d~—д- (рис. 1.2):
20 16 12 8 _4 __8_
3 ’ 3 ’ 3 ’ 3 ’ 3 ’ 3’ 3 ’ • • •
Формула для общего члена арифметической прогрессии {пп}
связывает четыре величины: alt ап, d и п. Если три из них
заданы, то из этой формулы можно найти четвертую величину;
8
ГЛ. 1. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
Рис. 1.2
приведем соответствующие формулы нахождения а±, d и п\
ai=a„—d(n— 1); B==~2’d----*" L
Пример 2. Сумма второго и четвертого членов арифмети-
ческой прогрессии {ап} равна 16, а произведение первого и пя-
того ее членов равно 64. Найти первый член этой прогрессии и
ее разность.
Решение. По условию задачи a2:|-a4=sl6 и ахаб = 64;
получаем следующую систему уравнений:
/ ^'i“l~2d=s8,
| ai (flj- + 4d) = 64.
Находя из первого уравнения этр| системы 2d и подставляя это
значение во второе, получим уравнение <
otj «w 16#! —-J—- 64 = О,
или
(«1*-8)2 = 0.
Таким образом, —8; следовательно, 2d==8—«1 = 0, т. е. d=0.
Пример 3. Пусть {ап} — арифметическая прогрессия. Най-
ти «f2, если «j«4 = 22 и a2a3=s40.
Решение. Пусть d— разность прогрессии, тогда имеем:
e45=s«l+3d, «2 —#1+^, «3~«i + 2d. Таким образом, для нахож.
§1. АРИФМЕТИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ
9
дения чисел а± и d из условия задачи получаем систему урав-
нений
Г ((Zf -J- 3d) = 22,
| (aj+d) (fli + 2d) = 40,
которая равносильна следующей системе:
( cif (ctf -j- 2d) cifd = 22,
tzf (tzj -f- 2d) -j- d (#1 -f- 2d) = 40.
Вычитая из второго уравнения этой системы первое уравнение,
получим
zzid-j-d (fltj -j—2d) = 18,
т. e. 2da = 18. Таким образом, для значений d имеем две воз-
можности: di — —3 или d2 = 3. При d=di~—3 первое уравне-
ние имеет вид d^^9ai— 22 = 0, откуда находим, что для воз-
можны два значения: Л1 = 11 или «1 = —2. При d = d2 = 3 полу-
чаем для at также две возможности: ai =—11 или af = 2.
Так как ^i2 = «i +1 Id, то отсюда следует, что для ац воз-
можны следующие значения: —22, 22, —35, 35.
Пример 4. Числа 5 и 38 являются соответственно первым
и двенадцатым членами арифметической прогрессии {а«}« Найти
ап при п = 2, 3, ..., 11.
Решение. Так как
J Дуг—а,- 38—5
12—1 и-' ’
то искомые члены соответственно есть
8, II, 14, 17, 20, 23, 26, 29, 32, 35.
Пример 5. Найти количество всех трехзначных натураль-
ных чисел, делящихся на 7.
Решение. Наименьшее трехзначное число, делящееся на 7
без остатка^ есть число 105, а наибольшее—число 994.
Если количество всех трехзначных чисел, делящихся на 7,
обозначить через /и, то прогрессия {аи}, первый член которой
равен 105 и разность которой равна 7, в качестве первых своих
т членов содержит все трехзначные натуральные числа, деля-
щиеся на 7 без остатка; при этом а^ = 994. Отсюда 994 = 105 4-
+7(/n—1), или т = (994—98):7=128.
Сумма Stt = #i+a2+ • • • ^гап первых п членов арифметиче-
ской прогрессии {а«} равна произведению полусуммы крайних *
слагаемых на число слагаемых, т. е.
о ai + an
i>n-----2---
Отсюда, в частности, следует, что если нужно просуммировать
члены ...» ап (1 < k^n) арифметической прогрессии,
то предыдущая формула сохраняет свою структуру, т. е.
* »• ~bfln==.(n—&+1).
?Ю ГЛ. L ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
Дадим геометрическую иллюстрацию этой формулы. Для
этого каждому члену прогрессии ak, аь+t, ..., ап сопоставим
прямоугольник, высота которого соответственно равна |лд|,
1ай+11> l^nl а ширина каждого из них равна 1; при этом
Прямоугольник с высотой |а/| будем откладывать выше оси
абсцисс, если «у > 0, по другую ее сторону, если ау < 0, и про-
межуток оси ОХ, длина которого равна 1 (вырожденный пря-
моугольник), если яу = 0. Так, на рис. 1.3, а показаны первые
семь членов прогрессив, у которой ац~2 и d==*l,-a рис. 1.3,6
отвечает случаю ^ = 6, d =—2. В такой интерпретации-каждый
член арифметической прогрессии представляет собой площадь
прямоугольника, взятую со знаком плюс или минус в зависи-
мости от того, выше или ниже оси абсцисс расположен соответ-
ствующий прямоугольник, и член прогрессии равен нулю, если
ему соответствует вырожденный прямоугольник. Тем самым фор- ,
мулу для суммы +-• •+йа можно интерпретировать
как алгебраическую сумму (с учетом знаков) площадей соот-
ветствующих прямоугольников.
Так как = 1)+(л—1) = (&+ 2) + —2)—..., то
«/г+^n:=:::CZ/2-bi +.
Для прогрессии, которой соответствует рис. 1.4, а (га = й+3),
эти равенства означают, что если к первому слева прямоуголь-
нику приложить сверху четвертый, ко второму—третий, к треть-
ему«*второй, к четвертому —первый, то в результате получим
прямоугольник ABCD, стороны которого равны /г-|-3—&-J-1 = 4
и Uk^a^+з, (В случае, когда число слагаемых нечетно, то к
среднему прямоугольнику прикладывается он сам.) Как видно
из рис. 1.4, а, сумма + +^+2+^+3 представляет собой
половину площади четырехугольника ABCD, т. е. равна
*2* (ak + ak+s) *4=2 (а^ + з).
Для прогрессии, которой соответствует рис. 1.4, б (л=&4-5),
получается прямоугольник ABCD со сторонами и
1 =6. Отличие здесь от рис. 1.4, а состоит в том, что
на первый слева прямоугольник сверху наложен шестой, на
второй—пятый, на пятый—второй, на шестой—первый, к треть-
ему приложен четвертый, а к четвертому**» третий. (Если соот-
ветствующие прямоугольники суммы двух членов прогрессии
расположены по одну сторону от оси абсцисс, то они прикла-
дываются друг к другу, а если по разные, то они накладыва-
ются друг на друга.) В этом случае сумма • • •
'. ♦. также равна -половине площади прямоуголь-
ника ABCD, т. е. равна
-g- 3 (Д&+ ak+&)-
Аналогичные рассуждения можно провести и в общем
случае.
Пример 6. Фруктовый сад имеет форму правильного тре-
угольника, причем в первом его ряду посажено 1 дерево, во ч
втором**-2 дерева, в третьем—3 дерева и т. д., в n-м ряду — '
л деревьев. Может ли такой сад иметь 105 деревьев?
12
ГЛ. 1. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
§1. АРИФМЕТИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ
13
Решение. Заметим, что если найдется такое значение п,
при котором- справедливо равенство 1+ 2+...+« = 105, то
такой сад возможен. Так как . последовательность
1, 2, 3, 4, ..., п, ...
является арифметической прогрессией, то из приведенного ра-
венства следует, что
+±1U1O5.
Отсюда находим, что п=14.
Таким образом, такой сад возможен, и он может быть по-
сажен указанным способом в 14 рядов.
Пример 7. Доказать, что:
а) 13Н-28+... +»3= ( " ;
чисел, находящихся на рисунке между любыми двумя выделен-
ными линиями, например суммы
4 + 8+12+16+12 + 3 + 4;
Aj + 2А; + 3/г + + 5Я; + ... + А2+ ... + 5k + 4k + 3k + 2k + k.
По формуле для суммы членов арифметической прогрессии на-
ходим, что эти суммы равны соответственно
4.(1 + 2 + 3 + 4+1+2+3) = 4-4-4 = 43;
А (1 + 2+3+ ... +k+ 1+2+ ... +(6-1)) =
= й {2 (14-2+... 4-fe)—k} = k /2.h\=й«.
1 Z I
14
ГЛ. 1. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
Таким [образом, сумма всех чисел в квадратной таблице пхп
равна 1* 3+23+*..+я3. С другой стороны, суммы чисел, стоя-
щих в первой, второй, третьей, ..., n-й строках, равны соот-
ветственно
1 + 24-3+...+«,
2(1 +2+3 + .., +п),
3 (1 + 2+3+ * • • + п),
п (1 +2+3+ ..»+ я).
Сложив все эти равенства, получим, что сумма всех чисел, стоя-
щих в таблице, равна
(1 +2+3+.,, + п) (1 +2+3+ ... +п) =
= (1+2+3+...+п)2=(-^^±Д-у.
Требуемое равенство доказано.
б) Воспользуемся тождеством
а (а +1) (и+2) *-* (я— 1) а (о, +1) = Зя2+Зо.
Положив в нем последовательно а=1, а=2, ,,,, а = п, полу-
чим п равенств:
1.2.3-0‘1.2 = 3-12 + 3-1,
2.3.4—Ь2.3 = 3«22+3.2,
3.+ 5—2.3.4 = 3-32 + 3-3,
(n—l)n(n+l)-(n—2)(n-l)n = 3(n-l)2 + 3(n-l),
п (п+1) (п+2) — (п — 1) п (п+1) = 3п2+3п.
Сложив эти равенства и приняв обозначения Sx = 1 + 2+ ,., + п,
S2== 12 + 224~ ...+п2, получим равенство
n (n +1) (п + 2) = 3S2 + 3SX,
из которого следует искомое выражение для <S2:
n (n +1) (п + 2)—3SX
3
_ п (n+D (п+2)-^ п (п+1) (n+ п(2п+
3 6
Если дана арифметическая прогрессия {ап}, то величины at,
ап, d, п и Sn связаны двумя формулами:
an=ai+d(n—l)-, Sn=ai^"n.
Поэтому, если значения трех из этих пяти величин даны, то
соответствующие им значения двух остальных величин опреде-
ляются из этих формул, объединенных в систему двух уравне-
ний с двумя неизвестными.
Пример 8. Сумма третьего и пятого членов арифметиче-
ской прогрессии равна 5, а их произведение равно 6. Найти
сумму первых десяти членов этой прогрессии.
§1. АРИФМЕТИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ 15
Решение. Пусть арифметическая прогрессия с раз-
ностью d, удовлетворяющая условию задачи. По условию задачи
имеем систему
J аз + а5=5,
I ед»=6,
из которой находим два ее решения: (а*1); а*Р) = (2; 3), (а®>;
= (3; 2). Так как a6 = a3 + 2d, то для разности прогрессии d
получаем две возможности: dW^l/2 и d<a> =—1/2. Таким обра-
зом, имеется две прогрессии, удовлетворяющие условию задачи:
a)of>=l, d(1)=l/2; '
б) а(2> = 4, ^2> =—1/2;
Отсюда получаем
aft’= 1 4--у-(10—0=5,5,
aS> = 4—1^(10-1) = -0,5}
Z
и, следовательно,
10=32,5,
S$ = 4~°:L. 10=17,5.
П р и м е р 9. Найти разность арифметической прогрессии,
если ее первый член равен а и для каждого натурального
числа п сумма ее первых п членов равна ап2.
Решение. Так как ап — £f+d(n—l) = a+d(n—1), то из
формулы для суммы и условия задачи имеем
2а+^п~.?1д=:ада,
т. е«
2а+^ (п—1) = 2ап.
Так как это равенство должно иметь место при всех п, то, по-
лагая заключаем, что d=2a. Проверив, что при at—а
и d — 2a получаем «1 + 02+ • • • -\-ап — ап\ убеждаемся, что зна-
чение d — 2a служит ответом к данной задаче.
Пример 10. Могут ли числа 10, 25 и 40 в указанном по-
рядке быть членами некоторой арифметической прогрессии?
Решение. Будем искать прогрессию {ап}, у которой 01—10,
аЛ = 25 и 0^ = 40, где 1 < tn < п. Для этой прогрессии имеем
систему уравнений
( 25=10+d(m—1),
\ 40= 10+d (n—‘1),
16 ГЛ. 1. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
где d^разность этой прогрессии. Исключая из этой системы 4»
получим соотношение, связывающее натуральные числа тип:
т —1 1
п —1 ~~“2 '
Полагая, например, т = 2, получаем n = 3, d= 15. Полагая т==3,
получаем n = 5, d = 7,5.
Вообще для каждого т 2 получаем п = 2т — 1, d == — .
Таким образом, числа 10, 25 и 40 могут быть членами бесконеч-
ного числа арифметических прогрессий.
ЗАДАНИЕ 1
1. Найти первые семь членов арифметической прогрессии,
у которой первый член равен 2, а разность равна 3.
2. Найти первые пять членов арифметической прогрессии,
у которой шестой член равен **»1, а седьмой член равен 1.
3. Известно, что сумма первых пяти членов арифметической
прогрессии равна нулю. Найти третий член этой прогрессии.
4. Пусть арифметическая прогрессия, у которой а8 —а
и а^Ь, Найти разность этой прогрессии.
5. Пусть {nw}—-арифметическая прогрессия, у которой а5==6
и «7 = 8. Найти «4, «б и «10.
6. Доказать, что величина одного из углов треугольника
равна 60°, если известно, что величины его углов составляют
арифметическую прогрессию.
ЗАДАНИЕ 2
1. Найти первые шесть членов арифметической прогрессии,
у которой первый член равен —3, а разность равна 2.
х 2. Найти первые пять членов арифметической прогрессии,
у которой седьмой член равен 5, а восьмой член равен 8.
3. Известно, что сумма первых семи членов арифметической
прогрессии равна нулю. Найти четвертый член этой прогрессии,
4. Пусть {«„}—арифметическая прогрессия, у которой «g = «
и «5 = 6. Найти разность этой прогрессии.
5. Пусть арифметическая прогрессия, у которой «4 = 6
и «в = 8. Найти «5, «2 и «9.
6. Дан треугольник, длины сторон которого составляют
арифметическую прогрессию. Найти длину средней стороны
этого треугольника, если его периметр равен 12.
ЗАДАНИЕ 3
1. Пусть {«„} —арифметическая прогрессия, у которой «х = 3
и d—2. Найти «б.
2. Дана арифметическая прогрессия {ап}, у которой из-
вестны «2 и разность d. Найти «б, at0 и «100.
3. Сколько имеется трехзначных нечетных чисел?
4. Сколько имеется натуральных чисел, не превосходящих
1000, которые при делении на 3 дают в остатке 2?
1. АРИФМЕТИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ
17
5. Пусть^и} — арифметическая прогрессия, у которой 02f=31
и d = 0,l. Найти а± и 0i7.
6. Пусть {аЛ — арифметическая прогрессия, у которой 01з=7
и а24=12,5. Найти d± и разность этой прогрессии.
ЗАДАНИЕ 4
1. Дана арифметическая прогрессия {«„}, у которой из-
вестны 03 и разность d. Найти 0в, 02Оо-
2. Пусть {0Л}—-арифметическая прогрессия, у которой 04 = 2
и d——3. Найти 0в.
3. Сколько имеется двузначных нечетных чисел?
4. Сколько имеется чисел, не превосходящих 1000, которые
при делении на 5 дают в остатке 3?
5. Пусть {0П}—-арифметическая прогрессия, у которой 0/7=2,7
и d = 0,l. Найти 0j и 02f-
6. Пусть {0Л}—*арифметическая прогрессия, у которой ац — 6
и aie = 8,5. Найти at и разность этой прогрессии.
ЗАДАНИЕ 5
1. Пусть {0w}-es*арифметическая прогрессия, у которой 0f = 3
и 08 = 5~. Найти 02, as, ав.
2. Сумма первого, второго и третьего членов арифметической
прогрессии равна 3. Сумма второго, третьего и пятого ее членов
равна 11. Найти первый член и разность этой прогрессии.
3. Разность третьего и первого членов арифметической про-
грессии равна 6, а их произведение равно 27. Найти первый
член и разность этой прогрессии.
4. Может ли число 6,125 быть членом арифметической про-
грессии, у которой 0i = 2 и d = 0,28?
5. Найти сумму всех двузначных чисел, которые делятся
на 3.
ЗАДАНИЕ 6
1. Пусть {ап} — арифметическая прогрессия, у которой 0f=l
и я6 = 2~-. Найти 0з, 04, 0б.
2. Сумма второго, третьего и четвертого членов арифмети-
ческой прогрессии равна 12, а сумма третьего, четвертого и
пятого ее членов равна 21. Найти первый член и разность
этой прогрессии.
3. Сумма первого и четвертого членов арифметической про-
грессии равна 1,5, а их произведение равно — 4,5. Найти пер-
вый член и разность этой прогрессии.
4. Может ли число 5,124 быть членом арифметической про-
грессии, у которой 01 = 3 и d = 0,64?
5. Найти сумму всех трехзначных чисел, делящихся без
остатка на 9.
18
ГЛ. 1, ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
Упражнения
1. Найти формулу общего члена арифметической прогрес-
сии {«„}, если известно, что:
1) а$ = 5, «2 = —5;
2) ai = — 3, ав=12;
3) а/ = 6, ai’O = 33.
2. Пусть {«„}—^арифметическая прогрессия с разностью d
и сумма первых п ее членов.
Найти:
1) at и d, если «7 = —5, а32=70;
2) «is» если «6 = 2, «40=142;
3) «io, если «25—«2о= Ю, «i6=13;
4) «13, если «44=5, «12=1;
5) «14-020» если «з+«i8 = 50;
6) «1, если «75 = 190, S76 = 7500;
7) л, если «1 = 3, «2 = 5, S„ = 360;
81 d, если «1 = 7, Si0 = 25;
9) «f и d, если «к+«го =35, «ie«2i = 150;
10) S40, если «2 = 7, «з=11;
11) *$26, если лп = 2л—*5, ngN;
12) «1 и d, если «2+«4= 16, «1«б = 28;
13) «1 и d, если «1«ц = 44, «2 + 010 = 24;
* 14) л, если «2*4“«2п=42, «2 + 04 + »♦ ♦ + «2/t== 126;
15) «д, если «^ = л, ап~т (и ^т)\
16) $2о> если «в+ «0 + 012+015 = 20;
17) «„, если «4=—4, «ц=—17;
18) «„, если 5„ = л2;
19) «$12» если «1 = — 3, a8«7 = 24;
20) Sio, если «5 = 9, «2 +«о=20; ч
21) S8, если «1+л8=25, «3+«5=19;
22) Sf6, если S4 = —28, S6 = 58;
23) «1 и d, если 5„=3л2 + л;
24) at и d, если 5„ = 2ла—-3л;
25) «10, если £„=3л2—2л;
26) «j и d, если 4S„ = Srt2;
27) at и d, если «5=18, 4S„=S2„;
28) «7, если «„ = 22, л = «1«2, «2 + «п~20.
3. Найти сумму:
1) 1 + 2 + 3 + .. ,+л;
2) 2+4+6+...+(2л+ 2);
3) 1+3 + 5+.. -+ (2л+1);
4) 3+8+13+... + (5л + 3);
5) всех натуральных трехзначных чисел;
6) всех натуральных трехзначных чисел, делящихся на 3}
7) всех натуральных треханачных чисел, не делящихся на 3;
8) всех натуральных двузначных чисел, каждое из которых
не делится ни на 2, ни на 13;
9) первых 100 натуральных чисел, каждое из которых при
делении на 5 дает в остатке 2;
Ю) 1002-—992+982—972+ ... +22— I2.
4. Могут ли данные числа быть членами одной арифмети-
ческой прогрессии: _ _
1) 1, у 3, 3; 2) / 3, 2, 2 к 2;
§1. АРИФМЕТИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ 19
3) У"2, О, /5; 4) 2, 6, -| ?
5. Три числа являются последовательными членами ариф-
метической прогрессии. Сумма их равна 33, а произведение
равно 1287. Найти эти числа.
6. Четыре положительных числа являются последователь-
ными членами арифметической прогрессии, разность которой
равна 2. Произведение этих чисел равно 19305. Найти эти числа.
7» Найти первый член и разность арифметической про-
грессии, если сумма ее первых трех членов равна 27, а сумма
их квадратов равна 275.
8. Найти трехзначное число, цифры которого являются
последовательными членами некоторой арифметической про-
грессии и которое делится на 45.
9. Арифметическая прогрессия {а„} такова, что «2+^4 +
+• cig -|~Uqбчр = 15, ^7 Ч-== 12,5. Найти первый
член и разность этой прогрессии.
10. Первый член арифметической прогрессии равен 2, вто-
рой и третий соответственно равны квадратам двух последова-
тельных натуральных чисел. Найти разность этой прогрессии.
11. Сумма четырех последовательных членов арифметиче-
ской прогрессии равна 1, сумма кубов этих же чисел равна 0,1.
Найти эти числа.
12. Найти числа, являющиеся последовательными членами
арифметической прогрессии, зная, что сумма первой четверки
этих чисел равна 68, сумма последней четверки равна —36, а
сумма всех этих чисел равна 68.
13. Найти формулу общего члена последовательности {ап}>
если известно, что при любом значении п сумма первых п
ее членов равна -g- (n2—6п).
14. Найти условие, при котором три числа а, b и с являются
членами некоторой арифметической прогрессии.
15. Могут ли цифры
I) трехзначного; 2) четырехзначного простого числа быть
последовательными членами некоторой арифметической прогрес-
сии с положительной разностью?
16. Решить уравнение:
1) 52545б .. . 52* = 0,04~?8;
2) 1 +7+13+ ... + % —280;
3) (х+1) + (х+4)+...+(х + 28) = 155.
17. Даны две арифметические прогрессии:
5, 8, 11, 14, ... и 3, 7, 11, 15, ...
Сколько равных членов будет среди первых 100 членов первой
последовательности и 98 членов второй последовательности?
18. Решить уравнение
х3+х2 = а,
вная, что его корни являются тремя последовательными чле-
нами арифметической прогрессии.
19. Какая зависимость должна существовать между р и q
для того, чтобы уравнение х4+рх2 + <?=0 имело четыре корня,
являющихся четырьмя последовательными членами некоторой
арифметической прогрессии?
20
ГЛ. 1. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
20. Могут ли длины сторон прямоугольного треугольника
являться последовательными членами некоторой арифметической
прогрессии?
21. Найти отношения длин сторон треугольника, зная, что
величина одного из его углов равна 120° и что длины сторон
являются последовательными членами некоторой арифметической
прогрессии.
22. Длины сторон треугольника являются последователь-
ными членами некоторой арифметической прогрессии, разность
которой равна 2 см. Площадь треугольника равна 6 см2. Опре-
делить длины сторон.
23. Определить длины сторон треугольника, если они выра-
жаются целыми числами и являются последовательными чле-
нами некоторой арифметической прогрессии, причем периметр
треугольника равен 15.
24. Найти все арифметические прогрессии, у каждой из
которых среднее арифметическое первых ее п членов равно п.
25. Найти все значения х, для каждого из которых сле-
дующие числа:
1) V"x, х, х*>
2) 1 + sin х, sin2 х, 1 + sin Зх;
3) lg2*, lg(2*-l), 1g (2* + 3);
4) cos4 ~ ~ sin 2x, — sin4 ~ ;
Л л
5) /TZI, K’12x+1
являются последовательными (в указанном порядке) членами
арифметической прогрессии.
26. Пусть {ад}, {&„} —арифметические прогрессии. Яв-
ляется ли арифметической прогрессией последовательность:
1) 2) —Ьп}’, 3) {апЬп}}
4) {ап/Ьп}, если Ьп £ 0; 5) {| ап |}? v
27. Найти арифметическую прогрессию, в которой, сколь-
ко бы ни взять членов, сумма их всегда будет равна утроен-
ному квадрату числа этих членов.
28. Дана арифметическая прогрессия
1, 18, 35, ...
Указать все члены этой прогрессии, которые можно записать
с помощью одних троек.
29. Найти четыре целых числа, являющихся последователь-
ными членами некоторой арифметической прогрессии, при усло-
вии что наибольшее из них равно сумме квадратов трех осталь-
ных.
30. Найти условие, при котором три числа а, b и с
были бы &-м, р-м и q-м членами некоторой арифметической
прогрессии,
31. Найти четыре четных положительных числа, являющихся
последовательными членами арифметической прогрессии, при
условии что произведение суммы трех последних на сумму двух
крайних будет равно кубу полусуммы двух первых.
32. Найти сумму п членов арифметической прогрессии
х — 1 , х—2 , х—3 . . 1
—4—Г-+--+У-
§1 АРИФМЕТИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ 21
33. Найти такую арифметическую прогрессию, в которой
между суммой ее первых п членов и суммой kn следующих
существовало бы постоянное отношение, не зависящее от п.
34. Доказать, что в арифметической прогрессии между лю-
быми двумя последовательными членами можно вставить по k
чисел таких, что новая последовательность будет составлять
также арифметическую прогрессию.
35. Доказать, что если положительные числа а, b и с
(а^Ь^с) являются последовательными членами арифмети-
111
ческой прогрессии, то числа —----7^, ----7-=, ---7^
К &+/ с / с+К а / а+/ Ь
также являются последовательными членами некоторой арифме-
тической прогрессии.
36. Доказать, что если числа - 9 , , 9, -^4—5, -75-;—яв-
я2 + я2 с2 + я2 Z?2 + с2
ляются соответственно первым, вторым и третьим членами
арифметической прогрессии, то числа a2, Z?2, с2 являются после-
довательными членами некоторой арифметической прогрессии.
37. Даны две арифметические прогрессии {ап} и {Ьп}. Известно,
что ai=a, а^~Ь, и /?х = 1/а, b2=l/b, Ьз~1/с. Доказать,
что а — b = с. /
38. Доказать, что если положительные числа а, b и с, где
а^Ь^с, являются последовательными членами арифметической
прогрессии, то
3(a2+b2—c2) = 6(a^b)2^(a + b+.c)2,
39. Доказать, что если Sn обозначает сумму первых п чле-
нов арифметической прогрессии {ап}, то:
2)
3)
$зп — 3 (S2n — Sn);
$п+з—3Srt+2 4-3Srt+i-r-Sn = 0;
S S
— p)-[—я)Н——•(« — m) = 0, если числа n,
тир различны;
4) ' 5) Sn(S„n-St„) = (Sen-Sn)*.
^m + n m-j-n
40. Доказать, что если второй член арифметической прогрес-
сии есть среднее пропорциональное между первым и четвертым
членами, то шестой член будет средним пропорциональным
между четвертым и девятым членами.
тт 111
41. Доказать, что числа 7—:—, —;, —г-т являются чле-
Ь+с с + а а + Ь
нами арифметической прогрессии тогда и только тогда, когда
числа а2, Ь2 и с2 содержатся в некоторой арифметической про-
грессии.
42. Пусть {0П} — арифметическая прогрессия и существуют
такие числа тик, что Sm — rn2p, S^ — k^p, где т, k и р — неко-
торые натуральные числа. Доказать, что Sp — p3,
43. Доказать, что если {ап} — арифметическая прогрессия, то:
1) ——|—!—i—-—к-.4—-——1;
ata2 ‘ а2Яз * 1 an-ian ^ian
22
ГЛ. 1. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
2) J_____ t,._1_____г I 1____-з-
? г^+r^r^+r^’’’^r^+r^
_ п— 1
^«i+Ko^ ’
если сц > 0 при 1=1,2, .,», л.
44. Доказать, что
П4-1 1 1 I , п + 1
^1^2»+2 * азДд ’ ^ап^2п+1 ^i^2a+i’
где {«я)—возрастающая арифметическая прогрессия с положи-
тельными членами.
45. Доказать, что для всякой арифметической прогрессии
&2> Лз> «»•> аП> •
имеют место равенства:
af—2«2 + «з=0,
а± — 3«2 + За8—«4 = О,
—'4«2 +6«g — = О
и вообще при всяком п^2
ai-cAa2 + cU~. • +(- 1)«-1СГЧ + (- 1)”С^„+1 = 0.
46. Доказать, что если «/—целые нечетные числа, не де-
лящиеся на 3 и составляющие арифметическую прогрессию, то
число «1+ ... +«3i—А делится на 384.
47. Первый член и разность арифметической прогрессии
являются целыми числами. Доказать, что произведение четырех
последовательных членов прогрессии, увеличенное на четвертую
степень ее разности, является квадратом целого числа.
48. Пусть {«/}—арифметическая прогрессия с разностью d
и 0 < d < 2«х, k > 1—целое число. Доказать неравенство
у J_<_______1_______
Zu / d
£1
49. Числа «1, «2, ..., ап+1 являются членами арифмети-
ческой прогрессии. Из этих чисел составлено новое множество
чисел {6/} так, что ^z = a/+a/+i (/—1, 2, ..., п); из последних
составлено новое множество {cj, где Cj~<b/+&f+f (t = 1, 2, ...
...» n —1) и т. д. до тех пор, пока не получилось множество,
состоящее из одного числа. Найти это число.
50. Доказать, что в треугольнике Паскаля, составленном
из биномиальных коэффициентов, имеется бесконечно много
строк, которые содержат три, стоящих рядом в этой строке,
члена некоторой арифметической прогрессии.
§2. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ 23
§ 2. Геометрическая прогрессия
Геометрической прогрессией называется последовательность
чисел {6П}, у которой каждый член, начиная со второго,
получается из.предыдущего умножением его на некоторое по-
стоянное для этой последовательности число q 0, т. е.
— n(“N.
Число q называется знаменателем геометрической прогрессии,
число bi — первым ее членом, а Ьп—общим ее членом.
Так, например, последовательность
1, 4, 16, 64, 256,
у которой каждый последующий член, начиная со второго,
получается из предыдущего умножением на 4, является геомет-
рической прогрессией со знаменателем #~4 и bi=l.
Для геометрической прогрессии {Ьп} со знаменателем q при
п^2 имеем
Ьц __bn+i __
bn ’
т. е.
Например, для геометрической прогрессии
1, 4„ 16, 64, 256, 4*-Ч ,tt
имеют место равенства
4*=Ь16; 162 —4*64; 2562 = 64.1024; 42» = 4"-М«+*.
Отметим, что три числа а, Ь, с являются последовательны-
ми членами некоторой геометрической прогрессии тогда и только
тогда, когда квадрат одного из них равен произведению двух
других.
Пример 1. Доказать, что последовательность с общим
членом Ьп — {—3)-2П является геометрической прогрессией, пер-
вый член которой равен —6, а знаменатель равен 2.
Решение. Для доказательства того, что последователь-
ность {#«} является геометрической прогрессией, достаточно про-
верить равенство b^ — bn~ibn+i (п^2). При каждом п^2
имеем
&п = (-3)*2", = &ft+i = (—3)»2n+1
и, следовательно,
й = (-3 • 2«)а = (-3 • 2» -1) (-3.2"+!)=b„_ ibn+i.
Далее, так как bi ——3*2 = —6 и Ь2 ——-3«22 = —-6*2 — Ь±-2, то
нужные утверждения доказаны.
Пример 2. Пусть числа а, Ь, с являются последователь-
ными в порядке их записи членами некоторой геометрической
24
ГЛ. 1. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
прогрессии. Доказать, что
(1з-+-^+4-)=«8+68+а
Решение. Так как числа а, b и с являются последова-
тельными членами геометрической прогрессии, то = Сле-
довательно,
2.2 2 / 1 . 1 . 1 \ Ь2с2 . а2с2 . а2Ь2 асе2 . Ь* . а2ас
+—+-т-=—+Т+—=
==£3+*3+а3.
Пример 3. Три положительных числа являются после-
довательными членами арифметической прогрессии, а квадраты
этих чисел—-последовательными членами геометрической про-
грессии в том же порядке. Найти знаменатель геометрической
прогрессии.
Решение. Пусть положительные числа a—d, a, a-\-d —
три последовательных члена данной арифметической прогрес-
сии. По условию задачи числа (a—*d)2, а2, (а4~ф2 таковы, что
а4 = (а—a)2 (a-^-d)2. Отсюда имеем, что d2 (d2—2а2) = 0, т. е.
d2 (с1-—У~2а) (d + р2~2а) === 0. Если d = то а—d = tz —
— а У1! = а (1 — У 2) < 0; если d = —У~2а, то a^d — a —
— У 2а = а(1 — У~2) < 0, что противоречит предположению
о положительности чисел а—d и a-\-d. Следовательно, d — 0.
Итак, разность данной арифметической прогрессии равна 0,
поэтому знаменатель геометрической прогрессии с тремя после-
довательными членами а2, а2, а2 равен 1.
Пример 4. Три целых числа а, Ь, с являются последо-
вательными членами геометрической прогрессии. Найти эти три
числа, если известно, что числа а, &+8, с в порядке их записи
являются последовательными членами арифметической прогрес-
сии, а числа а, &+8, с+64 также в порядке их записи —по-
следовательными членами геометрической прогрессии.
Решение. Так как числа a, Z>+8, с являются членами
арифметической прогрессии, то, обозначив ее разность через d
и положив я = & + 8, получим а = х—d и c = x+d. Тогда, со-
гласно условию задачи, тройка чисел x—d,x—8, x-±d и.тройка
чисел х—d, х, х+^+64 являются последовательными членами
некоторых геометрических прогрессий. Поэтому х и d удовлет-
воряют следующей системе уравнений:
( (х—8)2 = (х—d)(x+d)t
( х2 = (х—d) (х+^ + 64).
Проделав алгебраические преобразования, найдем, что
j 16x = 64+d2,
j 3d2—64d+256 = 0.
Эта система имеет два решения: Xi = 20, dj=16 и ха = 64/3,
d2=16/3.
Условию задачи удовлетворяет только первое из этих реше*
ний. Поэтому а=4, b = 12, с=36.
§2. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ
25
Общий член Ьп геометрической прогрессии {Ь^} может быть
найден через первый ее член bi и знаменатель q по формуле
Ьп^Ь^-К ,n£N.
Например,
а) если bn+j~10bn и ^=1, то bn=lOn~i*t
б) если bn+j— — ЗЬп и й = 2, то Ьп — 2'(—3)п-1.
Общий член Ьп геометрической прогрессии {Ьп} может быть
также выражен через любой из ее членов, предшествующий
ему, и знаменатель прогрессии q следующим образом:
Ьп~ biq"-^=b2qn~2 = b3qn~3 = ... = bn_2ср = Ьп-ЛЧ,
т. е.
bn = b^qn^u или bn — bn~kqk,
При любых натуральных фиксированных п и k имеет место
равенство
bn+k~bnq*t
и поэтому
Ьп = bn~kbn+fa 1 k н— 1,
т. е. квадрат любого' члена геометрической прогрессии, начиная
со второго, равен, произведению равноотстоящих от него членов
этой прогрессии.
Кроме того, для любой геометрической прогрессии {6П} спра-
ведливо равенство
bmbn~bkbi,
если /п + п = &+/.
Например, для геометрической прогрессии с общим членом
£п = 7«(13)п-* имеем:
а) Йо —&5Й5, так как 10—5 = 5 и'10+5= 15)
б) &7&8==Mio> так как 7+8 = 5+10.
Пример 5. Третий член геометрической прогрессии {£«}
равен 8, а пятый ее член равен 32. Найти Ь^.
Решение. По условию &3 = 8 и 65 = 32. Так как Й = ^б,
то Й — 8*32 = 256, т. е. для Ь± имеем две возможности #4=16
или &4 = —16. Следовательно, для знаменателя прогрессий соот-
ветственно также имеем две возможности:
q=zbjb3 = 2 или <7 = д4/^з = —2.
Таким образом, условию задачи удовлетворяют две прогрессии!
для первой прогрессии найдем, что
bi0 = 8*27 = 210= 1024,
для второй
bio = S * (— 2)7 = —2^=—1024.
1
26 ГЛ. 1. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
Пример 6. Геометрическая прогрессия {Ьп}^ все члены
которой положительны, такова, что Ь^~2 и &ls = 3. Найти
и W>27-
Решение. Так как 10+18=14+14, то&х4=&10&18=6; следо-
вательно, Ьп—К 6. Поскольку 14+ 18= 16+16, то й = &14/?18=
= 3 У' 6, т. е. ^6=1^3)/^ 6. Наконец, из того, что 14 + 16 =
= 30 = 3 + 27, следует, что
М27=bi А« = V 6 К 3 /6=3 К 2/6.
Пример 7. Найти четыре числа х, у, г, w (х < у < z < до),
которые являются последовательными членами геометрической
прогрессии и такие, что х+до = 27 и t/+z=18.
Решение. Обозначим через q знаменатель искомой про-
грессии. Тогда y — xq, z~xq\ w — xq3, и по условию задачи
имеем систему
х + х?3 = 27,
Х(/ + х^2= 18.
Умножим первое уравнение на 2, а второе на 3; затем после
вычитания второго уравнения из первого получим
2х+2х<73—3xq—3xq2 = 0.
Так как х =£ 0 (в противном случае х=# = и = до=0), то
2(^+1) —(</+1) = 0,
или
(<7+1) (2<72—5?+2) = 0.
Таким образом, имеется три возможности: # = —1, q= 1/2, q~2.
Значение q~—1 не удовлетворяет первому уравнению системы.
При q=\/2 и q~2 для возможных значений х соответственно
получаем х = 24 и х = 3. Так как пара <? = 1/2 и х = 24 опреде-
ляет убывающую последовательность, а пара q~2 и х = 3 опре-
деляет возрастающую последовательность, то условию задачи
удовлетворяет четверка чисел: х = 3, #=6, z=12, до = 24.
Пример 8. Пусть {&„} —геометрическая прогрессия, у ко-
торой Ьь = а, bi~b, где !<;&</ и а > 0, b > 0. Найти знаме-
натель прогрессии.
Решение. Пусть д—знаменатель геометрической прогрес-
сии {Ьп}. Тогда
и, следовааельно,
qi-k=bt/bk = b/a.
Если I—k — четное число, то имеется две прогрессии, удовлет-
воряющие условию задачи, для которых соответственно q~
= b/а и q~— b/а. Если I — & —нечетное число, то зна-
менатель прогрессии равен j/"b/a.
Пример 9. Могут ли числа 12, 20 и 35 быть членами не-
которой геометрической прогрессии?
§2. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ 27
Решение. Ни одно из расположений данных чисел:
12, 35, 20; 20, 35, 12; 20, 12, 35; 35, 12, 20
в геометрической прогрессии невозможно, так как ее знамена-
тель не может одновременно быть больше единицы и меньше
единицы.
Если порядок следования данных чисел в геометрической
прогрессии есть 12, 20, 35, то 20== 12^* и 35 = 12дй+Я1, где q —
знаменатель прогрессии, a k и т—некоторые натуральные
числа. Тогда qm = 7/4, и тем самым
5 = 3 (<?«)ft/'n=3- (-j)*7”*’
Отсюда находим, что
Зот-7*,
а это противоречит единственности разложения числа на про-
стые множители. Таким образом, данные числа в указанном
выще порядке не могут быть членами никакой геометрической
прогрессии.
Случай расположения чисел в порядке 35, 20, 12 рассмат-
ривается аналогично предыдущему. Итак, числа 12, 20 и 35 не
могут быть членами никакой геометрической прогрессии.
Сумма Sn = &f + &2+ • •• +&и первых п членов геометри-
ческой прогрессии {&rt} со знаменателем q 1 вычисляется по
формуле
1__ап
а при q = 1— по1 формуле
Sn = nbf»
Заметим, что если 1 < n, q Ф 1, то
$п—^ = ^+1 + ^+2+ •••
Например,
1—2“
а) 14-2+4+8+ ... +2«-*=-j—=
б) ±+±+ +-J______1 l-U/5)»-\ ..
J бзТ-54-Г ••• -Г5п-1 —53 !_1/5 —
=_!_ fi_____!_Л
5М [ \ 5} J 100 \ 5П~3)'
Пример 10. Найти сумму первых восьми членов геомет-
рической прогрессии {/?„}, если £П = 3*2Л.
Решение. Так как = 3-2 = 6, ^ = 3-22= 12, то знамена-
тель данной прогрессии находим из равенства 0 = &2:/>i, откуда
0=2. Тогда
1—/7« х! ___98
S8=bi -7—^- = 6-г-т=6(2«-1)= 1530.
1
28
ГЛ. 1. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
Пример И. Сумма п первых членов некоторой геометри-
ческой прогрессии при ^любом натуральном п вычисляется по
формуле 5„ = 3(2"—1). Найти пятый член и знаменатель этой
прогрессии.
Решение. Пусть —геометрическая прогрессия со зна-
менателем q, удовлетворяющая условию задачи. Так как Si=3,
a S2 = 3 (22 —1) = 9, то ^i = Si==3 и bi (1 +?) = S2~9. Отсюда
следует, что q~2> и тем самым Ь^ — 3-2* = 48.
Пример 12. Найти
S„=l + 2a+8a2 + 4a3+ • •• + па"~\ а £ 0.
Решение. Так как
aSn = a + 2a2 + 3a3 + ... -\-пап,
то
aSn — Sn — nan — (1 -|-аа2 + а3 + ••• + аи~1).
Поскольку
пП________________________________________1
1 + а + а2 + а8 + • •• + а"~1 = ^—р,
то
ап — 1
ctSn —Sn = Sn (а 1) = пап q
Таким образом,
„ z пап 'ап — \
п~ а — 1 ~ (а —I)2*
Пример 13. Найти
5 = 1 + 11 + 111 + ... + 1111...111.
1000 цифр
Решение. Так как число 1111... 111 при любом н ату рал ь-
п цифр
ном п можно записать в виде
1111...111
п цифр
п цифр
999...99
9
10" —1
9
то
„ 10—1. 10а— 1 , 103— 1 , Ю100®—1
5-------- | _ I - I- • • • •+• 9 “
=1 (104-102+10»+ ... 4-1010в°—1000) =
— * [ 10Д^ —1) 1000j _ 1 (1!! , 10_ Ю00) =
У Г 1 v 1 J У < - - и
1000 цифр
=1(111... 10110).
997 цифр
§2. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ
29
П р и м'е р 14. Найти сумму первых десяти членов геомет-
рической прогрессии {Ьп}> у которой &j = 3 и Z?9—&5 = 36.
Решение. Если знаменатель прогрессии, то по усло-
вию
&9 btq* == 3</8—З#4.
Обозначив <74 = /, получим уравнение
З^2 —3/ — 36,
корнями которого являются числа ^ = 4 и /2==—3.
Поскольку ! t ^0, то ^2 = —3 не удовлетворяет условиям
задачи; следовательно, <у4 = 4. Отсюда имеем две возможности
для знаменателя прогрессии: q — ]T~2 и q — —
Для геометрической прогрессии с Ь± — 3 и q—V 2
5„_М!Ер_2й=за=93(1 + ^),
а для геометрической прогрессии с Z>i = 3 и q = —
^М>=М=93(1_О.
Для геометрической прогрессии {Ьп} со знаменателем q
имеют место следующие свойства монотонности',
1) прогрессия является возрастающей, если выполнено одно
из следующих условий:
а) Ь± > 0 и q > 1; б) bi < 0 и 0 < q < 1;
2) прогрессия является убывающей, если выполнено одно
из следующих условий:
а)д1>0и0<#<1; б) bi <0 и q > 1.
Если q < 0, то геометрическая прогрессия {Ьп} является
знакопеременной: ее члены с нечетными номерами имеют тот
же знак, что и ее первый член, а члены с четными номерами—
противоположный ему знак. Ясно, что знакопеременная геомет-
рическая прогрессия не является монотонной.
Пример 15. Геометрическая возрастающая прогрессия
и арифметическая прогрессия {ап} таковы, что
—/?f = 9, &5~—&з = 36, bi~ai и Ьъ-а^,
Найти сумму первых 12 членов арифметической прогрессии и
первых 6 членов геометрической прогрессии.
Решение. Если q—знаменатель геометрической прогрес-
сии, то имеем систему
Г ^2-^ = 9, Г ^-*1==9,
I biq* — М2 = 36, ‘ * \q* (btq* — bj = 36.
Подставляя 9 вместо — bi во второе уравнение системы,
имеем <72 = 4, откуда ? = 2 или # = —2. Так как геометрическая
прогрессия возрастающая, то q = —2 не удовлетворяет условиям
задачи.
30
ГЛ. 1. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
Если д = 2, то bi = 3; поэтому сумма первых шести членов
геометрической прогрессии равна
3(1-64)
Если d—‘разность арифметической прогрессии, то по усло-
вию имеем систему
f #1 = 3,
( ах + 2d = 6,
откуда d —3/2. Следовательно, a12 = ai+Ud = 39/2; тем самым
сумма первых 12 членов арифметической прогрессии равна
F(«i + ^i2)‘12 _
2
(з+у)-6=135.
Итак, искомая сумма равна 189+135 = 324.
Пример 16. Пусть {ап} и {Ьп}--соответственно арифмети-
ческая и геометрическая прогрессии, причем а2 > > 0, ai — bi
и а2=&2. Доказать, что < Ь^ при любом k^3.
Решение. Если q — знаменатель геометрической прогрес-
сии, то £==&2/&i== аг/ai >1» и тем самым {&„}-—возрастающая
геометрическая прогрессия: 0 < Ь± < Ь2 < Ь3 < < Ьп < Ьп+1.
Так как
bi/b2 = bn/bn+i,
то из производной пропорции
—b2 __bj
bn~~~bn+i bn
и того, что br/bn <1 и Ьп—bn+i<$, имеем
> bn-\-b2—bi
при любом п^>2.
Таким образом,
Ьз > b2-\-(b2 — bi),
b^ > &3 + (Ь2—bi),
Ьп > bn_х + (^2—^1)»
Ьп + 1 > Ьп~\~{Ь2 — bi).
Складывая эти неравенства, получим
bn+i > Ь2-^(п—1) (&2 — &1).
Кроме того, так как Ь2—bi = a2—а±, то
62 + (п — 1) (62—&i) = а2 + (м — 1) (п2—ах) = %+Ь
Итак,
Ьп+1>ап+ъ п^2,
что и требовалось доказать.
§2. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ
3!
При &i = l и q Ф I формула для суммы первых п членов
геометрической прогрессии {6rt} имеет вид
Sn== 1 +?+<72 +... •
Эта формула допускает простую геометрическую иллюстрацию.
Пусть 0<g < 1. На рис. 1.6 ОАС±В и OPMN«-квадраты,
длины сторон которых соответственно равны 1 и 1/(1**^),
OB||CiDi||CaDa||CsD8b.M BCi||DiC2|]D2C8||.,*
Так как треугольники МОВ и MC^Dt подобны, то отноше-
ние длин их сторон О В и CiDt равно отношению соответствую*
щих им высот этих треугольников, т. е.
ОВ _ ор .
CtDi ~~ АР '
отсюда следует, что C^L^ — q. Треугольники
BCfDf, • * ♦
подобные,, так как
DiCj __ Р2С2 Р&Сь ___ __
ВС$ Р1С2 О2Р3
Поэтому
0В=1, CiP^ — q, C%D%~q\ Сд/Эз —g3, .
Таким образом,
Sn = OB+CtDi 4- CZDZ +... + CnDn,
32
ГЛ. 1. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
т. е. сумма первых п членов геометрической прогрессии с общим
членом bn~qn равна ординате точки Dn,
Рассмотрим теперь случай, когда —1 < q < 0. На рис. 1.7
ОЛС1В—квадрат со стороной, длина которой равна 1, C1D1=|<7|=
= - q > 0; О А || DXC2 || D2C31| D3C41|...; OB || C2D21| C3D31| C4D4|| ...
Заметим, что точка М (точка пересечения ОСХ и BDt) имеет
координаты ’ T-lg) ’ И3 подобия треугольников ОВМ,
С^М, C^D^M, C3D3M, C4D4M, ... следует, что
CxDi = kl> С2Р2 = И|2, C3D3 = |d\ C4D4 = | |4, .. t
Таким образом (так как | q [ = — q),
Sn~OB — . + (— l)rtCrtDnj
следовательно, и в этом случае сумма первых п членов геомет-
рической прогрессии с общим членом bn — qn равна ординате
точки Dn.
Так как в обоих случаях точка Dn приближается к точке М
при увеличении члена п, то при всех достаточно больших п
имеет место следующая приближенная формула:
при 0 < I </| < 1.
* ч
Произведение ПП = 6Х&2...&П первых п членов геометри-
ческой прогрессии {Ьп} со знаменателем q вычисляется по фор-
муле
п (ft—1)
§ 2. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ 33
Произведение bJtl+tbm+%.. >bm+k любых & последовательных
членов геометрической прогрессии {Ьп} со знаменателем q вы-
числяется по формуле
+ (2m+ft- i)/a #
Пример 17. Пусть {Ья}—-геометрическая прогрессия со
знаменателем q. Найти:
5 /— 15
а) П1о, если у 6, q— у 3; ’
б) Ь^Ьь .. Л>ю, если &з = 8, /?1^2^з==64.
Решение. Имеем: __ _ .
a) ni0=*iV5 = (l/<б)1°.(к/з)4В ==32.22.3з=35,4 972;
б) из условия задачи получаем, что &fg2 = 8 и 61^ = 64.
Отсюда &i<7==4, и, следовательно, <7=2, &i = 2. Поэтому
Ь* ... &ю—щ-ge— -2 •
Пусть {Ьп} — геометрическая прогрессия со знаменателем q
и <7>0, <7?б 1. Тогда все точки
(1; Ьх), (2; д8).(и; Ьп\
т. е. точки
(1; bi), (2; btq), (n; М"“х),
на координатной плоскости, принадлежат графику функции
4 А. / / 1 \ ге~1\
^=-£<7^ Например, все точки вида n; (, где ngN,
Q \ \ J J
ординаты которых являются членами геометрической прогрессии
7 1
с общим членом bn~l 1 , лежат на графике функции ^ =
/ 1 V
= 2Ш (рис. 1.8).
2 Задаем поэмахематике» Начала анализа
34 ГЛ. L ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
Из свойств показательной функции следует, что верно и
обратное утверждение: значения любой показательной функции
вида у = где b Ф 0 и q > 0, <7 1, когда х пробегает мно-
жество всех натуральных чисел, образуют геометрическую про-
грессию с первым членом b и знаменателем q, т. е. прогрессию
b, bq, bq2, ... Например, функции у ——(2/3)*“* соответствует
геометрическая прогрессия с общим членом Ьп — — (2/3)"“*
(рис, 1.9).
Арифметическая и геометрическая прогрессии тесно связаны
между собой.
Если {««} — арифметическая прогрессия с разностью d, то
последовательность
bn~b°n, n^N,
где Ь>0 и b 1, является геометрической прогрессией, первый
член которой равен bai, а знаменатель равен И, т. е. прогрес-
сией с общим членом
bn^bai (И)"“*.
Например, если дана арифметическая прогрессия с общим
членом flrt = 7 + 4(n—1), то последовательность с общим чле-
ном Ьп = 107*10 000п~* является геометрической прогрессией,
у которой 61 = 107 и <? = 104.
Если {&п}—геометрическая прогрессия, у которой первый
член bf и знаменатель q положительны, то последовательность
с общим членом
On=logc*n>
где с> 0 и с1, является арифметической прогрессией, пер-
вый член которой равен logff bf, а разность равна logtf q, т. е.
прогрессией с общим членом
а» = logc bi+(n — 1) logc q.
Например, если дана геометрическая прогрессия с общим
1 / 1 V-A
членом = —I ~ а то последовательность с общим членом
§ 2. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ 35
aw = —lg2 + (n— 1) lgявляется арифметической прогрессией,
у которой «1==—-1g 2, d = lg .
Если {&»} — геометрическая прогрессия со знаменателем q
и — последовательность возрастающих натуральных
чисел, являющаяся арифметической прогрессией с разностью d,
то последовательность k£N является геометрической про-
грессией, первый член которой равен bnv а знаменатель равен qd.
/ 1 \n-i
Например, пусть Ьп = ( —% , а последовательность {п^}
состоит из натуральных чисел, которые при делении на 5 дают
в остатке 1. Последовательность есть арифметическая
прогрессия
1, 6, II, 16, 21,
первый член которой равен 1, а разность равна 5, т* е. после-
довательность с общим членом
nft==5 (&—1)+I,
Тогда последовательность с общим членом
1 / I V-1
Ч = "(-32) > W
является геометрической прогрессией с первым членом «—1/2
и со знаменателем —1/32.
Если {brt} — геометрическая прогрессия со знаменателем q и
последовательность также является геометрической
прогрессией со знаменателем qd, где d — натуральное число, то
последовательность натуральных чисел {nfe}, fcgN, является
арифметической прогрессией, первый член которой равен П(,
а разность равна а.
Последовательность {хп}, общий член которой определяется
рекуррентным соотношением
xtt+i~qxn + d, xi=a,
где q и d—заданные числа, g2+da $£0, обладает многими свойст-
вами арифметической и геометрической прогрессий. В частности,
при q=l последовательность {хп} является арифметической
прогрессией с разностью d, а при d = 0—геометрической про-
грессией со знаменателем q.
Формулу для ’общего члена последовательности {xrt}, опре-
деляемого рекуррентным соотношением, можно получить, если
заметить, что при q 1 последовательность {&w}, для которой
&n+f— xn+i +77 > — & 4~ "'" 7 »
4 * 4 **•
является геометрической прогрессией со знаменателем 9. Тогда
&»+1 = (а + “т)?ге-
\ у*/ V Я * / у,ввв1
2*
36
гл. l Последовательности
и тем самым
xn==-^i+(a+-^-r] qn, »€N, п^Ч.
Ч л \ ч * /
Отсюда следует, что числа q и d для последовательности {xw}
(при 1) определяются через члены этой последовательности
по следующим формулам:
Из первой формулы следует, что при q Ф 1 последователь-
ность {у„}> для которой
Уп~ хт У! — Xz^Xi,
является геометрической прогрессией со знаменателем q; по-
этому, в частности, имеет место равенство
(*К + 1 Хп)% = (Хп ——1) (Хд4-2 + П^2.
Пример 18. Последовательность {хп} такова, что
xn+i=== Зхп -J- 2п —3, Xf = 2.
Найти формулу общего члена последовательности.
Решение. Так как
1 ~|~ Д-j- 1 == 3 "4“ я)2, 1,
то последовательность {у^ где #п = хп + п, удовлетворяет сле-
дующему рекуррентному соотношению:
Уп+1~ЗУп У1~^'
Отсюда при п^1 имеем (см. формулу выше)
/ __2\
Уп+1 == । _ 3 I I 3^21’1 J ‘
т. е.
yn+i=l + 2.3«,
Таким образом,
Xi = 2, хп+х==--п + 2«Зп при и^1.
Поэтому
2
xn — 1 —
о
ЗАДАНИЕ 1
L Найти шесть первых членов геометрической прогрессии,
первый член которой равен 2, .а знаменатель равен 1/2.
2. Найти четыре первых члена геометрической прогрессии,
у которой второй член равен 3, а третий равен 9.
3. Третий член геометрической прогрессии равен 4, Найти
произведение первых пяти членов.
§2. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ
37
4. Пусть {£>„}•— геометрическая прогрессия, у которой d5 = 3
и d7 = 3/4. Найти Ьь Ь3.
5. Пусть {dn}—геометрическая прогрессия, у которой
заданы Ь3 и q. Найти d4, Ьъ Ь23, Ь&.
ЗАДАНИЕ 2
1. Найти четыре первых члена геометрической прогрессии,
первый член которой равен 1/2, а знаменатель равен 2.
2. Найти пять первых членов геометрической прогрессии,
у которой третий член равен 4, а четвертый равен 8.
3. Второй член геометрической прогрессии равен 2. Найти
произведение первых трех членов.
4. Пусть {dn}—геометрическая прогрессия, у которой d4 = 2
и bQ~ 1/2. Найти b3t ^б, Ь3.
5. Пусть {drt}—геометрическая прогрессия, у которой
заданы Ь3 и q, Найти b3t bflt b31t Ь&
ЗАДАНИЕ 3
1. Пусть {&„}—геометрическая прогрессия со знаменате-
лем q.
Найти:
1) Ьъ если bi—1/2 и 7=1/2;
2) b^ ^17, если Ь9 — —1 и 7=— 1;
3) bi и q, если Ь^ — 8 и d8==128.
2. Пусть {dn}—геометрическая прогрессия, у которой df=l
и d4=l/8. Найти b2, b3t Ьъ, Ь3.
3. Сумма первого и третьего членов геометрической про-
грессии равна 10, а сумма второго и четвертого членов равна 20.
Найти первый член и знаменатель этой прогрессии.
4. Может ли число 75 быть 'некоторым членом геометри-
ческой прогрессии {dn}, у которой bi —4 и 7 = 3/2?
ЗАДАНИЕ 4
1. Пусть {&д}—-геометрическая прогрессия со знаменате-
лем 7. Найти:
1) Ь5, если df =1/3 и 7=1/2;
2) bi и Ь9) если di2=—2 и 7 = —1;
3) bi и 7, если d8=9 и &7 = 729.
2. Пусть {dn}—геометрическая прогрессия, у которой bi =
= 1/27 и d7 = 27/64. Найти da, b3, bif Ьъ> Ь3.
3. Сумма первого и третьего членов геометрической про-
грессии равна 10, а сумма второго и четвертого членов равна 30,
Найти первый член и знаменатель этой прогрессии.
4. Может ли число 26 быть некоторым членом геометри-
ческой прогрессии {dn}, у которой dj = 3 и 7=4/3?
ЗАДАНИЕ 5
I. Найти сумму пяти первых членов геометрической про-
грессии {Ьп}} у которой bi—З и 7=2.
38 ГЛ. 1. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
2. Сумма двух первых членов геометрической прогрессии
равна — 1, а сумма ее следующих двух членов равна —4.
Найти сумму первых 6 членов этой прогрессии.
3. Вычислить А^З+3 + ---+3 .
о*'* —< 1
4. Найти число членов геометрической прогрессии {bn}t если
q~ 1/3» £>4 = 1/54, а сумма этих членов равна 121/162.
2.
равна
сумму
3.
4.
6Х = 5,
ЗАДАНИЕ 6
1. Найти сумму семи первых членов геометрической про-
грессии {6П}, у которой &i=2 и 1/2.
Сумма трех первых членов геометрической прогрессии
3/8, а сумма следующйх трех членов равна —3. Найти
первых 9 членов этой прогрессии.
D 1 + 2+22+...4-2U
Вычислить 1+2+,, ,+2*
Найти число членов геометрической прогрессии {bn}t если
6б = 405 и сумма которых равна 1720.
Упражнения
1. Пусть {6rt}—геометрическая прогрессия со знаменате-
лем q и <§д—сумма первых п ее членов.
Найти:
1) Ь%, если £>1= 18, <7=1/9;
2) q, если 61 = 24, 62 = 36;
^6б, если 6б = 36, 67=144;
4) Ь7, если 6в= 1/486, 63 = 1/4374;
5) Ьъ, если 6Х = 5, <7=3;
6) 6f, если 62=10, 6в = 40;
7) 68, если 61 = 0,01, 62 = 0,03;
J$X q, если 6i=10, 62+63=60;
9) <7, если 8 (61+62 + 63) = 64+6б + 6б;
10) 6В, если 63 = 4, 67 = 0,25;
11) 61з, если 6ц = 25, 6хв = 400;
12) 632, если 613 = 8, 66i=128;
13) 67, если 64 = 5, 6i6 = 45;
14) 614, если 6в=1/12, 617 = 1/144;
15) S4, если 61 = 3, <7=5;
16) S6, если 62 = 8, 63 = 4;
17) 61, если g = 5, 8В = 781/75;
18) п, если 6i=5, q=^3, Sn~2№, _ _
19) S12, если bi=yS 2—1, 68 = (р//Г 2—1) 4;
20) 61 и <7, если 6i+62 + 63 = 62, Й + б1 + б| = 2604;
21) 8в, если 6i = —2, 6в = —486;
22)
23)
24)
25)
<7, если 6i = pr 2, 69=16 К 2;
61, если <7 = —1/2, <S8 = 85/64;
67, если <7=/ 2, S7 = 15 V 2+14;
, Q , 64 _34
п, если 6i = 9, 6Д = ^ , 8Д=25 —;
26) 7, если 6Х= V 3, 6^=4/ 3, 5Д = 7 / 3 + 3 Кб;
§ 2. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ
39
Z7) п, если bi — — 2, Ч=-£> S»=8^;
28) bn, если &1 = КЗ, q=V~3, S„=4 /3(1 + /"3);
29) bit если 9=1/2, &„=2, £„=254;
30) п, если 9=у, 6n=y, Sn=8^;
2
31) qt если = 15, S3 = 21 ;
<э
32) &3, если &1 = V 2, Ss=4K 2+К 6;
33) bi, если Ь3 — 18, S3 = 26;
34) q, если 63= 135, S3=195;
35) bf, если 9=4, &в = 2^;
Z О-о 1
36) S4, если q — З, &4 —54;
37) bi и q, если £„==3П-— 1;
38) bi и q, если bi +^2+^я = 70, ==8000;
39) Sn, если bi~a, bn~b\
40) bi и q, если bi + b2+b3 = 31, ^i+Z>3 = 26;
41) bi и q, если ^i + ^+^з—14, ^+^ + ^3 = 584;
42) bi и q, если bi'^-b%~\~b$~\.3, 3 (Z?i~f—6g) = Z?gS’-|—Z?3;
43) bi, q и n, если 62 + &6 = 34, b3+&7 = 68, Sw = 63;
44) b2, если &f-|-l>2+&8=26, ^+^+&|=364;
45) &2&3, если bl-f-bl+&з+й=85, £4= 15;
46) /Ж, если +&I+$+&!=340, S4 = 30;
47) bi и b8, если q = 2, S7=635;
48) n, если bi+b$ — 51, ^+^=102, Sn —3069;
49) b5, если Z?2—^i~18, b^—63=162;
1117
50) bi и q, если Z?i + ^ + ^s = 21, -т—H—Hr—Tn 5
P2 #3 i &
51) если bi + &2 + &3= 195, b*—^ = 120;
52) b„, если bm~a, bn=fi, bi > 0, b$> 0;
r 1117
53) Й, если &1+&2-Нз=21, _+_+_=_;
ч 54) n, если &f + ^n = 66, M«-f=128, Sn=126;
55) S5, если &i + &4 = 7/16, &3—&2 +^1 = 7/8;
56) S6, если S2 = 4, S3=13.
2. Найти сумму квадратов первых п членов геометрической
прогрессии, у которой первый член равен 6 и знаменатель
равен q (q* Ф 1).
3, Число членов геометрической прогрессии четное, сумма
всех ее членов в три раза больше суммы членов, стоящих на
нечетных местах» Найти знаменатель прогрессии»
4. Даны две прогрессии с положительными членами«*ариф-
метическая {ап} и геометрическая {Ьп}, у которых а3 = ^3,
а8 5^ &2. Какое из двух чисел а2 или Ь2 больше и почему?
5. Между числами 3 и 19 683 вставить семь чисел таких,
чтобы все девять чисел являлись членами геометрической про-
грессии (Ьп) Если /?1=»3, то найти Ь6>
40
ГЛ. 1. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
6. По преданию, индийский шах позволил изобретателю
шахматной игры самому себе назначить награду. Изобретатель
просил, чтобы ему за первую клетку шахматной доски было
дано одно пшеничное зерно, за вторую —два, за третью — че-
тыре и т. д. В общем за каждую следующую клетку в 2 раза
больше, чем за предыдущую. Узнать, сколькими цифрами изобра-
жается число зерен, предназначенное изобретателю шахмат; про-
читать полученное число.
7. Если (аи) и геометрические прогрессии, то яв-
ляется ли геометрической прогрессией последовательность:
0 2) 3)
4) {an/bn}t если bn & 0; 5) {| ап |}?
8. Какому условию удовлетворяют три числа а2> а3,
которые одновременно являются последовательными членами
как геометрической, так и арифметической прогрессии?
9. Доказать, что любые три различных числа не могут
одновременно быть последовательными членами арифметической
и геометрической прогрессий.
10. Могут ли быть членами одной и той же геометрической
прогрессии три числа:
1) 10, 1b 12; 2) 18, 64/27;
3) 2, V 6, 4,5; 4) V 2, V 5, V 7?
11. Могут ли длины сторон прямоугольного треугольника
являться последовательными членами некоторой геометрической
прогрессии?
12. Найти острые углы а, р, у, если они являются после-
довательными членами арифметической прогрессии с разностью
я/12, а их тангенсы—последовательными членами геометриче-
ской прогрессии.
13. Решить уравнение:
1) 1+х+х2+...+ххо9 = 0;
2) 31 + sin xz+ sin2 xz + . . . + sin» хг __ 3/"9,
14. Найти сумму:
(I \2 / 1 \2 / 1 \2
x+t) +(x2+>) +•••+(*”•
15. Найти все числа x, у и z, если известно, что 2х4=г/4-(-г4,
xyz=8 и числа log^x, log^ у и logxz являются последователь-
ными членами геометрической прогрессии.
16. Найти все значения х, при каждом из которых данные
три числа в указанном порядке являются последовательными
членами геометрической прогрессии:
л / 1 \c0s2x
I)9, З2 , (I] ;
2) 1g2, lg(2*-l), lg(2*+ll).
17. Решить систему уравнений;
х2 х3 х4 ’
%! 8х4;
хх "f- Xg 4- х8 -J- х4 = 15,
§2. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ
41
18. Вычислить сумму:
1) 2+22+222+...+222...2;
п цифр
2) 7+77+777 +.. .+777.. .7.
п цифр
19. Вычислить при каждом натуральном
V44...44-11...1
2/2 Цифр
цифра
66...6.
п цифр
является
является
20. Доказать, что
(66.. .6)*4-88.. .8 = 44.. .4.
п цифр п цифр 2П цифр
21. Доказать, что число (11.. .1)»(100.. .05) +1
п цифр п4-1 цифра
квадратом натурального числа.
22. Доказать, что число 99.. .97 00.. .0 2 99.. .9
п-1 п-1 '"гТцифр
цифра цифра
кубом натурального числа.
" 23. Числа xt и х2—корни уравнения х2-—Зх + а==0, а числа
х8 и х4—корни уравнения х2— 12х+д = 0. Найти а и bt если
числа Xf, х2, х8, х4 являются членами возрастающей геометри-
ческой прогрессии.
24. Доказать, что при каждом натуральном п:
1) 1+ 2 + 22+... +25и~1 кратно 31;
2) 1 + з+З2 +... + З6" ~ 1 кратно 364.
25. Доказать, что если сумма 2/г первых членов геометри-
ческой прогрессии, у которой первым членом будет а и знаме-
нателем q, равна сумме п первых членов геометрической про-
грессии, у которой первым членом будет b и знаменателем q2t
то 6 = а+а<7.
26. Доказать, что для геометрической прогрессии {Ьп} при
любом натуральном п^2 справедливо равенство:
1) ^2 + ^4 + ^6 + » * • + &2П “ | У $2п >
2\ J___|_J_I I 1______
27. Доказать, что в геометрической прогрессии сумма квад-
ратов нечетного числа первых ее членов делится без остатка на
сумму тех же членов.
28. Доказать, что сумма п первых членов геометрической
прогрессии {Ьп}, некоторой Ьр~(-~1)Р а*Р при каждом натураль-
ном р, равна ((— а4)» —1).
29. Доказать, что если Sn есть сумма п первых членов гео-
метрической прогрессии {Ьп}, то
42 ГЛ. 1. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
30. Доказать, что если геометрическая прогрессия, то
последовательность {рп—±—Ьп} также является геометрической
прогрессией.
31. Доказать, что если все члены геометрической прогрес-
сии положительны, bp+k~a и bp_k — b, то
32. Доказать, что если ху, у2, г2 являются последователь-
иыми членами арифметической прогрессии, то числа у, г, 2у—г
являются последовательными членами геометрической прогрессии.
33. Доказать, что если a, b, с, d являются последователь-
ными членами геометрической прогрессии, то:
1) (a2+d2+p2)(62+c2+d2) = (trd+^+^)2;
2) (а^)а + (*-~с)2+(&—d)2=(a-rf)2.
34. Доказать, что если три числа х, у, г являются последо-
вательными членами геометрической прогрессии, то
(x-\-y+z) (х—{/+г) = х2 + у2 + г2.
85. Доказать, что во всякой геометрической прогрессии {£„}
(*<+ Ьь + *в)2 = (bt + b3 + b3) (b7 + b*+b9).
36. Доказать, что если в геометрической прогрессии
Ьп=а, bp~b, Ь^—с, то aP~kbk~ncn-P=zl,
37. Доказать, что при любых натуральных т и k таких,
что т^2 и Q^k<k + 2^nt биномиальные коэффициенты
Cji, См'1, Ст2 не могут быть членами одной и той же геомет-
рической прогрессии.
38. Найти трехзначное число, если его цифры являются
последовательными членами геометрической прогрессии, а цифры
числа, меньшего данного числа на 400, являются последова-
тельными членами арифметической прогрессии.
39. Три числа bi, b%, Ь3 в указанном порядке являются по-
следовательными членами геометрической прогрессии. Найти
эти числа: если три числа bi, bg+% Ь3 и три числа bt, ^ + 2,
Ь3+9 в порядке их записи являются соответственно членами
арифметической и геометрической прогрессий.
4IL Пусть даны арифметическая прогрессия {яи} с раз-
ностью d и геометрическая прогрессия {&п} со знаменателем q.
Найти:
Щи^если ох-|-й2,,*|*Зпз»6х-|-&2>
если «2=хсщц, bi=a^ b$~a3, b3~a9*t
если ^««2+^ ^=as+9, &4=®д<+15;
если flt=6-(=245 а5=Ь?3 ^1=^;
(fyq, если a$=bi, a$~b%t a$-}A2~b3\
vf q и d, если ai==&i, «3=^ a^b3^2, a^b^l^
4} q^d* если «1 = ^2, a2~b3, ^+аз==я14, b8+fli = 12, b2> bt;
8) bi, если aj4-Л2+^з==2Ь b3^a^^l9 b3 == a3 +1;
9j bQ-, если bi + b2^b3ss28, at=sbf, a^b^ as=s^3«*4;
10) й + если b.i+^+^ = 42 ai*=bf, a^^b^ a^^b3,
aj > «2»
11) если ^2=»8j Ьб«=512, q^2di
§3. ЧИСЛОВЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И ИХ СВОЙСТВА 43
12) 64 4" 65, 6СЛИ 61 + 62 + 63 = 19,5, #2 = ^1, &2> «23 = ^35
13) если bi = at, 62 = «2—0,25, 63 = «3, «4 < 0;
14) /г, если «i + «2+«3 = 61, bi=ai— 1, b2~a2-~7, b3=a3—&,
at < a2> «х+«г + ...+art = 555;
15) п,если 61+62+63=65, «i=6i—1, 6X2=62—8, a3~b3 —35,
bi < 62, 61+62 +... +6n = 200;
16) zi, если 6f 4"6a + 63 = 217, 6X = 6I2, 6a :== «g, 63 = 6I44, «i+«$+
+... 4“ «д == 820;
17) /1, если 6i+&2+63 = 76, 6i = ai, 62 = 614, 63 = 6X3, «14-«2+
+ •.. +«д = 176;
18) ai+a2+•••+«!<)> если 62-—6X = 4, 68 —6a=12, 6i = «i/
68=«6;
19) 6X1+6X2 + • • • + «12» если 68—6i = 9t 65—68 = 36, 61 < 62,
Ь^ =: at, b2 = a3,
20) 64, если «1 + «2+«з = 84, a± > «2, bi = «1, 62 = a2—0,
63 = 613—6;
21) a3 и 65, если 6i + 4 = «i, 62+21=бх2, 6з + 29=а3,644-l=a4;
22) 67, если 6t = «i = l, a9=69, at+«2+... +«9 = 369;
23) 646/4-03(7, если 6ii = 6i = 24, «б = 62, ац = 63;
24) 6I3 + 63, если Oi+a2+...+«io=155, 6x4-62 = 9, a-^ — q,
b1 = d.
41. Доказать, что если последовательность {ап} такова, что
«л+1 = <7«»+^, где q 1 и d & 0, то:
1) an+v=z(\+q)an--qan~i, п^2;
2) Sn+i = ((/ + 2) Sn— (2(/+1) _f+<?«$»—2>
где Srt = «i+«2 + • • • +а«- л
42. В треугольник Д1В1С1 вписан треугольник А2В2С2, вер-
шины которого являются проекциями центра вписанной окруж-
ности треугольника XiBiCf на его стороны. В треугольник А3В2С^
аналогичным образом вписан треугольник Лз^зСз и т. д. Найти
величины углов треугольника An+iBn+iCn+i.
43. В трапеции АА^В с основаниями АВ = а и AiBi = b>
а < 6, отрезок Л2В2 соединяет середины, ее диагоналей. В тра-
пеции АА^В^В снова проведен отрезок A3B3i соединяющий се-
редины ее диагоналей, и т. д. Найти длину отрезка ЛЛ+1ВП+^.
44. Последовательность задана рекуррентной формулой
art+i = 2an--l, n^l.
Найти общий член последовательности, если «1 = 4.
§ 3. Числовые последовательности
и их свойства
Если каждому натуральному числу п поставлено в соот-
ветствие число ап, то говорят, что задана числовая последова-
тельность (или короче последовательность)
«1, «2, «3» «й> • • *
Числа at, «2, называются членами последовательности, ап —
общим членом последовательности, число п—номером члена ап.
Последовательность часто обозначают так: {«rt}~=1» {««} или
просто ад, /г=1, 2, ,м
44 ГЛ. 1. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
Последовательность может быть задана при помощи формулы
an=f(«). «€N.
где y==f(x), xgX, где NczX (см. с. 108), некоторая функ-
ция; в этом случае эта формула называется формулой общего
члена последовательности {«п}. Например,
а) «„ = 1^ «, rcgN;
б) «„ = «!, -ngN;
. (л2, если n — 2k, . . n
в) «„ = < ,. о, * k~ 1, 2, .
\’ ( 1/ft, если n — 2k~-1,
Последовательность может быть задана и многими другими
способами. Например, если для натурального числа п через
d(n) обозначить число всех различных делителей числа п, то
получим последовательность {«„}, где an = d(n), ngN, для
которой
«1=1, «2 = 2, а3 = 2, «4 = 3, «ё=2, «б = 4, «7 = 2, ...
Для задания последовательностей используют также рекур-
рентные соотношения. При таком способе задания последова-
тельности обычно указывают один или несколько первых ее
членов и формулу, которая позволяет найти ее n-й член через
предшествующие члены, т. е. через члены с меньшими номерами.
Например, если
а) «1=1, «»+! = «»+1 при п^1;
б) 6^=1, &а = 2, bn = 2bn^i+bn^2 при «^3,
то из этих рекуррентных соотношений находим, что
«i=l, «2 = 2, «з = 3, «4=4, а5=5, „4
&<=1, ^2 = 2, ^з=5, 64= 12, ^5 = 29, •».
Последовательность {«п}, заданная рекуррентным соотноше-
нием вида
«w = ai«n_j + a2«n-.2+ •.. +а*«п-а при п > 6,
где aj, a2, ..., и /г—заданные числа, AgN, называется воз-
вратной последовательностью порядка k.
Пример 1. Последовательность {«„} задана рекуррентным
соотношением
«1 = 1, «2=1, «n+2 = 6«w+i — 6«п при «^1.
Найти формулу общего члена этой последовательности.
Решение. Найдем все последовательности вида {qn}t где
некоторое число, которые удовлетворяют соотношению
&л+2 = 5&л+1—при п^1.
После подстановки в это соотношение bn+$~qn+2t bn+i = qn+l,
bn — qn найдем, что q^**5^4-6=0, а тем самым для q имеем
два значения: (ft=2, ^2 = 3. Таким образом, последовательности
{2П} и {3*} удовлетворяют рекуррентному соотношению. Так
как тогда и последовательность с общим членом d„=c,f*2'4-c2’3w,
где Cf и с&™некоторые постоянные, удовлетворяет этому же
рекуррентному соотношению, то для решения задачи осталось
подобрать числа и так, чтобы bi=i и 62=1.
§3. ЧИСЛОВЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И ИХ СВОЙСТВА 45
Для нахождения с± и с2 получаем систему
I +3с2— 1,
( 4сх ~f" 9с2 = 1,
откуда находим, что Сх = 1, с2 = —1/3.
Таким образом, получим формулу общего члена
я„ = 2"--3"-1, п^1,
последовательности, удовлетворяющей условию задачи.
Пример 2. Последовательность {ап} задана рекуррентным
соотношением
= 2, а2 = 3, ап+2 = 6аи+х—9а„ при п^1.
Найти формулу общего члена этой последовательности.
Решение. Пусть последовательность с общим членом
Ьп — Уп> где q — некоторое число, удовлетворяет рекуррентному
соотношению
bn+2~Gbn+i~-9bn при п^1.
Тогда для величины q получаем уравнение 6^4-9 = (^—3)2=0,
откуда находим, что <7 = 3. В этом случае, как легко проверить,
данному рекуррентному соотношению удовлетворяет не только
последовательность {3"}, но также последовательности {п-3"} и
тем самым последовательность {сх,3"4-С2Я,3"}> где Cf, с2*~ не-
которые постоянные. Подберем постоянные с± и с2 так, чтобы
они удовлетворяли системе
f Зсх 4- Зс2 = 2,
{ 9<?х 4~ 1'3с2 = 3.
Из этой системы найдем, что Сх=1> с2==—1/3.
Таким образом, получаем формулу общего члена
ап=(1 — 4-пЪп = (3—п) 3«“*
\ о J
последовательности, удовлетворяющей нужным требованиям.
Сделаем .замечание общего характера. Если последователь-
ность {#п} задана рекуррентным соотношением
fl!x = <2, 6Z2 = £>, ntt + 24~P^n + i =
т. е. является возвратной последовательностью порядка 2, то
формула общего члена последовательности {ап} находится сле-
дующим образом:
а) если уравнение ft,2 4-pft, 4~ <7 = О имеет два различных дей-
ствительных корня %х и ft,2, то
Лд = Сх^'^4“^'2^2>
где ci, с2—некоторые постоянные;
б) если уравнение №+pk+q = O имеет два совпадающих
действительных корня fti = ft-2 О, то
an = (ci4*r72«) №>
где с^ с2—некоторые постоянные.
46 . ГЛ. Л. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
В обоих случаях постоянные. Cj и с% определяются па на-
чальных условий «<==«, а2==&.
Последовательность {ап} называется возрастающей, если для
любого натурального п справедливо неравенство aw+i > ап,
т. е. если
Пример 3. Доказать, что последовательность с общим
п— 1
членом —-— является возрастающей.
Решение. Рассмотрим разность nn+f —-ап. Имеем
„ '.,(»+О—* ^-n24-l 1
«п+i—ап— я+1 п — п(п4-1) п(«+1)
Таким образом, при любом натуральном п справедливо нера-
венство аят > ап, и» следовательно* данная последовательность
является возрастающей.
Примерами возрастающих последовательностей, могут слу-
жить также последовательности, с общим членом
«п=К«, lrn = 2№-\ c„ = lag2n.
Последовательность {ап} называется убывающей, если для
любого натурального п справедливо- неравенство an+i < аПт т. е.
если
«/i+Л п N.
Пример 4. Доказать, что последовательность с общим
членом а„ =—(п + 1) является убывающей.
Решение. Рассмотрим частное an.+i№n- Имеем
«п+1 —-(1 + (п + О) __—2 п+2 . 1
«п —•(«+!) —п—1 п+1 ‘п+1
Так как все члены последовательности отрицательны, то
при любом натуральном п из неравенства ап+±/ап > 1 полу-
чаем, что an+1 <
Следовательно, данная последовательность является убы-
вающей.
Примерами убывающих последовательностей могут служить
«также последовательности с общим членом
«п=———? ^п===‘дГ’ Сп===—С«2+«+1)*
Последовательность {an} называется невозрастающей, если
для любого натурального п справедливо неравенство
т.е. если
§ 3. ЧИСЛОВЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И ИХ СВОЙСТВА 47
Например, последовательность ал=1/[Кл], где [К п] —
целая часть числа Y п, т. е. последовательность
1 1 JL JL ±
I, 1, 1, 2 ’ “2 ’ 2 * 2’ 2 ’ 3 ’ м”
является невозрастающей, так как
- 1 1
[Г^+Т] [ГлГ
Последовательность называется неубывающей, если для
любого натурального п справедливо неравенство
т. е. если
ngN.
Примером неубывающей последовательности является по-
следовательность
1, 2, 3, 3, 4, 5, 6, 6, 7, 8, 9, 9, ...
Ясно, что если последовательность {ал} является одновре-
менно невозрастающей и неубывающей, то такая последователь-
ность постоянна, т. е.
• *»'= й л'= ...
Последовательности убывающие, (возрастающие, неубываю-
щие и невозрастающие называются монотонными последователь-
Mwomi мы е тюодедода те ль пости
Неубывающие
Невозрастающие
Возрастающие
Убывающие'
Рис. 1.10
ностями, а убывающие и возрастающие—строго монотонными.
Связь этих понятий показана на рис. 1Л0.
Пример 5. Исследовать на монотонность последователь-
ность 6 общим членом
_ 2п+1
вй-_ЙЙ2
48 ГЛ. 1. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
Решение. Рассмотрим разность an+i~‘йп. Имеем
2(п +1)4-1 ' 2«4-1_
ал+1 — аи— (п+1)_|_2 п + 2
(2п+3)(п + 2)~ (п+3)(2п+1)_
~ (п + 3) (п + 2)
2п2 + 4п+3п + 6—2п2—п—6п—3_ 3 0
(п+3) (п + 2) (п+3)(п + 2)
Так как art+i“-ап> 0 при любом натуральном п, т. е. ап+г >
> ап, то данная последовательность является возрастающей.
Пример 6. Исследовать на монотонность последователь-
ность с общим членом
, ап=Кп + 1 — К п-
Решение. Рассмотрим частное are+i/aB- Имеем
ап+1_ К(п+1) + 1-КН~Т_.
ап Vn-j-1 — V п Vn + 1 — V п _
_ (/^+2^-/^+Т) (/^+2+ Кп+Т) (Кгё+Т + V п)_
(^^+Т-Кп)(КМЙ4-/й)(/п + 2+Кп+0
К/ТП+К» < j
/п + 2+К п+1
Так как все члены последовательности положительны, то при
любом натуральном п из неравенства ап+±1ап < 1 получаем, что
«П4-1 < ап> ngN. Следовательно, данная последовательность
убывающая.
Последовательность {aw} называется возрастающей, начиная
с номера nQ (п0^1), если для любого имеет место нера-
венство an+f > ап, т. е. если
До-
Последовательность {ап} называется убывающей, начиная
о номера по (п0^1), если для любого п^п0 имеет место нера-
венство ап+% < ап, т. е. если
( ^п + 1 < «п, П^П().
Аналогично определяются последовательности неубывающие
и невозрастающие, начиная с номера Ио.
Пример 7. Исследовать на монотонность последователь-
ность в общим членом
2"
§8. ЧИСЛОВЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И ИХ СВОЙСТВА 49
Решение. Так как все члены последовательности положи-
тельны и
«n4i„ 2n+1 п!_ 2
ап (п+1)!’2" п + 1’
то an+i — an при п = 1, т. е. а2 — ai> и an+t < ап при п^2,
«£N. Следовательно, последовательность {ап} является убы-
вающей, начиная с номера п0 = 2. Эта последовательность яв-
ляется также невозрастающей, так как
= ^2 > Пз > Д4 > Un > + i .
Член аП9 последовательности {ап} называется наибольшим
(наименьшим), если аПо^ап (аПй<ап) для любого n£N.
Пример 8. Найти наименьший и наибольший члены после-
довательности '
Решение. Так как
__3п—18__3п—19 + 1 1
°п~3п—19“ Зп—19 +3п—19’
то ап— 1= 5—Цд. Так как (рис. 1.11) Зп—19 < 0 при п=1, 2,
иП —’ 1У
3, 4, 5, 6 и Зп—19 > 0 при п^7, то каждый из первых шести
членов последовательности {пм} меньше 1, а каждый член после-
довательности, начиная с седьмого, больше 1.
J--1-!-1-1-1-1—4-4—1-1-1-1--1-1-
12 3 4 5 1 8 9 10 11 12 13 14 П
3*
Рис. 1.11
Следовательно, наименьший член последовательности нахо-
дится среди первых шести ее членов, а наибольший*® среди
остальных ее членов.
Найдем разность ап+±—ап. Имеем
__3(п+1) —18 Зп —18_
«п+1 °П—з„_19
= 1+_J______!_____I - -3
'Зп—16 Зп—19 (Зп —16) (Зп—19)’
Отсюда заключаем (рис. 1.12), что
< 0 при п=1, 2, 3, 4, 5,
> 0 при п^7Л
50 ГЛ. L ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
Таким образом, ав=0 и а?=3/2 являются соответственно
наименьшим и наибольшим членами последовательности
оо оо
- I .. . I_I_1_1_/Тх---1--1--L—«/--!--L—!--1--
12 3 4 5 ЛбА 7 8 9 70 11 12 13 14 П
-------------- у
Рис. 1.12
Отметим, что не любая последовательность имеет наибольший
(наименьший) член. Так, например, убывающая последователь-
ность aw = l/n, n£N, не имеет наименьшего члена, а возраста-
ющая последовательность £л = д2, ngN, не имеет наибольшего
члена.
Последовательность {ап} называется ограниченной сверху, если
существует число А такое, что для любого натурального п спра-
ведливо неравенство ап^А, т. е. если
ап^А, ngN.
Число А называется верхней границей последовательности {ап}.
Так, например, последовательность с общим членом ап ——п2
является ограниченной сверху, так как все ее члены отрица-
тельны и поэтому а,п < О, ngN.
Примерами последовательностей, ограниченных сверху, яв-
ляются также последовательности с общим членом
/ « 1 . о 7СП
а„ = (—!)» c„ = sin3-y.
Последовательность {ап} называется ограниченной снизу, если
существует число В такое, что для любого натурального п спра-
ведливо неравенство ап^В, т. е. если
ап^В,
Число В называется нижней границей последовательности {ап}.
Так, например, последовательность с общим членом ап~п3-
является ограниченной снизу, так как при любом натуральном п
справедливо неравенство п? > 0, т. е. ап > 0,
Примерами последовательностей, ограниченных снизу, яв-
ляются также последовательности с общим членом
а„=Г-<^+1>, ba = (_!)», с„ = 3«
Заметим, что если последовательность {ап} ограничена сверху
(снизу) числом А (числом В), то любое число, большее числа А
(меньшее числа В), также является верхней (нижней) ее границей.
Последовательность {а„} называется ограниченной, если она
ограничена и сверху, и снизу, т« е. если существуют числа А
и В такие, что для любого натурального п справедливы нера-
венства В *^ап^А, т, е. если
§ 3. ЧИСЛОВЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И ИХ СВОЙСТВА 51
Например, последовательность с общим членом яй = 1/3"+1’
является ограниченной. Действительно, при любом натуральном п
справедливы неравенства
°<3^+1<1- т' е- о<в„<1, regN.
Примерами ограниченных последовательностей .являются
также последовательности с общим членам
о ЯП к П* /
a« = coss-j-,
Последовательность {ял} является ограниченной тогда и только
тогда, когда существует число С > 0 такое, что для любого на-
турального п справедливо неравенство [ ап | С, т. е. если
|а/г|<С, ngN.
с общим
Пример 9. Доказать, что последовательность
я—2
членом аи = —-j-j является ограниченной.
„ _ я—2 п + 1—3 ,
Решение. Так как ап=—г-г —----------рт— = 1—•
«+1 п+1 . t_
т. е. ап < I при любом натуральном п, то последовательность
{ап} ограничена сверху.
Рассмотрим разность ап—an+f. Имеем
3
п2 n—~— 1 — 3 _
ап—ал+1=^р— рр2==(ге+1)(п + 2) < °’
т. е. при любом натуральном я справедливо неравенство ап <
<ай_|_1. Поэтому «1 = —1/2—наименьший член этой последова-
тельности. Таким образом, для любого натурального я справед-
ливо неравенство ап^— Х/Ъ т. е. последовательность {ап} яв-
ляется ограниченной снизу.. Итак, последовательность огра-
ничена сверху и ограничена снизу, поэтому она является огра-
ниченной последовательностью.
Пример 10. Доказать, что последовательность с общим
членом «1000w/n! является ограниченной.
Решение. Так как все члены последовательности поло-
жительны, то ап > 0 при любом натуральном я; таким образом,
последовательность ограничена снизу.
Рассмотрим частное aw+i/an. Имеем
ап +1 _1000«+г я! _ 1000
ап (п+1)! 1000" я+1*
Отсюда получаем, что при я+1 «^1000, т. е* при
1< я «£ 999; поэтому ап < а999, 1 «с я «С 999. Кроме того, при
я^999 имеем а^+1/^^1, т, е. an+i^an. Таким образом,
при любом я ^999.
Итак, для любого натурального я справедливы неравенства
1000»»»
О < ап < 99$)! .
Следовательно, данная последовательность ограничена.
52 ГЛ. 1. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ... .
Пример 11. Доказать, что последовательность с общим
членом ап — п? не является ограниченной.
Решение. Предположим, что данная последовательность
является ограниченной сверху, т. е. пусть существует такое .
число Л, что для любого п справедливо неравенство п2^Л. Из
последнего неравенства следует, что А > 0. Рассмотрим целое
число т, .большее, чем число р^Л; положим, например, т =
= [Гл]+1. Тогда /па==([угЛ] + 1)а > (угЛ)2 = Л. Итак, полу-
чено противоречие: при предположении, что существует такое
число Л, что для любого натурального «справедливо неравенство
«2<Л, в то же время оказалось, что существует номер /п =
— [У Л] + 1 такой, что ат = т2 = ([УЛ] +1)2 > Л. Следовательно,
последовательность с общим членом ап = п? не является ограни-
ченной сверху, и тем самым доказано, что она не является огра-
ниченной. /
Если {ап} и {&„}—две последовательности, то под суммой,
разностью, произведением и частным этих последовательностей
понимаются соответственно последовательности
{ап+Ъп}, {ап—Ьп}, {апЬп}, {ап/Ьп};
при этом при определении частного последовательностей пред-
полагается, что Ьп Ф 0 при любом «.
Например, последовательности {(-— 1)п + «}, {(—1)п—«},
{(— 1)” п} и {(— 1)п/п} являются соответственно суммой, раз-
ностью, произведением и частным последовательностей {(— 1)"}
и {«}.
Пример 12. Является ли ограниченной последовательность
{ап}, если < а2 и каждый ее член, начиная со второго, не
превосходят среднего арифметического двух соседних ее членов?
Решение. Из условия задачи следует, что последователь-
ность — ап} является неубывающей, и поэтому при всех п
имеем
ап+1ап ^2 а1 •
Отсюда получаем, что
ап~(ап—+ —Яп-2)+ • • * + (^2—
^п(а2+
поэтому последовательность {ап} не является ограниченной по-
следовательностью.
Имеют место следующие свойства монотонных по-
следовательностей:
1Q. Пусть с— некоторое число. Тогда, если {аи}—возраста-
ющая (убывающая) последовательность, то:
а) («п+с}—возрастающая (убывающая) последовательность;
б) {сап}—возрастающая (убывающая) последовательность
при с > 0;
в) {сап}—убывающая (возрастающая) последовательность
при G < 0.
§ 3. ЧИСЛОВЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И ИХ СВОЙСТВА 53
В частности, если {ап}—возрастающая (убывающая) после-
довательность, то последовательность {— ап) является убывающей
(возрастающей) последовательностью.
2°. Если одна из последовательностей {ап} и возраста-
ющая, а другая неубывающая, то {an + ^ft}—возрастающая по-
следовательность; если же одна из этих последовательностей
убывающая, а другая невозраетающая, то {ап + &д}— убывающая
последовательность.
3°. а) Если одна из последовательностей {«„} и {&rt} возра-
стающая, а другая неубывающая, то {апЬп}—возрастающая
последовательность, если все члены обеих последовательностей
{ап} и положительные; последовательность {апЬп} является
убывающей, если все члены последовательностей {ап} и {Ьп}
отрицательные;
б) если одна из последовательностей {ап} и {£„} убывающая,
а другая невозрастающая, то {апЬп}—убывающая последователь-
ность, если все члены обеих последовательностей {ап} и {&„}
положительные; последовательность {апЬп} является возраста-
ющей, если все члены последовательностей и {Ьп} отрица-
тельные.
В частности, если {ап} —возрастающая (убывающая) после-
довательность, то:
а) {а*} — возрастающая (убывающая) последовательность,,
если ап > О, ngN;
б) {««}—убывающая (возрастающая) последовательность,
если ап < 0, n^N.
4°, Если {ап} — возрастающая (убывающая) последователь-
ность, то:
а) {1/ап}-— убывающая (возрастающая) последовательность,
если ап > О,
б) {!/«„}—возрастающая (убывающая) последовательность,
если ап < 0, ngN.
Пример 13. Доказать, что произведение двух убывающих
последовательностей {ап} и {&п} с положительными членами яв-
ляется убывающей последовательностью.
Решение. Так как последовательности {aft} и {&rt} убы-
вающие и их члены положительные, то для любого натурального п
получаем
< an^n+i < anbn, n£N,
т. e. последовательность {anbn} является убывающей последо-
вательностью.
Пример 14. Доказать, что последовательность с общим
членом является возрастающей последователь-
ностью.
Решение. Последовательность {п2} является возрастающей
как квадрат последовательности {л} с положительными членами.
Последовательность {п2 + п + 1} является возрастающей как сумма
двух возрастающих последовательностей {п*} и {п+1}. Так как
все члены последовательности {п2 + п+1} положительные и она
возрастающая, то последовательность +г 7 г убывающая.
I/» +* П “j" 11
54
ГЛ. 1. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
1
Наконец, последовательность <-я-т----является возраста-
\Т1гtl-j- 1J
ющей по свойству 1°, в.
Пример 15. Найти наименьший член последовательности
с общим членом
25
Решение. Так как &w=2n2—20n4-48 = 2(n—5)2—2, то
последовательность {Ьп} является возрастающей последователь-
ностью, начиная с номера п=5; кроме того,
bi> Ь%> Ь3> Ьл> 65.
Последовательность {<?„}, Где си=(5п—31)2+10, имеет только
положительные члены и/возрастает, начиная с номера п = 7, и
ci > с2 > с3 > с4 > с8 > сб.
Отсюда и из свойств Г—4° заключаем, что последовательность
где dn = — 25/сп, является возрастающей последователь-
ностью, начиная с номера /г = 7, и
df > > d6 >
Таким образом, данная последовательность {ап}, где an — bn^dnt
возрастает, начиная с номера п=7; кроме того,
а± > а2 > аз > а4 > аб.
Следовательно, наименьший член последовательности {ап}
содержится среди членов аб, ав, а^. Непосредственным вычисле-
нием находим, что а8==—117/46—наименьший член данной по-
следовательности.
Отметим еще одно общее свойство монотонных последова-
тельностей. Пусть все члены последовательности {ап} принадлежат
множеству М, которое содержится в области определения функ-
ции ys=sf(x). Тогда:
а) если {«„}—возрастающая (убывающая) последовательность
и функция y—f (х) возрастает на множестве /И, то {/ — воз-
растающая (убывающая) последовательность;
б) если {аи}—возрастающая (убывающая) последовательность
и функция y — f(x) убывает на множестве УИ, то {/(ап)}—убыва-
ющая (возрастающая) последовательность.
Например, отсюда следует, что последовательности
6п==1пп, =
являются возрастающими, а последовательности
8/Т и 1 1 ( 1 V
I/ » bn — In , Си—— I ]
" V п п п ’ \п J
являются убывающими.
§ 3. ЧИСЛОВЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И ИХ СВОЙСТВА 55
Для последовательности {ап} через
N
an^aiJTa2Jr * * •
п=1
обозначим сумму первых ДО членов этой последовательности.
Если существует последовательность {&п} такая что
то
$№^1 + 02+ • • • + #У-1 + ядг—
= (&2 — &1) + (Ьз — &г)+ •«• + (&№—&AT-i) + (&2V+S —
т, е»
5дг = &дг+1 —&1, ДО^1.
Так как, например,
k(k+i)~\ k+i) \ k)'
к k[k+\) fe(fe--i), feSsl>
TO
J, J, 1 1 -________1 1 1- N
1 •2"*"2-3"' ' ’' N (/V-J-l) /V-|-l ' V — 1’
1+2+,..+^M_o=M.
Пример 16. Найти
N Г
Sjv==^4 n8+6/i«4- ll«+6'
Решение. Так как уравнение хУ4~^2 +11^+6=0 имеет
три различных корня: *i = — 1, %2 =—2, х8 =—3, то, используя
метод неопределенных коэффициентов, найдем, что
_______1______=2. 1_______, j___1_____!__==
ж- -|-1 lx -j- 6 2 х~|~ 1 2 x-j~3 x-f-2
^—2 / 1__________1 \ 1 / 1
2 \х-|-2 1) 2
^+2,
Следовательно,
N N
1 У ( 1 1 А 4 1 У / 1 1 \
2^\п+2 п+1/^2"\м+3 «+2/
1/1 И_ N (Л/4-5)
-2<Л/+2 2/t"2\JV4-3 3/12(Л?-f-2)(Л? 4-3)*
56 ГЛ. 1. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
Пример 17. Найти
м
S№ 2 «(«+1) («+«)»
/2=1
где m—-натуральное число.
Решение. Положим
6п = т"Х~2 <П~ОЯ^ + П ••• (« + «).
т I
Тогда
л(л + 1)..*(п + /п + 1)-*»
^-^2 «(«+!) (n+m)=n(n + l) #.. (n+tn)f
и тем самым
5№=Ьлг+1-&1=—l^AU/V + l)... (Л/4-m-f-l).
tn -j-Z
ЗАДАНИЕ 1
1* Найти первые шесть членов последовательности {а~п}
с общим ее членом:
1) ад = п3; 2) ад = 81плп; 3) «Д = [}/Гп2 +«]’,
4) an=n(~iyl; 5) ав=(1-|-2Л . 6) ап~ 2 к.
\ и/ 4=1
2. Написать первые пять членов [последовательности {ап},
задаваемой рекуррентным соотношением:
1) ^й+1 =
2) an+a = «n4-i:«n, «1=1» «2 = 2;
3) an+i==«i+«2 +• • *+««, «1=1.
3. Найти формулу общего члена последовательности {««},
если известны следующие первые ее члены;
- £ £ 16 25 36
2* 6’ 24’ 120’ 720* *
2) 1 _1 1 _1 1 _1 •
4 «. з-5’ 7’9’ ц> •••’
2_ £ 10 17 26 37
3)Г 2 ’ 3’ 4 ’ 5’ 6”‘,:
4) 1, 0, —1, 1, 0, —1, 1, 0, —1, ... J
«1.|. 3,1. 5,1, 7,1,...
§ 3. ЧИСЛОВЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И ИХ СВОЙСТВА gfi
ЗАДАНИЕ 2
- 1. Найти первые пять членов последовательности {ап}соб«
щим ее членом:
i) ап=7ГГ2; 2) а»=(-1)п<л+1)/2; 3)
П "-р л
п
4) Яп=^1^+П^ ; 5) ап = ~п^ ’ 6) а"= (2п+1)11
2. Найти первые шесть членов 'последовательности {a»}w
задаваемой рекуррентным соотношением:
г» an~Van + ^ „ _ 1 _ _п.
1) an+i-----2---♦ а*— I*
2) «»+i = y^n + ~^» .«1 = 2.
3. Найти формулу 'общего члена последовательности {%}f
если известны следующие первые ее члены:
1) 1, 7, 31, 127, 511, ;
2) 1 1 1 1 1 , •
о. 1_____i_ 1__________i_ 1________L
’ ’ Кг’/з’ /'4’Кб’ /б””1
4) 3, —3, 3, —3, 3, —3, ...;
5) 1, —2, 1/3, —4, 1/5, —6, 1/7,
задание з
1« Доказать, что последовательность {«„} является воз<
растающей, если:
1)й„=п«+1; 2)й„ = ^р; 3) «„ = 2"-*;
4) а'’=7Т+Т: 5) ап=п'6~п" 6) а»=^тт-
2. Доказать, чго последовательность {«„} является убываю-
щей, если:
. 2п 4" 3 1
^а',_3л^2’ 2 * * *) а"“п24-2п4-4;
Зпг+2 .. 3/——г з/-
3) “»=з^2фт; «4-1— V П,
3. Доказать, что последовательность {ап} не является воз-
растающей, если:
1) а„=(-1)«; 2)а„=[К«]1 3)
lif
4. Исследовать на монотонность последовательность {ай},
если:
!)«„= /«-[/«]; 2)
ГЛ. I. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
$8
3) an = sin«; 4) «„=2^-3-.
5. Доказать, что сумма возрастающей и неубывающей после-
довательностей есть возрастающая последовательность.
ЗАДАНИЕ 4
1. Доказать, что последовательность {ап} является воз-
растающей, если:
1) ал=д®4-4а+1; 2) ап~ + 3;
3) aw==log2n; 4) an==ctg~.
2. Доказать, что последовательность {ап} является убываю-
щей, если:
1) a„==log1/2n; 2) а„ = —1=^;
3) ап — 2~п; 4) ««=§—ру-
3. Доказать, что последовательность {ап} не является убы-
вающей, если:
1)а„ = созя; 2) а„=2« (1+(-1)»); 3) =
4. Исследовать на монотонность последовательность {«„},
если:
1) an = |2—п|; 2) ап = ; 3) ап==(па/ .
5. Доказать, что сумма двух последовательностей, одна из
которых убывающая, а другая невозрастающая, есть убываю-
щая последовательность.
ЗАДАНИЕ 5
1. Доказать, что последовательность {ап} является ограни-
ченной сверху, если:
1)а»=Йг; 2) а„=100-Гп; 3)а„=7-?«-п».
Д “у* 1
2. Доказать, что последовательность (а„} является ограни-
ченной снизу, если:
1) = п—11; 2) + sin К п;
з,
' п п 1 - па
3. Доказать, что последовательность {att} является ограни-
ченной, если:
1) 2) а»=^Г~'с°83
Л 4~ 3
1 а“_аа4-2п+3’
§3. ЧИСЛОВЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И ИХ СВОЙСТВА 59
4. Доказать, что сумма двух ограниченных последовательно-
стей есть ограниченная последовательность.
5. Привести пример последовательности, которая:
1) является ограниченной сверху, но не является ограни-
ченной снизу;
2) является ограниченной снизу, но не является ограничен-
ной сверху;.
3) не является ограниченной ни сверху, ни снизу.
ЗАДАНИЕ 6
1. Доказать, что последовательность {«п} является ограни-
ченной сверху, если:
1) ап = 5—2”; 2) «„-щ! 3) =
2. Доказать, что последовательность {ап} является ограни-
ченной .снизу, если:
__________________
1) а„ = п— у п; %) =
3) an=4"cos2(ft~ft3+2); 4> а» = п+2~ 9" jZq •
п ли, -j- о
3. Доказать, что последовательность {ап} является
ченной, если:
1)
ограни-
а п+га2+Р. 2) а — ” +2-
вп~ „2+4/1 ’ ’ п~ 2» ’
3) 54) а„ = Гпа+2-Гп»+1.
4. Выяснить, какая из последовательностей {ап} является
ограниченной, если:
1) пп-УЛ2+К2 + К2+...+/2 ;
п корней
2) y^n^+w—]/"п+Т;
ti=2k, j j
, 4) а»+1=а«+тоб- а^~ 100’
/г = 2&+1;
5. Является ли сумма двух последовательностей, одна из
которых ограничена снизу, а другая —сверху, ограниченной
последовательностью?
ЗАДАНИЕ 7
1. Найти формулу общего члена последовательности {«д},
заданной рекуррентным соотношением:
1) а± — а, ^rt+i = (n+1) (1 + «»),
2) «1-1/2, «n + i-l/(2-«w)> п^Г;
3) «1 = 0, «2==1> «Д + 2 = *2“ (З«й + Х —«л), /1^1»
60
ГЛ. 1. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
2. Найти наибольший член последовательности {%}, если:
Ц a*=21/(3n2— 14п —17); 2)J«„ = n/(n2 + 9).
3. Найти наименьший член последовательности {яп}, если:
1) а„ = (2п—5)(2га—11); 2) а„=п+-1.
4. Доказать, что последовательность {««} убывает, начиная
с некоторого номера, если:
n а -(6п+1)2 • 2) а
5. Найти:
s«=Гз+зТб+гП?+ ’+(2п—1) (2« +1):
2) 5п = ГГз"*"2Тз1+гГ5+", + п(п + 1)(/г+-2)’
ЗАДАНИЕ 8
1. Найти формулу общего члена последовательности {«„},
заданной рекуррентным соотношением:
1) ar = a, an+i=aan + ^2n, п>1, а 56 2;
2) «1=1/2, «и+1 = 2/(3—an)t n^l;
3) «i = «, «2 = ^ «n+2 = «n+i+2«n,
2. Найти наибольший член последовательности {«„}, если:
1) art = (l/2)«—3(1/4)«; 2) а„ = п2/2"
3. Найти наименьший член последовательности {«„}, если:
1) «л = 1о§зп—31ogsn; 2)«д=1,4п/п.
4. Доказать, что последовательность {«„} возрастает, начи-
ная с некоторого номера, если:
1) а„ = 2"~И0п; 2) ап = Зп—2п.
5. Найти:
5'’ = 2Т5+?8'^8ПТ+'“ +(Зи—1)(3/1 + 2) ‘
2) Sn== 3^741'^7-1Ы5'^1Ь 15-19+*“
(4re—l)(4rt+3)(4n+7) *
Упражнения
1. Найти 'формулу общего члена последовательности, если
известны следующие ее первые члены:
11 1111 1
1) 1, 2> 3. —4. 5. 6> 7. 8 >... 1
2) 0, 3, 2, 5, 4, 7, ;
1 2_ _3_ _4 _5 _6 7_ _ 8_
Л’ Т’ 5’ 8’ “1Г 14’ 17’ 20’ 23’’“*
§3. ЧИСЛОВЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ.И ИХ СВОЙСТВ^
*>' i- ’• i- 51-
5) 2, 10, 26, 82, 242, 730, ... ;
61 -1-111 _1 _1 1
’ ’ 4 ’ 9’ 16’ 25’ 36 ’ 49’“’
2. Найти общий член последовательности {ап}, заданной
рекуррентным соотношением:
.. . 1 1
) «1 2 ’ а"+1 2—ап ’
2) «f = 7, «п+j = 3«/z-{-5 • 2П;
3) at = 3, ап+i = 5
^~Тап
4)ах = 2,
кч 1 2
б)“1—2’ a"+i~3^n’
6) «i = 0, а2=1, ап+2 = 3-^=^1
7) «1=4, «2 = 2, an+2 = «n+i+2a„;
О\ ___ 1 _ 1 + f ~1~ ап 1 1 .
о) — 1, «2 — 1 > ап+я---—2-----' 1*
9) «£==1, «2 = 1, «п+2 — «л+1 + 2«п+2.
3. Найти члены «37 и «19б7 последовательности {ап}, еслиз
«1—1, «2 = 2, «п + 2 = -~^‘
ип
4. Найти члены «90 и «885 последовательности {««}, если|
«1 = 0, «2=1, «п + 2 = +
5. Найти 1224-й член последовательности {ап}> если:-
( 1, /г=3£ — 2,
1) я?г = < —2, /г = 36 — 1,
I 1/п, n = 36, k g N;
j 2n + l, n = 26,
} ( 3n-l, n = 26-l, 6gN,
6. Последовательность чисел
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34,
два первых члена которой равны 1, а каждый член, начиная
с третьего, равен сумлле двух предыдущих:
«»+2 —ап + 1Чгап»
называется последовательностью Фибоначчи. Доказать, что
1) «„=y=^4^^ (формула Бннэ);
2) «1 + «з+ » s * +«2n + l = 6!2rt+2j
62
ГЛ. 1. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
3) 1 +«2+^4+ • • • =«2^+1;
4) ah—«n-.i«n+f=(“l)tt“J;
5) «П-1+^n = ^2n-i>
6) «1 + «2+«з+. • .+«rt = «n^n + f>
7) 2^n—i
8) «п4-1^п4-2ш-“^nan4-3 = ( 1)”>
9) «1«2 + ^2^3 4“ «3^4 4~ • • • 4~ «2П - i^2n — &%П?!
10) Of—«2+^3’be^«+ • • • i я»= ± йя-х+1»
11) «п+аП4-1“*йП-1 = ^Зд;
12) а*—«п—2«n—i^n+i^n+2 1 >
13) «1 + «2”|”^з+ • • • 4-йП = йП+2“ И
14) ^(«rt4-eo—«»)—'Целое число;
15) последняя цифра числа «i6^ (k^целое) есть нуль;
4ЛЧ , п—2
16) число цифр ап больше —=—.
7» Исследовать на монотонность последовательность^}, если:
1) ап
^п2 + 1.
п ’
2) ап
п24~2п-|-7 е
п2 + 2« + 8 '
q z-- t— ( Пи-1 1
3) a„ = z /»+1-К га; 4) an=^—F=-Ь~
5)
7)
а"=ТГЯ; 6) «*=1+т+т+---+-7;
ап=1+(-!)“+»;
8) ап—
/ 1
КМ7!-!'
1
а -р 1 +1
если п=2£—1,
если п = 2^.
8. Доказать, что последовательность {«„} не является моно-
тонной, если:
1) ап=(—!)«; 2) a„=lSin-^-; 3) а„=2л-(-1)«;
4} art = sin-~^; 5) «П=2созлп; 6) a^=n<“’:t)rt;
7) а„=(-1)'’п; 8) 9) ajl=ctg«lf«±^;
10) a„=(l+«)’ta (я"/2): П) a„=raC0S5Tn; 12) ап=п~^"~п-,
13) а„=2сов(’иг/*>; 14) a„=ra2sln
9, Доказать, что последователь ость {«п) является монотон-
ной, начиная с некоторого номера, если:
§ 3. ЧИСЛОВЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И ИХ СВОЙСТВА 63
2) 3)«.-^+2о:
лч ft2+ 48 кч ft3 л2
4) п-|-4 б> а«-я2—2п + 3 ; 6) “"~^+32:
7)й„=2=±; 8) 0„=.ЛП^; 9) ав=КМ-'3-У»;
V п У л2 +1
10) ап= ft3+2ft —ft; 11) а« = 2й —10«; 12) an = 2n/tv}
Зп+1^2Й+1 1ЛЧ ' 3»~1+2й~л
13) ап— 3» + 2« ’ ап~~ 3« + 2« ;
15) art = lg(ft+l)—1gя; 16) art = ln (па+12я)—2 Inn.
10. Доказать, что последовательность {«„} является убыва-
ющей, начиная с некоторого номера, если:
1) а„ = (Зя+1)2/3«; 2) аа = п3/2п; 3} ап-У~п-,
4) а„ = 2«+1—З»"1; 5) aB = logi/2 (Зга2—18« + 29);
6) ап ——и2] п — 4|.
11. Доказать, что последовательность {ял} является возра-
стающей, начиная с некоторого номера, если:
1) ап=3«~-10п; 2) а„ = 4«~2 —3«+х; 3) a„=ln (ft2 —8ft+17)j
I 2 OI к\ я2—4ft+3 3й
4) ав = п|па—9|; б) а„= 2ra_3 ' ? 6) ап = ~^-
12. Доказать, что последовательность {ап} является возра-
стающей, если:
—2я—3 в —3
*' а"~ п-1-1 : а"~ га2 + Юга+27 ’
3) ап=arctg (З/г2 + 6ft+5); 4) ап == In (ft2 + 2n + 3);
5) aB = 3-2'> + log1/2-+r; 6) an=Vn*+n»+3»-*.
13. Доказать, что последовательность {an} является убы-
вающей, если:
n 6ft+19. _______2
'' а" 2я+в ’ 2> а" п«4-6п+11 ’
п3 4- 1
3) aB = arcctg(na + 2n+1); 4) a„ = log2/s—J— J
5) aB = 2l“n + 32_n; 6) aB = 2-» + -4-r.
ft --f- 1
14. Найти наибольший член последовательности {an}, если:
1 \ 2 I Л I 1 1 4“ *4" 6
о "«==3^4 ’ 2> «П=-п?+4«+11; 3) «„=-5—^;
4 а“~/п4-1ОО5 5 «а-НОО ; 6) an“ 2» J
7) ап--n?+14^45+^--^,
8) «п=К«4-1 —К«•
64 ГЛ. I. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
15. Найти наименьший член последовательности {ап}, если:
О ап = пг—5«+1; 2) аи = п+~;
3)
5)
ап
art==n + 5 sin~p; 4) = — 2n + 9;
1+2+ + « . 1 .
n («+ 1) ‘ n *
9
6) <.n_2..-2ta + 69-js_a?-F3,
16. Даны две монотонные последовательности {ап} и {Ьп}.
Является ли монотонной последовательность:
1){а„+М; 2) {«п-М; 3) {апЬп}; 4) {ап/Ьп}?
17. Даны монотонная последовательность {aw} и последова-
тельность {Ьп}, которая не является монотонной. Является ли
монотонной последовательность;
О 2) {ап—Ьп}; 3) {ап*Ьп)> 4) {an/6rt}?
18. Доказать, что если последовательность {ап} возрастает
и ап > 0 при любом ngN, то последовательность J-----------
I ^» + ^п I
убывает.
19. Доказать, что последовательность {ап} является огра-
ниченной, если:
п+1
2n—1
2) ап
2п*—3.
“ п2 + 3 ;
3) л» —
2—п
У7^+з
„ ГЗп+(-1)" . п п^+бя+Ю .
9n—1 ’ °) (п+2)2 ’
(n + 2)(n-2n2) . (ft2-4)(n«+l)
п~ 2п»—1 ’ п~ п4+2 1
1) >« =
__ 5п6 + 6
а"_1(п4+1)(«2—2) ’’
К п»+ 4 .
(п+2) (/п+3) ‘
10)_ап=-^Ш±^-; 11) ап = /4п2+2—2п;
| у ft3 + « + n
12), an=V"п—2—•!/"«+ 2; 13) art = n (рлп4+п-*-1/гп4—п);
14) ап~1/8п—п3+р/8« + п3; 15)ап=^/п3 + 2—
17) ах = 2, ад+х=—g—
3 1
18) ах— L ^»+1 = ^’йп + —;
§ 3. ЧИСЛОВЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И ИХ СВОЙСТВА 65
19) at = 2,
20) ai=l,
^2 — 3,
ап + 2 =---2------ »
I
an + 2 — ^n + f Н 2п •
20. Доказать, что последовательность {art} не является огра-
ниченной, если:
1) а„ = (—1)"яг; 2) о„ = гаа—2га; 3) ап=П~_^ ;
-ч n3 + n еч 2—п
4) ап I | р » *) ctfi _— —,
+ у 1 -\-п
6) ап — п — (— 1)" + г п\ 7) =
8) а« = -^ЕрЙтГ; 9)а« = 2"-“3: 10) ап = 3«+2-"?
11) a„=log2(n2+n); 12) ап= log3(га2 + 4га)— 3;
. о, * Я “1“ 1)
13) а„ = я tg-A-^__L;
14) ап=Кга4+га3+1 — /га4—п3+1;
1 к\ «4-1 * дч ___Зге ,
5) Лп~ log2(raT2T; 6) «3 ’
ZV2 , Р
17) g,\ — 3, ап4-1 g >
18) ai = l, an+i = an+ ;
19) af—1, а2=1, are+2 = an+i+6a„;
з
20) «т = —4, tz2 = 3, an+2 = an+i+-j-an.
21. Является ли ограниченной последовательностью {а,*}»
если:
4 /•-- 4 Z—
1) ап = 2п^3; 2) an = log7 п\ 3) ап—у —у п\
.ч п2 + 2п с Л . 1 V Лч nk f
4) ; 5) а«=(<1+т; : 6) а”==^--а> 15
71 а -[2П 81 а - 1+2 + 3+ . . +« .
7) , 8) ап-
9) а»==ь2+27з"^“'+ га(га+1) :
10) ап—1 +-§2’+’^'+---+-jj2 1
Р+22+32+ ... +га2.
П) «п- «2(га4-2) ‘
12) a„=lg(3ra4-2)-lg(n+l);
13)01=1, o„+f = a„ + -^-;
ап
14) 01=8, on+i = i(2a„+ Д-Y
8 \ ап /
3 Задачи по математике. Начала анализа
66
ГЛ. 1 ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
15)
tfj=s:3# «п+1
16)
22.
«п(«п+2) . I
24 +1 ’ I
«1=1, «2=2, an+2—2«n+i+an=3? |
Доказать, что любая возрастающая последовательность!
ограничена снизу. 1
23. Доказать, что любая убывающая последовательность]
ограничена сверху. 1
24. Привести примеры двух последовательностей, каждая!
из которых не является ограниченной сверху, но таких, что их!
разность есть ограниченная сверху последовательность. j
25. Привести примеры двух последовательностей, каждая из|
которых не является ограниченной, но таких, что их сумма?!
есть ограниченная последовательность. *
26. Последовательности {an} и {Ьп} таковы, что последова-1
тельности {art} и {апЬп} являются ограниченными. Является ли |
ограниченной последовательность {&„}?
27. Доказать, что монотонная последовательность {дп} яв- ।
ляется ограниченной, если последовательность {Ьп} является^
ограниченной, где bn — a2n> ngN. -j
28. Привести пример последовательности {ап}, не являю-
щейся ограниченной и такой, что если bn~a2n~t, rcgN, то j
последовательность {&„} является ограниченной. I
29. Дать определение того, что последовательность {an} не |
является: |
1) возрастающей (неубывающей); |
2) убывающей (невозрастающей); |
3) ограниченной сверху (снизу); I
4) ограниченной; I
5) монотонной. 1
30. Найти такую последовательность {6П}, что
если:
П п - ”(»+!) . m „ п («+!)(Я +2) _
1) ап----, 2) ап-----11 g ”’з » °' ®п— —1,
4) a„ = n (3/г*** 1); 5) е7п = 3п2—-3n+1;
ЛЯ С 9 I л 1 -74 Л (fl I ) 'jl 4~2) (Л 4“ 5)
6) а„=4п8—6^+4n —1; 7)
8) a„=2’’-»(n~l)!(2«-l); 9) a„= т-р: ;
п (/i-f- *)
10) ап== (2и~1)(2п+ 1); Н) a“ = (3n —1) (3« + 2):
J2) а”= (7п—«3) (7п +4): 13) йп== п (п + 1)(л+2) 5
14)в" (4п—1)(4« + 3)(4« + 7)’
п («+П(« + 2)(л+3) :
16) =——г-777——ГоГ7—гт: *, 17) ап»п• /г!.
" п (n+ 1) (п + 2)(/7 + 3)(л4-4) ' "
§3, ЧИСЛОВЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И ИХ СВОЙСТВА 67
31. Доказать, что:
1) s,_, + 3+e + 10+l5+...+2^=d<l±;y«±^;
2> S.-1 -И<+10 + 20 + - + "^.г.'з + 21 -
_п (л 4-D (п + 2) (п + 3).
1-2-3-4
3) S„=14-34-54-74-...4-(2n—1) = па;
4) Sn= 1-2 + 2-5 + 3-8+...+n (3n—l) = na (n+1);
5) Sn= 1+?+19+37+...+ (3п3 — 3п +1) = п3;
6) Sn=14- 154-654-1754-... 4-(4п»—6гаа4-4га—1) = п4;
7) Sn— 1 +54-154-354-... 4-1(п+11£№5+^4<1±^=
_п(п + 1) (л + 2)(п+3) (п + 4).
“ 1-2-3-4-5
8) Sn= 1 +2-3 +2-4-5 + 2-4.6.7+ ...
...+2-4-6-..--(2п—2) (2п —1) = 2»-п! —1;
9) Sn = Ь2'^2^з+2Г4'^• • п («+ 1) = п+1 ’
Ю) 5»=17з+з++5^+ • • • +(2п— 1)(2п+1)== 2п+1 ’
П) 5п==2^5+Г8'^8ЛТ+"*'*‘(Зп — 1)(Зп + 1)“
—1 f1 — 1 V
“3 \ 2 Зп + 2 7’
12) 5"=4ЛТ“^ТТЛ8+1Ж25^',,+ (7п—3)(7п+4) ~
__ 1 / 1 1 \
7 \ 4 7п+4 J’
13) S"= 1-2-3"^2^4п(п+1) (п + 2) =
_ 1 7 1 1 \
2 \1-2 (п+1)(п+2)У:
14) 5в=З^ПТ"1_7-11-15+", + (4п —1)(4п+3)(4п + 7) =
= ! / 1 1 \
8 \3-7 (4n + 3)(4n + 7)J;
15) Sn = 1-2-3-4 + 2-3-4-5+ • • • + п(п+1)(п+2)(п+3)=
__1_ ( 1____________________________1______\ .
3 \ 1 • 2• 3 (п+1)(п+2) (п+3)/
3*
68
ГЛ. 1. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
16) s„_ j _2 3>4 5+2.3.4.5-б+ "'
^n(n+l)(n + 2)(n + 3)(n + 4)
1 / 1 ________________1_______ \
==4\l-2-3-4 (n-j-l)(n+2)(n+3)(n+4)J
17) S„ = l.ll + 2-2l + 3-31 + ...+n-n! = (n-H)! — 1.
32. Пусть
Sjf*= l^ + 2/’4-3^4-... +nP,
где n и p —любые натуральные числа. Доказать, что:
1) sA1)=i+2+3+...+n=!LfcLL);
2) s^2> = la+224-32+... 4-п2=”(я+ 9 (2п+9;
з) $)?>=13+2s+33+... + я»=?2(га+-В-=(s^)2;
<4, 6SFSF-S™ S(„2>(6S^-1) .
4) S„ ------g-----=-------g------
5. o©_ 4(S<?>)8-S<8> _(S(n1>)2(4Sk1>-l).
> n ~ 3 — 3
128^(8^58^ sk2>U2(S~)2-6S'n141).
o<7>8(S«r-4S^ (sn*(6m2-4Skn+ 1).
_ S<f> (40 (S„>)8—40 (S<?>)2+ 18S£>~3).
— 15
9) Sk2) = C^4-C2; 10) 5^ = С^ + ЗСГ+2С^;
11) s^’=cA+7Cn+i2Cn+6Cn;
12) S^=cA+ 15Cn+50C^+60Cn4-24C^,
13) S„=l-22+2-32 + 3-424-...4-(n~l)n2 =
_ tl (П2 — 1) (3n 4- 2) „(3) „<2).
----------12----==dn ~‘г>п ’
14) S„=l2+32+52-}-...+(2n—1)2 =
n(4n2— 1) (2) .„(2) .
=-----g---= O2n-l 40/2-. 1,
15) S„^=2U2+3.22 + 4«32+...+(rt+l)ft2 =
= n (П~Ю (nH~2) (3n-hl) __ $(3) 1 £(2).
§4. ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
69
§ 4. Предел последовательности
Число а является пределом последовательности {att}, если
для любого положительного (числа е найдется номер N такой,
что для каждого натурального числа п > W справедливо нера-
венство
—а| < 8.
То, что число а является пределом последовательности {ап},
записывается так: limart = a или ап—>а при п—> оо,
П->00
Если последовательность {art} имеет предел, то она назы-
вается сходящейся; в противном случае—'расходящейся:
Так как неравенство |ап—а| <8. равносильно неравенству
— 8 < ап—а < 8, т. е. а—8 < ап < а + в, то утверждение о том,
что число а является пределом последовательности {а„}, озна-
чает, что для любого е > 0 найдется номер N такой, что, начи-
ная с номера М-р, все члены последовательности ajv+Ь ^+2,--«
принадлежат интервалу (а—в, а+в), а вне этого интервала
находится, быть может, лишь конечное число членов последо-
вательности (не более N).
Пример 1. Доказать, что число 1 является пределом по-
(п 4-11 .. fi+1 ,
следовательности < , т. е. что lim —— = 1.
Решение. Надо доказать, что для каждого положитель-
ного числа 8 найдется номер Я такой, что для любого нату-
рального п > N справедливо неравенство
Г4М<е-
-г И+1 , I |1| 1 |«+1 , I
Так как —5-----1 — — =—, то неравенство —1----1 <в
\ п I | п j п r In j
равносильно неравенству 1/п < е, т. е. неравенству п > 1/8.
Если взять некоторое натуральное число большее числа 1/8,
например число [1/8] +1, то для каждого натурального л, боль-
шего этого числа 2V, выполнено неравенство
р + 1 .11 , 1 _ И _ < 1 8
| п |~п №(1/81+1 4 \/ъ ’
а это означает, что для произвольного числа 8 > 0 нашелся
номер N такой, что для любого п> N справедливо неравен-
ство —11 < е. Следовательно, число 1 является пределом
{/&+11 .. л+1 .
—— > , т. е. lim ——=1.
п J п-> + « п
В данном примере в качестве /V может быть взято одно из
чисел вида [1/е] + &, где 6—-любое, но фиксированное нату-
ральное число. В самом деле, если /V = [ 1/е] + kt то для любого
п> N имеем
р+1 11-1 . 1_________1 < 1 _е
|п *| n^N (1/81+* 1/8- •
70
ГЛ. I. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
после-
после-
Заметим, что в определении предела последовательности
номер N, вообще говоря, зависит от в. Так, например, в при-
мере 1, если е^1, то, начиная уже со второго номера, каж-
дый член последовательности удовлетворяет условию
|/? + 1 J 1 1
—Г----1 = —с ~ < 1^е.
I п I п 2
Если 8=1/10, то, начиная с 11-го номера, любой член
довательности удовлетворяет условию
—1 1 = 1^1 < ~ = 8, т. е. А/ = 10.
I п I п 11 10
Если 8=1/50, то, начиная с [51-го номера, любой член
довательности удовлетворяет условию
И+1 11 1 I 1' А, сл
—---------1 = — <=7 < =^ = 8, Т. е. N =50.
I п I п 51 50
При нахождении номера N такого, что для любого
справедливо неравенство < 8, иногда полезно оценить
разность \ап—а \ через некоторую переменную величину^ та-
кую, что для любого л, начиная с некоторого, \ап—a\<bnt
а затем найти номер N из условия Ьп < е (см. пример 2). Во
многих примерах в качестве Ьп можно взять Ьп = с/па (с > О,
а > 0) или bn — cqn (с > 0, 0 < q < 1).
Пример 2. Доказать, что
п2_з1п + 4
2л2 4“ 17л —57 2 ‘
Решение. Нужно доказать, что для любого положитель-
ного числа 8 найдется номер N такой, что для любого n> N
справедливо неравенство
I п2— 31л 4~4 1 I
12па+ 17/г—57 — 8*
Для любого натурального п имеем
। П2_3U-f-4 1 I 12л2 — 62л4-8—2л2— 17л4-57|
12л24~ 17л— 57 2 |“| 2(2л2+17л —57) |“~
I -79л 4-65 I |—79л 4-651
|2(2л24~ 17п — 57) | |2(2л24-17п—57)|
79п|4~|65| 80л 4-80 _
| 2 (2л2 4-17л —57)| 2 | 2л2 4-17л—57 | ~
__ 40 (л 4-1) 40-2л __ 80л
— |2яа+17п—57| |2п24-17и—57| |2п2 + 17п—57| •
Так как 2л24- 17л**57 = 2п24~(17л — 57) > 2л2 при каждом л^4,
то при л^4 получаем
80л 80л _ 40
|2л2 + 17л—571 < 2л2 л*
§4. ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
71
Итак, для любого натурального п^>4 справедлива оценка
| д2— 31д + 4 1 I 40
I 2п2 + 17ге —57 ~ 2"| < ~п '
Выберем число N такое, что /V^4h 40/TV < 8 (например, за N
можно взять 2V — [40/е] -|-5). Тогда для каждого п > N имеем
I п2_з1п_[_4 j । 40 40__ f40 40
|2д2 + 17д—57 2 Р п < W [40/8)4-5 < 40/8
Пример 3. Доказать, что если р | < 1, то
lim qn = 0.
n~>+ 00
Решение. Для того чтобы доказать, что lim?n = 0, надо
8->а>
показать, что для любого 8 > 0 существует натуральное число N
такое, что для каждого натурального числа n> N справедливо
неравенство \qn — 0| < е.
В случае, когда 7 = 0, доказываемое равенство очевидно.
Пусть q Ф 0. Так как 0 < | g | < 1, то \/\q | > 1, и, следова-
тельно, существует положительное число а такое, что 1/| q\ =
= 1+а. Так как а > 0, то из неравенства Бернулли получаем,
что для любого натурального числа п имеет место оценка
1 f 1
=(l+«)n>l+na>na.
Отсюда И1” < ~ ПРИ всех натуральных п. Возьмем некоторое
N > —, где a = —1. Тогда при каждом п> N имеем
as | q I
1 1
ft > - , ИЛИ --- <8,
ае да
и тем самым
.|<?n_0| = h«| = |?|« < A- < е.
Итак, для любого положительного числа 8 существует номер N
такой, что для любого п > N выполнено неравенство \qn — 0| <8,
а это и означает, что lim 7" = 0.
/1~> + 00
Пример 4. Пусть = ,. ftgN.
Доказать, что число а—\ не является пределом последова-
тельности {«„}.
Решение. Доказательство проведем от противного, т. е.
предположим, что число а=1 является пределом последователь-
ности. Тогда для 8=1/3 найдется число W такое, что
|2п4-3 J , 1
I п + 2 Ч 3
, 4% ГЛ. ,1. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
для каждого п > W. Поскольку 2N > то при ft==2^ имеем
И^ + З .Г1
12N + 2 1 I
С другой стороны,
I4JV + 3 | 22V+1 1 . 1—3^1
I 2/V + 2 |'“2Л/ + 2'“1 2/V+2>1 4 4 3 '
Полученное противоречие доказывает, что число 1 не являет-
ся пределом последовательности.Заметим, что lim
\ П-> + со п г /
Пример 5. Доказать, что последовательность ап = (—4)п
не имеет предела.
Решение. Доказательство проведем от противного. Пред-
положим, что последовательность {ап} имеет предел и он равена.
Тогда для любого 8 > 0 существует номер 7V=A/(s) такой, что
для любого п> N справедливо неравенство | ап — а! < 8. В част-
ности, для е— 1/2 также существует номер Nf такой, что для
любого п > Ni справедливо неравенство
|ап—л I < 1/2.
Поскольку 22Vf > и 2^4-1 > N& то для членов последова-
тельности и Й2М+1 выполняются неравенства
1«2М—«I < 1/2, |Я2М+1—al < 1/2.
Так как а2м==(—1)2-лг1 = 1, а2дг1+1=(—1)2^+1 = —1, то имеем
неравенства
11—а| < 1/2, 1—1— а | < 1/2,
из которых следует, что
2^|(1-а) + (а+1)|<| 1-а| + |а+11 < 1+1 = 1.
Итак, из предположения о сходимости последовательности {ап}
получим неверное неравенство 2 < 1. Следовательно, последо-
вательность {«„} не имеет предела.
Если последовательность не является ограниченной, то она
не является сходящейся.
Пример 6. Доказать, что последовательность ап~Зп—*7
не является сходящейся.
Решение. Докажем, что данная последовательность не
является ограниченной.
Пусть С—произвольное положительное число. Тогда для
любого натурального п, большего числа ДГ=-- , имеем
о
Зп—7 > > С+7—7 = С.
О
§4. ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
' 73
Это означает, что данная последовательность не является огра-
ниченной сверху и, значит, не является ограниченной, а следо-
вательно, не является сходящейся.
Имеют место следующие свойства сходящихся по-
следовательностей:
Г. Сходящаяся последовательность {art} имеет только один
предел.
2°. Сходящаяся последовательность ограничена.
3°. Пусть существует предел последовательности рав-
ный а. Тогда имеется предел последовательности {ад+^}, где
А—фиксированное натуральное число, и он равен а, т, е,
11m an+k = lim ап.
П-><Ж> П-+Н)
4°. Пусть последовательность {art} такова, что
lima2& —я, lim
&->оо /г->оо
Тогда 11тап = а.
ft—>00
5°. Если ап = с, n(£N, где с—константа, то
lim ап = с.
6°. Пусть существуют предел последовательности {ап}, рав-
ный а, и предел последовательности {Ьп}, равный Ь, Тогда:
а) существует предел последовательности и ои
равен a+bt т. е.
lim («п+М= Нт Hm bn*
П-+<Ж> П-+Я П-+СЛ
б) существует предел последовательности {ая—•Ьп}, и оя
равен а — Ь, т. е.
lim (ап —-Ьп)= limart— lim bn;
п-+<» п-+<»
в) существует предел последовательности и он ра-
вен ab, т. е.
lim (anbn) = lim ап lim bn.
В частности, если некоторая константа, то существует пре-
дел последовательности {сап}, и он равен са, т. е.
lim (сяп)—с lim ап;
п-><ю п->со
г) если Ьп 0 при каждом натуральном п и b Ф 0, то су-
ществует предел последовательности и он равен а/Ь, т. е»
1. (&п\ /ПтаД
Ьт I — |г=/ ------ \
'™Abn) ( lim bn •
\ n-+b /
Отметим, что в каждом из свойств 6°а)—6°г) утверждение со-
стоит из двух частей:
74
ГЛ. 1. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
во-первых, утверждается существование пределов последо-
вательностей {Лп+^п}, {ап— ^п}, {ап^п} и ВО-ВТОрЫХ, ПРИ-
ВОДИТСЯ правило их нахождения.
Свойства 6°а) — 6°г) без предположения о существовании
каждого из пределов последовательностей {ап} и {Ьп} могут
быть неверны. Например, каждая из последовательностей ап —
= (—1)" и Ьп~(—1)п + \ n£N (см. пример 5) предела не имеет,
однако последовательности
cn = (a„ + ^) = ((-l)n + Hl)n + 1) = (-l)n-(-~l)n = 0,
= 1)« (—1)«+1 =—1
имеют пределы, соответственно равные 0 и — 1L
Поэтому говорить, например, «предел суммы равен сумме
пределов» или «предел произведения равен произведению пре-
делов» без предположения о существовании предела у каждого
слагаемого суммы и соответственно у каждого множителя про-
изведения, вообще говоря, неверно.
7°. Пусть предел последовательности {art} существует и ра-
вен а, и пусть предел последовательности {Ьп}, Ьп > 0, суще-
ствует и равен b > 0. Тогда существует предел последователь-
ности и он равен Ьа, т. е.
lim bann = ba.
n-+tn
В частности, если & —фиксированное положительное число и
существует предел последовательности {аи}, равный а, то су-
ществует предел последовательности {//*"}, и он равен Ьа, т. е,
lim ап
lim ban = bn~** ^ba.
п-+ оо
8Q. Пусть существует предел последовательности {«„}, рав-
ный а, и существует предел последовательности {bn}t равный Ь.
Тогда, если при каждом натуральном л, начиная с некоторого
номера, имеет место неравенство ап^Ьп, то
lim ап^ lim bn,
п-* оо п -> СО
В частности, может быть, что при каждом натуральном л, на-
чиная с некоторого, имеет место неравенство ап > ЬП1 однако
lim ап^ lim bn. Например, для последовательностей пи=~
П -> оо П о© Л
и имеем ап > Ьп, но lim ап= lim bn — 0.
П -* оо П -> оо
9°. Если последовательность {ап} имеет предел а и число р,
меньшее а; тогда найдется номер N такой, что для любого
п> N справедливо неравенство р < ап.
10°. Если последовательность {лп} имеет предел а и число q,
большее а; тогда найдется номер N такой, что для любого
п > N справедливо неравенство q > ап.
11°. Если lim ап= lim bn—А и неравенство ап«Ссп^Ьп
п-> оо п -* 00
выполнено при каждом натуральном л, начиная с некоторого
§4. ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
75
номера, то существует предел последовательности {сп}, и он
равен А.
12°. Пусть существует предел последовательности {гп}, рав-
ный г. Если члены последовательности {гп} и число г принад-
лежат области определения основной элементной функции f (х),
где f(x)—одна из следующих функций: ах, х'х, loge х, sinx,
cosx, .tgx, ctgx, arcsinx, arccosx, arctgx, arcctgx, то имеем
lim f(rn) = f(r), t. e. lim аГп=аг, lira (гп)а=яа,
n -> 00 rt -> 00 n 00
lim loga rn== loga r, lim sin rrt —sin г и т. д.
n oo n -> 00
Вообще, если члены последовательности {rn} и ее предел —
число г — принадлежат области определения элементарной функ-
ции f (х), то lim f Это свойство справедливо для
п -> 00
всех так называемых непрерывных функций, речь о которых
будет идти ниже.
Пример 7. Доказать, что если последовательность {я^}
сходится к числу а, то последовательность {sin Яд} сходится
к числу sin а.
Решение. Рассмотрим 8 > 0. Так как lim то для
п -> со
этого е существует номер N такой, что для любого п> N
справедливо неравенство | ап—>а | < 8. Тогда для этих же но-
меров имеем
| sin ап—sin а | = 2 | sin - cos |
< 21 sin [ < 21 |=| яга—а | < e.
А это и означает, что для любого е > 0 существует номер N
такой, что для всех п > N
] sin ап — sin а | < 8, т. е.
lim sin = sin a.
п <ю
Пример 8. Доказать, что если ап^0 для любого ngN
и lim ап = а, то lim К a-
п во п -> со
Решение. Заметим, что я^>0. Рассмотрйм сначала слу-
чай, когда я > 0; тогда
I Кап— V а|
1«п—«| < I |
/°п + К а У~а
Возьмем любое положительное число 8. Так как Вт яп=я,
__ П СО
то для числа e-[ = ej/" я существует номер Nt такой, что для
любого натурального n > Nt справедливо неравенство ]яд—я| <
< 8 К а. Тогда для каждого п > Nt имеем
У я у а
76
ГЛ. 1. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
Пусть теперь « = 0 и е—произвольное положительное число.
Тогда существует номер ЛГ2 такой, что для каждого п >
справедливо неравенство | ап | < е8, и, следовательно, для каж-
дого п > N имеем
1Кай--/"а| = |/"ой—0|=| = < У"^ = \г\—б.
Следовательно, в обоих случаях а>0н а = 0 для любого
числа 8 > 0 нашелся номерJV такой, что для каждого п> N
выполнено неравенство Y а| < е, а это и означает, что
lira рЛа^=рЛя = ~|/ lim
«-►00 >'«-►«>
Пример 9. Найти
.. 2ft+ 3
Um s—*-7.
п -* оо 3ft—4
Решение. Так как каждая из последовательностей
{2ft+3} и {3ft 4} не является сходящейся (см. пример 6), то
применить правило о пределе частного нельзя. Разделив числи-
тель и знаменатель дроби |~“j на п (отчего ее значение не
изменится), получим
2-4-1
2п + 3_ ' п
зЛ—4—-; г *
о——
п
1 Ч 1
Так как lim — = 0, lim 2 = 2, lim —=3- lim —=0,
П -> oo tl ft -+ oo n оо ft Ц -+ <x, tl
4 1
lim 3=3, lim —=4- lim —=0, то, согласно свойству 6°a),
Я -> oo fl oo ft fl -> оо ft
(3 \ 3
2-|—)== lim 2-|- lim —= 2, а, согласно свойству 6°б),
ft/ n -> OO fl 00 tl
lim (3—i\=s lim 3— lim 1=3 0. Применив свойства 6°,
n -+ 00 \ ft/ fl —> oo fl -> oo ft
получим
Обычно на практике при вычислении пределов сначала
предполагают, что условия соответствующих теорем выполнены,
а затем в обратном порядке обосновывают законность постав-
ленных знаков равенств между выражениями.
Пример 10. Найти
lim ( ,““3я V V я + 2
„“ЛД4П+5/ пЧ« + 1 *
§ 4. ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
77
Решение, Поскольку
lim -А—rr=! lim
П -> 00 4/1 -f- О n -+ о
3
T
lim
n 00
K» + 2 _
/I2 -j- fl -j~ 1
lim
П oo
^Q+Q ~
~~i+o ’
то no свойствам 6° имеем
lim
1-*Зп\з
4n + 5/
К n + 2
/12 + «+1
Пример 11. Доказать, что последовательность { Yn24-l—п}
имеет предел, и найти его.
Решение. Так как каждая из последовательностей
{Кя24-1} и {п} не является сходящейся, то применить свой-
ство 6°, б о пределе разности нельзя. Поэтому сначала разделим
и умножим выражение j/"n24-l—я на сопряженное ему выра-
жение + Тогда получим
Та~Т~Т „ (/n* + l->n)(Kn2 + l+n) _ п2+1-*П*
+ угп«Н-1 + Угп К«2 + 14-п
1
— КлЧТ+п *
Поскольку
О < -у.—-L-=—7--у. 1-=--г < ~
/п2+1 + п / ,/ . 1 2я
\ V я+^-Н)
и lim -jr—=0, то по свойству 1Г последовательность
п оо 2tl
{Кп2+Т —«} имеет предел, и он равен нулю, т. е.
lim ==0.
п со
Последовательность называется бесконечно малой, если
lim ап=0.
М -> 00
Для того чтобы число а являлось пределом последователь-
ности {ад}, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось ра-
венство ад=а+ап, где (ап}—бесконечно малая последова-
тельность.
78
ГЛ. 1. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
Пример 12. Найти
n1 2+2n+l+sinn
Дтоо п2 + л + 1
Решение. Выделяя целую часть, имеем
л n + sinn _ п+1 2п 2
Поскольку О < я8+ - 4Т < < П И
2 л „ но v n+sinn л
lim —=0, то по свойству Н Вт —-------------=0; следова-
и^ооП J н^оо п2 + «+1
jn + sinn 1 л
тельно, последовательность у-~2 n ^|1'’f г есть бесконечно малая
последовательность, и поэтому
м n2 + 2n+l+sinn .
Um -----—---------= 1
I -> оо П2 + И + 1
Имеют место свойства бесконечно малых после-
довательностей:
1°. Сумма любого конечного числа бесконечно малых после-
довательностей есть бесконечно малая последовательность.
2°. Разность двух бесконечно малых последовательностей
есть бесконечно малая последовательность.
3°. Произведение бесконечно малых последовательностей
есть бесконечно малая последовательность.
4°. Если последовательность {ап} бесконечно малая, а по-
следовательность {Ьп} ограниченная, то последовательность
{ап6и} бесконечно малая.
Пример 13. Доказать, что
„ 1 . л/«+2
Um —г—г sin —+-7-7—
п оо п+1 п2 + 4п
0.
г» o' , . л У п + 2
Решение. Так как последовательность drt==sin—J—
п2 + 4п
(ngN) является ограниченной последовательностью
/] л Кп + 2 I А .. 1 А
I sin—— <1 ) и Um —г~г = 0, то последовательность
\| | / П оо п+1
<—гт? есть бесконечно малая последовательность, а значит,
| п+ 1 ]
/1 . л У п + 2 1 л
и данная последовательность <—г-г sin—.....; > есть беско-
I n +1 n2 + 4n J
1 . л У п+2 л
нечно малая последовательность, т. е. lim —гт sin—+-+ =0.
лоо п +1 п2 + 4п *
Пример 14. Доказать, что
Um
П-» 00
У 5=1.
§4. ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
79
Решение. Для любого п 2, ngN, справедливо нера-
венство {/^5 > 1. Поэтому ад=}^5—«1 > 0. Отсюда имеем
5 — (art +1)" l+nart > пап, и, значит, 0 < ап < 5/я для всех
«^2 и поэтому lim аи = 0. Так как у^5 = 1-{~ай и ап — бес-
п -> сю
конечно малая величина, то lim у^ 5 = 1.
п -> СЮ
Пример 15. Доказать, что
lim
/7 -> СО
у п~ L
Решение. Поскольку при любом п^2 имеем у п >
> у/ 1 = 1, то п —1=а„>0. Отсюда д = (1+art)n 1+
«(ft— 1) .2 rt(rt —1) 2 т. 1 ,л
+ пап-|--—- ап >—Н,—-On* Так как /г — 1 /г/2 при
п^2, то п > п20Ся/4; таким образом, 0^ад^2/|/" п при п^2.
Следовательно, lim art = 0, и, значит,
П -> 00
п/—
lim у п= lim (1+»«) = !.
П-* 00 П 00
Пример 16. Доказать, что
lim
П оо
>1°
3"
= 0.
Решение. Имеем
ю
, где а =
Так как
п
п
а" П+(й—!)]«
п
2
2
п _ '2_______________(«т^Е
»(»—!) (а _ 1)з <п~0(«—1)? я—I
и lim 1 —=0, то lim -4=0-
/г-юоП — 1 п ап
Следовательно,
Um
п -> со
п \10 nw _
— = lira -о=-=0.
ап ) п-*«, Зп
80
ГЛ. 1. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
Пример
17. Доказать, что
74»
Пт 4=0.
fl оо л!
Решение. При п > 8 имеем
n.7«_2. L L L LL
и< п!“~ Г 2 ‘ 3 ‘ 4 8 ‘ 9 ‘м п
7* 7 7 7 f9Y (1Лп
^~8Г'\Т) ”8! ’\Т/ \9/ •
lim
Так как
lim 4^=0.
fl -> OQ^I
Пример 18. Найти
Р=0 (см. пример 3), то по свойству 11°
lim
П оо
2«4-па
3« + ««‘
Решение. Поскольку 3" > 2” > и® > па, начиная с неко-
(2 \ п п3
) =0, lim тт=0, lim ^=0, то
<5 / П -> оо Оп п-t ооОп
имеем
lim
П -> °о
2« + п2_
Зп + дз—
2« п2
3«+з«
lim ------я-
I -> ОО « | Л
В теории сходимости последовательностей одно из централь-
ных мест занимает вопрос о существовании предела у данной
последовательности.
Отметим, что одним из достаточных признаков сходимости
последовательности является следующее свойство:
если lim ап— lim 6„ = Л и неравенство ап^сп^Ьп вы-
п -> 00 п 00
полнено при каждом натуральном п, начиная с некоторого
номера, то существует предел последовательности {сп}, и он
равен Л.
Другим важным достаточным признаком существования
предела является следующая теорема Вейерштрасса:
неубывающая (невозрастающая) последовательность, ограни-
ченная сверху (снизу), имеет предел.
Иногда эту теорему формулируют так:
если последовательность монотонна и ограничена, то она
имеет предел.
Итак, понятия монотонности, ограниченности и сходимости
последовательности тесно связаны между собой.
Отметим, что теорема Вейерштрасса устанавливает только
сам факт существования предела, но не дает метода его нахож-
дения. Тем не менее для некоторых последовательностей факт
существования предела позволяет найти его.
§4. ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
81
Призер 19. Доказать, что
lim qn~0,
оо
если 0 < | q | < 1.
Решение. Ограничимся только случаем q > 0. Последо-
вательность qn ограничена, так как 0 < qn < 1 при любом
ngN. Эта последовательность также монотонно убывает; дей-
ствительно,
qn + \=,qnq < qn.
Следовательно, последовательность {qn} удовлетворяет условиям
теоремы Вейерштрасса, и, значит, она имеет предел. Обозначим
его величину через а. Поскольку по свойству 3°
lim aw+i= lim ап>
п-+ <ю п -> со
то a — lim qn+i = q> lim qn — qa. Из равенства a~qa следует,
п -+ оо п -> 00
что а(1—q) — 0. Так как q^l, то а = 0, что и требовалось
доказать.
Пример 20. Доказать, что
где & —натуральное число.
Решение. Рассмотрим последовательность ап
т, (я+1)*2« 1 /. , 1 И
Имеем ----—— 1 1 J’
ап 2« + 1 п* 2 \ г п) ‘
Выберем N так, чтобы для каждого n^N выполнялось He-
x' 1 \й з
равенство И+“ ) < "g" (Для этого достаточно за N взять неко-
торое из чисел, больших числа l/(j/ 3/2 — 1))» Тогда при n> N
имеем
an+i
ап 4
т. е. an+t < ап. Таким образом, начиная с /V, последователь-
ность {ап} убывающая. Так как эта последовательность ограни-
чена снизу, например, числом 0, то по теореме Вейерштрасса
она имеет предел. Обозначим его через А. Докажем, что Л = 0.
Из равенства an+t — (14-—ап с учетом того, что lim
& \ И / п -* оо
/ 1 \л 1
= lim an+f — A и lim (1-4—) =1, получаем А = -^ А, откуда
А = 0.
дй
Заметим, что для доказательства того, что lim -?гг = 0,
П оо 2rt
можно и не пользоваться теоремой Вейерштрасса, а использо-
вать непосредственно неравенство 2д±1 < А для любого п > N.
ап
82
ГЛ. I. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
Действительно, из этого неравенства легко следует, что
/ з \п
О < ап+± , п > N, где c = afa2 • • • лдл Отсюда по свой-
ству 11° имеем нужное равенство.
Пример 21.
Установив, что последовательность xt —
а
*2’
a Xi а Х2 а <
^2 2 2 ’ *8 — 2 2****’ Хп — ~2 2 * 0 < а < 1, яв-
ляется сходящейся, найти ее предел.
Решение. Имеем
a Xi а а2 а (4—al л л
х2 ==“2—> °» т- е- 0 < ** < ЛГХ;
а х2 а , Xi 1/2 2\ л
х3—х2 =у---------у+ -у==y(xi-“-xi) > 0, т. е. х3 > х2;
a xl a xi л
*з-~Х1 = у--2---У-------г < °’ т’ е* Хз < *15
значит, х2 < х3 < хъ Далее,
%2 — Х з л
х4 —хз=---х— < 0, т. е. > х4;
%1—Х3 л
х4—х2 =---g— > 0, т. е. х4 > х2;
значит, х2 < х4 < х3.
Аналогично находим х4 < х5 < х3. Применяя метод математи-
ческой индукции, можно доказать, что х2п < х2п+1 <
и х2п < x2n+2 < x2n+f. Отсюда следует, что последовательность
Xi, Хз, Xg, ...» x2n_i, ... является убывающей, а последователь-
ность х2, х4, хб, ..., x2rt, ...—возрастающей.
По теореме Вейерштрасса эти последовательности являются
сходящимися, поскольку для любого натурального п имеем
О < хп < а/2.
Обозначим их пределы соответственно через А и В. Пере-
ходя к пределу при п —оо в соотношениях
2 2
а Хзп а х2п—1
х2п + 1 — “л 9^ ’ Х^П — “л о >
имеем
А 2 2 ’ 2 2 •
Затем находим, что
42^ Р2
— , т. е. (Л-В)(2—Л—В) = 0.
§4. ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
83
Так как 0 < А < а/2 и 0 < В «с а/2, то 0 < А + В < у+у =
« а < 1. Поэтому 2*-Л — В О и, значит, А —В, Тогда из соот-
л а
ношения А = ~----находим, что
а = УТ+а —1, Л=—УГ+а —1.
Поскольку А > 0, то А~]/~ 1+а—1.
Итак, доказано, что последовательности xf, х8, хб, ...
♦ . ., X2rt-f, • • • И Х2, *4> Хв> • • х2п> • • • сходятся к одному и тому
же числу. Следовательно, последовательность {хп} сходится
к этому же числу, а именно Нт хп~ У1 + а —1.
п -> 00
Теорема о сходимости монотонной ограниченной последова-
тельности позволяет также обосновать алгоритм для приближен-
ного извлечения квадратного корня.
Пример 22. Доказать, что если а > 0, то последователь-
ность хп, определенная рекуррентным соотношением
1 / , а \
*«+1 = -9 ( *п + — > Х£==а,
4 \ хп /
имеет предел, и он равен У а.
Решение. Так как а > 0 и Xf > 0, то хп > 0 при любом я.
Из неравенства между средним арифметическим и средним гео-
метрическим двух чисел имеем
Следовательно, для любого натурального числа п^2 справед-
ливо неравенство хп^У а, т. е. а/хп=сУ а. Таким образом,
._а __
у . ___,_____хп 4” У а xn~i~xn
хп+1 — 2 2 2 —Хп)
и, следовательно, последовательность [хп} является невозрастаю-
щей. Так как последовательность {хп} также и ограничена снизу,
например, числом У а, то по теореме Вейерштрасса она имеет
предел. Обозначив его через с, по свойству 8° имеем У а*.
Переходя к пределу в исходном рекуррентном соотношении
и пользуясь тем, что для любой сходящейся последовательно-
сти {ап} по свойству 3°
lim а„ = lim an+f, •
П-+ GO со
находим, что с —f с -J--— V т. е. 2с2 = с24~а, или с? = а. По-
скольку 0, то с = У а.
84
ГЛ. 1. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
Так, алгоритм вычисления корня квадратного из числа 2
в этом случае дает:
^ — 2;
1/9 \ ч
^=т(4+2)Ч=,-5;
Xs = "2 (з72’’^'2)==12=1’41(6);
**=4(п7тг+Й)“^=1’4,4{2156Г9’-
Заметим, что /"2 = 1,4142135..и тем самым х4 дает при-
ближение числа /2с точностью до К)-»6.
Замечание. Можно показать, что для разности ап =
= хп**/а справедливо рекуррентное соотношение
2 (У а+ад)
откуда следует, что
an+i < > п € N,
2 у а
т. е. ошибка в вычислениях в этом алгоритме на (п + 1)-м шаге
с точностью до постоянной не превосходит квадрата ошибки,
полученной на n-м шаге.
Пример 23. Доказать, что последовательность ап =
/ 1 \ п
*= ( 1 \ , п € N, сходится. <
Решение. Применяя неравенство между средним арифме-
тическим и средним геометрическим к «4-1 следующим числам:
1+—. 1+—.........1+—, 1,
‘ п п 1 п
получаем, что при любом «^1
«4-! Г \ П J
или
Возводя обе части последнего неравенства в («4~1)-ю степень,
получаем
Таким образом, an+i > ап при любом «^1, и, следовательно,
последовательность {ап} возрастает.
§4. ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
Докажем, что последовательность у является
ограниченной. Для этого рассмотрим еще одну последователь-
(1 V
' П N- Аналогично предыдущему можно
доказать, что эта последовательность также является возрастаю-
щей, т. е. bn+i > bn при Поскольку
(1 \п / 1 \п / 1 \п
1+±) ( 1------=( 1—L) < 1,
л / \ «/ \ ft2 /
то ап < \/Ьп при (при « = 1 имеем di = 0). Так как после-
17, 1 VI
довательность г монотонно возрастает, то все ее
члены, начиная с третьего, больше ее второго члена:
/ 1 \2 1
bn > = ( 1 2 ) =“4" ПРИ любом п^З.
Таким образом, при любом п^З справедливо неравенство
< 1/^п < 4.
Так как «1 = 2 и «2 = 9/4, то 0 < ап < 4 для каждого натураль-
ного ft.
Итак, последовательность 1 ограничена и моно-
тонна, и, следовательно, по теореме Вейерштрасса она имеет
предел.
. Этот предел йрипято обозначать через е. Доказано, что
число е является иррациональным и е равняется 2,718281828.,,
Пример 24. Найти
.. Zft+[2\2/i
lim —7-7
п -> оо \Я*1~ 1 /
Решение. Имеем
/ft-f-2\2" Z 1 , 1 \»+iHn/(n + i)
\ft+U + j
Так как
/ 1 \n+1 / 1
lim ( 1+—--г ) == lim 1-f-—) = e
П -> oo \ ft 4“ 1 / n -> oo \ ft/
2ft
и lim ——=2, то отсюда (согласно свойству 7°, если
П -> оо ft ~Г I
lim ип — и, где ип >0, и > 0, и lim = д то существует
п-* оо п-> 00
предел lim который равен uv) получаем равенство
Отметим, что кроме приведенных примеров применения тео-
ремы Вейерштрасса она широко применяется в геометрии (для
86
ГЛ. I. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
обоснования методов вычисления длины окружности, площади
круга, площадей поверхностей, объемов круглых тел), а также
в теории действительных чисел.
Пусть дана убывающая геометрическая прогрессия {ап} со
знаменателем q, 0 < |g| < 1. мСумма Sn первых п членов этой
прогрессии вычисляется по формуле
Так как lim <?п = 0, если |<?| < 1, то lim S„ = ——. Это ПО-
rt оо П -> оо * -Я
другому записывают в следующем виде:
«i+at4+«i<72 +... +<ЭД”~1 + ...
величину называют суммой убывающей геометрической
прогрессии.
Например,
1 / 1 \2 ( 1 \з /1
а) 1+у+(-з) +(-д) +--- + (у) +•• =
в) 8_4 + 2-1 +1-’ +...+8(-1)"-»(1у
Z г \ Z у
__ 8 16
г) 1 4-0,1+0,01 + ... +0,00000.. .01 +... =—1—.=15.
V —____1 V, 1 У
гг-2 нулей
Если положительное число а представлено в виде бесконеч-
ной десятичной периодической дроби т. е. в виде
а=ггг2 .. • гь qtq2 ...qk (pipt
то и формула для суммы убывающей геометрической прогрессии
позволяет доказать, что а является рациональным числом,
и найти его представление в виде обыкновенной дроби. Дейст-
§4. ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
87
вительно,
zv__77 Г 1 #172* •‘7/? । Р\Ръ***Рт t , Р1Р2* • • Pm ।
а —ГхГг .. .Г/-| Г 10л+т • ♦ • “г jg/z+rm । ' * * ‘
_—--------- । P1P2---W1 , 1 , , 1 Y.
•••—'1'2-•-ЧТ ]0Й -Г |qa>+/zz 1 * Ю/л‘” ‘ ‘ 10<л-4)'»у-~
— 77-----7 I 91?2* ‘ ‘ । Р1Р2 •Pm 1 _
Г1Г2’««^"Г 10Л ~7 |0Й + /Л ।
’“Тб-
------ I • • - 4k I Р1Р2•••Pm
1QA (10w—• 1)« 10A*
Полученное равенство позволяет записать число а в виде отно-
шения двух натуральных чисел:
г1г2...гг1()ст + А-~г1г2...г/»10АЧ-71?2>-.7^-10л?г
(1О'Л —1)« 10А
_ № . ff/?“t~PiP2- • >Рт ___
(1О'Л — 1)-10А
Г1/-2- • • Г;- 10® + й + ?1?2- • • <7fe - 10m + pip2- • -Риг _
(10® —1)-10й
_(Уг-.-Гг Юй + Р192---<7^ _...
(Ю® —1).10й
Уц.. .rt д^2. .qk Р1Р2.. Рт — г^.. ,Г1Ч1д2... д;,
(10®—1)10*
Для представления числа а, заданного бесконечной десятич-
ной периодической дробью в виде полученного выше отношения
двух натуральных чисел, [можно поступить также следующим
образом: если a1 = /'1r2.. .rb qtq2 (pipz ... рт), то, умножив
сначала это равенство на 10A+/w, получим равенство
10A+^a = rxr2 .. • . qkPip2 ••• Рт> (PiPz • • • Рт)>
а умножив на 10А, получим равенство
10^ = ^ ... г^2 ...qk, (Pip2 ... рт).
Вычитая из первого равенства второе, получаем
(IO** — 1). 10А а = Г5Г2“-П^2.“^Р1Р2.«‘РОТ — Г1Г2...П<71<72---<7й ;
следовательно,
ггг2 .,. riqyq2 ,,. QkPip2 > -. Pm — r^z . . . ^ <71^2 ♦ ♦
10А(10от— 1)
Пример 25. Представить бесконечную периодическую деся-
тичную дробь а в виде обыкновенной, если:
а) сс = 2,(3); б) а=0,3(14).
Решение, а) Так как а = 2,(3), то, умножая его сначала
на 10 и вычитая из полученного равенства равенство а = 2,(3),
88 ГЛ. Г ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
получаем
10а-«а = 23,(3)— 2,(3), или 9а = 21,
откуда а=7/3. Итак, 2,(3) = 7/3.
б) Так как а = 0,3(14), то, умножая его сначала на 1000
и вычитая из полученного равенства равенство а = 0,3(14), умно-
женное на 10, получаем
1000а— 10сс = 314,(14)—3,(14), или 990а = 311,
суммы бесконечно
J со знаменателем
откуда а = 311/990. Итак, 0,3(14) =311/990.
Замечание. Формула 5=^21^ для
убывающей геометрической прогрессии {ап,
7, 0< |<?|< 1, позволяет представить данное рациональное
число а различными способами в виде суммы бесконечно убы-
вающей геометрической прогрессии с различными знаменателями.
Например,
ч 7 7/3 7 / . 1 / 1 V ~ /1 \Л-1 \
а)‘2==Т^Й7з=^11+’з+’"+(-з) +•••; =
rt 7 _ 77/20 _77 /11 1 ,
°' 2 “ 14-1/10“20 V 10' 100 1000
.7 5/2 5 /. , 2 .7 2V . , 7 2\п-1 . \
В)_2-Ь^277=-2 + + +•••)•
Последовательность {ап} называется расходящейся к плюс
бесконечности, если для каждого положительного числа А суще-
ствует номер N такой, что для любого п > N справедливо нера-
венство ап > А.
То, что последовательность {««} расходится к плюс беско-
нечности, принято записывать следующим образом:
Um /zn = +oo или ап —> + оо при п—> оо.
00
Отметим, что если lim ^ = +оо, то lim —=0, и, об-
П->00 п~>00 &П
ратно, если lim —~=0 и существует такой номер ^, что для
п -> оо ап-
всех п > N справедливо неравенство ап > 0, то lim аи = + 00•
п оо
Пример ^26. Доказать, что
lim п3 = +оо.
п -> 00
Решение. Возьмем произвольное положительное число А
и положим АГ = [|/Л]+1. Тогда для любого п> N справедливо
неравенство
п=* > №=([з/Д]+1)3 >(3/Л)8 = А.
§4. ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
89
Тем самым для каждого А > 0 указан номер N, начиная с ко-
торого выполняется неравенство п3 > Л, а это, согласно опре-
делению, значит, что последовательность {п3} расходится к плюс
бесконечности.
То, что последовательность {%} расходится к плюс беско-
нечности, можно истолковать следующим образом: для любого
Л >0 найдется такой номер N, что все члены последовательности
{ап}, начиная с(JV+1)-го члена, т. е. членыоу+2» лу+з, •••,
принадлежат интервалу (Л, +оо), а вне его находится, быть
может, лишь конечное число членов последовательности, но не
более1 N ее членов.
Последовательность {ап} называется расходящейся к минус
бесконечности, если имеет место соотношение
lim (— ап) = + оо.
п -><»
То, что последовательность! {ап} расходится к минус беско-
нечности, принято записывать следующим образом:
lim ап~— оо или ап—► — оо при п—► оо.
п -► со
Отметим, что если lim ап —— оо, то lim -— =0, и, обратно,
лг —> оо &п
если lim —=0 и существует такой номер N, что для всех
п -► о© ап
п> N справедливо неравенство ап < 0, то lim ап~— оо.
а>
Пример 27. Доказать, <гго
lim (— и2) = — оо,
П 00
Решение. Согласно определению, нужно доказать, что
lim п2 = + оо. В самом деле, для произвольного положительного
п -► а>
числа Ли М = [Л] + 1 получим, что при любом п > N имеет место
неравенство п2 > Л. Отсюда по определению следует, что lim п2=»
о©
= 4-оо; таким образом,
lim (—п2) = —©о.
П 00
То, что последовательность {ап} расходится к минус беско-
нечности, можно истолковать следующим образом: для любого
Л > 0 найдется такой номер N, что все члены последователь-
ности {ап}, начиная с (М+ц-го члена, т. е. члены ам+$, ay+2i
flV+s, •••, принадлежат интервалу (—оо,—Л), а вне его нахо-
дится, быть может, лишь конечное число членов последователь-
ности, но не более N ее членов.
Последовательность {«„} называется бесконечно большой или
расходящейся к бесконечности, если имеет место соотношение
lim | ап | = + оо.
п -► со
То, что последовательность {ап} расходится к бесконечности.
90
ГЛ. I. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
принято записывать следующим образом:
lim или ап—> оо при п—> оо.
п ОО
Отметим, что если lim | | -f-оо, то lim — = 0, и,
п -> 00 п->оо^п
обратно, если lim -j---г = 0 и существует такой номер N, что
п -> оо I &п I
для всех п> N справедливо неравенство ап 0, то lim | ап | =
П -•> оо
= ОО.
Пример 28. Доказать, что последовательность {(—1)п и}
является бесконечно большой.
Решение. Возьмем произвольное положительное число Л
и положим Af = [Л] +1- Тогда для любого п > N справедливо
неравенство
|«„| = |(— 1рп| = |п|>[Л] + 1>Л,
т. е. |ап| > Л, а это значит, что lim |яп| —+ оо, т. е. после-
п -> оо
довательность {(—1)п п} является бесконечно большой.
То, что последовательность {ап} является бесконечно боль-
шой, можно истолковать следующим образом: для любого числа
Л > 0 найдется такой номер N, что все члены последовательно-
сти {ап}, начиная с (М+1)-го члена, т. е. члены ед+f, ед+2,
оу+з, находятся вне конечного отрезка [—Л, Л], а отрезок
I— Л, А] может содержать лишь конечное число членов после-
довательности.
Если последовательность {ап} такая, что lim ап = +оо или
00
lim ап — — оо, то она является бесконечно большой. Обратное,
п -> 00
вообще говоря, неверно, т. е. если последовательность {ап} яв-
ляется бесконечно большой, то отсюда не следует, что lim
п -> СО
= + оо или lim ап~ — оо. Такой последовательностью является,
П -> оо
например, последовательность {(— 1) п}, для которой lim | ап | =
00
= 4-о°, но эта последовательность не является ни расходящейся
к — оо, ни расходящейся к +оо.
Бесконечно большая последовательность не является огра-
ниченной. В то же время существуют неограниченные последо-
вательности, которые не являются бесконечно большими. Дейст-
вительно, такой последовательностью является, например, после-
( ял 1 ~
довательность <ncos-^->. Эта последовательность не является
ограниченной, так как для любого Л > 0 и, например, =
=4 ([4] +1) aNo = 4 ([4] +1) cos 2л <[Л] +1) = 4 ([А] +1) > 44 > А.
В то же время она не является бесконечно большой, так как
ап~0 при п — 4&4-1 (&£N), и, следовательно, любой отрезок
I— Л, Л], где Л > 0, содержит бесконечно много членов после-
{ m 1
довательности <ncos —>, равных нулю.
§4. ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
91
Свойства 6° (см. с. 73) в случае бесконечных пределов имеют
место не всегда: на случай бесконечных пределов они перено-
сятся лишь частично.
Имеют место следующие утверждения:
1Q. Если ап—>-[-оо и последовательность {Ьп} ограничена
снизу, то («п + &л)—> + оо.
2°. Если ап —> — оо и последовательность {Ьп} ограничена
сверху, то (ап 4- Ьп) —-> — оо.
3°. Если ап-->4-оо и последовательность {Ьп} такова, что
bn > М >0 при любом /г, то апЬп—> + оо.
4°. а) Если ап—>4" 00 и последовательность {Ьп} такова, что
О < bn < М при любом п, то ап!Ьп—> 4- оо;
б) если ап —> 0 и последовательность {/?„}'такова, что | Ьп | >
> М > 0 при любом я, то ап1Ьп—> 0;
в) если [ап[<М и последовательность {&п} такова, что
|дп|—> + оо при любом я, то ап1Ьп—>0;
г) если | Ьп | —> 0 и последовательность {ап} такова, что
\ап | > М >0 при любом п, то | anjbn | —> 4* 00;
д) если ап—► 4" 00 и последовательность {Ьп} такова, что
Ьп^ап ПРИ любом я, то Ьп—>4-оо.
Например, если я„ = я2 и bn~ sin3 (я24~я) 4~2 (fl£N), то
lim art=4- оо и при любом натуральном я; поэтому
гс-> с©
lim (а„+&п) = 4-оо,
П -> »
lim (апЬп)=+<х,
п
lim оо,
п-*«>Ьп
lim —=0.
п ~> СО аП
Пример 29. Доказать, что
lim (я — К^4“ 1 4-К п4~я21пя) = 4- оо.
гг-> со
Решение. Так как при я^З
я —* я 1 4* я 4- я21п я == я-7------—г4-я2 In я
К я-h 1 4-К я
Я----------[-я2 In я > я2 In я я2
/ 2+1 П
и lim я2 = 4’00» то lim (я — У я 4-14~1/' я4-я21п я) = 4~ °°*
п -> СО Z? со
Отметим, что в общем случае для двух последовательностей
{ап} и {Z>n} нет точных утверждений, дающих однозначные ответы
на следующие вопросы:
а) имеет ли предел последовательность {ап — bn]t если ап—>
—> 4“ °о и Ьц ——> 4~ оо;
б) имеет ли предел последовательность {ап6п}, если ап—>
—> 4"00 и Ьп —> 0;
в) имеет ли предел последовательность {ап/Ьп}, если ап—>
—>4-оо и Ьп—>4~°о;
г) имеет ли предел последовательность {an/bn}t если ап—>0
и Ьп—>0?
92
ГЛ. 1. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
В то же время в тех конкретных случаях, когда каждая из
последовательностей задана формулой общего ее члена, на эти
вопросы иногда ответить можно. Например,
а) каждая из следующих последовательностей:
ад = л + 3, bn~ «4-2,
cn = n, dn — 2n, tn~n2
расходится к + оо, но
lim (an-6„) = lim ((п + 3)-(п + 2)) = 1,
П->00 00
lim (ап—сп) = lim
гг-> a> п -> оо
lim (&„*—сд)== lim
оо п 00
lim (с„—fn)= lim
((п -ЬЗ)—«) = 3,
((n + 2)-n) = 2,
(n —n2)== lim
— 00,
lim ~= lim
n-> 00 n -> C
« + 3
n + 2
n
lim —
n -* oo „
= 1,
lim 4й-— lira
n -> 00 “n n -> c
n 1
2n~ 2"’
lim lim -Д-= lim —=0,
n-> оо In п->&> /г-> оо П
1* f П 1 т >
hm lim lim n = 4-00;
rt-4-OO^n n -> 00 n -> 00
б) последовательности an~—n, fn~ — n2, dn =—У""п рас-
ходятся к —оо, а последовательности bn—\!n и сп — 5/п стре-
мятся к нулю при п—> оо, но
Urn (anbn) = lim ((—/г)—lim (—1) = —!,
00 п -> оо \ Я/ n->Q0
(5 \
— (—«))=—5,
п /
г п .. 1 л
lim------lim ---------= lim х...==0,
» ап п-*<» —п п-^ <» у п
lim (andn)~ lim ((— п) (— /*"«))= lim «/**« = + 00,
tl~> 00 n -> 00 n 00
§4. ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
93
в) последовательности яп=1/п, &п=1/я2, си = 3/п стремятся
к нулю при п—> оо, но
V «« V 1/П г ,
hm lim 77-2= hm п — + °°,
П~>00^П П-> о> ‘/^ И-> <5©
Ьп .. 1/n2 r 1 л
lim —= lim -у—= hm — = 0,
п -> 00 ап П-* 00 п -> 00
Um JZ» = Um lim 3=3,
п -> 00 «П п 00 А2-> 00
V «П и 1/Л „ 1 1
hm -~ = lim lim т=т,
П->00СП Г1 —> 00 ° °
г и W и 3
h m — = lim -7—= lim — = 0,
n~>oo cn n—> ю &/П п-+a> П
lim -~- = Um -777— lim 3n = + oo*
n->oo^n л->оо*М n-> 00
ЗАДАНИЕ 1
1. Привести пример двух различных последовательностей,
каждая из которых имеет своим пределом число:
1) 5,1; 2) 1/10.
2. Пусть ngN. Указать число Af = Af(e) такое,
что | хп—1 I < 8 при каждом я > N, если:
1) 8 = 0,1; 2) 8 = 0,04; 3) 0,001.
3. Для каждого 8>0 определить номер AZ = N (8) такой,
что |xrt — а| < 8 для каждого ngN, если:
1 л лх 1—«• 1
Хп~3п* ’ а~°’ 2) Xn—^+“l ’ “---:
„ 2n2-f-l „ .. п _
3> хп= - -у- > «=2; 4) x„=^, а = 0;
5) xn=i^, а=0.
4. Доказать, что если предел последовательности {яп} равен
1/10, то, начиная с некоторого номера, каждый член этой после-
довательности больше 1/20.
ЗАДАНИЕ 2
1. Привести пример двух различных последовательностей,
каждая из которых не является монотонной и предел которых
равен:
I) 3/7; 2) л.
(_1)п + 1
2. Пусть хп=-—, n^N. Указать число N == N (8) такое,
что |х„| < 8 при каждом п > N, если:
1) 8 = 0,2; 2) 8 = 0,01; 3) 8 = 0,005.
94 ГЛ. 1. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
3. Для каждого е > 0 [определить номер AZ=2V (е) такой,
что я| < е для каждого п> N, если:
1) *П = —т-о> fl = 0; 2) а=0;
’ п п + 2 " п2
оч Л+2 1. лч 3—-Я2
3) Хп~п^-1 ' а~1; 4' Хп~~ «24-1 ’ а~ 1;
Зп
5) х„ = (— 1)ге5п_|_3п> а=Е
4. Доказать, что если предел последовательности {ап} равен я,
где а > 0, то, начиная с некоторого номера, каждый член после-
довательности {яд} также больше нуля.
ЗАДАНИЕ 3
1. Исходя из определения, доказать, что последовательность
{xrt} имеет предел, если:
1 \ Зя "F о\ ( 1 \п
Хп----п~’ 2) Ж"~Д-3 j ;
3) хп~2”п+2; 4) хп = cos2 ля-f-sin2 ля;
1 sin п + cos п
5) 6) хп=—.
14-П2 V п
2. Известно, что lim ап—1/2, lim ^=1/)/^ 3. Применяя
п 00 п 00
теоремы о пределах, найти:
I) lim (За„ + 26„); 2) Мт
п -> 00 п -> оо ап ^оп
3) lim 4) lim 2йп(7 + кта, 6„>о.
п 00 п -> со
3. Найти:
2я4~3 .. —2я24~Зя4-1
п->оо — 5 /г~>оо Я2-}- 1
ox lim П + 4 . 4Л Нт .
3) 2 Ъ J-9 ’ 4' «2 q >
П->00 п *ЭЯ /г->00
5) lim (я— У я2-|-3); 6) lim(p^я— я 4-1);
П->со п->оо
sin2 («4- 2) Q4 rts/2_|_2„_|_ 1
7) lim -—!8) hm ---------7=—5—.
n->oo я n-^oc 7я"|^я4-4
4. Известно, что каждый член некоторой сходящейся после-
довательности положителен. Может ли предел такой последова-
тельности быть равным нулю?
ЗАДАНИЕ 4
1. Исходя из определения, доказать, что последовательность
{хп} имеет предел, если:
J) 2) з) *п=(К2)3-п;
§ 4. ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
96
4)
хп
stolen . _ (— 1)"
“ п+2 ’ ' П~п + 2П
6) x„ = sini.
2. Известно, что liman=l/2, limbn— L Применяя теоремы
о пределах, найти:
2 । /3
1) lim (2аА,-М; 2) lim ;
П-+0О П->0О Ufl i *
3) lim(34- кта, bn^0-,
П-+<ж>
4) lim f- p-r h^«+s^»+1 > an > 0, bn >
n-*oo \un On + 2 /
3. Найти: 3
2)
1-*Зя24-4п
lim -77—5—:
2л2 — Зи + 7 ’
lim ..T ~....
JJ” n(n+ l)(n + 2) ’
5) lim (Уn 4- V n —-;
«->00
n^+l-l/n2)-.
6) lim
fl->00
7) Иш .С°М«Н»); 8) um
П->оо ft-fl П-*ор у П^2~^2
4. Известно, что limari==a, limbn = 6 и an < bn для любого
n—>00 «->00
ngN. Всегда ли а < b?
ЗАДАНИЕ 5
1. Доказать, что число 0 не является пределом последова-
тельности art=l+(—!)"•
2. Сформулировать утверждение: «число А не является пре-
делом последовательности {«„}».
3. Доказать, что последовательность {ап} нэ имеет преде-
ла, если:
а) оп—1+(—!)"; б) a„ = n(-1)re.
4. Доказать, что сходящаяся последовательность является
ограниченной, Привести пример ограниченной последователь-
ности, не являющейся сходящейся.
5. Пусть {««} и {&«}--две последовательности. Известно,
что lim«n = 0. Всегда ли последовательность {апЬп}:
п-+<х>
1) ограничена;
2) имеет предел?
6. Найти lim 5^.
«-►оо 2"
ЗАДАНИЕ 6
1. Доказать, что число —1 не является пределом последо-
вательности {cos шг}, ngN.
2. Сформулировать утверждение: «последовательность не
имеет предела».
96
ГЛ. I. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
Доказать, что последовательность {ап} не имеет предела,
если:
1) а„=81п^+1; 2) = .
“ П -j- 1
3. Привести пример знакопеременной последовательности
{ап} такой, что:
1) {ап} имеет предел;
2) {ап} не имеет предела.
4. Пусть {ап} и {£п} —две последовательности, причем Ьп > О
для любого ngN. Известно, что limart = 0. Всегда ли последо-
Н->00
вательность {ап1Ьп}\
1) ограничена;
2) имеет предел?
и.2
5. Найти lim -г.
П->00 Л*
ЗАДАНИЕ 7
1. Доказать, что если последовательность бесконечно
малая, а последовательность {Ьп} ограниченная, то последова-
тельность {апЬп} бесконечно малая.
Найти:
hm —г-х- cos (
n->oo\n 4-2
г f "4-2
lim 2 ,
w^oo\n24-n4-3
lira f (-
П->оо \
.. / 1 , 1
hm — tg -7-77
2.
5)
7)
3.
1)
3)
4.
Доказать, что:
lim l- = 0; 2) lim
V l°g3 П А V
hm --Ц-- =0; 4) hm
«-►co Л2 n-*oc
Найти:
г "4-2”
2n______1 ’
.. 5re + 31n/i
5«+:4-21nn
5030"+2n
lira --;
00 я! 4~ 1
, 1 2Л v ( 1 . n24-2n4-l\
/14-П2) ; 2) hm --^sin——7Ц- •
'/ n и24-я + 2/’
sin-M; 4) lim((K« + 2— Kn4-1) cosn);
fl J n-*. 00
)/2 444) • lim (sto я1/4);
” “T" 1 / n 00
\ оч n 4-sinn
); 8) hm 77-*. .—.
J n-><x> 2n4-sin n
1)
-t = 0;
n\
log2 Л_
5« -u-
3)
5)
2) lim
n-.oo3rt4-21n n
2»+i4-niooo
; 4) hm —5^-1—;
rt^.00 3n“t*l
c. In n100 4-Vn 4- n23
в’Л"—»+-- '
ЗАДАНИЕ 8
1. Найти:
1) hm
П^оо
/1п24-]/Г n
\ «+3
cos я\
n2 /
2) lim
Л-*оо
f-in 1 «*+3"+2 .
V «2/5n24-4n4’7*
§ 4. ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
97
3) lim (
«~>оо \
n2 + 4 1
nsin д + n2 д3+1
5) lim (Ycosyn)—LA
n-+oo \\ “J у
2. Доказать, что:
4) lim ((1+ (-!)«) tg-*);
6) lim f sin — sin я \
«->оД n J
1) lim 1/2=1; 2) 11m ^ = 0;
«-►co 11-too О
3) lim g=0; 4) lim ^-=0.
«-►oo т н->оо у n
3. Найти:
1)
lim
«-►oo
/г2+ 5"
n + 5«+*
2)
3)
5)
lim .10Мя + 1>;
П-hoo
. .. ln(n6+l)
n\“ (n + 2)! + (n+3)l ’
n100l) + 2
n™ 1,2" ’
lim . я, + <”+1.)1.
20/—
V n
2»+«!
; 6) lim
"-‘°0 2(nl)+ j7«
ЗАДАНИЕ ,9
1. Найти сумму бесконечно убывающей геометрической про-
грессии {Ьп} со знаменателем q, если:
1) = —3, д= 1/2; 2) bi = 7, <7 = —3/4,
2. Обратить бесконечную десятичную периодическую дробь
в обыкновенную:
1) 0,4(4); 2) 1,23(3); 3) 0,423(7).
3. Привести пример последовательности {а„}, для которой;
1) liman —+00; 2) limап = —-оо; 3) liman= 00♦
«->со «->оо «-><»
4. Доказать, что:
1) lim я =4-00; 2) lim2'l =+oo$
«->а>
3) lim log2 n = + °°’
«-><ю
5. Доказать, что:
1) lim (1—/г2) = — оо; 2) lim (2«-^3«) =—оо;
«->СО «->00
3) lim п — ~~оо.
«->оо
6. Доказать, что следующая последовательность является
бесконечно большой:
1) а„=(-1)”п; 2) ап=я8+1; 3) а„=-я+2«.
4 Задачи по математике. Начала анализа
98
ГЛ. 1. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
ЗАДАНИЕ 10
1. Найти сумму бесконечно убывающей геометрической про-
грессии {ал} со знаменателем q9 если:
1) ^=2/3, tf^l/4; 2) = —2, 4 =—1/2.
2. Обратить бесконечную десятичную периодическую дробь
в обыкновенную:
1) 1,2(1); 2) —0,71(8); 3) 0,23(23).
3. Привести пример последовательности {ап}, для которой:
1) liman = + oo; 2) limап~—оо; 3) lim 0^= оо.
«-><Ю «->00 «->00
4. Доказать, что:
1) lim (n2—n)s=-|-оо; 2) lim (3rt-f-/i2) =+00*»
«->00 «-><»
3) Bm „-qri =+«o.
5. Доказать, что:
1) lim (1 — 2ft) =—oo; 2) lim (ft —ft2) —— oo;
«->00 «->«
ft2
3) lim
П-ь-оо 1 ft
I дй 1
6. Верно ли, что последовательность <-j——
1) не является ограниченной;
2) является монотонно возрастающей?
ЗАДАНИЕ 11
1, Доказать, что если liman —-[-оо и ап Ф 0, то
«->«
Иш —=0.
П-> + оо
2. Доказать, что если limftn*=0 и ап 0, то
«->00
lim —= оо.
П->оо Ctn
3. Доказать» что:
.. (п ft-M\ г m w П2 + ^
1) lira f 2п--Х5)=+«; 2) Нт -^. = 4-00;
«~>оо \ /?_.>оо II Г* £•
3) lim (2ft4H 1)3«=+<ао; 4) lim (n2-**» In ft) =-Нос;
«->00 «-><©
5) lim|(—ft)n| —оо; 6) lim|(—l)w lnn|-со;
«->«> «~>ОР
7) 11m (2w^fti00°) —-}-oo; 8) Hm (—fta4~= —oo;
?/->» n--»09
9) Мт(]Лй’«*угй24в0==5'^ОС)*
и«!>ео
§ 4. ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
99
4. Доказать, что следующая последовательность является
неограниченной, но не является расходящейся к +оо или —оо:
l)nsin-^; 2) n(-1)n; 3) ------------—.
2 1+^cos^
ЗАДАНИЕ 12
1. Доказать монотонность й ограниченность следующей по-
следовательности {an}> если:
1) 2)
2. Доказать, что последовательность {ап}, заданная рекур-
рентно, имеет предел, и найти его, если;
1) ^ = 2, а„+1- = 25±1, ngN;
3) =
3. Последовательность задана рекуррентно:
xi=a, *n+i =
/igN.
Найти ее предел и вычислить У3 с точностью до 10~8.
Найти:
(1 \ЗП+1
ч-^г) ; lim
Zfl / П-^оа
4.
1)
1-72
3)
5)
,, /n24-2\n2 v (, 1
lim -ftt 5 4) lim 1 —=— j
n^oo \я24“1 / n->°° \ 5/i /
(1 \ n
— ) ; 6) lim n (In (n +l)-*ln/i).
/ /2~>оо
ЗАДАНИЕ 13
1. Доказать монотонность и ограниченность последователь-
ности {ап}, если;
1) вв==йт: 2) а"=°-23£;^3-
п цифр
2» Доказать, что последовательность {ап} имеет предел, и
найти его, если:
1) а1 = 2, a„+f=a-^, ngN;
1 2
2) at==—, ««+1=7-7.
7 о—'an
3)ai=K2, «„+i=/2^, ngN.
4*
100
ГЛ. I. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
3, Пусть последовательность {ап} задана рекуррентной / )
лл 1 / п , М
ai — Mf art+i==-q ( 2аи-|—%
6 \ ап
Доказать, что ее предел равен М. Вычислить j/9 с точно-
стью до 10~3.
4. Найти:
1) lim
«->«>
3) lim
П->оо
4) lim
«-> oo
(1+
2«~3
2) lim
«->oo
2+д\1-бП
1 +« J *
6) lim
«~>oo
/п2_|_ 1 _|_«\ 2«.
\ M2 + 2 ) ’
/ n2-tn+ 1 \ 2«
\'~n24-2 J ‘
lim 8/i (In (n + 3) —In (n+ l))j
П-¥оо
_1_
n
Упражнения
1. Исходя из определения предела последовательности, до-
казать, что:
1) lim Т = 0; 2) lim ^=4=1; 3) lim 4^ = 0;
«->оо И- П~>оа и+6 «->оо п2 + 1
4)Иш^±1=1; 5) lim ^=0; 6) lim 1 = 0;
П->-оо^ ’Т‘2 «->оо р/ д| «->оо оп
7) lim ”,~1, :=0; 8) lim ~^7~2 =0;
«->оо Я + п+1 1 Кп+1
9) lim ; 10) ИтО/’»-РгЙП) = 0(
«->00 Art '—*ш -|-0 Z П->00
11) lim = 0; 12) limd^n + 1 —п) = 0;
П->оо 1 -j-О'* П->оо
13) lim (]^n24-5n+ l^-j/’n2—n) — 3; 14) limsinJa = O;
rt-*oo «->00
,r» ,• t 3 n te. sins(n24-Vn +1) n
15) lim tg-^=O; 16) lim---1————— = 0i
П-^оо Я «->oo tl
17) lim M(~U2 = 0; 18) lim 0,88” = 0;
«->00 fl «”>00
19) lim51/n=l; 20) lim 1g= ’g 2-
«->00 «->00 /1-7-1
2» Доказать, что последовательность {an} является сходя-
щейся, если:
1)
2) «»=14"2
§ 4« ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
101
гл * 1
к а з ан и е, Использовать неравенство - < ш
n-f-1
<
3) 1+у4"з2“Ь• • •+3^;
4) «»=‘+й+2|+---+^;
1 L 1 < _1_ 1
5) ап~п+1 +п + 2 + •••+ 2п ’
6) an=l+-4+^+-'-+4^ri;
9) ап~2га+1'^’“+з« ’
1°) + +
3. Доказать, что числа 0 и 1 не являются пределом по*
следовательности {ап}:
1Ч (“О" +1 пх л т Оч пп
1) a„=i—у2—; 2) “« = sin-y; 3) a„==cos-g-.
4. Доказать, что последовательность {ап} не имеет предела,
“если:
ля пч е । (—0" я о\ * ли
1) a„ = cos —; 2) «n = 5+Lj-q^-1 3) an = tg—g—;
4) a„ = sin лп + sln-qp-; 5) an = n-)-l;
6) a» = (-!)»+-£; 7) a„ = l-n+n*; 8) a„ = [(-l)««];
9)
5.
n
. 3)
1 9 Q /__]
aw = cosn; 10) an=;-4----. ---——
" ’ ' n n n r n * n
Найти lim yn> если известно, что lim an=l:
n~> 00
ya~~^+\' } Vn------------
^=•^4’an^1’4)
Уп — аП + 1 "i~an + b~l~an + 8f
a„—l * an* 1;
Уа
к» „ 2anan+i““®n .
6) ya-----,
7) г/«=и + йв)'1
c\ ,, _ an °и + 1 । an+i
4
an 0»
102
ГЛ. 1. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
6. Пусть lim ап — а. Доказать следующие равенства:
3 /“““ з z"“
1) lim cosan=cosa; 2) limy ап—у а\
П-+<х>
3) lim — ==—, an560, а & 0; 4) Нт2а« = 2д;
П -+ оо Clfi Cl П-*оо
5) lim а, ап^0\
п-+ 00
6) lim log2 «п = log2 a, ап > 0, а > 0.
71->00
7. Найти:
1)
4)
6)
7)
.. 5п+2 оч .. 4—5/г
lim ; 3) lim д-s-r----------г-н
П-+ оо И* tl nj-t- оо 2Я2 -j” Я -j” 1
-ч .. 5п2 + 3
5) hm 5
п->ое 4—Зя—9п2
2)
я2—я4-4
пТ~2п2 + я+3:
Um р2»+1 «4-3
„ЛД 2—2я 4я4-5/’
. ох п4-(—1)« . m п’4-4
oo 0,l/z — 3 п->ооП—(—1)«+* п-*ооП + 5п3+8
10) lim M«+D(«+2)
*и\Лт„(я4-3) («4-4) («4-5)
/«+2
12) lim
. П) Iim. 2n(l+3«)(» + 4)
’ 14 (44-5n) (2«4-l) («4-1)
2rt
; 13) lim
______________________
14) Hm - ---<=•; 15) Hm (Vя2—n—n)
n->°> Kn2—2«4- /я2 «->»
16) lim (/3n2 4- 2n — 1 — VЗп^ — 4n 4-8);
17) Hm (/гГРТ— V"2n)-,
n-+ a>
18) lim n+K n+V n-V я);
n ~>ao
19) lim (р/я34-я24-1— i/n3—я24- 1);
H-> 00
20) Hm ^_re+1 n.;
n-* 00 у n+ 1
nn u fn2+n3n+l\ OO4 .. n2sin(n!)
n4-2
lim 5n (У"n2~{-2—*n);
rt --> 00
n->co \M34"1 Д4~2 J n-*an
23) lim (п+1)соз(я2-5я + 4); 24)
«-*« V я34-4я
25) Km
П -> O<
lim
n oo
27) lim
П -> oo
/ ft3 n — 4 \
\3n3 + l+ n + 5’ J
3n
5Г+Т
— 1;
28) Jlm _^£±>±£i
'i/n2+n~v ni
§ 4. ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
103
8. Доказать, что:
1)
3)
5)
9.
1)
4)
lim (nqn)—O, |?| < 1; 2) lim \/a = l,
«-> 00
5"
lim ^ = 0;
«-> oo I
lim ^ = 0;
«-►oo z
Найти:
2” + l.
JL“2»+5*
( 3rt — 4
4) lim 12^=0,
m->oo n
5»
lim —=0.
«-►oo
6)
2)
6)
2«+3« .. 2-3n + l
j_o Qn ’ lim p nn j
П~*оо П«~>оо 2----0-3"
5"+1Л. кч ]im 0+(-!)")".
3«ln(n4-2) ’
7\ lim w + 5n4-lg(« + l) .
’ 4-lln2-5« + lg(n+ l) ’
8)
n~>oo \ 7n + 5 4-3-5"
lim lg(n2 + «~l) .
lim lg(nio+55-|-l) ’
3» + 4"+6”. q,
2» 4-6" ’ '
I Ig^ + tefo + O . ln lim У2 + 2»
Ug(n+2) + lg(n + 3)’ 14 “”«..lgn+n! ;
«! + («+2)l . /oi/n.oi/n . и/г
lim
«-►оо
lim
10) lim
П -> oo
w” ((n+l)!4-n!)n ’
12)
л/ । й/ гт i л/—п;
V n+r /г + 1 + у и4-2
14) Вт —-----L-J——L—L-±----!—.
j/ n^_2
15) lim ;<>g2«+l°g>»; 16) ]im lggH«7+1)t
H-J.OO logs 4“ io§4 n n-*<x> fl 4* 2
10. Найти:
1) lim sftifK n—K^+l); 2) lim sin [л ргп24-1];
«->00 H->00
3) £msinS[«K^]; 4) nlim(n(l+l + ... + «)) $
5) lim (Г 2 У 2 У~2 . . V 2); 6) lim ^-+У +••>+”*;
Z?-> OO n->oo tl /
7) limn(K^24-2n—2 Уп24-л + /г);
oo
3
8) nt” /ЯРЗ- / « ’
9) Hm «Kl+3 + 5+... + (2n-l)_
«-►00
2n2 4- n 4“ 1
10) lim f T-5+0-5+• • • 4—тт^ I
n-00\l-2~2-3~ ~n(n+l)/’
/111 t lin-^X
104 ГЛ. 1. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
12) ??« [ (т 4'т)+(^+f) + * ‘‘ + ’
13) Л"1 [ьУЗ+2^4 + • • • +п(п + 1)(п4-2)]•
Кг 1
(Указание. —-р-—
\ п (п + 1) (п + 2)
- 1 Г 1 _ I
~ 2 [п(п + 1) (п+1) (п + 2)
И. Пусть предел последовательности равен 0. Могут ли
в этой последовательности:
1) быть члены больше 1010;
2) все члены быть отрицательными;
3) все члены быть больше 10"10?
12. Доказать, что, добавив, отбросив или заменив конечное
число членов сходящейся последовательности, получим после-
довательность, имеющую тот же самый предел.
13. Доказать, что если последовательность имеет предел,
равный а, то последовательность, полученная любой переста-
новкой членов данной последовательности, также имеет предел,
равный а,
14. Доказать, что если lim ап — а, то lim | ап | = | а |.
оо гг-> со
15. Дана последовательность {ап}. Известно, что lim | ап |=а.
00
Следует ли отсюда, что {«„} сходится?
16. Дана последовательность {ап}. Известно, что lim | ап |=а
П->00
= | а |. Следует ли отсюда, что lim ад = а?
оо’
17. Доказать, что если последовательность {ап} имеет пре-
дел, то существует либо такой номер k, что а^= шах {ап}>
п 6 N
либо такой номер /, что a^ = min{nn}.
пе N
18. Пусть lim ап = а. Доказать, что lim а2& — а и
lim n2^+i = n.
19. Пусть последовательность {ап} такова, что lim а2ь~а
оо
и lim = Доказать, что lim ап — а.
k-* 00 00
20. Известно, что в некоторой окрестности точки а нахо-
дится бесконечно много членов последовательности {ая}. Следует
ли отсюда, что:
1) lim ап = а;
00
2) число b £ а не является пределом этой последователь-
ности?
21. Известно, что в любой окрестности точки а находится
бесконечно много членов последовательности {ап}.
Следует ли отсюда, что:
1) lim =
2) число b & а не является пределом этой последователь*
ности;
§ 4. ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ 10g
3) последовательность {ап} ограничена?
22. Пусть {бд)—-некоторая последовательность. Можно ли
утверждать, что lim («Л) = 0, если lim яп = 0?
га-> оо п-> 00
23. Пусть lim (anbn) = 0. Следует ли отсюда, что хотя бы
гг->оо
одна из последовательностей {ап} или {Ьп} является сходящейся?
24. Привести пример ограниченных последовательностей
{яп} и {&„}, каждая из которых не имеет предела, но:
1) сумма их имеет предел;
2) разность их имеет предел;
3) произведение их имеет предел.
25. Доказать, что lim 6п=0, если lim ап = 0 и
п -> 00 п 00
Um (а„+&„) = 0.
00
26. Доказать, что lim = если lim dn~a ?£ О и
00 00
lim (anbn) = Q.
27. Дана последовательность {а„}, для которой ап—> 0.
Верно ли, что lim ал = 0? Привести примеры.
П->00
28. Доказать, что каждая из последовательностей имеет
предел, и найти его: _________
1) ^1=}^ 2; an~V~2 + an.j;
2) fill nt , аП п । п >
л\ ____ 1 1 । —1
3) , dn — "2" » 2
4)^-5,
5) 3, 3+|, 34-—Ц-, 34
3+т
а0 > 0}
1
34—Ц-
34-1
29. Пусть d и /У—произвольные положительные числа и
т^2 (т—натуральное число). Доказать, что последователь*
ность
W /и«»1 .N
сходится к числу . Используя этот результат, найти при*
ближенное значение числа:
1) Y 5 с точностью до
2) точностью до 10~8|
3) /да с точностью ДО 10-
30. Найти:
о um 2> lim f1
/z-^.00 V _ Л“г 1/ n-к»
1
ТГ57 '
106
ГЛ. I. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
3)
б)
6)
7)
8)
lim ; 4) lim ;
rw<x> \Зп+1/ п-хх> \ Л2+2 )
lim n (In (n + 2)~In (n+3));
lim n2(ln(n2 + 2) —ln(n2 + 5));
n -> co
/ 3—2n2 + 4n V2+1
Л1(.4л-а>'+1) ’
Иш
п-^<х> \ д3 4-n-}-1 /
31. Найти сумму бесконечно убывающей геометрической
прогрессии со знаменателем q, если известно, что:
1) а1==2, </=1/4; 2) ai = 3, <7 =—1/3;
3) ai = —2, <7=1/5; 4) ^ = —3, <7=1/9.
32. Перевести бесконечную десятичную дробь в обыкно-
венную:
1) 1,17(2); 2) 0,4(3); 3) -—0,27 (7); 4) 21,1(5).
33. Доказать, что последовательность {ап} либо расходится
к + оо или к —оо, либо является бесконечно большой:
1)
а„ = п + 4; 2)а„=^±1; 3) ая = -2"2;
4)
6)
7)
9)
an = V п + 3; 5) а„ = (—1)«-2«;
а„ = _и[2 + (-1)п1;
ап = (—l)ttign; 8) а„ — п? cos лп;
1,1,1. ,1
ап — 1“Ь ’11 -»/~'77 ~Ь * • • Н—
Ю) ап=1+'2’+‘з’+---+’^’-
34. Доказать, что если последовательность расходится к + оо,
то среди ее членов есть наименьший.
35. Пусть последовательность {«„} сходится, а последова-
тельность {&д} является бесконечно большой. Может ли после-
довательность {аЛ}:
1) сходиться к нулю;
2) не иметь предела, но быть ограниченной;
3) быть бесконечно большой;
4) сходиться к некоторому числу, отличному от нуля?
36. Известно, что бесконечно много членов последователь-
ности (<zn} находится вне любой окрестности точки 0. Является
ли последовательность {«„}:
а) бесконечно большой;
б) неограниченной?
37. Пусть последовательности {ай} и {Ьп} таковы, что
lim ап= lim dn = 4-oo и bn & 0 при любом п. Привести при-
П-+ 00 00
мер последовательностей {ап} и таких, что:
1) {ад/^д}—бесконечно большая последовательность;
2) сходится к нулю.
§ 4. ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
107
38. Пусть последовательности {ап} и {&„} таковы, что
lim ап— lim bn — 0 и Ьп Ф 0 при любом и. Привести пример
оо п -> 00
последовательностей {ап} и {Ьп} таких, что:
1) {ап/Ьп}—бесконечно большая последовательность;
2) {an/bnj сходится к нулю.
39. Последовательность {ап} не является ограниченной.
Следует ли отсюда, что последовательность:
1) расходится к + оо;
2) расходится к — оо;
3) является бесконечно большой?
ЦЛАВА 2
ФУНКЦИИ И ИХ СВОЙСТВА
§ 1. Основные понятия
Пусть дано некоторое числовое множество X и указан за-
кон f, по которому каждому числу х£Х ставится в соответ-
ствие единственное число у. Тогда говорят, что задана функция
y = f(x) с областью определения X, и в этом случае пишут
y—f(x), х£Х.
Множество Y всех значений у, для каждого из которых
существует по крайней мере одно число х из X такое, что
y—f(x), называется областью изменения (или областью значений)
функции.
Тот факт, что задана функция y — f(x), х£Х, область изме-
нения которой есть У, часто записывают в следующей форме:
f: X -ч- У или X Д У.
Для нахождения области значений, например, функции
у=1/]/~1-*х2, xg(—1; 1), рассмотрим уравнение
Решая его, получаем, что если а < 1, то уравнение решений не
имеет; если а > 1, то уравнение имеет два корня: хх =
= 1 —1 — если а=1, то х1=х2 = 0.
Отсюда следует, что при каждом 1 существует хотя бы
одно значение х из интервала (— 1; 1), при котором f(x)~a.
Тем самым областью значений данной функции является луч
11; +*>).
Если функция задана формулой, то говорят, что она задана
аналитическим способом. Например, каждая из следующих
функций:
а) у=х\
б) У=1
х|0» 4~ оо)»
х, если а: «С О,
х2—4а;, если х > 0)
в) //== x£R,
задана аналитическим способом,
Если область определения функции не указана,
то функция считается заданной на ее естественной области
определения, называемой областью ее вуиугвтвования^ т» е. на
§1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ 109
множестве всех тех значений xt для каждого из которых выра-
жение f(x) имеет смысл. Например,
а) для функции у=10* естественная область определения
есть множество всех действительных чисел;
б) для функции y=log2(x—1) естественная область опреде-
ления есть открытый луч (1; +00);
в) для функции у=.естественная область опреде-
ления есть объединение двух множеств —промежутка |—8;—5)
и открытого луча (—5; +°°)«
Пример 1. Найти область существования функции
у= .......-
К 1—х2 •
Решение. Область существования данной функции состоит
из всех чисел х, для которых выражение j/”1—х2 имеет смысл
и возможно деление на Y1—х2. Таким образом, имеем
1—х2 > 0, т. е. | х | < 1. Следовательно, областью существования
данной функции является интервал (—1; 1).
Пример 2. Найти область существования функции
f (*) + g(x), если / (х) = К 1g (2—j/'x—1) и g (х) =
_ , — logo,а (х— 1)
“ у х2+2х4-8
Решение. Так как
1g (2 —кX — 1) 5г ОФЗ 2 — Ух— 1S5 1 <=> lss/x— 1 <3
<з/ х<2^
то областью существования функции /(х) является отрезок
П; 2].
Поскольку
— х2 + 2х4-8 > 0Ф>х2 —2х —8 < 0Ф£(х—4)(x-f-2) < 0Ф>
—2 < х < 4,
*-*log0i2 (х —1) ^0 logo,2 1) СО Ф> х—1 1 Ф> х^2,
то, решая систему х>2 * находим» что областью суще-
ствования функции g (х) является промежуток [2; 4).
„ [ 1«Сх^2,
Решая систему < 2«Сх<4 находим» что область сущест-
вования функции f(xJ + g(x) состоит из единственной точки
х=2.
Пример 3, Найти область существования и область зна-
чений функции f(x), если f (х) = Vl°gi3 sin х,
Решение. Так как
logis Sin X 0 ФФ Sinx^s 1 Ф£$1ПХ=1 ФФхгзу-р2^»
110 ГЛ. 2. ФУНКЦИИ И ИХ СВОЙСТВА
то областью существования данной функции является множе-
ство ё zk
При каждом fegZ имеем sin = 1. Поэтому при
каждом х из области существования функции logi3sinx = 0,
а следовательно, и f (х) = 0.
Таким образом, область изменения данной функции состоит
из одного числа 0, т. е. представляет собой множество {0}.
Значение функции у== / (х), х g X, в точке х0, где х0 g X*
Обозначается символом f(xQ).
Например, если f (х)=-7 v~"T » то f 0) обозначает численное
значение функции /(х) при х=1, т. е. число -; таким
образом, Аналогично, если g(x) = |x|, то g(—2) = 2,
если h(x) — yr 1—ха, то h (0) == 1.
Функции y=f(x) и y = g(x) называются тождественно рав-
ными или просто, равными на множестве УИ, если они опреде-
лены на множестве М и для каждого х0, принадлежащего М,
справедливо числовое равенство f (х0) = g (х0); в этом случае
пишут f(x)=sg(x), х g М. Примером функций, тождественно
равных на множестве всех действительных чисел, могут служить
функции f(x)==j/"x2 и g (х) = | х |, так как они обе определены
на множестве всех действительных чисел, обозначаемом R, и для
каждого х g R имеет место тождество У~ х2 ss | х |.
Пример 4. Доказать,чтофункцииу=2хиу=|х—1|+
+ |х-|-1| тождественно равны на множестве [1; + оо).
Решение. Если х^ 1, то х—1 ^0и x-J-l > 0, и поэтому
|х—*1| = х— 1 и [х4-1| = х+1; следовательно,
|х— 1| + |х+1 | = х— 1+х+1=2х.
Итак, для каждого xg[l; Ч-оо) справедливо равенство
|х—1 | + |х+1 | = 2х, и поэтому данные функции тождественно
равны на множестве [1; -|-оо).
Число х0 из области существования функции yz=f{x) назы-
вается нулем функции, если f (хо) = О.
Например, число Х($=1 является нулем функции y=log2x,
так как log2 1=0.
Пример 5. На отрезке [0; 1] задана функция /(х).
Известно, что f (0) = f(l) = 0 и для любых Xf и х2 из отрезка
[0; 1J справедливо неравенство f «С f (xi) + f (х2). Дока-
зать, что /(х) на отрезке [0; 1| имеет бесконечно много нулей.
Решение. Пусть х$==х2 и Xj g Из условий задачи
имеем f (Xi) С 2/4X1); следовательно, /(х3)^0. Если хг — 0
и х2=1, то по доказанному выше и из условия задачи имеем
$1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ||f
(^)</(°)+/(1) = 0, откуда f^)=0.
Далее, из предположения, что имеем
0<f ( 2^)=f ($У-) (0)+f (^)=0,
т. е. f ) — 0 при любом натуральном k. Отсюда и из
принципа математической индукции следует, что
/(i)=o. «€N.
Некоторые классы элементарных функций?
1°. Многочлены и рациональные функции.
Многочленом степени п называется функция вида
f(x) = anxn + an~1xn-l + ... +ajx4-a0, ап =£ 0,
где а0, «i, •••» «п — постоянные коэффициенты и п g N.
Отношение двух многочленов, т. е. функция вида
f/и— ЯпХ" + ап-1Х""1+- -+а» „ h
fW“&wx”+6m_1x^-i+...+&e • «В?4 0, Ьт*0,
называется рациональной функцией.
Так, например, функции
f(x) = *+K 5, f (х) = х3+ Их, Их) —
являются рациональными функциями.
Функции / (х) = ах-\-Ь и f (х) = ах2 + Ьх + с, где а 0, назы*
вают соответственно линейной и квадратичной функциями.
2°. Степенная функция.
Функция вида /(х) = хх, где а—*действительное число,
называется степенной функцией. Примерами степенных функций
являются функции
= f/ = X1/2, г/ = х4/3.
При целом а /(х) — рациональная функция.
3°. Показательная функция, т. е. функция вида f(x) = axt
где а—положительное число (отличное от единицы), например
Их) =10*, Цх)=е* Нх) = (4)*’ Г(*)=(7^У'
4а. Логарифмическая функция, т. е. функция вида /(x)=logax,
где а ««положительное число и а 1, например
f (X) = 1g X, f (х) = log1/a X, / (X) = In X.
112
ГЛ. 2.. ФУНКЦИИ И ИХ СВОЙСТВА
5*. Тригонометрические функции*.
f(x) = sinx, f(x) = cosx, /(x)=tgx, f(x)=ctgx<
6°. Обратные тригонометрические функции*.
f (х) в arcsin х, f (х) = arc cos x, f (x) = arctg x, f (x) = aroctg x.
Пример 6. Найти линейную функцию /(х), если /(—4) =6
и / (4) = 4.
Решен и е. Пусть f (x) = kx-}-b. Тогда, согласно условию
вадачи, получаем следующую систему двух уравнений относи-
тельно двух неизвестных k и Ь:
( 6 = —4^+6,
j 4 = 4&+Z>.
Складывая эти уравнения, получим 10 = 26, или 6=5. Вычитая
из первого уравнения системы второе, найдем, что 2 = —8k,
откуда 6 = —1/4.
Таким образом, /(х) =—i-x+5.
Пример 7. Найти квадратичную функцию Их), если
f(-10) = 9,7(~6) = 7 и f(2)=—9.
Решение. Пусть f (х) = ах2 + 6х4-с. Тогда имеем систему
трех уравнений относительно трех неизвестных а, 6 и с*.
( 9 = 100а— 106+с,
| 7 = 36а—6&4-0,
V —9 = 4а+264-сь
Вычитая из первого уравнения системы третье, получим
18 = 96а—126, или 3=16а—26.
Вычитая из второго уравнения системы третье, получим
16 = 32а—86, или 4 = 8а — 26.
Вычитая из уравнения 3= 16а—26 уравнение 4 = 8а—26,
найдем, что а =—1/8.
Подставляя а =—1/8 в уравнение 4 = 8а—26, получим
6=—5/2.
Подставляя а =—1/8 и 6=—5/2 в третье уравнение системы(
найдем с = —7/2.
ТЛ £ / \ 1 о
Итак, /(*)=— g-^2~2Х~у
Множество элементарных функций (из классов Г—6°) по
аналогии с числами делят на два класса—на элементарные
алгебраические (рациональные и иррациональные) функции и
элементарные трансцендентные функции;
§1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
11#
Смысл этого деления на два класса функций состоит в сле-
дующем. Рассмотрим многочлен от двух переменных Р (х, у).
Предположим, что функция у == f (х) на некотором промежутке
[а; Ь] удовлетворяет уравнению Р (х, у)~0 (называемому ал-
гебраическим), т. е.
P(x,f(x))s0, х g [а; Ь].
Тогда функция y=f(x), х g [а; д], называется алгебраической.
Например, функция y~V' 1—х2 является алгебраической, так
как при —1<х<1 она удовлетворяет алгебраическому урав-
нению х2 + ^2=1.
Всякая рациональная функция (в том числе и многочлен)
является алгебраической, так как функция y~P(x)/Q(x), где
Р(х), Q (х)—некоторые многочлены, удовлетворяет уравнению
Q (х) У~~Р (*) =0. Подчеркнем, что не всякое алгебраическое
уравнение, которому удовлетворяет рациональная функция,
обязательно должно быть уравнением первой степени относи-
тельно у\ например, функция у — х удовлетворяет уравнениям
^2 = А;2, Г/3 = Х3.
Алгебраические функции, которые не являются рациональ-
ными, называются иррациональными функциями. В качестве
простейших примеров иррациональных алгебраических функций
можно привести функции y—V^ х и у—у/х2.
Пример 8. Доказать, что функция |/”х является
алгебраической иррациональной функцией.
Решение. Предположим противное, т. е. предположим,
что функция ]/” х является рациональной функцией:
(1>
где Р(х)*-многочлен степени и Q (х) —многочлен степени
т^О. Без ограничения общности можно считать, что много-
члены Р (х) и Q (х) не имеют общего множителя вида х& (k > 0).
Рассмотрим тождество (1) на отрезке [a, £], b > а > 0, Имеем
(2)
114
ГЛ. 2. ФУНКЦИИ И ИХ СВОЙСТВА
и, следовательно, многочлен Р2 (х) делится на х без остатка.
Отсюда заключаем, что и сам многочлен Р (х) делится на х без
остатка. Таким образом, степень многочлена Р (х) не меньше 1,
и, следовательно,'Р (x)==xS (х), где S (х)—некоторый многочлен
степени n—1. Подставив xS (х) в (2) вместо Р (х) и сократив
на х, получим
Q2(x) = xS2(x).
Рассуждая аналогично, докажем, что многочлен Q (х) имеет
степень не меньше 1 и делится на х без остатка. Таким обра-
зом, многочлены Р (х) и Q (х) имеют общий множитель х. Полу-
ченное противоречие доказывает, что равенство J/r'x==P (x)/Q (х)
не выполняется ни на каком отрезке.
Функция y = f(x) называется трансцендентной функцией
(в переводе —«превосходящей», а именно превосходящей силу
алгебраических операций), если она не удовлетворяет никакому
алгебраическому уравнению вида Р (х, у) = 0, где Р (х, у) —
многочлен относительно переменных х и у.
Можно доказать, что показательная, логарифмическая, три-
гонометрические и обратные тригонометрические функции
являются трансцендентными функциями.
Пример 9. Доказать, что функция ^=10* является
трансцендентной функцией.
Решение. Предположим противное, т. е. предположим,
что функция является алгебраической. Это означает, что
она тождественно удовлетворяет некоторому алгебраическому
уравнению вида Р (х, #) = 0. Записав многочлен Р (х, у) по убы-
вающим степеням yt получим
Р (х, у) = а (х) уп(х) Уп~*+... -И (х) t/+ 6 (х),
где я—«натуральное число и а(х), ₽(х), ,,,, 6 (х)—многочлены
от х, Пусть
а (х) = Дхот-{-...,
где Д 0 и т^О. Без ограничения общности можно считать,
что А > 0.
Тождество Р (х, 10х) ^0 можно переписать в виде
а(х)* 10й* 4-р (х)40<«-^*+.., + у (х)« 10*+5 (х) = 0
или
а (х)=— Р (х)40-* —.,. —у (х)« IO-*"-*) * —6 (х). 10-"*.
Если х неограниченно возрастает, то многочлен Ахгп+.,. стре-
мится к 4-оо (при т > 0) или равен постоянной положительной
величине А (при т~0). Правая часть этого тождества есть
сумма конечного числа членов, каждый из которых имеет вид
сх40“#* (k > 0) и, следовательно, стремится к нулю. Поэтому
и вся правая часть стремится к нулю. Полученное противоречие
доказывает трансцендентность функции 10*в
§1. ОСНОВНЫЕ понятия
115
Пусть заданы функция g(x) с областью определения X
и областью значений Z и функция f (Z) с областью определения,
содержащей множество Z, и областью значений Y. Тогда функ-
ция, обозначаемая через f(g(x)), которая каждому х из мно-
жества X ставит в соответствие единственное число у из мно-
жества Y такое, что z—g(x) и y = f(z), называется сложной
функцией
y=f(g(x)}> х£Х.
Таким образом, если
g: X Zt f: Z-+ У,
то можно определить новую функцию ^=/(g(x)), xgX, такую,
что
X—+Y.
Например, функции
z/=Klog23x, y=sin(>:2),
\X-f-l у
являются сложными функциями.
Пусть задана функция y = f(x) с областью определения X
и областью значений К, которая разным значениям аргумента
ставит в соответствие разные числа. Тогда функция x—f-Цу)
называется функцией, обратной к функции f(x), х^Х. При этом
она имеет область определения Y и область значений X и каж-
дому уо ставит в соответствие х9 так, что f (х0) = y9t xQ g X.
Следовательно, при любом х из множества X имеет место
тождество
f-i(f(x))^xtx£X.
Заметим, что если функция x—f~l(y)t у g У, является обратной
к функции y — f (х), х g X, то функция y—f(x), х^Х, является
обратной к функции x = f“*(#), и справедливо тождество
f (f~1 (у)) SS у, у g У.
Таким образом, если f: X —► У и функция f (х) такова, что
f (%i) # f (х2) при xt & х2 и Xf, х2 (2 X, то /“’i; У —> X и
Г1 (ft: Х-+Х,
У—У.
при этом
f-i(Hx))^x, xgx,
f(f-i(y))^y, y£Y.
Пару функций f и называют парой взаимно обратных
функций.
При изучении взаимно обратных функций f и незави-
симые переменные принято обозначать одной и той же буквой
(обычно х) значения этих функций—также одной буквой
(обычно уу другими словами, для функции y—f (х), xgX, об-
ратная функция записывается в виде /”1(х), xgK»
116 ГЛ. 2. ФУНКЦИИ И ИХ СВОЙСТВА
Отметим, что в этих новых обозначениях имеют место сле-
дующие тождества:
f-i(f(x))^x, х£Х,
Например, функции ^==х+Ь x£R, и у~х-~1, xgR, а также
функции y = 2xt xgR, и £/=log2x, xg(0, +«>)» являются вза-
имно обратными.
Пример 10, Найти функцию, обратную к функции
r/=(x+l)2, xgj-l; +оо).
Решение. Покажем, что для любых Xf и х2, принадле-
жащих множеству [—1; +оо) и таких, чтохх?бх2, выполняется
неравенство y(xi)^у(х2). Действительно, пусть (xi+I)2—(х2+1)^
и Х10х2, тогда (xi+l)2 — (х2н+1)2 = 0, т, е.
(*i^x2)(2 + xf+x2)==0.
Так как х$ & х2, то
2+х1 + х2г=(хх + 1) + (х2+1) = 0.
Поскольку Xixb 1 0, x2 + J^O и хх х2> то последнее равен-
ство не выполняется. Таким образом, сформулированное выше
утверждение доказано.
Теперь для заданного значения yQ из области значений
данной функции, т. е. для найдем то (единственное)
значение х0 из множества I—1; 4-оо), для которого у$ — (х0 +1)2.
Из последнего равенства находим два возможных значения
для х0: 'Куо—1 и Множеству [ — 1; +^°) принад-
лежит только одно из этих чисел, а именно Xo = yrz/o —1. Таким
образом, для каждого существует число x0 = ]/"z/0—1
такое, что #о = (*о+О2- Следовательно, функция у—У х— 1,
xg[0; +оо), является функцией, обратной к функции у=(х+1)2,
х£[—1; + <*>)•
Для данной функции ^=(х+1)2, xg[—1; +©о), и обратной
к ней функции у— Ух — 1, xg[0; Н-оо), отмеченные выше
тождества (/(х)) х, х^Х, и f (/“Я (х)) ssх, х£У, соответ-
ственно имеют вид
((|G-l) + l)W х£[0; +оо).
К(*4-1)2 — 1 = |х4-1 l-lej, xg[—1; 4-00),
Достаточный признак существования обрат-
ной функции: если функция строго возрастает (убывает)
на множестве X, то для нее существует обратная функция, и она
также строго возрастает (убывает) на множестве значений дан-
ной функции.
Пример 11. Найти функцию, обратную к функции
4 Л 1П -Ил\
0==siDX, *€ 1^—10; 4
§1. ОСНОВНЫЕ понятия
117
Решение. Так как функция r/=slnx убывает на проме-
жутке [—10; —11л/4), то обратная к ней функция существует.
Найдем ее. Область изменения данной функции есть промежуток
(—]Л"2/2; sin (—10)]. Известно, что если sin/ = a и — л/2^
то / = arcsina.
Так как для любого xQ, удовлетворяющего неравенствам
< Л л Пл
—Ю^х0 <-—Нл/4, справедливы неравенства —< —---------------
— 2л < х0 — Зл < 10—Зл < — , то для пары чисел (х0, у0), где
Л ’ ' 11 л \ п
—10; —j— 1, справедливо равенство —х0 —Зл=
= arasin г/о- Отсюда заключаем, что х0 = —arcsin Зл для
каждого_х0 £ [—10; —11л/4) такого, что y0^=sinx0, где
g(— У 2/2; sin(—10)]. Обозначив искомую функцию через /(х),
получим, что /(х) =—arcsinx— Зл на промежутке (—У 2/2;
sin (—10)] является функцией, обратной к функции # = sinx
на промежутке [—10; —11л/4).
ЗАДАНИЕ 1
1.
1)
3)
2.
1)
2)
3)
4)
б)
6)
3.
Найти линейную функцию /(х), если:
/ (—2)= 10, / (1) = —5; 2) /(—10) = —2, f (5) - 1;
/(-2) = -5, /(2) = —3; 4) /(-3) = 3, /(6) = 0.
Найти квадратичную функцию f (х), если:
/(-!) = -!, /(3) = —3, /(6)= 12;
Н~1) = 3, f(l) = 3, /(2) = 12;
/(—2) = 9, Н1) = 3, /(3)= 19;
Ц-К2)=-4, /(2) = —5. /(2К2)=-7;
/(-3) = -8, f (0) = —2, НЗ)=10;
f(_3) = _ll, f(0)= 10, f(2) = -6.
Найти область существования функции /(х), если:
- . ' i/C 2х2—5x4-3"' о f / ч Г—2х
/«=]/ iog1/4 —; 2)f(x)=y 10ё*7+з-;
3) f (х) — log2 (4—х) — logs (х+7);
2 *
ЗАДАНИЕ 2
1. Найти линейную функцию ffx), если:
1) f(—4) = 2, f (6)=—3; 2)7 (-4) = -12, f(2) = 6;
3) f(-l)=l, f(l)=5; 4) f(0).-1, /(4)«-9.
2. Найти квадратичную функцию f (х), если!
1) /(-2) = 2, f(2)=2, 7(4)=8;
2) /(-D=-2J(4-----------------«I
3) f(-4)=-l, f(2)=—4, f(6)=4;
4) f(-l)=-2, f(2)=-14, 6)=-22j
Б) f(-2)=9, f(-l) = 4 f(3) = 24;
в) Ц-З)==2о, ;u)=o. / 2)=0.
118
ГЛ. 2. ФУНКЦИИ И ИХ СВОЙСТВА
3. Найти область существования функции f(x), если:
1) f (*) = }/"log1/2 j-; 2) f (х) = V— loge (х—х2);
3) f (x) — logs (2—x) + loga (x + 2);
4) f (x) = V logx 2 • loga* 2 — log4je 2.
ЗАДАНИЕ 3
1. Найти 0(0), 0(1), 0(—3), если 0=-j-^—j--
2. Дана функция 0(x)=x2. Найти:
1) У (—•*); 2)0(x—1); 3) 0(l/x); 4)0(cosx); 5)20(x);
6) У2 (x); 7) KFW; 8) у (у (x)); 9) 1 у (x) -2y (1 ).
3. Найти область существования и область значений функции:
1) 0 = х2; 2) 0=Кх; 3) y—f/ х; 4) 0=1/х;
5) # = (1/3)*; 6) y = sinx; 7) £/ = cosx; 8) £/ = tgx;
9) # = ctgx; 10) £/ = arcsinx; 11) г/= arc cos %; 12) «/ = arctgx.
4. Привести пример функции, заданной аналитически, у ко-
торой:
1) область существования есть множество, состоящее из
одного числа;
2) область существования есть множество, состоящее из двух
чисел;
3) область существования есть множество, состоящее из
всех чисел отрезка [1; 2];
4) область значений есть множество, состоящее из одного
числа;
5) область значений есть множество, состоящее из двух
чисел;
6) область значений есть множество, состоящее из всех на-
туральных чисел.
б. Найти функцию, обратную к функции f(x)t xgX, если:
1) Д1)=0, fj-3)=7, f(5) = 2, Х={1; -3; 5};
2) f(x) = V х,_х€(1, 2];
3) /(х) = -Кх, xg(0; +«);
4) /(x)==sinx, xg[3n/2; 2л].
ЗАДАНИЕ 4
1. Найти у (—2), у(0), у(1), у (3), если
( 2-|- х, х > 0,
^(х) = -| 5, х=0,
( 2* х < 0.
2. Дана функция ТЛ' Найти:
X **]*• 1
1)у(-х); 2) 1/0 (х); 3) 0(2х);
4) 0(x)-f-l; 5) 20 (х); 6) 0(1— х).
3. Найти область существования и область значений функции:
1) 0 = log2(—х); 2) 0=|/ lgcosx-f-4; 3) 0=cos Кх+2;
§1. ОСНОВНЫЕ понятия
119
7) у==-Щ-е^2; 8) i/ = 210g2%; 9) y = ctgxtgx;
_ ( 1, х > О,
10) у = sin хК 3cosx; И) у=-{ 3, х = 0,
V —2, х < 0;
12) i/==| | х |— 11—л:.
4. Найти f(g(x)), f(f(x)), g(f(x)), g (g (x)), если:
1) g(x)=x2t 1(х) = 2х; 2) g(x) = signx, /(x) = l/x2.
5. Привести пример функции, заданной аналитически, для
которой:
1) область существования есть множество, состоящее из трех
чисел;
2) область существования есть множество, состоящее из
всех чисел интервала (0; 1);
3) область значений есть множество, состоящее из трех
чисел;
4) область значений есть множество, состоящее из всех
целых чисел.
6. Найти функцию, обратную к функции у = /(х), xgX,
если:
1) ^=/2—я + К*2-44-5, х£{2}-,
2) у = х*+х, х€П/2; 2];
3) у=х*+х, xgb-3; 1/2];
4) у —cosx, х£14; 5].
Упражнения
1. Дана функция
। х2,
/(*) = < —2х+1,
I cos лх,
—1 <х < О,
0<х< 1/2,
1/2<:х=С 1.
Найти /(-1/3), /(0), f (1/2), f (4/5).
2. Найти область значений функции /(х), xg{l; 2; 3; 4},
которая определена следующим образом: числу п из области
определения ставится в соответствие число f (п), равное:
1) квадрату n-го десятичного знака после запятой числа л;
2) квадрату n-го десятичного знака числа е,
3. Найти область существования функции:
„ Vх2—16 ,г---- . 4
П У~ log2 (*2+Зх-ТоГ ’ } У~^ *+КЗ+^
3)
4) у = V(х —iog23) (logo7—%);
5) ^ = arcsin^+ 4x211 » 16—x2;
120
ГЛ. 2. ФУНКЦИИ И ИХ СВОЙСТВА
1 — COS X ( . X , X V
7) --------( sin-4+cos -j. 1 ;
2 sin тг V 7
8) y=' 7"-— .*..——;
К। x |_2 |x— 11
9) у = logcosx sin x; 10) у= arccos -|-/x2 (x—I)2 (x—3)'.
4. Найти область значений функции:
1) y=v24-х—х2; 2) y=-y~j- ; 3) у = logs (1 —2cosx)j
л Т 1
2х
4) £ = sinx + |sinx|; 5) ; 6) r/=sin2 х-4~3 cos х—4;
7) у = sin2 х cos2 х; 8) y = 2sin 5х+3 cos 5х; 9)# = 21cos*lj
2 1
“»»=Т>=ЖГ '"7И5-
1, X > О,
ТТИ’ х<2;
12) У-
13) у=х2—-х4, x€l—1; 4]; 14) y=(Ksinx-l)2.
5. Являются ли тождественно равными следующие функ-
ции на множестве 44:
v2 1
1) j-3 и у=х*™2, 44 = {х: х£(5; Ч-оо)};
2) у = 21оё^х+1^ и ^ = x+L 44 = {х: xg(—1; +оо)};
3) ^==log3x6 и ^=51og3x, 44 = {х: *ё(0;_+оо)};
4) f/ = log3x2 и f/ = 21og3x, 44 = {x: xg(0; -pco)};
б) у = /7^1 / 2Т+Г и y=V(X-l)(2x+l),
44 = {x: xg(2; +oo)}j
6) # = log2x4 и y^4log21x|, 44=={x: xgR\{0}};
7) y^ J/rx2-«4x+4 и г/ = х**2, 44 = {x: xgR};
§) 0=|x-j-4| и y~ j/"^24-8x+16, 44 = {x: xgR};
§) y=ctgxtgx и ^/=1, 44 = {x: xg(0; л/2)};
10) y=4/3tg (4x—5) и y = 4/"3’|/r tg 4 ^x—
44 = {x: *€(44)}?
6. Найти коэффициенты квадратного трехчлена f (х) = ах? +
+&х+#, если
/(1)«3, f(O) = L
7« Привести пример функции, заданной аналитически, об-
ласть существования которой есть:
1) интервал (1; 2); 2) множество {1; 2);
3) отрезок |—1; 1J; 4) отрезок j0; 1] и точка х=2.
§ 1. ОСНОВНЫЕ понятия
121
8. Найти функцию f(x), если известно, что:
1) f(x+l) = x2+2x+2; 2) f =х?+^’
3) Н*+1)+Н*4-2) = 2х+3; 4) f (sin х) 44 (cos х) = 3.
9. Известно, что f(x) = cosx, xg[0; л/2].
Доказать, что:
1) f(2x) = 2/«(x)~-l; 2) /(!)= Y•
10. Известно, что f(x) = cos2x, <р (х) = cos х, Показать, что
<р(2х) = 2/ х)-1.
11. Известно, что область изменения функции y~f (х), xgX.
есть интервал (0; 1). Определить множество X, если:’
1) f(x) = x3; 2) f(x) = 2x; 3) f(x) = lnx; 4) /(x) = tgx.
12. Пусть
f (x) —
x > 0,
x^O,
g(x) = 2x.
Найти функции;
4)/teW); 5н(ф); 6)f(*-lxD.
13. Функция y=y(x) задана параметрически?
1) x(/) = sin/, ^(0 = costf, /g[0; л/2];
2) x (/) = 1 -W, ^(0=l + /2, oo; 4-oo).
Исключив параметр t, найти зависимость у (х), а также область
существования функции у (х). ____
14. Функции х2, xg[—4; 1], и /2 = —х2,
удовлетворяют соотношению x2+f2 (х) = 1. Существ
вуют ли другие функции с областью определения отрезком
J—1; 1], удовлетворяющие указанному соотношению?
15. Рассмотрим функцию f (х) — arccos (р (х). Привести при-
мер функции <р(х) такой, что область существования функции
/(х) является:
1) отрезком [—1; 1];
2) интервалом (—-1; 1);
3) одной точкой х=1.
16. Привести пример элементарной функции, удовлетворяю-
щей условию:
1) f(x+y) = f(x)f(yy, 2) f(x+y) = f (x) + f(i/y,
3) f (ху) — f (х) f (у); 4) f(xy)~f(x)+f(y).
17. Найти функцию, обратную к функции f (х), х£л. если;
1) /(3)=2, Х-|1; 2; 3};
2) f-х», Ч-oo); 3) f-х», х€(-оо; 0|5
4) *€П: +оо): 5) f==lT^’ *€(-в01 ~115
6) = П /=|Х“‘ 11 х€1~5; 0,!
8) /=СО8Х, *ё13л; 4л]; 9) /=2* 2; 4];
122 ГЛ. 2. ФУНКЦИИ И ИХ СВОЙСТВА
JO) х€[1; 2]; П) f = tsx, xg(n/2; 2я/3).
i8. Найти все функции f (х), удовлетворяющие условию:
1) xg(-оо; 0)U(0; 4-00);
2) (х-1)/(х)+/('Г)= ’ х£(0; 1);
3) 2f(x)+3f (-Ц=*8> xg(-x; 0)U(0; Н~оо);
4) f + У (^ту}==х, *€(— 1; 1).
' ' \x-2j 1 \хЦ-1/
§ 2. Четные и нечетные функции
Множество точек X числовой прямой называется симмет-
ричным относительно начала координат (точки 0), если для
любого числа xgX число —х также принадлежит множеству X.
Примерами таких множеств могут служить множества:
а) вся прямая; б) объединение промежутков (—оо; 0) и (0; +оо)_;
в) отрезок [—а; а]; г) интервал (—а; а); д) множество {*—2; —1;
1; 21-
Промежуток [—а; а) не является множеством, симметрич-
ным относительно начала координат, так как точка —а при-
надлежит этому промежутку, но точка —(—а) = а ему не при-
надлежит. Отрезок (—1; 2] не является множеством, симметрич-
ным относительно начала координат, так как, например, 3/2
принадлежит этому множеству, а —3/2 ему не принадлежит.
Функция y — f(x), заданная на множестве X, называется
четной, если выполнены следующие условия:
1°. Множество X симметрично относительно начала коор-
динат.'
29. Для любого х£Х справедливо равенство
f(x) = f(-x).
Примерами четных функций могут служить следующие
функции:
у=х*, ^ = 2,х| — [sinx|, y=cosx, xg[— л; я],
1 X •
r------------ r---------- 1
у = У x2-—1, y~V 4—x2 4-arc cos
Функция y=f(x), заданная на множестве X, называется
нечетной, если выполнены следующие условия:
1°. Множество X симметрично относительно начала коор-
динат.
2°. Для любого xgX справедливо равенство
/(-Х)=-/(Х).
§2. ЧЕТНЫЕ И НЕЧЕТНЫЕ ФУНКЦИИ
123
Примерами нечетных функций могут служить следующие
функции:
У = х3, y = sinx, у==’7'
,----- 4
у^хУ х2—9, ^/ = a resin —.
Если f (х), xgX,— четная функция, то для любого xgX
точки ее графика (х; f(x)) и (— х; f (— х)) расположены симмет-
рично относительно оси OY. Таким образом, график четной
функции симметричен относительно оси OY.
Рис. 2.2
Если f (х), xgX,— нечетная функция, то для любого xgX
точки ее графика (х; f (х)) и (—х; }(—х)) расположены сим-
метрично относительно начала координат. Таким образом, гра-
фик нечетной функции симметричен относительно начала коор-
динат. Например, на рис. 2.1, а приведен график четной функ-
ции, а на рис. 2.1,6—график нечетной функции.
Из определения нечетной функции следует, что если точка
х — 0 принадлежит множеству X, то f(0) = 0 (на рис. 2.2, а, б
приведены графики нечетных функций, а на рис, 2.2, в—гра-
фик функции, не являющейся нечетной функцией)*
124
ГЛ. 2. ФУНКЦИИ И ИХ СВОЙСТВА
Отметим, что существуют функции, не являющиеся ни чет-
ными, ни нечетными; например,
а) функция y—V^ х не является четной и не является не-
четной, так как ее область существования не есть множество,
симметричное относительно начала координат;
б) функция у = (1/2)х также не является четной и не яв-
ляется нечетной; хотя область ее существования является мно-
жеством, симметричным относительно начала координат, однако,
например,
У (1)^= 1/2 # 2 = у (-1), У (1) = 1/2 # -2 = - у (-1).
Единственной функцией, заданной на симметричном отно-
сительно начала координат множестве М и являющейся одно-
временно четной и нечетной на этом множестве, есть функция
/(%)=== О при xgAl^R.
Любую функцию y — f(x)> определенную на множестве X,
симметричном относительно начала координат, можно прёд-
ставить в виде суммы функций ф(х) и ф (х), каждая из которых
определена на том же множестве X, а именно f (х) = ф (х) + ф (х),
где ф(х)—четная функция, а ф (х) — нечетная функция. Здесь
Свойства четных и н е ч е т н ы х ф у н к ци й:
1°. Если f (х) и g (х)— четные функции, заданные на одном
и том же множестве X, то функции f(x)+g(x), f (х)—g (х),
f (х) g (х), f (x)!g (х), g (х) # 0, являются четными функциями
на множестве X.
2°. Если f(x) и g (х)—нечетные функции, заданные на
одном и том же множестве X, то f(x) + g(x) и f(x)~~g(x)
являются нечетными функциями на множестве X, а функция
f (х) g (х)—четной функцией на множестве X; если к тому же
функция g (х) отлична от нуля на множестве X, то на мно-
жестве X функция f(x)/g(x) будет четной функцией,
Пример 1. Является ли функция
j/=log2 (х+У 14-Х2)
четной или нечетной?
Решение. Область существования данной функции со-
стоит из всех х таких, что x+J/" 1-|-х2 > 0. Этому неравенству
удовлетворяет любое действительное число х, В Самом деле,
если х»0, то 1+х2== 1 > 0* Для любого х#0 имеем
л;4-КТ+^=х4-|х| ]/" 14~^->x4-|x|SaO.
Таким образом, область существования данной функции симмет-
рична относительно начала координат»
§2. ЧЕТНЫЕ И НЕЧЕТНЫЕ ФУНКЦИИ 125
Далее, для любого действительного х справедлива сле-
дующая цепочка равенств:
у (— х) — log2 (— х+У 1+(— х)2) = log2 (— V"l + %2) =
_tog!, _________________i_=
х+К1+*2 х+к 1 + х2
= loga (ж + Т1 + *2) -1 = — loga (х + КТ+х2) = — у (х).
Так как область существования данной функции есть числовая
прямая, т. е. множество, симметричное относительно начала
координат, и */(—х) = — у(х) для любого xgR, то данная
функция является нечетной.
Пример 2. Представить в виде суммы четной и нечетной
функций функцию
У = 2^
Решение. Положим
, ч 2* + 2~* , ( . 2* —2~*
<₽(*)=---2---’ ---2---’
Тогда <р(—х) = <р(х), if (— х) — — 4 (х), т. е. ф(х)--1Йтная
функция, а Ф(я)-—нечетная функция. При этом
У(х) = <р(х) + 4(х),
Пример 3. Исследовать, когда сумма двух нечетных
функций есть нечетная функция.
Решение. Пусть даны две нечетные функции!
с областью определения X и y=g(x) с областью определения м.
1. Если симметричные относительно начала координат мно-
жества X и М таковы, что их пересечение не содержит ни од-
ной точки, то понятие суммы этих функций f(x) + g(x) лишено
смысла. Поэтому в таком случае сумма двух нечетных функ-
ций не является нечетной.
2. Если пересечение множеств X и М не пусто и равно 2V,
то множество N симметрично относительно начала координат.
Действительно, любое x£N таково, что х£Х и х£М. Поэтому
в силу симметричности множеств X и М число —х принадле-
жит и множеству X, и множеству М, а следовательно, 1 мно-
жеству N. Далее, для любого x£N имеем
f (— х) = — /(х), так как xgX,
g (—. х) = — g (х), так как xgM.
Следовательно,
(f (- х) + g (- X)) = f (- X) + g (- X) = (- f (X)) 4- (- g (X)) -
Таким образом, на множестве N функция ^ = /(x)+g(x)
является нечетной функцией.
Итак, сумма двух нечетных функций является нечетной
функцией, если сумма этих функций имеет смысл.
126 ГЛ. 2. ФУНКЦИИ И ИХ СВОЙСТВА
Пример 4. Является ли четной или нечетной функция ,
f (x) = floga-j±^ fx—logal+l'j?
Решение. Так как
( £±1
х—1
2-}-х
k 2—х
то область существования функции f(x) является симметричной
относительно начала координат.
Для любого х из области существования функции имеем
f (-*) = (10g2 (- х- 10g« 2^T^j-) =
=(-10g27fl)(x+10g3^) =
=(iog2 (Si)’1) (*~10g3 (ЙГ)=
=(1o^tzt) (Л£-1о^Ю==/(х)-
Следовательно, функция f (x) является четной.
ЗАДАНИЕ 1
1. Является ли четной или нечетной следующая функция:
1) j^==x2—х4; ( 2)z/~sin (cos x); 3)y = |cosax|;
2*+2-*x .K. , 1— x c. 1*1+'
4) V~1X —2~* ’ 5)/“ 1+x’ 6) {/_(l + x«)sinx;
2*+ 2"* o. 3х—3_JC
7) jr— 2 ; 8) У — g
9) t/=log3(x+/1 -• xa); 10) y = x—1;
И) (X«1)2 4-^Z(x + l)a; 12) //=x2—3, *€(—2; 5)?
2. Функции f (x) и g(x) определены на множестве X, сим-
метричном относительно начала координат. Является ли четной
функция:
О f (*)+#(*)> если f(x) и g W ** четные функции;
2) f(x)—g(x), если f (x) и ^(x) —четные функции;
3) f(x)g(x), если f(x) и g(x)«**нечетные функции;
4) fW.gf(x), если f(x)-*четная функция и ^0, а ^(х) —
нечетная функция?
3. Представить в виде суммы четной и нечетной функций
следующую функцию:
1) iZ«(l/2)%; 2) г/ = х+1;
3)^=х2 + 2х; 4)y=*Vx+3, xgl-3; 3].
§2. ЧЕТНЫЕ И НЕЧЕТНЫЕ ФУНКЦИИ
727
4. На рис. 2.3, а, б дан график функции y = f(x), xf^X*
Нарисовать график функции у = £(х), определенной на всей
числовой прямой, который совпадает с графиком функции
y=f(x) на заданном множестве X, и такой, что
а) функция g(x) является четной;.
б) функция g(x) является нечетной.
ЗАДАНИЕ 2
1. Функции f (х) и g{x) определены на множестве X, сим-
метричном относительно начала координат. Является ли нечет-
ной функция:
1) f (х)+g (х), если f(x) и g(x)—нечетные функции;
2) f (х)—g(x), если f ix) и g (х)—нечетные функции;
3) f (x)g(x), если f(x) и g(x) —нечетные функции;
4) f (x)g (x)t если f(x) —четная функция, a g (х) — нечетная
функция?
2. Функция у == / (х) определена на всей числовой прямой
и f2 (х) = Р (—• х) для любого xgR. Привести пример такой
функции f(x), которая не является ни четной, ни нечетной,
но для которой Р (х) = /2 (— х).
3. Является ли четной или нечетной следующая функция;
1) у==х3—х6; 2)у = х2 cos х;
оч <> , 1 лч 1 1 + sinx
4)
х€12; 4J; 6)4,==----Ц—;
Х х4—Ц-
7) у=|/гхД— I XI log2x2; 8) ^==1 х— 1 14-1 х-4- 11 — 2]x|j
9) y=V~x, i; ij; 10) y^V^ix—W
4. Представить в виде суммы четной и нечетной функций
следующую функцию:
2)^=-^; 3)4/=2л + 3;
128
ГЛ. 2. ФУНКЦИИ И ИХ СВОЙСТВА
Упражнения
1.
1)
4)
7)
Является ли четной или нечетной функция:
у=0 + 2^. 2)f/==/^—. 3)у = ^+ 1 .
У=\х-2|-3|х| + |х+21; 5) f/ = ln|=i; 6) </=^-1;
Z-j-X j х—• 11
j/=(2—x)6 —(2-J-x)s; 8) y=log3(KT+^-x);
m .. f Ь x—рациональное число, —
j —1, х — иррациональное число; sn]/ х,
П) У — V 14-х+х2 — /Т—х — х2; 12) p = sinxtg5x;
2х
13) ^ = arcsiny-j--^-; 14) # = arcsin x + arccos х;
15) у = arccos (cos х); 16)^ = д? * ?
2. Функции f (х) и g(x) определены иа всей числовой пря-
мой, кроме точки х~0, и g(x)^0. Является ли четной или
нечетной функция f(x)/g(x), если:
1) f (х) —четная функция, a g (х) — нечетная функция;
2) /(х) и g(x) —четные функции;
3) Цх) и g(x) —нечетные функции?
3. Доказать, что если функция f (х) четная, а функция g(x)
нечетная, причем f^O, g(x)^0, и они заданы на одном и
том же множестве X, то функция f(x)+g(x) не является ни
четной, ни нечетной функцией.
4. Существует ли функция, определенная на всей числовой
прямой, которая одновременно является:
1) нечетной и возрастающей;
2) нечетной и убывающей;
3) четной и возрастающей;
4) четной и невозрастающей?
5. Пусть четная функция f (х) и нечетная функция g(x),
отличная от тождественного нуля, определены на всей числовой
прямой. Доказать, что каждая функция
|Н*)|. Ig(x)|, Н— *)+g(l*l)
является четной функцией, а каждая функция '
g(—х), xf(x)+x*g(x), g(x|x|)
является нечетной функцией.
6. Представить в виде суммы четной и нечетной функций
каждую из следующих функций:
f 1, Х^аО, f О, X^-sO, о. , , ,
*<0; 2)Н*. *<°: 3)у=|^1|:
X 1
4^=гг^-; 6)g=x(2+x),
7. Привести пример четной функции, определенной на всей
числовой прямой, принимающей как положительные, так и
§ 8. ОГРАНИЧЕННЫЕ ФУНКЦИИ
129
отрицательные значения, но ни в одной точке не обращающейся
в нуль.
8. Доказать, что если у = f (х) и х = ф (£) —четные функции,
то у==/(ф(0)— четная функция.
9. Доказать, что если y — f(x) и х = ф ($) — нечетные функ-
ции, то y~f (ф(Л) — нечетная функция.
10. Доказать, что если у — f (х) — четная функция, а х =
= Ф (/) —нечетная функция, то y—f (ф (Л)—четная функция.
11. Пусть f (х) —четная функция и /(х) #0 для любого х.
Доказать, что 1/f (х) — четная функция.
12. Продолжить четным образом следующую функцию:
1) y=lnl±i, хё[1; 1);
2) 4<=1о§1/?(х+К 14-х2).
13. Доказать, что если рациональная функция /?(x) = P/Q,
где Р, Q — многочлены, один из которых содержит хотя бы
одну четную степень х, является четной, то она есть функция
аргументах2.
§ 3. Ограниченные функции
Функция у = /(х), определенная на множестве X, называемся
ограниченной снизу на этом множестве, если существует число А
такое, что для любого х из множества X справедливо нера-
венство f(x)^A,
Число А называется нижней границей функции f (х) на мно-
жестве X. Например, функция z/ = x2+1 ограничена снизу на'
множестве R, так как неравенство х2 +1 1 верно при любом
xgR.
Функция у— fix), определенная на множестве X, называется
ограниченной сверху на этом множестве, если существует число В
такое, что для любого х из множества X справедливо неравенство
f (х)<В.
Число В называется верхней границе^ функции f (х) на мно-
жестве X. Например, функция y=log2sirix ограничена сверху
на интервале (0; л), так как неравенство log2sinx^0 выпол-
няется при каждом х из этого интервала.
Отметим, что при установлении ограниченности сверху
(снизу) функции f(x) на множестве X достаточно указать
хотя бы одну верхнюю (нижнюю) границу функции f (х) на мно-
жестве X.
Пример 1. Доказать, что функция /у = 5 cos Зх + 2 sin Зх
является ограниченной сверху на множестве всех действитель-
ных чисел.
Решение. Так как при каждом xgR справедливо нера-
венство
5 cos 3x-f-2sin Зх 1 4-2* 1=7,
то данная функция ограничена сверху, и тем самым задача
решена. Заметим, что при таком решении использование грубых
оценок cos 3x^1 и sin 3x^1 позволило найти одну из верхних
S Задачи по математике. Начала анализа
130 ГЛ. 2. ФУНКЦИИ И ИХ СВОЙСТВА
границ (число 7) данной функции. Однако, используя тождество
5 cos Зх + 2 sin Зх =
= К29 (cos Зх-4—sin 2лЛ= К29cos ^Зх—ф),
\1<29 ^/29 . /
где ф — arccos., заключаем, что 5 cos Зх + 2sin Зх К29, и
/ 29 _
тем самым число К29 является наименьшей из всех верхних
границ данной функции.
Функция r/=f(x), определенная на множестве X, называется
ограниченной на этом множестве, если существует положитель-
ное число С такое, что для любого х из множества X справед-
ливо неравенство |/(х)|«С С,
Например, функция j/ = 2cos8* + 3sin х ограничена на мно-
жестве R, так как
12C0sS х + 3 sin х | < | 2COS”х ] + 3 | sin х | 2 + 3 = 5.
Геометрически понятие ограниченности сверху (снизу) функ-
ции (х) на множестве X означает, что график данной функ-
ции на этом множестве находится не выше (не ниже) некоторой
горизонтальной прямой (рис. 2.4, а, б). Ограниченность функ-
ции означает, что ее график находится внутри некоторой гори-
зонтальной полосы (рис. 2.4, в).
Рис. 2.4
Функция у — f (х), определенная на множестве X, является
ограниченной на этом-множестве тогда и только тогда, когда
она ограничена на этом множестве и сверху, и снизу.
Пример 2. Доказать, что функция у
чей а на множестве R.
Решение. Так как
х2 + х 6
ог₽ани-
х2-|-х4-6 _ , 5 5
x2+x+1-‘-t-x?+x+1 t ду t з Ti
§3. ОГРАНИЧЕННЫЕ ФУНКЦИИ
131
ТО
%2 + х + б 5 _23
%4-x+I Г 3/4 ” 3 ’
Следовательно, для любого действительного числа х справед-
ливо двойное неравенство
? + х+6 23
< х2 + %+1 3 ’
Таким образом, данная функция ограничена и снизу, и сверху
и поэтому является ограниченной на R.
Пример 3. Доказать, что функция у — х2, xg(0; 4-00),
не является ограниченной сверху.
Решение. Предположим противное, т. е. предположим,
что функция у = х2, xg(0; +<х>), ограничена сверху. Тогда
существует число А такое, что для любого x(J(O; +оо) справед-
ливо неравенство х2^А (из этого неравенства следует, что
А > 0). В то же время, например, при х = х0 —"К А 4-1 имеем
х0 > 0 и
У(х0)=4-(П+1)‘=Л4-2 К1+1 > А,
что противоречит предположению. Такимх образом, данная функ-
ция не является ограниченной.
Пример 4. Доказать, что функция y — xsinx не является
ограниченной на всей числовой прямой.
Решение. Предположим противное, т. е. предположим,
что функция y = xsinx ограничена на множестве всех действи-
тельных чисел. Тогда существует число С > 0 такое,' что для
любого xgR справедливо неравенство | х sin х | «СС. В то же
время, например, при х = х0= ^2 (С] 4-~^ л имеем
| х0 sin %о | = л + |sin((2tC’]+4)n) | =
= (2[С]+1)л>[С] + 1>С,
что противоречит предположению. Таким образом, функция
t/ = xsinx не является ограниченной на всей прямой.
Свойства ограниченных функций:
1°. Если функции f (х) и g(x) определены и ограничены на
одном и том же мйожестве X, то функции
К*)+£(*), fW—g(x), f(x)g(x), \f(x)\
также ограничены на множестве X.
В частности, функции Cf (х) (С—константа) и Р (х) ограни-
чены на множестве X.
2°. Если функции f (х) и g(x) определены на множестве X
и функция f (х) ограничена на этом множестве, а функция g(x)
такоца, что | g (х) | > М > 0, то функция f(x)/g (х) ограничена
на множестве X.
5*
132
ГЛ. 2. ФУНКЦИИ И ИХ СВОЙСТВА
3°. Если функция f (х) ограничена, то функции
у/f (х), a? cos / (х), sin f (х), arcsin f (х),
. arccos f (x), arctg f (x), arcctg f (x)
ограничены на том множестве, на котором они определены.
ЗАДАНИЕ 1
1. Является ли ограниченной снизу функция:
1) у = х2\ 2) у~ arctg х; 3) j/ = log2x?
2. Является ли ограниченной сверху функция:
1) ^=]/’х; 2) #=1/х2; 3) #=cosx? 1
3. Является ли ограниченной функция
1) #=arcsinx; 2) у—2х; 3) r/ = tgx?
4. Привести пример функции с областью^ существования —
отрезок [0; 1], и которая является:
1) ограниченной снизу;
2) ограниченной сверху;
3) ограниченной.
5. Доказать, что сумма двух функций, определенных и огра-
ниченных на одном и том же множестве X, является функцией,
ограниченной на множестве X.
6. Исследовать, является ли ограниченной функция:
1) ^«=2 sln,x + cosх; 2) ~t"-;
л *т* 1
3) у=arcsin 4) V4—х2;
у3 I 1 1
б)* = х^;6)* = 10&С087+2-
ЗАДАНИЕ 2
1. Является ли ограниченной снизу функция:
1) г/ = х3; 2) # = arcctg х; 3) ^ = ctgx?
2. Является ли ограниченной сверху функция:
1) г/ = х-|-5; 2) # = sinx; 3) г/=(1/л)*?
3. Является ли ограниченной функция:
з /—
1) #=logi/2x; 2) r/=^arccosx; 3) y~v х2?
4. Привести пример функции с областью существования —
открытый луч (0;~|-оо), и которая является:
1) ограниченной снизу;
2) ограниченной сверху;
3) ограниченной.
5. Доказать, что если каждая из двух функций ограничена
на множестве X, то их сумма также является функцией, огра-
ниченной на множестве X.
6. Исследовать, является ли ограниченной функция:
1)// = х2-2х + 3; 2) 3) ji=Ksin4x-1;
1 -4- X
4) j/=5 cosx+3sinх; 5) 3'!6) 0=22 *•
$3. ОГРАНИЧЕННЫЕ ФУНКЦИИ ИЗ
ЗАДАНИЕ 3
1. Сформулировать, что означает утверждение:
. 1) функция y~f(x) не является ограниченной на множе-
стве X;
2) функция y=f(x) не является ограниченной сверху на
множестве X;
3) функция y~f(x) не является ограниченной снизу на
множестве X.
2. Доказать, что каждая из следующих функций не явля-
ется ограниченной:
1) 2) г/=1/х; 3) г/— 1
3. Исследовать, является ли ограниченной функция;
1) £ = *€12; оо); 2) r/ = logi/2(l + cosx);
x2+sln(x+l) / 1 \|sinx|
5) y=arccos g-py ; 6)
ЗАДАНИЕ 4
1. Является ли функция y~f(x} ограниченной на множа*'
стве X, если для каждого х^Х найдется В > 0 такое, что
справедливо неравенство | f (х)| <£ В?
2. Доказать, что каждая из следующих функций не явля-
ется ограниченной:
*8 + * q П ОЧ Х+1
о V-^2’ 2) У = ^~2; 3) У^—2.
3. Исследовать, является ли ограниченной функция;
О log2 х, xg(O; 1); 2) f/ = tgx, xg(O; л/4);
3) у — tg2%+ctg2 х\ 4) г/ —% sin2 x;
5) ^23,’п3* + со8*х. б) | х | — J х — 11.
Упражнения
1. Исследовать, является ли ограниченной функция?
1) z/ = x2+3x+5, xg[l;3];2) y = p==-, xg(-l;l)|
3) У~ + Г''; 4) + Ь
5) y = (x4-l)(x-f-2)(x+3) (х-|—4); 6) у = | х| —|х +11)
7) у=--У 1-х2— V х2 — 1; 8) (/=/х-Н — /х;
9) [У = х—[х]; 10) У =
11) y=2~v х-, 12) j/ = sin33x—4 sin 17х.
2. Доказать, что каждая из следующих функций не явля-
ется ограниченной:
1) У=Кх-Н; 2) 0 = ха4-х; 3) 4) у=\/х;
Б) y = ctg х; 6) f/ = log2 2х; 7) # = | х-]-21; 8) 0=2v7j
134
ГЛ. 2. ФУНКЦИИ И ИХ СВОЙСТВА
9) ^ = х4-1; 10) у=Ух«+1;
11) у=|х] + | 2х+11; 12) 0=(2Л*.Х.
3. Привести пример функции с областью существования —
интервал (0; 1), и которая:
1) ограничена снизу, но не является ограниченной сверху;
2) ограничена сверху, но не является ограниченной снизу;
3) не является ограниченной ни снизу, ни сверху.
4. Привести пример двух функций, одна из которых явля-
ется ограниченной, а другая не является ограниченной на мно-
жестве X и таких, что:
1) их произведение является функцией, ограниченной на
множестве X;
2) их произведение не является функцией, ограниченной
на множестве X;
3) их частное является функцией, ограниченной на мно-
жестве Х\
4) их частное не является функцией, ограниченной на мно-
жестве Хл
5. Может ли разность двух функций, каждая из которых
не является ограниченной на множество X, быть функцией,
ограниченной на этом множестве? Привести примеры.
6. Может ли сумма двух функций, каждая из которых не
является ограниченной, на множестве X, быть функцией, огра-
ниченной на этом множестве? Привести примеры.
7. Доказать, что сумма двух функций, одна из которых не
является ограниченной, а другая является ограниченной на
множестве X, есть функция, которая не является ограниченной
на этом множестве.
8. Функции f (х) и g(x) являются ограниченными на всей
числовой прямой. Всегда ли частное f(x)/g(x) является:
1) функцией, ограниченной снизу;
2) функцией, ограниченной сверху;
3) ограниченной функцией?
9. Доказать, что квадрат любой функции есть функция,
ограниченная снизу.
10. Привести пример неотрицательной и не являющейся
ограниченной на всей числовой прямой функции такой, что для
любого числа А существует число В > А такое, что f (В) = 0.
§ 4. Монотонные функции
Функция # = /(%), х£Х, называется возрастающей на мно-
жестве AlczX, если для любых х± и х2 из множества М таких,
что Xi < х2, справедливо неравенство
f (Xi) < f (х2).
Функция y—f(x), xgX, называется убывающей на множестве
М^Х, если для любых х± и х2 из множества М таких, что
Xi < справедливо неравенство
/(Х1) > f(x2).
§4. МОНОТОННЫЕ ФУНКЦИИ 135
Функция y~f (г), xgX, называется неубывающей на мно-
жестве М^Х, если для любых Xi и х2 из множества м таких,
что xt < х2, справедливо неравенство
Функция y~f(x), х^Х, называется невозрастающей на мно-
жестве М^Х, если для любых Xf и х2 из множества М таких,
что xt < х2, справедливо неравенство
f(xi)^f(x2).
Если функция y=f (х), х(£Х, обладает одним из перечис-
ленных выше свойств (является возрастающей, убывающей, не-
возрастающей или неубывающей) на множестве Ma:Xt то такая
функция называется монотонной на М.
Если функция y=f(x), х£Х, является возрастающей или
убывающей на множестве Мя^Х, то такая функция называется
строго монотонной на множестве Л4.
Пример 1. Доказать, что функция у~х2 является воз-
растающей на множестве [0;4-оо) и убывающей на множестве
(—ео; 0].
Решение. В самом деле, для любых Xi и х2 таких, что
0 Xi < х2 < + со, имеем
У (^2) = x|--x|==(xi—х2) (%х + х2) < О,
так как Xi + *2 > 0, Хх—х2 < & Следовательно, у(х$ < у (х2),
и по определению функция у=х2 является возрастающей на
[0;+со). Для любых Xi и х2 таких, что —оо <xi<x2<0,
имеем
У&д — у(х2) = х% — x* = (xi—x2)(xi+x2) > 0,
так как Xi + *2 < 0, Xi — х2 < 0. Следовательно, ^(Хх) > у(х2), и
по определению функция у=х2 является убывающей на (—оо; 0].
Пример 2. Доказать, что функция У=К« + 1 является
возрастающей функцией.
Решение. Область существования данной функции есть
множество [—1; + оо). Пусть —l<Jxi<x2. Покажем, что
Xi + 1 < Кх2+1. Действительно.
(]/“ х2 +1 — V х1Ч-1)(|/г х2 -р 1 -р Xj +1)
V х2+1 —* V"* *4“ L—
/Х2+1 + /Х1 + 1
Следовательно, функция является возрастающей на
Своей области существования (рис. 2.5).
Пр-имер 3. Найти промежутки монотонности функции
__ X
У~~ 1 •
136
ГЛ. 2. ФУНКЦИИ И ИХ СВОЙСТВА
Решение. Составим разность у (xt)~-j/ (х2). Имеем
Xi х2 _Xi+xiX|—х2—х2х|_
У Ш~У (Х2) - 1+д(2 1 +х2 - р +д2) +х^
(Xj^X2)+XjX2(X2^Xj) _ (Xj —Х2)(1^ХХХ2)
(1+^)O+XD (l +X1)(1 +4) /
Пусть Xf < x2, t. e. Xi*— x2 < 0. Так как 1 +x| > 0 и 1 + %2 >0,
то знак разности у (xj)«*у (х2) зависит от знака выражения
1—-XjX2. Если 1 «Сх± < х2 < + оо, или — оо< xi < х2«С— 1, то
1— XiX2 < 0, поэтому у (xi) > г/(х2). Тем самым на промежутках
U; +оо) и (—оо;—1] функция У~т~т—2 Убывает. Если же
1 -[-X
—1^Х£<х2^1, то XiX2 < 1, т. е. 1— xix2 > О, и значит,
У (xi) < у (х2). Следовательно, на промежутке [—1; 1] функция
х т, . X
У—т~Т"^2. возрастает. Итак, данная функция у==——2 на про-
1 Т“ X 1 «-j- X -
межутках (—со;—1] и [1; -|~оо) убывает, а на промежутке
[—1; 1] возрастает (рис. 2.6).
Чтобы доказать, например, что данная функция y = f(x),
xgX, не является возрастающей на множестве М^Х, доста-
точно указать два числа Xi и х2 из множества М таких, что
1) XI < х2 и 2) f (Xj) Ss f (х2).
Пример 4. Доказать, что функция у = х2 не является ни
убывающей, ни возрастающей на множестве R.
Решение. Пусть = —1 и х2=1. Тогда х± < х2, но
у(х1) = Ь1)2=12 = у(х2).
Поскольку не выполняются и неравенство у(хх) <у(х2), и
неравенство #(хх) > у(х2), то данная функция не является ни
возрастающей, ни убывающей на всей числовой прямой.
Заметим, что если функция y — f (х) является возрастающей
(убывающей) на .множествах Mi и М2, то на объединении этих
множеств Мг1УМ2 она может и не быть монотонной. Например,
функция у—1/х убывает на каждом из множеств (—оо; 0) и
(0; + оо), но эта функция не является убывающей на множестве
(—-оо; 0)U(0;+00). В самом деле, если, например, xi =—1 и
х2=1, то Xi < х2, но /(%!) =—1 < 1=/(х2).
§4. МОНОТОННЫЕ ФУНКЦИИ
137
Свойства монотонных функций}
Пусть функции f (х) и g (х) заданы на одном и том же мно-
жестве М, МсХ, тогда:
Г. Если функция f (х) возрастает (убывает) на М и кон-
станта, то:
а) функция возрастает (убывает) на М;
б) функция cf(x), с > 0, возрастает (убывает) на
в) функция cf (х), с < 0, убывает (возрастает) на М,
В частности, если функция / (х) возрастает (убывает) на М,
то функция — f (х) убывает (возрастает) на М.
2°. Если функции f (х) и g(x) возрастают (убывают) на М,
то функция f (x)+g(x) также возрастает (убывает) на М.
3°. Если функции f (х) и g (х) неотрицательны на М и обе
возрастают (убывают) на М, то функция f(x)g(x) также йоз-
растает (убывает) на М.
Напротив, если функции f (х) и g(x) отрицательны на М и
обе возрастают (убывают) на М, то функция f (x)g(x) убывает
(возрастает) на М. ”
В частности, если f (х) > 0 и функция f (х) возрастает (убы-
вает) на М, то Р(х) также возрастает (убывает) на М\ если же
f (х) < 0 и функция f (х) возрастает (убывает) на М, то Р (х)
убывает (возрастает) на М.
4°. Если функция f (х) возрастает (убывает) на М и f(x) > О,
то функция 1/Л (х) убывает (возрастает) на М.
Если функция f (х) возрастает (убывает) на 'М и f (х) < О,
то функция 1// (х) убывает (возрастает) на М.
5°. Если f (х) 0 и функция f (х) возрастает (убывает)
на М, то функция V/ (х) также возрастает (убывает) на М.
6°. Если функция f (х) возрастает (убывает) на Л4,то:
а) функция af<x) при а > 1 возрастает (убывает) на Af;
б) функция afw при 0 < а < 1 убывает (возрастает) на М|
в) функция logaf(x) при а> 1 возрастает (убывает) на М,
если f (х) > 0;
г) функция logaf(x) при 0<а<1 убывает (возрастает)
на М, если f (х) > 0.
Пример 5. Найти промежутки возрастания. и убыванкя
функции*
Решение. Функция f0(x)=x является возрастающей на
R, причем fo(x)^O при х^О и ?0W<0 при х<0. По свой-
ству 3° функция fl(x) является возрастающей на множестве
[0; -|—оо) и убывающей на множестве (—оо; 0]. Отсюда и из свой-
ства 1° следует, что функция /1 (х) =/^ (х)-|-1 = х2 +1 сохраняет
свойство быть возрастающей или убывающей соответственно на
множествах [0; +оо) или (— оо; 0]. Так как (х) > 0 при всех
1 I
xg R, то по свойству 4° заключаем, что функция f (х) — р7~т=тт
является убывающей на множестве [0; + оо) и возрастающей яа
множестве (—оо;0] (рис. 2.7). Таким образом, на множестве
[0; 4-оо) функция убывает, а на множестве (•— оо;0] возрастает.
138 ГЛ. 2 ФУНКЦИИ И ИХ СВОЙСТВА
Символически решение этого примера можно записать в
виде следующей логической схемы:
при хЗэО: xt=>x2t=> (х2+1)|=>-^-т|;
л -"г* 1
при х<0: xf=>x2|=>(x24-l)|=>^q-jf,
где запись <р| означает, что функция <р(х) возрастает, а запись
ф| означает, что функция ф(х) убывает. _
Пример 6. Найти промежутки возрастания и убывания
функции
f(x) = x+l.
Решение. Заметим, что если х > 0, то
1 / /-— 1 \а
/(х) = х+±=2+( Г х —.
х \ V х /
Отсюда заключаем, что при х > 0:
а) по свойству 5° функция У х является возрастающей;
б) по свойству 4° функция \/У х является убывающей;
в) по свойству 1°в) функция —1/Ух является возрастающей;
г) по свойству 2° функция 1/К х является возрас-
тающей.
Так как
У: х 1/К Х^О при XS& 1,
V~x — 1/уг"х<0 при 0 < х«С1,
то имеем:
д) по свойству 3 функция (У х)2 является возрас-
тающей при и убывающей при 0 < х< 1;
§4. МОНОТОННЫЕ ФУНКЦИИ
139
е) наконец, по свойству 1°а) функция
f(x) = x+l/x = 2+0<7—1//7)2
является возрастающей при и убывающей при 0 < 1,
Аналогично убеждаемся, что функция f (х) возрастает при
1 и убывает при—1«Сх<0.
Итак, на множествах (—оо;—1] и [1;+оо) функция f(x)
возрастает, а на множествах [—1; 0) и (0; 1] убывает (рис. 2.8).
Логическая схема решения этого примера при х > 0 имеет
вид
X > 0: fxf => —^=7-|=>—-J=-
ух ух
(К х-1/V x)t
(К X — \/V х)1
ИУ х—\/У x)2t при х^1,
\ (К х — \/У х)21 при 0 < х «С 1
при х^ 1,
при 0 < xsC 1,
( f(x) t при х^1,
( f (х)| при 0 < 1.
ЗАДАНИЕ 1
1. Является ли монотонной функция:
1)У==хЗ; 2) y = log2x; 3) у = {1/2)*;
4) S)^=^±p; 6){/=tgx?
_ гг ж 2х -f“ 1 *
2. Доказать, что функция у=-г~.—4—т убывает на каждом
1 -j-X-f*X-
/ Кз+i 1 Г Vз-1
из промежутков ( — оо; — ~~— I и | ——~;
\ Z J I £t
И
возрастает на отрезке---------~~—-----------.
3. Найти промежутки монотонности функции:
1) У = (х—2)2; 2) £ = logi/2|x];
3) у = sin 2% 4-cos 2х; 4) y = ctg2x.
4. Сформулировать, что означает утверждение: функция
y~f(x)j xgX, не является возрастающей на отрезке [0;
Привести пример функции, не являющейся возрастающей на
отрезке [0; 1].
5. Доказать, что следующая функция не является возра-
стающей:
1) = 2) у= 11 х —1 |—-2 |;
3) у = [х]; 4) y=x2sinx.
ЗАДАНИЕ 2
1. Доказать, что четная функция на множестве М не может
быть возрастающей на этом множестве.
2. Является ли монотонной функция:
1) у=х4+|х|; 2) у=2х,+1;
140
ГЛ. 2. ФУНКЦИИ И ИХ СВОЙСТВА
3) ^=]/*“xsinx; 4) #=1/х2+х2?
3. Доказать, что функция #=х+1/х2 убывает на проме-
жутке (о; V 1/2] и возрастает на промежутке [f/ 1/2; + оо)*
4. Найти промежутки монотонности функции:
1) ^=2—х—х2; 2) tg х;
3) У = ’ 4) у = cos2 х+siD 2*:
8) У=(1/2)"^*; 6) р=Р*+21’ 3’
I log2 (—х), х<—3.
б. Сформулировать, что означает утверждение: функция
y~f(x)> xgX, не является убывающей на множестве MqX.
Привести пример функции, не являющейся убывающей на от-
резке [—2; 3].
6. Доказать, что следующая функция не является убыва-
ющей:
1) #==хЗ--х; 2) £/= 1пх —х;
( — х + 2, х < О,
3) y = sin4x + cos4x; 4) у~ I б, х==0,
\ — х~—2, х > 0.
У пражнения
1. Может ли сумма двух функций, не являющихся моно-
тонными на множестве М, быть монотонной функцией на Ж?
2* Можно ли функцию, не являющуюся монотонной на всей
прямой, представить в виде разности двух монотонных функций?
3. Пусть
1 х, х€[0;2),
Л 1 x-J-l, х£[2; 4].
Представить эту функцию в виде разности двух монотонно воз-
растающих функций на отрезке [0; 4].
4. Доказать, что если определенная на всей числовой пря-
мой четная функция f (х) монотонно убывает на промежутке
(— оо; 0), то на промежутке (0; + оо) она монотонно возрастает.
б. Найти промежутки монотонности следующей функции:
in it пх X — 3 Оч |х—II л. ilx—-II
1) 0=|2х—1|; 2) 0=^—р.; 3) «/ = |—— ; ——L;
5)у=2х«+х+4; 6) 0 = х2—5|хЦ-6; 7) У=у^\
3) У— V^x + 2—l; 9) # = tg 2х; 10) # = sinx—Зсозх;
И) £ = ctgy—2; 12) t/=tgxctgx;
13) у= К cos2 х—cos х; 14) j/=log211 х|—-11;
15) # = logi/s (х2 + я+1); 16) г/= 2 cos2 2х—sin 4х;
« nii fl —I x I, x > 1,
171 18> »-l ’='
\ Л а, Л X, X •
§ 5. НАИБОЛЬШЕЕ И НАИМЕНЬШЕЕ ЗНАЧЕНИЯ ФУНКЦИИ 141
§ 5. Экстремумы.
Наибольшее и наименьшее значения функции
Точка xogX называется точкой локального максимума функ-
ции f (х), х^Х, если существует интервал (х0—б; х0 + б), б > О,
содержащийся в X и такой, что для каждого х из этого интер-
вала имеет место неравенство f (х) (х0).
Точка xQ$X называется точкой локального минимума функ-
ции f (х), х^л, если существует интервал (х0 —б; х0 + б), б > О,
Рис. 2.9
содержащийся в X и такой, что для каждого х из этого интер-
вала имеет место неравенство f (x)^f(x0).
Точки локального максимума и локального минимума назы-
ваются точками локального экстремума данной функции, а зна-
чения функции в этих точках называются экстремальными зна-
чениями функции '(или просто экстремумами).
Если вместо нестрогих неравенств потребовать выполнение
строгих (т. е. неравенства f (х) < f (х0), х # х0, в первом опре-
делении и неравенства f (х) > f (х0), х Ф х0, во втором определе-
нии), то точка х0 называется точкой строгого локального макси-
мума (минимума).
Например, на рис. 2.9, а точки х2 и х4 являются точками
локального Максимума, а точки х± и х3—точками локального
минимума; данная на рис. 2.9, б функция не имеет точек строгого
локального минимума и локального максимума на отрезке [a;
На рис. 2.9, а показан график функции y~f (х), xg[a; &], кото-
рая имеет только точки строгих локальных экстремумов: xi —
точку строгого локального минимума и х2—точку строгого ло-
кального максимума. Отметим, что для функции, заданной на
отрезке [а; Ь], ни точка х = а, ни точка х —Ь не являются локаль-
ными экстремальными точками, так как для каждой из этих
142 ГЛ. 2. ФУНКЦИИ И ИХ СВОЙСТВА
точек нет интервала с центром в этой точке, принадлежащего
отрезку [а; £].
'Достаточный признак локального экстре-
мума:
Если функция х^Х, возрастает (убывает)на неко-
тором промежутке (Хо^о; х0]с:Х и убывает (возрастает) на не-
котором промежутке (х0; х0+б)сХ, то точка х0 является точкой
строгого локального максимума (минимума) функции f (х).
Пример 1. Найти точки локальных максимумов и локаль-
ных минимумов и экстремальные значения функции
|х|
У 1-1-ха •
Решение. Для того чтобы найти точки локальных экстре-
мумов, достаточно найти участки возрастания и убывания функ-
£ 1*1 Я
ции о . Анализ показывает, что:
1 + ха
а) функция f (х) строго возрастает на каждом из промежут-
ков (—оо; —I] и [0; 1];
б) функция f (х) строго убывает на каждом из промежут-
ков 1—1; 0] и (1; + оо).
Таким образом, точки х =—1 и х = 1 являются точками ло-
кального максимума, а точка х = 0—*точкой локального мини-
мума. Соответствующие им экстремальные значения равны 1/2,
1/2 и 0 (рис. 2.10).
Если существует точка х0 из множества М, MgzX, такая,
что при любом х из множества М имеет место неравенство
f(x)>f (Хо) (f (х)<f (х0))>
то говорят, что функция y=f(x) на множестве М принимает
свое наименьшее (наибольшее) значение y=^f(xb) при х = х0.
Заметим, что таких точек может не быть либо может быть
конечное число или бесконечно много.
Так, для функции, график которой показан на рис. 2.11,
существуют две точки, в которых функция достигает наиболь-
шего значения, и одна точка, в которой функция достигает
наименьшего значения. На рис. 2.12 изображен график функ-
ции у—Х/х, которая не принимает ни наибольшего, ни наи-
меньшего значения. Случай, когда точек, в которых функция
достигает наибольшего (наименьшего) значения в бесконечном
числе точек, соответствует рис. 2.13.
Если функция y = f(x) возрастает (убывает) на отрезке
[о; 6], то наименьшее (наибольшее) значение она принимает
в точке х = а наибольшее (наименьшее) значение—в точке
Так, например, наименьшее значение функции g/ = log2x на
отрезке 11/2; 4] равно log2-g-=—1, а наибольшее значение
равно logg 4 = 2.
Если функция y~f (х), xgX, не является ограниченной
сверку на множестве Мехл, то она не принимает наибольшего
§ 5. НАИБОЛЬШЕЕ И НАИМЕНЬШЕЕ ЗНАЧЕНИЯ ФУНКЦИИ 143
Рис» 2.10
Рис, 2.13
144 ГЛ. 2. ФУНКЦИИ И ИХ СВОЙСТВА
значения на множестве Л1; если функция у—f (х), х£Х, не яв-
ляется ограниченной снизу на множестве М^Х, то она не при-
нимает наименьшего значения на множестве М (рис. 2.14).
Заметим, что и ограниченная функция может не принимать
яаибольшего и наименьшего значений (рис. 2.15).
Большое число задач сводится к нахождению_наибольшего
в наименьшего
значений квадратичной функции. Так как выра-
жение ах*-]-Ьх+сг а # 0, можно
представить в виде
(6 \ 2
Х~^2а)
&2
то отсюда следует, что:
а) при а > 0 функция у = ах24-
ЬхА-с имеет наименьшее значение,
равное и оно достигается
b
при *=--22-;
б) при а<0 функция у~ах*-\~Ьх+с имеет наибольшее
& b
значение, равное > и оно достигается при х = —
Пример 2. Найти наибольшее и наименьшее значения
функции
Зя2-|-6х4-7.
Решен не. Имеем Зх24-6х4-7=3(х+1)2+4. Отсюда сле-
дует, что наименьшее значение функции г/=3х24~6х4~7 равно
4, и принимается это значение в точке х =—1. Так как функ-
ция у=3х24-6х4“7 не является ограниченной сверху, то наи-
большего значения она не имеет.
Пример 3. Найти наибольшее и наименьшее значения
функции
у а= 1 4- COS 2х 4“ sin х 4- sin2 х.
§5. НАИБОЛЬШЕЕ И НАИМЕНЬШЕЕ ЗНАЧЕНИЯ ФУНКЦИИ J45
Решение. Так как cos2x = l«*2sin2x, то, выделяя пол-
ный квадрат, получаем
у~ 1 +1 —2 sin2 x-j-sin x + sin2 x = 24-sin x —sin2x=
( • 1 Vi 9
= — jsinx- у \ +y.
Отсюда следует, что наименьшее значение данной функции
равно 0, и оно достигается в тех точках х, гдев1пх==—1. Наи-
большее значение функции равно. 9/4, и оно достигается в тех
точках, где sin х—1/2.
Пример 4. Найти наибольшее и наименьшее значения
функции
^=3sin 5x4-7 cos 5х.
Решение. Имеем f
^=3 sin 5х-|-7 cos 5х= Y324~72 sin 5*4"
cos 5х^ =s /58 (cos a sin 5х + sin а cos 5х)=»
» ж= Y58 sin (5х 4“ а),
3 7
где а = arccos - = arcsin Так как наибольшее значение
/58 /58 ’
sin (5x4-а) равно 1, а наименьшее значение равно —1, то, сле-
довательно, наименьшее значение функции #»=3sin5x4-7cos5x
равно — /58, а наибольшее равно /58. Точек, где принимаются
наибольшее и наименьшее значения, бесконечно много.
П р и м е р 5. Найти наибольшее и наименьшее значения функ-
ции
х2—х4-2 /
У~ Х2+1 ‘
Решение. Для каждого действительного
уравнение
х2—-х4-2
х24-1 ~а'
числа а решим
(1)
а) если а —О, то уравнение (1) решений не имеет, а это озна-
чает, что функция у(х) в нуль не обращается;
б) если а # 0, то уравнение (1) равносильно уравнению
(а —1) х24-х4~(а —2) = 0. (2)
При а—1 получаем, что х= 1, и тем самым г/(1) = 1. При а Ф 1
и а # 0 необходимым и достаточным условием того, что урав-
нение (2) имеет действительные корни, является условие
D = — 4а2 4- 12а—7^0,
3—/1 _3+/2
откуда находим, что уравнение (2) при ~—у—,
а & 1, имеет корни хх и х2, причем у (хх)«у (х2) = а. Следова-
146 ГЛ. 2. ФУНКЦИИ И ИХ СВОЙСТВА
тельно, функция у(х) принимает все значения из отрезка
ГЗ-/ 2 34-j/“21
I --; -----— и только их, и тем самым наименьшее
. .. 3-/2 ,
значение функции у (х) равно --, а наибольшее равно
3+/2
2
Чтобы найти наибольшее (наименьшее) значение непрерыв-
ной на отрезке [а; Ь] функции у=/(х), имеющей конечное число
локальных максимумов (минимумов), [нужно вычислить значе-
ние функции в каждой точке локального максимума (минимума)
и на концах отрезка и из полученных чисел выбрать наиболь-
шее (наименьшее).
Наибольшее значение функции f (х) на отрезке [а; />] при-
нято обозначать через max f (х), а наименьшее — через
хе[а; 6]
min f(x),
Х€[а; 6]
Пример 6. Найти наибольшее и наименьшее значения
функции у=х* 2 *+х на отрезке [—2; 5].
Решение. Имеем
2 » / , 1 V 1
у=х2+х= —4-
Данная функция непрерывна и на отрезке [—2; 5] имеет един-
ственный экстремум (локальный минимум), который достигается
в точке х =—1/2, и он равен —1/4. Кроме того, у(—2) = 2,
£/(5) = 30. Таким образом,
max у (х)~у (5) = 30; min у(х)~у(—1/2) = —1/4.
д;в£~2; 5] х€[-2; 5]
Пример 7. Найти наибольшее значение [площади прямо-
угольника, вписанного в данную окружность диаметра d.
Решение. Обозначим через х одну из сторон прямоуголь-
ника, тогда другая его сторона равна Yd2*-x2. Тем самым
площадь такого прямоугольника равна х Yd2*~x*. Таким обра-
зом, нужно найти наибольшее значение функции # = x]/~d2—х?
на отрезке [0; d], Отметим, что функции г/ = х х2 и // =
= (xprd2—х2)2 на отрезке [0; d] достигают наибольшего значе-
ния в одних и тех же точках. Поэтому достаточно рассмотреть
функцию у = х2 (d2***х2) и найти ту точку, в которой она дости-
гает наибольшего значения. Так как
х* = - (x2—lda)24-ld\
то max (x2(d2—x2))==4-d4, причем это наибольшее значение
хв[0; d) 4
достигается при x=d/K^
§ 5. НАИБОЛЬШЕЕ И НАИМЕНЬШЕЕ ЗНАЧЕНИЯ ФУНКЦИИ 147
Таким образом, наибольшее значение площади прямоуголь-
ника, вписанного в окружность диаметра d, равно
71У d—2~T
Пример 8. Тело брошено под некоторым углом а к гори-
зонту с начальной скоростью и0. Пренебрегая сопротивлением
воздуха, найти наибольшую высоту подъема тела.
Решение. Поместим начало координат в точку, из кото-
рой брошено тело. Из курса физики известно, что движения по
горизонтали и по вертикали можно рассматривать независимо.
Горизонтально тело будет двигаться с постоянной скоростью
cos а, и поэтому абсцисса движущегося тела выражается через
время t линейно: x = /p0cosa. Вертикально тело будет пере-
мещаться с начальной скоростью t>osina и ускорением—g, и
поэтому ордината движущегося тела выражается через время t
oft
квадратично: у= —~—|-у0 t sin а. Выражая у через х, находим,
что
Vo sin2 а
2у~
У
Итак,
tip sin2 а
2g ’
g f Vo sin 2а
2wo cos2 a \ 2
2 , n
Vo sin 2а
при x=-----------тело будет находиться на высоте
которая является наибольшей.
Пусть функция f (х) определена на множестве М и в точке
х0, xogM, принимает наибольшее значение, тогда имеют
место следующие свойства:
Г.^Пусть с—некоторая константа, тогда:
а) если с > 0, то в точке х~х0 функция cf (х) принимает
наибольшее значение на множестве М;
б) если с < 0, то в точке х = х0 функция cf (х) принимает
наименьшее значение на множестве М.
В частности, в точке’х = х0 функция — f (х) принимает наи-
меньшее значение на множестве М,
2°. Функция f(x) + c, где с — константа, в точке х = х0 при-
нимает наибольшее значение на множестве М.
3°. Если f (х) > 0 (или f (х) < 0) на множестве М, то в точке
х = х0 функция 1//(х) принимает наименьшее значение на мно-
жестве М.
4°. Пусть функция g (х) определена на множестве М и
в точке х = х0 принимает наибольшее значение на нем. Тогда
в точке х=х0 функция af (x)+bg(x) принимает наибольшее зна-
чение на множестве М, если а > 0 и b > 0.
s 5°. Если /(х)^0 на множестве М и ngN, а > 1, то каж-
дая из функций
/Tw, 10ge (1 +/ (х))
в точке х = хо принимает наибольшее значение на множестве AL
148
ГЛ. 2. ФУНКЦИИ И ИХ СВОЙСТВА
Аналогичные свойства имеют место для наименьшего зна-
чения функций f(x) на множестве М, й также для ее локаль-
ных экстремумов*
Пример 9. Найти наименьшее значение функции
/(*) =---z —.
К х2+1 + 1
Решение. Воспользуемся свойствами Функция
fi(x)=x2 в точке х«=0 принимает наименьшее значение на R,
равное нулю. По свойству 2° функция /2 (х)=х24-1, а по свой-
ствам 5° и 2° функция (x)=»}4 х2+1 4-1 в точке х«= 0 принимают
наименьшее значение на R. Отсюда и из свойств 3° и 1° заклю-
чаем, что функция (%) в точке х = 0 принимает наи-
/8 (я)
меньшее значение на R, и оно равно f (0) = —1/2. Таким обра-
зом, наименьшее значение функции f (х) равно —1/2.
Коротко решение этой задачи можно записать так:
min х2 =0 min (х2+ 1) — 1 min V х24-1== 1
x€ R x€ R
=^>min (/x2+14-l) = 2r> max - =
xeRvr x«R /x2+1 + 1
/ 1 \ I
=> min f----r .......---)—____!_
*6R\ 2
ЗАДАНИЕ 1
l. Найти точки локального минимуму и максимума функции:
3) y=|*-l |-|х-2|; 4)0=4 1А1 + 1, *^0°’
2. Найти наибольшее и наименьшее значения функции:
1) л/=2+х—х2; 2) у=,-.....L... 3) y=/l + cos2^;
» “ Л ' 1,1J £
4) у- 4—; 5) у~log,(х2+2х+2); 6) 0= ;
у 1 + х2 х* 4-х 4-1
• 7) #= cos 3x4-5 sin Зх+1; 8) y=cos 2x4-3 sin x-f-4;
9) y== j/"x24~x4-14-K*2,*“*+1; 10) y=sin4 * 6x4-cos6x.
3. Привести пример функции, определенной на промежутке
(0; 4~ оо) и принимающей на нем наименьшее значение, но не
принимающей на нем наибольшего значения.
4. Привести пример двух функций, определенных на всей
числовой прямой, каждая из которой не имеет ни наименьшего,
ни наибольшего значения таких, что их сумма есть функция,
имеющая наибольшее й наименьшее значения.
§ 5. НАИБОЛЬШЕЕ И НАИМЕНЬШЕЕ ЗНАЧЕНИЯ ФУНКЦИИ 149
ЗАДАНИЕ 2
1. Найти точки локального минимума и максимума функции:
2) 1*+11;
г *4-2, х > О,
3) # = х2—х4; 4) 0, х «= О,
I 1—«х, х < 0.
2. Найти наибольшее и наименьшее значения функции!
1) # = х2 + х+1; 2) ; 3) y = sin2 x+2sin х—3;
хй 1
4) y=log3x, *ё[1; 3]; 5) у = —log2sinx;
6) у = 3 sin 7x-f-4 sin 7х;, 7) ^ = 2COS*; 8) у==| х-~21 + | 3*-х|;
9) # = 3-|-4 ]/" 1 х2; 10) y = sin4 x+cos4x.
3. Привести пример функции, определенной на всей число-
вой прямой и не имеющей Гни наименьшего, ни наибольшего
значения.
4. Привести пример двух функций, определенных на интер-
вале (0; 1), каждая из которых не имеет ни наименьшего, ни
наибольшего значения, и таких, что их разность есть функция,
имеющая и наибольшее, и наименьшее значения на этом интер-
вале.
ЗАДАНИЕ з
1. Найти наибольшее значение функции:
1) f(x) = /13 + 2 sin 5x4-3 cos 5х; 2) f (х) = 2**-*г~6;
3) f(x) = /T=x+/f+x;
4) f (x) = log2 (cos2 2x 4- 5 cos 2x + 6);
" 4
5) f (x) = arcsin2 x + arccos2 x; 6) / (x) = —- x8—
2. Найти наименьшее значение функции:
1) f (х) —— 4 cos х —5 sin х + ]/"41;
~— 3 COS 7X
2)f(x) = 42 ;
3) f (x) — arcsin x — arccos x;
4) f (x) = 2 cos2 x •— cos x 1;
5) f(x)= cos4x —2sin2 x+5;
6) / (x) = arcsin-x +arctg x + ~.
3. При каких значениях x и у выражение
А = 4х2 + 12ху + 12//2 + 4х — 12у+9
принимает наименьшее значение? Найти его.
4. В окружность радиуса R вписать прямоугольник, пери-
метр которого наибольший.
150 ГЛ, 2. -ФУНКЦИИ И ИХ СВОЙСТВА
ЗАДАНИЕ 4
1. Найти наименьшее значение функции:
1) f (x) = 4cos 2х—7sin2x4-]/"S; 2) f (x) = 2s"I2 arccosx;
3) /(x) = sin x—cos2 x — 1; - 4) f (x) == cos2 x +12 cos x-|-15;
5) f(x) = ctg2 x^H-ctg2 + ; 6) f(x) = xe4-l.
2. Найти наибольшее значение функции:
1) 0 = 7—3 cos 4х—-11 sin 4х; 2) / (x) = 34“cos
3
3) f (x) = sinxcos3x —sin3 x cos x-j-3^;
4) f(x) = sin2x—5sinx-|-6; 5) f(x) = i^£i^;
л OO
Jl3
6) f (x) == arcsin3 x + arccos3 хЧ--^.
о
3. При каких значениях х и у выражение
А = 2х2 4-2ху+#2—2х + 2у+9
принимает наименьшее значение? Найти его.
4. Из всех прямоугольников данного периметра найти тот,
площадь которого наибольшая.
Упражнения
1. Найти точки локального максимума и локального мини-
мума функции:
1)у=2х2+х+1; 2) у=х-х2+2; 3)
4) у = |х| —|х—1 |; 5) г/= |х2—5х-J-61;
6) y = |log2|x||; 7) y=|-i-x2—|х| —з|;
8) у = | х2—-Зх + 2 | + 2 + х2—Зх; 9) у — 2]Г sinx+1;
10) 0=sin х+3 cos х; 11) у= Ksin2 х—sin х;
12) #=2*4-*2; 13) y-2sillA:; 14) у = /1 + sin 2х;
15)у=х*-х2+1; 16) 17)*/=||=т|;
р”~Х% v
18),_<6|х|; 19)»-^; ») <'-(1+>чц„р
21) у=^х~' Ы1+1 I; 22) ц=(х—3)= (*—2>21
23) у=х2-х, х (а; 2]; 24) .
У 1 + cos х
2. Найти наибольшее и наименьшее значения функции;
1) # = х2+2х+3, xg[—2; 4];
2)у=х2+х-{-1. х^[а; 6]; 3) у;
К х*-j-х 1
§ Б. НАИБОЛЬШЕЕ И НАИМЕНЬШЕЕ ЗНАЧЕНИЯ ФУНКЦИИ 151
Х2 +2x4-5,
4) ^-х«+ 1 ’ 5) г'“х2+2х+3’ 6) У~ хг4-1 ’
7) ^=|х+1|-1х+2|;
8) f/=|x+l| + |x|, xg[-1; 0];
9)*=?ТГ- х€(—1; 4-оо);
10) ^=4 sin х4~3 cos х4-1»
Ц) # = 4cos 2х«— sin х 4-б;
12) // = 34-cos.2х —sin2 х, xg[0; 2л];
13) у —24-*4-“> Х€1Н 3]; 14) ^==sin4х —cos4х;
15) 0=tgx4-ctgx, xg(0; л/2);
16) ^=21 + 3C0Sf, xg[3; 10];
17) ^=ax24-x47 1, xg[2; 3];
18) /y = sin x sin 2x; 19) #= cos x cos 2x;
20) z/ —sin6 x —cos6 x; 21) у == 2 4- log2 - — ^0S X;
22) ^=x(x4-l)(x4-2)(x + 3)4-4; 23) #==x/Т—4х2;
олч I 1 OCX a44-x4
24) y=.x + —25)^—L--;
26) y=2 , xg(-8; 0).
У X
3. Найти все пары чисел (х; у), для каждой из которых
справедливо равенство:
1) х24-1=2-^2; 2) 2Х4"2""Х = 2 sin t/;
3) У*—4у2—cosax-f-5=0; 4) (у* 4--^-)2 = f^?—?!
5) tg z/4-ctg г/ = 6х—х2 —7;
о
6) 1g4 х —6 lg2 х4- 10 — — arcsin у;
7) 2<*1-cosy+lg(14-xa + |у |) = 0;
/ 1 \2 . / 1 \2 J
8) ( sin2 х 4—г-2““) + ( cos? х Ч-Г“ ) —12+-q" sin #•
’ \ 1 sin2xy 1 \ 1 cos2x) 1 2
4. Число 100 представить в виде суммы двух положитель-
ных чисел так, чтобы произведение этих чисел было наибольшим.
5. Число 20 представить в виде произведения двух положи-
тельных чисел так, чтобы сумма этих чисел была наименьшей.
6. На ‘плоскости даны три точки 4, В и С, не лежащие на
одной прямой. Найти такую точку 24, сумма квадратов расстоя-
ний которой от точек Д, В, С была бы наименьшей.
7. Найти коэффициенты трехчлена ах24-^4“с> зная, что он
обращается в нуль при х = 8 и что его наименьшее значение
равно —12 при х = 6.
8. Найти коэффициенты трехчлена ах24-^+с» зная,
что при х==—2 он имеет наименьшее значение, равное 7, и при
х = 0 — значение, равное 15.
152 ГЛ. 2. ФУНКЦИИ И ИХ СВОЙСТВА
9. Определить а так, чтобы сумма квадратов корней урав-
нения х2 + (2—а) х**-А«“-3==0 была наименьшей.
10. Определить коэффициенты квадратного трехчлена ах2 +
+ ^х4-с, зная, что его наибольшее значение равно 25 при х= 1/2
и что сумма кубов его корней равна 19.
§ 6. Периодические функции
Функция y~f(x), х^Х, называется периодической на X,
если существует число 7, Т Ф 0, называемое, периодом функции
f (х), такое, что:
а) х + Т и х—Т принадлежат множеству X для каждого х£Х;
б) для каждого xgX имеет место равенство
f(x + T)^f(x).
Так, например, на рис. 2.16 показан график функции с периодом !♦
Пример'1. Для функции f/ = cos2x число 7==—Зл яв-
ляется периодом, так как:
а) для любого действительного х числа Х“*-Зл и х+Зл при-
надлежат области существования функции # = cos2x;
б) справедливо равенство'
cos (2 (х -* Зя)) = cos (2х—6л) = cos 2х, х g R.
Отметим, что при проверке того, является ли функция перио-
дической, все требования, перечисленные в определении, сущест-
венны. Так, например, для функции у = sin х)2, х^О, имеем:
а) х+2л > 0 для любого х^О;
б) для любого х^О справедливо равенство)
sin х+ 2n)a = sin (К х)2.
Однако число 2л не является периодом данной функции, так
как например, число 0—2л не принадлежит области определе-
ния функции y = sin(]/* х)2, х^О. Вообще, для любого числа
Т £ 0 либо 17/2 14-7, либо |7/2] —7 не принадлежит области
определения данной функции, поэтому она не является периоди-
ческой.
$6- ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ JK3
Пример 2, Доказать, что функция
1 2лх
log* cos р=-
является периодической, и найти один из ее периодов.
Решение. Находим область существования функции f (xV
logs COS 0 фф COS —=т 1 ФФ COS -7— =
/13 /13 /13
— 1 ффх = у 13 м, я^г.
Таким образом, область существования функции f (%) есть
множество X — {j/~13 п |n£Z}. _
Если взять, например, Т*=У 13, то при любом ngZ
КТзя+т-КТз^+пех и /Тзм-т=/Тз(п~-1)€Х.
Так как при любом xgX, т. е. при любом ngZ, справед-
ливы равенства
2л(/ТЗп+К13) о / , is 1 п
COS -—---T..I----L = cos 2л (п + 1) = 1« cos 2ля =
/13
2л(/13я)
— cos—4 >2-1'
/Тз
Vlogs М
то f (х+К13) = / (я), £оэтому функция f (х) является периоди-
ческой с периодом У 13.
Пример 3. Доказать, что если график функции y=f(x)i
x£R, симметричен относительно прямой х = а и относительно
прямой х~Ь (а & Ь), то функция y=f(x) является периоди-
ческой.
Решение. Из условия симметрии графика функции у =
= f (х) относительно прямых х — а и х = & при каждом х и каж-
дом t из области определения функции имеем „
f(a-j-x) = f (а —х), .
Положив b—a~d и x — d-^-t, получим
Если t~a—d—z, где г — любое из области определения функ-
ции у — f (х), то
f(z)^f(a-d-t)^f(b-t)^f(b-a + d + z)^
(b~.a + b—a + z) = f (2 {b—a)-\-z) — f (z-f-2d).
Таким образом, при каждом z из области определения функ-
ции /(х) имеем 7 (z) = f (z4-2d); следовательно, f (х) является
периодической с периодом 2(Ь—а).
164 ГЛ. 2. ФУНКЦИИ И ИХ СВОЙСТВА
Пример 4, Доказать, что если функция
f (x) = sinx+cos bx
есть периодическая функция, то рациональное число.
Решение. Областью существования данной функции есть
вся числовая ось. По условию f (х)-~ периодическая функция.
Если Т (где Т 0) —период, то при каждом х и £ справедливо
равенство
sin (х + Т) -J- cos Ь (х + Т) = sin х+cos bx.
Положив в этом равенстве х = 0 и х~—7, соответственно по-
лучим
sin Т -|- cos ЬТ = 1,
—• sin Т cos ЬТ = 1.
Складывая эти равенства, а затем вычитая из первого второе
и сокращая на 2 полученные равенства, получаем
cos 67= 1, т. е. ЬТ ~2типу /ngZ,
sin 7 = 0, т. е. 7 = л&, fcgZ.
Отсюда bnk — 2nrn. Так как Т^О, то £ # 0; следовательно,
b^2m/k, т. е. b — рациональное число.
Пример 5. Доказать, что функция
#=х2, xgR,
не является периодической.
Решен ие. Для любого числа х и любого 7, Т 0, числа
х4~7 и х—7 принадлежат области определения функции ^~хй.
Если некоторое число Т является периодом данной функции,
то для любого числа х должно выполняться равенство (х+Т)*=х*,
и в частности оно должно выполняться и при х = 0. Отсюда
имеем 72 = 0 и, следовательно, 7 = 0, что противоречит пред-
положению о существовании периода, т. е. функция # = х2 не
является периодической,.
Из определения периодической функции y~f(x)> х^Х, сле-
дует, что если 7Х и 72— периоды функции, причем Ti-\-T2 0,
то Tt^T2 также является ее периодом. Действительно, так как
Т^ и 72 —периоды, то для любого xgX имеем, что f(x+7x)
и/ (Х—Л), и поэтому f (х+7\4-Т2) и f (х + 7х —72), f (х—7Х —72)
и f(x —7{ + 72) существуют одновременно с f (х). Кроме того,
Н^ + (Л + 7У)-/((х + 71) + 72) = /(х + 7х) = /(х). По условию
7х + 72 & 0; поэтому Т1 + Г2 является периодом функции y—f (х),
х£Х. Отсюда вытекает справедливость следующих утверждений:
— если Tf и Т2—периоды функции у — f (х), х£Х, и Т1 ф Т
то Tf—72 также, является ее периодом;
— если 7Х —период функции г/ = /(х), х£Х> то при каждом
ngZ\{0} число пТ также является ее периодом;
— если Ti и 72 —периоды функции y = f(x), х£Х, причем
я7х+&72 5^ 0, где k и п — любые целые числа, то nTi-\-kT2
также является ее периодом.
- Наименьший из положительных периодов (если он сущест-
вует) данной функции называется ее главным (основным) периодом.
§6. ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 155
Пример 6. Найти главный период функции
1 х
y^sm у.
Решение. Докажем, что число Г=4л «главный период
данной функции. Действительно, число 7=4л «ее период, так
как областью существования данной функции является вся число-
вая ось и
а х4-4л . / х , n \ s х
sin—-— — sin [ у + 2л 1 — sinу, xgR.
Покажем, что любое число Tj, 0 < < 4л, периодом функции
y = sin-^- не является. Пусть Tj, 0 < 7\ < 4л, таково, что для
любого х имеет место равенство sin 1 = sln-g-. Тогда, в част-
ую *
ности, при х = 0 имеем sin ~^ = sin 0 = 0. Таким образом, для
нахождения возможного значения 7\ получаем систему
I sin ^=0,
I 0 < Ti < 4л,
решая которую находим Т1 = 2л.
Так как
а л+2л . Зл , . , л
sin—=sin-j- =—1 #sin-p
то число 2л не является периодом данной функции. Итак, дока-
зано, что любое число Tf, 0 < 7\ < 4л, периодом данной функ-
ции не является. Следовательно, число 4л—главный период.
Пример 7. Найти главный период функции
# = 3 cos % + cos 2х.
Решение. Областью существования данной функции яв-
ляется вся числовая прямая. Пусть Г—период данной функ-
ции; тогда для любого х имеем равенство
3 cos (х + Г) + cos (2 (х + Л) = 3 cos х + cos 2х.
В частности, при х = 0 отсюда получаем, что возможное зна-
чение периода данной функции удовлетворяет уравнению
3 cos T + cos 2Г=4.
Поскольку cos Т 1 и cos 2Т 1, то 3 cos Т+cos 2Т«с4»
Поэтому число Т удовлетворяет системе уравнений
Г cos Т = 1,
| cos 2Г= 1.
Среди решений этой системы наименьшим положительным реше-
нием является число Т0 = 2л.
156
ГЛ. 2. ФУНКЦИИ И ИХ СВОЙСТВА
Проверим, что Г0==2я действительно является периодом
данной функции. В самом деле, для любого х числа х-|-2л;
и х-—2л принадлежат области существования данной функции и
3 cos (х+2л) + cos (2 (х+2л))=»3 cos x+cos2x, xgR.
Таким образом, число Т0 = 2л является главным периодом дан»
ной функции.
Пример 8. Является ли периодической функция
f (x) = C0S2x + C0S2 (1 +^)~“2 COS 1 COS X COS (1 + %) — i?
A
Решение. Областью существования данной функции есть
вся числовая ось. Для каждого х справедливы равенства:
2 cos 1 cos x»cos (1 +%)-|-cos (1— х),
— 2 cos 1 cos X COS (1 4-х) == — COS2 (1 +x) — COS (1 +x) cos (1 —x),
COS3 (1 +x) —2 COS 1 COS X COS (1 -|-x) == — cos (1 +x) cos (1 —x)«
— cos 2 cos 2x
2 2 *
o 1 2cos2x—'1 cos 2x
cos^~y=---------2----:
поэтому данная функция тождественно равна функции f (х) =
— cos 2
Далее для любого xgR и любого TgR, Т ф 0, числа х-\-Т
и х«-Т также принадлежат области существования данной
функции и
Следовательно, данная функция является периодической с пе-
риодом Т, где Т—любое отличное от нуля число. Так как среди
всех положительных чисел нет наименьшего положительного
числа, то данная периодическая функция не имеет главного
периода
Итак, не всякая периодическая функция имеет главный
период. Кроме функции f(x) = c, xgR, где с—фиксированное
число, примером периодической функции, не имеющей главного
периода, служит также функция Дирихле:
( К если х-рациональное число,
0, если х — иррациональное число.
Действительно, сумма двух любых рациональных чисел есть
рациональное число, а сумма любого рационального и любого
иррационального чисел есть иррациональное число. Поэтому для
каждого иррационального числа ос, например, при х=1 имеем
D(l+a)==0?6 !=£>(!),
§6. ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 157
Следовательно, среди всех иррациональных чисел нет ни одного,
которое было бы периодом функции Дирихле
При любом х и каждом рациональном числе Т справедливо
равенство
D(x + T)=;D(x).
Следовательно, любое рациональное, не равное нулю число
является периодом функции Дирихле. Но среди всех положи-
тельных рациональных чисел нет наименьшего положительного
числа; поэтому функция Дирихле главного периода не имеет.
Однако если функция f (х) непрерывная, периодическая
и отличная от постоянной, то можно показать, что она имеет
главный период.
Свойства периодических функций:
1°. Если точка х0 принадлежит области определения перио-
дической функции f (x) с периодом Г, то ее области определения
принадлежат и все точки х^пТ, где п —любое целое число.
В частности, это означает, что область определения периодиче-
ской функции содержит положительные и отрицительные числа,
сколь угодно большие по абсолютной величине.
Например, функция у — log2 (— х) не является периодической,
так как любое х^О не принадлежит ее области определения.
2°. Периодическая функция не может иметь на своей области
определения конечного числа точек разрыва.
1
Например, функция у — 2х(х+1) не является периодической,
так как она имеет только две точки разрыва: х = 0 и х==—1.
3°. Периодическая функция принимает каждое свое значение
в бесконечном числе точек х, среди которых есть положительные
и отрицательные числа, сколь угодно большие по абсолютной
величине. В частности, периодическая функция не может быть
строго монотонной на всей области определения.
Пример 9. Доказать, что функция
Z(v)_10^-x+l
не является периодической.
Решение. У равнение
1 Ох2 — х + 1_
х2 + х+1 а*
где а —некоторое фиксированное число, принадлежащее области
значений функции f (х), не может иметь более двух корней. По-
этому каждое свое значение а из отрезка
функция f (х) принимает не более чем в двух
точках; следовательно, она не является периодической,
23 — 2 V 103 .
3
23+2 К103
3
158 ГЛ. 2. ФУНКЦИИ И ИХ СВОЙСТВА
4Q. Если / (х)— периодическая функция, определенная на
всей числовой прямой, то уравнение
+ =
где Т рассматривается как неизвестное, а х-^как параметр,
имеет по крайней мере одно положительное решение Т = Г0,
удовлетворяющее этому уравнению при каждом значении х.
В частности, если для функции f (х) существуют такие х — а
и х=4, что уравнения f (а + Г) =7 (а) и f (b+ Т) ~ f (b) не имеют
общего положительного решения Т=Т0, то f(x) не является
периодической функцией.
Пример 10. Доказать, что функция
f (x) = x4-[x]4-arctg х
не является периодической.
Решение. Согласно свойству 4°, достаточно указать такие
х=а и х==&, что система
J f(a+T) = f(a)t
I f(b+T)^b
относительно Т не имеет положительного решения.
Ёозьмем х = 0 и х = —Т. Тогда получим систему
Г Т—[ГЦ-arctg Т = 0,
I _ Г— [— Т] — arctgT=0,
которая не имеет положительного решения. Действительно, скла-
дывая уравнения системы, получаем, что — [Г] — [— Т] = 0, т. е.
ГП + 1—71].==0, которое верно только при Т — п, где n^Z. Тогда
из первого уравнения системы имеем, что arctg/i —0, п g Z; это
верно только при « = 0, т. е. Т = 0. Таким образом, функция
х —[хЦ-arotgx не является периодической.
5°. Если функция f (х) с периодом Т ограничена на некото-
ром отрезке [а; а-|-| 7* |] из области определения, то она ограни-
чена на всей области определения. В частности, если периоди-
ческая функция f (х) непрерывна на всей числовой прямой, то
существует такое число М > 0, что неравенство |/(х)|^Л1 вы-
полняется при каждом х.
Отсюда следует, что непрерывная и не являющаяся ограни-
ченной на всей числовой прямой функция не будет и периоди-
ческой.
Пример И. Доказать, что функция
^/ = Х2 COS X
не является периодической.
Решение. Данная функция непрерывна на всей числовой
прямой.
Если покажем, что функция у — х2 cos х не является ограни-
ченной, то, согласно свойству 5°, она не будет и периодической.
В самом деле, если для любого числа М > 0 взять Xq==
==(2+2[Л4])л, то
§6. ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 159
| Хо cos Xq | = л2 (2 + 2 [Af])2 cos (2л^2 [УИ] л) = л2 (2+2.[Л4])2 > М.
Следовательно, данная функция не является ограниченной, а зна-
чит, не будет и периодической,
6°. Пусть функции fi (х) и /2 (х) определены на всей числовой
прямой и являются периодическими. Если Tj > 0 — период функ-
ции ft (х), а Т2 > 0 —период функции f2(*)> причем Т\ и Т2
таковы, что число является рациональным, то функция
fi W (х) периодическая.
Аналогичные утверждения верны для разности и произве-
дения двух периодических функций, определенных на R.
Пример 12. Доказать, что функция f(x) = cos Злх + sin 2лх
является периодической.
Решение. Заметим, что функции ft (х) = cos Злх и /2 (х) —
— sin2nx определены на всей числовой прямой, являются перио-
дическими и имеют в качестве своих периодов, например, числа,
равные соответственно 7^ = 2/3 и Т2=1. Так как —2/3, то
функция f (х) по свойству 6° является периодической; ее перио-
дом, например, является число Т = 4, так как 7=671 = 47^.
Пример 13. Найти главный период функции
, Зх х
f(x) = sin-j — cos у.
Решение. Область существования данной функции есть
гт v , Зх ' 2л 4л
вся числовая ось. Период функции sinравен 7^i=-57n=”5~»
£> О/ & О
х 2л
а период функции cos пт равен 7,2=-г^-=6л. Так как 12л ==
о 1/о
==97\ = 2Т2, то 12л есть период функции /(х). Докажем, что
12л — главный ее период. Пусть существует период t функции f (х)
такой, что 0</< 12л. Тогда при каждом х справедливо ра-
венство
, 3 . ... x-\-t , Зх х
sin у (х + 0— COS—l~==siny — cos у.
В частности, при х = 0 и х=—t соответственно получим
'3/ t
Sin—----COSy = —1,
, 3t , t л
sin -у-4-cos у = 1.
Вычитая из второго равенства первое и сократив полученное
равенство на 2, имеем cosy==l, т. е. / = 6лА, где k£Z. Из ус-
ловий 0 < 6л£ < 12л и k^Z следует, что k—i. Поэтому, если
существует положительный период функции f(x) меньше 12л,
он равен 6л. Но, например, при х = —5л имеем/(—5л+6л)
9&f(—5л); следовательно, 6л не является периодом f(x). Итак,
12л—главный период функции f (х).
160
ГЛ. 2. ФУНКЦИИ И ИХ СВОЙСТВА
Пусть дана функция у — ?(х), х g (а; Ь), где а < Ь. Если при
некотором положительнохм I каждому х g (а; Ь) поставить в соот-
ветствие g(x)== / I -----1, то функция #=g(x), xg(0; Z),
принимает соответственно все значения функции y — f(x), х
g (а; д). Например, на рис. 2.17, а изображен график функции
х g (—2; 3). а на рис. 2.17, б—график функции у==
*==£(*)> которая принимает все значения функции у=х2 + 1,
#€(—2;3), на интервале (0; 1), т. е. график функции у=(5х—2)а+1,
х € (0; 1).
Пусть дана функция y=f(x), х £ (0; /), где /—фиксирован-
вое положительное число. Эту функцию можно доопределить на
всю числовую ось так, что полученная функция будет периоди-
ческой с главным периодом I и называться продолжением данной
функции на R. Действительно, если каждому х g (n/; 1-%-nl), где
п € Z, поставить в соответствие g(x) — f(x—nl) и каждому х g
g гДе rcgZ, поставить в соответствие g (х) = с, где с — фикси-
рованное число, то функция y=g(x), x.g R, является периоди-
ческой функцией с главным периодом I и периодическим продол-
жением данной функции на R.
Например, на рис. 2.18, а изображен график функции f (х)=»
«=х^4-1, х g (0; 1), а на рис. 2.18, б—график ее периодического
продолжения на R с главным периодом Т=1, т. е. график
функции
J (х—п)й+1, х g (д; д4~1), д g Z,
о, х.gw. ngz.
Пусть дана функция ^ = f(x), х g (0; Z), где фиксирован-
ное положительное число. Эту функцию можно доопределить
на всю числовую ось так, что полученная функция будет нечет-
ной и периодической с главным периодом 2Z и называться ее
нечетным периодическим продолжением на R, Действительно,
§6. ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
161
если каждому х € (°; О поставить в соответствие g(x) = f(x),
каждому xg (—/; 0) поставить в соответствие g(x) =—f(—х)
ft положить g(0) = 0, то функция (/ = g(x), % g (—Z; /), является
нечетной. Затем, если каждому х g (~ l^2ln\ l+2lri)t где ngZ,
X
поставить в соответствие т (x) = g (х—2Zn), а каждому xg{2nZ-pZ},
где п g Z, поставить в соответствие т(х) = 0, то функция у =
= т (х), х g R> является четной и периодической функцией
с главным периодом 2Z и нечетным периодическим продолжением
данной функции на R.
Рис. 2.19
Например, на рис. 2 J9, а изображен график функции f (х) ==
= х?4-1> х g (0; 1}, на рис. 2.19, б—график ее нечетного про-
должения на (— 1; 1), т. е. график функции
fx2+i, х g (0; 1),
g(x) = { О, xg{0},
V—х2—1, хё(— 1; 0),
а на рис. 2.19, вграфик ее нечетного периодического продол-
жения на R с главным периодом Т=2, т. е. график функции
( (х—2л)а4-1, х g (2n; 1 4-2л), п g Z,
т (х) = ! 0, х. g {«}, п g Z,
\ — (x-*n)a—> 1, х g (— 14~ 2м; 2n)t и g Z.
6 Задачи по математика. Начала анализа
162
ГЛ. 2. ФУНКЦИИ И ИХ СВОЙСТВА
Пусть дана функция у — f (х), х g (0‘, 0> гДе —фиксирован-
ное положительное число. Эту функцию можно доопределить
на всю числовую ось так, что полученная функция будет четной
и периодической с главным периодом 21 и она называется е©
четным периодическим продолжением на R. Действительно, если
каждому х g (0; I) поставить в соответствие g(x)—f (х), каждому
х g (— 0) поставить в соответствие g (х) = } (— х) и положить
g(O)~c, где с — некоторое фиксированное число, то функция
y = g (х), х g (— Z; Z), будет четной. Затем, если каждому х g
g (—Z4-2nZ; 1-{-21п), где п g Z, поставить в соответствие т(х) =
= g(x —2Zn), а каждому х g {(Z + 2Zn)}, п g Z, поставить в соот-
ветствие т(х) — А. где А — некоторое фиксированное число, то
функция у— /п(х), xg R, является четной периодической функцией
с главным периодом 2Z и четным периодическим продолжением
данной функции на R.
Например, на рис. 2.20, а изображен график функции f (х) =
= х24-1, х g (0; Г), на рис, 2,20, б—график ее четного продол-
жения на (—1; 1), т, е, график функции
fx*+l, х g (0; 1),
— L x g {0},
xgHhO),
§6. ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 163
а на рис. 2.20, а—график ее четного периодического продолже-
ния на R с главным периодом Т = 2, т. е. график функции
' (х—2n)2 + 1, х (2п; 1 4-2n), п £ Z,
, ч — 1, х б {2n}, п g Z,
w | (х —2п)2+1, х g (—l+2n; 2n), п £ Z,
1, xg{l+2n}, n g Z.
Пусть дана периодическая функция y = f(x), х g R, с глав-
ным периодом I. Если каждому х g R поставить в соответствие
g (х) — f (lx/а), то функция y~g(x), х g R, является периодиче-
ской функцией с главным периодом а.
Например, на рис. 2.21, а изображен график периодической
функции f(x)=3sinx, х £ R, с главным периодом 2л, а на
рис. 2.21, б —график соответствующей ей периодической функ-
ции g (х) = 3 sin , х g R, с главным периодом 4.
ЗАДАНИЕ 1
1. Доказать, что число 2л является периодом функции:
1) y==4^°sS 6ib2x: 2) 4'=«>s*+s«n5*; 3) {/ = cos2x+tgy.
2. Найти главный период функции:
1) # = 3sin2x; 2) #==cos x-|-sin х;
3) z/ — 3 sin x + sin 2х; 4) z/ = sin4x.
3. Сформулировать, что означает следующее утверждение!
число Г, Т Ф 0, не является периодом функции ^ — /(х), х^Х»
4. Доказать, что каждая из следующих функций не является
периодической:
1) у =:'х2 sin2 х; 2) у = х2 — 3) у = cos х2;
.. х~—8
4) z/=cos ]/ х; 5) у=--^.
5. Доказать, что сумма двух периодических функций с оди-
наковыми областями определения и общим периодом Т есть
функция, периодическая с периодом Т.
6. Доказать, что функция f (x) = sin Злх + cos 2лх4-Л£
является периодической, и найти один из ее периодов.
ЗАДАНИЕ 2
1. Доказать, что число л является периодом функции:
м ™ лч sin 2х
1) #=cos70x; 2) —г-т-;
' у J l + sm2x
3) # = tg2x-**|cosx|; 4) #=ctg2x,
2. Найти главный период функции:
1) f/ = cos-i-, 2) ^=cos2x;
3) У~\ sin3x[; 4) #=»2 sin x-f-cos х,
6*
164 ГЛ. 2. ФУНКЦИИ И ИХ СВОЙСТВА
3. Сформулировать, что означает следующее утверждение:
функция y = f(x)9 х g X, не является периодической.
4. Доказать, что каждая из следующих функций не является
периодической:
1) sin 2) у~х cos х; 3) у~ | sin х |—х; 4)
5. Является ли периодической следующая функция:
1) г/ —sin 1К| х |; 2) ^=K|sinx|.
6. Является ли периодической функция h (х) — f (x)-f-g W,
если функции f (х) и g (х) определены на одном и том же мно-
жестве X и f (х) имеет период 2л, a g (х) имеет период л?
7. Доказать, что функция
____________________ "[/'"я ,
у = sin р^ Зх -j- cos —— х tg 7 р^ Зх
является периодической, и найти один из ее периодов.
Упражнения
1. Доказать, что каждая из следующих функций является
периодической:
1) ji=2sin ; 2) tg (2х-|-5-) ;
3) у = log1/2 cos 2х; 4) y=tg (sin х);
б)^=2+^:
7) у=$ ’inx+cosxl. 8) у==у | gin | х 11 j
9) у = 5 sin Зх—7 cos Зх; 10) у— 1 + Кlog2 cos xj
11) </ = 2 cos2 rx+tg xctg x; 12) y = tg x-f-—i-;
1V CUo X
13) у = 1g sin x+ lg cos x; Г4) у = sin 2x sin 3x cos 5x;
15) у = | sin (tg x4-ctg x) I; 16) # = arcsin (sin x);
17) y=arctg (ctg x); 18) у(81п x-J-cos x)24-2;
Z SIH -ZJp
^^arctglijcosx , = arcsin4±tg_x
' 1—4 cos x ’ y 4—tgx
2. Доказать, что число T не является периодом функции
r/ = tg х, если 0 < Т < л.
3. Доказать, что число Т = 2 не является периодом функции
*/=ctgx.
4. Доказать, что каждая из следующих функций является
периодической, и найти ее главный период:
1 х
l)^=ycos2v; 2)// = siny; 3) # —sin^x;
4) у~ | cos x I; 5) ^^tg4mx, tn 0;
§6. ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 165
6) у~3 cos x-f-sin 2х; 7) у —sin ^2x~J—;
8) у = {2х}; 9) y = sin2 (х—1); 10) у= cos J^lx.
5. Доказать, что каждая из следующих функций не является
периодической:
1) у ~xs; 2) у = х4; 3) # = cos(]/ х)2; 4) # = хсоз2х;
5) y==sin|x|; 6) у — tg|x|; 7} у~ sin х2;
я\ «-sin 1 • 9) и- x2+1 • 10) и- Кt°ga | stn х|
8)j/--Sinx, У) ^-х2 + 2х+3’ 10)f/---------
11) y=)/’ 1g sin2x+xtgx; 12) r/ = x + sinx;
13) y~ cos V 2x; 14) у = (sign2 x) cos x.
6. Доказать, что каждая из следующих функций не является
периодической:
1) у~ cos x-f-sln (х К 2); 2) у~ cos х cos У^2х\
3) у — sin x4-sin лх.
7. Доказать, что если функция у (х) = cos х+sin ах периоди-
ческая, то а—рациональное число.
8. Привести пример функции, у которой все рациональные
числа, отличные от нуля, являются ее периодом, а иррациональ-
ные числа периодом не являются.
9. Существует ли функция, для которой каждое иррациональ-
ное число является ее периодом, но не существует рационального
числа, являющегося ее периодом?
10. Привести пример двух периодических функций, опреде-
ленных на всей числовой прямой и имеющих одинаковый пе-
риод Т, произведение которых есть функция с периодом 7\
(0 < Т1 < Т).
11. Доказать, что функция, определенная на всей числовой
прямой, кроме одной точки, не является периодической.
12. Доказать, что если функция не определена для всех
х^а (х<:а), то она не является периодической.
13. Привести пример функций f (х) и^(х), каждая из которых
не является периодической, таких, что функция:
1) Ш+gW; 2)f(x)g(x)
является периодической и имеет главный период.
14. Привести пример периодической функции f (х) и функ-
ции g(x), не являющейся периодической, таких, что функция:
l)/W+g(x);
2) f(x)g(x)
является периодической и имеет главный период.
15. Функция у = /(х) имеет период Т = 1 и на промежутке
(0; 1) задана формулой у = х2-—х. Найти f(2), f j,
25у).
16. Доказать, что если функция y=f(x) определена на всей
числовой прямой и ее график симметричен относительно двух
осей х~-а и х==6 (Ь £ а). то функция является перио-
дической.
166
ГЛ. 2. ФУНКЦИИ И ИХ СВОЙСТВА
17. Доказать, что если функция y—f (х) определена на всей
числовой прямой и ее график симметричен относительно двух
точек А(а\ yQ) и В (£>; yi) (b > а), то функция y=f(x) есть
сумма линейной функции и периодической функции.
18. Доказать, что если функция y—f(x) определена на всей
числовой прямой и ее график симметричен относительно точки
А (а; уп) и прямой х = 6 (Ь /= а), то функция y=f(x) является
периодической.
19. Привести пример четной периодической функции такой,
что ее значения в каждой точке множества X совпадают со зна-
чениями функции y=f(x), х^Х, если:
Х = [0; 1];
( 0, xg [0; 1/2],
2) Ф х = 10; И»
3) # —2—|х—3|, Х = [2,5; 4,5].
20. Продолжить функцию у=(х—2)2—-1, xg(l/2; 2) на всю
числовую прямую так, чтобы полученная функция была:
1) периодической и четной;
2) периодической и нечетной.
§ 7. Выпуклые функции
Функция f (х), непрерывная на промежутке X, называется
выпуклой вверх, если для любых хх и х2 из этого промежутка
и любого числа ag(0; 1) имеет место неравенство
f (а*! + (1 — а) х2) а/ (хх) 4- (1 — а) f (х2)
(соответственно для выпуклой вниз
f (ах, + (1 — а) х2) < а/ (xi) + (1 — а) f (х2)).
Геометрически свойство
выпуклости вверх функции
f (х) на промежутке X озна-
чает, что точки любой ду-
ги АВ графика функции
У=Цх), где Л = (хг, f (х,))
и В==(х2; f (х2)), лежат
не ниже хорды, стягиваю-
щей эту дугу (рис. 2.22)*
В самом деле, левая часть
неравенства есть значение
функции f (х) в точке
х = ахх + (1—а) х2, а правая
часть—значение в этой же
Рис. 422 точке линейной функции,
график которой проходит
через точки Л = (хх; f (xi))
и В = (х2; /(х2)) .
Отметим, что точка ахх + (1 х2 для любого ag(0; 1)
принадлежит интервалу (xi;x2). Верно и обратное: любое число х
такое, что х$ < х < х2, может быть единственным образом пред-
§7. ВЫПУКЛЫЕ ФУНКЦИИ
167
ставлено в виде х —+ —а) х2 (где ag(0; 1)):
х2 —* . Л Х2 — Х\ х2 —х . X—*Xi
*=-—— *х+Х2==/ г *i+~;—т~х*-
X2~~~“Xi \ Х2 Xi J Х2*“--ХХ Х2 *"*“ Х1
Пример 1. Доказать, что функция у—х* 3 выпуклая вниз
на всей числовой прямой.
Решение. Рассмотрим любые числа xt и х2 и число
ag(0; 1). Тогда
У (ахх + (1 — а) х2) = (ахх + (1 — а) х2)2 =
==а2хх + 2а (1 — а) ххх2 + (1 —а)2 х2,
ay (*i) + (1 —а) У (*г) = ах! + (1 —а) xi,
и поскольку
у (ахх + (1 — а) х2)—ay (хх) — (1 — а) у (х2) =
= а2хх + 2а (1 —а) ххх2 + (1 —а)2Х2—ах! —(1 —а) xt =
= xi (а2 — а) + xi ((1 — а)2 — (1 —а)) + 2а (1 —а) ххх2 =
« Xi (а2 — а) + xl (а2 — а) — 2 (а2 —а) ххх2 ==
==(а2 —а) (х! — 2ххх2 + х!) = а (а— 1) (хх—х2)2 < О,
то требуемое утверждение доказано.
Для непрерывной на промежутке функции данное выше
определение выпуклости (при а=1/2) равносильно следующему:
функция f(x), непрерывная на промежутке X, называется
выпуклой вверх (вниз), если для любых точек хх и х2 из этого
промежутка имеет место неравенство
f 4~ *2 f (xi) 4~ f (^2)
(соответственно неравенство
xi+x2 \ f (xt) + f (х2)\
' V 2 2 J‘
Пример 2. Найти участки выпуклости функции у~х\
Решение. Найдем знак разности f ——
/ (х^ f (х2) в .
— v для Даннои функции.
Имеем
/ ХХ*£~Х2 Х1*4~Х2 ЗхХ Зххх2 ЗхХХз *”“ Зхз
J _
3
=— g- (*1+*2) (Xi—х2)2.
Таким образом, если х2>хх^0, то исследуемая разность
отрицательная, и, следовательно, функция у = х3 выпуклая вниз
на промежутке [0; 4-оо); при хх<х2^0 исследуемая разность
168 ГЛ. 2. ФУНКЦИИ И ИХ СВОЙСТВА
положительная, и, следовательно, на промежутке (—со; 0]
функция выпуклая вверх. "
Пример 3. Доказать, что функция у==sin х выпуклая
вверх на Зтрезке [0; я].
Решение. Для доказательства достаточно показать, что
при любых Xf и х2 из промежутка {О; я] имеет место неравенство
, Xf + *2 sinxi + sin х2
sin---я--------------п-----
Имеем
хг + х2 sin Xt + sin х2 sin *i + *2
-г» . Х1 Ч~-^2 — Х2
2Sin^__ cos-^-
-------------------=sm-
cos (Xi — х2)
2
Так как 0<1Х1«Ся и 0«Сх2^л, то 0^—•“^‘ — ^я, и, следова-
. Xi Ч” Х'2 - л г-т 1 Xi Ч~ ^2 л
тельно, sin-i——^0. Поскольку 1—cos ——2^0, то для
любых Xi и х2 из промежутка [0; я] имеет место неравенство
с. Xi + x2 sinxi+sin x2 .
sm 2 2 ’
тем самым нужное утверждение доказано.
Свойства выпуклых функций:
1°. Если функция f(x) выпуклая вверх (вниз), то функ-
ция —f (х) является выпуклой вниз (вверх).
2°. Произведение выпуклой вверх (вниз) функции на поло-
жительную постоянную является выпуклой вверх (вниз) функ-
цией.
3°. Сумма двух выпуклых вверх (вниз) на одном и том же
промежутке функций также является выпуклой вверх (вниз)
функцией.
4°. Пусть функция # = ф(и) выпуклая вниз и возрастающая
и функция ц = /(х) также выпуклая вниз. Тогда сложная функ-
ция y = q(f(x)) будет выпуклой вниз.
В частности, если функция f(x) выпуклая вниз и прини-
мает только положительные значения, то функции
Р (х), а/ <*>, а > 0, а # 1,
являются выпуклыми вниз.
Справедливы также утверждения, содержащиеся в табл. 2.1.
В частности, если функция f (х) выпуклая вверх и прини-
мает только положительные значения, то функции
> ioga f{x), О < а < 1,
являются выпуклыми вниз.
§7, ВЫПУКЛЫЕ ФУНКЦИИ $9
.Таблица 2.1
Ф (и) « = / (X) Ф (f (х))
Выпуклая вниз, убывает Выпуклая вверх, возрастает Выпуклая вверх, убывает Выпуклая вверх Выпуклая вверх Выпуклая вниз Выпуклая вниз Выпуклая вверх Выпуклая вверх
5°. Пусть функции У— f (х) и y = g(x) являются взаимно
обратными функциями (в соответствующих промежутках), тогда:
а) если функция f (х) выпуклая вверх и возрастает, то
функция g(x) выпуклая вниз и возрастает;
б) если функция f (%) выпуклая вверх и убывает, то функ-
ция g (х) выпуклая вверх и убывает;
в) если функция f (х) выпуклая вниз и убывает, то функ-
ция g(x) выпуклая вниз и убывает;
г) если функция / (х) выпуклая вниз и возрастает, то функ-
ция g(x) выпуклая вверх и возрастает.
6°. Выпуклая вниз (вверх) на отрезке [а; д] функция f(x),
отличная от постоянной, не может достигать наибольшего (наи-
меньшего) значения во внутренней точке отрезка [а; 6].
7°. Если каждая из функций fi (х), ..., fn (х) выпуклая
вверх на некотором промежутке и принимает только неотрица-
тельные значения, то функция ft (х)*... *fn(x) также является
выпуклой вверх на этом проме-
жутке.
Отметим, что произведение
двух выпуклых вверх на одном
хи том же промежутке функций
может не быть выпуклой вверх
функцией. Действительно, функ-
ция г/==х2/з при х^О является
выпуклой вверх, однако функция
у = х^/з3 х^О, являющаяся квад-
ратом функции // = х2/з, х^>0,
будет выпуклой вниз (рис 2.23).
Пример 4. Исследовать на
выпуклость функцию
у = ах2-^Ьх+о.
Решение. Ейли а = 0, то данная.функция является ли*
нейной й поэтому является как выпуклой вверх, так и выпуклой
вниз на всей числовой прямой.
Если а £ 0, то, выделяя полный квадрат, получим
/ b V — 4ас
у~а х4-т~- 1 ------------
* \ 1 2а ] 4а
Отсюда замечаем, что данная функция получается из функции
/ . b \2
путем умножения на постоянную величину а и
170
ГЛ. 2. ФУНКЦИИ И ИХ СВОЙСТВА
4cic. b2
последующего прибавления числа—. Так как прибавле-
ний постоянной (свойство 3°) не меняет характера выпуклости, то
(fo \ 2
Х~^2а) ’
/ Ъ V
Функция у = ( х+j является выпуклой вниз на всей
числовой прямой (геометрически это ясно, так как график функ-
ции у== ( х^2а ) получается из графика функции у — х2 при
помощи параллельного переноса вдоль оси абсцисс). Отсюда
(свойство .2°) заключаем, что если а > 0, то функция у =
= , а следовательно, и функция у==ах2~\-Ьх~[-с
выпуклая вниз на всей числовой прямой. Если же а < 0, то
(свойство 1°) заключаем, что функция у~ах2-\~Ьх-[-с является
выпуклой вверх.на всей числовой прямой.
Пример 5. Доказать, что функция у = loga х, а > 1, яв-
ляется выпуклой вверх на промежутке (0; +<ю).
Решение. Пусть Х{ и х2—произвольный точки такие, что
х2 > Xi > 0. Имеем
logfl --у-—1о8о loga xa = l°g«-2y=--
Из неравенства о среднем арифметическом и среднем геометри-
ческом следует, что
Xi-J- x2
2
т. е.
Xj + *2
Следовательно,
loga-^^
2 КХ]х2
и тем самым
log®
xf + x2 logq Xf + logg х2
2
2
Это означает, что функция у = loga x, a > 1, является выпук-
лой вверх на промежутке (0; +<ю).
Отметим, что из доказанного в примере 5 свойства функции
У —loga х, « > 1, и свойства 5° следует, что функция у=а\
а > 1, является выпуклой вниз на всей числовой прямой.
Пример 6. Доказать, что если функция <р (у) является
выпуклой вниз и возрастает на интервале (f (a); ;(&)), а функ-
ция y^f(x) выпуклая вниз на интервале (а; &), то сложная
функция у = ср (f('x)) является выпуклой вниз на интервале (а; 6).
Решение. Так как функция f (х) выпуклая вниз, то для
любых Xi и х2 из интервала (а; Ь) и таких, что xi < х2, имеет
§7. ВЫПУКЛЫЕ ФУНКЦИИ
17L
ФШ
место неравенство
Xj *4“ Х2
2
Так как функция ф («/) возрастает, то
<р (/ (—) <(р (yfM+y ^(*2)) •
Ввиду того что функция ф является выпуклой вниз, то правая -
часть в последнем неравенстве не превосходит величины
У ф (*!» + у Ф (/ W) т- е-
Х1 + *2^ ф(/(Х1))+ф(/(Ж2» .
Это и означает выпуклость вниз функции cp(f(x)).
Пример 7. Доказать» что если функции y=f(x) и x=g(y)
являются взаимно обратными функциями (на соответствующих
промежутках) и функция y~f(x) выпуклая вниз и возрастает,
то функция x=g(y) выпуклая вверх.
Решение. Пусть х± < х2, где Xj и х2 —любые точки из
промежутка, на котором функция ^ = f(x) выпуклая вниз и
возрастает. Так как f (х) и g (у)-—взаимно обратные функции, то
У1=ЦХ1), ys—fiXi), Xi=g(yt), x2=g(y2).
Поскольку функция f (х) выпуклая вниз, то
« [ \__.f (*i)+f (*г)_Z/i+z/г
Г\ 2 2 ~ 2 ’
Так как по свойству обратных функций функция g(y) является
возрастающей, то
Г,(У1+У2\~^„(f (Xi + X2\\ Xi + X2 _g(y!)+g(y2)
g 2 )^8\' \~2 ) J------2 2 ’
что и доказывает выпуклость вверх функции g(y).
Отметим, что доказанное свойство легко проиллюстрировать
на рисунке, используя способ, построения графиков взаимно
обратных функций.
Пример 8. Доказать, что выпуклая вниз на отрезке [а; Ь]
функция у = /(х), отличная от постоянной, не может достигать
своего наибольшего значения ни в одной точке интервала (а\ Ь)<
Решение. Допустим противное, т. е. предположим, что
функция y~ f (х) в некоторой точке xog(a; b) достигает своего
наибольшего значения. Так как функция отлична от постоянной,
то найдутся такие точки х± и х2 из интервала (а; Ь), что хотя бы
в одной из нцх значение функции будет строго меньше, чем
значение в точке х0. Пусть, например, f(xt) < /(х0), f (х2)<С/(х0).
Существует число а, ag(0; 1), такое, что Xo = axi + (i **а)
Умножив обе части неравенства f (xi) < f (х0) на а, а неравенства
f (х2) < f (х0) на и сложив полученные неравенства, по-
лучим
«/ +11 -а) / М < / W =/ 4- (1 —а) х2).
|72 ГЛ. 2. ФУНКЦИИ И ИХ СВОЙСТВА
чт& противоречит тому, что функция f (х) является выпуклой
вниз на [а; Ь].
Значит, на интервале (а; Ь) не существует точки, в которой
функция достигает наибольшего значения.
Отметим, что так как непрерывная функция на отрезке [а;
----- наибольшего значения, то для функции f (х), выпуклой
зна-
кон-
достигает
лости
на отрезке [а; Ь\, наибольшее
одном из
Доказать,
и f2(x) выпук-
что
чение достигается в
цов отрезка [а; Ь].
Пример 9.
если функции fa. (х)
лые вверх на некотором промежутке
и принимают только неотрицательные
значения, то функция уfх (х) f2 (х)
также является выпуклой вверх на
том же промежутке.
Решение. Пусть F (х) =
=fi Wfa (*). По условию для лю-
бых х и у из промежутка выпук-
вверх функций fi (х) и fa (х), х < у, и любого a, ag(0;l),
имеем
F (ах + (1 —а) у) = fa (ах+(1 —а) у) f2 (ах + (1 —а) у)
й" (а/i (х) + (1 — а) f i (г/)) (а/2 (х) -f- (1 — а) f 2 (у)) =
= а2/1 (х) h (х)+а (1 — а) (fi (у) f2 (х) + fi (х) (У)) +
+(1-«)2М</)Му).
Используя неравенство о среднем арифметическом и среднем
геометрическом, имеем
h (У) f» (х) + fl (X) h (У) 2 Vfi(x)f2(x)fi(y)fay1) = 2 /F(x)FG/).
Таким образом,
F (ах-f-(1 ~a)y)^a*F(х) + 2а(I -a) /F(x)F(y) -f-(l-а)*Г (у)=
ЧаК^х) + (1-а)/>(у))2,
т. е.
/F(ax+(l~a)(/) Ssa + (1 -а)
Следовательно, функция У ft (х) /2 (х) является выпуклой вверх.
Пример 10. Биссектрисы внутренних углов А, В и С
треугольника АВС пересекают описанную около этого треуголь-
ника окружность в точках At, В± и С< соответственно. Дока-
зать, что периметр треугольника АВС не превосходит пери-
метру треугольника AiB^Ct.
Решение, По свойству вписанных в окружность углов
(рис, 2,24) имеем
^=4'(Л+е)- ^=4(Л+й)<
§7. ВЫПУКЛЫЕ ФУНКЦИИ 173
Так как из теоремы синусов следует, что длина стороны
треугольника равна произведению удвоенного радиуса описан-
ной около него окружности на синус противолежащего угла,
то для периметра треугольника АВС и периметра треуголь-
ника AiB^Ct имеем соответственно
Р АВС = 2/? (sin А + sin В + sin S);
== 27? (sin Л t + sin Bf + sin Si).
Таким образом, для доказательства утверждения задачи нужно
доказать неравенство
sin Л sin й + sin С «с sin - + sin - + sin .
Поскольку функция y = sinx, х(£(0; л), выпуклая вверх, то
sin Л 4-sin В < 2 sin -At/L ; sin В + sin С< 2 sin I
л Л-4-С
sin Л + sinC< 2 sin—----
Складывая почленно эти неравенства, получаем нужное нера-
венство.
Отметим, что равенство достигается лишь тогда, когда
ЛВС—правильный треугольник.
Приведем полезное в приложениях неравенство Йенсена:
если выпуклая вниз функция f (х) определена на интер-
вале (a; b), a Xf, х2, .хЛ—точки интервала (а; Ь) и ах, а2> •••
..аи—неотрицательные числа такие, чтоа1+а2+ ... +а»= Ь
то справедливо неравенство
f (<ВД+«2^2 + • • + апХп) < aj (Xi) +... + anf (х„).
Отметим, что если среди чисел <Х{, а2, .an по крайней
мере два отличны от нуля, то знак равенства имеет место тогда
и только тогда, когда xi = x2== ... =хп
Для функции, выпуклой вверх, имеет место неравенство
f (ai^i 4~a2X24~ • ♦ • «if (Xi) 4" • • • + anf
Приведем примеры, как из неравенства Йенсена можно
получить некоторые другие неравенства.
Рассмотрим функцию у(х) = хр> х^О, р> 1. Поскольку
функция выпуклая вниз на [0; 4~°°)> то из неравенства Йенсена
получаем
(aixi +а2х2 +... + anXnf < «<х? + а2х? +«.. +-artx&
если ai + a2+... 4~an~ 1 и 04 > 0, ..an > 0.
Так как функция y—lnx выпуклая вверх на множестве
положительных чисел, то, согласно неравенству Йенсена, имеем
c&i In Xj a2 In ха 4“ •»» 4г In (P&iAi *4* * ♦ • 4г
174
ГЛ, 2. ФУНКЦИИ И ИХ СВОЙСТВА
или
x*‘xfl .,.х%п*£ aiXj +...+ апхп,
где Xi > 0, а/ > 0, 1 С i«Сп и ai+a2 + • • • +а» = 1«
В частности, если aj = a2== *.. ~ап — l/п, то получаем не-
равенство, связывающее среднее арифметическое и среднее гео-
метрическое п положительных чи-
сел:
«/“—7 xi+*2+ • • •+хп
У *1^2 4 9 tXn ~.
При п = 2, «1= 1/р,
. 1 । 1 .
Xi=a, x2=b, — + „=1
неравенство Юнга
«2=1/^
получаем
Р 4 Q
Рио. 2.25 Пример 11. Среди всех выпук-
лых n-угольников (л^З), описан-
ных около данной окружности, найти л-угольник с наимень-
шим дериметром.-
Решение. Пусть Д1Д2.. .Дп**выпуклый n-угольник, опи-
санный около окружности радиуса г с центром в точке О. Если
Ва, точки касания его сторон с окружностью
(рис. 2.25), то
дл
А2В/ —А2В2—г ctgAsB3=AgB2 = rctg ...
Тогда периметр л-угольника AiA%itiAn равен
Рп=^ (ctg-^ А^ +ctg yA + ...+ctg-1-Лв) , Л,ё(0;л).
Функция P==ctg~, xg(0;л), выпуклая вниз. Тогда из нера-
венства Йенсена получаем, что
l(«g£+... +elgAl) - * 1 (ф+... +4).
Так как сумма внутренних углов вписанного л-угольника равна
л(л*»2), то отсюда следует, что
. Л । „ Ап л (л** 2)
ctgy-b • • 4- ctg -у Э» п ctg 1,
причем равенство достигается лишь в случае, когда Xf=Z2t=3 •»•
т. е. только в случае правильного n-угольника. Таким
©бравом,наименьшее значение периметра Рпбудет у правильного
^•угольника, и оно равно
§7. ВЫПУКЛЫЕ ФУНКЦИИ
175
ЗАДАНИЕ 1
1. Найти промежутки выпуклости вниз и вверх функции!
1) f(x) = x2; 2) f(x)—x3;
3) f (х)= 1/х; 4) f(x)~\/x*.
2. Доказать, что если функция y=f(x) на отрезке [а;&1
выпуклая вниз, то функция
y = f (x) + ax-}-b, at 6g R,
на этом отрезке также является выпуклой вниз.
3. Доказать, что если а > 0, то функция
^==ах2 + 6х+с, 6, cgR,
выпуклая вниз.
4. Доказать, что функция
у = х3-[-ах2 + Ьх+с, а, 6, cgR,
на промежутке [—а/3; + оо) выпуклая вниз.
5. Доказать, что если а < 0, то функция
^==ах8+6х24~са+^> а, 6, dgR>
/ —6]
на промежутке (—оо; -к— выпуклая вниз.
\ ud J
6. Доказать, что функция
1
У~ 1+Ха
1) на промежутке (—оо; —1/У" 3] и промежутке [ 1/У"3; +оо)
выпуклая вниз; _ _
2) на отрезке [—1/К 3; 1}^ 3] выпуклая вверх.
ЗАДАНИЕ 2
1. Найти промежутки выпуклости 'вниз и вверх функции?
1) = 2) = х;
3) f(x)=l//7; 4) f (х)=1/р/х.
2. Доказать, что если функция y=f(x) на отрезке {а; Ь\
выпуклая вверх, то функция
y~f (x) + <2x-J-6, a, 6gR,
на этом отрезке также является выпуклой вверх.
3. Доказать, что если а < 0, то функция
y~ax2-{-bx-\-c> 6,cgR,
выпуклая вверх.
4. Доказать, что функция
^==х3+ах2 + 6х4-е?, а, 6, cgR,
на промежутке (—оо; —а/3] выпуклая вверх.
5. Доказать, что если а > 0, то функция
y — ax^^bx^cx-^-d, 6, с, JgR,
г \
на промежутке +00 1 выпуклая вверх.
J76 ГЛ. 2. ФУНКЦИИ И ИХ СВОЙСТВА
6. Доказать,. что функция
X
у~т+х*
1) на промежутке (— оо; 3] и отрезке [0; V" 3] выпук-
лая вверх; _ _
2) на отрезке [—К 3; 0] и промежутке [|/" 3;+©о) выпук-
лая вниз.
ЗАДАНИЕ 3
1, Найти промежутки выпуклости функции:
1) 0 = 1 *4-21; 2) 0=^4-х; 3) 0=tg х; 4) у=хъГ'.
2. Доказать, что если функция у=<р(и) является выпуклой
вциз и убывает, а функция и = /(х)-~ выпуклой цверх (на со-
ответствующих промежутках), то функция (р (/(*)) будет выпук-
лой вниз.
3. Среди всех выпуклых н-угольников (п^З), описанных
около данной окружности, найти n-угольник с наименьшей пло-
щадью.
4. Доказать, что если функция f(x) выпуклая вниз на
интервале (а; &), a xt, х2, хп принадлежат интервалу (а\ Ь)
« Pi» Р2> ♦ Рп**положительные числа, то
f ( Pixi+P^+-*+Pnxn \ Pi/OM+.-.+pnf (*я),
\ Pi + p2+**«+p« / Р1+Рг+ •• «+Рл
ЗАДАНИЕ 4
1. Найти промежутки выпуклости функции:,
1) 0=lg|*b 2) у=Л±1;
2. Доказать, что если функция ух=<р(«) является выпук-
лой вверх и убывает, а функция w — f (х)—-выпуклой вниз (на
соответствующих промежутках), то функция q(f(x)) будет вы-
пуклой вверх.
3. Среди всех треугольников с заданным углом А, описан-
ных около заданной окружности, найти тот, который имеет
наименьший периметр,
4. Пусть xt, х2, хп-** положительные числа и k > 1,
Доказать, что
Упражнения
1. Найти промежутки выпуклости функции;
§7. ВЫПУКЛЫЕ ФУНКЦИИ
177
4) #==' 2Т-,-; 5) j/=x+slnx; 6) y=xlnx;
% “Г 1 (
7) z/=xsinx; 8) у = хх\ 9) # = arcsinx2;
10) ^ = arctgx; 11) # = x+ctgx;
12) (x24-l)(x2 + 2); .13) x(x+l)(x+2);
14) У-х^х+Г' 15) S'=l*l + l*-l |-Hx-2|;
16) y~\ xslnx|.
2. Доказать, что если функции f (х) и g(x) являются вы-
пуклыми вверх (вниз) на одном и том же интервале, то функ-
ция а/(x) + (Jg (х), где а^О, р^О, также является выпуклой
вверх (вниз) на этом интервале.
3. Доказать, что если функция y=f (х) является выпуклой
вверх (вниз) на всей числовой прямой и
.. f W г f W л
lim 11П1 '—^ = 0,
Х-*Ч-00 X Х-+ — оо
то функция f(x)sO.
4. Функция f (х) такова, что”для любых Xj и х2
Доказать, что для любых Х£, х2 и х3 справедливо неравенство
f (*+.*±*) < 1 (f (Х1) + f (х2) + f (х8)).
5. Доказать неравенства:
1) х\пх-}-у\пу^(х+у) , х > 0, у > 0;
2) у (хи+г)^ х > °- у > °;
3)е1+£1>^+^) х^у.
6. В треугольник АВС вписана окружность. Отрезки ОА,
ОБ и ОС, где О—-центр окружности, пересекают ее соответст-
венно в точках М, N и Р. Касательные, проведенные в точках
М, N и Р, образуют треугольник АВС. Доказать, что периметр
треугольника АВС не меньше периметра треугольника
7. Доказать, что для любого треугольника АВС, длины
сторон которого равны а, Ь, в и радиусы вписанной и описан-
ной окружностей равны г и R соответственно, имеет место не-
равенство
8. Среди всех треугольников с данным углом А, вписанных
в данную окружность, найти тот, который имеет наибольшую
площадь»
178 ГЛ. 2. ФУНКЦИИ И ИХ СВОЙСТВА
9. В треугольник АВС вписана окружность, а в нее вписан
треугольник Доказать, что периметр треугольника АВС
не меньше удвоенного периметра треугольника
10. Доказать, что если a-f-p + y — n;, то:
1)- sin a+sin P4-sin y=Ccos ~4’"cos”|’+cos7r *>
£ z z
2) ctg-|-(a+P) + ctg-i-(₽ + Y) + ctg -A- (a + y) <
<ctgy4-ctg-|-|-ctg^-;
3) tgy+tg y+te y<ctga+ctg P+Ctg Y-
11. Доказать, что для любого остроугольного треугольника
АВС С'углами А, В и С справедливо неравенство
ctg4-^+ctgl^+ctglc<tg Л + tgB + tgt?.
Z Z Z
ГЛАВА 3
ГРАФИКИ ФУНКЦИЙ
§ 1. Свойства и графики
основных элементарных функций
Графиком функции у=/(х), xgX, называется множество
всех точек координатной плоскости XOY вида (х; f (х)), где
xgX, т. е.
Г/=={(х;у): xgX, y=f(x)}.
Графики двух тождественно равных функций совпадают,
Поэтому при исследовании свойств функции и построении ее
графика можно функцию заменить тождественно равной ей и ис-
следовать последнюю. Так, например, функцию у = х2/х заме-
няют функцией у=х, xgR\{0}; функцию z/ = 2log^—функцией
#=х, xg(0;+oo); функцию z/=sin a resin х—функцией г/=х,
*€[-1; 1] (рис. з.1).
Ри@, ЗЛ
Исследование свойств функции проводится по следующей
схеме:
1) находится область ее существования, если не задана
область определения;
2) находятся нули функции и промежутки, на которых
функция положительна, и на которых она отрицательна; изу-
чается характер поведения функции в граничных точках области
определения, в частности при х —> + оо и х —> *** оо, если область
определения не ограничена;
3) выясняется, является ли функция четной или нечетной;
4) выясняется, является ли функция периодической;
5) выясняется, является ли функция ограниченной;
6) находятся точки экстремума и промежутки возрастания
и убывания функции;
7) находятся промежутки выпуклости функции.
180 гл. 3. ГРАФИКИ ФУНКЦИЙ
При построении графика функции y — f(x)t х£Х, следует
иметь в виду, что под этим понимается эскиз графика функции,,
который бы полно отражал все ее свойства полученные в ре-
зультате проведенного исследования.
В дальнейшем слова «эскиз графика функции у — f (х)» за-
меняются словами «график функции г/ —/(%)».
Свойства основных элементарных функций*
Степенная функция у~ха.
Функция у — х*т (т^ некоторое натуральное число).
1) область существования: (—со, + оо);
* 2) область изменения; [0;+°°);
3) функция обращается в нуль в единственной точке х = 0;
на множествах (—оо;0) и (0;+оо) она принимает положитель-
ные значения;
4) функция четная;
5) функция не является периодической;
6) функция ограничена снизу и не является ограниченной
сверху, причем
lim х2т= lim х2/л = -[-оо;
Л»-СО
, 7) точка х=0 является точкой минимума; в ней функция
принимает свое наименьшее значение #=0;
8) функция не является монотонной на всей области су-
ществования; она убывает на промежутке (—со;0] и возрастает
на промежутке [0; 4~°о);
9) функция выпуклая вниз на области существования*
§ 1. СВОЙСТВА И ГРАФИКИ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ 181
Графики функций у---х2, у~х\ у~х8 изображены на
рис. 3.2.
Функция у = х2т~1 (т —некоторое натуральное число)'.
1) область существования: (—оо; +оо);
2) область изменения: (—оо; -j—оо);
3) функция обращается в нуль в единственной точке х = 0;
на множестве (—оо; 0; она принимает .отрицательные значения,
а на можестве (0; + оо) — положительные значения;
4) функция нечетная;
5) функция не является периодической;
6) функция не является ограниченной ни сверху, ни снизу,
причем
lim —оо, lim х2^"1 —-|-оо;
#->-<» х->+<ю
7) функция не имеет точек экстремума;
8) функция возрастает на всей области существования;
9) функция выпуклая вверх' на промежутке (—оо;0] и вы-
пуклая вниз на промежутке [0;+оо).
Графики функций у — х, у = х\ у = хь изображены на
рис. 3.3.
Функция у-=-х~2т (т — некоторое натуральное число)'.
1) область существования: (—оо; 0)U(0; +00)*,
2) область изменения: (0; +оо);
3) функция в нуль не обращается; на промежутках (—оо;0),
(0; +оо) она принимает положительные значения;
4) функция четная;
5) функция не является периодической;
6) функция ограничена снизу и не является ограниченной
сверху, причем v
lim х~2/7г — lim х~2т = +°о,
х->0 + х->0-
lim x~2/7z = lim x~2z7z = 0,
X~> - 00 X-> + 00
Прямая x = 0 является вертикальной асимптотой, прямая
у —О— горизонтальной асимптотой;
7) функция не имеет точек экстремума;
8) функция не является монотонной на всей области суще-
ствования; она возрастает на промежутке (—оо; 0) и убывает на
промежутке (0; +оо);
9) функция выпуклая вниз на промежутках (—оо;0) и
(0;4-оо).
Графики функций у=1/%2, #=1/х4 изображены на рис. 3.4.
Функция y~x~2m+l (т—-некоторое натуральное число):
1) область существования: (—оо;0)(J(0; +<*>);
2) область изменения: (—оо; 0)U(0; +©о);
3) функция в нуль не обращается; на промежутке (—оо;0)
он® принимает отрицательные значения, а на промежутке
(0; + оо)—положительные значения;
4) функция нечетная;
182
ГЛ. 3. ГРАФИКИ ФУНКЦИЙ
б) функция не является периодической;
6) функция не является ограниченной ни сверху, ни снизу,
причем
lim Hm —оо,
+ х->0-
lim х“?да+1 = 0, lim
х-> + оо л»-оо
Прямая- х=0 является вертикальной асимптотой, прямая
у== 0 —* горизонталь ной асимптотой;
7) функция не имеет точек экстремума;
8) функция не является монотонной на всей области суще-
ствования; она убывает на промежутках (—оо;0) и (0; +°о);
9) функция выпуклая вверх на промежутке (— оо;0) и вы-
пуклая вниз на промежутке (0; +оо).
Графики функций у=1/х, у=1/х?, у=1/хб изображены на
рис, 3.5.
Функция у=ха> х g [0; -f-oo) (а—положительное нецелое число):
1) область определения [0; 4-оо);
2) область изменения: [0; +оо);
3) функция обращается в нуль в единственной точке х==0
и принимает положительное значение на промежутке (0; +со);
4J функция не является ни четной, ни нечетной;
5) функция не является периодической;
6); функция ограничена снизу и не является ограниченной
сверху^ причем
Hm ха==+°°>
А»+<Ю
7) функция принимает наименьшее значение у — 0 при
8) функция возрастает на всей области определения;
§ 1. СВОЙСТВА И ГРАФИКИ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ 183
9) функция на всей области определения при а > 1 выпук-
лая вниз, а при 0 < а < 1 выпуклая вверх.
Графики функций у=х3^2Я\ л: g [0; —|-оо); 17, х£ [0; оо);
у = хе, [0;изображены на рис. 3,6.
Функция у = х~а, xg(0;+oo) (а—положительное нецелое
число):
1) область определения: (0;-|-оо); ,
2) область изменения: (0; -|-оо);
3) функция принимает положительные значения на проме-
жутке (0; -|-оо);
4) функция не является ни четной, ни нечетной;
5) функция не является периодической;
6) функция ограничена снизу и не является ограниченной
сверху, причем
lim х-а = +оо,
х->0 +
lim г« = 0.
х->+ оо
Прямая х = 0 является вертикальной асимптотой, прямая' г/ = 0—
горизонтальной асимптотой;
7) функция не имеет точек экстремума;
8) функция убывает на всей области определения;
9) функция выпуклая вниз на всей области определения.
Графики’функций ==__£, y^^J— изображены
V * Ух* У х
на рис. 3.7.
В ряде случаев функция //=ха, где а=p/q, определяется
на всей числовой прямой. Примерами таких функций могут
служить функции у~У х, у~ УX2.
Функция х:
1) область определения: (—сю;+оо);
2) область изменения; оо;4*°°)»
184
ГЛ. 3. ГРАФИКИ ФУНКЦИЙ
3) функция обращается в нуль в единственной точке я=0$
она принимает положительные значения на промежутке (0; 4-°°)й
отрицательные значения на промежутке (—оо; 0);
4) функция нечетная;
5) функция не является периодической;
6) функция не является ограниченной ни снизу, ни сверху,
причем
х=+оо,
lim
Л»-00
- 7) функция не имеет точек экстремума;
8) функция возрастает на всей области определения;
9) функция выпуклая вниз на промежутке (—оо; 0] и вы-
пуклая вверх на промежутке [0; +оо); график функции ка-
сается в точке х=0 оси Оу.
График функции у~1^ х изображен на рис. 3.8, а, а гра-
фики функций х3, у~}/-на рис. 3.8, б; на рис. 3,9
изображены графики функций у— У~х, у—у/ I/ х.
Функция у~ |х|:
1) область существования: {—оо;
2) область изменения; [0; 4"00)»
§1. СВОЙСТВА И ГРАФИКИ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
3) функция обращается в нуль в единственной точке х~0
и принимает положительные значения на промежутках (—оо; 0)
и (0; Ч-оо);
4) функция четная;
5) функция не является периодической;
6) функция ограничена снизу и не является ограниченной
сверху, причем
lim |х|= lim |х | = + оо;
"* Х->-00
7) точка х==0 является точкой минимума; в ней функция
принимает наименьшее значение # = 0;
8) функция убывает на промежутке (— оо; 0] и возрастает
на промежутке [0; Ч-оо);
9) на промежутке (—оо; 0] функция тождественно равна
функции у ——х, —оо; 0]; на промежутке [0; Ч~°°) функция
•тождественно равна функции у — х,
х£10; Ч-°°)‘
График функции # = |х| изобра-
жен на рис. 3.10.
Показательная функция у~ах>
а > 0, а # 1:
1) область существования: (—оо;
Ч~
2) область изменения: (0; Ч-°°)1
3) на области существования
функция' принимает только поло-
Рис. 3.10
жительные значения;
4) функция не является ни- чет-
ной, ни нечетной;
5) функция не является-периоди-
ческой;
6) функция ограничена снизу и не
является ограниченной
сверху, причем:
а) если а > 1, то
lim ах — Ч- оо,
Х->+ со
lim ax = fy
б) если 0 < а < 1, то
lim а* = 0,
х->+ со
lim ах — 4- оо.
Х->- 00
Прямая # = 0 является горизонтальной асимптотой графика
функции у—ах\
7) функция не имеет точек экстремумов;
8) функция на области определения возрастает, если а> 1,
и убывает, если 0 < а < 1;
9) функция выпуклая вниз на промежутке (—со; Ч- оо).
Графики функций #=1,1*, # = 2*, у^ех изображены на
рис. 3.11, а графики функций # = 0,2*, #=0,7*, # = 0,9**»-на
рис. 3.12.
Логарифмическая функция х, а > О, а 1;
1) область существования: (0; 4"°°)5
2) область изменения; (— оо; Ч"00)»
186
ГЛ. 3. ГРАФИКИ ФУНКЦИЙ
8) функция обращается в нуль в единственной точке х=1;
при а > 1 функция принимает положительные значения на про-
межутке (Г, оо) и отрицательные значения на интервале (0; 1);
при 0 < а < 1 функция принимает положительное значение на
интервале (0; 1) и отрицательные значения на промежутке
4) функция не является ни четной, ни нечетной;
5) функция не является периодической;
6) функция не является ограниченной ни снизу, ни сверЛх,
причем:
а) если а > 1, то'
lim logax =—оо, lim logax=-}-oo;
X->0+ *->+<»
б) если 0 < a < 1, то
lim loga x = + oo, lim loga x = — oo.
x->0+ x->+a>
Прямая x==0 является вертикальной асимптотой графика функ-
ции */ = logflx;
7) функция не имеет точек экстремума;
8) если а > 1, то функция возрастает на всей области су-
ществования; если 0 < а < 1, то функция убывает на всей об-
ласти существования;
9) функция выпуклая вверх на области существования, если
а > 1, и выпуклая вниз, если 0 < а < 1.
Графики функций #==log2x,z/==lnx, z/~lgx изображены
на рис. 3.13, а графики функций y=log0jx, £ = log0,3X, у =
l°g2/8 х—на рис. 3.14.
Функция y—sinx:
1) область существования: (-—со; -f-oo);
2) область изменения: I—I; 1];
3) функция обращается в нуль при х = лп} ngZ; она поло-
жительная на интервалах (2л&; л4-2я&), и отрицательная
на интервалах (л4-2я&; 2л (k-f-1)),
4) функция нечетная;
§ 1. СВОЙСТВА И ГРАФИКИ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ 187
5) функция периодическая, главный период 2л;
6) функция ограничена и снизу, и сверху;
7) точки х = л/2 + 2шп, mgZ,— точки локального максимума^
точки х =— л/24~2лт, mgZ,— точки локального минимума^
функция принимает наименьшее значение у~ — 1 при каждом
х =—'л/2-4-2шп, /ngZ, и наибольшее значение у=1 при каж-
дом х — л/24-2шп, /ngZ;
8) функция не является монотонной на всей области суще-
[зх
~ 1Д g Z, и убывает на каждом отрезке Г у+2л&; -~-+2л& 1,
L J
188
. ГЛ. 3. графики ФУНКЦИЙ
9) функция выпуклая вверх на каждом отрезке [2л/; л-)-2л/],
ZgZ, и выпуклая вниз на. каждом отрезке [л+2л/; 2л-{-2л/],
/§Z.
График функции y = sinx изображен на рис. 3,15.
Функция y=cosx:
1) область существования: (—оо; 4~©о);
2) область изменения: [—1; 1];
3) функция обращается в нуль при х=~+лп, ngZ; она
&
положительная на интервалах —-~-[-2л1; 2л/, /gZ, и
(Л 1 ГЧ /_ Зл> I р. у \ f г—
—-|-2л£; —|-2л&) , &gZ;
4) функция четная;
(я функция периодическая, главный период 2л;
6) функция ограничена и снизу, и сверху;
7) точки х=г2лА, &gZ,— точки локального максимума; точки
Х=л + 2л/г, k^2t—точки локального минимума; функция при-
нимает наименьшее значение — 1 при каждом х = л + 2л&,
fcgZ, и наибольшее значение у—1 при каждом х==2лЛ, fcgZ;
8) функция не является монотонной на всей области суще-
ствования, но возрастает на каждом отрезке [2л&—-л; 2л£],
£^Z, и убывает на каждом отрезке [2л&; 2л&+л], &gZ;
9) функция выпуклая вверх на каждом отрезке —~4“2л/;
L
-5-+2я/1, /(£Z, и выпуклая вниз на каждом отрезке I ~|~2л/;
Л J | А
iql.
График функции # = cos.k изображен на рис. 3.16.
Функция # = tgx:
1) область существования: xgR, кроме &gZ;
2) область изменения: (—оо; 4-оо);
3) функция обращается в нуль при я=л&, fcgZ; она поло-
жительная на ^интервалах ( sik; j , kQL; и отрицатель-
fcgZ;
ная на интервалах I ля—
4) функция нечетная;
б) функция периодическая, главный период я;
6) функция не является ограниченной ни сверху, ни снизу;
7) функция не имеет точек экстремума;
8) функция не является монотонной на всей области сущест-
л .
2 ’
вования, но возрастает на каждом из интервалов
§ 1. СВОЙСТВА И ГРАФИКИ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ |£9
9) функция выпуклая вниз на промежутках л&; —+
6gZ, и выпуклая вверх*на промежутках (jik— -2-; jt&j, k^Z,
График функции у — tgx изображен на рис. 3.17.
Функция i/ = ctgx:
1) область существования: xgR, кроме x = nk, Z?gZ;
2) область изменения: (—оо; 4-оо);
3) функция обращается в нуль при 6gZ; она
положительная на интервалах ^л&; и отрица-
тельная на интервалах f1-л&; л + л^р &gZ;
4)
5)
6)
7)
8)
нечетная;
периодическая, главный период л;
не является ограниченной ни сверху, ни снизу;
не имеет точек экстремума;
не является монотонной на всей области суще-
функция
функция
функция
функция
функция
ствования, но убывает на каждом из интервалов (л&; л-клб),
k£Z.
9) функция выпуклая вниз на промежутках ( л£; 4г+I,
^gZ, и выпуклая вверх на промежутках л + л£^ tk£Z,
График функции # = ctgx изображен на рис. 3.18.
Функция # = arcsinx: .
1) область существования: [—1; 1];
2) область изменения: [—л/2; л/2];
3) функция обращается в нуль в единственной точке х = 0;
она положительная на промежутке (0; 1] и отрицательная на
промежутке [-—1; 0);
4) функция нечетная;
5) функция не является периодической;
6) функция является ограниченной;
7) функция принимает наименьшее значение у = — л/2 при
х — — \ и наибольшее значение у—л/2 при %— 1;
8) функция возрастает на всей области существования;
9) функция выпуклая вверх на отрезке [—1; 0) и выпуклая
вниз на отрезке [0; 1].
График функции # = arcsinx изображен на ]эис. 3.19.
Функция у — arccos х:
1) область существования: [—1; 1];
2) область изменения: (0; л];
3) функция обращается в нуль в единственной точке х=1;
она положительная на промежутке I—1; 1);
4) функция не является ни четной, ни нечетной;
5) функция не является периодической;
6) функция ограничена и снизу, и сверху;
7) функция принимает наименьшее значение г/ = 0 при х= 1
и наибольшее значение у~п при х = — 1;
8) функция убывает на всей области существования;
190
ГЛ. 3. ГРАФИКИ ФУНКЦИЙ
Ри@. 3.17
§ 1. СВОЙСТВА И ГРАФИКИ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ [91
ГЛ. 3. ГРАФИКИ ФУНКЦИЙ
9) функция выпуклая вверх на отрезке [0; 1] и выпуклая
вниз на отрезке [—1; 0].
График функции y=arccosx изображен на рис. 3.20.
Функция г/ —arctgx:
1) область существования: (—оо; + оо);
2) область изменения: (—л/2; л/2);
3) функция обращается в нуль в единственной точке х = 0;
она положительная на промежутке (0; +оо) и отрицательная
на промежутке (— оо; 0);
нечетная;
не является периодической;
ограничена и снизу, и сверху;
не имеет точек экстремума;
возрастает на всей области существования;
выпуклая вверх на промежутке [0; +00) и
4)
5)
6)
7)
8)
9)
функция
функция
функция
функция
функция
функция
выпуклая вниз на промежутке (—оо; 0].*
График функции #==arctgx изображен на рис. 3.21.
Функция y=arcctgx:
1) область существования: (—оо; +оо);
2) область изменения: (0; л);
3) функция положительная на области существования;
4) функция не является ни четной, ни нечетной;
51 функция не является периодической;
6) функция ограничена и снизу, и сверху;
7) функция не имеет точек экстремума;
8) функция убывает на всей области существования;
9) функция выпуклая вверх на промежутке (-— оо; 0] и
выпуклая вниз на промежутке [0; + °°)«
График функции y==arcctgx изображен на рис, 3,22.
Результаты исследования свойств основных элементарных
функций приведены в табл. 3.2—3.4; в этих таблицах и всюду
в дальнейшем используются обозначения, приведенные в табл. 3.1.
Сделаем несколько замечаний относительно поведения гра-
фика функции в зависимости от ее свойств.
1. Если область определения (существования) функции
состоит из нескольких промежутков, то ее график расположен
в вертикальных полосах или полуплоскостях, каждая точка
которых имеет абсциссу, принадлежащую области определения
(существования) функции. Так, например, для функции
1
Кх(*—1)(х--3)
областью существования которой является множество (0; 1)(J
U(3; +°о), ее график расположен только в тех областях, кото-
рые на рис. 3.23 не заштрихованы.
2, а) Нулями функции являются точки оси ОХ, в которых
график функции пересекает эту ось или касается ее.
б) «График функции у — f (х) расположен выше (ниже) оси ОХ
при всех тех х, для каждого из которых f (х) > 0 (f (х) < 0).
в) Прямая х=а называется вертикальной асимптотой гра-
фика функции y=f(x), если имеет место хотя бы одно из сле-
дующих соотношений:
lim |f(#}| = + оо, lim |/(х)|^=4-оо.
х-*а-
Задачи по математике. Начала анализа
Таблица 3.1
Табличные обозначения Пояснение табличных обозначений
R Множество всех точек числовой оси х
(о; + оо) ([а; + оо)) Множество всех точек числовой оси х, лежащих правее а (включая ее)
(—оо; а) ((— оо; а)) Множество всех точек числовой оси х, лежащих левее а (включая ее)
(а; Ь) ([а; 6]) Множество всех точек числовой оси х, лежащих между а и b (включая их)
(а; Ь) Множество всех точек числовой оси х, лежащих между а и Ь, включая а
(а; 6] Множество всех точек числовой оси х, лежащих между а и Ь, включая b
<ео Функция f(x) в точке х — Ь равна нулю; в точках х=а и х=с она не опреде-
лена, при этом она бесконечно большая при х—> с; в точке x—d значение
а £ с Аж ее равно f(d)
0 л Ж- а jfr ~ С dL 2? у Функция f(x) на множестве (&; с) (J (d; -f- оо) отрицательна, на множестве
(a; b) U (е; d} положительна, на множестве (— со; а) □ {b*t с} не определена
чет, нечет, — Соответственно функция четная, нечетная, не является ни четной, ни нечетной
Г, — Соответственно Т—главный период периодической функции, функция не яв- ляется периодической
огр, огр. снизу, огр. Соответственно функция ограничена, ограничена снизу, ограничена сверху,
сверху, неогр. не является ограниченной
min /(х), max f(x) Соответственно наименьшее, наибольшее значения f(x) на указанном множе-
la; bl R стве
« I. СВОЙСТВА И ГРАФИКИ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ (93
Продолжение табл. 3.1
Табличные обозначения Пояснение табличных обозначений
X со Функция f(x) убывает на (— оо; Ь) от lim f (х) до — оо, обращаясь в нуль
d £ СС при х==а; возрастает на 0; d) от — оо до f(d), обращаясь в нуль при х^сг убывает на (d; е) от /(d) до lim f (х); на множестве [е; + 00) U {Ь} она не определена х+е*
1 Точка х=а—точка строгого локального минимума, точка х==д—точка стро-
а b min тал S того локального максимума
/е f Функция /(%) на множестве (— оо; b} (J [о; d) (J (d; /] выпуклая вверх, на мно- жестве (£; с] (J [f; + оо) выпуклая вниз
у=а ± (х - -> — оо) Кривая проводится влево так, чтобы она приближалась к прямой у=а свер- ху, если y = a-f-> и снизу, если у~а—
У=Ь ± (х - -*4-00) Кривая проводится вправо так, чтобы она приближалась к прямой у^Ь свер- ху, если и снизу, если у~Ь— с
х=с± [у — * 4-00) Кривая проводится так, чтобы она, приближаясь к прямой х=с слева, если х~с—, и справа, если х = «уходила» вверх
, X=d±(y- -♦ —00) Кривая проводится так, чтобы она, приближаясь к прямой x=d слева, если x — d—, и справа; если x=d+, «уходила» вниз
ГЛ. 3. ГРАФИКИ ФУНКЦИЙ
Свойства &-х (рис. 3.3) (рис. 3.5)
Область суще- ствования R R\{0}
Нули, интерва- лы знакопо- в» .
стоянства -* Q Д? *———3 ~ 0 Л
Четность, не- четность нечет. нечет.
Периодичность *•—’
Ограничен- ность неогр. неогр.
Наибольшее и наименьшее значения —
Таблица 3.2
Функции
у~Х2т (рис. 3.2) y,=x™+1 (рис. 3.3) (рис. 3.9) 2П+1^Г (рис. 3.3/
R R [0; +«) R
4- + • t 4 _
& & — 0 х 0 я
чет. нечет. — нечет.
— — •—
огр. снизу неогр. огр. снизу неогр.
min x2w ~ 0 R — min 2к/Г = 0 {0} +«) —’
§ I. СВОЙСТВА И ГРАФИКИ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ 195
Свойства У-х х=1/х
(рис. 3.3) (рис. 3.5)
Монотонность
и точки экст-
ремумов
Выпуклость
Асимптоты
х = 0 +
(У — +оо)
х = 0 —
(£-“► — <»)
У^ +
(х +<ю)
У~Ь-
(У —* — оо)
Продолжение табл. 3.2
Функции
д-х%т (рис. 3.2) ^^an+i (рис. 3.3) , - 2n/““ 7 = у X (рис. 3.9) 2/2 + 1/~* 7= у X (рис. 3.8)
лип О
' я
— — — —
ГЛ. 3. ГРАФИКИ ФУНКЦИЙ
Свойства
У-ах, а > 1 (см. рис. 3.11)
Область существования Нули, интервал^ знакопостоян- ства Четность, нечетность Периодичность R '---г
Ограниченность Наибольшее и наименьшее зна- чения огр. снизу
Монотонность и точки экстрему- мов
Выпуклость «2?
Асимптоты У = 0 + (*—*—оо)
Таблица 3.3
Функции
(/=1о£а X, а > 1 (см. рис. 3.12) г/=ах» 0 <а< 1 (см. рис. 3.12) ,v=log X, 0 <а < 1 (см. рис. 3.14)
(0; +<эо) R (0; -f- оо)
_А т*, ?
ft 1 •а & i
— —
— — —
неогр. огр. снизу неогр.
—• —
«е> У а, , tf >
0 ^/1 Ж TZ7 0 1'\Л7
0 7л з; &
x—Q + [y—>-—оо) &=0 + (х —> 4-со) *=о-Ь(0—*+<»)
§ 1 СВОЙСТВА И ГРАФИКИ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ 197
Свойства #=sin х (см. рис. 3.15)
Область существования R » + а. •>-
Нули, интервалы знаконостоянства 0 & "2%*
Четность, нечетность Периодичность Ограниченность Наибольшее и наименьшее значения нечет. Т—2п ОРр. min sin х= — 1 R max sin я=1 R
_ /\ ' 2Л
Монотонность и точки экстремумов так min
Выпуклость
Асимптоты —
Таблица 3.4
<©
00
Функции
arcsin х
(см. рис. 3.19)
peCOS X
(см. рис. 3.16)
y=arccos х
(см. рис. 3.20)
[-1; 13
-л „*г >.
-1-0 1
(-1; Ц
•I 1 л?
нечет.
огр.
min arcsin х= — л/2
f-И П
max arcsin х=П/2
t-h И
чет.
Г=2л
огр.
min cos х= — 1
R
max cos х=1
R
огр.
min arccos х=0
[-I; И
max arccos я=л
е-1; ц
гл. 3. ГРАФИКИ ФУНКЦИЙ
4 0 1 л?
Свойства
(см. рис. 3.17)
Область существования
оо оо —4— — 0 Л
Нули, интервалы знакопостоянства
"Т Т
Четность, нечетность нечет.
Периодичность Г=л
Ограниченность неогр.
Наибольшее и наименьшее значения —
Монотонность и точки экстремумов оо зуоо 4 S 4 >
„х” Л 'к
2.
1 оо /ео
Выпуклость
Асимптота Л) , t f-9 х = —+лй, fegZ
Продолжение табл. 3.4
Функции
v=arctg х
(см. рис. 3 2Ь
.y=ctg х
(см. рис. 3.18)
£=arcctg х
(см. рис. 3.22)
R \ {лиг | zneZ)
ой со
О -Л X
2
нечет.
Г=л
неогр
х=лти, meZ
R
+
огр. 32
0
7=0 + (х —> + со)
L у-л— (X > - — СЮ)
§ 1. СВОЙСТВА И ГРАФИКИ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ |$9
200
ГЛ. 3. ГРАФИКИ ФУНКЦИЙ
Прямая у~Ь называется горизонтальной асимптотой гра-
фика функции если имеет место хотя бы одно из сле-
дующих соотношений:
lim /(х) = ^ lim f (x)=b.
х->ч-а>
Так, например, прямая х~0 является вертикальной асимп-
тотой, а прямая, # = 0—горизонтальной асимптотой для графика
функции у~ 1/х (рис. 3.24).
Прямая y = kx+bt k / 0, называется наклонной асимптотой
графика функции y=f (х), если имеет место хотя бы одно из
следующих соотношений:
lim (/ (x)-^kx^b)=^09 lim (f (x)—kx-~b) = 0.
x-*+o& x->-oo
Для нахождения наклонной асимптоты y~kx-}-b при
х —> + ©о (х —> — оо) графика функции y~f (х) последовательно
применяют следующие формулы:
/г — lim b~ lim (/(x)—kx).
л»-Too % x->4-a>
(x->-00)
График функции имеет наклонную асимптоту, если оба эти
предела существуют и конечны. Наиболее характерные примеры
поведения графика функции при приближении к асимптоте при-
ведены на рис. 3.25.
3. График четной функции симметричен относительно оси OF,
а график нечетной функции — относительно начала координат О.
График четной функции строится так: сначала строится
график этой функции для всех х^О, затем в области х«С0
строится график, который является симметрическим отображе-
нием относительно оси ОУ построенной части графика для х^О.
График нечетной функции строится так: сначала строится
график этой функции для х^О; затем в области х«с0 строится
график, который является симметрическим отображением отно-
сительно начала координат построенной части графика для х^0>
§ 1. СВОЙСТВА И ГРАФИКИ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНК1ЩЙ 201
Рио. 3.26
202
М. В. ГРАФИКИ ФУНКЦИЙ
На рис. 3.26 изображены графики четных функций, а на
рис. 3.27 —графики нечетных функций.
4. График периодической функции y — f(x), xgX, с перио-
дом Т > О обычно сначала строится на множестве X П [0, Г],
а затем периодически продолжается на каждое множество вида
[kT, (fe+l)7W. *£Z\{0}.
Примеры графиков периодических функций показаны на
рис. 3.28.
5. График ограниченной снизу (сверху) функции располо-
жен выше (ниже) горизонтальной прямой у^С, где С—неко-
торая постоянная. Так как ограниченная функция является
ограниченной снизу и сверху, то график ограниченной функ-
ции расположен внутри некоторой горизонтальной полосы
(рис. 3.29).
6. Свойство возрастания (убывания) означает, что с увели-
чением х увеличивается (уменьшается) также и значение функ-
ции f (х); напротив, с уменьшением х уменьшается (увеличи-
вается) и значение функции (рис. 3.30, где у — f (x)t xg[a, £])•
Как правило, в некоторой окрестности точки строгого ло-
кального максимума (минимума) график функции слева от этой
точки возрастает (убывает), а справа убывает (возрастает)
(рис. 3.31); пример графика функции, для которой в окрест-
ности точки х~0 это свойство не имеет места, показан на
рис. 3.32.
Наибольшее (наименьшее) значение на отрезке [а; Ь] функ-
ция может принимать как во внутренней точке отрезка, так и
в его граничных точках (рис. 3.33). Примеры графиков функ-
ций, которые не имеют наибольшего (наименьшего) значения на
отрезке [а; приведены на рис. 3.34.
7. График функции y~f(x), заданной на отрезке [а; Ь] и
выпуклой вверх (вниз) на этом отрезке, расположен выше (ниже)
прямой, проходящей через точки (a; f (а)) и (Ь; f (6)) (рис. 3.35).
Пример 1. Провести исследование функции у —х2 и по-
строить ее график. (Этот график называется параболой.)
Решение. 1, Область существования функции у — х2 со-
стоит из всех действительных чисел.
2. Уравнение х2 = 0 имеет единственный корень х = 0 (крат-
ности 2). Так как х2 > 0 при х # 0, то график функции у = х2,
кроме вершины параболы —точки (0; 0), расположен в верхней
полуплоскости. При х—> 4~00 и х—> — оо функция у~х2 стре-
мится к 4-оо.
3. Функция у — х2 является четной, так как ее область
существования симметрична относительно начала координат, и
при любом х выполнено условие у(—х) = (—- х)2 = х2 = у (х).
4. Функция у = х2 не является периодической, так как из
равенства (х4-Г)'2 = х2 следует равенство Т (2х-|-7,)~0, которое
должно выполняться при любом х. Таким образом, Т = 0, что
противоречит определению периода.
5. Данная функция ограничена снизу, так как х2^0 при
любом х, но не является ограниченной сверху, так как х2 ->4- 00
при Х--> —WHX-> + ‘°°’
6. Так как функция у~х2 является четной, то достаточно
исследовать ее на монотонность только при х^О. Пусть любые
§ 1. СВОЙСТВА И ГРАФИКИ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ 203
Рис. 3.29
Рис, 3.33
Рив, 3,35
206
ГЛ. 3. ГРАФИКИ ФУНКЦИЙ
*14-Х2\ . УМ+уЫ
2 Г 2
Xi и такие, что 0<Xj < х2. Тогда
«/(Xa)“-’1!/(xi) = X2—x? = (xa + «i) (х2— х2) > 0,
так как (x2 + xj) > 0 и (х2—х,) > 0.
Таким образом, функция у = х2 является возрастающей на
множестве х^О. Тогда в силу четности на множестве х^О она
является убывающей.
Точка х = 0 является точкой строго локального минимума,
так как х2 > 0 при х Ф 0, значение у (0) = 0—наименьшее
значение функции на ее области существования.
7. Функция у=х2 является выпуклой вниз на области
существования. Действительно, неравенство
У
для данной функции имеет вид
Ml-На V . Хх+ха
\ 2 J 2
Это неравенство равносильно каждому из неравенств
Л14-2х1Х2+х2 < 2x14-2x2,
Xi**— 2ххх24~^2 > 0,
(XI—х2)2 > 0.
Последнее неравенство имеет место, если xi и х2—любые дей-
ствительные числа их!# *2, в частности, при Xf < х2.
Результаты исследования функции у=х2 приведены в табл. 3.5<
На основе приведенного выше исследования свойств функ-
ции у = х2 строим график этой функции
(рис. 3.36).
Пример 2. Провести исследова-
ние функции у=х4;~ и построить ее
график.
Решение. 1. Областью существо-
вания функции является множество
всех действительных чисел, отличных
от нуля.
2. Так как
1х24-1
1Э у (х) > О
ункция не
при х>0
имеет.
х—0 явлш
и у(х)<0 при х<0. Нулей данная
гея вертикальной асимптотой, так как
lim fx4--l^ =+ 00» Um = —оо.
iWO-j- \ л / ^-*0- \ X /
Свойства
у—х2 (см. рис. 3.36) 1 у—х+ — (см. рис. 3.37, а)
Область существования R R\{0}
Нули, интервалы зна- 4* , 4*^
непостоянства ~ «ж?
Четность, нечетность чет. нечет.
Периодичность — —
Ограниченность огр. снизу неогр.
Наибольшее и пнпл:2 = 0
наименьшее значения R
- > к I г*
Монотонность и точки 0 1 'х
экстремумов О «д; ^'п
рэ\ /
Выпуклость
Асимптоты —' х = 0, у—х
Таблица 3,5
Функции
1 У=Х~*~- X (см. рис. 3.37, б) у=Х&—Х (см. рис. 3.38, а) r/=X8 + X (см. рис. 3.38, б)
R\{0} R R
; <зз р 4-1е±г ‘
х ~1 0~1 Д7 ш ~ G я:
нечет. нечет. нечет.
—> •
неогр. неогр. неогр.
—- —
о
- / > \
/
шал ямп
/ са у* J 1
уЧ 0 [ 5“
х = 0, у=х —
§ 1. СВОЙСТВА И ГРАФИКИ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ 207
208 ГЛ. 3. ГРАФИКИ ФУНКЦИЙ
Проверим существование наклонной асимптоты у графика дан-
ной функции. Так как
- (у (х) \ .. /. , 1 \ 1
/e = Iim £X-t)=:lim (14-—5-)=й1,
6= Hm fe(x)-*x) = lim ( — )=0,
то прямая y«x является наклонной асимптотой графика функ-
ции y==#4“~ при х—*+оо. Аналогично доказывается, что
прямая у~х является наклонной асимптотой графика этой
функции при х—► — оо (это вытекает также из нечетности
функции).
Поскольку //(х)—х=%4~“““х=,~ > то график функции
*/=х-|--~- на промежутке (0; -}-оо) лежит выше асимптоты у^х,
а на промежутке (— оо; 0) —ниже асимптоты у~х.
3, Так как область существования данной функции есть
множество, симметричное относительно начала координат, и для
любого х из области существования функции имеем
у (_ х) = — х 4--^- m — ( х+ Д-) — у (X),
то функция у = х+~ является нечетной.
’ 4. Данная функция не является периодической, так как
любое значение Т # 0 принадлежит области определения функ-
ции, а, например, число Т—Т не принадлежит ей.
5. Если х > 0, то
^(x)=x + -I=(/"x)2—2 У"х-i=+(т4=У +2 =
х ух \у х/
Л-4=) +2^,2,
V XJ
и поэтому на промежутке (0; 4~оо) функция ограничена снизу*
Отсюда, учитывая нечетность функции, следует, что на проме-
жутке (—оо; 0) функция ограничена сверху: х4--~-«С**2 при
ж<0. В то же время lim f (х)~—оо, lim f (х)= 4~оо. По-
X - оо х~> + оо
Этому на всей области существования функция не является
Ограниченной ни снизу, ни сверху.
6. Для любых положительных чисел xi и х2 имеем
. . /ч / < J \ I I 1 \ v Ха—-xi
» W — и1*1) = ( *2 4-— ) — ( *1 + -- )=(*»—*<)-ГГ”—
\ *2 / k Xi у XjXg
=фа—*1)
5 I. СВОЙСТВА И ГРАФИКИ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ 209
Если 0 < xi < «с 1 то х2 — > 0 и 1------------< 0. Поэтому
XjX2
и следовательно, на промежутке (0; 1J функция
убывает.
Если 1 < х2> то х2 —xi > 0 и I-----> 0. Поэтому на
ХХХ2
промежутке [Г, -f-oo) функция возрастает.
Так как у (х) — нечетная функция, то отсюда следует, что
на промежутке (— оо; — 1] она возрастает, а на промежутке
[—1; 0) убывает.
Точка х == 1 является точкой строгого локального минимума,
а точка х = —1*—точкой строгого локального максимума, при-
чем
7. Для исследования свойства выпуклости графика функ-
ции заметим, что
/Х14-х2\ У(*1)+у W _*t+*2 , 2 а~*~х2
у\ 2 ) 2 — 2 -r’xi + xa 2
хх . х2 . 2 _ xi __ х2 __ Xi4"X2 2 ___ хх + х2 _
4 ‘ 2 ‘ Xf+^2 2 2 2xix2 "~Xi + x2 2xix2
__ 4xix2^(xj4-x2)2 _ __ (Xf~*x2)a
~~ 2ххх2 (xi + x2) 2ххх2 (Xf 4- х2) *
Отсюда следует, что если положительные числа xj и х2 таковы,
что Xf < х2, то
(Xj-^x2)a 0
2ххх2 (xf + x2)
и, следовательно, на промежутке (0; +оо) функция у=х4-у
Рис. 3.37
210 ГЛ. 3. ГРАФИКИ ФУНКЦИЙ
выпуклая вниз. Так как данная функция нечетная, то на про-
межутке (— оо; 0) она выпуклая вверх.
Результаты исследования функции У~х-\—i- приведены
в табл. 3.5, а ее график изображен на рис. 3.37, а.
Аналогично проводится исследование свойств функции
У — х——. Результаты этого исследования приведены в табл. 3.5,
а график функции у=х —~ изображен на рис. 3.37,6.
Пример 3. Провести исследование функции у==х3—х и
построить ее график.
Решение, 1. Областью существования функции является
множество всех действительных чисел.
2. Так как у (х) = х (х-~ 1) (x-J-1), то:
а) У(х) > 0 при -1 < х < 0 и х > 1;
б) у (х) < 0 прйч х < •— I и 0 < х < I;
в) 1)=у(1) = 0.
Горизонтальных и вертикальных асимптот график функции
г/ = х3-—х не имеет. Кроме того,
Um ±21= lira (Х2_ i) = + оо,
X -*• оо X сю
и, следовательно, график функции у — х3—х не имеет наклон-
ной асимптоты.
3. Так как область существования есть множество, симмет-
ричное относительно начала координат, и для любого х имеет
место равенство
у (~ х) = (— Х)3 —(— X) =—• Х34-Х“—- (х3—-х) =—- у (х),
то функция у — х*—х является нечетной.
4. Функция не является периодической, так как она, напри-
мер, равна нулю только в трех точках 'см. гл. 2, §6).
5. Функция не является ограниченной ни снизу, ни сверху
на области существования, так как
lim у(х) = lim (х3—х) = lim х3 ( 1—^==-|-оо,
X ~>"+оо х ->• +оо X -> +”о \ X у
lim у (х) = lim (х3—х) — — оо.
X - оо х - оо
6. Для нахождения промежутков возрастания и убывания
функции в силу ее нечетности достаточно рассматривать ее на
промежутке [0; +оо).
Докажем, что на промежутке [l/J^ 3; + оо) функция у —
s=x3—х возрастает, а на промежутке [0; 3] убывает. Дей-
ствительно, если Xi > х2, то на промежутке возрастания функ-
ции должно быть выполнено неравенство
Х1 — X! > Х2 — х2,
т. е.
(Х1—х2) (xl + xtx2+xl— 1) > О,
§1. СВОЙСТВА И ГРАФИКИ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ 211
которое эквивалентно неравенству
%24~Х1Х2 и > о» (1)
Если Xi > х2^ !// 3, то из неравенства о среднем арифмети-
ческом и среднем геометрическом для трех чисел получим, что
xi + x-fXz + Х2 > 3 х/г > Зххх2 > 1.
Таким образом, неравенство (1)_ выполняется для любых Xi и
х2 та^их, что Xi > х2^ 1/К 3; тем самым на множестве
[1/”/ 3; + оо) функция у = х3-**х возрастает.
Если Xi и х2 такие, что 0^х2 < «С 1//3, то
9 » г» / 1 \2 1 * 1 , / 1 V ,
Xi+XlXz+Xl < [ --р— ) Н----—г ..7Д- ) =3 1,
1 2 К /V Кз КЗ \КЗ/
и тем самым
(xi—х2) (х2+ял+ **-*-1) < 0.
Отсюда следует, что для любых значений xt и х2 таких, что
0«^х2 < 1/КЗ, имеет место неравенство xf—Xf < xl«-x2.
Таким образом, функция ^ = х2**х убывает на отрезке [0; 1/К"з].
Так как на отрезке [0; 1/К 3] функция у^х3-~х убывает,
а на промежутке [1/К 3; 4~°°) возрастает, то точка
является точкой строгого локального минимума, при этом
#(1/К"3)===--2 КЗ/9. Так как функция у — х^-^х нечетная, то
отсюда заключаем, что на промежутке (—оо; —1/К 3] функция
возрастает, а на промежутке [—1//"”3; о] убывает, и точка
х = —-1/КЗ является точкой строгого локального максимума,
причем у(—\/У 3) = 2/ 3/9.
Итак, данная функция возрастает на промежутках
Г—оо; —1/К 3] и [1//”3; 4“°°) и убывает на промежутке
L—1/1< 3; 1/К 3].
Точками строгого локального максимума и минимума соот-
ветственно являются точки я=—1//3 и х—ИУ 3.
7. Докажем, что данная функция выпуклая вниз на проме-
жутке [0; 4^о°). Для этого достаточно доказать, что неравенство
(х? — Xt) + (х® — х2) (Х1+х2 \» Xj-j-Xj 2
--------2---------> \ 2 ) 2
имеет место для любых хг и х2 таких, что xi > х2^э0. Неравен-
ство (2) равносильно каждому из неравенств
(Xi 4~^а) (xi~"Xi^24“^2 1) Л14~*2 / /'Х14-*2V
2 2 ~J Г
9 1 9 / Х1 4- Х2 \ 2
X2— ХЛ4-*2 > ( ----,
4x1 — 4XiX2 4~ ^xl > х* 4- 2xiX2 4- ,
Зх^~— 6х5х24-Зх| > О,
(xi—х2)2 > 0.
212 гл. 3. ГРАФИКИ ФУНКЦИЙ
Последнее неравенство верно, тай как xj>X2^0. Поскольку
функция у = х3—х является нечетной, то на промежутке (—оо; 0)
она выпуклая вверх.
Результаты исследования функции у^х9^х приведены
в табл, 3.5, а эскиз ее графика изображен на рис. 3.38, а.
Аналогично проводится исследование свойств функции
у—х^-^-х. Результаты этого исследования приведены в табл. 3.5,
а эскиз графика функции #=х3+х изображен на рис. 3.38,6.
ЗАДАНИЕ 1
1. Провести исследование функции и построить ее график:
1) у^1/х2; 2) ^=(1 — х2)/х2.
2. Установить соответствие между графиками, приведен-
ными на рис. 3.39, и следующими функциями:
1) #=sin2x + cos2 х—2; 2) sin arcsin х; 3) г/— 1/(1—- х);
4) ^=2log2 5) # = х3/х2; 6) у~ arcsin sin х.
ЗАДАНИЕ 2
1, Провести исследование функции и построить ее график:
W J/==X2_5>. + 6 ; 2) У = ^~Х2.
2. Установить соответствие между графиками, приведенными
на рис. 3.40, и следующими функциями:
2) // = cos arccos х; 3) = >
4)z/~ | | x | —11 — 1; 5 # — arccos cos x; 6) #=2x+l—
§1. СВОЙСТВА И ГРАФИКИ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ 213
Рис. 3,40
214
ГЛ. Э. ГРАФИКИ ФУНКЦИЙ
ЗАДАНИЕ 3
!• Провести исследование функции и построить ее график:
l)j/~Iog28x; 2) ‘
2. Привести пример функции, областью существования ко-
торой является:
1) отрезок [0; 2J; 2) интервал (0; 2);
3) промежуток [0; 2); 4) множество (0; 1)U*(2; 3);
5) множество {—2} U (0; 1]; 6) множество {—2}U(0; 1);
7) множество {—2}U{—1} U+00);
8) множество (—оо; 0)(J(0; +оо).
3. Привести пример функции, одновременно обладающей
следующими свойствами:
а) область существования есть множество (1; 2) (J(2; 4-00),
б) прямая х = 2 есть вертикальная асимптота графика
функции,
в) прямая у=Л есть горизонтальная асимптота графика
функции.
ЗАДАНИЕ 4
1. Провести исследование функции и построить ее график:
1) i/ = 21“2-v; 2) # = sin x-f-cos х.
2. Привести пример функции, областью существования ко-
торой является:
1) отрезок [0; 3]; 2) интервал (0; 3);
3) промежуток [0; 3); 4) множество (0; 2)U(2; 3);
5) множество {0}(J[l; 5); 6) множество {—5}U[0; 2];
7) множество {—2} (J {0} U [ 1; +оо);
8) множество (—оо; —+оо);
9) множество (2} U {3} U {4} (J {5}.
3. Привести пример функции, одновременно обладающей
следующими свойствами:
а) область существования есть множество (0; 1)U(1*> +,00);
б) прямая х=1 является вертикальной асимптотой для'гра-
фика функции;
в) функция принимает положительные, значения на множе-
стве (1; «4» оо) и отрицательные значения на множестве (0; 1).
ЗАДАНИЕ 5;
1. Привести исследование функции и построить ее график:
1) = х; 2) у=-~~.
2. Привести пример функции, одновременно обладающей
следующими свойствами:
1) а) область существования есть множество (—оо; 0)(J
U(0;+oo).
б) функция является четной,
в) прямая # —О является горизонтальной асимптотой гра-
фика функции;
2) а) область существования есть множество (1; 2),
б) прямая х=2 является вертикальной асимптотой гра-
фика функции;
§ 1. СВОЙСТВА И ГРАФИКИ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ 215
3) а) область существования есть множество (0; 4-оо),
б) функция является ограниченной,
в) прямая f/ = 0 является горизонтальной асимптотой для
графика функции.
ЗАДАНИЕ fi
1. Провести исследование функции, и построить ее график:
l)jz = x2-h-; 2)
' X х(х4-1)
2. Привести пример функции, одновременно обладающей
следующими свойствами:
1) а) область существования есть множество (0; + оо),
б) функция принимает положительные значения на множе-
стве (5; + оо) и отрицательные значения на множестве (0; 5],
в) прямая у~2 является горизонтальной асимптотой для
графика функции;
2) а) область существования есть множество {—2}U(0; 1),
б) функция является ограниченной;
3) а) область существования есть множество (—4; —3)U
U(—2; 0)U(0; 4) U(5; 6),
б) прямые х=—3, х ——2, х = 5 являются вертикальными
асимптотами для графика функции,
в) функция в точке х—0 имеет предел, равный 1.
Упражнения
1. Провести исследование функции и построить ее график:
1) = -2х; 2)^=1 + ах\ 3) у~2х-\-а\
4) у — | 2х—1 |; 5) у — а\ х\ — 2\ 6) у | ах +1 ];
7) , = х2 —4; 8) ,= 1—|-х2; 9) (/=х2Ч-2х;
10) у = х — х2; 11) ,=х2 —2x-f-l; 12) t/ = x2—Зх-|-2;
13) # = х2 + «+3; 14) у—2 — log2x; 15) , = log24x;
16) ,= log1/2 2х; 17) jr=3i-*; 18) z, = (д 19)}
20) 2I) 22)
23) У--~ъ—j...-j a- ; 24)^=sin2x; 25) #=cos2x;
x “ — ox -f-
26) ^ = sin ^x-|-~^ J 27) ^ = cos ^x—; 28) #=ax24-2f
29) # —ax2 —2; 30) z/ = ax2-}-* + 1; 31) # = ax2 + |x|;
32) ,= £<?; 33)z/=K2x; 34) У=-Л= ; 35) ,=x4+x2;
V x
36) ^ = x4 —4x2; 37) у'=х + х3] 38' #=x3 —x;
QO\ *2+l x2— 1 1
39)f/=—1 40), = —; 41), = — ;
42) y = —4— ; 43) , = -r2—; 44) y = ~—;
cosx logsx я 10gi/3X
216
ГЛ. 3. ГРАФИКИ ФУНКЦИЙ
45) xi'Lxi : 46> y*=xi/'x> 47) Р^хУ *'>
48) у=х+ У7 *' 49) «/=«-— у/' х; 50) у-х^у/ х\
51)у=/>+1; 52) y=Frx2—1; 53)х=К1 — х*;
54) У^т^х*’ 55) ^Т^х2; 56) ^=sln2x;
57) r/ = cos2 х; 58) £/ = 21 *1; 59) £/ = 2~1*1; 60) у — ] log2 х |;
61) У=1-^1^; 62)z/=Ktog^; 63) j/=jc2—21х|+г,
64) £/=|х2—4|—%2 + 4; 65) £/= j/x2—x; 66) £/= Кх2+ х;
67) £^=sin х—cos х; 68) у = 2 sin х+ cos х;
69) у = cos2 х + sin 2х; 70) у = sin2 х—cos 2х;
71) £/ = 3log»*; 72) // = 310^*2; 73) £/ = | х |,ogl * Р;
74) £/= /З^х2 /х*—16; 75) £/ = /4--4х--х2;
76) у= К^-/х2~2х+1; 77) j/ = ctgxctg (у+*) + х2;
78) у~ Ух*(х-\); 79) у= 1/ ; 80) у = log1/2(х2-х).
F 1 "j* X
2. Привести пример функции, областью существования кото-
рой является:
1) промежуток [—2; -f-oo);
2) промежуток (—2; -f- оо);
3) отрезок [1; 4];
4) промежуток [1; 4);
5) промежуток (1; 4J;
6) интервал (1; 4);
7) множество (— оо; 2)(J(2; +<ю);
8) множество (2; Ч-оо);
9) множество [2; +00);
10) множество (—со; 1];
11) множество (— оо; — 1);
12) множество (0; 1)U(1; 2);
13) множество [0; 1)U (1; 2];
14) множество [0; 1)U(1; 2);
15) множество {3}U{5}‘,
16) множество {2};
17) множество {— 1}U[O; +°о)>
18) множество{—1}U(0; +°°)>
19) множество {—2}(J(0; 1);
20) множество {—3} U [2; 3];
21) множество {—1) U{2};
22) множество (—1; 1)(J[2; 3];
23) множество всех натуральных чисел;
24) множество всех целых чисел;
25) множество четных чисел;
26) множество промежутков 2k < х < 2&+ 1,
27) множество промежутков 2k^x^2k-^\, k^Z\
28) множество (—2; 2) (J(3; 4) (J (5; 6];
29) множество (— оо; —2)(J[2; 3)U(3; +*>);
30) множество [0; 1J U {2} U [3; 4] U {5} U [6; 7J.
§ 1. СВОЙСТВА И ГРАФИКИ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ 217
3. Привести пример функции, обладающей одновременно
следующими свойствами:
1) а) область существования есть вся прямая,
б) функция принимает положительные значения на проме-
жутке (—3; —2) и отрицательные значения на промежутках
(— оо; —3) и (—2; -J-oo);
2) а) область существования есть вся прямая,
б) функция принимает положительные значения на интер-
валах (—3; —2) и (0; 1) и отрицательные значения на про-
межутках (— оо; —3), (2; 0) и (1; + оо);
3) а) область существования есть отрезок [—3; —2],
б) функция ограничена;
4) а) область существования есть промежуток [—3; —2),
б) функция является ограниченной;
5) а) область существования есть отрезок [—3; —2],
б) функция не является ограниченной;
6) а) область существования есть промежуток (—3; —2],
б) функция не является ограниченной;
7) а) область существования есть интервал (—3; —2),
б) прямые х = ——3 и х ——2 являются вертикальными асимп-
тотами для графика функции;
8) а) область существования есть промежуток (0; 1),
б) функция ограничена, причем ее предел справа при х,
стремящемся к 1, равен 2;
9) а) область существования есть промежуток (0; 1),
б) функция ограничена, причем ее предел справа при х.
стремящемся к 1, равен 2, а предел слева при х, стремящемся
к 0, равен 1.
4. Привести пример функции, обладающей одновременно
следующими свойствами:
В а) область существования функции есть вся прямая,
б) график функции имеет наклонную асимптоту # = 2—Зх;
2) а) область существования функции есть вся прямая,
б) график функции имеет при х>4~оо наклонную асимп-
тоту г/===х, а при х —> — оо наклонную асимптоту у ——х\
3) а) область существования функции есть вся прямая,
б) график функции имеет при х-—>-|-оо наклонную асимп-
тоту 0 = х+1, а при х —> — оо наклонную асимптоту у'——х+3;
4) а) область существования функции есть вся прямая,
б) график функции имеет наклонную асимптоту б/=х,
в) функция является нечетной;
5) а) область существования функции есть вся прямая, кроме
точки х = 1,
б) график функции имеет горизонтальную асимптоту г/ = 3,
в) график функции имеет вертикальную асимптоту х=1;
6) а) область существования функции есть вся прямая, кроме
точек х = 1 и х = ~-1,
б) график функции имеет вертикальные асимптоты х=1
и х==—-1,
в) функция является четной;
7) а) область существования функции есть вся прямая, кроме
точек х = 1 и х =—1,
б) график функции имеет вертикальные асимптоты х=1
их=-1;
в) функция является нечетной;
ГЛ. 3. ГРАФИКИ ФУНКЦИЙ
Рис. 3.41 (I)
8) а) область существования функции есть вся прямая, кроме
точек х~ 1 и х=—1,
б) график функции имеет вертикальные асимптоты х=1
и X — —1,
в) график функции имеет горизонтальную асимптоту у = 2;
У) а) область существования функции есть вся прямая, кроме
точек х=1 и х=—1,
б) график функции не имеет асимптот.
§ 1. СВОЙСТВА И ГРАФИКИ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ 215
Рис. 3.41 (II)
220
ГЛ. 3. ГРАФИКИ ФУНКЦИЙ
5# Привести пример функции, одновременно обладающей
следующими свойствами:
1) а) область существования есть множество [0; 2) (J (2; +оо),
б) прямая х=2есть вертикальная асимптота графика функции,
в) прямая у = 3 есть горизонтальная асимптота графика
функции;
2) а) область существования есть промежуток (0; 1),
б) область значений есть промежуток (—оо; +©о},
в) прямые х = 0 и х=1 являются вертикальными асимпто-
тами графика функции;
3) а) область существования есть промежуток (—оо; 4~оо),
б) функция является четной,
в) прямая является горизонтальной асимптотой гра-
фика функции;
4) а) область существования есть промежуток (—оо; +оо),
б) функция является нечетной,
в) прямые //=1 и у = —-1 являются горизонтальными асимп-
тотами графика функции.
6. Установить соответствие между графиками, приведенными
на рис. 3.41 (I) (с. 218), и следующими функциями:
1) # —tgxctgx; , 2) y = tgxcosx; 3) z/ = Kcos*x;
4) # = cosx; 5) х/= [sinx] + 1; 6) # = sinx;
7) Z/=log2|x|logU|2; = 9)
olll Л A
10)y = Signx+sign(x-l). U) y^si&ax. 12)y=(xa)iogx«Sj
7. Установить соответствие между графиками, приведенными
на рис. 3.41 (II) (с. 219), и следующими функциями:
1) # = х(х— 1) (х —2); 2) у=Ух (х— 1) (х—2);
3) у = |/х(х-1)(х-2); 4) ;
6)У=Ка>(х-0; 7) y = log2x(x-l);
8) # = arctgх(х—• 1); 9) y = arcctg —;
х
П) 12) у = arccos (cosx).
§ 2, Простейшие методы построения
Графиков функций
График функции вида
y^Af(ax+b) + B
может быть получен из графика функции y = f(x) при помощи
следующих геометрических преобразований:
1. а) Осевой симметрии относительно оси ОХ;
б) осевой симметрии относительно оси OY;
§2. МЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ ГРАФИКОВ ФУНКЦИЙ 221
в) центральной симметрии относительно начала координат —
точки О.
2. а) Параллельного переноса (сдвига) вдоль оси ОХ\ .
б) параллельного переноса (сдвига) вдоль оси 0Y.
3. а) Растяжения (или сжатия) по направлению оси ОХ\
б; растяжения (или сжатия) по направлению оси ОУ,
Отметим, что:
1. а) При осевой симметрии относительно оси ОХ точка (х; у)
переходит в точку (х; —£/);
б) при осевой симметрии относительно оси 0Y точка (х; у)
переходит в точку (— х; уУ
в) при центральной симметрии относительно начала коорди-
нат точка (х, у) переходит в точку (—х; •—{/).
2. а) При параллельном переносе вдоль оси ОХ точка (х; у)
переходит в точку (х$~а; у), где «—некоторое число, при этом
перенос происходит «вправо», если а > 0, и «влево», если а < 0;
б) при параллельном переносе вдоль оси OY точка (х; у)
переходит в точку (х; у~УЬ), где 6 — некоторое число, при этом
перенос происходит «вверх», если b > 0, и «вниз», если Ь < 0.
3. а) Пои растяжении (сжатии) в р раз (р > 0, р 1)
вдоль оси ОХ относительно оси OY точка (х; у) переходит в
точку (рх; у)\
б) при растяжении (сжатии) в q раз (<? > 0, ? 1) вдоль
оси OY относительно оси ОХ точка (х; у) переходит в точку
(х; ЯУУ
Применительно к графикам функций эти свойства дают те
конкретные геометрические преобразования (табл. 3.6), использо-
вание которых позволяет из известного графика функции у =
== / (х) строить графики других функций (риск 3.42—3.51).
В дальнейшем построение графика функции // = g (х) по гра-
фику функции y = f(x) с использованием преобразований, пере-
численных в таблице (а также некоторых других), будем обо-
значать следующим образом:
f(x)~+g(x).
П р и м е р " 1. График функции р=2х—-3 получается из гра-
фика у=2х при помощи параллельного переноса его вдоль
оси Оу вниз на отрезок длины 3.
(( 3 \
’ 8амечаем» что гРаФик
3 \
х—можно получить из графика функции
у~2х при помощи параллельного переноса его вдоль оси ОХ
вправо на отрезок длины 3/2 (рис. 3.52).
•" Пример 2. График функции р = 4х2 получается из графика
функции у — х2 растяжением последнего в 4 раза вдоль оси OY
относительно оси ОХ,
Переписав 4х2 в виде (2х)2, замечаем, что график функции
р = х2 можно получить из графика функции р = х2 сжатие^
последнего в 2 раза вдоль оси ОХ относительно оси OY (рис. 3.53),
Пример 3. График функции у = 2х~3 получается из гра-
фика функции у— 2х при помщци параллельного переноса его
вдоль оси ОХ вправо на отрезок длины 3.
ГЛ. 3, ГРАФИКИ ФУНКЦИЙ
Таблица 3.6
Функция Преобразование графика функции #a=/(jc)
y=f(x) + A Параллельный перенос его вдоль ОУ на А еди« ниц вверх, если 4>0(рис» 4.42), и на ]4| еди- ниц вниз, если Л<0 (рис. ЗЛЗ)
y = f(x~-a) Параллельный перенос его вдоль оси ОХ на а единиц вправо, если а>0 (рис. 3.44), на —а единиц влево, если а<0 (рис. 3.45)
U^kSU), *>0 , Растяжение его вдоль оси ОУ относительно оси ОХ в k раз, если k>\ (рис, 3.46), и сжатие в 1Д. раз, если 0<Л<1 (рис. 3.47)
у=/(И. *>о Сжатие его вдоль оси ОХ относительно оси ОУ в k раз, если &>1 (рис. 3.48), и растяжение в 1/л раз, если 0<&<1 (рис. 3.49)
Симметричное отражение его относите,тгьно оси ОХ (рис. 3.50)
F-I/W1 Его часть, расположенная ниже оси ОХ, симмет- рично отражается относительно этой оси, остальная его часть остается бе^ изменения (рис. 3.51, а)
Симметричное отражение его относительно оси ОУ (рис. 3.51, в)
9”“t (1 х[) Его часть, расположенная в области л^О, остается без изменения, а его часть для обла- сти ж:0 заменяется симметричным отображе- нием относительно оси ОУ части графика для (рис. 3.51, б)
Переписав 2Jff~3 в виде "2*, замечаем, что график функ-
©
।
ции // = -£• *2* можно получить из графика функции у—2х сжа-
тием последнего в 3 раз вдоль оси OY относительно оси ОХ
(рис. 3.54).
Рассмотренные выше геометрические преобразования графи-
ков функций могут комбинироваться между собой. Так, при
построении графиков функций вида
y=Af(ax + b) + B
"'достаточно сначала построить график функции // — Af [ах) 4- В,
Действительно, так как
Цах+ty — f [а
. то график функции yt=Af{ax^b)^B получается из графика
§2. МЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ ГРАФИКОВ ФУНКЦИЙ 223
Рио. 3.42
Рис. 3.44
Рис. 3.45
224
ГЛ. 3. ГРАФИКИ ФУНКЦИЙ
Рис. 3.46
Рис. 3.48
Рис. 3.49
Задача др Maie&idAHKe. Начала анализа
226
ГЛ. 3. ГРАФИКИ ФУНКЦИЙ
функции y~Af(ax)-A~B параллельным переносом последнего
вдоль оси ОХ на величину |Ь/а| вправо, если bja < 0, и» влево,
если Ь/а > 0. Заметим теперь, что график функции Af (ах)4-#
получается из графика функции y~Af(ax) параллельным пере-
носом последнего вдоль оси OY на величину | В | вверх, если
В > 0, и вниз, если В < 0.
В свою очередь, производя растяжение (сжатие) вдоль оси OY
относительно оси ОХ графика функции y~f(ax) (с возможным
применением преобразования сим-
метрии относительно оси ОХ,
если А < 0), получим график
функции y~Af(ax). Наконец,
график функции у—f (ах) получа-
ется из графика функции y = f(x)
при помощи растяжения (сжатия)
его вдоль оси ОХ • относительно
оси OY в | а | раз (с возможным
применением преобразования сим-
метрии относительно оси OY, если
ГА
К
3
I М?
п
Рис. 3.54
о
(И
жет быть проведено
f(x) -* f (ах)
Таким образом, построение
графика функции у—Af (ах~\-Ь)-\-В
по графику функции # = /(х) мо-
по следующей схеме:
Af (ax' —>
——> Af (ах) 4* $ Af ( а х4— 4~ В ♦
Проводя аналогичные рассуждения, можно показать, что
для построения графика функции вида у = Af (ах4-Ь) + В может
быть использована и другая схема, например
/ (х) -* Af (х) —> Af (ах) -
Во избежание ошибок обращаем внимание на то, что длина
отрезка, на которую производится параллельный перенос графика
§2. МЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ ГРАФИКОВ ФУНКЦИЙ 227
вдоль оси ОХ (т. е. величина | b/а |), определяется той констан-
той, которая прибавляется к аргументу х, а не к выражению ах;
именно поэтому выражение ах^Ь сначала приводится к виду
( I М
а хЧ— .
\ а /
Пример 4. Построить график функций:
а) У== р^Зх—1; б) ^ = logif2 (1—Зх).
Решение, а) Так как 3j/Зх— 1
то график
функции у — зх—। получается при помощи параллельного
переноса графика функции Зх вдоль оси ОХ на отрезок
Рио. 3.55
длины 1/3 вправо^ а график функции .(/= j/^Зх—при помощи
растяжения в 3 раз вдоль оси OY относительно оси ОХгра-
фика функции // = у х.
Таким образом, график функции у~у^Зх—1 может быть
построен (рис. 3.55) по схеме
х ~~+ Зх 3 J ;
б) так как log1/2 (1 —Зх) = log1/2 З^х—, то для по-
строения графика данной функции достаточно построить график
функции #=log1/2(—Зх). График этой функции может* быть
построен по графику функции г/ —log1/23x> а последний—по
графику функции #==log1/2x.
Тем самым построение графика функции ^ — log^g (1 — Зх)
может быть проведено (рис. 3.56) по следующей схеме:
bg1/a х -* 10§1/2 <3х) 1о81/« <~3х> -* 1о§1/а (~3 (ж“4) ) ’
Пример 5. Построить график функции:
. 1 ж / * \ >еч 2—Зх
a) i/==-g-arctg I ; б) arccos—j—.
а*
228
ГЛ.З. ГРАФИКИ ФУНКЦИЙ
Решение, а) Построение графика дайной функции может
быть проведено по следующей схеме (рис. 3.57):
arctgx—* arctg(—х) —*™arctg (—. х) —>-Larctg ^х—-|
2-—j-J сводится
к построению графика тождественно равной ей функции
график которой в свою очередь получается из графика функ-
ции y=arccosx по следующей схеме (рис. 3.58):
(3 \
—j-x j —►
Пример 6. Построить график функции
^s=ax2 + ^x+c, а 0.
Решение,
записать в виде
Квадратный трехчлен ах2+&х+с можно
а
4ас***&
4а
Отсюда видно, что график функции y=ax2-|-fcx+c получается
из параболы у=»х8 по следующей схеме:
х8 —> ах8 —> ах8+
4а^«-*д8 / , b \2 4ас—-д8
+Т~*
т. е, для построения графика у~ах1^Ьх-\-с надо:
L Растянуть в | а | раз, если | а | > 1 (сжать в | \/а | раз,
если [ a j < 1), вдоль оси OY относительно оси ОХ график функ-
§2. МЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ ГРАФИКОВ ФУНКЦИЯ 229
230
ГЛ. 3. ГРАФИКИ ФУНКЦИЙ
ции ^=х2 (с возможным последующим отображением получен-
ного графика функции #== | а ] х2 относительно оси ОУ, если а < 0).
2. Параллельно перенести вдоль оси OY на отрезок длины
14&с •** b2 I
——— вверх (вниз) график функции #.= ах2, если величина
4ас —№ . .
—— положительна (отрицательна).
ar ссо s urccos arc oos£- arcces 8/3)/4)
Рис. 3.58
3. Полученный после предыдущего преобразования график
параллельно перенести вдоль оси ОХ на отрезок длцны
вправо, если =- < 0, и влево, если > 0.
&CL
Например, квадратный трех-
член х2 —5x4-6 после выделения
полного квадрата представим в
виде
' (х—5/2)2 — 1/4.
Тогда построение графика
функции у = х2—5х + 6 можно
осуществить по следующей схеме
(рис. 3.59):
Рис. 3.59
х2 х2—1/4 (X—5/2)2 —1/4
На рис. 3.60 показана последовательность построения гра-
фика функции у~—х2-**2x4-3 по схеме
X2—(х4-1)24-4е
Пример 7, Построить график функции
^===ах^4-&х2+сх+^> а#0.
Решение. Построение графика функции
// = йх34“^2 + сх4“^> я $£ 0,
также может быть выполнено с помощью геометрических пре-
образований.
Преобразуем выражение для у к следующему виду:
у = а ((x-J-aP + D (л4-<х) + р). (1)
где
b Зас—Ь2, n 2b3^27a2d—9abc
За~а' “3a5 27а3 ~р'
Теперь, если D 0> уравнение (1) можно записать гак:
y = a /iwf ( 4tx Y ± -4^4—тХ=Д (2)
k\K|D|/ K|D| K|O|3/
причем перед вторым слагаемым в скобках (2) следует брать
знак плюс, если D > 0, и знак минус, если D < 0.
Если 0 = 0, то (1) принимает вид
г/=а((л+а)3 + р). (3,
Из (1)—(3) следует, что график функции t/ = ax3-f-^x2+cx-|-rf>
а 0 (в зависимости от D) может быть получен п.ри помощи
геометрических преобразований графика одной из следующих
232
ГЛ. 3. ГРАФИКИ ФУНКЦИЙ
функций:
при Ь > 0, #=х3—-х при О < О
или у = х3 при D = Q.
Свойства функций у~х4—~х и у ==х84-х приведены в табл. 3.5,
а их графики изображены на рис. 3.38.
Рассмотрим построение графика многочлена третьей степени, .
например,
#=х3—Зх2 + %—3.
Так как
у=х3—. Зх2+х—• 3 =
«=х3+3х2 (— 1) + Зх(— I)2 + (— I)3—2х—2 = (х-~ I)3—2х—2 =
то для построения графика данной функции воспользуемся сле-
дующей схемой:
Данная схема реализуется следующим образом (рис. 3.61):
I. Производим растяжение графика функции у-х^—х
в 1^*2 раз вдоль оси ОХ относительно оси OY
(х х
\ —__ переносим вниз параллельно
оси ОУ на отрезок длины (бн->а).
(X \3 X Г~~
2 переносим
вправо параллельно оси ОХ на отрезок длины 1 (вн->а).
(X— 1 \3 X — 1 ./--и
ya-I-------у 2 растягиваем
вдоль оси ОУ относительно оси ОХ в 2 У~~2 раза (at—»д),
График данной функции изображен на рис. 3,61, д,
Пример 8. Построить график функции
__ах-^Ь
У~~сх+сГ
& 0.
§2. МЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ ГРАФИКОВ ФУНКЦИЙ 23|
Решение. Если числитель и знаменатель дробно-линейной
, их b ч . . ,, t.
функции имеют общий множитель x-J-oc (a~bla=dlc)y
СХ “J” и
то данная функция всюду, кроме точки х =—d/or&mt постоян-
ная а/с, и график ее представляет прямую, параллельную оси ОХ
и проходящую через точку (0; а/с), без точки (d/c; —а[с}.
Если дробно-линейная функция
ах+Ь
ox+d'
с 0,
не сводится к постоянной (если ad Ьс), то из представления
, ах + Ь
функции в виДе
a ad^bo
^сЦх+Л/с)
(4)
следует, что график функции ^===—7-3 можно получить из гра-
фика функции у=Л[х (см» рис» 3,24) путем геометрических пре-
гл. з. ГРАФИКИ ФУНКЦИЙ
образований по схеме
1 ad—be 1 ad —be 1 ad — be 1 t a
T x c2 x + d/c c2 x-\-d/c' c'
Таким образом, сначала нужно произвести растяжение графика,
функции у — i/x вдоль оси 0Y относительно оси ОХ в j j раз
(если ad—be > 0, то полученный график следует симметрически
отразить относительно оси ОХ). Полученный после этого преоб-
разования график нужно перенести параллельно оси ОХ на от-
резок длины ]d/cl (влево, если d/c > 0; вправо, если d/c < 0).
Наконец,вновь полученный график нужно перенести параллельно
оси OY на отрезок длины ja/ef (вниз если а/с <0; вверх, если
а/с > 0).
2%__1 3
Построение графика функции --~2----—- может
X 1 X -у- 1
быть проведено по схеме
хх х х-Н *4-1 х-Н
§2. МЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ: ГРАФИКОВ ФУНКЦИЙ 23$
(на рис. 3.62 соответственно а н-> б н-> в н-> г н-» д). График функ-
2j£ —и |
ции у~—— изображен на рис. 3.62, д.
х-r ь
Из (4) следует, что асимптоты графика функции т. е,
прямые у~0 и х=0, переходят соответственно в. асимптоты
у — а/с и x~—d/c для графика функции у==^^^ (ad be),
а положение одной из ее ветвей определяется точками пересе-
чения этого графика с осью Ох или осью Оу, Таким образом,
чтобы построить график дробно-линейной функции, достаточно
знать крест асимптот и расположение относительно этого креста
одной из ветвей гиперболы, так как вторая: ветвь симметрична
с первой относительно точки пересечения асимптот.
Пример 9. Построить график функции
х = A sin (со (.х—(₽)),. А > 0, со > 0.
Решение. График данной функции получается из графика
функции z/ = sinx по следующей схеме:.
sin х —► sin cox —> Л sin сох —* A sfti (со (х — ср)),
т. е. последовательным выполнением следующих преобразований:
1. Сжатия в*со раз вдоль оси ОХ относительно оси OY, если
<о> 1, и растяжения в 1/а> раз,, если 0 < со < 1.
2. Растяжения в А раз вдоль- оси OF относительно оси ОХ,
если А > 1, и сжатия в If А раз, если О < А < 1.
3. Параллельного переноса на отрезок длины |<р| вдоль
оси ОХ влево, если ср < 0, и вправо, если ср > 0.
На рис. 3.63, г приведен эскиз графика функции
(1Б \
Зх-----г ,
4 /
построенный согласно предложенной выше схеме:
sin х —> sin Зх —> 3 sin Зх —► 3 sin 3 ^х—sa 3 sin ^Зх—-*-^
(на рис. 3.63 соответственна а «г—> б н-г).
Построение графика функции (x)f по графику функции
y^f(x) основывается на следующем замечании:
I f м | _ / f W ДЛЯ гех х, где f (х) 0,
Н V /1 | — f (х) для тех х, где f (х) < 0.
Таким образом, чтобы построить график функции #==|/(х)|,
нужно все точки графика функции y = f (х), лежащие на оси ОХ
и выше ее, оставить на месте, а все точки графика функции
£ = /(х), лежащие ниже оси ОХ, симметрично отобразить отно-
сительно оси ОХ.
Заметим, что график функции # = |/(*)1 не_ имеет точек,
лежащих ниже оси ОХ,
Пример 10. Построить график функции;
а) у~{х1^Ъх-\-Ъ f; 6)
^86
ГЛ. 3. ГРАФИКИ ФУНКЦИЙ
Решение» а) Построим график функции ^«х2—5х+6
(рис. 3.64, а) по схеме
( 5 V ( 5 \ 2 1 2 К . Г
г- —> х 77 —> X—я- г=х2 —5x4-6.
\ 2 / \ 2) 4
На рис. &64, б изображен график функции «-5x4-6^
§2. МЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ ГРАФИКОВ ФУНКЦИИ 23*
б) так как
х — 2____x-f-2 —4_____х-|-2' —4 ______ 4
х -|- 2 х 2 х -(• 2 * х 2 х ~f- 2 *
то построим
график функции #=
х — 2
Х“|~ 2
(рис. 3.65, а} по схеме
± 1 ~4 —4 ~4 II
х х х х~|-2 х+2 ‘
На рис. 3.65,6 изображен график функции ‘ТГо|*
I X-j-21
На рис. 3.66—3,70 соответственно приведены графики
функций;
yaajcos xl, у = \ logs (х—2)|, г/ = |Зл|,
£ = | arcsin х|, ц—
№
ГЛ. 3. ГРАФИКИ ФУНКЦИЙ
Рие. 3.70
§2. МЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ ГРАФИКОВ ФУНКЦИЙ 23$
Построение графика функции z/ = /(|x|) по графику функции
y?=f(x) основывается на следующем замечании: функция у
«= f (I х |) четная, так как /(| — х|) = /(|х|).
Поскольку |х|==х для х>^0, то график функции у=f (| х |)
для х^О совпадает с графиком функции y^=f (x). При построе-
нии графика функции # = /(|х|) для х<0 надо часть графика
^=/(|х|), уже построенного для х^О симметрично отобразить
относительно оси OY.
Таким образом, для построения графика функции у=х/(|х[)
надо:
1) стереть все точки графика функции у = /(х), лежащие
слева от оси OY\
2) оставить на месте все точки графика функции у = /(х),
лежащие на оси ОУ и справа от нее;
3) в левой полуплоскости дорисовать график таким образом,
чтобы полученный график был симметричен относительно оси ОУ.
Построим этим способом графики функций:
y = log3| х| (рис. 3.71,6); r/ = sin [x| (рис. 3.72,6);
^ = х2—3|х| + 2 (рис. 3.73,6); y = 3i*i (рис. 3.74,6);
z/ = arcctg (| х| +1) (рис. 3.75,6).
Пример 11. Построить график функции
*/ = log1/3||21xl+l|-3|.
Решение. Построение графика (рис. 3.76, ж) данной функ-
ции произведем согласно следующей схеме:
bgi/з х l°gi/3 %х * !о^/з I %х I * ^1/з | 2*)|
s 1о81/з I 2х—31 1о81/з I 2 I х I ~31 logi/s {2|*+у|—3|в
- log1/311 2х+ 1 |-31 -+ log1/?| | 21 х | +11 —31
(на рис, 3.76 соответственно а н-> 6 н-» в г
В40 ГЛ. 3. ГРАФИКИ ФУНКЦИЙ
I+Z
§2. МЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ ГРАФИКОВ ФУНКЦИЙ 241
Приведем определения и графики часто встречающихся еле*
дующих функций: ;
y=signx—сигнум х (знак х);
х = [х] — целая часть х;
у={х}—дробная часть х\
( 1, если х > О,
signx—1 0, если х=0,
( — 1, если х < 0 (рис. 3.77);
у=[х] = А?, если х=^+а, где k g Z и О^а < 1 (рис. 3.78}
(т. е. [а]—ближайшее к а целое число, не превосходящее а);
г/ = {х} = х—[х] (рис, 3.79) (т. е. {х} = а, если х=&+а, где
Z и < 1).
Заметим, что график функции у={/(*)} целиком находится
в полосе 0 <; у < 1.
Поскольку {Л:-{-ос} = сс, если k £ Z и О^а < 1, то для по-
строения графика функции у = {/(%)} нужно ту часть графика,
которая попадает в полосу а^у < п g N, параллельно
242
ГЛ. 3. ГРАФИКИ ФУНКЦИЙ
перенести на п единиц вниз, а ту часть графика, которая по-
падает в полосу -- п < -—«+1, п g N, параллельно перенести
на п единиц вверх; ту же часть графика, которая находится
в полосе Q^y < 1, следует оставить без изменения.
X
Н
--г
--а
k -4
Рис. 3.77
Рис. 3.78
Пример 12. Построить график функции:
а) у —sign cos X} б) y = (arctgx]; в) у = х2|-.
Решение, а) При — у-^2л& < х < & € z> имеем
cos я > 0, и поэтому для таких х, имеем sign cos х=1;
при у4*2яп < х < ~^Ц.2лп, ngZ, имеем cos х < 0, и по-
этому для таких х имеем sign cos х = — 1;
при х==~«^2л/, I £ Z, имеем cosx = 0, и поэтому для та-
ких х sign cosx = 0.
График функции # = signcosx приведен на рис. 3.80,6. За-
метим, что график функции y^sign f (х) является периодической
функцией, если функция y~f{x} периодическая.
§2. МЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ ГРАФИКОВ ФУНКЦИЙ 243
б) Разобьем область значений данной функции на проме-
жутки k^y < fc-H, k £ Z, или на множества, содержащи-
еся в одном из этих промежутков. В данном примере такими
множествами будут промежутки (— ят/2; — 1), [—1; 0), [0; 1)
и (1; л/2). Найдем х, при которых значения функций соответ-
ственно из указанных промежутков (рис. 3.81, а): (— оо; —tg 1);
I—tg 1; 0); [0; tg 1) и [tgl; + оо).
При — оо < х < — tg 1 имеем —-л/2 < arctg х< —-1, и поэтому-
[arctg х] =—2 для таких х;
при — tg 1<х < 0 имеем — 1 «С arctg х < О, и поэтому
[arctg х]== — 1 для таких х;
при 0«Сх < tg 1 имеем О arctg х < 1, и поэтому [arctg х]=
= 0 для таких х;
при tg 1 х < + оо имеем 1 «сarctg х < зт/2, и поэтому
[arctg xj —1 для таких х.
График функции y = [arctgx[ приведен на рис. 3.81,6.
в) Разобьем область значений данной функции на промежут-
ки или на множества, содержащиеся
244
ГЛ. 3. ГРАФИКИ ФУНКЦИЙ
в одном из этих промежутков. В данном примере такими мно-
жествами будут промежутки [0; 1), [1; 2), [2; 3) и т. д.
Часть графика функции (рис, 3.82, а), лежащего
в полосе О^у < 1, оставим без изменения; часть его, лежащую
“2 о 2 V^VT24Vz6 X
Рис. 3.82
в полосе < 2, перенесем параллельно на одну единицу
вниз и т. д.; часть графика функции лежащую в по-
лосе п^у < п + 1, перенесем параллельно на п единиц вниз.
Таким образом получим график функции (рис. 3.82, б).
ЗАДАНИЕ 1
1. В одной и той же системе координат построить графики
следующих функций:
1) У~х, у~х\
2) у=х, у~х% у~х6;
3) у~х, y~V~x, £=*/7, y^l/~x\
4) у=Л!х> У^У/хЬ
5) у=х, у*=1^х* 1 2 3 4 5 6, у—^/хЯ, у^^/^Х
6) у^х, у = 2х, у«=3* z/ = 2^;
§2. МЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ ГРАФИКОВ ФУНКЦИЙ 248
8) у—х, 0=log2x, 0=logex;
9) У—х, Jt=log1/ax, 0=log1/8x;
10) у—х, у — в\пх, у:=х~*2я, у=ях;
... я Зя
11) У=х, 0=cosx, у=-^—х, у = х—g-;
Г.) у=х, y—igx, у = я—х-,
13) у—х, у — arctg х-,
14) 0=у—х, y=arcctgx;
15) <.=х, у — arcsin х\
я
16) у=-^—х, у = arccos х.
2. Построить график функции:
1) у=— ха; 2) 0=>ух®; 3)0 = 21og2x; 4) у=—3tgx;
5) 0=— logi/n-»: 6) # = 4 У7) У=°—
8)0=yctgx; 9)0=3*/^; 10) у=- 1/х;
11) 0=2/ха; 12) У=2^з ; 13) 0=1/V~2xi 14) у=— 2sinx;
15)0=ycosx; 16) у—— у «5*; 17) у=2s*; 18) 0=3~а*|
19) 0=0,2ла*; 20) У=у arcsin х; 21) у=— 2arccosх;
22) 0=—3 arctg х; 23) y==^arcctgx.
ЗАДАНИЕ 2
Построить график функции:
1) 0 = 2х2; 2) у=~ -1-х6; 3) у=— у log5x; 4) y = 2ctgx;
5)0 = log1/ex; 6)0=—2/х?! 7) 0=у р/х4; 8) 0=2/xj
9) 0=ysinx; 10)0 = —2cosх; 11) 0=2*.3*; 12)0 = 4~*.2««;
2 1
13) ^ = —2 arcsin х\ 14) #=?=—arccos я; 15) arctg л;
«и л
16) 0=— 2arcctgx; 17) у—3 log2x+log2xa — log1/2x;
18) 0 = 2*+l—2-2*+2; 19) y=V~ic— f"x;
20) 0 = log2x—log2x+l; 21) 0 = log2xs+log4x;
22) 0=»2*+*4-2*+a + 2*+s; 23) 0=xxa-j--f-2x«j
246
ГЛ. 3. ГРАФИКИ ФУНКЦИЙ
О у
24) У=~р-^4--^- ; 25) У=^У >4-togi(x-^a_loglI(A5-2)2;
28) £ = sin Зх+4; sin® яг.
ЗАДАНИЕ 3
Построить график функции:
1) ^ = х2 + 2; 2)^=1—cos х; 3) #=22* + 2;
4) y = log1/2 х—3; 5) у=\ — 3*; 6) у—у4-arcsinх\
Л 1
7) у = я—2 arctg х; 8) У=-^-4-у arcctgx;,
9) У—$/ —1; 10) зг=3—arccosx;.
11) {/ = -2xN-16; 12) У=^.
ЗАДАНИЕ 4
Построить график функции:
1) r/== 1 — 2х2; 2) t/=l— sinx; 3) у==(1/2)~*--1;
4) z/==log6x+2; 5) ^=-2. - arccos х; 6) # —arcsin х-|-у ;
7) {/=у arcctgx—у; 8) у = 1— arctgх; 9)
Ю) У=~\ !!){/=/4^-Г;
12) (/ = 3j/x-1; 13) {/=2/1-8;
14) {/=4*—2«*+1; 15) {/=у 2; 16)
ЗАДАНИЕ 5
Построить график функции:
1} {/=/2х; 2) у=]/4х; 3){/=log23x;
4) ^«=sin2x; 5)^ = cos-g-x; 6)#=ctg4x;
7)0=tgy*; 8) {/=logi/83x; 9) {/ = 22*; 10) jr=-g^-;
11)^/== arcsiti ~ x; 12) у = arccos 2x; 13) ^/= arctg 5x;
£
14) {/ = arcctgyx; 15) y— f 64xei 16) g=tg2xctg2x.
§2. МЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ ГРАФИКОВ ФУНКЦИЙ 247
ЗАДАНИЕ 6
Построить график функции:
1) */== lQgi/4 4х; 2) //=lag2 2x; 3)^=3^; 4)z7 = ctgyxt
5)y=tg3x; 6)£/ = sin-~x; 7)r/=cos2x; 8)#=l/2-2*i
9) у— 4х; 10) у — х/2.; 11) у = arcsin 2х;
1 1
12) y = arccosyx; 13) #==arct;gy х; 14) ^=arcctg 1Дх<
ЗАДАНИЕ 7
Построить график функции:
l)^==j/'—-х; l)^=|Z--x; 3) z/ = sin (—х);
4) ^ = cos(—х); 5) y=log2(—х); 6) z/ = log1/3(— x);
7) ^ = 2~x; S)y~tg(-xy, 9) ,y = ctg (-x); 10) = (1/3) ~*|
11) у = arcsin;(— x); 12) y~ arccos (—x);
13) ^==arctg (—x); 14) r/ = arcctg (—x);
15) y=l/2-*; 16) y^l + (1/4)-**.
ЗАДАНИЕ 8
Построить график функции:
1) 1—х; 2) ^=24- х; 3) f/= 1 + sin (—х);
4) ^ = 2 —cos (—х); 5) //=x-~bgs(—х); 6) у^—2-*-
7) y=-2tg(-x); 8) 0 = -lctg(-x);
Ю) £/==у arcsin (—х)+'Я/2; 11) г/== —anxos (— х) —-л/3;
12) j/=2—arctg(— х>; 13) у~л/4 + arcctg /— х);
14) у = logs (—• х) —*log1/3 —х); 15) ^ = 42^/2“^-
16) i/==tg (—х) ctg (—х).
ЗАДАНИЕ 9
Построить график функции:
1) у = (х— I)2; 2) (/ = УТ+2; 3) у = 1;
4) £/ = sin(x — л/3); 5) cos (х + л/4); 6) у~ log2 (х—4);
7) # = 2*~2; 8) у = arosin (х—1/2); 9) г/ —arctg (х— 1);
10) у = arcctg(x+$); 11)^/=arccos^x +1); 12) у = 1 — 2j/” —2х;
13) уtogs<1—UH=4 1/1—Их-, 15) у=^х~\
16) у— 1 —arcsin (1 — 2х); 17) у=л2-^-2л-|-3)
18) у=^-х + 1.
248 ГЛ. 3. ГРАФИКИ ФУНКЦИЙ
ЗАДАНИЕ 10
Построить график функции:
1) у-1+(»+2)‘| 2) (/=1(х-.1)з-.2; 3)г/=ГгГ=^;
4) £/ = logs (2—х); 5) z/ = cos (х—л/4); 6) #=sin (х4~л/4);
7) у»=-Ь(х+4)‘-1; 8) # = log2 (2х—1);
9) //— arcsin (1—Зх); 10) # = arccos (2x4-3);
11) ^«(1/2)1^; 12) # = arctg (1 —х);
13) i/==aroctg (х + 2); 14) z/ = x24-x4-2;
15) ^ = х2—х4-4; 16) ^х=2х2+4х+7.
ЗАДАНИЕ 11
Построить график функции:
Vy==2£—i' 2)у==Йт; 3) г/=*2-“3л:+4;
4) у=2—31-2*; 5) у=1 — у VT+2x;
6) 0 = loga(l--4x)-2; 7) у=У(1-2х)Ь
8) у=—arcsin (1 — Зх)-|-л/2; 9) j< = arccos —;
Ю) arctg (14-5х)—3; 11) у=4 2 4-3;
12) t/=cos 13) j/ = tg (2х—л/3); 14) # = ctg ;
, блх—л . /л „ \
15)y=sin—=—; 16) y = tg I -5-—2x ).
О \ О У
ЗАДАНИЕ 12
Построить график функции:
1) J's=1~x~.x2; 2) е/=3х* +4x4-5; 3) jf= j/T-2x4-1;
4) cos (2х +л/3); 5) г/—-у sin (л/3-*2х);
6) log2 (2x4-3)+ 4; 7) ^=sA arcsin (2x— 1)— л/4;
8) ^/«2arotg (1— Зх)4-л/4; 9) y=l—2,2*~^; -
‘“’'-таг ‘"’-2-sbr l2’«4$v
О у r. 1 у 2 _.t J
13> ’ 14> У^^-i 15)£==(2х4-3&
§2. МЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ „ГРАФИКОВ ФУНКЦИЙ 249
16) 0=1 + -^ У2х—1; 17) y==yarccos^^}
л . 1— 2х
18) arctg—
ЗАДАНИЕ 13
Построить график функции:
1) £/ = |х2—х|; 2) 3) у~\log2x|;
4)0 = 1*—2|; б)0=4^/х—1|; 6) 0=|^±р|;
7) 0=|arctgx| —я/4; 8) 0=| sin (2х—л/3) |;
9) 0=||*-1|-2|; Ю) 0 = ||Iog1/8(x+l)+l|-2|;
И) 0=|| \/ х— 11 — 21; 12) 0=||arcsin(2—х)| — я/4 |;
13) 0 = || 2**->-11-11; 14) 0=||2-^|-1|;
15) 0 = ||arccos (2х— 1)— л/4| —1/21;
16) 0 = | [ tg (2х—л/3) | —11.
ЗАДАНИЕ 14
Построить график функции:
1)0 = 1*2+*|; 2) 0=|22*—11; 3) 0=|tg(x+n/4)|s
4) 0=|arcsin (1— х) |; 5) 0 = | log1/8 (2х—3) |;
IOv__QI
г ; 8) 0 = | 2x4-51;
9) 0=|(1/2)2*-11; 10) 0=|| arctg (2х-1)-л/4|-1|}
И) У=
13) 0=
15) 0=
16) 0=
1-2х|-11; 12) 0=|| pZx2—11 —2[;
arcsin -~2Х I-я/4 В I4) У — 112«*—21 —1 h
о I I
arcctg (2х— 1) | — эт/8 |;
1 I 1—Зх. ...
-у arccos —— I—л/61;
17) 0=|(|*4-2|)?—11; 18) 0 = | 12ctg (2x—л/4) J—31{
19) 0=l2|i±||-l|; 20) 0=|n/3-n|cos(2x-n/3)||.
ЗАДАНИЕ 15
Построить график функции:
1) sin 1 х |; 2) 3) £ = log3 |я|;
4) уя= arcsin |х |; 5) </ = arccos | х |; 6) у^= \х [;•
7)0 = ctg|x|; 8)0 = 2'*'; 9) 0 = (|х|Ч-1)2;
10) 0=log1/2(|x|—2); 11) 0=log1/2(|x—2|);
12) # = sin | л—31/41; 13) # = соз (21 х |*«а/3);
250
ГЛ. 3. ГРАФИКИ ФУНКЦИЙ
14) f/=2l 1б)0=И*-2|; 16) tg I *+1 I;
17) 0=—ctg(|x|—2); 18) 0=arctg (21х|-3).
ЗАДАНИЕ 16
Построить график функции:
l)0 = cos|x|; 2) 0 = log1/2|x|; 3) 0 = arcctg|x|;
4) 0=arctg|x|; 5)0=у^|х|; 6) 0 = tg|x|;
7) 0= (1/3)1 x 8) 0= ctg | x |; 9) 0= (| x |— I)2;
10) 0 = log2(|x|—1); 11) 0 = 2; 12) 0 = sin (21 x | — л/3);
13) 0=|/|x—11; 14) 0=tg | x—л/41;
15) 0=arcctg| x—21; 16) 0= arctg | 1—2x|;
17) y = sin|x—л/3 I; 18) y~ cos | 2хЦ-л/41.
ЗАДАНИЕ 17
Построить график функции:
1) 0==||х|—2|; 2) у = \\ 2х|-3 |; 3) у=|
4) 0 = |2 ^/ГП —11’> 5) 0=| 1—у loga|x| ;
6) 0=1 arcsin] х |—5- [; 7) 0=| -L loga ]3х—1 |—2 I;
I V I I о |
8) 2| ЗЛ;—24~ х — 11; 9) г/—arccos j j;
10) 0=| 1-tog1/8|2| 3||; 11, ^=arctgЦ2|х| —11—31;
12) = arcsin ; 13) —tg (| 2х — л/3 | + л/3);
14) у=ctg (л/4—2|л—л/3|); 15) z/=cos(|2x—л/4 |—л/4);
16) z/ = cos (| х^п/4 14-Л/4); 17) // = sin (21 х—л/31 + л/3);
18) у = | 2|
ЗАДАНИЕ 18
Построить график функции:
1)0 = |3-|х||; 2) у«||Зх| + 1-|; _
3) 0 = 11 |V — 11—1 1 — 11; 4) y = |l-2v/|x||;
5) 0 = | 2—log31 х 11; 6) 0 = | arccos | x I—л/41;
1 7 1 \ I 2X- 3 I - 1 I
7) 0 = |21ogl/a|2x-l|-l|; 8)0=Цу) —1|;
9) 0 = arcsiri|Lik^L|; iQ) у == | £/|2x—11—2 — 11;
П) 0-IKIHI-2I-1|; 12) 0 = 1оё1/2(|х-л/3|-л/3);
13) 0=logx,a(||x|-f-n/3|—л/3); 14) 0=ctg (2] х-Ц-1);
§2. МЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ ГРАФИКОВ ФУНКЦИЙ 251
f1—2К
15) # = tg(n/4 —|2х—л/4|); 16) ,«/=arctg у--L J\
17) |Зх+2| ’ 18) у== 1+|2|х|—11 ’
19) y=(||x| —2|—З)3; 20) у=е[ 11*”11“2 >“81.
ЗАДАНИЕ 19
Построить график функции:
1) у=х—|х|; 2)g=x+|x—1|; 3) у=\х [—| х+11—2;
4) y=|x+l|-|x-l|; 5) ^=хЗ-|х+1|-1;
6) j>=|x2 —х х2—х; 7) g=x2—5|х|-|-6;
8U = xa-2|x4-l |+3; 9) У=|х2-1 |-|х2+1 |;
( 10)' g=ix+2|-|*®-il; Н) </=IRI-l|-|x|+H
’ 12) t/ = |x2—5х+6|—х+2; 13) {,= /(x+l)2—x;
14) i,= fx2 + 2x+f-(x+l); 15)
16) y=Vx2 + 6x+9 —/x2—6x+9;
17) ^=1^-11; 18)y=^±l.
& п £ Д, • j jf £
ЗАДАНИЕ 20
Построить график функции:
1) i/=x + |x|; 2) f,=x-|x+l|; 3) 0=|*4-1 l + |x|-2j
4) y=|2+x|-|2-x|; 5) i/=x2-|x| + 2;
6) j/=|x2 + x|—x2 + x; 7) i/=x2—2|x|+l;
8) f/ = x2 —3|x + 2| — 4; 9) y = |x2—4|-|x2 — 1 |;
10) 0 = ||x —11 —2|—x; 11) #=|x2—x—2|—x + 1;
12) !/=="|^™'ТТ 1 l3) y== |x2-5x+6l : 14> У=*(|х|+1)|
15) y=(x+\) |x+11; 16) {/=^=1;
17) j/=(|x|-l)(lx|+2); 18)g=Kx2-2x+l-Kx2 + 2x+l;
19) i/= 3/^-КУ2; 20) y^ ^2-+4^+4..
ЗАДАНИЕ 21
Построить график функции:
14 Я 04 I Х I 04 И1 Л4 Iх!
1) ----- • 2) уъ=Д-г ; 3) • 4) &=-—7 :
кч х <74 f 2л — I |
б)^Т^ТТ; 6)y==T^2T: 7)^-T+^J
252
ГД. 3. ГРАФИКИ ФУНКЦИЙ
8)1 ; ---1Т+Г
12),_
I X j -—л
1||Я-1|~2| .
....jx-^Tf—2 ’ ’ 14)//=
у—..16) 0 =
/х?+2х+1
11)
13)
15)
1*4-11-1 . 1(й ... |*|—1*4-2| .
’ } V 1*14-1*4-21 ‘
|х| — 1 I.
2**»| х| I*
х2 —| х2—2|
3 х + 1
х4+ 1
||х-1Н2Ц-Г
ЗАДАНИЕ 22
Построить график функции:
Пг/_ид:+1- 21«=1л:+11- 31«—1Х1 + 1- 4\и_1г1+1.
2)г/=|Г+2|’ 3)y-|7FR’ 4>у~~1±2~’
5)уд.1*+Ц.; 6)^-Л+* ; 7) ^1±±Д±1;
х+2 • 1У |x4-2f ’ 4 у |х + 1|+2 ’
1*|-|*+1| . 91„ Г+21-1. 10>1-|1-1*11.
8)^|ж_ц_|ж+ц> 9)^-|7+2Т+Т’ 10)2 "|х+2| '•
,. И—1*4-111 . 121 ** .
^~||х|-1| — 1 * l ) у~~ |«4-2| —1 ’
ЛЕНЕ. 141... 1*14-2|*—11.
ГМ-|*Г п*+2|-н ’
„ >|х|4-1 . 16 1|х|-|х+1||.
У 6|х|4-9 ’ ' V ||х—2|—2|—Г
Н)
13)
у=
15)
ЗАДАНИЕ 23
Построить график функции:
1) # = signx8; 2) f/ —sign х2; 3) 17 = sign sin х; 4j z/ = signtg 2x;
5) у=sign (K6) sign (| |x I —’ 11—*2);
7) у=sign (x2—x—2); 8) z/^sign log1/3 | x —21;
9) y=sign (x3—-l) ; 10) sign arctg (| 2x4-1 |—-2);
11) z/==sign (x2~2| x 1 + 1); 12) ^==sign(£x| + 2) (] x | - 1));
13) resign 14) ^=sign—Щ-А-р;
15) у=sign (I x2—x| — K(*+ I)2); 16) #=s gn (sinx+cos x).
ЗАДАНИЕ 24
Построить график функции:
1) ^==signx6; 2) fz — signx4; 3) y=:signcosx; 4) ^=signctgx;
5) ^ = sign p/ x«2; 6) ^ = sign(^x2«»l);
§2. МЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ ГРАФИКОВ ФУНКЦИЙ 253
7) y=sign logs (II х I— 11— 1); 8) y=sign (l—2«~»);
9) y=sign {(4—x2)-^) ;
\ 1*1/
10) y«=sign(x2—5|x|4-6);
11) y=sign (arcctg | х—>л/31 —n/4); 12) У=sign-’* I 1*‘^~И|
_ '*'
13) y=sign (sin x-[-K^cosx); 14) у =sign (|2*-—11—2*);
15) у = sign ()^sin2 x—sin x);
16) y=sign(]/"x2—2|x-[-l | —|x—1 |);
17) у=sign sin (21 x |—я/3); 18) у=sign -J* ~~*L ;
19) у = sign (cos sin x); 20) y=sign f x-j-^+arctg x
ЗАДАНИЕ 25
Построить график функции ([а] —целая часть числа а,
{а}—дробная часть числа а):
1) У=И; 2) у=[х-Н|; 3) у=|Ух]; 4) у= || x-f-21 ||;
5) У=[| х| —I х—11|; 6) у=[1-2'*-Ч];
7) y = [fx2-2х+1 + V(x+1)2]; 8) у=[|х2-х|-|х4-1|]|
9) у—{х}; 10) у—{х—2}; 11)у={Гх})
12) y={sin х}; 13) у={[| х— 11 — 11};
14) У = {(| *1 —|х—11)};
ЗАДАНИЕ 26
Построить график функции ([я]—целая часть числа а»
{а}—дробная часть числа а):
1) у= 12x4-3]; 2)у=[^х]; 3)y=|i=^l;
L о j
4) У= ||х-J- 11-1 х-21]; 5)у=[)<^-/'х24-4х4-4];
6) У = [| loga (х—2) ||; 7) У=Г^=Л;
L * *4 J
8) у=[sin х—cos х|; 9) у= [arctg (|| х|— 11 — 1)];
10) у=[|х2--х|—|х24-х|]; П) У={х4-2};
12) У={Ух*}-, 13) у={|х4-1|-|х|};
14) r/={cosx}; 15) у = {arctg (2x4-3)};
16) у == {sin х+cos х};
'»>НтЙтЬ |9,8-{?+Ы'
20) 0 = {1+соаЗл:8Н1ал},
ГЛ. 3. ГРАФИКИ ФУНКЦИЙ
£64
ЗАДАНИЕ 27
Построить график функции, предварительно заменив ее
тождественной функцией:
1) у — cos2 — ; 2) y=cosx—K3sinx; 3) y = sinxcos x\
4) y=z{}/~x)2t, 5) y~ Ki—’Cos2x; 6) y==3log8<v; 7) y=2log2*2;
log,/ г-sta *
8) y = log2x2; 9) y=tg 2xctg 2x; 10) у =2 ;
(1 Xctgxtgx
"2 ) *
13) y=J<x2 + 2x + l (x+1); 14) 0=x,os*(**+1);
15) 0=sin4x+cos4 x; 16) 0=2l lo8**L
ЗАДАНИЕ 28
Построить график функции, предварительно заменив ее
тождественной функцией:
1)0=у/х®; 2) у=У 1 —cos х; 3) у=(Ух—1)2;
4) у = (Кcos 2х)2; 5) у=log2 (х— I)2;
8) у=У 1— sin22x; 9) y=xlogje<1~*!);
Ю) t/=/x2 + 4x + 4(x+2); 11) y=21O8’lx-1’;
12) (/ = 2l-logl/2*l; 13) 0=tgxcosx;
14) y= Уsin2 x+ Уcos2 x;
cos 2x 1C. 1 , . . .
) V cosx+sinx’ ^~tgx"^"C ®’
17) 0=310* x+cos‘x+lstaa2x; 18) ^~2]x|+1.
ЗАДАНИЕ 29
Построить график функции:
1) у = х3^2х; 2) ^=2х3—ха;
3) у~х* + 2х* + ‘3х+ 1; 4) у =-|-x8-f-3x— 1;
5) у^\х^\^х; 6) y==l|x3|-*Ul«»2J.
ЗАДАНИЕ 80
Построить график функции:
1) у 39 х8+2х; 2) у^ 2xs+#%
3) ^39Xs«*2x24‘3x+1; 4) ^=х8**|х|;
5) ==11 х31 + 1 х|-21; 6) = 1-Jх||-»1,
§2. МЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ ГРАФИКОВ ФУНКЦИЙ 258
ЗАДАНИЕ 31
1. Построить график функции:
1) у = arcsin (sin х); 2) у~ sin (arcsin х);
3) = arcsin (cos х); 4) r/ = cos (arcsin х);
5) у = arccos х-рarcsin х; 6) у — arocos х—arcsin х;
7) у — sin (2 arcsin х); 8) у = cos (2 arccos х);
9) у «= cos (arcsin х—arccos х); 10} cos (3 arccos х).
2. Вычислить:
1) arcsin (sin 10); 2) arccos (cos 7); 3) arcsin (cos 37).
ЗАДАНИЕ 32
1. Построить график функции:
1) (/== arccos (cos х); 2) у — cos (arccos x); 3& у == arccos (sin x)|
4) r/ —sin (arccos x); 5) = arcsin x—arccos x;
6) у = cos (2 arcsin x); 7) у = sin (2 arccos x);
8) r/==sin (arccos x 4-arc sin x); 9) z/ = sin (arocos x—arcsin x)j
10) t/ = sin (3 arcsin x).
2. Вычислить:
1) arcsin (cos 10); 2) arccos (cos 25); 3) arocos (sin 11)»
ЗАДАНИЕ 33
1. Построить график функции:
1) = arctg (tg х); 2) # = tg (arctg x);
3) = arcctg (tg x); 4) z/= ctg (arctg x);
5) = arctg * +arcctg x; 6) ^==tg (2arctg’x);
7) y = ctg (2 arccig r); 8) y—ctg (arcctg x —arctg x);
9) z/ = tg (arcctg (x + 1)); 10) у = ctg (arctg 2x)
2. Вычислить:
1) arctg (tg 5); 2) arcctg (tg 17); 3) arctg (ctg 8).
ЗАДАНИЕ 34
1. Построить график функции:
1) # = arcctg (ctg х); 2) у= tg (arcctg x);
3) у == c tg (arcc tg x) ;• 4) у =* arct g (ctg x);
5) у = arct g x —• arcctg x; x6) у == ctg (2 arct g x);
7) ^ = tg(2 arcctg x); 8) tg (arctg x-f-arcctg x);
9) ^ = tg (arcctg x—arctg x); 10) y=ctg (arctg (1 —x))t
2. Вычислить:
1) arcctg (ctg 23); 2) arctg (ctg 19); 3) arcctg (tg 11).
ЗАДАНИЕ 35
Найти обратные функции и построить их графики для функ-
ции с заданной областью определения:
х -- - 1
•«€’(— со;+ оо); 2) У=х1 х£(—95; 0)1
256
ГЛ. 3., ГРАФИКИ ФУНКЦИЙ
3) у=Кх, х£(0; 1); 4) ^=sinx, xg[— л/2; л/2);
б) //=sinx, х£[л/2; л]; б) xg(O; +оо);
7) 0==2*2, xg(—оо; 0).
ЗАДАНИЕ 3b.
Найти обратные функции и построить их графики для функ-
ции с заданной областью определения:
1) xg(—оо; +оо); 2) # = х\ xg(O; 4-оо);
о
3) у = fx, xg[l; 4J; 4) г/= cos х, xg[O; л];
б) #=cosx, х^[зт; Зл/2]; 6) У^“~^> xg(—-оо; 2);
7) £=log1/7x2, xg(—оо; 0);
8) // = — х2-—2х—3, xg(—оо; 1).
ЗАДАНИЕ 37
1. Решить уравнение и привести геометрическую интерпре-
тацию полученного решения:
1)|х + 2| = 4; 2) |х— 1|Ч-х— 1 = 0;
3) | х—31 + | х+51 = 8; 4) 11 + х—| х || + 2х==—1;
5) 1 2х—х2—31.= 1; 6) х ] х+1 (—2 = 0;
7) x2+x4-l = swx; 8) j/'x4‘2—Х-—4;
9) У xa (x—3) = 2 ( x2~ x V; 10) x3—x—sin лх=0.
2. Для каждого значения [а решить уравнение и привести
геометрическую интерпретацию полученного решения:
1) 1х—*2| = а; 2) |х«*а| = 2; 3) |х—а| = х; 4) ах=|х—11.
ЗАДАНИЕ 38
1. Решить уравнение и привести геометрическую интерпре-
тацию полученного решения:
1) [2х~3 ] = 5; 2) |х4-2|—х=3;
3) |х- 114-1x4-21 = 3; 4) |||| х-11 + 21-114-11== 2;
5) ]х2<~Зх+Н = 1; 6) (х+1)|х|+2==0;
7) /J2LZ7+X3—1 = 0;
8) Vх2 (х— I)2 (х—2) = (х— 1)-—(х— I)3;
9) <х2+ 1) (| х |+ 1)= 1; 10) If х + 1 —*х2—х=0.
2. Для каждого значения ,а решить уравнение и привести
геометрическую интерпретацию полученного решения;
1) I х + 1 | + <з = 0; 2) | 2х + $ | = 1;
3} | х«*а |=х+1; 4) |х| = ш&
§2. МЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ ГРАФИКОВ ФУНКЦИЙ 257
ЗАДАНИЕ 39
1. Решить неравенство и привести геометрическую интер-
претацию полученного решения:
1) |х—2| >3; 2) |х+11 < 2;
3) И < *+1; 4) |х2—3| > 2;
5) I х |*~| х+11 > 1/2; 6) |х| > |2х+1|;
7) Vх~2Sax; 8) х2 + 2х-|-1 >/8л -|-8;
I X — 1 I
9) 41 %+ 1 |—х2 <0; 10)
2. Для каждого значения а решить неравенство и привести
геометрическую интерпретацию полученного решения:
1) | х—21 > а\ 2) | х—а | < 2;
3) | х***а | < х; 4) ах > | х— 1 ].
ЗАДАНИЕ 40
1. Решить неравенство и привести геометрическую интерпре-
тацию полученного решения:
1)|1— х | < 2; 2) | 2х-|-11 > 1;
$|х+И>— х; 4) |х2— 2|<2;
$ |х|-Цх+1| > 1; 6) |х+2| <|х-1|;
t) l—xSs/З^х; 8) х8 > х2-|-2х;
9) (х2 + |х| + 1)(1+|х|)> 1; 10) |j-b| < [ Д
2. Для каждого значения а решить неравенство и привести
геометрическую интерпретацию полученного решения:
1) |х+1 |4-а > 0; 2) | 2х^а | < 1;
3) | х—а | < х+1; 4) | х | > ах2.
ЗАДАНИЕ 41
Изобразить на плоскости XOY множество точек Р(х,
координаты которых удовлетворяют условию:
1)|!/|=х; 2) у2=х2; 3) |у|>х+1;
4)|у|<2—х; 5) |у| — у = х\ 6) | х-±у | < 1;
7) |у—2| = log2x; 8) ху+у = 0; 9) | х|-| у-l | = 0;
Ю) у+у2|х| = 0; 11) ||х-21-|у|| = 1;
12) | х-|-11 < I у |; 13) |у—sinx|=y;
14) |у| = cosx; 15) \у—2| = log2|xl; 16) | х 14-| у I = 1.
ЗАДАНИЕ 42
Изобразить на плоскости XOY множество точек Р (x, у},
координаты которых удовлетворяют условию:
1) |у| = |х|; 2) у2 = х4; 3) х2 = у4;
4) ||х|—х| = |у|; 5) |х|<|у|; 6) |х|—|у| = 1;
7) |х—у\^у, 8) xy-f-x/ = 0; 9) |у|— |х— 11=0;
9 Задачи по математике. Начала анализа
258 ГЛ. 3. ГРАФИКИ ФУНКЦИЙ
Ю) |# —cosx| = y; И) | у | = sin х; 12) | х — 11 — log2 У\
13) max (х, у) = 1; 14) min (х, у)~ 1;
15) | х—|у|| = |^—|х||; 16) |y|^|sinx|.
ЗАДАНИЕ 43
1. Для каждого значения а определить число корней урав-
нения и привести геометрическую интерпретацию полученного
решения:
1) |х2 + х| = а; 2) х+-~ = а;
3) х8+х+ая=0; 4) Yх4-а»=х;
б) ах2 — (а+ 1) х=а— 1; 6) х4—х24~а = 2.
2. Для каждого значения а определить число решений си-
стемы уравнений и привести геометрическую интерпретацию
полученного решения:
0 I 1*1 + 1у1=1, 2) J x+f/ = a,
( x2+y?=a; ( х^4-у2=1.
ЗАДАНИЕ 44
1. Для каждого значения а определить число корней урав-
нения и привести геометрическую интерпретацию полученного
решения:
1) |х2—х|+а = 0; 2) || х | — 11+а= 1;
3) х?—*х + а = 0; 4) х—~=а;
5) ах2 + (а + 2) х+2а= 1; 6) У^х =х+а,
2. Для каждого значения а определить число решений си-
стемы уравнений и привести геометрическую интерпретацию
полученного решения:
D f 1*1 + 10| = М 2) ( х—у=а,
I x2+y2«l; ( А'2+г/2~4,
Упражнения
1. На рис. 3.83, а изображен график функции y=f (х). По-
строить график функции:
1)у = /(2х); 2) y=f(— х); 3) y^f^ — x^;
4) »=f(x+2); 5)y=f(|x|); 6)fz=|/(x)|;
7) J/=-y/(x); 8) jr=f(2x+l); 9) y=f(\ x-11).
2. На рис. 3.83, б изображен график функции y=f(x)t По-
строить график функции:
1)«/=/(4х); 2)//=1/(х); 3) у—/(Зх);
4) г/=/(х—• 1); 5)f/=HUI); 6)f=I/WI;
§2 МЕТОДЫ ПОСТ РОЕНИЯ' ГРАФИКОВ ФУНКЦИЙ 259
7)^-2/(х); 8) // —/ (1 —2х); 9) y~f (| 2-х |).
3, На рис. 3.83, в изображен график функции ys=f(x). По-
строить график функции:
1) f/ = f(2x+3); 2) 3) y~f(\ х-11);
4)j/=|f(x)|; 5) 0 = f(l/x); 6) У=/^—L-);
7) ^ = 2/(x) + lf(x+l); 8) jz=f(|x|)+H-x);1
m „_/(*)+/(2*)+Н3х). f{x)+f{i-x)
V) у----------------, IU) y~-----------4 4
4. Построить график функции:
1) y=(2x-3)+l; 2) y = | 21 x —11 —11;
3) z/=|||x|-l |-H; 4) j/ = 2/5-x+3;
6H=y(x+4)*-l; 6)У=|2^ТД-1|;
7) ^(Ixl + ^ + l; 8) «,= 1/4+3^;
2*
260
ГЛ. 3. ГРАФИКИ ФУНКЦИЙ
9) У= ^2+3|х|; 10) ^=log1/3(l-2|x+2|);
11) f/ = log2(8^ + 4); 12) y=2-V-x-\’,
13) «/=2—3 ^2х; 14) y=|l—11об1/г(1+2л)|;
1 l , , 4 l 2ЛХ — Л
15) у— 1 arcsin (— х); 16) у — cos —---;
17) у——2 log2 (I 21 х | — 11 — 1); 18) у = arccos (2 | х |—3);
19) у=(1/л)2'х~11“2; 20) z/ = 2-KTH7|; 21)
22) у=г4тх1 ' 23) ^=1+Й\; 24)^=~Йт-;
1 “• о | х I х -j- 1 х **г* о
* I х4-2 г ' * |х| + 3 ’ f у х2—1 *
30) 31) £/ = sin x+cos х — 2;
32) f/ = 2 cos х—-3 sin х—1; 33) # = sin4 x—cos4 x + 2;
34) = | x2—1 [—x2; 35) ^ = | x| + | x+ 1 I—| x4-2 J;
36) f/ = [ x2 —1/x2 |; 37) r/ = x2 — 3|x| + l;
38) ^ = |x2+x|-x+l; 39) = (| x |-1) (2-| x |);
40) £/ = [ x24-3x Ц-2х— 8; 41) #==x+signx;
42) #=x4-[x]; 43) y^x + {x}\
44) у = ^Zx^sign (cos лх); 45) у = arctg J-21LL^illL$
46) y—V~ 1 — cos22x; 47) у = cos2xsin2x;
48) i/ = 2l0gl/?SinX; 49) ^ = (j<2x)2; 50) ^=(KsiT3x)2;
51) # = log24x2; 52) ty = tg 2x ctg 2x; 53) y — x/x\
54) t/=^2.y2*Ctg*; 55) i/x) ;
56) у — Yx24-lx-f~4; 57) у — arcsin -J—-L^zLLL .
58) y = arccos ±zll£±LL ; 59) 4/ = 2,lo^x|;
о
60) y = sln x—J^sin2*; 61) y = cos x—Kcos2x;
62>У=Й7; 63) f/=tg(|x|-3);
64) у = V2^ + V~^i\ 65) у = x^* - 4>;
66) t/=/x2(l—x)2; 67) y = (V"i^-iy-,
68) f/ = (|<(T=^2j)2; 69) у = х^«х-,
§2. МЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ ГРАФИКОВ ФУНКЦИЙ 261
70) у= 72)
У 1—х V 1+х у 1— х
73) y==^L^^^; 74) ^ = arctg (| х | — | х—11);
У х—1
75) y = arcctg(| х| — |х -11); 76) у U*2 + 2хД3И* + 2i;
77) у = V х2—6х4-9 — / х24-4х4-4;
78) у = 1-^|х|-|х4-2|;
79) ^=izr; so)
х “~“1 \ У х /
81) // = |log2||x| —11 —+ 82) y=-j/(l-x)2;
83) ^ = ) (| х | — I)3—*7 |; 84) #=х sign (cos £);
85) r/ = x34-x2 + x; 86) # = 2х3-[-х2;
87) $/ = х3 —2x2—x; 88) у = x3 — 2x2 + x;
89) # = x2 sign (Sin x); 90) y = \ sin x —| sin x | |;
91) £/ = |sinx| + | cosx|; 92) ^ = (j/' 1 —.x2 + Ysinxj
93) у = log2 (x2 — x) — log2 (x2 — 1) + Iog21 x +11;
94) у == log2 j-p-—log2 | x I;
95) у = arcsin(sinx), х£[7л/2; 9л/2];
96) £/ = arcsin (sin x), х^[13я/2; 15л/2];
97) ^ = arccos (cos x), х^[5я; 6я];
98) i/ = arctg (tg x), xg(5n/2; 7л/2);
99) у = arcctg (tg x), х£(9я/2; 5л);
100) y = arcctg (ctg x), х£[7л/2; 4л).
5. Найти обратные функции к заданным и построить их
графики:
1)0=Ц^. *€(-!; 2];
2) у — 2х-уЗг х^(—3; 4-оо);
3) у——(x~i~ 2)2 -|- 3, х (—2; 4“°о)>
4) ^ = х2 + 2х + 5, xg(— 1; +оо);
b)y=v^-i, хё(1; +оо);
6) «'=Й|’ хё0; +«о);
7) !/ = 10g2(x—2), х(Е(2; 4-0°);
8) у=~14-х8 ’ *€(—°°;°г.
9) у = У1—х2, xg[0; 1];
10)j/=yctgx, xg(0; n/4);
11) # = 14-Sinx, xg[—-л/2; n/2];
262
ГЛ. 3. ГРАФИКИ ФУНКЦИЙ
12) r/ = l + sinx, х£[л/2; Зл/2];
13) # = cosx, х^[2л; 5л/2];
14) у = tg х, х^[л; Зл/2];
15) ^/ = tgx, х£(Зл/2; 2л];
3*
16) /у-1 + lg (х + 4); 17) ^=1^;
18) 19) у~logx2;
20) </=ln(x— V «2— I);
si) • x^(- —И;
22)*=TzW’ *€1-1/2; 1/2];
23^=кр?г *€П;+оо);
24) у — sin3 х, х £ [— л/2; л/2];
25) еЯ+е~--, х€{0; +оо); 26) ^ = /Г=^;
27) {/ = {*}. х£(2; 3); 28) У=^Г > хё(0; 1):
29) у=/1— 21п(— X), xg[- /7; 0);
30) „_J *2> *€Ю; 4-оо).
dU) у~ \ х3, х€(— °0; 0);
ЧП J X2—4x4-6, xg(— со; 2],
} У-\ -х+4, х€(2; 4-«о);
32) у = arcsin (sin х), х£[7л/2; 9л/2];
33) у = arcsin (sin х), х(£[13л/2; 15я/2]|
34) г/— sin(arctgх), xg[O; 4-оо);
35) £/=x2signx;
36) у ~ 2 sin Зх, х £ [л/6; л/2];
37) ^ = 3arcsin — , xg(—3; 3);
о
38) у — arcsinp^l—ха, 1; 0];
39) // = sinx+cos х, х^[—Зя/4; л/4];
40) g=,in£±l, xg(0; 4-оо);
41) £/ = х| х |-f-2x, xg(—оо; + оо);
42) г/ —х—]/"х2 — 1, xg(—оо; —1].
6. Решить уравнение и привести геометрическую интерпре-
тацию полученного решения:
1) |2х—1 |=3; 2) |х—2|—х + 2 = 0; 3) | х^2| + |х+3 | = 5;
4) 111 11_1 | —2 | =4; 5) |х2—Зх+2| = 2;
6) /х+3 = *4-1; 7) К2^ = 44-х;
8) ^1^=1— |х|; 9) /^ZT-хЗ—1=0;
§2 МЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ ГРАФИКОВ ФУНКЦИЙ 263
10) Vrx2 + 4x-f-4 — yх3—12x4-36=16; 11) 2«»=х4-7;
12) У"х+ У2^х=2; 13) /х+Кз+^=3,
14) 3 Ух-f-1 = 3х3—8x4-3; 15) x3 = sin — х;
16) У(х4-1)3х = |2х4-1 | —1; 17) ||х4-1| —1|=— х;
18) х—х3-|-252 рУ х=0; 19) log2x—х-[-2 = 0;
20) 31og3x—2x4-2=0; 21) 2* = 1 — х3;
22) х3—xs4-l/x3=0; 23) Iog1/ie х=(1/16)*.
7, Решить неравенство и привести геометрическую интер-
претацию полученного решения:
1) |1—xl>2; 2)|2-Н|<3; 3)|3х—1]<2;
4) | 21 > х+3; 5) | х—*1 | < 1 — | х |;
6) |х — 1 | > 2—| х 1; 7) |х + 1 | — |*1 < И
8) |х| 4-12x4-1] >1; 9) | х3 —1 | < 1 —| х|;
10) /х4-2 > 2х—2; 11) Ух3—1 <х2—3;
12) У^Т > х—1; 13) Ух34-16x 4-64 —Ух34-2х-Н >5;
14) Ух34-16x4-64—У х34-2x4-1 < 8;
15) 3log2х > 2(х—1); 16) 1 —xSs (х-|- 1)2х;
17) 1=^2*; 18) j/x+Ixsx— 5;
19) Ух4-1 < Зх3—х; 20) 21og2x-j-2 рУ х<—5.
8. Для каждого значения а решить уравнение и привести
геометрическую иллюстрацию полученного решения:
1) |х—3| = а; 2)]х+21=а+1; 3)|2х —а| = 1;
4) | х^-а | = 14~х; 5)] х2—х|=а; 6) | x-J—21 = х-|-а;
7) ] х +1 | = а(х—1); 8) 11 х]— а | = 2;
9) |х—<2| + |х] = 1; 10) У”х-^а=х\ 11) xj х+а| = 2;
12) Х4 + %2—<& = 0; 13) ох2—*ах 4-2=0;
14) ах34-(а4-1)х-3 = 0; 15) %^=а;
16) 12x4-3|=а(х—2); 17)
18) |х| —1х4-1|=а; 19) Ух3(х3 —1)=а; 20) У х=а—х.
9. Для каждого значения а решить неравенство и привести
геометрическую интерпретацию полученного решения:
1) |х— 1|>а; 2) |х—3|<i2“4~1; 3) ] х—а | < х4-4;
4) ах > |х+ 11; 5) а | х | < %4-2; 6) Ух+а > х\
7)||х|—1|>а; 8) ах2+х4-1 > 0;
9) ах2 +1 х | — 1 > 0; 10) х2—а | х | + 1 > 0.
10. Изобразить на плоскости X0Y множество точек Р(х; у),
координаты которых удовлетворяют условию:
I) 2) |х|-Ш1 = 1; 3) |хЧ-^]=—х+1^1;
264
ГЛ. 3. ГРАФИКИ ФУНКЦИЙ
4) ||Х|-IJ/1]=1; 5) ||х| + ||у|—3|—3| = 1;
1/"3
6) |У|=-^(1И-х); 7) |j/+kll<lkl-xl;
8) х*-\-У*—х"> 9) *2 + '/ = *+y; Ю) х2/4 + уг = 1;
( ^<5—2|х|,
11) х2/2-у2 = 1; 12) ху-у^х+2; 13) { 1
( -2,Х
14) у —4—{у—6/х |—2 | 3/х—1 |;
15) j/ = 2 | 1 + 1/х l + 2/х—| Z/ + 4 |;
16) x2 + 4xj/—5j/2=0; 17) | ^~^+2 > °’
20) {х}+{(/}=1; 21) [x] + [f/]=l; 22) х=у-у\
23) х2 = у-г/?; 24) log1/2(|x| + | у |) -> 0;
25) log2 х log4Z/== 1; 26) log^ | sin х | > 0;
27) logcos х (| у |-2) > 0; 28) { = ’’
§ 3. Графики сложных функций
Используя геометрические преобразования, рассмотренные
в § 2, в их различных комбинациях, можно построить и графики
более сложных функций.
Пример 1. Построить график функции
^=1||х|-1|-2|.
Решение. График данной функции можно построить по
графику функции у = ||х| — 11, если последний параллельно
перенести вдоль оси OY вниз на отрезок длины 2, а затем ту
часть полученного графика функции # = ||х|—1| — 2, которая
расположена в нижней полуплоскости, симметрично отобразить
относительно оси ОХ. График функции # = ||х|—1| можно
построить по графику функции z/ = |x|, если последний парал-
лельно перенесли вдоль оси OY вниз на отрезок длины 1,
а затем ту часть полученного графика функции у = | х | — 1,
которая расположена в нижней полуплоскости, симметрично
отобразить относительно оси ОХ.
Таким образом, график заданной функции (рис. 3.84, е)
может быть построен согласно схеме
х _^ | Х| _^ | Х|_ 1 ц Х|_ 11 _^ || Х|_ 11_2 —HI х|— 1| —2|
на рис. 3.84 соответственно a t—» бь—> в г-» д f—» е).
Заметим, что построение графика функции, в аналитическом
задании которой содержится несколько знаков абсолютной вели-
чины, можно осуществить построением графика тождественно
равной ей функции, в аналитическом задании которой не содер-
жится ни одного знака абсолютной величины. Для этого всю
§3. графики СЛОЖНЫХ ФУНКЦИЙ
265
область определения данной функции надо разбить на проме-
жутки таким образом, чтобы на каждом из них, исходя из
определения абсолютной величины, можно было раскрыть все
знаки модуля и получить на нем функцию, тождественную
данной.
Пример 2. Построить график функции
^-Н1-|х+И+3|х + 21.
Решение. Точки числовой оси хх =—2, х2 ——Ь Хз = 0
разбивают всю область определения функции на четыре проме-
жутка знакопостоянства функции: (—оо; —2), [—2; —1], (—1;0),
[0; +оо). Построение графика данной функции (рис. 3.85)
сводится к построению графика тождественно равной ей функ-
ции, заданной следующим образом:
' — 3x^5, xg(— со;— 2),
J 3x4-7, 2; — 1],
«4-5, х£(— 1; 0),
к Зх 4 х [0; 4" оо).
Пример 3. Построить график функции
е/ = |х2 —2х | — |х2—Зх+2 [—х.
Решение. Имеем х2—2х=х (х—-2), х2—3x4-2 — (х— 1)X
X (х—2). Точки числовой оси Xi = 0, х2=1, х3 = 2 разбивают
всю область определения данной функции на четыре промежутка:
(— оо; 0), [0; 1], (1; 2], (2; 4>оо).
Так как на множестве (—оо; 0)(J(2; 4оо) имеем ] х2—2х[ =
= х2—-2х и | х2—3х4-2 | = х2 — 3x4-2, то на нем
у = (х2 — 2х) — (х2—Зх 4 2) х = х2—2х—х2 4-Зх—2—х = —2.
Так как на отрезке [0; 1] имеем |х2 — 2х | =—• х24~2х
и | х2 —3x4'21 — х2 — 3x4-2, то на нем
у —— (х2— 2х) — (х2—3x42) —х =— х242х—х243х—2—х =
=—2х244х—2 = —2 (х— I)2.
Так как на промежутке (1; 2] имеем ] х2—-2х| =—(х2— 2х)
и | х2-—3x421 =—(х2—3x42), то на нем
у =— (х2 — 2х)4(х2 — 3x42) —х —— х2 4 2x4я2—3x42—х —
= —2x42.
Итак, построение графика данной функции сводится к по-
строению графика (рис. 3.86) тождественно равной ей функции
( —2, хен оо; 0)U(2; 4 оо);
—2(х—I)2, Х0О; 1];
V -2x4-2, х^(1; 2].
Пример 4. Построить график функции
S/ = |tgx[-|tgx-l[42.
Решение. Так как данная функция является периоди-
ческой с главным периодом я, то достаточно построить график
266
ГЛ. 3. ГРАФИКИ ФУНКЦИЙ
Ук
|л?2«2й7]-|л?г" 3#+ 2 [-й?
Рис, 3.86
§3. ГРАФИКИ СЛОЖНЫХ ФУНКЦИЙ
267
данной функции на любом интервале длины я, например, на
интервале (—л/2; л/2), а затем периодически продолжить его
на всю числовую ось.
Разобьем интервал (—л/2; л/2) на промежутки таким обра-
зом, чтобы можно было раскрыть все знаки модуля в записи
данной функции.
На промежутке (—л/2; 0] имеем | tg х | =—tgx и |tgx—1[==
=—tgx+L поэтому # = 1 на нем.
На промежутке (0; л/4] имеем |tgx|=tgx и | tg х— 11 =
tgx-J-t, поэтому # = 2tgx+ 1 на нем.
На промежутке (л/4; л/2) имеем |tgx|=tgx и |tgj:-*-l|=s
= tg х— 1, поэтому z/ = 3 на нем.
Итак, построение графика функции у~ \ tg х | — | tg х— 11 -f-2
на промежутке (—л/2; л/2) сводится к построению графика
(рис. 3.87, а) тождественно равной ей функции
( 1, xg(— л/2; 0];
/(*)={ 2 tg 1,- xg(0; л/4];
V 3, л:£(л/4; л/2).
Продолжив периодически на всю числовую ось построенный
график на промежутке (—л/2; л/2), получим график исходной
функции (рис. 3.87, б).
Заметим, что график функции г/= 111 х | — 1 | —21 примера 1
можно построить, осуществив построение графика тождественной
ей функции, в аналитической записи которой не содержится
знаков абсолютной величины.
Действительно, точки числовой оси х±=—3, х2 = — U х3—0,
х4=1, х5 = 3 разбивают область определения функции на шесть
промежутков: (— оо; —3), [—3; — 1], (—1; 0], (0; 1], (1; 3],
(3; +оо).
268 ГЛ. 3- ГРАФИКИ ФУНКЦИЙ
Данная функция тождественно равна функции
— х—3, х^(—оо; —3);
х + 3, xg[—3; —1];
f(x\— . —x+h *(Е(—1; ЭД;
'U х —1, xg(0; 1];
— *4-3, x€(I; 3];
v x—3, xg(3; 4~°°)>
график которой изображен на рис. 3.84, е.
Ниже на примерах разбираются приемы построения графи-
ков сложных функций y — F (f (х)), xgX, основанные главным
образом па сопоставлении промежутков монотонности каждой
из функций.
Приведем описание метода построения графика функции
y~l/f(x) по графику функции y = f(x).
а) Если из области определения функции y = f(x) исклю-
чить все те значения х, для каждого из которых /(х) = 0, то
получим область определения функции y—l/f(x).
Если функция y— f(x) непрерывна в точке х = х0 и /:(хо) = О,
то прямая х=х0 является вертикальной асимптотой графика
функции y=l/f(x),
б) Функция 1//(х) положительна (отрицательна) на тех
промежутках, на которых положительна (отрицательна) функ-
ция y = f (х). Функция y=l/f(x) нулей не имеет.
в) На тех промежутках, где функция y = f(x) возрастает
(убывает), функция #=1//(х) убывает (возрастает), причем
стремление функции f (х) к нулю (к бесконечности) приводит
к стремлению функции у~1Ц (х) к бесконечности (к нулю).
г) Если в точке х = х0 функция у — f (х) достигает макси-
мума (минимума) и f (х0) $6 0, то в этой точке функция у= 1//(х)
достигает минимума (максимума).
д) Так как ±1 = 1//(х), когда f(x) — ±l, то точки пересе-
чения прямых у~ 1 и ij~— 1 с графиком функции y = f(x) при-
надлежат также и графику функции у=1//(х).
е) Если функция y—f(x) является периодической, четной
или нечетной, то таковой является и функция y=l/f(x).
Пример 5. Построить график функции
X
у~х*- Г
Решение. Так как у(—-х)=— у(х), то данная функция
является нечетной, и поэтому достаточно построить график для
х^О, а затем получим график ее для х<;0, осуществив цент-
ральную симметрию относительно начала координат. Точка
(0; 0) принадлежит графику данной функции. Если х ф 0, то
данную функцию запишем следующим образом:
§3. ГРАФИКИ СЛОЖНЫХ ФУНКЦИЙ
269
Т. е. = где f(x) = x—— График функции у=4(х),
(£(0; +°о), изображен на рис. 3.88, а.
Так как в точке х = 1 функция y = f(x)t xg(0; + оо), непре-
рывна и обращается в нуль, то прямая х— \ является верти-
кальной асимптотой графика функции ^=1//(х), xg (0; 1)U
U(l; +°о). Так как на. интервале (0; 1) функция у = f (х) воз-
растает от —оо до 0—, то функция y=z\/f(x) на этом интервале
А „ п (—i + Z's' А
убывает от О— до —оо. При этом точка I --; —1 \ при-
надлежит графикам функции y=f(x) и y=l/f (х). На проме-
жутке (1; +00) функция y=f(x) возрастает от 0-|- до +оо,
поэтому функция y=\/f(x) убывает от -f-oo до 0+. При этом
прямая //=0 является горизонтальной асимптотой графика функ-
ции г/— 1// (х), xg(0; 1) U (0; 4»оо). Точка принад-
лежит графикам функции y~f(x) и y~\if(x). График функции
z/=l/f(x), xg(0; 1)U(1 J+<*>), изображен на рис. 3.88, б, график
функции j/=l//(x), оо; —l)U(—1; 0)(J(0; 1)U(1’> +00) —
на рис. 3.88, в, а график функции у~-~-—xg(— оо; —1)U
U(—U +00) —на рис. 3.88, г.
270
ГЛ. 3. ГРАФИКИ ФУНКЦИЙ
Пример 6. Построить график функции
Решение. Так как $ (—%)==—у(х), то данная функция
является нечетной, и поэтому достаточно построить график для
х > 0, а затем получим график ее для х < 0, осуществив централь-
ную симметрию относительно начала координат. Точка (0; 0)
принадлежит графику данной функции. Если х & 0, то данную
функцию запишем следующим образом:
1
0=-—Г’
т. е. где /(х) = х + -~. График функции у—*4--—,
+00), изображен на рис. 3.89, а.
Так как точка является точкой минимума функции
y — f (х), xg(0; Н~оо), причем f (1) # 0, то точка х = 1 будет точ-
кой максимума функции z/— 1//(х), xg(0; +оо). Так как на
интервале (0; 1) функция y=zf(x) убывает от +00 до 24-> то
функция у—\Ц (х) на нем возрастает от 0+ до ~—* На про-
межутке (1; +оо) функция y=f(x) возрастает от 2+ до Н-оо,
поэтому функция у=1//(х) убывает от до 0-Ь при этом
г/ —0 является горизонтальной асимптотой графика функции
y~l/f(x), xg(0; -j-oo). На промежутке (0; V3_] функция у =
= 1// (х) выпуклая вверх, а на промежутке [)/~3 ; -|~оо) выпук-
§3. ГРАФИКИ СЛОЖНЫХ ФУНКЦИЙ
271
лая вниз. График функции p=l/f(x), xg(0; 4-00), изображен
на рис. 3.89, б, график функции y~l/f(x), xg(0; +°°)U(—оо; 0) —
на рис. 3,89, в, а график данной функции—-на рис. 3.89, г.
Рассмотрим функцию вида
__ах2-\-Ьх-{-с
У px+q
а 0, р 0.
Вынесем за скобки р в знаменателе и положим а =—q/p, а чис-
литель разложим по степеням х—а. Получим
t __а (х—а)а + (б+2аа) (х—а) + (аа2+с + ^«)
У р (х-а)
Отсюда следует, что
= j (<х~а)+(-7+2а)+т4^)> 0)
Л 9.6 I С
где Д —а2-^—а-]—.
а а
Если Д = 0, то данная функция тождественно равна функ-
ции у(х) = ~ ^(х—, х Ф а, графиком которой
является прямая без точки (а; 0).
Если А < 0, то из (1) следует, что
..,.л М-2аа , аУ\Т] ( х—а 1
У(’ Р + Р х~а Г
( К|Л| )
Если А > 0, то | А | = Я, и из (1) следует, что данную функ-
цию можно записать в виде
. . &-f-2aa , а у
уЮ~^-+—
FT)
Таким образом, график функции получается
px-f-z?
Ь с 1
при а24—-а-|—0 либо из графика функции р = х-----------~
d CL X
(рис. 3.37, б), либо из графика функции р = х+~ (рис. 3.37, а)
посредством простейших геометрических преобразований.
Пример 7. Построить график функции
х2 +2х+3
У== х + 2
272 ГЛ. 3. ГРАФИКИ ФУНКЦИЙ
Решение. Разложив х?4-2х4-3 по степеням л4-2, по
лучаем
х2 4- 2х 4- 3 = (х+2)3^ 2 (х 4- 2) + 3,
Поэтому
_(х+2)2^2(х4-2)+3
у~~ х4-2
или
J=_2+!i±gi3 2+((2+2)+^)=
V УЗ )
Следовательно, построение графика данной функции можно
Рис. 3.90
273
§3. ГРАФИКИ СЛОЖНЫХ ФУНКЦИЙ
произвести согласно следующей схеме (рис* 3.90):
(на рис. 3.90 соответственно а н-» бн-д).
гд ж х2-|-2х + з л
График функции у=——° изображен на рис,
х-ф- z
Пример 8, Построить график функции
3.90, д.
X2 + х+ 1
у~х*—х+г
Решение. Заметим, что точка (0; 1) принадлежит графику
данной функции. Так как
О
^(х) = 1 + -7--рт----, х^О,
\ * /
то для построения графика функции можно использовать сле-
дующую схему (при х Ф 0):
, , 2 _л2 + х + 1
, 1 \ ~х2—x + i
хч---— 1
\ л у
(на рис. 3.91 соответственно гн-^бь~-> е).
Результаты исследования свойств функции */ = х+-~- приве-
дены в табл. 3.5. На основании этих свойств находятся участки
монотонности функции у = —1 + (*+у) ’ а значит» и Участки
монотонности функции----~----рр (табл. 3.7).
1 + ^x+yj
Так как х2—х+1 & 0, то вертикальных асимптот график
данной функции не имеет. Кроме того,
«ш у*+}=1.
Я»±а> X X 1
274
ГЛ. 3. ГРАФИКИ ФУНКЦИЙ
и поэтому прямая #=1 является горизонтальной асимптотой
как при л;—*4~оо, так и при х—оо.
Так как
lim
я-»-о
Х2 + х+1
X2 — % + 1
= 1 ~У (0),
то, использовав предложенную выше схему построения графика
функции у(х) при *0 0, а затем дополнив построенный таким
образом график точкой (0; 1), получим
X2-J-x4“ 1 / л л» \
---гч (рис. 3.91, е)>
X2 — х+ 1
график функции # =
При построении графика функции y~logaf(x) (а > 1) пр
графику функции y~f(x) нужно руководствоваться следующим:
§ 8. ГРАФИКИ СЛОЖНЫХ ФУНКЦИЙ 275
а) функция log^f (я) (а > 1) определена для тех значений х,
при каждом из которых функция f (х) определена и положи-
тельна;
б) функция loga f (*), а > 1 равна нулю в каждой точке xg
числовой прямой, где /(х0)=1; положительна на тех промежут-
ках, где f (х) > 1; отрицательна на тех промежутках, где 0 <
<Цх)< 1;
в) если функция / (х) непрерывна справа (слева) в точке
x=X(j и f(Xo) = O, то прямая х=х0 является вертикальной асимп-
тотой графика функции y = logaf(x);
г) функция loga f W (а > 0 возрастает (убывает) на тех
промежутках, на которых функция y~f(x) положительна и
возрастает (убывает). Функция имеет локальный максимум (ми-
нимум) в тех точках числовой оси, в которых f (х) имеет поло-
жительное максимальное (минимальное) значение.
Таблица 3.7
Функция Значения аргумента
-00<Х<-1 х=—1 — 1<х<0
0=_ (см. рис» 3.91, б) ; 1 у- -( ру -1+ х+- ) \ х / (см. рис. 3.91, в) -3 (max) —— 1 (min)
Значения аргумента
Функция х = 0 0<х<1 1 <Х< + ОО
у=—,+(д:+4)
(см. рис. 3.91, б)
1
у------7---И
~1+(х+т)
(см. рис. 3.91, в)
Не опре-
делена
Не опре-
делена
1
(min)
1
(max)
При 0 < а < 1 можно провести аналогичные исследования
или воспользоваться, например, формулой
bga/W=^lg/(x)
276
ГЛ. 3 ГРАФИКИ ФУНКЦИЙ
Пример 9. Построить график функций
^=Ig (х2—х).
Решение, Так как на промежутке (0; 1) функция f =
= х2 —х (рис* 3.92, а) отрицательна, то область определения
данной функции есть множество (—оо; 0)U(h +00)- Так как
функция f(x)~x-—х непрерывна в точках х = 0 и х=1 и так
как f (0) = /:(1)==0, то прямые х = 0 и х= 1 являются вертикаль-
ными асимптотами графика функции #=lg(x2—х).
На промежутке (—оо; 0) функция f (х) убывает от +оо до 0,
поэтому на нем функция ^=lg(x2—х) убывает от +оо до —оо,
\ — У 5
пересекая ось ОХ в точке х0 =—~—, так как f(x0) = l. На
промежутке (1; 4~оо) функция f(x) = x2—х возрастает от 0 до
+ оо. Поэтому на нем функция lg f (х) возрастает от—оо до
, . _v i+Кб
4-оо, при этом ее график пересекает ось ОХ в точке xi=—— »
так как f(x1)=l.
Сведем полученные результаты в табл. 3.8. График данной
функции изображены на рис. 3.92, б.
Аналогично разобранным выше примерам проводится по-
строение графиков функций вида F (/ (х;), когда «внешняя»
функция (т. е. функция F (и)) [является строго монотонной на
всей своей области существования; в частности, таковыми яв-
ляются функции вида
Рп + 1 11(х), 2П+]/У(х), arccos f (х), arctg f (х),
arcsin f (x), arcctg f (x).
Зная промежутки монотонности функции y = f(x)t находим
промежутки монотонности функции y — F(f(x)).
Пример 10. Построить график функции
Решение. Поскольку имеет место равенство
1—f=—14——
14-х ^х4-Г
1 — X
го график функции у—у—- (рис. 3.93, г) получается из гра-
фика функции у~\/х по следующей схеме:
11 2 2 J-x
х х4-1 х4-1 1+х4-1~'1+^'
(на рис. 3.93 соответственно a t—> б н-» вн-> а)
§3. ГРАФИКИ сложных ФУНКЦИЙ
277
Рис. 3.93
278
ГЛ. 3. ГРАФИКИ ФУНКЦИЙ
Таблица 3.8
Функция Значения аргумента
— оо<х<0 а=0 0 <х<1 .= 1 1 <Х< + со
^ = х2—X (см. рис. 3.92, а) 0 Отри- цательна 0
y=lg(xa — х) (см. рис. 3.92, б) Не опре- делена (—оо) Не су- ществует Не опре- делена (—00)
1 __
Функция J/=r-5— является строго убывающей на проме-
1 -f-X
жутках (—оо; —1) и (—1; -J-oo). Функция у~2х возрастает на
всей числовой прямой. Участки возрастания и убывания дан-
ной функции приведены в табл. 3.9.
Таблица 3.9
Значения аргумента
Функция
— 00 <Л7<—1
-1 <Х<+ 00
1— X
V— 1+х
(см. рис. 3.93, г)
У = 2Х
(см. рис. 3.11)
Не определена
(оо)
1
(см. рис. 3.93, д)
Не определена
(-* о+),
(+<»*-)
/к 1—Х .
Функция имеет вертикальную асимптоту х = —-1 и
горизонтальную асимптоту у~—1. Так как
Um 2(1-*)/(1+*)! =+оо, Um 2(1"х>/(1+л:) =0,
-1 + 0 -1-0
то прямая х =—1 является вертикальной асимптотой графика
§3. ГРАФИКИ СЛОЖНЫХ ФУНКЦИЙ
279
данной функции. Так как
lim 2<,-х)/<1+х’=4-, lim
Х-++°° Л'->—ОО &
то прямая у=1/2— горизонтальная асимптота графика функ-
ции #=2(1~х)/(1+х).
Отметим также, что
2d~*)/(t+4 > 1/2 при х > —1,
2<i-*)/(i + *) < 1/2 при х < — 1.
График функции у = 2(1 +х) изображен на рис. 3.93, д.
Пример 11. Построить график функции
у = arccos f . (2)
\ 1 +*/
1 — х
Решение. График функции - изображен на
рис. 3.93, г. Так как областью существования функции у~arccos х
является промежуток [—1; 1], то, решив неравенство — 1
1 —— х
ГП—h находим, что областью существования функции (2)
1 —х
служит промежуток [0; 4~оо). Отметим, что для отыскания
области существования функции (2) можно было бы, не решая
этого неравенства, воспользоваться соображениями геометриче-
ского характера: на рис. 3.93, г найти те значения х, при ко-
1 х
торых график функции у = —- находится в горизонтальной по-
лосе— l^y^l (предполагая, что все свойства этого графика
доказаны).
Так как функция # = arccosx является строго убывающей
1 X
на своей области существования, а функция у — — - убывает
на промежутке [0; + оо), то из табл. 3.9 заключаем, что функ-
ция (2) является строго возрастающей на промежутке [0; +<эо),
при этом при х = 0 она принимает значение, равное arccos 1=0,
а при х—1—значение arccos 0 = эт/2.
280
ГЛ. 3. графики ФУНКЦИЙ
Имеем также, что
1- 1—х .
lim arccos —— = arccos (—1) = л.
Х»4-оо 1+$
Поэтому прямая у — л является горизонтальной асимптотой
графика функции (2), и он расположен ниже этой прямой при
0 < х <с *4~ оо •
График данной функции изображен на рис. 3.94.
Пример 12. Построить графВД функции
У= ]/*+*• (3)
Решение. Область определения данной функции есть
объединение промежутков (—оо; 0) и (0; + оо). Достаточно
провести исследование данной функции только при х > 0, так
как она является нечетной.
Таблица 3.10
Функция Значения аргумента
0<х<1 х= 1 1 <Х< + СО
. 1 (см. рис. 3.9) 2 (min)
3/— У=]/ X (см. рис. 3.8) 1
(см. рис. 3.95) ^2 (min)
Функция «/=1/ х возрастает на всей числовой прямой. Во-
спользовавшись свойствами функции у = х-}--^ (табл. 3.2), со-
ставим табл. 3.10, в которой отражен характер монотонности
функции
У— xg(0; 4-00). (3')
Поскольку
lim
х-*о+
=+°°»
§3. ГРАФИКИ СЛОЖНЫХ ФУНКЦИЙ 281
то прямая я=0 является вертикальной асимптотой графика
функции (3').
Так как
lim
Я-> + оо
то график функции (3') не имеет наклонной асимптоты при
х —-роо.
Отметим, что
lim ( 1/"х Н—х \ = О,
f оо \ V ' х J
। 1 3/”
Х-|-— >1/Х -при X —>4-00.
Поэтому при достаточно больших положительных значениях х
3 у-*
график функции (3) лежит выше графика функции у~ у х и
мало от него отличается.
На основании проведенного исследования и свойства нечет-,
ности данной функции строим ее график (рис. 3.95).
Если функция F (и) не является строго монотонной, то для
построения графика функции у~ F (f (х)) ее область существо-
вания разбивают на промежутки Х[ так, что на каждом из эти#
промежутков функция y — f (x) является монотонной, и на мно-
жестве значений Y[ функции y = f(x), принимаемом на про-
межутке Х[, функция F (и) также монотонна. В частности*
282
ГЛ, 3. ГРАФИКИ ФУНКЦИЙ
таковыми являются, например, функции вида
/2п(х), sin/(x), tg f(x), ctgf(x) и др.
Пример 13. Построить график функции
# = sin(atK х), xg[0; 9].
Решение. Так как Ос. л У хСЗлпри 0СхС9, то до-
статочно рассмотреть функцию гу —sin а на промежутке 0 Са^Зл
(табл. 3.11).
Так как функция у=пУ х является строго возрастающей,
то, исходя из табл. 3.11, находим участки монотонности данной
функции (табл. 3.12). Учитывая, что х=0, х=1, х = 4 и х==9
есть нули функции ^ = sin(^K *)> строим график (рис. 3.96).
Таблица 3.12
Значения аргумента
§3. ГРАФИКИ СЛОЖНЫХ ФУНКЦИЙ
283
Рис. 3.96
Пример 14. Построить график функции
Е___sin2 х— sin 2х
V cos2 х
Решение. Запишем функцию в виде
sin2 х—sin 2% sin2 % —2 sin х cos %
------5----=-----------5-------=tg2 x—2 tg X — tg x (tg x—-2).
cos2 x cos2 x
Функция (4) определена при всех х, за исключением точек
эт/2+пп, ngZ. Функция является периодической с главным
периодом л, поэтому построение графика функции (4) доста-
точно провести на множестве [0; л/2) UW 2; яг).
Положим £ = tgx и рассмотрим функцию — —2).
Функция F (t) = t (/ — 2) —(/ —1)2—-1 убывает на промежутке
Таблица 3.13
Значения аргумента
Функция О II * t>x>0 «к 11 н К |см V ► и V II 9 $ К {со | х=л |
i = tgx 0 1 Не опре- делена (оо) 0
0 —1 (min) Не опре- делена (+оо) 0
tg х (tg х—2) 0 -1 (min) Не опре- делена + оо 0
284
ГЛ. 3. ГРАФИКИ ФУНКЦИЙ
(—оо; 1] и возрастает на промежутке [1; +°°)« Функция £ = tgx
возрастает на промежутке [0; л/2), и на интервале (л/2; л) в точке
х = л/2 она имеет разрыв. Значение t — 1 функция / = tgx при-
нимает при х = л/4. Когда х возрастает от 0 до л/4, то t воз-
растает от 0 до 1, a F (t) убывает от 0 до —1. Если х возрас-
тает от л/4 до л/2, то t возрастает от 1 до +оо, a F (t)—от—1
до-|-оо; кроме того, F(/) = 0 при / = 2. Если х возрастает от л/2
до л, то t возрастает от —оо до 0, и тогда F (t) убывает от +оо
до 0. Поскольку
lim tgx(tgx—2) = lim tgx(tg х—2) = + оо,
то прямая х=л/2 является вертикальной асимптотой графика
функции z/ = tg х (tg х —2), хg [0; л/2) (J (л/2; л). Полученные
результаты исследования приведены в табл. 3.13, а график
функции (4) изображен на рис. 3.97.
Пример 15. Построить график функции
3 1
у (х) = cos х —cos Зх. (5)
Решение. Так как функция (5) является периодической
главным периодом 2л, то достаточно исследовать ее на про-
межутке [—л; л], а поскольку она является и четной функци-
ей, то —на промежутке [0; л].
Так как cos3x = 4cos3x—3cosx, то имеем
3 3
z/(x) = —. cos х—*2 cos3x+-y cosx = 3 cos x—-2 cos3x.
Полагая t = cos x и t = и имеем
у = — Ж = — 3 jZ у (u8 - и).
Функция
х=0 0<х< ~ 4
t = COS X 1
/т **^4
us—и -4/?
§(«3-и) 1
Таблица ЗЛ4
Значения аргумента
л Х~ 4 л Зл ТГ <х< Т“ 4 4 Зл Х~~ Зл -т- <Х<Л 4 х=л
КТ 2 -КТ 2 — 1
/I ч/т К з jc^|oo 1
-4/4 (min) 1т/т 3 г 3 (min) l.l/'L 3 К 3
Кт ^»ах) -Кт (min) —1
§ 3. ГРАФИКИ СЛОЖНЫХ ФУНКЦИЙ
286
ГЛ. 3 ГРАФИКИ ФУНКЦИЙ
Характер монотонности функции w3— и меняется в точках
= 1/3 и V 1/3 (см. пример 3 в § 2), которым соот-
ветствуют точки t-^V^T/2 и /2 = — К1/2, т. е. точки хх — л/4
и Ха — Зл/4.
Рассматривая образованные этими точками промежутки и
пользуясь свойствами возрастания и убывания функций, полу-
чаем данные, представленные в табл. 3.14.
Построив график функции (5) на отрезке (0; л] и четным
образом продолжив его на отрезок [—л;0], а затем продолжив
периодически на всю прямую, получим график данной функции
(рис. 3.98).
ЗАДАНИЕ 1
Построить график функции:
1) У =
3) у=
5) У~
7) У =
х| —|х+3 —х; 2) «/ —11 х |— х| —х;
х2 —х|+х+1; 4) у:==|х2—11—-х^«—1;
х2—4| х| | + 3; 6) г/ = |sinх|—|sinх—
tgx—1|— tgx|.
11+1;
ЗАДАНИЕ 2
Построить график функции:
1) ^=1 х+21 + | х I —х; 2) у~\х—|х+11| —*х;
3) у = x2 + 2jq-L|x2 + 5x+6|i-x;
4) z/==|x2—х | — 11x2+-x|—x|; 5) y~\ x2 — | x | + 21+1;
6) y~]/~ cos2X-—| cosx—11 —1;
7) y~V~l+sin2x—Y1—sin2x;
8) */ = 2tg x-|tg x+/3|-/3;
9) 9 = (1-2-)-|2«>_1|+2«; 10)
§3. ГРАФИКИ СЛОЖНЫХ ФУНКЦИЙ
287
ЗАДАНИЕ 3
Построить график функции:
У=х+2’ У==~х?+\ ’ 3) У=1ё=\'' 4) у~х*—2х+$
51 ’"лк 6> 7> 8=Й ' 8>
У~~ ||х|—11 —1 ’ 10) log2 X * ^"arcsin х'
11 S
12) z/=-L— ; 13) у==пт—= ; 14) .
у arcctgx ' * 2х—5 у fJLV_|_5
ЗАДАНИЕ 4
Построить график функции:
1) у__ х| , 2) ^—*x2_|x|^2 * У~~ cos х *
4) ctg х ’ ^“"2—2х ’ 6) У~х (| х| —1) *
7) “ arccos х’ 8) arctg х ’ j1
10) ys=\o^(x+2) ’ U) у^ ’
12) ^siniTcosx1 13)^=^TT: 14) ^=1_(1/2H»
ЗАДАНИЕ 5
Построить график функции:
1) ^ = х(х—1); 2) (л:—I); 3) х (х^ 1)|
4) 0 = х2(х—1); 5) у^Ух2 (х—1); 6) у— х2
7) ^ = х(х—1)2(х—2)3; 8) у~ъ^х (х—1)2(х—2)3;
9) у=Д/х (х—1)2(х—2)3; 10) у=У(х+ 1)(х+2)(х— ljl|
11) у=У(х+1)х; 12) ^=/7+7 Кх;
13) у~У1£х\ 14) ^=Kcosx.
ЗАДАНИЕ 6
Построить график функции:
1) у=х(х-\-2)\ 2) у=Ух(х+2);
3)У=/7/7+2; 4) y=i/x(x+2y,
5) у=х2(х—1)2(*4-2); 6) j/=/x2(x—1)2(х4-2);
7) у=^х^(х—1У(х—2)-, 8) у=Ух2 (х—I)2(2—х);
288
РЛ. 3. ГРАФИКИ ФУНКЦИЙ
9) y=.(x+l)i/«(^+2)V«(jr—2)«»;
10) у=У2)»(*4-3)5; П)
12) z/= К arcsin х; 13) y~V ctg х; 14) (/== J^sinx.
ЗАДАНИЕ 7
Построить график функции:
о
1
х2(х+2) ’’
Х^
(х— 1) (х+2); 6) -У=Г+х5
х3—*4х , ___(х+2)х
(х— 1)2(1+х); 9) У~ х2—4 ;
,_|*1(* + 1). 12\ х2(* + *).
---------’ ^>у~—х^2'
1 оч х~{~ 1 оч г
У~х(х+2) ’ 2) У~х(х+2) ’ 3) У~
х—2 ~ х(х-|~1)
У^^+2У 5)У=----------
8)
10) in у—т—п-
131 „_£Ц±1). 141 «-£Ц±12
' У (х— 2)2 ’ 14> (х—2)3 ‘
4)
ЗАДАНИЕ 8
Построить график функции:
W y== х2^?1 2) y==x24-x+l;
лч Fx(x4-1) х2
4) г/-(х+2)(х4-3); 5) У==\— х’ 6)
_ х(х2 + 1) оч х2 — 4х оч
^У~ х3—1 : 8) y_2x2—3’ 9) y~(x+2j3(x+l)?’
1 • Ill •
У х3(/х—2|)(х4-3)’ у-х6—х3’
|х|(х+1). (х-3)2(х+1)(х+2) .
У-х2+х^1> У- (Х2_4)(Х_2)« ’
(х2-х+2)(х2+Зх-4)
у (х«--3х+2)(х2—5x4-6)*
3) У
1
“ х2(х—3) ;
х4-2
у“х2+1:
х2(х—I)2
10)
12)
И)
ЗАДАНИЕ 9
Построить график функции:
1){,==гЦ; 2)г'=(Й^)2; 3}у:
, Х4“1 . х+1
4) у = arcctg g—-- ; 5) у = log2 ;
7) ^=logi/2|il; 8) г/= ]/"
9) У
X
si ГРАФйй^ЬяОЖНьГХ функций 289
10) 11)0 =arccos
2—x
12) 0=arcsln|il; 13) 0=2tg*; 14) 0 = (-^)C<M*’
ЗАДАНИЕ 10
Построить график функции:
1) f/=xa—5x4-6; 2)#===^-—^* 6ж+®;
3) у=зх*~бх+в; 4) y==arctg(xa— 5*4-6);
5) г/=arcctg (ха—5*4-6); 6) у=log3 (х2—5*4-6);
7) y=logi/8 (*2-~5*+6); 8) у = Уха—*5*4-6;
9) х2—5*4-6; 10) у=arccos (х2—5*4-6);
1
11) у = arcsin (х2*-.5х4-6); 12) 57^;
—L-_ 1
13)^2**-**+*; 14)ys=arctgJ5—g^p.
ЗАДАНИЕ 11
Построить график функции:
1) у=arcsin (sin ха); 2) у— arcsin (cos К"*);
3) arccos (sinx2); 4) y=arccos (cos (2x4-1));
5) у—sin (arccos 2x); 6) у « cos (arcsin ]/”x);
7) у = tg (arcsin x); 8) у == ctg (arctg *);
9) у = ctg (arcsin x); 10) £/ — tg (arccos x);
И) у = arccos —; 12) y=arctg—;
X X
13) 0=arctg ; 14) 0 = arcctg
ЗАДАНИЕ 12
Построить график функции:
1) у=arccos (cos х2); 2 у = arcsin (sin j/^x);
3) у — sin (arccos p^x); 4) у = ctg(arcsin2x);
5) у == tg (arccos (x4- 0); 6) у=arctg jJ—;
7) y==tg (arcctgx); 8) y==sin (arctg x);
лх / x ч Im <. x2—5x4-6
9) У=cos (arcctg x); 10) у=arctg
11) j/=arcsin ~12) £== arccos
10 Задача по математике. Начала анализа
290
ГЛ. 3. ГРАФИКИ ФУНКЦИЙ
13) ff=arctg*(2ffij2 ; 14) 0=arctg (tgx?);
15) у = arctg 16) 4/== arcctg—jy.
У пр аж н ен ия
Построить график функции:
1) |х*+5х+б|-1х2-хI; 2) £=|*а--11-141+2;
3) и_ |х+2| + |х-1| . 4. |х—2|х—1|| .
} у- |х-2Ц-|х+1| ’ У |х-|*+1|| ’_____________
Б) ^ = |sinx—1|—sinx+l; 6) (P"sin2x—prcos2x)2;
7) </=21/со’х; 8) 0=(4-Y8*; 9)j/==5ct8X;
\ О /
10) 11) »==10g|stajc|y;
12) {/ = log8ln x cos x; 13) y = logCO8 x sin x; 14) y= tg
15) y=x+sinx; 16) £ = xsinx; 17) t/=x2cosx;
18) y==x2sinx; 19) t/~cosx2; 20) #=sinx2;
IlzllLI
21)j/ = 2 s+* ; 22) t/=JC2(x_1)2(x+2)«:
^iofod-xp 24)
25) у = Vx(x+2)4(x+3); 26) у = /x2 (x—2)* (x +1);
27) f/ x2 (x-2)3(x-f-3)*(x+4)« ; 28) у=arctg
29) (/=arctg y~^'> 3°) '/S=arccosp^;31)«/=arcsinj^;
32) Кlogi/8 x2; 33) у=arcsin 34) 0=arctg
35) y=2^1; 36) 0=[x]/x; 37) j/={x)/x;
38) f/ = (x-lx])2; 39) i/=(-l)h/x]; 40) у=| log1/21 sin x 11;
xa+*+4 x2 + l o x—x2+2
42)4,=^; 43) y^—
... x2+x+l X»+l ... x»]/jx+^.
44> 46)4,=^-jXXJ;
47)4/=K7(x+2); 48) 4?= i/x(x+2)-,
49) cos* x—• sin* x—cos 2x4-5; 50) У—
51) ^=max{sinx, cosx); 52) y«=max{x8, x*, 1};
53) 4/=min{x, x2, x8}; 54) 4/=2~*sinx; 55)
§ 3. ГРАФИКИ СЛОЖНЫХ ФУНКЦИЙ 291
56) #=/”xsinx; 57) у— 4(х+3);
58) {/ = /4—х2 sin х; 59)у= v °2~; 60) у=-====5
у 14»tg2X
61) ys= 1+%; 62) z/ = x— j/\a — 1;
63) //~Kl°g2 sin л; 64) y~i/ xx+1;
65) у == V"x — 1 — V x +1; 66) у=arccos (cos x4);
67) у ~ arcsin (sin x4); 68) у==log2 (arcsin x+arccos x);
69)^=x/x^4; 70)^=x/4^x2;
71) у « arctg x—arcctg ~; 72) у = cos (log2 x);
X
73) ^a=cosy; 74) r/=sin-^-; 75) =sin (3arccosx);
76) cos (4 arccos x); 77) y=tg (3 arctg x);
78) у—x (arccos (cos x) —x); 79) у=xa arcsin (sin x);
80) у«arccos (cos x)•**arcsin (sin x).
10*